Degl'horologgi
Modo di descrivere gl'horologgi in tutte le superficie piane
solamente con le circonferenze horizontali, e descensive, cioè farli
con quelle medesime circonferenze che si fanno quelli in piano equidistanti all'horizonte e
gli horizontali inclinati, delle quali non dirò il modo di farli per non dire il
medesimo, che ha detto Tolomeo nel libro de analemmate et il Comandino
nel libro de horologiorum descriptione , ma dirò solo il modo di descriverli in
tutte le superficie piane perpendicolari all'horizonte, cioè tanto verticali quanto meridiani, e
quanto a questi inclinati.
Sia il piano perpendicolare all'horizonte cdxy, sia la linea cd
commune settione del piano e dell'horizonte, sia la lunghezza dello stile
ba, ilqual ce lo immagineremo perpendicolar'al piano et alla linea
cd,
adunque sarà nel medesimo piano con la linea cd
per 2 dell'11
,
hora io metto il centro del circolo nella
punta (
qui il circolo se intende per l'analemma
)
del detto stile e lo metto equidistante
all'horizonte, ilqual verrà ad esser nel medesimo piano dello stile e della linea cd
et metto la commune settione del meridiano, e dell'horizonte, cioè la linea meridiana al suo
luogo cioè secondo la dispositione del cielo, dipoi rapresento tutte le circonferenze
horizontali nella linea cd. Ma per la difficultà del metter'il centro del circolo nella punta dello
stile, e per la difficultà che ci saria nell'operar in questo modo, ci potemo immaginar
lo stile abassato, e disteso nel piano dell'horologio, ma chel sia perpendicolare alla
linea cd, tirisi adunque dal punto b una linea perpendicolar alla linea cd, et sia ba,
laqual sia equale allo stile, poi atorn'al centro a descrivo il circolo fnpm, nel qual siano
tutte le linee e circonferenze dell'analemma, e questo bisogna situarlo in modo chel venghi
a corrisponder al circolo situato in piano equidistante all'horizonte, e si po far in questo modo.
Trovisi la declination della linea cd overo di tutto il piano dell'horologio dalla linea meridiana,
come per esempio sia la cd 45 gradi verso levante, trovisi la sua perpendicolare, che sarà 45 gradi
verso ponente, sia la linea ag la meridiana, e posto il centro del circolo in a, e sia
da gf 45 gradi verso ponente bisogna metter'il punto f nella linea ab per essere
commune sectione del piano dell'horologio, e del circolo maggior che passa per li 45 gradi fra
ponente e tramontana e subito il circolo, le linee, e le circonferenze saranno situate secondo le loro
disposizioni
et secondo che si havevano da rapresentar le circonferenze horizontali dalla punta del
stile come s'è detto di sopra, così medesimamente dal punto a, si
rapresentaranno nella linea cd.
Et avverrà il medesimo perché si formano sempre triangoli simili et equali, per essere la linea ba equale al stile e gli angoli si fanno equali.
Et essendo ag la linea meridiana, vedasi dove
ag sega la cd, e sia e, sia pk la circonferenza horizontale delle 28 hore
di capricorno, et pi quella delle 17, et po delle 15 et per rappresentar queste nella
linea cd, tirisi dalli punti kio per il centro a linee rette, e dove segaranno la cd,
in quelli punti saranno rappresentate, e siano dove sono, 16, 17, 18
di ♑, sia
pq la circonferenza horizontale delle 11 hore di cancro, po delle 12, et pr delle 16,
e nel medesimo modo siano rappresentate nella
linea cd nelli punti 11, 12, 16 di ♋; similmente si rappresentaranno tutte l'altre
circonferenze horizontali di cancro e di capricorno dell'equinottiale e degli altri circoli,
purché le seghino la linea cd e quelle che non la segano lasciarle che sarà segnale
chel sole non mostrava quelle hore nel dato piano, dipoi da tutti li punti rappresentati
nella linea cd si tirino tante perpendicolari
alla linea cd, lequali saranno anche perpendicolare all'horizonte
perché il dato piano è perpendicolar'al horizonte
, et purché la linea cd è commune sectione del piano dell'horologgio
e dell'horizonte, però se li rappresentano tutte le circonferenze horizontali, accioché le
perpendicolari che cascano da questi punti vengano a esser commune sectione del piano
dell'horologio e delli circoli maggiori, che passano per le loro circonferenze horizontali
per la 6 del primo di Theodosio
, che
per essere maggiori vengono a passar per la punta dello stile, per esser nel centro del mondo
e da questo è manifesto, che essendo il sole in qualsivoglia di questi circoli maggiori e dove si voglia,
cioè o alto o basso, purché 'l sia sopra l'horizonte, sempre farà l'ombra della punta del
stile nella commune sectione del piano e del circol maggior dove lui si trova per esser tutti in un
medesimo piano, et ogni volta per la medesima ragione chel sole sarà nel circolo meridiano,
l'ombra della punta del stile sarà nella perpendicolare che nasce da e, per esser'ella
commune sectione del piano dell'horologio e del meridiano.
Ci resta a trovar i termini delle ombre nelle commune sectioni con le circonferenze descensive,
et prima immaginiamoci il stile perpendicolar'al piano dell'horologio metteremo il centro del
circolo nella punta del stile, et lo metteremo perpendicolar'all'horizonte; et per essere ε g
la linea meridiana, la metteremo alta dal'horizonte quanti gradi è la elevation del polo, et a quanta
elevatione e fatto l'analemma, e poniamo ch'ella sia gradi 44, e da g verso l nummero 44 gradi
che siano gu, e dal punto u per il centro b, tiro una linea retta ubx la qual mi
rappresentarà l'horizonte, et essend'il circolo perpendicolar'all'horizonte, bisogna metter questa linea ubx,
equidistante all'horizonte anzi per esser la punta dello stile nel centro del mondo, la linea ubx sarà
nel medesimo piano dell'horizonte, e nelle operationi bisogna avertir sempre ch'ella sia sempre
equidistante all'horizonte, accioché le circonferenze descensive siano sempre al suo luogo,
e volendo sempre essend'il sole in capricorno, dove l'ombra della punta dello stile farà l'ombra
alle 18 hore, voltisi il circolo che è nella punta dello stile
verso la perpendicolar delle 18 hore di ♑, finché 'l piano del circolo, et al linea perpendicolar che nasce dalle 18
di ♑, sia in un medesimo piano, il qual circolo verrà a esser
nel medesimo piano del circolo
maggior, che passa per la circonferenza horizontale delle 18 ore di ♑.
Sia la circonferenza
descensiva delle 18 hore di ♑, equale alla ft, e tirando da quel punto una linea retta che
passi per il centro laqual segarà la commune sectione del piano dell'horologio e del circolo maggiore
che passa per la circonferenza horizontale dell 18 hore di ♑
cio è la perpendicolar delle 18
di ♑; per essere tutti in un medesimo piano et in quel punto dove sarà segata detta perpendicolar,
essend'il sole in ♑; la punta dello stile alle 18 hore farà l'ombra; la dimostratione
di questo è facile, perchè essendo il circolo grande, che passa per la circonferenza horizontale
delle 18 hore di ♑
et il circolo dell'analemma, et la perpendicolar commune sectione
del circolo grande, e del piano dell'horologio, tutti in un medesimo piano, et essendo la punta del
stile centro di tutti doi li circoli, et centro del mondo, et l'angolo fatto nel centro dell'analemma, è
equale anzi commune all'angolo fatto dal nostro Zenit, et il centro del mondo e dove si trova
il sole, bisogna di necessità, che essend'il sole in ♑
alle
18 hore, l'ombra della punta del stile
sia nel detto punto, fatto nella perpendicolare delle 18 hore di ♑
e nel medesimo modo,
si operi con le altre perpendicolari, voltand'il circolo dello
analemma, accio sia nel medesimo piano
della
perpendicolare
che si ha da trovar la determinazione dell'ombra
della punta del stile, dipoi trovar la sua circonferenza descensiva,
laqual ne mostra, la latitudine, e l'altezza
del sole sopra l'horizonte et dalla circonferenza et il centro tirar
una linea, che seghi la perpendicolar
e notar li punti di poi congiunger le 16 hore di ♑
con le 16 di
♋,
et le 17, con le 17 , et similmente
le altre, e così determinaremo, e finiremo l'horologio, ma per la difficultà che saria nel operar
bene in questo modo, si potrà formar nel piano dell'horologio il circolo, e dove si voglia, ma per
comodità nella linea cd, et il suo centro nel punto b. Et sia fnpx e far che xu sia nella linea
cd perché tutte due ci rappresentano l'horizonte, e per trovar dove vadi segata la perpendicolar
delle 18 hore di ♑, piglisi la lunghezza della linea che è dalla parte del stile alle 18 di ♑
che sia z, che è la medesima che è da az, per essere triangoli simili et equali, e si facci a detta
linea equale la b a, e dal punto a sia tirata la
perpendicolare
ab alla linea cd, et essendo
ft la circonferenza descensiva delle 18 hore di ♑, si tiri
dal punto t et b una linea retta, che seghi
ab nel b, et sia segata la perpendicolare
delle 18 di ♑
nel punto W, et sia equale la
linea z W alla ab, dico che l'ombra della punta del stile quand'il sole sarà nel ♑
alle 18 hore sarà nel punto W, e questo medesimo si
farà
in tutte le altre perpendicolari
con le loro circonferenze descensive,
et ritornarà il medesimo, come se havessimo fatto stand'il centro
del circolo nella punta del stile si come s'è
detto di sopra, perché essendo li doi angoli bab
retto; et a bb del triangolo bab
equali agl'angoli fatti dalla linea W z, e
dalla linea che va da z alla punta del stile che è
angolo retto, et all'angolo
fatto dalla linea
che va da z alla punta del stile,
e dalla linea che va dalla punta del stile a W del triangolo
W z, et della punta del stile, et essendo b a equale alla linea che va da z alla punta del
stile, adunque tutti gli angoli, e tutti i lati saranno equali
per la 26 del primo
, e tutt'il triangolo al triangolo, adunque
la linea ab sarà equale alla z W, si come per maggiore intelligentia di quanto
s'è detto e per esempio.
Sia la linea b a la commune sectione del piano dell'horologio,
e dell'horizonte, sia bc
il stile perpendicolar'al piano dell'horologio et alla linea $b
a et ba sia equale a bc et sia ab$
perpendicolar'a b a; sia z W la perpendicolar delle 18
hore di ♑, sia b a,
equale a za et a z c perché l'angolo zba del triangolo baz è retto et equale all'angolo
zb c, et la linea ba è equale a b c, e la bz,
è commune a tutti doi li triangoli,
adunque za è equale a z c
per la 4 del primo
, adunque b a è equale a az c, et essendo l'angolo
bab angolo retto del triangolo bab equale all'angolo cz W angolo retto
del triangolo c z W, perché le linee b c, et bz sono equidistante all'horizonte
o vogliam dire nel horizonte medesimo et c z è nel medesimo piano delle linee c b et bz
per la 2 del 11
,
et la linea z W è perpendicolare all'horizonte e alla linea bz, adunque W z sarà
perpendicolar'al piano bcz
per la 4 del 11
; adunque alla linea z c, et l'angoloabb del
triangolo bab si fa equale all'angolo zcW del triangolo c z W,
et la linea ba è equale alla linea c z adunque,
per la 26 del primo
, tutti
gli angoli e tutti lati del triangolo bab
saranno equali a tutti gli angoli e a tutti i lati del triangolo c z W, adunque la linea
ab sarà equale alla linea z W.
Problema proposto dal Conte Giulio da Thiene
Sit triangulum abc, et ac latus maius latere bc, sit autem ed
ipsi ac aequidistans,
et connectatur ad, et fiat
ut de ad db, sic ad ad aliam quae sit af (
12 sexti Elementorum
), et a signo f ducatur
fg ipsi ed aequidistans. Dico lineam fg aequalem esse db.
Quoniam enim fg est aequidistans ipsi ed, triangulum aed, aequiangulum, et simile erit triangulo
agf
per 4 sexti
, quare eandem habet proportionem da ad af, quam ed ad gf, proportio vero quam habet
ad ad af, eandem est, quam habet ed ad db
igitur sicut ed ad gf, sic ed ad db
per 11 quinti
, ergo
gf ipsi db est aequalis
per 9 quinti
, quod erat demonstrandum.
Sit ac aequalis cb, erit et ed equalis db et fiat ut ed ad db, sic ad ad aliam, quae
erit ad
per quartam sexti ob similitudinem triangulorum
, punctum d erit punctum quaesitum.
Sit ed minor db, et fiat, ut ed ad db, sic ad ad aliam, quae sit af, et a signo f ducatur
fg ipsi ed aequidistans, erit fg aequalis db.
Questo problema serve assai alla prospettiva che essendo l'occhio in a e vedendosi la linea db,
trovar la linea fg, laqual paia et sia equale alla db, e la
settione sia sempre equidistante alla de.
Dell'hyperbola
Doi modi di descriver l'hiperbola (oltre a quelli che ha detto Eutocio
nella 21 del primo d'Appollonio
, et Alberto Durero
nella sua geometria
, et il Comandino
nel libro de horologiorum descriptione
) l'uno per punti l'altro continuatamente.
Sia l'asse dell'hyperbola cg, sia il rettangolo gbc equale al rettangolo cag, et l'uno e l'altro
sia equale alla quarta parte della figura.
Siano kl et bm doi righe di qual si voglia materia inequale et sia kl maggiore bm sia la
parte nl equale a bm, et siano bm et nl divise equalmente, et
si notino le divisione
et nella parte nk, ci sia un cursore con una punta, accio si possa fermare dove si vuole, et
nella riga bm, nel b ci sia una punta stabile. Per descriver l'yperbola della quale sia
l'asse cg et cbg rettangolo, sia equale alla quarta parte della figura, mettasi la punta che
è in b della riga bm nel punto b, accio si possa voltar la riga bm atorn'atorno, e
la punta stia sempre nel punto b; si metta dipoi la punta del cursor che è nella riga
kl, nel punto a e si mandi tanto innanzi, et in dietro, fin che dal cursor, et n, cio è,
an sia equale all'asse cg. Dipoi facendo intersecar le righe, segnando tutti li punti, dove si
confrontano le divisioni, cio è il 20 dell'una con il vinti dell'altra, et così il 30, con il 30
e siano li punti cdefhp p. Dico che cdefh p sono punti dell'hyperbola, perché
le linee che vengono fatte dalla riga al, superano sempre quelle che vengono fatte dalla riga bm
di una medesima quantità equale all'asse dell'hyperbola, per esser an equale a eg,
et nl equale a bm, e similmente equale dove le si fanno intersecare, cio è la quantità, che
è da n a 20, è equale a quella che è da b a 20, e così da n a 30. Adunque li
punti cdefh p sono nell'hyperbola
per la 51 del 3 di Appollonio
, et in tal
modo sarà fatta per punti.
Ma per descriverla continuatamente, mettasi nelli punti a~b doi punte sottilissime,
e si pigli doi fili e si leghino a una punta come sta o, la qual ci descriverà l'hyperbola;
mettasi o nel punto c et un filo si tiri verso a, et da a ritorni verso b, l'altro filo
si tiri verso b, e con una mano si pigli la punta o che è in c e con l'altra si pigli tutti doi
li fili, facendoli star tirati, tirando la punta o et accompagnando
con l'altra mano lassando scorrer li fili
pian piano li quali sempre passano per li punti a~b la punta o ci
descriverà l'hyperbola
per la medesima ragione che habbiamo detto delle righe essendo che il filo che nasce da a sempre
eccede quel che vien da b d'una medesima quantità equale all'asse dell'hyperbola, cio è
tanto il filo ad eccede db quanto ac~cb, et ae~eb; perché mentre che cammina la punta
o si allungano li fili et sempre si allungano equalmente, e però quel che da principio era più
lungo si mantiene sempre più lungo dell'altro quant'egli era da principio
più lungo
et da principio eccedeva quanto era la
lunghezza dell'asse dell'asse cg, adunque il più lungo
sempre
eccederà
l'altro quanto è la
lunghezza dell'asse cg.
Adunque,
per la 51 del 3 di Appollonio
, la punta o descriverà
continuamente l'hyperbola.
In cambio delle punte che sono in a~b, si pò far
passar li fili per doi bugi, ovvero in qual si voglia
altro modo, pur che li fili
passino sempre per li punti a~b.
Del misurar
Per voler misurar è d'avertir che tutti li modi che son già
stati scritti, ancor che paiano diversi, sono però quasi tutti conformi,
ma è ben vero che nell'operar uno viene meglio dell'altro, et a mio
giudizio meglio di tutti, quello di Gemma Phrisio, che è il medesimo
di quello che mette Leon Battista Alberti nelli suoi opuscoli, volendo
però misurare le cose in piano, perché con quello si può
senza dubbio sicuramente misurar qualsi voglia lunga distanza, e descrivere
le regioni sicome ognun di loro insegna benissimo.
Per voler misurar l'altezze, profondità, et inclinationi si farà in questo modo.
Essend'io nel c, e volendo misurar l'altezza della torre ab
perpendicolar' all'horizonte, nel modo che insegna Leon Battista
e Gemma Phrisio con le due positioni c~d, saprò quant'è
da c a b pie' della torre, e quant'è da d a b vedendosi
però il pie' della torre, e presupponendo che'l pie' della torre
b et c et d siano in un medesimo piano equidistante all'horizonte,
overo nell'horizonte medesimo, di poi essend'io in c osservo la
quantità dell'angolo bca. Dico che essend'a noi cogniti li doi angoli
acb e abc retto del triangolo abc, et cognito il lato
cb, sapremo,
per la quarta del secondo dei triangoli del Monteregio
, quanto sarà alta la
torre ab.
Ma nell'operar ci sarà più facile
tirar una linea separatamente che sia gf, et a
questa sia perpendicolar ef,
e poniamo che da c a b vi sia 30 piedi facciamo che da f a g
siano 30 misure equali di qual si voglia grandezza, et dal punto g faccio
l'angolo fge equale all'angolo bca li triangoli abc et efg sono
equiangoli
dalla 32 del primo
, adunque sono simili e proportionali, haverà adunque la medesima proportione ef a fg che ha ba a bc
per la 4 del sesto
e di quante misure che sono nella linea
fg, sarà ef, di tante sarà ab di quelle che sono nella
cb; e se subbito volemo saper quant'è alta la finestra h nella torre,
osservate la quantità dell'angolo bch, et si faccia a lui equale fgi,
et dove vien segata la linea ef, ciò è nel punto i.
fi darà l'altezza di bh.
Ma non si vedendo il pie' della torre et essendo inacessibile con le
due positioni c~d saprò quanto è da c all'a, et
da d all'a sommità della torre, facend'il triangolo
acd, similmente sapendo la quantità dell'angolo bca,
et cba retto, et havendo cognito il lato ca, sapremo
per la quarta del secondo delli Triangoli del Monteregio
la quantità della torre, ma all'operation più facile, tirisi
la linea lm, la qual ci rappresentava il piano cb, et faccio
l'angolo mln, equal'all'angolo bca già asservato, e
poniamo che da c all'a, siano 40 piedi, facciamo che da l a n
siano 40 misure equali di che grandezza si voglia, si tiri poi
dal punto n una perpendicolare nm alla linea lm, dico che nm
per le ragioni dette ne darà l'altezza della torre ab, et
essendo l'angolo mlo equale all'angolo bch, om ci darà
l'altezza bh. Et è d'avertir, che se non saremo in sito piano,
ma aspro e montuoso, essendo nel punto c osservaremo il punto d
et b che siano tutti in un medesimo piano equidistanti all'horizonte,
et operaremo come si è detto.
Nelle profondità operaremo nel medesimo modo, ma quasi contrariamente,
cioè che secondo che nelle altezze si opera all'in su, nelle
profondità si opera all'ingiù.
Da quel che si è detto: sarà facil cosa misurar l'inclinazioni
che volendo saper quant'è da b all'a, e quant'è la sua
inclinatione, essendo in c, per le cose dette sapremo, quanto è
ad, et quanto è be, et quanto è cd et ce, e se separatamente
operaremo
come si è detto, sapremo quanto è
ba,
et quant'è la
sua inclinatione sopra l'horizonte si come per esempio facendo li
triangoli simili fhi, all'acd et, ghk, al bce; congiungendo
gf, e di quante parti sarà fg di quelle che sono
nell'hi, di tante sarà ab di quelle che sono in cd, e slungato il
lato fg fin che seghi hi, nel punto n, l'angolo inf darà
l'inclinatio di gf che sarà la medesima di quella di ab.
