Mercurial > hg > mpdl-xml-content

<?xml version="1.0"?>
<archimedes xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" >
<info>
	<author>Pappus Alexandrinus</author>
	<title>Collectio 8 (Greek)</title>
	<date>1876</date>
	<place>Berlin</place>
	<translator></translator>
	<lang>el</lang>
	<cvs_file>pappu_coll8_088_el_1876.xml</cvs_file>
	<locator>088.xml</locator>
</info>
<text>
<front></front>
<body>
<chap>
<p><pb n="1022"></pb><s id="id.000001">ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Η. <lb n="1t"></lb></s>
<s id="id.000002">Περιέχει δὲ μηχανικὰ προβλήματα σύμμικτα ἀνθηρά. <lb n="2n"></lb></s></p><p>
<s id="id.000003">Ἡ μηχανικὴ θεωρία, τέκνον Ἑρμόδωρε, πρὸς πολλὰ <lb n="3"></lb>καὶ μεγάλα τῶ ἐν τῷ βίῳ χρήσιμος ὑπάρχουσα πλείστης <lb n="4"></lb>εἰκότως ἀποδοχῆς ἠξίωται πρὸς τῶν φιλοσόφων καὶ πᾶσι <lb n="5"></lb>τοῖς ἀπὸ τῶν μαθημάτων περισπούδαστός ἐστιν, ἐπειδὴ <lb n="6"></lb>σχεδὸν πρώτη τῆς περὶ τὴν ὕλην τῶν ἐν τῷ κόσμῳ στοι-<lb n="7"></lb>χείων φυσιολογίας ἅπτεται. </s>
<s id="id.000004">στάσεως γὰρ καὶ φορᾶς σωμά-<lb n="8"></lb>των καὶ τῆς κατὰ τόπον κινήσεως ἐν τοῖς ὅλοις θεωρημα-<lb n="9"></lb>τικὴ τυγχάνουσα τὰ μὲν κινούμενα κατὰ φύσιν αἰτιολογεῖ, <lb n="10"></lb>τὰ δ&#039; ἀναγκάζουσα παρὰ φύσιν ἔξω τῶν οἰκείων τόπων εἰς <lb n="11"></lb>ἐναντίας κινήσεις μεθίστησιν ἐπιμηχανωμένη διὰ τῶν ἐξ <lb n="12"></lb>αὐτῆς τῆς ὕλης ὑποπιπτόντων αὐτῇ θεωρημάτων. </s>
<s id="id.000005">τῆς δὲ <lb n="13"></lb>μηχανικῆς τὸ μὲν εἶναι λογικὸν τὸ δὲ χειρουργικὸν οἱ περὶ <lb n="14"></lb>τὸν Ἥρωνα μηχανικοὶ λέγουσιν· καὶ τὸ μὲν λογικὸν συν-<lb n="15"></lb>εστάναι μέρος ἔκ τε γεωμετρίας καὶ ἀριθμητικῆς καὶ ἀστρο-<lb n="16"></lb>νομίας καὶ τῶν φυσικῶν λόγων, τὸ δὲ χειρουργικὸν ἔκ τε <lb n="17"></lb><pb n="1024"></pb>χαλκευτικῆς καὶ οἰκοδομικῆς καὶ τεκτονικῆς καὶ ζωγραφικῆς <lb n="1"></lb>καὶ τῆς ἐν τούτοις κατὰ χεῖρα ἀσκήσεως· τὸν μὲν οὖν ἐν <lb n="2"></lb>ταῖς προειρημέναις ἐπιστήμαις ἐκ παιδὸς γενόμενον κἀν <lb n="3"></lb>ταῖς προειρημέναις τέχναις ἕξιν εἰληφότα πρὸς δὲ τού-<lb n="4"></lb>τοις φύσιν εὐκίνητον ἔχοντα, κράτιστον ἔσεσθαι μηχανι-<lb n="5"></lb>κῶν ἔργων εὑρετὴν καὶ ἀρχιτέκτονά φασιν. </s>
<s id="id.000006">μὴ δυνατοῦ δ&#039; <lb n="6"></lb>ὄντος τὸν αὐτὸν μαθημάτων τε τοσούτων περιγενέ-<lb n="7"></lb>σθαι καὶ μαθεῖν ἅμα τὰς προειρημένας τέχνας παραγγέλ-<lb n="8"></lb>λουσι τῷ τὰ μηχανικὰ ἔργα μεταχειρίζεσθαι βουλομένῳ <lb n="9"></lb>χρῆσθαι ταῖς οἰκείαις τέχναις ὑποχειρίοις ἐν ταῖς παρ&#039; <lb n="10"></lb>ἕκαστα χρείαις. <lb n="11"></lb></s></p><p>
<s id="id.000007">Μάλιστα δὲ πάντων ἀναγκαιόταται τέχναι τυγχάνουσιν <lb n="12"></lb>πρὸς τὴν τοῦ βίου χρείαν [μηχανικὴ προηγουμένη τῆς ἀρχιτεκ-<lb n="13"></lb>τονικῆσ] ἥ τε τῶν μαγγαναρίων, μηχανικῶν καὶ αὐτῶν κατὰ <lb n="14"></lb>τοὺς ἀρχαίους λεγομένων [1μεγάλα γὰρ οὗτοι βάρη διὰ μηχα-<lb n="15"></lb>νῶν παρὰ φύσιν εἰς ὕψος ἀνάγουσιν ἐλάττονι δυνάμει κι-<lb n="16"></lb>νοῦντεσ]1, καὶ ἡ τῶν ὀργανοποιῶν τῶν πρὸς τὸν πόλεμον <lb n="17"></lb>ἀναγκαίων, καλουμένων δὲ καὶ αὐτῶν μηχανικῶν [1βέλη γὰρ <lb n="18"></lb>καὶ λίθινα καὶ σιδηρᾶ καὶ τὰ παραπλήσια τούτοις ἐξαπο-<lb n="19"></lb>στέλλεται εἰς μακρὸν ὁδοῦ μῆκος τοῖς ὑπ&#039; αὐτῶν γινομένοις <lb n="20"></lb>ὀργάνοις καταπαλτικοῖσ]1, πρὸς δὲ ταύταις ἡ τῶν ἰδίως <lb n="21"></lb>πάλιν καλουμένων μηχανοποιῶν [1ἐκ βάθους γὰρ πολλοῦ <lb n="22"></lb>ὕδωρ εὐκολώτερον ἀνάγεται διὰ τῶν ἀντληματικῶν ὀργά-<lb n="23"></lb>νων ὧν αὐτοὶ κατασκευάζουσιν]1. </s>
<s id="id.000008">καλοῦσι δὲ μηχανικοὺς <lb n="24"></lb>οἱ παλαιοὶ καὶ τοὺς θαυμασιουργοὺς, ὧν οἱ μὲν διὰ πνευ-<lb n="25"></lb>μάτων φιλοτεχνοῦσιν, ὡς Ἥρων πνευματικοῖς, οἱ δὲ διὰ νευ-<lb n="26"></lb>ρίων καὶ σπάρτων ἐμψύχων κινήσεις δοκοῦσι μιμεῖσθαι, ὡς <lb n="27"></lb>Ἥρων αὐτομάτοις καὶ ζυγίοις, ἄλλοι δὲ διὰ τῶν ἐφ&#039; ὕδατος <lb n="28"></lb>ὀχουμένων, ὡς Ἀρχιμήδης ὀχουμένοις, ἢ τῶν δι&#039; ὕδατος ὡρο- <lb n="29"></lb><pb n="1026"></pb>λογίων, ὡς Ἥρων ὑδρείοις, ἃ δὴ καὶ τῇ γνωμονικῇ θεωρίᾳ κοι-<lb n="1"></lb>νωνοῦντα φαίνεται. </s>
<s id="id.000009">μηχανικοὺς δὲ καλοῦσιν καὶ τοὺς τὰς <lb n="2"></lb>σφαιροποιί̈ας [ποιεῖν] ἐπισταμένους, ὑφ&#039; ὧν εἰκὼν τοῦ οὐρα-<lb n="3"></lb>νοῦ κατασκευάζεται δι&#039; ὁμαλῆς καὶ ἐγκυκλίου κινήσεως ὕδατος. <lb n="4"></lb></s></p><p>
<s id="id.000010">Πάντων δὲ τούτων τὴν αἰτίαν καὶ τὸν λόγον ἐπεγνω-<lb n="5"></lb>κέναι φασίν τινες τὸν Συρακόσιον Ἀρχιμήδη· μόνος γὰρ <lb n="6"></lb>οὗτος ἐν τῷ καθ&#039; ἡμᾶς βίῳ ποικίλῃ πρὸς πάντα κέχρηται <lb n="7"></lb>τῇ φύσει καὶ τῇ ἐπινοίᾳ, καθὼς καὶ Γεμῖνος ὁ μαθημα-<lb n="8"></lb>τικὸς ἐν τῷ περὶ τῆς τῶν μαθημάτων τάξεώς φησιν. </s>
<s id="id.000011">Κάρ-<lb n="9"></lb>πος δὲ πού φησιν ὁ Ἀντιοχεὺς Ἀρχιμήδη τὸν Συρακόσιον <lb n="10"></lb>ἓν μόνον βιβλίον συντεταχέναι μηχανικὸν τὸ κατὰ τὴν σφαι-<lb n="11"></lb>ροποιί̈αν, τῶν δὲ ἄλλων οὐδὲν ἠξιωκέναι συντάξαι. </s>
<s id="id.000012">καίτοι <lb n="12"></lb>παρὰ τοῖς πολλοῖς ἐπὶ μηχανικῇ δοξασθεὶς καὶ μεγαλο-<lb n="13"></lb>φυής τις γενόμενος ὁ θαυμαστὸς ἐκεῖνος, ὥστε διαμεῖναι <lb n="14"></lb>παρὰ πᾶσιν ἀνθρώποις ὑπερβαλλόντως ὑμνούμενος, τῶν <lb n="15"></lb>τε προηγουμένων γεωμετρικῆς καὶ ἀριθμητικῆς ἐχομένων <lb n="16"></lb>θεωρίας [καὶ] τὰ βραχύτατα δοκοῦντα εἶναι σπουδαίως <lb n="17"></lb>συνέγραφεν· ὃς φαίνεται τὰς εἰρημένας ἐπιστήμας οὕτως <lb n="18"></lb>ἀγαπήσας ὡς μηδὲν ἔξωθεν ὑπομένειν αὐταῖς ἐπεισάγειν. <lb n="19"></lb></s>
<s id="id.000013">αὐτὸς δὲ Κάρπος καὶ ἄλλοι τινὲς συνεχρήσαντο γεωμετρίᾳ <lb n="20"></lb>καὶ εἰς τέχνας τινὰς εὐλόγως· γεωμετρία γὰρ οὐδὲν βλάπτε-<lb n="21"></lb>ται, σωματοποιεῖν πεφυκυῖα πολλὰς τέχνας, διὰ τοῦ συν-<lb n="22"></lb>εῖναι αὐταῖς [μήτηρ οὖν ὥσπερ οὖσα τεχνῶν οὐ βλάπτεται <lb n="23"></lb>διὰ τοῦ φροντίζειν ὀργανικῆς καὶ ἀρχιτεκτονικῆς· οὐδὲ γὰρ <lb n="24"></lb>διὰ τὸ συνεῖναι γεωμορίᾳ καὶ γνωμονικῇ καὶ μηχανικῇ καὶ <lb n="25"></lb><pb n="1028"></pb>σκηνογραφίᾳ βλάπτεταί τι], τοὐναντίον δὲ προάγουσα μὲν <lb n="1"></lb>ταύτας φαίνεται, τιμωμένη δὲ καὶ κοσμουμένη δεόντως ὑπ&#039; <lb n="2"></lb>αὐτῶν. <lb n="3"></lb></s></p><p>
<s id="id.000014">Τοιαύτης δὲ τῆς μηχανικῆς ἐπιστήμης ὁμοῦ καὶ τέχνης <lb n="4"></lb>ὑπαρχούσης καὶ εἰς τοσαῦτα μέρη διῃρημένης καλῶς ἔχειν <lb n="5"></lb>ἐνόμισα τά τε λόγῳ γεωμετρικῷ θεωρούμενα [καὶ ἀναγκαιό-<lb n="6"></lb>τατα περὶ τὴν τῶν βαρῶν κίνησιν κείμενα δὲ] παρὰ τοῖς <lb n="7"></lb>παλαιοῖς καὶ τὰ ὑφ&#039; ἡμῶν εὐχρήστως ἀνευρημένα θεωρή-<lb n="8"></lb>ματα συντομώτερον καὶ σαφέστερον ἀναγράψαι βελτίονί τε <lb n="9"></lb>λόγῳ τοῦ παρὰ τοῖς πρότερον ἀναγεγραμμένου συντάξαι, <lb n="10"></lb>οἷον βάρους δοθέντος ὑπὸ δοθείσης [ὑποδοχῆσ] ἀγομένου <lb n="11"></lb>δυνάμεως ἐν τῷ παρὰ τὸν ὁρίζοντα ἐπιπέδῳ, καὶ ἑτέρου <lb n="12"></lb>ἐπιπέδου κεκλιμένου πρὸς τὸ ὑποκείμενον δοθεῖσαν γωνίαν <lb n="13"></lb>ὑποτιθέντος, εὑρεῖν τὴν δύναμιν ὑφ&#039; ὅσης ἀχθήσεται τὸ <lb n="14"></lb>βάρος ἐν τῷ κεκλιμένῳ ἐπιπέδῳ [1τοῦτο δὲ χρήσιμον τοῖς <lb n="15"></lb>μηχανικοῖς μαγγαναρίοις· προσθέντες γὰρ τῇ εὑρεθείσῃ <lb n="16"></lb>δυνάμει ἑτέραν τινὰ δύναμιν ἀνδρῶν θαρσοῦντες ἀνάγουσιν <lb n="17"></lb>τὸ βάροσ]1, καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων δύο μέσας <lb n="18"></lb>ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ [1διὰ γὰρ τοῦ θεωρή-<lb n="19"></lb>ματος τούτου πᾶν τὸ δοθὲν στερεὸν σχῆμα κατὰ τὸν δο-<lb n="20"></lb>θέντα λόγον αὔξεταί τε καὶ μειοῦται]1, καὶ πῶς δυνατόν <lb n="21"></lb>ἐστι τυμπάνου δοθέντος καὶ τοῦ πλήθους τῶν σκυταλῶν <lb n="22"></lb>αὐτοῦ [δοθέντων ἢ ὀδόντων] παραθεῖναι αὐτῷ τύμπανον <lb n="23"></lb>δοθὲν ἔχον τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων καὶ εὑρεῖν τὴν διάμε-<lb n="24"></lb>τρον τοῦ παρατιθεμένου τυμπάνου [1τοῦτο γὰρ χρήσιμον εἰς <lb n="25"></lb>πολλὰ καὶ τῇ τῶν μηχανοποιῶν τέχνῃ διὰ τὴν παράθεσιν <lb n="26"></lb>τῶν σκυταλωτῶν τυμπάνων]1. </s>
<s id="id.000015">ἕκαστον δὲ τούτων ἐν τῷ οἰ-<lb n="27"></lb>κείῳ τόπῳ γενήσεται φανερὸν μετὰ καὶ ἄλλων χρησίμων <lb n="28"></lb>ἀρχιτέκτονι καὶ μηχανικῷ, ἐὰν πρότερον τὰ συνέχοντα τὴν <lb n="29"></lb>κεντροβαρικὴν πραγματείαν εἴπωμεν ἑξῆς. <lb n="30"></lb><pb n="1030"></pb></s></p><p>
<s id="id.000016">Τί μὲν οὖν ἐστιν τὸ βαρὺ καὶ τὸ κοῦφον, καὶ τίς αἰ-<lb n="1"></lb>τία τῆς ἄνω καὶ κάτω τοῖς σώμασι φορᾶς, καὶ αὐτό γε τὸ <lb n="2"></lb>ἄνω καὶ κάτω τίνος ἐννοίας ἔχεται καὶ τίσιν ἀφώρισται <lb n="3"></lb>πέρασιν, οὐδὲν δεῖ λέγεσθαι παρ&#039; ἡμῶν τὸ νῦν, ἐπειδὴ <lb n="4"></lb>περὶ τούτων ἐν τοῖς μαθηματικοῖς ὑπὸ τοῦ Πτολεμαίου <lb n="5"></lb>δεδήλωται, τὸ δὲ κέντρον τοῦ βάρους ἐκάστου σώματος, <lb n="6"></lb>ὃ τῆς κεντροβαρικῆς πραγματείας ἀρχὴ καὶ στοιχεῖόν ἐστιν, <lb n="7"></lb>ἐξ ἧς καὶ τὰ λοιπὰ μέρη τῆς μηχανικῆς ἀνήρτηται, τί ποτ&#039; <lb n="8"></lb>ἐστὶν καὶ τί βούλεται λεκτέον· ἐκ τούτου γάρ, οἶμαι, καὶ <lb n="9"></lb>τὰ λοιπὰ τῶν ἐν τῇ πραγματείᾳ θεωρουμένων ἔσται σαφῆ. <lb n="10"></lb></s>
<s id="id.000017">λέγομεν δὲ κέντρον βάρους ἑκάστου σώματος εἶναι σημεῖόν <lb n="11"></lb>τι κείμενον ἐντός, ἀφ&#039; οὗ κατ&#039; ἐπίνοιαν ἀρτηθὲν τὸ βάρος <lb n="12"></lb>ἠρεμεῖ φερόμενον καὶ φυλάσσει τὴν ἐξ ἀρχῆς θέσιν [οὐ μὴ <lb n="13"></lb>περιτρεπόμενον ἐν τῇ φορᾷ]. </s>
<s id="id.000018">τοῦτο δὲ τὸ σημεῖον οὐ <lb n="14"></lb>μόνον ἐν τοῖς τεταγμένοις ἀλλὰ κἀν τοῖς ἀτάκτως ἐσχη-<lb n="15"></lb>ματισμένοις εὑρίσκεται σώμασιν ὑπάρχον, ἐφόδῳ τινὶ θεω-<lb n="16"></lb>ρούμενον τοιαύτῃ. <lb n="17"></lb></s></p><p>
<s id="id.000019">α#. </s>
<s id="id.000020">Ὑποκείσθω γὰρ ἐπίπεδον ὀρθὸν τὸ ΑΒΓΔ νεῦον εἰς <lb n="18"></lb>τὸ τοῦ παντὸς κέντρον, ἐφ&#039; ὃ καὶ τὰ βάρος ἔχοντα πάντα <lb n="19"></lb>τὴν ῥοπὴν ἔχειν δοκεῖ, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα παράλληλος <lb n="20"></lb>τῷ ἐφ&#039; οὗ βεβήκαμεν ἐπιπέδῳ. </s>
<s id="id.000021">ἐὰν δή τι τῶν βάρος ἐχόν-<lb n="21"></lb>των σωμάτων τιθῆται κατὰ τῆς ΑΒ εὐθείας οὕτως, ὥστε <lb n="22"></lb>τετμῆσθαι πάντως ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐκβαλλομένου, ἕξει <lb n="23"></lb>ποτὲ θέσιν τοιαύτην, ὥστε μένειν ἀπερίτρεπτον καὶ μὴ <lb n="24"></lb>ἀποπίπτειν. </s>
<s id="id.000022">γενομένου δὲ τούτου ἐὰν νοηθῇ τὸ ΑΒΓΔ ἐπί-<lb n="25"></lb>πεδον ἐκβαλλόμενον, τεμεῖ τὸ ἐπικείμενον σῶμα εἰς ἰσόρ-<lb n="26"></lb>ροπα δύο μέρη, οἷον περὶ ἄρτημα τὸ ἐπίπεδον ἰσορρο-<lb n="27"></lb>ποῦντα. </s>
<s id="id.000023">πάλιν δὴ τὸ βάρος μετατεθέν, ὥστε καθ&#039; ἕτερον <lb n="28"></lb>μέρος ψαύειν τῆς ΑΒ εὐθείας, ἕξει ποτὲ θέσιν περιτρεπό-<lb n="29"></lb>μενον ὥστε μένειν ἀφεθὲν καὶ μὴ ἀποπίπτειν. </s>
<s id="id.000024">ἐὰν οὖν <lb n="30"></lb>πάλιν νοηθῇ τὸ ΑΒΓΔ ἐπίπεδον ἐκβεβλημένον, εἰς ἰσορρο- <lb n="31"></lb><pb n="1032"></pb>ποῦντα μέρη τεμεῖ τὸ βάρος καὶ συμπεσεῖται τῷ πρότερον <lb n="1"></lb>εἰς ἰσόρροπα τέμνοντι τὸ αὐτὸ βάρος ἐπιπέδῳ· εἰ γὰρ μὴ <lb n="2"></lb>τεμεῖ, τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἰσόρροπα καὶ ἀνισόρροπα γενή-<lb n="3"></lb>σεται ἀλλήλοις, ὅπερ ἄτοπον.<lb n="4"></lb></s></p><p>
<s id="id.000025">β#. </s>
<s id="id.000026">Τούτων δὴ προειρημένων νοείσθω πάλιν εὐθεῖα ἡ <lb n="5"></lb>ΑΒ ὀρθὴ πρὸς τὸ ἐφ&#039; οὗ βεβήκαμεν ἐπίπεδον, εἰς τὸ τοῦ <lb n="6"></lb>παντὸς κέντρον δηλονότι νεύουσα, καὶ τὸ βάρος ὁμοίως ἐπὶ <lb n="7"></lb>τοῦ Α σημείου τιθέσθω, οἷον ὑποθέματι τῇ ΑΒ εὐθείᾳ <lb n="8"></lb>χρώμενον [στήσεται δήποτε κατὰ τοῦ Α σημείου ὥστε μέ-<lb n="9"></lb>νειν, εἴ γε δὴ καὶ ἐπὶ τοῦ δι&#039; αὐτῆς ἐπιπέδου τὸ βάρος <lb n="10"></lb>ἠρεμεῖν ἐδύνατο]. </s>
<s id="id.000027">ἐὰν δὴ μένοντος αὐτοῦ ἐκβληθῇ ἡ ΑΒ <lb n="11"></lb>εὐθεῖα, ἐναποληφθήσεταί τι μέρος αὐτῆς ἐν τῷ ὑποκει-<lb n="12"></lb>μένῳ σχήματι. </s>
<s id="id.000029">νοείσθω δὴ τοῦτο μένον, καὶ πάλιν καθ&#039; <lb n="13"></lb>ἕτερον μέρος ἐπικείσθω τῇ εὐθείᾳ τὸ βάρος ὥστε ἠρεμεῖν· <lb n="14"></lb>λέγω δὴ ὅτι ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΒ εὐθεῖα συμπεσεῖται τῇ πρό-<lb n="15"></lb>τερον ἐναπειλημμένῃ. </s>
<s id="id.000030">εἰ γὰρ μὴ συμπεσεῖται, δυνήσεταί <lb n="16"></lb>τινα δι&#039; ἀμφοτέρων αὐτῶν ἐκβληθέντα ἐπίπεδα μὴ συμ-<lb n="17"></lb>πεσεῖν ἀλλήλοις ἐντὸς τοῦ σχήματος, καὶ ἑκάτερον αὐτῶν <lb n="18"></lb>[ἐφαρμοζόμενον τῷ διὰ τῆς ΑΒ ἐπιπέδῳ] διελεῖν τὸ βάρος <lb n="19"></lb>εἰς ἰσόρροπα καὶ ἀνισόρροπα τὰ αὐτὰ μέρη, ὅπερ ἄτοπον· <lb n="20"></lb>συμπεσοῦνται ἄρα αἱ εἰρημέναι εὐθεῖαι ἐντὸς τοῦ σχήμα-<lb n="21"></lb>τος. </s>
<s id="id.000031">ὁμοίως δὲ κἂν κατ&#039; ἄλλας θέσεις τιθῆται τὸ βάρος <lb n="22"></lb>ἐπὶ τοῦ Α σημείου ὥστε μένειν, ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΒ συμπε-<lb n="23"></lb>σεῖται ταῖς πρότερον ἐναπειλημμέναις [ὁμοίωσ] εὐθείαις. <lb n="24"></lb></s>
<s id="id.000032">ἐξ οὗ φανερὸν ὡς καθ&#039; ἓν σημεῖον ἀλλήλας τεμοῦσιν αἱ <lb n="25"></lb>τὸν εἰρημένον τρόπον ἐπινοούμεναι εὐθεῖαι· τὸ δὲ σημεῖον <lb n="26"></lb>τοῦτο κέντρον τοῦ βάρους καλεῖται. </s>
<s id="id.000033">καὶ φανερὸν ὅτι ἐκ <lb n="27"></lb>τοῦ κέντρου κατ&#039; ἐπίνοιαν τὸ βάρος ἀρτώμενον οὐ περι-<lb n="28"></lb>τραπήσεται, μενεῖ δὲ τὴν ἐξ ἀρχῆς φυλάσσον ἡντινοῦν θέ-<lb n="29"></lb>σιν ἐν τῇ φορᾷ· πάντα γὰρ δι&#039; αὐτοῦ ἐκβληθέντα ἐπίπεδα <lb n="30"></lb>εἰς ἰσόρροπα μέρη διαιρεῖ τὸ βάρος, ὥστε μηδεμίαν αἰτίαν <lb n="31"></lb>ἐπιδέχεσθαι περιτροπῆς [ἰσορρόπων αὐτοῦ κατὰ πᾶσαν θέ-<lb n="32"></lb>σιν τῶν ἐφ&#039; ἑκάτερα τοῦ σημείου γινομένων μερῶν]. <lb n="33"></lb><pb n="1034"></pb></s></p><p>
<s id="id.000034">Τὸ μὲν οὖν μάλιστα συνέχον τὴν κεντροβαρικὴν πραγ-<lb n="1"></lb>ματείαν τοῦτ&#039; ἂν εἴη, μάθοις δ&#039; ἂν τὰ μὲν στοιχειώδη <lb n="2"></lb>ὄντα διὰ ταύτης δεικνύμενα τοῖς Ἀρχιμήδους περὶ ἰσορ-<lb n="3"></lb>ροπιῶν ἐντυχὼν καὶ τοῖς Ἥρωνος μηχανικοῖς, ὅσα δὲ <lb n="4"></lb>μὴ γνώριμα τοῖς πολλοῖς γράψομεν ἐφεξῆς, οἷον τὰ τοι-<lb n="5"></lb>αῦτα. <lb n="6"></lb></s></p><p>
<s id="id.000035">γ#. </s>
<s id="id.000036">Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ αἱ πλευραὶ αὐτοῦ εἰς <lb n="7"></lb>τὸν αὐτὸν λόγον τεμνέσθωσαν τοῖς Η Θ Κ σημείοις, ὥστε <lb n="8"></lb>εἶναι ὡσ τὴν ΑΗ πρὸς ΗΒ, τὴν ΒΘ πρὸς ΘΓ καὶ τὴν ΓΚ <lb n="9"></lb>πρὸς ΚΑ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΘ ΘΚ ΚΗ· ὅτι τοῦ ΑΒΓ <lb n="10"></lb>τριγώνου καὶ τοῦ ΗΘΚ τὸ αὐτὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστίν. <lb n="11"></lb></s></p><p>
<s id="id.000037">Τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΒΓ ΓΑ δίχα τοῖς Δ Ε, καὶ <lb n="12"></lb>ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ ΒΕ· τὸ Ζ ἄρα κέντρον βάρους ἐστὶν <lb n="13"></lb>τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. </s>
