Mercurial > hg > mpdl-xml-content
view texts/archimedesOldCVSRepository/archimedes/raw/varro_demot_01_la_1584.raw @ 12:f9a6b8344c3a
DESpecs 2.0 Autumn 2009
| author | Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de> |
|---|---|
| date | Thu, 02 May 2013 11:14:40 +0200 |
| parents | 22d6a63640c6 |
| children |
line wrap: on
line source
<pb id="p.0001"> <HEAD>ILLVSTRI ET IN PRIMIS GENEROSO DOMINO, DOMINO CAROLO BARONI Azerotin, Name$tij Ro$icij Brandei$ij Domino, MICH. VARRO. S. P. D.</HEAD> <p><I>CVM ab Ineunte ætate in Ma- thematicis me exercui$$em, $em- per animo meo in hæ$it hoc de$ide- rium, vt quæ de Archimede Syra- cu$ano referuntur, ea & ratione demon$trare & experimento comprobare po$$em. Cumque multa in eo genere meditatus e$$em, po$t- quam ad iuris ciuilis $tudium tran$ii, ac tandem ad Rempub. nunquam mihi tantum otii contigit, vt ea in ordinem redigere potuerim. At cum pau- cis retrò annis $atis longam peregrinationem per Sarmatiam $u$cepi$$em, e$$etque vacuus curis a-</I> <foot><I>A 2</I></foot> <pb> <I>nimus, atque ad earum rerum meditationem me impelleret genius meus, cœpi aliquid de his $cribe- re, quantum ip$e iter faciendo meo marte a$$equi potui cum libris de$tituerer. Scriptum illud cum in maximè ardua & difficìli contemplatione ver|| $etur, nec ab eo tempore ex quo ad$olitas occupa- tiones redii ei extremam manum apponere mihi licuerit, decreueram inter priuatas meas mu$as a$$eruare Verebar enim vulgi iudiciũ, (cuius ta- m&etilde; rationem viro politico habendã e$$e cen$eo) ne- que $olum vulgi, verum etiam eorũ qui doctorum nomine gaudent, cum inaudita quædam interdum quæque ab eorum opinione recedere videãtur at- tingam. Cupiebã etiam in eo argumento vlteriùs progredi, antè quam quidquam ederem, atque ea quæ in meis aduer$ariis ea de re $par$a habeo, iis quæ conge$$erã $ubiicere, vt iu$tum volum&etilde; fieret.</I> <p><I>Po$tquam verò te di$ce$$um ex hac nostra ci- uitate parare intellexi, in qua dum ver$atus es. non $olùm ei ornam&etilde;to fui$ti, $ed etiam optimos quo$que virtutum tuarum admiratione tibi con- ciliasti: mihi verò peculiariter innumera beneuo-</I> <pb> <I>lentiæ $igna exhibui$ti, non potui tantum virum, meíque amãtem $ine aliquo munere aut</I> <G>mnhmosu/nw|</G> <I>dimittere. Itaque libellum hunc tibi dicare, & $ub tuo nomine in publicum edere $tatui. Squalli- dus quidem prodit, & rudis, mole etiam perexi- guus: $plendidius aliquid & magis elaboratum postularet tua dignitas. Atqui ea e$t argumenti illius magnitudo, vt in eo aliquid volui$$e $atis $it. Militare $anè munus e$t, eóque nomine tibi conueniens: $i quis enim hac cognitione in$tructus fuerit, non minùs ea in re bellica vti poterit, quam Archimedes in Syracu$is defendendis aduer$us Marcum Marcellum v$us est. Eá- que mirari de$inet quæ de eo Plutarchus nar- rat. Id lucidius demõ$trare potui$$em, $i mihi hæc vlterius per$equendi otium fui$$et: Jeiuna enim per $e videntur, ni$i quis $uccum qui $ub corti- ce latet, eliciat. Malui tamen hoc veluti pro- gymna$mate alios quibus plus est otii & in- genii ad eiu$modi inqui$itionem hortari & ac- cendere, quàm præclaram illam cognitio- nem diutius $epultam relinquere cum ne-</I> <pb> <I>minem hodie animaduertam qui ei in$udet, neque mihi $pes vlla affulgeat diuturni otii, cuius ope in hoc $tadio pergere poßim: Quòd $i fortè mihi aliquando contingat, riuos plurimos ex his fontibus me educturum; cõfido; quibus multum cõmoditàtis rebus humanis accedat. Quæ enim hic traduntur, ad motus omnes atque ad omnis ge|| neris virium comparationes accommodari po$- $unt ad fines propo$itos a$$equendos. Quod quàm latè pateat, dici non pote$t. E$t enim eorum v$us non $olùm in mechanicis, in quibus tamen e$t ma|| ximus, $ed etiam in politicis & œconomicis: $unt enim in illis motus, $unt vires & re$istentiæ. In arte medica & reliquis phy$ices partibus pra- cticis, quantus $it, nemo fando exprimere poßit. Quia vero ea quæ praxim docent gratiora $unt ip$a contemplatione, & cau$æ propter effecta in- quirantur,</I> <G>*a)lfh/stas</G> <I>omnes hortor vt quod ego in- numeris aliis cur is implicitus addere non po$- $um, ip$i addant. Abundat nunc Europa præ- $tantibus ingeniis, $i Mœcenates ade$$ent. Ea autem quæ præter hæc meditatus $um, ac fer-</I> <pb> <I>mè parata habeo, hæc $unt. Tractatus de iactu. De continuitate eiu$que $olutione. De cõden$a- tione & rarefactione earumque cau$is & effecti- bus: It&etilde; in Mechanicis, tractatus de variis ma- chinis ad motus ci&etilde;dos, ac de perfectißimæ cuiu$- que ad id quod propo$itum fuerit moliendum in- ue$tigatione. Nonnulla etiã de Rerumpublicarũ motu tum interno tũ externo notaui, quæ eod&etilde; or- dine tradere optarem: quorum omnium principia hic $i quis diligenter animaduertat tradita $unt. Si quis mihi in his palmã præripuerit, meque an- teuerterit ei maximas gratias agam. Sunt tamen inter hæc quædam quæ vulgò pandere nephas est. Itaque theoriæ magis in$i$tendum puto, in qua $i quis exercitatus fuerit, nullo negotio illam in opus educere poterit, idque $ine periculo fiet, cum vul- go non pateat. Alioqui periculũ e$t, ne $i particu- laria tradantur iis contenti homines, vt fieri $olet vniuer$alem cognitionem & cau$arum inqui$i- tionem negligant, pereatque $cientia. Eaque de cau$a nihil quicquam de his quæ fecerat Archi-</I> <pb> <I>medes $criptum relinquere voluit. Exi$timãs eos qui in iis quæ</I> <G>qewrhtikw=s</G> <I>tradiderat, diligentem ope- ram ponere vell&etilde;t, multò maiora quoties opus fo- ret præ$tituros. Equidem mihi per$uadeo non de- futuros qui varia iudicia de hoc no$tro $cripto fe- rant & qua$i nouum athletam in arenàm pro- deuntem mirentur. Quibus vno verbo re$pon- $um volo, me nullius vnquam in verba ma- gistri iura$$e, $ed liberrimè $emper philo$o- phatum e$$e: ita vt etiam in principia ab aliis $tatuta animaduertere mihi licere putauerim. Quod eò liberiùs feci, po$tquam magnam part&etilde; vulgo receptarum opinionum fal$am e$$e re ip$a deprehendi. Omnibus placuero, $i tibi placuero. Si quid in his ob$curius fuerit, habes clarißimũ vi- rum Wence$laum lauinium tuum, ab$tru$ioris philo$ophiæ indagatorem $ummũ, qui tibi omnia explicabit. Hoc igitur munu$culũ vt $erena frõ- te $u$cipias rogo. Vale. V I. K al. Jun. Anno Christi Domini</I> M. D. LXXXIV. <pb n="1"> <fig> <HEAD>M. VARRONIS DE MOTV TRACTATVS.</HEAD> <HEAD><I>PROBLEMA.</I></HEAD> <HEAD><I>Data vi datum pondus mouere.</I></HEAD> <p>Hoc problema prima quidem fronte mirabile videtur, vt $cilicet pondus vel maximum viribus ta- men minimis, vt puta $i dicas vnius hominis, vel etiam imbecillioris a- licuius animalis viribus totum ter- ræ globum loco moueri po$$e. Quod Archimedem Syracu$anum iacta$$e referunt hoc dicto, <G>do\s pou= stw=| ta\n ga\n kinw=|</G>. Si quis tamen in Geometrico puluere ver$atus fuerit, pre$ertim verò in iis quæ ab ip$o in $uo <G>i)soropikw=n</G> libello tradũtur. Illud cæteráque eiu$- modi, ludicra Geometriæ, vt & ip$e facere $olitus di|| citur, appellabit. Ex huius autem problematis expli|| catione, omnium machinarum qu<17> ad motus cien- dos excogitari po$$unt, ratio pendet. Et$i verò totũ Geometrica demon$tratione expediri po$$it, quo- <foot>B</foot> <pb n="2"> niam tamen h<17>c con$ideratio, quæ Græcis <G>staqmikh\</G> di|| citur Geometriæ tantùm e$t <G>u(pa/llhlos</G> mixta $cili- cet ex phy$ica & Geometrica eo quòd illius $ubie- ctum $it motus. Ideò paulò cra$$iori Minerua & præter Geometricam $implicitatem <G>fusikw=s</G> etiam tractanda e$t: alioqui Archimedicis demon$tratio- nibus $tandum e$$et, quæ in eo mancæ $unt, quòd il- læ propo$itiones quæ ex phy$icis peti debent, inde- mon$tratæ manent, nec explicantur, $ed pro confe$- $is principiorum loco po$tulantur. Eas igitur, qua- tenus ad huius problematis explicationem faciunt, hic di$cutiemus. Neque enim Euclidis librũ de gra- ui & leui, in quo hoc argumentum per$equi volui$- $e videtur, integrum habemus. Ari$toteles verò in eo quod ab ip$o $criptum extat de Mechanicis fra- gmento pr<17>ter $uum morem, cùm alio qui in omni- bus exacti$$imus $it, hanc quæ$tionem potiùs nota- uit quàm explicuit in $exto & $eptimo phy$icorum libro multa prætermi$it. Vt igitur ad rem aggredia- mur, primùm voces, quibus vtendum e$t, definie- mus, vt intelligatur quo $en$u eas accipiamus. <HEAD>DEFINITIO I.