E tutte queste operationi si possono far con qual si voglia instrumento
che ci paia a ciò più accomodato.
Dalle altre misure in piano, cioè quant'è da un luogo a un altro,
Gemma Phrisio e Leon Battista l'hanno benissimo insegnato, e molti altri
che hanno usato il medesimo modo.
Siano le doi positioni a~b et sia cognita ab poniamo 4
canne,
et essendo in a e guardando cd, similmente nel b e guardando cd. Dico
che si potrà saper quanto è la cd e quanto è ognuna delle
distanze, che è da ab a cd havendo solamente cognita la ab,
ancorché non si possa slongar le linee dilà dalla ef.
Tirisi da qual si voglia punto della linea ab, una parallela a quella
che si vol aver cognita, pur che la non ecceda ef, come dal punto h
tirisi hi parallela alla distanza bc, e dividasi ah
in tante parti quante è ab, cio è in 4, e di queste misure
vedasi quanto è hi, et tanto sarà la distanza da b a c di
quelle di ab, per la 4 del sesto per essere i triangoli simili, e nel
medesimo modo saranno cognite tutte le distanze, dividasi poi ac
in i et ad in k delle misure ah, cioè di quante della ab
sono ac ad, e congiungasi ki e dividasi delle misure ah, cd
sarà tante misure della ab quanto è ki della ah, e per essere
ki equidistante a cd si saprà la sua positione, cioè per qual
vento vada, e similmente le altre.
Per tirar una parallela a cd non potendo andar di là dalla ef,
tirisi ab in qual si voglia modo, e si guardi cd, e si tirino ag
ai bh~bk, e da qual si voglia punto della ac, cioè da m
si tiri ml parallela a kb, e da l si tiri ln parallela a
hb e
congiunta nm. Dico che nm è parallela a dc, per che
slungando le linee ag~ac~bh~bk in dc, et essendo ml parallela a cb
haverà la medesima proportione
am a mc, che ha al a lb
per la seconda del sesto
, e per essere nl parallela a db,
al haverà medesima proportione a lb, che ha an a nd,
adunque am haverà la medesima proportione a mc, che ha an a nd
per la 11 del quinto
,
adunque nm sarà parallela a dc
per la seconda del sesto
.
Misurar con lo squadro tagliato in otto parti
Prima per saper una distanza come ab mettasi lo squadro in a,
et si veda ad angoli retti bc, poi si metta lo squadro in c,
et si veda a et b con mezzo squadro. Dico che essendo gli angoli
b~c mezzi
retti et eguali, che lo ac sarà eguale a ab. Si che misurata ac
sapremo la distanza di ab. E questo è comodo quando la distanza che si
ha da misurare non è molto lontana.
Ma per una distanza lunga come ab, si guardi in squadro dall'a li punti
b~c, e non vi sia più sito che fin'al c. Poi messo lo
squadro in d si guardi e in squadro con ac.
Misurate poi le linee cd de ca, sarà nota anche ab, essendo
cd a de, come ca ad ab.
Li punti c~e si trovaranno con la vista, e con due segnali, come fili
canne, e simili.
E se fusse un monte, e che non si vedesse il b guardisi per le spaccature
la sommità del monte, facendo star lo squadro sempre retto
all'horizonte. In ogni modo sarà cognito il punto dove cade la
perpendicolare dalla sommità al piano, dove è lo squadro.
Per tirar una parallela a bd mettasi lo squadro in a, et si veda ef
con mezzo squadro. Poi si metta f; et si veda ae con squadro, et senza
moversi, si veda dg con mezzo squadro. Finalmente messo lo squadro
in g si veda fd con lo squadro. Dico che gli angoli a~e~d sono
mezzi retti, e però le linee fa
ef sono eguali, come anche
le linee gf~gd eguali. Fatta adunque gh eguale all'eccesso, che
fg supera fa, che sarà il medesimo che gd supera fe, la linea
da f in h sarà parallela a bd.
L'altezza ab si troverà in questo modo, voltisi lo squadro, che li tagli
siano equidistanti all'horizonte, e si metta un taglio, che sia retto
all'horizonte (che facilmente si farà con un filo) poi si veda ca~cd
per linea retta et con il mezzo squadro. è manifesto che db sarà
eguale a ba, e perché per le cose dette si pò saper quanto è
db, adunque sarà cognita l'altezza ba.
Da questi si potrà con molt'altri modi misurar con lo squadro, e tor
piante e situar piante dentro e fuori
e simili altre cose, come mettendo lo squadro in abc e
misurando le distanze, che sono ad angoli retti, e questo serve per tor
piante, et anche volendole situar.
Degl'horologgi
Descrivasi l'analemma come dice Tolomeo e il Comandino che sia ac il diametro dell'equinottiale;
fk del tropico di ♋ et cw del capricorno, l'un e l'altro 23 gradi e mezzo discosto
dal equinottiale, sia m l'horizonte 43 gradi e mezzo discosto dal polo, il qual seghi li tropici
in r x, e l'equinottiale in e, rn sarà commune sectione del tropico e dell'horizonte.
Sia abcd l'horizonte, sia on commune sectione dell'horizonte e del meridiano,
e dalli punti rex si tirino trs~zeg~hxi perpendicolar'a on, le quale saranno
commune sectione dell'horizonte e delli tropici e dell'equinottiale, per essere rn equale
a rt, perché ru~rt arivano nel cielo e sono tutte due perpendicolar'a on
laqual passa per e
immaginandosi rn perpendicolar'all'horizonte dove il punto u sarà nel tropico
nel cielo si come dimostra Tolomeo.
Et s~t saranno li punti dove il tropico di cancro sega l'horizonte, et s sarà dove in quel di
si leva il sole, e t dove il tramonta, similmente gz dell'equinottiale, et ih del ♑; et
essendo per centro del ♋, facciasi rq equale a rp, e fatto centro q si descriva il circolo smt
equal al tropico, e si divida in 24 parte cominciando dal t volendo far l'hore italiane,
e l'arco smt sarà l'arco diurno del ♋.
E perché l'altezza del mezzo di di ♋ è 70 gradi, laqual è equale a of; tirisi fy
perpendicolar'a on; il punto y sarà dove casca la perpendicolar dal tropico di ♋ nel mezzo
di nell'horizonte, et yf sarà la sua altezza, et a λ dell'equinottiale, e ν c del ♑, e
per trovar dove cascano le perpendicolar nell'horizonte delle altre hore, e le loro
altezze, si operarà come si è detto nella prima et 2
propositione della
perspectiva, essendo st la commune sectione del piano dell'horizonte e del circolo smt
inclinato, facendo il centro r, tirando la quarta mf[3] fin che la seghi st slungata, laqual
passava per f essendo rf~rm equale, e così fy sarà l'altezza, et y sarà
dove la perpendicolar casca nell'horizonte, similmente si faranno le altre hore, come le 23 di ♋
nell'horizonte sarà in a, e la sua altezza ab, dell'equinottiale
nell'horizonte in ♌, e la sua altezza ♌ r, del ♑ in i,
e la sua altezza
ix, e l'inclinatione di tutte l'hore di tutti li circoli, saranno le medesime, perché l'equinottiale
e li tropici e gli altri circoli sono paralleli tra loro, et sono inclinati all'horizonte adunque
haveranno la medesima inclinatione, e facendo le hore dell'equinottiale la commune sectione sarà
gz e del ♑ ih, e se si vorrà far quelle di ♌ si trovarà la commune settione di leone
nell'horizonte, et il suo arco diurno, e si operarà come si è detto negl'altri. Et perché
a l è la perpendicolare dell'equinottiale nel mezzo di, è chiara cosa che l'ombra (essend'il
stile elevato perpendicolarmente nell'horizonte in e) sarà nella linea
on per esser
on commune sectione dell'horizonte e del meridiano, sia et la lunghezza del stile perpendicolar'a on,
laqual sarà parallela a l a e perché la punta del stile vol essere nel centro del mondo aggiungasi a
l a la quantità a ρ equale a eτ, e tirata ρ τ in infinito; dove la sega on sarà le 18 hore
nell'equinottio, similmente si tiri ae in infinito nella qual sarà l'ombra delle 23 di ♋ ,
per essere commune sectione dell'horizonte e del circulo verticale che passa per il sole alle 23
hore di ♋, e tirasi a s perpendicolar'a e a equal a a A, perché
l'altezza del sole è perpendicolar all'horizonte e alla linea e a e casca nel punto a,
e dal centro e si tiri una perpendicolar'a e a dell'altezza del stile, e la medesima altezza
si aggiunga a as, e si tiri dalla detta altezza alla punta del stile una linea in infinito
e dove la sega a e sarà le 23 hore di ♋, e nel medesimo modo si faranno le altre hore.
Et è da notar chel punto s e gl'altri simili punti saranno nel circolo grande abcd per che elevando
a s perpendicolar'all'horizonte,
il punto s toccarà il cielo, et considerando il triangolo
hortogonio ae s elevato e poi nell'horizonte, è di necessità che la linea e s, per essere il
semidiametro sempre tocchi il cielo, e per conseguenza anche l'horizonte per essere circolo maggiore.
Gli altri punti cioè, dove cascano le perpendicolar nell'horizonte faranno un'elisse come
dimostra il Comandino nel libro de horologiorum descriptione .
{La figura di pagina 14 delle Meditatiunculae}
In un altro modo
Descrivasi l'analemma come nella precedente, e descrivansi li tropici al suo luogo.
mn~qh saranno equale e commune settione dell'horizonte e delli tropici, bd
dell'horizonte e del equinottiale, e si dividano li detti tropici e l'equinottiale in 24
parte cominciando da udh, volendo far l'hore italiane, e volendo trovar dove casca
la perpendicolar delle 23 hore di ♋ e la sua altezza, tirisi rs perpendicolar a fk,
e dal punto s si tiri ts a perpendicolar'a on laqual si facci equale a sr.
Il punto a sarà nell'horizonte dove casca la perpendicolr delle 23 hore di ♋, si come
dimostra Tolomeo nel libro de analemmate, dove egl'insegna di tor le circonferenze
horizontale, e tirata ea, et as perpendicolar'a e a la qual si facci equal a st.
as sarà l'altezza della perpendicolar sopra l'horizonte, perchè st è equale alla
detta altezza; che tirando una parallela dal punto s a on mostra nella circonferenza l'altezza del sole,
et st viene ad esser'il suo sino retto, si come dimostra il Comandino nel comento sopra Tolomeo
nel detto luogo. Et il punto s sarà nella circonferenza del circolo abcd per la precedente.
Le altre cose, e l'horologgio si faranno come si è detto
nella precedente.La carta 16 è interamente occupata da una figura
Fatto che sarà l'analemma, per far gl'horologgi in piano dell'horizonte, si faranno come si è detto
di sopra nelle precedenti, ma li verticali, prima bisogna trovar l'aspetto e sia per esempio 58 gradi
e mezzo da ponente verso tramontana, ilqual si notarà nell'analemma, et dal centro e se gli tirarà
def perpendicolar, laqual sarà la dirittura del piano dove si ha da far l'horologgio, e perché la punta del stile
vuol essere nel centro del mondo, facciasi ea della lunghezza del stile perpendicolar a df e dal punto a
si tiri gh parallela a df, laqual sarà commune settione dell'horizonte e del piano done vi ha da far l'horologgio,
nel qual si vede che non vi saranno più hore, che le 19, 20, 21, 22, 23 di ♋, e le 22, 23,
di ♈, ♎
e per trovar li termini dell'ombre tirisi dalle vintitre di ♋ nel piano dell'horizonte una linea che passi
per e, che è la punta del stile, laqual seghi gh in b, questa linea è,
per le precedenti
, commune settione dell'horizonte
e del circolo verticale che passa per il sole alle 24 hore di ♋, adunque l'ombra sarà nella linea che casca
dal b perpendicolarmente a gh et all'horizonte, perché questa linea sarà commune settione del
detto circolo verticale e del piano dell'horologgio, per esser parallela alla perpendicolar che casca dal sole nell'horizonte.
Tirisi adunque dal b la perpendicolar bc alla linea bep e dal punto m, che è l'altezza del sole
delle 23 hore di ♋, si tiri mec che passa per la punta del stile, laqual sega la linea bc in c, il c
sarà dove termina l'ombra delle 23 hore di ♋ sotto l'horizonte perpendicolarmente sotto il b,
perché li doi triangoli ebc em23 sono in un medesimo piano, et immaginandoci
m elevato perpendicolarmente sopra l'horizonte, et il c abassato, e che restino in un medesimo piano,
bc sarà perpendicolar all'horizonte et alla linea gh, e sarà nel piano dell'horologgio.
Facciasi gh separatamente come nel horologgio, et a b equal a ab nell'analemma, e dal b
si tiri bc perpendicolar a gh, e far bc equal a bc, il c
nell'horologgio
sarà il termine delle 23 hore di ♋ mettendo il stile in a perpendicolar'al piano dell'horologgio
lungo quanto è ae, e nel medesimo modo si faranno le altre hore. Sicome appar nella figura.
Delle cose dette ne nasce che pm è la quantità dell'arco sopra l'horizonte alle 23 hore di ♋,
per essere m23 la perpendicolar che casca dal sole nell'horizonte alla detta hora,
laqual è il suo sino retto; vedasi adunque in un circolo equale a omn diviso in 360 gradi, quanti
gradi pm è di quello, e tanto sarà il sole sopra l'horizonte alla detta hora, e nel medesimo
modo si sapranno gl'altri archi.
E per esser on commune sectione del meridiano e dell'horizonte, pn mostrarà la circonferenza
horizontale, e p il sito nell'horizonte.
Da notar negli horologi piani horizontali che la linea delle 12 hore è aequidistante alla linea equinoctiale.
Et che trovati li punti delli 11, 10, 9, del tropico estivo senza trovar li medesimi
d'un'altro parallelo basta tirar dalle 23 dell'equinottiale, et le dette 11, così dalle 22 dell'equinottiale et le 10, et
dalle 21 et dalle 9: e saranno fatte giustamente e molto meglio quanto all'operatione per
essere detti puncti assai distanti.
E questo si dimostrarà
poi in c. 129.
{La figura di pagina 16 delle Meditatiunculae}
{La figura di pagina 18 delle Meditatiunculae}
In dato semicirculo quadratum describere
Sit datus semicirculus abcd cuius centrum e, oportet in abcd semicirculo quadratum describere.
Describatur super ad quadratum ahid, et connectatur ei~eh, quae semicirculum in b~c secent et a punctis
b~c ducantur bf~cg, perpendiculares ad ad quae aequidistantes erunt
ha~id et interse, et connectatur
bc. Quoniam enim duo latera ed di trianguli edi, sunt aequalia duuobus lateribus ea ah
trianguli eah, et anguli ad a~d sunt recti, erit (per 4 primi) eid triangulum triangulo eha equale,
et angulus dei aequalis angulo aeh, et quoniam trianguli ecg duo anguli
ceg egc, duobus angulis
bef efb trianguli bef sunt aequales et latus ec aequale lateri eb quia sunt ex centro, erit triangulum
ceg aequale triangulo bef
per 26 primi
, et latus cg aequle lateri bf et latus eg aequale lateri ef; et quoniam propter similitudinem triangulorum die cge, est sicut id ad de, ita cg
ad ge
per 4~6^{
}, sed dupla est proportio id ad de, quia id est aequalis ad, dupla igitur est cg ipsius eg,
sed fg dupla est eg, quare
per 9~5^{
}
cg ipsi gf est aequalis, sed cg est aequalis bf,
tres igitur cg~gf~fb sunt interse aequales, et quoniam bf~cg sunt aequales et parallelae, erit fg aequalis et parallela bc (
33 primi
), quatuor igitur lineae bc~cg~gf~fb sunt interse aequales, et quoniam
parallelogrammum est bcgf et anguli ad f~g sunt recti, reliqui igitur anguli hoc est fbc~bcg recti sunt (
34 primi
), quadratum igitur est bcgf. In dato igitur semicirculo abcd quadratum
bcgf descriptum est, quod facere oportebat.
Descripto in semicirculo quadrato connectatur db quae cg in t secet.
Dico lineas fd~db~cg extrema ac media ratione sectas esse in g~t punctis, et proportio quam
habet diameter semicirculi ad latus quadrati, est eadem, quam habet, tota linea extrema ac media
ratione secta, et minor pars simul, ad partem maiorem. Producatur bc ex parte c in infinitum
et a puncto d ducatur dp ipsis cg bf aequidistans. Erit b p aequalis et parallela fd,
quae,
per 33 primi
, similiter secta est in c, ut fd in g, quia bc est aequalis fg;
et quoniam ed~ea sunt aequales, et eg~ef aequales, erit ag ipsi fd aequalis et af
ipsi gd, et quoniam cg
per 13~6^{
} media est proportionalis inter ag~gd, et cg est aequalis fg, et
ag ipsi fd, erit fg media proportionalis inter fd~dg
per 3 def. 6^{
}, quare fd extrema ac media
ratione secta est in g; et quoniam propter similitudinem
triangulorum bdp~btc
per 4~6^{
}, sicut
est pb ad bc, ita est pd ad ct, hoc est, ut df ad fg, ita pd hoc est cg ei
aequalis, ad ct, similiter propter similitudinem triangulorum dbf~dtg sicut est fd ad dg ita est
bf hoc est cg ad tg et
dividendo, ut fg ad gd, ita ct ad tg
per 17~5^{
}, sicut igitur est df ad fg,
ita est gc ad ct, et ut fg ad gd, ita ct ad tg, quare
ct
extrema
ac media ratione secta est in t,
similiter propter similitudinem triangulorum bdp btc, sicut est pb ad bc, hoc est,
df ad fg ita est db ad bt, et propter similtitudinem triangulorum bdf tgd, sicut est fd ad dg,
ita est db ad dt et dividendo, ut fg ad gd, ita bt ad td, sicut igitur df ad fg ita db
ad bt, et ut fg ad gd, ita bt ad td,
quare
bd extrema ac media ratione secta est in t. Et quoniam
proportio df adfg est eadem, quam habet tota linea extrema ac media ratione secta, ad maiorem partem
sed af est aequalis gd quae est minor pars, erit ut ad ad fg ita fd dg simul ad fg.
Diameter igitur semicirculi eandem habet proportionem ad quadrati latus quam habet tota linea
extrema ac media ratione secta, et minor pars simul, ad partem maiorem quod demonstrare
oportebat.
Ex hoc manifestum est, quod sit datus semicirculus abcd in quo oporteat quadratum describere.
Exponatur quaedam recta linea hi quae extrema ac media
ratione secetur in l
per 30 6^{
}. Et fiat
per 12 6^{
} ut eandem
habeat proportionem ad ad aliam mn, quam habet li~ih simul ad hl, et bifariam secetur mn in o
et fiat ef aequalis mo et eg ipsi on et a punctis f~g ducantur bf~cg perpendiculares
super ad et connectatur bc, erit bcgf quadratum.
Problema
Super data recta linea triangulum aequicrure constituere, angulum ad verticem dato angulo
aequalem habens.
Sit data recta linea ab, et datus angulus cde, oportet super ab triangulum aequicrure
constituere, qui habeat angulum ad verticem angulo cde aequalem.
Producatur ed
in f, et, cdf angulum bifariam
secetur a linea dg, et a puncto a constituatur angulus bah,
aequalis angulo cdg; similiter fiat
angulus abh aequalis angulo
fdg; lineaeque
concurrant in h.
Dico
triangulum abh esse aequicrure, angulumque ahb aequalem esse
dato
angulo cde.
Quoniam
angulus abh est
aequalis angulo fdg et angulus bah similiter aequalis cdg, erunt anguli ad a~b aequales, quare
6 primi
latus ah lateri bh aequale erit, et triangulum abh aequicrure. Sed quoniam trianguli abh
32 primi
tres interiores anguli duobus rectis sunt aequales, et
ex 13 primi
tres anguli fdg~gdc~cde etiam duobus
rectis sunt aequales, cum in recta linea ef sint constituti; et anguli ad a et b ipsis cdg gdf sunt
aequales, erit et reliquus ahb reliquo cde aequalis. Triangulum igitur abh aequicrure constitutum
est, anguli ad verticem h angulo cde aequalem habens.