<s id="id.000038">ἐὰν γὰρ τὸ τρίγωνον ἐπί τινος ὀρθοῦ <lb n="14"></lb>ἐπιπέδου ἐπισταθῇ κατὰ τὴν ΑΔ εὐθεῖαν, ἐπ&#039; οὐδέτερον <lb n="15"></lb>μέρος ῥέψει τὸ τρίγωνον διὰ τὸ ἴσον εἶναι τὸ ΑΒΔ τρί-<lb n="16"></lb>γωνον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ. </s>
<s id="id.000039">ἐπισταθὲν δὲ ὁμοίως τὸ ΑΒΓ <lb n="17"></lb>τρίγωνον κατὰ τὴν ΒΕ ἐπὶ τοῦ ὀρθοῦ ἐπιπέδου ἐπ&#039; οὐ-<lb n="18"></lb>δέτερον μέρος ῥέψει διὰ τὸ ἴσα εἶναι τὰ ΑΒΕ ΒΓΕ τρί-<lb n="19"></lb>γωνα. </s>
<s id="id.000040">εἰ δὲ ἐφ&#039; ἑκατέρας τῶν ΑΔ ΒΕ ἰσορροπεῖ τὸ <lb n="20"></lb>τρίγωνον, τὸ ἄρα κοινὸν αὐτῶν σημεῖον τὸ Ζ κέντρον ἔσται <lb n="21"></lb>τοῦ βάρους. </s>
<s id="id.000041">[νοεῖν δὲ δεῖ τὸ Ζ, ὡς προείρηται, κείμενον <lb n="22"></lb>ἐν μέσῳ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἰσοπαχοῦς τε καὶ ἰσοβαροῦς δη-<lb n="23"></lb>λονότι ὑποκειμένου.]</s>
<s id="id.000042"> καὶ φανερὸν ὅτι διπλασία ἐστὶν ἡ <lb n="24"></lb><pb n="1036"></pb>μὲν ΑΖ τῆς ΖΔ, ἡ δὲ ΒΖ τῆς ΖΕ, καὶ ὅτι ὡς ἡ ΓΑ πρὸς <lb n="1"></lb>ΑΕ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΔΕ καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΖΕ καὶ ἡ ΑΖ πρὸς <lb n="2"></lb>ΖΔ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι καὶ τὰ ΔΖΕ ΑΒΖ τρίγωνα καὶ τὰ <lb n="3"></lb>ΓΔΕ ΑΒΓ. </s>
<s id="id.000043">ἐπιζευχθεῖσα οὖν ἡ ΔΕ τεμνέτω τὴν ΘΚ κατὰ τὸ <lb n="4"></lb>Λ. </s>
<s id="id.000044">ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς ΒΘ πρὸς ΘΓ λόγος συνῆπται ἔκ τε <lb n="5"></lb>τοῦ τῆς ΘΒ πρὸς ΔΘ καὶ τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΓ, καὶ ἔστιν <lb n="6"></lb>συνθέντι ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΘ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΚ, καὶ τῶν <lb n="7"></lb>ἡγουμένων τὰ ἡμίση ὡς ΓΔ πρὸς ΓΘ, ἡ ΕΑ πρὸς ΑΚ, <lb n="8"></lb>καὶ ἀναστρέψαντι ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΘ, ἡ ΑΕ πρὸς ΕΚ, ἴση <lb n="9"></lb>δὲ ἡ μὲν ΓΔ τῇ ΒΔ, ἡ δὲ ΑΕ τῇ ΓΕ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ <lb n="10"></lb>πρὸς ΔΘ, ἡ ΓΕ πρὸς ΕΚ· συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΘ πρὸς <lb n="11"></lb>ΘΔ, ἡ ΓΚ πρὸς ΚΕ· σύγκειται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΑΗ πρὸς <lb n="12"></lb>ΗΒ λόγος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΚ πρὸς ΚΕ καὶ τοῦ τῆς ΔΘ <lb n="13"></lb><figure place="text"></figure>πρὸς ΘΓ. </s>
<s id="id.000045">σύγκειται δ&#039; ἐκ <lb n="14"></lb>τῶν αὐτῶν καὶ ὁ τῆς ΔΛ <lb n="15"></lb>πρὸς ΛΕ [καὶ ἴση ἐστὶν ἡ <lb n="16"></lb>ΘΛ τῇ ΛΚ], ὡς δειχθή-<lb n="17"></lb>σεται· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ <lb n="18"></lb>ΑΗ πρὸς ΗΒ, ἡ ΔΛ <lb n="19"></lb>πρὸς ΛΕ. </s>
<s id="id.000046">καὶ εἰσὶν παρ-<lb n="20"></lb>άλληλοι αἱ ΑΒ ΔΕ, καὶ <lb n="21"></lb>ἐπεζευγμέναι αἱ ΑΔ ΒΕ <lb n="22"></lb>τέμνουσιν ἀλλήλας κατὰ <lb n="23"></lb>τὸ Ζ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν <lb n="24"></lb>ἡ διὰ τῶν Η Ζ Λ· καὶ <lb n="25"></lb>τοῦτο γὰρ ἑξῆς [εἰ μικρόν ἐστιν]. </s>
<s id="id.000047">καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ <lb n="26"></lb><pb n="1038"></pb>πρὸς ΖΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΖΛ, διπλῆ δὲ ἡ ΒΖ τῆς <lb n="1"></lb>ΖΕ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΗΖ τῆς ΖΛ. </s>
<s id="id.000048">τριγώνου δὴ τοῦ ΗΘΚ <lb n="2"></lb>διχοτομία ἡ ΗΛ, καὶ διπλῆ ἡ ΗΖ τῆς ΖΛ· τὸ Ζ ἄρα κέν-<lb n="3"></lb>τρον βάρους ἐστὶν τοῦ ΗΘΚ τριγώνου. </s>
<s id="id.000049">ἦν δὲ καὶ τοῦ ΑΒΓ. <lb n="4"></lb></s></p><p>
<s id="id.000050">δ#. </s>
<s id="id.000051">Τὸ δὲ ὑπερτεθὲν νῦν δειχθήσεται. </s>
<s id="id.000052">ἔστω γὰρ ὡς <lb n="5"></lb>ἡ ΓΔ πρὸς ΔΘ, ἡ ΓΕ πρὸς ΕΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ <lb n="6"></lb>ΔΕ ΘΚ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Λ· ὅτι ἴση μέν ἐστιν <lb n="7"></lb>ἡ ΘΛ τῇ ΚΛ, ὁ δὲ τῆς ΔΛ πρὸς ΛΕ λόγος σύγκειται <lb n="8"></lb>ἔκ τε τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΓ καὶ τοῦ τῆς ΓΚ πρὸς ΚΕ. <lb n="9"></lb></s></p><p>
<s id="id.000053">Ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΘΚ παράλληλος ἡ ΓΖ καὶ συμ-<lb n="10"></lb>πιπτέτω τῇ ΔΕ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Ζ. </s>
<s id="id.000054">ἐπεὶ οὖν δύο εὐ-<lb n="11"></lb>θεῖαί εἰσιν αἱ ΔΛ ΛΕ, καὶ ἔξωθεν ἡ ΖΛ, ὁ ἄρα τῆς ΔΛ <lb n="12"></lb>πρὸς ΛΕ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΔΛ πρὸς ΛΖ καὶ <lb n="13"></lb>τοῦ τῆς ΛΖ πρὸς ΕΛ. </s>
<s id="id.000055">ἀλλὰ τῷ μὲν τῆς ΔΛ πρὸς ΛΖ <lb n="14"></lb>λόγῳ ὁ αὐτός ἐστιν ὁ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΓ διὰ τὸ παράλλη-<lb n="15"></lb>λον εἶναι τὴν ΓΖ τῇ ΚΘ, τῷ δὲ τῆς ΖΛ πρὸς ΛΕ λόγῳ <lb n="16"></lb>ὁ αὐτός ἐστιν ὁ τῆς ΓΚ πρὸς ΚΕ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι <lb n="17"></lb>τὰ ΓΕΖ ΕΚΛ τρίγωνα· καὶ ὁ τῆς ΔΛ ἄρα πρὸς τὴν ΛΕ <lb n="18"></lb>λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΓ καὶ ἐκ τοῦ <lb n="19"></lb>τῆς ΓΚ πρὸς ΚΕ. </s>
<s id="id.000056">κατὰ ταὐτὰ δὴ δειχθήσεται ὅτι καὶ ὁ <lb n="20"></lb>τῆς ΚΛ πρὸς ΛΘ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΕ πρὸς <lb n="21"></lb>ΕΓ καὶ τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΘ, παραλλήλου ἀχθείσης τῇ <lb n="22"></lb>ΕΔ διὰ τοῦ Γ τῆς ΓΜ καὶ συμπιπτούσης τῇ ΚΘ ἐκβλη-<lb n="23"></lb>θείσῃ κατὰ τὸ Μ. </s>
<s id="id.000057">ἐπεὶ γὰρ πάλιν δύο εὐθεῖαί εἰσιν αἱ <lb n="24"></lb>ΚΛ ΛΘ ἔξωθεν τῆς ΛΜ λαμβανομένης, ὁ ἄρα τῆς ΚΛ <lb n="25"></lb>πρὸς ΛΘ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΛ πρὸς ΛΜ καὶ τοῦ <lb n="26"></lb><pb n="1040"></pb>τῆς ΛΜ πρὸς ΛΘ. </s>
<s id="id.000058">ἀλλ&#039; ὁ μὲν τῆς ΚΛ πρὸς ΛΜ λόγος <lb n="1"></lb>ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΕ πρὸς ΕΓ διὰ τὸ παράλληλον <lb n="2"></lb>εἶναι πάλιν τὴν ΕΔ τῇ ΓΜ, ὁ δὲ τῆς ΛΜ πρὸς ΛΘ λό-<lb n="3"></lb>γος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΘ διὰ τὸ ἰσογώνια <lb n="4"></lb>εἶναι τὰ ΔΘΛ ΓΘΜ τρίγωνα· ὁ ἄρα τῆς ΚΛ πρὸς ΛΘ <lb n="5"></lb>λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΕ πρὸς <lb n="6"></lb>ΕΓ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΔΓ, καὶ τοῦ τῆς ΓΔ <lb n="7"></lb>πρὸς τὴν ΔΘ λόγου, ὃς τὸν τῆς ἰσότητος λόγον ποιεῖ· καὶ <lb n="8"></lb>ὁ τῆς ΚΛ ἄρα πρὸς τὴν ΛΘ λόγος τῆς ἰσότητός ἐστιν· <lb n="9"></lb>ἴση ἄρα ἡ ΚΛ τῇ ΛΘ. <lb n="10"></lb></s></p><p>
<s id="id.000059">ε#. </s>
<s id="id.000060">Τὸ λοιπὸν τῶν ὑπερτεθέντων. </s>
<s id="id.000061">ἔστω παράλληλος <lb n="11"></lb>ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΓΘ πρὸς ΘΔ, <lb n="12"></lb>καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΒΔ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ <lb n="13"></lb>Ε σημεῖον· ὅτι ἡ διὰ τῶν Ζ Ε Θ εὐθεῖά ἐστιν. <lb n="14"></lb></s></p><p>
<s id="id.000062">Εἰ γὰρ μή, ἔστω ἡ διὰ τῶν Ζ Ε Η. </s>
<s id="id.000063">ἐπεὶ οὖν ἐστιν <lb n="15"></lb><figure place="text"></figure>ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΓΗ, οὕτως <lb n="16"></lb>ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, ὡς δὲ ἡ ΖΕ <lb n="17"></lb>πρὸς ΕΗ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς <lb n="18"></lb>ΗΔ, ὡς ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς ΓΗ, <lb n="19"></lb>οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς ΗΔ, καὶ <lb n="20"></lb>ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, <lb n="21"></lb>τουτέστιν ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΘΔ, <lb n="22"></lb>οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΔ, ὅπερ <lb n="23"></lb>ἀδύνατον· ἡ ἄρα διὰ τῶν <lb n="24"></lb>Ζ Ε Θ σημείων εὐθεῖά ἐστιν. <lb n="25"></lb></s></p><p>
<s id="id.000064">ς#. </s>
<s id="id.000065">Παραλληλογράμμου δοθέντος ὀρθογωνίου τοῦ ΑΓ, <lb n="26"></lb>διαγαγεῖν τὴν ΓΔ ὥστε τοῦ ΑΒΓΔ τραπεζίου ἀρτηθέντος <lb n="27"></lb>ἀπὸ τοῦ Δ τὰς ΑΔ ΒΓ παραλλήλους εἶναι τῷ ὁρίζοντι. <lb n="28"></lb></s></p><p>
<s id="id.000066">Γεγονέτω· ἡ ἄρα διὰ τοῦ Δ καὶ τοῦ κέντρου τοῦ βά-<lb n="29"></lb>ρους τοῦ τραπεζίου ἀγομένη εὐθεῖα κάθετος ἔσται ἐπὶ <lb n="30"></lb>τὸν ὁρίζοντα καὶ ἐπὶ τὴν ΒΓ. </s>
<s id="id.000067">ἔστω ἡ ΔΛ, καὶ τε-<lb n="31"></lb>τμήσθω δίχα ἡ ΔΛ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ, <lb n="32"></lb><pb n="1042"></pb>ἐπεζεύχθω δὲ ἡ ΓΕΖ, καὶ τετμήσθω ἡ ΓΕ κατὰ τὸ Θ ὥστε <lb n="1"></lb>διπλῆν εἶναι τὴν ΓΘ τῆς ΘΕ, καὶ ἡ ΕΖ δίχα τετμήσθω κατὰ <lb n="2"></lb>τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ τέμνουσα τὴν ΔΛ κατὰ τὸ Κ· <lb n="3"></lb>τὸ μὲν ἄρα Η κέντρον βάρους ἐστὶν τοῦ Β*δ παραλληλο-<lb n="4"></lb>γράμμου, τὸ δὲ Θ κέντρον βάρους τοῦ ΓΔΛ τριγώνου· <lb n="5"></lb>τοῦ ἄρα ὅλου τραπεζίου τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς <lb n="6"></lb>ΗΘ ἐστίν. </s>
<s id="id.000068">ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῆς ΔΛ· τὸ Κ ἄρα κέντρον βά-<lb n="7"></lb>ρους ἐστὶν τοῦ ΑΒΓΔ τραπεζίου. </s>
<s id="id.000069">ἀλλὰ καὶ τοῦ μὲν ΒΔ <lb n="8"></lb>παραλληλογράμμου τὸ Η, τοῦ δὲ ΔΛΓ τριγώνου τὸ Θ· <lb n="9"></lb>ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΒΔ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΔΓΛ <lb n="10"></lb>τρίγωνον, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΗ. </s>
<s id="id.000070">ἐὰν γὰρ ἀνὰ πεῖραν <lb n="11"></lb>ἐπινοήσωμεν τοῦ μὲν ΒΔ παραλληλογράμμου [οὕτως ἔχον] <lb n="12"></lb>τὸ βάρος ἐν ἑαυτῷ πᾶν συνῆχθαι πρὸς τῷ Η, τοὺ δὲ ΓΔΛ <lb n="13"></lb>τριγώνου πᾶν τὸ βάρος ἐν τῷ Θ συνῆχθαι, γίνεται ὥσπερ <lb n="14"></lb>ζυγὸς ἡ ΗΘ, ἐκ δὲ τῶν ἄκρων τὰ εἰρημένα βάρη. </s>
<s id="id.000071">καὶ ἐὰν <lb n="15"></lb>τμηθῇ ἡ ΗΘ κατὰ τὸ Κ, ὥστε εἶναι ὡς τὸ πρὸς τῷ Η <lb n="16"></lb>βάρος πρὸς τὸ πρὸς τῷ Θ, τουτέστιν τὸ ΒΔ παραλληλό-<lb n="17"></lb>γραμμον πρὸς τὸ ΓΔΛ τρίγωνον, οὕτως τὴν ΘΚ εὐθεῖαν <lb n="18"></lb>πρὸς τὴν ΚΗ κατὰ τὸν ἀντιπεπονθότα τῶν βαρῶν ἐν τοῖς <lb n="19"></lb>ζυγοῖς λόγον, ἔσται τὸ Κ σημεῖον ἐξ οὗ τὰ βάρη ἰσορρο-<lb n="20"></lb>πήσει [ὥστε καὶ τὸ ΑΒΓΔ ἐκ τοῦ Κ ἰσορροπήσει]. </s>
<s id="id.000073">ἤχθω-<lb n="21"></lb>σαν δὴ κάθετοι ἀπὸ τῶν Η Θ ἐπὶ τὴν ΒΓ αἱ ΗΜ ΘΝ. <lb n="22"></lb></s>
<s id="id.000074">ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ΒΔ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΔΛ <lb n="23"></lb>τρίγωνον, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΗ, ἀλλ&#039; ὡς τὸ παρ-<lb n="24"></lb>αλληλόγραμμον πρὸς τὸ τρίγωνον, οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς τὴν <lb n="25"></lb>ἡμίσειαν τῆς ΛΓ, ὡς δὲ ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΚΗ, οὕτως ἡ ΝΛ <lb n="26"></lb><pb n="1044"></pb>πρὸς τὴν ΛΜ διὰ τὸ εἰς παραλλήλους τὰς ΗΜ ΕΛ ΘΝ <lb n="1"></lb>διῆχθαι τὰς ΗΚΘ ΜΛΝ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΛ πρὸς τὴν ἡμί-<lb n="2"></lb>σειαν τῆς Λ*γ, οὕτως ἡ ΝΛ πρὸς τὴν ΛΜ ἡμίσειαν οὖσαν <lb n="3"></lb>τῆς ΒΛ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΛ πρὸς τὴν διπλασίαν, τουτέστιν <lb n="4"></lb>πρὸς τὴν ΛΓ, οὕτως ἡ ΛΝ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΜΛ, <lb n="5"></lb>τουτέστιν τὴν ΒΛ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ <lb n="6"></lb>ΓΛΝ. </s>
<s id="id.000075">[ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΓΛ πρὸς ΛΒ, ἡ ΒΛ πρὸς <lb n="7"></lb>ΛΝ.]</s>
<s id="id.000076"> ὡς δὲ ἡ ΓΛ πρὸς ΛΝ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΛ τε-<lb n="8"></lb>τράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τὴς ΒΛ τετράγωνον. </s>
<s id="id.000077">καὶ τριπλῆ <lb n="9"></lb>ἐστιν ἡ ΓΛ τῆς ΛΝ [1ἐπεὶ καὶ ἡ ΓΕ τριπλῆ ἐστιν τῆς ΕΘ· <lb n="10"></lb>διπλῆ γὰρ ἡ ΓΘ τῆς ΕΘ]1· τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΛ <lb n="11"></lb>τοῦ ἀπὸ ΛΒ. </s>
<s id="id.000078">καὶ δοθέντα τὰ Β Γ· δοθὲν ἄρα τὸ Λ, <lb n="12"></lb>ὥστε καὶ τὸ Δ. </s>
<s id="id.000079">διὸ δὴ τὴν ΒΓ τεμόντες κατὰ τὸ Λ, ὥστε <lb n="13"></lb>τὸ ἀπὸ ΓΛ τοῦ ἀπὸ ΛΒ εἶναι τριπλάσιον, ἕξομεν τὸ Δ <lb n="14"></lb>τῆς ἀρτήσεως σημεῖον. </s>
<s id="id.000080">τέμνεται δὲ ἡ ΒΓ οὕτως. <lb n="15"></lb></s></p><p>
<s id="id.000081">ζ#. </s>
<s id="id.000082">Εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάττονος <lb n="16"></lb>εἶναι δυνάμει τριπλασίαν. <lb n="17"></lb></s></p><p>
<s id="id.000083">Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΔ καὶ τετμήσθω τῷ Γ, ὥστε τὴν ΑΓ <lb n="18"></lb>τῆς ΓΔ εἶναι τριπλῆν, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΔ γεγράφθω ἡμικύ-<lb n="19"></lb>κλιον τὸ ΑΒΔ, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΔ ἀπὸ τοῦ Γ ἡ ΓΒ, <lb n="20"></lb>καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΔΕ· <lb n="21"></lb>ὅτι ἡ ΑΕ τῆς ΔΕ δυνάμει τριπλασία ἐστίν. <lb n="22"></lb></s></p><p>
<s id="id.000084">Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ τῶν ΑΓ ΓΔ μέση ἀνάλογόν ἐστιν, ὡς <lb n="23"></lb>ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, <lb n="24"></lb>τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· τριπλασία ἄρα ἡ <lb n="25"></lb>ΑΕ τῆς ΔΕ δυνάμει. <lb n="26"></lb></s></p><p>
<s id="id.000085">Ὁμοίως καὶ εἰς τὸν δοθέντα λόγον δυνάμει τμηθήσεται <lb n="27"></lb>ἡ ΑΔ εὐθεῖα καὶ πᾶσα ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα. <lb n="28"></lb><pb n="1046"></pb></s></p><p>
<s id="id.000086">η#. </s>
<s id="id.000087">Θέσει αἱ ΑΒ ΑΓ, καὶ δοθὲν τὸ Β, καὶ διήχθω ἡ <lb n="1"></lb>ΓΔ ἀποτέμνουσα δοθέντα λόγον τὸν τῆς ΑΓ πρὸς ΒΔ· <lb n="2"></lb>δεῖξαι ὅτι τοῦ ΑΓΔ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶ <lb n="3"></lb>πρὸς θέσει. <lb n="4"></lb></s></p><p>
<s id="id.000088">Τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα τῷ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ <lb n="5"></lb>τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ, ὥστε τὴν ΕΖ τρίτον μέρος εἶναι τῆς <lb n="6"></lb><figure place="text"></figure>ΕΔ· τὸ Ζ ἄρα κέντρον βάρους ἐστὶν <lb n="7"></lb>τοῦ ΑΓΔ τριγώνου [1τοῦτο γὰρ προ-<lb n="8"></lb>δέδεικται]1. </s>
<s id="id.000089">ἤχθω δὴ τῇ ΑΕ παράλ-<lb n="9"></lb>ληλος ἡ ΖΗ, καὶ τῆς ΑΒ τρίτον <lb n="10"></lb>μέρος ἔστω ἡ ΑΘ. </s>
<s id="id.000090">ἔστιν δὲ καὶ <lb n="11"></lb>ἡ ΑΗ τρίτον μέρος τῆς ΑΔ, ἐπεὶ <lb n="12"></lb>καὶ ἡ ΕΖ τῆς ΕΔ· καὶ λοιπὸν οὖν <lb n="13"></lb>ἡ ΘΗ τρίτον μέρος ἐστὶν τῆς ΒΔ. <lb n="14"></lb></s>
<s id="id.000091">λόγος δὲ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΑΓ δο-<lb n="15"></lb>θείς [τῆς δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΖΗ· <lb n="16"></lb>τριπλασία γὰρ αὐτῆς ἐστιν, ὅτι καὶ <lb n="17"></lb>ἡ μὲν ΔΑ τῆς ΔΗ ἡμιολία ἐστίν, <lb n="18"></lb>τουτέστιν ἡ ΑΕ τῆς ΖΗ, ἡ δὲ ΓΑ <lb n="19"></lb>τῆς ΑΕ διπλῆ]· λόγος ἄρα καὶ τῆς <lb n="20"></lb>ΗΘ πρὸς τῆν ΗΖ δοθείς. </s>
