Mercurial > hg > mpdl-xml-content
view texts/XML/archimedes/el/eucli_eleme_105_el.xml @ 31:edf6e8fcf323 default tip
Removing DESpecs directory which deserted to git
| author | Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de> |
|---|---|
| date | Wed, 29 Nov 2017 16:55:37 +0100 |
| parents | 22d6a63640c6 |
| children |
line wrap: on
line source
<?xml version="1.0"?> <archimedes xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" > <info> <author>Euclides</author> <title>Elementa</title> <date>1969-1916</date> <place>Leipzig</place> <translator></translator> <lang>el</lang> <cvs_file></cvs_file> <cvs_version></cvs_version> <locator>105</locator> </info> <text> <front></front><body> <pb></pb> <chap><p type="main"><s>Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,1,1"></lb> <s> Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,2,1"></lb> <s>Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,3,1"></lb> <s>Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς <lb n="1799,001,,,,1;HOR,4,1"></lb> σημείοις κεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,4,2"></lb> <s>Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,5,1"></lb> <s>Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,6,1"></lb> <s>Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ' <lb n="1799,001,,,,1;HOR,7,1"></lb> ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,7,2"></lb> <s>Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν <lb n="1799,001,,,,1;HOR,8,1"></lb> ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ' εὐθείας κειμένων πρὸς <lb n="1799,001,,,,1;HOR,8,2"></lb> ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,8,3"></lb> <s>Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι <lb n="1799,001,,,,1;HOR,9,1"></lb> ὦσιν, εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,9,2"></lb> Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς <lb n="1799,001,,,,1;HOR,10,1"></lb> γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γω-<lb n="1799,001,,,,1;HOR,10,2"></lb> νιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, <lb n="1799,001,,,,1;HOR,10,3"></lb> ἐφ' ἣν ἐφέστηκεν.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,10,4"></lb> <s>Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,11,1"></lb> <s>Ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,12,1"></lb> <s>Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,13,1"></lb> <s>Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,14,1"></lb> <s>Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς <lb n="1799,001,,,,1;HOR,15,1"></lb> περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὸς <lb n="1799,001,,,,1;HOR,15,2"></lb> σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ <lb n="1799,001,,,,1;HOR,15,3"></lb> προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περι-<lb n="1799,001,,,,1;HOR,15,4"></lb> φέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,15,5"></lb> <s>Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,16,1"></lb> Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,1;HOR,17,1"></lb> κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη <lb n="1799,001,,,,1;HOR,17,2"></lb> ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν <lb n="1799,001,,,,1;HOR,17,3"></lb> κύκλον.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,17,4"></lb> <s>Ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε <lb n="1799,001,,,,1;HOR,18,1"></lb> τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ' αὐτῆς περι-<lb n="1799,001,,,,1;HOR,18,2"></lb> φερείας.</s> <s>κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ <lb n="1799,001,,,,1;HOR,18,3"></lb> κύκλου ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,18,4"></lb> <s>Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχό-<lb n="1799,001,,,,1;HOR,19,1"></lb> μενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ <lb n="1799,001,,,,1;HOR,19,2"></lb> ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσά-<lb n="1799,001,,,,1;HOR,19,3"></lb> ρων εὐθειῶν περιεχόμενα.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,19,4"></lb> <s>Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρί-<lb n="1799,001,,,,1;HOR,20,1"></lb> γωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ <lb n="1799,001,,,,1;HOR,20,2"></lb> τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς <lb n="1799,001,,,,1;HOR,20,3"></lb> τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,20,4"></lb> <s>Ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν <lb n="1799,001,,,,1;HOR,21,1"></lb> τρίγωνόν ἐστι τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,21,2"></lb> ἔχον ἀμβλεῖαν γωνίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας <lb n="1799,001,,,,1;HOR,21,3"></lb> ἔχον γωνίας.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,21,4"></lb> <s>Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν <lb n="1799,001,,,,1;HOR,22,1"></lb> ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες <lb n="1799,001,,,,1;HOR,22,2"></lb> δέ, ὃ ὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ <lb n="1799,001,,,,1;HOR,22,3"></lb> ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς <lb n="1799,001,,,,1;HOR,22,4"></lb> ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, <lb n="1799,001,,,,1;HOR,22,5"></lb> ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον· τὰ δὲ παρὰ <lb n="1799,001,,,,1;HOR,22,6"></lb> ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,22,7"></lb> <s>Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπι-<lb n="1799,001,,,,1;HOR,23,1"></lb> πέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ' ἑκάτερα τὰ <lb n="1799,001,,,,1;HOR,23,2"></lb> μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.</s> <lb n="1799,001,,,,1;HOR,23,3"></lb> <s></s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον <lb n="1799,001,,,,1;AI,1,1"></lb> εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,1;AI,1,2"></lb> <s>Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐ-<lb n="1799,001,,,,1;AI,2,1"></lb> θείας ἐκβαλεῖν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1;AI,2,2"></lb> Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γρά-<lb n="1799,001,,,,1;AI,3,1"></lb> φεσθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1;AI,3,2"></lb> <s>Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.</s> <lb n="1799,001,,,,1;AI,4,1"></lb> <s>Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς <lb n="1799,001,,,,1;AI,5,1"></lb> ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας <lb n="1799,001,,,,1;AI,5,2"></lb> ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπί-<lb n="1799,001,,,,1;AI,5,3"></lb> πτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.</s> <lb n="1799,001,,,,1;AI,5,4"></lb> <s></s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.</s> <lb n="1799,001,,,,1;KE,1,1"></lb> <s> Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.</s> <lb n="1799,001,,,,1;KE,2,1"></lb> <s>Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά <lb n="1799,001,,,,1;KE,3,1"></lb> ἐστιν ἴσα.</s> <lb n="1799,001,,,,1;KE,3,2"></lb> <s>[Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1;KE,4,1"></lb> Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1;KE,5,1"></lb> <s>Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.] <lb n="1799,001,,,,1;KE,6,1"></lb> Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ' ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1;KE,7,1"></lb> <s>Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον [ἐστιν].</s> <lb n="1799,001,,,,1;KE,8,1"></lb> <s>Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1;KE,9,1"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον ἰσό-<lb n="1799,001,,,,1,1,1"></lb> πλευρον συστήσασθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,1,2"></lb> <s>Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,1,3"></lb> <s>Δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας τρίγωνον ἰσόπλευρον συστή-<lb n="1799,001,,,,1,1,4"></lb> σασθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,1,5"></lb> <s>Κέντρῳ μὲν τῷ Α διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ κύκλος γεγρά-<lb n="1799,001,,,,1,1,6"></lb> φθω ὁ ΒΓΔ, καὶ πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ <lb n="1799,001,,,,1,1,7"></lb> τῷ ΒΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΓΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ση-<lb n="1799,001,,,,1,1,8"></lb> μείου, καθ' ὃ τέμνουσιν ἀλλή- <lb n="1799,001,,,,1,1,9"></lb> λους οἱ κύκλοι, ἐπὶ τὰ Α, Β <lb n="1799,001,,,,1,1,10"></lb> σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι <lb n="1799,001,,,,1,1,11"></lb> αἱ ΓΑ, ΓΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,1,12"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέν-<lb n="1799,001,,,,1,1,13"></lb> τρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΒ κύκλου, <lb n="1799,001,,,,1,1,14"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ· πάλιν, <lb n="1799,001,,,,1,1,15"></lb> ἐπεὶ τὸ Β σημεῖον κέντρον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,1,16"></lb> ἐστὶ τοῦ ΓΑΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΑ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ <lb n="1799,001,,,,1,1,17"></lb> καὶ ἡ ΓΑ τῇ ΑΒ ἴση· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΓΑ, ΓΒ τῇ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,1,1,18"></lb> ἐστὶν ἴση.</s> <s>τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα· καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,1,1,19"></lb> ΓΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἐστὶν ἴση· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΓΑ, ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,1,20"></lb> ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,1,21"></lb> <s>Ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, καὶ συνέσταται <lb n="1799,001,,,,1,1,22"></lb> ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τῆς ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,1,23"></lb> <s>[Ἐπὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,1,1,24"></lb> ἰσόπλευρον συνέσταται]· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,1,25"></lb> <s>Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν <lb n="1799,001,,,,1,2,1"></lb> θέσθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,2,2"></lb> <s>Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,1,2,3"></lb> ἡ ΒΓ· δεῖ δὴ πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,2,4"></lb> ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,2,5"></lb> <s>Ἐπεζεύχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ Β σημεῖον <lb n="1799,001,,,,1,2,6"></lb> εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ συνεστάτω ἐπ' αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευ-<lb n="1799,001,,,,1,2,7"></lb> ρον τὸ ΔΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ' εὐθείας ταῖς ΔΑ, <lb n="1799,001,,,,1,2,8"></lb> ΔΒ εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι <lb n="1799,001,,,,1,2,9"></lb> δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΗΘ, καὶ πάλιν κέντρῳ <lb n="1799,001,,,,1,2,10"></lb> τῷ Δ καὶ διαστήματι τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,2,11"></lb> Ἐπεὶ οὖν τὸ Β σημεῖον κέν- <lb n="1799,001,,,,1,2,12"></lb> τρον ἐστὶ τοῦ ΓΗΘ κύκλου, ἴση <lb n="1799,001,,,,1,2,13"></lb> ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,1,2,14"></lb> τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,1,2,15"></lb> τοῦ ΚΛΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,1,2,16"></lb> ἡ ΔΛ τῇ ΔΗ, ὧν ἡ ΔΑ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,2,17"></lb> ΔΒ ἴση ἐστίν.</s> <s>λοιπὴ ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,1,2,18"></lb> ΑΛ λοιπῇ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,1,2,19"></lb> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ <lb n="1799,001,,,,1,2,20"></lb> ἴση· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΛ, <lb n="1799,001,,,,1,2,21"></lb> ΒΓ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση.</s> <s>τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις <lb n="1799,001,,,,1,2,22"></lb> ἐστὶν ἴσα· καὶ ἡ ΑΛ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,1,2,23"></lb> <s>Πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ <lb n="1799,001,,,,1,2,24"></lb> τῇ ΒΓ ἴση εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΛ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,2,25"></lb> <s>Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ <lb n="1799,001,,,,1,3,1"></lb> ἐλάσσονι ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,3,2"></lb> <s>Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι <lb n="1799,001,,,,1,3,3"></lb> ἄνισοι αἱ ΑΒ, Γ, ὧν μείζων ἔστω ἡ <lb n="1799,001,,,,1,3,4"></lb> ΑΒ· δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,1,3,5"></lb> τῇ ἐλάσσονι τῇ Γ ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,3,6"></lb> <s>Κείσθω πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,3,7"></lb> Γ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΑΔ· καὶ κέντρῳ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,3,8"></lb> μὲν τῷ Α διαστήματι δὲ τῷ ΑΔ κύκλος γεγράφθω <lb n="1799,001,,,,1,3,9"></lb> ὁ ΔΕΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,3,10"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου, <lb n="1799,001,,,,1,3,11"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΑΔ· ἀλλὰ καὶ ἡ Γ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,1,3,12"></lb> <s>ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕ, Γ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,1,3,13"></lb> ΑΕ τῇ Γ ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,1,3,14"></lb> <s>Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων τῶν ΑΒ, Γ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,1,3,15"></lb> μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσονι τῇ Γ ἴση ἀφῄρηται ἡ ΑΕ· <lb n="1799,001,,,,1,3,16"></lb> ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,3,17"></lb> <s>Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖσ] δυσὶ πλευραῖς <lb n="1799,001,,,,1,4,1"></lb> ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην <lb n="1799,001,,,,1,4,2"></lb> ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν <lb n="1799,001,,,,1,4,3"></lb> τῇ βάσει ἴσην ἕξει, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον <lb n="1799,001,,,,1,4,4"></lb> ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσον-<lb n="1799,001,,,,1,4,5"></lb> ται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,4,6"></lb> <s>Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ <lb n="1799,001,,,,1,4,7"></lb> τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δυσὶ <lb n="1799,001,,,,1,4,8"></lb> πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα <lb n="1799,001,,,,1,4,9"></lb> ἑκατέραν ἑκατέρᾳ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ <lb n="1799,001,,,,1,4,10"></lb> τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ καὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,4,11"></lb> ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην.</s> <s>λέγω, <lb n="1799,001,,,,1,4,12"></lb> ὅτι καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση <lb n="1799,001,,,,1,4,13"></lb> ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ <lb n="1799,001,,,,1,4,14"></lb> τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ <lb n="1799,001,,,,1,4,15"></lb> γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσον- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,1,4,16"></lb> ται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνου-<lb n="1799,001,,,,1,4,17"></lb> σιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, ἡ δὲ ὑπὸ Α*γΒ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,4,18"></lb> ὑπὸ ΔΖΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,4,19"></lb> <s>Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ <lb n="1799,001,,,,1,4,20"></lb> τρίγωνον καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπὶ τὸ Δ ση-<lb n="1799,001,,,,1,4,21"></lb> μεῖον τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΔΕ, ἐφαρμόσει καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,1,4,22"></lb> Β σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ΔΕ· ἐφαρ-<lb n="1799,001,,,,1,4,23"></lb> μοσάσης δὴ τῆς ΑΒ ἐπὶ τὴν ΔΕ ἐφαρμόσει καὶ ἡ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,1,4,24"></lb> εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΔΖ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γω-<lb n="1799,001,,,,1,4,25"></lb> νίαν τῇ ὑπὸ ΕΔΖ· ὥστε καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ζ ση-<lb n="1799,001,,,,1,4,26"></lb> μεῖον ἐφαρμόσει διὰ τὸ ἴσην πάλιν εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΔΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,4,27"></lb> <s>ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Β ἐπὶ τὸ Ε ἐφηρμόκει· ὥστε βάσις ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,4,28"></lb> ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει.</s> <s>εἰ γὰρ τοῦ μὲν Β ἐπὶ τὸ Ε <lb n="1799,001,,,,1,4,29"></lb> ἐφαρμόσαντος τοῦ δὲ Γ ἐπὶ τὸ Ζ ἡ ΒΓ βάσις ἐπὶ τὴν ΕΖ <lb n="1799,001,,,,1,4,30"></lb> οὐκ ἐφαρμόσει, δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,1,4,31"></lb> ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>ἐφαρμόσει ἄρα ἡ ΒΓ βάσις ἐπὶ τὴν ΕΖ <lb n="1799,001,,,,1,4,32"></lb> καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται· ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,1,4,33"></lb> ὅλον τὸ ΔΕΖ τρίγωνον ἐφαρμόσει καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται, <lb n="1799,001,,,,1,4,34"></lb> καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἐπὶ τὰς λοιπὰς γωνίας ἐφαρμόσουσι <lb n="1799,001,,,,1,4,35"></lb> καὶ ἴσαι αὐταῖς ἔσονται, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἡ <lb n="1799,001,,,,1,4,36"></lb> δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,4,37"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖσ] δύο πλευ-<lb n="1799,001,,,,1,4,38"></lb> ραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ <lb n="1799,001,,,,1,4,39"></lb> ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν <lb n="1799,001,,,,1,4,40"></lb> βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,4,41"></lb> ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι <lb n="1799,001,,,,1,4,42"></lb> ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτεί-<lb n="1799,001,,,,1,4,43"></lb> νουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,4,44"></lb> <s>Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι <lb n="1799,001,,,,1,5,1"></lb> ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν <lb n="1799,001,,,,1,5,2"></lb> αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.</s> <lb n="1799,001,,,,1,5,3"></lb> <s>Ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ <lb n="1799,001,,,,1,5,4"></lb> πλευρὰν τῇ ΑΓ πλευρᾷ, καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἐπ' <lb n="1799,001,,,,1,5,5"></lb> εὐθείας ταῖς ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι αἱ ΒΔ, <lb n="1799,001,,,,1,5,6"></lb> ΓΕ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία <lb n="1799,001,,,,1,5,7"></lb> τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ <lb n="1799,001,,,,1,5,8"></lb> τῇ ὑπὸ ΒΓΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,5,9"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΔ τυχὸν ση-<lb n="1799,001,,,,1,5,10"></lb> μεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μεί-<lb n="1799,001,,,,1,5,11"></lb> ζονος τῆς ΑΕ τῇ ἐλάσσονι τῇ ΑΖ ἴση <lb n="1799,001,,,,1,5,12"></lb> ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, ΗΒ <lb n="1799,001,,,,1,5,13"></lb> εὐθεῖαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,5,14"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΖ τῇ ΑΗ ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,1,5,15"></lb> δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΗΑ, ΑΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,1,5,16"></lb> ἑκατέρᾳ· καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν ὑπὸ ΖΑΗ· <lb n="1799,001,,,,1,5,17"></lb> βάσις ἄρα ἡ ΖΓ βάσει τῇ ΗΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΖΓ <lb n="1799,001,,,,1,5,18"></lb> τρίγωνον τῷ ΑΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γω-<lb n="1799,001,,,,1,5,19"></lb> νίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,5,20"></lb> ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΖ <lb n="1799,001,,,,1,5,21"></lb> τῇ ὑπὸ ΑΒΗ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΓ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,1,5,22"></lb> ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΑΗ ἐστιν ἴση, ὧν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,1,5,23"></lb> ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ λοιπῇ τῇ ΓΗ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἐδείχθη <lb n="1799,001,,,,1,5,24"></lb> δὲ καὶ ἡ ΖΓ τῇ ΗΒ ἴση· δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΓ δυσὶ ταῖς <lb n="1799,001,,,,1,5,25"></lb> ΓΗ, ΗΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,5,26"></lb> ΒΖΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση, καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ <lb n="1799,001,,,,1,5,27"></lb> ΒΓ· καὶ τὸ ΒΖΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΓΗΒ τριγώνῳ ἴσον <lb n="1799,001,,,,1,5,28"></lb> ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσον-<lb n="1799,001,,,,1,5,29"></lb> ται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· <lb n="1799,001,,,,1,5,30"></lb> ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἡ δὲ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,5,31"></lb> ΒΓΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία <lb n="1799,001,,,,1,5,32"></lb> ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΖ γωνίᾳ ἐδείχθη ἴση, ὧν ἡ ὑπὸ ΓΒΗ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,5,33"></lb> ὑπὸ ΒΓΖ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ <lb n="1799,001,,,,1,5,34"></lb> ἐστιν ἴση· καί εἰσι πρὸς τῇ βάσει τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.</s> <lb n="1799,001,,,,1,5,35"></lb> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἴση· καί εἰσιν <lb n="1799,001,,,,1,5,36"></lb> ὑπὸ τὴν βάσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,5,37"></lb> <s>Τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι <lb n="1799,001,,,,1,5,38"></lb> ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων <lb n="1799,001,,,,1,5,39"></lb> εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται· <lb n="1799,001,,,,1,5,40"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,5,41"></lb> <s>Ἐὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,1,6,1"></lb> ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίαις ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις <lb n="1799,001,,,,1,6,2"></lb> ἔσονται.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,6,3"></lb> Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γω-<lb n="1799,001,,,,1,6,4"></lb> νίαν τῇ ὑπὸ ΑΓΒ γωνίᾳ· λέγω, ὅτι καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,1,6,5"></lb> πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,1,6,6"></lb> <s>Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ, ἡ ἑτέρα <lb n="1799,001,,,,1,6,7"></lb> αὐτῶν μείζων ἐστίν.</s> <s>ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,1,6,8"></lb> καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,1,6,9"></lb> τῇ ἐλάττονι τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύ-<lb n="1799,001,,,,1,6,10"></lb> χθω ἡ ΔΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,6,11"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΑΓ κοινὴ <lb n="1799,001,,,,1,6,12"></lb> δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,1,6,13"></lb> ΓΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,6,14"></lb> γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΔΓ βάσει τῇ <lb n="1799,001,,,,1,6,15"></lb> ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΒ τριγώνῳ <lb n="1799,001,,,,1,6,16"></lb> ἴσον ἔσται, τὸ ἔλασσον τῷ μείζονι· ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα <lb n="1799,001,,,,1,6,17"></lb> ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ· ἴση ἄρα.</s> <lb n="1799,001,,,,1,6,18"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, <lb n="1799,001,,,,1,6,19"></lb> καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,1,6,20"></lb> ἀλλήλαις ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,6,21"></lb> <s>Ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι <lb n="1799,001,,,,1,7,1"></lb> δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ οὐ συσταθήσονται πρὸς <lb n="1799,001,,,,1,7,2"></lb> ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα <lb n="1799,001,,,,1,7,3"></lb> ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,7,4"></lb> Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο <lb n="1799,001,,,,1,7,5"></lb> ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ταῖς ΑΓ, ΓΒ ἄλλαι δύο εὐθεῖαι αἱ <lb n="1799,001,,,,1,7,6"></lb> ΑΔ, ΔΒ ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ συνεστάτωσαν πρὸς ἄλλῳ <lb n="1799,001,,,,1,7,7"></lb> καὶ ἄλλῳ σημείῳ τῷ τε Γ καὶ Δ ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,1,7,8"></lb> τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχου-<lb n="1799,001,,,,1,7,9"></lb> σαι, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΓΑ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,7,10"></lb> ΔΑ τὸ αὐτὸ πέρας ἔχουσαν αὐτῇ τὸ Α, <lb n="1799,001,,,,1,7,11"></lb> τὴν δὲ ΓΒ τῇ ΔΒ τὸ αὐτὸ πέρας <lb n="1799,001,,,,1,7,12"></lb> ἔχουσαν αὐτῇ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω <lb n="1799,001,,,,1,7,13"></lb> ἡ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,7,14"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΔ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία <lb n="1799,001,,,,1,7,15"></lb> ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῆς <lb n="1799,001,,,,1,7,16"></lb> ὑπὸ ΔΓΒ· πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΔΒ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,7,17"></lb> ΔΓΒ.</s> <s>πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΔΒ, ἴση ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,1,7,18"></lb> γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ αὐ-<lb n="1799,001,,,,1,7,19"></lb> τῆς καὶ πολλῷ μείζων· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <lb n="1799,001,,,,1,7,20"></lb> <s>Οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐ-<lb n="1799,001,,,,1,7,21"></lb> θείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ συστα-<lb n="1799,001,,,,1,7,22"></lb> θήσονται πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη <lb n="1799,001,,,,1,7,23"></lb> τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,1,7,24"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,7,25"></lb> <s>Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖσ] δύο πλευραῖς <lb n="1799,001,,,,1,8,1"></lb> ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρα, ἔχῃ δὲ καὶ τὴν βάσιν τῇ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,8,2"></lb> βάσει ἴσην, καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,8,3"></lb> τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην.</s> <lb n="1799,001,,,,1,8,4"></lb> <s>Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς <lb n="1799,001,,,,1,8,5"></lb> τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχον-<lb n="1799,001,,,,1,8,6"></lb> τα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν <lb n="1799,001,,,,1,8,7"></lb> ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ· <lb n="1799,001,,,,1,8,8"></lb> ἐχέτω δὲ καὶ βάσιν τὴν ΒΓ βάσει <lb n="1799,001,,,,1,8,9"></lb> τῇ ΕΖ ἴσην· λέγω, ὅτι καὶ γωνία <lb n="1799,001,,,,1,8,10"></lb> ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ <lb n="1799,001,,,,1,8,11"></lb> ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,1,8,12"></lb> <s>Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,8,13"></lb> τριγώνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,1,8,14"></lb> καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Β σημείου ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον <lb n="1799,001,,,,1,8,15"></lb> τῆς δὲ ΒΓ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει καὶ τὸ Γ <lb n="1799,001,,,,1,8,16"></lb> σημεῖον ἐπὶ τὸ Ζ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ· <lb n="1799,001,,,,1,8,17"></lb> ἐφαρμοσάσης δὴ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὴν ΕΖ ἐφαρμόσουσι καὶ <lb n="1799,001,,,,1,8,18"></lb> αἱ ΒΑ, ΓΑ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ.</s> <s>εἰ γὰρ βάσις μὲν ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,8,19"></lb> ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει, αἱ δὲ ΒΑ, ΑΓ πλευραὶ <lb n="1799,001,,,,1,8,20"></lb> ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ οὐκ ἐφαρμόσουσιν ἀλλὰ παραλλάξου-<lb n="1799,001,,,,1,8,21"></lb> σιν ὡς αἱ ΕΗ, ΗΖ, συσταθήσονται ἐπὶ τῆς αὐτῆς <lb n="1799,001,,,,1,8,22"></lb> εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι <lb n="1799,001,,,,1,8,23"></lb> ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέρᾳ πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,1,8,24"></lb> τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι.</s> <s>οὐ συνίστανται <lb n="1799,001,,,,1,8,25"></lb> δέ· οὐκ ἄρα ἐφαρμοζομένης τῆς ΒΓ βάσεως ἐπὶ τὴν ΕΖ <lb n="1799,001,,,,1,8,26"></lb> βάσιν οὐκ ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ, ΑΓ πλευραὶ ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,1,8,27"></lb> τὰς ΕΔ, ΔΖ.</s> <s>ἐφαρμόσουσιν ἄρα· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,8,28"></lb> ΒΑΓ ἐπὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΔΖ ἐφαρμόσει καὶ ἴση αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,1,8,29"></lb> ἔσται.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,8,30"></lb> Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖσ] δύο πλευ-<lb n="1799,001,,,,1,8,31"></lb> ραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει <lb n="1799,001,,,,1,8,32"></lb> ἴσην ἔχῃ, καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,8,33"></lb> τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,8,34"></lb> <s>Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,9,1"></lb> <s>Ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ.</s> <s>δεῖ <lb n="1799,001,,,,1,9,2"></lb> δὴ αὐτὴν δίχα τεμεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,9,3"></lb> <s>Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀφῃρή-<lb n="1799,001,,,,1,9,4"></lb> σθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω <lb n="1799,001,,,,1,9,5"></lb> ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον <lb n="1799,001,,,,1,9,6"></lb> τὸ ΔΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ· λέγω, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΓ <lb n="1799,001,,,,1,9,7"></lb> γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας.</s> <lb n="1799,001,,,,1,9,8"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, <lb n="1799,001,,,,1,9,9"></lb> δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΖ δυσὶ ταῖς ΕΑ, ΑΖ <lb n="1799,001,,,,1,9,10"></lb> ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ.</s> <s>καὶ βάσις ἡ <lb n="1799,001,,,,1,9,11"></lb> ΔΖ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν· γωνία ἄρα <lb n="1799,001,,,,1,9,12"></lb> ἡ ὑπὸ ΔΑΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΖ ἴση <lb n="1799,001,,,,1,9,13"></lb> ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,9,14"></lb> <s>Ἡ ἄρα δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ <lb n="1799,001,,,,1,9,15"></lb> ὑπὸ ΒΑΓ δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ <lb n="1799,001,,,,1,9,16"></lb> εὐθείας· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,9,17"></lb> Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,10,1"></lb> <s>Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ <lb n="1799,001,,,,1,10,2"></lb> τὴν ΑΒ εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,10,3"></lb> <s>Συνεστάτω ἐπ' αὐτῆς τρίγωνον ἰσό-<lb n="1799,001,,,,1,10,4"></lb> πλευρον τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,10,5"></lb> ΑΓΒ γωνία δίχα τῇ ΓΔ εὐθείᾳ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,1,10,6"></lb> ὅτι ἡ ΑΒ εὐθεῖα δίχα τέτμηται κατὰ <lb n="1799,001,,,,1,10,7"></lb> τὸ Δ σημεῖον.</s> <lb n="1799,001,,,,1,10,8"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, <lb n="1799,001,,,,1,10,9"></lb> κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ, δύο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΔ δύο <lb n="1799,001,,,,1,10,10"></lb> ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ <lb n="1799,001,,,,1,10,11"></lb> ὑπὸ ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ἐστίν· βάσις ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,1,10,12"></lb> ΑΔ βάσει τῇ ΒΔ ἴση ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,10,13"></lb> <s>Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ δίχα τέ-<lb n="1799,001,,,,1,10,14"></lb> τμηται κατὰ τὸ Δ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,10,15"></lb> <s>Τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος ση-<lb n="1799,001,,,,1,11,1"></lb> μείου πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,11,2"></lb> <s>Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον <lb n="1799,001,,,,1,11,3"></lb> ἐπ' αὐτῆς τὸ Γ· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐ-<lb n="1799,001,,,,1,11,4"></lb> θείᾳ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,11,5"></lb> Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ κείσθω <lb n="1799,001,,,,1,11,6"></lb> τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,1,11,7"></lb> ἰσόπλευρον τὸ ΖΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ· λέγω, ὅτι τῇ <lb n="1799,001,,,,1,11,8"></lb> δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,1,11,9"></lb> τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος ση-<lb n="1799,001,,,,1,11,10"></lb> μείου τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς γω-<lb n="1799,001,,,,1,11,11"></lb> νίας εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ <lb n="1799,001,,,,1,11,12"></lb> ΖΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,11,13"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ <lb n="1799,001,,,,1,11,14"></lb> τῇ ΓΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΖ, δύο <lb n="1799,001,,,,1,11,15"></lb> δὴ αἱ ΔΓ, ΓΖ δυσὶ ταῖς ΕΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,1,11,16"></lb> ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΕ ἴση ἐστίν· γωνία <lb n="1799,001,,,,1,11,17"></lb> ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ ἴση ἐστίν· καί <lb n="1799,001,,,,1,11,18"></lb> εἰσιν ἐφεξῆς.</s> <s>ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς <lb n="1799,001,,,,1,11,19"></lb> ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν <lb n="1799,001,,,,1,11,20"></lb> ἴσων γωνιῶν ἐστιν· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,11,21"></lb> ΔΓΖ, ΖΓΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,11,22"></lb> <s>Τῇ ἄρα δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δο-<lb n="1799,001,,,,1,11,23"></lb> θέντος σημείου τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ <lb n="1799,001,,,,1,11,24"></lb> ἦκται ἡ ΓΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,11,25"></lb> <s>Ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον ἀπὸ τοῦ δοθέντος <lb n="1799,001,,,,1,12,1"></lb> σημείου, ὃ μή ἐστιν ἐπ' αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν γραμ-<lb n="1799,001,,,,1,12,2"></lb> μὴν ἀγαγεῖν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,12,3"></lb> Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄπειρος ἡ ΑΒ τὸ δὲ δο-<lb n="1799,001,,,,1,12,4"></lb> θὲν σημεῖον, ὃ μή ἐστιν ἐπ' αὐτῆς, τὸ Γ· δεῖ δὴ ἐπὶ τὴν <lb n="1799,001,,,,1,12,5"></lb> δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος <lb n="1799,001,,,,1,12,6"></lb> σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπ' αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν <lb n="1799,001,,,,1,12,7"></lb> γραμμὴν ἀγαγεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,12,8"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τῆς ΑΒ εὐθείας τυ-<lb n="1799,001,,,,1,12,9"></lb> χὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ διαστήματι δὲ <lb n="1799,001,,,,1,12,10"></lb> τῷ ΓΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΖΗ, καὶ τετμήσθω ἡ ΕΗ <lb n="1799,001,,,,1,12,11"></lb> εὐθεῖα δίχα κατὰ τὸ Θ, καὶ <lb n="1799,001,,,,1,12,12"></lb> ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ, ΓΘ, <lb n="1799,001,,,,1,12,13"></lb> ΓΕ εὐθεῖαι· λέγω, ὅτι ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,1,12,14"></lb> τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον <lb n="1799,001,,,,1,12,15"></lb> τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος <lb n="1799,001,,,,1,12,16"></lb> σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν <lb n="1799,001,,,,1,12,17"></lb> ἐπ' αὐτῆς, κάθετος ἦκται ἡ <lb n="1799,001,,,,1,12,18"></lb> ΓΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,12,19"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΘΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΘΓ, <lb n="1799,001,,,,1,12,20"></lb> δύο δὴ αἱ ΗΘ, ΘΓ δύο ταῖς ΕΘ, ΘΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκα-<lb n="1799,001,,,,1,12,21"></lb> τέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΓΗ βάσει τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση· <lb n="1799,001,,,,1,12,22"></lb> γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΘΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΘΓ ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,1,12,23"></lb> <s>καί εἰσιν ἐφεξῆς.</s> <s>ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα <lb n="1799,001,,,,1,12,24"></lb> τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,1,12,25"></lb> τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθ-<lb n="1799,001,,,,1,12,26"></lb> ετος καλεῖται ἐφ' ἣν ἐφέστηκεν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,12,27"></lb> <s>Ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,1,12,28"></lb> τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπ' αὐτῆς, <lb n="1799,001,,,,1,12,29"></lb> κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,12,30"></lb> Ἐὰν εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, ἤτοι <lb n="1799,001,,,,1,13,1"></lb> δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,1,13,2"></lb> <s>Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ ἐπ' εὐθεῖαν τὴν ΓΔ σταθεῖσα <lb n="1799,001,,,,1,13,3"></lb> γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ· λέγω, ὅτι αἱ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,13,4"></lb> ΓΒΑ, ΑΒΔ γωνίαι ἤτοι δύο ὀρθαί <lb n="1799,001,,,,1,13,5"></lb> εἰσιν ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,13,6"></lb> <s>Εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒΑ <lb n="1799,001,,,,1,13,7"></lb> τῇ ὑπὸ ΑΒΔ, δύο ὀρθαί εἰσιν.</s> <s>εἰ δὲ <lb n="1799,001,,,,1,13,8"></lb> οὔ, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΓΔ <lb n="1799,001,,,,1,13,9"></lb> [εὐθείᾳ] πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ· αἱ ἄρα ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,13,10"></lb> ΓΒΕ, ΕΒΔ δύο ὀρθαί εἰσιν· καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,1,13,11"></lb> ἡ ὑπὸ ΓΒΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, <lb n="1799,001,,,,1,13,12"></lb> ΑΒΕ ἴση ἐστίν, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΕΒΔ· αἱ ἄρα <lb n="1799,001,,,,1,13,13"></lb> ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ, ΕΒΔ <lb n="1799,001,,,,1,13,14"></lb> ἴσαι εἰσίν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΒΕ, <lb n="1799,001,,,,1,13,15"></lb> ΕΒΑ ἴση ἐστίν, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· αἱ ἄρα <lb n="1799,001,,,,1,13,16"></lb> ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΔΒΕ, ΕΒΑ, ΑΒΓ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,1,13,17"></lb> εἰσίν.</s> <s>ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ τρισὶ ταῖς <lb n="1799,001,,,,1,13,18"></lb> αὐταῖς ἴσαι· τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα· <lb n="1799,001,,,,1,13,19"></lb> καὶ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ ἄρα ταῖς ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ ἴσαι <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,13,20"></lb> εἰσίν· ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ δύο ὀρθαί εἰσιν· καὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,1,13,21"></lb> ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,13,22"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, <lb n="1799,001,,,,1,13,23"></lb> ἤτοι δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,1,13,24"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,13,25"></lb> <s>Ἐὰν πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δύο <lb n="1799,001,,,,1,14,1"></lb> εὐθεῖαι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας <lb n="1799,001,,,,1,14,2"></lb> δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιῶσιν, ἐπ' εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις <lb n="1799,001,,,,1,14,3"></lb> αἱ εὐθεῖαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,14,4"></lb> <s>Πρὸς γάρ τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ ση-<lb n="1799,001,,,,1,14,5"></lb> μείῳ τῷ Β δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΒΔ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη <lb n="1799,001,,,,1,14,6"></lb> κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,14,7"></lb> ΑΒΓ, ΑΒΔ δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιείτω-<lb n="1799,001,,,,1,14,8"></lb> σαν· λέγω, ὅτι ἐπ' εὐθείας ἐστὶ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,14,9"></lb> ΓΒ ἡ ΒΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,14,10"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή ἐστι τῇ ΒΓ ἐπ' εὐθείας ἡ <lb n="1799,001,,,,1,14,11"></lb> ΒΔ, ἔστω τῇ ΓΒ ἐπ' εὐθείας ἡ ΒΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,14,12"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΒ ἐπ' εὐθεῖαν τὴν ΓΒΕ ἐφέστη-<lb n="1799,001,,,,1,14,13"></lb> κεν, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΕ γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι <lb n="1799,001,,,,1,14,14"></lb> εἰσίν· εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΒΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι· <lb n="1799,001,,,,1,14,15"></lb> αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ ἴσαι <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,14,16"></lb> εἰσίν.</s> <s>κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΓΒΑ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,14,17"></lb> ΑΒΕ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἐστιν ἴση, ἡ ἐλάσσων τῇ μεί-<lb n="1799,001,,,,1,14,18"></lb> ζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἐπ' εὐθείας ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,1,14,19"></lb> ΒΕ τῇ ΓΒ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις πλὴν <lb n="1799,001,,,,1,14,20"></lb> τῆς ΒΔ· ἐπ' εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,14,21"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ <lb n="1799,001,,,,1,14,22"></lb> δύο εὐθεῖαι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς <lb n="1799,001,,,,1,14,23"></lb> γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιῶσιν, ἐπ' εὐθείας ἔσονται <lb n="1799,001,,,,1,14,24"></lb> ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,14,25"></lb> <s>Ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν <lb n="1799,001,,,,1,15,1"></lb> γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,15,2"></lb> <s>Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ <lb n="1799,001,,,,1,15,3"></lb> τὸ Ε σημεῖον· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΓ γω-<lb n="1799,001,,,,1,15,4"></lb> νία τῇ ὑπὸ ΔΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΕΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,15,5"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΕ ἐπ' εὐθεῖαν <lb n="1799,001,,,,1,15,6"></lb> τὴν ΓΔ ἐφέστηκε γωνίας ποιοῦσα <lb n="1799,001,,,,1,15,7"></lb> τὰς ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,15,8"></lb> ΓΕΑ, ΑΕΔ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς <lb n="1799,001,,,,1,15,9"></lb> ἴσαι εἰσίν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΔΕ <lb n="1799,001,,,,1,15,10"></lb> ἐπ' εὐθεῖαν τὴν ΑΒ ἐφέστηκε γω- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,1,15,11"></lb> νίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΕΔ, <lb n="1799,001,,,,1,15,12"></lb> ΔΕΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <s>ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,1,15,13"></lb> ὑπὸ ΓΕΑ, ΑΕΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ, <lb n="1799,001,,,,1,15,14"></lb> ΑΕΔ ταῖς ὑπὸ ΑΕΔ, ΔΕΒ ἴσαι εἰσίν.</s> <s>κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ <lb n="1799,001,,,,1,15,15"></lb> ὑπὸ ΑΕΔ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΕΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ ἴση <lb n="1799,001,,,,1,15,16"></lb> ἐστίν· ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΓΕΒ, <lb n="1799,001,,,,1,15,17"></lb> ΔΕΑ ἴσαι εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,15,18"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κο-<lb n="1799,001,,,,1,15,19"></lb> ρυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,15,20"></lb> <s>[Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,1,15,21"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν <lb n="1799,001,,,,1,15,22"></lb> ἀλλήλας, τὰς πρὸς τῇ τομῇ γωνίας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας <lb n="1799,001,,,,1,15,23"></lb> ποιήσουσιν.] <lb n="1799,001,,,,1,15,24"></lb> Παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης <lb n="1799,001,,,,1,16,1"></lb> ἡ ἐκτὸς γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γω-<lb n="1799,001,,,,1,16,2"></lb> νιῶν μείζων ἐστίν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,16,3"></lb> Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω αὐτοῦ <lb n="1799,001,,,,1,16,4"></lb> μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ· λέγω, ὅτι ἡ ἐκτὸς γωνία <lb n="1799,001,,,,1,16,5"></lb> ἡ ὑπὸ ΑΓΔ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν <lb n="1799,001,,,,1,16,6"></lb> ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, <lb n="1799,001,,,,1,16,7"></lb> ΒΑΓ γωνιῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,16,8"></lb> <s>Τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ <lb n="1799,001,,,,1,16,9"></lb> ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΕ ἐκβεβλήσθω ἐπ' εὐ-<lb n="1799,001,,,,1,16,10"></lb> θείας ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ <lb n="1799,001,,,,1,16,11"></lb> ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ, καὶ διήχθω ἡ <lb n="1799,001,,,,1,16,12"></lb> ΑΓ ἐπὶ τὸ Η.</s> <lb n="1799,001,,,,1,16,13"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΕΖ, <lb n="1799,001,,,,1,16,14"></lb> δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,1,16,15"></lb> ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΓ ἴση <lb n="1799,001,,,,1,16,16"></lb> ἐστίν· κατὰ κορυφὴν γάρ· βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΖΓ <lb n="1799,001,,,,1,16,17"></lb> ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΕΓ τριγώνῳ <lb n="1799,001,,,,1,16,18"></lb> ἐστὶν ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις <lb n="1799,001,,,,1,16,19"></lb> ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑπο-<lb n="1799,001,,,,1,16,20"></lb> τείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ.</s> <s>μεί-<lb n="1799,001,,,,1,16,21"></lb> ζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ τῆς ὑπὸ ΕΓΖ· μείζων ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,1,16,22"></lb> ὑπὸ ΑΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ.</s> <s>ὁμοίως δὴ τῆς ΒΓ τετμη-<lb n="1799,001,,,,1,16,23"></lb> μένης δίχα δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ, τουτέστιν ἡ <lb n="1799,001,,,,1,16,24"></lb> ὑπὸ ΑΓΔ, μείζων καὶ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,16,25"></lb> <s>Παντὸς ἄρα τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβλη-<lb n="1799,001,,,,1,16,26"></lb> θείσης ἡ ἐκτὸς γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον <lb n="1799,001,,,,1,16,27"></lb> γωνιῶν μείζων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,16,28"></lb> Παντὸς τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές <lb n="1799,001,,,,1,17,1"></lb> εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,17,2"></lb> <s>Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ· λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώ-<lb n="1799,001,,,,1,17,3"></lb> νου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττο-<lb n="1799,001,,,,1,17,4"></lb> νές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,17,5"></lb> <s>Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,17,6"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ ἐκτός <lb n="1799,001,,,,1,17,7"></lb> ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ, μείζων ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,1,17,8"></lb> τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῆς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,17,9"></lb> ΑΒΓ.</s> <s>κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ, <lb n="1799,001,,,,1,17,10"></lb> ΑΓΒ τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ μείζονές εἰσιν.</s> <s>ἀλλ' αἱ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,17,11"></lb> ΑΓΔ, ΑΓΒ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,1,17,12"></lb> ΒΓΑ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, <lb n="1799,001,,,,1,17,13"></lb> ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι <lb n="1799,001,,,,1,17,14"></lb> καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,17,15"></lb> <s>Παντὸς ἄρα τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσ-<lb n="1799,001,,,,1,17,16"></lb> σονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,17,17"></lb> <s>Παντὸς τριγώνου ἡ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γω-<lb n="1799,001,,,,1,18,1"></lb> νίαν ὑποτείνει.</s> <lb n="1799,001,,,,1,18,2"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΓ <lb n="1799,001,,,,1,18,3"></lb> πλευρὰν τῆς ΑΒ· λέγω, ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ μεί-<lb n="1799,001,,,,1,18,4"></lb> ζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,18,5"></lb> Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ, κείσθω τῇ <lb n="1799,001,,,,1,18,6"></lb> ΑΒ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,18,7"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΒΓΔ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,18,8"></lb> ΑΔΒ, μείζων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ <lb n="1799,001,,,,1,18,9"></lb> ἀπεναντίον τῆς ὑπὸ ΔΓΒ· ἴση <lb n="1799,001,,,,1,18,10"></lb> δὲ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ, ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,1,18,11"></lb> καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ τῇ ΑΔ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,1,18,12"></lb> ἴση· μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ <lb n="1799,001,,,,1,18,13"></lb> τῆς ὑπὸ ΑΓΒ· πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,18,14"></lb> ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,18,15"></lb> <s>Παντὸς ἄρα τριγώνου ἡ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα <lb n="1799,001,,,,1,18,16"></lb> γωνίαν ὑποτείνει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,18,17"></lb> <s>Παντὸς τριγώνου ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων <lb n="1799,001,,,,1,19,1"></lb> πλευρὰ ὑποτείνει.</s> <lb n="1799,001,,,,1,19,2"></lb> <s>Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον <lb n="1799,001,,,,1,19,3"></lb> τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΓΑ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,1,19,4"></lb> ὅτι καὶ πλευρὰ ἡ ΑΓ πλευρᾶς τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,1,19,5"></lb> μείζων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,19,6"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,1,19,7"></lb> ἢ ἐλάσσων· ἴση μὲν οὖν οὐκ ἔστιν ἡ ΑΓ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,19,8"></lb> ΑΒ· ἴση γὰρ ἂν ἦν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,19,9"></lb> τῇ ὑπὸ ΑΓΒ· οὐκ ἔστι δέ· οὐκ ἄρα ἴση <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,19,10"></lb> ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ.</s> <s>οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,1,19,11"></lb> τῆς ΑΒ· ἐλάσσων γὰρ ἂν ἦν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῆς <lb n="1799,001,,,,1,19,12"></lb> ὑπὸ ΑΓΒ· οὐκ ἔστι δέ· οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,1,19,13"></lb> τῆς ΑΒ.</s> <s>ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴση ἐστίν.</s> <s>μείζων ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,1,19,14"></lb> ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,19,15"></lb> <s>Παντὸς ἄρα τριγώνου ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μεί-<lb n="1799,001,,,,1,19,16"></lb> ζων πλευρὰ ὑποτείνει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,19,17"></lb> <s>Παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές <lb n="1799,001,,,,1,20,1"></lb> εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,20,2"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ· λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,20,3"></lb> τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ <lb n="1799,001,,,,1,20,4"></lb> μεταλαμβανόμεναι, αἱ μὲν ΒΑ, ΑΓ τῆς ΒΓ, αἱ δὲ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,1,20,5"></lb> ΒΓ τῆς ΑΓ, αἱ δὲ ΒΓ, ΓΑ τῆς ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,20,6"></lb> <s>Διήχθω γὰρ ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον, <lb n="1799,001,,,,1,20,7"></lb> καὶ κείσθω τῇ ΓΑ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπ-<lb n="1799,001,,,,1,20,8"></lb> εζεύχθω ἡ ΔΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,20,9"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,1,20,10"></lb> ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,20,11"></lb> ὑπὸ ΑΓΔ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,1,20,12"></lb> τῆς ὑπὸ ΑΔΓ· καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,1,20,13"></lb> τὸ ΔΓΒ μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΓΔ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,20,14"></lb> γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΔΓ, ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μεί-<lb n="1799,001,,,,1,20,15"></lb> ζων πλευρὰ ὑποτείνει, ἡ ΔΒ ἄρα τῆς ΒΓ ἐστι μείζων.</s> <lb n="1799,001,,,,1,20,16"></lb> <s>ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ· μείζονες ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΓ τῆς ΒΓ· <lb n="1799,001,,,,1,20,17"></lb> ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ μὲν ΑΒ, ΒΓ τῆς ΓΑ <lb n="1799,001,,,,1,20,18"></lb> μείζονές εἰσιν, αἱ δὲ ΒΓ, ΓΑ τῆς ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,20,19"></lb> <s>Παντὸς ἄρα τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μεί-<lb n="1799,001,,,,1,20,20"></lb> ζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,20,21"></lb> <s>Ἐὰν τριγώνου ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν ἀπὸ τῶν περάτων <lb n="1799,001,,,,1,21,1"></lb> δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συσταθῶσιν, αἱ συσταθεῖσαι τῶν λοι-<lb n="1799,001,,,,1,21,2"></lb> πῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ἐλάττονες μὲν ἔσονται, <lb n="1799,001,,,,1,21,3"></lb> μείζονα δὲ γωνίαν περιέξουσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,21,4"></lb> <s>Τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς <lb n="1799,001,,,,1,21,5"></lb> ΒΓ ἀπὸ τῶν περάτων τῶν Β, Γ δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συν-<lb n="1799,001,,,,1,21,6"></lb> εστάτωσαν αἱ ΒΔ, ΔΓ· λέγω, ὅτι αἱ ΒΔ, ΔΓ τῶν λοι-<lb n="1799,001,,,,1,21,7"></lb> πῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τῶν ΒΑ, ΑΓ ἐλάσσονες <lb n="1799,001,,,,1,21,8"></lb> μέν εἰσιν, μείζονα δὲ γωνίαν περιέχουσι τὴν ὑπὸ ΒΔΓ <lb n="1799,001,,,,1,21,9"></lb> τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,21,10"></lb> <s>Διήχθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐπὶ τὸ Ε.</s> <s>καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου <lb n="1799,001,,,,1,21,11"></lb> αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν, τοῦ ΑΒΕ ἄρα <lb n="1799,001,,,,1,21,12"></lb> τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΑΒ, ΑΕ τῆς ΒΕ μείζονές <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,21,13"></lb> εἰσιν· κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΓ· αἱ ἄρα ΒΑ, ΑΓ τῶν <lb n="1799,001,,,,1,21,14"></lb> ΒΕ, ΕΓ μείζονές εἰσιν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ τοῦ ΓΕΔ τριγώνου <lb n="1799,001,,,,1,21,15"></lb> αἱ δύο πλευραὶ αἱ ΓΕ, ΕΔ τῆς <lb n="1799,001,,,,1,21,16"></lb> ΓΔ μείζονές εἰσιν, κοινὴ προσ-<lb n="1799,001,,,,1,21,17"></lb> κείσθω ἡ ΔΒ· αἱ ΓΕ, ΕΒ ἄρα <lb n="1799,001,,,,1,21,18"></lb> τῶν ΓΔ, ΔΒ μείζονές εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,21,19"></lb> <s>ἀλλὰ τῶν ΒΕ, ΕΓ μείζονες <lb n="1799,001,,,,1,21,20"></lb> ἐδείχθησαν αἱ ΒΑ, ΑΓ· πολλῷ <lb n="1799,001,,,,1,21,21"></lb> ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΓ τῶν ΒΔ, ΔΓ <lb n="1799,001,,,,1,21,22"></lb> μείζονές εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,21,23"></lb> <s>Πάλιν, ἐπεὶ παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία τῆς ἐντὸς <lb n="1799,001,,,,1,21,24"></lb> καὶ ἀπεναντίον μείζων ἐστίν, τοῦ ΓΔΕ ἄρα τριγώνου ἡ <lb n="1799,001,,,,1,21,25"></lb> ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΕΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,21,26"></lb> <s>διὰ ταὐτὰ τοίνυν καὶ τοῦ ΑΒΕ τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία <lb n="1799,001,,,,1,21,27"></lb> ἡ ὑπὸ ΓΕΒ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.</s> <s>ἀλλὰ τῆς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,21,28"></lb> ΓΕΒ μείζων ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΒΔΓ· πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,21,29"></lb> ΒΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,21,30"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα τριγώνου ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν ἀπὸ τῶν πε-<lb n="1799,001,,,,1,21,31"></lb> ράτων δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συσταθῶσιν, αἱ συσταθεῖσαι <lb n="1799,001,,,,1,21,32"></lb> τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ἐλάττονες μέν <lb n="1799,001,,,,1,21,33"></lb> εἰσιν, μείζονα δὲ γωνίαν περιέχουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,21,34"></lb> <s>Ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις <lb n="1799,001,,,,1,22,1"></lb> [εὐθείαισ], τρίγωνον συστήσασθαι· δεῖ δὲ τὰς δύο τῆς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,22,2"></lb> λοιπῆς μείζονας εἶναι πάντῃ μεταλαμβανομένας [διὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,1,22,3"></lb> καὶ παντὸς τριγώνου τὰς δύο πλευρὰς τῆς λοιπῆς μείζο-<lb n="1799,001,,,,1,22,4"></lb> νας εἶναι πάντῃ μεταλαμβανομένασ].</s> <lb n="1799,001,,,,1,22,5"></lb> <s>Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ, ὧν αἱ <lb n="1799,001,,,,1,22,6"></lb> δύο τῆς λοιπῆς μείζονες ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμβανό-<lb n="1799,001,,,,1,22,7"></lb> μεναι, αἱ μὲν Α, Β τῆς Γ, αἱ δὲ Α, Γ τῆς Β, καὶ ἔτι αἱ Β, <lb n="1799,001,,,,1,22,8"></lb> Γ τῆς Α· δεῖ δὴ ἐκ τῶν ἴσων ταῖς Α, Β, Γ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,1,22,9"></lb> συστήσασθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,22,10"></lb> <s>Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,1,22,11"></lb> Δ ἄπειρος δὲ κατὰ τὸ Ε, καὶ κείσθω τῇ μὲν Α ἴση ἡ <lb n="1799,001,,,,1,22,12"></lb> ΔΖ, τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΖΗ, τῇ δὲ Γ ἴση ἡ ΗΘ· καὶ κέντρῳ <lb n="1799,001,,,,1,22,13"></lb> μὲν τῷ Ζ, διαστήματι δὲ τῷ ΖΔ κύκλος γεγράφθω ὁ <lb n="1799,001,,,,1,22,14"></lb> ΔΚΛ· πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Η, διαστήματι δὲ τῷ ΗΘ <lb n="1799,001,,,,1,22,15"></lb> κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΖ, <lb n="1799,001,,,,1,22,16"></lb> ΚΗ· λέγω, ὅτι ἐκ τριῶν εὐθειῶν τῶν ἴσων ταῖς Α, Β, Γ <lb n="1799,001,,,,1,22,17"></lb> τρίγωνον συνέσταται τὸ ΚΖΗ. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,22,18"></lb> Ἐπεὶ γὰρ τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΔΚΛ κύ-<lb n="1799,001,,,,1,22,19"></lb> κλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΔ τῇ ΖΚ· ἀλλὰ ἡ ΖΔ τῇ Α ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,1,22,20"></lb> <s>καὶ ἡ ΚΖ ἄρα τῇ Α ἐστιν ἴση.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον <lb n="1799,001,,,,1,22,21"></lb> κέντρον ἐστὶ τοῦ ΛΚΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ· <lb n="1799,001,,,,1,22,22"></lb> ἀλλὰ ἡ ΗΘ τῇ Γ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ΚΗ ἄρα τῇ Γ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,1,22,23"></lb> ἴση.</s> <s>ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΖΗ τῇ Β ἴση· αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ <lb n="1799,001,,,,1,22,24"></lb> ΚΖ, ΖΗ, ΗΚ τρισὶ ταῖς Α, Β, Γ ἴσαι εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,22,25"></lb> <s>Ἐκ τριῶν ἄρα εὐθειῶν τῶν ΚΖ, ΖΗ, ΗΚ, αἵ εἰσιν <lb n="1799,001,,,,1,22,26"></lb> ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις εὐθείαις ταῖς Α, Β, Γ, τρίγω-<lb n="1799,001,,,,1,22,27"></lb> νον συνέσταται τὸ ΚΖΗ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,22,28"></lb> <s>Πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,23,1"></lb> δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ ἴσην γωνίαν εὐθύγραμμον <lb n="1799,001,,,,1,23,2"></lb> συστήσασθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,23,3"></lb> <s>Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ πρὸς αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,1,23,4"></lb> σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,23,5"></lb> ΔΓΕ· δεῖ δὴ πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ <lb n="1799,001,,,,1,23,6"></lb> τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ <lb n="1799,001,,,,1,23,7"></lb> Α τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,23,8"></lb> ὑπὸ ΔΓΕ ἴσην γωνίαν εὐθύγραμμον <lb n="1799,001,,,,1,23,9"></lb> συστήσασθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,23,10"></lb> <s>Εἰλήφθω ἐφ' ἑκατέρας τῶν ΓΔ, ΓΕ <lb n="1799,001,,,,1,23,11"></lb> τυχόντα σημεῖα τὰ Δ, Ε, καὶ ἐπεζεύ-<lb n="1799,001,,,,1,23,12"></lb> χθω ἡ ΔΕ· καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,23,13"></lb> αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς ΓΔ, ΔΕ, ΓΕ, τρίγωνον συν-<lb n="1799,001,,,,1,23,14"></lb> εστάτω τὸ ΑΖΗ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΓΔ τῇ ΑΖ, <lb n="1799,001,,,,1,23,15"></lb> τὴν δὲ ΓΕ τῇ ΑΗ, καὶ ἔτι τὴν ΔΕ τῇ ΖΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,23,16"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΔΓ, ΓΕ δύο ταῖς ΖΑ, ΑΗ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,1,23,17"></lb> εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΔΕ βάσει τῇ ΖΗ ἴση, <lb n="1799,001,,,,1,23,18"></lb> γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΑΗ ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,1,23,19"></lb> <s>Πρὸς ἄρα τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,1,23,20"></lb> σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,23,21"></lb> ΔΓΕ ἴση γωνία εὐθύγραμμος συνέσταται ἡ ὑπὸ ΖΑΗ· <lb n="1799,001,,,,1,23,22"></lb> ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,23,23"></lb> <s>Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖσ] δύο πλευραῖς <lb n="1799,001,,,,1,24,1"></lb> ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν δὲ γωνίαν τῆς γωνίας <lb n="1799,001,,,,1,24,2"></lb> μείζονα ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, <lb n="1799,001,,,,1,24,3"></lb> καὶ τὴν βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἕξει.</s> <lb n="1799,001,,,,1,24,4"></lb> <s>Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς <lb n="1799,001,,,,1,24,5"></lb> ΑΒ, ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα <lb n="1799,001,,,,1,24,6"></lb> ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,24,7"></lb> ΔΖ, ἡ δὲ πρὸς τῷ Α γωνία τῆς πρὸς τῷ Δ γωνίας μεί-<lb n="1799,001,,,,1,24,8"></lb> ζων ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ <lb n="1799,001,,,,1,24,9"></lb> μείζων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,24,10"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,24,11"></lb> γωνίας, συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΕ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,1,24,12"></lb> σημείῳ τῷ Δ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΔΗ, καὶ <lb n="1799,001,,,,1,24,13"></lb> κείσθω ὁποτέρᾳ τῶν ΑΓ, ΔΖ ἴση ἡ ΔΗ, καὶ ἐπεζεύ-<lb n="1799,001,,,,1,24,14"></lb> χθωσαν αἱ ΕΗ, ΖΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,24,15"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΔΗ, <lb n="1799,001,,,,1,24,16"></lb> δύο δὴ αἱ ΒΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΗ ἴσαι εἰσὶν ἑκα-<lb n="1799,001,,,,1,24,17"></lb> τέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,24,18"></lb> ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΗ ἴση· <lb n="1799,001,,,,1,24,19"></lb> βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΗ <lb n="1799,001,,,,1,24,20"></lb> ἐστιν ἴση.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,1,24,21"></lb> ἡ ΔΖ τῇ ΔΗ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,1,24,22"></lb> ὑπὸ ΔΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΗ· <lb n="1799,001,,,,1,24,23"></lb> μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΖΗ τῆς <lb n="1799,001,,,,1,24,24"></lb> ὑπὸ ΕΗΖ· πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΖΗ τῆς <lb n="1799,001,,,,1,24,25"></lb> ὑπὸ ΕΗΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΕΖΗ μείζονα <lb n="1799,001,,,,1,24,26"></lb> ἔχον τὴν ὑπὸ ΕΖΗ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΕΗΖ, ὑπὸ δὲ τὴν <lb n="1799,001,,,,1,24,27"></lb> μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει, μείζων ἄρα <lb n="1799,001,,,,1,24,28"></lb> καὶ πλευρὰ ἡ ΕΗ τῆς ΕΖ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΕΗ τῇ ΒΓ· μείζων <lb n="1799,001,,,,1,24,29"></lb> ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΕΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,24,30"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς <lb n="1799,001,,,,1,24,31"></lb> ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν δὲ γωνίαν τῆς γωνίας <lb n="1799,001,,,,1,24,32"></lb> μείζονα ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, <lb n="1799,001,,,,1,24,33"></lb> καὶ τὴν βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἕξει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,24,34"></lb> Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας <lb n="1799,001,,,,1,25,1"></lb> ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν δὲ βάσιν τῆς βάσεως μείζονα <lb n="1799,001,,,,1,25,2"></lb> ἔχῃ, καὶ τὴν γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἕξει τὴν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,25,3"></lb> τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην.</s> <lb n="1799,001,,,,1,25,4"></lb> <s>Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς <lb n="1799,001,,,,1,25,5"></lb> τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα <lb n="1799,001,,,,1,25,6"></lb> ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,25,7"></lb> ΔΕ, τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ· βάσις δὲ <lb n="1799,001,,,,1,25,8"></lb> ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ μείζων ἔστω· <lb n="1799,001,,,,1,25,9"></lb> λέγω, ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ <lb n="1799,001,,,,1,25,10"></lb> γωνίας τῆς ὑπὸ ΕΔΖ μείζων ἐστίν· <lb n="1799,001,,,,1,25,11"></lb> Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,1,25,12"></lb> ἢ ἐλάσσων· ἴση μὲν οὖν οὐκ ἔστιν <lb n="1799,001,,,,1,25,13"></lb> ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ· ἴση γὰρ ἂν ἦν καὶ βάσις <lb n="1799,001,,,,1,25,14"></lb> ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ· οὐκ ἔστι δέ.</s> <s>οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶ γωνία <lb n="1799,001,,,,1,25,15"></lb> ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ· οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,25,16"></lb> ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΕΔΖ· ἐλάσσων γὰρ ἂν ἦν καὶ βάσις ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,25,17"></lb> βάσεως τῆς ΕΖ· οὐκ ἔστι δέ· οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,1,25,18"></lb> ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ <lb n="1799,001,,,,1,25,19"></lb> ἴση· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΕΔΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,25,20"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς <lb n="1799,001,,,,1,25,21"></lb> ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκάτερᾳ, τὴν δὲ βάσιν τῆς βάσεως <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,25,22"></lb> μείζονα ἔχῃ, καὶ τὴν γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἕξει τὴν <lb n="1799,001,,,,1,25,23"></lb> ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,25,24"></lb> <s>Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχῃ <lb n="1799,001,,,,1,26,1"></lb> ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην ἤτοι <lb n="1799,001,,,,1,26,2"></lb> τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν <lb n="1799,001,,,,1,26,3"></lb> τῶν ἴσων γωνιῶν, καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς <lb n="1799,001,,,,1,26,4"></lb> πλευραῖς ἴσας ἕξει [ἑκατέραν ἑκατέρᾳ] καὶ τὴν λοιπὴν <lb n="1799,001,,,,1,26,5"></lb> γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,26,6"></lb> <s>Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο γωνίας τὰς <lb n="1799,001,,,,1,26,7"></lb> ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ, ΕΖΔ ἴσας ἔχοντα <lb n="1799,001,,,,1,26,8"></lb> ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,26,9"></lb> ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,26,10"></lb> ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΕΖΔ· ἐχέτω δὲ καὶ <lb n="1799,001,,,,1,26,11"></lb> μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην, <lb n="1799,001,,,,1,26,12"></lb> πρότερον τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις <lb n="1799,001,,,,1,26,13"></lb> γωνίαις τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,1,26,14"></lb> ὅτι καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς <lb n="1799,001,,,,1,26,15"></lb> λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ <lb n="1799,001,,,,1,26,16"></lb> τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ, καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ <lb n="1799,001,,,,1,26,17"></lb> γωνίᾳ, τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,26,18"></lb> <s>Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, μία αὐτῶν μείζων <lb n="1799,001,,,,1,26,19"></lb> ἐστίν.</s> <s>ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΒΗ, <lb n="1799,001,,,,1,26,20"></lb> καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,26,21"></lb> Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΗ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ, <lb n="1799,001,,,,1,26,22"></lb> δύο δὴ αἱ ΒΗ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,1,26,23"></lb> ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση <lb n="1799,001,,,,1,26,24"></lb> ἐστίν· βάσις ἄρα ἡ ΗΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,1,26,25"></lb> ΗΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοι-<lb n="1799,001,,,,1,26,26"></lb> παὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ' ἃς αἱ <lb n="1799,001,,,,1,26,27"></lb> ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΓΒ γωνία τῇ <lb n="1799,001,,,,1,26,28"></lb> ὑπὸ ΔΖΕ.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ὑπόκειται ἴση· <lb n="1799,001,,,,1,26,29"></lb> καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ ἄρα τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἴση ἐστίν, ἡ ἐλάσσων <lb n="1799,001,,,,1,26,30"></lb> τῇ μείζονι· ὅπερ ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,26,31"></lb> ΔΕ.</s> <s>ἴση ἄρα.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ ἴση· δύο δὴ αἱ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,1,26,32"></lb> ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ <lb n="1799,001,,,,1,26,33"></lb> γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση· βάσις <lb n="1799,001,,,,1,26,34"></lb> ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ λοιπὴ γωνία ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,26,35"></lb> ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,26,36"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευ-<lb n="1799,001,,,,1,26,37"></lb> ραὶ ὑποτείνουσαι ἴσαι, ὡς ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ· λέγω πάλιν, ὅτι <lb n="1799,001,,,,1,26,38"></lb> καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραὶ ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσαι ἔσονται, <lb n="1799,001,,,,1,26,39"></lb> ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΔΖ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ καὶ ἔτι ἡ λοιπὴ γωνία ἡ <lb n="1799,001,,,,1,26,40"></lb> ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,26,41"></lb> <s>Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ, μία αὐτῶν μείζων <lb n="1799,001,,,,1,26,42"></lb> ἐστίν.</s> <s>ἔστω μείζων, εἰ δυνατόν, ἡ ΒΓ, καὶ κείσθω τῇ ΕΖ <lb n="1799,001,,,,1,26,43"></lb> ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν <lb n="1799,001,,,,1,26,44"></lb> ΒΘ τῇ ΕΖ ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΔΕ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΘ δυσὶ ταῖς <lb n="1799,001,,,,1,26,45"></lb> ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνίας ἴσας <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,26,46"></lb> περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ <lb n="1799,001,,,,1,26,47"></lb> τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,1,26,48"></lb> λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ' ἃς αἱ <lb n="1799,001,,,,1,26,49"></lb> ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΘΑ <lb n="1799,001,,,,1,26,50"></lb> γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΔ.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΖΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,1,26,51"></lb> ἴση· τριγώνου δὴ τοῦ ΑΘΓ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ <lb n="1799,001,,,,1,26,52"></lb> ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΒΓΑ· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,1,26,53"></lb> ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ· ἴση ἄρα.</s> <lb n="1799,001,,,,1,26,54"></lb> <s>ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἴση.</s> <s>δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς <lb n="1799,001,,,,1,26,55"></lb> ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνίας ἴσας <lb n="1799,001,,,,1,26,56"></lb> περιέχουσι· βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ <lb n="1799,001,,,,1,26,57"></lb> τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον καὶ λοιπὴ <lb n="1799,001,,,,1,26,58"></lb> γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,1,26,59"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας <lb n="1799,001,,,,1,26,60"></lb> ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην <lb n="1799,001,,,,1,26,61"></lb> ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις, ἢ τὴν ὑποτείνουσαν <lb n="1799,001,,,,1,26,62"></lb> ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν, καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς <lb n="1799,001,,,,1,26,63"></lb> λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ <lb n="1799,001,,,,1,26,64"></lb> λοιπῇ γωνίᾳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,26,65"></lb> <s>Ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ <lb n="1799,001,,,,1,27,1"></lb> γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις <lb n="1799,001,,,,1,27,2"></lb> αἱ εὐθεῖαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,27,3"></lb> Εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ <lb n="1799,001,,,,1,27,4"></lb> ΕΖ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΕΖ, ΕΖΔ ἴσας ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,1,27,5"></lb> λαις ποιείτω· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,27,6"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμεναι αἱ ΑΒ, ΓΔ συμπεσοῦνται <lb n="1799,001,,,,1,27,7"></lb> ἤτοι ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Α, Γ.</s> <s>ἐκβεβλήσθωσαν καὶ <lb n="1799,001,,,,1,27,8"></lb> συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη κατὰ τὸ Η.</s> <s>τριγώνου <lb n="1799,001,,,,1,27,9"></lb> δὴ τοῦ ΗΕΖ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΖ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς <lb n="1799,001,,,,1,27,10"></lb> καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΖΗ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ <lb n="1799,001,,,,1,27,11"></lb> ἄρα αἱ ΑΒ, ΓΔ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ Β, <lb n="1799,001,,,,1,27,12"></lb> Δ μέρη.</s> <s>ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ ἐπὶ τὰ Α, Γ· αἱ <lb n="1799,001,,,,1,27,13"></lb> δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι παράλληλοί εἰσιν· <lb n="1799,001,,,,1,27,14"></lb> παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,27,15"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ <lb n="1799,001,,,,1,27,16"></lb> γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, παράλληλοι ἔσονται αἱ <lb n="1799,001,,,,1,27,17"></lb> εὐθεῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,27,18"></lb> Ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γω-<lb n="1799,001,,,,1,28,1"></lb> νίαν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην <lb n="1799,001,,,,1,28,2"></lb> ποιῇ ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, <lb n="1799,001,,,,1,28,3"></lb> παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,28,4"></lb> <s>Εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ <lb n="1799,001,,,,1,28,5"></lb> ΕΖ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναν-<lb n="1799,001,,,,1,28,6"></lb> τίον γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴσην ποιείτω ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,1,28,7"></lb> τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας· <lb n="1799,001,,,,1,28,8"></lb> λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,28,9"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, ἀλλὰ ἡ <lb n="1799,001,,,,1,28,10"></lb> ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ ἄρα <lb n="1799,001,,,,1,28,11"></lb> τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση· καί εἰσιν ἐναλλάξ· παράλληλος <lb n="1799,001,,,,1,28,12"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,28,13"></lb> <s>Πάλιν, ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, <lb n="1799,001,,,,1,28,14"></lb> εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ δυ-<lb n="1799,001,,,,1,28,15"></lb> σὶν ὀρθαῖς ἴσαι, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, <lb n="1799,001,,,,1,28,16"></lb> ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,1,28,17"></lb> εἰσίν· κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ· <lb n="1799,001,,,,1,28,18"></lb> λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,28,19"></lb> ΗΘΔ ἐστιν ἴση· καί εἰσιν ἐναλλάξ· <lb n="1799,001,,,,1,28,20"></lb> παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,28,21"></lb> Ἐὰν ἄρα εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς <lb n="1799,001,,,,1,28,22"></lb> γωνίαν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην <lb n="1799,001,,,,1,28,23"></lb> ποιῇ ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, <lb n="1799,001,,,,1,28,24"></lb> παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,28,25"></lb> <s>Ἡ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα <lb n="1799,001,,,,1,29,1"></lb> τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς <lb n="1799,001,,,,1,29,2"></lb> τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,1,29,3"></lb> αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.</s> <lb n="1799,001,,,,1,29,4"></lb> <s>Εἰς γὰρ παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,1,29,5"></lb> ἐμπιπτέτω ἡ ΕΖ· λέγω, ὅτι τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς <lb n="1799,001,,,,1,29,6"></lb> ὑπὸ ΑΗΘ, ΗΘΔ ἴσας ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,29,7"></lb> ΕΗΒ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἴσην καὶ τὰς <lb n="1799,001,,,,1,29,8"></lb> ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,29,9"></lb> ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.</s> <lb n="1799,001,,,,1,29,10"></lb> <s>Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ <lb n="1799,001,,,,1,29,11"></lb> τῇ ὑπὸ ΗΘΔ, μία αὐτῶν μείζων <lb n="1799,001,,,,1,29,12"></lb> ἐστίν.</s> <s>ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΗΘ· <lb n="1799,001,,,,1,29,13"></lb> κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ· αἱ <lb n="1799,001,,,,1,29,14"></lb> ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ τῶν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,29,15"></lb> ΒΗΘ, ΗΘΔ μείζονές εἰσιν.</s> <s>ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ, ΒΗΘ <lb n="1799,001,,,,1,29,16"></lb> δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <s>[καὶ] αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΗΘ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,29,17"></lb> ΗΘΔ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.</s> <s>αἱ δὲ ἀπ' ἐλασσόνων <lb n="1799,001,,,,1,29,18"></lb> ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπίπτουσιν· αἱ <lb n="1799,001,,,,1,29,19"></lb> ἄρα ΑΒ, ΓΔ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπεσοῦνται· <lb n="1799,001,,,,1,29,20"></lb> οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς ὑποκεῖσθαι· <lb n="1799,001,,,,1,29,21"></lb> οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ· ἴση ἄρα.</s> <lb n="1799,001,,,,1,29,22"></lb> <s>ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ΕΗΒ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,29,23"></lb> ΕΗΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση.</s> <s>κοινὴ προσκείσθω ἡ <lb n="1799,001,,,,1,29,24"></lb> ὑπὸ ΒΗΘ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ, <lb n="1799,001,,,,1,29,25"></lb> ΗΘΔ ἴσαι εἰσίν.</s> <s>ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΕΗΒ, ΒΗΘ δύο ὀρθαῖς <lb n="1799,001,,,,1,29,26"></lb> ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι <lb n="1799,001,,,,1,29,27"></lb> εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,29,28"></lb> <s>Ἡ ἄρα εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα <lb n="1799,001,,,,1,29,29"></lb> τάς τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς <lb n="1799,001,,,,1,29,30"></lb> τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,1,29,31"></lb> αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,29,32"></lb> <s>Αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παρ-<lb n="1799,001,,,,1,30,1"></lb> άλληλοι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,30,2"></lb> <s>Ἔστω ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τῇ ΕΖ παράλληλος· λέγω, <lb n="1799,001,,,,1,30,3"></lb> ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ἐστι παράλληλος.</s> <lb n="1799,001,,,,1,30,4"></lb> <s>Ἐμπιπτέτω γὰρ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΗΚ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,30,5"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΑΒ, ΕΖ εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,1,30,6"></lb> ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ, ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,30,7"></lb> πάλιν, ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΕΖ, ΓΔ εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,1,30,8"></lb> ἐμπέπτωκεν ἡ ΗΚ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΘΖ τῇ ὑπὸ ΗΚΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,30,9"></lb> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ ἴση.</s> <s>καὶ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,30,10"></lb> ΑΗΚ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΚΔ ἐστιν ἴση· <lb n="1799,001,,,,1,30,11"></lb> καί εἰσιν ἐναλλάξ.</s> <s>παράλληλος ἄρα <lb n="1799,001,,,,1,30,12"></lb> ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,30,13"></lb> <s>[Αἱ ἄρα τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι <lb n="1799,001,,,,1,30,14"></lb> καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι·] ὅπερ <lb n="1799,001,,,,1,30,15"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,30,16"></lb> <s>Διὰ τοῦ δοθέντος σημείου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ παράλλη-<lb n="1799,001,,,,1,31,1"></lb> λον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,31,2"></lb> <s>Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,1,31,3"></lb> ἡ ΒΓ· δεῖ δὴ διὰ τοῦ Α σημείου τῇ <lb n="1799,001,,,,1,31,4"></lb> ΒΓ εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν γραμ-<lb n="1799,001,,,,1,31,5"></lb> μὴν ἀγαγεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,31,6"></lb> <s>Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν σημεῖον <lb n="1799,001,,,,1,31,7"></lb> τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ· καὶ <lb n="1799,001,,,,1,31,8"></lb> συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ ση-<lb n="1799,001,,,,1,31,9"></lb> μείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΔΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΑΕ· καὶ <lb n="1799,001,,,,1,31,10"></lb> ἐκβεβλήσθω ἐπ' εὐθείας τῇ ΕΑ εὐθεῖα ἡ ΑΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,31,11"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΓ, ΕΖ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,31,12"></lb> ἡ ΑΔ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΑΔ, ΑΔΓ ἴσας ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,1,31,13"></lb> λαις πεποίηκεν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΑΖ τῇ ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,31,14"></lb> <s>Διὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ <lb n="1799,001,,,,1,31,15"></lb> τῇ ΒΓ παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΑΖ· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,1,31,16"></lb> ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,31,17"></lb> <s>Παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης <lb n="1799,001,,,,1,32,1"></lb> ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν, <lb n="1799,001,,,,1,32,2"></lb> καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι <lb n="1799,001,,,,1,32,3"></lb> εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,32,4"></lb> <s>Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω αὐτοῦ <lb n="1799,001,,,,1,32,5"></lb> μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ· λέγω, ὅτι ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ <lb n="1799,001,,,,1,32,6"></lb> ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπ-<lb n="1799,001,,,,1,32,7"></lb> εναντίον ταῖς ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, καὶ αἱ ἐν-<lb n="1799,001,,,,1,32,8"></lb> τὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,1,32,9"></lb> ΒΓΑ, ΓΑΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,32,10"></lb> <s>Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,1,32,11"></lb> εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΓΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,32,12"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς αὐτὰς <lb n="1799,001,,,,1,32,13"></lb> ἐμπέπτωκεν ἡ ΑΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, <lb n="1799,001,,,,1,32,14"></lb> ΑΓΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,32,15"></lb> ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,1,32,16"></lb> ἡ ΒΔ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΓΔ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ <lb n="1799,001,,,,1,32,17"></lb> ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΒΓ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,32,18"></lb> ὑπὸ ΒΑΓ ἴση· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνία ἴση ἐστὶ δυσὶ <lb n="1799,001,,,,1,32,19"></lb> ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,32,20"></lb> <s>Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ <lb n="1799,001,,,,1,32,21"></lb> τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ ἴσαι εἰσίν.</s> <s>ἀλλ' αἱ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,32,22"></lb> ΑΓΔ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, <lb n="1799,001,,,,1,32,23"></lb> ΓΒΑ, ΓΑΒ ἄρα δυσίν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,32,24"></lb> <s>Παντὸς ἄρα τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθεί-<lb n="1799,001,,,,1,32,25"></lb> σης ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση <lb n="1799,001,,,,1,32,26"></lb> ἐστίν, καὶ αἱ ἐντὸς τοῦ τριγώνου τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς <lb n="1799,001,,,,1,32,27"></lb> ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,32,28"></lb> <s>Αἱ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπι-<lb n="1799,001,,,,1,33,1"></lb> ζευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί <lb n="1799,001,,,,1,33,2"></lb> εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,33,3"></lb> <s>Ἔστωσαν ἴσαι τε καὶ παράλληλοι <lb n="1799,001,,,,1,33,4"></lb> αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ ἐπιζευγνύτωσαν <lb n="1799,001,,,,1,33,5"></lb> αὐτὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εὐθεῖαι <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,33,6"></lb> αἱ ΑΓ, ΒΔ· λέγω, ὅτι καὶ αἱ ΑΓ, ΒΔ ἴσαι τε καὶ <lb n="1799,001,,,,1,33,7"></lb> παράλληλοί εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,33,8"></lb> <s>Ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,1,33,9"></lb> τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ <lb n="1799,001,,,,1,33,10"></lb> γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,1,33,11"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,33,12"></lb> δύο ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,33,13"></lb> γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΒΔ <lb n="1799,001,,,,1,33,14"></lb> ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον <lb n="1799,001,,,,1,33,15"></lb> ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι <lb n="1799,001,,,,1,33,16"></lb> ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτεί-<lb n="1799,001,,,,1,33,17"></lb> νουσιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΔ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,1,33,18"></lb> ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΓ, ΒΔ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ <lb n="1799,001,,,,1,33,19"></lb> ΒΓ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις πεποίηκεν, παράλ-<lb n="1799,001,,,,1,33,20"></lb> ληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ αὐτῇ καὶ ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,1,33,21"></lb> <s>Αἱ ἄρα τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη <lb n="1799,001,,,,1,33,22"></lb> ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί <lb n="1799,001,,,,1,33,23"></lb> εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,33,24"></lb> <s>Τῶν παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευ-<lb n="1799,001,,,,1,34,1"></lb> ραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ ἡ διάμετρος <lb n="1799,001,,,,1,34,2"></lb> αὐτὰ δίχα τέμνει.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,34,3"></lb> Ἔστω παραλληλόγραμμον χωρίον τὸ ΑΓΔΒ, διά-<lb n="1799,001,,,,1,34,4"></lb> μετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΒΓ· λέγω, ὅτι τοῦ ΑΓΔΒ παραλλη-<lb n="1799,001,,,,1,34,5"></lb> λογράμμου αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι <lb n="1799,001,,,,1,34,6"></lb> ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ ἡ ΒΓ διάμετρος <lb n="1799,001,,,,1,34,7"></lb> αὐτὸ δίχα τέμνει.</s> <lb n="1799,001,,,,1,34,8"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,1,34,9"></lb> τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐ-<lb n="1799,001,,,,1,34,10"></lb> θεῖα ἡ ΒΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,34,11"></lb> ΑΒΓ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός <lb n="1799,001,,,,1,34,12"></lb> ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΓ, αἱ <lb n="1799,001,,,,1,34,13"></lb> ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, ΓΒΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,34,14"></lb> <s>δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΒΓΔ τὰς δύο γωνίας τὰς <lb n="1799,001,,,,1,34,15"></lb> ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΒΔ ἴσας ἔχοντα <lb n="1799,001,,,,1,34,16"></lb> ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν <lb n="1799,001,,,,1,34,17"></lb> πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις κοινὴν αὐτῶν τὴν ΒΓ· καὶ τὰς <lb n="1799,001,,,,1,34,18"></lb> λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκα-<lb n="1799,001,,,,1,34,19"></lb> τέρᾳ καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ· ἴση ἄρα <lb n="1799,001,,,,1,34,20"></lb> ἡ μὲν ΑΒ πλευρὰ τῇ ΓΔ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΒΔ, καὶ ἔτι ἴση <lb n="1799,001,,,,1,34,21"></lb> ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,1,34,22"></lb> ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΒΔ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,34,23"></lb> ὑπὸ ΑΓΒ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,1,34,24"></lb> ἴση.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΒ ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,1,34,25"></lb> <s>Τῶν ἄρα παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον <lb n="1799,001,,,,1,34,26"></lb> πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,34,27"></lb> Λέγω δή, ὅτι καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει.</s> <s>ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,1,34,28"></lb> γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΓ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,1,34,29"></lb> ΒΓ δυσὶ ταῖς ΓΔ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ <lb n="1799,001,,,,1,34,30"></lb> γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση.</s> <s>καὶ βάσις ἄρα <lb n="1799,001,,,,1,34,31"></lb> ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἴση.</s> <s>καὶ τὸ ΑΒΓ [ἄρα] τρίγωνον τῷ ΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,1,34,32"></lb> τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,34,33"></lb> <s>Ἡ ἄρα ΒΓ διάμετρος δίχα τέμνει τὸ ΑΒΓΔ παραλλη-<lb n="1799,001,,,,1,34,34"></lb> λόγραμμον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,34,35"></lb> <s>Τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα <lb n="1799,001,,,,1,35,1"></lb> καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,35,2"></lb> <s>Ἔστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ, <lb n="1799,001,,,,1,35,3"></lb> ΕΒΓΖ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,35,4"></lb> καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς <lb n="1799,001,,,,1,35,5"></lb> ΑΖ, ΒΓ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,1,35,6"></lb> τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,35,7"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, ἴση ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,1,35,8"></lb> ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,1,35,9"></lb> ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση· καὶ κοινὴ ἡ ΔΕ· <lb n="1799,001,,,,1,35,10"></lb> ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ ὅλῃ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,35,11"></lb> τῇ ΔΓ ἴση· δύο δὴ αἱ ΕΑ, ΑΒ δύο ταῖς ΖΔ, ΔΓ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,1,35,12"></lb> εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΔΓ γωνίᾳ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,35,13"></lb> ὑπὸ ΕΑΒ ἐστιν ἴση ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός· βάσις ἄρα ἡ ΕΒ <lb n="1799,001,,,,1,35,14"></lb> βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΕΑΒ τρίγωνον τῷ ΔΖΓ <lb n="1799,001,,,,1,35,15"></lb> τριγώνῳ ἴσον ἔσται· κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΔΗΕ· λοιπὸν <lb n="1799,001,,,,1,35,16"></lb> ἄρα τὸ ΑΒΗΔ τραπέζιον λοιπῷ τῷ ΕΗΓΖ τραπεζίῳ <lb n="1799,001,,,,1,35,17"></lb> ἐστὶν ἴσον· κοινὸν προσκείσθω τὸ ΗΒΓ τρίγωνον· ὅλον <lb n="1799,001,,,,1,35,18"></lb> ἄρα τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΕΒΓΖ παραλ-<lb n="1799,001,,,,1,35,19"></lb> ληλογράμμῳ ἴσον ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,35,20"></lb> <s>Τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως <lb n="1799,001,,,,1,35,21"></lb> ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· <lb n="1799,001,,,,1,35,22"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,35,23"></lb> <s>Τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ <lb n="1799,001,,,,1,36,1"></lb> ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,36,2"></lb> <s>Ἔστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ ἐπὶ ἴσων <lb n="1799,001,,,,1,36,3"></lb> βάσεων ὄντα τῶν ΒΓ, ΖΗ <lb n="1799,001,,,,1,36,4"></lb> καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλή-<lb n="1799,001,,,,1,36,5"></lb> λοις ταῖς ΑΘ, ΒΗ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,1,36,6"></lb> ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλ-<lb n="1799,001,,,,1,36,7"></lb> ληλόγραμμον τῷ ΕΖΗΘ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,36,8"></lb> Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΘ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,1,36,9"></lb> ΒΓ τῇ ΖΗ, ἀλλὰ ἡ ΖΗ τῇ ΕΘ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΒΓ ἄρα <lb n="1799,001,,,,1,36,10"></lb> τῇ ΕΘ ἐστιν ἴση.</s> <s>εἰσὶ δὲ καὶ παράλληλοι.</s> <s>καὶ ἐπιζευγνύ-<lb n="1799,001,,,,1,36,11"></lb> ουσιν αὐτὰς αἱ ΕΒ, ΘΓ· αἱ δὲ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλή-<lb n="1799,001,,,,1,36,12"></lb> λους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευγνύουσαι ἴσαι τε καὶ παράλ-<lb n="1799,001,,,,1,36,13"></lb> ληλοί εἰσι· [καὶ αἱ ΕΒ, ΘΓ ἄρα ἴσαι τέ εἰσι καὶ παράλ-<lb n="1799,001,,,,1,36,14"></lb> ληλοι].</s> <s>παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΓΘ.</s> <s>καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,1,36,15"></lb> ἴσον τῷ ΑΒΓΔ· βάσιν τε γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν ἔχει τὴν <lb n="1799,001,,,,1,36,16"></lb> ΒΓ, καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστὶν αὐτῷ ταῖς ΒΓ, <lb n="1799,001,,,,1,36,17"></lb> ΑΘ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΕΖΗΘ τῷ αὐτῷ τῷ ΕΒΓΘ <lb n="1799,001,,,,1,36,18"></lb> ἐστιν ἴσον· ὥστε καὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ <lb n="1799,001,,,,1,36,19"></lb> ΕΖΗΘ ἐστιν ἴσον.</s> <lb n="1799,001,,,,1,36,20"></lb> <s>Τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ <lb n="1799,001,,,,1,36,21"></lb> ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,1,36,22"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,36,23"></lb> <s>Τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς <lb n="1799,001,,,,1,37,1"></lb> αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,37,2"></lb> <s>Ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΒΓ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως <lb n="1799,001,,,,1,37,3"></lb> τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς <lb n="1799,001,,,,1,37,4"></lb> παραλλήλοις ταῖς ΑΔ, ΒΓ· <lb n="1799,001,,,,1,37,5"></lb> λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,37,6"></lb> τρίγωνον τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,37,7"></lb> Ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔ ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Ε, Ζ, <lb n="1799,001,,,,1,37,8"></lb> καὶ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΓΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ, διὰ <lb n="1799,001,,,,1,37,9"></lb> δὲ τοῦ Γ τῇ ΒΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ.</s> <s>παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,1,37,10"></lb> γραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΕΒΓΑ, ΔΒΓΖ· καί <lb n="1799,001,,,,1,37,11"></lb> εἰσιν ἴσα· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΒΓ καὶ <lb n="1799,001,,,,1,37,12"></lb> ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΕΖ· καί ἐστι τοῦ <lb n="1799,001,,,,1,37,13"></lb> μὲν ΕΒΓΑ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγω-<lb n="1799,001,,,,1,37,14"></lb> νον· ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει· τοῦ δὲ ΔΒΓΖ <lb n="1799,001,,,,1,37,15"></lb> παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον· ἡ γὰρ ΔΓ <lb n="1799,001,,,,1,37,16"></lb> διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει.</s> <s>[τὰ δὲ τῶν ἴσων ἡμίση ἴσα <lb n="1799,001,,,,1,37,17"></lb> ἀλλήλοις ἐστίν].</s> <s>ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,37,18"></lb> τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,37,19"></lb> <s>Τὰ ἄρα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν <lb n="1799,001,,,,1,37,20"></lb> ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,1,37,21"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,37,22"></lb> <s>Τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς <lb n="1799,001,,,,1,38,1"></lb> αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,38,2"></lb> <s>Ἔστω τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,1,38,3"></lb> ΔΕΖ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν <lb n="1799,001,,,,1,38,4"></lb> ΒΓ, ΕΖ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς <lb n="1799,001,,,,1,38,5"></lb> παραλλήλοις ταῖς ΒΖ, ΑΔ· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,38,6"></lb> λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ <lb n="1799,001,,,,1,38,7"></lb> τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,38,8"></lb> <s>Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΔ ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Η, <lb n="1799,001,,,,1,38,9"></lb> Θ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΓΑ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ, <lb n="1799,001,,,,1,38,10"></lb> διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΘ.</s> <s>παραλλη-<lb n="1799,001,,,,1,38,11"></lb> λόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΗΒΓΑ, ΔΕΖΘ· <lb n="1799,001,,,,1,38,12"></lb> καὶ ἴσον τὸ ΗΒΓΑ τῷ ΔΕΖΘ· ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών <lb n="1799,001,,,,1,38,13"></lb> εἰσι τῶν ΒΓ, ΕΖ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς <lb n="1799,001,,,,1,38,14"></lb> ΒΖ, ΗΘ· καί ἐστι τοῦ μὲν ΗΒΓΑ παραλληλογράμμου <lb n="1799,001,,,,1,38,15"></lb> ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.</s> <s>ἡ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα <lb n="1799,001,,,,1,38,16"></lb> τέμνει· τοῦ δὲ ΔΕΖΘ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ <lb n="1799,001,,,,1,38,17"></lb> ΖΕΔ τρίγωνον· ἡ γὰρ ΔΖ διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει· <lb n="1799,001,,,,1,38,18"></lb> [τὰ δὲ τῶν ἴσων ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν].</s> <s>ἴσον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,1,38,19"></lb> τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,38,20"></lb> <s>Τὰ ἄρα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς <lb n="1799,001,,,,1,38,21"></lb> αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,38,22"></lb> <s>Τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,1,39,1"></lb> τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,39,2"></lb> Ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΒΓ ἐπὶ τῆς αὐτῆς <lb n="1799,001,,,,1,39,3"></lb> βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῆς ΒΓ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,1,39,4"></lb> καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,39,5"></lb> <s>Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,1,39,6"></lb> ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,39,7"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή, ἤχθω διὰ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΓ εὐθείᾳ <lb n="1799,001,,,,1,39,8"></lb> παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ.</s> <s>ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,1,39,9"></lb> ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ· ἐπί <lb n="1799,001,,,,1,39,10"></lb> τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν αὐτῷ τῆς <lb n="1799,001,,,,1,39,11"></lb> ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις.</s> <s>ἀλλὰ <lb n="1799,001,,,,1,39,12"></lb> τὸ ΑΒΓ τῷ ΔΒΓ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΔΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,39,13"></lb> ἄρα τῷ ΕΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ μεῖζον τῷ <lb n="1799,001,,,,1,39,14"></lb> ἐλάσσονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα παράλληλός <lb n="1799,001,,,,1,39,15"></lb> ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΒΓ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ' ἄλλη τις <lb n="1799,001,,,,1,39,16"></lb> πλὴν τῆς ΑΔ· ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστι παράλληλος.</s> <lb n="1799,001,,,,1,39,17"></lb> <s>Τὰ ἄρα ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ <lb n="1799,001,,,,1,39,18"></lb> ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν· <lb n="1799,001,,,,1,39,19"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,39,20"></lb> <s>Τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,1,40,1"></lb> αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,40,2"></lb> Ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΓΔΕ <lb n="1799,001,,,,1,40,3"></lb> ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΒΓ, ΓΕ καὶ ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,1,40,4"></lb> τὰ αὐτὰ μέρη.</s> <s>λέγω, ὅτι καὶ ἐν ταῖς αὐ-<lb n="1799,001,,,,1,40,5"></lb> ταῖς παραλλήλοις ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,40,6"></lb> <s>Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι παράλληλός <lb n="1799,001,,,,1,40,7"></lb> ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,40,8"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή, ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΑΖ, <lb n="1799,001,,,,1,40,9"></lb> καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ.</s> <s>ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,1,40,10"></lb> τῷ ΖΓΕ τριγώνῳ· ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΓ, <lb n="1799,001,,,,1,40,11"></lb> ΓΕ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΕ, ΑΖ.</s> <s>ἀλλὰ <lb n="1799,001,,,,1,40,12"></lb> τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΔΓΕ [τριγώνῳ]· καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,1,40,13"></lb> ΔΓΕ ἄρα [τρίγωνον] ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΓΕ τριγώνῳ τὸ μεῖ-<lb n="1799,001,,,,1,40,14"></lb> ζον τῷ ἐλάσσονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα παράλλη-<lb n="1799,001,,,,1,40,15"></lb> λος ἡ ΑΖ τῇ ΒΕ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ' ἄλλη τις <lb n="1799,001,,,,1,40,16"></lb> πλὴν τῆς ΑΔ· ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΒΕ ἐστι παράλληλος.</s> <lb n="1799,001,,,,1,40,17"></lb> <s>Τὰ ἄρα ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ <lb n="1799,001,,,,1,40,18"></lb> ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν· <lb n="1799,001,,,,1,40,19"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,40,20"></lb> <s>Ἐὰν παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν <lb n="1799,001,,,,1,41,1"></lb> καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ, διπλάσιόν ἐστι τὸ παρ-<lb n="1799,001,,,,1,41,2"></lb> αλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,41,3"></lb> Παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ τριγώνῳ τῷ ΕΒΓ <lb n="1799,001,,,,1,41,4"></lb> βάσιν τε ἐχέτω τὴν αὐτὴν τὴν ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς <lb n="1799,001,,,,1,41,5"></lb> παραλλήλοις ἔστω ταῖς ΒΓ, ΑΕ· λέγω, ὅτι διπλάσιόν <lb n="1799,001,,,,1,41,6"></lb> ἐστι τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τοῦ <lb n="1799,001,,,,1,41,7"></lb> ΒΕΓ τριγώνου.</s> <lb n="1799,001,,,,1,41,8"></lb> <s>Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΓ.</s> <s>ἴσον δή ἐστι <lb n="1799,001,,,,1,41,9"></lb> τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ· <lb n="1799,001,,,,1,41,10"></lb> ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,1,41,11"></lb> τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις <lb n="1799,001,,,,1,41,12"></lb> ταῖς ΒΓ, ΑΕ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον διπλά-<lb n="1799,001,,,,1,41,13"></lb> σιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· ἡ γὰρ ΑΓ διάμετρος αὐτὸ <lb n="1799,001,,,,1,41,14"></lb> δίχα τέμνει· ὥστε τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τοῦ <lb n="1799,001,,,,1,41,15"></lb> ΕΒΓ τριγώνου ἐστὶ διπλάσιον.</s> <lb n="1799,001,,,,1,41,16"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν <lb n="1799,001,,,,1,41,17"></lb> αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ, διπλάσιόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,1,41,18"></lb> τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,41,19"></lb> <s>Τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστή-<lb n="1799,001,,,,1,42,1"></lb> σασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,42,2"></lb> Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα <lb n="1799,001,,,,1,42,3"></lb> γωνία εὐθύγραμμος ἡ Δ· δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον <lb n="1799,001,,,,1,42,4"></lb> παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ Δ γωνίᾳ εὐθυ-<lb n="1799,001,,,,1,42,5"></lb> γράμμῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,42,6"></lb> <s>Τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ <lb n="1799,001,,,,1,42,7"></lb> ΑΕ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΕΓ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,1,42,8"></lb> σημείῳ τῷ Ε τῇ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,42,9"></lb> ΓΕΖ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΕΓ <lb n="1799,001,,,,1,42,10"></lb> παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΗ, διὰ δὲ <lb n="1799,001,,,,1,42,11"></lb> τοῦ Γ τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ <lb n="1799,001,,,,1,42,12"></lb> ΓΗ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,1,42,13"></lb> τὸ ΖΕΓΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ <lb n="1799,001,,,,1,42,14"></lb> τῇ ΕΓ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΕΓ τριγώνῳ· <lb n="1799,001,,,,1,42,15"></lb> ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΕ, ΕΓ καὶ ἐν ταῖς αὐ-<lb n="1799,001,,,,1,42,16"></lb> ταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΑΗ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,1,42,17"></lb> ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ τὸ ΖΕΓΗ <lb n="1799,001,,,,1,42,18"></lb> παραλληλόγραμμον διπλάσιον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου· βάσιν τε <lb n="1799,001,,,,1,42,19"></lb> γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν ἔχει καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς ἐστιν αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,1,42,20"></lb> παραλλήλοις· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμ-<lb n="1799,001,,,,1,42,21"></lb> μον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ.</s> <s>καὶ ἔχει τὴν ὑπὸ ΓΕΖ γωνίαν <lb n="1799,001,,,,1,42,22"></lb> ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,42,23"></lb> <s>Τῷ ἄρα δοθέντι τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἴσον παραλληλό- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,1,42,24"></lb> γραμμον συνέσταται τὸ ΖΕΓΗ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΕΖ, <lb n="1799,001,,,,1,42,25"></lb> ἥτις ἐστὶν ἴση τῇ Δ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,42,26"></lb> <s>Παντὸς παραλληλογράμμου τῶν περὶ τὴν διάμετρον <lb n="1799,001,,,,1,43,1"></lb> παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις <lb n="1799,001,,,,1,43,2"></lb> ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,43,3"></lb> <s>Ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐ-<lb n="1799,001,,,,1,43,4"></lb> τοῦ ἡ ΑΓ, περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλληλόγραμμα μὲν ἔστω τὰ <lb n="1799,001,,,,1,43,5"></lb> ΖΘ, ΖΗ, τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώ- <lb n="1799,001,,,,1,43,6"></lb> ματα τὰ ΒΚ, ΚΔ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,1,43,7"></lb> τὸ ΒΚ παραπλήρωμα τῷ ΚΔ παρα-<lb n="1799,001,,,,1,43,8"></lb> πληρώματι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,43,9"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,1,43,10"></lb> ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, ἴσον <lb n="1799,001,,,,1,43,11"></lb> ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,1,43,12"></lb> παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΕΘ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,1,43,13"></lb> ἡ ΑΚ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,43,14"></lb> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΚΖΓ τρίγωνον τῷ ΚΗΓ ἐστιν ἴσον.</s> <lb n="1799,001,,,,1,43,15"></lb> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΑΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ ἐστὶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,43,16"></lb> ἴσον, τὸ δὲ ΚΖΓ τῷ ΚΗΓ, τὸ ΑΕΚ τρίγωνον μετὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,1,43,17"></lb> ΚΗΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ μετὰ τοῦ ΚΖΓ· ἔστι <lb n="1799,001,,,,1,43,18"></lb> δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΑΔΓ ἴσον· λοιπὸν <lb n="1799,001,,,,1,43,19"></lb> ἄρα τὸ ΒΚ παραπλήρωμα λοιπῷ τῷ ΚΔ παραπληρώματί <lb n="1799,001,,,,1,43,20"></lb> ἐστιν ἴσον.</s> <lb n="1799,001,,,,1,43,21"></lb> <s>Παντὸς ἄρα παραλληλογράμμου χωρίου τῶν περὶ τὴν <lb n="1799,001,,,,1,43,22"></lb> διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα <lb n="1799,001,,,,1,43,23"></lb> ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,43,24"></lb> <s>Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον <lb n="1799,001,,,,1,44,1"></lb> παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ <lb n="1799,001,,,,1,44,2"></lb> εὐθυγράμμῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,44,3"></lb> <s>Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγω-<lb n="1799,001,,,,1,44,4"></lb> νον τὸ Γ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύ-<lb n="1799,001,,,,1,44,5"></lb> γραμμος ἡ Δ· δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν <lb n="1799,001,,,,1,44,6"></lb> εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ <lb n="1799,001,,,,1,44,7"></lb> τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβα-<lb n="1799,001,,,,1,44,8"></lb> λεῖν ἐν ἴσῃ τῇ Δ γωνίᾳ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,44,9"></lb> <s>Συνεστάτω τῷ Γ τριγώνῳ ἴσον παραλ-<lb n="1799,001,,,,1,44,10"></lb> ληλόγραμμον τὸ ΒΕΖΗ ἐν γωνίᾳ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,44,11"></lb> ὑπὸ ΕΒΗ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ· καὶ <lb n="1799,001,,,,1,44,12"></lb> κείσθω ὥστε ἐπ' εὐθείας εἶναι τὴν ΒΕ <lb n="1799,001,,,,1,44,13"></lb> τῇ ΑΒ, καὶ διήχθω ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ Θ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,44,14"></lb> καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΗ, ΕΖ παράλληλος ἤχθω <lb n="1799,001,,,,1,44,15"></lb> ἡ ΑΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους <lb n="1799,001,,,,1,44,16"></lb> τὰς ΑΘ, ΕΖ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΖ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΘΖ, <lb n="1799,001,,,,1,44,17"></lb> ΘΖΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι.</s> <s>αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΘΗ, <lb n="1799,001,,,,1,44,18"></lb> ΗΖΕ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν· αἱ δὲ ἀπὸ ἐλασσόνων <lb n="1799,001,,,,1,44,19"></lb> ἢ δύο ὀρθῶν εἰς ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι συμπίπτουσιν· <lb n="1799,001,,,,1,44,20"></lb> αἱ ΘΒ, ΖΕ ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται.</s> <s>ἐκβεβλή-<lb n="1799,001,,,,1,44,21"></lb> σθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,1,44,22"></lb> Κ σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΕΑ, ΖΘ παράλληλος ἤχθω ἡ <lb n="1799,001,,,,1,44,23"></lb> ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΘΑ, ΗΒ ἐπὶ τὰ Λ, Μ ση-<lb n="1799,001,,,,1,44,24"></lb> μεῖα.</s> <s>παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛΚΖ, διάμετρος <lb n="1799,001,,,,1,44,25"></lb> δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΚ, περὶ δὲ τὴν ΘΚ παραλληλόγραμμα <lb n="1799,001,,,,1,44,26"></lb> μὲν τὰ ΑΗ, ΜΕ, τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα τὰ <lb n="1799,001,,,,1,44,27"></lb> ΛΒ, ΒΖ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΒ τῷ ΒΖ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΒΖ τῷ <lb n="1799,001,,,,1,44,28"></lb> Γ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ τὸ ΛΒ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον.</s> <lb n="1799,001,,,,1,44,29"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἀλλὰ <lb n="1799,001,,,,1,44,30"></lb> ἡ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ Δ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ ἄρα τῇ Δ <lb n="1799,001,,,,1,44,31"></lb> γωνίᾳ ἐστὶν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,1,44,32"></lb> <s>Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώ-<lb n="1799,001,,,,1,44,33"></lb> νῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΛΒ ἐν <lb n="1799,001,,,,1,44,34"></lb> γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,44,35"></lb> Τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον <lb n="1799,001,,,,1,45,1"></lb> συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,45,2"></lb> <s>Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ <lb n="1799,001,,,,1,45,3"></lb> ΑΒΓΔ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος <lb n="1799,001,,,,1,45,4"></lb> ἡ Ε· δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓΔ εὐθυγράμμῳ ἴσον <lb n="1799,001,,,,1,45,5"></lb> παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δο-<lb n="1799,001,,,,1,45,6"></lb> θείσῃ γωνίᾳ τῇ Ε.</s> <lb n="1799,001,,,,1,45,7"></lb> <s>Ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ συνεστάτω τῷ <lb n="1799,001,,,,1,45,8"></lb> ΑΒΔ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ <lb n="1799,001,,,,1,45,9"></lb> ΖΘ ἐν τῇ ὑπὸ ΘΚΖ γωνίᾳ, ἥ ἐστιν ἴση <lb n="1799,001,,,,1,45,10"></lb> τῇ Ε· καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΗΘ <lb n="1799,001,,,,1,45,11"></lb> εὐθεῖαν τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,1,45,12"></lb> γραμμον τὸ ΗΜ ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Ε.</s> <lb n="1799,001,,,,1,45,13"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ Ε γωνία ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΖ, ΗΘΜ ἐστιν ἴση, <lb n="1799,001,,,,1,45,14"></lb> καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΖ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΜ ἐστιν ἴση.</s> <s>κοινὴ προσκεί-<lb n="1799,001,,,,1,45,15"></lb> σθω ἡ ὑπὸ ΚΘΗ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ ταῖς ὑπὸ ΚΘΗ, <lb n="1799,001,,,,1,45,16"></lb> ΗΘΜ ἴσαι εἰσίν.</s> <s>ἀλλ' αἱ ὑπὸ ΖΚΘ, ΚΘΗ δυσὶν ὀρθαῖς <lb n="1799,001,,,,1,45,17"></lb> ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΚΘΗ, ΗΘΜ ἄρα δύο ὀρθαῖς ἴσαι <lb n="1799,001,,,,1,45,18"></lb> εἰσίν.</s> <s>πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΗΘ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ <lb n="1799,001,,,,1,45,19"></lb> τῷ Θ δύο εὐθεῖαι αἱ ΚΘ, ΘΜ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμε-<lb n="1799,001,,,,1,45,20"></lb> ναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ' <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,45,21"></lb> εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΜ· καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους <lb n="1799,001,,,,1,45,22"></lb> τὰς ΚΜ, ΖΗ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΗ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι <lb n="1799,001,,,,1,45,23"></lb> αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΖ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>κοινὴ προσκεί-<lb n="1799,001,,,,1,45,24"></lb> σθω ἡ ὑπὸ ΘΗΛ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΛ ταῖς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,45,25"></lb> ΘΗΖ, ΘΗΛ ἴσαι εἰσίν.</s> <s>ἀλλ' αἱ ὑπὸ ΜΘΗ, ΘΗΛ δύο <lb n="1799,001,,,,1,45,26"></lb> ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΘΗΖ, ΘΗΛ ἄρα δύο ὀρθαῖς <lb n="1799,001,,,,1,45,27"></lb> ἴσαι εἰσίν· ἐπ' εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΛ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,1,45,28"></lb> ἡ ΖΚ τῇ ΘΗ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,1,45,29"></lb> ΘΗ τῇ ΜΛ, καὶ ἡ ΚΖ ἄρα τῇ ΜΛ ἴση τε καὶ παράλλη-<lb n="1799,001,,,,1,45,30"></lb> λός ἐστιν· καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ ΚΜ, ΖΛ· <lb n="1799,001,,,,1,45,31"></lb> καὶ αἱ ΚΜ, ΖΛ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν· παραλ-<lb n="1799,001,,,,1,45,32"></lb> ληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΖΛΜ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,1,45,33"></lb> μὲν ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΘ παραλληλογράμμῳ, τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,1,45,34"></lb> ΔΒΓ τῷ ΗΜ, ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ εὐθύγραμμον ὅλῳ <lb n="1799,001,,,,1,45,35"></lb> τῷ ΚΖΛΜ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον.</s> <lb n="1799,001,,,,1,45,36"></lb> <s>Τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓΔ ἴσον παραλλη-<lb n="1799,001,,,,1,45,37"></lb> λόγραμμον συνέσταται τὸ ΚΖΛΜ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΚΜ, <lb n="1799,001,,,,1,45,38"></lb> ἥ ἐστιν ἴση τῇ δοθείσῃ τῇ Ε· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,45,39"></lb> Ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράγωνον ἀναγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,46,1"></lb> <s>Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐ-<lb n="1799,001,,,,1,46,2"></lb> θείας τετράγωνον ἀναγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,46,3"></lb> <s>Ἤχθω τῇ ΑΒ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ σημείου τοῦ <lb n="1799,001,,,,1,46,4"></lb> Α πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΓ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΔ· καὶ <lb n="1799,001,,,,1,46,5"></lb> διὰ μὲν τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος <lb n="1799,001,,,,1,46,6"></lb> ἤχθω ἡ ΔΕ, διὰ δὲ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΔ <lb n="1799,001,,,,1,46,7"></lb> παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΕ.</s> <s>Παραλληλόγραμμον <lb n="1799,001,,,,1,46,8"></lb> ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ <lb n="1799,001,,,,1,46,9"></lb> τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΒΕ.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ΑΒ τῇ ΑΔ <lb n="1799,001,,,,1,46,10"></lb> ἐστιν ἴση· αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΒΑ, ΑΔ, ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,1,46,11"></lb> ΕΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,1,46,12"></lb> τὸ ΑΔΕΒ παραλληλόγραμμον.</s> <s>λέγω δή, ὅτι <lb n="1799,001,,,,1,46,13"></lb> καὶ ὀρθογώνιον.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ εἰς παραλλήλους τὰς <lb n="1799,001,,,,1,46,14"></lb> ΑΒ, ΔΕ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΔΕ <lb n="1799,001,,,,1,46,15"></lb> γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <s>ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ· ὀρθὴ <lb n="1799,001,,,,1,46,16"></lb> ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΕ.</s> <s>τῶν δὲ παραλληλογράμμων χωρίων <lb n="1799,001,,,,1,46,17"></lb> αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· <lb n="1799,001,,,,1,46,18"></lb> ὀρθὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ἀπεναντίον τῶν ὑπὸ ΑΒΕ, <lb n="1799,001,,,,1,46,19"></lb> ΒΕΔ γωνιῶν· ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ.</s> <s>ἐδείχθη <lb n="1799,001,,,,1,46,20"></lb> δὲ καὶ ἰσόπλευρον.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,46,21"></lb> Τετράγωνον ἄρα ἐστίν· καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας <lb n="1799,001,,,,1,46,22"></lb> ἀναγεγραμμένον· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,46,23"></lb> <s>Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν <lb n="1799,001,,,,1,47,1"></lb> γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς <lb n="1799,001,,,,1,47,2"></lb> ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετρα-<lb n="1799,001,,,,1,47,3"></lb> γώνοις.</s> <lb n="1799,001,,,,1,47,4"></lb> <s>Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν <lb n="1799,001,,,,1,47,5"></lb> ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,1,47,6"></lb> ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.</s> <lb n="1799,001,,,,1,47,7"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ <lb n="1799,001,,,,1,47,8"></lb> ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,1,47,9"></lb> Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ <lb n="1799,001,,,,1,47,10"></lb> ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,1,47,11"></lb> τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ <lb n="1799,001,,,,1,47,12"></lb> καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ <lb n="1799,001,,,,1,47,13"></lb> μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν <lb n="1799,001,,,,1,47,14"></lb> ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ' εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ <lb n="1799,001,,,,1,47,15"></lb> ΑΗ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ' εὐθείας.</s> <lb n="1799,001,,,,1,47,16"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ· ὀρθὴ <lb n="1799,001,,,,1,47,17"></lb> γὰρ ἑκατέρα· κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,47,18"></lb> ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση <lb n="1799,001,,,,1,47,19"></lb> ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, <lb n="1799,001,,,,1,47,20"></lb> ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ <lb n="1799,001,,,,1,47,21"></lb> γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,47,22"></lb> ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει <lb n="1799,001,,,,1,47,23"></lb> τῇ ΖΓ [ἐστιν] ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρί-<lb n="1799,001,,,,1,47,24"></lb> γωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· <lb n="1799,001,,,,1,47,25"></lb> καὶ [ἐστὶ] τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου <lb n="1799,001,,,,1,47,26"></lb> διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμ-<lb n="1799,001,,,,1,47,27"></lb> μον· βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι <lb n="1799,001,,,,1,47,28"></lb> τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι <lb n="1799,001,,,,1,47,29"></lb> παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ <lb n="1799,001,,,,1,47,30"></lb> δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ <lb n="1799,001,,,,1,47,31"></lb> ΗΒ τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι <lb n="1799,001,,,,1,47,32"></lb> τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,47,33"></lb> <s>[τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·] ἴσον ἄρα <lb n="1799,001,,,,1,47,34"></lb> ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,47,35"></lb> <s>ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ <lb n="1799,001,,,,1,47,36"></lb> τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,47,37"></lb> ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετρα-<lb n="1799,001,,,,1,47,38"></lb> γώνοις ἴσον ἐστίν.</s> <s>καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,1,47,39"></lb> ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, <lb n="1799,001,,,,1,47,40"></lb> ΑΓ.</s> <s>τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,1,47,41"></lb> τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις.</s> <lb n="1799,001,,,,1,47,42"></lb> <s>Ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν <lb n="1799,001,,,,1,47,43"></lb> γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς <lb n="1799,001,,,,1,47,44"></lb> ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν [γωνίαν] περιεχουσῶν πλευρῶν τετρα-<lb n="1799,001,,,,1,47,45"></lb> γώνοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,1,47,46"></lb> <s>Ἐὰν τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,1,48,1"></lb> ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν <lb n="1799,001,,,,1,48,2"></lb> τετραγώνοις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ <lb n="1799,001,,,,1,48,3"></lb> τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,1,48,4"></lb> <s>Τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τὸ ἀπὸ μιᾶς τῆς ΒΓ πλευρᾶς <lb n="1799,001,,,,1,48,5"></lb> τετράγωνον ἴσον ἔστω τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν <lb n="1799,001,,,,1,48,6"></lb> τετραγώνοις· λέγω, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία.</s> <lb n="1799,001,,,,1,48,7"></lb> <s>Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς <lb n="1799,001,,,,1,48,8"></lb> ὀρθὰς ἡ ΑΔ καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω <lb n="1799,001,,,,1,48,9"></lb> ἡ ΔΓ.</s> <s>ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,48,10"></lb> τῆς ΔΑ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.</s> <s>κοινὸν <lb n="1799,001,,,,1,48,11"></lb> προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,1,48,12"></lb> ΔΑ, ΑΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,1,48,13"></lb> ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.</s> <s>ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,1,48,14"></lb> τῶν ΔΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ὀρθὴ <lb n="1799,001,,,,1,48,15"></lb> γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία· τοῖς δὲ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,1,48,16"></lb> τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ· ὑπόκειται <lb n="1799,001,,,,1,48,17"></lb> γάρ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓ τετράγωνον ἴσον <lb n="1799,001,,,,1,48,18"></lb> ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ· ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,1,48,19"></lb> πλευρὰ ἡ ΔΓ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση· καὶ ἐπεὶ ἴση <lb n="1799,001,,,,1,48,20"></lb> ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, δύο δὴ αἱ <lb n="1799,001,,,,1,48,21"></lb> ΔΑ, ΑΓ δύο ταῖς ΒΑ, ΑΓ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΔΓ <lb n="1799,001,,,,1,48,22"></lb> βάσει τῇ ΒΓ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,1,48,23"></lb> ΒΑΓ [ἐστιν] ἴση.</s> <s>ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,1,48,24"></lb> ὑπὸ ΒΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,1,48,25"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,1,48,26"></lb> ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν <lb n="1799,001,,,,1,48,27"></lb> τετραγώνοις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ <lb n="1799,001,,,,1,48,28"></lb> τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,1,48,29"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον περιέχεσθαι <lb n="1799,001,,,,2;HOR,1,1"></lb> λέγεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν <lb n="1799,001,,,,2;HOR,1,2"></lb> εὐθειῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,2;HOR,1,3"></lb> <s>Παντὸς δὲ παραλληλογράμμου χωρίου τῶν περὶ <lb n="1799,001,,,,2;HOR,2,1"></lb> τὴν διάμετρον αὐτοῦ παραλληλογράμμων ἓν ὁποιονοῦν <lb n="1799,001,,,,2;HOR,2,2"></lb> σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασι γνώμων καλείσθω.</s> <lb n="1799,001,,,,2;HOR,2,3"></lb> <s></s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, τμηθῇ δὲ ἡ ἑτέρα αὐτῶν εἰς ὁσα-<lb n="1799,001,,,,2,1,1"></lb> δηποτοῦν τμήματα, τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,1,2"></lb> δύο εὐθειῶν ἴσον ἐστὶ τοῖς ὑπό τε τῆς ἀτμήτου καὶ ἑκά-<lb n="1799,001,,,,2,1,3"></lb> στου τῶν τμημάτων περιεχομένοις ὀρθογωνίοις.</s> <lb n="1799,001,,,,2,1,4"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ Α, ΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ, <lb n="1799,001,,,,2,1,5"></lb> ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Α, <lb n="1799,001,,,,2,1,6"></lb> ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν Α, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,1,7"></lb> ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α, ΔΕ καὶ <lb n="1799,001,,,,2,1,8"></lb> ἔτι τῷ ὑπὸ τῶν Α, ΕΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,1,9"></lb> <s>Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΖ, καὶ <lb n="1799,001,,,,2,1,10"></lb> κείσθω τῇ Α ἴση ἡ ΒΗ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Η τῇ ΒΓ παράλ-<lb n="1799,001,,,,2,1,11"></lb> ληλος ἤχθω ἡ ΗΘ, διὰ δὲ τῶν Δ, Ε, Γ <lb n="1799,001,,,,2,1,12"></lb> τῇ ΒΗ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΔΚ, <lb n="1799,001,,,,2,1,13"></lb> ΕΛ, ΓΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,1,14"></lb> <s>Ἴσον δή ἐστι τὸ ΒΘ τοῖς ΒΚ, ΔΛ, <lb n="1799,001,,,,2,1,15"></lb> ΕΘ.</s> <s>καί ἐστι τὸ μὲν ΒΘ τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,1,16"></lb> Α, ΒΓ· περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,1,17"></lb> ΗΒ, ΒΓ, ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ Α· τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,2,1,18"></lb> ΒΚ τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΒΔ· περιέχεται <lb n="1799,001,,,,2,1,19"></lb> μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΗΒ, ΒΔ, ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ Α.</s> <s>τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,2,1,20"></lb> ΔΛ τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΔΕ· ἴση γὰρ ἡ ΔΚ, τουτέστιν ἡ <lb n="1799,001,,,,2,1,21"></lb> ΒΗ, τῇ Α.</s> <s>καὶ ἔτι ὁμοίως τὸ ΕΘ τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΕΓ· <lb n="1799,001,,,,2,1,22"></lb> τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ Α, ΒΔ <lb n="1799,001,,,,2,1,23"></lb> καὶ τῷ ὑπὸ Α, ΔΕ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ Α, ΕΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,1,24"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι, τμηθῇ δὲ ἡ ἑτέρα αὐτῶν εἰς <lb n="1799,001,,,,2,1,25"></lb> ὁσαδηποτοῦν τμήματα, τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,2,1,26"></lb> τῶν δύο εὐθειῶν ἴσον ἐστὶ τοῖς ὑπό τε τῆς ἀτμήτου καὶ <lb n="1799,001,,,,2,1,27"></lb> ἑκάστου τῶν τμημάτων περιεχομένοις ὀρθογωνίοις· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,2,1,28"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,1,29"></lb> Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης <lb n="1799,001,,,,2,2,1"></lb> καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον <lb n="1799,001,,,,2,2,2"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,2,3"></lb> <s>Εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ <lb n="1799,001,,,,2,2,4"></lb> σημεῖον· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον <lb n="1799,001,,,,2,2,5"></lb> ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ, ΑΓ περιεχομένου ὀρθογω-<lb n="1799,001,,,,2,2,6"></lb> νίου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,2,7"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ, <lb n="1799,001,,,,2,2,8"></lb> καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Γ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΕ παράλληλος ἡ ΓΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,2,9"></lb> <s>Ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΕ τοῖς ΑΖ, ΓΕ.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,2,2,10"></lb> ἐστι τὸ μὲν ΑΕ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετρά-<lb n="1799,001,,,,2,2,11"></lb> γωνον, τὸ δὲ ΑΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ <lb n="1799,001,,,,2,2,12"></lb> περιεχόμενον ὀρθογώνιον· περιέχεται μὲν <lb n="1799,001,,,,2,2,13"></lb> γὰρ ὑπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ, ἴση δὲ ἡ ΑΔ τῇ <lb n="1799,001,,,,2,2,14"></lb> ΑΒ· τὸ δὲ ΓΕ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἴση <lb n="1799,001,,,,2,2,15"></lb> γὰρ ἡ ΒΕ τῇ ΑΒ.</s> <s>τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ μετὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,2,2,16"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,2,17"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,2,2,18"></lb> ὅλης καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώ-<lb n="1799,001,,,,2,2,19"></lb> νιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,2,2,20"></lb> δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,2,21"></lb> Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,2,3,1"></lb> ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον <lb n="1799,001,,,,2,3,2"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογω-<lb n="1799,001,,,,2,3,3"></lb> νίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προειρημένου τμήματος τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,3,4"></lb> <s>Εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ· <lb n="1799,001,,,,2,3,5"></lb> λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον <lb n="1799,001,,,,2,3,6"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ <lb n="1799,001,,,,2,3,7"></lb> μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνου.</s> <lb n="1799,001,,,,2,3,8"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τὸ ΓΔΕΒ, <lb n="1799,001,,,,2,3,9"></lb> καὶ διήχθω ἡ ΕΔ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,3,10"></lb> ΓΔ, ΒΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΖ.</s> <s>ἴσον <lb n="1799,001,,,,2,3,11"></lb> δή ἐστι τὸ ΑΕ τοῖς ΑΔ, ΓΕ· καί ἐστι <lb n="1799,001,,,,2,3,12"></lb> τὸ μὲν ΑΕ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχό-<lb n="1799,001,,,,2,3,13"></lb> μενον ὀρθογώνιον· περιέχεται μὲν γὰρ <lb n="1799,001,,,,2,3,14"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ, ἴση δὲ ἡ ΒΕ τῇ ΒΓ· <lb n="1799,001,,,,2,3,15"></lb> τὸ δὲ ΑΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἴση γὰρ <lb n="1799,001,,,,2,3,16"></lb> ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ· τὸ δὲ ΔΒ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον· τὸ <lb n="1799,001,,,,2,3,17"></lb> ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον <lb n="1799,001,,,,2,3,18"></lb> ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ <lb n="1799,001,,,,2,3,19"></lb> τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνου.</s> <lb n="1799,001,,,,2,3,20"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,2,3,21"></lb> ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,3,22"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογω-<lb n="1799,001,,,,2,3,23"></lb> νίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προειρημένου τμήματος τετραγώνῳ· <lb n="1799,001,,,,2,3,24"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,2,3,25"></lb> <s>Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης <lb n="1799,001,,,,2,4,1"></lb> τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τετρα-<lb n="1799,001,,,,2,4,2"></lb> γώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ <lb n="1799,001,,,,2,4,3"></lb> ὀρθογωνίῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,4,4"></lb> <s>Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ <lb n="1799,001,,,,2,4,5"></lb> τὸ Γ.</s> <s>λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς <lb n="1799,001,,,,2,4,6"></lb> τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,4,7"></lb> ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,4,8"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ, <lb n="1799,001,,,,2,4,9"></lb> καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Γ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,2,4,10"></lb> ΕΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ, διὰ δὲ τοῦ Η ὁποτέρᾳ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,4,11"></lb> ΑΒ, ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΚ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ παράλληλός <lb n="1799,001,,,,2,4,12"></lb> ἐστιν ἡ ΓΖ τῇ ΑΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἡ ΒΔ, ἡ <lb n="1799,001,,,,2,4,13"></lb> ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΓΗΒ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ <lb n="1799,001,,,,2,4,14"></lb> ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΑΔΒ.</s> <s>ἀλλ' ἡ ὑπὸ ΑΔΒ τῇ <lb n="1799,001,,,,2,4,15"></lb> ὑπὸ ΑΒΔ ἐστιν ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΑ τῇ <lb n="1799,001,,,,2,4,16"></lb> ΑΔ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ ἄρα γωνία τῇ <lb n="1799,001,,,,2,4,17"></lb> ὑπὸ ΗΒΓ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,2,4,18"></lb> πλευρᾷ τῇ ΓΗ ἐστιν ἴση· ἀλλ' ἡ μὲν ΓΒ τῇ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,4,19"></lb> ΗΚ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΓΗ τῇ ΚΒ· καὶ ἡ ΗΚ ἄρα τῇ ΚΒ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,2,4,20"></lb> ἴση· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΚΒ.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,2,4,21"></lb> ὀρθογώνιον.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΗ τῇ ΒΚ <lb n="1799,001,,,,2,4,22"></lb> [καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΓΒ], αἱ ἄρα ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,2,4,23"></lb> ΚΒΓ, ΗΓΒ γωνίαι δύο ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι.</s> <s>ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,2,4,24"></lb> ΚΒΓ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ· ὥστε καὶ αἱ ἀπεναν-<lb n="1799,001,,,,2,4,25"></lb> τίον αἱ ὑπὸ ΓΗΚ, ΗΚΒ ὀρθαί εἰσιν.</s> <s>ὀρθογώνιον ἄρα <lb n="1799,001,,,,2,4,26"></lb> ἐστὶ τὸ ΓΗΚΒ· ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον· τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,2,4,27"></lb> ἄρα ἐστίν· καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΒ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,2,4,28"></lb> ΘΖ τετράγωνόν ἐστιν· καί ἐστιν ἀπὸ τῆς ΘΗ, τουτέστιν <lb n="1799,001,,,,2,4,29"></lb> [ἀπὸ] τῆς ΑΓ· τὰ ἄρα ΘΖ, Κ*γ τετράγωνα ἀπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,2,4,30"></lb> ΓΒ εἰσιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ ΗΕ, καί ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,2,4,31"></lb> ΑΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἴση γὰρ ἡ ΗΓ τῇ ΓΒ· καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,2,4,32"></lb> ΗΕ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΓ, ΓΒ· τὰ ἄρα ΑΗ, ΗΕ <lb n="1799,001,,,,2,4,33"></lb> ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ τὰ ΘΖ, ΓΚ <lb n="1799,001,,,,2,4,34"></lb> τετράγωνα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· τὰ ἄρα τέσσαρα τὰ ΘΖ, <lb n="1799,001,,,,2,4,35"></lb> ΓΚ, ΑΗ, ΗΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετρα-<lb n="1799,001,,,,2,4,36"></lb> γώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογω-<lb n="1799,001,,,,2,4,37"></lb> νίῳ.</s> <s>ἀλλὰ τὰ ΘΖ, ΓΚ, ΑΗ, ΗΕ ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ, ὅ <lb n="1799,001,,,,2,4,38"></lb> ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τετρά- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,2,4,39"></lb> γωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνοις καὶ <lb n="1799,001,,,,2,4,40"></lb> τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,4,41"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,2,4,42"></lb> ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων <lb n="1799,001,,,,2,4,43"></lb> τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ <lb n="1799,001,,,,2,4,44"></lb> ὀρθογωνίῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,2,4,45"></lb> <s>[Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,2,4,46"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐν τοῖς τετραγώνοις χωρίοις <lb n="1799,001,,,,2,4,47"></lb> τὰ περὶ τὴν διάμετρον παραλληλόγραμμα τετράγωνά <lb n="1799,001,,,,2,4,48"></lb> ἐστιν].</s> <lb n="1799,001,,,,2,4,49"></lb> <s>Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,2,5,1"></lb> τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώ-<lb n="1799,001,,,,2,5,2"></lb> νιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου <lb n="1799,001,,,,2,5,3"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,5,4"></lb> <s>Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Γ, <lb n="1799,001,,,,2,5,5"></lb> εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ <lb n="1799,001,,,,2,5,6"></lb> περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετρα-<lb n="1799,001,,,,2,5,7"></lb> γώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,5,8"></lb> Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΒ, <lb n="1799,001,,,,2,5,9"></lb> καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ ὁποτέρᾳ τῶν ΓΕ, <lb n="1799,001,,,,2,5,10"></lb> ΒΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΗ, διὰ δὲ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,5,11"></lb> ΑΒ, ΕΖ παράλληλος πάλιν ἤχθω ἡ ΚΜ, καὶ πάλιν διὰ <lb n="1799,001,,,,2,5,12"></lb> τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΛ, ΒΜ <lb n="1799,001,,,,2,5,13"></lb> παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,2,5,14"></lb> ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ παρα-<lb n="1799,001,,,,2,5,15"></lb> πλήρωμα τῷ ΘΖ παραπλη-<lb n="1799,001,,,,2,5,16"></lb> ρώματι, κοινὸν προσκείσθω <lb n="1799,001,,,,2,5,17"></lb> τὸ ΔΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΜ <lb n="1799,001,,,,2,5,18"></lb> ὅλῳ τῷ ΔΖ ἴσον ἐστίν.</s> <s>ἀλλὰ <lb n="1799,001,,,,2,5,19"></lb> τὸ ΓΜ τῷ ΑΛ ἴσον ἐστίν, <lb n="1799,001,,,,2,5,20"></lb> ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ ἐστιν ἴση· καὶ τὸ ΑΛ ἄρα τῷ ΔΖ <lb n="1799,001,,,,2,5,21"></lb> ἴσον ἐστίν.</s> <s>κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΘ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΘ <lb n="1799,001,,,,2,5,22"></lb> τῷ ΜΝΞ γνώμονι ἴσον ἐστίν.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΑΘ τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,5,23"></lb> ΑΔ, ΔΒ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ ΔΘ τῇ ΔΒ· καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα <lb n="1799,001,,,,2,5,24"></lb> γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ.</s> <s>κοινὸν προσκείσθω <lb n="1799,001,,,,2,5,25"></lb> τὸ ΛΗ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ· ὁ ἄρα ΜΝΞ γνώ-<lb n="1799,001,,,,2,5,26"></lb> μων καὶ τὸ ΛΗ ἴσα ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχο-<lb n="1799,001,,,,2,5,27"></lb> μένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ.</s> <s>ἀλλὰ ὁ <lb n="1799,001,,,,2,5,28"></lb> ΜΝΞ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΓΕΖΒ τετρά-<lb n="1799,001,,,,2,5,29"></lb> γωνον, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,5,30"></lb> περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετρα-<lb n="1799,001,,,,2,5,31"></lb> γώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,5,32"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὸ <lb n="1799,001,,,,2,5,33"></lb> ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθο-<lb n="1799,001,,,,2,5,34"></lb> γώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου <lb n="1799,001,,,,2,5,35"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,2,5,36"></lb> <s>Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,2,6,1"></lb> εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ <lb n="1799,001,,,,2,6,2"></lb> καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,2,6,3"></lb> ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκει-<lb n="1799,001,,,,2,6,4"></lb> μένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,6,5"></lb> <s>Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα <lb n="1799,001,,,,2,6,6"></lb> κατὰ τὸ Γ σημεῖον, προσκείσθω δέ τις <lb n="1799,001,,,,2,6,7"></lb> αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας ἡ ΒΔ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,2,6,8"></lb> ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον <lb n="1799,001,,,,2,6,9"></lb> ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετρα-<lb n="1799,001,,,,2,6,10"></lb> γώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετρα-<lb n="1799,001,,,,2,6,11"></lb> γώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,6,12"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΔ, <lb n="1799,001,,,,2,6,13"></lb> καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β σημείου ὁποτέρᾳ <lb n="1799,001,,,,2,6,14"></lb> τῶν ΕΓ, ΔΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ, διὰ δὲ τοῦ Θ <lb n="1799,001,,,,2,6,15"></lb> σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΜ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,6,16"></lb> καὶ ἔτι διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΛ, ΔΜ παράλληλος ἤχθω <lb n="1799,001,,,,2,6,17"></lb> ἡ ΑΚ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,6,18"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΛ <lb n="1799,001,,,,2,6,19"></lb> τῷ ΓΘ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΓΘ τῷ ΘΖ ἴσον ἐστίν.</s> <s>καὶ τὸ ΑΛ ἄρα <lb n="1799,001,,,,2,6,20"></lb> τῷ ΘΖ ἐστιν ἴσον.</s> <s>κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΜ· ὅλον ἄρα <lb n="1799,001,,,,2,6,21"></lb> τὸ ΑΜ τῷ ΝΞΟ γνώμονί ἐστιν ἴσον.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΑΜ ἐστι <lb n="1799,001,,,,2,6,22"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΔΜ τῇ ΔΒ· καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,2,6,23"></lb> ΝΞΟ ἄρα γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ [περι-<lb n="1799,001,,,,2,6,24"></lb> εχομένῳ ὀρθογωνίῳ].</s> <s>κοινὸν προσκείσθω τὸ ΛΗ, ὅ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,2,6,25"></lb> ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,2,6,26"></lb> ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τε-<lb n="1799,001,,,,2,6,27"></lb> τραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ΝΞΟ γνώμονι καὶ τῷ ΛΗ.</s> <s>ἀλλὰ <lb n="1799,001,,,,2,6,28"></lb> ὁ ΝΞΟ γνώμων καὶ τὸ ΛΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΓΕΖΔ τετράγω-<lb n="1799,001,,,,2,6,29"></lb> νον, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περι-<lb n="1799,001,,,,2,6,30"></lb> εχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου <lb n="1799,001,,,,2,6,31"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,6,32"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις <lb n="1799,001,,,,2,6,33"></lb> αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκει-<lb n="1799,001,,,,2,6,34"></lb> μένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ <lb n="1799,001,,,,2,6,35"></lb> τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,2,6,36"></lb> συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης <lb n="1799,001,,,,2,6,37"></lb> τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,6,38"></lb> Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης <lb n="1799,001,,,,2,7,1"></lb> καὶ τὸ ἀφ' ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ συναμφότερα τετρά-<lb n="1799,001,,,,2,7,2"></lb> γωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου <lb n="1799,001,,,,2,7,3"></lb> τμήματος περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ <lb n="1799,001,,,,2,7,4"></lb> τμήματος τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,7,5"></lb> <s>Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ <lb n="1799,001,,,,2,7,6"></lb> τὸ Γ σημεῖον· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα <lb n="1799,001,,,,2,7,7"></lb> ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογω-<lb n="1799,001,,,,2,7,8"></lb> νίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,7,9"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ· <lb n="1799,001,,,,2,7,10"></lb> καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.</s> <lb n="1799,001,,,,2,7,11"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ ΗΕ, κοινὸν προσκείσθω <lb n="1799,001,,,,2,7,12"></lb> τὸ ΓΖ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΖ ὅλῳ τῷ ΓΕ ἴσον ἐστίν· τὰ ἄρα <lb n="1799,001,,,,2,7,13"></lb> ΑΖ, ΓΕ διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΖ.</s> <s>ἀλλὰ τὰ ΑΖ, ΓΕ ὁ ΚΛΜ <lb n="1799,001,,,,2,7,14"></lb> ἐστι γνώμων καὶ τὸ ΓΖ τετράγωνον· ὁ ΚΛΜ ἄρα γνώμων <lb n="1799,001,,,,2,7,15"></lb> καὶ τὸ ΓΖ διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΖ.</s> <s>ἔστι <lb n="1799,001,,,,2,7,16"></lb> δὲ τοῦ ΑΖ διπλάσιον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,7,17"></lb> ΑΒ, ΒΓ· ἴση γὰρ ἡ ΒΖ τῇ ΒΓ· ὁ ἄρα <lb n="1799,001,,,,2,7,18"></lb> ΚΛΜ γνώμων καὶ τὸ ΓΖ τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,2,7,19"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,7,20"></lb> <s>κοινὸν προσκείσθω τὸ ΔΗ, ὅ ἐστιν ἀπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,7,21"></lb> τῆς ΑΓ τετράγωνον· ὁ ἄρα ΚΛΜ γνώμων καὶ τὰ ΒΗ, <lb n="1799,001,,,,2,7,22"></lb> ΗΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,2,7,23"></lb> περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,7,24"></lb> <s>ἀλλὰ ὁ ΚΛΜ γνώμων καὶ τὰ ΒΗ, ΗΔ τετράγωνα ὅλον <lb n="1799,001,,,,2,7,25"></lb> ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ καὶ τὸ ΓΖ, ἅ ἐστιν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,2,7,26"></lb> τετράγωνα· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα ἴσα <lb n="1799,001,,,,2,7,27"></lb> ἐστὶ τῷ [τε] δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογω-<lb n="1799,001,,,,2,7,28"></lb> νίῳ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου.</s> <lb n="1799,001,,,,2,7,29"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,2,7,30"></lb> ὅλης καὶ τὸ ἀφ' ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ συναμφότερα <lb n="1799,001,,,,2,7,31"></lb> τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημέ-<lb n="1799,001,,,,2,7,32"></lb> νου τμήματος περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,2,7,33"></lb> λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,2,7,34"></lb> <s>Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ τετράκις ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,2,8,1"></lb> τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώ-<lb n="1799,001,,,,2,8,2"></lb> νιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου ἴσον <lb n="1799,001,,,,2,8,3"></lb> ἐστὶ τῷ ἀπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς <lb n="1799,001,,,,2,8,4"></lb> ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,8,5"></lb> <s>Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,2,8,6"></lb> Γ σημεῖον· λέγω, ὅτι τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περι-<lb n="1799,001,,,,2,8,7"></lb> εχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου <lb n="1799,001,,,,2,8,8"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, ΒΓ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι <lb n="1799,001,,,,2,8,9"></lb> τετραγώνῳ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,8,10"></lb> Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπ' εὐθείας [τῇ ΑΒ εὐθεῖα] ἡ ΒΔ, <lb n="1799,001,,,,2,8,11"></lb> καὶ κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,2,8,12"></lb> ΑΔ τετράγωνον τὸ ΑΕΖΔ, καὶ κατα- <lb n="1799,001,,,,2,8,13"></lb> γεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα.</s> <lb n="1799,001,,,,2,8,14"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ <lb n="1799,001,,,,2,8,15"></lb> ἡ μὲν ΓΒ τῇ ΗΚ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΒΔ τῇ <lb n="1799,001,,,,2,8,16"></lb> ΚΝ, καὶ ἡ ΗΚ ἄρα τῇ ΚΝ ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,2,8,17"></lb> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΡ τῇ ΡΟ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,2,8,18"></lb> ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΔ, ἡ <lb n="1799,001,,,,2,8,19"></lb> δὲ ΗΚ τῇ ΚΝ, ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ μὲν <lb n="1799,001,,,,2,8,20"></lb> ΓΚ τῷ ΚΔ, τὸ δὲ ΗΡ τῷ ΡΝ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,2,8,21"></lb> ΓΚ τῷ ΡΝ ἐστιν ἴσον· παραπληρώματα γὰρ τοῦ ΓΟ παραλ-<lb n="1799,001,,,,2,8,22"></lb> ληλογράμμου· καὶ τὸ ΚΔ ἄρα τῷ ΗΡ ἴσον ἐστίν· τὰ τέσ-<lb n="1799,001,,,,2,8,23"></lb> σαρα ἄρα τὰ ΔΚ, ΓΚ, ΗΡ, ΡΝ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.</s> <s>τὰ <lb n="1799,001,,,,2,8,24"></lb> τέσσαρα ἄρα τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ΓΚ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἴση <lb n="1799,001,,,,2,8,25"></lb> ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ ἡ μὲν ΒΔ τῇ ΒΚ, τουτέστι τῇ <lb n="1799,001,,,,2,8,26"></lb> ΓΗ ἴση, ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΗΚ, τουτέστι τῇ ΗΠ, ἐστιν ἴση, <lb n="1799,001,,,,2,8,27"></lb> καὶ ἡ ΓΗ ἄρα τῇ ΗΠ ἴση ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν <lb n="1799,001,,,,2,8,28"></lb> ΓΗ τῇ ΗΠ, ἡ δὲ ΠΡ τῇ ΡΟ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ μὲν ΑΗ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,8,29"></lb> τῷ ΜΠ, τὸ δὲ ΠΛ τῷ ΡΖ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΜΠ τῷ ΠΛ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,2,8,30"></lb> ἴσον· παραπληρώματα γὰρ τοῦ ΜΛ παραλληλογράμμου· <lb n="1799,001,,,,2,8,31"></lb> καὶ τὸ ΑΗ ἄρα τῷ ΡΖ ἴσον ἐστίν· τὰ τέσσαρα ἄρα τὰ ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,2,8,32"></lb> ΜΠ, ΠΛ, ΡΖ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· τὰ τέσσαρα ἄρα τοῦ <lb n="1799,001,,,,2,8,33"></lb> ΑΗ ἐστι τετραπλάσια.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ τὰ τέσσαρα τὰ <lb n="1799,001,,,,2,8,34"></lb> ΓΚ, ΚΔ, ΗΡ, ΡΝ τοῦ ΓΚ τετραπλάσια· τὰ ἄρα ὀκτώ, <lb n="1799,001,,,,2,8,35"></lb> ἃ περιέχει τὸν ΣΤΥ γνώμονα, τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΚ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,8,36"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΚ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ ΒΚ <lb n="1799,001,,,,2,8,37"></lb> τῇ ΒΔ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ τετραπλάσιόν <lb n="1799,001,,,,2,8,38"></lb> ἐστι τοῦ ΑΚ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ τοῦ ΑΚ τετραπλάσιος καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,2,8,39"></lb> ΣΤΥ γνώμων· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ ἴσον <lb n="1799,001,,,,2,8,40"></lb> ἐστὶ τῷ ΣΤΥ γνώμονι.</s> <s>κοινὸν προσκείσθω τὸ ΞΘ, ὅ <lb n="1799,001,,,,2,8,41"></lb> ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ· τὸ ἄρα τετράκις <lb n="1799,001,,,,2,8,42"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,2,8,43"></lb> ΑΓ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤΥ γνώμονι καὶ τῷ ΞΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,8,44"></lb> <s>ἀλλὰ ὁ ΣΤΥ γνώμων καὶ τὸ ΞΘ ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΕΖΔ <lb n="1799,001,,,,2,8,45"></lb> τετράγωνον, ὅ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΔ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,2,8,46"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΔ τετρα-<lb n="1799,001,,,,2,8,47"></lb> γώνῳ· ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΒΓ.</s> <s>τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,2,8,48"></lb> ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τετρα-<lb n="1799,001,,,,2,8,49"></lb> γώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,2,8,50"></lb> καὶ ΒΓ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,8,51"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ τετράκις <lb n="1799,001,,,,2,8,52"></lb> ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθο-<lb n="1799,001,,,,2,8,53"></lb> γώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,8,54"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος <lb n="1799,001,,,,2,8,55"></lb> ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,2,8,56"></lb> <s>Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὰ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,2,9,1"></lb> τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετράγωνα διπλάσιά ἐστι <lb n="1799,001,,,,2,9,2"></lb> τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,9,3"></lb> τομῶν τετραγώνου.</s> <lb n="1799,001,,,,2,9,4"></lb> <s>Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Γ, <lb n="1799,001,,,,2,9,5"></lb> εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ <lb n="1799,001,,,,2,9,6"></lb> τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,9,7"></lb> ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.</s> <lb n="1799,001,,,,2,9,8"></lb> <s>Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς <lb n="1799,001,,,,2,9,9"></lb> ὀρθὰς ἡ ΓΕ, καὶ κείσθω ἴση ἑκατέρᾳ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,9,10"></lb> ΑΓ, ΓΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ, <lb n="1799,001,,,,2,9,11"></lb> καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ τῇ ΕΓ παράλληλος ἤχθω <lb n="1799,001,,,,2,9,12"></lb> ἡ ΔΖ, διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,9,13"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ <lb n="1799,001,,,,2,9,14"></lb> γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΓ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Γ, <lb n="1799,001,,,,2,9,15"></lb> λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΕΑΓ, ΑΕΓ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν· καί <lb n="1799,001,,,,2,9,16"></lb> εἰσιν ἴσαι· ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,9,17"></lb> ΓΕΑ, ΓΑΕ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΒ, <lb n="1799,001,,,,2,9,18"></lb> ΕΒΓ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ ὀρθή <lb n="1799,001,,,,2,9,19"></lb> ἐστιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ <lb n="1799,001,,,,2,9,20"></lb> δὲ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ <lb n="1799,001,,,,2,9,21"></lb> ὑπὸ ΕΓΒ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΖΗ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· <lb n="1799,001,,,,2,9,22"></lb> ἴση ἄρα [ἐστὶν] ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΗ· ὥστε <lb n="1799,001,,,,2,9,23"></lb> καὶ πλευρὰ ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση.</s> <s>πάλιν ἐπεὶ ἡ πρὸς τῷ <lb n="1799,001,,,,2,9,24"></lb> Β γωνία ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ· ἴση <lb n="1799,001,,,,2,9,25"></lb> γὰρ πάλιν ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΓΒ· λοι-<lb n="1799,001,,,,2,9,26"></lb> πὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΖΔ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ἴση ἄρα ἡ πρὸς <lb n="1799,001,,,,2,9,27"></lb> τῷ Β γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΒ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΖΔ πλευ-<lb n="1799,001,,,,2,9,28"></lb> ρᾷ τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴσον <lb n="1799,001,,,,2,9,29"></lb> ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΓ τῷ ἀπὸ ΓΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,2,9,30"></lb> ΓΕ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΓ.</s> <s>τοῖς δὲ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,2,9,31"></lb> τῶν ΑΓ, ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ τετράγωνον· ὀρθὴ <lb n="1799,001,,,,2,9,32"></lb> γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιόν <lb n="1799,001,,,,2,9,33"></lb> ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ, <lb n="1799,001,,,,2,9,34"></lb> ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ· τὰ ἄρα ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,2,9,35"></lb> τῶν ΕΗ, ΗΖ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΖ <lb n="1799,001,,,,2,9,36"></lb> τετραγώνου.</s> <s>τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ τετραγώνοις ἴσον <lb n="1799,001,,,,2,9,37"></lb> ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,9,38"></lb> τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΖ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,2,9,39"></lb> ΗΖ τῇ ΓΔ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ διπλάσιόν ἐστι τοῦ <lb n="1799,001,,,,2,9,40"></lb> ἀπὸ τῆς ΓΔ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,2,9,41"></lb> τῆς ΑΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΖ τετράγωνα διπλάσιά <lb n="1799,001,,,,2,9,42"></lb> ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.</s> <s>τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,9,43"></lb> ΑΕ, ΕΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον· ὀρθὴ γάρ <lb n="1799,001,,,,2,9,44"></lb> ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΖ τετρά-<lb n="1799,001,,,,2,9,45"></lb> γωνον διπλάσιόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ.</s> <s>τῷ δὲ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,2,9,46"></lb> τῆς ΑΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΖ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ <lb n="1799,001,,,,2,9,47"></lb> γωνία· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΖ διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,2,9,48"></lb> τῶν ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΔΒ· τὰ ἄρα <lb n="1799,001,,,,2,9,49"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,9,50"></lb> ΑΓ, ΓΔ τετραγώνων.</s> <lb n="1799,001,,,,2,9,51"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὰ <lb n="1799,001,,,,2,9,52"></lb> ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετράγωνα διπλά-<lb n="1799,001,,,,2,9,53"></lb> σιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ <lb n="1799,001,,,,2,9,54"></lb> τῶν τομῶν τετραγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,2,9,55"></lb> <s>Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,2,10,1"></lb> εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ <lb n="1799,001,,,,2,10,2"></lb> καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα τετράγωνα <lb n="1799,001,,,,2,10,3"></lb> διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,10,4"></lb> συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης <lb n="1799,001,,,,2,10,5"></lb> ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου.</s> <lb n="1799,001,,,,2,10,6"></lb> <s>Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, προσ-<lb n="1799,001,,,,2,10,7"></lb> κείσθω δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας ἡ ΒΔ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,2,10,8"></lb> τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα δι-<lb n="1799,001,,,,2,10,9"></lb> πλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ <lb n="1799,001,,,,2,10,10"></lb> τετραγώνων.</s> <lb n="1799,001,,,,2,10,11"></lb> <s>Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ <lb n="1799,001,,,,2,10,12"></lb> ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΕ, καὶ κείσθω <lb n="1799,001,,,,2,10,13"></lb> ἴση ἑκατέρᾳ, τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ ἐπ-<lb n="1799,001,,,,2,10,14"></lb> εζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ· καὶ διὰ μὲν τοῦ Ε τῇ ΑΔ παράλ-<lb n="1799,001,,,,2,10,15"></lb> ληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΓΕ παράλληλος ἤχθω <lb n="1799,001,,,,2,10,16"></lb> ἡ ΖΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ΕΓ, ΖΔ εὐ-<lb n="1799,001,,,,2,10,17"></lb> θεῖά τις ἐνέπεσεν ἡ ΕΖ, αἱ ὑπὸ ΓΕΖ, ΕΖΔ ἄρα δυσὶν <lb n="1799,001,,,,2,10,18"></lb> ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· αἱ ἄρα ὑπὸ ΖΕΒ, ΕΖΔ δύο ὀρθῶν <lb n="1799,001,,,,2,10,19"></lb> ἐλάσσονές εἰσιν· αἱ δὲ ἀπ' ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλ-<lb n="1799,001,,,,2,10,20"></lb> λόμεναι συμπίπτουσιν· αἱ ἄρα ΕΒ, ΖΔ ἐκβαλλόμεναι <lb n="1799,001,,,,2,10,21"></lb> ἐπὶ τὰ Β, Δ μέρη συμπεσοῦνται.</s> <s>ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμ-<lb n="1799,001,,,,2,10,22"></lb> πιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,2,10,23"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΓ <lb n="1799,001,,,,2,10,24"></lb> τῇ ὑπὸ ΑΕΓ· καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Γ· ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς <lb n="1799,001,,,,2,10,25"></lb> [ἐστιν] ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΕΑΓ, ΑΕΓ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,2,10,26"></lb> ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ὀρθὴ <lb n="1799,001,,,,2,10,27"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡμίσεια ὀρθῆς ἐστιν ἡ <lb n="1799,001,,,,2,10,28"></lb> ὑπὸ Ε*βΓ, ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΗ.</s> <s>ἔστι δὲ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,10,29"></lb> καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΗ ὀρθή· ἴση γάρ ἐστι τῇ ὑπὸ ΔΓΕ· ἐναλλὰξ <lb n="1799,001,,,,2,10,30"></lb> γάρ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΗΒ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς· ἡ ἄρα <lb n="1799,001,,,,2,10,31"></lb> ὑπὸ ΔΗΒ τῇ ὑπὸ ΔΒΗ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ <lb n="1799,001,,,,2,10,32"></lb> πλευρᾷ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ ἡμίσειά <lb n="1799,001,,,,2,10,33"></lb> ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Ζ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ἀπεναν-<lb n="1799,001,,,,2,10,34"></lb> τίον τῇ πρὸς τῷ Γ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΗ ἡμίσειά ἐστιν <lb n="1799,001,,,,2,10,35"></lb> ὀρθῆς· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΕΗ· ὥστε <lb n="1799,001,,,,2,10,36"></lb> καὶ πλευρὰ ἡ ΗΖ πλευρᾷ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ [ἴση <lb n="1799,001,,,,2,10,37"></lb> ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΓΑ,] ἴσον ἐστὶ [καὶ] τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετρά-<lb n="1799,001,,,,2,10,38"></lb> γωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώνῳ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΓ, <lb n="1799,001,,,,2,10,39"></lb> ΓΑ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετραγώ-<lb n="1799,001,,,,2,10,40"></lb> νου.</s> <s>τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΓ, ΓΑ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ· <lb n="1799,001,,,,2,10,41"></lb> τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΑ τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,2,10,42"></lb> τῆς ΑΓ τετραγώνου.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ, <lb n="1799,001,,,,2,10,43"></lb> ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΕ· τὰ ἄρα <lb n="1799,001,,,,2,10,44"></lb> ἀπὸ τῶν ΗΖ, ΖΕ διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ.</s> <s>τοῖς <lb n="1799,001,,,,2,10,45"></lb> δὲ ἀπὸ τῶν ΗΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ· τὸ ἄρα <lb n="1799,001,,,,2,10,46"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ.</s> <s>ἴση <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,10,47"></lb> δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,2,10,48"></lb> διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,2,10,49"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,10,50"></lb> ΑΕ, ΕΗ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ <lb n="1799,001,,,,2,10,51"></lb> τετραγώνων.</s> <s>τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΗ τετραγώνοις ἴσον <lb n="1799,001,,,,2,10,52"></lb> ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τετράγωνον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΗ δι-<lb n="1799,001,,,,2,10,53"></lb> πλάσιόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ.</s> <s>τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΗ <lb n="1799,001,,,,2,10,54"></lb> ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΗ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΗ <lb n="1799,001,,,,2,10,55"></lb> [τετράγωνα] διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ [τετρα-<lb n="1799,001,,,,2,10,56"></lb> γώνων].</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΔΗ τῇ ΔΒ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ <lb n="1799,001,,,,2,10,57"></lb> [τετράγωνα] διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετρα-<lb n="1799,001,,,,2,10,58"></lb> γώνων.</s> <lb n="1799,001,,,,2,10,59"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα, προστεθῇ δέ τις <lb n="1799,001,,,,2,10,60"></lb> αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ' εὐθείας, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσ-<lb n="1799,001,,,,2,10,61"></lb> κειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης τὰ συναμφότερα <lb n="1799,001,,,,2,10,62"></lb> τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ <lb n="1799,001,,,,2,10,63"></lb> ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκει-<lb n="1799,001,,,,2,10,64"></lb> μένης ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντος τετραγώνου· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,2,10,65"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,2,10,66"></lb> <s>Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ <lb n="1799,001,,,,2,11,1"></lb> τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον <lb n="1799,001,,,,2,11,2"></lb> εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,11,3"></lb> Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΒ τεμεῖν <lb n="1799,001,,,,2,11,4"></lb> ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων <lb n="1799,001,,,,2,11,5"></lb> περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ <lb n="1799,001,,,,2,11,6"></lb> τμήματος τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,11,7"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΒΔΓ, <lb n="1799,001,,,,2,11,8"></lb> καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐπεζεύ-<lb n="1799,001,,,,2,11,9"></lb> χθω ἡ ΒΕ, καὶ διήχθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ <lb n="1799,001,,,,2,11,10"></lb> κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἀναγεγράφθω <lb n="1799,001,,,,2,11,11"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον τὸ ΖΘ, καὶ διήχθω <lb n="1799,001,,,,2,11,12"></lb> ἡ ΗΘ ἐπὶ τὸ Κ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ τέτμηται <lb n="1799,001,,,,2,11,13"></lb> κατὰ τὸ Θ, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ <lb n="1799,001,,,,2,11,14"></lb> περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,2,11,15"></lb> τῆς ΑΘ τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,11,16"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε, πρόσ-<lb n="1799,001,,,,2,11,17"></lb> κειται δὲ αὐτῇ ἡ ΖΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ περιεχό-<lb n="1799,001,,,,2,11,18"></lb> μενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετραγώνου <lb n="1799,001,,,,2,11,19"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ <lb n="1799,001,,,,2,11,20"></lb> ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον <lb n="1799,001,,,,2,11,21"></lb> ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ ἀπὸ ΕΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,11,22"></lb> ΒΑ, ΑΕ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,11,23"></lb> ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,11,24"></lb> ΒΑ, ΑΕ.</s> <s>κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ· λοιπὸν ἄρα <lb n="1799,001,,,,2,11,25"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,11,26"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.</s> <s>καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,2,11,27"></lb> ΓΖ, ΖΑ τὸ ΖΚ· ἴση γὰρ ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ· τὸ δὲ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,2,11,28"></lb> ΑΒ τὸ ΑΔ· τὸ ἄρα ΖΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΔ.</s> <s>κοινὸν ἀφῃρήσθω <lb n="1799,001,,,,2,11,29"></lb> τὸ ΑΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΘ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν.</s> <s>καί ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,2,11,30"></lb> μὲν ΘΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ· ἴση γὰρ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ· τὸ <lb n="1799,001,,,,2,11,31"></lb> δὲ ΖΘ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περι-<lb n="1799,001,,,,2,11,32"></lb> εχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΘΑ τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,11,33"></lb> <s>Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ ὥστε <lb n="1799,001,,,,2,11,34"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν <lb n="1799,001,,,,2,11,35"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΘΑ τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,2,11,36"></lb> <s>Ἐν τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ἀμβλεῖ-<lb n="1799,001,,,,2,12,1"></lb> αν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,2,12,2"></lb> τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν <lb n="1799,001,,,,2,12,3"></lb> τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν <lb n="1799,001,,,,2,12,4"></lb> ἀμβλεῖαν γωνίαν, ἐφ' ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπο-<lb n="1799,001,,,,2,12,5"></lb> λαμβανομένης ἐκτὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ἀμβλείᾳ <lb n="1799,001,,,,2,12,6"></lb> γωνίᾳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,12,7"></lb> <s>Ἔστω ἀμβλυγώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἀμβλεῖαν ἔχον <lb n="1799,001,,,,2,12,8"></lb> τὴν ὑπὸ ΒΑΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὴν ΓΑ <lb n="1799,001,,,,2,12,9"></lb> ἐκβληθεῖσαν κάθετος ἡ ΒΔ.</s> <s>λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ <lb n="1799,001,,,,2,12,10"></lb> τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετρα-<lb n="1799,001,,,,2,12,11"></lb> γώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,12,12"></lb> Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΓΑ τέτμηται, ὡς ἔτυχεν, κατὰ <lb n="1799,001,,,,2,12,13"></lb> τὸ Α σημεῖον, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,2,12,14"></lb> τῶν ΓΑ, ΑΔ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ <lb n="1799,001,,,,2,12,15"></lb> περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.</s> <s>κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,2,12,16"></lb> ΔΒ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς τε <lb n="1799,001,,,,2,12,17"></lb> ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς <lb n="1799,001,,,,2,12,18"></lb> ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ [περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ].</s> <lb n="1799,001,,,,2,12,19"></lb> <s>ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΒ ἴσον ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,2,12,20"></lb> ἀπὸ τῆς ΓΒ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία· <lb n="1799,001,,,,2,12,21"></lb> τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,2,12,22"></lb> ΑΒ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,2,12,23"></lb> τῶν ΓΑ, ΑΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ <lb n="1799,001,,,,2,12,24"></lb> περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγω-<lb n="1799,001,,,,2,12,25"></lb> νον τῶν ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ τετραγώνων μεῖζόν ἐστι τῷ δὶς <lb n="1799,001,,,,2,12,26"></lb> ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,12,27"></lb> <s>Ἐν ἄρα τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν <lb n="1799,001,,,,2,12,28"></lb> ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον μεῖ-<lb n="1799,001,,,,2,12,29"></lb> ζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχου-<lb n="1799,001,,,,2,12,30"></lb> σῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε <lb n="1799,001,,,,2,12,31"></lb> μιᾶς τῶν περὶ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν, ἐφ' ἣν ἡ κάθετος <lb n="1799,001,,,,2,12,32"></lb> πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐκτὸς ὑπὸ τῆς καθέτου <lb n="1799,001,,,,2,12,33"></lb> πρὸς τῇ ἀμβλείᾳ γωνίᾳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,12,34"></lb> Ἐν τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀξεῖαν <lb n="1799,001,,,,2,13,1"></lb> γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,2,13,2"></lb> τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν <lb n="1799,001,,,,2,13,3"></lb> τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ <lb n="1799,001,,,,2,13,4"></lb> τὴν ὀξεῖαν γωνίαν, ἐφ' ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπο-<lb n="1799,001,,,,2,13,5"></lb> λαμβανομένης ἐντὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ὀξείᾳ γωνίᾳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,13,6"></lb> <s>Ἔστω ὀξυγώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀξεῖαν <lb n="1799,001,,,,2,13,7"></lb> ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν, καὶ ἤχθω ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,2,13,8"></lb> τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ· <lb n="1799,001,,,,2,13,9"></lb> λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ἔλαττόν <lb n="1799,001,,,,2,13,10"></lb> ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τετραγώνων τῷ δὶς <lb n="1799,001,,,,2,13,11"></lb> ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,13,12"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΓΒ τέτμηται, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,2,13,13"></lb> Δ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,2,13,14"></lb> τε δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,2,13,15"></lb> ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ.</s> <s>κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,2,13,16"></lb> ΔΑ τετράγωνον· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ, ΔΑ τετρά-<lb n="1799,001,,,,2,13,17"></lb> γωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ <lb n="1799,001,,,,2,13,18"></lb> ὀρθογωνίῳ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ τετραγώνοις.</s> <s>ἀλλὰ <lb n="1799,001,,,,2,13,19"></lb> τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΒΔ, ΔΑ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ὀρθὴ γὰρ <lb n="1799,001,,,,2,13,20"></lb> ἡ πρὸς τῷ Δ γωνίᾳ· τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,2,13,21"></lb> τῆς ΑΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ ἴσα ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,2,13,22"></lb> ΑΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ· ὥστε μόνον τὸ ἀπὸ τῆς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,13,23"></lb> ΑΓ ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τετραγώνων τῷ <lb n="1799,001,,,,2,13,24"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,13,25"></lb> <s>Ἐν ἄρα τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀξεῖαν <lb n="1799,001,,,,2,13,26"></lb> γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,2,13,27"></lb> τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν <lb n="1799,001,,,,2,13,28"></lb> τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ <lb n="1799,001,,,,2,13,29"></lb> τὴν ὀξεῖαν γωνίαν, ἐφ' ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς <lb n="1799,001,,,,2,13,30"></lb> ἀπολαμβανομένης ἐντὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ὀξείᾳ <lb n="1799,001,,,,2,13,31"></lb> γωνίᾳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,2,13,32"></lb> <s>Τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,2,14,1"></lb> <s>Ἔστω τὸ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ Α· δεῖ δὴ τῷ Α εὐθυ-<lb n="1799,001,,,,2,14,2"></lb> γράμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,2,14,3"></lb> <s>Συνεστάτω γὰρ τῷ Α εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,2,14,4"></lb> γραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΒΔ· εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ <lb n="1799,001,,,,2,14,5"></lb> τῇ ΕΔ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν.</s> <s>συνέσταται γὰρ τῷ <lb n="1799,001,,,,2,14,6"></lb> Α εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον τὸ <lb n="1799,001,,,,2,14,7"></lb> ΒΔ· εἰ δὲ οὔ, μία τῶν ΒΕ, ΕΔ <lb n="1799,001,,,,2,14,8"></lb> μείζων ἐστίν.</s> <s>ἔστω μείζων ἡ ΒΕ, <lb n="1799,001,,,,2,14,9"></lb> καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω <lb n="1799,001,,,,2,14,10"></lb> τῇ ΕΔ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΖ <lb n="1799,001,,,,2,14,11"></lb> δίχα κατὰ τὸ Η, καὶ κέντρῳ τῷ Η, <lb n="1799,001,,,,2,14,12"></lb> διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΗΒ, ΗΖ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,14,13"></lb> ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΘΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΕ <lb n="1799,001,,,,2,14,14"></lb> ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,14,15"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΒΖ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Η, <lb n="1799,001,,,,2,14,16"></lb> εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ε, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ περι-<lb n="1799,001,,,,2,14,17"></lb> εχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνου <lb n="1799,001,,,,2,14,18"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ τετραγώνῳ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ <lb n="1799,001,,,,2,14,19"></lb> ΗΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΕ <lb n="1799,001,,,,2,14,20"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ.</s> <s>τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΘ ἴσα ἐστὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,2,14,21"></lb> ἀπὸ τῶν ΘΕ, ΕΗ τετράγωνα· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ <lb n="1799,001,,,,2,14,22"></lb> μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΕ, ΕΗ.</s> <s>κοι-<lb n="1799,001,,,,2,14,23"></lb> νὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΗΕ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα <lb n="1799,001,,,,2,14,24"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,2,14,25"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ τετραγώνῳ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΖ τὸ <lb n="1799,001,,,,2,14,26"></lb> ΒΔ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ ΕΖ τῇ ΕΔ· τὸ ἄρα ΒΔ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,2,14,27"></lb> γραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΕ τετραγώνῳ.</s> <s>ἴσον δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,2,14,28"></lb> ΒΔ τῷ Α εὐθυγράμμῳ.</s> <s>καὶ τὸ Α ἄρα εὐθύγραμμον ἴσον <lb n="1799,001,,,,2,14,29"></lb> ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ ἀναγραφησομένῳ τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,2,14,30"></lb> <s>Τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Α ἴσον τετράγωνον συν-<lb n="1799,001,,,,2,14,31"></lb> έσταται τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ ἀναγραφησόμενον· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,2,14,32"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Ἴσοι κύκλοι εἰσίν, ὧν αἱ διάμετροι ἴσαι εἰσίν, ἢ ὧν <lb n="1799,001,,,,3;HOR,1,1"></lb> αἱ ἐκ τῶν κέντρων ἴσαι εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3;HOR,1,2"></lb> <s>Εὐθεῖα κύκλου ἐφάπτεσθαι λέγεται, ἥτις ἁπτομένη <lb n="1799,001,,,,3;HOR,2,1"></lb> τοῦ κύκλου καὶ ἐκβαλλομένη οὐ τέμνει τὸν κύκλον.</s> <lb n="1799,001,,,,3;HOR,2,2"></lb> <s>Κύκλοι ἐφάπτεσθαι ἀλλήλων λέγονται οἵτινες ἁπτό-<lb n="1799,001,,,,3;HOR,3,1"></lb> μενοι ἀλλήλων οὐ τέμνουσιν ἀλλήλους.</s> <lb n="1799,001,,,,3;HOR,3,2"></lb> <s>Ἐν κύκλῳ ἴσον ἀπέχειν ἀπὸ τοῦ κέντρου εὐθεῖαι <lb n="1799,001,,,,3;HOR,4,1"></lb> λέγονται, ὅταν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπ' αὐτὰς κάθετοι <lb n="1799,001,,,,3;HOR,4,2"></lb> ἀγόμεναι ἴσαι ὦσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,3;HOR,4,3"></lb> <s>Μεῖζον δὲ ἀπέχειν λέγεται, ἐφ' ἣν ἡ μείζων κάθετος <lb n="1799,001,,,,3;HOR,5,1"></lb> πίπτει.</s> <lb n="1799,001,,,,3;HOR,5,2"></lb> <s>Τμῆμα κύκλου ἐστὶ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε <lb n="1799,001,,,,3;HOR,6,1"></lb> εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας.</s> <lb n="1799,001,,,,3;HOR,6,2"></lb> <s>Τμήματος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ περιεχομένη ὑπό τε <lb n="1799,001,,,,3;HOR,7,1"></lb> εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας.</s> <lb n="1799,001,,,,3;HOR,7,2"></lb> <s>Ἐν τμήματι δὲ γωνία ἐστίν, ὅταν ἐπὶ τῆς περιφερείας <lb n="1799,001,,,,3;HOR,8,1"></lb> τοῦ τμήματος ληφθῇ τι σημεῖον καὶ ἀπ' αὐτοῦ ἐπὶ τὰ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3;HOR,8,2"></lb> πέρατα τῆς εὐθείας, ἥ ἐστι βάσις τοῦ τμήματος, ἐπιζευ-<lb n="1799,001,,,,3;HOR,8,3"></lb> χθῶσιν εὐθεῖαι, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν ἐπιζευ-<lb n="1799,001,,,,3;HOR,8,4"></lb> χθεισῶν εὐθειῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,3;HOR,8,5"></lb> <s>Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν εὐθεῖαι ἀπο-<lb n="1799,001,,,,3;HOR,9,1"></lb> λαμβάνωσί τινα περιφέρειαν, ἐπ' ἐκείνης λέγεται βεβη-<lb n="1799,001,,,,3;HOR,9,2"></lb> κέναι ἡ γωνία.</s> <lb n="1799,001,,,,3;HOR,9,3"></lb> <s>Τομεὺς δὲ κύκλου ἐστίν, ὅταν πρὸς τῷ κέντρῳ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3;HOR,10,1"></lb> κύκλου συσταθῇ γωνία, τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε <lb n="1799,001,,,,3;HOR,10,2"></lb> τῶν τὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ τῆς ἀπολαμ-<lb n="1799,001,,,,3;HOR,10,3"></lb> βανομένης ὑπ' αὐτῶν περιφερείας.</s> <lb n="1799,001,,,,3;HOR,10,4"></lb> <s>Ὅμοια τμήματα κύκλων ἐστὶ τὰ δεχόμενα γωνίας <lb n="1799,001,,,,3;HOR,11,1"></lb> ἴσας, ἢ ἐν οἷς αἱ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3;HOR,11,2"></lb> <s></s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Τοῦ δοθέντος κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,1,1"></lb> <s> Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ· δεῖ δὴ τοῦ ΑΒΓ κύκλου <lb n="1799,001,,,,3,1,2"></lb> τὸ κέντρον εὑρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,1,3"></lb> <s>Διήχθω τις εἰς αὐτόν, ὡς ἔτυχεν, εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,1,4"></lb> τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,3,1,5"></lb> πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΓ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,3,1,6"></lb> Ε, καὶ τετμήσθω ἡ ΓΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ· <lb n="1799,001,,,,3,1,7"></lb> λέγω, ὅτι τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,3,1,8"></lb> [κύκλου].</s> <lb n="1799,001,,,,3,1,9"></lb> <s>Μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Η, <lb n="1799,001,,,,3,1,10"></lb> καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΑ, ΗΔ, ΗΒ.</s> <s>καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,1,11"></lb> ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΔΗ, δύο δὴ αἱ <lb n="1799,001,,,,3,1,12"></lb> ΑΔ, ΔΗ δύο ταῖς ΗΔ, ΔΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· <lb n="1799,001,,,,3,1,13"></lb> καὶ βάσις ἡ ΗΑ βάσει τῇ ΗΒ ἐστιν ἴση· ἐκ κέντρου <lb n="1799,001,,,,3,1,14"></lb> γάρ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ ἴση <lb n="1799,001,,,,3,1,15"></lb> ἐστίν.</s> <s>ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς <lb n="1799,001,,,,3,1,16"></lb> γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γω-<lb n="1799,001,,,,3,1,17"></lb> νιῶν ἐστιν· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΔΒ.</s> <s>ἐστὶ δὲ καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,3,1,18"></lb> ὑπὸ ΖΔΒ ὀρθή· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΔΒ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ, ἡ <lb n="1799,001,,,,3,1,19"></lb> μείζων τῇ ἐλάττονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα τὸ Η <lb n="1799,001,,,,3,1,20"></lb> κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι <lb n="1799,001,,,,3,1,21"></lb> οὐδ' ἄλλο τι πλὴν τοῦ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,1,22"></lb> <s>Τὸ Ζ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ [κύκλου].</s> <lb n="1799,001,,,,3,1,23"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,3,1,24"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις <lb n="1799,001,,,,3,1,25"></lb> εὐθεῖάν τινα δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ, ἐπὶ τῆς τεμνού-<lb n="1799,001,,,,3,1,26"></lb> σης ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,1,27"></lb> <s>Ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας ληφθῇ δύο τυχόντα <lb n="1799,001,,,,3,2,1"></lb> σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς <lb n="1799,001,,,,3,2,2"></lb> πεσεῖται τοῦ κύκλου.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,2,3"></lb> Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ <lb n="1799,001,,,,3,2,4"></lb> εἰλήφθω δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Β· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,3,2,5"></lb> τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,2,6"></lb> κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,3,2,7"></lb> <s>Μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, πιπτέτω ἐκτὸς ὡς ἡ ΑΕΒ, <lb n="1799,001,,,,3,2,8"></lb> καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ <lb n="1799,001,,,,3,2,9"></lb> Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΔΒ, καὶ διήχθω ἡ ΔΖΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,2,10"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ, ἴση <lb n="1799,001,,,,3,2,11"></lb> ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,2,12"></lb> ΔΒΕ· καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΑΕ <lb n="1799,001,,,,3,2,13"></lb> μία πλευρὰ προσεκβέβληται ἡ ΑΕΒ, <lb n="1799,001,,,,3,2,14"></lb> μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ γωνία τῆς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,2,15"></lb> ΔΑΕ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΒΕ· <lb n="1799,001,,,,3,2,16"></lb> μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΒΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,2,17"></lb> <s>ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων <lb n="1799,001,,,,3,2,18"></lb> πλευρὰ ὑποτείνει· μείζων ἄρα ἡ ΔΒ τῆς ΔΕ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,3,2,19"></lb> ΔΒ τῇ ΔΖ.</s> <s>μείζων ἄρα ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ ἡ ἐλάττων τῆς <lb n="1799,001,,,,3,2,20"></lb> μείζονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,3,2,21"></lb> τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,3,2,22"></lb> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἐπ' αὐτῆς τῆς περιφερείας· <lb n="1799,001,,,,3,2,23"></lb> ἐντὸς ἄρα.</s> <lb n="1799,001,,,,3,2,24"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα κύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας ληφθῇ δύο τυχόντα <lb n="1799,001,,,,3,2,25"></lb> σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖ-<lb n="1799,001,,,,3,2,26"></lb> ται τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,2,27"></lb> Ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου εὐθεῖάν τινα <lb n="1799,001,,,,3,3,1"></lb> μὴ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνῃ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν <lb n="1799,001,,,,3,3,2"></lb> τέμνει· καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν <lb n="1799,001,,,,3,3,3"></lb> τέμνει.</s> <lb n="1799,001,,,,3,3,4"></lb> <s>Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐν αὐτῷ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,3,5"></lb> κέντρου ἡ ΓΔ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΒ <lb n="1799,001,,,,3,3,6"></lb> δίχα τεμνέτω κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· λέγω, ὅτι καὶ πρὸς <lb n="1799,001,,,,3,3,7"></lb> ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει.</s> <lb n="1799,001,,,,3,3,8"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω <lb n="1799,001,,,,3,3,9"></lb> τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,3,10"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο <lb n="1799,001,,,,3,3,11"></lb> δυσὶν ἴσαι [εἰσίν].</s> <s>καὶ βάσις ἡ ΕΑ βάσει τῇ ΕΒ ἴση· <lb n="1799,001,,,,3,3,12"></lb> γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,3,13"></lb> <s>ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας <lb n="1799,001,,,,3,3,14"></lb> ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν· <lb n="1799,001,,,,3,3,15"></lb> ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΖΕ, ΒΖΕ ὀρθή ἐστιν.</s> <s>ἡ ΓΔ ἄρα <lb n="1799,001,,,,3,3,16"></lb> διὰ τοῦ κέντρου οὖσα τὴν ΑΒ μὴ διὰ τοῦ κέντρου <lb n="1799,001,,,,3,3,17"></lb> οὖσαν δίχα τέμνουσα καὶ πρὸς ὀρθὰς <lb n="1799,001,,,,3,3,18"></lb> τέμνει.</s> <lb n="1799,001,,,,3,3,19"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ ἡ ΓΔ τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς <lb n="1799,001,,,,3,3,20"></lb> τεμνέτω· λέγω, ὅτι καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει, <lb n="1799,001,,,,3,3,21"></lb> τουτέστιν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,3,22"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,3,3,23"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,3,24"></lb> ἡ ὑπὸ ΕΑΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΖ.</s> <s>ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΖΕ <lb n="1799,001,,,,3,3,25"></lb> ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση· δύο ἄρα τρίγωνά ἐστι τὰ ΕΑΖ, <lb n="1799,001,,,,3,3,26"></lb> ΕΖΒ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν <lb n="1799,001,,,,3,3,27"></lb> πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΕΖ ὑποτείνου-<lb n="1799,001,,,,3,3,28"></lb> σαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς <lb n="1799,001,,,,3,3,29"></lb> ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει· ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,3,30"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου εὐθεῖάν <lb n="1799,001,,,,3,3,31"></lb> τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνῃ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐ-<lb n="1799,001,,,,3,3,32"></lb> τὴν τέμνει· καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα <lb n="1799,001,,,,3,3,33"></lb> αὐτὴν τέμνει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,3,34"></lb> <s>Ἐὰν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ διὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,4,1"></lb> κέντρου οὖσαι, οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.</s> <lb n="1799,001,,,,3,4,2"></lb> <s>Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,3,4,3"></lb> δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,3,4,4"></lb> λας κατὰ τὸ Ε μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι· <lb n="1799,001,,,,3,4,5"></lb> λέγω, ὅτι οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.</s> <lb n="1799,001,,,,3,4,6"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, τεμνέτωσαν ἀλλήλας <lb n="1799,001,,,,3,4,7"></lb> δίχα ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, <lb n="1799,001,,,,3,4,8"></lb> τὴν δὲ ΒΕ τῇ ΕΔ· καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,3,4,9"></lb> κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,4,10"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΖΕ εὐθεῖάν τινα <lb n="1799,001,,,,3,4,11"></lb> μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ δίχα τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,4,12"></lb> αὐτὴν τέμνει· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕΑ· πάλιν, ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,3,4,13"></lb> εὐθεῖά τις ἡ ΖΕ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΔ δίχα τέμνει, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,4,14"></lb> πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΒ.</s> <s>ἐδείχθη <lb n="1799,001,,,,3,4,15"></lb> δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΑ ὀρθή· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΑ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,4,16"></lb> ΖΕΒ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ <lb n="1799,001,,,,3,4,17"></lb> ἄρα αἱ ΑΓ, ΒΔ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.</s> <lb n="1799,001,,,,3,4,18"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ διὰ <lb n="1799,001,,,,3,4,19"></lb> τοῦ κέντρου οὖσαι, οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,3,4,20"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,4,21"></lb> <s>Ἐὰν δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, οὐκ ἔσται αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,3,5,1"></lb> τὸ αὐτὸ κέντρον.</s> <lb n="1799,001,,,,3,5,2"></lb> <s>Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΗ τεμνέτωσαν ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,3,5,3"></lb> κατὰ τὰ Β, Γ σημεῖα.</s> <s>λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ <lb n="1799,001,,,,3,5,4"></lb> κέντρον.</s> <lb n="1799,001,,,,3,5,5"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,5,6"></lb> διήχθω ἡ ΕΖΗ, ὡς ἔτυχεν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέν-<lb n="1799,001,,,,3,5,7"></lb> τρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΖ.</s> <s>πάλιν, <lb n="1799,001,,,,3,5,8"></lb> ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΗ <lb n="1799,001,,,,3,5,9"></lb> κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΗ· ἐδείχθη <lb n="1799,001,,,,3,5,10"></lb> δὲ ἡ ΕΓ καὶ τῇ ΕΖ ἴση· καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ <lb n="1799,001,,,,3,5,11"></lb> ΕΗ ἐστιν ἴση ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,3,5,12"></lb> ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα τὸ Ε σημεῖον <lb n="1799,001,,,,3,5,13"></lb> κέντρον ἐστὶ τῶν ΑΒΓ, ΓΔΗ κύκλων.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,5,14"></lb> Ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, οὐκ ἔστιν <lb n="1799,001,,,,3,5,15"></lb> αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,5,16"></lb> <s>Ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, οὐκ ἔσται αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,3,6,1"></lb> τὸ αὐτὸ κέντρον.</s> <lb n="1799,001,,,,3,6,2"></lb> <s>Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων <lb n="1799,001,,,,3,6,3"></lb> κατὰ τὸ Γ σημεῖον· λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ <lb n="1799,001,,,,3,6,4"></lb> κέντρον.</s> <lb n="1799,001,,,,3,6,5"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ, <lb n="1799,001,,,,3,6,6"></lb> καὶ διήχθω, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΖΕΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,6,7"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον <lb n="1799,001,,,,3,6,8"></lb> ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΓ <lb n="1799,001,,,,3,6,9"></lb> τῇ ΖΒ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ τὸ Ζ σημεῖον κέν-<lb n="1799,001,,,,3,6,10"></lb> τρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,3,6,11"></lb> ἡ ΖΓ τῇ ΖΕ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ <lb n="1799,001,,,,3,6,12"></lb> ἴση· καὶ ἡ ΖΕ ἄρα τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση, ἡ <lb n="1799,001,,,,3,6,13"></lb> ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνα-<lb n="1799,001,,,,3,6,14"></lb> τον.</s> <s>οὐκ ἄρα τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,3,6,15"></lb> τῶν ΑΒΓ, ΓΔΕ κύκλων.</s> <lb n="1799,001,,,,3,6,16"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, οὐκ ἔσται <lb n="1799,001,,,,3,6,17"></lb> αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,6,18"></lb> Ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον, ὃ μή <lb n="1799,001,,,,3,7,1"></lb> ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,3,7,2"></lb> κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες, μεγίστη μὲν ἔσται, <lb n="1799,001,,,,3,7,3"></lb> ἐφ' ἧς τὸ κέντρον, ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή, τῶν δὲ ἄλλων <lb n="1799,001,,,,3,7,4"></lb> ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων <lb n="1799,001,,,,3,7,5"></lb> ἐστίν, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται <lb n="1799,001,,,,3,7,6"></lb> πρὸς τὸν κύκλον ἐφ' ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης.</s> <lb n="1799,001,,,,3,7,7"></lb> <s>Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ <lb n="1799,001,,,,3,7,8"></lb> ΑΔ, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΔ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ Ζ, ὃ μή ἐστι <lb n="1799,001,,,,3,7,9"></lb> κέντρον τοῦ κύκλου, κέντρον δὲ τοῦ κύκλου ἔστω τὸ Ε, <lb n="1799,001,,,,3,7,10"></lb> καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον προσπιπτέτωσαν <lb n="1799,001,,,,3,7,11"></lb> εὐθεῖαί τινες αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΗ· λέγω, ὅτι μεγίστη μέν <lb n="1799,001,,,,3,7,12"></lb> ἐστιν ἡ ΖΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΖΔ, τῶν δὲ <lb n="1799,001,,,,3,7,13"></lb> ἄλλων ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΓ μείζων, ἡ δὲ <lb n="1799,001,,,,3,7,14"></lb> ΖΓ τῆς ΖΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,7,15"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΕ, ΗΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,7,16"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ <lb n="1799,001,,,,3,7,17"></lb> τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν, αἱ ἄρα ΕΒ, <lb n="1799,001,,,,3,7,18"></lb> ΕΖ τῆς ΒΖ μείζονές εἰσιν.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΑΕ <lb n="1799,001,,,,3,7,19"></lb> τῇ ΒΕ [αἱ ἄρα ΒΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶ τῇ <lb n="1799,001,,,,3,7,20"></lb> ΑΖ]· μείζων ἄρα ἡ ΑΖ τῆς ΒΖ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,3,7,21"></lb> ΒΕ τῇ ΓΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο δὴ αἱ ΒΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς <lb n="1799,001,,,,3,7,22"></lb> ΓΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν.</s> <s>ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίας <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,7,23"></lb> τῆς ὑπὸ ΓΕΖ μείζων.</s> <s>βάσις ἄρα ἡ ΒΖ βάσεως τῆς <lb n="1799,001,,,,3,7,24"></lb> ΓΖ μείζων ἐστίν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΗ <lb n="1799,001,,,,3,7,25"></lb> μείζων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,7,26"></lb> <s>Πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΗΖ, ΖΕ τῆς ΕΗ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ <lb n="1799,001,,,,3,7,27"></lb> ἡ ΕΗ τῇ ΕΔ, αἱ ἄρα ΗΖ, ΖΕ τῆς ΕΔ μείζονές εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,7,28"></lb> <s>κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΕΖ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ λοιπῆς τῆς ΖΔ <lb n="1799,001,,,,3,7,29"></lb> μείζων ἐστίν.</s> <s>μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΖΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΖΔ, <lb n="1799,001,,,,3,7,30"></lb> μείζων δὲ ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΓ, ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,7,31"></lb> <s>Λέγω, ὅτι καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου δύο μόνον ἴσαι προσ-<lb n="1799,001,,,,3,7,32"></lb> πεσοῦνται πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον ἐφ' ἑκάτερα τῆς ΖΔ <lb n="1799,001,,,,3,7,33"></lb> ἐλαχίστης.</s> <s>συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΕΖ εὐθείᾳ καὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,3,7,34"></lb> πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ε τῇ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,7,35"></lb> ΖΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΘ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ <lb n="1799,001,,,,3,7,36"></lb> ΕΘ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΗΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΘΕ, <lb n="1799,001,,,,3,7,37"></lb> ΕΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ <lb n="1799,001,,,,3,7,38"></lb> ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἴση ἐστίν.</s> <s>λέγω δή, ὅτι <lb n="1799,001,,,,3,7,39"></lb> τῇ ΖΗ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,3,7,40"></lb> τοῦ Ζ σημείου.</s> <s>εἰ γὰρ δυνατόν, προσπιπτέτω ἡ ΖΚ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,3,7,41"></lb> ἐπεὶ ἡ ΖΚ τῇ ΖΗ ἴση ἐστίν, ἀλλὰ ἡ ΖΘ τῇ ΖΗ [ἴση ἐστίν], <lb n="1799,001,,,,3,7,42"></lb> καὶ ἡ ΖΚ ἄρα τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση, ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέν-<lb n="1799,001,,,,3,7,43"></lb> τρου τῇ ἀπώτερον ἴση· ὅπερ ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,7,44"></lb> Ζ σημείου ἑτέρα τις προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἴση <lb n="1799,001,,,,3,7,45"></lb> τῇ ΗΖ· μία ἄρα μόνη.</s> <lb n="1799,001,,,,3,7,46"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον, <lb n="1799,001,,,,3,7,47"></lb> ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς <lb n="1799,001,,,,3,7,48"></lb> τὸν κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες, μεγίστη μὲν <lb n="1799,001,,,,3,7,49"></lb> ἔσται, ἐφ' ἧς τὸ κέντρον, ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή, τῶν δὲ <lb n="1799,001,,,,3,7,50"></lb> ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον <lb n="1799,001,,,,3,7,51"></lb> μείζων ἐστίν, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου <lb n="1799,001,,,,3,7,52"></lb> προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφ' ἑκάτερα τῆς ἐλαχί-<lb n="1799,001,,,,3,7,53"></lb> στης· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,7,54"></lb> <s>Ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ ση-<lb n="1799,001,,,,3,8,1"></lb> μείου πρὸς τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαί τινες, ὧν μία <lb n="1799,001,,,,3,8,2"></lb> μὲν διὰ τοῦ κέντρου, αἱ δὲ λοιπαί, ὡς ἔτυχεν, τῶν μὲν <lb n="1799,001,,,,3,8,3"></lb> πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν <lb n="1799,001,,,,3,8,4"></lb> μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,3,8,5"></lb> ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, <lb n="1799,001,,,,3,8,6"></lb> τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν <lb n="1799,001,,,,3,8,7"></lb> εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ <lb n="1799,001,,,,3,8,8"></lb> τῆς διαμέτρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,8,9"></lb> τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων, δύο δὲ <lb n="1799,001,,,,3,8,10"></lb> μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦν-<lb n="1799,001,,,,3,8,11"></lb> ται πρὸς τὸν κύκλον ἐφ' ἑκάτερα τῆς <lb n="1799,001,,,,3,8,12"></lb> ἐλαχίστης.</s> <lb n="1799,001,,,,3,8,13"></lb> <s>Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ τοῦ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,3,8,14"></lb> εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,8,15"></lb> ἀπ' αὐτοῦ διήχθωσαν εὐθεῖαί τινες αἱ <lb n="1799,001,,,,3,8,16"></lb> ΔΑ, ΔΕ, ΔΖ, ΔΓ, ἔστω δὲ ἡ ΔΑ διὰ <lb n="1799,001,,,,3,8,17"></lb> τοῦ κέντρου.</s> <s>λέγω, ὅτι τῶν μὲν πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,3,8,18"></lb> ΑΕΖΓ κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν με-<lb n="1799,001,,,,3,8,19"></lb> γίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΔΑ, μείζων δὲ ἡ μὲν <lb n="1799,001,,,,3,8,20"></lb> ΔΕ τῆς ΔΖ ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΓ, τῶν δὲ πρὸς τὴν ΘΛΚΗ <lb n="1799,001,,,,3,8,21"></lb> κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν <lb n="1799,001,,,,3,8,22"></lb> ἐστιν ἡ ΔΗ ἡ μεταξὺ τοῦ σημείου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς <lb n="1799,001,,,,3,8,23"></lb> ΑΗ, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ΔΗ ἐλαχίστης ἐλάττων ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,3,8,24"></lb> τῆς ἀπώτερον, ἡ μὲν ΔΚ τῆς ΔΛ, ἡ δὲ ΔΛ τῆς ΔΘ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,8,25"></lb> Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου καὶ ἔστω <lb n="1799,001,,,,3,8,26"></lb> τὸ Μ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΕ, ΜΖ, ΜΓ, ΜΚ, ΜΛ, <lb n="1799,001,,,,3,8,27"></lb> ΜΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,8,28"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΕΜ, κοινὴ προσκείσθω ἡ <lb n="1799,001,,,,3,8,29"></lb> ΜΔ· ἡ ἄρα ΑΔ ἴση ἐστὶ ταῖς ΕΜ, ΜΔ.</s> <s>ἀλλ' αἱ ΕΜ, <lb n="1799,001,,,,3,8,30"></lb> ΜΔ τῆς ΕΔ μείζονές εἰσιν· καὶ ἡ ΑΔ ἄρα τῆς ΕΔ μεί-<lb n="1799,001,,,,3,8,31"></lb> ζων ἐστίν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΕ τῇ Μ*ζ, κοινὴ δὲ <lb n="1799,001,,,,3,8,32"></lb> ἡ ΜΔ, αἱ ΕΜ, ΜΔ ἄρα ταῖς ΖΜ, ΜΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ <lb n="1799,001,,,,3,8,33"></lb> γωνία ἡ ὑπὸ ΕΜΔ γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΜΔ μείζων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,8,34"></lb> <s>βάσις ἄρα ἡ ΕΔ βάσεως τῆς ΖΔ μείζων ἐστίν.