Quod facere oportebat.
Problema
Sint ab cd lineae aequidistantes et in ab duo quaevis punta accipiantur a~b, et inter ab cd
accipiatur quodvis punctum e. Oportet circuli portionem describere, per tria puncta a~b~e, ita, tamen
ut operatio semper fiat in plano per ab~cd ducto, et semper inter lineas ab~cd.
Oportet autem lineas ab~cd, tantum esse intersese distantes, ut portio circuli describenda intra ipsas
cadat.
Connectatur ae~eb. Et si angulus aeb, vel rectus, vel minor est recto, tunc circuli portionem describemus,
quemadmodum Euclides in 33 tertii, vel in 5 quarti docet; centrum enim vel in linea ab vel intra triangulum cadit.
Si autem angulus aeb est obtusus. Fiat afb triangulum aequale triangulo aeb, hoc est linea
af sit aequalis lineae eb, et fb ipsi ae, erit angulus afb angulo aeb aequalis.
Describatur deinde super ab triangulum agb aequicrure habens angulum agb angulo aeb aequalem,
et quoniam anguli aeb~agb~afb sunt inter se aequales erunt
ex 21 tertii
puncta a~e~g~f~b in circuli
circumferentia.
Connectatur ge~gf quae in ef producantur. Si igitur angulus egf circumvolvatur ita ut latus
eg tangat semper punctum e et latus gf semper tangat punctum f.
Ex eadem
punctum g circuli circumferentia describet. Ut autem circumferentia egf ad puncta b~a
perveniat, circumvertatur angulus egf, sed puncta e~g sint semper in circumferentia egf
et dum punctum g erit in f, punctum f erit in h, ita ut ducta fh recta linea ipsi fg sit aequalis,
et dum g super circumferentiam gf movetur, et e super circumferentiam eg, punctum
f circuli circumferentiam fh describet,
ex eadem
; et hoc modo semper fiat donec circumferentia
ad b perveniat.
Similiter ex parte a punctum e circuli circumferentiam describet usque ad punctum
a. Quod facere oportebat.
Si autem sint puncta data a~g~b, et ut puncta e~f inveniamus, connectatur
ag~gb deinde a puncto a ducatur utcumque af in qua sumatur quodvis punctum k
et a puncto k constituatur angulus akl aequalis angulo agb, et a puncto
b fiat angulus abf aequalis angulo alk,
28 primi
erit bf ipsi kl aequidistans
29 primi
ac propterea angulus afb aequalis est angulo akl, hoc est agb.
Et hoc modo non solum punctum f inveniemus
ex 21 tertii
quod
ineadem circumferentia est cum agfb, sed
infinita puncta inveniemus. Quae omnia in eadem circumferentia erunt
fiat deinde operatio ut supra.
De horologiorum descriptione
Propositio prima
Sit pdf meridianus, cuius centrum a, sit ab communis sectio horizontis, et meridiani.
Sit cad communis sectio meridiani et aequinoctialis, ef meridiani et capricorni.
Sit nfme circulus capricorni, sit mn communis sectio horizontis et capricorni.
Erit ma perpendicularis ad ab, et ef (
hoc patet per ea quae dicta sunt in analemmate
), quare et ad planum per ab et ef, erit igitur
mn perpendicularis ad meridiani,
sit ap perpendicularis ipsi ab, sit pi aequidistans ipsi ab,
quae erit in eodem plano meridiani, et intelligatur planum per pi, aequidistans horizonti:
sit sol in capricorno in h, supra horizontem.
Ducatur hg perpendicularis ef, quae erit aequidistans mn, et perpendicularis ad planum
meridiani. Ducatur go aequidistans ab, et pertrahatur ap ad o, et a puncto o ducatur ot
perpendicularis ad op, et ad planum meridiani, quae sit aequalis hg, erit to ipsi hg aequidistans
per 16 undecimi
.
Ducatur tax, quae cum plano per pi conveniat in x, et hak, quae cum eodem plano conveniat
in k et connectatur kx. Dico kx parallelam esse pi.
Connectatur th, erit th aequalis, et aequidistans og. Sed og est aequidistans pi, cum sit aequidistans
ab, quare th ipsi piy parallela erit, sed quoniam og est aequidistans ab et to~hg sunt perpendiculares
ad planum meridiani erit planum tgho ad rectos angulos ad planum meridiani
per 18 undecimi
. Ergo planum thgo horizonti, et plano per pi est aequidistans; et quoniam triangula ath~akx in uno et eodem sunt plano
per 2 undecimi
;
per 16 undecimi
erit th aequidistans kx, sed th est aequidistans pi, kx igitur
per 9 undecimi
ipsi pi est aequidistans, quod erat demonstrandum.
Insuper ducta px, dico px perpendicularem esse ipsis pi~kx quia triangula ato~apx in uno et
eodem sunt plano,
per 16 undecimi
erit px parallela to,
quae est perpendicularis ad meridianum,
per 18 eiusdem
erit px ad meridiani
perpendicularis, ergo et ad pi et kx. Quod est propositum.
Iisdem positis ducatur gai, quae conveniat cum pi in i, sunt enim omnes in eodem plano
meridiani. Connectaturque ik. Dico ik ad pi perpendicularem esse.
Triangula enim ahg, aik in uno et eodem sunt plano
per 2 undecimi
, ideo erit hg aequidistans ik
per 16 undecimi
, sed hg est perpendicularis ad planum meridiani,
per 18 undecimi
ik igitur eidem plano perpendicularis erit, sed pi est in plano meridiani, ergo ki ad pi est perpendicularis, quod erat ostendendum.
Patet etiam, si ap est altitudo gnomonis supra planum
planum per pi horizonti aequidistantem, cum sol est in h, solis umbram terminare in k.
Propositio secunda
Sit pi linea meridiana, pa altitudo gnomonis quae sit
perpendicularis pi et centrum a spatioque ap describatur
circulus pfd
meridanus, in quo accipiatur circumferentia pc, quae sit aequalis
latitudini regionis,
ductaque cad, erit cad diameter aequinoctialis, et ducantur
diametri tropicorum, ut in analemmate
ef capricorni, uz cancri, qui secentur a diametro horizontis in l~s.
Descibatur seorsum
circulus tropicorum, qui dividatur in 24 partes, ex quibus ducantur
perpendiculares
ad diametrum, notenturque divisiones in diametris tropicorum lz sf
sicut fit in Analemmate.
Ut exempli gratia facienda sit 20 hora cancri at capricorni, fiat sg
aequalis qr, et ly
aequalis q a, et ducantur gai.
Deinde
in linea meridiana sit p A aequalis pa, hoc est altitudini gnomonis
sitque px
perpendicularis pA, ducaturque go aequidistans ab, et fiat Aw
aequalis ao,
fiatque at
perpendicularis
ipsi w p, quae sit aequalis r~20 ♑, et ducatur tAx,
et a puncto x ducatur
xk parallela pi, et a puncto i ducatur ik perpendicularis ad pi,
quae se invicem secent in
k, punctum k per precedentem est terminus umbrae sole existente
in tropico ♑, hora
20 similiter fiat in aliis: b♌ erit communis sectio
horizontis et aequinoctialis.
Sed ne fiat confusio linearum,
possumus seorsum invenire distantias pi et px
postea ponere eas ubi conficiendum est horologium.
Similiter possumus eas invenire per lineas parallelas lineis pi~px,
ut patet in horologio
sequenti.
27
Duobus datis solidis similibus parallelepipedis, duo media solida
parallelepipeda
in continua proportione invenire.
Sint data solida similia parallelepipeda ag~do, oportet inter
haec solida, duo media solida
parallelepipeda in continua proportione invenire: constituantur
data solida ita, ut sese tangant in
puncto d, et sit in directum hd~dk, et id~dc, et parallelogramma
dcgh sit simile parallelogrammo
dkui, (per 7 definitionem undecimi): producantur gc~uk, quae in p
conveniant,
erit dcpk parallelogrammum, ex quo secundum altitudinem dm compleatur
solidum kr, similiter
compleatur solidum ds. Dico solidum ag ad solidum gm eandem habere
proportionem,
quam habet solidum gm ad solidum mp, et solidum pm ad solidum mu.
Quoniam enim
parallelogrammum hgcd simile est parallelogrammo idku erit
(per primam definitionem sexti)
latus cd ad latus dh, ut id ad dk, et permutando ut cd ad di,
ita hd ad dk;
similiter propter similitudinem parallelepipedorum erit parallelogrammum
ah simile
parallelogrammo dl, eritque latus ad ad latus dh, ut md ad dk et permutando ut
ad ad dm, ita hd ad dk, quare (per 11 quinti) in eadem sunt proportione, cd ad di
et hd ad dk, et ad ad dm: et quoniam totum solidum abfemrst secatur plano
dcgh parallelo eis, quae ex opposito planis, erit (per 25 undecimi) solidum ag ad solidum
gm, ut basis ed ad basim dt, sed ut basis ed ad basim dt, ita (per primam sexti) ad ad dm
erit igitur solidum ag ad solidum gm ut ad ad dm.
Similiter solidum hgstkpql secatur plano dcrm parallelo eis, quae ex opposito planis, erit solidum hr
ad solidum rk, ut basis hdmt, ad basim dklm, sed ut basis hm ad basim mk,
ita est hd ad dk, ut igitur solidum hr, ad solidum rk, ita est hd ad dk, sed ut hd ad dk,
ita est ad ad dm, quare ut solidum ag, ad solidum gm, ita est solidum gm ad solidum
mp, similiter quoniam solidum iuoncpqr, secatur plano dklm parallelo eis, quae ex opposito
planis, erit solidum dq ad solidum do, ut basis pd ad basim du; sed ut basis pd ad basim
du, ita est cd ad di, ut igitur solidum qd ad solidum do,
ita est cd ad di, sed ut cd ad di,
ita est hd ad dk, et ad ad dm, ut igitur solidum ag ad
solidum gm ita est solidum gm, ad
solidum mp, et solidum pm ad solidum mu, quare in continua sunt proportione. Duobus
ergo datis solidis similibus parallelepipedis df, et do, duo media solida parallelepipeda
gm, et mp in continua proportione constituta sunt, quod fecisse oportebat.
Operatio in numeris
Ex his manifestum est solida media data solida similia,
ex datis solidis oriri.
Duobus datis quadratis
rectangulum ex diametris contentum,
duplum simileque
est ei, quod ex lateribus continetur.
Aliter
Rectangulum ex diametris duorum datorum quadratorum contentum, duplum,
simileque est ei, quod ex lateribus continetur.
Sint data quadrata ac~ge et rectangulum ex diametris contentum sit dh, ex lateribus vero
ag. Dico dh duplum simileque esse ipsi ag.
Exponatur quadrata ita, ut ab sit in directum be, et quia bf~bh sunt aequales
compleatur quadratum hf. Quoniam enim triangulum abd simile est triangulo bfe
sunt enim quadratorum
mediatates. Erit db ad bf
per 4 6^{
} hoc est ad bh
ut ab ad be hoc est ad bg
et propterea dh simile erit ag.
Sed ut db ad bf, ita
per primam sexti
rectangulum dh ad quadratum hf, similiter ut ab ad be ita rectangulum
ag ad quadratum ge, quare ut dh ad hf ita ag ad ge. Et permutando,
per 16 quinti
ut dh ad ag,
ita hf ad ge sed hf duplum est ge. Ergo
per 47 primi
dh ipsius ag duplum erit, quod ostendere oportebat.
De libra: Questiones Aristotelis de libra aliter demonstratae.
Suppositio
Centrum gravitatis deorsum tendere.
Propositio prima
Libra horizonti aequidistans, spartum habens sursum, cum mota fuerit, in aequilibrium
horizonti aequidistans redit.
Sit libra ab horizonti aequidistans, cuius medium c, sitque cd
ad rectos angulos
ad ab, et sit cd ita cum ab connexa, ut ad ab sit semper
perpendicularis.
Sitque d spartum, hoc est, centrum
immobile sive truttina supra libram, et in ab pondera appensa sint aequalia. Moveatur libra,
quae perventiat ad ef, tunc dc erit in dg. Et c circumferentiam
circuli cgh,
cuius centrum d describet; et quoniam in ef appensa sunt pondera
aequalia, centrum
gravitatis eorum erit in medio in puncto g
per 4 primi Archimedis de aequeponderantibus
, sed
centrum gravitatis semper deorsum tendit,
g igitur movebitur deorsum per circumferentiam gc.
Est enim d punctum immobile; et quia
infimus locus est c, ideo g semper movebitur donec
redeat in c, et cum g
erit in c libra ef redibit horizonti aequidistans in ab,
quod erat demonstrandum.
Propositio secunda
Si vero libra habet spartum deorsum, non redit in aequilibrium sed deorsum tendit.
Sit libra ab, sitque cd, ut supra dictum est. Et sit d spartum sub libra. Moveatur libra ab,
quae perveniat in ef, tunc cd, erit in dg, et g erit centrum gravitatis ponderum, quae sunt in e~f, sed g deorsum
tendit, cum sit centrum gravitatis quare deorsum per circumferentiam gb
cuius centrum d movevitur, linea ergo ef,
hoc est libra, in qua est punctum g similiter deorsum movebitur. Quod erat ostendendum.
Novisse tamen oportet Aristotelem non proponere hanc questionem hoc modo nempe,
ut ef deorsum tendat, sed asserit eam manere. Quod quidem Alexander Piccolomineus
in sua parafrasi, Senensisque ille qui est lingua nona vernacula venit, minime animadverterunt
quippe qui conclusionem quamvis veram a problemate tamen Aristotelis diversam attulerunt.
Quomodo autem Aristotelis sententia sit intelligenda nos in nostro mechanicorum libro
in tractatu de libra , docuimus.
Pondera aequalia in libra appensa eam in gravitate proportionem habent; quam distantiae, ex quibus appenduntur.
Sit libra bac, quae suspendatur in a et ex punctis
b~c appendantur aequalia pondera g~f. Dico pondus f ad pondus
g eam in gravitate
proportionem habere, quam habet distantia ca ad distantiam ab.
Fiat ut ba ad ac ita pondus f ad h et h appendatur in b.
Pondera igitur hf aequeponderabunt ex a: sed cum pondera f~g
sint aequalia habebit pondus h ad pondus g eandem proportionem,
quam habet ad f, ut igitur ca ad ab, ita est h ad g, et quoniam
pondera g~h in eodem puncto b sunt appensa, ideo in eadem proportione
erit gravitas ad gravitatem, ut magnitudo ad magnitudinem,
hoc est si pondus h triplum sit ponderis g, gravitas etiam ponderis
h tripla erit ponderis g, quare ut ca ad ab, ita est gravitas
ponderis h ad gravitatem ponderis g, sed gravitas
ponderis f in c, est aequalis gravitati ponderis h in b,
gravitas igitur ponderis f ad gravitatem ponderis g est, ut ca ad
ab, videlicet ut distantia ad distantiam.
Si vero libra bac secetur utcumque in d, et in
d~c appendantur
pondera aequalia e~f. Dico simile pondus f ad pondus e
eam in gravitate proportionem habere, quam habet distantia
ca ad distantiam ad.
Fiat ab aequalis ad, et in b appendatur pondus g aequale
utrique ponderi e et f. Quoniam enim ab est aequalis ad,
pondera g~e
aequeponderabunt.
Sed cum gravitas ponderis f, ad gravitatem ponderis g, sit ut
ca ad ab, et gravitas ponderis e sit aequalis gravitati
ponderis g: gravitas ergo ponderis f ad gravitatem ponderis
e; erit ut ca ad ab
hoc est ut ca ad ad.
Quod
erat ostendendum.
Sint lineae ab~cd, quae ex parte ac concurrant.
Oportet super ab et cd rectam lineam ducere, quae angulos
ex parte ac aequales efficiat et operatio fiat semper
a punctis a~c versus bd.
Accipiatur in ab quodvis punctum b,
a quo ipsi cd aequidistans ducatur be. Similiter in cd
accipiatur d, a quo ipsi ab aequidistans ducatur de, quae in
puncto e conveniant. Deinde fiat ef~eg aequales; connectaturque fg
quae lineas ab~cd secet in h~k. Et quoniam
5 primi
angulus efg aequalis est angulo egf, et
29 primi
angulus
fbh aequalis angulo feg. Et angulus gdk eidem gef aequalis, erunt
anguli fbh~gdk intersese aequales; quare et reliquus angulus
bhf angulo dkg aequalis erit, sed
15 primi
bhf est ahk aequalis,
et dkg ipsi ckh aequalis.
Anguli igitur ahk ckh sunt intersese aequales. Ergo
ducta est kh, quae angulos ex parte ac aequales efficit. Quod erat
faciendum.
Quod si hoc idem ab aliquo dato puncto in lineis ab~cd ut l
fieri opus fuerit constituantur eadem, et a puncto l ipsi kh
aequidistans ducatur quod factum erit.
Sint aequidistantes lineae ab~cd datae, ductaque
bd sit quoque data. Ducatur
ace, quae productam lineam bd in e secet. Dico lineam de
cognitam esse.
Ducatur cf ipsi bd aequidistans, erit cb parallelogrammum.
Data vero est ab, similiter et data est cd, hoc est fb.
Ergo et af data erit. Cum itaque data sit af; et cf, cum sit aequalis
bd sit quoque data; erit proportio af ad fc data;
atqui ut af ad fc, ita est ab ad be, et cognita est ab, cognita igitur
6 primi triangulorum
Jo. de Monteregio erit et be. Quare, cum sit bd cognita, reliqua etiam dc data erit.
Brevius atqui ut af ad fc ita cd ad
de quippe cum triangula acf cde interse sint similia. Datae
vero sunt af~fc~cd. Ergo de data erit.
Quod demonstrare oportebat.
Operatio in numeris
Theorema ex Pappo suppositum / 117/---/
Sit ab recta linea transiens per centrum c circuli aef. In lineaque
fb extra circulum summatur quodvis punctum b, a quo ducatur
linea be circulum contingens in puncto e, a quo ipsi ab perpendicularis ducatur eg.
Dico ab ad bf ita esse, ut ag ad gf.
Ducatur a punto b ipsi ab perpendicularis bh, quae
28 primi
aequidistans erit ipsi ge, producaturque ae usque ad h, deinde
a puncto e ipsi ab aequidistans ducatur km, connectaturque
ce, quae producatur ex parte e utcumque in l, similiterque
producatur ge in n.
Quoniam enim
18 tertii
angulus bec est rectus, erit bel rectus,
sed et ken est quoque rectus, ergo bel ipsi ken est aequalis, quibus
dematur communis kel, erit keb ipsi len aequalis.
Quoniam autem ce ipsi ca est aequalis,
5 primi
erit angulus cea
angulo cae aequalis, et
29 primi
cae ipsi aem est aequalis,
erit igitur cea angulo aem aequalis.
Cum
15 primi
autem cea sit ipsi leh aequalis, et aem ipsi hek
itidem aequalis: erit angulus hel angulo hek aequalis, quare hen
est ipsi heb aequalis, sed
29 primi
hen est ipsi ehb aequalis.
Ergo heb ipsi ehb aequalis erit, quare
6 primi
be est ipsi
bh aequalis.
Quoniam itaque eg est ipsi hb aequiditans, ob similitudinem triangulorum
erit
ex 4 sexti
ag ad ge,
ut ab ad bh, hoc est ad be,
36 tertii
quadratum autem ex be
est aequale rectangulo abf,
sunt igitur
17 sexti
ab ad be,
ut
est be ad bf. Quia vero
ex 13 sexti
est
ag ad ge, ut eg ad gf. Tres igitur lineae ab~be~bf continue
proportionales, in eadem erunt proportione, ut tres lineae in
continua proportione ag~ge~gf, quare
22 quinti
ex aequali est
ab ad bf, ut ag ad gf, quod demonstrare oportebat.
Theorema hoc est ex 36 primi Conicorum Apollonii manifestum est,
sed demonstratio est ad impossibile.
Ducta insuper utcumque bo secans eg in p. Erit ob ad bq, ut op
ad pq. Quod infra demonstravimus 62.
A Pappo suppositum
Proposto dal Comandino
Sit triangulum acutiangulum abc, et a puncto a ad bc perpendicularis
ducatur ad,
a puncto
autem b ad ac rursus perpendicularis ducatur be, secans
ad in f, et iuncta cf producatur ad g.