</HEAD> <p>Vis dicitur agendi aut agenti re$i$tendi pot&etilde;tia, præ$ertim verò mouendi & mouenti re$i$tendi. <HEAD>II.</HEAD> <p>Vis $ubiectum dicitur id quod vis mouet, vel <pb n="3"> quod à vi mouetur. <p>Hîc non agimus de vi primaria quæ virium o- mnium principium e$t, mouétque omnia, nec tam&etilde; mouetur, $ed de ea, qu<17> dum mouet, etiã cum $ub- iecto, cui ine$t, mouetur. <p>Subiecta verò quæ nullam vim habent, nec mo- uentur, nec mouenti re$i$tũt: $i qua verò vis illis ac- cedat, tum ab ea $e moueri patiuntur. <p>Et$i autem plura $int virium genera, tot $cilicet, quot $unt in rerum natura contrariorum, actionem & pa$$ionem recipientium, vt leue graue, rarum d&etilde;- $um, plenum vacuum, durum molle, & cætera eiu$- modi, quoniam tamen ea omnia hîc per$equi no$tri non e$t in$tituti, cùm de ea tantùm qua motus fit a- gere $tatuerimus. <HEAD>III.</HEAD> <p>Cùm de motu hîc agemus motum ad locum, quem Græci <G>fora\n</G> vocant, intelligi volumus. <HEAD>IIII.</HEAD> <p>Linea autem recta quæ e$t ab eo loco à quo mo- tus fieri incipit ad illum ad quem tendit. Illius vis quæ motum efficit, nutus dicetur. <p>Ead&etilde; verò linea cõ$iderata à loco ad qu&etilde; t&etilde;dit vis ad illũ à quo motus fieri incipit, contra nutũ dicitur. <p>Itidem & omnes illi parallelæ. <p>Quæ verò lineæ vel rectæ, vel curuæ, nutus lineã <foot>B 2</foot> <pb n="4"> ad angulos inæquales $ecant, illæ obliquè nutum ver$us, vel contra nutum ferri dicũtur, habita ratio- ne partium, quas $pectant. <p>Plurimùm autem à $itu corporis humani deno- minationem accipiunt illæ partes, vt $ur$um, deor- $um, dextror$um, $ini$tror$um, antè vel ponè di- cantur. Quæ verò lineæ, nutus lineam ad angulos rectos $ecant, neque ver$us nutum, neque contra nutum ferri dicuntur, $ed æquè di$tant à loco natu- rali. <HEAD><I>Virium diui$io.</I></HEAD> <p>Vis autem omnis aut naturalis e$t, aut non natu- ralis, aut mixta. Naturalis vis e$t, qua res quælibet natura $ua mouetur, aut mouenti re$i$tit habita ra- tione tum loci $ui naturalis, tum etiam $itus $uarum partium. Non naturalis e$t quæ nec ratione loci $ui naturalis, nec $itus partium mouet. E$t autem hæc duplex, fortuita $cilicet & voluntaria: illa vt vis ven- torum & $pirituum intellectu carentium, hæc vt a- nimalium & $pirituum intelligentium & $imilium. Mixta dicitur, quæ partim naturalis e$t, partim non naturalis. <p>Locus autem naturalis cuiu$que rei e$t, in quo exi$tens ip$a quie$cit, & $i inde remota $it, vis ei à na|| tura in$ita eam illuc impellit. Huius verò motus aut quietis cau$$a nulla alia a$$ignari pote$t præter pri- <pb n="5"> mam illam rerum omnium conditricem, qu<17>, ne o- mnia in omnibus e$$ent $ingulis partibus vniuer$i $ingula loca attribuit circa quæ conglobantur, & i- bi hærent. Quicquid enim terreum e$t, in terræ glo- bum cõfluxit. Ita quicquid $oli homogenes in Solis corpus, lunaria omnia in lunam, & $ic de cæteris cor|| poribus vniuer$i. Singulæ autem eorum partes $uis totis adhærent, nec inde $ponte mou&etilde;tur: $i verò in- de motæ fuerint, eò redire nituntur. Quod enim in terra fieri videmus, idem & in reliquis corporibus v- niuer$i fieri dicere po$$umus, $cilicet quod vnita cir|| ca locum $uum naturalem maneant: $i enim partes eorum $ponte $epararentur, & vi ab ip$is $eparatæ ad locum $uum non redirent, $tatim tota di$$olue- rentur. <p>Vis igitur illa in loco $uo quie$cendi grauitas di- citur, cuius contrarium e$t leuitas. Res autem nulla per $e leuis dicitur, $ed tãtùm habita ratione alterius loci, quàm $ui naturalis: vt puta $i pars aliqua Solis vi quapiam in terram inuecta e$$et, $uóque arbitrio committeretur, illa $tatim Solem peteret: ita $i ter- ræ pars in Solem inuecta e$$et, $uóque arbitrio com|| mitteretur, $tatim à $ole euolaret, & $e per cælum terram ver$us proriperet. Vt igitur terræ partes in terra graues $unt: $ic Solis partes in $ole graues $unt: in terra verò leues, terræ verò partes in Sole leues <foot>B 3</foot> <pb n="6"> $unt. Idem de cæteris corporibus vniuer$i dici po- te$t. Neque enim faciliùs ex globo lunæ particulam ab$trahas, quàm ex terra glebam. <p>Aer autem nullum proprium habet locum natu|| ralem, $ed vbique e$$e pote$t, cùm rerum omnium locus vniuer$alis e$$e videatur: de quo dubitari po- te$t an $it infinitus, cùm omnia contineat, à nulla re verò totus comprehendatur, $ed hæc di$putatio non e$t huius loci. <p>Et$i autem nullum proprium habet locum natu|| ralem, neque leuis aut grauis $it: leuis tamen e$$e vi- detur, cùm grauis non $it, nec ægrè $e moueri patia- tur. Itaque $i quo modo ita con$titutus $it, vt rem a- liquam, quò minùs ad locum $uum naturalem per- uenire po$$it, impediat, tum per expre$$ionem $eu <G>e)/kqliyin</G>, ab ea eiicietur, in eiú$que locum $uccedet, vt fit in aqua, cùm ei introducitur. Quæ quidem <G>e)/k- qliyis</G> iis etiam accidit quæ loco naturali gaudent, cùm $e$e mutuò impediunt, ne ad illum ferantur. Præ$ertim verò in liquidis locum habet, quorum partes facilius mouentur, quàm rerum cohærentiũ & compactarum. Inde accidit vt quicquid liquidis immergitur, tantò fiat in illis leuius quàm grauius, e$t moles eiu$dem liquoris ip$orum moli æqualis. Sed hæc de loco naturali fu$iùs à nobis alibi medita- ta, obiter hîc attigi$$e $ufficiat, vt intelligatur quid <pb n="7"> $it vis naturalis. <p>Vis autem voluntaria nullum certum nutum habet, $ed illum tantùm in quo mouentis voluntas conquie$cit. Cúmque vis naturalis vnum tantùm nutum habeat, $cilicet à loco à naturali requie re- moto, ad ip$am naturalem requiem, illa infinitos nu|| tus habet & indeterminatos per $e ac voluntatis tan tùm decreto determinabiles. <p>Fortuita verò ip$o tantùm ca$u determinabilem nutum habet: quò enim ip$a tendit, eo munere dici- tur $iue $ur$um, $iue deor$um, $iue ad latera. Itaque & hic & ille nutus <G>a)dio/ristos</G> dicitur. Quemadmodum & is quem habent vires illæ, quibus res à $itu partiũ naturali remotæ ad illum redeunt: prout enim ab eo motæ $unt, ita ad illum redeunt, prout etiam huc aut illuc obuer$æ $unt, vt vis arcus aut bali$tæ. <HEAD>DEFIN. V.</HEAD> <p>Vires autem contrariæ dicuntur, quæ contrarios motus ciere po$$unt, vt ea qu<17> $ur$um mouet & qu<17> deor$um, & $ic de cæteris. <p>Con$ideratur autem in vi quãtitas, tum eo quòd vis partibus $uis con$tet, in quas in infinitum diuidi pote$t, & rur$us additione aut multiplicatione au- geri, tum quòd æqualitatis exce$$us & defectus cõ- parationem recipiat. <pb n="8"> <p>Ac quoniam vis e$t mouendi potentia, vis par- tes erunt quæ motus partes efficient, & quæ erit mo|| tus partium, men$ura eadem erit & vis partium. Et motus quidem propria men$ura e$t linea $eu $patiũ. Quantum enim res quæpiam mota, $patij percur- rit, tantùm mota e$$e dicitur. Quoniam verò in mo|| mento vel in$tanti quod in$tar puncti e$t, & magni- tudine caret, nullus motus fieri pote$t, $ed motus o- mnis in tempore fit. Ideò ad motus men$uram tem- pus etiam adhibere oportet. Illud enim cum $patio vel linea, motus dici facit æquales aut inæquales. <HEAD>DEFIN. VI.</HEAD> <p>Æquales igitur motus dicuntur, qui æqualibus temporibus æqualia $patia percurrunt. <p>Qui autem æqualibus temporibus æqualia $pa- tia permeant, illi iidem proportionales $unt: hoc e$t, quæ e$t ratio temporis, quo alter eorum fit ad tempus quo fit alter, eadem e$t $patij quod percurrit alter ad $patium quod reliquus percurrit. Si enim duorum quorum $inguli vna hora miliaris vnius i- ter conficiunt, alter eodem motu per tria miliaria ferri pergat, alter verò per duo tãtùm. Ille tribus ho- ris ea ab$oluet, hic verò duabus, & æquè celeriter ferri dicentur, licet $patia inæqualia percurrãt, quo- niam illa $unt temporibus proportionalia. <pb n="9"> <HEAD>VII.</HEAD> <p>Inæquales autem motus dicuntur, quorum tem- pora non $unt $patiis proportionalia. Eorum autem maior ille dicitur, cuius maior erit ratio $patij ad $pa|| tium, quàm temporis ad tempus, quibus fiunt illi motus. Ex quo intelligitur etiam quis minor dica- tur. Maior igitur dicetur qui celeriùs feretur, minor, qui tardiùs. <HEAD>VIII.