</s> <s>ὁμοίως δὴ <lb n="1799,001,,,,3,8,35"></lb> δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΖΔ τῆς ΓΔ μείζων ἐστίν· μεγίστη μὲν <lb n="1799,001,,,,3,8,36"></lb> ἄρα ἡ ΔΑ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΔΕ τῆς ΔΖ, ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,8,37"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ αἱ ΜΚ, ΚΔ τῆς ΜΔ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,3,8,38"></lb> ΜΗ τῇ ΜΚ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΔ λοιπῆς τῆς ΗΔ μείζων <lb n="1799,001,,,,3,8,39"></lb> ἐστίν· ὥστε ἡ ΗΔ τῆς ΚΔ ἐλάττων ἐστίν· καὶ ἐπεὶ τρι-<lb n="1799,001,,,,3,8,40"></lb> γώνου τοῦ ΜΛΔ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς ΜΔ δύο <lb n="1799,001,,,,3,8,41"></lb> εὐθεῖαι ἐντὸς συνεστάθησαν αἱ ΜΚ, ΚΔ, αἱ ἄρα ΜΚ, <lb n="1799,001,,,,3,8,42"></lb> ΚΔ τῶν ΜΛ, ΛΔ ἐλάττονές εἰσιν· ἴση δὲ ἡ ΜΚ τῇ ΜΛ· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,8,43"></lb> λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΚ λοιπῆς τῆς ΔΛ ἐλάττων ἐστίν.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,3,8,44"></lb> δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΔΛ τῆς ΔΘ ἐλάττων ἐστίν· ἐλαχί-<lb n="1799,001,,,,3,8,45"></lb> στη μὲν ἄρα ἡ ΔΗ, ἐλάττων δὲ ἡ μὲν ΔΚ τῆς ΔΛ ἡ δὲ <lb n="1799,001,,,,3,8,46"></lb> ΔΛ τῆς ΔΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,8,47"></lb> <s>Λέγω, ὅτι καὶ δύο μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ Δ σημείου προσ-<lb n="1799,001,,,,3,8,48"></lb> πεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφ' ἑκάτερα τῆς ΔΗ ἐλαχί-<lb n="1799,001,,,,3,8,49"></lb> στης· συνεστάτω πρὸς τῇ ΜΔ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,3,8,50"></lb> σημείῳ τῷ Μ τῇ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΔΜΒ <lb n="1799,001,,,,3,8,51"></lb> καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΚ τῇ ΜΒ, <lb n="1799,001,,,,3,8,52"></lb> κοινὴ δὲ ἡ ΜΔ, δύο δὴ αἱ ΚΜ, ΜΔ δύο ταῖς ΒΜ, ΜΔ <lb n="1799,001,,,,3,8,53"></lb> ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ <lb n="1799,001,,,,3,8,54"></lb> τῇ ὑπὸ ΒΜΔ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΔΚ βάσει τῇ ΔΒ ἴση <lb n="1799,001,,,,3,8,55"></lb> ἐστίν.</s> <s>λέγω [δή], ὅτι τῇ ΔΚ εὐθείᾳ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖ-<lb n="1799,001,,,,3,8,56"></lb> ται πρὸς τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου.</s> <s>εἰ γὰρ δυνατόν, <lb n="1799,001,,,,3,8,57"></lb> προσπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΔΝ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΚ τῇ ΔΝ <lb n="1799,001,,,,3,8,58"></lb> ἐστιν ἴση, ἀλλ' ἡ ΔΚ τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΔΒ ἄρα τῇ <lb n="1799,001,,,,3,8,59"></lb> ΔΝ ἐστιν ἴση, ἡ ἔγγιον τῆς ΔΗ ἐλαχίστης τῇ ἀπώτερον <lb n="1799,001,,,,3,8,60"></lb> [ἐστιν] ἴση· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.</s> <s>οὐκ ἄρα πλείους ἢ <lb n="1799,001,,,,3,8,61"></lb> δύο ἴσαι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐφ' <lb n="1799,001,,,,3,8,62"></lb> ἑκάτερα τῆς ΔΗ ἐλαχίστης προσπεσοῦνται.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,8,63"></lb> Ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,8,64"></lb> σημείου πρὸς τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαί τινες, ὧν <lb n="1799,001,,,,3,8,65"></lb> μία μὲν διὰ τοῦ κέντρου αἱ δὲ λοιπαί, ὡς ἔτυχεν, τῶν μὲν <lb n="1799,001,,,,3,8,66"></lb> πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν <lb n="1799,001,,,,3,8,67"></lb> μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ <lb n="1799,001,,,,3,8,68"></lb> ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, <lb n="1799,001,,,,3,8,69"></lb> τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν <lb n="1799,001,,,,3,8,70"></lb> εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ <lb n="1799,001,,,,3,8,71"></lb> τῆς διαμέτρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης <lb n="1799,001,,,,3,8,72"></lb> τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,8,73"></lb> σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφ' ἑκάτερα τῆς <lb n="1799,001,,,,3,8,74"></lb> ἐλαχίστης· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,8,75"></lb> <s>Ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου <lb n="1799,001,,,,3,9,1"></lb> πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι, <lb n="1799,001,,,,3,9,2"></lb> τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,3,9,3"></lb> <s>Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἐντὸς δὲ αὐτοῦ σημεῖον τὸ Δ, <lb n="1799,001,,,,3,9,4"></lb> καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν <lb n="1799,001,,,,3,9,5"></lb> πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΔΑ, <lb n="1799,001,,,,3,9,6"></lb> ΔΒ, ΔΓ· λέγω, ὅτι τὸ Δ σημεῖον <lb n="1799,001,,,,3,9,7"></lb> κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,3,9,8"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,3,9,9"></lb> καὶ τετμήσθωσαν δίχα κατὰ τὰ <lb n="1799,001,,,,3,9,10"></lb> Ε, Ζ σημεῖα, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι <lb n="1799,001,,,,3,9,11"></lb> αἱ ΕΔ, ΖΔ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,3,9,12"></lb> Η, Κ, Θ, Λ σημεῖα.</s> <lb n="1799,001,,,,3,9,13"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ <lb n="1799,001,,,,3,9,14"></lb> τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ, δύο <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,9,15"></lb> δὴ αἱ ΑΕ, ΕΔ δύο ταῖς ΒΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ <lb n="1799,001,,,,3,9,16"></lb> ΔΑ βάσει τῇ ΔΒ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνίᾳ τῇ <lb n="1799,001,,,,3,9,17"></lb> ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν· ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΕΔ, <lb n="1799,001,,,,3,9,18"></lb> ΒΕΔ γωνιῶν· ἡ ΗΚ ἄρα τὴν ΑΒ τέμνει δίχα καὶ πρὸς <lb n="1799,001,,,,3,9,19"></lb> ὀρθάς.</s> <s>καὶ ἐπεί, ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις εὐθεῖάν τινα δίχα <lb n="1799,001,,,,3,9,20"></lb> τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ, ἐπὶ τῆς τεμνούσης ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,3,9,21"></lb> κέντρον τοῦ κύκλου, ἐπὶ τῆς ΗΚ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,9,22"></lb> κύκλου.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐπὶ τῆς ΘΛ ἐστι τὸ κέντρον <lb n="1799,001,,,,3,9,23"></lb> τοῦ ΑΒΓ κύκλου.</s> <s>καὶ οὐδὲν ἕτερον κοινὸν ἔχουσιν αἱ ΗΚ, <lb n="1799,001,,,,3,9,24"></lb> ΘΛ εὐθεῖαι ἢ τὸ Δ σημεῖον· τὸ Δ ἄρα σημεῖον κέντρον <lb n="1799,001,,,,3,9,25"></lb> ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,3,9,26"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,9,27"></lb> σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείους ἢ δύο <lb n="1799,001,,,,3,9,28"></lb> ἴσαι εὐθεῖαι, τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου· <lb n="1799,001,,,,3,9,29"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,9,30"></lb> <s>Κύκλος κύκλον οὐ τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο.</s> <lb n="1799,001,,,,3,10,1"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλον τὸν ΔΕΖ <lb n="1799,001,,,,3,10,2"></lb> τεμνέτω κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο τὰ Β, Η, Ζ, Θ, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,10,3"></lb> ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΒΘ, ΒΗ δίχα τεμνέσθωσαν κατὰ τὰ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,10,4"></lb> Κ, Λ σημεῖα· καὶ ἀπὸ τῶν Κ, Λ ταῖς ΒΘ, ΒΗ πρὸς ὀρθὰς <lb n="1799,001,,,,3,10,5"></lb> ἀχθεῖσαι αἱ ΚΓ, ΛΜ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Α, Ε σημεῖα.</s> <lb n="1799,001,,,,3,10,6"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τῷ <lb n="1799,001,,,,3,10,7"></lb> ΑΒΓ εὐθεῖά τις ἡ ΑΓ εὐ-<lb n="1799,001,,,,3,10,8"></lb> θεῖάν τινα τὴν ΒΘ δίχα <lb n="1799,001,,,,3,10,9"></lb> καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, <lb n="1799,001,,,,3,10,10"></lb> ἐπὶ τῆς ΑΓ ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,3,10,11"></lb> κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,3,10,12"></lb> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ <lb n="1799,001,,,,3,10,13"></lb> αὐτῷ τῷ ΑΒΓ εὐθεῖά τις <lb n="1799,001,,,,3,10,14"></lb> ἡ ΝΞ εὐθεῖάν τινα τὴν <lb n="1799,001,,,,3,10,15"></lb> ΒΗ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς <lb n="1799,001,,,,3,10,16"></lb> τέμνει, ἐπὶ τῆς ΝΞ ἄρα <lb n="1799,001,,,,3,10,17"></lb> ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῆς <lb n="1799,001,,,,3,10,18"></lb> ΑΓ, καὶ κατ' οὐδὲν συμβάλλουσιν αἱ ΑΓ, ΝΞ εὐθεῖαι ἢ <lb n="1799,001,,,,3,10,19"></lb> κατὰ τὸ Ο· τὸ Ο ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,3,10,20"></lb> κύκλου.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου <lb n="1799,001,,,,3,10,21"></lb> κέντρον ἐστὶ τὸ Ο· δύο ἄρα κύκλων τεμνόντων ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,3,10,22"></lb> τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ τὸ αὐτό ἐστι κέντρον τὸ Ο· ὅπερ ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,3,10,23"></lb> ἀδύνατον.</s> <lb n="1799,001,,,,3,10,24"></lb> <s>Οὐκ ἄρα κύκλος κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ <lb n="1799,001,,,,3,10,25"></lb> δύο· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,10,26"></lb> <s>Ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐντός, καὶ ληφθῇ <lb n="1799,001,,,,3,11,1"></lb> αὐτῶν τὰ κέντρα, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,11,2"></lb> εὐθεῖα καὶ ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν <lb n="1799,001,,,,3,11,3"></lb> κύκλων.</s> <lb n="1799,001,,,,3,11,4"></lb> <s>Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,3,11,5"></lb> λων ἐντὸς κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,3,11,6"></lb> κύκλου κέντρον τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,3,11,7"></lb> τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,3,11,8"></lb> Α πεσεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,3,11,9"></lb> <s>Μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, πιπτέτω ὡς ἡ ΖΗΘ, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,11,10"></lb> ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΑΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,11,11"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΖ τῆς ΖΑ, τουτέστι τῆς ΖΘ, μεί-<lb n="1799,001,,,,3,11,12"></lb> ζονές εἰσιν, κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΗ <lb n="1799,001,,,,3,11,13"></lb> λοιπῆς τῆς ΗΘ μείζων ἐστίν.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ· καὶ <lb n="1799,001,,,,3,11,14"></lb> ἡ ΗΔ ἄρα τῆς ΗΘ μείζων ἐστὶν ἡ ἐλάτ-<lb n="1799,001,,,,3,11,15"></lb> των τῆς μείζονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· <lb n="1799,001,,,,3,11,16"></lb> οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευ-<lb n="1799,001,,,,3,11,17"></lb> γνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται· κατὰ <lb n="1799,001,,,,3,11,18"></lb> τὸ Α ἄρα ἐπὶ τῆς συναφῆς πεσεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,3,11,19"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,3,11,20"></lb> λων ἐντός, [καὶ ληφθῇ αὐτῶν τὰ κέντρα], <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,11,21"></lb> ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα [καὶ ἐκ-<lb n="1799,001,,,,3,11,22"></lb> βαλλομένη] ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν κύκλων· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,3,11,23"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,11,24"></lb> <s>Ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐκτός, ἡ ἐπὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,3,12,1"></lb> κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη διὰ τῆς ἐπαφῆς ἐλεύσεται.</s> <lb n="1799,001,,,,3,12,2"></lb> <s>Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,3,12,3"></lb> λων ἐκτὸς κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,3,12,4"></lb> κέντρον τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ <lb n="1799,001,,,,3,12,5"></lb> ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς <lb n="1799,001,,,,3,12,6"></lb> ἐλεύσεται.</s> <lb n="1799,001,,,,3,12,7"></lb> <s>Μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, ἐρχέσθω ὡς ἡ ΖΓΔΗ, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,12,8"></lb> ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΑΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,12,9"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, <lb n="1799,001,,,,3,12,10"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον <lb n="1799,001,,,,3,12,11"></lb> ἐστὶ τοῦ ΑΔΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΑ <lb n="1799,001,,,,3,12,12"></lb> τῇ ΗΔ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ <lb n="1799,001,,,,3,12,13"></lb> ἴση· αἱ ἄρα ΖΑ, ΑΗ ταῖς ΖΓ, ΗΔ <lb n="1799,001,,,,3,12,14"></lb> ἴσαι εἰσίν· ὥστε ὅλη ἡ ΖΗ τῶν ΖΑ, <lb n="1799,001,,,,3,12,15"></lb> ΑΗ μείζων ἐστίν· ἀλλὰ καὶ ἐλάττων· <lb n="1799,001,,,,3,12,16"></lb> ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,3,12,17"></lb> τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,3,12,18"></lb> διὰ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς οὐκ ἐλεύσε-<lb n="1799,001,,,,3,12,19"></lb> ται· δι' αὐτῆς ἄρα.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,12,20"></lb> Ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐκτός, ἡ ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,3,12,21"></lb> τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη [εὐθεῖα] διὰ τῆς ἐπ-<lb n="1799,001,,,,3,12,22"></lb> αφῆς ἐλεύσεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,12,23"></lb> <s>Κύκλος κύκλου οὐκ ἐφάπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ <lb n="1799,001,,,,3,13,1"></lb> καθ' ἕν, ἐάν τε ἐντὸς ἐάν τε ἐκτὸς ἐφάπτηται.</s> <lb n="1799,001,,,,3,13,2"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλου τοῦ ΕΒΖΔ <lb n="1799,001,,,,3,13,3"></lb> ἐφαπτέσθω πρότερον ἐντὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἓν τὰ <lb n="1799,001,,,,3,13,4"></lb> Δ, Β.</s> <lb n="1799,001,,,,3,13,5"></lb> <s>Καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓΔ κύκλου κέντρον τὸ Η, <lb n="1799,001,,,,3,13,6"></lb> τοῦ δὲ ΕΒΖΔ τὸ Θ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,13,7"></lb> <s>Ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Θ ἐπιζευγνυμένη ἐπὶ τὰ Β, Δ <lb n="1799,001,,,,3,13,8"></lb> πεσεῖται.</s> <s>πιπτέτω ὡς ἡ ΒΗΘΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον <lb n="1799,001,,,,3,13,9"></lb> κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΔ· <lb n="1799,001,,,,3,13,10"></lb> μείζων ἄρα ἡ ΒΗ τῆς ΘΔ· πολλῷ <lb n="1799,001,,,,3,13,11"></lb> ἄρα μείζων ἡ ΒΘ τῆς ΘΔ.</s> <s>πάλιν, <lb n="1799,001,,,,3,13,12"></lb> ἐπεὶ τὸ Θ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,13,13"></lb> ΕΒΖΔ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΘ τῇ <lb n="1799,001,,,,3,13,14"></lb> ΘΔ· ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ <lb n="1799,001,,,,3,13,15"></lb> μείζων· ὅπερ ἀδύνατον· οὐκ ἄρα <lb n="1799,001,,,,3,13,16"></lb> κύκλος κύκλου ἐφάπτεται ἐντὸς κατὰ <lb n="1799,001,,,,3,13,17"></lb> πλείονα σημεῖα ἢ ἕν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,13,18"></lb> Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐκτός.</s> <lb n="1799,001,,,,3,13,19"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΓΚ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,3,13,20"></lb> ἐφαπτέσθω ἐκτὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἓν τὰ Α, Γ, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,13,21"></lb> ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,13,22"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν κύκλων τῶν ΑΒΓΔ, ΑΓΚ εἴληπται ἐπὶ τῆς <lb n="1799,001,,,,3,13,23"></lb> περιφερείας ἑκατέρου δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Γ, ἡ ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,3,13,24"></lb> τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς ἑκατέρου πεσεῖται· <lb n="1799,001,,,,3,13,25"></lb> ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒΓΔ ἐντὸς ἔπεσεν, τοῦ δὲ ΑΓΚ ἐκτός· <lb n="1799,001,,,,3,13,26"></lb> ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα κύκλος κύκλου ἐφάπτεται ἐκτὸς <lb n="1799,001,,,,3,13,27"></lb> κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν.</s> <s>ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐντός.</s> <lb n="1799,001,,,,3,13,28"></lb> <s>Κύκλος ἄρα κύκλου οὐκ ἐφάπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα <lb n="1799,001,,,,3,13,29"></lb> ἢ [καθ'] ἕν, ἐάν τε ἐντὸς ἐάν τε ἐκτὸς ἐφάπτηται· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,3,13,30"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,13,31"></lb> <s>Ἐν κύκλῳ αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,14,1"></lb> κέντρου, καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσαι ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,3,14,2"></lb> λαις εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,14,3"></lb> <s>Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ ἴσαι εὐθεῖαι ἔστω-<lb n="1799,001,,,,3,14,4"></lb> σαν αἱ ΑΒ, ΓΔ· λέγω, ὅτι αἱ ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν <lb n="1799,001,,,,3,14,5"></lb> ἀπὸ τοῦ κέντρου.</s> <lb n="1799,001,,,,3,14,6"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ ἔστω <lb n="1799,001,,,,3,14,7"></lb> τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΓΔ κάθετοι ἤχθωσαν <lb n="1799,001,,,,3,14,8"></lb> αἱ ΕΖ, ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΓ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,14,9"></lb> Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεῖάν τινα <lb n="1799,001,,,,3,14,10"></lb> μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα <lb n="1799,001,,,,3,14,11"></lb> αὐτὴν τέμνει.</s> <s>ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ· <lb n="1799,001,,,,3,14,12"></lb> διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,3,14,13"></lb> δὴ καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΓΗ ἐστι διπλῆ· καί <lb n="1799,001,,,,3,14,14"></lb> ἐστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ· ἴση ἄρα καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,3,14,15"></lb> ΑΖ τῇ ΓΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ <lb n="1799,001,,,,3,14,16"></lb> τῇ ΕΓ, ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ <lb n="1799,001,,,,3,14,17"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΓ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΕ <lb n="1799,001,,,,3,14,18"></lb> ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΕΖ· ὀρθὴ γὰρ ἡ <lb n="1799,001,,,,3,14,19"></lb> πρὸς τῷ Ζ γωνία· τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,3,14,20"></lb> ΕΗ, ΗΓ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Η γωνία· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,3,14,21"></lb> ΑΖ, ΖΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΕ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,3,14,22"></lb> ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΗ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ <lb n="1799,001,,,,3,14,23"></lb> ΓΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον <lb n="1799,001,,,,3,14,24"></lb> ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ.</s> <s>ἐν δὲ κύκλῳ ἴσον ἀπέχειν <lb n="1799,001,,,,3,14,25"></lb> ἀπὸ τοῦ κέντρου εὐθεῖαι λέγονται, ὅταν αἱ ἀπὸ τοῦ κέν-<lb n="1799,001,,,,3,14,26"></lb> τρου ἐπ' αὐτὰς κάθετοι ἀγόμεναι ἴσαι ὦσιν· αἱ ἄρα ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,3,14,27"></lb> ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου.</s> <lb n="1799,001,,,,3,14,28"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ αἱ ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖαι ἴσον ἀπεχέτωσαν ἀπὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,14,29"></lb> κέντρου, τουτέστιν ἴση ἔστω ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ.</s> <s>λέγω, ὅτι ἴση <lb n="1799,001,,,,3,14,30"></lb> ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,14,31"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, <lb n="1799,001,,,,3,14,32"></lb> ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΑΖ, ἡ δὲ ΓΔ τῆς ΓΗ· καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,14,33"></lb> ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ <lb n="1799,001,,,,3,14,34"></lb> ἀπὸ τῆς ΓΕ· ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,3,14,35"></lb> τῶν ΕΖ, ΖΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΕ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, <lb n="1799,001,,,,3,14,36"></lb> ΗΓ.</s> <s>τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΑ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΗ, <lb n="1799,001,,,,3,14,37"></lb> ΗΓ· ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἐστιν ἴσον· ἴση <lb n="1799,001,,,,3,14,38"></lb> γὰρ ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,3,14,39"></lb> ἀπὸ τῆς ΓΗ· ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ· καί ἐστι τῆς μὲν <lb n="1799,001,,,,3,14,40"></lb> ΑΖ διπλῆ ἡ ΑΒ, τῆς δὲ ΓΗ διπλῆ ἡ ΓΔ· ἴση ἄρα ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,3,14,41"></lb> τῇ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,14,42"></lb> <s>Ἐν κύκλῳ ἄρα αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,14,43"></lb> κέντρου, καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσαι <lb n="1799,001,,,,3,14,44"></lb> ἀλλήλαις εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,14,45"></lb> <s>Ἐν κύκλῳ μεγίστη μὲν ἡ διάμετρος τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ <lb n="1799,001,,,,3,15,1"></lb> ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,15,2"></lb> <s>Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ <lb n="1799,001,,,,3,15,3"></lb> ΑΔ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἔγγιον μὲν τῆς ΑΔ διαμέτρου <lb n="1799,001,,,,3,15,4"></lb> ἔστω ἡ ΒΓ, ἀπώτερον δὲ ἡ ΖΗ· λέγω, ὅτι μεγίστη μέν <lb n="1799,001,,,,3,15,5"></lb> ἐστιν ἡ ΑΔ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΖΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,15,6"></lb> <s>Ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε κέντρου ἐπὶ τὰς ΒΓ, ΖΗ <lb n="1799,001,,,,3,15,7"></lb> κάθετοι αἱ ΕΘ, ΕΚ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἔγγιον μὲν τοῦ κέντρου <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,15,8"></lb> ἐστὶν ἡ ΒΓ, ἀπώτερον δὲ ἡ ΖΗ, μείζων ἄρα ἡ ΕΚ τῆς <lb n="1799,001,,,,3,15,9"></lb> ΕΘ.</s> <s>κείσθω τῇ ΕΘ ἴση ἡ ΕΛ, καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ ΕΚ <lb n="1799,001,,,,3,15,10"></lb> πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ ΛΜ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύ-<lb n="1799,001,,,,3,15,11"></lb> χθωσαν αἱ ΜΕ, ΕΝ, ΖΕ, ΕΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,15,12"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΕΛ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,3,15,13"></lb> τῇ ΜΝ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΜ, ἡ δὲ ΕΔ <lb n="1799,001,,,,3,15,14"></lb> τῇ ΕΝ, ἡ ἄρα ΑΔ ταῖς ΜΕ, ΕΝ ἴση ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,15,15"></lb> <s>ἀλλ' αἱ μὲν ΜΕ, ΕΝ τῆς ΜΝ μείζονές <lb n="1799,001,,,,3,15,16"></lb> εἰσιν [καὶ ἡ ΑΔ τῆς ΜΝ μείζων ἐστίν, ἴση <lb n="1799,001,,,,3,15,17"></lb> δὲ ἡ ΜΝ τῇ ΒΓ· ἡ ΑΔ ἄρα τῆς ΒΓ μεί-<lb n="1799,001,,,,3,15,18"></lb> ζων ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΜΕ, ΕΝ δύο <lb n="1799,001,,,,3,15,19"></lb> ταῖς ΖΕ, ΕΗ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,15,20"></lb> ΜΕΝ γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΕΗ μείζων [ἐστίν], <lb n="1799,001,,,,3,15,21"></lb> βάσις ἄρα ἡ ΜΝ βάσεως τῆς ΖΗ μείζων <lb n="1799,001,,,,3,15,22"></lb> ἐστίν.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ΜΝ τῇ ΒΓ ἐδείχθη ἴση [καὶ ἡ ΒΓ τῆς <lb n="1799,001,,,,3,15,23"></lb> ΖΗ μείζων ἐστίν].</s> <s>μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΑΔ διάμετρος, <lb n="1799,001,,,,3,15,24"></lb> μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΖΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,15,25"></lb> <s>Ἐν κύκλῳ ἄρα μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διάμετρος, τῶν δὲ <lb n="1799,001,,,,3,15,26"></lb> ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων <lb n="1799,001,,,,3,15,27"></lb> ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,15,28"></lb> Ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας <lb n="1799,001,,,,3,16,1"></lb> ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου, καὶ εἰς τὸν μεταξὺ <lb n="1799,001,,,,3,16,2"></lb> τόπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,3,16,3"></lb> οὐ παρεμπεσεῖται, καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἁπά-<lb n="1799,001,,,,3,16,4"></lb> σης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν, ἡ δὲ λοιπὴ <lb n="1799,001,,,,3,16,5"></lb> ἐλάττων.</s> <lb n="1799,001,,,,3,16,6"></lb> <s>Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον <lb n="1799,001,,,,3,16,7"></lb> τὴν ΑΒ· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς <lb n="1799,001,,,,3,16,8"></lb> ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,16,9"></lb> κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,3,16,10"></lb> <s>Μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, πιπτέτω <lb n="1799,001,,,,3,16,11"></lb> ἐντὸς ὡς ἡ ΓΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,16,12"></lb> <s>Ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,3,16,13"></lb> καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,16,14"></lb> ΑΓΔ.</s> <s>ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ· ὀρθὴ <lb n="1799,001,,,,3,16,15"></lb> ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ· τριγώνου δὴ τοῦ ΑΓΔ αἱ δύο γωνίαι <lb n="1799,001,,,,3,16,16"></lb> αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύ-<lb n="1799,001,,,,3,16,17"></lb> νατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθὰς <lb n="1799,001,,,,3,16,18"></lb> ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, <lb n="1799,001,,,,3,16,19"></lb> ὅτι οὐδ' ἐπὶ τῆς περιφερείας· ἐκτὸς ἄρα.</s> <lb n="1799,001,,,,3,16,20"></lb> <s>Πιπτέτω ὡς ἡ ΑΕ· λέγω δή, ὅτι εἰς τὸν μεταξὺ τόπον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,16,21"></lb> τῆς τε ΑΕ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,3,16,22"></lb> οὐ παρεμπεσεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,3,16,23"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, παρεμπιπτέτω ὡς ἡ ΖΑ, καὶ ἤχθω <lb n="1799,001,,,,3,16,24"></lb> ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὴν ΖΑ κάθετος ἡ ΔΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,3,16,25"></lb> ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗΔ, ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΔΑΗ, <lb n="1799,001,,,,3,16,26"></lb> μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΔΗ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΔΘ· μείζων <lb n="1799,001,,,,3,16,27"></lb> ἄρα ἡ ΔΘ τῆς ΔΗ, ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος· ὅπερ ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,3,16,28"></lb> ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε εὐθείας <lb n="1799,001,,,,3,16,29"></lb> καὶ τῆς περιφερείας ἑτέρα εὐθεῖα παρεμπεσεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,3,16,30"></lb> <s>Λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἡ περιεχο-<lb n="1799,001,,,,3,16,31"></lb> μένη ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας <lb n="1799,001,,,,3,16,32"></lb> ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου μείζων ἐστίν, ἡ δὲ <lb n="1799,001,,,,3,16,33"></lb> λοιπὴ ἡ περιεχομένη ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ <lb n="1799,001,,,,3,16,34"></lb> τῆς ΑΕ εὐθείας ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμου <lb n="1799,001,,,,3,16,35"></lb> ἐλάττων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,16,36"></lb> <s>Εἰ γὰρ ἐστί τις γωνία εὐθύγραμμος μείζων μὲν τῆς <lb n="1799,001,,,,3,16,37"></lb> περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περι-<lb n="1799,001,,,,3,16,38"></lb> φερείας, ἐλάττων δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ <lb n="1799,001,,,,3,16,39"></lb> περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας, εἰς τὸν μεταξὺ τόπον <lb n="1799,001,,,,3,16,40"></lb> τῆς τε ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,3,16,41"></lb> περεμπεσεῖται, ἥτις ποιήσει μείζονα μὲν τῆς περιεχο-<lb n="1799,001,,,,3,16,42"></lb> μένης ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας <lb n="1799,001,,,,3,16,43"></lb> ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένην, ἐλάττονα δὲ τῆς περιεχομένης <lb n="1799,001,,,,3,16,44"></lb> ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας.</s> <s>οὐ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,16,45"></lb> παρεμπίπτει δέ· οὐκ ἄρα τῆς περιεχομένης γωνίας ὑπό <lb n="1799,001,,,,3,16,46"></lb> τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἔσται μεί-<lb n="1799,001,,,,3,16,47"></lb> ζων ὀξεῖα ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένη, οὐδὲ μὴν ἐλάττων <lb n="1799,001,,,,3,16,48"></lb> τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς <lb n="1799,001,,,,3,16,49"></lb> ΑΕ εὐθείας.</s> <lb n="1799,001,,,,3,16,50"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,3,16,51"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου <lb n="1799,001,,,,3,16,52"></lb> πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου <lb n="1799,001,,,,3,16,53"></lb> [καὶ ὅτι εὐθεῖα κύκλου καθ' ἓν μόνον ἐφάπτεται σημεῖον, <lb n="1799,001,,,,3,16,54"></lb> ἐπειδήπερ καὶ ἡ κατὰ δύο αὐτῷ συμβάλλουσα ἐντὸς <lb n="1799,001,,,,3,16,55"></lb> αὐτοῦ πίπτουσα ἐδείχθη].</s> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,16,56"></lb> <s>Ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ δοθέντος κύκλου ἐφ-<lb n="1799,001,,,,3,17,1"></lb> απτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,17,2"></lb> <s>Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ὁ δὲ δοθεὶς κύκλος <lb n="1799,001,,,,3,17,3"></lb> ὁ ΒΓΔ· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφ-<lb n="1799,001,,,,3,17,4"></lb> απτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,17,5"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε, καὶ ἐπ-<lb n="1799,001,,,,3,17,6"></lb> εζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,17,7"></lb> ΕΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΕΑ <lb n="1799,001,,,,3,17,8"></lb> πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΑΒ· <lb n="1799,001,,,,3,17,9"></lb> λέγω, ὅτι ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτο-<lb n="1799,001,,,,3,17,10"></lb> μένη ἦκται ἡ ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,17,11"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ τὸ Ε κέντρον ἐστὶ τῶν ΒΓΔ, ΑΖΗ κύκλων, <lb n="1799,001,,,,3,17,12"></lb> ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΑ τῇ ΕΖ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΒ· δύο <lb n="1799,001,,,,3,17,13"></lb> δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δύο ταῖς ΖΕ, ΕΔ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,3,17,14"></lb> εἰσίν· καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι τὴν <lb n="1799,001,,,,3,17,15"></lb> πρὸς τῷ Ε· βάσις ἄρα ἡ ΔΖ βάσει τῇ <lb n="1799,001,,,,3,17,16"></lb> ΑΒ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,3,17,17"></lb> τῷ ΕΒΑ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,3,17,18"></lb> λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις· ἴση <lb n="1799,001,,,,3,17,19"></lb> ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ.</s> <s>ὀρθὴ δὲ <lb n="1799,001,,,,3,17,20"></lb> ἡ ὑπὸ ΕΔΖ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΑ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,17,21"></lb> <s>καί ἐστιν ἡ ΕΒ ἐκ τοῦ κέντρου· ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,17,22"></lb> κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,17,23"></lb> κύκλου· ἡ ΑΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΒΓΔ κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,3,17,24"></lb> <s>Ἀπὸ τοῦ ἄρα δοθέντος σημείου τοῦ Α τοῦ δοθέντος <lb n="1799,001,,,,3,17,25"></lb> κύκλου τοῦ ΒΓΔ ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ <lb n="1799,001,,,,3,17,26"></lb> ΑΒ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,17,27"></lb> <s>Ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου <lb n="1799,001,,,,3,18,1"></lb> ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθ-<lb n="1799,001,,,,3,18,2"></lb> ετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,18,3"></lb> Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ <lb n="1799,001,,,,3,18,4"></lb> κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύ-<lb n="1799,001,,,,3,18,5"></lb> κλου τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Γ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,3,18,6"></lb> ὅτι ἡ ΖΓ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,18,7"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἡ ΖΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,18,8"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΗΓ γωνία ὀρθή ἐστιν, ὀξεῖα ἄρα <lb n="1799,001,,,,3,18,9"></lb> ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΗ· ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων <lb n="1799,001,,,,3,18,10"></lb> πλευρὰ ὑποτείνει· μείζων ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,3,18,11"></lb> ΖΓ τῆς ΖΗ· ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ <lb n="1799,001,,,,3,18,12"></lb> ΖΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΖΒ τῆς ΖΗ <lb n="1799,001,,,,3,18,13"></lb> ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος· ὅπερ ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,3,18,14"></lb> ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἡ ΖΗ κάθετός <lb n="1799,001,,,,3,18,15"></lb> ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δεί-<lb n="1799,001,,,,3,18,16"></lb> ξομεν, ὅτι οὐδ' ἄλλη τις πλὴν τῆς <lb n="1799,001,,,,3,18,17"></lb> ΖΓ· ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,3,18,18"></lb> τὴν ΔΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,18,19"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,18,20"></lb> κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευ-<lb n="1799,001,,,,3,18,21"></lb> χθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,3,18,22"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,18,23"></lb> <s>Ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῇ <lb n="1799,001,,,,3,19,1"></lb> ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς [γωνίασ] εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, <lb n="1799,001,,,,3,19,2"></lb> ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ κύκλου.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,19,3"></lb> Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ <lb n="1799,001,,,,3,19,4"></lb> κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς <lb n="1799,001,,,,3,19,5"></lb> ἤχθω ἡ ΓΑ· λέγω, ὅτι ἐπὶ τῆς ΑΓ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,19,6"></lb> κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,3,19,7"></lb> <s>Μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω <lb n="1799,001,,,,3,19,8"></lb> ἡ ΓΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,19,9"></lb> <s>Ἐπεὶ [οὖν] κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ <lb n="1799,001,,,,3,19,10"></lb> ΔΕ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ, <lb n="1799,001,,,,3,19,11"></lb> ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ· <lb n="1799,001,,,,3,19,12"></lb> ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΕ.</s> <s>ἐστὶ δὲ <lb n="1799,001,,,,3,19,13"></lb> καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ ὀρθή· ἴση ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,3,19,14"></lb> ἡ ὑπὸ ΖΓΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἡ ἐλάτ-<lb n="1799,001,,,,3,19,15"></lb> των τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <lb n="1799,001,,,,3,19,16"></lb> <s>οὐκ ἄρα τὸ Ζ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,3,19,17"></lb> κύκλου.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ' <lb n="1799,001,,,,3,19,18"></lb> ἄλλο τι πλὴν ἐπὶ τῆς ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,19,19"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς <lb n="1799,001,,,,3,19,20"></lb> ἁφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, <lb n="1799,001,,,,3,19,21"></lb> ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,3,19,22"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,19,23"></lb> <s>Ἐν κύκλῳ ἡ πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς <lb n="1799,001,,,,3,20,1"></lb> πρὸς τῇ περιφερείᾳ, ὅταν τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν <lb n="1799,001,,,,3,20,2"></lb> ἔχωσιν αἱ γωνίαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,20,3"></lb> <s>Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ πρὸς μὲν τῷ κέντρῳ αὐτοῦ <lb n="1799,001,,,,3,20,4"></lb> γωνία ἔστω ἡ ὑπὸ ΒΕΓ, πρὸς δὲ τῇ περιφερείᾳ ἡ ὑπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,20,5"></lb> ΒΑΓ, ἐχέτωσαν δὲ τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓ· <lb n="1799,001,,,,3,20,6"></lb> λέγω, ὅτι διπλασίων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία τῆς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,20,7"></lb> ΒΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,20,8"></lb> <s>Ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΑΕ διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,20,9"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ, ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,20,10"></lb> ΕΑΒ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΑΒ, ΕΒΑ γωνίαι τῆς <lb n="1799,001,,,,3,20,11"></lb> ὑπὸ ΕΑΒ διπλασίους εἰσίν.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ταῖς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,20,12"></lb> ΕΑΒ, ΕΒΑ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ἄρα τῆς ὑπὸ ΕΑΒ ἐστι <lb n="1799,001,,,,3,20,13"></lb> διπλῆ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τῆς ὑπὸ ΕΑΓ <lb n="1799,001,,,,3,20,14"></lb> ἐστι διπλῆ.</s> <s>ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ ὅλης <lb n="1799,001,,,,3,20,15"></lb> τῆς ὑπὸ ΒΑΓ ἐστι διπλῆ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,20,16"></lb> <s>Κεκλάσθω δὴ πάλιν, καὶ ἔστω ἑτέρα <lb n="1799,001,,,,3,20,17"></lb> γωνία ἡ ὑπὸ ΒΔΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ <lb n="1799,001,,,,3,20,18"></lb> ΔΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η.</s> <s>ὁμοίως δὴ <lb n="1799,001,,,,3,20,19"></lb> δείξομεν, ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΕΓ <lb n="1799,001,,,,3,20,20"></lb> γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΓ, ὧν ἡ ὑπὸ ΗΕΒ <lb n="1799,001,,,,3,20,21"></lb> διπλῆ ἐστι τῆς ὑπὸ ΕΔΒ· λοιπὴ ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,3,20,22"></lb> ὑπὸ ΒΕΓ διπλῆ ἐστι τῆς ὑπὸ ΒΔΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,20,23"></lb> <s>Ἐν κύκλῳ ἄρα ἡ πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλασίων ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,3,20,24"></lb> τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ, ὅταν τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν <lb n="1799,001,,,,3,20,25"></lb> ἔχωσιν [αἱ γωνίαι]· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,20,26"></lb> <s>Ἐν κύκλῳ αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,3,21,1"></lb> λαις εἰσίν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,21,2"></lb> Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῷ <lb n="1799,001,,,,3,21,3"></lb> ΒΑΕΔ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΕΔ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,3,21,4"></lb> αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΕΔ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,21,5"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου <lb n="1799,001,,,,3,21,6"></lb> τὸ κέντρον, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπ-<lb n="1799,001,,,,3,21,7"></lb> εζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,21,8"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΔ γωνία <lb n="1799,001,,,,3,21,9"></lb> πρὸς τῷ κέντρῳ ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΔ <lb n="1799,001,,,,3,21,10"></lb> πρὸς τῇ περιφερείᾳ, καὶ ἔχουσι τὴν <lb n="1799,001,,,,3,21,11"></lb> αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓΔ, ἡ <lb n="1799,001,,,,3,21,12"></lb> ἄρα ὑπὸ ΒΖΔ γωνία διπλασίων ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,3,21,13"></lb> τῆς ὑπὸ ΒΑΔ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ὑπὸ ΒΖΔ καὶ τῆς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,21,14"></lb> ΒΕΔ ἐστι διπλασίων· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,21,15"></lb> <s>Ἐν κύκλῳ ἄρα αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,3,21,16"></lb> λαις εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,21,17"></lb> <s>Τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γω-<lb n="1799,001,,,,3,22,1"></lb> νίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,22,2"></lb> <s>Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τετράπλευρον <lb n="1799,001,,,,3,22,3"></lb> ἔστω τὸ ΑΒΓΔ· λέγω, ὅτι αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν <lb n="1799,001,,,,3,22,4"></lb> ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,22,5"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,22,6"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς <lb n="1799,001,,,,3,22,7"></lb> ἴσαι εἰσίν, τοῦ ΑΒΓ ἄρα τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,22,8"></lb> ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <s>ἴση δὲ ἡ μὲν <lb n="1799,001,,,,3,22,9"></lb> ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ <lb n="1799,001,,,,3,22,10"></lb> ΒΑΔΓ· ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· <lb n="1799,001,,,,3,22,11"></lb> ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΑΔΓΒ· <lb n="1799,001,,,,3,22,12"></lb> ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, <lb n="1799,001,,,,3,22,13"></lb> ΑΓΒ ἴση ἐστίν.</s> <s>κοινὴ προσκείσθω ἡ <lb n="1799,001,,,,3,22,14"></lb> ὑπὸ ΑΒΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, <lb n="1799,001,,,,3,22,15"></lb> ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἴσαι εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,22,16"></lb> <s>ἀλλ' αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ δυσὶν <lb n="1799,001,,,,3,22,17"></lb> ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <s>καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,3,22,18"></lb> ΑΔΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι <lb n="1799,001,,,,3,22,19"></lb> καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΔΓΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,22,20"></lb> <s>Τῶν ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον <lb n="1799,001,,,,3,22,21"></lb> γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,22,22"></lb> <s>Ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων ὅμοια <lb n="1799,001,,,,3,23,1"></lb> καὶ ἄνισα οὐ συσταθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,3,23,2"></lb> μέρη.</s> <lb n="1799,001,,,,3,23,3"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας <lb n="1799,001,,,,3,23,4"></lb> τῆς ΑΒ δύο τμήματα κύκλων ὅμοια καὶ <lb n="1799,001,,,,3,23,5"></lb> ἄνισα συνεστάτω ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ ΑΓΒ, <lb n="1799,001,,,,3,23,6"></lb> ΑΔΒ, καὶ διήχθω ἡ ΑΓΔ, καὶ ἐπεζεύ-<lb n="1799,001,,,,3,23,7"></lb> χθωσαν αἱ ΓΒ, ΔΒ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,23,8"></lb> Ἐπεὶ οὖν ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΓΒ τμῆμα τῷ ΑΔΒ τμή-<lb n="1799,001,,,,3,23,9"></lb> ματι, ὅμοια δὲ τμήματα κύκλων ἐστὶ τὰ δεχόμενα γωνίας <lb n="1799,001,,,,3,23,10"></lb> ἴσας, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΔΒ ἡ ἐκ-<lb n="1799,001,,,,3,23,11"></lb> τὸς τῇ ἐντός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <lb n="1799,001,,,,3,23,12"></lb> <s>Οὐκ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων <lb n="1799,001,,,,3,23,13"></lb> ὅμοια καὶ ἄνισα συσταθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,3,23,14"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,23,15"></lb> <s>Τὰ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,3,24,1"></lb> λοις ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,24,2"></lb> <s>Ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοια <lb n="1799,001,,,,3,24,3"></lb> τμήματα κύκλων τὰ ΑΕΒ, ΓΖΔ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,3,24,4"></lb> τὸ ΑΕΒ τμῆμα τῷ ΓΖΔ τμήματι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,24,5"></lb> <s>Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΕΒ τμήματος ἐπὶ τὸ ΓΖΔ <lb n="1799,001,,,,3,24,6"></lb> καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Α σημείου ἐπὶ τὸ Γ τῆς δὲ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,3,24,7"></lb> εὐθείας ἐπὶ τὴν ΓΔ, ἐφαρμόσει καὶ τὸ Β <lb n="1799,001,,,,3,24,8"></lb> σημεῖον ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον διὰ τὸ ἴσην εἶναι <lb n="1799,001,,,,3,24,9"></lb> τὴν ΑΒ τῇ ΓΔ· τῆς δὲ ΑΒ ἐπὶ τὴν ΓΔ <lb n="1799,001,,,,3,24,10"></lb> ἐφαρμοσάσης ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ <lb n="1799,001,,,,3,24,11"></lb> τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ.</s> <s>εἰ γὰρ ἡ ΑΒ εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,3,24,12"></lb> ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρμόσει, τὸ δὲ ΑΕΒ <lb n="1799,001,,,,3,24,13"></lb> τμῆμα ἐπὶ τὸ ΓΖΔ μὴ ἐφαρμόσει, ἤτοι <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,24,14"></lb> ἐντὸς αὐτοῦ πεσεῖται ἢ ἐκτὸς ἢ παραλλάξει ὡς τὸ ΓΗΔ, <lb n="1799,001,,,,3,24,15"></lb> καὶ κύκλος κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο· <lb n="1799,001,,,,3,24,16"></lb> ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἐφαρμοζομένης τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,3,24,17"></lb> εὐθείας ἐπὶ τὴν ΓΔ οὐκ ἐφαρμόσει καὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,3,24,18"></lb> τὸ ΓΖΔ· ἐφαρμόσει ἄρα, καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,3,24,19"></lb> <s>Τὰ ἄρα ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα <lb n="1799,001,,,,3,24,20"></lb> ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,24,21"></lb> <s>Κύκλου τμήματος δοθέντος προσαναγράψαι τὸν κύκλον, <lb n="1799,001,,,,3,25,1"></lb> οὗπέρ ἐστι τμῆμα.</s> <lb n="1799,001,,,,3,25,2"></lb> <s>Ἔστω τὸ δοθὲν τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ· δεῖ δὴ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,25,3"></lb> ΑΒΓ τμήματος προσαναγράψαι τὸν κύκλον, οὗπέρ ἐστι <lb n="1799,001,,,,3,25,4"></lb> τμῆμα.</s> <lb n="1799,001,,,,3,25,5"></lb> <s>Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ ἤχθω ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,3,25,6"></lb> τοῦ Δ σημείου τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω <lb n="1799,001,,,,3,25,7"></lb> ἡ ΑΒ· ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἄρα τῆς ὑπὸ ΒΑΔ ἤτοι μείζων <lb n="1799,001,,,,3,25,8"></lb> ἐστὶν ἢ ἴση ἢ ἐλάττων.</s> <lb n="1799,001,,,,3,25,9"></lb> <s>Ἔστω πρότερον μείζων, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΑ <lb n="1799,001,,,,3,25,10"></lb> εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΒΔ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,25,11"></lb> γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, καὶ διήχθω ἡ ΔΒ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,25,12"></lb> ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία <lb n="1799,001,,,,3,25,13"></lb> τῇ ὑπὸ ΒΑΕ, ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΒ εὐθεῖα τῇ *εΑ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,3,25,14"></lb> ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, κοινὴ δὲ <lb n="1799,001,,,,3,25,15"></lb> ἡ ΔΕ, δύο δὴ αἱ ΑΔ, ΔΕ δύο ταῖς ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,3,25,16"></lb> ΔΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία <lb n="1799,001,,,,3,25,17"></lb> ἡ ὑπὸ ΑΔΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,3,25,18"></lb> ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· βάσις ἄρα ἡ ΑΕ <lb n="1799,001,,,,3,25,19"></lb> βάσει τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ΑΕ τῇ <lb n="1799,001,,,,3,25,20"></lb> ΒΕ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ΒΕ ἄρα τῇ <lb n="1799,001,,,,3,25,21"></lb> ΓΕ ἐστιν ἴση· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ ἴσαι ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,3,25,22"></lb> λαις εἰσίν· ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ε διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΑΕ, <lb n="1799,001,,,,3,25,23"></lb> ΕΒ, ΕΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν ση-<lb n="1799,001,,,,3,25,24"></lb> μείων καὶ ἔσται προσαναγεγραμμένος.</s> <s>κύκλου ἄρα τμή-<lb n="1799,001,,,,3,25,25"></lb> ματος δοθέντος προσαναγέγραπται ὁ κύκλος.</s> <s>καὶ δῆλον, <lb n="1799,001,,,,3,25,26"></lb> ὡς τὸ ΑΒΓ τμῆμα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου διὰ τὸ τὸ Ε <lb n="1799,001,,,,3,25,27"></lb> κέντρον ἐκτὸς αὐτοῦ τυγχάνειν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,25,28"></lb> <s>Ὁμοίως [δὲ] κἂν ᾖ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,25,29"></lb> ΒΑΔ, τῆς ΑΔ ἴσης γενομένης ἑκατέρᾳ τῶν ΒΔ, ΔΓ αἱ <lb n="1799,001,,,,3,25,30"></lb> τρεῖς αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται, καὶ ἔσται <lb n="1799,001,,,,3,25,31"></lb> τὸ Δ κέντρον τοῦ προσαναπεπληρωμένου κύκλου, καὶ δη-<lb n="1799,001,,,,3,25,32"></lb> λαδὴ ἔσται τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,25,33"></lb> Ἐὰν δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ἐλάττων ᾖ <lb n="1799,001,,,,3,25,34"></lb> τῆς ὑπὸ ΒΑΔ, καὶ συστησώμεθα <lb n="1799,001,,,,3,25,35"></lb> πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς <lb n="1799,001,,,,3,25,36"></lb> αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΑΒΔ <lb n="1799,001,,,,3,25,37"></lb> γωνίᾳ ἴσην, ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τμή-<lb n="1799,001,,,,3,25,38"></lb> ματος πεσεῖται τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΔΒ, καὶ ἔσται <lb n="1799,001,,,,3,25,39"></lb> δηλαδὴ τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου.</s> <lb n="1799,001,,,,3,25,40"></lb> <s>Κύκλου ἄρα τμήματος δοθέντος προσαναγέγραπται ὁ <lb n="1799,001,,,,3,25,41"></lb> κύκλος· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,25,42"></lb> <s>Ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφε-<lb n="1799,001,,,,3,26,1"></lb> ρειῶν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς <lb n="1799,001,,,,3,26,2"></lb> ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,26,3"></lb> <s>Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ καὶ ἐν αὐτοῖς <lb n="1799,001,,,,3,26,4"></lb> ἴσαι γωνίαι ἔστωσαν πρὸς μὲν τοῖς κέντροις αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, <lb n="1799,001,,,,3,26,5"></lb> ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ· <lb n="1799,001,,,,3,26,6"></lb> λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΚΓ <lb n="1799,001,,,,3,26,7"></lb> περιφέρεια τῇ ΕΛΖ περιφε-<lb n="1799,001,,,,3,26,8"></lb> ρείᾳ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,26,9"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΓ, <lb n="1799,001,,,,3,26,10"></lb> ΕΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,26,11"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,26,12"></lb> ΔΕΖ κύκλοι, ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐκ τῶν κέντρων· δύο δὴ αἱ <lb n="1799,001,,,,3,26,13"></lb> ΒΗ, ΗΓ δύο ταῖς ΕΘ, ΘΖ ἴσαι· καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ <lb n="1799,001,,,,3,26,14"></lb> Η γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Θ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ <lb n="1799,001,,,,3,26,15"></lb> ΕΖ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία τῇ <lb n="1799,001,,,,3,26,16"></lb> πρὸς τῷ Δ, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ <lb n="1799,001,,,,3,26,17"></lb> τμήματι· καί εἰσιν ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν [τῶν ΒΓ, ΕΖ]· <lb n="1799,001,,,,3,26,18"></lb> τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα <lb n="1799,001,,,,3,26,19"></lb> ἀλλήλοις ἐστίν· ἴσον ἄρα τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,26,20"></lb> <s>ἔστι δὲ καὶ ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ <lb n="1799,001,,,,3,26,21"></lb> ἴσος· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΚΓ περιφέρεια τῇ ΕΛΖ περιφερείᾳ <lb n="1799,001,,,,3,26,22"></lb> ἐστὶν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,3,26,23"></lb> <s>Ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περι-<lb n="1799,001,,,,3,26,24"></lb> φερειῶν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς <lb n="1799,001,,,,3,26,25"></lb> ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,26,26"></lb> <s>Ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι <lb n="1799,001,,,,3,27,1"></lb> γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν <lb n="1799,001,,,,3,27,2"></lb> τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι <lb n="1799,001,,,,3,27,3"></lb> βεβηκυῖαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,27,4"></lb> <s>Ἐν γὰρ ἴσοις κύκλοις τοῖς <lb n="1799,001,,,,3,27,5"></lb> ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ ἴσων περι-<lb n="1799,001,,,,3,27,6"></lb> φερειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ πρὸς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,27,7"></lb> μὲν τοῖς Η, Θ κέντροις γωνίαι βεβηκέτωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, <lb n="1799,001,,,,3,27,8"></lb> ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ· <lb n="1799,001,,,,3,27,9"></lb> λέγω, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΘΖ ἐστιν ἴση, <lb n="1799,001,,,,3,27,10"></lb> ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,3,27,11"></lb> <s>Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ τῇ ὑπὸ ΕΘΖ, μία <lb n="1799,001,,,,3,27,12"></lb> αὐτῶν μείζων ἐστίν.</s> <s>ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΒΗΓ, <lb n="1799,001,,,,3,27,13"></lb> καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,3,27,14"></lb> σημείῳ τῷ Η τῇ ὑπὸ ΕΘΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΚ· αἱ <lb n="1799,001,,,,3,27,15"></lb> δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν, ὅταν <lb n="1799,001,,,,3,27,16"></lb> πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν· ἴση ἄρα ἡ ΒΚ περιφέρεια τῇ <lb n="1799,001,,,,3,27,17"></lb> ΕΖ περιφερείᾳ.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ΒΚ <lb n="1799,001,,,,3,27,18"></lb> ἄρα τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,3,27,19"></lb> ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ <lb n="1799,001,,,,3,27,20"></lb> ὑπὸ ΕΘΖ· ἴση ἄρα.</s> <s>καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΒΗΓ ἡμίσεια <lb n="1799,001,,,,3,27,21"></lb> ἡ πρὸς τῷ Α, τῆς δὲ ὑπὸ ΕΘΖ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ Δ· ἴση <lb n="1799,001,,,,3,27,22"></lb> ἄρα καὶ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία τῇ πρὸς τῷ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,27,23"></lb> <s>Ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν <lb n="1799,001,,,,3,27,24"></lb> βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐάν τε πρὸς τοῖς <lb n="1799,001,,,,3,27,25"></lb> κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι· <lb n="1799,001,,,,3,27,26"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,27,27"></lb> Ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας <lb n="1799,001,,,,3,28,1"></lb> ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ <lb n="1799,001,,,,3,28,2"></lb> ἐλάττονι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,28,3"></lb> <s>Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἐν τοῖς κύ-<lb n="1799,001,,,,3,28,4"></lb> κλοις ἴσαι εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΑΒ, ΔΕ τὰς μὲν ΑΓΒ, <lb n="1799,001,,,,3,28,5"></lb> ΔΖΕ περιφερείας μείζονας ἀφαιροῦσαι τὰς δὲ ΑΗΒ, <lb n="1799,001,,,,3,28,6"></lb> ΔΘΕ ἐλάττονας· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΑΓΒ μείζων περιφέρεια <lb n="1799,001,,,,3,28,7"></lb> ἴση ἐστὶ τῇ ΔΖΕ μείζονι περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΑΗΒ ἐλάτ-<lb n="1799,001,,,,3,28,8"></lb> των περιφέρεια τῇ ΔΘΕ. <lb n="1799,001,,,,3,28,9"></lb> Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπ-<lb n="1799,001,,,,3,28,10"></lb> εζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΚΒ, ΔΛ, ΛΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,28,11"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴσοι κύκλοι εἰσίν, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέν-<lb n="1799,001,,,,3,28,12"></lb> τρων· δύο δὴ αἱ ΑΚ, ΚΒ δυσὶ ταῖς ΔΛ, ΛΕ ἴσαι εἰσίν· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,28,13"></lb> καὶ βάσις ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΔΕ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ <lb n="1799,001,,,,3,28,14"></lb> γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΛΕ ἴση ἐστίν.</s> <s>αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων <lb n="1799,001,,,,3,28,15"></lb> περιφερειῶν βεβήκασιν, ὅταν πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν· <lb n="1799,001,,,,3,28,16"></lb> ἴση ἄρα ἡ ΑΗΒ περιφέρεια τῇ ΔΘΕ.</s> <s>ἐστὶ δὲ καὶ ὅλος <lb n="1799,001,,,,3,28,17"></lb> ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσος· καὶ λοιπὴ ἄρα <lb n="1799,001,,,,3,28,18"></lb> ἡ ΑΓΒ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΔΖΕ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,28,19"></lb> <s>Ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περι-<lb n="1799,001,,,,3,28,20"></lb> φερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ <lb n="1799,001,,,,3,28,21"></lb> ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,28,22"></lb> <s>Ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι <lb n="1799,001,,,,3,29,1"></lb> ὑποτείνουσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,29,2"></lb> <s>Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἐν αὐτοῖς <lb n="1799,001,,,,3,29,3"></lb> ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΒΗΓ, ΕΘΖ, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,29,4"></lb> ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΕΖ εὐθεῖαι· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,3,29,5"></lb> ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,29,6"></lb> Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων, καὶ ἔστω τὰ Κ, <lb n="1799,001,,,,3,29,7"></lb> Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΚ, ΚΓ, ΕΛ, ΛΖ. <lb n="1799,001,,,,3,29,8"></lb> Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗΓ περιφέρεια τῇ ΕΘΖ περι-<lb n="1799,001,,,,3,29,9"></lb> φερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΚΓ τῇ ὑπὸ ΕΛΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,29,10"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλοι, ἴσαι εἰσὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,3,29,11"></lb> αἱ ἐκ τῶν κέντρων· δύο δὴ αἱ ΒΚ, ΚΓ δυσὶ ταῖς ΕΛ, ΛΖ <lb n="1799,001,,,,3,29,12"></lb> ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,3,29,13"></lb> βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,29,14"></lb> <s>Ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι <lb n="1799,001,,,,3,29,15"></lb> εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,29,16"></lb> <s>Τὴν δοθεῖσαν περιφέρειαν δίχα τεμεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,30,1"></lb> <s>Ἔστω ἡ δοθεῖσα περιφέρεια ἡ ΑΔΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΔΒ <lb n="1799,001,,,,3,30,2"></lb> περιφέρειαν δίχα τεμεῖν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,30,3"></lb> Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,30,4"></lb> ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,3,30,5"></lb> καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ. <lb n="1799,001,,,,3,30,6"></lb> Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ, δύο δὴ <lb n="1799,001,,,,3,30,7"></lb> αἱ ΑΓ, ΓΔ δυσὶ ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,30,8"></lb> ΑΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· βάσις <lb n="1799,001,,,,3,30,9"></lb> ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν.</s> <s>αἱ δὲ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας <lb n="1799,001,,,,3,30,10"></lb> περιφερείας ἀφαιροῦσι τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι τὴν δὲ <lb n="1799,001,,,,3,30,11"></lb> ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι· καί ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΑΔ, ΔΒ <lb n="1799,001,,,,3,30,12"></lb> περιφερειῶν ἐλάττων ἡμικυκλίου· ἴση ἄρα ἡ ΑΔ περι-<lb n="1799,001,,,,3,30,13"></lb> φέρεια τῇ ΔΒ περιφερείᾳ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,30,14"></lb> <s>Ἡ ἄρα δοθεῖσα περιφέρεια δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ <lb n="1799,001,,,,3,30,15"></lb> σημεῖον· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,30,16"></lb> <s>Ἐν κύκλῳ ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἡ <lb n="1799,001,,,,3,31,1"></lb> δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάτ-<lb n="1799,001,,,,3,31,2"></lb> τονι τμήματι μείζων ὀρθῆς· καὶ ἔτι ἡ μὲν τοῦ μείζονος <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,31,3"></lb> τμήματος γωνία μείζων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος <lb n="1799,001,,,,3,31,4"></lb> τμήματος γωνία ἐλάττων ὀρθῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,3,31,5"></lb> <s>Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ <lb n="1799,001,,,,3,31,6"></lb> ΒΓ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ, ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,3,31,7"></lb> ΑΔ, ΔΓ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ἐν τῷ ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία <lb n="1799,001,,,,3,31,8"></lb> ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν, ἡ δὲ ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,3,31,9"></lb> ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμή-<lb n="1799,001,,,,3,31,10"></lb> ματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων <lb n="1799,001,,,,3,31,11"></lb> ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάτ-<lb n="1799,001,,,,3,31,12"></lb> τονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία <lb n="1799,001,,,,3,31,13"></lb> ἡ ὑπὸ ΑΔΓ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,3,31,14"></lb> <s>Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ διήχθω ἡ <lb n="1799,001,,,,3,31,15"></lb> ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,31,16"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΑ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ <lb n="1799,001,,,,3,31,17"></lb> ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ <lb n="1799,001,,,,3,31,18"></lb> ΕΑ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΓΑΕ· ὅλη ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,3,31,19"></lb> ὑπὸ ΒΑΓ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν.</s> <s>ἐστὶ δὲ <lb n="1799,001,,,,3,31,20"></lb> καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δυσὶ ταῖς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,31,21"></lb> ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαις ἴση· ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ <lb n="1799,001,,,,3,31,22"></lb> γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΓ· ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα· ἡ ἄρα ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,3,31,23"></lb> ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,31,24"></lb> Καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,3,31,25"></lb> ΒΑΓ δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, <lb n="1799,001,,,,3,31,26"></lb> ἐλάττων ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία· καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,3,31,27"></lb> ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,31,28"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, τῶν <lb n="1799,001,,,,3,31,29"></lb> δὲ ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι <lb n="1799,001,,,,3,31,30"></lb> δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν [αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ γωνίαι <lb n="1799,001,,,,3,31,31"></lb> δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν], καί ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων <lb n="1799,001,,,,3,31,32"></lb> ὀρθῆς· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία μείζων ὀρθῆς ἐστιν· <lb n="1799,001,,,,3,31,33"></lb> καί ἐστιν ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,31,34"></lb> <s>Λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος γωνία ἡ <lb n="1799,001,,,,3,31,35"></lb> περιεχομένη ὑπό [τε] τῆς ΑΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ <lb n="1799,001,,,,3,31,36"></lb> εὐθείας μείζων ἐστὶν ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος <lb n="1799,001,,,,3,31,37"></lb> γωνία ἡ περιεχομένη ὑπό [τε] τῆς ΑΔ[Γ] περιφερείας <lb n="1799,001,,,,3,31,38"></lb> καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς.</s> <s>καί ἐστιν αὐτό-<lb n="1799,001,,,,3,31,39"></lb> θεν φανερόν.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εὐθειῶν ὀρθή <lb n="1799,001,,,,3,31,40"></lb> ἐστιν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΑΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ <lb n="1799,001,,,,3,31,41"></lb> εὐθείας περιεχομένη μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,3,31,42"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΑΖ εὐθειῶν ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΓΑ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,31,43"></lb> εὐθείας καὶ τῆς ΑΔ[Γ] περιφερείας περιεχομένη ἐλάτ-<lb n="1799,001,,,,3,31,44"></lb> των ἐστὶν ὀρθῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,3,31,45"></lb> <s>Ἐν κύκλῳ ἄρα ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, <lb n="1799,001,,,,3,31,46"></lb> ἡ δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆς, ἡ δὲ ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,3,31,47"></lb> ἐλάττονι [τμήματι] μείζων ὀρθῆς, καὶ ἔτι ἡ μὲν τοῦ μεί-<lb n="1799,001,,,,3,31,48"></lb> ζονος τμήματος [γωνία] μείζων [ἐστὶν] ὀρθῆς, ἡ δὲ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,31,49"></lb> ἐλάττονος τμήματος [γωνία] ἐλάττων ὀρθῆς· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,3,31,50"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,31,51"></lb> <s>[Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,3,31,52"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν [ἡ] μία γωνία τριγώνου <lb n="1799,001,,,,3,31,53"></lb> ταῖς δυσὶν ἴση ᾖ, ὀρθή ἐστιν ἡ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν ἐκεί-<lb n="1799,001,,,,3,31,54"></lb> νης ἐκτὸς ταῖς αὐταῖς ἴσην εἶναι· ἐὰν δὲ αἱ ἐφεξῆς ἴσαι <lb n="1799,001,,,,3,31,55"></lb> ὦσιν, ὀρθαί εἰσιν.] <lb n="1799,001,,,,3,31,56"></lb> Ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς εἰς <lb n="1799,001,,,,3,32,1"></lb> τὸν κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα τέμνουσα τὸν κύκλον, ἃς <lb n="1799,001,,,,3,32,2"></lb> ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ, ἴσαι <lb n="1799,001,,,,3,32,3"></lb> ἔσονται ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου <lb n="1799,001,,,,3,32,4"></lb> τμήμασι γωνίαις.</s> <lb n="1799,001,,,,3,32,5"></lb> <s>Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ ἐφαπτέσθω <lb n="1799,001,,,,3,32,6"></lb> τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β σημεῖον, <lb n="1799,001,,,,3,32,7"></lb> καὶ ἀπὸ τοῦ Β σημείου διήχθω τις <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,32,8"></lb> εὐθεῖα εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τέμνουσα αὐτὸν ἡ ΒΔ.</s> <s>λέγω, <lb n="1799,001,,,,3,32,9"></lb> ὅτι ἃς ποιεῖ γωνίας ἡ ΒΔ μετὰ τῆς ΕΖ ἐφαπτομένης, <lb n="1799,001,,,,3,32,10"></lb> ἴσαι ἔσονται ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τμήμασι τοῦ κύκλου <lb n="1799,001,,,,3,32,11"></lb> γωνίαις, τουτέστιν, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ <lb n="1799,001,,,,3,32,12"></lb> ἐν τῷ ΒΑΔ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΒΔ <lb n="1799,001,,,,3,32,13"></lb> γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΔΓΒ τμήματι συνισταμένῃ <lb n="1799,001,,,,3,32,14"></lb> γωνίᾳ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,32,15"></lb> <s>Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,32,16"></lb> εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΔ περιφερείας τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,32,17"></lb> ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, ΓΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,32,18"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ <lb n="1799,001,,,,3,32,19"></lb> ΕΖ κατὰ τὸ Β, καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἦκται τῇ ἐφαπτομένῃ <lb n="1799,001,,,,3,32,20"></lb> πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ, ἐπὶ τῆς ΒΑ ἄρα τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,32,21"></lb> ΑΒΓΔ κύκλου.</s> <s>ἡ ΒΑ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,3,32,22"></lb> κύκλου· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΔΒ γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα ὀρθή <lb n="1799,001,,,,3,32,23"></lb> ἐστιν.</s> <s>λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΒΔ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,3,32,24"></lb> <s>ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ ὀρθή· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ ἴση ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,3,32,25"></lb> ταῖς ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΒΔ.</s> <s>κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΔ· <lb n="1799,001,,,,3,32,26"></lb> λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΖ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ <lb n="1799,001,,,,3,32,27"></lb> τμήματι τοῦ κύκλου γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἐν <lb n="1799,001,,,,3,32,28"></lb> κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, αἱ ἀπεναντίον αὐτοῦ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,32,29"></lb> γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <s>εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΔΒΖ, <lb n="1799,001,,,,3,32,30"></lb> ΔΒΕ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΒΖ, ΔΒΕ ταῖς <lb n="1799,001,,,,3,32,31"></lb> ὑπὸ ΒΑΔ, ΒΓΔ ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ <lb n="1799,001,,,,3,32,32"></lb> ἐδείχθη ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΕ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,32,33"></lb> κύκλου τμήματι τῷ ΔΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,3,32,34"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς <lb n="1799,001,,,,3,32,35"></lb> ἁφῆς εἰς τὸν κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα τέμνουσα τὸν κύ-<lb n="1799,001,,,,3,32,36"></lb> κλον, ἃς ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ, ἴσαι ἔσονται <lb n="1799,001,,,,3,32,37"></lb> ταῖς ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήμασι γωνίαις· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,3,32,38"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,32,39"></lb> <s>Ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας γράψαι τμῆμα κύκλου δεχό-<lb n="1799,001,,,,3,33,1"></lb> μενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,33,2"></lb> <s>Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία <lb n="1799,001,,,,3,33,3"></lb> εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ Γ· δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐ-<lb n="1799,001,,,,3,33,4"></lb> θείας τῆς ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν <lb n="1799,001,,,,3,33,5"></lb> ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,33,6"></lb> <s>Ἡ δὴ πρὸς τῷ Γ [γωνία] ἤτοι ὀξεῖά ἐστιν ἢ ὀρθὴ ἢ <lb n="1799,001,,,,3,33,7"></lb> ἀμβλεῖα· ἔστω πρότερον ὀξεῖα, καὶ ὡς ἐπὶ τῆς πρώτης <lb n="1799,001,,,,3,33,8"></lb> καταγραφῆς συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,33,9"></lb> Α σημείῳ τῇ πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ· ὀξεῖα <lb n="1799,001,,,,3,33,10"></lb> ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ.</s> <s>ἤχθω τῇ ΔΑ πρὸς ὀρθὰς ἡ <lb n="1799,001,,,,3,33,11"></lb> ΑΕ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ <lb n="1799,001,,,,3,33,12"></lb> τὸ Ζ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου τῇ <lb n="1799,001,,,,3,33,13"></lb> ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω <lb n="1799,001,,,,3,33,14"></lb> ἡ ΗΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,33,15"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, <lb n="1799,001,,,,3,33,16"></lb> κοινὴ δὲ ἡ ΖΗ, δύο δὴ αἱ ΑΖ, ΖΗ δύο <lb n="1799,001,,,,3,33,17"></lb> ταῖς ΒΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ <lb n="1799,001,,,,3,33,18"></lb> ὑπὸ ΑΖΗ [γωνίᾳ] τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση· <lb n="1799,001,,,,3,33,19"></lb> βάσις ἄρα ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση <lb n="1799,001,,,,3,33,20"></lb> ἐστίν.</s> <s>ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστή-<lb n="1799,001,,,,3,33,21"></lb> ματι δὲ τῷ ΗΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β.</s> <lb n="1799,001,,,,3,33,22"></lb> <s>γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΑΒΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ.</s> <s>ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,3,33,23"></lb> οὖν ἀπ' ἄκρας τῆς ΑΕ διαμέτρου ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΕ πρὸς <lb n="1799,001,,,,3,33,24"></lb> ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΔ, ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΕ κύ-<lb n="1799,001,,,,3,33,25"></lb> κλου· ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΕ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ <lb n="1799,001,,,,3,33,26"></lb> ΑΔ, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἁφῆς εἰς τὸν ΑΒΕ κύκλον <lb n="1799,001,,,,3,33,27"></lb> διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία ἴση ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,3,33,28"></lb> τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,33,29"></lb> <s>ἀλλ' ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ πρὸς τῷ Γ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ πρὸς τῷ <lb n="1799,001,,,,3,33,30"></lb> Γ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,33,31"></lb> <s>Ἐπὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τμῆμα κύκλου <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,33,32"></lb> γέγραπται τὸ ΑΕΒ δεχόμενον γωνίαν τὴν ὑπὸ ΑΕΒ <lb n="1799,001,,,,3,33,33"></lb> ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ πρὸς τῷ Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,33,34"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ ὀρθὴ ἔστω ἡ πρὸς τῷ Γ· καὶ δέον πάλιν ἔστω <lb n="1799,001,,,,3,33,35"></lb> ἐπὶ τῆς ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην <lb n="1799,001,,,,3,33,36"></lb> τῇ πρὸς τῷ Γ ὀρθῇ [γωνίᾳ].</s> <s>συνεστάτω [πάλιν] τῇ πρὸς <lb n="1799,001,,,,3,33,37"></lb> τῷ Γ ὀρθῇ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, ὡς <lb n="1799,001,,,,3,33,38"></lb> ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,33,39"></lb> τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,33,40"></lb> κέντρῳ τῷ Ζ, διαστήματι δὲ ὁποτέρῳ <lb n="1799,001,,,,3,33,41"></lb> τῶν ΖΑ, ΖΒ, κύκλος γεγράφθω ὁ <lb n="1799,001,,,,3,33,42"></lb> ΑΕΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,33,43"></lb> <s>Ἐφάπτεται ἄρα ἡ ΑΔ εὐθεῖα τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,33,44"></lb> ΑΒΕ κύκλου διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν <lb n="1799,001,,,,3,33,45"></lb> πρὸς τῷ Α γωνίαν.</s> <s>καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,33,46"></lb> ΒΑΔ γωνία τῇ ἐν τῷ ΑΕΒ τμήματι· ὀρθὴ γὰρ καὶ αὐτὴ <lb n="1799,001,,,,3,33,47"></lb> ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ Γ <lb n="1799,001,,,,3,33,48"></lb> ἴση ἐστίν.</s> <s>καὶ ἡ ἐν τῷ ΑΕΒ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,33,49"></lb> <s>Γέγραπται ἄρα πάλιν ἐπὶ τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,3,33,50"></lb> τμῆμα κύκλου τὸ ΑΕΒ δεχόμενον γω-<lb n="1799,001,,,,3,33,51"></lb> νίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,33,52"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ ἡ πρὸς τῷ Γ ἀμβλεῖα ἔστω· <lb n="1799,001,,,,3,33,53"></lb> καὶ συνεστάτω αὐτῇ ἴση πρὸς τῇ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,3,33,54"></lb> εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, <lb n="1799,001,,,,3,33,55"></lb> ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, <lb n="1799,001,,,,3,33,56"></lb> καὶ τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΕ, <lb n="1799,001,,,,3,33,57"></lb> καὶ τετμήσθω πάλιν ἡ ΑΒ δίχα κατὰ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,33,58"></lb> τὸ Ζ, καὶ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπ-<lb n="1799,001,,,,3,33,59"></lb> εζεύχθω ἡ ΗΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,33,60"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, καὶ κοινὴ ἡ <lb n="1799,001,,,,3,33,61"></lb> ΖΗ, δύο δὴ αἱ ΑΖ, ΖΗ δύο ταῖς ΒΖ, ΖΗ ἴσαι εἰσίν· <lb n="1799,001,,,,3,33,62"></lb> καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση· βάσις <lb n="1799,001,,,,3,33,63"></lb> ἄρα ἡ ΑΗ βάσει τῇ ΒΗ ἴση ἐστίν· ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ <lb n="1799,001,,,,3,33,64"></lb> Η διαστήματι δὲ τῷ ΗΑ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ <lb n="1799,001,,,,3,33,65"></lb> διὰ τοῦ Β.</s> <s>ἐρχέσθω ὡς ὁ ΑΕΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τῇ ΑΕ διαμέ-<lb n="1799,001,,,,3,33,66"></lb> τρῳ ἀπ' ἄκρας πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΔ, ἡ ΑΔ ἄρα ἐφάπτε-<lb n="1799,001,,,,3,33,67"></lb> ται τοῦ ΑΕΒ κύκλου.</s> <s>καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς <lb n="1799,001,,,,3,33,68"></lb> διῆκται ἡ ΑΒ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,3,33,69"></lb> ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΑΘΒ συνισταμένῃ γω-<lb n="1799,001,,,,3,33,70"></lb> νίᾳ.</s> <s>ἀλλ' ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστίν.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,3,33,71"></lb> ἡ ἐν τῷ ΑΘΒ ἄρα τμήματι γωνία ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,33,72"></lb> <s>Ἐπὶ τῆς ἄρα δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ γέγραπται <lb n="1799,001,,,,3,33,73"></lb> τμῆμα κύκλου τὸ ΑΘΒ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς <lb n="1799,001,,,,3,33,74"></lb> τῷ Γ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,33,75"></lb> <s>Ἀπὸ τοῦ δοθέντος κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν δεχόμενον <lb n="1799,001,,,,3,34,1"></lb> γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,34,2"></lb> <s>Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία <lb n="1799,001,,,,3,34,3"></lb> εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ Δ· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,34,4"></lb> τμῆμα ἀφελεῖν δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ <lb n="1799,001,,,,3,34,5"></lb> εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,34,6"></lb> <s>Ἤχθω τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Β ση-<lb n="1799,001,,,,3,34,7"></lb> μεῖον, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΖΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς <lb n="1799,001,,,,3,34,8"></lb> αὐτῇ σημείῳ τῷ Β τῇ πρὸς τῷ Δ <lb n="1799,001,,,,3,34,9"></lb> γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,34,10"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφ-<lb n="1799,001,,,,3,34,11"></lb> άπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,34,12"></lb> ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Β ἐπαφῆς δι-<lb n="1799,001,,,,3,34,13"></lb> ῆκται ἡ ΒΓ, ἡ ὑπὸ ΖΒΓ ἄρα <lb n="1799,001,,,,3,34,14"></lb> γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΒΑΓ <lb n="1799,001,,,,3,34,15"></lb> ἐναλλὰξ τμήματι συνισταμένῃ γω-<lb n="1799,001,,,,3,34,16"></lb> νίᾳ.</s> <s>ἀλλ' ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ πρὸς <lb n="1799,001,,,,3,34,17"></lb> τῷ Δ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ἐν τῷ ΒΑΓ ἄρα τμήματι ἴση <lb n="1799,001,,,,3,34,18"></lb> ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Δ [γωνίᾳ].</s> <lb n="1799,001,,,,3,34,19"></lb> <s>Ἀπὸ τοῦ δοθέντος ἄρα κύκλου τοῦ ΑΒΓ τμῆμα ἀφῄρη-<lb n="1799,001,,,,3,34,20"></lb> ται τὸ ΒΑΓ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ <lb n="1799,001,,,,3,34,21"></lb> εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ Δ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,34,22"></lb> <s>Ἐὰν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,35,1"></lb> τῶν τῆς μιᾶς τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον <lb n="1799,001,,,,3,35,2"></lb> ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας τμημάτων περιεχομένῳ <lb n="1799,001,,,,3,35,3"></lb> ὀρθογωνίῳ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,35,4"></lb> Ἐν γὰρ κύκλῳ τῷ ΑΒΓΔ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ <lb n="1799,001,,,,3,35,5"></lb> τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον· λέγω, ὅτι τὸ <lb n="1799,001,,,,3,35,6"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθο- <lb n="1799,001,,,,3,35,7"></lb> γώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ <lb n="1799,001,,,,3,35,8"></lb> περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,35,9"></lb> <s>Εἰ μὲν οὖν αἱ ΑΓ, ΒΔ διὰ τοῦ κέν-<lb n="1799,001,,,,3,35,10"></lb> τρου εἰσὶν ὥστε τὸ Ε κέντρον εἶναι τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,35,11"></lb> ΑΒΓΔ κύκλου, φανερόν, ὅτι ἴσων <lb n="1799,001,,,,3,35,12"></lb> οὐσῶν τῶν ΑΕ, ΕΓ, ΔΕ, ΕΒ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ <lb n="1799,001,,,,3,35,13"></lb> περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,3,35,14"></lb> ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,35,15"></lb> <s>Μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ΑΓ, ΔΒ διὰ τοῦ κέντρου, καὶ εἰλή-<lb n="1799,001,,,,3,35,16"></lb> φθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,35,17"></lb> Ζ ἐπὶ τὰς ΑΓ, ΔΒ εὐθείας κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΖΗ, <lb n="1799,001,,,,3,35,18"></lb> ΖΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, <lb n="1799,001,,,,3,35,19"></lb> ΖΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,35,20"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ εὐθει̂ά τις διὰ τοῦ κέντρου <lb n="1799,001,,,,3,35,21"></lb> ἡ ΗΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου <lb n="1799,001,,,,3,35,22"></lb> τὴν ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα <lb n="1799,001,,,,3,35,23"></lb> αὐτὴν τέμνει· ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,35,24"></lb> <s>ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται εἰς μὲν <lb n="1799,001,,,,3,35,25"></lb> ἴσα κατὰ τὸ Η, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ <lb n="1799,001,,,,3,35,26"></lb> τὸ Ε, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον <lb n="1799,001,,,,3,35,27"></lb> μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,3,35,28"></lb> ΗΓ· [κοινὸν] προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,35,29"></lb> τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΕ, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τοῖς <lb n="1799,001,,,,3,35,30"></lb> ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΖ.</s> <s>ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΖ ἴσον <lb n="1799,001,,,,3,35,31"></lb> ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΓΗ, ΗΖ ἴσον <lb n="1799,001,,,,3,35,32"></lb> ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,35,33"></lb> ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΓ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΖΓ τῇ <lb n="1799,001,,,,3,35,34"></lb> ΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον <lb n="1799,001,,,,3,35,35"></lb> ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,3,35,36"></lb> ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,35,37"></lb> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,3,35,38"></lb> ΖΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ <lb n="1799,001,,,,3,35,39"></lb> τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ μετὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,35,40"></lb> ἀπὸ τῆς ΖΕ.</s> <s>κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· λοιπὸν <lb n="1799,001,,,,3,35,41"></lb> ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον <lb n="1799,001,,,,3,35,42"></lb> ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,35,43"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ εὐθεῖαι δύο τέμνωσιν ἀλλήλας, τὸ <lb n="1799,001,,,,3,35,44"></lb> ὑπὸ τῶν τῆς μιᾶς τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον <lb n="1799,001,,,,3,35,45"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας τμημάτων περιεχομένῳ <lb n="1799,001,,,,3,35,46"></lb> ὀρθογωνίῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,35,47"></lb> <s>Ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, καὶ ἀπ' αὐτοῦ <lb n="1799,001,,,,3,36,1"></lb> πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν <lb n="1799,001,,,,3,36,2"></lb> αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ ἐφάπτηται, ἔσται τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,36,3"></lb> ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,36,4"></lb> μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον <lb n="1799,001,,,,3,36,5"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,36,6"></lb> <s>Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, <lb n="1799,001,,,,3,36,7"></lb> καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν <lb n="1799,001,,,,3,36,8"></lb> δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΓ[Α], ΔΒ· καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν <lb n="1799,001,,,,3,36,9"></lb> ΑΒΓ κύκλον, ἡ δὲ ΒΔ ἐφαπτέσθω· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,36,10"></lb> τῶν ΑΔ, ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον <lb n="1799,001,,,,3,36,11"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,36,12"></lb> <s>Ἡ ἄρα [Δ]ΓΑ ἤτοι διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,3,36,13"></lb> ἢ οὔ.</s> <s>ἔστω πρότερον διὰ τοῦ κέντρου, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,36,14"></lb> ἔστω τὸ Ζ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,36,15"></lb> ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,3,36,16"></lb> ΖΒΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ δίχα τέτμηται <lb n="1799,001,,,,3,36,17"></lb> κατὰ τὸ Ζ, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,3,36,18"></lb> ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,3,36,19"></lb> ΖΓ τῇ ΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,3,36,20"></lb> ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ.</s> <s>τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΔ ἴσα <lb n="1799,001,,,,3,36,21"></lb> ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ <lb n="1799,001,,,,3,36,22"></lb> τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΔ.</s> <s>κοινὸν <lb n="1799,001,,,,3,36,23"></lb> ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,3,36,24"></lb> ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἐφαπτο- <lb n="1799,001,,,,3,36,25"></lb> μένης.</s> <lb n="1799,001,,,,3,36,26"></lb> <s>ἀλλὰ δὴ ἡ ΔΓΑ μὴ ἔστω διὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,36,27"></lb> κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ εἰλήφθω <lb n="1799,001,,,,3,36,28"></lb> τὸ κέντρον τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,36,29"></lb> τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ, <lb n="1799,001,,,,3,36,30"></lb> ΕΓ, ΕΔ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά <lb n="1799,001,,,,3,36,31"></lb> τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέν-<lb n="1799,001,,,,3,36,32"></lb> τρου τὴν ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει· <lb n="1799,001,,,,3,36,33"></lb> ἡ ΑΖ ἄρα τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμη-<lb n="1799,001,,,,3,36,34"></lb> ται δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ, τὸ <lb n="1799,001,,,,3,36,35"></lb> ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,3,36,36"></lb> ἀπὸ τῆς ΖΔ.</s> <s>κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· τὸ ἄρα <lb n="1799,001,,,,3,36,37"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,3,36,38"></lb> τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΔ, ΖΕ.</s> <s>τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσον <lb n="1799,001,,,,3,36,39"></lb> ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ· ὀρθὴ γὰρ [ἐστιν] ἡ ὑπὸ ΕΖΓ [γω-<lb n="1799,001,,,,3,36,40"></lb> νία]· τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΔΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ· <lb n="1799,001,,,,3,36,41"></lb> τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,3,36,42"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΕΔ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΕΓ τῇ ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,3,36,43"></lb> ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,36,44"></lb> <s>τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΒ, ΒΔ· ὀρθὴ <lb n="1799,001,,,,3,36,45"></lb> γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ <lb n="1799,001,,,,3,36,46"></lb> τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΒ, ΒΔ.</s> <s>κοινὸν <lb n="1799,001,,,,3,36,47"></lb> ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,3,36,48"></lb> ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,36,49"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, καὶ ἀπ' αὐτοῦ <lb n="1799,001,,,,3,36,50"></lb> πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν <lb n="1799,001,,,,3,36,51"></lb> αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ ἐφάπτηται, ἔσται τὸ ὑπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,36,52"></lb> ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης <lb n="1799,001,,,,3,36,53"></lb> μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον <lb n="1799,001,,,,3,36,54"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,3,36,55"></lb> <s>Ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ ση-<lb n="1799,001,,,,3,37,1"></lb> μείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,3,37,2"></lb> μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ προσπίπτῃ, ᾖ δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,3,37,3"></lb> ὑπὸ [τῆσ] ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανο-<lb n="1799,001,,,,3,37,4"></lb> μένης μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας <lb n="1799,001,,,,3,37,5"></lb> ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς προσπιπτούσης, ἡ προσπίπτουσα ἐφ-<lb n="1799,001,,,,3,37,6"></lb> άψεται τοῦ κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,3,37,7"></lb> <s>κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, <lb n="1799,001,,,,3,37,8"></lb> καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν <lb n="1799,001,,,,3,37,9"></lb> δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΓΑ, ΔΒ, καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν <lb n="1799,001,,,,3,37,10"></lb> κύκλον, ἡ δὲ ΔΒ προσπιπτέτω, ἔστω <lb n="1799,001,,,,3,37,11"></lb> δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,3,37,12"></lb> τῆς ΔΒ.</s> <s>λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ ἐφάπτεται <lb n="1799,001,,,,3,37,13"></lb> τοῦ ΑΒΓ κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,3,37,14"></lb> <s>Ἤχθω γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ <lb n="1799,001,,,,3,37,15"></lb> ΔΕ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,3,37,16"></lb> κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύ-<lb n="1799,001,,,,3,37,17"></lb> χθωσαν αἱ ΖΕ, ΖΒ, ΖΔ.</s> <s>ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΕΔ ὀρθή ἐστιν.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,3,37,18"></lb> ἐπεὶ ἡ ΔΕ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου, τέμνει δὲ ἡ ΔΓΑ, τὸ <lb n="1799,001,,,,3,37,19"></lb> ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΕ.</s> <s>ἦν δὲ καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,37,20"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,3,37,21"></lb> ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ· ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,37,22"></lb> <s>ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΖΒ ἴση· δύο δὴ αἱ ΔΕ, ΕΖ δύο ταῖς <lb n="1799,001,,,,3,37,23"></lb> ΔΒ, ΒΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΖΔ· γωνία <lb n="1799,001,,,,3,37,24"></lb> ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐστιν ἴση.</s> <s>ὀρθὴ δὲ <lb n="1799,001,,,,3,37,25"></lb> ἡ ὑπὸ ΔΕΖ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΖ.</s> <s>καί ἐστιν ἡ ΖΒ <lb n="1799,001,,,,3,37,26"></lb> ἐκβαλλομένη διάμετρος· ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς <lb n="1799,001,,,,3,37,27"></lb> ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου· ἡ ΔΒ <lb n="1799,001,,,,3,37,28"></lb> ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου.</s> <s>ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, <lb n="1799,001,,,,3,37,29"></lb> κἂν τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς ΑΓ τυγχάνῃ.</s> <lb n="1799,001,,,,3,37,30"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ <lb n="1799,001,,,,3,37,31"></lb> σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ <lb n="1799,001,,,,3,37,32"></lb> ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ προσπίπτῃ, ᾖ δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,3,37,33"></lb> ὑπὸ ὅλης τῆς τεμνούσης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης <lb n="1799,001,,,,3,37,34"></lb> μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον <lb n="1799,001,,,,3,37,35"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς προσπιπτούσης, ἡ προσπίπτουσα ἐφάψεται <lb n="1799,001,,,,3,37,36"></lb> τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,3,37,37"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς σχῆμα εὐθύγραμμον ἐγ-<lb n="1799,001,,,,4;HOR,1,1"></lb> γράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη τῶν τοῦ ἐγγραφομένου <lb n="1799,001,,,,4;HOR,1,2"></lb> σχήματος γωνιῶν ἑκάστης πλευρᾶς τοῦ, εἰς ὃ ἐγγράφεται, <lb n="1799,001,,,,4;HOR,1,3"></lb> ἅπτηται.</s> <lb n="1799,001,,,,4;HOR,1,4"></lb> <s>Σχῆμα δὲ ὁμοίως περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λέγε-<lb n="1799,001,,,,4;HOR,2,1"></lb> ται, ὅταν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου ἑκάστης <lb n="1799,001,,,,4;HOR,2,2"></lb> γωνίας τοῦ, περὶ ὃ περιγράφεται, ἅπτηται.</s> <lb n="1799,001,,,,4;HOR,2,3"></lb> <s>Σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς κύκλον ἐγγράφεσθαι λέ-<lb n="1799,001,,,,4;HOR,3,1"></lb> γεται, ὅταν ἑκάστη γωνία τοῦ ἐγγραφομένου ἅπτηται <lb n="1799,001,,,,4;HOR,3,2"></lb> τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας.</s> <lb n="1799,001,,,,4;HOR,3,3"></lb> <s>Σχῆμα δὲ εὐθύγραμμον περὶ κύκλον περιγράφεσθαι <lb n="1799,001,,,,4;HOR,4,1"></lb> λέγεται, ὅταν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου ἐφάπτη-<lb n="1799,001,,,,4;HOR,4,2"></lb> ται τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας.</s> <lb n="1799,001,,,,4;HOR,4,3"></lb> <s>Κύκλος δὲ εἰς σχῆμα ὁμοίως ἐγγράφεσθαι λέγεται, <lb n="1799,001,,,,4;HOR,5,1"></lb> ὅταν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἑκάστης πλευρᾶς τοῦ, εἰς <lb n="1799,001,,,,4;HOR,5,2"></lb> ὃ ἐγγράφεται, ἅπτηται.</s> <lb n="1799,001,,,,4;HOR,5,3"></lb> <s>Κύκλος δὲ περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν <lb n="1799,001,,,,4;HOR,6,1"></lb> ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἑκάστης γωνίας τοῦ, περὶ ὃ <lb n="1799,001,,,,4;HOR,6,2"></lb> περιγράφεται, ἅπτηται.</s> <lb n="1799,001,,,,4;HOR,6,3"></lb> <s>Εὐθεῖα εἰς κύκλον ἐναρμόζεσθαι λέγεται, ὅταν τὰ <lb n="1799,001,,,,4;HOR,7,1"></lb> πέρατα αὐτῆς ἐπὶ τῆς περιφερείας ᾖ τοῦ κύκλου.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4;HOR,7,2"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ μὴ μείζονι <lb n="1799,001,,,,4,1,1"></lb> οὔσῃ τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου ἴσην εὐθεῖαν ἐναρμόσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,1,2"></lb> <s>Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα μὴ <lb n="1799,001,,,,4,1,3"></lb> μείζων τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου ἡ Δ.</s> <s>δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,4,1,4"></lb> κύκλον τῇ Δ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν ἐναρμόσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,1,5"></lb> <s>Ἤχθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου διάμετρος ἡ <lb n="1799,001,,,,4,1,6"></lb> ΒΓ.</s> <s>εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ Δ, γε-<lb n="1799,001,,,,4,1,7"></lb> γονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν· ἐνήρμοσται <lb n="1799,001,,,,4,1,8"></lb> γὰρ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῇ Δ εὐθείᾳ ἴση <lb n="1799,001,,,,4,1,9"></lb> ἡ ΒΓ.</s> <s>εἰ δὲ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς Δ, <lb n="1799,001,,,,4,1,10"></lb> κείσθω τῇ Δ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ κέντρῳ τῷ <lb n="1799,001,,,,4,1,11"></lb> Γ διαστήματι δὲ τῷ ΓΕ κύκλος γεγρά-<lb n="1799,001,,,,4,1,12"></lb> φθω ὁ ΕΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΑ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,1,13"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν τὸ Γ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΑΖ κύκλου, <lb n="1799,001,,,,4,1,14"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΓΕ.</s> <s>ἀλλὰ τῇ Δ ἡ ΓΕ ἐστιν ἴση· καὶ <lb n="1799,001,,,,4,1,15"></lb> ἡ Δ ἄρα τῇ ΓΑ ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,4,1,16"></lb> <s>Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον τὸν ΑΒΓ τῇ δοθείσῃ <lb n="1799,001,,,,4,1,17"></lb> εὐθείᾳ τῇ Δ ἴση ἐνήρμοσται ἡ ΓΑ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,1,18"></lb> <s>Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον <lb n="1799,001,,,,4,2,1"></lb> τρίγωνον ἐγγράψαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,2,2"></lb> Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,4,2,3"></lb> τὸ ΔΕΖ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ <lb n="1799,001,,,,4,2,4"></lb> ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,2,5"></lb> <s>Ἤχθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη ἡ ΗΘ κατὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,4,2,6"></lb> Α, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΘ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,4,2,7"></lb> σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ <lb n="1799,001,,,,4,2,8"></lb> ἴση ἡ ὑπὸ ΘΑΓ, πρὸς δὲ τῇ ΑΗ <lb n="1799,001,,,,4,2,9"></lb> εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ <lb n="1799,001,,,,4,2,10"></lb> Α τῇ ὑπὸ ΔΖΕ [γωνίᾳ] ἴση ἡ <lb n="1799,001,,,,4,2,11"></lb> ὑπὸ ΗΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,2,12"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,4,2,13"></lb> ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΘ, καὶ <lb n="1799,001,,,,4,2,14"></lb> ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς εἰς τὸν κύκλον διῆκται <lb n="1799,001,,,,4,2,15"></lb> εὐθεῖα ἡ ΑΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΘΑΓ ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ <lb n="1799,001,,,,4,2,16"></lb> τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ.</s> <s>ἀλλ' ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,2,17"></lb> ΘΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία <lb n="1799,001,,,,4,2,18"></lb> τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ <lb n="1799,001,,,,4,2,19"></lb> τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ λοιπῇ <lb n="1799,001,,,,4,2,20"></lb> τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση· [ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,4,2,21"></lb> τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν <lb n="1799,001,,,,4,2,22"></lb> ΑΒΓ κύκλον].</s> <lb n="1799,001,,,,4,2,23"></lb> <s>Εἰς τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσο-<lb n="1799,001,,,,4,2,24"></lb> γώνιον τρίγωνον ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,2,25"></lb> Περὶ τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώ-<lb n="1799,001,,,,4,3,1"></lb> νιον τρίγωνον περιγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,3,2"></lb> <s>Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,4,3,3"></lb> τὸ ΔΕΖ· δεῖ δὴ περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον τῷ ΔΕΖ τρι-<lb n="1799,001,,,,4,3,4"></lb> γώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,3,5"></lb> <s>Ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΖ ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη κατὰ τὰ Η, <lb n="1799,001,,,,4,3,6"></lb> Θ σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Κ, <lb n="1799,001,,,,4,3,7"></lb> καὶ διήχθω, ὡς ἔτυχεν, εὐθεῖα ἡ ΚΒ, καὶ συνεστάτω <lb n="1799,001,,,,4,3,8"></lb> πρὸς τῇ ΚΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς <lb n="1799,001,,,,4,3,9"></lb> αὐτῇ σημείῳ τῷ Κ τῇ μὲν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,3,10"></lb> ΔΕΗ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΚΑ, <lb n="1799,001,,,,4,3,11"></lb> τῇ δὲ ὑπὸ ΔΖΘ ἴση ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,3,12"></lb> ΒΚΓ, καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ ση-<lb n="1799,001,,,,4,3,13"></lb> μείων ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ <lb n="1799,001,,,,4,3,14"></lb> ΑΒΓ κύκλου αἱ ΛΑΜ, ΜΒΝ, <lb n="1799,001,,,,4,3,15"></lb> ΝΓΛ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,3,16"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἐφάπτονται τοῦ ΑΒΓ κύκλου αἱ ΛΜ, ΜΝ, <lb n="1799,001,,,,4,3,17"></lb> ΝΛ κατὰ τὰ Α, Β, Γ σημεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ Κ κέντρου ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,4,3,18"></lb> τὰ Α, Β, Γ σημεῖα ἐπεζευγμέναι εἰσὶν αἱ ΚΑ, ΚΒ, ΚΓ, <lb n="1799,001,,,,4,3,19"></lb> ὀρθαὶ ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς Α, Β, Γ σημείοις γωνίαι.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,4,3,20"></lb> ἐπεὶ τοῦ ΑΜΒΚ τετραπλεύρου αἱ τέσσαρες γωνίαι τέτρα-<lb n="1799,001,,,,4,3,21"></lb> σιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἐπειδήπερ καὶ εἰς δύο τρίγωνα διαι- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,4,3,22"></lb> ρεῖται τὸ ΑΜΒΚ, καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΚΑΜ, ΚΒΜ <lb n="1799,001,,,,4,3,23"></lb> γωνίαι, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΚΒ, ΑΜΒ δυσὶν ὀρθαῖς <lb n="1799,001,,,,4,3,24"></lb> ἴσαι εἰσίν.</s> <s>εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΔΕΗ, ΔΕΖ δυσὶν ὀρθαῖς <lb n="1799,001,,,,4,3,25"></lb> ἴσαι· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΚΒ, ΑΜΒ ταῖς ὑπὸ ΔΕΗ, ΔΕΖ <lb n="1799,001,,,,4,3,26"></lb> ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ ὑπὸ ΑΚΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΗ ἐστιν ἴση· λοιπὴ <lb n="1799,001,,,,4,3,27"></lb> ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,4,3,28"></lb> δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΛΝΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,4,3,29"></lb> ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΛΝ [λοιπῇ] τῇ ὑπὸ ΕΔΖ <lb n="1799,001,,,,4,3,30"></lb> ἐστιν ἴση.</s> <s>ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΜΝ τρίγωνον τῷ <lb n="1799,001,,,,4,3,31"></lb> ΔΕΖ τριγώνῳ· καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,4,3,32"></lb> κύκλον.</s> <lb n="1799,001,,,,4,3,33"></lb> <s>Περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσο-<lb n="1799,001,,,,4,3,34"></lb> γώνιον τρίγωνον περιγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,3,35"></lb> <s>Εἰς τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,4,1"></lb> <s>Ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ· δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,4,4,2"></lb> τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,4,3"></lb> <s>Τετμήσθωσαν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαι δίχα ταῖς <lb n="1799,001,,,,4,4,4"></lb> ΒΔ, ΓΔ εὐθείαις, καὶ συμβαλλέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Δ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,4,5"></lb> σημεῖον, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ <lb n="1799,001,,,,4,4,6"></lb> εὐθείας κάθετοι αἱ ΔΕ, ΔΖ, ΔΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,4,7"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΔ, <lb n="1799,001,,,,4,4,8"></lb> ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΖΔ ἴση, δύο <lb n="1799,001,,,,4,4,9"></lb> δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΕΒΔ, ΖΒΔ <lb n="1799,001,,,,4,4,10"></lb> τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις <lb n="1799,001,,,,4,4,11"></lb> ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ <lb n="1799,001,,,,4,4,12"></lb> πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,4,13"></lb> μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν κοινὴν <lb n="1799,001,,,,4,4,14"></lb> αὐτῶν τὴν ΒΔ· καὶ τὰς λοιπὰς <lb n="1799,001,,,,4,4,15"></lb> ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς <lb n="1799,001,,,,4,4,16"></lb> ἴσας ἕξουσιν· ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΖ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ <lb n="1799,001,,,,4,4,17"></lb> καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση.</s> <s>αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,4,4,18"></lb> ΔΖ, ΔΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Δ καὶ δια-<lb n="1799,001,,,,4,4,19"></lb> στήματι ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Η κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ <lb n="1799,001,,,,4,4,20"></lb> τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ <lb n="1799,001,,,,4,4,21"></lb> εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ε, Ζ, Η σημείοις <lb n="1799,001,,,,4,4,22"></lb> γωνίας.</s> <s>εἰ γὰρ τεμεῖ αὐτάς, ἔσται ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ <lb n="1799,001,,,,4,4,23"></lb> κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πίπτουσα <lb n="1799,001,,,,4,4,24"></lb> τοῦ κύκλου· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη· οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Δ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,4,25"></lb> διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Η γραφόμενος κύκλος <lb n="1799,001,,,,4,4,26"></lb> τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθείας· ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν, <lb n="1799,001,,,,4,4,27"></lb> καὶ ἔσται ὁ κύκλος ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,4,4,28"></lb> <s>ἐγγεγράφθω ὡς ὁ ΖΗΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,4,29"></lb> <s>Εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλος ἐγγέγραπται <lb n="1799,001,,,,4,4,30"></lb> ὁ ΕΖΗ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,4,31"></lb> <s>Περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,5,1"></lb> <s>Ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ· δεῖ <ὴ>περὶ τὸ δο-<lb n="1799,001,,,,4,5,2"></lb> θὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλον περιγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,5,3"></lb> <s>Τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι δίχα κατὰ τὰ Δ, Ε <lb n="1799,001,,,,4,5,4"></lb> σημεῖα, καὶ ἀπὸ τῶν Δ, Ε σημείων ταῖς ΑΒ, ΑΓ πρὸς <lb n="1799,001,,,,4,5,5"></lb> ὁρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΔΖ, ΕΖ· συμπεσοῦνται δὴ ἤτοι ἐντὸς <lb n="1799,001,,,,4,5,6"></lb> τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἢ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας ἢ ἐκτὸς τῆς <lb n="1799,001,,,,4,5,7"></lb> ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,5,8"></lb> <s>Συμπιπτέτωσαν πρότερον ἐντὸς κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύ-<lb n="1799,001,,,,4,5,9"></lb> χθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΑ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ <lb n="1799,001,,,,4,5,10"></lb> ΔΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ <lb n="1799,001,,,,4,5,11"></lb> βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΖ <lb n="1799,001,,,,4,5,12"></lb> τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση· αἱ <lb n="1799,001,,,,4,5,13"></lb> τρεῖς ἄρα αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>ὁ ἄρα κέν- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,4,5,14"></lb> τρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ κύκλος γραφό-<lb n="1799,001,,,,4,5,15"></lb> μενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἔσται περι-<lb n="1799,001,,,,4,5,16"></lb> γεγραμμένος ὁ κύκλος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.</s> <s>περι-<lb n="1799,001,,,,4,5,17"></lb> γεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓ. <lb n="1799,001,,,,4,5,18"></lb> Ἀλλὰ δὴ αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας <lb n="1799,001,,,,4,5,19"></lb> κατὰ τὸ Ζ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ <lb n="1799,001,,,,4,5,20"></lb> ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι τὸ Ζ σημεῖον <lb n="1799,001,,,,4,5,21"></lb> κέντρον ἐστὶ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον περιγραφομένου <lb n="1799,001,,,,4,5,22"></lb> κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,4,5,23"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,4,5,24"></lb> τριγώνου κατὰ τὸ Ζ πάλιν, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης κατα-<lb n="1799,001,,,,4,5,25"></lb> γραφῆς, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΒΖ, ΓΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,4,5,26"></lb> πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς <lb n="1799,001,,,,4,5,27"></lb> ἡ ΔΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΒΖ ἐστιν ἴση.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,4,5,28"></lb> δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,4,5,29"></lb> ΒΖ τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση· ὁ ἄρα [πάλιν] κέντρῳ τῷ Ζ δια- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,4,5,30"></lb> στήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ κύκλος γραφόμενος <lb n="1799,001,,,,4,5,31"></lb> ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἔσται περιγεγραμ-<lb n="1799,001,,,,4,5,32"></lb> μένος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,4,5,33"></lb> <s>Περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τρίγωνον κύκλος περιγέγραπται· <lb n="1799,001,,,,4,5,34"></lb> ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,5,35"></lb> <s>[Πόρισμα] <lb n="1799,001,,,,4,5,36"></lb> Καὶ φανερόν, ὅτι, ὅτε μὲν ἐντὸς τοῦ τριγώνου πίπτει <lb n="1799,001,,,,4,5,37"></lb> τὸ κέντρον τοῦ κύκλου, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ἐν μείζονι τμή-<lb n="1799,001,,,,4,5,38"></lb> ματι τοῦ ἡμικυκλίου τυγχάνουσα ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς· <lb n="1799,001,,,,4,5,39"></lb> ὅτε δὲ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας τὸ κέντρον πίπτει, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ <lb n="1799,001,,,,4,5,40"></lb> γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ τυγχάνουσα ὀρθή ἐστιν· ὅτε δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,4,5,41"></lb> κέντρον τοῦ κύκλου ἐκτὸς τοῦ τριγώνου πίπτει, ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,5,42"></lb> ΒΑΓ ἐν ἐλάττονι τμήματι τοῦ ἡμικυκλίου τυγχάνουσα <lb n="1799,001,,,,4,5,43"></lb> μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.</s> <s>[ὥστε καὶ ὅταν ἐλάττων ὀρθῆς τυγ-<lb n="1799,001,,,,4,5,44"></lb> χάνῃ ἡ διδομένη γωνία, ἐντὸς τοῦ τριγώνου πεσοῦνται <lb n="1799,001,,,,4,5,45"></lb> αἱ ΔΖ, ΕΖ, ὅταν δὲ ὀρθή, ἐπὶ τῆς ΒΓ, ὅταν δὲ μείζων <lb n="1799,001,,,,4,5,46"></lb> ὀρθῆς, ἐκτὸς τῆς ΒΓ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.] <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,5,47"></lb> Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,6,1"></lb> <s>Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,4,6,2"></lb> κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,6,3"></lb> <s>Ἤχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς <lb n="1799,001,,,,4,6,4"></lb> ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,4,6,5"></lb> ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,6,6"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ· κέντρον γὰρ τὸ Ε· <lb n="1799,001,,,,4,6,7"></lb> κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΑ, βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσει <lb n="1799,001,,,,4,6,8"></lb> τῇ ΑΔ ἴση ἐστίν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,4,6,9"></lb> ἑκατέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΑΔ <lb n="1799,001,,,,4,6,10"></lb> ἴση ἐστίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,4,6,11"></lb> τετράπλευρον.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώ-<lb n="1799,001,,,,4,6,12"></lb> νιον.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΔ εὐθεῖα διάμετρός <lb n="1799,001,,,,4,6,13"></lb> ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἡμικύκλιον ἄρα <lb n="1799,001,,,,4,6,14"></lb> ἐστὶ τὸ ΒΑΔ· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ <lb n="1799,001,,,,4,6,15"></lb> γωνία.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, <lb n="1799,001,,,,4,6,16"></lb> ΓΔΑ ὀρθή ἐστιν· ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετρά-<lb n="1799,001,,,,4,6,17"></lb> πλευρον.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον· τετράγωνον ἄρα <lb n="1799,001,,,,4,6,18"></lb> ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.</s> <lb n="1799,001,,,,4,6,19"></lb> <s>Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγέγραπται <lb n="1799,001,,,,4,6,20"></lb> τὸ ΑΒΓΔ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,6,21"></lb> <s>Περὶ τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον περιγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,7,1"></lb> <s>Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ· δεῖ δὴ περὶ τὸν <lb n="1799,001,,,,4,7,2"></lb> ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,7,3"></lb> Ἤχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς <lb n="1799,001,,,,4,7,4"></lb> ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ ση-<lb n="1799,001,,,,4,7,5"></lb> μείων ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου αἱ ΖΗ, <lb n="1799,001,,,,4,7,6"></lb> ΗΘ, ΘΚ, ΚΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,7,7"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται ἡ ΖΗ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἀπὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,4,7,8"></lb> τοῦ Ε κέντρου ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ Α ἐπαφὴν ἐπέζευκται ἡ <lb n="1799,001,,,,4,7,9"></lb> ΕΑ, αἱ ἄρα πρὸς τῷ Α γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ <lb n="1799,001,,,,4,7,10"></lb> καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Γ, Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,4,7,11"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία, <lb n="1799,001,,,,4,7,12"></lb> ἐστὶ δὲ ὀρθὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ, παράλληλος <lb n="1799,001,,,,4,7,13"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΑΓ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ <lb n="1799,001,,,,4,7,14"></lb> καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΖΚ ἐστι παράλληλος.</s> <s>ὥστε <lb n="1799,001,,,,4,7,15"></lb> καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΖΚ ἐστι παράλληλος.</s> <lb n="1799,001,,,,4,7,16"></lb> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν <lb n="1799,001,,,,4,7,17"></lb> ΗΖ, ΘΚ τῇ ΒΕΔ ἐστι παράλληλος.</s> <lb n="1799,001,,,,4,7,18"></lb> <s>παραλληλόγραμμα ἄρα ἐστὶ τὰ ΗΚ, ΗΓ, ΑΚ, ΖΒ, ΒΚ· <lb n="1799,001,,,,4,7,19"></lb> ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΗΖ τῇ ΘΚ, ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΖΚ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,4,7,20"></lb> ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ καὶ ἡ μὲν ΑΓ ἑκατέρᾳ <lb n="1799,001,,,,4,7,21"></lb> τῶν ΗΘ, ΖΚ, ἡ δὲ ΒΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΗΖ, ΘΚ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,4,7,22"></lb> ἴση [καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΗΘ, ΖΚ ἑκατέρᾳ τῶν ΗΖ, <lb n="1799,001,,,,4,7,23"></lb> ΘΚ ἐστιν ἴση], ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ τετρά-<lb n="1799,001,,,,4,7,24"></lb> πλευρον.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ παραλλη- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,4,7,25"></lb> λόγραμμόν ἐστι τὸ ΗΒΕΑ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ, <lb n="1799,001,,,,4,7,26"></lb> ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,4,7,27"></lb> αἱ πρὸς τοῖς Θ, Κ, Ζ γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.</s> <s>ὀρθογώνιον ἄρα <lb n="1799,001,,,,4,7,28"></lb> ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον· τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,4,7,29"></lb> ἄρα ἐστίν.</s> <s>καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.</s> <lb n="1799,001,,,,4,7,30"></lb> <s>Περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τετράγωνον περιγέγρα-<lb n="1799,001,,,,4,7,31"></lb> πται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,7,32"></lb> <s>Εἰς τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,8,1"></lb> <s>Ἔστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ· δεῖ δὴ εἰς τὸ <lb n="1799,001,,,,4,8,2"></lb> ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,8,3"></lb> <s>Τετμήσθω ἑκατέρα τῶν ΑΔ, ΑΒ δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ <lb n="1799,001,,,,4,8,4"></lb> σημεῖα, καὶ διὰ μὲν τοῦ Ε ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ παράλ-<lb n="1799,001,,,,4,8,5"></lb> ληλος ἤχθω ἡ ΕΘ, διὰ δὲ τοῦ Ζ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,4,8,6"></lb> παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΚ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,4,8,7"></lb> ἕκαστον τῶν ΑΚ, ΚΒ, ΑΘ, ΘΔ, ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,4,8,8"></lb> ΗΓ, ΒΗ, ΗΔ, καὶ αἱ ἀπεναντίον αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,4,8,9"></lb> πλευραὶ δηλονότι ἴσαι [εἰσίν].</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,4,8,10"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ, καί ἐστι τῆς μὲν <lb n="1799,001,,,,4,8,11"></lb> ΑΔ ἡμίσεια ἡ ΑΕ, τῆς δὲ ΑΒ ἡμίσεια <lb n="1799,001,,,,4,8,12"></lb> ἡ ΑΖ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΖ· ὥστε <lb n="1799,001,,,,4,8,13"></lb> καὶ αἱ ἀπεναντίον· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΗ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,8,14"></lb> τῇ ΗΕ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΘ, <lb n="1799,001,,,,4,8,15"></lb> ΗΚ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΗ, ΗΕ ἐστιν ἴση· αἱ τέσσαρες ἄρα <lb n="1799,001,,,,4,8,16"></lb> αἱ ΗΕ, ΗΖ, ΗΘ, ΗΚ ἴσαι ἀλλήλαις [εἰσίν].</s> <s>ὁ ἄρα <lb n="1799,001,,,,4,8,17"></lb> κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Θ, Κ <lb n="1799,001,,,,4,8,18"></lb> κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων· <lb n="1799,001,,,,4,8,19"></lb> καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ εὐθειῶν διὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,4,8,20"></lb> ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ε, Ζ, Θ, Κ γωνίας· εἰ γὰρ τεμεῖ <lb n="1799,001,,,,4,8,21"></lb> ὁ κύκλος τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ <lb n="1799,001,,,,4,8,22"></lb> κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται τοῦ <lb n="1799,001,,,,4,8,23"></lb> κύκλου· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.</s> <s>οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Η <lb n="1799,001,,,,4,8,24"></lb> διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Θ, Κ κύκλος γραφόμενος <lb n="1799,001,,,,4,8,25"></lb> τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ εὐθείας.</s> <s>ἐφάψεται ἄρα αὐ-<lb n="1799,001,,,,4,8,26"></lb> τῶν καὶ ἔσται ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,4,8,27"></lb> <s>Εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλος ἐγγέγραπται· <lb n="1799,001,,,,4,8,28"></lb> ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,8,29"></lb> <s>Περὶ τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον περιγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,9,1"></lb> <s>Ἔστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ· δεῖ δὴ περὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,4,9,2"></lb> ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον περιγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,9,3"></lb> <s>Ἐπιζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας <lb n="1799,001,,,,4,9,4"></lb> κατὰ τὸ Ε.</s> <lb n="1799,001,,,,4,9,5"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, δύο <lb n="1799,001,,,,4,9,6"></lb> δὴ αἱ ΔΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΒΑ, ΑΓ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,9,7"></lb> ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΒΓ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ <lb n="1799,001,,,,4,9,8"></lb> τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση ἐστίν· ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία δίχα <lb n="1799,001,,,,4,9,9"></lb> τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΓ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη <lb n="1799,001,,,,4,9,10"></lb> τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ δίχα τέτμηται <lb n="1799,001,,,,4,9,11"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΔΒ εὐθειῶν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση <lb n="1799,001,,,,4,9,12"></lb> ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,4,9,13"></lb> καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΔΑΒ ἡμίσεια ἡ <lb n="1799,001,,,,4,9,14"></lb> ὑπὸ ΕΑΒ, τῆς δὲ ὑπὸ ΑΒΓ ἡμίσεια ἡ <lb n="1799,001,,,,4,9,15"></lb> ὑπὸ ΕΒΑ, καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΒ ἄρα τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,9,16"></lb> ΕΒΑ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΑ <lb n="1799,001,,,,4,9,17"></lb> τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,4,9,18"></lb> τῶν ΕΑ, ΕΒ [εὐθειῶν] ἑκατέρᾳ τῶν ΕΓ, ΕΔ ἴση ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,4,9,19"></lb> <s>αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΕΑ, ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ ἴσαι ἀλλήλαις <lb n="1799,001,,,,4,9,20"></lb> εἰσίν.</s> <s>ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ε καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν Α, Β, <lb n="1799,001,,,,4,9,21"></lb> Γ, Δ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων <lb n="1799,001,,,,4,9,22"></lb> καὶ ἔσται περιγεγραμμένος περὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,4,9,23"></lb> <s>περιγεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,9,24"></lb> <s>Περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τετράγωνον κύκλος περιγέγραπται· <lb n="1799,001,,,,4,9,25"></lb> ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,9,26"></lb> Ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον ἑκατέραν τῶν <lb n="1799,001,,,,4,10,1"></lb> πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν διπλασίονα τῆς λοιπῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,4,10,2"></lb> <s>Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ <lb n="1799,001,,,,4,10,3"></lb> σημεῖον, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθο-<lb n="1799,001,,,,4,10,4"></lb> γώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ <lb n="1799,001,,,,4,10,5"></lb> τετραγώνῳ· καὶ κέντρῳ τῷ Α καὶ <lb n="1799,001,,,,4,10,6"></lb> διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλος γεγρά-<lb n="1799,001,,,,4,10,7"></lb> φθω ὁ Β*δΕ, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς τὸν <lb n="1799,001,,,,4,10,8"></lb> ΒΔΕ κύκλον τῇ ΑΓ εὐθείᾳ μὴ μεί-<lb n="1799,001,,,,4,10,9"></lb> ζονι οὔσῃ τῆς τοῦ ΒΔΕ κύκλου δια-<lb n="1799,001,,,,4,10,10"></lb> μέτρου ἴση εὐθεῖα ἡ ΒΔ· καὶ ἐπεζεύ-<lb n="1799,001,,,,4,10,11"></lb> χθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΔ <lb n="1799,001,,,,4,10,12"></lb> τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,10,13"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,4,10,14"></lb> ΑΓ, ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον <lb n="1799,001,,,,4,10,15"></lb> ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΓΔ εἴληπταί <lb n="1799,001,,,,4,10,16"></lb> τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Β, καὶ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς τὸν ΑΓΔ <lb n="1799,001,,,,4,10,17"></lb> κύκλον προσπεπτώκασι δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΑ, ΒΔ, καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,4,10,18"></lb> μὲν αὐτῶν τέμνει, ἡ δὲ προσπίπτει, καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,10,19"></lb> ΑΒ, ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἡ ΒΔ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ <lb n="1799,001,,,,4,10,20"></lb> ΑΓΔ κύκλου.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΔ, ἀπὸ δὲ τῆς <lb n="1799,001,,,,4,10,21"></lb> κατὰ τὸ Δ ἐπαφῆς διῆκται ἡ ΔΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΔΓ γωνία <lb n="1799,001,,,,4,10,22"></lb> ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ <lb n="1799,001,,,,4,10,23"></lb> ὑπὸ ΔΑΓ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ, <lb n="1799,001,,,,4,10,24"></lb> κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΓΔΑ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἴση <lb n="1799,001,,,,4,10,25"></lb> ἐστὶ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ.</s> <s>ἀλλὰ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, <lb n="1799,001,,,,4,10,26"></lb> ΔΑΓ ἴση ἐστὶν ἡ ἐκτὸς ἡ ὑπὸ ΒΓΔ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἄρα <lb n="1799,001,,,,4,10,27"></lb> ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ τῇ ὑπὸ ΓΒΔ <lb n="1799,001,,,,4,10,28"></lb> ἐστιν ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση· ὥστε <lb n="1799,001,,,,4,10,29"></lb> καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἐστιν ἴση.</s> <s>αἱ τρεῖς ἄρα αἱ <lb n="1799,001,,,,4,10,30"></lb> ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση <lb n="1799,001,,,,4,10,31"></lb> ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,4,10,32"></lb> πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ ΔΓ.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ΒΔ τῇ ΓΑ ὑπόκειται <lb n="1799,001,,,,4,10,33"></lb> ἴση· καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ γωνία ἡ <lb n="1799,001,,,,4,10,34"></lb> ὑπὸ ΓΔΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση· αἱ ἄρα ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,10,35"></lb> ΓΔΑ, ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΔΑΓ εἰσι διπλασίους.</s> <s>ἴση δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,4,10,36"></lb> ὑπὸ ΒΓΔ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ, ΔΑΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἄρα τῆς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,10,37"></lb> ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι διπλῆ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν <lb n="1799,001,,,,4,10,38"></lb> ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ΔΒΑ <lb n="1799,001,,,,4,10,39"></lb> τῆς ὑπὸ ΔΑΒ ἐστι διπλῆ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,10,40"></lb> <s>Ἰσοσκελὲς ἄρα τρίγωνον συνέσταται τὸ ΑΒΔ ἔχον <lb n="1799,001,,,,4,10,41"></lb> ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ ΔΒ βάσει γωνιῶν διπλασίονα τῆς <lb n="1799,001,,,,4,10,42"></lb> λοιπῆς· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,10,43"></lb> <s>Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε <lb n="1799,001,,,,4,11,1"></lb> καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,11,2"></lb> <s>Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὴ εἰς τὸν <lb n="1799,001,,,,4,11,3"></lb> ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώ-<lb n="1799,001,,,,4,11,4"></lb> νιον ἐγγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,11,5"></lb> <s>Ἐκκείσθω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΖΗΘ διπλασίονα <lb n="1799,001,,,,4,11,6"></lb> ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τοῖς Η, Θ γωνιῶν τῆς πρὸς τῷ <lb n="1799,001,,,,4,11,7"></lb> Ζ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον τῷ ΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,4,11,8"></lb> τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΓΔ, ὥστε τῇ μὲν πρὸς <lb n="1799,001,,,,4,11,9"></lb> τῷ Ζ γωνίᾳ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,11,10"></lb> ΓΑΔ, ἑκατέραν δὲ τῶν πρὸς τοῖς <lb n="1799,001,,,,4,11,11"></lb> Η, Θ ἴσην ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, <lb n="1799,001,,,,4,11,12"></lb> ΓΔΑ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,11,13"></lb> ΑΓΔ, ΓΔΑ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ ἐστι <lb n="1799,001,,,,4,11,14"></lb> διπλῆ.</s> <s>τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,11,15"></lb> ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, <lb n="1799,001,,,,4,11,16"></lb> καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, [ΓΔ], ΔΕ, ΕΑ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,11,17"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ γωνιῶν διπλα-<lb n="1799,001,,,,4,11,18"></lb> σίων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ, καὶ τετμημέναι εἰσὶ δίχα ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,11,19"></lb> τῶν ΓΕ, ΔΒ εὐθειῶν, αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΔΑΓ, <lb n="1799,001,,,,4,11,20"></lb> ΑΓΕ, ΕΓΔ, ΓΔΒ, ΒΔΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>αἱ δὲ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,4,11,21"></lb> γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν· αἱ πέντε ἄρα <lb n="1799,001,,,,4,11,22"></lb> περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις <lb n="1799,001,,,,4,11,23"></lb> εἰσίν.</s> <s>ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνου-<lb n="1799,001,,,,4,11,24"></lb> σιν· αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,4,11,25"></lb> ἀλλήλαις εἰσίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντά-<lb n="1799,001,,,,4,11,26"></lb> γωνον.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ περι-<lb n="1799,001,,,,4,11,27"></lb> φέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση, κοινὴ προσκείσθω <lb n="1799,001,,,,4,11,28"></lb> ἡ ΒΓΔ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒ <lb n="1799,001,,,,4,11,29"></lb> περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση.</s> <s>καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,4,11,30"></lb> περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΔ, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒ περι-<lb n="1799,001,,,,4,11,31"></lb> φερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΕ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἄρα γωνία <lb n="1799,001,,,,4,11,32"></lb> τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἐστιν ἴση.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν <lb n="1799,001,,,,4,11,33"></lb> ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, <lb n="1799,001,,,,4,11,34"></lb> ΑΕΔ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντά-<lb n="1799,001,,,,4,11,35"></lb> γωνον.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον.</s> <lb n="1799,001,,,,4,11,36"></lb> <s>Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε <lb n="1799,001,,,,4,11,37"></lb> καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,11,38"></lb> Περὶ τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε <lb n="1799,001,,,,4,12,1"></lb> καὶ ἰσογώνιον περιγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,12,2"></lb> <s>Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ· δεῖ <ὴ>περὶ τὸν <lb n="1799,001,,,,4,12,3"></lb> ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον <lb n="1799,001,,,,4,12,4"></lb> περιγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,12,5"></lb> <s>Νενοήσθω τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου τῶν γω-<lb n="1799,001,,,,4,12,6"></lb> νιῶν σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, Δ, Ε, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,4,12,7"></lb> ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ περιφερείας· καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ, <lb n="1799,001,,,,4,12,8"></lb> Ε ἤχθωσαν τοῦ κύκλου ἐφαπτόμεναι αἱ ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, <lb n="1799,001,,,,4,12,9"></lb> ΛΜ, ΜΗ, καὶ εἰλήφθω τοῦ ΑΒΓΔΕ κύκλου κέντρον <lb n="1799,001,,,,4,12,10"></lb> τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΚ, ΖΓ, ΖΛ, ΖΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,12,11"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΚΛ εὐθεῖα ἐφάπτεται τοῦ <lb n="1799,001,,,,4,12,12"></lb> ΑΒΓΔΕ κατὰ τὸ Γ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ κέντρου <lb n="1799,001,,,,4,12,13"></lb> ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ Γ ἐπαφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ, <lb n="1799,001,,,,4,12,14"></lb> ἡ ΖΓ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΚΛ· ὀρθὴ <lb n="1799,001,,,,4,12,15"></lb> ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν πρὸς τῷ Γ γωνιῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,4,12,16"></lb> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Δ σημείοις <lb n="1799,001,,,,4,12,17"></lb> γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΓΚ γωνία, <lb n="1799,001,,,,4,12,18"></lb> τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΖΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΓ, ΓΚ.</s> <s>διὰ τὰ <lb n="1799,001,,,,4,12,19"></lb> αὐτὰ δὴ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,4,12,20"></lb> ΖΚ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΖΓ, ΓΚ τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΒ, ΒΚ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,12,21"></lb> ἐστιν ἴσα, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἐστιν ἴσον· <lb n="1799,001,,,,4,12,22"></lb> λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΚ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ ἐστιν ἴσον.</s> <lb n="1799,001,,,,4,12,23"></lb> <s>ἴση ἄρα ἡ ΒΚ τῇ ΓΚ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΒ τῇ ΖΓ, <lb n="1799,001,,,,4,12,24"></lb> καὶ κοινὴ ἡ ΖΚ, δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΚ δυσὶ ταῖς ΓΖ, ΖΚ <lb n="1799,001,,,,4,12,25"></lb> ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΒΚ βάσει τῇ ΓΚ [ἐστιν] ἴση· <lb n="1799,001,,,,4,12,26"></lb> γωνία ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΚ [γωνίᾳ] τῇ ὑπὸ ΚΖΓ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,4,12,27"></lb> ἴση· ἡ δὲ ὑπὸ ΒΚΖ τῇ ὑπὸ ΖΚΓ· διπλῆ ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,12,28"></lb> ΒΖΓ τῆς ὑπὸ ΚΖΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΚΓ τῆς ὑπὸ ΖΚΓ.</s> <s>διὰ <lb n="1799,001,,,,4,12,29"></lb> τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ τῆς ὑπὸ ΓΖΛ ἐστι διπλῆ, <lb n="1799,001,,,,4,12,30"></lb> ἡ δὲ ὑπὸ ΔΛΓ τῆς ὑπὸ ΖΛΓ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,4,12,31"></lb> περιφέρεια τῇ ΓΔ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ τῇ <lb n="1799,001,,,,4,12,32"></lb> ὑπὸ ΓΖΔ.</s> <s>καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΓ τῆς ὑπὸ ΚΖΓ <lb n="1799,001,,,,4,12,33"></lb> διπλῆ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΓ τῆς ὑπὸ ΛΖΓ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,12,34"></lb> ΚΖΓ τῇ ὑπὸ ΛΖΓ· ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΓΚ γωνία τῇ <lb n="1799,001,,,,4,12,35"></lb> ὑπὸ ΖΓΛ ἴση.</s> <s>δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΖΚΓ, ΖΛΓ τὰς <lb n="1799,001,,,,4,12,36"></lb> δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευ-<lb n="1799,001,,,,4,12,37"></lb> ρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΖΓ· καὶ τὰς <lb n="1799,001,,,,4,12,38"></lb> λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν <lb n="1799,001,,,,4,12,39"></lb> λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ· ἴση ἄρα ἡ μὲν ΚΓ εὐθεῖα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,12,40"></lb> τῇ ΓΛ, ἡ δὲ ὑπὸ ΖΚΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΓ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση <lb n="1799,001,,,,4,12,41"></lb> ἐστὶν ἡ ΚΓ τῇ ΓΛ, διπλῆ ἄρα ἡ ΚΛ τῆς ΚΓ.</s> <s>διὰ τὰ <lb n="1799,001,,,,4,12,42"></lb> αὐτὰ δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΒΚ διπλῆ.</s> <s>καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,4,12,43"></lb> ἡ ΒΚ τῇ ΚΓ ἴση· καὶ ἡ ΘΚ ἄρα τῇ ΚΛ ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,4,12,44"></lb> <s>ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ΘΗ, ΗΜ, ΜΛ <lb n="1799,001,,,,4,12,45"></lb> ἑκατέρᾳ τῶν ΘΚ, ΚΛ ἴση· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,4,12,46"></lb> ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον.</s> <s>ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,4,12,47"></lb> γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΚΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΓ, καὶ <lb n="1799,001,,,,4,12,48"></lb> ἐδείχθη τῆς μὲν ὑπὸ ΖΚΓ διπλῆ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ, τῆς δὲ <lb n="1799,001,,,,4,12,49"></lb> ὑπὸ ΖΛΓ διπλῆ ἡ ὑπὸ ΚΛΜ, καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ ἄρα τῇ <lb n="1799,001,,,,4,12,50"></lb> ὑπὸ ΚΛΜ ἐστιν ἴση.</s> <s>ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἑκάστη <lb n="1799,001,,,,4,12,51"></lb> τῶν ὑπὸ ΚΘΗ, ΘΗΜ, ΗΜΛ ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΘΚΛ, <lb n="1799,001,,,,4,12,52"></lb> ΚΛΜ ἴση· αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΗΘΚ, ΘΚΛ, <lb n="1799,001,,,,4,12,53"></lb> ΚΛΜ, ΛΜΗ, ΜΗΘ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>ἰσογώνιον <lb n="1799,001,,,,4,12,54"></lb> ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ <lb n="1799,001,,,,4,12,55"></lb> ἰσόπλευρον, καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον.</s> <lb n="1799,001,,,,4,12,56"></lb> <s>[Περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν <lb n="1799,001,,,,4,12,57"></lb> τε καὶ ἰσογώνιον περιγέγραπται]· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,12,58"></lb> <s>Εἰς τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ <lb n="1799,001,,,,4,13,1"></lb> ἰσογώνιον, κύκλον ἐγγράψαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,13,2"></lb> Ἔστω τὸ δοθὲν πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον <lb n="1799,001,,,,4,13,3"></lb> τὸ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλον <lb n="1799,001,,,,4,13,4"></lb> ἐγγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,13,5"></lb> <s>Τετμήσθω γὰρ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν <lb n="1799,001,,,,4,13,6"></lb> δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΖ, ΔΖ εὐθειῶν· καὶ ἀπὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,4,13,7"></lb> Ζ σημείου, καθ' ὃ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις αἱ ΓΖ, ΔΖ <lb n="1799,001,,,,4,13,8"></lb> εὐθεῖαι, ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ εὐθεῖαι.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,4,13,9"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΖ, δύο δὴ αἱ ΒΓ, ΓΖ <lb n="1799,001,,,,4,13,10"></lb> δυσὶ ταῖς ΔΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ <lb n="1799,001,,,,4,13,11"></lb> ὑπὸ ΒΓΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ [ἐστιν] ἴση· <lb n="1799,001,,,,4,13,12"></lb> βάσις ἄρα ἡ ΒΖ βάσει τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση, <lb n="1799,001,,,,4,13,13"></lb> καὶ τὸ ΒΓΖ τρίγωνον τῷ ΔΓΖ τριγώνῳ <lb n="1799,001,,,,4,13,14"></lb> ἐστιν ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοι-<lb n="1799,001,,,,4,13,15"></lb> παῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,4,13,16"></lb> πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,13,17"></lb> ΓΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,13,18"></lb> ΓΔΕ τῆς ὑπὸ ΓΔΖ, ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,4,13,19"></lb> ἡ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΖ, καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΑ ἄρα τῆς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,13,20"></lb> ΓΒΖ ἐστι διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,13,21"></lb> ΖΒΓ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΒΖ <lb n="1799,001,,,,4,13,22"></lb> εὐθείας.</s> <s>ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν <lb n="1799,001,,,,4,13,23"></lb> ὑπὸ ΒΑΕ, ΑΕΔ δίχα τέτμηται ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΖΑ, <lb n="1799,001,,,,4,13,24"></lb> ΖΕ εὐθειῶν.</s> <s>ἤχθωσαν δὴ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἐπὶ τὰς ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,4,13,25"></lb> ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθείας κάθετοι αἱ ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, <lb n="1799,001,,,,4,13,26"></lb> ΖΛ, ΖΜ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,13,27"></lb> ΚΓΖ, ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΘΓ [ὀρθῇ] τῇ ὑπὸ ΖΚΓ <lb n="1799,001,,,,4,13,28"></lb> ἴση, δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΖΘΓ, ΖΚΓ τὰς δύο γωνίας <lb n="1799,001,,,,4,13,29"></lb> δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ <lb n="1799,001,,,,4,13,30"></lb> ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΖΓ ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν <lb n="1799,001,,,,4,13,31"></lb> ἴσων γωνιῶν· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς <lb n="1799,001,,,,4,13,32"></lb> πλευραῖς ἴσας ἕξει· ἴση ἄρα ἡ ΖΘ κάθετος τῇ ΖΚ καθ-<lb n="1799,001,,,,4,13,33"></lb> έτῳ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΖΛ, <lb n="1799,001,,,,4,13,34"></lb> ΖΜ, ΖΗ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΘ, ΖΚ ἴση ἐστίν· αἱ πέντε ἄρα <lb n="1799,001,,,,4,13,35"></lb> εὐθεῖαι αἱ ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, ΖΛ, ΖΜ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,4,13,36"></lb> <s>ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Η, Θ, Κ, Λ, Μ <lb n="1799,001,,,,4,13,37"></lb> κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ <lb n="1799,001,,,,4,13,38"></lb> ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθειῶν διὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,4,13,39"></lb> ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Η, Θ, Κ, Λ, Μ σημείοις γω-<lb n="1799,001,,,,4,13,40"></lb> νίας.</s> <s>εἰ γὰρ οὐκ ἐφάψεται αὐτῶν, ἀλλὰ τεμεῖ αὐτάς, συμ-<lb n="1799,001,,,,4,13,41"></lb> βήσεται τὴν τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ' <lb n="1799,001,,,,4,13,42"></lb> ἄκρας ἀγομένην ἐντὸς πίπτειν τοῦ κύκλου· ὅπερ ἄτοπον <lb n="1799,001,,,,4,13,43"></lb> ἐδείχθη.</s> <s>οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,4,13,44"></lb> Η, Θ, Κ, Λ, Μ σημείων γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὰς <lb n="1799,001,,,,4,13,45"></lb> ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ εὐθείας· ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,4,13,46"></lb> <s>γεγράφθω ὡς ὁ ΗΘΚΛΜ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,13,47"></lb> <s>Εἰς ἄρα τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε <lb n="1799,001,,,,4,13,48"></lb> καὶ ἰσογώνιον, κύκλος ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,13,49"></lb> <s>Περὶ τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ <lb n="1799,001,,,,4,14,1"></lb> ἰσογώνιον, κύκλον περιγράψαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,14,2"></lb> Ἔστω τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ <lb n="1799,001,,,,4,14,3"></lb> ἰσογώνιον, τὸ ΑΒΓΔΕ· δεῖ δὴ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντά-<lb n="1799,001,,,,4,14,4"></lb> γωνον κύκλον περιγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,14,5"></lb> <s>Τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν <lb n="1799,001,,,,4,14,6"></lb> δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν ΓΖ, ΔΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου, <lb n="1799,001,,,,4,14,7"></lb> καθ' ὃ συμβάλλουσιν αἱ εὐθεῖαι, ἐπὶ τὰ Β, Α, Ε σημεῖα <lb n="1799,001,,,,4,14,8"></lb> ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΖΒ, ΖΑ, ΖΕ.</s> <s>ὁμοίως δὴ τῷ πρὸ <lb n="1799,001,,,,4,14,9"></lb> τούτου δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΒΑΕ, <lb n="1799,001,,,,4,14,10"></lb> ΑΕΔ γωνιῶν δίχα τέτμηται ὑπὸ ἑκάστης τῶν ΖΒ, ΖΑ, <lb n="1799,001,,,,4,14,11"></lb> ΖΕ εὐθειῶν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΔ γωνία τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,14,12"></lb> ΓΔΕ, καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΒΓΔ ἡμίσεια <lb n="1799,001,,,,4,14,13"></lb> ἡ ὑπὸ ΖΓΔ, τῆς δὲ ὑπὸ ΓΔΕ ἡμίσεια ἡ <lb n="1799,001,,,,4,14,14"></lb> ὑπὸ ΓΔΖ, καὶ ἡ ὑπὸ ΖΓΔ ἄρα τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,14,15"></lb> ΖΔΓ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΖΓ <lb n="1799,001,,,,4,14,16"></lb> πλευρᾷ τῇ ΖΔ ἐστιν ἴση.</s> <s>ὁμοίως δὴ δει-<lb n="1799,001,,,,4,14,17"></lb> χθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΖΒ, ΖΑ, <lb n="1799,001,,,,4,14,18"></lb> ΖΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΓ, ΖΔ ἐστιν ἴση· αἱ πέντε ἄρα <lb n="1799,001,,,,4,14,19"></lb> εὐθεῖαι αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,4,14,20"></lb> <s>ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν ΖΑ, ΖΒ, <lb n="1799,001,,,,4,14,21"></lb> ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοι-<lb n="1799,001,,,,4,14,22"></lb> πῶν σημείων καὶ ἔσται περιγεγραμμένος.</s> <s>περιγεγράφθω <lb n="1799,001,,,,4,14,23"></lb> καὶ ἔστω ὁ ΑΒΓΔΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,14,24"></lb> <s>Περὶ ἄρα τὸ δοθὲν πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε <lb n="1799,001,,,,4,14,25"></lb> καὶ ἰσογώνιον, κύκλος περιγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,14,26"></lb> <s>Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ <lb n="1799,001,,,,4,15,1"></lb> ἰσογώνιον ἐγγράψαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,15,2"></lb> Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕΖ· δεῖ δὴ εἰς τὸν <lb n="1799,001,,,,4,15,3"></lb> ΑΒΓΔΕΖ κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώ-<lb n="1799,001,,,,4,15,4"></lb> νιον ἐγγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,15,5"></lb> <s>Ἤχθω τοῦ ΑΒΓΔΕΖ κύκλου διάμετρος ἡ ΑΔ, καὶ <lb n="1799,001,,,,4,15,6"></lb> εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Η, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ <lb n="1799,001,,,,4,15,7"></lb> Δ διαστήματι δὲ τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω <lb n="1799,001,,,,4,15,8"></lb> ὁ ΕΗΓΘ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΗ, ΓΗ <lb n="1799,001,,,,4,15,9"></lb> διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Β, Ζ σημεῖα, καὶ ἐπ-<lb n="1799,001,,,,4,15,10"></lb> εζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, <lb n="1799,001,,,,4,15,11"></lb> ΖΑ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον <lb n="1799,001,,,,4,15,12"></lb> ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ἰσογώνιον.</s> <lb n="1799,001,,,,4,15,13"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,4,15,14"></lb> τοῦ ΑΒΓΔΕΖ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,4,15,15"></lb> ΗΕ τῇ ΗΔ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον <lb n="1799,001,,,,4,15,16"></lb> κέντρον ἐστὶ τοῦ ΗΓΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΔΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,4,15,17"></lb> <s>ἀλλ' ἡ ΗΕ τῇ ΗΔ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ΗΕ ἄρα τῇ ΕΔ <lb n="1799,001,,,,4,15,18"></lb> ἴση ἐστίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗΔ τρίγωνον· καὶ <lb n="1799,001,,,,4,15,19"></lb> αἱ τρεῖς ἄρα αὐτοῦ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΗΔ, ΗΔΕ, ΔΕΗ <lb n="1799,001,,,,4,15,20"></lb> ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐπειδήπερ τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων <lb n="1799,001,,,,4,15,21"></lb> αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· καί εἰσιν αἱ <lb n="1799,001,,,,4,15,22"></lb> τρεῖς τοῦ τριγώνου γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ἡ ἄρα ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,15,23"></lb> ΕΗΔ γωνία τρίτον ἐστὶ δύο ὀρθῶν.</s> <s>ὁμοίως δὴ δειχθήσε-<lb n="1799,001,,,,4,15,24"></lb> ται καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΓ τρίτον δύο ὀρθῶν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΗ <lb n="1799,001,,,,4,15,25"></lb> εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΕΒ σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,15,26"></lb> ΕΗΓ, ΓΗΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,4,15,27"></lb> ὑπὸ ΓΗΒ τρίτον ἐστὶ δύο ὀρθῶν· αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΔ, <lb n="1799,001,,,,4,15,28"></lb> ΔΗΓ, ΓΗΒ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὥστε καὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,4,15,29"></lb> κατὰ κορυφὴν αὐταῖς αἱ ὑπὸ ΒΗΑ, ΑΗΖ, ΖΗΕ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,4,15,30"></lb> εἰσίν [ταῖς ὑπὸ ΕΗΔ, ΔΗΓ, ΓΗΒ].</s> <s>αἱ ἓξ ἄρα γωνίαι <lb n="1799,001,,,,4,15,31"></lb> αἱ ὑπὸ ΕΗΔ, ΔΗΓ, ΓΗΒ, ΒΗΑ, ΑΗΖ, ΖΗΕ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,4,15,32"></lb> ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν <lb n="1799,001,,,,4,15,33"></lb> βεβήκασιν· αἱ ἓξ ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,4,15,34"></lb> ΕΖ, ΖΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας <lb n="1799,001,,,,4,15,35"></lb> αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν· αἱ ἓξ ἄρα εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,4,15,36"></lb> λαις εἰσίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,4,15,37"></lb> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ <lb n="1799,001,,,,4,15,38"></lb> περιφέρεια τῇ ΕΔ περιφερείᾳ, κοινὴ προσκείσθω ἡ <lb n="1799,001,,,,4,15,39"></lb> ΑΒΓΔ περιφέρεια· ὅλη ἄρα ἡ ΖΑΒΓΔ ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒΑ <lb n="1799,001,,,,4,15,40"></lb> ἐστιν ἴση· καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΖΑΒΓΔ περιφερείας <lb n="1799,001,,,,4,15,41"></lb> ἡ ὑπὸ ΖΕΔ γωνία, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒΑ περιφερείας ἡ <lb n="1799,001,,,,4,15,42"></lb> ὑπὸ ΑΖΕ γωνία· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,4,15,43"></lb> ΔΕΖ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι <lb n="1799,001,,,,4,15,44"></lb> τοῦ ΑΒΓΔΕΖ ἑξαγώνου κατὰ μίαν ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρᾳ <lb n="1799,001,,,,4,15,45"></lb> τῶν ὑπὸ ΑΖΕ, ΖΕΔ γωνιῶν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,4,15,46"></lb> ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον· καὶ <lb n="1799,001,,,,4,15,47"></lb> ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓΔΕΖ κύκλον.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,15,48"></lb> Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε <lb n="1799,001,,,,4,15,49"></lb> καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,15,50"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,4,15,51"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ ἴση <lb n="1799,001,,,,4,15,52"></lb> ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,4,15,53"></lb> <s>Ὁμοίως δὲ τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου ἐὰν διὰ τῶν κατὰ <lb n="1799,001,,,,4,15,54"></lb> τὸν κύκλον διαιρέσεων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγω-<lb n="1799,001,,,,4,15,55"></lb> μεν, περιγραφήσεται περὶ τὸν κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν <lb n="1799,001,,,,4,15,56"></lb> τε καὶ ἰσογώνιον ἀκολούθως τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου <lb n="1799,001,,,,4,15,57"></lb> εἰρημένοις.</s> <s>καὶ ἔτι διὰ τῶν ὁμοίων τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώ-<lb n="1799,001,,,,4,15,58"></lb> νου εἰρημένοις εἰς τὸ δοθὲν ἑξάγωνον κύκλον ἐγγράψομέν <lb n="1799,001,,,,4,15,59"></lb> τε καὶ περιγράψομεν· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,15,60"></lb> <s>Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν <lb n="1799,001,,,,4,16,1"></lb> τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,16,2"></lb> Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,4,16,3"></lb> κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον <lb n="1799,001,,,,4,16,4"></lb> ἐγγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,4,16,5"></lb> <s>Ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τριγώνου μὲν <lb n="1799,001,,,,4,16,6"></lb> ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς αὐτὸν ἐγγραφομένου πλευρὰ ἡ ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,4,16,7"></lb> πενταγώνου δὲ ἰσοπλεύρου ἡ ΑΒ· οἵων ἄρα ἐστὶν ὁ <lb n="1799,001,,,,4,16,8"></lb> ΑΒΓΔ κύκλος ἴσων τμημάτων δεκαπέντε, τοιούτων ἡ <lb n="1799,001,,,,4,16,9"></lb> μὲν ΑΒΓ περιφέρεια τρίτον οὖσα τοῦ κύκλου ἔσται <lb n="1799,001,,,,4,16,10"></lb> πέντε, ἡ δὲ ΑΒ περιφέρεια πέμπτον οὖσα τοῦ κύκλου ἔσται <lb n="1799,001,,,,4,16,11"></lb> τριῶν· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ τῶν ἴσων δύο.</s> <s>τετμήσθω ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,4,16,12"></lb> δίχα κατὰ τὸ Ε· ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,4,16,13"></lb> ἄρα τῶν ΒΕ, ΕΓ περιφε-<lb n="1799,001,,,,4,16,14"></lb> ρειῶν πεντεκαιδέκατόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,4,16,15"></lb> τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,4,16,16"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ἐπιζεύξαντες τὰς <lb n="1799,001,,,,4,16,17"></lb> ΒΕ, ΕΓ ἴσας αὐταῖς κατὰ <lb n="1799,001,,,,4,16,18"></lb> τὸ συνεχὲς εὐθείας ἐναρμό-<lb n="1799,001,,,,4,16,19"></lb> σωμεν εἰς τὸν ΑΒΓΔ[Ε] <lb n="1799,001,,,,4,16,20"></lb> κύκλον, ἔσται εἰς αὐτὸν ἐγ-<lb n="1799,001,,,,4,16,21"></lb> γεγραμμένον πεντεκαιδεκά-<lb n="1799,001,,,,4,16,22"></lb> γωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσο-<lb n="1799,001,,,,4,16,23"></lb> γώνιον· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,16,24"></lb> Ὁμοίως δὲ τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου ἐὰν διὰ τῶν κατὰ <lb n="1799,001,,,,4,16,25"></lb> τὸν κύκλον διαιρέσεων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγω-<lb n="1799,001,,,,4,16,26"></lb> μεν, περιγραφήσεται περὶ τὸν κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον <lb n="1799,001,,,,4,16,27"></lb> ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον.</s> <s>ἔτι δὲ διὰ τῶν ὁμοίων τοῖς <lb n="1799,001,,,,4,16,28"></lb> ἐπὶ τοῦ πενταγώνου δείξεων καὶ εἰς τὸ δοθὲν πεντεκαι-<lb n="1799,001,,,,4,16,29"></lb> δεκάγωνον κύκλον ἐγγράψομέν τε καὶ περιγράψομεν· <lb n="1799,001,,,,4,16,30"></lb> ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,4,16,31"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Μέρος ἐστὶ μέγεθος μεγέθους τὸ ἔλασσον τοῦ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,1,1"></lb> μείζονος, ὅταν καταμετρῇ τὸ μεῖζον.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,1,2"></lb> <s>Πολλαπλάσιον δὲ τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάττονος, ὅταν <lb n="1799,001,,,,5;HOR,2,1"></lb> καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,2,2"></lb> <s>Λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλι-<lb n="1799,001,,,,5;HOR,3,1"></lb> κότητά ποια σχέσις.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,3,2"></lb> <s>Λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα μεγέθη λέγεται, ἃ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,4,1"></lb> δύναται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,4,2"></lb> <s>Ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγεται εἶναι πρῶτον <lb n="1799,001,,,,5;HOR,5,1"></lb> πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ὅταν τὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,5,2"></lb> πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια τῶν τοῦ δευτέρου <lb n="1799,001,,,,5;HOR,5,3"></lb> καὶ τετάρτου ἰσάκις πολλαπλασίων καθ' ὁποιονοῦν <lb n="1799,001,,,,5;HOR,5,4"></lb> πολλαπλασιασμὸν ἑκάτερον ἑκατέρου ἢ ἅμα ὑπερέχῃ ἢ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,5,5"></lb> ἅμα ἴσα ᾖ ἢ ἅμα ἐλλείπῃ ληφθέντα κατάλληλα.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,5,6"></lb> Τὰ δὲ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον μεγέθη ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,5;HOR,6,1"></lb> καλείσθω.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,6,2"></lb> <s>Ὅταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τὸ μὲν τοῦ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,7,1"></lb> πρώτου πολλαπλάσιον ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ δευτέρου πολλα-<lb n="1799,001,,,,5;HOR,7,2"></lb> πλασίου, τὸ δὲ τοῦ τρίτου πολλαπλάσιον μὴ ὑπερέχῃ τοῦ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,7,3"></lb> τοῦ τετάρτου πολλαπλασίου, τότε τὸ πρῶτον πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,7,4"></lb> δεύτερον μείζονα λόγον ἔχειν λέγεται, ἤπερ τὸ τρίτον <lb n="1799,001,,,,5;HOR,7,5"></lb> πρὸς τὸ τέταρτον.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,7,6"></lb> <s>Ἀναλογία δὲ ἐν τρισὶν ὅροις ἐλαχίστη ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,8,1"></lb> <s>Ὅταν δὲ τρία μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς <lb n="1799,001,,,,5;HOR,9,1"></lb> τὸ τρίτον διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,9,2"></lb> δεύτερον.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,9,3"></lb> <s>Ὅταν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον <lb n="1799,001,,,,5;HOR,10,1"></lb> πρὸς τὸ τέταρτον τριπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,10,2"></lb> πρὸς τὸ δεύτερον, καὶ ἀεὶ ἑξῆς ὁμοίως, ὡς ἂν ἡ ἀναλογία <lb n="1799,001,,,,5;HOR,10,3"></lb> ὑπάρχῃ.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,10,4"></lb> <s>Ὁμόλογα μεγέθη λέγεται τὰ μὲν ἡγούμενα τοῖς <lb n="1799,001,,,,5;HOR,11,1"></lb> ἡγουμένοις τὰ δὲ ἑπόμενα τοῖς ἑπομένοις.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,11,2"></lb> Ἐναλλὰξ λόγος ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,12,1"></lb> ἡγούμενον καὶ τοῦ ἑπομένου πρὸς τὸ ἑπόμενον.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,12,2"></lb> <s>Ἀνάπαλιν λόγος ἐστὶ λῆψις τοῦ ἑπομένου ὡς <lb n="1799,001,,,,5;HOR,13,1"></lb> ἡγουμένου πρὸς τὸ ἡγούμενον ὡς ἑπόμενον.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,13,2"></lb> <s>Σύνθεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου μετὰ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,14,1"></lb> τοῦ ἑπομένου ὡς ἑνὸς πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,14,2"></lb> <s>Διαίρεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,15,1"></lb> ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου, πρὸς αὐτὸ τὸ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,15,2"></lb> ἑπόμενον.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,15,3"></lb> <s>Ἀναστροφὴ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς <lb n="1799,001,,,,5;HOR,16,1"></lb> τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,16,2"></lb> <s>Δι' ἴσου λόγος ἐστὶ πλειόνων ὄντων μεγεθῶν καὶ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,17,1"></lb> ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανομένων καὶ <lb n="1799,001,,,,5;HOR,17,2"></lb> ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὅταν ᾖ ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσι <lb n="1799,001,,,,5;HOR,17,3"></lb> τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέ-<lb n="1799,001,,,,5;HOR,17,4"></lb> θεσι τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον· ἢ ἄλλως· Λῆψις τῶν <lb n="1799,001,,,,5;HOR,17,5"></lb> ἄκρων καθ' ὑπεξαίρεσιν τῶν μέσων.</s> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,17,6"></lb> <s>Τεταραγμένη δὲ ἀναλογία ἐστίν, ὅταν τριῶν ὄντων <lb n="1799,001,,,,5;HOR,18,1"></lb> μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος γίνηται ὡς μὲν <lb n="1799,001,,,,5;HOR,18,2"></lb> ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον, <lb n="1799,001,,,,5;HOR,18,3"></lb> οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον πρὸς <lb n="1799,001,,,,5;HOR,18,4"></lb> ἑπόμενον, ὡς δὲ ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἑπόμενον πρὸς <lb n="1799,001,,,,5;HOR,18,5"></lb> ἄλλο τι, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις ἄλλο τι πρὸς ἡγούμενον.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5;HOR,18,6"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ <lb n="1799,001,,,,5,1,1"></lb> πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν <lb n="1799,001,,,,5,1,2"></lb> ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,5,1,3"></lb> πάντα τῶν πάντων.</s> <lb n="1799,001,,,,5,1,4"></lb> <s>Ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ ὁποσωνοῦν <lb n="1799,001,,,,5,1,5"></lb> μεγεθῶν τῶν Ε, Ζ ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου <lb n="1799,001,,,,5,1,6"></lb> ἰσάκις πολλαπλάσιον· <lb n="1799,001,,,,5,1,7"></lb> λέγω, ὅτι ὁσαπλάσιόν <lb n="1799,001,,,,5,1,8"></lb> ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Ε, το-<lb n="1799,001,,,,5,1,9"></lb> σαυταπλάσια ἔσται καὶ <lb n="1799,001,,,,5,1,10"></lb> τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,1,11"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ <lb n="1799,001,,,,5,1,12"></lb> τὸ ΓΔ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Ε, <lb n="1799,001,,,,5,1,13"></lb> τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΓΔ ἴσα τῷ Ζ.</s> <s>διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ <lb n="1799,001,,,,5,1,14"></lb> εἰς τὰ τῷ Ε μεγέθη ἴσα τὰ ΑΗ, ΗΒ, τὸ δὲ ΓΔ εἰς τὰ τῷ <lb n="1799,001,,,,5,1,15"></lb> Ζ ἴσα τὰ ΓΘ, ΘΔ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,5,1,16"></lb> ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΓΘ, ΘΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν <lb n="1799,001,,,,5,1,17"></lb> ΑΗ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ, ἴσον ἄρα τὸ ΑΗ τῷ Ε, καὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,5,1,18"></lb> ΑΗ, ΓΘ τοῖς Ε, Ζ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τῷ <lb n="1799,001,,,,5,1,19"></lb> Ε, καὶ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖς Ε, Ζ· ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,5,1,20"></lb> ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ ἴσα τοῖς Ε, Ζ· <lb n="1799,001,,,,5,1,21"></lb> ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσια ἔσται <lb n="1799,001,,,,5,1,22"></lb> καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,1,23"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων <lb n="1799,001,,,,5,1,24"></lb> τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,1,25"></lb> ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια <lb n="1799,001,,,,5,1,26"></lb> ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,1,27"></lb> <s>Ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ <lb n="1799,001,,,,5,2,1"></lb> τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,5,2,2"></lb> πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου, καὶ συντεθὲν πρῶτον <lb n="1799,001,,,,5,2,3"></lb> καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ <lb n="1799,001,,,,5,2,4"></lb> τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου.</s> <lb n="1799,001,,,,5,2,5"></lb> <s>Πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔστω <lb n="1799,001,,,,5,2,6"></lb> πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ τετάρτου τοῦ Ζ, ἔστω <lb n="1799,001,,,,5,2,7"></lb> δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις πολλαπλά-<lb n="1799,001,,,,5,2,8"></lb> σιον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ <lb n="1799,001,,,,5,2,9"></lb> τετάρτου τοῦ Ζ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,5,2,10"></lb> ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον <lb n="1799,001,,,,5,2,11"></lb> καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ <lb n="1799,001,,,,5,2,12"></lb> δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,5,2,13"></lb> ἔσται πολλαπλάσιον καὶ <lb n="1799,001,,,,5,2,14"></lb> τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ <lb n="1799,001,,,,5,2,15"></lb> τετάρτου τοῦ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,2,16"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ <lb n="1799,001,,,,5,2,17"></lb> τὸ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα <lb n="1799,001,,,,5,2,18"></lb> καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὅσα ἐστὶν ἐν <lb n="1799,001,,,,5,2,19"></lb> τῷ ΒΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΕΘ ἴσα τῷ Ζ· ὅσα <lb n="1799,001,,,,5,2,20"></lb> ἄρα ἐστὶν ἐν ὅλῳ τῷ ΑΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν ὅλῳ <lb n="1799,001,,,,5,2,21"></lb> τῷ ΔΘ ἴσα τῷ Ζ· ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗ τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,2,22"></lb> Γ, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΔΘ τοῦ Ζ.</s> <s>καὶ συν-<lb n="1799,001,,,,5,2,23"></lb> τεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ <lb n="1799,001,,,,5,2,24"></lb> ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ <lb n="1799,001,,,,5,2,25"></lb> τετάρτου τοῦ Ζ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,2,26"></lb> Ἐὰν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ <lb n="1799,001,,,,5,2,27"></lb> τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,5,2,28"></lb> πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου, καὶ συντεθὲν πρῶτον <lb n="1799,001,,,,5,2,29"></lb> καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ <lb n="1799,001,,,,5,2,30"></lb> τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,2,31"></lb> <s>Ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον <lb n="1799,001,,,,5,3,1"></lb> τετάρτου, ληφθῇ δὲ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου <lb n="1799,001,,,,5,3,2"></lb> καὶ τρίτου, καὶ δι' ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέ-<lb n="1799,001,,,,5,3,3"></lb> ρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,5,3,4"></lb> τοῦ τετάρτου.</s> <lb n="1799,001,,,,5,3,5"></lb> <s>Πρῶτον γὰρ τὸ Α δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἔστω πολλα-<lb n="1799,001,,,,5,3,6"></lb> πλάσιον καὶ τρίτον τὸ Γ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ εἰλήφθω <lb n="1799,001,,,,5,3,7"></lb> τῶν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλά-<lb n="1799,001,,,,5,3,8"></lb> σια τὰ ΕΖ, ΗΘ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,5,3,9"></lb> ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ <lb n="1799,001,,,,5,3,10"></lb> ΕΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,3,11"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλα-<lb n="1799,001,,,,5,3,12"></lb> πλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Α καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,5,3,13"></lb> ΗΘ τοῦ Γ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν <lb n="1799,001,,,,5,3,14"></lb> τῷ ΕΖ ἴσα τῷ Α, τοσαῦτα καὶ <lb n="1799,001,,,,5,3,15"></lb> ἐν τῷ ΗΘ ἴσα τῷ Γ.</s> <s>διῃρή-<lb n="1799,001,,,,5,3,16"></lb> σθω τὸ μὲν ΕΖ εἰς τὰ τῷ <lb n="1799,001,,,,5,3,17"></lb> Α μεγέθη ἴσα τὰ ΕΚ, ΚΖ, τὸ δὲ ΗΘ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα <lb n="1799,001,,,,5,3,18"></lb> τὰ ΗΛ, ΛΘ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΕΚ, ΚΖ τῷ <lb n="1799,001,,,,5,3,19"></lb> πλήθει τῶν ΗΛ, ΛΘ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον <lb n="1799,001,,,,5,3,20"></lb> τὸ Α τοῦ Β καὶ τὸ Γ τοῦ Δ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΕΚ τῷ Α, τὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,3,21"></lb> δὲ ΗΛ τῷ Γ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΚ τοῦ Β <lb n="1799,001,,,,5,3,22"></lb> καὶ τὸ ΗΛ τοῦ Δ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλά-<lb n="1799,001,,,,5,3,23"></lb> σιον τὸ ΚΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΛΘ τοῦ Δ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν πρῶτον <lb n="1799,001,,,,5,3,24"></lb> τὸ ΕΚ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ <lb n="1799,001,,,,5,3,25"></lb> τρίτον τὸ ΗΛ τετάρτου τοῦ Δ, ἔστι δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΚΖ <lb n="1799,001,,,,5,3,26"></lb> δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΛΘ <lb n="1799,001,,,,5,3,27"></lb> τετάρτου τοῦ Δ, καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ <lb n="1799,001,,,,5,3,28"></lb> ΕΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον <lb n="1799,001,,,,5,3,29"></lb> καὶ ἕκτον τὸ ΗΘ τετάρτου τοῦ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,3,30"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ <lb n="1799,001,,,,5,3,31"></lb> τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,5,3,32"></lb> πολλαπλάσια, καὶ δι' ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,5,3,33"></lb> ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου <lb n="1799,001,,,,5,3,34"></lb> τὸ δὲ τοῦ τετάρτου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,3,35"></lb> <s>Ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ <lb n="1799,001,,,,5,4,1"></lb> τρίτον πρὸς τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε <lb n="1799,001,,,,5,4,2"></lb> πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,4,3"></lb> δευτέρου καὶ τετάρτου καθ' ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν <lb n="1799,001,,,,5,4,4"></lb> τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ληφθέντα κατάλληλα.</s> <lb n="1799,001,,,,5,4,5"></lb> <s>Πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω <lb n="1799,001,,,,5,4,6"></lb> λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω <lb n="1799,001,,,,5,4,7"></lb> τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ε, Ζ, τῶν δὲ Β, Δ <lb n="1799,001,,,,5,4,8"></lb> ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,5,4,9"></lb> ἐστὶν ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,4,10"></lb> Εἰλήφθω γὰρ τῶν <lb n="1799,001,,,,5,4,11"></lb> μὲν Ε, Ζ ἰσάκις πολ-<lb n="1799,001,,,,5,4,12"></lb> λαπλάσια τὰ Κ, Λ, <lb n="1799,001,,,,5,4,13"></lb> τῶν δὲ Η, Θ ἄλλα, ἃ <lb n="1799,001,,,,5,4,14"></lb> ἔτυχεν, ἰσάκις πολλα-<lb n="1799,001,,,,5,4,15"></lb> πλάσια τὰ Μ, Ν.</s> <lb n="1799,001,,,,5,4,16"></lb> <s>[Καὶ] ἐπεὶ ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,5,4,17"></lb> ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ <lb n="1799,001,,,,5,4,18"></lb> μὲν Ε τοῦ Α, τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,5,4,19"></lb> Ζ τοῦ Γ, καὶ εἴληπται <lb n="1799,001,,,,5,4,20"></lb> τῶν Ε, Ζ ἰσάκις πολ-<lb n="1799,001,,,,5,4,21"></lb> λαπλάσια τὰ Κ, Λ, <lb n="1799,001,,,,5,4,22"></lb> ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολ-<lb n="1799,001,,,,5,4,23"></lb> λαπλάσιον τὸ Κ τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,4,24"></lb> Α καὶ τὸ Λ τοῦ Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,4,25"></lb> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Μ τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,4,26"></lb> Β καὶ τὸ Ν τοῦ Λ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, <lb n="1799,001,,,,5,4,27"></lb> οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,5,4,28"></lb> πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,5,4,29"></lb> πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Κ τοῦ Μ, <lb n="1799,001,,,,5,4,30"></lb> ὑπερέχει καὶ τὸ Λ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, <lb n="1799,001,,,,5,4,31"></lb> ἔλαττον.</s> <s>καί ἐστι τὰ μὲν Κ, Λ τῶν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλά-<lb n="1799,001,,,,5,4,32"></lb> σια, τὰ δὲ Μ, Ν τῶν Η, Θ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλα-<lb n="1799,001,,,,5,4,33"></lb> πλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ Ζ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,4,34"></lb> τὸ Θ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,4,35"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ <lb n="1799,001,,,,5,4,36"></lb> τρίτον πρὸς τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,4,37"></lb> τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,4,38"></lb> δευτέρου καὶ τετάρτου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καθ' ὁποιονοῦν <lb n="1799,001,,,,5,4,39"></lb> πολλαπλασιασμὸν ληφθέντα κατάλληλα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,4,40"></lb> <s>Ἐὰν μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον, ὅπερ <lb n="1799,001,,,,5,5,1"></lb> ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντος, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,5,5,2"></lb> ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ὅλον τοῦ ὅλου.</s> <lb n="1799,001,,,,5,5,3"></lb> <s>Μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ μεγέθους τοῦ ΓΔ ἰσάκις ἔστω <lb n="1799,001,,,,5,5,4"></lb> πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,5,5"></lb> ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸν <lb n="1799,001,,,,5,5,6"></lb> τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,5,5,7"></lb> ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλά-<lb n="1799,001,,,,5,5,8"></lb> σιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου <lb n="1799,001,,,,5,5,9"></lb> τοῦ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,5,10"></lb> <s>Ὁσαπλάσιον γάρ ἐστι τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τοσαυταπλάσιον <lb n="1799,001,,,,5,5,11"></lb> γεγονέτω καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΓΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,5,12"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ <lb n="1799,001,,,,5,5,13"></lb> τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,5,14"></lb> ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΗΖ.</s> <s>κεῖται δὲ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ <lb n="1799,001,,,,5,5,15"></lb> ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ.</s> <s>ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλά- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,5,5,16"></lb> σιον τὸ ΑΒ ἑκατέρου τῶν ΗΖ, ΓΔ· ἴσον ἄρα τὸ ΗΖ <lb n="1799,001,,,,5,5,17"></lb> τῷ ΓΔ.</s> <s>κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΓ λοιπῷ <lb n="1799,001,,,,5,5,18"></lb> τῷ ΖΔ ἴσον ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ <lb n="1799,001,,,,5,5,19"></lb> ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἴσον δὲ τὸ ΗΓ τῷ ΔΖ, <lb n="1799,001,,,,5,5,20"></lb> ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ <lb n="1799,001,,,,5,5,21"></lb> τοῦ ΖΔ.</s> <s>ἰσάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,5,22"></lb> ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον <lb n="1799,001,,,,5,5,23"></lb> τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ.</s> <s>καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,5,5,24"></lb> ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλά-<lb n="1799,001,,,,5,5,25"></lb> σιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,5,26"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον, <lb n="1799,001,,,,5,5,27"></lb> ὅπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντος, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ <lb n="1799,001,,,,5,5,28"></lb> ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ὅλον <lb n="1799,001,,,,5,5,29"></lb> τοῦ ὅλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,5,30"></lb> <s>Ἐὰν δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, <lb n="1799,001,,,,5,6,1"></lb> καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, <lb n="1799,001,,,,5,6,2"></lb> καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοῖς ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,5,6,3"></lb> πολλαπλάσια.</s> <lb n="1799,001,,,,5,6,4"></lb> <s>Δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ δύο μεγεθῶν τῶν Ε, Ζ <lb n="1799,001,,,,5,6,5"></lb> ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τὰ ΑΗ, ΓΘ <lb n="1799,001,,,,5,6,6"></lb> τῶν αὐτῶν τῶν Ε, Ζ ἰσάκις ἔστω πολλα-<lb n="1799,001,,,,5,6,7"></lb> πλάσια· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὰ τὰ ΗΒ, <lb n="1799,001,,,,5,6,8"></lb> ΘΔ τοῖς Ε, Ζ ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,5,6,9"></lb> αὐτῶν πολλαπλάσια.</s> <lb n="1799,001,,,,5,6,10"></lb> <s>Ἔστω γὰρ πρότερον τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,6,11"></lb> <s>λέγω, ὅτι καὶ τὸ ΘΔ τῷ Ζ ἴσον ἐστίν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,6,12"></lb> Κείσθω γὰρ τῷ Ζ ἴσον τὸ ΓΚ.</s> <s>ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλα-<lb n="1799,001,,,,5,6,13"></lb> πλάσιον τὸ ΑΗ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΘ τοῦ Ζ, ἴσον δὲ τὸ μὲν <lb n="1799,001,,,,5,6,14"></lb> ΗΒ τῷ Ε, τὸ δὲ ΚΓ τῷ Ζ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλά-<lb n="1799,001,,,,5,6,15"></lb> σιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΚΘ τοῦ Ζ.</s> <s>ἰσάκις δὲ ὑπόκειται <lb n="1799,001,,,,5,6,16"></lb> πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ· ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,5,6,17"></lb> ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΘ τοῦ Ζ καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,6,18"></lb> <s>ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν ΚΘ, ΓΔ τοῦ Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλα-<lb n="1799,001,,,,5,6,19"></lb> πλάσιον, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΘ τῷ ΓΔ.</s> <s>κοινὸν ἀφῃρήσθω <lb n="1799,001,,,,5,6,20"></lb> τὸ ΓΘ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΓ λοιπῷ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν.</s> <s>ἀλλὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,5,6,21"></lb> Ζ τῷ ΚΓ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΘΔ ἄρα τῷ Ζ ἴσον ἐστίν.</s> <s>ὥστε <lb n="1799,001,,,,5,6,22"></lb> εἰ τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΘΔ ἴσον ἔσται τῷ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,6,23"></lb> <s>Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, κἂν πολλαπλάσιον ᾖ τὸ ΗΒ <lb n="1799,001,,,,5,6,24"></lb> τοῦ Ε, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΘΔ τοῦ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,6,25"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις ᾖ πολλα-<lb n="1799,001,,,,5,6,26"></lb> πλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκις ᾖ <lb n="1799,001,,,,5,6,27"></lb> πολλαπλάσια, καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοῖς ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ <lb n="1799,001,,,,5,6,28"></lb> ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,6,29"></lb> <s>Τὰ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ αὐτὸ <lb n="1799,001,,,,5,7,1"></lb> πρὸς τὰ ἴσα.</s> <lb n="1799,001,,,,5,7,2"></lb> <s>Ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ Α, Β, ἄλλο δέ τι, ὃ ἔτυχεν, μέγεθος <lb n="1799,001,,,,5,7,3"></lb> τὸ Γ· λέγω, ὅτι ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,5,7,4"></lb> τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν <lb n="1799,001,,,,5,7,5"></lb> αὐτὸν ἔχει λόγον, καὶ τὸ Γ <lb n="1799,001,,,,5,7,6"></lb> πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,7,7"></lb> Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ <lb n="1799,001,,,,5,7,8"></lb> Δ, Ε, τοῦ δὲ Γ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον τὸ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,7,9"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Δ τοῦ Α καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,5,7,10"></lb> Ε τοῦ Β, ἴσον δὲ τὸ Α τῷ Β, ἴσον ἄρα καὶ τὸ Δ τῷ Ε.</s> <s>ἄλλο <lb n="1799,001,,,,5,7,11"></lb> δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Ζ.</s> <s>Εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Δ τοῦ Ζ, ὑπερέχει <lb n="1799,001,,,,5,7,12"></lb> καὶ τὸ Ε τοῦ Ζ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,7,13"></lb> <s>καί ἐστι τὰ μὲν Δ, Ε τῶν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια, τὸ <lb n="1799,001,,,,5,7,14"></lb> δὲ Ζ τοῦ Γ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον· ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,5,7,15"></lb> τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,7,16"></lb> <s>Λέγω [δή], ὅτι καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν <lb n="1799,001,,,,5,7,17"></lb> αὐτὸν ἔχει λόγον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,7,18"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, <lb n="1799,001,,,,5,7,19"></lb> ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Δ τῷ Ε· ἄλλο δέ τι τὸ Ζ· εἰ ἄρα ὑπερέχει <lb n="1799,001,,,,5,7,20"></lb> τὸ Ζ τοῦ Δ, ὑπερέχει καὶ τοῦ Ε, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ <lb n="1799,001,,,,5,7,21"></lb> ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <s>καί ἐστι τὸ μὲν Ζ τοῦ Γ πολλαπλάσιον, <lb n="1799,001,,,,5,7,22"></lb> τὰ δὲ Δ, Ε τῶν Α, Β ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· <lb n="1799,001,,,,5,7,23"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Β.</s> <lb n="1799,001,,,,5,7,24"></lb> <s>Τὰ ἴσα ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,5,7,25"></lb> αὐτὸ πρὸς τὰ ἴσα.</s> <lb n="1799,001,,,,5,7,26"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,5,7,27"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν μεγέθη τινὰ ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,5,7,28"></lb> ᾖ, καὶ ἀνάπαλιν ἀνάλογον ἔσται.</s> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,7,29"></lb> Τῶν ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα <lb n="1799,001,,,,5,8,1"></lb> λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον.</s> <s>καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὸ ἔλαττον <lb n="1799,001,,,,5,8,2"></lb> μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,8,3"></lb> <s>Ἔστω ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τὸ <lb n="1799,001,,,,5,8,4"></lb> ΑΒ, ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Δ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Δ <lb n="1799,001,,,,5,8,5"></lb> μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,5,8,6"></lb> Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,8,7"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ, κείσθω τῷ Γ ἴσον <lb n="1799,001,,,,5,8,8"></lb> τὸ ΒΕ· τὸ δὴ ἔλασσον τῶν ΑΕ, ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον <lb n="1799,001,,,,5,8,9"></lb> ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον.</s> <s>ἔστω <lb n="1799,001,,,,5,8,10"></lb> πρότερον τὸ ΑΕ ἔλαττον τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,8,11"></lb> ΕΒ, καὶ πεπολλαπλασιάσθω <lb n="1799,001,,,,5,8,12"></lb> τὸ ΑΕ, καὶ ἔστω αὐτοῦ πολλα-<lb n="1799,001,,,,5,8,13"></lb> πλάσιον τὸ ΖΗ μεῖζον ὂν τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,8,14"></lb> Δ, καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΗ <lb n="1799,001,,,,5,8,15"></lb> τοῦ ΑΕ, τοσαυταπλάσιον γε-<lb n="1799,001,,,,5,8,16"></lb> γονέτω καὶ τὸ μὲν ΗΘ τοῦ ΕΒ <lb n="1799,001,,,,5,8,17"></lb> τὸ δὲ Κ τοῦ Γ· καὶ εἰλήφθω <lb n="1799,001,,,,5,8,18"></lb> τοῦ Δ διπλάσιον μὲν τὸ Λ, <lb n="1799,001,,,,5,8,19"></lb> τριπλάσιον δὲ τὸ Μ, καὶ ἑξῆς <lb n="1799,001,,,,5,8,20"></lb> ἑνὶ πλεῖον, ἕως ἂν τὸ λαμβανό-<lb n="1799,001,,,,5,8,21"></lb> μενον πολλαπλάσιον μὲν γένηται τοῦ Δ, πρώτως δὲ <lb n="1799,001,,,,5,8,22"></lb> μεῖζον τοῦ Κ.</s> <s>εἰλήφθω, καὶ ἔστω τὸ Ν τετραπλάσιον <lb n="1799,001,,,,5,8,23"></lb> μὲν τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ Κ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,8,24"></lb> Ἐπεὶ οὖν τὸ Κ τοῦ Ν πρώτως ἐστὶν ἔλαττον, τὸ Κ <lb n="1799,001,,,,5,8,25"></lb> ἄρα τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλα-<lb n="1799,001,,,,5,8,26"></lb> πλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, ἰσάκις ἄρα <lb n="1799,001,,,,5,8,27"></lb> ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,8,28"></lb> <s>ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ Κ τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,8,29"></lb> Γ· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ Κ <lb n="1799,001,,,,5,8,30"></lb> τοῦ Γ.</s> <s>τὰ ΖΘ, Κ ἄρα τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια.</s> <lb n="1799,001,,,,5,8,31"></lb> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ καὶ <lb n="1799,001,,,,5,8,32"></lb> τὸ Κ τοῦ Γ, ἴσον δὲ τὸ ΕΒ τῷ Γ, ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τῷ <lb n="1799,001,,,,5,8,33"></lb> Κ· τὸ δὲ Κ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλαττον· οὐδ' ἄρα τὸ ΗΘ τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,8,34"></lb> Μ ἔλαττόν ἐστιν.</s> <s>μεῖζον δὲ τὸ ΖΗ τοῦ Δ· ὅλον ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,5,8,35"></lb> ΖΘ συναμφοτέρων τῶν Δ, Μ μεῖζόν ἐστιν.</s> <s>ἀλλὰ συναμ-<lb n="1799,001,,,,5,8,36"></lb> φότερα τὰ Δ, Μ τῷ Ν ἐστιν ἴσα, ἐπειδήπερ τὸ Μ τοῦ Δ <lb n="1799,001,,,,5,8,37"></lb> τριπλάσιόν ἐστιν, συναμφότερα δὲ τὰ Μ, Δ τοῦ Δ ἐστι <lb n="1799,001,,,,5,8,38"></lb> τετραπλάσια, ἔστι δὲ καὶ τὸ Ν τοῦ Δ τετραπλάσιον· <lb n="1799,001,,,,5,8,39"></lb> συναμφότερα ἄρα τὰ Μ, Δ τῷ Ν ἴσα ἐστίν.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΖΘ <lb n="1799,001,,,,5,8,40"></lb> τῶν Μ, Δ μεῖζόν ἐστιν· τὸ ΖΘ ἄρα τοῦ Ν ὑπερέχει· τὸ <lb n="1799,001,,,,5,8,41"></lb> δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει.</s> <s>καί ἐστι τὰ μὲν ΖΘ, Κ τῶν <lb n="1799,001,,,,5,8,42"></lb> ΑΒ, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ν τοῦ Δ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, <lb n="1799,001,,,,5,8,43"></lb> πολλαπλάσιον· τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,5,8,44"></lb> ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,8,45"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,5,8,46"></lb> ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,8,47"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, <lb n="1799,001,,,,5,8,48"></lb> ὅτι τὸ μὲν Ν τοῦ Κ ὑπερέχει, τὸ δὲ Ν τοῦ ΖΘ οὐχ ὑπερ-<lb n="1799,001,,,,5,8,49"></lb> έχει.</s> <s>καί ἐστι τὸ μὲν Ν τοῦ Δ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ ΖΘ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,8,50"></lb> Κ τῶν ΑΒ, Γ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· τὸ Δ <lb n="1799,001,,,,5,8,51"></lb> ἄρα πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,8,52"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΕ τοῦ ΕΒ <lb n="1799,001,,,,5,8,53"></lb> μεῖζον ἔστω.</s> <s>τὸ δὴ ἔλαττον <lb n="1799,001,,,,5,8,54"></lb> τὸ ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον <lb n="1799,001,,,,5,8,55"></lb> ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,8,56"></lb> <s>πεπολλαπλασιάσθω, καὶ ἔστω <lb n="1799,001,,,,5,8,57"></lb> τὸ ΗΘ πολλαπλάσιον μὲν <lb n="1799,001,,,,5,8,58"></lb> τοῦ ΕΒ, μεῖζον δὲ τοῦ Δ· <lb n="1799,001,,,,5,8,59"></lb> καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΗΘ <lb n="1799,001,,,,5,8,60"></lb> τοῦ ΕΒ, τοσαυταπλάσιον γε-<lb n="1799,001,,,,5,8,61"></lb> γονέτω καὶ τὸ μὲν ΖΗ τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,8,62"></lb> ΑΕ, τὸ δὲ Κ τοῦ Γ.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,5,8,63"></lb> δὴ δείξομεν, ὅτι τὰ ΖΘ, Κ <lb n="1799,001,,,,5,8,64"></lb> τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια· καὶ εἰλήφθω <lb n="1799,001,,,,5,8,65"></lb> ὁμοίως τὸ Ν πολλαπλάσιον μὲν τοῦ Δ, πρώτως δὲ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,5,8,66"></lb> τοῦ ΖΗ· ὥστε πάλιν τὸ ΖΗ τοῦ Μ οὔκ ἐστιν ἔλασσον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,8,67"></lb> <s>μεῖζον δὲ τὸ ΗΘ τοῦ Δ· ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ τῶν Δ, Μ, <lb n="1799,001,,,,5,8,68"></lb> τουτέστι τοῦ Ν, ὑπερέχει.</s> <s>τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει, <lb n="1799,001,,,,5,8,69"></lb> ἐπειδήπερ καὶ τὸ ΖΗ μεῖζον ὂν τοῦ ΗΘ, τουτέστι τοῦ Κ, <lb n="1799,001,,,,5,8,70"></lb> τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει.</s> <s>καὶ ὡσαύτως κατακολουθοῦντες <lb n="1799,001,,,,5,8,71"></lb> τοῖς ἐπάνω περαίνομεν τὴν ἀπόδειξιν.</s> <lb n="1799,001,,,,5,8,72"></lb> <s>Τῶν ἄρα ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ <lb n="1799,001,,,,5,8,73"></lb> μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον· καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,5,8,74"></lb> ἔλαττον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,5,8,75"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,8,76"></lb> Τὰ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλήλοις <lb n="1799,001,,,,5,9,1"></lb> ἐστίν· καὶ πρὸς ἃ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἐκεῖνα <lb n="1799,001,,,,5,9,2"></lb> ἴσα ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,5,9,3"></lb> <s>Ἐχέτω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν <lb n="1799,001,,,,5,9,4"></lb> λόγον· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.</s> <lb n="1799,001,,,,5,9,5"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή, οὐκ ἂν ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,5,9,6"></lb> τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν <lb n="1799,001,,,,5,9,7"></lb> εἶχε λόγον· ἔχει δέ· ἴσον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,5,9,8"></lb> τὸ Α τῷ Β.</s> <lb n="1799,001,,,,5,9,9"></lb> <s>Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν <lb n="1799,001,,,,5,9,10"></lb> αὐτὸν λόγον· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.</s> <lb n="1799,001,,,,5,9,11"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή, οὐκ ἂν τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν <lb n="1799,001,,,,5,9,12"></lb> αὐτὸν εἶχε λόγον· ἔχει δέ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.</s> <lb n="1799,001,,,,5,9,13"></lb> <s>Τὰ ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα <lb n="1799,001,,,,5,9,14"></lb> ἀλλήλοις ἐστίν· καὶ πρὸς ἃ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, <lb n="1799,001,,,,5,9,15"></lb> ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,9,16"></lb> <s>Τῶν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον <lb n="1799,001,,,,5,10,1"></lb> ἔχον ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστιν· πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα <lb n="1799,001,,,,5,10,2"></lb> λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,5,10,3"></lb> <s>Ἐχέτω γὰρ τὸ Α πρὸς τὸ Γ μεί-<lb n="1799,001,,,,5,10,4"></lb> ζονα λόγον ἤπερ τὸ Β πρὸς τὸ Γ· <lb n="1799,001,,,,5,10,5"></lb> λέγω, ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,10,6"></lb> Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β ἢ ἔλασσον.</s> <s>ἴσον <lb n="1799,001,,,,5,10,7"></lb> μὲν οὖν οὔκ ἐστι τὸ Α τῷ Β· ἑκάτερον γὰρ ἂν τῶν Α, Β <lb n="1799,001,,,,5,10,8"></lb> πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον.</s> <s>οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα <lb n="1799,001,,,,5,10,9"></lb> ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.</s> <s>οὐδὲ μὴν ἔλασσόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β· <lb n="1799,001,,,,5,10,10"></lb> τὸ Α γὰρ ἂν πρὸς τὸ Γ ἐλάσσονα λόγον εἶχεν ἤπερ τὸ Β <lb n="1799,001,,,,5,10,11"></lb> πρὸς τὸ Γ.</s> <s>οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β.</s> <lb n="1799,001,,,,5,10,12"></lb> <s>ἐδείχθη δὲ οὐδὲ ἴσον· μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τοῦ Β.</s> <lb n="1799,001,,,,5,10,13"></lb> <s>Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Γ πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἤπερ <lb n="1799,001,,,,5,10,14"></lb> τὸ Γ πρὸς τὸ Α· λέγω, ὅτι ἔλασσόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α.</s> <lb n="1799,001,,,,5,10,15"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ μεῖζον.</s> <s>ἴσον μὲν οὖν οὔκ <lb n="1799,001,,,,5,10,16"></lb> ἐστι τὸ Β τῷ Α· τὸ Γ γὰρ ἂν πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β <lb n="1799,001,,,,5,10,17"></lb> τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον.</s> <s>οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α <lb n="1799,001,,,,5,10,18"></lb> τῷ Β.</s> <s>οὐδὲ μὴν μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α· τὸ Γ γὰρ ἂν πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,10,19"></lb> τὸ Β ἐλάσσονα λόγον εἶχεν ἤπερ πρὸς τὸ Α.</s> <s>οὐκ ἔχει δέ· <lb n="1799,001,,,,5,10,20"></lb> οὐκ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α.</s> <s>ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ <lb n="1799,001,,,,5,10,21"></lb> ἴσον· ἔλαττον ἄρα ἐστὶ τὸ Β τοῦ Α.</s> <lb n="1799,001,,,,5,10,22"></lb> <s>Τῶν ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον <lb n="1799,001,,,,5,10,23"></lb> ἔχον μεῖζόν ἐστιν· καὶ πρὸς ὃ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, <lb n="1799,001,,,,5,10,24"></lb> ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,10,25"></lb> <s>Οἱ τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ <lb n="1799,001,,,,5,11,1"></lb> αὐτοί.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,11,2"></lb> Ἔστωσαν γὰρ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ <lb n="1799,001,,,,5,11,3"></lb> πρὸς τὸ Δ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· <lb n="1799,001,,,,5,11,4"></lb> λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ. <lb n="1799,001,,,,5,11,5"></lb> Εἰλήφθω γὰρ τῶν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, <lb n="1799,001,,,,5,11,6"></lb> Θ, Κ, τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια <lb n="1799,001,,,,5,11,7"></lb> τὰ Λ, Μ, Ν.</s> <lb n="1799,001,,,,5,11,8"></lb> <s>Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,11,9"></lb> τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια <lb n="1799,001,,,,5,11,10"></lb> τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια <lb n="1799,001,,,,5,11,11"></lb> τὰ Λ, Μ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ <lb n="1799,001,,,,5,11,12"></lb> τοῦ Μ, καὶ εἰ ἴσον ἐστίν, ἴσον, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει.</s> <lb n="1799,001,,,,5,11,13"></lb> <s>πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,11,14"></lb> τὸ Ζ, καὶ εἴληπται τῶν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ <lb n="1799,001,,,,5,11,15"></lb> Θ, Κ, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια <lb n="1799,001,,,,5,11,16"></lb> τὰ Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,5,11,17"></lb> Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <s>ἀλλὰ <lb n="1799,001,,,,5,11,18"></lb> εἰ ὑπερεῖχε τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερεῖχε καὶ τὸ Η τοῦ Λ, καὶ εἰ <lb n="1799,001,,,,5,11,19"></lb> ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον· ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει <lb n="1799,001,,,,5,11,20"></lb> τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,11,21"></lb> καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <s>καί ἐστι τὰ μὲν Η, Κ τῶν Α, Ε <lb n="1799,001,,,,5,11,22"></lb> ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Λ, Ν τῶν Β, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, <lb n="1799,001,,,,5,11,23"></lb> ἰσάκις πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως <lb n="1799,001,,,,5,11,24"></lb> τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,11,25"></lb> <s>Οἱ ἄρα τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ <lb n="1799,001,,,,5,11,26"></lb> αὐτοί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,11,27"></lb> <s>Ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον, ἔσται ὡς ἓν τῶν <lb n="1799,001,,,,5,12,1"></lb> ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ <lb n="1799,001,,,,5,12,2"></lb> ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.</s> <lb n="1799,001,,,,5,12,3"></lb> <s>Ἔστωσαν ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, <lb n="1799,001,,,,5,12,4"></lb> Ε, Ζ, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ <lb n="1799,001,,,,5,12,5"></lb> τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, <lb n="1799,001,,,,5,12,6"></lb> οὕτως τὰ Α, Γ, Ε πρὸς τὰ Β, Δ, Ζ. <lb n="1799,001,,,,5,12,7"></lb> Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια <lb n="1799,001,,,,5,12,8"></lb> τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,5,12,9"></lb> πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν.</s> <lb n="1799,001,,,,5,12,10"></lb> <s>Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,12,11"></lb> τὸ Δ, καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ, <lb n="1799,001,,,,5,12,12"></lb> Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ τῶν δὲ Β, Δ, Ζ ἄλλα, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,12,13"></lb> ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερ-<lb n="1799,001,,,,5,12,14"></lb> έχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ, καὶ τὸ Κ <lb n="1799,001,,,,5,12,15"></lb> τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <s>ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,5,12,16"></lb> εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὰ Η, Θ, Κ τῶν <lb n="1799,001,,,,5,12,17"></lb> Λ, Μ, Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσα, καὶ εἰ ἔλαττον, ἐλάττονα.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,5,12,18"></lb> ἐστι τὸ μὲν Η καὶ τὰ Η, Θ, Κ τοῦ Α καὶ τῶν Α, Γ, Ε <lb n="1799,001,,,,5,12,19"></lb> ἰσάκις πολλαπλάσια, ἐπειδήπερ ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη <lb n="1799,001,,,,5,12,20"></lb> ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου <lb n="1799,001,,,,5,12,21"></lb> ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν <lb n="1799,001,,,,5,12,22"></lb> ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων.</s> <lb n="1799,001,,,,5,12,23"></lb> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ Λ καὶ τὰ Λ, Μ, Ν τοῦ Β καὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,5,12,24"></lb> Β, Δ, Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α <lb n="1799,001,,,,5,12,25"></lb> πρὸς τὸ Β, οὕτως τὰ Α, Γ, Ε πρὸς τὰ Β, Δ, Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,12,26"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον, ἔσται ὡς ἓν <lb n="1799,001,,,,5,12,27"></lb> τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ <lb n="1799,001,,,,5,12,28"></lb> ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,12,29"></lb> <s>Ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ <lb n="1799,001,,,,5,13,1"></lb> τρίτον πρὸς τέταρτον, τρίτον δὲ πρὸς τέταρτον μείζονα <lb n="1799,001,,,,5,13,2"></lb> λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον, καὶ πρῶτον πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,13,3"></lb> δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,13,4"></lb> Πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω <lb n="1799,001,,,,5,13,5"></lb> λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, τρίτον δὲ τὸ Γ <lb n="1799,001,,,,5,13,6"></lb> πρὸς τέταρτον τὸ Δ μείζονα λόγον ἐχέτω ἢ πέμπτον τὸ Ε <lb n="1799,001,,,,5,13,7"></lb> πρὸς ἕκτον τὸ Ζ.</s> <s>λέγω, ὅτι καὶ πρῶτον τὸ Α πρὸς δεύτερον <lb n="1799,001,,,,5,13,8"></lb> τὸ Β μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ πέμπτον τὸ Ε πρὸς ἕκτον <lb n="1799,001,,,,5,13,9"></lb> τὸ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,13,10"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἔστι τινὰ τῶν μὲν Γ, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια, <lb n="1799,001,,,,5,13,11"></lb> τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια, καὶ <lb n="1799,001,,,,5,13,12"></lb> τὸ μὲν τοῦ Γ πολλαπλάσιον τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,13,13"></lb> τοῦ Δ πολλαπλασίου ὑπερέχει, τὸ <lb n="1799,001,,,,5,13,14"></lb> δὲ τοῦ Ε πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Ζ <lb n="1799,001,,,,5,13,15"></lb> πολλαπλασίου οὐχ ὑπερέχει, εἰλή-<lb n="1799,001,,,,5,13,16"></lb> φθω, καὶ ἔστω τῶν μὲν Γ, Ε ἰσά-<lb n="1799,001,,,,5,13,17"></lb> κις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ <lb n="1799,001,,,,5,13,18"></lb> Δ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ὥστε <lb n="1799,001,,,,5,13,19"></lb> τὸ μὲν Η τοῦ Κ ὑπερέχειν, τὸ δὲ Θ τοῦ Λ μὴ ὑπερέχειν· <lb n="1799,001,,,,5,13,20"></lb> καὶ ὁσαπλάσιον μέν ἐστι τὸ Η τοῦ Γ, τοσαυταπλάσιον <lb n="1799,001,,,,5,13,21"></lb> ἔστω καὶ τὸ Μ τοῦ Α, ὁσαπλάσιον δὲ τὸ Κ τοῦ Δ, <lb n="1799,001,,,,5,13,22"></lb> τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Ν τοῦ Β.</s> <lb n="1799,001,,,,5,13,23"></lb> <s>Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,13,24"></lb> τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ <lb n="1799,001,,,,5,13,25"></lb> Μ, Η, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια <lb n="1799,001,,,,5,13,26"></lb> τὰ Ν, Κ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Μ τοῦ Ν, ὑπερέχει καὶ τὸ Η <lb n="1799,001,,,,5,13,27"></lb> τοῦ Κ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <s>ὑπερέχει <lb n="1799,001,,,,5,13,28"></lb> δὲ τὸ Η τοῦ Κ· ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ Μ τοῦ Ν.</s> <s>τὸ δὲ Θ <lb n="1799,001,,,,5,13,29"></lb> τοῦ Λ οὐχ ὑπερέχει· καί ἐστι τὰ μὲν Μ, Θ τῶν Α, Ε <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,13,30"></lb> ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Ν, Λ τῶν Β, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, <lb n="1799,001,,,,5,13,31"></lb> ἰσάκις πολλαπλάσια· τὸ ἄρα Α πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον <lb n="1799,001,,,,5,13,32"></lb> ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,13,33"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον <lb n="1799,001,,,,5,13,34"></lb> καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τρίτον δὲ πρὸς τέταρτον μείζονα <lb n="1799,001,,,,5,13,35"></lb> λόγον ἔχῃ ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον, καὶ πρῶτον πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,13,36"></lb> δεύτερον μείζονα λόγον ἕξει ἢ πέμπτον πρὸς ἕκτον· <lb n="1799,001,,,,5,13,37"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,13,38"></lb> <s>Ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ <lb n="1799,001,,,,5,14,1"></lb> τρίτον πρὸς τέταρτον, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, <lb n="1799,001,,,,5,14,2"></lb> καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, <lb n="1799,001,,,,5,14,3"></lb> κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,14,4"></lb> <s>Πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω <lb n="1799,001,,,,5,14,5"></lb> λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, μεῖζον δὲ ἔστω <lb n="1799,001,,,,5,14,6"></lb> τὸ Α τοῦ Γ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Β <lb n="1799,001,,,,5,14,7"></lb> τοῦ Δ μεῖζόν ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,5,14,8"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζόν <lb n="1799,001,,,,5,14,9"></lb> ἐστιν, ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, [μέγε-<lb n="1799,001,,,,5,14,10"></lb> θοσ] τὸ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ <lb n="1799,001,,,,5,14,11"></lb> τὸ Γ πρὸς τὸ Β.</s> <s>ὡς δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ <lb n="1799,001,,,,5,14,12"></lb> πρὸς τὸ Δ· καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,5,14,13"></lb> ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β.</s> <s>πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον <lb n="1799,001,,,,5,14,14"></lb> ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστιν· ἔλασσον ἄρα τὸ Δ τοῦ Β· <lb n="1799,001,,,,5,14,15"></lb> ὥστε μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Δ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,14,16"></lb> Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον <lb n="1799,001,,,,5,14,17"></lb> ἔσται καὶ τὸ Β τῷ Δ, κἂν ἔλασσον ᾖ τὸ Α τοῦ Γ, ἔλασσον <lb n="1799,001,,,,5,14,18"></lb> ἔσται καὶ τὸ Β τοῦ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,14,19"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ <lb n="1799,001,,,,5,14,20"></lb> τρίτον πρὸς τέταρτον, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, <lb n="1799,001,,,,5,14,21"></lb> καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, <lb n="1799,001,,,,5,14,22"></lb> κἂν ἔλαττον, ἔλαττον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,14,23"></lb> <s>Τὰ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει <lb n="1799,001,,,,5,15,1"></lb> λόγον ληφθέντα κατάλληλα.</s> <lb n="1799,001,,,,5,15,2"></lb> <s>Ἔστω γὰρ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,5,15,3"></lb> ΔΕ τοῦ Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,5,15,4"></lb> τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,15,5"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ <lb n="1799,001,,,,5,15,6"></lb> καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα <lb n="1799,001,,,,5,15,7"></lb> τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα <lb n="1799,001,,,,5,15,8"></lb> τῷ Ζ.</s> <s>διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ <lb n="1799,001,,,,5,15,9"></lb> τῷ Γ ἴσα τὰ ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ, τὸ <lb n="1799,001,,,,5,15,10"></lb> δὲ ΔΕ εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΔΚ, <lb n="1799,001,,,,5,15,11"></lb> ΚΛ, ΛΕ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος <lb n="1799,001,,,,5,15,12"></lb> τῶν ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,5,15,13"></lb> ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΗ, ΗΘ, ΘΒ ἀλλήλοις, ἔστι δὲ καὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,5,15,14"></lb> ΔΚ, ΚΛ, ΛΕ ἴσα ἀλλήλοις, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,15,15"></lb> τὸ ΔΚ, οὕτως τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΚΛ, καὶ τὸ ΘΒ πρὸς τὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,15,16"></lb> ΛΕ.</s> <s>ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν <lb n="1799,001,,,,5,15,17"></lb> ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ <lb n="1799,001,,,,5,15,18"></lb> ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,5,15,19"></lb> ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ.</s> <s>ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Γ, τὸ δὲ ΔΚ <lb n="1799,001,,,,5,15,20"></lb> τῷ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,15,21"></lb> τὸ ΔΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,15,22"></lb> <s>Τὰ ἄρα μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν <lb n="1799,001,,,,5,15,23"></lb> ἔχει λόγον ληφθέντα κατάλληλα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,15,24"></lb> <s>Ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,5,16,1"></lb> ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,5,16,2"></lb> <s>Ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ὡς τὸ Α <lb n="1799,001,,,,5,16,3"></lb> πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ [ἀνά-<lb n="1799,001,,,,5,16,4"></lb> λογον] ἔσται, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,5,16,5"></lb> Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,16,6"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β <lb n="1799,001,,,,5,16,7"></lb> ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ε, Ζ, <lb n="1799,001,,,,5,16,8"></lb> τῶν δὲ Γ, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, <lb n="1799,001,,,,5,16,9"></lb> ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,16,10"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Ε τοῦ Α καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,5,16,11"></lb> Ζ τοῦ Β, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν <lb n="1799,001,,,,5,16,12"></lb> αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,5,16,13"></lb> Ε πρὸς τὸ Ζ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,16,14"></lb> τὸ Δ· καὶ ὡς ἄρα τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,16,15"></lb> πάλιν, ἐπεὶ τὰ Η, Θ τῶν Γ, Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια, <lb n="1799,001,,,,5,16,16"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,16,17"></lb> <s>ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, [οὕτωσ] τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· καὶ ὡς <lb n="1799,001,,,,5,16,18"></lb> ἄρα τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ.</s> <s>ἐὰν δὲ τέσ-<lb n="1799,001,,,,5,16,19"></lb> σαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον <lb n="1799,001,,,,5,16,20"></lb> ᾖ, καὶ τὸ δεύτερον τοῦ τετάρτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, <lb n="1799,001,,,,5,16,21"></lb> ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <s>εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ε τοῦ Η, <lb n="1799,001,,,,5,16,22"></lb> ὑπερέχει καὶ τὸ Ζ τοῦ Θ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, <lb n="1799,001,,,,5,16,23"></lb> ἔλαττον.</s> <s>καί ἐστι τὰ μὲν Ε, Ζ τῶν Α, Β ἰσάκις πολλαπλά-<lb n="1799,001,,,,5,16,24"></lb> σια, τὰ δὲ Η, Θ τῶν Γ, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλα-<lb n="1799,001,,,,5,16,25"></lb> πλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,16,26"></lb> τὸ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,16,27"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ <lb n="1799,001,,,,5,16,28"></lb> ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,16,29"></lb> <s>Ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ διαιρεθέντα <lb n="1799,001,,,,5,17,1"></lb> ἀνάλογον ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,5,17,2"></lb> <s>Ἔστω συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ, ΒΕ, <lb n="1799,001,,,,5,17,3"></lb> ΓΔ, ΔΖ, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,17,4"></lb> τὸ ΔΖ· λέγω, ὅτι καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς <lb n="1799,001,,,,5,17,5"></lb> τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΔΖ. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,17,6"></lb> Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, ΖΔ ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,5,17,7"></lb> πολλαπλάσια τὰ ΗΘ, ΘΚ, ΛΜ, ΜΝ, τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ <lb n="1799,001,,,,5,17,8"></lb> ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΚΞ, ΝΠ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,17,9"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ <lb n="1799,001,,,,5,17,10"></lb> καὶ τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ <lb n="1799,001,,,,5,17,11"></lb> ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ.</s> <s>ἰσάκις δέ ἐστι πολλα-<lb n="1799,001,,,,5,17,12"></lb> πλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ· ἰσάκις ἄρα <lb n="1799,001,,,,5,17,13"></lb> ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,17,14"></lb> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ <lb n="1799,001,,,,5,17,15"></lb> καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΖΔ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ <lb n="1799,001,,,,5,17,16"></lb> ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ.</s> <s>ἰσάκις δὲ ἦν πολλαπλάσιον <lb n="1799,001,,,,5,17,17"></lb> τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολ-<lb n="1799,001,,,,5,17,18"></lb> λαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΓΔ.</s> <s>τὰ ΗΚ, <lb n="1799,001,,,,5,17,19"></lb> ΛΝ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια.</s> <s>πάλιν, <lb n="1799,001,,,,5,17,20"></lb> ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΘΚ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,5,17,21"></lb> ΜΝ τοῦ ΖΔ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΚΞ τοῦ ΕΒ ἰσάκις πολλαπλά-<lb n="1799,001,,,,5,17,22"></lb> σιον καὶ τὸ ΝΠ τοῦ ΖΔ, καὶ συντεθὲν τὸ ΘΞ τοῦ ΕΒ <lb n="1799,001,,,,5,17,23"></lb> ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΜΠ τοῦ ΖΔ.</s> <s>Καὶ ἐπεί <lb n="1799,001,,,,5,17,24"></lb> ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ, <lb n="1799,001,,,,5,17,25"></lb> καὶ εἴληπται τῶν μὲν ΑΒ, ΓΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ <lb n="1799,001,,,,5,17,26"></lb> ΗΚ, ΛΝ, τῶν δὲ ΕΒ, ΖΔ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΘΞ, <lb n="1799,001,,,,5,17,27"></lb> ΜΠ, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,5,17,28"></lb> ΛΝ τοῦ ΜΠ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,17,29"></lb> <s>ὑπερεχέτω δὴ τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,17,30"></lb> τοῦ ΘΚ ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ.</s> <s>ἀλλὰ εἰ ὑπερεῖχε <lb n="1799,001,,,,5,17,31"></lb> τὸ ΗΚ τοῦ ΘΞ, ὑπερεῖχε καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ· ὑπερέχει <lb n="1799,001,,,,5,17,32"></lb> ἄρα καὶ τὸ ΛΝ τοῦ ΜΠ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,17,33"></lb> ΜΝ ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ· ὥστε εἰ ὑπερέχει τὸ <lb n="1799,001,,,,5,17,34"></lb> ΗΘ τοῦ ΚΞ, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΝΠ.</s> <s>ὁμοίως δὴ <lb n="1799,001,,,,5,17,35"></lb> δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ ΗΘ τῷ ΚΞ, ἴσον ἔσται καὶ <lb n="1799,001,,,,5,17,36"></lb> τὸ ΛΜ τῷ ΝΠ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <s>καί ἐστι τὰ μὲν <lb n="1799,001,,,,5,17,37"></lb> ΗΘ, ΛΜ τῶν ΑΕ, ΓΖ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ ΚΞ, <lb n="1799,001,,,,5,17,38"></lb> ΝΠ τῶν ΕΒ, ΖΔ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· <lb n="1799,001,,,,5,17,39"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,17,40"></lb> τὸ ΖΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,17,41"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ διαιρε-<lb n="1799,001,,,,5,17,42"></lb> θέντα ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,17,43"></lb> <s>Ἐὰν διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ συντεθέντα <lb n="1799,001,,,,5,18,1"></lb> ἀνάλογον ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,5,18,2"></lb> <s>Ἔστω διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΕ, ΕΒ, ΓΖ, <lb n="1799,001,,,,5,18,3"></lb> ΖΔ, ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ· <lb n="1799,001,,,,5,18,4"></lb> λέγω, ὅτι καὶ συντεθέντα ἀνά- <lb n="1799,001,,,,5,18,5"></lb> λογον ἔσται, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,5,18,6"></lb> ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΖΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,18,7"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,5,18,8"></lb> πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,18,9"></lb> πρὸς τὸ ΔΖ, ἔσται ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ <lb n="1799,001,,,,5,18,10"></lb> ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΔΖ ἢ πρὸς μεῖζον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,18,11"></lb> <s>Ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ ΔΗ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,5,18,12"></lb> ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΗ, <lb n="1799,001,,,,5,18,13"></lb> συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν· ὥστε καὶ διαιρεθέντα <lb n="1799,001,,,,5,18,14"></lb> ἀνάλογον ἔσται.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,5,18,15"></lb> τὸ ΓΗ πρὸς τὸ ΗΔ.</s> <s>ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,5,18,16"></lb> ΕΒ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα τὸ ΓΗ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,18,17"></lb> τὸ ΗΔ, οὕτως τὸ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ.</s> <s>μεῖζον δὲ τὸ πρῶτον <lb n="1799,001,,,,5,18,18"></lb> τὸ ΓΗ τοῦ τρίτου τοῦ ΓΖ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ δεύτερον <lb n="1799,001,,,,5,18,19"></lb> τὸ ΗΔ τοῦ τετάρτου τοῦ ΖΔ.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,5,18,20"></lb> ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, <lb n="1799,001,,,,5,18,21"></lb> οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΖΔ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, <lb n="1799,001,,,,5,18,22"></lb> ὅτι οὐδὲ πρὸς μεῖζον· πρὸς αὐτὸ ἄρα.</s> <lb n="1799,001,,,,5,18,23"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ συν-<lb n="1799,001,,,,5,18,24"></lb> τεθέντα ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,18,25"></lb> <s>Ἐὰν ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,19,1"></lb> ἀφαιρεθέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον <lb n="1799,001,,,,5,19,2"></lb> πρὸς ὅλον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,19,3"></lb> <s>Ἔστω γὰρ ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,5,19,4"></lb> ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,19,5"></lb> λοιπὸν τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,5,19,6"></lb> πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,19,7"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΕ <lb n="1799,001,,,,5,19,8"></lb> πρὸς τὸ ΓΖ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΕ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,5,19,9"></lb> τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΖ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,5,19,10"></lb> ἐπεὶ συγκείμενα μεγέθη <lb n="1799,001,,,,5,19,11"></lb> ἀνάλογόν ἐστιν, καὶ διαιρε-<lb n="1799,001,,,,5,19,12"></lb> θέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς <lb n="1799,001,,,,5,19,13"></lb> τὸ ΒΕ πρὸς τὸ ΕΑ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,5,19,14"></lb> τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΓΖ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ΒΕ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,5,19,15"></lb> ΔΖ, οὕτως τὸ ΕΑ πρὸς τὸ ΖΓ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ ΑΕ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,5,19,16"></lb> ΓΖ, οὕτως ὑπόκειται ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,5,19,17"></lb> λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ <lb n="1799,001,,,,5,19,18"></lb> ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,19,19"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,19,20"></lb> ἀφαιρεθέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον <lb n="1799,001,,,,5,19,21"></lb> πρὸς ὅλον [ὅπερ ἔδει δεῖξαι].</s> <lb n="1799,001,,,,5,19,22"></lb> <s>[Καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,5,19,23"></lb> ΕΒ πρὸς τὸ ΖΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ <lb n="1799,001,,,,5,19,24"></lb> οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΖΔ, συγκείμενα ἄρα μεγέθη <lb n="1799,001,,,,5,19,25"></lb> ἀνάλογόν ἐστιν· ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΕ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,5,19,26"></lb> τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΖ· καί ἐστιν ἀναστρέψαντι].</s> <lb n="1799,001,,,,5,19,27"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,5,19,28"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλο-<lb n="1799,001,,,,5,19,29"></lb> γον ᾖ, καὶ ἀναστρέψαντι ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,19,30"></lb> Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, <lb n="1799,001,,,,5,20,1"></lb> σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, δι' ἴσου δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,5,20,2"></lb> πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου <lb n="1799,001,,,,5,20,3"></lb> μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,20,4"></lb> <s>Ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα <lb n="1799,001,,,,5,20,5"></lb> τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,5,20,6"></lb> λόγῳ, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς <lb n="1799,001,,,,5,20,7"></lb> δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Ε <lb n="1799,001,,,,5,20,8"></lb> πρὸς τὸ Ζ, δι' ἴσου δὲ μεῖζον ἔστω <lb n="1799,001,,,,5,20,9"></lb> τὸ Α τοῦ Γ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,20,10"></lb> Ζ μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν <lb n="1799,001,,,,5,20,11"></lb> ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,20,12"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ, ἄλλο δέ τι τὸ Β, τὸ <lb n="1799,001,,,,5,20,13"></lb> δὲ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ <lb n="1799,001,,,,5,20,14"></lb> ἔλαττον, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ <lb n="1799,001,,,,5,20,15"></lb> Γ πρὸς τὸ Β.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, [οὕτωσ] τὸ Δ <lb n="1799,001,,,,5,20,16"></lb> πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ζ <lb n="1799,001,,,,5,20,17"></lb> πρὸς τὸ Ε· καὶ τὸ Δ ἄρα πρὸς τὸ Ε μείζονα λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,5,20,18"></lb> ἤπερ τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε.</s> <s>τῶν δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,20,19"></lb> τὸ μείζονα λόγον ἔχον μεῖζόν ἐστιν.</s> <s>μεῖζον ἄρα τὸ Δ <lb n="1799,001,,,,5,20,20"></lb> τοῦ Ζ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, <lb n="1799,001,,,,5,20,21"></lb> ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,20,22"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, <lb n="1799,001,,,,5,20,23"></lb> σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, δι' ἴσου δὲ <lb n="1799,001,,,,5,20,24"></lb> τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,20,25"></lb> ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον· <lb n="1799,001,,,,5,20,26"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,20,27"></lb> <s>Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος <lb n="1799,001,,,,5,21,1"></lb> σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τετα-<lb n="1799,001,,,,5,21,2"></lb> ραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, δι' ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ <lb n="1799,001,,,,5,21,3"></lb> τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, <lb n="1799,001,,,,5,21,4"></lb> κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,21,5"></lb> <s>Ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ <lb n="1799,001,,,,5,21,6"></lb> πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,5,21,7"></lb> λόγῳ, ἔστω δὲ τεταραγμένη <lb n="1799,001,,,,5,21,8"></lb> αὐτῶν ἡ ἀναλογία, ὡς μὲν <lb n="1799,001,,,,5,21,9"></lb> τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,5,21,10"></lb> Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Β <lb n="1799,001,,,,5,21,11"></lb> πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,21,12"></lb> τὸ Ε, δι' ἴσου δὲ τὸ Α τοῦ Γ μεῖζον ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,5,21,13"></lb> Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,21,14"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ, ἄλλο δέ τι τὸ Β, <lb n="1799,001,,,,5,21,15"></lb> τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,21,16"></lb> τὸ Β.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, <lb n="1799,001,,,,5,21,17"></lb> ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Δ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,5,21,18"></lb> τὸ Ε ἄρα πρὸς τὸ Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ε πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,21,19"></lb> τὸ Δ.</s> <s>πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν <lb n="1799,001,,,,5,21,20"></lb> ἐστιν· ἔλασσον ἄρα ἐστὶ τὸ Ζ τοῦ Δ· μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ Δ <lb n="1799,001,,,,5,21,21"></lb> τοῦ Ζ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, <lb n="1799,001,,,,5,21,22"></lb> ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,21,23"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, <lb n="1799,001,,,,5,21,24"></lb> σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγ-<lb n="1799,001,,,,5,21,25"></lb> μένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, δι' ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου <lb n="1799,001,,,,5,21,26"></lb> μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν <lb n="1799,001,,,,5,21,27"></lb> ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,21,28"></lb> <s>Ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ <lb n="1799,001,,,,5,22,1"></lb> πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ <lb n="1799,001,,,,5,22,2"></lb> δι' ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται. <lb n="1799,001,,,,5,22,3"></lb> Ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς <lb n="1799,001,,,,5,22,4"></lb> ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,5,22,5"></lb> αὐτῷ λόγῳ, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,22,6"></lb> τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,5,22,7"></lb> ὅτι καὶ δι' ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,22,8"></lb> Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ <lb n="1799,001,,,,5,22,9"></lb> Η, Θ, τῶν δὲ Β, Ε ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια <lb n="1799,001,,,,5,22,10"></lb> τὰ Κ, Λ, καὶ ἔτι τῶν Γ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλα-<lb n="1799,001,,,,5,22,11"></lb> πλάσια τὰ Μ, Ν.</s> <lb n="1799,001,,,,5,22,12"></lb> <s>Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,22,13"></lb> τὸ Ε, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ <lb n="1799,001,,,,5,22,14"></lb> Η, Θ, τῶν δὲ Β, Ε ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια <lb n="1799,001,,,,5,22,15"></lb> τὰ Κ, Λ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Η πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Θ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,22,16"></lb> τὸ Λ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Κ πρὸς τὸ Μ, οὕτως τὸ Λ <lb n="1799,001,,,,5,22,17"></lb> πρὸς τὸ Ν.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η, Κ, Μ, καὶ <lb n="1799,001,,,,5,22,18"></lb> ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Θ, Λ, Ν, σύνδυο λαμβανό-<lb n="1799,001,,,,5,22,19"></lb> μενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, δι' ἴσου ἄρα, εἰ ὑπερέχει τὸ <lb n="1799,001,,,,5,22,20"></lb> Η τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ <lb n="1799,001,,,,5,22,21"></lb> εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <s>καί ἐστι τὰ μὲν Η, Θ τῶν Α, Δ <lb n="1799,001,,,,5,22,22"></lb> ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Μ, Ν τῶν Γ, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, <lb n="1799,001,,,,5,22,23"></lb> ἰσάκις πολλαπλάσια.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,5,22,24"></lb> τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,22,25"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ <lb n="1799,001,,,,5,22,26"></lb> πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ δι' <lb n="1799,001,,,,5,22,27"></lb> ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,22,28"></lb> <s>Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος <lb n="1799,001,,,,5,23,1"></lb> σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη <lb n="1799,001,,,,5,23,2"></lb> αὐτῶν ἡ ἀναλογία, καὶ δι' ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,23,3"></lb> Ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα <lb n="1799,001,,,,5,23,4"></lb> τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τὰ Δ, <lb n="1799,001,,,,5,23,5"></lb> Ε, Ζ, ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, ὡς μὲν τὸ <lb n="1799,001,,,,5,23,6"></lb> Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,23,7"></lb> τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α <lb n="1799,001,,,,5,23,8"></lb> πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,23,9"></lb> <s>Εἰλήφθω τῶν μὲν Α, Β, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, <lb n="1799,001,,,,5,23,10"></lb> Θ, Κ, τῶν δὲ Γ, Ε, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια <lb n="1799,001,,,,5,23,11"></lb> τὰ Λ, Μ, Ν.</s> <lb n="1799,001,,,,5,23,12"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ τῶν Α, Β, <lb n="1799,001,,,,5,23,13"></lb> τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει <lb n="1799,001,,,,5,23,14"></lb> λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Η πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,23,15"></lb> τὸ Θ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,5,23,16"></lb> Μ πρὸς τὸ Ν· καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε <lb n="1799,001,,,,5,23,17"></lb> πρὸς τὸ Ζ· καὶ ὡς ἄρα τὸ Η πρὸς τὸ Θ, οὕτως τὸ Μ <lb n="1799,001,,,,5,23,18"></lb> πρὸς τὸ Ν.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,5,23,19"></lb> Δ πρὸς τὸ Ε, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,5,23,20"></lb> τὸ Γ πρὸς τὸ Ε.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὰ Θ, Κ τῶν Β, Δ ἰσάκις ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,5,23,21"></lb> πολλαπλάσια, τὰ δὲ μέρη τοῖς ἰσάκις πολλαπλασίοις τὸν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,23,22"></lb> αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,5,23,23"></lb> τὸ Θ πρὸς τὸ Κ.</s> <s>ἀλλ' ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Γ <lb n="1799,001,,,,5,23,24"></lb> πρὸς τὸ Ε· καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,23,25"></lb> τὸ Ε.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ τὰ Λ, Μ τῶν Γ, Ε ἰσάκις ἐστι πολλα-<lb n="1799,001,,,,5,23,26"></lb> πλάσια, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ε, οὕτως τὸ Λ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,23,27"></lb> τὸ Μ.</s> <s>ἀλλ' ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ε, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Κ· <lb n="1799,001,,,,5,23,28"></lb> καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Μ, καὶ <lb n="1799,001,,,,5,23,29"></lb> ἐναλλὰξ ὡς τὸ Θ πρὸς τὸ Λ, τὸ Κ πρὸς τὸ Μ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ <lb n="1799,001,,,,5,23,30"></lb> καὶ ὡς τὸ Η πρὸς τὸ Θ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν.</s> <s>ἐπεὶ οὖν <lb n="1799,001,,,,5,23,31"></lb> τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η, Θ, Λ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ <lb n="1799,001,,,,5,23,32"></lb> πλῆθος τὰ Κ, Μ, Ν σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, <lb n="1799,001,,,,5,23,33"></lb> καί ἐστιν αὐτῶν τεταραγμένη ἡ ἀναλογία, δι' ἴσου ἄρα, εἰ <lb n="1799,001,,,,5,23,34"></lb> ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ <lb n="1799,001,,,,5,23,35"></lb> ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.</s> <s>καί ἐστι τὰ μὲν Η, Κ <lb n="1799,001,,,,5,23,36"></lb> τῶν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Λ, Ν τῶν Γ, Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,23,37"></lb> <s>ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,23,38"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος <lb n="1799,001,,,,5,23,39"></lb> σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη <lb n="1799,001,,,,5,23,40"></lb> αὐτῶν ἡ ἀναλογία, καὶ δι' ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται· <lb n="1799,001,,,,5,23,41"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,5,23,42"></lb> <s>Ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ <lb n="1799,001,,,,5,24,1"></lb> τρίτον πρὸς τέταρτον, ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον <lb n="1799,001,,,,5,24,2"></lb> τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, καὶ συντεθὲν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,24,3"></lb> πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον <lb n="1799,001,,,,5,24,4"></lb> καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον.</s> <lb n="1799,001,,,,5,24,5"></lb> <s>Πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν <lb n="1799,001,,,,5,24,6"></lb> ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ, <lb n="1799,001,,,,5,24,7"></lb> ἐχέτω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν <lb n="1799,001,,,,5,24,8"></lb> αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ <lb n="1799,001,,,,5,24,9"></lb> πρὸς τέταρτον τὸ Ζ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,5,24,10"></lb> καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπ-<lb n="1799,001,,,,5,24,11"></lb> τον τὸ ΑΗ πρὸς δεύτερον τὸ Γ <lb n="1799,001,,,,5,24,12"></lb> τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, καὶ τρίτον <lb n="1799,001,,,,5,24,13"></lb> καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ πρὸς τέταρτον <lb n="1799,001,,,,5,24,14"></lb> τὸ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,24,15"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΕΘ <lb n="1799,001,,,,5,24,16"></lb> πρὸς τὸ Ζ, ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,5,24,17"></lb> Ζ πρὸς τὸ ΕΘ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ, <lb n="1799,001,,,,5,24,18"></lb> οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,5,24,19"></lb> τὸ Ζ πρὸς τὸ ΕΘ, δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,5,24,20"></lb> ΒΗ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΘ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ διῃρημένα <lb n="1799,001,,,,5,24,21"></lb> μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται· <lb n="1799,001,,,,5,24,22"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΗΒ, οὕτως τὸ ΔΘ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,5,24,23"></lb> ΘΕ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΕΘ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,24,24"></lb> τὸ Ζ· δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,5,24,25"></lb> ΔΘ πρὸς τὸ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,24,26"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον <lb n="1799,001,,,,5,24,27"></lb> καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸς δεύτε-<lb n="1799,001,,,,5,24,28"></lb> ρον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, καὶ συντεθὲν <lb n="1799,001,,,,5,24,29"></lb> πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον <lb n="1799,001,,,,5,24,30"></lb> καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,24,31"></lb> Ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ μέγιστον [αὐτῶν] <lb n="1799,001,,,,5,25,1"></lb> καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,5,25,2"></lb> <s>Ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ, ΓΔ, Ε, Ζ, <lb n="1799,001,,,,5,25,3"></lb> ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ἔστω δὲ <lb n="1799,001,,,,5,25,4"></lb> μέγιστον μὲν αὐτῶν τὸ ΑΒ, ἐλάχιστον <lb n="1799,001,,,,5,25,5"></lb> δὲ τὸ Ζ· λέγω, ὅτι τὰ ΑΒ, Ζ τῶν <lb n="1799,001,,,,5,25,6"></lb> ΓΔ, Ε μείζονά ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,5,25,7"></lb> <s>Κείσθω γὰρ τῷ μὲν Ε ἴσον τὸ <lb n="1799,001,,,,5,25,8"></lb> ΑΗ, τῷ δὲ Ζ ἴσον τὸ ΓΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,5,25,9"></lb> <s>Ἐπεὶ [οὖν] ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς <lb n="1799,001,,,,5,25,10"></lb> τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, <lb n="1799,001,,,,5,25,11"></lb> ἴσον δὲ τὸ μὲν Ε τῷ ΑΗ, τὸ δὲ Ζ τῷ ΓΘ, ἔστιν <lb n="1799,001,,,,5,25,12"></lb> ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,5,25,13"></lb> ΓΘ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,5,25,14"></lb> οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΗ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΘ, καὶ λοιπὸν <lb n="1799,001,,,,5,25,15"></lb> ἄρα τὸ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΘΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,5,25,16"></lb> πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ.</s> <s>μεῖζον δὲ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ· μεῖζον ἄρα <lb n="1799,001,,,,5,25,17"></lb> καὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΘΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ <lb n="1799,001,,,,5,25,18"></lb> τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ, τὰ ἄρα ΑΗ, Ζ ἴσα ἐστὶ τοῖς ΓΘ, <lb n="1799,001,,,,5,25,19"></lb> Ε.</s> <s>Καὶ [ἐπεὶ] ἐὰν [ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἄνισά <lb n="1799,001,,,,5,25,20"></lb> ἐστιν, ἐὰν ἄρα] τῶν ΗΒ, ΘΔ ἀνίσων ὄντων καὶ μείζονος <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,25,21"></lb> τοῦ ΗΒ τῷ μὲν ΗΒ προστεθῇ τὰ ΑΗ, Ζ, τῷ δὲ ΘΔ <lb n="1799,001,,,,5,25,22"></lb> προστεθῇ τὰ ΓΘ, Ε, συνάγεται τὰ ΑΒ, Ζ μείζονα τῶν <lb n="1799,001,,,,5,25,23"></lb> ΓΔ, Ε.</s> <lb n="1799,001,,,,5,25,24"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ μέγιστον <lb n="1799,001,,,,5,25,25"></lb> αὐτῶν καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν· <lb n="1799,001,,,,5,25,26"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,5,25,27"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Ὅμοια σχήματα εὐθύγραμμά ἐστιν, ὅσα τάς τε <lb n="1799,001,,,,6;HOR,1,1"></lb> γωνίας ἴσας ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας <lb n="1799,001,,,,6;HOR,1,2"></lb> πλευρὰς ἀνάλογον.</s> <lb n="1799,001,,,,6;HOR,1,3"></lb> <s>[Ἀντιπεπονθότα δὲ σχήματά ἐστιν, ὅταν ἐν ἑκα-<lb n="1799,001,,,,6;HOR,2*,1"></lb> τέρῳ τῶν σχημάτων ἡγούμενοί τε καὶ ἑπόμενοι λόγοι <lb n="1799,001,,,,6;HOR,2*,2"></lb> ὦσιν.] <lb n="1799,001,,,,6;HOR,2*,3"></lb> Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, <lb n="1799,001,,,,6;HOR,3,1"></lb> ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,6;HOR,3,2"></lb> πρὸς τὸ ἔλαττον.</s> <lb n="1799,001,,,,6;HOR,3,3"></lb> <s>Ὕψος ἐστὶ παντὸς σχήματος ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς <lb n="1799,001,,,,6;HOR,4,1"></lb> ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀγομένη.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6;HOR,4,2"></lb> [Λόγος ἐκ λόγων συγκεῖσθαι λέγεται, ὅταν αἱ τῶν <lb n="1799,001,,,,6;HOR,5*,1"></lb> λόγων πηλικότητες ἐφ' ἑαυτὰς πολλαπλασιασθεῖσαι <lb n="1799,001,,,,6;HOR,5*,2"></lb> ποιῶσί τινα.] <lb n="1799,001,,,,6;HOR,5*,3"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα, τὰ ὑπὸ τὸ <lb n="1799,001,,,,6,1,1"></lb> αὐτὸ ὕψος ὄντα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις.</s> <lb n="1799,001,,,,6,1,2"></lb> <s>Ἔστω τρίγωνα μὲν τὰ <lb n="1799,001,,,,6,1,3"></lb> ΑΒΓ, ΑΓΔ, παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,6,1,4"></lb> γραμμα δὲ τὰ ΕΓ, ΓΖ <lb n="1799,001,,,,6,1,5"></lb> ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τὸ ΑΓ· <lb n="1799,001,,,,6,1,6"></lb> λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,1,7"></lb> βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, <lb n="1799,001,,,,6,1,8"></lb> οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,6,1,9"></lb> πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, καὶ τὸ ΕΓ παραλληλόγραμμον <lb n="1799,001,,,,6,1,10"></lb> πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον.</s> <lb n="1799,001,,,,6,1,11"></lb> <s>Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,6,1,12"></lb> τὰ Θ, Λ σημεῖα, καὶ κείσθωσαν τῇ μὲν ΒΓ βάσει ἴσαι <lb n="1799,001,,,,6,1,13"></lb> [ὁσαιδηποτοῦν] αἱ ΒΗ, ΗΘ, τῇ δὲ ΓΔ βάσει ἴσαι <lb n="1799,001,,,,6,1,14"></lb> ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΔΚ, ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,6,1,15"></lb> ΑΘ, ΑΚ, ΑΛ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,1,16"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΓΒ, ΒΗ, ΗΘ ἀλλήλαις, ἴσα <lb n="1799,001,,,,6,1,17"></lb> ἐστὶ καὶ τὰ ΑΘΗ, ΑΗΒ, ΑΒΓ τρίγωνα ἀλλήλοις.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,1,18"></lb> ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΒΓ βάσεως, <lb n="1799,001,,,,6,1,19"></lb> τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,1,20"></lb> τριγώνου.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΛΓ βάσις <lb n="1799,001,,,,6,1,21"></lb> τῆς ΓΔ βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΑΛΓ <lb n="1799,001,,,,6,1,22"></lb> τρίγωνον τοῦ ΑΓΔ τριγώνου· καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΓ <lb n="1799,001,,,,6,1,23"></lb> βάσις τῇ ΓΛ βάσει, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τῷ <lb n="1799,001,,,,6,1,24"></lb> ΑΓΛ τριγώνῳ, καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΓΛ <lb n="1799,001,,,,6,1,25"></lb> βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΓΛ <lb n="1799,001,,,,6,1,26"></lb> τριγώνου, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἔλασσον.</s> <s>τεσσάρων δὴ ὄντων <lb n="1799,001,,,,6,1,27"></lb> μεγεθῶν δύο μὲν βάσεων τῶν ΒΓ, ΓΔ, δύο δὲ τριγώνων <lb n="1799,001,,,,6,1,28"></lb> τῶν ΑΒΓ, ΑΓΔ εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆσ μὲν <lb n="1799,001,,,,6,1,29"></lb> ΒΓ βάσεως καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἥ τε ΘΓ βάσις καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,6,1,30"></lb> ΑΘΓ τρίγωνον, τῆς δὲ ΓΔ βάσεως καὶ τοῦ ΑΔΓ τρι-<lb n="1799,001,,,,6,1,31"></lb> γώνου ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια ἥ τε ΛΓ <lb n="1799,001,,,,6,1,32"></lb> βάσις καὶ τὸ ΑΛΓ τρίγωνον· καὶ δέδεικται, ὅτι, εἰ ὑπερ-<lb n="1799,001,,,,6,1,33"></lb> έχει ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΓΛ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ <lb n="1799,001,,,,6,1,34"></lb> τρίγωνον τοῦ ΑΛΓ τριγώνου, καὶ εἰ ἴση, ἴσον, καὶ εἰ <lb n="1799,001,,,,6,1,35"></lb> ἐλάσσων, ἔλασσον· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,1,36"></lb> ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ <lb n="1799,001,,,,6,1,37"></lb> τρίγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,6,1,38"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ τοῦ μὲν ΑΒΓ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,6,1,39"></lb> ΕΓ παραλληλόγραμμον, τοῦ δὲ ΑΓΔ τριγώνου διπλάσιόν <lb n="1799,001,,,,6,1,40"></lb> ἐστι τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως <lb n="1799,001,,,,6,1,41"></lb> πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,1,42"></lb> ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΓ <lb n="1799,001,,,,6,1,43"></lb> παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον.</s> <lb n="1799,001,,,,6,1,44"></lb> <s>ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡς μὲν ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,6,1,45"></lb> οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, ὡς δὲ <lb n="1799,001,,,,6,1,46"></lb> τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΓ <lb n="1799,001,,,,6,1,47"></lb> παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον, καὶ <lb n="1799,001,,,,6,1,48"></lb> ὡς ἄρα ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ βάσιν, οὕτως τὸ ΕΓ <lb n="1799,001,,,,6,1,49"></lb> παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον.</s> <lb n="1799,001,,,,6,1,50"></lb> <s>Τὰ ἄρα τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ <lb n="1799,001,,,,6,1,51"></lb> αὐτὸ ὕψος ὄντα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,6,1,52"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,1,53"></lb> <s>Ἐὰν τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις <lb n="1799,001,,,,6,2,1"></lb> εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς· καὶ <lb n="1799,001,,,,6,2,2"></lb> ἐὰν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰς <lb n="1799,001,,,,6,2,3"></lb> τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ <lb n="1799,001,,,,6,2,4"></lb> τὴν λοιπὴν ἔσται τοῦ τριγώνου <lb n="1799,001,,,,6,2,5"></lb> πλευράν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,2,6"></lb> <s>Τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,2,7"></lb> παράλληλος μιᾷ τῶν πλευρῶν <lb n="1799,001,,,,6,2,8"></lb> τῇ ΒΓ ἤχθω ἡ ΔΕ· λέγω, ὅτι <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,2,9"></lb> ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,2,10"></lb> τὴν ΕΑ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,2,11"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,2,12"></lb> <s>Ἴσον ἄρα ἐστὶ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΔΕ τριγώνῳ· ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,6,2,13"></lb> γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς ΔΕ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς <lb n="1799,001,,,,6,2,14"></lb> παραλλήλοις ταῖς ΔΕ, ΒΓ· ἄλλο δέ τι τὸ ΑΔΕ τρίγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,6,2,15"></lb> <s>τὰ δὲ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,2,16"></lb> ὡς τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ [τρίγωνον], οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,2,17"></lb> τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν τὸ <lb n="1799,001,,,,6,2,18"></lb> ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,2,19"></lb> ΔΑ· ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα τὴν ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,6,2,20"></lb> τὴν ΑΒ κάθετον ἀγομένην πρὸς ἄλληλά εἰσιν ὡς αἱ <lb n="1799,001,,,,6,2,21"></lb> βάσεις.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὡς τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,6,2,22"></lb> ΑΔΕ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,2,23"></lb> τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,2,24"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ αἱ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πλευραὶ αἱ ΑΒ, ΑΓ <lb n="1799,001,,,,6,2,25"></lb> ἀνάλογον τετμήσθωσαν, ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,6,2,26"></lb> ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,6,2,27"></lb> παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,2,28"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,6,2,29"></lb> ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, ἀλλ' ὡς <lb n="1799,001,,,,6,2,30"></lb> μὲν ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,6,2,31"></lb> ΑΔΕ τρίγωνον, ὡς δὲ ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως τὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,2,32"></lb> ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, καὶ ὡς ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,6,2,33"></lb> ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΓΔΕ <lb n="1799,001,,,,6,2,34"></lb> τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον.</s> <s>ἑκάτερον ἄρα τῶν <lb n="1799,001,,,,6,2,35"></lb> ΒΔΕ, ΓΔΕ τριγώνων πρὸς τὸ ΑΔΕ τὸν αὐτὸν ἔχει <lb n="1799,001,,,,6,2,36"></lb> λόγον.</s> <s>ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΔΕ τριγώνῳ· <lb n="1799,001,,,,6,2,37"></lb> καί εἰσιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΔΕ.</s> <s>τὰ δὲ ἴσα <lb n="1799,001,,,,6,2,38"></lb> τρίγωνα καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς <lb n="1799,001,,,,6,2,39"></lb> παραλλήλοις ἐστίν.</s> <s>παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,2,40"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις <lb n="1799,001,,,,6,2,41"></lb> εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς· καὶ <lb n="1799,001,,,,6,2,42"></lb> ἐὰν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,6,2,43"></lb> τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπὴν ἔσται <lb n="1799,001,,,,6,2,44"></lb> τοῦ τριγώνου πλευράν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,2,45"></lb> <s>*̓εὰν τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ, ἡ δὲ τέμνουσα τὴν <lb n="1799,001,,,,6,3,1"></lb> γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν, τὰ τῆς βάσεως <lb n="1799,001,,,,6,3,2"></lb> τμήματα τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου <lb n="1799,001,,,,6,3,3"></lb> πλευραῖς· καὶ ἐὰν τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἔχῃ <lb n="1799,001,,,,6,3,4"></lb> λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς, ἡ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,6,3,5"></lb> κορυφῆς ἐπὶ τὴν τομὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα δίχα τεμεῖ <lb n="1799,001,,,,6,3,6"></lb> τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,3,7"></lb> Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΒΑΓ <lb n="1799,001,,,,6,3,8"></lb> γωνία δίχα ὑπὸ τῆς ΑΔ εὐθείας· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ <lb n="1799,001,,,,6,3,9"></lb> πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,3,10"></lb> <s>Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΔΑ παράλληλος ἡ ΓΕ καὶ <lb n="1799,001,,,,6,3,11"></lb> διαχθεῖσα ἡ ΒΑ συμπιπτέτω αὐτῇ κατὰ τὸ Ε.</s> <lb n="1799,001,,,,6,3,12"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους <lb n="1799,001,,,,6,3,13"></lb> τὰς ΑΔ, ΕΓ εὐθεῖα ἐνέπεσεν <lb n="1799,001,,,,6,3,14"></lb> ἡ ΑΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΓΕ γω-<lb n="1799,001,,,,6,3,15"></lb> νία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,3,16"></lb> <s>ἀλλ' ἡ ὑπὸ ΓΑΔ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,3,17"></lb> ΒΑΔ ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,6,3,18"></lb> ὑπὸ ΒΑΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΑΓΕ <lb n="1799,001,,,,6,3,19"></lb> ἐστιν ἴση.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ εἰς <lb n="1799,001,,,,6,3,20"></lb> παραλλήλους τὰς ΑΔ, ΕΓ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΒΑΕ, ἡ <lb n="1799,001,,,,6,3,21"></lb> ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς τῇ ὑπὸ ΑΕΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,3,22"></lb> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,3,23"></lb> ΑΓΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΓ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,6,3,24"></lb> πλευρὰ ἡ ΑΕ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τριγώνου <lb n="1799,001,,,,6,3,25"></lb> τοῦ ΒΓΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΕΓ ἦκται ἡ ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,6,3,26"></lb> ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΒΑ <lb n="1799,001,,,,6,3,27"></lb> πρὸς τὴν ΑΕ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΑΓ· ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,3,28"></lb> τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,3,29"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΒΑ <lb n="1799,001,,,,6,3,30"></lb> πρὸς τὴν ΑΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι δίχα <lb n="1799,001,,,,6,3,31"></lb> τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ὑπὸ τῆς ΑΔ εὐθείας.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,3,32"></lb> Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,6,3,33"></lb> ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, ἀλλὰ καὶ <lb n="1799,001,,,,6,3,34"></lb> ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ· <lb n="1799,001,,,,6,3,35"></lb> τριγώνου γὰρ τοῦ ΒΓΕ παρὰ μίαν τὴν ΕΓ ἦκται ἡ ΑΔ· <lb n="1799,001,,,,6,3,36"></lb> καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,3,37"></lb> ΑΕ.</s> <s>ἴση ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΑΕ· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΓ <lb n="1799,001,,,,6,3,38"></lb> τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἀλλ' ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΓ τῇ ἐκτὸς τῇ <lb n="1799,001,,,,6,3,39"></lb> ὑπὸ ΒΑΔ [ἐστιν] ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ἐναλλὰξ τῇ <lb n="1799,001,,,,6,3,40"></lb> ὑπὸ ΓΑΔ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΓΑΔ <lb n="1799,001,,,,6,3,41"></lb> ἐστιν ἴση.</s> <s>ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,6,3,42"></lb> ΑΔ εὐθείας.</s> <lb n="1799,001,,,,6,3,43"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ, ἡ δὲ τέμνουσα <lb n="1799,001,,,,6,3,44"></lb> τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν, τὰ τῆς βάσεως <lb n="1799,001,,,,6,3,45"></lb> τμήματα τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου <lb n="1799,001,,,,6,3,46"></lb> πλευραῖς· καὶ ἐὰν τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν <lb n="1799,001,,,,6,3,47"></lb> ἔχῃ λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς, ἡ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,6,3,48"></lb> κορυφῆς ἐπὶ τὴν τομὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα δίχα τέμνει <lb n="1799,001,,,,6,3,49"></lb> τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,3,50"></lb> <s>Τῶν ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ <lb n="1799,001,,,,6,4,1"></lb> αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας <lb n="1799,001,,,,6,4,2"></lb> γωνίας ὑποτείνουσαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,4,3"></lb> Ἔστω ἰσογώνια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ ἴσην ἔχοντα <lb n="1799,001,,,,6,4,4"></lb> τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΓΕ, τὴν δὲ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,4,5"></lb> ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΕΔ· <lb n="1799,001,,,,6,4,6"></lb> λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓ, ΔΓΕ τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ <lb n="1799,001,,,,6,4,7"></lb> πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας <lb n="1799,001,,,,6,4,8"></lb> καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας <lb n="1799,001,,,,6,4,9"></lb> γωνίας ὑποτείνουσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,4,10"></lb> <s>Κείσθω γὰρ ἐπ' εὐθείας ἡ <lb n="1799,001,,,,6,4,11"></lb> ΒΓ τῇ ΓΕ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,4,12"></lb> ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαι δύο ὀρθῶν <lb n="1799,001,,,,6,4,13"></lb> ἐλάττονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,4,14"></lb> ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, αἱ ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,4,15"></lb> ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΓ δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν· αἱ ΒΑ, ΕΔ <lb n="1799,001,,,,6,4,16"></lb> ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται.</s> <s>ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμ-<lb n="1799,001,,,,6,4,17"></lb> πιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,4,18"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΓΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,6,4,19"></lb> παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΖ τῇ ΓΔ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,6,4,20"></lb> ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΖΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,4,21"></lb> <s>παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΑΓΔ· ἴση ἄρα ἡ μὲν <lb n="1799,001,,,,6,4,22"></lb> ΖΑ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΖΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ <lb n="1799,001,,,,6,4,23"></lb> ΖΒΕ παρὰ μίαν τὴν ΖΕ ἦκται ἡ ΑΓ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,6,4,24"></lb> ΒΑ πρὸς τὴν ΑΖ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,6,4,25"></lb> ΑΖ τῇ ΓΔ· ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,4,26"></lb> τὴν ΓΕ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,6,4,27"></lb> ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΔ <lb n="1799,001,,,,6,4,28"></lb> τῇ ΒΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΖΔ <lb n="1799,001,,,,6,4,29"></lb> πρὸς τὴν ΔΕ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΖΔ τῇ ΑΓ· ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,4,30"></lb> ΓΕ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΕ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,4,31"></lb> πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη <lb n="1799,001,,,,6,4,32"></lb> ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, ὡς <lb n="1799,001,,,,6,4,33"></lb> δὲ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, δι' <lb n="1799,001,,,,6,4,34"></lb> ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,4,35"></lb> τὴν ΔΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,4,36"></lb> <s>Τῶν ἄρα ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ <lb n="1799,001,,,,6,4,37"></lb> πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς <lb n="1799,001,,,,6,4,38"></lb> ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,4,39"></lb> <s>Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχῃ, ἰσογώ-<lb n="1799,001,,,,6,5,1"></lb> νια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, ὑφ' <lb n="1799,001,,,,6,5,2"></lb> ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτεί-<lb n="1799,001,,,,6,5,3"></lb> νουσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,5,4"></lb> <s>Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,6,5,5"></lb> ΔΕΖ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,6,5,6"></lb> ἔχοντα, ὡς μὲν τὴν ΑΒ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,5,7"></lb> τὴν ΒΓ, οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,5,8"></lb> τὴν ΕΖ, ὡς δὲ τὴν ΒΓ πρὸς τὴν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,5,9"></lb> ΓΑ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ ἔτι ὡς τὴν ΒΑ <lb n="1799,001,,,,6,5,10"></lb> πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ.</s> <s>λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,6,5,11"></lb> ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ καὶ <lb n="1799,001,,,,6,5,12"></lb> ἴσας ἕξουσι τὰς γωνίας, ὑφ' ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑπο-<lb n="1799,001,,,,6,5,13"></lb> τείνουσιν, τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,5,14"></lb> ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΕΖΔ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,5,15"></lb> <s>Συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΕΖ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,6,5,16"></lb> σημείοις τοῖς Ε, Ζ τῇ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,5,17"></lb> ΖΕΗ, τῇ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΖΗ· λοιπὴ ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,6,5,18"></lb> πρὸς τῷ Α λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Η ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,6,5,19"></lb> <s>ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΗΖ <lb n="1799,001,,,,6,5,20"></lb> [τριγώνῳ].</s> <s>τῶν ἄρα ΑΒΓ, ΕΗΖ τριγώνων ἀνάλογόν <lb n="1799,001,,,,6,5,21"></lb> εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι <lb n="1799,001,,,,6,5,22"></lb> αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,6,5,23"></lb> πρὸς τὴν ΒΓ, [οὕτωσ] ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ.</s> <s>ἀλλ' ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,6,5,24"></lb> ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ὑπόκειται ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ· <lb n="1799,001,,,,6,5,25"></lb> ὡς ἄρα ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,5,26"></lb> <s>ἑκατέρα ἄρα τῶν ΔΕ, ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ τὸν αὐτὸν ἔχει <lb n="1799,001,,,,6,5,27"></lb> λόγον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΗΕ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,6,5,28"></lb> ΔΖ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ, <lb n="1799,001,,,,6,5,29"></lb> κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΔΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΗΕ, ΕΖ <lb n="1799,001,,,,6,5,30"></lb> ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΗ [ἐστιν] ἴση· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,5,31"></lb> γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΕΖ ἐστιν ἴση, <lb n="1799,001,,,,6,5,32"></lb> καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΗΕΖ τριγώνῳ ἴσον, καὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,6,5,33"></lb> λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,6,5,34"></lb> πλευραὶ ὑποτείνουσιν.</s> <s>ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ <lb n="1799,001,,,,6,5,35"></lb> γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΔΖ τῇ ὑπὸ ΕΗΖ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,6,5,36"></lb> ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΖΕΔ τῇ ὑπὸ ΗΕΖ ἐστιν ἴση, ἀλλ' ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,5,37"></lb> ΗΕΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,5,38"></lb> ΔΕΖ ἐστιν ἴση.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,5,39"></lb> ΔΖΕ ἐστιν ἴση, καὶ ἔτι ἡ πρὸς τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ· ἰσο-<lb n="1799,001,,,,6,5,40"></lb> γώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,5,41"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχῃ, <lb n="1799,001,,,,6,5,42"></lb> ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, ὑφ' <lb n="1799,001,,,,6,5,43"></lb> ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,5,44"></lb> <s>Ἐὰν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ <lb n="1799,001,,,,6,6,1"></lb> δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ἰσογώνια ἔσται <lb n="1799,001,,,,6,6,2"></lb> τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γω-<lb n="1799,001,,,,6,6,3"></lb> νίας, ὑφ' ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ <lb n="1799,001,,,,6,6,4"></lb> ὑποτείνουσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,6,5"></lb> <s>Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,6,6,6"></lb> ΔΕΖ μίαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ <lb n="1799,001,,,,6,6,7"></lb> μιᾷ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην <lb n="1799,001,,,,6,6,8"></lb> ἔχοντα, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς <lb n="1799,001,,,,6,6,9"></lb> πλευρὰς ἀνάλογον, ὡς τὴν ΒΑ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,6,10"></lb> τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ· λέγω, ὅτι ἰσογώ-<lb n="1799,001,,,,6,6,11"></lb> νιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ καὶ ἴσην <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,6,12"></lb> ἕξει τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,6,13"></lb> ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,6,14"></lb> <s>Συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΔΖ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,6,15"></lb> αὐτῇ σημείοις τοῖς Δ, Ζ ὁποτέρᾳ μὲν τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, <lb n="1799,001,,,,6,6,16"></lb> ΕΔΖ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΔΗ, τῇ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΖΗ· <lb n="1799,001,,,,6,6,17"></lb> λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β γωνία λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Η ἴση <lb n="1799,001,,,,6,6,18"></lb> ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,6,19"></lb> <s>Ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΗΖ <lb n="1799,001,,,,6,6,20"></lb> τριγώνῳ.</s> <s>ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,6,6,21"></lb> οὕτως ἡ ΗΔ πρὸς τὴν ΔΖ.</s> <s>ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς ἡ ΒΑ <lb n="1799,001,,,,6,6,22"></lb> πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,6,6,23"></lb> ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΗΔ πρὸς τὴν ΔΖ.</s> <s>ἴση ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,6,6,24"></lb> ΕΔ τῇ ΔΗ· καὶ κοινὴ ἡ ΔΖ· δύο δὴ αἱ ΕΔ, ΔΖ δυσὶ ταῖς <lb n="1799,001,,,,6,6,25"></lb> ΗΔ, ΔΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΔΖ γωνίᾳ τῇ <lb n="1799,001,,,,6,6,26"></lb> ὑπὸ ΗΔΖ [ἐστιν] ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΕΖ βάσει τῇ ΗΖ <lb n="1799,001,,,,6,6,27"></lb> ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΗΔΖ τριγώνῳ ἴσον <lb n="1799,001,,,,6,6,28"></lb> ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι <lb n="1799,001,,,,6,6,29"></lb> ἔσονται, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.</s> <s>ἴση ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,6,30"></lb> ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΗ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΗΖ τῇ <lb n="1799,001,,,,6,6,31"></lb> ὑπὸ ΔΕΖ.</s> <s>ἀλλ' ἡ ὑπὸ ΔΖΗ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἐστιν ἴση· <lb n="1799,001,,,,6,6,32"></lb> καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση.</s> <s>ὑπόκειται <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,6,33"></lb> δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,6,6,34"></lb> πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ε ἴση ἐστίν· ἰσογώνιον ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,6,35"></lb> ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,6,36"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, <lb n="1799,001,,,,6,6,37"></lb> περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ἰσογώνια <lb n="1799,001,,,,6,6,38"></lb> ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, ὑφ' ἃς αἱ <lb n="1799,001,,,,6,6,39"></lb> ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,6,40"></lb> <s>Ἐὰν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, περὶ <lb n="1799,001,,,,6,7,1"></lb> δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, τῶν δὲ λοιπῶν <lb n="1799,001,,,,6,7,2"></lb> ἑκατέραν ἅμα ἤτοι ἐλάσσονα ἢ μὴ ἐλάσσονα ὀρθῆς, <lb n="1799,001,,,,6,7,3"></lb> ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, περὶ <lb n="1799,001,,,,6,7,4"></lb> ἃς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί.</s> <lb n="1799,001,,,,6,7,5"></lb> <s>Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ μίαν γωνίαν μιᾷ <lb n="1799,001,,,,6,7,6"></lb> γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ, περὶ δὲ <lb n="1799,001,,,,6,7,7"></lb> ἄλλας γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, <lb n="1799,001,,,,6,7,8"></lb> ὡς τὴν ΑΒ πρὸς τὴν *βΓ, οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, <lb n="1799,001,,,,6,7,9"></lb> τῶν δὲ λοιπῶν τῶν πρὸς τοῖς Γ, Ζ πρότερον ἑκατέραν <lb n="1799,001,,,,6,7,10"></lb> ἅμα ἐλάσσονα ὀρθῆς· λέγω, ὅτι ἰσο-<lb n="1799,001,,,,6,7,11"></lb> γώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ <lb n="1799,001,,,,6,7,12"></lb> ΔΕΖ τριγώνῳ, καὶ ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,7,13"></lb> ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, καὶ λοιπὴ <lb n="1799,001,,,,6,7,14"></lb> δηλονότι ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ <lb n="1799,001,,,,6,7,15"></lb> πρὸς τῷ Ζ ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,6,7,16"></lb> <s>Εἰ γὰρ ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,7,17"></lb> γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, μία αὐτῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,7,18"></lb> μείζων ἐστίν.</s> <s>ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΒΓ.</s> <s>καὶ συνεστάτω <lb n="1799,001,,,,6,7,19"></lb> πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β τῇ <lb n="1799,001,,,,6,7,20"></lb> ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,7,21"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ Δ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ <lb n="1799,001,,,,6,7,22"></lb> τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,7,23"></lb> ΔΖΕ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,6,7,24"></lb> τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, <lb n="1799,001,,,,6,7,25"></lb> οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, <lb n="1799,001,,,,6,7,26"></lb> [οὕτωσ] ὑπόκειται ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ· ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,7,27"></lb> ἑκατέραν τῶν ΒΓ, ΒΗ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴση ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,6,7,28"></lb> ΒΓ τῇ ΒΗ.</s> <s>ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,7,29"></lb> ΒΗΓ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ὑπόκειται ἡ πρὸς τῷ <lb n="1799,001,,,,6,7,30"></lb> Γ· ἐλάττων ἄρα ἐστὶν ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ· ὥστε <lb n="1799,001,,,,6,7,31"></lb> ἡ ἐφεξῆς αὐτῇ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΗΒ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,6,7,32"></lb> <s>καὶ ἐδείχθη ἴση οὖσα τῇ πρὸς τῷ Ζ· καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,7,33"></lb> μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.</s> <s>ὑπόκειται δὲ ἐλάσσων ὀρθῆς· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,6,7,34"></lb> ἐστὶν ἄτοπον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ <lb n="1799,001,,,,6,7,35"></lb> ὑπὸ ΔΕΖ· ἴση ἄρα.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Α ἴση τῇ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,7,36"></lb> τῷ Δ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ <lb n="1799,001,,,,6,7,37"></lb> ἴση ἐστίν.</s> <s>ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ <lb n="1799,001,,,,6,7,38"></lb> ΔΕΖ τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,7,39"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ πάλιν ὑποκείσθω ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Γ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,7,40"></lb> Ζ μὴ ἐλάσσων ὀρθῆς· λέγω πάλιν, ὅτι καὶ οὕτως ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,6,7,41"></lb> ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,7,42"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων <lb n="1799,001,,,,6,7,43"></lb> ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,7,44"></lb> τῇ ΒΗ· ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ <lb n="1799,001,,,,6,7,45"></lb> Γ τῇ ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἐστίν.</s> <s>οὐκ ἐλάττων <lb n="1799,001,,,,6,7,46"></lb> δὲ ὀρθῆς ἡ πρὸς τῷ Γ· οὐκ ἐλάττων <lb n="1799,001,,,,6,7,47"></lb> ἄρα ὀρθῆς οὐδὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ.</s> <s>τριγώνου <lb n="1799,001,,,,6,7,48"></lb> δὴ τοῦ ΒΗΓ αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν <lb n="1799,001,,,,6,7,49"></lb> οὔκ εἰσιν ἐλάττονες· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνα-<lb n="1799,001,,,,6,7,50"></lb> τον.</s> <s>οὐκ ἄρα πάλιν ἄνισός ἐστιν ἡ <lb n="1799,001,,,,6,7,51"></lb> ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ· ἴση <lb n="1799,001,,,,6,7,52"></lb> ἄρα.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ ἴση· λοιπὴ <lb n="1799,001,,,,6,7,53"></lb> ἄρα ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση ἐστίν.</s> <s>ἰσο-<lb n="1799,001,,,,6,7,54"></lb> γώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,7,55"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην <lb n="1799,001,,,,6,7,56"></lb> ἔχῃ, περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, τῶν δὲ <lb n="1799,001,,,,6,7,57"></lb> λοιπῶν ἑκατέραν ἅμα ἐλάττονα ἢ μὴ ἐλάττονα ὀρθῆς, <lb n="1799,001,,,,6,7,58"></lb> ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, <lb n="1799,001,,,,6,7,59"></lb> περὶ ἃς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,7,60"></lb> <s>Ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,6,8,1"></lb> τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα <lb n="1799,001,,,,6,8,2"></lb> ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις.</s> <lb n="1799,001,,,,6,8,3"></lb> <s>Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν <lb n="1799,001,,,,6,8,4"></lb> ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,8,5"></lb> κάθετος ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι ὅμοιόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν <lb n="1799,001,,,,6,8,6"></lb> ΑΒΔ, ΑΔΓ τριγώνων ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἔτι ἀλλήλοις.</s> <lb n="1799,001,,,,6,8,7"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ <lb n="1799,001,,,,6,8,8"></lb> τῇ ὑπὸ ΑΔΒ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· <lb n="1799,001,,,,6,8,9"></lb> καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ <lb n="1799,001,,,,6,8,10"></lb> τε ΑΒΓ καὶ τοῦ ΑΒΔ ἡ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,8,11"></lb> τῷ Β, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ <lb n="1799,001,,,,6,8,12"></lb> λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἐστιν ἴση· <lb n="1799,001,,,,6,8,13"></lb> ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,8,14"></lb> τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ ὑπο-<lb n="1799,001,,,,6,8,15"></lb> τείνουσα τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὴν ΒΑ <lb n="1799,001,,,,6,8,16"></lb> ὑποτείνουσαν τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, οὕτως αὐτὴ <lb n="1799,001,,,,6,8,17"></lb> ἡ ΑΒ ὑποτείνουσα τὴν πρὸς τῷ Γ γωνίαν τοῦ ΑΒΓ τριγώ-<lb n="1799,001,,,,6,8,18"></lb> νου πρὸς τὴν ΒΔ ὑποτείνουσαν τὴν ἴσην τὴν ὑπὸ ΒΑΔ <lb n="1799,001,,,,6,8,19"></lb> τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, καὶ ἔτι ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ ὑποτεί-<lb n="1799,001,,,,6,8,20"></lb> νουσαν τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν κοινὴν τῶν δύο τριγώνων.</s> <lb n="1799,001,,,,6,8,21"></lb> <s>τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἰσογώνιόν τέ <lb n="1799,001,,,,6,8,22"></lb> ἐστι καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει.</s> <lb n="1799,001,,,,6,8,23"></lb> <s>ὅμοιον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,8,24"></lb> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ ὅμοιόν <lb n="1799,001,,,,6,8,25"></lb> ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΔ, ΑΔΓ <lb n="1799,001,,,,6,8,26"></lb> [τριγώνων] ὅμοιόν ἐστιν ὅλῳ τῷ ΑΒΓ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,8,27"></lb> Λέγω δή, ὅτι καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ <lb n="1799,001,,,,6,8,28"></lb> τρίγωνα.</s> <lb n="1799,001,,,,6,8,29"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,6,8,30"></lb> ἴση, ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ Γ ἐδείχθη <lb n="1799,001,,,,6,8,31"></lb> ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,6,8,32"></lb> ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΓ <lb n="1799,001,,,,6,8,33"></lb> τριγώνῳ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ὑπο-<lb n="1799,001,,,,6,8,34"></lb> τείνουσα τὴν ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τὴν ΔΑ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου <lb n="1799,001,,,,6,8,35"></lb> ὑποτείνουσαν τὴν πρὸς τῷ Γ ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΑΔ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,8,36"></lb> αὐτὴ ἡ ΑΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ὑποτείνουσα τὴν πρὸς τῷ <lb n="1799,001,,,,6,8,37"></lb> Β γωνίαν πρὸς τὴν ΔΓ ὑποτείνουσαν τὴν ὑπὸ ΔΑΓ τοῦ <lb n="1799,001,,,,6,8,38"></lb> ΑΔΓ τριγώνου ἴσην τῇ πρὸς τῷ Β, καὶ ἔτι ἡ ΒΑ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,8,39"></lb> ΑΓ ὑποτείνουσαι τὰς ὀρθάσ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ <lb n="1799,001,,,,6,8,40"></lb> τρίγωνον τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,8,41"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας <lb n="1799,001,,,,6,8,42"></lb> ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα <lb n="1799,001,,,,6,8,43"></lb> ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις [ὅπερ ἔδει δεῖξαι].</s> <lb n="1799,001,,,,6,8,44"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,6,8,45"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ <lb n="1799,001,,,,6,8,46"></lb> ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα <lb n="1799,001,,,,6,8,47"></lb> τῶν τῆς βάσεως τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν· ὅπερ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,8,48"></lb> ἔδει δεῖξαι [καὶ ἔτι τῆς βάσεως καὶ ἑνὸς ὁποιουοῦν τῶν <lb n="1799,001,,,,6,8,49"></lb> τμημάτων ἡ πρὸς τῷ τμήματι πλευρὰ μέση ἀνάλογόν <lb n="1799,001,,,,6,8,50"></lb> ἐστιν].</s> <lb n="1799,001,,,,6,8,51"></lb> <s>Τῆς δοθείσης εὐθείας τὸ προσταχθὲν μέρος ἀφελεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,9,1"></lb> <s>Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τῆς ΑΒ τὸ <lb n="1799,001,,,,6,9,2"></lb> προσταχθὲν μέρος ἀφελεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,9,3"></lb> <s>Ἐπιτετάχθω δὴ τὸ τρίτον.</s> <s>[καὶ] διήχθω τις ἀπὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,6,9,4"></lb> Α εὐθεῖα ἡ ΑΓ γωνίαν περιέχουσα μετὰ τῆς ΑΒ τυχοῦ-<lb n="1799,001,,,,6,9,5"></lb> σαν· καὶ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον <lb n="1799,001,,,,6,9,6"></lb> ἐπὶ τῆς ΑΓ τὸ Δ, καὶ κείσθωσαν <lb n="1799,001,,,,6,9,7"></lb> τῇ ΑΔ ἴσαι αἱ ΔΕ, ΕΓ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,6,9,8"></lb> ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ <lb n="1799,001,,,,6,9,9"></lb> παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,9,10"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,9,11"></lb> παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν <lb n="1799,001,,,,6,9,12"></lb> ΒΓ ἦκται ἡ ΖΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,9,13"></lb> τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΑ.</s> <s>διπλῆ δὲ ἡ ΓΔ τῆς <lb n="1799,001,,,,6,9,14"></lb> ΔΑ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΒΖ τῆς ΖΑ· τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΑ <lb n="1799,001,,,,6,9,15"></lb> τῆς ΑΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,9,16"></lb> <s>Τῆς ἄρα δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ τὸ ἐπιταχθὲν τρίτον <lb n="1799,001,,,,6,9,17"></lb> μέρος ἀφῄρηται τὸ ΑΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,9,18"></lb> Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄτμητον τῇ δοθείσῃ τετμημένῃ <lb n="1799,001,,,,6,10,1"></lb> ὁμοίως τεμεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,10,2"></lb> <s>Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ ΑΒ, ἡ δὲ <lb n="1799,001,,,,6,10,3"></lb> τετμημένη ἡ ΑΓ κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ κείσθωσαν <lb n="1799,001,,,,6,10,4"></lb> ὥστε γωνίαν τυχοῦσαν περιέχειν, <lb n="1799,001,,,,6,10,5"></lb> καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ, καὶ διὰ τῶν <lb n="1799,001,,,,6,10,6"></lb> Δ, Ε τῇ ΒΓ παράλληλοι ἤχθωσαν <lb n="1799,001,,,,6,10,7"></lb> αἱ ΔΖ, ΕΗ, διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,6,10,8"></lb> παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΘΚ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,10,9"></lb> <s>Παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,6,10,10"></lb> ἑκάτερον τῶν ΖΘ, ΘΒ· ἴση ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,10,11"></lb> ἡ μὲν ΔΘ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΘΚ τῇ <lb n="1799,001,,,,6,10,12"></lb> ΗΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΚΓ <lb n="1799,001,,,,6,10,13"></lb> παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΚΓ <lb n="1799,001,,,,6,10,14"></lb> εὐθεῖα ἦκται ἡ ΘΕ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΕ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,10,15"></lb> τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΔ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ μὲν ΚΘ <lb n="1799,001,,,,6,10,16"></lb> τῇ ΒΗ, ἡ δὲ ΘΔ τῇ ΗΖ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,10,17"></lb> ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ τριγώνου τοῦ <lb n="1799,001,,,,6,10,18"></lb> ΑΗΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΗΕ ἦκται ἡ ΖΔ, ἀνά-<lb n="1799,001,,,,6,10,19"></lb> λογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΗΖ <lb n="1799,001,,,,6,10,20"></lb> πρὸς τὴν ΖΑ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, <lb n="1799,001,,,,6,10,21"></lb> οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ· ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΓΕ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,10,22"></lb> πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΕΔ <lb n="1799,001,,,,6,10,23"></lb> πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,10,24"></lb> <s>Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ ΑΒ τῇ δοθείσῃ <lb n="1799,001,,,,6,10,25"></lb> εὐθείᾳ τετμημένῃ τῇ ΑΓ ὁμοίως τέτμηται· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,6,10,26"></lb> ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,10,27"></lb> <s>Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,11,1"></lb> <s>Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι [δύο εὐθεῖαι] αἱ ΒΑ, ΑΓ καὶ <lb n="1799,001,,,,6,11,2"></lb> κείσθωσαν γωνίαν περιέχουσαι τυχοῦσαν.</s> <s>δεῖ δὴ τῶν <lb n="1799,001,,,,6,11,3"></lb> ΒΑ, ΑΓ τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν.</s> <s>ἐκ- <lb n="1799,001,,,,6,11,4"></lb> βεβλήσθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰ Δ, Ε σημεῖα, <lb n="1799,001,,,,6,11,5"></lb> καὶ κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύ-<lb n="1799,001,,,,6,11,6"></lb> χθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλος <lb n="1799,001,,,,6,11,7"></lb> αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,11,8"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΔΕ παρὰ μίαν <lb n="1799,001,,,,6,11,9"></lb> τῶν πλευρῶν τὴν ΔΕ ἦκται ἡ ΒΓ, ἀνάλο-<lb n="1799,001,,,,6,11,10"></lb> γόν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,11,11"></lb> ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,11,12"></lb> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,6,11,13"></lb> ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,11,14"></lb> <s>Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΑΓ τρίτη ἀνά-<lb n="1799,001,,,,6,11,15"></lb> λογον αὐταῖς προσεύρηται ἡ ΓΕ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,11,16"></lb> <s>Τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,12,1"></lb> Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ· δεῖ <lb n="1799,001,,,,6,12,2"></lb> δὴ τῶν Α, Β, Γ τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,12,3"></lb> <s>Ἐκκείσθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΔΖ γωνίαν περι-<lb n="1799,001,,,,6,12,4"></lb> έχουσαι [τυχοῦσαν] τὴν ὑπὸ ΕΔΖ· καὶ κείσθω τῇ μὲν Α <lb n="1799,001,,,,6,12,5"></lb> ἴση ἡ ΔΗ, τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΗΕ, καὶ ἔτι τῇ Γ ἴση ἡ ΔΘ· <lb n="1799,001,,,,6,12,6"></lb> καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΗΘ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω διὰ <lb n="1799,001,,,,6,12,7"></lb> τοῦ Ε ἡ ΕΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,12,8"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΔΕΖ παρὰ μίαν τὴν ΕΖ ἦκται <lb n="1799,001,,,,6,12,9"></lb> ἡ ΗΘ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΕ, οὕτως ἡ ΔΘ <lb n="1799,001,,,,6,12,10"></lb> πρὸς τὴν ΘΖ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΗ τῇ Α, ἡ δὲ ΗΕ τῇ Β, <lb n="1799,001,,,,6,12,11"></lb> ἡ δὲ ΔΘ τῇ Γ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ <lb n="1799,001,,,,6,12,12"></lb> πρὸς τὴν ΘΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,12,13"></lb> <s>Τριῶν ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Α, Β, Γ τετάρτη <lb n="1799,001,,,,6,12,14"></lb> ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΘΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,12,15"></lb> <s>Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,13,1"></lb> Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ· δεῖ δὴ <lb n="1799,001,,,,6,13,2"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,13,3"></lb> <s>Κείσθωσαν ἐπ' εὐθείας, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ <lb n="1799,001,,,,6,13,4"></lb> ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ <lb n="1799,001,,,,6,13,5"></lb> ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΔ, καὶ <lb n="1799,001,,,,6,13,6"></lb> ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,13,7"></lb> <s>Ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνία <lb n="1799,001,,,,6,13,8"></lb> ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ, ὀρθή ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,13,9"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ <lb n="1799,001,,,,6,13,10"></lb> τῷ ΑΔΓ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας <lb n="1799,001,,,,6,13,11"></lb> ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ <lb n="1799,001,,,,6,13,12"></lb> ΔΒ, ἡ ΔΒ ἄρα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,6,13,13"></lb> ΒΓ μέση ἀνάλογόν ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,13,14"></lb> <s>Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,6,13,15"></lb> προσεύρηται ἡ ΔΒ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,13,16"></lb> <s>Τῶν ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων <lb n="1799,001,,,,6,14,1"></lb> ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· καὶ <lb n="1799,001,,,,6,14,2"></lb> ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ <lb n="1799,001,,,,6,14,3"></lb> πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.</s> <lb n="1799,001,,,,6,14,4"></lb> <s>Ἔστω ἴσα τε καὶ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,6,14,5"></lb> ΒΓ ἴσας ἔχοντα τὰς πρὸς τῷ Β γωνίας, καὶ κείσθωσαν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,14,6"></lb> ἐπ' εὐθείας αἱ ΔΒ, ΒΕ· ἐπ' εὐθείας ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,6,14,7"></lb> ΖΒ, ΒΗ.</s> <s>λέγω, ὅτι τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀντιπεπόνθασιν αἱ <lb n="1799,001,,,,6,14,8"></lb> πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, τουτέστιν, ὅτι ἐστὶν ὡς <lb n="1799,001,,,,6,14,9"></lb> ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,6,14,10"></lb> ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,14,11"></lb> <s>Συμπεπληρώσθω γὰρ τὸ ΖΕ <lb n="1799,001,,,,6,14,12"></lb> παραλληλόγραμμον.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἴσον <lb n="1799,001,,,,6,14,13"></lb> ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ <lb n="1799,001,,,,6,14,14"></lb> ΒΓ παραλληλογράμμῳ, ἄλλο δέ <lb n="1799,001,,,,6,14,15"></lb> τι τὸ ΖΕ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,6,14,16"></lb> πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,14,17"></lb> τὸ ΖΕ.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν τὸ ΑΒ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,14,18"></lb> τὸ ΖΕ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, <lb n="1799,001,,,,6,14,19"></lb> ὡς δὲ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ· <lb n="1799,001,,,,6,14,20"></lb> καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,14,21"></lb> ΒΖ.</s> <s>τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθα-<lb n="1799,001,,,,6,14,22"></lb> σιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.</s> <lb n="1799,001,,,,6,14,23"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ <lb n="1799,001,,,,6,14,24"></lb> πρὸς τὴν ΒΖ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,6,14,25"></lb> γραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,14,26"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ <lb n="1799,001,,,,6,14,27"></lb> πρὸς τὴν ΒΖ, ἀλλ' ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,6,14,28"></lb> ΑΒ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον, <lb n="1799,001,,,,6,14,29"></lb> ὡς δὲ ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως τὸ ΒΓ παραλληλό- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,6,14,30"></lb> γραμμον πρὸς τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡς ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,6,14,31"></lb> ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,6,14,32"></lb> τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,14,33"></lb> <s>Τῶν ἄρα ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων <lb n="1799,001,,,,6,14,34"></lb> ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· καὶ <lb n="1799,001,,,,6,14,35"></lb> ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ <lb n="1799,001,,,,6,14,36"></lb> πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,6,14,37"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,14,38"></lb> <s>Τῶν ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων <lb n="1799,001,,,,6,15,1"></lb> ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· καὶ <lb n="1799,001,,,,6,15,2"></lb> ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόν-<lb n="1799,001,,,,6,15,3"></lb> θασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,6,15,4"></lb> ἐκεῖνα.</s> <lb n="1799,001,,,,6,15,5"></lb> <s>Ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΑΔΕ μίαν μιᾷ ἴσην <lb n="1799,001,,,,6,15,6"></lb> ἔχοντα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΕ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,6,15,7"></lb> τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ <lb n="1799,001,,,,6,15,8"></lb> αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, τουτέστιν, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ <lb n="1799,001,,,,6,15,9"></lb> πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,15,10"></lb> <s>Κείσθω γὰρ ὥστε ἐπ' εὐθείας εἶναι τὴν ΓΑ τῇ ΑΔ· <lb n="1799,001,,,,6,15,11"></lb> ἐπ' εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ.</s> <s>καὶ ἐπεζεύχθω <lb n="1799,001,,,,6,15,12"></lb> ἡ ΒΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,15,13"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,15,14"></lb> τριγώνῳ, ἄλλο δέ τι τὸ ΒΑΔ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΑΒ <lb n="1799,001,,,,6,15,15"></lb> τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΑΔ <lb n="1799,001,,,,6,15,16"></lb> τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν τὸ ΓΑΒ <lb n="1799,001,,,,6,15,17"></lb> πρὸς τὸ ΒΑΔ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, ὡς δὲ τὸ ΕΑΔ <lb n="1799,001,,,,6,15,18"></lb> πρὸς τὸ ΒΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,6,15,19"></lb> ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ.</s> <s>τῶν ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,6,15,20"></lb> ΑΔΕ ἄρα τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ <lb n="1799,001,,,,6,15,21"></lb> τὰς ἴσας γωνίας.</s> <lb n="1799,001,,,,6,15,22"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραὶ τῶν ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,6,15,23"></lb> ΑΔΕ τριγώνων, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,15,24"></lb> ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,6,15,25"></lb> τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,15,26"></lb> <s>Ἐπιζευχθείσης γὰρ πάλιν τῆς ΒΔ, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,6,15,27"></lb> ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ, ἀλλ' ὡς <lb n="1799,001,,,,6,15,28"></lb> μὲν ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,15,29"></lb> τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, ὡς δὲ ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,6,15,30"></lb> ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,15,31"></lb> τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΑΔ <lb n="1799,001,,,,6,15,32"></lb> τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον.</s> <s>ἑκάτερον ἄρα τῶν <lb n="1799,001,,,,6,15,33"></lb> ΑΒΓ, ΕΑΔ πρὸς τὸ ΒΑΔ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.</s> <s>ἴσον <lb n="1799,001,,,,6,15,34"></lb> ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ [τρίγωνον] τῷ ΕΑΔ τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,15,35"></lb> <s>Τῶν ἄρα ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν <lb n="1799,001,,,,6,15,36"></lb> τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας <lb n="1799,001,,,,6,15,37"></lb> γωνίας· καὶ ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων <lb n="1799,001,,,,6,15,38"></lb> ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, <lb n="1799,001,,,,6,15,39"></lb> ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,15,40"></lb> <s>Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,6,16,1"></lb> ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,6,16,2"></lb> μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων <lb n="1799,001,,,,6,16,3"></lb> περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων <lb n="1799,001,,,,6,16,4"></lb> περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,6,16,5"></lb> ἔσονται.</s> <lb n="1799,001,,,,6,16,6"></lb> <s>Ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, Ε, <lb n="1799,001,,,,6,16,7"></lb> Ζ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ· λέγω, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,16,8"></lb> ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,6,16,9"></lb> τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,16,10"></lb> <s>Ἤχθωσαν [γὰρ] ἀπὸ τῶν Α, Γ σημείων ταῖς ΑΒ, ΓΔ <lb n="1799,001,,,,6,16,11"></lb> εὐθείαις πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΗ, ΓΘ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Ζ <lb n="1799,001,,,,6,16,12"></lb> ἴση ἡ ΑΓ, τῇ δὲ Ε ἴση ἡ ΓΘ.</s> <s>καὶ συμπεπληρώσθω τὰ <lb n="1799,001,,,,6,16,13"></lb> ΒΗ, ΔΘ παραλληλόγραμμα.</s> <lb n="1799,001,,,,6,16,14"></lb> <s>Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε <lb n="1799,001,,,,6,16,15"></lb> πρὸς τὴν Ζ, ἴση δὲ ἡ μὲν Ε τῇ ΓΘ, ἡ δὲ Ζ τῇ ΑΗ, ἔστιν <lb n="1799,001,,,,6,16,16"></lb> ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΑΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,16,17"></lb> <s>τῶν ΒΗ, ΔΘ ἄρα παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ <lb n="1799,001,,,,6,16,18"></lb> πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.</s> <s>ὧν δὲ ἰσογωνίων <lb n="1799,001,,,,6,16,19"></lb> παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ <lb n="1799,001,,,,6,16,20"></lb> τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗ <lb n="1799,001,,,,6,16,21"></lb> παραλληλόγραμμον τῷ ΔΘ παραλληλογράμμῳ.</s> <s>καί ἐστι <lb n="1799,001,,,,6,16,22"></lb> τὸ μὲν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ· ἴση γὰρ ἡ ΑΗ τῇ Ζ· τὸ <lb n="1799,001,,,,6,16,23"></lb> δὲ ΔΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε· ἴση γὰρ ἡ Ε τῇ ΓΘ· τὸ ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,16,24"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,6,16,25"></lb> ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,16,26"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον <lb n="1799,001,,,,6,16,27"></lb> ἴσον ἔστω τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· <lb n="1799,001,,,,6,16,28"></lb> λέγω, ὅτι αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται, ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,6,16,29"></lb> ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,16,30"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,6,16,31"></lb> ΑΒ, Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε, καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,16,32"></lb> τῶν ΑΒ, Ζ τὸ ΒΗ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ Ζ· τὸ δὲ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,16,33"></lb> τῶν ΓΔ, Ε τὸ ΔΘ· ἴση γὰρ ἡ ΓΘ τῇ Ε· τὸ ἄρα ΒΗ ἴσον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,16,34"></lb> ἐστὶ τῷ ΔΘ.</s> <s>καί ἐστιν ἰσογώνια.</s> <s>τῶν δὲ ἴσων καὶ ἰσογω-<lb n="1799,001,,,,6,16,35"></lb> νίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,6,16,36"></lb> περὶ τὰς ἴσας γωνίας.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,6,16,37"></lb> οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΑΗ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ μὲν ΓΘ τῇ Ε, ἡ δὲ <lb n="1799,001,,,,6,16,38"></lb> ΑΗ τῇ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε <lb n="1799,001,,,,6,16,39"></lb> πρὸς τὴν Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,16,40"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,6,16,41"></lb> ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,6,16,42"></lb> μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων <lb n="1799,001,,,,6,16,43"></lb> περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων <lb n="1799,001,,,,6,16,44"></lb> περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,6,16,45"></lb> ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,16,46"></lb> <s>Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων <lb n="1799,001,,,,6,17,1"></lb> περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης <lb n="1799,001,,,,6,17,2"></lb> τετραγώνῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθο-<lb n="1799,001,,,,6,17,3"></lb> γώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ, αἱ τρεῖς <lb n="1799,001,,,,6,17,4"></lb> εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.</s> <lb n="1799,001,,,,6,17,5"></lb> <s>Ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, ὡς ἡ Α <lb n="1799,001,,,,6,17,6"></lb> πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,6,17,7"></lb> Α, Γ περιεχόμενον ὀρθογώ- <lb n="1799,001,,,,6,17,8"></lb> νιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,6,17,9"></lb> Β τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,17,10"></lb> <s>Κείσθω τῇ Β ἴση ἡ Δ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,17,11"></lb> Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,17,12"></lb> Γ, ἴση δὲ ἡ Β τῇ Δ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Δ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,17,13"></lb> τὴν Γ.</s> <s>ἐὰν δὲ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,17,14"></lb> τῶν ἄκρων περιεχόμενον [ὀρθογώνιον] ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,17,15"></lb> τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.</s> <s>τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ <lb n="1799,001,,,,6,17,16"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Δ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Δ τὸ <lb n="1799,001,,,,6,17,17"></lb> ἀπὸ τῆς Β ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ Β τῇ Δ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ <lb n="1799,001,,,,6,17,18"></lb> περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β τετρα-<lb n="1799,001,,,,6,17,19"></lb> γώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,17,20"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἔστω τῷ ἀπὸ τῆς Β· <lb n="1799,001,,,,6,17,21"></lb> λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,17,22"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,6,17,23"></lb> Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς Β τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,17,24"></lb> τῶν Β, Δ ἐστιν· ἴση γὰρ ἡ Β τῇ Δ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,6,17,25"></lb> Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Δ.</s> <s>ἐὰν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,6,17,26"></lb> ἄκρων ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι <lb n="1799,001,,,,6,17,27"></lb> ἀνάλογόν εἰσιν.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Δ <lb n="1799,001,,,,6,17,28"></lb> πρὸς τὴν Γ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ Β τῇ Δ· ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, <lb n="1799,001,,,,6,17,29"></lb> οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,17,30"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων <lb n="1799,001,,,,6,17,31"></lb> περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης <lb n="1799,001,,,,6,17,32"></lb> τετραγώνῳ· κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώ-<lb n="1799,001,,,,6,17,33"></lb> νιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι <lb n="1799,001,,,,6,17,34"></lb> ἀνάλογον ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,17,35"></lb> <s>Ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ <lb n="1799,001,,,,6,18,1"></lb> ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον ἀναγράψαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,18,2"></lb> Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύ-<lb n="1799,001,,,,6,18,3"></lb> γραμμον τὸ ΓΕ· δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας τῷ ΓΕ <lb n="1799,001,,,,6,18,4"></lb> εὐθυγράμμῳ ὅμοιόν τε καὶ <lb n="1799,001,,,,6,18,5"></lb> ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον <lb n="1799,001,,,,6,18,6"></lb> ἀναγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,18,7"></lb> <s>Ἐπεζεύχθω ἡ ΔΖ, καὶ συν-<lb n="1799,001,,,,6,18,8"></lb> εστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ <lb n="1799,001,,,,6,18,9"></lb> καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις <lb n="1799,001,,,,6,18,10"></lb> τοῖς Α, Β τῇ μὲν πρὸς τῷ <lb n="1799,001,,,,6,18,11"></lb> Γ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΑΒ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ ἴση ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,18,12"></lb> ΑΒΗ.</s> <s>λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΔ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ ἐστιν ἴση· <lb n="1799,001,,,,6,18,13"></lb> ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΓΔ τρίγωνον τῷ ΗΑΒ τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,18,14"></lb> <s>ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,6,18,15"></lb> ΖΓ πρὸς τὴν ΗΑ, καὶ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΑΒ.</s> <s>πάλιν συν-<lb n="1799,001,,,,6,18,16"></lb> εστάτω πρὸς τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις <lb n="1799,001,,,,6,18,17"></lb> τοῖς Β, Η τῇ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΘ, τῇ <lb n="1799,001,,,,6,18,18"></lb> δὲ ὑπὸ ΖΔΕ ἴση ἡ ὑπὸ ΗΒΘ.</s> <s>λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Ε <lb n="1799,001,,,,6,18,19"></lb> λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Θ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,6,18,20"></lb> ΖΔΕ τρίγωνον τῷ ΗΘΒ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,6,18,21"></lb> ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΘ καὶ <lb n="1799,001,,,,6,18,22"></lb> ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΘΒ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,18,23"></lb> ΗΒ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΗΑ καὶ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΑΒ· <lb n="1799,001,,,,6,18,24"></lb> καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἥ τε ΓΔ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,18,25"></lb> τὴν ΑΒ καὶ ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΘ καὶ ἔτι ἡ ΕΔ πρὸς τὴν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,18,26"></lb> ΘΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ γωνία τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,18,27"></lb> ΑΗΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΗΘ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,18,28"></lb> ΓΖΕ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστιν ἴση.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,6,18,29"></lb> ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΒΘ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ μὲν <lb n="1799,001,,,,6,18,30"></lb> πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ Α ἴση, ἡ δὲ πρὸς τῷ Ε τῇ πρὸς τῷ <lb n="1799,001,,,,6,18,31"></lb> Θ.</s> <s>ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ τῷ ΓΕ· καὶ τὰς περὶ τὰς <lb n="1799,001,,,,6,18,32"></lb> ἴσας γωνίας αὐτῶν πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,6,18,33"></lb> τὸ ΑΘ εὐθύγραμμον τῷ ΓΕ εὐθυγράμμῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,18,34"></lb> <s>Ἀπὸ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι <lb n="1799,001,,,,6,18,35"></lb> εὐθυγράμμῳ τῷ ΓΕ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον <lb n="1799,001,,,,6,18,36"></lb> εὐθύγραμμον ἀναγέγραπται τὸ ΑΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,18,37"></lb> <s>Τὰ ὅμοια τρίγωνα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,6,19,1"></lb> τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,19,2"></lb> <s>*̓́εστω ὅμοια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἴσην ἔχοντα τὴν <lb n="1799,001,,,,6,19,3"></lb> πρὸς τῷ Β γωνίαν τῇ πρὸς τῷ Ε, ὡς δὲ τὴν ΑΒ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,19,4"></lb> ΒΓ, οὕτως τὴν ΔΕ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,19,5"></lb> τὴν ΕΖ, ὥστε ὁμόλογον εἶναι <lb n="1799,001,,,,6,19,6"></lb> τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,6,19,7"></lb> τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,6,19,8"></lb> ΔΕΖ τρίγωνον διπλασίονα <lb n="1799,001,,,,6,19,9"></lb> λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,19,10"></lb> τὴν ΕΖ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,19,11"></lb> Εἰλήφθω γὰρ τῶν ΒΓ, ΕΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΗ, <lb n="1799,001,,,,6,19,12"></lb> ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως τὴν ΕΖ <lb n="1799,001,,,,6,19,13"></lb> πρὸς τὴν ΒΗ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,19,14"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ <lb n="1799,001,,,,6,19,15"></lb> πρὸς τὴν ΕΖ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,6,19,16"></lb> οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.</s> <s>ἀλλ' ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ, <lb n="1799,001,,,,6,19,17"></lb> οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΖ πρὸς ΒΗ.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,19,18"></lb> ΔΕ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΒΗ· τῶν ΑΒΗ, ΔΕΖ ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,19,19"></lb> τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας <lb n="1799,001,,,,6,19,20"></lb> γωνίας.</s> <s>ὧν δὲ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων <lb n="1799,001,,,,6,19,21"></lb> ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα <lb n="1799,001,,,,6,19,22"></lb> ἐστὶν ἐκεῖνα.</s> <s>ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ <lb n="1799,001,,,,6,19,23"></lb> τριγώνῳ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,19,24"></lb> ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΗ, ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, <lb n="1799,001,,,,6,19,25"></lb> ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ <lb n="1799,001,,,,6,19,26"></lb> πρὸς τὴν δευτέραν, ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς τὴν ΒΗ διπλασίονα <lb n="1799,001,,,,6,19,27"></lb> λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΕΖ.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,19,28"></lb> ΒΗ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ τρίγωνον· <lb n="1799,001,,,,6,19,29"></lb> καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ διπλασίονα <lb n="1799,001,,,,6,19,30"></lb> λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.</s> <s>ἴσον δὲ τὸ ΑΒΗ <lb n="1799,001,,,,6,19,31"></lb> τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ· καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,6,19,32"></lb> πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ <lb n="1799,001,,,,6,19,33"></lb> ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,19,34"></lb> <s>Τὰ ἄρα ὅμοια τρίγωνα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι <lb n="1799,001,,,,6,19,35"></lb> λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· [ὅπερ ἔδει δεῖξαι].</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,19,36"></lb> Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,6,19,37"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,6,19,38"></lb> ὦσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,6,19,39"></lb> τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ <lb n="1799,001,,,,6,19,40"></lb> ὁμοίως ἀναγραφόμενον [ἐπείπερ ἐδείχθη, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,19,41"></lb> ΒΗ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ τρίγωνον, <lb n="1799,001,,,,6,19,42"></lb> τουτέστι τὸ ΔΕΖ]· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,19,43"></lb> <s>Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται <lb n="1799,001,,,,6,20,1"></lb> καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,6,20,2"></lb> πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,6,20,3"></lb> ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,20,4"></lb> <s>Ἔστω ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, <lb n="1799,001,,,,6,20,5"></lb> ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ΖΗ· λέγω, ὅτι τὰ ΑΒΓΔΕ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,20,6"></lb> ΖΗΘΚΛ πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται <lb n="1799,001,,,,6,20,7"></lb> καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,6,20,8"></lb> ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον <lb n="1799,001,,,,6,20,9"></lb> διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,20,10"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΕΓ, <lb n="1799,001,,,,6,20,11"></lb> ΗΛ, ΛΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,20,12"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,6,20,13"></lb> ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ <lb n="1799,001,,,,6,20,14"></lb> ΖΗΘΚΛ πολυγώνῳ, ἴση <lb n="1799,001,,,,6,20,15"></lb> ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ <lb n="1799,001,,,,6,20,16"></lb> ὑπὸ ΗΖΛ.</s> <s>καί ἐστιν ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,6,20,17"></lb> ΒΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΖ <lb n="1799,001,,,,6,20,18"></lb> πρὸς ΖΛ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΕ, ΖΗΛ μίαν <lb n="1799,001,,,,6,20,19"></lb> γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς <lb n="1799,001,,,,6,20,20"></lb> πλευρὰς ἀνάλογον, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,6,20,21"></lb> τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ὅμοιον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,6,20,22"></lb> ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΛ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,20,23"></lb> ΑΒΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΗΘ ἴση διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν <lb n="1799,001,,,,6,20,24"></lb> πολυγώνων· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΗΘ <lb n="1799,001,,,,6,20,25"></lb> ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΕ, ΖΗΛ <lb n="1799,001,,,,6,20,26"></lb> τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ, οὕτως ἡ ΛΗ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,20,27"></lb> ΗΖ, ἀλλὰ μὴν καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων <lb n="1799,001,,,,6,20,28"></lb> ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ, δι' <lb n="1799,001,,,,6,20,29"></lb> ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸσ ΒΓ, οὕτως ἡ ΛΗ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,20,30"></lb> ΗΘ, καὶ περὶ τὰς ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΒΓ, ΛΗΘ αἱ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,20,31"></lb> πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,20,32"></lb> τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,6,20,33"></lb> ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,6,20,34"></lb> ΕΓΔ τρίγωνον ὅμοιόν ἐστι τῷ ΛΘΚ τριγώνῳ.</s> <s>τὰ ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,20,35"></lb> ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ εἴς τε ὅμοια <lb n="1799,001,,,,6,20,36"></lb> τρίγωνα διῄρηται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος.</s> <lb n="1799,001,,,,6,20,37"></lb> <s>Λέγω, ὅτι καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, τουτέστιν ὥστε <lb n="1799,001,,,,6,20,38"></lb> ἀνάλογον εἶναι τὰ τρίγωνα, καὶ ἡγούμενα μὲν εἶναι τὰ <lb n="1799,001,,,,6,20,39"></lb> ΑΒΕ, ΕΒΓ, ΕΓΔ, ἑπόμενα δὲ αὐτῶν τὰ ΖΗΛ, ΛΗΘ, <lb n="1799,001,,,,6,20,40"></lb> ΛΘΚ, καὶ ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ <lb n="1799,001,,,,6,20,41"></lb> πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος <lb n="1799,001,,,,6,20,42"></lb> πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἡ ΑΒ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,20,43"></lb> τὴν ΖΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,20,44"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΖΘ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν <lb n="1799,001,,,,6,20,45"></lb> ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία <lb n="1799,001,,,,6,20,46"></lb> τῇ ὑπὸ ΖΗΘ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΖΗ <lb n="1799,001,,,,6,20,47"></lb> πρὸς ΗΘ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,6,20,48"></lb> τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,20,49"></lb> ΗΖΘ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,20,50"></lb> ἡ ὑπὸ ΒΑΜ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΝ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ <lb n="1799,001,,,,6,20,51"></lb> τῇ ὑπὸ ΖΗΝ ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ <lb n="1799,001,,,,6,20,52"></lb> ὑπὸ ΖΝΗ ἴση ἐστίν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ <lb n="1799,001,,,,6,20,53"></lb> τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,6,20,54"></lb> τὸ ΒΜΓ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΗΝΘ τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,20,55"></lb> <s>ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς μὲν ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,6,20,56"></lb> ΖΝ πρὸς ΝΗ, ὡς δὲ ἡ ΒΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως ἡ ΗΝ <lb n="1799,001,,,,6,20,57"></lb> πρὸς ΝΘ· ὥστε καὶ δι' ἴσου, ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,20,58"></lb> ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ.</s> <s>ἀλλ' ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,6,20,59"></lb> ΑΒΜ [τρίγωνον] πρὸς τὸ ΜΒΓ, καὶ τὸ ΑΜΕ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,6,20,60"></lb> ΕΜΓ· πρὸς ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,20,61"></lb> ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα <lb n="1799,001,,,,6,20,62"></lb> τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ὡς ἄρα τὸ ΑΜΒ <lb n="1799,001,,,,6,20,63"></lb> τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΜΓ, οὕτως τὸ ΑΒΕ πρὸς τὸ ΓΒΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,20,64"></lb> <s>ἀλλ' ὡς τὸ ΑΜΒ πρὸς τὸ ΒΜΓ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ· <lb n="1799,001,,,,6,20,65"></lb> καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως τὸ ΑΒΕ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,6,20,66"></lb> πρὸς τὸ ΕΒΓ τρίγωνον.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΖΝ <lb n="1799,001,,,,6,20,67"></lb> πρὸς ΝΘ, οὕτως τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ <lb n="1799,001,,,,6,20,68"></lb> τρίγωνον.</s> <s>καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως ἡ ΖΝ <lb n="1799,001,,,,6,20,69"></lb> πρὸς ΝΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΓ <lb n="1799,001,,,,6,20,70"></lb> τρίγωνον, οὕτως τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ <lb n="1799,001,,,,6,20,71"></lb> τρίγωνον, καὶ ἐναλλὰξ, ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,6,20,72"></lb> ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,20,73"></lb> τρίγωνον.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΒΔ, <lb n="1799,001,,,,6,20,74"></lb> ΗΚ, ὅτι καὶ ὡς τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΗΘ <lb n="1799,001,,,,6,20,75"></lb> τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΘΚ <lb n="1799,001,,,,6,20,76"></lb> τρίγωνον.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,6,20,77"></lb> ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΒΓ πρὸς τὸ ΛΗΘ, καὶ ἔτι <lb n="1799,001,,,,6,20,78"></lb> τὸ ΕΓΔ πρὸς τὸ ΛΘΚ, καὶ ὡς ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων <lb n="1799,001,,,,6,20,79"></lb> πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,20,80"></lb> ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,6,20,81"></lb> πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον <lb n="1799,001,,,,6,20,82"></lb> πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,6,20,83"></lb> πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ <lb n="1799,001,,,,6,20,84"></lb> ΑΒ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν· <lb n="1799,001,,,,6,20,85"></lb> τὰ γὰρ ὅμοια τρίγωνα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,6,20,86"></lb> ὁμολόγων πλευρῶν.</s> <s>καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ ἄρα πολύγωνον πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,20,87"></lb> τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ <lb n="1799,001,,,,6,20,88"></lb> ΑΒ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,20,89"></lb> <s>Τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται <lb n="1799,001,,,,6,20,90"></lb> καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,6,20,91"></lb> πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,6,20,92"></lb> ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν· <lb n="1799,001,,,,6,20,93"></lb> [ὅπερ ἔδει δεῖξαι].</s> <lb n="1799,001,,,,6,20,94"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,6,20,95"></lb> Ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν [ὁμοίων] τετραπλεύρων <lb n="1799,001,,,,6,20,96"></lb> δειχθήσεται, ὅτι ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων <lb n="1799,001,,,,6,20,97"></lb> πλευρῶν.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων· ὥστε καὶ καθ-<lb n="1799,001,,,,6,20,98"></lb> όλου τὰ ὅμοια εὐθύγραμμα σχήματα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλα-<lb n="1799,001,,,,6,20,99"></lb> σίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.</s> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,20,100"></lb> [Πόρισμα β# <lb n="1799,001,,,,6,20,101"></lb> Καὶ ἐὰν τῶν ΑΒ, ΖΗ τρίτην ἀνάλογον λάβωμεν τὴν <lb n="1799,001,,,,6,20,102"></lb> Ξ, ἡ ΒΑ πρὸς τὴν Ξ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,6,20,103"></lb> πρὸς τὴν ΖΗ.</s> <s>ἔχει δὲ καὶ τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύ-<lb n="1799,001,,,,6,20,104"></lb> γωνον ἢ τὸ τετράπλευρον πρὸς τὸ τετράπλευρον διπλα-<lb n="1799,001,,,,6,20,105"></lb> σίονα λόγον ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον <lb n="1799,001,,,,6,20,106"></lb> πλευράν, τουτέστιν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΗ· ἐδείχθη δὲ τοῦτο <lb n="1799,001,,,,6,20,107"></lb> καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων· ὥστε καὶ καθόλου φανερόν, ὅτι, <lb n="1799,001,,,,6,20,108"></lb> ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔσται ὡς ἡ πρώτη πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,20,109"></lb> τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,6,20,110"></lb> τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.] <lb n="1799,001,,,,6,20,111"></lb> Τὰ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,6,21,1"></lb> ὅμοια.</s> <lb n="1799,001,,,,6,21,2"></lb> <s>Ἔστω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α, Β εὐθυγράμμων τῷ Γ <lb n="1799,001,,,,6,21,3"></lb> ὅμοιον· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Α τῷ Β ἐστιν ὅμοιον.</s> <lb n="1799,001,,,,6,21,4"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ Α τῷ Γ, ἰσογώνιόν τέ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,6,21,5"></lb> αὐτῷ καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,6,21,6"></lb> ἔχει.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ Β τῷ Γ, ἰσογώνιόν τέ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,21,7"></lb> ἐστιν αὐτῷ καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας <lb n="1799,001,,,,6,21,8"></lb> πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει.</s> <s>ἑκάτερον ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,21,9"></lb> τῶν Α, Β τῷ Γ ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ <lb n="1799,001,,,,6,21,10"></lb> τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς <lb n="1799,001,,,,6,21,11"></lb> ἀνάλογον ἔχει [ὥστε καὶ τὸ Α τῷ Β <lb n="1799,001,,,,6,21,12"></lb> ἰσογώνιόν τέ ἐστι καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας <lb n="1799,001,,,,6,21,13"></lb> γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει].</s> <s>ὅμοιον <lb n="1799,001,,,,6,21,14"></lb> ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,21,15"></lb> <s>Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπ' <lb n="1799,001,,,,6,22,1"></lb> αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα <lb n="1799,001,,,,6,22,2"></lb> ἀνάλογον ἔσται· κἂν τὰ ἀπ' αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε <lb n="1799,001,,,,6,22,3"></lb> καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐταὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,6,22,4"></lb> εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.</s> <lb n="1799,001,,,,6,22,5"></lb> <s>Ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,6,22,6"></lb> ΕΖ, ΗΘ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,22,7"></lb> ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ μὲν τῶν <lb n="1799,001,,,,6,22,8"></lb> ΑΒ, ΓΔ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα <lb n="1799,001,,,,6,22,9"></lb> εὐθύγραμμα τὰ ΚΑΒ, ΛΓΔ, ἀπὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,6,22,10"></lb> τῶν ΕΖ, ΗΘ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κεί-<lb n="1799,001,,,,6,22,11"></lb> μενα εὐθύγραμμα τὰ ΜΖ, ΝΘ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,6,22,12"></lb> ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, <lb n="1799,001,,,,6,22,13"></lb> οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,22,14"></lb> Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν ΑΒ, ΓΔ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ξ, <lb n="1799,001,,,,6,22,15"></lb> τῶν δὲ ΕΖ, ΗΘ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ο.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς <lb n="1799,001,,,,6,22,16"></lb> μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ὡς <lb n="1799,001,,,,6,22,17"></lb> δὲ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν Ξ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν Ο, δι' ἴσου <lb n="1799,001,,,,6,22,18"></lb> ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ξ, οὕτως ἡ ΕΖ <lb n="1799,001,,,,6,22,19"></lb> πρὸς τὴν Ο.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ξ, <lb n="1799,001,,,,6,22,20"></lb> οὕτως [καὶ] τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, ὡς δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,6,22,21"></lb> ΕΖ πρὸς τὴν Ο, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ· <lb n="1799,001,,,,6,22,22"></lb> καὶ ὡς ἄρα τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,22,23"></lb> τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,22,24"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,6,22,25"></lb> ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶ καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,22,26"></lb> ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ.</s> <s>εἰ γὰρ μή ἐστιν, ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,6,22,27"></lb> ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ἔστω ὡς <lb n="1799,001,,,,6,22,28"></lb> ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ, καὶ <lb n="1799,001,,,,6,22,29"></lb> ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΠΡ ὁποτέρῳ τῶν ΜΖ, ΝΘ <lb n="1799,001,,,,6,22,30"></lb> ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον τὸ ΣΡ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,22,31"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ <lb n="1799,001,,,,6,22,32"></lb> πρὸς τὴν ΠΡ, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῶν ΑΒ, ΓΔ <lb n="1799,001,,,,6,22,33"></lb> ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ ΚΑΒ, ΛΓΔ, ἀπὸ δὲ τῶν <lb n="1799,001,,,,6,22,34"></lb> ΕΖ, ΠΡ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ ΜΖ, ΣΡ, ἔστιν <lb n="1799,001,,,,6,22,35"></lb> ἄρα ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,22,36"></lb> ΣΡ.</s> <s>ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ΛΓΔ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,22,37"></lb> τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΣΡ, <lb n="1799,001,,,,6,22,38"></lb> οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ.</s> <s>τὸ ΜΖ ἄρα πρὸς ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,6,22,39"></lb> τῶν ΝΘ, ΣΡ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΝΘ <lb n="1799,001,,,,6,22,40"></lb> τῷ ΣΡ.</s> <s>ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον· <lb n="1799,001,,,,6,22,41"></lb> ἴση ἄρα ἡ ΗΘ τῇ ΠΡ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,22,42"></lb> ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ, ἴση δὲ ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ, <lb n="1799,001,,,,6,22,43"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,22,44"></lb> τὴν ΗΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,22,45"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπ' <lb n="1799,001,,,,6,22,46"></lb> αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα <lb n="1799,001,,,,6,22,47"></lb> ἀνάλογον ἔσται· κἂν τὰ ἀπ' αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε <lb n="1799,001,,,,6,22,48"></lb> καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ᾖ, καὶ αὐταὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,6,22,49"></lb> εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,22,50"></lb> <s>[Λῆμμα] <lb n="1799,001,,,,6,22,51"></lb> [Ὅτι δέ, ἐὰν εὐθύγραμμα ἴσα ᾖ καὶ ὅμοια, αἱ ὁμόλογοι <lb n="1799,001,,,,6,22,52"></lb> αὐτῶν πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, δείξομεν οὕτως.</s> <lb n="1799,001,,,,6,22,53"></lb> <s>Ἔστω ἴσα καὶ ὅμοια εὐθύγραμμα τὰ ΝΘ, ΣΡ, καὶ <lb n="1799,001,,,,6,22,54"></lb> ἔστω ὡς ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΝ, οὕτως ἡ ΡΠ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,22,55"></lb> ΠΣ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΡΠ τῇ ΘΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,22,56"></lb> <s>Εἰ γὰρ ἄνισοί εἰσιν, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν.</s> <s>ἔστω <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,22,57"></lb> μείζων ἡ ΡΠ τῆς ΘΗ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΡΠ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,22,58"></lb> ΠΣ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΝ, καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΡΠ <lb n="1799,001,,,,6,22,59"></lb> πρὸς τὴν ΘΗ, οὕτως ἡ ΠΣ πρὸς τὴν ΗΝ, μείζων δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,6,22,60"></lb> ΠΡ τῆς ΘΗ, μείζων ἄρα καὶ ἡ ΠΣ τῆς ΗΝ· ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,6,22,61"></lb> τὸ ΡΣ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΘΝ.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ἴσον· ὅπερ ἀδύνατον.</s> <lb n="1799,001,,,,6,22,62"></lb> <s>οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ· ἴση ἄρα· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,6,22,63"></lb> δεῖξαι.] <lb n="1799,001,,,,6,22,64"></lb> Τὰ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον <lb n="1799,001,,,,6,23,1"></lb> ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,23,2"></lb> <s>Ἔστω ἰσογώνια παραλληλό- <lb n="1799,001,,,,6,23,3"></lb> γραμμα τὰ ΑΓ, ΓΖ ἴσην <lb n="1799,001,,,,6,23,4"></lb> ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν <lb n="1799,001,,,,6,23,5"></lb> τῇ ὑπὸ ΕΓΗ· λέγω, ὅτι τὸ <lb n="1799,001,,,,6,23,6"></lb> ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,23,7"></lb> τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον <lb n="1799,001,,,,6,23,8"></lb> λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ <lb n="1799,001,,,,6,23,9"></lb> τῶν πλευρῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,23,10"></lb> <s>Κείσθω γὰρ ὥστε ἐπ' εὐθείας εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΓΗ· <lb n="1799,001,,,,6,23,11"></lb> ἐπ' εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ.</s> <s>καὶ συμπε-<lb n="1799,001,,,,6,23,12"></lb> πληρώσθω τὸ ΔΗ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκκείσθω τις <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,23,13"></lb> εὐθεῖα ἡ Κ, καὶ γεγονέτω ὡς μὲν ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ, <lb n="1799,001,,,,6,23,14"></lb> οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν Λ, ὡς δὲ ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,23,15"></lb> ἡ Λ πρὸς τὴν Μ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,23,16"></lb> <s>Οἱ ἄρα λόγοι τῆς τε Κ πρὸς τὴν Λ καὶ τῆς Λ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,23,17"></lb> Μ οἱ αὐτοί εἰσι τοῖς λόγοις τῶν πλευρῶν, τῆς τε ΒΓ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,23,18"></lb> τὴν ΓΗ καὶ τῆς ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ.</s> <s>ἀλλ' ὁ τῆς Κ πρὸς Μ <lb n="1799,001,,,,6,23,19"></lb> λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Κ πρὸς Λ λόγου καὶ τοῦ <lb n="1799,001,,,,6,23,20"></lb> τῆς Λ πρὸς Μ· ὥστε καὶ ἡ Κ πρὸς τὴν Μ λόγον ἔχει τὸν <lb n="1799,001,,,,6,23,21"></lb> συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,23,22"></lb> πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,6,23,23"></lb> ΓΘ, ἀλλ' ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,23,24"></lb> Λ, καὶ ὡς ἄρα ἡ Κ πρὸς τὴν Λ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,23,25"></lb> <s>πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως τὸ ΓΘ <lb n="1799,001,,,,6,23,26"></lb> παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ, ἀλλ' ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,23,27"></lb> ΓΕ, οὕτως ἡ Λ πρὸς τὴν Μ, καὶ ὡς ἄρα ἡ Λ πρὸς τὴν Μ, <lb n="1799,001,,,,6,23,28"></lb> οὕτως τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλλη-<lb n="1799,001,,,,6,23,29"></lb> λόγραμμον.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὡς μὲν ἡ Κ πρὸς τὴν Λ, <lb n="1799,001,,,,6,23,30"></lb> οὕτως τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΘ παραλ-<lb n="1799,001,,,,6,23,31"></lb> ληλόγραμμον, ὡς δὲ ἡ Λ πρὸς τὴν Μ, οὕτως τὸ ΓΘ <lb n="1799,001,,,,6,23,32"></lb> παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον, δι' <lb n="1799,001,,,,6,23,33"></lb> ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Κ πρὸς τὴν Μ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,6,23,34"></lb> ΓΖ παραλληλόγραμμον.</s> <s>ἡ δὲ Κ πρὸς τὴν Μ λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,6,23,35"></lb> τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· καὶ τὸ ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,6,23,36"></lb> ΓΖ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,23,37"></lb> Τὰ ἄρα ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον <lb n="1799,001,,,,6,23,38"></lb> ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,23,39"></lb> <s>Παντὸς παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον <lb n="1799,001,,,,6,24,1"></lb> παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις.</s> <lb n="1799,001,,,,6,24,2"></lb> <s>Ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ <lb n="1799,001,,,,6,24,3"></lb> αὐτοῦ ἡ ΑΓ, περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλληλόγραμμα ἔστω <lb n="1799,001,,,,6,24,4"></lb> τὰ ΕΗ, ΘΚ· λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν ΕΗ, ΘΚ παραλλη-<lb n="1799,001,,,,6,24,5"></lb> λογράμμων ὅμοιόν ἐστι ὅλῳ τῷ ΑΒΓΔ καὶ ἀλλήλοις.</s> <lb n="1799,001,,,,6,24,6"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,24,7"></lb> παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,24,8"></lb> ἦκται ἡ ΕΖ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,6,24,9"></lb> ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως, ἡ ΓΖ <lb n="1799,001,,,,6,24,10"></lb> πρὸς τὴν ΖΑ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ τριγώ-<lb n="1799,001,,,,6,24,11"></lb> νου τοῦ ΑΓΔ παρὰ μίαν τὴν ΓΔ <lb n="1799,001,,,,6,24,12"></lb> ἦκται ἡ ΖΗ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς <lb n="1799,001,,,,6,24,13"></lb> ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΑ.</s> <s>ἀλλ' <lb n="1799,001,,,,6,24,14"></lb> ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἐδείχθη καὶ ἡ ΒΕ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,24,15"></lb> ΕΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,24,16"></lb> τὴν ΗΑ, καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,24,17"></lb> ἡ ΔΑ πρὸς ΑΗ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,6,24,18"></lb> οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΗ.</s> <s>τῶν ἄρα ΑΒΓΔ, ΕΗ παραλ- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,6,24,19"></lb> ληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὴν <lb n="1799,001,,,,6,24,20"></lb> κοινὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,6,24,21"></lb> ἡ ΗΖ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΖΗ γωνία τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,24,22"></lb> ΔΓΑ· καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τῶν ΑΔΓ, ΑΗΖ <lb n="1799,001,,,,6,24,23"></lb> ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΓ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,6,24,24"></lb> τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΓΒ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,6,24,25"></lb> ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΑΖΕ τριγώνῳ, καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,6,24,26"></lb> παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ ἰσογώνιόν <lb n="1799,001,,,,6,24,27"></lb> ἐστιν.</s> <s>ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,24,28"></lb> ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,6,24,29"></lb> ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,6,24,30"></lb> ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ, καὶ ἔτι ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,24,31"></lb> ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΑ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ ΔΓ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,24,32"></lb> τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,24,33"></lb> ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ, δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,6,24,34"></lb> ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ.</s> <s>τῶν ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,24,35"></lb> ΑΒΓΔ, ΕΗ παραλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ <lb n="1799,001,,,,6,24,36"></lb> πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,6,24,37"></lb> ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,24,38"></lb> διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τῷ ΚΘ <lb n="1799,001,,,,6,24,39"></lb> παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΗ, <lb n="1799,001,,,,6,24,40"></lb> ΘΚ παραλληλογράμμων τῷ ΑΒΓΔ [παραλληλογράμμῳ] <lb n="1799,001,,,,6,24,41"></lb> ὅμοιόν ἐστιν.</s> <s>τὰ δὲ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ <lb n="1799,001,,,,6,24,42"></lb> ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια· καὶ τὸ ΕΗ ἄρα παραλληλόγραμμον <lb n="1799,001,,,,6,24,43"></lb> τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,24,44"></lb> <s>Παντὸς ἄρα παραλληλογράμμου τὰ περὶ τὴν διάμετρον <lb n="1799,001,,,,6,24,45"></lb> παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις· <lb n="1799,001,,,,6,24,46"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,24,47"></lb> <s>Τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι <lb n="1799,001,,,,6,25,1"></lb> ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,25,2"></lb> <s>Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ὅμοιον συστή-<lb n="1799,001,,,,6,25,3"></lb> σασθαι, τὸ ΑΒΓ, ᾧ δὲ δεῖ ἴσον, τὸ Δ· δεῖ δὴ τῷ μὲν <lb n="1799,001,,,,6,25,4"></lb> ΑΒΓ ὅμοιον, τῷ δὲ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,25,5"></lb> <s>Παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ μὲν τὴν ΒΓ τῷ ΑΒΓ τρι-<lb n="1799,001,,,,6,25,6"></lb> γώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕ, παρὰ δὲ τὴν ΓΕ τῷ <lb n="1799,001,,,,6,25,7"></lb> Δ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΜ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΓΕ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,25,8"></lb> ἥ ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ ΓΒΛ.</s> <s>ἐπ' εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,25,9"></lb> τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΛΕ τῇ ΕΜ.</s> <s>καὶ εἰλήφθω τῶν ΒΓ, ΓΖ μέση <lb n="1799,001,,,,6,25,10"></lb> ἀνάλογον ἡ ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΗΘ τῷ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,25,11"></lb> ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΚΗΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,25,12"></lb> <s>Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἡ ΗΘ <lb n="1799,001,,,,6,25,13"></lb> πρὸς τὴν ΓΖ, ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔστιν <lb n="1799,001,,,,6,25,14"></lb> ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης <lb n="1799,001,,,,6,25,15"></lb> εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,6,25,16"></lb> ἀναγραφόμενον, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,25,17"></lb> τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΗΘ τρίγωνον.</s> <s>ἀλλὰ καὶ <lb n="1799,001,,,,6,25,18"></lb> ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον <lb n="1799,001,,,,6,25,19"></lb> πρὸς τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,6,25,20"></lb> τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΗΘ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΒΕ παραλ-<lb n="1799,001,,,,6,25,21"></lb> ληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον· ἐναλλὰξ <lb n="1799,001,,,,6,25,22"></lb> ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,6,25,23"></lb> γραμμον, οὕτως τὸ ΚΗΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΖ παραλ-<lb n="1799,001,,,,6,25,24"></lb> ληλόγραμμον.</s> <s>ἴσον δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΕ παραλ-<lb n="1799,001,,,,6,25,25"></lb> ληλογράμμῳ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΚΗΘ τρίγωνον τῷ ΕΖ <lb n="1799,001,,,,6,25,26"></lb> παραλληλογράμμῳ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΕΖ παραλληλόγραμμον τῷ <lb n="1799,001,,,,6,25,27"></lb> Δ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΚΗΘ ἄρα τῷ Δ ἐστιν ἴσον.</s> <s>ἔστι δὲ <lb n="1799,001,,,,6,25,28"></lb> τὸ ΚΗΘ καὶ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον.</s> <lb n="1799,001,,,,6,25,29"></lb> <s>Τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον καὶ <lb n="1799,001,,,,6,25,30"></lb> ἄλλῳ τῷ δοθέντι τῷ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ συνέσταται τὸ <lb n="1799,001,,,,6,25,31"></lb> ΚΗΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,25,32"></lb> Ἐὰν ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον ἀφ-<lb n="1799,001,,,,6,26,1"></lb> αιρεθῇ ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίως κείμενον κοινὴν <lb n="1799,001,,,,6,26,2"></lb> γωνίαν ἔχον αὐτῷ, περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὅλῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,26,3"></lb> <s>Ἀπὸ γὰρ παραλληλογράμ- <lb n="1799,001,,,,6,26,4"></lb> μου τοῦ ΑΒΓΔ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,6,26,5"></lb> γραμμον ἀφῃρήσθω τὸ ΑΖ <lb n="1799,001,,,,6,26,6"></lb> ὅμοιον τῷ ΑΒΓΔ καὶ ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,6,26,7"></lb> κείμενον κοινὴν γωνίαν ἔχον <lb n="1799,001,,,,6,26,8"></lb> αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΔΑΒ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,6,26,9"></lb> ὅτι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν <lb n="1799,001,,,,6,26,10"></lb> ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,26,11"></lb> <s>Μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, ἔστω [αὐτῶν] διάμετρος ἡ <lb n="1799,001,,,,6,26,12"></lb> ΑΘΓ, καὶ ἐκβληθεῖσα ἡ ΗΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Θ, καὶ <lb n="1799,001,,,,6,26,13"></lb> ἤχθω διὰ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΓ παράλληλος <lb n="1799,001,,,,6,26,14"></lb> ἡ ΘΚ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,26,15"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,6,26,16"></lb> τῷ ΚΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ ΗΑ <lb n="1799,001,,,,6,26,17"></lb> πρὸς τὴν ΑΚ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓΔ, <lb n="1799,001,,,,6,26,18"></lb> ΕΗ καὶ ὡς ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς τὴν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,26,19"></lb> ΑΕ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΚ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,26,20"></lb> τὴν ΑΕ.</s> <s>ἡ ΗΑ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΚ, ΑΕ τὸν <lb n="1799,001,,,,6,26,21"></lb> αὐτὸν ἔχει λόγον.</s> <s>ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΑΚ ἡ ἐλάττων <lb n="1799,001,,,,6,26,22"></lb> τῇ μείζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα οὔκ ἐστι περὶ <lb n="1799,001,,,,6,26,23"></lb> τὴν αὐτὴν διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΖ· περὶ τὴν αὐτὴν <lb n="1799,001,,,,6,26,24"></lb> ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ <lb n="1799,001,,,,6,26,25"></lb> ΑΖ παραλληλογράμμῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,26,26"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλόγραμμον <lb n="1799,001,,,,6,26,27"></lb> ἀφαιρεθῇ ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίως κείμενον κοινὴν <lb n="1799,001,,,,6,26,28"></lb> γωνίαν ἔχον αὐτῷ, περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ <lb n="1799,001,,,,6,26,29"></lb> ὅλῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,26,30"></lb> <s>Πάντων τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων <lb n="1799,001,,,,6,27,1"></lb> παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλο-<lb n="1799,001,,,,6,27,2"></lb> γράμμοις ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,6,27,3"></lb> ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,6,27,4"></lb> ἡμισείας παραβαλλόμενον [παραλληλόγραμμον] ὅμοιον ὂν <lb n="1799,001,,,,6,27,5"></lb> τῷ ἐλλείμματι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,27,6"></lb> <s>Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ <lb n="1799,001,,,,6,27,7"></lb> παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΔ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,6,27,8"></lb> γραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΔΒ ἀνα- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,6,27,9"></lb> γραφέντι ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ, τουτέστι τῆς ΓΒ· <lb n="1799,001,,,,6,27,10"></lb> λέγω, ὅτι πάντων τῶν παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλλομένων <lb n="1799,001,,,,6,27,11"></lb> παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι [παραλληλο-<lb n="1799,001,,,,6,27,12"></lb> γράμμοισ] ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ΔΒ μέγιστόν <lb n="1799,001,,,,6,27,13"></lb> ἐστι τὸ ΑΔ.</s> <s>παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ <lb n="1799,001,,,,6,27,14"></lb> τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΖ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,6,27,15"></lb> γραμμον ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλο-<lb n="1799,001,,,,6,27,16"></lb> γράμμῳ τῷ ΖΒ ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,6,27,17"></lb> κειμένῳ τῷ ΔΒ· λέγω, ὅτι μεῖζόν <lb n="1799,001,,,,6,27,18"></lb> ἐστι τὸ ΑΔ τοῦ ΑΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,27,19"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΔΒ παραλληλόγραμμον τῷ <lb n="1799,001,,,,6,27,20"></lb> ΖΒ παραλληλογράμμῳ, περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον.</s> <lb n="1799,001,,,,6,27,21"></lb> <s>ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΔΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ <lb n="1799,001,,,,6,27,22"></lb> σχῆμα.</s> <lb n="1799,001,,,,6,27,23"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΖ τῷ ΖΕ, κοινὸν δὲ τὸ ΖΒ, <lb n="1799,001,,,,6,27,24"></lb> ὅλον ἄρα τὸ ΓΘ ὅλῳ τῷ ΚΕ ἐστιν ἴσον.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΓΘ τῷ <lb n="1799,001,,,,6,27,25"></lb> ΓΗ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ.</s> <s>καὶ τὸ ΗΓ ἄρα τῷ <lb n="1799,001,,,,6,27,26"></lb> ΕΚ ἐστιν ἴσον.</s> <s>κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΖ· ὅλον ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,6,27,27"></lb> ΑΖ τῷ ΛΜΝ γνώμονί ἐστιν ἴσον· ὥστε τὸ ΔΒ παραλλη-<lb n="1799,001,,,,6,27,28"></lb> λόγραμμον, τουτέστι τὸ ΑΔ, τοῦ ΑΖ παραλληλογράμμου <lb n="1799,001,,,,6,27,29"></lb> μεῖζόν ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,27,30"></lb> <s>Πάντων ἄρα τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παρα-<lb n="1799,001,,,,6,27,31"></lb> βαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι <lb n="1799,001,,,,6,27,32"></lb> παραλληλογράμμοις ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,27,33"></lb> ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,6,27,34"></lb> ἡμισείας παραβληθέν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,27,35"></lb> <s>Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ <lb n="1799,001,,,,6,28,1"></lb> ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παρ-<lb n="1799,001,,,,6,28,2"></lb> αλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι· δεῖ δὲ τὸ διδόμενον <lb n="1799,001,,,,6,28,3"></lb> εὐθύγραμμον [ᾧ δεῖ ἴσον παραβαλεῖν] μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ <lb n="1799,001,,,,6,28,4"></lb> ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι <lb n="1799,001,,,,6,28,5"></lb> [τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ ᾧ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν].</s> <lb n="1799,001,,,,6,28,6"></lb> <s>Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύ-<lb n="1799,001,,,,6,28,7"></lb> γραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ μὴ <lb n="1799,001,,,,6,28,8"></lb> μεῖζον [ὂν] τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ ἀναγραφομένου <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,28,9"></lb> ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι, ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν, τὸ Δ· <lb n="1799,001,,,,6,28,10"></lb> δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι <lb n="1799,001,,,,6,28,11"></lb> εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν <lb n="1799,001,,,,6,28,12"></lb> ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ. <lb n="1799,001,,,,6,28,13"></lb> Τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἀνα-<lb n="1799,001,,,,6,28,14"></lb> γεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον <lb n="1799,001,,,,6,28,15"></lb> τὸ ΕΒΖΗ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΗ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,6,28,16"></lb> γραμμον.</s> <lb n="1799,001,,,,6,28,17"></lb> <s>Εἰ μὲν οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ Γ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ <lb n="1799,001,,,,6,28,18"></lb> ἐπιταχθέν· παραβέβληται γὰρ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν <lb n="1799,001,,,,6,28,19"></lb> τὴν ΑΒ τῳ̂ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,6,28,20"></lb> γραμμον τὸ ΑΗ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΗΒ <lb n="1799,001,,,,6,28,21"></lb> ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ.</s> <s>εἰ δὲ οὔ, μεῖζον ἔστω τὸ ΘΕ τοῦ Γ.</s> <s>ἴσον <lb n="1799,001,,,,6,28,22"></lb> δὲ τὸ ΘΕ τῷ ΗΒ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ Γ.</s> <s>ᾧ δὴ <lb n="1799,001,,,,6,28,23"></lb> μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΒ τοῦ Γ, ταύτῃ τῇ ὑπεροχῇ ἴσον, τῷ δὲ Δ <lb n="1799,001,,,,6,28,24"></lb> ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΚΛΜΝ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,28,25"></lb> ἀλλὰ τὸ Δ τῷ ΗΒ [ἐστιν] ὅμοιον· καὶ τὸ ΚΜ ἄρα τῷ <lb n="1799,001,,,,6,28,26"></lb> ΗΒ ἐστιν ὅμοιον.</s> <s>ἔστω οὖν ὁμόλογος ἡ μὲν ΚΛ τῇ ΗΕ, <lb n="1799,001,,,,6,28,27"></lb> ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΗΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῖς Γ, ΚΜ, <lb n="1799,001,,,,6,28,28"></lb> μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΚΜ· μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,6,28,29"></lb> ἡ μὲν ΗΕ τῆς ΚΛ, ἡ δὲ ΗΖ τῆς ΛΜ.</s> <s>κείσθω τῇ μὲν ΚΛ <lb n="1799,001,,,,6,28,30"></lb> ἴση ἡ ΗΞ, τῇ δὲ ΛΜ ἴση ἡ ΗΟ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ <lb n="1799,001,,,,6,28,31"></lb> ΞΗΟΠ παραλληλόγραμμον· ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,6,28,32"></lb> [τὸ ΗΠ] τῷ ΚΜ [ἀλλὰ τὸ ΚΜ τῷ ΗΒ ὅμοιόν ἐστιν].</s> <lb n="1799,001,,,,6,28,33"></lb> <s>καὶ τὸ ΗΠ ἄρα τῷ ΗΒ ὅμοιόν ἐστιν· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,28,34"></lb> διάμετρόν ἐστι τὸ ΗΠ τῷ ΗΒ.</s> <s>ἔστω αὐτῶν διάμετρος <lb n="1799,001,,,,6,28,35"></lb> ἡ ΗΠΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.</s> <lb n="1799,001,,,,6,28,36"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΗ τοῖς Γ, ΚΜ, ὧν τὸ ΗΠ τῷ <lb n="1799,001,,,,6,28,37"></lb> ΚΜ ἐστιν ἴσον, λοιπὸς ἄρα ὁ ΥΧΦ γνώμων λοιπῷ τῷ <lb n="1799,001,,,,6,28,38"></lb> Γ ἴσος ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΟΡ τῷ ΞΣ, κοινὸν <lb n="1799,001,,,,6,28,39"></lb> προσκείσθω τὸ Π*β· ὅλον ἄρα τὸ ΟΒ ὅλῳ τῷ ΞΒ ἴσον <lb n="1799,001,,,,6,28,40"></lb> ἐστίν.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΞΒ τῷ ΤΕ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ <lb n="1799,001,,,,6,28,41"></lb> ΑΕ πλευρᾷ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση· καὶ τὸ ΤΕ ἄρα τῷ ΟΒ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,6,28,42"></lb> ἴσον.</s> <s>κοινὸν προσκείσθω τὸ ΞΣ· ὅλον ἄρα τὸ ΤΣ ὅλῳ τῷ <lb n="1799,001,,,,6,28,43"></lb> ΦΧΥ γνώμονί ἐστιν ἴσον.</s> <s>ἀλλ' ὁ ΦΧΥ γνώμων τῷ Γ <lb n="1799,001,,,,6,28,44"></lb> ἐδείχθη ἴσος· καὶ τὸ ΤΣ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,28,45"></lb> Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι <lb n="1799,001,,,,6,28,46"></lb> εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται <lb n="1799,001,,,,6,28,47"></lb> τὸ ΣΤ ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΒ ὁμοίῳ <lb n="1799,001,,,,6,28,48"></lb> ὄντι τῷ Δ [ἐπειδήπερ τὸ ΠΒ τῷ ΗΠ ὅμοιόν ἐστιν]· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,6,28,49"></lb> ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,28,50"></lb> <s>Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ <lb n="1799,001,,,,6,29,1"></lb> ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει <lb n="1799,001,,,,6,29,2"></lb> παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,29,3"></lb> <s>Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύ-<lb n="1799,001,,,,6,29,4"></lb> γραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ, <lb n="1799,001,,,,6,29,5"></lb> ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ὑπερβάλλειν, τὸ Δ· δεῖ δὴ παρὰ τὴν ΑΒ <lb n="1799,001,,,,6,29,6"></lb> εὐθεῖαν τῷ Γ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον <lb n="1799,001,,,,6,29,7"></lb> παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ <lb n="1799,001,,,,6,29,8"></lb> τῷ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,29,9"></lb> <s>Τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀναγεγράφθω <lb n="1799,001,,,,6,29,10"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον παραλλη-<lb n="1799,001,,,,6,29,11"></lb> λόγραμμον τὸ ΒΖ, καὶ συναμφοτέροις μὲν τοῖς ΒΖ, Γ <lb n="1799,001,,,,6,29,12"></lb> ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ <lb n="1799,001,,,,6,29,13"></lb> συνεστάτω τὸ ΗΘ.</s> <s>ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΖΛ, <lb n="1799,001,,,,6,29,14"></lb> ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΖΕ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΖΒ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,29,15"></lb> μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΚΘ τῆς ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῆς <lb n="1799,001,,,,6,29,16"></lb> ΖΕ.</s> <s>ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΛ, ΖΕ, καὶ τῇ μὲν ΚΘ ἴση <lb n="1799,001,,,,6,29,17"></lb> ἔστω ἡ ΖΛΜ, τῇ δὲ ΚΗ ἴση ἡ ΖΕΝ, καὶ συμπεπλη-<lb n="1799,001,,,,6,29,18"></lb> ρώσθω τὸ ΜΝ· τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΗΘ ἴσον τέ ἐστι καὶ <lb n="1799,001,,,,6,29,19"></lb> ὅμοιον.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον· καὶ τὸ ΜΝ <lb n="1799,001,,,,6,29,20"></lb> ἄρα τῷ ΕΛ ὅμοιόν ἐστιν· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν <lb n="1799,001,,,,6,29,21"></lb> ἐστι τὸ ΕΛ τῷ ΜΝ.</s> <s>ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΖΞ, καὶ <lb n="1799,001,,,,6,29,22"></lb> καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.</s> <lb n="1799,001,,,,6,29,23"></lb> <s>Ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΘ τοῖς ΕΛ, Γ, ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ <lb n="1799,001,,,,6,29,24"></lb> ΜΝ ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τοῖς ΕΛ, Γ ἴσον ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,29,25"></lb> <s>κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ· λοιπὸς ἄρα ὁ ΨΧΦ γνώμων <lb n="1799,001,,,,6,29,26"></lb> τῷ Γ ἐστιν ἴσος.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, ἴσον <lb n="1799,001,,,,6,29,27"></lb> ἐστὶ καὶ τὸ ΑΝ τῷ ΝΒ, τουτέστι τῷ ΛΟ.</s> <s>κοινὸν προσ- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,6,29,28"></lb> κείσθω τὸ ΕΞ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ΦΧΨ <lb n="1799,001,,,,6,29,29"></lb> γνώμονι.</s> <s>ἀλλὰ ὁ ΦΧΨ γνώμων τῷ Γ ἴσος ἐστίν· καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,6,29,30"></lb> ΑΞ ἄρα τῷ Γ ἴσον ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,29,31"></lb> <s>Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι <lb n="1799,001,,,,6,29,32"></lb> εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται <lb n="1799,001,,,,6,29,33"></lb> τὸ ΑΞ ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΟ <lb n="1799,001,,,,6,29,34"></lb> ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ, ἐπεὶ καὶ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον τὸ ΟΠ· <lb n="1799,001,,,,6,29,35"></lb> ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,29,36"></lb> <s>Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἄκρον καὶ μέσον <lb n="1799,001,,,,6,30,1"></lb> λόγον τεμεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,6,30,2"></lb> <s>Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ <lb n="1799,001,,,,6,30,3"></lb> τὴν ΑΒ εὐθεῖαν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν. <lb n="1799,001,,,,6,30,4"></lb> Ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΒΓ, καὶ <lb n="1799,001,,,,6,30,5"></lb> παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΓ τῇ ΒΓ ἴσον παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,6,30,6"></lb> γραμμον τὸ ΓΔ ὑπερβάλλον εἴδει τῷ ΑΔ ὁμοίῳ τῷ <lb n="1799,001,,,,6,30,7"></lb> ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,30,8"></lb> <s>Τετράγωνον δέ ἐστι τὸ ΒΓ· τετράγωνον ἄρα ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,6,30,9"></lb> τὸ ΑΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΓ τῷ ΓΔ, κοινὸν ἀφῃρή- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,6,30,10"></lb> σθω τὸ ΓΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΖ λοιπῷ τῷ ΑΔ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,6,30,11"></lb> ἴσον.</s> <s>ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον· τῶν ΒΖ, ΑΔ ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,30,12"></lb> ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· ἔστιν <lb n="1799,001,,,,6,30,13"></lb> ἄρα ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,30,14"></lb> <s>ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΕ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΑΕ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,6,30,15"></lb> ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ.</s> <s>μείζων <lb n="1799,001,,,,6,30,16"></lb> δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΑΕ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,30,17"></lb> <s>Ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται <lb n="1799,001,,,,6,30,18"></lb> κατὰ τὸ Ε, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστι τὸ ΑΕ· <lb n="1799,001,,,,6,30,19"></lb> ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,30,20"></lb> <s>Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν <lb n="1799,001,,,,6,31,1"></lb> γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,6,31,2"></lb> τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖς <lb n="1799,001,,,,6,31,3"></lb> ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις.</s> <lb n="1799,001,,,,6,31,4"></lb> <s>Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν <lb n="1799,001,,,,6,31,5"></lb> ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος ἴσον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,31,6"></lb> ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ <lb n="1799,001,,,,6,31,7"></lb> ὁμοίως ἀναγραφομένοις.</s> <lb n="1799,001,,,,6,31,8"></lb> <s>Ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,31,9"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἀπὸ τῆς πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,31,10"></lb> τῷ Α ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,6,31,11"></lb> τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ <lb n="1799,001,,,,6,31,12"></lb> τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,6,31,13"></lb> ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, <lb n="1799,001,,,,6,31,14"></lb> οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τρεῖς εὐθεῖαι <lb n="1799,001,,,,6,31,15"></lb> ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,31,16"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ <lb n="1799,001,,,,6,31,17"></lb> ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.</s> <s>ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,31,18"></lb> ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ <lb n="1799,001,,,,6,31,19"></lb> τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,6,31,20"></lb> ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,31,21"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ.</s> <s>ὥστε καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὰς ΒΔ, ΔΓ, <lb n="1799,001,,,,6,31,22"></lb> οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ <lb n="1799,001,,,,6,31,23"></lb> ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΒΓ ταῖς ΒΔ, <lb n="1799,001,,,,6,31,24"></lb> ΔΓ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, <lb n="1799,001,,,,6,31,25"></lb> ΑΓ εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις.</s> <lb n="1799,001,,,,6,31,26"></lb> <s>Ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,31,27"></lb> ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς <lb n="1799,001,,,,6,31,28"></lb> ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι <lb n="1799,001,,,,6,31,29"></lb> τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,6,31,30"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,6,31,31"></lb> <s>Ἐὰν δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰς δύο <lb n="1799,001,,,,6,32,1"></lb> πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰς <lb n="1799,001,,,,6,32,2"></lb> ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ <lb n="1799,001,,,,6,32,3"></lb> λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπ' εὐθείας ἔσονται.</s> <lb n="1799,001,,,,6,32,4"></lb> <s>Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ τὰς δύο πλευρὰς <lb n="1799,001,,,,6,32,5"></lb> τὰς ΒΑ, ΑΓ ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς ΔΓ, ΔΕ ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,6,32,6"></lb> ἔχοντα, ὡς μὲν τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΔΓ πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,32,7"></lb> τὴν ΔΕ, παράλληλον δὲ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΓ, τὴν δὲ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,6,32,8"></lb> τῇ ΔΕ· λέγω, ὅτι ἐπ' εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ. <lb n="1799,001,,,,6,32,9"></lb> Ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ, καὶ εἰς αὐτὰς <lb n="1799,001,,,,6,32,10"></lb> ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΑΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, <lb n="1799,001,,,,6,32,11"></lb> ΑΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,32,12"></lb> ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστίν.</s> <s>ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,32,13"></lb> ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,6,32,14"></lb> ΔΓΕ μίαν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α μιᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ <lb n="1799,001,,,,6,32,15"></lb> Δ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνά-<lb n="1799,001,,,,6,32,16"></lb> λογον, ὡς τὴν ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΓΔ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,6,32,17"></lb> ΔΕ, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΓΕ <lb n="1799,001,,,,6,32,18"></lb> τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,32,19"></lb> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση· ὅλη ἄρα <lb n="1799,001,,,,6,32,20"></lb> ἡ ὑπὸ ΑΓΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ ἴση ἐστίν.</s> <s>κοινὴ <lb n="1799,001,,,,6,32,21"></lb> προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ ταῖς <lb n="1799,001,,,,6,32,22"></lb> ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ, ΓΒΑ ἴσαι εἰσίν.</s> <s>ἀλλ' αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, <lb n="1799,001,,,,6,32,23"></lb> ΑΒΓ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΕ, <lb n="1799,001,,,,6,32,24"></lb> ΑΓΒ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <s>πρὸς δή τινι εὐθείᾳ <lb n="1799,001,,,,6,32,25"></lb> τῇ ΑΓ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Γ δύο εὐθεῖαι αἱ <lb n="1799,001,,,,6,32,26"></lb> ΒΓ, ΓΕ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας <lb n="1799,001,,,,6,32,27"></lb> τὰς ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ' <lb n="1799,001,,,,6,32,28"></lb> εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,32,29"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰς δύο <lb n="1799,001,,,,6,32,30"></lb> πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰς <lb n="1799,001,,,,6,32,31"></lb> ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ <lb n="1799,001,,,,6,32,32"></lb> λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπ' εὐθείας ἔσονται· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,6,32,33"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,32,34"></lb> Ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον <lb n="1799,001,,,,6,33,1"></lb> ταῖς περιφερείαις, ἐφ' ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς <lb n="1799,001,,,,6,33,2"></lb> κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι. <lb n="1799,001,,,,6,33,3"></lb> Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ πρὸς μὲν <lb n="1799,001,,,,6,33,4"></lb> τοῖς κέντροις αὐτῶν τοῖς Η, Θ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,33,5"></lb> ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, <lb n="1799,001,,,,6,33,6"></lb> ΕΔΖ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ <lb n="1799,001,,,,6,33,7"></lb> περιφέρειαν, οὕτως ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,33,8"></lb> ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,6,33,9"></lb> <s>Κείσθωσαν γὰρ τῇ μὲν ΒΓ περιφερείᾳ ἴσαι κατὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,6,33,10"></lb> ἑξῆς ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΓΚ, ΚΛ, τῇ δὲ ΕΖ περιφερείᾳ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,6,33,11"></lb> ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΖΜ, ΜΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ, <lb n="1799,001,,,,6,33,12"></lb> ΗΛ, ΘΜ, ΘΝ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,33,13"></lb> Ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΓ, ΓΚ, ΚΛ περιφέρειαι <lb n="1799,001,,,,6,33,14"></lb> ἀλλήλαις, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΓΗΚ, ΚΗΛ <lb n="1799,001,,,,6,33,15"></lb> γωνίαι ἀλλήλαις· ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΛ περι-<lb n="1799,001,,,,6,33,16"></lb> φέρεια τῆς ΒΓ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ <lb n="1799,001,,,,6,33,17"></lb> γωνία τῆς ὑπὸ ΒΗΓ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων <lb n="1799,001,,,,6,33,18"></lb> ἐστὶν ἡ ΝΕ περιφέρεια τῆς ΕΖ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,6,33,19"></lb> καὶ ἡ ὑπὸ ΝΘΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΖ.</s> <s>εἰ ἄρα ἴση ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,6,33,20"></lb> ἡ ΒΛ περιφέρεια τῇ ΕΝ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία <lb n="1799,001,,,,6,33,21"></lb> ἡ ὑπὸ ΒΗΛ τῇ ὑπὸ ΕΘΝ, καὶ εἰ μείζων ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,6,33,22"></lb> ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΕΝ περιφερείας, μείζων ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,6,33,23"></lb> ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΝ, καὶ εἰ ἐλάσσων, <lb n="1799,001,,,,6,33,24"></lb> ἐλάσσων.</s> <s>τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν περι-<lb n="1799,001,,,,6,33,25"></lb> φερειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ, δύο δὲ γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΗΓ, <lb n="1799,001,,,,6,33,26"></lb> ΕΘΖ, εἴληπται τῆς μὲν ΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,33,27"></lb> ΒΗΓ γωνίας ἰσάκις πολλαπλασίων ἥ τε ΒΛ περιφέρεια <lb n="1799,001,,,,6,33,28"></lb> καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία, τῆς δὲ ΕΖ περιφερείας καὶ τῆς <lb n="1799,001,,,,6,33,29"></lb> ὑπὸ ΕΘΖ γωνίας ἥ τε ΕΝ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΝ <lb n="1799,001,,,,6,33,30"></lb> γωνία.</s> <s>καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς <lb n="1799,001,,,,6,33,31"></lb> ΕΝ περιφερείας, ὑπερέχει καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,33,32"></lb> ΕΘΝ γωνίας, καὶ εἰ ἴση, ἴση, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων.</s> <lb n="1799,001,,,,6,33,33"></lb> <s>ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,6,33,34"></lb> ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ.</s> <s>ἀλλ' ὡς ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,33,35"></lb> ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΒΑΓ <lb n="1799,001,,,,6,33,36"></lb> πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ· διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,6,33,37"></lb> ὡς ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ περιφέρειαν, οὕτως <lb n="1799,001,,,,6,33,38"></lb> ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,6,33,39"></lb> ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,33,40"></lb> Ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι <lb n="1799,001,,,,6,33,41"></lb> λόγον ταῖς περιφερείαις, ἐφ' ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς <lb n="1799,001,,,,6,33,42"></lb> τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι· <lb n="1799,001,,,,6,33,43"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,6,33,44"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Μονάς ἐστιν, καθ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν <lb n="1799,001,,,,7;HOR,1,1"></lb> λέγεται.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,1,2"></lb> <s>Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,2,1"></lb> <s>Μέρος ἐστὶν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μεί-<lb n="1799,001,,,,7;HOR,3,1"></lb> ζονος, ὅταν καταμετρῇ τὸν μείζονα.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,3,2"></lb> <s>Μέρη δέ, ὅταν μὴ καταμετρῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,4,1"></lb> <s>Πολλαπλάσιος δὲ ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος, ὅταν <lb n="1799,001,,,,7;HOR,5,1"></lb> καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάσσονος.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,5,2"></lb> <s>Ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ δίχα διαιρούμενος.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,6,1"></lb> <s>Περισσὸς δὲ ὁ μὴ διαιρούμενος δίχα ἢ [ὁ] μονάδι <lb n="1799,001,,,,7;HOR,7,1"></lb> διαφέρων ἀρτίου ἀριθμοῦ.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,7,2"></lb> <s>Ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ <lb n="1799,001,,,,7;HOR,8,1"></lb> μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,8,2"></lb> <s>Ἀρτιάκις δὲ περισσός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ <lb n="1799,001,,,,7;HOR,9,1"></lb> μετρούμενος κατὰ περισσὸν ἀριθμόν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,9,2"></lb> [Περισσάκις ἀρτιός ἐστιν ὁ ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ <lb n="1799,001,,,,7;HOR,10*,1"></lb> μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν].</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,10*,2"></lb> <s>Περισσάκις δὲ περισσὸς ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,7;HOR,11,1"></lb> περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ περισσὸν ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,11,2"></lb> <s>Πρῶτος ἀριθμός ἐστιν ὁ μονάδι μόνῃ μετρούμενος.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,12,1"></lb> <s>Πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ μονάδι <lb n="1799,001,,,,7;HOR,13,1"></lb> μόνῃ μετρούμενοι κοινῷ μέτρῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,13,2"></lb> <s>Σύνθετος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἀριθμῷ τινι μετρού-<lb n="1799,001,,,,7;HOR,14,1"></lb> μενος.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,14,2"></lb> <s>Σύνθετοι δὲ πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ ἀριθμῷ <lb n="1799,001,,,,7;HOR,15,1"></lb> τινι μετρούμενοι κοινῷ μέτρῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,15,2"></lb> <s>Ἀριθμὸς ἀριθμὸν πολλαπλασιάζειν λέγεται, ὅταν, <lb n="1799,001,,,,7;HOR,16,1"></lb> ὅσαι εἰσὶν ἐν αὐτῷ μονάδες, τοσαυτάκις συντεθῇ ὁ <lb n="1799,001,,,,7;HOR,16,2"></lb> πολλαπλασιαζόμενος, καὶ γένηταί τις.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,16,3"></lb> <s>Ὅταν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,7;HOR,17,1"></lb> ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος ἐπίπεδος καλεῖται, πλευραὶ δὲ <lb n="1799,001,,,,7;HOR,17,2"></lb> αὐτοῦ οἱ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ἀριθμοί.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,17,3"></lb> <s>Ὅταν δὲ τρεῖς ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,7;HOR,18,1"></lb> λους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος στερεός ἐστιν, πλευραὶ δὲ <lb n="1799,001,,,,7;HOR,18,2"></lb> αὐτοῦ οἱ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ἀριθμοί.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,18,3"></lb> <s>Τετράγωνος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἰσάκις ἴσος ἢ [ὁ] ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,7;HOR,19,1"></lb> δύο ἴσων ἀριθμῶν περιεχόμενος.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,19,2"></lb> <s>Κύβος δὲ ὁ ἰσάκις ἴσος ἰσάκις ἢ [ὁ] ὑπὸ τριῶν ἴσων <lb n="1799,001,,,,7;HOR,20,1"></lb> ἀριθμῶν περιεχόμενος.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,20,2"></lb> <s>Ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅταν ὁ πρῶτος τοῦ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,21,1"></lb> δευτέρου καὶ ὁ τρίτος τοῦ τετάρτου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιος <lb n="1799,001,,,,7;HOR,21,2"></lb> ἢ τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη ὦσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,21,3"></lb> <s>Ὅμοιοι ἐπίπεδοι καὶ στερεοὶ ἀριθμοί εἰσιν οἱ ἀνά-<lb n="1799,001,,,,7;HOR,22,1"></lb> λογον ἔχοντες τὰς πλευράς.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,22,2"></lb> <s>Τέλειος ἀριθμός ἐστιν ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν <lb n="1799,001,,,,7;HOR,23,1"></lb> ἴσος ὤν.</s> <lb n="1799,001,,,,7;HOR,23,2"></lb> <s></s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Δύο ἀριθμῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἀνθυφαιρουμένου δὲ <lb n="1799,001,,,,7,1,1"></lb> ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐὰν ὁ λειπόμενος <lb n="1799,001,,,,7,1,2"></lb> μηδέποτε καταμετρῇ τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς, <lb n="1799,001,,,,7,1,3"></lb> οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται.</s> <lb n="1799,001,,,,7,1,4"></lb> <s>Δύο γὰρ [ἀνίσων] ἀριθμῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ <lb n="1799,001,,,,7,1,5"></lb> ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,7,1,6"></lb> τοῦ μείζονος ὁ λειπόμενος μηδέποτε κατα-<lb n="1799,001,,,,7,1,7"></lb> μετρείτω τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ <lb n="1799,001,,,,7,1,8"></lb> μονάς· λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,1,9"></lb> ἀλλήλους εἰσίν, τουτέστιν ὅτι τοὺς ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,7,1,10"></lb> ΓΔ μονὰς μόνη μετρεῖ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,1,11"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, <lb n="1799,001,,,,7,1,12"></lb> μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.</s> <s>μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε· <lb n="1799,001,,,,7,1,13"></lb> καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,1,14"></lb> τὸν ΖΑ, ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ <lb n="1799,001,,,,7,1,15"></lb> ἐλάσσονα τὸν ΗΓ, ὁ δὲ ΗΓ τὸν ΖΘ μετρῶν λειπέτω <lb n="1799,001,,,,7,1,16"></lb> μονάδα τὴν ΘΑ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,1,17"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ὁ Ε τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΖ μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,7,1,18"></lb> καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΒΖ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ· <lb n="1799,001,,,,7,1,19"></lb> καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΖ μετρήσει.</s> <s>ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ <lb n="1799,001,,,,7,1,20"></lb> μετρεῖ· καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΔΗ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον <lb n="1799,001,,,,7,1,21"></lb> τὸν ΔΓ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΗ μετρήσει.</s> <s>ὁ δὲ ΓΗ τὸν <lb n="1799,001,,,,7,1,22"></lb> ΖΘ μετρεῖ· καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΖΘ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ <lb n="1799,001,,,,7,1,23"></lb> ὅλον τὸν ΖΑ· καὶ λοιπὴν ἄρα τὴν ΑΘ μονάδα μετρήσει <lb n="1799,001,,,,7,1,24"></lb> ἀριθμὸς ὤν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,7,1,25"></lb> ΓΔ ἀριθμοὺς μετρήσει τις ἀριθμός· οἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,1,26"></lb> πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,1,27"></lb> <s>Δύο ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ <lb n="1799,001,,,,7,2,1"></lb> μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,2,2"></lb> <s>Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,2,3"></lb> ἀλλήλους οἱ ΑΒ, ΓΔ.</s> <s>δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον <lb n="1799,001,,,,7,2,4"></lb> κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,2,5"></lb> <s>Εἰ μὲν οὖν ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν, <lb n="1799,001,,,,7,2,6"></lb> ὁ ΓΔ ἄρα τῶν ΓΔ, ΑΒ κοινὸν μέτρον ἐστίν.</s> <s>καὶ φανερόν, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,2,7"></lb> ὅτι καὶ μέγιστον· οὐδεὶς γὰρ μείζων τοῦ ΓΔ τὸν ΓΔ <lb n="1799,001,,,,7,2,8"></lb> μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,7,2,9"></lb> <s>Εἰ δὲ οὐ μετρεῖ ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ, τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀνθυφαι-<lb n="1799,001,,,,7,2,10"></lb> ρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος λειφθήσεταί <lb n="1799,001,,,,7,2,11"></lb> τις ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ. <lb n="1799,001,,,,7,2,12"></lb> μονὰς μὲν γὰρ οὐ λειφθήσεται· εἰ δὲ μή, <lb n="1799,001,,,,7,2,13"></lb> ἔσονται οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους· <lb n="1799,001,,,,7,2,14"></lb> ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.</s> <s>λειφθήσεταί τις ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,2,15"></lb> ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,7,2,16"></lb> ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΕ μετρῶν λειπέτω ἑαυ-<lb n="1799,001,,,,7,2,17"></lb> τοῦ ἐλάσσονα τὸν ΕΑ, ὁ δὲ ΕΑ τὸν ΔΖ <lb n="1799,001,,,,7,2,18"></lb> μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΓ, ὁ δὲ ΓΖ <lb n="1799,001,,,,7,2,19"></lb> τὸν ΑΕ μετρείτω.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ὁ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρεῖ, ὁ δὲ <lb n="1799,001,,,,7,2,20"></lb> ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ, καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει· <lb n="1799,001,,,,7,2,21"></lb> μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν· καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΓΔ μετρήσει.</s> <s>ὁ δὲ <lb n="1799,001,,,,7,2,22"></lb> ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ· καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ· μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,7,2,23"></lb> δὲ καὶ τὸν ΕΑ· καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΒΑ μετρήσει· μετρεῖ δὲ <lb n="1799,001,,,,7,2,24"></lb> καὶ τὸν ΓΔ· ὁ ΓΖ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ μετρεῖ.</s> <s>ὁ ΓΖ ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,2,25"></lb> τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,7,2,26"></lb> μέγιστον.</s> <s>εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ ΓΖ τῶν ΑΒ, ΓΔ μέγιστον <lb n="1799,001,,,,7,2,27"></lb> κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς <lb n="1799,001,,,,7,2,28"></lb> ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ ΓΖ.</s> <s>μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Η.</s> <lb n="1799,001,,,,7,2,29"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Η τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ, καὶ <lb n="1799,001,,,,7,2,30"></lb> ὁ Η ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ· καὶ <lb n="1799,001,,,,7,2,31"></lb> λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΕ μετρήσει.</s> <s>ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ· <lb n="1799,001,,,,7,2,32"></lb> καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,2,33"></lb> ΔΓ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσ-<lb n="1799,001,,,,7,2,34"></lb> σονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς <lb n="1799,001,,,,7,2,35"></lb> ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ ΓΖ· ὁ ΓΖ ἄρα τῶν <lb n="1799,001,,,,7,2,36"></lb> ΑΒ, ΓΔ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον· [ὅπερ ἔδει δεῖξαι].</s> <lb n="1799,001,,,,7,2,37"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,7,2,38"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς <lb n="1799,001,,,,7,2,39"></lb> μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει· <lb n="1799,001,,,,7,2,40"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,2,41"></lb> <s>Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,7,3,1"></lb> τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,3,2"></lb> <s>Ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀρι-<lb n="1799,001,,,,7,3,3"></lb> θμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ <lb n="1799,001,,,,7,3,4"></lb> Α, Β, Γ· δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τὸ <lb n="1799,001,,,,7,3,5"></lb> μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,3,6"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α, Β τὸ <lb n="1799,001,,,,7,3,7"></lb> μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ· ὁ <lb n="1799,001,,,,7,3,8"></lb> δὴ Δ τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.</s> <s>μετρείτω πρό-<lb n="1799,001,,,,7,3,9"></lb> τερον· μετρεῖ δὲ καὶ τοὺς Α, Β· ὁ Δ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ <lb n="1799,001,,,,7,3,10"></lb> μετρεῖ· ὁ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινὸν μέτρον ἐστίν.</s> <s>λέγω δή, <lb n="1799,001,,,,7,3,11"></lb> ὅτι καὶ μέγιστον.</s> <s>εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Δ τῶν Α, Β, Γ μέγι-<lb n="1799,001,,,,7,3,12"></lb> στον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς <lb n="1799,001,,,,7,3,13"></lb> ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ Δ.</s> <s>μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε.</s> <s>ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,7,3,14"></lb> οὖν ὁ Ε τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τοὺς Α, Β ἄρα μετρήσει· <lb n="1799,001,,,,7,3,15"></lb> καὶ τὸ τῶν Α, Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,3,16"></lb> τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ· ὁ Ε <lb n="1799,001,,,,7,3,17"></lb> ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,7,3,18"></lb> ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις <lb n="1799,001,,,,7,3,19"></lb> μετρήσει μείζων ὢν τοῦ Δ· ὁ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ μέγι-<lb n="1799,001,,,,7,3,20"></lb> στόν ἐστι κοινὸν μέτρον.</s> <lb n="1799,001,,,,7,3,21"></lb> <s>Μὴ μετρείτω δὴ ὁ Δ τὸν Γ· λέγω πρῶτον, ὅτι οἱ Γ, Δ <lb n="1799,001,,,,7,3,22"></lb> οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β, Γ οὔκ <lb n="1799,001,,,,7,3,23"></lb> εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.</s> <lb n="1799,001,,,,7,3,24"></lb> <s>ὁ δὴ τοὺς Α, Β, Γ μετρῶν καὶ τοὺς Α, Β μετρήσει, καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,7,3,25"></lb> τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸν Δ μετρήσει· μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,7,3,26"></lb> δὲ καὶ τὸν Γ· τοὺς Δ, Γ ἄρα ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει· <lb n="1799,001,,,,7,3,27"></lb> οἱ Δ, Γ ἄρα οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.</s> <s>εἰλήφθω <lb n="1799,001,,,,7,3,28"></lb> οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Ε.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Ε <lb n="1799,001,,,,7,3,29"></lb> τὸν Δ μετρεῖ, ὁ δὲ Δ τοὺς Α, Β μετρεῖ, καὶ ὁ Ε ἄρα τοὺς <lb n="1799,001,,,,7,3,30"></lb> Α, Β μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Β, Γ <lb n="1799,001,,,,7,3,31"></lb> μετρεῖ· ὁ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινόν ἐστι μέτρον.</s> <s>λέγω δή, <lb n="1799,001,,,,7,3,32"></lb> ὅτι καὶ μέγιστον.</s> <s>εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Ε τῶν Α, Β, Γ τὸ <lb n="1799,001,,,,7,3,33"></lb> μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς Α, Β, Γ ἀρι-<lb n="1799,001,,,,7,3,34"></lb> θμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ Ε.</s> <s>μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,3,35"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τοὺς Α, Β μετρεῖ· <lb n="1799,001,,,,7,3,36"></lb> καὶ τὸ τῶν Α, Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.</s> <s>τὸ <lb n="1799,001,,,,7,3,37"></lb> δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ· ὁ Ζ ἄρα τὸν <lb n="1799,001,,,,7,3,38"></lb> Δ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· ὁ Ζ ἄρα τοὺς Δ, Γ μετρεῖ· <lb n="1799,001,,,,7,3,39"></lb> καὶ τὸ τῶν Δ, Γ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.</s> <s>τὸ <lb n="1799,001,,,,7,3,40"></lb> δὲ τῶν Δ, Γ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Ε· ὁ Ζ ἄρα τὸν <lb n="1799,001,,,,7,3,41"></lb> Ε μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,3,42"></lb> οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει <lb n="1799,001,,,,7,3,43"></lb> μείζων ὢν τοῦ Ε· ὁ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ μέγιστόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,7,3,44"></lb> κοινὸν μέτρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,3,45"></lb> <s>Ἅπας ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος <lb n="1799,001,,,,7,4,1"></lb> ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη.</s> <lb n="1799,001,,,,7,4,2"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, ΒΓ, καὶ ἔστω ἐλάσσων <lb n="1799,001,,,,7,4,3"></lb> ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ ΒΓ τοῦ Α ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη.</s> <lb n="1799,001,,,,7,4,4"></lb> <s>Οἱ Α, ΒΓ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,4,5"></lb> <s>ἔστωσαν πρότερον οἱ Α, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.</s> <lb n="1799,001,,,,7,4,6"></lb> <s>διαιρεθέντος δὴ τοῦ ΒΓ εἰς τὰς ἐν αὐτῷ μο-<lb n="1799,001,,,,7,4,7"></lb> νάδας ἔσται ἑκάστη μονὰς τῶν ἐν τῷ ΒΓ μέ-<lb n="1799,001,,,,7,4,8"></lb> ρος τι τοῦ Α· ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α.</s> <lb n="1799,001,,,,7,4,9"></lb> <s>Μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,7,4,10"></lb> λους· ὁ δὴ ΒΓ τὸν Α ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,4,11"></lb> <s>εἰ μὲν οὖν ὁ ΒΓ τὸν Α μετρεῖ, μέρος ἐστὶν ὁ <lb n="1799,001,,,,7,4,12"></lb> ΒΓ τοῦ Α.</s> <s>εἰ δὲ οὔ, εἰλήφθω τῶν Α, ΒΓ μέ-<lb n="1799,001,,,,7,4,13"></lb> γιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ, καὶ διῃρήσθω ὁ ΒΓ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,4,14"></lb> εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν <lb n="1799,001,,,,7,4,15"></lb> Α μετρεῖ, μέρος ἐστὶν ὁ Δ τοῦ Α· ἴσος δὲ ὁ Δ ἑκάστῳ <lb n="1799,001,,,,7,4,16"></lb> τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ· καὶ ἕκαστος ἄρα τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ <lb n="1799,001,,,,7,4,17"></lb> τοῦ Α μέρος ἐστίν· ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α.</s> <lb n="1799,001,,,,7,4,18"></lb> <s>Ἅπας ἄρα ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ <lb n="1799,001,,,,7,4,19"></lb> μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,4,20"></lb> <s>Ἐὰν ἀριθμός ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ <lb n="1799,001,,,,7,5,1"></lb> αὐτὸ μέρος ᾖ, καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὸ αὐτὸ <lb n="1799,001,,,,7,5,2"></lb> μέρος ἔσται, ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός.</s> <lb n="1799,001,,,,7,5,3"></lb> <s>Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α [ἀριθμοῦ] τοῦ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,7,5,4"></lb> μέρος ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ Δ ἑτέρου τοῦ <lb n="1799,001,,,,7,5,5"></lb> ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ· <lb n="1799,001,,,,7,5,6"></lb> λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ Α, Δ συν-<lb n="1799,001,,,,7,5,7"></lb> αμφοτέρου τοῦ ΒΓ, ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος <lb n="1799,001,,,,7,5,8"></lb> ἐστίν, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,5,9"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος <lb n="1799,001,,,,7,5,10"></lb> ἐστὶ καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ, ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ <lb n="1799,001,,,,7,5,11"></lb> ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ <lb n="1799,001,,,,7,5,12"></lb> Δ.</s> <s>διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Α ἴσους τοὺς ΒΗ, <lb n="1799,001,,,,7,5,13"></lb> ΗΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΘ, ΘΖ· ἔσται <lb n="1799,001,,,,7,5,14"></lb> δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, <lb n="1799,001,,,,7,5,15"></lb> ΘΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α, ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ, <lb n="1799,001,,,,7,5,16"></lb> καὶ οἱ ΒΗ, ΕΘ ἄρα τοῖς Α, Δ ἴσοι.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,5,17"></lb> οἱ ΗΓ, ΘΖ τοῖς Α, Δ.</s> <s>ὅσοι ἄρα [εἰσὶν] ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ <lb n="1799,001,,,,7,5,18"></lb> ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τοῖς ΒΓ, ΕΖ ἴσοι τοῖς <lb n="1799,001,,,,7,5,19"></lb> Α, Δ.</s> <s>ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α, τοσαυταπλα-<lb n="1799,001,,,,7,5,20"></lb> σίων ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΒΓ, ΕΖ συναμφοτέρου <lb n="1799,001,,,,7,5,21"></lb> τοῦ Α, Δ.</s> <s>ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος <lb n="1799,001,,,,7,5,22"></lb> ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ Α, Δ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ, <lb n="1799,001,,,,7,5,23"></lb> ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,5,24"></lb> <s>Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ <lb n="1799,001,,,,7,6,1"></lb> αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,7,6,2"></lb> μέρη ἔσται, ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός.</s> <lb n="1799,001,,,,7,6,3"></lb> <s>Ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω, καὶ <lb n="1799,001,,,,7,6,4"></lb> ἕτερος ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ <lb n="1799,001,,,,7,6,5"></lb> Γ· λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ, ΔΕ συναμφοτέρου <lb n="1799,001,,,,7,6,6"></lb> τοῦ Γ, Ζ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,6,7"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη καὶ <lb n="1799,001,,,,7,6,8"></lb> ὁ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ, το-<lb n="1799,001,,,,7,6,9"></lb> σαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ.</s> <s>διῃρήσθω ὁ μὲν <lb n="1799,001,,,,7,6,10"></lb> ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ, ΗΒ, ὁ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,7,6,11"></lb> Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ <lb n="1799,001,,,,7,6,12"></lb> πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ, <lb n="1799,001,,,,7,6,13"></lb> ΘΕ.</s> <s>καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, <lb n="1799,001,,,,7,6,14"></lb> τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ, ὃ <lb n="1799,001,,,,7,6,15"></lb> ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέ-<lb n="1799,001,,,,7,6,16"></lb> ρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΗ, ΔΘ συν- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,7,6,17"></lb> αμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ μέρος ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,7,6,18"></lb> ὁ ΗΒ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ <lb n="1799,001,,,,7,6,19"></lb> ΗΒ, ΘΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ.</s> <s>ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ <lb n="1799,001,,,,7,6,20"></lb> ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,7,6,21"></lb> ΔΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,6,22"></lb> <s>Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, ὅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρε-<lb n="1799,001,,,,7,7,1"></lb> θέντος, καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται, <lb n="1799,001,,,,7,7,2"></lb> ὅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου.</s> <lb n="1799,001,,,,7,7,3"></lb> <s>Ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέρος ἔστω, ὅπερ <lb n="1799,001,,,,7,7,4"></lb> ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,7,7,5"></lb> λοιπὸς ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ <lb n="1799,001,,,,7,7,6"></lb> ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,7,7"></lb> <s>Ὃ γὰρ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἔστω <lb n="1799,001,,,,7,7,8"></lb> καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ.</s> <s>καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ <lb n="1799,001,,,,7,7,9"></lb> ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ, ὃ ἄρα μέρος <lb n="1799,001,,,,7,7,10"></lb> ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ <lb n="1799,001,,,,7,7,11"></lb> ΗΖ.</s> <s>ὃ δὲ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος <lb n="1799,001,,,,7,7,12"></lb> ὑπόκειται καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ· ὃ ἄρα μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,7,7,13"></lb> τοῦ ΗΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τοῦ ΓΔ· ἴσος ἄρα ἐστὶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,7,14"></lb> ὁ ΗΖ τῷ ΓΔ.</s> <s>κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΓΖ· λοιπὸς ἄρα ὁ <lb n="1799,001,,,,7,7,15"></lb> ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἐστιν ἴσος.</s> <s>καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ <lb n="1799,001,,,,7,7,16"></lb> ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος [ἐστὶ] καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἴσος <lb n="1799,001,,,,7,7,17"></lb> δὲ ὁ ΗΓ τῷ ΖΔ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ <lb n="1799,001,,,,7,7,18"></lb> αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΖΔ.</s> <s>ἀλλὰ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ <lb n="1799,001,,,,7,7,19"></lb> ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ· καὶ <lb n="1799,001,,,,7,7,20"></lb> λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, <lb n="1799,001,,,,7,7,21"></lb> ὅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,7,22"></lb> <s>Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρε-<lb n="1799,001,,,,7,8,1"></lb> θέντος, καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται, <lb n="1799,001,,,,7,8,2"></lb> ἅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου.</s> <lb n="1799,001,,,,7,8,3"></lb> <s>Ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέρη ἔστω, ἅπερ <lb n="1799,001,,,,7,8,4"></lb> ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,7,8,5"></lb> λοιπὸς ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ <lb n="1799,001,,,,7,8,6"></lb> ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,8,7"></lb> <s>Κείσθω γὰρ τῷ ΑΒ ἴσος ὁ ΗΘ.</s> <s>ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ <lb n="1799,001,,,,7,8,8"></lb> ΗΘ τοῦ ΓΔ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,8,9"></lb> <s>διῃρήσθω ὁ μὲν ΗΘ εἰς τὰ τοῦ ΓΔ <lb n="1799,001,,,,7,8,10"></lb> μέρη τὰ ΗΚ, ΚΘ, ὁ δὲ ΑΕ εἰς τὰ <lb n="1799,001,,,,7,8,11"></lb> τοῦ ΓΖ μέρη τὰ ΑΛ, ΛΕ· ἔσται δὴ <lb n="1799,001,,,,7,8,12"></lb> ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΗΚ, ΚΘ τῷ <lb n="1799,001,,,,7,8,13"></lb> πλήθει τῶν ΑΛ, ΛΕ.</s> <s>καὶ ἐπεί, ὃ <lb n="1799,001,,,,7,8,14"></lb> μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,8,15"></lb> μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΛ τοῦ ΓΖ, μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΓΖ, <lb n="1799,001,,,,7,8,16"></lb> μείζων ἄρα καὶ ὁ ΗΚ τοῦ ΑΛ.</s> <s>κείσθω τῷ ΑΛ ἴσος ὁ <lb n="1799,001,,,,7,8,17"></lb> ΗΜ.</s> <s>ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,7,8,18"></lb> καὶ ὁ ΗΜ τοῦ ΓΖ· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ <lb n="1799,001,,,,7,8,19"></lb> τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΗΚ ὅλου τοῦ ΓΔ.</s> <s>πάλιν <lb n="1799,001,,,,7,8,20"></lb> ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,7,8,21"></lb> ὁ ΕΛ τοῦ ΓΖ, μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΓΖ, μείζων ἄρα καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,7,8,22"></lb> ΘΚ τοῦ ΕΛ.</s> <s>κείσθω τῷ ΕΛ ἴσος ὁ ΚΝ.</s> <s>ὃ ἄρα μέρος <lb n="1799,001,,,,7,8,23"></lb> ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΚΝ τοῦ <lb n="1799,001,,,,7,8,24"></lb> ΓΖ· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΝΘ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος <lb n="1799,001,,,,7,8,25"></lb> ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΚΘ ὅλου τοῦ ΓΔ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ <lb n="1799,001,,,,7,8,26"></lb> λοιπὸς ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ὤν, ὅπερ ὅλος <lb n="1799,001,,,,7,8,27"></lb> ὁ ΗΚ ὅλου τοῦ ΓΔ· καὶ συναμφότερος ἄρα ὁ ΜΚ, ΝΘ <lb n="1799,001,,,,7,8,28"></lb> τοῦ ΔΖ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλος ὁ ΘΗ ὅλου <lb n="1799,001,,,,7,8,29"></lb> τοῦ ΓΔ.</s> <s>ἴσος δὲ συναμφότερος μὲν ὁ ΜΚ, ΝΘ τῷ ΕΒ, <lb n="1799,001,,,,7,8,30"></lb> ὁ δὲ ΘΗ τῷ ΒΑ· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ <lb n="1799,001,,,,7,8,31"></lb> τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,7,8,32"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,8,33"></lb> <s>Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ <lb n="1799,001,,,,7,9,1"></lb> αὐτὸ μέρος ᾖ, καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη ὁ πρῶτος <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,9,2"></lb> τοῦ τρίτου, τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται ἢ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,7,9,3"></lb> δεύτερος τοῦ τετάρτου.</s> <lb n="1799,001,,,,7,9,4"></lb> <s>Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ἀριθμοῦ τοῦ ΒΓ μέρος ἔστω, καὶ <lb n="1799,001,,,,7,9,5"></lb> ἕτερος ὁ Δ ἑτέρου τοῦ ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος, ὅπερ ὁ Α τοῦ <lb n="1799,001,,,,7,9,6"></lb> ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Δ <lb n="1799,001,,,,7,9,7"></lb> ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ μέρη.</s> <lb n="1799,001,,,,7,9,8"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,7,9,9"></lb> καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ, ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,7,9,10"></lb> ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι <lb n="1799,001,,,,7,9,11"></lb> καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἴσοι τῷ Δ.</s> <s>διῃρήσθω ὁ <lb n="1799,001,,,,7,9,12"></lb> μὲν ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Α ἴσους τοὺς ΒΗ, <lb n="1799,001,,,,7,9,13"></lb> ΗΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους <lb n="1799,001,,,,7,9,14"></lb> τοὺς ΕΘ, ΘΖ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆ-<lb n="1799,001,,,,7,9,15"></lb> θος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, <lb n="1799,001,,,,7,9,16"></lb> ΘΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,9,17"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΒΗ, ΗΓ ἀριθμοὶ ἀλλήλοις, εἰσὶ <lb n="1799,001,,,,7,9,18"></lb> δὲ καὶ οἱ ΕΘ, ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον <lb n="1799,001,,,,7,9,19"></lb> τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ, ὃ <lb n="1799,001,,,,7,9,20"></lb> ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος <lb n="1799,001,,,,7,9,21"></lb> ἐστὶ καὶ ὁ ΗΓ τοῦ ΘΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ὥστε καὶ ὃ μέρος <lb n="1799,001,,,,7,9,22"></lb> ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,7,9,23"></lb> συναμφότερος ὁ ΒΓ συναμφοτέρου τοῦ ΕΖ ἢ τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,7,9,24"></lb> μέρη.</s> <s>ἴσος δὲ ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α, ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ· ὃ ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,9,25"></lb> μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Δ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,7,9,26"></lb> ὁ ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,9,27"></lb> <s>Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ <lb n="1799,001,,,,7,10,1"></lb> αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ ἐναλλάξ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ πρῶτος τοῦ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,10,2"></lb> τρίτου ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται καὶ ὁ δεύτερος τοῦ <lb n="1799,001,,,,7,10,3"></lb> τετάρτου ἢ τὸ αὐτὸ μέρος.</s> <lb n="1799,001,,,,7,10,4"></lb> <s>Ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω, καὶ <lb n="1799,001,,,,7,10,5"></lb> ἕτερος ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη· λέγω, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,7,10,6"></lb> ἐναλλάξ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,7,10,7"></lb> μέρη ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὸ αὐτὸ μέρος. <lb n="1799,001,,,,7,10,8"></lb> Ἐπεὶ γάρ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, <lb n="1799,001,,,,7,10,9"></lb> τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα <lb n="1799,001,,,,7,10,10"></lb> ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ, τοσαῦτα <lb n="1799,001,,,,7,10,11"></lb> καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ.</s> <s>διῃρήσθω ὁ μὲν <lb n="1799,001,,,,7,10,12"></lb> ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ, ΗΒ, ὁ δὲ <lb n="1799,001,,,,7,10,13"></lb> ΔΕ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ· ἔσται <lb n="1799,001,,,,7,10,14"></lb> δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλή-<lb n="1799,001,,,,7,10,15"></lb> θει τῶν ΔΘ, ΘΕ.</s> <s>καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,7,10,16"></lb> ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ, καὶ <lb n="1799,001,,,,7,10,17"></lb> ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ <lb n="1799,001,,,,7,10,18"></lb> μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ <lb n="1799,001,,,,7,10,19"></lb> καί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΒ τοῦ ΘΕ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος <lb n="1799,001,,,,7,10,20"></lb> ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ὥστε καί [ὃ μέρος <lb n="1799,001,,,,7,10,21"></lb> ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,7,10,22"></lb> ΗΒ τοῦ ΘΕ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· καὶ ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,10,23"></lb> ΑΗ τοῦ ΔΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ <lb n="1799,001,,,,7,10,24"></lb> ΔΕ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ἀλλ' ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΘ <lb n="1799,001,,,,7,10,25"></lb> ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐδείχθη καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,7,10,26"></lb> μέρη, καὶ] ἃ [ἄρα] μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΔΕ ἢ μέρος, τὰ <lb n="1799,001,,,,7,10,27"></lb> αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Ζ ἢ τὸ αὐτὸ μέρος· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,7,10,28"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,10,29"></lb> <s>Ἐὰν ᾖ ὡς ὅλος πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθεὶς πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,11,1"></lb> ἀφαιρεθέντα, καὶ ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν λοιπὸν ἔσται, ὡς <lb n="1799,001,,,,7,11,2"></lb> ὅλος πρὸς ὅλον.</s> <lb n="1799,001,,,,7,11,3"></lb> <s>Ἔστω ὡς ὅλος ὁ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸν ΓΔ, οὕτως ἀφαιρε-<lb n="1799,001,,,,7,11,4"></lb> θεὶς ὁ ΑΕ πρὸς ἀφαιρεθέντα τὸν ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,7,11,5"></lb> λοιπὸς ὁ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸν ΖΔ ἐστιν, ὡς ὅλος ὁ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,7,11,6"></lb> πρὸς ὅλον τὸν ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,11,7"></lb> <s>Ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως ὁ <lb n="1799,001,,,,7,11,8"></lb> ΑΕ πρὸς τὸν ΓΖ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ <lb n="1799,001,,,,7,11,9"></lb> ΓΔ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ <lb n="1799,001,,,,7,11,10"></lb> ΓΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.</s> <s>καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοι-<lb n="1799,001,,,,7,11,11"></lb> ποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη, ἅπερ ὁ <lb n="1799,001,,,,7,11,12"></lb> ΑΒ τοῦ ΓΔ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΒ πρὸς τὸν ΖΔ, <lb n="1799,001,,,,7,11,13"></lb> οὕτως ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,11,14"></lb> Ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον, ἔσται ὡς εἷς <lb n="1799,001,,,,7,12,1"></lb> τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες <lb n="1799,001,,,,7,12,2"></lb> οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους.</s> <lb n="1799,001,,,,7,12,3"></lb> <s>Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, <lb n="1799,001,,,,7,12,4"></lb> ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· λέγω, ὅτι ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,7,12,5"></lb> ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως οἱ Α, Γ πρὸς τοὺς Β, Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,12,6"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,12,7"></lb> τὸν Δ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Β ἢ μέρη, <lb n="1799,001,,,,7,12,8"></lb> τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Δ ἢ μέρη.</s> <lb n="1799,001,,,,7,12,9"></lb> <s>καὶ συναμφότερος ἄρα ὁ Α, Γ συναμφοτέ-<lb n="1799,001,,,,7,12,10"></lb> ρου τοῦ Β, Δ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἢ τὰ <lb n="1799,001,,,,7,12,11"></lb> αὐτὰ μέρη, ἅπερ ὁ Α τοῦ Β.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,7,12,12"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως οἱ Α, Γ πρὸς τοὺς <lb n="1799,001,,,,7,12,13"></lb> Β, Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,12,14"></lb> <s>Ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, καὶ ἐναλλὰξ <lb n="1799,001,,,,7,13,1"></lb> ἀνάλογον ἔσονται.</s> <lb n="1799,001,,,,7,13,2"></lb> <s>Ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, <lb n="1799,001,,,,7,13,3"></lb> ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· λέγω, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,7,13,4"></lb> ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσονται, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Β <lb n="1799,001,,,,7,13,5"></lb> πρὸς τὸν Δ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,13,6"></lb> Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ <lb n="1799,001,,,,7,13,7"></lb> Γ πρὸς τὸν Δ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Β <lb n="1799,001,,,,7,13,8"></lb> ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Δ ἢ <lb n="1799,001,,,,7,13,9"></lb> τὰ αὐτὰ μέρη.</s> <s>ἐναλλὰξ ἄρα, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α <lb n="1799,001,,,,7,13,10"></lb> τοῦ Γ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Β τοῦ <lb n="1799,001,,,,7,13,11"></lb> Δ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,7,13,12"></lb> Γ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,13,13"></lb> <s>Ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ <lb n="1799,001,,,,7,14,1"></lb> πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ <lb n="1799,001,,,,7,14,2"></lb> δι' ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσονται.</s> <lb n="1799,001,,,,7,14,3"></lb> <s>Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ καὶ ἄλλοι <lb n="1799,001,,,,7,14,4"></lb> αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι ἐν τῷ αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,7,14,5"></lb> λόγῳ οἱ Δ, Ε, Ζ, ὡς μὲν ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,14,6"></lb> τὸν Ε, ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,7,14,7"></lb> ὅτι καὶ δι' ἴσου ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,14,8"></lb> τὸν Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,14,9"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,7,14,10"></lb> Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Β πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,14,11"></lb> τὸν Ε.</s> <s>πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ε <lb n="1799,001,,,,7,14,12"></lb> πρὸς τὸν Ζ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,14,13"></lb> ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ.</s> <s>ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,7,14,14"></lb> Δ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ· <lb n="1799,001,,,,7,14,15"></lb> ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,14,16"></lb> τὸν Ζ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,14,17"></lb> <s>Ἐὰν μονὰς ἀριθμόν τινα μετρῇ, ἰσάκις δὲ ἕτερος <lb n="1799,001,,,,7,15,1"></lb> ἀριθμὸς ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκις ἡ <lb n="1799,001,,,,7,15,2"></lb> μονὰς τὸν τρίτον ἀριθμὸν μετρήσει καὶ ὁ δεύτερος τὸν <lb n="1799,001,,,,7,15,3"></lb> τέταρτον.</s> <lb n="1799,001,,,,7,15,4"></lb> <s>Μονὰς γὰρ ἡ Α ἀριθμόν τινα τὸν ΒΓ μετρείτω, <lb n="1799,001,,,,7,15,5"></lb> ἰσάκις δὲ ἕτερος ἀριθμὸς ὁ Δ ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν τὸν <lb n="1799,001,,,,7,15,6"></lb> ΕΖ μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκις ἡ Α μονὰς <lb n="1799,001,,,,7,15,7"></lb> τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν ΕΖ. <lb n="1799,001,,,,7,15,8"></lb> Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν ΒΓ ἀριθμὸν μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,7,15,9"></lb> καὶ ὁ Δ τὸν ΕΖ, ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ μονάδες, <lb n="1799,001,,,,7,15,10"></lb> τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ.</s> <s>διῃρήσθω <lb n="1799,001,,,,7,15,11"></lb> ὁ μὲν ΒΓ εἰς τὰς ἐν ἑαυτῷ μονάδας τὰς ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ, <lb n="1799,001,,,,7,15,12"></lb> ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ.</s> <s>ἔσται <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,15,13"></lb> δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ τῷ πλήθει τῶν <lb n="1799,001,,,,7,15,14"></lb> ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΗ, ΗΘ, ΘΓ <lb n="1799,001,,,,7,15,15"></lb> μονάδες ἀλλήλαις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ ἀριθμοὶ <lb n="1799,001,,,,7,15,16"></lb> ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΘ, <lb n="1799,001,,,,7,15,17"></lb> ΘΓ μονάδων τῷ πλήθει τῶν ΕΚ, ΚΛ, ΛΖ ἀριθμῶν, <lb n="1799,001,,,,7,15,18"></lb> ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΒΗ μονὰς πρὸς τὸν ΕΚ ἀριθμόν, οὕτως <lb n="1799,001,,,,7,15,19"></lb> ἡ ΗΘ μονὰς πρὸς τὸν ΚΛ ἀριθμὸν καὶ ἡ ΘΓ μονὰς πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,15,20"></lb> τὸν ΛΖ ἀριθμόν.</s> <s>ἔσται ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων <lb n="1799,001,,,,7,15,21"></lb> πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι <lb n="1799,001,,,,7,15,22"></lb> πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΗ μονὰς <lb n="1799,001,,,,7,15,23"></lb> πρὸς τὸν ΕΚ ἀριθμόν, οὕτως ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΕΖ.</s> <s>ἴση δὲ <lb n="1799,001,,,,7,15,24"></lb> ἡ ΒΗ μονὰς τῇ Α μονάδι, ὁ δὲ ΕΚ ἀριθμὸς τῷ Δ ἀριθμῷ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,15,25"></lb> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμόν, οὕτως ὁ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,7,15,26"></lb> πρὸς τὸν ΕΖ.</s> <s>ἰσάκις ἄρα ἡ Α μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν με-<lb n="1799,001,,,,7,15,27"></lb> τρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,15,28"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί <lb n="1799,001,,,,7,16,1"></lb> τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ἴσοι ἀλλήλοις ἔσονται.</s> <lb n="1799,001,,,,7,16,2"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, <lb n="1799,001,,,,7,16,3"></lb> Β, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλα-<lb n="1799,001,,,,7,16,4"></lb> πλασιάσας τὸν Γ ποιείτω, ὁ δὲ <lb n="1799,001,,,,7,16,5"></lb> Β τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ <lb n="1799,001,,,,7,16,6"></lb> ποιείτω· λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,7,16,7"></lb> ὁ Γ τῷ Δ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,16,8"></lb> Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,7,16,9"></lb> ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.</s> <s>μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,7,16,10"></lb> δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,7,16,11"></lb> μονάδας· ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ <lb n="1799,001,,,,7,16,12"></lb> ὁ Β τὸν Γ.</s> <s>ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Ε μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν <lb n="1799,001,,,,7,16,13"></lb> μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Γ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ὁ Β τὸν Α πολλα-<lb n="1799,001,,,,7,16,14"></lb> πλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ <lb n="1799,001,,,,7,16,15"></lb> τὰς ἐν τῷ Β μονάδας.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Β <lb n="1799,001,,,,7,16,16"></lb> κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Β <lb n="1799,001,,,,7,16,17"></lb> ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Δ.</s> <s>ἰσάκις δὲ ἡ Ε μονὰς τὸν Β <lb n="1799,001,,,,7,16,18"></lb> ἀριθμὸν ἐμέτρει καὶ ὁ Α τὸν Γ· ἰσάκις ἄρα ὁ Α ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,7,16,19"></lb> τῶν Γ, Δ μετρεῖ.</s> <s>ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ τῷ Δ· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,7,16,20"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,16,21"></lb> <s>Ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσας ποιῇ <lb n="1799,001,,,,7,17,1"></lb> τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖς <lb n="1799,001,,,,7,17,2"></lb> πολλαπλασιασθεῖσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,17,3"></lb> <s>Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α δύο ἀριθμοὺς τοὺς Β, Γ πολλα-<lb n="1799,001,,,,7,17,4"></lb> πλασιάσας τοὺς Δ, Ε ποιείτω· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Β <lb n="1799,001,,,,7,17,5"></lb> πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,17,6"></lb> Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,7,17,7"></lb> ὁ Β ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.</s> <s>μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,7,17,8"></lb> δὲ καὶ ἡ Ζ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονά-<lb n="1799,001,,,,7,17,9"></lb> δας· ἰσάκις ἄρα ἡ Ζ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β <lb n="1799,001,,,,7,17,10"></lb> τὸν Δ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ζ μονὰς πρὸς τὸν Α ἀριθμόν, οὕτως <lb n="1799,001,,,,7,17,11"></lb> ὁ Β πρὸς τὸν Δ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ Ζ μονὰς πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,17,12"></lb> τὸν Α ἀριθμόν, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ε· καὶ ὡς ἄρα ὁ Β <lb n="1799,001,,,,7,17,13"></lb> πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Ε.</s> <s>ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς <lb n="1799,001,,,,7,17,14"></lb> ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,17,15"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσαντες <lb n="1799,001,,,,7,18,1"></lb> ποιῶσί τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι <lb n="1799,001,,,,7,18,2"></lb> λόγον τοῖς πολλαπλασιάσασιν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,18,3"></lb> <s>Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν Γ πολλα-<lb n="1799,001,,,,7,18,4"></lb> πλασιάσαντες τοὺς Δ, Ε ποιείτωσαν· λέγω, ὅτι ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,7,18,5"></lb> ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε.</s> <lb n="1799,001,,,,7,18,6"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,7,18,7"></lb> καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.</s> <s>διὰ <lb n="1799,001,,,,7,18,8"></lb> τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίη-<lb n="1799,001,,,,7,18,9"></lb> κεν.</s> <s>ἀριθμὸς δὴ ὁ Γ δύο <lb n="1799,001,,,,7,18,10"></lb> ἀριθμοὺς τοὺς Α, Β πολλα-<lb n="1799,001,,,,7,18,11"></lb> πλασιάσας τοὺς Δ, Ε πεποίη-<lb n="1799,001,,,,7,18,12"></lb> κεν.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,18,13"></lb> τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,7,18,14"></lb> Ε· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,18,15"></lb> Ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ἐκ πρώτου καὶ <lb n="1799,001,,,,7,19,1"></lb> τετάρτου γενόμενος ἀριθμὸς ἴσος ἔσται τῷ ἐκ δευτέρου καὶ <lb n="1799,001,,,,7,19,2"></lb> τρίτου γενομένῳ ἀριθμῷ· καὶ ἐὰν ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρ-<lb n="1799,001,,,,7,19,3"></lb> του γενόμενος ἀριθμὸς ἴσος ᾖ τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου, <lb n="1799,001,,,,7,19,4"></lb> οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔσονται.</s> <lb n="1799,001,,,,7,19,5"></lb> <s>Ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνά- <lb n="1799,001,,,,7,19,6"></lb> λογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,19,7"></lb> τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, καὶ <lb n="1799,001,,,,7,19,8"></lb> ὁ μὲν Α τὸν Δ πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,7,19,9"></lb> τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Γ πολ-<lb n="1799,001,,,,7,19,10"></lb> λαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω· λέγω, <lb n="1799,001,,,,7,19,11"></lb> ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,19,12"></lb> <s>Ὁ γὰρ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,7,19,13"></lb> τὸν Η ποιείτω.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ὁ Α τὸν Γ <lb n="1799,001,,,,7,19,14"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,7,19,15"></lb> τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ἀριθμὸς δὴ ὁ <lb n="1799,001,,,,7,19,16"></lb> Α δύο ἀριθμοὺς τοὺς Γ, Δ πολλαπλασιάσας τοὺς Η, Ε <lb n="1799,001,,,,7,19,17"></lb> πεποίηκεν.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Η <lb n="1799,001,,,,7,19,18"></lb> πρὸς τὸν Ε.</s> <s>ἀλλ' ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,19,19"></lb> τὸν Β· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,7,19,20"></lb> Ε.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η πε-<lb n="1799,001,,,,7,19,21"></lb> ποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ <lb n="1799,001,,,,7,19,22"></lb> πεποίηκεν, δύο δὴ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν Γ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,19,23"></lb> πολλαπλασιάσαντες τοὺς Η, Ζ πεποιήκασιν.</s> <s>ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,19,24"></lb> ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ.</s> <s>ἀλλὰ μὴν καὶ <lb n="1799,001,,,,7,19,25"></lb> ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε· καὶ ὡς ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,19,26"></lb> ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ.</s> <s>ὁ Η ἄρα πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,19,27"></lb> ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴσος ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,7,19,28"></lb> ὁ Ε τῷ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,19,29"></lb> <s>Ἔστω δὴ πάλιν ἴσος ὁ Ε τῷ Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α <lb n="1799,001,,,,7,19,30"></lb> πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,19,31"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ <lb n="1799,001,,,,7,19,32"></lb> Ε τῷ Ζ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,19,33"></lb> τὸν Ζ.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,7,19,34"></lb> Δ, ὡς δὲ ὁ Η πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β.</s> <s>καὶ ὡς <lb n="1799,001,,,,7,19,35"></lb> ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,7,19,36"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,19,37"></lb> <s>Οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων <lb n="1799,001,,,,7,20,1"></lb> αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε <lb n="1799,001,,,,7,20,2"></lb> μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,20,3"></lb> Ἔστωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐ- <lb n="1799,001,,,,7,20,4"></lb> τὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β οἱ ΓΔ, ΕΖ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,7,20,5"></lb> ὅτι ἰσάκις ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν Β.</s> <lb n="1799,001,,,,7,20,6"></lb> <s>Ὁ ΓΔ γὰρ τοῦ Α οὔκ ἐστι μέρη.</s> <s>εἰ γὰρ δυνα-<lb n="1799,001,,,,7,20,7"></lb> τόν, ἔστω· καὶ ὁ ΕΖ ἄρα τοῦ Β τὰ αὐτὰ μέρη <lb n="1799,001,,,,7,20,8"></lb> ἐστίν, ἅπερ ὁ ΓΔ τοῦ Α.</s> <s>ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,7,20,9"></lb> ΓΔ μέρη τοῦ Α, τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΕΖ μέρη <lb n="1799,001,,,,7,20,10"></lb> τοῦ Β.</s> <s>διῃρήσθω ὁ μὲν ΓΔ εἰς τὰ τοῦ Α μέρη <lb n="1799,001,,,,7,20,11"></lb> τὰ ΓΗ, ΗΔ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τὰ τοῦ Β μέρη τὰ <lb n="1799,001,,,,7,20,12"></lb> ΕΘ, ΘΖ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΓΗ, <lb n="1799,001,,,,7,20,13"></lb> ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσοι <lb n="1799,001,,,,7,20,14"></lb> εἰσὶν οἱ ΓΗ, ΗΔ ἀριθμοὶ ἀλλήλοις, εἰσὶ δὲ καὶ <lb n="1799,001,,,,7,20,15"></lb> οἱ ΕΘ, ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,7,20,16"></lb> ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΓΗ, ΗΔ τῷ πλήθει τῶν <lb n="1799,001,,,,7,20,17"></lb> ΕΘ, ΘΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν ΕΘ, οὕτως ὁ <lb n="1799,001,,,,7,20,18"></lb> ΗΔ πρὸς τὸν ΘΖ.</s> <s>ἔσται ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων <lb n="1799,001,,,,7,20,19"></lb> πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,20,20"></lb> ἅπαντας τοὺς ἑπομένους.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,7,20,21"></lb> ΕΘ, οὕτως ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΕΖ· οἱ ΓΗ, ΕΘ ἄρα τοῖς <lb n="1799,001,,,,7,20,22"></lb> ΓΔ, ΕΖ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν ἐλάσσονες ὄντες αὐτῶν· <lb n="1799,001,,,,7,20,23"></lb> ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ὑπόκεινται γὰρ οἱ ΓΔ, ΕΖ ἐλά-<lb n="1799,001,,,,7,20,24"></lb> χιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.</s> <s>οὐκ ἄρα μέρη <lb n="1799,001,,,,7,20,25"></lb> ἐστὶν ὁ ΓΔ τοῦ Α· μέρος ἄρα.</s> <s>καὶ ὁ ΕΖ τοῦ Β τὸ αὐτὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,20,26"></lb> μέρος ἐστίν, ὅπερ ὁ ΓΔ τοῦ Α· ἰσάκις ἄρα ὁ ΓΔ τὸν Α <lb n="1799,001,,,,7,20,27"></lb> μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,20,28"></lb> <s>Οἱ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν <lb n="1799,001,,,,7,21,1"></lb> τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.</s> <lb n="1799,001,,,,7,21,2"></lb> <s>Ἔστωσαν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ <lb n="1799,001,,,,7,21,3"></lb> οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ἐλάχιστοί εἰσι <lb n="1799,001,,,,7,21,4"></lb> τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.</s> <lb n="1799,001,,,,7,21,5"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή, ἔσονταί τινες τῶν Α, Β ἐλάσ-<lb n="1799,001,,,,7,21,6"></lb> σονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες <lb n="1799,001,,,,7,21,7"></lb> τοῖς Α, Β.</s> <s>ἔστωσαν οἱ Γ, Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,21,8"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν <lb n="1799,001,,,,7,21,9"></lb> αὐτὸν λόγον ἐχόντων <ὐτοῖσ>μετροῦσι τοὺς <lb n="1799,001,,,,7,21,10"></lb> τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων <lb n="1799,001,,,,7,21,11"></lb> τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάττων τὸν ἐλάττονα, <lb n="1799,001,,,,7,21,12"></lb> τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος <lb n="1799,001,,,,7,21,13"></lb> τὸν ἑπόμενον, ἰσάκις ἄρα ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Β.</s> <lb n="1799,001,,,,7,21,14"></lb> <s>ὁσάκις δὴ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν <lb n="1799,001,,,,7,21,15"></lb> ἐν τῷ Ε.</s> <s>καὶ ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,21,16"></lb> μονάδας.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε <lb n="1799,001,,,,7,21,17"></lb> μονάδας, καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ <lb n="1799,001,,,,7,21,18"></lb> μονάδας.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁ Ε καὶ τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς <lb n="1799,001,,,,7,21,19"></lb> ἐν τῷ Δ μονάδας.</s> <s>ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους <lb n="1799,001,,,,7,21,20"></lb> ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,21,21"></lb> ἔσονταί τινες τῶν Α, Β ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,7,21,22"></lb> λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β.</s> <s>οἱ Α, Β ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν <lb n="1799,001,,,,7,21,23"></lb> αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,21,24"></lb> <s>Οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων <lb n="1799,001,,,,7,22,1"></lb> αὐτοῖς πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,22,2"></lb> <s>Ἔστωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον <lb n="1799,001,,,,7,22,3"></lb> ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,22,4"></lb> ἀλλήλους εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,22,5"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, <lb n="1799,001,,,,7,22,6"></lb> μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.</s> <s>μετρείτω, <lb n="1799,001,,,,7,22,7"></lb> καὶ ἔστω ὁ Γ.</s> <s>καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Γ τὸν <lb n="1799,001,,,,7,22,8"></lb> Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν <lb n="1799,001,,,,7,22,9"></lb> τῷ Δ, ὁσάκις δὲ ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, το-<lb n="1799,001,,,,7,22,10"></lb> σαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε.</s> <lb n="1799,001,,,,7,22,11"></lb> <s>Ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας, ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,7,22,12"></lb> ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.</s> <s>διὰ τὰ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,22,13"></lb> αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,22,14"></lb> <s>ἀριθμὸς δὴ ὁ Γ δύο ἀριθμοὺς τοὺς Δ, Ε πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,7,22,15"></lb> τοὺς Α, Β πεποίηκεν· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, <lb n="1799,001,,,,7,22,16"></lb> οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· οἱ Δ, Ε ἄρα τοῖς Α, Β ἐν τῷ αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,7,22,17"></lb> λόγῳ εἰσὶν ἐλάσσονες ὄντες αὐτῶν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <lb n="1799,001,,,,7,22,18"></lb> <s>οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει.</s> <s>οἱ <lb n="1799,001,,,,7,22,19"></lb> Α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,22,20"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ τὸν ἕνα <lb n="1799,001,,,,7,23,1"></lb> αὐτῶν μετρῶν ἀριθμὸς πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,7,23,2"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλ-<lb n="1799,001,,,,7,23,3"></lb> λήλους οἱ Α, Β, τὸν δὲ Α μετρείτω τις <lb n="1799,001,,,,7,23,4"></lb> ἀριθμὸς ὁ Γ· λέγω, ὅτι καὶ οἱ Γ, Β πρῶ-<lb n="1799,001,,,,7,23,5"></lb> τοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,23,6"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Γ, Β πρῶτοι πρὸς ἀλ-<lb n="1799,001,,,,7,23,7"></lb> λήλους, μετρήσει [τισ] τοὺς Γ, Β ἀριθμός.</s> <lb n="1799,001,,,,7,23,8"></lb> <s>μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ.</s> <s>ἐπεὶ ὁ Δ τὸν Γ <lb n="1799,001,,,,7,23,9"></lb> μετρεῖ, ὁ δὲ Γ τὸν Α μετρεῖ, καὶ ὁ Δ ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,23,10"></lb> τὸν Α μετρεῖ.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Β· ὁ Δ ἄρα τοὺς Α, Β <lb n="1799,001,,,,7,23,11"></lb> μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνα-<lb n="1799,001,,,,7,23,12"></lb> τον.</s> <s>οὐκ ἄρα τοὺς Γ, Β ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,7,23,13"></lb> <s>οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,23,14"></lb> Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν, καὶ <lb n="1799,001,,,,7,24,1"></lb> ὁ ἐξ αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν αὐτὸν πρῶτος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,7,24,2"></lb> <s>Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρός τινα <lb n="1799,001,,,,7,24,3"></lb> ἀριθμὸν τὸν Γ πρῶτοι ἔστωσαν, καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,7,24,4"></lb> Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· <lb n="1799,001,,,,7,24,5"></lb> λέγω, ὅτι οἱ Γ, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,7,24,6"></lb> λους εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,24,7"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Γ, Δ πρῶτοι πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,24,8"></lb> ἀλλήλους, μετρήσει [τισ] τοὺς Γ, Δ ἀριθ-<lb n="1799,001,,,,7,24,9"></lb> μός.</s> <s>μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,7,24,10"></lb> οἱ Γ, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, τὸν δὲ Γ μετρεῖ τις <lb n="1799,001,,,,7,24,11"></lb> ἀριθμὸς ὁ Ε, οἱ Α, Ε ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,24,12"></lb> <s>ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν <lb n="1799,001,,,,7,24,13"></lb> ἐν τῷ Ζ· καὶ ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονά-<lb n="1799,001,,,,7,24,14"></lb> δας.