Mercurial > hg > mpdl-xml-content
view texts/archimedesOldCVSRepository/archimedes/raw/valer_centr_01_la_1604.raw @ 31:edf6e8fcf323 default tip
Removing DESpecs directory which deserted to git
| author | Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de> |
|---|---|
| date | Wed, 29 Nov 2017 16:55:37 +0100 |
| parents | 22d6a63640c6 |
| children |
line wrap: on
line source
<pb id="p.0001"> <HEAD>DE CENTRO GRAVITATIS SOLIDORVM LIBRITRES.</HEAD> <HEAD>LVCÆ VALERII <I>Mathematicæ, & Ciuilis Philo$ophiæ in Gymna$io Romano profe$$oris.</I></HEAD> <FIG> <HEAD>ROMÆ, Typis Bartholom ri Bonfadini. MDC IIII. SVPERIORVM PERMISSV.</HEAD> <!-- <pb> --> <pb> <p>Imprimatur <p>Si placet R. P. Magi$tro S. Palat<*> <p>B. Gyp$ius Vice$ger. <p><I>Imprimatur</I> <p><I>Fr. Io. Maria Bra$ichellen. Sacri Pal. Apostol. Magi$t.</I> <pb> <FIG> <HEAD>SANCTISSIMO DOMINO NOSTRO CLEMENTI VIII PONT. OPT. MAX.</HEAD> <FIG> <HEAD><I>Lucas Valerius perpetuam felicitatem.</I></HEAD> <p>Grata Principi munera, P. B. ex Philo$ophiæ late- bris deprompta, qua$i aurum $oli expo$itum illico $plen- dent, & publicæ vtilitatis $pem o$tendunt, magno or- nata præ$idio in primos liuo- ris impetus illius approbatione, cuius officium e$t alia à rep. auertere, alia imperare. Hinc por- rò factum e$t, vt omnis ferè $criptor exi$ti matio- nis periculum aditurus, aliquem ex principibus <foot>* 2</foot> <pb> viris $ibi deligat, cuius autoritate ip$i dicatum opus ab inuidorum mor$ibus $eruetur incolume. Hanc ergo con$uetudinem amanti mihi $anè feli- citer cecidit, vt tu $ola tua propria benignitate permotus in tuos me familiares vltro a$criberes. Siue eniming enij mei debilis partus magnā pa- troni de$iderat autoritatem: tu principum orbis terrarum princeps $emper digni$$imam principa- tu $apientiam præ$titi$ti. Seu tam elatæ dedica- tiones $olent alienas à $apientiæ $tudio $pes olere: lux tanti patrocinij, tuorum&qacute; veterum in me be- neficiorum, atram $u$picionem amouebit. Quòd verò ad vitam ip$ius operis attinet, quam nulla per te velim temporum permutatione terminari: vereor vt id $ua luce multis alijs vitali a$piciat illa, quæ tua $tudia, & res ge$tas omnium lin- guis, & litteris celebrabit æternitas. quantum enim tuam excel$am $u$picio dignitatem, tantum de$picor i$tius doni incredibilem cum illa com- parati humilitatem: neque id ni$i diuinitus cre- diderim perpetuam in tuis laudibus famam ha- biturum. Quare illud non $olum tibi diuini gre- gis anti$titi cupio gratum accidere, cuius auto- ritate protectum in tanta nouarum rerum po$t tam graues autores contemptione, minimo meo cum rubore in medium prodeat: $ed ip$i diuinita- ti ex voluntate donum expendenti, penes quam e$t æternitas, & cui primum dicata omnia e$$e oportet: vt hi, quostuis luminibus dignaris, de <pb> centro grauitatis $olidorum $terilis ingenij mei te$tes libelli à mortis æmula me obliuione defen- dant. Stomacharis hic, arbitror, quòd tantum $pectem de nihilo; $ed magis confe$$ionis impu- dentia. At verò non impetus animi ad gloriam, cuius nullum mihi natura $emen impartiuit ($it gloriæ loco ignauiæ fugi$$e dedecus) $ed tua er- ga me voluntas, meisapta $tudijs liberalitate te- $tata hunc ardorem expre$$it. Tanta enim e$t venu$tas tuæ virtutis ex mei meriti penuria, vt putem $ine me indice illam diminutum $ui $pecta- culum po$teris præbituram. Nihil ergo minus cogitans quàm quî tua beneficia cumulando per- turbatis iudicijs $atisfacerem, $cientia $cilicet, & virtute illa, qua maximè $uperbit eneruata, & are$cens Mundiætas; nullum opulentiæ meæ, ar- tis alienæ $pecimen pro munere gratiæ à te acce- pto partem tibi reddidi: $ed ingenij mei partum, qualis is cumque e$t; quod & grati animi quæ$i- tum monumentum crimine me audaciæ liberet, $i quodimpendeat, palam dedicaui. Alij tibi co- lumnas hone$ti$$imis titulis ornatas erigant: $ta tuas in foris collocent: magnificas ædes extruant, quarum in frontibus grandes marmoreæ tabulæ flammantibus auro $yderibus, & peregrinis lapi- dibus intextæ ea de te viuo referant $axum impu- dens, quæ verecunda hæc pagina prætermittit. Ego incredibilis tuæ benignitatis non tam gra- uia te$timonia, quæ loco moueri nequeant: $ed <pb> expeditum hunc nuntium in longi$$ima itinera de$tinaui. Quem quidem eo minus vereor ne non tu, quamobrem Telchines forta$$e aliqui in- $ectaturi, di$pari $is voluntate protecturus, quòd in his tàm reconditis naturæ arcanis geometrica demon$tratione patefactis, tanquam in $emine multiplicem præ$criptionem, ac normam e$$e in- telliges ip$e pacis inter tuos greges autor, lupi otomani terror, ciuili, & bellicæ architecturæ maximè nece$$ariam. Quòd que, cum ad theologi- cam quandam veritatem chri$tiano generi maxi- me $alutarem illu$trandam, per Philo$ophi<17> etiam campos $apientium hominum corona decoratus, nulla tantæ molis, quantam $u$tines negotiorum iactura lati$$imè vageris; nempe illam cre$cere, atque illu$trari indies magis ex optas, cuius con- $uetudine tantopere delectaris. Quod denique $cientiæ ciuilis ip$e periti$$imus omnium optimè intelligis, quanti referat ad humanæ $ocietatis for mam & candorem, regum, atque optimatum a- mor in $tudio$os bonarum litterarum. contrà au- tem ex de$pectione in hos cadente abijs, quorum mores pro legibus haberi $olent, no$ti commu- nem ingeniorum veternum, mox tyrannidem gi- gni, magna cu$tode adempta mode$tiæ imperi- tantium crebra ciuium $apientia, quæ prauis ti- morem efficit, melioribus pudorem, Quod $i meæ expectationi exitus re$pondebit, vt te hoc munu- $culo vel leuiter lætari $entiam; alia non iniucun- <pb> da ftatim proferam, qua PETRVS ALDOBRAN- DINVS tuus nepos, domi fori$que clari$$imus Cardinalis, cuius inter familiares itidem, bene- ficijs&qacute;ue deuinctos locum habeo, $uæ erga me hu- manitatis te$timonia ab inuidiæ $atellite & mi- ni$tra calumnia tueatur: quando duobus talibus viris animi mei captum beneficentia $ua pericli- tantibus, duplex periculum $ubire $um coactus. Sed iam verbo$æ epi$tolæ, & tuo fa$tidio finem im po$iturus peto à te vnum; vt tibi per$uadeas, me inter tuos famulos, quos ære proprio, & victu quo- tidiano liberaliter $u$tentas, eorum, qui pro te emori po$$unt, amore, con$tantia, fidelitate nemini planè concedere. Sic tua omnia præ$tanti$$ima facinora Princeps magnanime, & pietatis colu- men, Deus Opt. Max. tibi fortunet, quem ad ma- iores in dies res gerendas in longum æuum inco- lumen, felicemque con$eruet. Valet. <pb> <HEAD><G>*l*o*u*k*a *o*u*a*l*e*r*i*o*u *e*i*s *t*a *a*u*t*o*u *k*e*n*t*r*a</G></HEAD> <HEAD><G>s<*>cew=n b<*>ze/wn, e)pi/<*>mma</G>.</HEAD> <p><G>*pai/gnia filo<*>fois *loukas_ t<*> de ou/m<*>loka da/f<*>, *st<*>umo/nos e)gkela/ds <*>ei/<*>ona p<*>lu/<*>n</G>. <p><G>*dw=ron e(/pemya/ pe/<*>as d)<*>(ze_in ti_s <*>u_ <*>t) a)/d<*> *b<*>qoou/nhs bape/wn ph_ce <*>e/meqla fu/<*>s</G>. <p><G>*toi+s pe/zan au)ale/wn <*>ndw_n <*>i+/aya m<*>i/mnas, *me/my<*> mh\ p/wn tei/rea, mh\ <*>u/x<*></G>. <p><G>*toi_s pnos o)fruo/en plupza/gmonos o)/mma gila/<*>as, *be/ltion <*>gore/hs ke/rdos e(/deiza <*>d</G>. <p><G>*ei) de/ p tw_n <*>o(/<*>ws e<*>z<*>x<*>on eu)/<*>, *p<*>i\n qa/naps ma/zyh m): eu)/xom) <*>le/tw</G>. <p><G>*lne/zos ou) kle/yw xa/<*>n eu)/fzonos e)<*>omo/noi<*> *d<*>gm) a)glao\n, <*>, <*>nomes, kai\ patzi/d<*></G>. <p><G>*os de/ me laqzai<*>os dh/z<*>, kako/ep<*>os a)kou/o<*>, *lu<*>w_n h(=s fqonezh_s a)/zios purkai<*>h_s</G>. <p n=>1</p> <FIG> <HEAD>LVC AE VALER II DE CENTRO GRAVITATIS SOLIDORVM</HEAD> <HEAD><I>LIBER PRIMVS.</I></HEAD> <p>Propo$itum e$t mihi in hi$ce tribus li- bris, ò Geometra, cuiu$cumque figuræ $olidæ in geometria ratio haberi $olet, centrum grauitatis inuenire. Huius autem prouinciæ mihi $u$cipiendæ oc- ca$io fuit liber ille iam pridem editus Federici Commandini Vrbinatis, in quo cum ille corporum planis termi- nis definitorum; necnon cylindri, & coni, & fru$ti conici, & $phæræ, & $phæroidis centrum grauitatis o$tendi$$et; aliorum autem, quæ $uperficie mixta continentur vno co- noide parabolico tentato $yllogi$mi iactura operam per- didi$$et, ego $pe magis, ad quam vir ille exar$erat incita- <foot>A</foot> <p n=>2</p> tus, quàm deterritus lap$u, vehementerque dolens geo- metriæ partem tamdiu de$iderari cognitione digni$$imam; cum ante exercitationis cau$a omnium, quæ propo$ui $oli- dorum, excepto conoide parabolico, centra grauitatis aliis viis indaga$$em; po$tea non $olum parabolici, $ed ante me tentata nemini, hyperbolici conoidis, & fru$ti vtriu$que, & portionis vtriu$que conoidis, & portionis fru$ti, & hemi- $phærij, & hemi$phæroidis, & cuiu$libet portionis $phæ- ræ, & $phæroidis vno, & duobus planis parallelis ab$ci$$æ c&etilde;tra grauitatis adinueni, multa autem ex his duplici, quæ- dam triplici via. Taceo nunc alia eiu$dem generis, quæ cum vtilia, tum geometriæ $tudio$is non iniucunda, vt arbi- tror, futura in po$teriores libros di$tribuimus. Quòd autem aliquot propo$itiones, alias Archimedis lemmaticas, alias Commandini meis rationibus attuli demon$tratas; non tàm idcirco id fcci, ne meæ lucubrationes deperir&etilde;t, quàm quòd vel $tylo Euclidis magis con$onæ, vel ad percipiendum eo minus laborio$æ, quo ad inueniendum $unt difficiliores, vel meo propo$ito aptiores viderentur. Earum propo$itio- num, Archimedis duo $unt in primo libro, decimaquarta, & $eptima, & $ecunda pars vige$imæ; in $ecundo autem vna. Omne conoides parabolicum $e$quialterum e$$e coni ean- dem ba$im, & eandem altitudinem habentis. Comman- dini autem omnes in primo libro nouem; vige$ima tertia, & quinta: trige$ima $ecunda, tertia, quarta, $eptima, & nona: quadrage$ima prima, & $ecunda. Sed multa hic noua inue- nies ita ad præ$ens in$titutum nece$$aria, vt per $e tam&etilde; ip$a in geometria locum habere debeant, maxime verò tres pri- mæ $ecundi libri propo$itiones, quippe quibus magnam, ac perdifficilem geometriæ partem demon$tratione recta, & generali ad viam regiam redactam e$se intelliges. Ita Deus Opt. Max. cuius auxilio hæc feci, quibus prode$se alicui vehementer cupio, reliquis meis conatibus opem ferat. Sed ad definitiones accedamus. <p n=>3</p> <HEAD>DEFINITIONES.</HEAD> <HEAD>I.</HEAD> <p>Figuræ aliquæ planæ multilateræ centrum ha- bere dicuntur punctum illud, in quo omnes rectæ lineæ vel angulos oppo$itos iungentes bifariam $ecantur, vel ab angulis ductæ ad laterum op- po$itorum bipartitas $ectiones in ea$dem ra- tiones. <HEAD>II.</HEAD> <p>Circa diametrum e$t figura plana, in qua re- cta quædam, quæ diameter figuræ dicitur, omnes rectas alicui parallelas, à figura terminatas bi- fariam diuidit. <HEAD>III.</HEAD> <p>Octaedrum communiter dictum, e$t figura $oli- da octo triangulis binis parallelis, æqualibus, & $imilibus comprehen$a. <HEAD>IIII.</HEAD> <p>Polyedri regularis centrum dicitur punctum, in quo omnes rectæ lineæ, quæ ad angulos oppo- $itos pertinent bifariam diuiduntur. <foot>A 2</foot> <p n=>4</p> <HEAD>V.</HEAD> <p>Cuiu$libet figuræ grauis centrum grauitatis e$t punctum illud, à quo $u$pen$um graue per$e manet partibus quomodocumque circa con$ti- tutis. <HEAD>VI.</HEAD> <p>Axis pri$matis, & pyramidis & eius fru$ti di- citur recta linea, quæ in pyramide à vertice ad ba$is centrum figuræ vel grauitatis pertinet: in reliquis autem, quæ ba$ium oppo$itarum figuræ vel grauitatis centra iungit. <HEAD>VII.</HEAD> <p>Si qua figura $olida planis parallelis ita $eca- ri po$$it, vt quæcumque $ectiones centrum ha- beant, & $int inter $e $imiles; aliqua autem recta linea, $iue ad centra ba$ium oppo$itarum prædi- ctis $ectionibus parallelarum, & $imilium, vt in cylindro; $iue ad verticem, & centrum ba$is ter- minata, vt in cono, hemi$phærio, & conoide, tran- $eat per centra omnium prædictarum $ectionum; ea talis figuræ axis nominetur: ip$a autem figura, $olidum circa axim. Quæ $i vel vnam tantum ha- beat ba$im, vel duas inæquales, & parallelas: dua- rum autem quarumlibet prædictarum $ectionum vertici, vel minori ba$i propinquior $it minor re- <p n=>5</p> motiori; $olidum circa axem in alteram partem de ficiens nominetur: quo nomine $ignificari etiam volumus ea $olida, quorum quælibet $ectiones ba$i parallelæ quamuis ba$i non $int omnino $imi- les, tamen ijs figuris deficiunt, quæ $unt $imiles ha$i, ac totis ijs, à quibus ip$æ ablatæ intelli- guntur, ita vt tota figura & ablata habeant com- mune centrum in vna recta linea ad centrum ba- $is terminata, quæ & ip$a talis $olidi axis nomi- netur. <p>Vt in figura, $olidi ABDC deficientis $olido CED ba$is e$t circulus AB, terminus ba$i oppo$itus circum- ferentia circuli CMD. axis communis omnibus EF, per cuius quodlibet punctum I plano ba$i AB paralle- lo $ecante $olidum ABDC, & ablatum CED, & re- $iduum, e$t totius $ectio circulus G H, ablati vero cir- culus KL, & re$i- dui $ectio reliquum circuli GH dem- pto circulo KL. quarum $ectionum omnium centrum commune e$t I. Quod $i $uper duos <FIG> circulos GH, KL circa axem communem EI cylin- dri de$cribantur, (erunt autem eiu$dem altitudinis) erit reliquum cylindri GB, dempto cylindro cuius ba$is KL, axis EI, con$titutum $uper ba$im G, <I>K</I>, & circa axim EI, quæ $uo loco expectatur cogitatio. <p n=>6</p> <HEAD>POSTVLATA.</HEAD> <HEAD>I.</HEAD> <p>Omnis figuræ grauis vnum e$$e centrum gra- uitatis. <HEAD>II.</HEAD> <p>Omnium figurarum $ibi mutuo congruentium centra grauitatis mutuo $ibi congruere. <HEAD>III.</HEAD> <p>Omnis figuræ, cuius termini omnis cauitas e$t interior, intra terminum e$$e centrum graui- tatis. <HEAD>IIII.</HEAD> <p>Similium triangulorum $imiliter po$ita e$se centra grauitatis. In triangulis autem $imilibus $imiliter po$ita puncta e$$e dicuntur, à quibus re- ctæ ad angulos æquales ductæ cum lateribus ho- mologis angulos æquales faciunt. <HEAD>V.</HEAD> <p>Æqualia grauia ab æqualibus longitudinibus $ecundum centrum grauitatis $u$pen$a æquipon- derare. <HEAD>VI.</HEAD> <p>A quibus longitudinibus duo grauia æquipon derant, ab ij$dem alia duo quælibet illis æqualia æquiponderare. <p n=>7</p> <HEAD>PROPOSITIO PRIMA.</HEAD> <p>Si $int quotcumque magnitu- dines inæquales deinceps proportionales; exce$$us, qui bus differunt deinceps pro- portionales erunt, in propor- tione totarum magnitudi- num. <p>Sint quotcumque inæquales magnitudines deinceps proportionales AB, CD, EF, & G, differentes exce$$ibus BH, DK, FL, mi- nima autem $it G. Dico BH, DK, FL, deinceps proportionales e$se in proportio- ne, quæ e$t AB, ad CD, $eu CD, ad EF. Quoniam enim e$t vt AB, ad CD, ita CD ad EF; hoc e$t vt AB, ad AH, ita CD, ad CK, permutando erit, vt AB, ad CD, ita AH, ad CK: vt igitur tota AB, ad totam CD, ita reliqua BH, ad reliquam DK. Simili- ter o$tenderemus e$se vt CD ad EF, ita DK ad FL; vt igitur BH ad DK, ita erit DK ad FL, in proportione, quæ e$t AB ad CD, & CD ad EF. Quod demon$tran- dum erat. <FIG> <p n=>8</p> <HEAD><I>PROPOSITIO II.</I></HEAD> <p>In omni triangulo vnum dumtaxat punctum e$t, in quo rectæ ab angulis ad latera incidentes $ecant $e$e in ea$dem rationes. & $egmenta, quæ ad angulos, $unt reliquorum dupla. & prædictæ incidentes $ecant trianguli latera bifariam. <p>Sit triangulum ABC, cuius duo quælibet latera AB, AC, $int bifariam $ecta in punctis D, E, & ductæ rectæ lineæ BE, CFD, AFG. Dico CF duplam e$$e ip$ius FD, & AF, ip$ius FG, & BF, ip$ius FE. Et in nullo alio puncto à puncto F tres rectas ab angulis ad latera inciden- tes $ecare $e $e in ea$dem rationes. Et reliquum latus BC $ectum e$$e bifariam in puncto G. Quoniam enim e$t vt BA ad AD, ita CA ad AE: hoc e$t, vt triangulum ABC ad triangulum ADC, ita triangulum idem ABC ad trian- gulum AEB; æqualia erunt triangula ADC, AEB, & ablato trape- zio DE communi re- liquum triangulum BD F reliquo triangulo C EF æquale erit: $ed triangulum ADF e$t æquale triangulo BDF; & triangulum AFE triangulo EFC, pro- pter æquales ba$es, & <FIG> communes altitudines; totum igitur triangulum AFB toti AFC, triangulo æquale erit: $ed vt triangulum AFB <p n=>9</p> ad triangulum FBG, hoc e$t vt AF ad FG, ita e$t triangulum AFC ad triangulum FCG; triangulum er- go FBG triangulo FCG æquale erit, & ba$is BG ba- $i GC æqualis. Quoniam igitur & AE e$t æqualis EC, $imiliter vt ante, o$tenderemus, triangulum BCF, triangulo ACF, eademque ratione triangulum ABF, triangulo BCF æquale e$$e: igitur vnumquodque trian- gulorum ABF, ACF, BCF, tertia pars e$t trianguli ABC: $ed vt triangulum ABC, ad triangulum BCF, ita e$t AG, ad GF; tripla igitur e$t AG ip$ius GF, ac proinde AF, ip$ius FG dupla. Eadem ratione BE, ip$ius FE, & CF, ip$ius FD, dupla concludetur. <p>Sed $int $i fieri pote$t, trianguli ABC duo centra qua- lia diximus D, E: & ab ip$is ad $ingulos angulos du- cantur binæ rectæ lineæ: & eadat D in aliquo trian gulo BEC. Quoniam igitur D e$t centrum trian guli ABC erit triangu- lum BDC tertia pars trianguli ABC. Eadem ratione triangulum BEC tertia pars erit trianguli ABC; triangulum ergo DBC æquale erit trian- gulo BEC pars toti, quod fieri non pote$t, atqui id&etilde; <FIG> ab$urdum $equitur, $i punctum D cadat in aliquo latere triangulorum, quorum vertex E; Manife$tum e$t igitur propo$itum. <foot>B</foot> <p n=>10</p> <HEAD><I>PROPOSITIO III.</I></HEAD> <p>In $imilibus triangulis rectæ lineæ, quæ inter centra, & alia in ijs $imiliter po$ita puncta in- terijciuntur, proportionales $unt in proportione laterum homologorum. <p>Sint triangula $imilia, & $imiliter po$ita ABC, DEF, quorum $int centra O, P, in ijs autem triangulis $int pun- cta $imiliter po$ita K, L, quæ cadant primum in rectis BG, EH, quæ ab angulis æqualibus B, E, ba$es bifa- riam diuidunt. Dico e$$e OK ad PL, vt e$t latus AB, ad latus DE. iunctis enim AK, KC, DL, LF, quo- <FIG> niam angulus KAC, æqualis e$t angulo LDF, & angu- lus KCA, angulo LFD, ob $imiliter po$ita puncta K, L, triangulum AKC, triangulo LDF $imile erit, & vt KA ad AC, ita LD ad DF: $ed vt CA ad AG, ita e$t FD ad DH, expræcedenti; vt igitur KA, ad AG ita erit LD, ad DH, circa æquales angulos: $imilia igi- tur $unt triangula AGK, DHL, & angulus AGK, <p n=>11</p> æqualis angulo DHL, & vt KG, ad GA, ita LH, ad HD: $ed vt GA, ad AC, ita e$t HD ad DF: & vt AC ad AB, ita DF ad DE, ex æquali igitur erit vt KG ad AB, ita LH ad DE: $ed vt AB ad BG, ita e$t DE ad EH, propter $imilitudinem triangulorum ABG, DEH: & vt BG ad GO ita e$t EH ad HP, propter triangulorum centra O, P; ex æquali igitur erit vt KG ad GO, ita LH ad HP: & permutando vt OG ad PH, ide$t vt BG ad EH, ide$t vt AB ad ED, ita KG ad LH, & reliqua OK ad reliquam PL. <p>Sed $int puncta $imiliter po$ita M, N, quæ cadant ex- tra lineas BG, EH, iunctæque OM, PN. Dico iti- dem e$se vt AB ad ED, ita OM ad PN. Iungantur enim rectæ MB, NE, quæ cum quibus lateribus homo- logis angulos æquales faciunt, ea $int AB, DE, quod propter i$o$celia triangula $it dictum in $imiliter po$itis triangulis. igitur etiam angulus BAM, æqualis erit an- gulo EDN; $imilia igitur triangula ABM, DEN: & vt MB ad BA, ita erit NE ad ED: $ed vt AB ad BG, ita e$t DE ad EH, propter $imilitudinem trian- gulorum, & vt BG ad BO, ita e$t EH ad EP, ob triangulorum $imilium centra O, P: ex æquali igitur erit vt MB, ad BO, ita NE ad EP. Rur$us quo- niam angulus ABM, æqualis e$t angulo DEN, quorum angulus ABG, æqualis e$t angulo DEH: erit reliquus angulus OBM, æqualis reliquo angulo PEN: $ed vt MB ad BO, ita erat NE ad EP; triangulum igitur OBM triangulo PEN, $imile erit, & vt BO ad EP, hoc e$t BG ad EH, hoc e$t AB ad DE, ita OM ad PN. Quod demon$trandum erat. <foot>B 2</foot> <p n=>12</p> <HEAD><I>PROPOSITIO IV.</I></HEAD> <p>Datis duobus triangulis $calenis $imilibus, & dato puncto in altero eorum, vnum duntaxat pun- ctum in reliquo triangulo prædicto puncto $imi- liter po$itum pote$t inueniri. <p>Sint data duo triangula $calena $imilia ABC, DEF, & in triangulio ABC datum punctum G: $int autem hæc triangula $imiliter po$ita. Dico in triangulo DEF, vnum duntaxat punctum puncto G $imiliter po$itum in- ueniri po$se. Iunctis enim AG, BG, GC, ponatur angulus EDH, æqualis angulo BAG, & angulus DEH, <FIG> æqualis angulo ABG, & HF iungatur. Manife$tum e$t igitur ex præcedentis Theorematis demon$tratione, triangula EDH, HDF, FEH, $imilia e$se triangulis BAG, GAC, CBG, prout inter $e re$pondent po$i- tione, quorum $ex triangulorum binis quibu$que binæ ba- $es homologæ re$pondent: AB ED, AC DF, BC <p n=>13</p> EF. quæ $untin latera homologa duorum triangulorum ABC, DEF. Ex definitione igitur, duo puncta G, H, in triangulis ABC, DEF, $imiliter po$ita erunt. At enim $i fieri pote$t $it aliud punctum K, in triangulo DEF, $imiliter po$itum puncto G. Vel igitur punctum K in aliquo triangulorum, quorum e$t communis vertex H, vel in aliquo eorundem latere cadet. cadat in latere FH, & iungatur DK: triangulum ergo DFK, $imile erit triangulo ACG. Sed & triangulum EDF, $imile e$t triangulo BAC; vtraque igitur horum ad illorum $i- bi re$pondens triangulorum duplicatam eorundem late- rum homologorum AC, DF, habebunt proportionem: vt igitur e$t triangulum EDF, ad triangulum BAC, ita erit triangulum DFK, ad triangulum ACG: & per- mutando, vt triangulum ACG, ad triangulum ABC, ita triangulum DFK, ad triangulum EDF: eadem ra- tione, vt triangulum ACG, ad triangulum ABC, ita erit triangulum DFH, ad triangulum DEF: vt igitur triangulum DFK, ad triangulum EDF; ita erit trian- gulum DFH, ad triangulum EDF; triangulum ergo DFK, triangulo DFH, æquale erit, pars toti, quod e$t ab$urdum: idem autem ab$urdum $equeretur, $i punctum <I>K</I>, poneretur in aliquo prædictorum triangulorum, vt in triangulo DFH; Non igitur aliud punctum à puncto H, in triangulo EDF, $imiliter po$itum erit puncto G. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO V.</I></HEAD> <p>Cuilibet figuræ planæ rectangulum æquale pote$t e$$e. <p n=>14</p> <p>Sit quælibet figura plana A. Dico figuræ A, rectan- gulum æquale po$se exi$tere. Exponatur enim rectan- gulum BC, cuius latus BD, in infinitum producatur ver$us E. Quoniam igitur e$t vt rectangulum BD, ad planam figuram A, ita recta BD, ad aliquam lineam rectam $it vt BC, ad A, ita BD, ad DE, & comple- atur rectan- gulum EC. Quoniam igi tur e$t vt BD ad DE, ita rectangulum BC, ad figu- ram A: $ed vt BD, ad DE, ita e$t <FIG> rectangulum BC, ad rectangulum CE; vt igitur re- ctangulum BC, ad figuram A, ita e$t rectangulum BC, ad rectangulum CE; rectangulum ergo CE, fi- guræ A, æquale erit. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO VI.</I></HEAD> <p>Omni figuræ circa diametrum in alte ram par- tem deficienti figura quædam ex parallelogram- mis æqualium altitudinum in$cribi pote$t, & al- tera circum$cribi, ita vt circum$cripta $uperet in- $criptam minori $pacio quantacumque magnitu- dine propo$ita. Semper autem in $imilibus intelli- ge, eiu$dem generis. <p>Sit figura plana ABC circa diametrum AD, ad par- <p n=>15</p> tes A deficiens, cuius ba$is BC. Dico fieri po$se quod proponitur: ducta enim per verticem figuræ A, ba$i BC, parallela, atque ideo figuram ip$am contingente, ab$ol- uatur parallelogrammum BL, $ectaque diametro AD, bifariam, & $ingulis eius partibus $emper bifariam, du- cantur per puncta $ectionum rectæ lineæ ba$i BC, & in- ter $e parallelæ, atque ita multiplicatæ $int $ectiones, vt $ecti parallelogrammi in parallelogramma æqua- lia, & eiu$dem altitudinis quælibet pars, vt paralle- logrammum BF, $it minus $uperficie propo$ita, cu- ius parallelogram- mi latus EF, $e- cet figuræ termi- num BAC, in punctis GH, & diametrum AD, in puncto K. erit igi- tur GK, æqualis KH: per omnia igitur puncta $e- ctionum termini <FIG> BAC, quæ à prædictis fiunt lineis parallelis, $i ducan- tur diametro AD parallelæ, figura quædam ip$i ABC, in$cribetur, & altera circum$cribetur ex parallelogram- mis æqualium altitudinum. Dico harum figurarum in$criptam $uperari à circum$cripta minori $pacio $uper- ficie propo$ita. Quoniam enim omnia parallelogramma, quibus figura circum$cripta $uperat in$criptam $imul $um- pta $unt æqualia BF parallelogrammo: $ed parallelo- grammum BF, e$t minus $uperficie propo$ita: exce$$us igitur quo figura circum$cripta in$criptam $uperat, minor erit $uperficie propo$ita. Fieri igitur pote$t, quod propo- nebatur. <p n=>16</p> <HEAD><I>PROPOSITIO VII.</I></HEAD> <p>Pyramides $imilibus, & æqualibus triangulis comprehen$æ inter $e $unt æquales. <p>Sint pyramides ABCD, EFGH, $imilibus, & æqua- libus triangulis comprehen$æ, & $i $int $imiliter po$itæ, qua- rum vertices A, E, ba$es autem triangula BCD, FGH. Dico pyramidem ABCD, pyramidi EFGH, æqualem e$se. A punctis enim A, E, manantia latera inferius pro- ducantur, & prædictis lateribus maiores, inter $e autem æquales ab$cindantur AK, AL, AM, EN, EO, EP, <FIG> & con$truantur pyramides AKLM, ENOP: pyramides igitur hæ æqualibus, & $imilibus triangulis comprehenden tur, vt colligitur ex ip$a con$tructione; triangulis igitur inter $e æquilateris, & æquiangulis KLM, NOP, inter $e con- gruentibus non congruat, $i fieri pote$t, pyramis ENOP, pyramidi AKLM, $ed cadat vertex E, pyramidis ENOP, extra verticem A, pyramidis AKLM, & ex puncto A, <p n=>17</p> ad centrum circuli tran$euntis per tria puncta K, L, M, quod $it R, ducatur recta AR, & ER iungatur. Quoniam igi- tur æquales rectæ $unt AK, AL, AM, quæ ex puncto A, in $ublimi pertinent ad $ubiectum planum: & punctum R, e$t centrum circuli tran$euntis per puncta N, O, P; cadet recta AR ad $ubiectum planum perpendicularis. Eadem ratione recta ER ducta à vertice E, pyramidis ENOP, ad centrum R, circuli tran$euntis per puncta N, O, P, hoc e$t, per puncta K, L, M, illis congruentia, cadet ad idem planum, ad quod linea AR, perpendicularis; ita que ab eodem puncto R, ad idem planum, & ad ea$dem partes duæ perpendiculares erunt excitatæ, quod fieri non pote$t: punctum igitur E non cadet extra punctum A: quare la- tus EN, congruet lateri AK, quorum EF, e$t æqualis AK; igitur & EF, ip$i AB, congruet. eadem ratione la- tus AG, congruet lateri AC, & latus EH, lateri AD, & triangula triangulis, & pyramis EFGH, pyramidi ABC D, & ip$i æqualis erit. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>COROLLARIVM.</I></HEAD> <p>Hinc facile colligitur omnia $olida, quæ in py ramides æqualibus, & $imilibus triangulis com- prehen$as multitudine æquales diuidi po$$unt, e$ $e inter $e æqualia. Quocirca omnia pri$mata, & pyramides, & octahedra, omnia denique corpora regularia æqualibus, & $imilibus planis compre- hen$a inter $e æqualia erunt. <HEAD><I>PROPOSITIO VIII.</I></HEAD> <p>Omnis pyramidis triangulam ba$im habentis quatuor axes $ecant $e in vno puncto in ea$dem ra- <foot>C</foot> <p n=>18</p> tiones, ita vt $egmenta, quæ ad angulos, eo- rum, quæ ad oppo$ita triangula, $int tripla; ex quo puncto tota pyramis diuiditur in quatuor pyrami des æquales. Et in nullo alio puncto quatuor re- ctæ lineæ ductæ ab angulis ad triangula oppo$ita pyramidis $ecant $e$e in ea$dem rationes. Vocetur autem punctum hoc centrum dictæ pyramidis. <p>Sit pyramis ABCD, cuius vertex A, ba$is autem triangulum BCD, axes AE, BM, CL, DN, vnde qua- tuor triangulorum, quæ $unt circa pyramidem ABCD, centra erunt grauitatis E, L, M, N. Dico quatuor li- neas AE, BM, CL, DN, $ecare $e $e in vno puncto in ea$dem rationes, quas prædixi, & quæ $equuntur. Nam ex puncto A, ducatur recta ALH, quæ ob trianguli ABD, centrum L, $ecabit latus BD, bifariam in puncto H; iun- cta igitur CE, & producta conueniet cum ALH, vt in puncto H. eadem ratione iunctæ AM, BE, & productæ conuenient in medio lateris CD, conueniant in puncto K, necnon AN, DE, in medio ip$ius BC, vt in puncto G. Quoniam igitur ob triangulorum centra, e$t vt CE ad EH, ita AL ad LH, dupla enim e$t vtraque vtriu$que, $eca- bunt $e$e rectæ AE, CL, inter ea$dem parallelas; quare vt AF ad FE, ita erit CF ad FL, circum æquales angu los ad verticem: triangula igitur AFL, CFE; & reci- proca, & æqualia inter $e erunt. Cum igitur $it vt AL ad LH, ita CE ad EH, hoc e$t vt triangulum AFL ad triangulum FLH, ($i ducatur FH) ita triangulum CFE, ad triangulum FEH, erunt inter $e æqualia triangula FEH, FLH. Quare vt triangulum AFH, ad triangu- lum FLH, hoc e$t vt AH ad HL, ita erit triangulum AFH ad triangulum FEH, hoc e$t AF ad FE: $ed re- cta AH, e$t tripla ip$ius LH; igitur & AF, erit ip$ius FE, <p n=>19</p> tripla: $ed vt AF, ad FE, ita e$t CF, ad FL; tripla igi- tur erit CF, ip$ius FL. Similiter o$tenderemus rectas AE, BM, $ecare $e $e in ea$dem rationes, ita vt $egmen- ta, quæ ad angulos, $int tripla eorum, quæ $unt ad centra E, M, quorum AF, e$t tripla ip$ius FE: in puncto igitur F, $ecant $e rectæ lineæ AE, BM. Eadem ratione & re ctæ AE, DN, $ecent $e in puncto F, nece$se erit: quare vt AF ad FE, ita erit DF ad FN. Quatuor igitur axes pyramidis ABCD, $ecant$e $e in puncto F, in ea$- dem rationes, ita vt $egmenta ad angulos, $int reliquorũ tripla. Rur$us, quia compo- nendo, & conuerten- do, e$t vt FE ad EA, ita FL ad LC: hoc e$t, vt pyramis BCD F, ad pyramidem A BCD, ita pyramis ABDF, ad pyrami- dem CBDA, (pro- pter ba$ium commu- nitatem, & vertices in eadem recta linea) erit <FIG> pyramis ABDF, æqualis pyramidi BCDF. Eadem ra- tione tam pyramis ACDF, quàm pyramis ABCF, æqua lis e$t pyramidi BCDF. Quatuor igitur pyramides, qua- rum communis vertex punctum F, ba$es autem triangula, quæ $unt circa pyramidem ABCD, inter $e æquales erũt, & vnaquæque pyramidis ABCD, pars quarta. Dico in nullo alio puncto à puncto F, quatuor rectas, quæ ab an- gulis ad triangula oppo$ita pyramidis ABCD, ducantur, $ecare $e in ea$dem rationes. Si enim fieri pote$t $ecent $e tales rectæ in ea$dem rationes in alio puncto S. Simi- <foot>C 2</foot> <p n=>20</p> liter igitur vt ante o$tenderemus, vnamquamque qua- tuor pyramidum, quarum communis vertex S, ba$es au- tem triangula, quæ $unt circa pyramidem ABCD, e$se quartam partem pyramidis ABCD. Siue igitur pun- ctum S, cadat intra vnam priorum quatuor pyrami- dum, $iue in earum aliquo latere, $eu triangulo; nece$- $ario erit pars æquali toti; tam enim tota vna pyramis quatuor priorum, quarum communis vertex F, quàm eius pars, vna quatuor pyramidum po$teriorum, quarum com- munis vertex S, erit eiu$dem ABCD, pyramidis pars quarta. Ex ab$urdo igitur non in alio puncto à puncto F $ecabunt $e in ea$dem rationes quatuor rectæ, quæ ab angu lis ad oppo$ita triangula pyramidis ABCD, ducantur. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO IX.</I></HEAD> <p>Omnis pyramis ba$im habens triangulam di- uiditur in quatuor pyra mides æquales, & $imiles inter $e, & toti, & vnum octaedrum totius pyrami- dis dimidium, ip $i que concentricum. <p>Sit pyramis ABCD, cuius ba$is triangulum ABC, $ectisque omnibus lateribus bifariam, iungantur rectæ FG, GH, HF, FK, KL, LM, M<I>K</I>, KH, HM, GL, LF. Dico quatuor pyramides DKLM, LFBG, KHFA, MHGC, æquales e$se, & $imiles inter $e, & toti pyrami- di ABCD: octaedrum autem e$se LFGM<I>K</I>H, & di- midium pyramidis ABCD, ip$ique concentricum. Du- cantur enim rectæ DNH, BQH, LN: & po$ita BE, du pla ip$ius BH, iungatur DOC, in triangulo DBH, & ponatur DP, ip$ius PE, tripla, & connectantur rectæ LP, PH. Quoniam igitur E, e$t centrum trianguli ABC, <p n=>21</p> erit axis DE, pyramidis ABCD, cuius axis $egmentum DP e$t triplum ip$ius PE: igitur P centrum erit pyra- midis ABCD. Et quoniam tres rectæ FK, KH, HF, $unt parallelæ tribus BD, DC, CB, pro vt inter $e re$pon dent, vt KH, ip$i LG, quoniam vtraque lateri DC, ob latera triangulorum $ecta proportionaliter in punctis K, H, L, G: & $ic de reliquis; erit pyramis A<I>K</I>FH, $imilis toti pyramidi ABCD. Similiter vnaquæque trium aliarum pyramidum ab$ci$$arum, videlicet FLBG, GHMC, KDLM, $imilis erit pyramidi ABCD, atque ideo in- ter $e $imiles. Rur$us, quoniam pyramidum $imilium latus AD e$t duplum lateris AK, ho mologi; pyramis AB- CD, octupla erit py- ramidis AKFH, ob triplicatam laterum ho mologorum proportio nem. Similiter vna- qũæque trium reliqua- rum pyramidum ab$ci$ $arum erit octaua pars pyramidis ABCD; <FIG> quatuor igitur pyramides ab$ci$$æ $imul $umptæ dimi- dium erit pyramidis ABCD: & reliquum igitur $oli- dum demptis quatuor pyramidibus, dimidium pyramidis ABCD. Dico reliquum $olidum LKMGFH, e$$e octaedrum. Nam octo triangulis ip$um contineri mani- fe$tum e$t. bina autem oppo$ita e$$e parallela, & æqualia, & $imilia, $ic o$tendimus. Quoniam enim triangulum FGH, e$t in plano trianguli ABC, plano trianguli KLM parallelo; erit triangulum FGH, parallelum triangu- <p n=>22</p> lo KLM: $ed triangulum FGH, e$t $imile triangulo ABC, & triangulum KLM, $imile eidem triangulo ABC; triangulũ ergo FGH, $imile erit triangulo KLM: $ed & æquale propter æqualitatem laterum homologo- rum. Similiter o$tenderemus reliquum $olidum LKM GFH continentia triangula bina oppo$ita æqualia inter $e, & $imilia, & parallela; octaedrum e$t igitur LKMGFH. Dico iam punctum P, quod e$t cen- trum pyramidis ABCD, e$se centrum octaedri L<I>K</I> MGFH. Quoniam enim DP, ponitur tripla ip$ius PE, & DO, e$t æqualis OE ($iquidem planum trianguli KLM, plano triãguli ABC, paralle lum $ecat proportione o&etilde;s rectas lineas, quæ ex puncto D, in $ubli- mi pertinent ad $ubie- ctum planum trianguli ABC) erit OP, ip$i PE, æqualis. Et quo- niam BH e$t dupla ip$ius QH, quarum BE e$t dupla ip$ius <FIG> EH, $iquidem E e$t centrum trianguli ABC; erit reli- qua EH reliquæ EQ dupla: & quia e$t vt LD ad DB, ita LN ad BH, propter $imilitudinem triangulorum, & e$t LD, dimidia ip$ius BD, erit & LN, dimidia ip$ius BH: $ed QH e$t dimidia ip$ius BH; æqualis igitur LN ip$i QH. Iam igitur quia e$t vt BE ad EH, ita LO ad ON: $ed BE, e$t dupla ip$ius EH; dupla igi- tur LO, erit ip$ius ON: $ed & QH erat dupla ip$ius QE; vt igitur LN ad NO, ita erit HQ ad QE: & <p n=>23</p> per conuer$ionem rationis, vt NL ad LO, ita QH, ad HE: & permutando, vt LN ad QH, ita LO ad EH: $ed LN, o$ten$a e$t æqualis QH; æqualis igitur LO, erit ip$i EH; $ed & OP, e$t æqualis ip$i PE, vt o$ten- dimus: duæ igitur LO, OP, duabus HE, EP æqua- les erunt altera alteri, & angulos æquales continent LOP, PEH, parallelis exi$tentibus LN, BH $ectionibus tri- anguli DBH, quæ fiunt à duobus planis parallelis; ba- $is igitur LP, trianguli LOP, æqualis e$t ba$i PH, trianguli PEH, & angulus OPL, angulo EPH in pla- no trianguli DBH, in quo DPE, e$t vna recta linea; igitur LPH, erit vna recta linea, quæ cum $it axis octa- edri LKMGFH, & $ectus $it in puncto P, bifariam, erit punctum P, centrum octaedri LKMGEH. $ed & centrum pyramidis ABCD. Manife$tum e$t igitur pro- po$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO X.</I></HEAD> <p>Omne fru$tum pyramidis triangulam ba$im habentis, $iue coni, ad pyramidem, vel conum, cu- ius ba$is e$t eadem, quæ maior ba$is fru$ti, & ea- dem altitudo, eam habet proportionem, quam duo latera homologa, vel duæ diametri ba$ium ip$ius fru$ti, vnà cum tertia minori proportionali ad prædicta duo latera, vel diametros; ad maioris ba- $is latus, vel diametrum. Ad pri$ma autem, vel cylindrum, cuius eadem e$t ba$is, quæ maior ba$is fru$ti, & eadem altitudo; vt tres prædictæ deìn- ceps proportionales $imul, ad triplam lateris, vel diametri maioris ba$is. <p n=>24</p> <p>Sit fru$tum ABCFGH, pyramidis, vel coni ABCD, cuius ba$is triangulum, vel circulus ABC, axis autem DE: & vt e$t AC ad FH, ita $it FH ad N, & fru- $ti axis EK, nec non idem pyramidis, vel coni AB CK, vt $it eadem altitudo. Dico fru$tum ABCF GH, ad pyramidem, vel conum, ABCK, e$se vt tres lineas AC, FH, NO, $imul ad ip$ius AC, tri- plam: ad pri$ma autem, vel cylindrum, cuius ba$is ABC, altitudo autem eadem cum fru$to, vttres AC, FH, NO, $imul, ad ip$ius AC, triplam. Nam vt e$t AC ad FH, & FH ad NO, ita $it NO ad P: & exce$$us, quo hæ <FIG> quatuor lineæ differunt, $int AL, FM, OQ. Ergo vt AC ad FH, ita erit AL ad FM, & FM ad OQ. Quoniam igitur e$t vt AC ad P, ita pyramis, vel conus ABCD, ad $imilem ip$i pyramidem, vel conum DFGH, ob triplicatam laterum homologorum proportionem; erit diuidendo, vt tres AL, FM, OQ, $imul ad P, ita fru- $tum ABCFGH, ad pyramidem, vel conum DFGH: $ed conuertendo e$t vt P, ad AC, ita pyramis, vel conus DFGH, ad pyramidem, vel conum ABCD: ex æquali igitur, vt tres AL, FM, OQ, $imul ad AC, ita fru$tum <p n=>25</p> ABCDFGH, ad pyramidem, vel conum ABCD. Rur$us quoniam axis DE, & latera pyramidis, vel coni ABCD, $ecantur plano trianguli, vel circuli FGH, ba$i ABC, parallelo; erit componendo, vt AD, ad DF, hoc e$t, vt AC ad FH, propter $imilitudinem triangulorum, hoc e$t vt AC, ad CL, ita ED, ad DK; & per conuer- $ionem rationis, vt AC, ad AL, ita DE, ad EK: $ed vt DE ad EK, ita e$t pyramis, vel conus ABCD, ad py- ramidem, vel conum ABCK; vt igitur AC, ad AL, ita e$t pyramis, vel conus ABCD, ad pyramidem, vel conum ABCK; $ed vt tres lineæ AL, FM, OQ $imul ad AC, ita erat fru$tum ABCFGH, ad pyramidem, vel conum ABCD; ex æquali igitur, erit vt tres lineæ AL, FM, OQ, $imul ad AL, ita fru$tum ABCFGH, ad pyramidem, vel conum ABCK. Rur$us, quoniam tres exce$$us AL, FM, OQ, $unt deinceps proportio- nales in proportione totidem terminorum AC, FH, NO, erunt vt AL, FM, OQ, $imul ad AL, ita AC, FH, NO, $imul ad AC: $ed vt AL, FM, OQ, $im ul ad AL, ita erat fru$tum ABCFGH, ad pyamidem, vel conum ABCK; vt igitur tres lineæ AC, FH, NO, $i- mul, ad AC, ita erit fru$tum ABCFGH, ad pyrami- dem, vel conum ABCK. Sed vt AC, ad $ui triplam, ita e$t pyramis, vel conus ABCK ad pri$ma, vel cylindrum, cuius e$t eadem ba$is ABC, & eadem altitudo cum py- ramide, vel cono ABCK; ex æquali igitur, erit vt tres lineæ AC, FH, NO, $imul ad ip$ius AC, triplam, ita fru$tum ABCFGH, ad pri$ma, vel cylindrum, cu- ius ba$is ABC, & eadem altitudo pyramidi, vel cono ABCK: ide$t eadem, fru$to ABCFGH. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <foot>D</foot> <p n=>26</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XI.</I></HEAD> <p>Omni $olido circa axim in alteram partem defi cienti, cuius ba$is $it circulus, vel ellyp$is, figura quædam ex cylindris, vel cylindri portionibus æqualium altitudinum in$cribi poteft, & altera circum$cribi, ita vt circum$cripta $uperet in$cri- ptam minori exce$$u quacumque magnitudine propo$ita. <p>Sit $olidum ABC, circa axim AD, in alteram par- tem deficiens, cuius vertex A, ba$is autem circulus, vel ellyp$is, cuius diameter BC. Igitur $uper hanc ba$im circa axim AD, intelligatur de$eri ptus cylindrus, vel cylindri portio BL, quæ $olidum ABC, compre- hendet: $ectoque cylindro, vel cylin dri portione BL, planis ba$i paralle <FIG> lis in tot cylindros, vel cylindri portiones æqualium al- ritudinum, vt quilibet eorum $it minor magnitudine propo$ita; e$to $olidum ABC, $ectum prædictis planis: erunt autem $ectiones circuli, vel ellyp$es fimiles inter $e & ba$i BC, $olidi ABC $uper quas $ectiones tam- quam ba$es cylindris, vel cylindri portionibus æqua- lium altitudinum intra, atque extra figuram con$titutis, quorum bini inter eadem plana parallela inter $e refe- <p n=>27</p> runtur, veluti BF, & GDH, quorum axis communis e$t D<I>K</I>, ba$es autem circuli, vel ellyp$es EF, GH, qua- rum commune centrum K: $upremus autem, qui ad A, ad nullum refertur. Quoniam igitur ex con$tructione, cylindrus, vel cylindri portio BF, e$t minor magnitudi- ne propo$ita; exce$sus autem omnes, quibus cylindri, ex quibus con$tat figura circum$cripta, excedunt eos, ex qui- bus con$tat figura in$cripta, pro vt bini inter $e referun- tur, vna cum $upremo, qui ad nullum refertur, $unt æqua- les cylindro, vel cylindri portioni BF, figura circum- $cripta $olido ABC, excedet in$criptam minori exce$- $u magnitudine propo$ita. Fieri igitur pote$t quod pro- ponebamus. <HEAD><I>PROPOSITIO XII.</I></HEAD> <p>Dato parallelepipedo erecto circa datam re- ctam lineam tamquam axim, erectum parallele- pipedum æquale con$tituere. <p>Sit datum parallelepipedum AB, erectum, cuius ba- $is AC, altitudo autem latus BC: & data recta linea finita ED. Oportet circa rectam ED, tamquam axim parallelepipedo AB, æquale parallelepipedum erectum con$tituere. Per punctum igitur E, extendatur pla- num erectum ad lineam ED, & vt e$t DE, ad BC, ita fiat ba$is AC, ad quadratum F: & ad punctum E, in plano erecto ad lineam ED, quartæ parti quadrati F, æquale GE, quadratum de$cribatur, & compleatur quadratum GH, quadruplum quadrati EG, $eu qua- drato F, æquale: & ex puncto K, erecta KL, ip$i EF, æquali, & ad $ubiectum planum perpendiculari $uper ba- $im GH, con$tituatur parallelepipedum GK. Dico <foot>D 2</foot> <p n=>28</p> parallelepipedum GK, e$se æquale parallelepipedo AB; & rectam DE, axim parallelepipedi GK. Iungantur enim ba$ium oppo$itarum diametri GH, LK. Quo- niam igitur qua- drata $unt EG, GH, communem- que habent angu- lum, qui ad G, con$i$tent circa di- ametrum GH; in recta igitur GH, erit punctum E. Et quoniam qua- dratum GH, e$t quadrati EG, qua- druplum; erit dia- <FIG> meter GH, diametri EG, dupla; punctum igitur E, erit in medio diametri GH. Rur$us, quoniam ob pa- rallelepipedum GK, recta GL, æqualis e$t, & paral- lela ip$i KH, erit LH, parallelogrammum: & quia vtraque DE, KH, e$t ad $ubiectum planum perpendi- cularis, parallelæ erunt, & in eodem plano parallelogram- mi LH; in quo cum LG, $it parallela ip$i KH; erit & ED, ip$i LG, parallela: e$t autem, & æqualis vtrilibet ip$arum GL, GH, oppo$itarum; punctum igitur D, e$t in recta LK, & tam KD, ip$i EH, quàm LD, ip$i EG, æqualis erit, & inter $e æquales LD, DK. pun- ctum igitur D, erit in medio diametri LK; $ed & pun- ctum E, erat in medio diametri GH; recta igitur ED, axis e$t parallelepipedi GK, cuius parallelepipedi cum altitudo DE, $it ad BC, altitudinem parallelepipedi AB, vt e$t ba$is AC, ad quadratum F, hoc e$t ad ba$im GH, parallelepipedi GK; parallelepipedum GK, parallelepipe do AB, æquale erit, Factum igitur e$t quod oportebat. <p n=>29</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XIII.