</HEAD> <p>Æquales igitur vires dicentur, quæ æqualibus motibus $ubiecta $ua mouebunt. Maior verò quæ $ubiectum $uum magis vel celeriùs mouebit. Mi- nor, quæ minùs vel tardiùs. <HEAD><I>Motuum diui$io.</I></HEAD> <p>Comparantur autem motus $ecundum omnes comparationis gradus, hoc e$t, æqualitatem, exce$- $um & defectum: tum $ibi ip$is, cùm totus $uis par- tibus confertur, tum alij aliis. <p>Quatenus autem $ibi ip$i motus cõparatur, aut e$t <G>o(moiomerh\s</G> $eu æquabilis aut <G>a)nomoiomerh\s</G>, id e$t inæ- quabilis. Aequabilis, cuius omnes partes tum mini- mæ tum maiores tempora habent $patiis per quæ cientur proportionalia. Inæquabilis verò, in quo illa non $unt proportionalia. <p>Inæquabilium autem motuum duo $unt genera, <foot>C</foot> <pb n="10"> cre$cens $cilicet & decre$cens, ídque vel continuè, vel per interualla, ordinatim vel <G>a)taktw=s</G>. <p>Cre$cens dicitur, quando partium po$teriorum ip$ius maior e$t celeritas, quàm priorum: decre$c&etilde;s, quando minor. <p>Continuè, quando nulla pars illius vel minima alteri parti e$t æqualis $eu $ibi ip$i æquabilis. <p>Per interualla verò, quando partes quidem illius $ibi ip$is æquabiles $unt, aliæ verò aliis comparatæ inæquabiles. <p>Ordinatim, quando incrementum aut decrem&etilde;- tum illud certa aliqua proportionis progre$$ione fit, vt $i in motu continuè cre$cente, diui$o toto mo|| tus $patio in aliquot partes æquales eadem $it ratio celeritatis, finis primi $patij ad celeritatem finis $e- cundi, quæ finis $ecundi ad finem tertij, & $ic dein- ceps: vel $i finis $ecundi $patij duplo citiùs feratur, quàm finis primi & finis tertij, triplo quàm primi: finis verò quarti quadruplo, & $ic deinceps. Idem $i in quauis alia proportionis progre$$ione illarum partium celeritas, aliarum ad alias $e habeat. In mo- tu verò per interualla cre$cente augm&etilde;tum illud or- dinatim fieri dicetur, $i interuallorum proportio a- liquem progre$$ionis ordinem $eruet: puta $i primũ interuallum duplo tardiùs $ecũdo moueatur, triplo verò tardiùs tertio, &c. <pb n="11"> <p>Inordinatè autem cre$cere vel decre$cere dicetur motus, $i incrementum illud aut decrementum nul|| la certa & ordinata proportione fiat. <p>Comparantur autem motus alij aliis, æquabiles $cilicet & inæquabiles ordinatim progredientes: de inordinatorum enim tum inter $e, tum cum aliis cõ|| paratione nihil certò $tatui pote$t. <p>Comparantur igitur æquabiles cum æquabili- bus aut cum inæquabilibus, ac etiam inæquabiles cum inæquabilibus. <p>Æquabiles autem cum æquabilibus compara- tionibus $uis partibus corre$pondentibus $unt pro- portionales. Si enim proponãtur duo motus æqua- biles, quorum alter altero maior $it, quæ erit ratio dimidiæ partis vnius ad dimidiam partem alterius, eadem erit tertiæ ad tertiam, & $ic deinceps. <p>Æquabilium verò motuum cum inæquabilibus, cum iis $cilicet qui per interualla cre$cunt, compa- ratio fit tanquam cum pluribus diuer$is motibus æ- quabilibus, $unt enim interuallorum illorũ motus æquabiles. At cum continuè cre$c&etilde;tibus aut decre- $centibus difficile e$t comparationis modum defi- nire, cùm ne momento quidem $tabilis maneat par|| tium illarum quantitas. E$t tamen motus æquabilis illorum men$ura: tanti enim e$$e dicuntur, quanti forent, $i in ea celeritatis men$ura ad quam perue- <foot>C 2</foot> <pb n="12"> nerunt, æquabiliter pergerent. <p>Cre$centes verò cum cre$centibus continuè, cõ- parati $iquidem eadem progre$$ionis proportione cre$cant, æqualia $patia ab eorum principiis nume- rata, æqualibus temporibus emen$a habebunt, idem in decre$centibus. Sed h<17>c hactenus inqui$iui$$e $uf- ficiat: $i quis enim particulatim omnia exp&etilde;dere vel- let, in infinitum $e$e extenderet h<17>c partium & pro- portionum motuum $upputatio. <p>Iam videamus quæ vires quos horum motuum cieant. Et vis quidem ea qua res quælibet ad $itum naturalem $uarum partium redit, motu cõtinuè de- cre$cente mouet: quo enim propiùs ad $itum natu- ralem partium accedit, eo tardior & languidior e$t. Arcus enim cùm primùm laxari incipit, celeriùs mouetur, quàm cùm motus $ui finis propior e$t. <p>Vis verò naturalis, qua res qu<17>libet ad locũ $uum naturalem tendit, $ubiectum $uum, motu continuè & ordinatim cre$cente, mouet. Illius autem motus cau$a e$t quòd faciliùs id moueatur, quod in motu e$t, quàm quod quie$cit. Vis igitur eadem, $ubiectũ quod iam in motu e$t premens, illud magis moue- bit, quàm $i quie$cat, & magis motum, magis etiam mouebit: ita vt eadem vis motione maior fiat, quàm per $e $it. Et hæc e$t cau$a cur ictus, quo magis ab al- tero venit, eo vehementior $it. Motus autem huius <pb n="13"> $patia hanc celeritatis proportionem $eruant, vt qu<17> e$t ratio totius $patij, per quod fit ille motus ad par- tem ip$ius (vtriu$que initio inde $umpto, vbi e$t mo|| tus initium) eadem $it celeritatis ad celeritatem. <fig> Exempli gratia, $i vis aliqua per lineam ABC mouerit, $itque AB illius lineæ pars, quæ erit ratio AC ad AB, eadem erit celeritatis motus in puncto C ad celeritat&etilde; motus in puncto B. Cuiu$modi proportio ob$eruatur in paralle- lis triangulum $ecantibus. Vt enim $e habet <fig> AC ad AB, $ic CG ad BF, & vt AD ad AC, $ic DH ad CG. Itaque $i in $patia ali- quot æqualia diuidatur totius motus $pa|| tium, finis $ecundi duplo citiùs feretur, quàm finis primi: finis verò tertijtriplo citiùs quàm finis primi, & $ic deinceps. Hac autem ratione fit, vt $patiorum illo- rum initio maxima $it celeritatis differ&etilde;- tia: progre$$u verò $emper minuatur, ac tandem fer- mè eadem $it, vt fit in trianguli lateribus, quæ lon- gi$$imè producta æquè di$tare videntur. Eáque e$t ratio cur Solis & Lunæ radij, etiam$i concurrant (in ip$orum $cilicet corporibus, aut vltra res quas illu- $trãt) paralleli tam&etilde; appareãt. Ead&etilde; etiã cau$a e$t cur line<17> omnes ad perp&etilde;diculũ in terrã cadentes, paral- lelæ videantur, cùm tam&etilde; in centro terræ cõcurrant. <foot>C 3</foot> <pb n="14"> <p>Hunc igitur motum vis naturalis efficit, modò nulla quies intercedat. <p>Vis autem voluntaria motum omnem ciere apta e$t. Fortuita verò inordinatum tantùm motum effi- cit. Et hæc de variis virium motibus, eorúmq; pro- portione & partibus. <p>E$t verò etiam virium partitio quædam, quæ ex eorum quibus inhær&etilde;t $ubiectorum diui$ione, aut alterius ad alterum proportione re$ultat. In $ubie- ctis enim, quæ <G>o(moiomerh=</G> $unt, vis naturalis æqualiter per omnes partes diffu$a e$t: ita vt quæ e$t ratio mo- lis ad molem $ub eadem figura, ead&etilde; $it vis ad vim: vt $i globus alicuius metalli, ad alium globum eiu$- dem metalli mole quadruplus $it, illius quoque põ- dus ad huius pondus quadruplum erit. <p>Hactenus vim cõ$iderauimus quatenus mouet, $upere$t vt eam con$ideremus, quatenus mouenti re$i$tit. Habet autem locum re$i$tentia, vbi duæ vi- res contrariæ committuntur: $i enim vtraque eod&etilde; motu moueat, nulla erit re$i$tentia, $ed altera alteri addita maiorem vim con$tituet. <p>Committi autem dicuntur vires, quando ita ap- plicantur & connectũtur, vt altera nutu $uo moueri non po$$it, quin altera contra nutum $uum mouea- tur. Viribus autem ita connexis, accidit vt altera in alterius $ubiectum agat, & altera in $ubiecto $uo exi- <pb n="15"> $tens, alteri in altero $ubiecto exi$tenti re$i$tat, ita vt eorum $ubiecta quodammodo reciproca fiant. <HEAD>CONCLVSIO I.</HEAD> <p>Illam autem re$i$tentiam vi momenti in eodem $ubiecto æqualem, aut eandem cum ea e$$e, ex ip$ius definitione con$tat. E$t enim re$i$tere nõ pati $e mo- ueri. Quantum autem vis quælibet $ubiectũ $uum nutu $uo mouet, tantum illud contra nutum $uum moueri non patitur. Mouendi igitur & mou&etilde;ti re- $i$tendi potentia in eodem $ubiecto æquales $unt. <HEAD>II.</HEAD> <p>Quemadmodum autem in eodem $ubiecto ma- ior vis ine$$e dicitur, in quo e$t maioris motus po- tentia, $ic maior re$i$tentia erit maioris motus con- trarij impatientia. Eadem igitur vis magis mouere nitenti cõtra ip$ius nutum magis re$i$tet, minus ve- rò nitenti minùs re$i$tet. <HEAD>III.