Dico cg ad ab perpendicularem esse. Ducatur ai perpendicularis ipsi
ab, et protrahatur be in i. Seceturque fc bifariam in m,
et centro m, spatio vero mf circulus describatur fec, qui
ex 31 tertii
per e transibit, cum angulus fec sit rectus. Similiter
secetur ai bifariam in l, et centro l, spatioque li circulus
describatur aei,
qui
per e quoque transibit. Connectatur deinde lm, quae per e transibit
12 tertii
, denique ducantur ls~mt perpendiculares fei, quae inter se
parallelae erunt, eritque es aequalis si
3 tertii
, et et aequalis tf.
Quoniam enim trianguli etm angulus met aequalis est angulo les trianguli
esl, et angulus etm rectus, aequalis esl recto, et emt ipsi els
aequalis; erit ut le ad es, ita me ad et, et
consequentium dupla,
ut es ad ei eius duplam, ita est et ad ef eius duplam. Ex aequali
22 quinti
igitur ut le ad ei, sic me ad ef.
Quoniam autem angulus mef aequalis est angulo lei,
6 sexti
erit efm triangulum triangulo eli aequiangulum, et angulus efm
aequalis erit angulo eil; linea igitur
27 primi
fm aequidistans
est lineae il. Sed ai perpendicularis est ipsi ab. Ergo
29 primi
et cg eidem ab perpendicularis erit. Quod demonstrare oportebat.
Sit obtusiangulum triangulum abc, et protrahatur latera bc~ac in e~g,
et a puncto a ducatur ae perpendicularis lateri bce, quae producatur
ad f, et a puncto c ducatur dc perpendicularis lateri ba,
quae protracta secet ae in f, et connectatur bf, quae latus acg
in g secet. Dico bgf ad acg perpendicularem esse.
Quoniam enim enim triangulus
abf linea be perpendicularis est ipsi af, et fd
ipsi ba, erit acg ipsi bf perpendicularis, ut supra ostensum est.
In triangulo abc
rectangulo ducatur cd perpendicularis ad ab, et
perpendicularis a puncto a ad latus bc est ipsa ac, similiter a puncto
b ad latus ac est ipsa bc, quae omnes perpendiculares in puncto c
conveniunt, sicut in prima et 2
figura in unum et eundem punctum
conveniebant.
Theorema hoc in omnibus speciebus trianguli quandam habere videtur
similitudinem perpendiculares enim ab angulis trianguli ad latera in
unum punctum
conveniunt. In prima enim figura lineae ad~be
cg in
punctum
f concurrunt,
in secunda quoque lineae ae~cd~bg protractae in f concurrunt, in
tertia vero in c.
In
quadrante abc ubicumque ducantur lineae de~gh ipsi ab parallelae
eruntque quadrata ex de~ea quadratis ex gh~ha aequalia. Ut
perspicuum est ductis ad~ag quarum (cum ipsae
sunt aequales) quadrata sunt aequalia, quibus aequalia
sunt quadrata ex gh~ha, et ex de~ea.
Quemadmodum in semicirculo abc ductis ubicumque lineis ab~bc~ad~de,
erunt quadrata ex ab~bc aequalia quadratis ex ad~dc, sunt enim aequalia
quadrato ex ac, cum sint anguli ad bd recti.
Problema a Comandino propositum ad Pappum pertinens
Tribus
datis circulis
sese tangentibus
circulum describere qui omnes contingat.
Sint tres circuli inaequales, quorum centra a~b~c, et circulus circa
centrum a maior, et circa b minor. Oportet circulum describere,
qui omnes contingat.
Iungantur ab~bc~ca, quae
12 tertii
transibunt per contactus h~m, et protrahatur cb
usque ad i, ita ut ch
sit
aequalis hi, erit
utique
bi excessus quo ch superat hb.
Seceturque
deinde
hc in x,
ita ut hx sit aequalis bi unde
erit xc aequalis erit
hb,
deinde
a puncto x describatur
hyperbole xnq, ita ut xh sit
axis,
et quartae parti figurae sit
aequale utrumque rectangulorum xch, et xbh. Similiter secetur am
in p, ita ut m p sit aequalis
mc unde
erit a p excessus,
quo am excedet mc.
Rursusque
seceturque
am in r,
ita ut mr sit aequalis a p, erit
utique
mc aequalis ar, et a puncto r describatur hyperbole gnrl, ita
ut rm sit
axis,
et quartae parti figurae sit aequale utrumque
rectangulorum ram et mcr, sitque punctum n, ubi hyperbolae se
invicem secant, et a puncto n perque centra a~b~c lineae ducantur
nbf~nad~nce usque ad circumferentias datorum circulorum; denique centro n, spatio
vero una ipsarum nf~ne~nd circulus describatur edf. Dico circulum
edf datos circulos contingere. Quoniam enim a punctis b~c
ad hyperbolen xnq applicatae sunt lineae bn~nc,
51 tertii Conicorum Apollonii
linea bn excedit nc quantitate xh. Secetur itaque nb
in k, ita ut bk sit aequalis xh, quae etiam erit aequalis bi, erit
utique
nk aequalis nc.
Similiter quoniam
a punctis a~c, ad hyperbolen gnrl ductae sunt
cn~na; linea nc superabit an quantitate rm. Addatur ipsi an
quantitas ao, ita ut ao sit aequalis rm, quae etiam aequalis erit ap;
erit no aequalis nc. Tres igitur lineae ak~nc~no inter se sunt aequales.
Quoniam autem bh, et bf sunt aequales, et hi et bk aequales,
erit hi aequalis kf, sed hi est aequalis hc, hoc est ce; ergo
kf ipsi ce aequalis erit, et
vero quoniam
am est ipsi ad
aequalis, et ap ipsi ao; erit od aequalis pm,
hoc est
mc, et ipsi
ce.
Quare tres lineae kf~ce~od sunt inter se aequales, cum autem
nk~nc~no sint inter se aequales, erunt nf~ne~nd aequales;
circulus igitur edf descriptus circa centrum n datos circulos,
quorum centra sunt
a~b~c in punctis e~d~f contingit
ex 11 tertii
. Quod facere oportebat.
Tribus datis circulis inaequalibus
sese tangentibus circulum describere qui omnes contingat.
Sint tres dati circuli inaequales, quorum centra a~b~c.
Circulus autem circa centrum a sit maior, qui vero circa b, sit minor.
Oportet circulum describere, qui omnes contingat.
Iungantur ab~bc~ca, quae per contactus hm transibunt.
Deinde
fiat cx aequalis bh
unde
erit bx aequalis ch.
Et
ob id rectangulum
contentum ch
cx,
rectangulo
xb~bh contento erit
aequalis.
Quare a puncto
x
describatur
hyperbole xnq, cuius quidem
xh sit axis, et quartae parti figurae
sit aequale utrumque rectangulorum xch, et xbh.
Fiat
deinde ar ipsi ar ipsi
mc aequalis
erit utique am ipsi cr aequalis. Ac propterea rectangulum
ar
am contentum aequale est rectangulo
cm
cr contento.
Rursusque a puncto r describatur hyperbole gnrl, ita ut rm sit
axis,
et quartae parti figurae sit aequale utrumque rectangulorum ram,
et mcr, secentque
se invicem hyperbolae in puncto n.
Per punctum
autem n, et per circulorum centra lineae ducantur
nbf~nad~nce usque ad circumferentias datorum
circulorum primum
quidem ostendendum est
lineas nf~nd~ne
interse aequales esse.
Secetur bn in k sitque
bk aequalis hx. ad vero secetur in o, ita ut
ao
ipsi rm aequalis.
Quoniam enim a punctis b~c ad hyperbolen xnq
inclinatae
sunt lineae bn~nc; linea bn excedet ipsam
nc quantitate xh hoc est bk.
Quare nk ipsi nc aequalis existit.
Similiter
quoniam a punctis a~c ad hyperbolen qnrl inclinatae
sunt lineae
cn~na, linea nc superabit ipsam ia quantitate rm
hoc est ao.
Quapropter
erit no aequalis nc. Ac propterea tres
lineae
nk~nc~no interse sunt aequales. Quoniam autem bh
bf sunt aequales, et hx, bk
aequales, erit kf
ipsi bx hoc est
ipsi ch aequalis.
Est autem ce ipsi ch aequalis, ergo kf
est
ipsi ce
aequalis.
At numquam am ipsi ad est aequalis, et ao ipsi rm,
erit od aequalis
ipsi nr hoc est ipsi
mc.
Sed
mc est aequalis ce, linea igitur od ipsi ce aequalis existit
Quare tres lineae kf~ce~od sunt interse aequales. Atque sunt
etiam nk~nc~no interse
aequales. Ergo nf~ne~nd interse sunt aequales. Circulus igitur
edf
cuius centrum n datos circulos contingit. Quod facere oportebat.
Sia un pezzo d'artiglieria, il qual si ha da tirar nel muro
hk nel punto e. Piglisi il punto a nella culatta vicino al focone,
e sopra la bocca si pigli il b, e si facci che b sia tant'alto
dalla linea dc quanto è il punto a, e questo si farà in questo
modo. Mettasi una paglia, o puntarolo giù per il focone pur che
arrivi nel fondo della canna, cioè nella linea dc.
Dipoi con quella medesima misura si vadi alla bocca, e si metta la misura
nel c, e vadasi quant'è alto il b, facendo che detta misura passi
per il mezzo della bocca. Piglisi poi la mira dall'a al b,
e vedasi che nella muraglia dia nel punto e. Se 'l pezzo è giusto, e
che porti di mira fin'alla detta muraglia, darà nel punto e.
Ma però un poco più basso, quant'è da b al mezzo della bocca
del pezzo; si per esser la linea ab parallela alla dc, et all'asse
della canna, poi anche perché la grandezza della palla sempre declina al
basso.
Ma sel pezzo non fusse giusto, ne ben fatto, e che la palla desse
in qual si voglia altro luogo, come in f; accioché certamente
alla seconda volta habbi a dar nel punto e, si farà in questo modo.
Ritornisi il pezzo nel sito dove era prima ripigliando la medesima misura
mira abe. Chiara cosa è, che stando il pezzo così
darà
in f per l'esperienza fatta. Hora per farlo dar in e,
piglisi una paglia, o bastoncino sottile mg, ilqual si metta
nella bocca del pezzo, e si mandi tanto in su, in giù, o in qua
in là, finché pigliando la mira da a in f passi per la punta
di detta paglia, come per il g. Hora è cosa chiara, che pigliando
la mira dall'a in g il pezzo dà giusto dove si mira, perché
stando così da in f, e si mira nel medesimo punto f.
Essendo dunque
così
movasi il pezzo tanto fin che pigliando la mira ag si veda il
punto e, e così il pezzo darà giusto in e.
è ben vero, che quando li pezzi sono mal fatti poche volte
rifermano le botte.
Et con questo secondo modo se si tirarà un pezzo più lontano
di quello ch'egli può portar di mira, si farà dar giusto.
Per trovar il più alto punto che sia nella bocca, e nella
culatta del pezzo si farà così. Sia per esempio
la parte dinanti abc, il cui centro sia f. Piglisi
una riga, o staggiuolo giusto, cioè che
habbi i lati paralleli, ilqual si metta sopra la bocca, e sopra questo
staggiuolo se li metta un'archipendolo ordinario, accioché
si accomodi il detto stagiuolo che stia a livello, segnisi poi
dove'l stagiuolo tocca il circolo abc, e sia in a.
E perché il staggiuolo è a squadra con il perpendicolo, e la linea
af
28 del terzo
è a squadra con il staggiuolo, adunque af
va al centro del mondo.
E
lemma de libra
il punto a sarà il più alto.
Facend'il medesimo alla parte di dietro, si haveranno li dui
punti corrispondenti nel pezzo, con li quali anche per prescia si
potrà tor la mira. Questo anche servirà assai all'operatione detta
di sopra.
Solidae magnitudines eiusdem speciei, et eiusdem figurae humido graviores,
demissae in humidum, eodem tempore aequale spatium pertransibunt.
Solidae magnitudines humido graviores, aut
interse sunt aequales, aut inaequales,
si sunt aequales, patet propositum. Sed sint inaequales.
Sint solidae magnitudines humido graviores a~b eiusdem speciei, et
eiusdem figurae, sitque a maior b. Dico solidas magnitudines a~b
in humido demissas eodem tempore aequale spatium pertransire.
Sit c magnitudo humidi aequalem molem habens ipsi a, hoc est sint
a~c eiusdem
magnitudinis,
similiter
d sit magnitudo humidi aequalem molem habens ipsi b. Quoniam enim
solidae magnitudines a~c sunt eiusdem
magnitudinis
itidemque
b~d eiusdem
magnitudinis;
erit proportio a ad b, ut c ad d
ex 7 quinti
aequales enim magnitudines ad
aequales
eandem habent proportionem.
Ut autem magnitudo a ad magnitudinem b, sic gravitas magnitudinis
a ad gravitatem ipsius b, cum sint eiusdem speciei. Similiter
ut magnitudo c ad magnitudinem d, ita gravitas
ipsius c ad gravitatem d. Ergo
11 quinti
proportio gravitatis a
ad gravitatem b est, ut gravitas c ad gravitatem d, et
permutando
16 quinti
, gravitas magnitudinis a ad gravitatem magnitudinis
c, sic gravitas magnitudinis b ad gravitatem magitudinis d,
et convertendo
cor. 4 quinti
, gravitas c ad gravitatem a,
sic gravitas d ad gravitatem b.
Idcirco, cum sit c
magnitudo humidi aequalem molem habens ipsi a, et d ipsi b,
proportio,
quam habet gravitas c ad
gravitatem a, et
gravitas d ad
gravitatem b
nihil aliud erit, nisi proportio
resistentiae, quam facit humidum ad magnitudines41 a~b quae iam ostensa est aequalis.
Quoniam autem solidae magnitudines humido graviores
demissae in humidum, feruntur deorsum, donec descendant; et
sunt in humido tanto leviores, quanto est gravitas humidi molem
habentis solidae magnitudini aequalem
ut demonstrat Archimedes in 7
primi
de iis, quae vehuntur in aqua .
Eadem
igitur erit
proportio
resistentiae, quam habet humidum ad magnitudinem
a, et
adad sembra aggiunto, ma non è in interlinea
magnitudinem b, ac propterea
magnitudines a~b
in humidum demissae ferentur deorsum, et eodem tempore aequale spatium
pertransibunt; cum medium pro quod fit motus sit
idem, et resistentia
in proportione aequalis. Si enim non eodem tempore transirent, necesse
esset resistentia
humidi maiorem habeat
ad magnitudinem quae tardius pertransiret
quam ad aliam
quod non est.
Ergo eodem tempore spatium aequale pertransibunt. Quod demonstrandum
oportebat.
Hoc etiam patet, si magnitudo a talis esset speciei, ut esset
in gravitate humido c aequalis, et b ipsi d.
Tunc per 3
eiusdem
Archimedis magnitudines a~b demissae in humidum demergent ita, ut
ex humidi superficie nihil existet.
Et quamquam pondus a propter magnitudinem
sit gravius, quam b; neutra tamen ipsarum magnitudinum
ab feretur deorsum, donec descendat, quia humidum
eandem habet proportioneem ad magnitudines a~b.
Hoc est magnitudines a~b in proportione eandem habent resistentiam,
quod eodem modo demonstrabit.
Hoc idem quoque manifestum est, si a et b essent humido leviores,
neutra enim ipsarum tota demergetur. Quamvis a sit gravior b. Sed
in eadem proportione ad humidum in humido permanebunt, ex quinta eiusdem
Archimedis.
Le pagine 43-44 sono incollate tra loro e quindi illeggibili
Contra Orontii Finei libellum, de multangularum omnium et
regularium figurarum descriptione
Totus hic liber in hac fundatur conclusione, quam ipse
colligit problemate secundo:
``In quibuslibet duobus triangulis habentibus duo latera
duobus lateribus aequalia alterum alteri; ex data
basium magnitudine proportionatam subsequi eorundem angulorum,
qui sub aequis continentur lateribus, quantitatem, hoc est angulos ipsos
basium immitari proportionem. Et e diverso.''
Sit triangulum abc aequicrure latera habens ab~ac aequalia. Fiat angulus
bad ipsi bac aequalis, erit angulus dac ipsius bac duplus.
Fiatque linea ad ipsi ac aequalis, et connectatur dc.
Dico dc minorem esse, quam duplam ipsius bc. Quoniam enim
aequicruris trianguli dac angulus dac sub aequalibus rectis lineis
contentus bifariam dividitur a linea aeb,
ex 10 primi
erit aeb ipsi
dc perpendicularis; segmentaque de, ec interse aequalia erunt
insuper
triangulum bec rectangulum
erit, rectum habens angulum
bec,
18 primi
quare bc maior est ipsa ce, et ce ipsi ed est aequalis,
ergo cd minor est, quam dupla ipsius bc.
Quae quidem dc secundum Orontium
duplam esse deberet ipsius bc.
Aliter
Sit aequicrure triangulum abc latera habens ab~ac aequalia. Deinde
fiat angulus cad ipsi bac aequalis, et ad ipsi ac aequalis.
Connectaturque bd. Erit angulus bad duplus ipsius bac.
Dico bd minorem esse, quam duplam ipsius bc.
Connectatur cd. Quoniam igitur angulus bac est ipsi cad aequalis,
lateraque angulos continentia sunt aequalia,
4 primi
erit basis cd ipsi cb
aequalis. Quare duae bc~cd ipsius bc sunt duplae.
Duae vero
20 primi
bc~cd maiores sunt ipsa bd. Ergo bd minor
est, quam dupla ipsius bc. Quod oportebat demonstrare.
Fiat propterea iisdem positis angulus dae ipsi bac aequalis,
lineaque ae ipsi ad aequalis. Erit totus bae triplus ipsius
bac. Connectantur be~de. Dico be minorem esse, quam triplam
ipsius bc. Nam cum ob eandem causam
4 primi
basis de sit
aequalis ipsi bc. Erunt tres lineae bc~cd~de intersese aequales;
et simul triplae ipsius bc.
20 primi
at duae bd de maiores
sunt ipsa be, et bc~cd ipsa bd sunt quoque maiores.
Erunt tres bc~cd~de ipsa be maiores.
Minor igitur est be, quam tripla ipsius bc.
Quae ex Orontii sententia tripla esse deberet.
Conclusio igitur superius allata falsa est, quare et totus Orontii libellus ruit,
atque falsus est, cum nitatur principio falso.
Universalium autem hoc demonstravimus pagina 112.
Quomodo autem figurae in circulis inscribantur ea respice, quae seorsum in Pappum
adnotavimus.
Immaginis species in speculo recipitur in puncto
Sit speculo ab. Immago cd. Dico speciem immaginis cd in speculo
ab in puncto recipi.
Sit oculus e, qui videat extremitatem c in speculo in puncto f.
Deinde connectatur df, fiatque angulus afg angulo bdf aequalis.
Si in g ponatur oculus, manifestum est, quod g videt punctum d
in speculo in puncto f. Accipiatur denique in immagine cd
quodvis punctum h, atque iungatur fh. Fiatque angulus afk
angulo bfh aequalis: eadem ratione, si in k sit oculus, patet,
oculum k videre in speculo punctum h in eodem puncto f. Et
si ipsius immaginis cd aliud quodvis accipiatur punctum,
similiter ostendetur, ipsum recipi in speculo in puncto f.
Tota igitur species immaginis cd in speculo ab in puncto f recipitur.
Quod demonstrare oportebat.
Huic tamen determinationi aliquis obiiciet.
Ponatur quidem oculum
e videre punctum c
in speculo in puncto f. Alteram vero extremitatem d in puncto l.
Procul dubbio cd in speculo recipitur non in puncto, sed in quantitate
fl. Cui respondendum est, quod tota species immaginis cd, non solum
recipitur in in puncto f, ut demonstratum est, verum etiam in puncto
l, quod eodem modo ostendetur. Praeterea non solum
in punctis f~l sed
et in quolibet puncto speculi. Idcirco quamvis cd ab oculo e
videatur sub quantitate fl, hoc non pervenit, quia cd in speculo non
recipiatur in puncto;
sed quia unus tantum oculus in uno, et eodem situ, non potest eisdem
lineis visualibus nisi unum tantum punctum videre. Ut lineis cfe videt
tantum punctum c: propterea his lineis
nulla potest aliam partem videre ipsius immaginis cd, quamvis
tota recipiatur in puncto f, ut dictum est. Hoc itaque evenit
ratione situs ipsius oculi, et non quia species non recipiatur in puncto.