</I></HEAD> <p>Cuilibet figuræ $olidæ parallelepipedũ æqua- le pote$t e$$e. <p>Sit quælibet figura $olida A. Dico $olido A, parallele- pipedum æquale po$se exi$tere. Exponatur enim paral- lelepipedum BC, cuius ba$is BG. Quoniam igitur e$t vt $olidum BC, ad $olidum A, ita recta linea, $iue latus BD, ad aliam rectam lineam; producto latere BD, $it vt BC, ad A, ita recta BD, ad rectam DE, & compleatur pa- rallelepipedum CE. Quoniam ita que e$t vt BD, ad DE, ita parallelogrammum $iue ba$is BG, ad parallelogram- <FIG> mum, $iue ba$im EG; hoc e$t parallelepipedum BC, ad parallelepipedum CE: $ed vt BD, ad DE, ita e$t paral- lelepipedum BC, ad $olidum A; vt igitur parallelepipe- dum BC, ad $olidum A, ita erit parallelepipedum BC, ad parallelepipedum CE; parallelepipedum igitur CE æquale erit $olido A. Quod fieri po$se propo$uimus. <p n=>30</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XIV.</I></HEAD> <p>Omnis parallelogtammi centrum grauitatis diametrum bifariam diuidit. <p>Sit parallelogrammum ABCD, cuius duo latera AB, BC, $int primum in æqualia: & quoniã omne parallelogram mum habet $altem duos angulos <*>oppo$itos non minores recto, e$to vterque angulorum B, D, non minor recto, $it- que ducta diameter AC, $ectaque in puncto G, bifariam. Dico G, e$se centrum grauitatis parallelogrammi ABCD. Trianguli enim ABC, $it centrum grauitatis H; iuncta- que HG, & producta, ponatur GK, æqualis GH, & re- ctæ à punctis K, H, ad angulos ducantur. Quoniam igi- tur AG, e$t æqualis GC, & GH, ip$i GK, & angulus AGK, æqualis angulo CGH, erit ba$is AK, æqualis ba$i CH, & angulus GAK, æqua- lis angulo GCK: $ed totus angulus DAK, æqualis e$t to ti angulo BCA; reliquus igi- tur DAK, reliquo BCH, æqualis erit, circa quos angu- los latus BC e$t æquale lateri AD, & CH, ip$i AK; angu- lus igitur CBH, æqualis erit <FIG> angulo ADK. Similiter o$tenderemus angulum CAH, angulo ACK, & angulum BAH, angulo DCK, & an- gulum ABH, angulo CDK, æquales e$se: $ed latera triangulorum, cum quibus rectæ ductæ à punctis K, H, ad angulos triangulorum $imilium ABC, CDA, $unt ho- <p n=>31</p> mologa; puncta igitur K, H, in prædictis triangulis $unt $imiliter po$ita. Rur$us quoniam angulus ABC, non e$t minor recto, acuti erunt reliqui ACB, BAC; igitur latus AC, maximum erit: ponitur autem AB maius, quàm BC; triangulum igitur ABC, $calenum erit. Eadem ratione $calenum e$t triangulum ACD. Quare in triangulo ACD, vnum duntaxat punctum K, $imili- ter po$itum erit, ac punctum H, in triangulo ABC. Cum igitur H $it centrum grauitatis trianguli ABC, erit & K, centrum grauitatis trianguli ACD. Sed longitudo GK, æqualis e$t longitudini GH; punctum igitur G erit centrum grauitatis parallelogrammi ABCD, in quo ni- mirum $ecta e$t bifariam diameter AC: quare $i ducatur altera diameter BD, in medio etiam diametri BD, erit idem centrum grauitatis G. <p>Sed $int omnia latera æqualia parallelogrãmi ABCD, Sectisque duobus lateribus AD, BC, bifariam in E, F iungantur EF, AE, ED, AGC, & per punctum G, ducatur ip$i AD, vel BC, parallela HGK. Quoniam igitur EC, e$t æqualis AF, erit CG æqualis AG, & EG, æqualis GF, pro- pter $imilitudinem triangu lorum: nec non EH, ip$i AH, & EK, ip$i KD: tres igitur diametri AC, AE, ED, erunt $ectæ bifariam <FIG> in punctis K, G, H: & quoniam ex æquali propter triangu- la $imilia e$t vt AF, ad FD, ita HG, ad GK, erit HG, æqualis ip$i GK: $ed puncta K, H, $unt centra grauitatis parallelogrammorum BF, FC; igitur totius parallelo- grammi ABCD, centrum grauitatis erit G, in medio <p n=>32</p> diametri AG. Quod e$t propo$itum. <HEAD><I>COROLLARIVM.</I></HEAD> <p>Hinc manife$tum e$t, omnis parallelogrammi centrum grauitatis e$$e in medio rectæ, quæ op- po$itorum bipartitorum laterum $ectiones iungit. <HEAD><I>PROPOSITIO XV.</I></HEAD> <p>Si quodlibet parallelogrammum in duo paral- lelogramma diuidatur, & eorum c&etilde;tra grauitatis iungantur recta linea; totius diui$i parallelogram- mi centrum grauitatis prædictam lineam ita di- uidit, vt eius $egmenta è contrario re$pondeant prædictis partibus parallelogrammis. <p>Sit parallelogrammum ABCD, $ectum in duo paral- lelogramma AE, ED, & parallelogrammi AE, $it centrum grauitatis H, pa- rallelogrammi autem ED, centrum grauitatis K: & parallelogrammi ABCD, $it centrum grauitatis G: & iungatur KH. Dico re- ctam KH, diuidi à puncto G, ita vt $it KG, ad G H, vt e$t parallelogrammum AE, ad parallelogrammum <FIG> ED, Iungantur enim diametri AC, AE, ED. Igitur <p n=>33</p> per præcedentem $ectæ erunt hæ diametri bifariam in pun- ctis H, G, K. Quoniam igitur e$t vt EH, ad HA, ita EK ad KD, parallela erit KH, ip$i AD; igitur & EC; $ed recta KH, $ecat latus AE, trianguli AEC, bifariam in puncto H, ergo & latus AC, bifariam $ecabit; igitur in puncto G. punctum igitur G, e$t in linea KH. Rur$us, quoniam e$t vt GA, ad AC, ita GH, ad EC, propter $i- militudinem triangulorum; $ed dimidia e$t GA, ip$ius AC, igitur & GH, erit dimidia ip$ius EC, hoc e$t ip$ius FD. Similiter o$tenderemus dimidiam e$se KH ip$ius AD. vt igitur KH, ad AD, ita erit GH, ad FD: & per- mutando, vt AD, ad DF, ita KH, ad HG, & diui- dendo, vt AF, ad FD, hoc e$t vt parallelogrammum AE, ad parallelogrammum ED, ita KG, ad GH. Quod de- mon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XVI.</I></HEAD> <p>Plana grauia æquiponderant à longitudini- bus ex contraria parte re$pondentibus. <p>Sint plana grauia N, R, quorum centra grauitatis $int N, R, & longitudo aliqua AB: & vt e$t N, ad R, ita $it BC, ad CA. Dico $u$pen$is magnitudinibus $ecundum centra grauitatis N, in puncto A, & R, in puncto B, vtri- u$que magnitudinis N, R, $imul centrum grauitatis e$se C. Nam $i N, R, magnitudines $int æquales, manife$tum e$t propo$itum. Si autem inæquales, ab$cindatur BD, æqualis AC, vt $it AD, ad DB, vt BC, ad CA. Et quo- niam $pacio R, rectangulum æquale pote$t e$se; applice- tur ad lineam BD, rectangulum BDKE, æquale quar- tæ parti rectanguli æqualis ip$i R, hoc e$t quartæ parti ip$ius R; & po$ita DG, æquali, & in directum ip$i DK, <foot>E</foot> <p n=>34</p> ducantur rectæ GBH, GAF, quæ cum KE, produ- cta conueniant in punctis F, H: & fiant parallelogramma FL, AK. Quoniam igitur e$t vt N, ad R, ita BC, ad CA, hoc e$t AD, ad DB, hoc e$t rectangulum AK, ad rectangulum BK; erit permutando vt rectangulum AK, ad N, ita rectangulum BK, ad R; $ed rectangulum BK, e$t pars quarta ip$ius R, ergo & rectangulum AK, erit pars quarta ip$ius N. Rur$us quia e$t vt GD, ad D<I>K</I>, ita GA, ad AF, & GB, ad BH: $ed GD e$t æqualis DK; ergo & GA, ip$i AF, & GB, ip$i BH, æquales erunt & centra grauita- tis A, quidem rectangu- li MK, B, vero rectan- guli KL, & rectangulum AK, pars quarta ip$ius M<I>K</I>, quemadmodum & B<I>K</I> ip$ius KL; $ed N, rectanguli AK, qua- druplum erat, quemad- modum & R ip$ius BK; igitur rectangulum MK, $pacio N, & rectangulum KL, $pacio R, æquale erit. Sed vt BC, ad CA, ita e$t N, ad R; vt igi- tur BC, ad CA, ita <FIG> rectangulum MK, ad rectangulum KL; $ed A e$t cen- trum grauitatis rectanguli MK, & B, rectanguli KL; to- tius ergo rectanguli FL, hoc e$t duorum rectangulorum MK, KL, $imul centrum grauitatis erit C. Sed rectan- gulo MK, æquale e$t $pacium N; & rectangulo KL, $pa- cium R. Igitur $i pro rectangulo MK, $it $u$pen$um N $pacium $ecundum centrum grauitatis in puncto A, & pro rectangulo KL, $pacium R, $ecundum centrum graui- <p n=>35</p> tatis in puncto B, $pacia N, R, æquiponderabunt à lon- gitudinibus AC, CB; eritque vtriu$que plani N, R, $i- mul centrum grauitatis C. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>COROLLARIVM.</I></HEAD> <p>Hinc manife$tum e$t $i cuiuslibet figuræ pla- næ vtcumque $ectæ centra grauitatis partium iungantur recta linea, talem lineam à centro gra- uitatis totius prædicti plani ita $ecari, vt $egmen- ta ex contrario re$pondeant prædictis partibus. <HEAD><I>PROPOSITIO XVII.</I></HEAD> <p>Si totum quoduis planum, & pars aliqua non habeant idem centrum grauitatis, & eorum cen- tra iungantur recta linea; in ea producta ad par- tes centri grauitatis totius, erit reliquæ partis cen trum grauitatis. <p>Sit totum quoduis planum ABC, cuius centrum graui- tatis E, & pars illius AB, cuius aliud centrum D, & iuncta DE, producatur ad partes E, in infinitum v$que in H. Dico reliquæ partis BC, centrum grauitatis, quod $it G, e$se in linea EH. Quoniam enim D, G, $unt centra grauitatis par- <FIG> tium AB, BC, cadet totius ABC, centrum grauitatis <foot>E 2</foot> <p n=>36</p> E, in recta linea, quæ iungit centra D, G; tria igitur pun- cta D, E, G, $unt in eadem recta linea. in qua igitur $unt puncta D, E, in eadem e$t punctum G; $ed puncta D, E, $unt in recta DH; igitur & punctum G, erit in recta DH: $ed extra ip$am DE, vt modo o$tendimus, in reliqua igitur EH. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XVIII.</I></HEAD> <p>Sit totum quoduis planum $it vni parti concen tricum $ecundum centrum grauitatis, & reliquæ erit concentricum. Et $i partes inter $e $int con- centricæ, & toti erunt concentricæ. <p>Sit totum quoduis planum AB, quod cum vna parte AC habeat commune centrum grauitatis E. Dico & re- liquæ partis CD, e$se idem centrum grauitatis E. Si enim illud non e$t, erit aliud; e$to F, & EF iungatur. Quoniam igitur partium AC, CD, centra grauitatis $unt E, F; erit totius AB, in re- cta EF, centrum graui- tatis: $ed & in puncto E, vnius ergo magnitudinis duo centra grauitatis e- runt. Quod e$t ab$urdum; <FIG> idem igitur E erit centrum grauitatis vtriuslibet partium AC, CD. Sed vtriuslibet partium AC, CD, $it cen- trum grauitatis E. Dico idem E totius AB, e$se cen- <p n=>37</p> trum grauitatis. Si enim non e$t, erit aliud, e$to G: & iunctatur EG, producatur ad partes G, in infinitum v$- que ìn F. Quoniam igitur E, e$t centrum grauitatis vnius partis AC, & G, totius AB; erit reliquæ partis CD, in linea GF centrum grauitatis: $ed & in puncto E; eiu$- dem igitur magnitudinis AB, duo centra grauitatis erunt. Quod fieri non pote$t; totius igitur AB, erit centrum gra uitatis idem E. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO XIX.</I></HEAD> <p>Omnis trianguli rectilinei idem e$t centrum grauitatis, & figuræ. <p>Sit triangulum rectilineum ABC, cuius centrum G. Dico G, e$se centrum grauitatis trianguli ABC. Si enim fieri pote$t, $it aliud punctum N, centrum grauitatis trian guli ABC, & per punctum G, ducantur rectæ AF, BD, CE, & DHE, ERF, FKD, <I>K</I>LH, & NG. Quo- niam igitur quæ ab angulis A, B, C, ductæ $unt rectæ lineæ per G, $ecant bifariam latera AB, BC, CA; erit triangulum EDF, $imile triangulo ABC, ob latera pa- rallela vt $unt EF, AC. Et quoniam triangulum EDF, dimidium e$t cuius vis trium parallelogrammorum AF, BD, CE, æqualia inter $e erunt ea parallelogramma omnifariam $umpta, quorum centra grauitatis H, K, R; intelligantur autem tria parallelogramma AF, BD, CE, di$tincta penitus, ita vt inter $e congruant $ecundum tria triangula DEF, inter $e congruentia: trium igitur trian gulorum DEF, inter $e congruentium & centra grauita- tis inter $e congruent in puncto M. Quoniam igitur in- ter duas parallelas EF, KH, $ecant $e rectæ lineæ FH, LR, in puncto G; erit vt FG, ad GH, ita RG, ad GL; <p n=>38</p> dupla igitur RG, e$t ip$ius GL. Et quoniam in triangu- lo AGC, recta GD, $ecat AC, bifariam in puncto D; ip$i AC, parallelam KH, bifariam $ecabit in puncto L, duorum igitur æqualium parallelogrammorum AF, EG; $imul, quorum centra grauitatis $unt K, H, centrum gra- uitatis erit L. Sed duo parallelogramma AF, EC, $i- mul $unt paralle- logrammi BD, du plum; trium igitur parallelogrammo- rum AF, EC, BD, $imul: hoc e$t triãguli ABC, vnà cum duobus trium triangulorũ inter $e congruen- tium EDF, cen- trum grauitatis e- rit G. Sed triangu li ABC, ponitur <FIG> centrum grauitatis N; producta igitur NG, occurret centro M, reliquæ partis, ide$t duorum triangulorum DEF; quare vt triangulum ABC, ad duo triangula DEF, $i- mul, ita erit MG, ad GN. Sed triangulum ABC, e$t duplum duorum triangulorum EDF: igitur & MG, erit ip$ius GN, dupla. Rur$us quoniam vtriuslibet duorum triangulorum EDF, centrum grauitatis erat M; erit $i- militer po$itum M, in triangulo EDF, ac centrum N, in triangulo ABC, propter $imilitudinem triangulorum: Sed propter hæc $imiliter po$ita centra, quia homologo- rum laterum e$t vt AB, ad DF, ita NG, ad GM: & AB, e$t dupla ip$ius EB, erit & NG, dupla ip$ius GM. Sed GM, erat dupla ip$ius GN: igitur GN, erit $ui ip$ius quadrupla. Quod e$t ab$urdum. Non igitur centrum <p n=>39</p> grauitatis trianguli ABC, erit aliud à puncto G: pun- ctum igitur G, erit centrum grauitatis trianguli ABC. Quod demon$trandum erat. <p>Quod autem ex huius theorematis demon$tratione li- quet centrum grauitatis trianguli e$se in ea recta linea, quæ ab angulo ad bipartiti lateris $ectionem pertinet, Archimedes per in$criptionem figuræ ex parallelogram- mis demon$trauit, aliter autem per diui$ionem trianguli in triangula nequaquam: qua enim ratione hoc ille tentat, ea ex nono theoremate eiu$dem prioris libri de æquipon- derantibus nece$sario pendet. Cum igitur in illo ante ceden ti $it fallacia accipientis latenter $peciem trianguli; $cale- num $cilicet pro genere triangulo, neque con$equens erit demon$tratum. Quod autem dico manife$tum e$t: Datis enim duobus triangulis $imilibus, & in altero eorum dato puncto, quod $it trianguli centrum grauitatis, punctum in altero triangulo modo $imiliter po$itum $it prædicto pun- cto, nititur demon$trare e$se alterius trianguli centrum grauitatis: cum autem nondum con$tet centrum graui- tatis trianguli e$se in recta, quæ ab angulo latus oppo$i- tum bifariam $ecat, $ed ex nono theoremate $it demon$tran dum medio decimo, non pote$t illud accipi in nono theo- remate, quod ad demon$trationem e$set nece$sarium. per- mittitur igitur aduer$ario ponere centrum grauitatis trian- guli, vbicumque vult intra illius limites. atqui cum datis duobus triangulis i$o$celiis $imilibus, & in altero eorum dato puncto, quod non $it in prædicta recta linea, po$sint in altero duo puncta prædicto $imiliter po$ita inueniri, quo- rum vnum duntaxat concedet aduer$arius e$se alterius trianguli centrum grauitatis, non autem non $imiliter po- $itum, ex quo ab$urdum infertur partem anguli æqualem e$se toti: quid quod datis duobus triangulis æquilateris, & in altero eorum dato puncto, quod non $it centrum trian- <p n=>40</p> guli, $ed aliqua earum, quæ ab angulis ad bipartitorum laterum $ectiones cadunt, nece$se e$t in altero triangulo tria puncta prædicto puncto e$se $imiliter po$ita? quod $i etiam extra i$tas lineas cadat vnius trianguli punctum, ne- ce$se e$t illi $ex puncta in altero triangulo e$se $imiliter po- $ita: $ed $i quod diximus de i$o$celiis $imilibus, & æquila- teris triangulis demon$trauerimus, rem velut ante oculos expo$uerimus. <HEAD><I>PROPOSITIO.</I></HEAD> <p>Datis duobustriangulis i$o$celijs $imilibus, & in altero eorum dato puncto extra rectam, quæ à vertice ad medium ba$is cadit, duo puncta in re- liquo triangulo prædicto puncto $imiliter po$ita inuenire. <p>Sint duo triangula i$o$celia, & $imilia ABC, DEF: quorum in altero ABC, à vertice A, ad ba$im BC, bi- partitam in puncto G, cadat recta AG: atque extra hanc <FIG> in triangulo ABC, $it quoduis punctum H: & iuncta AH, fiat angulus EDK æqualis angulo BAH; & vt BA, ad <p n=>41</p> AH, ita fiat ED, ad DK: & quoniam angulus BAG, æqualis e$t angulo EDF: quorum angulus EDK, æqualis e$t angulo BAH, erit reliquus angulus <I>K</I>DF, æqualis reliquo angulo HAC; $ed angulus HAC, e$t maior angulo BAH; ergo & angulus KDF, maior erit angulo BAH; po$ito igitur angulo FDL, æquali an- gulo BAH, ac proinde minori, quàm $it angulus FD<I>K</I>, fiat vt BA, ad AH, ita FD, ad DL. Dico, in triangu- lo EDF, duo puncta K, L, $imiliter po$ita e$se ac pun- ctum H, in triangulo BAC. Iungantur enim rectæ AH, BH, CH, EK, KF, FL, LE. Quoniam igitur an- gulus ED<I>K</I>, e$t æqualis angulo BAH, qui lateribus homologis continentur; erit angulus DE<I>K</I>, æqualis an- gulo ABH: $ed totus angulus DEF, æqualis e$t toti an- gulo ABC; reliquus igitur angulus KEF, æqualis erit reliquo HBC: $ed ex æquali e$t vt CB, ad BH, ita FE, ad EK; igitur vt antea erit angulus KFE, æqualis angulo HCB, & angulus DFK, æqualis angulo ACH, & angulus FDK, æqualis angulo CAH; punctum igi- tur K, $imiliter po$itum erit in triangulo EDF, ac pun- ctum H, in triangulo ABC. Rur$us quoniam angulus FDL, æqualis e$t angulo BAH, & latus AB, homo- logum lateri DF, (e$t enim vt BA, ad AC, ita FD, ad DE) $ed vt BA, ad AH, ita e$t FD, ad DL, per con- $tructionem; $imiliter vt ante, o$tenderemus, punctum L, in triangulo EDF, $imiliter po$itum e$se puncto H; in- uenta igitur $unt duo puncta in triangulo DEF, $imili- ter po$ita ac punctum H, in triangulo BAC. Quod pro- po$itum erat. <foot>F</foot> <p n=>42</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XX.</I></HEAD> <p>Omnis trapezij habentis duo latera parallela centrum grauitatis e$t in illa recta, quæ prædi- ctorum bipartitorum laterum $ectiones iungit. atque in eo puncto, in quo tertia pars eius media $ic diuiditur, vt $egmentum propinquius mino- ri parallelarum ad reliquum eam proportionem habeat, quam maior parallelarum ad minorem. Talis autem rectæ lineæ $ic diui$æ, $egmentum minorem parallelarum attingens e$t ad reliquum, vt dupla maioris parallelarum vna cum minori, ad duplam minoris vna cum maiori. <p>Sit trapezium ABCD, cuius duæ AD, BC, $int pa- rallelæ: $itque AD, maior. Secti$que AD, BC, bifa- riam in punctis F, E, iunctaque EF, & $e- cta in tres partes æ- quales in punctis K, H, fiat vt AD, ad BC, ita HG, ad GK. Dico G, e$se centrum grauitatis trapezij A BCD: & vt e$t du- pla ip$ius AD, vna cum BC, ad duplam ip$ius BC, vna cum AD, ita e$se EG, ad <FIG> GF. Ducta enim per punctum H, ip$is AD, BC, pa- <p n=>43</p> rallela NO, ab$cindantur EL, FM, ip$i GK æquales, & iungantur ANE, EOD. Quoniam igitur NO ip$i AD, parallela $ecat omnes ip$is AD, EC, interceptas in ea$- dem rationes, & e$t EH, pars tertia ip$ius EF, erit & EN ip$ius EA, & EO, ip$ius ED, pars tertia. E$t autem NO, parallela ba$ibus BE, EC, duorum triangulorum ABE, ECD; in ip$a igitur NO, erunt centra grauitatis duo- rum triangulorum ABE, ECD: ergo & compo$iti ex vtroque in linea NO, erit centrum grauitatis. Quoniam igitur K, centrum grauitatis trianguli AED, e$t in EF, & totius trapezij ABCD, centrum grauitatis in eadem linea EF; erit & reliquæ partis, duorum $cilicet triangulorum ABE, ECD, $imul in linea EF, centrum grauitatis: $ed & in linea NO; in puncto igitur H. Rur$us quoniam triangula AED, ABE, ECD, $unt inter ea$dem parallelas, erit vt AD, ad BC, ita triangulum AED, ad duo triangu- la ABE, ECD, $imul: $ed vt AD, ad BC, ita e$t HG, ad GK; vt igitur triangulum AED, ad duo triangula ABE, ECD, $imul, ita erit HG, ad GK. $ed K, e$t centrum grauitatis trianguli AED: & H, duorum trian gulorum ABE, ECD, $imul; totius igitur trapezij AB CD, centrum grauitatis erit G. Rurius quoniam EL, e$t æqualis GK, æqualium EH, HK; erit reliqua LH, æqualis reliquæ GH; tota igitur EG; erit bis GH, vna cum GK: eadem ratione quoniam FM, e$t æqualis GK, & MK, æqualis GH, erit FG, bis GK, vna cum GH: vt igitur HG, bis vna cum GK, ad GK, bis vna cum GH, ita erit EG, ad GF. Sed vt HG, bis vna cum GK, ad GK bis vna cum GH, ita e$t AD, bis vna cum BC, ad BC, bis vna cum AB, propterea quod e$t vt AD, ad BC, ita HG, ad GK; vt igitur e$t AD, bis vna cum BC, ad BC, bis vna cum AD, ita erit EG, ad GF. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <foot>F 2</foot> <p n=>44</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXI.</I></HEAD> <p>Omnis polygoni æquilateri, & æquianguli idem e$t centrum grauitatis, & figuræ. <p>Sit polygonum æquilaterum, & æquiangulum ABC DEFG, cuius $it primo laterum numerus impar, centrum autem $it L. Dico punctum L, e$se centrum grauitatis polygoni ABCDEFG; $ectis enim duobus lateribus DE, FG, bifariam in punctis K, H, ducantur ab angulis oppo$itis rectæ AH, CK. & rectæ BMG, CNF, CM, MF, iungantur. Quoniam igitur ex decima tertia quar ti Elem. quemadmodum in pentagono, ita in omni præ- dicto polygono imparium multitudine laterum plane col- ligitur centrum po- lygoni e$se in qua- libet recta, quæ ab angulo ad medium lateris oppo$iti du- citur, quoniam ab omnibus angulis $ic ductæ $ecant $e $e in eadem proportio- ne æqualitatis, ita vt eadem $it propor tio $egmentorum, quæ ad angulos, ad ea, quæ ad latera <FIG> illis angulis oppo$ita; rectæ AH, CK, $ecabunt $e $e in puncto L. Rurfus quoniam ex eadem Euclidis angulus BAL, æqualis e$t angulo GAL, $ed AB, e$t æqualis AG, & AM, communis, erit ba$is BM, æqualis ba$i <p n=>45</p> MG, & angulus ABM, angulo AGM, $ed totus ABC, toti AGF, e$t æqualis; reliquus igitur angulus CBG, reliquo BGF, æqualis erit: $ed circa hos æquales an- gulos recta BM, o$ten$a e$t æqualis rectæ MG, & CB, e$t æqualis GF; ba$is igitur CM, ba$i GF, & angulus CMB, angulo FMG, æqualis erit; $ed totus BMN, æqualis e$t toti GMN; quia vterque rectus; reliquus igitur CMN, reliquo NMF, æqualis erit, quos circa recta CM, e$t æqualis MF, & MN, communis; ba$is igitur CN, ba$i NF, & anguli, qui ad N, æquales erunt, atque ideo recti: $ed & qui ad M, $unt recti, & BM, e$t æqualis GM; parallelæ igitur $unt BG, CF, & trape- zij CBGF, centrum grauitatis e$t in linea MN: $ed & trianguli ABG, centrum grauitatis e$t in linea AM; to- tius igitur figuræ ABCFG, centrum grauitatis e$t in li- nea AN; hoc e$t in linea AH. Rur$us quoniam omnis quadrilateri quatuor anguli $unt æquales quatuor rectis: & tres anguli ABM, BMN, MNC, $unt æquales tri- bus angulis FGM, GMN, MNF, reliquus angulus BCF, reliquo CFG, æqualis erit: $ed totus angulus BCD, e$t æqualis toti angulo GFE; reliquus ergo DCF, reliquo CFE, æqualis erit: $ed linea CN, e$t æqualis NF, & anguli, qui ad N, $unt recti; $imiliter ergo vt antea, centrum grauitatis trapezij CDEF, erit in linea AH: $ed & totius figuræ ABCFG, e$t in li- nea AH; totius igitur polygoni ABCDEFG, in li- nea AH, e$t centrum grauitatis, quod idem $imiliter in linea CK, e$se oftenderemus; in communi igitur $ectione puncto L, e$t centrum grauitatis polygoni ABCDEFG. Similiter quotcumque plurium laterum numero impa- rium e$set polygonum æquilaterum, & æquiangulum, $emper deueniendo ab vno triangulo ad quotcumque eius trapezia; propo$itum concluderemus. <p n=>46</p> <p>Sed e$to polygonum æquilaterum, & æquiangulum, ABCDEF, cuius laterum numerus $it par, & centrum e$to G. Dico idem G, e$se centrum grauitatis polygoni ABCDEF. Iungantur enim angulorum oppo$itorum puncta rectis lineis AD, BE, CF. Ex quarto igitur Elem. $ecabunt $e$e hæ rectæ omnes bifariam in vno pun- cto, quod talis figuræ centrum definiuimus: $ed G poni- tur centrum; in puncto igitur G. Quoniam igitur duo- rum triangulorum CBG, GFE, anguli ad verticem BGC, FGE, $unt æquales; & vterlibet angulorum CBG, GCB, æqualis e$t vtrilibet ip$orum EFG, GEF; ex quarto Elem. & circa æquales angulos latera proportio- nalia horum triangu lorum $unt æqualia; $imilia, & æqualia erunt triangula BC G, GFE: po$itis igitur centris graui- tatis K, H, duorum triangulorum EFG, GBC, iunctifque KG, GH, erit v- terlibet angulorum BGH, HGC, æ- qualis vtrilibet an- <FIG> gulorum CGK, KGE, propter $imilitudinem po$itio- nis centrorum K, H, in i$o$celijs triangulis CBG, GFE: (nam GH, $i produceretur latus BC, bifariam $ecaret: $imiliter GK, latus EF) $ed CG, e$t in directum po$ita ip$i GF; igitur & GH ip$i GK: & $unt æquales, vtpote lateribus triangulorum BCG, GFE, æqualibus homologæ; cum igitur eorundem triangulorum centra grauitatis $int K, H; centrum grauitatis duorum triangu- lorum CBG, GFE, $imul, erit punctum G. Eadem <p n=>47</p> ratione, tam duorum triangulorum ABG, DGE, quàm duorum AFG, CDG, $imul, centrum grauitatis erit G; totius igitur polygoni ABCDEF; centrum grauitatis erit idem G. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO XXII.</I></HEAD> <p>Omnis figuræ circa diametrum in alteram par tem deficientis, in diametro e$t centrum graui- tatis. <p>Sit figura ABC, circa diametrum BD, in alteram par tem deficiens ver$us B. Dico centrum grauitatis figuræ ABC, e$se in linea BD. $it enim punctum E, generali- ter extra lineam BD. Et per puncta E, C, ducantur ip$i BD, parallelæ EF, CG, & vt e$t CD, ad DF, ita ponatur figura ABC, ad ali- quod $pacium M: & figuræ ABC, in$cri- batur figura ex paral- lelogrammis æqua- lium altitudinum de- ficiens à figura ABC, minori defectu, quam $it $pacium M, quan- tumcumque illud $it: minor igitur propor- <FIG> tio erit figuræ ABC, ad $pacium M, hoc e$t minor pro- portio CD, ad DF, quàm figuræ ABC, ad $ui reliquum, dempta figura in$cripta. Quoniam autem diameter BD, <p n=>48</p> bifariam $ecat omnia latera parallelogrammorum in$cri- ptorum ba$i AC, parallela; erit in diametro BD, eorum omnium parallelogrammorum centra grauitatis, atque ideo totius figuræ in$criptæ centrum grauitatis, quod $it H: & HEK, ducatur. Quoniam igitur EF, parallela e$t vtrique DH, CK; erit vt CD, ad DF, ita KH, ad HE, $ed minor e$t proportio CD, ad DF, quàm figu- ræ ABC, ad re$i- duum, dempta figu- ra in$cripta; ergo & KH, ad HE, minor erit proportio, quàm figuræ ABC, ad præ- dictum re$iduum: ha- beat LKH, eandem proportione<*> ad EH, quàm figura ABC, ad prædictum re$i- duum. Quoniam igitur punctum K, cadit extra figuram <FIG> ABC; multo magis punctum L; non igitur punctum L, erit prædicti re$idui centrum grauitatis. Sed punctum H, e$t in$criptæ figuræ centrum grauitatis: & vt figura in$cripta ad prædictum re$iduum, diuidendo, ita e$t LE, ad EH; non igitur E, e$t centrum grauitatis figuræ ABC: $ed ponitur E, generaliter punctum extra lineam BD; Nullum igitur punctum extra lineam BD, e$t centrum grauitatis figuræ ABC; in linea igitur BD, erit figu- ræ ABC, centrum grauitatis. Quod demon$trandum erat. <p n=>49</p> <HEAD><I>COROLLARIVM.</I></HEAD> <p>Ex huius theorematis demon$tratione con$tat, omnis figuræ planæ, $iue $olidæ, cuius termini omnis cauitas $it interior, atque ideo intra ter- minum centrum grauitatis; & cuius pars aliqua e$se po$sit, quæ à tota figura deficiens minori defectu quacumque magnitudine propo$ita habe- at centrum grauitatis in aliqua certa linea recta intra terminum figuræ con$tituta, e$$e in ea recta linea totius figuræ centrum grauitatis. Ac proin- de, cum per vndecimam huius, omni $olido circa axim in alteram partem deficienti, & ba$im ha- benti circulum, vel ellyp$im figura in$cribi po$$it ex cylindris, vel cylindri portionibus, à prædicto $olido deficiens minori $pacio quacumque ma- gnitudine propo$ita: talis autem figuræ in$criptæ, quemadmodum & circum$criptæ centrum gra- uitatis $it in axe, vt ex $equentibus patebit, & nunc cogitanti facilè patere pote$t; manife$tum e$t omnis $olidi circa axim in alteram partem de- ficientis centrum grauitatis e$$e in axe. <foot>G</foot> <p n=>50</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXIII.</I></HEAD> <p>Circuli, & Ellyp$is idem e$t centrum grauita- tis, & figuræ. <p>Sit circulus, vel ellyp$is ABCD, cuius centrum E. Dico centrum grauitatis figuræ ABCD, e$se punctum E. Ducantur enim duæ diametri ad rectos inter $e angulos AC, BD; in ellyp$i autem $int diametri coniugatæ. Quoniam igitur omnes rectæ lineæ, quæ in $emicirculo, vel dimidia ellyp$i diametro ducantur parallelæ bifariam $ecantur à $emidiametro, & quo à ba$i remotiores, eo $unt <FIG> minores; erit centrum grauitatis $emicirculi, $iue dimidiæ ellyp$is ABC, in linea BE; $icut & $emicirculi, $iue di- midiæ ellyp$is ADC, centrum grauitatis in linea DE. e$t autem BED, vna recta linea: in diametro igitur BD, erit centrum grauitatis circuli, $iue ellyp$is ABCD. Eadem ratione o$tenderemus idem centrum grauitatis e$se in altera diametro AC: in communi igitur vtriu$que $e- ctione puncto E. Quod demon$trandum erat. <p n=>51</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXIV.</I></HEAD> <p>Si duarum pyramidum triangul as ba$es haben- tium æqualium, & $imilium inter $e, tria latera tribus lateribus homologis fuerint in directum con$tituta, in vertice communi erit vtriu$que $i- mul centrum grauitatis. <p>Sint duæ pyramides $imiles, & æquales, quarum ver- tex communis G, ba$es autem triangula ABC, DEF. Et $int latera homologa pyramidum in directum inter $e con$tituta: vt AG, GF: & BG, GD, & CG, GE. Dico compo$iti ex duabus pyramidibus ABCG, GDEF, ita con$titut is centrum gra uitatis e$se in puncto G. E$to enim H, centrum gra uitatis pyramidis ABCG, & ducta HGK, ponatur G<I>K</I>, æqualis GH, & iun- gantur EK, KD, BH, CH. Quoniam igitur e$t vt HG, ad GK, ita CG, ad GE, & proportio e$t æqualitatis: & angulus HGC, æqualis angulo EG <I>K</I>, erit triangulum CGH, <FIG> $imile, & æquale triangulo EGK. Similiter triangulum BGH, trian gulo DGK; & triangulum BGC, triangu- lo DGE: quare & triangulum BCH, triangulo DEK. pyramis igitur BCGH, $imilis, & æqualis e$t pyramidi EDGK. Congruentibus igitur inter $e duobus triangu- <foot>G 2</foot> <p n=>52</p> lis æqualibus, & $imilibus BGC, DGE, & pyramis BCGH, pyramidi GDEK congruet, & puncto K, pun- ctum H: & eadem ratione pyramis ABCG, pyra- midi DEFG. congruente igitur pyramide ABCG, pyramidi DEFG, & pun- ctum K, congruet puncto H. $ed H, e$t centrum gra uitatis pyramidis ABCG: igitur K, erit centrum gra uitatis pyramidis DEFG: $ed e$t GK, æqualis ip- $i GH; vtriufque igitur pyramidis ABCG, DE- FG, $imul centrum grauitatis erit K; Quod demon$tran- dum erat. <FIG> <HEAD><I>PROPOSITIO XXV.</I></HEAD> <p>Omnis parallelepipedi centrum grauitatis e$t in medio axis. <p>Sit parallelepipedum ABCDEFGH, cuius axis LM, isque $ectus bifariam in puncto K. Dico K e$se centrum grauitatis parallelepipedi ABCDEFGH. iungantur enim diametri AG, BH, CE, DF, quæ omnes nece$sario tran$ibunt per punctum K, & in eo puncto bifariam diuidentur. Iunctis igitur BD, FH: quoniam triangulum EFK, $imile e$t, & æquale trian- gulo CDK, propter latera circa æquales angulos ad <p n=>53</p> verticem æqualia alterum alteri: eademque ratione, & triangulum E<I>K</I>H, triangulo BCK: & triangulum FKH, triangulo BDK; erit pyramis KEFH, $imilis, & æqua- lis pyramidi KBCD: habent autem tria latera tribus lateribus homologis, ide$t æ- qualibus, in directum, prout inter $e re$pondent, con$tituta; duarum igitur pyramidum KE FH, KBCD, $imul centrum grauitatis erit K: non aliter duarum pyramidum <I>K</I>GFH, KBDA, $imul centrum gra- uitatis erit K; totius igitur com po$iti ex quatuor pyramidibus; ide$t duabus oppo$itis ABC- DK, EFGHK, centrum gra uitatis erit idem K. Eadem ratione tam duarum pyrami- <FIG> dum AEHDK, BCGFK, $imul, quàm duarum AB- FEK, CDHGK, $imul centrum grauitatis erit K. To- tius igitur parallelepipedi ABCDEFG<I>K</I>, centrum grauitatis erit K. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXVI.</I></HEAD> <p>Si parallelepipedum in duo parallelepipeda $ecetur, $egmenta axis à centris grauitatis totius parallelepipedi, & partium terminata ex contra- rio parallelepipedi partibus re$pondent. <p n=>54</p> <p>Si parallelepipedum AB, cuius axis CD, $ectum in duo parallelepipeda AE, EN, quare & axis CD, in axes CL, LD, parallelepipedorum AE, EN. Et $int centra grauitatis; F, parallelepipedi EN, & G, paral- lelepipedi AE, & H, parallelepipedi AB, in medio cu- iu$que axis ex antecedenti. Dico e$se FH, ad HG, vt parallelepipedum AE, ad EN, parallelepipedum. Iungantur enim diametri ba$ium oppo$itarum, quæ per puncta axium D, L, G, tran$ibunt, ADM, KLE, NCB; iamque parallelogramma erunt AB, AE, EN, DB, DE, EC, propter eas, quæ parallelas iungunt, & æquales: quorum bi- na latera oppo$ita $ecta erunt bi- fariam in punctis C, L, D, per definitionem axis: punctum igitur F, in medio rectæ CL, oppo$i- torum laterum bipartitorum $ectio- nes coniungentis, erit parallelo- grammi EN, centrum grauitatis. Eadem ratione & parallelogram- <FIG> mi AE, centrum grauitatis erit G, & H, parallelogram mi AB. Vt igitur parallelogrammum AE, ad paralle- logrammum EN, hoc e$t, vt ba$is ME, ad ba$im EB; hoc e$t, vt parallelogrammum MO, ad parallelogram- mum OB: hoc e$t, vt parallelepipedum AE, ad paral- lelepipedum EN: ita erit FH, ad HG. Quod de- mon$trandum erat. <p n=>55</p> <HEAD><I>PROPOSIT'IO XXVII.</I></HEAD> <p>Solida grauia æquiponderant à longitudini- bus ex contraria parte re$pondentibus. <p>Sint $olida grauia A, & B, quorum centra grauitatis $int A, B, $ecundum quæ $u$pen$a intelligantur A, in puncto C, & B, in puncto D, cuiuslibet rectæ GH, quæ $it ita diui$a in puncto E, vt $it DE, ad EC, vt e$t A, ad B. Dico $olida A, E, æquiponderare à longitudini- bus DE, EC; hoc e$t vtriu$que $imul centrum grauita- tis e$se E. Nam $i A, B, $int æqualia, manife$tum e$t propo$itum: $i au- tem inæqualia, e$to maius A: maior igi tur erit DE, quam EC. ab$cindatur DF, æqualis EC: erit igitur DE, æ- qualis GF: & CD, vtrin que producta, ponatur DH, æ- qualis DF: & CG, ip$i CF. & circa axim, & altitudin&etilde; GH, e$to paralle- lepipedum KL, æ- quale duobus $o- <FIG> lidis A, B, $imul & parallelepipedum KL, $ecetur plano per punctum F, oppo$itis planis parallelo, in duo paral- lelepipeda KN, ML. Quoniam igitur e$t vt GF, ad FH, ita parallelepipedum KN, ad parallelepipedum <p n=>56</p> ML, $ed vt GF, ad FH, ita e$t CF, ad FD, hoc e$t DE, ad EC, hoc e$t $olidum A, ad $olidum B; erit vt parallelepipe- dum KN, ad parallelepipedum ML, ita $olidum A, ad $oli- dum B. componendo igitur, & permutando, vt parallelepi- pedum KL, ad duo $olida A, B, $imul, ita parallelepi- pedum ML, ad $olidum B: & reliquum ad reliquum: $ed parallelepipedum KL, æquale e$t duobus $olidis A, B, $i- mul: parallelepipedum igitur KN, $olido A, & paralle- lepipedum ML, $olido B, æquale erit. Rur$us, quo- niam e$t vt GF, ad ad FH, ita CF, ad FD; hoc e$t DE, ad EC: $ed vt GF, ad FH, ita e$t pa- rallelepipedũ KN, ad parallelepipedũ ML; erit vt DE, ad EC, ita paralle lepipedum KN, ad parallelepipedum ML; $ed C e$t pa- rallelepipedi KN, & D, parallelepipe di ML, centrum grauitatis; totius igi <FIG> tur parallelepipedi KL, centrum grauitatis erit E. Igi- tur $olido A, po$ito ad punctum G, $ecundum centrum grauitatis A, & $olidum B, ad punctum D, $ecundum centrum grauitatis B, quorum A, e$t æquale parallele- pipedo KN, & B, parallelepipedo ML; ab ij$dem lon- gitudinibus DE, EC, æquiponderabunt; eritque com- po$iti ex vtroque $olido A, B, centrum grauitatis E. Quod demon$trandum erat. <p>Quod $i quis à me quærat, cur non hic vtar quinta illa <p n=>57</p> generali primi Archimedis de planis æquiponderantibus, $ed illud idem propo$itum vna demon$tratione in planis, altera præ$enti in $olidis demon$trauerim. Re$pondeo: quia Propo$itio quarta primi Archimedis, ex qua quinta nece$$ario pendet, habet, $i quis attendat, aliquas difficul- tates phy$icas, quæ mathematicis rationibus non facile di$$oluantur: quæ cau$a igitur illum adduxit ad $imile quid demon$trandũ demon$tratione ad illas duas parabolas ap. plicata in $ecundo $uo libro planorum æquiponderantium, qua$i qui quartæ, ac quintæ illi generali non $atis acquie- $ceret; eadem me compulit ad hoc propo$itum duabus de- mon$trationibus generalibus, altera de planis, altera de $o- lidis grauibus $ecurius demon$trandum. <HEAD><I>PROPOSITIO XXVIII.</I></HEAD> <p>Quarumlibet trium magnitudinum eiu$dem generis centra grauitatis cum centro magnitudi- nis ex ijs compo$itæ $unt in eodem plano. <p>Sint quælibet tres ma- gnitudines eiu$dem gene ris A, B, C: quarum cen- tra grauitatis A, B, C. Ex ijs autem compo$itæ $it centrum grauitatis E. Di co quatuor puncta A, B, C, E, e$$e in eodem pla- no. Iungantur enim re- ctæ AB, BC, CA: & vt e$t A, ad C, ita $it CD, ad DA, & BD, iungatur: punctũ igitur D, erit cen- <FIG> <foot>H</foot> <p n=>58</p> trum grauitatis duarum magnitudinum A, C, $imul. Rur$us quoniam recta BD, coniungit duo centra gra- uitatis duarum magnitu- dinum B $cilicet, & AC, erit compo$itæ ACB, in recta BD, centrum graui tatis: e$t autem illud E. Quoniam igitur in quo plano e$t recta BD, in eodem $unt duo puncta B, E, in quo autem pla- no e$t recta BD, in eo- dem e$t recta AC, & puncta A, C; in quo igi- tur plano $unt puncta A, C, in eodem erunt pun- cta B, E; quatuor igitur puncta A, B, C, E, erunt in eodem plano; Quod demon$tr andum erat. <FIG> <HEAD><I>PROPOSITIO XXIX.</I></HEAD> <p>Si à cuiuslibet trianguli centro, & tribus an- gulis quatuor rectæ inter $e parallelæ plano trian guli in$i$tant: tres autem magnitudines æquales habeant centra grauitatis in ijs tribus, quæ ad angulos; trium magnitudinum $imul centrum grauitatis erit in ea, quæ ad trianguli centrum terminatur. <p>Sit triangulum ABC, cuius centrum N, à tribus au- tem angulis A, B, C, & centro N, in$i$tant plano trian- <p n=>59</p> guli ABC, quatuor rectæ inter $e parallelæ AD, BE, CF, NM, tres autem magnitudines æquales habeant cen tra grauitatis G, H, K, in tribus AD, BE, CF. Di- co trium magnitudinum $imul, quarum centra grauitatis G, H, K, e$$e in linea NM. Iungantur enim rectæ GH, H<I>K</I>, GK, BNP; & per punctum P, recta PL, ip$i MN, parallela, & iungatur LH. Quoniam igitur rectæ BP, LH, iungunt duas parallelas LP, BH; erunt quatuor rectæ BH, LP, BP, LH, in eodem plano. Et quoniã planum quadran guli PH, $ecat planum trianguli ABC, à communi autem $ectione BP, $urgunt duæ parallelæ PL, MN; quarum PL, e$t in pla- no quadranguli PH, erit etiam MN, in eo- dem plano quadranguli PH: & $ecabit LH. $e- cet in puncto O: qùare vt LO, ad OH, ita erit PN, ad NB, propter parallelas: $ed PN, e$t dimidia ip$ius NB; er- go & LO, e$t dimidia ip $ius OH. Eadem ratio- ne, quoniam AP, æqua- <FIG> lis e$t PC, erit & GL, æqualis LK. Duarum igitur magnitudinum G, K, $imul centrum grauitatis erit L: $ed reliquæ magnitudinis, quæ ad H, e$t centrum grauitatis H; & vt compo$itum ex duabus magnitudinibus G, K, ad magnitudinem H, ita ex contraria parte e$t HO, ad OL; Trium igitur magnitudinum G, H, K, $imul cen- trum grauitatis erit O, & in linea MN. Quod demon- $trandum erat. <foot>H 2</foot> <p n=>60</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXX.</I></HEAD> <p>Omnis octaedri idem e$t centrum grauitatis, & figuræ. <p>E$to octaedrum ABCDEF, cuius centrum G. Di- co G, e$se centrum grauitatis octaedri ABCDEF. Ductis enim axibus AC, BD, EF, communis eorum $ectio erit centrum G, in quo axes bifariam $ecabuntur: omnium autem angulorum, qui ad G, bini qui que ad verticem $unt æquales, qui æqualibus altera alteri rectis continentur; $imilia igi- tur, & æqualia erunt trian gula, nimirum EBG, GDF, & ECG, ip$i GFA, & BCG, ip$i GDA: igitur & BCE, ip$i ADF; pyramis igi- tur EBCG, $imilis, & æqualis e$t pyramidi A DFG, quarum latera ho mologa $unt indirectum inter $e con$tituta; dua- rum igitur pyramidum <FIG> EBCG, ADFG, $imul centrum grauitatis erit G. Eadem ratione $ex reliquarum pyramidum binis quibu$- que oppo$itis $imul $umptis centrum grauitatis erit G. Totius igitur octaedri ABCDEF, centrum grauitatis erit G. Quod demon$trandum erat. <p n=>61</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXXI.</I></HEAD> <p>Omnis pyramidis triangulam ba$im habentis idem e$t centrum grauitatis, & figuræ. <p>Sit pyramis ABCD, cuius ba$is triangulum ABC, centrum autem E. Dico E, e$$e centrum grauitatis pyra- midis ABCD. Secta enim ABCD, pyramide in quatuor pyramides, $imiles, & æquales inter $e, & toti pyramidi ABCD, & vnum octaedrum, $int eæ pyramides DKLM, MGCH, LBGF, AKFH. Octaedrum autem FGHKLM, quod dimidium erit pyramidis ABCD, & $int axes pyramidum DSN, DS, KO, LP, MQ: & ARG, iunga tur. Quoniam igitur FH, e$t parallela ip$i BC, & $ecta e$t BC, bifariam in puncto G, trã$ibit recta AG, per centra triangulorũ O, & N, ad quæ axes KO, <FIG> DN, terminantur; manife$tum hoc e$t ex $uperioribus: eritque dupla AO, ip$ius OR, nec non AN, dupla ip$ius NG, componendo igitur erit vt AG, ad GN, ita AR, ad RO, & permutando, vt AG, ad AR, ita GN, ad RO: $ed AG, e$t dupla ip$ius AR, quoniam & AB, ip- $ius AF; igitur & GN, erit dupla ip$ius RO: $ed & GN, e$t dupla ip$ius NR, nam N, e$t centrum trianguli GFH; æqualis e$t igitur NR, ip$i RO, atque hinc dupla NO, <p n=>62</p> ip$ius OR; $ed & AO erat dupla ip$ius OR; æqualis igit<*>r AO erit ip$i ON. quare vt AK, ad KD, ita erit AO, ad ON: igitur in triangulo ADN, erit KO, ip$i DN, parallela. Eadem ratione $i iungerentur rectæ BH, CF o$tenderemus & duos reliquos axes LP, MQ, e$- $e axi DN parallelos: quatuor autem prædicti axes in- $i$tunt plano trianguli KLM, ita vt DN tran$eat per centrum S: reliqui autem KO, LP, MQ, terminentur ad angulorum vertices K, L, M, trianguli KLM; igi- tur $i tres æquales magnitudines habeant centra grauita- tis in axibus KO, LP, MQ; compo$iti ex ijs tribus magnitudinibus in axe DN erit centrũ grauitatis. Rur$us quoniam E ponitur c&etilde; trũ pyramidis ABCD, erit idem E centrum octaedri FGHKLM, idque in axe DN: e$t autem idem centrũ gra uitatis octaedri, & figu ræ: centrum igitur E octaedri FCHKLM erit in axe DN. Quod <FIG> $i quatuor reliquæ pyramides dempto prædicto octaedro $imiliter diuidantur, ac pyramis ABCD diui$a fuit, erunt rur$us in $ingulis quatuor prædictarum pyramidum $in- gula octaedra centrum grauitatis habentia vnumquodque in axe $uæ pyramidis: quæ pyramides cum $int inter $e æquales, earum dimidia octaedr a ip$is in$cripta inter $e erunt æqualia: $unt autem eorum centra grauitatis in axi- bus ab$ci$sarum pyramidum, DS, KO, LP, MQ axis autem DS: e$t in axe DN; per ea igitur, quæ de- <p n=>63</p> mon$trauimus trium octaedrorum, quæ $unt in pyrami- dibus AFHK, FBGL, GHOM $imul, centrum gra- uitatis erit in axe D<I>K</I>: $ed & octaedri in pyramide DK- LM, & octaedri FGHKLM centra grauitatis $unt in axe DN; omnium igitur quinque octaedrorum, quæ $unt in tota pyramide ABCD $imul centrum grauitatis e$t in axe DN. Quod $i rur$us in $ingulis quatuor præ- dictarum pyramidum modo dicta ratione quina octaedra de$cripta intelligantur, $imiliter o$ten$um erit quina octa- edra in $ingulis quatuor ab$ci$$arum pyramidum, velut quatuor magnitudines, centra grauitatis habere in axibus quatuor prædictarum pyramidum: $unt autem hæc qua- tuor compo$ita ex quinis octaedris inter $e æqualia, pro- pter æqualitatem octaedrorum multitudine æqualium, quæ æqualibus $unt pyramidibus ip$orum duplis ord ine diui$ionis inter $e re$pondentibus in$cripta; igitur vt ante, quater quinorum octaedrorum $imul in axe DN erit centrum grauitatis: $ed & octaedri FGHKLM centrum grauitatis e$t in axe DN; vnius igitur & viginti octae- drorum in pyramide ABCD exi$tentium ex hac $ecun- da diui$ione, tanquàm vnius magnitudinis in axe DN erit centrum grauitatis. Ab hoc igitur numero vnius & vi- ginti octaedrorum in pyramide ABCD exi$tentium, $i- mili diui$ione illius reliquarum quatuor pyramidum primo ab$ci$$arum procedentes, & eundem $emper gyrum, quem fecimus à quinario repetentes, poterunt e$se in tota AB- CD pyramide tot, quemadmodum diximus, de$cripta, octaedra, vt eorum numerus $uperet quemcumque propo- $itum numerum, & omnium tanquàm vnius magnitudinis in axe DN, $it centrum grauitatis. Sic autem facienti, & reliquarum pyramidum demptis præcedentibus octaedris, dimidia octaedra $emper auferenti, tandem relinquen- tur pyramides minores $imul $umptæ quantacumque magnitudine propo$ita. Totius igitur pyramidis ABCD <p n=>64</p> in axe DN, erit centrum grauitatis. Eadem ratione in quolibet reliquorum trium axium, pyramidis ABCD, ip- $ius centrum grauitatis e$se o$tenderemus; communis igi- tur $ectio quatuor axium pyramidis ABCD, quod e$t ip$ius centrum E, erit centrum grauitatis pyramidis AB CD. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>COROLLARIVM.</I></HEAD> <p>Hinc manife$tum e$t centrum grauitatis pyra- midis triangulam ba$im habentis e$$e in eopun- cto, in quo axis $ic diuiditur, vt pars quæ ad ver- icem $it reliquæ tripla. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXII.</I></HEAD> <p>Ominis pyramidis ba$im plu$quam trilate- ram habentis centrum grauitatis axim ita diui- dit, vt pars, quæ e$t ad verticem $it tripla re- liquæ. <p>Sit pyramis ABCDE, cui vertex E, ba$is autem quadrilatera ABCD, & e$to axis EF, $egmentum EM, reliqui MF, triplum. Dico punctum M, e$$e centrum grauitatis pyramidis ABCDE. Ducta enim AC, $it trianguli ABC, centrum grauitatis H, $icut & K, trian- guli ACD: & iungantur KH, HE, EK: Factaque vt EM, ad MF, ita EL ad LH, & EN ad N<I>K</I>, iun- gatur LN. Quoniam igitur EF e$t axis pyramidis ABCDE, erit ba$is ABCD centrum grauitatis F. <p n=>65</p> Rur$us quia puncta K, H, $unt centra grauitatis triangu- lorum ABC, CDA, erunt EH, EK, axes pyramidum ABCE, ACDA: quorum EL, e$t tripla ip$ius LH, nec non EN, tripla ip$ius EK; pyramidis igitur ABCE, centrum grauitatis erit L, $icut & K, pyramidis ACDE. Rur$us, quoniam totius quadrilateri ABCD, e$t cen- trum grauitatis F, cuius magnitudinis partium triangu- lorum ABC, CDA, centra grauitatis $unt K, H; recta KH, à puncto F, $ic diuiditur, vt $it HF, ad FK, vt triangulum ACD, ad triangulum ABC, hoc e$t, vt py- ramis ACDE, ad py ramidem ABCE. $ed vt HF, ad FK, ita e$t LM, ad MN; vt igitur e$t pyramis AC DE, ad pyramidem ABCE, ita erit LM, ad MN. Sed N, e$t centrum grauitatis py- <FIG> ramidis ACDE, & L pyramidis ABCE; punctum igitur M, erit centrum grauitatis pyramidis ABCDE. Quod $i pyramis habeat ba$im quinquelateram; po$ito rur$us axe totius pyramidis, & ba$i $ecta in triangulum, & quadrilaterum, po$itis vtriu$que proprijs centris graui- tatis, eadem demon$tratione propo$itum concludetur. Quemadmodum $i ba$is $it $ex laterum, $ecta ea in quinque laterum, & triangulum, & reliquis vt antea po$itis: & $ic $em per deinceps. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <foot>I</foot> <p n=>66</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXXIII.</I></HEAD> <p>Omnis pri$matis triangulam ba$im habentis centrum grauitatis e$t in medio axis. <p>Sit pri$ma ABCDEF, cuius ba$es oppo$itæ trian- gula ABC, DEF, axis autem GH, $ectus $it bifariam in puncto K. Dico punctum K, e$se pri$inatis ABCD EF, centrum grauitatis. Ducantur enim rectæ FGO, CHP, PO. Quoniam igitur GH, e$t axis pri$matis ABCDEF, erit punctum G, centrum grauitatis trian- guli DEF: $icut & H, trian- guli ABC; vtraque igitur dupla e$t AG, ip$ius GO, & CH, ip$ius PH, $ectæ- que erunt AB, DE, bifa- riam in punctis P, O: pa- rallela igitur, & æqualis e$t OP, ip$i DA, iamque ip$i FC. quæ igitur illas con- iungunt CP, FO, æqua- les $unt, & parallelæ, & pa- rallelogrammum FP. Nunc $ecta OP, bifariam in puncto N, iungantur GN, NF, AF, FH, FB, & fa- cta FL, tripla ip$ius LH, <FIG> à puncto L, per punctum K, ducatur recta LKMR. Quoniam igitur e$t vt FG, ad GO, ita CH, ad HP, & parallelogrammum e$t FCPO; parallelogramma etiam erunt CG, GP, angulus igitur FGH, æqualis erit angulo NGO, quos circa æquales angulos latera <p n=>67</p> FG, GH, homologa $unt lateribus GO, ON. nam dupla e$t FG, ip$ius GO, & GH, ip$ius ON; angulus igitur OGN, æqualis erit angulo GFH; parallela igi- tur GN, ip$i FH, & propter$imilitudinem triangulorum dupla erit FH, ip$ius GN. Rur$us, quoniam recta OP, $ecat latera oppo$ita parallelogrammi BD, bifa- riam in punctis O, P, $ecta, & ip$a bifariam in puncto N, erit punctum N, parallelogrammi BD, centrum graui- tatis, atque ideo axis FN, pyramidis ABDEF. qua ratione erit quoque axis FH, pyramidis ABCF: $ed FL, e$t tripla ip$ius LH; pyramidis igitur ABCF, cen- trum grauitatis erit L. Rur$us quia e$t vt GK, ad KH, ita GR, ad LH, propter $imilitudinem triangulorum, erit æqualis GR, ip$i LH: $ed e$t FH, quadrupla ip-, $ius LH, quadrupla igitur FH, ip$ius GR: $ed FH erat dupla ip$ius GN; quadrupla igitur FH, reliquæ NR, ac proinde GR, RN, æquales erunt: recta igitur FL, tripla erit vtriu$que ip$arum GR, RN, $ed vt FL, ad NR, ita e$t FM, ad MN, propter $imilitudinem trian gulorum; recta igitur FM, erit ip$ius MN, tripla, $icut & LM, ip$ius MR: $ed quia KH, e$t æqualis GK, erit & LK, æqualis RK; propter $imilitudinem trian- gulorum; cum igitur LK, $it tripla ip$ius MR, erit LK, ip$ius KM, dupla; vt igitur e$t pyramis ABEDF, ad pyramidem ABCF, ita erit LK, ad KM; e$t autem M, centrum grauitatis pyramidis ABED, $icut & L, pyrami- dis ABCF; totius igitur pri$matis ABCDEF, centrum grauitatis erit K. Quod demon$trandum erat. <foot>I 2</foot> <p n=>68</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXXIV.</I></HEAD> <p>Omnis pri$matis ba$im plu$quam trilateram habentis centrum grauitatis e$t in medio axis. <p>Sit pri$ma ABCDEFGH, ba$im habens quadrila- teram ABCD: axis autem <I>K</I>L, bifariam $ectus in pun- cto M. Dico punctum M, e$se centrum grauitatis pri$- matis ABCDEFGH. Iungantur enim rectæ BD, FH, vt parallelogrammum $it BH, $ectumque totum pri$ma in duo pri$mata, quorum ba- $es $unt triangula, in quæ $ecta $unt quadrilatera AC, EG, $int autem axes duorum pri$- matum triangulas ba$es ha- bentium NO, PQ. Erunt igitur centra grauitatis O, tri- anguli ABD, & L, quadri- lateri AC, & Q, trianguli BCD, itemque N, trianguli EFH, & K, quadrilateri EG, & P, trianguli FGH: iun- ctæ igitur OQ, NP, per pun <FIG> cta L, K, tran$ibunt: cumque tres prædicti axes $int lateribus pri$matis, atque ideo inter $e quoque paralleli; parallelogramma erunt OP, NL, LP. ducta igitur per punctum M, ip$i OQ, vel NP, parallela RS, erit vt NK, ad KP, ita RM, ad MS: & vt KM, ad ML, ita NR, ad RO, & PS, ad SQ: $ed KM, e$t æqualis ML; igitur & KR, ip$i RO, & PS, ip$i SQ, æqualis erit: $unt autem hæ $egmenta axium NO, PQ; punctum igitur R, e$t centrum grauitatis pri$matis ABDEFH: & per <p n=>69</p> punctum S, pri$matis BCDFGH. Quoniam igitur quadrilateri EG, e$t centrum grauitatis K, cuius duorum triangulorum centra grauitatis $unt P, N; erit vt triangu- lum FGH, ad triangulum EFH, hoc e$t vt pri$ma BC- DFGH, ad pri$ma ABDEFH, ita NK, ad KP, hoc e$t RM, ad MS; cum igitur $it R, centrum grauitatis pri$matis ABDEFH: $icut & S, pri$matis BCDFGH; totius pri$matis ABCDEFGH, centrum grauitatis erit M. Quod $i pri$ma ba$im habeat quinquelateram; ab- $ci$so rur$us pri$mate vno triangulam ba$im habente, $umpti$que axibus pri$inatum, quorum alterum habebit ba$im quadrilateram, eadem demon$tratione propo$itum concluderemus, & $ic deinceps in aliis. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXV.</I></HEAD> <p>Omnis fru$ti pyramidis triangulam ba$im ha bentis centrum grauitatis e$t in axe, primum ita diui$o, vt $egmentum attingens minorem ba$im $it ad reliquum, vt duplum vnius laterum maioris ba$is vna cum latere homologo mino- ris, ad duplum prædicti lateris minoris ba$is, vna cum latere homologo maioris. Deinde à puncto $ectionis ab$ci$sa quarta parte $eg- menti, quod maiorem ba$im attingit, & à pun- cto, in quo ad minorem ba$im axis termina- tur $umpta item quarta parte totius axis; in eo puncto, in quo $egmentum axis duabus po- $terioribus $ectionibus finitum $ic diuiditur, vt <p n=>70</p> $egmentum eius maiori ba$i propinquius $it ad to- tum prædictum interiectum $egmentum, vt tertia proportionalis minor ad duo latera homologa ba- $ium oppo$itarum, ad compo$itam ex his tribus deinceps proportionalibus. <p>Sit pyramidis fru$tum, cuius ba$es oppo$itæ, & parallelæ, maior triangulum ABC, minor autem triangulum DEF, axis autem GH. triangulorum autem ABC, DEF, quæ inter $e $imilia e$se nece$se e$t, $int duo latera homologa BC, EF: & vt e$t BC, ad EF, ita $it EF, ad X: vt autem e$t duplum lateris BC, vna cum latere EF, ad duplum lateris EF, vna cum la tere BC, ita $it HN, ad NG, & NO, pars quar ta ip$ius NG, & HS, pars quar- ta ip$ius GH; ip $ius autem SO, $it VO, ad OS, vt e$t X, ad com- po$itam ex tri- bus BC, EF, X. Dico punctum V (quod cadet ne- ce$sario infra <FIG> punctum N, quanquam hoc ad demon$trationem nihil re- fert) e$se centrum grauitatis fru$ti ABCDEF. Ducta enim recta AGL; quoniam GH, e$t axis fru$ti ABCD EF, & punctum G, centrum grauitatis trianguli ABC, erit punctum L, in medio ba$is BC: $ecto igitur etiam la- tere EF, bifariam in puncto K, iungantur LK, <I>K</I>H: & vt <p n=>71</p> vt e$t HN, ad NG, ita fiat KM, ad ML, & GM, iun- gatur: & vt e$t GO, ad ON, ita fiat GP, ad PM, & iun gantur MN, OP, FG, GD, GE. Quoniam igitur re cta KL, $ecat trapezij BCFE, latera parallela bifariam in punctis K,L, & e$t vt HN, ad NG, hoc e$t vt duplum lateris BC, vna cum latere EF, ad duplum lateris EF, vna cum latere BC, ita KM, ad ML; erit punctum M, cen- trum grauitatis trapezij BCFE, & pyramidis GBCFE, axis GM. Et quoniam vt GO, ad ON, ita e$t GP, ad PM, atque ideo GP, tripla ip$ius PM, erit punctum P, centrum grauitatis pyramidis GBCFE, atque ideo in linea OP. Rur$us quoniam angulus ACB; æqualis e$t angulo DFK: & vt AC, ad CK, ita e$t DF, ad FK: e$t autem DF, parallela ip$i AC, & FK, ip$i CL; erit reliqua DK, reliquæ AL, parallela; vnum igitur planum e$t, ADKL, in quo iacet triangulum GMN; cum igitur $it parallela KH, ip$i GL, vtque HN, ad NG, ita <I>K</I>M, ad ML; erit MN, ip$i LG, parallela: $ed OP, e$t parallela ip$i MN; $ecant enim latera trianguli GMN, in ea$dem rationes; igitur OP, erit LG, parallela. Simi- liter ex puncto O, ad axes duarum pyramidum GABED, GACFD, duæ aliæ rectæ lineæ ducerentnr, quas & cen- tra grauitatis pyramidum habere, & parallelas rectis GQ, GR, alteram alteri e$se o$tenderemus, $icut o$tendimus OP, habentem centrum grauitatis pyramidis GBCFE, ip$i GL, parallelam; $ed tres rectæ GL, GQ, GR, $unt in eodem plano trianguli nimirum ABC; tres igitur præ- dictæ parallelæ, quæ ex puncto O, atque ideo trium præ- dictarum pyramidum centra grauitatis erunt in eodem pla- no, per punctum O, & trianguli ABC, parallelo. Quo- niam igitur fru$ti ABCDE, centrum grauitatis e$t in axe GH; (manife$tum hoc autem ex duobus centris grauitatis pyramidis, cuius e$t prædictum fru$tum, & ablatæ, quæ centra grauitatis $unt in axe, cuius $egmentum e$t axis <p n=>72</p> GH) erit eiu$dem fru$ti ABCDEF, centrum grauitatis O. Rur$us quoniam vt tres deinceps proportionales BC, EF, X, $imul ad BC, ita e$t fru$tum ABCDEF, ad py- ramidem; $i de$cribatur ABCH: $ed vt triangulum ABC, ad $imile triangulum EDF, hoc e$t vt BC, ad X, ita e$t pyramis ABCH, ad pyramidem GDEF; erit ex æqua- li, vt tres lineæ BC, EF, X, $i- mul ad X, ita fru $tum ABCDEF, ad pyramidem GDEF: & con- uertendo, vt X, ad compo$itam ex BC, EF, X, hoc e$t vt VO, ad OS, ita pyra mis GDEF, ad fru$tum ABC- DEF; & diui- dendo, vt pyra- <FIG> mis GDEF, ad reliquas tres pyramides fru$ti, ita OV, ad VS; $ed S, e$t centrum grauitatis pyramidis GDEF, & O, trium reliquarum; fru$ti igitur ABCDEF, cen- trum grauitatis erit V. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXVI.</I></HEAD> <p>Omnis fru$ti pyramidis ba$im plu$quam trila- teram habentis centrum grauitatis e$t punctum illud, in quo axis $ic diuiditur, vt axis fru$ti pyra- midis triangulam ba$im habentis diuiditur ab ip$ius centro grauitatis. <p n=>73</p> <p>Sit pyramidis quadrilateram ba$im habentis fru$tum ABCDEFGH, cuius axis KL, atque in ip$o centrum grauitatis O. Dico axim KL, $ectum e$se in puncto O, vt propo$uimus. Ductis enim AC, EG, quæ $imilium $ectionum angulos æquales $ubtendant B, F, qui late- ribus homologis continentur, fru$ta erunt pyramidum triangulas ba$es habentium AFG, AGH: $it autem fru- $ti AFG, axis TP, & in eo eiu$ dem fru$ti cen- trum grauitatis M, & fru$ti AG H, axis VQ, & in eo centrum grauitatis N, & iungantur TV, MN, PQ. Quo niam igitur e$t pyramidis fru- $tum, quod pro- ponitur; omnia <FIG> cius producta latera concurrent in vno puncto, qui e$t pyra- midis vertex: fru$ta igitur, in quæ diui$um e$t fru$tum pro- po$itum earum $unt pyramidum, quæ verticem habent communem cum pyramide, cuius e$t fru$tum propo$itum: tres igitur talium fru$torum axes, vt pote $egmenta axium trium prædictarum pyramidum in communi illo vertice concurrent: quilibet igitur duo trium prædictorum axium KL, TP, VQ, erunt in eodem plano: TP, igitur, & VQ, $unt in eodem plano. Eadem autem ratione, qua vtebamur de pri$mate K, centrum grauitatis K, ba$is EH, e$t in linea TV, & L, ba$is BD, centrum grauita- tis e$t in linea PQ; reliquæ igitur KL, MN, erunt in eo- dem plano trapezij PTVQ, $eque mutuo $ecabunt: cum <foot>K</foot> <p n=>74</p> igitur M, N, $int centra grauitatis propo$iti pri$matis par tium pri$matum AFG, AGH, atque obid O, totius pri$- matis AFGH, in linea MN, centrum grauitatis; per pun ctum O, recta MN, tran$ibit. Et quoniam planum tra- pezij PV, $ecatur duobus planis parallelis, erunt TV, PQ, fectiones parallelæ. His demon$tratis, fiat rur$us vt AB, bis vna cum EF, ad EF, bis vna cum AB, ita TY, ad YP: & $umatur T<G>w</G>, pars quarta ip$ius TP, & YZ, pars quarta ip$ius PY, & ad axim KL, ducantur ip$is TV, PQ, parallelæ <G>w</G>S, YR, ZX, quæ rectas TP, KL, $ecabunt in ea$d&etilde; rationes: vt igitur TY, ad <G>*u</G>P, hoc e$t vt AB, bis vna cum EF, ad EF bis vna cum AB, ita erit <I>K</I>R, ad RL, eritque KS, pars quarta ip$ius K L, qualis & R <FIG> X, ip$ius RL. Et quoniam M, e$t centrum grauitatis fru- $ti AFG; manife$tum e$t ex tribus prædictis axis TP, $e- ctionibus <G>*u, w</G>, Z, e$se MZ, ad Z<G>w</G>, hoc e$t OX, ad XS, vt e$t 6 ad compo$itam ex tribus deinceps proportionalibus AB, EF, 6; Fru$ti igitur ABCDEFGH, centrum gra uitatis O, axim KL, ita diuidit, vt propo$uimus. Quod $i fru$tum propo$itum $it pyramidis ba$im habentis quin- quelateram, & quotcumque plurium deinceps fuerit la- terum, eadem demon$tratione $emper deinceps, vt in pri$- mate monuimus, propo$itum concluderemus. <p n=>75</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXXVII.</I></HEAD> <p>Dodecaedri, & ico$aedri idem e$t centrum gra uitatis, & figuræ. <p>Nam huiu$modi figuras habere axes, qui omnes $e $e bifariam $ecant; (tale autem $ectionis punctum centrum e$t) con$tat ex talium corporum in $phæra in$criptione in de- cimotertio Euclidis Elemento: nec non omnem pyrami- dem, cuius vertex e$t dodecaedri, vel octaedri centrum idem cum centro $phæræ, vt con$tat ex ij$dem Euclidis in- $criptionibus; ba$is autem triangulum æquilaterum, vel pentagonum, vna ex ba$ibus corporum prædictorum, ha- bere pyramidem oppo$itam $imilem ip$i, & æqualem, cuius latera eius lateribus homologis $unt in directum po$ita, ba$is autem triangulum, vel pentagonum, quale diximus; Eadem igitur ratione, qua v$i $umus ad demon$trandum centrum grauitatis, & parallelepipedi, & octaedri, propo- $itum concluderemus. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXVIII.</I></HEAD> <p>Data qualibet figura, cuius termini omnis cauitas $it interior, $i certum in ea punctum talis cius partis centrum grauitatis e$se po$sit, quæ ab ca deficiat minori $pacio quantacumque magnitu dine propo$ita; illud erit totius figuræ centrum grauitatis. <foot>K 2</foot> <p n=>76</p> <p>E$to figura AB, cuius termini omnis cauitas $it interior & certum in ea punctum E, talis partis AB, figuræ qua- lem diximus centrum grauitatis e$se po$sit. Dico pun- ctum E, e$se figuræ AB, centrum grauitatis. Si enim E, non e$t, erit aliud, e$to F: & iuncta EF producatur, & $umatur in illa extra figuræ AB, terminum, quodlibet punctum G; & vt e$t FE, ad EG, ita $it alia magnitudo K, ad figuram AB, & ex vi hypothe$is $it pars quædam CD, figuræ AB, cuius centrum gra uitatis E, talis vt abla- ta relinquat AC, minus magnitudine <I>K.</I> Mi- nor igitur proportio erit AC, ad AB, quàm K, ad AB, hoc e$t quàm FE, ad EG; fiat vt AC, ad AB, ita EF, ad FGH: $ed F, e$t cen trum grauitatis totius AB, & E, vnius par- tis CD; reliquæ igitur <FIG> partis AC, centrum grauitatis erit H, vltra punctum G: $ed G, cadit extra terminum figuræ AC; multo igitur magis H: Quod e$t ab$urdum. Non igitur aliud punctum à puncto E; punctum igitur E, figuræ AB, erit centrum grauitatis Quod demon$trandum erat. <p n=>77</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXXIX.</I></HEAD> <p>Omnis coni centrum grauitatis axim ita diui- dit, vt $egmentum ad verticem $it reliqui triplum. <p>Sit conus ABC, cuius vertex B, axis autem BD, cu- ius BE, $it tripla ip$ius ED. Dico punctum E, e$se co- ni ABC, centrum grauitatis. Si enim cono ABC, pyramis in$cribatur, cuius ba$is in$cripta circulo AC, æquilatera $it, & æquiangula, eius centrum grauitatis erit idem quod & figuræ centrum, $ed centrum talis figuræ circulo in$criptæ idem e$t, quod centrum cir- culi, vt colligitur ex demon- $trationibus quarti Elemen- torum; in$criptæ igitur pyra midis erit axis BD, & cen- trum grauitatis E. talis au- tem ea pyramis in$cribi po- te$t, vt à cono deficiat mino- ri $pacio quantacumque ma gnitudine propo$ita; igitur ABC, coni centrum graui- tatis erit E. Quod demon$trandum erat. <FIG> <HEAD><I>PROPOSITIO XXXX.</I></HEAD> <p>Omnis fru$ti conici centrum grauitatis idem e$t in axe centro grauitatis fru$ti pyramidis ba$im habentis æquilateram, & æquiangul am in $criptæ cono, ab $ci$$i eodem plano, quo coni fru$tum. <p n=>78</p> <p>Sit coni fru$tum ABCD, cuius axis EF, fru$to autem ABCD, intelligatur in$criptum fru$tum pyramidis in$cri- ptæ cono AHD, à quo ab$ci$sum e$t fru$tum ABCD, ba$im habentis æquilateram, & æquiangulam in$criptam circulo AD: quare eius centrum grauitatis, & figuræ erit punctum F, vt diximus in præcedenti, axis autem FH, $i- cut etiam pyramidis ab$ci$sæ vna cum cono BHC, axis EH, quare & reliqui fru$ti pyramidis axis erit EF, igi- tur in EF, $it fru$ti in$cripti fru$to ABCD, centrum gra- uitatis G. Dico punctum G, e$se centrum grauitatis fru- $ti ABCD. Ponatur enim FL, pars quarta ip$ius FH, necnon EK, pars quarta ip- $ius EH: punctum igitur K, e$t centrum grauitatis pyra- midis, & coni BHC, $icut & punctum L, pyramidis, & coni AHD. cum igitur fru $ti pyramidis fru$to ABCD, in$cripti $it centrum grauita- tis G; erit vt GL, ad LK, ita pyramis BHC, ad pyra- midis fru$tum fru$to ABCD, in$criptum: $ed vt pyramis BHC, ad pyramidis fru$tum fru$to ABCD, in$criptum, <FIG> ita e$t diuidendo, conus BHC, ad fru$tum ABCD, pro- pter eandem triplicatam communium conis, & pyramidi- bus $imilibus laterum homologorum proportionem; vt igi- tur GL, ad LK, ita erit conus BHC: ad fru$tum ABCD: $ed coni BHC, centrum grauitatis erat K, & coni AHD, centrum grauitatis L; fru$ti igitur ABCD, centrum gra- nitatis erit G. Quod demon$trandum erat. <p n=>79</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XLI.</I></HEAD> <p>Omnis cylindri centrum grauitatis axim bifa- riam diuidit. <p>Sit cylindrus ABCD, cuius axis EF, & $it $ectus bi- fariam in puncto G. Dico punctum G, e$se centrum grauitatis cylindri ABCD. Nam $i cylindro AD, in- $criptum intelligatur pri$ma, cuius ba$es oppo$itæ æquilate- ræ $int, & æquiangulæ; erunt, qua ratione $upra diximus, ea- rum centra figuræ, & grauitatis E, F; axis igitur in$cripti pri$- matis erit EF: & centrum gra uitatis G. pote$t autem tale pri$ma $ic in$cribi cylindro ABCD, vt ab illo deficiat minori $pacio quantacumque magnitudine propo$ita; cylin- dri igitur ABCD, centrum grauitatis erit G. Quod demon$trandum erat. <FIG> <HEAD><I>PROPOSITIO XLII.</I></HEAD> <p>Sphæræ, & $phæroidis idem e$t centrum gra- uitatis, & figuræ. <p>Sit $phæra, vel $phæroides ABCD, cuius centrum E, <p n=>80</p> Dico $phæræ, vel $phæroidis ABCD, centrum grauitatis e$se E. Sint enim bini axes $phæræ, vel $phæroidis inter $e ad rectos angulos; & in $phæroide $it maior diameter BD, minor AC, per binos autem hos axes plana tran- $euntia ad eos axes erecta, $ecent $phæram, vel $phæroidem. Qua ratione axes dimidij erunt axes hemi$phærij, vel he- mi$phæroidis: hemi$phærium autem, & $phæroidis e$t fi- <FIG> gura circa axim in alteram partem deficiens, qualium om- nium figurarum centrum grauitatis e$t in axe; igitur hemi- $phærij, vel hemi$phæroidis ABCD, centrum grauitatis e$t in axi BE, $icut & reliqui ADA, in axi ED; totius igitur $phæræ, vel $phæroidis ABCD centrum grauitatis e$t in axi BD. Eadem ratione & in axi AC; in communi igitur $ectione centro E. Quod demon$trandum erat. <HEAD>PRIMI LIBRI FINIS.</HEAD> <FIG> <HEAD>LVC AE VALERII DE CENTRO GRAVITATIS SOLIDORVM</HEAD> <HEAD><I>LIBER SECV NDV S.</I></HEAD> <HEAD><I>PROPOSITIO I.</I></HEAD> <p>Si duæ magnitudines vnà maio res, vel minores prima, & ter tia minori exce$$u, vel defe- ctu quantacumq; magnitudi ne propo$ita eiu$dem generis cum illa, ad quam refertur, eandem proportion&etilde; habue- rint, maior vel minor prima ad $ecundam, & vnà maior, vel minor tertia ad quartam; erit vt prima ad $ecundam, ita tertia ad quartam. <foot>A</foot> <p n=>2</p> <p>Sint quatuor magnitudines A prima, B $ecunda, C ter tia, & D quarta: quantacumque autem magnitudine propo $ita, ex infinitìs quæ proponi po$$unt eiu$dem generis cum A, C, vel vna tantum, $i AC $int eiu$dem generis: vel vna, & altera; $i vna vnius, altera $it alterius generis; $emper aliæ duæ magnitudines vnà maiores, quàm AC, minori exce$su magnitudine propo$ita; eandem habeant proportio nem, maior quàm A ad B, & maior quàm C ad D. Dico e$se vt A ad B, ita C ad D. Po$ita enim E ad D, vt A ad B, & F maiori quàm C vtcumque, $int aliæ duæ ma- gnitudines, G maior quàm A minori exce$su magnitudine eiu$dem generis cum A, quam quis voluerit, & H maior quàm C minori exce$su quàm quo F $uperat C, ide$t, quæ ma- ior $it quàm C, & minor quàm F: $it autem vt G ad B, ita H ad D. Quoniam igitur F maior e$t, <34>H, maior erit proportio ip$ius F quàm H ad D, hoc e$t quàm G ad B. Sed cũ G maior $it quàm A, maior e$t proportio <FIG> G ad B, quàm A ad B, multo igitur erit maior proportio F ad D, quàm A ad B. Sed F ponitur maior quàm C, vtcum que; nulla igitur magnitudo maior quàm C e$t ad D, vt A ad B: $ed E ad D, e$t vt A ad B; non igitur e$t E ma- ior quàm C; nec maior proportio E ad D, hoc e$t A ad B, quàm C ad D. Eadem autem ratione nec maior erit proportio C ad D quàm A ad B, hoc e$t non minor A ad B, quàm C ad D; eadem igitur proportio A ad B, quæ C ad D. <p>Sed aliæ duæ magnitudines vnà minores quàm A, C minori defectu quantacumque magnitudine propo$ita, eandem habeant proportionem, minor quàm A ad B, & minor quàm C, ad D. Dico e$se vt A ad B, ita C ad D. <p n=>3</p> Po$ita enim rur$us E ad D, vt A ad B, & F minori quàm C vtcumque, $it G minor quam A, minori defectu magni tudine eiu$dem generis cum A, quam quis voluerit, & H minor quàm C, & maior quàm F: $it autem vt G ad B, ita H ad D. Quoniam igitur F minor e$t quàm H, minor erit proportio ip$ius F quã H ad D, hoc e$t <34>G ad B: $ed cum G $it minor <34>A, minor e$t propor- tio G ad B, quàm A ad B; mul to ergo minor proportio F ad D, quàm A ad B: $ed F poni tur minor quàm C vtcumque; nulla igitur magnitudo minor <FIG> quàm C e$t ad D, vt A ad B: $ed E e$t ad D, vt A ad B: non igitur e$t E minor quàm C, nec minor proportio E ad D, hoc e$t A ad B, quàm C ad D. eadem autem ratione non minor erit proportio C ad D, quàm A ad B; hoc e$t non maior A ad B, quàm C ad D; vt igitur A ad B, ita e$t C ad D. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>ALITE R.</I></HEAD> <p>Dico e$se vt A ad B, ita C ad D. Si enim fieri pote$t, $it minor proportio A ad B quàm C ad D. alia igitur aliqua magnitudo G maior quàm A, eandem habebit proportionem ad B, quam C ad D. Sit autem F maior quam C minori exce$su magnitudine, quã quis voluerit, & E maior quàm A, & minor quàm G: vt autem <FIG> E ad B, ita F ad D. Quoniamigitur F maior e$t quàm C, maior erit proportio F ad D, quàm C ad D. Sed vt F ad D, ità e$t E ad B: & vt C ad D, ita G ad B; maior <foot>A 2</foot> <p n=>4</p> igitur proportio E ad B, quàm G ad B; quamobrem E maior erit quàm G minor maiori, quod fieri non pote$t. Non igitur minor e$t proportio A ad B quàm C ad D. Eadem autem ratione non minor erit proportio C ad D, quàm A ad B, hoc e$t non maior A ad B, quàm C ad D; eadem igitur proportio A ad B, quæ C ad D. <p>In $ecunda autem hypothe$is parte, quæ pertinet ad mi- norem defectũ, e$to $i fieri pote$t maior proportio A ad B, quàm C ad D. erit igitur, & $it aliqua alia magnitudo G minor quàm A ad B, vt C ad D. Sit autê F minor quàm C minori defectu magnitudine, quam quis voluerit, & E minor quàm A, & maior quàm G, vt au- tem E ad B ita F ad D. Quoniam igitur maior e$t proportio C ad D, quàm F ad D: $ed vt C ad D, ita e$t G ad B: & vt F ad D, ita E ad B: maior erit proportio G ad B quàm E ad B; quamobrem erit G maior quàm E, minor maiori, quod fieri non pote$t; non igitur ma <FIG> ior e$t proportio A ad B, quàm C ad D. Eadem autem ra tione non maior erit proportio C ad D, quàm A ad B, hoc e$t non minor A ad B, quàm C ad D. Eadem igitur erit proportio A ad B, quæ C ad D. Quod demon$trãdum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO II.</I></HEAD> <p>Si maior, vel minor prima ad vnà maiorem, vel minorem $ecunda, minori vtriu$q; exce$$u, vel de- fectu quantacumq; magnitudine propo$ita fue- rit vt tertia ad quartam; erit vt prima ad $ecun- dam, ita tertia ad quartam. <p n=>5</p> <p>Sint quatuor magnitudines, A prima, B $ecunda, C ter- tia, & D quarta: & aliæ duæ magnitudines E F vnà maiores quàm A, B minori exce$su quantacumque magnitudine propo$ita eiu$- dem generis cum ip$is A, B. Sit autem E maior quàm A, ad F maiorem quàm B, vt C ad D. Dico e$se A ad B, vt C ad D. E$to enim, quod fieri pote$t, alia ma- gnitudo G eiu$dem generis cum EF ad aliam H, vt C ad D, vel E ad F. Quoniam igitur e$t permutando vt E ad G, ita F ad H, & $unt EF vnà maiores quàm AB minori ex- ce$su quantacumque magnitudine propo$i- ta; erit per antecedentem, vt A ad G, ita B ad H: & permutando A ad B, vt G ad H, hoc e$t vt C ad D. Idem autem $imiliter o$ten deremus po$itis EF minoribus quàm AB, & proportionalibus vt dictũ e$t. Manife$tũ e$t igitur propo$itũ. <FIG> <HEAD><I>ALITER.</I></HEAD> <p>Ij$dem po$itis, $i non e$t A ad B, vt C ad D; vel igitur ma- ior vel minor erit proportio A ad B quàm C ad D: $it autem maior: vt igitur A ad B, ita erit eadem A ad aliã maiorem <34>B. E$to illa E. $intque aliæ duæ ma gnitudines, G maior quàm A <FIG> minori exce$su magnitudine eiu$dem generis cum A, quam quis voluerit, & F maior quàm B, & minor quàm E. $it autem G ad F vt C ad D. Quoniam igitur & vt C ad D, ita e$t A ad E; erit vt G ad F, ita A ad E; & permutando vt G ad A, ita F ad E: $ed G e$t maior <p n=>6</p> quàm A: ergo & F maior quàm E, minor maiori, quod e$t ab- $urdum. Non igitur maior e$t proportio A ad B quàm C ad D: eadem autem ratione non maior erit proportio B ad A quã D ad C, hoc e$t non minor A ad B, quàm C ad D; e$t igitur A ad B, vt C ad D. <FIG> <p>Rur$us in $ecunda parte hypothe$is, quæ attinet ad mi- norem defectum: $i non e$t A ad B vt C ad D; e$to, $i fie- ri pote$t, minor proportio A ad B quàm C ad D. igitur A ad aliam quam B minorem eandem habebit proportion&etilde;, quam C ad D, e$to illa E: $intque aliæ duæ magnitudines, G minor quàm A minori defectu magnitudi- ne eiu$dem generis cum A, quam quis voluerit, & F minor quàm B, & maior quàm E: $it autem G ad F, vt C ad D, hoc e$t vt A ad E. Quoniam igitur permutando e$t vt G ad A, ita F ad E, & G e$t mi- <FIG> nor quàm A; erit & F minor quàm E, maior mino- ri, quod e$t ab$urdum; non igitur minor e$t proportio A ad B quàm C ad D: eadem autem ratione non minor erit proportio B ad A, quàm D ad C, hoc e$t non maior A ad B, quàm C ad D; e$t igitur A ad B vt C ad D. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO III.</I></HEAD> <p>Si maior, vel minor prima ad vnà maiorem, vel minorem $ecunda, minori exce$$u, vel defectu <p n=>7</p> quantacumque magnitudine propo$ita, nomina- tam habuerit proportionem; prima ad $ecundam eandem nominatam habebit proportionem. <p>Sint duæ magnitudines A, B duarum autem aliarum EF vnà maiorum, vel minorum quàm AB minori ex- ce$su vel defectu quantacumque magnitudine propo- $ita, habeat E maior vel minor quàm A ad F vnà maiorem, vel minorem quàm B certam ali quam nomina- tam proportionem, verbi gratia, $e$quialteram. Dico A ad B, eandem nominatam habere proportionem: vt A ip$ius B e$se $e$quialteram. Quoniam enim omnis proportio in aliquibus ma- gnitudinibus con$i$tit; $it magnitudo C ip$ius D $e$quialtera: $ed & E e$t ip$ius F $e$quialtera; vtigitur C, tertia ad D quartam, ita erit E maior, vel minor quàm A prima, ad F vnà maiorem, vel minorem $ecunda, minori, vt ponitur, vtriu$que ex- ce$su, vel defectu magnitudine propo$ita eiu$dem generis cum A, B, quæcumque illa, & quantacumque $it; erit per præ- cedentem eadem proportio A ad B, quæ C ad D: $ed proportio quam ha- bet C ad D, e$t $e$quialtera; ergo & A ip$ius B erit $e$quialtera. Similiter quo- cumque alio nomine notatam proportio- nem habeat E ad F, eandem habere A <FIG> ad B, o$tenderemus, vt duplam, $e$quitertiam, alicuius du plicatam, vel triplicatam, & $ic de $ingulis. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <p>Hæc autem propo$itio in paucis exemplaribus, quæ do- no quibu$dam dederã, non extat; po$terius enim eam exco- <p n=>8</p> gitaui, quo $ecunda anteced&etilde;s hìc in illis tertia facilius $er- uiret ijs, in quibus certæ proportionis nomen, tertiũ & quar tum terminum $ubob$curè indicat, vt in $equenti XII iilud, proportio dupla. Illo autem Lemmate, quod prima propofi- tio in$cribebatur, nunc ita non egeo, vt primam, & $ecundã, quæ $ecunda, & tertia erant, & facilius demon$trem, & ea- rum $en$um paucioribus comprehendam. priora ergo ita non improbo vt hæc ijs anteponam. <HEAD><I>PROPOSITIO IIII.</I></HEAD> <p>Si $int tres magnitudines $e $e æqualiter exce- dentes, minor erit proportio minimæ ad mediam quàm mediæ ad maximam. <p>Sint tres magnitudines inæquales A, BC, DE, qua- rum BC æquè excedat ip$am A, ac DE ip$am BC Dico minorem e$se proportionem A, ad BC, quàm BC, ad DE. Nam vt e$t A ad BC, ita $it BC ad LH, & au- feratur BF æqualis A, & DG, & LK æquales BC. Quoniam igitur e$t vt A, hoc e$t FB ad BC, ita BC hoc e$t KL ad LH; erit diuidendo vt BF ad FC, ita LK ad KH: & componendo, ac per- mutando vt BC ad LH, ita FC ad KH. $ed BC e$t minor quàm LH; ergo & FC hoc e$t EG erit minor quàm KH. Sed DE, LH, $uperant BC exce$sibus EG, KH; minor igitur erit DE quàm LH, & minor proportio BC ad LH, quàm BC ad DE. Sed vt BC ad LH, <FIG> ita e$t A ad BC; minor igitur proportio erit A ad BC, quàm BC ad DE. Quod demon$trandum erat. <p n=>9</p> <HEAD><I>PROPOSITIO V.</I></HEAD> <p>Si $it minor proportio primæ ad $ecundam, quàm $ecundæ ad tertiam, ab ip$is autem æquales auferantur; erit minor proportio reliquæ primæ ad reliquam $ecundæ, quam reliquæ $ecundæ ad reliquam tertiæ. <p>Sit minor proportio AB, ad CD, quam CD, ad EF. Sitque AB, minima. ablatæ autem æquales fint AG, CH, EK. Dico reliquarum minorem e$se proportionem BG, ad DH, quam BH, ad FH. Ponatur enim CL, æqua- lis AB, & EM, æqualis CD. Quoniam igitur maior e$t proportio DL ad LH, quam DL, ad LC; erit componendo maior proportio DH ad HL, quam DC ad CL. hoc e$t, maior proportio DH, ad BG, quam DC, ad AB: & conuertendo, minor proportio BG ad DH, quam AB, ad CD: hoc e$t maior proportio AB, ad CD, quam BG, ad DH. Rur$us, quoniam maior e$t pro- portio CD, ad EF, quam AB, ad CD: hoc e$t quam CL, ad EM; erit permutan do, maior proportio CD, ad CL, quam FE, ad EM: & diuidendo, maior DL, ad LC, quam FM, ad ME: & permutando, <FIG> maior DL, ad FM, quam CL, ad EM: hoc e$t quam AB, ad CD. Sed maior erat proportio AB, ad CD, quam BG ad DH; multo igitur maior proportio erit DL, ad FM, quam BG, ad DH: hoc e$t quam LH, ad MK: & permutando, maior proportio DL, ad LH, quam FM, ad MK: & componendo, maior DH, ad HL, quam FK, <foot>B</foot> <p n=>10</p> ad KM: & permutando, maior DH ad F<I>K</I>, quam LH, ad M<I>K</I>: hoc e$t, quam BG, ad DH: hoc e$t minor propor- tio BG ad DH, quam DH, ad FK. Quod demon- $trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO VI.</I></HEAD> <p>Si $int tres magnitudines inæquales, & aliæ il- lis multitudine æquales binæque in duplicata pri marum proportione. Sit autem minor proportio primæ ad $ecundam, quam $ecundæ ad tertiam in primis; erit minor proportio primæ ad $ecundam, quam $ecundæ ad tertiam in $ecundis. <p>Sint tres magnitudines A, B, C, & aliæ illis multitudine æquales D, E, F. quarum ip$ius D ad E proportio $it du- plicata eius, quæ e$t A ad B: & E ad F, duplicata eius, quæ e$t B ad C. $it autem mi- nor proportio A ad B, quam B ad C. Dico minorem e$se proportionem D ad E, quam E ad F. Sit enim vt C ad B, ita B ad G: & vt B ad A, ita A ad H. Igitur G ad C dupli- cata erit proportio ip$ius G ad B, hoc e$t B ad C: $imiliter erit H ad B, duplicata propor- tio ip$ius A ad B. Vt igitur e$t H ad B, ita erit D ad E: & vt G ad C, ita E ad F. Rur- $us, quia minor e$t proportio <FIG> A ad B, quam B ad C, $ed vt A ad B, ita e$t H ad A <p n=>11</p> & vt B ad C, ita G ad B; erit ex æquali minor proportio H ad B, quam G ad C, $ed vt H ad B, ita erat D, ad E: & vt G ad C, ita E ad F; minor igitur proportio erit D ad E, quam E ad F. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO VII.</I></HEAD> <p>Si $int octo magnitudines quaternæ propor- tionales: tertiæ autem vtriu$que ordinis inter $o $int vt primæ; erit vt compo$ita ex primis ad com po$itam ex $ecundis, ita compo$ita ex tertiis ad compo$itam ex quartis. <p>Sint octo magnitudines quaternæ $um- ptæ proportionales, vt A ad B, ita C ad D. & vt E ad F, ita G ad H. $it autem vt A ad E, ita C ad G. Dico e$se vt AE, ad ABF, ita CG, ad DH. Quoniam enim componendo e$t vt AE, ad E, ita, CG, ad G; $ed vt E ad F, ita e$t G, ad H; erit ex æquali, vt AE, ad F, ita CG, ad H. Eadem ratione erit vt AE, ad B, ita CG, ad D: & conuertendo, vt B ad AE, ita D ad CG. $ed vt AE, ad F, ita erat CG ad H; ex æquali igitur erit vt B ad F, ita D, ad H: & componendo, vt BF ad F, ita DH ad H: & conuerten- do, vt F ad BF, ita H, ad DH. Sed vt AE, ad F, ita erat CG ad H; ex æqua li igitur erit vt AE ad BF, ita CG, ad DH. Quod demon$trandum erat. <FIG> <foot>B 2</foot> <p n=>12</p> <HEAD><I>PROPOSITIO VIII.</I></HEAD> <p>Si $int tres magnitudines $e $e æqualiter exce- dentes; & aliæ eiu$dem generis illis multitudine æquales, binæque $umptæ in duplicata primarum proportione; erit vtriu$que ordinis minor pro- portio compo$itæ ex primis ad compo$itam ex $e- cundis, quam compo$itæ ex $ecundis ad compo$i- tam ex tertijs. <p>Sint tres magnitudines A, B, C, quarum C maxima æque $uperet B, atque B, ip$am A. & totidem eiu$dem generis D, E, F, $itque F ad E du- plicata proportio ip$ius C ad B: & E ad D, duplicata ip$ius B ad A. Dico AD, $imul ad BE, $imul mino- tem e$$e proportionem quam BE, $imul ad CF, $imul. E$to enim recta quæpiam GH, ad aliam rectam $ibi in directum po$itam HK, vt magnitudo A ad ip $ius F duplam (hoc enim fieri pote$t) & <FIG> $uper ba$im GK; con$tituatur triangulum GLK, atque in eo de$cribatur parallelogrammum GHMN: & vt e$t <p n=>13</p> C ad B, ita fiat HM, ad MQ. & vt B ad A, ita QM, ad MP, & ip$i GK, parallelæ TPR, VQS, ducantur. Quoniam igitur e$t vt C, ad duplam ip$ius F, ita GH, ad HK; erit vt C ad F, ita e$t par llelogrammum GM, ad triangulum MHK: $ed vt C, ad B, ita e$t HM, ad MQ; hoc e$t parallelogrammum GM, ad parallelogrammum MV: & vt F, ad E, ita triangulum MHK, ad triangu- lum MQS, ob duplicatam proportionem eius, quæ e$t HM ad MQ. hoc e$t ip$ius C ad B; vt igitur trapezium NK, ad NS trapezium, ita erit, per præcedentem, CF, $imul ad BE $imul. Rur$us quoniam e$t conuertendo, vt parallelogrammum MV, ad parallelogrammum GM, ita B ad C. $ed vt parallelogrammum GM, ad triangulum KHM, ita erat C, ad F: & vt triangulum KHM, ad triangulum QSM, ita F ad E; erit ex æquali, vt paral- lelogrammum MV, ad triangulum SQM, ita B, ad E. Similiter ergo vt ante erit vt trapezium NS, ad NR tra- pezium, ita EB, $imul ad AD, $imul. Rur$us, quoniam æque excedit LV, ip$am LT, atque LG, ip$am LV; minor erit proportio LT ad LV, quam LV, ad LG: e$t autem trianguli LTR ad triangulum LVS, duplicata proportio ip$ius LT, ad LV, & trianguli LVS, ad trian- gulum LGK, duplicata ip$ius LV, ad LG, propter $i- militudinem triangulorum; minor igitur proportio erit trianguli LTR, ad triangulum LVS, quam trianguli LVS, ad triangulum LGK; dempto igitur triangulo LNM, communi, minor erit proportio trapezij NR, ad trapezium NS, quam trapezij NS, ad trapezium NK. Sed vt trapezium NR, ad trapezium NS, ita e$t conuer- tendo AD $imul ad BE, $imul: & vt trapezium NS, ad trapezium NK, ita BE, $imul ad CF, $imul; minor igi- tur proportio erit AD, $imul ad BE $imul, quam BE $i- mul ad CF, $imul. Quod demon$trandum erat. <p n=>14</p> <HEAD><I>PROPOSITIO IX.</I></HEAD> <p>Si recta linea vtcumque $ecta fuerit, cubus qui fit à tota æqualis e$t duobus $olidis rectangulis, quæ ex partibus, & totius quadrato fiunt. <p>Sit recta linea AB $ecta in puncto C vtcumque. Di- co cubum ex AB æqualem e$se duobus $olidis rectangu- lis, quæ fiunt ex AC CB, & quadrato AB. Quoniam <FIG> enim communi altitudine AB, e$t vt rectangulum BAC ad quadratum AB, ita $olidum ex AB, & rectangulo BAC ad cubum ex AB, eademque ratione vt rectangu- lum ABC, ad quadratum AB, ita $olidum e$t AB, & rectangulo ABC ad cubum ex AB; erunt vt duo rectan- gula BAC, ABC ad quadratum AB, ita duo $olida ex AB, & rectangulis BAC, ABC ad cubum ex AB. Sed duo rectangula BAC, ABC $unt æqualia quadrato AC; duo igitur $olida ex AB, & rectangulis BAC, CBA, æqualia $unt cubo ex AB. Sed $olidum ex AB & rectan- gulo BAC e$t id quod fit ex AC, & AC & quadrato AB; duo igitur $olida ex AC, CB, & quadrato AB $i- mul $umpta æqualia $ua cubo ex AB. Si igitur recta linea vtcumque $ecta fuerit, &c. Quod demon$trandum erat. <p n=>15</p> <HEAD><I>PROPOSITIO X.</I></HEAD> <p>Si recta linea vtcumque $ecta fuerit, cubus qui fit à tota æqualis e$t cubis partium, & duobus $o- lidis rectangulis, quæ partium triplis, & earun- dem quadratis reciproce continentur. <p>Sit recta linea AB $ecta vtcumque in puncto C. Dico cubum ex AB æqualem e$se duobus cubis ex AC, CB, & duobus $olidis rectangulis, quorum alterum fit ex tripla <FIG> ip$ius AC, & quadrato BC; alterum<*>autem ex tripla ip- $ius BC, & quadrato AC. Quoniam enim quadratum ex AB æquale e$t duobus quadratis ex AC, CB, & ei quod bis fit ex AC CB: & parallelepipeda elu$dem al- titudinis inter $e $unt vt ba$es; erit rectangulorum folido- rum id quod fit ex AC, & quadrato AB æquale cubo ex AC, & ei, quod fit ex AC, & rectangulo ACB bis, & ei, quod ex AC, & quadrato BC. Eadem ratione erit quod fit ex BC, & quadrato AB æquale cubo ex BC, & ei, quod fit ex BC, & rectangulo ACB, bis & ei, quod ex BC, & quadrato AC. Sed cubus ex AB æqualis e$t duobus $olidis ex AC CB. & quadrato AB; cubus igi- tur ex AB æqualis e$t duobus cubis ex AC CB, & $ex $olidis, quorum tres fiunt ex AC, & duobus rectangulis ex AC CB, & quadrato BC: tria vero ex BC, & duo- bus rectangulis ex AC CB, & quadrato AC. Sed quod fit ex AC, & rectangulo ACB, e$t quod fit ex BC, & <p n=>16</p> quadrato AC: & quod fit ex BC, & rectangulo ACB, e$t quod fit ex AC, & quadrato BC; cubus igitur ex AB æqualis e$t duobus cubis ex AC CB, vna cum $ex $olidis, quorum tria fiunt ex AC, & BC quadrato, tria autem ex BC, & quadrato AC, hoc e$t duobus $olidis, quorum alterum fit ex tripla ip$ius AC, & quadrato BC, alterum ex tripla ip$ius BC & quadrato AC. Quod de- mon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XI.</I></HEAD> <p>Si recta linea vtcumque $ecta fuerit, cubus qui fit à tota æqualis e$t cubis partium vna cum $oli- do rectangulo, quod totius tripla, & partibus continetur. <p>Sit recta linea AB $ecta in puncto C vtcumque. Di- co cubum ex AB æqualem e$se duobus cubis ex AC, CB, vna cum $olido rectangulo ex AC CB, & tripla ip$ius AB. Quoniam enim quod fit ex AC, & rectan- gulo ACB, e$t id quod fit ex BC, & quadrato AC: & quod fit ex BC, & rectangulo ACB, e$t id, quod fit ex <FIG> AC & quadrato BC. $ed duo $olida ex AC CB, & re- ctangulo ACB $unt id, quod fit ex compo$ita vtriu$que altitudine AB, et rectangulo ACB; duo igitur prædi- cta $olida, quæ ex AC CB, & earum quadratis recipro- ce fiunt æqualia $unt $olido ex AB BC CA, & triplum triplo, videlicet duo $olida, quæ fiunt reciproce ex triplis <p n=>17</p> ip$arum AC, CB, & quadratis ex AC CB, æqualia $i- mul ei, quod ter fit ex AB, BC, CA, hoc e$t ei, quod partibus AC CB, & totius AB tripla continetur: additis igitur communibus duobus cubis ex AC, CB, erit id, quod $it ex AC CB, & tripla ip$ius AB, & duo cubi ex AC CB, æqualia duobus $olidis, quæ fiunt reciproce ex triplis ip$arum AC, CB, & earundem AC, CB, quadratis, & duobus cubis ex AC, CB, hoc e$t cubo ex AC. Si igi- tur recta linea vtcumque $ecta fuerit, &c. Quod demon- $trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XII.