<s id="id.000092">καὶ δο-<lb n="21"></lb>θεῖσα ἡ πρὸς τῷ Η γωνία [1καὶ γὰρ <lb n="22"></lb>ἡ πρὸς τῷ Α]1· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΗΘΖ γωνία. </s>
<s id="id.000093">καὶ <lb n="23"></lb>δοθὲν τὸ Θ· θέσει ἄρα ἡ ΘΖ εὐθεῖα, καὶ ἔστιν ἐπ&#039; αὐτῆς <lb n="24"></lb>τὸ Ζ κέντρον. <lb n="25"></lb></s></p><p>
<s id="id.000094">Ταῦτα μὲν οὖν καὶ τὰ τοιαῦτα θεωρίαν ἔχει, τὰ δὲ <lb n="26"></lb>καὶ εἰς χρείαν δυνάμενα πεσεῖν μηχανικὴν τοιαῦτ&#039; ἂν εἴη. <lb n="27"></lb><pb n="1048"></pb></s></p><p>
<s id="id.000095">θ#. </s>
<s id="id.000096">Ἐπίπεδον ἐκκλῖναι, ὥστε τὸ κλίμα αὐτοῦ ἐφ&#039; ἓν <lb n="1"></lb>νεύειν σημεῖον δοθέντος ἀκλινοῦς ἐπιπέδου, τουτέστιν παρ-<lb n="2"></lb>αλλήλου τῷ ὁρίζοντι, ἐν παραλληλογράμμῳ, τὸ δὲ κλίμα <lb n="3"></lb>ἔστω ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ. <lb n="4"></lb></s></p><p>
<s id="id.000097">Ἔστω τὸ δοθὲν παραλληλόγραμμον πρότερον ἰσόπλευ-<lb n="5"></lb>ρον τὸ ΑΒΓΔ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία, ἐν ᾗ βουλόμεθα ἐκ-<figure place="text"></figure><lb n="6"></lb>κλῖναι τὸ ἐπίπεδον, ἡ ὑπὸ ΕΖΗ, ἀπὸ δὲ τῶν Α Β Δ <lb n="7"></lb>σημείων τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτωσαν <lb n="8"></lb>αἱ ΑΘ ΒΚ ΔΛ, τὸ δὲ Γ σημεῖον ἔστω ὅπου βουλόμεθα <lb n="9"></lb>τὴν κλίσιν νεύειν, καὶ τῇ μὲν ΑΓ ἐπιζευχθείσῃ ἴση κείσθω <lb n="10"></lb>ἡ ΖΗ, τῇ δὲ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΗ, τῇ δὲ ΗΕ ἴση <lb n="11"></lb>κείσθω ἡ ΑΘ. </s>
<s id="id.000098">ἐὰν δὴ νοήσωμεν ἐπεζευγμένην τὴν ΘΓ, <lb n="12"></lb>ἔσται ἡ ὑπὸ ΘΓΑ γωνία τῆς κλίσεως τῶν ἐπιπέδων. </s>
<s id="id.000099">ἤχθω <lb n="13"></lb>δὴ καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἡ ΒΜ, καὶ τῇ ΓΜ <lb n="14"></lb>ἴση κείσθω ἡ ΖΝ, τῇ δὲ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΝΞ, τῇ <lb n="15"></lb><pb n="1050"></pb>δὲ ΝΞ ἴση κείσθω ἑκατέρα τῶν ΒΚ ΔΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖ-<lb n="1"></lb>σαι αἱ ΘΛ ΘΚ ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν ταῖς <lb n="2"></lb>ΑΔ ΑΒ ἐκβληθείσαις κατὰ τὰ Π Ρ σημεῖα [ὅτι δὲ συμ-<lb n="3"></lb>πίπτουσιν δῆλον· ἀπ&#039; ἐλαττόνων γάρ εἰσιν δύο ὀρθῶν καὶ <lb n="4"></lb>αὐταὶ κἀκεῖναι]· ἔσται δὴ τὸ ΘΚΛ ἐπίπεδον κεκλιμένον <lb n="5"></lb>πρὸς τὸ ΑΒΓΔ ἐν τῇ ὑπὸ ΘΓΑ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΕΖΗ. <lb n="6"></lb></s>
<s id="id.000100">ἐὰν γὰρ νοήσωμεν τῇ ΑΘ παράλληλον ἠγμένην τὴν ΜΟ, καὶ <lb n="7"></lb>ἐπεζευγμένην τὴν ΟΚ, ἔσται ἡ μὲν ΜΟ ἴση τῇ ΝΞ διὰ τὸ <lb n="8"></lb>ἰσογώνιον εἶναι τὸ ΖΝΞ τρίγωνον τῷ ΜΟΓ, ἡ δὲ ΚΟ τῇ <lb n="9"></lb>ΒΜ ἴση καὶ παράλληλος, καὶ παραλληλόγραμμον τὸ ΚΒΜΟ <lb n="10"></lb>ὀρθὸν πρὸς ὑποκείμενον. </s>
<s id="id.000101">καὶ ἐπεὶ τὰ Π Γ Ρ σημεῖα ἐν <lb n="11"></lb>δυσὶν ἅμα ἐπιπέδοις ἐστὶν τῷ τε ὑποκειμένῳ ΑΒΓΔ [ἐν <lb n="12"></lb>ᾧ ἐστιν καὶ τὰ Π Ρ σημεῖα, ἀλλὰ] καὶ ἐν τῷ ΚΘΛΓ, τὰ <lb n="13"></lb>Π Γ Ρ ἄρα σημεῖα ἐπὶ μιᾶς ἐστιν εὐθείας τῆς ΠΓΡ, κοι-<lb n="14"></lb>νῆς τομῆς οὔσης τῶν εἰρημένων ἐπιπέδων. </s>
<s id="id.000102">διὰ ταὐτὰ δὴ <lb n="15"></lb>καὶ τὰ Κ Ο Λ σημεῖα ἐπὶ τῆς κοινῆς ἐστι τομῆς τοῦ ΚΘΛΓ <lb n="16"></lb>ἐπιπέδου καὶ τοῦ διὰ τῶν Κ Ο Λ παραλλήλου τῷ ΑΒΓΔ <lb n="17"></lb>ἐπιπέδῳ, ὥστε τὴν διὰ τῶν Κ Ο Λ εὐθεῖαν παράλληλον <lb n="18"></lb>εἶναι τῇ ΠΡ. </s>
<s id="id.000103">ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΠ πρὸς ΠΔ, ἡ <lb n="19"></lb>ΘΑ πρὸς ΛΔ, ὡς δὲ ἡ ΑΡ πρὸς ΡΒ, ἡ ΑΘ πρὸς ΒΚ, <lb n="20"></lb>καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΒΚ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΠ τῇ ΑΡ <lb n="21"></lb>καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΠΡ τῇ ὑπὸ ΑΡΠ. </s>
<s id="id.000104">ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ <lb n="22"></lb>ΠΑΓ ἴση τῇ ὑπὸ ΡΑΓ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΠ τῇ ὑπὸ <lb n="23"></lb>ΑΓΡ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα αὐτῶν, καὶ ἡ ΠΡ εὐθεῖα <lb n="24"></lb>δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνεται ὑπὸ τῆς ΑΓ. </s>
<s id="id.000105">καὶ ἔστιν <lb n="25"></lb><pb n="1052"></pb>αὐτῇ πρὸς ὀρθὰς καὶ τῷ ΑΒΓΔ ἐπιπέδῳ ἡ ΜΟ· καὶ ἡ <lb n="1"></lb>ΟΓ ἄρα πρὸς ὀρθάς ἐστιν τῇ ΡΠ διὰ λῆμμα σφαιρικῶν· <lb n="2"></lb>ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΠ ΟΓΠ· τὸ ΚΘΛΓ <lb n="3"></lb>ἄρα ἐπίπεδον κέκλιται πρὸς τὸ [ἀπὸ] ΑΒΓΔ ἐν τῇ δο-<lb n="4"></lb>θείσῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΖΗ. <lb n="5"></lb></s></p><p>
<s id="id.000106">Ἀλλὰ δὴ ἔστω μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΑΔ, τῶν ἄλλων <lb n="6"></lb>ὑποκειμένων τῶν αὐτῶν· λέγω ὅτι ἡ ὑπὸ ΑΓΠ ὀξεῖά <lb n="7"></lb>ἐστιν. <lb n="8"></lb></s></p><p>
<s id="id.000107">Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΠ πρὸς ΠΔ, ἡ ΘΑ πρὸς <lb n="9"></lb>ΔΛ, ὡς δὲ ἡ ΑΡ πρὸς ΡΒ, ἡ ΘΑ πρὸς ΒΚ, καὶ ἴση <lb n="10"></lb>ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΒΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΠ πρὸς ΠΔ, ἡ ΑΡ <lb n="11"></lb>πρὸς ΡΒ· καὶ διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΠ, <lb n="12"></lb>οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΡ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΑΒ, <lb n="13"></lb>οὕτως ἡ ΔΠ πρὸς ΒΡ. </s>
<s id="id.000108">ἐλάττων δὲ ἡ ΑΔ τῆς ΑΒ· ἐλάτ-<lb n="14"></lb>των ἄρα καὶ ἡ ΔΠ τῆς ΒΡ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΠ ἐλάττων <lb n="15"></lb>ἐστὶν τῆς ΑΡ, ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΡΠ ἐλάσσων ἐστὶν <lb n="16"></lb>τῆς ὑπὸ ΑΠΡ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΠΡ τῆς ὑπὸ ΑΡΠ. <lb n="17"></lb></s>
<s id="id.000109">ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΑΠ τῆς ὑπὸ ΓΑΡ μείζων· λοιπὴ <lb n="18"></lb>ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΠ τοῦ ΑΓΠ τριγώνου λοιπῆς τῆς ὑπὸ ΑΓΡ <lb n="19"></lb>τοῦ ΑΓΡ τριγώνου ἐλάσσων ἐστίν· ὀξεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΠ <lb n="20"></lb>γωνία· ἡ κλίσις ἄρα τῶν εἰρημένων ἐπιπέδων πρός τι ση-<lb n="21"></lb>μεῖον μεταξὺ τῶν Γ Π θεωρεῖται, ἀπὸ τοῦ Α σημείου <lb n="22"></lb>ἐπὶ τὴν ΓΠ καθέτου ἀγομένης. </s>
<s id="id.000110">ὡς οὖν ἐκκλῖναι δυνατόν <lb n="23"></lb>ἐστιν ἐπίπεδον ἐν τῇ δοθείσῃ γωνία πρὸς ἐπίπεδον, δυνα- <lb n="24"></lb><pb n="1054"></pb>τόν ἐστιν ἄρα καὶ ἐκκεκλιμένου τὴν κλίσιν εἰπεῖν, τουτέστιν <lb n="1"></lb>ἐν ποίᾳ γωνίᾳ κέκλιται τὸ ἐπίπεδον πρὸς τὸ παράλληλον <lb n="2"></lb>τῷ ὁρίζοντι. <lb n="3"></lb></s></p><p>
<s id="id.000111">ι#. </s>
<s id="id.000112">Βάρους δοθέντος ὑπὸ δοθείσης ἀγομένου δυνάμεως <lb n="4"></lb>ἐν τῷ παρὰ τὸν ὁρίζοντα ἐπιπέδῳ καὶ ἑτέρου ἐπιπέδου <lb n="5"></lb>κεκλιμένου πρὸς τὸ ὑποκείμενον δοθεῖσαν γωνίαν ὑποτι-<lb n="6"></lb>θέντος, εὑρεῖν τὴν δύναμιν ὑφ&#039; ὅσης ἀχθήσεται τὸ βάρος <lb n="7"></lb>ἐν τῷ κεκλιμένῳ ἐπιπέδῳ. <lb n="8"></lb></s></p><p>
<s id="id.000113">   Ἔστω τὸ μὲν διὰ τῆς ΜΝ εὐ-<lb n="9"></lb>θείας ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον, τὸ <lb n="10"></lb>δὲ διὰ τῆς ΜΚ κεκλιμένον πρὸς <lb n="11"></lb>αὐτὸ γωνίαν δοθεῖσαν τὴν ὑπὸ <lb n="12"></lb>ΚΜΝ ὑποτιθέν, βάρος δέ τι τὸ Α <lb n="13"></lb>κινείσθω ὑπὸ δυνάμεως τῆς Γ <lb n="14"></lb>ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου ἐπιπέδου, καὶ <lb n="15"></lb>νοείσθω τῷ Α ἰσοβαρὴς σφαῖρα <lb n="16"></lb>ἡ περὶ κέντρον τὸ Ε, καὶ κείσθω <lb n="17"></lb>ἐπὶ τοῦ διὰ τῶν Μ Κ ἐπιπέδου <lb n="18"></lb>ψαύουσα αὐτοῦ κατὰ τὸ Λ ση-<lb n="19"></lb>μεῖον, ὡς ἔστιν σφαιρικῶν γ# θεω-<lb n="20"></lb>ρήματι· ἡ ἄρα ΕΛ ἐπιζευχθεῖσα <lb n="21"></lb>κάθετος ἔσται ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον <lb n="22"></lb>[1καὶ τοῦτο γὰρ δέδεικται θεωρή-<lb n="23"></lb>ματι δ# σφαιρικῶν]1, ὥστε καὶ <lb n="24"></lb>πρὸς τὴν ΚΜ κάθετός ἐστιν ἡ ΕΛ. </s>
<s id="id.000114">ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ <lb n="25"></lb>τῶν ΚΜ ΕΛ ἐπίπεδον καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ <lb n="26"></lb>κύκλον τὸν ΛΗΞ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε κέντρου τῇ ΜΝ <lb n="27"></lb>παράλληλος ἡ ΕΘ, καὶ κάθετος ἐπ&#039; αὐτὴν ἀπὸ τοῦ Λ ἡ <lb n="28"></lb>ΛΖ. </s>
<s id="id.000115">ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΘΛ γωνία [1ἴση γάρ <lb n="29"></lb><pb n="1056"></pb>ἐστιν τῇ ὑπὸ ΚΜΝ δοθείσῃ [ὀξείᾳ] γωνίᾳ]1, δοθεῖσα ἄρα <lb n="1"></lb>καὶ ἡ ὑπὸ ΕΛΖ ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ ΕΘΛ [1ἰσογώνιον γάρ <lb n="2"></lb>ἐστιν τὸ ΕΘΛ τῷ ΕΛΖ τριγώνῳ]1· δοθὲν ἄρα τὸ ΕΛΖ <lb n="3"></lb>τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΕΛ, τουτέστιν τῆς ΕΗ, <lb n="4"></lb>πρὸς ΕΖ δοθείς· καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς ΖΗ πρὸς ΕΖ λόγος <lb n="5"></lb><figure place="text"></figure>ἐστὶν δοθείς. </s>
<s id="id.000116">πεποιήσθω οὖν ὡς <lb n="6"></lb>ἡ ΗΖ πρὸς ΖΕ, οὕτως τὸ μὲν Α <lb n="7"></lb>βάρος πρὸς τὸ Β, ἡ δὲ Γ δύναμις <lb n="8"></lb>πρὸς τὴν Δ. </s>
<s id="id.000117">καὶ ἔστιν τοῦ Α δύ-<lb n="9"></lb>ναμις ἡ Γ· καὶ τοῦ Β ἄρα δύνα-<lb n="10"></lb>μις ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἔσται ἡ <lb n="11"></lb>Δ. </s>
<s id="id.000118">καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΗΖ εὐ-<lb n="12"></lb>θεῖα πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως τὸ Α <lb n="13"></lb>βάρος πρὸς τὸ Β, ἂν τεθῇ τὰ Α <lb n="14"></lb>Β βάρη περὶ κέντρα τὰ Ε Η, <lb n="15"></lb>ἰσορροπήσει ἀρτώμενα ἀπὸ τοῦ Ζ <lb n="16"></lb>σημείου [ἢ ἐπὶ ὑποθέματος κεί-<lb n="17"></lb>μενα τοῦ ΛΖ ὀρθοῦ πρὸς τὸν ὁρί-<lb n="18"></lb>ζοντα]. </s>
<s id="id.000119">κεῖται δὲ τὸ Α βάρος περὶ <lb n="19"></lb>κέντρον τὸ Ε [1ἀντ&#039; αὐτοῦ γὰρ ἡ <lb n="20"></lb>σφαῖρα]1· τεθὲν ἄρα τὸ Β βάρος <lb n="21"></lb>περὶ κέντρον τὸ Η ἰσορροπήσει τῇ σφαίρᾳ, ὥστε μὴ κατα-<lb n="22"></lb>φέρεσθαι τὴν σφαῖραν διὰ τὴν κλίσιν τοῦ ἐπιπέδου, ἀλλ&#039; <lb n="23"></lb>ἐφεστάναι ἀρρεπῆ, ὡς εἰ καὶ ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου ἑστῶσα <lb n="24"></lb>ἐτύγχανεν. </s>
<s id="id.000120">ἐκινεῖτο δὲ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὑπὸ τῆς <lb n="25"></lb>Γ δυνάμεως· κινηθήσεται ἄρα ἐν τῷ κεκλιμένῳ ἐπιπέδῳ <lb n="26"></lb>πρὸς συναμφοτέρου τῆς τε Γ δυνάμεως καὶ τῆς τοῦ Β <lb n="27"></lb>βάρους, τουτέστιν τῆς Δ δυνάμεως. </s>
<s id="id.000121">καὶ ἔστιν δοθεῖσα <lb n="28"></lb>ἡ Δ δύναμις. <lb n="29"></lb></s></p><p>
<s id="id.000122">Ἡ μὲν οὖν γεωμετρικὴ τοῦ προβλήματος ἀνάλυσις ὑπο-<lb n="30"></lb>δέδεικται, ἵνα δὲ καὶ ἐπὶ παραδείγματος ποιησώμεθα τήν <lb n="31"></lb><pb n="1058"></pb>τε κατασκευὴν καὶ τὴν ἀπόδειξιν, ἔστω τὸ μὲν Α βάρος <lb n="1"></lb>ταλάντων, εἰ τύχοι, ς# ἀγόμενον ἐν τῷ παραλλήλῳ ὁρίζοντι <lb n="2"></lb>ἐπιπέδῳ ὑπὸ τῆς Γ κινούσης δυνάμεως, τουτέστιν οἱ κι-<lb n="3"></lb>νοῦντες ἔστωσαν ἄνθρωποι μ#, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΜΝ γωνία, τουτ-<lb n="4"></lb>έστιν ἡ ὑπὸ ΕΘΛ, διμοίρου ὀρθῆς· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ <lb n="5"></lb>ΖΛΘ τρίτου ὀρθῆς. </s>
<s id="id.000123">καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΛΘ· διμοίρου <lb n="6"></lb>ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΛΖ· οἵων ἄρα αἱ δ# ὀρθαὶ τξ# τοιούτων <lb n="7"></lb>ξ# ἡ ὑπὸ ΕΛΖ, καὶ τοῦ περιγραφομένου ἄρα περὶ τὸ ΕΖΛ <lb n="8"></lb>τρίγωνον ὀρθογώνιον κύκλου ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΖ περιφέρεια <lb n="9"></lb>τοιούτων ἔσται ρκ# οἵων ὁ κύκλος τξ#, αὐτὴ δὲ ἡ ΕΖ τοι-<lb n="10"></lb>ούτων ρδ# ἔγγιστα οἵων ἡ ΕΛ τοῦ κύκλου διάμετρος ρκ#· <lb n="11"></lb>ταῦτα γὰρ δῆλα ἐκ τοῦ κανόνος τῶν ἐγκυκλίων εὐθειῶν τοῦ <lb n="12"></lb>κατὰ Πτολεμαῖον [ὄντοσ] κειμένου ἐν τῷ α# τῶν μαθημα-<lb n="13"></lb>τικῶν. </s>
<s id="id.000124">λόγος ἄρα τῆς ΕΛ, τουτέστιν τῆς ΕΗ, πρὸς ΕΖ, <lb n="14"></lb>ὃν ρκ# πρὸς ρδ#· καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς ΗΖ πρὸς ΖΕ λόγος <lb n="15"></lb>ὃν ις# πρὸς ρδ#. </s>
<s id="id.000125">τούτῳ δὲ ὁ αὐτός ἐστιν ὁ τοῦ Α βάρους <lb n="16"></lb>πρὸς τὸ Β, καὶ τῆς Γ δυνάμεως πρὸς τὴν Δ, καὶ ἔστιν τὸ <lb n="17"></lb>μὲν Α βάρος ταλάντων ς#, ἡ δὲ κινοῦσα δύναμις ἀνδρῶν μ#· <lb n="18"></lb>ἔσται ἄρα καὶ τὸ μὲν Β βάρος ταλάντων #22ατ#, ἡ δὲ Δ δύ-<lb n="19"></lb>ναμις ἀνθρώπων σξ# [1ὡς γὰρ ις# πρὸς ρδ#, οὕτως ς# πρὸς <lb n="20"></lb>#22ατ# καὶ μ# πρὸς σξ#]1· τοῦ ἄρα Α βάρους ταλάντων ς# κι-<lb n="21"></lb>νουμένου ἐν παραλλήλῳ τῷ ὁρίζοντι ἐπιπέδῳ ὑπὸ τῶν μ <lb n="22"></lb>ἀνδρῶν, τὸ αὐτὸ βάρος κινηθήσεται ὑπὸ συναμφοτέρων τῶν <lb n="23"></lb>προειρημένων ἀνθρώπων, τουτέστιν ὑπὸ τ# ὅλων, ἐν ἐπι-<lb n="24"></lb>πέδῳ κεκλιμένῳ πρὸς τὸν ὁρίζοντα, τῆς ὑπὸ ΚΜΝ γωνίας <lb n="25"></lb>διμοίρου ὀρθῆς ὑποκειμένης. <lb n="26"></lb><pb n="1060"></pb></s></p><p>
<s id="id.000126">ια#. </s>
<s id="id.000127">Τῆς αὐτῆς δέ ἐστιν θεωρίας τὸ δοθὲν βάρος τῇ <lb n="1"></lb>δοθείσῃ δυνάμει κινῆσαι· τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδους μὲν εὕρημα <lb n="2"></lb>[λέγεται] μηχανικόν, ἐφ&#039; ᾧ λέγεται εἰρηκέναι· δός μοί [1φησι]1 <lb n="3"></lb>ποῦ στῶ καὶ κινῶ τὴν γῆν. </s>
<s id="id.000128">Ἥρων δὲ ὁ Ἀλεξανδρεὺς πάνυ <lb n="4"></lb>σαφῶς αὐτοῦ τὴν κατασκευὴν ἐξέθετο ἐν τῷ καλουμένῳ <lb n="5"></lb>βαρουλκῷ, λῆμμα λαβὼν ὅπερ ἐν τοῖς μηχανικοῖς ἀπέδει-<lb n="6"></lb>ξεν, ἔνθα καὶ περὶ τῶν ε# δυνάμεων διαλαμβάνει, τουτέστιν <lb n="7"></lb>τοῦ τε σφηνὸς καὶ μοχλοῦ καὶ κοχλίου καὶ πολυσπάστου <lb n="8"></lb>καὶ ἄξονος ἐν τῷ περιτροχίῳ, δι&#039; ὧν τὸ δοθὲν βάρος τῇ <lb n="9"></lb>δοθείσῃ δυνάμει κινεῖται [καθ&#039; ἑκάστην δύναμιν]. </s>
<s id="id.000129">ἐν δὲ τῷ <lb n="10"></lb>βαρουλκῷ διὰ τυμπάνων ὀδοντωτῶν παραθέσεως ἐκίνει τὸ <lb n="11"></lb>δοθὲν βάρος τῇ δοθείσῃ δυνάμει, τῆς διαμέτρου τοῦ τυμ-<lb n="12"></lb>πάνου πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ ἄξονος λόγον ἐχούσης ὃν ε#<figure place="text"></figure> <lb n="13"></lb>πρὸς α#, τοῦ κινουμένου βάρους ὑποκειμένου ταλάντων χι-<lb n="14"></lb>λίων, τῆς δὲ κινούσης δυνάμεως ὑποκειμένης ταλάντων ε#. <lb n="15"></lb></s></p><p>
<s id="id.000130">Ἔστω δὴ ἡμᾶς ἐπὶ διπλασίου λόγου τὸ αὐτὸ δεικνύναι, <lb n="16"></lb>καὶ ταλάντων ρξ# ὄντος τοῦ κινουμένου βάρους ἀντὶ χιλίων, <lb n="17"></lb>καὶ τῆς κινούσης αὐτὸ δυνάμεως ὑποκειμένης ταλάντων δ# <lb n="18"></lb><pb n="1062"></pb>ἀντὶ ε#, τουτέστιν ὁ κινῶν ἄνθρωπος δυνάσθω καθ&#039; αὑτὸν <lb n="1"></lb>ἄνευ μηχανῆς ἕλκειν τάλαντα δ#, καὶ ἔστω τὸ εἰρημένον <lb n="2"></lb>ὑπ&#039; αὐτοῦ γλωσσόκομον τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ εἰς τοὺς <lb n="3"></lb>μακροὺς καὶ παραλλήλους τοίχους ἔστω ἄξων διακείμενος <lb n="4"></lb>εὐλύτως στρεφόμενος ὁ ΕΖ, τούτῳ δὲ συμφυὲς ἔστω τύμ-<lb n="5"></lb>πανον ὠδοντωμένον [ἀκτῖσιν ὀδοντωτοῖσ] τὸ ΗΘ, ἔχον τὴν <lb n="6"></lb>διάμετρον διπλασίαν τῆς διαμέτρου [τῆς ΕΖ διαγωνίου] <lb n="7"></lb>τοῦ ἄξονος τῆς κατὰ κότραφον [γίνεται γὰρ τετράγωνος μὲν <lb n="8"></lb>περὶ μέσον ἐπὶ τοσοῦτον μῆκος, ὅσον ἐστὶν τὸ πάχος τοῦ <lb n="9"></lb>τυμπάνου εἰς ὃ ἐναρμόζεται ἀσφαλῶς, στρογγύλος δέ πως <lb n="10"></lb>ἢ λελοιφωμένος ἐκ τῶν ἐφ&#039; ἑκάτερα τοῦ τυμπάνου μερῶν]. <lb n="11"></lb></s>