Corollarium
Ex his patet, immaginis speciem in speculo omnibus speculi
punctis totam recipi.
Hoc in speculis planis est manifestum. In concavis autem, et in
convexis species recipietur aliquando in omnibus; aliquando
vero in punctis illius parti speculi, ad quae species ad ipsum
speculum pervenit rectis lineis.
Postquam hanc inveni demonstrationem, reperi Albertum Magnum, qui in libro
de homine cap. utrum color est obiectum visus (pagina scilicet 97) huic similem
demonstrationem confecit, et in hoc alia multa dicit.
Dato puncto, positoque oculo, punctum in speculo invenire,
per quem oculus datum punctum videat.
Sit speculum ab, datum punctum c, oculusque sit in d.
Punctum in speculo invenire oportet, per quem oculus datum punctum c
videat.
Ab altero ipsorum cd ad speculum perpendicularis ducatur: sitque ce,
quae pertrahatur in f fiatque ef ipsi ce aequalis. Deinde connectatur
df, quae speculum secet in g. Dico punctum g esse, quod quaerimus.
Iungantur cg~ge. Quoniam enim duae ce~eg duabus fe~eg sunt aequales,
angulosque continent aequales, nempe rectos, erit
4 primi
triangulum
ceg ipsi feg aequale; et angulus fge ipsi cge aequalis.
Sed
15 primi
et dgb ipsi fge est etiam aequalis. Ergo dgb
angulo cge est aequalis, angulus scilicet incidentiae angulo
reflexionis. Videt igitur oculus d punctum c per punctum g.
Quod invenire oportebat.
Idem invenire oporteat, sed operatio ultra speculum non egrediatur.
Iisdem positis. A punctis c~d ad speculum perpendiculares ducantur
ce~df. Iungaturque ef, quae dividatur in g,
ex 10 sexti
ita ut
eg ad gf sit ut ce ad df. Connectanturque cg~gd. Quoniam igitur
eg ad gf est, ut ce ad df. Erit permutando,
ut ge ad ec, ita gf ad fd, quae cum angulos contineant aequales,
hoc est rectos,
6 sexti
erit triangulum egc triangulo fgd
simile, ac propterea angulus fgd angulo egc est
aequalis. Videt ergo d punctum c per punctum g, operatioque semper
facta est inter speculum, et cd. Quod facere oportebat.
Ut unica tantum altitudinis horizontalis observatione
et in horizonte declinatione
(quae omnium facillima est) in quo caeli situ, cometa, sidusve aliquod
collocatum sit invemiamus, hoc modo assequemur.
Sit sphera, cuius meridianus sit abcd, horizon ef, aequinoctialis
bd ecliptica gh, cuius poli sint k~l. Sitque circulus klm
mobilis, qui circa Zodiaci polos k~l circumverti possit.
Sitque post quarta circuli nmo in gradus divisa, mobilisque in n;
ut fieri solet. Habeat deinde sphera circulum qr
secundum horas astronomicas
divisum, et iuxta hunc, alium habeat circulum st in viginti quatuor horas
divisum, qui circumverti possit, ut ad meridiem possimus aptare horam meridiei, horarum
ab ortu, vel ab occasu.
Sitque an harum horarum index, qui circumvolvatur una cum
sphera, ut fieri solet. His stantibus, inveniamus altitudinem
horizontalem cometae, sive astri, cum quadrante, vel aliquo alio instrumento.
Et cum bussola distantiam inveniamus horizontalem ab aliquo
quatuor punctorum principalium. Quod fiet aptando bussolam ipsi
quadranti dum altitudinem quaerimus. Vel instrumentum construamus,
ut simul, et distantiam horizontalem, eiusque altitudinem ostendat,
quod erit quidem facillimum. Horaque huius observationis notetur.
His notatis, aptetur sphera secundum regionis latitudinem, quae sit fa,
inveniaturque Zenit, quod sit n. Et sub meridiano ponatur Zodiaci
signum, inventum, vel per almanach, vel per astrolabi dorsum, vel quod melius
est, in ipso spherae Zodiaco menses quoque describantur, diemque
sub meridiano ponamus. Ostendatque au horam meridiei, deinde circumvolvatur
sphera, donec au horam observationis ostendat; spheraque in hoc loco firmetur.
Et in n ponatur quarta mobilis nmo, quae circumvertatur donec in
horizonte ostendat circumferentiam horizontalem, quae sit eo in qua
etiam notetur astri altitudo, quae sit om. Volvatur deinde circulus
klm, donec secet nmo in m, qui eclipticam secet in x. Erit
punctum x signi gradus, in quo sidus reperitur.
Et si in ef firmetur alius circulus mobilis, quartaque
aequinoctialis inter meridianum et horizontem, in tres dividatur
partes aequales, cum hoc circulo statim, in qua domo sit
punctum m, inveniemus.
Pappus
in quarto Collectionum Mathematicarum per lineam quadrantem
angulos incommensurabiles invenire docet. Oportet autem, hos, aut rectos,
aut recto minores esse, cum linea quadrans non excedat circuli quadrantem.
Caeterum hoc per lineam spiralem universalius hoc modo assequemur.
Angulum invenire, ad quem datus angulus datam habeat proportionem.
Sit datus angulus abc, dataque proportio de ad ef. Angulum invenire
oportet, ad quem angulus abc proportionem habeat, quam de ad ef.
Describatur circulus acn, lineaque spiralis in prima circulatione bkma.
Et ut
de ad ef, ita fiat bk ad kl, et centro b; intervallo quidem bl, circulus
describatur lm, qui lineam spiralem secet in m; iunctaque bm producatur
usque ad circumferentiam in n. Quoniam
14 Archimedis { de lineis spiralibus
}
enim est bm, hoc est bl ad bk, ut circumferentia nca ad circumferentiam
ca, erit convertendo, ut bk ad bl, ita circumferentia ac ad circumferentiam
acn. Dividendo igitur ut bk ad kl, hoc est ut de ad ef, ita ac ad cn, hoc est
ex ultima sexti
angulus abc ad angulum cbn. Quod demonstrare oportebat.
Corollarium
Ex hoc patet, quomodo inveniatur circumferentia, ad quam data circumferentia datam
habeat proportionem; dummodo utraeque circuli circumferentiam non excedant.
Terram moveri hoc modo ostendetur
Sit centrum mundi a, sitque terra, et aqua bcde. Et quoniam
totum bcde est grave, et manet; erit ipsius bcde gravitatis centrum
in centro universi. a igitur centrum erit gravitatis bcde;
ex definitione centri gravitatis
ita ut partes undique aequeponderent.
Adiiciatur terrae ubicumque quodvis pondus f, cuius centrum gravitatis
sit h, et connectatur ha, quae dividatur in k, ita ut hk ad ka eandem habeat
proportionem, quam gravitas magnitudinis bcde ad gravitatem magnitudinis f,
Equilibrio dei piani prop. 7
va controllata questa citazione, davvero non leggibile: si nasconde nella legatura...Martin
erit k centrum gravitatis utriusque magnitudinis ex bcde,
et f compositae. Quia vero centrum gravitatis ex sui natura in centrum mundi tendit.
Movebitur punctum k in a, tota igitur magnitudo bcde una cum magnitudine
f movebitur. Ergo terra et aqua moventur quandoquidem in superficie terrae modo in
unam modo in aliam partem adiicitur aliquid. Ut domus, turris, oppidum, insuper motus
animantium, caeteraque huiusmodi ex quibus perspicuum est, (quamvis hic motus sit
omnino insensibilis) saepissime terra moveri.
In principio questionum Mechanicorum infert Aristotelis maiores libras minoribus
exactiores esse, quod ex iisdemmet verbis elicitur hoc prius demonstrato.
Sint duo circuli abc~def inaequales, quorum minor sit abc.
Applicetur diametro ac df
ad angulos rectos
aequales lineae bg, he
diametroque df linea he sintque gb~he aequales.
Dico minorem habere proportionem bg ad ga, quam eh
ad hd.
Ex 13 sexti
quoniam enim bg media est proportionalis
inter cg, et ga;
17 sexti
erit rectangulum cga quadrato ex bg aequale.
Ob eandemque causam rectangulum fhd quadrato ex he aequale erit. Quia vero
quadrata ex bg~he sunt interse aequalia, rectangula quoque cga~fhd intersese
aequalia erunt.
16 sexti
in eadem igitur est proportione fh ad cg, ut ga ad
hd. Quoniam autem maior est diameter fd, quam diameter ca,
necesse est
25 quinti
controllare
fh maximam esse quatuor linearum proportionalium, et hd minimam. Minor
igitur est dh, quam ag. Ergo
ex 8 quinti
bg ad ga minorem habet proportionem,
quam eh ad hd. Quod demonstrare oportebat.
Sit itaque alterum librae brachium ab, alterius vero cd, maiusque sit ab,
quod motum sit in ae; brachiumque cd in cf, ita ut ducta ef sit ipsis ba,
de in directum positis aequidistans. Dico facilius moveri punctum b, quam d.
Ducantur a punctis e~f ipsis ba~dc perpendiculares eg~fh, quae intersese
aequales erunt. Quoniam igitur maiorem habet proportionem eg ad gb, hoc est motus
secundum naturam ad id, quod est praeter naturam, quam fh ad hd, hoc est
motus secundum naturam ad praeter naturam; minus repelletur punctum b, quam d;
facilius ergo movebitur punctum b, quam punctum d, et si facilius, ergo in
eodem tempore ab eadem potentia velocius.
De cochlea
Sit data cochlea ab quotcumque habens elices, ut puta quatuor. Inveniatur ex iis, quae de cochlea diximus in
libro mechanicorum , triangulum cde, ostendens angulum
elicium in cylindro existentium hoc est
helices
in
cochlea sint in angulo ced. Intelliga[tur]
hk horizonti
aequidistans.
Manifestum est, si cochlea ab sit horizonti perpendicularis
hoc est sit latus cylindri ad horizontem in angulo recto cdk ipsius helices nihil aliud esse, nisi
planum
horizonti
inclinatum in angulo ced.
Sit
de
cylindri ab quadrupla, cum
cylindrus quatuor helices
possideat.
Ducaturque
a puncto d ad ce perpendicularis df moveatur triangulum cde ab hoc situ
ponaturque
(ut in 2
figura) df horizonti perpendicularis
maneatque hk horizonti aequidistans.
28 primi
erit
utique
ce horizonti, et hk
aequidistans. Si itaque taliter constituatur
cochlea ab
ut cylindri latus
ad horizontem eandem habeat inclinationem,
quam linea cd cum dk hoc est sit in angulo cdk
cochlea inquam, habebit
costruzione incomprensibile sostituita con la successiva
helices
ac si horizonti essent aequidistantes quippe cum in cylindrum in angulo dec existant.
Si vero, ut in 3 figura df una cum horizonte
angulum effecerit acutum fdk ita tamen ut duo anguli fdc~cdk simul sumpti sint recto minores.
controllare se tamen va bene.
Linea ec ex parte c cum horizonte hk concurret cum
angulus dfc sit rectus et fdk acutus.
Constituetur
itaque cochlea
ut ipsius latus
ad horizontem inclinationem haberet secundum angulum cdk,
nimirum cochlea ob eandem rationem helices habebit
ad horizontem
inclinatas, ut ec.
In prima itaque figura helices cochleae
eg
g sursum tendunt, habentque ad horizontem inclinationem in angulo dec.
In 2
vero figura helices ad horizontem se habent, ac si ipsi
horizonti essent aequidistantes, sunt enim ut ec, quae horizonti est
aequidistans. Sed in 3 figura helices ex g horizontem versus
descendunt, quemadmodum efficit linea ex e in c.
Ergo si producta
ce donec
ipsi hk productae occurrat, erunt helices ad horizontem ut angulus
elk quecontrollare
quidem demonstrare oportebat.
His constitutis si aqua fuerit in e
tunc ex e in c permearet,
quare et g in b similiter tenderet.
Ac propterea attollet aquam, quod
quidem non est propriam attollere,
sed deorsum tendere, cum idem prosus sit, ac si super planum ec
permearet. Dum autem aqua deorsum movetur sursum tendit, ut infra
clarius patebit.
Propositio
Data cochlea, ipsius inclinationem invenire, ita ut aqua super elicen flui
possit.
Sit AB horizon, sitque data
cochlea bd, cuius elix sit ef.
Cochleae inclinationem invenire oportet, ut
aqua
ex c in f super elicen flui possit.
Secetur cylindrus
per axem sectioque bcde sit horizonti erecta exponatur
deinde
triangulum agh,
rectangulum, rectum
habens angulum ad a, sitque ag aequalis dimidio perimetri
cylindri bkc. Et ah sit ipsi bf aequalis. Unde patet elicen in
cylindro esse in angulo agh.
Ducaturque al ipsi gh perpendicularis, constituaturque triangulum
agh ita ut lah sit angulus acutus, deinde constituatur
latus cylindri bfe ita ad horizontem
inclinatus
ut angulus ebm sit aequalis angulo hab. Nimirum se habebit elix ad
horizontem, ut gh
si igitur fuerit aqua in c, procul dubio movebitur
fluetque super elicen ex c
in f. Quod demonstrare oportebat
Angulum invenire, secundum quem oporteat helices construere,
ut cochlea in data inclinatione, aquam
super ipsas fluere possit.
Sit horizon ab, sit cylindrus, qui secetur plano per axem,
ad rectosque angulos ad horizontem bcde, erit
utique abe
angulus inclinationis datus
elicem
construere oportet, ut
aqua
in hac data inclinatione super elicem fluere possit.
Ducatur a puncto c ipsi ba aequidistans cf. Deinde
seorsum exponatur kl aequalis bf, cui a puncto
k perpendicularis
ducatur km, quae sit aequalis dimidio perimetri cylindri,
circumferentiae scilicet bc et in linea kl quodvis
summatur punctum n.
Connectanturque ml mn. Ponatur itaque m in c,
k in b: erit l in f. Sitque punctum n in h.
Si igitur describatur helix secundum lineam mn,
si fuerit aqua in c
patet
ipsam
ex c versus h, cum
sit h horizonti propius, quam c. Describantur
itaque helices super totam cochleam secundum angulum
kmn.
Pondus semper in infima parte
movebitur;nam dum cochlea circumvertitur semper manebit pondus in infima helicis} parte.
Non enim gratia exempli
ex h in c, neque ex h in alteram cochleae partem movebitur.
Dum
pondus enim cochleae circumvertitur punctum h sursum tendit
per circumferentiam boq, et dum h erit in o pondus
puta ex h erit
puta
in p,
cum sit p horizonti propius quam o.
Similiter quando punctum o erit in q, pondus erit
in iuxta r.
Hinc manifestum est, quomodo in cochlea inclinationem
datam habente helices inscribi
possint, quae sint, ac si horizonti essent aequidistantes,
quod patet si secundum kml describerentur.
Cur maioribus orbiculis rotis va considerato cancellato?
(quo ad praxim) facilius pondera moventur.
An quia, si duo sint
orbiculirotis va considerato cancellato?
ab~cd circa axem ef, quorum centrum sit g.
Sintque in a~c pondera aequalia; manifestum est potentias in d~b
pondera sustinentes intersese aequales esse.
Sint autem in b~d potentiae moventes;
erit minor potentia in b, quam in d. Quoniam enim circa
axem ef, dum rota circumvertitur, fit resistentia quaedam ex
ipsorum contactu, et fricatione, et
18 quinti
maiorem
habet proportionem bg ad gf, vel ad ge, quam dg ad gf,
vel ge; minor erit potentia in b superans repugnantiam quae
est in f vel in e, hoc est quae fit circa axem, quam potentia
in d.
Quare quamvis in a~c pondera sint aequalia, et resistentia circa
axem sit eadem, minor tamen potentia in b movebit pondus in
a quam potentia in d pondus in c.
Et advertendum est, hoc sequi, quando rotarum axes fuerint
interse aequales.
Idem de scytalis
Sint circuli, quorum centra a~b, qui non solum
inter sese, verum etiam lineam de in puncto c
contingant. Iunctaque bac,
inter ac quodvis summatur
punctum f, a quo ipsi de
aequidistans ducatur fgh circulos secans in g~h.
Similiter a punctis a~b ipsi de aequidistantes ducantur
aik blm, et a punctis g~h ducantur ipsi bc parallelae gi~hl.
Dico ai ad ik maiorem habere proportionem, quam bl ad lm.
Producatur gi usque ad n; connectaturque ag, cui a puncto
b aequidistans ducatur bop quae neque in circumferentia ch,
neque in punctum h perveniet, sed inter hm ut infra ostendetur.
Denique a puncto p ipsi cb aequidistans ducatur pq.
Quoniam igitur ag~bo sunt parallelae,
29 primi
angulus agi
angulo bon aequalis, et anguli ad i~n sunt recti, ergo reliquus
gai ipsi obn est etiam aequalis,
34 primi
sed et bn est
aequalis ai; triangulum igitur agi triangulo bon est aequale;
quare ut ag, hoc est
ka ad ai, ita est ob ad bn,
4 sexti
. Ut autem ob ad bn,
ita est pb, hoc est mb ad bq. Ergo ut ka ad ai
ita mb ad bq. Et convertendo, ut ai ad ak, ita qb
ad bm, atque dividendo, ut ai ad ik, ita bq ad qm.
Quoniam autem qb maior est, quam bl, et lm, quam
qm:
lemma de vecte in libro Mechanicorum
maiorem habebit
proportionem bq ad qm, quam bl ad lm.
Ergo ai ad ik maiorem habebit proportionem, quam
bl ad lm. Quod demonstrare oportebat.
Quod autem bp perveniat inter hm, sic ostendetur.
Iungatur bh. Et quoniam
8 quinti
cf ad fb minorem
habet proportionem, quam ad fa.
Habebit
28 quinti ex Commandino
componendo
cb hoc est hb ad bf minorem, quam ca, hoc est ga
ad af. Angulus vero ad f utrique triangulorum afg
bfh communis est rectus, cum sit angulo ace aequalis.
Ex Pappo pagina 110
angulus fag maior angulo fbh.
Ergo et angulus cbp angulo cbh est maior. Cum
autem
33 sexti
angulus cbh ad cbp sit, ut circumferentia
ch ad circumferentiam cp, et maior est cbp ipso cbh.
Maior quoque eri circumferentia cp, quam ch.
Ducta igitur bp ipsi ag aequidistans, erit punctum p inter
hm.
His itaque demonstratis. Duae sint rotae bef, dgh, lineam
horizontis bd tangentes in b~d punctis. Earumque centra
sint a~c. Connectantur ab~cd, et in ab quodvis summatur
punctum k, a quo ipsi bd aequidistans ducatur keg
rotas secans in e~g. Intelligantur in horizonte, et sub rotis duo
obstacula, puta duo lapides aequales, qui rotas tangant in e~g.
Dico rotam dgh facilius pertransire supra lapidem o,
quam rota bef supra n.
Ducantur af ch ipsi bd horizonti aequidistantes; et a
punctis e~g ad af~ch perpendiculares ducantur el~gm.
Intelliganturque puncta e~g fulcimenta. Quoniam enim
el~gm sunt horizonti perpendiculares, si in fh ponantur
potentiae rotarum pondera sustinentes; erit
Sopra erit una crocetta per la citazione a margine che però manca.
ex nona Pappi 8
libri, potentia in f ad rotam ut
al ad lf, potentiaque in h ad rotam ut cm ad mh;
minorem autem habet proportionem cm ad mh, quam
al ad lf. Minor igitur potentia in h sustinebit rotam dgh,
quam potentia in f rotam bef. Ergo et minor potentia movebit
rotam dgh, quam bef ergo et facilius.
Advertendum tamen est hoc sequi, quando rotae sunt eiusdem
gravitatis vel quando
eandem sustinent gravitatem.
Ut in curvibus evenit; curvus, enim, semper eandem servant
gravitatem, sive maiores, sive minores habeant rotas.
Eadem constituatur ut in 34.