</s> <s>ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.</s> <s>ἀλλὰ <lb n="1799,001,,,,7,24,15"></lb> μὴν καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ἴσος <lb n="1799,001,,,,7,24,16"></lb> ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Ε, Ζ τῷ ἐκ τῶν Α, Β.</s> <s>ἐὰν δὲ ὁ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,7,24,17"></lb> τῶν ἄκρων ἴσος ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ <lb n="1799,001,,,,7,24,18"></lb> ἀνάλογόν εἰσιν· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β <lb n="1799,001,,,,7,24,19"></lb> πρὸς τὸν Ζ.</s> <s>οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, <lb n="1799,001,,,,7,24,20"></lb> οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων <lb n="1799,001,,,,7,24,21"></lb> αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,7,24,22"></lb> ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,24,23"></lb> τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος <lb n="1799,001,,,,7,24,24"></lb> τὸν ἑπόμενον· ὁ Ε ἄρα τὸν Β μετρεῖ.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· <lb n="1799,001,,,,7,24,25"></lb> ὁ Ε ἄρα τοὺς Β, Γ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· <lb n="1799,001,,,,7,24,26"></lb> ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα τοὺς Γ, Δ ἀριθμοὺς ἀριθμός <lb n="1799,001,,,,7,24,27"></lb> τις μετρήσει.</s> <s>οἱ Γ, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· <lb n="1799,001,,,,7,24,28"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,24,29"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ ἐκ τοῦ <lb n="1799,001,,,,7,25,1"></lb> ἑνὸς αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,7,25,2"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,7,25,3"></lb> λους οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιά-<lb n="1799,001,,,,7,25,4"></lb> σας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Β, Γ πρῶ-<lb n="1799,001,,,,7,25,5"></lb> τοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,25,6"></lb> <s>Κείσθω γὰρ τῷ Α ἴσος ὁ Δ.</s> <s>ἐπεὶ οἱ Α, Β <lb n="1799,001,,,,7,25,7"></lb> πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἴσος δὲ ὁ Α τῷ <lb n="1799,001,,,,7,25,8"></lb> Δ, καὶ οἱ Δ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰ-<lb n="1799,001,,,,7,25,9"></lb> σίν.</s> <s>ἑκάτερος ἄρα τῶν Δ, Α πρὸς τὸν Β πρῶτός ἐστιν· <lb n="1799,001,,,,7,25,10"></lb> καὶ ὁ ἐκ τῶν Δ, Α ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Β πρῶτος <lb n="1799,001,,,,7,25,11"></lb> ἔσται.</s> <s>ὁ δὲ ἐκ τῶν Δ, Α γενόμενος ἀριθμός ἐστιν ὁ Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,25,12"></lb> <s>οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,25,13"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς δύο ἀριθμοὺς ἀμφότεροι πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,26,1"></lb> ἑκάτερον πρῶτοι ὦσιν, καὶ οἱ ἐξ αὐτῶν γενόμενοι πρῶτοι <lb n="1799,001,,,,7,26,2"></lb> πρὸς ἀλλήλους ἔσονται.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,26,3"></lb> Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς δύο ἀριθμοὺς τοὺς <lb n="1799,001,,,,7,26,4"></lb> Γ, Δ ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοι ἔστωσαν, καὶ ὁ μὲν <lb n="1799,001,,,,7,26,5"></lb> Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Γ τὸν Δ <lb n="1799,001,,,,7,26,6"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Ε, Ζ πρῶτοι <lb n="1799,001,,,,7,26,7"></lb> πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,26,8"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερος τῶν Α, Β πρὸς τὸν Γ πρῶτός ἐστιν, <lb n="1799,001,,,,7,26,9"></lb> καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Β ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν Γ πρῶτος <lb n="1799,001,,,,7,26,10"></lb> ἔσται.</s> <s>ὁ δὲ ἐκ τῶν Α, Β γενόμενός ἐστιν ὁ Ε· οἱ Ε, Γ ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,26,11"></lb> πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ Δ, Ε <lb n="1799,001,,,,7,26,12"></lb> πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s>ἑκάτερος ἄρα τῶν Γ, Δ <lb n="1799,001,,,,7,26,13"></lb> πρὸς τὸν Ε πρῶτός ἐστιν.</s> <s>καὶ ὁ ἐκ τῶν Γ, Δ ἄρα γενόμενος <lb n="1799,001,,,,7,26,14"></lb> πρὸς τὸν Ε πρῶτος ἔσται.</s> <s>ὁ δὲ ἐκ τῶν Γ, Δ γενόμενός <lb n="1799,001,,,,7,26,15"></lb> ἐστιν ὁ Ζ.</s> <s>οἱ Ε, Ζ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,7,26,16"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,26,17"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ <lb n="1799,001,,,,7,27,1"></lb> πολλαπλασιάσας ἑκάτερος ἑαυτὸν ποιῇ τινα, οἱ γενόμενοι <lb n="1799,001,,,,7,27,2"></lb> ἐξ αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται, κἂν οἱ ἐξ ἀρχῆς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,27,3"></lb> τοὺς γενομένους πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, κἀ-<lb n="1799,001,,,,7,27,4"></lb> κεῖνοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται [καὶ ἀεὶ περὶ τοὺς <lb n="1799,001,,,,7,27,5"></lb> ἄκρους τοῦτο συμβαίνει].</s> <lb n="1799,001,,,,7,27,6"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, <lb n="1799,001,,,,7,27,7"></lb> Β, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω, <lb n="1799,001,,,,7,27,8"></lb> τὸν δὲ Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω, ὁ δὲ Β ἑαυτὸν <lb n="1799,001,,,,7,27,9"></lb> μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, τὸν δὲ Ε πολλαπλα-<lb n="1799,001,,,,7,27,10"></lb> σιάσας τὸν Ζ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἵ τε Γ, Ε καὶ οἱ Δ, Ζ <lb n="1799,001,,,,7,27,11"></lb> πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,27,12"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,7,27,13"></lb> εἰσίν, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν <lb n="1799,001,,,,7,27,14"></lb> Γ πεποίηκεν, οἱ Γ, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,27,15"></lb> ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s>ἐπεὶ οὖν οἱ Γ, Β πρῶτοι <lb n="1799,001,,,,7,27,16"></lb> πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολ-<lb n="1799,001,,,,7,27,17"></lb> λαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, οἱ Γ, Ε <lb n="1799,001,,,,7,27,18"></lb> ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s>πάλιν, <lb n="1799,001,,,,7,27,19"></lb> ἐπεὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, <lb n="1799,001,,,,7,27,20"></lb> καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, οἱ Α, Ε <lb n="1799,001,,,,7,27,21"></lb> ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s>ἐπεὶ οὖν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, <lb n="1799,001,,,,7,27,22"></lb> Γ πρὸς δύο ἀριθμοὺς τοὺς Β, Ε ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,27,23"></lb> πρῶτοί εἰσιν, καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Γ ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν ἐκ <lb n="1799,001,,,,7,27,24"></lb> τῶν Β, Ε πρῶτός ἐστιν.</s> <s>καί ἐστιν ὁ μὲν ἐκ τῶν Α, Γ ὁ Δ, <lb n="1799,001,,,,7,27,25"></lb> ὁ δὲ ἐκ τῶν Β, Ε ὁ Ζ.</s> <s>οἱ Δ, Ζ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,7,27,26"></lb> εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,27,27"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ <lb n="1799,001,,,,7,28,1"></lb> συναμφότερος πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν πρῶτος ἔσται· καὶ <lb n="1799,001,,,,7,28,2"></lb> ἐὰν συναμφότερος πρὸς ἕνα τινὰ αὐτῶν πρῶτος ᾖ, καὶ οἱ <lb n="1799,001,,,,7,28,3"></lb> ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται.</s> <lb n="1799,001,,,,7,28,4"></lb> <s>Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,7,28,5"></lb> οἱ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ ΑΓ πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,28,6"></lb> ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ πρῶτός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,28,7"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΓΑ, ΑΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, <lb n="1799,001,,,,7,28,8"></lb> μετρήσει τις τοὺς ΓΑ, ΑΒ ἀριθμός.</s> <s>μετρείτω, καὶ <lb n="1799,001,,,,7,28,9"></lb> ἔστω ὁ Δ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τοὺς ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν <lb n="1799,001,,,,7,28,10"></lb> ἄρα τὸν ΒΓ μετρήσει.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΒΑ· ὁ Δ ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,28,11"></lb> τοὺς ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· <lb n="1799,001,,,,7,28,12"></lb> ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα τοὺς ΓΑ, ΑΒ ἀριθμοὺς <lb n="1799,001,,,,7,28,13"></lb> ἀριθμός τις μετρήσει· οἱ ΓΑ, ΑΒ ἄρα πρῶτοι πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,28,14"></lb> ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,7,28,15"></lb> οἱ ΑΓ, ΓΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,7,28,16"></lb> εἰσίν.</s> <s>ὁ ΓΑ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν <lb n="1799,001,,,,7,28,17"></lb> ΑΒ, ΒΓ πρῶτός ἐστιν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,28,18"></lb> Ἔστωσαν δὴ πάλιν οἱ ΓΑ, ΑΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους· <lb n="1799,001,,,,7,28,19"></lb> λέγω, ὅτι καὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,28,20"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΑΒ, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, <lb n="1799,001,,,,7,28,21"></lb> μετρήσει τις τοὺς ΑΒ, ΒΓ ἀριθμός.</s> <s>μετρείτω, καὶ ἔστω <lb n="1799,001,,,,7,28,22"></lb> ὁ Δ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον <lb n="1799,001,,,,7,28,23"></lb> ἄρα τὸν ΓΑ μετρήσει.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΑΒ· ὁ Δ ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,28,24"></lb> τοὺς ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,7,28,25"></lb> ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΒΓ ἀριθμοὺς ἀριθμός <lb n="1799,001,,,,7,28,26"></lb> τις μετρήσει.</s> <s>οἱ ΑΒ, ΒΓ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,7,28,27"></lb> εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,28,28"></lb> <s>Ἅπας πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα ἀριθμόν, ὃν μὴ <lb n="1799,001,,,,7,29,1"></lb> μετρεῖ, πρῶτός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,29,2"></lb> <s>Ἔστω πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Α καὶ τὸν Β μὴ μετρείτω· <lb n="1799,001,,,,7,29,3"></lb> λέγω, ὅτι οἱ Β, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,29,4"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Β, Α πρῶτοι <lb n="1799,001,,,,7,29,5"></lb> πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς <lb n="1799,001,,,,7,29,6"></lb> ἀριθμός.</s> <s>μετρείτω ὁ Γ.</s> <s>ἐπεὶ ὁ Γ τὸν <lb n="1799,001,,,,7,29,7"></lb> Β μετρεῖ, ὁ δὲ Α τὸν Β οὐ μετρεῖ, ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,7,29,8"></lb> ἄρα τῷ Α οὔκ ἐστιν ὁ αὐτός.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,7,29,9"></lb> ὁ Γ τοὺς Β, Α μετρεῖ, καὶ τὸν Α ἄρα μετρεῖ πρῶτον ὄντα <lb n="1799,001,,,,7,29,10"></lb> μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα τοὺς <lb n="1799,001,,,,7,29,11"></lb> Β, Α μετρήσει τις ἀριθμός.</s> <s>οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,29,12"></lb> ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,29,13"></lb> Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί <lb n="1799,001,,,,7,30,1"></lb> τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος <lb n="1799,001,,,,7,30,2"></lb> ἀριθμός, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,7,30,3"></lb> <s>Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πολ- <lb n="1799,001,,,,7,30,4"></lb> λαπλασιάσαντες ἀλλήλους τὸν Γ <lb n="1799,001,,,,7,30,5"></lb> ποιείτωσαν, τὸν δὲ Γ μετρείτω τις <lb n="1799,001,,,,7,30,6"></lb> πρῶτος ἀριθμὸς ὁ Δ· λέγω, ὅτι ὁ <lb n="1799,001,,,,7,30,7"></lb> Δ ἕνα τῶν Α, Β μετρεῖ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,30,8"></lb> <s>Τὸν γὰρ Α μὴ μετρείτω· καί <lb n="1799,001,,,,7,30,9"></lb> ἐστι πρῶτος ὁ Δ· οἱ Α, Δ ἄρα πρῶ-<lb n="1799,001,,,,7,30,10"></lb> τοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s>καὶ ὁσάκις ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ, το-<lb n="1799,001,,,,7,30,11"></lb> σαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Γ <lb n="1799,001,,,,7,30,12"></lb> μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολ-<lb n="1799,001,,,,7,30,13"></lb> λαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.</s> <s>ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν <lb n="1799,001,,,,7,30,14"></lb> Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ <lb n="1799,001,,,,7,30,15"></lb> τῶν Δ, Ε τῷ ἐκ τῶν Α, Β.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Α, <lb n="1799,001,,,,7,30,16"></lb> οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Ε.</s> <s>οἱ δὲ Δ, Α πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι <lb n="1799,001,,,,7,30,17"></lb> καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν <lb n="1799,001,,,,7,30,18"></lb> λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,7,30,19"></lb> ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν <lb n="1799,001,,,,7,30,20"></lb> ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· ὁ Δ ἄρα τὸν <lb n="1799,001,,,,7,30,21"></lb> Β μετρεῖ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐὰν τὸν Β μὴ μετρῇ, <lb n="1799,001,,,,7,30,22"></lb> τὸν Α μετρήσει.</s> <s>ὁ Δ ἄρα ἕνα τῶν Α, Β μετρεῖ· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,7,30,23"></lb> δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,30,24"></lb> Ἅπας σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ <lb n="1799,001,,,,7,31,1"></lb> μετρεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,7,31,2"></lb> <s>Ἔστω σύνθετος ἀριθμὸς ὁ Α· λέγω, ὅτι ὁ Α ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,7,31,3"></lb> πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,7,31,4"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ σύνθετός ἐστιν ὁ Α, μετρήσει <lb n="1799,001,,,,7,31,5"></lb> τις αὐτὸν ἀριθμός.</s> <s>μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ <lb n="1799,001,,,,7,31,6"></lb> Β.</s> <s>καὶ εἰ μὲν πρῶτός ἐστιν ὁ Β, γεγονὸς <lb n="1799,001,,,,7,31,7"></lb> ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν.</s> <s>εἰ δὲ σύνθετος, με-<lb n="1799,001,,,,7,31,8"></lb> τρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός.</s> <s>μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Γ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,7,31,9"></lb> ὁ Γ τὸν Β μετρεῖ, ὁ δὲ Β τὸν Α μετρεῖ, καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Α <lb n="1799,001,,,,7,31,10"></lb> μετρεῖ.</s> <s>καὶ εἰ μὲν πρῶτός ἐστιν ὁ Γ, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ <lb n="1799,001,,,,7,31,11"></lb> ἐπιταχθέν.</s> <s>εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν ἀριθμός.</s> <lb n="1799,001,,,,7,31,12"></lb> <s>τοιαύτης δὴ γινομένης ἐπισκέψεως ληφθήσεταί τις πρῶτος <lb n="1799,001,,,,7,31,13"></lb> ἀριθμός, ὃς μετρήσει.</s> <s>εἰ γὰρ οὐ ληφθήσεται, μετρήσουσι <lb n="1799,001,,,,7,31,14"></lb> τὸν Α ἀριθμὸν ἄπειροι ἀριθμοί, ὧν ἕτερος ἑτέρου ἐλάσσων <lb n="1799,001,,,,7,31,15"></lb> ἐστίν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἐν ἀριθμοῖς.</s> <s>ληφθήσεταί τις <lb n="1799,001,,,,7,31,16"></lb> ἄρα πρῶτος ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ὃς καὶ <lb n="1799,001,,,,7,31,17"></lb> τὸν Α μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,7,31,18"></lb> <s>Ἅπας ἄρα σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ <lb n="1799,001,,,,7,31,19"></lb> μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,31,20"></lb> Ἅπας ἀριθμὸς ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς <lb n="1799,001,,,,7,32,1"></lb> ἀριθμοῦ μετρεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,7,32,2"></lb> <s>Ἔστω ἀριθμὸς ὁ Α· λέγω, ὅτι ὁ Α ἤτοι πρῶτός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,7,32,3"></lb> ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,7,32,4"></lb> <s>Εἰ μὲν οὖν πρῶτός ἐστιν ὁ Α, γεγονὸς ἂν εἴη <lb n="1799,001,,,,7,32,5"></lb> τὸ ἐπιταχθέν.</s> <s>εἰ δὲ σύνθετος, μετρήσει τις αὐτὸν <lb n="1799,001,,,,7,32,6"></lb> πρῶτος ἀριθμός.</s> <lb n="1799,001,,,,7,32,7"></lb> <s>Ἅπας ἄρα ἀριθμὸς ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,7,32,8"></lb> πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,32,9"></lb> <s>Ἀριθμῶν δοθέντων ὁποσωνοῦν εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους <lb n="1799,001,,,,7,33,1"></lb> τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.</s> <lb n="1799,001,,,,7,33,2"></lb> <s>Ἔστωσαν οἱ δοθέντες ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· <lb n="1799,001,,,,7,33,3"></lb> δεῖ δὴ εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων <lb n="1799,001,,,,7,33,4"></lb> τοῖς Α, Β, Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,33,5"></lb> <s>Οἱ Α, Β, Γ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν <lb n="1799,001,,,,7,33,6"></lb> ἢ οὔ.</s> <s>εἰ μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, <lb n="1799,001,,,,7,33,7"></lb> ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,33,8"></lb> Εἰ δὲ οὔ, εἰλήφθω τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν <lb n="1799,001,,,,7,33,9"></lb> μέτρον ὁ Δ, καὶ ὁσάκις ὁ Δ ἕκαστον τῶν Α, Β, Γ μετρεῖ, <lb n="1799,001,,,,7,33,10"></lb> τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν ἑκάστῳ τῶν Ε, Ζ, Η.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,7,33,11"></lb> ἕκαστος ἄρα τῶν Ε, Ζ, Η ἕκαστον τῶν Α, Β, Γ μετρεῖ κατὰ <lb n="1799,001,,,,7,33,12"></lb> τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας.</s> <s>οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,7,33,13"></lb> μετροῦσιν· οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα τοῖς Α, Β, Γ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ <lb n="1799,001,,,,7,33,14"></lb> εἰσίν.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι.</s> <s>εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Ε, <lb n="1799,001,,,,7,33,15"></lb> Ζ, Η ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, <lb n="1799,001,,,,7,33,16"></lb> Γ, ἔσονται [τινεσ] τῶν Ε, Ζ, Η ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν <lb n="1799,001,,,,7,33,17"></lb> τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β, Γ.</s> <s>ἔστωσαν οἱ Θ, Κ, Λ· <lb n="1799,001,,,,7,33,18"></lb> ἰσάκις ἄρα ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ καὶ ἑκάτερος τῶν Κ, Λ <lb n="1799,001,,,,7,33,19"></lb> ἑκάτερον τῶν Β, Γ.</s> <s>ὁσάκις δὲ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται <lb n="1799,001,,,,7,33,20"></lb> μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Μ· καὶ ἑκάτερος ἄρα τῶν Κ, Λ <lb n="1799,001,,,,7,33,21"></lb> ἑκάτερον τῶν Β, Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας.</s> <lb n="1799,001,,,,7,33,22"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας, <lb n="1799,001,,,,7,33,23"></lb> καὶ ὁ Μ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Θ μονάδας.</s> <s>διὰ <lb n="1799,001,,,,7,33,24"></lb> τὰ αὐτὰ δὴ ὁ Μ καὶ ἑκάτερον τῶν Β, Γ μετρεῖ κατὰ τὰς <lb n="1799,001,,,,7,33,25"></lb> ἐν ἑκατέρῳ τῶν Κ, Λ μονάδας· ὁ Μ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ <lb n="1799,001,,,,7,33,26"></lb> μετρεῖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ <lb n="1799,001,,,,7,33,27"></lb> μονάδας, ὁ Θ ἄρα τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,33,28"></lb> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α <lb n="1799,001,,,,7,33,29"></lb> πεποίηκεν.</s> <s>ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Ε, Δ τῷ ἐκ τῶν Θ, <lb n="1799,001,,,,7,33,30"></lb> Μ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Μ πρὸς τὸν Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,33,31"></lb> <s>μείζων δὲ ὁ Ε τοῦ Θ· μείζων ἄρα καὶ ὁ Μ τοῦ Δ.</s> <s>καὶ μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,7,33,32"></lb> τοὺς Α, Β, Γ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,7,33,33"></lb> τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἔσονταί <lb n="1799,001,,,,7,33,34"></lb> τινες τῶν Ε, Ζ, Η ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,33,35"></lb> ὄντες τοῖς Α, Β, Γ.</s> <s>οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν <lb n="1799,001,,,,7,33,36"></lb> τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,33,37"></lb> <s>Δύο ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν <lb n="1799,001,,,,7,34,1"></lb> ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,34,2"></lb> <s>Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· δεῖ δὴ <lb n="1799,001,,,,7,34,3"></lb> εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,34,4"></lb> <s>Οἱ Α, Β γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,34,5"></lb> <s>ἔστωσαν πρότερον οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ <lb n="1799,001,,,,7,34,6"></lb> ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· καὶ ὁ Β ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,34,7"></lb> τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.</s> <s>οἱ Α, Β ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,34,8"></lb> τὸν Γ μετροῦσιν.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον.</s> <s>εἰ γὰρ μή, <lb n="1799,001,,,,7,34,9"></lb> μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α, Β ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,34,10"></lb> <s>μετρείτωσαν τὸν Δ.</s> <s>καὶ ὁσάκις ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται <lb n="1799,001,,,,7,34,11"></lb> μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε, ὁσάκις δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ, <lb n="1799,001,,,,7,34,12"></lb> τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ· ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Ε <lb n="1799,001,,,,7,34,13"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β τὸν Ζ πολλα-<lb n="1799,001,,,,7,34,14"></lb> πλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, <lb n="1799,001,,,,7,34,15"></lb> Ε τῷ ἐκ τῶν Β, Ζ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως <lb n="1799,001,,,,7,34,16"></lb> ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε.</s> <s>οἱ δὲ Α, Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,34,17"></lb> ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον <lb n="1799,001,,,,7,34,18"></lb> ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν <lb n="1799,001,,,,7,34,19"></lb> ἐλάσσονα· ὁ Β ἄρα τὸν Ε μετρεῖ, ὡς ἑπόμενος ἑπόμενον.</s> <lb n="1799,001,,,,7,34,20"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Β, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Γ, Δ πε-<lb n="1799,001,,,,7,34,21"></lb> ποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,7,34,22"></lb> τὸν Δ.</s> <s>μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Ε· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ <lb n="1799,001,,,,7,34,23"></lb> ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,34,24"></lb> οἱ Α, Β μετροῦσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ.</s> <s>ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,7,34,25"></lb> ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β μετρεῖται. <lb n="1799,001,,,,7,34,26"></lb> Μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ <lb n="1799,001,,,,7,34,27"></lb> εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον <lb n="1799,001,,,,7,34,28"></lb> ἐχόντων τοῖς Α, Β οἱ Ζ, Ε· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Ε <lb n="1799,001,,,,7,34,29"></lb> τῷ ἐκ τῶν Β, Ζ.</s> <s>καὶ ὁ Α τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ <lb n="1799,001,,,,7,34,30"></lb> ποιείτω· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Γ <lb n="1799,001,,,,7,34,31"></lb> πεποίηκεν· οἱ Α, Β ἄρα τὸν Γ μετροῦσιν.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,7,34,32"></lb> ἐλάχιστον.</s> <s>εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α, Β <lb n="1799,001,,,,7,34,33"></lb> ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ.</s> <s>μετρείτωσαν τὸν Δ.</s> <s>καὶ ὁσάκις <lb n="1799,001,,,,7,34,34"></lb> μὲν ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,34,35"></lb> τῷ Η, ὁσάκις δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες <lb n="1799,001,,,,7,34,36"></lb> ἔστωσαν ἐν τῷ Θ.</s> <s>ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,7,34,37"></lb> τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Δ <lb n="1799,001,,,,7,34,38"></lb> πεποίηκεν.</s> <s>ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α, Η τῷ ἐκ τῶν Β, Θ· <lb n="1799,001,,,,7,34,39"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η.</s> <lb n="1799,001,,,,7,34,40"></lb> <s>ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε· καὶ ὡς <lb n="1799,001,,,,7,34,41"></lb> ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η.</s> <s>οἱ δὲ Ζ, <lb n="1799,001,,,,7,34,42"></lb> Ε ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν <lb n="1799,001,,,,7,34,43"></lb> λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,7,34,44"></lb> ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα· ὁ Ε ἄρα τὸν Η μετρεῖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,7,34,45"></lb> ὁ Α τοὺς Ε, Η πολλαπλασιάσας τοὺς Γ, Δ πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,7,34,46"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,34,47"></lb> <s>ὁ δὲ Ε τὸν Η μετρεῖ· καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων <lb n="1799,001,,,,7,34,48"></lb> τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα οἱ Α, Β <lb n="1799,001,,,,7,34,49"></lb> μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ.</s> <s>ὁ Γ ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,34,50"></lb> ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,34,51"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα μετρῶσιν, καὶ ὁ ἐλάχιστος <lb n="1799,001,,,,7,35,1"></lb> ὑπ' αὐτῶν μετρούμενος τὸν αὐτὸν μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,7,35,2"></lb> <s>Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν ΓΔ μετρεί-<lb n="1799,001,,,,7,35,3"></lb> τωσαν, ἐλάχιστον δὲ τὸν Ε· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Ε τὸν ΓΔ <lb n="1799,001,,,,7,35,4"></lb> μετρεῖ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,35,5"></lb> Εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ, ὁ Ε τὸν ΔΖ μετρῶν <lb n="1799,001,,,,7,35,6"></lb> λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΓΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν <lb n="1799,001,,,,7,35,7"></lb> Ε μετροῦσιν, ὁ δὲ Ε τὸν ΔΖ μετρεῖ, καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν <lb n="1799,001,,,,7,35,8"></lb> ΔΖ μετρήσουσιν.</s> <s>μετροῦσι δὲ καὶ ὅλον τὸν ΓΔ· καὶ <lb n="1799,001,,,,7,35,9"></lb> λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσουσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε· <lb n="1799,001,,,,7,35,10"></lb> ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ· <lb n="1799,001,,,,7,35,11"></lb> μετρεῖ ἄρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,35,12"></lb> <s>Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦ-<lb n="1799,001,,,,7,36,1"></lb> σιν ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,7,36,2"></lb> <s>Ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· δεῖ <lb n="1799,001,,,,7,36,3"></lb> δὴ εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν. <lb n="1799,001,,,,7,36,4"></lb> Εἰλήφθω γὰρ ὑπὸ δύο τῶν Α, Β ἐλάχιστος μετρούμενος <lb n="1799,001,,,,7,36,5"></lb> ὁ Δ.</s> <s>ὁ δὴ Γ τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.</s> <s>μετρείτω <lb n="1799,001,,,,7,36,6"></lb> πρότερον.</s> <s>μετροῦσι δὲ καὶ οἱ Α, Β τὸν Δ· οἱ Α, Β, Γ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,36,7"></lb> ἄρα τὸν Δ μετροῦσιν.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον.</s> <s>εἰ γὰρ <lb n="1799,001,,,,7,36,8"></lb> μή, μετρήσουσιν [τινα] ἀριθμὸν οἱ Α, Β, Γ ἐλάσσονα ὄντα <lb n="1799,001,,,,7,36,9"></lb> τοῦ Δ.</s> <s>μετρείτωσαν τὸν Ε.</s> <s>ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ τὸν Ε μετροῦσιν, <lb n="1799,001,,,,7,36,10"></lb> καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν.</s> <s>καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,36,11"></lb> ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενος [τὸν Ε] μετρήσει.</s> <s>ἐλάχιστος <lb n="1799,001,,,,7,36,12"></lb> δὲ ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ· ὁ Δ ἄρα τὸν Ε <lb n="1799,001,,,,7,36,13"></lb> μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <lb n="1799,001,,,,7,36,14"></lb> <s>οὐκ ἄρα οἱ Α, Β, Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα <lb n="1799,001,,,,7,36,15"></lb> ὄντα τοῦ Δ· οἱ Α, Β, Γ ἄρα ἐλάχιστον τὸν Δ μετροῦσιν. <lb n="1799,001,,,,7,36,16"></lb> Μὴ μετρείτω δὴ πάλιν ὁ Γ τὸν Δ, καὶ εἰλήφθω ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,7,36,17"></lb> τῶν Γ, Δ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Ε.</s> <s>ἐπεὶ οἱ <lb n="1799,001,,,,7,36,18"></lb> Α, Β τὸν Δ μετροῦσιν, ὁ δὲ Δ τὸν Ε μετρεῖ, καὶ οἱ Α, Β <lb n="1799,001,,,,7,36,19"></lb> ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ [τὸν Ε· καὶ] οἱ <lb n="1799,001,,,,7,36,20"></lb> Α, Β, Γ ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον.</s> <lb n="1799,001,,,,7,36,21"></lb> <s>εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα οἱ Α, Β, Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,36,22"></lb> Ε.</s> <s>μετρείτωσαν τὸν Ζ.</s> <s>ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ τὸν Ζ μετροῦσιν, <lb n="1799,001,,,,7,36,23"></lb> καὶ οἱ Α, Β ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν· καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,36,24"></lb> ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει.</s> <s>ἐλάχιστος <lb n="1799,001,,,,7,36,25"></lb> δὲ ὑπὸ τῶν Α, Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ· ὁ Δ ἄρα τὸν Ζ <lb n="1799,001,,,,7,36,26"></lb> μετρεῖ.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ τὸν Ζ· οἱ Δ, Γ ἄρα τὸν Ζ <lb n="1799,001,,,,7,36,27"></lb> μετροῦσιν· ὥστε καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Δ, Γ μετρού-<lb n="1799,001,,,,7,36,28"></lb> μενος τὸν Ζ μετρήσει.</s> <s>ὁ δὲ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Γ, Δ <lb n="1799,001,,,,7,36,29"></lb> μετρούμενός ἐστιν ὁ Ε· ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ ὁ μείζων <lb n="1799,001,,,,7,36,30"></lb> τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα οἱ Α, Β, Γ <lb n="1799,001,,,,7,36,31"></lb> μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε.</s> <s>ὁ Ε ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,36,32"></lb> ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ μετρεῖται· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,7,36,33"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,36,34"></lb> <s>Ἐὰν ἀριθμὸς ὑπό τινος ἀριθμοῦ μετρῆται, ὁ μετρούμενος <lb n="1799,001,,,,7,37,1"></lb> ὁμώνυμον μέρος ἕξει τῷ μετροῦντι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,37,2"></lb> <s>Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ὑπό τινος ἀριθμοῦ τοῦ Β μετρείσθω· <lb n="1799,001,,,,7,37,3"></lb> λέγω, ὅτι ὁ Α ὁμώνυμον μέρος ἔχει τῷ Β. <lb n="1799,001,,,,7,37,4"></lb> Ὁσάκις γὰρ ὁ Β τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες <lb n="1799,001,,,,7,37,5"></lb> ἔστωσαν ἐν τῷ Γ.</s> <s>ἐπεὶ ὁ Β τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,7,37,6"></lb> Γ μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν κατὰ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,37,7"></lb> τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν <lb n="1799,001,,,,7,37,8"></lb> μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Α.</s> <s>ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Δ μονὰς τὸν Β <lb n="1799,001,,,,7,37,9"></lb> ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Γ τὸν Α· ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ Δ <lb n="1799,001,,,,7,37,10"></lb> μονὰς τοῦ Β ἀριθμοῦ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Α.</s> <lb n="1799,001,,,,7,37,11"></lb> <s>ἡ δὲ Δ μονὰς τοῦ Β ἀριθμοῦ μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον αὐτῷ· <lb n="1799,001,,,,7,37,12"></lb> καὶ ὁ Γ ἄρα τοῦ Α μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον τῷ Β.</s> <s>ὥστε ὁ Α <lb n="1799,001,,,,7,37,13"></lb> μέρος ἔχει τὸν Γ ὁμώνυμον ὄντα τῷ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,7,37,14"></lb> <s>Ἐὰν ἀριθμὸς μέρος ἔχῃ ὁτιοῦν, ὑπὸ ὁμωνύμου ἀριθμοῦ <lb n="1799,001,,,,7,38,1"></lb> μετρηθήσεται τῷ μέρει. <lb n="1799,001,,,,7,38,2"></lb> Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α μέρος ἐχέτω ὁτιοῦν τὸν Β, καὶ τῷ Β <lb n="1799,001,,,,7,38,3"></lb> μέρει ὁμώνυμος ἔστω [ἀριθμὸσ] ὁ Γ· λέγω, ὅτι ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,7,38,4"></lb> τὸν Α μετρεῖ.</s> <lb n="1799,001,,,,7,38,5"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ὁ Β τοῦ Α μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον τῷ Γ, ἔστι <lb n="1799,001,,,,7,38,6"></lb> δὲ καὶ ἡ Δ μονὰς τοῦ Γ μέρος ὁμώνυμον αὐτῷ, ὃ ἄρα μέρος <lb n="1799,001,,,,7,38,7"></lb> ἐστὶν ἡ Δ μονὰς τοῦ Γ ἀριθμοῦ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,7,38,8"></lb> Β τοῦ Α· ἰσάκις ἄρα ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ <lb n="1799,001,,,,7,38,9"></lb> ὁ Β τὸν Α.</s> <s>ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Δ μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν <lb n="1799,001,,,,7,38,10"></lb> μετρεῖ καὶ ὁ Γ τὸν Α.</s> <s>ὁ Γ ἄρα τὸν Α μετρεῖ· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,7,38,11"></lb> δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,38,12"></lb> Ἀριθμὸν εὑρεῖν, ὃς ἐλάχιστος ὢν ἕξει τὰ δοθέντα μέρη.</s> <lb n="1799,001,,,,7,39,1"></lb> <s>Ἔστω τὰ δοθέντα μέρη τὰ Α, Β, Γ· δεῖ δὴ ἀριθμὸν <lb n="1799,001,,,,7,39,2"></lb> εὑρεῖν, ὃς ἐλάχιστος ὢν ἕξει τὰ Α, Β, Γ μέρη.</s> <lb n="1799,001,,,,7,39,3"></lb> <s>Ἔστωσαν γὰρ τοῖς Α, Β, Γ <lb n="1799,001,,,,7,39,4"></lb> μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀριθμοὶ οἱ Δ, <lb n="1799,001,,,,7,39,5"></lb> Ε, Ζ, καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Δ, <lb n="1799,001,,,,7,39,6"></lb> Ε, Ζ ἐλάχιστος μετρούμενος <lb n="1799,001,,,,7,39,7"></lb> ἀριθμὸς ὁ Η.</s> <lb n="1799,001,,,,7,39,8"></lb> <s>Ὁ Η ἄρα ὁμώνυμα μέρη ἔχει <lb n="1799,001,,,,7,39,9"></lb> τοῖς Δ, Ε, Ζ.</s> <s>τοῖς δὲ Δ, Ε, Ζ <lb n="1799,001,,,,7,39,10"></lb> ὁμώνυμα μέρη ἐστὶ τὰ Α, Β, Γ· <lb n="1799,001,,,,7,39,11"></lb> ὁ Η ἄρα ἔχει τὰ Α, Β, Γ μέρη.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστος <lb n="1799,001,,,,7,39,12"></lb> ὤν.</s> <s>εἰ γὰρ μή, ἔσται τις τοῦ Η ἐλάσσων ἀριθμός, ὃς ἕξει <lb n="1799,001,,,,7,39,13"></lb> τὰ Α, Β, Γ μέρη.</s> <s>ἔστω ὁ Θ.</s> <s>ἐπεὶ ὁ Θ ἔχει τὰ Α, Β, Γ μέρη, <lb n="1799,001,,,,7,39,14"></lb> ὁ Θ ἄρα ὑπὸ ὁμωνύμων ἀριθμῶν μετρηθήσεται τοῖς Α, Β, <lb n="1799,001,,,,7,39,15"></lb> Γ μέρεσιν.</s> <s>τοῖς δὲ Α, Β, Γ μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀριθμοί εἰ-<lb n="1799,001,,,,7,39,16"></lb> σιν οἱ Δ, Ε, Ζ· ὁ Θ ἄρα ὑπὸ τῶν Δ, Ε, Ζ μετρεῖται.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,7,39,17"></lb> ἐστιν ἐλάσσων τοῦ Η· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα <lb n="1799,001,,,,7,39,18"></lb> ἔσται τις τοῦ Η ἐλάσσων ἀριθμός, ὃς ἕξει τὰ Α, Β, Γ <lb n="1799,001,,,,7,39,19"></lb> μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,7,39,20"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ <lb n="1799,001,,,,8,1,1"></lb> ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ἐλάχιστοί εἰσι <lb n="1799,001,,,,8,1,2"></lb> τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.</s> <lb n="1799,001,,,,8,1,3"></lb> <s>Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, <lb n="1799,001,,,,8,1,4"></lb> Δ, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,8,1,5"></lb> ἔστωσαν· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β, Γ, Δ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν <lb n="1799,001,,,,8,1,6"></lb> αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς. <lb n="1799,001,,,,8,1,7"></lb> Εἰ γὰρ μή, ἔστωσαν ἐλάττονες τῶν Α, Β, Γ, Δ οἱ <lb n="1799,001,,,,8,1,8"></lb> Ε, Ζ, Η, Θ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες αὐτοῖς.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ <lb n="1799,001,,,,8,1,9"></lb> Α, Β, Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ τοῖς Ε, Ζ, Η, Θ, καί <lb n="1799,001,,,,8,1,10"></lb> ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος [τῶν Α, Β, Γ, Δ] τῷ πλήθει [τῶν <lb n="1799,001,,,,8,1,11"></lb> Ε, Ζ, Η, Θ], δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, ὁ Ε <lb n="1799,001,,,,8,1,12"></lb> πρὸς τὸν Θ.</s> <s>οἱ δὲ Α, Δ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, <lb n="1799,001,,,,8,1,13"></lb> οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,1,14"></lb> ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων <lb n="1799,001,,,,8,1,15"></lb> τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον <lb n="1799,001,,,,8,1,16"></lb> καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.</s> <s>μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Ε ὁ μεί-<lb n="1799,001,,,,8,1,17"></lb> ζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα οἱ Ε, Ζ, <lb n="1799,001,,,,8,1,18"></lb> Η, Θ ἐλάσσονες ὄντες τῶν Α, Β, Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ <lb n="1799,001,,,,8,1,19"></lb> εἰσὶν αὐτοῖς.</s> <s>οἱ Α, Β, Γ, Δ ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν <lb n="1799,001,,,,8,1,20"></lb> αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,1,21"></lb> <s>Ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους, ὅσους ἂν <lb n="1799,001,,,,8,2,1"></lb> ἐπιτάξῃ τις, ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,2,2"></lb> <s>Ἔστω ὁ δοθεὶς λόγος ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ὁ τοῦ Α <lb n="1799,001,,,,8,2,3"></lb> πρὸς τὸν Β· δεῖ δὴ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίσ-<lb n="1799,001,,,,8,2,4"></lb> τους, ὅσους ἄν τις ἐπιτάξῃ, ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ. <lb n="1799,001,,,,8,2,5"></lb> Ἐπιτετάχθωσαν δὴ τέσσαρες, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλα-<lb n="1799,001,,,,8,2,6"></lb> πλασιάσας τὸν Γ ποιείτω, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν <lb n="1799,001,,,,8,2,7"></lb> Δ ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε <lb n="1799,001,,,,8,2,8"></lb> ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Α τοὺς Γ, Δ, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,2,9"></lb> Ζ, Η, Θ ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Κ <lb n="1799,001,,,,8,2,10"></lb> ποιείτω.</s> <lb n="1799,001,,,,8,2,11"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Γ <lb n="1799,001,,,,8,2,12"></lb> πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,8,2,13"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, [οὕτωσ] ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,2,14"></lb> <s>πάλιν, ἐπεὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πε-<lb n="1799,001,,,,8,2,15"></lb> ποίηκεν, ὁ δὲ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,8,2,16"></lb> ἑκάτερος ἄρα τῶν Α, Β τὸν Β πολλαπλασιάσας ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,8,2,17"></lb> τῶν Δ, Ε πεποίηκεν.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως <lb n="1799,001,,,,8,2,18"></lb> ὁ Δ πρὸς τὸν Ε.</s> <s>ἀλλ' ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· <lb n="1799,001,,,,8,2,19"></lb> καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Δ πρὸς τὸν Ε.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Α <lb n="1799,001,,,,8,2,20"></lb> τοὺς Γ, Δ πολλαπλασιάσας τοὺς Ζ, Η πεποίηκεν, ἔστιν <lb n="1799,001,,,,8,2,21"></lb> ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, [οὕτωσ] ὁ Ζ πρὸς τὸν Η.</s> <s>ὡς δὲ ὁ <lb n="1799,001,,,,8,2,22"></lb> Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ἦν ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α <lb n="1799,001,,,,8,2,23"></lb> πρὸς τὸν Β, ὁ Ζ πρὸς τὸν Η.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Δ, Ε <lb n="1799,001,,,,8,2,24"></lb> πολλαπλασιάσας τοὺς Η, Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ <lb n="1799,001,,,,8,2,25"></lb> Δ πρὸς τὸν Ε, ὁ Η πρὸς τὸν Θ.</s> <s>ἀλλ' ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, <lb n="1799,001,,,,8,2,26"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Β.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η <lb n="1799,001,,,,8,2,27"></lb> πρὸς τὸν Θ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Ε πολλαπλασιάσαντες <lb n="1799,001,,,,8,2,28"></lb> τοὺς Θ, Κ πεποιήκασιν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, <lb n="1799,001,,,,8,2,29"></lb> οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ.</s> <s>ἀλλ' ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως <lb n="1799,001,,,,8,2,30"></lb> ὅ τε Ζ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Η πρὸς τὸν Θ.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα ὁ Ζ <lb n="1799,001,,,,8,2,31"></lb> πρὸς τὸν Η, οὕτως ὅ τε Η πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Κ· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,2,32"></lb> οἱ Γ, Δ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Η, Θ, Κ ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,8,2,33"></lb> τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,2,34"></lb> <s>ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον <lb n="1799,001,,,,8,2,35"></lb> ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ δὲ ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον <lb n="1799,001,,,,8,2,36"></lb> ἐχόντων πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι <lb n="1799,001,,,,8,2,37"></lb> πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s>καὶ ἑκάτερος μὲν τῶν Α, Β ἑαυτὸν <lb n="1799,001,,,,8,2,38"></lb> πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Γ, Ε πεποίηκεν, ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,8,2,39"></lb> δὲ τῶν Γ, Ε πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ζ, Κ πε-<lb n="1799,001,,,,8,2,40"></lb> ποίηκεν· οἱ Γ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Κ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,8,2,41"></lb> εἰσίν.</s> <s>ἐὰν δὲ ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ <lb n="1799,001,,,,8,2,42"></lb> δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ἐλάχιστοί <lb n="1799,001,,,,8,2,43"></lb> εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.</s> <s>οἱ Γ, Δ, Ε <lb n="1799,001,,,,8,2,44"></lb> ἄρα καὶ οἱ Ζ, Η, Θ, Κ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον <lb n="1799,001,,,,8,2,45"></lb> ἐχόντων τοῖς Α, Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,2,46"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,8,2,47"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνά-<lb n="1799,001,,,,8,2,48"></lb> λογον ἐλάχιστοι ὦσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, <lb n="1799,001,,,,8,2,49"></lb> οἱ ἄκροι αὐτῶν τετράγωνοί εἰσιν, ἐὰν δὲ τέσσαρες, κύβοι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,2,50"></lb> <s>Ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι <lb n="1799,001,,,,8,3,1"></lb> τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ ἄκροι αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,8,3,2"></lb> πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,3,3"></lb> Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι <lb n="1799,001,,,,8,3,4"></lb> τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Β, Γ, Δ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,8,3,5"></lb> ὅτι οἱ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,3,6"></lb> <s>Εἰλήφθωσαν γὰρ δύο <lb n="1799,001,,,,8,3,7"></lb> μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν <lb n="1799,001,,,,8,3,8"></lb> τῷ τῶν Α, Β, Γ, Δ λόγῳ <lb n="1799,001,,,,8,3,9"></lb> οἱ Ε, Ζ, τρεῖς δὲ οἱ Η, <lb n="1799,001,,,,8,3,10"></lb> Θ, Κ, καὶ ἑξῆς ἑνὶ πλεί-<lb n="1799,001,,,,8,3,11"></lb> ους, ἕως τὸ λαμβανόμε-<lb n="1799,001,,,,8,3,12"></lb> νον πλῆθος ἴσον γένηται <lb n="1799,001,,,,8,3,13"></lb> τῷ πλήθει τῶν Α, Β, <lb n="1799,001,,,,8,3,14"></lb> Γ, Δ.</s> <s>εἰλήφθωσαν καὶ <lb n="1799,001,,,,8,3,15"></lb> ἔστωσαν οἱ Λ, Μ, Ν, Ξ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,3,16"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον <lb n="1799,001,,,,8,3,17"></lb> ἐχόντων αὐτοῖς, πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,8,3,18"></lb> ἑκάτερος τῶν Ε, Ζ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,8,3,19"></lb> τῶν Η, Κ πεποίηκεν, ἑκάτερον δὲ τῶν Η, Κ πολλα-<lb n="1799,001,,,,8,3,20"></lb> πλασιάσας ἑκάτερον τῶν Λ, *ξ πεποίηκεν, καὶ οἱ Η, Κ <lb n="1799,001,,,,8,3,21"></lb> ἄρα καὶ οἱ Λ, Ξ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ <lb n="1799,001,,,,8,3,22"></lb> Α, Β, Γ, Δ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων <lb n="1799,001,,,,8,3,23"></lb> αὐτοῖς, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Λ, Μ, Ν, Ξ ἐλάχιστοι ἐν τῷ αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,8,3,24"></lb> λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β, Γ, Δ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν <lb n="1799,001,,,,8,3,25"></lb> Α, Β, Γ, Δ τῷ πλήθει τῶν Λ, Μ, Ν, Ξ, ἕκαστος ἄρα τῶν <lb n="1799,001,,,,8,3,26"></lb> Α, Β, Γ, Δ ἑκάστῳ τῶν Λ, Μ, Ν, Ξ ἴσος ἐστίν· ἴσος ἄρα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,3,27"></lb> ἐστὶν ὁ μὲν Α τῷ Λ, ὁ δὲ Δ τῷ Ξ.</s> <s>καί εἰσιν οἱ Λ, Ξ πρῶτοι <lb n="1799,001,,,,8,3,28"></lb> πρὸς ἀλλήλους.</s> <s>καὶ οἱ Α, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,8,3,29"></lb> εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,3,30"></lb> <s>Λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς <lb n="1799,001,,,,8,4,1"></lb> ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους ἐν τοῖς δοθεῖσι <lb n="1799,001,,,,8,4,2"></lb> λόγοις.</s> <lb n="1799,001,,,,8,4,3"></lb> <s>Ἔστωσαν οἱ δοθέντες λόγοι ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ὅ τε <lb n="1799,001,,,,8,4,4"></lb> τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ὁ τοῦ <lb n="1799,001,,,,8,4,5"></lb> Ε πρὸς τὸν Ζ· δεῖ δὴ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,8,4,6"></lb> ἐλαχίστους ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ καὶ ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,8,4,7"></lb> τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,4,8"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος <lb n="1799,001,,,,8,4,9"></lb> ἀριθμὸς ὁ Η.</s> <s>καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Β τὸν Η μετρεῖ, τοσαυτάκις <lb n="1799,001,,,,8,4,10"></lb> καὶ ὁ Α τὸν Θ μετρείτω, ὁσάκις δὲ ὁ Γ τὸν Η μετρεῖ, <lb n="1799,001,,,,8,4,11"></lb> τοσαυτάκις καὶ ὁ Δ τὸν Κ μετρείτω.</s> <s>ὁ δὲ Ε τὸν Κ ἤτοι <lb n="1799,001,,,,8,4,12"></lb> μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.</s> <s>μετρείτω πρότερον.</s> <s>καὶ ὁσάκις ὁ Ε <lb n="1799,001,,,,8,4,13"></lb> τὸν Κ μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Ζ τὸν Λ μετρείτω.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,8,4,14"></lb> ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Α τὸν Θ μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Η, ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,4,15"></lb> ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,8,4,16"></lb> δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Κ, καὶ ἔτι <lb n="1799,001,,,,8,4,17"></lb> ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ· οἱ Θ, Η, Κ, Λ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,4,18"></lb> ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ <lb n="1799,001,,,,8,4,19"></lb> ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ <lb n="1799,001,,,,8,4,20"></lb> λόγῳ.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι.</s> <s>εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Θ, <lb n="1799,001,,,,8,4,21"></lb> Η, Κ, Λ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι ἔν τε τοῖς τοῦ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,4,22"></lb> τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,4,23"></lb> Ζ λόγοις, ἔστωσαν οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Α <lb n="1799,001,,,,8,4,24"></lb> πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ, οἱ δὲ Α, Β ἐλάχιστοι, <lb n="1799,001,,,,8,4,25"></lb> οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας <lb n="1799,001,,,,8,4,26"></lb> ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, <lb n="1799,001,,,,8,4,27"></lb> τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος <lb n="1799,001,,,,8,4,28"></lb> τὸν ἑπόμενον, ὁ Β ἄρα τὸν Ξ μετρεῖ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,8,4,29"></lb> Γ τὸν Ξ μετρεῖ· οἱ Β, Γ ἄρα τὸν Ξ μετροῦσιν· καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,8,4,30"></lb> ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενος τὸν Ξ μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,8,4,31"></lb> <s>ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρεῖται ὁ Η· ὁ Η ἄρα τὸν Ξ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,4,32"></lb> μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ <lb n="1799,001,,,,8,4,33"></lb> ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Θ, Η, Κ, Λ ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς <lb n="1799,001,,,,8,4,34"></lb> ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ <lb n="1799,001,,,,8,4,35"></lb> ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,4,36"></lb> <s>Μὴ μετρείτω δὴ ὁ Ε τὸν Κ.</s> <s>καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Ε, Κ <lb n="1799,001,,,,8,4,37"></lb> ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Μ.</s> <s>καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Κ <lb n="1799,001,,,,8,4,38"></lb> τὸν Μ μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ἑκάτερος τῶν Θ, Η ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,8,4,39"></lb> τῶν Ν, Ξ μετρείτω, ὁσάκις δὲ ὁ Ε τὸν Μ μετρεῖ, τοσαυ-<lb n="1799,001,,,,8,4,40"></lb> τάκις καὶ ὁ Ζ τὸν Ο μετρείτω.</s> <s>ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Θ τὸν Ν <lb n="1799,001,,,,8,4,41"></lb> μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Ξ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως <lb n="1799,001,,,,8,4,42"></lb> ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ.</s> <s>ὡς δὲ ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,4,43"></lb> τὸν Β· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,4,44"></lb> Ξ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ξ <lb n="1799,001,,,,8,4,45"></lb> πρὸς τὸν Μ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Ε τὸν Μ μετρεῖ καὶ ὁ Ζ <lb n="1799,001,,,,8,4,46"></lb> τὸν Ο, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Μ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,4,47"></lb> τὸν Ο· οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τοῖς τοῦ <lb n="1799,001,,,,8,4,48"></lb> τε Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τοῦ Ε <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,4,49"></lb> πρὸς τὸν Ζ λόγοις.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι ἐν τοῖς ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,8,4,50"></lb> ΓΔ, ΕΖ λόγοις.</s> <s>εἰ γὰρ μή, ἔσονταί τινες τῶν Ν, Ξ, Μ, Ο <lb n="1799,001,,,,8,4,51"></lb> ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ <lb n="1799,001,,,,8,4,52"></lb> λόγοις.</s> <s>ἔστωσαν οἱ Π, Ρ, Σ, Τ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Π πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,4,53"></lb> τὸν Ρ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, οἱ δὲ Α, Β ἐλάχιστοι, οἱ δὲ <lb n="1799,001,,,,8,4,54"></lb> ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς <lb n="1799,001,,,,8,4,55"></lb> ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν <lb n="1799,001,,,,8,4,56"></lb> ἑπόμενον, ὁ Β ἄρα τὸν Ρ μετρεῖ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,8,4,57"></lb> τὸν Ρ μετρεῖ· οἱ Β, Γ ἄρα τὸν Ρ μετροῦσιν.</s> <s>καὶ ὁ ἐλάχιστος <lb n="1799,001,,,,8,4,58"></lb> ἄρα ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενος τὸν Ρ μετρήσει.</s> <s>ἐλάχιστος <lb n="1799,001,,,,8,4,59"></lb> δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενός ἐστιν ὁ Η· ὁ Η ἄρα τὸν Ρ <lb n="1799,001,,,,8,4,60"></lb> μετρεῖ.</s> <s>καί ἐστιν ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ρ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,4,61"></lb> Σ· καὶ ὁ Κ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Ε τὸν Σ· <lb n="1799,001,,,,8,4,62"></lb> οἱ Ε, Κ ἄρα τὸν Σ μετροῦσιν.</s> <s>καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,8,4,63"></lb> τῶν Ε, Κ μετρούμενος τὸν Σ μετρήσει.</s> <s>ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,8,4,64"></lb> τῶν Ε, Κ μετρούμενός ἐστιν ὁ Μ· ὁ Μ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,8,4,65"></lb> ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,4,66"></lb> ἔσονταί τινες τῶν Ν, Ξ, Μ, Ο ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς <lb n="1799,001,,,,8,4,67"></lb> ἀνάλογον ἔν τε τοῖς τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,4,68"></lb> τὸν Δ καὶ ἔτι τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις· οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο <lb n="1799,001,,,,8,4,69"></lb> ἄρα ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοί εἰσιν ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ <lb n="1799,001,,,,8,4,70"></lb> λόγοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,4,71"></lb> Οἱ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσι τὸν <lb n="1799,001,,,,8,5,1"></lb> συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,5,2"></lb> <s>Ἔστωσαν ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α <lb n="1799,001,,,,8,5,3"></lb> πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ ἀριθμοί, τοῦ δὲ Β οἱ Ε, Ζ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,8,5,4"></lb> ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,8,5,5"></lb> τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευ-<lb n="1799,001,,,,8,5,6"></lb> ρῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,5,7"></lb> <s>Λόγων γὰρ δοθέντων τοῦ τε <lb n="1799,001,,,,8,5,8"></lb> ὃν ἔχει ὁ Γ πρὸς τὸν Ε καὶ <lb n="1799,001,,,,8,5,9"></lb> ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ εἰλήφθωσαν <lb n="1799,001,,,,8,5,10"></lb> ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐλάχιστοι ἐν τοῖς <lb n="1799,001,,,,8,5,11"></lb> ΓΕ, ΔΖ λόγοις, οἱ Η, Θ, Κ, <lb n="1799,001,,,,8,5,12"></lb> ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὸν Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,5,13"></lb> τὸν Ε, οὕτως τὸν Η πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,5,14"></lb> Θ, ὡς δὲ τὸν Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως τὸν Θ πρὸς τὸν Κ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,5,15"></lb> <s>καὶ ὁ Δ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω.</s> <lb n="1799,001,,,,8,5,16"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πε-<lb n="1799,001,,,,8,5,17"></lb> ποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν, ἔστιν <lb n="1799,001,,,,8,5,18"></lb> ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ.</s> <s>ὡς <lb n="1799,001,,,,8,5,19"></lb> δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ· καὶ ὡς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,5,20"></lb> ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,8,5,21"></lb> ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Λ πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ <lb n="1799,001,,,,8,5,22"></lb> τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,8,5,23"></lb> πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β.</s> <s>ἀλλ' ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,5,24"></lb> Ζ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Θ πρὸς τὸν Κ, <lb n="1799,001,,,,8,5,25"></lb> οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Η πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,5,26"></lb> Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Λ· δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Η <lb n="1799,001,,,,8,5,27"></lb> πρὸς τὸν Κ, [οὕτωσ] ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ δὲ Η πρὸς τὸν Κ <lb n="1799,001,,,,8,5,28"></lb> λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· καὶ ὁ Α ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,5,29"></lb> πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· <lb n="1799,001,,,,8,5,30"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,5,31"></lb> <s>Ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, ὁ δὲ πρῶτος <lb n="1799,001,,,,8,6,1"></lb> τὸν δεύτερον μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,8,6,2"></lb> <s>Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθ- <lb n="1799,001,,,,8,6,3"></lb> μοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, <lb n="1799,001,,,,8,6,4"></lb> Δ, Ε, ὁ δὲ Α τὸν Β μὴ με-<lb n="1799,001,,,,8,6,5"></lb> τρείτω· λέγω, ὅτι οὐδὲ ἄλ-<lb n="1799,001,,,,8,6,6"></lb> λος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,8,6,7"></lb> <s>Ὅτι μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ, <lb n="1799,001,,,,8,6,8"></lb> Δ, Ε ἑξῆς ἀλλήλους οὐ με-<lb n="1799,001,,,,8,6,9"></lb> τροῦσιν, φανερόν· οὐδὲ γὰρ <lb n="1799,001,,,,8,6,10"></lb> ὁ Α τὸν Β μετρεῖ.</s> <s>λέγω δή, <lb n="1799,001,,,,8,6,11"></lb> ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα <lb n="1799,001,,,,8,6,12"></lb> μετρήσει.</s> <s>εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείτω ὁ Α τὸν Γ.</s> <s>καὶ ὅσοι <lb n="1799,001,,,,8,6,13"></lb> εἰσὶν οἱ Α, Β, Γ, τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,6,14"></lb> τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ οἱ Ζ, Η, Θ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,6,15"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ Ζ, Η, Θ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ τοῖς Α, Β, <lb n="1799,001,,,,8,6,16"></lb> Γ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Β, Γ τῷ πλήθει τῶν <lb n="1799,001,,,,8,6,17"></lb> Ζ, Η, Θ, δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ζ <lb n="1799,001,,,,8,6,18"></lb> πρὸς τὸν Θ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ζ <lb n="1799,001,,,,8,6,19"></lb> πρὸς τὸν Η, οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β, οὐ μετρεῖ ἄρα οὐδὲ ὁ Ζ <lb n="1799,001,,,,8,6,20"></lb> τὸν Η· οὐκ ἄρα μονάς ἐστιν ὁ Ζ· ἡ γὰρ μονὰς πάντα ἀριθ-<lb n="1799,001,,,,8,6,21"></lb> μὸν μετρεῖ.</s> <s>καί εἰσιν οἱ Ζ, Θ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους [οὐδὲ <lb n="1799,001,,,,8,6,22"></lb> ὁ Ζ ἄρα τὸν Θ μετρεῖ].</s> <s>καί ἐστιν ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,8,6,23"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Γ· οὐδὲ ὁ Α ἄρα τὸν Γ μετρεῖ.</s> <s>ὁμοίως δὴ <lb n="1799,001,,,,8,6,24"></lb> δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,8,6,25"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,6,26"></lb> <s>Ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ [ἑξῆσ] ἀνάλογον, ὁ δὲ <lb n="1799,001,,,,8,7,1"></lb> πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τὸν δεύτερον μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,8,7,2"></lb> <s>Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, <lb n="1799,001,,,,8,7,3"></lb> Δ, ὁ δὲ Α τὸν Δ μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,7,4"></lb> <s>Εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, οὐδὲ <lb n="1799,001,,,,8,7,5"></lb> ἄλλος οὐδεὶς οὐδένα μετρήσει· μετρεῖ δὲ <lb n="1799,001,,,,8,7,6"></lb> ὁ Α τὸν Δ.</s> <s>μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Β· <lb n="1799,001,,,,8,7,7"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,7,8"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,8,8,1"></lb> ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,8,2"></lb> συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ <lb n="1799,001,,,,8,8,3"></lb> εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας [αὐτοῖσ] μεταξὺ κατὰ <lb n="1799,001,,,,8,8,4"></lb> τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.</s> <lb n="1799,001,,,,8,8,5"></lb> <s>Δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς <lb n="1799,001,,,,8,8,6"></lb> ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν <lb n="1799,001,,,,8,8,7"></lb> ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ, καὶ πε-<lb n="1799,001,,,,8,8,8"></lb> ποιήσθω ὡς ὁ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,8,9"></lb> τὸν Β, οὕτως ὁ Ε πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,8,10"></lb> τὸν Ζ· λέγω, ὅτι ὅσοι εἰς <lb n="1799,001,,,,8,8,11"></lb> τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ <lb n="1799,001,,,,8,8,12"></lb> τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμ-<lb n="1799,001,,,,8,8,13"></lb> πεπτώκασιν ἀριθμοί, το-<lb n="1799,001,,,,8,8,14"></lb> σοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Ε, Ζ <lb n="1799,001,,,,8,8,15"></lb> μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς <lb n="1799,001,,,,8,8,16"></lb> ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.</s> <lb n="1799,001,,,,8,8,17"></lb> <s>Ὅσοι γάρ εἰσι τῷ πλήθει οἱ Α, Β, Γ, Δ, τοσοῦτοι <lb n="1799,001,,,,8,8,18"></lb> εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον <lb n="1799,001,,,,8,8,19"></lb> ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, Β οἱ Η, Θ, Κ, Λ· οἱ ἄρα ἄκροι <lb n="1799,001,,,,8,8,20"></lb> αὐτῶν οἱ Η, Λ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ <lb n="1799,001,,,,8,8,21"></lb> Α, Γ, Δ, Β τοῖς Η, Θ, Κ, Λ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν, καί <lb n="1799,001,,,,8,8,22"></lb> ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Γ, Δ, Β τῷ πλήθει τῶν <lb n="1799,001,,,,8,8,23"></lb> Η, Θ, Κ, Λ, δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως <lb n="1799,001,,,,8,8,24"></lb> ὁ Η πρὸς τὸν Λ.</s> <s>ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ε πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,8,25"></lb> τὸν Ζ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Ε πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,8,26"></lb> τὸν Ζ.</s> <s>οἱ δὲ Η, Λ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ <lb n="1799,001,,,,8,8,27"></lb> δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον <lb n="1799,001,,,,8,8,28"></lb> ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,8,29"></lb> τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον <lb n="1799,001,,,,8,8,30"></lb> καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.</s> <s>ἰσάκις ἄρα ὁ Η τὸν Ε μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,8,8,31"></lb> καὶ ὁ Λ τὸν Ζ.</s> <s>ὁσάκις δὴ ὁ Η τὸν Ε μετρεῖ, τοσαυτάκις <lb n="1799,001,,,,8,8,32"></lb> καὶ ἑκάτερος τῶν Θ, Κ ἑκάτερον τῶν Μ, Ν μετρείτω· <lb n="1799,001,,,,8,8,33"></lb> οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἄρα τοὺς Ε, Μ, Ν, Ζ ἰσάκις μετροῦσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,8,34"></lb> <s>οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἄρα τοῖς Ε, Μ, Ν, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ <lb n="1799,001,,,,8,8,35"></lb> εἰσίν.</s> <s>ἀλλὰ οἱ Η, Θ, Κ, Λ τοῖς Α, Γ, Δ, Β ἐν τῷ αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,8,8,36"></lb> λόγῳ εἰσίν· καὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β ἄρα τοῖς Ε, Μ, Ν, Ζ ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,8,8,37"></lb> αὐτῷ λόγῳ εἰσίν.</s> <s>οἱ δὲ Α, Γ, Δ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν· <lb n="1799,001,,,,8,8,38"></lb> καὶ οἱ Ε, Μ, Ν, Ζ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν.</s> <s>ὅσοι ἄρα εἰς <lb n="1799,001,,,,8,8,39"></lb> τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώ-<lb n="1799,001,,,,8,8,40"></lb> κασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Ε, Ζ μεταξὺ κατὰ <lb n="1799,001,,,,8,8,41"></lb> τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,8,8,42"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,8,43"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ εἰς <lb n="1799,001,,,,8,9,1"></lb> αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν <lb n="1799,001,,,,8,9,2"></lb> ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,8,9,3"></lb> ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου αὐτῶν καὶ <lb n="1799,001,,,,8,9,4"></lb> μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.</s> <lb n="1799,001,,,,8,9,5"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ Α, Β <lb n="1799,001,,,,8,9,6"></lb> καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέ-<lb n="1799,001,,,,8,9,7"></lb> τωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ ἐκκείσθω ἡ Ε μονάς· λέγω, ὅτι ὅσοι <lb n="1799,001,,,,8,9,8"></lb> εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώ-<lb n="1799,001,,,,8,9,9"></lb> κασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ τῆς <lb n="1799,001,,,,8,9,10"></lb> μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,9,11"></lb> Εἰλήφθωσαν γὰρ δύο μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,8,9,12"></lb> τῶν Α, Γ, Δ, Β λόγῳ ὄντες οἱ Ζ, Η, τρεῖς δὲ οἱ Θ, Κ, Λ, <lb n="1799,001,,,,8,9,13"></lb> καὶ ἀεὶ ἑξῆς ἑνὶ πλείους, ἕως ἂν ἴσον γένηται τὸ πλῆθος <lb n="1799,001,,,,8,9,14"></lb> αὐτῶν τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, Β.</s> <s>εἰλήφθωσαν, καὶ <lb n="1799,001,,,,8,9,15"></lb> ἔστωσαν οἱ Μ, Ν, Ξ, Ο.</s> <s>φανερὸν δή, ὅτι ὁ μὲν Ζ ἑαυτὸν <lb n="1799,001,,,,8,9,16"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, τὸν δὲ Θ πολλαπλα-<lb n="1799,001,,,,8,9,17"></lb> σιάσας τὸν Μ πεποίηκεν, καὶ ὁ Η ἑαυτὸν μὲν πολλαπλα-<lb n="1799,001,,,,8,9,18"></lb> σιάσας τὸν Λ πεποίηκεν, τὸν δὲ Λ πολλαπλασιάσας τὸν Ο <lb n="1799,001,,,,8,9,19"></lb> πεποίηκεν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ Μ, Ν, Ξ, Ο ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν <lb n="1799,001,,,,8,9,20"></lb> αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Ζ, Η, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Α, Γ, Δ, Β <lb n="1799,001,,,,8,9,21"></lb> ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Ζ, Η, καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,8,9,22"></lb> ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, Β, <lb n="1799,001,,,,8,9,23"></lb> ἕκαστος ἄρα τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο ἑκάστῳ τῶν Α, Γ, Δ, Β <lb n="1799,001,,,,8,9,24"></lb> ἴσος ἐστίν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν Μ τῷ Α, ὁ δὲ Ο τῷ Β.</s> <lb n="1799,001,,,,8,9,25"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,8,9,26"></lb> ὁ Ζ ἄρα τὸν Θ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας.</s> <s>μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,8,9,27"></lb> δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· <lb n="1799,001,,,,8,9,28"></lb> ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ζ τὸν Θ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,9,29"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ <lb n="1799,001,,,,8,9,30"></lb> πρὸς τὸν Θ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν <lb n="1799,001,,,,8,9,31"></lb> Μ πεποίηκεν, ὁ Θ ἄρα τὸν Μ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ <lb n="1799,001,,,,8,9,32"></lb> μονάδας.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ ἀριθμὸν κατὰ <lb n="1799,001,,,,8,9,33"></lb> τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἰσάκις ἄρα ἡ Ε μονὰς τὸν Ζ <lb n="1799,001,,,,8,9,34"></lb> ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Θ τὸν Μ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς <lb n="1799,001,,,,8,9,35"></lb> πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Μ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ <lb n="1799,001,,,,8,9,36"></lb> καὶ ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,9,37"></lb> τὸν Θ· καὶ ὡς ἄρα ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως <lb n="1799,001,,,,8,9,38"></lb> ὁ Ζ πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Μ.</s> <s>ἴσος δὲ ὁ Μ τῷ Α· <lb n="1799,001,,,,8,9,39"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Ζ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Ζ <lb n="1799,001,,,,8,9,40"></lb> πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Α.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς <lb n="1799,001,,,,8,9,41"></lb> ἡ Ε μονὰς πρὸς τὸν Η ἀριθμόν, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Λ <lb n="1799,001,,,,8,9,42"></lb> καὶ ὁ Λ πρὸς τὸν Β.</s> <s>ὅσοι ἄρα εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ <lb n="1799,001,,,,8,9,43"></lb> τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ <lb n="1799,001,,,,8,9,44"></lb> ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ μονάδος τῆς Ε μεταξὺ κατὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,8,9,45"></lb> συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,9,46"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἀριθμῶν ἑκατέρου καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ <lb n="1799,001,,,,8,10,1"></lb> τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι ἑκατέρου <lb n="1799,001,,,,8,10,2"></lb> αὐτῶν καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,10,3"></lb> ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ <lb n="1799,001,,,,8,10,4"></lb> κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.</s> <lb n="1799,001,,,,8,10,5"></lb> <s>Δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β <lb n="1799,001,,,,8,10,6"></lb> καὶ μονάδος τῆς Γ μεταξὺ κατὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,8,10,7"></lb> συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν <lb n="1799,001,,,,8,10,8"></lb> ἀριθμοὶ οἵ τε Δ, Ε καὶ οἱ Ζ, <lb n="1799,001,,,,8,10,9"></lb> Η· λέγω, ὅτι ὅσοι ἑκατέρου τῶν <lb n="1799,001,,,,8,10,10"></lb> Α, Β καὶ μονάδος τῆς Γ μεταξὺ <lb n="1799,001,,,,8,10,11"></lb> κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμ-<lb n="1799,001,,,,8,10,12"></lb> πεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι <lb n="1799,001,,,,8,10,13"></lb> καὶ εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,8,10,14"></lb> συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.</s> <lb n="1799,001,,,,8,10,15"></lb> <s>Ὁ Δ γὰρ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Θ ποιείτω, <lb n="1799,001,,,,8,10,16"></lb> ἑκάτερος δὲ τῶν Δ, Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,8,10,17"></lb> τῶν Κ, Λ ποιείτω.</s> <lb n="1799,001,,,,8,10,18"></lb> <s>Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμόν, <lb n="1799,001,,,,8,10,19"></lb> οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἰσάκις ἄρα ἡ Γ μονὰς τὸν Δ <lb n="1799,001,,,,8,10,20"></lb> ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Ε.</s> <s>ἡ δὲ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν <lb n="1799,001,,,,8,10,21"></lb> μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας· καὶ ὁ Δ ἄρα ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,8,10,22"></lb> τὸν Ε μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας· ὁ Δ ἄρα ἑαυτὸν <lb n="1799,001,,,,8,10,23"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν.</s> <s>πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς <lb n="1799,001,,,,8,10,24"></lb> ἡ Γ [μονὰσ] πρὸς τὸν Δ ἀριθμὸν, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Α, <lb n="1799,001,,,,8,10,25"></lb> ἰσάκις ἄρα ἡ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν <lb n="1799,001,,,,8,10,26"></lb> Α.</s> <s>ἡ δὲ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ <lb n="1799,001,,,,8,10,27"></lb> μονάδας· καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ <lb n="1799,001,,,,8,10,28"></lb> μονάδας· ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,10,29"></lb> διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η <lb n="1799,001,,,,8,10,30"></lb> πεποίηκεν, τὸν δὲ Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,10,31"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Δ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,8,10,32"></lb> τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,10,33"></lb> ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Θ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ <lb n="1799,001,,,,8,10,34"></lb> καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η.</s> <s>καὶ ὡς <lb n="1799,001,,,,8,10,35"></lb> ἄρα ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,8,10,36"></lb> ὁ Δ ἑκάτερον τῶν Ε, Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν <lb n="1799,001,,,,8,10,37"></lb> Α, Κ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,8,10,38"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Κ.</s> <s>ἀλλ' ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,8,10,39"></lb> πρὸς τὸν Ζ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α <lb n="1799,001,,,,8,10,40"></lb> πρὸς τὸν Κ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Δ, Ζ τὸν Θ <lb n="1799,001,,,,8,10,41"></lb> πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ, Λ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,10,42"></lb> ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ.</s> <s>ἀλλ' ὡς <lb n="1799,001,,,,8,10,43"></lb> ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Κ· καὶ ὡς ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,10,44"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Κ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ.</s> <s>ἔτι ἐπεὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,8,10,45"></lb> Ζ ἑκάτερον τῶν Θ, Η πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν <lb n="1799,001,,,,8,10,46"></lb> Λ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως <lb n="1799,001,,,,8,10,47"></lb> ὁ Λ πρὸς τὸν Β.</s> <s>ὡς δὲ ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,8,10,48"></lb> πρὸς τὸν Ζ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Λ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,10,49"></lb> τὸν Β.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὅ τε Α <lb n="1799,001,,,,8,10,50"></lb> πρὸς τὸν Κ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Λ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,10,51"></lb> Κ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Λ πρὸς τὸν Β.</s> <s>οἱ Α, Κ, <lb n="1799,001,,,,8,10,52"></lb> Λ, Β ἄρα κατὰ τὸ συνεχὲς ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον.</s> <s>ὅσοι <lb n="1799,001,,,,8,10,53"></lb> ἄρα ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ τῆς Γ μονάδος μεταξὺ κατὰ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,10,54"></lb> τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ <lb n="1799,001,,,,8,10,55"></lb> εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἐμπεσοῦνται· <lb n="1799,001,,,,8,10,56"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,10,57"></lb> <s>Δύο τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν <lb n="1799,001,,,,8,11,1"></lb> ἀριθμός, καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον διπλα-<lb n="1799,001,,,,8,11,2"></lb> σίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,11,3"></lb> <s>Ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α <lb n="1799,001,,,,8,11,4"></lb> πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· <lb n="1799,001,,,,8,11,5"></lb> λέγω, ὅτι τῶν Α, Β εἷς μέσος <lb n="1799,001,,,,8,11,6"></lb> ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ Α <lb n="1799,001,,,,8,11,7"></lb> πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,8,11,8"></lb> ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,11,9"></lb> <s>Ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,8,11,10"></lb> ἐπεὶ τετράγωνός ἐστιν ὁ Α, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ἐστιν ὁ Γ, <lb n="1799,001,,,,8,11,11"></lb> ὁ Γ ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.</s> <s>διὰ <lb n="1799,001,,,,8,11,12"></lb> τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β <lb n="1799,001,,,,8,11,13"></lb> πεποίηκεν.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ πολλαπλα-<lb n="1799,001,,,,8,11,14"></lb> σιάσας ἑκάτερον τῶν Α, Ε πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,8,11,15"></lb> πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ε.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,8,11,16"></lb> ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Β.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,11,17"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Β.</s> <s>τῶν Α, Β ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,11,18"></lb> εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,11,19"></lb> Λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον <lb n="1799,001,,,,8,11,20"></lb> ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογόν <lb n="1799,001,,,,8,11,21"></lb> εἰσιν οἱ Α, Ε, Β, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον <lb n="1799,001,,,,8,11,22"></lb> ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Ε.</s> <s>ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως <lb n="1799,001,,,,8,11,23"></lb> ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.</s> <s>ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον <lb n="1799,001,,,,8,11,24"></lb> ἔχει ἤπερ ἡ Γ πλευρὰ πρὸς τὴν Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,11,25"></lb> <s>Δύο κύβων ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί, <lb n="1799,001,,,,8,12,1"></lb> καὶ ὁ κύβος πρὸς τὸν κύβον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ <lb n="1799,001,,,,8,12,2"></lb> ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,12,3"></lb> <s>Ἔστωσαν κύβοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ <lb n="1799,001,,,,8,12,4"></lb> ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β δύο μέσοι <lb n="1799,001,,,,8,12,5"></lb> ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα <lb n="1799,001,,,,8,12,6"></lb> λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,12,7"></lb> <s>Ὁ γὰρ Γ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, <lb n="1799,001,,,,8,12,8"></lb> τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω, ὁ δὲ Δ ἑαυτὸν <lb n="1799,001,,,,8,12,9"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Γ, Δ <lb n="1799,001,,,,8,12,10"></lb> τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ, Κ ποιείτω.</s> <lb n="1799,001,,,,8,12,11"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ κύβος ἐστὶν ὁ Α, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ὁ Γ, καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,8,12,12"></lb> Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,12,13"></lb> ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,12,14"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,8,12,15"></lb> ὁ Δ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ <lb n="1799,001,,,,8,12,16"></lb> Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Γ ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,8,12,17"></lb> τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,8,12,18"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,12,19"></lb> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,12,20"></lb> Η.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,8,12,21"></lb> ἑκάτερον τῶν Α, Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,12,22"></lb> τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ.</s> <s>ὡς δὲ ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, <lb n="1799,001,,,,8,12,23"></lb> οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,8,12,24"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Θ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Γ, Δ τὸν Ζ <lb n="1799,001,,,,8,12,25"></lb> πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ, Κ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,12,26"></lb> ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,8,12,27"></lb> ὁ Δ ἑκάτερον τῶν Ζ, Η πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν <lb n="1799,001,,,,8,12,28"></lb> Κ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως <lb n="1799,001,,,,8,12,29"></lb> ὁ Κ πρὸς τὸν Β.</s> <s>ὡς δὲ ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,12,30"></lb> τὸν Δ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὅ τε Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,12,31"></lb> τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Κ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Β.</s> <s>τῶν Α, Β <lb n="1799,001,,,,8,12,32"></lb> ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Θ, Κ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,12,33"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον <lb n="1799,001,,,,8,12,34"></lb> ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνά-<lb n="1799,001,,,,8,12,35"></lb> λογόν εἰσιν οἱ Α, Θ, Κ, Β, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλα-<lb n="1799,001,,,,8,12,36"></lb> σίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Θ.</s> <s>ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,12,37"></lb> Θ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· καὶ ὁ Α [ἄρα] πρὸς τὸν Β τρι-<lb n="1799,001,,,,8,12,38"></lb> πλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.</s> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,12,39"></lb> <s>Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, καὶ <lb n="1799,001,,,,8,13,1"></lb> πολλαπλασιάσας ἕκαστος ἑαυτὸν ποιῇ τινα, οἱ γενόμενοι <lb n="1799,001,,,,8,13,2"></lb> ἐξ αὐτῶν ἀνάλογον ἔσονται· καὶ ἐὰν οἱ ἐξ ἀρχῆς τοὺς <lb n="1799,001,,,,8,13,3"></lb> γενομένους πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, καὶ αὐτοὶ <lb n="1799,001,,,,8,13,4"></lb> ἀνάλογον ἔσονται [καὶ ἀεὶ περὶ τοὺς ἄκρους τοῦτο <lb n="1799,001,,,,8,13,5"></lb> συμβαίνει].</s> <lb n="1799,001,,,,8,13,6"></lb> <s>Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ Α, Β, <lb n="1799,001,,,,8,13,7"></lb> Γ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, καὶ οἱ <lb n="1799,001,,,,8,13,8"></lb> Α, Β, Γ ἑαυτοὺς μὲν πολλαπλασιάσαντες τοὺς Δ, Ε, Ζ <lb n="1799,001,,,,8,13,9"></lb> ποιείτωσαν, τοὺς δὲ Δ, Ε, Ζ πολλαπλασιάσαντες τοὺς <lb n="1799,001,,,,8,13,10"></lb> Η, Θ, Κ ποιείτωσαν· λέγω, ὅτι οἵ τε Δ, Ε, Ζ καὶ οἱ <lb n="1799,001,,,,8,13,11"></lb> Η, Θ, Κ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,13,12"></lb> <s>Ὁ μὲν γὰρ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω, <lb n="1799,001,,,,8,13,13"></lb> ἑκάτερος δὲ τῶν Α, Β τὸν Λ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,8,13,14"></lb> τῶν Μ, Ν ποιείτω.</s> <s>καὶ πάλιν ὁ μὲν Β τὸν Γ πολλαπλα- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,8,13,15"></lb> σιάσας τὸν Ξ ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Β, Γ τὸν Ξ <lb n="1799,001,,,,8,13,16"></lb> πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ο, Π ποιείτω.</s> <lb n="1799,001,,,,8,13,17"></lb> <s>Ὁμοίως δὴ τοῖς ἐπάνω δείξομεν, ὅτι οἱ Δ, Λ, Ε καὶ οἱ <lb n="1799,001,,,,8,13,18"></lb> Η, Μ, Ν, Θ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β <lb n="1799,001,,,,8,13,19"></lb> λόγῳ, καὶ ἔτι οἱ Ε, Ξ, Ζ καὶ οἱ Θ, Ο, Π, Κ ἑξῆς εἰσιν <lb n="1799,001,,,,8,13,20"></lb> ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Β πρὸς τὸν Γ λόγῳ.</s> <s>καί ἐστιν ὡς ὁ Α <lb n="1799,001,,,,8,13,21"></lb> πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ· καὶ οἱ Δ, Λ, Ε ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,13,22"></lb> τοῖς Ε, Ξ, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ ἔτι οἱ Η, Μ, Ν, Θ <lb n="1799,001,,,,8,13,23"></lb> τοῖς Θ, Ο, Π, Κ.</s> <s>καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν τῶν Δ, Λ, Ε <lb n="1799,001,,,,8,13,24"></lb> πλῆθος τῷ τῶν Ε, Ξ, Ζ πλήθει, τὸ δὲ τῶν Η, Μ, Ν, Θ <lb n="1799,001,,,,8,13,25"></lb> τῷ τῶν Θ, Ο, Π, Κ· δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς μὲν ὁ Δ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,13,26"></lb> τὸν Ε, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὡς δὲ ὁ Η πρὸς τὸν Θ, <lb n="1799,001,,,,8,13,27"></lb> οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,13,28"></lb> <s>Ἐὰν τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ <lb n="1799,001,,,,8,14,1"></lb> τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν <lb n="1799,001,,,,8,14,2"></lb> μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,8,14,3"></lb> <s>Ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ <lb n="1799,001,,,,8,14,4"></lb> Α, Β, πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν <lb n="1799,001,,,,8,14,5"></lb> οἱ Γ, Δ, ὁ δὲ Α τὸν Β μετρείτω· <lb n="1799,001,,,,8,14,6"></lb> λέγω, ὅτι καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,14,7"></lb> Ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω· οἱ Α, <lb n="1799,001,,,,8,14,8"></lb> Ε, Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ <lb n="1799,001,,,,8,14,9"></lb> λόγῳ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Ε, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καὶ μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,8,14,10"></lb> ὁ Α τὸν Β, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Ε.</s> <s>καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,14,11"></lb> τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,14,12"></lb> <s>Πάλιν δὴ ὁ Γ τὸν Δ μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β <lb n="1799,001,,,,8,14,13"></lb> μετρεῖ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,14,14"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, <lb n="1799,001,,,,8,14,15"></lb> ὅτι οἱ Α, Ε, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,14,16"></lb> Δ λόγῳ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α <lb n="1799,001,,,,8,14,17"></lb> πρὸς τὸν Ε, μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α <lb n="1799,001,,,,8,14,18"></lb> τὸν Ε.</s> <s>καί εἰσιν οἱ Α, Ε, Β ἑξῆς ἀνάλογον· μετρεῖ ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,14,19"></lb> καὶ ὁ Α τὸν Β.</s> <lb n="1799,001,,,,8,14,20"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ <lb n="1799,001,,,,8,14,21"></lb> τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν <lb n="1799,001,,,,8,14,22"></lb> μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,8,14,23"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,14,24"></lb> <s>Ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ <lb n="1799,001,,,,8,15,1"></lb> τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν <lb n="1799,001,,,,8,15,2"></lb> μετρῇ, καὶ ὁ κύβος τὸν κύβον μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,8,15,3"></lb> <s>Κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον τὸν Β μετρείτω, καὶ <lb n="1799,001,,,,8,15,4"></lb> τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι ὁ <lb n="1799,001,,,,8,15,5"></lb> Γ τὸν Δ μετρεῖ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,15,6"></lb> Ὁ Γ γὰρ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ <lb n="1799,001,,,,8,15,7"></lb> Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,8,15,8"></lb> τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ [ποιείτω], ἑκάτερος δὲ <lb n="1799,001,,,,8,15,9"></lb> τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ, Κ <lb n="1799,001,,,,8,15,10"></lb> ποιείτω.</s> <s>φανερὸν δή, ὅτι οἱ Ε, Ζ, <lb n="1799,001,,,,8,15,11"></lb> Η καὶ οἱ Α, Θ, Κ, Β ἑξῆς ἀνά-<lb n="1799,001,,,,8,15,12"></lb> λογόν εἰσιν ἐν τῳ̂ τοῦ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,15,13"></lb> τὸν Δ λόγῳ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Θ, <lb n="1799,001,,,,8,15,14"></lb> Κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καὶ <lb n="1799,001,,,,8,15,15"></lb> μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρεῖ ἄρα καὶ <lb n="1799,001,,,,8,15,16"></lb> τὸν Θ.</s> <s>καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,15,17"></lb> Θ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,8,15,18"></lb> ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,15,19"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β <lb n="1799,001,,,,8,15,20"></lb> μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,8,15,21"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δὴ δείξομεν, <lb n="1799,001,,,,8,15,22"></lb> ὅτι οἱ Α, Θ, Κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,15,23"></lb> τὸν Δ λόγῳ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ, καί ἐστιν ὡς <lb n="1799,001,,,,8,15,24"></lb> ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ, καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Θ <lb n="1799,001,,,,8,15,25"></lb> μετρεῖ· ὥστε καὶ τὸν Β μετρεῖ ὁ Α· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,15,26"></lb> <s>Ἐὰν τετράγωνος ἀριθμὸς τετράγωνον ἀριθμὸν μὴ <lb n="1799,001,,,,8,16,1"></lb> μετρῇ, οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· κἂν ἡ <lb n="1799,001,,,,8,16,2"></lb> πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ τετράγωνος τὸν <lb n="1799,001,,,,8,16,3"></lb> τετράγωνον μετρήσει.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,16,4"></lb> Ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α, <lb n="1799,001,,,,8,16,5"></lb> Β, πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν οἱ Γ, <lb n="1799,001,,,,8,16,6"></lb> Δ, καὶ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Β· λέγω, <lb n="1799,001,,,,8,16,7"></lb> ὅτι οὐδὲ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,16,8"></lb> <s>Εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ, μετρήσει <lb n="1799,001,,,,8,16,9"></lb> καὶ ὁ Α τὸν Β.</s> <s>οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β· οὐδὲ ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,16,10"></lb> ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,8,16,11"></lb> <s>Μὴ μετρείτω [δὴ] πάλιν ὁ Γ τὸν Δ· λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Α <lb n="1799,001,,,,8,16,12"></lb> τὸν Β μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,8,16,13"></lb> <s>Εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρήσει καὶ ὁ Γ τὸν Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,16,14"></lb> <s>οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ· οὐδ' ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει· <lb n="1799,001,,,,8,16,15"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,16,16"></lb> <s>Ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,8,17,1"></lb> πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· κἂν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν <lb n="1799,001,,,,8,17,2"></lb> μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ κύβος τὸν κύβον μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,8,17,3"></lb> <s>Κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον <lb n="1799,001,,,,8,17,4"></lb> ἀριθμὸν τὸν Β μὴ μετρείτω, καὶ <lb n="1799,001,,,,8,17,5"></lb> τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ <lb n="1799,001,,,,8,17,6"></lb> Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ οὐ <lb n="1799,001,,,,8,17,7"></lb> μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,8,17,8"></lb> <s>Εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ, καὶ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.</s> <s>οὐ <lb n="1799,001,,,,8,17,9"></lb> μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β· οὐδ' ἄρα ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,17,10"></lb> Ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ· λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Α <lb n="1799,001,,,,8,17,11"></lb> τὸν Β μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,8,17,12"></lb> <s>Εἰ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ, καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,8,17,13"></lb> <s>οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ· οὐδ' ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει· <lb n="1799,001,,,,8,17,14"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,17,15"></lb> <s>Δύο ὁμοίων ἐπιπέδων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν <lb n="1799,001,,,,8,18,1"></lb> ἐστιν ἀριθμός· καὶ ὁ ἐπίπεδος πρὸς τὸν ἐπίπεδον διπλα-<lb n="1799,001,,,,8,18,2"></lb> σίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,8,18,3"></lb> ὁμόλογον πλευράν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,18,4"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ <lb n="1799,001,,,,8,18,5"></lb> τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ ἀριθμοί, τοῦ δὲ Β <lb n="1799,001,,,,8,18,6"></lb> οἱ Ε, Ζ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες <lb n="1799,001,,,,8,18,7"></lb> τὰς πλευράς, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε <lb n="1799,001,,,,8,18,8"></lb> πρὸς τὸν Ζ.</s> <s>λέγω οὖν, ὅτι τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογόν <lb n="1799,001,,,,8,18,9"></lb> ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,8,18,10"></lb> ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, τουτέστιν ἤπερ ἡ <lb n="1799,001,,,,8,18,11"></lb> ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον [πλευράν].</s> <lb n="1799,001,,,,8,18,12"></lb> <s>Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,18,13"></lb> Ζ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,18,14"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἐπίπεδός ἐστιν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Γ, Δ, <lb n="1799,001,,,,8,18,15"></lb> ὁ Δ ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.</s> <s>διὰ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,18,16"></lb> τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πε-<lb n="1799,001,,,,8,18,17"></lb> ποίηκεν.</s> <s>ὁ Δ δὴ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω.</s> <lb n="1799,001,,,,8,18,18"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,8,18,19"></lb> τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,18,20"></lb> ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η.</s> <s>ἀλλ' ὡς ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,8,18,21"></lb> πρὸς τὸν Ε, [οὕτωσ] ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,8,18,22"></lb> πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε τὸν <lb n="1799,001,,,,8,18,23"></lb> μὲν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ <lb n="1799,001,,,,8,18,24"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,18,25"></lb> τὸν Ζ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Β.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,18,26"></lb> τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Η, <lb n="1799,001,,,,8,18,27"></lb> οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Β.</s> <s>οἱ Α, Η, Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν <lb n="1799,001,,,,8,18,28"></lb> εἰσιν.</s> <s>τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός.</s> <lb n="1799,001,,,,8,18,29"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον <lb n="1799,001,,,,8,18,30"></lb> ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, <lb n="1799,001,,,,8,18,31"></lb> τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ <lb n="1799,001,,,,8,18,32"></lb> οἱ Α, Η, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλα-<lb n="1799,001,,,,8,18,33"></lb> σίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸν Η.</s> <s>καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,18,34"></lb> τὸν Η, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,8,18,35"></lb> ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,18,36"></lb> τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,18,37"></lb> <s>Δύο ὁμοίων στερεῶν ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,8,19,1"></lb> ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί· καὶ ὁ στερεὸς πρὸς τὸν ὅμοιον <lb n="1799,001,,,,8,19,2"></lb> στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ <lb n="1799,001,,,,8,19,3"></lb> πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,19,4"></lb> Ἔστωσαν δύο ὅμοιοι στερεοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α <lb n="1799,001,,,,8,19,5"></lb> πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, Ε, τοῦ δὲ Β οἱ Ζ, Η, Θ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,8,19,6"></lb> ἐπεὶ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς, <lb n="1799,001,,,,8,19,7"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, <lb n="1799,001,,,,8,19,8"></lb> ὡς δὲ ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ.</s> <s>λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,8,19,9"></lb> τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, καὶ <lb n="1799,001,,,,8,19,10"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,19,11"></lb> τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,19,12"></lb> <s>Ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Κ ποιείτω, ὁ δὲ <lb n="1799,001,,,,8,19,13"></lb> Ζ τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ <lb n="1799,001,,,,8,19,14"></lb> Γ, Δ τοῖς Ζ, Η ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν, καὶ ἐκ μὲν τῶν <lb n="1799,001,,,,8,19,15"></lb> Γ, Δ ἐστιν ὁ Κ, ἐκ δὲ τῶν Ζ, Η ὁ Λ, οἱ Κ, Λ [ἄρα] ὅμοιοι <lb n="1799,001,,,,8,19,16"></lb> ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί· τῶν Κ, Λ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν <lb n="1799,001,,,,8,19,17"></lb> ἐστιν ἀριθμός.</s> <s>ἔστω ὁ Μ.</s> <s>ὁ Μ ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ζ, <lb n="1799,001,,,,8,19,18"></lb> ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι ἐδείχθη.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,8,19,19"></lb> τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Κ πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,19,20"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,8,19,21"></lb> πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Μ.</s> <s>ἀλλ' ὡς ὁ Κ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,19,22"></lb> Μ, ὁ Μ πρὸς τὸν Λ.</s> <s>οἱ Κ, Μ, Λ ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,8,19,23"></lb> ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Ζ λόγῳ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,19,24"></lb> τὸν Δ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,8,19,25"></lb> πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Η.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,8,19,26"></lb> ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Θ.</s> <s>οἱ Κ, Μ, Λ <lb n="1799,001,,,,8,19,27"></lb> ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἔν τε τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Ζ λόγῳ <lb n="1799,001,,,,8,19,28"></lb> καὶ τῷ τοῦ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Θ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,19,29"></lb> <s>ἑκάτερος δὴ τῶν Ε, Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,8,19,30"></lb> τῶν Ν, Ξ ποιείτω.</s> <s>καὶ ἐπεὶ στερεός ἐστιν ὁ Α, πλευραὶ δὲ <lb n="1799,001,,,,8,19,31"></lb> αὐτοῦ εἰσιν οἱ Γ, Δ, Ε, ὁ Ε ἄρα τὸν ἐκ τῶν Γ, Δ πολλαπλα-<lb n="1799,001,,,,8,19,32"></lb> σιάσας τὸν Α πεποίηκεν.</s> <s>ὁ δὲ ἐκ τῶν Γ, Δ ἐστιν ὁ Κ· <lb n="1799,001,,,,8,19,33"></lb> ὁ Ε ἄρα τὸν Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.</s> <s>διὰ τὰ <lb n="1799,001,,,,8,19,34"></lb> αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Θ τὸν Λ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,19,35"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,8,19,36"></lb> ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Ν πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,8,19,37"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Κ πρὸς τὸν Μ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,19,38"></lb> <s>ὡς δὲ ὁ Κ πρὸς τὸν Μ, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,8,19,39"></lb> πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,19,40"></lb> τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α <lb n="1799,001,,,,8,19,41"></lb> πρὸς τὸν Ν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Ε, Θ τὸν Μ πολλα-<lb n="1799,001,,,,8,19,42"></lb> πλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,19,43"></lb> ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ.</s> <s>ἀλλ' ὡς ὁ Ε <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,19,44"></lb> πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,19,45"></lb> Η· καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η <lb n="1799,001,,,,8,19,46"></lb> καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Ν καὶ ὁ Ν <lb n="1799,001,,,,8,19,47"></lb> πρὸς τὸν Ξ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν <lb n="1799,001,,,,8,19,48"></lb> Ξ πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Λ πολλαπλασιάσας τὸν Β <lb n="1799,001,,,,8,19,49"></lb> πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Μ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Ξ <lb n="1799,001,,,,8,19,50"></lb> πρὸς τὸν Β.</s> <s>ἀλλ' ὡς ὁ Μ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,19,51"></lb> τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ.</s> <s>καὶ ὡς <lb n="1799,001,,,,8,19,52"></lb> ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,19,53"></lb> Θ, οὕτως οὐ μόνον ὁ Ξ πρὸς τὸν Β, ἀλλὰ καὶ ὁ Α πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,8,19,54"></lb> Ν καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ.</s> <s>οἱ Α, Ν, Ξ, Β ἄρα ἑξῆς εἰσιν <lb n="1799,001,,,,8,19,55"></lb> ἀνάλογον ἐν τοῖς εἰρημένοις τῶν πλευρῶν λόγοις.</s> <lb n="1799,001,,,,8,19,56"></lb> <s>Λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,8,19,57"></lb> ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, <lb n="1799,001,,,,8,19,58"></lb> τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ζ ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Η <lb n="1799,001,,,,8,19,59"></lb> καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες ἀριθμοὶ <lb n="1799,001,,,,8,19,60"></lb> ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Ν, Ξ, Β, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β <lb n="1799,001,,,,8,19,61"></lb> τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Ν.</s> <s>ἀλλ' ὡς <lb n="1799,001,,,,8,19,62"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Ν, οὕτως ἐδείχθη ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ <lb n="1799,001,,,,8,19,63"></lb> ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ.</s> <s>καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,19,64"></lb> τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ <lb n="1799,001,,,,8,19,65"></lb> πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,8,19,66"></lb> πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ· <lb n="1799,001,,,,8,19,67"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,19,68"></lb> Ἐὰν δύο ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτῃ ἀριθμός, <lb n="1799,001,,,,8,20,1"></lb> ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἔσονται οἱ ἀριθμοί.</s> <lb n="1799,001,,,,8,20,2"></lb> <s>Δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,8,20,3"></lb> ἐμπιπτέτω ἀριθμὸς ὁ Γ· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι <lb n="1799,001,,,,8,20,4"></lb> ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.</s> <lb n="1799,001,,,,8,20,5"></lb> <s>Εἰλήφθωσαν [γὰρ] ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν <lb n="1799,001,,,,8,20,6"></lb> λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ οἱ Δ, Ε· ἰσάκις ἄρα ὁ Δ τὸν Α <lb n="1799,001,,,,8,20,7"></lb> μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Γ.</s> <s>ὁσάκις δὴ ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, <lb n="1799,001,,,,8,20,8"></lb> τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν <lb n="1799,001,,,,8,20,9"></lb> τῷ Ζ· ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ πολλα-<lb n="1799,001,,,,8,20,10"></lb> πλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,20,11"></lb> <s>ὥστε ὁ Α ἐπίπεδός ἐστιν, πλευ-<lb n="1799,001,,,,8,20,12"></lb> ραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Δ, Ζ.</s> <s>πάλιν, <lb n="1799,001,,,,8,20,13"></lb> ἐπεὶ οἱ Δ, Ε ἐλάχιστοί εἰσι τῶν <lb n="1799,001,,,,8,20,14"></lb> τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς <lb n="1799,001,,,,8,20,15"></lb> Γ, Β, ἰσάκις ἄρα ὁ Δ τὸν Γ μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Β.</s> <s>ὁσάκις δὴ ὁ <lb n="1799,001,,,,8,20,16"></lb> Ε τὸν Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Η.</s> <s>ὁ Ε <lb n="1799,001,,,,8,20,17"></lb> ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Η μονάδας· ὁ Η ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,20,18"></lb> τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.</s> <s>ὁ Β ἄρα ἐπίπεδός <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,20,19"></lb> ἐστι, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Ε, Η.</s> <s>οἱ Α, Β ἄρα ἐπίπεδοί <lb n="1799,001,,,,8,20,20"></lb> εἰσιν ἀριθμοί.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ὅμοιοι.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ ὁ Ζ τὸν <lb n="1799,001,,,,8,20,21"></lb> μὲν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε <lb n="1799,001,,,,8,20,22"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,8,20,23"></lb> πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ, τουτέστιν ὁ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,20,24"></lb> τὸν Β.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε ἑκάτερον τῶν Ζ, Η πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,8,20,25"></lb> τοὺς Γ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως <lb n="1799,001,,,,8,20,26"></lb> ὁ Γ πρὸς τὸν Β.</s> <s>ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,20,27"></lb> τὸν Ε· καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η.</s> <lb n="1799,001,,,,8,20,28"></lb> <s>καὶ ἐναλλὰξ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Η.</s> <lb n="1799,001,,,,8,20,29"></lb> <s>οἱ Α, Β ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί· αἱ γὰρ πλευ-<lb n="1799,001,,,,8,20,30"></lb> ραὶ αὐτῶν ἀνάλογόν εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,20,31"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀρι-<lb n="1799,001,,,,8,21,1"></lb> θμοί, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀριθμοί.</s> <lb n="1799,001,,,,8,21,2"></lb> <s>Δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπιπτέ-<lb n="1799,001,,,,8,21,3"></lb> τωσαν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι στερεοί <lb n="1799,001,,,,8,21,4"></lb> εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,21,5"></lb> <s>Εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,21,6"></lb> λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ τρεῖς οἱ Ε, Ζ, Η· οἱ ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,21,7"></lb> ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε, Η πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,8,21,8"></lb> ἐπεὶ τῶν Ε, Η εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπέπτωκεν ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,8,21,9"></lb> ὁ Ζ, οἱ Ε, Η ἄρα ἀριθμοὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.</s> <s>ἔστωσαν <lb n="1799,001,,,,8,21,10"></lb> οὖν τοῦ μὲν Ε πλευραὶ οἱ Θ, Κ, τοῦ δὲ Η οἱ Λ, Μ.</s> <s>φανερὸν <lb n="1799,001,,,,8,21,11"></lb> ἄρα ἐστὶν ἐκ τοῦ πρὸ τούτου, ὅτι οἱ Ε, Ζ, Η ἑξῆς εἰσιν <lb n="1799,001,,,,8,21,12"></lb> ἀνάλογον ἔν τε τῷ τοῦ Θ πρὸς τὸν Λ λόγῳ καὶ τῷ τοῦ Κ <lb n="1799,001,,,,8,21,13"></lb> πρὸς τὸν Μ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν <lb n="1799,001,,,,8,21,14"></lb> αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, καί ἐστιν ἴσον τὸ <lb n="1799,001,,,,8,21,15"></lb> πλῆθος τῶν Ε, Ζ, Η τῷ πλήθει τῶν Α, Γ, Δ, δι' ἴσου <lb n="1799,001,,,,8,21,16"></lb> ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Δ.</s> <s>οἱ δὲ <lb n="1799,001,,,,8,21,17"></lb> Ε, Η πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι <lb n="1799,001,,,,8,21,18"></lb> μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ <lb n="1799,001,,,,8,21,19"></lb> τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, <lb n="1799,001,,,,8,21,20"></lb> τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος <lb n="1799,001,,,,8,21,21"></lb> τὸν ἑπόμενον· ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν <lb n="1799,001,,,,8,21,22"></lb> Δ.</s> <s>ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστω- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,8,21,23"></lb> σαν ἐν τῷ Ν.</s> <s>ὁ Ν ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α <lb n="1799,001,,,,8,21,24"></lb> πεποίηκεν.</s> <s>ὁ δὲ Ε ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Θ, Κ· ὁ Ν ἄρα τὸν <lb n="1799,001,,,,8,21,25"></lb> ἐκ τῶν Θ, Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.</s> <s>στερεὸς <lb n="1799,001,,,,8,21,26"></lb> ἄρα ἐστὶν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Θ, Κ, Ν.</s> <s>πάλιν, <lb n="1799,001,,,,8,21,27"></lb> ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ, Η ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον <lb n="1799,001,,,,8,21,28"></lb> ἐχόντων τοῖς Γ, Δ, Β, ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Γ μετρεῖ καὶ <lb n="1799,001,,,,8,21,29"></lb> ὁ Η τὸν Β.</s> <s>ὁσάκις δὴ ὁ Ε τὸν Γ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες <lb n="1799,001,,,,8,21,30"></lb> ἔστωσαν ἐν τῷ Ξ.</s> <s>ὁ Η ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν <lb n="1799,001,,,,8,21,31"></lb> τῷ Ξ μονάδας· ὁ Ξ ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Β <lb n="1799,001,,,,8,21,32"></lb> πεποίηκεν.</s> <s>ὁ δὲ Η ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Λ, Μ· ὁ Ξ ἄρα τὸν ἐκ <lb n="1799,001,,,,8,21,33"></lb> τῶν Λ, Μ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.</s> <s>στερεὸς <lb n="1799,001,,,,8,21,34"></lb> ἄρα ἐστὶν ὁ Β, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Λ, Μ, Ξ· οἱ <lb n="1799,001,,,,8,21,35"></lb> Α, Β ἄρα στερεοί εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,21,36"></lb> <s>Λέγω [δή], ὅτι καὶ ὅμοιοι.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ οἱ Ν, Ξ τὸν Ε <lb n="1799,001,,,,8,21,37"></lb> πολλαπλασιάσαντες τοὺς Α, Γ πεποιήκασιν, ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,21,38"></lb> ὡς ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ, ὁ Α πρὸς τὸν Γ, τουτέστιν ὁ Ε πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,21,39"></lb> τὸν Ζ.</s> <s>ἀλλ' ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὁ Θ πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Κ <lb n="1799,001,,,,8,21,40"></lb> πρὸς τὸν Μ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Θ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Κ πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,21,41"></lb> τὸν Μ καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ.</s> <s>καί εἰσιν οἱ μὲν Θ, Κ, Ν πλευ-<lb n="1799,001,,,,8,21,42"></lb> ραὶ τοῦ Α, οἱ δὲ Ξ, Λ, Μ πλευραὶ τοῦ Β.</s> <s>οἱ Α, Β ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,21,43"></lb> ἀριθμοὶ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,21,44"></lb> Ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ πρῶτος <lb n="1799,001,,,,8,22,1"></lb> τετράγωνος ᾖ, καὶ ὁ τρίτος τετράγωνος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,8,22,2"></lb> <s>Ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,8,22,3"></lb> οἱ Α, Β, Γ, ὁ δὲ πρῶτος ὁ Α τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,8,22,4"></lb> ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ τρίτος ὁ Γ τετρά-<lb n="1799,001,,,,8,22,5"></lb> γωνός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,22,6"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ τῶν Α, Γ εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,8,22,7"></lb> ὁ Β, οἱ Α, Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.</s> <s>τετράγωνος δὲ ὁ <lb n="1799,001,,,,8,22,8"></lb> Α· τετράγωνος ἄρα καὶ ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,22,9"></lb> <s>Ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ πρῶτος <lb n="1799,001,,,,8,23,1"></lb> κύβος ᾖ, καὶ ὁ τέταρτος κύβος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,8,23,2"></lb> <s>Ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνά-<lb n="1799,001,,,,8,23,3"></lb> λογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ Α κύβος <lb n="1799,001,,,,8,23,4"></lb> ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Δ κύβος ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,23,5"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ τῶν Α, Δ δύο μέσοι ἀνά-<lb n="1799,001,,,,8,23,6"></lb> λογόν εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ, οἱ Α, Δ <lb n="1799,001,,,,8,23,7"></lb> ἄρα ὅμοιοί εἰσι στερεοὶ ἀριθμοί.</s> <s>κύβος δὲ ὁ Α· κύβος ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,23,8"></lb> καὶ ὁ Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,23,9"></lb> Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν <lb n="1799,001,,,,8,24,1"></lb> τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ δὲ <lb n="1799,001,,,,8,24,2"></lb> πρῶτος τετράγωνος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος τετράγωνος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,8,24,3"></lb> <s>Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς ἀλλήλους λόγον ἐχέτωσαν, <lb n="1799,001,,,,8,24,4"></lb> ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν <lb n="1799,001,,,,8,24,5"></lb> τὸν Δ, ὁ δὲ Α τετράγωνος ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Β τετρά-<lb n="1799,001,,,,8,24,6"></lb> γωνός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,24,7"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ οἱ Γ, Δ τετράγωνοί εἰσιν, οἱ Γ, Δ ἄρα ὅμοιοι <lb n="1799,001,,,,8,24,8"></lb> ἐπίπεδοί εἰσιν.</s> <s>τῶν Γ, Δ ἄρα εἷς μέ- <lb n="1799,001,,,,8,24,9"></lb> σος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,8,24,10"></lb> ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,24,11"></lb> τὸν Β· καὶ τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος <lb n="1799,001,,,,8,24,12"></lb> ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.</s> <s>καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,8,24,13"></lb> ὁ Α τετράγωνος· καὶ ὁ Β ἄρα τετράγωνός ἐστιν· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,8,24,14"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,24,15"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν <lb n="1799,001,,,,8,25,1"></lb> κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν, ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ, <lb n="1799,001,,,,8,25,2"></lb> καὶ ὁ δεύτερος κύβος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,8,25,3"></lb> <s>Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρὸς ἀλλήλους λόγον ἐχέτω-<lb n="1799,001,,,,8,25,4"></lb> σαν, ὃν κύβος ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς κύβον ἀριθμὸν τὸν Δ, <lb n="1799,001,,,,8,25,5"></lb> κύβος δὲ ἔστω ὁ Α· λέγω [δή], ὅτι καὶ ὁ Β κύβος ἐστίν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,25,6"></lb> Ἐπεὶ γὰρ οἱ Γ, Δ κύβοι εἰσίν, οἱ Γ, Δ ὅμοιοι στερεοί <lb n="1799,001,,,,8,25,7"></lb> εἰσιν· τῶν Γ, Δ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν <lb n="1799,001,,,,8,25,8"></lb> ἀριθμοί.</s> <s>ὅσοι δὲ εἰς τοὺς Γ, Δ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς <lb n="1799,001,,,,8,25,9"></lb> ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν <lb n="1799,001,,,,8,25,10"></lb> λόγον ἔχοντας αὐτοῖς· ὥστε καὶ τῶν Α, Β δύο μέσοι <lb n="1799,001,,,,8,25,11"></lb> ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.</s> <s>ἐμπιπτέτωσαν οἱ Ε, Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,8,25,12"></lb> <s>ἐπεὶ οὖν τέσσαρες ἀριθμοὶ οἱ Α, Ε, Ζ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν <lb n="1799,001,,,,8,25,13"></lb> εἰσιν, καί ἐστι κύβος ὁ Α, κύβος ἄρα καὶ ὁ Β· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,8,25,14"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,25,15"></lb> <s>Οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, <lb n="1799,001,,,,8,26,1"></lb> ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,26,2"></lb> <s>Ἔστωσαν ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,8,26,3"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,8,26,4"></lb> τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,26,5"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν, τῶν Α, Β <lb n="1799,001,,,,8,26,6"></lb> ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.</s> <s>ἐμπιπτέτω καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,26,7"></lb> ἔστω ὁ Γ, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν <lb n="1799,001,,,,8,26,8"></lb> αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Β οἱ Δ, Ε, Ζ· οἱ ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,26,9"></lb> ἄκροι αὐτῶν οἱ Δ, Ζ τετράγωνοί εἰσιν.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς <lb n="1799,001,,,,8,26,10"></lb> ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, καί εἰσιν οἱ Δ, Ζ <lb n="1799,001,,,,8,26,11"></lb> τετράγωνοι, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν τετρά-<lb n="1799,001,,,,8,26,12"></lb> γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,8,26,13"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,8,26,14"></lb> <s>Οἱ ὅμοιοι στερεοὶ ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον <lb n="1799,001,,,,8,27,1"></lb> ἔχουσιν, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,27,2"></lb> <s>Ἔστωσαν ὅμοιοι στερεοὶ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,8,27,3"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον <lb n="1799,001,,,,8,27,4"></lb> ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,8,27,5"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ὅμοιοι στερεοί εἰσιν, τῶν Α, Β ἄρα <lb n="1799,001,,,,8,27,6"></lb> δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.</s> <s>ἐμπιπτέτωσαν <lb n="1799,001,,,,8,27,7"></lb> οἱ Γ, Δ, καὶ εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν <lb n="1799,001,,,,8,27,8"></lb> λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Γ, Δ, Β ἴσοι αὐτοῖς τὸ πλῆθος οἱ <lb n="1799,001,,,,8,27,9"></lb> Ε, Ζ, Η, Θ· οἱ ἄρα ἄκροι αὐτῶν οἱ Ε, Θ κύβοι εἰσίν.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,8,27,10"></lb> ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ ὁ Α <lb n="1799,001,,,,8,27,11"></lb> ἄρα πρὸς τὸν Β λόγον ἔχει, ὃν κύβος ἀριθμὸς πρὸς κύβον <lb n="1799,001,,,,8,27,12"></lb> ἀριθμόν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,8,27,13"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Ἐὰν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες <lb n="1799,001,,,,9,1,1"></lb> ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος τετράγωνος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,1,2"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπί-<lb n="1799,001,,,,9,1,3"></lb> πεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ <lb n="1799,001,,,,9,1,4"></lb> ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,9,1,5"></lb> τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,9,1,6"></lb> ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,1,7"></lb> <s>Ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλα-<lb n="1799,001,,,,9,1,8"></lb> πλασιάσας τὸν Δ ποιείτω.</s> <s>ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,1,9"></lb> <s>ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,9,1,10"></lb> τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,9,1,11"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Γ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β <lb n="1799,001,,,,9,1,12"></lb> ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί, τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος <lb n="1799,001,,,,9,1,13"></lb> ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.</s> <s>ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν μεταξὺ <lb n="1799,001,,,,9,1,14"></lb> κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς <lb n="1799,001,,,,9,1,15"></lb> αὐτοὺς ἐμπίπτουσι, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον <lb n="1799,001,,,,9,1,16"></lb> ἔχοντας· ὥστε καὶ τῶν Δ, Γ εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει <lb n="1799,001,,,,9,1,17"></lb> ἀριθμός.</s> <s>καί ἐστι τετράγωνος ὁ Δ· τετράγωνος ἄρα καὶ <lb n="1799,001,,,,9,1,18"></lb> ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,1,19"></lb> Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσι <lb n="1799,001,,,,9,2,1"></lb> τετράγωνον, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.</s> <lb n="1799,001,,,,9,2,2"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλα-<lb n="1799,001,,,,9,2,3"></lb> πλασιάσας τετράγωνον τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β <lb n="1799,001,,,,9,2,4"></lb> ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.</s> <lb n="1799,001,,,,9,2,5"></lb> <s>Ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,9,2,6"></lb> ἄρα τετράγωνός ἐστιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλα-<lb n="1799,001,,,,9,2,7"></lb> σιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β <lb n="1799,001,,,,9,2,8"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν <lb n="1799,001,,,,9,2,9"></lb> ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Δ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,9,2,10"></lb> Γ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τετράγωνός ἐστιν, ἀλλὰ <lb n="1799,001,,,,9,2,11"></lb> καὶ ὁ Γ, οἱ Δ, Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί <lb n="1799,001,,,,9,2,12"></lb> εἰσιν.</s> <s>τῶν Δ, Γ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,9,2,13"></lb> ἐμπίπτει.</s> <s>καί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,2,14"></lb> τὸν Β· καὶ τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει.</s> <lb n="1799,001,,,,9,2,15"></lb> <s>ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτῃ, ὅμοιοι <lb n="1799,001,,,,9,2,16"></lb> ἐπίπεδοί εἰσιν [οἱ] ἀριθμοί· οἱ ἄρα Α, Β ὅμοιοί εἰσιν ἐπί-<lb n="1799,001,,,,9,2,17"></lb> πεδοι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,2,18"></lb> <s>Ἐὰν κύβος ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, <lb n="1799,001,,,,9,3,1"></lb> ὁ γενόμενος κύβος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,3,2"></lb> <s>Κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β <lb n="1799,001,,,,9,3,3"></lb> ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Β κύβος ἐστίν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,3,4"></lb> Εἰλήφθω γὰρ τοῦ Α πλευρὰ ὁ Γ, καὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλα-<lb n="1799,001,,,,9,3,5"></lb> πλασιάσας τὸν Δ ποιείτω.</s> <s>φανερὸν δή ἐστιν, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ <lb n="1799,001,,,,9,3,6"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Γ ἑαυτὸν <lb n="1799,001,,,,9,3,7"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,9,3,8"></lb> ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν <lb n="1799,001,,,,9,3,9"></lb> αὑτῷ μονάδας.</s> <s>ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ μο-<lb n="1799,001,,,,9,3,10"></lb> νὰς τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,9,3,11"></lb> μονάδας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς <lb n="1799,001,,,,9,3,12"></lb> πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ πολλα-<lb n="1799,001,,,,9,3,13"></lb> πλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, ὁ Δ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ <lb n="1799,001,,,,9,3,14"></lb> τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Γ κατὰ <lb n="1799,001,,,,9,3,15"></lb> τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, <lb n="1799,001,,,,9,3,16"></lb> ὁ Δ πρὸς τὸν Α.</s> <s>ἀλλ' ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,3,17"></lb> τὸν Δ· καὶ ὡς ἄρα ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,3,18"></lb> τὸν Δ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Α.</s> <s>τῆς ἄρα μονάδος καὶ τοῦ Α <lb n="1799,001,,,,9,3,19"></lb> ἀριθμοῦ δύο μέσοι ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς ἐμπεπτώ-<lb n="1799,001,,,,9,3,20"></lb> κασιν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλα-<lb n="1799,001,,,,9,3,21"></lb> σιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς <lb n="1799,001,,,,9,3,22"></lb> ἐν αὑτῷ μονάδας.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς <lb n="1799,001,,,,9,3,23"></lb> ἐν αὐτῷ μονάδας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, ὁ Α <lb n="1799,001,,,,9,3,24"></lb> πρὸς τὸν Β.</s> <s>τῆς δὲ μονάδος καὶ τοῦ Α δύο μέσοι ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,9,3,25"></lb> ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί· καὶ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλο-<lb n="1799,001,,,,9,3,26"></lb> γον ἐμπεσοῦνται ἀριθμοί.</s> <s>ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν δύο μέσοι <lb n="1799,001,,,,9,3,27"></lb> ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν, ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος <lb n="1799,001,,,,9,3,28"></lb> κύβος ἔσται.</s> <s>καί ἐστιν ὁ Α κύβος· καὶ ὁ Β ἄρα κύβος <lb n="1799,001,,,,9,3,29"></lb> ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,3,30"></lb> Ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,9,4,1"></lb> ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος κύβος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,4,2"></lb> <s>Κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον ἀριθμὸν τὸν Β πολλα-<lb n="1799,001,,,,9,4,3"></lb> πλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ κύβος ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,4,4"></lb> <s>Ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλα- <lb n="1799,001,,,,9,4,5"></lb> σιάσας τὸν Δ ποιείτω· ὁ Δ ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,4,6"></lb> κύβος ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν <lb n="1799,001,,,,9,4,7"></lb> μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίη-<lb n="1799,001,,,,9,4,8"></lb> κεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,9,4,9"></lb> τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,9,4,10"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Γ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ Α, <lb n="1799,001,,,,9,4,11"></lb> Β κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ Α, Β.</s> <s>τῶν Α, Β <lb n="1799,001,,,,9,4,12"></lb> ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί· ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,9,4,13"></lb> τῶν Δ, Γ δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται ἀριθμοί.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,9,4,14"></lb> ἐστι κύβος ὁ Δ· κύβος ἄρα καὶ ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,4,15"></lb> <s>Ἐὰν κύβος ἀριθμὸς ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,9,5,1"></lb> κύβον ποιῇ, καὶ ὁ πολλαπλασιασθεὶς κύβος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,5,2"></lb> <s>Κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλα-<lb n="1799,001,,,,9,5,3"></lb> πλασιάσας κύβον τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Β κύβος <lb n="1799,001,,,,9,5,4"></lb> ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,5,5"></lb> <s>Ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· κύβος <lb n="1799,001,,,,9,5,6"></lb> ἄρα ἐστίν ὁ Δ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,5,7"></lb> τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλα-<lb n="1799,001,,,,9,5,8"></lb> πλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν <lb n="1799,001,,,,9,5,9"></lb> ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Δ πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,5,10"></lb> τὸν Γ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ Δ, Γ κύβοι <lb n="1799,001,,,,9,5,11"></lb> εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν.</s> <s>τῶν <lb n="1799,001,,,,9,5,12"></lb> Δ, Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,9,5,13"></lb> ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,9,5,14"></lb> Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,9,5,15"></lb> ἐστι κύβος ὁ Α· κύβος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,5,16"></lb> <s>Ἐὰν ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ, καὶ <lb n="1799,001,,,,9,6,1"></lb> αὐτὸς κύβος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,6,2"></lb> <s>Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Β <lb n="1799,001,,,,9,6,3"></lb> ποιείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α κύβος ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,6,4"></lb> <s>Ὁ γὰρ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ <lb n="1799,001,,,,9,6,5"></lb> ποιείτω.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλα-<lb n="1799,001,,,,9,6,6"></lb> πλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, τὸν δὲ Β <lb n="1799,001,,,,9,6,7"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,9,6,8"></lb> ἄρα κύβος ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν <lb n="1799,001,,,,9,6,9"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,9,6,10"></lb> κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α <lb n="1799,001,,,,9,6,11"></lb> κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,6,12"></lb> τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,6,13"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,9,6,14"></lb> κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α <lb n="1799,001,,,,9,6,15"></lb> κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,9,6,16"></lb> Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ.</s> <s>ἀλλ' ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, <lb n="1799,001,,,,9,6,17"></lb> οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β <lb n="1799,001,,,,9,6,18"></lb> πρὸς τὸν Γ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ Β, Γ κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί <lb n="1799,001,,,,9,6,19"></lb> εἰσιν.</s> <s>τῶν Β, Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,9,6,20"></lb> ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Β.</s> <s>καὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,9,6,21"></lb> Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί.</s> <s>καί ἐστι <lb n="1799,001,,,,9,6,22"></lb> κύβος ὁ Β· κύβος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Α· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,6,23"></lb> <s>Ἐὰν σύνθετος ἀριθμὸς ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,9,7,1"></lb> ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος στερεὸς ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,7,2"></lb> <s>Σύνθετος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλα-<lb n="1799,001,,,,9,7,3"></lb> πλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ στερεός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,7,4"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α σύνθετός ἐστιν, ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,9,7,5"></lb> ἀριθμοῦ τινος μετρηθήσεται.</s> <s>μετρεί-<lb n="1799,001,,,,9,7,6"></lb> σθω ὑπὸ τοῦ Δ, καὶ ὁσάκις ὁ Δ τὸν <lb n="1799,001,,,,9,7,7"></lb> Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν <lb n="1799,001,,,,9,7,8"></lb> ἐν τῷ Ε.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,9,7,9"></lb> κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, ὁ Ε ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,7,10"></lb> τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν <lb n="1799,001,,,,9,7,11"></lb> Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ δὲ Α ἐστιν ὁ ἐκ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,7,12"></lb> τῶν Δ, Ε, ὁ ἄρα ἐκ τῶν Δ, Ε τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ <lb n="1799,001,,,,9,7,13"></lb> πεποίηκεν.</s> <s>ὁ Γ ἄρα στερεός ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ <lb n="1799,001,,,,9,7,14"></lb> εἰσιν οἱ Δ, Ε, Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,7,15"></lb> <s>Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,9,8,1"></lb> ὦσιν, ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος τετράγωνος ἔσται <lb n="1799,001,,,,9,8,2"></lb> καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες, ὁ δὲ τέταρτος κύβος καὶ οἱ δύο <lb n="1799,001,,,,9,8,3"></lb> διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ ἕβδομος κύβος ἅμα καὶ τετρά-<lb n="1799,001,,,,9,8,4"></lb> γωνος καὶ οἱ πέντε διαλείποντες.</s> <lb n="1799,001,,,,9,8,5"></lb> <s>Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,9,8,6"></lb> οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ· λέγω, ὅτι ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,9,8,7"></lb> μονάδος ὁ Β τετράγωνός ἐστι <lb n="1799,001,,,,9,8,8"></lb> καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες, <lb n="1799,001,,,,9,8,9"></lb> ὁ δὲ τέταρτος ὁ Γ κύβος καὶ <lb n="1799,001,,,,9,8,10"></lb> οἱ δύο διαλείποντες πάντες, ὁ <lb n="1799,001,,,,9,8,11"></lb> δὲ ἕβδομος ὁ Ζ κύβος ἅμα καὶ <lb n="1799,001,,,,9,8,12"></lb> τετράγωνος καὶ οἱ πέντε δια-<lb n="1799,001,,,,9,8,13"></lb> λείποντες πάντες.</s> <lb n="1799,001,,,,9,8,14"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς <lb n="1799,001,,,,9,8,15"></lb> πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,8,16"></lb> τὸν Β, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ <lb n="1799,001,,,,9,8,17"></lb> ὁ Α τὸν Β.</s> <s>ἡ δὲ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,8,18"></lb> αὐτῷ μονάδας· καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν <lb n="1799,001,,,,9,8,19"></lb> τῷ Α μονάδας.</s> <s>ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β <lb n="1799,001,,,,9,8,20"></lb> πεποίηκεν· τετράγωνος ἄρα ἐστὶν ὁ Β.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ Β, Γ, <lb n="1799,001,,,,9,8,21"></lb> Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ Β τετράγωνός ἐστιν, καὶ ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,9,8,22"></lb> ἄρα τετράγωνός ἐστιν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ζ τετράγωνός <lb n="1799,001,,,,9,8,23"></lb> ἐστιν.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες <lb n="1799,001,,,,9,8,24"></lb> πάντες τετράγωνοί εἰσιν.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ τέταρτος <lb n="1799,001,,,,9,8,25"></lb> ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Γ κύβος ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντες <lb n="1799,001,,,,9,8,26"></lb> πάντες.</s> <s>ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β <lb n="1799,001,,,,9,8,27"></lb> πρὸς τὸν Γ, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ <lb n="1799,001,,,,9,8,28"></lb> ὁ Β τὸν Γ.</s> <s>ἡ δὲ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς <lb n="1799,001,,,,9,8,29"></lb> ἐν τῷ Α μονάδας· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν <lb n="1799,001,,,,9,8,30"></lb> τῷ Α μονάδας· ὁ Α ἄρα τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ <lb n="1799,001,,,,9,8,31"></lb> πεποίηκεν.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Β <lb n="1799,001,,,,9,8,32"></lb> πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,9,8,33"></lb> κύβος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ Γ, Δ, Ε, Ζ ἑξῆς ἀνάλογόν <lb n="1799,001,,,,9,8,34"></lb> εἰσιν, ὁ δὲ Γ κύβος ἐστίν, καὶ ὁ Ζ ἄρα κύβος ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,8,35"></lb> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ τετράγωνος· ὁ ἄρα ἕβδομος ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,9,8,36"></lb> μονάδος κύβος τέ ἐστι καὶ τετράγωνος.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, <lb n="1799,001,,,,9,8,37"></lb> ὅτι καὶ οἱ πέντε διαλείποντες πάντες κύβοι τέ εἰσι καὶ <lb n="1799,001,,,,9,8,38"></lb> τετράγωνοι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,8,39"></lb> <s>Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἑξῆς κατὰ τὸ συνεχὲς <lb n="1799,001,,,,9,9,1"></lb> ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα τετράγωνος <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,9,2"></lb> ᾖ, καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοι ἔσονται.</s> <s>καὶ ἐὰν ὁ <lb n="1799,001,,,,9,9,3"></lb> μετὰ τὴν μονάδα κύβος ᾖ, καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι <lb n="1799,001,,,,9,9,4"></lb> ἔσονται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,9,5"></lb> <s>Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογον ὁσοιδηποτοῦν <lb n="1799,001,,,,9,9,6"></lb> ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α <lb n="1799,001,,,,9,9,7"></lb> τετράγωνος ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τε-<lb n="1799,001,,,,9,9,8"></lb> τράγωνοι ἔσονται. <lb n="1799,001,,,,9,9,9"></lb> Ὅτι μὲν οὖν ὁ τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Β τετράγωνός <lb n="1799,001,,,,9,9,10"></lb> ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες, δέδεικται· λέγω <lb n="1799,001,,,,9,9,11"></lb> [δή], ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ <lb n="1799,001,,,,9,9,12"></lb> οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Α τετράγωνος, <lb n="1799,001,,,,9,9,13"></lb> καὶ ὁ Γ [ἄρα] τετράγωνός ἐστιν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ [καὶ] οἱ <lb n="1799,001,,,,9,9,14"></lb> Β, Γ, Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Β τετράγωνος, <lb n="1799,001,,,,9,9,15"></lb> καὶ ὁ Δ [ἄρα] τετράγωνός ἐστιν.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι <lb n="1799,001,,,,9,9,16"></lb> καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,9,17"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὁ Α κύβος· λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ <lb n="1799,001,,,,9,9,18"></lb> πάντες κύβοι εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,9,19"></lb> <s>Ὅτι μὲν οὖν ὁ τέταρτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Γ κύβος <lb n="1799,001,,,,9,9,20"></lb> ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες, δέδεικται· λέγω <lb n="1799,001,,,,9,9,21"></lb> [δή], ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν.</s> <s>ἐπεὶ γάρ ἐστιν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,9,22"></lb> ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἰσάκις <lb n="1799,001,,,,9,9,23"></lb> ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β.</s> <s>ἡ δὲ μονὰς τὸν Α <lb n="1799,001,,,,9,9,24"></lb> μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β <lb n="1799,001,,,,9,9,25"></lb> μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας· ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν <lb n="1799,001,,,,9,9,26"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.</s> <s>καί ἐστιν ὁ Α κύβος.</s> <lb n="1799,001,,,,9,9,27"></lb> <s>ἐὰν δὲ κύβος ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, <lb n="1799,001,,,,9,9,28"></lb> ὁ γενόμενος κύβος ἐστίν· καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,9,9,29"></lb> τέσσαρες ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, <lb n="1799,001,,,,9,9,30"></lb> καί ἐστιν ὁ Α κύβος, καὶ ὁ Δ ἄρα κύβος ἐστίν.</s> <s>διὰ τὰ <lb n="1799,001,,,,9,9,31"></lb> αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε κύβος ἐστίν, καὶ ὁμοίως οἱ λοιποὶ πάντες <lb n="1799,001,,,,9,9,32"></lb> κύβοι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,9,33"></lb> <s>Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ [ἑξῆσ] ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,9,10,1"></lb> ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα μὴ ᾖ τετράγωνος, οὐδ' ἄλλος <lb n="1799,001,,,,9,10,2"></lb> οὐδεὶς τετράγωνος ἔσται χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,9,10,3"></lb> μονάδος καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων πάντων.</s> <s>καὶ ἐὰν ὁ μετὰ <lb n="1799,001,,,,9,10,4"></lb> τὴν μονάδα κύβος μὴ ᾖ, οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἔσται <lb n="1799,001,,,,9,10,5"></lb> χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλει-<lb n="1799,001,,,,9,10,6"></lb> πόντων πάντων.</s> <lb n="1799,001,,,,9,10,7"></lb> <s>Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογον ὁσοιδηποτοῦν <lb n="1799,001,,,,9,10,8"></lb> ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α <lb n="1799,001,,,,9,10,9"></lb> μὴ ἔστω τετράγωνος· λέγω, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς τετρά-<lb n="1799,001,,,,9,10,10"></lb> γωνος ἔσται χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος [καὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,9,10,11"></lb> ἕνα διαλειπόντων].</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,10,12"></lb> Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,9,10,13"></lb> τετράγωνος.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ὁ Β <lb n="1799,001,,,,9,10,14"></lb> τετράγωνος· οἱ Β, Γ ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,10,15"></lb> πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, <lb n="1799,001,,,,9,10,16"></lb> ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,10,17"></lb> τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <s>καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,9,10,18"></lb> ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Α <lb n="1799,001,,,,9,10,19"></lb> πρὸς τὸν Β· οἱ Α, Β ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,10,20"></lb> πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,9,10,21"></lb> πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ὥστε οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί <lb n="1799,001,,,,9,10,22"></lb> εἰσιν.</s> <s>καί ἐστι τετράγωνος ὁ Β· τετράγωνος ἄρα ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,9,10,23"></lb> ὁ Α· ὅπερ οὐχ ὑπέκειτο.</s> <s>οὐκ ἄρα ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,10,24"></lb> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ' ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνός ἐστι <lb n="1799,001,,,,9,10,25"></lb> χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν ἕνα διαλει-<lb n="1799,001,,,,9,10,26"></lb> πόντων.</s> <lb n="1799,001,,,,9,10,27"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ Α κύβος.</s> <s>λέγω, ὅτι οὐδ' ἄλλος <lb n="1799,001,,,,9,10,28"></lb> οὐδεὶς κύβος ἔσται χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος <lb n="1799,001,,,,9,10,29"></lb> καὶ τῶν δύο διαλειπόντων.</s> <lb n="1799,001,,,,9,10,30"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὁ Δ κύβος.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,9,10,31"></lb> κύβος· τέταρτος γάρ ἐστιν ἀπὸ τῆς μονάδος.</s> <s>καί ἐστιν ὡς <lb n="1799,001,,,,9,10,32"></lb> ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Β πρὸς τὸν Γ· καὶ ὁ Β ἄρα πρὸς τὸν Γ <lb n="1799,001,,,,9,10,33"></lb> λόγον ἔχει, ὃν κύβος πρὸς κύβον.</s> <s>καί ἐστιν ὁ Γ κύβος· <lb n="1799,001,,,,9,10,34"></lb> καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,10,35"></lb> τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς <lb n="1799,001,,,,9,10,36"></lb> ἐν αὐτῷ μονάδας, καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν <lb n="1799,001,,,,9,10,37"></lb> αὑτῷ μονάδας· ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,10,38"></lb> τὸν Β πεποίηκεν.</s> <s>ἐὰν δὲ ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,9,10,39"></lb> κύβον ποιῇ, καὶ αὐτὸς κύβος ἔσται.</s> <s>κύβος ἄρα καὶ ὁ Α· <lb n="1799,001,,,,9,10,40"></lb> ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.</s> <s>οὐκ ἄρα ὁ Δ κύβος ἐστίν.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,9,10,41"></lb> δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ' ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἐστὶ χωρὶς τοῦ <lb n="1799,001,,,,9,10,42"></lb> τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων· <lb n="1799,001,,,,9,10,43"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,10,44"></lb> <s>Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,9,11,1"></lb> ὦσιν, ὁ ἐλάττων τὸν μείζονα μετρεῖ κατά τινα τῶν <lb n="1799,001,,,,9,11,2"></lb> ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς.</s> <lb n="1799,001,,,,9,11,3"></lb> <s>Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος τῆς Α ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς <lb n="1799,001,,,,9,11,4"></lb> ἀνάλογον οἱ Β, Γ, Δ, Ε· λέγω, ὅτι τῶν Β, Γ, Δ, Ε ὁ <lb n="1799,001,,,,9,11,5"></lb> ἐλάχιστος ὁ Β τὸν Ε μετρεῖ κατά τινα τῶν Γ, Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,9,11,6"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α μονὰς <lb n="1799,001,,,,9,11,7"></lb> πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, <lb n="1799,001,,,,9,11,8"></lb> ἰσάκις ἄρα ἡ Α μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν <lb n="1799,001,,,,9,11,9"></lb> μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Ε· ἐναλλὰξ ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,11,10"></lb> ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν Δ μετρεῖ καὶ <lb n="1799,001,,,,9,11,11"></lb> ὁ Β τὸν Ε.</s> <s>ἡ δὲ Α μονὰς τὸν Δ μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,9,11,12"></lb> κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· καὶ ὁ Β <lb n="1799,001,,,,9,11,13"></lb> ἄρα τὸν Ε μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας· ὥστε ὁ <lb n="1799,001,,,,9,11,14"></lb> ἐλάσσων ὁ Β τὸν μείζονα τὸν Ε μετρεῖ κατά τινα ἀριθ-<lb n="1799,001,,,,9,11,15"></lb> μὸν τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς.</s> <lb n="1799,001,,,,9,11,16"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,9,11,17"></lb> Καὶ φανερόν, ὅτι ἣν ἔχει τάξιν ὁ μετρῶν ἀπὸ μονάδος, <lb n="1799,001,,,,9,11,18"></lb> τὴν αὐτὴν ἔχει καὶ ὁ καθ' ὃν μετρεῖ ἀπὸ τοῦ μετρουμένου <lb n="1799,001,,,,9,11,19"></lb> ἐπὶ τὸ πρὸ αὐτοῦ.</s> <s>̄ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,11,20"></lb> Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,9,12,1"></lb> ὦσιν, ὑφ' ὅσων ἂν ὁ ἔσχατος πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, <lb n="1799,001,,,,9,12,2"></lb> ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ παρὰ τὴν μονάδα μετρηθήσεται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,12,3"></lb> <s>Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἀνά-<lb n="1799,001,,,,9,12,4"></lb> λογον οἱ Α, Β, Γ, Δ· λέγω, ὅτι ὑφ' ὅσων ἂν ὁ Δ πρώτων <lb n="1799,001,,,,9,12,5"></lb> ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ Α μετρηθήσεται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,12,6"></lb> <s>Μετρείσθω γὰρ ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,9,12,7"></lb> ὑπό τινος πρώτου ἀριθ-<lb n="1799,001,,,,9,12,8"></lb> μοῦ τοῦ Ε· λέγω, ὅτι ὁ <lb n="1799,001,,,,9,12,9"></lb> Ε τὸν Α μετρεῖ.</s> <s>μὴ γάρ· <lb n="1799,001,,,,9,12,10"></lb> καί ἐστιν ὁ Ε πρῶτος, <lb n="1799,001,,,,9,12,11"></lb> ἅπας δὲ πρῶτος ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,9,12,12"></lb> πρὸς ἅπαντα, ὃν μὴ με-<lb n="1799,001,,,,9,12,13"></lb> τρεῖ, πρῶτός ἐστιν· οἱ Ε, Α ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,9,12,14"></lb> εἰσίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ <lb n="1799,001,,,,9,12,15"></lb> τὸν Ζ· ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,12,16"></lb> <s>πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας, <lb n="1799,001,,,,9,12,17"></lb> ὁ Α ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.</s> <s>ἀλλὰ μὴν <lb n="1799,001,,,,9,12,18"></lb> καὶ ὁ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ <lb n="1799,001,,,,9,12,19"></lb> τῶν Α, Γ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Ζ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α <lb n="1799,001,,,,9,12,20"></lb> πρὸς τὸν Ε, ὁ Ζ πρὸς τὸν Γ.</s> <s>οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ <lb n="1799,001,,,,9,12,21"></lb> πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν <lb n="1799,001,,,,9,12,22"></lb> αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,12,23"></lb> καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,9,12,24"></lb> <s>μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η· ὁ Ε ἄρα τὸν Η πολλαπλα-<lb n="1799,001,,,,9,12,25"></lb> σιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.</s> <s>ἀλλὰ μὴν διὰ τὸ πρὸ τούτου καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,9,12,26"></lb> Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.</s> <s>ὁ ἄρα ἐκ τῶν <lb n="1799,001,,,,9,12,27"></lb> Α, Β ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Η.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,12,28"></lb> τὸν Ε, ὁ Η πρὸς τὸν Β.</s> <s>οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι <lb n="1799,001,,,,9,12,29"></lb> καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς <lb n="1799,001,,,,9,12,30"></lb> τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος <lb n="1799,001,,,,9,12,31"></lb> τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,12,32"></lb> ὁ Ε τὸν Β.</s> <s>μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ· ὁ Ε ἄρα τὸν Θ <lb n="1799,001,,,,9,12,33"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.</s> <s>ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α ἑαυ-<lb n="1799,001,,,,9,12,34"></lb> τὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν <lb n="1799,001,,,,9,12,35"></lb> Ε, Θ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡσ ὁ Ε πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,9,12,36"></lb> Α, ὁ Α πρὸς τὸν Θ.</s> <s>οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ <lb n="1799,001,,,,9,12,37"></lb> ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον <lb n="1799,001,,,,9,12,38"></lb> ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,9,12,39"></lb> ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Α ὡς ἡγούμενος <lb n="1799,001,,,,9,12,40"></lb> ἡγούμενον.</s> <s>ἀλλὰ μὴν καὶ οὐ μετρεῖ· ὅπερ ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ <lb n="1799,001,,,,9,12,41"></lb> ἄρα οἱ Ε, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s>σύνθετοι ἄρα.</s> <lb n="1799,001,,,,9,12,42"></lb> <s>οἱ δὲ σύνθετοι ὑπὸ [πρώτου] ἀριθμοῦ τινος μετροῦνται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,12,43"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρῶτος ὑπόκειται, ὁ δὲ πρῶτος ὑπὸ ἑτέρου <lb n="1799,001,,,,9,12,44"></lb> ἀριθμοῦ οὐ μετρεῖται ἢ ὑφ' ἑαυτοῦ, ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Ε <lb n="1799,001,,,,9,12,45"></lb> μετρεῖ· ὥστε ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Δ· ὁ Ε <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,12,46"></lb> ἄρα τοὺς Α, Δ μετρεῖ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὑφ' ὅσων <lb n="1799,001,,,,9,12,47"></lb> ἂν ὁ Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ <lb n="1799,001,,,,9,12,48"></lb> ὁ Α μετρηθήσεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,12,49"></lb> <s>Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,9,13,1"></lb> ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα πρῶτος ᾖ, ὁ μέγιστος ὑπ' <lb n="1799,001,,,,9,13,2"></lb> οὐδενὸς [ἄλλου] μετρηθήσεται παρὲξ τῶν ὑπαρχόντων ἐν <lb n="1799,001,,,,9,13,3"></lb> τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς. <lb n="1799,001,,,,9,13,4"></lb> Ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλο-<lb n="1799,001,,,,9,13,5"></lb> γον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α πρῶτος ἔστω· <lb n="1799,001,,,,9,13,6"></lb> λέγω, ὅτι ὁ μέγιστος αὐτῶν ὁ Δ ὑπ' οὐδενὸς ἄλλου <lb n="1799,001,,,,9,13,7"></lb> μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,9,13,8"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείσθω ὑπὸ τοῦ Ε, καὶ ὁ Ε μηδενὶ <lb n="1799,001,,,,9,13,9"></lb> τῶν Α, Β, Γ ἔστω ὁ αὐτός.</s> <s>φανερὸν δή, ὅτι ὁ Ε πρῶτος <lb n="1799,001,,,,9,13,10"></lb> οὔκ ἐστιν.</s> <s>εἰ γὰρ ὁ Ε πρῶτός ἐστι καὶ μετρεῖ τὸν Δ, καὶ <lb n="1799,001,,,,9,13,11"></lb> τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,9,13,12"></lb> ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ὁ Ε πρῶτός ἐστιν.</s> <s>σύνθετος ἄρα.</s> <lb n="1799,001,,,,9,13,13"></lb> <s>πᾶς δὲ σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ <lb n="1799,001,,,,9,13,14"></lb> μετρεῖται· ὁ Ε ἄρα ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,13,15"></lb> <s>λέγω δή, ὅτι ὑπ' οὐδενὸς ἄλλου πρώτου μετρηθήσεται <lb n="1799,001,,,,9,13,16"></lb> πλὴν τοῦ Α.</s> <s>εἰ γὰρ ὑφ' ἑτέρου μετρεῖται ὁ Ε, ὁ δὲ Ε <lb n="1799,001,,,,9,13,17"></lb> τὸν Δ μετρεῖ, κἀκεῖνος ἄρα τὸν Δ μετρήσει· ὥστε καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,13,18"></lb> τὸν Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,9,13,19"></lb> ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>ὁ Α ἄρα τὸν Ε μετρεῖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν <lb n="1799,001,,,,9,13,20"></lb> Δ μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ.</s> <s>λέγω, ὅτι ὁ Ζ <lb n="1799,001,,,,9,13,21"></lb> οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.</s> <s>εἰ γὰρ ὁ Ζ ἑνὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,9,13,22"></lb> Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτὸς καὶ μετρεῖ τὸν Δ κατὰ τὸν Ε, καὶ <lb n="1799,001,,,,9,13,23"></lb> εἷς ἄρα τῶν Α, Β, Γ τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ε.</s> <s>ἀλλὰ εἷς <lb n="1799,001,,,,9,13,24"></lb> τῶν Α, Β, Γ τὸν Δ μετρεῖ κατά τινα τῶν Α, Β, Γ· καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,9,13,25"></lb> Ε ἄρα ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,13,26"></lb> <s>οὐκ ἄρα ὁ Ζ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.</s> <s>ὁμοίως δὴ <lb n="1799,001,,,,9,13,27"></lb> δείξομεν, ὅτι μετρεῖται ὁ Ζ ὑπὸ τοῦ Α, δεικνύντες πάλιν, <lb n="1799,001,,,,9,13,28"></lb> ὅτι ὁ Ζ οὔκ ἐστι πρῶτος.</s> <s>εἰ γάρ, καὶ μετρεῖ τὸν Δ, καὶ τὸν <lb n="1799,001,,,,9,13,29"></lb> Α μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,9,13,30"></lb> ἀδύνατον· οὐκ ἄρα πρῶτός ἐστιν ὁ Ζ· σύνθετος ἄρα.</s> <s>ἅπας <lb n="1799,001,,,,9,13,31"></lb> δὲ σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖ-<lb n="1799,001,,,,9,13,32"></lb> ται· ὁ Ζ ἄρα ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.</s> <s>λέγω <lb n="1799,001,,,,9,13,33"></lb> δή, ὅτι ὑφ' ἑτέρου πρώτου οὐ μετρηθήσεται πλὴν τοῦ <lb n="1799,001,,,,9,13,34"></lb> Α.</s> <s>εἰ γὰρ ἕτερός τις πρῶτος τὸν Ζ μετρεῖ, ὁ δὲ Ζ τὸν <lb n="1799,001,,,,9,13,35"></lb> Δ μετρεῖ, κἀκεῖνος ἄρα τὸν Δ μετρήσει· ὥστε καὶ τὸν Α <lb n="1799,001,,,,9,13,36"></lb> μετρήσει πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ αὐτός· ὅπερ ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,9,13,37"></lb> ἀδύνατον.</s> <s>ὁ Α ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,9,13,38"></lb> κατὰ τὸν Ζ, ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ <lb n="1799,001,,,,9,13,39"></lb> πεποίηκεν.</s> <s>ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,9,13,40"></lb> τὸν Δ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Γ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ <lb n="1799,001,,,,9,13,41"></lb> τῶν Ε, Ζ.</s> <s>ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως <lb n="1799,001,,,,9,13,42"></lb> ὁ Ζ πρὸς τὸν Γ.</s> <s>ὁ δὲ Α τὸν Ε μετρεῖ· καὶ ὁ Ζ ἄρα τὸν Γ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,13,43"></lb> μετρεῖ.</s> <s>μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, <lb n="1799,001,,,,9,13,44"></lb> ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β ἐστιν ὁ αὐτός, καὶ ὅτι μετρεῖται <lb n="1799,001,,,,9,13,45"></lb> ὑπὸ τοῦ Α.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὸν Η, ὁ Ζ <lb n="1799,001,,,,9,13,46"></lb> ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.</s> <s>ἀλλὰ μὴν <lb n="1799,001,,,,9,13,47"></lb> καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· ὁ ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,13,48"></lb> ἐκ τῶν Α, Β ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ζ, Η.</s> <s>ἀνάλογον ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,9,13,49"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Ζ, ὁ Η πρὸς τὸν Β.</s> <s>μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Ζ· με-<lb n="1799,001,,,,9,13,50"></lb> τρεῖ ἄρα καὶ ὁ Η τὸν Β.</s> <s>μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ.</s> <lb n="1799,001,,,,9,13,51"></lb> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὁ Θ τῷ Α οὐκ ἔστιν ὁ αὐτός.</s> <lb n="1799,001,,,,9,13,52"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Η τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Θ, ὁ Η ἄρα τὸν Θ <lb n="1799,001,,,,9,13,53"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.</s> <s>ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α <lb n="1799,001,,,,9,13,54"></lb> ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν· ὁ ἄρα ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,9,13,55"></lb> Θ, Η ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α τετραγώνῳ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,9,13,56"></lb> ὁ Θ πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Η.</s> <s>μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Η· <lb n="1799,001,,,,9,13,57"></lb> μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Θ τὸν Α πρῶτον ὄντα μὴ ὢν αὐτῷ ὁ <lb n="1799,001,,,,9,13,58"></lb> αὐτός· ὅπερ ἄτοπον.</s> <s>οὐκ ἄρα ὁ μέγιστος ὁ Δ ὑπὸ ἑτέρου <lb n="1799,001,,,,9,13,59"></lb> ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,9,13,60"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,13,61"></lb> <s>Ἐὰν ἐλάχιστος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, <lb n="1799,001,,,,9,14,1"></lb> ὑπ' οὐδενὸς ἄλλου πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ <lb n="1799,001,,,,9,14,2"></lb> τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρούντων.</s> <lb n="1799,001,,,,9,14,3"></lb> <s>Ἐλάχιστος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ὑπὸ πρώτων ἀριθμῶν <lb n="1799,001,,,,9,14,4"></lb> τῶν Β, Γ, Δ μετρείσθω· λέγω, ὅτι ὁ Α ὑπ' οὐδενὸς ἄλλου <lb n="1799,001,,,,9,14,5"></lb> πρώτου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Β, Γ, Δ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,14,6"></lb> Εἰ γὰρ δυνατόν, μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Ε, καὶ <lb n="1799,001,,,,9,14,7"></lb> ὁ Ε μηδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ἔστω ὁ αὐτός.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Α <lb n="1799,001,,,,9,14,8"></lb> μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ· ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ <lb n="1799,001,,,,9,14,9"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν. <lb n="1799,001,,,,9,14,10"></lb> καὶ μετρεῖται ὁ Α ὑπὸ πρώτων <lb n="1799,001,,,,9,14,11"></lb> ἀριθμῶν τῶν Β, Γ, Δ.</s> <s>ἐὰν δὲ δύο <lb n="1799,001,,,,9,14,12"></lb> ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,9,14,13"></lb> λους ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενό-<lb n="1799,001,,,,9,14,14"></lb> μενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός, καὶ ἕνα τῶν <lb n="1799,001,,,,9,14,15"></lb> ἐξ ἀρχῆς μετρήσει· οἱ Β, Γ, Δ ἄρα ἕνα τῶν Ε, Ζ μετρή-<lb n="1799,001,,,,9,14,16"></lb> σουσιν.</s> <s>τὸν μὲν οὖν Ε οὐ μετρήσουσιν· ὁ γὰρ Ε πρῶτός <lb n="1799,001,,,,9,14,17"></lb> ἐστι καὶ οὐδενὶ τῶν Β, Γ, Δ ὁ αὐτός.</s> <s>τὸν Ζ ἄρα μετροῦ-<lb n="1799,001,,,,9,14,18"></lb> σιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Α· ὅπερ ἀδύνατον.</s> <s>ὁ γὰρ Α ὑπό-<lb n="1799,001,,,,9,14,19"></lb> κειται ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Β, Γ, Δ μετρούμενος.</s> <s>οὐκ ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,14,20"></lb> τὸν Α μετρήσει πρῶτος ἀριθμὸς παρὲξ τῶν Β, Γ, Δ· <lb n="1799,001,,,,9,14,21"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,14,22"></lb> <s>Ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν ἐλάχιστοι τῶν <lb n="1799,001,,,,9,15,1"></lb> τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, δύο ὁποιοιοῦν συντε-<lb n="1799,001,,,,9,15,2"></lb> θέντες πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτοί εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,15,3"></lb> <s>Ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν <lb n="1799,001,,,,9,15,4"></lb> τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Β, Γ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,9,15,5"></lb> τῶν Α, Β, Γ δύο ὁποιοιοῦν συντεθέντες πρὸς τὸν λοιπὸν <lb n="1799,001,,,,9,15,6"></lb> πρῶτοί εἰσιν, οἱ μὲν Α, Β πρὸς τὸν Γ, οἱ δὲ Β, Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,15,7"></lb> τὸν Α καὶ ἔτι οἱ Α, Γ πρὸς τὸν Β.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,15,8"></lb> Εἰλήφθωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν <lb n="1799,001,,,,9,15,9"></lb> λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β, Γ δύο οἱ ΔΕ, ΕΖ.</s> <s>φανερὸν δή, <lb n="1799,001,,,,9,15,10"></lb> ὅτι ὁ μὲν ΔΕ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,9,15,11"></lb> τὸν δὲ ΕΖ πολλαπλασιάσας τὸν Β <lb n="1799,001,,,,9,15,12"></lb> πεποίηκεν, καὶ ἔτι ὁ ΕΖ ἑαυτὸν <lb n="1799,001,,,,9,15,13"></lb> πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,15,14"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ ἐλάχιστοί <lb n="1799,001,,,,9,15,15"></lb> εἰσιν, πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,15,16"></lb> <s>ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοί πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ <lb n="1799,001,,,,9,15,17"></lb> συναμφότερος πρὸς ἑκάτερον πρῶτός ἐστιν· καὶ ὁ ΔΖ <lb n="1799,001,,,,9,15,18"></lb> ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν.</s> <s>ἀλλὰ μὴν <lb n="1799,001,,,,9,15,19"></lb> καὶ ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτός ἐστιν· οἱ ΔΖ, ΔΕ ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,15,20"></lb> πρὸς τὸν ΕΖ πρῶτοί εἰσιν.</s> <s>ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοὶ πρός τινα <lb n="1799,001,,,,9,15,21"></lb> ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν, καὶ ὁ ἐξ αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,9,15,22"></lb> λοιπὸν πρῶτός ἐστιν· ὥστε ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,9,15,23"></lb> ΕΖ πρῶτός ἐστιν· ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,9,15,24"></lb> ἀπὸ τοῦ ΕΖ πρῶτός ἐστιν.</s> <s>[ἐὰν γὰρ δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι <lb n="1799,001,,,,9,15,25"></lb> πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ ἐκ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν γενόμενος πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,15,26"></lb> τὸν λοιπὸν πρῶτός ἐστιν].</s> <s>ἀλλ' ὁ ἐκ τῶν ΖΔ, ΔΕ ὁ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,9,15,27"></lb> τοῦ ΔΕ ἐστι μετὰ τοῦ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ· ὁ ἄρα ἀπὸ τοῦ ΔΕ <lb n="1799,001,,,,9,15,28"></lb> μετὰ τοῦ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΕΖ πρῶτός <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,15,29"></lb> ἐστιν.</s> <s>καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α, ὁ δὲ ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ <lb n="1799,001,,,,9,15,30"></lb> ὁ Β, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γ· οἱ Α, Β ἄρα συντεθέντες πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,15,31"></lb> τὸν Γ πρῶτοί εἰσιν.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ Β, Γ <lb n="1799,001,,,,9,15,32"></lb> πρὸς τὸν Α πρῶτοί εἰσιν.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ οἱ Α, Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,15,33"></lb> τὸν Β πρῶτοί εἰσιν.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ ὁ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον τῶν <lb n="1799,001,,,,9,15,34"></lb> ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν, καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΖ πρὸς τὸν ἐκ <lb n="1799,001,,,,9,15,35"></lb> τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτός ἐστιν.</s> <s>ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τοῦ ΔΖ ἴσοι <lb n="1799,001,,,,9,15,36"></lb> εἰσὶν οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ δὶς ἐκ τῶν ΔΕ, ΕΖ· <lb n="1799,001,,,,9,15,37"></lb> καὶ οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,9,15,38"></lb> ΕΖ πρὸς τὸν ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί [εἰσι].</s> <s>διελόντι οἱ <lb n="1799,001,,,,9,15,39"></lb> ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ μετὰ τοῦ ἅπαξ ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,9,15,40"></lb> ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσιν.</s> <s>ἔτι διελόντι οἱ ἀπὸ τῶν ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,9,15,41"></lb> ΕΖ ἄρα πρὸς τὸν ὑπὸ ΔΕ, ΕΖ πρῶτοί εἰσιν.</s> <s>καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,9,15,42"></lb> ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ΔΕ ὁ Α, ὁ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΖ ὁ Β, ὁ δὲ <lb n="1799,001,,,,9,15,43"></lb> ἀπὸ τοῦ ΕΖ ὁ Γ.</s> <s>οἱ Α, Γ ἄρα συντεθέντες πρὸς τὸν Β <lb n="1799,001,,,,9,15,44"></lb> πρῶτοί εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,15,45"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, οὐκ <lb n="1799,001,,,,9,16,1"></lb> ἔσται ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ δεύτερος <lb n="1799,001,,,,9,16,2"></lb> πρὸς ἄλλον τινά.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,16,3"></lb> Δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,9,16,4"></lb> ἔστωσαν· λέγω, ὅτι οὐκ ἔστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως <lb n="1799,001,,,,9,16,5"></lb> ὁ Β πρὸς ἄλλον τινά.</s> <lb n="1799,001,,,,9,16,6"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,16,7"></lb> τὸν Γ.</s> <s>οἱ δὲ Α, Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ <lb n="1799,001,,,,9,16,8"></lb> δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν <lb n="1799,001,,,,9,16,9"></lb> αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγού-<lb n="1799,001,,,,9,16,10"></lb> μενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος <lb n="1799,001,,,,9,16,11"></lb> τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Β <lb n="1799,001,,,,9,16,12"></lb> ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ <lb n="1799,001,,,,9,16,13"></lb> ἑαυτόν· ὁ Α ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,16,14"></lb> ἀλλήλους· ὅπερ ἄτοπον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἔσται ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, <lb n="1799,001,,,,9,16,15"></lb> οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,16,16"></lb> <s>Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ <lb n="1799,001,,,,9,17,1"></lb> δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, οὐκ ἔσται <lb n="1799,001,,,,9,17,2"></lb> ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ ἔσχατος πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,17,3"></lb> ἄλλον τινά.</s> <lb n="1799,001,,,,9,17,4"></lb> <s>Ἔστωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ <lb n="1799,001,,,,9,17,5"></lb> Α, Β, Γ, Δ, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,17,6"></lb> ἀλλήλους ἔστωσαν· λέγω, ὅτι οὐκ ἔστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,9,17,7"></lb> Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς ἄλλον τινά. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,17,8"></lb> Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,9,17,9"></lb> πρὸς τὸν Ε· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, ὁ Β <lb n="1799,001,,,,9,17,10"></lb> πρὸς τὸν Ε.</s> <s>οἱ δὲ Α, Δ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, <lb n="1799,001,,,,9,17,11"></lb> οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον <lb n="1799,001,,,,9,17,12"></lb> ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,9,17,13"></lb> ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.</s> <s>μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Β.</s> <s>καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,9,17,14"></lb> ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ.</s> <s>καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ <lb n="1799,001,,,,9,17,15"></lb> μετρεῖ· ὥστε καὶ ὁ Α τὸν Γ μετρεῖ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς <lb n="1799,001,,,,9,17,16"></lb> ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Γ, <lb n="1799,001,,,,9,17,17"></lb> μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ.</s> <s>ἀλλ' ὁ Α τὸν Γ ἐμέτρει· ὥστε <lb n="1799,001,,,,9,17,18"></lb> ὁ Α καὶ τὸν Δ μετρεῖ.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν.</s> <s>ὁ Α ἄρα τοὺς <lb n="1799,001,,,,9,17,19"></lb> Α, Δ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,9,17,20"></lb> ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἔσται ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,9,17,21"></lb> πρὸς ἄλλον τινά· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,17,22"></lb> <s>Δύο ἀριθμῶν δοθέντων ἐπισκέψασθαι, εἰ δυνατόν ἐστιν <lb n="1799,001,,,,9,18,1"></lb> αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,18,2"></lb> <s>Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ δέον <lb n="1799,001,,,,9,18,3"></lb> ἔστω ἐπισκέψασθαι, εἰ δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τρίτον <lb n="1799,001,,,,9,18,4"></lb> ἀνάλογον προσευρεῖν. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,18,5"></lb> Οἱ δὴ Α, Β ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ.</s> <lb n="1799,001,,,,9,18,6"></lb> <s>καὶ εἰ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, δέδεικται, ὅτι ἀδύνατόν <lb n="1799,001,,,,9,18,7"></lb> ἐστιν αὐτοῖς τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,18,8"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν οἱ Α, Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, <lb n="1799,001,,,,9,18,9"></lb> καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· ὁ Α δὴ <lb n="1799,001,,,,9,18,10"></lb> τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.</s> <s>μετρείτω πρότερον κατὰ <lb n="1799,001,,,,9,18,11"></lb> τὸν Δ· ὁ Α ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,18,12"></lb> <s>ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· <lb n="1799,001,,,,9,18,13"></lb> ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,9,18,14"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Δ· τοῖς Α, Β ἄρα τρίτος <lb n="1799,001,,,,9,18,15"></lb> ἀριθμὸς ἀνάλογον προσηύρηται ὁ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,9,18,16"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Γ· λέγω, ὅτι τοῖς <lb n="1799,001,,,,9,18,17"></lb> Α, Β ἀδύνατόν ἐστι τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,18,18"></lb> <s>εἰ γὰρ δυνατόν, προσηυρήσθω ὁ Δ.</s> <s>ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Δ <lb n="1799,001,,,,9,18,19"></lb> ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β.</s> <s>ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ Β ἐστιν ὁ Γ· ὁ ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,18,20"></lb> ἐκ τῶν Α, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ Γ.</s> <s>ὥστε ὁ Α τὸν Δ πολλαπλα-<lb n="1799,001,,,,9,18,21"></lb> σιάσας τὸν Γ πεποίηκεν· ὁ Α ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὸν Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,9,18,22"></lb> <s>ἀλλὰ μὴν ὑπόκειται καὶ μὴ μετρῶν· ὅπερ ἄτοπον.</s> <s>οὐκ <lb n="1799,001,,,,9,18,23"></lb> ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς Α, Β τρίτον ἀνάλογον προσευρεῖν <lb n="1799,001,,,,9,18,24"></lb> ἀριθμόν, ὅταν ὁ Α τὸν Γ μὴ μετρῇ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,18,25"></lb> <s>Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων ἐπισκέψασθαι, πότε δυνατόν <lb n="1799,001,,,,9,19,1"></lb> ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,19,2"></lb> <s>Ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, καὶ <lb n="1799,001,,,,9,19,3"></lb> δέον ἔστω ἐπισκέψασθαι, πότε δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς <lb n="1799,001,,,,9,19,4"></lb> τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,19,5"></lb> Ἤτοι οὖν οὔκ εἰσιν ἑξῆς ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,9,19,6"></lb> πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἢ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ <lb n="1799,001,,,,9,19,7"></lb> οἱ ἄκροι αὐτῶν οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, ἢ οὔτε <lb n="1799,001,,,,9,19,8"></lb> ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, οὔτε οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,19,9"></lb> ἀλλήλους εἰσίν, ἢ καὶ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι <lb n="1799,001,,,,9,19,10"></lb> αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,19,11"></lb> <s>Εἰ μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι <lb n="1799,001,,,,9,19,12"></lb> αὐτῶν οἱ Α, Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, δέδεικται, <lb n="1799,001,,,,9,19,13"></lb> ὅτι ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν <lb n="1799,001,,,,9,19,14"></lb> ἀριθμόν.</s> <s>μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογον τῶν <lb n="1799,001,,,,9,19,15"></lb> ἄκρων πάλιν ὄντων πρώτων πρὸς ἀλλήλους.</s> <s>λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,9,19,16"></lb> καὶ οὕτως ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,9,19,17"></lb> προσευρεῖν.</s> <s>εἰ γὰρ δυνατόν, προσευρήσθω ὁ Δ, ὥστε <lb n="1799,001,,,,9,19,18"></lb> εἶναι ὡς τὸν Α πρὸς τὸν Β, τὸν Γ πρὸς τὸν Δ, καὶ γεγονέτω <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,19,19"></lb> ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Δ πρὸς τὸν Ε.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς μὲν <lb n="1799,001,,,,9,19,20"></lb> ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Γ, <lb n="1799,001,,,,9,19,21"></lb> ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, δι' ἴσου ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,9,19,22"></lb> πρὸς τὸν Ε.</s> <s>οἱ δὲ Α, Γ πρῶτοι, οἱ δὲ <lb n="1799,001,,,,9,19,23"></lb> πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι <lb n="1799,001,,,,9,19,24"></lb> μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχον-<lb n="1799,001,,,,9,19,25"></lb> τας ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον <lb n="1799,001,,,,9,19,26"></lb> καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.</s> <s>μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,9,19,27"></lb> ἄρα ὁ Α τὸν Γ ὡς ἡγούμενος ἡγού-<lb n="1799,001,,,,9,19,28"></lb> μενον.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν· ὁ Α <lb n="1799,001,,,,9,19,29"></lb> ἄρα τοὺς Α, Γ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,9,19,30"></lb> ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα τοῖς Α, Β, Γ δυνατόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,9,19,31"></lb> τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,19,32"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ <lb n="1799,001,,,,9,19,33"></lb> δὲ Α, Γ μὴ ἔστωσαν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.</s> <s>λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,9,19,34"></lb> δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.</s> <s>ὁ γὰρ <lb n="1799,001,,,,9,19,35"></lb> Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· ὁ Α ἄρα τὸν Δ <lb n="1799,001,,,,9,19,36"></lb> ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.</s> <s>μετρείτω αὐτὸν πρότερον κατὰ <lb n="1799,001,,,,9,19,37"></lb> τὸν Ε· ὁ Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,19,38"></lb> <s>ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· <lb n="1799,001,,,,9,19,39"></lb> ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Γ.</s> <s>ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,9,19,40"></lb> ἄρα [ἐστὶν] ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Ε· τοῖς <lb n="1799,001,,,,9,19,41"></lb> Α, Β, Γ ἄρα τέταρτος ἀνάλογον προσηύρηται ὁ Ε.</s> <lb n="1799,001,,,,9,19,42"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Δ· λέγω, ὅτι ἀδύνατόν <lb n="1799,001,,,,9,19,43"></lb> ἐστι τοῖς Α, Β, Γ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,19,44"></lb> <s>εἰ γὰρ δυνατόν, προσευρήσθω ὁ Ε· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Ε <lb n="1799,001,,,,9,19,45"></lb> ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Γ.</s> <s>ἀλλὰ ὁ ἐκ τῶν Β, Γ ἐστιν ὁ Δ· <lb n="1799,001,,,,9,19,46"></lb> καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Ε ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ Δ.</s> <s>ὁ Α ἄρα τὸν Ε πολ-<lb n="1799,001,,,,9,19,47"></lb> λαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ὁ Α ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,19,48"></lb> τὸν Ε· ὥστε μετρεῖ ὁ Α τὸν Δ.</s> <s>ἀλλὰ καὶ οὐ μετρεῖ· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,9,19,49"></lb> ἄτοπον.</s> <s>οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς Α, Β, Γ τέταρτον <lb n="1799,001,,,,9,19,50"></lb> ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν, ὅταν ὁ Α τὸν Δ μὴ μετρῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,9,19,51"></lb> <s>ἀλλὰ δὴ οἱ Α, Β, Γ μήτε ἑξῆς ἔστωσαν ἀνάλογον μήτε <lb n="1799,001,,,,9,19,52"></lb> οἱ ἄκροι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.</s> <s>καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλα-<lb n="1799,001,,,,9,19,53"></lb> σιάσας τὸν Δ ποιείτω.</s> <s>ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι εἰ μὲν <lb n="1799,001,,,,9,19,54"></lb> μετρεῖ ὁ Α τὸν Δ, δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς ἀνάλογον προσευ-<lb n="1799,001,,,,9,19,55"></lb> ρεῖν, εἰ δὲ οὐ μετρεῖ, ἀδύνατον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,19,56"></lb> <s>Οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτε-<lb n="1799,001,,,,9,20,1"></lb> θέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,20,2"></lb> <s>Ἔστωσαν οἱ προτεθέντες πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· <lb n="1799,001,,,,9,20,3"></lb> λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ πλείους εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοί. <lb n="1799,001,,,,9,20,4"></lb> Εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ ἐλάχιστος μετρού-<lb n="1799,001,,,,9,20,5"></lb> μενος καὶ ἔστω ὁ ΔΕ, καὶ προσκείσθω τῷ ΔΕ μονὰς ἡ <lb n="1799,001,,,,9,20,6"></lb> ΔΖ.</s> <s>ὁ δὴ ΕΖ ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ οὔ.</s> <s>ἔστω πρότερον <lb n="1799,001,,,,9,20,7"></lb> πρῶτος· εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, <lb n="1799,001,,,,9,20,8"></lb> ΕΖ πλείους τῶν Α, Β, Γ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,20,9"></lb> Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ ΕΖ πρῶτος· ὑπὸ πρώτου ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,20,10"></lb> τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.</s> <s>μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Η· <lb n="1799,001,,,,9,20,11"></lb> λέγω, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.</s> <s>εἰ γὰρ <lb n="1799,001,,,,9,20,12"></lb> δυνατόν, ἔστω.</s> <s>οἱ δὲ Α, Β, Γ τὸν ΔΕ μετροῦσιν· καὶ ὁ Η <lb n="1799,001,,,,9,20,13"></lb> ἄρα τὸν ΔΕ μετρήσει.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΖ· καὶ λοιπὴν <lb n="1799,001,,,,9,20,14"></lb> τὴν ΔΖ μονάδα μετρήσει ὁ Η ἀριθμὸς ὤν· ὅπερ ἄτοπον.</s> <lb n="1799,001,,,,9,20,15"></lb> <s>οὐκ ἄρα ὁ Η ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.</s> <s>καὶ ὑπόκειται <lb n="1799,001,,,,9,20,16"></lb> πρῶτος.</s> <s>εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους τοῦ <lb n="1799,001,,,,9,20,17"></lb> προτεθέντος πλήθους τῶν Α, Β, Γ οἱ Α, Β, Γ, Η· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,9,20,18"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,20,19"></lb> <s>Ἐὰν ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, ὁ ὅλος <lb n="1799,001,,,,9,21,1"></lb> ἄρτιός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,21,2"></lb> <s>Συγκείσθωσαν γὰρ ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν οἱ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,9,21,3"></lb> ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ· λέγω, ὅτι ὅλος ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν. <lb n="1799,001,,,,9,21,4"></lb> Ἐπεὶ γὰρ ἕκαστος τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ ἄρτιός ἐστιν, <lb n="1799,001,,,,9,21,5"></lb> ἔχει μέρος ἥμισυ· ὥστε καὶ ὅλος ὁ ΑΕ ἔχει μέρος ἥμισυ.</s> <lb n="1799,001,,,,9,21,6"></lb> <s>ἄρτιος δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ δίχα διαιρούμενος· ἄρτιος ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,21,7"></lb> ἐστὶν ὁ ΑΕ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,21,8"></lb> Ἐὰν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,9,22,1"></lb> πλῆθος αὐτῶν ἄρτιον ᾖ, ὁ ὅλος ἄρτιος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,22,2"></lb> <s>Συγκείσθωσαν γὰρ περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁσοιδηποτοῦν <lb n="1799,001,,,,9,22,3"></lb> ἄρτιοι τὸ πλῆθος οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ· λέγω, ὅτι ὅλος ὁ <lb n="1799,001,,,,9,22,4"></lb> ΑΕ ἄρτιός ἐστιν. <lb n="1799,001,,,,9,22,5"></lb> Ἐπεὶ γὰρ ἕκαστος τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ περιττός <lb n="1799,001,,,,9,22,6"></lb> ἐστιν, ἀφαιρεθείσης μονάδος ἀφ' ἑκάστου ἕκαστος τῶν <lb n="1799,001,,,,9,22,7"></lb> λοιπῶν ἄρτιος ἔσται· ὥστε καὶ ὁ συγκείμενος ἐξ αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,9,22,8"></lb> ἄρτιος ἔσται.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ τὸ πλῆθος τῶν μονάδων ἄρτιον.</s> <lb n="1799,001,,,,9,22,9"></lb> <s>καὶ ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,22,10"></lb> <s>Ἐὰν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,9,23,1"></lb> πλῆθος αὐτῶν περισσὸν ᾖ, καὶ ὁ ὅλος περισσὸς ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,23,2"></lb> <s>Συγκείσθωσαν γὰρ ὁποσοιοῦν περισσοὶ ἀριθμοί, ὧν <lb n="1799,001,,,,9,23,3"></lb> τὸ πλῆθος περισσὸν ἔστω, οἱ *αΒ, ΒΓ, ΓΔ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,9,23,4"></lb> καὶ ὅλος ὁ ΑΔ περισσός ἐστιν. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,23,5"></lb> Ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΓΔ μονὰς ἡ ΔΕ· λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΕ <lb n="1799,001,,,,9,23,6"></lb> ἄρτιός ἐστιν.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ὁ ΓΑ ἄρτιος· καὶ ὅλος ἄρα ὁ <lb n="1799,001,,,,9,23,7"></lb> ΑΕ ἄρτιός ἐστιν.</s> <s>καί ἐστι μονὰς ἡ ΔΕ.</s> <s>περισσὸς ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,23,8"></lb> ἐστὶν ὁ ΑΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,23,9"></lb> <s>Ἐὰν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς <lb n="1799,001,,,,9,24,1"></lb> ἄρτιος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,24,2"></lb> <s>Ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ ἄρτιος ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,9,24,3"></lb> ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν. <lb n="1799,001,,,,9,24,4"></lb> Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ ἄρτιός ἐστιν, ἔχει μέρος ἥμισυ.</s> <s>διὰ <lb n="1799,001,,,,9,24,5"></lb> τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΒΓ ἔχει μέρος ἥμισυ· ὥστε καὶ λοιπὸς <lb n="1799,001,,,,9,24,6"></lb> [ὁ ΓΑ ἔχει μέρος ἥμισυ] ἄρτιος [ἄρα] ἐστὶν ὁ ΑΓ· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,9,24,7"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,24,8"></lb> <s>Ἐὰν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ περισσὸς ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς <lb n="1799,001,,,,9,25,1"></lb> περισσὸς ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,25,2"></lb> <s>Ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ περισσὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· <lb n="1799,001,,,,9,25,3"></lb> λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ περισσός ἐστιν. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,25,4"></lb> Ἀφῃρήσθω γὰρ ἀπὸ τοῦ ΒΓ μονὰς ἡ ΓΔ· ὁ ΔΒ ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,25,5"></lb> ἄρτιός ἐστιν.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ὁ ΑΒ ἄρτιος· καὶ λοιπὸς ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,25,6"></lb> ὁ ΑΔ ἄρτιός ἐστιν.</s> <s>καί ἐστι μονὰς ἡ ΓΔ· ὁ ΓΑ ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,25,7"></lb> περισσός ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,25,8"></lb> <s>Ἐὰν ἀπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ περισσὸς ἀφαιρεθῇ, ὁ <lb n="1799,001,,,,9,26,1"></lb> λοιπὸς ἄρτιος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,26,2"></lb> <s>Ἀπὸ γὰρ περισσοῦ τοῦ ΑΒ περισσὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· <lb n="1799,001,,,,9,26,3"></lb> λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν. <lb n="1799,001,,,,9,26,4"></lb> Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ περισσός ἐστιν, ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ <lb n="1799,001,,,,9,26,5"></lb> ΒΔ· λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιός ἐστιν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,9,26,6"></lb> ὁ ΓΔ ἄρτιός ἐστιν· ὥστε καὶ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν· <lb n="1799,001,,,,9,26,7"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,26,8"></lb> <s>Ἐὰν ἀπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς <lb n="1799,001,,,,9,27,1"></lb> περισσὸς ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,27,2"></lb> <s>Ἀπὸ γὰρ περισσοῦ τοῦ ΑΒ ἄρτιος ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· <lb n="1799,001,,,,9,27,3"></lb> λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ περισσός ἐστιν. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,27,4"></lb> Ἀφῃρήσθω [γὰρ] μονὰς ἡ ΑΔ· ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,27,5"></lb> <s>ἔστι δὲ καὶ ὁ ΒΓ ἄρτιος· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΔ ἄρτιός <lb n="1799,001,,,,9,27,6"></lb> ἐστιν.</s> <s>περισσὸς ἄρα ὁ ΓΑ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,27,7"></lb> <s>Ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς ἄρτιον πολλαπλασιάσας ποιῇ <lb n="1799,001,,,,9,28,1"></lb> τινα, ὁ γενόμενος ἄρτιος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,28,2"></lb> <s>Περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἄρτιον τὸν Β πολλαπλα-<lb n="1799,001,,,,9,28,3"></lb> σιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ ἄρτιός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,28,4"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,9,28,5"></lb> τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ <lb n="1799,001,,,,9,28,6"></lb> τοσούτων ἴσων τῷ Β, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Α <lb n="1799,001,,,,9,28,7"></lb> μονάδες.</s> <s>καί ἐστιν ὁ Β ἄρτιος· ὁ Γ ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,28,8"></lb> σύγκειται ἐξ ἀρτίων.</s> <s>ἐὰν δὲ ἄρτιοι ἀριθμοὶ <lb n="1799,001,,,,9,28,9"></lb> ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, ὁ ὅλος ἄρτιός ἐστιν.</s> <s>ἄρτιος ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,28,10"></lb> ἐστὶν ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,28,11"></lb> <s>Ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς περισσὸν ἀριθμὸν πολλαπλα-<lb n="1799,001,,,,9,29,1"></lb> σιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος περισσὸς ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,29,2"></lb> <s>Περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α <lb n="1799,001,,,,9,29,3"></lb> περισσὸν τὸν Β πολλαπλασιάσας <lb n="1799,001,,,,9,29,4"></lb> τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ περισ-<lb n="1799,001,,,,9,29,5"></lb> σός ἐστιν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,29,6"></lb> Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, <lb n="1799,001,,,,9,29,7"></lb> ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ τοσούτων ἴσων τῷ Β, ὅσαι εἰσὶν <lb n="1799,001,,,,9,29,8"></lb> ἐν τῷ Α μονάδες.</s> <s>καί ἐστιν ἑκάτερος τῶν Α, Β περισσός· <lb n="1799,001,,,,9,29,9"></lb> ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ περισσῶν ἀριθμῶν, ὧν τὸ πλῆθος <lb n="1799,001,,,,9,29,10"></lb> περισσόν ἐστιν.</s> <s>ὥστε ὁ Γ περισσός ἐστιν· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,9,29,11"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,29,12"></lb> <s>Ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς ἄρτιον ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ τὸν <lb n="1799,001,,,,9,30,1"></lb> ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,9,30,2"></lb> <s>Περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἄρτιον τὸν Β μετρείτω· <lb n="1799,001,,,,9,30,3"></lb> λέγω, ὅτι καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,9,30,4"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Γ· <lb n="1799,001,,,,9,30,5"></lb> λέγω, ὅτι ὁ Γ οὐκ ἔστι περισσός.</s> <s>εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,9,30,6"></lb> ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Γ, ὁ Α ἄρα τὸν Γ πολλα-<lb n="1799,001,,,,9,30,7"></lb> πλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.</s> <s>ὁ Β ἄρα σύγκει- <lb n="1799,001,,,,9,30,8"></lb> ται ἐκ περισσῶν ἀριθμῶν, ὧν τὸ πλῆθος περισ-<lb n="1799,001,,,,9,30,9"></lb> σόν ἐστιν.</s> <s>ὁ Β ἄρα περισσός ἐστιν· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,9,30,10"></lb> ἄτοπον· ὑπόκειται γὰρ ἄρτιος.</s> <s>οὐκ ἄρα ὁ Γ <lb n="1799,001,,,,9,30,11"></lb> περισσός ἐστιν· ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ.</s> <s>ὥστε ὁ <lb n="1799,001,,,,9,30,12"></lb> Α τὸν Β μετρεῖ ἀρτιάκις.</s> <s>διὰ δὴ τοῦτο καὶ <lb n="1799,001,,,,9,30,13"></lb> τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,30,14"></lb> <s>Ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτος ᾖ, καὶ <lb n="1799,001,,,,9,31,1"></lb> πρὸς τὸν διπλασίονα αὐτοῦ πρῶτος ἔσται.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,31,2"></lb> Περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α πρός τινα ἀριθμὸν τὸν Β <lb n="1799,001,,,,9,31,3"></lb> πρῶτος ἔστω, τοῦ δὲ Β διπλασίων ἔστω ὁ Γ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,9,31,4"></lb> ὁ Α [καὶ] πρὸς τὸν Γ πρῶτός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,9,31,5"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή εἰσιν [οἱ Α, Γ] πρῶτοι, <lb n="1799,001,,,,9,31,6"></lb> μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.</s> <s>μετρείτω, <lb n="1799,001,,,,9,31,7"></lb> καὶ ἔστω ὁ Δ.</s> <s>καί ἐστιν ὁ Α περισσός· <lb n="1799,001,,,,9,31,8"></lb> περισσὸς ἄρα καὶ ὁ Δ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,9,31,9"></lb> περισσὸς ὢν τὸν Γ μετρεῖ, καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,9,31,10"></lb> ὁ Γ ἄρτιος, καὶ τὸν ἥμισυν ἄρα τοῦ Γ <lb n="1799,001,,,,9,31,11"></lb> μετρήσει [ὁ Δ].</s> <s>τοῦ δὲ Γ ἥμισύ ἐστιν ὁ Β· ὁ Δ ἄρα τὸν Β <lb n="1799,001,,,,9,31,12"></lb> μετρεῖ.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Α.</s> <s>ὁ Δ ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,9,31,13"></lb> πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ <lb n="1799,001,,,,9,31,14"></lb> ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Γ πρῶτος οὔκ ἐστιν.</s> <s>οἱ Α, Γ ἄρα πρῶτοι <lb n="1799,001,,,,9,31,15"></lb> πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,31,16"></lb> <s>Τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ἀριθμῶν ἕκαστος <lb n="1799,001,,,,9,32,1"></lb> ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον.</s> <lb n="1799,001,,,,9,32,2"></lb> <s>Ἀπὸ γὰρ δυάδος τῆς Α δεδιπλασιάσθωσαν ὁσοιδηποτοῦν <lb n="1799,001,,,,9,32,3"></lb> ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ, Δ· λέγω, ὅτι οἱ Β, Γ, Δ ἀρτιάκις ἄρτιοί <lb n="1799,001,,,,9,32,4"></lb> εἰσι μόνον. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,32,5"></lb> Ὅτι μὲν οὖν ἕκαστος [τῶν Β, Γ, Δ] ἀρτιάκις ἄρτιός <lb n="1799,001,,,,9,32,6"></lb> ἐστιν, φανερόν· ἀπὸ γὰρ δυάδος ἐστὶ διπλασιασθείς.</s> <lb n="1799,001,,,,9,32,7"></lb> <s>λέγω, ὅτι καὶ μόνον.</s> <s>ἐκκείσθω γὰρ μονάς.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,9,32,8"></lb> μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ μετὰ <lb n="1799,001,,,,9,32,9"></lb> τὴν μονάδα ὁ Α πρῶτός ἐστιν, ὁ μέγιστος τῶν Α, Β, Γ, Δ <lb n="1799,001,,,,9,32,10"></lb> ὁ Δ ὑπ' οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,9,32,11"></lb> <s>καί ἐστιν ἕκαστος τῶν Α, Β, Γ ἄρτιος· ὁ Δ ἄρα ἀρτιάκις <lb n="1799,001,,,,9,32,12"></lb> ἄρτιός ἐστι μόνον.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι [καὶ] ἑκάτερος <lb n="1799,001,,,,9,32,13"></lb> τῶν Β, Γ ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,32,14"></lb> <s>Ἐὰν ἀριθμὸς τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν, ἀρτιάκις περισ-<lb n="1799,001,,,,9,33,1"></lb> σός ἐστι μόνον.</s> <lb n="1799,001,,,,9,33,2"></lb> <s>Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α τὸν ἥμισυν ἐχέτω περισσόν· λέγω, <lb n="1799,001,,,,9,33,3"></lb> ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον. <lb n="1799,001,,,,9,33,4"></lb> Ὅτι μὲν οὖν ἀρτιάκις περισσός ἐστιν, φανερόν· ὁ γὰρ <lb n="1799,001,,,,9,33,5"></lb> ἥμισυς αὐτοῦ περισσὸς ὢν μετρεῖ αὐτὸν ἀρτιάκις.</s> <s>λέγω <lb n="1799,001,,,,9,33,6"></lb> δή, ὅτι καὶ μόνον.</s> <s>εἰ γὰρ ἔσται ὁ Α καὶ ἀρτιάκις ἄρτιος, <lb n="1799,001,,,,9,33,7"></lb> μετρηθήσεται ὑπὸ ἀρτίου κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν· ὥστε <lb n="1799,001,,,,9,33,8"></lb> καὶ ὁ ἥμισυς αὐτοῦ μετρηθήσεται ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ <lb n="1799,001,,,,9,33,9"></lb> περισσὸς ὤν· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.</s> <s>ὁ Α ἄρα ἀρτιάκις <lb n="1799,001,,,,9,33,10"></lb> περισσός ἐστι μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,33,11"></lb> Ἐὰν ἀριθμὸς μήτε τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων <lb n="1799,001,,,,9,34,1"></lb> ᾖ μήτε τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν, ἀρτιάκις τε ἄρτιός ἐστι <lb n="1799,001,,,,9,34,2"></lb> καὶ ἀρτιάκις περισσός.</s> <lb n="1799,001,,,,9,34,3"></lb> <s>Ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α μήτε τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασια-<lb n="1799,001,,,,9,34,4"></lb> ζομένων ἔστω μήτε τὸν ἥμισυν ἐχέτω περισσόν· λέγω, <lb n="1799,001,,,,9,34,5"></lb> ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις τέ ἐστιν ἄρτιος καὶ ἀρτιάκις περισσός. <lb n="1799,001,,,,9,34,6"></lb> Ὅτι μὲν οὖν ὁ Α ἀρτιάκις ἐστὶν ἄρτιος, φανερόν· τὸν <lb n="1799,001,,,,9,34,7"></lb> γὰρ ἥμισυν οὐκ ἔχει περισσόν.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ ἀρτιάκις <lb n="1799,001,,,,9,34,8"></lb> περισσός ἐστιν.</s> <s>ἐὰν γὰρ τὸν Α τέμνωμεν δίχα καὶ τὸν <lb n="1799,001,,,,9,34,9"></lb> ἥμισυν αὐτοῦ δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιῶμεν, καταντήσομεν <lb n="1799,001,,,,9,34,10"></lb> εἴς τινα ἀριθμὸν περισσόν, ὃς μετρήσει τὸν Α κατὰ <lb n="1799,001,,,,9,34,11"></lb> ἄρτιον ἀριθμόν.</s> <s>εἰ γὰρ οὔ, καταντήσομεν εἰς δυάδα, καὶ <lb n="1799,001,,,,9,34,12"></lb> ἔσται ὁ Α τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων· ὅπερ οὐχ <lb n="1799,001,,,,9,34,13"></lb> ὑπόκειται.</s> <s>ὥστε ὁ Α ἀρτιάκις περισσός ἐστιν.</s> <s>ἐδείχθη δὲ <lb n="1799,001,,,,9,34,14"></lb> καὶ ἀρτιάκις ἄρτιος.</s> <s>ὁ Α ἄρα ἀρτιάκις τε ἄρτιός ἐστι καὶ <lb n="1799,001,,,,9,34,15"></lb> ἀρτιάκις περισσός· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,34,16"></lb> Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, <lb n="1799,001,,,,9,35,1"></lb> ἀφαιρεθῶσι δὲ ἀπό τε τοῦ δευτέρου καὶ τοῦ ἐσχάτου ἴσοι <lb n="1799,001,,,,9,35,2"></lb> τῷ πρώτῳ, ἔσται ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,9,35,3"></lb> πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ <lb n="1799,001,,,,9,35,4"></lb> ἑαυτοῦ πάντας.</s> <lb n="1799,001,,,,9,35,5"></lb> <s>Ἔστωσαν ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ <lb n="1799,001,,,,9,35,6"></lb> Α, ΒΓ, Δ, ΕΖ ἀρχόμενοι ἀπὸ ἐλαχίστου τοῦ Α, καὶ <lb n="1799,001,,,,9,35,7"></lb> ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΒΓ καὶ τοῦ ΕΖ τῷ Α ἴσος ἑκάτερος <lb n="1799,001,,,,9,35,8"></lb> τῶν ΒΗ, ΖΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΗΓ πρὸς τὸν Α, <lb n="1799,001,,,,9,35,9"></lb> οὕτως ὁ ΕΘ πρὸς τοὺς Α, ΒΓ, Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,9,35,10"></lb> <s>Κείσθω γὰρ τῷ μὲν ΒΓ ἴσος ὁ ΖΚ, τῷ δὲ Δ ἴσος ὁ <lb n="1799,001,,,,9,35,11"></lb> ΖΛ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ ΖΚ τῷ ΒΓ ἴσος ἐστίν, ὧν ὁ ΖΘ τῷ ΒΗ <lb n="1799,001,,,,9,35,12"></lb> ἴσος ἐστίν, λοιπὸς ἄρα ὁ ΘΚ λοιπῷ τῷ ΗΓ ἐστιν ἴσος.</s> <lb n="1799,001,,,,9,35,13"></lb> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΕΖ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,9,35,14"></lb> ΒΓ καὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν Α, ἴσος δὲ ὁ μὲν Δ τῷ ΖΛ, ὁ δὲ <lb n="1799,001,,,,9,35,15"></lb> ΒΓ τῷ ΖΚ, ὁ δὲ Α τῷ ΖΘ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΖ πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,35,16"></lb> τὸν ΖΛ, οὕτως ὁ ΛΖ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΖΚ πρὸς τὸν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,35,17"></lb> ΖΘ.</s> <s>διελόντι, ὡς ὁ ΕΛ πρὸς τὸν ΛΖ, οὕτως ὁ ΛΚ πρὸς <lb n="1799,001,,,,9,35,18"></lb> τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ.</s> <s>ἔστιν ἄρα καὶ ὡς εἷς <lb n="1799,001,,,,9,35,19"></lb> τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες <lb n="1799,001,,,,9,35,20"></lb> οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους· ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,35,21"></lb> ὡς ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ, οὕτως οἱ ΕΛ, ΛΚ, ΚΘ πρὸς τοὺς <lb n="1799,001,,,,9,35,22"></lb> ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ.</s> <s>ἴσος δὲ ὁ μὲν ΚΘ τῷ ΓΗ, ὁ δὲ ΖΘ τῷ <lb n="1799,001,,,,9,35,23"></lb> Α, οἱ δὲ ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ τοῖς Δ, ΒΓ, Α· ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,9,35,24"></lb> ὁ ΓΗ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ ΕΘ πρὸς τοὺς Δ, ΒΓ, Α.</s> <lb n="1799,001,,,,9,35,25"></lb> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, <lb n="1799,001,,,,9,35,26"></lb> οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ <lb n="1799,001,,,,9,35,27"></lb> πάντας· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,9,35,28"></lb> <s>Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐκτεθῶσιν <lb n="1799,001,,,,9,36,1"></lb> ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ, ἕως οὗ ὁ σύμπας συντεθεὶς <lb n="1799,001,,,,9,36,2"></lb> πρῶτος γένηται, καὶ ὁ σύμπας ἐπὶ τὸν <lb n="1799,001,,,,9,36,3"></lb> ἔσχατον πολλαπλασιασθεὶς ποιῇ τινα, <lb n="1799,001,,,,9,36,4"></lb> ὁ γενόμενος τέλειος ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,9,36,5"></lb> <s>Ἀπὸ γὰρ μονάδος ἐκκείσθωσαν <lb n="1799,001,,,,9,36,6"></lb> ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐν τῇ διπλα-<lb n="1799,001,,,,9,36,7"></lb> σίονι ἀναλογίᾳ, ἕως οὗ ὁ σύμπας συντεθεὶς πρῶτος <lb n="1799,001,,,,9,36,8"></lb> γένηται, οἱ Α, Β, Γ, Δ, καὶ τῷ σύμπαντι ἴσος ἔστω <lb n="1799,001,,,,9,36,9"></lb> ὁ Ε, καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ ποιείτω.</s> <lb n="1799,001,,,,9,36,10"></lb> <s>λέγω, ὅτι ὁ ΖΗ τέλειός ἐστιν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,36,11"></lb> Ὅσοι γάρ εἰσιν οἱ Α, Β, Γ, Δ τῷ πλήθει, τοσοῦτοι <lb n="1799,001,,,,9,36,12"></lb> ἀπὸ τοῦ Ε εἰλήφθωσαν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ οἱ <lb n="1799,001,,,,9,36,13"></lb> Ε, ΘΚ, Λ, Μ· δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Δ, <lb n="1799,001,,,,9,36,14"></lb> οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Μ.</s> <s>ὁ ἄρα ἐκ τῶν Ε, Δ ἴσος ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,9,36,15"></lb> ἐκ τῶν Α, Μ.</s> <s>καί ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Ε, Δ ὁ ΖΗ· καὶ ὁ ἐκ <lb n="1799,001,,,,9,36,16"></lb> τῶν Α, Μ ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ.</s> <s>ὁ Α ἄρα τὸν Μ πολλαπλα-<lb n="1799,001,,,,9,36,17"></lb> σιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν· ὁ Μ ἄρα τὸν ΖΗ μετρεῖ κατὰ <lb n="1799,001,,,,9,36,18"></lb> τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.</s> <s>καί ἐστι δυὰς ὁ Α· διπλάσιος ἄρα <lb n="1799,001,,,,9,36,19"></lb> ἐστὶν ὁ ΖΗ τοῦ Μ.</s> <s>εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Μ, Λ, ΘΚ, Ε ἑξῆς <lb n="1799,001,,,,9,36,20"></lb> διπλάσιοι ἀλλήλων· οἱ Ε, ΘΚ, Λ, Μ, ΖΗ ἄρα ἑξῆς <lb n="1799,001,,,,9,36,21"></lb> ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῇ διπλασίονι ἀναλογίᾳ.</s> <s>ἀφῃρήσθω δὴ <lb n="1799,001,,,,9,36,22"></lb> ἀπὸ τοῦ δευτέρου τοῦ ΘΚ καὶ τοῦ ἐσχάτου τοῦ ΖΗ τῷ <lb n="1799,001,,,,9,36,23"></lb> πρώτῳ τῷ Ε ἴσος ἑκάτερος τῶν ΘΝ, ΖΞ· ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,9,36,24"></lb> ἡ τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως <lb n="1799,001,,,,9,36,25"></lb> ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας.</s> <lb n="1799,001,,,,9,36,26"></lb> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΝΚ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ ΞΗ πρὸς τοὺς <lb n="1799,001,,,,9,36,27"></lb> Μ, Λ, ΚΘ, Ε.</s> <s>καί ἐστιν ὁ ΝΚ ἴσος τῷ Ε· καὶ ὁ ΞΗ <lb n="1799,001,,,,9,36,28"></lb> ἄρα ἴσος ἐστὶ τοῖς Μ, Λ, ΘΚ, Ε.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ὁ ΖΞ τῷ Ε <lb n="1799,001,,,,9,36,29"></lb> ἴσος, ὁ δὲ Ε τοῖς Α, Β, Γ, Δ καὶ τῇ μονάδι.</s> <s>ὅλος ἄρα ὁ <lb n="1799,001,,,,9,36,30"></lb> ΖΗ ἴσος ἐστὶ τοῖς τε Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τοῖς Α, Β, Γ, Δ <lb n="1799,001,,,,9,36,31"></lb> καὶ τῇ μονάδι· καὶ μετρεῖται ὑπ' αὐτῶν.</s> <s>λέγω, ὅτι καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,9,36,32"></lb> ΖΗ ὑπ' οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,36,33"></lb> Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῆς μονάδος.</s> <s>εἰ γὰρ δυνατόν, <lb n="1799,001,,,,9,36,34"></lb> μετρείτω τις τὸν ΖΗ ὁ Ο, καὶ ὁ Ο μηδενὶ τῶν Α, Β, Γ, <lb n="1799,001,,,,9,36,35"></lb> Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ ἔστω ὁ αὐτός.</s> <s>καὶ ὁσάκις ὁ Ο τὸν ΖΗ <lb n="1799,001,,,,9,36,36"></lb> μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Π· ὁ Π ἄρα τὸν <lb n="1799,001,,,,9,36,37"></lb> Ο πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν.</s> <s>ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Ε <lb n="1799,001,,,,9,36,38"></lb> τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ <lb n="1799,001,,,,9,36,39"></lb> Ε πρὸς τὸν Π, ὁ Ο πρὸς τὸν Δ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἀπὸ μονάδος ἑξῆς <lb n="1799,001,,,,9,36,40"></lb> ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ Δ ἄρα ὑπ' οὐδενὸς ἄλλου <lb n="1799,001,,,,9,36,41"></lb> ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ.</s> <s>καὶ ὑπόκειται <lb n="1799,001,,,,9,36,42"></lb> ὁ Ο οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ὁ αὐτός· οὐκ ἄρα μετρήσει ὁ Ο <lb n="1799,001,,,,9,36,43"></lb> τὸν Δ.</s> <s>ἀλλ' ὡς ὁ Ο πρὸς τὸν Δ, ὁ Ε πρὸς τὸν Π· οὐδὲ ὁ Ε <lb n="1799,001,,,,9,36,44"></lb> ἄρα τὸν Π μετρεῖ.</s> <s>καί ἐστιν ὁ Ε πρῶτος· πᾶς δὲ πρῶτος <lb n="1799,001,,,,9,36,45"></lb> ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτος [ἐστιν].</s> <lb n="1799,001,,,,9,36,46"></lb> <s>οἱ Ε, Π ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.</s> <s>οἱ δὲ πρῶτοι καὶ <lb n="1799,001,,,,9,36,47"></lb> ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον <lb n="1799,001,,,,9,36,48"></lb> ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,9,36,49"></lb> ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· καί ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Π, <lb n="1799,001,,,,9,36,50"></lb> ὁ Ο πρὸς τὸν Δ· ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Ο μετρεῖ καὶ ὁ Π τὸν <lb n="1799,001,,,,9,36,51"></lb> Δ· ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Ο μετρεῖ καὶ ὁ Π τὸν Δ.</s> <s>ὁ δὲ Δ <lb n="1799,001,,,,9,36,52"></lb> ὑπ' οὐδενὸς ἄλλου μετρεῖται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ· ὁ Π <lb n="1799,001,,,,9,36,53"></lb> ἄρα ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.</s> <s>ἔστω τῷ Β ὁ αὐτός.</s> <lb n="1799,001,,,,9,36,54"></lb> <s>καὶ ὅσοι εἰσὶν οἱ Β, Γ, Δ τῷ πλήθει τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν <lb n="1799,001,,,,9,36,55"></lb> ἀπὸ τοῦ Ε οἱ Ε, ΘΚ, Λ.</s> <s>καί εἰσιν οἱ Ε, ΘΚ, Λ τοῖς Β, <lb n="1799,001,,,,9,36,56"></lb> Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ· δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,36,57"></lb> τὸν Δ, ὁ Ε πρὸς τὸν Λ.</s> <s>ὁ ἄρα ἐκ τῶν Β, Λ ἴσος ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,9,36,58"></lb> ἐκ τῶν Δ, Ε· ἀλλ' ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν <lb n="1799,001,,,,9,36,59"></lb> Π, Ο· καὶ ὁ ἐκ τῶν Π, Ο ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Λ.</s> <lb n="1799,001,,,,9,36,60"></lb> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Π πρὸς τὸν Β, ὁ Λ πρὸς τὸν Ο.</s> <s>καί ἐστιν ὁ Π <lb n="1799,001,,,,9,36,61"></lb> τῷ Β ὁ αὐτός· καὶ ὁ Λ ἄρα τῷ Ο ἐστιν ὁ αὐτός· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,9,36,62"></lb> ἀδύνατον· ὁ γὰρ Ο ὑπόκειται μηδενὶ τῶν ἐκκειμένων ὁ <lb n="1799,001,,,,9,36,63"></lb> αὐτός.</s> <s>οὐκ ἄρα τὸν ΖΗ μετρήσει τις ἀριθμὸς παρὲξ τῶν <lb n="1799,001,,,,9,36,64"></lb> Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῆς μονάδος.</s> <s>καὶ ἐδείχθη <lb n="1799,001,,,,9,36,65"></lb> ὁ ΖΗ τοῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῇ μονάδι ἴσος.</s> <lb n="1799,001,,,,9,36,66"></lb> <s>τέλειος δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσος ὤν· <lb n="1799,001,,,,9,36,67"></lb> τέλειος ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,9,36,68"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Σύμμετρα μεγέθη λέγεται τὰ τῷ αὐτῷ μέτρῳ <lb n="1799,001,,,,10;HOR,1,1"></lb> μετρούμενα, ἀσύμμετρα δέ, ὧν μηδὲν ἐνδέχεται κοινὸν <lb n="1799,001,,,,10;HOR,1,2"></lb> μέτρον γενέσθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR,1,3"></lb> <s>Εὐθεῖαι δυνάμει σύμμετροί εἰσιν, ὅταν τὰ ἀπ' <lb n="1799,001,,,,10;HOR,2,1"></lb> αὐτῶν τετράγωνα τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετρῆται, ἀσύμμετροι <lb n="1799,001,,,,10;HOR,2,2"></lb> δέ, ὅταν τοῖς ἀπ' αὐτῶν τετραγώνοις μηδὲν ἐνδέχηται <lb n="1799,001,,,,10;HOR,2,3"></lb> χωρίον κοινὸν μέτρον γενέσθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR,2,4"></lb> <s>Τούτων ὑποκειμένων δείκνυται, ὅτι τῇ προτεθείσῃ <lb n="1799,001,,,,10;HOR,3,1"></lb> εὐθείᾳ ὑπάρχουσιν εὐθεῖαι πλήθει ἄπειροι σύμμετροί τε <lb n="1799,001,,,,10;HOR,3,2"></lb> καὶ ἀσύμμετροι αἱ μὲν μήκει μόνον, αἱ δὲ καὶ δυνάμει.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR,3,3"></lb> <s>καλείσθω οὖν ἡ μὲν προτεθεῖσα εὐθεῖα ῥητή, καὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,10;HOR,3,4"></lb> ταύτῃ σύμμετροι εἴτε μήκει καὶ δυνάμει εἴτε δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10;HOR,3,5"></lb> μόνον ῥηταί, αἱ δὲ ταύτῃ ἀσύμμετροι ἄλογοι καλεί-<lb n="1799,001,,,,10;HOR,3,6"></lb> σθωσαν.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR,3,7"></lb> <s>Καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς προτεθείσης εὐθείας τετράγωνον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10;HOR,4,1"></lb> ῥητόν, καὶ τὰ τούτῳ σύμμετρα ῥητά, τὰ δὲ τούτῳ ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10;HOR,4,2"></lb> μετρα ἄλογα καλείσθω, καὶ αἱ δυνάμεναι αὐτὰ ἄλογοι, εἰ <lb n="1799,001,,,,10;HOR,4,3"></lb> μὲν τετράγωνα εἴη, αὐταὶ αἱ πλευραί, εἰ δὲ ἕτερά τινα <lb n="1799,001,,,,10;HOR,4,4"></lb> εὐθύγραμμα, αἱ ἴσα αὐτοῖς τετράγωνα ἀναγράφουσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR,4,5"></lb> <s></s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος <lb n="1799,001,,,,10,1,1"></lb> ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ καταλειπομένου <lb n="1799,001,,,,10,1,2"></lb> μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι <lb n="1799,001,,,,10,1,3"></lb> μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος με-<lb n="1799,001,,,,10,1,4"></lb> γέθους.</s> <lb n="1799,001,,,,10,1,5"></lb> <s>Ἔστω δύο μεγέθη ἄνισα τὰ ΑΒ, Γ, ὧν μεῖζον τὸ ΑΒ· <lb n="1799,001,,,,10,1,6"></lb> λέγω, ὅτι, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ <lb n="1799,001,,,,10,1,7"></lb> καὶ τοῦ καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο <lb n="1799,001,,,,10,1,8"></lb> ἀεὶ γίγνηται, λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον <lb n="1799,001,,,,10,1,9"></lb> τοῦ Γ μεγέθους.</s> <lb n="1799,001,,,,10,1,10"></lb> <s>Τὸ Γ γὰρ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,1,11"></lb> μεῖζον.</s> <s>πεπολλαπλασιάσθω, καὶ ἔστω τὸ ΔΕ τοῦ μὲν Γ <lb n="1799,001,,,,10,1,12"></lb> πολλαπλάσιον, τοῦ δὲ ΑΒ μεῖζον, καὶ διῃρήσθω τὸ ΔΕ <lb n="1799,001,,,,10,1,13"></lb> εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΔΖ, <lb n="1799,001,,,,10,1,14"></lb> ΖΗ, ΗΕ, καὶ ἀφῃρήσθω <lb n="1799,001,,,,10,1,15"></lb> ἀπὸ μὲν τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,1,16"></lb> ἥμισυ τὸ ΒΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΘ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,1,17"></lb> μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γιγνέσθω, ἕως <lb n="1799,001,,,,10,1,18"></lb> ἂν αἱ ἐν τῷ ΑΒ διαιρέσεις ἰσοπληθεῖς γένωνται ταῖς ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,10,1,19"></lb> ΔΕ διαιρέσεσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,1,20"></lb> <s>Ἔστωσαν οὖν αἱ ΑΚ, ΚΘ, *θΒ διαιρέσεις ἰσοπληθεῖς <lb n="1799,001,,,,10,1,21"></lb> οὖσαι ταῖς ΔΖ, ΖΗ, ΗΕ· καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΔΕ <lb n="1799,001,,,,10,1,22"></lb> τοῦ ΑΒ, καὶ ἀφῄρηται ἀπὸ μὲν τοῦ ΔΕ ἔλασσον τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,1,23"></lb> ἡμίσεος τὸ ΕΗ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΑΒ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΒΘ, <lb n="1799,001,,,,10,1,24"></lb> λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΔ λοιποῦ τοῦ ΘΑ μεῖζόν ἐστιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,1,25"></lb> μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΔ τοῦ ΘΑ, καὶ ἀφῄρηται τοῦ μὲν ΗΔ <lb n="1799,001,,,,10,1,26"></lb> ἥμισυ τὸ ΗΖ, τοῦ δὲ ΘΑ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τὸ ΘΚ, λοιπὸν <lb n="1799,001,,,,10,1,27"></lb> ἄρα τὸ ΔΖ λοιποῦ τοῦ ΑΚ μεῖζόν ἐστιν.</s> <s>ἴσον δὲ τὸ ΔΖ <lb n="1799,001,,,,10,1,28"></lb> τῷ Γ· καὶ τὸ Γ ἄρα τοῦ ΑΚ μεῖζόν ἐστιν.</s> <s>ἔλασσον ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,1,29"></lb> τὸ ΑΚ τοῦ Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,1,30"></lb> <s>Καταλείπεται ἄρα ἀπὸ τοῦ ΑΒ μεγέθους τὸ ΑΚ μέγε-<lb n="1799,001,,,,10,1,31"></lb> θος ἔλασσον ὂν τοῦ ἐκκειμένου ἐλάσσονος μεγέθους τοῦ Γ· <lb n="1799,001,,,,10,1,32"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s>̄ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, κἂν ἡμίση ᾖ τὰ <lb n="1799,001,,,,10,1,33"></lb> ἀφαιρούμενα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,1,34"></lb> <s>Ἐὰν δύο μεγεθῶν [ἐκκειμένων] ἀνίσων ἀνθυφαιρουμένου <lb n="1799,001,,,,10,2,1"></lb> ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ καταλειπόμενον <lb n="1799,001,,,,10,2,2"></lb> μηδέποτε καταμετρῇ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ, ἀσύμμετρα ἔσται τὰ <lb n="1799,001,,,,10,2,3"></lb> μεγέθη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,2,4"></lb> <s>Δύο γὰρ μεγεθῶν ὄντων ἀνίσων τῶν ΑΒ, ΓΔ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,2,5"></lb> ἐλάσσονος τοῦ ΑΒ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος <lb n="1799,001,,,,10,2,6"></lb> ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ περιλειπόμενον μηδέποτε κατα- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,10,2,7"></lb> μετρείτω τὸ πρὸ ἑαυ-<lb n="1799,001,,,,10,2,8"></lb> τοῦ· λέγω, ὅτι ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,2,9"></lb> μετρά ἐστι τὰ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,2,10"></lb> ΓΔ μεγέθη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,2,11"></lb> <s>Εἰ γάρ ἐστι σύμμετρα, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.</s> <lb n="1799,001,,,,10,2,12"></lb> <s>μετρείτω, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω τὸ Ε· καὶ τὸ μὲν ΑΒ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,2,13"></lb> ΖΔ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΓΖ, τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,2,14"></lb> ΓΖ τὸ ΒΗ καταμετροῦν λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,2,15"></lb> καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω, ἕως οὗ λειφθῇ τι μέγεθος, ὅ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,10,2,16"></lb> ἔλασσον τοῦ Ε.</s> <s>γεγονέτω, καὶ λελείφθω τὸ ΑΗ ἔλασσον <lb n="1799,001,,,,10,2,17"></lb> τοῦ Ε.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ Ε τὸ ΑΒ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΔΖ <lb n="1799,001,,,,10,2,18"></lb> μετρεῖ, καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΖΔ μετρήσει.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ <lb n="1799,001,,,,10,2,19"></lb> ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΓΖ μετρήσει.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΓΖ τὸ ΒΗ <lb n="1799,001,,,,10,2,20"></lb> μετρεῖ· καὶ τὸ Ε ἄρα τὸ ΒΗ μετρεῖ.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ <lb n="1799,001,,,,10,2,21"></lb> ΑΒ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΗ μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,2,22"></lb> <s>ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ, ΓΔ μεγέθη <lb n="1799,001,,,,10,2,23"></lb> μετρήσει τι μέγεθος· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ <lb n="1799,001,,,,10,2,24"></lb> μεγέθη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,2,25"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο μεγεθῶν ἀνίσων, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,2,26"></lb> <s>Δύο μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,3,1"></lb> κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,3,2"></lb> Ἔστω τὰ δοθέντα δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ ΑΒ, ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,10,3,3"></lb> ὧν ἔλασσον τὸ ΑΒ· δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον <lb n="1799,001,,,,10,3,4"></lb> κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,3,5"></lb> <s>Τὸ ΑΒ γὰρ μέγεθος ἤτοι μετρεῖ τὸ ΓΔ ἢ οὔ.</s> <s>εἰ μὲν <lb n="1799,001,,,,10,3,6"></lb> οὖν μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτό, τὸ ΑΒ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ <lb n="1799,001,,,,10,3,7"></lb> κοινὸν μέτρον ἐστίν· καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον.</s> <s>μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,3,8"></lb> γὰρ τοῦ ΑΒ μεγέθους τὸ ΑΒ οὐ μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,3,9"></lb> <s>Μὴ μετρείτω δὴ τὸ ΑΒ τὸ ΓΔ.