<s id="id.000131">ἐὰν ἄρα τὰ ἐκ τοῦ βάρους τοῦ ἑλκομένου δεδεμένα σχοινία <lb n="12"></lb>[καλούμενα δὲ ὅπλα] διά τινος ὀπῆς [μᾶλλον δὲ ἀνατομῆσ<figure place="text"></figure> <lb n="13"></lb>πλατείασ] οὔσης ἐν τῷ ΑΒ τοίχῳ ἐπειληθῇ περὶ τὸν ΕΖ <lb n="14"></lb>ἄξονα [ἐφ&#039; ἑκάτερα τοῦ ΗΘ τυμπάνου] καὶ στραφῇ τὸ ΗΘ <lb n="15"></lb>τύμπανον, τοῦτο ἐπιστρέψει καὶ τὸν συμφυῆ ἄξονα κινού- <lb n="16"></lb><pb n="1064"></pb>μενον περὶ τὰ ἄκρα ἐν δακτύλοις χαλκοῖς καὶ πυξίσιν <lb n="1"></lb>ὁμοίως χαλκαῖς [κινουμέναισ], κειμέναις δ&#039; ἐν τοῖς εἰρημέ-<lb n="2"></lb>νοις ΑΒ ΓΔ τοίχοις. </s>
<s id="id.000132">ἐπειλούμενα δὲ τὰ ἐκ τοῦ βάρους <lb n="3"></lb>[ὃ καλεῖται φορτίον] ὅπλα κινήσει τὸ βάρος. </s>
<s id="id.000133">ἵνα δὲ κινηθῇ <lb n="4"></lb>τὸ ΗΘ τύμπανον, δεήσει δύναμιν παρασχεῖν ταλάντων <lb n="5"></lb>πλεῖον π# διὰ τὸ τὴν διάμετρον τοῦ τυμπάνου τῆς δια-<lb n="6"></lb>μέτρου τοῦ ἄξονος εἶναι διπλασίαν· τοῦτο γὰρ πρόβλημά <lb n="7"></lb>ἐστιν ὑπὸ Ἥρωνος δεικνύμενον ἐν τοῖς μηχανικοῖς. </s>
<s id="id.000134">[καὶ <lb n="8"></lb>ἄλλα πλεῖστα προβλήματα τῶν χρησιμωτάτων καὶ βιωφε-<lb n="9"></lb>λῶν γέγραπται]. <lb n="10"></lb></s></p><p>
<s id="id.000135">Ἐπεὶ οὖν οὐκ ἔχομεν τὴν δοθεῖσαν δύναμιν ταλάντων <lb n="11"></lb>π#, ἀλλὰ ταλάντων δ#, γεγονέτω ἕτερος ἄξων παρακείμενος <lb n="12"></lb>παράλληλος τῷ ΕΖ ὁ ΚΛ, ἔχων συμφυὲς τύμπανον ὠδον-<lb n="13"></lb>τωμένον τὸ ΜΝ, ὥστε τοὺς ὀδόντας αὐτοῦ ἐναρμόζειν τοῖς <lb n="14"></lb>ὀδοῦσι τοῦ ΗΘ τυμπάνου· τοῦτο δὲ γίνεται, ἐὰν ᾖ ὡς ἡ <lb n="15"></lb>διάμετρος τοῦ ΗΘ τυμπάνου πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ ΜΝ, <lb n="16"></lb>οὕτως τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ ΗΘ πρὸς τὸ πλῆθος <lb n="17"></lb>τῶν ὀδόντων τοῦ ΜΝ [1πῶς δὲ τοῦτο γίνεται διὰ τῶν ἑξῆς δῆ-<lb n="18"></lb>λον ἔσται]1· δοθὲν μὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ΜΝ τύμπανον. <lb n="19"></lb></s>
<s id="id.000136">τῷ δ&#039; αὐτῷ ἄξονι τῷ ΚΛ συμφυὲς ἔστω τύμπανον τὸ ΞΟ, <lb n="20"></lb>ἔχον τὴν διάμετρον διπλασίαν τῆς τοῦ ΜΝ τυμπάνου δια-<lb n="21"></lb>μέτρου. </s>
<s id="id.000137">διὰ δὴ τοῦτο δεήσει τὸν βουλόμενον κινεῖν διὰ <lb n="22"></lb>τοῦ ΞΟ τυμπάνου τὸ βάρος ἔχειν δύναμιν ταλάντων μ#, <lb n="23"></lb>ἐπειδήπερ τὰ π# τάλαντα διπλάσιά ἐστιν τῶν μ# ταλάν-<lb n="24"></lb>των. <lb n="25"></lb></s></p><p>
<s id="id.000138">Πάλιν δὲ παρακείσθω τῷ ΞΟ τυμπάνῳ [ὀδοντωθέντι] <lb n="26"></lb><pb n="1066"></pb>ἕτερον τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ΠΡ συμφυὲς ἑτέρῳ ἄξονι, <lb n="1"></lb>τῷ δ&#039; αὐτῷ ἄξονι ἕτερον συμφυὲς τύμπανον τὸ ΣΤ, ἔχον <lb n="2"></lb>μὲν ὁμοίως διπλασίαν τὴν διάμετρον τῆς τοῦ ΠΡ τυμπάνου <lb n="3"></lb>διαμέτρου, τοὺς δὲ ὀδόντας μὴ συμπλεκομένους τοῖς ὀδοῦσι <lb n="4"></lb>τοῦ ΜΝ τυμπάνου· ἡ ἄρα διὰ τοῦ ΣΤ τυμπάνου κινοῦσα <lb n="5"></lb>τὸ βάρος δύναμις ἔσται ταλάντων κ#. </s>
<s id="id.000139">ἦν δὲ ἡ δοθεῖσα <lb n="6"></lb>δύναμις ταλάντων δ#· δεήσει οὖν πάλιν ἕτερον μὲν τύμ-<lb n="7"></lb>πανον ὠδοντωμένον τὸ ΥΦ παρακεῖσθαι τῷ ΣΤ [ὀδοντω-<lb n="8"></lb>θέντι], τῷ δὲ ἄξονι τοῦ ΥΦ τυμπάνου συμφυὲς γενέσθαι <lb n="9"></lb>τὸ ΧΨ ὠδοντωμένον, οὗ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΥΦ <lb n="10"></lb>τυμπάνου διάμετρον λόγον ἐχέτω ὃν τὰ β# πρὸς α#· ἡ ἄρα <lb n="11"></lb>κινοῦσα τὸ βάρος δύναμις διὰ τοῦ ΧΨ τυμπάνου ἔσται <lb n="12"></lb>ταλάντων ι#. </s>
<s id="id.000140">πάλιν δὴ παρακείσθω μὲν τῷ ΧΨ τυμπάνῳ <lb n="13"></lb>ἕτερον τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ϞϠ, τῷ δὲ ἄξονι αὐτοῦ <lb n="14"></lb>τύμπανον ἔστω συμφυὲς Μ<emph type="sup"></emph>α<emph.end></emph.end>Μ<emph type="sup"></emph>β<emph.end></emph.end> ὠδοντωμένον ὀδοῦσιν λο-<lb n="15"></lb>ξοῖς, οὗ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ϞϠ διάμετρον λόγον <lb n="16"></lb>ἐχέτω ὃν ἔχει τὰ ι# τάλαντα πρὸς τὰ τῆς δοθείσης δυνά-<lb n="17"></lb>μεως τάλαντα δ#. <lb n="18"></lb></s></p><p>
<s id="id.000141">Καὶ τούτων κατασκευασθέντων ἐὰν ἐπινοήσωμεν τὸ <lb n="19"></lb>ΑΒΓΔ γλωσσόκομον μετέωρον κείμενον ἀμεταστάτως, καὶ <lb n="20"></lb>ἐκ μὲν τοῦ ΕΖ ἄξονος βάρος ἐξάψωμεν, ἐκ δὲ τοῦ Μ<emph type="sup"></emph>α<emph.end></emph.end>Μ<emph type="sup"></emph>β<emph.end></emph.end> <lb n="21"></lb>τυμπάνου τὴν ἕλκουσαν δύναμιν τὰ δ# τάλαντα, οὐδοπότε-<lb n="22"></lb>ρον αὐτῶν κατενεχθήσεται, εὐλύτως στρεφομένων τῶν ἀξό-<lb n="23"></lb>νων καὶ τῆς τῶν τυμπάνων παραθέσεως ἀκριβῶς ἁρμοζού-<lb n="24"></lb>σης, ἀλλ&#039; ὥσπερ ἐπὶ ζυγοῦ τινος ἰσορροπήσει ἡ δύναμις <lb n="25"></lb>τῶν δ# ταλάντων τῷ βάρει τῶν ρξ# ταλάντων· ἐὰν ἄρα ἑνὶ <lb n="26"></lb>αὐτῶν προσθῶμεν ὀλίγον τι βάρος, καταρρέψει καὶ ἐνεχ-<lb n="27"></lb>θήσεται ἐφ&#039; ὁπότερον μέρος ἡ πρόσθεσις γεγένηται· εἰ γὰρ <lb n="28"></lb>λόγου χάριν τῇ τῶν δ# ταλάντων δυνάμει μναιαῖον προσ-<lb n="29"></lb>τεθῇ βάρος, κατακρατῆσαν ἐπισπάσεται τὸ βάρος τῶν ρξ# <lb n="30"></lb>ταλάντων. </s>
<s id="id.000142">ἀντὶ δὲ τῆς προσθέσεως παρακείσθω κοχλίας <lb n="31"></lb><pb n="1068"></pb>τῷ Μ<emph type="sup"></emph>α<emph.end></emph.end>Μ<emph type="sup"></emph>β<emph.end></emph.end> τυμπάνῳ ὁ ΩΑ#22 ἔχων τὴν ἕλικα ἁρμόζουσαν τοῖς <lb n="1"></lb>λοξοῖς ὀδοῦσι τοῦ τυμπάνου τοῦ Μ<emph type="sup"></emph>α<emph.end></emph.end>Μ<emph type="sup"></emph>β<emph.end></emph.end>. </s>
<s id="id.000143">τοῦτο δὲ ὡς δεῖ <lb n="2"></lb>ποιεῖν, ἐν τοῖς αὐτοῖς μηχανικοῖς Ἥρωνος γέγραπται, καὶ <lb n="3"></lb>ἡμεῖς δὲ τοῦτο σαφέστερον ἑξῆς γράψομεν. </s>
<s id="id.000144">στρεφέσθω δὲ <lb n="4"></lb>ὁ κοχλίας εὐλύτως περὶ τόρμους ἐνόντας ἐν τρήμασι στρογ-<lb n="5"></lb>γύλοις, ὧν ὁ ἕτερος ὑπερεχέτω εἰς τὸ ἐκτὸς μέρος τοῦ <lb n="6"></lb>γλωσσοκόμου κατὰ τὸν ΓΔ τοῖχον, καὶ ἡ ὑπεροχὴ τετρα-<lb n="7"></lb>γωνισθεῖσα λαβέτω χειρολάβην τὴν ς#22Β, δι&#039; ἧς ἐπιλαβόμενοι <lb n="8"></lb>καὶ ἐπιστρέφοντες τὸν κοχλίαν ἐπιστρέψομεν καὶ τὸ Μ<emph type="sup"></emph>α<emph.end></emph.end>Μ<emph type="sup"></emph>β<emph.end></emph.end> <lb n="9"></lb>τύμπανον, ὥστε καὶ τὸ ϞϠ συμφυὲς αὐτῷ. </s>
<s id="id.000145">διὰ δὲ τοῦτο <lb n="10"></lb>καὶ τὸ παρακείμενον αὐτῷ τὸ ΧΨ στραφήσεται, καὶ τὸ <lb n="11"></lb>συμφυὲς αὐτῷ τὸ ΥΦ, καὶ τὸ παρακείμενον αὐτῷ τὸ ΣΤ, <lb n="12"></lb>καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΠΡ, καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον <lb n="13"></lb>τὸ ΞΟ, καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΜΝ, καὶ τὸ τούτῳ πα-<lb n="14"></lb>ρακείμενον τὸ ΗΘ, ὥστε καὶ ὁ τούτῳ συμφυὴς ἄξων ὁ ΕΖ, <lb n="15"></lb>περὶ ὃν ἐπειλοῦντες τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα κινήσομεν τὸ <lb n="16"></lb>βάρος. </s>
<s id="id.000146">ὅτι γὰρ κινήσεται δῆλον ἐκ τοῦ προστεθεῖσθαι <lb n="17"></lb>ἑτέραν δύναμιν τὴν τῆς χειρολάβης, ἥτις περιγράφει κύκλον <lb n="18"></lb>τῆς τοῦ κοχλίου περιμέτρου μείζονα· ἀπεδείχθη γὰρ ἐν τῷ <lb n="19"></lb>περὶ ζυγῶν Ἀρχιμήδους καὶ τοῖς Φίλωνος καὶ Ἥρωνος <lb n="20"></lb>μηχανικοῖς, ὅτι οἱ μείζονες κύκλοι κατακρατοῦσιν τῶν <lb n="21"></lb>ἐλασσόνων κύκλων, ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ἡ κύλισις <lb n="22"></lb>αὐτῶν γίνηται. <lb n="23"></lb></s></p><p>
<s id="id.000147">ιβ#. </s>
<s id="id.000148">Τὰ μὲν οὖν μάλιστα συνέχοντα τὴν μηχανικὴν <lb n="24"></lb>θεωρίαν ταῦτ&#039; ἂν εἴη. </s>
<s id="id.000149">τῆς δὲ ὀργανικῆς πολλὰ μὲν εἴδη <lb n="25"></lb><pb n="1070"></pb>καὶ μέρη· τὰ μὲν γὰρ ὑπὸ τῆς μηχανικῆς καὶ γνωμονικῆς <lb n="1"></lb>καὶ τῆς περὶ ὑδρείων πραγματείας λόγῳ θεωρούμενα δι&#039; <lb n="2"></lb>αὐτῶν τῶν ὀργάνων ὑπὸ ταύτης κατασκευαζόμενα δείκνυται, <lb n="3"></lb>πολλὰ δὲ καὶ χωρὶς τῶν μηχανικῶν ἔξωθεν ὑπ&#039; αὐτῆς ἐπι-<lb n="4"></lb>τελεῖται, καί τινα ταῖς γεωμετρικαῖς ἐφόδοις δυσχείριστα <lb n="5"></lb>μεταλαβοῦσα τοῖς ὀργάνοις εἰς ῥᾳδιεστέραν ἤγαγε κατα-<lb n="6"></lb>σκευήν. </s>
<s id="id.000150">αὐτίκα γοῦν τὸ καλούμενον Δηλιακὸν πρόβλημα <lb n="7"></lb>τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον οὐχ οἷόν τ&#039; ἦν κατασκευάσαι <lb n="8"></lb>τῷ γεωμετρικῷ λόγῳ κατακολουθοῦντας, ἐπεὶ μηδὲ τὰς <lb n="9"></lb>τοῦ κώνου τομὰς ῥᾴδιον ἐν ἐπιπέδῳ γράφειν ἦν, τοῖς δ&#039; ὀρ-<lb n="10"></lb>γάνοις μεταληφθὲν εἰς χειρουργίαν καὶ κατασκευὴν ἐπιτή-<lb n="11"></lb>δειον [μᾶλλον τῆς ὑπὸ τῶν ἄλλων ἐκτεθειμένης οὕτωσ] ἂν <lb n="12"></lb>ἀναχθείη [τὸ προκείμενον], λέγω δὲ τὸ κύβον κύβου διπλά-<lb n="13"></lb>σιον εὑρεῖν. </s>
<s id="id.000151">οὐ μόνον δὲ διπλάσιος εὑρίσκεται διὰ τοῦ <lb n="14"></lb>ὑποκειμένου ὀργάνου, ἀλλὰ καὶ καθόλου λόγον ἔχων τὸν <lb n="15"></lb>ἐπιταχθέντα. <lb n="16"></lb></s></p><p>
<s id="id.000152">Κατεσκευάσθω γὰρ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ <lb n="17"></lb>Δ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω ἡ ΔΒ, καὶ κινείσθω κανό-<lb n="18"></lb>νιόν τι περὶ τὸ Α σημεῖον οὕτως ὥστε τὸ μὲν ἓν πέρας <lb n="19"></lb>αὐτοῦ περικεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ Α σημεῖον ἑστῶτι, <lb n="20"></lb>τὸ δὲ λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι <lb n="21"></lb>μεταξὺ τῶν Β Γ. </s>
<s id="id.000153">τούτων δὲ κατεσκευασμένων ἐπιτετάχθω <lb n="22"></lb>δύο κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους δοθέντα, <lb n="23"></lb>καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς ΒΔ πρὸς ΔΕ, καὶ <lb n="24"></lb>ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. </s>
<s id="id.000154">παραγέσθω δὴ <lb n="25"></lb>τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν Β Γ, ἕως οὗ τὸ ἀπολαμβανόμενον <lb n="26"></lb>αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ ΕΒ εὐθειῶν ἴσον γένηται τῷ <lb n="27"></lb><pb n="1072"></pb>μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐθείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερείας· τοῦτο <lb n="1"></lb>γὰρ πειράζοντες αἰεὶ καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον ῥᾳδίως <lb n="2"></lb>ποιήσομεν. </s>
<s id="id.000155">γεγονέτω δή, καὶ ἐχέτω θέσιν τὴν ΑΗΘΚ, <lb n="3"></lb>ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ ΘΚ· λέγω ὅτι ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ <lb n="4"></lb>κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχ-<lb n="5"></lb>θέντα, τουτέστιν τὸν τῆς ΒΔ πρὸς ΔΕ. <lb n="6"></lb></s></p><p>
<s id="id.000156">Νοείσθω γὰρ ὁ κύκλος προσαναπεπληρωμένος, καὶ <lb n="7"></lb>ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΔ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω <lb n="8"></lb>ἡ ΛΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΒΔ διὰ τὸ ἴσην εἶναι <lb n="9"></lb>τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΘΗ, τὴν δὲ ΚΔ τῇ ΔΛ. </s>
<s id="id.000157">ἐπεζεύχθω δὴ <lb n="10"></lb>καὶ ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ. </s>
<s id="id.000158">ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ <lb n="11"></lb>ΗΑΛ ἐν ἡμικυκλίῳ καὶ κάθετος ἡ ΑΜ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ <lb n="12"></lb>ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ, <lb n="13"></lb>οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ. </s>
<s id="id.000159">κοινὸς προσκείσθω <lb n="14"></lb>λόγος ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ· ὁ ἄρα συγκείμενος ἔκ τε τοῦ <lb n="15"></lb>τῆς ΓΜ πρὸς ΜΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν <lb n="16"></lb>ὁ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΗ, λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συγκειμένῳ <lb n="17"></lb>ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΗ καὶ ἐκ <lb n="18"></lb>τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. </s>
<s id="id.000160">ὁ δὲ συγκείμενος ἔκ τε τοῦ τοῦ <lb n="19"></lb>ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς <lb n="20"></lb>ΜΗ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος <lb n="21"></lb>πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύβον· καὶ ὁ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς <lb n="22"></lb>τὴν ΜΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ <lb n="23"></lb>κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύβον. </s>
<s id="id.000161">ἀλλ&#039; ὡς μὲν ἡ ΓΜ <lb n="24"></lb>πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, τουτέστιν ἡ ΒΔ πρὸς <lb n="25"></lb>ΔΕ, ὡς δὲ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΘ, <lb n="26"></lb>τουτέστιν ἡ ΔΒ πρὸς ΔΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ, <lb n="27"></lb>τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ κύβος <lb n="28"></lb>πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον. <lb n="29"></lb></s>
<s id="id.000162">Πρόβλημα ὀργανικὸν ἐπὶ κυλίνδρου. <lb n="30n"></lb></s></p><p>
<s id="id.000163">ιγ#. </s>
<s id="id.000164">Τὰ δ&#039; ὀργανικὰ ἐν τοῖς μηχανικοῖς λεγόμενα προ- <lb n="31"></lb><pb n="1074"></pb>βλήματά [ἐστιν ὅτι] γίνεται τῆς γεωμετρικῆς ἐξουσίας ἀφαι-<lb n="1"></lb>ρούμενα, οἷά ἐστιν καὶ τὰ ἑνὶ διαστήματι γραφόμενα καὶ <lb n="2"></lb>τὸ ἐπὶ τοῦ τὰς βάσεις ἀμφοτέρας λελωβημένου κυλίνδρου <lb n="3"></lb>προτεινόμενον ὑπὸ τῶν ἀρχιτεκτόνων. </s>
<s id="id.000165">ἀξιοῦσι γὰρ μέρους <lb n="4"></lb>ἐπιφανείας ὀρθοῦ κυλίνδρου δοθέντος, οὗ μηδὲν μέρος <lb n="5"></lb>ὑγιὲς φυλάσσεται τῶν ἐν ταῖς βάσεσι περιφερειῶν, εὑρεῖν <lb n="6"></lb>τὸ πάχος τοῦ κυλίνδρου, τουτέστιν τοῦ κύκλου τὴν διάμε-<lb n="7"></lb>τρον ἀφ&#039; οὗ τὴν γένεσιν ἔσχεν ὁ κύλινδρος. </s>
<s id="id.000166">εὑρίσκεται δὲ <lb n="8"></lb>μεθοδευθὲν οὕτως. <lb n="9"></lb></s></p><p>
<s id="id.000167">Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς δοθείσης ἐπιφανείας δύο σημεῖα τὰ <lb n="10"></lb>Α Β, καὶ κέντροις αὐτοῖς ἑνὶ διαστήματι σεσημειώσθω ἐπὶ<figure place="text"></figure> <lb n="11"></lb>τῆς ἐπιφανείας πρῶτον τὸ Γ, καὶ πάλιν κέντροις αὐτοῖς <lb n="12"></lb>τοῖς Α Β διαστήματι τοῦ προτέρου μείζονι σεσημειώσθω <lb n="13"></lb>τὸ Δ, καὶ ἄλλῳ διαστήματι τὸ Ε, καὶ ἄλλῳ τὸ Ζ, καὶ ἄλλῳ <lb n="14"></lb>τὸ Η. </s>