</HEAD> <p>Et quo maior erit motus contrarius, eo magis re- $i$tet: id e$t, quo celerius vis quælibet à nutu $uo re- uelletur, eo magis re$i$tet. Duplo igitur citiùs re- uellenti duplo re$i$tet, triplo citius triplo re$i$tet, & $ic <G>a)nalo/gws</G> in omni proportione. Quæ igitur erit ratio motus ad motum, contra nutum eadem erit in vna & eadem vi ratio re$i$tentiæ ad re$i$tentiam. <p>Si verò plures vires comparentur. <pb n="16"> <HEAD>IIII.</HEAD> <p>Æqualium quidem virium æqualibus motibus æquales erunt re$i$tentiæ. Si enim æquales vires æ- qualiter à $uis nutibus reuellantur, æqualiter re$i- $tent. <HEAD>V.</HEAD> <p>Inæqualibus verò motibus, earum re$i$tenti<17> in- æquales erunt, & motuum proportionem $equen- tur. Exempli gratia, $int duæ vires A & B, quarum v- traque vna hora miliare vnum percurrat, illæ æqua- les erunt. Si igitur vtraque quarta parte vnius milia- ris, vel dimidio miliari à $uo nutu eodem tempore reuellatur, eadem erit vtriu$que illi motui re$i$ten- tia. Sin verò altera quidem quarta parte vnius milia- ris à nutu $uo reuellatur, altera verò eodem tempo- re integro miliari reuellatur: hæc re$i$tentia ad il- lam quadrupla erit, & $ic de cæteris motuum pro- portionibus. <HEAD>VI.</HEAD> <p>Inæqualium verò virium re$i$tentiæ æqualibus motibus ip$arum virium proportionem $equentur. Quo maior enim e$t vis, eo magis eodem tempore eodémque $patio contra nutum mouenti re$i$tit. Ex&etilde;pli gratia, $it vis A quadrupla ad vim B, vis A mo- uenti $e vno miliari quadruplo re$i$tet, quàm B mo- uenti $e vno miliari eodem tempore. <pb n="17"> <p>Inæqualium verò virium inæqualibus motibus re$i$tentiæ, quando motus eam inter $e proportio- nem $eruabunt, quæ e$t inter eas <G>a)ntipeponqw=s</G>, $eu reciprocè, æquales erunt. Sit enim vis A quæ ad vim B eandem habeat ration&etilde; quam C ad D, puta quam 3 ad 1, aut 4 ad 1, aut quæcunque alia $it, moueatúrq; vtraque $patio E contra nutum $uum eodem tem- pore, re$i$tentia A ad re$i$tentiam B $e habebit, vt C ad D per proximam conclu$ionem. Si verò B moue- atur eodem tempore $patio aliquo quod $e habeat ad $patium E vt C ad D, re$i$tentia B huic motui $e habebit ad re$i$tentiam priori motui, vt C ad D per quartam conclu$ion&etilde;. Duæ ergo re$i$tentiæ ad ean- dem, eandem habebunt rationem, ergo æquales e- runt per <I>9</I> prop. <I>5.</I> Elem. Eucl. <HEAD>VIII.</HEAD> <p>Si verò motuum virium inæqualium proportio non $it eadem quæ e$t ip$arum virium reciprocè, vis illius quæ ad alteram maiorem habebit rationem, quàm motus alterius ad motum ip$ius, re$i$tentia maior erit, altera verò minor. Exempli gratia, $i vis A $it tripla ad vim B, & motus quo B à nutu $uo reuel|| letur, $it minor quàm triplus ad motum A, re$i$ten- tia A erit maior quàm re$i$tentia B. Idem erit, $i ma- ior $it ratio A ad B, quàm 3 ado, motus verò B ad mo- <foot>D</foot> <pb n="18"> tum A $it triplus. Contrà verò $i A ad B $it tripla: mo- tus verò B ad motum A $it maior quàm triplus, ma- ior erit re$i$tentia B quàm A. Idem accidet, $i A ad B ratio minor $it quàm 3 ad 1, motus verò B ad motum A $it triplus. Hunc autem exce$$um & defectum nõ vlteriùs $crutabimur, vt ip$ius quantitatis men$urã a$$equamur: alioqui in infinitum fieret progre$$us. <p>Ex his colligimus re$i$t&etilde;tias tribus modis æqua- les aut inæquales dici, per $e $cilicet aut motione, aut vtroque modo. Per $e quidem cùm $ubiectorum vires $unt æquales (id e$t æqualiter $ua $ubiecta mo- uent) aut inæquales. Motione verò quando per $e quidem in æquales $unt, motione verò æquales fiũt: aut quando per $e æquales $unt, motione verò inæ- quales fiũt eo, quo dictum e$t, modo. Vtroque mo|| do æquales aut inæquales dicũtur, quando tum per $e, tum motione tales fiunt. His explicatis videamus quis eorum $it effectus, vbi vires committentur. <HEAD>IX.</HEAD> <p>Primùm ex prima conclu$ione $equitur qu<17> erit ratio re$i$tentiæ ad re$i$tentiam, eandem fore re$i- $tentiæ ad vim cuius e$t altera re$i$tentia: $unt enim vis & re$i$t&etilde;tia in eod&etilde; $ubiecto æquales. Ergo mul- to magis $equitur, $i re$i$t&etilde;tia altera maior, altera mi|| nor fuerit, illam huius vi maior&etilde; fore, vel illius vim hac re$i$tentia maiorem, $i æqualis æqualem. <pb n="19"> <HEAD>X</HEAD> <p>Re$i$tentia autem vi contrariæ commi$$a tãtum de ea tollit quanta e$t ip$a re$i$tentia. Sublata autem vi tollitur motus: $ublata verò re$i$tentia, $i vis ad$it, $equitur motus. Vbi igitur vis & re$i$tentia in<17>qua- les committentur, $i vis maior $it quàm re$i$tentia, fiet motus $ecundum vis illius nutum, & contra nu- tum vis illius quæ re$i$tit. Si verò re$i$tentia maior fuerit, tum ip$a fiet vis mouens, & vim contrariam contra nutum ip$ius mouebit, dum ip$a nutu $uo mouebitur. Hinc $equuntur duo theoremata, circa quæ totius huius con$iderationis cardo vertitur. <HEAD>THEOREMA I.</HEAD> <p>Duarum virium connexarum, quarum ($i mo- ueantur) motus erunt ip$is <G>a)ntipeponqw=s</G> proportiona- les neutra alteram mouebit, $ed æquilibrium faci&etilde;t. <p>Sit vis A commi$$a cum vi B, $itque vis A ad vim B ratio per $e, vt C ad D quæcũque illa $it, $iue dupla, $iue tripla, $iue alia. Sit etiam ead&etilde; ratio motus quo B mouebitur, $i ita, vt connexa $unt, moueantur) ad motum quo A mouebitur, quæ e$t C ad D, dico mo- tum non $equuturum, $ed factum iri æquilibrium. Aut enim A & B vires per $e erunt æquales aut inæ- quales: $i æquales, ergo & ip$arum motus æquales e- runt: $unt enim ex hypothe$i ip$is proportionales: <foot>D 2</foot> <pb n="20"> ergo per quartam conclu$ionem earum re$i$tentiæ æquales erunt, ergo per decimam conclu$ionem nõ fiet motus. Si verò $unt inæquales, cùm earum mo- tus ex hypothe$i $int <G>a)ntipeponqw=s</G> proportionales per $eptimam conclu$ionem æquales erunt etiam re$i- $tentiæ. Ergo nec motus fiet: nullo igitur modo fiet earum motus. Quod demon$trandum erat. <HEAD>THEOREMA II.</HEAD> <p>Quarum verò ita connexarum ($i moueãtur) mo|| tus, ip$is proportionales non erunt: illa alteram mo- uebit, cuius ad alteram ratio maior erit, quàm huius motus ad illius motum. <p>Sit vis A cum vi B commi$$a, $itque A ad B ratio per $e, vt C ad D: ita verò connexæ $int, vt $i mouean- tur, minor $it ratio motus quo B mouebitur ad mo- tum, quo A mouebitur, quum C ad D dico A motu- ram B: erit enim per octauam conclu$ionem re$i- $tentia B minor re$i$tentia A: ergo per nonam con- clu$ionem re$i$tentia B minor vi A: vis igitur A vim B mouebit per vndecimam conclu$ionem. Quod demon$trandum erat. <p>Hinc po$$emus ad problematis no$tri demon- $trationem rectà pergere: ante tamen cra$$iùs ali- quanto hæc explicanda $unt, vt à quouis faciliùs in- telligantur. Duæ $unt motus men$uræ, locus $cilicet & tempus: vtroque igitur, tempore videlicet & loco <pb n="21"> maior, minor aut æqualis dicitur: & quo minori t&etilde;- pore idem $patium ab$oluitur, eo maior e$t, vel quo maius $patium eodem tempore. <p>Vt igitur motus magnus dicatur, perinde e$t $i paruo tempore fiat, aut magno $patio. <p>Quod autem maiorem motũ ciere pote$t illud, vis maior dicitur, quòd minorem minor. <p>Vis autem $eu mouendi potentia in eodem $ub- iecto certa & finita e$t. Qu<17>libet enim res vi natura- li pr<17>dita, $i à loco naturali ab$it, $uóque arbitrio cõ- mittatur, certo tempore eò redit. E$t enim certum in rerum natura quanto tempore libræ vnius põdus deor$um $ponte $ua delatum, miliare vnum aut duo conficiat pro ratione materi<17>, vel quantum $patij v- na vel duabus horis percurrat. Id verò quantum $it, hominum indu$tria nondum quod $ciam explora- tum e$t: aliâs autem id demon$trare conabimur. <p>Mouendi verò potentia in alieno $ubiecto infi- nita e$t, hoc e$t, in infinitũ augeri vel minui pote$t, quoniam in finita auctione & diminutione e$t re$i- $tentia: tanta enim e$t, quanta e$t in eodem $ubiecto vis: quantú$q; motus illius e$t vis alterius re$pectu. Quo igitur vis quæ alienum $ubiectum mouere ni- titur, illud magis mouere nitetur, eo minùs illud mouere poterit, maior enim erit illius re$i$tentia. Quemadmodum enim quod magis nutu $uo mo- <foot>D 3</foot> <pb n="22"> uetur, maiorem vim