Dico ob ad bq ita esse, ut op ad pq. Intelligantur sphera
circa axem af et centrum c;
6 primi Theodosii
erit fea
circulus maximus, et a puncto p ad huius circuli
planum
perpendicularis erigatur pr usque ad spherae superficiem,
quae et ad eg perpendicularis existet. Deinde per eg pr
planum ducatur, quod faciet in sphera circulum ert, qui
18 undecimi
ad rectos erit angulos ad planum per fea ductum,
eiusque diameter erit et, et centrum g. Similiter per qo~pr
planum ducatur faciens in sphera circulum qro.
Denique connectatur br. Erit qo circuli qro diameter,
lineaeque br bqpo pr, itidemque semicirculus qro
in uno, et eodem plano
ex 2 undecimi
. Quoniam igitur be circulum fea
maximum, ac per consequens spheram contingit, et be est aequalis
br, cum
5 primi Theodosii
linea bfgca
per polos circuli ert transeat,
continget br spheram in puncto r.
Ac propterea semicirculum quoque qro in eodem puncto tanget.
Quia vero br semicirculum qro in r contingit, a quo ducta
est rp ad diametrum qpo perpendicularis: erit ex demonstratis
in 34 ob ad bq, ut op
ad pq. Quod demonstrare oportebat.
Hoc idem in ellipsi eodem methodo ostendemus.
Sit feat ellipsis, sitque ut in 36 primi Conicorum Apollonii
be ellipsim contingens. Ordinatimque sit applicata eg: erit
ex eadem 36 ut ab ad bf, ita ag ad gf. Ducatur itaque
utcumque linea bpo secans eg in p. Dico ob ad
bq ita esse, ut op ad pq. Intelligatur spheroides circa
axem af. Ducaturque pr ad planum per ellipsim feat
ductum perpendicularis, et per egt pr planum ducatur ert
spheroidem secans;
ex 12 Archimedis { de conoidibus et spheroidibus
} erit ert semicirculus, cuius diameter
et, et centrum g
ad planum per ellipsim feat ductum perpendicularis.
Rursus per qo~pr aliud ducatur planum qro, quod
15 Archimedis in eodem libro
in spheroide sectionem
efficiet ellipsim, cuius diameter erit qo.
Connectanturque br~gr; erunt lineae bo~ pr~br, et
ellipsis qro in uno, et eodem plano. Quoniam enim
duae bg~ge duabus bg~gr sunt aequales,
angulumque rectum continent: erit be aequalis
br. be vero spheroidem tangit, ergo br
spheroidem, et ellipsim qro quoque continget,
cum sit bfa recta linea, et fa axis spheroidis.
Cum autem ellipsim qro, cuius diameter oq, linea
contingat br et a puncto r ordinatim
ad diametrum
applicata sit
rp.
Erit ex eadem 36 primi Conicorum ob ad bq, ut op ad pq.
Quod erat quoque demonstrandum.
Potentiam invenire quae
datam sphaeram subiectum planum
horizonti inclinatum tangentem in dato puncto sustineat.
Oportet vero potentiam ita in sphaera constituere ut circulus maximus per
potentiam, et tactum transiens sit horizonti erectus.
Sphaera enim abc habeat centrum d, quae subiectum planum
ef horizonti inclinatum in c contingat.
Sphaera vero secetur per centrum, et per c, plano horizonti erecto.
Quod quidem in sphaera circulum efficiat maximum abc.
Sitque in hoc circulo constituenda potentia sphaeram sustinens in g.
Ducatur gh horizonti aequidistans, cui ad rectos angulos ducantur ch~dk.
Intelligatur itaque gh vectis, cuius fulcimentum est in h,
cum planum ef sphaeram tangat in c. Pondus vero in k appensum.
Cum enim d sit centrum gravitatis sphaerae, erit perinde,
ac si in k esset appensum ex dictis in tractatum de vecte
nostrorum mechanicorum .
Quam vero proportionem habet gh ad hk, ita fiat gravitas sphaerae ad
potentiam in g. Potentia igitur in g cognita erit.
Ac in prima quidem figura erit primus modus de vecte , in secunda:
secundus in tertia: tertius.
Notandum tum quod si potentia esset in g, ita ut ducta horizonti
perpendicularis per centrum sphaerae d transiret, ut dg
tunc potentiam totam sustineret sphaeram. Ac propterea ipsi aequalis existeret.
Veluti in puncto quoque b ob eandem
causam.
Quae in circulo rectas aequidistantes
lineas
coniungunt intersese sunt aequales.
Sint in circulo parallelae lineae ab~cd, quas
coniungant ac~bd, et ad~cb. Dico lineas ac~bd
interse aequales esse. Similiter ad~bc interse aequales
quoque esse. Sit punctum e, ubi ad~bc se invicem
secant. Et quoniam
15 primi
angulus aeb aequalis est
angulo ced, et
29 primi
eba aequalis ecd, atque
eab angulo edc aequalis; erit triangulum
aeb triangulo ced simile, quare
4 sexti
ut ae
ad eb, ita de ad ec,
et permutando ut ae ad ed, ita be ad ec, componendoque ad ad
de, ut bc ad ce,
16 quinti et 18
. Rursus quoniam
angulus bed angulo aec est aequalis,
et
21 tertii
acb angulo adb est aequalis, similiter angulus cad
angulo cbd aequalis, erit triangulum aec triangulo bed simile.
Ergo ut ec ad ca, ita ed ad db, quare ex aequali
22 quinti
bc ad ca ita est, ut ad ad db. Quia vero est bc ad ca, ut
ad ad db, angulusque bca angulo adb est aequalis.
Simile erit
6 sexti
triangulum abc triangulo adb,
quare ut ba ad ac, ita est ab ad bd.
Ergo ac bd sunt intersese aequales.
Simili ratione quoniam ob eandem triangulorum
similitudinem ita est ba ad ad, ut ab ad bc, erunt itidem
ad~bc intersese aequales. Quod demonstrare oportebat.
Quae in circulo aequales rectas lineas
coniungunt, intersese sunt, vel aequales, vel aequidistantes.
Sint in circulo aequales rectae lineae ab~cd,
quae primum se invicem dispescant in e; quas
coniungant ad~cb. Dico has aequales esse.
Nam, cum
28 tertii
sint circumferentiae
acb cad aequales. Communi dempta ac, erit
circumferentia cb circumferentiae ad aequalis, et ob
id
29 tertii
recta cb rectae ad est aequalis.
Coniungant autem ab~cd lineae ac~db.
Dico ac~db inter se aequidistantes esse.
Quoniam enim
28 tertii
circumferentia acbd aequalis est
circumferentiae cadb; anguli cdb
abd interse aequales erunt
ex 27 tertii
. Et
ex 21 tertii
angulus cab angulo cdb est aequalis. Ergo angulus
abd angulo bac est aequalis, quare
27 primi
linea bd lineae ac est aequidistans.
Si vero datae sint in circulo lineae aequales
ad~cb se invicem minime secantes, quas coniungant
ab~cd. Dico similiter ab~cd aequales esse. Cum
enim circumferentia ad sint circumferentiae bc aequalis,
communi addita ac, erit circumferentia dac circumferentiae
bca aequalis, ac propterea linea cd ipsi ab aequalis erit.
Lineas vero ac~bd rectas aequales ad~cb coniungentes
aequidistantes esse, eodem modo ostendetur.
Poli altitudinem supra circulum maximum
ad planum horizonti
inclinatum invenire.
Sit horizon abcd, sit aec meridianus, cuius,
et horizontis sit communis
sectio ac.
Sitque centrum mundi g, et polus e. Sit planum
inclinatum
bfd, lineaque bd sit plani inclinati, et horizontis
communis
sectio, cui ad angulos rectos sit hgk. Manifestum
est planum circuli hfk ad horizontem erecti
ad rectos esse angulos ad planum bfd. Connectatur gf,
erit fgk angulus inclinationis plani inclinati bfd, et
horizontis.
Quae hic obscura videntur ex 7 libro Pappi mathematicorum collectionum sunt manifesta.
Quoniam enim si a puncto f ad horizontis planum ducatur perpendicularis
in lineam gk cadet, cumque sit fg ad bgd perpendicularis,
et hgk eidem bgd perpendicularis; erit angulus fgk
minimus
omnium angulorum contentorum a linea fg, et
omnibus lineis in plano horizontis per punctum
g transeuntibus. Fiat deinde circumferentia fl circuli
quarta erit hl complementum circumferentiae fk, atque
punctum l polus circuli bfd, huiusque plani inclinati Zenit.
Ducatur itaque per le circulum in sphera maximus
lem, erit lem quarta circuli ergo em erit altitudo poli supra
planum bfd inclinatum.
Ut autem faciliter rectis tamen lineis, circulique
circumferentiis, quanta sit huius poli altitudo
inveniatur.
Describatur seorsum maximus circulus abcd, cuius centrum
g, et ducatur agc, quae sit communis sectio meridiani,
et horizontis.
Sitque bd diameter circuli inclinati, cui perpendicularis
existat hgk, sitque pqr angulus huius plani inclinationis,
sitque prs circuli maximi quarta, sit
postea
circumferentia ae poli altitudo, et ab e
ad ac
ducatur
perpendicularis en.
Si itaque intelligatur semicirculum abkc elevatum esse,
ut aec in superiori figura, erit en ipsi en superioris
figurae aequalis, et gn ipsi gn aequalis. Eodem modo summatur
circumferentia hl aequalis rs, quae aequalis erit circumferentiae
hl superioris figurae et a puncto l ad bk perpendicularis
ducatur lo, erit lo ipsi lo superioris figurae aequalis;
et og ipsi og; intelligendo semicirculum hdk esse semicirculum
hlfk superioris figurae. Connectatur igitur no, erit no alteri no
aequalis, cum sint triangula ngo interse aequalia. Ponatur
tandem non seorsum, ad quam perpendiculares ducantur ne~ol,
erunt quadrilatera enol aequalia.
Ducatur igitur per puncta e~l circulus maximus, fiatque lem
quarta circuli erunt circumferentiae el, et circumferentiae em aequales.
Ergo circumferentia em erit altitudo poli supra planum horizonti
inclinatum in angulo pqr, cuius positio in horizonte sit bgd.
Di questo si potrebbe far doi problemi separati
.Di questo si potrebbe far doi problemi separati si trova scritto in alto, nel margine superiore della pagina
Communem sectionem coluri solstitiorum
et cuiuscumque solis paralleli,
data solis maxima declinatione
cuiuscumque
eclipticae puncti declinationem invenire
Sit colurus solstitiorum
abcd, sintque
mundi poli b d.
Sit aecf aequinoctialis,
lineaque ac
sit ipsius et solstitiorum coluri
communis sectio.
Sit zodiacus egfh, cuius et meridiani sit hg sectio
communis
Erit utique arcus cg maxima solis declinatio.
Summatur in zodiaco quodvis punctum k et
per puncta b~k~d circulus describatur maximus bkld
qui aequinotialem secet in l.
Manifestum est kl declinationem esse puncti k.
Ducatur itaque a puncto k ad meridianum abcd
perpendicularis km,
quae
in hg quae est communis sectio zodiaci et meridiani cadet.
Deinde a puncto m ipsi ac
aequidistans ducatur smrl.
Dico
circumferentiam nc circumferentiae kl aequalem esse.
Ducatur a puncto l ad
costruzione incomprensibile sostituita con la successiva
meridianum
perpendicularis lo,
quae
in ac
cadet. Eritque
38 undecimi 6 undecimi
km ipsi lo
aequidistans.
Quia vero linea quoque
smn ipsi aoc est aequidistans
planum
13 undecimi
per km~smn ductum hoc est nks
erit
aequinoctialis
plano alc
aequidistans
autem bkl~bnc sunt circuli maximi per
polum bd
descripti,qui est polus et aequinoctialis et plani per km~smn
descripti hoc est circuli nks.
Erit nc
ipsi kl aequalis arcus ergo cn declinationem puncti k ostendit,
{10 secundi Sphaericorum Theodosii
}. Simulque patet ns communem esse sectionem meridiani, et paralleli nks,
et ns ipsi ac aequidistantem esse.
Operatio
Sit
circulus
afch
cuius centrum e. Ductaque aec, fiat cg maxima solis
declinatio.
Ducaturque geh.
Sitque
circuli quarta ghf.
Intelligatur
circulum afgh esse lineam eclipticam
et punctum f principium arietis sive librae. Principium tauri oportet in solstitiorum coluro diametrum invenire. Ducatur a puncto k ad hg perpendicularis km. Deinde invento puncto m a puncto m ducatur smn ipsi ac aequidistans. Intelligatur circulum afch solstitiorum colurus lineaque ac aequinoctialis diameter sn in solstitiorum coluro diameter paralleli principi tauri arietisque go, hp ipsi ac similiter aequidistantes, erunt go ,ho in dicto coluro tropicorum diametri. Erit nc declinatio puncti k, et ns parallelus qui oritur ex perpendiculari ab ecliptica ad meridianum ducta.
Et hoc modo unumquemque diametrum cuiscumque paralleli facile inveniemus.
Et hoc modo facile unumquemque parallelum, et
cuiuscumque gradus declinationem inveniemus.
Facileque tabulas conficiemus. Ut si fk tertia sit pars fb, sitque punctum f
arietis principium erit k principium tauri, cuius declinatio est arcus nc.
Joannes autem de Roias
et aliis ut parallelos in planisphaerio inveniant
aliter construunt. Iisdem namque positis
ducant lineam gp
inter tropicos et
quam aequinoctialis in t bifariam et ad rectos angulos secet
et centro t
circulum describunt glp
eruntque utique gl~lp circuli quartae
accipiuntque circulum plg vel ecliptica et punctum l pro principio Arietis et librae si itaque summatur
lo tertia pars
quartae
lg
erit punctum o
principium tauri et virginis
a quo ducant smon ipsi ac aequidistans, asserunt sn in
planispherio cum principii
Tauri parallelum ostendere. Nos autem sn
ipsius tauri paralleli diametrum quoque existere.
Hoc modo demonstrabimus.
Sit fk ut supra tertia pars
ipsius fg et lo
similiter
tertia
ipsius lob.
Ductaque km ad gh perpendicularis, iunganturque
mo, quae producatur ex utraque parte usque ad circumferentiam in sn.
Demonstrare oportet lineam sn ipsi ac aequidistantem esse
secet tg lineam sn in u.
Quoniam enim circumferentiae
fk~lo sunt similes,
et fg~lg
similes, erunt gk~go similes, iunctis ergo ke~ot, erit angulus
kem angulo otu aequalis, quoniam autem angulus emk rectus recto
tuo est aequalis, erit reliquus
ekm reliquo
tou aequalis, quare
4 sexti
ut me ad ek, hoc est ad eg, ita
ut ut ad to hoc est ad tg, et
cor. 4 quinti
convertendo,
ut ge ad em ita gt, ad tu,
11 quinti
dividendoque
ut gm ad me, ita gu ad ut.
2 sexti
Linea igitur moun
hoc est sn
est ipsi ac aequidistans.
Quoniam autem son per punctum n transit,
ex supra demonstratis erit sn paralleli principii tauri in solstitiorum coluro
diameter
secundum igitur ipsorum
operationem dum parallelos in planispherio qui sunt ipsorum parallelorum
diametros inveniunt quod quidem demonstrare propositum fuerat.
Quamvis hoc modo brevior sit operatio, ad inveniendos tantum parallelos conficiendas
tantum
tabulas melior certior erit
operatio
primo quo
supra dictum est
modo quam secundum Ioannes de Roias
semper operatio fiat in circumferentia
hfgr, quae magna fieri
potest gradusque distincte magis in 90 partes distribuentur in
quartis hf~fg quam in lg~lp.
Post sit horizon qr, sitque cognita rc, hoc est aequinoctialis
altitudo, quae latitudinis, sive quod idem est, poli altitudinis
est complementum. Si hinc addatur nc erit rn cognita, quae erit altitudo
meridiana puncti k. Et hoc modo omnes cuiuscumque puncti eclipticae altitudines
meridianae notae erunt. Ex quibus tabulas quoque facile conficere poterimus. Advertendum tamen,
ut declinationes signorum borealium altitudini aequinoctialis addantur; australium
vero demantur.
Gemma Phrisius antiquum Astrolabum catholicum
edidit, cuius alii quoque mentionem fecere, ut Orontius.
Ortumque habet huius modi. Ponitur oculus in sectionis
puncto aequinoctialis et coluri aequinoctiorum, et omnes
meridiani
ac paralleli,
qui in hemispherio oculo opposito existunt, quemadmodum oculo
apparent in coluro solstitiorum, tamquam in sectione describunt
ut sit abcd aequinoctialis.
Sit afcg aequinoctiorum colurus. bfdg vero colurus solstitiorum.
Erunt
utique puncta fg mundi poli. Per quos deinde utcumque quotlibet
circuli, in sphera
ducantur maximi, qui meridiani erunt deinde aequinoctiali aequidistantes
ubicumque et quotcumque ex utraque parte ducantur circuli
lmn~opq~rst uxy quos omnes in plano bfdg
circulorum circumferentias esse
sine demonstratione
affirmant.
Quae quidem omnia
hoc
modo ostendetur
primum de meridianis.
Sit rursus circulus
abcd aequinoctialis, cuius mundi centrum sit c, polique sint
f~g et sit afcg aequinoctiorum colurus cuius et aequinoctialis
sit aec communis sectio.
Sit deinde bfdg colurus solstitiorum, lineaque bcd
aequinoctialis, et coluri bfdg solstitiorum
sit sectio communis.
Ducatur ita
per
polos
f~g circulus aliquis fhgk qui cum sit per polos meridianorum
aliquis utique erit.
Secetque fhgk aequinoctialem abcd in punctis h~k.Deinde iungatur fg.
Ponaturque oculus in
puncto a quod est sectio aequinoctialis, atque aequinoctiorum coluri. Si itaque circulum fhgk in coluro
solstitiorum hoc est in plano bfdg, tamquam in sectione, ut oculo in a
existenti apparet, ostendere voluerimus. Dico sectionem hanc circulum esse.
Primum quidem manifestum est puncta f~g non punctari, eademque
in sectione apparere, cum in ipsa sint
sectione
oculus
bd ak
ex parte d~k producantur
quae intersese concurrent. Primum quidem quoniam in eodem sunt plano,
aequinoctialis scilicet. Deinde quoniam coluri ad rectos sunt sibi invicem angulos ipsorum quoque diametri ac~bd in plano aequinoctialis ad rectos angulos erunt, ac propterea angulus aem
est rectus sed eak necessario est acutus, cum sit
minor hak, qui
31 tertii
in semicirculo rectus est.
Conveniant igitur in m. Et a puncto k ipsi bm aequidistans
ducatur knp, quaequae sembra aggiunto in un secondo tempo
ex 29 primi
ad ea perpendicularis,
et
3 tertii
kn ipsi np aequalis existet.
Iuncta igitur ap, quoniam ad n sunt anguli recti,
ex 4 primi
erit ap aequalis ak et
5 primi
ob id angulus akp angulo apk est aequalis.
Quoniam igitur
29 primi
angulus akn angulo aml est
aequalis, et
21 tertii
apk angulo ahk aequalis, erit angulus aml angulo
ahk aequalis. Cum itaque duo sint triangula ahk alm, quorum angulus mah est utrique
communis, et ahk est aml aequalis,
ex 32 primi
erit reliquus alm reliquo
akh aequalis. Intelligatur itaque conus ahk
cuius basis sit circulus meridianus
fhgk, et vertex a et axis ae
qui secetur
plano per axem ahk
ducto basique fhgk erecto, cum planum ahk
sit in plano aequinoctialis
abcd, quod est erectum ad planum fhgk
quippe cum aequinoctialis
planum sit semper ad omnes meridianos
erectum.
Sitque triangulum per axem ahk.
Si igitur
ex parte k protracta usque
ad m conica superficies
intelligatur. Conusque altero quoque plano seceturque
per bdm
feg
ducto erit hoc planum ad
planum trianguli per axem ahk erectum.
Cum colurus solstitiorum et aequinoctialis ad rectos sint angulos.
Quoniam autem in plano
triangulo
per axem triangulum inest
aml quod est quidem triangulo ahk simile
angulusque ahk ipsi
aml aequalis et alm
angulo akh aequalis erit triangulum alm triangulo ahk
subcontrarie positum
sectio
5 primi Conicorum Apollonii
ergo flgm
circulus est,
quare
existente oculo in a
circumferentia
flg
meridiani medietatem, hoc est fhg
ostendet et
fmg
alteram meridiani medietatem fkg, quae quidem in astrolabo non
pingitur,
et fg se ipsam ostendet.
le vero semidiametrum eh. Et hoc modo oculo in a existente omnes alios meridianos
in coluro solstitiorum circulorum
circumferentias esse ostendetur et
22 perspectivae Euclidis
constat etiam aequinoctiorum colurum afcg
in sectione rectam apparere lineam fg.