<s id="id.000168">ἔσται δὴ τὰ ε# σημεῖα τὰ Γ Δ Ε Ζ Η ἐν ἑνὶ ἐπι-<lb n="15"></lb>πέδῳ διὰ τὸ καὶ τὴν ἐπιζευγνύουσαν ἕκαστον αὐτῶν ὡς κο-<lb n="16"></lb>ρυφὴν ἰσοσκελοῦς τριγώνου τῇ διχοτομίᾳ τῆς ἐπιζευγνούσης <lb n="17"></lb>εὐθείας τὰ Α Β ὡς βάσεως κοινῆς τῶν τριγώνων ὀρθὴν <lb n="18"></lb><pb n="1076"></pb>εἶναι πρὸς τὴν ΑΒ [καὶ ἐν ἑνὶ γίνεσθαι ἐπιπέδῳ τὰς ε# <lb n="1"></lb>εὐθείας, καὶ δῆλον ὅτι τὰ Γ Δ Ε Ζ Η σημεῖα]. </s>
<s id="id.000169">ταῦτα δὲ <lb n="2"></lb>εἰς ἐπίπεδον ἐκθησόμεθα οὕτως· ἐκ τριῶν μὲν εὐθειῶν <lb n="3"></lb>τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰ Γ Δ Ε τρίγωνον ἐν τῷ ἐπιπέδῳ <lb n="4"></lb>συνεστάτω τὸ ΘΚΛ, ἐκ τριῶν δὲ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰ <lb n="5"></lb>Δ Ε Ζ τὸ ΚΛΜ, ἐκ τριῶν δὲ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰ <lb n="6"></lb>Ε Ζ Η σημεῖα τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΛΜΝ· ἔσται ἄρα <lb n="7"></lb>ἐκκείμενα τὰ ΘΚΛ ΚΛΜ ΛΜΝ τρίγωνα ἀντὶ τῶν ΓΔΕ <lb n="8"></lb>ΔΕΖ ΕΖΗ τριγώνων. </s>
<s id="id.000170">ἂν δὴ περὶ τὰ Θ Κ Λ Μ Ν ση-<lb n="9"></lb>μεῖα γράψωμεν ἔλλειψιν, ὁ ἐλάσσων αὐτῆς ἄξων διάμετρος <lb n="10"></lb>ἔσται τοῦ κύκλου τοῦ τὸν κύλινδρον ἀπεργασαμένου. <lb n="11"></lb></s></p><p>
<s id="id.000171">ιδ#. </s>
<s id="id.000172">Ζητουμένου δὴ περὶ πέντε τὰ δοθέντα σημεῖα ἐν <lb n="12"></lb>ἑνὶ ἐπιπέδῳ κείμενα τὰ Θ Κ Λ Μ Ν ἔλλειψιν γράψαι, <lb n="13"></lb>περιγεγράφθω, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΘΝ ΜΚ πρότερον <lb n="14"></lb>ἔστωσαν παράλληλοι, καὶ δίχα τετμήσθω ἑκατέρα αὐτῶν <lb n="15"></lb>τοῖς Α Β, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΒ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ <lb n="16"></lb>Ε Ζ τῆς ἐλλείψεως σημεῖα· ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστιν τῆς <lb n="17"></lb>ἐλλείψεως διὰ τὸν ι# ὅρον τῶν κωνικῶν, θέσει δεδομένη· <lb n="18"></lb>δοθὲν γὰρ καὶ ἑκάτερον τῶν Α Β σημείων τῇ θέσει. </s>
<s id="id.000173">ἤχθω <lb n="19"></lb>δὴ διὰ τοῦ Λ τῇ ΕΖ παράλληλος ἡ ΛΞ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι <lb n="20"></lb>αἱ ΞΚ ΛΜ συμπιπτέτωσαν τῇ ΘΝ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὰ <lb n="21"></lb>Π Η· δοθέντα ἄρα τὰ Γ Η [1δοθὲν γὰρ ἕκαστον τῶν Λ Μ <lb n="22"></lb><pb n="1078"></pb>Θ Ν]1. </s>
<s id="id.000174">καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΞΔΛ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΜΔΚ, <lb n="1"></lb>οὕτως τὸ ὑπὸ ΞΓΛ πρὸς ἑκάτερον τῶν ὑπὸ ΗΓΠ ΝΓΘ, <lb n="2"></lb>ἔσται ἄρα ἴσον τὸ ὑπὸ ΗΓΠ τῷ ὑπὸ ΝΓΘ. </s>
<s id="id.000175">καὶ ἔστιν <lb n="3"></lb>δοθὲν τὸ ὑπὸ ΝΓΘ [1δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα]1· δοθὲν ἄρα τὸ <lb n="4"></lb>Π. </s>
<s id="id.000176">ἀλλὰ καὶ τὸ Κ· θέσει ἄρα ἡ ΚΠΞ. </s>
<s id="id.000177">ἀλλὰ καὶ ἡ ΛΓΞ· <lb n="5"></lb>δοθὲν ἄρα τὸ Ξ. </s>
<s id="id.000178">καὶ ἔστιν ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως. </s>
<s id="id.000179">ἐπιζευχ-<lb n="6"></lb>θεῖσαι δὴ αἱ ΝΞ ΛΘ συμπιπτέτωσαν τῇ ΕΖ διαμέτρῳ <lb n="7"></lb>ἐκβληθείσῃ κατὰ τὰ Ρ Σ· ἔσται δὴ πάλιν ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓΘ <lb n="8"></lb>πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΓΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΝΑΘ πρὸς ἑκάτερον <lb n="9"></lb>τῶν ὑπὸ ΡΑΣ ΕΑΖ, καὶ διὰ τοῦτο ἴσον τὸ ὑπὸ ΡΑΣ τῷ<figure place="text"></figure> <lb n="10"></lb>ὑπὸ ΕΑΖ. </s>
<s id="id.000180">καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ ὑπὸ ΡΑΣ [1δοθεῖσαι γάρ <lb n="11"></lb>εἰσιν αἱ ΡΑ ΑΣ]1· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΕΑ ΑΖ. </s>
<s id="id.000181">τῷ <lb n="12"></lb>δ&#039; ὁμοίῳ τρόπῳ δειχθήσεται καὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΖ δοθέν. </s>
<s id="id.000182">καὶ <lb n="13"></lb>δοθέντα τὰ Α Β· δοθέντα ἄρα καὶ τὰ Ε Ζ, ὡς ἑξῆς δειχ-<lb n="14"></lb>θήσεται· ὥστε ἡ ΕΖ διάμετρος δέδοται τῷ μεγέθει. </s>
<s id="id.000183">δῆλον <lb n="15"></lb>δ&#039; ὅτι καὶ ἡ συζυγὴς αὐτῇ· δέδοται γὰρ ὁ τῆς ΕΖ πλαγίας <lb n="16"></lb><pb n="1080"></pb>πρὸς τὴν ὀρθίαν αὐτῆς λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΑΖ <lb n="1"></lb>πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΝ. <lb n="2"></lb></s></p><p>
<s id="id.000184">ιε#. </s>
<s id="id.000185">Τὸ ὑπερτεθέν. </s>
<s id="id.000186">ἔστω δοθὲν ἑκάτερον τῶν ὑπὸ ΑΓΒ <lb n="3"></lb>ΑΔΒ, καὶ δοθέντα τὰ Γ Δ· ὅτι τὰ Α Β δοθέντα ἐστίν. <lb n="4"></lb></s></p><p>
<s id="id.000187">Ἔστω γὰρ τῷ μὲν ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον τὸ ὑπὸ ΔΓΕ, τῷ <lb n="5"></lb>δὲ ὑπὸ ΑΔΒ ἴσον τὸ ὑπὸ ΓΔΖ· ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΓΕ πρὸς <lb n="6"></lb>τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς ΖΔ [1διὰ γὰρ τὴν κατασκευὴν <lb n="7"></lb>ἑκάτερος λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΔ]1· ἴσον <lb n="8"></lb>ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΓ ΖΔ τῷ ὑπὸ ΕΑΖ, ὥστε καὶ τὸ Α ση-<lb n="9"></lb>μεῖον δοθέν. </s>
<s id="id.000188">ὁμοίως καὶ τὸ Β. <lb n="10"></lb></s></p><p>
<s id="id.000189">ις#. </s>
<s id="id.000190">Μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ τὰ Ν Θ Μ Κ δεδομένα ἐπὶ <lb n="11"></lb>τῆς ἐλλείψεως σημεῖα ἐπιζευγνύουσαι παράλληλοι, καὶ ἐπι-<lb n="12"></lb>ζευχθεῖσαι αἱ ΝΚ ΜΘ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Τ, <lb n="13"></lb>καὶ διὰ τοῦ Λ παράλληλος ἤχθω τῇ ΜΘ ἡ ΛΥΦ· ἔσται <lb n="14"></lb><figure place="text"></figure>δὴ λόγος τοῦ ὑπὸ ΝΥΚ <lb n="15"></lb>πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΥΦ δοθεὶς <lb n="16"></lb>[1ὁ αὐτὸς γὰρ τῷ τοῦ ὑπὸ <lb n="17"></lb>ΝΤΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΤΘ]1. <lb n="18"></lb></s>
<s id="id.000191">καὶ δοθὲν τὸ ὑπὸ ΝΥΚ· <lb n="19"></lb>δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ <lb n="20"></lb>ΛΥΦ· καὶ δοθέντα τὰ ΛΥ· <lb n="21"></lb>δοθὲν ἄρα τὸ Φ· ἀπῆκ-<lb n="22"></lb>ται οὖν εἰς τὸ προγεγραμ-<lb n="23"></lb>μένον, περὶ πέντε σημεῖα <lb n="24"></lb>τὰ Ν Μ Λ Φ Θ γράψαι ἔλλειψιν τὴν ΝΜΛΦΘ παραλλή-<lb n="25"></lb>λων ὑποκειμένων τῶν ΜΘ ΦΛ. <lb n="26"></lb><pb n="1082"></pb></s></p><p>
<s id="id.000192">ιζ#. </s>
<s id="id.000193">Ῥᾴδιον δὲ συζυγῶν διαμέτρων ἐλλείψεως πορισθει-<lb n="1"></lb>σῶν ὡντινωνοῦν τοὺσ ἄξονας αὐτῆς ὀργανικῶς εὑρεῖν. </s>
<s id="id.000194">με-<lb n="2"></lb>θοδεύεται δὲ τὸν τρόπον τοῦτον. <lb n="3"></lb></s></p><p>
<s id="id.000195">Ἐκκείσθωσαν αἱ προευρεθεῖσαι τῆς ἐλλείψεως διάμε-<lb n="4"></lb>τροι συζυγεῖς αἱ ΑΒ ΓΔ δίχα τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ <lb n="5"></lb>τὸ Ε, καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΗ, <lb n="6"></lb>τῷ δὲ ἀπὸ ΔΕ ἴσον κείσθω τὸ ὑπὸ ΕΑΘ, καὶ ἡ ΕΘ δίχα<figure place="text"></figure> <lb n="7"></lb>τετμήσθω κατὰ τὸ Κ· ἔσται δὴ τὸ Κ μεταξὺ τῶν Α Θ [1μεί-<lb n="8"></lb>ζων γάρ ἐστιν ἡ ΔΕ τῆς ΕΑ]1, καὶ τῇ ΕΘ πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ <lb n="9"></lb>τοῦ Κ ἤχθω ἡ ΚΛ τέμνουσα τὴν ΖΗ κατὰ τὸ Λ, καὶ περὶ <lb n="10"></lb>κέντρον τὸ Λ διὰ τοῦ Ε γραφομένη κύκλου περιφέρεια τεμ-<lb n="11"></lb>νέτω τὴν ΗΖ κατὰ τὰ Ζ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ <lb n="12"></lb>ΕΖ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπ&#039; αὐτὰς αἱ ΑΜ ΑΝ, καὶ τῷ <lb n="13"></lb>μὲν ὑπὸ ΗΕΜ ἴσον κείσθω ἑκάτερον τῶν ἀπὸ ΕΟ ΕΠ, <lb n="14"></lb>τῷ δὲ ὑπὸ ΖΕΝ ἑκάτερον τῶν ἀπὸ ΕΡ ΕΣ· ἔσονται οὖν <lb n="15"></lb>εὑρημένοι τῆς ἐλλείψεως ἄξονες οἱ ΟΠ ΡΣ, ὧν ὁ ἐλάχι- <lb n="16"></lb><pb n="1084"></pb>στος ἴσος ἔσται τῷ τοῦ κυλίνδρου πάχει, καθὼς ἐν ἀρχῇ <lb n="1"></lb>προείρηται. <lb n="2"></lb></s></p><p>
<s id="id.000196">ιη#. </s>
<s id="id.000197">Σφαίρας μετεώρου δοθεῖσαν θέσιν ἐχούσης πρὸς <lb n="3"></lb>τὸ ὑποκείμενον, εὑρεῖν τό τε σημεῖον ἐφ&#039; ὃ πίπτει καθετι-<lb n="4"></lb>κῶς ἐνεχθεῖσα [καὶ καθ&#039; ὃ πίπτει σημεῖον] καὶ τὴν ἐλα-<lb n="5"></lb>χίστην ἀποτεμνομένην ἀπὸ τῆς καθέτου μεταξὺ τῶν δύο <lb n="6"></lb>σημείων τοῦ τε κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας καὶ τοῦ <lb n="7"></lb>κατὰ τὸ ἐπίπεδον. </s>
<s id="id.000198">προγράφεται δὲ τὸ κύκλου δοθέντος με-<lb n="8"></lb>τεώρου μὴ ἐν ὀρθῷ ἐπιπέδῳ πρὸς τὸ ὑποκείμενον εὑρεῖν τήν <lb n="9"></lb>τε κοινὴν τομὴν τῶν ἐπιπέδων ἀμφοτέρων καὶ τὴν κλίσιν. <lb n="10"></lb></s></p><p>
<s id="id.000199">Ἔστω μετέωρος κύκλος, καὶ εἰλήφθω ἐπ&#039; αὐτοῦ τρία <lb n="11"></lb>σημεῖα τὰ Α Β Γ, καὶ ἤχθωσαν ἀπ&#039; αὐτῶν ἐπὶ τὸ ὑπο-<figure place="text"></figure><lb n="12"></lb>κείμενον ἐπίπεδον κάθετοι. </s>
<s id="id.000200">ἀχθήσονται δὲ οὕτως· ἀπὸ <lb n="13"></lb>τοῦ Γ προσπεσοῦσα εὐθεῖα πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον <lb n="14"></lb>ὡς ἡ ΓΔ περιενηνέχθω καὶ ψαυέτω τοῦ ἐπιπέδου καθ&#039; <lb n="15"></lb><pb n="1086"></pb>ἕτερα δύο σημεῖα τὰ Ε Ζ, καὶ εἰλήφθω τοῦ περὶ τὰ Δ Ε Ζ <lb n="1"></lb>κύκλου κέντρον τὸ Κ· ἡ οὖν ἀπὸ τοῦ Γ κάθετος ἐπὶ τὸ Κ <lb n="2"></lb>σημεῖον πεσεῖται, καὶ δοθὲν ἔσται τὸ Κ. </s>
<s id="id.000201">ἤχθωσαν καὶ <lb n="3"></lb>ἀπὸ τῶν Α Β κάθετοι ὁμοίως αἱ ΒΘ ΑΛ· ἐπιζευχθεῖσαι <lb n="4"></lb>δὴ αἱ ΚΛ ΘΛ ἐκβεβλήσθωσαν, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ <lb n="5"></lb>ΓΚ πρὸς ΑΛ, οὕτως ἡ ΚΜ πρὸς ΜΛ, ὡς δὲ ἡ ΒΘ <lb n="6"></lb>πρὸς ΑΛ, οὕτως ἡ ΘΟ πρὸς ΟΛ [δοθέντα ἄρα τὰ Μ <lb n="7"></lb>Ο <gap></gap> ἐφ&#039; ἡμῖν γάρ ἐστι τοιαύτας καθέτους λαβεῖν ὥστε <lb n="8"></lb>ἐλαχίστην ἐν αὐταῖς εἶναι μίαν, ὡς τὴν ΑΛ]· εὐθεῖαι ἄρα <lb n="9"></lb>αἱ ΜΑΓ ΒΑΟ. </s>
<s id="id.000202">καὶ ἔσονται ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ ΑΒΓ κύ-<lb n="10"></lb>κλου· ἡ ἄρα κοινὴ τομὴ αὐτοῦ καὶ τοῦ ὑποκειμένου ἐπι-<lb n="11"></lb>πέδου ἐστὶν ἡ ΜΟ. </s>
<s id="id.000203">ἤχθω ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΜΟ κάθετος ἡ <lb n="12"></lb>ΛΝ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΝ· καὶ ἡ ΑΝ ἄρα κάθετος ἔσται ἐπὶ <lb n="13"></lb>τὴν ΜΟ· πεπόρισται ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΝΛ γωνία, τῶν <lb n="14"></lb>ἐπιπέδων ἡ κλίσις. <lb n="15"></lb></s></p><p>
<s id="id.000204">ιθ#. </s>
<s id="id.000205">Τούτου προδειχθέντος ἔστω σφαῖρα μετέωρος, καὶ <lb n="16"></lb>προκείσθω τό τε σημεῖον εὑρεῖν, ἐφ&#039; ὃ πεσεῖται καθετι-<lb n="17"></lb>κῶς ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον ἐνεχθεῖσα, καὶ τὴν ἐλαχί-<lb n="18"></lb>στην ἀποτεμνομένην ἀπὸ τῆς καθέτου μεταξὺ τῆς ἐπιφα-<lb n="19"></lb>νείας καὶ τοῦ ἐπιπέδου. <lb n="20"></lb></s></p><p>
<s id="id.000206">*̓́εστω ἡ σφαῖρα μετέωρος κειμένη περὶ κέντρον τὸ Ε, <lb n="21"></lb><pb n="1088"></pb>καὶ ἐν αὐτῇ μέγιστός τις ἐγγεγράφθω κύκλος ὁ ΑΒΓ· <lb n="1"></lb>ἤτοι δὴ ἐν ὀρθῷ ἔσται ἐπιπέδῳ πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἢ οὔ, <lb n="2"></lb><figure place="text"></figure>γνωσόμεθα δὲ οὕτως· λαβόντες ἐπὶ τῆς <lb n="3"></lb>περιφερείας αὐτοῦ τρία τυχόντα σημεῖα <lb n="4"></lb>καθέτους ἄξομεν ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον <lb n="5"></lb>ἐπίπεδον, ὡς μεμαθήκαμεν, κἂν μὲν τὰ <lb n="6"></lb>σημεῖα ἐφ&#039; ἃ πίπτουσιν αἱ κάθετοι ἐπ&#039; <lb n="7"></lb>εὐθείας ἀλλήλοις ὦσιν, ὀρθὰ πρὸς ἄλ-<lb n="8"></lb>ληλα ἔσται τὰ ἐπίπεδα, ἐὰν δὲ μή, <lb n="9"></lb>κεκλιμένα. <lb n="10"></lb></s></p><p>
<s id="id.000207">Ἔστω δὴ πρότερον ὀρθά, καὶ ἤχθω-<lb n="11"></lb>σαν ἀπὸ τῶν Α Γ σημείων κάθετοι <lb n="12"></lb>αἱ ΑΔ ΓΗ· ἤτοι δὴ ἴσαι, ἔσονται ἢ οὔ. <lb n="13"></lb></s></p><p>
<s id="id.000208">Ἔστωσαν ἴσαι, καὶ τετμήσθω ἡ ΔΗ <lb n="14"></lb>ἐπιζευχθεῖσα δίχα τῷ Ζ· ἔσται δὴ τὸ Ζ τὸ ζητούμενον <lb n="15"></lb>σημεῖον ἐν τῷ ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ διχοτομία τῆς ΑΒΓ περι-<lb n="16"></lb>φερείας τὸ Β ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἐφαρμόζον τῷ Ζ, καὶ ἡ <lb n="17"></lb>ΒΖ ἐλαχίστη κάθετος, ὡς προείρηται. <lb n="18"></lb></s></p><p>
<s id="id.000209">κ#. </s>
<s id="id.000210">Μὴ ἔστωσαν δὲ ἴσαι αἱ κάθετοι, ἀλλὰ ἐλαχίστη <lb n="19"></lb>ἡ ΑΔ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΑΔ, οὕτως ἡ <lb n="20"></lb>ΗΘ πρὸς ΘΔ, ἐκβληθείσης τῆς ΗΔ· ἔσται δὴ τὸ Θ, καθ&#039; ὃ ἡ <lb n="21"></lb>ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Α συμπίπτει τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, <lb n="22"></lb>καὶ δοθεῖσα ἔσται ἥ τε ΑΘ εὐθεῖα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΘΔ γω-<lb n="23"></lb>νία. </s>
<s id="id.000211">τούτων γενομένων ἐκκείσθω κύκλος ἴσος τῷ μεγίστῳ <lb n="24"></lb><pb n="1090"></pb>περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ, καὶ προσκείσθω ἡ ΛΜ ἴση τῇ <lb n="1"></lb>ΑΘ, καὶ τῇ ὑπὸ ΑΘΔ γωνίᾳ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ ΚΜΝ, <lb n="2"></lb><figure place="text"></figure>καὶ ἀπὸ τῶν Κ Λ κά-<lb n="3"></lb>θετοι αἱ ΛΟ ΚΝ, καὶ <lb n="4"></lb>ἀπὸ τοῦ κέντρου ἡ ΣΠ, <lb n="5"></lb>καὶ τῇ μὲν ΛΡ περι-<lb n="6"></lb>φερείᾳ ἴση ἀπειλήφθω <lb n="7"></lb>ἡ ΑΒ, τῇ δὲ ΟΠ εὐ-<lb n="8"></lb>θείᾳ ἴση ἡ ΔΖ [τὸ δὲ <lb n="9"></lb>αὐτὸ ἦν λέγειν δίχα ἡ <lb n="10"></lb>ΔΗ τῷ Ζ]. </s>
<s id="id.000212">ἔσται οὖν <lb n="11"></lb>τὸ μὲν Ζ σημεῖον, ἐφ&#039; <lb n="12"></lb>ὃ ἡ σφαῖρα καταφερο-<lb n="13"></lb>μένη πεσεῖται, τὸ δὲ Β τὸ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας, ἡ δὲ ἐλα-<lb n="14"></lb>χίστη κάθετος ἡ ΒΖ. <lb n="15"></lb></s></p><p>
<s id="id.000213">κα#. </s>
<s id="id.000214">Μὴ ἔστω δὲ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐν [ἑνὶ] ἐπιπέδῳ ὀρθῷ <lb n="16"></lb>πρὸς τὸ ὑποκείμενον, καὶ εἰλήφθω ἡ κοινὴ τῶν ἐπιπέδων <lb n="17"></lb>τομὴ ἡ ΔΘ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου σημεῖα τὰ <lb n="18"></lb>Α Γ κατὰ διάμετρον ἀλλήλοις κείμενα οὕτως ὥστε τὴν ἐπ&#039; <lb n="19"></lb>αὐτὰ ἐπιζευγνυμένην τὴν ΓΑ συμπίπτειν τῇ κοινῇ τομῇ τῇ <lb n="20"></lb>ΔΘ [ἔστιν γὰρ ἐπ&#039; ἐμοὶ διὰ τὸ τὴν ΔΘ ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ <lb n="21"></lb>κύκλου ἐπιπέδῳ εἶναι]. </s>
<s id="id.000215">συμπιπτέτω κατὰ τὸ Θ· δοθεῖσα <lb n="22"></lb>ἄρα ἡ ΑΘ καὶ ἡ Θ γωνία. </s>
<s id="id.000216">ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε κέντρου κά-<lb n="23"></lb>θετος ἐπὶ τὴν ΔΘ ἡ ΕΒΔ. </s>
<s id="id.000217">ἀχθήσεται οὕτως· ἐκκείσθω <lb n="24"></lb><pb n="1092"></pb>κύκλος ὁ ΗΖΛ ἴσος τῷ μεγίστῳ τῷ ΑΒΓ περὶ διάμετρον <lb n="1"></lb>τὴν ΖΗ, καὶ προσκείσθω ἡ ΗΚ ἴση τῇ ΓΘ, καὶ τῇ ὑπὸ<figure place="text"></figure> <lb n="2"></lb>ΑΘΔ γωνίᾳ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ ΖΚΜ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ο <lb n="3"></lb>κέντρου κάθετος ἡ ΟΛΜ, καὶ τῇ μὲν ΗΛ περιφερείᾳ ἴση <lb n="4"></lb>ἀπειλήφθω ἡ ΓΒ, τῇ δὲ ΚΜ εὐθείᾳ ἡ ΘΔ· ἡ ΔΒ ἄρα <lb n="5"></lb>ἴση ἐστὶν τῇ ΜΛ καὶ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΘ καὶ ἐκ-<lb n="6"></lb>βαλλομένη ἐπὶ τὸ Ε κέντρον πίπτει· ταῦτα γὰρ δῆλα ἐκ <lb n="7"></lb>τῆς ὁμοιότητος. </s>