mouendi habet. Ita illud idem quod magis contra nutum $uum mouetur, maior&etilde; vim re$i$tendi habet. E contrario verò quo vis quæ- libet minorem motum in alieno $ubiecto ciere ni- tetur, eo faciliùs illud mouebit. <p>Tarditate igitur motus, re$i$tentia in infinitum minui pote$t: minuta verò re$i$tentia vis contrariæ effectus augetur, ita vt vis quæ per $e minima e$t, in contrariam cui plurimum diminuta $it, re$i$tentia maximè agat. Perinde igitur e$t, $i vis mouens ma- gna $it, mouenda verò parua, ac $i illa celeriter fera- tur, hæc verò tardè: quãtum enim vis mouens $i ma- gna fuerit in mouendam minorem poterit, tantum vis parua celeriter mota in magnam tardè motam poterit. Si igitur velimus vt vis parua magnam mo- ueat, eas ita collocare oportet, vt quantum magna paruam $uperat, tantum illi de motus celeritate de- trahatur, & aliquid ampliùs. Si enim tanta $it tardi- tas motus vis vnius, re$pectu motus vis alterius, quã- ta e$t proportio vis illius, ad hanc non fiet motus: vt $i pondus A quatuor librarum cum pondere B libræ vnius committatur: $intque ita connexa, vt dum A vno $patio mouebitur, B quatuor $patiis mouea- tur, ita vt motus A quadruplo tardior $it motu B nõ fiet motus, quia quantum A excedit B pondere tan- tùm deficit motus tarditate. <pb n="23"> <p>Tantum enim e$t libram vnam quatuor $patiis moueri, quantum libras quatuor vno $patio eodem tempore: $i igitur alterutri eorum ita con$titutorũ, vel momentum vis addatur, id cui additum fuerit, alterum mouebit. Idem fiet $i A ita connectatur vt vel momento citiùs quàm moueri po$itum e$t, mo|| ueatur vel B tardiùs. <p>Id etiam alia ratione o$tendi pote$t, $i vis A qua- drupla $it ad vim B, erunt in A quatuor partes, ip$i B æquales. Si igitur B cum $ingulis illis committatur, ita vt æqualiter moueantur, non fiet motus: $i verò alterutri aut ip$i B, aut $ingulis illis partibus vis vel motus momentum adiiciatur vel detrahatur, illa cui adiectum fuerit, aut cui non detractum fuerit, nutu $uo mouebitur, & aliam contra nutum eius moue- bit. Addito igitur ip$i B momento, dum vno $patio mouebitur, $ingulas illas partes vno $patio moue- bit. Vbi igitur $ingulas $emel mouerit, ip$a quater mota erit. Dum verò $ingulæ $emel motæ erunt, to- tum ex illis con$tans $emel motum intelligetur: po- terit igitur B addito ip$i momento, dum quater mo|| uebitur, $emel totum A mouere. <p>Tertio modo id ip$um concludere po$$umus. Si duæ vires æquales connectantur, ita vt motæ, æqua- liter moueantur, altera in alterã non aget. Si verò ita connectantur vt motæ inæqualiter moueantur, <pb n="24"> quantum altera alteram celeritate $uperabit, tãtum & vi $uperabit. Vt $i vis A vi B æqualis $it, ac ita con- nectãtur, vt B quatuor $patiis moueatur, dum A vno $patio mouebitur, B quadruplam vim habebit ad A, quia eam in motibus $uis proportionem $eruant, quam $i $eruar&etilde;t arbitrio $uo commi$$æ, B ad A qua- drupla e$$et. Si igitur illis ita connexis, ip$i A adda- tur vis triplo maior quàm ip$a $it, B illis quatuor re- $i$tet, nec fiet motus. <p>Duarum igitur virium comparatarum, quanto altera $ubiectum $uum celeriùs mouebit, quàm al- tera: tanto illa hanc celeriùs mouere poterit, quàm ip$a moueatur, $i illi vis mom&etilde;tum additum fuerit. Ita vt quæ erit proportio vis ad vim, eadem $it mo- tus, quem illa in hac ciere pote$t ad motum quo ip$a mouebitur. Et è conuer$o quæ erit ratio motus ad motum, eadem erit vis cui additum fuerit momen- tum ad eam quam ip$a mouere poterit ratio reci- procè. Iam ad problematis no$tri demon$tratio- nem veniamus. <HEAD><I>Propo$iti problematis demon$tratio.</I></HEAD> <p>Sit data vis A quantacunque illa $it magna vel parua: datum verò pondus B quantumquantum il- lud $it, dico me vi A pondus B tollere po$$e. Id $ic de- mon$tro. <pb n="25"> <p>Primùm enim ex doctrina $ecundi l&etilde;matis, quod inferiùs demon$trabitur, $ciam proportionem pro- ximè maiorem, quàm $it A ad B proportio. Deinde ex doctrina primi lemmatis ita connectam A & B, vt quando ambo mouebuntur, nunc $it ratio motus quo B mouebitur ad motũ quo A mouebitur, quàm $it A ad B. His peractis $equitur vim A pondus B mo- turam ex $ecundo $uperiùs demon$trato theorema- te. Quod erat propo$itum. <HEAD>LEMMA I.</HEAD> <p>Duas vires ita connectere, vt $i moueantur, earũ motus, in data ratione alter ad alterum $e habeant vires contrariæ, aut medio aliquo, aut per $e ab$que vllo medio committuntur. Si ab$que medio com- mittant, eodem motu mouebuntur, maior enim mi|| norem eodem motu, quo ip$a moueri poterit, mo- uebit: aut æquilibrium faci&etilde;t, $i æquales $int: vt $i le- ue graui committatur, $iquidem leuitas grauitate maior $it, attolletur graue: $in verò grauitas maior $it, leue deprimetur: $i æqualia $int, non mouebun- tur. <p>Si verò medio aliquo connectantur mediorum varia $unt genera. Aut enim medium e$t flexibile & <G>o(moiomere\s</G>, vt funis, catena, &c. aut e$t inflexibile, il- lúdque aut rectum, aut curuum, vt recta linea vel curua vel angulus. Atque hæc omnia aut continua <foot>E</foot> <pb n="26"> $unt aut diui$a, $implicia aut compo$ita. <p>Horum autem mediorum opera fit vt vires illis applicatæ, quarum iidem $unt nutus, contrariis mo- tibus moueantur. Id aut&etilde; fit cùm in mediis illis inter eorũ extrema interiacet quies vna vel plures. Ex&etilde;pli gratia, $i duo pondera funis extremitatibus alligata $int, & funis clauo fixo & immobili incumbat pro- pter illam quietem inter vtrumq; pondus po$itã nõ poterit alterũ deor$um moueri, quin alterũ $ur$um moueatur. Id&etilde; fiet in linea recta, $i enim illius extre- mitatibus pondera duo annexa $int, & inter ea $it in illa punctũ aliquod quie$cens, dum alterum ex illis ponderibus deor$um feretur, alterum a$cendet. Pũ- ctum autem illud quie$cens in linea illa recta, Gr<17>cis hypomochlium dicitur, eò quòd vecti, quem <G>mo/xlon</G> vocant, $ubiiciatur. Huius autem hypomochlij, in recta linea $e vecte collocatio faciet, vt lineæ extre- ma $ecundum datam rationem moueantur. Si enim recta linea in datam rationem diui$a fuerit, hoc e$t, vt pars altera ad alterã eam habeat ration&etilde;, quã quis voluerit. (Quod quid&etilde; quo modo fiat docet Euc.) & in puncto diui$ionis collocetur hypomochliũ, illius lineæ extrema $ecundum illã ration&etilde; mouebuntur: $iue enim con$ideretur circulorũ, quos illa extrema de$cribent, proportio $iue $patium quod illa in linea perpendiculari notabunt vtroque modo illi motus, <pb n="27"> partiũ illarũ proportion&etilde; $eruabũt. Sit ex&etilde;pli gratia linea AB, quæ in puncto C in datam rationem $ecta $it, puta vt pars AC quadrupla $it ad partem CB, mo- ueatúrque circa centrum C, punctum A de$cribet cir|| culum quadruplũ ad illum quem B de$cribet. E$t enim ead&etilde; ratio in cir- culo diametri ad diametrũ, quæ e$t circunferentiæ ad circunferentiã (vt alibi demon$trauimus.) Hac igitur ratione A puncti motus quadruplus <fig> erit ad puncti B motũ. Si verò ponamus AD perpen- dicular&etilde; e$$e, & linea AB illi primùm coincid&etilde;s circa punctum C, moueatur donec A ad D perueniat: tum eod&etilde; momento B perueniet ad E: motum igitur erit A in linea perp&etilde;diculari tota circuli maioris diame- tro, quæ e$t AD:B verò in ead&etilde; linea, minoris tãtùm circuli diametro motũ erit, qu<17> e$t BE. Atqui diame|| ter AD quadrupla e$t ad BE, quia ex hypothe$i $emi- diametrorũ illorũ circulorũ proportio e$t, vt 4 ad 1. Motus igitur pũcti in linea A perp&etilde;diculari ad motũ pũcti B quadruplus erit: Id&etilde; dicetur $i in data aliqua alia ratione $ecta $it linea AB. Demõ$tratũ igitur e$t quomodo fieri po$$it vt rectæ line<17> extrema $ecũdũ datã ration&etilde; moueantur. Si igitur illis extremis duæ vires applicentur, mouebũtur eod&etilde; ip$o motu: ergo $ecundum datam vel propo$itam rationem. Quod a$$umptum erat. <foot>E 2</foot> <pb n="28"> <p>Quod autem in vecte demon$tratum e$t, illud e- tiam in reliquis mediis demon$trandum erit, et$i lemmati $atisfactum e$t, dum in vno exemplo id probatum e$t. Ante igitur $ecundum lemma de- mon$trabimus. <HEAD>LEMMA II.