Sit ut prius
abcd aequinoctialis. Sit aequinoctiorum colurus afcg,
solstitiorum vero bfdg. Sitque centrum mundi e, ac poli
f~g lineaque fg mundi axis.
Sit ac communis
sectio aequinoctialis et aequinoctiorum coluri
bd vero solstitiorum
coluri et aequinoctialis
sectio communis.
Deinde aequinoctiali aequidistans utcumque ducatur circulus hklm qui parallelorum aliquis existet.
Ponaturque oculus itidem in a, in sectione scilicet aequinoctialis aequinoctiorumque coluri.
Si igitur paralleum hklm in coluro solstitiorum, in plano scilicet bfdg tamquam in sectione,
sicuti oculo
in a apparet, ostendere nos voluerimus. Dico sectionem circulum
esse.
Sit hl
paralleli hklm et coluri afcg communis sectio.
Linea vero mk sit eiusdem
circuli hklm colurique solstitiorum bfdg sectio communis. Et quoniam aequinoctiorum colurus
afcg ad aequinoctialem abcd est ad angulos rectos, circulusque hklm est aequinoctiali
abcd aequidistans.
Erit afcg ad hklm erectus. Ergo hl diameter est circuli hklm.
Ob eandemque causam, cum circulus bfdg sit ad hklm erectus, linea km ipsius circuli hklm diameter
quoque
existet. Punctum ergo s in quo se invicem secant, centrum est circuli hklm.
Quoniam autem axis
fg ad aequinoctialem est erectus,
erit et ad hklm quoque rectus. Quare cum fg transeat per spherae centrum e, per centrum quoque
s transibit.
Deinde ducatur al, quae lineam fg in n secet
secabit enim, cum fg~al in eodem sint plano circuli afcg.
(secet itaque in n.
Connectaturque mk, quae est communis sectio paralleli
hmlk, et coluri bfdg, estque diameter circuli hmlk.)
Quoniam igitur bd~dg sunt quartae circuli maximi,
10 secundi sphericorum Theodosii
erit circumferentia bk circumferentiae dm aequalis, et gk ipsi gm aequalis.
(Primum itaque manifestum est puncta m~k semicirculi klm non
eademque in sectione apparere, atque puntum
l apparere in n, cum linea fg sit in sectione).
Connectanturque
ah,
lineaequa ah~eg ex parte h~g protrahantur, quae cum in eodem sint
plano afcg
sitque angulus aeg rectus, et eha recto minor
intersese convenient quare
concurrantque in o,
a punctoque h ipsi fgo aequidistans ducatur hp, quae linea ac
ex 29 primi
in r perpendiculariter
secabit,
3 tertii
eritque hr aequalis rp.
iunctaque igitur
ap cum enim duae hr~ra angulum rectum continentes
duabus pr~ra angulum similiter rectum comprehendentibus sint aequales,
ex 4 primi
erit ap aequalis ah, ac propterea
5 primi
angulus ahp angulo aph
aequalis erit. Quoniam igitur
29 primi
angulus ahp est angulo hog aequalis,
et
21 tertii
aph ipsi alh aequalis, erit
angulus hog angulo alh aequalis.
Sunt autem duo triangula alh ano, quorum angulus hal est utrique communis et angulus
aon est ipsi alh aequalis,
erit reliquus ahl reliquo ano aequalis triangulum ergo ahl simile est triangulo ano.
Si itaque connectatur as
intelligaturque
scalenus conus ahl
cuius basis parallelus circulus sit hmlk
axis as et vertex a, qui per axem
as ducto plano secetur
ahl, quod est ad rectos angulos plano basi bmlk, cum
sit ahl in plano afcg, quod est erectum plano
hklm}{M:\POSTDEL{aequinoctiali aequidistans}: hklm.
Erit ahl triangulum per axem
basis erectum.
Intelligatur praeterea conica
superficies ex parte h usque ad o producta.
Conusque
deinde altero quoque plano secetur
per lineas nso, nsk
hoc est per planum solstitiorum coluri ducto.
Sitque sectio knmo. Erit huius sectionis knmo planum ad planum trianguli ahl erectum. Cum solstitiorum colurus bfdg
in cuius plano
est
sectio knmo, aequinoctiorum
coluro afcg in quo triangulum per axem
ahl existit, ad rectos sit angulos. Cum itaque in plano trianguli
ahl, triangulum existat ano ipsi
triangulo ahl simile
angulus autem ahl est aequalis angulo ano, et alh ipsi aon aequalis. Erit triangulum ano
triangulo ahl subcontrarie positum. Ergo sectio knmo circulus est. Quare
oculo existente in a
circulus knmo in plano solstitiorum coluri parallelum hklm ostendet. Quod demonstrare
oportebat.
Secat deinde altero plano per mk~ngo
ducto. Erit planum mnko plano hmlk subcontrarie
positum,
5 primi Conicorum Apollonii
ergo
mnko circulus est, circumferentiaque mnk semicirculum mlk in sectione
ostendet, et mok semicirculum mhk, qui in astrolabo non lineatur, et mk se ipsam ostendet, et sn semidiametrum sl.
Et hac ratione existente oculo in a omnes alios parallelos in
solstitiorum coluro tamquam in sectione circulos esse
demonstrabitur praeterquam bd,
22 Perspectivae
quae aequinoctialem ostendet.
His demonstratis, si in astrolabo omnes meridianos, parallelosque per omnes gradus transeuntes describere voluerimus.
Exponatur circulus abcd, qui dividatur in 360 gradus, ut fieri solet. Sintque diametri ac bd invicem perpendiculares.
Intelligatur primum abcd aequinoctiorum colurus, et punctum a esse in aequinoctiali, et a punto a
ad singulos gradus in bcd existentes ducantur lineae, quae diametrum bd secent. Post intelligatur abcd
solstitiorum colurus, si igitur per tria puncta quorum duo sunt gradus utrinque a punctis
b vel
d, quae polorum vicem gerunt, aequaliter distantes, alterum est in linea bd,
quod dictis gradibus respondet,
circuli describentur,
erunt hi ex proxime demonstratis tot paralleli. Intelligatur deinde
abcd circulus aequinoctialis, et punctum b esse in coluro aequinoctiorum a quo ad singulos
gradus in cda existentes ducantur lineae, quae diametrum ac secent. Rursum intelligatur abcd
solstitiorum colurus, et b~d poli mundi, ac per singulas divisiones, et per bd circuli
describantur, ex antecedente demonstratione erunt hi tot meridiani. Ergo
in coluro solstitiorum, et paralleli, et meridiani, qui in dimidia sphera existunt, descripti erunt. Et bd
aequinoctiorum colurum ostendet, ac vero aequinoctialem
Caetera hinc astrolabo necessaria a Gemma Phrisio dicta sunt.
Si
circulus maximus
quempiam
circulum ad rectos angulos secet
communem sectionem esse alii circuli diametrum.
Sit maximus circulus abcd,
qui ad rectos angulos circulum afcg
secet; ipsorumque sit ac sectio communis.
Dico ac
diametrum esse circuli afcg.
Primum quidem circulus afcg vel maximus est, vel non, si non:
sit spherae centrum e quod et circuli abcd centrum quoque erit et a puncto e ad planum
afcg
perpendicularis
ducatur eh,
38 undecimi
cadet eh in communem sectionem ac; sed
et in centrum
ex 7 primi sphericorum Theodosii
circuli cadit, ergo punctum
h centrum est circuli
afcg
quare ac diameter est circuli
afcg.
Si vero abcd
circulum secaret maximum. Ex undecimi primi sphericorum Theodosii patet propositum. Quod demonstrare oportebat.
Aliud est quoque planispherium catholicum a D. Ioanne de Roias editum, a
nobisque cognitum.
Nemo tamen demonstravit quid sit.
Immo quicquid de ipso in eius cognitionem
dixere quod viderim
meo quidem iudicio
male locuti sunt. Nam ipsemet Ioannes de Roias nos docere volens unde planispherium hoc ortum suum ducat primo libro capite undecimo inquit.
``Universa igitur ratio nobis hoc loci a perspectiva trahitur''
Gemma Phrisius vero instrumenti huius originem intimius explicare contendens
in libro de astrolabo catholico capite primo dicit:Il seguente passaggio era riportato con l'ambiente ``quote'' dalla Roberta...
``Huius autem deformatio unde originem sumat difficile est explicare mihi
vero videtur ab intuitu per spheram in planum produci,
quemadmodum reliquae iam
dictae spherae planae. Sed intellectu potius id
concipitur, quam manu perficitur siquis
igitur cogitet spheram cum suis circulis meridianis,
et parallelis, qui omnium maximos habent
usus proponi visui, oculus vero in infinitum
(si fieri potest) absistat radiosque per
hemispherium in planum subiectum fundat, ita ut puncta
aequinoctialia in rectum oculo opponatur.''
Ex quibus apparet quam simplicite est eius
cognitionem verba faciat nam quomodo possibile est rem aliquam ex perspectiva oriri,
minus vero infinita sit distantia positus.
Hoc enim ipsi perspectivae
repugnet. Verum in presentarum eius verba propendere
non est
opus,
sat est
illos
in eadem esse scientia, nempe ex perspectiva ortum
ducere
et
qui parum in analemmate Ptolomei versati
sunt facile, nullaque difficultate hoc cognoscent;
quod enim aliud sunt rectae lineae, quae in planispherio
aequinoctialem, tropicos, reliquosque
solis parallelos ostendunt,
quam
aequinoctialis, et
meridiani, tropicorum
et meridiani
ac reliquorum
solis parallelorum, et meridiani communes sectiones.
Hoc enim ex ipsius constructione nec non operatione
et ex analemmate prospicuum est.
Sed
ut universaliter eius cognitionem habeamus, ea
omnia, quae in hoc astrolabo continentur, nihil aliud esse
ostendamus
quam perpendiculares,
quae a spherae
circulis ad planum coluri
solstitiorum ducuntur.
Ita ut planispherii
ut planispherii planum
sit solstitiorum colurus, in quo non solum ea quae
ex altera
dimidiae
spheare parte ad diametrum coluri perpendiculariter cadunt
ostenduntur verum etiam,
quae utrinque a tota sphera ad ipsum planum
perpendiculares ex utraque
parte ducuntur in dicto plano solstitiorum coluri
ostenduntur.
Sit solstitiorum colurus, abcd,
centrum
mundi e, poli b~d
ductaque
bd mundi axis.
Sit afcg aequinoctialis,
hklm
tropicus cancri, nopq
capricorni, et nflg
ecliptica.
Sit itaque
recta ac aequinoctialis, et
solstitiorum coluri
communis sectio, rectaeque hl~np sint
gk~ln vero
solstitiorum coluri et tropicorum sectiones
communes, recta vero linea
nl eclipticae,
solstitiorum coluri sit
communis sectio. Quoniam enim aequinoctialis, et tropici ad rectos sint
angulos solstitiorum coluro
bacd. Si igitur in circumferentiis quaevis summantur puncta
k~m~f~g~o~q, a quibus ad planum abcd perpendiculares
ducantur. Haec
38 undecimi
omnes in suas communes
cadent sectiones. Et hoc accidet
omnibus punctis horum circulorum.
Similiter quoniam ecliptica nflg
ad idem planum abcd ad rectos est
angulos,
si igitur omnibus
igitur
punctis in nflg
sumptis ad
planumque abcd
ducatur, cadent omnes in
nl idem
eveniet aliis
solis parallelis, ut si
op sit communis sectio
solstitiorum coluri,
et principii tauri, similiter si ab eius circumferentia ad
planum abcd perpendiculares ducantur; omnes in lineam
rs.
cadent. Et ita in
circulis articis, et antarticis
atque reliquis omnibus
parallelis qui
inter hb, et
nd existunt et in planispherio ac
aequinoctialem ostendet,
gk~ln
tropicos, nl eclipticam
bd mundi
axem
rs vero
principii tauri parallelum ostendet. A questo punto c'è un segno di rinvio che non trovo prima di arrivare alla pagina successiva
Et hoc immaginatione
potius, quam demonstratione cum nihil
penitus demonstrent. Affirmant, his forsan adducti
probabilibus persuasionibus primum ut ex ipsorum
verbis etiam
colligitur
alia planispheria.
Astrolabum scilicet
a nobis supra declaratum, necnon Ptolomei planispherium a Ioanne
Stoflerino editum, ortum ducere a perspectiva. Et hoc est quoque
planispherium.
Ergo ex perspectiva hoc quoque oritur.
Post
cum in planispheria philosofarent. Impossibile forsan ipsis visum est.
Spheram aliquam in plano posse
describi, nisi suam fuerat
originem a perspectiva, ita
ut ex his propositionem faciant universalem. Omnia planispheria ex perspectiva oriri.
Quod tum est manifeste falsum.
Rationem autem, quo in planispherio hae rectae
lineae est D.~Ioan de Roias describuntur, vide supra,
71, 72, qua ponenda sunt.
et hoc ... sole ... add. in marg..
Sed ad meridianos itaque
circulosque horarios
deveniamus, et quod sint in astrolabo ostendamus.
Nam eos nonnulli vocant circulos,
alii lineas curvas anomalas, quae neque "circuli sunt, neque certa designatione constitutae,
sed tantum per puncta adsignata ut ipsemet D. Ioannes de Roias.
Nobis vero facile
erit ostendere
etiam ex ipsorum constructione ellipses esse.
A questo punto troviamo ripetuto lo stesso segno di richiamo già segnalato. Il brano Rationem autem, ... ellipseos esse si trova inserito nel testo "principale" tra i due segni di richiamo: non capisco se vada saltato o inserito in un altro punto!!!
Erit
10 primi sphericorum Theodosii
utique punctum i centrum
circuli gqko.
Sit postea in sphera meridianus aliquis brdh qui aequinoctialem secet in
punctis r~l
parallelum
vero in q. Et a punctis q~r~l ad planum abcd
perpendiculares ducantur
rs,~lz,~qt, quae
38 undecimi
in ac~gk cadent
\VV[longa]{{*:{18ottobre6}: siquidem puncta}{M:\MARGSIGN:}} r~l sunt in aequinoctiali
atque punctum q in parallelo
qui quidem circuli solstitiorum
coluro ad rectos existunt angulos
quia vero circulus bqrdl inclinatus est ad planum abcd
quod quidem per centrum e circuli brdl transit cum sit
bd ipsorum communis sectio
suntque qt,~rs, lz
adp
planum abcd perpendiculares; erunt puncta b~t~s~d~z in
ellipsi
ipsiusque
maior axis erit bd, minor vero
sz.
Nam cum
punctum
r~l sint in aequinoctiali,
erit
br
rd aequales et bl ld aequales, nec non omnes circuli quartae, iuncta igitur lr per centrum e transibit
eritque
diameter lr diametro bd
perpendicularis ac propterea sz ellipsis minor est
axis.
Nunc autem considerandum est, an s~t sint puncta,
quae D. Iannis de Roias reperire
docet, ut quae per ipsa transit curva linea, sit in planispherio meridianus,
circulusque horarius.
A questo punto si trova un segno di delimitazione che si ritrova nella pagina seguente. Non capisco come vadano interpretati tali segni.
\VV{{*:Nam cum}{M:\INTERL:Nam cum}{M:\ANTEDEL{Idcirco quoniam}:Nam}} circumferentia
gqk sit
semicirculus, itidemque
arc semicirculus, et circuli maximi bqrd
bkcd
parallelos secant circulos gqk arc,
quorum poli sunt bd.
10 secundi sphericorum Theodosii
erit circumferentia
kq
circumferentiae cr similis, quia vero a punctis
rq
ad diametros gk~ac ductae sunt perpendiculares
qt
rs, erit es ad sc, ut it ad
tk
ex supra demonstratis. Et hoc modo
si ab omnibus punctis circuli bqrd
ut ad planum abcd
perpendiculares ducantur
ad lm omnes in
ellipsi cadent
demonstrabimus,
ostendemusque semidiametros
parallelorum ab
ut omn ita esse divisos, ut es
\VV{{M:\POSTDEL{ ut supra in meridiani punctum b qui ad abcd perpendicularis ducatur lm,
a punctaque }:se}}.
Quoniam autem quando meridianos, circulosve horarios in
planispherio describere volunt; in circumferentiis
bc
cd arcus accipiunt aequales, ut bu~dx, vel quod idem
est cu
cx,
sitque cu
ipsi cr aequalis
erit enim et bn ipsi fr aequalis. Deinde ducunturque lineam
ux, quae diametrum
aequinoctialis
ac secet
in
sDopo s c'è un segno: non capisco se si tratta di una lettera, o di un rimando sinus versus cs est utrique arcui
cu~cr communis.
Deinde secundum hanc proportionem, et tropicos, ac reliquos parallelos
dividunt, ita nimirum ut
sit es ad sc, ut
it ad tk, et Dopo et c'è un segno di rinvio che però non trovo ripetuto altrove.
et per puncta in parallelis signata
nempe stm
et b~d manu ducunt lineam curvam, puta bmtsd,
quae
in astrolabo meridianum ostendere affirmant et est quidem
verissimum.
A questo punto si ritrova lo stesso segno di delimitazione già segnalato nella pagina precedente
Quare
puncta
bmtsd
sunt
in ellipsi
nam
puncta tm in
parallelis
diametris ipsi
s respondentia eadem ex dictis sunt prorsus, ubi a
sectionibus
circuli
brd
Prima di brd c'è il segno generalmente usato per le aggiunte in interlinea, ma non troviamo niente in interlinea.
ac parallelorum
ad planum abcd perpendiculares cadunt, quae omnia in ellipsi
esse ostensa sunt. Ellipsis igitur
medietas
bmtsd in astrolabo medietatem meridiani, scilicet brd
ostendet. Et hac ratione, meridianos omnes in planispherio
ellipses esse ostendetur.
Quamvis Ioannes de Roias in sexto libro cap. 5per tria punctaque utinque ab aequinoctialis respondent circulorum circumferentias describi posse falso existimat cum nulla sit in ellipsi pars quae sit circuli circumferentia.
Postea considerandum occurrit, si altera sit medietas meridiani
bhd
aequaliter distans a bad, ut brd a bcd
vel aequaliter a punto f distans, ut sit fy aequalis fr eodemque
modo inveniatur in plano abcd ellipsis bzd, meridiani
medietatem bld
ostendens.
Erit haec ellipsis medietas bzd ellipsis medietati bsd
aequalis. Tota ergo bsdz ellipsiss integra erit cuius maior
axis est bd, et sz minor.
Quae quidem ut diximus
in planisphaerio non solum has meridianorum
medietates verum etiam reliquas ipsorum
meridianorum medietates, quae in altero sunt planisphaerio,
ostendet.
Ex dictis patet omnia ex perpendicularibus, quae a circulis
spherae
ad planum solstitiorum
coluri ducuntur, oriri.
Quod suppositum est sic ostendetur.
Sint inaequales semicirculi abc~def. Quorum
centra g~h diametrique vero ac~df. Summantur autem
in extremitatibus c~f circumferentiae bc~ef
similes
quae sint circuli quartae minores
a
punctisque b~e ad ac~df perpendiculares ducantur bk~el.
Dico ita esse gk ad kc, ut hl ad lf. Connectantur
gb~he. Quoniam enim circumferentia bc similis
est circumferentiae ef, erit angulus bgc angulo ehf
aequalis, et anguli ad k, et l, sunt recti ergo reliquus
gbk reliquo hel est
aequalis.
Ut igitur bg hoc est cg ad gk,
ita eh, hoc est fh ad fl et
dividendo,
11 quinti
ut
ef ad kg, ita fl ad lh, denique
convertendo
ut gk ad kc, ita hl ad lf, quod demonstrare oportebat.
Poli altitudinem
absque
solis
observatione meridiana, ac sine cognitione Zodiaci
gradus, in quo sol reperitur inveniri.
Haec autem prius ostendere oportet.
Duobus datis punctis unum tantum planum per data puncta
transiens ad alterum planum ad rectos angulos
duci
potest.
Sit planum ab. Sintque data duo puncta c~d. Dico
unum tantum planum per puncta c~d transiens
ad planum ab erectum duci posse.