<s id="id.000218">ἤχθω δὴ τῇ ΔΘ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑπο-<lb n="8"></lb>κειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΙ· ἡ ΔΘ ἄρα ὀρθὴ πρὸς τὸ διὰ τῶν <lb n="9"></lb>Ε Δ Ι ἐπίπεδον, ὥστε καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὸ <lb n="10"></lb>διὰ τῶν Ε Δ Ι ἐπίπεδον· ἐκβληθὲν ἄρα τὸ διὰ τῶν Ε Δ Ι <lb n="11"></lb>ἐπίπεδον κύκλον ποιήσει ἐν τῇ σφαίρᾳ μέγιστον ὀρθὸν <lb n="12"></lb>πρὸς τὸν ΑΒΓ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ πίπτοντα καὶ διὰ <lb n="13"></lb>τῶν Β Ο σημείων, ὥστε, ἐὰν τοῦ ΑΒΓ τὸν πόλον λαβόντες <lb n="14"></lb>τὸν Π διὰ τοῦ Π καὶ ἑκατέρου τῶν Β Ο γράψωμεν κύ-<lb n="15"></lb><pb n="1094"></pb>κλον, οὗτος ἔσται ὁ γινόμενος μέγιστος ἐν τῇ σφαίρᾳ [ὑπὸ <lb n="1"></lb>τοῦ διὰ τῶν Ο Δ Ι ἐπιπέδου]. </s>
<s id="id.000219">γεγράφθω ὁ ΒΠΟ, καὶ <lb n="2"></lb><figure place="text"></figure>ἐκκείσθω πάλιν <lb n="3"></lb>κύκλος ὁ ΡΝΤ <lb n="4"></lb>περὶ διάμετρον <lb n="5"></lb>τὴν ΡΤ, καὶ προσ-<lb n="6"></lb>κείσθω ἡ ΡΦ <lb n="7"></lb>ἴση τῇ ΒΔ, καὶ <lb n="8"></lb>τῇ ὑπὸ ΒΔΙ γω-<lb n="9"></lb>νίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ <lb n="10"></lb>ΡΦΞ, καὶ ἀπὸ <lb n="11"></lb>τοῦ Λ κέντρου <lb n="12"></lb>κάθετος ἡ ΛΝΞ, <lb n="13"></lb>καὶ τῇ μὲν ΡΝ περιφερείᾳ ἴση ἀπειλήφθω ἐπὶ τοῦ ΠΒΟ κύ-<lb n="14"></lb>κλου ἡ ΒΥ, τῇ δὲ ΦΞ ἴση ἡ ΔΙ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΙΥ· <lb n="15"></lb>ἡ ΙΥ ἄρα ἴση ἔσται τῇ ΞΝ καὶ ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ Ε κέν-<lb n="16"></lb>τρον πεσεῖται καὶ ἔσται κάθετος ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπί-<lb n="17"></lb>πεδον, ἐπεὶ καὶ ἐπὶ τὴν ΙΔ· τὸ μὲν ἄρα Ι σημεῖον ἔσται <lb n="18"></lb>ἐφ&#039; ὃ πίπτει ἡ σφαῖρα, τὸ δὲ Υ καθ&#039; ὃ πίπτει, ἡ δὲ <lb n="19"></lb>ἐλαχίστη κάθετος ἡ ΙΥ. <lb n="20"></lb></s></p><p>
<s id="id.000220">κβ#. </s>
<s id="id.000221">Σφαίρας ὑποκειμένης καὶ σημείου δοθέντος ἐκτὸς <lb n="21"></lb>αὐτῆς, εὑρεῖν τὸ σημεῖον καθ&#039; ὃ ἡ ἀπὸ τοῦ δοθέντος ἐπὶ <lb n="22"></lb>τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη τέμνει τὴν ἐπιφάνειαν. <lb n="23"></lb></s></p><p>
<s id="id.000222">Ἔστιν δὲ φανερόν· ἂν γὰρ ἡτισοῦν ἀπὸ τοῦ δοθέντος <lb n="24"></lb>εὐθεῖα προσπεσοῦσα πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν περιενεχθῇ, καὶ <lb n="25"></lb>αὕτη γράψει κύκλον καὶ πόλος αὐτοῦ τὸ ζητούμενον ἔσται <lb n="26"></lb>σημεῖον. <lb n="27"></lb></s></p><p>
<s id="id.000223">Ὑποκείσθω πάλιν ἡ σφαῖρα, καὶ δύο σημεῖα δεδόσθω <lb n="28"></lb>τῆς ἐπιφανείας ἐκτὸς ἀμφότερα, καὶ προκείσθω τὰ ση-<lb n="29"></lb>μεῖα λαβεῖν καθ&#039; ἃ ἡ ἐπὶ τὰ δοθέντα ἐπιζευγνυμένη τέμνει <lb n="30"></lb>τὴν ἐπιφάνειαν. <lb n="31"></lb><pb n="1096"></pb></s></p><p>
<s id="id.000224">Κείσθω γὰρ ἡ σφαῖρα περὶ κέντρον τὸ Β, καὶ τὰ δο-<lb n="1"></lb>θέντα σημεῖα ἐκτὸς ἔστω τὰ Α Γ, καὶ καθ&#039; ἃ συμβάλλουσιν <lb n="2"></lb>τῇ ἐπιφανείᾳ αἱ ἀπὸ τῶν Α Γ ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνύμεναι <lb n="3"></lb>εἰλήφθω σημεῖα τὰ Δ Ε, δι&#039; ὧν γεγράφθω μέγιστος κύκλος <lb n="4"></lb>ὁ ΔΕΖΗ· δοθεῖσαι ἄρα αἱ ΑΔ ΓΕ [1λῆμμα γάρ]1· καὶ διὰ <lb n="5"></lb>τὸ δεδόσθαι τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ ὅλαι δο-<lb n="6"></lb>θήσονται αἱ ΑΒ ΓΒ. </s>
<s id="id.000225">ἔστιν δὲ καὶ ἡ τὰ δοθέντα ἐπιζευ-<lb n="7"></lb>γνύουσα ἡ ΑΓ δοθεῖσα. </s>
<s id="id.000226">ἐκ τριῶν οὖν τῶν ΑΒ ΑΓ ΓΒ <lb n="8"></lb>τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΘΚΛ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Θ γε-<lb n="9"></lb>γράφθω κύκλος ἴσος τῷ ΕΔΖΗ ὁ ΣΜΝΟ. </s>
<s id="id.000227">ἐὰν μὲν οὗτος <lb n="10"></lb>τέμνῃ τὴν ΚΛ, δῆλον ὅτι καὶ ἡ ἐπὶ τὰ Α Γ ἐπιζευγνυμένη <lb n="11"></lb>τέμνει τὴν σφαῖραν, εἰ δὲ μή, οὐ τέμνει. </s>
<s id="id.000228">τεμνέτω οὖν ὁ <lb n="12"></lb>κύκλος τὴν ΚΛ κατὰ τὰ Μ Ν, καὶ τῇ μὲν ΣΜ περιφερείᾳ <lb n="13"></lb>ἴση ἀπειλήφθω ἡ ΔΗ, τῇ δὲ ΟΝ ἡ ΕΖ. </s>
<s id="id.000229">φανερὸν δὴ ὅτι <lb n="14"></lb>τὰ Η Ζ σημεῖα ἔσται καθ&#039; ἃ τέμνει ἡ ἐπιζευγνύουσα τὰ <lb n="15"></lb>Α Γ σημεῖα τὴν τῆς σφαίρας ἐπιφάνειαν. <lb n="16"></lb></s></p><p>
<s id="id.000230">κγ#. </s>
<s id="id.000231">Χρήσιμα καὶ τὰ ἐν τοῖς ἰδίως λεγομένοις ὀργανι-<lb n="17"></lb>κοῖς καὶ μάλισθ&#039; ὅταν ἐπὶ τὸ εὔκολον ὑπὸ τῆς ἀναλύσεως <lb n="18"></lb>χειραγωγούμενα τὴν ἀνάλογον πεῖραν διαφεύγειν δύνηται, <lb n="19"></lb>οἷον εἰς τὸν δοθέντα κύκλον ἑπτὰ ἑξάγωνα ἐγγράψαι, τὸ <lb n="20"></lb>μὲν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τῷ κύκλῳ, τὰ δὲ λοιπὰ ἓξ ἀπὸ <lb n="21"></lb>μὲν τῶν τοῦ μέσου πλευρῶν ἀναγεγραμμένα, τὰς δὲ ἀντι-<lb n="22"></lb>κειμένας πλευρὰς ἔχοντα ἐνηρμοσμένας ἑκάστην εἰς τὴν τοῦ <lb n="23"></lb>κύκλου περιφέρειαν. <lb n="24"></lb></s></p><p>
<s id="id.000232">Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος περὶ κέντρον τὸ Η, καὶ κείσθω <lb n="25"></lb>περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ἑξαγώνου πλευρὰ ἡ ΘΚ, ὥστε ἔσται <lb n="26"></lb><pb n="1098"></pb>τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ ἀναγραφὲν ἑξάγωνον τὴν ΜΝ πλευρὰν ἔχον <lb n="1"></lb>ἐνηρμοσμένην τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ <lb n="2"></lb>ΗΚ· ἐπ&#039; εὐθείας ἄρα ἐστὶν τῇ ΚΛ πλευρᾷ τοῦ ἑξαγώνου, <lb n="3"></lb>διὰ τὸ διμοίρου μὲν εἶναι τὴν ὑπὸ ΗΚΘ, ὀρθῆς δὲ καὶ <lb n="4"></lb>τρίτου τὴν ὑπὸ ΘΚΛ. </s>
<s id="id.000233">ἐπεζεύχθω ἡ ΗΝ. </s>
<s id="id.000234">ἐπεὶ ἴσαι αἱ <lb n="5"></lb>ΗΚ ΚΛ, διπλῆ ἐστὶν ἡ ΗΛ τῆς ΛΝ. </s>
<s id="id.000235">καὶ δοθεῖσα ἡ Λ <lb n="6"></lb>γωνία [1ὀρθῆς γὰρ καὶ τρίτου]1· δοθὲν ἄρα τὸ ΝΛΗ τρίγωνον <lb n="7"></lb>τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΗΝ πρὸς ΝΛ δοθείς. </s>
<s id="id.000236">καὶ δοθεῖσα <lb n="8"></lb>ἡ ΗΝ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΝΛ πλευρὰ τοῦ ἑξαγώνου. <lb n="9"></lb></s></p><p>
<s id="id.000237">Τὸ δὲ ὀργανικὸν οὕτως· ἐκκείσθω τῆς ἐκ τοῦ κέντρου <lb n="10"></lb>τοῦ κύκλου τρίτον μέρος ἡ ΑΓ, καὶ ἐπ&#039; αὐτῆς τμῆμα κύ-<lb n="11"></lb>κλου τὸ ΑΒΓ γωνίαν δεχόμενον διμοίρου ὀρθῆς, καὶ οἵων <lb n="12"></lb>ἐστὶν ἡ ΑΓ ε#, τοιούτων δ# ἀπειλήφθω ἡ ΓΕ, καὶ ἤχθω <lb n="13"></lb>ἐφαπτομένη ἡ ΒΕ· λέγω ὅτι ἡ ΑΒ ἐπιζευχθεῖσα ἴση ἐστὶν <lb n="14"></lb>τῇ ΘΚ τοῦ ἑξαγώνου πλευρᾷ. <lb n="15"></lb></s></p><p>
<s id="id.000238">Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ, καὶ τῇ ΑΒ ἴση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΔ· <lb n="16"></lb>ἰσόπλευρον ἄρα τὸ ΑΒΔ. </s>
<s id="id.000239">καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύ-<lb n="17"></lb>κλου ἴση ἡ ΑΖ. </s>
<s id="id.000240">ἐπεὶ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ λόγον ἔχει ὃν τὰ θ# <lb n="18"></lb>πρὸς δ#, ἕξει καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ τὸν αὐτὸν <lb n="19"></lb>λόγον· ἡμιολία ἄρα ἡ ΑΒ, τουτέστιν ἡ ΒΔ, τῆς ΒΓ· διπλῆ <lb n="20"></lb>ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ. </s>
<s id="id.000241">ἀλλὰ καὶ ἡ ΖΓ τῆς ΓΑ· καὶ ἡ ΒΖ <lb n="21"></lb>ἄρα ἐπιζευχθεῖσα τῆς ΑΔ, τουτέστιν τῆς ΑΒ, ἐστὶν διπλῆ. <lb n="22"></lb></s>
<s id="id.000242">ἦν δὲ καὶ ἡ ΗΛ τῆς ΛΝ διπλῆ, καὶ ἴσας περιέχουσιν γω-<lb n="23"></lb>νίας· ὅμοιον ἄρα τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΝΛΗ τριγώνῳ. </s>
<s id="id.000243">καὶ <lb n="24"></lb>ἔστιν ἴση ἡ ΑΖ τῇ ΝΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΛΝ ἢ τῇ ΘΚ. <lb n="25"></lb></s>
<s id="id.000244">Τὸ αὐτὸ ἄλλως σαφέστερον. <lb n="26n"></lb></s></p><p>
<s id="id.000245">κδ#. </s>
<s id="id.000246">Ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ δοθέντος κύκλου ἴση <lb n="27"></lb><pb n="1100"></pb>ἡ ΑΖ, καὶ ἀπειλήφθω αὐτῆς τὸ γ# μέρος, καὶ ἔστω ἡ ΑΓ, <lb n="1"></lb>ἐφ&#039; ἧς τμῆμα κύκλου γεγράφθω τὸ ΑΒΓ δεχόμενον γωνίαν <lb n="2"></lb>διμοίρου ὀρθῆς, καὶ οἵων ἐστὶν ἡ ΑΓ ε#, τοιούτων δ# ἀπει-<lb n="3"></lb>λήφθω ἡ ΓΕ, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη τοῦ τμήματος ἡ ΕΒ, <lb n="4"></lb>καὶ ἐπεζεύχθω ἥ τε ΑΒ καὶ ἡ ΖΒ, καὶ ἔτι ἐπιζευχθεῖσα <lb n="5"></lb>ἡ ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Δ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ <lb n="6"></lb>ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ. </s>
<s id="id.000247">ἐπεὶ οὖν εἰς κύκλον διήχθησαν <lb n="7"></lb>ἥ τε ΕΓΑ καὶ ἡ ΕΒ, καὶ ἡ μὲν τέμνει τὸν κύκλον ἡ δὲ <lb n="8"></lb>ἐφάπτεται, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ· <lb n="9"></lb>ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΓΕ· <lb n="10"></lb>ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΓΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΕ τριγώνῳ. </s>
<s id="id.000248">ἔστιν <lb n="11"></lb>ἄρα ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ <lb n="12"></lb>ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς <lb n="13"></lb>τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ. </s>
<s id="id.000249">ἀλλ&#039; ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ <lb n="14"></lb>τῆς ΕΒ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ διὰ κ# τοῦ ς#. </s>
<s id="id.000250">καὶ <lb n="15"></lb>ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, τουτέστιν <lb n="16"></lb>τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς <lb n="17"></lb>ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ λόγον ἔχει ὃν τὰ θ# πρὸς δ#· <lb n="18"></lb>ἡμιολία ἄρα ἡ ΒΔ τῆς ΒΓ· διπλασία ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ. <lb n="19"></lb></s>
<s id="id.000251">ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΓ τῆς ΓΑ διπλασία· ὡς ἄρα ἡ ΖΓ πρὸς <lb n="20"></lb>ΓΑ, ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ. </s>
<s id="id.000252">καὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ πρὸς τῷ Γ γω-<lb n="21"></lb>νίαι· ἴση ἄρα καὶ ἡ μὲν Δ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΓ, ἡ δὲ Ζ <lb n="22"></lb>τῇ ὑπὸ ΓΑΔ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ <lb n="23"></lb>πρὸς ΔΓ. </s>
<s id="id.000253">ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΑΔ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς <lb n="24"></lb>ΓΔ. </s>
<s id="id.000254">διπλασία δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ· διπλασία ἄρα καὶ ἡ ΖΒ <lb n="25"></lb>τῆς ΑΔ, τουτέστιν τῆς ΑΒ. </s>
<s id="id.000255">καὶ ἔστιν διμοίρου ἡ Δ· <lb n="26"></lb>διμοίρου ἄρα ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ. </s>
<s id="id.000256">ὅλη δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ <lb n="27"></lb><pb n="1102"></pb>μιᾶς ὀρθῆς καὶ γ#. </s>
<s id="id.000257">ἐὰν οὖν ἔχωμεν κύκλον, οὗ κέντρον τὸ Η, <lb n="1"></lb>ἴσην ἔχοντα τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΑΖ εὐθείᾳ, καὶ διαγά-<lb n="2"></lb>γωμεν ἀπὸ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τὴν ΗΞ εὐθεῖαν, καὶ ἴσην <lb n="3"></lb>θῶμεν τῇ ΖΒ τὴν ΗΛ εὐθεῖαν, καὶ πρὸς τῇ ΗΛ εὐθείᾳ <lb n="4"></lb>καὶ τῷ Λ σημείῳ ἴσην γωνίαν συστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΗΛΝ <lb n="5"></lb>τῇ ὑπὸ ΖΒΑ, καὶ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΗΝ, ἰσογώνιον γίνεται<figure place="text"></figure> <lb n="6"></lb>τὸ ΗΛΝ τρίγωνον τῷ ΑΖΒ τριγώνῳ. </s>
<s id="id.000258">καὶ ἔστιν ἡ ΑΖ <lb n="7"></lb>ἴση τῇ ΗΝ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΝΛ τῇ ΑΒ. </s>
<s id="id.000259">καὶ φανερὸν ὅτι <lb n="8"></lb>ἀπὸ τῆς ἴσης τῇ ΑΒ εὐθείας γίνεται ἡ τῶν ζ# εἰς τὸν <lb n="9"></lb>κύκλον ἑξαγώνων ἐγγραφή. <lb n="10"></lb></s></p>
<p><s id="id.000259a">̔Tηεσε σεξτιονς μισσινγ φρομ Gρεεκ τεχτ.̓</s></p>
<p><s id="id.000260">κε#. </s>
<s id="id.000261">Πῶς δὲ καὶ ἡ τῶν προειρημένων τυμπάνων γίνεται <lb n="11"></lb>παράθεσις, νῦν ἐροῦμεν. <lb n="12"></lb></s></p><p>
<s id="id.000262">Ἔστω γὰρ δύο τύμπανα ἔντορνα καὶ παρακείμενα ἀλ-<lb n="13"></lb>λήλοις τὰ Α Β, καὶ ἔστω ὡς ἡ διάμετρος τοῦ Α πρὸς τὴν <lb n="14"></lb><pb n="1104"></pb>διάμετρον τοῦ Β, οὕτως τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α <lb n="1"></lb>πρὸς τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β· οὕτως γὰρ ἡ παρά-<lb n="2"></lb>θεσις τῶν τυμπάνων σῴζεται διὰ τὸ εἶναι ὡς τὴν περί-<lb n="3"></lb>μετρον τοῦ κύκλου πρὸς τὴν περίμετρον, οὕτως τὴν διά-<lb n="4"></lb>μετρον πρὸς τὴν διάμετρον [1τοῦτο γὰρ ἑξῆσ]1. </s>
<s id="id.000263">ὑποκείσθω <lb n="5"></lb>δὴ τὸ μὲν Α ὀδόντων ξ#, τὸ δὲ Β ὀδόντων μ#· λέγω ὅτι <lb n="6"></lb>ἐστὶν ὡς τὸ τάχος τοῦ Α πρὸς τὸ τάχος τοῦ Β, οὕτως τὸ <lb n="7"></lb>πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β πρὸς τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων <lb n="8"></lb>τοῦ Α. <lb n="9"></lb></s></p><p>
<s id="id.000264">Ἐπεὶ γὰρ παράκειται ἀλλήλοις τὰ Α Β, ὅσους ἂν <lb n="10"></lb>ὀδόντας κινηθῇ τὸ Β, τοσούτους ὀδόντας κινηθήσεται καὶ <lb n="11"></lb>τὸ Α· ὅταν ἄρα τὸ Β στρεφόμενον μίαν ἀποκατάστασιν <lb n="12"></lb>ποιήσηται, τότε τὸ Α μ# ὀδόντας κινηθήσεται, ὥστε καί, <lb n="13"></lb>ὅταν τὸ Β ξ# ἀποκαταστάσεις ποιήσηται, ὅσον ἐστὶν τὸ <lb n="14"></lb>πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α, τότε τὸ Α ὀδόντας κινηθή-<lb n="15"></lb>σεται #22βυ#, ὅσον ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α ἐπὶ <lb n="16"></lb>τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β. </s>
<s id="id.000265">ὁμοίως δὲ δειχθήσεται <lb n="17"></lb>καί, ὅταν τὸ Α μ# ἀποκαταστάσεις ποιήσηται, ὅσον ἐστὶν <lb n="18"></lb>τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β, τότε τὸ Β ὀδόντας κεκινη-<lb n="19"></lb>μένον #22βυ#, ὅσον ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β ἐπὶ <lb n="20"></lb>τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α· ὅταν ἄρα τὸ Α ἀποκατα-<lb n="21"></lb>στάσεις ποιήσηται μ#, ὅσον ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων <lb n="22"></lb>τοῦ Β, τότε καὶ τὸ Β ἀποκαταστάσεις ποιεῖται ξ#, ὅσον <lb n="23"></lb>ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ <lb n="24"></lb>τάχος τοῦ Α πρὸς τὸ τάχος τοῦ Β, οὕτως τὸ πλῆθος τῶν <lb n="25"></lb>ὀδόντων τοῦ Β πρὸς τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α. <lb n="26"></lb></s></p><p>
<s id="id.000266">κς#. </s>
<s id="id.000267">Ὅτι δὲ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας <lb n="27"></lb>εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι, νῦν δείξομεν. <lb n="28"></lb><pb n="1106"></pb></s></p><p>
<s id="id.000268">Ἔστωσαν γὰρ δύο κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ διάμετροι <lb n="1"></lb>αὐτῶν αἱ ΑΒ ΓΔ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου <lb n="2"></lb>περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ΓΔ κύκλου περιφέρειαν, οὕτως ἡ <lb n="3"></lb>ΑΒ διάμετρος πρὸς τὴν ΓΔ. <lb n="4"></lb></s></p><p>