</HEAD> <p>Proportionem proximè maiorem vel minorem, quàm $it datæ vis ad datum pondus proportio, de- terminare vis cuiuslibet quantitas ex motu ciere po|| te$t, metienda e$t. Motum autem ciere pote$t vel in $ubiecto $uo, vel in alieno. Vis autem men$ura non $umitur ex eo motu quem in $ubiecto $uo ciere po- te$t, eo quòd licet vis quælibet certum motum ha- beat & determinatũ quo $ubiectum $uum mouet, illius tamen quantitas, vt $uprà diximus, nondum demon$trata e$t. Supere$t igitur vt vires motu illo metiamur, quem in alieno $ubiecto ciere po$$unt, vt id fiat, quærenda nobis $unt $ubiecta quæ in homi- num pote$tate $int, & cum vi qualibet committi po$$int. Omnium autem mobilium $ubiectorum, maximè in hominum pote$tate $unt grauia: leuia e- nim coercere vix po$$umus. Ideo vires illis metiri $olemus, $ed grauibus quæ vel vel figuris $uis & com|| page vel va$e aliquo coercentur. Itaque v$us homi- num certas qua$dam ponderum men$uras $ibi $ta tui, ponderibus $cilicet quibu$dam certa quãtitate <pb n="29"> con$tantibus inditis nominibus, vt e$$ent ponderũ omnium communes men$uræ, vt $unt libræ, vncia, drachm<17>, &c. quas famo$as men$uras vocãt. Quem- admodum igitur numeros numeris, $ic pondera põ- deribus metimur. Tãtum enim pondus e$$e dicitur, quot libras vncias drachmas æqualiter mouere po- te$t dempto momento. Nec tantum pondera hoc modo metimur, $ed etiam alias omnes vires motum ad locum cientes. Quot enim libras vir aut aliud a- nimal vel v&etilde;tus aut ignis, aut aliqua alia vis dempto momento mouere poterit, tot libris illam æqualem e$$e dicemus. Si igitur data vel propo$ita vis metien- da $it, $iquidem naturalis $it, quoniam docuimus vim naturalem per totum $ubiectum diffu$am e$$e in rebus homogeneis: id e$t, vt quæ e$t proportio molis ad molem, eadem $it ponderis ad pondus: $u- memus partem aliquam illi homogeneam, aut ex i- p$o $ubiecto, aut ex alio ip$i homogeneo, eámque famo$a aliqua men$ura metiemur, vtramque $cili- cet committendo & ob$eruando, quem motum al- tera in altera ciere po$$it, vbi enim æquilibrium fa- cient motibus extremorum, quibus affixæ fuerint, proportionales erunt per 1 theorema: motus autem illi linearum dimen$ione quam Geometria docet, noti erunt, & eorum proportio, nota igitur erit & virium proportio. Atqui men$uræ famo$æ nota, per <foot>E 3</foot> <pb n="30"> $e e$t quantitas: duorum autem proportione cogni- ta & alterius quantitate, $tatim & reliqui quantitas innote$cit per $ecundam da. Eu. nota igitur vis quã- titate quæ parti illi ine$t, no$cetur & vis quãtitas qu<17> toti inerit: quæ enim erit ratio molis $ubiecti vis da- tæ ad molem particul<17> $umpt<17>, eadem erit vis totius ad vim partis. Hîc igitur erunt quatuor proportio- nalia, $cilicet vt moles ad molem: $ic vis ad vim ex quibus tria nota erunt: moles enim metiri Geome- tria nos docuit, præterea vis partis, vt demon$traui- mus, nota e$t, ergo & vis totius quantitas per deci- mam $eptimam $eptimi Elem. Eucl. <p>Si verò $ubiectum non $it homogeneum, vi ta- men naturali $it præditum, $i quidem data vis quam metiri volumus, ea $itque motum ciere volumus, tum con$iderabimus quæ pars in illa, vis minimum habeat: & ex ea totam ip$ius molem æ$timabimus: $i verò $it vis mouenda, $tatuemus qua$i tota $it ho- mogenea ip$ius parti, quæ vis plurimum in $e habe- bit, & ex ea totam ip$ius molem æ$timabimus. Ita- que tum illius quanta minima, tum huius quanta maxima e$$e pote$t, vis quantitas nobis nota erit per proximè demon$tratam rationem. Notis autem vi- rium quantitatibus, nota erit & earum proportio: ergo & proportio ip$a proximè maior vel mi- nor: addita enim vel detracta ip$ius denomi- <pb n="31"> nationi, vnitate erit proximè maior vel mi- nor. <p>Si verò vis data non $it naturalis, voluntariã qui- dem ita æ$timare po$$umus, qualis vt plurimum e$t, & $i quidem ea $it, qua mouere volumus, eam $tatuemus, quanta minima in eiu$dem generis $ub- iecto e$$e pote$t, vt $i vim hominis quinquaginta li- bris æqualem ponamus, vim equi centum: $i verò ea $it quam mouere volumus, $tatuemus eam quã- ta maxima e$$e pote$t, vt vim hominis 300 libra- rum, vim equi 500 librarum, & $ic dé cæteris: ita vt nullum $it dubium quin illa minor $it, quam $tatue- rimus, hæc verò maior. <p>Vis verò fortuitæ quantitatem nulla certa con- iectura a$$equi po$$umus: ita vt qua$cunque ma- chinas ei aptemus, modò moueat, modò non mo- ueat, neque ad no$trum in$titutũ magnoperè per- tinet illa inqui$itio: cum fortuitorum nulla $it di$ci- plina. <p>His igitur modis virium duarum datarum pro- portio proximè maior nota fiet, quod in $ecundo lemmate demon$trandum $ump$eramus. <p>Iam redeamus ad mediorum, quibus vi- res annectuntur, con$ide- rationem. <pb n="32"> <fig> <p>Docuimus quis $it $implicis ve- ctis effectus, $implex autem ve- ctis $emicirculi conuer$ione $uam operationem ab$ouit, ita vt $i vlteriùs F moueatur in in alio $e- micirculo motus prioribus contra- rios cieat: vt exempli gratia, $it vectis AB, cuius hypomochium $it C, dum A punctum de$cribet $emicirculum AFD, motus ille deor$um erit: interea verò B punctum de$cribet $emicirculum BGE a$cendendo: $i verò A tran$cendat, D incipiet a$cendere: B verò tran$cen- dens, E de$c&etilde;det: ideo excogitata e$t vectis ratio per- petua ex plurium vectium $ucce$$ione circa idem hypomochlium: e$t autem illa tum in ergatis aut $u- culis, tum in duorum tympanorum homocentrico- rum, $eu eadem axe transfixorum in planis parallelis aptatione, quorum $emidiametri $int in eadem pro- portione quæ in vecte ad propo$itum motum cien- dum nece$$aria e$t: centrum verò eorum $eu axis fi- xa $it, ac ita vires aptentur, vt maior minorem, mi- nor verò maiorem tympanum impellat. Quemad- modum autem horum tympanorum homocentri- corum opera vectis perpetui ratio inu&etilde;ta e$t, ita eo- rum multiplicatione motus, & mouentis & mou&etilde;- di, proportio in infinitum augeri pote$t. Cuius rei <pb n="33"> maximus e$t v$us: nec enim materia ad vectem, cu- ius longitudo $tadij vnius requireretur, idonea in- ueniri po$$et: plurium autem tympanorum propor- tionalium aptatione fiet machina tractabilis, cuius vis maior erit quàm vectis, cuius longitudo $tadij v- nius e$$et. Si enim duo tympani homocentrici a- ptentur, quorum proportio $it alterius ad alterum, decupla, vis quæ libram vnam æquabit, vim decem libris æqualem dempto momento mouebit, $i con- gruè illis tympanis aptentur: $i verò adhuc duo alij tympani fiant, quorum alterius ad alterum decupla $it proportio, ac minor illorũ ita aptetur, vt maior&etilde; ex prioribus moueat, appendatur deinde minori ex prioribus tympanis vis centum libris æqualis, maio- ri verò ex po$terioribus vis vni libræ æqualis, tum hæc illam mouebit, & $ic in infinitum motus extre- morum proportio multiplicari pote$t. Flexibili ve- rò medio quies ita aptari pote$t, vt duo eius extre- ma diuer$is motibus moueantur, & quidem $ecun- dum datam rationem. Exemplum habemus in orga|| nis poly$pactis, $eu trochleis, in quibus altero funis extremo immobili manente, reliquum funis circa plures trochleas conuoluitur, quarum aliæ centris immobilibus fixæ $unt, aliæ verò ip$is contrariæ cen tris mobilibus. Atque ita circa illas conuoluitur fu- nis, vt inter eas $it $patium tantum, quanta e$t linea, <foot>F</foot> <pb n="34"> per quam motum ciere volumus. Quoties igitur fu- nis extremum quod moueri pote$t, trahitur, $ingul<17> reuolutiones æqualiter minuuntur, eáque ratione, di$tãtia quæ e$t inter trochleas contrarias minuitur, ita $cilicet vt quot $unt reuolutiones, in tot partes di$tributum $it motus $patium. Quot igitur reuolu|| tiones erunt, totuplex erit motus extremitatis funis ad motum trochlearum mobilium ver$us fixas. Si i- gitur motus i$tius extrema con$tituantur, alterum quid&etilde; funis illa extremitas quæ mouetur, alterũ ve- rò terminus $patij illius, quod e$t à trochleis fixis ad mobiles contrarias: quæ erit proportio numeri con- uolutionum funis ad vnitatem, eadem erit motus, quo funis extremum mouebitur ad motum quo al- terum extremum mouebitur: pote$t autem in infi- nitum augeri conuolutionum numerus, ergo & mo|| tus illius proportio. <p>Angulus autem ad motum ciendum ita ad- hibetur. Diximus