</I></HEAD> <p>Hemi$phærium duplum e$t coni, cylindri au- tem $ub$e$quialterum eandem ip$i ba$im, & ean- dem altitudinem habentium. <p>E$to hemi$phærium; cuius axis BD, ba$is circulus, cu- ius diameter AC, $uper quem cylindrus AE, & conus <FIG> ABC, quorum communis axis $it BD, ac propterea etiam eadem altitudo. Dico hemi$phærium ABC, co- ni ABC e$se duplum: cylindri autem AE $ub$e$quialterũ. $uper ba$im enim circulum RE, vertice D de$cribatur <foot>C</foot> <p n=>18</p> conus EDR. Sectoque axe BD primo bifariam, deinde $ingulis eius partibus rur$us bifariam, tran$eant per pun- cta $ectionum plana ba$i hemi$phærij AC æquidi$tantia, quæ $ecent hemi$phærium, conum, & cylindrum. Se- ctus igitur erit AE cylindrus in cylindros æqualium alti- tudinum: $uper $ectiones autem coni, atque hemi$phærij nempe circulos, quorum centra in axe BD exi$tunt cy- lindri con$tituti intelligantur binis quibu$que proximis æquidi$tantibus planis interiecti, quorum axes omnes æquales in BD. Erit igitur cono EDR in$cripta, & ABC <FIG> hemi$phærio circum$cripta figura quædam ex cylindris æqualium altitudinum. Sint autem hæ figuræ ea ratione hæc circum$cripta illa in$cripta, vt circum$cripta excedat hemi$phærium, minori exce$su, in$cripta vero deficiat à cono minori defectu quam $it magnitudo propo$ita, quan- tacumque illa $it. His con$titutis, manife$tum e$t, reliquo cylindri AE dempto hemi$phærio in$criptam e$se figu- ram ex re$iduis cylindrorum, in quos cylindrus AE $e- ctus fuerit, demptis cylindris hemi$phærio circum$criptis, deficientem à reliquo cylindri AE dempto hemi$phærio minori defectu magnitudine propo$ita, eodem $cilicet, quo figura hemi$phærio circum$cripta excedit hemi$phæ- rium, excepto re$iduo cylindri infimi AS, dempta he- mi$phærij portione, quam comprehendit. Sit autem om- <p n=>19</p> nium prædictorum cylindri AE cylindrorum $upremus FE, cuius axis BH, & communis $ectio plani per pun- ctum H tran$euntis ba$i hemi$phærij cum plano per axim BD, $it recta FGKHMNL. Quoniam igitur rectan- gulum DHB bis vna cum duobus quadratis DH, BH, æquale e$t BD quadrato: & rectangulum DHB bis vna cum quadrato BH, e$t rectangulum ex BD DH tan- quam vna, & BH; rectangulum ex BD, DH tanquam vna & BH, vna cum quadrato DH æquale erit quadra- to BD, hoc e$t quadrato FH: quorum quadratum KH æquale e$t rectangulo ex BD, DH, tanquam vna, & BH; reliquum igitur quadrati FH dempto quadrato KH æ- quale erit reliquo quadrato DH, hoc e$t quadrato GH: & quadruplum quadruplo reliquum quadrati FL dempto quadrato MK toti GN quadrato, hoc e$t reliquum circu li, FL dempto circulo MK, æquale circulo GN. Qua- re & GP, cylindrus reliquo cylindri FE dempto QK, cylindro æqualis erit, propter æqualitatem altitudinum. Similiter o$tenderemus $ingula reliqua cylindrorum eiu$- dem altitudinis, in quos totus cylindrus AE $ectus fuit, demptis cylindris hemi$phærio circum$criptis æqualia e$- $e $ingulis cylindris cono EDR in$criptis, quæ inter ea- dem plana interijciuntur. Tota igitur figura ex prædictis cylindrorum re$iduis reliquo cylindri AE, dempto he- mi$phærio in$cripta æqualis erit figuræ cono EDR in- $criptæ: deficit autem vtraque harum figurarum hæc à co- no ADR, illa à re$iduo cylindri AE dempto hemi$phæ- rio minori exce$su magnitudine vtcumque propo$ita; re- liquum igitur cylindri AE dempto hemi$phærio æquale e$t cono EDR, $ed conus EDR; hoc e$t conus ABC cylin dri AE e$t pars tertia; reliquum igitur cylindri AE dem- pto hemi$phærio, cylindri AE e$t pars tertia, hoc e$t cylin- drus AE triplus dicti re$idui: quamobr&etilde; AE cylindrus $e$- quialter hemi$phærij ABC: & cõuertendo, hemi$phærium <foot>C 2</foot> <p n=>20</p> cylindri AE $ub$e$quialterum: coni igitur ABC duplum. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO XIII.</I></HEAD> <p>Omnis minor $phæræ portio, ad cylindrum, cuius ba$is æqualis e$t circulo maximo, altitudo autem eadem portioni, eam habet proportionem, quam exce$$us, quo tripla $emidiametri $phæræ excedit tres deinceps proportionales, quarum ma xima e$t $phæræ $emidiameter, media vero quæ inter centra $phæræ & ba$is portionis interijci- tur; ad $emidiametri $phæræ triplam. <p>Sit $phæræ, cuius centrum D, $emidiameter BD, mi- nor portio ABC, cuius axis BG $egmentum $emidiame- tri BD, ba$is autem circulus, cuius diameter AC. Sitque EF, cylindrus, cu- ius axis, $iue alti- tudo eadem BG: ba$is autem æqua- lis circulo maxi- mo, cuius $emidia- meter BD. Dico portionem ABC, ad cylindrum EF eam habere pro- <FIG> portionem, quam exce$$us, quo tripla ip$ius BD, $upe- rat tres BD, DG; & minorem extremam ad ip$as, quæ $it M; ad ip$ius BD triplam. vertice enim D, ba$i cylin- dri EF, cuius diameter FH de$cribatur conus FDH, cu- ius intelligatur fru$tum FHKL ab$ci$sum plano, quod ab- <p n=>21</p> $cidit portionem ABC, plano circuli FH parallelum. Quoniam igitur fru$tum FH<I>K</I>L æquale e$t cylindri EF re$iduo, dempta ABC portione, quod ex præcedenti theo remate per$picuum e$se debet: erit portio ABC æqualis ei, quod relinquitur cylindri EF, $i fru$tum auferatur FHKL: $ed hoc reliquum e$t ad cylindrum EF, vt exce$- $us, quo tripla lineæ FH, $uperat tres deinceps proportio- nales FH, KL, & minorem extrema, ad triplam lineæ FH: <*>vt FH, ad KL, ita e$t BD ad DG, & DG, ad M; vt igi- tur exce$$us, quo tripla ip$ius BD, $uperat tres BD, DG, & M, $imul, ad lineæ BD triplam, ita erit portio ABC ad cylindrum EF. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XIV.</I></HEAD> <p>Omnis portio $phæræ ab$ci$sa duobus planis parallelis alteroper centrum acto ad cylindrum, cuius ba$is e$t eadem ba$i portionis, $iue circu- lo maximo, & eadem altitudo, eam habet pro- portionem, quam exce$$us, quo maior extrema ad $phæræ $emidiametrum, & axim portionis exce- dit tertiam partem axis portionis; ad maiorem ex- tremam antedictam. <p>Sit portio AB CD, $phæræ, cu ius centrum F, ab$ci$$a duobus planis parallelis altero per centrũ F tran$eunte; axis autem por- tionis fit FG: & <FIG> <p n=>22</p> maior ba$is, circulus maximus, cuius diameter AD, minor autem, cuius diameter BC: & cylindrus AE, cuius ba$is circulus AD, axis FG; & vt FG ad FA, ita $it FA, ad MN, à qua ab$cindatur NO, pars tertia ip$ius FG. Dico ABCD portion&etilde; ad cylindrum AE e$$e vt OM ad MN. Po$ita enim G H, æquali ip$i FG, de$criba- tur circa axim FG, cylindrus L<I>K</I>, & conus HFK. Quoniam igitur duo cylin dri AE, LK, $unt eiu$dem al- <FIG> titudinis, erunt inter $e vt ba$es, AD, KH. hoc e$t cy- lindrus AE ad cylindrum LK, duplicatam habebit pro- portionem diametri AD, ad diametrum KH, hoc e$t eius, quæ e$t $emidiametri AF ad $emidiametrum GH. hoc e$t eam, quæ e$t MN ad GH, $iue FG. Sed vt FG ad tertiam $ui partem NO, ita e$t cylindrus KL, ad conum KFH; ex æquali igitur, erit vt MN ad NO, ita cylindrus AE ad conum <I>K</I>FH, hoc e$t ad reliquum cylindri AE dem pta ABCD portione: & per conuer$ionem rationis, vt NM, ad MO, ita cylindrus AE ad portionem ABCD: & conuertendo, vt MO ad MN, ita portio ABCD ad cylindrum AE. Quod e$t propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO XV.</I></HEAD> <p>Omnis portio $phæræ ab$ci$$a duobus planis parallelis neutro per centrum, nec centrum inter- cipientibus ad cylindrum, cuius ba$is æqualis e$t <p n=>23</p> circulo maximo, altitudo autem eadem portioni, eam proportion&etilde; habet, quam exce$$us, quo maior extrema ad triplas $emidiametri $phæræ, & eius quæ inter centrũ $phæræ, & minoris ba$is portio- nis interijcitur, $uperat tres deinceps proportionales, quarum maxima e$t quæ inter centra $phæræ, & minoris ba$is, media autem, quæ inter cen- træ $phæræ, & maioris ba$is portio- nis interijcitur; ad maiorem extre- mam antedictam. <p>Sit portio ABCD $phæræ, cuius centrum E, ab$ci$sa duobus planis parallelis, neutro per E tran$eunte, nec E intercipi&etilde;tibus, cuius maior ba$is $it circulus, cui diameter AD. minor autem cuius diameter BC, axis GH. circa quem cylindrus OS, con$i$tat, cuius ba$is $it circulus circa SR æqualis circulo maximo: $phæræ autem $emidiater $it EHG. & vt GE ad EH, ita $it HE ad V: & po- <FIG> $ita T tripla ip$ius EF, & X itidem tripla ip$ius EG, vt X <p n=>24</p> ad T, ita fiat T ad ZY, cuius Z<G>w</G>, tribus GE, EH, V $imul $it æqualis. Dico ABCD portio- nem ad cylindrum SO e$se vt <G>w*u</G> ad <G>*u</G>Z. Ab$ci$sa enim GK ip$i EG æquali, cylin- drus PN circa axim GH, & conus KEN con$tituantur vt in præcedenti. planum igi- tur ab$cindens portionem facit fru$tum coni KEN, quod $it KLMN, cuius minor ba- $is circulus, cui diameter LM; maior autem cui diameter KN. Et vt e$t GE ad EF, hoc e$t GK ad SH, ita $it EF, vel SH, ad I. vt igitur in præcedenti, o$tenderemus cylin- drum SO ad cylindrum PN e$se vt I ad GK $iue ad EG. Quoniam igitur $unt ter næ deinceps proportionales GE, EF, I, & X, T, ZY, e$tque vt FE ad EG ita T ad X; erit vt I ad EG, hoc e$t vt cylindrus SO ad PN cylindrũ ita ZY ad X. Et quoniam e$t vt GE ad EH, ita EH ad V: hoc e$t, vt GK ad LH. ita LH ad V: & ponitur X tripla ip$ius <FIG> EG, hoc e$t ip$ius GK, vt autem e$t triplaip$ius GK ad tres deinceps proportionales GK, LH, V, ita e$t cylin- drus PN ad fru$tum LKNM; erit vt X ad tres GE, EH, V $imul hoc e$t ad lineam <G>w</G>Z, ita cylindrus PN ad fru- <p n=>25</p> $lum KLMN. Sed vt ZY ad X, ita erat cylindrus SO ad PN cylindrum; ex æquali igitur erit vt ZY ad Z<G>w</G>, ita cylindrus SO ad fru$tum KLMN: hoc e$t, ad reli- quum cylindri SO dempta ABCD portione, & per con- uer$ionem rationis, vt ZY, ad Y<G>w</G>, ita cylindrus SO ad portion&etilde; ABCD: & conuertendo vt <G>w</G>Y ad YZ, ita por- tio ABCD ad SO cylindrum. Quod demon$trandũ erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XVI.</I></HEAD> <p>Omnis maior $phæræ portio ad cylindrum, cu- ius ba$is æqualis e$t circulo maximo, altitudo au- tem eadem portioni eam habet proportionem, quam ad axim portionis habet exce$$us, quo $eg- mentum axis portionis inter $phæræ centrum, & ba$im portionis interiectum $uperat tertiam par- tem minoris extremæ maiori po$ita prædicto axis $egmento in proportione $emidiametri $phæræ ad prædictum $egmentũ, vna cum $ub$e$qui altera reliqui axis $egmenti. <FIG> <p>Sit $phæræ, cu ius centrũ G, dia meter DGE ma ior portio ABC, axis autem por- tionis BGF, com munis cylindro KH, cuius ba$is æqualis $it circulo maximo; ba$is autem <foot>D</foot> <p n=>26</p> portionis circulus, cuius diameter AC, & vt EG ad GF, ita $it GF ad S, & S ad FM, cuius $it pars tertia FN, & ponatur ip$ius BG, $ub$e$quialtera GL. Dico portio- nem ABC ad cylindrum KH e$se vt LN ad BF. Nam vt FG ad GE, $iue ad BG, ita $it EG ad PQ, à qua ab$cindatur QR, pars tertia ip$ius FG. Et plano per G tran$eunte ba$ibus cylindri KH, & ABC portionis pa- rallelo $ecentur vna cylindrus KH in duos cylindros DH, EK: & portio ABC, in portionem ECAD, & DBE hemi$phærium. Quoniam igitur e$t conuertendo, vt PQ ad EG, ita EG ad GF, & e$t ip- $ius GF pars ter tia QR, erit por- tio DACE ad cylindrum EK, vt PR ad PQ. Rur$us, quia e$t vt EG ad GF: hoc e$t vt PQ ad EG, ita GF ad S, & vt EG ad GF, ita e$t S ad FM; erit ex æqua <FIG> li, vt PQ ad GF, ita GF ad FM. Sed vt GF ad <*>Q, ita e$t MF ad FN, tertiam ip$ius MF partem, ex æquali igitur erit vt PQ ad QR, ita GF ad FN, & per conuer- $ionem rationis, & conuertendo, vt PR ad PQ, ita NG ad GF. Sed vt PR ad PQ, ita erat portio ECAD ad cy- lindrum EK; vtigitur NG ad GF, ita erit portio EC AD ad cylindrum EK. Sed vt GF ad FB, ita e$t cy- lindrus EK ad cylindrum KH: ex æquali igitur vt NG ad BF, ita portio ECAD, ad cylindrum KH. Similiter o$tenderemus e$se, vt GL ad BF, ita DBE hemi$phæ- <p n=>27</p> rium ad cylindrum KH, cum vt LG ad GB, ita $it he- mi$phærium DBE ad cylindrum DH. vt igitur prima cum quinta ad $ecundam, ita tertia cum $exta ad quartam; videlicet, vt tota LN ad BF, ita portio ABC ad cylin- drum KH. Quod erat demon$trandum. <HEAD><I>PROPOSITIO XVII.</I></HEAD> <p>Omnis portio $phæræ ab$ci$$a duobus planis parallelis centrum intercipientibus ad cylin- drum, eiu$dem altitudinis, cuius ba$is æqualis e$t circulo maximo, eam habet proportionem, quam ad axim portionis habet exce$$us, quo axis portio- nis $uperat tertiam partem compo$itæ ex duabus minoribus extremis, maioribus po$itis duobus axis $egmentis, quæ fiunt à centro $phæræ in ra- tionibus, $emidiametri $phæræ ad prædicta $eg- menta. <p>Sit portio AB CD, $phæræ, cu- ius centrum G, ab$ci$sa duobus planis parallelis centrum G inter- cipientibus, quod erit in axe portio- nis, qui $it HK. Sectiones autem <FIG> factæ à prædictis planis $int circuli, quorum diametri AD, BC, qui circuli erunt ba$es oppo$itæ portionis. Sectaque per punctum G, portione ABCD plano ad axim erecto, <foot>D 2</foot> <p n=>28</p> atque ideo & portionis ba$ibus parallelo; $uper $ectionem, quæ erit circulus maximus, cuius diameter LM, duo cylin- dri de$cripti intelligantur, ad oppo$ita portionis ba$ium pla na terminati ex illis autem totus cylindrus compo$itus EF, cuius ba$is æqua- lis circulo maxi- mo LM. Deinde in $egmento GH $umpta OH, ter- tia parte minoris extremæ maiori GH in proportio ne, quæ e$t LG ad GH; & in $egmen to GK, $umatur <FIG> NK, tertia pars minoris extremæ maiori GK, in propor- tione, quæ e$t LG ad GK. Dico portionem ABCD ad cylindrum EF, e$se vt NO ad KH. Sumptis enim ij$dem, quæ in præcedentis $ump$imus, demon$trationem $imiliter o$tenderemus tam portionem LBCM ad cy- lindrum EF, e$se vt OG ad <I>K</I>H, quam portionem LA DM ad eundem EF cylindrum, vt NG ad eundem axim KH, vt igitur prima cum quinta ad $ecundam, ita tertia cum $exta ad quartam: videlicet, vt NO ad KH, ita por tio ABCD ad EF cylindrum. Quod demon$trandum crat. <HEAD><I>PROPOSITIO XVIII.</I></HEAD> <p>Omne conoides parabolicum dimidium e$t cylindri, coni autem $e$quialterum eandem ip$i ba$im, & eandem altitudinem habentium. <p n=>29</p> <p>Sit conoides parabolicum ABC, & cylindrus AE, & conus ABC, quorum omnium $it eadem ba$is circulus, cuins diameter AC, axis autem BD, ac proinde vna om- nium altitudo. Dico conoidis ABC e$se cylindri AE dimidium, coni autem ABC $e$quialterum. Secto eni<*>n axe BD in tot partes æquales, quarum infima ad ba$im $it MD, vt figura ex cylindris æqualium altitudinum conoi- di ABC circum$cripta, in$criptam $uperet minori $pacio quantacu nque magnitudine propo$ita, & $it hoc factum. Et quoniam quibus planis parallelis tran$euntibus per præ- <FIG> dictas $ectiones axis BD $ecatur conoides ABC, ij$dem $ecatur triangulum per axim ABC, eruntque $ectiones parallelæ: $it triangulo ABC circum$cripta figura ex pa- rallelogrammis æqualium altitudinum, quæ triangulum & ip$a excedat minori $pacio quantacumque magnitudine propo$ita. Cylindrorum autem qui $unt circa conoides, & parallelogrammorum multitudine æqualium, quæ $unt cir- ca triangulum ABC, duo proximi ba$i AC cylindri $int AF, HL, & totidem parallelogramma illis re$pondentia inter eadem plana parallela $int AF, GK. Quoniam igi- <p n=>30</p> tur in parabola ABC rectis ad diametrum ordinatim ap- plicatis e$t vt BM ad BD longitudine, ita MH ad AD potentia: hoc e$t, ita circulus, cuius diameter HMN, ad circulum, cuius diameter ADC, hoc e$t ita cylindrus HL, ad cylindrum AF propter æqualitatem altitudinum: $ed vt BM ad BD, ita e$t GM ad AD, propter $imilitudinem triangulorum, hoc e$t ita parallelogrãmum GK ad AF, pa- rallelogrammum; ergo vt parallelogrammum GK ad paral lelogrãmum AF, ita e$t cylindrus HL ad cylindrum AF. Similiter o$tenderemus reliqua parallelogramma, quæ $unt <FIG> circa triãgulum ABC e$se cum reliquis cylindris, qui $unt circa conoides ABC bina $umpta prout inter $e re$pon- dent in eadem proportione; $emper igitur componendo, & ex æquali erit vt tota figura triangulo ABC circum$cripta ad parallelogrammum AF, ita figura conoidi circum$cri- pta ad AF cylindrum: $ed vt parallelogrammum AF, ad parallelogrammum AE, ita e$t cylindrus AF ad cylindrum AE, propter æqualitatem omnifariam $umptarum altitu- dinum; ex æquali igitur erit vt figura triangulo ABC cir- cum$cripta ad parallelogrammum AE, ita figura conoidi <p n=>31</p> ABC circum$cripta ad AE cylindrum: vtraque autem circum$criptarum figurarum excedit $ibi in$criptam mino- ri $pacio quantacumque magnitudine propo$ita, vt igitur triangulum ABC, ad parallelogrammum AE, ita erit co- noides ABC, ad cylindrum AE. Sed triangulum ABC e$t parallelogrammi AE dimidium; igitur conoides ABC e$t cylindro AE dimidium: $ed cylindrus AE e$t coni ABC, triplum: igitur conoides ABC, erit coni ABC $e$quialterum. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XIX.</I></HEAD> <p>Omnis pri$matis triangulam ba$im habentis centrum grauitatis rectam lineam, quæ cuiu$libet trium laterum bipartiti $ectionem, & oppo$iti pa- rallelogrammi centrum iungit, ita diuidit, vt pars, quæ attingit latus $it dupla reliquæ. <p>Sit pri$ma, quale diximus AB CDEF, $ectoque vno ip$ius la- tere BF in puncto G, bifariam parallelogrammi oppo$iti $it cen trum H, & iuncta GH, cuius pars GK $it dupla reliquæ <I>K</I>H. Dico pri$matis ABCDEF, cen trum grauitatis e$$e K. Per pun ctum enim H ducatur NO ip- $i AE, vel CD parallela, quæ ip$as AC, ED, $ecabit bifariã: iunctisque BN, FO, ducatur per punctum <I>K</I>, ip$i FB, vel NO <FIG> parallela LM. Quoniam igitur e$t vt HK ad KG, ita NL ad LB, & OM ad MF, erit NL, ip$ius LB, & OM <p n=>32</p> ip$ius MF dimidia: $ed & rectæ BN, FO, triangulorum ba$es AC, ED, bifariam $e- cant; erunt igitur puncta L, M, centra grauitatis triangulorum ABC, DEF, oppo$itorum. Pri$matis igitur ABCDEF axis erit LM: quare in eius bi- partiti $ectione pri$matis ABC DEF centrum grauitatis: $ectus autem e$t axis LM bifariam in puncto K; nam ob parallelogram ma e$t vt NH ad HO, ita LK ad KM; pri$matis igitur ABC DEF, centrum grauitatis erit <I>K.</I> Quod demon$trandum erat. <FIG> <HEAD><I>PROPOSITIO XX.</I></HEAD> <p>Omnis pri$matis ba$im habentis trapezium, cu- ius duo latera inter $e $int parallela centrum gra- uitatis rectam lineam, quæ æque inter $e di$tan- tium parallelogrammorum centra iungit, ita di- uidit, vt pars, quæ dictorum parallelogrammorum minus attingit $it ad reliquam, vt duorum ba$is la terum parallelorum dupla maioris vna cum mino ri ad duplam minoris vna cum maiori. <p>Sit pri$ma ABCDEFGH, cuius ba$is trapezium ABCD, habens duo latera AD, BC, inter $e paralle- la, $itque eorum AD maius: parallela igitur erunt inter $e duo parallelogramma BG, AH. Sit parallelogrammi AH centrum K, & BG parallelogrammi centrum L, iuncta- <p n=>33</p> que LK, fiat vt dupla ip$ius AD vna cum BC ad du- plam ip$ius BC vna cum AD, ita LR ad RK. Dico pri$matis AG centrum grauitatis e$se R. Ducantur enim per puncta L, K lateribus pri$matis, atque ideo inter $e parallelæ MN, OP, quæ ob centra K, L, $ecabunt oppo$ita parallelogrammo- rum latera bifariam, eas $ectiones connectant MO, NP, ip$ique MN, vel OP, parallela ducatur Q RS. Quoniam igitur e$t vt LR ad R<I>K</I>, hoc e$t vt dupla ip$ius AD vna cum BC ad duplam ip$ius BC vna cum AD, ita OQ ad QM, & recta MO bifa- <FIG> riam $ecat AC trapezij latera parallela, punctum Q, AC trapezij centrum grauitatis; $imiliter & punctum S erit EG, trapezij centrum grauitatis: pri$matis igitur AG axis erit QS, & centrum grauitatis R, quod e$t in medio axis. Omnis igitur pri$matis ba$im habentis trapezium, &c. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXI.</I></HEAD> <p>Si à quolibet prædicto pri$mate duo pri$mata be$es habentia triangulas $int ita ab$ci$$a, vt pa- rallelepipedum relinquant ba$im habens minus parallelogrammorum inter $e parallelorum præ- dicti pri$matis, maioris autem partes æqualia pa- rallelogramma ip$um parallelepipedum relin- <foot>E</foot> <p n=>34</p> quat, centrum grauitatis vtriu$que ab$ci$si pri$- matis tamquam vnius magnitudinis rectam line- lam, quæ prædicti pri$matis parallelorum paral lelogrammorum centra iungit, ita diuidit, vt pars, quæ minus parallelogrammum attingit $it dupla reliquæ. <p>Sit pri$ma ABCDEFGH, cuius ba$es oppo$itæ tra- pezia ADHE, BCGF. Sint autem AD, EH, paral- lelæ, quarum maior EH. Oppo$ita igitur parallelogram- ma AC, EG, inter $e erunt parallela, quorum maius EG. At per rectas AB, CD, $ectum $it pri$ma. ABCDEF GH, ita vt ab$ci$$a pri$mata ABSFER, CDVHGT, relinquant parallelepipedum AT, ip$um autem AT, re- linquat duo parallelogramma æqualia ES, TH. Po$ito autem centro K parallelogrammi AC, & L, paral lelogrammi EG, iunctaque KL, ponatur KM, du pla ip$ius ML. Dico duorũ pri$- matum BER, CVH, $imul cen trum grauitatis <FIG> e$se M. Sectis enim AB, CD, bifariam in punctis P, Q, $umpti$que parallelogrammorum ES, VG, centris N, O, iungantur PN, QO, & po$ita PX dupla ip$ius XN, & QZ dupla ip$ius ZO, iungantur rectæ PKQ, XZ, NO. Quoniam igitur in quadrilatero PQON, recta XZ, pa- rallela e$t vtrilibet ip$arum PQ, NO, $ecat ijs parallelis interceptas in ea$dem rationes; recta igitur XT per pun- <p n=>35</p> ctum M tran$ibit. Sed quia PK e$t æqualis KQ, & NL ip$i LO, etiam XM æqualis erit ip$i MZ ob parallelas; cum igitur pri$matum BER, CVH centra grauitatis $int X, Z; erit vtriu$que pri$matis prædicti $imul centrum gra- uitatis M. Quod e$t propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO XXII.</I></HEAD> <p>Si $int duæ pyramides æquales, & æque altæ, ba$es habentes in eodem plano, quarum vertices recta linea connectens cum ea, quæ ba$ium centra grauitatis iungit $it in eodem plano; earum cen- trum grauitatis tamquam vnius magnitudinis re- ctam lineam, quæ inter vertices, & centra ba$ium interiectas bifariam $ecat, itadiuidit, vt pars $u- perior $it inferioris tripla. <FIG> <p>Sint duæ pyramides æ- quales, & æ- que altæ, qua- rum ba$es in eodem plano AC, DB, ver tices autem G, H, & ba- $ium c&etilde;tra E, F, iunctæque EF, GH, quas bifariam $ecet recta KL, huius autem pars quarta $it LM. Dico vtriu$que pyramidis GAC, HDB, $imul centrum grauitatis e$$e M. Iunctis enim GE, HF, $umantur ea- <foot>E 2</foot> <p n=>36</p> rum quartæ partes EN, FO, & iungatur NO. Quoniam igitur propter æqualitatem altitudinum, & quia EF, GH, $unt in eodem plano, $unt EF, GH, inter $e parallelæ, & vt GN ad NE, ita e$t HO ad OF; erit NO ip$i E Fivel GH, paralle- la, quas KL bifariam $ecat: igitur & ip$am NO $ecabit bi fariam, iungit autem recta NO centra grauitatis py- ramidũ æqua- lium GAC, HDB, vtriu$- <FIG> que ergo pyramidis $imul centrum grauitatis erit in com- muni $ectione duarum linearum KL, NO, $ed recta NO, $ecans $imiliter ip$as GE, KL, HF, ip$am KL, $ecabit in puncto M; punctum igitur M, erit prædictarum pyrami- dum centrum grauitatis. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXIII.</I></HEAD> <p>Omnis fru$ti pyramidis ba$im habentis paral- lelogrammum centrum grauitatis maiori ba$i e$t propinquius, quam punctum illud, in quo axis $ic diuiditur, vt pars minorem ba$im attingens $it ad reliquam vt dupla cuiu$uis laterum maioris ba$is vna cum latere minoris $ibi re$pondente, ad duplã dicti lateris minoris ba$is vna cum maioris $ibi re$pondente. <p n=>37</p> <p>Sit pyramidis, cuius ba$is parallelogrammum EFGH, fru$tum ABCDEFGH, eiu$q; axis KL, quo $ecto in pun cto <G>a</G> ita vt K <G>a</G> ad <G>a</G> L, $it vt laterum homologorum AD EH, dupla ip$ius EH vna cum AD ad duplam ip$ius AD vna cum EH, & fru$ti ABCDEFGH $it centrum grauitatis <G><*></G> nempe in axe KL. Dico punctum <G><*></G>, cadere infra punctum <G>a</G>. A punctis enim A,B,C,D, ducantur <FIG> ad maiorem ba$im axi KL, parallelæ AN, BO, CR, DS, & parallelepipedum ABCDNORS compleatur, & productis ba$is NO lateribus, de$criptæ $int quatuor py- ramides AEMNZ, BOPFY, CGXRQ, DHVST, quarum ba$es erunt parallelogramma circa diametrum æqualia, atque $imilia: & quatuor pri$mata triangulas ba- $es habentia, quorum binorum ex aduer$o inter $e re$pon- <p n=>38</p> dentium parallelogramma in plano EG exi$tentia erunt inter $e æqualia, atque $imilia, $cilicet MS ip$i OQ, & ZO, ip$is RV: $itque axis KL pars tertia L <G>b</G>, quarta autem L <G>d</G>. Quoniam ìgitur ex $upra demon$tratis pri$- matis ABCDTMPQ e$t centrum grauitatis <G>a</G>; duo- rum autem pri$matum oppo$itorum ABYONZ, CDS RXV, centrum grauitatis <G>b</G>, erit reliqui ex fru$to AB <FIG> CDEFGH demptis quatuor prædictis pyramidibus in <G>a b</G> centrum grauitatis, quod $it <G>g</G>. Nam ex primo li- bro con$tat punctum <G>a</G> cadere $upra punctum <G>b</G>, $i com- pleatur trapezium ACGE, cuius diameter erit KL. Sed earum quatuor pyramidum e$t centrum grauitatis <G>d</G>. Si enim ba$ium, quibus binæ oppo$itæ pyramides in$i$tunt centra grauitatis, & bini oppo$iti vertices $ingulis rectis li- <p n=>39</p> neis connectantur, erunt binæ connectentes parallelæ, & ab axe <I>K</I> L bifariam $ecabuntur, vt figuræ de$criptio ina- nife$tat. Totius igitur fru$ti ABCDEFGH, centrum grauitatis <G><*></G> in linea <G>g d</G> cadet: $ed punctum <G>g</G> cadit infra punctum <G>a</G>, multo ergo inferius, & ba$i EG propinquius punctum <G><*></G> quam punctum <G>a</G>. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXIV.</I></HEAD> <p>Omnis fru$ti conici centrum grauitatis pro- pinquius e$t maiori ba$i quam punctum illud, in quo axis $ic diuiditur, vt pars minorem ba$im attingens $it ad reliquam, vt dupla diametri ma- ior is ba$is vna cum minoris diametro ad duplam diametri minoris ba$is vna cum diametro ma- ioris. <p>Hoc eadem ratione deducetur ex antecedenti, qua cen- trum grauitatis fru$ti conici in extremo primo libro demon $trauimus, quandoquidem $imiliter vt ibi fecimus, omnis pyramidis centro grauitatis idem probaremus accedere quod prædictæ pyramidis in antecedente. <HEAD><I>PROPOSITIO XXV.</I></HEAD> <p>Si $int quotcumque magnitudines, & aliæ illis multitudine æquales, binæque $umptæ in eadem proportione, quæ commune habeant centrum gra uitatis, centra autem grauitatis omnium $int in eadem recta linea; primæ & $ecundæ tanquam <p n=>40</p> duæ magnitudines commune habebunt centrum grauitatis. <p>Sit recta linea AB, & quotcumque magnitudines FGH, & totidem KLM, binæ in eadem proportione: nimirum vt F ad G ita K ad L: & vt G ad H ita L ad M. in recta autem AB, $int communia centra grauitatis, C duarum FK, & D duarum GL: & E duarum HM. Om- nium autem primarum tamquam vnius magnitudinis $it centrum grauitatis O. Dico & omnium $ecundarum $i- mul centrum grauitatis e$se O. Duarum enim FG $i- <FIG> mul $it centrum grauitatis N. Vtigitur e$t F ad G, hoc e$t, vt K ad L, ita erit DN, ad NC. punctum igitur N e$t centrum grauitatis duarum magnitudinum KL $imul. Rur$us, quia componendo, & ex æquali, e$t vt FG $imul ad H, ita KL $imul ad M: e$t autem tam duarum FG, quam duarum KL $imul centrum grauitatis N, $imiliter vt ante o$tenderemus duarum magnitudinum FGH, KLM centrum grauitatis e$se O. Quod e$t propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO XXVI.</I></HEAD> <p>Si $int quotcumque magnitudines, & aliæ ip- $is multitudine æquales primarum, ex quibus cen tra grauitatis in eadem recta linea di$po$ita $int alternatim ad centra grauitatis $ecundarum, qua- <p n=>41</p> rum magnitudinum binæ eodem ordine, qui $u- mitur ab eodem prædictæ lineæ termino vnain primis, & alterain $ecundis inter $e $int æquales; omnium primarum $imul, ex quibus primæ cen- trum grauitatis propinquius e$t prædicto lineæ termino quàm primæ $ecundarum, propinquius erit prædicto lineæ termino quàm omnium $ecun darum $imul centrum grauitatis. <p>Sint quotcumque magnitudines ABC primæ, & toti- dem $ecundæ DEF, quarum centra grauitatis in recta linea TV, primarum quidem G ip$ius A proximum om- <FIG> nium termino T, à quo $umitur ordo. Deinde H ip$ius B, & <I>K</I>, ip$ius C, di$po$ita $int alternatim ad centra $ecun- darum; videlicet vt centrum grauitatis L, ip$ius D cadat inter centra G, H, & M ip$ius E inter centra H, K: & N inter puncta <I>K</I>, V: $int autem æquales binæ AD, BE, CF: & omnium ABC $imul centrum grauitatis P, & om- nium DEF $imul centrum grauitatis O. Dico punctum P propinquius e$$e termino T, quàm punctum O. Duarum enim A, B $it centrum grauitatis R: & S, dua- rum DB, & Q, duarum DE. Quoniam igitur Q e$t centrum grauitatis duarum magnitudinum DE $imal; erit vt D ad E, hoc e$t ad B, ita MQ, ad QL: hoc e$t HS, ad SL. & componendo, vt ML, ad LQ, ita HL, ad LS; & permutando, vt ML ad LH, ita LQ ad LS: $ed ML e$t maior quàm LH; ergo & LQ erit maior quàm LS. Eadem ratione quoniam S e$t centrum gra- <foot>F</foot> <p n=>42</p> uitatis duarum DB: & R duarum AB: & AD $unt æ- quales; erit RH maior quàm SH: $ed quia LQ erat ma- ior quàm LS, e$t & SH maior quàm QH; multo igitur maior RH erit quàm QH: atque ideo punctum R pro- pinquius termino T, quàm punctum Q. Rur$us quo- niam tota magnitudo AB e$t æqualis toti DE, & C æ- qualis F; erunt duæ primæ AB, & C, & totidem $ecun- dæ DE, & F, quarum vnius po$teriorum DE cen- trum grauitatis Q cadit inter R, K centra grauitatis duarum priorum AB, & C, & reliquæ priorum C cen- trum grauitatis K cadit inter Q, N, duarum po$terio- rum DE, & F centra grauitatis; erunt vt antea quatuor magnitudines binæ proximæ æquales, $cilicet AB, ip$i <FIG> DE: & C ip$i F, centra grauitatis habentes di$pofita alternatim in eadem recta TV. Cum igitur primæ prio- rum AB, centrum grauitatis R $it termino T propin- quius quàm Q centrum grauitatis primæ po$teriorum, quæ e$t tota DE; $imiliter vt ante totius magnitudinis ABC centrum grauitatis P erit termino T propinquius quàm totius DEF centrum grauitatis O. Non aliter o$tenderemus, quotcumque plures magnitudines, quales & quemadmodum diximus ad rectam TV, di$po$itæ proponerentur, $emper centrum grauitatis omnium prio- rum $imul termino T propinquius cadere, quàm omnium po$teriorum $imul centrum grauitatis. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <p n=>43</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXVII.</I></HEAD> <p>Si $int quotcumque magnitudines, & aliæ illis multitudine æquales, quæ binæ commune habe- ant in eadem recta centrum grauitatis; $umpto au tem ordine ab vno eius lineæ termino, maior $it proportio primæ ad $ecundam in primis, quàm primæ ad $ecundam in $ecundis: & $ecundæ ad tertiam in primis maior quàm $ecundæ ad ter- tiam in $ecundis, & $ic deinceps v$que ad vltimas; erit omnium primarum $imul centrum grauitatis propinquius prædicto lineæ termino, à quo $umi- tur ordo, quàm omnium $ecundarum. <p>Sint quotcumque magnitudines GHI, & totidem LMN. Sitque maior proportio G ad H, quàm L ad M: & H ad I, maior quàm M ad N: in recta autem AB $int communia centra grauitatis, C duarum magnitudinum GL, & D duarum HM, & E duarum IN. omnium <FIG> autem primarum GHI $imul $it centrum grauitatis K: at $ecundarum omnium LMN centrum grauitatis R. Di- co centrum K cadere termino A propinquius quàm cen trum R. Fiat enim vt G ad H, ita DP ad PC: & vt L ad M, ita DQ ad QC. Maior igitur proportio erit DP <foot>F 2</foot> <p n=>44</p> ad PC, quàm DQ ad QC: & componendo, maior DC ad CP, quàm DC ad CQ: minor igitur CP erit quàm CQ: quare DP maior quàm DQ. & communi addita ED, erit EP maior quàm EQ. Et quoniam <I>K</I> e$t cen- trum grauitatis omnium GHI $imul, & ip$ius GH e$t cen trum grauitatis P, & reliquæ magnitudinis I, centrum grauitatis E; erit vt GH ad I, ita EK ad KP. eadem ratione vt vtraque LM ad N, ita erit ER ad RQ. Rur- <FIG> $us, quia maior e$t proportio G ad H, quàm L ad M, erit componendo, maior proportio GH ad H, quàm LM ad M: $ed maior e$t proportio H ad K, quàm M ad N; ex æquali igitur, maior erit proportio GH ad I, quàm LM ad N, hoc e$t EK ad KP, quàm ER ad RQ. Multo ergo maior proportio EK ad KP, quàm ER ad RP: & componendo maior proportio EP ad PK quàm EP ad PR; minor igitur PK erit quàm PR, at que ideo centrum K propinquius termino A quàm centrum R. Quod de- mon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXVIII.</I></HEAD> <p>Si $int quotcumque magnitudines, & aliæ ip$is multitudine æquales, quarum omnium centra grauitatis $int in eadem recta linea, & centra pri- marum ad centra $ecundarum di$po$ita $int alter- natim: $it autem maior proportio primæ ad $ecun- <p n=>45</p> dam in primis quàm primæ ad $ecundam in $ecun dis: & $ecundæ ad tertiam in primis, maior quàm $ecundæ ad tertiam in $e cundis, & $ic deinceps v$- que ad vltimas; erit omnium primarum $imul cen trum grauitatis propinquius prædictæ lineæ ter- mino à quo $umitur ordo omnium $ecundarum centrum grauitatis. <p>Sit quotcumque magnitudines GHI, & totidem LMN primarum autem $int centra grauitatis CDE cum $ecun darum centris OPQ in eadem recta AB di$po$ita alter- natim, vt O cadat inter puncta CD, & P inter puncta DE, & E inter puncta PQ. $itque maior proportio G ad H, quàm L ad M, & H ad I maior quàm M ad N. omnium autem primarum GHI $imul $it centrum gra- uitatis T; at omnium $ecundarum LMN, $imul, cen- <FIG> trum grauitatis V. Dico punctum T e$$e termino A propinquius quàm punctum V. E$to enim F æqualis L, & K æqualis M, & X æqualis N, $it autem cen- trum grauitatis ip$ius F in puncto C, & ip$ius K in pun- cto D, & ip$ius X in puncto E. In recta igitur AB om- nium FKX, $imul centrum grauitatis erit termino A, pro- pinquius quàm omnium LMN $imul centrum grauitatis. Sed & omnium GHI, $imul centrum grauitatis in eadem recta AB propinquius e$t termino A quàm omnium FKX, $imul centrum grauitatis; multo igitur termino A propinquius erit omnium GHI $imul quàm omnium <p n=>46</p> LMN, $imul centrum grauitatis. Quod demon$tran- dum erat. <HEAD><I>ALITER.</I></HEAD> <p>Po$ito enim R centro grauitatis duarum magnitudinũ G, H, & S duarũ L,M, vel punctum V cadit in puncto E, vel in linea EB, vel in linea AE, $i in puncto E vel in linea EB, cum igitur T $it centrũ grauitatis trium magnitudinũ G,H,I $imul, & E ip$ius I, erit punctum T propinquius termino A quàm punctum V. Sed punctum V in linea AE cadat. Veligitur S centrum grauitatis duarum magnitudinum L, M, $imul cadit in puncto D, $iue in linea DB, vel in li- nea AD. $i in puncto D, vel in linea DB; centrum gra- uitatis R duarum magnitudinum GH erit termino A propinquius quàm ip$um S, & recta ER maior quàm ES, <FIG> Sed cadat punctum S in linea AD. Quoniam igitur ma- ior e$t proportio G ad H, quàm L ad M: & vt G ad H, ita e$t DR ad RG, & vt L ad M, ita PS ad SO, ma- ior erit proportio DR ad RC, quàm PS ad SO; mul- to ergo maior DR ad RC, quàm DS ad SO, & multo maior quàm DS ad SC, & componendo maior propor- tio DC ad CR, quàm DC ad CS; erit igitur CR mi- nor quàm CS, atque adeo RD maior DS, addita igitur ED communi, erit ER maior quàm ES. Rur$us quia componendo, & ex æquali maior e$t proportio totius GH ad I quàm totius LM ad N, hoc e$t maior longitudinis ET ad TR, quàm QV ad VS, & multo maior quàm <p n=>47</p> EV ad VS, erit componendo, maior proportio ER ad RT quàm ES ad SV: & per conuer$ionem rationis mi- nor proportio FR ad ET; quàm ES ad EV, & permu- tando minor proportio ER ad ES quàm ET ad EV: $ed ER maior erat quàm ES, ergo ET maior erit quàm EV: & punctum T propinquius termino A, quàm punctum V. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXIX.</I></HEAD> <p>Datæ figuræ circa diametrum, vel axim in alte ram partem deficienti, $uper ba$im rectam lineam vel circulum, vel ellip$im; cuius figuræ ba$is, & $ectiones omnes parallelæ $egmenta æqualia dia- metri vel axis intercipientes ita $e habeant, vt quarumlibet trium proximarum minor proportio $it minimæ ad mediam, quàm mediæ ad maxi- mam; figura quædam ex cylindris, vel cylindri portionibus, vel parallelogrammis æqualium al- titudinum circum$cribi pote$t, cuius c&etilde;trum gra- uitatis $it propinquius ba$i quàm cuiu$libet datæ figuræ, qualem diximus quæ prædictæ figuræ cir cadiametrum, vel axim circum$cripta $it. <p>Sit figura circa diametrum, vel axim in alteram part&etilde; de- ficiens qualem diximus, cuius ba$is circulus, vel ellip$is vel recta linea AC, axis autem vel diameter BD. Et data figu- ra ip$i ABC figuræ circum$cripta compo$ita ex cylindris, vel cylindri portionibus, vel parallelogrammis æqualium altitudinum EF, GH, AK. Dico figuræ ABC alteram figuram, qualem diximus po$$e circum$cribi, cuius centrum <p n=>48</p> grauitatis, nempe in linea BD, $it propinquius ba$i AC, $iue termino D, quàm prædictæ datæ figuræ circum$criptæ centrum grauitatis, Omnium enim cylindrorum, vel cy- lindri portionum, vel parallelogrammorum, ex quibus con- $tat prædicta data figura circum$cripta $int axes, vel quæ oppo$ita latera coniungunt rectæ BL, LM, MD, qui- bus $ectis bifariam in punctis N, O, P, ac planis per ea $iue rectis tran$euntibus ba$i AC parallelis, $ecantibus- que dictos cylindros, vel cylindri portiones, vel pa- rallelogramma, compleatur & figuræ ABC circum$cri- batur altera figura vt prior, quæ ob $e- ctiones factas com- ponetur ex duplis multitudine cylin- dris, vel cylindri por- tionibus, vel paralle- logrammis <17>qualium altitudinum, eorum ex quibus con$tat da ta figura circum$cri- pta $in<*>autem hi cy- lindri, aut reliqua, quæ diximus QR, <FIG> ES, TV, GX, ZI, AY. Quoniam igitur cylindro- rum, vel cylindri portionum, vel parallelogrammorum quæ $unt circa figuram ABC, minor e$t proportio QR ad ES, quàm ES, ad TV, propter $ectiones circulos, vel $imiles ellip$es, vel rectas lineas, & æqualitat&etilde; altitudinũ, & figuræ propo$itæ naturã. Sed ead&etilde; ratione minor e$t proportio ES ad TV, quàm TV, ad GX; multo ergo minor proportio erit QR ad ES, quam TV ad GX: & componendo, minor proportio QR, ES, $imul ad ES, quàm TV, GX, $imul ad GX. $ed vt GX ad GH, ita e$t ES ad EF; ex æqua- <p n=>49</p> li igitur minor erit proportio QR, ES $imul ad EF, quàm TV, GX $imul ad GH. & permutando, minor proportio QR, ES $imul ad TV, GX $imul quàm EF ad GH. & conuertendo, maior proportio GX, TV $i- mul ad ES, QR $imul, quàm GH ad EF. Similiter o$tenderemus duo ZI, AY, $imul ad TV, GX, $imul, maiorem habere proportionem, quàm AK ad rectarum GH. Rur$us quoniam puncta N, O, in medio BL, LM, $unt, ip$orum EF, GH, centra grauitatis: duorum autem QR, ES $imul centrum grauitatis e$t in linea NL, pro- pterea quòd ES maius e$t quàm QR, & æquales BN, NL, quas centra grauitatis ip$orum QR, ES bifariam diuidunt, cadet ip$orum QR, ES, $imul centrum grauita- tis propius termino D, quàm ip$ius EF centrum grauitatis, & duobus centris N, O, interijcietur. Eademque ratio- ne duorum TV, GX, $imul centrum grauitatis termino D erit propinquius quàm ip$ius GH centrum grauitatis, & duobus centris O, P, duorum GH, AK interijcietur. Et duorum ZI, AY $imul centrum grauitatis propin- quius erit D termino, quàm P ip$ius AK. Quoniam igitur omnia primarum magnitudinum, ex quibus con$tat figura $ecundo circum$cripta centra grauitatis in eadem re cta linea BD, di$po$ita $unt alternatim ad centra grauita- tis $ecundarum primis multitudine æqualium, ex quibus data figura con$tat ip$i ABC figuræ circum$cripta, $unt termino D propinquiora, quàm centra grauitatis $ecunda- rum, $i bina, prout inter $e re$pondent comparentur: maior autem proportio o$ten$a e$t primæ ad $ecundam in primis, quàm primæ ad $ecundam in $ecundis: & $ecundæ ad ter- tiam in primis, quàm $ecundæ ad tertiam in $ecundis, $umpto ordine à termino D, erit centrum grauitatis om- nium primarum $imul, ide$t figuræ ip$i ABC figuræ $ecundo circum$criptæ termino D propinquius, quàm datæ figuræ eidem ABC figuræ primo circum$criptæ cen- <foot>G</foot> <p n=>50</p> trum grauitatis. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXX.</I></HEAD> <p>Omnis prædictæ figuræ centrum grauitatis e$t propinquius ba$i, quàm cuiu$libet figuræ ex cylindris, vel cylindri portionibus, vel parallelo- grammis æqualium altitudinum ip$i circum$cri- ptæ. <p>Sit prædicta figura ABC, cuius axis vel diameter BD, & data intelligatur figura ex quotcumque cylindris, vel cy- lindri portionibus, vel parallelogrammis æqualium altitu- dinum figuræ ABC circum$cripta, cuius $it centrum gra- uitatis E, nempe in axe vel diametro BD. Dico cen- trum grauitatis figuræ ABC propinquius e$$e puncto D, quàm punctum E. Si enim fieri pote$t, centrum grauita- tis figuræ ABC, quod $it F, non cadat infra punctum E, $ed vel $upra, vel con- gruat puncto E: figuræ ita- que ABC circum$cribatur figura quædam ex cylindris, vel cylindri portionibus, vel parallelogrammis <17>qualium altitudinum, cuius centrum <FIG> grauitatis, quod $it G, $it propinquius D puncto, quàm punctum E, ac propterea propinquius, quàm punctum F, centrum grauitatis figuræ primo circum$criptæ. Rur$us multiplicatis cylindris, vel cylindri portionibus, vel paral- <p n=>51</p> lelogrammis circum$cribatur figuræ ABC, altera tertia fi- gura, quemadmodum diximus in præcedenti, cuius cen- trum grauitatis H, in linea GD cadat & $it minor pro- portio re$idui huius tertiæ figuræ circum$criptæ ip$i ABC, ad figuram ABC, quàm FG ad GD. Multo ergo mi- nor proportio erit dicti re$idui ad figuram ABC quam F H ad HD, fiat igitur vt prædictum re$iduum ad figuram ABC, ita ex contraria parte FH ad HDK; prædicti igi- tur re$idui centrum grauitatis erit K, extra ip$ius terminos, quod fieri non pote$t: Non igitur F centrum grauitatis fi- guræ ABC cadit in puncto E, nec $upra; ergo infra pun ctum E: & ponitur E centrum grauitatis cuiuslibet figuræ ex cylindris, vel cylindri portionibus, vel parallelogrammis æqualium altitudinum quo modo diximus ip$i ABC cir- cum$criptæ. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXI.</I></HEAD> <p>Omni prædictæ figuræ figura quædam ex cylin dris, vel cylindri portionibus, vel parallelogram- mis æqualium altitudi|| num circum$cribi po- te$t, cuius centri graui tatis di$tantia à prædi- ctæ figuræ centro gra- uitatis $it minor quan- tacunque longitudine propo$ita. <FIG> <p>Sit figura ABC in alterã partem defici&etilde;s $upradicta, cuius centrum grauitatis F, propo$ita autem quan<*>acũque lõgitudine minor $it FG ip$ius BF. Dico figuræ ABC figu <foot>G 2</foot> <p n=>52</p> ram ex cylindris vel cylindri portionibus, vel parallelogrã- mis æqualium altitudinũ circum$cribi po$$e, cuius centrum grauitatis $it propinquius puncto F, quàm punctum G: figu ræ enim ABC figura, qualem diximus circum$cribatur, cu- ius re$iduum dempta figura ABC, ad figuram ABC mi- norem habeat proportionem, quàm FG, ad GB, $it autem figuræ circum$criptæ centrum grauitatis K, nempe in axe, vel di<*> metro BD. Dico lineam FK minorem e$$e quàm FG, atque adeo lon gitudine propo$ita. Quo- niam enim F e$t centrum grauitatis figuræ ABC, erit centrum grauitatis <I>K</I>, figuræ circum$criptæ ip$i ABC propinquius termi- no B, quàm punctum F, $ed centrum grauitatis fi- guræ ABC quòd e$t F, & figuræ circum$criptæ, quod e$t K & eius re$idui dem- <FIG> pta figura ABC $unt in communi axe, vel diametro BD; erit igitur dicti re$idui in linea BK, centrum grauitatis, quod $it H. Minor autem proportio e$t prædicti re$idui ad figuram ABC, hoc e$t ip$ius FK ad KH, quàm FG ad GB, & multo minor, quàm FG ad GH; & compo- nendo minor proportio FH ad HK, quàm FH ad HG; ergo KH maior erit, quàm GH; reliqua igitur F <I>K</I> mi- nor, quàm FG atque adeo longitudine propo$ita. Fieri ergo pote$t, quod proponebatur. <p n=>53</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXXII.</I></HEAD> <p>Si duarum prædictarum figurarum circa com- munem axim, vel diametrum, vel alterius diame- trum alterius axim, ba$es, & quotcumque $ectio- nes quales diximus, binæ in eodem plano fue- rint proportionales; idem punctum in diametro, vel axe erit vtriu$que centrum grauitatis. <p>Sint duæ prædictæ figuræ ABC, DBE, circa eandem diametrum, vel axim BF. figuræ autem ABC $it cen- trum grauitatis G, nempe in linea BF. Dico G e$$e centrum grauitatis figuræ DBE. $i enim non e$t, $it a- liud punctum H, quod cadat primo $upra punctum G. Figuræ igitur AB C, figura circum- $cribatur qualem diximus ex cylin- dris, vel cylindri portionibus, vel pa rallelogrammis æ- qualium altitudinũ cuius centri graui- tatis <I>K</I> di$tantia à <FIG> centro G, figuræ ABC $it minor quàm recta GH: & figu ræ DBE, figura circum$cribatur ex cylindris, vel cylindri portionibus vel parallelogrammis æqualium altitudinum, multitudine æqualium ijs, ex quibus con$tat ip$i ABC, <p n=>54</p> figura circum$cripta, quæ cum prædictis circa figuram AB C erunt bina $umpto ordine à puncto B, in eadem propor- tione inter eadem plana parallela, vel rectas parallelas cõ$i- $tentia, propter $ectiones, ide$t ba$es, & æquales altitudines: binorum autem quorumque homologorum idem erit in li- nea BF, centrum grauitatis: punctum igitur K, centrum grauitatis figuræ ip$i ABC circum$criptæ, idem erit fi- guræ ip$i DBE, circum$criptæ centrum grauitatis: cadi<*> aut&etilde; infra centrum grauitatis H figu- ræ DBE, quod e$t ab$urdum. Non igitur centrum gra- uitatis figuræ DB E, cadit $upra pun ctum G. Sed ca- dat infra, vt in pun- cto L. Rur$us igi tur figuræ DBE fi- gura, qualem dixi- mus circum$cripta, cuius centrum gra- uitatis M, $it pro- pinquius centro L, <FIG> quàm punctum G, figuræ ABC altera qualem diximus figura circum$cribatur, cuius centrum grauitatis $it idem punctum M, quod fieri po$$e con$tat ex $uperioribus. Sed G ponitur centrum grauitatis figuræ ABC; ergo centrum grauitatis figuræ ip$i ABC, circum$criptæ erit propinquius ba$i & puncto F, quàm figuræ ABC centrum grauitatis, quod fieri non pote$t. Non igitur figuræ DBE centrum gra uitatis cadit infra punctum G. Sed neque $upra; punctum igitur G erit commune duarum figurarum ABC, DBE, centrum grauitatis. Quod demon$trandum erat. <p n=>55</p> <HEAD><I>COROLLARIVM.</I></HEAD> <p>Manife$tum e$t autem omnia proximis qua- tuor propo$itionibus o$tē$a de figura circa axim, vel diametrum in alteram partem deficienti, ea- dem ij$dem rationibus o$ten $a remanere de com- po$ito ex duabus figuris circa communem axim vel diametrum in alteram partem deficientibus, tam per $e con$iderato, quàm ad alteram figuram circa eundem axim, vel diametrum cum prædi- cto compo$ito, in alteram partem deficiens, ac $i e$$ent duæ tantummodo dictæ figuræ, quales in præcedenti proxima inter $e comparauimus; ma- nente $emper illa conditione, quàm de $ectioni- bus in vige$ima huius diximus. Tantum aduer- tendum e$t, vt pro $ectionibus, dicamus compo$ita ex binis $ectionibus (quæ $cilicet fiunt ab codem plano, vel eadem recta linea) cum de prædicto com po$ito $it $ermo: & in demon$tratione, procylin- dris, vel cylindri portionibus, vel parallelogram- mis, compo$ita ex binis cylindris, vel cylindri por tionibus, vel parallelogrammis(quæ $cilicet $unt inter eadem plana parallela, vel lineas parallelas, & circa eundem axim, vel diametrum totius vel diametri, vel axis partem) $icut & pro figura com- po$itum ex duabus dictis figuris: pro re$iduo, com po$itum ex re$iduis. Nam cum vtriu$que re$idui <p n=>56</p> figurarum duobus prædictis figuris vnum quid componentibus, & circa eundem axim, vel diame trum exi$tentibus, qua ratione diximus, circum- $criptarum, centra grauitatis $int in diametro, vel axe; etiam compo$iti ex ijs duobus re$iduis (vt in priori libro generaliter demon$trauimus, cen- trum grauitatis erit in eadem diametro, vel axe: vnde vim habent proximæ quatuor anteceden- tes demon$trationes, exemplum erit in demon- $tratione trige$imæ quartæ huius. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXIII.</I></HEAD> <p>Hemi$phærij centrum grauitatis e$t punctum illud in quo axis $ic diuiditur, vt pars, quæ ad ver- ticem $it ad reliquam vt quin que ad tria. <p>E$to hemifphærium ABC cuius vertex B, axis BD: $it autem BD $ectus in G puncto, ita vt pars BG ad GD $it vt quinque ad tria. Dico G e$se centrum grauitatis hemi$phærij ABC. Ab$cindatur enim BK ip$ius BD pars quarta: & $uper ba$im eandem hemi$phærij eundem- que axim BD cylindrus AF con$i$tat, & conus intelli- gatur EDF, cuius vertex D, ba$is autem circulus circu- lo AC oppo$itus, cuius diameter EBF. Sectoque axe BD bifariam in puncto H, & $ingulis eius partibus rur- $us bifariam, quoad BD $ecta $it in partes æquales cu- iu$cumque libuerit numeri paris, tran$eant per puncta $e- ctionum plana quædam ba$i AC parallela, & $ecantia, hemi$phærium, conum, & cylindrum, quorum omnes $e- ctiones erunt circuli, terni in codem plano ad aliam atque <p n=>57</p> aliam trium harum figurarum pertinentes. Quod $i præ- terea factæ $ectiones hemi$phærij ABC à cylindri AF $ectionibus, circuli à circulis concentricis auferri intelli- gantur; reliquæ totidem erunt $ectiones reliquæ figuræ $o- lidæ, dempto ABC hemi$phærio ex toto AF cylin- dro, circuli deficientes circulis concentricis, hoc e$t prædi- ctis ABC hemi$phærij $ectionibus prout inter $e re$pon- dent. Nunc $uper $ectiones hemi$phærij ABC, & co- ni EDF cylindris con$titutis circa axes, quæ $unt $eg- menta æqualia axis BD, intelligantur duæ figuræ ex cy- lindris æqualium altitudinum, altera in$cripta hemi$phæ- <FIG> rio ABC, altera cono EDF circum$cripta. Si igitur à toto AF cylindro auferatur figura, quæ in$cripta e$t hemi$phærio ABC, relinquetur figura quædam ex cylin- dris circa prædictos axes, vt $unt BK, KH, HL, LD, deficientibus ijs cylindris, ex quibus con$tat figura in$cri- pta hemi$phærio ABC, & vno integro $upiemo XF cylindro, circum$cripta re$iduo AF cylindri dempto A BC hemi$phærio, circum$criptione interna: talis autem figuræ circum$criptæ centrum grauitatis, per ea, quæ in primo libro, erit in axe BD, quemadmodum & aliarum duarum figurarum ex cylindris, quarum altera in$cripta e$t hemi$phærio ABC, altera cono EDF circum$cripta. <foot>H</foot> <p n=>58</p> Quoniam igitur quo exce$su hemi$phærium ABC $u- perat ex cylindris figuram $ibi in$criptam, eodem figura circum$cripta reliquo cylindri AF, dempto ABC he- mi$phærio, $uperat ip$um re$iduum; figura autem in$cripta hemi$phærio ABC pote$t e$$e eiu$modi, quæ ab hemi- $phærio de$iciat minori defectu quantacumque magnitu- dine propo$ita; poterit figura, quæ prædicto re$iduo cir- c<*> m$cripta e$t e$$e talis, quæ ip$um re$iduum $uperet mi- no i exce$su quantacumque magnitudine propo$ita. Ru $us, quia quemadmodum cylindrus AN infimus de- ficiens cylindro SR, æqualis e$t cylindro TP, ex $upe- <FIG> rioribus, ita vnu$qui$que aliorum cylindrorum deficien- tium cylindris, qui $unt in hemi$phærio, ex quibus cylin- dris deficientibus con$tat dicto re$iduo figura circum$cri- pta, æqualis e$t cylindrorum circa conum EDF, ei, qui cum ip$o e$t inter eadem plena parallela, & circa eundem axem; erunt omnes cylindri circa conum EDF, in ea- dem proportione cum prædictis cylindris deficientibus, circa prædictum re$iduum, $i bini $umantur inter eadem plana parallela, & circa eundem axem. Quemadmodum igitur omnium cylindrorum, qui circa conum EDF mi- nor e$t proportio primi ad verticem D, ad $ecundum, quàm $ecundi ad tertium, & $ecundi ad tertium, quàm ter- <p n=>59</p> tij ad quartum, & $ic $emper deinceps v$que ad vltimum XF (duplicatæ enim $unt talium cylindrorum rationes earum, quas inter $e habent diametri æqualibus exce$sibus differentes circulorum, qui $unt $ectiones coni, & ba$es cy- lindrorum, ex quibus con$tat figura cono EDF circum- $cripta, $umpta progre$$ione proportionum eodem ordine gradatim à minima diametro v$que ad maximam EF) ita erit cylindrorum deficientium, ex quibus con$tat figura circum$cripta reliquo cylindri AF, dempto ABC hemi- $phærio, minimi, cuius axis DL ad $ecundum minor pro- portio, quàm $ecundi ad tertium, & $ic deinceps, v$que ad maximũ XF, communiter ad conum EDF, & prædictum re$iduum pertinentem, $icut & eorum ba$es circuli deficien tes, quæ $unt dicti re$idui $ectiones. Cum igitur tam maxi- mi cylindri XF communis, quàm binorum quorumque reli quorum cylindrorum circa conum EDF, & prædictum re$i duum inter eadem plana parallela con$i$tentium, quorum axis communis in BD, commune centrum grauitatis in axe BD exi$tat, erit ex antecedenti punctum K, quod pono centrum grauitatis coni EDF, idem re$idui ex cylindro AF, dempto ABC, hemi$phærio centrum grauitatis. Quoniam igitur quarum partium e$t octo axis BD talium e$t BG quinque, & BK duarum (ponimus enim nunc K coni EDF centrum grauitatis) qualium e$t BD octo, ta- lium erit GK trium: $ed KH e$t æqualis BK; qualium igitur partium e$t GK trium, talium erit KH duarum, ta- li$que vna GH; dupla igitur KH ip$ius GH: $ed ABC hemi$phærium duplum e$t prædicti re$idui, cum $it cylin- dri AF, $ub$e$quialterum; vt igitur e$t hemi$phæriũ ABC, ad prædictum re$iduum, ita ex contraria parte erit lõgitudo KH, adlongitudinem GH: $ed H e$t centrum grauitatis totius cylindri AF & K, prædicti re$idui dempto ABC hemi$phærio; ergo ABC hemi$phærij centrum grauitatis erit G. Quod demon$trandum erat. <foot>H 2</foot> <p n=>60</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXXIV.</I></HEAD> <p>Omnis minoris portionis $phæræ centrum gra uitatis e$t in axe primum bifariam $ecto: deinde $ecundum centrum grauitatis fru$ti circa eun- dem axim, ab$ci$$i à cono verticem habente cen- trum $phæræ; in eo puncto, in quo dimidius axis portionis ba$im attingens $ic diuiditur, vt pars duabus prædictis $ectionibus intercepta $it ad eam, quæ inter $ecundam, & tertiam $ectionem interijcitur, vt exce$$us, quo tripla $emidiametri $phæræ, cuius e$t prædicta portio, $uperattres de- inceps proportionales, quarum maxima e$t $phæ- ræ $emidiameter, media autem, quæ inter centra $phæræ, & ba$is portionis interijcitur; ad $emi- diametri $phæræ triplam. <p>Sit minor portio ABC, $phæræ, cuius centrum D, $emidiameter BD, in qua axis portionis $it BG, ba$is autem circulus, cuius diameter AC: & circa axim BD de$criptus e$to conus HDF, cuius ba$is circulus FH tangens portionem in B puncto $it æqualis circulo ma- ximo, & fru$tum coni HDF ab$ci$$um vna cum portio- ne ABC $it KHFL, & vt BD ad DG, ita fiat DG ad P: $ectoque axe BG bifariam in puncto N, fiat vt exce$$us, quo tripla ip$ius BD $uperat tres BD, DG, P, tanquam vnam, ita NM, ad MNO. Dico portio- nis ABC centrum grauitatis e$se O. Nam circa axim BG, $uper ba$im FH $tet cylindrus EF, cuius cen- <p n=>61</p> trum grauitatis erit N, reliqui autem eius dempta ABC portione centrum grauitatis M commune fru$to KLFH, vt colligitur ex demon$tratione antecedentis. Quoniam igitur e$t vt exce$sus, quo tripla ip$ius BD $u- perat tres BD, DG, P tanquam vnam, ad ip$ius BD <FIG> triplam, hoc e$t vt NM ad MO, ita portio ABC ad EF cylindrum, & diuidendo vt MN ad NO, ita por- tio ABC ad reliquum cylindri EF; & N e$t cylindri EF, & M prædicti re$idui centrum grauitatis; erit reli- quæ portionis ABC centrum grauitatis O. Quod de- mon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXV.</I></HEAD> <p>Omnis portionis $phæræ ab$ci$$æ duobus pla- nis parallelis, altero per centrum acto, centrum grauitatis e$t in axe primum bifariam $ecto: dein- de $umpta ad minorem ba$im quarta parte axis portionis; in eo puncto, in quo dimidius axis mi- norem ba$im attingens $ic diuiditur, vt pars dua- bus prædictis $ectionibus intercepta $it ad eam, <p n=>62</p> quæ inter$ecundam, & vltimam $ectionem inter- ijcitur, vt exce$$us, quo maior extrema ad $phæræ $emidiametrum, & axim portionis $uperat ter- tiam partem axis portionis; ad maiorem extre- mam antedictam. <p>Sit portio ABCD $phæræ, cuius centrum F: axis au- tem portionis $it EF ab$ci$sæ duobus planis parallelis, quorum alterum tran$iens per punctum F faciat $ectio- num circulum maximum, cuius diameter AD, reliquam autem $ectionem minorem circulum, quæ minor ba$is di- citur, cuius di- ameter BC: & vt e$t EF ad AD, ita fiat AD ad OP, cuius P R, $it æqua- lis tertiæ parti axis EF. Et $ecta EF bi- <FIG> fariam in puncto M, & po$ita EN ip$ius EF quarta parte, fiat vt RO ad OP, ita MN ad NL. Dico L e$$e centrum grauitatis portionis ABCD. Nam circa axim EF $uper circulum maximum AD de$cribatur cylindrus AG, cuius centrum grauitatis erit M: reliqui autem ex cylindro AG dempta ABCD portione centrum graui- tatis N. Quoniam igitur e$t vt RO ad OP, hoc e$t vt MN ad NL, ita portio ABCD ad reliquum cylindri AG, & diuidendo vt NM ad ML, ita portio ABCD ad reliquum cylindri AG: & cylindri AG e$t N, prædicti au- tem re$idui centrum grauitatis M; erit reliquæ portionis ABCD centrum grauitatis L. Quod demon$trandũ erat. <p n=>63</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXXVI.</I></HEAD> <p>Omnis portionis $phæræ ab$ci$$æ duobus pla- nis parallelis neutro per centrum acto, nec cen- trum intercipientibus, centrum grauitatis e$t in axe primum bifariam $ecto: deinde $ecundum centrum grauitatis fru$ti circa eundem axim, ab$ci$$i à cono verticem habente centrum $phæ- ræ; in eo puncto in quo dimidius axis maiorem ba$im attingens $ic diuiditur, vt pars duabus præ- dictis $ectionibus finita $it ad eam, quæ inter $e- cundam, & vltimam $ectionem interijcitur, vt exce$$us, quo maior extrema ad triplas & $emidia metri $phæræ, & eius quæ inter centra $phæræ, & minorem ba$im portionis interijcitur, $uperat tres deinceps proportionales, quarum maxima e$t, quæ inter centra $phæræ, & minoris ba$is, media autem, quæ inter centra $phæræ, & maio- ris ba$is portionis interijcitur; ad maiorem extre- mam antedictam. <p>Sit portio ABCD, $phæræ, cuius centrum E, ab- $ci$sa duobus planis parallelis, neutro per E tran$eun- te, nec E intercipientibus: axis autem portionis $it GH, maior ba$is circulus, cuius diameter AD, minor cuius diameter BC: producta autem GH v$que in E intel- ligatur coni KEN rectanguli, cuius axis EG, fru$tum <p n=>64</p> KLMN ab$ci$$um ij$dem planis, quibus por- tio, & $phæræ $emidiameter $it EHGS: & po- $ita T tripla ip$ius ES, & V ip$ius EG tri- pla, e$to vt V ad T ita T ad XZ: & vt GE ad EH ita EH ad <G>w</G>, & $it ZY, ip$ius XZ, æqualis tribus GE, EH, <G>w</G>, vt $it exce$$us XY: & $ecto axe GH bifariam in puncto I, in linea GI, $umatur O, centrum grauitatis fru- $ti KLMN: Et vt <G>*u</G>X ad XZ, ita fiat IO ad OIP. Dico portionis ABCD centrum grauitatis e$$e P. Nam circa axim GH pla- nis ba$ium portionis interceptus $tet cylin- drus QR, cuius ba$is $it æqualis circulo ma- ximo. Quoniam igitur e$t vt YX ad XZ, hoc e$t vt IO ad OP, ita portio ABCD ad cylindrum QR, & diuidendo vt OI ad IP, ita portio ABCD ad reliquum cylindri QR: & I e$t cylindri QR, & O prædicti re$idui centrum grauitatis; erit reliquæ por- <FIG> tionis ABCD centrum grauitatis P. Quod demon- $trandum erat. <p n=>65</p> <HEAD><I>LEMMA.</I></HEAD> <p><I>Sit data recta PO, & in ea punctum D, & punctum quod- dam R in ip$a DO, ita vt VD ip$ius PD, ad DT ip$ius DO, $it vt PD, ad DO: $it autem maior proportio PS ad SO, quàm VR, ad RT. Dico OS, minorem e$$e quàm OR.</I> <p>Fiat enim vt PS, ad SO, ita VZ ad ZT; ma- ìor igitur erit proportio VZ, ad ZT, quàm VR, ad RT: & componendo maior proportio VT, ad TZ, <FIG> quàm VT, ad TR; minor igitur TZ, quàm TR, ide$t maior DZ, quàm DR. Rur$us quia componendo e$t vt PO ad OS, ita VT ad TZ: $ed vt DO ad OP, ita e$t DT ad TV; erit ex æquali, vt DO ad OS, ita DT, ad TZ; & per conuer$ionem rationis, vt OD ad DS, ita TD ad DZ: & permutando, vt DO ad DT, ita DS ad DZ: $ed DO, e$t maior quàm DT, ergo & DS, erit maior quàm DZ: $ed DZ maior erat quàm DR; multo ergo DS maior quàm DR, vnde minor erit OS quàm OR. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXVII.</I></HEAD> <p>Si datæ maiori $phæræ portioni cylindrus cir- cum$cribatur circa eundem axim portionis, cen- trum grauitatis reliquæ figuræ ex cylindro cir- cum$cripto ablata portione, propinquius erit ver- tici portionis, quàm c&etilde;trum grauitatis portionis. <foot>I</foot> <p n=>66</p> <p>Sit $phæræ cuius centrum D maior portio ABC, cu- ius axis BE, ba$is circulus cuius diameter AC, & por- tioni ABC, cylindro XH circa axim BE circum$cripto vt $upra fecimus: quoniam tam portionis ABC, quàm cylindri XH, centrum grauitatis e$t in axe BE; erit reli- qui ex cylindro XH, in axe BE centrum grauitatis, $int in axe BE centra grauitatis Q portionis ABC & S præ- dicti re$idui. Dico e$$e punctum S vertici B propinquius <FIG> quàm punctum Q. Per centrum enim D tran$iens planum ad axim BE erectum $ecet cylindrum XH, & portionem ABC in duos cylindros <I>K</I>H, XL, & hemi$phærium KBL, & portionem AKLC, $ectio autem circulus ma- ximus e$to ille cuius diameter KL: & duo coni rectan- guli circa axes BD, DE, vertice D communi de$cri- bantur GDH, MDN, quorum alterius ba$is GH com- munis erit cylindro XH: alterius autem MDN, minor quàm eiu$dem cylindri XH, ba$is GH. Denique <*> <p n=>67</p> BE bifariam in puncto R, $ecentur BD, in puncto T, & DE, in puncto V, bifariam & $umatur BO, ip$ius BD, pars quarta, necnon EP pars quarta ip$ius DE, primum itaque quoniam ER e$t maior, quàm ED, erit punctum R, in $egmento BD. Quoniam igitur ex $upra o$ten$is O e$t centrum grauitatis commune cono DGH, & reliquo cylindri KH dempto ABC hemi$phærio: & eadem ra- tione punctum P, cum $it centrum grauitatis coni MDN, erit idem centrum grauitatis reliqui ex cylindro XL dem- pta AKLC portione: e$t autem reliquum cylindri KH dempto KBL hemi$phærio, æquale cono DGH, qua ratione & reliquum cylindri XL, dempta AKLC por- tione æquale e$t cono MDN; cum igitur S $it centrum grauitatis totius reliqui ex toto cylindro XH, dempta ABC portione, erit idem S, centrum grauitatis compo- $iti ex conis GDH, MDL: $unt autem horum conorum centra grauitatis O, P; vt igitur conus GDH, ad co- num MDN, ita erit PS, ad SO: $ed coni GDH ad $imilem ip$i conum MDN triplicata e$t proportio axis BD, ad axim BE, hoc e$t cylindri KH ad cylindrum XL; maior igitur proportio erit PS ad SO, quàm cy- lindri KH ad cylindrum XL, $ed vt cylindrus KH, ad cylindrum XL, ita e$t VR ad RT, ob centra grauiratis V, R, T, maior igitur proportio erit PS ad SO, quàm VR ad RT: $ed eiu$dem PO e$t vt PD ad DO, ita VD ad DT, ob $ectiones axium proportionales; pun- ctum igitur S propinquius e$t puncto O, quàm punctum R, per Lemma. Quare & Stermino B propinquius quàm punctum R: $ed R e$t centrum grauitatis totius cylindri XH: & S reliqui ex cylindro XH dempta ABC por- tione; igitur Q reliquæ portionis ABC, centrum graui- tatis erit in linea ER, atque ideo à puncto B remotius quàm punctnm S. Quod e$t propo$itum. <foot>I 2</foot> <p n=>68</p> <HEAD><I>COROLLARIV M.</I></HEAD> <p>Manife$tum e$t autem ex demon$tratione the<*> rematis, omnis re$idui ex cylindro datæ maiori $phæræ portioni circum$cripto circa eundem axim portionis, cuius ba$is $it æqualis circulo ma ximo, centrum grauitatis e$$e in axe ab$ci$$a pri- mum quarta parte ad verticem portionis termina- ta $egmenti axis portionis, quod centro $phæræ, & vertice portionis, & quarta parte eius quod centro $phæræ, & ba$i portionis terminatur; ad ba$im terminata in eo puncto, in quo $egmentum axis portionis duabus prædictis $ectionibus fini- tum $ic diuiditur, vt $egmentum propinquius ba$i $it ad reliquum, vt cubus $egmenti axis portionis centro $phæræ, & vertice portionis terminati ad cubum reliqui quod ba$im portionis tangit, $i- quidem cubi triplicatam inter $e habent laterum proportionem, $imul illud manife$tum e$t, hoc idem eadem ratione po$$e demon$trari de centro grauitatis reliqui ex cylindro dempta $phæræ por tione ab$ci$$a duobus planis paralìelis centrum $phæræ intercipientibus, ita vt axis portionis à centro $phæræ in partes inæquales diuidatur, cu- ius cylindri circum$cripti $it idem axis, qui & por tionis, ba$is autem æqualis circulo maximo. Si- militer enim de$criptis duobus conis rectanguli<*> <p n=>69</p> verticem habentibus communem centrum $phæ- ræ, ba$es autem minores ba$ibus oppo$itis cylin- dri circum$cripti: æqualibus circulo maximo, $u- mentes pro vertice minorem ba$im, pro ba$i, ma- iorem ba$im portionis immotis reliquis propo$i- tum demon$traremus. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXVIII.</I></HEAD> <p>Omnis maioris portionis $phæræ centrum gra uitatis e$t in axe primum bifariam $ecto: Deinde $umpta ad verticem quarta parte $egmenti axis, quod centro $phæræ, & portionis vertice finitur: itemque ad ba$im quarta parte reliqui $egmenti inter centrum $phæræ, & ba$im portionis interie- cti. Deinde $egmento axis, inter eas quartas par- tes interiecto, ita diui$o, vt pats propinquior ba$i $it ad reliquam vt cubus $egmenti axis, quod c&etilde;tro $phæræ, & vertice portionis, ad cubum eius quod centris $phæræ, & ba$is portionis termina- tur; in eo puncto, in quo $egmentum axis centro $phæræ, & $ectione penultima finitum $ic diuidi- tur, vt pars prima & penultima $ectione termina- ta $it ad totam vltima & penultima $ectione termi natam, vt exce$$us, quo $egmentum axis portionis inter centrum, & ba$im portionis interiectum $u- perat tertiam partem minoris extremæ maiori po $ita dicto axis $egmento in proportione $emidia- <p n=>70</p> metri $phæræ ad prædictum $egmentum, vnà cum $ub$e$quialtera reliqui $egmenti, ad axim por- tionis. <p>Sit maior portio ABC $phæræ, cuius centrum D, dia- meter KH, axis autem portionis $it BE, ba$is circulus, cuius diameter AC, & $it axis BE primum bifariam $e- ctus in puncto G: $umptaque ip$ius BD, quarta parte BP, itemque ip$ius DE quarta parte EN, $ecetur inter- iecta PN, ita in puncto F, vt NF, ad FP, $it vt cubus ex BD ad cubum ex DE; punctum igitur F, ex præcedenti <FIG> corollario erit centrum grauitatis reliqui ex cylindro LM portioni ABC, vt in antecedenti circum$cripto. Quo- niam igitur & prædicti re$idui, ex antecedenti, & cylindri LM, centra grauitatis $unt in axe BE, erit & portionis ABC in axe BE centrum grauitatis, quod $it S: manife- $tum e$t igitur punctum S, cadere $upra centrum D, in li- nea BD, minori ablata $phæræ portione, cuius ba$is cir- <p n=>71</p> culus AC: centrum autem F propinquius e$$e puncto B, quàm centrum S, con$tat ex præcedenti: quare centrum G, totius cylindri LM inter puncta F, S cadet. Dico GF ad FS e$$e vt exce$$us, quo recta DE $uperat tertiam partem minoris extremæ maiori po$ita ip$a DE in propor tione continua ip$ius DH ad DE vnà cum $ub$e$quial- tera ip$ius BD, ad axim BE, ita GF ad FS. Quoniam enim portio ABC ad cylindrum LM e$t vt prædictus ex- ce$$us vnà cum $ub$e$quialtera ip$ius BD ad axim BE: & vt portio ABC ad LM cylindrum, ita e$t GF ad FS, ob centra grauitatis F, G; erit vt prædictus exce$$us vna cum $ub$e$quialtera ip$ius BD ad axim BE, ita GF ad FS. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXIX.</I></HEAD> <p>Omnis portionis $phæræ ab$ci$$æ duobus pla- nis parallelis centrum intercipientibus, & à cen- tro æqualiter di$tantibus, centrum grauitatis e$t in medio axis, vel idem, quod centrum $phæræ. <p>Sit portio ABCD, $phæræ, cuius centrum G, ab$ci$sa duobus planis parallelis centrum G intercipien- tibus, & æquè ab eo di- $tantibus: $ectiones erũt circuli minores, quorum diametri $int AD, BC centra autem F,E, qui- bus axis portionis termi nabitur, eritque ad pla- na vtriu$que circuli per <FIG> pendicularis tran$iens per centrum G: & quia illa plana <p n=>72</p> à centro G, æquè di$tant, erit EG, æqualis GF. Dico portionis ABCD centrum grauitatis e$$e G. De$cripta enim figura, vt $upra fecimus, intelligantur duo coni re- ctanguli GNO, GPQ, vertice G, communi, axibus autem eorum EG, GF: & cylindrus LM, portioni cir- cum$criptus circa eun- dem axim EF, cuius ba $is æqualis e$t circulo maximo: & $umatur EH ip$ius EG, pars quar- ta, itemque FK, pars quarta ip$ius FG. Quo- niam igitur conorum G NO, PGO, axes FG, GH, $unt æquales, re- liquæ KG, GH, æqua <FIG> les erunt; centra autem grauitatis conorum $unt K, H; pun- ctum igitur G e$t centrum grauitatis compo$iti ex duobus conis æqualibus GNO, GPQ, hoc e$t reliqui ex cylin- dro LM, dempta ABCD, portione, ex ante demon$tra- tis: $ed idem G e$t centrum grauitatis totius cylindri LM; reliquæ igitur ABCD, portionis centrum grauitatis erit G. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XL.</I></HEAD> <p>Omnis portionis $phæræ ab$ci$$æ duobus pla- nis parallelis centrum intercipientibus, & à cen- tro non æqualiter di$tantibus centrum grauitatis e$t in axe primum bifariam $ecto: Deinde $umpta ad minorem ba$im portionis quarta parte $egmen ti axis, quod minorem ba$im attingit: & ad maio- <p n=>73</p> rem ba$im quarta parte reliqui $egmenti axis eo- rum, quæ à centro $phæræ fiunt: Deinde recta inter has quartas partes interiecta ita diui$a, vt pars maiori ba$i propinquior $it ad reliquam vt cubus $egmenti axis inter $phæræ centrum, & mi- norem ba$im, ad cubum eius, quod inter $phæræ centrum, & maiorem ba$im portionis interijci- tur; in eo puncto, in quo $egmentum axis centro $phæræ, & penultima $ectione terminatum $ic di- uiditur, vt pars quæ penultima, & prima $ectione terminatur $it ad totam vltima, & penultima $e- ctione terminatam, vt ad axim portionis e$t exce$ $us, quo idem axis portionis $uperat tertiã partem compo$itæ ex duabus minoribus extremis, maio- ribus po$itis duobus axis $egmentis, quæ fiunt à centro $phæræ in rationibus $emidiametri $phæ- ræ ad prædicta $egmenta. <FIG> <p>Sit portio ABCD $phæræ, cuius centrum G, abci$$a duobus planis parallelis centrum G intercipien<*>ibus, & <foot>K</foot> <p n=>74</p> ab eo non æqualiter di$tantibus: & axis portionis $it EF, qui per centrum G tran$ibit, vtpote parallelorum circu- lorum centra iungens: cumque eorum vtrumque $it à cen- tro non æqualiter di$tantium perpendicularis, erunt eius $egmenta EG, GF, inæqualia. E$to EG, maius: $ectoque axe EF bifariam in puncto P, $umptisque ip$arum EG, GF, quartis partibus EH, FK, $ecetur interiecta <I>K</I>H, in puncto Q, ita vt KQ, ad QH, $it vt cubus ex EG, ad cubum ex GF, & portionis ABCD, $it centrum gra uitatis R: quod quidem cum punctis P, Q, e$$e in axe <FIG> EF: & cylindro LM, $uper ba$im æqualem circulo ma- ximo circa axim EF, portioni circum$cripto, reliqui eius dempta ABCD, portione centrum grauitatis e$se Q, & propinquius E puncto, quàm centrum grauitatis R por- tionis ABCD, manife$tum e$t ex $upra demon$tratis de maioris portionis $phæræ centro grauitatis: portionis autem ABCD centrum grauitatis R e$se in $egmento EG $e- quitur ex antecedente. Dico PQ ad QR e$se vt ad axim EF exce$sus, quo axis EF $uperat tertiam partem com- po$itæ <*> duabus minoribus extremis altera re$pondente maiori extrema EG in proportione continua ip$ius NG <p n=>75</p> ad GE, altera maiori extremæ FG in proportione con- tinua ip$ius NG ad GF. Quoniam enim ob centra gra uitatis QPR e$t vt QP ad PR, ita portio ABCD ad reliquum cylindri LM, erit componendo, & per conuer- $ionem rationis, & conuertendo, vt PQ ad QR, ita por- tio ABCD ad LM cylindrum: $ed portio ABCD ad LM cylindrum e$t vt prædictus exce$$us ad axim EF; vtigitur prædictus exce$$us ad axim EF, ita e$t PQ ad QR. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XLI.</I></HEAD> <p>Omnis conoidis parabolici centrum grauita- tis e$t punctum illud, in quo axis $ic diuiditur vt pars, quæ e$t ad verticem $it dupla reliquæ. <p>Sit conoides parabolicum ABC, cuius vertex B, axis autem BD $ectus in puncto E ita vt EB $it ip$ius ED dupla. Dico E e$se centrum grauitatis conoidis ABC. Nam in $ectione per axim parabola ABC, cuius diameter erit B D, de$cribatur rian- gulum ABC; $um- ptisque ip$ius BD æ- qualibus DH, HO, per puncta H, O, $e- centur vnà parabola & triangulum ABC duabus rectis FGH <FIG> KL, MNOPQ: & per eas rectas $ecetur conoi- des ABC planis ba$i parallelis, factæ autem $e- ctiones erunt circuli circa FL, MQ, & in parabola <foot>K 2</foot> <p n=>76</p> ABC tres ad diametrum ordinatim applicatæ AD, FH, MO. Quoniam igitur tres rectæ OB, BH, BD $e$e qualiter excedunt, quarum minima BO, maxi- ma e$t BD, minor erit proportio BO ad BH, quàm BH ad BD; hoc e$t NP ad GK, quàm GKad AC. $ed vt OB ad BH hoc e$t NO ad GH, vel NP ad GK ita e$t quadra- tum MO ad quadra- tum FH, hoc e$t eo- no dis $ectionum cir- culus MQ ad circu- lum FL: eademque ratione vt GK ad AC ita circulus FL ad circulum AC; mi nor igitur proportio erit circuli MQ ad circulum FL quàm <FIG> circuli FL ad circulum AC. Similiter autem o$tende- remus ternas quaslibet alias ita factas $ectiones trianguli, & parabolæ ABC inter $e & ba$i parallelas proportio- nales e$se, & minorem proportionem vtrobique minimæ ad mediam, quàm mediæ ad maximam. Sed E e$t cen- trum grauitatis trianguli ABC, igitur per vige$imamter- tiam huius centrum grauitatis conoidis ABC erit idem E. Quod demon$trandum erat, <HEAD><I>PROPOSITIO XLII.</I></HEAD> <p>Omnis fru$ti conoidis parabolici centrum gra uitatis axim ita diuidit, vt pars, quæ minorem ba$im attingit $it ad reliquam; vt duplum maioris <p n=>77</p> ba$is vnà cum minori, ad duplum minoris, vnà cum maiori. <p>Sit conoidis parabolici ABC, cuius axis BD fru$tum AEFC, eius maior ba$is circulus, cuius diameter AC, mi- nor, cuius diameter EF: in eadem parabola per axem, axis aut&etilde; DG, in quo fru$ti AEFC $it centrum grauitatis H. Dico e$$e vt duplum circuli AC, vnà cum circulo EF, ad duplum circuli EF vna cum circulo AC, ita GH, ad HD. Iungãtur enim re- ctæ AKB, BLC. Quoniam igitur qua ratione o$ten dimus conoides, & triangulum A BC, commune habere in linea BD centrum gra uitatis, ead&etilde; pror- $us remanet de- mon$tratum, fru$ti <FIG> AEFC centrũ grauitatis H, idem e$se quod trapezij AK FC; erit duarum parallelarum AG, KL vt dupla ip$ius AC, vnà cum KL, ad duplam ip$ius KL, vnà cum AC ita GH ad HD: $ecat enim DG ip$as AC, KL bifa- riam. Sed vt AC ad <I>K</I>L ita e$t circulus AC ad circu- lum EF, ex demon$tratione antecedentis, hoc e$t vt dupla ip$ius AC vnà cum KL ad duplam ip$ius KL vnà cum AC, ita duplum circuli AC vna cum circulo KL ad du- plum circuli KL vnà cum circulo AC; vt igitur e$t du- plum circuli AC, vnà cum circulo EF, ad duplum circu- li EF, vnà cum circulo AC; ita erit GH ad HD. Quod demon$trandum erat. <p n=>78</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XLIII.</I></HEAD> <p>Omnis conoidis hyperbolici centrum grauita- tis e$t punctum illud, in quo duodecima pars axis ordine quarta ab ea, quæ ba$im attingit, $ic diui- ditur, vt pars ba$i propinquior $it ad reliquam, vt $e$quialtera tran$uer$i lateris hyperboles, quæ conoides de$cribit ad axim conoidis. <p>Sit conoides hyperbolicum ABC, cuius vertex B, axis autem BD, qui etiam erit diameter hyperboles, quæ co- noides de$crip$it, ad quam rectæ ordinatim applicantur: eiu$dem autem hyperboles tran$uer$um latus $it EB, cu- ius $it $e$quialtera BEI, & $umpta DQ quarta parte axis BD, & DG, eiu$dem tertia, qua ratione erit FG duodecima pars axis BD, & ordine quarta ab ea cuius terminus D, fiat vt IB, ad BD, ita QH, ad HG. Dico conoidis ABC, centrum grauitatis e$$e H. Sumpto enim in linea AD quolibet puncto M, vt e$t EB ad BD longitudine, ita fiat MD, ad DK ip$ius AD po- tentia: & ab$cindatur DN, æqualis DM, & DL æqua- lis DK; $iue autem $it DK minor, quàm DM, $iue ma- ior, $iue eadem illi; omnibus ca$ibus communis erit demon $tratio. At per puncta M, N, vertice B, circa diametrum BD, de$cribatur parabola MBN, & triangulum KBL. Manente igitur BD, & circumductis figuris MBN, KBL, de$cribantur conoides parabolicum MBN, & conus KBL, quorum communis axis erit BD, ba$es autem circuli, quorum diametri KL, MN, in eodem plano cum ba$e conoidis ABC. Rur$us $ecto axe BD bifariam, & $ingulis eius partibus $emper bifariam in qua- <p n=>79</p> cumque multiplicatione; $int duæ partes æquales proximæ ba$i DF, FQ: & per puncta FQ duo plana ba$ium pla- no parallela tres prædictas figuras $olidas $ecare intelli- gantur: $ecabunt autem & tres figuras per axim, eruntque $ectiones rectæ lineæ ad diametrum figurarum ordinatim applicatæ propter plana $ecantia pa rallela: trium au- tem $olidorum $e ctiones & ba$es omnes circuli, ter ni in $ingulis pla- nis: ac primi qui- dem ordinis $int ij, quorum diame- tri $unt ba$es triũ figurarũ per axim, trianguli $cilicet, parabolæ, & hy- perboles, quæ præ dictas figuras $oli das de$cribunt, re ctæ lineæ AC, MN, KL. Se- cundi verò reten- to eodem ordine figurarũ tres <G>az, be, gd</G>. Tertij denique ordinis SZ, TY, VX. <FIG> Quoniam igitur e$t vt EB, ad BD, ità quadratum MD, ad quadratum DK, ide$t conus MBN, $i de$cribatur eo- dem vertice B, ad conum KBL. Et vt IB, ad BE, ità e$t conoides MBN, ad conum MBN, in proportione $cili- <p n=>80</p> cet $e$quialtera; ex æquali erit vt IB, ad BD, itì conoi- des MBN ad conum KBL: Sed vt IB, ad BD, ità ponitur QH ad HG; vt igitur conoides MBN, ad co- num KBL, ità e$t QH ad HG. Sed Q e$t centrum grauitatis coni KBL, & G conoidis MBN; compo$i- ti igitur ex conoi- de MBN, & co- no KBL centrũ grauitatis erit H. Rur$us quoniam tres rectæ lineæ B D, BF, BQ, æ- qualibus exce$$i- bus inter $e diffe- runt, minor erit proportio BQ, ad BF, quàm BF, ad BD, hoc e$t rectanguli EBQ, ad rectangulum EBF, quàm re- ctanguli EBF, ad rectangulum EB D. Sed quadrati BQ, ad quadra- tum BF, dupli- cata e$t proportio lateris BQ ad l<*>- tus BF: hoc e$t rectanguli EBQ <FIG> ad rectangulum EBF: & quadrati BF, ad quadratum BD duplicata eius, quæ e$t rectanguli EBF, ad rectan- gulum EBD; compo$itis igitur primis cum $ecundis, mi- nor erit proportio rectanguli BQE, ad rectangulum BFE, <p n=>81</p> quàm rectanguli BFE, ad rectangulum BDE. Sed vt rectangulum BQE ad rectangulum BFE, ita e$t quadra- tum SQ ad quadratum <G>a</G>F: & vt rectangulum BFE ad rectangulum BDE, ita quadratum <G>a</G>F, ad quadra- tum AD; minor igitur proportio erit quadrati SQ, ad quadratum <G>a</G>F, quàm quadrati <G>a</G>F ad quadratum AD. Sed vt quadratum SQ ad quadratum <G>a</G>F, ita e$t qua- dratum SZ ad quadratum <G>a</G><37>: & vt quadratum <G>a</G>F ad quadratum AD ita quadratum <G>az</G> ad quadratum AC; minor igitur proportio erit quadrati SZ ad quadra- tum <G>az</G>, quàm quadrati <G>az</G>, ad quadratum AC, hoc e$t circuli SZ ad circulum <G>a</G><37>, quàm circuli <G>a</G><37>, ad cir- culum AC; qui circuli $unt $ectiones conoidis ABC po$iti vt in propo$itionibus lemmaticis dicebamus. Rur$us quoniam $unt quatuor primæ proportionales; vt rectangu- lum DBE ad rectangulum FBE, ita MD quadratum ad quadratum <G>b</G>F: & totidem $ecundæ, vt quadratum BD, ad quadratum BF, ita quadratum DK, ad quadra- tum F<G>g</G>, ob $imilium triangulorum latera proportionalia: $ed vt EB, ad BD, hoc e$t rectangulum DBE prima in primis ad quadratum BD primam in $ecundis, ita e$t quadratum MD tertia in primis ad quadratum DK ter- tiam in $ecundis; vt igitur compo$ita ex primis ad com- po$itam ex $ecundis, ità erit compo$ita ex tertijs ad com- po$itam ex quartis; videlicet vt rectangulum DBE vnà cum quadrato BD, hoc e$t rectangulum BDE ad rectangulum BFE, hoc e$t vt quadratum AD, ad quadratum <G>a</G>F, ità compo$itum ex quadratis MD, DK, ad compo$itum ex quadratis <G>b</G>F, F<G>g</G>: & quadrupla vtro- rumque, vt quadratum AC, ad quadratum <G>a</G><37>, ità com- po$itum ex quadratis MN, KL, ad compo$itum ex qua- dratis <G>be, gd</G>; hoc e$t eorum circulorum, qui $unt $ectio- nes $olidorum, vt circulus AC, ad circulum <G>a</G><37>, ità com- po$itum ex circulis MN, KL, ad compo$itum ex circu- <foot>L</foot> <p n=>82</p> lis <G>be, gd</G>. Eadem ratione erit vt circulus AC, ad cir- culum SZ, ità compo$itum ex circulis MN, KL, ad compo$itum ex circulis TY, VX: & conuertendo, & ex æquali, vt circulus SZ, ad circulum <G>a</G><37>, ità compo$itum ex circulis TY, VX, ad compo$itum ex circulis <G>be, gd</G>: & vt circulus <G>a</G><37>, ad circulum AC, ità cõpo$itum ex circulis <G>be, gd</G>, ad cõpo$itum ex circulis MN, <I>K</I> L. Sunt igitur tria compo$ita ex bi- nis $ectionibus cir culis, & totidem alij circuli, quos diximus in ead&etilde; proportione, $i bi- na $umãtur in $in gulis planis $ecan tibus: eorum au- tem minor erat proportio circuli SZ ad circulum <G>a</G><37>, quàm circuli <G>a</G><37>, ad circulum AC; minor igitur proportio erit cõ- po$iti ex circulis T<G>*u</G>, VX, ad cõ- po$itum ex circu- <FIG> lis <G>be, gd</G>, quàm compo$iti ex circulis <G>be, gd</G>, ad com po$itum ex circulis MN, KL. Hac eadem ratione ad verti- cem deinceps progredienti manife$tum erit, omnium com- <p n=>83</p> po$itorum ex binis $ectionibus nempe circulis, quorum al- ter ad conum KBL pertinet, alter ad conoides MBN, in eodem plano $ecante prædictorum inter $e parallelorum exi$tentibus, minorem e$$e proportionem incipienti ab eo, quod e$t proximum vertici, primi ad $ecundum, quàm $e- cundi ad tertium, & $ecundi ad tertium, quàm tertij ad quartum, & $ic $emper deinceps v$que ad maximum & vl- timum compo$itum ex circulis MN, KL: & eandem di- ctas $ectiones compo$itas ex coni, & conoidis parabolici $ectionibus inter $e habere proportionem, quàm habent in- ter $e circuli $ectiones conoidis ABC, pro vt illis in ij$dem planis $ecantibus, & æqualia axis BD $egmenta intercipientibus re$pondent: Igitur per trige$imam $ecun- dam huius, & $equens eam Corollarium, conoides ABC, & compo$itum ex conoide MBN, & cono BKL, com- mune habebunt in axe BD centrum grauitatis. Sed H erat huius compo$iti centrum grauitatis; Igitur conoidis ABC centrum grauitatis erit idem H. Quod demon- $trandum erat. <HEAD><I>COROLLARIV M.</I></HEAD> <p>Eadem demon$tratione con$tat $i prædicta tria $olida ita vt diximus di$po$ita $ecentur plano ba- $ibus parallelo; $ru$tum conoidis hyperbolici, & compo$itum ex fru$tis coni, & conoidis paraboli- ci, commune habere in communi axe centrum grauitatis. <foot>L 2</foot> <p n=>84</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XLIV.</I></HEAD> <p>Si conus & conoides parabolicum circa eun- dem axim $ecentur plano ba$i parallelo; fru$ti co- nici ab$ci$$i maiori ba$i propinquius erit quàm parabolici centrum grauitatis. <p>Sint conus ABC, & conoides parabolicum EBF, quorum communis axis BD, cuius per quoduis punctum M, planum $ecans ea cor pora plano ba$ium, quarum diametri A C, EF, parallelo ab- $cindat fru$ta AKL C, cuius centrum gra uitatis N, & EGH F, cuius centrum gra <FIG> uitatis O, quorum vtrumque erit in communi axe DM. Dico punctum N, propinquius e$se ip$i D quàm punctum O. Quoniam enim e$t parabolicifru$ti EGHF centrum grauitatis O; erit vt duplum maioris ba$is, ide$t circuli EF vna cum minori circulo GH, ad duplum circuli GH vna cum circulo EF, hoc e$t vt duplum quadrati ED vna cum quadrato ED ita MO ad OD. Sed vt quadratum ED ad quadratum GM in parabola quæ conoides de- $cribit, cuius diameter BD, ita e$t DB ad BM, hoc e$t AC ad KL; vt igitur e$t dupla ip$ius AC vna cum KL ad duplam ip$ius KL vna cum AC ita erit MO ad OD: $ed N e$t fru$ti conoici AKLC, centrum grauitatis; pun- ctum igitur N, erit maiori ba$i AC propinquius quàm <p n=>85</p> punctum O; e$t autem O, fru$ti EGHF centrum graui- tatis. Si igitur conus, & conoides parabolicum circa eun- dem axim, &c. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XLV.