<s id="id.000269">Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν ΓΔ κύκλον, <lb n="5"></lb>οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ <lb n="6"></lb>τετράγωνον, ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστιν <lb n="7"></lb>τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπό τε τῆς ΑΒ διαμέτρου καὶ <lb n="8"></lb>τῆς τοῦ ΑΒ περιφερείας, τοῦ δὲ ΓΔ κύκλου τετραπλάσιόν <lb n="9"></lb>ἐστιν τὸ ὑπὸ τῆς ΓΔ καὶ τῆς τοῦ ΓΔ περιφερείας [1τὸ γὰρ <lb n="10"></lb>ὑπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ <lb n="11"></lb>κύκλου περιεχόμενον ὀρθογώνιον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἐμ-<lb n="12"></lb>βαδοῦ τοῦ κύκλου, ὡς Ἀρχιμήδης, καὶ ὡς ἐν τῷ εἰς τὸ <lb n="13"></lb>πρῶτον τῶν μαθηματικῶν σχολίῳ δέδεικται καὶ ὑφ&#039; ἡμῶν <lb n="14"></lb>δι&#039; ἑνὸς θεωρήματοσ]1, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΑΒ καὶ τῆς <lb n="15"></lb>περιφερείας τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΓΔ καὶ τῆς τοῦ ΓΔ <lb n="16"></lb>κύκλου περιφερείας, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον <lb n="17"></lb>πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ. </s>
<s id="id.000270">καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΑΒ <lb n="18"></lb>κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, <lb n="19"></lb>οὕτως τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΓΔ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΓΔ <lb n="20"></lb>πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου πε-<lb n="21"></lb>ριφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ τοῦ ΓΔ περιφέρεια πρὸς τὴν <lb n="22"></lb>ΓΔ [1τοῦτο γὰρ πρῶτόν ἐστιν ἐν τῷ ς# λαμβανόμενον]1, καὶ <lb n="23"></lb>ἐναλλὰξ ὡς ἡ τοῦ ΑΒ περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ΓΔ περι-<lb n="24"></lb>φέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ. <lb n="25"></lb></s></p><p>
<s id="id.000271">κζ#. </s>
<s id="id.000272">Τυμπάνου δοθέντος καὶ τοῦ πλήθους τῶν ὀδόντων <lb n="26"></lb>αὐτοῦ, ἐπιτετάχθω παραθεῖναι αὐτῷ τύμπανον δοθὲν ἔχον <lb n="27"></lb><pb n="1108"></pb>τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων καὶ εὑρεῖν τὴν διάμετρον τοῦ παρα-<lb n="1"></lb>τιθεμένου τυμπάνου. <lb n="2"></lb></s></p><p>
<s id="id.000273">Ἔστω τύμπανον τὸ Α, οὗ τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων <lb n="3"></lb>ἔστω ὁ Β ἀριθμὸς [μονάδων ξ#], καὶ παρακείσθω τῷ Α <lb n="4"></lb>τὸ Γ τύμπανον, οὗ τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων ἔστω ὁ Δ <lb n="5"></lb>ἀριθμὸς [μονάδων μ#]· δεῖ δὴ τοῦ Γ τὴν διάμετρον εὑρεῖν. <lb n="6"></lb></s></p><p>
<s id="id.000274">Ἐπεὶ οὖν ὁ Β ἀριθμὸς πλῆθός ἐστιν ὀδόντων τοῦ Α, <lb n="7"></lb>ὁ δὲ Δ πλῆθός ἐστιν ὀδόντων τοῦ Γ [καὶ ἔστιν τὸ μὲν <lb n="8"></lb>πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α ἡ περίμετρος αὐτοῦ, τὸ δὲ πλῆ-<lb n="9"></lb>θος τῶν ὀδόντων τοῦ Γ ἡ περίμετρος αὐτοῦ], ἔστιν ἄρα ὡς <lb n="10"></lb>ὁ Β ἀριθμὸς πρὸς τὸν Δ, οὕτως ἡ περίμετρος τοῦ Α πρὸς <lb n="11"></lb>τὴν περίμετρον τοῦ Γ. </s>
<s id="id.000275">ὡς δὲ ἡ περίμετρος πρὸς τὴν πε-<lb n="12"></lb>ρίμετρον, οὕτως ἡ διάμετρος πρὸς τὴν διάμετρον. </s>
<s id="id.000276">λόγος <lb n="13"></lb>δὲ τοῦ Β ἀριθμοῦ πρὸς τὸν Δ ἀριθμὸν δοθείς [ἔστιν γὰρ <lb n="14"></lb>ὁ τῶν ξ# πρὸς τὰ μ#]· λόγος ἄρα καὶ τῆς διαμέτρου τοῦ Α <lb n="15"></lb>πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ Γ δοθείς [ὁ τῶν ξ# πρὸς τὰ μ#]. <lb n="16"></lb></s>
<s id="id.000277">καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ διάμετρος τοῦ Α· δοθεῖσα ἄρα καὶ <lb n="17"></lb>ἡ διάμετρος τοῦ Γ [δεῖ γὰρ ποιεῖν ὡς τὸν ξ# ἀριθμὸν πρὸς <lb n="18"></lb>τὸν μ#, οὕτως τὴν διάμετρον τοῦ Α πρὸς ἄλλην τινά, καὶ <lb n="19"></lb>ὁ περὶ διάμετρον ἐκείνην γραφόμενος κύκλος ἴσος ἔσται τῷ <lb n="20"></lb>ζητουμένῳ τυμπάνῳ]. <lb n="21"></lb></s></p><p>
<s id="id.000278">Ὀργανικῶς δὲ οὕτως· ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ τε-<lb n="22"></lb>τμημένη εἰς ἴσα, ἴσα τὸ πλῆθος τοῖς ὀδοῦσι τοῦ Α τυμ-<lb n="23"></lb>πάνου [τουτέστιν ξ#], καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἀχθεῖσα κείσθω <lb n="24"></lb>διαμέτρῳ τοῦ Α τυμπάνου ἴση ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ <lb n="25"></lb>ΕΗ, καὶ [οἵων ἡ ΕΖ ξ#, τοιούτων μ#] ἀπειλήφθω ἡ ΕΘ <lb n="26"></lb>τοῦ πλήθους τῶν ὀδόντων τοῦ Γ γινομένη, καὶ διὰ τοῦ Θ <lb n="27"></lb>παράλληλος τῇ ΖΗ ἤχθω ἡ ΘΚ· καὶ ἔσται ἄρα ἡ ΘΚ ἴση <lb n="28"></lb>τῇ διαμέτρῳ τοῦ Γ τυμπάνου [1φανερὰ γὰρ ἡ ἀπόδειξισ]1. <lb n="29"></lb></s></p><p>
<s id="id.000279">κη#. </s>
<s id="id.000280">Πῶς δὲ κατασκευάζεται κοχλίας τὴν ἕλικα ἁρμο-<lb n="30"></lb>στὴν ἔχων τοῖς λοξοῖς ὀδοῦσι τοῦ δοθέντος τυμπάνου, φα-<lb n="31"></lb>νερὸν οὕτως ἔσται. <lb n="32"></lb><pb n="1110"></pb></s></p><p>
<s id="id.000281">Νοείσθω κύλινδρος ἰσοπαχῶς τετορνευμένος ὁ ΑΔΕΖ, <lb n="1"></lb>πλευρὰ δ&#039; αὐτοῦ ἡ ΑΕ, καὶ εἰλήφθω μονοστρόφου ἕλικος <lb n="2"></lb>ἐπ&#039; αὐτῆς διάστημα τὸ ΑΒ, καὶ λεπίδιον χαλκοῦν γεγενή-<lb n="3"></lb>σθω, οὗ τὸ μὲν ΗΘΚ μέρος τρίγωνον ὀρθογώνιον ἔστω <lb n="4"></lb>ὀρθὴν ἔχον τὴν Θ γωνίαν, τὸ δὲ λοιπὸν παραλληλόγραμμον <lb n="5"></lb>ὀρθογώνιον τὸ ΘΚΛ, ἴση δὲ κείσθω ἡ ΘΗ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ <lb n="6"></lb>ΘΚ τῇ περιμέτρῳ τοῦ ΑΔΕΖ κυλίνδρου, καὶ περικαμπτέ-<lb n="7"></lb>σθω τὸ λεπίδιον περὶ τὸν κύλινδρον, ἵνα καὶ τὸ ΘΚΛ <lb n="8"></lb>παραλληλόγραμμον κύλινδρος γένηται ἁπτόμενος τοῦ ΔΕ, <lb n="9"></lb>ὅταν εἰσαχθῇ, καὶ κείσθω τὸ μὲν Θ ἐπὶ τὸ Α, τὸ δὲ Η <lb n="10"></lb>ἐπὶ τὸ Β, καὶ οὕτως γράψομεν διὰ τῆς ΗΚ ὑποτεινούσης <lb n="11"></lb>καμφθείσης [δὲ] τὴν καλουμένην μονόστροφον ἕλικα ὡς τὴν <lb n="12"></lb>ΒΑ. </s>
<s id="id.000282">καὶ πάλιν μεταθέντες τὸ λεπίδιον, ὥστε τὸ μὲν Θ <lb n="13"></lb>κατὰ τὸ Β εἶναι τὸ δὲ Η κατὰ τὸ Γ, γράψομεν διὰ τῆς <lb n="14"></lb>ΗΚ ἑτέραν ἕλικα μονόστροφον, ὥστε τὴν ὅλην εἶναι δί-<lb n="15"></lb>στροφον. </s>
<s id="id.000283">ἐν ᾧ γὰρ χρόνῳ τὸ Α ἐπὶ τὸ Β παραγίνεται <lb n="16"></lb>ὁμαλῶς κινούμενον, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΑΒ κατὰ τῆς ἐπιφα-<lb n="17"></lb>νείας τοῦ κυλίνδρου κινηθεῖσα εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθίσταται <lb n="18"></lb>καὶ τὸ εἰρημένον φέρεσθαι σημεῖον κατὰ τῆς ΑΒ εὐθείας <lb n="19"></lb>γράψει τὴν μονόστροφον ἕλικα· τοῦτο γὰρ Ἀπολλώνιος ὁ <lb n="20"></lb>Περγεὺς ἀπέδειξεν. </s>
<s id="id.000284">[ἐὰν οὖν καὶ ἑκατέραν τῶν ΑΒ ΒΓ <lb n="21"></lb>καὶ τὰς ἑξῆς ἄχρι τοῦ Ε δίχα τέμνωμεν καὶ διὰ τῶν ση-<lb n="22"></lb>μείων τῷ λεπιδίῳ γράψωμεν μονοστρόφους ἕλικας ἀπ&#039; αὐτῶν <lb n="23"></lb>κατὰ τὸ βάθος τῆς ἕλικος ὃ βουλόμεθα λάβωμεν καὶ ἀπὸ <lb n="24"></lb>τοῦ βάθους λοιπὸν καὶ τῆς γραφείσης ἕλικος, ῥᾳδίως τὴν <lb n="25"></lb>ἕλικα φακοειδῆ ῥινήσαντες ἕξομεν ἀπηρτισμένην.]<lb n="26"></lb></s></p><p>
<s id="id.000285">κθ#. </s>
<s id="id.000286">Πάλιν νοείσθω ἐν τῇ ἑτέρᾳ ἐπιφανείᾳ τοῦ δοθέν- <lb n="27"></lb><pb n="1112"></pb>τος τυμπάνου περὶ τὸν κότραφον κύκλος, οὗ περιφέρεια ἡ <lb n="1"></lb>ΡΥΤ κέντρον δὲ τὸ Ξ, καὶ τὰ Ρ Υ Τ ἴσον ἀπ&#039; ἀλλήλων <lb n="2"></lb>ἀπέχοντα, λόγου χάριν τοῦ πανὸς κύκλου εἰς εἴκοσι τέσ-<lb n="3"></lb>σαρα διῃρημένου, καὶ ἀπὸ τῶν Ρ Υ Τ ἐπὶ τὸ Ξ κέντρον <lb n="4"></lb>νεύουσαι διήχθωσαν ἄχρι τοῦ περὶ τὸ Ξ κέντρον γεγραμμέ-<lb n="5"></lb>νου κύκλου τοῦ ΜΝΠΦ αἱ ΡΟ ΥΟ ΤΟ, καὶ ἀπὸ τῶν δι-<lb n="6"></lb>χοτομούντων τὰς ΟΟ περιφερείας σημείων διήχθωσαν ἐπὶ <lb n="7"></lb>τὰ Ρ Υ Τ σημεῖα αἱ ΜΡ ΝΡ ΝΥ ΠΥ ΠΤ ΤΦ, καὶ ἀπὸ <lb n="8"></lb>τῆς ΟΡ εὐθείας προήχθω ἐν τῇ κυρτῇ τοῦ τυμπάνου ἐπι-<lb n="9"></lb>φανείᾳ ἡ ΡΣ μέχρι τῆς περιφερείας οὖσα τοῦ ἐν τῇ ἑτέρᾳ <lb n="10"></lb>ἐπιφανείᾳ τοῦ τυμπάνου περὶ τὸν κότραφον ὁμοίως γραφο-<lb n="11"></lb>μένου τοῦ ΧΩ κύκλου, καὶ ἀπὸ τοῦ Σ τῇ μὲν ἡμισείᾳ τῆς <lb n="12"></lb>ΡΥ περιφερείας [ὡς λοξώσεωσ] ἴση κείσθω ἡ ΣΧ, τῇ δὲ <lb n="13"></lb>ΡΥ ἡ ΧΩ, καὶ οὕτως ἑξῆς ἴσην θέντες τῇ ΥΤ τὴν ΩΨ καὶ <lb n="14"></lb>τὰς λοιπάς, καὶ ἐπιζεύξαντες τὰς ΡΧ ΥΩ ΤΨ ἕξομεν τὰς <lb n="15"></lb>τῶν ὀδόντων λοξώσεις. </s>
<s id="id.000287">καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ ΡΥ κύκλος <lb n="16"></lb>τῷ ΧΩ κύκλῳ, γράψομεν κἀν τῇ ἑτέρᾳ ἐπιφανείᾳ τοῦ τυμ-<lb n="17"></lb>πάνου περὶ κέντρον τὸ ἀντικείμενον τῷ Ξ σημείῳ κύκλον <lb n="18"></lb>ἴσον τῷ ΜΝ, καὶ ἀπὸ τῶν Χ Ω ἀγαγόντες ἐπ&#039; αὐτὸν <lb n="19"></lb>εὐθείας νευούσας ἐπὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ, καὶ τὰ αὐτὰ ποι-<lb n="20"></lb>ήσαντες τοῖς ἐπὶ τῆς ΡΥΤ περιφερείας [τοῦ κύκλου] ἕξομεν <lb n="21"></lb>καὶ τὴν ἄλλην πλευρὰν τοῦ τυμπάνου καταγεγραμμένην. <lb n="22"></lb></s>
<s id="id.000288">καὶ λοιπὸν ἐκκόψαντες τὰ μεταξὺ τῶν γραμμῶν σχήματα <lb n="23"></lb>ὡς τὰ ΝΡΥ ΥΠΤ καὶ τὰ ἀντικείμενα ἕξομεν τὸ τύμπανον <lb n="24"></lb><pb n="1114"></pb>ὠδοντωμένον ὀδοῦσιν λοξοῖς. </s>
<s id="id.000289">ἐμβαίνει δὲ ἕκαστος εἰς τὴν <lb n="1"></lb>τοῦ κοχλίου ἕλικα, ἐπεὶ καὶ τὸ μεταξὺ διάστημα τὸ ΡΥ <lb n="2"></lb>ἴσον ἐστὶν τῷ ΑΒ διαστήματι τῆς τοῦ κοχλίου ἕλικος. </s>
<s id="id.000290">καὶ <lb n="3"></lb>δῆλον ὡς καθ&#039; ἑκάστην στροφὴν τοῦ κοχλίου εἷς ὀδοὺς <lb n="4"></lb>παρενεχθήσεται· τοῦτο γὰρ Ἥρων ἀπέδειξεν ἐν τοῖς μηχα-<lb n="5"></lb>νικοῖς, γραφήσεται δὲ καὶ ὑφ&#039; ἡμῶν, ἵνα μηδὲν ἔξωθεν <lb n="6"></lb>ἐπιζητῶμεν. <lb n="7"></lb></s></p><p>
<s id="id.000291">λ#. </s>
<s id="id.000292">Νοείσθω γὰρ κοχλίας ὁ ΑΒ, ἡ δὲ ἐν αὐτῷ ἕλιξ ἡ <lb n="8"></lb>ΑΓΔΕΖΒ [νοείσθωσαν δὲ μονόστροφοι αἱ εἰρημέναι ἕλικεσ], <lb n="9"></lb>τύμπανον δὲ ἔστω [τὸ] παρακείμενον καὶ ὠδοντωμένον τὸ <lb n="10"></lb>ΗΓΕΘ ὀδόντας ἔχον τοὺς ΗΓ ΓΕ ΕΘ ἁρμόζοντας τῇ ἕλικι <lb n="11"></lb>[οἱ ἄρα λοιποὶ οὐκ ἐναρμόσουσιν εἰς τὰς λοιπὰς ἕλικασ]. <lb n="12"></lb></s>
<s id="id.000293">ἐὰν οὖν ἐπιστρέφωμεν τὸν κοχλίαν, ὥστε τὸ Ε σημεῖον <lb n="13"></lb>παρωθεῖσθαι ἐπὶ τὰ Γ μέρη, παρέσται τὸ Ε ἐπὶ τὸ Γ, <lb n="14"></lb>ὅταν ὁ κοχλίας ἀποκατάστασιν μίαν ποιήσηται, καὶ ἕξει ὁ <lb n="15"></lb>μὲν ΓΕ ὀδοὺς τὴν τοῦ ΓΗ θέσιν, ὁ δὲ ΕΘ τὴν τοῦ ΓΕ, <lb n="16"></lb>καὶ πάλιν ὁ ΕΘ θέσιν ἐσχηκὼς τὴν ΓΕ ἐν μιᾷ τοῦ κοχλίου <lb n="17"></lb>περιστροφῇ ὅλος παραχθήσεται. </s>
<s id="id.000294">καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς ὀδόν-<lb n="18"></lb>των τὰ αὐτὰ ἐπινοεῖν χρή, ὥστε, ὅσους ἂν ὀδόντας ἔχῃ τὸ <lb n="19"></lb>τύμπανον, τοσαυτάκις ὁ κοχλίας κινηθεὶς μίαν ἀποκατά-<lb n="20"></lb>στασιν τοῦ τυμπάνου ποιήσεται. <lb n="21"></lb></s></p><p>
<s id="id.000295">λα#. </s>
<s id="id.000296">Τοσαῦτα μὲν οὖν περὶ τοῦ βαρουλκοῦ, τῶν δὲ <lb n="22"></lb>προειρημένων ε# δυνάμεων ἐκ τῶν Ἥρωνος τὴν ἔκθεσιν <lb n="23"></lb><pb n="1116"></pb>ἐπιτομώτερον ποιησόμεθα πρὸς ὑπόμνησιν τῶν φιλομα-<lb n="1"></lb>θούντων, προσθέντες ἔτι καὶ τὰ περὶ τῆς μονοκώλου καὶ <lb n="2"></lb>δικώλου καὶ τρικώλου καὶ τετρακώλου μηχανῆς ἀναγκαίως <lb n="3"></lb>λεγόμενα, μή ποτε καὶ τῶν βιβλίων ἐν οἷς ταῦτα γέγραπται <lb n="4"></lb>ἀπορία γένηται τῷ ζητοῦντι· καὶ γὰρ ἡμεῖς κατὰ πολλὰ <lb n="5"></lb>μέρη διεφθαρμένοις ἐνετύχομεν ἀνάρχοις τε καὶ ἀτελέσι <lb n="6"></lb>βιβλίοις. </s>
<s id="id.000297">πέντε τοίνυν οὐσῶν δυνάμεων δι&#039; ὧν τὸ δοθὲν <lb n="7"></lb>βάρος τῇ δοθείσῃ βίᾳ κινεῖται, ἀναγκαῖόν ἐστιν τά τε <lb n="8"></lb>σχήματα αὐτῶν καὶ τὰς χρείας ἔτι δὲ καὶ τὰ ὀνόματα <lb n="9"></lb>ἐκθέσθαι. </s>
<s id="id.000298">ἀποδέδοται δὲ ὑπὸ τοῦ Ἥρωνος καὶ Φίλωνος <lb n="10"></lb>καὶ διότι αἱ προειρημέναι δυνάμεις εἰς μίαν ἄγονται φύσιν, <lb n="11"></lb>καίτοι παρὰ πολὺ διαλλάσσουσαι τοῖς σχήμασιν. </s>
<s id="id.000299">ὀνόματα <lb n="12"></lb>μὲν οὖν ἐστιν τάδε· ἄξων ἐν περιτροχίῳ, μοχλός, πολύ-<lb n="13"></lb>σπαστον, σφήν, καὶ πρὸς τούτοις ὁ καλούμενος ἄπειρος <lb n="14"></lb>κοχλίας. <lb n="15"></lb></s></p><p>
<s id="id.000300">Ὁ μὲν οὖν ἄξων ὁ ἐν τῷ περιτροχίῳ κατασκευάζεται <lb n="16"></lb>οὕτως· ξύλον δεῖ λαβεῖν εὔτονον τετράγωνον [1καθάπερ δο-<lb n="17"></lb><figure place="text"></figure>κίδα]1 καὶ τούτου τὰ ἄκρα σι-<lb n="18"></lb>μώσαντα στρογγύλα ποιῆσαι <lb n="19"></lb>καὶ χοινικίδας περιθεῖναι <lb n="20"></lb>χαλκᾶς συναραρυίας τῷ ἄξονι, <lb n="21"></lb>ὥστε ἐμβληθείσας αὐτὰς εἰς <lb n="22"></lb>τρήματα στρογγύλα ἐν ἀκινή-<lb n="23"></lb>τῳ τινὶ πήγματι εὐλύτως στρέ-<lb n="24"></lb>φεσθαι τῶν τρημάτων τριβεῖς <lb n="25"></lb>χαλκοῦς ἐχόντων ὑποκειμένους <lb n="26"></lb>ταῖς χοινικίσι· καλεῖται δὲ τὸ <lb n="27"></lb>εἰρημένον ξύλον ἄξων. </s>
<s id="id.000301">περὶ <lb n="28"></lb>δὲ μέσον τὸν ἄξονα περιτί-<lb n="29"></lb>θεται τύμπανον ἔχον τρῆμα <lb n="30"></lb>τετράγωνον ἁρμοστὸν τῷ ἄξονι, ὥστε ἅμα στρέφεσθαι τόν <lb n="31"></lb>τε ἄξονα καὶ τὸ περιτρόχιον. <lb n="32"></lb><pb n="1118"></pb></s></p><p>
<s id="id.000302">Ἡ μὲν οὖν κατασκευὴ δεδήλωται, χρεία δ&#039; ἐστὶν ἡ <lb n="1"></lb>μέλλουσα λέγεσθαι. </s>
<s id="id.000303">ὅταν γὰρ βουλώμεθα μεγάλα βάρη <lb n="2"></lb>κινεῖν ἐλάσσονι βίᾳ, τὰ ἐκδεδεμένα ἐκ τοῦ βάρους ὅπλα <lb n="3"></lb>περιθέντες περὶ τὰ σεσιμωμένα τοῦ ἄξονος, καὶ ἐμβαλόν-<lb n="4"></lb>τες σκυτάλας εἰς τὰ ἐν τῷ περιτροχίῳ τρήματα, ἐπιστρέ-<lb n="5"></lb>φομεν τὸ περιτρόχιον κατάγοντες τὰς σκυτάλας, καὶ οὕτως <lb n="6"></lb>εὐκόπως κινηθήσεται τὸ βάρος ὑπὸ ἐλάσσονος δυνάμεως <lb n="7"></lb>τῶν ὅπλων περὶ τὸν ἄξονα ἐπειλουμένων [ἢ καὶ διαμηρυο-<lb n="8"></lb>μένων ὑπό τινος πρὸς τὸ μὴ ἅπαν τὸ ὅπλον περικεῖσθαι <lb n="9"></lb>τῷ ἄξονι]. </s>
<s id="id.000304">τοῦ δὲ εἰρημένου ὀργάνου τὸ μὲν μέγεθος ἁρ-<lb n="10"></lb>μόζεσθαι δεῖ πρὸς τὰ μέλλοντα κινεῖσθαι βάρη, τὴν δὲ <lb n="11"></lb>συμμετρίαν πρὸς τὸν λόγον ὃν ἔχει τὸ κινούμενον βάρος <lb n="12"></lb>πρὸς τὴν κινοῦσαν δύναμιν, ὡς ἑξῆς δειχθήσεται. <lb n="13"></lb></s></p><p>
<s id="id.000305">Ἦν δὲ δευτέρα δύναμις ἡ διὰ τοῦ μοχλοῦ [καὶ τάχα ἡ <lb n="14"></lb>προεπίνοια τῆς περὶ τὰ ὑπεράγαν βάρη κινήσεωσ]· προελό-<lb n="15"></lb>μενοι γάρ τινες μεγάλα βάρη κινεῖν, ἐπειδὴ ἀπὸ τῆς γῆς ἔδει <lb n="16"></lb>πρῶτον μετεωρίσαι, λαβὰς δὲ οὐκ εἶχον διὰ τὸ πάντα τὰ <lb n="17"></lb>μέρη τῆς ἕδρας τοῦ φορτίου ἐπικεῖσθαι τῷ ἐδάφει, ὑπο-<lb n="18"></lb>ρύξαντες βραχὺ καὶ ξύλου μακροῦ τὸ ἄκρον ὑποβαλόντες <lb n="19"></lb>ὑπὸ τὸ φορτίον κατῆγον ἐκ τοῦ ἑτέρου ἄκρου, ὑποθέντες <lb n="20"></lb>τῷ ξύλῳ παρ&#039; αὐτὸ τὸ φορτίον λίθον, ὃ δὴ καλεῖται ὑπο-<lb n="21"></lb>μόχλιον. </s>
<s id="id.000306">φανείσης δ&#039; αὐτοῖς τῆς κινήσεως πάνυ εὐκόπου <lb n="22"></lb>ἐνόησαν ὅτι δυνατὸν κινεῖσθαι μεγάλα βάρη διὰ τοῦ τρόπου <lb n="23"></lb>τούτου. </s>