</s> <s>καὶ ἀνθυφαιρουμένου <lb n="1799,001,,,,10,3,10"></lb> ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, τὸ περιλειπόμενον <lb n="1799,001,,,,10,3,11"></lb> μετρήσει ποτὲ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ διὰ τὸ μὴ εἶναι ἀσύμμετρα <lb n="1799,001,,,,10,3,12"></lb> τὰ ΑΒ, ΓΔ· καὶ τὸ μὲν ΑΒ τὸ ΕΔ καταμετροῦν λειπέτω <lb n="1799,001,,,,10,3,13"></lb> ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΕΓ, τὸ δὲ ΕΓ τὸ ΖΒ καταμετροῦν <lb n="1799,001,,,,10,3,14"></lb> λειπέτω ἑαυτοῦ ἔλασσον τὸ ΑΖ, τὸ δὲ ΑΖ τὸ ΓΕ <lb n="1799,001,,,,10,3,15"></lb> μετρείτω.</s> <lb n="1799,001,,,,10,3,16"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ <lb n="1799,001,,,,10,3,17"></lb> μετρεῖ, καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,3,18"></lb> ἑαυτό· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒ μετρήσει τὸ ΑΖ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,3,19"></lb> τὸ ΔΕ μετρεῖ· καὶ τὸ ΑΖ ἄρα τὸ ΕΔ μετρήσει.</s> <s>μετρεῖ <lb n="1799,001,,,,10,3,20"></lb> δὲ καὶ τὸ ΓΕ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΓΔ μετρεῖ· τὸ ΑΖ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,3,21"></lb> τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,10,3,22"></lb> μέγιστον.</s> <s>εἰ γὰρ μή, ἔσται τι μέγεθος μεῖζον τοῦ ΑΖ, ὃ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,3,23"></lb> μετρήσει τὰ ΑΒ, ΓΔ.</s> <s>ἔστω τὸ Η.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ Η τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,3,24"></lb> μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ ΑΒ τὸ ΕΔ μετρεῖ, καὶ τὸ Η ἄρα τὸ ΕΔ <lb n="1799,001,,,,10,3,25"></lb> μετρήσει.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,10,3,26"></lb> ΓΕ μετρήσει τὸ Η.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΓΕ τὸ ΖΒ μετρεῖ· καὶ τὸ Η <lb n="1799,001,,,,10,3,27"></lb> ἄρα τὸ ΖΒ μετρήσει.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒ, καὶ λοιπὸν <lb n="1799,001,,,,10,3,28"></lb> τὸ ΑΖ μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον· ὅπερ ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,3,29"></lb> ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα μεῖζόν τι μέγεθος τοῦ ΑΖ τὰ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,3,30"></lb> ΓΔ μετρήσει· τὸ ΑΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον <lb n="1799,001,,,,10,3,31"></lb> κοινὸν μέτρον ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,3,32"></lb> <s>Δύο ἄρα μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τῶν ΑΒ, ΓΔ <lb n="1799,001,,,,10,3,33"></lb> τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ηὕρηται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,3,34"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,10,3,35"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν μέγεθος δύο μεγέθη <lb n="1799,001,,,,10,3,36"></lb> μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,3,37"></lb> <s>Τριῶν μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον <lb n="1799,001,,,,10,4,1"></lb> αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,4,2"></lb> <s>Ἔστω τὰ δοθέντα τρία μεγέθη σύμμετρα τὰ Α, Β, Γ· <lb n="1799,001,,,,10,4,3"></lb> δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,4,4"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α, Β τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, <lb n="1799,001,,,,10,4,5"></lb> καὶ ἔστω τὸ Δ· τὸ δὴ Δ τὸ Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὔ [μετρεῖ].</s> <lb n="1799,001,,,,10,4,6"></lb> <s>μετρείτω πρότερον.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὸ Γ μετρεῖ, μετρεῖ δὲ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,4,7"></lb> καὶ τὰ Α, Β, τὸ Δ ἄρα τὰ Α, Β, Γ <lb n="1799,001,,,,10,4,8"></lb> μετρεῖ· τὸ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινὸν <lb n="1799,001,,,,10,4,9"></lb> μέτρον ἐστίν.</s> <s>καὶ φανερόν, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,10,4,10"></lb> μέγιστον· μεῖζον γὰρ τοῦ Δ μεγέθους <lb n="1799,001,,,,10,4,11"></lb> τὰ Α, Β οὐ μετρεῖ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,4,12"></lb> <s>Μὴ μετρείτω δὴ τὸ Δ τὸ Γ.</s> <s>λέγω πρῶτον, ὅτι σύμμετρά <lb n="1799,001,,,,10,4,13"></lb> ἐστι τὰ Γ, Δ.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β, Γ, μετρήσει <lb n="1799,001,,,,10,4,14"></lb> τι αὐτὰ μέγεθος, ὃ δηλαδὴ καὶ τὰ Α, Β μετρήσει· ὥστε <lb n="1799,001,,,,10,4,15"></lb> καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸ Δ μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,4,16"></lb> <s>μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ· ὥστε τὸ εἰρημένον μέγεθος μετρήσει <lb n="1799,001,,,,10,4,17"></lb> τὰ Γ, Δ· σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ Γ, Δ.</s> <s>εἰλήφθω οὖν αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,4,18"></lb> τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, καὶ ἔστω τὸ Ε.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ Ε <lb n="1799,001,,,,10,4,19"></lb> τὸ Δ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ Δ τὰ Α, Β μετρεῖ, καὶ τὸ Ε ἄρα τὰ <lb n="1799,001,,,,10,4,20"></lb> Α, Β μετρήσει.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ.</s> <s>τὸ Ε ἄρα τὰ Α, Β, Γ <lb n="1799,001,,,,10,4,21"></lb> μετρεῖ· τὸ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινόν ἐστι μέτρον.</s> <s>λέγω <lb n="1799,001,,,,10,4,22"></lb> δή, ὅτι καὶ μέγιστον.</s> <s>εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τι τοῦ Ε μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,4,23"></lb> μέγεθος τὸ Ζ, καὶ μετρείτω τὰ Α, Β, Γ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ Ζ <lb n="1799,001,,,,10,4,24"></lb> τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τὰ Α, Β ἄρα μετρήσει καὶ τὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,4,25"></lb> Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.</s> <s>τὸ δὲ τῶν Α, Β <lb n="1799,001,,,,10,4,26"></lb> μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶ τὸ Δ· τὸ Ζ ἄρα τὸ Δ μετρεῖ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,4,27"></lb> <s>μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ· τὸ Ζ ἄρα τὰ Γ, Δ μετρεῖ· καὶ τὸ τῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,4,28"></lb> Γ, Δ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει τὸ Ζ.</s> <s>ἔστι δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,4,29"></lb> Ε· τὸ Ζ ἄρα τὸ Ε μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,10,4,30"></lb> ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα μεῖζόν τι τοῦ Ε μεγέθους <lb n="1799,001,,,,10,4,31"></lb> [μέγεθοσ] τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ· τὸ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,4,32"></lb> μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστίν, ἐὰν μὴ μετρῇ τὸ Δ τὸ Γ, <lb n="1799,001,,,,10,4,33"></lb> ἐὰν δὲ μετρῇ, αὐτὸ τὸ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,4,34"></lb> <s>Τριῶν ἄρα μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον <lb n="1799,001,,,,10,4,35"></lb> κοινὸν μέτρον ηὕρηται [ὅπερ ἔδει δεῖξαι].</s> <lb n="1799,001,,,,10,4,36"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,10,4,37"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν μέγεθος τρία μεγέθη <lb n="1799,001,,,,10,4,38"></lb> μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,4,39"></lb> <s>Ὁμοίως δὴ καὶ ἐπὶ πλειόνων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον <lb n="1799,001,,,,10,4,40"></lb> ληφθήσεται, καὶ τὸ πόρισμα προχωρήσει.</s> <s>ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,4,41"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,4,42"></lb> <s>Τὰ σύμμετρα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν <lb n="1799,001,,,,10,5,1"></lb> ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,5,2"></lb> <s>Ἔστω σύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β· λέγω, ὅτι τὸ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,5,3"></lb> τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,5,4"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β, μετρήσει τι αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,10,5,5"></lb> μέγεθος.</s> <s>μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Γ.</s> <s>καὶ ὁσάκις τὸ Γ τὸ Α <lb n="1799,001,,,,10,5,6"></lb> μετρεῖ τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Δ, ὁσάκις δὲ <lb n="1799,001,,,,10,5,7"></lb> τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,5,8"></lb> Ἐπεὶ οὖν τὸ Γ τὸ Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας, <lb n="1799,001,,,,10,5,9"></lb> μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Δ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, <lb n="1799,001,,,,10,5,10"></lb> ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Δ μετρεῖ ἀριθμὸν καὶ τὸ Γ μέγεθος <lb n="1799,001,,,,10,5,11"></lb> τὸ Α· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,5,12"></lb> τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,5,13"></lb> τὸν Δ· ἀνάπαλιν ἄρα, ὡς τὸ Α <lb n="1799,001,,,,10,5,14"></lb> πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,5,15"></lb> τὴν μονάδα.</s> <s>πάλιν ἐπεὶ τὸ Γ τὸ Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε <lb n="1799,001,,,,10,5,16"></lb> μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Ε κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,10,5,17"></lb> μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Ε μετρεῖ καὶ τὸ Γ τὸ Β· <lb n="1799,001,,,,10,5,18"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Ε.</s> <lb n="1799,001,,,,10,5,19"></lb> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, ὁ Δ πρὸς τὴν μονάδα· <lb n="1799,001,,,,10,5,20"></lb> δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Δ ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,10,5,21"></lb> πρὸς τὸν Ε.</s> <lb n="1799,001,,,,10,5,22"></lb> <s>Τὰ ἄρα σύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον <lb n="1799,001,,,,10,5,23"></lb> ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Δ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Ε· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,5,24"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,5,25"></lb> <s>Ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ, ὃν ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,10,6,1"></lb> πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,6,2"></lb> <s>Δύο γὰρ μεγέθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω, <lb n="1799,001,,,,10,6,3"></lb> ὃν ἀριθμὸς ὁ Δ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Ε· λέγω, ὅτι σύμμετρά <lb n="1799,001,,,,10,6,4"></lb> ἐστι τὰ Α, Β μεγέθη.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,6,5"></lb> Ὅσαι γάρ εἰσιν ἐν τῷ Δ μονάδες, εἰς τοσαῦτα ἴσα <lb n="1799,001,,,,10,6,6"></lb> διῃρήσθω τὸ Α, καὶ ἑνὶ αὐτῶν ἴσον ἔστω τὸ Γ· ὅσαι δέ <lb n="1799,001,,,,10,6,7"></lb> εἰσιν ἐν τῷ Ε μονάδες, ἐκ τοσούτων μεγεθῶν ἴσων τῷ Γ <lb n="1799,001,,,,10,6,8"></lb> συγκείσθω τὸ Ζ. <lb n="1799,001,,,,10,6,9"></lb> Ἐπεὶ οὖν, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Δ μονάδες, τοσαῦτά εἰσι καὶ <lb n="1799,001,,,,10,6,10"></lb> ἐν τῷ Α μεγέθη ἴσα τῷ Γ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ μονὰς <lb n="1799,001,,,,10,6,11"></lb> τοῦ Δ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τὸ Γ τοῦ Α· ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,10,6,12"></lb> τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ.</s> <s>μετρεῖ δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,10,6,13"></lb> μονὰς τὸν Δ ἀριθμόν· μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Γ τὸ Α.</s> <s>καὶ ἐπεί <lb n="1799,001,,,,10,6,14"></lb> ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Δ <lb n="1799,001,,,,10,6,15"></lb> [ἀριθμόν], ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,10,6,16"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τὴν μονάδα.</s> <s>πάλιν ἐπεί, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,10,6,17"></lb> Ε μονάδες, τοσαῦτά εἰσι καὶ ἐν τῷ Ζ ἴσα τῷ Γ, ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,6,18"></lb> ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν Ε [ἀριθμόν].</s> <lb n="1799,001,,,,10,6,19"></lb> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,10,6,20"></lb> μονάδα· δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Ζ, οὕτως ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,10,6,21"></lb> πρὸς τὸν Ε.</s> <s>ἀλλ' ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ἐστὶ τὸ Α <lb n="1799,001,,,,10,6,22"></lb> πρὸς τὸ Β· καὶ ὡς ἄρα τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως καὶ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,6,23"></lb> τὸ Ζ.</s> <s>τὸ Α ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν Β, Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει <lb n="1799,001,,,,10,6,24"></lb> λόγον· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ Β τῷ Ζ.</s> <s>μετρεῖ δὲ τὸ Γ τὸ Ζ· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,6,25"></lb> μετρεῖ ἄρα καὶ τὸ Β.</s> <s>ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Α· τὸ Γ ἄρα τὰ <lb n="1799,001,,,,10,6,26"></lb> Α, Β μετρεῖ.</s> <s>σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.</s> <lb n="1799,001,,,,10,6,27"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,6,28"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,10,6,29"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοί, ὡς <lb n="1799,001,,,,10,6,30"></lb> οἱ Δ, Ε, καὶ εὐθεῖα, ὡς ἡ Α, δύνατόν ἐστι ποιῆσαι ὡς ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,10,6,31"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν, οὕτως τὴν εὐθεῖαν πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,6,32"></lb> εὐθεῖαν.</s> <s>ἐὰν δὲ καὶ τῶν Α, Ζ μέση ἀνάλογον ληφθῇ, ὡς <lb n="1799,001,,,,10,6,33"></lb> ἡ Β, ἔσται ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,6,34"></lb> τὸ ἀπὸ τη̂ς Β, τουτέστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, <lb n="1799,001,,,,10,6,35"></lb> οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ <lb n="1799,001,,,,10,6,36"></lb> ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.</s> <s>ἀλλ' ὡς ἡ Α πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,10,6,37"></lb> Ζ, οὕτως ἐστὶν ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν· γέγονεν <lb n="1799,001,,,,10,6,38"></lb> ἄρα καὶ ὡς ὁ Δ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ε ἀριθμόν, οὕτως τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,6,39"></lb> τῆς Α εὐθείας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β εὐθείας· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,6,40"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,6,41"></lb> <s>Τὰ ἀσύμμετρα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει, <lb n="1799,001,,,,10,7,1"></lb> ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,7,2"></lb> Ἔστω ἀσύμμετρα μεγέθη τὰ Α, Β· λέγω, ὅτι τὸ Α <lb n="1799,001,,,,10,7,3"></lb> πρὸς τὸ Β λόγον οὐκ ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,7,4"></lb> <s>Εἰ γὰρ ἔχει τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον, ὃν ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,10,7,5"></lb> πρὸς ἀριθμόν, σύμμετρον ἔσται τὸ Α τῷ Β.</s> <lb n="1799,001,,,,10,7,6"></lb> <s>οὐκ ἔστι δέ· οὐκ ἄρα τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, <lb n="1799,001,,,,10,7,7"></lb> ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,7,8"></lb> <s>Τὰ ἄρα ἀσύμμετρα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον οὐκ ἔχει, <lb n="1799,001,,,,10,7,9"></lb> καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,7,10"></lb> <s>Ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον μὴ ἔχῃ, ὃν ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,10,8,1"></lb> πρὸς ἀριθμόν, ἀσύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,8,2"></lb> <s>Δύο γὰρ μεγέθη τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον <lb n="1799,001,,,,10,8,3"></lb> μὴ ἐχέτω, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,8,4"></lb> ἀσύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β μεγέθη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,8,5"></lb> <s>Εἰ γὰρ ἔσται σύμμετρα, τὸ Α πρὸς τὸ Β λόγον ἕξει, ὃν <lb n="1799,001,,,,10,8,6"></lb> ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.</s> <s>οὐκ ἔχει δέ.</s> <s>ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,8,7"></lb> τὰ Α, Β μεγέθη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,8,8"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,8,9"></lb> <s>Τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,9,1"></lb> ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,10,9,2"></lb> γωνον ἀριθμόν· καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον <lb n="1799,001,,,,10,9,3"></lb> ἔχοντα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθ-<lb n="1799,001,,,,10,9,4"></lb> μόν, καὶ τὰς πλευρὰς ἕξει μήκει συμμέτρους.</s> <s>τὰ δὲ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,9,5"></lb> τῶν μήκει ἀσυμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα <lb n="1799,001,,,,10,9,6"></lb> λόγον οὐκ ἔχει, ὅνπερ τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,9,7"></lb> γωνον ἀριθμόν· καὶ τὰ τετράγωνα τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον <lb n="1799,001,,,,10,9,8"></lb> μὴ ἔχοντα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,9,9"></lb> ἀριθμόν, οὐδὲ τὰς πλευρὰς ἕξει μήκει συμμέτρους.</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,10"></lb> <s>Ἔστωσαν γὰρ αἱ Α, Β μήκει σύμμετροι· λέγω, ὅτι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,9,11"></lb> ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,9,12"></lb> λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,9,13"></lb> ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,14"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει, ἡ Α ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,9,15"></lb> πρὸς τὴν Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.</s> <s>ἐχέτω, <lb n="1799,001,,,,10,9,16"></lb> ὃν ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, <lb n="1799,001,,,,10,9,17"></lb> οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆς Α πρὸς τὴν Β <lb n="1799,001,,,,10,9,18"></lb> λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,9,19"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον· τὰ γὰρ ὅμοια σχήματα ἐν <lb n="1799,001,,,,10,9,20"></lb> διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· τοῦ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,9,21"></lb> τοῦ Γ [ἀριθμοῦ] πρὸς τὸν Δ [ἀριθ- <lb n="1799,001,,,,10,9,22"></lb> μὸν] λόγου διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,9,23"></lb> ἀπὸ τοῦ Γ τετραγώνου πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,9,24"></lb> ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον· δύο γὰρ <lb n="1799,001,,,,10,9,25"></lb> τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσος <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,9,26"></lb> ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,9,27"></lb> τετράγωνον [ἀριθμὸν] διπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ <lb n="1799,001,,,,10,9,28"></lb> πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α <lb n="1799,001,,,,10,9,29"></lb> τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον, οὕτως ὁ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,9,30"></lb> τοῦ Γ τετράγωνος [ἀριθμὸσ] πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ [ἀριθ-<lb n="1799,001,,,,10,9,31"></lb> μοῦ] τετράγωνον [ἀριθμόν].</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,32"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,10,9,33"></lb> ἀπὸ τῆς Β, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος πρὸς τὸν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,9,34"></lb> τοῦ Δ [τετράγωνον]· λέγω, ὅτι σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β <lb n="1799,001,,,,10,9,35"></lb> μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,36"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,10,9,37"></lb> ἀπὸ τῆς Β [τετράγωνον], οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,10,9,38"></lb> πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ [τετράγωνον], ἀλλ' ὁ μὲν τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,9,39"></lb> τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β [τετράγωνον] λόγος <lb n="1799,001,,,,10,9,40"></lb> διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου, ὁ δὲ τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,9,41"></lb> ἀπὸ τοῦ Γ [ἀριθμοῦ] τετραγώνου [ἀριθμοῦ] πρὸς τὸν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,9,42"></lb> τοῦ Δ [ἀριθμοῦ] τετράγωνον [ἀριθμὸν] λόγος διπλασίων <lb n="1799,001,,,,10,9,43"></lb> ἐστὶ τοῦ τοῦ Γ [ἀριθμοῦ] πρὸς τὸν Δ [ἀριθμὸν] λόγου, <lb n="1799,001,,,,10,9,44"></lb> ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ὁ Γ [ἀριθμὸσ] <lb n="1799,001,,,,10,9,45"></lb> πρὸς τὸν Δ [ἀριθμόν].</s> <s>ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β, λόγον ἔχει, <lb n="1799,001,,,,10,9,46"></lb> ὃν ἀριθμὸς ὁ Γ πρὸς ἀριθμὸν τὸν Δ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,9,47"></lb> ἡ Α τῇ Β μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,48"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ ἀσύμμετρος ἔστω ἡ Α τῇ Β μήκει· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,9,49"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β [τετράγωνον] <lb n="1799,001,,,,10,9,50"></lb> λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,9,51"></lb> ἀριθμόν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,9,52"></lb> Εἰ γὰρ ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,9,53"></lb> τῆς Β [τετράγωνον] λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,9,54"></lb> τετράγωνον ἀριθμόν, σύμμετρος ἔσται ἡ Α τῇ Β.</s> <s>οὐκ <lb n="1799,001,,,,10,9,55"></lb> ἔστι δέ· οὐκ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,9,56"></lb> τῆς Β [τετράγωνον] λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,10,9,57"></lb> πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,58"></lb> <s>Πάλιν δὴ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β <lb n="1799,001,,,,10,9,59"></lb> [τετράγωνον] λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,10,9,60"></lb> πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· λέγω, ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,10,9,61"></lb> ἡ Α τῇ Β μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,62"></lb> <s>Εἰ γάρ ἐστι σύμμετρος ἡ Α τῇ Β, ἕξει τὸ ἀπὸ τῆς Α <lb n="1799,001,,,,10,9,63"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,9,64"></lb> τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <s>οὐκ ἔχει δέ· οὐκ ἄρα σύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,9,65"></lb> ἐστιν ἡ Α τῇ Β μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,66"></lb> <s>Τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,67"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,10,9,68"></lb> Καὶ φανερὸν ἐκ τῶν δεδειγμένων ἔσται, ὅτι αἱ μήκει <lb n="1799,001,,,,10,9,69"></lb> σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως <lb n="1799,001,,,,10,9,70"></lb> καὶ μήκει [εἴπερ τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν <lb n="1799,001,,,,10,9,71"></lb> τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,9,72"></lb> τετράγωνον ἀριθμόν, τὰ δὲ λόγον ἔχοντα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,9,73"></lb> ἀριθμόν, σύμμετρά ἐστιν.</s> <s>ὥστε αἱ μήκει σύμμετροι <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,9,74"></lb> εὐθεῖαι οὐ μόνον [εἰσὶ] μήκει σύμμετροι, ἀλλὰ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,9,75"></lb> δυνάμει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,76"></lb> <s>πάλιν ἐπεί, ὅσα τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν <lb n="1799,001,,,,10,9,77"></lb> τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, μήκει <lb n="1799,001,,,,10,9,78"></lb> ἐδείχθη σύμμετρα καὶ δυνάμει ὄντα σύμμετρα τῷ τὰ <lb n="1799,001,,,,10,9,79"></lb> τετράγωνα λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ὅσα ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,9,80"></lb> τετράγωνα λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,9,81"></lb> τετράγωνον ἀριθμόν, ἀλλὰ ἁπλῶς, ὃν ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,9,82"></lb> ἀριθμόν, σύμμετρα μὲν ἔσται αὐτὰ τὰ τετράγωνα δυνάμει, <lb n="1799,001,,,,10,9,83"></lb> οὐκέτι δὲ καὶ μήκει· ὥστε τὰ μὲν μήκει σύμμετρα πάντως <lb n="1799,001,,,,10,9,84"></lb> καὶ δυνάμει, τὰ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει, εἰ μὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,9,85"></lb> λόγον ἔχοιεν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,9,86"></lb> ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,87"></lb> <s>λέγω δή, ὅτι [καὶ] αἱ μήκει ἀσύμμετροι οὐ πάντως <lb n="1799,001,,,,10,9,88"></lb> καὶ δυνάμει, ἐπειδήπερ αἱ δυνάμει σύμμετροι δύνανται <lb n="1799,001,,,,10,9,89"></lb> λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,9,90"></lb> ἀριθμόν, καὶ διὰ τοῦτο δυνάμει οὖσαι σύμμετροι μήκει <lb n="1799,001,,,,10,9,91"></lb> εἰσὶν ἀσύμμετροι.</s> <s>ὥστε οὐχ αἱ τῷ μήκει ἀσύμμετροι <lb n="1799,001,,,,10,9,92"></lb> πάντως καὶ δυνάμει, ἀλλὰ δύνανται μήκει οὖσαι <lb n="1799,001,,,,10,9,93"></lb> ἀσύμμετροι δυνάμει εἶναι καὶ ἀσύμμετροι καὶ σύμμετροι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,94"></lb> <s>αἱ δὲ δυνάμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μήκει ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,9,95"></lb> μετροι· εἰ γὰρ [εἰσι] μήκει σύμμετροι, ἔσονται καὶ δυνάμει <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,9,96"></lb> σύμμετροι.</s> <s>ὑπόκεινται δὲ καὶ ἀσύμμετροι· ὅπερ ἄτοπον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,97"></lb> <s>αἱ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροι πάντως καὶ μήκει].</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,98"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,10,9,99"></lb> Δέδεικται ἐν τοῖς ἀριθμητικοῖς, ὅτι οἱ ὅμοιοι ἐπίπεδοι <lb n="1799,001,,,,10,9,100"></lb> ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,10,9,101"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ὅτι, ἐὰν δύο <lb n="1799,001,,,,10,9,102"></lb> ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,10,9,103"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,104"></lb> <s>καὶ δῆλον ἐκ τούτων, ὅτι οἱ μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοί, <lb n="1799,001,,,,10,9,105"></lb> τουτέστιν οἱ μὴ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς, πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,9,106"></lb> ἀλλήλους λόγον οὐκ ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,10,9,107"></lb> πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <s>εἰ γὰρ ἕξουσιν, ὅμοιοι ἐπίπεδοι <lb n="1799,001,,,,10,9,108"></lb> ἔσονται· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.</s> <s>οἱ ἄρα μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι <lb n="1799,001,,,,10,9,109"></lb> πρὸς ἀλλήλους λόγον οὐκ ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,10,9,110"></lb> πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,9,111"></lb> <s>Τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ προσευρεῖν δύο εὐθείας ἀσυμ-<lb n="1799,001,,,,10,10,1"></lb> μέτρους, τὴν μὲν μήκει μόνον, τὴν δὲ καὶ δυνάμει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,10,2"></lb> <s>Ἔστω ἡ προτεθεῖσα εὐθεῖα ἡ Α· δεῖ δὴ τῇ Α προσευρεῖν <lb n="1799,001,,,,10,10,3"></lb> δύο εὐθείας ἀσυμμέτρους, τὴν μὲν μήκει μόνον, τὴν δὲ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,10,4"></lb> δυνάμει.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,10,5"></lb> Ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ πρὸς ἀλλήλους <lb n="1799,001,,,,10,10,6"></lb> λόγον μὴ ἔχοντες, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,10,7"></lb> ἀριθμόν, τουτέστι μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι, καὶ γεγονέτω ὡς <lb n="1799,001,,,,10,10,8"></lb> ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α <lb n="1799,001,,,,10,10,9"></lb> τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ τε-<lb n="1799,001,,,,10,10,10"></lb> τράγωνον· ἐμάθομεν γάρ· σύμμετρον <lb n="1799,001,,,,10,10,11"></lb> ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,10,12"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Β πρὸς τὸν Γ λόγον οὐκ <lb n="1799,001,,,,10,10,13"></lb> ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,10,14"></lb> τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ' ἄρα τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,10,15"></lb> τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθ-<lb n="1799,001,,,,10,10,16"></lb> μὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,10,17"></lb> Α τῇ Δ μήκει.</s> <s>εἰλήφθω τῶν Α, Δ μέση ἀνάλογον ἡ Ε· <lb n="1799,001,,,,10,10,18"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Δ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,10,19"></lb> γωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε.</s> <s>ἀσύμμετρος δέ ἐστιν ἡ Α τῇ Δ <lb n="1799,001,,,,10,10,20"></lb> μήκει· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,10,21"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς Ε τετραγώνῳ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ <lb n="1799,001,,,,10,10,22"></lb> Ε δυνάμει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,10,23"></lb> <s>Τῇ ἄρα προτεθείσῃ εὐθείᾳ τῇ Α προσεύρηνται δύο <lb n="1799,001,,,,10,10,24"></lb> εὐθεῖαι ἀσύμμετροι αἱ Δ, Ε, μήκει μὲν μόνον ἡ Δ, δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,10,25"></lb> δὲ καὶ μήκει δηλαδὴ ἡ Ε [ὅπερ ἔδει δεῖξαι].</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,10,26"></lb> Ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ δὲ πρῶτον τῷ <lb n="1799,001,,,,10,11,1"></lb> δευτέρῳ σύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ τρίτον τῷ τετάρτῳ σύμμετρον <lb n="1799,001,,,,10,11,2"></lb> ἔσται· κἂν τὸ πρῶτον τῷ δευτέρῳ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,11,3"></lb> τρίτον τῷ τετάρτῳ ἀσύμμετρον ἔσται. <lb n="1799,001,,,,10,11,4"></lb> Ἔστωσαν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ Α, Β, Γ, Δ, ὡς <lb n="1799,001,,,,10,11,5"></lb> τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, τὸ Α δὲ τῷ Β <lb n="1799,001,,,,10,11,6"></lb> σύμμετρον ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Γ τῷ Δ σύμμετρον <lb n="1799,001,,,,10,11,7"></lb> ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,10,11,8"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,11,9"></lb> τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.</s> <s>καί ἐστιν ὡς <lb n="1799,001,,,,10,11,10"></lb> τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,11,11"></lb> τὸ Δ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· σύμμετρον ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,11,12"></lb> ἐστὶ τὸ Γ τῷ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,11,13"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ τὸ Α τῷ Β ἀσύμμετρον ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,10,11,14"></lb> τὸ Γ τῷ Δ ἀσύμμετρον ἔσται.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,11,15"></lb> τὸ Α τῷ Β, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον οὐκ ἔχει, ὃν <lb n="1799,001,,,,10,11,16"></lb> ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.</s> <s>καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, <lb n="1799,001,,,,10,11,17"></lb> οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· οὐδὲ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγον <lb n="1799,001,,,,10,11,18"></lb> ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Γ <lb n="1799,001,,,,10,11,19"></lb> τῷ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,11,20"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,11,21"></lb> Τὰ τῷ αὐτῷ μεγέθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,12,1"></lb> σύμμετρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,12,2"></lb> <s>Ἑκάτερον γὰρ τῶν Α, Β τῷ Γ ἔστω σύμμετρον.</s> <s>λέγω, <lb n="1799,001,,,,10,12,3"></lb> ὅτι καὶ τὸ Α τῷ Β ἐστι σύμμετρον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,12,4"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ Α τῷ Γ, τὸ Α ἄρα πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,12,5"></lb> τὸ Γ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.</s> <s>ἐχέτω, ὃν ὁ Δ <lb n="1799,001,,,,10,12,6"></lb> πρὸς τὸν Ε.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ Γ τῷ Β, τὸ Γ <lb n="1799,001,,,,10,12,7"></lb> ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,12,8"></lb> <s>ἐχέτω, ὃν ὁ Ζ πρὸς τὸν Η.</s> <s>καὶ λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν <lb n="1799,001,,,,10,12,9"></lb> τοῦ τε, ὃν ἔχει ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, καὶ ὁ Ζ πρὸς τὸν Η <lb n="1799,001,,,,10,12,10"></lb> εἰλήφθωσαν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐν τοῖς δοθεῖσι λόγοις οἱ Θ, Κ, <lb n="1799,001,,,,10,12,11"></lb> Λ· ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὸν Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως τὸν Θ <lb n="1799,001,,,,10,12,12"></lb> πρὸς τὸν Κ, ὡς δὲ τὸν Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως τὸν Κ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,12,13"></lb> τὸν Λ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,12,14"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,12,15"></lb> τὸν Ε, ἀλλ' ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ, <lb n="1799,001,,,,10,12,16"></lb> ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,12,17"></lb> <s>πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,12,18"></lb> Η, ἀλλ' ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, [οὕτωσ] ὁ Κ πρὸς τὸν Λ, καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,12,19"></lb> ὡς ἄρα τὸ Γ πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ.</s> <s>ἔστι δὲ <lb n="1799,001,,,,10,12,20"></lb> καὶ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ· δι' ἴσου <lb n="1799,001,,,,10,12,21"></lb> ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Λ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,12,22"></lb> <s>τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ Θ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,12,23"></lb> ἀριθμὸν τὸν Λ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Α τῷ Β.</s> <lb n="1799,001,,,,10,12,24"></lb> <s>Τὰ ἄρα τῷ αὐτῷ μεγέθει σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,12,25"></lb> σύμμετρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,12,26"></lb> <s>Ἐὰν ᾖ δύο μεγέθη σύμμετρα, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,13,1"></lb> μεγέθει τινὶ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ λοιπὸν τῷ αὐτῷ ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,13,2"></lb> μετρον ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,10,13,3"></lb> <s>Ἔστω δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ Α, Β, τὸ δὲ ἕτερον <lb n="1799,001,,,,10,13,4"></lb> αὐτῶν τὸ Α ἄλλῳ τινὶ τῷ Γ ἀσύμμετρον ἔστω· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,13,5"></lb> καὶ τὸ λοιπὸν τὸ Β τῷ Γ ἀσύμμε- <lb n="1799,001,,,,10,13,6"></lb> τρόν ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,13,7"></lb> <s>Εἰ γάρ ἐστι σύμμετρον τὸ Β τῷ Γ, <lb n="1799,001,,,,10,13,8"></lb> ἀλλὰ καὶ τὸ Α τῷ Β σύμμετρόν <lb n="1799,001,,,,10,13,9"></lb> ἐστιν, καὶ τὸ Α ἄρα τῷ Γ σύμμετρόν ἐστιν.</s> <s>ἀλλὰ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,13,10"></lb> ἀσύμμετρον· ὅπερ ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα σύμμετρόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,13,11"></lb> Β τῷ Γ· ἀσύμμετρον ἄρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,13,12"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ᾖ δύο μεγέθη σύμμετρα, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,13,13"></lb> Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,10,13,14"></lb> Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων εὑρεῖν, τίνι μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,13,15"></lb> δύναται ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος.</s> <lb n="1799,001,,,,10,13,16"></lb> <s>Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο ἄνισοι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ, <lb n="1799,001,,,,10,13,17"></lb> ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ εὑρεῖν, τίνι μεῖζον δύναται <lb n="1799,001,,,,10,13,18"></lb> ἡ ΑΒ τῆς Γ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,13,19"></lb> <s>Γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,13,20"></lb> εἰς αὐτὸ ἐνηρμόσθω τῇ Γ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,13,21"></lb> <s>φανερὸν δή, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΔΒ γωνία, καὶ ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,13,22"></lb> ἡ ΑΒ τῆς ΑΔ, τουτέστι τῆς Γ, <lb n="1799,001,,,,10,13,23"></lb> μεῖζον δύναται τῇ ΔΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,13,24"></lb> <s>Ὁμοίως δὲ καὶ δύο δοθεισῶν <lb n="1799,001,,,,10,13,25"></lb> εὐθειῶν ἡ δυναμένη αὐτὰς εὑρί-<lb n="1799,001,,,,10,13,26"></lb> σκεται οὕτως.</s> <lb n="1799,001,,,,10,13,27"></lb> <s>Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ, καὶ δέον <lb n="1799,001,,,,10,13,28"></lb> ἔστω εὑρεῖν τὴν δυναμένην αὐτάς.</s> <s>κείσθωσαν γάρ, ὥστε <lb n="1799,001,,,,10,13,29"></lb> ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω <lb n="1799,001,,,,10,13,30"></lb> ἡ ΑΒ· φανερὸν πάλιν, ὅτι ἡ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυναμένη ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,13,31"></lb> ἡ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,13,32"></lb> <s>Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, δύνηται δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,10,14,1"></lb> πρώτη τῆς δευτέρας μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ <lb n="1799,001,,,,10,14,2"></lb> [μήκει], καὶ ἡ τρίτη τῆς τετάρτης μεῖζον δυνήσεται τῷ <lb n="1799,001,,,,10,14,3"></lb> ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ [μήκει].</s> <s>καὶ ἐὰν ἡ πρώτη τῆς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,14,4"></lb> δευτέρας μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ <lb n="1799,001,,,,10,14,5"></lb> [μήκει], καὶ ἡ τρίτη τῆς τετάρτης μεῖζον δυνήσεται τῷ <lb n="1799,001,,,,10,14,6"></lb> ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ [μήκει].</s> <lb n="1799,001,,,,10,14,7"></lb> <s>Ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, Δ, <lb n="1799,001,,,,10,14,8"></lb> ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, καὶ ἡ Α μὲν τῆς <lb n="1799,001,,,,10,14,9"></lb> Β μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ τῆς Ε, ἡ δὲ Γ τῆς Δ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,14,10"></lb> δυνάσθω τῷ ἀπὸ τῆς Ζ· λέγω, ὅτι, εἴτε σύμμετρόσ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,10,14,11"></lb> ἡ Α τῇ Ε, σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ, εἴτε ἀσύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,14,12"></lb> ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,14,13"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, <lb n="1799,001,,,,10,14,14"></lb> οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἔστιν ἄρα καὶ <lb n="1799,001,,,,10,14,15"></lb> ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, <lb n="1799,001,,,,10,14,16"></lb> οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,14,17"></lb> Δ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,14,18"></lb> τὰ ἀπὸ τῶν Ε, Β, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Γ <lb n="1799,001,,,,10,14,19"></lb> ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν Δ, Ζ.</s> <s>ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,14,20"></lb> ὡς τὰ ἀπὸ τῶν Ε, Β πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,10,14,21"></lb> ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν Δ, Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ· <lb n="1799,001,,,,10,14,22"></lb> διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, <lb n="1799,001,,,,10,14,23"></lb> οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς <lb n="1799,001,,,,10,14,24"></lb> ἡ Ε πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Ζ πρὸς τὴν Δ· ἀνάπαλιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,14,25"></lb> ἐστὶν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ.</s> <s>ἔστι δὲ <lb n="1799,001,,,,10,14,26"></lb> καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· δι' ἴσου <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,14,27"></lb> ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,14,28"></lb> <s>εἴτε οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, σύμμετρός ἐστι καὶ <lb n="1799,001,,,,10,14,29"></lb> ἡ Γ τῇ Ζ, εἴτε ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Ε, ἀσύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,14,30"></lb> ἐστι καὶ ἡ Γ τῇ Ζ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,14,31"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,14,32"></lb> <s>Ἐὰν δύο μεγέθη σύμμετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον <lb n="1799,001,,,,10,15,1"></lb> ἑκατέρῳ αὐτῶν σύμμετρον ἔσται· κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,15,2"></lb> σύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη σύμμετρα ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,10,15,3"></lb> <s>Συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη σύμμετρα τὰ ΑΒ, ΒΓ· <lb n="1799,001,,,,10,15,4"></lb> λέγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,15,5"></lb> σύμμετρον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,15,6"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΒ, ΒΓ, μετρήσει τι <lb n="1799,001,,,,10,15,7"></lb> αὐτὰ μέγεθος.</s> <s>μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ <lb n="1799,001,,,,10,15,8"></lb> ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον τὸ ΑΓ μετρήσει.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,15,9"></lb> τὰ ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>τὸ Δ ἄρα τὰ <lb n="1799,001,,,,10,15,10"></lb> ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ μετρεῖ· σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,15,11"></lb> μετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,15,12"></lb> ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,15,13"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἔστω σύμμετρον τῷ ΑΒ· λέγω δή, <lb n="1799,001,,,,10,15,14"></lb> ὅτι καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ σύμμετρά ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,15,15"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΓ, ΑΒ, μετρήσει τι <lb n="1799,001,,,,10,15,16"></lb> αὐτὰ μέγεθος.</s> <s>μετρείτω, καὶ ἔστω τὸ Δ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ Δ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,15,17"></lb> τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ μετρήσει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,15,18"></lb> <s>μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ· τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρήσει· <lb n="1799,001,,,,10,15,19"></lb> σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,15,20"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,15,21"></lb> <s>Ἐὰν δύο μεγέθη ἀσύμμετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον <lb n="1799,001,,,,10,16,1"></lb> ἑκατέρῳ αὐτῶν ἀσύμμετρον ἔσται· κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,16,2"></lb> ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη ἀσύμμετρα ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,10,16,3"></lb> <s>Συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη ἀσύμμετρα τὰ ΑΒ, ΒΓ· <lb n="1799,001,,,,10,16,4"></lb> λέγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,16,5"></lb> μετρόν ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,16,6"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἀσύμμετρα τὰ ΓΑ, ΑΒ, μετρήσει τι <lb n="1799,001,,,,10,16,7"></lb> [αὐτὰ] μέγεθος.</s> <s>μετρείτω, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω τὸ Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,16,8"></lb> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΓΑ, ΑΒ μετρεῖ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,16,9"></lb> μετρήσει.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ· τὸ Δ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,16,10"></lb> μετρεῖ.</s> <s>σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ· ὑπέκειντο δὲ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,16,11"></lb> ἀσύμμετρα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα τὰ <lb n="1799,001,,,,10,16,12"></lb> ΓΑ, ΑΒ μετρήσει τι μέγεθος· ἀσύμμετρα ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,16,13"></lb> ἐστὶ τὰ ΓΑ, ΑΒ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,10,16,14"></lb> ΑΓ, ΓΒ ἀσύμμετρά ἐστιν.</s> <s>τὸ ΑΓ ἄρα ἑκατέρῳ <lb n="1799,001,,,,10,16,15"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,16,16"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ ἑνὶ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρον <lb n="1799,001,,,,10,16,17"></lb> ἔστω.</s> <s>ἔστω δὴ πρότερον τῷ ΑΒ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,16,18"></lb> καὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρά ἐστιν.</s> <s>εἰ γὰρ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,16,19"></lb> ἔσται σύμμετρα, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος.</s> <s>μετρείτω, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,16,20"></lb> ἔστω τὸ Δ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὰ ΑΒ, ΒΓ μετρεῖ, καὶ ὅλον ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,16,21"></lb> τὸ ΑΓ μετρήσει.</s> <s>μετρεῖ δὲ καὶ τὸ ΑΒ· τὸ Δ ἄρα τὰ ΓΑ, <lb n="1799,001,,,,10,16,22"></lb> ΑΒ μετρεῖ.</s> <s>σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΑ, ΑΒ· ὑπέκειτο δὲ <lb n="1799,001,,,,10,16,23"></lb> καὶ ἀσύμμετρα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα τὰ ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,16,24"></lb> μετρήσει τι μέγεθος· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,16,25"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,16,26"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,10,16,27"></lb> Ἐὰν παρά τινα εὐθεῖαν παραβληθῇ παραλληλόγραμμον <lb n="1799,001,,,,10,16,28"></lb> ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, τὸ παραβληθὲν ἴσον ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,16,29"></lb> ὑπὸ τῶν ἐκ τῆς παραβολῆς γενομένων τμημάτων τῆς <lb n="1799,001,,,,10,16,30"></lb> εὐθείας.</s> <lb n="1799,001,,,,10,16,31"></lb> <s>Παρὰ γὰρ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω παραλ-<lb n="1799,001,,,,10,16,32"></lb> ληλόγραμμον τὸ ΑΔ ἐλλεῖπον εἴδει <lb n="1799,001,,,,10,16,33"></lb> τετραγώνῳ τῷ ΔΒ· λέγω, ὅτι ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,16,34"></lb> ἐστὶ τὸ ΑΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,16,35"></lb> <s>Καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν· ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,16,36"></lb> γὰρ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΒ, ἴση ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,16,37"></lb> ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ, καί ἐστι τὸ ΑΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,10,16,38"></lb> τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,16,39"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα παρά τινα εὐθεῖαν, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,16,40"></lb> Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,17,1"></lb> ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ <lb n="1799,001,,,,10,17,2"></lb> ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ <lb n="1799,001,,,,10,17,3"></lb> μήκει, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,17,4"></lb> συμμέτρου ἑαυτῇ [μήκει].</s> <s>καὶ ἐὰν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος <lb n="1799,001,,,,10,17,5"></lb> μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ [μήκει], τῷ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,17,6"></lb> τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα <lb n="1799,001,,,,10,17,7"></lb> παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν <lb n="1799,001,,,,10,17,8"></lb> διαιρεῖ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,17,9"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ Α, ΒΓ, ὧν μείζων ἡ ΒΓ, <lb n="1799,001,,,,10,17,10"></lb> τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς Α, <lb n="1799,001,,,,10,17,11"></lb> τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς Α, ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,17,12"></lb> παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώ- <lb n="1799,001,,,,10,17,13"></lb> νῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ, σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,17,14"></lb> μετρος δὲ ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει· λέ-<lb n="1799,001,,,,10,17,15"></lb> γω, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ <lb n="1799,001,,,,10,17,16"></lb> ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,17,17"></lb> <s>Τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,17,18"></lb> κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΕΖ.</s> <s>λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΓ ἴση ἐστὶ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,17,19"></lb> ΒΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΒΓ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ε, <lb n="1799,001,,,,10,17,20"></lb> εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Δ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΔ, ΔΓ περιεχόμενον <lb n="1799,001,,,,10,17,21"></lb> ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,17,22"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ· καὶ τὰ τετραπλάσια· τὸ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,17,23"></lb> τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ τετραπλασίου τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,17,24"></lb> ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,17,25"></lb> <s>ἀλλὰ τῷ μέν τετραπλασίῳ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,17,26"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον, τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,17,27"></lb> ΔΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ τετράγωνον· διπλασίων γάρ <lb n="1799,001,,,,10,17,28"></lb> ἐστιν ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ.</s> <s>τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,17,29"></lb> ΕΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον· διπλασίων γάρ <lb n="1799,001,,,,10,17,30"></lb> ἐστι πάλιν ἡ ΒΓ τῆς ΓΕ.</s> <s>τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν Α, ΔΖ τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,17,31"></lb> γωνα ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ· ὥστε τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,17,32"></lb> τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς Α μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ· ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,17,33"></lb> ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῇ ΔΖ.</s> <s>δεικτέον, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,10,17,34"></lb> σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΖ.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,10,17,35"></lb> ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει, σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,17,36"></lb> ΓΔ μήκει.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ΓΔ ταῖς ΓΔ, ΒΖ ἐστι σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,17,37"></lb> μήκει· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΒΖ.</s> <s>καὶ ἡ ΒΓ ἄρα σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,17,38"></lb> μετρός ἐστι ταῖς ΒΖ, ΓΔ μήκει· ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ <lb n="1799,001,,,,10,17,39"></lb> σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει· ἡ ΒΓ ἄρα τῆς Α μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,17,40"></lb> δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,17,41"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ συμμέτρου <lb n="1799,001,,,,10,17,42"></lb> ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,17,43"></lb> παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ <lb n="1799,001,,,,10,17,44"></lb> ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ.</s> <s>δεικτέον, ὅτι σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ <lb n="1799,001,,,,10,17,45"></lb> τῇ ΔΓ μήκει.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,17,46"></lb> Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, <lb n="1799,001,,,,10,17,47"></lb> ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ.</s> <s>δύναται <lb n="1799,001,,,,10,17,48"></lb> δὲ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>σύμμε-<lb n="1799,001,,,,10,17,49"></lb> τρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μήκει· ὥστε καὶ λοιπῇ <lb n="1799,001,,,,10,17,50"></lb> συναμφοτέρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,17,51"></lb> <s>ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΓ <lb n="1799,001,,,,10,17,52"></lb> [μήκει].</s> <s>ὥστε καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ σύμμετρός ἐστι μήκει· <lb n="1799,001,,,,10,17,53"></lb> καὶ διελόντι ἄρα ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἐστι σύμμετρος μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,17,54"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,17,55"></lb> <s>Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,18,1"></lb> τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον <lb n="1799,001,,,,10,18,2"></lb> εἴδει τετραγώνῳ, καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ [μήκει], <lb n="1799,001,,,,10,18,3"></lb> ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμ-<lb n="1799,001,,,,10,18,4"></lb> μέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καὶ ἐὰν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,18,5"></lb> δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,18,6"></lb> ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ <lb n="1799,001,,,,10,18,7"></lb> ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ <lb n="1799,001,,,,10,18,8"></lb> [μήκει].</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,18,9"></lb> Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ Α, ΒΓ, ὧν <lb n="1799,001,,,,10,18,10"></lb> μείζων ἡ ΒΓ, τῷ δὲ τετάρτῳ [μέρει] τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,18,11"></lb> τῆς ἐλάσσονος τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,18,12"></lb> παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, <lb n="1799,001,,,,10,18,13"></lb> καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ, ἀσύμμετρος δὲ <lb n="1799,001,,,,10,18,14"></lb> ἔστω ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει· λέγω, ὅτι ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,18,15"></lb> τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου <lb n="1799,001,,,,10,18,16"></lb> ἑαυτῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,18,17"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων τῷ πρότερον <lb n="1799,001,,,,10,18,18"></lb> ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ <lb n="1799,001,,,,10,18,19"></lb> ἀπὸ τῆς ΖΔ.</s> <s>δεικτέον [οὖν], ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,18,20"></lb> τῇ ΔΖ μήκει.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ <lb n="1799,001,,,,10,18,21"></lb> μήκει, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ μήκει.</s> <s>ἀλλὰ <lb n="1799,001,,,,10,18,22"></lb> ἡ ΔΓ σύμμετρός ἐστι συναμφοτέραις ταῖς ΒΖ, ΔΓ· καὶ <lb n="1799,001,,,,10,18,23"></lb> ἡ ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρός ἐστι συναμφοτέραις ταῖς ΒΖ, ΔΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,18,24"></lb> <s>ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,18,25"></lb> <s>καὶ ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ· ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,18,26"></lb> ἄρα τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,18,27"></lb> <s>Δυνάσθω δὴ πάλιν ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον τῷ ἀπὸ ἀσυμ-<lb n="1799,001,,,,10,18,28"></lb> μέτρου ἑαυτῇ, τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ <lb n="1799,001,,,,10,18,29"></lb> τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,18,30"></lb> ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ.</s> <s>δεικτέον, ὅτι ἀσύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,18,31"></lb> ἐστιν ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,18,32"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, <lb n="1799,001,,,,10,18,33"></lb> ὅτι ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ.</s> <s>ἀλλὰ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,18,34"></lb> ἡ ΒΓ τῆς Α μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,18,35"></lb> <s>ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ μήκει· ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,10,18,36"></lb> λοιπῇ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,18,37"></lb> <s>ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ τῇ ΔΓ σύμμετρός ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,18,38"></lb> μήκει· καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει· <lb n="1799,001,,,,10,18,39"></lb> ὥστε καὶ διελόντι ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,18,40"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,18,41"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,10,18,42"></lb> Ἐπεὶ δέδεικται, ὅτι αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ <lb n="1799,001,,,,10,18,43"></lb> δυνάμει [εἰσὶ σύμμετροι], αἱ δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ <lb n="1799,001,,,,10,18,44"></lb> μήκει, ἀλλὰ δὴ δύνανται μήκει καὶ σύμμετροι εἶναι καὶ <lb n="1799,001,,,,10,18,45"></lb> ἀσύμμετροι, φανερόν, ὅτι, ἐὰν τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,18,46"></lb> μετρός τις ᾖ μήκει, λέγεται ῥητὴ καὶ σύμμετρος αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,10,18,47"></lb> οὐ μόνον μήκει, ἀλλὰ καὶ δυνάμει, ἐπεὶ αἱ μήκει σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,18,48"></lb> μετροι πάντως καὶ δυνάμει.</s> <s>ἐὰν δὲ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ <lb n="1799,001,,,,10,18,49"></lb> σύμμετρός τις ᾖ δυνάμει, εἰ μὲν καὶ μήκει, λέγεται καὶ <lb n="1799,001,,,,10,18,50"></lb> οὕτως ῥητὴ καὶ σύμμετρος αὐτῇ μήκει καὶ δυνάμει· εἰ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,18,51"></lb> τῇ ἐκκειμένῃ πάλιν ῥητῇ σύμμετρός τις οὖσα δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,18,52"></lb> μήκει αὐτῇ ᾖ ἀσύμμετρος, λέγεται καὶ οὕτως ῥητὴ <lb n="1799,001,,,,10,18,53"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετρος.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,18,54"></lb> Τὸ ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων κατά τινα τῶν προ-<lb n="1799,001,,,,10,19,1"></lb> ειρημένων τρόπων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον <lb n="1799,001,,,,10,19,2"></lb> ῥητόν ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,19,3"></lb> <s>Ὑπὸ γὰρ ῥητῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τῶν <lb n="1799,001,,,,10,19,4"></lb> ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,10,19,5"></lb> ὅτι ῥητόν ἐστι τὸ ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,19,6"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τε-<lb n="1799,001,,,,10,19,7"></lb> τράγωνον τὸ ΑΔ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,19,8"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,19,9"></lb> μήκει, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,19,10"></lb> μετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ τῇ ΒΓ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,19,11"></lb> <s>καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,19,12"></lb> τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ.</s> <s>σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,19,13"></lb> ΑΓ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,19,14"></lb> <s>Τὸ ἄρα ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,19,15"></lb> <s>Ἐὰν ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ, πλάτος ποιεῖ <lb n="1799,001,,,,10,20,1"></lb> ῥητὴν καὶ σύμμετρον τῇ, παρ' ἣν παράκειται, μήκει.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,20,2"></lb> Ῥητὸν γὰρ τὸ ΑΓ παρὰ ῥητὴν κατά τινα πάλιν τῶν <lb n="1799,001,,,,10,20,3"></lb> προειρημένων τρόπων τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,20,4"></lb> ποιοῦν τὴν ΒΓ· λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ ΒΓ καὶ σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,20,5"></lb> τῇ ΒΑ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,20,6"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετρά- <lb n="1799,001,,,,10,20,7"></lb> γωνον τὸ ΑΔ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ.</s> <s>ῥητὸν <lb n="1799,001,,,,10,20,8"></lb> δὲ καὶ τὸ ΑΓ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑ <lb n="1799,001,,,,10,20,9"></lb> τῷ ΑΓ.</s> <s>καί ἐστιν ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,20,10"></lb> οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ.</s> <s>σύμμετρος ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,20,11"></lb> ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ· ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,20,12"></lb> ΒΑ· σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ.</s> <s>ῥητὴ <lb n="1799,001,,,,10,20,13"></lb> δέ ἐστιν ἡ ΑΒ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ καὶ σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,20,14"></lb> τῇ ΑΒ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,20,15"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,20,16"></lb> <s>Τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν <lb n="1799,001,,,,10,21,1"></lb> περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη <lb n="1799,001,,,,10,21,2"></lb> αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση.</s> <lb n="1799,001,,,,10,21,3"></lb> <s>Ὑπὸ γὰρ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν τῶν <lb n="1799,001,,,,10,21,4"></lb> ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,21,5"></lb> ἄλογόν ἐστι τὸ ΑΓ, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, <lb n="1799,001,,,,10,21,6"></lb> καλείσθω δὲ μέση.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,21,7"></lb> Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ· <lb n="1799,001,,,,10,21,8"></lb> ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,21,9"></lb> τῇ ΒΓ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον ὑπόκεινται σύμμετροι· <lb n="1799,001,,,,10,21,10"></lb> ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,21,11"></lb> καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μήκει.</s> <s>καί ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ <lb n="1799,001,,,,10,21,12"></lb> πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΑΔ πρὸς τὸ ΑΓ· <lb n="1799,001,,,,10,21,13"></lb> ἀσύμμετρον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ.</s> <s>ῥητὸν <lb n="1799,001,,,,10,21,14"></lb> δὲ τὸ ΔΑ· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ· ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,10,21,15"></lb> ἡ δυναμένη τὸ ΑΓ [τουτέστιν ἡ ἴσον αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,10,21,16"></lb> τετράγωνον δυναμένη] ἄλογός ἐστιν, καλεί-<lb n="1799,001,,,,10,21,17"></lb> σθω δὲ μέση· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,21,18"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,10,21,19"></lb> Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,10,21,20"></lb> δευτέραν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,21,21"></lb> δύο εὐθειῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,21,22"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΖΕ, ΕΗ.</s> <s>λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς <lb n="1799,001,,,,10,21,23"></lb> ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,21,24"></lb> τῶν ΖΕ, ΕΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,21,25"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΖΕ τετράγωνον τὸ ΔΖ, <lb n="1799,001,,,,10,21,26"></lb> καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΗΔ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΕ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,21,27"></lb> πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ΖΔ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,21,28"></lb> τὸ ΔΗ, καί ἐστι τὸ μὲν ΖΔ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,21,29"></lb> ἀπὸ τῆς ΖΕ, τὸ δὲ ΔΗ τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,21,30"></lb> τῶν ΔΕ, ΕΗ, τουτέστι τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,21,31"></lb> τῶν ΖΕ, ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ <lb n="1799,001,,,,10,21,32"></lb> τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,21,33"></lb> <s>ὁμοίως δὲ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΕ, ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,21,34"></lb> ΕΖ, τουτέστιν ὡς τὸ ΗΔ πρὸς τὸ ΖΔ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,21,35"></lb> τὴν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,21,36"></lb> <s>Τὸ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,22,1"></lb> ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ, παρ' ἣν παράκειται, <lb n="1799,001,,,,10,22,2"></lb> μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,22,3"></lb> <s>Ἔστω μέση μὲν ἡ Α, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΒ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α <lb n="1799,001,,,,10,22,4"></lb> ἴσον παρὰ τὴν ΒΓ παραβεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον <lb n="1799,001,,,,10,22,5"></lb> τὸ ΒΔ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΔ· λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ ΓΔ <lb n="1799,001,,,,10,22,6"></lb> καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΒ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,22,7"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ μέση ἐστὶν ἡ Α, δύναται χωρίον περιεχόμενον <lb n="1799,001,,,,10,22,8"></lb> ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων.</s> <s>δυνάσθω τὸ ΗΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,22,9"></lb> <s>δύναται δὲ καὶ τὸ ΒΔ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔ τῷ ΗΖ.</s> <s>ἔστι <lb n="1799,001,,,,10,22,10"></lb> δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον· τῶν δὲ ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων <lb n="1799,001,,,,10,22,11"></lb> παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς <lb n="1799,001,,,,10,22,12"></lb> ἴσας γωνίας· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΗ, <lb n="1799,001,,,,10,22,13"></lb> οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΔ.</s> <s>ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,22,14"></lb> ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,10,22,15"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,22,16"></lb> <s>σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,22,17"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΗ· ῥητὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,10,22,18"></lb> αὐτῶν· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,22,19"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ.</s> <s>ῥητὸν δέ <lb n="1799,001,,,,10,22,20"></lb> ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,22,21"></lb> καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,22,22"></lb> μετρός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ <lb n="1799,001,,,,10,22,23"></lb> σύμμετροι· ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ <lb n="1799,001,,,,10,22,24"></lb> πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ἀσύμμετρον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,22,25"></lb> τῆς ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΕΖ <lb n="1799,001,,,,10,22,26"></lb> σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· ῥηταὶ γάρ εἰσι δυνάμει· τῷ <lb n="1799,001,,,,10,22,27"></lb> δὲ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ σύμμετρόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· <lb n="1799,001,,,,10,22,28"></lb> ἴσα γάρ ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς Α· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,22,29"></lb> τῆς ΓΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,22,30"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΒ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ· <lb n="1799,001,,,,10,22,31"></lb> ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ μήκει.</s> <s>ῥητὴ ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,22,32"></lb> ἡ ΓΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΒ μήκει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,22,33"></lb> <s>Ἡ τῇ μέσῃ σύμμετρος μέση ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,23,1"></lb> <s>Ἔστω μέση ἡ Α, καὶ τῇ Α σύμμετρος ἔστω ἡ Β· λέγω, <lb n="1799,001,,,,10,23,2"></lb> ὅτι καὶ ἡ Β μέση ἐστίν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,23,3"></lb> Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ μὲν <lb n="1799,001,,,,10,23,4"></lb> ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβε-<lb n="1799,001,,,,10,23,5"></lb> βλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλά-<lb n="1799,001,,,,10,23,6"></lb> τος ποιοῦν τὴν ΕΔ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,23,7"></lb> ΕΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.</s> <s>τῷ <lb n="1799,001,,,,10,23,8"></lb> δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παρα-<lb n="1799,001,,,,10,23,9"></lb> βεβλήσθω χωρίον ὀρθογώνιον τὸ ΓΖ <lb n="1799,001,,,,10,23,10"></lb> πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ <lb n="1799,001,,,,10,23,11"></lb> Β, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς Β.</s> <s>ἀλλὰ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,23,12"></lb> μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΓ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,23,13"></lb> τὸ ΓΖ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΓ τῷ ΓΖ.</s> <s>καί ἐστιν ὡς <lb n="1799,001,,,,10,23,14"></lb> τὸ ΕΓ πρὸς τὸ ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ· σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,23,15"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ μήκει.</s> <s>ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΕΔ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,23,16"></lb> ἀσύμμετρος τῇ ΔΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,23,17"></lb> ἀσύμμετρος τῇ ΔΓ μήκει· αἱ ΓΔ, ΔΖ ἄρα ῥηταί εἰσι <lb n="1799,001,,,,10,23,18"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>ἡ δὲ τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,23,19"></lb> μόνον συμμέτρων δυναμένη μέση ἐστίν.</s> <s>ἡ ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,23,20"></lb> ΓΔ, ΔΖ δυναμένη μέση ἐστίν· καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,23,21"></lb> ΓΔ, ΔΖ ἡ Β· μέση ἄρα ἐστὶν ἡ Β.</s> <lb n="1799,001,,,,10,23,22"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,10,23,23"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τὸ τῷ μέσῳ χωρίῳ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,23,24"></lb> μετρον μέσον ἐστίν.</s> <s>[δύνανται γὰρ αὐτὰ εὐθεῖαι, αἵ εἰσι <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,23,25"></lb> δυνάμει σύμμετροι, ὧν ἡ ἑτέρα μέση· ὥστε καὶ ἡ λοιπὴ <lb n="1799,001,,,,10,23,26"></lb> μέση ἐστίν.] <lb n="1799,001,,,,10,23,27"></lb> Ὡσαύτως δὲ τοῖς ἐπὶ τῶν ῥητῶν εἰρημένοις καὶ ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,10,23,28"></lb> τῶν μέσων ἐξακολουθεῖ, τὴν τῇ μέσῃ μήκει σύμμετρον <lb n="1799,001,,,,10,23,29"></lb> λέγεσθαι μέσην καὶ σύμμετρον αὐτῇ μὴ μόνον μήκει, <lb n="1799,001,,,,10,23,30"></lb> ἀλλὰ καὶ δυνάμει, ἐπειδήπερ καθόλου αἱ μήκει σύμμετροι <lb n="1799,001,,,,10,23,31"></lb> πάντως καὶ δυνάμει.</s> <s>ἐὰν δὲ τῇ μέσῃ σύμμετρός τις ᾖ <lb n="1799,001,,,,10,23,32"></lb> δυνάμει, εἰ μὲν καὶ μήκει, λέγονται καὶ οὕτως μέσαι καὶ <lb n="1799,001,,,,10,23,33"></lb> σύμμετροι μήκει καὶ δυνάμει, εἰ δὲ δυνάμει μόνον, <lb n="1799,001,,,,10,23,34"></lb> λέγονται μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,23,35"></lb> <s>Τὸ ὑπὸ μέσων μήκει συμμέτρων εὐθειῶν κατά τινα τῶν <lb n="1799,001,,,,10,24,1"></lb> εἰρημένων τρόπων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μέσον ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,24,2"></lb> <s>Ὑπὸ γὰρ μέσων μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,24,3"></lb> ΒΓ περιεχέσθω ὀρθογώνιον τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,24,4"></lb> ΑΓ μέσον ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,24,5"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,24,6"></lb> τὸ ΑΔ· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,24,7"></lb> μετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, ἴση δὲ ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,24,8"></lb> τῇ ΒΔ, σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,24,9"></lb> μήκει· ὥστε καὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ σύμμετρόν <lb n="1799,001,,,,10,24,10"></lb> ἐστιν.</s> <s>μέσον δὲ τὸ ΔΑ· μέσον ἄρα καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,24,11"></lb> ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,24,12"></lb> Τὸ ὑπὸ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν <lb n="1799,001,,,,10,25,1"></lb> περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,25,2"></lb> <s>Ὑπὸ γὰρ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν <lb n="1799,001,,,,10,25,3"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,25,4"></lb> τὸ ΑΓ ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,25,5"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα τὰ ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,10,25,6"></lb> ΒΕ· μέσον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,10,25,7"></lb> τῶν ΑΔ, ΒΕ.</s> <s>καὶ ἐκκείσθω <lb n="1799,001,,,,10,25,8"></lb> ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ τῷ μὲν ΑΔ <lb n="1799,001,,,,10,25,9"></lb> ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβε-<lb n="1799,001,,,,10,25,10"></lb> βλήσθω ὀρθογώνιον παραλλη-<lb n="1799,001,,,,10,25,11"></lb> λόγραμμον τὸ ΗΘ πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,25,12"></lb> ποιοῦν τὴν ΖΘ, τῷ δὲ ΑΓ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,25,13"></lb> παρὰ τὴν ΘΜ παραβεβλήσθω <lb n="1799,001,,,,10,25,14"></lb> ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΜΚ πλάτος ποιοῦν <lb n="1799,001,,,,10,25,15"></lb> τὴν ΘΚ, καὶ ἔτι τῷ ΒΕ ἴσον ὁμοίως παρὰ τὴν ΚΝ <lb n="1799,001,,,,10,25,16"></lb> παραβεβλήσθω τὸ ΝΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΛ· ἐπ' <lb n="1799,001,,,,10,25,17"></lb> εὐθείας ἄρα εἰσὶν αἱ ΖΘ, ΘΚ, ΚΛ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν μέσον <lb n="1799,001,,,,10,25,18"></lb> ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΔ, ΒΕ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν <lb n="1799,001,,,,10,25,19"></lb> ΑΔ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΒΕ τῷ ΝΛ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,10,25,20"></lb> τῶν ΗΘ, ΝΛ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται· ῥητὴ <lb n="1799,001,,,,10,25,21"></lb> ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΖΘ, ΚΛ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ <lb n="1799,001,,,,10,25,22"></lb> μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΔ τῷ ΒΕ, σύμμετρον <lb n="1799,001,,,,10,25,23"></lb> ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΗΘ τῷ ΝΛ.</s> <s>καί ἐστιν ὡς τὸ ΗΘ πρὸς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,25,24"></lb> τὸ ΝΛ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΚΛ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,25,25"></lb> ἡ ΖΘ τῇ ΚΛ μήκει.</s> <s>αἱ ΖΘ, ΚΛ ἄρα ῥηταί εἰσι μήκει <lb n="1799,001,,,,10,25,26"></lb> σύμμετροι· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΘ, ΚΛ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,25,27"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΑ, ἡ δὲ ΞΒ τῇ ΒΓ, ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,25,28"></lb> ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΞ.</s> <s>ἀλλ' <lb n="1799,001,,,,10,25,29"></lb> ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ· <lb n="1799,001,,,,10,25,30"></lb> ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΞ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΞ· <lb n="1799,001,,,,10,25,31"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,10,25,32"></lb> ΓΞ.</s> <s>ἴσον δέ ἐστι τὸ μὲν ΑΔ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΜΚ, <lb n="1799,001,,,,10,25,33"></lb> τὸ δὲ ΓΞ τῷ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΜΚ, <lb n="1799,001,,,,10,25,34"></lb> οὕτως τὸ ΜΚ πρὸς τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΖΘ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,25,35"></lb> τὴν ΘΚ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΛ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,25,36"></lb> ΖΘ, ΚΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΚ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,25,37"></lb> ΖΘ, ΚΛ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ· ῥητὴ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,25,38"></lb> ἐστὶν ἡ ΘΚ.</s> <s>καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, <lb n="1799,001,,,,10,25,39"></lb> ῥητόν ἐστι τὸ ΘΝ· εἰ δὲ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, <lb n="1799,001,,,,10,25,40"></lb> αἱ ΚΘ, ΘΜ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσον <lb n="1799,001,,,,10,25,41"></lb> ἄρα τὸ ΘΝ.</s> <s>τὸ ΘΝ ἄρα ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.</s> <s>ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,25,42"></lb> δὲ τὸ ΘΝ τῷ ΑΓ· τὸ ΑΓ ἄρα ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,25,43"></lb> <s>Τὸ ἄρα ὑπὸ μέσων δυνάμει μόνον συμμέτρων, καὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,10,25,44"></lb> ἑξῆς.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,25,45"></lb> Μέσον μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,26,1"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, μέσον τὸ ΑΒ μέσου τοῦ ΑΓ ὑπερεχέτω <lb n="1799,001,,,,10,26,2"></lb> ῥητῷ τῷ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ ΑΒ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,26,3"></lb> παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον ὀρθο-<lb n="1799,001,,,,10,26,4"></lb> γώνιον τὸ ΖΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ, τῷ <lb n="1799,001,,,,10,26,5"></lb> δὲ ΑΓ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΖΗ· λοιπὸν ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,26,6"></lb> τὸ ΒΔ λοιπῷ τῷ ΚΘ ἐστιν ἴσον.</s> <s>ῥητὸν δέ <lb n="1799,001,,,,10,26,7"></lb> ἐστι τὸ ΔΒ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΚΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,26,8"></lb> <s>ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,26,9"></lb> ΑΓ, καί ἐστι τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΖΘ ἴσον, τὸ <lb n="1799,001,,,,10,26,10"></lb> δὲ ΑΓ τῷ ΖΗ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,10,26,11"></lb> τῶν ΖΘ, ΖΗ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ πα-<lb n="1799,001,,,,10,26,12"></lb> ράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΘΕ, <lb n="1799,001,,,,10,26,13"></lb> ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,26,14"></lb> ῥητόν ἐστι τὸ ΔΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΚΘ, <lb n="1799,001,,,,10,26,15"></lb> ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΚΘ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν <lb n="1799,001,,,,10,26,16"></lb> τὴν ΕΖ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ <lb n="1799,001,,,,10,26,17"></lb> καὶ σύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΗ ῥητή ἐστι καὶ <lb n="1799,001,,,,10,26,18"></lb> ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,26,19"></lb> ΗΘ μήκει.</s> <s>καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,26,20"></lb> τῆς ΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,26,21"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,26,22"></lb> ΕΗ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ τετράγωνα· ῥητὰ <lb n="1799,001,,,,10,26,23"></lb> γὰρ ἀμφότερα· τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ σύμμετρόν ἐστι τὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,26,24"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· διπλάσιον γάρ ἐστιν αὐτοῦ· ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,26,25"></lb> μετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,26,26"></lb> ΕΗ, ΗΘ· καὶ συναμφότερα ἄρα τά τε ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ <lb n="1799,001,,,,10,26,27"></lb> καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, <lb n="1799,001,,,,10,26,28"></lb> ἀσύμμετρόν ἐστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ.</s> <s>ῥητὰ δὲ τὰ <lb n="1799,001,,,,10,26,29"></lb> ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ· ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ.</s> <s>ἄλογος <lb n="1799,001,,,,10,26,30"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ῥητή· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,26,31"></lb> <s>Μέσον ἄρα μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,26,32"></lb> <s>Μέσας εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περι-<lb n="1799,001,,,,10,27,1"></lb> εχούσας.</s> <lb n="1799,001,,,,10,27,2"></lb> <s>Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ <lb n="1799,001,,,,10,27,3"></lb> Α, Β, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Β μέση ἀνάλογον ἡ Γ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,27,4"></lb> γεγονέτω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,27,5"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ αἱ Α, Β ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, <lb n="1799,001,,,,10,27,6"></lb> τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς Γ, μέσον <lb n="1799,001,,,,10,27,7"></lb> ἐστίν.</s> <s>μέση ἄρα ἡ Γ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, <lb n="1799,001,,,,10,27,8"></lb> [οὕτωσ] ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, αἱ δὲ Α, Β δυνάμει μόνον [εἰσὶ] <lb n="1799,001,,,,10,27,9"></lb> σύμμετροι, καὶ αἱ Γ, Δ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,27,10"></lb> <s>καί ἐστι μέση ἡ Γ· μέση ἄρα καὶ ἡ Δ.</s> <s>αἱ Γ, Δ ἄρα μέσαι <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,27,11"></lb> εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>λέγω, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,10,27,12"></lb> ῥητὸν περιέχουσιν.</s> <s>ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,27,13"></lb> τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἐναλλὰξ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,27,14"></lb> ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Β πρὸς τὴν Δ.</s> <s>ἀλλ' <lb n="1799,001,,,,10,27,15"></lb> ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς τὴν Β· καὶ ὡς <lb n="1799,001,,,,10,27,16"></lb> ἄρα ἡ Γ πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Δ· <lb n="1799,001,,,,10,27,17"></lb> τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ, Δ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β.</s> <lb n="1799,001,,,,10,27,18"></lb> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β· ῥητὸν ἄρα [ἐστὶ] καὶ τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,27,19"></lb> τῶν Γ, Δ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,27,20"></lb> <s>Εὕρηνται ἄρα μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν <lb n="1799,001,,,,10,27,21"></lb> περιέχουσαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,27,22"></lb> <s>Μέσας εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περι-<lb n="1799,001,,,,10,28,1"></lb> εχούσας.</s> <lb n="1799,001,,,,10,28,2"></lb> <s>Ἐκκείσθωσαν [τρεῖσ] ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι <lb n="1799,001,,,,10,28,3"></lb> αἱ Α, Β, Γ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Β μέση ἀνάλογον ἡ Δ, <lb n="1799,001,,,,10,28,4"></lb> καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε. <lb n="1799,001,,,,10,28,5"></lb> Ἐπεὶ αἱ Α, Β ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, τὸ <lb n="1799,001,,,,10,28,6"></lb> ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς Δ, μέσον ἐστίν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,28,7"></lb> μέση ἄρα ἡ Δ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ αἱ Β, Γ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,28,8"></lb> μετροι, καί ἐστιν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,28,9"></lb> αἱ Δ, Ε ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.</s> <s>μέση δὲ ἡ Δ· <lb n="1799,001,,,,10,28,10"></lb> μέση ἄρα καὶ ἡ Ε· αἱ Δ, Ε ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον <lb n="1799,001,,,,10,28,11"></lb> σύμμετροι.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον περιέχουσιν.</s> <s>ἐπεὶ γάρ <lb n="1799,001,,,,10,28,12"></lb> ἐστιν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,10,28,13"></lb> ἡ Β πρὸς τὴν Δ, ἡ Γ πρὸς τὴν Ε.</s> <s>ὡς δὲ ἡ Β πρὸς τὴν Δ, <lb n="1799,001,,,,10,28,14"></lb> ἡ Δ πρὸς τὴν Α· καὶ ὡς ἄρα ἡ Δ πρὸς τὴν Α, ἡ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,28,15"></lb> τὴν Ε· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε.</s> <lb n="1799,001,,,,10,28,16"></lb> <s>μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,28,17"></lb> Δ, Ε.</s> <lb n="1799,001,,,,10,28,18"></lb> <s>Εὕρηνται ἄρα μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον <lb n="1799,001,,,,10,28,19"></lb> περιέχουσαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,28,20"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,10,28,21"></lb> Εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἀριθμούς, ὥστε καὶ τὸν <lb n="1799,001,,,,10,28,22"></lb> συγκείμενον ἐξ αὐτῶν εἶναι τετράγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,28,23"></lb> <s>Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ἔστωσαν δὲ <lb n="1799,001,,,,10,28,24"></lb> ἤτοι ἄρτιοι ἢ περιττοί.</s> <s>καὶ ἐπεί, ἐάν τε ἀπὸ ἀρτίου ἄρτιος <lb n="1799,001,,,,10,28,25"></lb> ἀφαιρεθῇ, ἐάν τε ἀπὸ περισσοῦ περισσός, ὁ λοιπὸς <lb n="1799,001,,,,10,28,26"></lb> ἄρτιός ἐστιν, ὁ λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΓ ἄρτιός ἐστιν.</s> <s>τετμήσθω <lb n="1799,001,,,,10,28,27"></lb> ὁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ.</s> <s>ἔστωσαν δὲ καὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ ἤτοι <lb n="1799,001,,,,10,28,28"></lb> ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἢ τετράγωνοι, οἳ καὶ αὐτοὶ ὅμοιοί εἰσιν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,28,29"></lb> ἐπίπεδοι· ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] <lb n="1799,001,,,,10,28,30"></lb> ΓΔ τετραγώνου ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετρα-<lb n="1799,001,,,,10,28,31"></lb> γώνῳ.</s> <s>καί ἐστι τετράγωνος ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ, <lb n="1799,001,,,,10,28,32"></lb> ἐπειδήπερ ἐδείχθη, ὅτι, ἐὰν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι <lb n="1799,001,,,,10,28,33"></lb> πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμε-<lb n="1799,001,,,,10,28,34"></lb> νος τετράγωνός ἐστιν.</s> <s>εὕρηνται ἄρα δύο τετράγωνοι <lb n="1799,001,,,,10,28,35"></lb> ἀριθμοὶ ὅ τε ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,10,28,36"></lb> οἳ συντεθέντες ποιοῦσι τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,28,37"></lb> γωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,28,38"></lb> <s>Καὶ φανερόν, ὅτι εὕρηνται πάλιν δύο τετράγωνοι ὅ τε <lb n="1799,001,,,,10,28,39"></lb> ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν <lb n="1799,001,,,,10,28,40"></lb> αὐτῶν τὸν ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ εἶναι τετράγωνον, ὅταν οἱ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,28,41"></lb> ΒΓ ὅμοιοι ὦσιν ἐπίπεδοι.</s> <s>ὅταν δὲ μὴ ὦσιν ὅμοιοι ἐπίπεδοι, <lb n="1799,001,,,,10,28,42"></lb> εὕρηνται δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,28,43"></lb> ΔΓ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ οὐκ ἔστι τετράγω-<lb n="1799,001,,,,10,28,44"></lb> νος· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,28,45"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,10,28,46"></lb> Εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἀριθμούς, ὥστε τὸν ἐξ αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,28,47"></lb> συγκείμενον μὴ εἶναι τετράγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,28,48"></lb> <s>Ἔστω γὰρ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὡς ἔφαμεν, τετράγωνος, <lb n="1799,001,,,,10,28,49"></lb> καὶ ἄρτιος ὁ ΓΑ, καὶ τετμήσθω ὁ ΓΑ δίχα τῷ Δ.</s> <s>φανερὸν <lb n="1799,001,,,,10,28,50"></lb> δή, ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνος μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,28,51"></lb> ΓΔ τετραγώνου ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ [τοῦ] ΒΔ <lb n="1799,001,,,,10,28,52"></lb> τετραγώνῳ.</s> <s>ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΔΕ· ὁ ἄρα ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,28,53"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΓΕ ἐλάσσων <lb n="1799,001,,,,10,28,54"></lb> ἐστὶ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΒΔ τετραγώνου.</s> <s>λέγω οὖν, <lb n="1799,001,,,,10,28,55"></lb> ὅτι ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνος μετὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,28,56"></lb> ἀπὸ [τοῦ] ΓΕ οὐκ ἔσται τετράγωνος.</s> <lb n="1799,001,,,,10,28,57"></lb> <s>Εἰ γὰρ ἔσται τετράγωνος, ἤτοι ἴσος ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,28,58"></lb> ἀπὸ [τοῦ] ΒΕ ἢ ἐλάσσων τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΒΕ, <lb n="1799,001,,,,10,28,59"></lb> οὐκέτι δὲ καὶ μείζων, ἵνα μὴ τμηθῇ ἡ μονάς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,28,60"></lb> <s>ἔστω, εἰ δυνατόν, πρότερον ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,28,61"></lb> μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΕ, καὶ ἔστω τῆς ΔΕ <lb n="1799,001,,,,10,28,62"></lb> μονάδος διπλασίων ὁ ΗΑ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ὅλος ὁ ΑΓ ὅλου <lb n="1799,001,,,,10,28,63"></lb> τοῦ ΓΔ ἐστι διπλασίων, ὧν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΕ ἐστι διπλα-<lb n="1799,001,,,,10,28,64"></lb> σίων, καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιποῦ τοῦ ΕΓ ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,28,65"></lb> διπλασίων· δίχα ἄρα τέτμηται ὁ ΗΓ τῷ Ε.</s> <s>ὁ ἄρα ἐκ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,28,66"></lb> ΗΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ τετρα-<lb n="1799,001,,,,10,28,67"></lb> γώνῳ.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος <lb n="1799,001,,,,10,28,68"></lb> ὑπόκειται τῷ ἀπὸ [τοῦ] ΒΕ τετραγώνῳ· ὁ ἄρα ἐκ τῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,28,69"></lb> ΗΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,28,70"></lb> μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ.</s> <s>καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ <lb n="1799,001,,,,10,28,71"></lb> συνάγεται ὁ ΑΒ ἴσος τῷ ΗΒ· ὅπερ ἄτοπον.</s> <s>οὐκ ἄρα ὁ ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,28,72"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ [τοῦ] ΓΕ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,28,73"></lb> <s>λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων τοῦ ἀπὸ ΒΕ.</s> <s>εἰ γὰρ δυνατόν, <lb n="1799,001,,,,10,28,74"></lb> ἔστω τῷ ἀπὸ ΒΖ ἴσος, καὶ τοῦ ΔΖ διπλασίων ὁ ΘΑ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,28,75"></lb> συναχθήσεται πάλιν διπλασίων ὁ ΘΓ τοῦ ΓΖ· ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,10,28,76"></lb> τὸν ΓΘ δίχα τετμῆσθαι κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦτο τὸν <lb n="1799,001,,,,10,28,77"></lb> ἐκ τῶν ΘΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΓ ἴσον γίνεσθαι τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,28,78"></lb> ΒΖ.</s> <s>ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,28,79"></lb> ΓΕ ἴσος τῷ ἀπὸ ΒΖ.</s> <s>ὥστε καὶ ὁ ἐκ τῶν ΘΒ, ΒΓ μετὰ <lb n="1799,001,,,,10,28,80"></lb> τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσος ἔσται τῷ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,28,81"></lb> ἀπὸ ΓΕ· ὅπερ ἄτοπον.</s> <s>οὐκ ἄρα ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ <lb n="1799,001,,,,10,28,82"></lb> τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσος ἐστὶ [τῷ] ἐλάσσονι τοῦ ἀπὸ ΒΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,28,83"></lb> <s>ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ [αὐτῷ] τῷ ἀπὸ ΒΕ.</s> <s>οὐκ ἄρα ὁ ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,28,84"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,28,85"></lb> <s>[δυνατοῦ δὲ ὄντος καὶ κατὰ πλείονας τρόπους τοὺς <lb n="1799,001,,,,10,28,86"></lb> εἰρημένους ἀριθμοὺς ἐπιδεικνύειν, ἀρκείσθωσαν ἡμῖν οἱ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,28,87"></lb> εἰρημένοι, ἵνα μὴ μακροτέρας οὔσης τῆς πραγματείας ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,10,28,88"></lb> πλέον αὐτὴν μηκύνωμεν.] ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,28,89"></lb> <s>Εὑρεῖν δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους, ὥστε τὴν <lb n="1799,001,,,,10,29,1"></lb> μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέ-<lb n="1799,001,,,,10,29,2"></lb> τρου ἑαυτῇ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,29,3"></lb> <s>Ἐκκείσθω γάρ τις ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι <lb n="1799,001,,,,10,29,4"></lb> ἀριθμοὶ οἱ ΓΔ, ΔΕ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ΓΕ <lb n="1799,001,,,,10,29,5"></lb> μὴ εἶναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω <lb n="1799,001,,,,10,29,6"></lb> ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, <lb n="1799,001,,,,10,29,7"></lb> καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,29,8"></lb> ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,29,9"></lb> γωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,29,10"></lb> γωνον καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,29,11"></lb> <s>Ἐπεὶ [οὖν] ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ <lb n="1799,001,,,,10,29,12"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, οὕτως ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,29,13"></lb> ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ ΔΓ <lb n="1799,001,,,,10,29,14"></lb> πρὸς ἀριθμὸν τὸν ΓΕ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ <lb n="1799,001,,,,10,29,15"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ῥητὸν ἄρα καὶ <lb n="1799,001,,,,10,29,16"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΑΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΓ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,29,17"></lb> τὸν ΓΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,29,18"></lb> γωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,29,19"></lb> ΑΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,29,20"></lb> ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΖ μήκει· αἱ <lb n="1799,001,,,,10,29,21"></lb> ΒΑ, ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>καὶ ἐπεί <lb n="1799,001,,,,10,29,22"></lb> [ἐστιν] ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,29,23"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,29,24"></lb> ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ.</s> <s>ὁ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,29,25"></lb> ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,29,26"></lb> τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,29,27"></lb> τῆς ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγω-<lb n="1799,001,,,,10,29,28"></lb> νον ἀριθμόν· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μήκει.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,10,29,29"></lb> ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ· ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,29,30"></lb> ἄρα τῆς ΑΖ μεῖζον δύναται τῇ ΒΖ συμμέτρῳ ἑαυτῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,29,31"></lb> <s>Εὕρηνται ἄρα δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ <lb n="1799,001,,,,10,29,32"></lb> ΒΑ, ΑΖ, ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆς ἐλάσσονος τῆς <lb n="1799,001,,,,10,29,33"></lb> ΑΖ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ συμμέτρου ἑαυτῇ <lb n="1799,001,,,,10,29,34"></lb> μήκει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,29,35"></lb> <s>Εὑρεῖν δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους, ὥστε τὴν <lb n="1799,001,,,,10,30,1"></lb> μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμ-<lb n="1799,001,,,,10,30,2"></lb> μέτρου ἑαυτῇ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,30,3"></lb> <s>Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ <lb n="1799,001,,,,10,30,4"></lb> οἱ ΓΕ, ΕΔ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΓΔ μὴ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,30,5"></lb> εἶναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω <lb n="1799,001,,,,10,30,6"></lb> ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, <lb n="1799,001,,,,10,30,7"></lb> καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,30,8"></lb> ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,10,30,9"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ <lb n="1799,001,,,,10,30,10"></lb> ΖΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,30,11"></lb> <s>Ὁμοίως δὴ δείξομεν τῷ πρὸ τούτου, ὅτι αἱ ΒΑ, ΑΖ <lb n="1799,001,,,,10,30,12"></lb> ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς <lb n="1799,001,,,,10,30,13"></lb> ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,30,14"></lb> τῆς ΑΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,30,15"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ.</s> <s>ὁ δὲ ΓΔ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,30,16"></lb> ΔΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,30,17"></lb> γωνον ἀριθμόν· οὐδ' ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,30,18"></lb> ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,30,19"></lb> ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μήκει.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,30,20"></lb> δύναται ἡ ΑΒ τῆσ ΑΖ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἀσυμμέτρου <lb n="1799,001,,,,10,30,21"></lb> ἑαυτῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,30,22"></lb> <s>Αἱ ΑΒ, ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, <lb n="1799,001,,,,10,30,23"></lb> καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΑΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ <lb n="1799,001,,,,10,30,24"></lb> ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,30,25"></lb> Εὑρεῖν δύο μέσας δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν <lb n="1799,001,,,,10,31,1"></lb> περιεχούσας, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,31,2"></lb> δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,31,3"></lb> <s>Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ <lb n="1799,001,,,,10,31,4"></lb> Α, Β, ὥστε τὴν Α μείζονα οὖσαν τῆς ἐλάσσονος τῆς Β <lb n="1799,001,,,,10,31,5"></lb> μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.</s> <s>καὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,31,6"></lb> ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Γ.</s> <s>μέσον δὲ τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,31,7"></lb> τῶν Α, Β· μέσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ· μέση ἄρα καὶ <lb n="1799,001,,,,10,31,8"></lb> ἡ Γ.</s> <s>τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,31,9"></lb> Γ, Δ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β· ῥητὸν ἄρα καὶ <lb n="1799,001,,,,10,31,10"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,31,11"></lb> τὴν Β, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,31,12"></lb> τῆς Β, ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,31,13"></lb> ἀπὸ τῆς Γ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Γ, <lb n="1799,001,,,,10,31,14"></lb> Δ, ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,31,15"></lb> τῶν Γ, Δ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,31,16"></lb> ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,31,17"></lb> τὴν Δ.</s> <s>σύμμετρος δὲ ἡ Α τῇ Β δυνάμει μόνον· σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,31,18"></lb> ἄρα καὶ ἡ Γ τῇ Δ δυνάμει μόνον.</s> <s>καί ἐστι μέση ἡ Γ· μέση <lb n="1799,001,,,,10,31,19"></lb> ἄρα καὶ ἡ Δ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Γ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,31,20"></lb> τὴν Δ, ἡ δὲ Α τῆς Β μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου <lb n="1799,001,,,,10,31,21"></lb> ἑαυτῇ, καὶ ἡ Γ ἄρα τῆς Δ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμ-<lb n="1799,001,,,,10,31,22"></lb> μέτρου ἑαυτῇ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,31,23"></lb> Εὕρηνται ἄρα δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ <lb n="1799,001,,,,10,31,24"></lb> Γ, Δ ῥητὸν περιέχουσαι, καὶ ἡ Γ τῆς Δ μεῖζον δύναται <lb n="1799,001,,,,10,31,25"></lb> τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,31,26"></lb> <s>Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, ὅταν <lb n="1799,001,,,,10,31,27"></lb> ἡ Α τῆς Β μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,31,28"></lb> <s>Εὑρεῖν δύο μέσας δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περι-<lb n="1799,001,,,,10,32,1"></lb> εχούσας, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι <lb n="1799,001,,,,10,32,2"></lb> τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,32,3"></lb> <s>Ἐκκείσθωσαν τρεῖς ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ <lb n="1799,001,,,,10,32,4"></lb> Α, Β, Γ, ὥστε τὴν Α τῆς Γ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,32,5"></lb> συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἔστω τὸ <lb n="1799,001,,,,10,32,6"></lb> ἀπὸ τῆς Δ.</s> <s>μέσον ἄρα τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,32,7"></lb> τῆς Δ· καὶ ἡ Δ ἄρα μέση <lb n="1799,001,,,,10,32,8"></lb> ἐστίν.</s> <s>τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,32,9"></lb> ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,32,10"></lb> ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β <lb n="1799,001,,,,10,32,11"></lb> πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἀλλὰ τῷ μὲν <lb n="1799,001,,,,10,32,12"></lb> ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Δ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β, <lb n="1799,001,,,,10,32,13"></lb> Γ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,32,14"></lb> οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε.</s> <s>ὡς δὲ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,32,15"></lb> τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε· καὶ <lb n="1799,001,,,,10,32,16"></lb> ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε· σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,32,17"></lb> δὲ ἡ Α τῇ Γ δυνάμει [μόνον].</s> <s>σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ Δ τῇ Ε <lb n="1799,001,,,,10,32,18"></lb> δυνάμει μόνον.</s> <s>μέση δὲ ἡ Δ· μέση ἄρα καὶ ἡ Ε.</s> <s>καὶ ἐπεί <lb n="1799,001,,,,10,32,19"></lb> ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ἡ δὲ Α τῆς Γ μεῖ-<lb n="1799,001,,,,10,32,20"></lb> ζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ Δ ἄρα τῆς Ε <lb n="1799,001,,,,10,32,21"></lb> μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>λέγω δή, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,32,22"></lb> καὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,32,23"></lb> τῶν Β, Γ τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ <lb n="1799,001,,,,10,32,24"></lb> [αἱ γὰρ Β, Γ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι], μέσον <lb n="1799,001,,,,10,32,25"></lb> ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε.</s> <lb n="1799,001,,,,10,32,26"></lb> <s>Εὕρηνται ἄρα δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ <lb n="1799,001,,,,10,32,27"></lb> Δ, Ε μέσον περιέχουσαι, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος <lb n="1799,001,,,,10,32,28"></lb> μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,32,29"></lb> <s>Ὁμοίως δὴ πάλιν δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, <lb n="1799,001,,,,10,32,30"></lb> ὅταν ἡ Α τῆς Γ μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου <lb n="1799,001,,,,10,32,31"></lb> ἑαυτῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,32,32"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,10,32,33"></lb> Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν <lb n="1799,001,,,,10,32,34"></lb> Α, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,32,35"></lb> ΓΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,10,32,36"></lb> ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον τῷ <lb n="1799,001,,,,10,32,37"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΔ, καὶ ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον [ἐστὶ] τῷ <lb n="1799,001,,,,10,32,38"></lb> ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,32,39"></lb> <s>Καὶ πρῶτον, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον [ἐστὶ] τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,32,40"></lb> τῆς ΒΑ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,32,41"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς <lb n="1799,001,,,,10,32,42"></lb> γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ, τὰ ΑΒΔ, <lb n="1799,001,,,,10,32,43"></lb> ΑΔΓ ἄρα τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ <lb n="1799,001,,,,10,32,44"></lb> τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν <lb n="1799,001,,,,10,32,45"></lb> ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τρι-<lb n="1799,001,,,,10,32,46"></lb> γώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,10,32,47"></lb> ΒΑ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΒΔ· <lb n="1799,001,,,,10,32,48"></lb> τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,32,49"></lb> <s>Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,32,50"></lb> τῆς ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,32,51"></lb> <s>Καὶ ἐπεί, ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς <lb n="1799,001,,,,10,32,52"></lb> γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆς <lb n="1799,001,,,,10,32,53"></lb> βάσεως τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν, ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,10,32,54"></lb> ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ· τὸ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,32,55"></lb> ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΑ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,32,56"></lb> <s>Λέγω, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,32,57"></lb> τῶν ΒΑ, ΑΓ.</s> <s>ἐπεὶ γάρ, ὡς ἔφαμεν, ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,32,58"></lb> τῷ ΑΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΒΑ <lb n="1799,001,,,,10,32,59"></lb> πρὸς τὴν ΑΔ.</s> <s>[ἐὰν δὲ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ <lb n="1799,001,,,,10,32,60"></lb> ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων.] τὸ ἄρα ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,32,61"></lb> τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,32,62"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,32,63"></lb> <s>Εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τὸ <lb n="1799,001,,,,10,33,1"></lb> μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, <lb n="1799,001,,,,10,33,2"></lb> τὸ δ' ὑπ' αὐτῶν μέσον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,33,3"></lb> <s>Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ <lb n="1799,001,,,,10,33,4"></lb> ΑΒ, ΒΓ, ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆς ἐλάσσονος τῆς <lb n="1799,001,,,,10,33,5"></lb> ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,33,6"></lb> τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ <lb n="1799,001,,,,10,33,7"></lb> τὸ Δ, καὶ τῷ ἀφ' ὁποτέρας <lb n="1799,001,,,,10,33,8"></lb> τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον παρὰ τὴν <lb n="1799,001,,,,10,33,9"></lb> ΑΒ παραβεβλήσθω παραλ-<lb n="1799,001,,,,10,33,10"></lb> ληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει <lb n="1799,001,,,,10,33,11"></lb> τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, καὶ γεγράφθω <lb n="1799,001,,,,10,33,12"></lb> ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ ἤχθω τῇ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,33,13"></lb> πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,33,14"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ [δύο] εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἡ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,33,15"></lb> ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, <lb n="1799,001,,,,10,33,16"></lb> τῷ δὲ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,33,17"></lb> ἡμισείας αὐτῆς, ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβέβληται <lb n="1799,001,,,,10,33,18"></lb> παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ποιεῖ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,33,19"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,10,33,20"></lb> ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ <lb n="1799,001,,,,10,33,21"></lb> πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, <lb n="1799,001,,,,10,33,22"></lb> ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,33,23"></lb> ΒΖ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,33,24"></lb> ΖΒ· αἱ ΑΖ, ΖΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,33,25"></lb> ἡ ΑΒ ῥητή ἐστιν, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ὥστε <lb n="1799,001,,,,10,33,26"></lb> καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ῥητόν ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,33,27"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,33,28"></lb> ΕΖ, ὑπόκειται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,33,29"></lb> ΒΔ ἴσον, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ τῇ ΒΔ· διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,33,30"></lb> τῆς ΖΕ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,33,31"></lb> τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ.</s> <s>μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· <lb n="1799,001,,,,10,33,32"></lb> μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΕΖ.</s> <s>ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,33,33"></lb> ΑΒ, ΕΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,33,34"></lb> τῶν ΑΖ, ΖΒ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ῥητὸν τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,33,35"></lb> ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,33,36"></lb> <s>Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΖ, <lb n="1799,001,,,,10,33,37"></lb> ΖΒ ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,33,38"></lb> τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπ' αὐτῶν μέσον· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,33,39"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,33,40"></lb> <s>Εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τὸ <lb n="1799,001,,,,10,34,1"></lb> μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων μέσον, <lb n="1799,001,,,,10,34,2"></lb> τὸ δ' ὑπ' αὐτῶν ῥητόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,34,3"></lb> <s>Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ <lb n="1799,001,,,,10,34,4"></lb> ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπ' αὐτῶν, ὥστε τὴν <lb n="1799,001,,,,10,34,5"></lb> ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, <lb n="1799,001,,,,10,34,6"></lb> καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τὸ ΑΔΒ ἡμικύκλιον, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,34,7"></lb> τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ παραβεβλήσθω <lb n="1799,001,,,,10,34,8"></lb> παρὰ τὴν ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἴσον παραλληλόγραμμον <lb n="1799,001,,,,10,34,9"></lb> ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ· ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,34,10"></lb> ἄρα [ἐστὶν] ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει.</s> <s>καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ <lb n="1799,001,,,,10,34,11"></lb> τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,34,12"></lb> Ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, ἀσύμμετρον <lb n="1799,001,,,,10,34,13"></lb> ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,34,14"></lb> <s>ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,34,15"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,34,16"></lb> καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,34,17"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, μέσον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,34,18"></lb> τῶν ΑΔ, ΔΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΓ τῆς ΔΖ, <lb n="1799,001,,,,10,34,19"></lb> διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῦ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,34,20"></lb> ΑΒ, ΖΔ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ῥητὸν ἄρα καὶ <lb n="1799,001,,,,10,34,21"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ.</s> <s>τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ ἴσον τῷ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,34,22"></lb> τῶν ΑΔ, ΔΒ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν <lb n="1799,001,,,,10,34,23"></lb> ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,34,24"></lb> <s>Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,10,34,25"></lb> ΔΒ ποιοῦσαι τὸ [μὲν] συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,34,26"></lb> τετραγώνων μέσον, τὸ δ' ὑπ' αὐτῶν ῥητόν· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,34,27"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,34,28"></lb> <s>Εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τό <lb n="1799,001,,,,10,35,1"></lb> τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ <lb n="1799,001,,,,10,35,2"></lb> τὸ ὑπ' αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ <lb n="1799,001,,,,10,35,3"></lb> ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνῳ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,35,4"></lb> Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ <lb n="1799,001,,,,10,35,5"></lb> ΑΒ, ΒΓ μέσον περιέχουσαι, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,35,6"></lb> δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,10,35,7"></lb> τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ τὰ λοιπὰ γεγονέτω <lb n="1799,001,,,,10,35,8"></lb> τοῖς ἐπάνω ὁμοίως.</s> <lb n="1799,001,,,,10,35,9"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει, <lb n="1799,001,,,,10,35,10"></lb> ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ δυνάμει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,35,11"></lb> μέσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,35,12"></lb> μέσον ἄρα καὶ τὸ συγκεί-<lb n="1799,001,,,,10,35,13"></lb> μενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,10,35,14"></lb> ΔΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,35,15"></lb> ΑΖ, ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀφ' <lb n="1799,001,,,,10,35,16"></lb> ἑκατέρας τῶν ΒΕ, ΔΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΔΖ· <lb n="1799,001,,,,10,35,17"></lb> διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΖΔ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,35,18"></lb> ΒΓ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ.</s> <s>μέσον δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,35,19"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,35,20"></lb> ΖΔ.</s> <s>καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· μέσον ἄρα καὶ <lb n="1799,001,,,,10,35,21"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,35,22"></lb> ΒΓ μήκει, σύμμετρος δὲ ἡ ΓΒ τῇ ΒΕ, ἀσύμμετρος ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,35,23"></lb> καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΕ μήκει· ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,35,24"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΕ ἀσύμμετρόν ἐστιν.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,35,25"></lb> ΑΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,35,26"></lb> ΒΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,35,27"></lb> ΑΔ, ΔΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,35,28"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,35,29"></lb> <s>Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,35,30"></lb> μετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,35,31"></lb> μέσον καὶ τὸ ὑπ' αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ <lb n="1799,001,,,,10,35,32"></lb> συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,35,33"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,35,34"></lb> <s>Ἐὰν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσιν, <lb n="1799,001,,,,10,36,1"></lb> ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο ὀνομάτων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,36,2"></lb> <s>Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι <lb n="1799,001,,,,10,36,3"></lb> αἱ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν. <lb n="1799,001,,,,10,36,4"></lb> Ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει· <lb n="1799,001,,,,10,36,5"></lb> δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,10,36,6"></lb> ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ, <lb n="1799,001,,,,10,36,7"></lb> ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,36,8"></lb> ΒΓ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,36,9"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ σύμμετρά ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,36,10"></lb> τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· αἱ γὰρ ΑΒ, ΒΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,36,11"></lb> μόνον σύμμετροι· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,36,12"></lb> ΑΒ, ΒΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>καὶ συνθέντι τὸ δὶς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,36,13"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τουτέστι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,36,14"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,36,15"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,36,16"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἄλογον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ· ὥστε <lb n="1799,001,,,,10,36,17"></lb> καὶ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο ὀνομάτων· <lb n="1799,001,,,,10,36,18"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,36,19"></lb> <s>Ἐὰν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι <lb n="1799,001,,,,10,37,1"></lb> ῥητὸν περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,37,2"></lb> δύο μέσων πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,37,3"></lb> <s>Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι <lb n="1799,001,,,,10,37,4"></lb> αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι· λέγω, ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,37,5"></lb> ἄλογός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,37,6"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρόσ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,37,7"></lb> τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,37,8"></lb> ΑΒ, ΒΓ· καὶ συνθέντι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,37,9"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,37,10"></lb> μετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,37,11"></lb> ΑΒ, ΒΓ· ὑπόκεινται γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι· <lb n="1799,001,,,,10,37,12"></lb> ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ· ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ, καλείσθω <lb n="1799,001,,,,10,37,13"></lb> δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,37,14"></lb> <s>Ἐὰν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι <lb n="1799,001,,,,10,38,1"></lb> μέσον περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,38,2"></lb> δύο μέσων δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,38,3"></lb> <s>Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι <lb n="1799,001,,,,10,38,4"></lb> αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσον περιέχουσαι· λέγω, ὅτι ἄλογός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,10,38,5"></lb> ἡ ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,38,6"></lb> <s>Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,38,7"></lb> παρὰ τὴν ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν <lb n="1799,001,,,,10,38,8"></lb> τὴν ΔΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,38,9"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, παραβεβλήσθω <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,38,10"></lb> δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ παρὰ τὴν ΔΕ ἴσον τὸ ΕΘ· <lb n="1799,001,,,,10,38,11"></lb> λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,38,12"></lb> ἐπεὶ μέση ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ, μέσα ἄρα ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,38,13"></lb> τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>μέσον δὲ ὑπόκειται καὶ τὸ δὶς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,38,14"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,38,15"></lb> τὸ ΕΘ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΖΘ· μέσον ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,38,16"></lb> ἑκάτερον τῶν ΕΘ, ΘΖ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παρά-<lb n="1799,001,,,,10,38,17"></lb> κειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΘ, ΘΗ καὶ ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,38,18"></lb> μετρος τῇ ΔΕ μήκει.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,38,19"></lb> ΒΓ μήκει, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,10,38,20"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,38,21"></lb> ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν <lb n="1799,001,,,,10,38,22"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,38,23"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,38,24"></lb> μετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>ἀσύμμετρον ἄρα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,38,25"></lb> ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,38,26"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,38,27"></lb> ἐστὶ τὸ ΕΘ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,38,28"></lb> <s>ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΘ τῷ ΘΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΘ <lb n="1799,001,,,,10,38,29"></lb> τῇ ΘΗ ἐστιν ἀσύμμετρος μήκει.</s> <s>αἱ ΔΘ, ΘΗ ἄρα ῥηταί <lb n="1799,001,,,,10,38,30"></lb> εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>ὥστε ἡ ΔΗ ἄλογός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,38,31"></lb> <s>ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ· τὸ δὲ ὑπὸ ἀλόγου καὶ ῥητῆς περιεχόμενον <lb n="1799,001,,,,10,38,32"></lb> ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν· ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΖ χωρίον, <lb n="1799,001,,,,10,38,33"></lb> καὶ ἡ δυναμένη [αὐτὸ] ἄλογός ἐστιν.</s> <s>δύναται δὲ τὸ ΔΖ <lb n="1799,001,,,,10,38,34"></lb> ἡ ΑΓ· ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων <lb n="1799,001,,,,10,38,35"></lb> δευτέρα.</s> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,38,36"></lb> <s>Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι <lb n="1799,001,,,,10,39,1"></lb> τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων <lb n="1799,001,,,,10,39,2"></lb> ῥητόν, τὸ δ' ὑπ' αὐτῶν μέσον, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν, <lb n="1799,001,,,,10,39,3"></lb> καλείσθω δὲ μείζων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,39,4"></lb> <s>Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι <lb n="1799,001,,,,10,39,5"></lb> αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα· λέγω, ὅτι ἄλογός <lb n="1799,001,,,,10,39,6"></lb> ἐστιν ἡ ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,39,7"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν, καὶ τὸ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,39,8"></lb> [ἄρα] ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν.</s> <s>τὸ δὲ συγκείμενον ἐκ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,39,9"></lb> τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,39,10"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,39,11"></lb> ΑΒ, ΒΓ· ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,39,12"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,39,13"></lb> μετρόν ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,39,14"></lb> [ῥητὸν δὲ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ]· <lb n="1799,001,,,,10,39,15"></lb> ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ.</s> <s>ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογός <lb n="1799,001,,,,10,39,16"></lb> ἐστιν, καλείσθω δὲ μείζων.</s> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,39,17"></lb> <s>Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι ποιοῦσαι <lb n="1799,001,,,,10,40,1"></lb> τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων μέσον, <lb n="1799,001,,,,10,40,2"></lb> τὸ δ' ὑπ' αὐτῶν ῥητόν, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄλογός ἐστιν, <lb n="1799,001,,,,10,40,3"></lb> καλείσθω δὲ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,40,4"></lb> <s>Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμ- <lb n="1799,001,,,,10,40,5"></lb> μετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα· λέγω, <lb n="1799,001,,,,10,40,6"></lb> ὅτι ἄλογός ἐστιν ἡ ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,40,7"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,40,8"></lb> ΒΓ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,40,9"></lb> ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,40,10"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,10,40,11"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,40,12"></lb> ΒΓ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἄλογον ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,40,13"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ.</s> <s>ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ῥητὸν <lb n="1799,001,,,,10,40,14"></lb> καὶ μέσον δυναμένη.</s> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,40,15"></lb> <s>Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συντεθῶσι <lb n="1799,001,,,,10,41,1"></lb> ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων <lb n="1799,001,,,,10,41,2"></lb> μέσον καὶ τὸ ὑπ' αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ <lb n="1799,001,,,,10,41,3"></lb> συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων, ἡ ὅλη εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,10,41,4"></lb> ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ δύο μέσα δυναμένη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,41,5"></lb> <s>Συγκείσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι αἱ <lb n="1799,001,,,,10,41,6"></lb> ΑΒ, ΒΓ ποιοῦσαι τὰ προκείμενα· λέγω, <lb n="1799,001,,,,10,41,7"></lb> ὅτι ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,41,8"></lb> <s>Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ παραβεβλή-<lb n="1799,001,,,,10,41,9"></lb> σθω παρὰ τὴν ΔΕ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,41,10"></lb> ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΔΖ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,41,11"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον τὸ ΗΘ· ὅλον ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,10,41,12"></lb> ΔΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,41,13"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,41,14"></lb> τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, καί ἐστιν ἴσον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,41,15"></lb> τῷ ΔΖ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΔΖ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν <lb n="1799,001,,,,10,41,16"></lb> ΔΕ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,41,17"></lb> τῇ ΔΕ μήκει.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΗΚ ῥητή ἐστι καὶ <lb n="1799,001,,,,10,41,18"></lb> ἀσύμμετρος τῇ ΗΖ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,41,19"></lb> ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,41,20"></lb> ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΔΖ τῷ ΗΘ· ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,10,41,21"></lb> ἡ ΔΗ τῇ ΗΚ ἀσύμμετρός ἐστιν.</s> <s>καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΔΗ, <lb n="1799,001,,,,10,41,22"></lb> ΗΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἄλογος ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,41,23"></lb> ἐστὶν ἡ ΔΚ ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων.</s> <s>ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ· <lb n="1799,001,,,,10,41,24"></lb> ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΘ καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,41,25"></lb> <s>δύναται δὲ τὸ ΘΔ ἡ ΑΓ· ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ, καλείσθω <lb n="1799,001,,,,10,41,26"></lb> δὲ δύο μέσα δυναμένη.</s> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,41,27"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,10,41,28"></lb> Ὅτι δὲ αἱ εἰρημέναι ἄλογοι μοναχῶς διαιροῦνται εἰς <lb n="1799,001,,,,10,41,29"></lb> τὰς εὐθείας, ἐξ ὧν σύγκεινται ποιουσῶν τὰ προκείμενα <lb n="1799,001,,,,10,41,30"></lb> εἴδη, δείξομεν ἤδη προεκθέμενοι λημμάτιον τοιοῦτον· <lb n="1799,001,,,,10,41,31"></lb> Ἐκκείσθω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω ἡ ὅλη εἰς ἄνισα <lb n="1799,001,,,,10,41,32"></lb> καθ' ἑκάτερον τῶν Γ, Δ, ὑποκείσθω δὲ μείζων ἡ ΑΓ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,41,33"></lb> ΔΒ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,41,34"></lb> τῶν ΑΔ, ΔΒ. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,41,35"></lb> Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε.</s> <s>καὶ ἐπεὶ μείζων <lb n="1799,001,,,,10,41,36"></lb> ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΔΒ, κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΔΓ· λοιπὴ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,41,37"></lb> ἡ ΑΔ λοιπῆς τῆς ΓΒ μείζων ἐστίν.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ· <lb n="1799,001,,,,10,41,38"></lb> ἐλάττων ἄρα ἡ ΔΕ τῆς ΕΓ· τὰ Γ, Δ ἄρα σημεῖα οὐκ <lb n="1799,001,,,,10,41,39"></lb> ἴσον ἀπέχουσι τῆς διχοτομίας.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,41,40"></lb> ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ, <lb n="1799,001,,,,10,41,41"></lb> ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΕ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,41,42"></lb> ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,41,43"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,41,44"></lb> τῆς ΔΕ· ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,41,45"></lb> ΕΓ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλασσόν ἐστι τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,41,46"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.</s> <s>ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ <lb n="1799,001,,,,10,41,47"></lb> ἔλασσόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΔ, ΔΒ.</s> <s>καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,10,41,48"></lb> συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μεῖζόν ἐστι τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,41,49"></lb> συγκειμένου ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,41,50"></lb> <s>Ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων κατὰ ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται <lb n="1799,001,,,,10,42,1"></lb> εἰς τὰ ὀνόματα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,42,2"></lb> <s>Ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα <lb n="1799,001,,,,10,42,3"></lb> κατὰ τὸ Γ· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον <lb n="1799,001,,,,10,42,4"></lb> σύμμετροι.</s> <s>λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ' ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται <lb n="1799,001,,,,10,42,5"></lb> εἰς δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,42,6"></lb> Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, <lb n="1799,001,,,,10,42,7"></lb> ὥστε καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ ῥητὰς εἶναι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,42,8"></lb> μόνον συμμέτρους.</s> <s>φανερὸν δή, ὅτι ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ <lb n="1799,001,,,,10,42,9"></lb> οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή.</s> <s>εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω.</s> <s>ἔσται <lb n="1799,001,,,,10,42,10"></lb> δὴ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ ἡ αὐτή· καὶ ἔσται ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,10,42,11"></lb> ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, <lb n="1799,001,,,,10,42,12"></lb> καὶ ἔσται ἡ ΑΒ κατὰ τὸ αὐτὸ τῇ κατὰ τὸ Γ <lb n="1799,001,,,,10,42,13"></lb> διαιρέσει διαιρεθεῖσα καὶ κατὰ τὸ Δ· ὅπερ οὐχ <lb n="1799,001,,,,10,42,14"></lb> ὑπόκειται.</s> <s>οὐκ ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἐστιν ἡ αὐτή.</s> <lb n="1799,001,,,,10,42,15"></lb> <s>διὰ δὴ τοῦτο καὶ τὰ Γ, Δ σημεῖα οὐκ ἴσον ἀπέχουσι τῆς <lb n="1799,001,,,,10,42,16"></lb> διχοτομίας.</s> <s>ᾧ ἄρα διαφέρει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,42,17"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,42,18"></lb> ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διὰ τὸ καὶ τὰ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,42,19"></lb> τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,10,42,20"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσα <lb n="1799,001,,,,10,42,21"></lb> εἶναι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ.</s> <s>ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,42,22"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ διαφέρει ῥητῷ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· <lb n="1799,001,,,,10,42,23"></lb> καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,42,24"></lb> ΓΒ διαφέρει ῥητῷ μέσα ὄντα· ὅπερ ἄτοπον· μέσον γὰρ <lb n="1799,001,,,,10,42,25"></lb> μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,42,26"></lb> <s>Οὐκ ἄρα ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων κατ' ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον <lb n="1799,001,,,,10,42,27"></lb> διαιρεῖται· καθ' ἓν ἄρα μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,42,28"></lb> Ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη καθ' ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,10,43,1"></lb> <s>Ἔστω ἐκ δύο μέσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ <lb n="1799,001,,,,10,43,2"></lb> τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον <lb n="1799,001,,,,10,43,3"></lb> συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ' <lb n="1799,001,,,,10,43,4"></lb> ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται. <lb n="1799,001,,,,10,43,5"></lb> Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,10,43,6"></lb> τὰς ΑΔ, ΔΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους <lb n="1799,001,,,,10,43,7"></lb> ῥητὸν περιεχούσας.</s> <s>ἐπεὶ οὖν, ᾧ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,43,8"></lb> ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ διαφέρει τὰ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,43,9"></lb> τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ῥητῷ δὲ διαφέρει <lb n="1799,001,,,,10,43,10"></lb> τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ῥητὰ <lb n="1799,001,,,,10,43,11"></lb> γὰρ ἀμφότερα· ῥητῷ ἄρα διαφέρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,43,12"></lb> ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέσα ὄντα· ὅπερ ἄτοπον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,43,13"></lb> <s>Οὐκ ἄρα ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη κατ' ἄλλο καὶ ἄλλο <lb n="1799,001,,,,10,43,14"></lb> σημεῖον διαιρεῖται εἰς τὰ ὀνόματα· καθ' ἓν ἄρα μόνον· <lb n="1799,001,,,,10,43,15"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,43,16"></lb> <s>Ἡ ἐκ μέσων δευτέρα καθ' ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,10,44,1"></lb> <s>Ἔστω ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ <lb n="1799,001,,,,10,44,2"></lb> τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,44,3"></lb> συμμέτρους μέσον περιεχούσας· φανερὸν δή, ὅτι τὸ Γ <lb n="1799,001,,,,10,44,4"></lb> οὐκ ἔστι κατὰ τῆς διχοτομίας, ὅτι οὐκ εἰσὶ μήκει σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,44,5"></lb> μετροι.</s> <s>λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ' ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,10,44,6"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε τὴν ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,44,7"></lb> τῇ ΔΒ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν, ἀλλὰ μείζονα καθ' ὑπόθεσιν <lb n="1799,001,,,,10,44,8"></lb> τὴν ΑΓ· δῆλον δή, ὅτι καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ὡς <lb n="1799,001,,,,10,44,9"></lb> ἐπάνω ἐδείξαμεν, ἐλάσσονα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· καὶ τὰς <lb n="1799,001,,,,10,44,10"></lb> ΑΔ, ΔΒ μέσας εἶναι δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον <lb n="1799,001,,,,10,44,11"></lb> περιεχούσας.</s> <s>καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,44,12"></lb> τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον <lb n="1799,001,,,,10,44,13"></lb> παραβεβλήσθω τὸ ΕΚ, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,44,14"></lb> ἀφῃρήσθω τὸ ΕΗ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΚ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,44,15"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.</s> <s>πάλιν δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ἅπερ <lb n="1799,001,,,,10,44,16"></lb> ἐλάσσονα ἐδείχθη τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἴσον ἀφῃρή-<lb n="1799,001,,,,10,44,17"></lb> σθω τὸ ΕΛ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΜΚ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,44,18"></lb> τῶν ΑΔ, ΔΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ μέσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, <lb n="1799,001,,,,10,44,19"></lb> μέσον ἄρα [καὶ] τὸ ΕΗ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παρά- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,10,44,20"></lb> κειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ <lb n="1799,001,,,,10,44,21"></lb> μήκει.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,44,22"></lb> τῇ ΕΖ μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,44,23"></lb> μόνον σύμμετροι, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ <lb n="1799,001,,,,10,44,24"></lb> μήκει.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,44,25"></lb> πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,44,26"></lb> τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,44,27"></lb> σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· δυνάμει γάρ εἰσι <lb n="1799,001,,,,10,44,28"></lb> σύμμετροι αἱ ΑΓ, ΓΒ.</s> <s>τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,44,29"></lb> μετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.</s> <s>καὶ τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,44,30"></lb> ΑΓ, ΓΒ ἄρα ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,44,31"></lb> <s>ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΗ, τῷ <lb n="1799,001,,,,10,44,32"></lb> δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ· ἀσύμμετρον ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,44,33"></lb> ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΚ· ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,44,34"></lb> ἐστι μήκει.</s> <s>καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΕΘ, ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι <lb n="1799,001,,,,10,44,35"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>ἐὰν δὲ δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον <lb n="1799,001,,,,10,44,36"></lb> σύμμετροι συντεθῶσιν, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη <lb n="1799,001,,,,10,44,37"></lb> ἐκ δύο ὀνομάτων· ἡ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,44,38"></lb> διῃρημένη κατὰ τὸ Θ.</s> <s>κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσονται καὶ <lb n="1799,001,,,,10,44,39"></lb> αἱ ΕΜ, ΜΝ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ ἔσται <lb n="1799,001,,,,10,44,40"></lb> ἡ ΕΝ ἐκ δύο ὀνομάτων κατ' ἄλλο καὶ ἄλλο διῃρημένη τό <lb n="1799,001,,,,10,44,41"></lb> τε Θ καὶ τὸ Μ, καὶ οὐκ ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή, ὅτι <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,44,42"></lb> τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,44,43"></lb> <s>ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,44,44"></lb> ΑΔ, ΔΒ· πολλῷ ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι <lb n="1799,001,,,,10,44,45"></lb> τὸ ΕΗ, μεῖζόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τουτέστι <lb n="1799,001,,,,10,44,46"></lb> τοῦ ΜΚ· ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΜΝ μείζων ἐστίν.</s> <s>ἡ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,44,47"></lb> ΕΘ τῇ ΜΝ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,44,48"></lb> <s>Ἡ μείζων κατὰ τὸ αὐτὸ μόνον σημεῖον διαιρεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,10,45,1"></lb> <s>Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὰς <lb n="1799,001,,,,10,45,2"></lb> ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιούσας τὸ μὲν <lb n="1799,001,,,,10,45,3"></lb> συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων ῥητόν, <lb n="1799,001,,,,10,45,4"></lb> τὸ δ' ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ' <lb n="1799,001,,,,10,45,5"></lb> ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,10,45,6"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε <lb n="1799,001,,,,10,45,7"></lb> καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποιού-<lb n="1799,001,,,,10,45,8"></lb> σας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ <lb n="1799,001,,,,10,45,9"></lb> ῥητόν, τὸ δ' ὑπ' αὐτῶν μέσον.</s> <s>καὶ ἐπεί, ᾧ διαφέρει <lb n="1799,001,,,,10,45,10"></lb> τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,45,11"></lb> διαφέρει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,45,12"></lb> ΓΒ, ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ <lb n="1799,001,,,,10,45,13"></lb> ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,45,14"></lb> ΑΔ, ΔΒ ἄρα τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ <lb n="1799,001,,,,10,45,15"></lb> μέσα ὄντα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἡ μείζων κατ' <lb n="1799,001,,,,10,45,16"></lb> ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διαιρεῖται· κατὰ τὸ αὐτὸ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,45,17"></lb> μόνον διαιρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,45,18"></lb> <s>Ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη καθ' ἓν μόνον σημεῖον <lb n="1799,001,,,,10,46,1"></lb> διαιρεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,10,46,2"></lb> <s>Ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ <lb n="1799,001,,,,10,46,3"></lb> τὸ Γ, ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι <lb n="1799,001,,,,10,46,4"></lb> ποιούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ <lb n="1799,001,,,,10,46,5"></lb> μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ῥητόν· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,46,6"></lb> κατ' ἄλλο σημεῖον οὐ διαιρεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,10,46,7"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω καὶ κατὰ τὸ Δ, ὥστε <lb n="1799,001,,,,10,46,8"></lb> καὶ τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἶναι ποι-<lb n="1799,001,,,,10,46,9"></lb> ούσας τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,10,46,10"></lb> ΔΒ μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητόν.</s> <s>ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,46,11"></lb> οὖν, ᾧ διαφέρει τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,46,12"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ διαφέρει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,46,13"></lb> ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,46,14"></lb> ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ὑπερέχει ῥητῷ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,46,15"></lb> καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερ-<lb n="1799,001,,,,10,46,16"></lb> έχει ῥητῷ μέσα ὄντα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,10,46,17"></lb> ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη κατ' ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον <lb n="1799,001,,,,10,46,18"></lb> διαιρεῖται.</s> <s>κατὰ ἓν ἄρα σημεῖον διαιρεῖται· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,46,19"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,46,20"></lb> <s>Ἡ δύο μέσα δυναμένη καθ' ἓν μόνον σημεῖον διαιρεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,10,47,1"></lb> <s>Ἔστω [δύο μέσα δυναμένη] ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, <lb n="1799,001,,,,10,47,2"></lb> ὥστε τὰς ΑΓ, ΓΒ δυνάμει ἀσυμμέτρους εἰ̂ναι ποιούσας <lb n="1799,001,,,,10,47,3"></lb> τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,47,4"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκει-<lb n="1799,001,,,,10,47,5"></lb> μένῳ ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν.</s> <s>λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κατ' ἄλλο <lb n="1799,001,,,,10,47,6"></lb> σημεῖον οὐ διαιρεῖται ποιοῦσα τὰ προκείμενα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,47,7"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, διῃρήσθω κατὰ τὸ Δ, ὥστε πάλιν <lb n="1799,001,,,,10,47,8"></lb> δηλονότι τὴν ΑΓ τῇ ΔΒ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν, ἀλλὰ <lb n="1799,001,,,,10,47,9"></lb> μείζονα καθ' ὑπόθεσιν τὴν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,47,10"></lb> καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,47,11"></lb> παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ <lb n="1799,001,,,,10,47,12"></lb> τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,47,13"></lb> τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,47,14"></lb> ΓΒ ἴσον τὸ ΘΚ· ὅλον ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,10,47,15"></lb> ΕΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,47,16"></lb> τετραγώνῳ.</s> <s>πάλιν δὴ παρα-<lb n="1799,001,,,,10,47,17"></lb> βεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ τοῖς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,47,18"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον τὸ ΕΛ· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,47,19"></lb> τῶν ΑΔ, ΔΒ λοιπῷ τῷ ΜΚ ἴσον ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,47,20"></lb> μέσον ὑπόκειται τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,47,21"></lb> ΓΒ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ <lb n="1799,001,,,,10,47,22"></lb> παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΕ καὶ ἀσύμμετρος τῇ <lb n="1799,001,,,,10,47,23"></lb> ΕΖ μήκει.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΝ ῥητή ἐστι καὶ <lb n="1799,001,,,,10,47,24"></lb> ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,47,25"></lb> συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,47,26"></lb> ΑΓ, ΓΒ, καὶ τὸ ΕΗ ἄρα τῷ ΗΝ ἀσύμμετρόν ἐστιν· <lb n="1799,001,,,,10,47,27"></lb> ὥστε καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΝ ἀσύμμετρός ἐστιν.</s> <s>καί εἰσι ῥηταί· <lb n="1799,001,,,,10,47,28"></lb> αἱ ΕΘ, ΘΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· <lb n="1799,001,,,,10,47,29"></lb> ἡ ΕΝ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,47,30"></lb> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ κατὰ τὸ Μ διῄρηται.</s> <s>καὶ οὐκ <lb n="1799,001,,,,10,47,31"></lb> ἔστιν ἡ ΕΘ τῇ ΜΝ ἡ αὐτή· ἡ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων κατ' <lb n="1799,001,,,,10,47,32"></lb> ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διῄρηται· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.</s> <s>οὐκ <lb n="1799,001,,,,10,47,33"></lb> ἄρα ἡ δύο μέσα δυναμένη κατ' ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον <lb n="1799,001,,,,10,47,34"></lb> διαιρεῖται· καθ' ἓν ἄρα μόνον [σημεῖον] διαιρεῖται.</s> <lb n="1799,001,,,,10,47,35"></lb> <s></s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Ὑποκειμένης ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,1,1"></lb> διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα, ἧς τὸ μεῖζον ὄνομα τοῦ <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,1,2"></lb> ἐλάσσονος μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,1,3"></lb> ἐὰν μὲν τὸ μεῖζον ὄνομα σύμμετρον ᾖ μήκει τῇ ἐκκειμένῃ <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,1,4"></lb> ῥητῇ, καλείσθω [ἡ ὅλη] ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτη.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,1,5"></lb> Ἐὰν δὲ τὸ ἔλασσον ὄνομα σύμμετρον ᾖ μήκει τῇ <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,2,1"></lb> ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καλείσθω ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,2,2"></lb> <s>Ἐὰν δὲ μηδέτερον τῶν ὀνομάτων σύμμετρον ᾖ <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,3,1"></lb> μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καλείσθω ἐκ δύο ὀνομάτων <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,3,2"></lb> τρίτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,3,3"></lb> <s>Πάλιν δὴ ἐὰν τὸ μεῖζον ὄνομα [τοῦ ἐλάσσονοσ] μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,4,1"></lb> δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, ἐὰν μὲν τὸ <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,4,2"></lb> μεῖζον ὄνομα σύμμετρον ᾖ μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,4,3"></lb> καλείσθω ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,4,4"></lb> <s>Ἐὰν δὲ τὸ ἔλασσον, πέμπτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,5,1"></lb> <s>Ἐὰν δὲ μηδέτερον, ἕκτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR2,6,1"></lb> <s></s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,48,1"></lb> <s> Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν <lb n="1799,001,,,,10,48,2"></lb> συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον <lb n="1799,001,,,,10,48,3"></lb> ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, <lb n="1799,001,,,,10,48,4"></lb> πρὸς δὲ τὸν ΓΑ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,10,48,5"></lb> πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ ἡ Δ, <lb n="1799,001,,,,10,48,6"></lb> καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΕΖ.</s> <s>ῥητὴ ἄρα ἐστὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,48,7"></lb> καὶ ἡ ΕΖ.</s> <s>καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,48,8"></lb> ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ.</s> <s>ὁ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,48,9"></lb> ΑΒ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· <lb n="1799,001,,,,10,48,10"></lb> καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, <lb n="1799,001,,,,10,48,11"></lb> ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· ὥστε σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,48,12"></lb> τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ.</s> <s>καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΕΖ· ῥητὴ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,48,13"></lb> καὶ ἡ ΖΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, <lb n="1799,001,,,,10,48,14"></lb> ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ <lb n="1799,001,,,,10,48,15"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν <lb n="1799,001,,,,10,48,16"></lb> τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,48,17"></lb> μετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει.</s> <s>αἱ ΕΖ, ΖΗ <lb n="1799,001,,,,10,48,18"></lb> ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,48,19"></lb> ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,48,20"></lb> <s>Λέγω, ὅτι καὶ πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,48,21"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,48,22"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, μείζων δὲ ὁ ΒΑ <lb n="1799,001,,,,10,48,23"></lb> τοῦ ΑΓ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,48,24"></lb> ΖΗ.</s> <s>ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, Θ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,48,25"></lb> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,48,26"></lb> ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς <lb n="1799,001,,,,10,48,27"></lb> ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,48,28"></lb> τῆς Θ.</s> <s>ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,10,48,29"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ <lb n="1799,001,,,,10,48,30"></lb> ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,10,48,31"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <s>σύμμετρος ἄρα ἐστὶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,48,32"></lb> ἡ ΕΖ τῇ Θ μήκει· ἡ ΕΖ ἄρα τῆς ΖΗ μεῖζον δύναται <lb n="1799,001,,,,10,48,33"></lb> τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΕΖ, ΖΗ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,48,34"></lb> σύμμετρος ἡ ΕΖ τῇ Δ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,48,35"></lb> <s>Ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,48,36"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,48,37"></lb> <s>Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,49,1"></lb> <s>Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν <lb n="1799,001,,,,10,49,2"></lb> συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον <lb n="1799,001,,,,10,49,3"></lb> ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, <lb n="1799,001,,,,10,49,4"></lb> πρὸς δὲ τὸν ΑΓ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν <lb n="1799,001,,,,10,49,5"></lb> τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,49,6"></lb> ἀριθμόν, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Δ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,49,7"></lb> τῇ Δ σύμμετρος ἔστω ἡ ΕΖ μήκει· <lb n="1799,001,,,,10,49,8"></lb> ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ.</s> <s>γεγονέτω δὴ <lb n="1799,001,,,,10,49,9"></lb> καὶ ὡς ὁ ΓΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,49,10"></lb> οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,49,11"></lb> ΖΗ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,49,12"></lb> ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ.</s> <s>ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,49,13"></lb> ἐπεὶ ὁ ΓΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν <lb n="1799,001,,,,10,49,14"></lb> τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,49,15"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,49,16"></lb> γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <s>ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,49,17"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει· αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί <lb n="1799,001,,,,10,49,18"></lb> εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων <lb n="1799,001,,,,10,49,19"></lb> ἐστὶν ἡ ΕΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,49,20"></lb> <s>Δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,49,21"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἀνάπαλίν ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,49,22"></lb> ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, μείζων <lb n="1799,001,,,,10,49,23"></lb> δὲ ὁ ΒΑ τοῦ ΑΓ, μεῖζον ἄρα [καὶ] τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,49,24"></lb> ἀπὸ τῆς ΖΕ.</s> <s>ἔστω τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,49,25"></lb> ΕΖ, Θ· ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, <lb n="1799,001,,,,10,49,26"></lb> οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ.</s> <s>ἀλλ' ὁ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,49,27"></lb> πρὸς τὸν ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,49,28"></lb> τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,10,49,29"></lb> ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,49,30"></lb> τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <s>σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Θ <lb n="1799,001,,,,10,49,31"></lb> μήκει· ὥστε ἡ ΖΗ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,49,32"></lb> συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΖΗ, ΖΕ δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,49,33"></lb> μόνον σύμμετροι, καὶ τὸ ΕΖ ἔλασσον ὄνομα τῇ ἐκκειμένῃ <lb n="1799,001,,,,10,49,34"></lb> ῥητῇ σύμμετρόν ἐστι τῇ Δ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,49,35"></lb> <s>Ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,49,36"></lb> δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,49,37"></lb> Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,50,1"></lb> <s>Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν <lb n="1799,001,,,,10,50,2"></lb> συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον <lb n="1799,001,,,,10,50,3"></lb> ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, <lb n="1799,001,,,,10,50,4"></lb> πρὸς δὲ τὸν ΑΓ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,10,50,5"></lb> πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <s>ἐκκείσθω δέ τις καὶ ἄλλος <lb n="1799,001,,,,10,50,6"></lb> μὴ τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ Δ, καὶ πρὸς ἑκάτερον τῶν <lb n="1799,001,,,,10,50,7"></lb> ΒΑ, ΑΓ λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,50,8"></lb> τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ εὐθεῖα ἡ Ε, <lb n="1799,001,,,,10,50,9"></lb> καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε <lb n="1799,001,,,,10,50,10"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τη̂ς <lb n="1799,001,,,,10,50,11"></lb> Ε τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ.</s> <s>καί ἐστι ῥητὴ ἡ Ε· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,50,12"></lb> ἡ ΖΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν <lb n="1799,001,,,,10,50,13"></lb> τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,50,14"></lb> ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,50,15"></lb> γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,50,16"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΖΗ μήκει.</s> <s>γεγονέτω δὴ πάλιν ὡς ὁ <lb n="1799,001,,,,10,50,17"></lb> ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,50,18"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ <lb n="1799,001,,,,10,50,19"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ.</s> <s>ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,50,20"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὅν τετρά- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,10,50,21"></lb> γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,50,22"></lb> τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,10,50,23"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,50,24"></lb> ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει.</s> <s>αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,50,25"></lb> μόνον σύμμετροι· ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,50,26"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,50,27"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,50,28"></lb> Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὡς δὲ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,50,29"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,50,30"></lb> ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,50,31"></lb> τῆς ΗΘ.</s> <s>ὁ δὲ Δ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,50,32"></lb> γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδὲ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,50,33"></lb> τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,50,34"></lb> γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,50,35"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΗΘ μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ <lb n="1799,001,,,,10,50,36"></lb> πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,50,37"></lb> ΗΘ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ.</s> <s>ἔστω <lb n="1799,001,,,,10,50,38"></lb> οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΗΘ, Κ· ἀνα-<lb n="1799,001,,,,10,50,39"></lb> στρέψαντι ἄρα [ἐστὶν] ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,10,50,40"></lb> ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ.</s> <s>ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,50,41"></lb> λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,50,42"></lb> ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ <lb n="1799,001,,,,10,50,43"></lb> λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,50,44"></lb> ἀριθμόν· σύμμετρος ἄρα [ἐστὶν] ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει.</s> <s>ἡ ΖΗ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,50,45"></lb> ἄρα τῆς ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,50,46"></lb> <s>καί εἰσιν αἱ ΖΗ, ΗΘ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, <lb n="1799,001,,,,10,50,47"></lb> καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ Ε μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,50,48"></lb> <s>Ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,50,49"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,50,50"></lb> <s>Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,51,1"></lb> <s>Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,51,2"></lb> πρὸς τὸν ΒΓ λόγον μὴ ἔχειν μήτε μὴν πρὸς τὸν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,51,3"></lb> ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,51,4"></lb> ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Δ, καὶ τῇ Δ σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,51,5"></lb> ἔστω μήκει ἡ ΕΖ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,10,51,6"></lb> ΕΖ.</s> <s>καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,51,7"></lb> τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,10,51,8"></lb> ἀπὸ τῆς ΖΗ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,51,9"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ· ῥητὴ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,51,10"></lb> ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,51,11"></lb> τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,10,51,12"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,51,13"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγω-<lb n="1799,001,,,,10,51,14"></lb> νος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,51,15"></lb> ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ μήκει.</s> <s>αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνά-<lb n="1799,001,,,,10,51,16"></lb> μει μόνον σύμμετροι· ὥστε ἡ ΕΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,51,17"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,51,18"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,51,19"></lb> τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ [μείζων δὲ ὁ ΒΑ τοῦ ΑΓ], <lb n="1799,001,,,,10,51,20"></lb> μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ.</s> <s>ἔστω οὖν <lb n="1799,001,,,,10,51,21"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΖΗ, Θ· ἀναστρέψαντι <lb n="1799,001,,,,10,51,22"></lb> ἄρα ὡς ὁ ΑΒ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,51,23"></lb> ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ.</s> <s>ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον <lb n="1799,001,,,,10,51,24"></lb> οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,51,25"></lb> ἀριθμόν· οὐδ' ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ <lb n="1799,001,,,,10,51,26"></lb> λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,51,27"></lb> ἀριθμόν.</s> <s>ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ Θ μήκει· ἡ <lb n="1799,001,,,,10,51,28"></lb> ΕΖ ἄρα τῆς ΗΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου <lb n="1799,001,,,,10,51,29"></lb> ἑαυτῇ.</s> <s>καί εἰσιν αἱ ΕΖ, ΖΗ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,51,30"></lb> μετροι, καὶ ἡ ΕΖ τῇ Δ σύμμετρός ἐστι μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,51,31"></lb> <s>Ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,51,32"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,51,33"></lb> <s>Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,52,1"></lb> <s>Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,52,2"></lb> πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,52,3"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,52,4"></lb> ἐκκείσθω ῥητή τις εὐθεῖα ἡ Δ, καὶ τῇ Δ <lb n="1799,001,,,,10,52,5"></lb> σύμμετρος ἔστω [μήκει] ἡ ΕΖ· ῥητὴ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,52,6"></lb> ἡ ΕΖ.</s> <s>καὶ γεγονέτω ὡς ὁ ΓΑ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,52,7"></lb> ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,52,8"></lb> τῆς ΖΗ.</s> <s>ὁ δὲ ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ <lb n="1799,001,,,,10,52,9"></lb> ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,52,10"></lb> γωνον ἀριθμόν· οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,52,11"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,10,52,12"></lb> πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <s>αἱ ΕΖ, ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσι <lb n="1799,001,,,,10,52,13"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,52,14"></lb> ἡ ΕΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,52,15"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,52,16"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΓΑ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,52,17"></lb> τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ἀνάπαλιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,52,18"></lb> τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ· <lb n="1799,001,,,,10,52,19"></lb> μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ.</s> <s>ἔστω οὖν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,52,20"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΖ, Θ· ἀναστρέψαντι <lb n="1799,001,,,,10,52,21"></lb> ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,52,22"></lb> τῆς ΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ.</s> <s>ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον <lb n="1799,001,,,,10,52,23"></lb> οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,52,24"></lb> ἀριθμόν· οὐδ' ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ <lb n="1799,001,,,,10,52,25"></lb> λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,52,26"></lb> ἀριθμόν.</s> <s>ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Θ μήκει· ὥστε <lb n="1799,001,,,,10,52,27"></lb> ἡ ΖΗ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυ-<lb n="1799,001,,,,10,52,28"></lb> τῇ.</s> <s>καί εἰσιν αἱ ΗΖ, ΖΕ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι <lb n="1799,001,,,,10,52,29"></lb> καὶ τὸ ΕΖ ἔλαττον ὄνομα σύμμετρόν ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ <lb n="1799,001,,,,10,52,30"></lb> ῥητῇ τῇ Δ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,52,31"></lb> <s>Ἡ ΕΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,10,52,32"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,52,33"></lb> <s>Εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,53,1"></lb> <s>Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,53,2"></lb> πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,10,53,3"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἔστω δὲ καὶ ἕτερος <lb n="1799,001,,,,10,53,4"></lb> ἀριθμὸς ὁ Δ μὴ τετράγωνος ὢν μηδὲ πρὸς ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,10,53,5"></lb> τῶν ΒΑ, ΑΓ λόγον ἔχων, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,53,6"></lb> τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ εὐθεῖα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,53,7"></lb> ἡ Ε, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,53,8"></lb> οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ· <lb n="1799,001,,,,10,53,9"></lb> σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Ε τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,53,10"></lb> ΖΗ.</s> <s>καί ἐστι ῥητὴ ἡ Ε· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,10,53,11"></lb> ΖΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οὐκ ἔχει ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,53,12"></lb> λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,53,13"></lb> γωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,53,14"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,53,15"></lb> γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· <lb n="1799,001,,,,10,53,16"></lb> ἀσύμμετρος ἄρα ἡ Ε τῇ ΖΗ μήκει.</s> <s>γεγο-<lb n="1799,001,,,,10,53,17"></lb> νέτω δὴ πάλιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,53,18"></lb> τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ.</s> <s>σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,53,19"></lb> τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΗ.</s> <s>ῥητὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ· <lb n="1799,001,,,,10,53,20"></lb> ῥητὴ ἄρα ἡ ΘΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον <lb n="1799,001,,,,10,53,21"></lb> οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθ-<lb n="1799,001,,,,10,53,22"></lb> μόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον <lb n="1799,001,,,,10,53,23"></lb> ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· <lb n="1799,001,,,,10,53,24"></lb> ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει.</s> <s>αἱ ΖΗ, ΗΘ <lb n="1799,001,,,,10,53,25"></lb> ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,53,26"></lb> ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΖΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,53,27"></lb> <s>Δεικτέον δή, ὅτι καὶ ἕκτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,53,28"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,53,29"></lb> τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ἔστι δὲ καὶ ὡς ὁ ΒΑ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,53,30"></lb> τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, <lb n="1799,001,,,,10,53,31"></lb> δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,53,32"></lb> τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ.</s> <s>ὁ δὲ Δ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον <lb n="1799,001,,,,10,53,33"></lb> οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,53,34"></lb> ἀριθμόν· οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ <lb n="1799,001,,,,10,53,35"></lb> λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,53,36"></lb> ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΗΘ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,53,37"></lb> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ τῇ ΖΗ ἀσύμμετρος· ἑκατέρα ἄρα τῶν <lb n="1799,001,,,,10,53,38"></lb> ΖΗ, ΗΘ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ Ε μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς <lb n="1799,001,,,,10,53,39"></lb> ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,53,40"></lb> τῆς ΗΘ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,53,41"></lb> <s>ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ [τῆσ] ΖΗ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΗΘ, Κ· <lb n="1799,001,,,,10,53,42"></lb> ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΖΗ <lb n="1799,001,,,,10,53,43"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ.</s> <s>ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, <lb n="1799,001,,,,10,53,44"></lb> ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ὥστε <lb n="1799,001,,,,10,53,45"></lb> οὐδὲ τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει, ὃν <lb n="1799,001,,,,10,53,46"></lb> τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <s>ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,53,47"></lb> μετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει· ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΗΘ <lb n="1799,001,,,,10,53,48"></lb> μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καί εἰσιν <lb n="1799,001,,,,10,53,49"></lb> αἱ ΖΗ, ΗΘ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα <lb n="1799,001,,,,10,53,50"></lb> αὐτῶν σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Ε.</s> <lb n="1799,001,,,,10,53,51"></lb> <s>Ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,53,52"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,53,53"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,10,53,54"></lb> Ἔστω δύο τετράγωνα τὰ ΑΒ, ΒΓ καὶ κείσθωσαν ὥστε <lb n="1799,001,,,,10,53,55"></lb> ἐπ' εὐθείας εἶναι τὴν ΔΒ τῇ ΒΕ· ἐπ' εὐθείας ἄρα ἐστὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,53,56"></lb> καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ.</s> <s>καὶ συμπεπληρώσθω <lb n="1799,001,,,,10,53,57"></lb> τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,53,58"></lb> τετράγωνόν ἐστι τὸ ΑΓ, καὶ ὅτι τῶν <lb n="1799,001,,,,10,53,59"></lb> ΑΒ, ΒΓ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΗ, <lb n="1799,001,,,,10,53,60"></lb> καὶ ἔτι τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν <lb n="1799,001,,,,10,53,61"></lb> ἐστι τὸ ΔΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,53,62"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,53,63"></lb> ΒΗ, ὅλη ἄρα ἡ ΔΕ ὅλῃ τῇ ΖΗ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἀλλ' ἡ μὲν <lb n="1799,001,,,,10,53,64"></lb> ΔΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΘ, ΚΓ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΖΗ ἑκατέρᾳ <lb n="1799,001,,,,10,53,65"></lb> τῶν ΑΚ, ΘΓ ἐστιν ἴση· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΘ, ΚΓ <lb n="1799,001,,,,10,53,66"></lb> ἑκατέρᾳ τῶν ΑΚ, ΘΓ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,53,67"></lb> τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον· ἔστι δὲ καὶ ὀρθογώνιον· <lb n="1799,001,,,,10,53,68"></lb> τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,53,69"></lb> <s>Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΔΒ <lb n="1799,001,,,,10,53,70"></lb> πρὸς τὴν ΒΕ, ἀλλ' ὡς μὲν ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,53,71"></lb> τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΗ, ὡς δὲ ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,53,72"></lb> τὸ ΔΗ πρὸς τὸ ΒΓ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΗ, <lb n="1799,001,,,,10,53,73"></lb> οὕτως τὸ ΔΗ πρὸς τὸ ΒΓ.</s> <s>τῶν ΑΒ, ΒΓ ἄρα μέσον <lb n="1799,001,,,,10,53,74"></lb> ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,53,75"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν [ἐστι] <lb n="1799,001,,,,10,53,76"></lb> τὸ ΔΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,53,77"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΚ, οὕτως ἡ ΚΗ <lb n="1799,001,,,,10,53,78"></lb> πρὸς τὴν ΗΓ· ἴση γάρ [ἐστιν] ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ <lb n="1799,001,,,,10,53,79"></lb> συνθέντι ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΔ, οὕτως ἡ ΚΓ πρὸς ΓΗ, <lb n="1799,001,,,,10,53,80"></lb> ἀλλ' ὡς μὲν ἡ ΑΚ πρὸς ΚΔ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς τὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,53,81"></lb> ΓΔ, ὡς δὲ ἡ ΚΓ πρὸς ΓΗ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς ΓΒ, <lb n="1799,001,,,,10,53,82"></lb> καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΓ πρὸς ΔΓ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,53,83"></lb> <s>τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΔΓ· ἃ προ-<lb n="1799,001,,,,10,53,84"></lb> έκειτο δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,53,85"></lb> <s>Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,54,1"></lb> ὀνομάτων πρώτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,10,54,2"></lb> ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων. <lb n="1799,001,,,,10,54,3"></lb> Χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,54,4"></lb> καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτης τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,54,5"></lb> ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,54,6"></lb> δύο ὀνομάτων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,54,7"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη ἡ ΑΔ, διῃ-<lb n="1799,001,,,,10,54,8"></lb> ρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἔστω τὸ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,54,9"></lb> ὄνομα τὸ ΑΕ.</s> <s>φανερὸν δή, ὅτι αἱ ΑΕ, ΕΔ ῥηταί εἰσι <lb n="1799,001,,,,10,54,10"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,54,11"></lb> δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΑΕ σύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,54,12"></lb> ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΒ μήκει.</s> <s>τετμήσθω δὴ ἡ <lb n="1799,001,,,,10,54,13"></lb> ΕΔ δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ <lb n="1799,001,,,,10,54,14"></lb> μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ <lb n="1799,001,,,,10,54,15"></lb> τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος, τουτέστι τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,54,16"></lb> τῆς ΕΖ, ἴσον παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΑΕ παραβληθῇ <lb n="1799,001,,,,10,54,17"></lb> ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,54,18"></lb> <s>παραβεβλήσθω οὖν παρὰ τὴν ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,54,19"></lb> τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΗΕ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ <lb n="1799,001,,,,10,54,20"></lb> μήκει.</s> <s>καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Ε, Ζ ὁποτέρᾳ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,54,21"></lb> ΑΒ, ΓΔ παράλληλοι αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ· καὶ τῷ μὲν ΑΘ <lb n="1799,001,,,,10,54,22"></lb> παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον συνεστάτω τὸ ΣΝ, <lb n="1799,001,,,,10,54,23"></lb> τῷ δὲ ΗΚ ἴσον τὸ ΝΠ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπ' εὐθείας <lb n="1799,001,,,,10,54,24"></lb> εἶναι τὴν ΜΝ τῇ ΝΞ· ἐπ' εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΡΝ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,54,25"></lb> ΝΟ.</s> <s>καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ παραλληλόγραμμον· <lb n="1799,001,,,,10,54,26"></lb> τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΣΠ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,54,27"></lb> ΗΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΗ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,54,28"></lb> ΕΖ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΘ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,54,29"></lb> ΕΛ, τὸ ΕΛ πρὸς ΚΗ· τῶν ΑΘ, ΗΚ ἄρα μέσον ἀνά-<lb n="1799,001,,,,10,54,30"></lb> λογόν ἐστι τὸ ΕΛ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΝ, <lb n="1799,001,,,,10,54,31"></lb> τὸ δὲ ΗΚ ἴσον τῷ ΝΠ· τῶν ΣΝ, ΝΠ ἄρα μέσον ἀνά- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,10,54,32"></lb> λογόν ἐστι τὸ ΕΛ.</s> <s>ἔστι δὲ τῶν αὐτῶν τῶν ΣΝ, ΝΠ <lb n="1799,001,,,,10,54,33"></lb> μέσον ἀνάλογον καὶ τὸ ΜΡ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΛ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,54,34"></lb> ΜΡ· ὥστε καὶ τῷ ΟΞ ἴσον ἐστίν.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ τὰ ΑΘ, <lb n="1799,001,,,,10,54,35"></lb> ΗΚ τοῖς ΣΝ, ΝΠ ἴσα· ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν ὅλῳ <lb n="1799,001,,,,10,54,36"></lb> τῷ ΣΠ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΜΞ τετραγώνῳ· τὸ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,54,37"></lb> ἄρα δύναται ἡ ΜΞ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,54,38"></lb> <s>Λέγω, ὅτι ἡ ΜΞ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,54,39"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ, σύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,54,40"></lb> ἐστι καὶ ἡ ΑΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΗ, ΗΕ.</s> <s>ὑπόκειται δὲ <lb n="1799,001,,,,10,54,41"></lb> καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ σύμμετρος· καὶ αἱ ΑΗ, ΗΕ ἄρα τῇ <lb n="1799,001,,,,10,54,42"></lb> ΑΒ σύμμετροί εἰσιν.</s> <s>καί ἐστι ῥητὴ ἡ ΑΒ· ῥητὴ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,54,43"></lb> ἐστὶ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΗ, ΗΕ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶν ἑκά-<lb n="1799,001,,,,10,54,44"></lb> τερον τῶν ΑΘ, ΗΚ, καί ἐστι σύμμετρον τὸ ΑΘ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,54,45"></lb> ΗΚ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ τῷ ΣΝ ἴσον ἐστίν, τὸ δὲ ΗΚ <lb n="1799,001,,,,10,54,46"></lb> τῷ ΝΠ· καὶ τὰ ΣΝ, ΝΠ ἄρα, τουτέστι τὰ ἀπὸ τῶν ΜΝ, <lb n="1799,001,,,,10,54,47"></lb> ΝΞ, ῥητά ἐστι καὶ σύμμετρα.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,54,48"></lb> ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, ἀλλ' ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΑΗ ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,54,49"></lb> σύμμετρος, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ σύμμετρος, ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,54,50"></lb> ἄρα καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΕΖ· ὥστε καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΕΛ ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,54,51"></lb> μετρόν ἐστιν.</s> <s>ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΘ τῷ ΣΝ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,54,52"></lb> ΕΛ τῷ ΜΡ· καὶ τὸ ΣΝ ἄρα τῷ ΜΡ ἀσύμμετρόν ἐστιν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,54,53"></lb> ἀλλ' ὡς τὸ ΣΝ πρὸς ΜΡ, ἡ ΟΝ πρὸς τὴν ΝΡ· ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,54,54"></lb> μετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΝ τῇ ΝΡ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ μὲν ΟΝ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,54,55"></lb> ΜΝ, ἡ δὲ ΝΡ τῇ ΝΞ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΝ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,54,56"></lb> ΝΞ.</s> <s>καί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ σύμμετρον τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,54,57"></lb> ΝΞ, καὶ ῥητὸν ἑκάτερον· αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα ῥηταί εἰσι <lb n="1799,001,,,,10,54,58"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,54,59"></lb> <s>Ἡ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ· <lb n="1799,001,,,,10,54,60"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,54,61"></lb> <s>Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,55,1"></lb> ὀνομάτων δευτέρας, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,10,55,2"></lb> ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,55,3"></lb> <s>Περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ΑΒΓΔ ὑπὸ ῥητῆς τῆς <lb n="1799,001,,,,10,55,4"></lb> ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρας τῆς ΑΔ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,10,55,5"></lb> ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων πρώτη <lb n="1799,001,,,,10,55,6"></lb> ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,55,7"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,10,55,8"></lb> διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,55,9"></lb> ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ· αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,55,10"></lb> μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται <lb n="1799,001,,,,10,55,11"></lb> τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ ἔλαττον ὄνομα ἡ ΕΔ <lb n="1799,001,,,,10,55,12"></lb> σύμμετρόν ἐστι τῇ ΑΒ μήκει.</s> <s>τετμήσθω ἡ ΕΔ δίχα κατὰ <lb n="1799,001,,,,10,55,13"></lb> τὸ Ζ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παρα-<lb n="1799,001,,,,10,55,14"></lb> βεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,55,15"></lb> σύμμετρος ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει.</s> <s>καὶ διὰ τῶν Η, <lb n="1799,001,,,,10,55,16"></lb> Ε, Ζ παράλληλοι ἤχθωσαν ταῖς ΑΒ, ΓΔ αἱ ΗΘ, ΕΚ, <lb n="1799,001,,,,10,55,17"></lb> ΖΛ, καὶ τῷ μὲν ΑΘ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,55,18"></lb> γωνον συνεστάτω τὸ ΣΝ, τῷ δὲ ΗΚ ἴσον τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,55,19"></lb> τὸ ΝΠ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπ' εὐθείας εἶναι τὴν ΜΝ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,55,20"></lb> ΝΞ· ἐπ' εὐθείας ἄρα [ἐστὶ] καὶ ἡ ΡΝ τῇ ΝΟ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,55,21"></lb> συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ τετράγωνον· φανερὸν δὴ ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,55,22"></lb> τοῦ προδεδειγμένου, ὅτι τὸ ΜΡ μέσον ἀνάλογόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,55,23"></lb> τῶν ΣΝ, ΝΠ, καὶ ἴσον τῷ ΕΛ, καὶ ὅτι τὸ ΑΓ χωρίον <lb n="1799,001,,,,10,55,24"></lb> δύναται ἡ ΜΞ.</s> <s>δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,55,25"></lb> πρώτη.</s> <s>ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, <lb n="1799,001,,,,10,55,26"></lb> σύμμετρος δὲ ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ, ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΑΕ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,55,27"></lb> ΑΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ, σύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,55,28"></lb> ἐστι καὶ ἡ ΑΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΗ, ΗΕ.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ΑΕ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,55,29"></lb> ἀσύμμετρος τῇ ΑΒ μήκει· καὶ αἱ ΑΗ, ΗΕ ἄρα ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,55,30"></lb> μετροί εἰσι τῇ ΑΒ.</s> <s>αἱ ΒΑ, ΑΗ, ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι <lb n="1799,001,,,,10,55,31"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετροι· ὥστε μέσον ἐστὶν ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,10,55,32"></lb> τῶν ΑΘ, ΗΚ.</s> <s>ὥστε καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΝ, ΝΠ μέσον <lb n="1799,001,,,,10,55,33"></lb> ἐστίν.</s> <s>καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα μέσαι εἰσίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,55,34"></lb> μετρος ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘ <lb n="1799,001,,,,10,55,35"></lb> τῷ ΗΚ, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΝΠ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,55,36"></lb> ΜΝ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ [ὥστε δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι αἱ ΜΝ, <lb n="1799,001,,,,10,55,37"></lb> ΝΞ].</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, <lb n="1799,001,,,,10,55,38"></lb> ἀλλ' ἡ μὲν ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΗ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΖ <lb n="1799,001,,,,10,55,39"></lb> σύμμετρος, ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΕΖ· ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,10,55,40"></lb> τὸ ΑΘ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,55,41"></lb> ΜΡ, τουτέστιν ἡ ΟΝ τῇ ΝΡ, τουτέστιν ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ <lb n="1799,001,,,,10,55,42"></lb> ἀσύμμετρός ἐστι μήκει.</s> <s>ἐδείχθησαν δὲ αἱ ΜΝ, ΝΞ <lb n="1799,001,,,,10,55,43"></lb> καὶ μέσαι οὖσαι καὶ δυνάμει σύμμετροι· αἱ ΜΝ, ΝΞ <lb n="1799,001,,,,10,55,44"></lb> ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>λέγω δή, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,55,45"></lb> καὶ ῥητὸν περιέχουσιν.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ ἡ ΔΕ ὑπόκειται ἑκατέρᾳ <lb n="1799,001,,,,10,55,46"></lb> τῶν ΑΒ, ΕΖ σύμμετρος, σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΕΖ <lb n="1799,001,,,,10,55,47"></lb> τῇ ΕΚ.</s> <s>καὶ ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν· ῥητὸν ἄρα τὸ ΕΛ, <lb n="1799,001,,,,10,55,48"></lb> τουτέστι τὸ ΜΡ· τὸ δὲ ΜΡ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,55,49"></lb> <s>ἐὰν δὲ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,55,50"></lb> ῥητὸν περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,55,51"></lb> δύο μέσων πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,55,52"></lb> <s>Ἡ ἄρα ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,55,53"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,55,54"></lb> <s>Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,56,1"></lb> ὀνομάτων τρίτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,10,56,2"></lb> ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,56,3"></lb> <s>Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς <lb n="1799,001,,,,10,56,4"></lb> ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης τῆς ΑΔ διῃρημένης <lb n="1799,001,,,,10,56,5"></lb> εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὧν μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΕ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,10,56,6"></lb> ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη <lb n="1799,001,,,,10,56,7"></lb> ἐκ δύο μέσων δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,56,8"></lb> <s>Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,56,9"></lb> ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη ἡ ΑΔ, αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,56,10"></lb> ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ <lb n="1799,001,,,,10,56,11"></lb> μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐδετέρα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,56,12"></lb> τῶν ΑΕ, ΕΔ σύμμετρός [ἐστι] τῇ ΑΒ μήκει.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,10,56,13"></lb> δὴ τοῖς προδεδειγμένοις δείξομεν, ὅτι ἡ ΜΞ ἐστιν ἡ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,56,14"></lb> ΑΓ χωρίον δυναμένη, καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ μέσαι εἰσὶ δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,56,15"></lb> μόνον σύμμετροι· ὥστε ἡ ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,56,16"></lb> <s>Δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,56,17"></lb> <s>[Καὶ] ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, <lb n="1799,001,,,,10,56,18"></lb> τουτέστι τῇ ΕΚ, σύμμετρος δὲ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ, ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,56,19"></lb> μετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ μήκει.</s> <s>καί εἰσι ῥηταί· <lb n="1799,001,,,,10,56,20"></lb> αἱ ΖΕ, ΕΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,56,21"></lb> <s>μέσον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ· καὶ περι-<lb n="1799,001,,,,10,56,22"></lb> έχεται ὑπὸ τῶν ΜΝΞ· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,56,23"></lb> <s>Ἡ ΜΞ ἄρα ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,56,24"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,56,25"></lb> <s>Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,57,1"></lb> ὀνομάτων τετάρτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,10,57,2"></lb> ἡ καλουμένη μείζων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,57,3"></lb> <s>Χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,57,4"></lb> καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτης τῆς ΑΔ διῃρημένης <lb n="1799,001,,,,10,57,5"></lb> εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὧν μεῖζον ἔστω τὸ ΑΕ· <lb n="1799,001,,,,10,57,6"></lb> λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,57,7"></lb> καλουμένη μείζων.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,57,8"></lb> Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη, αἱ <lb n="1799,001,,,,10,57,9"></lb> ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,57,10"></lb> ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου <lb n="1799,001,,,,10,57,11"></lb> ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ σύμμετρός [ἐστι] μήκει.</s> <s>τε-<lb n="1799,001,,,,10,57,12"></lb> τμήσθω ἡ ΔΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ <lb n="1799,001,,,,10,57,13"></lb> ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον <lb n="1799,001,,,,10,57,14"></lb> τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΗΕ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ <lb n="1799,001,,,,10,57,15"></lb> μήκει.</s> <s>ἤχθωσαν παράλληλοι τῇ ΑΒ αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ, <lb n="1799,001,,,,10,57,16"></lb> καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου γεγονέτω· φανερὸν <lb n="1799,001,,,,10,57,17"></lb> δή, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ.</s> <s>δεικτέον <lb n="1799,001,,,,10,57,18"></lb> δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.</s> <s>ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,57,19"></lb> ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ μήκει, ἀσύμμετρόν <lb n="1799,001,,,,10,57,20"></lb> ἐστι καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΝΠ· αἱ <lb n="1799,001,,,,10,57,21"></lb> ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.</s> <s>καὶ ἐπεὶ σύμ- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,10,57,22"></lb> μετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ ΑΚ· <lb n="1799,001,,,,10,57,23"></lb> καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ· ῥητὸν ἄρα [ἐστὶ] <lb n="1799,001,,,,10,57,24"></lb> καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,57,25"></lb> ἀσύμμετρός [ἐστιν] ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, <lb n="1799,001,,,,10,57,26"></lb> ἀλλὰ ἡ ΔΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ΕΖ, ἀσύμμετρος ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,57,27"></lb> ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ μήκει.</s> <s>αἱ ΕΚ, ΕΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,57,28"></lb> μόνον σύμμετροι· μέσον ἄρα τὸ ΛΕ, τουτέστι τὸ ΜΡ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,57,29"></lb> <s>καὶ περιέχεται ὑπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,57,30"></lb> ὑπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ.</s> <s>καὶ ῥητὸν τὸ [συγκείμενον] ἐκ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,57,31"></lb> ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, καί εἰσιν ἀσύμμετροι αἱ ΜΝ, ΝΞ <lb n="1799,001,,,,10,57,32"></lb> δυνάμει.</s> <s>ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι δυνάμει ἀσύμμετροι συν-<lb n="1799,001,,,,10,57,33"></lb> τεθῶσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,57,34"></lb> τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ' ὑπ' αὐτῶν μέσον, ἡ ὅλη ἄλογός <lb n="1799,001,,,,10,57,35"></lb> ἐστιν, καλεῖται δὲ μείζων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,57,36"></lb> <s>Ἡ ΜΞ ἄρα ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,57,37"></lb> δύναται τὸ ΑΓ χωρίον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,57,38"></lb> <s>Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,58,1"></lb> ὀνομάτων πέμπτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,10,58,2"></lb> ἡ καλουμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,58,3"></lb> <s>Χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,58,4"></lb> καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης τῆς ΑΔ διῃρημένης <lb n="1799,001,,,,10,58,5"></lb> εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι <lb n="1799,001,,,,10,58,6"></lb> τὸ ΑΕ· λέγω [δή], ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός <lb n="1799,001,,,,10,58,7"></lb> ἐστιν ἡ καλουμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,58,8"></lb> Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον δεδειγμέ-<lb n="1799,001,,,,10,58,9"></lb> νοις· φανερὸν δή, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,58,10"></lb> ἡ ΜΞ.</s> <s>δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἐστιν ἡ ῥητὸν καὶ μέσον <lb n="1799,001,,,,10,58,11"></lb> δυναμένη.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ, <lb n="1799,001,,,,10,58,12"></lb> ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΘΕ, τουτέστι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,58,13"></lb> ἀπὸ τῆς ΜΝ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ· αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,58,14"></lb> εἰσὶν ἀσύμμετροι.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,58,15"></lb> πέμπτη, καί [ἐστιν] ἔλασσον αὐτῆς τμῆμα τὸ ΕΔ, <lb n="1799,001,,,,10,58,16"></lb> σύμμετρος ἄρα ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ μήκει.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ <lb n="1799,001,,,,10,58,17"></lb> ἐστιν ἀσύμμετρος· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῇ ΑΕ ἐστιν ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,58,18"></lb> μετρος μήκει.</s> <s>[αἱ ΒΑ, ΑΕ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον <lb n="1799,001,,,,10,58,19"></lb> σύμμετροι.] μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ, τουτέστι τὸ συγκεί-<lb n="1799,001,,,,10,58,20"></lb> μενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ σύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,58,21"></lb> ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, ἀλλὰ ἡ ΔΕ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,58,22"></lb> τῇ ΕΖ σύμμετρός ἐστιν, καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΚ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,58,23"></lb> μετρός ἐστιν.</s> <s>καὶ ῥητὴ ἡ ΕΚ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ΕΛ, <lb n="1799,001,,,,10,58,24"></lb> τουτέστι τὸ ΜΡ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΜΝΞ· αἱ ΜΝ, ΝΞ <lb n="1799,001,,,,10,58,25"></lb> ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκεί-<lb n="1799,001,,,,10,58,26"></lb> μενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δ' ὑπ' <lb n="1799,001,,,,10,58,27"></lb> αὐτω̂ν ῥητόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,58,28"></lb> <s>Ἡ ΜΞ ἄρα ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶ καὶ δύναται <lb n="1799,001,,,,10,58,29"></lb> τὸ ΑΓ χωρίον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,58,30"></lb> <s>Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,59,1"></lb> ὀνομάτων ἕκτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,10,59,2"></lb> ἡ καλουμένη δύο μέσα δυναμένη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,59,3"></lb> <s>Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,59,4"></lb> καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης τῆς ΑΔ διῃρημένης <lb n="1799,001,,,,10,59,5"></lb> εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι <lb n="1799,001,,,,10,59,6"></lb> τὸ ΑΕ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη <lb n="1799,001,,,,10,59,7"></lb> ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,59,8"></lb> <s>Κατεσκευάσθω [γὰρ] τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις.</s> <lb n="1799,001,,,,10,59,9"></lb> <s>φανερὸν δή, ὅτι [ἡ] τὸ ΑΓ δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,59,10"></lb> ὅτι ἀσύμμετρός ἐστι ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ δυνάμει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,59,11"></lb> ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ μήκει, αἱ ΕΑ, ΑΒ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,59,12"></lb> ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσον ἄρα ἐστὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,59,13"></lb> τὸ ΑΚ, τουτέστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, <lb n="1799,001,,,,10,59,14"></lb> ΝΞ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ μήκει, <lb n="1799,001,,,,10,59,15"></lb> ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΕΚ· αἱ ΖΕ, ΕΚ <lb n="1799,001,,,,10,59,16"></lb> ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· μέσον ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,59,17"></lb> ἐστὶ τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,59,18"></lb> ΜΝΞ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρος ἡ ΑΕ τῇ ΕΖ, καὶ τὸ ΑΚ <lb n="1799,001,,,,10,59,19"></lb> τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν.</s> <s>ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΚ ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,59,20"></lb> συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, τὸ δὲ ΕΛ ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,59,21"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον <lb n="1799,001,,,,10,59,22"></lb> ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝΞ τῷ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ.</s> <s>καί ἐστι μέσον <lb n="1799,001,,,,10,59,23"></lb> ἑκάτερον αὐτῶν, καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,59,24"></lb> μετροι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,59,25"></lb> <s>Ἡ ΜΞ ἄρα δύο μέσα δυναμένη ἐστὶ καὶ δύναται τὸ <lb n="1799,001,,,,10,59,26"></lb> ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,59,27"></lb> [Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,10,59,28"></lb> Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἄνισα, τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,59,29"></lb> ἀνίσων τετράγωνα μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ἀνίσων <lb n="1799,001,,,,10,59,30"></lb> περιεχομένου ὀρθογωνίου.</s> <lb n="1799,001,,,,10,59,31"></lb> <s>Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω εἰς ἄνισα κατὰ <lb n="1799,001,,,,10,59,32"></lb> τὸ Γ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,59,33"></lb> ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,59,34"></lb> <s>Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Δ.</s> <s>ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,59,35"></lb> οὖν εὐθεῖα γραμμὴ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ <lb n="1799,001,,,,10,59,36"></lb> τὸ Δ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,59,37"></lb> ΑΓ, ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΔ· <lb n="1799,001,,,,10,59,38"></lb> ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,59,39"></lb> ΑΔ· τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλαττον ἢ δι-<lb n="1799,001,,,,10,59,40"></lb> πλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΔ.</s> <s>ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,59,41"></lb> ΓΒ διπλάσιά [ἐστι] τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ· τὰ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,59,42"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,59,43"></lb> ΓΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.] <lb n="1799,001,,,,10,59,44"></lb> Τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων παρὰ ῥητὴν παραβαλλό-<lb n="1799,001,,,,10,60,1"></lb> μενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,60,2"></lb> <s>Ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα <lb n="1799,001,,,,10,60,3"></lb> κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΓ, καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,60,4"></lb> ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,60,5"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν <lb n="1799,001,,,,10,60,6"></lb> ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕΖΗ <lb n="1799,001,,,,10,60,7"></lb> πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,10,60,8"></lb> ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,60,9"></lb> πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,60,10"></lb> <s>Παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,60,11"></lb> ἴσον τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον τὸ ΚΛ· λοιπὸν <lb n="1799,001,,,,10,60,12"></lb> ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΖ.</s> <s>τετμήσθω <lb n="1799,001,,,,10,60,13"></lb> ἡ ΜΗ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΞ <lb n="1799,001,,,,10,60,14"></lb> [ἑκατέρᾳ τῶν ΜΛ, ΗΖ].</s> <s>ἑκάτερον ἄρα τῶν ΜΞ, ΝΖ <lb n="1799,001,,,,10,60,15"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνο-<lb n="1799,001,,,,10,60,16"></lb> μάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,60,17"></lb> Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· <lb n="1799,001,,,,10,60,18"></lb> τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ῥητά ἐστι καὶ σύμμετρα <lb n="1799,001,,,,10,60,19"></lb> ἀλλήλοις· ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,60,20"></lb> ΑΓ, ΓΒ [σύμμετρόν ἐστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· <lb n="1799,001,,,,10,60,21"></lb> ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,60,22"></lb> ΓΒ].</s> <s>καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΛ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,60,23"></lb> παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ <lb n="1799,001,,,,10,60,24"></lb> καὶ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ <lb n="1799,001,,,,10,60,25"></lb> ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,60,26"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν <lb n="1799,001,,,,10,60,27"></lb> τὴν ΜΛ παράκειται· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΜΗ ἐστι καὶ ἀσύμ- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,10,60,28"></lb> μετρος τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,60,29"></lb> ἡ ΜΔ ῥητὴ καὶ τῇ ΔΕ μήκει σύμμετρος· ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,60,30"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει.</s> <s>καί εἰσι ῥηταί· αἱ ΔΜ, <lb n="1799,001,,,,10,60,31"></lb> ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,60,32"></lb> ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,60,33"></lb> <s>Δεικτέον δή, ὅτι καὶ πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,60,34"></lb> <s>Ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,60,35"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, καὶ τῶν ΔΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν <lb n="1799,001,,,,10,60,36"></lb> ἐστι τὸ ΜΞ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΔΘ πρὸς τὸ ΜΞ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,60,37"></lb> τὸ ΜΞ πρὸς τὸ ΚΛ, τουτέστιν ὡς ἡ ΔΚ πρὸς τὴν ΜΝ, <lb n="1799,001,,,,10,60,38"></lb> ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΜΚ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΔΚ, ΚΜ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,60,39"></lb> ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,60,40"></lb> τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΔΘ <lb n="1799,001,,,,10,60,41"></lb> τῷ ΚΛ· ὥστε καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ σύμμετρός ἐστιν.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,60,42"></lb> ἐπεὶ μείζονά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,60,43"></lb> ΑΓ, ΓΒ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ τοῦ ΜΖ· ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,10,60,44"></lb> ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ μείζων ἐστίν.</s> <s>καί ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,60,45"></lb> ΔΚ, ΚΜ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,60,46"></lb> ἀπὸ τῆς ΜΗ, καὶ σύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ.</s> <s>ἐὰν δὲ ὦσι <lb n="1799,001,,,,10,60,47"></lb> δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,60,48"></lb> ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον <lb n="1799,001,,,,10,60,49"></lb> εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρῇ, ἡ <lb n="1799,001,,,,10,60,50"></lb> μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμ-<lb n="1799,001,,,,10,60,51"></lb> μέτρου ἑαυτῇ· ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,60,52"></lb> ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΔΜ, ΜΗ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,60,53"></lb> ἡ ΔΜ μεῖζον ὄνομα σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ <lb n="1799,001,,,,10,60,54"></lb> τῇ ΔΕ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,60,55"></lb> <s>Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,60,56"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,60,57"></lb> <s>Τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων πρώτης παρὰ ῥητὴν παρα-<lb n="1799,001,,,,10,61,1"></lb> βαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,61,2"></lb> <s>Ἔστω ἐκ δύο μέσων πρώτη ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς <lb n="1799,001,,,,10,61,3"></lb> μέσας κατὰ τὸ Γ, ὧν μείζων ἡ <lb n="1799,001,,,,10,61,4"></lb> ΑΓ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,10,61,5"></lb> καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΔΕ <lb n="1799,001,,,,10,61,6"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραλλη-<lb n="1799,001,,,,10,61,7"></lb> λόγραμμον τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν <lb n="1799,001,,,,10,61,8"></lb> τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,61,9"></lb> ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,61,10"></lb> <s>Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρὸ τούτου.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,61,11"></lb> ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη διῃρημένη κατὰ <lb n="1799,001,,,,10,61,12"></lb> τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,61,13"></lb> μετροι ῥητὸν περιέχουσαι· ὥστε καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,61,14"></lb> ΓΒ μέσα ἐστίν.</s> <s>μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν <lb n="1799,001,,,,10,61,15"></lb> τὴν ΔΕ παραβέβληται· ῥητὴ ἄρα ἐστίν ἡ ΜΔ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,61,16"></lb> ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,61,17"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ῥητόν ἐστι καὶ τὸ ΜΖ.</s> <s>καὶ παρὰ <lb n="1799,001,,,,10,61,18"></lb> ῥητὴν τὴν ΜΛ παράκειται· ῥητὴ ἄρα [ἐστὶ] καὶ ἡ ΜΗ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,61,19"></lb> καὶ μήκει σύμμετρος τῇ ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ· ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,61,20"></lb> μετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ μήκει.</s> <s>καί εἰσι ῥηταί· <lb n="1799,001,,,,10,61,21"></lb> αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· <lb n="1799,001,,,,10,61,22"></lb> ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,61,23"></lb> <s>Δεικτέον δή, ὅτι καὶ δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,61,24"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τοῦ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,61,25"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΔΛ τοῦ ΜΖ· <lb n="1799,001,,,,10,61,26"></lb> ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,61,27"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,61,28"></lb> ΔΘ τῷ ΚΛ· ὥστε καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ σύμμετρός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,61,29"></lb> <s>καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ· ἡ ΔΜ <lb n="1799,001,,,,10,61,30"></lb> ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,61,31"></lb> <s>καί ἐστιν ἡ ΜΗ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,61,32"></lb> <s>Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,61,33"></lb> <s>Τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων δευτέρας παρὰ ῥητὴν παρα-<lb n="1799,001,,,,10,62,1"></lb> βαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,62,2"></lb> <s>Ἔστω ἐκ δύο μέσων δευτέρα <lb n="1799,001,,,,10,62,3"></lb> ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς τὰς μέσας <lb n="1799,001,,,,10,62,4"></lb> κατὰ τὸ Γ, ὥστε τὸ μεῖζον τμῆμα <lb n="1799,001,,,,10,62,5"></lb> εἶναι τὸ ΑΓ, ῥητὴ δέ τις ἔστω <lb n="1799,001,,,,10,62,6"></lb> ἡ ΔΕ, καὶ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,62,7"></lb> τῆς ΑΒ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ <lb n="1799,001,,,,10,62,8"></lb> πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων <lb n="1799,001,,,,10,62,9"></lb> ἐστὶ τρίτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,62,10"></lb> <s>Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,62,11"></lb> ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, <lb n="1799,001,,,,10,62,12"></lb> αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι <lb n="1799,001,,,,10,62,13"></lb> μέσον περιέχουσαι· ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,62,14"></lb> τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἐστίν.</s> <s>καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΛ· μέσον <lb n="1799,001,,,,10,62,15"></lb> ἄρα καὶ τὸ ΔΛ.