</I></HEAD> <p>Omnis fru$ti conoidis hyperbolici centrum grauitatis e$t in axe primum $ecto $ecundum cen- trum grauitatis cuiu$uis fru$ti conici circa axem conoidis communi vertice, ab$ci$$i vnà cum fru- $to conoidis: deinde ita vt pars minorem ba$im attingens $it ad reliquam, vt dupla axis conoidis vna cum reliqua dempto axe fru$ti, ad duplam eiu$dem reliquæ vna cum axe conoidis: dein- de po$itis quatuor rectis lineis binis propor- tionalibus, potentia primis, $ecundis longitu- dine, in proportione, quæ e$t inter axem conoi- dis, & reliquam dempto axe fru$ti; ita vt ma- ior primarum $it media proportionalis inter axem conoidis, & tran$uer$um latus hyperboles, quæ fi- guram de$cribit, minoris autem potentia $e$qui- altera minor $ecundarum; in eo puncto, in quo $egmentum axis fru$ti dictis duabus $ectionibus terminatum $ic diuiditur, vt pars minori ba$i pro- pinquior $it ad reliquam vt cubus, qui fit ab axe fru$ti vnà cum $olido rectangulo, quod axe co- noidis, & reliqua dempto axe fru$ti, & tripla axis conoidis continetur, ad $olidum rectangu- lum ex eadem reliqua parte conoidis, & eo, quo <foot>L 3</foot> <p n=>86</p> plus pote$t quadrato maior quàm minor dicta- rum $ecundarum. <p>Sit conoidis hyperbolici ABC, cuius axis BD; & tran$uer$um latus hyperboles, quæ figuram de$cribit EB, fru$tum ALMC ab$ci$$um vnà cum axe FD: cuius <FIG> ba$es oppo$itæ, maior circulus circa AC, minor circa LM: $ecto autem axe FD primum $ecundum G centrum gra- uitatis fru$ti ab$ci$$i vnà cum fru$to ALMC à quouis co no, cuius axis BD, & vertex B, deinde in puncto H ita vt FH ad HD $it vt dupla ip$ius BD vnà cum BF ad duplam ip$ius BF vnà cum BD, quo facto cadet G punctum infra punctum H, ponantur vt DB ad BF, <p n=>87</p> ita N ad O potentia, & Q ad P longitudine: $it au- tem N media proportionalis inter EB, BD, at P ip$ius O potentia $e$quialtera: quo autem Q plus pote$t quàm P $it quadratum ex R: & vt cubus ex FD vna cum $oli- do rectangulo ex BF, FD, & tripla ip$ius BD, ad $oli- dum rectangulum ex BF, & quadrato R, ita $it HK ad KG. Dico fru$ti ALMC centrum grauitatis e$$e K. Producta enim quà opus e$t diametro AC ip$i BD æqua- les ab$cindantur DS, DV: necnon ip$i N æquales DT, DX, vt $it TD ad DS potentia, vt EB, ad BD longitudine, & de$cribantur conoides paraboli- cum TBX, & conus SBV, quorum vertex commu- nis B, axis BD: $ectis autem his tribus $olidis plano per axim, $int $ectiones hyperbole ABC, & parabo- la TBX, & triangulum SBV, quæ figuras de$cribunt; quas planum ba$is fru$ti propo$iti circa LM $ecans vnà cum tribus $olidis faciat cum parabola TBX rectam I<G>g</G>, & cum triangulo SBV rectam <G>*u</G>Z: conoidis autem TBX, & coni SBV $ectiones circulos circa I<G>g</G>, YZ ba$ibus, circa SV, TX parallelos; vt $int conoidis TBX fru- $tum TI<G>g</G>X, & coni SBV fru$tum SYZV. Rur- $us producta I. M, ponatur <37>F, æqualis Q, & ab- $cindatur F<G>d</G>, potentia $e$quialtera ip$ius IF, iunctis- que IB, B<G>d</G>, B<37>, de$cribantur tres coni <37>B<G>q</G>, <G>d</G>B<G>e</G>, IB<G>g</G>, quorum omnium ba$es nempe circuli erunt in dicto plano $ecante tria $olida per punctum F. Quoniam igitur circuli inter $e $unt vt quæ fiunt à diame- tris, vel à $emidiametris quadrata, coni autem eiu$dem al- titudinis inter $e vt ba$es; erit vt <G>d</G>F ad FI potentia, ita conus <G>d</G>B<G>e</G> ad conum IB<G>g</G>; $e$quialter igitur conus <G>d</G>B<G>e</G> coni IB<G>g</G>: $ed & conoides parabolicum IB<G>g</G> $e$qui- alterum e$t coni IB<G>g</G>; æqualis igitur e$t conus <G>d</G>B<G>e</G> co- noidi IB<G>g</G>. Et quoniam in parabola TBX ordinatim ad diametrum applicatarum DT e$t ad FI hoc e$t N <p n=>88</p> ad O potentia, vt DB ad BF longitudine: $ed TD e$t æqualis N; ergo & IF æqualis erit O: cum igitur & P ip$ius O, & <G>d</G>F ip$ius FI $it potentia $e$quialtera, erit F<G>d</G> æqualis ip$i <G>*r</G>: $ed F<37> e$t æqualis ip$i Q; vt igitur e$t Q ad P, hoc e$t DB ad BF, ita erit <37>F ad F<G>d</G>; dupli- cata igitur proportio erit quadrati ex F<37> ad quadratum ex E<G>d</G> eius, quæ e$t DB ad BF: $ed vt quadratum ex F<37> ad <FIG> quadratum ex F<G>d</G>, ita e$t circulus circa <37><G>q</G> ad circulum circa <G>de</G>, hoc e$t conus <37>B<G>q</G> ad conum <G>d</G>B<G>e</G>; coni igitur <37>B<G>q</G> ad conum <G>d</G>B<G>e</G>, duplicata e$t proportio eius, quæ e$t DB ad BF: $ed & conoidis TBX ad conoides IB<G>g</G> du- plicata e$t proportio eius, quæ e$t DB ad BF, vt mon- $trant alij; eadem igitur proportio e$t coni <37>B<G>q</G> ad co- num <G>d</G>B<G>e</G> quæ conoidis TBX ad conoides IB<G>g</G>: $ed <p n=>89</p> conus <G>d</G>B<G>e</G> æqualis e$t conoidi IB<G>g</G>, vtpote in$cripti co- ni IB<G>g</G> $e$quialtero, cuius itidem $e$quialter erat conus <G>d</G>B<G>e</G>; reliquum igitur coni <37>B<G>q</G> dempto cono <G>d</G>B<G>e</G> æqua- le erit conoidis TBX fru$to TI<G>g</G>X. Rur$us quia e$t vt cubus ex BD ad cubum ex BI ita conus SBV ad $ui $i- milem conum YBZ, in triplicata $cilicet proportione la- terum, $iue a<*>ium DB, BF: $ed quia YF e$t æqualis BF, propter $imilitudinem triangulorum, e$t vt cubus ex BF ad $olidum ex BF & quadrato ex F<G>d</G>, ita quadratum ex FY ad quadratum ex F<G>d</G>, hoc e$t circulus circa YZ ad circulũ circa <G>de</G>, hoc e$t conus YBZ ad conum <G>d</G>B<G>e</G> ex æquali igitur erit vt cubus ex BD ad $olidum ex BF, & quadra- to F<G>d</G>, ita conus SBV ad conum <G>d</G>B<G>e</G>: $ed vt $olidum ex BF, & quadrato F<G>d</G>, ad $olidum ex BF & quadrato F<37>, ita e$t $imiliter vt ante conus <G>d</G>B<G>e</G> ad conum <37>B<G>q</G>; ex æquali igitur erit vt cubus ex BD ad $olidum ex BF, & quadrato F<37>, ita conus SBV, ad conum <37>B<G>q</G>: $ed con- uertendo, & per conuer$ionem rationis, e$t vt $olidum ex BF, & quadrato F<37>, ad $olidum ex BF, & quadrato, quo plus pote$t F<37> quàm F<G>d</G>, ita conus <37>B<G>q</G> ad $uireli- quum dempto cono <35>B<G>e</G>; ex æquali igitur, vt cubus ex BD ad $olidum ex BF & quadrato, quo plus pote$t F<37>, quàm F<G>d</G>, hoc e$t, quo plus pote$t Q quàm P quadrato ex R, ita erit conus SBV, ad reliquum coni <37>B<G>q</G> dem- pto cono <G>d</G>B<G>e</G>, hoc e$t ad fru$tum TI<G>g</G>X. Rur$us, quo- niam duo cubi ex BF, FD, & $olidum ex BF, FD, & tripla ip$ius BD, $unt æqualia cubo ex BD; erit id quo plus pote$t cubice recta BD quàm BF, cubus ex FD, & $olidum ex BF, FD, & tripla ip$ius BD: cum igitur $it vt cubus ex BD ad cubum ex BF, ita conus SBV ad conum YBZ; erit per conuer$ionem rationis, & conuertendo, vt cubus ex FD vna cum $olido ex BF, FD, & tripla ip$ius BD ad cubum ex BD, ita fru$tum SYZV, ad conum SBV: $ed cubus ex BD, ad $oli- <p n=>90</p> dum ex BF & quadrato R, ita erat conus SBV ad fru- $tum TI<G>g</G>X: ex æquali igitur, erit vt cubus ex FD vna cum $olido ex BF, FD, & tripla ip$ius BD, ad $olidum ex BF, & quadrato R, hoc e$t vt H<I>K</I> ad KG, ita ex contraria parte fru$tum SYZV, ad fru$tum TI<G>g</G>X: nam fru$ti SYZV e$t centrum grauitatis G: fru$ti autem TI <FIG> <G>g</G>X centrum grauitatis H; totius igitur compo$iti ex his duobus fru$tis centrum grauitatis erit K: commune autem e$t centrum grauitatis compo$iti ex duobus fru$tis SYZV & TI<G>g</G>X, fru$to ALMC per antepenultimæ huius co- rollarium; fru$ti igitur ALMC, centrum grauitatis erit K. Quod demon$trandum erat. <p n=>91</p> <HEAD><I>COROLLARIVM.</I></HEAD> <p>Ex omnibus demon$trationibus eorum, quæ in hoc $ecundo libro propo$uimus, manife$tum e$t omnium $upra dictorum corporum centra grauita tis inuenire: quæ cum que enim in modum theore- matis propo$uimus, eadem tanquam problema- ta proponi, & ij$dem demon$trationibus ab$olui po$$unt. <p>Idem dico de ijs, quæ in primo, & tertio $equenti libro demon$trauimus. Porro autem multa lemmata in$tituto præcipuo nece$$aria, & alia addita inuentio $atis iucun- da centri grauitatis conoidis, & portionis conoidis parabo- lici, & hyperbolici, & fru$ti vtriu$que ne $ecundus hic liber nimis longus, & confu$us exi$teret, tertium requirebant. Quem quidem meorum $tudiorum autumnalium fructum Anni à partu Virginis MDCIII. cum SS. Clementis Pont. Max. auctoritate, & Petri eius Nepotis Cardinalis ampli$$imi Aldobrandini iu$$u bene de me merentium Ma- thematicam $cientiam, & Philo$ophiam ciuilem in almo Vrbis Gymna$io profiterer, in eorum gratiam compo$ui, qui me centra grauitatis portionum $phæroidis imperfe- cti operis crimine condemnandum omittere nolebant; cu- ius prouinciæ iuuante Deo, & mira Mathematicæ $tudio- $is $atisfaciendi voluntate, multas difficultates ita $upe- raui, vt vno men$e Octobri plus præ$titerim, quam à me requi$i$$ent. $iquidem quæ de $phæræ portionibus in hoc libro proprijs eius figuræ rationibus, eadem in $equen- ti aliis communibus cuilibet portioni $phæræ, & $phæroi- dis tum lati, tum oblongi ab$ci$$æ vno, vel duobus planis æque inter $e di$tantibus, & vtcumque in figuram in cideu- <p n=>92</p> tibus demon$traui, & temporis breuitatem magna animi in- tentione compen$aui, quòd facere non potui$sem ni$i illi, quos $upra nominaui meos patronos tranquillum otium mihi $ua benignitate peperi$$ent; ego autem quo$dam ad- uer$os flatus vehementes in meam vtilitatem verte- re didici$sem, cuius rei monumentum flammæ vento agitatæ $imulacrum cum illo Ver- gilij HOC ACRIOR in fronte operis po$ui, vt meus quali$- cumque hic labor vel ab inuitis in me collati bencficij memo- riam præ$e- ferret. <HEAD>SECVNDI LIBRI FINIS.</HEAD> <FIG> <p n=>1</p> <FIG> <HEAD>L V C AE VALER II DE CENTRO GRAVITATIS SOLIDORVM <I>LIBER TERTIVS.</I></HEAD> <FIG> <HEAD><I>PROPOSITIO I.</I></HEAD> <p>Si recta linea $ecta fuerit bifa- riam, & non bifariam; rectan gulum partibus in æqualibus contentum æquale e$t rectan gulo, quod bis fit ex dimidiæ $ectæ $egmentis, vna cum quadrato non intermedij eo- rundem $egmentorum. <foot>A</foot> <p n=>2</p> <p>Sit recta linea AB $ecta in puncto C bi$ariam, & non bifariam in puncto D. Dico rectangulum ADB æqua- le e$$e rectangulo BDC bis vnà cum quadrato BD. Quoniam enim rectangulum ADB, æquale e$t duobus rectangulis, & ex BD, DC, & ex AC, BD, hoc e$t ex CB, BD: $ed rectangulum ex CB, BD, e$t rectangu- lum ex BD, DC, vnà cum quadrato BD; rectangulum igitur ex AD, DB, æquale e$t duobus rectangulis ex BD, DC, vnà cum quadiato BD. Si igitur recta linea $ecta fuerit bifariam, & non bifariam, &c. Quod demon- $trandum erat. <FIG> <HEAD><I>PROPOSITIO II.</I></HEAD> <p>Si circulum, vel ellip$im duæ rectæ lineæ tan- gentes in terminis coniugatarum diametrorum, conueniant: & punctum i<*> quo conueniunt, & centrum figuræ <*>ungantur recta linea; quæcun- que hanc vnà cum prædictæ figuræ termino al- terutri diametrorum parallela $ecuerit recta li- nea, ita ip$a $ecabitur in duobus punctis, vt re- ctangulum bis contentum $egmentis, quorum al- terum inter diametrum, & terminum figuræ, al- terum inter figuræ terminum & contingentem interijcitur, vnà cum huius quadrato, $it æquale quadrato reliqui $egmenti inter diametrum, & <p n=>3</p> cum quæ tangentium concur$um, & centrum fi- guræ iungit interiecta. <p>Sit circulus, vel ellip$is ABCD, cuius diametri con- iugatæ AC, BED, & figuram tangentes BF, GF, con ueniant in puncto F; (parallelæ enim erunt vtraque alteri coniugatorum diametrorum:) & recta FE iungatur, & ex quolibet puncto G, in recta BE ducatur ip$i AC paral- lela GLKH. Dico rectangulum GKH bis vnà cum quadrato KH æquale e$$e quadrato GL. Quoniam enim rectangulum BGD æquale e$t rectangulo BGE <FIG> bis vnà cum quadrato BG: & rectangulum BED, e$t quadratum BE, erit vt rectangulum BED, ad re- ctangulum BGD, ita quadratum BE, ad rectangu- lum BGE bis, vnà cum quadrato BG: $ed vt rectangu- lum BED, ad rectangulum BGD, ita e$t quadratum EC, hoc e$t quadratum GH ad quadratum GK, ex primo conicorum, vt igitur e$t quadratum BE ad rectangulum BGE bis, vnà cum quadrato BG, ita erit quadratum GH ad quadratum GK. Rur$us quia e$t vt BE ad EG, ita BF ad GL, propter $imilitudinem triangulorum; erit vt quadratum BE ad quadratum EG, ita quadratum <foot>A 2</foot> <p n=>4</p> BF hoc e$t quadratum GH ad quadratum GL: & per conuer$ionem rationis, vt quadratum BE ad rectangu- lum BGE bis, vnà cum quadrato BG, ita quadratum GH ad rectangulum GLH bis, vnà cum quadrato LH: $ed vt quadratum BE ad rectangulum EGB bis, vnà cum quadrato BG, ita erat quadratum GH ad quadra- tum GK; vt igitur quadratum GH ad quadratum GK, ita erit idem quadratum GH ad rectangulum GLH bis, vnà cum quadrato LH: quadratum igitur GK æquale erit rectangulo GLH bis, vnà cum quadrato LH; demptis igitur ab eodem quadrato GH æqualibus quadrato GK, & rectangulo GLH bis, vnà cum quadrato LH, erit rectangulum GKH, bis vnà cum quadrato KH æquale quadrato GL. Quod demon$trandum erat. <FIG> <HEAD><I>PROPOSITIO III.</I></HEAD> <p>Per data duo puncta in duabus rectis lineis da- tum angulum continentibus, in earum plano pa- rabola tran$ibit, cuius vertex $it a$$ignatum præ- dictorum punctorum, in quo altera linea parabo- <p n=>5</p> lam contingat, altera in altero $ecet diametro æ- quidi$tans. <p>Sint data duo puncta. A, C, in duabus rectis lincis da- tum angulum ABC continentibus, $it autem a$$ignatum punctum C. Dico per puncta A, C, parabolam tran$i- re, ita vt ip$am linea AC contingat in C puncto, altera autem AB $ecet in puncto A, diametro parabolæ æqui- di$tans. Completo enim parallelogrammo BD, ad re- ctam CD applicetur rectangulum æquale quadrato AD, faciens latitudinem E. Quoniam igitur in plano BD parabola inueniri pote$t, cu- ius $it vertex C, diameter CD, ita vt quædam ex $e- ctione ad diametrum CD applicata in dato angulo A BC, ide$t ADC, qualis e$t recta AD, po$$it rectan- gulum ex CD, & E, ex primo conicorum elemen. to; $it ea $ectio parabola <FIG> AC; a$$ignatum e$t autem punctum C; per puncta igi- tur A, C parabola AC tran$ibit, cuius vertex e$t a$$i- gnatum punctum C. Et quoniam quæ ex vertice recta CB e$t applicatæ DA parallela, $ectionem AC in pun- cto C continget: e$t autem AB diametro CD æquidi- di$tans, ac proinde parabolam $ecabit in puncto A. Ma- nife$tum e$t igitur propo$itum, <HEAD><I>PROPOSITIO IV.</I></HEAD> <p>Si recta linea parabolam contingat, omnes re- ctælineæ ex $ectione ad contingentem applicatæ <p n=>6</p> diametro $ectionis parallelæ inter $e $unt longi- tudine, vt inter applicatas & contactum, vel ver- ticem interiectæ inter $e potentia. Productis au- tem dictis applicatis, erunt inter $ectionem & ba- $im interiectæ inter $e longitudine, vt in circulo, vel ellip$e ad diametrum ordinatim applicatæ, $e- cantesque illam in ea$dem rationes, in quas aliæ prædictæ applicatæ $ecant ba$im parabolæ, inter $e potentia. <p>Sit $ectio parabola ABC, cuius vertex B, diameter BD: & recta quadam BE $ectionem contingente in pun- cto B, $int quotcumque rectæ lineæ ex $ectione ordinatim ad BE contingentem applicatæ diametro BD $ectionis parallelæ FG, KH, quibus productis $int ad ba$im $e- <FIG> ctionis applicatæ GN, KO. Et expo$ito primum circu- lo, PQRS, cuius diametri ad rectos inter $e angulos $int QS, PR; $ecta autem QT in punctis V, X, in ea$- dem rationes, in quas $ecta e$t AD in punctis N, O, $umpto or<*>ine à punctis D, T, vt $it DO ad ON, <p n=>7</p> vt e$t TV ad VX: & vt ON ad NA, ita VX ad XQ; applicentur ad $emidiametrum QT rectæ ZV, XY dia- metro PR æquidi$tantes. Dico e$$e HK ad FG lon- git<*>dine, vt FB ad BH potentia: & KO ad GN longi- tudine, vt ZY ad YX potentia. Iungantur enim KL, GM, ba$i AC parallelæ. Quoniam igitur e$t vt MB ad BI. longitudine, ita GM ad KL potentia: $ed MB e$t æqualis ip$i FG, & BL ip$i KH, & BF ip$i GM, & BH ip$i KL in parallelogrammis BG, BK; vt igitur FG ad KH longitudine, ita erit BH ad BF potentia: $imiliter quotcumque plures e$$ent applicatæ idem o$ten- deremus. Rur$us, quoniam e$t vt EA, hoc e$t FN ad FG, ita quadratum EB ad BF quadratum, hoc e$t quadra- tum AD ad quadratum DN, hoc e$t ita quadratum QT, hoc e$t quadratum TY, hoc e$t duo quadrata TX, XY, ad quadratum TX; erit per conuer$ionem rationis, vt FN, hoc e$t BD ad GN, ita duo quadrata TX, X<G>*u</G> $imul, hoc e$t quadratum TY, hoc e$t quadratum TP, ad qua- dratum XY. Similiter o$tenderemus e$$e vt BD ad OK, ita quadratum PT ad quadratum VZ. Conuer- tendo igitur erit vt OK ad BD, ita quadratum XY ad PT quadratum: & ex æquali vt OK ad GN, ita qua- dratum VZ ad quadratum XY. Suntigitur tres rectæ lineæ BD, OK, GN, inter $e longitudine, vt in circu- lo PQSR totidem PT, ZV, XY inter $e potentia, prout inter $e re$pondent. Idem autem $imiliter o$ten- deremus de quotcumque aliis in circulo, & $ectione para- bola vt prædictæ applicatis multitudine æqualibus. In ellip$e autem, ductis diametris quibu$uis coniugatis, & totidem quot in circulo ad vnam $emidiametrum rectis li- neis ordinatim applicatis $ecundum puncta $ectionum eiu$- dem diametri in ea$dem prædictas rationes, codemque or- dine; quoniam ex XXI primi conicorum $tatim apparet re- ctarum linearum ita vt diximus in circulo, & ellip$e appli- <p n=>8</p> catarum quadrata e$$e inter $e in eadem proportione; erun<*> prædictæ inter $ectionem parabolam, & ba$im interiectæ inter $e longitudine, vt in ellip$e ad diametrum $imiliter vt diximus applicatæ inter $e potentia. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO V.</I></HEAD> <p>Omnis figuræ circa axim in alteram partem deficientis, cuius $uperficies, excepta ba$e $it to- ta interius concaua ba$im habentis circulum, vel ellip$im; quælibet tres $ectiones ba$i parallelæ æqualia axis $egmenta intercipientes, ita $e ha- bent, vt minor $it proportio minimæ ad mediam, quam mediæ ad maximam. <p>Sit figura ABC circa axem BD in alteram partem de- ficiens, qualem diximus: & po$itis in axe BD tribus qui- buslibet punctis F, E, L, æqualia axis $egmenta in- tercipientibus, in telligatur $olidũ ABC $ectum per ea puncta planis buibu$dã ba$i cir culo, vel ellip$i, circa AC pa- rallelis: quare $e- ctiones erunt cir- <FIG> culi, vel ellip$es $imiles ba$i, per definitionem, quarum dia- metri eiu$dem rationis in eodem plano per axim $int IK. <p n=>9</p> GH, MN. Dico $olidi ABC $ectionum, minorem e$$e proportionem, ip$ius IK ad GH, quàm GH ad MN. Iunctis enim MRS, KSN; quoniam tres rectæ IK, RS, MN, $e$e æqualiter excedunt in trapezio KM; mi- nor erit proportio IK ad RS, quàm RS ad MN: $ed cir culi, & $imiles ellip$es duplicatam habent inter $e propor- tionem diametrorum eiu$dem rationis; trium igitur præ- dictarum $olidi ABC $ectionum minor erit proportio IK ad RS quàm RS ad MN: $ed maior e$t proportio circu- li, vel ellip$is GH ad circulum, vel ellip$im MN, quàm circuli, vel ellip$is RS, ad circulum, vel ellip$im MN; multo ergo minor proportio erit circuli, vel ellip$is IK ad circulum, vel ellip$im RS, quàm circuli, vel ellip$is GH ad circulum, vel ellip$im MN: $ed minor e$t proportio cir- culi vel ellip$is I<I>K</I> ad circulum, vel ellip$im GH, quàm eiu$dem circuli, vel ellip$is IK ad circulum, vel ellip$im RS; multo ergo minor proportio erit circuli, vel ellip$is IK ad circulum, vel ellip$im GH quàm circuli, vel ellip- $is GH ad circulum, vel ellip$im MN. Quod demon- $trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO VI.</I></HEAD> <p>Si $phæroides $ecetur plano vtcumque præter quàm ad axem, circa quem $phæroides de$cribi- tur erecto nam tunc circulus fit. $ectio ellip$is erit: $imilis autem ip$i alia quæcumque $ectio $phæ- roidis eidem parallela: earumque omnes diame- tri quæ eiu$dem $unt rationis erunt in eodem pla- no per axem. <p>Extant hæc demon$trata ab Archimede in $uo de $phæ- roidibus, & conoidibus. <foot>B</foot> <p n=>10</p> <HEAD><I>PROPOSITIO VII.</I></HEAD> <p>Si conoides parabolicum, vel hyperbolicum $ecetur plano vtcumque ad axim inclinato, $ectio ellip$is erit: $imilis autem ip$i alia quæcumque $ectio conoidis eidem parallela: eruntque earum omnes diametri, quæ eiu$dem $unt rationis in eo- dem plano per axem. <p>Manife$ta $unt hæc ex ijs, quæ Federicus Commandinus demon$trauit de $ectionibus horum $olidorum, in $uis com- mentariis in eundem Archimedis librum de $phæroidibus, & conoidibus: quemadmodum & $phæroidis, & conoi- dis vtriu$que $ectionem factam à plano ad axim erecto e$- $e circulum. <HEAD><I>PROPOSITIO VIII.</I></HEAD> <p>Super datam ellip$im, circa datam rectam line- am ab eius centro eleuatam tanquam axem, coni, & cylindri portionem inuenire. Datoque $phæ- roidi, & conoidi, vel conoidis, $phæroidi$ve por- tioni circa datum axem $phæroidis, vel cuiuslibet dictarum portionum, cylindrus vel cylindri por- tio circum$cripta e$$e pote$t: vel comprehendere inter eadem plana parallela, ita vt eius ba$is $it $i- milis ba$i, vel ba$ibus comprehen$æ portionis, vel fru$ti, $i de conoidibus $it $ermo: & diametri, quæ eiu$dem $unt rationis $ectæ à centro bifariam $int in eadem recta linea. <p n=>11</p> <p>Manife$ta item $unt hæc omnia, ex ijs, quæ in eodem li- bro de $phæroidibus, & conoidibus demon$trat Archi- medes. <HEAD><I>PROPOSITIO IX.</I></HEAD> <p>Omnis fru$ti pyramidis triangulam ba$im ha- bentis ad pri$tina, cuius ba$is e$t maior ba$is fru- $ti, & eadem altitudo, cam habet proportionem, quàm rectangulum contentum duobus lateribus homologis ba$ium oppo$itarum, vnà cum tertia parte quadrati differentiæ dictorum laterum, ad maioris lateris quadratum. Ad pyramidem autem, cuius ba$is e$t maior ba$is fru$ti, & eadem altitu- do, vt prædictum rectangulum, vna cum prædicti quadrati tertia parte, ad tertiam partem quadrati maioris lateris. <p>Sit pyramidis triangulam ba$im habentis fru$tum AB CD EF: laterum autem homo- logorum AB, DE, triangulorum $imilium oppo$itorum ABC, D EF, $it differentia DG: & eiu$- dem altitudinis fru$to $it pri$ma DEFCHK: & pyramis intelli- gatur ADEF. Dico fru$tum BDF ad pri$ma HKF, e$$e vt rectangulum DEG vna cum ter- tia parte quadrati DG. Ad qua- dratum DE: ad pyramidem au- tem ADEF, vt prædictũ rectan- <FIG> gulum DEG, vnà cum tertia parte quadrati DG, ad ter- <foot>B 2</foot> <p n=>12</p> tiam partem quadrati DE. Ab$ci$sis enim æqualibus EL ip$i BC, & FM ip$i AC, & EG, ip$i AB, con$tituantur pri$mata ABCLEG, AGMFCL, ANHDGM, & pyramis ADGM, & iungatur ML. Quoniam igitur ob pa- rallelas EF, GM, & DF, GL, $imilia inter $e $unt trian- gula DEF, DGM, EGL, duplicatam inter $e habebunt laterum ho mologorum DE, DG, GE, proportionem, hoc e$t eandem, quæ totidem e$t quadratorum ex ip$is DE, DG, GE, prout inter $e re$pondent: vt igitur DG qua- dratum ad quadratum DE, ita e$t triangulum DGM ad triangulum DEF: eademque ratione vt quadratum GE ad DE quadratum, ita trian gulum EGL ad triangulum D EF: & vt prima cum quinta ad $ecundam, ita tertia cum $exta ad quartam: videlicet, vt duo qua- drata DG, GE, ad quadratum DE, ita duo triangula DGM, EGL, ad triangulum DEF. & conuertendo, & per conuer$ionem rationis, vt quadratum DE ad rectangulum DGE bis, ita trian- gulum DEF, ad parallelogram- <FIG> mum GF: & conuertendo, vt rectangulum DGE bis, ad quadratum DE, ita GF parallelogrammum ad triangu- lum DEF: & antecedentium dimidia, vt rectangulum DGE ad quadratum DE, ita triangulum GML ad triangulum DEF; hoc e$t pri$ma, cuius ba$is triangulum GLM, altitudo eadem pri$mati H<I>K</I>F ad pri$ma HKF. <p>Rur$us, quoniam e$t vt quadratum EG ad quadratum ED, ita triangulum EGL ad triangulum DEF; erit $i- militer vt quadratum EG ad quadratum ED, ita pri$ma BGL ad pri$ma HKF: $ed vt rectangulum DGE ad quadratum DE, ita pri$ma erat, cuius ba$is triangulum G <p n=>13</p> LM altitudo autem eadem pri$mati HKF, hoc e$t pri$ma ACGLFM illi æquale per vltimam XI. elem. ad pri$ma HKF: vt igitur prima cum quinta, rectangulum DGE vna cum quadrato EG, hoc e$t rectangulum DEG, ad $ecundam quadratum DE, ita erit tertia cum $exta, duo pri$mata BGL, ACGLFM, ad quartam pri$ma HKF. Præterea quoniam vt quadratum DG ad quadratum DE, ita erat triangulum DGM ad triangulum DEF: $ed vt triangulum DGM ad triangulum DEF, ita e$t pri$ma, HGM, ad pri$ma HKF: & tertiæ antecedentium par- tes, videlicet, vt tertia pars quadrati DG, ad quadra- tum DE, ita pyramis ADGM ad pri$ma HKF: $ed vt rectangulum DEG ad DE quadratum, ita erant duo pri$mata BGL, ACGLFM, ad pri$ma HKF; vt igi- tur prima cum quinta, rectangulum DEG vna cum ter- tia parte DG quadrati, ad quadratum GD $ecundam, ita erit tertia cum $exta, duo pri$mata BGL, ACGLFM vna cum pyramide ADGM, hoc e$t integrum fru$tum ABCDEF ad pri$ma HKF quartam. Ex hoc patet $e- cunda pars propo$iti. Quoniam enim e$t vt rectangulum DEG, vna cum tertia parte quadrati DG, ad quadra- tum DE, ita fru$tum ABGDEF ad pri$ma HKF: vt autem quadratum DE, ad tertiam $ui partem, ita e$t pri$- ma HKF ad pyramidem, cuius ba$is triangulum DEF, altitudo eadem pri$mati HKF; erit ex æquali vt re- ctangulum DEG vna cum tertia parte quadrati DG ad tertiam partem quadrati DE, ita fru$tum ABCDEF, ad pyramidem $i compleatur ADEF. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <p n=>14</p> <HEAD><I>COROLLARIVM.</I></HEAD> <p>Hinc manife$tum e$t eadem demon$tratione, qua vtimur ad propo$itionem XXXVI. primili- bri; fru$tum cuiuslibet pyramidis ba$im habentis pluribus quàm tribus lateribus contentam, ad pri$ ma, $eu pyramidem, cuius ba$is e$t eadem quæ ma- ior ba$is fru$ti, & eadem altitudo: & reliquum ip- $ius pri$matis dempto fru$to, ad ip$um pri$ma, eas habere rationes, quæ à ba$ium fru$ti oppo$itarum homologis lateribus eorumque differentia deri- uantur eo modo, quo in præcedenti theoremate dicebamus. <HEAD><I>PROPOSITIO X.</I></HEAD> <p>Omne fru$tum coni, vel portionis conicæ, ad cy lindrum, vel cylindri portionem, cuius ba$is e$t ea dem, quæ maior ba$is fru$ti, & eadem altitudo, eam habet proportionem, quàm rectangulum con tentum ba$ium diametris eiu$dem rationis, vnà eum tertia parte quadrati differentiæ earumdem diametrorum, ad maioris ba$is quadratum. Ad conum autem, vel coni portionem, cuius ba$is e$t eadem, quæ maior ba$is fru$ti, & eadem altitudo; vt prædictum rectangulum, vnà cum prædicti qua drati tertia parte, ad tertiam partem quadrati ex diametro maioris ba$is. Prædicti autem cylindri, <p n=>15</p> vel portionis cylindricæ re$iduum dempto fru$to, ad totum cylindrum, vel cylindri portionem; vt rectangulum contentum diametro minoris ba$is fru$ti, & differentia diametri maioris, vnà cum duabus tertiis quadrati differentiæ, ad quadra- tum diametri maioris ba$is. <p>Sit coni, vel eius portionis fru$tum ABCD, cuius ba$es oppo$itæ, circuli vel $imiles ellip$es, quarum diametri mi- noris ba$is AB cuius centrum E: maioris autem CD, & $uper ba$im circulum, vel ellip$im CD $tet cylindrus, vel portio cylindrica CG comprehendens fru$tum AB CD, eiu$demque altitudinis cum ip$o, & conus, vel co- ni portio ECD. quo autem AC diameter $uperat dia- metrum AB, quæ differentia di- citur, $it DF. Dico fru$tum AD ad cylindrum, vel portionem cy- lindricam CG, e$$e vt rectangu- lum DCF vnà cum tertia parte quadrati DF, ad quadratum CD. Ad conum autem vel coni portio- nem ECD, vt rectangulum DCF, vna cum tertia parte quadrati DF, ad tertiam partem quadrati CD. Cylindri autem, vel cylindri por- tionis CG re$iduum dempto fru- <FIG> $to AD, ad cylindrum, vel portionem cylindricam CG, vt rectangulum CFD vna cum duabus tertiis quadrati FD, ad quadratum CD. Cono enim, vel portioni coni- cæ, cuius fru$tum AD, & cylindro, vel portioni cylindri- cæ, cuius ba$is e$t circulus, vel ellip$is CD, altitudo au- tem eadem completo cono, vel portioni conicæ iam dictæ, illi pyramis, huic pri$ma in$cripta intelligantur, quorum <p n=>16</p> communis ba$is $it poly gorum in$criptum circulo quidem æquilaterum, & æquiangulum; in ellip$e autem, quod pro Archimede de$cribit Commandinus, ita vt & à cylindro, vel cylindri portione pri$ina, & à cono, vel coni portione pyramis deficiat minori $pacio quantacumque magnitudi- ne propo$ita: quo modo autem in portione cylindrica, vel conica hoc fieri po$$it, eadem quæ de cono atque cylindro Euclides in duodecimo docuit manife$tant. Ab$ci$$ione igitur facta fru$ti AD, & cylindri, vel portionis cylindricæ CG, ab$ci$$a $imul erunt fru$tum pyramidis in$criptum fru$to AD, & pri$ma in$criptum cylindro, vel portioni cy- lindricæ CG, eiu$dem altitudinis inter $e, & duobus præ- dictis $olidis AD, CG, deficien tia vnum à fru$to, alterum à cy- lindro, vel portione cylindrica multo minori $pacio magnitudine propo$ita: $ectiones autem pri$ma tis, & pyramidis erunt polygona circulis, vel ellip$ibus ip$i CD op po$itis & $imilibus in$cripta in- ter $e $imilia, vt multi o$tendunt. erunt etiam $imilium polygono- rum circulis, vel ellip$ibus $imili- bus, quæ $unt ba$es oppo$itæ fru- <FIG> $ti AD, in$criptorum diametri eædem AB, CD. Quo- niam igitur $imilium polygonorum circulis, & $imilibus ellip$ibus in$criptorum latera homologa inter $e $unt vt diametri dictorum circulorum, vel ellip$ium, eadem erit proportio inter duas diametros AB, CD, hoc e$t FC, CD, quæ inter duo quælibet latera homologa polyga- norum circulis, vel ellip$ibus $imilibus AB, CD in- $criptorum. Sed pyramidis fru$tum fru$to CB in$cri- ptum ad pri$ma, cuius ba$is e$t maior ba$is fru$ti pyrami- dis, & eadem altitudo, $olido CG in$criptum, e$t vt re- <p n=>17</p> ctangulum contentum lateribus homologis ba$ium oppo- $itarum, vna cum tertia parte quadrati differentiæ, ad ma- ioris lateris quadratum; idem igitur fru$tum pyramidis ad idem pri$ma, erit vt rectangulum DCF, vna cum tertia parte quadrati DF ad quadratum CD: deficit autem vtrumque & pyramidis fru$tum fru$to CB in$cri- ptum ab ip$o CB fru$to, & pri$ma ip$i CG in$criptum ab ìp$o CG, minori $pacio quantacumque propo$ita ma- gnitudine; per tertiam igitur huius, erit vt rectangulum DCF vna cum tertia parte quadrati DF, ad CD qua- dratum, ita fru$tum CB ad cylindrum, vel portionem cylindricam CG. Cum igitur conus, vel coni portio E CD $it pars tertia cylindri, vel portionis cylindricæ CG, erit ex æquali, vt idem rectangulum DCF, vna cum ter- tia parte quadrati DF, ad tertiam partem quadrati CD, ita fru$tum BC, ad conum vel coni portionem ECD. P<*>æ- terea, quia quadratum CD æquale e$t duobus quadratis ex CF, FD, vna cum rectangulo bis ex CF, FD: quorum rectangulo CFD, vna cum quadrato CF æquale e$t rectan gulum DCF; erit quadratum CD æquale rectangulo DCF vna cum quadrato DF; demptis igitur rectangu- lo DCF, & tertia parte quadrati DF; quod remanet CD quadrati erit rectangulum CFD vna cum duabus tertiis quadrati DF. quoniam igitur e$t conuertendo vt quadratum CD ad rectangulum DCF, vna cum tertia parte quadrati DF, ita cylindris, vel portio cylindrica CG ad fru$tum CB, erit per conuer$ionem rationis, & conuertendo; vt rectangulum CFD vna cum duabus ter- tiis DF quadrati, ad quadratum CD, ita reliquum cy- lindri, vel portionis cylindricæ CG d<*>pto fru$to CB, ad cylindrum, vel portionem cylindricam. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <foot>C</foot> <p n=>18</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XI.</I></HEAD> <p>Si $phæra, vel $phæroides $ecetur duobus pla- nis parallelis vtcumque, neutro per c&etilde;trum ducto: quædam autem ex centro recta linea tran$eat per centrum alterutrius $ectionum; per centrum re- liquæ tran$ibit. <p>Sit $phæra, vel $phæroides $ectum duobus planis pa- callelis vtcumque neutro per centrum ducto, quod $it E: per $ectionum autem, quæ $unt circuli, vel $imiles el- lip$es, alterutrius centrum F tran$iens recta EFB oc- currat reliquæ $ectionis plano in puncto G. Dico reli- quæ $ectionis centrum e$$e G. Planum enim per OB $e- <FIG> cans $phæram, vel $phæroides, faciensque $ectionem circu- lum, vel ellip$im ABCD, $ecabit, & $ecet prædictas $e- ctiones, circulos inquam, vel $imiles ellip$es parallelas, qua- rum alterius centrum ponitur F. Faciatque $ectiones re- ctas parallelas AFC, KGH: $imiliter aliud quodlibet <p n=>19</p> planum per BE $ecans $phæram, vel $phæroides faciat $e- ctionem circulum, vel ellip$im, & in ea parallelas LFM, NGO, communes $ectiones iam factæ $ectionis $phæræ vel $phæroidis cum circulis, vel ellip$ibus inter $e paral- lelis quarum diametri $unt AC, KH. Quoniam igitur E e$t centrum $phæræ, vel $phæroidis; omnes in eo per punctum E, tran$euntes rectæ lineæ bifariam $ecabuntur: $ed idem E e$t in $ectione $phæræ, vel $phæroidis, circu- lo, vel ellip$e ABCD; omnes igitur in ip$a rectas lineas bifariam $ecabit punctum E, & centrum erit circuli, vel ellip$is ABCD: quædam igitur ex centro recta EB $ecans parallelarum neutrius per centrum ductæ alteram AC bifariam in circuli, vel ellip$is ALCM centro F, & reliquam in puncto G bifariam $ecabit. Similiter o$tenderemus rectam NO $ectam e$se bifariam in pun- cto G: atque adeo circuli, vel ellip$is KNHO centrum e$$e G. Recta igitur E, tran$iens per centrum $ectionis ALCM, tran$ibit per centrum reliquæ KNHO ip$i ALCM parallelæ. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>COROLLARIVM.</I></HEAD> <p>Hinc manife$tum e$t, $i $phæra, vel $phæroides $ecetur plano non per centrum: & recta linea $phæ ræ, vel $phæroidis, & factæ $ectionis centra iun- gens ad $uperficiem vtrinque producatur; talis axis $egmenta e$$e <*> portionum, earumque vertices extrema dicti axis, vt in figura theorema- tis $unt puncta B, D. <foot>C 2</foot> <p n=>20</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XII.</I></HEAD> <p>Si hemi$phærium, vel hemi$phæroides vtcum- que ab $ci$$um: & cylindrus, vel cylindri portio illi circum$cripta: & conus, vel coni portio, cu- ius ba$is e$t eadem $olido circum$cripto, hemi- $phærium, vel hemi$phæroides ad verticem con- ting&etilde;s, & communis axis; $ecentur vnoplano, ba$i hemi$phærij, vel hemi$phæroidis parallelo: $uper $ectiones autem prædicti coni, vel portionis coni- cæ, & hemi$phærij, vel hemi$phæroidis, circa hu- ius ab$ci$sæ portionis axem duo cylindri, vel por- tiones cylindricæ con$titerint; reliquum cylindri vel portionis cylindricæ prædicto plano ab$ci$sæ, d&etilde;pto eo cylindro duorũ prædictorum, vel portio- ne cylindrica, cuius ba$is e$t $ectio hemi$phærij, vel hemi$phæroidis, æquale erit reliquo cylindro, vel portioni cylindricæ, cuius ba$is e$t $ectio præ- dicti coni, vel portionis conicæ. <p>E$to hemi$phærium, vel hemi$phæroides ABC, cuius axis BD, ba$is circulus, vel ellip$is, cuius diameter AC. Et $olido ABC circum$criptus cylindrus, vel portio cy- lindrica, cuius ba$es oppo$itæ erunt circuli, vel $imiles elli- p$es, quarum diametri eiu$dem rationis ADC, EF, la- tera oppo$ita parallelogrammi per axem AFGC: & $u- per ba$im, cuius diameter EF, circa axim BD, de$criptus e$to conus, vel coni portio EDF. Iam tria $olida ABC, EDF, AC, $ecentur plano $olidi ABC ba$i parallelo, quod $ecabit, & $ecet vnà figuras planas per axim BD <p n=>21</p> tribus $olidis communem, po$itas in eodem plano, quæ $unt AF parallelogrammum, triangulum EDF, & $emicir- culus, vel $emi ellip$is ABC: & $int $ectiones rectæ GO, HN, KM: hæ igitnr erunt diametri eiu$dem rationis trium $ectionum, $cilicet circulorum, vel ellip$ium $irnilium, qui- bus erit commune centrum L, in quo nimirum axis BD tres dictas lineas GO, HN, KM, bifariam $ecat. Vt igitur de $olido AF diximus, $int circa axem BL, & $uper ba$es circulos, vel ellip$es circa HN, KM cylindri, vel portiones cylindricæ HP, KQ, qui vnà cum portione cylindrica, vel cylindro GF ip$a $ectione facto, erunt inter eadem plana paral- lela per EF, GO. Dico trium cylin- drorum, vel cylin- dri portionum GF, HP, KQ, reliquũ ip$ius GF dempto HP, ip$i KQ e$se <FIG> æquale. Quoniam enim cylindri, & cy- lindri portiones eiu$dem altitudinis inter $e $unt vt ba- $es, circuli autem, & $imiles ellip$es; inter $e, vt quæ à diametris eiu$dem rationis fiunt quadrata; ex Archime- de, hoc e$t vt earum quartæ partes, quæ à $emidiame- tris quadrata de$cribuntur; erit vt quadratum LO ad quadratum LN, ita cylindrus, vel portio cylindrica GF ad cylindrum, vel portionem cylindricam PH: & diuidendo, vt rectangulum LNO bis vnà cum quadra- to NO, ad quadratum LN, ita reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ GF, dempto ip$o PH, ad ip$um PH: $ed vt quadratum LN ad quadratum LM, ita e$t vt $upra, cylindrus, vel portio cylindrica HP ad cylin- drum, vel portionem cylindricam KQ, ex æquali igitur, <p n=>22</p> erit vt rectangulum LNO bis, vnà cum quadrato NO, ad quadratum LM, ita reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ GF d&etilde;- pto HP, ad cylin- drum, vel portion&etilde; cylindricam KQ: $ed rectangulum L NO bis vnà cũ qua drato NO æquale e$t quadrato LM; reliquum igitur cy- <FIG> lindri, vel portionis cylindricæ GF, d&etilde;- pto HP, æquale erit cylindro, vel portioni cylindricæ KQ. Quod erat demon$trandum. <HEAD><I>PROPOSITIO XIII.</I></HEAD> <p>Cylindri, vel portionis cylindricæ hemi$phæ- rio, vel hemi$phæroidi circum$criptæ reliquum dempto hemi$phærio, vel hemi$phæroide, æqua- le e$t cono, vel portioni conicæ eandem ba$im he- mi$phærio, vel hemi$phæroidi, & eandem altitu- dinem habenti. <p>E$to hemi$phærio, vel hemi$phæroidi ABC, cu- ius axis BD, ba$is circulus, vel ellip$is circa diametrum ADC, circum$criptus cylindrus, vel cylindrica portio AE, circa communem $cilicet axim BD. conus autem, vel coni portio circa axim BD, ba$im habens commu- nem $olido ABC, intelligatur. Dico reliquum $olidi AE, dempto hemi$phærio, vel hemi$phæroide ABC æ- <p n=>23</p> quale e$se cono, vel portioni conicæ. Nam circa axim BD, & $uper ba$im circulum, vel ellip$im, cuius diame- ter RE, $imilem & oppo$itam ei, quæ circa AC, de$cri- batur conus, vel coni portio RDE. Deinde axe BD bi- fariam $ecto, & $ingulis eius partibus rur$us bifariam, vt partes axis BD omnes $int æquales, per puncta $ectio- num, quotquot erunt, totidem plana parallela $ecent vnà cum $olido AE duas ip$ius partes, $olida ABC, RDE. Omnes igitur factæ $ectiones, vel erunt circuli, vel $imiles ellip$es ei, quæ e$t circa AC, atque adeo inter $e $imiles: talium autem $ectiones communes cum AE parallelo, <FIG> grammo per axim, erunt rectæ lineæ, ternæ in $ingu- lis planis $ecantibus, & in eadem recta linea; vt in proxi- ma ip$i RE, $unt FL, GN, KM, quæ quidem erunt trium circulorum, vel $imilium ellip$ium diametri eiu$dem rationis ba$ium trium $olidorum, cylindri $cilicet, vel por- tionis cylindricæ FL, fru$ti GL, & portionis KBM, he mi$phærij, vel hemi$phæroidis ABC. Itaque circa axem BH cylindri, vel portionis cylindricæ FE, & $uper ba- $es circulos, vel ellip$es circa GN, KM, de$cribantur cylindri, vel cylindri portiones GP, KQ, qui pat- tes erunt totius cylindri, vel portionis cylindricæ FE. Idem fiat circa reliquas axis partes BD tamquam axes, <p n=>24</p> $uper reliquas $ectiones ternas in $ingulis prædictis planis $ecantibus. Hac ratione habebimus iam duas figuras compo$itas ex cylindris, vel cylindri portionibus altitudi- ne, & multitudine æqualibus, alteram cono, vel portioni conicæ RDE in$criptam, alteram hemilphærio, vel he- mi$phæroidi ABC circum$criptam: quod ita factum e$- $e intelligatur, quemadmodum in primo libro fieri po$se demon$trauimus, vt figura cono RDE in$cripta ab eo deficiat, hemi$phærio autem, vel hemi$phæroidi ABC circum$cripta ip$um excedat minori $pacio magnitudine propo$ita quantacumque illa $it. Reliquo itaque cylin- <FIG> dri, vel portionis cylindricæ AE dempto hemi$phærio, vel hemi$phæroide ABC figura quædam in$cripta relinque- tur ex cylindris, vel portionis cylindricæ re$iduis æqualium altitudinum, demptis ijs, ex quibus con$tat figura hemi- $phærio, vel hemi$phæroidi ABC circum$cripta, excepto infimo cylindro, vel portione cylindrica AS. Et quo- niam (excepto exce$su, quo $olidum AS excedit $ui par- tem portionem quandam hemi$phærij, vel hemi$phæroidis ABC) quo $pacio figura hemi$phærio, vel hemi$phæroidi ABC circum$cripta $uperat ip$um hemi$phærium, vel he <*>æroides, eodem figura prædicto re$iduo in$cripta de- <*>duo; deficiet ab eodem minori differentia quàm <p n=>25</p> $it magnitudo propo$ita,. His ita ex po$itis, quoniam ex præcedenti, reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ FE dempto cylindro, vel portione cylindrica KQ, æ- quale e$t cylindro, vel portioni cylindricæ GP: eadem- que ratione $ingula cylindrorum, vel cylindri portionum re$idua, quæ $unt in reliqua figura cylindri, vel portionis cylindricæ AE, dempto hemi$phærio, vel hemi$phæroi- de ABC, æqualia erunt $ingulis cylindris, vel cylindri portionibus, quæ $unt in cono, vel portione conica RDE, $i bina $umantur inter eadem plana parallela, vel circa cundem axem; tota igitur figura in$cripta prædicto re$iduo, toti figuræ in$criptæ cono, vel portioni conicæ RDE æ- qualis erit: deficit autem vtraque figura in$cripta à $ibi circum$cripta minori $pacio quantacumque magnitudine propo$ita; per tertiam igitur huius, reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ AE, dempto hemi$phærin, vel he- mi$phæroide ABC, æquale e$t cono, vel portioni coni- cæ RDE, hoc e$t ip$i ABC. Quod erat demon$trandum. <HEAD><I>PROPOSITIO XIV.</I></HEAD> <p>Si hemi$phærium, vel hemi$phæroides, & cylin drus, vel portio cylindrica ip$i circum$cripta, & conus, vel coni portio, cuius e$t id&etilde; axis portioni, ba$is autem qu<17> opponitur communi ba$i duorum prædictorum $olidorum, vnà $ecentur duobus planis ba$i parallelis; portiones reliquæ figuræ ex cylindro, vel cylindri portione hemi$phærio, vel hemi$phæroidi circum$cripta dempto hemi- $phærio, vel hemi$phæroide, quæ à duobus præ- dictis planis $ecantibus fiunt, æquales $unt $in- <foot>D</foot> <p n=>26</p> gulæ $ingulis prædicti coni, vel conicæ portionis partibus $iue fru$tis inter eadem plana parallela re$pondentibus. <p>E$to hemi$phærium, vel hemi$phæroides ABC, cu- ius axis BD, ba$is circulus, vel ellip$is, cuius diame- ter ADC. $olido autem ABC circum$criptus cylindrus, vel portio cylindrica AXEC: & conus, vel coni portio $it XDE, cuius vertex D, ba$is circulus, vel ellip$is cir- ca XBE ba$i $olidi AE, vel ABC, prædictæ oppo$ita, $ecto autem $olido AE, atque vnà cum ip$o eius partibus, $olidis ABC, XD E, duobus planis ba $i $olidi AE, vel ABC, atque ideo inter $e quoque pa- rallelis, intelligan- tur trium $olidorum portiones ternæ in- <FIG> ter eadem plana pa- rallela: videlicet in- ter duo per XE, FN, hemi$phærij, vel hemi$phæroidis minor portio HBL: & reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ FE dem- pta portione HBL: & coni, vel conicæ portionis fru$tum XGME. $imiliter inter duo plana per FN, OV $olidi ABC portio PHLT, eaque ablata reliquum $olidi ON, & fru$tum GQSM. Denique $olidi ABC portio AP TC, eaque ablata, reliquum $olidi AV, & conus, vel coni portio QDS. Dico reliquum $olidi FE, dempto HBL e$$e æquale fru$to XGME: & reliquum $olidi ON dempto PHLT, æquale fru$to GQSM: & reliquum $olidi AV dempto $olido APTC æquale $olido QDS. <p n=>27</p> Quoniam enim vt $upra o$tendimus, reliquum $olidi AE, dempto $olido ABC æquale e$se $olido XDE, $imili- ter o$ten$um remanet, tam reliquum $olidi AN, dempto $olido AHLC, æquale e$se $olido GDM, quam reli- quum $olidi AV dempto $olido APTC æquale $olido QDS; erit demptis æqualibus, tam reliquum $olidi FE, dempto $olido HBL, æquale $olido XGME; quam reliquum $olidi ON, dempto $olido PHLT æquale $o- lido GQSM. At reliquum $olidi AV dempto $oli- do APTC $olido QDS æquale erit. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO XV.</I></HEAD> <p>Hemi$phærium, vel hemi$phæroides $ub$e$qui alterum e$t cylindri; vel portionis cylindricæ ip$i circum$criptæ. <p>E$to hemi$phærium, vel hemi$phæroides ABC, ip$ique circum$criptus cylindrus, vel portio cylindri- ca AE, circa eundem $cilicet axem BD, & $uper can- dem ba$im circulum, vel ellip$im, circa AC: nam hac ratione ba$is oppo$ita $olidum ABC tanget ad verticem B. Dico hemi$phæriũ, vel hemi$phæroides ABC e$se cylindri, vel portio nis cylindricæ AE $ub <FIG> $e$quialterum. Nam circa axem BD, $uper prædictam ba$em circa AC, e$to de$criptus conus, vel coni portio ABC. Quoniam igitur <foot>D 2</foot> <p n=>28</p> cylindri, vel portionis cylindricæ AE reliquum dempto hemi$phærio, vel hemi$phæroide ABC æquale e$t cono, vel portioni conicæ ABC: & cylindrus, vel portio cylin- drica AE tripla e$t co- ni, vel portionis conicæ ABC; triplus itidem erit cylindrus, vel cylin drica portio AE dicti re$idui dempto hemi- $phærio, vel hemi$phæ- roide ABC; ac propte- rea hemi$phærij, vel he- <FIG> mi$phæroidis ABC $e$quialter, hoc e$t hemi$phærium, vel hemi$phæroides ABC cylindri, vel portionis cylindricæ AE $ub$e$quial- terum. Quod erat demon$trandum. <HEAD><I>PROPOSITIO XVI.