<s id="id.000307">καλεῖται δὲ τὸ ξύλον μοχλός, εἴτε τετράγωνον εἴη <lb n="24"></lb>εἴτε στρογγύλον. </s>
<s id="id.000308">ὅσῳ δ&#039; ἂν ἐγγυτέρω τιθῆται τοῦ φορτίου <lb n="25"></lb>τὸ ὑπομόχλιον, τοσούτῳ εὐχερέστερον κινεῖται τὸ βάρος, <lb n="26"></lb>ὡς ἑξῆς δειχθήσεται. <lb n="27"></lb></s></p><p>
<s id="id.000309">Ἔστιν δὲ ἡ τρίτη δύναμις ἡ κατὰ τὸ πολύσπαστον. <lb n="28"></lb></s>
<s id="id.000310">ὅταν γὰρ βουλώμεθά τι βάρος ἕλκειν, ἐξάψαντες ὅπλον <lb n="29"></lb><pb n="1120"></pb>ἐξ αὐτοῦ ἐπισπώμεθα τοσαύτῃ βίᾳ, ὅση τῷ φορτίῳ ἰσόρ-<lb n="1"></lb>ροπός ἐστιν. </s>
<s id="id.000311">ἐὰν δὲ ἑλκύσαντες ἐκ τοῦ φορτίου τὸ ὅπλον <lb n="2"></lb>τὴν μὲν μίαν αὐτοῦ ἀρχὴν ἐκδήσωμεν ἔκ τινος μένοντος <lb n="3"></lb>χωρίου, τὴν δὲ ἑτέραν βάλωμεν διὰ τροχίλου ἐκδεδεμένου <lb n="4"></lb>ἐκ τοῦ φορτίου καὶ ταύτην ἐπισπώμεθα, εὐχερέστερον κι-<lb n="5"></lb>νήσομεν τὸ βάρος. </s>
<s id="id.000312">πάλιν δὲ ἐὰν ἐκ τοῦ μένοντος χωρίου <lb n="6"></lb>ἐξάψωμεν ἕτερον τροχίλον καὶ τὴν ἀγομένην ἀρχὴν διαβα-<lb n="7"></lb>λόντες διὰ τούτου ἐπισπώμεθα, ἔτι μᾶλλον εὐχερέστερον <lb n="8"></lb>κινήσομεν τὸ βάρος. </s>
<s id="id.000313">καὶ πάλιν ἐὰν ἐκ τοῦ φορτίου τροχί-<lb n="9"></lb>λον ἕτερον ἐκδήσωμεν καὶ τὴν ἀγομένην ἀρχὴν διὰ τούτου <lb n="10"></lb>διαβαλόντες ἐπισπώμεθα, πολλῷ μᾶλλον εὐχερέστερον κι-<lb n="11"></lb>νήσομεν τὸ βάρος ** ἀεὶ τροχίλους ἔκ τε τοῦ μένοντος χω-<lb n="12"></lb>ρίου ἐξάπτοντες καὶ ἐκ τοῦ φορτίου καὶ διαβάλλοντες <lb n="13"></lb>ἐναλλὰξ τὴν ἀγομένην ἀρχὴν εἰς τοὺς τροχίλους εὐχερέστε-<lb n="14"></lb>ρον κινήσομεν τὸ βάρος. </s>
<s id="id.000314">[ὅσῳ δ&#039; ἂν εἰς πλείονα κῶλα τὸ <lb n="15"></lb>ὅπλον κάμπτηται, τὸ βάρος εὐκοπώτερον κινηθήσεται· δεῖ <lb n="16"></lb>δὲ τὴν ἐκδεννυμένην ἀρχὴν ἐκ τοῦ μένοντος χωρίου ἐξάπτε-<lb n="17"></lb>σθαι.]</s>
<s id="id.000315"> ἵνα οὖν μὴ καθ&#039; ἕνα τοὺς τροχίλους ἔκ τε τοῦ μέ-<lb n="18"></lb>νοντος χωρίου καὶ ἐκ τοῦ φορτίου ἐξάπτωμεν, οἱ μὲν εἰρη-<lb n="19"></lb>μένοι εἰς τὸ μένον εἶναι χωρίον εἰς ἓν ξύλον ἐντίθενται <lb n="20"></lb>περὶ ἄξονας κινούμενοι, ὃ καλεῖται μάγγανον, τοῦτο δὲ <lb n="21"></lb>ἐξάπτεται ἐκ τοῦ μένοντος χωρίου διά τινος ἑτέρου ὅπλου, <lb n="22"></lb>οἱ δὲ πρὸς τῷ φορτίῳ εἰς ἕτερον μάγγανον τούτῳ ἴσον, ὃ δὴ <lb n="23"></lb>πάλιν ἐξάπτεται ἐκ τοῦ φορτίου μόνον. </s>
<s id="id.000316">οὕτως δὲ δεῖ κατα-<lb n="24"></lb>τετάχθαι ἐν τοῖς μαγγάνοις τοὺς τροχίλους, ὥστε τὰ κῶλα <lb n="25"></lb><pb n="1122"></pb>μὴ ἐμπλεκόμενα πρὸς ἄλληλα δυσπειθῆ γίνεσθαι. </s>
<s id="id.000317">δι&#039; ἣν <lb n="1"></lb>δ&#039; αἰτίαν πλειόνων τῶν κώλων γινομένων εὐκοπία παρα-<lb n="2"></lb><figure place="text"></figure>κολουθεῖ, δείξομεν, καὶ δι&#039; ἣν αἰτίαν <lb n="3"></lb>ἡ ἑτέρα ἀρχὴ ἐκ τοῦ μένοντος ἐξάπτεται <lb n="4"></lb>χωρίου. <lb n="5"></lb></s></p><p>
<s id="id.000318">Ἡ δὲ ἑξῆς δύναμις ἡ διὰ τοῦ σφη-<lb n="6"></lb>νὸς καὶ αὐτὴ μεγάλας χρείας παρεχο-<lb n="7"></lb>μένη πρός τε τὰς μυρεψικὰς πιέσεις καὶ <lb n="8"></lb>τὰς διὰ τῆς τεκτονικῆς ὑπεραγούσας κολ-<lb n="9"></lb>λήσεις, τὸ δὲ πάντων μέγιστον, ὅταν <lb n="10"></lb>τοὺς ἐκ τῶν λατομιῶν λίθους ἀποσπᾶν <lb n="11"></lb>δέῃ τῆς κατὰ τὸ κάτω μέρος συνεχείας, <lb n="12"></lb>οὐδεμία τῶν ἄλλων δυνάμεων ἐνεργεῖν <lb n="13"></lb>δύναται, οὐδ&#039; ἂν ἅμα πᾶσαι συζευ-<lb n="14"></lb>χθῶσιν, μόνος δὲ ὁ σφὴν ἐνεργεῖ διὰ τῆς <lb n="15"></lb>τυχούσης, καὶ ἄνεσις μὲν οὐδ&#039; ἡτισοῦν <lb n="16"></lb>γίνεται κατὰ τὰ διαλήμματα τῶν ἐργα-<lb n="17"></lb>ζομένων, καρτερὰ δὲ ἡ ἐπίτασις. </s>
<s id="id.000319">τοῦτο <lb n="18"></lb>δὲ φανερὸν ἐκ τοῦ καὶ μὴ πλησσομένου <lb n="19"></lb>τοῦ σφηνὸς ἐνίοτε ψόφους καὶ ῥήγματα <lb n="20"></lb>γίνεσθαι διὰ τῆς τοῦ σφηνὸς ἐνεργείας. <lb n="21"></lb></s>
<s id="id.000320">ὅσῳ δ&#039; ἂν ἡ τοῦ σφηνὸς γωνία ἐλάσσων <lb n="22"></lb>γίνηται, τοσούτῳ εὐχερέστερον ἐνεργεῖ, <lb n="23"></lb>τουτέστιν δι&#039; ἐλάσσονος πληγῆς, ὡς δεί-<lb n="24"></lb>ξομεν. <lb n="25"></lb></s></p><p>
<s id="id.000321">Τὰ μὲν οὖν προειρημένα ὄργανα <lb n="26"></lb>φανερὰς καὶ αὐτοτελεῖς ἔχει τὰς κατα-<lb n="27"></lb>σκευὰς πολλαχοῦ ἐν ταῖς χρείαις φαινο-<lb n="28"></lb>μένας, ὁ δὲ κοχλίας ἔχει τι περίεργον <lb n="29"></lb>περί τε τὴν κατασκευὴν καὶ τὴν χρῆσιν. </s>
<s id="id.000322">ὁτὲ μὲν [οὖν] γὰρ αὐ-<lb n="30"></lb>τὸς καθ&#039; αὑτὸν μόνος ἐνεργεῖ, ὁτὲ δὲ καὶ προσλαμβάνων ἔτι <lb n="31"></lb><pb n="1124"></pb>δύναμιν, πλὴν ὅτι οὐδὲν ἕτερόν ἐστιν ἢ σφὴν εἰλημένος, ἀπο-<lb n="1"></lb>λειπόμενος τῆς πληγῆς, διὰ μοχλοῦ δὲ καὶ στροφῆς τὴν κίνη-<figure place="text"></figure><lb n="2"></lb>σιν ποιούμενος. </s>
<s id="id.000323">τοῦτο δ&#039; ἔσται δῆλον ἐκ τῶν μελλόντων λέ-<lb n="3"></lb>γεσθαι. </s>
<s id="id.000324">φύσις μὲν οὖν ὑπάρχει τῆς περὶ αὐτὸν πραγμα-<lb n="4"></lb>τείας τοιαύτη· ἐὰν κυλίνδρου πλευρὰ φέρηται κατὰ τῆς τοῦ <lb n="5"></lb>κυλίνδρου ἐπιφανείας, πρὸς δὲ τῷ πέρατι ταύτης σημεῖόν <lb n="6"></lb>τι ἅμα κατὰ αὐτῆς τῆς πλευρᾶς φέρηται, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ <lb n="7"></lb>χρόνῳ ἥ τε πλευρὰ μίαν ἀποκατάστασιν ποιήσηται καὶ τὸ <lb n="8"></lb>σημεῖον τὸ πᾶν τῆς πλευρᾶς διεξέλθῃ, ἡ γενομένη ὑπὸ τοῦ <lb n="9"></lb>σημείου ἐν τῇ κυλινδρικῇ ἐπιφανείᾳ γραμμὴ ἕλιξ ἐστίν, ἣν <lb n="10"></lb>δὴ κοχλίαν καλοῦσιν. </s>
<s id="id.000325">καταγράφεται δὲ ἐν τῷ κυλίνδρῳ <lb n="11"></lb>οὕτως· ἐὰν ἐν ἐπιπέδῳ δύο εὐθείας ἐκθώμεθα ὀρθὰς ἀλλή-<lb n="12"></lb>λαις, ὧν ἡ μὲν μία ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ εἰρημένου κυλίνδρου <lb n="13"></lb>πλευρᾷ, ἡ δὲ ἑτέρα τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ, ὅς ἐστιν <lb n="14"></lb>βάσις τοῦ κυλίνδρου, καὶ ἐπὶ τὰ πέρατα τῶν εἰρημένων <lb n="15"></lb>εὐθειῶν ἐπιζεύξωμεν εὐθεῖαν ὑποτείνουσαν τὴν ὀρθὴν γω-<lb n="16"></lb>νίαν, τεθῇ δὲ ἡ ἴση τῇ τοῦ κυλίνδρου πλευρᾷ ἐπὶ τὴν τοῦ <lb n="17"></lb>κυλίνδρου πλευράν, ἡ δὲ ἑτέρα τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ἐπει-<lb n="18"></lb>ληθῇ κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, εἰληθήσεται καὶ <lb n="19"></lb>ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν κατὰ τῆς κυλινδρικῆς ἐπιφανείας, <lb n="20"></lb>καθ&#039; ἧς ἔσται ἡ εἰρημένη ἕλιξ. </s>
<s id="id.000326">ἔξεστιν δὲ διελόντα τὴν <lb n="21"></lb>τοῦ κυλίνδρου πλευρὰν εἰς ἴσα, ὁπόσ&#039; ἄν τις προαιρῆται, <lb n="22"></lb>καθ&#039; ἕκαστον αὐτῆς μέρος περιγράφειν ἕλικα, ὡς προείρη-<lb n="23"></lb>ται [ὥστε ἐν τῷ κυλίνδρῳ πλείονας ἕλικας γράφεσθαι, κα-<lb n="24"></lb>λείσθω δὲ ἡ ἅπαξ εἰληθεῖσα ἕλιξ μονόστροφος, τουτέστιν <lb n="25"></lb><pb n="1126"></pb>ἡ περὶ τὰ παρὰ ἑκάστου μέρους γινομένη γραμμή]. </s>
<s id="id.000327">κατὰ <lb n="1"></lb>αὐτῆς οὖν τῆς γραμμῆς σωλῆνα ἐντεμόντες εἰς τὸ βάθος <lb n="2"></lb>τοῦ κυλίνδρου καὶ ἐκκόψαντες, ὥστε ἐν τῷ σωλῆνι τύλον<figure place="text"></figure> <lb n="3"></lb>ἐναρμόσαι στερεόν, χρῶνται τῷ κοχλίᾳ οὕτως· τὰ ἄκρα <lb n="4"></lb>αὐτοῦ στρογγύλα ποιήσαντες ἐναρμόζουσιν εἴς τινα δια-<lb n="5"></lb>πήγματα ἐν στρογγύλοις τρήμασιν, ὥστε εὐκόπως αὐτὸν <lb n="6"></lb>στρέφεσθαι, ὑπὲρ δὲ τὸν κοχλίαν κανόνα διατιθέντες παρ-<lb n="7"></lb>άλληλον αὐτῷ σωλῆνα ἔχοντα μέσον ἐν τῇ ἄνω ἐπιφανείᾳ <lb n="8"></lb>ἐναρμόζουσιν εἰς τοῦτον τὸν σωλῆνα τὸν εἰρημένον τύλον, <lb n="9"></lb>ὥστε τὸ μὲν ἕτερον ἄκρον τοῦ τύλου μένειν ἐν τῷ τοῦ κο-<lb n="10"></lb>χλίου σωλῆνι, τὸ δὲ ἕτερον ἐν τῷ εἰρημένῳ ἐτέρῳ σωλῆνι τῷ <lb n="11"></lb>ἐν τῷ κανόνι. </s>
<s id="id.000328">ὅταν οὖν βούλωνται φορτίον κινεῖν διὰ τούτου <lb n="12"></lb>τοῦ ὀργάνου, ὅπλον λαβόντες τούτου τὴν μὲν μίαν ἀρχὴν <lb n="13"></lb>ἐξάπτουσιν ἐκ τοῦ φορτίου, τὴν δὲ ἑτέραν ἐκ τοῦ προ-<lb n="14"></lb>ειρημένου τύλου, καὶ τρημάτων ὄντων τῇ κεφαλῇ τοῦ κο-<lb n="15"></lb>χλίου σκυτάλας ἐμβαλόντες κατάγουσιν, καὶ οὕτως ὑπὸ τῆς <lb n="16"></lb>ἕλικος ὁ τύλος παραγόμενος ἐν τῷ σωλῆνι ἐπισπᾶται τὸ <lb n="17"></lb>ὅπλον δι&#039; οὗ καὶ τὸ φορτίον. </s>
<s id="id.000329">ἔξεστιν δὲ ἀντὶ τῶν σκυ-<lb n="18"></lb>ταλῶν χειρολάβην τινὰ περιθεῖναι τῷ ἄκρῳ τοῦ κοχλίου <lb n="19"></lb>ὑπερέχοντι εἰς τὸ ἐκτὸς τοῦ διαπήγματος καὶ οὕτως στρέ-<lb n="20"></lb>φοντα τὸν κοχλίαν ἐπισπᾶσθαι τὸ φορτίον. </s>
<s id="id.000330">ἡ δ&#039; ἐν τῷ κο-<lb n="21"></lb>χλίᾳ ἕλιξ ὁτὲ μὲν τετράγωνος γίνεται ὁτὲ δὲ φακοειδής, <lb n="22"></lb>τετράγωνος μέν, ὅταν ὁ ἐν αὐτῷ σωλὴν ὀρθὰς ἔχῃ τὰς <lb n="23"></lb>ἐντομάς, φακοειδὴς δέ, ὅταν λοξὰς καὶ εἰς μίαν συναγο- <lb n="24"></lb><pb n="1128"></pb>μένας γραμμήν. </s>
<s id="id.000331">καλεῖται δὲ ὁ μὲν τετράγωνος, ὁ δὲ φα-<lb n="1"></lb>κωτός. <lb n="2"></lb></s></p><p>
<s id="id.000332">Ὅταν μὲν οὖν αὐτὸς καθ&#039; αὐτὸν ὁ κοχλίας ἐνεργῇ, <lb n="3"></lb>ταύτην λαμβάνει τὴν κατασκευήν, γίνεται δὲ καὶ ἑτέρως· <lb n="4"></lb><figure place="text"></figure>προσλαβόντες γάρ τινα <lb n="5"></lb>ἑτέραν δύναμιν τὴν διὰ <lb n="6"></lb>τοῦ ἄξονος τοῦ ἐν τῷ <lb n="7"></lb>περιτροχίῳ καλουμένου <lb n="8"></lb>[κατασκευὴν] νοήσομεν <lb n="9"></lb>τὸ περὶ τὸν ἄξονα τύμ-<lb n="10"></lb>πανον ὠδοντωμένον εἶ-<lb n="11"></lb>ναι, κοχλίαν δέ τινα <lb n="12"></lb>παρακεῖσθαι τῷ τυμ-<lb n="13"></lb>πάνῳ ἤτοι ὀρθὸν κεί-<lb n="14"></lb>μενον πρὸς τὸ ἔδαφος <lb n="15"></lb>ἢ παράλληλον τῷ ἐδά-<lb n="16"></lb>φει, ἔχοντα τὴν μὲν <lb n="17"></lb>ἕλικα ἐμπεπλεγμένην <lb n="18"></lb>τοῖς ὀδοῦσι τοῦ τυμπά-<lb n="19"></lb>νου τὰ δὲ ἄκρα ἐν στρογ-<lb n="20"></lb>γύλοις τρήμασιν πολευό-<lb n="21"></lb>μενα ἔν τισιν διαπήγμα-<lb n="22"></lb>σιν, καθάπερ καὶ προεί-<lb n="23"></lb>ρηται, καὶ ὑπεροχῆς <lb n="24"></lb>οὔσης τοῦ ἄκρου τοῦ <lb n="25"></lb>κοχλίου εἰς τὸ ἐκτὸς τοῦ <lb n="26"></lb>διαπήγματος μέρος, ἤτοι <lb n="27"></lb>χειρολάβην τινὰ περικεῖσθαι, δι&#039; ἧς ἐπιστραφήσεται ὁ <lb n="28"></lb>κοχλίας, ἢ τρήματα, ὥστε σκυταλῶν ἐμβληθεισῶν ὁμοίως <lb n="29"></lb>ἐπιστρέφεσθαι· αὐτόν. </s>
<s id="id.000333">πάλιν οὖν τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα <lb n="30"></lb><pb n="1130"></pb>περιβαλόντες περὶ τὸν ἄξονα ἐφ&#039; ἑκάτερα τοῦ τυμπάνου <lb n="1"></lb>καὶ ἐπιστρέφοντες τὸν κοχλίαν, δι&#039; οὗ καὶ τὸ ὠδοντωμένον <lb n="2"></lb>τύμπανον, ἐπισπασόμεθα τὸ βάρος. <lb n="3"></lb></s></p><p>
<s id="id.000334">Αἱ μὲν οὖν κατασκευαὶ καὶ αἱ χρήσεις τῶν προειρη-<lb n="4"></lb>μένων πέντε δυνάμεων δεδήλωνται, τίς δέ ἐστιν ἡ αἰτία, <lb n="5"></lb>δι&#039; ἣν δι&#039; ἑκάστης αὐτῶν μεγάλα βάρη κινεῖται μικρᾷ <lb n="6"></lb>παντάπασι δυνάμει, Ἥρων ἀπέδειξεν ἐν τοῖς μηχανικοῖς. <lb n="7"></lb></s>
<s id="id.000335">ἐν δὲ τοῖς ἑξῆς ἐκ τοῦ γ# τῶν Ἥρωνος μηχανὰς γράψομεν <lb n="8"></lb>πρὸς εὐκοπίαν καὶ λυσιτέλειαν ἁρμοζούσας, δι&#039; ὧν πάλιν <lb n="9"></lb>μεγάλα βάρη κινηθήσεται. <lb n="10"></lb></s></p><p>
<s id="id.000336">Τὰ μὲν οὖν ἀγόμενα ἐπὶ τοῦ ἐδάφους, φησίν, ἐπὶ <lb n="11"></lb>χελώνας ἄγεται. </s>
<s id="id.000337">ἡ δὲ χελώνη πῆγμά ἐστιν ἐκ τετραγώνων<figure place="text"></figure> <lb n="12"></lb>ξύλων συμπεπηγός, ὧν τὰ ἄκρα ἀνασεσίμωται. </s>
<s id="id.000338">τούτοις <lb n="13"></lb>οὖν ἐπιτίθεται τὰ βάρη, καὶ ἐκ τῶν ἄκρων αὐτῶν ἤτοι <lb n="14"></lb>πολύσπαστα ἐκδέννυται ἢ ὅπλων ἀρχαί. </s>
<s id="id.000339">ταῦτα δὲ ἤτοι <lb n="15"></lb>ἀπὸ χειρὸς ἕλκεται ἢ εἰς ἐργάτας ἀποδίδοται, ὧν περια-<lb n="16"></lb>γομένων ἡ χελώνη ἐπὶ τοῦ ἐδάφους σύρεται ὑποβαλλομένων <lb n="17"></lb>σκυταλίων ἢ σανίδων. </s>
<s id="id.000340">ἐὰν μὲν γὰρ μικρὸν ᾖ τὸ φορτίον, <lb n="18"></lb>σκυτάλαις χρῆσθαι δεῖ, ἐὰν δὲ μεῖζον, ταῖς σανίσιν διὰ <lb n="19"></lb>τὸ ταύτας μὴ εὐκόλως σύρεσθαι· αἱ γὰρ σκυτάλαι κυλιό-<lb n="20"></lb>μεναι κίνδυνον ἔχουσιν τοῦ φορτίου ὁρμὴν λαβόντος. </s>
<s id="id.000341">ἔνιοι <lb n="21"></lb><pb n="1132"></pb>δὲ οὔτε σκυτάλαις οὔτε σανίσι χρῶνται, ἀλλὰ τροχοὺς να-<lb n="1"></lb>στοὺς προσθέντες ταῖς χελώναις ἄγουσιν. <lb n="2"></lb></s></p><p>
<s id="id.000342">λβ#. </s>
<s id="id.000343">Ἐπὶ δὲ τῶν εἰς ὕψος βασταζομένων φορτίων, φησίν, <lb n="3"></lb>μηχαναὶ γίνονται αἱ μὲν μονόκωλοι, αἱ δὲ δίκωλοι, αἱ δὲ <lb n="4"></lb>τρίκωλοι, αἱ δὲ τετράκωλοι. </s>
<s id="id.000344">αἱ μὲν οὖν μονόκωλοι οὕτως· <lb n="5"></lb>ξύλον εὔτονον λαμβάνεται ὕψος ἔχον μεῖζον ἢ οὗ βουλό-<lb n="6"></lb>μεθα τὸ φορτίον μετεωρίσαι, κἂν μὲν αὐτὸ καθ&#039; αὑτὸ <lb n="7"></lb>ἰσχυρὸν ᾖ, ὅπλον βάλλοντες περὶ αὐτὸ [καὶ σφίγγοντεσ] <lb n="8"></lb>καὶ διαμηρυόμενοι κατὰ ἐπείλησιν ἀποσφίγγουσιν. </s>
<s id="id.000345">τῶν δὲ <lb n="9"></lb>ἐπειλήσεων τὸ μεταξὺ διάστημα οὐ πλεῖον γίνεται παλαι-<lb n="10"></lb>στῶν δ#, καὶ οὕτως εὐτονώτερόν τε γίνεται τὸ ξύλον καὶ <lb n="11"></lb>αἱ τοῦ ὅπλου ἐπειλήσεις ὥσπερ βαθμοὶ τοῖς ἐργαζομένοις <lb n="12"></lb>καὶ βουλομένοις εἰς τὸ ἄνω μετεωρίζεσθαι εὔχρηστοι γίνον-<lb n="13"></lb>ται. </s>
<s id="id.000346">ἐὰν δὲ μὴ ᾖ εὔτονον τὸ ξύλον, ἐκ πλειόνων συμβλη-<lb n="14"></lb>τὸν γίνεται. </s>
<s id="id.000347">[στοχάζεσθαι δεῖ τῶν μελλόντων βαστάζεσθαι <lb n="15"></lb>φορτίων, ὅπως μὴ ἀσθενέστερον τὸ κῶλον ὑπάρχῃ.]</s>
<s id="id.000348"> ἵστα-<lb n="16"></lb>ται οὖν τὸ κῶλον ὀρθὸν ἐπί τινος ξύλου καὶ ἐκ τοῦ ἄκρου <lb n="17"></lb>αὐτοῦ ὅπλα ἐκδέννυται τρία που ἢ τέσσαρα καὶ ἀποτε-<lb n="18"></lb>θέντα ἀποδίδοται πρός τινα μένοντα χωρία, ὅπως τὸ ξύ-<lb n="19"></lb>λον, ὅπου ἄν τις βιάζηται, μὴ παραχωρῇ κατεχόμενον ὑπὸ <lb n="20"></lb>τῶν ἀποτεταμένων ὅπλων. </s>
<s id="id.000349">ἐκ δὲ τοῦ ἄνω μέρους αὐτοῦ <lb n="21"></lb>πολύσπαστα ἐξάψαντες καὶ ἀποδιδόντες εἰς τὸ φορτίον <lb n="22"></lb>ἐπισπῶνται ἤτοι ἀπὸ χειρὸς ἢ εἰς ἐργάτας ἀποδόντες, εἰς <lb n="23"></lb>ὅταν μετεωρισθῇ τὸ φορτίον. </s>
<s id="id.000350">κἂν δέῃ τὸν λίθον ἐκτεθῆ-<lb n="24"></lb>ναι ἐπὶ τεῖχος ἢ ὅπου βούλεταί τις, ἐκλύσαντες ἓν τῶν <lb n="25"></lb><pb n="1134"></pb>ἐκδεννυμένων ἐκ τοῦ ἄκρου ὅπλων τὸ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη <lb n="1"></lb>τοῦ φορτίου κείμενον ἐγκλίνουσιν τὸ κῶλον, ἢ τὰς σκυ-<lb n="2"></lb>τάλας ὑποβάλλοντες ὑπὸ τὸ φορτίον ἐν τοῖς μέρεσιν, ἐν <lb n="3"></lb>οἷς ἡ σφενδόνη ἐν τῷ λίθῳ οὐκ ἐπείληται, χαλῶσι τὰ ἀγό-<lb n="4"></lb>μενα τῶν πολυσπάστων ἄχρι ἂν ἐπικαθίσῃ τὸ φορτίον ταῖς <lb n="5"></lb>σκυτάλαις, εἶτ&#039; ἐκλύσαντες τὴν σφενδόνην μοχλεύουσι τὸ <lb n="6"></lb>φορτίον ἄχρι οὗ εἰς ὃν βούλονται τόπον παράξωσιν. </s>
<s id="id.000351">εἶτα <lb n="7"></lb>πάλιν τὸ ὑποκείμενον τῷ κώλῳ ξύλον ὅπλῳ ἐπισπασάμενοι <lb n="8"></lb>ἀπὸ χειρὸς περιάγουσιν ἐπὶ ἕτερον μέρος τοῦ οἰκοδομήμα-<lb n="9"></lb>τος ἅμα ἀνιέντες τοὺς ἀποτόμους, καὶ πάλιν ἐκδήσαντες <lb n="10"></lb>χρῶνται, ὡς προείρηται. <lb n="11"></lb><pb></pb></s>
<s id="id.000352"></s></p>
</chap>
</body>
<back></back>
</text>
</archimedes>
author	Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de>
date	Wed, 29 Nov 2017 16:55:37 +0100
parents	22d6a63640c6
children