</s> <s>καὶ παράκειται παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ· <lb n="1799,001,,,,10,62,16"></lb> ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,62,17"></lb> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΜΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ <lb n="1799,001,,,,10,62,18"></lb> ΜΛ, τουτέστι τῇ ΔΕ, μήκει· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,10,62,19"></lb> τῶν ΔΜ, ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,62,20"></lb> ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,62,21"></lb> τὴν ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, <lb n="1799,001,,,,10,62,22"></lb> ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,62,23"></lb> <s>ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,62,24"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἀσύμμετρόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ΔΛ <lb n="1799,001,,,,10,62,25"></lb> τῷ ΜΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ ἀσύμμετρός ἐστιν.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,10,62,26"></lb> εἰσι ῥηταί· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,62,27"></lb> <s>Δεικτέον [δή], ὅτι καὶ τρίτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,62,28"></lb> <s>Ὁμοίως δὴ τοῖς προτέροις ἐπιλογιούμεθα, ὅτι μείζων <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,62,29"></lb> ἐστὶν ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ, καὶ σύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,62,30"></lb> <s>καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ· ἡ ΔΜ <lb n="1799,001,,,,10,62,31"></lb> ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,62,32"></lb> οὐδετέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΕ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,62,33"></lb> <s>Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,62,34"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,62,35"></lb> <s>Τὸ ἀπὸ τῆς μείζονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον <lb n="1799,001,,,,10,63,1"></lb> πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,63,2"></lb> <s>Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ὥστε μείζονα <lb n="1799,001,,,,10,63,3"></lb> εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,63,4"></lb> ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΔΕ παραβε- <lb n="1799,001,,,,10,63,5"></lb> βλήσθω τὸ ΔΖ παραλληλόγραμ-<lb n="1799,001,,,,10,63,6"></lb> μον πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,10,63,7"></lb> ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,63,8"></lb> τετάρτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,63,9"></lb> <s>Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς <lb n="1799,001,,,,10,63,10"></lb> προδεδειγμένοις.</s> <s>καὶ ἐπεὶ μείζων <lb n="1799,001,,,,10,63,11"></lb> ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ δυνά-<lb n="1799,001,,,,10,63,12"></lb> μει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,63,13"></lb> τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ ὑπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,63,14"></lb> μέσον.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ῥητόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,63,15"></lb> τῶν ΑΓ, ΓΒ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΔΜ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,63,16"></lb> καὶ σύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,63,17"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ, καὶ παρὰ ῥητήν <lb n="1799,001,,,,10,63,18"></lb> ἐστι τὴν ΜΛ, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,63,19"></lb> τῇ ΔΕ μήκει· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ <lb n="1799,001,,,,10,63,20"></lb> μήκει.</s> <s>αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,63,21"></lb> μετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,63,22"></lb> <s>Δεικτέον [δή], ὅτι καὶ τετάρτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,63,23"></lb> <s>Ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον, ὅτι μείζων ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,63,24"></lb> ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ, καὶ ὅτι τὸ ὑπὸ ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,63,25"></lb> τῆς ΜΝ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,63,26"></lb> ἀπὸ τῆς ΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΔΘ τῷ ΚΛ· <lb n="1799,001,,,,10,63,27"></lb> ὥστε ἀσύμμετρος καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ ἐστιν.</s> <s>ἐὰν δὲ ὦσι <lb n="1799,001,,,,10,63,28"></lb> δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,63,29"></lb> ἐλάσσονος ἴσον παραλληλόγραμμον παρὰ τὴν μείζονα <lb n="1799,001,,,,10,63,30"></lb> παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς ἀσύμμετρα <lb n="1799,001,,,,10,63,31"></lb> αὐτὴν διαιρῇ, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δυνήσεται <lb n="1799,001,,,,10,63,32"></lb> τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ <lb n="1799,001,,,,10,63,33"></lb> μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καί εἰσιν αἱ <lb n="1799,001,,,,10,63,34"></lb> ΔΜ, ΜΗ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΜ <lb n="1799,001,,,,10,63,35"></lb> σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,63,36"></lb> <s>Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,63,37"></lb> δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,63,38"></lb> Τὸ ἀπὸ τῆς ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένης παρὰ ῥητὴν <lb n="1799,001,,,,10,64,1"></lb> παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων <lb n="1799,001,,,,10,64,2"></lb> πέμπτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,64,3"></lb> <s>Ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη εἰς <lb n="1799,001,,,,10,64,4"></lb> τὰς εὐθείας κατὰ τὸ Γ, ὥστε μείζονα εἶναι τὴν ΑΓ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,64,5"></lb> ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν <lb n="1799,001,,,,10,64,6"></lb> ΔΕ παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλά- <lb n="1799,001,,,,10,64,7"></lb> τος ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,64,8"></lb> ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,64,9"></lb> πέμπτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,64,10"></lb> <s>Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς <lb n="1799,001,,,,10,64,11"></lb> πρὸ τούτου.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ῥητὸν καὶ <lb n="1799,001,,,,10,64,12"></lb> μέσον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ δι-<lb n="1799,001,,,,10,64,13"></lb> ῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,64,14"></lb> μετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,64,15"></lb> τετραγώνων μέσον, τὸ δ' ὑπ' αὐτῶν ῥητόν.</s> <s>ἐπεὶ οὖν μέσον <lb n="1799,001,,,,10,64,16"></lb> ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, μέσον ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,64,17"></lb> ἐστὶ τὸ ΔΛ· ὥστε ῥητή ἐστιν ἡ ΔΜ καὶ μήκει ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,64,18"></lb> μετρος τῇ ΔΕ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,64,19"></lb> ΑΓΒ, τουτέστι τὸ ΜΖ, ῥητὴ ἄρα ἡ ΜΗ καὶ σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,64,20"></lb> τῇ ΔΕ.</s> <s>ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ· αἱ ΔΜ, ΜΗ <lb n="1799,001,,,,10,64,21"></lb> ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,64,22"></lb> ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,64,23"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,64,24"></lb> <s>Ὁμοίως γὰρ δειχθήσεται, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,64,25"></lb> ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, καὶ ἀσύμμετρος ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ <lb n="1799,001,,,,10,64,26"></lb> μήκει· ἡ ΔΜ ἄρα τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,64,27"></lb> ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καί εἰσιν αἱ ΔΜ, ΜΗ [ῥηταὶ] δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,64,28"></lb> μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ἐλάσσων ἡ ΜΗ σύμμετρος τῇ <lb n="1799,001,,,,10,64,29"></lb> ΔΕ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,64,30"></lb> <s>Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,64,31"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,64,32"></lb> <s>Τὸ ἀπὸ τῆς δύο μέσα δυναμένης παρὰ ῥητὴν παρα-<lb n="1799,001,,,,10,65,1"></lb> βαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,65,2"></lb> <s>Ἔστω δύο μέσα δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, <lb n="1799,001,,,,10,65,3"></lb> ῥητὴ δὲ ἔστω ἡ ΔΕ.</s> <s>καὶ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,65,4"></lb> ἴσον παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλά-<lb n="1799,001,,,,10,65,5"></lb> τος ποιοῦν τὴν ΔΗ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,65,6"></lb> ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,65,7"></lb> ἕκτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,65,8"></lb> <s>Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,10,65,9"></lb> τοῖς πρότερον.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ δύο <lb n="1799,001,,,,10,65,10"></lb> μέσα δυναμένη ἐστὶ διῃρημένη <lb n="1799,001,,,,10,65,11"></lb> κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι <lb n="1799,001,,,,10,65,12"></lb> ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων <lb n="1799,001,,,,10,65,13"></lb> μέσον καὶ τὸ ὑπ' αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,65,14"></lb> τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων συγκείμενον τῷ ὑπ' αὐτῶν· <lb n="1799,001,,,,10,65,15"></lb> ὥστε κατὰ τὰ προδεδειγμένα μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,65,16"></lb> ΔΛ, ΜΖ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται· ῥητὴ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,65,17"></lb> ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,65,18"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,65,19"></lb> ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,65,20"></lb> τὸ ΔΛ τῷ ΜΖ.</s> <s>ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ· <lb n="1799,001,,,,10,65,21"></lb> αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,65,22"></lb> δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,65,23"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,65,24"></lb> <s>Ὁμοίως δὴ πάλιν δείξομεν, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,65,25"></lb> ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, καὶ ὅτι ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ μήκει ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,65,26"></lb> ἀσύμμετρος· καὶ διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,65,27"></lb> δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.</s> <s>καὶ οὐδετέρα <lb n="1799,001,,,,10,65,28"></lb> τῶν ΔΜ, ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,65,29"></lb> ΔΕ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,65,30"></lb> <s>Ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,65,31"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,65,32"></lb> <s>Ἡ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων μήκει σύμμετρος καὶ αὐτὴ ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,66,1"></lb> δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.</s> <lb n="1799,001,,,,10,66,2"></lb> <s>Ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει <lb n="1799,001,,,,10,66,3"></lb> σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐκ δύο ὀνομάτων <lb n="1799,001,,,,10,66,4"></lb> ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,66,5"></lb> Ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰς <lb n="1799,001,,,,10,66,6"></lb> τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἔστω μεῖζον ὄνομα τὸ ΑΕ· <lb n="1799,001,,,,10,66,7"></lb> αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,66,8"></lb> <s>γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,10,66,9"></lb> ΓΖ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΖΔ ἐστιν, ὡς <lb n="1799,001,,,,10,66,10"></lb> ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ.</s> <s>σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,66,11"></lb> <s>σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΕΒ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,66,12"></lb> ΖΔ.</s> <s>καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ· ῥηταὶ ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,10,66,13"></lb> ΓΖ, ΖΔ.</s> <s>καὶ [ἐπεί] ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΓΖ, ἡ ΕΒ <lb n="1799,001,,,,10,66,14"></lb> πρὸς ΖΔ.</s> <s>ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ <lb n="1799,001,,,,10,66,15"></lb> πρὸς ΖΔ.</s> <s>αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει μόνον [εἰσὶ] σύμμετροι· <lb n="1799,001,,,,10,66,16"></lb> καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.</s> <s>καί εἰσι <lb n="1799,001,,,,10,66,17"></lb> ῥηταί· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,66,18"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι τῇ τάξει ἐστὶν ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,66,19"></lb> <s>Ἡ γὰρ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται ἤτοι τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,66,20"></lb> συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.</s> <s>εἰ μὲν οὖν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,66,21"></lb> ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, <lb n="1799,001,,,,10,66,22"></lb> καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου <lb n="1799,001,,,,10,66,23"></lb> ἑαυτῇ.</s> <s>καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ <lb n="1799,001,,,,10,66,24"></lb> ῥητῇ, καὶ ἡ ΓΖ σύμμετρος αὐτῇ ἔσται, καὶ διὰ τοῦτο <lb n="1799,001,,,,10,66,25"></lb> ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,66,26"></lb> τουτέστι τῇ τάξει ἡ αὐτή.</s> <s>εἰ δὲ ἡ ΕΒ σύμμετρός ἐστι τῇ <lb n="1799,001,,,,10,66,27"></lb> ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἡ ΖΔ σύμμετρός ἐστιν αὐτῇ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,66,28"></lb> διὰ τοῦτο πάλιν τῇ τάξει ἡ αὐτὴ ἔσται τῇ ΑΒ· ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,10,66,29"></lb> γὰρ αὐτῶν ἔσται ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα.</s> <s>εἰ δὲ οὐδετέρα <lb n="1799,001,,,,10,66,30"></lb> τῶν ΑΕ, ΕΒ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, οὐδετέρα <lb n="1799,001,,,,10,66,31"></lb> τῶν ΓΖ, ΖΔ σύμμετρος αὐτῇ ἔσται, καί ἐστιν ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,10,66,32"></lb> τρίτη.</s> <s>εἰ δὲ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμ-<lb n="1799,001,,,,10,66,33"></lb> μέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,66,34"></lb> ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καὶ εἰ μὲν ἡ ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ <lb n="1799,001,,,,10,66,35"></lb> ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἡ ΓΖ σύμμετρός ἐστιν αὐτῇ, καί <lb n="1799,001,,,,10,66,36"></lb> ἐστιν ἑκατέρα τετάρτη.</s> <s>εἰ δὲ ἡ ΕΒ, καὶ ἡ ΖΔ, καὶ ἔσται <lb n="1799,001,,,,10,66,37"></lb> ἑκατέρα πέμπτη.</s> <s>εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, καὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,66,38"></lb> ΓΖ, ΖΔ οὐδετέρα σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, <lb n="1799,001,,,,10,66,39"></lb> καὶ ἔσται ἑκατέρα ἕκτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,66,40"></lb> <s>Ὥστε ἡ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων μήκει σύμμετρος ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,66,41"></lb> δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,66,42"></lb> <s>Ἡ τῇ ἐκ δύο μέσων μήκει σύμμετρος καὶ αὐτὴ ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,67,1"></lb> μέσων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,67,2"></lb> Ἔστω ἐκ δύο μέσων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω <lb n="1799,001,,,,10,67,3"></lb> μήκει ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ καὶ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,67,4"></lb> τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,67,5"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο μέσων ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰς <lb n="1799,001,,,,10,67,6"></lb> τὰς μέσας κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,67,7"></lb> μόνον σύμμετροι.</s> <s>καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ, ἡ <lb n="1799,001,,,,10,67,8"></lb> ΑΕ πρὸς ΓΖ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,67,9"></lb> λοιπὴν τὴν ΖΔ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,67,10"></lb> ΓΔ.</s> <s>σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει· <lb n="1799,001,,,,10,67,11"></lb> σύμμετρος ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ <lb n="1799,001,,,,10,67,12"></lb> ἑκατέρᾳ τῶν ΓΖ, ΖΔ.</s> <s>μέσαι δὲ αἱ ΑΕ, ΕΒ· <lb n="1799,001,,,,10,67,13"></lb> μέσαι ἄρα καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, <lb n="1799,001,,,,10,67,14"></lb> ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει μόνον σύμμετροί <lb n="1799,001,,,,10,67,15"></lb> εἰσιν, καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ [ἄρα] δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,67,16"></lb> <s>ἐδείχθησαν δὲ καὶ μέσαι· ἡ ΓΔ ἄρα ἐκ δύο μέσων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,67,17"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή ἐστι τῇ ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,67,18"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, <lb n="1799,001,,,,10,67,19"></lb> καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, <lb n="1799,001,,,,10,67,20"></lb> οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ· ἐναλλὰξ <lb n="1799,001,,,,10,67,21"></lb> ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,67,22"></lb> τῶν ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ.</s> <s>σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,67,23"></lb> τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ· σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,67,24"></lb> ΑΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ.</s> <s>εἴτε οὖν ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,67,25"></lb> ΑΕΒ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ ῥητόν ἐστιν [καὶ διὰ τοῦτό <lb n="1799,001,,,,10,67,26"></lb> ἐστιν ἐκ δύο μέσων πρώτη].</s> <s>εἴτε μέσον, μέσον, καί <lb n="1799,001,,,,10,67,27"></lb> ἐστιν ἑκατέρα δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,67,28"></lb> <s>Καὶ διὰ τοῦτο ἔσται ἡ ΓΔ τῇ ΑΒ τῇ τάξει ἡ αὐτή· <lb n="1799,001,,,,10,67,29"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,67,30"></lb> <s>Ἡ τῇ μείζονι σύμμετρος καὶ αὐτὴ μείζων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,68,1"></lb> <s>Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἔστω ἡ <lb n="1799,001,,,,10,68,2"></lb> ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ μείζων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,68,3"></lb> <s>Διῃρήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνά-<lb n="1799,001,,,,10,68,4"></lb> μει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,68,5"></lb> τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ' ὑπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,68,6"></lb> μέσον· καὶ γεγονέτω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότε- <lb n="1799,001,,,,10,68,7"></lb> ρον.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,10,68,8"></lb> οὕτως ἥ τε ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ καὶ ἡ ΕΒ <lb n="1799,001,,,,10,68,9"></lb> πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,10,68,10"></lb> ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ.</s> <s>σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,68,11"></lb> δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.</s> <s>σύμμετρος ἄρα καὶ ἑκα-<lb n="1799,001,,,,10,68,12"></lb> τέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΖ, ΖΔ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,68,13"></lb> καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΒ <lb n="1799,001,,,,10,68,14"></lb> πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,68,15"></lb> ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, καὶ συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,68,16"></lb> τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,10,68,17"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,68,18"></lb> ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,10,68,19"></lb> ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,68,20"></lb> τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,68,21"></lb> ΑΒ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ <lb n="1799,001,,,,10,68,22"></lb> πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς <lb n="1799,001,,,,10,68,23"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,68,24"></lb> ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ.</s> <s>σύμμετρον δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,68,25"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ· σύμμετρα ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,68,26"></lb> τῶν ΑΕ, ΕΒ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ.</s> <s>καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,68,27"></lb> ΑΕ, ΕΒ ἅμα ῥητόν, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ ἅμα ῥητόν <lb n="1799,001,,,,10,68,28"></lb> ἐστιν.</s> <s>ὁμοίως δὲ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ σύμμετρόν <lb n="1799,001,,,,10,68,29"></lb> ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ.</s> <s>καί ἐστι μέσον τὸ δὶς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,68,30"></lb> τῶν ΑΕ, ΕΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,68,31"></lb> <s>αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,68,32"></lb> μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ἅμα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,68,33"></lb> ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπ' αὐτῶν μέσον· ὅλη ἄρα ἡ ΓΔ ἄλογός <lb n="1799,001,,,,10,68,34"></lb> ἐστιν ἡ καλουμένη μείζων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,68,35"></lb> <s>Ἡ ἄρα τῇ μείζονι σύμμετρος μείζων ἐστίν· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,68,36"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,68,37"></lb> <s>Ἡ τῇ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένῃ σύμμετρος [καὶ αὐτὴ] <lb n="1799,001,,,,10,69,1"></lb> ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,69,2"></lb> <s>Ἔστω ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,69,3"></lb> σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ· δεικτέον, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ῥητὸν καὶ <lb n="1799,001,,,,10,69,4"></lb> μέσον δυναμένη ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,69,5"></lb> <s>Διῃρήσθω ἡ ΑΒ εἰς τὰς εὐθείας κατὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,69,6"></lb> Ε· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι <lb n="1799,001,,,,10,69,7"></lb> ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,69,8"></lb> τετραγώνων μέσον, τὸ δ' ὑπ' αὐτῶν ῥητόν· <lb n="1799,001,,,,10,69,9"></lb> καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω τοῖς πρότερον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,69,10"></lb> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνά-<lb n="1799,001,,,,10,69,11"></lb> μει εἰσὶν ἀσύμμετροι, καὶ σύμμετρον τὸ μὲν <lb n="1799,001,,,,10,69,12"></lb> συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ συγκειμένῳ <lb n="1799,001,,,,10,69,13"></lb> ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,69,14"></lb> ΓΖ, ΖΔ· ὥστε καὶ τὸ [μὲν] συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,69,15"></lb> τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων ἐστὶ μέσον, τὸ δ' ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,69,16"></lb> ΓΖ, ΖΔ ῥητόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,69,17"></lb> <s>Ῥητὸν ἄρα καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΓΔ· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,69,18"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,69,19"></lb> <s>Ἡ τῇ δύο μέσα δυναμένῃ σύμμετρος δύο μέσα δυνα-<lb n="1799,001,,,,10,70,1"></lb> μένη ἐστίν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,70,2"></lb> Ἔστω δύο μέσα δυναμένη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,70,3"></lb> ἡ ΓΔ· δεικτέον, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,70,4"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ δύο μέσα δυναμένη ἐστὶν ἡ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,70,5"></lb> διῃρήσθω εἰς τὰς εὐθείας κατὰ τὸ Ε· αἱ ΑΕ, <lb n="1799,001,,,,10,70,6"></lb> ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι <lb n="1799,001,,,,10,70,7"></lb> τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν [τετρα-<lb n="1799,001,,,,10,70,8"></lb> γώνων] μέσον καὶ τὸ ὑπ' αὐτῶν μέσον καὶ <lb n="1799,001,,,,10,70,9"></lb> ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,70,10"></lb> τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕ, <lb n="1799,001,,,,10,70,11"></lb> ΕΒ· καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,10,70,12"></lb> δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμε-<lb n="1799,001,,,,10,70,13"></lb> τροι καὶ σύμμετρον τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,70,14"></lb> ΑΕ, ΕΒ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ <lb n="1799,001,,,,10,70,15"></lb> δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· ὥστε καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,70,16"></lb> συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων μέσον <lb n="1799,001,,,,10,70,17"></lb> ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον <lb n="1799,001,,,,10,70,18"></lb> τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων <lb n="1799,001,,,,10,70,19"></lb> τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,70,20"></lb> <s>Ἡ ἄρα ΓΔ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,70,21"></lb> <s>Ῥητοῦ καὶ μέσου συντιθεμένου τέσσαρες ἄλογοι γί-<lb n="1799,001,,,,10,71,1"></lb> γνονται ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη ἢ <lb n="1799,001,,,,10,71,2"></lb> μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,71,3"></lb> <s>Ἔστω ῥητὸν μὲν τὸ ΑΒ, μέσον δὲ τὸ ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ <lb n="1799,001,,,,10,71,4"></lb> τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἢ ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,71,5"></lb> δύο μέσων πρώτη ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,71,6"></lb> Τὸ γὰρ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,71,7"></lb> <s>ἔστω πρότερον μεῖζον· καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,71,8"></lb> παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΖ <lb n="1799,001,,,,10,71,9"></lb> τῷ ΑΒ ἴσον τὸ ΕΗ πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,71,10"></lb> ποιοῦν τὴν ΕΘ· τῷ δὲ ΔΓ <lb n="1799,001,,,,10,71,11"></lb> ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβε-<lb n="1799,001,,,,10,71,12"></lb> βλήσθω τὸ ΘΙ πλάτος ποιοῦν <lb n="1799,001,,,,10,71,13"></lb> τὴν ΘΚ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ῥητόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,71,14"></lb> τὸ ΑΒ καί ἐστιν ῥητόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,71,15"></lb> τὸ ΑΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ <lb n="1799,001,,,,10,71,16"></lb> ΕΗ, ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ΕΗ.</s> <s>καὶ παρὰ [ῥητὴν] τὴν <lb n="1799,001,,,,10,71,17"></lb> ΕΖ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ· ἡ ΕΘ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,71,18"></lb> ῥητή ἐστι καὶ σύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ μέσον <lb n="1799,001,,,,10,71,19"></lb> ἐστὶ τὸ ΓΔ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΙ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,71,20"></lb> τὸ ΘΙ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,71,21"></lb> ποιοῦν τὴν ΘΚ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ καὶ ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,71,22"></lb> τῇ ΕΖ μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΓΔ, ῥητὸν δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,71,23"></lb> ΑΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ· ὥστε καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,71,24"></lb> ΕΗ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ ΘΙ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς τὸ ΘΙ, <lb n="1799,001,,,,10,71,25"></lb> οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΚ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,71,26"></lb> καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΚ μήκει.</s> <s>καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ <lb n="1799,001,,,,10,71,27"></lb> ΕΘ, ΘΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,71,28"></lb> ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΚ διῃρημένη κατὰ τὸ Θ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,71,29"></lb> μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΕΗ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,71,30"></lb> τὸ δὲ ΓΔ τῷ ΘΙ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΕΗ τοῦ ΘΙ· καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,10,71,31"></lb> ΕΘ ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς ΘΚ.</s> <s>ἤτοι οὖν ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ <lb n="1799,001,,,,10,71,32"></lb> μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει ἢ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,71,33"></lb> ἀπὸ ἀσυμμέτρου.</s> <s>δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου <lb n="1799,001,,,,10,71,34"></lb> ἑαυτῇ.</s> <s>καί ἐστιν ἡ μείζων ἡ ΘΕ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ <lb n="1799,001,,,,10,71,35"></lb> ῥητῇ τῇ ΕΖ· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,71,36"></lb> <s>ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ <lb n="1799,001,,,,10,71,37"></lb> τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,71,38"></lb> δύο ὀνομάτων ἐστίν.</s> <s>ἡ ἄρα τὸ ΕΙ δυναμένη ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,71,39"></lb> ὀνομάτων ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,71,40"></lb> ὀνομάτων ἐστίν.</s> <s>ἀλλὰ δὴ δυνάσθω ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,71,41"></lb> τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ· καί ἐστιν ἡ μείζων ἡ ΕΘ <lb n="1799,001,,,,10,71,42"></lb> σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει· ἡ ἄρα ΕΚ <lb n="1799,001,,,,10,71,43"></lb> ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τετάρτη.</s> <s>ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ <lb n="1799,001,,,,10,71,44"></lb> χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων <lb n="1799,001,,,,10,71,45"></lb> τετάρτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη <lb n="1799,001,,,,10,71,46"></lb> μείζων.</s> <s>ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον <lb n="1799,001,,,,10,71,47"></lb> δυναμένη μείζων ἐστίν· ὥστε <lb n="1799,001,,,,10,71,48"></lb> καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη μείζων <lb n="1799,001,,,,10,71,49"></lb> ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,71,50"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ ἔστω ἔλασσον τὸ <lb n="1799,001,,,,10,71,51"></lb> ΑΒ τοῦ ΓΔ· καὶ τὸ ΕΗ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,71,52"></lb> ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΘΙ· ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,10,71,53"></lb> ἡ ΕΘ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΘΚ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,71,54"></lb> ἤτοι δὲ ἡ ΘΚ τῆς ΕΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμ-<lb n="1799,001,,,,10,71,55"></lb> μέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.</s> <s>δυνάσθω πρό-<lb n="1799,001,,,,10,71,56"></lb> τερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· καί ἐστιν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,71,57"></lb> ἐλάσσων ἡ ΕΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ <lb n="1799,001,,,,10,71,58"></lb> μήκει· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα.</s> <s>ῥητὴ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,71,59"></lb> ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,71,60"></lb> ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρας, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,71,61"></lb> δύο μέσων ἐστὶ πρώτη.</s> <s>ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,71,62"></lb> δύο μέσων ἐστὶ πρώτη· ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη <lb n="1799,001,,,,10,71,63"></lb> ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη.</s> <s>ἀλλὰ δὴ ἡ ΘΚ τῆς ΘΕ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,71,64"></lb> δυνάσθω τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καί ἐστιν ἡ ἐλάσσων <lb n="1799,001,,,,10,71,65"></lb> ἡ ΕΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,71,66"></lb> δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη.</s> <s>ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ χωρίον <lb n="1799,001,,,,10,71,67"></lb> περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης, <lb n="1799,001,,,,10,71,68"></lb> ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,71,69"></lb> <s>ἡ ἄρα τὸ ΕΙ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη <lb n="1799,001,,,,10,71,70"></lb> ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ῥητὸν καὶ <lb n="1799,001,,,,10,71,71"></lb> μέσον δυναμένη ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,71,72"></lb> <s>Ῥητοῦ ἄρα καὶ μέσου συντιθεμένου τέσσαρες ἄλογοι <lb n="1799,001,,,,10,71,73"></lb> γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο ὀνομάτων ἢ ἐκ δύο μέσων πρώτη <lb n="1799,001,,,,10,71,74"></lb> ἢ μείζων ἢ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,71,75"></lb> Δύο μέσων ἀσυμμέτρων ἀλλήλοις συντιθεμένων αἱ <lb n="1799,001,,,,10,72,1"></lb> λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο μέσων δευτέρα <lb n="1799,001,,,,10,72,2"></lb> ἢ [ἡ] δύο μέσα δυναμένη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,72,3"></lb> <s>Συγκείσθω γὰρ δύο μέσα ἀσύμμετρα ἀλλήλοις τὰ <lb n="1799,001,,,,10,72,4"></lb> ΑΒ, ΓΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἤτοι ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,72,5"></lb> δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα ἢ δύο μέσα δυναμένη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,72,6"></lb> <s>Τὸ γὰρ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἤτοι <lb n="1799,001,,,,10,72,7"></lb> μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον.</s> <s>ἔστω, <lb n="1799,001,,,,10,72,8"></lb> εἰ τύχοι, πρότερον μεῖζον τὸ <lb n="1799,001,,,,10,72,9"></lb> ΑΒ τοῦ ΓΔ· καὶ ἐκκείσθω <lb n="1799,001,,,,10,72,10"></lb> ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ μὲν ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,72,11"></lb> ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλή-<lb n="1799,001,,,,10,72,12"></lb> σθω τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν <lb n="1799,001,,,,10,72,13"></lb> ΕΘ, τῷ δὲ ΓΔ ἴσον τὸ ΘΙ πλά-<lb n="1799,001,,,,10,72,14"></lb> τος ποιοῦν τὴν ΘΚ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,72,15"></lb> μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΓΔ, μέσον ἄρα καὶ <lb n="1799,001,,,,10,72,16"></lb> ἑκάτερον τῶν ΕΗ, ΘΙ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παρά-<lb n="1799,001,,,,10,72,17"></lb> κειται πλάτος ποιοῦν τὰς ΕΘ, ΘΚ· ἑκατέρα ἄρα τῶν <lb n="1799,001,,,,10,72,18"></lb> ΕΘ, ΘΚ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,72,19"></lb> ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ, καί ἐστιν ἴσον τὸ <lb n="1799,001,,,,10,72,20"></lb> μὲν ΑΒ τῷ ΕΗ, τὸ δὲ ΓΔ τῷ ΘΙ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,72,21"></lb> καὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΙ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς τὸ ΘΙ, οὕτως ἐστὶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,72,22"></lb> ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΘΚ <lb n="1799,001,,,,10,72,23"></lb> μήκει.</s> <s>αἱ ΕΘ, ΘΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,72,24"></lb> μετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΚ.</s> <s>ἤτοι δὲ ἡ ΕΘ <lb n="1799,001,,,,10,72,25"></lb> τῆς ΘΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,72,26"></lb> ἀπὸ ἀσυμμέτρου.</s> <s>δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου <lb n="1799,001,,,,10,72,27"></lb> ἑαυτῇ μήκει· καὶ οὐδετέρα τῶν ΕΘ, ΘΚ σύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,72,28"></lb> ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει· ἡ ΕΚ ἄρα ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,72,29"></lb> ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη.</s> <s>ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ· ἐὰν δὲ χωρίον <lb n="1799,001,,,,10,72,30"></lb> περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης, <lb n="1799,001,,,,10,72,31"></lb> ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα· ἡ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,72,32"></lb> τὸ ΕΙ, τουτέστι τὸ ΑΔ, δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,72,33"></lb> δευτέρα.</s> <s>ἀλλὰ δὴ ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,72,34"></lb> ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει· καὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,10,72,35"></lb> τῶν ΕΘ, ΘΚ τῇ ΕΖ μήκει· ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων <lb n="1799,001,,,,10,72,36"></lb> ἐστὶν ἕκτη.</s> <s>ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,72,37"></lb> ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἡ δύο μέσα <lb n="1799,001,,,,10,72,38"></lb> δυναμένη ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη <lb n="1799,001,,,,10,72,39"></lb> ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,72,40"></lb> <s>[Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἔλαττον ᾖ τὸ ΑΒ τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,72,41"></lb> ΓΔ, ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἢ ἐκ δύο μέσων δευτέρα <lb n="1799,001,,,,10,72,42"></lb> ἐστὶν ἤτοι δύο μέσα δυναμένη].</s> <lb n="1799,001,,,,10,72,43"></lb> <s>Δύο ἄρα μέσων ἀσυμμέτρων ἀλλήλοις συντιθεμένων <lb n="1799,001,,,,10,72,44"></lb> αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο μέσων δευτέρα <lb n="1799,001,,,,10,72,45"></lb> ἢ δύο μέσα δυναμένη.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,72,46"></lb> Ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ αἱ μετ' αὐτὴν ἄλογοι οὔτε τῇ <lb n="1799,001,,,,10,72,47"></lb> μέσῃ οὔτε ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ αὐταί.</s> <s>τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ μέσης <lb n="1799,001,,,,10,72,48"></lb> παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ <lb n="1799,001,,,,10,72,49"></lb> ἀσύμμετρον τῇ παρ' ἣν παράκειται μήκει.</s> <s>τὸ δὲ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,72,50"></lb> ἐκ δύο ὀνομάτων παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,72,51"></lb> ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην.</s> <s>τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,72,52"></lb> δύο μέσων πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,72,53"></lb> ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν.</s> <s>τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,72,54"></lb> δύο μέσων δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,72,55"></lb> ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην.</s> <s>τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μείζονος <lb n="1799,001,,,,10,72,56"></lb> παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,72,57"></lb> ὀνομάτων τετάρτην.</s> <s>τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ῥητὸν καὶ μέσον <lb n="1799,001,,,,10,72,58"></lb> δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν <lb n="1799,001,,,,10,72,59"></lb> ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην.</s> <s>τὸ δὲ ἀπὸ τῆς δύο μέσα δυνα-<lb n="1799,001,,,,10,72,60"></lb> μένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν <lb n="1799,001,,,,10,72,61"></lb> ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην.</s> <s>τὰ δ' εἰρημένα πλάτη δια-<lb n="1799,001,,,,10,72,62"></lb> φέρει τοῦ τε πρώτου καὶ ἀλλήλων, τοῦ μὲν πρώτου, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,72,63"></lb> ῥητή ἐστιν, ἀλλήλων δέ, ὅτι τῇ τάξει οὐκ εἰσὶν αἱ αὐταί· <lb n="1799,001,,,,10,72,64"></lb> ὥστε καὶ αὐταὶ αἱ ἄλογοι διαφέρουσιν ἀλλήλων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,72,65"></lb> <s>Ἐὰν ἀπὸ ῥητῆς ῥητὴ ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,73,1"></lb> οὖσα τῇ ὅλῃ, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ ἀποτομή.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,73,2"></lb> Ἀπὸ γὰρ ῥητῆς τῆς ΑΒ ῥητὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,73,3"></lb> μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ· λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,73,4"></lb> ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.</s> <lb n="1799,001,,,,10,73,5"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καί <lb n="1799,001,,,,10,73,6"></lb> ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,73,7"></lb> πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,73,8"></lb> τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,73,9"></lb> σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα, τῷ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,73,10"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,73,11"></lb> ΒΓ.</s> <s>καὶ ἐπειδήπερ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσα ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,73,12"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΑ, καὶ λοιπῷ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,73,13"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,73,14"></lb> <s>ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ· <lb n="1799,001,,,,10,73,15"></lb> καλείσθω δὲ ἀποτομή.</s> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,73,16"></lb> Ἐὰν ἀπὸ μέσης μέση ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,74,1"></lb> οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα, ἡ <lb n="1799,001,,,,10,74,2"></lb> λοιπὴ ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,74,3"></lb> <s>Ἀπὸ γὰρ μέσης τῆς ΑΒ μέση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,74,4"></lb> μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ΑΒ, μετὰ δὲ τῆς ΑΒ ῥητὸν <lb n="1799,001,,,,10,74,5"></lb> ποιοῦσα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,74,6"></lb> ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,74,7"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσαι εἰσίν, μέσα ἐστὶ καὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,10,74,8"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· <lb n="1799,001,,,,10,74,9"></lb> ἀσύμμετρα ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,74,10"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ· καὶ λοιπῷ ἄρα τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,74,11"></lb> ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,74,12"></lb> κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ <lb n="1799,001,,,,10,74,13"></lb> ἀρχῆς μεγέθη ἀσύμμετρα ἔσται.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,74,14"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ· <lb n="1799,001,,,,10,74,15"></lb> ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ· καλείσθω δὲ μέσης ἀπο-<lb n="1799,001,,,,10,74,16"></lb> τομὴ πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,74,17"></lb> <s>Ἐὰν ἀπὸ μέσης μέση ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,75,1"></lb> οὖσα τῇ ὅλη, μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα, ἡ λοιπὴ <lb n="1799,001,,,,10,75,2"></lb> ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ δευτέρα.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,75,3"></lb> Ἀπὸ γὰρ μέσης τῆς ΑΒ μέση ἀφῃρήσθω ἡ ΓΒ δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,75,4"></lb> μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ τῇ ΑΒ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης <lb n="1799,001,,,,10,75,5"></lb> τῆς ΑΒ μέσον περιέχουσα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,10,75,6"></lb> ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσης <lb n="1799,001,,,,10,75,7"></lb> ἀποτομὴ δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,75,8"></lb> <s>Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΙ, <lb n="1799,001,,,,10,75,9"></lb> καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,75,10"></lb> ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβε-<lb n="1799,001,,,,10,75,11"></lb> βλήσθω τὸ ΔΕ πλάτος ποιοῦν <lb n="1799,001,,,,10,75,12"></lb> τὴν ΔΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,75,13"></lb> ΑΒ, ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ <lb n="1799,001,,,,10,75,14"></lb> παραβεβλήσθω τὸ ΔΘ πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,75,15"></lb> ποιοῦν τὴν ΔΖ· λοιπὸν ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,75,16"></lb> τὸ ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ μέσα καὶ <lb n="1799,001,,,,10,75,17"></lb> σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, μέσον ἄρα καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,75,18"></lb> ΔΕ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτος ποι-<lb n="1799,001,,,,10,75,19"></lb> οῦν τὴν ΔΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,75,20"></lb> τῇ ΔΙ μήκει.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,75,21"></lb> ΒΓ, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,10,75,22"></lb> ἐστιν ἴσον τῷ ΔΘ· καὶ τὸ ΔΘ ἄρα μέσον ἐστίν.</s> <s>καὶ παρὰ <lb n="1799,001,,,,10,75,23"></lb> ῥητὴν τὴν ΔΙ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,75,24"></lb> ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,75,25"></lb> ἐπεὶ αἱ ΑΒ, ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,75,26"></lb> μετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει· ἀσύμμετρον ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,75,27"></lb> καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,75,28"></lb> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,75,29"></lb> ΑΒ, ΒΓ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,75,30"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,75,31"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>ἴσον δὲ τοῖς μὲν <lb n="1799,001,,,,10,75,32"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τὸ ΔΕ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,75,33"></lb> τὸ ΔΘ· ἀσύμμετρον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΔΕ τῷ ΔΘ.</s> <s>ὡσ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,75,34"></lb> τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΔΘ, οὕτως ἡ ΗΔ πρὸς τὴν ΔΖ· ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,75,35"></lb> μετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΔ τῇ ΔΖ.</s> <s>καί εἰσιν ἀμφότεραι <lb n="1799,001,,,,10,75,36"></lb> ῥηταί· αἱ ἄρα ΗΔ, ΔΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,75,37"></lb> μετροι· ἡ ΖΗ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.</s> <s>ῥητὴ δὲ ἡ ΔΙ· τὸ <lb n="1799,001,,,,10,75,38"></lb> δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀλόγου περιεχόμενον ἄλογόν ἐστιν, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,75,39"></lb> ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν.</s> <s>καὶ δύναται τὸ ΖΕ ἡ <lb n="1799,001,,,,10,75,40"></lb> ΑΓ· ἡ ΑΓ ἄρα ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ μέσης ἀπο-<lb n="1799,001,,,,10,75,41"></lb> τομὴ δευτέρα.</s> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,75,42"></lb> Ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,76,1"></lb> οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὰ μὲν ἀπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,76,2"></lb> ἅμα ῥητόν, τὸ δ' ὑπ' αὐτῶν μέσον, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν· <lb n="1799,001,,,,10,76,3"></lb> καλείσθω δὲ ἐλάσσων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,76,4"></lb> <s>Ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,76,5"></lb> δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ ποιοῦσα τὰ προκείμενα. <lb n="1799,001,,,,10,76,6"></lb> λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη <lb n="1799,001,,,,10,76,7"></lb> ἐλάσσων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,76,8"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,76,9"></lb> ΒΓ τετραγώνων ῥητόν ἐστιν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,76,10"></lb> μέσον, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,76,11"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· καὶ ἀναστρέψαντι λοιπῷ τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,76,12"></lb> τῆς ΑΓ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>ῥητὰ <lb n="1799,001,,,,10,76,13"></lb> δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ· <lb n="1799,001,,,,10,76,14"></lb> ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ· καλείσθω δὲ ἐλάσσων.</s> <s>ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,76,15"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,76,16"></lb> <s>Ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,77,1"></lb> οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὸ μὲν συγκεί- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,10,77,2"></lb> μενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,77,3"></lb> ὑπ' αὐτῶν ῥητόν, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,10,77,4"></lb> μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,77,5"></lb> <s>Ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,77,6"></lb> δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ΑΒ ποιοῦσα τὰ προ-<lb n="1799,001,,,,10,77,7"></lb> κείμενα· λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ προ-<lb n="1799,001,,,,10,77,8"></lb> ειρημένη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,77,9"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,77,10"></lb> ΒΓ τετραγώνων μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,77,11"></lb> ΒΓ ῥητόν, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,77,12"></lb> ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,10,77,13"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,77,14"></lb> ΑΒ, ΒΓ.</s> <s>καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥη-<lb n="1799,001,,,,10,77,15"></lb> τόν· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ ἄλογόν ἐστιν· ἄλογος <lb n="1799,001,,,,10,77,16"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ· καλείσθω δὲ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον <lb n="1799,001,,,,10,77,17"></lb> τὸ ὅλον ποιοῦσα.</s> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,77,18"></lb> <s>Ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,78,1"></lb> οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τό τε συγκείμενον <lb n="1799,001,,,,10,78,2"></lb> ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων μέσον τό τε δὶς ὑπ' <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,78,3"></lb> αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπ' αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα <lb n="1799,001,,,,10,78,4"></lb> τῷ δὶς ὑπ' αὐτῶν, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,10,78,5"></lb> μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,78,6"></lb> <s>Ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,78,7"></lb> δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ΑΒ ποιοῦσα τὰ προκείμενα· <lb n="1799,001,,,,10,78,8"></lb> λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἡ μετὰ <lb n="1799,001,,,,10,78,9"></lb> μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,78,10"></lb> <s>Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΙ, καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,78,11"></lb> ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕ πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,78,12"></lb> ποιοῦν τὴν ΔΗ, τῷ δὲ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,78,13"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἀφῃρή-<lb n="1799,001,,,,10,78,14"></lb> σθω τὸ ΔΘ [πλάτος ποιοῦν <lb n="1799,001,,,,10,78,15"></lb> τὴν ΔΖ].</s> <s>λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΕ <lb n="1799,001,,,,10,78,16"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ· <lb n="1799,001,,,,10,78,17"></lb> ὥστε ἡ ΑΓ δύναται τὸ ΖΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,78,18"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,78,19"></lb> τετραγώνων μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΕ, μέσον <lb n="1799,001,,,,10,78,20"></lb> ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΔΕ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται <lb n="1799,001,,,,10,78,21"></lb> πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,78,22"></lb> ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,78,23"></lb> ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΘ, τὸ ἄρα ΔΘ <lb n="1799,001,,,,10,78,24"></lb> μέσον ἐστίν.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,78,25"></lb> ποιοῦν τὴν ΔΖ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,78,26"></lb> τῇ ΔΙ μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,78,27"></lb> ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΔΕ <lb n="1799,001,,,,10,78,28"></lb> τῷ ΔΘ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΔΘ, οὕτως ἐστὶ καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,10,78,29"></lb> ΔΗ πρὸς τὴν ΔΖ· ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΔΗ τῇ ΔΖ.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,10,78,30"></lb> εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΗΔ, ΔΖ ἄρα ῥηταί εἰσι <lb n="1799,001,,,,10,78,31"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ· <lb n="1799,001,,,,10,78,32"></lb> ῥητὴ δὲ ἡ ΖΘ.</s> <s>τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς περιεχό-<lb n="1799,001,,,,10,78,33"></lb> μενον [ὀρθογώνιον] ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ <lb n="1799,001,,,,10,78,34"></lb> ἄλογός ἐστιν.</s> <s>καὶ δύναται τὸ ΖΕ ἡ ΑΓ· ἡ ΑΓ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,78,35"></lb> ἄλογός ἐστιν· καλείσθω δὲ ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον <lb n="1799,001,,,,10,78,36"></lb> ποιοῦσα.</s> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,78,37"></lb> <s>Τῇ ἀποτομῇ μία [μόνον] προσαρμόζει εὐθεῖα ῥητὴ <lb n="1799,001,,,,10,79,1"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,79,2"></lb> <s>Ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,10,79,3"></lb> ἡ ΒΓ· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,79,4"></lb> μόνον σύμμετροι· λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ <lb n="1799,001,,,,10,79,5"></lb> προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα <lb n="1799,001,,,,10,79,6"></lb> τῇ ὅλῃ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,79,7"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ· καὶ αἱ ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,10,79,8"></lb> ΔΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,79,9"></lb> ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,79,10"></lb> τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ <lb n="1799,001,,,,10,79,11"></lb> τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· τῷ γὰρ αὐτῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,79,12"></lb> ἀμφότερα ὑπερέχει· ἐναλλὰξ ἄρα, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,79,13"></lb> ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει [καὶ] τὸ <lb n="1799,001,,,,10,79,14"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.</s> <s>τὰ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,79,15"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· <lb n="1799,001,,,,10,79,16"></lb> ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα.</s> <s>καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ <lb n="1799,001,,,,10,79,17"></lb> τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,79,18"></lb> ἀδύνατον· μέσα γὰρ ἀμφότερα, μέσον δὲ μέσου οὐχ <lb n="1799,001,,,,10,79,19"></lb> ὑπερέχει ῥητῷ.</s> <s>τῇ ἄρα ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει ῥητὴ <lb n="1799,001,,,,10,79,20"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,79,21"></lb> <s>Μία ἄρα μόνη τῇ ἀποτομῇ προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,79,22"></lb> μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,79,23"></lb> <s>Τῇ μέσης ἀποτομῇ πρώτῃ μία μόνον προσαρμόζει <lb n="1799,001,,,,10,80,1"></lb> εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ <lb n="1799,001,,,,10,80,2"></lb> δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,80,3"></lb> <s>Ἔστω γὰρ μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,80,4"></lb> προσαρμοζέτω ἡ ΒΓ· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,80,5"></lb> μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,80,6"></lb> ΓΒ· λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόζει μέση <lb n="1799,001,,,,10,80,7"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,80,8"></lb> τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,80,9"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω καὶ ἡ ΔΒ.</s> <s>αἱ <lb n="1799,001,,,,10,80,10"></lb> ἄρα ΑΔ, ΔΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμε-<lb n="1799,001,,,,10,80,11"></lb> τροι ῥητὸν περιέχουσαι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,80,12"></lb> <s>καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ <lb n="1799,001,,,,10,80,13"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,80,14"></lb> ΑΓ, ΓΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· τῷ γὰρ αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,10,80,15"></lb> [πάλιν] ὑπερέχουσι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ἐναλλὰξ ἄρα, ᾧ <lb n="1799,001,,,,10,80,16"></lb> ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, <lb n="1799,001,,,,10,80,17"></lb> τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,80,18"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.</s> <s>τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,80,19"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,80,20"></lb> <s>καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ <lb n="1799,001,,,,10,80,21"></lb> [τετραγώνων] ὑπερέχει ῥητῷ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα <lb n="1799,001,,,,10,80,22"></lb> γάρ ἐστιν ἀμφότερα, μέσον δὲ μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,80,23"></lb> <s>Τῇ ἄρα μέσης ἀποτομῇ πρώτῃ μία μόνον προσαρμόζει <lb n="1799,001,,,,10,80,24"></lb> εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ <lb n="1799,001,,,,10,80,25"></lb> δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,80,26"></lb> <s>Τῇ μέσης ἀποτομῇ δευτέρᾳ μία μόνον προσαρμόζει <lb n="1799,001,,,,10,81,1"></lb> εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,81,2"></lb> ὅλης μέσον περιέχουσα.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,81,3"></lb> Ἔστω μέσης ἀποτομὴ δευτέ- <lb n="1799,001,,,,10,81,4"></lb> ρα ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ προσαρμό-<lb n="1799,001,,,,10,81,5"></lb> ζουσα ἡ ΒΓ· αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ <lb n="1799,001,,,,10,81,6"></lb> μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,81,7"></lb> μετροι μέσον περιέχουσαι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,81,8"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,81,9"></lb> τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει <lb n="1799,001,,,,10,81,10"></lb> εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον <lb n="1799,001,,,,10,81,11"></lb> σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ <lb n="1799,001,,,,10,81,12"></lb> δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,81,13"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ· καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ <lb n="1799,001,,,,10,81,14"></lb> ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι <lb n="1799,001,,,,10,81,15"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.</s> <s>καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τοῖς <lb n="1799,001,,,,10,81,16"></lb> μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω <lb n="1799,001,,,,10,81,17"></lb> τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ· τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,81,18"></lb> ΓΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΘΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ· <lb n="1799,001,,,,10,81,19"></lb> λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ὥστε ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,81,20"></lb> δύναται τὸ ΕΛ.</s> <s>πάλιν δὴ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,81,21"></lb> παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΙ πλάτος ποιοῦν τὴν <lb n="1799,001,,,,10,81,22"></lb> ΕΝ· ἔστι δὲ καὶ τὸ ΕΛ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ· <lb n="1799,001,,,,10,81,23"></lb> λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΙ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,81,24"></lb> ἐπεὶ μέσαι εἰσὶν αἱ ΑΓ, ΓΒ, μέσα ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,81,25"></lb> ΑΓ, ΓΒ.</s> <s>καί ἐστιν ἴσα τῷ ΕΗ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΕΗ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,81,26"></lb> παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ· <lb n="1799,001,,,,10,81,27"></lb> ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.</s> <s>πάλιν, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,81,28"></lb> ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,81,29"></lb> ΑΓ, ΓΒ μέσον ἐστίν.</s> <s>καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΗ· καὶ τὸ ΘΗ <lb n="1799,001,,,,10,81,30"></lb> ἄρα μέσον ἐστίν.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,81,31"></lb> ποιοῦν τὴν ΘΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΘΜ καὶ ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,81,32"></lb> τῇ ΕΖ μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΓ, ΓΒ δυνάμει μόνον σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,81,33"></lb> μετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ μήκει.</s> <s>ὡς <lb n="1799,001,,,,10,81,34"></lb> δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,81,35"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,81,36"></lb> ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,81,37"></lb> σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,81,38"></lb> ΑΓ, ΓΒ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· <lb n="1799,001,,,,10,81,39"></lb> ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,81,40"></lb> τῶν ΑΓ, ΓΒ.</s> <s>καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,81,41"></lb> τὸ ΕΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον τὸ ΗΘ· ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,81,42"></lb> μετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΗ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,81,43"></lb> τὸ ΘΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΜ πρὸς τὴν ΘΜ· ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,81,44"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ μήκει.</s> <s>καί εἰσιν ἀμφότεραι <lb n="1799,001,,,,10,81,45"></lb> ῥηταί· αἱ ΕΜ, ΜΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,81,46"></lb> μετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ, προσαρμόζουσα δὲ <lb n="1799,001,,,,10,81,47"></lb> αὐτῇ ἡ ΘΜ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΘΝ αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,10,81,48"></lb> προσαρμόζει· τῇ ἄρα ἀποτομῇ ἄλλη καὶ ἄλλη προσαρ-<lb n="1799,001,,,,10,81,49"></lb> μόζει εὐθεῖα δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ· <lb n="1799,001,,,,10,81,50"></lb> ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,81,51"></lb> Τῇ ἄρα μέσης ἀποτομῇ δευτέρᾳ μία μόνον προσ-<lb n="1799,001,,,,10,81,52"></lb> αρμόζει εὐθεῖα μέση δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ <lb n="1799,001,,,,10,81,53"></lb> ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης μέσον περιέχουσα· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,81,54"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,81,55"></lb> <s>Τῇ ἐλάσσονι μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,82,1"></lb> ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ ποιοῦσα μετὰ τῆς ὅλης τὸ μὲν <lb n="1799,001,,,,10,82,2"></lb> ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπ' <lb n="1799,001,,,,10,82,3"></lb> αὐτῶν μέσον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,82,4"></lb> <s>Ἔστω ἡ ἐλάσσων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα <lb n="1799,001,,,,10,82,5"></lb> ἔστω ἡ ΒΓ· αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι <lb n="1799,001,,,,10,82,6"></lb> ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετρα-<lb n="1799,001,,,,10,82,7"></lb> γώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπ' αὐτῶν μέσον· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,82,8"></lb> τῇ ΑΒ ἑτέρα εὐθεῖα οὐ προσαρμόσει τὰ αὐτὰ ποιοῦσα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,82,9"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ· καὶ αἱ ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,10,82,10"></lb> ΔΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προ-<lb n="1799,001,,,,10,82,11"></lb> ειρημένα.</s> <s>καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,82,12"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,82,13"></lb> ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,82,14"></lb> ΔΒ τετράγωνα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων <lb n="1799,001,,,,10,82,15"></lb> ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γάρ ἐστιν ἀμφότερα· καὶ τὸ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,82,16"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει <lb n="1799,001,,,,10,82,17"></lb> ῥητῷ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,82,18"></lb> <s>Τῇ ἄρα ἐλάσσονι μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,82,19"></lb> ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ καὶ ποιοῦσα τὰ μὲν ἀπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,82,20"></lb> τετράγωνα ἅμα ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπ' αὐτῶν μέσον· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,10,82,21"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,82,22"></lb> <s>Τῇ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ μία μόνον <lb n="1799,001,,,,10,83,1"></lb> προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, <lb n="1799,001,,,,10,83,2"></lb> μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' <lb n="1799,001,,,,10,83,3"></lb> αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπ' αὐτῶν ῥητόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,83,4"></lb> <s>Ἔστω ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,83,5"></lb> τῇ ΑΒ προσαρμοζέτω ἡ ΒΓ· αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,83,6"></lb> εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προκείμενα· λέγω, ὅτι τῇ <lb n="1799,001,,,,10,83,7"></lb> ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει τὰ αὐτὰ ποιοῦσα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,83,8"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ· καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ <lb n="1799,001,,,,10,83,9"></lb> ἄρα εὐθεῖαι δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προ- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,10,83,10"></lb> κείμενα.</s> <s>ἐπεὶ οὖν, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,83,11"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,83,12"></lb> ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἀκολούθως τοῖς πρὸ <lb n="1799,001,,,,10,83,13"></lb> αὐτοῦ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,83,14"></lb> ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γάρ ἐστιν ἀμφότερα· καὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,10,83,15"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει <lb n="1799,001,,,,10,83,16"></lb> ῥητῷ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,83,17"></lb> <s>οὐκ ἄρα τῇ ΑΒ ἑτέρα προσαρμόσει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,83,18"></lb> μετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὰ προειρη-<lb n="1799,001,,,,10,83,19"></lb> μένα· μία ἄρα μόνον προσαρμόσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,83,20"></lb> <s>Τῇ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ μία μόνη <lb n="1799,001,,,,10,84,1"></lb> προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, <lb n="1799,001,,,,10,84,2"></lb> μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' <lb n="1799,001,,,,10,84,3"></lb> αὐτῶν τετραγώνων μέσον τό τε δὶς ὑπ' αὐτῶν μέσον καὶ <lb n="1799,001,,,,10,84,4"></lb> ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,84,5"></lb> <s>Ἔστω ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,84,6"></lb> προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΒΓ· αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,84,7"></lb> εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προειρημένα.</s> <s>λέγω, ὅτι τῇ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,84,8"></lb> ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει <lb n="1799,001,,,,10,84,9"></lb> ποιοῦσα τὰ προειρημένα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,84,10"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρ-<lb n="1799,001,,,,10,84,11"></lb> μοζέτω ἡ ΒΔ, ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,10,84,12"></lb> τὰς ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσυμ-<lb n="1799,001,,,,10,84,13"></lb> μέτρους εἶναι ποιούσας τά <lb n="1799,001,,,,10,84,14"></lb> τε ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τε-<lb n="1799,001,,,,10,84,15"></lb> τράγωνα ἅμα μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μέ-<lb n="1799,001,,,,10,84,16"></lb> σον καὶ ἔτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἀσύμμετρα τῷ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,84,17"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ· καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τοῖς <lb n="1799,001,,,,10,84,18"></lb> μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλή-<lb n="1799,001,,,,10,84,19"></lb> σθω τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΜ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,84,20"></lb> ΑΓ, ΓΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΘΗ <lb n="1799,001,,,,10,84,21"></lb> πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΜ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,84,22"></lb> ἐστὶ τῷ ΕΛ· ἡ ἄρα ΑΒ δύναται τὸ ΕΛ.</s> <s>πάλιν τοῖς ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,84,23"></lb> τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΙ <lb n="1799,001,,,,10,84,24"></lb> πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΝ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,84,25"></lb> τῷ ΕΛ· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον [ἐστὶ] <lb n="1799,001,,,,10,84,26"></lb> τῷ ΘΙ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,84,27"></lb> τῶν ΑΓ, ΓΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΕΗ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,84,28"></lb> τὸ ΕΗ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,84,29"></lb> ποιοῦν τὴν ΕΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ καὶ ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,84,30"></lb> τῇ ΕΖ μήκει.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,84,31"></lb> ΑΓ, ΓΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΘΗ, μέσον ἄρα καὶ τὸ ΘΗ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,84,32"></lb> καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν <lb n="1799,001,,,,10,84,33"></lb> ΘΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,84,34"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,84,35"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀσύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΗ· <lb n="1799,001,,,,10,84,36"></lb> ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ μήκει.</s> <s>καί εἰσιν <lb n="1799,001,,,,10,84,37"></lb> ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΕΜ, ΜΘ ῥηταί εἰσι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,84,38"></lb> μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ, προσαρ-<lb n="1799,001,,,,10,84,39"></lb> μόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΜ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΕΘ <lb n="1799,001,,,,10,84,40"></lb> πάλιν ἀποτομή ἐστιν, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΘΝ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,84,41"></lb> <s>τῇ ἄρα ἀποτομῇ ἄλλη καὶ ἄλλη προσαρμόζει ῥητὴ δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,84,42"></lb> μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ· ὅπερ ἐδείχθη ἀδύνατον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,84,43"></lb> <s>οὐκ ἄρα τῇ ΑΒ ἑτέρα προσαρμόσει εὐθεῖα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,84,44"></lb> <s>Τῇ ἄρα ΑΒ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,84,45"></lb> ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τά τε <lb n="1799,001,,,,10,84,46"></lb> ἀπ' αὐτῶν τετράγωνα ἅμα μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,84,47"></lb> μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπ' αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ <lb n="1799,001,,,,10,84,48"></lb> δὶς ὑπ' αὐτῶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,84,49"></lb> <s></s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Ὑποκειμένης ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς, ἐὰν μὲν ἡ ὅλη <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,1,1"></lb> τῆς προσαρμοζούσης μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,1,2"></lb> ἑαυτῇ μήκει, καὶ ἡ ὅλη σύμμετρος ᾖ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,1,3"></lb> μήκει, καλείσθω ἀποτομὴ πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,1,4"></lb> <s>Ἐὰν δὲ ἡ προσαρμόζουσα σύμμετρος ᾖ τῇ ἐκ-<lb n="1799,001,,,,10;HOR3,2,1"></lb> κειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ὅλη τῆς προσαρμοζούσης <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,2,2"></lb> μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καλείσθω <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,2,3"></lb> ἀποτομὴ δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,2,4"></lb> <s>Ἐὰν δὲ μηδετέρα σύμμετρος ᾖ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,3,1"></lb> μήκει, ἡ δὲ ὅλη τῆς προσαρμοζούσης μεῖζον δύνηται τῷ <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,3,2"></lb> ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καλείσθω ἀποτομὴ τρίτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,3,3"></lb> <s>Πάλιν, ἐὰν ἡ ὅλη τῆς προσαρμοζούσης μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,4,1"></lb> δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ [μήκει], ἐὰν μὲν ἡ ὅλη <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,4,2"></lb> σύμμετρος ᾖ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καλείσθω ἀπο-<lb n="1799,001,,,,10;HOR3,4,3"></lb> τομὴ τετάρτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,4,4"></lb> <s>Ἐὰν δὲ ἡ προσαρμόζουσα, πέμπτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,5,1"></lb> <s>Ἐὰν δὲ μηδετέρα, ἕκτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10;HOR3,6,1"></lb> <s></s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Εὑρεῖν τὴν πρώτην ἀποτομήν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,85,1"></lb> <s> Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἔστω <lb n="1799,001,,,,10,85,2"></lb> ἡ ΒΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ.</s> <s>καὶ ἐκκείσθωσαν δύο <lb n="1799,001,,,,10,85,3"></lb> τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΖΔ <lb n="1799,001,,,,10,85,4"></lb> μὴ ἔστω τετράγωνος· οὐδ' ἄρα ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον <lb n="1799,001,,,,10,85,5"></lb> ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,85,6"></lb> <s>καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,85,7"></lb> τῆς ΒΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ τετράγωνον· <lb n="1799,001,,,,10,85,8"></lb> σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,85,9"></lb> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ· <lb n="1799,001,,,,10,85,10"></lb> ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΗΓ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ <lb n="1799,001,,,,10,85,11"></lb> λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,85,12"></lb> ἀριθμόν, οὐδ' ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ <lb n="1799,001,,,,10,85,13"></lb> λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,85,14"></lb> ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,10,85,15"></lb> εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι <lb n="1799,001,,,,10,85,16"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,85,17"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,85,18"></lb> <s>Ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, <lb n="1799,001,,,,10,85,19"></lb> ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,85,20"></lb> ΖΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,85,21"></lb> ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,10,85,22"></lb> ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ.</s> <s>ὁ δὲ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ <lb n="1799,001,,,,10,85,23"></lb> λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,85,24"></lb> ἀριθμόν· ἑκάτερος γὰρ τετράγωνός ἐστιν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,85,25"></lb> ΗΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,10,85,26"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,85,27"></lb> ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.</s> <s>καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,85,28"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς Θ· ἡ ΒΗ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ <lb n="1799,001,,,,10,85,29"></lb> ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.</s> <s>καί ἐστιν ἡ ὅλη ἡ ΒΗ σύμ- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,10,85,30"></lb> μετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ Α.</s> <s>ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή <lb n="1799,001,,,,10,85,31"></lb> ἐστι πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,85,32"></lb> <s>Εὕρηται ἄρα ἡ πρώτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,85,33"></lb> εὑρεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,85,34"></lb> <s>Εὑρεῖν τὴν δευτέραν ἀποτομήν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,86,1"></lb> <s>Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α σύμμετρος μήκει ἡ ΗΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,86,2"></lb> <s>ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ.</s> <s>καὶ ἐκκείσθωσαν δύο τετράγωνοι <lb n="1799,001,,,,10,86,3"></lb> ἀριθμοὶ οἱ ΔΕ, ΕΖ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ΔΖ μὴ ἔστω τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,86,4"></lb> γωνος.</s> <s>καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ <lb n="1799,001,,,,10,86,5"></lb> ΖΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,10,86,6"></lb> ἀπὸ τῆς ΓΗ τετράγωνον πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,86,7"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ τετράγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,86,8"></lb> <s>σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,86,9"></lb> τῆς ΓΗ τετράγωνον τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,86,10"></lb> τῆς ΗΒ τετραγώνῳ.</s> <s>ῥητὸν δὲ <lb n="1799,001,,,,10,86,11"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ.</s> <s>ῥητὸν ἄρα [ἐστὶ] καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ· <lb n="1799,001,,,,10,86,12"></lb> ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,86,13"></lb> γωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,86,14"></lb> γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,86,15"></lb> ἐστιν ἡ ΓΗ τῇ ΗΒ μήκει.</s> <s>καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· <lb n="1799,001,,,,10,86,16"></lb> αἱ ΓΗ, ΗΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ <lb n="1799,001,,,,10,86,17"></lb> ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,86,18"></lb> Λέγω δή, ὅτι καὶ δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,86,19"></lb> <s>Ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, <lb n="1799,001,,,,10,86,20"></lb> ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ <lb n="1799,001,,,,10,86,21"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, οὕτως ὁ ΕΔ ἀριθμὸς πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,86,22"></lb> ΔΖ ἀριθμόν, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,86,23"></lb> ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ, οὕτως ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,10,86,24"></lb> ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΔΕ, ΕΖ τετράγωνος· τὸ ἄρα ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,86,25"></lb> τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,10,86,26"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,86,27"></lb> ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.</s> <s>καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,86,28"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς Θ· ἡ ΒΗ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ <lb n="1799,001,,,,10,86,29"></lb> ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.</s> <s>καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα <lb n="1799,001,,,,10,86,30"></lb> ἡ ΓΗ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρος τῇ Α.</s> <s>ἡ ΒΓ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,86,31"></lb> ἀποτομή ἐστι δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,86,32"></lb> <s>Εὕρηται ἄρα δευτέρα ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,86,33"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,86,34"></lb> <s>Εὑρεῖν τὴν τρίτην ἀποτομήν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,87,1"></lb> <s>Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ ἐκκείσθωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ <lb n="1799,001,,,,10,87,2"></lb> οἱ Ε, ΒΓ, ΓΔ λόγον μὴ ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους, ὃν <lb n="1799,001,,,,10,87,3"></lb> τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὁ δὲ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,87,4"></lb> ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον ἐχέτω, ὃν <lb n="1799,001,,,,10,87,5"></lb> τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,87,6"></lb> γωνον ἀριθμόν, καὶ πεποιήσθω <lb n="1799,001,,,,10,87,7"></lb> ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,87,8"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,87,9"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον, ὡς <lb n="1799,001,,,,10,87,10"></lb> δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,87,11"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,87,12"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕ-<lb n="1799,001,,,,10,87,13"></lb> τως τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,87,14"></lb> γωνον, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον τῷ <lb n="1799,001,,,,10,87,15"></lb> ἀπὸ τῆς ΖΗ τετραγώνῳ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγω-<lb n="1799,001,,,,10,87,16"></lb> νον.</s> <s>ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,87,17"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,10,87,18"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ' ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,87,19"></lb> Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ [τετράγωνον] λόγον <lb n="1799,001,,,,10,87,20"></lb> ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· <lb n="1799,001,,,,10,87,21"></lb> ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΖΗ μήκει.</s> <s>πάλιν, ἐπεί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,10,87,22"></lb> ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,87,23"></lb> γωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,87,24"></lb> τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ· ῥητὸν <lb n="1799,001,,,,10,87,25"></lb> ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,87,26"></lb> ἐπεὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,10,87,27"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ' ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,87,28"></lb> ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,10,87,29"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,87,30"></lb> ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει.</s> <s>καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΖΗ, <lb n="1799,001,,,,10,87,31"></lb> ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ <lb n="1799,001,,,,10,87,32"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,87,33"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,87,34"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,87,35"></lb> τῆς Α τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὡς δὲ ὁ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,87,36"></lb> πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,87,37"></lb> ΘΗ, δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,10,87,38"></lb> ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ.</s> <s>ὁ δὲ Ε πρὸς τὸν ΓΔ <lb n="1799,001,,,,10,87,39"></lb> λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,87,40"></lb> ἀριθμόν· οὐδ' ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ <lb n="1799,001,,,,10,87,41"></lb> λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,87,42"></lb> ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἡ Α τῇ ΗΘ μήκει.</s> <s>οὐδετέρα <lb n="1799,001,,,,10,87,43"></lb> ἄρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ <lb n="1799,001,,,,10,87,44"></lb> τῇ Α μήκει.</s> <s>ᾧ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,87,45"></lb> τῆς ΗΘ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Κ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,87,46"></lb> πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,87,47"></lb> ΗΘ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΒΔ, <lb n="1799,001,,,,10,87,48"></lb> οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,87,49"></lb> <s>ὁ δὲ ΒΓ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,10,87,50"></lb> πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,87,51"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,87,52"></lb> τετράγωνον ἀριθμόν.</s> <s>σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ <lb n="1799,001,,,,10,87,53"></lb> μήκει, καὶ δύναται ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ μεῖζον τῷ ἀπὸ συμ- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,10,87,54"></lb> μέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,87,55"></lb> ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει· ἡ ΖΘ ἄρα ἀποτομή <lb n="1799,001,,,,10,87,56"></lb> ἐστι τρίτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,87,57"></lb> <s>Εὕρηται ἄρα ἡ τρίτη ἀποτομὴ ἡ ΖΘ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,87,58"></lb> <s>Εὑρεῖν τὴν τετάρτην ἀποτομήν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,88,1"></lb> <s>Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἡ ΒΗ· <lb n="1799,001,,,,10,88,2"></lb> ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ.</s> <s>καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ <lb n="1799,001,,,,10,88,3"></lb> οἱ ΔΖ, ΖΕ, ὥστε τὸν ΔΕ ὅλον πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΖ, <lb n="1799,001,,,,10,88,4"></lb> ΕΖ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγω- <lb n="1799,001,,,,10,88,5"></lb> νον ἀριθμόν.</s> <s>καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕ-<lb n="1799,001,,,,10,88,6"></lb> τως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,88,7"></lb> <s>σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,88,8"></lb> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ· <lb n="1799,001,,,,10,88,9"></lb> ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον <lb n="1799,001,,,,10,88,10"></lb> οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,88,11"></lb> ἀριθμόν, οὐδ' ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ <lb n="1799,001,,,,10,88,12"></lb> λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,88,13"></lb> ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει.</s> <s>καί <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,88,14"></lb> εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι <lb n="1799,001,,,,10,88,15"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,88,16"></lb> <s>[Λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη].</s> <lb n="1799,001,,,,10,88,17"></lb> <s>Ὧι οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, <lb n="1799,001,,,,10,88,18"></lb> ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,88,19"></lb> ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,88,20"></lb> ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,88,21"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ.</s> <s>ὁ δὲ ΕΔ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,88,22"></lb> ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,88,23"></lb> γωνον ἀριθμόν· οὐδ' ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,88,24"></lb> τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,88,25"></lb> ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,88,26"></lb> δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ· ἡ ἄρα ΒΗ <lb n="1799,001,,,,10,88,27"></lb> τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,10,88,28"></lb> ἐστιν ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ <lb n="1799,001,,,,10,88,29"></lb> Α.</s> <s>ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι τετάρτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,88,30"></lb> <s>Εὕρηται ἄρα ἡ τετάρτη ἀποτομή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,88,31"></lb> <s>Εὑρεῖν τὴν πέμπτην ἀποτομήν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,89,1"></lb> <s>Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἔστω <lb n="1799,001,,,,10,89,2"></lb> ἡ ΓΗ· ῥητὴ ἄρα [ἐστὶν] ἡ ΓΗ.</s> <s>καὶ ἐκκείσθωσαν δύο <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,89,3"></lb> ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ, ΖΕ, ὥστε τὸν ΔΕ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,89,4"></lb> ἑκάτερον τῶν ΔΖ, ΖΕ λόγον πάλιν μὴ <lb n="1799,001,,,,10,89,5"></lb> ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,89,6"></lb> γωνον ἀριθμόν· καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΖΕ <lb n="1799,001,,,,10,89,7"></lb> πρὸς τὸν ΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ <lb n="1799,001,,,,10,89,8"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ.</s> <s>ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,89,9"></lb> ἀπὸ τῆς ΗΒ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,89,10"></lb> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, <lb n="1799,001,,,,10,89,11"></lb> οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,89,12"></lb> ΗΓ, ὁ δὲ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,89,13"></lb> γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ' ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,10,89,14"></lb> ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,89,15"></lb> γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,89,16"></lb> ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει.</s> <s>καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· <lb n="1799,001,,,,10,89,17"></lb> αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ <lb n="1799,001,,,,10,89,18"></lb> ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,89,19"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,89,20"></lb> <s>Ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, <lb n="1799,001,,,,10,89,21"></lb> ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ <lb n="1799,001,,,,10,89,22"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, οὕτως ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, ἀνα-<lb n="1799,001,,,,10,89,23"></lb> στρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,10,89,24"></lb> ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ.</s> <s>ὁ δὲ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ <lb n="1799,001,,,,10,89,25"></lb> λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,89,26"></lb> ἀριθμόν· οὐδ' ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ <lb n="1799,001,,,,10,89,27"></lb> λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,89,28"></lb> ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,89,29"></lb> δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ· ἡ ΗΒ <lb n="1799,001,,,,10,89,30"></lb> ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ <lb n="1799,001,,,,10,89,31"></lb> μήκει.</s> <s>καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ σύμμετρος τῇ <lb n="1799,001,,,,10,89,32"></lb> ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει· ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,89,33"></lb> πέμπτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,89,34"></lb> <s>Εὕρηται ἄρα ἡ πέμπτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,89,35"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,89,36"></lb> <s>Εὑρεῖν τὴν ἕκτην ἀποτομήν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,90,1"></lb> <s>Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Ε, ΒΓ, ΓΔ <lb n="1799,001,,,,10,90,2"></lb> λόγον μὴ ἔχοντες πρὸς ἀλλήλους, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,10,90,3"></lb> πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἔτι δὲ καὶ ὁ ΓΒ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,90,4"></lb> ΒΔ λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετρά- <lb n="1799,001,,,,10,90,5"></lb> γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,90,6"></lb> ἀριθμόν· καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν <lb n="1799,001,,,,10,90,7"></lb> ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,10,90,8"></lb> ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, <lb n="1799,001,,,,10,90,9"></lb> ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕ-<lb n="1799,001,,,,10,90,10"></lb> τως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,90,11"></lb> τῆς ΗΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,90,12"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,90,13"></lb> Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α <lb n="1799,001,,,,10,90,14"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α· ῥητὸν ἄρα καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,90,15"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁ Ε <lb n="1799,001,,,,10,90,16"></lb> πρὸς τὸν ΒΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,90,17"></lb> τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ' ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,90,18"></lb> τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,90,19"></lb> γωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΖΗ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,90,20"></lb> <s>πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,90,21"></lb> τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,90,22"></lb> τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ· ῥητὸν <lb n="1799,001,,,,10,90,23"></lb> ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,90,24"></lb> ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,10,90,25"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδ' ἄρα τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,90,26"></lb> τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετρά-<lb n="1799,001,,,,10,90,27"></lb> γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,90,28"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει.</s> <s>καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· <lb n="1799,001,,,,10,90,29"></lb> αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· <lb n="1799,001,,,,10,90,30"></lb> ἡ ἄρα ΖΘ ἀποτομή ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,90,31"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,90,32"></lb> <s>Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς μὲν ὁ Ε πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,10,90,33"></lb> ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὡς δὲ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,10,90,34"></lb> ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, δι' <lb n="1799,001,,,,10,90,35"></lb> ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,90,36"></lb> Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ.</s> <s>ὁ δὲ Ε πρὸς τὸν ΓΔ λόγον οὐκ <lb n="1799,001,,,,10,90,37"></lb> ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· <lb n="1799,001,,,,10,90,38"></lb> οὐδ' ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, <lb n="1799,001,,,,10,90,39"></lb> ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,90,40"></lb> μετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α τῇ ΗΘ μήκει· οὐδετέρα ἄρα τῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,90,41"></lb> ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ Α ῥητῇ μήκει.</s> <s>ᾧ οὖν μεῖζόν <lb n="1799,001,,,,10,90,42"></lb> ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,90,43"></lb> Κ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΒΓ πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,90,44"></lb> τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,90,45"></lb> ὡς ὁ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,90,46"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς Κ.</s> <s>ὁ δὲ ΓΒ πρὸς τὸν ΒΔ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν <lb n="1799,001,,,,10,90,47"></lb> τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· οὐδ' <lb n="1799,001,,,,10,90,48"></lb> ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει, ὃν <lb n="1799,001,,,,10,90,49"></lb> τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,90,50"></lb> μετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει.</s> <s>καὶ δύναται ἡ ΖΗ <lb n="1799,001,,,,10,90,51"></lb> τῆς ΗΘ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Κ· ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΗΘ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,90,52"></lb> δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.</s> <s>καὶ οὐδετέρα <lb n="1799,001,,,,10,90,53"></lb> τῶν ΖΗ, ΗΘ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει <lb n="1799,001,,,,10,90,54"></lb> τῇ Α.</s> <s>ἡ ἄρα ΖΘ ἀποτομή ἐστιν ἕκτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,90,55"></lb> <s>Εὕρηται ἄρα ἡ ἕκτη ἀποτομὴ ἡ ΖΘ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,90,56"></lb> <s>Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς <lb n="1799,001,,,,10,91,1"></lb> πρώτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,91,2"></lb> <s>Περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ΑΒ ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,91,3"></lb> καὶ ἀποτομῆς πρώτης τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,91,4"></lb> χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,91,5"></lb> Ἐπεὶ γὰρ ἀποτομή ἐστι πρώ-<lb n="1799,001,,,,10,91,6"></lb> τη ἡ ΑΔ, ἔστω αὐτῇ προσαρ-<lb n="1799,001,,,,10,91,7"></lb> μόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ΑΗ, ΗΔ <lb n="1799,001,,,,10,91,8"></lb> ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον <lb n="1799,001,,,,10,91,9"></lb> σύμμετροι.</s> <s>καὶ ὅλη ἡ ΑΗ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,91,10"></lb> μετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ <lb n="1799,001,,,,10,91,11"></lb> τῇ ΑΓ, καὶ ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ <lb n="1799,001,,,,10,91,12"></lb> μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμ-<lb n="1799,001,,,,10,91,13"></lb> μέτρου ἑαυτῇ μήκει· ἐὰν ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,91,14"></lb> τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,91,15"></lb> τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ <lb n="1799,001,,,,10,91,16"></lb> παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα <lb n="1799,001,,,,10,91,17"></lb> αὐτὴν διαιρεῖ.</s> <s>τετμήσθω ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,91,18"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον <lb n="1799,001,,,,10,91,19"></lb> εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,91,20"></lb> μετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ.</s> <s>καὶ διὰ τῶν Ε, Ζ, Η ση-<lb n="1799,001,,,,10,91,21"></lb> μείων τῇ ΑΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,91,22"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,91,23"></lb> ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,91,24"></lb> <s>ἀλλὰ ἡ ΑΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ· καὶ ἑκατέρα ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,91,25"></lb> τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΓ μήκει.</s> <s>καί ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,91,26"></lb> ῥητὴ ἡ ΑΓ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΖ, ΖΗ· ὥστε <lb n="1799,001,,,,10,91,27"></lb> καὶ ἑκάτερον τῶν ΑΙ, ΖΚ ῥητόν ἐστιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ σύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,91,28"></lb> ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ μήκει, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,91,29"></lb> ΔΕ, ΕΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.</s> <s>ῥητὴ δὲ ἡ ΔΗ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,91,30"></lb> ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,10,91,31"></lb> ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· ἑκάτερον ἄρα τῶν <lb n="1799,001,,,,10,91,32"></lb> ΔΘ, ΕΚ μέσον ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,91,33"></lb> <s>Κείσθω δὴ τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ <lb n="1799,001,,,,10,91,34"></lb> δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω κοινὴν γωνίαν ἔχον <lb n="1799,001,,,,10,91,35"></lb> αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΛΟΜ τὸ ΝΞ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν <lb n="1799,001,,,,10,91,36"></lb> ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.</s> <s>ἔστω αὐτῶν διάμετρος <lb n="1799,001,,,,10,91,37"></lb> ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,91,38"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,91,39"></lb> τῆς ΕΗ τετραγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, <lb n="1799,001,,,,10,91,40"></lb> οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,10,91,41"></lb> ΕΗ, οὕτως τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,10,91,42"></lb> ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΚΖ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΚΖ <lb n="1799,001,,,,10,91,43"></lb> μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ <lb n="1799,001,,,,10,91,44"></lb> μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ, ὡς ἐν τοῖς ἔμπροσθεν ἐδείχθη, καί <lb n="1799,001,,,,10,91,45"></lb> ἐστι τὸ [μὲν] ΑΙ τῷ ΛΜ τετραγώνῳ ἴσον, τὸ δὲ ΚΖ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,91,46"></lb> ΝΞ· καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΕΚ ἴσον ἐστίν.</s> <s>ἀλλὰ τὸ μὲν <lb n="1799,001,,,,10,91,47"></lb> ΕΚ τῷ ΔΘ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΜΝ τῷ ΛΞ· τὸ ἄρα ΔΚ <lb n="1799,001,,,,10,91,48"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,91,49"></lb> ΑΚ ἴσον τοῖς ΛΜ, ΝΞ τετραγώνοις· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,91,50"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ.</s> <s>τὸ δὲ ΣΤ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ ἐστι τετρά- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,10,91,51"></lb> γωνον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΝ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,91,52"></lb> ΑΒ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,91,53"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι ἡ ΛΝ ἀποτομή ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,91,54"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΙ, ΖΚ, καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,10,91,55"></lb> ἴσον τοῖς ΛΜ, ΝΞ, καὶ ἑκάτερον ἄρα τῶν ΛΜ, ΝΞ <lb n="1799,001,,,,10,91,56"></lb> ῥητόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΛΟ, ΟΝ· <lb n="1799,001,,,,10,91,57"></lb> καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΛΟ, Ο*ν ῥητή ἐστιν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,91,58"></lb> μέσον ἐστὶ τὸ ΔΘ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ, μέσον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,91,59"></lb> καὶ τὸ ΛΞ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΛΞ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ ΝΞ <lb n="1799,001,,,,10,91,60"></lb> ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ τῷ ΝΞ· ὡς δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,91,61"></lb> ΛΞ πρὸς τὸ ΝΞ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΟ πρὸς τὴν ΟΝ· <lb n="1799,001,,,,10,91,62"></lb> ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΟ τῇ ΟΝ μήκει.</s> <s>καί εἰσιν ἀμ-<lb n="1799,001,,,,10,91,63"></lb> φότεραι ῥηταί· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον <lb n="1799,001,,,,10,91,64"></lb> σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ.</s> <s>καὶ δύναται τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,91,65"></lb> χωρίον· ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,91,66"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς, καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,91,67"></lb> <s>Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς <lb n="1799,001,,,,10,92,1"></lb> δευτέρας, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,92,2"></lb> πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,92,3"></lb> <s>Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,92,4"></lb> ἀποτομῆς δευτέρας τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον <lb n="1799,001,,,,10,92,5"></lb> δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,92,6"></lb> Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρ- <lb n="1799,001,,,,10,92,7"></lb> μόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,92,8"></lb> ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον <lb n="1799,001,,,,10,92,9"></lb> σύμμετροι, καὶ ἡ προσαρμό-<lb n="1799,001,,,,10,92,10"></lb> ζουσα ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,92,11"></lb> τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ <lb n="1799,001,,,,10,92,12"></lb> δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμο-<lb n="1799,001,,,,10,92,13"></lb> ζούσης τῆς ΗΔ μεῖζον δύνα-<lb n="1799,001,,,,10,92,14"></lb> ται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ <lb n="1799,001,,,,10,92,15"></lb> μήκει.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,92,16"></lb> ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,92,17"></lb> τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΔ ἴσον παρὰ τὴν <lb n="1799,001,,,,10,92,18"></lb> ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα <lb n="1799,001,,,,10,92,19"></lb> αὐτὴν διαιρεῖ.</s> <s>τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε· καὶ <lb n="1799,001,,,,10,92,20"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω <lb n="1799,001,,,,10,92,21"></lb> ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· <lb n="1799,001,,,,10,92,22"></lb> σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει.</s> <s>καὶ ἡ ΑΗ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,92,23"></lb> ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.</s> <s>ῥητὴ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,92,24"></lb> ἡ ΑΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· καὶ ἑκατέρα ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,92,25"></lb> τῶν ΑΖ, ΖΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· <lb n="1799,001,,,,10,92,26"></lb> ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ, ΖΚ μέσον ἐστίν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,92,27"></lb> σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ <lb n="1799,001,,,,10,92,28"></lb> τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρός ἐστιν.</s> <s>ἀλλ' ἡ ΔΗ σύμμετρός <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,92,29"></lb> ἐστι τῇ ΑΓ μήκει.</s> <s>[ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ <lb n="1799,001,,,,10,92,30"></lb> καὶ σύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει.] ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ <lb n="1799,001,,,,10,92,31"></lb> ῥητόν ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,92,32"></lb> <s>Συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, <lb n="1799,001,,,,10,92,33"></lb> τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν <lb n="1799,001,,,,10,92,34"></lb> ὂν τῷ ΛΜ τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,92,35"></lb> διάμετρον τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.</s> <s>ἔστω αὐτῶν διάμετρος <lb n="1799,001,,,,10,92,36"></lb> ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τὰ ΑΙ, <lb n="1799,001,,,,10,92,37"></lb> ΖΚ μέσα ἐστὶ καί ἐστιν ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,92,38"></lb> τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ [ἄρα] μέσα ἐστίν· καὶ αἱ ΛΟ, ΟΝ <lb n="1799,001,,,,10,92,39"></lb> ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,92,40"></lb> τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,10,92,41"></lb> ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ· ἀλλ' ὡς <lb n="1799,001,,,,10,92,42"></lb> μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ· ὡς <lb n="1799,001,,,,10,92,43"></lb> δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως [ἐστὶ] τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ· <lb n="1799,001,,,,10,92,44"></lb> τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ.</s> <s>ἔστι δὲ <lb n="1799,001,,,,10,92,45"></lb> καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ· <lb n="1799,001,,,,10,92,46"></lb> καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ· <lb n="1799,001,,,,10,92,47"></lb> καὶ τὸ ΜΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΕΚ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,92,48"></lb> [ἐστὶ] τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ΜΝ ἴσον τὸ ΛΞ· ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ <lb n="1799,001,,,,10,92,49"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ὅλον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,92,50"></lb> τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ΛΜ, ΝΞ, ὧν τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,92,51"></lb> ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,92,52"></lb> τῷ ΤΣ.</s> <s>τὸ δὲ ΤΣ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ· τὸ ἀπὸ τῆς ΛΝ <lb n="1799,001,,,,10,92,53"></lb> ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ χωρίῳ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,92,54"></lb> χωρίον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,92,55"></lb> <s>Λέγω [δή], ὅτι ἡ ΛΝ μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,92,56"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ, <lb n="1799,001,,,,10,92,57"></lb> ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,92,58"></lb> <s>μέσον δὲ ἐδείχθη τὸ ΝΞ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞ <lb n="1799,001,,,,10,92,59"></lb> τῷ ΝΞ· ὡς δὲ τὸ ΛΞ πρὸς τὸ ΝΞ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΟ <lb n="1799,001,,,,10,92,60"></lb> πρὸς ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα ἀσύμμετροί εἰσι μήκει.</s> <s>αἱ <lb n="1799,001,,,,10,92,61"></lb> ἄρα ΛΟ, ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν <lb n="1799,001,,,,10,92,62"></lb> περιέχουσαι· ἡ ΛΝ ἄρα μέσης ἀποτομή ἐστι πρώτη· <lb n="1799,001,,,,10,92,63"></lb> καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,92,64"></lb> <s>Ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,92,65"></lb> πρώτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,92,66"></lb> <s>Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς <lb n="1799,001,,,,10,93,1"></lb> τρίτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,93,2"></lb> δευτέρα.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,93,3"></lb> Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,93,4"></lb> καὶ ἀποτομῆς τρίτης τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον <lb n="1799,001,,,,10,93,5"></lb> δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,93,6"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρ-<lb n="1799,001,,,,10,93,7"></lb> μόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ΑΗ, ΗΔ <lb n="1799,001,,,,10,93,8"></lb> ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μό-<lb n="1799,001,,,,10,93,9"></lb> νον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα <lb n="1799,001,,,,10,93,10"></lb> τῶν ΑΗ, ΗΔ σύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,93,11"></lb> ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ <lb n="1799,001,,,,10,93,12"></lb> τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ <lb n="1799,001,,,,10,93,13"></lb> τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ <lb n="1799,001,,,,10,93,14"></lb> μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμ-<lb n="1799,001,,,,10,93,15"></lb> μέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ <lb n="1799,001,,,,10,93,16"></lb> τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ <lb n="1799,001,,,,10,93,17"></lb> ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν <lb n="1799,001,,,,10,93,18"></lb> ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν <lb n="1799,001,,,,10,93,19"></lb> ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα <lb n="1799,001,,,,10,93,20"></lb> αὐτὴν διελεῖ.</s> <s>τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,93,21"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω <lb n="1799,001,,,,10,93,22"></lb> ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, <lb n="1799,001,,,,10,93,23"></lb> ΖΗ.</s> <s>καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η σημείων τῇ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,93,24"></lb> παράλληλοι αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ· σύμμετροι ἄρα εἰσὶν αἱ <lb n="1799,001,,,,10,93,25"></lb> ΑΖ, ΖΗ· σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,93,26"></lb> αἱ ΑΖ, ΖΗ σύμμετροί εἰσι μήκει, καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ <lb n="1799,001,,,,10,93,27"></lb> τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.</s> <s>ῥητὴ δὲ ἡ ΑΗ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,93,28"></lb> ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· ὥστε καὶ αἱ ΑΖ, ΖΗ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,93,29"></lb> ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ, ΖΚ μέσον ἐστίν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,93,30"></lb> σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ μήκει, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,93,31"></lb> ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.</s> <s>ῥητὴ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,93,32"></lb> ἡ ΗΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα καὶ <lb n="1799,001,,,,10,93,33"></lb> ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει· <lb n="1799,001,,,,10,93,34"></lb> ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ μέσον ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,10,93,35"></lb> ΑΗ, ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,93,36"></lb> ἐστὶ μήκει ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ.</s> <s>ἀλλ' ἡ μὲν ΑΗ τῇ ΑΖ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,93,37"></lb> μετρός ἐστι μήκει, ἡ δὲ ΔΗ τῇ ΕΗ· ἀσύμμετρος ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,93,38"></lb> ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΕΗ μήκει.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, <lb n="1799,001,,,,10,93,39"></lb> οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,93,40"></lb> ΑΙ τῷ ΕΚ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,93,41"></lb> <s>Συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ <lb n="1799,001,,,,10,93,42"></lb> δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὂν <lb n="1799,001,,,,10,93,43"></lb> τῷ ΛΜ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,93,44"></lb> <s>ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ <lb n="1799,001,,,,10,93,45"></lb> σχῆμα.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,93,46"></lb> τῆς ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ <lb n="1799,001,,,,10,93,47"></lb> πρὸς τὴν ΖΗ.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,93,48"></lb> ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ· ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,93,49"></lb> οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΙ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,93,50"></lb> τὸ ΕΚ, οὕτως τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ <lb n="1799,001,,,,10,93,51"></lb> μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ <lb n="1799,001,,,,10,93,52"></lb> τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ· καί ἐστιν ἴσον τὸ <lb n="1799,001,,,,10,93,53"></lb> μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ· καὶ τὸ ΕΚ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,93,54"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ μὲν ΜΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΞ, <lb n="1799,001,,,,10,93,55"></lb> τὸ δὲ ΕΚ ἴσον [ἐστὶ] τῷ ΔΘ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,93,56"></lb> ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΚ <lb n="1799,001,,,,10,93,57"></lb> ἴσον τοῖς ΛΜ, ΝΞ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ, <lb n="1799,001,,,,10,93,58"></lb> τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΛΝ τετραγώνῳ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται <lb n="1799,001,,,,10,93,59"></lb> τὸ ΑΒ χωρίον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,93,60"></lb> <s>Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,93,61"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ μέσα ἐδείχθη τὰ ΑΙ, ΖΚ καί ἐστιν ἴσα τοῖς <lb n="1799,001,,,,10,93,62"></lb> ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,93,63"></lb> τῶν ΛΟ, ΟΝ· μέση ἄρα ἑκατέρα τῶν ΛΟ, ΟΝ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,93,64"></lb> σύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,93,65"></lb> ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρον <lb n="1799,001,,,,10,93,66"></lb> ἐδείχθη τὸ ΑΙ τῷ ΕΚ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΜ <lb n="1799,001,,,,10,93,67"></lb> τῷ ΜΝ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ· <lb n="1799,001,,,,10,93,68"></lb> ὥστε καὶ ἡ ΛΟ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ <lb n="1799,001,,,,10,93,69"></lb> ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,93,70"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον περιέχουσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,93,71"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ <lb n="1799,001,,,,10,93,72"></lb> ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ, <lb n="1799,001,,,,10,93,73"></lb> ΟΝ· ὥστε αἱ ΛΟ, ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,93,74"></lb> μέσον περιέχουσαι.</s> <s>ἡ ΛΝ ἄρα μέσης ἀποτομή ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,93,75"></lb> δευτέρα· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,93,76"></lb> <s>Ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,93,77"></lb> δευτέρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,93,78"></lb> <s>Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς <lb n="1799,001,,,,10,94,1"></lb> τετάρτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,94,2"></lb> <s>Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,94,3"></lb> καὶ ἀποτομῆς τετάρτης τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,94,4"></lb> χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,94,5"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,94,6"></lb> ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΗ <lb n="1799,001,,,,10,94,7"></lb> σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ <lb n="1799,001,,,,10,94,8"></lb> ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει, ἡ δὲ ὅλη <lb n="1799,001,,,,10,94,9"></lb> ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης <lb n="1799,001,,,,10,94,10"></lb> τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ <lb n="1799,001,,,,10,94,11"></lb> ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,94,12"></lb> <s>ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖ-<lb n="1799,001,,,,10,94,13"></lb> ζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέ-<lb n="1799,001,,,,10,94,14"></lb> τρου ἑαυτῇ μήκει, ἐὰν ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,94,15"></lb> τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,94,16"></lb> ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παρα-<lb n="1799,001,,,,10,94,17"></lb> βληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετρα-<lb n="1799,001,,,,10,94,18"></lb> γώνῳ, εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,94,19"></lb> διελεῖ.</s> <s>τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,94,20"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖ-<lb n="1799,001,,,,10,94,21"></lb> πον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· <lb n="1799,001,,,,10,94,22"></lb> ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ μήκει ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ.</s> <s>ἤχθωσαν οὖν <lb n="1799,001,,,,10,94,23"></lb> διὰ τῶν Ε, Ζ, Η παράλληλοι ταῖς ΑΓ, ΒΔ αἱ ΕΘ, <lb n="1799,001,,,,10,94,24"></lb> ΖΙ, ΗΚ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ῥητή ἐστιν ἡ ΑΗ καὶ σύμμετρος τῇ <lb n="1799,001,,,,10,94,25"></lb> ΑΓ μήκει, ῥητὸν ἄρα ἐστὶν ὅλον τὸ ΑΚ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,94,26"></lb> ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΗ τῇ ΑΓ μήκει, καί εἰσιν ἀμφό-<lb n="1799,001,,,,10,94,27"></lb> τεραι ῥηταί, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΚ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,94,28"></lb> μετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ <lb n="1799,001,,,,10,94,29"></lb> τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ.</s> <s>συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,10,94,30"></lb> τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν <lb n="1799,001,,,,10,94,31"></lb> τὴν ὑπὸ τῶν ΛΟΜ τὸ ΝΞ.</s> <s>περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν <lb n="1799,001,,,,10,94,32"></lb> ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.</s> <s>ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ <lb n="1799,001,,,,10,94,33"></lb> ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,94,34"></lb> ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,94,35"></lb> ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ.</s> <s>ἀλλ' <lb n="1799,001,,,,10,94,36"></lb> ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,10,94,37"></lb> ΕΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,94,38"></lb> τὸ ΖΚ· τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,94,39"></lb> <s>ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ <lb n="1799,001,,,,10,94,40"></lb> ΜΝ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,94,41"></lb> ΝΞ· καὶ τὸ ΕΚ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ΕΚ <lb n="1799,001,,,,10,94,42"></lb> ἴσον ἐστὶ τὸ ΔΘ, τῷ δὲ ΜΝ ἴσον ἐστὶ τὸ ΛΞ· ὅλον ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,94,43"></lb> τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν <lb n="1799,001,,,,10,94,44"></lb> ὅλον τὸ ΑΚ ἴσον ἐστὶ τοῖς ΛΜ, ΝΞ τετραγώνοις, ὧν <lb n="1799,001,,,,10,94,45"></lb> τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ τετρα-<lb n="1799,001,,,,10,94,46"></lb> γώνῳ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ, τουτέστι <lb n="1799,001,,,,10,94,47"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΛΝ τετραγώνῳ· ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ <lb n="1799,001,,,,10,94,48"></lb> ΑΒ χωρίον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,94,49"></lb> <s>Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,94,50"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ῥητόν ἐστι τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,94,51"></lb> τῶν ΛΟ, ΟΝ τετραγώνοις, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,94,52"></lb> ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ ῥητόν ἐστιν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ τὸ ΔΚ μέσον <lb n="1799,001,,,,10,94,53"></lb> ἐστίν, καί ἐστιν ἴσον τὸ ΔΚ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, <lb n="1799,001,,,,10,94,54"></lb> τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,94,55"></lb> ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,94,56"></lb> καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ τετρα-<lb n="1799,001,,,,10,94,57"></lb> γώνῳ.</s> <s>αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι <lb n="1799,001,,,,10,94,58"></lb> τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, <lb n="1799,001,,,,10,94,59"></lb> τὸ δὲ δὶς ὑπ' αὐτῶν μέσον.</s> <s>ἡ ΛΝ ἄρα ἄλογός ἐστιν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,94,60"></lb> καλουμένη ἐλάσσων· καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,94,61"></lb> <s>Ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,10,94,62"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,94,63"></lb> Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς <lb n="1799,001,,,,10,95,1"></lb> πέμπτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη [ἡ] μετὰ ῥητοῦ μέσον <lb n="1799,001,,,,10,95,2"></lb> τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,95,3"></lb> <s>Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ <lb n="1799,001,,,,10,95,4"></lb> καὶ ἀποτομῆς πέμπτης τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,95,5"></lb> χωρίον δυναμένη [ἡ] μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά <lb n="1799,001,,,,10,95,6"></lb> ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,95,7"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,95,8"></lb> ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ προσ-<lb n="1799,001,,,,10,95,9"></lb> αρμόζουσα ἡ ΗΔ σύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,95,10"></lb> ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ <lb n="1799,001,,,,10,95,11"></lb> τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,95,12"></lb> προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖ-<lb n="1799,001,,,,10,95,13"></lb> ζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέ-<lb n="1799,001,,,,10,95,14"></lb> τρου ἑαυτῇ.</s> <s>ἐὰν ἄρα τῷ τετάρ-<lb n="1799,001,,,,10,95,15"></lb> τῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,95,16"></lb> παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ <lb n="1799,001,,,,10,95,17"></lb> ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς <lb n="1799,001,,,,10,95,18"></lb> ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ.</s> <s>τε-<lb n="1799,001,,,,10,95,19"></lb> τμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ <lb n="1799,001,,,,10,95,20"></lb> τὸ Ε σημεῖον, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,95,21"></lb> ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παρα-<lb n="1799,001,,,,10,95,22"></lb> βεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,95,23"></lb> ΑΖ, ΖΗ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,95,24"></lb> ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΓΑ μήκει, καί εἰσιν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,95,25"></lb> ἀμφότεραι ῥηταί, μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ῥητή <lb n="1799,001,,,,10,95,26"></lb> ἐστιν ἡ ΔΗ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει, ῥητόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,95,27"></lb> ΔΚ.</s> <s>συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, <lb n="1799,001,,,,10,95,28"></lb> τῷ δὲ ΖΚ ἴσον τετράγωνον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν <lb n="1799,001,,,,10,95,29"></lb> αὐτὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΛΟΜ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διά-<lb n="1799,001,,,,10,95,30"></lb> μετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.</s> <s>ἔστω αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,95,31"></lb> διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,10,95,32"></lb> δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΛΝ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,95,33"></lb> <s>Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά <lb n="1799,001,,,,10,95,34"></lb> ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,95,35"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς <lb n="1799,001,,,,10,95,36"></lb> ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,95,37"></lb> ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΔΚ <lb n="1799,001,,,,10,95,38"></lb> καί ἐστιν ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ αὐτὸ ῥητόν <lb n="1799,001,,,,10,95,39"></lb> ἐστιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,95,40"></lb> μετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ· <lb n="1799,001,,,,10,95,41"></lb> αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,95,42"></lb> μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων μέσον, <lb n="1799,001,,,,10,95,43"></lb> τὸ δὲ δὶς ὑπ' αὐτῶν ῥητόν.</s> <s>ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΝ ἄλογός <lb n="1799,001,,,,10,95,44"></lb> ἐστιν ἡ καλουμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα· <lb n="1799,001,,,,10,95,45"></lb> καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,95,46"></lb> <s>Ἡ τὸ ΑΒ ἄρα χωρίον δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ <lb n="1799,001,,,,10,95,47"></lb> ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,95,48"></lb> Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς <lb n="1799,001,,,,10,96,1"></lb> ἕκτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον <lb n="1799,001,,,,10,96,2"></lb> ποιοῦσά ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,96,3"></lb> <s>Χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,96,4"></lb> ἀποτομῆς ἕκτης τῆς ΑΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον <lb n="1799,001,,,,10,96,5"></lb> δυναμένη [ἡ] μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,96,6"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρ-<lb n="1799,001,,,,10,96,7"></lb> μόζουσα ἡ ΔΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,96,8"></lb> ΗΔ ῥηταί εἰσι δυνάμει μό-<lb n="1799,001,,,,10,96,9"></lb> νον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα <lb n="1799,001,,,,10,96,10"></lb> αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκ-<lb n="1799,001,,,,10,96,11"></lb> κειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ μήκει, <lb n="1799,001,,,,10,96,12"></lb> ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρ-<lb n="1799,001,,,,10,96,13"></lb> μοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύ-<lb n="1799,001,,,,10,96,14"></lb> ναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου <lb n="1799,001,,,,10,96,15"></lb> ἑαυτῇ μήκει.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ <lb n="1799,001,,,,10,96,16"></lb> τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ <lb n="1799,001,,,,10,96,17"></lb> ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μή-<lb n="1799,001,,,,10,96,18"></lb> κει, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,96,19"></lb> παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, <lb n="1799,001,,,,10,96,20"></lb> εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διελεῖ.</s> <s>τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα <lb n="1799,001,,,,10,96,21"></lb> κατὰ τὸ Ε [σημεῖον], καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ <lb n="1799,001,,,,10,96,22"></lb> τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,96,23"></lb> ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,96,24"></lb> ΑΖ τῇ ΖΗ μήκει.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,96,25"></lb> ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΖΚ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,96,26"></lb> ΑΙ τῷ ΖΚ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΑΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,96,27"></lb> μόνον σύμμετροι, μέσον ἐστὶ τὸ ΑΚ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,10,96,28"></lb> ΔΗ ῥηταί εἰσι καὶ ἀσύμμετροι μήκει, μέσον ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,96,29"></lb> τὸ ΔΚ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί <lb n="1799,001,,,,10,96,30"></lb> εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ μήκει.</s> <s>ὡς <lb n="1799,001,,,,10,96,31"></lb> δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΔ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΚ πρὸς τὸ ΚΔ· <lb n="1799,001,,,,10,96,32"></lb> ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΚΔ.</s> <s>συνεστάτω οὖν τῷ <lb n="1799,001,,,,10,96,33"></lb> μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρή-<lb n="1799,001,,,,10,96,34"></lb> σθω περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὸ ΝΞ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,96,35"></lb> διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ τετράγωνα.</s> <s>ἔστω αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,96,36"></lb> διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,10,96,37"></lb> δὴ τοῖς ἐπάνω δείξομεν, ὅτι ἡ ΛΝ δύναται τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,96,38"></lb> χωρίον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,96,39"></lb> <s>Λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ [ἡ] μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά <lb n="1799,001,,,,10,96,40"></lb> ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,96,41"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΑΚ καί ἐστιν ἴσον τοῖς <lb n="1799,001,,,,10,96,42"></lb> ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, τὸ ἄρα συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,96,43"></lb> ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐδείχθη τὸ <lb n="1799,001,,,,10,96,44"></lb> ΔΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, καὶ τὸ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,96,45"></lb> ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ μέσον ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρον <lb n="1799,001,,,,10,96,46"></lb> ἐδείχθη τὸ ΑΚ τῷ ΔΚ, ἀσύμμετρα [ἄρα] ἐστὶ καὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,10,96,47"></lb> ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ τετράγωνα τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,96,48"></lb> καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, ἀσύμμετρον ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,96,49"></lb> καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ· αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,96,50"></lb> δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον <lb n="1799,001,,,,10,96,51"></lb> ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπ' <lb n="1799,001,,,,10,96,52"></lb> αὐτῶν μέσον ἔτι τε τὰ ἀπ' αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα <lb n="1799,001,,,,10,96,53"></lb> τῷ δὶς ὑπ' αὐτῶν.</s> <s>ἡ ἄρα ΛΝ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη <lb n="1799,001,,,,10,96,54"></lb> μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα· καὶ δύναται τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,96,55"></lb> χωρίον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,96,56"></lb> <s>Ἡ ἄρα τὸ χωρίον δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον <lb n="1799,001,,,,10,96,57"></lb> ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,96,58"></lb> <s>Τὸ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,97,1"></lb> ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,97,2"></lb> <s>Ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,97,3"></lb> ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,97,4"></lb> ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,97,5"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,97,6"></lb> ΗΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>καὶ τῷ μὲν <lb n="1799,001,,,,10,97,7"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν <lb n="1799,001,,,,10,97,8"></lb> ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ, τῷ <lb n="1799,001,,,,10,97,9"></lb> δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ τὸ ΚΛ.</s> <s>ὅλον <lb n="1799,001,,,,10,97,10"></lb> ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,97,11"></lb> τῶν ΑΗ, ΗΒ· ὧν τὸ ΓΕ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,97,12"></lb> ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ· λοιπὸν <lb n="1799,001,,,,10,97,13"></lb> ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,97,14"></lb> τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>τετμήσθω ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, <lb n="1799,001,,,,10,97,15"></lb> καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ· ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,10,97,16"></lb> ἄρα τῶν ΖΞ, ΛΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,97,17"></lb> ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητά ἐστιν, καί ἐστι τοῖς ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,97,18"></lb> τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΔΜ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΜ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,97,19"></lb> παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν <lb n="1799,001,,,,10,97,20"></lb> ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ <lb n="1799,001,,,,10,97,21"></lb> μήκει.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, <lb n="1799,001,,,,10,97,22"></lb> καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ, μέσον ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,10,97,23"></lb> ΖΛ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν <lb n="1799,001,,,,10,97,24"></lb> τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ <lb n="1799,001,,,,10,97,25"></lb> ΓΔ μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητά <lb n="1799,001,,,,10,97,26"></lb> ἐστιν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον, ἀσύμμετρα <lb n="1799,001,,,,10,97,27"></lb> ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,97,28"></lb> ΗΒ.</s> <s>καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΛ, <lb n="1799,001,,,,10,97,29"></lb> τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ ΖΛ· ἀσύμμετρον ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,97,30"></lb> ἐστὶ τὸ ΔΜ τῷ ΖΛ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ ΔΜ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,97,31"></lb> ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΖΜ.</s> <s>ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,97,32"></lb> ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει.</s> <s>καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,97,33"></lb> ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΓΖ <lb n="1799,001,,,,10,97,34"></lb> ἄρα ἀποτομή ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,97,35"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,97,36"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,97,37"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,97,38"></lb> τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,97,39"></lb> ΑΗ, ΗΒ τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν <lb n="1799,001,,,,10,97,40"></lb> ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,97,41"></lb> τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, <lb n="1799,001,,,,10,97,42"></lb> οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ· ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,10,97,43"></lb> ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,97,44"></lb> ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ <lb n="1799,001,,,,10,97,45"></lb> μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,97,46"></lb> τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ, σύμμετρόν [ἐστι] καὶ τὸ ΓΘ <lb n="1799,001,,,,10,97,47"></lb> τῷ ΚΛ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,97,48"></lb> τὴν ΚΜ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν <lb n="1799,001,,,,10,97,49"></lb> δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ <lb n="1799,001,,,,10,97,50"></lb> μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται <lb n="1799,001,,,,10,97,51"></lb> ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ, καί ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,97,52"></lb> σύμμετρος ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,97,53"></lb> δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.</s> <s>καί ἐστιν ἡ ΓΜ <lb n="1799,001,,,,10,97,54"></lb> σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ μήκει· ἡ ἄρα ΓΖ <lb n="1799,001,,,,10,97,55"></lb> ἀποτομή ἐστι πρώτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,97,56"></lb> <s>Τὸ ἄρα ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον <lb n="1799,001,,,,10,97,57"></lb> πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,97,58"></lb> Τὸ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παρα-<lb n="1799,001,,,,10,98,1"></lb> βαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,98,2"></lb> <s>Ἔστω μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,10,98,3"></lb> καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω <lb n="1799,001,,,,10,98,4"></lb> τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή <lb n="1799,001,,,,10,98,5"></lb> ἐστι δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,98,6"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,98,7"></lb> ΗΒ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχου-<lb n="1799,001,,,,10,98,8"></lb> σαι.</s> <s>καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ <lb n="1799,001,,,,10,98,9"></lb> ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλή-<lb n="1799,001,,,,10,98,10"></lb> σθω τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν <lb n="1799,001,,,,10,98,11"></lb> ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ <lb n="1799,001,,,,10,98,12"></lb> ΚΛ πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΜ· ὅλον <lb n="1799,001,,,,10,98,13"></lb> ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,98,14"></lb> τῶν ΑΗ, ΗΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,98,15"></lb> ΓΛ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν <lb n="1799,001,,,,10,98,16"></lb> τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ <lb n="1799,001,,,,10,98,17"></lb> μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, <lb n="1799,001,,,,10,98,18"></lb> ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΕ, λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,98,19"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΛ.</s> <s>ῥητὸν δὲ [ἐστι] τὸ <lb n="1799,001,,,,10,98,20"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· ῥητὸν ἄρα τὸ ΖΛ.</s> <s>καὶ παρὰ <lb n="1799,001,,,,10,98,21"></lb> ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ· <lb n="1799,001,,,,10,98,22"></lb> ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,98,23"></lb> <s>ἐπεὶ οὖν τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τουτέστι τὸ ΓΛ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,98,24"></lb> μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τουτέστι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,98,25"></lb> ΖΛ, ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,98,26"></lb> ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΖΜ· <lb n="1799,001,,,,10,98,27"></lb> ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει.</s> <s>καί εἰσιν ἀμφότεραι <lb n="1799,001,,,,10,98,28"></lb> ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,98,29"></lb> μετροι· ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,98,30"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,98,31"></lb> <s>Τετμήσθω γὰρ ἡ ΖΜ δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ <lb n="1799,001,,,,10,98,32"></lb> τοῦ Ν τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, <lb n="1799,001,,,,10,98,33"></lb> ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,98,34"></lb> τῶν ΑΗ, ΗΒ τετραγώνων μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,98,35"></lb> τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,98,36"></lb> ΓΘ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ ΝΛ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ <lb n="1799,001,,,,10,98,37"></lb> τῷ ΚΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,98,38"></lb> ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ <lb n="1799,001,,,,10,98,39"></lb> πρὸς τὸ ΚΛ.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,98,40"></lb> ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ, ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ, <lb n="1799,001,,,,10,98,41"></lb> οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΜΚ· ὡς ἄρα ἡ ΓΚ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,10,98,42"></lb> ΝΜ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,98,43"></lb> τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ, τουτέστι τῷ <lb n="1799,001,,,,10,98,44"></lb> τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ.</s> <s>[καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν <lb n="1799,001,,,,10,98,45"></lb> ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΗ, σύμμετρόν ἐστι <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,98,46"></lb> καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ, τουτέστιν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ.] ἐπεὶ οὖν <lb n="1799,001,,,,10,98,47"></lb> δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ <lb n="1799,001,,,,10,98,48"></lb> μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΖ ἴσον παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΓΜ <lb n="1799,001,,,,10,98,49"></lb> παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,98,50"></lb> ΓΚ, ΚΜ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ <lb n="1799,001,,,,10,98,51"></lb> τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μή-<lb n="1799,001,,,,10,98,52"></lb> κει.</s> <s>καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΜ σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,98,53"></lb> μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή <lb n="1799,001,,,,10,98,54"></lb> ἐστι δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,98,55"></lb> <s>Τὸ ἄρα ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν <lb n="1799,001,,,,10,98,56"></lb> παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,10,98,57"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,98,58"></lb> <s>Τὸ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν παρα-<lb n="1799,001,,,,10,99,1"></lb> βαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,99,2"></lb> <s>Ἔστω μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,10,99,3"></lb> καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω <lb n="1799,001,,,,10,99,4"></lb> τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ· <lb n="1799,001,,,,10,99,5"></lb> λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,99,6"></lb> τρίτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,99,7"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμό-<lb n="1799,001,,,,10,99,8"></lb> ζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΒ <lb n="1799,001,,,,10,99,9"></lb> μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,99,10"></lb> μετροι μέσον περιέχουσαι.</s> <s>καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,99,11"></lb> τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλή-<lb n="1799,001,,,,10,99,12"></lb> σθω τὸ ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,99,13"></lb> ΒΗ ἴσον παρὰ τὴν ΚΘ παραβεβλήσθω τὸ ΚΛ πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,99,14"></lb> ποιοῦν τὴν ΚΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς <lb n="1799,001,,,,10,99,15"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ [καί ἐστι μέσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,99,16"></lb> ΗΒ]· μέσον ἄρα καὶ τὸ ΓΛ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ <lb n="1799,001,,,,10,99,17"></lb> παραβέβληται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,99,18"></lb> ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὅλον τὸ <lb n="1799,001,,,,10,99,19"></lb> ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,99,20"></lb> ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΛΖ ἴσον ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,99,21"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα κατὰ <lb n="1799,001,,,,10,99,22"></lb> τὸ Ν σημεῖον, καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΞ· <lb n="1799,001,,,,10,99,23"></lb> ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,99,24"></lb> ΗΒ.</s> <s>μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,99,25"></lb> τὸ ΖΛ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,99,26"></lb> ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ <lb n="1799,001,,,,10,99,27"></lb> ΓΔ μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,99,28"></lb> μετροι, ἀσύμμετρος ἄρα [ἐστὶ] μήκει ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ· <lb n="1799,001,,,,10,99,29"></lb> ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,99,30"></lb> ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ σύμμετρά ἐστι τὰ <lb n="1799,001,,,,10,99,31"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τὸ δὶς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,99,32"></lb> τῶν ΑΗ, ΗΒ· ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,99,33"></lb> ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,99,34"></lb> ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ <lb n="1799,001,,,,10,99,35"></lb> ἴσον ἐστὶ τὸ ΖΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,99,36"></lb> ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,99,37"></lb> τὴν ΖΜ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΖΜ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,99,38"></lb> <s>καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι <lb n="1799,001,,,,10,99,39"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,99,40"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,99,41"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ σύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,99,42"></lb> ΗΒ, σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ· ὥστε καὶ ἡ ΓΚ <lb n="1799,001,,,,10,99,43"></lb> τῇ ΚΜ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν <lb n="1799,001,,,,10,99,44"></lb> ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ <lb n="1799,001,,,,10,99,45"></lb> ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,99,46"></lb> τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΝΛ, καὶ τῶν ΓΘ, ΚΛ ἄρα μέσον <lb n="1799,001,,,,10,99,47"></lb> ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, <lb n="1799,001,,,,10,99,48"></lb> οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,10,99,49"></lb> ΝΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ, ὡς δὲ τὸ ΝΛ <lb n="1799,001,,,,10,99,50"></lb> πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ· ὡς ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,99,51"></lb> ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΜΝ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΚΜ· <lb n="1799,001,,,,10,99,52"></lb> τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ [ἀπὸ τῆς ΜΝ, <lb n="1799,001,,,,10,99,53"></lb> τουτέστι τῷ] τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν <lb n="1799,001,,,,10,99,54"></lb> δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ <lb n="1799,001,,,,10,99,55"></lb> μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται <lb n="1799,001,,,,10,99,56"></lb> ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ καὶ εἰς σύμμετρα αὐτὴν <lb n="1799,001,,,,10,99,57"></lb> διαιρεῖ, ἡ ΓΜ ἄρα τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,99,58"></lb> συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καὶ οὐδετέρα τῶν ΓΜ, ΜΖ σύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,99,59"></lb> ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή <lb n="1799,001,,,,10,99,60"></lb> ἐστι τρίτη.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,99,61"></lb> Τὸ ἄρα ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν <lb n="1799,001,,,,10,99,62"></lb> παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,10,99,63"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,99,64"></lb> <s>Τὸ ἀπὸ ἐλάσσονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,100,1"></lb> ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,100,2"></lb> <s>Ἔστω ἐλάσσων ἡ ΑΒ, ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,100,3"></lb> ΑΒ ἴσον παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ <lb n="1799,001,,,,10,100,4"></lb> πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,100,5"></lb> τετάρτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,100,6"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,100,7"></lb> ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν <lb n="1799,001,,,,10,100,8"></lb> συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,100,9"></lb> ΗΒ τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,100,10"></lb> δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,100,11"></lb> <s>καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,100,12"></lb> παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ <lb n="1799,001,,,,10,100,13"></lb> ΓΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ <lb n="1799,001,,,,10,100,14"></lb> δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ <lb n="1799,001,,,,10,100,15"></lb> πλάτος ποιοῦν τὴν ΚΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς <lb n="1799,001,,,,10,100,16"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>καί ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,100,17"></lb> τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΓΛ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,100,18"></lb> παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ· <lb n="1799,001,,,,10,100,19"></lb> ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΓΜ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,100,20"></lb> ἐπεὶ ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν <lb n="1799,001,,,,10,100,21"></lb> τὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,100,22"></lb> ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ δίχα <lb n="1799,001,,,,10,100,23"></lb> κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,10,100,24"></lb> ΜΛ παράλληλος ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ <lb n="1799,001,,,,10,100,25"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,100,26"></lb> τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΖΛ, καὶ τὸ ΖΛ <lb n="1799,001,,,,10,100,27"></lb> ἄρα μέσον ἐστίν.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται <lb n="1799,001,,,,10,100,28"></lb> πλάτος ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,100,29"></lb> ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν συγκείμενον <lb n="1799,001,,,,10,100,30"></lb> ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ῥητόν ἐστιν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,100,31"></lb> τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον, ἀσύμμετρα [ἄρα] ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,100,32"></lb> ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>ἴσον δέ [ἐστι] τὸ <lb n="1799,001,,,,10,100,33"></lb> ΓΛ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ <lb n="1799,001,,,,10,100,34"></lb> ἴσον τὸ ΖΛ· ἀσύμμετρον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ.</s> <s>ὡς <lb n="1799,001,,,,10,100,35"></lb> δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ· <lb n="1799,001,,,,10,100,36"></lb> ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει.</s> <s>καί εἰσιν <lb n="1799,001,,,,10,100,37"></lb> ἀμφότεραι ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,100,38"></lb> μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,100,39"></lb> <s>Λέγω [δή], ὅτι καὶ τετάρτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,100,40"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΗ, ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, <lb n="1799,001,,,,10,100,41"></lb> ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,100,42"></lb> <s>καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,100,43"></lb> τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ· ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,100,44"></lb> ΚΛ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,100,45"></lb> τὴν ΚΜ· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ μήκει.</s> <s>καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,100,46"></lb> ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,100,47"></lb> τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,100,48"></lb> ΓΘ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ τῷ ΚΛ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ <lb n="1799,001,,,,10,100,49"></lb> τῷ ΝΛ, τῶν ἄρα ΓΘ, ΚΛ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· <lb n="1799,001,,,,10,100,50"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,100,51"></lb> τὸ ΚΛ.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,100,52"></lb> ΓΚ πρὸς τὴν ΝΜ, ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,100,53"></lb> ἐστὶν ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΚΜ· ὡς ἄρα ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΜΝ, <lb n="1799,001,,,,10,100,54"></lb> οὕτως ἐστὶν ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΚΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΚ, <lb n="1799,001,,,,10,100,55"></lb> ΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ <lb n="1799,001,,,,10,100,56"></lb> μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν <lb n="1799,001,,,,10,100,57"></lb> αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΖ <lb n="1799,001,,,,10,100,58"></lb> ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετρα-<lb n="1799,001,,,,10,100,59"></lb> γώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ, ΚΜ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν <lb n="1799,001,,,,10,100,60"></lb> διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,100,61"></lb> ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καί ἐστιν ὅλη ἡ ΓΜ σύμμετρος μήκει <lb n="1799,001,,,,10,100,62"></lb> τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι τε-<lb n="1799,001,,,,10,100,63"></lb> τάρτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,100,64"></lb> <s>Τὸ ἄρα ἀπὸ ἐλάσσονος καὶ τὰ ἑξῆς.</s> <lb n="1799,001,,,,10,100,65"></lb> <s>Τὸ ἀπὸ τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ <lb n="1799,001,,,,10,101,1"></lb> ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,101,2"></lb> Ἔστω ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, ῥητὴ <lb n="1799,001,,,,10,101,3"></lb> δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παρα-<lb n="1799,001,,,,10,101,4"></lb> βεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,101,5"></lb> ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστι πέμπτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,101,6"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,101,7"></lb> ΑΗ, ΗΒ εὐθεῖαι δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,101,8"></lb> μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐ- <lb n="1799,001,,,,10,101,9"></lb> τῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,101,10"></lb> δὶς ὑπ' αὐτῶν ῥητόν.</s> <s>καὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,101,11"></lb> μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον παρὰ τὴν <lb n="1799,001,,,,10,101,12"></lb> ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΘ, τῷ <lb n="1799,001,,,,10,101,13"></lb> δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον τὸ ΚΛ· <lb n="1799,001,,,,10,101,14"></lb> ὅλον ἄρα τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς <lb n="1799,001,,,,10,101,15"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>τὸ δὲ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,101,16"></lb> ΑΗ, ΗΒ ἅμα μέσον ἐστίν· μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,101,17"></lb> παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΜ· <lb n="1799,001,,,,10,101,18"></lb> ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,10,101,19"></lb> ὅλον τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ <lb n="1799,001,,,,10,101,20"></lb> ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,101,21"></lb> ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>τετμήσθω οὖν ἡ ΖΜ <lb n="1799,001,,,,10,101,22"></lb> δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,10,101,23"></lb> ΜΛ παράλληλος ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον <lb n="1799,001,,,,10,101,24"></lb> ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,101,25"></lb> ΗΒ ῥητόν ἐστι καί [ἐστιν] ἴσον τῷ ΖΛ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,101,26"></lb> τὸ ΖΛ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,101,27"></lb> ποιοῦν τὴν ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,101,28"></lb> τῇ ΓΔ μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν ΓΛ μέσον ἐστίν, τὸ δὲ ΖΛ <lb n="1799,001,,,,10,101,29"></lb> ῥητόν, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,101,30"></lb> ΓΛ πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ· ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,101,31"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει.</s> <s>καί εἰσιν ἀμφότεραι <lb n="1799,001,,,,10,101,32"></lb> ῥηταί· αἱ ἄρα ΓΜ, ΜΖ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,101,33"></lb> μετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,101,34"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,101,35"></lb> <s>Ὁμοίως γὰρ δείξομεν, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,101,36"></lb> ἀπὸ τῆς ΝΜ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,101,37"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,101,38"></lb> ΗΒ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ τῷ ΓΘ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,101,39"></lb> ΗΒ τῷ ΚΛ, ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,101,40"></lb> ΓΘ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ· ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,101,41"></lb> ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ μήκει.</s> <s>ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί <lb n="1799,001,,,,10,101,42"></lb> εἰσιν αἱ ΓΜ, ΜΖ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,101,43"></lb> ΖΜ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει <lb n="1799,001,,,,10,101,44"></lb> τετραγώνῳ καὶ εἰς ἀσύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ, ἡ ἄρα ΓΜ <lb n="1799,001,,,,10,101,45"></lb> τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,10,101,46"></lb> ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΜ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ <lb n="1799,001,,,,10,101,47"></lb> ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΖ ἀποτομή ἐστι πέμπτη· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,10,101,48"></lb> δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,101,49"></lb> Τὸ ἀπὸ τῆς μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ <lb n="1799,001,,,,10,102,1"></lb> ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,102,2"></lb> <s>Ἔστω ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,102,3"></lb> ῥητὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ <lb n="1799,001,,,,10,102,4"></lb> παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,102,5"></lb> ἡ ΓΖ ἀποτομή ἐστιν ἕκτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,102,6"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΗ· αἱ ἄρα ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,102,7"></lb> ΗΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκεί-<lb n="1799,001,,,,10,102,8"></lb> μενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετρα- <lb n="1799,001,,,,10,102,9"></lb> γώνων μέσον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,102,10"></lb> ΑΗ, ΗΒ μέσον καὶ ἀσύμμετρον <lb n="1799,001,,,,10,102,11"></lb> τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,102,12"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>παραβεβλή-<lb n="1799,001,,,,10,102,13"></lb> σθω οὖν παρὰ τὴν ΓΔ τῷ μὲν <lb n="1799,001,,,,10,102,14"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,102,15"></lb> ποιοῦν τὴν ΓΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΗ τὸ ΚΛ· ὅλον ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,10,102,16"></lb> ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· μέσον ἄρα [ἐστὶ] <lb n="1799,001,,,,10,102,17"></lb> καὶ τὸ ΓΛ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΓΔ παράκειται πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,102,18"></lb> ποιοῦν τὴν ΓΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ καὶ ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,102,19"></lb> τῇ ΓΔ μήκει.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,102,20"></lb> ΑΗ, ΗΒ, ὧν τὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, λοιπὸν ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,102,21"></lb> τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>καί ἐστι τὸ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,102,22"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον· καὶ τὸ ΖΛ ἄρα μέσον ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,102,23"></lb> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,102,24"></lb> ΖΜ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,102,25"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς <lb n="1799,001,,,,10,102,26"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ <lb n="1799,001,,,,10,102,27"></lb> ἴσον τὸ ΓΛ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΖΛ, <lb n="1799,001,,,,10,102,28"></lb> ἀσύμμετρον ἄρα [ἐστὶ] τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ ΓΛ <lb n="1799,001,,,,10,102,29"></lb> πρὸς τὸ ΖΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΜΖ· ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,102,30"></lb> μετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ μήκει.</s> <s>καί εἰσιν ἀμφότεραι <lb n="1799,001,,,,10,102,31"></lb> ῥηταί.</s> <s>αἱ ΓΜ, ΜΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,102,32"></lb> μετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,102,33"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη.</s> <lb n="1799,001,,,,10,102,34"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ τὸ ΖΛ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, <lb n="1799,001,,,,10,102,35"></lb> τετμήσθω δίχα ἡ ΖΜ κατὰ τὸ Ν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ν <lb n="1799,001,,,,10,102,36"></lb> τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΝΞ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ <lb n="1799,001,,,,10,102,37"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΒ <lb n="1799,001,,,,10,102,38"></lb> δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,102,39"></lb> τῆς ΑΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ <lb n="1799,001,,,,10,102,40"></lb> ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΚΛ· <lb n="1799,001,,,,10,102,41"></lb> ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΚΛ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ ΓΘ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,102,42"></lb> τὸ ΚΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΜ· ἀσύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,102,43"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΜ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,10,102,44"></lb> ΗΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, καί ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,102,45"></lb> τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΗ ἴσον τὸ ΓΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΒ <lb n="1799,001,,,,10,102,46"></lb> ἴσον τὸ ΚΛ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον τὸ ΝΛ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,102,47"></lb> τῶν ἄρα ΓΘ, ΚΛ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΝΛ· ἔστιν ἄρα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,102,48"></lb> ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,102,49"></lb> διὰ τὰ αὐτὰ ἡ ΓΜ τῆς ΜΖ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,102,50"></lb> ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,102,51"></lb> τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΓΔ· ἡ ΓΖ ἄρα ἀποτομή ἐστιν <lb n="1799,001,,,,10,102,52"></lb> ἕκτη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,102,53"></lb> <s>Ἡ τῇ ἀποτομῇ μήκει σύμμετρος ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,103,1"></lb> τάξει ἡ αὐτή.</s> <lb n="1799,001,,,,10,103,2"></lb> <s>Ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,103,3"></lb> ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἀποτομή ἐστι καὶ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,103,4"></lb> τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,103,5"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἔστω αὐτῇ προσ-<lb n="1799,001,,,,10,103,6"></lb> αρμόζουσα ἡ ΒΕ· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,103,7"></lb> μόνον σύμμετροι.</s> <s>καὶ τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ λόγῳ <lb n="1799,001,,,,10,103,8"></lb> ὁ αὐτὸς γεγονέτω ὁ τῆς ΒΕ πρὸς τὴν ΔΖ· καὶ ὡς ἓν <lb n="1799,001,,,,10,103,9"></lb> ἄρα πρὸς ἕν, πάντα [ἐστὶ] πρὸς πάντα· ἔστιν ἄρα καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,103,10"></lb> ὡς ὅλη ἡ ΑΕ πρὸς ὅλην τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,103,11"></lb> τὴν ΓΔ.</s> <s>σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει.</s> <s>σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,103,12"></lb> ἄρα καὶ ἡ ΑΕ μὲν τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ.</s> <s>καὶ αἱ ΑΕ, <lb n="1799,001,,,,10,103,13"></lb> ΕΒ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ <lb n="1799,001,,,,10,103,14"></lb> ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>[ἀποτομὴ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,103,15"></lb> ἐστὶν ἡ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,103,16"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.] <lb n="1799,001,,,,10,103,17"></lb> Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΒΕ <lb n="1799,001,,,,10,103,18"></lb> πρὸς τὴν ΔΖ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, <lb n="1799,001,,,,10,103,19"></lb> οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ.</s> <s>ἤτοι δὴ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,103,20"></lb> δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.</s> <lb n="1799,001,,,,10,103,21"></lb> <s>εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμ-<lb n="1799,001,,,,10,103,22"></lb> μέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,103,23"></lb> συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,103,24"></lb> ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΓΖ, εἰ δὲ ἡ ΒΕ, καὶ ἡ ΔΖ, <lb n="1799,001,,,,10,103,25"></lb> εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΓΖ, <lb n="1799,001,,,,10,103,26"></lb> ΖΔ.</s> <s>εἰ δὲ ἡ ΑΕ [τῆς ΕΒ] μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμ-<lb n="1799,001,,,,10,103,27"></lb> μέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,103,28"></lb> ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,103,29"></lb> ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΓΖ, εἰ δὲ ἡ ΒΕ, καὶ ἡ ΔΖ, <lb n="1799,001,,,,10,103,30"></lb> εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,103,31"></lb> <s>Ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,103,32"></lb> ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,103,33"></lb> <s>Ἡ τῇ μέσης ἀποτομῇ σύμμετρος μέσης ἀποτομή <lb n="1799,001,,,,10,104,1"></lb> ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.</s> <lb n="1799,001,,,,10,104,2"></lb> <s>Ἔστω μέσης ἀποτομὴ ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,104,3"></lb> μετρος ἔστω ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μέσης ἀποτομή <lb n="1799,001,,,,10,104,4"></lb> ἐστι καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,104,5"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ μέσης ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἔστω αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,10,104,6"></lb> προσαρμόζουσα ἡ ΕΒ.</s> <s>αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα μέσαι <lb n="1799,001,,,,10,104,7"></lb> εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>καὶ γεγονέτω <lb n="1799,001,,,,10,104,8"></lb> ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,104,9"></lb> τὴν ΔΖ· σύμμετρος ἄρα [ἐστὶ] καὶ ἡ ΑΕ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,104,10"></lb> ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ.</s> <s>αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ μέσαι <lb n="1799,001,,,,10,104,11"></lb> εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ <lb n="1799,001,,,,10,104,12"></lb> ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι· <lb n="1799,001,,,,10,104,13"></lb> μέσης ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἡ ΓΔ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,104,14"></lb> Λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ τάξει ἐστὶν ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,104,15"></lb> <s>Ἐπεὶ [γάρ] ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ <lb n="1799,001,,,,10,104,16"></lb> πρὸς τὴν ΖΔ [ἀλλ' ὡς μὲν ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,104,17"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ <lb n="1799,001,,,,10,104,18"></lb> πρὸς τὴν ΖΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,104,19"></lb> ΓΖ, ΖΔ], ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,104,20"></lb> τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,104,21"></lb> ΓΖ, ΖΔ [καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,104,22"></lb> τῆς ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,104,23"></lb> ΓΖ, ΖΔ].</s> <s>σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ· <lb n="1799,001,,,,10,104,24"></lb> σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,104,25"></lb> ΓΖ, ΖΔ.</s> <s>εἴτε οὖν ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, <lb n="1799,001,,,,10,104,26"></lb> ῥητὸν ἔσται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, εἴτε μέσον [ἐστὶ] <lb n="1799,001,,,,10,104,27"></lb> τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, μέσον [ἐστὶ] καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, <lb n="1799,001,,,,10,104,28"></lb> ΖΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,104,29"></lb> <s>Μέσης ἄρα ἀποτομή ἐστιν ἡ ΓΔ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ <lb n="1799,001,,,,10,104,30"></lb> τῇ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,104,31"></lb> <s>Ἡ τῇ ἐλάσσονι σύμμετρος ἐλάσσων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,105,1"></lb> <s>Ἔστω γὰρ ἐλάσσων ἡ ΑΒ καὶ τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ· <lb n="1799,001,,,,10,105,2"></lb> λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ ἐλάσσων ἐστίν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,105,3"></lb> Γεγονέτω γὰρ τὰ αὐτά· καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ <lb n="1799,001,,,,10,105,4"></lb> δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι, καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,105,5"></lb> δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,10,105,6"></lb> ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ, <lb n="1799,001,,,,10,105,7"></lb> ἔστιν ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,105,8"></lb> τῆς ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,105,9"></lb> τῆς ΖΔ.</s> <s>συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,105,10"></lb> ΑΕ, ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ <lb n="1799,001,,,,10,105,11"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ [καὶ ἐναλλάξ]· σύμμετρον δέ ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,105,12"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ· σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,105,13"></lb> συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ <lb n="1799,001,,,,10,105,14"></lb> συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων.</s> <s>ῥητὸν <lb n="1799,001,,,,10,105,15"></lb> δέ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετρα-<lb n="1799,001,,,,10,105,16"></lb> γώνων· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,105,17"></lb> τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων.</s> <s>πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,105,18"></lb> τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,105,19"></lb> ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,105,20"></lb> ΑΕ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ τετραγώνῳ, σύμμετρον <lb n="1799,001,,,,10,105,21"></lb> ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, <lb n="1799,001,,,,10,105,22"></lb> ΖΔ.</s> <s>μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,105,23"></lb> ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,105,24"></lb> μετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,105,25"></lb> τετραγώνων ῥητόν, τὸ δ' ὑπ' αὐτῶν μέσον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,105,26"></lb> <s>Ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,105,27"></lb> <s>Ἡ τῇ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,106,1"></lb> μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,106,2"></lb> <s>Ἔστω μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,106,3"></lb> τῇ ΑΒ σύμμετρος ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ <lb n="1799,001,,,,10,106,4"></lb> ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,106,5"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ· αἱ ΑΕ, ΕΒ <lb n="1799,001,,,,10,106,6"></lb> ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον <lb n="1799,001,,,,10,106,7"></lb> ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων μέσον, τὸ δ' <lb n="1799,001,,,,10,106,8"></lb> ὑπ' αὐτῶν ῥητόν.</s> <s>καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευά-<lb n="1799,001,,,,10,106,9"></lb> σθω.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον, ὅτι <lb n="1799,001,,,,10,106,10"></lb> αἱ ΓΖ, ΖΔ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ ταῖς ΑΕ, <lb n="1799,001,,,,10,106,11"></lb> ΕΒ, καὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,106,12"></lb> τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγ-<lb n="1799,001,,,,10,106,13"></lb> κειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώ-<lb n="1799,001,,,,10,106,14"></lb> νων, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,106,15"></lb> ΓΖ, ΖΔ· ὥστε καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ δυνάμει εἰσὶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,106,16"></lb> ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,106,17"></lb> τῶν ΓΖ, ΖΔ τετραγώνων μέσον, τὸ δ' ὑπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,10,106,18"></lb> ῥητόν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,106,19"></lb> <s>Ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· <lb n="1799,001,,,,10,106,20"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,106,21"></lb> <s>Ἡ τῇ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,107,1"></lb> καὶ αὐτὴ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,107,2"></lb> <s>Ἔστω μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,107,3"></lb> τῇ ΑΒ ἔστω σύμμετρος ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ <lb n="1799,001,,,,10,107,4"></lb> μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,107,5"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ, καὶ τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,10,107,6"></lb> κατεσκευάσθω· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,107,7"></lb> μετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,107,8"></lb> ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ' <lb n="1799,001,,,,10,107,9"></lb> αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκεί-<lb n="1799,001,,,,10,107,10"></lb> μενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων τῷ ὑπ' <lb n="1799,001,,,,10,107,11"></lb> αὐτῶν.</s> <s>καί εἰσιν, ὡς ἐδείχθη, αἱ ΑΕ, ΕΒ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,107,12"></lb> μετροι ταῖς ΓΖ, ΖΔ, καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,107,13"></lb> τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγ-<lb n="1799,001,,,,10,107,14"></lb> κειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,107,15"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ· καὶ <lb n="1799,001,,,,10,107,16"></lb> αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι <lb n="1799,001,,,,10,107,17"></lb> τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν τετραγώνων μέσον <lb n="1799,001,,,,10,107,18"></lb> καὶ τὸ ὑπ' αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγ- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,10,107,19"></lb> κείμενον ἐκ τῶν ἀπ' αὐτῶν [τετραγώνων] τῷ ὑπ' <lb n="1799,001,,,,10,107,20"></lb> αὐτῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,107,21"></lb> <s>Ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· <lb n="1799,001,,,,10,107,22"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,107,23"></lb> <s>Ἀπὸ ῥητοῦ μέσου ἀφαιρουμένου ἡ τὸ λοιπὸν χωρίον <lb n="1799,001,,,,10,108,1"></lb> δυναμένη μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι ἀποτομὴ ἢ <lb n="1799,001,,,,10,108,2"></lb> ἐλάσσων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,108,3"></lb> <s>Ἀπὸ γὰρ ῥητοῦ τοῦ ΒΓ μέσον ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,10,108,4"></lb> ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν δυναμένη τὸ ΕΓ μία δύο ἀλόγων γίνεται <lb n="1799,001,,,,10,108,5"></lb> ἤτοι ἀποτομὴ ἢ ἐλάσσων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,108,6"></lb> <s>Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ τῷ μὲν ΒΓ ἴσον παρὰ <lb n="1799,001,,,,10,108,7"></lb> τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον <lb n="1799,001,,,,10,108,8"></lb> τὸ ΗΘ, τῷ δὲ ΔΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΗΚ· λοιπὸν ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,108,9"></lb> τὸ ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΘ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ῥητὸν μέν ἐστι τὸ ΒΓ, <lb n="1799,001,,,,10,108,10"></lb> μέσον δὲ τὸ ΒΔ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΒΓ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΒΔ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,108,11"></lb> τῷ ΗΚ, ῥητὸν μὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘ, μέσον δὲ τὸ ΗΚ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,108,12"></lb> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται· ῥητὴ μὲν ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,10,108,13"></lb> ΖΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει, ῥητὴ δὲ ἡ ΖΚ καὶ <lb n="1799,001,,,,10,108,14"></lb> ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,108,15"></lb> ΖΘ τῇ ΖΚ μήκει.</s> <s>αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,108,16"></lb> μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ, προσαρμό-<lb n="1799,001,,,,10,108,17"></lb> ζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΚΖ.</s> <s>ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,108,18"></lb> δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἢ οὔ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,108,19"></lb> <s>Δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου.</s> <s>καί ἐστιν ὅλη <lb n="1799,001,,,,10,108,20"></lb> ἡ ΘΖ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ· <lb n="1799,001,,,,10,108,21"></lb> ἀποτομὴ ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΚΘ.</s> <s>τὸ δ' ὑπὸ ῥητῆς καὶ <lb n="1799,001,,,,10,108,22"></lb> ἀποτομῆς πρώτης περιεχόμενον ἡ δυναμένη ἀποτομή <lb n="1799,001,,,,10,108,23"></lb> ἐστιν.</s> <s>ἡ ἄρα τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη ἀποτομή <lb n="1799,001,,,,10,108,24"></lb> ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,108,25"></lb> <s>Εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμ-<lb n="1799,001,,,,10,108,26"></lb> μέτρου ἑαυτῇ, καί ἐστιν ὅλη ἡ ΖΘ σύμμετρος τῇ ἐκ-<lb n="1799,001,,,,10,108,27"></lb> κειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ τετάρτη ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,108,28"></lb> ΚΘ.</s> <s>τὸ δ' ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τετάρτης περι-<lb n="1799,001,,,,10,108,29"></lb> εχόμενον ἡ δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,108,30"></lb> Ἀπὸ μέσου ῥητοῦ ἀφαιρουμένου ἄλλαι δύο ἄλογοι <lb n="1799,001,,,,10,109,1"></lb> γίνονται ἤτοι μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον <lb n="1799,001,,,,10,109,2"></lb> τὸ ὅλον ποιοῦσα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,109,3"></lb> <s>Ἀπὸ γὰρ μέσου τοῦ ΒΓ ῥητὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,109,4"></lb> <s>λέγω, ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν τὸ ΕΓ δυναμένη μία δύο ἀλόγων <lb n="1799,001,,,,10,109,5"></lb> γίνεται ἤτοι μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἢ μετὰ ῥητοῦ μέσον <lb n="1799,001,,,,10,109,6"></lb> τὸ ὅλον ποιοῦσα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,109,7"></lb> <s>Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ παραβεβλήσθω ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,10,109,8"></lb> τὰ χωρία.</s> <s>ἔστι δὴ ἀκολούθως ῥητὴ μὲν ἡ ΖΘ καὶ ἀσύμ-<lb n="1799,001,,,,10,109,9"></lb> μετρος τῇ ΖΗ μήκει, ῥητὴ <lb n="1799,001,,,,10,109,10"></lb> δὲ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετρος τῇ <lb n="1799,001,,,,10,109,11"></lb> ΖΗ μήκει· αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,109,12"></lb> ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,109,13"></lb> μετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,109,14"></lb> ἡ ΚΘ, προσαρμόζουσα δὲ <lb n="1799,001,,,,10,109,15"></lb> ταύτῃ ἡ ΖΚ.</s> <s>ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ <lb n="1799,001,,,,10,109,16"></lb> τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ <lb n="1799,001,,,,10,109,17"></lb> ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,109,18"></lb> ἀπὸ ἀσυμμέτρου.</s> <lb n="1799,001,,,,10,109,19"></lb> <s>Εἰ μὲν οὖν ἡ ΘΖ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,109,20"></lb> ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,109,21"></lb> συμμέτρου ἑαυτῇ, καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ <lb n="1799,001,,,,10,109,22"></lb> σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀπο-<lb n="1799,001,,,,10,109,23"></lb> τομὴ δευτέρα ἐστὶν ἡ ΚΘ.</s> <s>ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ· ὥστε ἡ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,109,24"></lb> τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μέσης ἀποτομὴ πρώτη <lb n="1799,001,,,,10,109,25"></lb> ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,109,26"></lb> <s>Εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμ-<lb n="1799,001,,,,10,109,27"></lb> μέτρου, καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΖΚ σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,109,28"></lb> τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ πέμπτη ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,109,29"></lb> ἡ ΚΘ· ὥστε ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ <lb n="1799,001,,,,10,109,30"></lb> ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,109,31"></lb> <s>Ἀπὸ μέσου μέσου ἀφαιρουμένου ἀσυμμέτρου τῷ ὅλῳ <lb n="1799,001,,,,10,110,1"></lb> αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίνονται ἤτοι μέσης ἀποτομὴ <lb n="1799,001,,,,10,110,2"></lb> δευτέρα ἢ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,110,3"></lb> <s>Ἀφῃρήσθω γὰρ ὡς ἐπὶ τῶν προκειμένων καταγραφῶν <lb n="1799,001,,,,10,110,4"></lb> ἀπὸ μέσου τοῦ ΒΓ μέσον τὸ ΒΔ ἀσύμμετρον τῷ ὅλῳ· <lb n="1799,001,,,,10,110,5"></lb> λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΕΓ δυναμένη μία ἐστὶ δύο ἀλόγων ἤτοι <lb n="1799,001,,,,10,110,6"></lb> μέσης ἀποτομὴ δευτέρα ἢ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον <lb n="1799,001,,,,10,110,7"></lb> ποιοῦσα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,110,8"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΒΓ, ΒΔ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,110,9"></lb> ἀσύμμετρον τὸ Β*γ τῷ ΒΔ, ἔσται ἀκολούθως ῥητὴ <lb n="1799,001,,,,10,110,10"></lb> ἑκατέρα τῶν ΖΘ, ΖΚ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,110,11"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ, τουτέστι τὸ <lb n="1799,001,,,,10,110,12"></lb> ΗΘ τῷ ΗΚ, ἀσύμμετρος καὶ ἡ ΘΖ τῇ ΖΚ· αἱ ΖΘ, ΖΚ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,110,13"></lb> ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,110,14"></lb> ἐστὶν ἡ ΚΘ [προσαρμόζουσα δὲ ἡ ΖΚ.</s> <s>ἤτοι δὴ ἡ ΖΘ <lb n="1799,001,,,,10,110,15"></lb> τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἢ τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,110,16"></lb> ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ].</s> <lb n="1799,001,,,,10,110,17"></lb> <s>Εἰ μὲν δὴ ἡ ΖΘ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμ-<lb n="1799,001,,,,10,110,18"></lb> μέτρου ἑαυτῇ, καὶ οὐθετέρα τῶν ΖΘ, ΖΚ σύμμετρός ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,110,19"></lb> τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ τρίτη ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,10,110,20"></lb> ἡ ΚΘ.</s> <s>ῥητὴ δὲ ἡ ΚΛ, τὸ <lb n="1799,001,,,,10,110,21"></lb> δ' ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς <lb n="1799,001,,,,10,110,22"></lb> τρίτης περιεχόμενον ὀρθο-<lb n="1799,001,,,,10,110,23"></lb> γώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,110,24"></lb> ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός <lb n="1799,001,,,,10,110,25"></lb> ἐστιν, καλεῖται δὲ μέσης <lb n="1799,001,,,,10,110,26"></lb> ἀποτομὴ δευτέρα· ὥστε ἡ <lb n="1799,001,,,,10,110,27"></lb> τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, <lb n="1799,001,,,,10,110,28"></lb> δυναμένη μέσης ἀποτομή <lb n="1799,001,,,,10,110,29"></lb> ἐστι δευτέρα.</s> <lb n="1799,001,,,,10,110,30"></lb> <s>Εἰ δὲ ἡ ΖΘ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμ-<lb n="1799,001,,,,10,110,31"></lb> μέτρου ἑαυτῇ [μήκει], καὶ οὐθετέρα τῶν ΘΖ, ΖΚ <lb n="1799,001,,,,10,110,32"></lb> σύμμετρός ἐστι τῇ ΖΗ μήκει, ἀποτομὴ ἕκτη ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,110,33"></lb> ΚΘ.</s> <s>τὸ δ' ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς ἕκτης ἡ δυναμένη <lb n="1799,001,,,,10,110,34"></lb> ἐστὶ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.</s> <s>ἡ τὸ ΛΘ ἄρα, <lb n="1799,001,,,,10,110,35"></lb> τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον <lb n="1799,001,,,,10,110,36"></lb> ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,110,37"></lb> Ἡ ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,111,1"></lb> <s>Ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ οὐκ ἔστιν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,111,2"></lb> αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,111,3"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΓ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,111,4"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω <lb n="1799,001,,,,10,111,5"></lb> ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΕ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν <lb n="1799,001,,,,10,111,6"></lb> ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἀπο- <lb n="1799,001,,,,10,111,7"></lb> τομὴ πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ.</s> <s>ἔστω <lb n="1799,001,,,,10,111,8"></lb> αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΕΖ· <lb n="1799,001,,,,10,111,9"></lb> αἱ ΔΖ, ΖΕ ἄρα ῥηταί εἰσι <lb n="1799,001,,,,10,111,10"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,111,11"></lb> ἡ ΔΖ τῆς ΖΕ μεῖζον δύνα-<lb n="1799,001,,,,10,111,12"></lb> ται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, <lb n="1799,001,,,,10,111,13"></lb> καὶ ἡ ΔΖ σύμμετρός ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,111,14"></lb> τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ <lb n="1799,001,,,,10,111,15"></lb> ΔΓ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνο-<lb n="1799,001,,,,10,111,16"></lb> μάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ, ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,111,17"></lb> ἄρα ὀνομάτων πρώτη ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,111,18"></lb> ΔΕ.</s> <s>διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Η, καὶ ἔστω <lb n="1799,001,,,,10,111,19"></lb> μεῖζον ὄνομα τὸ ΔΗ· αἱ ΔΗ, ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,111,20"></lb> μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΗ τῆς ΗΕ μεῖζον δύναται τῷ <lb n="1799,001,,,,10,111,21"></lb> ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ μεῖζον ἡ ΔΗ σύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,111,22"></lb> ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ.</s> <s>καὶ ἡ ΔΖ ἄρα τῇ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,111,23"></lb> ΔΗ σύμμετρός ἐστι μήκει· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,111,24"></lb> μετρός ἐστι τῇ ΔΖ μήκει.</s> <s>[ἐπεὶ οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,111,25"></lb> ΔΖ τῇ ΗΖ, ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΔΖ, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,10,111,26"></lb> ΗΖ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΗΖ μήκει] <lb n="1799,001,,,,10,111,27"></lb> ἀσύμμετρος δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΕΖ μήκει· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,111,28"></lb> καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ μήκει.</s> <s>αἱ ΗΖ, ΖΕ ἄρα ῥηταί [εἰσι] <lb n="1799,001,,,,10,111,29"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,111,30"></lb> <s>ἀλλὰ καὶ ῥητή· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <lb n="1799,001,,,,10,111,31"></lb> <s>Ἡ ἄρα ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνο-<lb n="1799,001,,,,10,111,32"></lb> μάτων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,111,33"></lb> <s>[Πόρισμα] <lb n="1799,001,,,,10,111,34"></lb> Ἡ ἀποτομὴ καὶ αἱ μετ' αὐτὴν ἄλογοι οὔτε τῇ μέσῃ <lb n="1799,001,,,,10,111,35"></lb> οὔτε ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ αὐταί.</s> <lb n="1799,001,,,,10,111,36"></lb> <s>Τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον <lb n="1799,001,,,,10,111,37"></lb> πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ, παρ' ἣν παρά-<lb n="1799,001,,,,10,111,38"></lb> κειται, μήκει, τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παρα-<lb n="1799,001,,,,10,111,39"></lb> βαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην, τὸ δὲ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,111,40"></lb> μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον <lb n="1799,001,,,,10,111,41"></lb> πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν, τὸ δὲ ἀπὸ μέσης ἀπο-<lb n="1799,001,,,,10,111,42"></lb> τομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,111,43"></lb> ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην, τὸ δὲ ἀπὸ ἐλάσσονος παρὰ ῥητὴν <lb n="1799,001,,,,10,111,44"></lb> παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην, τὸ <lb n="1799,001,,,,10,111,45"></lb> δὲ ἀπὸ τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ <lb n="1799,001,,,,10,111,46"></lb> ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην, <lb n="1799,001,,,,10,111,47"></lb> τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ <lb n="1799,001,,,,10,111,48"></lb> ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην.</s> <lb n="1799,001,,,,10,111,49"></lb> <s>ἐπεὶ οὖν τὰ εἰρημένα πλάτη διαφέρει τοῦ τε πρώτου καὶ <lb n="1799,001,,,,10,111,50"></lb> ἀλλήλων, τοῦ μὲν πρώτου, ὅτι ῥητή ἐστιν, ἀλλήλων δέ, <lb n="1799,001,,,,10,111,51"></lb> ἐπεὶ τῇ τάξει οὐκ εἰσὶν αἱ αὐταί, δῆλον, ὡς καὶ αὐταὶ αἱ <lb n="1799,001,,,,10,111,52"></lb> ἄλογοι διαφέρουσιν ἀλλήλων.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δέδεικται ἡ <lb n="1799,001,,,,10,111,53"></lb> ἀποτομὴ οὐκ οὖσα ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων, ποιοῦσι <lb n="1799,001,,,,10,111,54"></lb> δὲ πλάτη παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμεναι αἱ μετὰ τὴν <lb n="1799,001,,,,10,111,55"></lb> ἀποτομὴν ἀποτομὰς ἀκολούθως ἑκάστη τῇ τάξει τῇ καθ' <lb n="1799,001,,,,10,111,56"></lb> αὑτήν, αἱ δὲ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τὰς ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,111,57"></lb> ὀνομάτων καὶ αὐταὶ τῇ τάξει ἀκολούθως, ἕτεραι ἄρα εἰσὶν <lb n="1799,001,,,,10,111,58"></lb> αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν καὶ ἕτεραι αἱ μετὰ τὴν ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,111,59"></lb> ὀνομάτων, ὡς εἶναι τῇ τάξει πάσας ἀλόγους <ιγ>, <lb n="1799,001,,,,10,111,60"></lb> Μέσην, <lb n="1799,001,,,,10,111,61"></lb> Ἐκ δύο ὀνομάτων, <lb n="1799,001,,,,10,111,62"></lb> Ἐκ δύο μέσων πρώτην, <lb n="1799,001,,,,10,111,63"></lb> Ἐκ δύο μέσων δευτέραν, <lb n="1799,001,,,,10,111,64"></lb> Μείζονα, <lb n="1799,001,,,,10,111,65"></lb> Ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένην, <lb n="1799,001,,,,10,111,66"></lb> Δύο μέσα δυναμένην, <lb n="1799,001,,,,10,111,67"></lb> Ἀποτομήν, <lb n="1799,001,,,,10,111,68"></lb> Μέσης ἀποτομὴν πρώτην, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,111,69"></lb> Μέσης ἀποτομὴν δευτέραν, <lb n="1799,001,,,,10,111,70"></lb> Ἐλάσσονα, <lb n="1799,001,,,,10,111,71"></lb> Μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν, <lb n="1799,001,,,,10,111,72"></lb> Μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,111,73"></lb> <s>Τὸ ἀπὸ ῥητῆς παρὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων παραβαλλό-<lb n="1799,001,,,,10,112,1"></lb> μενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομήν, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά <lb n="1799,001,,,,10,112,2"></lb> ἐστι τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι καὶ ἔτι ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,10,112,3"></lb> αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ γινομένη ἀποτομὴ τὴν αὐτὴν ἕξει <lb n="1799,001,,,,10,112,4"></lb> τάξιν τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων.</s> <lb n="1799,001,,,,10,112,5"></lb> <s>Ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α, ἐκ δύο ὀνομάτων δὲ ἡ ΒΓ, ἧς <lb n="1799,001,,,,10,112,6"></lb> μεῖζον ὄνομα ἔστω ἡ ΔΓ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω τὸ <lb n="1799,001,,,,10,112,7"></lb> ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ἀποτομή ἐστιν, ἧς <lb n="1799,001,,,,10,112,8"></lb> τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς ΓΔ, ΔΒ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,10,112,9"></lb> λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΕΖ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν τῇ ΒΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,112,10"></lb> <s>Ἔστω γὰρ πάλιν τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, <lb n="1799,001,,,,10,112,11"></lb> Η.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,112,12"></lb> ΒΔ, Η, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ Η <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,112,13"></lb> πρὸς τὴν ΕΖ.</s> <s>μείζων δὲ ἡ ΓΒ τῆς ΒΔ· μείζων ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,10,112,14"></lb> καὶ ἡ Η τῆς ΕΖ.</s> <s>ἔστω τῇ Η ἴση ἡ ΕΘ· ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,10,112,15"></lb> ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ· διελόντι <lb n="1799,001,,,,10,112,16"></lb> ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,10,112,17"></lb> ΖΕ.</s> <s>γεγονέτω ὡς ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΖΚ <lb n="1799,001,,,,10,112,18"></lb> πρὸς τὴν ΚΕ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ὅλην τὴν ΚΖ ἐστιν, <lb n="1799,001,,,,10,112,19"></lb> ὡς ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ· ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν <lb n="1799,001,,,,10,112,20"></lb> τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα <lb n="1799,001,,,,10,112,21"></lb> τὰ ἑπόμενα.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΔ <lb n="1799,001,,,,10,112,22"></lb> πρὸς τὴν ΔΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς ΚΖ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,10,112,23"></lb> ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ.</s> <s>σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,112,24"></lb> τῆς ΔΒ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,112,25"></lb> ἀπὸ τῆς ΚΖ.</s> <s>καί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,112,26"></lb> τῆς ΚΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΕ, ἐπεὶ αἱ τρεῖς αἱ <lb n="1799,001,,,,10,112,27"></lb> ΘΚ, ΚΖ, ΚΕ ἀνάλογόν εἰσιν.</s> <s>σύμμετρος ἄρα ἡ ΘΚ τῇ <lb n="1799,001,,,,10,112,28"></lb> ΚΕ μήκει· ὥστε καὶ ἡ ΘΕ τῇ ΕΚ σύμμετρός ἐστι μήκει.</s> <lb n="1799,001,,,,10,112,29"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΒΔ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,112,30"></lb> ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς Α, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,10,112,31"></lb> τῶν ΕΘ, ΒΔ.</s> <s>καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΔ παράκειται· ῥητὴ <lb n="1799,001,,,,10,112,32"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΔ μήκει· ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,10,112,33"></lb> ἡ σύμμετρος αὐτῇ ἡ ΕΚ ῥητή ἐστι καὶ σύμμετρος τῇ <lb n="1799,001,,,,10,112,34"></lb> ΒΔ μήκει.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,10,112,35"></lb> ΖΚ πρὸς ΚΕ, αἱ δὲ ΓΔ, ΔΒ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,112,36"></lb> μετροι, καὶ αἱ ΖΚ, ΚΕ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,112,37"></lb> <s>ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΚ.</s> <s>αἱ ΖΚ, ΚΕ <lb n="1799,001,,,,10,112,38"></lb> ἄρα ῥηταὶ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,112,39"></lb> ἐστὶν ἡ ΕΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,112,40"></lb> <s>Ἤτοι δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμ-<lb n="1799,001,,,,10,112,41"></lb> μέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.</s> <lb n="1799,001,,,,10,112,42"></lb> <s>Εἰ μὲν οὖν ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,112,43"></lb> συμμέτρου [ἑαυτῇ], καὶ ἡ ΖΚ τῆς ΚΕ μεῖζον δυνή-<lb n="1799,001,,,,10,112,44"></lb> σεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καὶ εἰ μὲν σύμμετρός <lb n="1799,001,,,,10,112,45"></lb> ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΚ· εἰ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,112,46"></lb> ἡ ΒΔ, καὶ ἡ ΚΕ· εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ, ΔΒ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,112,47"></lb> οὐδετέρα τῶν ΖΚ, ΚΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,112,48"></lb> <s>Εἰ δὲ ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμ-<lb n="1799,001,,,,10,112,49"></lb> μέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΖΚ τῆς ΚΕ μεῖζον δυνήσεται τῷ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,112,50"></lb> ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καὶ εἰ μὲν ἡ ΓΔ σύμμετρός ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,112,51"></lb> τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΚ· εἰ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,10,112,52"></lb> ΚΕ· εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΓΔ, ΔΒ, καὶ οὐδετέρα τῶν ΖΚ, <lb n="1799,001,,,,10,112,53"></lb> ΚΕ· ὥστε ἀποτομή ἐστιν ἡ ΖΕ, ἧς τὰ ὀνόματα τὰ ΖΚ, <lb n="1799,001,,,,10,112,54"></lb> ΚΕ σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι <lb n="1799,001,,,,10,112,55"></lb> τοῖς ΓΔ, ΔΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ τὴν αὐτὴν τάξιν <lb n="1799,001,,,,10,112,56"></lb> ἔχει τῇ ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,112,57"></lb> <s>Τὸ ἀπὸ ῥητῆς παρὰ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτος <lb n="1799,001,,,,10,113,1"></lb> ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι <lb n="1799,001,,,,10,113,2"></lb> τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἔτι <lb n="1799,001,,,,10,113,3"></lb> δὲ ἡ γινομένη ἐκ δύο ὀνομάτων τὴν αὐτὴν τάξιν ἔχει τῇ <lb n="1799,001,,,,10,113,4"></lb> ἀποτομῇ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,113,5"></lb> <s>Ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α, ἀποτομὴ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,113,6"></lb> τῆς Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΚΘ, ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,10,113,7"></lb> Α ῥητῆς παρὰ τὴν ΒΔ ἀποτομὴν <lb n="1799,001,,,,10,113,8"></lb> παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ΚΘ· <lb n="1799,001,,,,10,113,9"></lb> λέγω, ὅτι ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ, <lb n="1799,001,,,,10,113,10"></lb> ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς <lb n="1799,001,,,,10,113,11"></lb> ΒΔ ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,113,12"></lb> ἔτι ἡ ΚΘ τὴν αὐτὴν ἔχει τάξιν τῇ ΒΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,113,13"></lb> <s>Ἔστω γὰρ τῇ ΒΔ προσαρμόζουσα <lb n="1799,001,,,,10,113,14"></lb> ἡ ΔΓ· αἱ ΒΓ, ΓΔ ἄρα ῥηταί εἰσι <lb n="1799,001,,,,10,113,15"></lb> δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>καὶ τῷ ἀπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,113,16"></lb> τῆς Α ἴσον ἔστω καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,10,113,17"></lb> ἀπὸ τῆς Α· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η.</s> <s>καὶ παρὰ <lb n="1799,001,,,,10,113,18"></lb> ῥητὴν τὴν ΒΓ παραβέβληται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η καὶ <lb n="1799,001,,,,10,113,19"></lb> σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει.</s> <s>ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η <lb n="1799,001,,,,10,113,20"></lb> ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΚΘ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς <lb n="1799,001,,,,10,113,21"></lb> ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς Η.</s> <s>μείζων δὲ ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,113,22"></lb> τῆς ΒΔ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΘ τῆς Η.</s> <s>κείσθω τῇ Η ἴση <lb n="1799,001,,,,10,113,23"></lb> ἡ ΚΕ· σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΒΓ μήκει.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,10,113,24"></lb> ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ΚΕ, <lb n="1799,001,,,,10,113,25"></lb> ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸσ τὴν ΓΔ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,113,26"></lb> ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ.</s> <s>γεγονέτω ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,10,113,27"></lb> ΘΖ πρὸς ΖΕ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ ἐστιν, ὡς <lb n="1799,001,,,,10,113,28"></lb> ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, τουτέστιν [ὡσ] ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ.</s> <s>αἱ δὲ <lb n="1799,001,,,,10,113,29"></lb> ΒΓ, ΓΔ δυνάμει μόνον [εἰσὶ] σύμμετροι· καὶ αἱ ΚΖ, <lb n="1799,001,,,,10,113,30"></lb> ΖΘ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς <lb n="1799,001,,,,10,113,31"></lb> ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἀλλ' ὡς ἡ ΚΘ πρὸς <lb n="1799,001,,,,10,113,32"></lb> ΘΕ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἡ ΘΖ <lb n="1799,001,,,,10,113,33"></lb> πρὸς ΖΕ· ὥστε καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,113,34"></lb> τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΖ <lb n="1799,001,,,,10,113,35"></lb> πρὸς ΖΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,113,36"></lb> <s>σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ· αἱ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,113,37"></lb> γὰρ ΚΖ, ΖΘ δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι· σύμμετρος ἄρα <lb n="1799,001,,,,10,113,38"></lb> ἐστὶ καὶ ἡ ΚΖ τῇ ΖΕ μήκει· ὥστε ἡ ΚΖ καὶ τῇ ΚΕ <lb n="1799,001,,,,10,113,39"></lb> σύμμετρός [ἐστι] μήκει.</s> <s>ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ καὶ σύμ-<lb n="1799,001,,,,10,113,40"></lb> μετρος τῇ ΒΓ μήκει· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετρος <lb n="1799,001,,,,10,113,41"></lb> τῇ ΒΓ μήκει.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,10,113,42"></lb> ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΚΖ, οὕτως ἡ ΔΓ <lb n="1799,001,,,,10,113,43"></lb> πρὸς ΖΘ.</s> <s>σύμμετρος δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΚΖ· σύμμετρος ἄρα καὶ <lb n="1799,001,,,,10,113,44"></lb> ἡ ΖΘ τῇ ΓΔ μήκει.</s> <s>αἱ ΒΓ, ΓΔ δὲ ῥηταί εἰσι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,113,45"></lb> μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΚΖ, ΖΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,10,113,46"></lb> μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἄρα ἡ ΚΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,113,47"></lb> <s>Εἰ μὲν οὖν ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,113,48"></lb> συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΚΖ τῆς ΖΘ μεῖζον δυνήσεται <lb n="1799,001,,,,10,113,49"></lb> τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ <lb n="1799,001,,,,10,113,50"></lb> ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΚΖ, εἰ δὲ ἡ ΓΔ <lb n="1799,001,,,,10,113,51"></lb> σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΘ, <lb n="1799,001,,,,10,113,52"></lb> εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ, οὐδετέρα τῶν ΚΖ, ΖΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,113,53"></lb> <s>Εἰ δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμ-<lb n="1799,001,,,,10,113,54"></lb> μέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΚΖ τῆς ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ <lb n="1799,001,,,,10,113,55"></lb> ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.</s> <s>καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,113,56"></lb> τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΚΖ, εἰ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,10,113,57"></lb> ΖΘ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ, οὐδετέρα τῶν ΚΖ, ΖΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,113,58"></lb> <s>Ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ, ἧς τὰ ὀνόματα τὰ <lb n="1799,001,,,,10,113,59"></lb> ΚΖ, ΖΘ σύμμετρά [ἐστι] τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι <lb n="1799,001,,,,10,113,60"></lb> τοῖς ΒΓ, ΓΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τῇ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,10,113,61"></lb> τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,113,62"></lb> <s>Ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆς καὶ τῆς ἐκ δύο <lb n="1799,001,,,,10,114,1"></lb> ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά τέ ἐστι τοῖς τῆς <lb n="1799,001,,,,10,114,2"></lb> ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἡ τὸ χωρίον <lb n="1799,001,,,,10,114,3"></lb> δυναμένη ῥητή ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,114,4"></lb> <s>Περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ ἀπο-<lb n="1799,001,,,,10,114,5"></lb> τομῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τῆς ΓΔ, ἧς μεῖζον <lb n="1799,001,,,,10,114,6"></lb> ὄνομα ἔστω τὸ ΓΕ, καὶ ἔστω τὰ ὀνό-<lb n="1799,001,,,,10,114,7"></lb> ματα τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τὰ ΓΕ, ΕΔ <lb n="1799,001,,,,10,114,8"></lb> σύμμετρά τε τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνό-<lb n="1799,001,,,,10,114,9"></lb> μασι τοῖς ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,10,114,10"></lb> λόγῳ, καὶ ἔστω ἡ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,10,114,11"></lb> ΓΔ δυναμένη ἡ Η· λέγω, ὅτι ῥητή <lb n="1799,001,,,,10,114,12"></lb> ἐστιν ἡ Η.</s> <lb n="1799,001,,,,10,114,13"></lb> <s>Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ Θ, καὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,114,14"></lb> ἀπὸ τῆς Θ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω πλάτος ποιοῦν <lb n="1799,001,,,,10,114,15"></lb> τὴν ΚΛ· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ, ἧς τὰ ὀνόματα ἔστω <lb n="1799,001,,,,10,114,16"></lb> τὰ ΚΜ, ΜΛ σύμμετρα τοῖς τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ὀνόμασι <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,114,17"></lb> τοῖς ΓΕ, ΕΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ.</s> <s>ἀλλὰ καὶ αἱ ΓΕ, ΕΔ <lb n="1799,001,,,,10,114,18"></lb> σύμμετροί τέ εἰσι ταῖς ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ· <lb n="1799,001,,,,10,114,19"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΚΜ πρὸς ΜΛ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,114,20"></lb> <s>ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΚΜ, οὕτως ἡ ΒΖ <lb n="1799,001,,,,10,114,21"></lb> πρὸς τὴν ΛΜ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΚΛ <lb n="1799,001,,,,10,114,22"></lb> ἐστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΚΜ.</s> <s>σύμμετρος δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΚΜ· <lb n="1799,001,,,,10,114,23"></lb> σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΚΛ.</s> <s>καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,114,24"></lb> πρὸς ΚΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,10,114,25"></lb> ΓΔ, ΚΛ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,114,26"></lb> τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ.</s> <s>ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΚΛ τῷ <lb n="1799,001,,,,10,114,27"></lb> ἀπὸ τῆς Θ· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ <lb n="1799,001,,,,10,114,28"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς Θ.</s> <s>τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,10,114,29"></lb> τῆς Η· σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η τῷ ἀπὸ τῆς Θ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,114,30"></lb> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Θ· ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η· <lb n="1799,001,,,,10,114,31"></lb> ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η.</s> <s>καὶ δύναται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,10,114,32"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα χωρίον περιέχηται ὑπὸ ἀποτομῆς καὶ τῆς ἐκ <lb n="1799,001,,,,10,114,33"></lb> δύο ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἀπο-<lb n="1799,001,,,,10,114,34"></lb> τομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἡ τὸ χωρίον δυνα-<lb n="1799,001,,,,10,114,35"></lb> μένη ῥητή ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,10,114,36"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,10,114,37"></lb> Καὶ γέγονεν ἡμῖν καὶ διὰ τούτου φανερόν, ὅτι δυνατόν <lb n="1799,001,,,,10,114,38"></lb> ἐστι ῥητὸν χωρίον ὑπὸ ἀλόγων εὐθειῶν περιέχεσθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,10,114,39"></lb> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,114,40"></lb> Ἀπὸ μέσης ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ οὐδεμία <lb n="1799,001,,,,10,115,1"></lb> οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή.</s> <lb n="1799,001,,,,10,115,2"></lb> <s>Ἔστω μέση ἡ Α· λέγω, ὅτι ἀπὸ τῆς Α ἄπειροι ἄλογοι <lb n="1799,001,,,,10,115,3"></lb> γίνονται, καὶ οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή.</s> <lb n="1799,001,,,,10,115,4"></lb> <s>Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Β, καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Α ἴσον ἔστω <lb n="1799,001,,,,10,115,5"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς Γ· ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ Γ· τὸ γὰρ ὑπὸ ἀλόγου <lb n="1799,001,,,,10,115,6"></lb> καὶ ῥητῆς ἄλογόν ἐστιν.</s> <s>καὶ οὐδε-<lb n="1799,001,,,,10,115,7"></lb> μιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· τὸ γὰρ <lb n="1799,001,,,,10,115,8"></lb> ἀπ' οὐδεμιᾶς τῶν πρότερον παρὰ ῥη-<lb n="1799,001,,,,10,115,9"></lb> τὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ <lb n="1799,001,,,,10,115,10"></lb> μέσην.</s> <s>πάλιν δὴ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Γ <lb n="1799,001,,,,10,115,11"></lb> ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Δ· ἄλογον <lb n="1799,001,,,,10,115,12"></lb> ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Δ.</s> <s>ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ Δ· καὶ οὐδεμιᾷ <lb n="1799,001,,,,10,115,13"></lb> τῶν πρότερον ἡ αὐτή· τὸ γὰρ ἀπ' οὐδεμιᾶς τῶν πρότερον <lb n="1799,001,,,,10,115,14"></lb> παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν Γ.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,10,115,15"></lb> δὴ τῆς τοιαύτης τάξεως ἐπ' ἄπειρον προβαινούσης <lb n="1799,001,,,,10,115,16"></lb> φανερόν, ὅτι ἀπὸ τῆς μέσης ἄπειροι ἄλογοι γίνονται, καὶ <lb n="1799,001,,,,10,115,17"></lb> οὐδεμία οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι].</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,10,115,18"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Στερεόν ἐστι τὸ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος ἔχον.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,1,1"></lb> <s> Στερεοῦ δὲ πέρας ἐπιφάνεια.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,2,1"></lb> <s>Εὐθεῖα πρὸς ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν, ὅταν πρὸς πάσας <lb n="1799,001,,,,11;HOR,3,1"></lb> τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ [ὑποκειμένῳ] <lb n="1799,001,,,,11;HOR,3,2"></lb> ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιῇ γωνίας.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,3,3"></lb> <s>Ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστιν, ὅταν αἱ τῇ κοι-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,4,1"></lb> νῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑνὶ <lb n="1799,001,,,,11;HOR,4,2"></lb> τῶν ἐπιπέδων τῷ λοιπῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,4,3"></lb> <s>Εὐθείας πρὸς ἐπίπεδον κλίσις ἐστίν, ὅταν ἀπὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,11;HOR,5,1"></lb> μετεώρου πέρατος τῆς εὐθείας ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον κάθετος <lb n="1799,001,,,,11;HOR,5,2"></lb> ἀχθῇ, καὶ ἀπὸ τοῦ γενομένου σημείου ἐπὶ τὸ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ <lb n="1799,001,,,,11;HOR,5,3"></lb> πέρας τῆς εὐθείας εὐθεῖα ἐπιζευχθῇ, ἡ περιεχομένη γωνία <lb n="1799,001,,,,11;HOR,5,4"></lb> ὑπὸ τῆς ἀχθείσης καὶ τῆς ἐφεστώσης.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,5,5"></lb> <s>Ἐπιπέδου πρὸς ἐπίπεδον κλίσις ἐστὶν ἡ περιεχομένη <lb n="1799,001,,,,11;HOR,6,1"></lb> ὀξεῖα γωνία ὑπὸ τῶν πρὸς ὀρθὰς τῇ κοινῇ τομῇ ἀγομένων <lb n="1799,001,,,,11;HOR,6,2"></lb> πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,6,3"></lb> Ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὁμοίως κεκλίσθαι λέγεται <lb n="1799,001,,,,11;HOR,7,1"></lb> καὶ ἕτερον πρὸς ἕτερον, ὅταν αἱ εἰρημέναι τῶν κλίσεων γω-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,7,2"></lb> νίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,7,3"></lb> <s>Παράλληλα ἐπίπεδά ἐστι τὰ ἀσύμπτωτα.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,8,1"></lb> <s>Ὅμοια στερεὰ σχήματά ἐστι τὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέ-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,9,1"></lb> δων περιεχόμενα ἴσων τὸ πλῆθος.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,9,2"></lb> <s>Ἴσα δὲ καὶ ὅμοια στερεὰ σχήματά ἐστι τὰ ὑπὸ ὁμοίων <lb n="1799,001,,,,11;HOR,10,1"></lb> ἐπιπέδων περιεχόμενα ἴσων τῷ πλήθει καὶ τῷ μεγέθει.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,10,2"></lb> <s>Στερεὰ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ πλειόνων ἢ δύο γραμ-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,11,1"></lb> μῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐν τῇ αὐτῇ ἐπιφανείᾳ <lb n="1799,001,,,,11;HOR,11,2"></lb> οὐσῶν πρὸς πάσαις ταῖς γραμμαῖς κλίσις.</s> <s>Ἄλλως· στερεὰ <lb n="1799,001,,,,11;HOR,11,3"></lb> γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ πλειόνων ἢ δύο γωνιῶν ἐπιπέδων περι-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,11,4"></lb> εχομένη μὴ οὐσῶν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ἑνὶ σημείῳ <lb n="1799,001,,,,11;HOR,11,5"></lb> συνισταμένων.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,11,6"></lb> <s>Πυραμίς ἐστι σχῆμα στερεὸν ἐπιπέδοις περιεχόμε-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,12,1"></lb> νον ἀπὸ ἑνὸς ἐπιπέδου πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνεστώς.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,12,2"></lb> <s>Πρίσμα ἐστὶ σχῆμα στερεὸν ἐπιπέδοις περιεχόμε-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,13,1"></lb> νον, ὧν δύο τὰ ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστι καὶ παράλ-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,13,2"></lb> ληλα, τὰ δὲ λοιπὰ παραλληλόγραμμα.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,13,3"></lb> <s>Σφαῖρά ἐστιν, ὅταν ἡμικυκλίου μενούσης τῆς δια-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,14,1"></lb> μέτρου περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀπο-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,14,2"></lb> κατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ περιληφθὲν σχῆμα.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,14,3"></lb> <s>Ἄξων δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶν ἡ μένουσα εὐθεῖα, περὶ <lb n="1799,001,,,,11;HOR,15,1"></lb> ἣν τὸ ἡμικύκλιον στρέφεται.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,15,2"></lb> <s>Κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶ τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ <lb n="1799,001,,,,11;HOR,16,1"></lb> ἡμικυκλίου.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,16,2"></lb> Διάμετρος δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,11;HOR,17,1"></lb> κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη <lb n="1799,001,,,,11;HOR,17,2"></lb> ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,17,3"></lb> <s>Κῶνός ἐστιν, ὅταν ὀρθογωνίου τριγώνου μενούσης <lb n="1799,001,,,,11;HOR,18,1"></lb> μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιενεχθὲν τὸ <lb n="1799,001,,,,11;HOR,18,2"></lb> τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο <lb n="1799,001,,,,11;HOR,18,3"></lb> φέρεσθαι, τὸ περιληφθὲν σχῆμα.</s> <s>κἂν μὲν ἡ μένουσα εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,11;HOR,18,4"></lb> ἴση ᾖ τῇ λοιπῇ [τῇ] περὶ τὴν ὀρθὴν περιφερομένῃ, ὀρθο-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,18,5"></lb> γώνιος ἔσται ὁ κῶνος, ἐὰν δὲ ἐλάττων, ἀμβλυγώνιος, ἐὰν <lb n="1799,001,,,,11;HOR,18,6"></lb> δὲ μείζων, ὀξυγώνιος.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,18,7"></lb> <s>Ἄξων δὲ τοῦ κώνου ἐστὶν ἡ μένουσα εὐθεῖα, περὶ <lb n="1799,001,,,,11;HOR,19,1"></lb> ἣν τὸ τρίγωνον στρέφεται.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,19,2"></lb> <s>Βάσις δὲ ὁ κύκλος ὁ ὑπὸ τῆς περιφερομένης εὐθείας <lb n="1799,001,,,,11;HOR,20,1"></lb> γραφόμενος.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,20,2"></lb> <s>Κύλινδρός ἐστιν, ὅταν ὀρθογωνίου παραλληλο-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,21,1"></lb> γράμμου μενούσης μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν <lb n="1799,001,,,,11;HOR,21,2"></lb> γωνίαν περιενεχθὲν τὸ παραλληλόγραμμον εἰς τὸ αὐτὸ <lb n="1799,001,,,,11;HOR,21,3"></lb> πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ περι-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,21,4"></lb> ληφθὲν σχῆμα.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,21,5"></lb> <s>Ἄξων δὲ τοῦ κυλίνδρου ἐστὶν ἡ μένουσα εὐθεῖα, <lb n="1799,001,,,,11;HOR,22,1"></lb> περὶ ἣν τὸ παραλληλόγραμμον στρέφεται.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,22,2"></lb> <s>Βάσεις δὲ οἱ κύκλοι οἱ ὑπὸ τῶν ἀπεναντίον περι-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,23,1"></lb> αγομένων δύο πλευρῶν γραφόμενοι.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,23,2"></lb> <s>Ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροί εἰσιν, ὧν οἵ τε ἄξονες <lb n="1799,001,,,,11;HOR,24,1"></lb> καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων ἀνάλογόν εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,24,2"></lb> <s>Κύβος ἐστὶ σχῆμα στερεὸν ὑπὸ ἓξ τετραγώνων <lb n="1799,001,,,,11;HOR,25,1"></lb> ἴσων περιεχόμενον.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,25,2"></lb> Ὀκτάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ ὀκτὼ τριγώ-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,26,1"></lb> νων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,26,2"></lb> <s>Εἰκοσάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ εἴκοσι τρι-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,27,1"></lb> γώνων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,27,2"></lb> <s>Δωδεκάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ δώδεκα <lb n="1799,001,,,,11;HOR,28,1"></lb> πενταγώνων ἴσων καὶ ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων περιεχό-<lb n="1799,001,,,,11;HOR,28,2"></lb> μενον.</s> <lb n="1799,001,,,,11;HOR,28,3"></lb> <s></s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Εὐθείας γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ὑπο-<lb n="1799,001,,,,11,1,1"></lb> κειμένῳ, ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι ἐν μετεωροτέρῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,1,2"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, εὐθείας γραμμῆς τῆς <lb n="1799,001,,,,11,1,3"></lb> ΑΒΓ μέρος μέν τι τὸ ΑΒ ἔστω ἐν τῷ ὑπο-<lb n="1799,001,,,,11,1,4"></lb> κειμένῳ ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι τὸ ΒΓ ἐν <lb n="1799,001,,,,11,1,5"></lb> μετεωροτέρῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,1,6"></lb> <s>Ἔσται δή τις τῇ ΑΒ συνεχὴς εὐθεῖα ἐπ' <lb n="1799,001,,,,11,1,7"></lb> εὐθείας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ.</s> <s>ἔστω <lb n="1799,001,,,,11,1,8"></lb> ἡ ΒΔ· δύο ἄρα εὐθειῶν τῶν ΑΒΓ, ΑΒΔ <lb n="1799,001,,,,11,1,9"></lb> κοινὸν τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύ-<lb n="1799,001,,,,11,1,10"></lb> νατον, ἐπειδήπερ ἐὰν κέντρῳ τῷ Β καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,11,1,11"></lb> κύκλον γράψωμεν, αἱ διάμετροι ἀνίσους ἀπολήψονται τοῦ <lb n="1799,001,,,,11,1,12"></lb> κύκλου περιφερείας.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,1,13"></lb> Εὐθείας ἄρα γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,11,1,14"></lb> ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν μετεωροτέρῳ· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,11,1,15"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,1,16"></lb> <s>Ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, <lb n="1799,001,,,,11,2,1"></lb> καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,2,2"></lb> <s>Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ <lb n="1799,001,,,,11,2,3"></lb> τὸ Ε σημεῖον· λέγω, ὅτι αἱ ΑΒ, ΓΔ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, <lb n="1799,001,,,,11,2,4"></lb> καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,2,5"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῶν ΕΓ, ΕΒ τυχόντα σημεῖα τὰ Ζ, <lb n="1799,001,,,,11,2,6"></lb> Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒ, ΖΗ, καὶ διήχθωσαν αἱ <lb n="1799,001,,,,11,2,7"></lb> ΖΘ, ΗΚ· λέγω πρῶτον, ὅτι τὸ ΕΓΒ <lb n="1799,001,,,,11,2,8"></lb> τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.</s> <s>εἰ γάρ <lb n="1799,001,,,,11,2,9"></lb> ἐστι τοῦ ΕΓΒ τριγώνου μέρος ἤτοι τὸ <lb n="1799,001,,,,11,2,10"></lb> ΖΘΓ ἢ τὸ ΗΒΚ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ [ἐπι-<lb n="1799,001,,,,11,2,11"></lb> πέδῳ], τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ, ἔσται καὶ <lb n="1799,001,,,,11,2,12"></lb> μιᾶς τῶν ΕΓ, ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι <lb n="1799,001,,,,11,2,13"></lb> ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,2,14"></lb> <s>εἰ δὲ τοῦ ΕΓΒ τριγώνου τὸ ΖΓΒΗ μέρος ᾖ ἐν τῷ ὑπο-<lb n="1799,001,,,,11,2,15"></lb> κειμένῳ ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ λοιπὸν ἐν ἄλλῳ, ἔσται καὶ ἀμφοτέ-<lb n="1799,001,,,,11,2,16"></lb> ρων τῶν ΕΓ, ΕΒ εὐθειῶν μέρος μέν τι ἐν τῷ ὑποκειμένῳ <lb n="1799,001,,,,11,2,17"></lb> ἐπιπέδῳ, τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.</s> <s>τὸ ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,2,18"></lb> ΕΓΒ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.</s> <s>ἐν ᾧ δέ ἐστι τὸ ΕΓΒ <lb n="1799,001,,,,11,2,19"></lb> τρίγωνον, ἐν τούτῳ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΓ, ΕΒ, ἐν ᾧ δὲ <lb n="1799,001,,,,11,2,20"></lb> ἑκατέρα τῶν ΕΓ, ΕΒ, ἐν τούτῳ καὶ αἱ ΑΒ, ΓΔ.</s> <s>αἱ ΑΒ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,2,21"></lb> ΓΔ ἄρα εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ, καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν <lb n="1799,001,,,,11,2,22"></lb> ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,2,23"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα, ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ <lb n="1799,001,,,,11,3,1"></lb> εὐθεῖά ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,3,2"></lb> <s>Δύο γὰρ ἐπίπεδα τὰ ΑΒ, ΒΓ τεμνέτω ἄλληλα, κοινὴ δὲ <lb n="1799,001,,,,11,3,3"></lb> αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ ΔΒ γραμμή· λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ γραμμὴ <lb n="1799,001,,,,11,3,4"></lb> εὐθεῖά ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,3,5"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή, ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β ἐν μὲν τῷ <lb n="1799,001,,,,11,3,6"></lb> ΑΒ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΔΕΒ, ἐν δὲ τῷ ΒΓ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,11,3,7"></lb> ἡ ΔΖΒ.</s> <s>ἔσται δὴ δύο εὐθειῶν τῶν ΔΕΒ, <lb n="1799,001,,,,11,3,8"></lb> ΔΖΒ τὰ αὐτὰ πέρατα, καὶ περιέξουσι <lb n="1799,001,,,,11,3,9"></lb> δηλαδὴ χωρίον· ὅπερ ἄτοπον.</s> <s>οὐκ ἄρα αἱ <lb n="1799,001,,,,11,3,10"></lb> ΔΕΒ, ΔΖΒ εὐθεῖαί εἰσιν.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξο-<lb n="1799,001,,,,11,3,11"></lb> μεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,3,12"></lb> Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἔσται πλὴν τῆς <lb n="1799,001,,,,11,3,13"></lb> ΔΒ κοινῆς τομῆς τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπιπέδων.</s> <lb n="1799,001,,,,11,3,14"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνῃ ἄλληλα, ἡ κοινὴ αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,11,3,15"></lb> τομὴ εὐθεῖά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,3,16"></lb> <s>Ἐὰν εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,4,1"></lb> ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ δι' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,11,4,2"></lb> ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,4,3"></lb> Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΕΖ δύο εὐθείαις ταῖς ΑΒ, ΓΔ <lb n="1799,001,,,,11,4,4"></lb> τεμνούσαις ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,4,5"></lb> ὀρθὰς ἐφεστάτω· λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ καὶ τῷ διὰ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,11,4,6"></lb> ΓΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,4,7"></lb> <s>Ἀπειλήφθωσαν γὰρ αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ ἴσαι ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,11,4,8"></lb> λαις, καὶ διήχθω τις διὰ τοῦ Ε, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΗΕΘ, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,4,9"></lb> ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΓΒ, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,4,10"></lb> ἔτι ἀπὸ τυχόντος τοῦ Ζ ἐπεζεύ-<lb n="1799,001,,,,11,4,11"></lb> χθωσαν αἱ ΖΑ, ΖΗ, ΖΔ, ΖΓ, <lb n="1799,001,,,,11,4,12"></lb> ΖΘ, ΖΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΕ, <lb n="1799,001,,,,11,4,13"></lb> ΕΔ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΒ ἴσαι εἰσὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,11,4,14"></lb> γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,4,15"></lb> ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΓΒ ἴση ἐστίν, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,4,16"></lb> τὸ ΑΕΔ τρίγωνον τῷ ΓΕΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται· ὥστε καὶ <lb n="1799,001,,,,11,4,17"></lb> γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ἴση [ἐστίν].</s> <s>ἔστι δὲ <lb n="1799,001,,,,11,4,18"></lb> καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΕΘ ἴση.</s> <s>δύο δὴ τρίγωνά <lb n="1799,001,,,,11,4,19"></lb> ἐστι τὰ ΑΗΕ, ΒΕΘ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας <lb n="1799,001,,,,11,4,20"></lb> ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾳ̂ πλευρᾷ <lb n="1799,001,,,,11,4,21"></lb> ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΑΕ τῇ ΕΒ· καὶ τὰς <lb n="1799,001,,,,11,4,22"></lb> λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,4,23"></lb> <s>ἴση ἄρα ἡ μὲν ΗΕ τῇ ΕΘ, ἡ δὲ ΑΗ τῇ ΒΘ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση <lb n="1799,001,,,,11,4,24"></lb> ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΕ, βάσις <lb n="1799,001,,,,11,4,25"></lb> ἄρα ἡ ΖΑ βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΖΓ <lb n="1799,001,,,,11,4,26"></lb> τῇ ΖΔ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ, ἔστι δὲ <lb n="1799,001,,,,11,4,27"></lb> καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ ἴση, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΔ δυσὶ ταῖς ΖΒ, ΒΓ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,4,28"></lb> ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΖΔ βάσει τῇ ΖΓ <lb n="1799,001,,,,11,4,29"></lb> ἐδείχθη ἴση· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΑΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,4,30"></lb> ΖΒΓ ἴση ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ πάλιν ἐδείχθη ἡ ΑΗ τῇ ΒΘ ἴση, <lb n="1799,001,,,,11,4,31"></lb> ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ ἴση, δύο δὴ αἱ ΖΑ, ΑΗ δυσὶ <lb n="1799,001,,,,11,4,32"></lb> ταῖς ΖΒ, ΒΘ ἴσαι εἰσίν.</s> <s>καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΑΗ ἐδεί-<lb n="1799,001,,,,11,4,33"></lb> χθη ἴση τῇ ὑπὸ ΖΒΘ· βάσις ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ <lb n="1799,001,,,,11,4,34"></lb> ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐδείχθη ἡ ΗΕ τῇ ΕΘ, κοινὴ <lb n="1799,001,,,,11,4,35"></lb> δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΗΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΘΕ, ΕΖ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,11,4,36"></lb> εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,4,37"></lb> ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ ἴση ἐστίν.</s> <s>ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,11,4,38"></lb> τῶν ὑπὸ ΗΕΖ, ΘΕΖ γωνιῶν.</s> <s>ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς τὴν ΗΘ <lb n="1799,001,,,,11,4,39"></lb> τυχόντως διὰ τοῦ Ε ἀχθεῖσαν ὀρθή ἐστιν.</s> <s>ὁμοίως δὴ δεί-<lb n="1799,001,,,,11,4,40"></lb> ξομεν, ὅτι ἡ ΖΕ καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς <lb n="1799,001,,,,11,4,41"></lb> εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιή-<lb n="1799,001,,,,11,4,42"></lb> σει γωνίας.</s> <s>εὐθεῖα δὲ πρὸς ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν, ὅταν πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,4,43"></lb> πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,11,4,44"></lb> ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιῇ γωνίας· ἡ ΖΕ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ <lb n="1799,001,,,,11,4,45"></lb> ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <s>τὸ δὲ ὑποκείμενον ἐπίπεδόν <lb n="1799,001,,,,11,4,46"></lb> ἐστι τὸ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ εὐθειῶν.</s> <s>ἡ ΖΕ ἄρα πρὸς ὀρθάς <lb n="1799,001,,,,11,4,47"></lb> ἐστι τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐπιπέδῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,4,48"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,4,49"></lb> ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ δι' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,11,4,50"></lb> ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,4,51"></lb> Ἐὰν εὐθεῖα τρισὶν εὐθείαις ἁπτομέναις ἀλλήλων πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,5,1"></lb> ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἐν <lb n="1799,001,,,,11,5,2"></lb> ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,5,3"></lb> <s>Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΒΓ, ΒΔ, <lb n="1799,001,,,,11,5,4"></lb> ΒΕ πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κατὰ τὸ Β ἁφῆς ἐφεστάτω· λέγω, <lb n="1799,001,,,,11,5,5"></lb> ὅτι αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,5,6"></lb> <s>Μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, ἔστωσαν αἱ μὲν ΒΔ, ΒΕ ἐν <lb n="1799,001,,,,11,5,7"></lb> τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ ΒΓ ἐν μετεωροτέρῳ, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,5,8"></lb> ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ <lb n="1799,001,,,,11,5,9"></lb> ἐπίπεδον· κοινὴν δὴ τομὴν ποιήσει <lb n="1799,001,,,,11,5,10"></lb> ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,5,11"></lb> <s>ποιείτω τὴν ΒΖ.</s> <s>ἐν ἑνὶ ἄρα εἰσὶν <lb n="1799,001,,,,11,5,12"></lb> ἐπιπέδῳ τῷ διηγμένῳ διὰ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,11,5,13"></lb> ΒΓ αἱ τρεῖς εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, <lb n="1799,001,,,,11,5,14"></lb> ΒΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,5,15"></lb> ἑκατέραν τῶν ΒΔ, ΒΕ, καὶ τῷ διὰ <lb n="1799,001,,,,11,5,16"></lb> τῶν ΒΔ, ΒΕ ἄρα ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ.</s> <s>τὸ δὲ διὰ τῶν <lb n="1799,001,,,,11,5,17"></lb> ΒΔ, ΒΕ ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν· ἡ ΑΒ ἄρα ὀρθή <lb n="1799,001,,,,11,5,18"></lb> ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.</s> <s>ὥστε καὶ πρὸς πάσας <lb n="1799,001,,,,11,5,19"></lb> τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ <lb n="1799,001,,,,11,5,20"></lb> ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ΑΒ.</s> <s>ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ <lb n="1799,001,,,,11,5,21"></lb> ΒΖ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ <lb n="1799,001,,,,11,5,22"></lb> γωνία ὀρθή ἐστιν.</s> <s>ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὀρθή· <lb n="1799,001,,,,11,5,23"></lb> ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ.</s> <s>καί εἰσιν ἐν ἑνὶ <lb n="1799,001,,,,11,5,24"></lb> ἐπιπέδῳ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἡ ΒΓ εὐθεῖα ἐν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,5,25"></lb> μετεωροτέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ· αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, <lb n="1799,001,,,,11,5,26"></lb> ΒΔ, ΒΕ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,5,27"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα τρισὶν εὐθείαις ἁπτομέναις ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,11,5,28"></lb> λων ἐπὶ τῆς ἁφῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπισταθῇ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι <lb n="1799,001,,,,11,5,29"></lb> ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,5,30"></lb> <s>Ἐὰν δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, <lb n="1799,001,,,,11,6,1"></lb> παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,6,2"></lb> <s>Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ <lb n="1799,001,,,,11,6,3"></lb> πρὸς ὀρθὰς ἔστωσαν· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,11,6,4"></lb> τῇ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,6,5"></lb> <s>Συμβαλλέτωσαν γὰρ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ <lb n="1799,001,,,,11,6,6"></lb> Β, Δ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ εὐθεῖα, καὶ ἤχθω τῇ <lb n="1799,001,,,,11,6,7"></lb> ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΕ, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,6,8"></lb> κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύ-<lb n="1799,001,,,,11,6,9"></lb> χθωσαν αἱ ΒΕ, ΑΕ, ΑΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,6,10"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,11,6,11"></lb> ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας <lb n="1799,001,,,,11,6,12"></lb> [ἄρα] τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας <lb n="1799,001,,,,11,6,13"></lb> καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ <lb n="1799,001,,,,11,6,14"></lb> ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.</s> <s>ἅπτεται δὲ τῆς <lb n="1799,001,,,,11,6,15"></lb> ΑΒ ἑκατέρα τῶν ΒΔ, ΒΕ οὖσα ἐν <lb n="1799,001,,,,11,6,16"></lb> τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,6,17"></lb> ΑΒΔ, ΑΒΕ γωνιῶν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν <lb n="1799,001,,,,11,6,18"></lb> ὑπὸ ΓΔΒ, ΓΔΕ ὀρθή ἐστιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ <lb n="1799,001,,,,11,6,19"></lb> ΔΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΔ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΒ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,6,20"></lb> ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ <lb n="1799,001,,,,11,6,21"></lb> βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,11,6,22"></lb> ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΔ, <lb n="1799,001,,,,11,6,23"></lb> ΔΑ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΑΕ· γωνία ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,6,24"></lb> ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΑ ἐστιν ἴση.</s> <s>ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,6,25"></lb> ΑΒΕ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΑ· ἡ ΕΔ ἄρα πρὸς τὴν ΔΑ <lb n="1799,001,,,,11,6,26"></lb> ὀρθή ἐστιν.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΔ, ΔΓ ὀρθή.</s> <lb n="1799,001,,,,11,6,27"></lb> <s>ἡ ΕΔ ἄρα τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΒΔ, ΔΑ, ΔΓ πρὸς ὀρθὰς <lb n="1799,001,,,,11,6,28"></lb> ἐπὶ τῆς ἁφῆς ἐφέστηκεν· αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΔ, ΔΑ, <lb n="1799,001,,,,11,6,29"></lb> ΔΓ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.</s> <s>ἐν ᾧ δὲ αἱ ΔΒ, ΔΑ, ἐν τούτῳ καὶ <lb n="1799,001,,,,11,6,30"></lb> ἡ ΑΒ· πᾶν γὰρ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ· αἱ ἄρα ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,11,6,31"></lb> ΒΔ, ΔΓ εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.</s> <s>καί ἐστιν ὀρθὴ ἑκα-<lb n="1799,001,,,,11,6,32"></lb> τέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, ΒΔΓ γωνιῶν· παράλληλος ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,11,6,33"></lb> ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,6,34"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, <lb n="1799,001,,,,11,6,35"></lb> παράλληλοι ἔσονται αἱ εὐθεῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,6,36"></lb> <s>Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ληφθῇ δὲ ἐφ' ἑκατέρας <lb n="1799,001,,,,11,7,1"></lb> αὐτῶν τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη <lb n="1799,001,,,,11,7,2"></lb> εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.</s> <lb n="1799,001,,,,11,7,3"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ εἰλή-<lb n="1799,001,,,,11,7,4"></lb> φθω ἐφ' ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα τὰ Ε, Ζ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,11,7,5"></lb> ὅτι ἡ ἐπὶ τὰ Ε, Ζ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,11,7,6"></lb> αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,7,7"></lb> Μὴ γάρ, ἀλλ' εἰ δυνατόν, ἔστω <lb n="1799,001,,,,11,7,8"></lb> ἐν μετεωροτέρῳ ὡς ἡ ΕΗΖ, <lb n="1799,001,,,,11,7,9"></lb> καὶ διήχθω διὰ τῆς ΕΗΖ ἐπίπε-<lb n="1799,001,,,,11,7,10"></lb> δον· τομὴν δὴ ποιήσει ἐν τῷ ὑπο-<lb n="1799,001,,,,11,7,11"></lb> κειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν.</s> <s>ποιεί-<lb n="1799,001,,,,11,7,12"></lb> τω ὡς τὴν ΕΖ· δύο ἄρα εὐθεῖαι <lb n="1799,001,,,,11,7,13"></lb> αἱ ΕΗΖ, ΕΖ χωρίον περιέξουσιν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ <lb n="1799,001,,,,11,7,14"></lb> ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν μετεωρο-<lb n="1799,001,,,,11,7,15"></lb> τέρῳ ἐστὶν ἐπιπέδῳ· ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἄρα παραλλήλων <lb n="1799,001,,,,11,7,16"></lb> ἐστὶν ἐπιπέδῳ ἡ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα.</s> <lb n="1799,001,,,,11,7,17"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ληφθῇ δὲ ἐφ' <lb n="1799,001,,,,11,7,18"></lb> ἑκατέρας αὐτῶν τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευ-<lb n="1799,001,,,,11,7,19"></lb> γνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,7,20"></lb> λήλοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,7,21"></lb> <s>Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ ἑτέρα αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,11,8,1"></lb> ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,11,8,2"></lb> ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,11,8,3"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἱ <lb n="1799,001,,,,11,8,4"></lb> ΑΒ, ΓΔ, ἡ δὲ ἑτέρα αὐτῶν ἡ ΑΒ τῷ <lb n="1799,001,,,,11,8,5"></lb> ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω· <lb n="1799,001,,,,11,8,6"></lb> λέγω, ὅτι καὶ ἡ λοιπὴ ἡ ΓΔ τῷ αὐτῷ <lb n="1799,001,,,,11,8,7"></lb> ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,11,8,8"></lb> <s>Συμβαλλέτωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΓΔ τῷ <lb n="1799,001,,,,11,8,9"></lb> ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ Β, Δ ση-<lb n="1799,001,,,,11,8,10"></lb> μεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ· αἱ ΑΒ, ΓΔ, <lb n="1799,001,,,,11,8,11"></lb> ΒΔ ἄρα ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ.</s> <s>ἤχθω τῇ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,8,12"></lb> ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΕ, καὶ κείσθω <lb n="1799,001,,,,11,8,13"></lb> τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΑΕ, ΑΔ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,11,8,14"></lb> ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι πρὸσ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,8,15"></lb> πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας <lb n="1799,001,,,,11,8,16"></lb> ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΑΒ· ὀρθὴ <lb n="1799,001,,,,11,8,17"></lb> ἄρα [ἐστὶν] ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, ΑΒΕ γωνιῶν.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,11,8,18"></lb> ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ <lb n="1799,001,,,,11,8,19"></lb> ΒΔ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΔ, ΓΔΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι <lb n="1799,001,,,,11,8,20"></lb> εἰσίν.</s> <s>ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ· ἡ <lb n="1799,001,,,,11,8,21"></lb> ΓΔ ἄρα πρὸς τὴν ΒΔ ὀρθή ἐστιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,11,8,22"></lb> τῇ ΔΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΔ δυσὶ ταῖς ΕΔ, <lb n="1799,001,,,,11,8,23"></lb> ΔΒ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΒ <lb n="1799,001,,,,11,8,24"></lb> ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΒΕ ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,11,8,25"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΑΔ, δύο <lb n="1799,001,,,,11,8,26"></lb> δὴ αἱ ΑΒ, ΒΕ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΑ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκα-<lb n="1799,001,,,,11,8,27"></lb> τέρᾳ.</s> <s>καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΑΕ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΕ <lb n="1799,001,,,,11,8,28"></lb> γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΑ ἐστιν ἴση.</s> <s>ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ· ὀρθὴ <lb n="1799,001,,,,11,8,29"></lb> ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΑ· ἡ ΕΔ ἄρα πρὸς τὴν ΑΔ ὀρθή ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,8,30"></lb> <s>ἔστι δὲ καὶ πρὸς τὴν ΔΒ ὀρθή· ἡ ΕΔ ἄρα καὶ τῷ διὰ <lb n="1799,001,,,,11,8,31"></lb> τῶν ΒΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν.</s> <s>καὶ πρὸς πάσας ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,8,32"></lb> τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν <lb n="1799,001,,,,11,8,33"></lb> ΒΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ΕΔ.</s> <s>ἐν δὲ τῷ διὰ <lb n="1799,001,,,,11,8,34"></lb> τῶν ΒΔΑ ἐπιπέδῳ ἐστὶν ἡ ΔΓ, ἐπειδήπερ ἐν τῷ διὰ τῶν <lb n="1799,001,,,,11,8,35"></lb> ΒΔΑ ἐπιπέδῳ εἰσὶν αἱ ΑΒ, ΒΔ, ἐν ᾧ δὲ αἱ ΑΒ, ΒΔ, ἐν <lb n="1799,001,,,,11,8,36"></lb> τούτῳ ἐστὶ καὶ ἡ ΔΓ.</s> <s>ἡ ΕΔ ἄρα τῇ ΔΓ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,8,37"></lb> ὥστε καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΔ <lb n="1799,001,,,,11,8,38"></lb> τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθάς.</s> <s>ἡ ΓΔ ἄρα δύο εὐθείαις τεμνούσαις <lb n="1799,001,,,,11,8,39"></lb> ἀλλήλας ταῖς ΔΕ, ΔΒ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Δ τομῆς πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,8,40"></lb> ὀρθὰς ἐφέστηκεν· ὥστε ἡ ΓΔ καὶ τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΔΒ <lb n="1799,001,,,,11,8,41"></lb> ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <s>τὸ δὲ διὰ τῶν ΔΕ, ΔΒ ἐπί-<lb n="1799,001,,,,11,8,42"></lb> πεδον τὸ ὑποκείμενόν ἐστιν· ἡ ΓΔ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ <lb n="1799,001,,,,11,8,43"></lb> ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,8,44"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ μία αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,11,8,45"></lb> ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ <lb n="1799,001,,,,11,8,46"></lb> πρὸς ὀρθὰς ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,8,47"></lb> <s>Αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν <lb n="1799,001,,,,11,9,1"></lb> τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,9,2"></lb> <s>Ἔστω γὰρ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,11,9,3"></lb> ΓΔ τῇ ΕΖ παράλληλος μὴ <lb n="1799,001,,,,11,9,4"></lb> οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπι-<lb n="1799,001,,,,11,9,5"></lb> πέδῳ· λέγω, ὅτι παράλληλός <lb n="1799,001,,,,11,9,6"></lb> ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,9,7"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΕΖ <lb n="1799,001,,,,11,9,8"></lb> τυχὸν σημεῖον τὸ Η, καὶ ἀπ' <lb n="1799,001,,,,11,9,9"></lb> αὐτοῦ τῇ ΕΖ ἐν μὲν τῷ διὰ τῶν ΕΖ, ΑΒ ἐπιπέδῳ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,9,10"></lb> ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΘ, ἐν δὲ τῷ διὰ τῶν ΖΕ, ΓΔ τῇ ΕΖ <lb n="1799,001,,,,11,9,11"></lb> πάλιν πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΚ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ πρὸς ἑκα-<lb n="1799,001,,,,11,9,12"></lb> τέραν τῶν ΗΘ, ΗΚ ὀρθή ἐστιν, ἡ ΕΖ ἄρα καὶ τῷ διὰ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,9,13"></lb> τῶν ΗΘ, ΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <s>καί ἐστιν ἡ ΕΖ <lb n="1799,001,,,,11,9,14"></lb> τῇ ΑΒ παράλληλος· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπι-<lb n="1799,001,,,,11,9,15"></lb> πέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΔ τῷ διὰ <lb n="1799,001,,,,11,9,16"></lb> τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· ἑκατέρα ἄρα τῶν <lb n="1799,001,,,,11,9,17"></lb> ΑΒ, ΓΔ τῷ διὰ τῶν ΘΗΚ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,9,18"></lb> <s>ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν, <lb n="1799,001,,,,11,9,19"></lb> παράλληλοί εἰσιν αἱ εὐθεῖαι· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,11,9,20"></lb> ΑΒ τῇ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,9,21"></lb> <s>Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας <lb n="1799,001,,,,11,10,1"></lb> ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας <lb n="1799,001,,,,11,10,2"></lb> γωνίας περιέξουσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,10,3"></lb> <s>Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ <lb n="1799,001,,,,11,10,4"></lb> δύο εὐθείας τὰς ΔΕ, ΕΖ ἁπτομένας ἀλλήλων ἔστωσαν <lb n="1799,001,,,,11,10,5"></lb> μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ· <lb n="1799,001,,,,11,10,6"></lb> λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,10,7"></lb> ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,10,8"></lb> <s>Ἀπειλήφθωσαν γὰρ αἱ <lb n="1799,001,,,,11,10,9"></lb> ΒΑ, ΒΓ, ΕΔ, ΕΖ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,11,10,10"></lb> ἀλλήλαις, καὶ ἐπεζεύχθωσαν <lb n="1799,001,,,,11,10,11"></lb> αἱ ΑΔ, ΓΖ, ΒΕ, ΑΓ, ΔΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,10,12"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΑ τῇ ΕΔ ἴση <lb n="1799,001,,,,11,10,13"></lb> ἐστὶ καὶ παράλληλος, καὶ ἡ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,10,14"></lb> ΑΔ ἄρα τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,11,10,15"></lb> ἡ ΓΖ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος· ἑκατέρα ἄρα τῶν <lb n="1799,001,,,,11,10,16"></lb> ΑΔ, ΓΖ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος.</s> <s>αἱ δὲ τῇ αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,11,10,17"></lb> εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ μὴ οὖσαι αὐτῇ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ <lb n="1799,001,,,,11,10,18"></lb> καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,11,10,19"></lb> ΑΔ τῇ ΓΖ καὶ ἴση.</s> <s>καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΑΓ, ΔΖ· <lb n="1799,001,,,,11,10,20"></lb> καὶ ἡ ΑΓ ἄρα τῇ ΔΖ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,11,10,21"></lb> δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΔΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις <lb n="1799,001,,,,11,10,22"></lb> ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ <lb n="1799,001,,,,11,10,23"></lb> τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,11,10,24"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο <lb n="1799,001,,,,11,10,25"></lb> εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, <lb n="1799,001,,,,11,10,26"></lb> ἴσας γωνίας περιέξουσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,10,27"></lb> <s>Ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου μετεώρου ἐπὶ τὸ δοθὲν ἐπί-<lb n="1799,001,,,,11,11,1"></lb> πεδον κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,11,2"></lb> <s>Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον μετ-<lb n="1799,001,,,,11,11,3"></lb> έωρον τὸ Α, τὸ δὲ δοθὲν ἐπίπεδον <lb n="1799,001,,,,11,11,4"></lb> τὸ ὑποκείμενον· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α <lb n="1799,001,,,,11,11,5"></lb> σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπί-<lb n="1799,001,,,,11,11,6"></lb> πεδον κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν <lb n="1799,001,,,,11,11,7"></lb> ἀγαγεῖν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,11,8"></lb> Διήχθω γάρ τις ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖα, <lb n="1799,001,,,,11,11,9"></lb> ὡς ἔτυχεν, ἡ ΒΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὴν <lb n="1799,001,,,,11,11,10"></lb> ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ.</s> <s>εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΔ κάθετός ἐστι καὶ <lb n="1799,001,,,,11,11,11"></lb> ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχ-<lb n="1799,001,,,,11,11,12"></lb> θέν.</s> <s>εἰ δὲ οὔ, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῇ ΒΓ ἐν τῷ ὑπο-<lb n="1799,001,,,,11,11,13"></lb> κειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α <lb n="1799,001,,,,11,11,14"></lb> ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἡ ΑΖ, καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τῇ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,11,11,15"></lb> παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,11,16"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΔΑ, ΔΕ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, <lb n="1799,001,,,,11,11,17"></lb> ἡ ΒΓ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΕΔΑ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς <lb n="1799,001,,,,11,11,18"></lb> ἐστιν.</s> <s>καί ἐστιν αὐτῇ παράλληλος ἡ ΗΘ· ἐὰν δὲ ὦσι δύο <lb n="1799,001,,,,11,11,19"></lb> εὐθεῖαι παράλληλοι, ἡ δὲ μία αὐτῶν ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,11,20"></lb> ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ λοιπὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· <lb n="1799,001,,,,11,11,21"></lb> καὶ ἡ ΗΘ ἄρα τῷ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς <lb n="1799,001,,,,11,11,22"></lb> ἐστιν.</s> <s>καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας <lb n="1799,001,,,,11,11,23"></lb> καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΑ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν <lb n="1799,001,,,,11,11,24"></lb> ἡ ΗΘ.</s> <s>ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΑΖ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν ΕΔ, <lb n="1799,001,,,,11,11,25"></lb> ΔΑ ἐπιπέδῳ· ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὴν ΖΑ· ὥστε <lb n="1799,001,,,,11,11,26"></lb> καὶ ἡ ΖΑ ὀρθή ἐστι πρὸς τὴν ΘΗ.</s> <s>ἔστι δὲ ἡ ΑΖ καὶ <lb n="1799,001,,,,11,11,27"></lb> πρὸς τὴν ΔΕ ὀρθή· ἡ ΑΖ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΗΘ, <lb n="1799,001,,,,11,11,28"></lb> ΔΕ ὀρθή ἐστιν.</s> <s>ἐὰν δὲ εὐθεῖα δυσὶν εὐθείαις τεμνούσαις <lb n="1799,001,,,,11,11,29"></lb> ἀλλήλας ἐπὶ τῆς τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ δι' <lb n="1799,001,,,,11,11,30"></lb> αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· ἡ ΖΑ ἄρα τῷ διὰ τῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,11,31"></lb> ΕΔ, ΗΘ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <s>τὸ δὲ διὰ τῶν ΕΔ, <lb n="1799,001,,,,11,11,32"></lb> ΗΘ ἐπίπεδόν ἐστι τὸ ὑποκείμενον· ἡ ΑΖ ἄρα τῷ ὑποκει-<lb n="1799,001,,,,11,11,33"></lb> μένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,11,34"></lb> <s>Ἀπὸ τοῦ ἄρα δοθέντος σημείου μετεώρου τοῦ Α ἐπὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,11,35"></lb> ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ <lb n="1799,001,,,,11,11,36"></lb> ΑΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,11,37"></lb> <s>Τῷ δοθέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ δοθέντος ση-<lb n="1799,001,,,,11,12,1"></lb> μείου πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖαν γραμμὴν ἀναστῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,12,2"></lb> <s>Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν ἐπίπεδον τὸ <lb n="1799,001,,,,11,12,3"></lb> ὑποκείμενον, τὸ δὲ πρὸς αὐτῷ σημεῖον <lb n="1799,001,,,,11,12,4"></lb> τὸ Α· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ <lb n="1799,001,,,,11,12,5"></lb> ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς εὐ-<lb n="1799,001,,,,11,12,6"></lb> θεῖαν γραμμὴν ἀναστῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,12,7"></lb> <s>Νενοήσθω τι σημεῖον μετέωρον <lb n="1799,001,,,,11,12,8"></lb> τὸ Β, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ ὑποκεί-<lb n="1799,001,,,,11,12,9"></lb> μενον ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Α <lb n="1799,001,,,,11,12,10"></lb> σημείου τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,12,11"></lb> <s>Ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι παράλληλοί εἰσιν αἱ ΑΔ, ΓΒ, ἡ δὲ <lb n="1799,001,,,,11,12,12"></lb> μία αὐτῶν ἡ ΒΓ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, <lb n="1799,001,,,,11,12,13"></lb> καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς <lb n="1799,001,,,,11,12,14"></lb> ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,12,15"></lb> <s>Τῷ ἄρα δοθέντι ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῷ σημείου <lb n="1799,001,,,,11,12,16"></lb> τοῦ Α πρὸς ὀρθὰς ἀνέσταται ἡ ΑΔ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,12,17"></lb> Ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι <lb n="1799,001,,,,11,13,1"></lb> πρὸς ὀρθὰς οὐκ ἀναστήσονται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.</s> <lb n="1799,001,,,,11,13,2"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Α τῷ ὑπο-<lb n="1799,001,,,,11,13,3"></lb> κειμένῳ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΑΓ πρὸς ὀρθὰς <lb n="1799,001,,,,11,13,4"></lb> ἀνεστάτωσαν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, καὶ διήχθω τὸ διὰ τῶν <lb n="1799,001,,,,11,13,5"></lb> ΒΑ, ΑΓ ἐπίπεδον· τομὴν δὴ ποιήσει <lb n="1799,001,,,,11,13,6"></lb> διὰ τοῦ Α ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ <lb n="1799,001,,,,11,13,7"></lb> εὐθεῖαν.</s> <s>ποιείτω τὴν ΔΑΕ· αἱ ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,13,8"></lb> ΑΒ, ΑΓ, ΔΑΕ εὐθεῖαι ἐν ἑνί εἰσιν <lb n="1799,001,,,,11,13,9"></lb> ἐπιπέδῳ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΑ τῷ ὑποκει-<lb n="1799,001,,,,11,13,10"></lb> μένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, <lb n="1799,001,,,,11,13,11"></lb> καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας <lb n="1799,001,,,,11,13,12"></lb> αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑπο-<lb n="1799,001,,,,11,13,13"></lb> κειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.</s> <s>ἅπτεται δὲ αὐτῆς <lb n="1799,001,,,,11,13,14"></lb> ἡ ΔΑΕ οὖσα ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΓΑΕ <lb n="1799,001,,,,11,13,15"></lb> γωνία ὀρθή ἐστιν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ὀρθή <lb n="1799,001,,,,11,13,16"></lb> ἐστιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΑΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ.</s> <s>καί εἰσιν ἐν ἑνὶ <lb n="1799,001,,,,11,13,17"></lb> ἐπιπέδῳ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <lb n="1799,001,,,,11,13,18"></lb> <s>Οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ <lb n="1799,001,,,,11,13,19"></lb> δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθήσονται ἐπὶ τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,11,13,20"></lb> μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,13,21"></lb> <s>Πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλληλα <lb n="1799,001,,,,11,14,1"></lb> ἔσται τὰ ἐπίπεδα.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,14,2"></lb> Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΔ, ΕΖ ἐπι-<lb n="1799,001,,,,11,14,3"></lb> πέδων πρὸς ὀρθὰς ἔστω· λέγω, ὅτι παράλληλά ἐστι τὰ <lb n="1799,001,,,,11,14,4"></lb> ἐπίπεδα.</s> <lb n="1799,001,,,,11,14,5"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμενα συμπεσοῦνται.</s> <s>συμπιπτέ-<lb n="1799,001,,,,11,14,6"></lb> τωσαν· ποιήσουσι δὴ κοινὴν τομὴν εὐθεῖαν.</s> <s>ποιείτωσαν <lb n="1799,001,,,,11,14,7"></lb> τὴν ΗΘ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΗΘ τυχὸν σημεῖον τὸ Κ, <lb n="1799,001,,,,11,14,8"></lb> καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΒΚ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι <lb n="1799,001,,,,11,14,9"></lb> πρὸς τὸ ΕΖ ἐπίπεδον, καὶ πρὸς τὴν ΒΚ ἄρα εὐθεῖαν οὖσαν <lb n="1799,001,,,,11,14,10"></lb> ἐν τῷ ΕΖ ἐκβληθέντι ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ· ἡ ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,14,11"></lb> ὑπὸ ΑΒΚ γωνία ὀρθή ἐστιν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,14,12"></lb> ΒΑΚ ὀρθή ἐστιν.</s> <s>τριγώνου δὴ τοῦ ΑΒΚ αἱ δύο γωνίαι <lb n="1799,001,,,,11,14,13"></lb> αἱ ὑπὸ ΑΒΚ, ΒΑΚ δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι· ὅπερ ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,11,14,14"></lb> ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα τὰ ΓΔ, ΕΖ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα συμ-<lb n="1799,001,,,,11,14,15"></lb> πεσοῦνται· παράλληλα ἄρα ἐστὶ τὰ ΓΔ, ΕΖ ἐπίπεδα.</s> <lb n="1799,001,,,,11,14,16"></lb> <s>Πρὸς ἃ ἐπίπεδα ἄρα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλ-<lb n="1799,001,,,,11,14,17"></lb> ληλά ἐστι τὰ ἐπίπεδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,14,18"></lb> Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας <lb n="1799,001,,,,11,15,1"></lb> ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, <lb n="1799,001,,,,11,15,2"></lb> παράλληλά ἐστι τὰ δι' αὐτῶν ἐπίπεδα.</s> <lb n="1799,001,,,,11,15,3"></lb> <s>Δύο γὰρ εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΑΒ, ΒΓ παρὰ <lb n="1799,001,,,,11,15,4"></lb> δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΔΕ, ΕΖ ἔστωσαν μὴ <lb n="1799,001,,,,11,15,5"></lb> ἐν τῳ̂ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι· λέγω, ὅτι ἐκβαλλόμενα τὰ διὰ <lb n="1799,001,,,,11,15,6"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ ἐπίπεδα οὐ συμπεσεῖται ἀλλήλοις.</s> <lb n="1799,001,,,,11,15,7"></lb> <s>Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β ση- <lb n="1799,001,,,,11,15,8"></lb> μείου ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ <lb n="1799,001,,,,11,15,9"></lb> ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΒΗ καὶ συμ-<lb n="1799,001,,,,11,15,10"></lb> βαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,15,11"></lb> Η σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ μὲν <lb n="1799,001,,,,11,15,12"></lb> ΕΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ, τῇ <lb n="1799,001,,,,11,15,13"></lb> δὲ ΕΖ ἡ ΗΚ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΗ <lb n="1799,001,,,,11,15,14"></lb> ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ διὰ τῶν ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,11,15,15"></lb> ΕΖ ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας <lb n="1799,001,,,,11,15,16"></lb> ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας <lb n="1799,001,,,,11,15,17"></lb> καὶ οὔσας ἐν τῷ διὰ τῶν ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,11,15,18"></lb> ΕΖ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.</s> <s>ἅπτεται δὲ αὐτῆς <lb n="1799,001,,,,11,15,19"></lb> ἑκατέρα τῶν ΗΘ, ΗΚ οὖσα ἐν τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ ἐπιπέ-<lb n="1799,001,,,,11,15,20"></lb> δῳ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΗΘ, ΒΗΚ γω-<lb n="1799,001,,,,11,15,21"></lb> νιῶν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΑ τῇ ΗΘ, αἱ ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,15,22"></lb> ὑπὸ ΗΒΑ, ΒΗΘ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <s>ὀρθὴ δὲ <lb n="1799,001,,,,11,15,23"></lb> ἡ ὑπὸ ΒΗΘ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΗΒΑ· ἡ ΗΒ ἄρα τῇ <lb n="1799,001,,,,11,15,24"></lb> ΒΑ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΗΒ καὶ τῇ ΒΓ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,15,25"></lb> ἐστι πρὸς ὀρθάς.</s> <s>ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΗΒ δυσὶν εὐθείαις ταῖς <lb n="1799,001,,,,11,15,26"></lb> ΒΑ, ΒΓ τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν, ἡ <lb n="1799,001,,,,11,15,27"></lb> ΗΒ ἄρα καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΑ, ΒΓ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς <lb n="1799,001,,,,11,15,28"></lb> ἐστιν.</s> <s>[διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΒΗ καὶ τῷ διὰ τῶν ΗΘ, ΗΚ <lb n="1799,001,,,,11,15,29"></lb> ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <s>τὸ δὲ διὰ τῶν ΗΘ, ΗΚ ἐπί-<lb n="1799,001,,,,11,15,30"></lb> πεδόν ἐστι τὸ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ· ἡ ΒΗ ἄρα τῷ διὰ τῶν <lb n="1799,001,,,,11,15,31"></lb> ΔΕ, ΕΖ ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς.</s> <s>ἐδείχθη δὲ ἡ ΗΒ καὶ <lb n="1799,001,,,,11,15,32"></lb> τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάσ].</s> <s>πρὸς ἃ δὲ ἐπί-<lb n="1799,001,,,,11,15,33"></lb> πεδα ἡ αὐτὴ εὐθεῖα ὀρθή ἐστιν, παράλληλά ἐστι τὰ ἐπί-<lb n="1799,001,,,,11,15,34"></lb> πεδα· παράλληλον ἄρα ἐστὶ τὸ διὰ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπίπεδον <lb n="1799,001,,,,11,15,35"></lb> τῷ διὰ τῶν ΔΕ, ΕΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,15,36"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο <lb n="1799,001,,,,11,15,37"></lb> εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, <lb n="1799,001,,,,11,15,38"></lb> παράλληλά ἐστι τὰ δι' αὐτῶν ἐπίπεδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,15,39"></lb> <s>Ἐὰν δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνη-<lb n="1799,001,,,,11,16,1"></lb> ται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,16,2"></lb> <s>Δύο γὰρ ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ ἐπιπέδου <lb n="1799,001,,,,11,16,3"></lb> τοῦ ΕΖΗΘ τεμνέσθω, κοιναὶ δὲ αὐτῶν τομαὶ ἔστωσαν <lb n="1799,001,,,,11,16,4"></lb> αἱ ΕΖ, ΗΘ· λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,16,5"></lb> Εἰ γὰρ μή, ἐκβαλλόμεναι αἱ ΕΖ, ΗΘ ἤτοι ἐπὶ τὰ Ζ, Θ <lb n="1799,001,,,,11,16,6"></lb> μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Ε, Η συμπεσοῦνται.</s> <s>ἐκβεβλήσθωσαν ὡς <lb n="1799,001,,,,11,16,7"></lb> ἐπὶ τὰ Ζ, Θ μέρη καὶ συμπιπτέτωσαν πρότερον κατὰ τὸ Κ. <lb n="1799,001,,,,11,16,8"></lb> καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖΚ ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ, καὶ πάντα ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,16,9"></lb> τὰ ἐπὶ τῆς ΕΖΚ σημεῖα ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ.</s> <s>ἓν δὲ <lb n="1799,001,,,,11,16,10"></lb> τῶν ἐπὶ τῆς ΕΖΚ εὐθείας σημείων ἐστὶ τὸ Κ· τὸ Κ ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,16,11"></lb> ἐν τῷ ΑΒ ἐστιν ἐπιπέδῳ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ Κ καὶ ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,11,16,12"></lb> ΓΔ ἐστιν ἐπιπέδῳ· τὰ ΑΒ, ΓΔ ἄρα ἐπίπεδα ἐκβαλλό-<lb n="1799,001,,,,11,16,13"></lb> μενα συμπεσοῦνται.</s> <s>οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παράλληλα <lb n="1799,001,,,,11,16,14"></lb> ὑποκεῖσθαι· οὐκ ἄρα αἱ ΕΖ, ΗΘ εὐθεῖαι ἐκβαλλόμεναι <lb n="1799,001,,,,11,16,15"></lb> ἐπὶ τὰ Ζ, Θ μέρη συμπεσοῦνται.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι <lb n="1799,001,,,,11,16,16"></lb> αἱ ΕΖ, ΗΘ εὐθεῖαι οὐδὲ ἐπὶ τὰ Ε, Η μέρη ἐκβαλλόμεναι <lb n="1799,001,,,,11,16,17"></lb> συμπεσοῦνται.</s> <s>αἱ δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι <lb n="1799,001,,,,11,16,18"></lb> παράλληλοί εἰσιν.</s> <s>παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΗΘ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,16,19"></lb> Ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα παράλληλα ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς <lb n="1799,001,,,,11,16,20"></lb> τέμνηται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,11,16,21"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,16,22"></lb> <s>Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τέμνωνται <lb n="1799,001,,,,11,17,1"></lb> εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται.</s> <lb n="1799,001,,,,11,17,2"></lb> <s>Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέ-<lb n="1799,001,,,,11,17,3"></lb> δων τῶν ΗΘ, ΚΛ, ΜΝ τεμνέσθωσαν κατὰ τὰ Α, Ε, Β, <lb n="1799,001,,,,11,17,4"></lb> Γ, Ζ, Δ σημεῖα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,11,17,5"></lb> ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,17,6"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΔ, ΑΔ, καὶ συμβαλλέτω <lb n="1799,001,,,,11,17,7"></lb> ἡ ΑΔ τῷ ΚΛ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ξ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω-<lb n="1799,001,,,,11,17,8"></lb> σαν αἱ ΕΞ, ΞΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΚΛ, <lb n="1799,001,,,,11,17,9"></lb> ΜΝ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ ΕΒΔΞ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,17,10"></lb> τομαὶ αἱ ΕΞ, ΒΔ παράλληλοί εἰσιν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,11,17,11"></lb> δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΗΘ, ΚΛ ὑπὸ ἐπιπέδου τοῦ <lb n="1799,001,,,,11,17,12"></lb> ΑΞΖΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ ΑΓ, ΞΖ <lb n="1799,001,,,,11,17,13"></lb> παράλληλοί εἰσιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΔ παρὰ μίαν <lb n="1799,001,,,,11,17,14"></lb> τῶν πλευρῶν τὴν ΒΔ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΕΞ, ἀνάλογον ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,17,15"></lb> ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ.</s> <s>πάλιν <lb n="1799,001,,,,11,17,16"></lb> ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΔΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΓ <lb n="1799,001,,,,11,17,17"></lb> εὐθεῖα ἦκται ἡ ΞΖ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ, <lb n="1799,001,,,,11,17,18"></lb> οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΑΞ πρὸς ΞΔ, <lb n="1799,001,,,,11,17,19"></lb> οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,11,17,20"></lb> ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,17,21"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο εὐθεῖαι ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τέμ-<lb n="1799,001,,,,11,17,22"></lb> νωνται, εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,11,17,23"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,17,24"></lb> <s>Ἐὰν εὐθεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ πάντα τὰ δι' <lb n="1799,001,,,,11,18,1"></lb> αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,11,18,2"></lb> <s>Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,18,3"></lb> ὀρθὰς ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδα <lb n="1799,001,,,,11,18,4"></lb> τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,18,5"></lb> Ἐκβεβλήσθω γὰρ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον τὸ ΔΕ, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,18,6"></lb> ἔστω κοινὴ τομὴ τοῦ ΔΕ ἐπιπέδου καὶ τοῦ ὑποκειμένου <lb n="1799,001,,,,11,18,7"></lb> ἡ ΓΕ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΓΕ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,18,8"></lb> ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΓΕ πρὸς ὀρθὰς <lb n="1799,001,,,,11,18,9"></lb> ἤχθω ἐν τῷ ΔΕ ἐπιπέδῳ ἡ ΖΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,18,10"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ πρὸς τὸ ὑποκείμενον <lb n="1799,001,,,,11,18,11"></lb> ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν, καὶ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,18,12"></lb> πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς <lb n="1799,001,,,,11,18,13"></lb> εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκει-<lb n="1799,001,,,,11,18,14"></lb> μένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ· <lb n="1799,001,,,,11,18,15"></lb> ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΓΕ ὀρθή ἐστιν· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ γωνία <lb n="1799,001,,,,11,18,16"></lb> ὀρθή ἐστιν.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΗΖΒ ὀρθή· παράλληλος <lb n="1799,001,,,,11,18,17"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΖΗ.</s> <s>ἡ δὲ ΑΒ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ <lb n="1799,001,,,,11,18,18"></lb> πρὸς ὀρθάς ἐστιν· καὶ ἡ ΖΗ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ <lb n="1799,001,,,,11,18,19"></lb> πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <s>καὶ ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστιν, <lb n="1799,001,,,,11,18,20"></lb> ὅταν αἱ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἀγόμεναι <lb n="1799,001,,,,11,18,21"></lb> εὐθεῖαι ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων τῷ λοιπῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς <lb n="1799,001,,,,11,18,22"></lb> ὦσιν.</s> <s>καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων τῇ ΓΕ ἐν ἑνὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,11,18,23"></lb> ἐπιπέδων τῷ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ ΖΗ ἐδείχθη τῷ <lb n="1799,001,,,,11,18,24"></lb> ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς· τὸ ἄρα ΔΕ ἐπίπεδον <lb n="1799,001,,,,11,18,25"></lb> ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον.</s> <s>ὁμοίως δὴ δειχθήσεται <lb n="1799,001,,,,11,18,26"></lb> καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδα ὀρθὰ τυγχάνοντα πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,18,27"></lb> τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.</s> <lb n="1799,001,,,,11,18,28"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ πάντα <lb n="1799,001,,,,11,18,29"></lb> τὰ δι' αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· <lb n="1799,001,,,,11,18,30"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,18,31"></lb> Ἐὰν δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,19,1"></lb> ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,19,2"></lb> ὀρθὰς ἔσται.</s> <lb n="1799,001,,,,11,19,3"></lb> <s>Δύο γὰρ ἐπίπεδα τὰ ΑΒ, ΒΓ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ <lb n="1799,001,,,,11,19,4"></lb> πρὸς ὀρθὰς ἔστω, κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ἔστω ἡ ΒΔ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,11,19,5"></lb> ὅτι ἡ ΒΔ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,19,6"></lb> <s>Μὴ γάρ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,11,19,7"></lb> τοῦ Δ σημείου ἐν μὲν τῷ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,11,19,8"></lb> ἐπιπέδῳ τῇ ΑΔ εὐθείᾳ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,19,9"></lb> ὀρθὰς ἡ ΔΕ, ἐν δὲ τῷ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,11,19,10"></lb> ἐπιπέδῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ <lb n="1799,001,,,,11,19,11"></lb> ΔΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒ ἐπίπεδον <lb n="1799,001,,,,11,19,12"></lb> ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμε-<lb n="1799,001,,,,11,19,13"></lb> νον, καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ <lb n="1799,001,,,,11,19,14"></lb> τῇ ΑΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,11,19,15"></lb> ἐπιπέδῳ ἦκται ἡ ΔΕ, ἡ ΔΕ <lb n="1799,001,,,,11,19,16"></lb> ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκεί-<lb n="1799,001,,,,11,19,17"></lb> μενον ἐπίπεδον.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΔΖ ὀρθή <lb n="1799,001,,,,11,19,18"></lb> ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.</s> <s>ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,19,19"></lb> σημείου τοῦ Δ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,19,20"></lb> ὀρθὰς ἀνεσταμέναι εἰσὶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη· ὅπερ ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,11,19,21"></lb> ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἀπὸ τοῦ Δ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,19,22"></lb> σημείου ἀνασταθήσεται πρὸς ὀρθὰς πλὴν τῆς ΔΒ κοινῆς <lb n="1799,001,,,,11,19,23"></lb> τομῆς τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐπιπέδων.</s> <lb n="1799,001,,,,11,19,24"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ <lb n="1799,001,,,,11,19,25"></lb> πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ <lb n="1799,001,,,,11,19,26"></lb> πρὸς ὀρθὰς ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,19,27"></lb> <s>Ἐὰν στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχη-<lb n="1799,001,,,,11,20,1"></lb> ται, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μετα-<lb n="1799,001,,,,11,20,2"></lb> λαμβανόμεναι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,20,3"></lb> <s>Στερεὰ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπι-<lb n="1799,001,,,,11,20,4"></lb> πέδων τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ περιεχέσθω· λέγω, <lb n="1799,001,,,,11,20,5"></lb> ὅτι τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, <lb n="1799,001,,,,11,20,6"></lb> ΔΑΒ γωνιῶν δύο ὁποι-<lb n="1799,001,,,,11,20,7"></lb> αιοῦν τῆς λοιπῆς μείζο-<lb n="1799,001,,,,11,20,8"></lb> νές εἰσι πάντῃ μεταλαμ-<lb n="1799,001,,,,11,20,9"></lb> βανόμεναι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,20,10"></lb> <s>Εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,20,11"></lb> ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ γω-<lb n="1799,001,,,,11,20,12"></lb> νίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, <lb n="1799,001,,,,11,20,13"></lb> φανερόν, ὅτι δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν.</s> <s>εἰ <lb n="1799,001,,,,11,20,14"></lb> δὲ οὔ, ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, καὶ συνεστάτω πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,20,15"></lb> τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ <lb n="1799,001,,,,11,20,16"></lb> ὑπὸ ΔΑΒ γωνίᾳ ἐν τῷ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπιπέδῳ ἴση ἡ ὑπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,20,17"></lb> ΒΑΕ, καὶ κείσθω τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ διὰ τοῦ Ε σημείου <lb n="1799,001,,,,11,20,18"></lb> διαχθεῖσα ἡ ΒΕΓ τεμνέτω τὰς ΑΒ, ΑΓ εὐθείας κατὰ <lb n="1799,001,,,,11,20,19"></lb> τὰ Β, Γ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΒ, ΔΓ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,11,20,20"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΒ, δύο δυσὶν ἴσαι· καὶ <lb n="1799,001,,,,11,20,21"></lb> γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση· βάσις ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,11,20,22"></lb> ΔΒ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΔ, ΔΓ τῆς <lb n="1799,001,,,,11,20,23"></lb> ΒΓ μείζονές εἰσιν, ὧν ἡ ΔΒ τῇ ΒΕ ἐδείχθη ἴση, λοιπὴ <lb n="1799,001,,,,11,20,24"></lb> ἄρα ἡ ΔΓ λοιπῆς τῆς ΕΓ μείζων ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,11,20,25"></lb> ἡ ΔΑ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσεως τῆς <lb n="1799,001,,,,11,20,26"></lb> ΕΓ μείζων ἐστίν, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίας τῆς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,20,27"></lb> ΕΑΓ μείζων ἐστίν.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,20,28"></lb> ΒΑΕ ἴση· αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ, ΔΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ μεί-<lb n="1799,001,,,,11,20,29"></lb> ζονές εἰσιν.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ σύνδυο <lb n="1799,001,,,,11,20,30"></lb> λαμβανόμεναι τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,20,31"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων <lb n="1799,001,,,,11,20,32"></lb> περιέχηται, δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ <lb n="1799,001,,,,11,20,33"></lb> μεταλαμβανόμεναι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,20,34"></lb> <s>Ἅπασα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων [ἢ] τεσσάρων <lb n="1799,001,,,,11,21,1"></lb> ὀρθῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται.</s> <lb n="1799,001,,,,11,21,2"></lb> <s>Ἔστω στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Α περιεχομένη ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,21,3"></lb> ἐπιπέδων γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ· λέγω, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,21,4"></lb> ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσ-<lb n="1799,001,,,,11,21,5"></lb> σονές εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,21,6"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ ἐφ' ἑκάστης τῶν ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ τυχόντα <lb n="1799,001,,,,11,21,7"></lb> σημεῖα τὰ Β, Γ, Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΓΔ, ΔΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,21,8"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β ὑπὸ τριῶν γωνιῶν ἐπι-<lb n="1799,001,,,,11,21,9"></lb> πέδων περιέχεται τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, <lb n="1799,001,,,,11,21,10"></lb> ΑΒΔ, ΓΒΔ, δύο ὁποιαιοῦν τῆς <lb n="1799,001,,,,11,21,11"></lb> λοιπῆς μείζονές εἰσιν· αἱ ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,21,12"></lb> ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ τῆς ὑπὸ ΓΒΔ <lb n="1799,001,,,,11,21,13"></lb> μείζονές εἰσιν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ <lb n="1799,001,,,,11,21,14"></lb> καὶ αἱ μὲν ὑπὸ ΒΓΑ, ΑΓΔ τῆς <lb n="1799,001,,,,11,21,15"></lb> ὑπὸ ΒΓΔ μείζονές εἰσιν, αἱ δὲ <lb n="1799,001,,,,11,21,16"></lb> ὑπὸ ΓΔΑ, ΑΔΒ τῆς ὑπὸ ΓΔΒ μείζονές εἰσιν· αἱ ἓξ ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,21,17"></lb> γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ <lb n="1799,001,,,,11,21,18"></lb> τριῶν τῶν ὑπὸ ΓΒΔ, ΒΓΔ, ΓΔΒ μείζονές εἰσιν.</s> <s>ἀλλὰ αἱ <lb n="1799,001,,,,11,21,19"></lb> τρεῖς αἱ ὑπὸ ΓΒΔ, ΒΔΓ, ΒΓΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· <lb n="1799,001,,,,11,21,20"></lb> αἱ ἓξ ἄρα αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΑΔΒ <lb n="1799,001,,,,11,21,21"></lb> δύο ὀρθῶν μείζονές εἰσιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἑκάστου τῶν ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,11,21,22"></lb> ΑΓΔ, ΑΔΒ τριγώνων αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι <lb n="1799,001,,,,11,21,23"></lb> εἰσίν, αἱ ἄρα τῶν τριῶν τριγώνων ἐννέα γωνίαι αἱ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,21,24"></lb> ΓΒΑ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΑΓΔ, ΓΔΑ, ΓΑΔ, ΑΔΒ, ΔΒΑ, <lb n="1799,001,,,,11,21,25"></lb> ΒΑΔ ἓξ ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ὧν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΑΓΔ, <lb n="1799,001,,,,11,21,26"></lb> ΓΔΑ, ΑΔΒ, ΔΒΑ ἓξ γωνίαι δύο ὀρθῶν εἰσι μείζονες· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,21,27"></lb> λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, ΔΑΒ τρεῖς [γωνίαι] <lb n="1799,001,,,,11,21,28"></lb> περιέχουσαι τὴν στερεὰν γωνίαν τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσ-<lb n="1799,001,,,,11,21,29"></lb> σονές εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,21,30"></lb> <s>Ἅπασα ἄρα στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων [ἢ] τεσσάρων <lb n="1799,001,,,,11,21,31"></lb> ὀρθῶν γωνιῶν ἐπιπέδων περιέχεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,21,32"></lb> <s>Ἐὰν ὦσι τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς <lb n="1799,001,,,,11,22,1"></lb> μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, περιέχωσι δὲ αὐ-<lb n="1799,001,,,,11,22,2"></lb> τὰς ἴσαι εὐθεῖαι, δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν <lb n="1799,001,,,,11,22,3"></lb> τὰς ἴσας εὐθείας τρίγωνον συστήσασθαι. <lb n="1799,001,,,,11,22,4"></lb> Ἔστωσαν τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, <lb n="1799,001,,,,11,22,5"></lb> ΗΘΚ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμ-<lb n="1799,001,,,,11,22,6"></lb> βανόμεναι, αἱ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ τῆς ὑπὸ ΗΘΚ, αἱ δὲ <lb n="1799,001,,,,11,22,7"></lb> ὑπὸ ΔΕΖ, ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ ΗΘΚ, <lb n="1799,001,,,,11,22,8"></lb> ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,11,22,9"></lb> ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ εὐθεῖαι, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΔΖ, <lb n="1799,001,,,,11,22,10"></lb> ΗΚ· λέγω, ὅτι δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,22,11"></lb> ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι, τουτέστιν ὅτι τῶν ΑΓ, ΔΖ, <lb n="1799,001,,,,11,22,12"></lb> ΗΚ δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,22,13"></lb> <s>Εἰ μὲν οὖν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ γωνίαι ἴσαι <lb n="1799,001,,,,11,22,14"></lb> ἀλλήλαις εἰσίν, φανερόν, ὅτι καὶ τῶν ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ ἴσων <lb n="1799,001,,,,11,22,15"></lb> γινομένων δυνατόν ἐστιν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ <lb n="1799,001,,,,11,22,16"></lb> τρίγωνον συστήσασθαι.</s> <s>εἰ δὲ οὔ, ἔστωσαν ἄνισοι, καὶ συν-<lb n="1799,001,,,,11,22,17"></lb> εστάτω πρὸς τῇ ΘΚ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ <lb n="1799,001,,,,11,22,18"></lb> Θ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΘΛ· καὶ κείσθω μιᾷ <lb n="1799,001,,,,11,22,19"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ ἴση ἡ ΘΛ, καὶ ἐπεζεύχ-<lb n="1799,001,,,,11,22,20"></lb> θωσαν αἱ ΚΛ, ΗΛ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς <lb n="1799,001,,,,11,22,21"></lb> ΚΘ, ΘΛ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία <lb n="1799,001,,,,11,22,22"></lb> ἡ πρὸς τῷ Β γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΘΛ <lb n="1799,001,,,,11,22,23"></lb> ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ <lb n="1799,001,,,,11,22,24"></lb> ΚΛ ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,11,22,25"></lb> ΗΘΚ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ μείζονές <lb n="1799,001,,,,11,22,26"></lb> εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,22,27"></lb> ΚΘΛ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΗΘΛ τῆς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,22,28"></lb> ΔΕΖ μείζων ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΗΘ, ΘΛ δύο ταῖς ΔΕ, <lb n="1799,001,,,,11,22,29"></lb> ΕΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΘΛ γωνίας τῆς ὑπὸ ΔΕΖ <lb n="1799,001,,,,11,22,30"></lb> μείζων, βάσις ἄρα ἡ ΗΛ βάσεως τῆς ΔΖ μείζων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,22,31"></lb> <s>ἀλλὰ αἱ ΗΚ, ΚΛ τῆς ΗΛ μείζονές εἰσιν.</s> <s>πολλῷ ἄρα αἱ <lb n="1799,001,,,,11,22,32"></lb> ΗΚ, ΚΛ τῆς ΔΖ μείζονές εἰσιν.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΚΛ τῇ ΑΓ· αἱ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,22,33"></lb> ΑΓ, ΗΚ ἄρα τῆς λοιπῆς τῆς ΔΖ μείζονές εἰσιν.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,11,22,34"></lb> δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ μὲν ΑΓ, ΔΖ τῆς ΗΚ μείζονές <lb n="1799,001,,,,11,22,35"></lb> εἰσιν, καὶ ἔτι αἱ ΔΖ, ΗΚ τῆς ΑΓ μείζονές εἰσιν.</s> <s>δυνατὸν <lb n="1799,001,,,,11,22,36"></lb> ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστή-<lb n="1799,001,,,,11,22,37"></lb> σασθαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,22,38"></lb> <s>Ἐκ τριῶν γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μεί-<lb n="1799,001,,,,11,23,1"></lb> ζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, στερεὰν γωνίαν συ-<lb n="1799,001,,,,11,23,2"></lb> στήσασθαι· δεῖ δὴ τὰς τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονας <lb n="1799,001,,,,11,23,3"></lb> εἶναι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,23,4"></lb> <s>Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς γωνίαι ἐπίπεδοι αἱ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,23,5"></lb> ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονεσ ἔστω-<lb n="1799,001,,,,11,23,6"></lb> σαν πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, ἔτι δὲ αἱ τρεῖς τεσσάρων <lb n="1799,001,,,,11,23,7"></lb> ὀρθῶν ἐλάσσονες· δεῖ δὴ ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, <lb n="1799,001,,,,11,23,8"></lb> ΗΘΚ στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,23,9"></lb> Ἀπειλήφθωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ, <lb n="1799,001,,,,11,23,10"></lb> καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ· δυνατὸν ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,11,23,11"></lb> ἐκ τῶν ἴσων ταῖς ΑΓ, ΔΖ, ΗΚ τρίγωνον συστήσασθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,23,12"></lb> <s>συνεστάτω τὸ ΛΜΝ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΓ τῇ <lb n="1799,001,,,,11,23,13"></lb> ΛΜ, τὴν δὲ ΔΖ τῇ ΜΝ, καὶ ἔτι τὴν ΗΚ τῇ ΝΛ, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,23,14"></lb> περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΜΝ τρίγωνον κύκλος ὁ ΛΜΝ <lb n="1799,001,,,,11,23,15"></lb> καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον καὶ ἔστω τὸ Ξ, καὶ ἐπε-<lb n="1799,001,,,,11,23,16"></lb> ζεύχθωσαν αἱ ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ μείζων <lb n="1799,001,,,,11,23,17"></lb> ἐστὶ τῆς ΛΞ.</s> <s>εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ ἢ <lb n="1799,001,,,,11,23,18"></lb> ἐλάττων.</s> <s>ἔστω πρότερον ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ <lb n="1799,001,,,,11,23,19"></lb> ΛΞ, ἀλλὰ ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΞΛ τῇ ΞΜ, <lb n="1799,001,,,,11,23,20"></lb> δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΓ δύο ταῖς ΛΞ, ΞΜ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,11,23,21"></lb> ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΛΜ ὑπόκειται ἴση· <lb n="1799,001,,,,11,23,22"></lb> γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΞΜ ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,11,23,23"></lb> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,23,24"></lb> ΔΕΖ τῇ ὑπὸ ΜΞΝ ἐστιν ἴση, <lb n="1799,001,,,,11,23,25"></lb> καὶ ἔτι ἡ ὑπὸ ΗΘΚ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,23,26"></lb> ΝΞΛ· αἱ ἄρα τρεῖς αἱ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,23,27"></lb> ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ γωνίαι <lb n="1799,001,,,,11,23,28"></lb> τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, <lb n="1799,001,,,,11,23,29"></lb> ΝΞΛ εἰσιν ἴσαι.</s> <s>ἀλλὰ αἱ τρεῖς <lb n="1799,001,,,,11,23,30"></lb> αἱ ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,23,31"></lb> τέτταρσιν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι· καὶ αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,23,32"></lb> ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ τέτταρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.</s> <s>ὑπό-<lb n="1799,001,,,,11,23,33"></lb> κεινται δὲ καὶ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονες· ὅπερ ἄτο-<lb n="1799,001,,,,11,23,34"></lb> πον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΛΞ ἴση ἐστίν.</s> <s>λέγω δή, ὅτι οὐδὲ <lb n="1799,001,,,,11,23,35"></lb> ἐλάττων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΛΞ.</s> <s>εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· καὶ <lb n="1799,001,,,,11,23,36"></lb> κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ ΞΟ, τῇ δὲ ΒΓ ἴση ἡ ΞΠ, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,23,37"></lb> ἐπεζεύχθω ἡ ΟΠ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, ἴση <lb n="1799,001,,,,11,23,38"></lb> ἐστὶ καὶ ἡ ΞΟ τῇ ΞΠ· ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ΛΟ τῇ ΠΜ <lb n="1799,001,,,,11,23,39"></lb> ἐστιν ἴση.</s> <s>παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΟΠ, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,23,40"></lb> ἰσογώνιον τὸ ΛΜΞ τῷ ΟΠΞ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΞΛ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,23,41"></lb> ΛΜ, οὕτως ἡ ΞΟ πρὸς ΟΠ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΛΞ πρὸς ΞΟ, <lb n="1799,001,,,,11,23,42"></lb> οὕτως ἡ ΛΜ πρὸς ΟΠ.</s> <s>μείζων δὲ ἡ ΛΞ τῆς ΞΟ· μείζων <lb n="1799,001,,,,11,23,43"></lb> ἄρα καὶ ἡ ΛΜ τῆς ΟΠ.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ΛΜ κεῖται τῇ ΑΓ ἴση· <lb n="1799,001,,,,11,23,44"></lb> καὶ ἡ ΑΓ ἄρα τῆς ΟΠ μείζων ἐστίν.</s> <s>ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,11,23,45"></lb> ΒΓ δυσὶ ταῖς ΟΞ, ΞΠ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΑΓ βάσεως <lb n="1799,001,,,,11,23,46"></lb> τῆς ΟΠ μείζων ἐστίν, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας τῆς <lb n="1799,001,,,,11,23,47"></lb> ὑπὸ ΟΞΠ μείζων ἐστίν.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,11,23,48"></lb> μὲν ὑπὸ ΔΕΖ τῆς ὑπὸ ΜΞΝ μείζων ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΘΚ <lb n="1799,001,,,,11,23,49"></lb> τῆς ὑπὸ ΝΞΛ.</s> <s>αἱ ἄρα τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, <lb n="1799,001,,,,11,23,50"></lb> ΗΘΚ τριῶν τῶν ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, ΝΞΛ μείζονές εἰσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,23,51"></lb> <s>ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΗΘΚ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσ-<lb n="1799,001,,,,11,23,52"></lb> σονες ὑπόκεινται· πολλῷ ἄρα αἱ ὑπὸ ΛΞΜ, ΜΞΝ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,23,53"></lb> ΝΞΛ τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ἴσαι· <lb n="1799,001,,,,11,23,54"></lb> ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἡ ΑΒ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΛΞ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,23,55"></lb> <s>ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἴση· μείζων ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΛΞ.</s> <s>ἀν-<lb n="1799,001,,,,11,23,56"></lb> εστάτω δὴ ἀπὸ τοῦ Ξ σημείου τῷ τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἐπι-<lb n="1799,001,,,,11,23,57"></lb> πέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΡ, καὶ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,11,23,58"></lb> τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,11,23,59"></lb> τῆς ΞΡ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,11,23,60"></lb> ΡΞ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,23,61"></lb> πρὸς ἑκάστην ἄρα τῶν ΛΞ, ΜΞ, ΝΞ ὀρθή ἐστιν ἡ ΡΞ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,23,62"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΞΜ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς <lb n="1799,001,,,,11,23,63"></lb> ἡ ΞΡ, βάσις ἄρα ἡ ΡΛ βάσει τῇ ΡΜ ἐστιν ἴση.</s> <s>διὰ τὰ <lb n="1799,001,,,,11,23,64"></lb> αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΡΝ ἑκατέρᾳ τῶν ΡΛ, ΡΜ ἐστιν ἴση· αἱ <lb n="1799,001,,,,11,23,65"></lb> τρεῖς ἄρα αἱ ΡΛ, ΡΜ, ΡΝ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,11,23,66"></lb> ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ <lb n="1799,001,,,,11,23,67"></lb> ἴσον ὑπόκειται τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον <lb n="1799,001,,,,11,23,68"></lb> ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΞ, ΞΡ.</s> <s>τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΛΞ, ΞΡ <lb n="1799,001,,,,11,23,69"></lb> ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΡ· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΛΞΡ· τὸ ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,23,70"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΡΛ· ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τῇ <lb n="1799,001,,,,11,23,71"></lb> ΡΛ.</s> <s>ἀλλὰ τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, <lb n="1799,001,,,,11,23,72"></lb> ΗΘ, ΘΚ, τῇ δὲ ΡΛ ἴση ἑκατέρα τῶν ΡΜ, ΡΝ· ἑκάστη <lb n="1799,001,,,,11,23,73"></lb> ἄρα τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΕΖ, ΗΘ, ΘΚ ἑκάστῃ τῶν ΡΛ, <lb n="1799,001,,,,11,23,74"></lb> ΡΜ, ΡΝ ἴση ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΛΡ, ΡΜ δυσὶ ταῖς <lb n="1799,001,,,,11,23,75"></lb> ΑΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΛΜ βάσει τῇ ΑΓ ὑπό-<lb n="1799,001,,,,11,23,76"></lb> κειται ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΡΜ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,23,77"></lb> ἐστιν ἴση.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΜΡΝ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,23,78"></lb> ΔΕΖ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΡΝ τῇ ὑπὸ ΗΘΚ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,23,79"></lb> <s>Ἐκ τριῶν ἄρα γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ ΛΡΜ, ΜΡΝ, <lb n="1799,001,,,,11,23,80"></lb> ΛΡΝ, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, <lb n="1799,001,,,,11,23,81"></lb> ΔΕΖ, ΗΘΚ, στερεὰ γωνία συνέσταται ἡ πρὸς τῷ Ρ περι-<lb n="1799,001,,,,11,23,82"></lb> εχομένη ὑπὸ τῶν ΛΡΜ, ΜΡΝ, ΛΡΝ γωνιῶν· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,11,23,83"></lb> ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,23,84"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,11,23,85"></lb> Ὃν δὲ τρόπον, ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,11,23,86"></lb> τῆς ΛΞ, ἐκείνῳ ἴσον λαβεῖν ἔστι τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ, δείξο-<lb n="1799,001,,,,11,23,87"></lb> μεν οὕτως.</s> <s>ἐκκείσθωσαν αἱ ΑΒ, ΛΞ εὐθεῖαι, καὶ ἔστω <lb n="1799,001,,,,11,23,88"></lb> μείζων ἡ ΑΒ, καὶ γεγράφθω ἐπ' αὐτῆς ἡμικύκλιον τὸ <lb n="1799,001,,,,11,23,89"></lb> ΑΒΓ, καὶ εἰς τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον ἐνηρμόσθω τῇ ΛΞ <lb n="1799,001,,,,11,23,90"></lb> εὐθείᾳ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς ΑΒ διαμέτρου ἴση ἡ ΑΓ, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,23,91"></lb> ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΑΓΒ γωνία <lb n="1799,001,,,,11,23,92"></lb> ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ.</s> <s>τὸ ἄρα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,23,93"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,11,23,94"></lb> ΑΓ, ΓΒ.</s> <s>ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ <lb n="1799,001,,,,11,23,95"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΓ μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,11,23,96"></lb> ΓΒ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΛΞ.</s> <s>τὸ ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,23,97"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ μεῖζόν <lb n="1799,001,,,,11,23,98"></lb> ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ.</s> <s>ἐὰν οὖν τῇ ΒΓ ἴσην τὴν ΞΡ ἀπο-<lb n="1799,001,,,,11,23,99"></lb> λάβωμεν, ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΞ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,11,23,100"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΞΡ· ὅπερ προέκειτο ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,23,101"></lb> <s>Ἐὰν στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιέχηται, τὰ <lb n="1799,001,,,,11,24,1"></lb> ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλόγραμμά <lb n="1799,001,,,,11,24,2"></lb> ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,24,3"></lb> <s>Στερεὸν γὰρ τὸ ΓΔΘΗ ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων <lb n="1799,001,,,,11,24,4"></lb> περιεχέσθω τῶν ΑΓ, ΗΖ, ΑΘ, ΔΖ, ΒΖ, ΑΕ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,11,24,5"></lb> ὅτι τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,11,24,6"></lb> γραμμά ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,24,7"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΗ, ΓΕ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,24,8"></lb> ἐπιπέδου τοῦ ΑΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλ- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,11,24,9"></lb> ληλοί εἰσιν.</s> <s>παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ.</s> <s>πάλιν, <lb n="1799,001,,,,11,24,10"></lb> ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΒΖ, ΑΕ ὑπὸ ἐπιπέδου <lb n="1799,001,,,,11,24,11"></lb> τοῦ ΑΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί <lb n="1799,001,,,,11,24,12"></lb> εἰσιν.</s> <s>παράλληλος ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,24,13"></lb> ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΑΔ.</s> <s>ἐδεί-<lb n="1799,001,,,,11,24,14"></lb> χθη δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ <lb n="1799,001,,,,11,24,15"></lb> παράλληλος· παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,11,24,16"></lb> γραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,24,17"></lb> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι <lb n="1799,001,,,,11,24,18"></lb> καὶ ἕκαστον τῶν ΔΖ, <lb n="1799,001,,,,11,24,19"></lb> ΖΗ, ΗΒ, ΒΖ, ΑΕ πα-<lb n="1799,001,,,,11,24,20"></lb> ραλληλόγραμμόν ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,24,21"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ, ΔΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,11,24,22"></lb> ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΓΖ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΘ <lb n="1799,001,,,,11,24,23"></lb> ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας τὰς ΔΓ, ΓΖ ἁπτο-<lb n="1799,001,,,,11,24,24"></lb> μένας ἀλλήλων εἰσὶν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ· ἴσας ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,24,25"></lb> γωνίας περιέξουσιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνία τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,24,26"></lb> ΔΓΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ, ΒΘ δυσὶ ταῖς ΔΓ, ΓΖ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,11,24,27"></lb> εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,11,24,28"></lb> ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΘ <lb n="1799,001,,,,11,24,29"></lb> τρίγωνον τῷ ΔΓΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.</s> <s>καί ἐστι τοῦ μὲν <lb n="1799,001,,,,11,24,30"></lb> ΑΒΘ διπλάσιον τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον, τοῦ δὲ ΔΓΖ <lb n="1799,001,,,,11,24,31"></lb> διπλάσιον τὸ ΓΕ παραλληλόγραμμον· ἴσον ἄρα τὸ ΒΗ <lb n="1799,001,,,,11,24,32"></lb> παραλληλόγραμμον τῷ ΓΕ παραλληλογράμμῳ.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,11,24,33"></lb> δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ μὲν ΑΓ τῷ ΗΖ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,11,24,34"></lb> ΑΕ τῷ ΒΖ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,24,35"></lb> Ἐὰν ἄρα στερεὸν ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων περιέχη-<lb n="1799,001,,,,11,24,36"></lb> ται, τὰ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐπίπεδα ἴσα τε καὶ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,11,24,37"></lb> γραμμά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,24,38"></lb> <s>Ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,25,1"></lb> λήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔσται ὡς ἡ βάσις πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,25,2"></lb> τὴν βάσιν, οὕτως τὸ στερεὸν πρὸς τὸ στερεόν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,25,3"></lb> <s>Στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ ΑΒΓΔ ἐπιπέδῳ τῷ <lb n="1799,001,,,,11,25,4"></lb> ΖΗ τετμήσθω παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέ-<lb n="1799,001,,,,11,25,5"></lb> δοις τοῖς ΡΑ, ΔΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕΖΦ βάσις <lb n="1799,001,,,,11,25,6"></lb> πρὸς τὴν ΕΘΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒΖΥ στερεὸν πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,25,7"></lb> τὸ ΕΗΓΔ στερεόν. <lb n="1799,001,,,,11,25,8"></lb> Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΘ ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη, καὶ κείσ-<lb n="1799,001,,,,11,25,9"></lb> θωσαν τῇ μὲν ΑΕ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΑΚ, ΚΛ, τῇ δὲ <lb n="1799,001,,,,11,25,10"></lb> ΕΘ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΘΜ, ΜΝ, καὶ συμπεπληρώσθω <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,25,11"></lb> τὰ ΛΟ, ΚΦ, ΘΧ, ΜΣ παραλληλόγραμμα καὶ τὰ ΛΠ, <lb n="1799,001,,,,11,25,12"></lb> ΚΡ, ΔΜ, ΜΤ στερεά.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΛΚ, ΚΑ, <lb n="1799,001,,,,11,25,13"></lb> ΑΕ εὐθεῖαι ἀλλήλαις, ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ μὲν ΛΟ, ΚΦ, ΑΖ <lb n="1799,001,,,,11,25,14"></lb> παραλληλόγραμμα ἀλλήλοις, τὰ δὲ ΚΞ, ΚΒ, ΑΗ ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,11,25,15"></lb> λοις καὶ ἔτι τὰ ΛΨ, ΚΠ, ΑΡ ἀλλήλοις· ἀπεναντίον γάρ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,25,16"></lb> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ μὲν ΕΓ, ΘΧ, ΜΣ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,11,25,17"></lb> γραμμα ἴσα εἰσὶν ἀλλήλοις, τὰ δὲ ΘΗ, ΘΙ, ΙΝ ἴσα εἰσὶν <lb n="1799,001,,,,11,25,18"></lb> ἀλλήλοις, καὶ ἔτι τὰ ΔΘ, ΜΩ, ΝΤ· τρία ἄρα ἐπίπεδα <lb n="1799,001,,,,11,25,19"></lb> τῶν ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ στερεῶν τρισὶν ἐπιπέδοις ἐστὶν ἴσα.</s> <lb n="1799,001,,,,11,25,20"></lb> <s>ἀλλὰ τὰ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἐστὶν ἴσα· τὰ ἄρα τρία <lb n="1799,001,,,,11,25,21"></lb> στερεὰ τὰ ΛΠ, ΚΡ, ΑΥ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,11,25,22"></lb> δὴ καὶ τὰ τρία στερεὰ τὰ ΕΔ, ΔΜ, ΜΤ ἴσα ἀλλήλοις <lb n="1799,001,,,,11,25,23"></lb> ἐστίν· ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΑΖ βάσεως, <lb n="1799,001,,,,11,25,24"></lb> τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΑΥ στερεοῦ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,25,25"></lb> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΖ βάσις τῆς ΖΘ <lb n="1799,001,,,,11,25,26"></lb> βάσεως, τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ΝΥ στερεὸν τοῦ ΘΥ <lb n="1799,001,,,,11,25,27"></lb> στερεοῦ.</s> <s>καὶ εἰ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΖ βάσις τῇ ΝΖ βάσει, ἴσον <lb n="1799,001,,,,11,25,28"></lb> ἐστὶ καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τῷ ΝΥ στερεῷ, καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ <lb n="1799,001,,,,11,25,29"></lb> ΛΖ βάσις τῆς ΝΖ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,25,30"></lb> τοῦ ΝΥ στερεοῦ, καὶ εἰ ἐλλείπει, ἐλλείπει.</s> <s>τεσσάρων δὴ <lb n="1799,001,,,,11,25,31"></lb> ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν βάσεων τῶν ΑΖ, ΖΘ, δύο δὲ <lb n="1799,001,,,,11,25,32"></lb> στερεῶν τῶν ΑΥ, ΥΘ, εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆς <lb n="1799,001,,,,11,25,33"></lb> μὲν ΑΖ βάσεως καὶ τοῦ ΑΥ στερεοῦ ἥ τε ΛΖ βάσις καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,25,34"></lb> ΛΥ στερεόν, τῆς δὲ ΘΖ βάσεως καὶ τοῦ ΘΥ στερεοῦ ἥ <lb n="1799,001,,,,11,25,35"></lb> τε ΝΖ βάσις καὶ τὸ ΝΥ στερεόν, καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερ-<lb n="1799,001,,,,11,25,36"></lb> έχει ἡ ΛΖ βάσις τῆς ΖΝ βάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΥ <lb n="1799,001,,,,11,25,37"></lb> στερεὸν τοῦ ΝΥ [στερεοῦ], καὶ εἰ ἴση, ἴσον, καὶ εἰ ἐλλεί-<lb n="1799,001,,,,11,25,38"></lb> πει, ἐλλείπει.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ βάσις πρὸς τὴν ΖΘ <lb n="1799,001,,,,11,25,39"></lb> βάσιν, οὕτως τὸ ΑΥ στερεὸν πρὸς τὸ ΥΘ στερεόν· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,11,25,40"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,25,41"></lb> <s>Πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῇ <lb n="1799,001,,,,11,26,1"></lb> δοθείσῃ στερεᾷ γωνίᾳ ἴσην στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,26,2"></lb> <s>Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ πρὸς αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,11,26,3"></lb> δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ <lb n="1799,001,,,,11,26,4"></lb> Δ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ὑπὸ ΕΔΓ, ΕΔΖ, ΖΔΓ γωνιῶν <lb n="1799,001,,,,11,26,5"></lb> ἐπιπέδων· δεῖ δὴ πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,11,26,6"></lb> σημείῳ τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ στερεᾷ γωνίᾳ ἴσην στερεὰν <lb n="1799,001,,,,11,26,7"></lb> γωνίαν συστήσασθαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,26,8"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΔΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,26,9"></lb> ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΕΔ, ΔΓ ἐπίπεδον κάθετος <lb n="1799,001,,,,11,26,10"></lb> ἡ ΖΗ, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπε-<lb n="1799,001,,,,11,26,11"></lb> ζεύχθω ἡ ΔΗ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,26,12"></lb> πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ μὲν ὑπὸ ΕΔΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,26,13"></lb> ΒΑΛ, τῇ δὲ ὑπὸ ΕΔΗ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΚ, καὶ κείσθω τῇ <lb n="1799,001,,,,11,26,14"></lb> ΔΗ ἴση ἡ ΑΚ, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Κ σημείου τῷ διὰ <lb n="1799,001,,,,11,26,15"></lb> τῶν ΒΑΛ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΘ, καὶ κείσθω ἴση <lb n="1799,001,,,,11,26,16"></lb> τῇ ΗΖ ἡ ΚΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΑ· λέγω, ὅτι ἡ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,26,17"></lb> τῷ Α στερεὰ γωνία περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΒΑΛ, ΒΑΘ, <lb n="1799,001,,,,11,26,18"></lb> ΘΑΛ γωνιῶν ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Δ στερεᾷ γωνίᾳ τῇ <lb n="1799,001,,,,11,26,19"></lb> περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ΕΔΓ, ΕΔΖ, ΖΔΓ γωνιῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,26,20"></lb> <s>Ἀπειλήφθωσαν γὰρ ἴσαι αἱ ΑΒ, ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχ-<lb n="1799,001,,,,11,26,21"></lb> θωσαν αἱ ΘΒ, ΚΒ, ΖΕ, ΗΕ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΗ ὀρθή ἐστι <lb n="1799,001,,,,11,26,22"></lb> πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς <lb n="1799,001,,,,11,26,23"></lb> ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ <lb n="1799,001,,,,11,26,24"></lb> ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα <lb n="1799,001,,,,11,26,25"></lb> τῶν ὑπὸ ΖΗΔ, ΖΗΕ γωνιῶν.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκα-<lb n="1799,001,,,,11,26,26"></lb> τέρα τῶν ὑπὸ ΘΚΑ, ΘΚΒ γωνιῶν ὀρθή ἐστιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,11,26,27"></lb> δύο αἱ ΚΑ, ΑΒ δύο ταῖς ΗΔ, ΔΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκα-<lb n="1799,001,,,,11,26,28"></lb> τέρᾳ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΚΒ βάσει <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,26,29"></lb> τῇ ΗΕ ἴση ἐστίν.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΘ τῇ ΗΖ ἴση· καὶ γω-<lb n="1799,001,,,,11,26,30"></lb> νίας ὀρθὰς περιέχουσιν· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΒ τῇ ΖΕ.</s> <s>πάλιν <lb n="1799,001,,,,11,26,31"></lb> ἐπεὶ δύο αἱ ΑΚ, ΚΘ δυσὶ ταῖς ΔΗ, ΗΖ ἴσαι εἰσίν, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,26,32"></lb> γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΑΘ βάσει τῇ <lb n="1799,001,,,,11,26,33"></lb> ΖΔ ἴση ἐστίν.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἴση· δύο <lb n="1799,001,,,,11,26,34"></lb> δὴ αἱ ΘΑ, ΑΒ δύο ταῖς ΔΖ, ΔΕ ἴσαι εἰσίν.</s> <s>καὶ βάσις ἡ <lb n="1799,001,,,,11,26,35"></lb> ΘΒ βάσει τῇ ΖΕ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΘ γωνίᾳ τῇ <lb n="1799,001,,,,11,26,36"></lb> ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΑΛ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,26,37"></lb> ΖΔΓ ἐστιν ἴση [ἐπειδήπερ ἐὰν ἀπολάβωμεν ἴσας τὰς ΑΛ, <lb n="1799,001,,,,11,26,38"></lb> ΔΓ καὶ ἐπιζεύξωμεν τὰς ΚΛ, ΘΛ, ΗΓ, ΖΓ, ἐπεὶ ὅλη ἡ <lb n="1799,001,,,,11,26,39"></lb> ὑπὸ ΒΑΛ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΕΔΓ ἐστιν ἴση, ὧν ἡ ὑπὸ ΒΑΚ τῇ <lb n="1799,001,,,,11,26,40"></lb> ὑπὸ ΕΔΗ ὑπόκειται ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΑΛ λοιπῇ τῇ <lb n="1799,001,,,,11,26,41"></lb> ὑπὸ ΗΔΓ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΑ, ΑΛ δυσὶ ταῖς <lb n="1799,001,,,,11,26,42"></lb> ΗΔ, ΔΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις <lb n="1799,001,,,,11,26,43"></lb> ἄρα ἡ ΚΛ βάσει τῇ ΗΓ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΘ τῇ <lb n="1799,001,,,,11,26,44"></lb> ΗΖ ἴση· δύο δὴ αἱ ΛΚ, ΚΘ δυσὶ ταῖς ΓΗ, ΗΖ εἰσιν <lb n="1799,001,,,,11,26,45"></lb> ἴσαι· καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΘΛ βάσει <lb n="1799,001,,,,11,26,46"></lb> τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΘΑ, ΑΛ δυσὶ ταῖς ΖΔ, <lb n="1799,001,,,,11,26,47"></lb> ΔΓ εἰσιν ἴσαι, καὶ βάσις ἡ ΘΛ βάσει τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση, <lb n="1799,001,,,,11,26,48"></lb> γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑΛ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστιν ἴση].</s> <lb n="1799,001,,,,11,26,49"></lb> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΛ τῇ ὑπὸ ΕΔΓ ἴση.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,26,50"></lb> Πρὸς ἄρα τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,11,26,51"></lb> σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ στερεᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Δ ἴση <lb n="1799,001,,,,11,26,52"></lb> συνέσταται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,26,53"></lb> <s>Ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῷ δοθέντι στερεῷ παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,27,1"></lb> ληλεπιπέδῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,27,2"></lb> ληλεπίπεδον ἀναγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,27,3"></lb> <s>Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν στερεὸν <lb n="1799,001,,,,11,27,4"></lb> παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΔ· δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας <lb n="1799,001,,,,11,27,5"></lb> τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ τῷ ΓΔ <lb n="1799,001,,,,11,27,6"></lb> ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον <lb n="1799,001,,,,11,27,7"></lb> ἀναγράψαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,27,8"></lb> <s>Συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,11,27,9"></lb> σημείῳ τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Γ στερεᾷ γωνίᾳ ἴση ἡ περιεχο-<lb n="1799,001,,,,11,27,10"></lb> μένη ὑπὸ τῶν ΒΑΘ, ΘΑΚ, ΚΑΒ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν <lb n="1799,001,,,,11,27,11"></lb> μὲν ὑπὸ ΒΑΘ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΓΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΑΚ τῇ <lb n="1799,001,,,,11,27,12"></lb> ὑπὸ ΕΓΗ, τὴν δὲ ὑπὸ ΚΑΘ τῇ ὑπὸ ΗΓΖ· καὶ γεγονέτω <lb n="1799,001,,,,11,27,13"></lb> ὡς μὲν ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΚ, <lb n="1799,001,,,,11,27,14"></lb> ὡς δὲ ἡ ΗΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΘ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,11,27,15"></lb> δι' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΒΑ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,27,16"></lb> πρὸς τὴν ΑΘ.</s> <s>καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΘΒ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,11,27,17"></lb> γραμμον καὶ τὸ ΑΛ στερεόν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,27,18"></lb> <s>Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,27,19"></lb> τὴν ΑΚ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΓΗ, ΒΑΚ αἱ <lb n="1799,001,,,,11,27,20"></lb> πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΕ παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,27,21"></lb> ληλόγραμμον τῷ ΚΒ παραλληλογράμμῳ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,11,27,22"></lb> δὴ καὶ τὸ μὲν ΚΘ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΖ παραλλη- <lb n="1799,001,,,,11,27,23"></lb> λογράμμῳ ὅμοιόν ἐστι καὶ ἔτι τὸ ΖΕ τῷ ΘΒ· τρία ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,27,24"></lb> παραλληλόγραμμα τοῦ ΓΔ στερεοῦ τρισὶ παραλληλο-<lb n="1799,001,,,,11,27,25"></lb> γράμμοις τοῦ ΑΛ στερεοῦ ὅμοιά ἐστιν.</s> <s>ἀλλὰ τὰ μὲν τρία <lb n="1799,001,,,,11,27,26"></lb> τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία <lb n="1799,001,,,,11,27,27"></lb> τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια· ὅλον ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,11,27,28"></lb> ΓΔ στερεὸν ὅλῳ τῷ ΑΛ στερεῷ ὅμοιόν ἐστιν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,27,29"></lb> Ἀπὸ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δοθέντι <lb n="1799,001,,,,11,27,30"></lb> στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ τῷ ΓΔ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,11,27,31"></lb> κείμενον ἀναγέγραπται τὸ ΑΛ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,27,32"></lb> <s>Ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ τμηθῇ κατὰ <lb n="1799,001,,,,11,28,1"></lb> τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων, δίχα τμηθήσε-<lb n="1799,001,,,,11,28,2"></lb> ται τὸ στερεὸν ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου.</s> <lb n="1799,001,,,,11,28,3"></lb> <s>Στερεὸν γὰρ παραλληλεπίπεδον τὸ ΑΒ ἐπιπέδῳ τῷ <lb n="1799,001,,,,11,28,4"></lb> ΓΔΕΖ τετμήσθω κατὰ τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεναντίον <lb n="1799,001,,,,11,28,5"></lb> ἐπιπέδων τὰς ΓΖ, ΔΕ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,11,28,6"></lb> ὅτι δίχα τμηθήσεται τὸ ΑΒ στε-<lb n="1799,001,,,,11,28,7"></lb> ρεὸν ὑπὸ τοῦ ΓΔΕΖ ἐπιπέδου.</s> <lb n="1799,001,,,,11,28,8"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΓΗΖ <lb n="1799,001,,,,11,28,9"></lb> τρίγωνον τῷ ΓΖΒ τριγώνῳ, τὸ <lb n="1799,001,,,,11,28,10"></lb> δὲ ΑΔΕ τῷ ΔΕΘ, ἔστι δὲ καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,28,11"></lb> μὲν ΓΑ παραλληλόγραμμον τῷ <lb n="1799,001,,,,11,28,12"></lb> ΕΒ ἴσον· ἀπεναντίον γάρ· τὸ δὲ <lb n="1799,001,,,,11,28,13"></lb> ΗΕ τῷ ΓΘ, καὶ τὸ πρίσμα ἄρα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο <lb n="1799,001,,,,11,28,14"></lb> μὲν τριγώνων τῶν ΓΗΖ, ΑΔΕ, τριῶν δὲ παραλληλο-<lb n="1799,001,,,,11,28,15"></lb> γράμμων τῶν ΗΕ, ΑΓ, ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ <lb n="1799,001,,,,11,28,16"></lb> περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΓΖΒ, ΔΕΘ, <lb n="1799,001,,,,11,28,17"></lb> τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΓΘ, ΒΕ, ΓΕ· ὑπὸ γὰρ <lb n="1799,001,,,,11,28,18"></lb> ἴσων ἐπιπέδων περιέχονται τῷ τε πλήθει καὶ τῷ μεγέθει.</s> <lb n="1799,001,,,,11,28,19"></lb> <s>ὥστε ὅλον τὸ ΑΒ στερεὸν δίχα τέτμηται ὑπὸ τοῦ ΓΔΕΖ <lb n="1799,001,,,,11,28,20"></lb> ἐπιπέδου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,28,21"></lb> Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα <lb n="1799,001,,,,11,29,1"></lb> καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι ἐπὶ τῶν αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,11,29,2"></lb> εἰσιν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,29,3"></lb> <s>Ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΑΒ στερεὰ παραλληλ-<lb n="1799,001,,,,11,29,4"></lb> επίπεδα τὰ ΓΜ, ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι <lb n="1799,001,,,,11,29,5"></lb> αἱ ΑΗ, ΑΖ, ΛΜ, ΛΝ, <lb n="1799,001,,,,11,29,6"></lb> ΓΔ, ΓΕ, ΒΘ, ΒΚ ἐπὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,11,29,7"></lb> αὐτῶν εὐθειῶν ἔστωσαν <lb n="1799,001,,,,11,29,8"></lb> τῶν ΖΝ, ΔΚ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,11,29,9"></lb> ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΜ στερεὸν <lb n="1799,001,,,,11,29,10"></lb> τῷ ΓΝ στερεῷ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,29,11"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,11,29,12"></lb> γραμμόν ἐστιν ἑκάτερον <lb n="1799,001,,,,11,29,13"></lb> τῶν ΓΘ, ΓΚ, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΔΘ, ΕΚ· ὥστε <lb n="1799,001,,,,11,29,14"></lb> καὶ ἡ ΔΘ τῇ ΕΚ ἐστιν ἴση.</s> <s>κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΕΘ· λοιπὴ <lb n="1799,001,,,,11,29,15"></lb> ἄρα ἡ ΔΕ λοιπῇ τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση.</s> <s>ὥστε καὶ τὸ μὲν ΔΓΕ τρί-<lb n="1799,001,,,,11,29,16"></lb> γωνον τῷ ΘΒΚ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, τὸ δὲ ΔΗ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,11,29,17"></lb> γραμμον τῷ ΘΝ παραλληλογράμμῳ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,11,29,18"></lb> τὸ ΑΖΗ τρίγωνον τῷ ΜΛΝ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.</s> <s>ἔστι δὲ <lb n="1799,001,,,,11,29,19"></lb> καὶ τὸ μὲν ΓΖ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΜ παραλληλο-<lb n="1799,001,,,,11,29,20"></lb> γράμμῳ ἴσον, τὸ δὲ ΓΗ τῷ ΒΝ· ἀπεναντίον γάρ· καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,29,21"></lb> πρίσμα ἄρα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν <lb n="1799,001,,,,11,29,22"></lb> ΑΖΗ, ΔΓΕ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,11,29,23"></lb> ΔΗ, ΓΗ ἴσον ἐστὶ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,29,24"></lb> μὲν τριγώνων τῶν ΜΛΝ, ΘΒ*κ, τριῶν δὲ παραλληλο-<lb n="1799,001,,,,11,29,25"></lb> γράμμων τῶν ΒΜ, ΘΝ, ΒΝ.</s> <s>κοινὸν προσκείσθω τὸ στερε-<lb n="1799,001,,,,11,29,26"></lb> όν, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον <lb n="1799,001,,,,11,29,27"></lb> δὲ τὸ ΗΕΘΜ· ὅλον ἄρα τὸ ΓΜ στερεὸν παραλληλεπίπε-<lb n="1799,001,,,,11,29,28"></lb> δον ὅλῳ τῷ ΓΝ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,29,29"></lb> <s>Τὰ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,29,30"></lb> ληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,11,29,31"></lb> τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,11,29,32"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,29,33"></lb> <s>Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπί-<lb n="1799,001,,,,11,30,1"></lb> πεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,11,30,2"></lb> τῶν αὐτῶν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,30,3"></lb> <s>Ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς βά- <lb n="1799,001,,,,11,30,4"></lb> σεως τῆς ΑΒ στερεὰ παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,30,5"></lb> ληλεπίπεδα τὰ ΓΜ, ΓΝ <lb n="1799,001,,,,11,30,6"></lb> ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ <lb n="1799,001,,,,11,30,7"></lb> ἐφεστῶσαι αἱ ΑΖ, ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,11,30,8"></lb> ΛΜ, ΛΝ, ΓΔ, ΓΕ, ΒΘ, <lb n="1799,001,,,,11,30,9"></lb> ΒΚ μὴ ἔστωσαν ἐπὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,11,30,10"></lb> αὐτῶν εὐθειῶν· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,11,30,11"></lb> ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΜ στερεὸν <lb n="1799,001,,,,11,30,12"></lb> τῷ ΓΝ στερεῷ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,30,13"></lb> <s>Ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ αἱ ΝΚ, ΔΘ καὶ συμπιπτέτωσαν <lb n="1799,001,,,,11,30,14"></lb> ἀλλήλαις κατὰ τὸ Ρ, καὶ ἔτι ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΜ, ΗΕ <lb n="1799,001,,,,11,30,15"></lb> ἐπὶ τὰ Ο, Π, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΞ, ΛΟ, ΓΠ, ΒΡ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,30,16"></lb> <s>ἴσον δή ἐστι τὸ ΓΜ στερεόν, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,30,17"></lb> παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΖΔΘΜ, τῷ ΓΟ <lb n="1799,001,,,,11,30,18"></lb> στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον, <lb n="1799,001,,,,11,30,19"></lb> ἀπεναντίον δὲ τὸ ΞΠΡΟ· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς <lb n="1799,001,,,,11,30,20"></lb> εἰσι τῆς ΑΓΒΛ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι <lb n="1799,001,,,,11,30,21"></lb> αἱ ΑΖ, ΑΞ, ΛΜ, ΛΟ, ΓΔ, ΓΠ, ΒΘ, ΒΡ ἐπὶ τῶν αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,11,30,22"></lb> εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΖΟ, ΔΡ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΓΟ στερεόν, οὗ βάσις <lb n="1799,001,,,,11,30,23"></lb> μέν ἐστι τὸ ΑΓΒΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,30,24"></lb> ΞΠΡΟ, ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΝ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΓΒΛ <lb n="1799,001,,,,11,30,25"></lb> παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΗΕΚΝ· ἐπί τε <lb n="1799,001,,,,11,30,26"></lb> γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΑΓΒΛ καὶ ὑπὸ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,30,27"></lb> αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ ΑΗ, ΑΞ, ΓΕ, ΓΠ, ΛΝ, <lb n="1799,001,,,,11,30,28"></lb> ΛΟ, ΒΚ, ΒΡ ἐπὶ τῶν αὐτῶν εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΗΠ, ΝΡ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,30,29"></lb> <s>ὥστε καὶ τὸ ΓΜ στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΝ στερεῷ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,30,30"></lb> <s>Τὰ ἄρα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως στερεὰ παραλληλεπίπεδα <lb n="1799,001,,,,11,30,31"></lb> καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,11,30,32"></lb> αὐτῶν εὐθειῶν, ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,30,33"></lb> Τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ <lb n="1799,001,,,,11,31,1"></lb> ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,31,2"></lb> <s>Ἔστω ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεὰ παραλληλ-<lb n="1799,001,,,,11,31,3"></lb> επίπεδα τὰ ΑΕ, ΓΖ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος· λέγω, ὅτι ἴσον <lb n="1799,001,,,,11,31,4"></lb> ἐστὶ τὸ ΑΕ στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,31,5"></lb> <s>Ἔστωσαν δὴ πρότερον αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΘΚ, ΒΕ, ΑΗ, <lb n="1799,001,,,,11,31,6"></lb> ΛΜ, ΟΠ, ΔΖ, ΓΞ, ΡΣ πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΑΒ, ΓΔ βάσε-<lb n="1799,001,,,,11,31,7"></lb> σιν, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπ' εὐθείας τῇ ΓΡ εὐθεῖα ἡ ΡΤ, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,31,8"></lb> συνεστάτω πρὸς τῇ ΡΤ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ <lb n="1799,001,,,,11,31,9"></lb> τῷ Ρ τῇ ὑπὸ ΑΛΒ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΤΡΥ, καὶ κείσθω <lb n="1799,001,,,,11,31,10"></lb> τῇ μὲν ΑΛ ἴση ἡ ΡΤ, τῇ δὲ ΛΒ ἴση ἡ ΡΥ, καὶ συμπεπλη-<lb n="1799,001,,,,11,31,11"></lb> ρώσθω ἥ τε ΡΧ βάσις καὶ τὸ ΨΥ στερεόν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο αἱ <lb n="1799,001,,,,11,31,12"></lb> ΤΡ, ΡΥ δυσὶ ταῖς ΑΛ, ΛΒ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνίας ἴσας <lb n="1799,001,,,,11,31,13"></lb> περιέχουσιν, ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον τὸ ΡΧ παραλληλόγραμ-<lb n="1799,001,,,,11,31,14"></lb> μον τῷ ΘΛ παραλληλογράμμῳ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση μὲν <lb n="1799,001,,,,11,31,15"></lb> ἡ ΑΛ τῇ ΡΤ, ἡ δὲ ΛΜ τῇ ΡΣ, καὶ γωνίας ὀρθὰς περι-<lb n="1799,001,,,,11,31,16"></lb> έχουσιν, ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΡΨ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,11,31,17"></lb> γραμμον τῷ ΑΜ παραλληλογράμμῳ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,11,31,18"></lb> τὸ ΛΕ τῷ ΣΥ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον· τρία ἄρα παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,31,19"></lb> ληλόγραμμα τοῦ ΑΕ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,31,20"></lb> τοῦ ΨΥ στερεοῦ ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια.</s> <s>ἀλλὰ τὰ μὲν τρία <lb n="1799,001,,,,11,31,21"></lb> τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τέ ἐστι καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία <lb n="1799,001,,,,11,31,22"></lb> τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΕ στερεὸν παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,31,23"></lb> ληλεπίπεδον ὅλῳ τῷ ΨΥ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἴσον <lb n="1799,001,,,,11,31,24"></lb> ἐστίν.</s> <s>διήχθωσαν αἱ ΔΡ, ΧΥ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,11,31,25"></lb> λαις κατὰ τὸ Ω, καὶ διὰ τοῦ Τ τῇ ΔΩ παράλληλος ἤχθω ἡ <lb n="1799,001,,,,11,31,26"></lb> σθω τὰ ΩΨ, ΡΙ στερεά.</s> <s>ἴσον δή ἐστι τὸ ΨΩ στερεόν, οὗ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,31,28"></lb> βάσις μέν ἐστι τὸ ΡΨ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ <lb n="1799,001,,,,11,31,29"></lb> τὸ Ω#4, τῷ ΨΥ στερεῷ, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΨ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,11,31,30"></lb> γραμμον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΥΦ· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βά-<lb n="1799,001,,,,11,31,31"></lb> σεώς εἰσι τῆς ΡΨ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι <lb n="1799,001,,,,11,31,32"></lb> αἱ ΡΩ, ΡΥ, Τ#5, ΤΧ, Σ#2, Σο%24, Ψ#4, ΨΦ ἐπὶ τῶν αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,11,31,33"></lb> εἰσιν εὐθειῶν τῶν ΩΧ, #2Φ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΨΥ στερεὸν τῷ ΑΕ <lb n="1799,001,,,,11,31,34"></lb> ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΨΩ ἄρα στερεὸν τῷ ΑΕ στερεῷ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,11,31,35"></lb> ἴσον.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΡΥΧΤ παραλληλόγραμμον τῷ <lb n="1799,001,,,,11,31,36"></lb> ΩΤ παραλληλογράμμῳ· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς <lb n="1799,001,,,,11,31,37"></lb> εἰσι τῆς ΡΤ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΡΤ, <lb n="1799,001,,,,11,31,38"></lb> ΩΧ· ἀλλὰ τὸ ΡΥΧΤ τῷ ΓΔ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ τῷ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,11,31,39"></lb> καὶ τὸ ΩΤ ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ ΓΔ ἐστιν ἴσον.</s> <lb n="1799,001,,,,11,31,40"></lb> <s>ἄλλο δὲ τὸ ΔΤ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΔΤ, <lb n="1799,001,,,,11,31,41"></lb> οὕτως ἡ ΩΤ πρὸς τὴν ΔΤ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ στερεὸν παραλληλ-<lb n="1799,001,,,,11,31,42"></lb> επίπεδον τὸ ΓΙ ἐπιπέδῳ τῷ ΡΖ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι <lb n="1799,001,,,,11,31,43"></lb> τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,11,31,44"></lb> ΔΤ βάσιν, οὕτως τὸ ΓΖ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ στερεόν.</s> <s>διὰ <lb n="1799,001,,,,11,31,45"></lb> τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΩΙ ἐπιπέδῳ <lb n="1799,001,,,,11,31,46"></lb> τῷ ΡΨ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπι-<lb n="1799,001,,,,11,31,47"></lb> πέδοις, ἔστιν ὡς ἡ ΩΤ βάσις πρὸς τὴν ΤΔ βάσιν, οὕτως <lb n="1799,001,,,,11,31,48"></lb> τὸ ΩΨ στερεὸν πρὸς τὸ ΡΙ.</s> <s>ἀλλ' ὡς ἡ ΓΔ βάσις πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,11,31,49"></lb> ΔΤ, οὕτως ἡ ΩΤ πρὸς τὴν ΔΤ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΓΖ στε- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,11,31,50"></lb> ρεὸν πρὸς τὸ ΡΙ στερεόν, οὕτως τὸ ΩΨ στερεὸν πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,11,31,51"></lb> ΡΙ.</s> <s>ἑκάτερον ἄρα τῶν ΓΖ, ΩΨ στερεῶν πρὸς τὸ ΡΙ τὸν <lb n="1799,001,,,,11,31,52"></lb> αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΖ στερεὸν τῷ ΩΨ <lb n="1799,001,,,,11,31,53"></lb> στερεῷ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΩΨ τῷ ΑΕ ἐδείχθη ἴσον· καὶ τὸ ΑΕ <lb n="1799,001,,,,11,31,54"></lb> ἄρα τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον. <lb n="1799,001,,,,11,31,55"></lb> Μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΑΗ, ΘΚ, ΒΕ, ΛΜ, <lb n="1799,001,,,,11,31,56"></lb> ΓΝ, ΟΠ, ΔΖ, ΡΣ πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΑΒ, ΓΔ βάσεσιν· <lb n="1799,001,,,,11,31,57"></lb> λέγω πάλιν, ὅτι ἴσον τὸ ΑΕ στερεὸν τῷ ΓΖ στερεῷ.</s> <s>ἤχθω-<lb n="1799,001,,,,11,31,58"></lb> σαν γὰρ ἀπὸ τῶν Κ, Ε, Η, Μ, Π, Ζ, Ν, Σ σημείων ἐπὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,31,59"></lb> ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετοι αἱ ΚΞ, ΕΤ, ΗΥ, ΜΦ, <lb n="1799,001,,,,11,31,60"></lb> ΠΧ, ΖΨ, ΝΩ, ΣΙ, καὶ συμβαλλέτωσαν τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ <lb n="1799,001,,,,11,31,61"></lb> τὰ Ξ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω, Ι σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ <lb n="1799,001,,,,11,31,62"></lb> ΞΤ, ΞΥ, ΥΦ, ΤΦ, ΧΨ, ΧΩ, ΩΙ, ΙΨ.</s> <s>ἴσον δή ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,11,31,63"></lb> ΚΦ στερεὸν τῷ ΠΙ στερεῷ· ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,31,64"></lb> τῶν ΚΜ, ΠΣ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,31,65"></lb> ὀρθάς εἰσι ταῖς βάσεσιν.</s> <s>ἀλλὰ τὸ μὲν ΚΦ στερεὸν τῷ ΑΕ <lb n="1799,001,,,,11,31,66"></lb> στερεῷ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΠΙ τῷ ΓΖ· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς <lb n="1799,001,,,,11,31,67"></lb> βάσεώς εἰσι καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὔκ <lb n="1799,001,,,,11,31,68"></lb> εἰσιν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν.</s> <s>καὶ τὸ ΑΕ ἄρα στερεὸν τῷ <lb n="1799,001,,,,11,31,69"></lb> ΓΖ στερεῷ ἐστιν ἴσον.</s> <lb n="1799,001,,,,11,31,70"></lb> <s>Τὰ ἄρα ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα <lb n="1799,001,,,,11,31,71"></lb> καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,31,72"></lb> <s>Τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα <lb n="1799,001,,,,11,32,1"></lb> πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις. <lb n="1799,001,,,,11,32,2"></lb> Ἔστω ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ <lb n="1799,001,,,,11,32,3"></lb> ΑΒ, ΓΔ· λέγω, ὅτι τὰ ΑΒ, ΓΔ στερεὰ παραλληλεπίπεδα <lb n="1799,001,,,,11,32,4"></lb> πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις, τουτέστιν ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,11,32,5"></lb> ΑΕ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,32,6"></lb> τὸ ΓΔ στερεόν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,32,7"></lb> <s>Παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΖΗ τῷ ΑΕ ἴσον τὸ ΖΘ, <lb n="1799,001,,,,11,32,8"></lb> καὶ ἀπὸ βάσεως μὲν τῆς ΖΘ, ὕψους δὲ τοῦ αὐτοῦ τῷ ΓΔ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,32,9"></lb> στερεὸν παραλληλεπίπεδον συμπεπληρώσθω τὸ ΗΚ.</s> <s>ἴσον <lb n="1799,001,,,,11,32,10"></lb> δή ἐστι τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΗΚ στερεῷ· ἐπί τε γὰρ ἴσων <lb n="1799,001,,,,11,32,11"></lb> βάσεών εἰσι τῶν ΑΕ, ΖΘ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,11,32,12"></lb> στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΚ ἐπιπέδῳ τῷ ΔΗ τέτμη-<lb n="1799,001,,,,11,32,13"></lb> ται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,32,14"></lb> ὡς ἡ ΓΖ βάσις πρὸς τὴν ΖΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν <lb n="1799,001,,,,11,32,15"></lb> πρὸς τὸ ΔΘ στερεόν.</s> <s>ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΘ βάσις τῇ ΑΕ βάσει, <lb n="1799,001,,,,11,32,16"></lb> τὸ δὲ ΗΚ στερεὸν τῷ ΑΒ στερεῷ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΑΕ <lb n="1799,001,,,,11,32,17"></lb> βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,11,32,18"></lb> ΓΔ στερεόν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,32,19"></lb> <s>Τὰ ἄρα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα <lb n="1799,001,,,,11,32,20"></lb> πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,32,21"></lb> <s>Τὰ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλα ἐν τρι-<lb n="1799,001,,,,11,33,1"></lb> πλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,33,2"></lb> <s>Ἔστω ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα <lb n="1799,001,,,,11,33,3"></lb> τὰ ΑΒ, ΓΔ, ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ ΑΕ τῇ <lb n="1799,001,,,,11,33,4"></lb> ΓΖ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ <lb n="1799,001,,,,11,33,5"></lb> στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ <lb n="1799,001,,,,11,33,6"></lb> ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,33,7"></lb> <s>Ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ ἐπ' εὐθείας ταῖς ΑΕ, <lb n="1799,001,,,,11,33,8"></lb> ΗΕ, ΘΕ αἱ ΕΚ, ΕΛ, ΕΜ, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΓΖ ἴση ἡ ΕΚ, <lb n="1799,001,,,,11,33,9"></lb> τῇ δὲ ΖΝ ἴση ἡ ΕΛ, καὶ ἔτι τῇ ΖΡ ἴση ἡ ΕΜ, καὶ συμπε-<lb n="1799,001,,,,11,33,10"></lb> πληρώσθω τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ ΚΟ στερεόν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,33,11"></lb> Καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΕ, ΕΛ δυσὶ ταῖς ΓΖ, ΖΝ ἴσαι εἰσίν, <lb n="1799,001,,,,11,33,12"></lb> ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΕΛ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΖΝ ἐστιν ἴση, <lb n="1799,001,,,,11,33,13"></lb> ἐπειδήπερ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΗ τῇ ὑπὸ ΓΖΝ ἐστιν ἴση διὰ τὴν <lb n="1799,001,,,,11,33,14"></lb> ὁμοιότητα τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν, ἴσον ἄρα ἐστὶ [καὶ ὅμοι-<lb n="1799,001,,,,11,33,15"></lb> ον] τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΓΝ παραλληλογράμμῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,33,16"></lb> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΚΜ παραλληλόγραμμον ἴσον <lb n="1799,001,,,,11,33,17"></lb> ἐστὶ καὶ ὅμοιον τῷ ΓΡ [παραλληλογράμμῳ] καὶ ἔτι τὸ <lb n="1799,001,,,,11,33,18"></lb> ΕΟ τῷ ΔΖ· τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΚΟ στερεοῦ <lb n="1799,001,,,,11,33,19"></lb> τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΓΔ στερεοῦ ἴσα ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,11,33,20"></lb> ὅμοια.</s> <s>ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα ἐστὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,11,33,21"></lb> ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια· <lb n="1799,001,,,,11,33,22"></lb> ὅλον ἄρα τὸ ΚΟ στερεὸν ὅλῳ τῷ ΓΔ στερεῷ ἴσον ἐστὶ καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,33,23"></lb> ὅμοιον.</s> <s>συμπεπληρώσθω τὸ ΗΚ παραλληλόγραμμον, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,33,24"></lb> ἀπὸ βάσεων μὲν τῶν ΗΚ, ΚΛ παραλληλογράμμων, ὕψους <lb n="1799,001,,,,11,33,25"></lb> δὲ τοῦ αὐτοῦ τῷ ΑΒ στερεὰ συμπεπληρώσθω τὰ ΕΞ, ΛΠ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,33,26"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν ἐστιν <lb n="1799,001,,,,11,33,27"></lb> ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΝ, καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,11,33,28"></lb> ΕΘ πρὸς τὴν ΖΡ, ἴση δὲ ἡ μέν ΓΖ τῇ ΕΚ, ἡ δὲ ΖΝ τῇ <lb n="1799,001,,,,11,33,29"></lb> ΕΛ, ἡ δὲ ΖΡ τῇ ΕΜ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΚ, <lb n="1799,001,,,,11,33,30"></lb> οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΛ καὶ ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΜ.</s> <s>ἀλλ' <lb n="1799,001,,,,11,33,31"></lb> ὡς μὲν ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως τὸ ΑΗ [παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,11,33,32"></lb> γραμμον] πρὸς τὸ ΗΚ παραλληλόγραμμον, ὡς δὲ ἡ ΗΕ <lb n="1799,001,,,,11,33,33"></lb> πρὸς τὴν ΕΛ, οὕτως τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΛ, ὡς δὲ ἡ ΘΕ <lb n="1799,001,,,,11,33,34"></lb> πρὸς ΕΜ, οὕτως τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ· καὶ ὡς ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,11,33,35"></lb> ΑΗ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΗΚ, οὕτως τὸ ΗΚ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,33,36"></lb> τὸ ΚΛ καὶ τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν τὸ ΑΗ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,33,37"></lb> τὸ ΗΚ, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΞ στερεόν, ὡς δὲ <lb n="1799,001,,,,11,33,38"></lb> τὸ ΗΚ πρὸς τὸ Κ*λ, οὕτως τὸ ΞΕ στερεὸν πρὸς τὸ ΠΛ <lb n="1799,001,,,,11,33,39"></lb> στερεόν, ὡς δὲ τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ, οὕτως τὸ ΠΛ στερεὸν <lb n="1799,001,,,,11,33,40"></lb> πρὸς τὸ ΚΟ στερεόν· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,11,33,41"></lb> ΕΞ, οὕτως τὸ ΕΞ πρὸς τὸ ΠΛ καὶ τὸ ΠΛ πρὸς τὸ ΚΟ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,33,42"></lb> <s>ἐὰν δὲ τέσσαρα μεγέθη κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ᾖ, τὸ <lb n="1799,001,,,,11,33,43"></lb> πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ <lb n="1799,001,,,,11,33,44"></lb> πρὸς τὸ δεύτερον· τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ τριπλα-<lb n="1799,001,,,,11,33,45"></lb> σίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΞ.</s> <s>ἀλλ' ὡς τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,11,33,46"></lb> πρὸς τὸ ΕΞ, οὕτως τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,11,33,47"></lb> ΗΚ καὶ ἡ ΑΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΚ· ὥστε καὶ τὸ ΑΒ στε- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,11,33,48"></lb> ρεὸν πρὸς τὸ ΚΟ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΕ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,33,49"></lb> τὴν ΕΚ.</s> <s>ἴσον δὲ τὸ [μὲν] ΚΟ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ, ἡ <lb n="1799,001,,,,11,33,50"></lb> δὲ ΕΚ εὐθεῖα τῇ ΓΖ· καὶ τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ <lb n="1799,001,,,,11,33,51"></lb> στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος αὐτοῦ <lb n="1799,001,,,,11,33,52"></lb> πλευρὰ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΓΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,33,53"></lb> <s>Τὰ ἄρα ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλασίονι <lb n="1799,001,,,,11,33,54"></lb> λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,33,55"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,11,33,56"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλο-<lb n="1799,001,,,,11,33,57"></lb> γον ὦσιν, ἔσται ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην, οὕτω τὸ <lb n="1799,001,,,,11,33,58"></lb> ἀπὸ τῆς πρώτης στερεὸν παραλληλεπίπεδον πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,11,33,59"></lb> τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον, ἐπείπερ <lb n="1799,001,,,,11,33,60"></lb> καὶ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην τριπλασίονα λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,11,33,61"></lb> ἤπερ πρὸς τὴν δευτέραν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,33,62"></lb> <s>Τῶν ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν <lb n="1799,001,,,,11,34,1"></lb> αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ ὧν στερεῶν παραλληλεπιπέδων <lb n="1799,001,,,,11,34,2"></lb> ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.</s> <lb n="1799,001,,,,11,34,3"></lb> <s>Ἔστω ἴσα στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΒ, ΓΔ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,11,34,4"></lb> ὅτι τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόν-<lb n="1799,001,,,,11,34,5"></lb> θασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,34,6"></lb> τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,11,34,7"></lb> τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,34,8"></lb> Ἔστωσαν γὰρ πρότερον αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΑΗ, ΕΖ, <lb n="1799,001,,,,11,34,9"></lb> ΛΒ, ΘΚ, ΓΜ, ΝΞ, ΟΔ, ΠΡ πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν <lb n="1799,001,,,,11,34,10"></lb> αὐτῶν· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ <lb n="1799,001,,,,11,34,11"></lb> βάσιν, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΑΗ. <lb n="1799,001,,,,11,34,12"></lb> Εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστιν ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ βάσει, ἔστι δὲ <lb n="1799,001,,,,11,34,13"></lb> καὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ ἴσον, ἔσται καὶ ἡ ΓΜ <lb n="1799,001,,,,11,34,14"></lb> τῇ ΑΗ ἴση.</s> <s>τὰ γὰρ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος στερεὰ παραλληλ-<lb n="1799,001,,,,11,34,15"></lb> επίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις [εἰ γὰρ τῶν ΕΘ, <lb n="1799,001,,,,11,34,16"></lb> ΝΠ βάσεων ἴσων οὐσῶν μὴ εἴη τὰ ΑΗ, ΓΜ ὕψη ἴσα, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,34,17"></lb> οὐδ' ἄρα τὸ ΑΒ στερεὸν ἴσον ἔσται τῷ ΓΔ.</s> <s>ὑπόκειται δὲ <lb n="1799,001,,,,11,34,18"></lb> ἴσον· οὐκ ἄρα ἄνισόν ἐστι τὸ ΓΜ ὕψος τῷ ΑΗ ὕψει· ἴσον <lb n="1799,001,,,,11,34,19"></lb> ἄρα].</s> <s>καὶ ἔσται ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,11,34,20"></lb> ΓΜ πρὸς τὴν ΑΗ, καὶ φανερόν, ὅτι τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν <lb n="1799,001,,,,11,34,21"></lb> παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,34,22"></lb> <s>Μὴ ἔστω δὴ ἴση ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ βάσει, ἀλλ' ἔστω <lb n="1799,001,,,,11,34,23"></lb> μείζων ἡ ΕΘ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ <lb n="1799,001,,,,11,34,24"></lb> ἴσον· μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΜ τῆς ΑΗ [εἰ γὰρ μή, οὐδ' <lb n="1799,001,,,,11,34,25"></lb> ἄρα πάλιν τὰ ΑΒ, ΓΔ στερεὰ ἴσα ἔσται· ὑπόκειται δὲ <lb n="1799,001,,,,11,34,26"></lb> ἴσα].</s> <s>κείσθω οὖν τῇ ΑΗ ἴση ἡ ΓΤ, καὶ συμπεπληρώσθω <lb n="1799,001,,,,11,34,27"></lb> ἀπὸ βάσεως μὲν τῆς ΝΠ, ὕψους δὲ τοῦ ΓΤ, στερεὸν παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,34,28"></lb> ληλεπίπεδον τὸ ΦΓ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ <lb n="1799,001,,,,11,34,29"></lb> ΓΔ στερεῷ, ἔξωθεν δὲ τὸ ΓΦ, τὰ δὲ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν <lb n="1799,001,,,,11,34,30"></lb> αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ <lb n="1799,001,,,,11,34,31"></lb> στερεόν, οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν.</s> <s>ἀλλ' <lb n="1799,001,,,,11,34,32"></lb> ὡς μὲν τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως ἡ ΕΘ <lb n="1799,001,,,,11,34,33"></lb> βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν· ἰσοϋψῆ γὰρ τὰ ΑΒ, ΓΦ στε-<lb n="1799,001,,,,11,34,34"></lb> ρεά· ὡς δὲ τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,11,34,35"></lb> ΜΠ βάσις πρὸς τὴν ΤΠ βάσιν καὶ ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ· <lb n="1799,001,,,,11,34,36"></lb> καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ <lb n="1799,001,,,,11,34,37"></lb> πρὸς τὴν ΓΤ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΓΤ τῇ ΑΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΘ βάσις <lb n="1799,001,,,,11,34,38"></lb> πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΑΗ.</s> <s>τῶν ΑΒ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,34,39"></lb> ΓΔ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ <lb n="1799,001,,,,11,34,40"></lb> βάσεις τοῖς ὕψεσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,34,41"></lb> <s>Πάλιν δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων <lb n="1799,001,,,,11,34,42"></lb> ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς <lb n="1799,001,,,,11,34,43"></lb> ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ <lb n="1799,001,,,,11,34,44"></lb> ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,34,45"></lb> ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,34,46"></lb> <s>Ἔστωσαν [γὰρ] πάλιν αἱ ἐφεστηκυῖαι πρὸς ὀρθὰς ταῖς <lb n="1799,001,,,,11,34,47"></lb> βάσεσιν, καὶ εἰ μὲν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ βάσει, <lb n="1799,001,,,,11,34,48"></lb> καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,11,34,49"></lb> τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος, ἴσον <lb n="1799,001,,,,11,34,50"></lb> ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος τῷ τοῦ ΑΒ στερεοῦ <lb n="1799,001,,,,11,34,51"></lb> ὕψει.</s> <s>τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ <lb n="1799,001,,,,11,34,52"></lb> ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,11,34,53"></lb> στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,34,54"></lb> <s>Μὴ ἔστω δὴ ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ [βάσει] ἴση, ἀλλ' ἔστω <lb n="1799,001,,,,11,34,55"></lb> μείζων ἡ ΕΘ· μεῖζον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ <lb n="1799,001,,,,11,34,56"></lb> ὕψος τοῦ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψους, τουτέστιν ἡ ΓΜ τῆς <lb n="1799,001,,,,11,34,57"></lb> ΑΗ.</s> <s>κείσθω τῇ ΑΗ ἴση πάλιν ἡ ΓΤ, καὶ συμπεπλη-<lb n="1799,001,,,,11,34,58"></lb> ρώσθω ὁμοίως τὸ ΓΦ στερεόν.</s> <s>ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις <lb n="1799,001,,,,11,34,59"></lb> πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΑΗ, ἴση δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,11,34,60"></lb> ΑΗ τῇ ΓΤ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, <lb n="1799,001,,,,11,34,61"></lb> οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν ἡ ΕΘ [βάσισ] πρὸς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,34,62"></lb> τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν· <lb n="1799,001,,,,11,34,63"></lb> ἰσοϋψῆ γάρ ἐστι τὰ ΑΒ, ΓΦ στερεά· ὡς δὲ ἡ ΓΜ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,34,64"></lb> τὴν ΓΤ, οὕτως ἥ τε ΜΠ βάσις πρὸς τὴν ΠΤ βάσιν καὶ <lb n="1799,001,,,,11,34,65"></lb> τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,11,34,66"></lb> στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,34,67"></lb> τὸ ΓΦ στερεόν· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ πρὸς τὸ ΓΦ <lb n="1799,001,,,,11,34,68"></lb> τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.</s> <s>ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ <lb n="1799,001,,,,11,34,69"></lb> ΓΔ στερεῷ [ὅπερ ἔδει δεῖξαι].</s> <lb n="1799,001,,,,11,34,70"></lb> <s>Μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΖΕ, ΒΛ, ΗΑ, ΘΚ, <lb n="1799,001,,,,11,34,71"></lb> ΞΝ, ΔΟ, ΜΓ, ΡΠ πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν αὐτῶν, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,34,72"></lb> ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Ζ, Η, Β, Κ, Ξ, Μ, Δ, Ρ σημείων ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,11,34,73"></lb> τὰ διὰ τῶν ΕΘ, ΝΠ ἐπίπεδα κάθετοι καὶ συμβαλλέτωσαν <lb n="1799,001,,,,11,34,74"></lb> τοῖς ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Σ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω, #2, καὶ συμ-<lb n="1799,001,,,,11,34,75"></lb> πεπληρώσθω τὰ ΖΦ, ΞΩ στερεά· λέγω, ὅτι καὶ οὕτως <lb n="1799,001,,,,11,34,76"></lb> ἴσων ὄντων τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ <lb n="1799,001,,,,11,34,77"></lb> βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ <lb n="1799,001,,,,11,34,78"></lb> βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,11,34,79"></lb> στερεοῦ ὕψος.</s> <lb n="1799,001,,,,11,34,80"></lb> <s>Ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ, ἀλλὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,34,81"></lb> μὲν ΑΒ τῷ ΒΤ ἐστιν ἴσον· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς <lb n="1799,001,,,,11,34,82"></lb> εἰσι τῆς ΖΚ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος [ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ <lb n="1799,001,,,,11,34,83"></lb> εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν]· τὸ δὲ ΓΔ στερεὸν τῷ ΔΨ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,34,84"></lb> ἐστιν ἴσον· ἐπί τε γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς <lb n="1799,001,,,,11,34,85"></lb> ΡΞ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος [ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,11,34,86"></lb> τῶν αὐτῶν εὐθειῶν]· καὶ τὸ ΒΤ ἄρα στερεὸν τῷ ΔΨ <lb n="1799,001,,,,11,34,87"></lb> στερεῷ ἴσον ἐστίν [τῶν δὲ ἴσων στερεῶν παραλληλεπι-<lb n="1799,001,,,,11,34,88"></lb> πέδων, ὧν τὰ ὕψη πρὸς ὀρθάς ἐστι ταῖς βάσεσιν αὐτῶν, <lb n="1799,001,,,,11,34,89"></lb> ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν].</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,11,34,90"></lb> ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ <lb n="1799,001,,,,11,34,91"></lb> ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος.</s> <s>ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΚ βάσις <lb n="1799,001,,,,11,34,92"></lb> τῇ ΕΘ βάσει, ἡ δὲ ΞΡ βάσις τῇ ΝΠ βάσει· ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,11,34,93"></lb> ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ <lb n="1799,001,,,,11,34,94"></lb> ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος.</s> <s>τὰ δ' αὐτὰ ὕψη <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,34,95"></lb> ἐστὶ τῶν ΔΨ, ΒΤ στερεῶν καὶ τῶν ΔΓ, ΒΑ· ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,34,96"></lb> ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΓ <lb n="1799,001,,,,11,34,97"></lb> στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος.</s> <s>τῶν ΑΒ, ΓΔ <lb n="1799,001,,,,11,34,98"></lb> ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις <lb n="1799,001,,,,11,34,99"></lb> τοῖς ὕψεσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,11,34,100"></lb> <s>Πάλιν δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων <lb n="1799,001,,,,11,34,101"></lb> ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,11,34,102"></lb> ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ <lb n="1799,001,,,,11,34,103"></lb> ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,34,104"></lb> ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,34,105"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,11,34,106"></lb> ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ <lb n="1799,001,,,,11,34,107"></lb> ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος, ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΘ βά-<lb n="1799,001,,,,11,34,108"></lb> σις τῇ ΖΚ βάσει, ἡ δὲ ΝΠ τῇ ΞΡ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ <lb n="1799,001,,,,11,34,109"></lb> βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος <lb n="1799,001,,,,11,34,110"></lb> πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος.</s> <s>τὰ δ' αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,11,34,111"></lb> ΑΒ, ΓΔ στερεῶν καὶ τῶν ΒΤ, ΔΨ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ <lb n="1799,001,,,,11,34,112"></lb> βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ <lb n="1799,001,,,,11,34,113"></lb> ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος.</s> <s>τῶν ΒΤ, ΔΨ ἄρα στε-<lb n="1799,001,,,,11,34,114"></lb> ρεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς <lb n="1799,001,,,,11,34,115"></lb> ὕψεσιν [ὧν δὲ στερεῶν παραλληλεπιπέδων τὰ ὕψη πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,34,116"></lb> ὀρθάς ἐστι ταῖς βάσεσιν αὐτῶν, ἀντιπεπόνθασι δὲ αἱ βάσεις <lb n="1799,001,,,,11,34,117"></lb> τοῖς ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα]· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΤ στερεὸν <lb n="1799,001,,,,11,34,118"></lb> τῷ ΔΨ στερεῷ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ μὲν ΒΤ τῷ ΒΑ ἴσον ἐστίν· ἐπί <lb n="1799,001,,,,11,34,119"></lb> τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως [εἰσι] τῆς ΖΚ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ <lb n="1799,001,,,,11,34,120"></lb> ὕψος [ὧν αἱ ἐφεστῶσαι οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῶν αὐτῶν εὐθειῶν].</s> <lb n="1799,001,,,,11,34,121"></lb> <s>τὸ δὲ ΔΨ στερεὸν τῷ ΔΓ στερεῷ ἴσον ἐστίν [ἐπί τε γὰρ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,34,122"></lb> πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΞΡ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος <lb n="1799,001,,,,11,34,123"></lb> καὶ οὐκ ἐν ταῖς αὐταῖς εὐθείαισ].</s> <s>καὶ τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν <lb n="1799,001,,,,11,34,124"></lb> τῷ ΓΔ στερεῷ ἐστιν ἴσον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,34,125"></lb> <s>Ἐὰν ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι, ἐπὶ δὲ τῶν κορυφῶν <lb n="1799,001,,,,11,35,1"></lb> αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἐπισταθῶσιν ἴσας γωνίας περι-<lb n="1799,001,,,,11,35,2"></lb> έχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,11,35,3"></lb> δὲ τῶν μετεώρων ληφθῇ τυχόντα σημεῖα, καὶ ἀπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,11,35,4"></lb> ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα, ἐν οἷς εἰσιν αἱ ἐξ ἀρχῆς γωνίαι, κάθετοι <lb n="1799,001,,,,11,35,5"></lb> ἀχθῶσιν, ἀπὸ δὲ τῶν γενομένων σημείων ἐν τοῖς ἐπιπέ-<lb n="1799,001,,,,11,35,6"></lb> δοις ἐπὶ τὰς ἐξ ἀρχῆς γωνίας ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, ἴσας <lb n="1799,001,,,,11,35,7"></lb> γωνίας περιέξουσι μετὰ τῶν μετεώρων.</s> <lb n="1799,001,,,,11,35,8"></lb> <s>Ἔστωσαν δύο γωνίαι εὐθύ-<lb n="1799,001,,,,11,35,9"></lb> γραμμοι ἴσαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, <lb n="1799,001,,,,11,35,10"></lb> ΕΔΖ, ἀπὸ δὲ τῶν Α, Δ σημείων <lb n="1799,001,,,,11,35,11"></lb> μετέωροι εὐθεῖαι ἐφεστάτωσαν <lb n="1799,001,,,,11,35,12"></lb> αἱ ΑΗ, ΔΜ ἴσας γωνίας περι-<lb n="1799,001,,,,11,35,13"></lb> έχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς <lb n="1799,001,,,,11,35,14"></lb> εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν <lb n="1799,001,,,,11,35,15"></lb> μὲν ὑπὸ ΜΔΕ τῇ ὑπὸ ΗΑΒ, <lb n="1799,001,,,,11,35,16"></lb> τὴν δὲ ὑπὸ ΜΔΖ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ, <lb n="1799,001,,,,11,35,17"></lb> καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῶν ΑΗ, ΔΜ τυχόντα σημεῖα τὰ Η, Μ, <lb n="1799,001,,,,11,35,18"></lb> καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Μ σημείων ἐπὶ τὰ διὰ τῶν <lb n="1799,001,,,,11,35,19"></lb> ΒΑΓ, ΕΔΖ ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΛ, ΜΝ, καὶ συμβαλ- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,11,35,20"></lb> λέτωσαν τοῖς ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Ν, Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν <lb n="1799,001,,,,11,35,21"></lb> αἱ ΛΑ, ΝΔ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΑΛ γωνία τῇ <lb n="1799,001,,,,11,35,22"></lb> ὑπὸ ΜΔΝ γωνίᾳ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,35,23"></lb> <s>Κείσθω τῇ ΔΜ ἴση ἡ ΑΘ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Θ σημείου <lb n="1799,001,,,,11,35,24"></lb> τῇ ΗΛ παράλληλος ἡ ΘΚ.</s> <s>ἡ δὲ ΗΛ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,35,25"></lb> διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπίπεδον· καὶ ἡ ΘΚ ἄρα κάθετός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,11,35,26"></lb> ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπίπεδον.</s> <s>ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Κ, Ν <lb n="1799,001,,,,11,35,27"></lb> σημείων ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΑΓ, ΔΖ, ΔΕ εὐθείας κάθετοι αἱ <lb n="1799,001,,,,11,35,28"></lb> ΚΓ, ΝΖ, ΚΒ, ΝΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΓ, ΓΒ, ΜΖ, <lb n="1799,001,,,,11,35,29"></lb> ΖΕ.</s> <s>ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΑ, <lb n="1799,001,,,,11,35,30"></lb> τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΑ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΚΓ, ΓΑ, καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,35,31"></lb> ἀπὸ τῆς ΘΑ ἄρα ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ, ΓΑ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,35,32"></lb> <s>τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΓ· τὸ <lb n="1799,001,,,,11,35,33"></lb> ἄρα ἀπὸ τῆς ΘΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΓ, ΓΑ.</s> <s>ὀρθὴ <lb n="1799,001,,,,11,35,34"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΓΑ γωνία.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,35,35"></lb> ΔΖΜ γωνία ὀρθή ἐστιν.</s> <s>ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΘ γωνία <lb n="1799,001,,,,11,35,36"></lb> τῇ ὑπὸ ΔΖΜ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ὑπὸ ΜΔΖ ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,11,35,37"></lb> <s>δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΜΔΖ, ΘΑΓ δύο γωνίας δυσὶ γω-<lb n="1799,001,,,,11,35,38"></lb> νίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ <lb n="1799,001,,,,11,35,39"></lb> πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν <lb n="1799,001,,,,11,35,40"></lb> τὴν ΘΑ τῇ ΜΔ· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς <lb n="1799,001,,,,11,35,41"></lb> πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ.</s> <s>ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,11,35,42"></lb> τῇ ΔΖ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἐστιν ἴση <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,35,43"></lb> [οὕτως· ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΒ, ΜΕ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,11,35,44"></lb> τῆς ΑΘ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΚ, ΚΘ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,11,35,45"></lb> ΑΚ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΚ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,11,35,46"></lb> ΒΚ, ΚΘ ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΘ.</s> <s>ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΚ, <lb n="1799,001,,,,11,35,47"></lb> ΚΘ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΘ· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΘΚΒ <lb n="1799,001,,,,11,35,48"></lb> γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν ΘΚ κάθετον εἶναι ἐπὶ τὸ ὑποκείμε-<lb n="1799,001,,,,11,35,49"></lb> νον ἐπίπεδον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΘ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,11,35,50"></lb> ΑΒ, ΒΘ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνία.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,11,35,51"></lb> δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΕΜ γωνία ὀρθή ἐστιν.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,35,52"></lb> ΒΑΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΔΜ ἴση· ὑπόκεινται γάρ· καὶ ἔστιν <lb n="1799,001,,,,11,35,53"></lb> ἡ ΑΘ τῇ ΔΜ ἴση· ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ].</s> <s>ἐπεὶ οὖν <lb n="1799,001,,,,11,35,54"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΔΖ, ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΔΕ, δύο δὴ αἱ <lb n="1799,001,,,,11,35,55"></lb> ΓΑ, ΑΒ δυσὶ ταῖς ΖΔ, ΔΕ ἴσαι εἰσίν.</s> <s>ἀλλὰ καὶ γωνία <lb n="1799,001,,,,11,35,56"></lb> ἡ ὑπὸ ΓΑΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΔΕ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,11,35,57"></lb> ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστὶ καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ <lb n="1799,001,,,,11,35,58"></lb> καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,35,59"></lb> ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΕ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΓΚ <lb n="1799,001,,,,11,35,60"></lb> ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΝ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΚ λοιπῇ <lb n="1799,001,,,,11,35,61"></lb> τῇ ὑπὸ ΕΖΝ ἐστιν ἴση.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΚ <lb n="1799,001,,,,11,35,62"></lb> τῇ ὑπὸ ΖΕΝ ἐστιν ἴση.</s> <s>δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΓΚ, <lb n="1799,001,,,,11,35,63"></lb> ΕΖΝ [τὰσ] δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέ-<lb n="1799,001,,,,11,35,64"></lb> ραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,35,65"></lb> ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ· καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,35,66"></lb> πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν.</s> <s>ἴση ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,11,35,67"></lb> ἡ ΓΚ τῇ ΖΝ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΔΖ ἴση· δύο δὴ αἱ ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,11,35,68"></lb> ΓΚ δυσὶ ταῖς ΔΖ, ΖΝ ἴσαι εἰσίν· καὶ ὀρθὰς γωνίας περι-<lb n="1799,001,,,,11,35,69"></lb> έχουσιν.</s> <s>βάσις ἄρα ἡ ΑΚ βάσει τῇ ΔΝ ἴση ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,11,35,70"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΔΜ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ τῷ <lb n="1799,001,,,,11,35,71"></lb> ἀπὸ τῆς ΔΜ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΘ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,11,35,72"></lb> τῶν ΑΚ, ΚΘ· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΚΘ· τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΜ <lb n="1799,001,,,,11,35,73"></lb> ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΔΝ, ΝΜ· ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΔΝΜ· τὰ ἄρα <lb n="1799,001,,,,11,35,74"></lb> ἀπὸ τῶν ΑΚ, ΚΘ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΔΝ, ΝΜ, ὧν τὸ <lb n="1799,001,,,,11,35,75"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΝ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,11,35,76"></lb> τῆς ΚΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ· ἴση ἄρα ἡ ΘΚ τῇ ΜΝ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,35,77"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΘΑ, ΑΚ δυσὶ ταῖς ΜΔ, ΔΝ ἴσαι εἰσὶν ἑκα-<lb n="1799,001,,,,11,35,78"></lb> τέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΘΚ βάσει τῇ ΜΝ ἐδείχθη ἴση, <lb n="1799,001,,,,11,35,79"></lb> γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑΚ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΜΔΝ ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,11,35,80"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα ὠ̂σι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι καὶ τὰ ἑξῆς τῆς <lb n="1799,001,,,,11,35,81"></lb> προτάσεως [ὅπερ ἔδει δεῖξαι].</s> <lb n="1799,001,,,,11,35,82"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,11,35,83"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι <lb n="1799,001,,,,11,35,84"></lb> ἴσαι, ἐπισταθῶσι δὲ ἐπ' αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἴσαι ἴσας <lb n="1799,001,,,,11,35,85"></lb> γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν <lb n="1799,001,,,,11,35,86"></lb> ἑκατέρᾳ, αἱ ἀπ' αὐτῶν κάθετοι ἀγόμεναι ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα, ἐν <lb n="1799,001,,,,11,35,87"></lb> οἷς εἰσιν αἱ ἐξ ἀρχῆς γωνίαι, ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,11,35,88"></lb> δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,35,89"></lb> Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ἐκ τῶν τριῶν στε-<lb n="1799,001,,,,11,36,1"></lb> ρεὸν παραλληλεπίπεδον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης στε-<lb n="1799,001,,,,11,36,2"></lb> ρεῷ παραλληλεπιπέδῳ ἰσοπλεύρῳ μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ <lb n="1799,001,,,,11,36,3"></lb> προειρημένῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,36,4"></lb> <s>Ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, ὡς ἡ Α <lb n="1799,001,,,,11,36,5"></lb> πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ· λέγω, ὅτι τὸ ἐκ τῶν <lb n="1799,001,,,,11,36,6"></lb> Α, Β, Γ στερεὸν ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β στερεῷ ἰσοπλεύρῳ <lb n="1799,001,,,,11,36,7"></lb> μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ. <lb n="1799,001,,,,11,36,8"></lb> Ἐκκείσθω στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Ε περιεχομένη ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,36,9"></lb> τῶν ὑπὸ ΔΕΗ, ΗΕΖ, ΖΕΔ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Β ἴση <lb n="1799,001,,,,11,36,10"></lb> ἑκάστη τῶν ΔΕ, ΗΕ, ΕΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΕΚ <lb n="1799,001,,,,11,36,11"></lb> στερεὸν παραλληλεπίπεδον, τῇ δὲ Α ἴση ἡ ΛΜ, καὶ συν-<lb n="1799,001,,,,11,36,12"></lb> εστάτω πρὸς τῇ ΛΜ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,36,13"></lb> Λ τῇ πρὸς τῷ Ε στερεᾷ γωνίᾳ ἴση στερεὰ γωνία ἡ περι-<lb n="1799,001,,,,11,36,14"></lb> εχομένη ὑπὸ τῶν ΝΛΞ, ΞΛΜ, ΜΛΝ, καὶ κείσθω τῇ <lb n="1799,001,,,,11,36,15"></lb> μὲν Β ἴση ἡ ΛΞ, τῇ δὲ Γ ἴση ἡ ΛΝ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α <lb n="1799,001,,,,11,36,16"></lb> πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἴση δὲ ἡ μὲν Α τῇ <lb n="1799,001,,,,11,36,17"></lb> ΛΜ, ἡ δὲ Β ἑκατέρᾳ τῶν ΛΞ, ΕΔ, ἡ δὲ Γ τῇ ΛΝ, ἔστιν <lb n="1799,001,,,,11,36,18"></lb> ἄρα ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΛΝ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,36,19"></lb> <s>καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΝΛΜ, ΔΕΖ αἱ πλευραὶ <lb n="1799,001,,,,11,36,20"></lb> ἀντιπεπόνθασιν· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΜΝ παραλληλόγραμ-<lb n="1799,001,,,,11,36,21"></lb> μον τῷ ΔΖ παραλληλογράμμῳ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο γωνίαι ἐπί-<lb n="1799,001,,,,11,36,22"></lb> πεδοι εὐθύγραμμοι ἴσαι εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΔΕΖ, ΝΛΜ, καὶ <lb n="1799,001,,,,11,36,23"></lb> ἐπ' αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἐφεστᾶσιν αἱ ΛΞ, ΕΗ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,11,36,24"></lb> τε ἀλλήλαις καὶ ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ <lb n="1799,001,,,,11,36,25"></lb> ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, αἱ ἄρα ἀπὸ τῶν Η, Ξ <lb n="1799,001,,,,11,36,26"></lb> σημείων κάθετοι ἀγόμεναι ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΝΛΜ, ΔΕΖ <lb n="1799,001,,,,11,36,27"></lb> ἐπίπεδα ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὥστε τὰ ΛΘ, ΕΚ στερεὰ <lb n="1799,001,,,,11,36,28"></lb> ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἐστίν.</s> <s>τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων στερεὰ <lb n="1799,001,,,,11,36,29"></lb> παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις <lb n="1799,001,,,,11,36,30"></lb> ἐστίν· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛ στερεὸν τῷ ΕΚ στερεῷ.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,11,36,31"></lb> ἐστι τὸ μὲν ΛΘ τὸ ἐκ τῶν Α, Β, Γ στερεόν, τὸ δὲ ΕΚ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,36,32"></lb> ἀπὸ τῆς Β στερεόν· τὸ ἄρα ἐκ τῶν Α, Β, Γ στερεὸν παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,36,33"></lb> ληλεπίπεδον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β στερεῷ ἰσοπλεύρῳ <lb n="1799,001,,,,11,36,34"></lb> μέν, ἰσογωνίῳ δὲ τῷ προειρημένῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,36,35"></lb> Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπ' αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,11,37,1"></lb> στερεὰ παραλληλεπίπεδα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφό-<lb n="1799,001,,,,11,37,2"></lb> μενα ἀνάλογον ἔσται· καὶ ἐὰν τὰ ἀπ' αὐτῶν στερεὰ παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,37,3"></lb> ληλεπίπεδα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,11,37,4"></lb> ᾖ, καὶ αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται. <lb n="1799,001,,,,11,37,5"></lb> Ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, <lb n="1799,001,,,,11,37,6"></lb> ΗΘ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, <lb n="1799,001,,,,11,37,7"></lb> καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ ὅμοιά <lb n="1799,001,,,,11,37,8"></lb> τε καὶ ὁμοίως κείμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΚΑ, <lb n="1799,001,,,,11,37,9"></lb> ΛΓ, ΜΕ, ΝΗ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ, <lb n="1799,001,,,,11,37,10"></lb> οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,37,11"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΚΑ στερεὸν παραλληλεπίπε-<lb n="1799,001,,,,11,37,12"></lb> δον τῷ ΛΓ, τὸ ΚΑ ἄρα πρὸς τὸ ΛΓ τριπλασίονα λόγον <lb n="1799,001,,,,11,37,13"></lb> ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΜΕ <lb n="1799,001,,,,11,37,14"></lb> πρὸς τὸ ΝΗ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,11,37,15"></lb> ΗΘ.</s> <s>καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς <lb n="1799,001,,,,11,37,16"></lb> τὴν ΗΘ.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΚ πρὸς τὸ ΛΓ, οὕτως τὸ ΜΕ <lb n="1799,001,,,,11,37,17"></lb> πρὸς τὸ ΝΗ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,37,18"></lb> Ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ΑΚ στερεὸν πρὸς τὸ ΛΓ στερεόν, <lb n="1799,001,,,,11,37,19"></lb> οὕτως τὸ ΜΕ στερεὸν πρὸς τὸ ΝΗ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,11,37,20"></lb> ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,37,21"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ πάλιν τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ τριπλασίονα λόγον <lb n="1799,001,,,,11,37,22"></lb> ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, ἔχει δὲ καὶ τὸ ΜΕ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,11,37,23"></lb> ΝΗ τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, καί <lb n="1799,001,,,,11,37,24"></lb> ἐστιν ὡς τὸ ΚΑ πρὸς τὸ ΛΓ, οὕτως τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ, <lb n="1799,001,,,,11,37,25"></lb> καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,11,37,26"></lb> ΗΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,37,27"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι καὶ τὰ ἑξῆς <lb n="1799,001,,,,11,37,28"></lb> τῆς προτάσεως· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,37,29"></lb> <s>Ἐὰν κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων αἱ πλευραὶ δίχα <lb n="1799,001,,,,11,38,1"></lb> τμηθῶσιν, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἡ κοινὴ <lb n="1799,001,,,,11,38,2"></lb> τομὴ τῶν ἐπιπέδων καὶ ἡ τοῦ κύβου διάμετρος δίχα τέμ-<lb n="1799,001,,,,11,38,3"></lb> νουσιν ἀλλήλας.</s> <lb n="1799,001,,,,11,38,4"></lb> <s>Κύβου γὰρ τοῦ ΑΖ τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων τῶν ΓΖ, <lb n="1799,001,,,,11,38,5"></lb> ΑΘ αἱ πλευραὶ δίχα τετμήσθωσαν κατὰ τὰ Κ, Λ, Μ, Ν, <lb n="1799,001,,,,11,38,6"></lb> Ξ, Π, Ο, Ρ σημεῖα, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,38,7"></lb> τὰ ΚΝ, ΞΡ, κοινὴ δὲ τομὴ τῶν ἐπιπέδων ἔστω ἡ ΥΣ, τοῦ <lb n="1799,001,,,,11,38,8"></lb> δὲ ΑΖ κύβου διαγώνιος ἡ ΔΗ.</s> <s>λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν <lb n="1799,001,,,,11,38,9"></lb> ΥΤ τῇ ΤΣ, ἡ δὲ ΔΤ τῇ ΤΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,38,10"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΔΥ, ΥΕ, ΒΣ, ΣΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,11,38,11"></lb> παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΞ τῇ ΟΕ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,38,12"></lb> ΔΞΥ, ΥΟΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν <lb n="1799,001,,,,11,38,13"></lb> ΔΞ τῇ ΟΕ, ἡ δὲ ΞΥ τῇ ΥΟ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, <lb n="1799,001,,,,11,38,14"></lb> βάσις ἄρα ἡ ΔΥ τῇ ΥΕ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΔΞΥ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,11,38,15"></lb> τῷ ΟΥΕ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς <lb n="1799,001,,,,11,38,16"></lb> λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΞΥΔ γωνία τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,11,38,17"></lb> ΟΥΕ γωνίᾳ.</s> <s>διὰ δὴ τοῦτο εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΔΥΕ.</s> <s>διὰ τὰ <lb n="1799,001,,,,11,38,18"></lb> αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΣΗ εὐθεῖά ἐστιν, καὶ ἴση ἡ ΒΣ τῇ ΣΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,38,19"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΑ τῇ ΔΒ ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος, ἀλλὰ ἡ <lb n="1799,001,,,,11,38,20"></lb> ΓΑ καὶ τῇ ΕΗ ἴση τέ ἐστι καὶ παράλληλος, καὶ ἡ ΔΒ <lb n="1799,001,,,,11,38,21"></lb> ἄρα τῇ ΕΗ ἴση τέ ἐστι καὶ παράλληλος.</s> <s>καὶ ἐπιζευ-<lb n="1799,001,,,,11,38,22"></lb> γνύουσιν αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΒΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,11,38,23"></lb> ἡ ΔΕ τῇ ΒΗ.</s> <s>ἴση ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΕΔΤ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΗΤ· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,38,24"></lb> ἐναλλὰξ γάρ· ἡ δὲ ὑπὸ ΔΤΥ τῇ ὑπὸ ΗΤΣ.</s> <s>δύο δὴ τρίγωνά <lb n="1799,001,,,,11,38,25"></lb> ἐστι τὰ ΔΤΥ, ΗΤΣ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας <lb n="1799,001,,,,11,38,26"></lb> ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνου-<lb n="1799,001,,,,11,38,27"></lb> σαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν τὴν ΔΥ τῇ ΗΣ· ἡμίσειαι <lb n="1799,001,,,,11,38,28"></lb> γάρ εἰσι τῶν ΔΕ, ΒΗ· καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοι-<lb n="1799,001,,,,11,38,29"></lb> παῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει.</s> <s>ἴση ἄρα ἡ μὲν ΔΤ τῇ ΤΗ, ἡ δὲ <lb n="1799,001,,,,11,38,30"></lb> ΥΤ τῇ ΤΣ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,38,31"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων αἱ πλευραὶ <lb n="1799,001,,,,11,38,32"></lb> δίχα τμηθῶσιν, διὰ δὲ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἡ <lb n="1799,001,,,,11,38,33"></lb> κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων καὶ ἡ τοῦ κύβου διάμετρος δίχα <lb n="1799,001,,,,11,38,34"></lb> τέμνουσιν ἀλλήλας· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,38,35"></lb> Ἐὰν ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,39,1"></lb> ληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,39,2"></lb> ληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἔσται τὰ πρίσματα.</s> <lb n="1799,001,,,,11,39,3"></lb> <s>Ἔστω δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ τὰ ΑΒΓΔΕΖ, ΗΘΚΛ <lb n="1799,001,,,,11,39,4"></lb> ΜΝ, καὶ τὸ μὲν ἐχέτω βάσιν τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον, <lb n="1799,001,,,,11,39,5"></lb> τὸ δὲ τὸ ΗΘΚ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ἔστω τὸ ΑΖ παραλ-<lb n="1799,001,,,,11,39,6"></lb> ληλόγραμμον τοῦ ΗΘΚ τριγώνου· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,11,39,7"></lb> τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα τῷ ΗΘΚΛΜΝ πρίσματι.</s> <lb n="1799,001,,,,11,39,8"></lb> <s>Συμπεπληρώσθω γὰρ <lb n="1799,001,,,,11,39,9"></lb> τὰ ΑΞ, ΗΟ στερεά.</s> <s>ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,11,39,10"></lb> διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΖ <lb n="1799,001,,,,11,39,11"></lb> παραλληλόγραμμον τοῦ <lb n="1799,001,,,,11,39,12"></lb> ΗΘΚ τριγώνου, ἔστι δὲ <lb n="1799,001,,,,11,39,13"></lb> καὶ τὸ ΘΚ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,11,39,14"></lb> γραμμον διπλάσιον τοῦ <lb n="1799,001,,,,11,39,15"></lb> ΗΘΚ τριγώνου, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον <lb n="1799,001,,,,11,39,16"></lb> τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ.</s> <s>τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα <lb n="1799,001,,,,11,39,17"></lb> στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,11,39,18"></lb> λοις ἐστίν· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΞ στερεὸν τῷ ΗΟ στερεῷ.</s> <lb n="1799,001,,,,11,39,19"></lb> <s>καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΞ στερεοῦ ἥμισυ τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα, <lb n="1799,001,,,,11,39,20"></lb> τοῦ δὲ ΗΟ στερεοῦ ἥμισυ τὸ ΗΘΚΛΜΝ πρίσμα· <lb n="1799,001,,,,11,39,21"></lb> ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα τῷ ΗΘΚΛΜΝ <lb n="1799,001,,,,11,39,22"></lb> πρίσματι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,39,23"></lb> Ἐὰν ἄρα ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν <lb n="1799,001,,,,11,39,24"></lb> παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ <lb n="1799,001,,,,11,39,25"></lb> παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἐστὶ τὰ πρίσματα· <lb n="1799,001,,,,11,39,26"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,11,39,27"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Τὰ ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν <lb n="1799,001,,,,12,1,1"></lb> ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα.</s> <lb n="1799,001,,,,12,1,2"></lb> <s>Ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΖΗΘ, καὶ ἐν αὐτοῖς ὅμοια <lb n="1799,001,,,,12,1,3"></lb> πολύγωνα ἔστω τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, διάμετροι δὲ <lb n="1799,001,,,,12,1,4"></lb> τῶν κύκλων ἔστωσαν αἱ ΒΜ, ΗΝ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ <lb n="1799,001,,,,12,1,5"></lb> ἀπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγω-<lb n="1799,001,,,,12,1,6"></lb> νον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ <lb n="1799,001,,,,12,1,7"></lb> πολύγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,1,8"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΑΜ, ΗΛ, ΖΝ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,12,1,9"></lb> ὅμοιον τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΖΗΘΚΛ πολυγώνῳ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,1,10"></lb> ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΛ, καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,12,1,11"></lb> ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΛ.</s> <s>δύο <lb n="1799,001,,,,12,1,12"></lb> δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΑΕ, ΗΖΛ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ <lb n="1799,001,,,,12,1,13"></lb> ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΗΖΛ, περὶ δὲ τὰς ἴσας <lb n="1799,001,,,,12,1,14"></lb> γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ <lb n="1799,001,,,,12,1,15"></lb> τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ.</s> <s>ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ <lb n="1799,001,,,,12,1,16"></lb> γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΗ.</s> <s>ἀλλ' ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΜΒ <lb n="1799,001,,,,12,1,17"></lb> ἐστιν ἴση· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας βεβήκασιν· ἡ δὲ <lb n="1799,001,,,,12,1,18"></lb> ὑπὸ ΖΛΗ τῇ ὑπὸ ΖΝΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΜΒ ἄρα τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,12,1,19"></lb> ΖΝΗ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΑΜ ὀρθῇ τῇ <lb n="1799,001,,,,12,1,20"></lb> ὑπὸ ΗΖΝ ἴση· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἰσο-<lb n="1799,001,,,,12,1,21"></lb> γώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,1,22"></lb> <s>ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΜ πρὸς τὴν ΗΝ, οὕτως ἡ ΒΑ <lb n="1799,001,,,,12,1,23"></lb> πρὸς τὴν ΗΖ.</s> <s>ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆς ΒΜ πρὸς τὴν ΗΝ λόγου <lb n="1799,001,,,,12,1,24"></lb> διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετραγώνου πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,12,1,25"></lb> ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, τοῦ δὲ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΗΖ <lb n="1799,001,,,,12,1,26"></lb> διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου πρὸς τὸ ΖΗ <lb n="1799,001,,,,12,1,27"></lb> ΘΚΛ πολύγωνον· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΜ τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,12,1,28"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΝ τετράγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ <lb n="1799,001,,,,12,1,29"></lb> πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,1,30"></lb> <s>Τὰ ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις ὅμοια πολύγωνα πρὸς ἄλληλά <lb n="1799,001,,,,12,1,31"></lb> ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,12,1,32"></lb> δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,1,33"></lb> Οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν δια-<lb n="1799,001,,,,12,2,1"></lb> μέτρων τετράγωνα.</s> <lb n="1799,001,,,,12,2,2"></lb> <s>Ἔστωσαν κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ, διάμετροι δὲ αὐ-<lb n="1799,001,,,,12,2,3"></lb> τῶν [ἔστωσαν] αἱ ΒΔ, ΖΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,2,4"></lb> κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ <lb n="1799,001,,,,12,2,5"></lb> τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,2,6"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ, <lb n="1799,001,,,,12,2,7"></lb> οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, <lb n="1799,001,,,,12,2,8"></lb> ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ <lb n="1799,001,,,,12,2,9"></lb> ΑΒΓΔ κύκλος ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου <lb n="1799,001,,,,12,2,10"></lb> χωρίον ἢ πρὸς μεῖζον.</s> <s>ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Σ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,2,11"></lb> <s>καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,2,12"></lb> ΕΖΗΘ· τὸ δὴ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν <lb n="1799,001,,,,12,2,13"></lb> ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν <lb n="1799,001,,,,12,2,14"></lb> Ε, Ζ, Η, Θ σημείων ἐφαπτομένας [εὐθείασ] τοῦ κύκλου <lb n="1799,001,,,,12,2,15"></lb> ἀγάγωμεν, τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸν κύκλον τετρα-<lb n="1799,001,,,,12,2,16"></lb> γώνου ἥμισύ ἐστι τὸ ΕΖΗΘ τετράγωνον, τοῦ δὲ περι-<lb n="1799,001,,,,12,2,17"></lb> γραφέντος τετραγώνου ἐλάττων ἐστὶν ὁ κύκλος· ὥστε τὸ <lb n="1799,001,,,,12,2,18"></lb> ΕΖΗΘ ἐγγεγραμμένον τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμί-<lb n="1799,001,,,,12,2,19"></lb> σεως τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.</s> <s>τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΕΖ, <lb n="1799,001,,,,12,2,20"></lb> ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι κατὰ τὰ Κ, Λ, Μ, Ν σημεῖα, <lb n="1799,001,,,,12,2,21"></lb> καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, <lb n="1799,001,,,,12,2,22"></lb> ΘΝ, ΝΕ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, <lb n="1799,001,,,,12,2,23"></lb> ΘΝΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ' ἑαυτὸ <lb n="1799,001,,,,12,2,24"></lb> τμήματος τοῦ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Κ, Λ, Μ, Ν <lb n="1799,001,,,,12,2,25"></lb> σημείων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν καὶ ἀναπλη-<lb n="1799,001,,,,12,2,26"></lb> ρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ εὐθειῶν παραλ-<lb n="1799,001,,,,12,2,27"></lb> ληλόγραμμα, ἕκαστον τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ <lb n="1799,001,,,,12,2,28"></lb> τριγώνων ἥμισυ ἔσται τοῦ καθ' ἑαυτὸ παραλληλογράμμου, <lb n="1799,001,,,,12,2,29"></lb> ἀλλὰ τὸ καθ' ἑαυτὸ τμῆμα ἔλαττόν ἐστι τοῦ παραλληλο-<lb n="1799,001,,,,12,2,30"></lb> γράμμου· ὥστε ἕκαστον τῶν ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ <lb n="1799,001,,,,12,2,31"></lb> τριγώνων μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ καθ' ἑαυτὸ τμή-<lb n="1799,001,,,,12,2,32"></lb> ματος τοῦ κύκλου.</s> <s>τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περι-<lb n="1799,001,,,,12,2,33"></lb> φερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ τοῦτο ἀεὶ ποι-<lb n="1799,001,,,,12,2,34"></lb> οῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κύκλου, ἃ ἔσται <lb n="1799,001,,,,12,2,35"></lb> ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τοῦ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,2,36"></lb> Σ χωρίου.</s> <s>ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ πρώτῳ θεωρήματι τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,2,37"></lb> δεκάτου βιβλίου, ὅτι δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, <lb n="1799,001,,,,12,2,38"></lb> ἐὰν ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀφαιρεθῇ μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ καὶ τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,2,39"></lb> καταλειπομένου μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, καὶ τοῦτο ἀεὶ γίγνηται, <lb n="1799,001,,,,12,2,40"></lb> λειφθήσεταί τι μέγεθος, ὃ ἔσται ἔλασσον τοῦ ἐκκειμένου <lb n="1799,001,,,,12,2,41"></lb> ἐλάσσονος μεγέθους.</s> <s>λελείφθω οὖν, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,12,2,42"></lb> ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, ΝΕ τμήματα τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,2,43"></lb> ΕΖΗΘ κύκλου ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ <lb n="1799,001,,,,12,2,44"></lb> ΕΖΗΘ κύκλος τοῦ Σ χωρίου.</s> <s>λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΚΖΛΗ <lb n="1799,001,,,,12,2,45"></lb> ΜΘΝ πολύγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ Σ χωρίου.</s> <s>ἐγγεγράφθω <lb n="1799,001,,,,12,2,46"></lb> καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνῳ <lb n="1799,001,,,,12,2,47"></lb> ὅμοιον πολύγωνον τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ <lb n="1799,001,,,,12,2,48"></lb> ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον, <lb n="1799,001,,,,12,2,49"></lb> οὕτως τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖΛ <lb n="1799,001,,,,12,2,50"></lb> ΗΜΘΝ πολύγωνον.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετρά-<lb n="1799,001,,,,12,2,51"></lb> γωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,2,52"></lb> τὸ Σ χωρίον· καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸ Σ <lb n="1799,001,,,,12,2,53"></lb> χωρίον, οὕτως τὸ ΑΞΒΟΓΠΔΡ πολύγωνον πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,12,2,54"></lb> ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον· ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,2,55"></lb> κύκλος πρὸς τὸ ἐν αὐτῷ πολύγωνον, οὕτως τὸ Σ χωρίον <lb n="1799,001,,,,12,2,56"></lb> πρὸς τὸ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολύγωνον.</s> <s>μείζων δὲ ὁ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,2,57"></lb> κύκλος τοῦ ἐν αὐτῷ πολυγώνου· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Σ <lb n="1799,001,,,,12,2,58"></lb> χωρίον τοῦ ΕΚΖΛΗΜΘΝ πολυγώνου.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ἔλατ-<lb n="1799,001,,,,12,2,59"></lb> τον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,12,2,60"></lb> ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,2,61"></lb> κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον.</s> <s>ὁμοί-<lb n="1799,001,,,,12,2,62"></lb> ως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ὡς τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,12,2,63"></lb> ΒΔ, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,2,64"></lb> κύκλου χωρίον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,2,65"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,12,2,66"></lb> ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,12,2,67"></lb> κύκλου χωρίον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,2,68"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Σ.</s> <s>ἀνάπαλιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,2,69"></lb> [ἐστὶν] ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,12,2,70"></lb> ΔΒ, οὕτως τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.</s> <s>ἀλλ' ὡς <lb n="1799,001,,,,12,2,71"></lb> τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,12,2,72"></lb> κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χωρίον· καὶ <lb n="1799,001,,,,12,2,73"></lb> ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, οὕτως ὁ <lb n="1799,001,,,,12,2,74"></lb> ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου χω-<lb n="1799,001,,,,12,2,75"></lb> ρίον· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.</s> <s>οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,12,2,76"></lb> ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,2,77"></lb> κύκλος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου χωρίον.</s> <s>ἐδείχθη <lb n="1799,001,,,,12,2,78"></lb> δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ <lb n="1799,001,,,,12,2,79"></lb> τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος <lb n="1799,001,,,,12,2,80"></lb> πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,2,81"></lb> <s>Οἱ ἄρα κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν δια-<lb n="1799,001,,,,12,2,82"></lb> μέτρων τετράγωνα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,2,83"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,12,2,84"></lb> Λέγω δή, ὅτι τοῦ Σ χωρίου μείζονος ὄντος τοῦ ΕΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,12,2,85"></lb> κύκλου ἐστὶν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,2,86"></lb> οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,2,87"></lb> κύκλου χωρίον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,2,88"></lb> <s>Γεγονέτω γὰρ ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, <lb n="1799,001,,,,12,2,89"></lb> οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ Τ χωρίον.</s> <s>λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,12,2,90"></lb> ἔλαττόν ἐστι τὸ Τ χωρίον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.</s> <s>ἐπεὶ γάρ <lb n="1799,001,,,,12,2,91"></lb> ἐστιν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ <lb n="1799,001,,,,12,2,92"></lb> ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ Τ χωρίον, ἐναλλάξ ἐστιν ὡς τὸ <lb n="1799,001,,,,12,2,93"></lb> Σ χωρίον πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύ-<lb n="1799,001,,,,12,2,94"></lb> κλος πρὸς τὸ Τ χωρίον.</s> <s>μεῖζον δὲ τὸ Σ χωρίον του̂ ΕΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,12,2,95"></lb> κύκλου· μείζων ἄρα καὶ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ Τ χωρίου.</s> <lb n="1799,001,,,,12,2,96"></lb> <s>ὥστε ἐστὶν ὡς τὸ Σ χωρίον πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, <lb n="1799,001,,,,12,2,97"></lb> οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,2,98"></lb> κύκλου χωρίον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,2,99"></lb> <s>Πᾶσα πυραμὶς τρίγωνον ἔχουσα βάσιν διαιρεῖται εἰς <lb n="1799,001,,,,12,3,1"></lb> δύο πυραμίδας ἴσας τε καὶ ὁμοίας ἀλλήλαις καὶ [ὁμοίασ] <lb n="1799,001,,,,12,3,2"></lb> τῇ ὅλῃ τριγώνους ἐχούσας βάσεις καὶ εἰς δύο πρίσματα <lb n="1799,001,,,,12,3,3"></lb> ἴσα· καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς <lb n="1799,001,,,,12,3,4"></lb> ὅλης πυραμίδος.</s> <lb n="1799,001,,,,12,3,5"></lb> <s>Ἔστω πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, <lb n="1799,001,,,,12,3,6"></lb> κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς <lb n="1799,001,,,,12,3,7"></lb> διαιρεῖται εἰς δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,3,8"></lb> βάσεις ἐχούσας καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα <lb n="1799,001,,,,12,3,9"></lb> ἴσα· καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς <lb n="1799,001,,,,12,3,10"></lb> ὅλης πυραμίδος.</s> <lb n="1799,001,,,,12,3,11"></lb> <s>Τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ, ΔΓ <lb n="1799,001,,,,12,3,12"></lb> δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ, Κ, Λ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω-<lb n="1799,001,,,,12,3,13"></lb> σαν αἱ ΘΕ, ΕΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΘ, ΚΖ, ΖΗ.</s> <s>ἐπεὶ ἴση <lb n="1799,001,,,,12,3,14"></lb> ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΒ, ἡ δὲ ΑΘ τῇ ΔΘ, παράλληλος ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,3,15"></lb> ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΔΒ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,12,3,16"></lb> παράλληλός ἐστιν.</s> <s>παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΕ <lb n="1799,001,,,,12,3,17"></lb> ΒΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΕΒ.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ΕΒ τῇ ΕΑ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,12,3,18"></lb> ἴση· καὶ ἡ ΑΕ ἄρα τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΘ <lb n="1799,001,,,,12,3,19"></lb> τῇ ΘΔ ἴση· δύο δὴ αἱ ΕΑ, ΑΘ δυσὶ ταῖς ΚΘ, ΘΔ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,12,3,20"></lb> εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΘ γωνίᾳ τῇ <lb n="1799,001,,,,12,3,21"></lb> ὑπὸ ΚΘΔ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΕΘ βάσει τῇ ΚΔ ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,12,3,22"></lb> <s>ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΕΘ τρίγωνον τῷ ΘΚΔ <lb n="1799,001,,,,12,3,23"></lb> τριγώνῳ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΘΗ τρίγωνον τῷ ΘΛΔ <lb n="1799,001,,,,12,3,24"></lb> τριγώνῳ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτό-<lb n="1799,001,,,,12,3,25"></lb> μεναι ἀλλήλων αἱ ΕΘ, ΘΗ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας <lb n="1799,001,,,,12,3,26"></lb> ἀλλήλων τὰς ΚΔ, ΔΛ εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, <lb n="1799,001,,,,12,3,27"></lb> ἴσας γωνίας περιέξουσιν.</s> <s>ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γω-<lb n="1799,001,,,,12,3,28"></lb> νία τῇ ὑπὸ ΚΔΛ γωνίᾳ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΘ, ΘΗ <lb n="1799,001,,,,12,3,29"></lb> δυσὶ ταῖς ΚΔ, ΔΛ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία <lb n="1799,001,,,,12,3,30"></lb> ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΔΛ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,3,31"></lb> ΕΗ βάσει τῇ ΚΛ [ἐστιν] ἴση· ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,12,3,32"></lb> ΕΘΗ τρίγωνον τῷ ΚΔΛ τριγώνῳ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,12,3,33"></lb> τὸ ΑΕΗ τρίγωνον τῷ ΘΚΛ τριγώνῳ ἴσον τε καὶ ὅμοιόν <lb n="1799,001,,,,12,3,34"></lb> ἐστιν.</s> <s>ἡ ἄρα πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγω-<lb n="1799,001,,,,12,3,35"></lb> νον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον, ἴση καὶ ὁμοία ἐστὶ πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,3,36"></lb> μίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,12,3,37"></lb> Δ σημεῖον.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΔΒ παρὰ μίαν τῶν <lb n="1799,001,,,,12,3,38"></lb> πλευρῶν τὴν ΑΒ ἦκται ἡ ΘΚ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΔΒ <lb n="1799,001,,,,12,3,39"></lb> τρίγωνον τῷ ΔΘΚ τριγώνῳ, καὶ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον <lb n="1799,001,,,,12,3,40"></lb> ἔχουσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΒ τρίγωνον τῷ ΔΘΚ <lb n="1799,001,,,,12,3,41"></lb> τριγώνῳ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΔΒΓ τρίγωνον τῷ <lb n="1799,001,,,,12,3,42"></lb> ΔΚΛ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν, τὸ δὲ ΑΔΓ τῷ ΔΛΘ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,12,3,43"></lb> ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΒΑ, ΑΓ παρὰ δύο <lb n="1799,001,,,,12,3,44"></lb> εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΚΘ, ΘΛ εἰσιν οὐκ ἐν τῷ <lb n="1799,001,,,,12,3,45"></lb> αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέξουσιν.</s> <s>ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,12,3,46"></lb> ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΘΛ.</s> <s>καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,3,47"></lb> τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,12,3,48"></lb> ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΘΚΛ τριγώνῳ.</s> <s>καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς <lb n="1799,001,,,,12,3,49"></lb> βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, <lb n="1799,001,,,,12,3,50"></lb> ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΚΛ τρί-<lb n="1799,001,,,,12,3,51"></lb> γωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον.</s> <s>ἀλλὰ πυραμίς, ἧς βάσις <lb n="1799,001,,,,12,3,52"></lb> μὲν [ἐστι] τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,3,53"></lb> ὁμοία ἐδείχθη πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγω-<lb n="1799,001,,,,12,3,54"></lb> νον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον [ὥστε καὶ πυραμίς, ἧς βάσις <lb n="1799,001,,,,12,3,55"></lb> μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ὁμοία <lb n="1799,001,,,,12,3,56"></lb> ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ <lb n="1799,001,,,,12,3,57"></lb> δὲ τὸ Θ σημεῖον].</s> <s>ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕΗΘ, ΘΚΛΔ <lb n="1799,001,,,,12,3,58"></lb> πυραμίδων ὁμοία ἐστὶ τῇ ὅλῃ <lb n="1799,001,,,,12,3,59"></lb> τῇ ΑΒΓΔ πυραμίδι.</s> <s>̄Καὶ <lb n="1799,001,,,,12,3,60"></lb> ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ, <lb n="1799,001,,,,12,3,61"></lb> διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΒΖΗ <lb n="1799,001,,,,12,3,62"></lb> παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΖΓ <lb n="1799,001,,,,12,3,63"></lb> τριγώνου.</s> <s>καὶ ἐπεί, ἐὰν ᾖ <lb n="1799,001,,,,12,3,64"></lb> δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,12,3,65"></lb> μὲν ἔχῃ βάσιν παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,12,3,66"></lb> γραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, δι-<lb n="1799,001,,,,12,3,67"></lb> πλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,12,3,68"></lb> γραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα <lb n="1799,001,,,,12,3,69"></lb> ἐστὶ τὰ πρίσματα, ἴσον ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,3,70"></lb> ἐστὶ τὸ πρίσμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων <lb n="1799,001,,,,12,3,71"></lb> τῶν ΒΚΖ, ΕΘΗ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν <lb n="1799,001,,,,12,3,72"></lb> ΕΒΖΗ, ΕΒΚΘ, ΘΚΖΗ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ <lb n="1799,001,,,,12,3,73"></lb> ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΗΖΓ, ΘΚΛ, τριῶν δὲ παραλ-<lb n="1799,001,,,,12,3,74"></lb> ληλογράμμων τῶν ΚΖΓΛ, ΛΓΗΘ, ΘΚΖΗ.</s> <s>καὶ φανε-<lb n="1799,001,,,,12,3,75"></lb> ρόν, ὅτι ἑκάτερον τῶν πρισμάτων, οὗ τε βάσις τὸ ΕΒΖΗ <lb n="1799,001,,,,12,3,76"></lb> παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, καὶ οὗ <lb n="1799,001,,,,12,3,77"></lb> βάσις τὸ ΗΖΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, <lb n="1799,001,,,,12,3,78"></lb> μεῖζόν ἐστιν ἑκατέρας τῶν πυραμίδων, ὧν βάσεις μὲν <lb n="1799,001,,,,12,3,79"></lb> τὰ ΑΕΗ, ΘΚΛ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Θ, Δ σημεῖα, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,3,80"></lb> ἐπειδήπερ [καὶ] ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὰς ΕΖ, ΕΚ εὐθείας, <lb n="1799,001,,,,12,3,81"></lb> τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, <lb n="1799,001,,,,12,3,82"></lb> ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, μεῖζόν ἐστι τῆς πυραμίδος, <lb n="1799,001,,,,12,3,83"></lb> ἧς βάσις τὸ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον.</s> <s>ἀλλ' <lb n="1799,001,,,,12,3,84"></lb> ἡ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ <lb n="1799,001,,,,12,3,85"></lb> σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, <lb n="1799,001,,,,12,3,86"></lb> κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον· ὑπὸ γὰρ ἴσων καὶ ὁμοίων ἐπιπέ-<lb n="1799,001,,,,12,3,87"></lb> δων περιέχονται.</s> <s>ὥστε καὶ τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ <lb n="1799,001,,,,12,3,88"></lb> ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐ-<lb n="1799,001,,,,12,3,89"></lb> θεῖα, μεῖζόν ἐστι πυραμίδος, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΕΗ τρίγω-<lb n="1799,001,,,,12,3,90"></lb> νον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον.</s> <s>ἴσον δὲ τὸ μὲν πρίσμα, οὗ <lb n="1799,001,,,,12,3,91"></lb> βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,12,3,92"></lb> ΘΚ εὐθεῖα, τῷ πρίσματι, οὗ βάσις μὲν τὸ ΗΖΓ τρίγω-<lb n="1799,001,,,,12,3,93"></lb> νον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον· ἡ δὲ πυραμίς, ἧς <lb n="1799,001,,,,12,3,94"></lb> βάσις τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον, ἴση <lb n="1799,001,,,,12,3,95"></lb> ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,12,3,96"></lb> Δ σημεῖον.</s> <s>τὰ ἄρα εἰρημένα δύο πρίσματα μείζονά ἐστι <lb n="1799,001,,,,12,3,97"></lb> τῶν εἰρημένων δύο πυραμίδων, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΕΗ, <lb n="1799,001,,,,12,3,98"></lb> ΘΚΛ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Θ, Δ σημεῖα.</s> <lb n="1799,001,,,,12,3,99"></lb> <s>Ἡ ἄρα ὅλη πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυ-<lb n="1799,001,,,,12,3,100"></lb> φὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, διῄρηται εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας <lb n="1799,001,,,,12,3,101"></lb> ἀλλήλαις [καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ] καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, <lb n="1799,001,,,,12,3,102"></lb> καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης <lb n="1799,001,,,,12,3,103"></lb> πυραμίδος· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,3,104"></lb> <s>Ἐὰν ὦσι δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τριγώνους <lb n="1799,001,,,,12,4,1"></lb> ἔχουσαι βάσεις, διαιρεθῇ δὲ ἑκατέρα αὐτῶν εἴς τε δύο <lb n="1799,001,,,,12,4,2"></lb> πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,4,3"></lb> πρίσματα ἴσα, ἔσται ὡς ἡ τῆς μιᾶς πυραμίδος βάσις πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,4,4"></lb> τὴν τῆς ἑτέρας πυραμίδος βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ μιᾷ πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,4,5"></lb> μίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πρίσ-<lb n="1799,001,,,,12,4,6"></lb> ματα πάντα ἰσοπληθῆ. <lb n="1799,001,,,,12,4,7"></lb> Ἔστωσαν δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τριγώνους <lb n="1799,001,,,,12,4,8"></lb> ἔχουσαι βάσεις τὰς ΑΒΓ, ΔΕΖ, κορυφὰς δὲ τὰ Η, Θ <lb n="1799,001,,,,12,4,9"></lb> σημεῖα, καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμί-<lb n="1799,001,,,,12,4,10"></lb> δας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα <lb n="1799,001,,,,12,4,11"></lb> ἴσα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βά-<lb n="1799,001,,,,12,4,12"></lb> σιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,4,13"></lb> τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα ἰσοπληθῆ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,4,14"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΞ τῇ ΞΓ, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,4,15"></lb> παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΑΒ καὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,12,4,16"></lb> τρίγωνον τῷ ΛΞΓ τριγώνῳ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΔΕΖ <lb n="1799,001,,,,12,4,17"></lb> τρίγωνον τῷ ΡΦΖ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ διπλα-<lb n="1799,001,,,,12,4,18"></lb> σίων ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῆς ΓΞ, ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΖΦ, ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,4,19"></lb> ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΞ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΦ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,12,4,20"></lb> ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῶν ΒΓ, ΓΞ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,12,4,21"></lb> κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΑΒΓ, ΛΞΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, <lb n="1799,001,,,,12,4,22"></lb> ΖΦ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα [εὐθύγραμμα] τὰ ΔΕΖ, <lb n="1799,001,,,,12,4,23"></lb> ΡΦΖ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΞΓ <lb n="1799,001,,,,12,4,24"></lb> τρίγωνον, οὕτως τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγω-<lb n="1799,001,,,,12,4,25"></lb> νον· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,12,4,26"></lb> ΔΕΖ [τρίγωνον], οὕτως τὸ ΛΞΓ [τρίγωνον] πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,12,4,27"></lb> ΡΦΖ τρίγωνον.</s> <s>ἀλλ' ὡς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,12,4,28"></lb> ΡΦΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν [ἐστι] τὸ <lb n="1799,001,,,,12,4,29"></lb> ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὸ πρίσμα, <lb n="1799,001,,,,12,4,30"></lb> οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ· <lb n="1799,001,,,,12,4,31"></lb> καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, <lb n="1799,001,,,,12,4,32"></lb> οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεν-<lb n="1799,001,,,,12,4,33"></lb> αντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ <lb n="1799,001,,,,12,4,34"></lb> ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ.</s> <s>ὡς δὲ τὰ εἰρη-<lb n="1799,001,,,,12,4,35"></lb> μένα πρίσματα πρὸς ἄλληλα, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις <lb n="1799,001,,,,12,4,36"></lb> μὲν τὸ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ <lb n="1799,001,,,,12,4,37"></lb> εὐθεῖα, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΠΕΦΡ παραλ-<lb n="1799,001,,,,12,4,38"></lb> ληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα.</s> <s>καὶ τὰ δύο ἄρα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,4,39"></lb> πρίσματα, οὗ τε βάσις μὲν τὸ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμον, <lb n="1799,001,,,,12,4,40"></lb> ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ, καὶ οὗ βάσις μὲν τὸ ΛΞΓ, ἀπεναν-<lb n="1799,001,,,,12,4,41"></lb> τίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὰ πρίσματα, οὗ τε βάσις μὲν τὸ <lb n="1799,001,,,,12,4,42"></lb> ΠΕΦΡ, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα, καὶ οὗ βάσις μὲν τὸ <lb n="1799,001,,,,12,4,43"></lb> ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,12,4,44"></lb> ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ εἰρημένα δύο <lb n="1799,001,,,,12,4,45"></lb> πρίσματα πρὸς τὰ εἰρημένα δύο πρίσματα.</s> <lb n="1799,001,,,,12,4,46"></lb> <s>Καὶ ὁμοίως, ἐὰν διαιρεθῶσιν αἱ ΟΜΝΗ, ΣΤΥΘ πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,4,47"></lb> μίδες εἴς τε δύο πρίσματα καὶ δύο πυραμίδας, ἔσται ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,12,4,48"></lb> ΟΜΝ βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΟΜ <lb n="1799,001,,,,12,4,49"></lb> ΝΗ πυραμίδι δύο πρίσματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΣΤΥΘ πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,4,50"></lb> μίδι δύο πρίσματα.</s> <s>ἀλλ' ὡς ἡ ΟΜΝ βάσις πρὸς τὴν ΣΤΥ <lb n="1799,001,,,,12,4,51"></lb> βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν· ἴσον <lb n="1799,001,,,,12,4,52"></lb> γὰρ ἑκάτερον τῶν ΟΜΝ, ΣΤΥ τριγώνων ἑκατέρῳ τῶν <lb n="1799,001,,,,12,4,53"></lb> ΛΞΓ, ΡΦΖ.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ <lb n="1799,001,,,,12,4,54"></lb> βάσιν, οὕτως τὰ τέσσαρα πρίσματα πρὸς τὰ τέσσαρα πρίσ-<lb n="1799,001,,,,12,4,55"></lb> ματα.</s> <s>ὁμοίως δὲ κἂν τὰς ὑπολειπομένας πυραμίδας διέλω-<lb n="1799,001,,,,12,4,56"></lb> μεν εἴς τε δύο πυραμίδας καὶ εἰς δύο πρίσματα, ἔσται ὡς <lb n="1799,001,,,,12,4,57"></lb> ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,12,4,58"></lb> ΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ <lb n="1799,001,,,,12,4,59"></lb> πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,4,60"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,12,4,61"></lb> Ὅτι δέ ἐστιν ὡς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρί-<lb n="1799,001,,,,12,4,62"></lb> γωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, <lb n="1799,001,,,,12,4,63"></lb> ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ <lb n="1799,001,,,,12,4,64"></lb> ΡΦΖ [τρίγωνον], ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ, οὕτω δεικτέον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,4,65"></lb> <s>Ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς νενοήσθωσαν ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,12,4,66"></lb> Η, Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπίπεδα, ἴσαι δηλαδὴ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,4,67"></lb> τυγχάνουσαι διὰ τὸ ἰσοϋψεῖς ὑποκεῖσθαι τὰς πυραμίδας.</s> <lb n="1799,001,,,,12,4,68"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΗΓ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος <lb n="1799,001,,,,12,4,69"></lb> ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΑΒΓ, ΟΜΝ τέμνονται, <lb n="1799,001,,,,12,4,70"></lb> εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθήσονται.</s> <s>καὶ τέτμηται ἡ ΗΓ <lb n="1799,001,,,,12,4,71"></lb> δίχα ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου κατὰ τὸ Ν· καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η <lb n="1799,001,,,,12,4,72"></lb> ἄρα κάθετος ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,12,4,73"></lb> τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθε-<lb n="1799,001,,,,12,4,74"></lb> τος ἐπὶ τὸ ΔΕΖ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΣΤΥ <lb n="1799,001,,,,12,4,75"></lb> ἐπιπέδου.</s> <s>καί εἰσιν ἴσαι αἱ ἀπὸ τῶν Η, Θ κάθετοι ἐπὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,12,4,76"></lb> ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπίπεδα· ἴσαι ἄρα καὶ αἱ ἀπὸ τῶν ΟΜΝ, <lb n="1799,001,,,,12,4,77"></lb> ΣΤΥ τριγώνων ἐπὶ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ κάθετοι.</s> <s>ἰσοϋψῆ ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,4,78"></lb> [ἐστὶ] τὰ πρίσματα, ὧν βάσεις μέν εἰσι τὰ ΛΞΓ, ΡΦΖ <lb n="1799,001,,,,12,4,79"></lb> τρίγωνα, ἀπεναντίον δὲ τὰ ΟΜΝ, ΣΤΥ.</s> <s>ὥστε καὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,12,4,80"></lb> στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ἀπὸ τῶν εἰρημένων πρισμά-<lb n="1799,001,,,,12,4,81"></lb> των ἀναγραφόμενα ἰσοϋψῆ καὶ πρὸς ἄλληλα [εἰσὶν] ὡς αἱ <lb n="1799,001,,,,12,4,82"></lb> βάσεις· καὶ τὰ ἡμίση ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΛΞΓ βάσις πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,4,83"></lb> ΡΦΖ βάσιν, οὕτως τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸς ἄλληλα· <lb n="1799,001,,,,12,4,84"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,4,85"></lb> <s>Αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ τριγώνους <lb n="1799,001,,,,12,5,1"></lb> ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.</s> <lb n="1799,001,,,,12,5,2"></lb> <s>Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες, ὧν βάσεις μὲν <lb n="1799,001,,,,12,5,3"></lb> τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα· <lb n="1799,001,,,,12,5,4"></lb> λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, <lb n="1799,001,,,,12,5,5"></lb> οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,5,6"></lb> Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, <lb n="1799,001,,,,12,5,7"></lb> οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα, <lb n="1799,001,,,,12,5,8"></lb> ἔσται ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,12,5,9"></lb> ΑΒΓΗ πυραμὶς ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,5,10"></lb> μίδος στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον.</s> <s>ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασ-<lb n="1799,001,,,,12,5,11"></lb> σον τὸ Χ, καὶ διῃρήσθω ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς εἴς τε δύο πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,5,12"></lb> μίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα <lb n="1799,001,,,,12,5,13"></lb> ἴσα· τὰ δὴ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς <lb n="1799,001,,,,12,5,14"></lb> ὅλης πυραμίδος.</s> <s>καὶ πάλιν αἱ ἐκ τῆς διαιρέσεως γινόμεναι <lb n="1799,001,,,,12,5,15"></lb> πυραμίδες ὁμοίως διῃρήσθωσαν, καὶ τοῦτο ἀεὶ γινέσθω, <lb n="1799,001,,,,12,5,16"></lb> ἕως οὗ λειφθῶσί τινες πυραμίδες ἀπὸ τῆς ΔΕΖΘ πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,5,17"></lb> μίδος, αἵ εἰσιν ἐλάττονες τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ἡ ΔΕ <lb n="1799,001,,,,12,5,18"></lb> ΖΘ πυραμὶς τοῦ Χ στερεοῦ.</s> <s>λελείφθωσαν καὶ ἔστωσαν <lb n="1799,001,,,,12,5,19"></lb> λόγου ἕνεκεν αἱ ΔΠΡΣ, ΣΤΥΘ· λοιπὰ ἄρα τὰ ἐν τῇ ΔΕ <lb n="1799,001,,,,12,5,20"></lb> ΖΘ πυραμίδι πρίσματα μείζονά ἐστι τοῦ Χ στερεοῦ.</s> <s>δι- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,12,5,21"></lb> ῃρήσθω καὶ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς ὁμοίως καὶ ἰσοπληθῶς τῇ <lb n="1799,001,,,,12,5,22"></lb> ΔΕΖΘ πυραμίδι· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,5,23"></lb> ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα <lb n="1799,001,,,,12,5,24"></lb> πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,12,5,25"></lb> ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,5,26"></lb> μὶς πρὸς τὸ Χ στερεόν· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς <lb n="1799,001,,,,12,5,27"></lb> πρὸς τὸ Χ στερεόν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσ-<lb n="1799,001,,,,12,5,28"></lb> ματα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα· ἐναλλὰξ <lb n="1799,001,,,,12,5,29"></lb> ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὰ ἐν αὐτῇ πρίσματα, <lb n="1799,001,,,,12,5,30"></lb> οὕτως τὸ Χ στερεὸν πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσ-<lb n="1799,001,,,,12,5,31"></lb> ματα.</s> <s>μείζων δὲ ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῶν ἐν αὐτῇ πρισμά-<lb n="1799,001,,,,12,5,32"></lb> των· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Χ στερεὸν τῶν ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,5,33"></lb> μίδι πρισμάτων.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,5,34"></lb> <s>οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕ-<lb n="1799,001,,,,12,5,35"></lb> τως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,5,36"></lb> μίδος στερεόν.</s> <s>ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, <lb n="1799,001,,,,12,5,37"></lb> ὅτι οὐδὲ ὡς ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,5,38"></lb> ΑΒΓ βάσιν, οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς <lb n="1799,001,,,,12,5,39"></lb> πρὸς ἔλαττόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμί-<lb n="1799,001,,,,12,5,40"></lb> δος στερεόν.</s> <lb n="1799,001,,,,12,5,41"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι οὐκ ἔστιν οὐδὲ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,5,42"></lb> ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς μεῖζόν τι τῆς <lb n="1799,001,,,,12,5,43"></lb> ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν.</s> <lb n="1799,001,,,,12,5,44"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Χ· ἀνάπαλιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,5,45"></lb> ἐστὶν ὡς ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,12,5,46"></lb> Χ στερεὸν πρὸς τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα.</s> <s>ὡς δὲ τὸ Χ στερεὸν <lb n="1799,001,,,,12,5,47"></lb> πρὸς τὴν ΑΒΓΗ πυραμίδα, οὕτως ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,5,48"></lb> ἔλασσόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείχθη· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,5,49"></lb> καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΕΖ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓ βάσιν, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,12,5,50"></lb> ΔΕΖΘ πυραμὶς πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος· <lb n="1799,001,,,,12,5,51"></lb> ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.</s> <s>οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις <lb n="1799,001,,,,12,5,52"></lb> πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς μεῖ-<lb n="1799,001,,,,12,5,53"></lb> ζόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεόν.</s> <s>ἐδείχθη δέ, ὅτι <lb n="1799,001,,,,12,5,54"></lb> οὐδὲ πρὸς ἔλασσον.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,5,55"></lb> ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ <lb n="1799,001,,,,12,5,56"></lb> πυραμίδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,5,57"></lb> <s>Αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ πολυγώνους <lb n="1799,001,,,,12,6,1"></lb> ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.</s> <lb n="1799,001,,,,12,6,2"></lb> <s>Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος πυραμίδες, ὧν [αἱ] βάσεις <lb n="1799,001,,,,12,6,3"></lb> μὲν τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ πολύγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Μ, <lb n="1799,001,,,,12,6,4"></lb> Ν σημεῖα· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,6,5"></lb> ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,6,6"></lb> ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα.</s> <lb n="1799,001,,,,12,6,7"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΑΔ, ΖΘ, ΖΚ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν <lb n="1799,001,,,,12,6,8"></lb> δύο πυραμίδες εἰσὶν αἱ ΑΒΓΜ, ΑΓΔΜ τριγώνους ἔχου-<lb n="1799,001,,,,12,6,9"></lb> σαι βάσεις καὶ ὕψος ἴσον, πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις· <lb n="1799,001,,,,12,6,10"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΑΓΔ βάσιν, οὕτως <lb n="1799,001,,,,12,6,11"></lb> ἡ ΑΒΓΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΓΔΜ πυραμίδα.</s> <s>καὶ συν-<lb n="1799,001,,,,12,6,12"></lb> θέντι ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΓΔ βάσιν, οὕτως ἡ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,6,13"></lb> ΑΒΓΔΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΓΔΜ πυραμίδα.</s> <s>ἀλλὰ καὶ <lb n="1799,001,,,,12,6,14"></lb> ὡς ἡ ΑΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΓΔΜ <lb n="1799,001,,,,12,6,15"></lb> πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα.</s> <s>δι' ἴσου ἄρα ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,12,6,16"></lb> ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΜ <lb n="1799,001,,,,12,6,17"></lb> πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα.</s> <s>καὶ συνθέντι πάλιν, <lb n="1799,001,,,,12,6,18"></lb> ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΑΔΕ βάσιν, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,12,6,19"></lb> ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,12,6,20"></lb> δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ὡς ἡ ΖΗΘΚΛ βάσις πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,6,21"></lb> ΖΗΘ βάσιν, οὕτως καὶ ἡ ΖΗΘΚΛΝ πυραμὶς πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,6,22"></lb> ΖΗΘΝ πυραμίδα.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο πυραμίδες εἰσὶν αἱ ΑΔ <lb n="1799,001,,,,12,6,23"></lb> ΕΜ, ΖΗΘΝ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις καὶ ὕψος ἴσον, <lb n="1799,001,,,,12,6,24"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτως <lb n="1799,001,,,,12,6,25"></lb> ἡ ΑΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα.</s> <s>ἀλλ' ὡς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,6,26"></lb> ἡ ΑΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΑΒΓΔΕ βάσιν, οὕτως ἦν ἡ ΑΔ <lb n="1799,001,,,,12,6,27"></lb> ΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΒΓΔΕΜ πυραμίδα.</s> <s>καὶ δι' ἴσου <lb n="1799,001,,,,12,6,28"></lb> ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘ βάσιν, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,12,6,29"></lb> ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΝ πυραμίδα.</s> <s>ἀλλὰ <lb n="1799,001,,,,12,6,30"></lb> μὴν καὶ ὡς ἡ ΖΗΘ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛ βάσιν, οὕτως <lb n="1799,001,,,,12,6,31"></lb> ἦν καὶ ἡ ΖΗΘΝ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛΝ πυραμίδα.</s> <lb n="1799,001,,,,12,6,32"></lb> <s>καὶ δι' ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛ <lb n="1799,001,,,,12,6,33"></lb> βάσιν, οὕτως ἡ ΑΒΓΔΕΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΗΘΚΛΝ <lb n="1799,001,,,,12,6,34"></lb> πυραμίδα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,6,35"></lb> <s>Πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν διαιρεῖται εἰς τρεῖς <lb n="1799,001,,,,12,7,1"></lb> πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους βάσεις ἐχούσας.</s> <lb n="1799,001,,,,12,7,2"></lb> <s>Ἔστω πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναν-<lb n="1799,001,,,,12,7,3"></lb> τίον δὲ τὸ ΔΕΖ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα διαιρεῖ-<lb n="1799,001,,,,12,7,4"></lb> ται εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους ἐχούσας <lb n="1799,001,,,,12,7,5"></lb> βάσεις.</s> <lb n="1799,001,,,,12,7,6"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ, ΕΓ, ΓΔ.</s> <s>ἐπεὶ παραλληλό-<lb n="1799,001,,,,12,7,7"></lb> γραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΕΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐστιν ἡ ΒΔ, <lb n="1799,001,,,,12,7,8"></lb> ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΕΒΔ τριγώνῳ· καὶ <lb n="1799,001,,,,12,7,9"></lb> ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ <lb n="1799,001,,,,12,7,10"></lb> δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,12,7,11"></lb> ΔΕΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον.</s> <s>ἀλλὰ ἡ πυραμίς, <lb n="1799,001,,,,12,7,12"></lb> ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΔΕΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,7,13"></lb> σημεῖον, ἡ αὐτή ἐστι πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ <lb n="1799,001,,,,12,7,14"></lb> τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον· ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπι-<lb n="1799,001,,,,12,7,15"></lb> πέδων περιέχεται.