</I></HEAD> <p>Omnis minor portio $phæræ, vel $phæroidis ad cylindrum, vel cylindri portionem, cuius ba$is æqualis e$t circulo maximo, vel æqualis, & $imi- lis ellip$i per centrum ba$i portionis parallelæ, & eadem altitudo portioni; eam habet proportio- nem, quam rectangulum contentum $phæræ, vel $phæroidis dimidij axis axi portionis congruen- tis ijs, quæ à centro ba$is portionis fiunt $egmētis, vnà cum duobus tertiis quadrati axis portionis; ad $phæræ, vel $phæroidis dimidij axis quadratum. <p>Sit minor portio ABC, $phæræ, vel $phæroidis, cuius centrum D, axis autem axi portionis congruens BEDR: <p n=>29</p> & cylindrus, vel portio cylindrica FG ab$ci$sa vnà cum portione ABC ex cylindro, vel portione cylindrica NO circum$cripta hemi$phærio, vel hemi$phæroidi NBO, cuius ba$is circa diametrum NO, $it ba$i portionis ABC parallela: qua ratione ba$is prædicti $olidi FG, erit vel cir culus, vel ellip$is æqualis circulo maximo, vel $imilis, & æqualis ellip$i circa NO, portionis ABC ba$i paralle- læ. Dico portionem ABC ad cylindrum, vel portio- nem cylindricam FG, e$se vt rectangulum BED, vnà cum duabus tertiis qua- drati EB ad quadratum BD. E$to enim conus, vel coni portio HDG, cuius fru$tum HKLG prædicto plano ab$ci$$um: & omnino $int circulorũ, vel ellip$ium $imilium dia metri eiu$dem rationis cũ NO, vt ad XII huius, in ead&etilde; recta linea tres FM, AC, KL, $ectæ omnes bi fariam in cõmuni c&etilde;tro E, <FIG> & HBG, in eodem plano per axem. Quoniam igitur ex $u- perioribus, reliquum $olidi FG, dempto ABC, æquale e$t fru$to HKLG; erit eiu$dem $olidi FG reliquum ABC æquale reliquo $olidi FG, dempto HKLG: $ed hoc reli- quum dempto HKLG, $upra o$tendimus e$se ad $olidum FG, vt rectangulum ex KL, & differentia HG, vnà cum duabus tertiis quadrati differentiæ, ad quadratum GH: & vt HG ad KL, ita e$t BD ad DE, propter $imi- litudinem triangulorum; vt igitur e$t rectangulum BED, vnà cum duabus tertiis quadrati BE, ad quadratum BD, ita erit portio ABC, ad cylindrum, vel portionem cylin- dricam FG. Quod demon$trandum erat. <p n=>30</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XVII.</I></HEAD> <p>Omnis portio $phæræ, vel $phæroidis ab$ci$$a duobus planis parallelis, alteroper centrum du- cto, ad cy lindrum, vel cylindri portionem, cuius ba$is e$t eadem, quæ maior ba$is portionis, & ead&etilde; altitudo; eam habet proportionem, quam rectan- gulum contentum ijs, quæ à centro minoris ba$is fiunt axis $phæræ, vel $phæroidis $egmentis, vnà cum duabus tertiis quadrati axis portionis; ad $phæræ, vel $phæroidis dimidij axis quadratum. <p>Sit portio NACO $phæræ, vel $phærodij, cuius cen- trum D, axis autem axi portionis congruens BEDR, ab$ci$sa duobus planis parallelis altero per centrum D, $e- ctionem faciente circulum maximum, vel ellip$im, cuius diameter NO, & $u- per dictam $ectionem, cir- ca axem ED, $tet cylin- drus, vel portio cylindrica NM, ab$ci$sa ij$dem pla- nis, quibus portio NAC O, à cylindro, vel portio- ne cylindrica NG, $it cir- cum$cripta hemi$phærio, vel hemi$phæroidi NBO: qua ratione erit cylindri, <FIG> vel portionis cylindricæ NM ba$is eadem, quæ maior ba$is portionis NACO, circulus $cilicet, vel ellip$is cir- ca NO, & eadem altitudo portioni. Dico portionem <p n=>31</p> NACO, ad cylindrum, vel portionem cylindricam NM, e$se vt rectangulum BER, vnà cum duabus tertiis ED quadrati, ad quadratum BD. Ij$dem enim quæ in præce- denti con$tructis, & notatis, $it præterea cylindrus, vel por- tio cylindrica PL, circa axim ED circum$cripta cono, vel portioni conicæ KDL, Quoniam igitur reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ NM, dempta portione NACO æquale e$t cono, vel portioni conicæ <I>K</I>DL, erit reliqua portio NACO æqualis reliquo eiu$dem NM, dempto cono, vel portione conica KDL. Et quoniam cir culi, & $imiles ellip$es inter $e $unt vt quadrata diametro- rum, vel $emidiametrorũ eiu$dem rationis: cylindri autem, & portiones cylindricæ eiu$d&etilde; altitudinis inter $e vt ba$es; erit vt quadratum EM, hoc e$t quadratum BG, ad qua- dratum EL, hoc e$t vt quadratum BD ad quadratum DE, propter $imilitudinem triangulorum, ita $olidum NM ad $olidum PL: & per conuer$ionem rationis, vt quadra- tum BD ad rectangulum BED bis, vnà cum quadrato BE, ita $olidum MN, ad $ui reliquum dempto $olido PL: & conuertendo, vt rectangulum BED bis, vnà cum quadrato BE, hoc e$t rectangulum BER, ad quadratum BD, ita reliquum $olidi NM dempto $olido PL ad $o- lidum NM. Rur$us, quoniam e$t vt quadratum EL ad quadratum EM, $iue BG, hoc e$t vt quadratum ED ad quadratum BD, ita $olidum PL ad $olidum NM, ob $imilem rationem $upradictæ: & duæ tertiæ partes $olidi PL e$t $olidum KDL; erit ex æquali, vt duæ tertiæ qua- drati ED ad quadratum BD, ita reliquum $olidi PL dempto $olido KDL, ad $olidum NM: $ed vt rectangu- lum BER ad quadratum BD, ita erat $olidi NM reli- quum dempto $olido PL, ad $olidum NM; vt igitur pri- ma cum quinta ad $ecundam, ita erit tertia cum $exta ad quartam; videlicet, vt rectangulum BED, vnà cum dua- bus tertiis ED quadrati ad quadratum BD, ita reliquum <p n=>32</p> cylindri, vel portionis cylindricæ NM, dempto cono, vel portione conica KDL, hoc e$t portio NACO ip$i æqua- lis, ad cylindrum, vel portionem cylindricam NM. Quod erat demon$trandum. <HEAD><I>PROPOSITIO XVIII.</I></HEAD> <p>Omnis portio $phæræ, vel $phæroidis ab$ci$$a duobus planis parallelis, neutro per centrum du- cto, nec centrum intercipientibus, ad cylindrum, vel cylindri portionem, cuius ba$is æqualis e$t circulo maximo, vel ellip$i per centrum ba$ibus portionis parallelæ $imilis, & æqualis, eam ha- bet proportionem, quam duo rectangula; & quod $phæræ, vel $phæroidis axis axi portionis congru&etilde; tis ijs, quæ à centro minoris ba$is portionis fiunt $egm&etilde;tis, & quod ea, quæ maioris ba$is portionis, & $phæræ, vel $phæroidis centra iungit, & axe por tionis continetur, vnà cum duabus tertijs quadra- ti axis portionis; ad $phæræ, vel $phæroidis dimi- dij axis quadratum. <p>Sit portio AQTC $phæræ, vel $phæroidis, cuius cen- trum D, axis autem axi portionis congruens BSEDR, ab$ci$$um duobus planis parallelis, neutro per centrum D acto, nec ip$um intercipientibus: & circa portionis axim SE $tet cylindrus, vel portio cylindrica FX ab- $ci$sa vnà cum portione AQTC ex toto cylindro, vel portione cylindrica NG, hemi$phærio, vel hemi$phæroi- di NBO circum$cripta, cuius ba$is circulus maximus <p n=>33</p> vel ellip$is circa NO ba$ibus AQTC portionis parallela<*> qua ratione cylindrus, vel portionis cylindricæ FX eiu$- dem altitudinis portioni AQTC, ba$is erit circulus æqualis circulo maximo, vel ellip$is $imilis, & æqualis ei, cuius diameter NDO, ba$ibus AQTC portionis paral- lelæ. Dico portionem AQTC ad cylindrum, vel por- tionem cylindricam FX, e$$e vt duo rectangula BSR, DES, vnà cum duabus tertiis quadrati ES, ad quadra- tum BD. Ij$dem enim con$tructis, & notatis, quæ in an- <*>ecedenti, excepto cylindro, vel portione cylindrica, quæ circa axim ED $teterat: planum præterea minoris ba$is QT portionis AQ TC extendatur: & $e- cans tria $olida, & figuras planas per axim po$itas in eodem plano, faciat ternas $ectiones, circulos, vel elli- p$es $imiles ei, quæ e$t cir- ca NO: & earum diame- tros IX, PV, QT, in cadem recta linea commu ni $ectione exten$i plani, & <FIG> eius, quod per axem: quæ quidem diametri $ectæ eruntom nes bifariam in centro S communi trium prædictarum pla narum $ectionũ. Denique coni, vel portionis conicæ HDG fru$to PKIV ab$ci$$o vnà cum portione AQTC, $it circa axim SE circum$criptus cylindrus vel portio cylin- drica ZV. Quoniam igitur per XIIII huius, reliquum $olidi FX, dempta portione AQTC, æquale e$t fru$to PKLV; erit reliqua portio AQTC, reliquo eiu$dem $olidi FX, dempto fru$to PKLV æqualis. Et quoniam e$t vt PV ad KL, ita SD, DE, propter $imilitudinem triangulorum: & vt rectangulum ex KL, & differentia <foot>E</foot> <p n=>34</p> ip$ius PV, vnà cum duabus tertiis quadrati eiu$dem dif- ferentiæ, ad quadratum PV, ita e$t reliquum $olidi ZV dempto fru$to PKLV ad $olidum ZV; erit vt rectangu- lum DES, vnà cum duabus tertiis quadrati ES, ad DS quadratum, ita $olidi ZV reliquum dempto fru$to PK LV ad $olidum ZV: $ed vt quadratum DS ad quadra- tum DB, hoc e$t vt quadratum SV ad quadratum BG, ide$t ad quadratum SX, ita e$t $olidum ZV, ad $olidum FX; ex æquali igitur, vt rectangulum DES, vnà cum duabus tertiis ES quadrati, ad quadratum BD, ita e$t reliquum $olidi ZV, dem pto $olido PKLV ad $o lidum FX: $ed vt rectan- gulum BSR ad quadra- tum BD, ita e$t, eadem ratione, qua in præcedenti theoremate vtebamur, re- liquum $olidi FX dem- pto $olido ZV, ad $oli- dum FX; vt igitur prima cum quinta ad $ecundam, ita tertia cum $exta ad quartam; videlicet, vt duo <FIG> rectangula BSR, DES, vnà cum duabus tertiis quadra- ti ES ad quadratum BD, ita erit totum reliquum cylin- dri, vel portionis cylindricæ FX dempto fru$to PKLV: hoc e$t $phæræ, vel $phæroidis portio AQTC ad cylin- drum, vel portionem cylindricam FX. Quod demon- $trandum erat. <p n=>35</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XIX.</I></HEAD> <p>Omnis maior portio $phæræ, vel $phæroidis, ad cylindrum, vel portionem cylindricam, cuius ba$is æqualis e$t circulo maximo, vel æqualis, & $imilis ellip$i per centrum ba$i portionis paralle- læ, altitudo autem eadem portioni, eam habet proportionem, quam $olidum rectangulum con- tentum axe portionis, & reliquo axis $phæræ, vel $phæroidis $egmento, & eo, quod ba$is portionis, & $phæræ, vel $phæroidis centraiungit, vnà cum binis tertiis partibus duorum cuborum: & eius qui à $phæræ, vel $phæroidis axis dimidio; & cius qui ab eo, quod $phæræ, vel $phæroidis, & ba$is portionis centra iungit $it $egmento; ad $o- lidum rectangulum, quod axe portionis, & duo- bus $phæræ, vel $phæroidis axis fit dimidijs. <p>Sit maior portio AB C, $phæræ, vel $phæroi- dis ABCF, cuius cen- trum D: ba$is aut&etilde; por- tionis, circulus, vel elli- p$is, cuius diameter A C: Et $ecta portione ABC per centrum D plano ba$i AC paral- lelo, qua ratione $ectio erit circulus maximus, vel ellip$is $imilis ba$i <FIG> <foot>E 2</foot> <p n=>36</p> portionis: e$to ea cuius diameter KL, iungensque recta DE $phæræ, vel $phæroidis, & ba$is portionis centra DE, atque producta incidat in $phæræ, vel $phæroidis $uperfi- ciem ad partes E in puncto F, & ad partes oppo$itas in puncto B: $phæræ igitur, vel $phæroidis axis axi portionis BE congruens crit BDEF, nam vertex portionis erit B: & hemi$phærio, vel hemi$phæroidi KBL $it circum$cri- ptas cylindrus, vel cylindrica portio KH, cuius $cilicet axis BD, & circa axim DE, alter cylindrus, vel portio cylindrica GL portioni KACL circum$cripta: quorum circum$criptorum $olido- rum vtriulque communis ba$is erit circulus, vel ellip$is circa KL. Ita- que ex his compo$itus to- tus cylindrus, vel cylin- dri portio GH erit por- tioni ABC circum$cri- pta, habens axim BE, at- que ideo eandem altitu- dinem ABC portioni, ba$im autem, cuius dia- meter $it GM $imilem <FIG> & æqualem ei, quæ e$t circa KL. Dico portionem ABC ad cylindrum, vel portionem cylindricam GH, e$se vt $o- lidum rectangulum contentum ip$is BE, EF, ED, vnà cum binis tertiis duorum cuborum, duabus $cilicet cubi BD, & totidem cubi ED, ad $olidum rectangulum con- tentum ip$is EB, BD, DF. Quoniam enim parall ele- pipeda eiu$dem altitudinis inter $e $unt vt ba$es, erit vt re- ctangulum BEF vnà cum duabus tertiis ED quadrati ad rectangulum BDF, ide$t ad quadratum BD, $iue DF, ita $olidum ex BE, EF, ED, communi altitudine DE, vnà cum duabus tertiis cubi ED, ad $olidum ex DE, <p n=>37</p> BD, DF: $ed vt rectangulum BEF, vnà cum duabus DE quadrati, ad quadratum DF, ita o$tendimus e$$e portionem AKLC ad $olidum GL; vt igitur e$t $olidum ex BE, EF, ED, vnà cum duabus tertiis cubi ED, com muni altitudine DE, ad $olidum ex ED, BD, DF, ita erit portio AKLC ad $olidum GL: $ed vt $olidum ex ED, DB, DF, hoc e$t id, cuius altitudo ED, ba$is BD quadratum, ad $olidum ex EB, BD, DF, hoc e$t ad id, cuius altitudo BE, ba$is quadratum BD, ita e$t altitudo, vel latus ED, ad altitudinem vel latum BE: hoc e$t $oli- dum GL ad $olidum GH; quippe quorum dictæ lineæ ED, BE $unt axes; ex æquali igitur, vt $olidum ex BE, EF, ED, vnà cum duabus tertiis cubi DE, ad $olidum ex EB, BD, DE, cuius altitudo EB, ba$is quadratum BD, ita erit portio AKLC ad $olidum GH. Rur$us, quoniam $olidum HK e$t hemi$phærij, vel hemi$phæroi- dis KBL $e$quialterum; erit vt duæ tertiæ partes cubi BD ad cubum BD, ita hemi$phærium, vel hemi$phæroides KBL ad $olidum KH: $ed vt cubus BD ad $olidum ex BD, DF, & altitudine BE, hoc e$t vt altitudo BD ad altitudinem BE, ita e$t $olidum KH ad $olidum GH, quo- rum dictæ altitudines BD, BE $unt axes, ex æquali igitur erit vt duæ tertiæ partes cubi BD ad $olidum ex EB, BD, DF, ita hemi$phærium, vel hemi$phæroides KBL, ad $oli- dum GH: $ed vt $olidũ ex BE, EF, ED, vna cum duabus tertiis cubi ED ad $olidum ex EB, BD, DF, erat por- tio AKLC ad cylindrum GH; vt igitur prima cum quin ta ad $ecundam, ita tertia cum $exta ad quartam, videlicet, vt duæ tertiæ cubi BD, vna cum duabus tertiis cubi BE, & $olido ex BE, EF, ED ad $olidum ex EB, BD, DF, ita erit $phæræ, vel $phæroidis maior portio ABC ad $oli- dum, cylindrum $cilicet, vel portionem cylindricam GH. Quod erat demon$trandum. <p n=>38</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XX.</I></HEAD> <p>Omnis portio $phæræ, vel $phæroidis ab$ci$sa duobus planis parallelis centrum intercipienti- bus, ad cylindrum, vel cylindri portionem, cuius ba$is æqualis e$t circulo maximo, vel $imilis, & æqualis ellip$i per centrum ba$ibus portionis pa- rallelæ, & eadem altitudo portioni, eam habet proportionem, quam duo $olida rectangula ex ter- norum $phæræ, vel $phæroidis axis $egmentorum eundem terminum habentium alterutrius ba- $ium portionis centrum, binis $phæræ, vel $phæ- roidis axem complentibus, & $ingulis axis por- tionis itidem à centro $phæræ, vel $phæroidis fa- ctis, vnà cum binis tertijs partibus duorum cubo- rum ex $egmentis axis portionis à centro $phæræ, vel $phæroidis factis; ad $olidum rectangulum, quod duobus $phæræ, vel $phæroidis axis dimi- diis, & axe portionis continetur. <p>Sit portio ABCD $phæræ, vel $phæroidis, cuius cen- trum E, axis portionis KEH: ip$i autem portioni cir- cum$criptus cylindrus, vel cylindrica portio NO, vt in antecedenti, cuius communis $ectio cum $phæra, vel $phæ- roide AFDG, $it circulus maximus, vel ellip$is circa dia- metrum LEM; quamobrem ba$is $olidi NO, eiu$dem altitudinis portioni ABCD circulus erit æqualis circu- lo maximo, vel ellip$is æqualis, & $imilis ellip$i circa LM ba$ibus portionis parallelæ. Dico portionem ABCD <p n=>39</p> ad cylindrum, vel cylindri portionem NO, e$se vt duo $olida ad rectangula, alterum ex FH, HG, EH: alterum ex GK, KF, EK, vnà cum binis tertiis duorum cubo- rum ex EK, EH, ad $olidum rectangulum ex GE, EF KH, axe enim KH producto vt incidat in $uper- ficiem in punctis F, G, $it $phæræ, vel $phæroidis, ex demon$tratis, axis FK, EHG. Intelliganturque vt in antecedenti duo cylindri, vel cylindri portiones NM, LO, totius prædicti $olidi NO: itemque duæ portiones $phæræ, vel $phæroidis ALMD, LBCM, quorum qua- tuor $olidorum commu nis ba$is e$t circulus, vel ellip$is circa LEM. Quoniam igitur vt in antecedenti o$tendere- mus portionem ALM D ad $olidum NM e$ $e vt $olidum ex FH, HG, EH, vnà cum duabus tertiis cubi EH ad $olidum ex FE, EG, EH, communi altitu- dine EH: $ed vt $oli- dum ex FE, EG, EH, <FIG> altitudine EH, ad $olidum ex FE, EG, KH altitudi- ne KH, ita e$t altitudo EH ad altitudinem KH, hoc e$t $olidum NM ad $olidum NO, quippe quorum $unt axes EH, KH; ex æquali igitur erit vt $olidum ex FH, HG, EH, vnà cum duabus tertiis cubi EH, ad $oli- dum ex FE, EG, KH, ita portio ALMD, ad $oli- dum NO. Eadem ratione o$tenderemus e$$e, vt $olidum ex GK, KF, EK, vnà cum duabus tertiis cubi EK, ad $olidum ex FE, EG, KH, ita portionem LBCM, ad $olidum NO; vt igitur prima cum quinta ad $ecundam, <p n=>40</p> ita tertia cum $exta ad quartam; videlicet, vt duo $oli- da, & quod $it ex FH, HG, EH, & quod ex GK, KF, EK, vnà cum duabus tertiis & cubi ex EH, & cu- bi ex EK, ad $olidum ex FE, EG, KH, ita erit tota $phæræ, vel $phæroidis portio AB CD, ad cylindrum, vel portionem cylindricam NO. Quod demon- $trandum erat. <FIG> <HEAD><I>PROPOSITIO XXI.</I></HEAD> <p>Omnis trianguli comprehen$i $ectione para- bola, ex duabus rectis lineis, quarum altera $e- ctionem tangat, altera in eam incidat diametro $ectionis ex contactu æquidi$tans, centrum graui- tatis e$t punctum illud, in quo recta linea ex con- tactu diuidens incidentem ita vt pars, quæ $ectio- nem attingit $it $e$quialtera reliquæ, $ic diui- ditur, vt pars quæ e$t ad contactum $it tripla reliquæ. <p>Sit triangulum ABC comprehen$um $ectione parabo- la ADB, & duabus rectis lineis, quarum altera AC tan- gat $ectionem in puncto A, reliqua autem BC, in eam incidens in puncto B, $ectionis diametro ex puncto A, æquidi$tans intelligatur: & per centrum grauitatis trian- <p n=>41</p> guli ABC quod $it F, $it ducta recta AFE. Dico AF e$$e ip$ius FE triplam: at BE ip$ius EC $e$quialteram. Completo enim triangulo rectilineo ABC, $ectis que re- ctis lineis bifariam AB in puncto H, & AC in puncto K ducatur HDK, quæ parallela erit ba$i BC: parabolæ igi- tur $egmenti BDA dia meter erit DH; in qua parabolæ ADB, cuius vertex D $it centrum grauitatis M: trian- guli autem rectilinei ABC centrum grauitatis N, & iun gatur MN: producta igitur MN occurret trianguli ABC mixti centro grauitatis F. $int igitur centra M, N, F, in eadem recta linea: & ducta recta AN G $ecet ba$im BC bifariam in G pun cto, nece$$e e$t e- nim: & ex puncto F ad rectam AG, ducatur recta FO ip$is BC, KH pa rallela, & BD, DA iungantur. Quoniã igitur AG $ecat BC, KH paral- lelas in rectolineo triangulo ABC, <FIG> in ea$dem rationes; $ecta erit HK bifariam à linea AG: cumque HD diameter parabolæ ADC, cuius vertex D, $it parallela diametro parabolæ, cuius vertex A, atque ideo etiam BC incidenti parallela, erit DH pars ip$ius KH: quoniam igitur in triangulo mixto ABC recta KD applicata parallela e$t ip$i BC, quæ itidem e$t parallela diametro parabolæ, cuius vertex A; erit vt AC ad AK potentia, ita BC ad DK longitudine, quod $upra demon- $trauimus: $ed AC quadrupla e$t potentia ip$ius AK; <foot>F</foot> <p n=>42</p> quadrupla igitur BC ip$ius DK: cum igitur BC $it dupla ip$ius KH, erit DK dimidia eiu$dem KH, & $ecta bifariam KH in puncto D: $ed recta AG $ecabat eandem KH bi fariam; per punctum igitur D tran$ibit AG. Quo- niam igitur parabola ADC, cuius vertex D, $e$quiter- tia e$t per Archimedem trianguli ADB, cuius duplum e$t triangulum ABG, $icut & huius triangulum ABC; triangulum ABC quadruplum erit trianguli ADB: qua- lium igitur partium æqualium e$t triangulum ABC duo- decim, talium erit triangulum ADB trium, & parabola ADB, cuius ver- tex D quatuor: du plum igitur erit tri- angulum ABC mixtum parabolæ ADB, cuius ver- tex D, & cen- trum grauitatis M: $ed trianguli ABC rectilinei e$t cen- trum grauitatis N, & F triãguli ABC mixti; dupla igitur erit MN ip$ius N F, & MD ip$ius <FIG> OF, & DN ip$ius NO, propter $imilitudinem triangulo- rum: $ed & tota AN dupla e$t totius NG, ob centrum grauitatis N rectilinei trianguli ABC; reliqua igitur AD dupla e$t reliquæ GO. cum igitur AG $it dupla ip$ius AD, quadrupla erit AG ip$iu$que GO. quare & quadru pla AE ip$ius FE ob parallelas: tripla igitur AF ip$ius FE. Rur$us quoniam ex Archimede $e$quialtera e$t DM ip$ius MH, erit tota DH ad DM vt quinque ad tria, hoc e$t vt decem ad $ex: $ed MD erat dupla ip$ius OF; tota igi- <p n=>43</p> tur DH ad OF erit vt decem ad tria: $ed GC dupla e$t ip$ius DH; igitur GC ad FO vt viginti ad tria: $ed quia tripla exi$tente AO ip$ius OG, e$t tota AG ip$ius AO $e$quitertia, erit quoque GE, ip$ius OF $e$quiter- tia, propter $imilitudinem triangulorum AGE, AOF, hoc e$t qualium partium æqualium OF trium, talium GE quatuor; qualium e$t GC hoc e$t BG viginti, talium erit EG quatuor, & EC $exdecim: dempta igitur EG ex GC, & addita ip$i BG, qualium e$t EC $exdecim: talium erit BE vigintiquatuor: $ed vt vigintiquatuor ad $exdecim, ita $unt tria ad duo, quæ proportio e$t $e$qui- altera, $e$quialtera igitur erit BE ip$ius EC, o$ten$a e$t autem AF ip$i FE tripla. Manife$tum e$t igitur pro- po$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO XXII.</I></HEAD> <p>Si duo triangula mixta prædicti generis verti- cem communem habeant, qui e$t contactus, & ba$es æquales in eadem recta linea, vel continuas, vel $egmento interiecto, tota extra $iguram ver$a cauitate; centrum grauitatis compo$iti ex vtro- que e$t pun ctum illud, in quo recta linea à vertice ad bipartitæ rectæ prædictis $ectionibus interce- ptæ, in qua $unt ba$es dictorum triangulorum $e- ctionis punctum pertinens $ic diuiditur; vt pars, quæ e$t ad verticem $it tripla reliquæ. <p>Sint duo prædicti generis triangula ABC, ADE ha- bentia verticem A communem, qui e$t contactus recta. rum cum parabolis, tangente AB parabolam AC, & <foot>F 2</foot> <p n=>44</p> AD parabolam AE: ba$es autem æquales BC, DE pa- rallelas parabolarum diametres per A, & in vna recta li- nea CE $egmento BD interiecto: vtriu$que autem $e- ctionis AC, AE concauitas $pectet extra figuram ACE: $ecta autem CE bifariam in F, iunctaque AF, ponatur AG tripla ip$ius GF. Dico compo$iti ex triangulis A BC, ADE centrum grauitatis e$$e G. Po$ita enimvtra- que $e$quialtera, CH ip$ius HB, & EK ip$ius KD, iunctisque AH, AK, ducatur per punctum G ip$i CE parallela $ecans AH, AK in punctis L, M. Quoniam igitur LM ip$i CE parallela $ecat eas quæ ex puncto A ad rectam CD du- cuntur rectas lineas in ea$dem rationes, & e$t AG tripla ip$ius GF; tripla erit vtra- que AL ip$ius LH, & AM ip$ius MK: $e$quialtera autem e$t CH ip$ius HB, & EK ip$ius KD; erit igitur L centrum gra uitatis trianguli AB C, & M trianguli A DE per præceden- <FIG> tem. Rur$us quoniam ab$oluantur triangula rectiline<*> ACB, AEK, & æqualia erunt propter æquales ba$es, po$ita inter ea$dem parallelas, & vtrumque $e$quialterum eius trianguli mixti, quod comprehendit, ex demon$tra- tione antecedentis; æqualia igitur erunt triangula mixta ABC, ADE, $iquidem $unt æqualium $ub$e$quialtera. Et quoniam componendo, & permutando e$t vt CB ad DE ita BH ad DK, æqualis erit BH ip$i DK: $ed $i ab æqualibus po$itis CF, FE ip$as CB, DE æquales au- <p n=>45</p> feras, reliquæ BF, FD æquales erunt; tota igitur FH to- ti FK æqualis e$t: in triangulo autem AHK recta AF $ecat LM, HK parallelas in ea$dem rationes; erit igitur LG æqualis ip$i GM; cum igitur æqualium triangulo- rum ABC, ADE centra grauitatis $int L, M; erit com po$iti ex vtroque centrum grauitatis G. Idem o$tendere- mus, quod proponitur, & $i ba$es prædictorum triangulo- rum $int continuæ. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO XXIII.</I></HEAD> <p>Si duæ parabolæ in eodem plano circa æqua- les diamet ros in directum inter $e con$titutas, ita vt vertices $int extrema ex diametris compo$itæ, communem habuerint aliquam ordinatim ad dia metrum applicatarum, & vertices cum puncto con uenientiæ iungantur rectis lineis: centrum gra- uitatis v triu$que portionis ijs rectis lineis ab $ci$ $æ, rectam lineam, quæ terminum communem diamctrorum, & concur$um parabolarum iungit bifariam diuidit. <p>Circa æquales diametros AD, DC indirectum inter $e con$titutas, verticibus A, C, duæ parabolæ in eodem plano com- mun&etilde; habeant ali- quam BD ordi- <FIG> <p n=>46</p> natim ad vtramque diametrorum applicatarum, iunctis- que AB, BC, $it $ecta BD bifariam in puncto G. Dico G e$se centrum grauita tis duarum portionum AEB, BFE $imul. Si enim hoc non e$t, $it aliud punctum L. & compleantur parallelogramma ANBD, DBRC, hoc e$t totum AR parallelogrammum: & $ecta BG bifariam in puncto H, ponatur DK ip$ius BD pars tertia, vt pun- ctum K $it trianguli ABC centrum grauitatis. Po$ita au- tem $e$quialtera BP ip$ius PN, & BQ ip$ius QR, iun- ctisque AP, CQ, duoatur per punctum H ip$i AC, vel NR parallela, cum ip$is AP, CQ conueniens in punctis ST: & iuncta LG, $i punctum L non $it in linea BD, e$to LM quintu- pla ip$ius MG. Quoniam igitur ob parallelas AC, P Q, ST in trape- zio APQC, e$t vt DH ad HB, ita AS ad SP, & CT <FIG> ad TQ, erit AS ip$ius SP, & CT ip$ius TQ tripla: $ed e$t BP $e$quialtera ip$ius PN, & BQ ip$ius QR; mixti igitur trianguli ANB centrum grauitatis erit S, & trianguli mixti CRB centrum grauitatis T. cum igitur BP, BQ proportionales æqualibus NB, BR inter $e $int æquales, & $ecta AC bifariam in puncto D; etiam ijs parallela ST $ecta erit bifariam in puncto H: iungit autem ST centra grauitatis mixtorum triangulorum AN B, BRC; compo$iti igitur ex vtroque centrum grauita- tis erit H. Rur$us quoniam ex quadratura parabolæ, $e- miparabola ABD $e$quitertia e$t trianguli BDA, erit triangulum BDA $e$quialterum mixti trianguli ANB: <p n=>47</p> eadem ratione triangulum BDC, trianguli CRB mi xti erit $e$quialterum: totum igitur triangulum ABC $e$qui- alterum e$t compo$iti ex triangulis mixtis ANB, CRB. Et quoniam quarta pars e$t GH ip$ius BD, & DK ter- tia, DG verò dimidia; qualium duodecim partium æqua- lium e$t BD, talium erit DK quatuor, & GH trium, & DG $ex, & reliqua KG duarum; $e$quialtera igitur e$t GH ip$ius GK: quare vt triangulum ABC ad compo- $itum ex prædictis triangulis mixtis, ita ex contraria parte e$t HG ad G<I>K</I>: cum igitur dicti compo$iti $it centrum grauitatis H, trianguli autem ABC centrum grauitatis K; erit dicti compo$iti, & trianguli ABC $imul centrum grauitatis G. Rur$us, quoniam triangulum ABC $e$- quialterum e$t compo$iti ex triangulis mixtis $upra dictis, & compo$itum ex duabus $emiparabolis ABD, CBD $e$quitertium trianguli ABC; crit compo$itum ex trian- gulis mixtis vnà cum triangulo ABC, quintuplum com- po$iti ex portionibus AEB, BFC; hoc e$t vt ex contra- ria parte LM ad MG: cum igitur G $it centrum graui- tatis compo$iti ex triangulis mixtis, & triangulo ABC, & compo$iti ex portionibus AEB, BFC centrum grauita- tis L; erit vtriu$que dicti compo$iti, hoc e$t totius AR parallelogrammi centrum grauitatis L: $ed & punctum G ex primo libro e$t centrum grauitatis parallelogrammi AR; eiu$dem igitur parallelogrammi AR erunt duo cen- tra grauitatis G, L. Quod fieri non pote$t: duarum igitur portionum AEB, BFC $imul centrum grauitatis erit G. Quod e$t propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO XXIIII.</I></HEAD> <p>Omnis figuræ circa axim in alteram partem de ficientis, cuius ba$is e$t circulus, vel ellip$is, $iue- <p n=>48</p> ba$es $unt circuli, vel ellip$es, reliqua autem $u- perficies tota interius concaua, centrum grauitatis e$t in dimidio axis $egmento, quod ba$im, vel ma- iorem ba$im attingit. <p>Sit figura circa axim in alteram partem deficiens ABC, cuius axis BD, ba$is, vel maior ba$is circulus, vel ellip$is circa diametrum AC, reliqua autem $uperficies tota inte- rius concaua: $ecto autem axe BD bifariam in puncto G, $it $olidi ABC centrum grauitatis F nempe in axe BD. Dico punctum F e$$e in $egmento ED. Secto enim $oli- do ABC, & figu ra per axem pla no per punctũ E ba$i, vel ba$ibus parallelo, fiat $e- ctio circulus, vel ellip$is $imilis ba$i, per diffini- tionem, & $ectio- nis diameter K N: deinde figu- ra quædam ex <FIG> duobus cylindris, vel cylindri portionibus KL, AM cir- ca axes BE, ED, eiu$dem altitudinis circum$cribatur $olido ABC: $ecanturque bifariam BE in puncto G, & ED in puncto H. totius autem figuræ circum$criptæ $it centrum grauitatis O, nempe in axe BD. Quoniam igi- tur propter bipartitorum axium $ectiones G, H, e$t $olidi KL centrum grauitatis G: $olidi autem AM centrum grauitatis H, erit in linea GH totius $olidi AL centrum grauitatis O, & vt $olidum AM ad $olidum KL, ita GO ad OH: $ed maior e$t proportio $olidi AM ad $olidum KL <p n=>49</p> quàm GE, ad EH; maior igitur proportio e$t GO ad OH, quàm GE ad EH: & componendo, maior pro- portio GH ad HO, quàm eiu$dem GH ad HE; mi- nor igitur OH erit quàm EH, & punctum O propin- quius puncto D quàm punctum E; verum quoniam ex ijs, quæ in præcedenti libro demon$trauimus, propo$itæ figuræ $olidæ ABC centrum grauitatis e$t puncto D propinquius, quàm cuiuslibet figuræ ex cylindris, vel cy lindri portionibus æqualium altitudinum ip$i circum$cri- ptæ, erit punctum F propinquius puncto D quàm pun- ctum O; multo igitur puncto D erit propinquius pun- ctum F quàm punctum E; ergo infra punctum E, & in linea ED cadet $olidi ABC centrum grauitatis F. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXV.</I></HEAD> <p>Omnis fru$ti coni, vel portionis conicæ cen- trum grauitatis e$t punctum illud, in quo eius axis $ic diuiditur, vt pars quæ minorem ba$im at- tingit a$$umens quartam partem axis ablati coni, vel portionis conicæ, $it ad eam, quæ inter po$tre- mam $ectionem, & quartæ partis ab$ci$$<17> ad ba$im axis totius coni terminum interijcitur, vt cubus, qui fit ab axe totius, ad cubum qui fit ab axe abla- ti coni. <p>Sit coni, vel portionis conicæ ABC fru$tum BDEC, cuius axis FG: conus autem, vel coni portio ablata AD E: $int centra grauitatis H $olidi ABC, & K $olidi ADE, & L fru$ti DC: quæ centra præterquam quod <foot>G</foot> <p n=>50</p> $unt omnia in axe AG, centrum L cadet infra centrum H, ex ijs, quæ in primo libro demon$traui- mus. Dico e$$e KL ad LH vt cubum ex AG ad cu- bum ex AF. Quoniam enim ob centra grauitatis <I>K</I>, H, L, e$t vt fru$tum DC ad $olidum ADE, ita ex contraria parte KH ad HL; erit componen- do, vt $olidum ABC ad $oli- dum ADE, ita KL ad LH: $ed vt $olidũ ABC ad $olidum ADE, ita e$t cubus ex AG ad cubum ex AF: triplieata enim e$t vtraque proportio eiu$- dem, quæ e$t ip$ius AG ad ip- $am AF, propter $imilitudi- nem $olidorum; vt igitur e$t cu bus ex AG ad cubum ex AF, ita erit KL ad LH. Quod demon$trandum erat. <FIG> <HEAD><I>PROPOSITIO XXVI.</I></HEAD> <p>Re$idui $olidi ex cylindro, vel portione cylin- drica hemi$phærio, vel hemi$phæroidi circum- $cripta, dempto hemi$phærio, vel hemi$phæroide, centrum grauitatis e$t punctum illud, in quo axis $ic diuiditur, vt pars ba$im attingens hemi$phæ- rij, vel hemi$phæroidis $it tripla reliquæ. <p>E$to hemi$phærio, vel hem$phæroidi ABC, cuius axis BD, circum$criptus cylindrus, vel portio cylindrica AF: & ponatur D<I>K</I> ip$ius <I>K</I>B tripla. Dico reliqui ex $oli- <p n=>51</p> do AF dempto ABC, centrum grauitatis e$$e <I>K.</I> Nam $uper ba$im circulum, vel ellip$im, cuius diameter EF $i- milem, & oppo$itam $olidi ABC, vel AF ba$i, cuius dia- meter AC, $tet cylindrus, vel portio cylindrica EDF: vt $itaxis BD communis quatuor $olidis ABC, EDF, AF, & reliquæ figuræ dempto $olido ABC compre- hen$æ $uperficie cylindrica, & circulo, vel ellip$e circa EF, & dimidia $uper$icie $phærica interiori, cuius figuræ $oli- dæ ponimus centrum grauitatis <I>K.</I> Secto igitur axe BD bifariam, & $ingulis eius partibus rur$us bifariam, ducti$que per puncta $ectionum planis quibu$dam planis <FIG> prædictarum ba$ium oppofitarum parallelis, $ecta $int qua- tuor prædicta $olida, quorum, excepto propo$ito re$iduo, $ectiones omnes erunt circuli<*>, vel ellip$es inter $e $imi- les, & in $olido AF etiam æquales, quarum omnium diametri eiu$dem rationis erunt in eodem plano, in quo $it parallelogrammum per axim AEFC: $olidiautem dicti re$idui $ectiones, re$idua $ectionum $olidi ABC. At circa cõmunes axes inter $e æquales $egmenta axis BD, & inter ead&etilde; plana parallela, $uper ba$es $ectiones duorum $olido- rum ABC, EDF, cylindri, vel portiones cylindricæ con- $i$tant altitudine, & multitudine æquales; ita vt duarum fi- gurarum ex ijs compofitarum altera fit cirdum$cripta $oli- <foot>G 2</foot> <p n=>52</p> do EDF, altera $olido ABC in$cripta. hac igitur abla- ta ex $olido AF, figura relinquetur ex re$iduis cylindro- rum, vel cylindri portionum altitudine, & multitudine æqualibus ijs cylindris, vel cylindri portionibus, ex quibus con$tat alterutra figurarum $olidis ABC, DEF circum- $criptarum: eruntque ex $uperius demon$tratis dicta re$i- dua, & cylindri vel cylindri portiones, quæ circa $olidum EDF, inter $e æqualia proutinter $e re$pondent inter ea- dem plana parallela, vt e$t exempli gratia reliquum $oli- di AN dempto $olido SR, æquale $olido TP: & $ic de- inceps: $ummus autem XF cylindrus, vel portio cylindrica <FIG> e$t communis: Atqui bina hæc iam dicta $olida centrum grauitatis habent commune communis bipartiti axis $ectio nem in eadem recta linea BD, in qua e$t etiam $olidi XF communis centrum grauitatis. duarum igitur dictarum figu rarum $olido EDF, & prædicto re$iduo circum$criptarum idem aliquod punctum in axe BD erit commune centrum grauitatis: $ieri autem pote$ts quod in $ecundo libro demon $trauimus, vt duæ dictæ figuræ $uperent vnaquæ que $ibi in- $criptam minori $pacio quantacumque magnitudine pro- po$ita. ex demon$tratis igitur in primo libro; duo $olida cir- ca axem BD in alteram partem deficientia commune ha- bebunt in axe BD centrum grauitatis: $ed $olidi, ide$t co- <p n=>53</p> ni, vel portionis conicæ EDF e$t centrum grauitatis K: reliqui igitur ex cylindro, vel portione cylindrica AF dem pto hemi$phærio, vel hemi$phæroide ABC centrum graui tatis erit idem K. Quod erat demon$trandum. <HEAD><I>PROPOSITIO XXVII.</I></HEAD> <p>Si hemi$phærium, vel hemi$phæroides vna cum cylindro, vel cylindri portione ip$i circum$cripta $ecetur plano ba$i parallelo; reliqui ex cylindro, vel portione cylindrica ab$ci$$a ad partes verti- cis, dempta illa quæ ab$ci$$a e$t $imul minori, & $phæræ, vel $phæroidis portione, centrum gra- uitatis e$t punctum illud, in quo eius axis $ic diui- ditur, vt quæ inter hanc po$tremam $ectionem, & centrum ba$is vnà ab$ci$$æ portionis interijci- tur, a$$umens quartam partem $egmenti, quod di- ctæ ba$is, & $phæræ, vel $phæroidis centra iungit, $it ad $ui $egmentum, quod inter po$tremam $e- ctionem, & quartæ partis axis hemi$phærij, vel hemi$phæroidis ad verticem ab$ci$$æ terminum interijcitur, vt cubus axis hemi$phærij, vel hemi- $phæroidis, ad cubum eius, quæ ba$is portionis & hemi$phærij, vel hemi$phæroidis centra iungit. Reliqui autem ex cylindro, vel portione cylindri- ca vnà ab$ci$$a cũ reliqua hemi$phærij, vel hemi- $phæroidis portione, quæ e$t ad ba$im, dempta hac portione centrum, grauitatis e$t punctum illud, quod quartam partem ab$cindit axis portionis ad <p n=>54</p> cius minorem ba$im terminatam. <p>E$to hemi$phærio, vel hemi$phæroidi ABC, cuius axis BD, ba$is circulus vel ellip$is, cuius diameter AC cir- cum$criptus cylindrus, vel cylindri portio AF, cuius in- <*>elligatur reliquum dempto ABC. quæ $olida $ecans pla num per AC, BD, faciat $ectiones $emicirculum, vel $e- miellip$im ABC, & parallelogrammum per axem AE FC; & per quodlibet punctum L axis BD, planum ba$ibus AC, EF $olidi AF parallelũ, $ecans prædicta $olida ABC, AF, faciat $ectiones circulos, vel ellip$es $imiles, & in $olido AF etiam æquales ijs, quæ circa AC, EF: earum autem dia- metros, $ectiones cum parallelogrãmo AEFC, ip$am GO: & cum $emicirculo, vel $emielliple ABC, ip$am HN. Ita- que habebimus figuram quandam $olidam GHBNO re$i- duum cylindri, vel portionis cylindricæ GF dempta mino- ri $phæræ, vel $phæroidis portione HBN, cuius axis erit BL. Sumpta igitur BQ quarta parte axis BD, & LP quarta par te ip$ius DL fiat vt cu bus ex BD ad cubum ex DL, ita PR ad RQ. Dico re$idui GHBNO centrum grauitatis e$$e R. Reliqui autem ex cylindro, vel portione cylindrica AO dempta portione AHNC, cen- trum grauitatis e$$e P. <FIG> Nam $uper ba$im circulum, vel ellip$im EF, $tet conus, vel portio conica EDF: $itque prædicto plano per L ab$ci$- $us conus, vel coni portio KDM, cuius axis DL, quæ pro- pter planum $ecans ba$i EF parallelum, $imilis erit toti cono, vel portioni conicæ EDF. Quoniam igitur BQ e$t axis BD pars quarta, & LP pars quarta ip$ius DL; <p n=>55</p> erunt centra grauitatis $olidorum, Q ip$ius EDF, & Pip- $ius DKM. Et quoniam $olidum DEF ad $olidum D KM e$t vt cubus ex BD ad cubum ex DL, hoc e$t vt $olidum EDF ad $olidum KLM, & vt PR ad RQ; erit diuidendo, vt fru$tum EKMF ad ablatum KDM, ita ex contraria parte PQ ad QR: cum igitur $int centra grauitatis P $olidi DKM, & Q $olidi DET; erit reliqui fru$ti EKMF centrum grauitatis R: $ed qua ratione in præcedenti con$tat, reliqui ex $olido AF, dempto $olido ABC centrum grauitatis e$$e Q, eadem concluditur idem e$$e centrum grauitatis reliqui ex $olido GF, dempta portione HBN, quod & fru$ti EKMF, nempe punctum R: Et quoniam P e$t centrum grauita- tis coni, vel portionis conicæ KDM, crit idem P centrum grauitatis ieliqui ex cylindro, vel portione cylindrica AO dempta portione AHNC. Manife$tnm e$t igitur propo$ituro. <HEAD><I>PROPOSITIO XXVIII.</I></HEAD> <p>Ij$dem po$itis $olidis, vt in antecedenti, $ectis- que per duo quælibet puncta axis duplici plano ba$i parallelo, reliqui ex cylindro, vel portione cylindrica dictis duobus planis intercepta dem- pta $phæræ, vel $phæ roidis portione ip$i inter ea- dem plana re$pondente, centrum grauitatis e$t punctum illud, in quo eius axis $ic diuiditur, vt quæ inter hanc po$tremam $ectionem, & centrum maioris ba$is vnà ab$ci$sæ portionis interijcitur, a$$umens quartam partem $egmenti, quod prædi- ctæ ba$is, & $phæræ vel $phæroidis centra iungit, <p n=>56</p> $it ad $ui $egmentum, quod inter po$tremam $ectio nem, & quartæ partis eius, quæ $phæræ, vel hemi- $phærij, & minoris ba$is portionis centra iungit ad minorem ba$im ab$ci$sæ terminum interijci- tur, vt cubus eius, quæ minoris ba$is, & $phæræ, vel $phæroidis, ad cubũ eius, qu<17> $phæræ, vel $phæ roidis, & maioris ba$is portionis centra iungit. <p>Ij$dem po$itis $olidis, vtque in antecedenti ponebantur ABC, AF; per duo quælibet puncta RQ axis BD $e- centur po$ita $olida duobus planis ba$i, quæ circa AC, cir culo $cilicet, vel ellip$i parallelis: quibus planis intercepta hemi$phærij, vel hemi$phæroidis portio $it MOPN, vnà cum cylindro, vel portione cylindrica GL parte ip$ius AF, quorũ $olidorum cõmu nis axis vnà ab$ci$$us ab axe BD $olidi AB C, $it RQ: & $umptis quartis partibus RI ip- $ius DR, & QZ ip$ius DQ, fiat vt cubus ex DQ ad cubum ex D R, ita IY ad YZ. Dico reliqui ex cylin- <FIG> dro, vel portione cylindrica GL dempta portione MOP N, centrum grauitatis e$$e Y. Facta enim con$tructione coni, vel portionis conicæ EDF, vt in $uperioribus, erunt $imilium conorum, vel coni portionum SDT, VDX, ea- dem ordine axes DQ, DR: propter igitur factas diui$io- nes, erunt c&etilde;tra grauitatis Z $olidi SDT & I $olidi VDX, & demon$tratio $imilis antecedenti. dicti igitur re$idui GMOPMH centrum grauitatis Y. Quod e$t propo- $itum. <p n=>57</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXIX.</I></HEAD> <p>Si $phæra, vel $phæroides vnà cum cylindro, vel portione cylindrica ip$i circum$cripta $ecetur plano, haud per centrum, ba$ibus $olidi circum- $cripti parallelo; reliqui ex cylindro, vel portio- ne cylindrica ad maioris portionis $phæræ, vel $phæroidis partes ab$ci$$a, dempta $phæræ, vel $phæroidis maiori portione, centrum grauita- tis e$t punctum illud, in quo dicti reliqui $olidi axis $egmentum inter duas quartas partes extre- mas $egmentorum eiu$dem axis, quæ à centro $phæræ, vel $phæroidis fiunt interiectum, $ic diui- ditur, vt pars propinquior ba$i $it ad reliquam, vt prædictorum, quæ à centro fiunt axis $egmento- rum maioris cubus ad cubum minoris. <FIG> <p>Sit $phæræ, vel $phæ- roidi ABCD cuius cen trum E, circum$criptus cylindrus, vel portio cy- lindrica FGHK, cum quibus planum per axim communem BED, fa- ciat $ectiones, parallelo- grammum per axim FG HK, & circulum, vel el- lip$im ABCD: quas fi- guras vnà cum dictis $o- <*>dis $ecans planum ba$ibus $olidi circum$cripti paralle- <foot>H</foot> <p n=>58</p> lum per quoduis punctum S dimidij axis ED, faciens- que $ectiones circulos, vel ellip$es $imiles $cilicet ba- $ibus oppo$itis $olidi FH, & $ectionum diametros LM, TV, ab$cindat $olidi ABCD maiorem portionem LBM, & $olidi FH cylindrum, vel portionem cy- lindricam TH, cuius axis BES: duorum autem $egmen- corum BE, ES $umptis duabus quartis partibus extre- mis BQ PS, fiat vt cubus ex BE ad cubum ex ES, ita PR ad RQ. Dico reliquæ figuræ ex cylindro, vel por- tione cylindrica TH, portioni LBM circumfcripta, dem pta portione LBM, centrum grauitatis e$$e R. Se- ctis enim parallelogrammo TH, & $olidis LBM, TH, plano per centrum E, ba$ibus $olidi TH parallelo, $it $e- ctio, (vna enim communis erit vtrique $olido) circulus, vel ellip$is, cuius diameter AEC in parallelogrammo T H diametris TV, GH oppo$itarum ba$ium pa- rallela. Tum $uper ba- $es oppo$itas circulos, vel ellip$es circa GH, FK $tent coni, vel portiones conicæ GEH, FEK: & planum per TV ba$i circa FK parallelum ab- $cindat à $olido FEK conum, vel coni portio- nem NEO $imilem vti- que ip$i FEK, hoc e$t <FIG> ip$i GEH, propter $imiles ba$es, & $imilia triangula per axim in eodem parallelogrammo FH. Solidi itaque NEO, ex ijs, quæ in primo libro demon$trauimus, cen- trum grauitatis erit P; quemadmodum & Q $olidi NEO. Quoniam igitur tàm $olidi GEH ad $oli- dum NEO propter $imilitudinem, quàm cubi ex BE <p n=>59</p> ad cubum ex ES, triplicata e$t proportio axis, vel la- <*>eris BE, ad axem, vel latus ES; erit vt cubus ex BE ad cubum ex ES, ita $olidum GEH ad $olidum NEO, hoc e$t in eadem proportione, quæ e$t ex contraria parte ip- $ius PR ad RQ. Cum igitur P $it centrum grauitatis $olidi NEO, & Q $olidi GEH; erit compo$iti ex vtro- que centrum grauitatis R. Rur$us, quoniam reliquum $o- lidi AH dempto hemi$phærio, vel hemi$phæroide ABC, æquale e$t $olido GEH: & reliquum $olidi TC dempto $olido ALMC æquale $olido NEO; erit vt $olidum GEH ad $olidum NEO, ide$t ex contraria parte, vt PR ad RQ, ita reliquum $olidi AH dempto ABC, ad re- liquum $olidi TC, dempto ALMC: $ed reliqui ex $oli- do AH dempto ABC e$t centrum grauitatis Q: & reli- qui ex $olido TC dempto ALMC, centrum grauitatis P, ex $uperius demon$tratis; totius igitur reliqui ex cy- lindro, vel portione cylindrica TH dempta $phæræ, vel $phæroidis maiori portione LBM centrum grauitatis e$t R. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXX.</I></HEAD> <p>Si $phæra, vel $phæroides vnà cum cylindro, vel portione cylindrica ip$i circum$cripta, $ece- tur duobus planis ba$i $olidi circum$cripti pa- rallelis, centrum intercipientibus, & ab eo non æqualiter di$tantibus; reliqui ex cylindro, vel portione cylindrica dictis planis intercepta, dem- pta portione $phæræ, vel $phæroidis ip$i re$pon- dente, centrum grauitatis e$t punctum illud, in quo prædicti reliqui $olidi axis $egmentum in- <foot>H 2</foot> <p n=>60</p> ter quartas partes extremas eiu$dem axis $eg- mentorum, quæ à centro $phæræ, vel $phæroi- dis fiunt interiectum $ic diuiditur, vt pars ma- iori ba$i propinquior $it ad reliquam, vt prædi- ctorum axis $egmentorum cubus maioris ad cu- bum minoris. <p>Ij$dem po$itis, & con$tructis, quæ in antecedenti, rur- $us per quodlibet axis BE punctum X, ductum planum ba$ibus $olidi FH parallelum, $ecansque vnà cylindrum, vel portionem cylindricam FH, & $phæram, vel $phæroi- des ABCD: e$to duobus planis per TV, ZY, inter $e pa- rallelis, & centrum E intercipientibus abci$$a $phæræ, vel $phæroidis portio L <G>d e</G> M vnà cum cylindro, vel portione cylindrica TY: & $umatur ip$ius EX pars quarta XQ, qualis e$t & PS ip$ius E S: & vt e$t cubus ex EX ad cubum ex ES, ita fiat PR ad RQ. Dico reli- qui ex cylindro, vel por- tione cylindrica TY dem pta $phæræ, vel $phæroi- dis portione L <G>d c</G> M, cen- trum grauitatis e$$e R. E$to enim conus, vel coni por- tio <G>q</G> E <G>l</G> ab$ci$$a prædi- cto plano per ZY, & com munibus axibus ES, EX, $imili igitur demon$tratio- ne antecedentis manife$tum e$t quod proponebatur. <FIG> <p n=>61</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXXI.</I></HEAD> <p>Hemi$phærij, vel hemi$phæroidis centrum grauitatis e$t punctum illud, in quo axis $it diui- ditur, vt pars ad verticem $it ad reliquam vt quin que ad tria. <p>E$to hemi$phærium, vel hemi$phæroides ABC, cuius axis BD, ba$is circulus, vel ellip$is, cuius diameter AD C: $itque $olidi ABC centrum grauitatis G, nempe in axe BD. Dico BG ad GD e$$e vt quinque ad tria. Nam circa axim BD $uper ba$im circulum, vel ellip$im cir ca AC, $tet circum$cri ptus $olido ABC cy- lindrus, vel portio cy- lindrica AE, & $ecta BD bifariam in F, rur $us FB bifariam $ece- tur in puncto H. Quo- niam igitur $olidum A BC e$t $olidi AE, $ub- $e$quialterum, erit di- <FIG> uidendo $olidum ABC reliqui ex $olido AE duplum cum igitur $int centra grauitatis, G $olidi ABC, & H prædicti reliqui, & F totius AE; quo fit vt ex con- traria parte $it vt $olidum ABC ad prædictum re$iduum, ita HF ad FG, erit HF dupla ip$ius FG; quadrupla igitur BF ip$ius FG: $ed talium quatuor partium e$t BF, qualium BD e$t octo, cum $it BF dimidia ip$ius BD; qualium igitur octo e$t BD, talium erit BG quinque, & GD trium. Quod demon$trandum erat. <p n=>62</p> <HEAD><I>ALITER.</I></HEAD> <p>Dico hemi$phærij, vel hemi$phæroidis ABC cen- trum grauitatis e$$e G. In plano enim $emicirculi, vel $e- miellip$is per axem BD de$criptæ intelligantur duæ pa- rabolæ, quarum diametri AD, DC, & communiter ad vtranque ordinatim applicata $it BD: & connectun- tur rectæ AB, BC: $umptis autem in BD tribus qui- buslibet punctis, æqualia axis $egmenta XF, FY interci- pientibus, $ecent per ea puncta tres figuras hemi$phærium, vel hemi$phæroides ABC, & $emicirculum, vel $emielli- <FIG> p$im per axem, & figuram planam ARBSC, quæ lineis pa rabolicis ARB, BSC, & recta AC continetur, pla- na quædam ba$i hemi$phærij, vel hemi$phæroidis paralle- la. Erunt igitur $ectiones hemi$phærij, vel hemi$phæroidis circuli, vel ellip$es $imiles ba$i, quarũ diametri $int KXH, LFM, N<G>*u</G>O: figuræ autem ARBSC $ectiones rectæ lineæ PXQ, RFS, TYV. Quoniamigitur per IV hu- ius e$t vt KH ad LM potentia, ita KQ ad FS hoc e$t in earum duplis PQ ad RS longitudine; erit vt PQ ad RS, ita circulus, vel ellip$is KH ad circulum vel $i- milem ellip$im LM. Eadem ratione erit vt RS ad TV, ita circulus, vel ellip$is LM ad circulum, vel <p n=>63</p> ellip$im NO. minor autem proportio e$t PQ ad RS, quàm RS ad TV circuli igitur, vel ellip$is KH ad circulũ, vel ellip$im LM, minor erit proportio <34> circuli, vel ellip$<*>s LM ad circulum, vel ellip$im NO: & duæ figuræ hemi- $phærium, vel hemi$phæroides ABC, & plana ARBSC, $unt circa axim, vel diametrum BD in alteram parte m deficientes, quales definiuimus; vtriu$que igitur dictæ fi- guræ vnum erit commune centrum grauitatis. Rur$us po$ito puncto F in medio axis BD, & FG ip$ius GE tripla, quoniam ponitur BG ad GD vt quinque ad tria; qualium partium æqualium ip$i EG e$t FG trium, ta- lium erit BG quindecim, & GD nouem, & talis EG vna: dempta igitur GE ab ip$a DG, & addita ip$i BG, qualium partium e$t BE $exdecim, talium erit ED octo; dupla igitur BE ip$ius ED, & trianguli ABC centrum grauitatis E. Rur$us quoniam ex quadratura parabolæ, duarum portionum ARB, BSC triangulum ABC e$t triplum; hoe e$t vt FG ad GE, ita ex contraria parte triangulum ABC ad duas portiones ARB, BSC: Sed trianguli ABC e$t centrum grauitatis E, & duarum por tionum ARB, BSC $imul per XXIII huius, centrum grauitatis F, totius igitur figuræ ARBSC centrum gra uitatis erit G, commune autem hoc centrum grauitatis e$t hemi$phærio, vel hemi$phæroidi ABC. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXII.</I></HEAD> <p>Omnis minoris portionis $phæræ, vel $phæroi- dis centrum grauitatis e$t in axe primum bifa- riam $ecto: deinde $ecundum centrum grauitatis reliqui $olidi dempta portione ex cylindro, vel <p n=>64</p> portione cylindrica ab$ci$$o, vel ab$ci$$a vnà cum portione, ex cylindro, vel portione cylindrica, $phær<17>, vel $phæroidis circa axim axi portionis cõ gruentem circũ$cripta; in eo puncto, in quo dimi- dius axis portionis ba$im atting&etilde;s $ic diuiditur, vt pars prima, & $ecunda $ectione terminata, $it ad totam $ecunda, & po$trema $ectione terminatam, vt rectangulum contentum axe portionis, & reli- quo $phæræ, vel $phæroidis dimidij axis $egmen- to, vnà cum duabus tertijs quadrati axis portio- nis, ad $phæræ, vel $phæroidis dimidij axis axi portionis congruentis quadratum. <p>Sit $phæræ, vel $phæroidis minor portio ABC, cuius axis BD: & in eo centrum grauitatis F: $ecto autem axe BD primum bifariam in puncto G, & rur $us BG in puncto H centro grauitatis reliqui dempta por- tione ex cylindro, vel portione cylindrica KL circa axim BD, ab$ci$$o, vel ab$ci$- $a codem plano cum <FIG> portione ABC, & cylindro, vel portione cylindri- ca, quæ circum$criberetur $phæræ, vel $phæroidi, cu- ius e$t portio ABC, circa axim, cuius dimidium BDE. Dico GH ad HF, (nam cadet centrum F infra biparti- ti axis BD $ectionem G, ex XXIII huius) e$$e vt rectan- gulum BDE vnà cum duabus tertijs BD quadrati ad quadratum BE. Quoniam enim totius $olidi KL cen- <p n=>65</p> trum grauitatis e$t G, & F portionis ABC, & H reliqui ex KL dempta ABC portione; erit vt portio ABC ad prædictum re$iduum, ita ex contraria parte HG ad GF: & componendo, vt $olidum KL ad prædictum re$iduum, ita HF ad FG: & per conuer$ionem rationis, vt $olidum KL ad portionem ABC, ita FH ad HG: & conuerten do, vt portio ABC ad $olidum KL, ita GH ad HE: $ed vt portio ABC ad $olidum KL, ita e$t rectangulum BDE vnà cum duabus tertiis quadrati BD ad quadra- tum EB; vt igitur rectangulum BDE, vnà cum duabus tertiis quadrati BD, ad quadratum EB, ita erit GH ad HF. Quod demonftrandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXIII.</I></HEAD> <p>Omnis portionis $phæræ, vel $phæroidis ab$ci$ $æ duobus planis parallelis, altero per centrum acto, centrum grauitatis e$t in axe primum bifa- riam $ecto: deinde $umpta eius quarta parte ad minorem ba$im; in eo puncto, in quo dimidius axis maiorem ba$im attingens $ic diuiditur, vt pars axis prima, & $ecunda $ectione terminata, $it ad eam, quæ prima, & po$trema $ectione ter- minatur, vt rectangulum contentum $phæræ, vel $phæroidis axis axi portionis congruentis ijs $eg- mentis, quæ fiunt à centro minoris ba$is portio- nis, vnà cum duabus tertiis quadrati axis portio- nis; ad$phæræ, vel $phæroidis dimidij axis qua- dratum. <p>Sit $phæræ, vel $phæroidis cuius centrum E portio <foot>I</foot> <p n=>66</p> ABCD ab$ci$sa duobus planis parallelis altero ducto per E, & $ectionem faciente circulum maximum, vel ellip$im per centrum, cuius diameter AED: axis autem portionis $it EF, cui congruens $phæræ, vel $phæroidis axis GFER: $it autem FE bifariam $ectus in puncto H: & FH bifariam in puncto K, $itque in EH, $ic enim erit, portionis ABCD centrum grauitatis L. Dico e$$e HK ad KL, vt rectangulum GFR, vnà cum duabus tertiis quadrati EF ad quadratum EG. Sit enim cylindrus, vel portio cylindrica AM circa axim FE ab$ci$$a ij$dem pla- nis cum portione AB CD, ex cylindro, vel portione cylindrica cir ca axim GR $phæ- ræ, vel $phæroidi AG DR circum$cripta. Quoniam igitur $olidi AM e$t centrum gra- uitatis H: reliqui au- tem dempta ABCD portione centrum gra- uitatis K: & portionis ABCD ponitur cen- trum grauitatis L; erit <FIG> vt portio ABCD ad reliquum $olidi AM, ita ex con- traria parte KH ad HL. componendo igitur vt in antece- denti, & per conuer$ionem rationis, & conuertendo, erit vt portio ABCD ad $olidum AM; hoc e$t vt rectangu- lum GFR, vnà cum duabus tertiis quadrati EF ad qua- dratum EG, ita HK ad KL. Quod demon$trandum erat. <p n=>67</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXXIIII.</I></HEAD> <p>Omnis portionis $phæræ, vel $phæroidis ab- $ci$$æ duobusplanis parallelis, neutro per cen- trum acto, nec centrum intercipientibus, centrum grauitatis e$t in axe, primum bifariam $ecto: de- inde $ecundum centrum grauitatis reliqui dem- pta portione ex cylindro, vel portione cylindrica, ab$ci$$o, vel ab$ci$$a vnà cum portione à cylin- dro, vel portione cylindrica $phæræ, vel $phæroi- di circa eius axem axi portionis congruentem cir- cum$cripta; in eo puncto, in quo dimidius axis portionis maiorem ba$im attingens $ic diuiditur, vt pars prima & $ecunda $ectione terminata $it ad eam, quæ prima, & po$trema $ectione terminatur, vt duo rectangula, alterum contentum duobus $phæræ, vel $phæroidis axis axi portionis cõgruen tis ijs $egmentis, quæ fiunt à centro minoris ba$is portionis: alterum axe portionis, & $egmento, quod $phæræ, vel $phæroidis, & maioris ba$is por- tionis centra iungit, vnà cum duabus tertiis qua- drati axis portionis, ad $phæræ vel $phæroidis di- midij axis quadratum. <p>Sit $phæræ, vel $phæroidis, cuius centrum E portio ABCD, ab$ci$$a duobus planis parallelis, neutro per E tran$eunte, nec E intercipientibus: portionis autem axis $it FS: maior ba$is circulus, vel ellip$is, cuius diame- <foot>I 2</foot> <p n=>68</p> ter AD: & circa axim EF, $tet cylindrus, vel portio cylin- drica MN ab$ci$$a ij$dem planis cum portione ABCD ex cylindro, vel portione cylindrica, $phæræ, vel $phæroidi BCR circa eius axim CFSR circum$cripta, cuius $it cen trum grauitatis H, ac propterea $ecta FS bifariam in pun cto H. reliqui autem dempta portione AB CD ex $olido MN $it centrum grauitatis K, quod cadet in FH, & portionis ABCD cen trum grauitatis in ip$a HS cadet, quod $it L. Dico e$$e HK ad KL, vt duo rectangula GF R, FSE, vnà cum duabus tertiis quadra- ti FS, ad quadratum EG. Quoniam enim <FIG> $imiliter vt ante o$tenderemus e$$e HK ad KL, vt e$t portio ABCD ad $olidum MN: $ed portio ABCD ad $olidum MN, e$t vt duo rectaugula GFR, ESF, vnà cum duabus tertiis quadrati FS, ad quadratum EG; vt igitur duo prædicta rectangula, vnà cum duabus tertiis quadrati FS ad quadratum EG, ita erit HK ad KL. Quod erat demon$trandum. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXV.</I></HEAD> <p>Omnis maioris portionis $phæræ, vel $phæroi- dis centrum grauitatis e$t in axe, primum bifa- riam $ecto: deinde $ecundum centrum grauitatis reliqui dempta portione ex cylindro, vel portione <p n=>69</p> cylindrica, ab$ci$$o, vel ab$ci$$a vnà cum portio- ne, à cylindro, vel portione cylindrica, $phæræ, vel $phæroidi circa eius axim axi portionis cõgruen- tem circum$cripta; in eo puncto, in quo axis portio nis $ic diuiditur, vt pars prima, & $ecunda $ectione terminata $it ad eam, quæ prima & po$trema $e- ctione terminatur, vt $olidum rectangulum ex axe portionis, & reliquo $egmento axis $phæræ, vel $phæroidis axi portionis congruentis, & eo, quod $phæræ, vel $phæroidis, & ba$is portionis centra iungit, vnà cum binis tertijs duorum cuborum; & eius, qui à $phæræ, vel $phæroidis axis fit dimi- dio: & eius, qui ab ea, quæ $phæræ, vel $phæroidis, & ba$is portionis centra iungit; ad $olidum rectan gulum, quod duobus $phæræ, vel $phæroidis præ- dicti axis dimidijs, & axe portionis continetur. <FIG> <p>Sit $phæræ, vel $phæ roidis, cuius centrum E maior portio ABC, cuius axis BD, ba$is circulus, vel ellip$is, cu ius diameter AC: & circa axem BD $tet cylindrus, vel portio cylindrica KL, ab$ci$ $a eodem plano cum portione ABC, ex cy- lindro, vel portione cy lindrica, $phæræ, vel $phæroidi ABCR circa eius axim BDR circum$cripta, <p n=>70</p> & $ecta BD bifariam in puncto H: deinde $ecundum G in ip$a BH, centrum grauitatis reliqui dempta portione ex $olido KL, $it portionis ABC in ip$a DH centrum gra uitatis F, per vim XXXVII $ecundi. Dico e$$e HG ad GF, vt $olidum rectangulum ex BD, DR, DE vnà cum bini<*> tertiis duorum cuborũ ex BE, ED, ad $oli- dum rectangulum ex BD, BE, ER. Simi liter enim vt $upra de- mon$trato e$$e vt HG ad GF, ita portionem ABC ad $olidũ KL; quoniamportio ABC ad $olidum KL e$t vt $olidum ex BD, DR, DE, vnà cum binis ter tiis duorum cuborũ ex BE, & ED, ad $oli- <FIG> dum ex BD, BE, ER; erit vt modo dicta antecedens magnitudo ad dictam con$equentem, ita HG, ad GF. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXVI.</I></HEAD> <p>Omnis portionis $phæræ, vel $phæroidis ab- $ci$$æ duobus planis parallelis centrum interci- pientibus, & ab eo non æqualiter di$tantibus, cen trum grauitatis e$t in axe, primum bifariam $ecto: deinde $ecundum c&etilde;trum grauitatis reliqui dem- pta portione ex cylindro, vel portione cylindrica, ab$ci$$o, vel ab$ci$$a vnà cum portione, à cylin- <p n=>71</p> dro, vel portione cylindrica, $phæræ, vel $phæroi- di circa eius axim axi portionis congruentem cir- cum$cripta; in eopuncto, in quo maius $egmen- tum axis portionis corum, quæ à centro fiunt $ic diuiditur, vt pars prima & $ecunda $ectione termi nata $it ad eam, quæ prima, & po$trema $ectione terminatur, vt duo $olida rectangula; & quod fit ex duobus $phæræ, vel $phæroidis axis axi portio- nis congruentis ijs $egmentis, quæ fiunt à centro maioris ba$is portionis, & ea, quæ maioris ba$is & $phæræ, vel $phæroidis centra iungit: & quod ex $phæræ, vel $phæroidis eiu$dem axis $egmentis à centro minoris ba$is factis, & ea, quæ minoris ba $is, & $phæræ, vel $phæroidis centra iungit, vnà cum binis tertiis partibus duorum cuborum exijs $egmentis axis portionis, quæ à centro $phæræ, vel $phæroidis fiunt; ad $olidum rectãgulum quod duobus $phæræ, vel $phæroidis prædicti axis dimi dijs, & axe portio- nis continetur. <FIG> <p>Sit $phæræ, vel $phæ roidis, cuius centrum E, portio ABCD, ab $ci$$a duobus planis pa rallelis centrum E in- tercipientibus, & ab eo non æqualiter di$tan- tibus: axis autem por- tionis $it GH: maior <p n=>72</p> ba$is circulus, vel cllip$is, cuius diameter AD. minor aut&etilde;, cuius diameter ABC: & circa axim GH, $tet cylindrus, vel portio cylindrica NO, ab$ci$$a ij$dem planis cum por- tione ABCD, ex cylindro, vel portione cylindrica $phæ- ræ, vel $phæroidi BCR circa axim FGHR circum$cri- pta, cuius $it centrum grauitatis K, $ectio $cilicet bipartiti axis GH: reliqui autem ex $olido NO dempta portione, $it centrum grauitatis L, nempe in axis GH $egmento GK, quod minorem portionis ba$im attln- git: portionis autem ABCD $it centrum grauitatis M: quod qui dem in reliquo $eg- mento KH cadet. Dico e$$e KL ad LM, vt duo $olida rectan- gula ex FH, HR, EH, & ex RG, GF, GK, vnà cum binis tertiis duorum cuborum ex EG, EH; ad $olidum <FIG> rectangulum ex GH, EF, ER. Similiter enim vt $upra demon$trato e$$e vt KL ad LM, ita portionem ABCD ad $olidum NO; quoniam portio ABCD ad $olidum NO, e$t vt duo $olida rectangula ex GH, HR, EH, & ex RG, GF, EG, vnà cum binis tertiis duorum cubo- rum ex EH, EG ad $olidum ex GH, EF, ER, erit vt totum iam dictum antecedens ad dictum con$equens, ita KL ad LM. Quod demon$trandum erat. <p n=>73</p> <HEAD><I>PROPOSITIO XXXVII.</I></HEAD> <p>Omnis portionis conoidis parabolici centrum grauitatis e$t punctum illud, in quo axis $ic diui- ditur, vt pars quæ ad verticem $it eius, quæ ad ba- $im dupla. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXVIII.</I></HEAD> <p>Omnis fru$ti portionis conoidis parabolici cen trum grauitatis e$t punctum illud, in quo axis $ic diuiditur, vt pars minorem ba$im attingens $it ad reliquam, vt duplum maioris ba$is vnà cum mino ri, ad duplum minoris, vnà cum maiori. <p>Harum proportionum vtriu$que non alia demon$tratio e$t ab ea, quam in $ecundo $crip$imus de centro grauitatis conoidis parabolici, & eius fru$ti: propterea quod omnis por tionis conoidis parabolici, $icut & hyperbolici $ectio ba$i parallela ellip$is e$t $imilis ba$i. Ex corollario xv. de conoi- dibus, & $phæroidibus Archimedis. <HEAD><I>PROPOSITIO XXXIX.</I></HEAD> <p>Omnis conoidis hyperbolici, vel portionis hy- perbolici conoidis centrum grauitatis, e$t pun- ctum illud, in quo duodecima pars axis ordine quarta ab ea, quæ ba$im attingit, $ic diuiditur, vt pars propinquior ba$i $it ad reliquam vt $e$quial- <foot>K</foot> <p n=>74</p> tera tran$uer$i lateris, hyperboles per axem, ad axem cono<*>dis. <FIG> <p>Sit conoides hyperbolicum, vel portio conoidis hyper- bolici ABC, cuius axis BD, qui in portione non erit ad ba $im perpendicularij: ba$is autem dicti conoidis, vel portio- nis $it circulus, vel ellip$is, cuius diameter ADC: & hyper- boles ABC, quæ vel conoides de$cribit, vel e$t $ectio tan- tummodo per axem, cuius tran$uer$um latus $it BE, & <p n=>75</p> huius $e$quialtera BEF: & $umpta axis BD quarta par- te DF. & tertia DG: qua ratione erit FG duode cima pars axis BD quarta ab ea, cuius terminus D; f<*>at vt IB ad BD, ita FH ad HG. Dico conoidis, vel portio- nis ABC centrum grauitatis e$$e H. Nam vt e$t EB ad BD ita fiat DK ad KA: & ponatur KDY $e$qui- altera ip$ius DK, & ex AK ab$cindatur KM $ub$e$- quialtera ip$ius AK: & ip$is DK DM, DA, æquales eodem ordine ab$cindantur DL, DN, DC: & de$cri- bantur triangula, KBL, MBN: & per puncta ABC vertice communi B, tran$eant duæ $ectiones parabolæ AOB, & BPC, ita vt contingat recta BK parabolam AOB, recta autem BL parabolam BPC; $it autem AKLC, parabolarum diametris parallela,. Deinde $ecto axe BD bifariam, & $ingulis eius partibus rur$us bi- fariam in quotlibet partes æquales, $int ex illis duæ partes DQ, QF: & per puncta QF planis quibu$dam ba$i parallelis $ecentur vnà $olidum & hyperbole ABC: $intque hyperboles $ectiones, quæ continent $ectiones trian gulorum ABC mixti, & rectilinei KBL, rectæ RTX ZVS: <G>agezdb</G>. $olidi autem ABC $ectiones erunt cir- culi, vel ellip$es $imiles ba$i circa diametros RS, <G>ab</G>. Quoniam igitur e$t vt <G>*u</G>K ad KD, ita AK ad KM; vtrobique enim e$t proportio $e$quialtera: erit permutan- do vt YK ad A<I>K</I>, hoc e$t vt IB ad BD, vel FH, ad HG, ita D<I>K</I> ad <I>K</I>M, hoc e$t triangulum BDK ad triangulum BKM, hoc e$t ad æquale huic ex demon- $tratis triangulum A<I>K</I>B mixtum: hoc e$t in duplis ita, triangulum BKL ad duo mixta rriangula AKB, BLC $imul. $ed duorum triangulorum AKB, BLC $imul e$t centrum grauitatis F, vt in hoc tertio libro demon$tra- uimus: trianguli autem BKL, vt in primo, centrum gra- uitatis G; totius igitur trianguli ABC centrum graui- tatis erit H. Rur$us quoniam e$t vt BD ad BQ hoc <foot>K 2</foot> <p n=>76</p> e$t vt rectangulum EBD ad rectangulum EBQ, ita DK ad QX: & vt quadratum BK ad quadratum BX, hoc e$t vt quadratum BD ad quadratum BQ, ita e$t A<I>K</I> ad TX; erunt octo magnitudines quaternæ propor- <FIG> tionales; $ed & earum primæ, & tertiæ $unt proportiona- les; nam e$t vt EB ad BD, hoc e$t vt rectangulum EBD prima in primis ad quadratum BD primam in $ecundis, <*>a D<I>K</I> tertia in primis ad AK tertiam in $ecundis; vt <p n=>77</p> igitur compo$ita ex primis vtriu$que ordinis ad compo- $itam ex $ecundis, ita erit compo$ita ex tertiis ad com- po$itam ex quartis; videlicet vt rectangulum BDE, quod æquale e$t rectangulo EBD vna cum quadrato BD, ad rectangulum BQE, quod æquale e$t rectangulo EBQ vnà cum quadrato BQ, ita erit tota AD ad totam TQ. Sed vt rectangulum BDE ad rectangulum BQE ita e$t AD quadratum, ad quadratum RQ, hoc e$t ita circu- lus, vel ellip$is circa AC, ad circulum, vel $imilem illi ellip$em circa RS; vtigitur AD ad TQ, hoc e$t in ea- rum duplis vt AC ad TV, ita erit circulus, vel ellip$is circa AC ad circulum, vel ellip$em circa RS. Similiter o$tenderemus e$$e vt AC ad <G>gd</G>, ita circulnm, vel elli- p$im circa AC, ad circulum, vel ellip$em, circa <G>ab</G>: con- uertendo igitur, & ex æquali erunt binæ in eadem propor- tione, vt <G>gd</G> ad TV, ita circulus, vel ellip$is circa <G>ab</G> ad circulum, vel ellip$im circa RS: & vt TV ad AC, ita circulus, vel ellip$is circa RS ad circulum, vel ellip$im circa AC. Rur$us, quoniam tres rectæ lineæ incipienti à minima <G>ge</G>, TX, A<I>K</I> $unt binæ $umptæ proportio- nales quadratis ex B<G>e</G>, BX, B<I>K</I>, hoc e$t quadratis ex F<G>e</G>, QX, DK; duplicata erit proportio <G>ge</G> ad TX ip- $ius F<G>e</G> ad QX, & TX ad AK duplicata ip$ius QX ad D<I>K</I>: $ed rectæ F<G>e</G>, QX, DK, $e$e æqualiter excedunt, vtpote proportionales ip$is BF, BQ, BD, propter $i- militudinem triangulorum; minor igitur proportio erit <G>g</G>F ad TQ, quàm TQ ad AD: quare his proportiona- lium minor erit proportio circuli, vel ellip$is circa <G>ab</G> ad circulum, vel cllip$im circa RS, quàm circuli, vel elli- p$is circa RS, ad circulum, vel ellip$im, circa AC. Similiter quæcumque $ectiones per prædicta axis, vel dia- metri BD puncta $ectionum fierent vt dictum e$t ad ver- ticem retrocedenti o$tenderentur quælibet ternæ inter $e proximæ, binæque $umptæ vtriu$que ordinis proportio- <p n=>78</p> nales e$$e, & minor proportio vtrobique minimæ ad me- diam quàm mediæ ad maximam; per XXXII igitur $e- cundi, triangulum mixtum, & $olidum ABC, in huius axe illius autem diametro BD commune habebunt cen- <FIG> trum grauitatis. $ed demon$trauimus H centrum grauita- tis trianguli ABC; conoidis igitur vel portionis ABC centrum grauitatis erit idem H. Quod demon$trandum erat. <p n=>79</p> <p>Et hic huius tertij Libri finis e$$et; ni$i $ecundo iam im- pre$$o, alia quædam via magis naturalis me ad conoidis hy perbolici centrum grauitatis reduxi$$et. Ea igitur in $ecun dum librum aliàs in$erenda, nunc in $equenti appendice $eptem propo$itionibus expo$ita, per $ectionem prædicti conoidis in conoides parabolicum eodem vertice, & circa eundem axim, & reliquam figuram $olidam, ab$que com- po$ito ex duabus figuris circum$criptis, quæ ex cylindris componuntur, propo$itum concludat. <HEAD>APPENDIX.</HEAD> <HEAD><I>PROPOSITIO I.</I></HEAD> <p>Si $int octo magnitudines quaternæ totæ, & ablatæ proportionales, fue- rint autem, & primarum vtriu$que ordinis ablatæ ad reliquas propor- tionales; erunt vtriu$que ordinis re liquæ proportionales. <FIG> <p>Sint octo magnitudines quaternæ proportionales, ac primi quidem ordi- nis totæ, vt AB ad CD, ita EF ad GH: $ecundi autem ordinis ablatæ, vt B ad D, ita F ad H: $it autem vt B ad A ita F ad E. Dico & reliquas e$$e proportionales, videlicet vt A ad C, ita E ad G. Quoniam enim com ponendo, & conuertendo e$t vt A ad AB, ita E ad EF: $ed vt AB ad <p n=>80</p> CD, ita e$t EF ad GH; erit ex æquali vt A ad CD, ad E ad GH: & conuertendo vt CD ad A, ita GH ad E: & per- mutando CD ad GH, ita A ad E. Rur$us quoniam e$t vt A ad B ita E ad F: & vt B ad D, ita F ad H; erit ex æquali, vt A ad D ita E ad H: $ed vt CD ad A, ita erat GH ad E; ex æquali igitur erit vt CD ad D ita GH ad H: & permutando vt CD ad GH, ita D ad H, & reli- qua C ad reliquam G: $ed vt CD ad GH ita erat A ad E; vt igitur A ad C ita erit E ad G. Quod demon$trandum erat. <FIG> <HEAD><I>PROPOSITIO II.</I></HEAD> <p>Si circa datæ hyperboles communem diame- trum parabola de$cripta illius ba$im ita diuidat, vt quadratum dimidiæ ba$is parabole ad reli- quum quadrati dimidiæ ba$is hyperboles eam habeat proportionem, quam tran$uer$um latus ad diametrum hyperboles; omnes in hyperbole ad diametrum ordinatim applicatas ita $ecabit, vt exce$$us, quibus quadrata in hyperbole appli- catàrum $uperant quadrata in parabola ex $ectio- ne applicatarum, inter $e $int vt quadrata diame- tri partium inter applicatas, & verticem inter- iectarum. <p>E$to hyperbole ABC, cuius diameter BD, tran$uer- <p n=>81</p> uer$um latus EB. & po$itis in ip$a, BD duobus pun- ctis quibuslibet GH, ordinatim applicentur MG, NH: & circa diametrum BD $it de$cripta parabola KBL tali- ter vt ip$ius dimidiæ ba$is DK quadratum ad reliquum quadrati AD, $it vt EB ad BD, & rectas MH, NG in infinitum productas $ecet parabola KBL in punctis OP. Dico puncta OP intra hyperbolem cadere: & reli- quum quadrati MG dempto quadrato GO ad reliquum quadrati NH dempto quadrato PH, e$$e vt quadratum BG ad quadratum BH. Quoniam enim ponitur vt EB ad B D, hoc e$t vt rectan- gulum EBD ad qua- dratum BD, ita qua- dratum DK ad reli- quum quadrati AD, erit componendo, & conueniendo, vt rectã gulum BDE ad re- ctangulum EBD, ita quadratum AD ad quadratum DK: $ed vt rectangulum BGE ad rectãgulum BDE, <FIG> ita e$t quadratum MG ad quadratum AD; ex æquali igitur, vt rectangulum BGE ad rectangulum EBD, ita e$t quadratum MG ad quadratum DK: $ed vt rectan- gulum EBD ad rectangulum EBG, ita e$t quadratum DK ad GO quadratum; ex æquali igitur vt rectangu- lu m BGE ad rectangulum EBG, ita erit quadratum MG ad quadratum GO: $ed rectangulum BGE maius e$t totum parte rectangulo EBG; quadratum igitur MG quadrato GO maius erit, & recta MG maior quàm <foot>L</foot> <p n=>82</p> GO: $ecat igitur parabola KBL rectam MG in puncto O. Similiter o$tenderemus candem parabolam $ecare quamcumque aliam in hyperbole ABC ordinatim ad dia metrum applicatarum. Quoniam igitur $unt octo magni tudines quaternæ totæ, & ablatæ proportionales; ac pri- mi quidem ordinis, vt rectangulum BDE ad rectangu- lum BGE, ita quadratum AD ad quadratum MG: $e- cundi autem ordinis, vt rectangulum EBD ad rectangu- lum EBG ita quadra tum DK ad quadra- tum OGD: $ed vt EB ad BD, hoc e$t vt ablata primæ in pri mis rectangulum EB D ad reliquum BD quadratum, ita poni- tur ablata primæ in $e cundis, quadratum D K ad reliquum exce$ $um, quo quadratum AD $uperat quadra- tum DK; vt igitur e$t reliqua primæ ad reli- quam $ecundæ in pri- <FIG> mis, ita erit in $ecundis; videlicet vt quadratum BD ad quadratum BG, ita reliquum quadrati AD dempto qua- drato DK, ad reliquum qua rati MG dempto quadra- to GO. Similiter o$tenderemus reliquum quadrati AD dempto quadrato DK ad reliquum quadrati NH dem- pto quadrato PH, e$$e vt quadratum BD ad quadra- tum BH; conuertendo igitur, & ex æquali erit vt qua- dratum BG ad quadratum BH, ita reliquum quadra ti MG dempto quadrato GO, ad reliquum ouadiat<*> <p n=>83</p> NH dempto quadrato PH. Quod demon$trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO III.</I></HEAD> <p>Omne conoides hyperbolicum diuiditur in conoides parabolicum circa eundem axim, & re- liquam figuram quandam, ad quam conoides pa- rabolicum eam habet proportionem, quam$e$qui altera tran$uer$i lateris hyperboles, quæ conoides de$cribit, ad axem conoidis. <FIG> <p>Sit conoides hyperbolicum ABC, cuius axis BD: hy- perboles autem, quæ conoides de$cribit tran$uer$um latus EB, cuius $it $e$quialtera BEF: & ab$ci$$a DG, ita vt quadratum ex ip$a ad reliquum quadrati AD $it vt EB ad BD, vertice B circa diametrum BD de$cripta $it <foot>L 2</foot> <p n=>84</p> parabola GBH, eaque circumducta conoides GBH, Dico conoides GBH comprehendi à conoide ABC & e$$e ad illius reliquum, vt FB ad BD. Ab$ci$$a enim DK ita potentia $it ad DG, vt DB ad BE longitudine, circa axim BD de$cribatur conus KBL: & $ecta BD in multas partes æquales, ducto$que per ea puncta planis quibu$dam ba$i parallelis, $ecentur tria dicta $olida, conus $cilicet & vtrumque conoides: & $uper $ectiones circulos de$cribantur cylindri æqualium altitudinum terni cuca <FIG> communes axes partes æquales, in quas axis BD diui$us fuit, & inter eadem plana parallela: & omnino triplex figura ex cylindris, quos diximus $it tribus dictis $olidis circum$cri pta: $intque circa duos axes infimos DM, MN terni cylin- dri AO, GP, KQ: & proxime ordine ip$is re$pondentes cylindri TX, SV, RZ, quorum ba$es circa diametros TI, S<G>b</G>, R<G>a</G>, communes $ectiones plani per punctum M, cum tribus $olidorum $ectionibus per axem, triangulo $cili- cet, parabola, & hyperbole in eodem plano, atque ideo tres <p n=>85</p> diametri TI, S<G>b</G>, R<G>a</G>, erunt in vna recta linea. Quoniam igitur e$t vt EB ad BD, ita quadratum DG ad reliquũ quadrati AD, $ecabit parabola GBH omnes in hyperbo- le ABC ad diametrum ordinatim applicatas, quare conoi des ABC comprehendet conoides GBH: atque ita para- bola $ecabit, vt exce$$us quibus quadrata in hyperbole ap- plicatarum $uperant partes quadrata in parabola applicata rum, inter $e $int vt quadrata partium diametri BD inter applicatas & verticem interiectarum, prout vt inter $e re$põ dent: vt igitur e$t quadratum BD ad quadratum BM, hoc e$t vt quadratum DK ad quadratum RM, ita erit reliquũ AD quadrati dempto quadrato DG ad reliquum quadrati TM dempto quadrato SM, & permutando. Sed quia qua- dratum DG ad reliquum quadrati AD, & ad quadratum DK eandem habet proportionem ex vi con$tructionis, reli quum quadrati AD, dempto quadrato DG æquale e$t quadrato DK; reliquum igitur quadrati TM dempto qua drato SM æquale erit quadrato RM: $i igitur vtri$que ad- dantur $ingula communia, vnis quadratum DG, alteris quadratum SM, erit & quadratum AD æquale duobus quadratis GD, DK, & quadratum TM duobus quadra tis SM, MR æquale. $ed cum cylindri eiuidem altitudi- nis inter $e $int vt ba$es, $unt vt quadrata, quæ ab eorundem ba$ium $emidiametris fiunt; cylindiusigitur AO æqualis e$t duobus cylindris GP, KQ: & cylindrus TX duobus cylindris S<G>*u</G>, RZ æqualis. Eadem ratio e$t de reliquis deinceps. Tota igitur figura conoidi ABC circum$cripta, vtrique $imul, conoidi GBH, & cono KBL circum$cri- ptæ æqualis erit. po$$unt autem eæ figuræ ita e$$e dictis $oli- dis circum$criptæ per ea quæ alibi o$tendimus, vt $uperent in$criptas minori $pacio quantacumque magnitudine pro- po$ita; per tertiam igitur $ecundi, conoides ABC vtrique $imul, conoidi GBH, & cono KBL æquale erit. dempto igitur cõmuni conoide GBH, reliquum $olidũ AGBHC <p n=>86</p> æquale erit cono KBL. Rur$us quia e$t vt EB ad BD, ita quadratum GD ad quadratum DK, hoc e$t circulus cir- ca GH ad circulum circa KL, hoc e$t conus GBH $i de$cribatur ad conum KBL: $ed vt FB ad BE ita e$t co- noides GBH ad conum GBH; ex æquali igitur erit vt FB ad BD, ita conoides GBH ad conum KBL, hoc e$t ad $olidum AGBHC. Manife$tum e$t igitur propo$itũ. <HEAD><I>COROLLARIVM.</I></HEAD> <p>Ex huius Theorematis demon$tratione manife $tum e$t, ij$dem po$itis cylindros deficientes, ex quibus con$tat exce$$us, quo figura conoidi hyper bolico circum$cripta $uperat circum$criptam co- noidi parabolico, ita $e habere, vt quorumlibet trium inter $e proximorum minor proportio $it minimi ad medium, quam medij ad maximum: æquales enim $unt $inguli $ingulis cylindris, ex quibus con$tat figura cono BKL circum$cripta, qui $unt inter eadem plana parallela. Quod $i ita e$t, $imul illud manife$tum erit, & ex hoc, & ex ijs, quæ in $ecundo libro demon$trauimus; præ- dictum exce$$um ex tot cylindris deficientibus eiu$dem altitudinis, quos diximus componi po$$e, vt ip$ius centrum grauitatis in axe BD di$tet à centro grauitatis coni KBL, hoc e$t à puncto in quo axis BD $ic diuiditur, vt pars, quæ ad ver- ticem $it reliquæ tripla, ea di$tantia, quæ minor $it quantacum que longitudine propo$ita. <p n=>87</p> <HEAD><I>PROPOSITIO IIII.</I></HEAD> <p>Si conoidi parabolico figura circum$cribatur, & altera in$cribatur ex cylindris æqualium alti- tudinum, binis circa communes axes $egmenta axis conoidis, & inter eadem plana parallela, mi- nimo circum$criptorum ad nullum relato; omnia re$idua cylindrorum figuræ circum$criptæ dem- ptis figuræ in$criptæ cylindris, & inter $e, & mi- nimo cylindro æqualia erunt. <p>Sit conoidi parabolico ABC, cuius axis BD circum- $cripta figura ex quotcumque cylindris æqualium altitu- dinum, quorum tres deinceps $int EL minimus $upremus, & GQ, IR, quorum ba$es eodem ordine circuli, quorum $emidiametri ad parabolæ, quæ figuram de$cribit diame- trum BD ordi- natim applicatæ $int EF, GH, IK: & in duplos cre- $centibus cylin- dris circa priorũ axium duplos a- xes BH, IK, HD, & <*>c deinceps quotcumque plu res e$sent; $it co- noidi ABC in- <FIG> $cripta figura ex cylindris æqualium altitudinum inter $e, & circum$criptis. Bini itaque circa communes axes inter ea- dem plana parallela interijcientur, minimo EL ad nullum <p n=>88</p> relato: huic autem proximus, & æqualis cylindrorum in- $criptorum $it NM ba$im ip$i communem habens circu- lum circa EFM: & con$equenti circum$criptorum GQ $it. in$criptorum æqualis PO ba$im habens ip$i commu- nem circulum circa GHO: $int autem circulorum qui $unt ba$es cylindrorum diametri in parabola per axim: quæ quoniam $unt communes $ectiones cum parabola per axim planorum ba$i conoidis, & inter $e parallelorum, erunt etiam ip$æ inter $e, & parabolæ ba$i AC parallelæ, earumque dimidiæ vt EF, GH ad diametrum BD or- dinatim applicatæ. Quoniam igitur in parabola ABC e$t vt HB ad BF ita quadratum GH ad quadratum EF, duplum erit quadratum GH quadrati EF: qua re & circulus cir- ca GO circuli circa EM at que adeo cylindrus GQ cylindri E L duplus, pro- pter <17>qualitatem altitudinum: $ed & cylindrus NL <FIG> duplus e$t cylindri EL per con$tructionem; cylindrus igi- tur GQ æqualis e$t cylindro NL: & ablato communi NM cylindro, reliquus GQ deficiens cylindro NM cylindro EL æqualis. Rur$us quia e$t vt KB ad BH, ita quadratum IK ad quadratum GH, hoc e$t ita IR cylindrus ad cylindrum GQ: $ed vt HB ad BF ita erat cylindrus GQ ad cylindrum EL; tres igitur cy- lindri IR, GQ, EL, tribus lineis BK, BH, BF, eodem ordine proportionales erunt: $ed tres eædem lineæ $e$e æqualiter excedunt; tres igitur dicti cylindri $e$e æqua- <p n=>89</p> liter excedent, hoc e$t reliquum cylindri IR dempto cylin- dro PO æquale erit reliquo cylindri GQ dempto cylin- dro NM, & reliquum cylindri GQ dempto cylindro NM æquale cylindro EL. Similiter ad reliquos cylindros quotcumque plures e$$ent de$cendentes o$tenderemus, om nes exce$$us, quibus cylindri circum$cripti in$criptos $uperant $ibi quique re$pondentes inter $e & cylindro EL æquales e$$e. Manife$tum e$t igitur propo$itum. <HEAD><I>PROPOSITIO V.</I></HEAD> <p>Dato conoide hyperbolico, & ip$ius conoi- de parabolico circa eundem axim, quod ad reliquum hyperbolici conoidis eam proportio- nem habeat, quam $e$quialtera tran$uer$i late- ris hyperboles, quæ conoides de$cribit, ad axim conoidis; fieri pote$t vt conoidi parabolico fi- guræ quædam in$cribatur, & altera circum$cri- bantur vt $upra factum e$t, & hyperbolico alio cir cum$cribatur omnes ex cylindris æqualium al- titudinum multitudine æqualibus exi$tentibus ijs, ex quibus con$tant figuræ conoidibus cir- cum$criptæ, ita vt exce$$us, quo figura conoidi parabolico circum$cripta in$criptam $uperat, quem breuitatis cau$a voco exce$$um primum, ad exce$$um, quo figura conoidi hyperbolico cir- cum$cripta $uper<*>t circum$criptam parabolico, quem voco exce$$um $ecundum, minorem habeat proportionem quacum que propo$ita. <foot>M</foot> <p n=>90</p> <p>Sit conoides hyperbolicum ABC, & pars eius para- bolicum EBF circa eundem axim BD: & conoides EBF ad reliquum conoidis ABC eam habeat proportio- nem, quam $e$quialtera tran$uer$i lateris hyperboles per axim ABC ad axim BD. Dico fieri po$$e quod proponitur. Habeat enim DL ad LB quamcumque proportionem: & conoides ABC reliquo $olido AEBFC dempto conoi de EBF. $it conus circa axim BD æqualis GBH: & de$cribatur conus GLH: & $ecta BD bifariam in pun- cto K, & rur$us BK, KD in multitudine, & longitudi- ne æquales in$cribatur conoidi EBF, & altera cirum$c<*> <FIG> batur, vt in antecedenti factum e$t, figura ex cylindris æ qualium altitudinum, ita vt exce$$us, quo circum$cripta $uperat in$criptam fit minor cono GLH; & cylindris cre- $centibus in latitudinem ab$oluatur figura conoidi ABC circum$cripta ex cylindris altitudine, & multitudine æqua libus ijs, qui $unt circa conoides EBF. Quoniam igitur primus exce$$us e$t minor cono GLH, multo minor crit pars eius communis $olido AEBFG, quàm conus GLH: $ed $olidum AEBFC æquale e$t cono GBH; reliquum igitur $olidi AEBFC dicto communi ablato, maius erit coni GBH reliquo BGLH; minor igitur proportio e$t <p n=>91</p> primi exce$$us minoris cono GLH, ad dictum reliquum $olidi AEBFC, quàm coni GLH ad reliquum coni GBH: $ed $ecundus exce$$us maior e$t prædicto reliquo $olidi AEBFC, ctenim illud comprehendit; multo igitur minor proportio erit primi exce$$us ad $ecundum, quàm coni GLH ad reliquum BGLH, hoc e$t minor propor- tio quàm DL ad LB: ponitur autem proportio DL ad LB quali$cumque. Fieri igitur pote$t, quod proponitur. <HEAD><I>PROPOSITIO VI.</I></HEAD> <p>Omnis re$idui conoidis hyperbolici dempto conoide parabolico, vt $upra diximus, centrum grauitatis e$t punctum illud, in quo axis $ic diui- ditur, vt pars propinquior vertici $it tripla re- liquæ. <FIG> <p>Sit conoides hyperbolicum ABC, cuius axis BD, & ablatum conoides parabolicum EBF circa eundem axim BD, ita $it ad reliquum $olidum AEBFC, vt $e$quialte ra tran$uer$i lateris hyperboles, quæ conoides de$cribit ad axem BD: & ponatur BG ip$ius GD tripla. Dico re- <foot>M 2</foot> <p n=>92</p> liqui $olidi AEBFC centrum grauitatis e$se G. Secta enim BD bifariam in puncto H, & po$ita GK ip$ius GH minori quantacumque longitudine propo$ita, $umptoque in GK quolibet puncto L, intelligantur id enim (fieri po$ $e manife$tum e$t ex $upra demon$tratis) tres figuræ vna in- $cripta conoidi EBF, & duæ circum$criptæ altera alteri conoidum, vt $upra factum e$t, compo$itæ ex cylindris æqualium altitudinum ita multiplicatis, vt vtrumque illud accidat; & vt $ecundi exce$$us centrum grauitatis quod $it M (omnium autem trium dictorum exce$$uum in axe BD erunt centra grauitatis) $it puncto G propinquiu<*> <FIG> quàm punctum L: & vt primus exce$$us ad $ecundum mi- nor<*>m habeat proportionem ea, quæ e$t LK, ad KH. Dein de vt HK ad KL, ita $it HN ad NM, & vt primus exce$$us ad $ecundum, ita MO ad OH. Quoniam igitur cylindri omnes deficientes, & $ummus integer, ex quibus p<*>imus exce$$us con$tat, inter $e $unt æquales, habentque in axe BD centra grauitatis æqualibus interuallis à bipar- titi axis BD $ectione H & inter $e di$tantia; totius pri- mi exce$$us centrum grauitatis erit H: $ecundi autem ex- ce$$us centrum grauitatis ponitur M; cum igitur $it vt pri- mus exce$$us ad $ecundum, ita ex contraria parte MO <p n=>93</p> ad OH, erit tertij exce$$us ex duobus prioribus compo$i- ti centrum grauitatis O. Quoniam igitur minor propor- tio e$t primi exce$$us ad $edundum, hoc e$t MO ad OH, quàm LK ad KH; erit conuertendo maior proportio HO ad OM, quàm HK ad KL: $ed vt HK ad KL, ita ponitur HN ad NM; maior igitur proportio e$t HO ad OM, quàm HN ad NM; eiu$dem igitur lineæ HM minor erit MO, quàm MN, & punctum O propinquius puncto G quam punctum N. Rur$us quia vt HK ad KL, ita e$t HN ad NM; erit componen do & per con- uer$ionem rationis, vt LH ad HK ita MH ad HN: & permutando, vt HM ad HL, ita HN ad HK: $ed HM e$t maior quàm HL; ergo & HN erit maior quam H<I>K</I>, & punctum N propinquius puncto G quàm punctum K: $ed punctum O propinquius erat puncto G quàm punctum N; multo igitur erit punctum O propinquius puncto G quàm punctum K. ponitur autem di$tantia GK minor quantacumque longitudine propo$ita: & e$t O centrum grauitatis tertij exce$$us reliquo $olido AEBFC circum- $cripti; ex ijs igitur, quæ in primo libro demon$trauimus, $olidi AEBFC centrum grauitatis erit G. Quod demon- $trandum erat. <HEAD><I>PROPOSITIO VII.</I></HEAD> <p>Omnis conoidis hyperbolici centrum grauita- tis e$t punctum illud, in quo duodecima pars axis quarta ab ea, quæ ba$im attingit $ic diuiditur, vt pars propinquior ba$i $it ad reliquam, vt $e$quial- tera tran$uer$i lateris hyperboles, quæ conoides de$cribit; ad axem conoidis. <p>Sit conoides hyperbolicum ABC, cuius axis BD: <p n=>94</p> tran$uer$um latus hyperboles, quæ conoides de$cribit $it BE, huius autem $e$quialtera BEF: & $umpta axis BD tertia parte DG, & quarta DH, qua ratione erit GH axis BD pars duodecima, ordine quarta ab ea, cuius termi nus D; e$to vt FB ad BD, ita HK ad KG. Dico conoi- dis ABC centrum grauitatis e$$e K. Diuidatur enim co- <FIG> noides ABC in parabolicum conoides LBM, & reliquum $olidum ALBMC, ita vt conoides LBM ad $elidum ALBMC $it vt FB ad BD, hoc e$t vt HK GK. Quo- niam igitur G e$t centrum grauitatis conoidis LBM, & H $olidi ALBMC; tot us conoidis ABC centrum graui tatis crit K. Quod demon$trandum crat. <HEAD>TERTII LIBRI FINIS.</HEAD>