motus men$uram in nutus li- nea $umi, quantum igitur vis aliqua per eam ver$us locum naturalem mouetur, tanta e$t, quantum verò per eam à loco naturali reuellitur, tanta e$t eius re$i- $tentia. Quod verò per lineam à loco naturali æquè di$tantem (id e$t, per eam quæ nutus lineas $ecat ad angulos rectos) mouetur, illud mouenti non re$i- $tit, omnium autem linearum inter illas intercepta- <pb n="35"> rum, ac cum illis in earum inter$ectionis puncto cõ- currentium, quæ obliquè nutum ver$us, aut contra nutum ferri dicuntur, quo propiùs quælibet ad nu- tus lineam accedit, per illam rei motæ vis aut re$i$t&etilde;- tia maior e$t: quò verò propiùs ad lineam à loco na- turali æqui di$tantem accedit, eò minor e$t. Omniũ autem maxima e$t in nutus linea, æquidi$tans verò à loco naturali motui per lineam nutus omnino op|| po$ita e$t, obliquæ verò non ita quia $ecundum illas eod&etilde; $patio delata vis propiùs ad locũ natural&etilde; acce- dit, aut ab eo recedit, quàm e$$et, cùm moueri cœpit. <fig> <p>Sit exempli gratia AB linea nutus, vis alicuius, puta ponde- ris, $itque A $ur$um & contra nu|| tum: B verò deor$um & nutum ver$us, de$cribatúrque circulus, cuius AB $it diameter, quàm CD, alia diameter $ecet ad angulos rectos in centro E: omnes igitur lineæ à centro E ad circunferentiam circuli ductæ, quæ cad&etilde;t intra $emicirculũ CAD, contra nutũ a$c&etilde;- dere dicentur, quatenus circunferentiam $pectant: quatenus verò centrum $pectant, de$cendere dicen- tur: cõtra verò omnes in $emicirculo CBD à centro ad circunferentiam ductæ de$cendere circunferen- tiam ver$us, & centrum ver$us a$cendere dicentur: <foot>F 2</foot> <pb n="36"> illæ igitur erunt, quæ obliquè nutum ver$us aut con|| tra nutum ferri dicũtur: linea verò CED, neque a$c&etilde;- det, neque de$cendet: lineæ verò in ip$am ad angu- los rectos incidentes nutus lineæ erunt, quoniam li- neæ AB parallelæ erunt: $i igitur à centro E ducãtur lineæ ad circunferentiam inter A & D, puta EF, EG, EH, quarum EF $it proxima lineæ AB:EH verò pro- xima lineæ CD, ac per illas moueantur contra nutũ tres vires æquales eodem tempore, ita vt prima per lineam EF perueniat ad punctum F: $ecunda verò per EG perueniat ad G, tertia per EH perueniat ad H, dico vis motæ per EF maiorem fore re$i$tentiam, quàm illius quæ per EG aut EH, mouebitur & illius quæ per EG mouebitur, maiorem quàm eius quæ per EH mouebitur. Ducantur enim à punctis FGH in lineam ED perpendiculares FK, GL, HM, illæ erũt nutus lineæ: quanta igitur erit FK, tantum vis prima mota cen$ebitur, quanta verò GH, tantum vis $ecun|| da: quanta verò HM, tantum vis tertia mota cen$ebi- tur: at qui quæ e$t ratio motus ad motum in viribus æqualibus, per quartam cõclu$ionem huius tracta- tus, eadem e$t re$i$tentiæ ad re$i$tentiam: quæ igitur erit ratio linearum illarum perpendicularium, inter $e eadem erit & re$i$t&etilde;tiarum virium per lineas ob- liquas motarum, à quibus illæ perpendiculares du- ctæ $unt, atqui quo lineæ illæ perpendiculares pro- <pb n="37"> piùs ad AB circuli diametrum accedunt, eò $unt ma|| iores per decimam quartam tertij Elem. Eu. ergo & vires per eas lineas delat<17> à quarũ extremitatibus du|| c&etilde;tur, maiores re$i$t&etilde;tias habebũt: at qui quò magis ad AB, accedunt eo magis ab ED recedunt: quò igi- tur magis ad ED accedent, eò minores erunt re$i$t&etilde;- tiæ, hinc $equitur tanquam corollarium. Si duæ vi- res per$e æquales triangulo rectangulo aptentur, cu|| ius latus alterum, angulum rectum con$titu&etilde;tium: $it earum nutus linea, ac per illud vis altera mouea- tur, altera verò per latus angulo recto oppo$itum, quæ erit ratio huius lateris ad illud, eadem erit re$i- $tentia vis illius ad vis huius re$i$t&etilde;tiam. Atqui duo- rum illorum laterum proportio in infinitum auge- ri vel minui pote$t, ergo & re$i$tentia virium illis ap|| plicatarum. Hoc igitur modo po$$umus vti angulo $eu triangulo ad motus ciendos, nempe eo immoto vires per eius latera mouendo. <p>Sed & alia ratione eo vti po$$umus, ip$um $cilicet triangulum mouendo, qui tunc cuneus dicitur. Vt autem eo hac ratione vtamur, vires ita di$ponere o- portet, vt altera illarum vni ex lateribus angulum rectum con$tituentibus incumbat, altera verò lateri ip$um $ubtendenti. Illa enim tantùm mouebitur, quantum latus cui altera incumbit. Sit exempli gra- <foot>F 3</foot> <pb n="38"> <fig> tia triangulus ABC, cuius angulus B rectus $it, latus verò illum $ubtendens $it AC, incumbátque vis D lateri AB, vis verò E lateri AC, $itque vis D nutus linea BC, vis verò E nutus $it linea AB, erigatúrque à puncto C linea CF perp&etilde;dicularis ad BC æqualis AB, à qua vis E nõ di$cedat. Si triangulum illud in plano fixo moueatur, donec AB perueniat ad CF, mota e- rit vis D nutu $uo tantùm, quanta e$t linea BC, vis ve- rò E tantum, quanta e$t linea AB. Cùm autem po$$it in infinitum augeri & minui, laterum illorum pro- portio, po$$unt etiam duorum illorum extremorũ motus in data ratione con$titui. Quanta enim erit BC ad AB, tantus erit motus vis D ad motum vis E: ergo & in hoc medio primum lemma no$trum de- mon$tratum e$t. <p>In hoc autem medij genere hoc diuer$um ab aliis mediis accidit, quòd non tam facilè vtrin- que motus eo cietur, ac in illis, in quibus $i virium proportio momento vel $uperet, vel minor $it pro- portione motus extremorũ medij, tum motus hinc vel inde cietur. Atqui in hoc propter $uperficie- rum contactum, quarum pori vel a$peritates $e- $e mutuò $ubingrediuntur, & ita inuicem adhæ- rent, fit vt ægriùs cieatur motus, faciliùs ve- <pb n="39"> rò mouebuntur, $i illæ $uperficies leues fue- rint, vt $i pinguibus inungantur, vel ex materia leui con$tent. Ideò enim reliqua faciliùs mo- uentur, quòd circa puncta veluti quædam mo- ueantur. <p>Simplicis autem trianguli rectilinei aut cu- nei in diuturnis motibus ciendis rarus e$t v$us, tum ob illud quod notauimus incommodum ex vitio materiæ, quo fit vt in eo qua$$atione opus $it, tum etiam quòd breui eius operatio termine- tur. Ideo illo vtimur aut cùm $olutionem con- tinui molimur, quæ breui tempore fit, vel cùm aliquid di$tendere aut aliquid figere volu- mus. <p>Anguli verò curui linei magnus e$t v$us, præ- $ertim helicis cylindricæ. Nihil enim aliud e$t he- lix quàm triangulus curuus: $i enim alteram ex lineis rectis angulum con$tituentibus, cylindri ba$i ip$i lineæ æquali obuolueris, reliquam ve- rò $eruato eodem quem con$tituunt angulo, $u- per cylindri $uperficiem curuaueris, habebis he- licem cylindricam, quam $i iterum $eruato eo- dem angulo in rectum extendas, habebis trian- gulum rectilineum. Hæc autem helix commo- di$$ima e$t, tum quòd in parua mole triangulum <pb n="40"> longi$$imum obuolutum contineat tum quod par- tes eius omnes $ibi inuicem cõgruant: omnes enim partes helicis cylindricæ, aut circa eundem, aut circa æquales cylindros de$criptæ, $eruato eodem angulo $ibi inuicem $uppo$itæ congruunt. Quo fit, vt $i ca- ui cylindri interiori $uperficiei impre$$a $it helix, a- lia verò cylindri $uperficiei connex<17> ip$i cau<17> æqua- li, $eruato eodem qui in illo e$t, angulo, $ibi inui- cem & omnes vnius omnibus alterius partibus con|| gruant. <p>Huius autem medij cùm plures $int partes, con|| $tat enim duabus $uperficiebus, pluribus etiam mo|| dis variari pote$t. In $umma autem eius affectus hic e$t, vt cylindri ba$i in $uperficie immobili circum a- xem conuer$a, vis mouenda helicem premat: dum enim cylindrus circum axem conuertetur, vis mo- uenda qualibet reuolutione tantùm $ecundum cy- lindri longitudinem mouebitur, quanta e$t di$tan- tia duarum helicis $pirarum. Quæ igitur erit propor|| tio circunferentiæ circuli ba$im cylindri con$titu&etilde;- tis ad illam di$tãtiam, eadem erit motus orbicularis cuiu$libet puncti in cylindri $uperficie $ignati ad mo|| tum rectum vis helicem prementis. <p>Illud igitur medium ex duobus compo$itum e$t, recto $cilicet & curuo: ita igitur vires illi aptandæ $unt, vt eius quam mouere volumus, nutus linea $it <pb n="41"> cylindri longitudo: illa verò qua mouere volumus, in orbem moueatur, aut $i eius nutus linea recta $it, circa cylindrum fluens illum moueat