</s> <s>καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,12,7,16"></lb> ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,7,17"></lb> μίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,12,7,18"></lb> Δ σημεῖον.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ παραλλη-<lb n="1799,001,,,,12,7,19"></lb> λόγραμμόν ἐστι τὸ ΖΓΒΕ, διά-<lb n="1799,001,,,,12,7,20"></lb> μετρος δέ ἐστιν αὐτοῦ ἡ ΓΕ, <lb n="1799,001,,,,12,7,21"></lb> ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΕΖ τρίγωνον τῷ <lb n="1799,001,,,,12,7,22"></lb> ΓΒΕ τριγώνῳ.</s> <s>καὶ πυραμὶς <lb n="1799,001,,,,12,7,23"></lb> ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ <lb n="1799,001,,,,12,7,24"></lb> τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ ση-<lb n="1799,001,,,,12,7,25"></lb> μεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βά-<lb n="1799,001,,,,12,7,26"></lb> σις μέν ἐστι τὸ ΕΓΖ τρίγωνον, <lb n="1799,001,,,,12,7,27"></lb> κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον.</s> <s>ἡ δὲ πυ-<lb n="1799,001,,,,12,7,28"></lb> ραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ <lb n="1799,001,,,,12,7,29"></lb> τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐδείχθη πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,7,30"></lb> μίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,12,7,31"></lb> Γ σημεῖον· καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΓΕΖ <lb n="1799,001,,,,12,7,32"></lb> τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς <lb n="1799,001,,,,12,7,33"></lb> βάσις μὲν [ἐστι] τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖ-<lb n="1799,001,,,,12,7,34"></lb> ον· διῄρηται ἄρα τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα εἰς τρεῖς πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,7,35"></lb> μίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους ἐχούσας βάσεις.</s> <lb n="1799,001,,,,12,7,36"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, <lb n="1799,001,,,,12,7,37"></lb> κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἡ αὐτή ἐστι πυραμίδι, ἧς βάσις <lb n="1799,001,,,,12,7,38"></lb> τὸ ΓΑΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον· ὑπὸ γὰρ τῶν <lb n="1799,001,,,,12,7,39"></lb> αὐτῶν ἐπιπέδων περιέχονται· ἡ δὲ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ <lb n="1799,001,,,,12,7,40"></lb> ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, τρίτον ἐδείχθη <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,7,41"></lb> τοῦ πρίσματος, οὗ βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον <lb n="1799,001,,,,12,7,42"></lb> δὲ τὸ ΔΕΖ, καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγω-<lb n="1799,001,,,,12,7,43"></lb> νον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, τρίτον ἐστὶ τοῦ πρίσματος <lb n="1799,001,,,,12,7,44"></lb> τοῦ ἔχοντος βάσιν τὴν αὐτὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναν-<lb n="1799,001,,,,12,7,45"></lb> τίον δὲ τὸ ΔΕΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,7,46"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,12,7,47"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος <lb n="1799,001,,,,12,7,48"></lb> ἐστὶ τοῦ πρίσματος τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῇ καὶ <lb n="1799,001,,,,12,7,49"></lb> ὕψος ἴσον [ἐπειδήπερ κἂν ἕτερόν τι σχῆμα εὐθύγραμμον <lb n="1799,001,,,,12,7,50"></lb> ἔχῃ ἡ βάσις τοῦ πρίσματος, τοιοῦτο καὶ τὸ ἀπεναντίον, <lb n="1799,001,,,,12,7,51"></lb> καὶ διαιρεῖται εἰς πρίσματα τρίγωνα ἔχοντα τὰς βάσεις <lb n="1799,001,,,,12,7,52"></lb> καὶ τὰ ἀπεναντίον, καὶ ὡς ἡ ὅλη βάσις πρὸς ἕκαστον]· <lb n="1799,001,,,,12,7,53"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,7,54"></lb> <s>Αἱ ὅμοιαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις ἐν <lb n="1799,001,,,,12,8,1"></lb> τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,8,2"></lb> Ἔστωσαν ὅμοιαι καὶ ὁμοίως κείμεναι πυραμίδες, ὧν <lb n="1799,001,,,,12,8,3"></lb> βάσεις μέν εἰσι τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Η, <lb n="1799,001,,,,12,8,4"></lb> Θ σημεῖα· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ <lb n="1799,001,,,,12,8,5"></lb> πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,8,6"></lb> ΕΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,8,7"></lb> <s>Συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ στερεὰ <lb n="1799,001,,,,12,8,8"></lb> παραλληλεπίπεδα.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,8,9"></lb> μὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,12,8,10"></lb> γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΓ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ, <lb n="1799,001,,,,12,8,11"></lb> ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΔΕΘ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,8,12"></lb> ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΕΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,8,13"></lb> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,8,14"></lb> τὴν ΕΖ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, <lb n="1799,001,,,,12,8,15"></lb> ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΠ παραλ-<lb n="1799,001,,,,12,8,16"></lb> ληλογράμμῳ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΒΝ τῷ ΕΡ ὅμοιόν <lb n="1799,001,,,,12,8,17"></lb> ἐστι, τὸ δὲ ΒΚ τῷ ΕΞ· τὰ τρία ἄρα τὰ ΜΒ, ΒΚ, ΒΝ <lb n="1799,001,,,,12,8,18"></lb> τρισὶ τοῖς ΕΠ, ΕΞ, ΕΡ ὅμοιά ἐστιν.</s> <s>ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τὰ <lb n="1799,001,,,,12,8,19"></lb> ΜΒ, ΒΚ, ΒΝ τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά <lb n="1799,001,,,,12,8,20"></lb> ἐστιν, τὰ δὲ τρία τὰ ΕΠ, ΕΞ, ΕΡ τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον <lb n="1799,001,,,,12,8,21"></lb> ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν.</s> <s>τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ ἄρα στερεὰ <lb n="1799,001,,,,12,8,22"></lb> ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων ἴσων τὸ πλῆθος περιέχεται.</s> <s>ὅμοιον <lb n="1799,001,,,,12,8,23"></lb> ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ.</s> <s>τὰ δὲ <lb n="1799,001,,,,12,8,24"></lb> ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,12,8,25"></lb> τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.</s> <s>τὸ ΒΗΜΛ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,12,8,26"></lb> ΕΘΠΟ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος <lb n="1799,001,,,,12,8,27"></lb> πλευρὰ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΕΖ.</s> <s>ὡς δὲ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,8,28"></lb> τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΘΠΟ στερεόν, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,12,8,29"></lb> ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα, ἐπειδήπερ <lb n="1799,001,,,,12,8,30"></lb> ἡ πυραμὶς ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ διὰ τὸ καὶ τὸ πρίσ-<lb n="1799,001,,,,12,8,31"></lb> μα ἥμισυ ὂν τοῦ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τριπλάσιον <lb n="1799,001,,,,12,8,32"></lb> εἶναι τῆς πυραμίδος.</s> <s>καὶ ἡ ΑΒΓΗ ἄρα πυραμὶς πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,8,33"></lb> ΔΕΖΘ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,12,8,34"></lb> πρὸς τὴν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,8,35"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,12,8,36"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι καὶ αἱ πολυγώνους ἔχουσαι <lb n="1799,001,,,,12,8,37"></lb> βάσεις ὅμοιαι πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι <lb n="1799,001,,,,12,8,38"></lb> λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.</s> <s>διαιρεθεισῶν γὰρ <lb n="1799,001,,,,12,8,39"></lb> αὐτῶν εἰς τὰς ἐν αὐταῖς πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχού-<lb n="1799,001,,,,12,8,40"></lb> σας τῷ καὶ τὰ ὅμοια πολύγωνα τῶν βάσεων εἰς ὅμοια τρί-<lb n="1799,001,,,,12,8,41"></lb> γωνα διαιρεῖσθαι καὶ ἴσα τῷ πλήθει καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις <lb n="1799,001,,,,12,8,42"></lb> ἔσται ὡς [ἡ] ἐν τῇ ἑτέρᾳ μία πυραμὶς τρίγωνον ἔχουσα <lb n="1799,001,,,,12,8,43"></lb> βάσιν πρὸς τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ μίαν πυραμίδα τρίγωνον ἔχου-<lb n="1799,001,,,,12,8,44"></lb> σαν βάσιν, οὕτως καὶ ἅπασαι αἱ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι <lb n="1799,001,,,,12,8,45"></lb> πυραμίδες τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς τὰς ἐν τῇ ἑτέρᾳ <lb n="1799,001,,,,12,8,46"></lb> πυραμίδι πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούσας, τουτέστιν <lb n="1799,001,,,,12,8,47"></lb> αὐτὴ ἡ πολύγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὴν πολύ-<lb n="1799,001,,,,12,8,48"></lb> γωνον βάσιν ἔχουσαν πυραμίδα.</s> <s>ἡ δὲ τρίγωνον βάσιν ἔχου-<lb n="1799,001,,,,12,8,49"></lb> σα πυραμὶς πρὸς τὴν τρίγωνον βάσιν ἔχουσαν ἐν τριπλα- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,12,8,50"></lb> σίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· καὶ ἡ πολύγωνον <lb n="1799,001,,,,12,8,51"></lb> ἄρα βάσιν ἔχουσα πρὸς τὴν ὁμοίαν βάσιν ἔχουσαν τριπλα-<lb n="1799,001,,,,12,8,52"></lb> σίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.</s> <lb n="1799,001,,,,12,8,53"></lb> <s>Τῶν ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν <lb n="1799,001,,,,12,9,1"></lb> ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ ὧν πυραμίδων <lb n="1799,001,,,,12,9,2"></lb> τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς <lb n="1799,001,,,,12,9,3"></lb> ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,9,4"></lb> <s>Ἔστωσαν γὰρ ἴσαι πυραμίδες τριγώνους βάσεις ἔχουσαι <lb n="1799,001,,,,12,9,5"></lb> τὰς ΑΒΓ, ΔΕΖ, κορυφὰς δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,12,9,6"></lb> τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ πυραμίδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βά-<lb n="1799,001,,,,12,9,7"></lb> σεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,9,8"></lb> ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,9,9"></lb> τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος.</s> <lb n="1799,001,,,,12,9,10"></lb> <s>Συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ στερεὰ <lb n="1799,001,,,,12,9,11"></lb> παραλληλεπίπεδα.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς <lb n="1799,001,,,,12,9,12"></lb> τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι, καί <lb n="1799,001,,,,12,9,13"></lb> ἐστι τῆς μὲν ΑΒΓΗ πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,9,14"></lb> μίδος ἑξαπλάσιον τὸ ΒΗ <lb n="1799,001,,,,12,9,15"></lb> ΜΛ στερεόν, τῆς δὲ ΔΕΖΘ <lb n="1799,001,,,,12,9,16"></lb> πυραμίδος ἑξαπλάσιον τὸ <lb n="1799,001,,,,12,9,17"></lb> ΕΘΠΟ στερεόν, ἴσον ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,9,18"></lb> ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν τῷ <lb n="1799,001,,,,12,9,19"></lb> ΕΘΠΟ στερεῷ.</s> <s>τῶν δὲ <lb n="1799,001,,,,12,9,20"></lb> ἴσων στερεῶν παραλληλεπι-<lb n="1799,001,,,,12,9,21"></lb> πέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,9,22"></lb> βάσεις τοῖς ὕψεσιν· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ <lb n="1799,001,,,,12,9,23"></lb> βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,9,24"></lb> ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψος.</s> <s>ἀλλ' ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ, <lb n="1799,001,,,,12,9,25"></lb> οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον.</s> <s>καὶ ὡς <lb n="1799,001,,,,12,9,26"></lb> ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,12,9,27"></lb> τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ <lb n="1799,001,,,,12,9,28"></lb> ὕψος.</s> <s>ἀλλὰ τὸ μὲν τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος τὸ αὐτό ἐστι <lb n="1799,001,,,,12,9,29"></lb> τῷ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψει, τὸ δὲ τοῦ ΒΗΜΛ στε-<lb n="1799,001,,,,12,9,30"></lb> ρεοῦ ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψει· <lb n="1799,001,,,,12,9,31"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως <lb n="1799,001,,,,12,9,32"></lb> τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ <lb n="1799,001,,,,12,9,33"></lb> πυραμίδος ὕψος.</s> <s>τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ ἄρα πυραμίδων <lb n="1799,001,,,,12,9,34"></lb> ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,12,9,35"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ πυραμίδων ἀντιπεπον-<lb n="1799,001,,,,12,9,36"></lb> θέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,12,9,37"></lb> βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,9,38"></lb> μίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος· λέγω, <lb n="1799,001,,,,12,9,39"></lb> ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,9,40"></lb> <s>Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,12,9,41"></lb> ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ <lb n="1799,001,,,,12,9,42"></lb> πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος, ἀλλ' <lb n="1799,001,,,,12,9,43"></lb> ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΒΜ <lb n="1799,001,,,,12,9,44"></lb> παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΠ παραλληλόγραμμον, καὶ <lb n="1799,001,,,,12,9,45"></lb> ὡς ἄρα τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΠ παραλ-<lb n="1799,001,,,,12,9,46"></lb> ληλόγραμμον, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,9,47"></lb> τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος.</s> <s>ἀλλὰ τὸ [μὲν] τῆς ΔΕΖΘ <lb n="1799,001,,,,12,9,48"></lb> πυραμίδος ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τοῦ ΕΘΠΟ παραλληλ-<lb n="1799,001,,,,12,9,49"></lb> επιπέδου ὕψει, τὸ δὲ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος τὸ αὐτό <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,9,50"></lb> ἐστι τῷ τοῦ ΒΗΜΛ παραλληλεπιπέδου ὕψει· ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,12,9,51"></lb> ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ <lb n="1799,001,,,,12,9,52"></lb> παραλληλεπιπέδου ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ παραλληλ-<lb n="1799,001,,,,12,9,53"></lb> επιπέδου ὕψος.</s> <s>ὧν δὲ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντι-<lb n="1799,001,,,,12,9,54"></lb> πεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα· ἴσον <lb n="1799,001,,,,12,9,55"></lb> ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τῷ ΕΘ <lb n="1799,001,,,,12,9,56"></lb> ΠΟ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ.</s> <s>καί ἐστι τοῦ μὲν ΒΗΜΛ <lb n="1799,001,,,,12,9,57"></lb> ἕκτον μέρος ἡ ΑΒΓΗ πυραμίς, τοῦ δὲ ΕΘΠΟ παραλ-<lb n="1799,001,,,,12,9,58"></lb> ληλεπιπέδου ἕκτον μέρος ἡ ΔΕΖΘ πυραμίς· ἴση ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,12,9,59"></lb> ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,9,60"></lb> <s>Τῶν ἄρα ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνους βάσεις ἐχου-<lb n="1799,001,,,,12,9,61"></lb> σῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ ὧν πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,9,62"></lb> μίδων τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βά-<lb n="1799,001,,,,12,9,63"></lb> σεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,9,64"></lb> <s>Πᾶς κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν <lb n="1799,001,,,,12,10,1"></lb> βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,10,2"></lb> <s>Ἐχέτω γὰρ κῶνος κυλίνδρῳ βάσιν τε τὴν αὐτὴν τὸν <lb n="1799,001,,,,12,10,3"></lb> ΑΒΓΔ κύκλον καὶ ὕψος ἴσον· λέγω, ὅτι ὁ κῶνος τοῦ κυλίν-<lb n="1799,001,,,,12,10,4"></lb> δρου τρίτον ἐστὶ μέρος, τουτέστιν ὅτι ὁ κύλινδρος τοῦ κώ-<lb n="1799,001,,,,12,10,5"></lb> νου τριπλασίων ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,12,10,6"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τριπλασίων, <lb n="1799,001,,,,12,10,7"></lb> ἔσται ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ἤτοι μείζων ἢ τριπλασίων <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,10,8"></lb> ἢ ἐλάσσων ἢ τριπλασίων.</s> <s>ἔστω πρότερον μείζων ἢ τριπλα-<lb n="1799,001,,,,12,10,9"></lb> σίων, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον <lb n="1799,001,,,,12,10,10"></lb> τὸ ΑΒΓΔ· τὸ δὴ ΑΒΓΔ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ <lb n="1799,001,,,,12,10,11"></lb> ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.</s> <s>καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,10,12"></lb> τετραγώνου πρίσμα ἰσο- <lb n="1799,001,,,,12,10,13"></lb> υψὲς τῷ κυλίνδρῳ.</s> <s>τὸ δὴ <lb n="1799,001,,,,12,10,14"></lb> ἀνιστάμενον πρίσμα μεῖ-<lb n="1799,001,,,,12,10,15"></lb> ζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,10,16"></lb> κυλίνδρου, ἐπειδήπερ κἂν <lb n="1799,001,,,,12,10,17"></lb> περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον <lb n="1799,001,,,,12,10,18"></lb> τετράγωνον περιγράψω-<lb n="1799,001,,,,12,10,19"></lb> μεν, τὸ ἐγγεγραμμένον <lb n="1799,001,,,,12,10,20"></lb> εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τε-<lb n="1799,001,,,,12,10,21"></lb> τράγωνον ἥμισύ ἐστι τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,10,22"></lb> περιγεγραμμένου· καί ἐστι <lb n="1799,001,,,,12,10,23"></lb> τὰ ἀπ' αὐτῶν ἀνιστά-<lb n="1799,001,,,,12,10,24"></lb> μενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρίσματα ἰσοϋψῆ· τὰ <lb n="1799,001,,,,12,10,25"></lb> δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα <lb n="1799,001,,,,12,10,26"></lb> πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις· καὶ τὸ ἐπὶ τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,10,27"></lb> ΑΒΓΔ ἄρα τετραγώνου ἀνασταθὲν πρίσμα ἥμισύ ἐστι <lb n="1799,001,,,,12,10,28"></lb> τοῦ ἀνασταθέντος πρίσματος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,10,29"></lb> κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου· καί ἐστιν ὁ κύλιν-<lb n="1799,001,,,,12,10,30"></lb> δρος ἐλάττων τοῦ πρίσματος τοῦ ἀνασταθέντος ἀπὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,10,31"></lb> περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου· τὸ <lb n="1799,001,,,,12,10,32"></lb> ἄρα πρίσμα τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,10,33"></lb> ἰσοϋψὲς τῷ κυλίνδρῳ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως τοῦ κυλίν-<lb n="1799,001,,,,12,10,34"></lb> δρου.</s> <s>τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ περιφέρειαι <lb n="1799,001,,,,12,10,35"></lb> δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ <lb n="1799,001,,,,12,10,36"></lb> ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· καὶ ἕκαστον <lb n="1799,001,,,,12,10,37"></lb> ἄρα τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων μεῖζόν <lb n="1799,001,,,,12,10,38"></lb> ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ' ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,10,39"></lb> κύκλου, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείκνυμεν.</s> <s>ἀνεστάτω ἐφ' ἑκάστου <lb n="1799,001,,,,12,10,40"></lb> τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πρίσματα ἰσο-<lb n="1799,001,,,,12,10,41"></lb> υψῆ τῷ κυλίνδρῳ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ἀνασταθέντων <lb n="1799,001,,,,12,10,42"></lb> πρισμάτων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθ' ἑαυτὸ <lb n="1799,001,,,,12,10,43"></lb> τμήματος τοῦ κυλίνδρου, ἐπειδήπερ ἐὰν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η, <lb n="1799,001,,,,12,10,44"></lb> Θ σημείων παραλλήλους ταῖς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ ἀγάγω-<lb n="1799,001,,,,12,10,45"></lb> μεν, καὶ συμπληρώσωμεν τὰ ἐπὶ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ <lb n="1799,001,,,,12,10,46"></lb> παραλληλόγραμμα, καὶ ἀπ' αὐτῶν ἀναστήσωμεν στερεὰ <lb n="1799,001,,,,12,10,47"></lb> παραλληλεπίπεδα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ, ἑκάστου τῶν <lb n="1799,001,,,,12,10,48"></lb> ἀνασταθέντων ἡμίση ἐστὶ τὰ πρίσματα τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ, <lb n="1799,001,,,,12,10,49"></lb> ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων· καί ἐστι τὰ τοῦ κυλίνδρου <lb n="1799,001,,,,12,10,50"></lb> τμήματα ἐλάττονα τῶν ἀνασταθέντων στερεῶν παραλληλ-<lb n="1799,001,,,,12,10,51"></lb> επιπέδων· ὥστε καὶ τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, <lb n="1799,001,,,,12,10,52"></lb> ΔΘΑ τριγώνων πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῶν <lb n="1799,001,,,,12,10,53"></lb> καθ' ἑαυτὰ τοῦ κυλίνδρου τμημάτων.</s> <s>τέμνοντες δὴ τὰς <lb n="1799,001,,,,12,10,54"></lb> ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐ-<lb n="1799,001,,,,12,10,55"></lb> θείας καὶ ἀνιστάντες ἐφ' ἑκάστου τῶν τριγώνων πρίσματα <lb n="1799,001,,,,12,10,56"></lb> ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψο-<lb n="1799,001,,,,12,10,57"></lb> μέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κυλίνδρου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆς <lb n="1799,001,,,,12,10,58"></lb> ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κύλινδρος τοῦ τριπλασίου τοῦ κώ-<lb n="1799,001,,,,12,10,59"></lb> νου.</s> <s>λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,10,60"></lb> ΔΘ, ΘΑ· λοιπὸν ἄρα τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΕΒΖ <lb n="1799,001,,,,12,10,61"></lb> ΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖ-<lb n="1799,001,,,,12,10,62"></lb> ζόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον τοῦ κώνου.</s> <s>ἀλλὰ τὸ πρίσμα, οὗ <lb n="1799,001,,,,12,10,63"></lb> βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ <lb n="1799,001,,,,12,10,64"></lb> αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, τριπλάσιόν ἐστι τῆς πυραμίδος, ἧς <lb n="1799,001,,,,12,10,65"></lb> βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ <lb n="1799,001,,,,12,10,66"></lb> ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ· καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μὲν [ἐστι] <lb n="1799,001,,,,12,10,67"></lb> τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ <lb n="1799,001,,,,12,10,68"></lb> κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν ΑΒ <lb n="1799,001,,,,12,10,69"></lb> ΓΔ κύκλον.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ἐλάττων· ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ' <lb n="1799,001,,,,12,10,70"></lb> αὐτοῦ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἐστὶν ὁ κύλινδρος <lb n="1799,001,,,,12,10,71"></lb> τοῦ κώνου μείζων ἢ τριπλάσιος.</s> <lb n="1799,001,,,,12,10,72"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος ὁ κύλιν-<lb n="1799,001,,,,12,10,73"></lb> δρος τοῦ κώνου.</s> <lb n="1799,001,,,,12,10,74"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάττων ἢ τριπλάσιος ὁ κύλινδρος <lb n="1799,001,,,,12,10,75"></lb> τοῦ κώνου· ἀνάπαλιν ἄρα ὁ κῶνος τοῦ κυλίνδρου μείζων <lb n="1799,001,,,,12,10,76"></lb> ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος.</s> <s>ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,10,77"></lb> κύκλον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ· τὸ ΑΒΓΔ ἄρα τετράγω-<lb n="1799,001,,,,12,10,78"></lb> νον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.</s> <s>καὶ ἀν-<lb n="1799,001,,,,12,10,79"></lb> εστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν <lb n="1799,001,,,,12,10,80"></lb> κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ· ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶς <lb n="1799,001,,,,12,10,81"></lb> μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ κώνου, ἐπειδήπερ, ὡς <lb n="1799,001,,,,12,10,82"></lb> ἔμπροσθεν ἐδείκνυμεν, ὅτι ἐὰν περὶ τὸν κύκλον τετράγω-<lb n="1799,001,,,,12,10,83"></lb> νον περιγράψωμεν, ἔσται τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον ἥμισυ <lb n="1799,001,,,,12,10,84"></lb> τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγεγραμμένου τετραγώνου· καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,10,85"></lb> ἐὰν ἀπὸ τῶν τετραγώνων στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἀνα-<lb n="1799,001,,,,12,10,86"></lb> στήσωμεν ἰσοϋψῆ τῷ κώνῳ, ἃ καὶ καλεῖται πρίσματα, <lb n="1799,001,,,,12,10,87"></lb> ἔσται τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου ἥμισυ <lb n="1799,001,,,,12,10,88"></lb> τοῦ ἀνασταθέντος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντος <lb n="1799,001,,,,12,10,89"></lb> τετραγώνου· πρὸς ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις.</s> <s>ὥστε <lb n="1799,001,,,,12,10,90"></lb> καὶ τὰ τρίτα· καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓΔ τετρά-<lb n="1799,001,,,,12,10,91"></lb> γωνον, ἥμισύ ἐστι τῆς πυραμίδος τῆς ἀνασταθείσης ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,12,10,92"></lb> τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου.</s> <s>καί ἐστι <lb n="1799,001,,,,12,10,93"></lb> μείζων ἡ πυραμὶς ἡ ἀνασταθεῖσα ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον <lb n="1799,001,,,,12,10,94"></lb> τετραγώνου τοῦ κώνου· ἐμπεριέχει γὰρ αὐτόν.</s> <s>ἡ ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,10,95"></lb> πυραμὶς, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,12,10,96"></lb> αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου.</s> <lb n="1799,001,,,,12,10,97"></lb> <s>τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ περιφέρειαι δίχα <lb n="1799,001,,,,12,10,98"></lb> κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, <lb n="1799,001,,,,12,10,99"></lb> ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν <lb n="1799,001,,,,12,10,100"></lb> ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ <lb n="1799,001,,,,12,10,101"></lb> ἥμισυ μέρος τοῦ καθ' ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,12,10,102"></lb> <s>καὶ ἀνεστάτωσαν ἐφ' ἑκάστου τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, <lb n="1799,001,,,,12,10,103"></lb> ΔΘΑ τριγώνων πυραμίδες τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαι <lb n="1799,001,,,,12,10,104"></lb> τῷ κώνῳ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων <lb n="1799,001,,,,12,10,105"></lb> κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,10,106"></lb> καθ' ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου.</s> <s>τέμνοντες δὴ τὰς ὑπο-<lb n="1799,001,,,,12,10,107"></lb> λειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας <lb n="1799,001,,,,12,10,108"></lb> καὶ ἀνιστάντες ἐφ' ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδα τὴν <lb n="1799,001,,,,12,10,109"></lb> αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαν τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες <lb n="1799,001,,,,12,10,110"></lb> καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάτ-<lb n="1799,001,,,,12,10,111"></lb> τονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κῶνος τοῦ τρίτου μέρους <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,10,112"></lb> τοῦ κυλίνδρου.</s> <s>λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ, <lb n="1799,001,,,,12,10,113"></lb> ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ· λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς <lb n="1799,001,,,,12,10,114"></lb> βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ <lb n="1799,001,,,,12,10,115"></lb> ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος τοῦ κυλίν-<lb n="1799,001,,,,12,10,116"></lb> δρου.</s> <s>ἀλλ' ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓ <lb n="1799,001,,,,12,10,117"></lb> ΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, τρίτον <lb n="1799,001,,,,12,10,118"></lb> ἐστὶ μέρος τοῦ πρίσματος, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓ <lb n="1799,001,,,,12,10,119"></lb> ΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ· τὸ ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,10,120"></lb> πρίσμα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, <lb n="1799,001,,,,12,10,121"></lb> ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖζόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου, <lb n="1799,001,,,,12,10,122"></lb> οὗ βάσις ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ἐμ-<lb n="1799,001,,,,12,10,123"></lb> περιέχεται γὰρ ὑπ' αὐτοῦ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,10,124"></lb> ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος.</s> <s>ἐδείχ-<lb n="1799,001,,,,12,10,125"></lb> θη δέ, ὅτι οὐδὲ μείζων ἢ τριπλάσιος· τριπλάσιος ἄρα ὁ <lb n="1799,001,,,,12,10,126"></lb> κύλινδρος τοῦ κώνου· ὥστε ὁ κῶνος τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,10,127"></lb> κυλίνδρου.</s> <lb n="1799,001,,,,12,10,128"></lb> <s>Πᾶς ἄρα κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν <lb n="1799,001,,,,12,10,129"></lb> αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,10,130"></lb> <s>Οἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,11,1"></lb> ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.</s> <lb n="1799,001,,,,12,11,2"></lb> <s>Ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν <lb n="1799,001,,,,12,11,3"></lb> βάσεις μὲν [εἰσιν] οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, ἄξονες δὲ <lb n="1799,001,,,,12,11,4"></lb> οἱ ΚΛ, ΜΝ, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ ΑΓ, ΕΗ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,12,11,5"></lb> ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, <lb n="1799,001,,,,12,11,6"></lb> οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΝ κῶνον.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,11,7"></lb> Εἰ γὰρ μή, ἔσται ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,12,11,8"></lb> κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΝ <lb n="1799,001,,,,12,11,9"></lb> κώνου στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον.</s> <s>ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασ-<lb n="1799,001,,,,12,11,10"></lb> σον τὸ Ξ, καὶ ᾧ ἔλασσόν ἐστι τὸ Ξ στερεὸν τοῦ ΕΝ κώνου, <lb n="1799,001,,,,12,11,11"></lb> ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ Ψ στερεόν· ὁ ΕΝ κῶνος ἄρα ἴσος <lb n="1799,001,,,,12,11,12"></lb> ἐστὶ τοῖς Ξ, Ψ στερεοῖς.</s> <s>ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,12,11,13"></lb> κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ· τὸ ἄρα τετράγωνον μεῖ-<lb n="1799,001,,,,12,11,14"></lb> ζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κύκλου.</s> <s>ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΕΖ <lb n="1799,001,,,,12,11,15"></lb> ΗΘ τετραγώνου πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ· ἡ ἄρα ἀνα-<lb n="1799,001,,,,12,11,16"></lb> σταθεῖσα πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου, <lb n="1799,001,,,,12,11,17"></lb> ἐπειδήπερ ἐὰν περιγράψωμεν περὶ τὸν κύκλον τετράγω-<lb n="1799,001,,,,12,11,18"></lb> νον, καὶ ἀπ' αὐτοῦ ἀναστήσωμεν πυραμίδα ἰσοϋψῆ τῷ <lb n="1799,001,,,,12,11,19"></lb> κώνῳ, ἡ ἐγγραφεῖσα πυραμὶς ἥμισύ ἐστι τῆς περιγρα-<lb n="1799,001,,,,12,11,20"></lb> φείσης· πρὸς ἀλλήλας γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις· ἐλάττων δὲ <lb n="1799,001,,,,12,11,21"></lb> ὁ κῶνος τῆς περιγραφείσης πυραμίδος.</s> <s>τετμήσθωσαν αἱ <lb n="1799,001,,,,12,11,22"></lb> ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο, Π, Ρ, <lb n="1799,001,,,,12,11,23"></lb> Σ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΟ, ΟΕ, ΕΠ, ΠΖ, <lb n="1799,001,,,,12,11,24"></lb> ΖΡ, ΡΗ, ΗΣ, ΣΘ.</s> <s>ἕκαστον ἄρα τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, <lb n="1799,001,,,,12,11,25"></lb> ΖΡΗ, ΗΣΘ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ' <lb n="1799,001,,,,12,11,26"></lb> ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου.</s> <s>ἀνεστάτω ἐφ' ἑκάστου τῶν <lb n="1799,001,,,,12,11,27"></lb> ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς <lb n="1799,001,,,,12,11,28"></lb> τῷ κώνῳ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων <lb n="1799,001,,,,12,11,29"></lb> μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ' ἑαυτὴν τμήματος τοῦ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,11,30"></lb> κώνου.</s> <s>τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα <lb n="1799,001,,,,12,11,31"></lb> καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐπὶ ἑκάστου τῶν <lb n="1799,001,,,,12,11,32"></lb> τριγώνων πυραμίδας ἰσοϋψεῖς τῷ κώνῳ καὶ ἀεὶ τοῦτο <lb n="1799,001,,,,12,11,33"></lb> ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ <lb n="1799,001,,,,12,11,34"></lb> ἔσται ἐλάσσονα τοῦ Ψ στερεοῦ.</s> <s>λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,12,11,35"></lb> τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ· λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, <lb n="1799,001,,,,12,11,36"></lb> ἧς βάσις τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ <lb n="1799,001,,,,12,11,37"></lb> τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ.</s> <s>ἐγγεγράφθω καὶ <lb n="1799,001,,,,12,11,38"></lb> εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολυγώνῳ <lb n="1799,001,,,,12,11,39"></lb> ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον πολύγωνον τὸ ΔΤΑΥΒ <lb n="1799,001,,,,12,11,40"></lb> ΦΓΧ, καὶ ἀνεστάτω ἐπ' αὐτοῦ πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ ΑΛ <lb n="1799,001,,,,12,11,41"></lb> κώνῳ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,12,11,42"></lb> ΕΗ, οὕτως τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕ <lb n="1799,001,,,,12,11,43"></lb> ΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,12,11,44"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,12,11,45"></lb> κύκλον, καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,11,46"></lb> κύκλον, οὕτως τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,12,11,47"></lb> ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον.</s> <s>ὡς δὲ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,11,48"></lb> τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸ Ξ στερεόν, <lb n="1799,001,,,,12,11,49"></lb> ὡς δὲ τὸ ΔΤΑΥΒ*φΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕΠΖ <lb n="1799,001,,,,12,11,50"></lb> ΡΗΣ πολύγωνον, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ <lb n="1799,001,,,,12,11,51"></lb> ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,11,52"></lb> τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγω-<lb n="1799,001,,,,12,11,53"></lb> νον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΛ κῶνος <lb n="1799,001,,,,12,11,54"></lb> πρὸς τὸ Ξ στερεόν, οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ <lb n="1799,001,,,,12,11,55"></lb> ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,11,56"></lb> τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύ-<lb n="1799,001,,,,12,11,57"></lb> γωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ <lb n="1799,001,,,,12,11,58"></lb> ΑΛ κῶνος πρὸς τὴν ἐν αὐτῷ πυραμίδα, οὕτως τὸ Ξ στερεὸν <lb n="1799,001,,,,12,11,59"></lb> πρὸς τὴν ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδα.</s> <s>μείζων δὲ ὁ ΑΛ <lb n="1799,001,,,,12,11,60"></lb> κῶνος τῆς ἐν αὐτῷ πυραμίδος· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ξ στε-<lb n="1799,001,,,,12,11,61"></lb> ρεὸν τῆς ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδος.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ἔλασσον· <lb n="1799,001,,,,12,11,62"></lb> ὅπερ ἄτοπον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,12,11,63"></lb> ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,11,64"></lb> ΕΝ κώνου στερεόν.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδέ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,12,11,65"></lb> ὡς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ <lb n="1799,001,,,,12,11,66"></lb> ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν.</s> <lb n="1799,001,,,,12,11,67"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι οὐδέ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,12,11,68"></lb> ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,11,69"></lb> ΕΝ κώνου στερεόν.</s> <lb n="1799,001,,,,12,11,70"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς μεῖζον τὸ Ξ· ἀνάπαλιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,11,71"></lb> ἐστὶν ὡς ὁ ΕΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕ-<lb n="1799,001,,,,12,11,72"></lb> τως τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΛ κῶνον.</s> <s>ἀλλ' ὡς τὸ Ξ στε-<lb n="1799,001,,,,12,11,73"></lb> ρεὸν πρὸς τὸν ΑΛ κῶνον, οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς ἔλασ- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,12,11,74"></lb> σόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν· καὶ ὡς ἄρα ὁ ΕΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,12,11,75"></lb> κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,11,76"></lb> ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου στερεόν· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.</s> <lb n="1799,001,,,,12,11,77"></lb> <s>οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,12,11,78"></lb> κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΝ <lb n="1799,001,,,,12,11,79"></lb> κώνου στερεόν.</s> <s>ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλασσον· ἔστιν <lb n="1799,001,,,,12,11,80"></lb> ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως <lb n="1799,001,,,,12,11,81"></lb> ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΝ κῶνον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,11,82"></lb> <s>Ἀλλ' ὡς ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον, ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,12,11,83"></lb> κύλινδρον· τριπλασίων γὰρ ἑκάτερος ἑκατέρου.</s> <s>καὶ ὡς <lb n="1799,001,,,,12,11,84"></lb> ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως οἱ <lb n="1799,001,,,,12,11,85"></lb> ἐπ' αὐτῶν ἰσοϋψεῖς [τοῖς κώνοισ] κύλινδροι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,11,86"></lb> <s>Οἱ ἄρα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι <lb n="1799,001,,,,12,11,87"></lb> πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,11,88"></lb> <s>Οἱ ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους ἐν τρι-<lb n="1799,001,,,,12,12,1"></lb> πλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων.</s> <lb n="1799,001,,,,12,12,2"></lb> <s>Ἔστωσαν ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν <lb n="1799,001,,,,12,12,3"></lb> οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ <lb n="1799,001,,,,12,12,4"></lb> ΒΔ, ΖΘ, ἄξονες δὲ τῶν κώνων καὶ κυλίνδρων οἱ ΚΛ, <lb n="1799,001,,,,12,12,5"></lb> ΜΝ· λέγω, ὅτι ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν [ἐστιν] ὁ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,12,6"></lb> κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, πρὸς τὸν κῶνον, οὗ <lb n="1799,001,,,,12,12,7"></lb> βάσις μὲν [ἐστιν] ὁ ΕΖΗΘ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖ-<lb n="1799,001,,,,12,12,8"></lb> ον, τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,12,9"></lb> Εἰ γὰρ μὴ ἔχει ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ <lb n="1799,001,,,,12,12,10"></lb> κῶνον τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, ἕξει <lb n="1799,001,,,,12,12,11"></lb> ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος ἢ πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΖΗΘΝ <lb n="1799,001,,,,12,12,12"></lb> κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἢ πρὸς μεῖζον.</s> <s>ἐχέτω <lb n="1799,001,,,,12,12,13"></lb> πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Ξ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν <lb n="1799,001,,,,12,12,14"></lb> ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ· τὸ ἄρα ΕΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,12,12,15"></lb> τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,12,12,16"></lb> <s>καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πυραμὶς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,12,17"></lb> αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ· ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα <lb n="1799,001,,,,12,12,18"></lb> πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ κώνου.</s> <s>τετμή-<lb n="1799,001,,,,12,12,19"></lb> σθωσαν δὴ αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ <lb n="1799,001,,,,12,12,20"></lb> τὰ Ο, Π, Ρ, Σ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΟ, ΟΖ, <lb n="1799,001,,,,12,12,21"></lb> ΖΠ, ΠΗ, ΗΡ, ΡΘ, ΘΣ, ΣΕ.</s> <s>καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν <lb n="1799,001,,,,12,12,22"></lb> ΕΟΖ, ΖΠΗ, ΗΡΘ, ΘΣΕ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,12,23"></lb> ἥμισυ μέρος τοῦ καθ' ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ΕΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,12,12,24"></lb> κύκλου.</s> <s>καὶ ἀνεστάτω ἐφ' ἑκάστου τῶν ΕΟΖ, ΖΠΗ, <lb n="1799,001,,,,12,12,25"></lb> ΗΡΘ, ΘΣΕ τριγώνων πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν <lb n="1799,001,,,,12,12,26"></lb> ἔχουσα τῷ κώνῳ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν <lb n="1799,001,,,,12,12,27"></lb> πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθ' ἑαυ-<lb n="1799,001,,,,12,12,28"></lb> τὴν τμήματος τοῦ κώνου.</s> <s>τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομέ-<lb n="1799,001,,,,12,12,29"></lb> νας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάν-<lb n="1799,001,,,,12,12,30"></lb> τες ἐφ' ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας τὴν αὐτὴν <lb n="1799,001,,,,12,12,31"></lb> κορυφὴν ἐχούσας τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες κατα-<lb n="1799,001,,,,12,12,32"></lb> λείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα <lb n="1799,001,,,,12,12,33"></lb> τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος τοῦ Ξ στε-<lb n="1799,001,,,,12,12,34"></lb> ρεοῦ.</s> <s>λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΕΟ, ΟΖ, ΖΠ, ΠΗ, <lb n="1799,001,,,,12,12,35"></lb> ΗΡ, ΡΘ, ΘΣ, ΣΕ· λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν <lb n="1799,001,,,,12,12,36"></lb> ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν <lb n="1799,001,,,,12,12,37"></lb> σημεῖον, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ.</s> <s>ἐγγεγράφθω καὶ εἰς <lb n="1799,001,,,,12,12,38"></lb> τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολυγώνῳ ὅμοιόν <lb n="1799,001,,,,12,12,39"></lb> τε καὶ ὁμοίως κείμενον πολύγωνον τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ, <lb n="1799,001,,,,12,12,40"></lb> καὶ ἀνεστάτω ἐπὶ τοῦ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολυγώνου πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,12,41"></lb> μὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ, καὶ τῶν μὲν <lb n="1799,001,,,,12,12,42"></lb> περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΤΒΥ <lb n="1799,001,,,,12,12,43"></lb> ΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, ἓν τρίγω-<lb n="1799,001,,,,12,12,44"></lb> νον ἔστω τὸ ΛΒΤ, τῶν δὲ περιεχόντων τὴν πυραμίδα, ἧς <lb n="1799,001,,,,12,12,45"></lb> βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ <lb n="1799,001,,,,12,12,46"></lb> τὸ Ν σημεῖον, ἓν τρίγωνον ἔστω τὸ ΝΖΟ, καὶ ἐπεζεύχθω-<lb n="1799,001,,,,12,12,47"></lb> σαν αἱ ΚΤ, ΜΟ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὅμοιός ἐστιν ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος <lb n="1799,001,,,,12,12,48"></lb> τῷ ΕΖΗΘΝ κώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ, <lb n="1799,001,,,,12,12,49"></lb> οὕτως ὁ ΚΛ ἄξων πρὸς τὸν ΜΝ ἄξονα.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,12,50"></lb> τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΚ <lb n="1799,001,,,,12,12,51"></lb> πρὸς τὴν ΖΜ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΜΝ.</s> <s>καὶ ἐναλλὰξ <lb n="1799,001,,,,12,12,52"></lb> ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΝ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,12,12,53"></lb> περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚΛ, ΖΜΝ αἱ πλευραὶ ἀνάλο-<lb n="1799,001,,,,12,12,54"></lb> γόν εἰσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΛ τρίγωνον τῷ ΖΜΝ <lb n="1799,001,,,,12,12,55"></lb> τριγώνῳ.</s> <s>πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΤ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,12,12,56"></lb> ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΟ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚΤ, <lb n="1799,001,,,,12,12,57"></lb> ΖΜΟ, ἐπειδήπερ, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΚΤ γωνία τῶν <lb n="1799,001,,,,12,12,58"></lb> πρὸς τῷ Κ κέντρῳ τεσσάρων ὀρθῶν, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,12,12,59"></lb> καὶ ἡ ὑπὸ ΖΜΟ γωνία τῶν πρὸς τῷ Μ κέντρῳ τεσσάρων <lb n="1799,001,,,,12,12,60"></lb> ὀρθῶν· ἐπεὶ οὖν περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν <lb n="1799,001,,,,12,12,61"></lb> εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΤ τρίγωνον τῷ ΖΜΟ τρι-<lb n="1799,001,,,,12,12,62"></lb> γώνῳ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,12,12,63"></lb> ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΝ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΚ τῇ ΚΤ, ἡ δὲ ΖΜ <lb n="1799,001,,,,12,12,64"></lb> τῇ ΟΜ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΤΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ ΟΜ <lb n="1799,001,,,,12,12,65"></lb> πρὸς τὴν ΜΝ.</s> <s>καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΤΚΛ, <lb n="1799,001,,,,12,12,66"></lb> ΟΜΝ· ὀρθαὶ γάρ· αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὅμοιον <lb n="1799,001,,,,12,12,67"></lb> ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΚΤ τρίγωνον τῷ ΝΜΟ τριγώνῳ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,12,12,68"></lb> διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΛΚΒ, ΝΜΖ τριγώνων ἐστὶν ὡς <lb n="1799,001,,,,12,12,69"></lb> ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΚ, οὕτως ἡ ΝΖ πρὸς τὴν ΖΜ, διὰ δὲ <lb n="1799,001,,,,12,12,70"></lb> τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΚΤ, ΖΜΟ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,12,12,71"></lb> ΚΒ πρὸς τὴν ΒΤ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ΖΟ, δι' ἴσου <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,12,72"></lb> ἄρα ὡς ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΤ, οὕτως ἡ ΝΖ πρὸς τὴν ΖΟ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,12,73"></lb> <s>πάλιν, ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΛΤΚ, ΝΟΜ τριγώ-<lb n="1799,001,,,,12,12,74"></lb> νων ἐστὶν ὡς ἡ ΛΤ πρὸς τὴν ΤΚ, οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,12,75"></lb> ΟΜ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΤΚΒ, ΟΜΖ τριγώνων <lb n="1799,001,,,,12,12,76"></lb> ἐστὶν ὡς ἡ ΚΤ πρὸς τὴν ΤΒ, οὕτως ἡ ΜΟ πρὸς τὴν ΟΖ, <lb n="1799,001,,,,12,12,77"></lb> δι' ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΛΤ πρὸς τὴν ΤΒ, οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,12,78"></lb> τὴν ΟΖ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΤΒ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,12,12,79"></lb> ΟΖ πρὸς τὴν ΖΝ.</s> <s>δι' ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΤΛ πρὸς τὴν ΛΒ, <lb n="1799,001,,,,12,12,80"></lb> οὕτως ἡ ΟΝ πρὸς τὴν ΝΖ.</s> <s>τῶν ΛΤΒ, ΝΟΖ ἄρα τριγώ-<lb n="1799,001,,,,12,12,81"></lb> νων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί· ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ <lb n="1799,001,,,,12,12,82"></lb> ΛΤΒ, ΝΟΖ τρίγωνα· ὥστε καὶ ὅμοια.</s> <s>καὶ πυραμὶς ἄρα, <lb n="1799,001,,,,12,12,83"></lb> ἧς βάσις μὲν τὸ ΒΚΤ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, <lb n="1799,001,,,,12,12,84"></lb> ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μὲν τὸ ΖΜΟ τρίγωνον, <lb n="1799,001,,,,12,12,85"></lb> κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον· ὑπὸ γὰρ ὁμοίων ἐπιπέδων περι-<lb n="1799,001,,,,12,12,86"></lb> έχονται ἴσων τὸ πλῆθος.</s> <s>αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδες καὶ τριγώ-<lb n="1799,001,,,,12,12,87"></lb> νους ἔχουσαι βάσεις ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμο-<lb n="1799,001,,,,12,12,88"></lb> λόγων πλευρῶν.</s> <s>ἡ ἄρα ΒΚΤΛ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΜΟΝ <lb n="1799,001,,,,12,12,89"></lb> πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΚ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,12,90"></lb> ΖΜ.</s> <s>ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνύντες ἀπὸ τῶν Α, Χ, Δ, Φ, Γ, <lb n="1799,001,,,,12,12,91"></lb> Υ ἐπὶ τὸ Κ εὐθείας καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Σ, Θ, Ρ, Η, Π ἐπὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,12,12,92"></lb> Μ καὶ ἀνιστάντες ἐφ' ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας <lb n="1799,001,,,,12,12,93"></lb> τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἐχούσας τοῖς κώνοις δείξομεν, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,12,12,94"></lb> ἑκάστη τῶν ὁμοταγῶν πυραμίδων πρὸς ἑκάστην ὁμοταγῆ <lb n="1799,001,,,,12,12,95"></lb> πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἕξει ἤπερ ἡ ΒΚ ὁμόλογος <lb n="1799,001,,,,12,12,96"></lb> πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΜ ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ <lb n="1799,001,,,,12,12,97"></lb> ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.</s> <s>καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,12,98"></lb> ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ <lb n="1799,001,,,,12,12,99"></lb> ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΒΚΤΛ πυραμὶς πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,12,100"></lb> ΖΜΟΝ πυραμίδα, οὕτως ἡ ὅλη πυραμίς, ἧς βάσις τὸ <lb n="1799,001,,,,12,12,101"></lb> ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, <lb n="1799,001,,,,12,12,102"></lb> πρὸς τὴν ὅλην πυραμίδα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ <lb n="1799,001,,,,12,12,103"></lb> πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον· ὥστε καὶ πυραμίς, <lb n="1799,001,,,,12,12,104"></lb> ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,12,105"></lb> τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις [μὲν] τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύ-<lb n="1799,001,,,,12,12,106"></lb> γωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τριπλασίονα λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,12,12,107"></lb> ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.</s> <s>ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ κῶνος, οὗ <lb n="1799,001,,,,12,12,108"></lb> βάσις [μὲν] ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, <lb n="1799,001,,,,12,12,109"></lb> πρὸς τὸ Ξ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχων ἤπερ ἡ ΒΔ <lb n="1799,001,,,,12,12,110"></lb> πρὸς τὴν ΖΘ· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν <lb n="1799,001,,,,12,12,111"></lb> ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὸ Ξ στερεόν, <lb n="1799,001,,,,12,12,112"></lb> οὕτως ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ [πολύ-<lb n="1799,001,,,,12,12,113"></lb> γωνον], κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις <lb n="1799,001,,,,12,12,114"></lb> μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν· <lb n="1799,001,,,,12,12,115"></lb> ἐναλλὰξ ἄρα, ὡς ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, <lb n="1799,001,,,,12,12,116"></lb> κορυφὴ δὲ τὸ Λ, πρὸς τὴν ἐν αὐτῷ πυραμίδα, ἧς βάσις <lb n="1799,001,,,,12,12,117"></lb> μὲν τὸ ΑΤΒΥΓΦΔΧ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ, <lb n="1799,001,,,,12,12,118"></lb> οὕτως τὸ Ξ [στερεὸν] πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς βάσις μέν <lb n="1799,001,,,,12,12,119"></lb> ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν.</s> <s>μεί-<lb n="1799,001,,,,12,12,120"></lb> ζων δὲ ὁ εἰρημένος κῶνος τῆς ἐν αὐτῷ πυραμίδος· ἐμ-<lb n="1799,001,,,,12,12,121"></lb> περιέχει γὰρ αὐτήν.</s> <s>μεῖζον ἄρα καὶ τὸ Ξ στερεὸν τῆς πυρα-<lb n="1799,001,,,,12,12,122"></lb> μίδος, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον, <lb n="1799,001,,,,12,12,123"></lb> κορυφὴ δὲ τὸ Ν.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,12,124"></lb> <s>οὐκ ἄρα ὁ κῶνος, οὗ βάσις ὁ ΑΒΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,12,125"></lb> τὸ Λ [σημεῖον], πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ κώνου στερεόν, οὗ <lb n="1799,001,,,,12,12,126"></lb> βάσις μὲν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον, τρι-<lb n="1799,001,,,,12,12,127"></lb> πλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,12,12,128"></lb> δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι <lb n="1799,001,,,,12,12,129"></lb> τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,12,12,130"></lb> ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,12,131"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν τι <lb n="1799,001,,,,12,12,132"></lb> τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,12,12,133"></lb> ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,12,134"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐχέτω πρὸς μεῖζον τὸ Ξ.</s> <s>ἀνάπαλιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,12,135"></lb> τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον τριπλασίονα <lb n="1799,001,,,,12,12,136"></lb> λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ Ξ στερεὸν <lb n="1799,001,,,,12,12,137"></lb> πρὸς τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον, οὕτως ὁ ΕΖΗΘΝ κῶνος πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,12,138"></lb> ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεόν.</s> <s>καὶ ὁ ΕΖΗΘΝ <lb n="1799,001,,,,12,12,139"></lb> ἄρα κῶνος πρὸς ἔλαττόν τι τοῦ ΑΒΓΔΛ κώνου στερεὸν <lb n="1799,001,,,,12,12,140"></lb> τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,12,12,141"></lb> ἀδύνατον ἐδείχθη.</s> <s>οὐκ ἄρα ὁ ΑΒΓΔΛ κῶνος πρὸς μεῖζόν <lb n="1799,001,,,,12,12,142"></lb> τι τοῦ ΕΖΗΘΝ κώνου στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει <lb n="1799,001,,,,12,12,143"></lb> ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.</s> <s>ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἔλατ-<lb n="1799,001,,,,12,12,144"></lb> τον.</s> <s>ὁ ΑΒΓΔΛ ἄρα κῶνος πρὸς τὸν ΕΖΗΘΝ κῶνον <lb n="1799,001,,,,12,12,145"></lb> τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,12,146"></lb> <s>Ὡς δὲ ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον, ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,12,12,147"></lb> κύλινδρον· τριπλάσιος γὰρ ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ὁ ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,12,12,148"></lb> τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ κώνῳ καὶ ἰσοϋψὴς αὐτῷ.</s> <s>καὶ ὁ κύλιν- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,12,12,149"></lb> δρος ἄρα πρὸς τὸν κύλινδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ <lb n="1799,001,,,,12,12,150"></lb> ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,12,151"></lb> <s>Οἱ ἄρα ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους ἐν <lb n="1799,001,,,,12,12,152"></lb> τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων· <lb n="1799,001,,,,12,12,153"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,12,154"></lb> <s>Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ ὄντι τοῖς <lb n="1799,001,,,,12,13,1"></lb> ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔσται ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλιν-<lb n="1799,001,,,,12,13,2"></lb> δρον, οὕτως ὁ ἄξων πρὸς τὸν ἄξονα.</s> <lb n="1799,001,,,,12,13,3"></lb> <s>Κύλινδρος γὰρ ὁ ΑΔ ἐπιπέδῳ τῷ ΗΘ τετμήσθω παραλ-<lb n="1799,001,,,,12,13,4"></lb> λήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις τοῖς ΑΒ, ΓΔ, καὶ <lb n="1799,001,,,,12,13,5"></lb> συμβαλλέτω τῷ ἄξονι τὸ ΗΘ ἐπίπεδον κατὰ τὸ Κ σημεῖον· <lb n="1799,001,,,,12,13,6"></lb> λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΒΗ κύλινδρος πρὸς τὸν ΗΔ <lb n="1799,001,,,,12,13,7"></lb> κύλινδρον, οὕτως ὁ ΕΚ ἄξων πρὸς τὸν ΚΖ ἄξονα. <lb n="1799,001,,,,12,13,8"></lb> Ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΕΖ ἄξων ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,12,13,9"></lb> τὰ Λ, Μ σημεῖα, καὶ ἐκκείσθωσαν τῷ ΕΚ ἄξονι ἴσοι <lb n="1799,001,,,,12,13,10"></lb> ὁσοιδηποτοῦν οἱ ΕΝ, ΝΛ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσοι ὁσοιδηποτοῦν <lb n="1799,001,,,,12,13,11"></lb> οἱ ΖΞ, ΞΜ, καὶ νοείσθω ὁ ἐπὶ τοῦ ΛΜ ἄξονος κύλινδρος <lb n="1799,001,,,,12,13,12"></lb> ὁ ΟΧ, οὗ βάσεις οἱ ΟΠ, ΦΧ κύκλοι.</s> <s>καὶ ἐκβεβλήσθω <lb n="1799,001,,,,12,13,13"></lb> διὰ τῶν Ν, Ξ σημείων ἐπίπεδα παράλληλα τοῖς ΑΒ, ΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,13,14"></lb> καὶ ταῖς βάσεσι τοῦ ΟΧ κυλίνδρου καὶ ποιείτωσαν τοὺς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,13,15"></lb> ΡΣ, ΤΥ κύκλους περὶ τὰ Ν, Ξ κέντρα.</s> <s>καὶ ἐπεὶ οἱ ΛΝ, <lb n="1799,001,,,,12,13,16"></lb> ΝΕ, ΕΚ ἄξονες ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις, οἱ ἄρα ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ <lb n="1799,001,,,,12,13,17"></lb> κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.</s> <s>ἴσαι δέ εἰσιν <lb n="1799,001,,,,12,13,18"></lb> αἱ βάσεις· ἴσοι ἄρα καὶ οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,12,13,19"></lb> λοις.</s> <s>ἐπεὶ οὖν οἱ ΛΝ, ΝΕ, ΕΚ ἄξονες ἴσοι εἰσὶν ἀλλή-<lb n="1799,001,,,,12,13,20"></lb> λοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ κύλινδροι ἴσοι ἀλλήλοις, <lb n="1799,001,,,,12,13,21"></lb> καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῷ πλήθει, ὁσαπλασίων ἄρα ὁ <lb n="1799,001,,,,12,13,22"></lb> ΚΛ ἄξων τοῦ ΕΚ ἄξονος, τοσαυταπλασίων ἔσται καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,12,13,23"></lb> ΠΗ κύλινδρος τοῦ ΗΒ κυλίνδρου.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ <lb n="1799,001,,,,12,13,24"></lb> ὁσαπλασίων ἐστὶν ὁ ΜΚ ἄξων τοῦ ΚΖ ἄξονος, τοσαυτα-<lb n="1799,001,,,,12,13,25"></lb> πλασίων ἐστὶ καὶ ὁ ΧΗ κύλινδρος τοῦ ΗΔ κυλίνδρου.</s> <lb n="1799,001,,,,12,13,26"></lb> <s>καὶ εἰ μὲν ἴσος ἐστὶν ὁ ΚΛ ἄξων τῷ ΚΜ ἄξονι, ἴσος ἔσται <lb n="1799,001,,,,12,13,27"></lb> καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τῷ ΗΧ κυλίνδρῳ, εἰ δὲ μείζων ὁ <lb n="1799,001,,,,12,13,28"></lb> ἄξων τοῦ ἄξονος, μείζων καὶ ὁ κύλινδρος τοῦ κυλίνδρου, <lb n="1799,001,,,,12,13,29"></lb> καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων.</s> <s>τεσσάρων δὴ μεγεθῶν ὄντων, <lb n="1799,001,,,,12,13,30"></lb> ἀξόνων μὲν τῶν ΕΚ, ΚΖ, κυλίνδρων δὲ τῶν ΒΗ, ΗΔ, <lb n="1799,001,,,,12,13,31"></lb> εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια, τοῦ μὲν ΕΚ ἄξονος καὶ τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,13,32"></lb> ΒΗ κυλίνδρου ὅ τε ΛΚ ἄξων καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος, τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,13,33"></lb> δὲ ΚΖ ἄξονος καὶ τοῦ ΗΔ κυλίνδρου ὅ τε ΚΜ ἄξων καὶ <lb n="1799,001,,,,12,13,34"></lb> ὁ ΗΧ κύλινδρος, καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ὁ ΚΛ <lb n="1799,001,,,,12,13,35"></lb> ἄξων τοῦ ΚΜ ἄξονος, ὑπερέχει καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,13,36"></lb> ΗΧ κυλίνδρου, καὶ εἰ ἴσος, ἴσος, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσ-<lb n="1799,001,,,,12,13,37"></lb> σων.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΚ ἄξων πρὸς τὸν ΚΖ ἄξονα, οὕτως <lb n="1799,001,,,,12,13,38"></lb> ὁ ΒΗ κύλινδρος πρὸς τὸν ΗΔ κύλινδρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,13,39"></lb> Οἱ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,14,1"></lb> ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη.</s> <lb n="1799,001,,,,12,14,2"></lb> <s>Ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ ἴσων βάσεων τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων <lb n="1799,001,,,,12,14,3"></lb> κύλινδροι οἱ ΕΒ, ΖΔ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΕΒ κύλιν-<lb n="1799,001,,,,12,14,4"></lb> δρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,12,14,5"></lb> ΚΛ ἄξονα.</s> <lb n="1799,001,,,,12,14,6"></lb> <s>Ἐκβεβλήσθω γὰρ ὁ ΚΛ ἄξων ἐπὶ τὸ Ν σημεῖον, καὶ <lb n="1799,001,,,,12,14,7"></lb> κείσθω τῷ ΗΘ ἄξονι ἴσος ὁ ΛΝ, καὶ περὶ ἄξονα τὸν ΛΝ <lb n="1799,001,,,,12,14,8"></lb> κύλινδρος νενοήσθω ὁ ΓΜ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν οἱ ΕΒ, ΓΜ κύλινδροι <lb n="1799,001,,,,12,14,9"></lb> ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν, πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.</s> <lb n="1799,001,,,,12,14,10"></lb> <s>ἴσαι δέ εἰσιν αἱ βάσεις ἀλλήλαις· ἴσοι ἄρα εἰσὶ καὶ οἱ ΕΒ, <lb n="1799,001,,,,12,14,11"></lb> ΓΜ κύλινδροι.</s> <s>καὶ ἐπεὶ κύλινδρος <lb n="1799,001,,,,12,14,12"></lb> ὁ ΖΜ ἐπιπέδῳ τέτμηται τῷ ΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,14,13"></lb> παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον <lb n="1799,001,,,,12,14,14"></lb> ἐπιπέδοις, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΜ <lb n="1799,001,,,,12,14,15"></lb> κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, <lb n="1799,001,,,,12,14,16"></lb> οὕτως ὁ ΛΝ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ <lb n="1799,001,,,,12,14,17"></lb> ἄξονα.</s> <s>ἴσος δέ ἐστιν ὁ μὲν ΓΜ <lb n="1799,001,,,,12,14,18"></lb> κύλινδρος τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ, ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ <lb n="1799,001,,,,12,14,19"></lb> ἄξονι· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ <lb n="1799,001,,,,12,14,20"></lb> κύλινδρον, οὕτως ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα.</s> <s>ὡς δὲ <lb n="1799,001,,,,12,14,21"></lb> ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΑΒΗ <lb n="1799,001,,,,12,14,22"></lb> κῶνος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον.</s> <s>καὶ ὡς ἄρα ὁ ΗΘ ἄξων <lb n="1799,001,,,,12,14,23"></lb> πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα, οὕτως ὁ ΑΒΗ κῶνος πρὸς τὸν ΓΔΚ <lb n="1799,001,,,,12,14,24"></lb> κῶνον καὶ ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,12,14,25"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,14,26"></lb> Τῶν ἴσων κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ <lb n="1799,001,,,,12,15,1"></lb> βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ ὧν κώνων καὶ κυλίνδρων ἀντι-<lb n="1799,001,,,,12,15,2"></lb> πεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσοι εἰσὶν ἐκεῖνοι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,15,3"></lb> <s>Ἔστωσαν ἴσοι κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν οἱ <lb n="1799,001,,,,12,15,4"></lb> ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΑΓ, ΕΗ, <lb n="1799,001,,,,12,15,5"></lb> ἄξονες δὲ οἱ ΚΛ, ΜΝ, οἵτινες καὶ ὕψη εἰσὶ τῶν κώνων ἢ <lb n="1799,001,,,,12,15,6"></lb> κυλίνδρων, καὶ συμπεπληρώσθωσαν οἱ ΑΞ, ΕΟ κύλιν-<lb n="1799,001,,,,12,15,7"></lb> δροι.</s> <s>λέγω, ὅτι τῶν ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν <lb n="1799,001,,,,12,15,8"></lb> αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,15,9"></lb> τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος.</s> <lb n="1799,001,,,,12,15,10"></lb> <s>Τὸ γὰρ ΛΚ ὕψος τῷ ΜΝ ὕψει ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ οὔ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,15,11"></lb> <s>ἔστω πρότερον ἴσον.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ <lb n="1799,001,,,,12,15,12"></lb> κυλίνδρῳ ἴσος.</s> <s>οἱ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ <lb n="1799,001,,,,12,15,13"></lb> κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις· ἴση ἄρα καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,12,15,14"></lb> ΑΒΓΔ βάσις τῇ ΕΖΗΘ βάσει.</s> <s>ὥστε καὶ ἀντιπέπονθεν, <lb n="1799,001,,,,12,15,15"></lb> ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ <lb n="1799,001,,,,12,15,16"></lb> ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος.</s> <s>ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω τὸ ΛΚ ὕψος <lb n="1799,001,,,,12,15,17"></lb> τῷ ΜΝ ἴσον, ἀλλ' ἔστω μεῖζον τὸ ΜΝ, καὶ ἀφῃρήσθω <lb n="1799,001,,,,12,15,18"></lb> ἀπὸ τοῦ ΜΝ ὕψους τῷ ΚΛ ἴσον τὸ ΠΝ, καὶ διὰ τοῦ Π <lb n="1799,001,,,,12,15,19"></lb> σημείου τετμήσθω ὁ ΕΟ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τῷ ΤΥΣ <lb n="1799,001,,,,12,15,20"></lb> παραλλήλῳ τοῖς τῶν ΕΖΗΘ, ΡΟ κύκλων ἐπιπέδοις, καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,15,21"></lb> ἀπὸ βάσεως μὲν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ὕψους δὲ τοῦ ΝΠ <lb n="1799,001,,,,12,15,22"></lb> κύλινδρος νενοήσθω ὁ ΕΣ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΞ <lb n="1799,001,,,,12,15,23"></lb> κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΞ κύλινδρος <lb n="1799,001,,,,12,15,24"></lb> πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς τὸν <lb n="1799,001,,,,12,15,25"></lb> ΕΣ κύλινδρον.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ <lb n="1799,001,,,,12,15,26"></lb> κύλινδρον, οὕτως ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ· ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,12,15,27"></lb> γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσὶν οἱ ΑΞ, ΕΣ κύλινδροι· ὡς δὲ ὁ ΕΟ <lb n="1799,001,,,,12,15,28"></lb> κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ <lb n="1799,001,,,,12,15,29"></lb> ὕψος· ὁ γὰρ ΕΟ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τέτμηται παραλλήλῳ <lb n="1799,001,,,,12,15,30"></lb> ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις.</s> <s>ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,15,31"></lb> βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,15,32"></lb> τὸ ΠΝ ὕψος.</s> <s>ἴσον δὲ τὸ ΠΝ ὕψος τῷ ΚΛ ὕψει· ἔστιν ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,15,33"></lb> ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,12,15,34"></lb> ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος.</s> <s>τῶν ἄρα ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων <lb n="1799,001,,,,12,15,35"></lb> ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.</s> <lb n="1799,001,,,,12,15,36"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ τῶν ΑΞ, ΕΟ κυλίνδρων ἀντιπεπονθέτωσαν <lb n="1799,001,,,,12,15,37"></lb> αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,15,38"></lb> τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος· <lb n="1799,001,,,,12,15,39"></lb> λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,15,40"></lb> Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,12,15,41"></lb> ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΜΝ <lb n="1799,001,,,,12,15,42"></lb> ὕψος πρὸς τὸ ΚΛ ὕψος, ἴσον δὲ τὸ ΚΛ ὕψος τῷ ΠΝ ὕψει, <lb n="1799,001,,,,12,15,43"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, <lb n="1799,001,,,,12,15,44"></lb> οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος.</s> <s>ἀλλ' ὡς μὲν ἡ <lb n="1799,001,,,,12,15,45"></lb> ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ βάσιν, οὕτως ὁ ΑΞ κύλιν-<lb n="1799,001,,,,12,15,46"></lb> δρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον· ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν· <lb n="1799,001,,,,12,15,47"></lb> ὡς δὲ τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ [ὕψοσ], οὕτως ὁ ΕΟ κύλιν-<lb n="1799,001,,,,12,15,48"></lb> δρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΞ κύλιν-<lb n="1799,001,,,,12,15,49"></lb> δρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,15,50"></lb> τὸν ΕΣ.</s> <s>ἴσος ἄρα ὁ ΑΞ κύλινδρος τῷ ΕΟ κυλίνδρῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,15,51"></lb> <s>ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν κώνων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,15,52"></lb> <s>Δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων εἰς τὸν <lb n="1799,001,,,,12,16,1"></lb> μείζονα κύκλον πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιό-<lb n="1799,001,,,,12,16,2"></lb> πλευρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,12,16,3"></lb> <s>Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο κύκ- <lb n="1799,001,,,,12,16,4"></lb> λοι οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ περὶ τὸ αὐτὸ <lb n="1799,001,,,,12,16,5"></lb> κέντρον τὸ Κ· δεῖ δὴ εἰς τὸν μεί-<lb n="1799,001,,,,12,16,6"></lb> ζονα κύκλον τὸν ΑΒΓΔ πολύγω-<lb n="1799,001,,,,12,16,7"></lb> νον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον <lb n="1799,001,,,,12,16,8"></lb> ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τοῦ ΕΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,12,16,9"></lb> κύκλου.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,16,10"></lb> Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Κ κέντρου εὐθεῖα ἡ ΒΚΔ, καὶ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,12,16,11"></lb> τοῦ Η σημείου τῇ ΒΔ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΗΑ καὶ <lb n="1799,001,,,,12,16,12"></lb> διήχθω ἐπὶ τὸ Γ· ἡ ΑΓ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκ-<lb n="1799,001,,,,12,16,13"></lb> λου.</s> <s>τέμνοντες δὴ τὴν ΒΑΔ περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμί-<lb n="1799,001,,,,12,16,14"></lb> σειαν αὐτῆς δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομεν <lb n="1799,001,,,,12,16,15"></lb> περιφέρειαν ἐλάσσονα τῆς ΑΔ.</s> <s>λελείφθω, καὶ ἔστω ἡ <lb n="1799,001,,,,12,16,16"></lb> ΛΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ καὶ <lb n="1799,001,,,,12,16,17"></lb> διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΔ, ΔΝ· ἴση ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,16,18"></lb> ἐστὶν ἡ ΛΔ τῇ ΔΝ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΛΝ τῇ <lb n="1799,001,,,,12,16,19"></lb> ΑΓ, ἡ δὲ ΑΓ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἡ ΛΝ ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,16,20"></lb> οὐκ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου· πολλῷ ἄρα αἱ ΛΔ, <lb n="1799,001,,,,12,16,21"></lb> ΔΝ οὐκ ἐφάπτονται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου.</s> <s>ἐὰν δὴ τῇ ΛΔ <lb n="1799,001,,,,12,16,22"></lb> εὐθείᾳ ἴσας κατὰ τὸ συνεχὲς ἐναρμόσωμεν εἰς τὸν ΑΒΓΔ <lb n="1799,001,,,,12,16,23"></lb> κύκλον, ἐγγραφήσεται εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πολύγωνον <lb n="1799,001,,,,12,16,24"></lb> ἰσόπλευρόν τε καὶ ἀρτιόπλευρον μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος <lb n="1799,001,,,,12,16,25"></lb> κύκλου τοῦ ΕΖΗΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,16,26"></lb> <s>Δύο σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰς τὴν μείζονα <lb n="1799,001,,,,12,17,1"></lb> σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσ-<lb n="1799,001,,,,12,17,2"></lb> σονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,17,3"></lb> Νενοήσθωσαν δύο σφαῖραι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον <lb n="1799,001,,,,12,17,4"></lb> τὸ Α· δεῖ δὴ εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον <lb n="1799,001,,,,12,17,5"></lb> ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν <lb n="1799,001,,,,12,17,6"></lb> ἐπιφάνειαν.</s> <lb n="1799,001,,,,12,17,7"></lb> <s>Τετμήσθωσαν αἱ σφαῖραι ἐπιπέδῳ τινὶ διὰ τοῦ κέντρου· <lb n="1799,001,,,,12,17,8"></lb> ἔσονται δὴ αἱ τομαὶ κύκλοι, ἐπειδήπερ μενούσης τῆς δια-<lb n="1799,001,,,,12,17,9"></lb> μέτρου καὶ περιφερομένου τοῦ ἡμικυκλίου ἐγίγνετο ἡ σφαῖ-<lb n="1799,001,,,,12,17,10"></lb> ρα· ὥστε καὶ καθ' οἵας ἂν θέσεως ἐπινοήσωμεν τὸ ἡμικύ-<lb n="1799,001,,,,12,17,11"></lb> κλιον, τὸ δι' αὐτοῦ ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον ποιήσει ἐπὶ τῆς <lb n="1799,001,,,,12,17,12"></lb> ἐπιφανείας τῆς σφαίρας κύκλον.</s> <s>καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγι-<lb n="1799,001,,,,12,17,13"></lb> στον, ἐπειδήπερ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας, ἥτις ἐστὶ καὶ τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,17,14"></lb> ἡμικυκλίου διάμετρος δηλαδὴ καὶ τοῦ κύκλου, μείζων <lb n="1799,001,,,,12,17,15"></lb> ἐστὶ πασῶν τῶν εἰς τὸν κύκλον ἢ τὴν σφαῖραν διαγομέ-<lb n="1799,001,,,,12,17,16"></lb> νων [εὐθειῶν].</s> <s>ἔστω οὖν ἐν μὲν τῇ μείζονι σφαίρᾳ κύκλος <lb n="1799,001,,,,12,17,17"></lb> ὁ ΒΓΔΕ, ἐν δὲ τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΖΗΘ, καὶ <lb n="1799,001,,,,12,17,18"></lb> ἤχθωσαν αὐτῶν δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ <lb n="1799,001,,,,12,17,19"></lb> ΒΔ, ΓΕ, καὶ δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τῶν <lb n="1799,001,,,,12,17,20"></lb> ΒΓΔΕ, ΖΗΘ εἰς τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΒΓΔΕ πολύ-<lb n="1799,001,,,,12,17,21"></lb> γωνον ἰσόπλευρον καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγεγράφθω μὴ ψαῦον <lb n="1799,001,,,,12,17,22"></lb> τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τοῦ ΖΗΘ, οὗ πλευραὶ ἔστωσαν ἐν <lb n="1799,001,,,,12,17,23"></lb> τῷ ΒΕ τεταρτημορίῳ αἱ ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ, καὶ ἐπι-<lb n="1799,001,,,,12,17,24"></lb> ζευχθεῖσα ἡ ΚΑ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,17,25"></lb> Α σημείου τῷ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ <lb n="1799,001,,,,12,17,26"></lb> ΑΞ καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὸ <lb n="1799,001,,,,12,17,27"></lb> Ξ, καὶ διὰ τῆς ΑΞ καὶ ἑκατέρας τῶν ΒΔ, ΚΝ ἐπίπεδα <lb n="1799,001,,,,12,17,28"></lb> ἐκβεβλήσθω· ποιήσουσι δὴ διὰ τὰ εἰρημένα ἐπὶ τῆς ἐπι-<lb n="1799,001,,,,12,17,29"></lb> φανείας τῆς σφαίρας μεγίστους κύκλους.</s> <s>ποιείτωσαν, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,17,30"></lb> ὧν ἡμικύκλια ἔστω ἐπὶ τῶν ΒΔ, ΚΝ διαμέτρων τὰ ΒΞΔ, <lb n="1799,001,,,,12,17,31"></lb> ΚΞΝ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΞΑ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ <lb n="1799,001,,,,12,17,32"></lb> κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΞΑ ἐπίπεδά <lb n="1799,001,,,,12,17,33"></lb> ἐστιν ὀρθὰ πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον· ὥστε <lb n="1799,001,,,,12,17,34"></lb> καὶ τὰ ΒΞΔ, ΚΞΝ ἡμικύκλια ὀρθά ἐστι πρὸς τὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,12,17,35"></lb> ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΒΕΔ, <lb n="1799,001,,,,12,17,36"></lb> ΒΞΔ, ΚΞΝ ἡμικύκλια· ἐπὶ γὰρ ἴσων εἰσὶ διαμέτρων <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,17,37"></lb> τῶν ΒΔ, ΚΝ· ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΒΕ, ΒΞ, ΚΞ τεταρτη-<lb n="1799,001,,,,12,17,38"></lb> μόρια ἀλλήλοις.</s> <s>ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΕ τεταρτημορίῳ <lb n="1799,001,,,,12,17,39"></lb> πλευραὶ τοῦ πολυγώνου, τοσαῦταί εἰσι καὶ ἐν τοῖς ΒΞ, <lb n="1799,001,,,,12,17,40"></lb> ΚΞ τεταρτημορίοις ἴσαι ταῖς ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ εὐθεί-<lb n="1799,001,,,,12,17,41"></lb> αις.</s> <s>ἐγγεγράφθωσαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΒΟ, ΟΠ, ΠΡ, ΡΞ, <lb n="1799,001,,,,12,17,42"></lb> ΚΣ, ΣΤ, ΤΥ, ΥΞ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΣΟ, ΤΠ, ΥΡ, <lb n="1799,001,,,,12,17,43"></lb> καὶ ἀπὸ τῶν Ο, Σ ἐπὶ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον <lb n="1799,001,,,,12,17,44"></lb> κάθετοι ἤχθωσαν· πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰς κοινὰς τομὰς τῶν <lb n="1799,001,,,,12,17,45"></lb> ἐπιπέδων τὰς ΒΔ, ΚΝ, ἐπειδήπερ καὶ τὰ τῶν ΒΞΔ, ΚΞΝ <lb n="1799,001,,,,12,17,46"></lb> ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,17,47"></lb> <s>πιπτέτωσαν, καὶ ἔστωσαν αἱ ΟΦ, ΣΧ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ <lb n="1799,001,,,,12,17,48"></lb> ΧΦ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις ἡμικυκλίοις τοῖς ΒΞΔ, ΚΞΝ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,12,17,49"></lb> ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΒΟ, ΚΣ, καὶ κάθετοι ἠγμέναι <lb n="1799,001,,,,12,17,50"></lb> εἰσὶν αἱ ΟΦ, ΣΧ, ἴση [ἄρα] ἐστὶν ἡ μὲν ΟΦ τῇ ΣΧ, ἡ δὲ <lb n="1799,001,,,,12,17,51"></lb> ΒΦ τῇ ΚΧ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΑ ὅλῃ τῇ ΚΑ ἴση· καὶ <lb n="1799,001,,,,12,17,52"></lb> λοιπὴ ἄρα ἡ ΦΑ λοιπῇ τῇ ΧΑ ἐστιν ἴση· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,12,17,53"></lb> ΒΦ πρὸς τὴν ΦΑ, οὕτως ἡ ΚΧ πρὸς τὴν ΧΑ· παράλλη-<lb n="1799,001,,,,12,17,54"></lb> λος ἄρα ἐστὶν ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΟΦ, <lb n="1799,001,,,,12,17,55"></lb> ΣΧ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον, <lb n="1799,001,,,,12,17,56"></lb> παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΦ τῇ ΣΧ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ αὐτῇ καὶ <lb n="1799,001,,,,12,17,57"></lb> ἴση· καὶ αἱ ΧΦ, ΣΟ ἄρα ἴσαι εἰσὶ καὶ παράλληλοι.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,12,17,58"></lb> ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ, ἀλλὰ ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ <lb n="1799,001,,,,12,17,59"></lb> ἐστι παράλληλος, καὶ ἡ ΣΟ ἄρα τῇ ΚΒ ἐστι παράλληλος.</s> <lb n="1799,001,,,,12,17,60"></lb> <s>καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΒΟ, ΚΣ· τὸ ΚΒΟΣ ἄρα <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,17,61"></lb> τετράπλευρον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ, ἐπειδήπερ, ἐὰν ὦσι <lb n="1799,001,,,,12,17,62"></lb> δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, καὶ ἐφ' ἑκατέρας αὐτῶν ληφθῇ <lb n="1799,001,,,,12,17,63"></lb> τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν <lb n="1799,001,,,,12,17,64"></lb> τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ <lb n="1799,001,,,,12,17,65"></lb> καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΟΠΤ, ΤΠΡΥ τετραπλεύρων ἐν ἑνί <lb n="1799,001,,,,12,17,66"></lb> ἐστιν ἐπιπέδῳ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον ἐν ἑνὶ ἐπι-<lb n="1799,001,,,,12,17,67"></lb> πέδῳ.</s> <s>ἐὰν δὴ νοήσωμεν ἀπὸ τῶν Ο, Σ, Π, Τ, Ρ, Υ σημεί-<lb n="1799,001,,,,12,17,68"></lb> ων ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένας εὐθείας, συσταθήσεταί τι <lb n="1799,001,,,,12,17,69"></lb> σχῆμα στερεὸν πολύεδρον μεταξὺ τῶν ΒΞ, ΚΞ περι-<lb n="1799,001,,,,12,17,70"></lb> φερειῶν ἐκ πυραμίδων συγκείμενον, ὧν βάσεις μὲν τὰ <lb n="1799,001,,,,12,17,71"></lb> ΚΒΟΣ, ΣΟΠΤ, ΤΠΡΥ τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΞ <lb n="1799,001,,,,12,17,72"></lb> τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον.</s> <s>ἐὰν δὲ καὶ ἐπὶ ἑκάστης <lb n="1799,001,,,,12,17,73"></lb> τῶν ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ πλευρῶν καθάπερ ἐπὶ τῆς ΒΚ τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,12,17,74"></lb> κατασκευάσωμεν καὶ ἔτι ἐπὶ τῶν λοιπῶν τριῶν τεταρτη-<lb n="1799,001,,,,12,17,75"></lb> μορίων, συσταθήσεταί τι σχῆμα πολύεδρον ἐγγεγραμ-<lb n="1799,001,,,,12,17,76"></lb> μένον εἰς τὴν σφαῖραν πυραμίσι περιεχόμενον, ὧν βάσεις <lb n="1799,001,,,,12,17,77"></lb> [μὲν] τὰ εἰρημένα τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον καὶ <lb n="1799,001,,,,12,17,78"></lb> τὰ ὁμοταγῆ αὐτοῖς, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,17,79"></lb> <s>Λέγω, ὅτι τὸ εἰρημένον πολύεδρον οὐκ ἐφάψεται τῆς <lb n="1799,001,,,,12,17,80"></lb> ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, ἐφ' ἧς ἐστιν ὁ <lb n="1799,001,,,,12,17,81"></lb> ΖΗΘ κύκλος.</s> <lb n="1799,001,,,,12,17,82"></lb> <s>Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετρα-<lb n="1799,001,,,,12,17,83"></lb> πλεύρου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΑΨ καὶ συμβαλλέτω τῷ <lb n="1799,001,,,,12,17,84"></lb> ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ψ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΨΒ, <lb n="1799,001,,,,12,17,85"></lb> ΨΚ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΨ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΚΒΟΣ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,17,86"></lb> τετραπλεύρου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτο-<lb n="1799,001,,,,12,17,87"></lb> μένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ τετραπλεύρου <lb n="1799,001,,,,12,17,88"></lb> ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν.</s> <s>ἡ ΑΨ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν <lb n="1799,001,,,,12,17,89"></lb> τῶν ΒΨ, ΨΚ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΚ, ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,12,17,90"></lb> καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ.</s> <s>καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,12,17,91"></lb> τῆς ΑΒ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΒ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,17,92"></lb> τῷ Ψ· τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΚ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΚ.</s> <s>τὰ <lb n="1799,001,,,,12,17,93"></lb> ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΚ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,17,94"></lb> <s>κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΨ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,12,17,95"></lb> ΒΨ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΨΚ ἴσον ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΒΨ <lb n="1799,001,,,,12,17,96"></lb> τῇ ΨΚ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Ψ ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,12,17,97"></lb> τὰ Ο, Σ ἐπιζευγνύμεναι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρᾳ τῶν <lb n="1799,001,,,,12,17,98"></lb> ΒΨ, ΨΚ.</s> <s>ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ψ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,12,17,99"></lb> ΨΒ, ΨΚ γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν Ο, Σ, καὶ <lb n="1799,001,,,,12,17,100"></lb> ἔσται ἐν κύκλῳ τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον.</s> <lb n="1799,001,,,,12,17,101"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆς ΧΦ, ἴση δὲ ἡ ΧΦ τῇ <lb n="1799,001,,,,12,17,102"></lb> ΣΟ, μείζων ἄρα ἡ ΚΒ τῆς ΣΟ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΚΒ ἑκατέρᾳ <lb n="1799,001,,,,12,17,103"></lb> τῶν ΚΣ, ΒΟ· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΚΣ, ΒΟ τῆς ΣΟ <lb n="1799,001,,,,12,17,104"></lb> μείζων ἐστίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,12,17,105"></lb> τὸ ΚΒΟΣ, καὶ ἴσαι αἱ ΚΒ, ΒΟ, ΚΣ, καὶ ἐλάττων ἡ <lb n="1799,001,,,,12,17,106"></lb> ΟΣ, καὶ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐστὶν ἡ ΒΨ, τὸ <lb n="1799,001,,,,12,17,107"></lb> ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ <lb n="1799,001,,,,12,17,108"></lb> διπλάσιον.</s> <s>ἤχθω ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὴν ΒΦ κάθετος ἡ ΚΩ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,17,109"></lb> καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΔ τῆς ΔΩ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλῆ, καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,12,17,110"></lb> ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΩ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΩ πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,17,111"></lb> τὸ ὑπὸ [τῶν] ΔΩ, ΩΒ, ἀναγραφομένου ἀπὸ τῆς ΒΩ <lb n="1799,001,,,,12,17,112"></lb> τετραγώνου καὶ συμπληρουμένου τοῦ ἐπὶ τῆς ΩΔ παραλ-<lb n="1799,001,,,,12,17,113"></lb> ληλογράμμου καὶ τὸ ὑπὸ ΔΒ, ΒΩ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΔΩ, ΩΒ <lb n="1799,001,,,,12,17,114"></lb> ἔλαττόν ἐστιν ἢ διπλάσιον.</s> <s>καί ἐστι τῆς ΚΔ ἐπιζευγνυμέ-<lb n="1799,001,,,,12,17,115"></lb> νης τὸ μὲν ὑπὸ ΔΒ, ΒΩ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ, τὸ δὲ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,12,17,116"></lb> τῶν ΔΩ, ΩΒ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΚΩ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ <lb n="1799,001,,,,12,17,117"></lb> τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΩ ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,12,17,118"></lb> τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον· μεῖ-<lb n="1799,001,,,,12,17,119"></lb> ζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΩ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση <lb n="1799,001,,,,12,17,120"></lb> ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ ΚΑ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τῷ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,12,17,121"></lb> ΑΚ.</s> <s>καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΨ, <lb n="1799,001,,,,12,17,122"></lb> ΨΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΚΩ, ΩΑ· τὰ <lb n="1799,001,,,,12,17,123"></lb> ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΑ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΩ, ΩΑ, <lb n="1799,001,,,,12,17,124"></lb> ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΚΩ μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ· λοιπὸν ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,17,125"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΩΑ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΨΑ.</s> <s>μείζων <lb n="1799,001,,,,12,17,126"></lb> ἄρα ἡ ΑΨ τῆς ΑΩ· πολλῷ ἄρα ἡ ΑΨ μείζων ἐστὶ τῆς <lb n="1799,001,,,,12,17,127"></lb> ΑΗ.</s> <s>καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΨ ἐπὶ μίαν τοῦ πολυέδρου βάσιν, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,17,128"></lb> ἡ δὲ ΑΗ ἐπὶ τὴν τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἐπιφάνειαν· ὥστε <lb n="1799,001,,,,12,17,129"></lb> τὸ πολύεδρον οὐ ψαύσει τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν <lb n="1799,001,,,,12,17,130"></lb> ἐπιφάνειαν.</s> <lb n="1799,001,,,,12,17,131"></lb> <s>Δύο ἄρα σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,17,132"></lb> μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγέγραπται μὴ ψαῦον <lb n="1799,001,,,,12,17,133"></lb> τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,12,17,134"></lb> ποιῆσαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,17,135"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,12,17,136"></lb> Ἐὰν δὲ καὶ εἰς ἑτέραν σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΒΓΔΕ σφαίρᾳ <lb n="1799,001,,,,12,17,137"></lb> στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον ἐγγραφῇ, τὸ <lb n="1799,001,,,,12,17,138"></lb> ἐν τῇ ΒΓΔΕ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ <lb n="1799,001,,,,12,17,139"></lb> ἑτέρᾳ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει, <lb n="1799,001,,,,12,17,140"></lb> ἤπερ ἡ τῆς ΒΓΔΕ σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας <lb n="1799,001,,,,12,17,141"></lb> σφαίρας διάμετρον.</s> <s>διαιρεθέντων γὰρ τῶν στερεῶν εἰς <lb n="1799,001,,,,12,17,142"></lb> τὰς ὁμοιοπληθεῖς καὶ ὁμοιοταγεῖς πυραμίδας ἔσονται αἱ <lb n="1799,001,,,,12,17,143"></lb> πυραμίδες ὅμοιαι.</s> <s>αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας <lb n="1799,001,,,,12,17,144"></lb> ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· ἡ ἄρα <lb n="1799,001,,,,12,17,145"></lb> πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον, <lb n="1799,001,,,,12,17,146"></lb> κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, πρὸς τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ <lb n="1799,001,,,,12,17,147"></lb> ὁμοιοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ὁμό-<lb n="1799,001,,,,12,17,148"></lb> λογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν <lb n="1799,001,,,,12,17,149"></lb> ἤπερ ἡ ΑΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περὶ κέντρον <lb n="1799,001,,,,12,17,150"></lb> τὸ Α πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,12,17,151"></lb> καὶ ἑκάστη πυραμὶς τῶν ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ Α σφαίρᾳ <lb n="1799,001,,,,12,17,152"></lb> πρὸς ἑκάστην ὁμοταγῆ πυραμίδα τῶν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ <lb n="1799,001,,,,12,17,153"></lb> τριπλασίονα λόγον ἕξει, ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέν- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,12,17,154"></lb> τρου τῆς ἑτέρας σφαίρας.</s> <s>καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,17,155"></lb> ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,17,156"></lb> ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ὥστε ὅλον τὸ ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ Α <lb n="1799,001,,,,12,17,157"></lb> σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς ὅλον τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ <lb n="1799,001,,,,12,17,158"></lb> [σφαίρᾳ] στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἕξει, ἤπερ <lb n="1799,001,,,,12,17,159"></lb> ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας, τουτ-<lb n="1799,001,,,,12,17,160"></lb> έστιν ἤπερ ἡ ΒΔ διάμετρος πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας σφαίρας <lb n="1799,001,,,,12,17,161"></lb> διάμετρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,12,17,162"></lb> <s>Αἱ σφαῖραι πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν <lb n="1799,001,,,,12,18,1"></lb> ἰδίων διαμέτρων.</s> <lb n="1799,001,,,,12,18,2"></lb> <s>Νενοήσθωσαν σφαῖραι αἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, διάμετροι δὲ <lb n="1799,001,,,,12,18,3"></lb> αὐτῶν αἱ ΒΓ, ΕΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,18,4"></lb> ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,18,5"></lb> τὴν ΕΖ. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,18,6"></lb> Εἰ γὰρ μὴ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τρι-<lb n="1799,001,,,,12,18,7"></lb> πλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, ἕξει ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,12,18,8"></lb> ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τρι-<lb n="1799,001,,,,12,18,9"></lb> πλασίονα λόγον ἢ πρὸς μείζονα ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,18,10"></lb> <s>ἐχέτω πρότερον πρὸς ἐλάσσονα τὴν ΗΘΚ, καὶ νενοήσθω <lb n="1799,001,,,,12,18,11"></lb> ἡ ΔΕΖ τῇ ΗΘΚ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, καὶ ἐγγεγράφθω <lb n="1799,001,,,,12,18,12"></lb> εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν τὴν ΔΕΖ στερεὸν πολύεδρον μὴ <lb n="1799,001,,,,12,18,13"></lb> ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας τῆς ΗΘΚ κατὰ τὴν ἐπι-<lb n="1799,001,,,,12,18,14"></lb> φάνειαν, ἐγγεγράφθω δὲ καὶ εἰς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τῷ ἐν <lb n="1799,001,,,,12,18,15"></lb> τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύ-<lb n="1799,001,,,,12,18,16"></lb> εδρον· τὸ ἄρα ἐν τῇ ΑΒΓ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν <lb n="1799,001,,,,12,18,17"></lb> τῇ ΔΕΖ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ <lb n="1799,001,,,,12,18,18"></lb> ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.</s> <s>ἔχει δὲ καὶ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,18,19"></lb> ΗΘΚ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,18,20"></lb> ΕΖ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΗΘΚ σφαῖ-<lb n="1799,001,,,,12,18,21"></lb> ραν, οὕτως τὸ ἐν τῇ ΑΒΓ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,18,22"></lb> τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον· ἐναλλὰξ [ἄρα] <lb n="1799,001,,,,12,18,23"></lb> ὡς ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὸ ἐν αὐτῇ πολύεδρον, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,12,18,24"></lb> ΗΘΚ σφαῖρα πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύ-<lb n="1799,001,,,,12,18,25"></lb> εδρον.</s> <s>μείζων δὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα τοῦ ἐν αὐτῇ πολυέδρου· <lb n="1799,001,,,,12,18,26"></lb> μείζων ἄρα καὶ ἡ ΗΘΚ σφαῖρα τοῦ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ <lb n="1799,001,,,,12,18,27"></lb> πολυέδρου.</s> <s>ἀλλὰ καὶ ἐλάττων· ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ' <lb n="1799,001,,,,12,18,28"></lb> αὐτοῦ.</s> <s>οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΔΕΖ <lb n="1799,001,,,,12,18,29"></lb> σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ διάμετρος πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,18,30"></lb> τὴν ΕΖ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,18,31"></lb> ἐλάσσονα τῆς ΑΒΓ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ <lb n="1799,001,,,,12,18,32"></lb> ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,18,33"></lb> Λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς μείζονά τινα τῆς <lb n="1799,001,,,,12,18,34"></lb> ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,18,35"></lb> τὴν ΕΖ.</s> <lb n="1799,001,,,,12,18,36"></lb> <s>Εἰ γὰρ δυνατόν, ἐχέτω πρὸς μείζονα τὴν ΛΜΝ· ἀνά-<lb n="1799,001,,,,12,18,37"></lb> παλιν ἄρα ἡ ΛΜΝ σφαῖρα πρὸς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τρι-<lb n="1799,001,,,,12,18,38"></lb> πλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ διάμετρος πρὸς τὴν ΒΓ <lb n="1799,001,,,,12,18,39"></lb> διάμετρον.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΛΜΝ σφαῖρα πρὸς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν, <lb n="1799,001,,,,12,18,40"></lb> οὕτως ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΑΒΓ σφαί-<lb n="1799,001,,,,12,18,41"></lb> ρας, ἐπειδήπερ μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜΝ τῆς ΔΕΖ, ὡς <lb n="1799,001,,,,12,18,42"></lb> ἔμπροσθεν ἐδείχθη.</s> <s>καὶ ἡ ΔΕΖ ἄρα σφαῖρα πρὸς ἐλάσ-<lb n="1799,001,,,,12,18,43"></lb> σονά τινα τῆς ΑΒΓ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ <lb n="1799,001,,,,12,18,44"></lb> ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.</s> <s>οὐκ ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,12,18,45"></lb> ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς μείζονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τρι-<lb n="1799,001,,,,12,18,46"></lb> πλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.</s> <s>ἐδείχθη δέ, <lb n="1799,001,,,,12,18,47"></lb> ὅτι οὐδὲ πρὸς ἐλάσσονα.</s> <s>ἡ ἄρα ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,12,18,48"></lb> ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς <lb n="1799,001,,,,12,18,49"></lb> τὴν ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,12,18,50"></lb> </s></p> </chap> <chap><p type="main"><s>Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ <lb n="1799,001,,,,13,1,1"></lb> μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πεντα-<lb n="1799,001,,,,13,1,2"></lb> πλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου.</s> <lb n="1799,001,,,,13,1,3"></lb> <s>Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμή-<lb n="1799,001,,,,13,1,4"></lb> σθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,13,1,5"></lb> καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπ' εὐθείας τῇ ΓΑ εὐθεῖα ἡ ΑΔ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,1,6"></lb> κείσθω τῆς ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι πενταπλάσιόν <lb n="1799,001,,,,13,1,7"></lb> ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΑ. <lb n="1799,001,,,,13,1,8"></lb> Ἀναγεγράφθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,1,9"></lb> ΑΒ, ΔΓ τετράγωνα τὰ ΑΕ, ΔΖ, <lb n="1799,001,,,,13,1,10"></lb> καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ΔΖ τὸ <lb n="1799,001,,,,13,1,11"></lb> σχῆμα, καὶ διήχθω ἡ ΖΓ ἐπὶ τὸ Η.</s> <lb n="1799,001,,,,13,1,12"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λό-<lb n="1799,001,,,,13,1,13"></lb> γον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,1,14"></lb> ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,1,15"></lb> τῆς ΑΓ.</s> <s>καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,1,16"></lb> ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ <lb n="1799,001,,,,13,1,17"></lb> τὸ ΖΘ· ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ΖΘ.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,1,18"></lb> καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΑ τῇ <lb n="1799,001,,,,13,1,19"></lb> ΚΑ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΑΘ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΑ τῆς ΑΘ.</s> <s>ὡς <lb n="1799,001,,,,13,1,20"></lb> δὲ ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΘ, οὕτως τὸ ΓΚ πρὸς τὸ ΓΘ· διπλά-<lb n="1799,001,,,,13,1,21"></lb> σιον ἄρα τὸ ΓΚ τοῦ ΓΘ.</s> <s>εἰσὶ δὲ καὶ τὰ ΛΘ, ΘΓ διπλά-<lb n="1799,001,,,,13,1,22"></lb> σια τοῦ ΓΘ.</s> <s>ἴσον ἄρα τὸ ΚΓ τοῖς ΛΘ, ΘΓ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ <lb n="1799,001,,,,13,1,23"></lb> τὸ ΓΕ τῷ ΘΖ ἴσον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΕ τετράγωνον ἴσον <lb n="1799,001,,,,13,1,24"></lb> ἐστὶ τῷ ΜΝΞ γνώμονι.</s> <s>καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΑ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,1,25"></lb> ΑΔ, τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ, <lb n="1799,001,,,,13,1,26"></lb> τουτέστι τὸ ΑΕ τοῦ ΔΘ.</s> <s>ἴσον δὲ τὸ ΑΕ τῷ ΜΝΞ γνώ-<lb n="1799,001,,,,13,1,27"></lb> μονι· καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα γνώμων τετραπλάσιός ἐστι τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,1,28"></lb> ΑΟ· ὅλον ἄρα τὸ ΔΖ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΟ.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,13,1,29"></lb> ἐστι τὸ μὲν ΔΖ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ, τὸ δὲ ΑΟ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ· <lb n="1799,001,,,,13,1,30"></lb> τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΔ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΑ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,1,31"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ μεῖ-<lb n="1799,001,,,,13,1,32"></lb> ζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλά-<lb n="1799,001,,,,13,1,33"></lb> σιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,13,1,34"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,1,35"></lb> <s>Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμήματος ἑαυτῆς πενταπλάσιον <lb n="1799,001,,,,13,2,1"></lb> δύνηται, τῆς διπλασίας τοῦ εἰρημένου τμήματος ἄκρον <lb n="1799,001,,,,13,2,2"></lb> καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν <lb n="1799,001,,,,13,2,3"></lb> μέρος ἐστὶ τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐθείας.</s> <lb n="1799,001,,,,13,2,4"></lb> <s>Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ τμήματος ἑαυτῆς τοῦ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,13,2,5"></lb> πενταπλάσιον δυνάσθω, τῆς δὲ ΑΓ διπλῆ ἔστω ἡ ΓΔ· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,2,6"></lb> λέγω, ὅτι τῆς ΓΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ <lb n="1799,001,,,,13,2,7"></lb> μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,2,8"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀφ' ἑκατέρας τῶν ΑΒ, ΓΔ τετρά-<lb n="1799,001,,,,13,2,9"></lb> γωνα τὰ ΑΖ, ΓΗ, καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ΑΖ τὸ <lb n="1799,001,,,,13,2,10"></lb> σχῆμα, καὶ διήχθω ἡ ΒΕ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,13,2,11"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ, πενταπλάσιόν ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,13,2,12"></lb> ΑΖ τοῦ ΑΘ.</s> <s>τετραπλάσιος ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων τοῦ ΑΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,2,13"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ διπλη̂ ἐστιν ἡ ΔΓ τῆς ΓΑ, τετραπλάσιον ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,2,14"></lb> ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΔΓ τοῦ ἀπὸ ΓΑ, τουτέστι τὸ ΓΗ τοῦ ΑΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,2,15"></lb> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ὁ ΜΝΞ γνώμων τετραπλάσιος τοῦ ΑΘ· <lb n="1799,001,,,,13,2,16"></lb> ἴσος ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων τῷ ΓΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,2,17"></lb> ἡ ΔΓ τῆς ΓΑ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΓ τῇ ΓΚ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΓΘ <lb n="1799,001,,,,13,2,18"></lb> [διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΓ τῆς ΓΘ], διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΚΒ <lb n="1799,001,,,,13,2,19"></lb> τοῦ ΒΘ.</s> <s>εἰσὶ δὲ καὶ τὰ ΛΘ, ΘΒ τοῦ ΘΒ διπλάσια· ἴσον <lb n="1799,001,,,,13,2,20"></lb> ἄρα τὸ ΚΒ τοῖς ΛΘ, ΘΒ. <lb n="1799,001,,,,13,2,21"></lb> ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλος ὁ ΜΝΞ <lb n="1799,001,,,,13,2,22"></lb> γνώμων ὅλῳ τῷ ΓΗ ἴσος· καὶ <lb n="1799,001,,,,13,2,23"></lb> λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ τῷ ΒΗ <lb n="1799,001,,,,13,2,24"></lb> ἐστιν ἴσον.</s> <s>καί ἐστι τὸ μὲν <lb n="1799,001,,,,13,2,25"></lb> ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔΒ· ἴση <lb n="1799,001,,,,13,2,26"></lb> γὰρ ἡ ΓΔ τῇ ΔΗ· τὸ δὲ ΘΖ <lb n="1799,001,,,,13,2,27"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,2,28"></lb> τῶν ΓΔΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,2,29"></lb> τῆς ΓΒ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΓ <lb n="1799,001,,,,13,2,30"></lb> πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΓΒ <lb n="1799,001,,,,13,2,31"></lb> πρὸς τὴν ΒΔ.</s> <s>μείζων δὲ ἡ ΔΓ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,2,32"></lb> τῆς ΓΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΓΒ τῆς ΒΔ.</s> <s>τῆς ΓΔ ἄρα εὐθείας <lb n="1799,001,,,,13,2,33"></lb> ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά <lb n="1799,001,,,,13,2,34"></lb> ἐστιν ἡ ΓΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,2,35"></lb> <s>Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμήματος ἑαυτῆς πενταπλάσιον <lb n="1799,001,,,,13,2,36"></lb> δύνηται, τῆς διπλασίας τοῦ εἰρημένου τμήματος ἄκρον <lb n="1799,001,,,,13,2,37"></lb> καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν <lb n="1799,001,,,,13,2,38"></lb> μέρος ἐστὶ τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐθείας· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,2,39"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,13,2,40"></lb> Ὅτι δὲ ἡ διπλῆ τῆς ΑΓ μείζων ἐστὶ τῆς ΒΓ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,13,2,41"></lb> δεικτέον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,2,42"></lb> <s>Εἰ γὰρ μή, ἔστω, εἰ δυνατόν, ἡ ΒΓ διπλῆ τῆς ΓΑ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,2,43"></lb> <s>τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ· <lb n="1799,001,,,,13,2,44"></lb> πενταπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,2,45"></lb> ΓΑ.</s> <s>ὑπόκειται δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πενταπλάσιον <lb n="1799,001,,,,13,2,46"></lb> τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,2,47"></lb> τῶν ΒΓ, ΓΑ· ὅπερ ἀδύνατον.</s> <s>οὐκ ἄρα ἡ ΓΒ διπλασία <lb n="1799,001,,,,13,2,48"></lb> ἐστὶ τῆς ΑΓ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ ἐλάττων τῆς <lb n="1799,001,,,,13,2,49"></lb> ΓΒ διπλασίων ἐστὶ τῆς ΓΑ· πολλῷ γὰρ [μεῖζον] τὸ ἄτοπον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,2,50"></lb> <s>Ἡ ἄρα τῆς ΑΓ διπλῆ μείζων ἐστὶ τῆς ΓΒ· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,13,2,51"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,2,52"></lb> <s>Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ <lb n="1799,001,,,,13,3,1"></lb> ἔλασσον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονος τμή-<lb n="1799,001,,,,13,3,2"></lb> ματος πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,3,3"></lb> μείζονος τμήματος τετραγώνου.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,3,4"></lb> Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω <lb n="1799,001,,,,13,3,5"></lb> κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,3,6"></lb> τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ· λέγω, ὅτι πενταπλά-<lb n="1799,001,,,,13,3,7"></lb> σιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,3,8"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ, <lb n="1799,001,,,,13,3,9"></lb> καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα.</s> <s>ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,3,10"></lb> ἡ ΑΓ τῆς ΔΓ, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,3,11"></lb> ἀπὸ τῆς ΔΓ, τουτέστι τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,3,12"></lb> ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,3,13"></lb> ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ ἄρα ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ΡΣ.</s> <s>τετραπλάσιον <lb n="1799,001,,,,13,3,14"></lb> δὲ τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ· τετραπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΓΕ τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,3,15"></lb> ΖΗ.</s> <s>πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,13,3,16"></lb> ΘΚ τῇ ΚΖ.</s> <s>ὥστε καὶ τὸ ΗΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΛ <lb n="1799,001,,,,13,3,17"></lb> τετραγώνῳ.</s> <s>ἴση ἄρα ἡ ΗΚ τῇ ΚΛ, τουτέστιν ἡ ΜΝ τῇ <lb n="1799,001,,,,13,3,18"></lb> ΝΕ· ὥστε καὶ τὸ ΜΖ τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΜΖ τῷ <lb n="1799,001,,,,13,3,19"></lb> ΓΗ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΓΗ <lb n="1799,001,,,,13,3,20"></lb> ἄρα τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον.</s> <s>κοινὸν <lb n="1799,001,,,,13,3,21"></lb> προσκείσθω τὸ ΓΝ· ὁ ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,3,22"></lb> ΞΟΠ γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,13,3,23"></lb> ΓΕ.</s> <s>ἀλλὰ τὸ ΓΕ τετραπλά-<lb n="1799,001,,,,13,3,24"></lb> σιον ἐδείχθη τοῦ ΗΖ· καὶ ὁ <lb n="1799,001,,,,13,3,25"></lb> ΞΟΠ ἄρα γνώμων τετρα-<lb n="1799,001,,,,13,3,26"></lb> πλάσιός ἐστι τοῦ ΖΗ τετρα-<lb n="1799,001,,,,13,3,27"></lb> γώνου.</s> <s>ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων <lb n="1799,001,,,,13,3,28"></lb> καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνον πεντα- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,13,3,29"></lb> πλάσιός ἐστι τοῦ ΖΗ.</s> <s>ἀλλὰ ὁ ΞΟΠ γνώμων καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,13,3,30"></lb> ΖΗ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΝ.</s> <s>καί ἐστι τὸ μὲν ΔΝ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,3,31"></lb> τῆς ΔΒ, τὸ δὲ ΗΖ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ.</s> <s>τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΒ <lb n="1799,001,,,,13,3,32"></lb> πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,3,33"></lb> <s>Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ <lb n="1799,001,,,,13,4,1"></lb> ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἐλάσσονος τμήματος, τὰ συναμφό-<lb n="1799,001,,,,13,4,2"></lb> τερα τετράγωνα, τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μείζονος <lb n="1799,001,,,,13,4,3"></lb> τμήματος τετραγώνου.</s> <lb n="1799,001,,,,13,4,4"></lb> <s>Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον <lb n="1799,001,,,,13,4,5"></lb> λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ· λέγω, <lb n="1799,001,,,,13,4,6"></lb> ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,4,7"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ, <lb n="1799,001,,,,13,4,8"></lb> καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ <lb n="1799,001,,,,13,4,9"></lb> μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά <lb n="1799,001,,,,13,4,10"></lb> ἐστιν ἡ ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,4,11"></lb> ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,4,12"></lb> <s>καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ <lb n="1799,001,,,,13,4,13"></lb> ΑΚ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὸ ΘΗ· <lb n="1799,001,,,,13,4,14"></lb> ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΘΗ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,4,15"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΖ τῷ ΖΕ, <lb n="1799,001,,,,13,4,16"></lb> κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΚ· ὅλον <lb n="1799,001,,,,13,4,17"></lb> ἄρα τὸ ΑΚ ὅλῳ τῷ ΓΕ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,4,18"></lb> ἴσον· τὰ ἄρα ΑΚ, ΓΕ τοῦ ΑΚ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,4,19"></lb> ἐστι διπλάσια.</s> <s>ἀλλὰ τὰ ΑΚ, ΓΕ ὁ ΛΜΝ γνώμων ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,13,4,20"></lb> καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον· ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ τὸ ΓΚ <lb n="1799,001,,,,13,4,21"></lb> τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΚ.</s> <s>ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ΑΚ <lb n="1799,001,,,,13,4,22"></lb> τῷ ΘΗ ἐδείχθη ἴσον· ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ [τὸ ΓΚ <lb n="1799,001,,,,13,4,23"></lb> τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ· ὥστε ὁ ΛΜΝ γνώ-<lb n="1799,001,,,,13,4,24"></lb> μων καὶ] τὰ ΓΚ, ΘΗ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ <lb n="1799,001,,,,13,4,25"></lb> τετραγώνου.</s> <s>καί ἐστιν ὁ [μὲν] ΛΜΝ γνώμων καὶ τὰ ΓΚ, <lb n="1799,001,,,,13,4,26"></lb> ΘΗ τετράγωνα ὅλον τὸ ΑΕ καὶ τὸ ΓΚ, ἅπερ ἐστὶ τὰ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,4,27"></lb> τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα, τὸ δὲ ΗΘ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετρά-<lb n="1799,001,,,,13,4,28"></lb> γωνον.</s> <s>τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα τριπλάσιά <lb n="1799,001,,,,13,4,29"></lb> ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,4,30"></lb> <s>Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,5,1"></lb> προστεθῇ αὐτῇ ἴση τῷ μείζονι τμήματι, ἡ ὅλη εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,13,5,2"></lb> ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά <lb n="1799,001,,,,13,5,3"></lb> ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα.</s> <lb n="1799,001,,,,13,5,4"></lb> <s>Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τε-<lb n="1799,001,,,,13,5,5"></lb> τμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα ἡ ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,13,5,6"></lb> καὶ τῇ ΑΓ ἴση [κείσθω] ἡ ΑΔ.</s> <s>λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,13,5,7"></lb> ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Α, καὶ τὸ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,13,5,8"></lb> τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα ἡ ΑΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,5,9"></lb> <s>Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ, <lb n="1799,001,,,,13,5,10"></lb> καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.</s> <s>ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,5,11"></lb> λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,13,5,12"></lb> τῷ ἀπὸ ΑΓ.</s> <s>καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,5,13"></lb> τῆς ΑΓ τὸ ΓΘ· ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ΘΓ.</s> <s>ἀλλὰ τῷ μὲν <lb n="1799,001,,,,13,5,14"></lb> ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΕ, τῷ δὲ ΘΓ ἴσον τὸ ΔΘ· καὶ τὸ ΔΘ <lb n="1799,001,,,,13,5,15"></lb> ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΕ <lb n="1799,001,,,,13,5,16"></lb> [κοινὸν προσκείσθω τὸ <lb n="1799,001,,,,13,5,17"></lb> ΘΒ].</s> <s>ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ὅλῳ <lb n="1799,001,,,,13,5,18"></lb> τῷ ΑΕ ἐστιν ἴσον.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,13,5,19"></lb> ἐστι τὸ μὲν ΔΚ τὸ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,5,20"></lb> τῶν ΒΔ, ΔΑ· ἴση γὰρ ἡ <lb n="1799,001,,,,13,5,21"></lb> ΑΔ τῇ ΔΛ· τὸ δὲ ΑΕ <lb n="1799,001,,,,13,5,22"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· τὸ ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,5,23"></lb> ὑπὸ τῶν ΒΔΑ ἴσον ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,13,5,24"></lb> τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ, <lb n="1799,001,,,,13,5,25"></lb> οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ.</s> <s>μείζων δὲ ἡ ΔΒ τῆς ΒΑ· <lb n="1799,001,,,,13,5,26"></lb> μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,5,27"></lb> <s>Ἡ ἄρα ΔΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμηται κατὰ τὸ Α, <lb n="1799,001,,,,13,5,28"></lb> καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,5,29"></lb> <s>Ἐὰν εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, <lb n="1799,001,,,,13,6,1"></lb> ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀπο-<lb n="1799,001,,,,13,6,2"></lb> τομή.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,6,3"></lb> Ἔστω εὐθεῖα ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον <lb n="1799,001,,,,13,6,4"></lb> λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα ἡ ΑΓ· λέγω, ὅτι <lb n="1799,001,,,,13,6,5"></lb> ἑκατέρα τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.</s> <lb n="1799,001,,,,13,6,6"></lb> <s>Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῆς ΒΑ ἡμίσεια ἡ <lb n="1799,001,,,,13,6,7"></lb> ΑΔ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται ἄκρον καὶ μέσον <lb n="1799,001,,,,13,6,8"></lb> λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ τῷ μείζονι τμήματι τῷ ΑΓ πρόσ- <lb n="1799,001,,,,13,6,9"></lb> κειται ἡ ΑΔ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΑΒ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,6,10"></lb> ΔΑ πενταπλάσιόν ἐστιν.</s> <s>τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ <lb n="1799,001,,,,13,6,11"></lb> λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· σύμμετρον ἄρα τὸ <lb n="1799,001,,,,13,6,12"></lb> ἀπὸ ΓΔ τῷ ἀπὸ ΔΑ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ ΔΑ· ῥητὴ γὰρ <lb n="1799,001,,,,13,6,13"></lb> [ἐστιν] ἡ ΔΑ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΑΒ ῥητῆς οὔσης· ῥητὸν <lb n="1799,001,,,,13,6,14"></lb> ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,13,6,15"></lb> ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,13,6,16"></lb> ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρος ἄρα μήκει <lb n="1799,001,,,,13,6,17"></lb> ἡ ΓΔ τῇ ΔΑ· αἱ ΓΔ, ΔΑ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον <lb n="1799,001,,,,13,6,18"></lb> σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,13,6,19"></lb> ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά <lb n="1799,001,,,,13,6,20"></lb> ἐστιν ἡ ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ τῷ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστίν.</s> <lb n="1799,001,,,,13,6,21"></lb> <s>τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀποτομῆς παρὰ τὴν ΑΒ ῥητὴν παρα-<lb n="1799,001,,,,13,6,22"></lb> βληθὲν πλάτος ποιεῖ τὴν ΒΓ.</s> <s>τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ <lb n="1799,001,,,,13,6,23"></lb> ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην· <lb n="1799,001,,,,13,6,24"></lb> ἀποτομὴ ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΓΒ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ <lb n="1799,001,,,,13,6,25"></lb> ἀποτομή.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,6,26"></lb> Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, <lb n="1799,001,,,,13,6,27"></lb> ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀπο-<lb n="1799,001,,,,13,6,28"></lb> τομή· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,6,29"></lb> <s>Ἐὰν πενταγώνου ἰσοπλεύρου αἱ τρεῖς γωνίαι ἤτοι αἱ <lb n="1799,001,,,,13,7,1"></lb> κατὰ τὸ ἑξῆς ἢ αἱ μὴ κατὰ τὸ ἑξῆς ἴσαι ὦσιν, ἰσογώνιον <lb n="1799,001,,,,13,7,2"></lb> ἔσται τὸ πεντάγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,7,3"></lb> <s>Πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρου τοῦ ΑΒΓΔΕ αἱ τρεῖς <lb n="1799,001,,,,13,7,4"></lb> γωνίαι πρότερον αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς αἱ πρὸς τοῖς Α, Β, Γ ἴσαι <lb n="1799,001,,,,13,7,5"></lb> ἀλλήλαις ἔστωσαν· λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ <lb n="1799,001,,,,13,7,6"></lb> πεντάγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,7,7"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΕ, ΖΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο αἱ <lb n="1799,001,,,,13,7,8"></lb> ΓΒ, ΒΑ δυσὶ ταῖς ΒΑ, ΑΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, <lb n="1799,001,,,,13,7,9"></lb> καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἐστιν ἴση, <lb n="1799,001,,,,13,7,10"></lb> βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΓ τρί-<lb n="1799,001,,,,13,7,11"></lb> γωνον τῷ ΑΒΕ τριγώνῳ ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς <lb n="1799,001,,,,13,7,12"></lb> λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτεί-<lb n="1799,001,,,,13,7,13"></lb> νουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΒΕΑ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ <lb n="1799,001,,,,13,7,14"></lb> ὑπὸ ΓΑΒ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΑΖ πλευρᾷ τῇ ΒΖ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,7,15"></lb> ἴση.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΓ ὅλῃ τῇ ΒΕ ἴση· καὶ <lb n="1799,001,,,,13,7,16"></lb> λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΓ λοιπῇ τῇ ΖΕ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ <lb n="1799,001,,,,13,7,17"></lb> ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ ἴση.</s> <s>δύο δὴ αἱ ΖΓ, ΓΔ δυσὶ ταῖς ΖΕ, ΕΔ <lb n="1799,001,,,,13,7,18"></lb> ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΖΔ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,7,19"></lb> ΖΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΔ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,7,20"></lb> ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ ἴση· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ὅλῃ <lb n="1799,001,,,,13,7,21"></lb> τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἴση.</s> <s>ἀλλ' ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ὑπόκειται ταῖς <lb n="1799,001,,,,13,7,22"></lb> πρὸς τοῖς Α, Β γωνίαις· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΔ ἄρα ταῖς <lb n="1799,001,,,,13,7,23"></lb> πρὸς τοῖς Α, Β γωνίαις ἴση ἐστίν. <lb n="1799,001,,,,13,7,24"></lb> ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,7,25"></lb> ΓΔΕ γωνία ἴση ἐστὶ ταῖς πρὸς τοῖς <lb n="1799,001,,,,13,7,26"></lb> Α, Β, Γ γωνίαις· ἰσογώνιον ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,7,27"></lb> ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,7,28"></lb> <s>Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν ἴσαι αἱ <lb n="1799,001,,,,13,7,29"></lb> κατὰ τὸ ἑξῆς γωνίαι, ἀλλ' ἔστω-<lb n="1799,001,,,,13,7,30"></lb> σαν ἴσαι αἱ πρὸς τοῖς Α, Γ, Δ <lb n="1799,001,,,,13,7,31"></lb> σημείοις· λέγω, ὅτι καὶ οὕτως <lb n="1799,001,,,,13,7,32"></lb> ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πεν-<lb n="1799,001,,,,13,7,33"></lb> τάγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,7,34"></lb> <s>Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΒΔ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΑ, ΑΕ δυσὶ <lb n="1799,001,,,,13,7,35"></lb> ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις <lb n="1799,001,,,,13,7,36"></lb> ἄρα ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΒΔ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,13,7,37"></lb> τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς <lb n="1799,001,,,,13,7,38"></lb> λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑπο-<lb n="1799,001,,,,13,7,39"></lb> τείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,7,40"></lb> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΕ ἴση, ἐπεὶ καὶ <lb n="1799,001,,,,13,7,41"></lb> πλευρὰ ἡ ΒΕ πλευρᾷ τῇ ΒΔ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,7,42"></lb> ΑΕΔ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ <lb n="1799,001,,,,13,7,43"></lb> ταῖς πρὸς τοῖς Α, Γ γωνίαις ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,7,44"></lb> ΑΕΔ ἄρα γωνία ταῖς πρὸς τοῖς Α, Γ ἴση ἐστίν.</s> <s>διὰ τὰ <lb n="1799,001,,,,13,7,45"></lb> αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἴση ἐστὶ ταῖς πρὸς τοῖς Α, Γ, Δ <lb n="1799,001,,,,13,7,46"></lb> γωνίαις.</s> <s>ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον· <lb n="1799,001,,,,13,7,47"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,7,48"></lb> Ἐὰν πενταγώνου ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου τὰς κατὰ <lb n="1799,001,,,,13,8,1"></lb> τὸ ἑξῆς δύο γωνίας ὑποτείνωσιν εὐθεῖαι, ἄκρον καὶ μέσον <lb n="1799,001,,,,13,8,2"></lb> λόγον τέμνουσιν ἀλλήλας, καὶ τὰ μείζονα αὐτῶν τμήματα <lb n="1799,001,,,,13,8,3"></lb> ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,8,4"></lb> <s>Πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου τοῦ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,13,8,5"></lb> ΔΕ δύο γωνίας τὰς κατὰ τὸ ἑξῆς τὰς πρὸς τοῖς Α, Β <lb n="1799,001,,,,13,8,6"></lb> ὑποτεινέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, <lb n="1799,001,,,,13,8,7"></lb> ΒΕ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ <lb n="1799,001,,,,13,8,8"></lb> τὸ Θ σημεῖον· λέγω, ὅτι ἑκα-<lb n="1799,001,,,,13,8,9"></lb> τέρα αὐτῶν ἄκρον καὶ μέσον <lb n="1799,001,,,,13,8,10"></lb> λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ <lb n="1799,001,,,,13,8,11"></lb> σημεῖον, καὶ τὰ μείζονα αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,13,8,12"></lb> τμήματα ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πεν-<lb n="1799,001,,,,13,8,13"></lb> ταγώνου πλευρᾷ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,8,14"></lb> <s>Περιγεγράφθω γὰρ περὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,13,8,15"></lb> ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλος <lb n="1799,001,,,,13,8,16"></lb> ὁ ΑΒΓΔΕ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, ΑΒ δυσὶ ταῖς <lb n="1799,001,,,,13,8,17"></lb> ΑΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις <lb n="1799,001,,,,13,8,18"></lb> ἄρα ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,13,8,19"></lb> τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς <lb n="1799,001,,,,13,8,20"></lb> λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ <lb n="1799,001,,,,13,8,21"></lb> ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.</s> <s>ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ <lb n="1799,001,,,,13,8,22"></lb> γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΕ· διπλῆ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΘΕ τῆς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,8,23"></lb> ΒΑΘ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ διπλῆ, ἐπει- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,13,8,24"></lb> δήπερ καὶ περιφέρεια ἡ ΕΔΓ περιφερείας τῆς ΓΒ ἐστι <lb n="1799,001,,,,13,8,25"></lb> διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΘΕ· ὥστε <lb n="1799,001,,,,13,8,26"></lb> καὶ ἡ ΘΕ εὐθεῖα τῇ ΕΑ, τουτέστι τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,13,8,27"></lb> ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ εὐθεῖα τῇ ΑΕ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ <lb n="1799,001,,,,13,8,28"></lb> ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΘ <lb n="1799,001,,,,13,8,29"></lb> ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΑ ἄρα τῇ ὑπὸ ΒΑΘ ἐστιν ἴση.</s> <lb n="1799,001,,,,13,8,30"></lb> <s>καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΒΕ καὶ τοῦ ΑΒΘ <lb n="1799,001,,,,13,8,31"></lb> ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία λοιπῇ <lb n="1799,001,,,,13,8,32"></lb> τῇ ὑπὸ ΑΘΒ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρί-<lb n="1799,001,,,,13,8,33"></lb> γωνον τῷ ΑΒΘ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ <lb n="1799,001,,,,13,8,34"></lb> πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΘ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΒΑ <lb n="1799,001,,,,13,8,35"></lb> τῇ ΕΘ· ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΘ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς <lb n="1799,001,,,,13,8,36"></lb> τὴν ΘΒ.</s> <s>μείζων δὲ ἡ ΒΕ τῆς ΕΘ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΘ <lb n="1799,001,,,,13,8,37"></lb> τῆς ΘΒ.</s> <s>ἡ ΒΕ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ <lb n="1799,001,,,,13,8,38"></lb> τὸ Θ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ ΘΕ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πεντα-<lb n="1799,001,,,,13,8,39"></lb> γώνου πλευρᾷ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΓ ἄκρον <lb n="1799,001,,,,13,8,40"></lb> καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς <lb n="1799,001,,,,13,8,41"></lb> τμῆμα ἡ ΓΘ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,13,8,42"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,8,43"></lb> <s>Ἐὰν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ καὶ ἡ τοῦ δεκαγώνου τῶν <lb n="1799,001,,,,13,9,1"></lb> εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων συντεθῶσιν, ἡ ὅλη <lb n="1799,001,,,,13,9,2"></lb> εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,13,9,3"></lb> αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρά.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,9,4"></lb> Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ τῶν εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον <lb n="1799,001,,,,13,9,5"></lb> ἐγγραφομένων σχημάτων, δεκαγώνου μὲν ἔστω πλευρὰ ἡ <lb n="1799,001,,,,13,9,6"></lb> ΒΓ, ἑξαγώνου δὲ ἡ ΓΔ, καὶ ἔστωσαν ἐπ' εὐθείας· λέγω, <lb n="1799,001,,,,13,9,7"></lb> ὅτι ἡ ὅλη εὐθεῖα ἡ ΒΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, <lb n="1799,001,,,,13,9,8"></lb> καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΔ. <lb n="1799,001,,,,13,9,9"></lb> Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε σημεῖον, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,9,10"></lb> ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ, καὶ διήχθω ἡ ΒΕ ἐπὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,13,9,11"></lb> Α.</s> <s>ἐπεὶ δεκαγώνου ἰσοπλεύρου πλευρά ἐστιν ἡ ΒΓ, πεντα-<lb n="1799,001,,,,13,9,12"></lb> πλασίων ἄρα ἡ ΑΓΒ περιφέρεια τῆς ΒΓ περιφερείας· <lb n="1799,001,,,,13,9,13"></lb> τετραπλασίων ἄρα ἡ ΑΓ περιφέρεια τῆς ΓΒ.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,13,9,14"></lb> περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΕΓ γωνία πρὸς <lb n="1799,001,,,,13,9,15"></lb> τὴν ὑπὸ ΓΕΒ· τετραπλασίων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,9,16"></lb> ΓΕΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΒ, ἡ <lb n="1799,001,,,,13,9,17"></lb> ἄρα ὑπὸ ΑΕΓ γωνία διπλασία ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΕΓΒ.</s> <s>καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,9,18"></lb> ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ εὐθεῖα τῇ ΓΔ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,13,9,19"></lb> ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ ἑξαγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον <lb n="1799,001,,,,13,9,20"></lb> [ἐγγραφομένου]· ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,9,21"></lb> ΓΔΕ γωνίᾳ· διπλασία ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΓΒ γωνία τῆς ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,9,22"></lb> ΕΔΓ.</s> <s>ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΕΓΒ διπλασία ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΑΕΓ· <lb n="1799,001,,,,13,9,23"></lb> τετραπλασία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῆς ὑπὸ ΕΔΓ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ <lb n="1799,001,,,,13,9,24"></lb> καὶ τῆς ὑπὸ ΒΕΓ τετραπλασία ἡ ὑπὸ ΑΕΓ· ἴση ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,13,9,25"></lb> ὑπὸ ΕΔΓ τῇ ὑπὸ ΒΕΓ.</s> <s>κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων, τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,9,26"></lb> τε ΒΕΓ καὶ τοῦ ΒΕΔ, ἡ ὑπὸ ΕΒΔ γωνία· καὶ λοιπὴ ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,9,27"></lb> ἡ ὑπὸ ΒΕΔ τῇ ὑπὸ ΕΓΒ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,13,9,28"></lb> τὸ ΕΒΔ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ τριγώνῳ.</s> <s>ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,13,9,29"></lb> ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ.</s> <s>ἴση <lb n="1799,001,,,,13,9,30"></lb> δὲ ἡ ΕΒ τῇ ΓΔ.</s> <s>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,13,9,31"></lb> ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ.</s> <s>μείζων δὲ ἡ ΒΔ τῆς ΔΓ· μείζων ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,9,32"></lb> καὶ ἡ ΔΓ τῆς ΓΒ.</s> <s>ἡ ΒΔ ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον <lb n="1799,001,,,,13,9,33"></lb> λόγον τέτμηται [κατὰ τὸ Γ], καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα αὐτῆς <lb n="1799,001,,,,13,9,34"></lb> ἐστιν ἡ ΔΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,9,35"></lb> <s>Ἐὰν εἰς κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,10,1"></lb> πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν <lb n="1799,001,,,,13,10,2"></lb> τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,10,3"></lb> Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ, καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύ-<lb n="1799,001,,,,13,10,4"></lb> κλον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,10,5"></lb> <s>λέγω, ὅτι ἡ τοῦ ΑΒΓΔΕ πενταγώνου πλευρὰ δύναται <lb n="1799,001,,,,13,10,6"></lb> τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου πλευρὰν τῶν <lb n="1799,001,,,,13,10,7"></lb> εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον ἐγγραφομένων.</s> <lb n="1799,001,,,,13,10,8"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,10,9"></lb> ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Η σημεῖον, καὶ ἐπ-<lb n="1799,001,,,,13,10,10"></lb> εζεύχθω ἡ ΖΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω <lb n="1799,001,,,,13,10,11"></lb> ἡ ΖΘ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, <lb n="1799,001,,,,13,10,12"></lb> ΚΒ, καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὴν ΑΚ κάθετος ἤχθω ἡ <lb n="1799,001,,,,13,10,13"></lb> ΖΛ, καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΝ.</s> <s>ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,13,10,14"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΕΔΗ περιφερείᾳ, <lb n="1799,001,,,,13,10,15"></lb> ὧν ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ περι-<lb n="1799,001,,,,13,10,16"></lb> φέρεια λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση.</s> <s>πενταγώνου δὲ ἡ ΓΔ· <lb n="1799,001,,,,13,10,17"></lb> δεκαγώνου ἄρα ἡ ΓΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΒ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,10,18"></lb> κάθετος ἡ ΖΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΚ γωνία τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,10,19"></lb> ΚΖΒ.</s> <s>ὥστε καὶ περιφέρεια ἡ ΑΚ τῇ ΚΒ ἐστιν ἴση· διπλῆ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,10,20"></lb> ἄρα ἡ ΑΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας· δεκαγώνου <lb n="1799,001,,,,13,10,21"></lb> ἄρα πλευρά ἐστιν ἡ ΑΚ εὐθεῖα.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΑΚ <lb n="1799,001,,,,13,10,22"></lb> τῆς ΚΜ ἐστι διπλῆ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ περιφέρεια <lb n="1799,001,,,,13,10,23"></lb> τῆς ΒΚ περιφερείας, ἴση δὲ ἡ ΓΔ περιφέρεια τῇ ΑΒ περι-<lb n="1799,001,,,,13,10,24"></lb> φερείᾳ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΓΔ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφε-<lb n="1799,001,,,,13,10,25"></lb> ρείας.</s> <s>ἔστι δὲ ἡ ΓΔ περιφέρεια καὶ τῆς ΓΗ διπλῆ· ἴση ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,10,26"></lb> ἡ ΓΗ περιφέρεια τῇ ΒΚ περιφερείᾳ.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ΒΚ τῆς ΚΜ <lb n="1799,001,,,,13,10,27"></lb> ἐστι διπλῆ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΚΑ· καὶ ἡ ΓΗ ἄρα τῆς ΚΜ ἐστι <lb n="1799,001,,,,13,10,28"></lb> διπλῆ.</s> <s>ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῆς ΒΚ περιφερείας <lb n="1799,001,,,,13,10,29"></lb> ἐστὶ διπλῆ· ἴση γὰρ ἡ ΓΒ περιφέρεια τῇ ΒΑ.</s> <s>καὶ ὅλη <lb n="1799,001,,,,13,10,30"></lb> ἄρα ἡ ΗΒ περιφέρεια τῆς ΒΜ ἐστι διπλῆ· ὥστε καὶ γωνία <lb n="1799,001,,,,13,10,31"></lb> ἡ ὑπὸ ΗΖΒ γωνίας τῆς ὑπὸ ΒΖΜ [ἐστι] διπλῆ.</s> <s>ἔστι δὲ <lb n="1799,001,,,,13,10,32"></lb> ἡ ὑπὸ ΗΖΒ καὶ τῆς ὑπὸ ΖΑΒ διπλῆ· ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ <lb n="1799,001,,,,13,10,33"></lb> τῇ ὑπὸ ΑΒΖ.</s> <s>καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΑΒ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,10,34"></lb> ἴση.</s> <s>κοινὴ δὲ τῶν δύο τριγώνων, τοῦ τε ΑΒΖ καὶ τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,10,35"></lb> ΒΖΝ, ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΒ λοιπῇ <lb n="1799,001,,,,13,10,36"></lb> τῇ ὑπὸ ΒΝΖ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΖ τρί-<lb n="1799,001,,,,13,10,37"></lb> γωνον τῷ ΒΖΝ τριγώνῳ.</s> <s>ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,13,10,38"></lb> εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΝ· τὸ ἄρα ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,10,39"></lb> τῶν ΑΒΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΖ.</s> <s>πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,13,10,40"></lb> ΑΛ τῇ ΛΚ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΛΝ, βάσις ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,13,10,41"></lb> ΚΝ βάσει τῇ ΑΝ ἐστιν ἴση· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΚΝ <lb n="1799,001,,,,13,10,42"></lb> γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΝ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΛΑΝ τῇ ὑπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,10,43"></lb> ΚΒΝ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΛΚΝ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΒΝ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,10,44"></lb> ἴση.</s> <s>καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΚΒ καὶ τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,10,45"></lb> ΑΚΝ ἡ πρὸς τῷ Α.</s> <s>λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,10,46"></lb> ΚΝΑ ἐστιν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΒΑ τρίγωνον <lb n="1799,001,,,,13,10,47"></lb> τῷ ΚΝΑ τριγώνῳ.</s> <s>ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ εὐθεῖα <lb n="1799,001,,,,13,10,48"></lb> πρὸς τὴν ΑΚ, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν *αΝ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,10,49"></lb> ΒΑΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,10,50"></lb> ΑΒΝ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΝ μετὰ <lb n="1799,001,,,,13,10,51"></lb> τοῦ ὑπὸ ΒΑΝ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,10,52"></lb> τῆς ΒΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΚ.</s> <s>καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ πεντα-<lb n="1799,001,,,,13,10,53"></lb> γώνου πλευρά, ἡ δὲ ΒΖ ἑξαγώνου, ἡ δὲ ΑΚ δεκαγώνου.</s> <lb n="1799,001,,,,13,10,54"></lb> <s>Ἡ ἄρα τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξα-<lb n="1799,001,,,,13,10,55"></lb> γώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον <lb n="1799,001,,,,13,10,56"></lb> ἐγγραφομένων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,10,57"></lb> <s>Ἐὰν εἰς κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγω-<lb n="1799,001,,,,13,11,1"></lb> νον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλο-<lb n="1799,001,,,,13,11,2"></lb> γός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.</s> <lb n="1799,001,,,,13,11,3"></lb> <s>Εἰς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔΕ ῥητὴν ἔχοντα τὴν διά-<lb n="1799,001,,,,13,11,4"></lb> μετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ· <lb n="1799,001,,,,13,11,5"></lb> λέγω, ὅτι ἡ τοῦ [ΑΒΓΔΕ] πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός <lb n="1799,001,,,,13,11,6"></lb> ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,11,7"></lb> Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ σημεῖον, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,11,8"></lb> ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ καὶ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Η, Θ <lb n="1799,001,,,,13,11,9"></lb> σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, καὶ κείσθω τῆς ΑΖ τέταρ-<lb n="1799,001,,,,13,11,10"></lb> τον μέρος ἡ ΖΚ.</s> <s>ῥητὴ δὲ ἡ ΑΖ· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΚ.</s> <s>ἔστι <lb n="1799,001,,,,13,11,11"></lb> δὲ καὶ ἡ ΒΖ ῥητή· ὅλη ἄρα ἡ ΒΚ ῥητή ἐστιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,13,11,12"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓΗ περιφέρεια τῇ ΑΔΗ περιφερείᾳ, ὧν ἡ <lb n="1799,001,,,,13,11,13"></lb> ΑΒΓ τῇ ΑΕΔ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ λοιπῇ τῇ ΗΔ <lb n="1799,001,,,,13,11,14"></lb> ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΔ, συνάγονται ὀρθαὶ <lb n="1799,001,,,,13,11,15"></lb> αἱ πρὸς τῷ Λ γωνίαι, καὶ διπλῆ ἡ ΓΔ τῆς ΓΛ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,13,11,16"></lb> δὴ καὶ αἱ πρὸς τῷ Μ ὀρθαί εἰσιν, καὶ διπλῆ ἡ ΑΓ τῆς ΓΜ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,11,17"></lb> <s>ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΛΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΜΖ, κοινὴ <lb n="1799,001,,,,13,11,18"></lb> δὲ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΓΛ καὶ τοῦ ΑΜΖ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,11,19"></lb> ΛΑΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΛ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΜΖΑ ἐστιν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,11,20"></lb> ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓΛ τρίγωνον τῷ ΑΜΖ τρι-<lb n="1799,001,,,,13,11,21"></lb> γώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως ἡ <lb n="1799,001,,,,13,11,22"></lb> ΜΖ πρὸς ΖΑ· καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια· ὡς ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,11,23"></lb> ἡ τῆς ΛΓ διπλῆ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ τῆς ΜΖ διπλῆ <lb n="1799,001,,,,13,11,24"></lb> πρὸς τὴν ΖΑ.</s> <s>ὡς δὲ ἡ τῆς ΜΖ διπλῆ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,13,11,25"></lb> ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΖΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ τῆς ΛΓ <lb n="1799,001,,,,13,11,26"></lb> διπλῆ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς <lb n="1799,001,,,,13,11,27"></lb> ΖΑ.</s> <s>καὶ τῶν ἑπομένων τὰ ἡμίσεα· ὡς ἄρα ἡ τῆς ΛΓ <lb n="1799,001,,,,13,11,28"></lb> διπλῆ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΓΑ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,13,11,29"></lb> τέταρτον τῆς ΖΑ.</s> <s>καί ἐστι τῆς μὲν ΛΓ διπλῆ ἡ ΔΓ, τῆς <lb n="1799,001,,,,13,11,30"></lb> δὲ ΓΑ ἡμίσεια ἡ ΓΜ, τῆς δὲ ΖΑ τέταρτον μέρος ἡ ΖΚ· <lb n="1799,001,,,,13,11,31"></lb> ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,13,11,32"></lb> ΖΚ.</s> <s>συνθέντι καὶ ὡς συναμφότερος ἡ ΔΓΜ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,13,11,33"></lb> ΓΜ, οὕτως ἡ ΜΚ πρὸς ΚΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ συναμ-<lb n="1799,001,,,,13,11,34"></lb> φοτέρου τῆς ΔΓΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΜ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΚ <lb n="1799,001,,,,13,11,35"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τῆς ὑπὸ δύο πλευρὰς τοῦ πεντα-<lb n="1799,001,,,,13,11,36"></lb> γώνου ὑποτεινούσης, οἷον τῆς ΑΓ, ἄκρον καὶ μέσον λόγον <lb n="1799,001,,,,13,11,37"></lb> τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου <lb n="1799,001,,,,13,11,38"></lb> πλευρᾷ, τουτέστι τῇ ΔΓ, τὸ δὲ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν <lb n="1799,001,,,,13,11,39"></lb> τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,11,40"></lb> τῆς ἡμισείας τῆς ὅλης, καί ἐστιν ὅλης τῆς ΑΓ ἡμίσεια ἡ <lb n="1799,001,,,,13,11,41"></lb> ΓΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓΜ ὡς μιᾶς πενταπλάσιόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,13,11,42"></lb> τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΜ.</s> <s>ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓΜ ὡς μιᾶς πρὸς τὸ <lb n="1799,001,,,,13,11,43"></lb> ἀπὸ τῆς ΓΜ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,11,44"></lb> τῆς ΚΖ· πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,11,45"></lb> ΚΖ.</s> <s>ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ· ῥητὴ γὰρ ἡ διάμετρος· <lb n="1799,001,,,,13,11,46"></lb> ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΚ <lb n="1799,001,,,,13,11,47"></lb> [δυνάμει μόνον].</s> <s>καὶ ἐπεὶ τετραπλασία ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,11,48"></lb> ΖΚ, πενταπλασία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῆς ΚΖ· εἰκοσιπεντα-<lb n="1799,001,,,,13,11,49"></lb> πλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΖ.</s> <s>πενταπλά-<lb n="1799,001,,,,13,11,50"></lb> σιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΖ· πενταπλάσιον <lb n="1799,001,,,,13,11,51"></lb> ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΚ <lb n="1799,001,,,,13,11,52"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΜ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς <lb n="1799,001,,,,13,11,53"></lb> πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ <lb n="1799,001,,,,13,11,54"></lb> τῇ ΚΜ μήκει.</s> <s>καί ἐστι ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν.</s> <s>αἱ ΒΚ, ΚΜ <lb n="1799,001,,,,13,11,55"></lb> ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.</s> <s>ἐὰν δὲ ἀπὸ ῥητῆς <lb n="1799,001,,,,13,11,56"></lb> ῥητὴ ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, ἡ <lb n="1799,001,,,,13,11,57"></lb> λοιπὴ ἄλογός ἐστιν ἀποτομή· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ, <lb n="1799,001,,,,13,11,58"></lb> προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΜΚ.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ τετάρτη.</s> <lb n="1799,001,,,,13,11,59"></lb> <s>ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ, ἐκείνῳ <lb n="1799,001,,,,13,11,60"></lb> ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Ν· ἡ ΒΚ ἄρα τῆς ΚΜ μεῖζον δύνα-<lb n="1799,001,,,,13,11,61"></lb> ται τῇ Ν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΚΖ τῇ ΖΒ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,11,62"></lb> συνθέντι σύμμετρός ἐστιν ἡ ΚΒ τῇ ΖΒ.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ΒΖ τῇ ΒΘ <lb n="1799,001,,,,13,11,63"></lb> σύμμετρός ἐστιν· καὶ ἡ ΒΚ ἄρα τῇ ΒΘ σύμμετρός ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,13,11,64"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,11,65"></lb> ΚΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΜ λόγον <lb n="1799,001,,,,13,11,66"></lb> ἔχει, ὃν <ε></s> <s>πρὸς ἕν.</s> <s>ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,11,67"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς Ν λόγον ἔχει, ὃν <ε></s> <s>πρὸς <δ>, οὐχ ὃν τετράγωνος <lb n="1799,001,,,,13,11,68"></lb> πρὸς τετράγωνον· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ Ν· ἡ <lb n="1799,001,,,,13,11,69"></lb> ΒΚ ἄρα τῆς ΚΜ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου <lb n="1799,001,,,,13,11,70"></lb> ἑαυτῇ.</s> <s>ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΒΚ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΚΜ <lb n="1799,001,,,,13,11,71"></lb> μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ὅλη ἡ ΒΚ <lb n="1799,001,,,,13,11,72"></lb> σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῃ̂ τῇ ΒΘ, ἀποτομὴ ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,11,73"></lb> τετάρτη ἐστὶν ἡ ΜΒ.</s> <s>τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς <lb n="1799,001,,,,13,11,74"></lb> τετάρτης περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,13,11,75"></lb> δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ ἐλάττων.</s> <s>δύ-<lb n="1799,001,,,,13,11,76"></lb> ναται δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΘΒΜ ἡ ΑΒ διὰ τὸ ἐπιζευγνυ-<lb n="1799,001,,,,13,11,77"></lb> μένης τῆς ΑΘ ἰσογώνιον γίνεσθαι τὸ ΑΒΘ τρίγωνον τῷ <lb n="1799,001,,,,13,11,78"></lb> ΑΒΜ τριγώνῳ καὶ εἶναι ὡς τὴν ΘΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,13,11,79"></lb> τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΜ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,11,80"></lb> <s>Ἡ ἄρα ΑΒ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ <lb n="1799,001,,,,13,11,81"></lb> καλουμένη ἐλάττων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,11,82"></lb> <s>Ἐὰν εἰς κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,12,1"></lb> τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,12,2"></lb> κέντρου τοῦ κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,13,12,3"></lb> <s>Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ εἰς αὐτὸν τρίγωνον ἰσόπλευ-<lb n="1799,001,,,,13,12,4"></lb> ρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓ· λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,12,5"></lb> μία πλευρὰ δυνάμει τριπλα- <lb n="1799,001,,,,13,12,6"></lb> σίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου <lb n="1799,001,,,,13,12,7"></lb> τοῦ ΑΒΓ κύκλου.</s> <lb n="1799,001,,,,13,12,8"></lb> <s>Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον <lb n="1799,001,,,,13,12,9"></lb> τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Δ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,12,10"></lb> ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω <lb n="1799,001,,,,13,12,11"></lb> ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ <lb n="1799,001,,,,13,12,12"></lb> ΒΕ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,13,12,13"></lb> τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἡ ΒΕΓ <lb n="1799,001,,,,13,12,14"></lb> ἄρα περιφέρεια τρίτον μέρος <lb n="1799,001,,,,13,12,15"></lb> ἐστὶ τῆς τοῦ ΑΒΓ κύκλου <lb n="1799,001,,,,13,12,16"></lb> περιφερείας.</s> <s>ἡ ἄρα ΒΕ περιφέρεια ἕκτον ἐστὶ μέρος τῆς <lb n="1799,001,,,,13,12,17"></lb> τοῦ κύκλου περιφερείας· ἑξαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ εὐθεῖα· <lb n="1799,001,,,,13,12,18"></lb> ἴση ἄρα ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΔΕ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ διπλῆ <lb n="1799,001,,,,13,12,19"></lb> ἐστιν ἡ ΑΕ τῆς ΔΕ, τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ <lb n="1799,001,,,,13,12,20"></lb> τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ.</s> <s>ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,12,21"></lb> τῆς ΑΕ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ <lb n="1799,001,,,,13,12,22"></lb> τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ.</s> <s>διελόντι ἄρα τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,12,23"></lb> τῆς ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΒΕ τῇ ΔΕ· <lb n="1799,001,,,,13,12,24"></lb> τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,12,25"></lb> <s>Ἡ ἄρα τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασία ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,13,12,26"></lb> τῆς ἐκ τοῦ κέντρου [τοῦ κύκλου]· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,12,27"></lb> <s>Πυραμίδα συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ <lb n="1799,001,,,,13,13,1"></lb> δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει <lb n="1799,001,,,,13,13,2"></lb> ἡμιολία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,13,3"></lb> Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,13,4"></lb> τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν <lb n="1799,001,,,,13,13,5"></lb> ΑΓ τῆς ΓΒ· καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ <lb n="1799,001,,,,13,13,6"></lb> ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ <lb n="1799,001,,,,13,13,7"></lb> ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΑ· καὶ ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΕΖΗ <lb n="1799,001,,,,13,13,8"></lb> ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΔΓ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς <lb n="1799,001,,,,13,13,9"></lb> τὸν ΕΖΗ κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΕΖΗ· καὶ <lb n="1799,001,,,,13,13,10"></lb> εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύ-<lb n="1799,001,,,,13,13,11"></lb> χθωσαν αἱ ΕΘ, ΘΖ, ΘΗ· καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Θ ση-<lb n="1799,001,,,,13,13,12"></lb> μείου τῷ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΘΚ, <lb n="1799,001,,,,13,13,13"></lb> καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΘΚ τῇ ΑΓ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΘΚ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,13,14"></lb> ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ ΚΘ ὀρθή <lb n="1799,001,,,,13,13,15"></lb> ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΕΖΗ κύκλου <lb n="1799,001,,,,13,13,16"></lb> ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,13,17"></lb> τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας <lb n="1799,001,,,,13,13,18"></lb> καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΕΖΗ <lb n="1799,001,,,,13,13,19"></lb> κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει <lb n="1799,001,,,,13,13,20"></lb> γωνίας.</s> <s>ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκά-<lb n="1799,001,,,,13,13,21"></lb> στη τῶν ΘΕ, ΘΖ, ΘΗ· ἡ ΘΚ <lb n="1799,001,,,,13,13,22"></lb> ἄρα πρὸς ἑκάστην τῶν ΘΕ, <lb n="1799,001,,,,13,13,23"></lb> ΘΖ, ΘΗ ὀρθή ἐστιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,13,13,24"></lb> ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΘΚ, ἡ <lb n="1799,001,,,,13,13,25"></lb> δὲ ΓΔ τῇ ΘΕ, καὶ ὀρθὰς γω-<lb n="1799,001,,,,13,13,26"></lb> νίας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ <lb n="1799,001,,,,13,13,27"></lb> ΔΑ βάσει τῇ ΚΕ ἐστιν ἴση.</s> <s>διὰ <lb n="1799,001,,,,13,13,28"></lb> τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν <lb n="1799,001,,,,13,13,29"></lb> ΚΖ, ΚΗ τῇ ΔΑ ἐστιν ἴση· αἱ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,13,30"></lb> τρεῖς ἄρα αἱ ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,13,13,31"></lb> διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ, τριπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ.</s> <s>ὡς <lb n="1799,001,,,,13,13,32"></lb> δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,13,33"></lb> τῆς ΔΓ, ὡς ἑξῆς δειχθήσεται.</s> <s>τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,13,34"></lb> ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,13,35"></lb> τῆς ΕΘ τριπλάσιον, καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΓ τῇ ΕΘ· ἴση ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,13,36"></lb> καὶ ἡ ΔΑ τῇ ΕΖ.</s> <s>ἀλλὰ ἡ ΔΑ ἑκάστῃ τῶν ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ <lb n="1799,001,,,,13,13,37"></lb> ἐδείχθη ἴση· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΕ ἑκάστῃ <lb n="1799,001,,,,13,13,38"></lb> τῶν ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἐστιν ἴση· ἰσόπλευρα ἄρα ἐστὶ τὰ τέσ-<lb n="1799,001,,,,13,13,39"></lb> σαρα τρίγωνα τὰ ΕΖΗ, ΚΕΖ, ΚΖΗ, ΚΕΗ.</s> <s>πυραμὶς <lb n="1799,001,,,,13,13,40"></lb> ἄρα συνέσταται ἐκ τεσσάρων τριγώνων ἰσοπλεύρων, ἧς <lb n="1799,001,,,,13,13,41"></lb> βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΖΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,13,42"></lb> <s>Δεῖ δὴ αὐτὴν καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖ-<lb n="1799,001,,,,13,13,43"></lb> ξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆς <lb n="1799,001,,,,13,13,44"></lb> πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.</s> <lb n="1799,001,,,,13,13,45"></lb> <s>Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπ' εὐθείας τῇ ΚΘ εὐθεῖα ἡ ΘΛ, <lb n="1799,001,,,,13,13,46"></lb> καὶ κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΘΛ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,13,13,47"></lb> πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΒ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΑΓ <lb n="1799,001,,,,13,13,48"></lb> τῇ ΚΘ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΘΕ, ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΘΛ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,13,13,49"></lb> ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΛ· τὸ ἄρα ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,13,50"></lb> τῶν ΚΘ, ΘΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ.</s> <s>καί ἐστιν ὀρθὴ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,13,51"></lb> ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΚΘΕ, ΕΘΛ γωνιῶν· τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,13,52"></lb> ΚΛ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε [ἐπειδήπερ <lb n="1799,001,,,,13,13,53"></lb> ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΛ, ὀρθὴ γίνεται ἡ ὑπὸ ΛΕΚ γωνία <lb n="1799,001,,,,13,13,54"></lb> διὰ τὸ ἰσογώνιον γίνεσθαι τὸ ΕΛΚ τρίγωνον ἑκατέρῳ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,13,55"></lb> ΕΛΘ, ΕΘΚ τριγώνων].</s> <s>ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΚΛ περι-<lb n="1799,001,,,,13,13,56"></lb> ενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, <lb n="1799,001,,,,13,13,57"></lb> ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Η σημείων <lb n="1799,001,,,,13,13,58"></lb> ἐπιζευγνυμένων τῶν ΖΛ, ΛΗ καὶ ὀρθῶν ὁμοίως γινομένων <lb n="1799,001,,,,13,13,59"></lb> τῶν πρὸς τοῖς Ζ, Η γωνιῶν· καὶ ἔσται ἡ πυραμὶς σφαίρᾳ <lb n="1799,001,,,,13,13,60"></lb> περιειλημμένη τῇ δοθείσῃ.</s> <s>ἡ γὰρ ΚΛ τῆς σφαίρας διά-<lb n="1799,001,,,,13,13,61"></lb> μετρος ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ τῇ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,13,13,62"></lb> ἐπειδήπερ τῇ μὲν ΑΓ ἴση κεῖται ἡ ΚΘ, τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΘΛ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,13,63"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,13,13,64"></lb> δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.</s> <lb n="1799,001,,,,13,13,65"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,13,13,66"></lb> ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ· ἀναστρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,13,67"></lb> ΑΓ.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ <lb n="1799,001,,,,13,13,68"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ [ἐπειδήπερ ἐπιζευγνυμένης τῆς ΔΒ <lb n="1799,001,,,,13,13,69"></lb> ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΓ <lb n="1799,001,,,,13,13,70"></lb> διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΔΑΒ, ΔΑΓ τριγώνων, καὶ εἶναι <lb n="1799,001,,,,13,13,71"></lb> ὡς τὴν πρώτην πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης <lb n="1799,001,,,,13,13,72"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρασ].</s> <s>ἡμιόλιον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,13,73"></lb> ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ.</s> <s>καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΑ ἡ τῆς δοθεί-<lb n="1799,001,,,,13,13,74"></lb> σης σφαίρας διάμετρος, ἡ δὲ ΑΔ ἴση τῇ πλευρᾷ τῆς πυρα-<lb n="1799,001,,,,13,13,75"></lb> μίδος.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,13,76"></lb> Ἡ ἄρα τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ τῆς πλευ-<lb n="1799,001,,,,13,13,77"></lb> ρᾶς τῆς πυραμίδος· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,13,78"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,13,13,79"></lb> Δεικτέον, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,13,13,80"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,13,81"></lb> <s>Ἐκκείσθω γὰρ ἡ τοῦ ἡμικυκλίου καταγραφή, καὶ ἐπ-<lb n="1799,001,,,,13,13,82"></lb> εζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τετρά-<lb n="1799,001,,,,13,13,83"></lb> γωνον τὸ ΕΓ, καὶ συμπεπλη- <lb n="1799,001,,,,13,13,84"></lb> ρώσθω τὸ ΖΒ παραλληλόγραμ-<lb n="1799,001,,,,13,13,85"></lb> μον.</s> <s>ἐπεὶ οὖν διὰ τὸ ἰσογώνιον <lb n="1799,001,,,,13,13,86"></lb> εἶναι τὸ ΔΑΒ τρίγωνον τῷ <lb n="1799,001,,,,13,13,87"></lb> ΔΑΓ τριγώνῳ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ <lb n="1799,001,,,,13,13,88"></lb> πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΔΑ <lb n="1799,001,,,,13,13,89"></lb> πρὸς τὴν ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,13,90"></lb> ΒΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,13,91"></lb> τῆς ΑΔ.</s> <s>καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ <lb n="1799,001,,,,13,13,92"></lb> ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ <lb n="1799,001,,,,13,13,93"></lb> ΕΒ πρὸς τὸ ΒΖ, καί ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,13,13,94"></lb> μὲν ΕΒ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ· <lb n="1799,001,,,,13,13,95"></lb> ἴση γὰρ ἡ ΕΑ τῇ ΑΓ· τὸ δὲ ΒΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, <lb n="1799,001,,,,13,13,96"></lb> ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ <lb n="1799,001,,,,13,13,97"></lb> πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ.</s> <s>καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, <lb n="1799,001,,,,13,13,98"></lb> ΑΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἴσον τῷ <lb n="1799,001,,,,13,13,99"></lb> ἀπὸ τῆς ΔΓ· ἡ γὰρ ΔΓ κάθετος τῶν τῆς βάσεως τμημά-<lb n="1799,001,,,,13,13,100"></lb> των τῶν ΑΓ, ΓΒ μέση ἀνάλογόν ἐστι διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι <lb n="1799,001,,,,13,13,101"></lb> τὴν ὑπὸ ΑΔΒ.</s> <s>ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,13,102"></lb> τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,13,103"></lb> Ὀκτάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ <lb n="1799,001,,,,13,14,1"></lb> τὰ πρότερα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνά-<lb n="1799,001,,,,13,14,2"></lb> μει διπλασία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ ὀκταέδρου.</s> <lb n="1799,001,,,,13,14,3"></lb> <s>Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,14,4"></lb> τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Γ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ <lb n="1799,001,,,,13,14,5"></lb> ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς <lb n="1799,001,,,,13,14,6"></lb> ὀρθὰς ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, <lb n="1799,001,,,,13,14,7"></lb> καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ <lb n="1799,001,,,,13,14,8"></lb> ἴσην ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν τῇ <lb n="1799,001,,,,13,14,9"></lb> ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΖ, ΕΗ, <lb n="1799,001,,,,13,14,10"></lb> καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Κ σημείου τῷ <lb n="1799,001,,,,13,14,11"></lb> τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς <lb n="1799,001,,,,13,14,12"></lb> ὀρθὰς εὐθεῖα ἡ ΚΛ καὶ διήχθω ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,13,14,13"></lb> τὰ ἕτερα μέρη τοῦ ἐπιπέδου ὡς ἡ ΚΜ, <lb n="1799,001,,,,13,14,14"></lb> καὶ ἀφῃρήσθω ἀφ' ἑκατέρας τῶν ΚΛ, <lb n="1799,001,,,,13,14,15"></lb> ΚΜ μιᾷ τῶν ΕΚ, ΖΚ, ΗΚ, ΘΚ <lb n="1799,001,,,,13,14,16"></lb> ἴση ἑκατέρα τῶν ΚΛ, ΚΜ, καὶ ἐπ-<lb n="1799,001,,,,13,14,17"></lb> εζεύχθωσαν αἱ ΛΕ, ΛΖ, ΛΗ, ΛΘ, ΜΕ, ΜΖ, ΜΗ, ΜΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,14,18"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΚΘ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,14,19"></lb> ΕΚΘ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΘΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,14,20"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΚ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΚ τῇ ΚΕ, καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,14,21"></lb> ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΛΚΕ γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΛ διπλάσιόν <lb n="1799,001,,,,13,14,22"></lb> ἐστι τοῦ ἀπὸ ΕΚ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ διπλά- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,13,14,23"></lb> σιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΕ ἴσον ἐστὶ τῷ <lb n="1799,001,,,,13,14,24"></lb> ἀπὸ τῆς ΕΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΕ τῇ ΕΘ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ <lb n="1799,001,,,,13,14,25"></lb> καὶ ἡ ΛΘ τῇ ΘΕ ἐστιν ἴση· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΕΘ <lb n="1799,001,,,,13,14,26"></lb> τρίγωνον.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν λοι-<lb n="1799,001,,,,13,14,27"></lb> πῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μέν εἰσιν αἱ τοῦ ΕΖΗΘ τετρα-<lb n="1799,001,,,,13,14,28"></lb> γώνου πλευραί, κορυφαὶ δὲ τὰ Λ, Μ σημεῖα, ἰσόπλευρόν <lb n="1799,001,,,,13,14,29"></lb> ἐστιν· ὀκτάεδρον ἄρα συνέσταται ὑπὸ ὀκτὼ τριγώνων <lb n="1799,001,,,,13,14,30"></lb> ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,14,31"></lb> <s>Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖ-<lb n="1799,001,,,,13,14,32"></lb> ξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασίων ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,13,14,33"></lb> τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς.</s> <lb n="1799,001,,,,13,14,34"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ αἱ τρεῖς αἱ ΛΚ, ΚΜ, ΚΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, <lb n="1799,001,,,,13,14,35"></lb> τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΛΜ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ <lb n="1799,001,,,,13,14,36"></lb> τοῦ Ε.</s> <s>καὶ διὰ τὰ αὐτά, ἐὰν μενούσης τῆς ΛΜ περιενε-<lb n="1799,001,,,,13,14,37"></lb> χθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξα-<lb n="1799,001,,,,13,14,38"></lb> το φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Η, Θ σημείων, καὶ ἔσται <lb n="1799,001,,,,13,14,39"></lb> σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ ὀκτάεδρον.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ <lb n="1799,001,,,,13,14,40"></lb> δοθείσῃ.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΚ τῇ ΚΜ, κοινὴ δὲ ἡ ΚΕ, <lb n="1799,001,,,,13,14,41"></lb> καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΛΕ βάσει τῇ <lb n="1799,001,,,,13,14,42"></lb> ΕΜ ἐστιν ἴση.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΕΜ γωνία· <lb n="1799,001,,,,13,14,43"></lb> ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλάσιόν ἐστι <lb n="1799,001,,,,13,14,44"></lb> τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΕ.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, <lb n="1799,001,,,,13,14,45"></lb> διπλασία ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, <lb n="1799,001,,,,13,14,46"></lb> οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ· διπλάσιον ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,14,47"></lb> ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,13,14,48"></lb> ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΕ.</s> <s>καί ἐστιν ἴσον <lb n="1799,001,,,,13,14,49"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΕ· ἴση γὰρ κεῖται ἡ ΕΘ τῇ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,14,50"></lb> ΔΒ.</s> <s>ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΜ· ἴση <lb n="1799,001,,,,13,14,51"></lb> ἄρα ἡ ΑΒ τῇ ΛΜ.</s> <s>καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας <lb n="1799,001,,,,13,14,52"></lb> διάμετρος· ἡ ΛΜ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας <lb n="1799,001,,,,13,14,53"></lb> διαμέτρῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,14,54"></lb> <s>Περιείληπται ἄρα τὸ ὀκτάεδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,14,55"></lb> <s>καὶ συναποδέδεικται, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει <lb n="1799,001,,,,13,14,56"></lb> διπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς· ὅπερ ἔδει <lb n="1799,001,,,,13,14,57"></lb> δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,14,58"></lb> <s>Κύβον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὴν <lb n="1799,001,,,,13,15,1"></lb> πυραμίδα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει <lb n="1799,001,,,,13,15,2"></lb> τριπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς. <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,15,3"></lb> Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,13,15,4"></lb> καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε διπλῆν εἶναι τὴν ΑΓ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,15,5"></lb> ΓΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,15,6"></lb> ἀπὸ τοῦ Γ τῇ *αΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω <lb n="1799,001,,,,13,15,7"></lb> ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ ἴσην ἔχον <lb n="1799,001,,,,13,15,8"></lb> τὴν πλευρὰν τῇ ΔΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ τῷ τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,15,9"></lb> ΕΖΗΘ τετραγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ <lb n="1799,001,,,,13,15,10"></lb> ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ἑκάστης τῶν <lb n="1799,001,,,,13,15,11"></lb> ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ μιᾷ τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ ἴση ἑκά-<lb n="1799,001,,,,13,15,12"></lb> στη τῶν ΕΚ, ΖΛ, ΗΜ, ΘΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ, <lb n="1799,001,,,,13,15,13"></lb> ΛΜ, ΜΝ, ΝΚ· κύβος ἄρα συνέσταται ὁ ΖΝ ὑπὸ ἓξ <lb n="1799,001,,,,13,15,14"></lb> τετραγώνων ἴσων περιεχόμενος.</s> <s>δεῖ δὴ αὐτὸν καὶ σφαίρᾳ <lb n="1799,001,,,,13,15,15"></lb> περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διά-<lb n="1799,001,,,,13,15,16"></lb> μετρος δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου.</s> <lb n="1799,001,,,,13,15,17"></lb> <s>Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΚΗ, ΕΗ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,15,18"></lb> ἡ ὑπὸ ΚΕΗ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν ΚΕ ὀρθὴν εἶναι πρὸς <lb n="1799,001,,,,13,15,19"></lb> τὸ ΕΗ ἐπίπεδον δηλαδὴ καὶ πρὸς τὴν ΕΗ εὐθεῖαν, τὸ <lb n="1799,001,,,,13,15,20"></lb> ἄρα ἐπὶ τῆς ΚΗ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,15,21"></lb> Ε σημείου.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΗΖ ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν <lb n="1799,001,,,,13,15,22"></lb> τῶν ΖΛ, ΖΕ, καὶ πρὸς τὸ ΖΚ ἄρα ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,15,23"></lb> ἡ ΗΖ· ὥστε καὶ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΖΚ, ἡ ΗΖ ὀρθὴ <lb n="1799,001,,,,13,15,24"></lb> ἔσται καὶ πρὸς τὴν ΖΚ· καὶ διὰ τοῦτο πάλιν τὸ ἐπὶ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,15,25"></lb> ΗΚ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ζ.</s> <s>ὁμοίως <lb n="1799,001,,,,13,15,26"></lb> καὶ διὰ τῶν λοιπῶν τοῦ κύβου σημείων ἥξει.</s> <s>ἐὰν δὴ μενού-<lb n="1799,001,,,,13,15,27"></lb> σης τῆς ΚΗ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ ἀπο-<lb n="1799,001,,,,13,15,28"></lb> κατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἔσται σφαίρᾳ περι- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,13,15,29"></lb> ειλημμένος ὁ κύβος.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ.</s> <s>ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,13,15,30"></lb> γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΖΕ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Ζ <lb n="1799,001,,,,13,15,31"></lb> γωνία, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,15,32"></lb> ΕΖ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ διπλά-<lb n="1799,001,,,,13,15,33"></lb> σιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΗΕ, ΕΚ, <lb n="1799,001,,,,13,15,34"></lb> τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ, τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,15,35"></lb> ΕΚ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τριπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,13,15,36"></lb> πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, <lb n="1799,001,,,,13,15,37"></lb> τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ.</s> <s>ἐδείχθη <lb n="1799,001,,,,13,15,38"></lb> δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΕ τριπλάσιον.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,13,15,39"></lb> κεῖται ἴση ἡ ΚΕ τῇ ΔΒ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΗ τῇ ΑΒ.</s> <s>καί <lb n="1799,001,,,,13,15,40"></lb> ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος· καὶ ἡ ΚΗ <lb n="1799,001,,,,13,15,41"></lb> ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,15,42"></lb> <s>Τῇ δοθείσῃ ἄρα σφαίρᾳ περιείληπται ὁ κύβος· καὶ <lb n="1799,001,,,,13,15,43"></lb> συναποδέδεικται, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει <lb n="1799,001,,,,13,15,44"></lb> τριπλασίων ἐστὶ τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,15,45"></lb> <s>Εἰκοσάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ <lb n="1799,001,,,,13,16,1"></lb> καὶ τὰ προειρημένα σχήματα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκο-<lb n="1799,001,,,,13,16,2"></lb> σαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.</s> <lb n="1799,001,,,,13,16,3"></lb> <s>Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ <lb n="1799,001,,,,13,16,4"></lb> τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε τετραπλῆν εἶναι τὴν ΑΓ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,16,5"></lb> ΓΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,16,6"></lb> ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμ-<lb n="1799,001,,,,13,16,7"></lb> μὴ ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω κύκλος <lb n="1799,001,,,,13,16,8"></lb> ὁ ΕΖΗΘΚ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἔστω τῇ ΔΒ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,16,9"></lb> ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον πεντάγωνον ἰσό-<lb n="1799,001,,,,13,16,10"></lb> πλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΖΗΘΚ, καὶ τετμήσθωσαν <lb n="1799,001,,,,13,16,11"></lb> αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Λ, <lb n="1799,001,,,,13,16,12"></lb> Μ, Ν, Ξ, Ο σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΜ, ΜΝ, ΝΞ, <lb n="1799,001,,,,13,16,13"></lb> ΞΟ, ΟΛ, ΕΟ.</s> <s>ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΜΝΞΟ <lb n="1799,001,,,,13,16,14"></lb> πεντάγωνον, καὶ δεκαγώνου ἡ ΕΟ εὐθεῖα.</s> <s>καὶ ἀνεστά-<lb n="1799,001,,,,13,16,15"></lb> τωσαν ἀπὸ τῶν Ε, Ζ, Η, Θ, Κ σημείων τῷ τοῦ κύκλου <lb n="1799,001,,,,13,16,16"></lb> ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι αἱ ΕΠ, ΖΡ, ΗΣ, <lb n="1799,001,,,,13,16,17"></lb> ΘΤ, ΚΥ ἴσαι οὖσαι τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ <lb n="1799,001,,,,13,16,18"></lb> κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ, ΥΠ, <lb n="1799,001,,,,13,16,19"></lb> ΠΛ, ΛΡ, ΡΜ, ΜΣ, ΣΝ, ΝΤ, ΤΞ, ΞΥ, ΥΟ, ΟΠ.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,13,16,20"></lb> ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΕΠ, ΚΥ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς <lb n="1799,001,,,,13,16,21"></lb> ἐστιν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΠ τῇ ΚΥ.</s> <s>ἔστι δὲ αὐτῇ <lb n="1799,001,,,,13,16,22"></lb> καὶ ἴση· αἱ δὲ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπιζευγνύουσαι <lb n="1799,001,,,,13,16,23"></lb> ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εὐθεῖαι ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.</s> <s>ἡ <lb n="1799,001,,,,13,16,24"></lb> ΠΥ ἄρα τῇ ΕΚ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν.</s> <s>πενταγώνου <lb n="1799,001,,,,13,16,25"></lb> δὲ ἰσοπλεύρου ἡ ΕΚ· πενταγώνου ἄρα ἰσοπλεύρου καὶ ἡ <lb n="1799,001,,,,13,16,26"></lb> ΠΥ τοῦ εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου.</s> <s>διὰ <lb n="1799,001,,,,13,16,27"></lb> τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ πεντα-<lb n="1799,001,,,,13,16,28"></lb> γώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον <lb n="1799,001,,,,13,16,29"></lb> ἐγγραφομένου· ἰσόπλευρον ἄρα τὸ ΠΡΣΤΥ πεντάγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,16,30"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου μέν ἐστιν ἡ ΠΕ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΕΟ, <lb n="1799,001,,,,13,16,31"></lb> καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΠΕΟ, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΟ· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,16,32"></lb> ἡ γὰρ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου <lb n="1799,001,,,,13,16,33"></lb> καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγρα-<lb n="1799,001,,,,13,16,34"></lb> φομένων.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΟΥ πενταγώνου ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,13,16,35"></lb> πλευρά.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ΠΥ πενταγώνου· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,13,16,36"></lb> τὸ ΠΟΥ τρίγωνον.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν ΠΛΡ, <lb n="1799,001,,,,13,16,37"></lb> ΡΜΣ, ΣΝΤ, ΤΞΥ ἰσόπλευρόν ἐστιν.</s> <s>καὶ ἐπεὶ πενταγώ-<lb n="1799,001,,,,13,16,38"></lb> νου ἐδείχθη ἑκατέρα τῶν ΠΛ, ΠΟ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΟ <lb n="1799,001,,,,13,16,39"></lb> πενταγώνου, ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΛΟ τρίγωνον.</s> <s>διὰ <lb n="1799,001,,,,13,16,40"></lb> τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἕκαστον τῶν ΛΡΜ, ΜΣΝ, ΝΤΞ, ΞΥΟ <lb n="1799,001,,,,13,16,41"></lb> τριγώνων ἰσόπλευρόν ἐστιν.</s> <s>εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΕΖΗ <lb n="1799,001,,,,13,16,42"></lb> ΘΚ κύκλου τὸ Φ σημεῖον· καὶ ἀπὸ τοῦ Φ τῷ τοῦ κύκλου <lb n="1799,001,,,,13,16,43"></lb> ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ ΦΩ, καὶ ἐκβεβλήσθω <lb n="1799,001,,,,13,16,44"></lb> ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ὡς ἡ ΦΨ, καὶ ἀφῃρήσθω ἑξαγώνου μὲν <lb n="1799,001,,,,13,16,45"></lb> ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἑκατέρα τῶν ΦΨ, ΧΩ, καὶ ἐπεζεύχ-<lb n="1799,001,,,,13,16,46"></lb> θωσαν αἱ ΠΩ, ΠΧ, ΥΩ, ΕΦ, ΛΦ, ΛΨ, ΨΜ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,13,16,47"></lb> ἑκατέρα τῶν ΦΧ, ΠΕ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς <lb n="1799,001,,,,13,16,48"></lb> ἐστιν, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΧ τῇ ΠΕ.</s> <s>εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι· <lb n="1799,001,,,,13,16,49"></lb> καὶ αἱ ΕΦ, ΠΧ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν.</s> <s>ἑξα-<lb n="1799,001,,,,13,16,50"></lb> γώνου δὲ ἡ ΕΦ· ἑξαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΠΧ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἑξαγώ-<lb n="1799,001,,,,13,16,51"></lb> νου μέν ἐστιν ἡ ΠΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, καὶ ὀρθή ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,16,52"></lb> ἡ ὑπὸ ΠΧΩ γωνία, πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΩ.</s> <s>διὰ <lb n="1799,001,,,,13,16,53"></lb> τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΥΩ πενταγώνου ἐστίν, ἐπειδήπερ, ἐὰν <lb n="1799,001,,,,13,16,54"></lb> ἐπιζεύξωμεν τὰς ΦΚ, ΧΥ, ἴσαι καὶ ἀπεναντίον ἔσονται, <lb n="1799,001,,,,13,16,55"></lb> καί ἐστιν ἡ ΦΚ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα ἑξαγώνου· ἑξαγώ-<lb n="1799,001,,,,13,16,56"></lb> νου ἄρα καὶ ἡ ΧΥ.</s> <s>δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,16,57"></lb> ΥΧΩ· πενταγώνου ἄρα ἡ ΥΩ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ΠΥ πεντα-<lb n="1799,001,,,,13,16,58"></lb> γώνου· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΠΥΩ τρίγωνον.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ <lb n="1799,001,,,,13,16,59"></lb> δὴ καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μέν <lb n="1799,001,,,,13,16,60"></lb> εἰσιν αἱ ΠΡ, ΡΣ, ΣΤ, ΤΥ εὐθεῖαι, κορυφὴ δὲ τὸ Ω ση-<lb n="1799,001,,,,13,16,61"></lb> μεῖον, ἰσόπλευρόν ἐστιν.</s> <s>πάλιν, ἐπεὶ ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΛ, <lb n="1799,001,,,,13,16,62"></lb> δεκαγώνου δὲ ἡ ΦΨ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΛΦΨ γωνία, <lb n="1799,001,,,,13,16,63"></lb> πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΨ.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐὰν ἐπι-<lb n="1799,001,,,,13,16,64"></lb> ζεύξωμεν τὴν ΜΦ οὖσαν ἑξαγώνου, συνάγεται καὶ ἡ ΜΨ <lb n="1799,001,,,,13,16,65"></lb> πενταγώνου.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΜ πενταγώνου· ἰσόπλευρον <lb n="1799,001,,,,13,16,66"></lb> ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΜΨ τρίγωνον.</s> <s>ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι <lb n="1799,001,,,,13,16,67"></lb> καὶ ἕκαστον τῶν λοιπῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μέν εἰσιν <lb n="1799,001,,,,13,16,68"></lb> αἱ ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ, κορυφὴ δὲ τὸ Ψ σημεῖον, ἰσόπλευ-<lb n="1799,001,,,,13,16,69"></lb> ρόν ἐστιν.</s> <s>συνέσταται ἄρα εἰκοσάεδρον ὑπὸ εἴκοσι τρι-<lb n="1799,001,,,,13,16,70"></lb> γώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,16,71"></lb> <s>Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖ-<lb n="1799,001,,,,13,16,72"></lb> ξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλου-<lb n="1799,001,,,,13,16,73"></lb> μένη ἐλάσσων.</s> <lb n="1799,001,,,,13,16,74"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, <lb n="1799,001,,,,13,16,75"></lb> ἡ ΦΩ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμηται κατὰ τὸ Χ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,16,76"></lb> τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΦΧ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΩΦ <lb n="1799,001,,,,13,16,77"></lb> πρὸς τὴν ΦΧ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΧΩ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ μὲν ΦΧ <lb n="1799,001,,,,13,16,78"></lb> τῇ ΦΕ, ἡ δὲ ΧΩ τῇ ΦΨ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,13,16,79"></lb> ΦΕ, οὕτως ἡ ΕΦ πρὸς τὴν ΦΨ.</s> <s>καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,16,80"></lb> ΩΦΕ, ΕΦΨ γωνίαι· ἐὰν ἄρα ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΩ εὐθεῖαν, <lb n="1799,001,,,,13,16,81"></lb> ὀρθὴ ἔσται ἡ ὑπὸ ΨΕΩ γωνία διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΨΕΩ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,16,82"></lb> ΦΕΩ τριγώνων.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΩΦ πρὸς <lb n="1799,001,,,,13,16,83"></lb> τὴν ΦΧ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΧΩ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΩΦ τῇ <lb n="1799,001,,,,13,16,84"></lb> ΨΧ, ἡ δὲ ΦΧ τῇ ΧΠ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΨΧ πρὸς τὴν ΧΠ, <lb n="1799,001,,,,13,16,85"></lb> οὕτως ἡ ΠΧ πρὸς τὴν ΧΩ.</s> <s>καὶ διὰ τοῦτο πάλιν ἐὰν ἐπιζεύ-<lb n="1799,001,,,,13,16,86"></lb> ξωμεν τὴν ΠΨ, ὀρθὴ ἔσται ἡ πρὸς τῷ Π γωνία· τὸ ἄρα ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,13,16,87"></lb> τῆς ΨΩ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Π.</s> <s>καὶ ἐὰν <lb n="1799,001,,,,13,16,88"></lb> μενούσης τῆς ΨΩ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ <lb n="1799,001,,,,13,16,89"></lb> πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ <lb n="1799,001,,,,13,16,90"></lb> τοῦ Π καὶ τῶν λοιπῶν σημείων τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἔσται <lb n="1799,001,,,,13,16,91"></lb> σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ εἰκοσάεδρον.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,13,16,92"></lb> τῇ δοθείσῃ.</s> <s>τετμήσθω γὰρ ἡ ΦΧ δίχα κατὰ τὸ Α#.</s> <s>καὶ <lb n="1799,001,,,,13,16,93"></lb> ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΦΩ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται <lb n="1799,001,,,,13,16,94"></lb> κατὰ τὸ Χ, καὶ τὸ ἔλασσον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΩΧ, ἡ <lb n="1799,001,,,,13,16,95"></lb> ἄρα ΩΧ προσλαβοῦσα τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονος τμήμα-<lb n="1799,001,,,,13,16,96"></lb> τος τὴν ΧΑ# πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας <lb n="1799,001,,,,13,16,97"></lb> τοῦ μείζονος τμήματος· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,16,98"></lb> ΩΑ# τοῦ ἀπὸ τῆς Α#Χ.</s> <s>καί ἐστι τῆς μὲν ΩΑ# διπλῆ ἡ ΩΨ, <lb n="1799,001,,,,13,16,99"></lb> τῆς δὲ Α#Χ διπλῆ ἡ ΦΧ· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,16,100"></lb> τῆς ΩΨ τοῦ ἀπὸ τῆς ΧΦ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τετραπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ <lb n="1799,001,,,,13,16,101"></lb> τῆς ΓΒ, πενταπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,13,16,102"></lb> πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,16,103"></lb> πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,16,104"></lb> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,16,105"></lb> ΦΧ.</s> <s>καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΒ τῇ ΦΧ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση <lb n="1799,001,,,,13,16,106"></lb> ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου· ἴση ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,16,107"></lb> καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΨΩ.</s> <s>καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας <lb n="1799,001,,,,13,16,108"></lb> διάμετρος· καὶ ἡ ΨΩ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαί-<lb n="1799,001,,,,13,16,109"></lb> ρας διαμέτρῳ.</s> <s>τῇ ἄρα δοθείσῃ σφαίρᾳ περιείληπται τὸ <lb n="1799,001,,,,13,16,110"></lb> εἰκοσάεδρον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,16,111"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,16,112"></lb> ἡ καλουμένη ἐλάττων.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ ῥητή ἐστιν ἡ τῆς σφαί- <pb></pb><lb n="1799,001,,,,13,16,113"></lb> ρας διάμετρος, καί ἐστι δυνάμει <lb n="1799,001,,,,13,16,114"></lb> πενταπλασίων τῆς ἐκ τοῦ κέν-<lb n="1799,001,,,,13,16,115"></lb> τρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου, <lb n="1799,001,,,,13,16,116"></lb> ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ἐκ τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,16,117"></lb> κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου· <lb n="1799,001,,,,13,16,118"></lb> ὥστε καὶ ἡ διάμετρος αὐτοῦ ῥητή <lb n="1799,001,,,,13,16,119"></lb> ἐστιν.</s> <s>ἐὰν δὲ εἰς κύκλον ῥητὴν <lb n="1799,001,,,,13,16,120"></lb> ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον <lb n="1799,001,,,,13,16,121"></lb> ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πεν-<lb n="1799,001,,,,13,16,122"></lb> ταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,16,123"></lb> ἡ καλουμένη ἐλάττων.</s> <s>ἡ δὲ τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,16,124"></lb> ΕΖΗΘΚ πενταγώνου πλευρὰ <lb n="1799,001,,,,13,16,125"></lb> ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐστίν.</s> <s>ἡ ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,16,126"></lb> τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός <lb n="1799,001,,,,13,16,127"></lb> ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.</s> <lb n="1799,001,,,,13,16,128"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,13,16,129"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος <lb n="1799,001,,,,13,16,130"></lb> δυνάμει πενταπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, <lb n="1799,001,,,,13,16,131"></lb> ἀφ' οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται, καὶ ὅτι ἡ τῆς σφαί-<lb n="1799,001,,,,13,16,132"></lb> ρας διάμετρος σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο <lb n="1799,001,,,,13,16,133"></lb> τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφο-<lb n="1799,001,,,,13,16,134"></lb> μένων.</s> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,16,135"></lb> <s>Δωδεκάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ <lb n="1799,001,,,,13,17,1"></lb> καὶ τὰ προειρημένα σχήματα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ δωδε-<lb n="1799,001,,,,13,17,2"></lb> καέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,17,3"></lb> Ἐκκείσθωσαν τοῦ προειρημένου κύβου δύο ἐπίπεδα <lb n="1799,001,,,,13,17,4"></lb> πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλοις τὰ ΑΒΓΔ, ΓΒΕΖ, καὶ τετμήσθω <lb n="1799,001,,,,13,17,5"></lb> ἑκάστη τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ΕΖ, ΕΒ, ΖΓ πλευρῶν <lb n="1799,001,,,,13,17,6"></lb> δίχα κατὰ τὰ Η, Θ, Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ <lb n="1799,001,,,,13,17,7"></lb> ΗΚ, ΘΛ, ΜΘ, ΝΞ, καὶ τετμήσθω ἑκάστη τῶν ΝΟ, <lb n="1799,001,,,,13,17,8"></lb> ΟΞ, ΘΠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὰ Ρ, Σ, Τ σημεῖα, <lb n="1799,001,,,,13,17,9"></lb> καὶ ἔστω αὐτῶν μείζονα τμήματα τὰ ΡΟ, ΟΣ, ΤΠ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,17,10"></lb> ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Ρ, Σ, Τ σημείων τοῖς τοῦ κύβου <lb n="1799,001,,,,13,17,11"></lb> ἐπιπέδοις πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὰ ἐκτὸς μέρη τοῦ κύβου αἱ ΡΥ, <lb n="1799,001,,,,13,17,12"></lb> ΣΦ, ΤΧ, καὶ κείσθωσαν ἴσαι ταῖς ΡΟ, ΟΣ, ΤΠ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,17,13"></lb> ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΥΒ, ΒΧ, ΧΓ, ΓΦ, ΦΥ.</s> <s>λέγω, ὅτι τὸ <lb n="1799,001,,,,13,17,14"></lb> ΥΒΧΓΦ πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ <lb n="1799,001,,,,13,17,15"></lb> καὶ ἔτι ἰσογώνιόν ἐστιν.</s> <s>ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΡΒ, ΣΒ, <lb n="1799,001,,,,13,17,16"></lb> ΦΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ Ν*ο ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμη-<lb n="1799,001,,,,13,17,17"></lb> ται κατὰ τὸ Ρ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ, τὰ ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,17,18"></lb> ἀπὸ τῶν ΟΝ, ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΟ.</s> <s>ἴση <lb n="1799,001,,,,13,17,19"></lb> δὲ ἡ μὲν ΟΝ τῇ ΝΒ, ἡ δὲ ΟΡ τῇ ΡΥ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,17,20"></lb> ΒΝ, ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ.</s> <s>τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,17,21"></lb> ΒΝ, ΝΡ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΡ ἐστιν ἴσον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΡ <lb n="1799,001,,,,13,17,22"></lb> τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΒΡ, <lb n="1799,001,,,,13,17,23"></lb> ΡΥ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ.</s> <s>τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,17,24"></lb> ΒΡ, ΡΥ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΥ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΥ <lb n="1799,001,,,,13,17,25"></lb> τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΥΡ· διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,13,17,26"></lb> ΒΥ τῆς ΡΥ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ΦΥ τῆς ΥΡ διπλῆ, ἐπειδήπερ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,17,27"></lb> καὶ ἡ ΣΡ τῆς ΟΡ, τουτέστι τῆς ΡΥ, ἐστι διπλῆ· ἴση ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,17,28"></lb> ἡ ΒΥ τῇ ΥΦ.</s> <s>ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν <lb n="1799,001,,,,13,17,29"></lb> ΒΧ, ΧΓ, ΓΦ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ, ΥΦ ἐστιν ἴση.</s> <s>ἰσόπλευ-<lb n="1799,001,,,,13,17,30"></lb> ρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον.</s> <s>λέγω δή, ὅτι καὶ <lb n="1799,001,,,,13,17,31"></lb> ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.</s> <s>ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ο ἑκατέρᾳ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,17,32"></lb> ΡΥ, ΣΦ παράλληλος ἐπὶ τὰ ἐκτὸς τοῦ κύβου μέρη ἡ ΟΨ, <lb n="1799,001,,,,13,17,33"></lb> καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΨΘ, ΘΧ· λέγω, ὅτι ἡ ΨΘΧ εὐθεῖά <lb n="1799,001,,,,13,17,34"></lb> ἐστιν.</s> <s>ἐπεὶ γὰρ ἡ ΘΠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ <lb n="1799,001,,,,13,17,35"></lb> τὸ Τ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΠΤ, ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="1799,001,,,,13,17,36"></lb> ἡ ΘΠ πρὸς τὴν ΠΤ, οὕτως ἡ ΠΤ πρὸς τὴν ΤΘ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ <lb n="1799,001,,,,13,17,37"></lb> μὲν ΘΠ τῇ ΘΟ, ἡ δὲ ΠΤ ἑκατέρᾳ τῶν ΤΧ, ΟΨ· ἔστιν <lb n="1799,001,,,,13,17,38"></lb> ἄρα ὡς ἡ ΘΟ πρὸς τὴν ΟΨ, οὕτως ἡ ΧΤ πρὸς τὴν ΤΘ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,17,39"></lb> <s>καί ἐστι παράλληλος ἡ μὲν ΘΟ τῇ ΤΧ· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν <lb n="1799,001,,,,13,17,40"></lb> τῷ ΒΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· ἡ δὲ ΤΘ τῇ ΟΨ· ἑκα-<lb n="1799,001,,,,13,17,41"></lb> τέρα γὰρ αὐτῶν τῷ ΒΖ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.</s> <s>ἐὰν δὲ <lb n="1799,001,,,,13,17,42"></lb> δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν, ὡς τὰ ΨΟΘ, <lb n="1799,001,,,,13,17,43"></lb> ΘΤΧ, τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶν ἀνάλογον ἔχοντα, ὥστε <lb n="1799,001,,,,13,17,44"></lb> τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ <lb n="1799,001,,,,13,17,45"></lb> λοιπαὶ εὐθεῖαι ἐπ' εὐθείας ἔσονται· ἐπ' εὐθείας ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,13,17,46"></lb> ἡ ΨΘ τῇ ΘΧ.</s> <s>πᾶσα δὲ εὐθεῖα ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ· ἐν <lb n="1799,001,,,,13,17,47"></lb> ἑνὶ ἄρα ἐπιπέδῳ ἐστὶ τὸ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,17,48"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστιν.</s> <lb n="1799,001,,,,13,17,49"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον <lb n="1799,001,,,,13,17,50"></lb> τέτμηται κατὰ τὸ Ρ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΟΡ <lb n="1799,001,,,,13,17,51"></lb> [ἔστιν ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΝΟ, ΟΡ πρὸς τὴν ΟΝ, <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,17,52"></lb> οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΡ], ἴση δὲ ἡ ΟΡ τῇ ΟΣ [ἔστιν <lb n="1799,001,,,,13,17,53"></lb> ἄρα ὡς ἡ ΣΝ πρὸς τὴν ΝΟ, οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΣ], <lb n="1799,001,,,,13,17,54"></lb> ἡ ΝΣ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο, <lb n="1799,001,,,,13,17,55"></lb> καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, <lb n="1799,001,,,,13,17,56"></lb> ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΟ <lb n="1799,001,,,,13,17,57"></lb> τῇ ΝΒ, ἡ δὲ ΟΣ τῇ ΣΦ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΦ τετρά-<lb n="1799,001,,,,13,17,58"></lb> γωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,17,59"></lb> ΦΣ, ΣΝ, ΝΒ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ.</s> <s>τοῖς <lb n="1799,001,,,,13,17,60"></lb> δὲ ἀπὸ τῶν ΣΝ, ΝΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΣΒ· τὰ ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,17,61"></lb> ἀπὸ τῶν ΒΣ, ΣΦ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΦ ̔̓ρθὴ γὰρ ἡ <lb n="1799,001,,,,13,17,62"></lb> ὑπὸ ΦΣΒ γωνίἀ τετρα- <lb n="1799,001,,,,13,17,63"></lb> πλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,17,64"></lb> ΝΒ· διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΒ <lb n="1799,001,,,,13,17,65"></lb> τῆς ΒΝ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,13,17,66"></lb> τῆς ΒΝ διπλῆ· ἴση ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,17,67"></lb> ἐστὶν ἡ ΒΦ τῇ ΒΓ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,13,17,68"></lb> δύο αἱ ΒΥ, ΥΦ δυσὶ ταῖς <lb n="1799,001,,,,13,17,69"></lb> ΒΧ, ΧΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,17,70"></lb> βάσις ἡ ΒΦ βάσει τῇ ΒΓ <lb n="1799,001,,,,13,17,71"></lb> ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΥΦ <lb n="1799,001,,,,13,17,72"></lb> γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,17,73"></lb> ἴση.</s> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι <lb n="1799,001,,,,13,17,74"></lb> καὶ ἡ ὑπὸ ΥΦΓ γωνία ἴση <lb n="1799,001,,,,13,17,75"></lb> ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ· αἱ ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,17,76"></lb> ὑπὸ ΒΧΓ, ΒΥΦ, ΥΦΓ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,17,77"></lb> τρεῖς γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</s> <s>ἐὰν δὲ πενταγώνου ἰσο-<lb n="1799,001,,,,13,17,78"></lb> πλεύρου αἱ τρεῖς γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, ἰσογώνιον <lb n="1799,001,,,,13,17,79"></lb> ἔσται τὸ πεντάγωνον· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ <lb n="1799,001,,,,13,17,80"></lb> πεντάγωνον.</s> <s>ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον· τὸ ἄρα ΒΥΦΓΧ <lb n="1799,001,,,,13,17,81"></lb> πεντάγωνον ἰσόπλευρόν ἐστι καὶ ἰσογώνιον, καί ἐστιν ἐπὶ <lb n="1799,001,,,,13,17,82"></lb> μιᾶς τοῦ κύβου πλευρᾶς τῆς ΒΓ.</s> <s>ἐὰν ἄρα ἐφ' ἑκάστης τῶν <lb n="1799,001,,,,13,17,83"></lb> τοῦ κύβου δώδεκα πλευρῶν τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν, <lb n="1799,001,,,,13,17,84"></lb> συσταθήσεταί τι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ δώδεκα πενταγώνων <lb n="1799,001,,,,13,17,85"></lb> ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον, ὃ καλεῖται <lb n="1799,001,,,,13,17,86"></lb> δωδεκάεδρον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,17,87"></lb> <s>Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖ-<lb n="1799,001,,,,13,17,88"></lb> ξαι, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλου-<lb n="1799,001,,,,13,17,89"></lb> μένη ἀποτομή.</s> <lb n="1799,001,,,,13,17,90"></lb> <s>Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΨΟ, καὶ ἔστω ἡ ΨΩ· συμβάλλει <lb n="1799,001,,,,13,17,91"></lb> ἄρα ἡ ΟΩ τῇ τοῦ κύβου διαμέτρῳ, καὶ δίχα τέμνουσιν <lb n="1799,001,,,,13,17,92"></lb> ἀλλήλας· τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν τῷ παρατελεύτῳ θεωρή-<lb n="1799,001,,,,13,17,93"></lb> ματι τοῦ ἑνδεκάτου βιβλίου.</s> <s>τεμνέτωσαν κατὰ τὸ Ω· τὸ Ω <lb n="1799,001,,,,13,17,94"></lb> ἄρα κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν <lb n="1799,001,,,,13,17,95"></lb> κύβον, καὶ ἡ ΩΟ ἡμίσεια τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου.</s> <s>ἐπεζεύχ-<lb n="1799,001,,,,13,17,96"></lb> θω δὴ ἡ ΥΩ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΣ ἄκρον καὶ <lb n="1799,001,,,,13,17,97"></lb> μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς <lb n="1799,001,,,,13,17,98"></lb> τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά <lb n="1799,001,,,,13,17,99"></lb> ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΣ τῇ ΨΩ, ἐπειδήπερ <lb n="1799,001,,,,13,17,100"></lb> καὶ ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΟΩ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΨΟ τῇ ΟΣ.</s> <s>ἀλλὰ <lb n="1799,001,,,,13,17,101"></lb> μὴν καὶ ἡ ΟΣ τῇ ΨΥ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΡΟ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν <lb n="1799,001,,,,13,17,102"></lb> ΩΨ, ΨΥ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ.</s> <s>τοῖς δὲ ἀπὸ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,17,103"></lb> τῶν ΩΨ, ΨΥ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΥΩ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,17,104"></lb> ΥΩ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ ἐκ <lb n="1799,001,,,,13,17,105"></lb> τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον <lb n="1799,001,,,,13,17,106"></lb> δυνάμει τριπλασίων τῆς ἡμισείας τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς· <lb n="1799,001,,,,13,17,107"></lb> προδέδεικται γὰρ κύβον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περι-<lb n="1799,001,,,,13,17,108"></lb> λαβεῖν καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει <lb n="1799,001,,,,13,17,109"></lb> τριπλασίων ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου.</s> <s>εἰ δὲ ὅλη τῆς ὅλης, <lb n="1799,001,,,,13,17,110"></lb> καὶ [ἡ] ἡμίσεια τῆς ἡμισείας· καί ἐστιν ἡ ΝΟ ἡμίσεια τῆς <lb n="1799,001,,,,13,17,111"></lb> τοῦ κύβου πλευρᾶς· ἡ ἄρα ΥΩ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου <lb n="1799,001,,,,13,17,112"></lb> τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον.</s> <s>καί ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,13,17,113"></lb> Ω κέντρον τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον· <lb n="1799,001,,,,13,17,114"></lb> τὸ Υ ἄρα σημεῖον πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τῆς σφαίρας.</s> <lb n="1799,001,,,,13,17,115"></lb> <s>ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν λοιπῶν γωνιῶν <lb n="1799,001,,,,13,17,116"></lb> τοῦ δωδεκαέδρου πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τῆς σφαίρας· <lb n="1799,001,,,,13,17,117"></lb> περιείληπται ἄρα τὸ δωδεκάεδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,17,118"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,17,119"></lb> ἡ καλουμένη ἀποτομή.</s> <lb n="1799,001,,,,13,17,120"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ τῆς ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημένης <lb n="1799,001,,,,13,17,121"></lb> τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ, τῆς δὲ ΟΞ ἄκρον καὶ μέσον <lb n="1799,001,,,,13,17,122"></lb> λόγον τετμημένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΟΣ, ὅλης ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,17,123"></lb> τῆς ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον <lb n="1799,001,,,,13,17,124"></lb> τμῆμά ἐστιν ἡ Ρ*ς.</s> <s>οἷον ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΡ, <lb n="1799,001,,,,13,17,125"></lb> ἡ ΟΡ πρὸς τὴν ΡΝ, καὶ τὰ διπλάσια· τὰ γὰρ μέρη τοῖς <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,17,126"></lb> ἰσάκις πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ὡς ἄρα ἡ ΝΞ <lb n="1799,001,,,,13,17,127"></lb> πρὸς τὴν ΡΣ, οὕτως ἡ ΡΣ πρὸς συναμφότερον τὴν ΝΡ, <lb n="1799,001,,,,13,17,128"></lb> ΣΞ.</s> <s>μείζων δὲ ἡ ΝΞ τῆς ΡΣ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΡΣ <lb n="1799,001,,,,13,17,129"></lb> συναμφοτέρου τῆς ΝΡ, ΣΞ· ἡ ΝΞ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον <lb n="1799,001,,,,13,17,130"></lb> λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,17,131"></lb> <s>ἴση δὲ ἡ ΡΣ τῇ ΥΦ· τῆς ἄρα ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον <lb n="1799,001,,,,13,17,132"></lb> τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΥΦ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ῥητή <lb n="1799,001,,,,13,17,133"></lb> ἐστιν ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος καί ἐστι δυνάμει τριπλα-<lb n="1799,001,,,,13,17,134"></lb> σίων τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς, ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΞ πλευρὰ <lb n="1799,001,,,,13,17,135"></lb> οὖσα τοῦ κύβου.</s> <s>ἐὰν δὲ ῥητὴ γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λό-<lb n="1799,001,,,,13,17,136"></lb> γον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἀποτομή.</s> <lb n="1799,001,,,,13,17,137"></lb> <s>Ἡ ΥΦ ἄρα πλευρὰ οὖσα τοῦ δωδεκαέδρου ἄλογός ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,17,138"></lb> ἀποτομή.</s> <lb n="1799,001,,,,13,17,139"></lb> <s>Πόρισμα <lb n="1799,001,,,,13,17,140"></lb> Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς ἄκρον <lb n="1799,001,,,,13,17,141"></lb> καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,17,142"></lb> δωδεκαέδρου πλευρά.</s> <s>ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,17,143"></lb> <s>Τὰς πλευρὰς τῶν πέντε σχημάτων ἐκθέσθαι καὶ συγκρῖ-<lb n="1799,001,,,,13,18,1"></lb> ναι πρὸς ἀλλήλας.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,2"></lb> <s>Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, <lb n="1799,001,,,,13,18,3"></lb> καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΓΒ, <lb n="1799,001,,,,13,18,4"></lb> κατὰ δὲ τὸ Δ ὥστε διπλασίονα εἶναι τὴν ΑΔ τῆς ΔΒ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,18,5"></lb> γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΒ, καὶ ἀπὸ τῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,18,6"></lb> Γ, Δ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς <lb n="1799,001,,,,13,18,7"></lb> ἤχθωσαν αἱ ΓΕ, ΔΖ, καὶ <lb n="1799,001,,,,13,18,8"></lb> ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ, <lb n="1799,001,,,,13,18,9"></lb> ΕΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ <lb n="1799,001,,,,13,18,10"></lb> ΑΔ τῆς ΔΒ, τριπλῆ ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,18,11"></lb> ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ.</s> <s>ἀνα-<lb n="1799,001,,,,13,18,12"></lb> στρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν <lb n="1799,001,,,,13,18,13"></lb> ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΒΑ <lb n="1799,001,,,,13,18,14"></lb> πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,18,15"></lb> τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ· ἰσογώνιον γάρ ἐστι τὸ <lb n="1799,001,,,,13,18,16"></lb> ΑΖΒ τρίγωνον τῷ ΑΖΔ τριγώνῳ· ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,13,18,17"></lb> ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΖ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας <lb n="1799,001,,,,13,18,18"></lb> διάμετρος δυνάμει ἡμιολία τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,19"></lb> <s>καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος· ἡ ΑΖ ἄρα ἴση <lb n="1799,001,,,,13,18,20"></lb> ἐστὶ τῇ πλευρᾷ τῆς πυραμίδος.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,21"></lb> <s>Πάλιν, ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ, τριπλῆ <lb n="1799,001,,,,13,18,22"></lb> ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,13,18,23"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ· τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,13,18,24"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΖ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαί-<lb n="1799,001,,,,13,18,25"></lb> ρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευ-<lb n="1799,001,,,,13,18,26"></lb> ρᾶς.</s> <s>καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος· ἡ ΒΖ ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,18,27"></lb> τοῦ κύβου ἐστὶ πλευρά.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,28"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,13,18,29"></lb> ΑΒ τῆς ΒΓ.</s> <s>ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,18,30"></lb> ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,18,31"></lb> ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,18,32"></lb> δυνάμει διπλασίων τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς.</s> <s>καί ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,18,33"></lb> ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος· ἡ ΒΕ ἄρα τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,18,34"></lb> ὀκταέδρου ἐστὶ πλευρά.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,35"></lb> <s>Ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς <lb n="1799,001,,,,13,18,36"></lb> ὀρθὰς ἡ ΑΗ, καὶ κείσθω ἡ ΑΗ ἴση τῇ ΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω <lb n="1799,001,,,,13,18,37"></lb> ἡ ΗΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,38"></lb> <s>καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΗΑ τῆς ΑΓ· ἴση γὰρ ἡ ΗΑ τῇ <lb n="1799,001,,,,13,18,39"></lb> ΑΒ· ὡς δὲ ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν <lb n="1799,001,,,,13,18,40"></lb> ΚΓ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΚΓ.</s> <s>τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ <lb n="1799,001,,,,13,18,41"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΘΚ, <lb n="1799,001,,,,13,18,42"></lb> ΚΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΓ, πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ <lb n="1799,001,,,,13,18,43"></lb> τῆς ΚΓ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΘΓ τῇ ΓΒ· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,13,18,44"></lb> ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,13,18,45"></lb> τῆς ΓΒ, ὧν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ ἐστι διπλῆ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ <lb n="1799,001,,,,13,18,46"></lb> λοιπῆς τῆς ΔΓ ἐστι διπλῆ.</s> <s>τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ· <lb n="1799,001,,,,13,18,47"></lb> ἐνναπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ.</s> <s>πεντα-<lb n="1799,001,,,,13,18,48"></lb> πλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ· μεῖζον ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,18,49"></lb> τὸ ἀπὸ τῆς ΓΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ.</s> <s>μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ <lb n="1799,001,,,,13,18,50"></lb> τῆς ΓΔ.</s> <s>κείσθω τῇ ΓΚ ἴση ἡ ΓΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ τῇ ΑΒ <lb n="1799,001,,,,13,18,51"></lb> πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΒ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,13,18,52"></lb> πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ, καί <lb n="1799,001,,,,13,18,53"></lb> ἐστι τῆς μὲν ΒΓ διπλῆ ἡ ΑΒ, τῆς δὲ ΓΚ διπλῆ ἡ ΚΛ, <lb n="1799,001,,,,13,18,54"></lb> πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΛ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,55"></lb> <s>ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει πενταπλασίων <lb n="1799,001,,,,13,18,56"></lb> τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφ' οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀνα-<lb n="1799,001,,,,13,18,57"></lb> γέγραπται.</s> <s>καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος· ἡ ΚΛ <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,18,58"></lb> ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶ τοῦ κύκλου, ἀφ' οὗ τὸ εἰκο-<lb n="1799,001,,,,13,18,59"></lb> σάεδρον ἀναγέγραπται· ἡ ΚΛ ἄρα ἑξαγώνου ἐστὶ πλευρὰ <lb n="1799,001,,,,13,18,60"></lb> τοῦ εἰρημένου κύκλου.</s> <s>καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος <lb n="1799,001,,,,13,18,61"></lb> σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκα-<lb n="1799,001,,,,13,18,62"></lb> γώνου τῶν εἰς τὸν εἰρημένον κύκλον ἐγγραφομένων, καί <lb n="1799,001,,,,13,18,63"></lb> ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, ἡ δὲ ΚΛ ἑξα-<lb n="1799,001,,,,13,18,64"></lb> γώνου πλευρά, καὶ ἴση ἡ ΑΚ τῇ ΛΒ, ἑκατέρα ἄρα τῶν <lb n="1799,001,,,,13,18,65"></lb> ΑΚ, ΛΒ δεκαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ ἐγγραφομένου εἰς τὸν <lb n="1799,001,,,,13,18,66"></lb> κύκλον, ἀφ' οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,13,18,67"></lb> δεκαγώνου μὲν ἡ ΛΒ, ἑξαγώνου δὲ ἡ Μ*λ· ἴση γάρ ἐστι <lb n="1799,001,,,,13,18,68"></lb> τῇ ΚΛ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΘΚ· ἴσον γὰρ ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,18,69"></lb> κέντρου· καί ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΘΚ, ΚΛ διπλασίων τῆς <lb n="1799,001,,,,13,18,70"></lb> ΚΓ· πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ.</s> <s>ἡ δὲ τοῦ πενταγώνου <lb n="1799,001,,,,13,18,71"></lb> ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου· εἰκοσαέδρου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,72"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΒ κύβου ἐστὶ πλευρά, τετμήσθω ἄκρον καὶ <lb n="1799,001,,,,13,18,73"></lb> μέσον λόγον κατὰ τὸ Ν, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΝΒ· <lb n="1799,001,,,,13,18,74"></lb> ἡ ΝΒ ἄρα δωδεκαέδρου ἐστὶ πλευρά.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,75"></lb> <s>Καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἐδείχθη τῆς μὲν <lb n="1799,001,,,,13,18,76"></lb> ΑΖ πλευρᾶς τῆς πυραμίδος δυνάμει ἡμιολία, τῆς δὲ τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,18,77"></lb> ὀκταέδρου τῆς ΒΕ δυνάμει διπλασίων, τῆς δὲ τοῦ κύβου <lb n="1799,001,,,,13,18,78"></lb> τῆς ΖΒ δυνάμει τριπλασίων, οἵων ἄρα ἡ τῆς σφαίρας διά-<lb n="1799,001,,,,13,18,79"></lb> μετρος δυνάμει ἕξ, τοιούτων ἡ μὲν τῆς πυραμίδος τεσσά-<lb n="1799,001,,,,13,18,80"></lb> ρων, ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τριῶν, ἡ δὲ τοῦ κύβου δύο.</s> <s>ἡ μὲν <lb n="1799,001,,,,13,18,81"></lb> ἄρα τῆς πυραμίδος πλευρὰ τῆς μὲν τοῦ ὀκταέδρου πλευ-<lb n="1799,001,,,,13,18,82"></lb> ρᾶς δυνάμει ἐστὶν ἐπίτριτος, τῆς δὲ τοῦ κύβου δυνάμει <lb n="1799,001,,,,13,18,83"></lb> διπλῆ, ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τῆς τοῦ κύβου δυνάμει ἡμιολία.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,84"></lb> <s>αἱ μὲν οὖν εἰρημέναι τῶν τριῶν σχημάτων πλευραί, λέγω <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,18,85"></lb> δὴ πυραμίδος καὶ ὀκταέδρου καὶ κύβου, πρὸς ἀλλήλας <lb n="1799,001,,,,13,18,86"></lb> εἰσὶν ἐν λόγοις ῥητοῖς.</s> <s>αἱ δὲ λοιπαὶ δύο, λέγω δὴ ἥ τε τοῦ <lb n="1799,001,,,,13,18,87"></lb> εἰκοσαέδρου καὶ ἡ τοῦ δωδεκαέδρου, οὔτε πρὸς ἀλλήλας <lb n="1799,001,,,,13,18,88"></lb> οὔτε πρὸς τὰς προειρημένας εἰσὶν ἐν λόγοις ῥητοῖς· ἄλο-<lb n="1799,001,,,,13,18,89"></lb> γοι γάρ εἰσιν, ἡ μὲν ἐλάττων, ἡ δὲ ἀποτομή.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,90"></lb> <s>Ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἡ ΜΒ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,18,91"></lb> τοῦ δωδεκαέδρου τῆς ΝΒ, δείξομεν οὕτως.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,92"></lb> <s>Ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΖΔΒ τρίγωνον τῷ ΖΑΒ <lb n="1799,001,,,,13,18,93"></lb> τριγώνῳ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως <lb n="1799,001,,,,13,18,94"></lb> ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΒΑ.</s> <s>καὶ ἐπεὶ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, <lb n="1799,001,,,,13,18,95"></lb> ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώ-<lb n="1799,001,,,,13,18,96"></lb> της πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς <lb n="1799,001,,,,13,18,97"></lb> τὴν ΒΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ· ἀνά-<lb n="1799,001,,,,13,18,98"></lb> παλιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ <lb n="1799,001,,,,13,18,99"></lb> πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ.</s> <s>τριπλῆ δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ· τριπλά-<lb n="1799,001,,,,13,18,100"></lb> σιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ.</s> <s>ἔστι δὲ καὶ τὸ <lb n="1799,001,,,,13,18,101"></lb> ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετραπλάσιον· διπλῆ γὰρ <lb n="1799,001,,,,13,18,102"></lb> ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς <lb n="1799,001,,,,13,18,103"></lb> ΖΒ· μείζων ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΖΒ· πολλῷ ἄρα ἡ ΑΛ τῆς ΖΒ <lb n="1799,001,,,,13,18,104"></lb> μείζων ἐστίν.</s> <s>καὶ τῆς μὲν ΑΛ ἄκρον καὶ μέσον λόγον <lb n="1799,001,,,,13,18,105"></lb> τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΚΛ, ἐπειδήπερ ἡ μὲν <lb n="1799,001,,,,13,18,106"></lb> ΛΚ ἑξαγώνου ἐστίν, ἡ δὲ ΚΑ δεκαγώνου· τῆς δὲ ΖΒ <lb n="1799,001,,,,13,18,107"></lb> ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ <lb n="1799,001,,,,13,18,108"></lb> ΝΒ· μείζων ἄρα ἡ ΚΛ τῆς ΝΒ.</s> <s>ἴση δὲ ἡ ΚΛ τῇ ΛΜ· <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,18,109"></lb> μείζων ἄρα ἡ ΛΜ τῆς ΝΒ [τῆς δὲ ΛΜ μείζων ἐστὶν ἡ <lb n="1799,001,,,,13,18,110"></lb> ΜΒ].</s> <s>πολλῷ ἄρα ἡ ΜΒ πλευρὰ οὖσα τοῦ εἰκοσαέδρου <lb n="1799,001,,,,13,18,111"></lb> μείζων ἐστὶ τῆς ΝΒ πλευρᾶς οὔσης τοῦ δωδεκαέδρου· <lb n="1799,001,,,,13,18,112"></lb> ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,113"></lb> <s>Λέγω δή, ὅτι παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα οὐ <lb n="1799,001,,,,13,18,114"></lb> συσταθήσεται ἕτερον σχῆμα περιεχόμενον ὑπὸ ἰσοπλεύ-<lb n="1799,001,,,,13,18,115"></lb> ρων τε καὶ ἰσογωνίων ἴσων ἀλλήλοις.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,116"></lb> <s>Ὑπὸ μὲν γὰρ δύο τριγώνων ἢ ὅλως ἐπιπέδων στερεὰ <lb n="1799,001,,,,13,18,117"></lb> γωνία οὐ συνίσταται.</s> <s>ὑπὸ δὲ τριῶν τριγώνων ἡ τῆς πυρα-<lb n="1799,001,,,,13,18,118"></lb> μίδος, ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου, ὑπὸ δὲ πέντε ἡ <lb n="1799,001,,,,13,18,119"></lb> τοῦ εἰκοσαέδρου· ὑπὸ δὲ ἓξ τριγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ <lb n="1799,001,,,,13,18,120"></lb> ἰσογωνίων πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνισταμένων οὐκ ἔσται στε-<lb n="1799,001,,,,13,18,121"></lb> ρεὰ γωνία· οὔσης γὰρ τῆς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου γωνίας <lb n="1799,001,,,,13,18,122"></lb> διμοίρου ὀρθῆς ἔσονται αἱ ἓξ τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,13,18,123"></lb> ἀδύνατον· ἅπασα γὰρ στερεὰ γωνία ὑπὸ ἐλασσόνων ἢ τεσ-<lb n="1799,001,,,,13,18,124"></lb> σάρων ὀρθῶν περιέχεται.</s> <s>διὰ τὰ αὐτὰ δὴ οὐδὲ ὑπὸ πλει-<lb n="1799,001,,,,13,18,125"></lb> όνων ἢ ἓξ γωνιῶν ἐπιπέδων στερεὰ γωνία συνίσταται.</s> <s>ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,18,126"></lb> δὲ τετραγώνων τριῶν ἡ τοῦ κύβου γωνία περιέχεται· ὑπὸ <lb n="1799,001,,,,13,18,127"></lb> δὲ τεσσάρων ἀδύνατον· ἔσονται γὰρ πάλιν τέσσαρες ὀρθαί.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,128"></lb> <s>ὑπὸ δὲ πενταγώνων ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων, ὑπὸ μὲν <lb n="1799,001,,,,13,18,129"></lb> τριῶν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου· ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἀδύνατον· <lb n="1799,001,,,,13,18,130"></lb> οὔσησ γὰρ τῆς τοῦ πενταγώνου ἰσοπλεύρου γωνίας ὀρθῆς <lb n="1799,001,,,,13,18,131"></lb> καὶ πέμπτου, ἔσονται αἱ τέσσαρες γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν <pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,18,132"></lb> μείζους· ὅπερ ἀδύνατον.</s> <s>οὐδὲ μὴν ὑπὸ πολυγώνων ἑτέρων <lb n="1799,001,,,,13,18,133"></lb> σχημάτων περισχεθήσεται στερεὰ γωνία διὰ τὸ αὐτὸ ἄτοπον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,134"></lb> <s>Οὐκ ἄρα παρὰ τὰ εἰρημένα πέντε σχήματα ἕτερον σχῆμα <lb n="1799,001,,,,13,18,135"></lb> στερεὸν συσταθήσεται ὑπὸ ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων <lb n="1799,001,,,,13,18,136"></lb> περιεχόμενον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,137"></lb> <s>Λῆμμα <lb n="1799,001,,,,13,18,138"></lb> Ὅτι δὲ ἡ τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου <lb n="1799,001,,,,13,18,139"></lb> γωνία ὀρθή ἐστι καὶ πέμπτου, οὕτω δεικτέον.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,140"></lb> <s>Ἔστω γὰρ πεντάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ <lb n="1799,001,,,,13,18,141"></lb> ΑΒΓΔΕ, καὶ περιγεγράφθω περὶ αὐτὸ κύκλος ὁ ΑΒΓ <lb n="1799,001,,,,13,18,142"></lb> ΔΕ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω-<lb n="1799,001,,,,13,18,143"></lb> σαν αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ, ΖΕ.</s> <s>δίχα ἄρα τέμνουσι τὰς <lb n="1799,001,,,,13,18,144"></lb> πρὸς τοῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε τοῦ πενταγώνου γωνίας.</s> <s>καὶ ἐπεὶ <lb n="1799,001,,,,13,18,145"></lb> αἱ πρὸς τῷ Ζ πέντε γωνίαι τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶ καί <lb n="1799,001,,,,13,18,146"></lb> εἰσιν ἴσαι, μία ἄρα αὐ-<lb n="1799,001,,,,13,18,147"></lb> τῶν, ὡς ἡ ὑπὸ ΑΖΒ, <lb n="1799,001,,,,13,18,148"></lb> μιᾶς ὀρθῆς ἐστι παρὰ <lb n="1799,001,,,,13,18,149"></lb> πέμπτον· λοιπαὶ ἄρα αἱ <lb n="1799,001,,,,13,18,150"></lb> ὑπὸ ΖΑΒ, ΑΒΖ μιᾶς <lb n="1799,001,,,,13,18,151"></lb> εἰσιν ὀρθῆς καὶ πέμπτου.</s> <lb n="1799,001,,,,13,18,152"></lb> <s>ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ <lb n="1799,001,,,,13,18,153"></lb> ὑπὸ ΖΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα <lb n="1799,001,,,,13,18,154"></lb> ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τοῦ πεντα-<lb n="1799,001,,,,13,18,155"></lb> γώνου γωνία μιᾶς ἐστιν <lb n="1799,001,,,,13,18,156"></lb> ὀρθῆς καὶ πέμπτου· ὅπερ <lb n="1799,001,,,,13,18,157"></lb> ἔδει δεῖξαι.</s> <s><pb></pb> <lb n="1799,001,,,,13,18,158"></lb> </s></p></chap></body><back></back></text></archimedes>