contingendo. <p>Et hæc quidem de mediis in $uo genere con$i$t&etilde;- tibus. Po$$unt autem fieri eorum Syzygiæ vectis $ci- licet cum trochleis, helicis cum vecte, aut cum tro- chleis, aut omniũ $imul. Vectis cum trochleis $i fu- nis illud extremum, quod mouetur in trochleis, er- gatis aut $uculis inuoluatur: helix cum vecte coniũ- getur, $i tympanus circum axem moueatur, $itque i- ta denticulatus, vt dentes ip$ius helicem in cylindro excauatam ingrediantur, quam machinam helicem perpetuam vulgò vocant, eò quòd eius conuer$io perpetua e$$e po$$it, cum helicis $implicis operatio non excedat ip$ius longitudinem. Quorum omniũ tum inter $e, tum ad $ubiecta mouenda accommo- datio adeò varia e$t, vt $cripto cõpreh&etilde;di vix po$$it. Ex his autem quæ dicta $unt, mediocris ingenij me- chanicus poterit ea prout ip$i nece$$e erit aptare. In machinis autem omnibus hæc cautio adhib&etilde;da e$t, vt earum $tructura firma $it, præ$ertim verò vbi cir- cum axes aliquas fit motus, deinde vt vincula, qui- bus illis vires affingũtur, valida $int, illarum enim o- mnium vis in $uo $tatu manendi vtrique vi aptandæ æqualis e$$e debet: aget enim in illas vis vtraq;, quòd $i medium firmum non $it, motus in ip$a machina <foot>G</foot> <pb n="42"> ciebitur. Itaque di$$oluetur, ideò manca videtur pe- titio illa Archimedis in hoc problemate <G>do\s pou= stw= ta\n ga\n kinw=</G>, quòd locum tãtùm in quo con$i$tat, $ibi da- ri po$tulet, cùm pr<17>terea vincula quibus terra à loco $uo naturali remota $u$tineri po$$et, petere debue- rit: id aut&etilde; vt & ea quæ de motu in infinitum augen- do vel minuendo diximus, ita intelligenda $unt, vt $ciamus infinita hominum pote$tati, quacunque ar- te iuuetur, non $ube$$e: quamuis enim Geometri- ca con$ideratio in infinitum $e$e ext&etilde;dat, $unt ta- men certi fines, vltra quos natura rerum nos pro- gredi non patitur: $unt præterea vitia materiæ, quæ Geometra non con$iderat, illa tamen non ob$tant quò minùs id quod proponitur, verũ $it in intellectu. An verò id quod proponitur tale $it, vt in opus educi po$$it, con$iderabit Geometer habita ra- tione circun$tantiarum, præ$ertim verò temporis, quod ip$i præ$cribetur, & $umptuum quos facere poterit is qui aliquid faciendum proponet, quæ $i abundè $uppetant, nihil non fieri poterit. <p>Vt igitur hunc tractatulum concludamus, ac ve- lut in $ummam contrahamus: In motibus ciendis tria $unt con$ideranda. Vis qua motum ciere volu- mus, vis quam mouere volumus, & motum quo mouere volumus: duo enim quælibet ex illis ter- tium determinant. Si enim vi parua vim magnam <pb n="43"> mouere volumus, id nonni$i paruo motu facere po$$umus: $i verò vim aliquam magno motu mo- uere velimus, vi magna mouente ad id opus e$t. Si vi parua magnum motum ciere volumus, mini- mam vim mouendam e$$e oportet: vt puta, $i libra vna centum libras mouere velimus, oportet motum illius, motu huius c&etilde;tuplo maiorem e$$e. Si verò ve- limus libra vna aliam vim ita mouere, vt ea cen- tuplo citiùs moueatur, quàm libræ illius pondus, il- lam cente$imam tantùm libræ vnius partem e$$e ne- ce$$e e$t: $i verò libram vnam ita mouere velimus, vt centuplo citius moueatur, quàm vis quæ illam mo- uebit, vi centum libris maiore ad id opus erit. Neq; patitur natura $ibi in his vim fieri: $i enim eiu$modi proportio aliquo modo infringi po$$et, $tat<*> da- retur <G>au)tw/ma e)nde/lexes</G>, vel vt vocãt, motus perpetuus in perpetua materia. <p>Ex his igitur fundamentis inuentæ $unt machinæ omnes, quotquot antehac $unt excogitat<17>, & quot- quot po$thac excogitari poterunt, ad ea referentur. <p>Itaque $i propo$itæ cuiu$cunque machinæ effe- ctum $cire velimus, con$ideranda $unt duo eius extrema, quibus vires applicantur: quæ enim erit ratio motus vnius ex illis extremis, ad motum alterius eadem erit & virium, quæ illis extre- mis ad motum ciendum applicari poterunt, <foot>G 2</foot> <pb n="44"> addito aut dempto momento, vt $i dum alterũ ma- chinæ extremum palmo vno mouetur, alterum cen|| tum palmis moueatur vis quælibet huic annexa, al- teram alteri annexam centuplam momento minùs, mouebit: $ed motu centuplo: mouebit autem & re- liquas omnes vires, quæ infra centuplam proportio- nem ad eam habebunt: $i verò non vim centuplam mouere, $ed in data vi motum centuplum ciere veli- mus, eam quidem in extremo quod centuplo citiùs mouetur, locare oportebit, alteram verò alteri extre|| mo centuplo maiorem adhibere nece$$e erit. <p>Hinc oriuntur tria problemata, videlicet data vi datum pondus mouere, quod iam demõ$trauimus: item data vi datum motum ciere, quod ex præced&etilde;- tis demon$tratione ab$oluitur: tertium, datam vim, dato motu mouere, quod quidem faciliùs demon- $tratur, quàm ab$oluitur. Scimus enim, vt id fiat, vim aliam proportionalem (vt docuimus) requiri, quo modo autem illam habere po$$imus, explicare hoc opus, hic labor e$t. Non enim quemadmodum organa ad motus in data proportione ciendos ha- bere po$$umus: ita & vires infinitæ magnitudinis po|| te$tati no$træ $ub$unt. <p>Quod enim ad vires in grauitatis & leuitatis gene|| re con$i$tentes attinet, eas vt moueant antè moueri oportet à loco vel $itu naturali, vi aut&etilde; aliqua id fie- <pb n="45"> ri oportet, quæ iam in promptu $it. Quæ $i tanta e$t, vt po$$it motum propo$itum ciere, fru$trà fiat, $i alij à loco naturali remouendæ, qua po$tea ad motum vtendum $it, adhibeatur. <p>Nullum igitur ex eiu$modi viribus commodum percipi pote$t, ni$i quis in futurum $ibi pro$piciens, multa à loco vel $itu naturali ex otio remoueat, vt iis, cùm opus erit ad motus ciendos vtatur. Hac ra- tione quantas vires in promptuario habebit, tantos motus ciere poterit. Præcipuum igitur quod ad hu- ius problematis con$tructionem pertinet, e$t, vt vi- res quàm maximas pote$tati no$træ $ubiiciamus, vo|| luntariis aut fortuitis viribus naturales præparando, aut à natura præparatas, quæ pote$tati no$træ $ub- $unt, accipiendo. Qualia multa $i mortales aduerte- rent, fieri po$$ent, vt aliàs, Deo duce, docebimus. <p>Earum autem virium quæ in raritatis & den$ita- tis proportione con$i$tunt, $ubiecta plurimùm in no$tra pote$tate $unt: multa enim $unt naturalia $ub iecta actu, den$a potentia verò rara. Si quod igitur eorum potentia proxima $it rari$$imum, ita vt nullo negotio actus ille raritatis induci po$$it, concluda- túrq; loco aliquo angu$to, po$tea inducatur ille a- ctus, cùm rara maior&etilde; locum occupent, quum den- $a, fiet vt locus in omnem partem di$tendatur, illius autem partes minùs cohærentes, tantum impellen- <foot>G 3</foot> <pb n="46"> tur, quanta e$t proportio molis rei rarefactæ ad mo- lem illius cùm den$a e$$et: illa autem raritatis po- tentia proxima e$t in compo$itione $ulphuris & nitri: ea igitur & $imilibus $ubiectis, in data vi datus motus cieri pote$t. <HEAD>FINIS.</HEAD> <fig> <HEAD>Errata quæ inter imprimendum irrep$erunt, $ic corrigito.</HEAD> <p><I>Pagina</I> 7. <I>linea</I> 10, <I>munere, lege nuere. pag.</I> 11. <I>lin.</I> 12, <I>comparationibus, lege comparati, ommi- bus. pag.</I> 12. <I>lin.</I> 16. <I>finis, lege fini. pag. eadem. lin. penult. Altero, lege Alto. pag.</I> 20. <I>lin.</I> 16. <I>quum</I> C <I>ad</I> L. <I>lege quam. pag.</I> 25. <I>lin.</I> 5. <I>nunc $it ratio, lege minor $it. linea</I> 13. <I>Vi- res maiori litera</I> (<I>e$t enim $ectionis initium. lin.</I> 15. <I>mittant, lege mittantur. pag.</I> 27. <I>li.</I> 20. <I>puncti in linea</I> A, <I>lege puncti</I> A <I>in linea. pag.</I> 28. <I>lin.</I> 9. <I>vis, lege V is, maiori litera</I> (<I>e$t enim $ectionis initium. lin. e. motu ciere, leg. motu quem ciere. lin.</I> 23. <I>metiri $olemus, lege non $olemus. lin. vlt. $tatui, lege $tatuit. pag.</I> 32. <I>lin.</I> 4. <I>ab$ouit, lege ab$oluit. lin.</I> 5. <I>dele</I> F. <I>lin.</I> 12. <I>&</I> 13, <I>pone virgulam po$t</I> D <I>&</I> E. <I>lin.</I> 8. <I>hypomochium, lege hypomochlium. pag.</I> 37. <I>li.</I> 13. <I>re$i$tentia, lege re$i$tentiæ. pag.</I> 39. <I>lin.</I> 3. <I>leui, lege læui. pag.</I> 40. <I>linea</I> 5. <I>$uppo$itæ, lege $uperpo$itæ li.</I> 7. <I>connexæ, lege conuexæ. lin.</I> 13. <I>affectus, lege effectus.</I>