Si enim fieri potest, duo
ducantur
plana ckfd~clhd, quae per puncta c~d
transeant, et utraque ad rectos sint
angulos
planum ab
sit kf communis sectio
planorum ab~cf, et lh
planorum ab~dl. Et a puncto c ad kf perpendicularis
ducatur ce quae
38 undecimi
ad planum ab perpendicularis existet, similiter
ab eodem puncto c ad lh perpendicularis ducatur
cg, quae ad idem planum ab itidem perpendicularis
erit. Denique connectatur eg.
Quoniam
igitur ce est ad planum ab perpendicularis, erit angulus
ceg rectus. Similiter quoniam cg est ad ab quoque perpendicularis, erit
angulus gce rectus. In triangulo igitur
ceg duo anguli ad e~g duobus sunt rectis aequales. Quod
est impossibile.
Aliter
Iisdem
positis et
constructis
quoniam igitur linea
ce est ad ab perpendicularis. Similiter cg ad idem planum
perpendicularis.
undecimi
erunt ce~cg
parallelae quod est impossibile Il brano Aliter .... impossibile si trova nel margine inferiore nella pagina. Un segno di rimando indica l'inserimetno nel testo.
Per puncta ergo c~d unum tantum duci potest planum
ad ab erectum. Quod demonstrare oportebat.
Sit meridianus abcd, cuius centrum e, sitque horizon afc,
cuius, et meridiani sit communis sectio aec.
Sitque punctum verticis b, oppositum d.
Et qualibet hora solis altitudo supra horizontem,
eiusque in horizonte
circumferentia, quantum scilicet a meridiano distat
accipiatur
sitque primum sol g;
ita ut in verticali circulo bgfd solis altitudo sit fg.
Circumferentiaque in horizonte a meridiano distans
sit cf et per g circulus describatur hgk horizonti aequidistans,
cuius centrum erit in ducta linea ut in
i huiusque circuli, et meridiani sit hik sectio
communis; quae
16 undecimi
erit aequidistans ac.
Et cum bgf~bkc sint maximorum circulorum
quartae.
10 secundi sphericorum Theodosii
erit circumferentia kc circumferentiae fg, hoc est solis altitudini
aequalis. Rursus eadem die, atque altera quacumque hora
solis altitudo inveniatur, nec non in horizonte circumferentia a meridiano
distans
ut si fuerit sol in m
sitque altitudo lm in circulo verticali
bmld. Circumferentiaque in horizonte a meridie distans, sit cl et per m
circulus horizonti aequidistans describatur nmo,
cuius centrum p erit quoque in linea be cuius quidem circuli et meridiani sit communis sectio npo,
quae itidem ipsi
ac erit aequidistans, et
cum similiter sint bl~bc circuli quartae erit
co solis altitudini lm
aequalis.
Postea connectantur gi
fe et quoniam
plana hgk afc
ad rectos sunt angulos ad verticalem circulum
bgfd,
16 undecimi
erunt communes sectiones ig~ef parallelae.
Eademque ratione, ductis pm~el, erunt hae quoque
propter verticalem circulum bmld intersese parallelae. Quoniam
9 et 10 primi sphericorum Theodosii
autem bie est ad plana hgk~afc perpendicularis,
erunt anguli eig~ief recti.
Ducatur itaque a puncto g ad horizontem perpendicularis gq. Cadet
haec in lineam ef ipsaque ipsi aequalis et aequidistans ergo et
33 primi
eq ipsi ig semidiametro
circuli hgk hoc est ik
erit aequalis.
Similiter ducta mr ad horizontem perpendicularis:
demonstrabitur
er semidiametro
pm
hoc est po
aequalis
esse.
Ducantur deinde
a punctis q~g ad meridianum perpendiculares qs~gt,
quae
34 undecimi
in hk, et ac cadent,
et
6 undecimi
interse aequidistantes erunt.
Et quoniam
10 secundi sphericorum Theodosii
cirumferentia kg est circumferentiae cf similis,
erit angulus gik angulo fec aequalis, et angulus
itg rectus recto esq est
aequalis, estque ig aequalis eq. Ergo
6 primi
gt
aequalis est qs, quare ducta ts
33 primi
erit ipsi gq aequalis,
et aequidistans.
Similiter ostendetur ductis rn
mx ad meridianum perpendicularibus, ductaque
nx, ipsum
nx ipsi rm aequalis,
et
et aequisdistans
esse.
Itaque ducitur per puncta t~x in meridiano recta linea ytxz. Et quoniam
gt~mx sunt ad meridianum perpendiculares,
6 undecimi
erunt intersese
parallelae, et ad yz perpendiculares. Ergo
7 undecimi
in uno, et
eodem sunt sunt plano lineae yz tg~xm. Per quas idcirco
ducatur planum, circulum in sphera efficiens ygmz,
18 undecimi
erit circulus ygmz ad meridianum erectus.
Quoniam autem, sol qualibet die
circulum describit, qui ad meridianum est erectus, cuius polus est
polus mundi, ac circulus ygmz ubi sol bis
eadem die reperitur, est ad meridianum erectus.
Impossibileque est
aliud planum ducere per puncta g~m transiens, quod ad idem meridianum
sit erectum. Erit circulus ygmz parallelus,
quem sol ea die percurrit, cuius diameter est yz
quae ad axem mundi est perpendicularis, parallelique polus est mundi polus.
Quare dividatur circumferentia
ykz bifariam in puncto ρ. Erit ρ polus mundi.
Ergo c ρ poli altitudo
supra horizontem afc
ostendet.
Operatio
facillima quidem erit hoc modo.
Ante operatio delevit *.
His demonstratis facillima quidem erit hoc modohoc modo in interl. corr. ex hoc modo.
Sit circulus abcd, cuius centrum e, sintque diametri
ac~bd invicem ad rectos angulos.
\VV{{M:\ANTEDEL{Accipiatur primum circulus per meridiana, et ac meridiani, et
per horizontes communis sectio}:Sumatur}} solis altitudo, cui aequalis ponatur ck
necnon eodem tempore quantum sit distans a meridiano, cui sit aequalis circumferentia cf
et
a puncto k ipsi ac aequidistans ducatur kih, quae a linea be bifariam
dividitur in i.
Et connectatur
fe. Fiatque eq
aequalis ik. Rursus eadem die aliaque quacumque hora
solis altitudo accipiatur, quae sit co. Circumferentiaque in horizonte
a meridiano distans sit cl. Et a puncto o ipsi ac similiter
aequidistans ducatur opn, quae a linea be in p
bifariam dividitur. Et iungatur el
fiatque er aequalis po.
Nunc itaque
intelligatur
abcd horizon, et eqf~erl
esse in
horizonte lineaque ac horizontis et meridiani communis sectio et a punctis q~r ad ac
perpendiculares ducantur qs~rn. Inventis punctis s~n
intelligatur
abcd meridianus
et ac
horizontis
et meridiani sectio communis maneat deinde
a punctis s~n ad
ac perpendiculares ducantur st~ux. Secetque st lineam bk
in t, et ux lineam no in x.
Ducaturque ytxz, erit ex dictis ytxz communis sectio
meridiani et paralleli, quem sol ea die perlustrat. Dividatur
itaque circumferentia ykz bifariam in ρ: erit ρ polus
mundi. Et i ρ ipsius altitudinem horizontem
ostendet.
Quod invenire oportebat.
Quoniam autem in operatione ntelligentiam separatim duximus
perpendiculares ru~ux quae quidem in unam rectam coincidunt
lineam, cum anguli ad u sint recti. Quod idem evenit ipsis qs~st
idcircirco ut puncta t~x inveniantur sat erit a puncto r ad lineam no
perpendicularem ducere rx. Et a puncto q ad hk
perpendicularem
qt
ut
parallelorum inveniatur ytxz.
Corollarium
Hoc idem iisdem observationibus
assequi nocte
poterimus quacumque stella, praeterque luna, quae propter eius
maximam velocitatem parallelos non servat.
Corollarium
Ex hac operatione cognita erit quoque cuiuscumque stellae, praeterque
lunae maxima illius dies altitudo, quam ostendet ay, nam sol, vel alia
stella, dum parallelum describit. Quando erit in y, erit et in meridiano
ubi maxima est altitudo supra horizontem.
Cognito gradu, in quo sol recipitur, data poli altitudine,
qualibet die maximam solis declinationem invenire.
Operatio
Sit meridianus abcd, b~d poli mundi, e
verum centrum. Sit ac
diameter aequinoctialis, fg horizontis, polique altitudo
sit gb data. Quare, et data est fa complementum scilicet
arcus bg.
La frase Quare, et data est fa complementum scilicet arcus bg appare sottolineata.
Accipiatur solis altitudo meridiana,
cui aequalis ponatur
fh et a puncto h ipsi ac aequidistans ducatur hk
quae
diameter
paralleli solis existet et quantum sol distat ab ariete, ita fiat bl.
Ut si sol sit ea die in principio tauri; fiat bl 30 gradus, et a puncto
l ad ae perpendicularis ducatur lm.
\VV{{*:\INTERL:Itaque}{M:\ANTEDEL{Et si ponamus b arietis principium, erit em aequalis quantitas diametri eclipticae, ubi a principiis arietis, et tauri ad ipsum perpendicularis ducuntur}:Itaque}}
deinde centro e, spatio vero em circulus
describatur mn, qui hk secet in a et per n~e recta ducatur linea
onep.
Non deveno andar a quest'altra propositione
Corollarium
Ex hoc
apparet tropicorum distantia.
Idem invenire, absque solis observatione meridiana.
Sit ut prius abcd meridianus, cuius centrum e. \VV{{M:\INTERL\EX{sit bed mundi axis}:Mundi
poli bd}}. ac aequinoctialis diameter. fg vero horizontis.
Poli altitudo gb
Accipiatur qualibet hora simul, et solis supra horizontem altitudo, quae
sit fs, et in horizonte circumferentia gu,
quantum scilicet a meridiano sit distans. Et a puncto s ipsi fg
aequidistans ducatur st. Deinde
ducta eu secetur in
x, ita ut sit ex aequalis dimidiae ipsius st, a punctoque
x ad st perpendicularis ducatur xy. Erit (ex 85) punctum y in
diametro circuli paralleli, quem sol ea die percurrit.
Cuiuscumque vero
paralleli diametri
est diameter
aequinoctiali
aequidistans,
quare ducatur per punctum y ipsi ac aequidistans
hyk, erit
hk paralleli diameter in quo sol reperitur. Hoc
itaque invento
quantum sol ab ariete distat, ita
fiat circumferentia bl. Caeteraque eodem modo fiant, ut in precedenti.
Similiter inveniemus op eclipticae diametrum, et
ao maximam solis declinationem. Quod facere oportebat.
Ex hac operatione possumus qualibet die Zodiaci gradum invenire in
quo sol reperitur inveniatur enim, ut dictum est, hk diameter paralleli,
quem sol ea die percurrit. Sit autem op eclipticae diameter data,
secetque hk lineam op in n, et a puncto n ipsi op
perpendicularis erigatur nq. Si igitur intelligatur orp ecliptica, sitque
or quarta circuli. Erit punctum q, ubi sol reperitur, cum hk
(ex 71) sit illius diameter
paralleli, quando sol est in q. Ac propterea circumferentia
rq quantum sol ab ariete vel libra
distat, ostendet. Scire enim oportet, cui sol propius est, arieti
scilicet vel librae, et si est in signis meridionalibus, vel septentrionalibus.
Ut si sol sit librae propinquius, et in signis septentrionalibus,
tunc rq gradus ostendet a libra arietem rursus.
Stellarum fixarum ab aequinoctiali declinationem invenire.
Sit meridianus abcd, cuius centrum e. Sitque
aec communis sectio horizontis et meridiani
hek vero sit diameter aequinoctialis.
Inveniatur stellae cuius oportet declinationem invenire
paralleli
diameter
quae sit fg, ut multis modis
osservatione docuimus.
Meridiani}{M:\ANTEDEL{Et quoniam paralleli circuli, et aequinoctialis sunt invicem paralleli: erit diameter fg diametro aequinoctialis aequidistans, quae sit communis sectio aequinoctialis et merdiani. Quare hek est aequinoctialis diameter, ac per consequens meridiani, et aequinoctialis communis sectio}:meridiani
circumferentia
hf declinationem stellae
ab aequinoctiali demonstrabit.
Corollarium I
Hinc stellarum maxima
hoc est meridiana:
altitudo af innotescet.
Corollarium II
Ex hoc quoque manifestum est si fg horizontem
non
secat tunc astrum numquam occidere et semper apparere. Si vero sciat, minime.
Qualibet hora,
altitudine tantum solis observatur meridianam invenire.
praemittitur autem hoc abcd meridianus, cuuius centrum e.
Sit horizon afc, et aec sit horizontis, et meridiani communis sectio.
Sit b Zenit, d vero oppositum. Iungatur bed.
Qualibet
hora supra horizontem
solis altitudo observetur ut
sitque
sol in g.
Verticalisque}{M:\ANTEDEL{quae sol}: Verticalisque
circulus
per solem transiens sit}{M:\ANTEDEL{per}:itaque
bgfd
sitque solis altitudo
fg. Ac per g secetur sphera plano horizonti aequidistante,
sectioque sit circulus hgk, cuius
Dopo cuius troviamo un segno simile a quello generalmente usato per le citazioni a margine, ma l'unica citazione presente risulta cancellata ed illegibile in prossimità della riga seguente
centrum i, erit in linea
bed atque huius vero
circuli,
et meridiani sit hik sectio communis.
Erit utique
hi aequalis ik: connectaturque
i~g.
Deinde huius diei parallelus solis sit
mgn;
cuius et meridiani sit communis sectio mn. Secet autem mn lineam
hk in t cum autem sit sol in g
circumferentia hgk circumferentiam mgn in g
secabit. Quoniam
enim perpendicularis a puncto g ad meridianum ducta propter circumferentiam
hgk, quae ad meridianum
est erecta,
38 undecimi
cadit in hk, et propter
circumferentiam mgn, quae itidem
est ad meridianum
erecta, in mn cadit
in intersectione
igitur diametrorum hk~mn cadet, quare cadet in t.
Ducta
igitur
gt ad meridianum est perpendicularis,
ac propterea
angulus gti rectus est.
Ducatur post a puncto t ad ac perpendicularis ts; erit es aequalis
it, siquidem
ie~ts interse sunt,
et, a
puncto autem s in horizonte
ad ac perpendicularis ducatur sq. Appliceturque
a puncto e linea eq aequalis ig, hoc est semidiametro circuli hgk
aequalis
quae sq secet in q. Quoniam igitur duae se eq duabus ti~ig
sunt aequales, et angulus esq rectus recto itg est aequalis.
Erit
Citazione in margine da inserire in questo punto cancellata e non leggibile
triangulum esq triangulo tig aequale, et
angulus seq angulo tig
aequalis,
et est es aequidistans it.
Ergo
ex 10 undecimi
et eq
est aequidistans ig.
Quare
iuncta gq, erit
33 primi
ipsi ie
aequalis, et aequidistans, sed quoniam
estque ie ad horizontem perpendicularis.
Erit
et gq
circulo afc perpendicularis
ex 7 undecimi
lineae igitur
gq~qe~ei~ig in uno, et eodem sunt plano.
Producatur itaque qe usque ad circumferentiam in o.
Erunt lineae qo~be~ig~gq in uno, et eodem plano.
Existente igitur sole in g; erit punctum q, ubi
perpendicularis a solis ad horizontem ducta, cadit, lineaque eo erit
umbra a linea be facta
facta.
Angulus autem
aeo, hoc est circumferentia ao distantiam, quae inter lineam meridianam,
et umbram eo intercipitur
ostendet.
Praxis
Exponatur planum
ux horizonti aequidistans, in quo designanda est linea meridiana.
Sitque supra hoc planum gnomon ut supra diximus
vel perpendiculum fg quod
ad planum ux sit perpendiculare.
Il periodo Exponatur ... perpendiculare è indicato con il numero 1. In realtà nel testo è preceduto dal periodo che segue, indicato però con il numero 2. Alla fine del periodo "1" troviamo un 2 che indica quale parte del testo debba seguire.
SitPrima di Sit il numero 2 inserisce il periodo a seguire nel corpo del testo deinde circulus abcd, cuius centrum e.
Sintque diametri ac~bd
ad rectos angulos. Intelligatur primum circulus per meridiano, et ac
ipsius, et horizontis sit communis sectio.Dopo sectio un segno di rinvio seguito da 3.
Inveniaturque Prima di Inveniaturque troviamo il numero di riferimento 3.
linea mn,
quae sit diameter paralleli, quem sol ea die percurrit.
Dopo percurrit in interlinea il numero di rinvio 4
Accipiaturque
quacumque hora solis altitudo, quae sit ab
gnomon
vero sive perpendiculum
fg eodem tempore umbram faciat gp. Lineaque ducatur gp.
A
puncto autem
h ipsi ac aequidistans ducatur hik
quae bd secet in i erit sane
hi aequalis ik
siquidem est
hk ipsi bd
perpendicularis.
In interlinea troviamo anche il numero 5 che indica il periodo da inserire.. la riga seguente è da sistemare
hk
lineam mn
in t. Erit ex dictis punctum t, ubi perpendicularis a sole ad meridianum
cadit. Ducaturque a puncto t ad ac perpendicularis
ts. Nunc vero invento puncto s
intelligatur circulus abcd horizon
et ac communis sectio
similiter horizontis et
meridiani
et a puncto s ad ac perpendicularis ducatur sq,
deinde a puncto e applicetur eq aequalis
ik, quae sq secet in q.
Erit itidem ex dictis punctum q, ubi perpendicularis a sole in
horizontem cadit. Producatur itaque qeo.
Ostendet circumferentia ao distantiam inter lineam meridianam, et lineam
eo, quae est tamquam umbra a linea, quae a puncto e
horizonti esset erecta,
eodem tempore facta, quo facta est umbra gp.
Fiat igitur in plano ux angulus pgr aequalis oea.
Ducaturque rgy. Erit rgy linea meridiana.
Advertendum tum est quod si observatio solis facta est ante meridiem
tunc angulus pgr in una parte, si vero post, in altera
est constituendus. Quod facere oportebat.
Est quoque animadvertendum, in operatione perpendiculares
ts~sq in unam coincidere lineam, cum ad s sint recti. Idcirco,
ut inveniatur punctum q sat erit, a puncto t ad hk perpendicularem
ducere ex utraque parte, ita ut ducta eq, quae sit aequalis
ik, ipsam secet in q.
Corollarium
Ex hoc manifestum est, quo modo inveniantur puncta, ubi a sole ad meridianum,
et horizontem perpendiculares cadunt. Si enim intelligatur abcd meridianus
erit punctum t. Si vero intelligatur
abcd horizon, erit punctum q.
Qualibet hora lineae positione datae aspectum invenire.
Sit linea fg positione data, cuius oportet aspectum invenire. Describatur circulus abcd, cuius centrum
e, et qualibet hora
(ex praecedenti) linea inveniatur meridiana ac, quae si protrahatur,
vel cum linea fg concurret, vel minime. Et si non concurret,
erit ipsi fg aequidistans, ac propterea erit fg linea meridiana
cuius aspectus notus est. Si vero conveniet, conveniat ut in g.
Et per centrum et ipsi fg aequidistans ducatur bed.
29 primi
erit angulus bea aequalis fge circumferentia
igitur ba distantiam a linea meridiana ostendet.
Ducatur itaque eh ipsi bd perpendicularis. Erit h
aspectus ipsius bd, ac per consequens ipsius fg.
Producta enim bh,
ex 29 primi
erit ad fg perpendicularis.
Quare circumferentia ah gradus ostendet, quantum a
meridie et hac parte ipsius fg aspectus sit distans.
Corollarium
Ex hoc facillimum erit invenire cuiscumque parietis aspectum.
Cum autem in his operationibus
maxime opus sit altitudinem solis supra horizontem, quando libet
invenire, nec non aliquando simul, et eius altitudinem, et circumferentiam
in horizonte, quantum a meridiano sit distans invenire sit necesse. Idcirco,
quamvis hoc multis in strumentis fieri possit, tamen valde mihi videtur
fore utile, si has quoque operationes rectis lineis circulique
circumferentiis tantum
inveniri posse doceamus. Cum operationes, quae lineis tantum rectis,
circulique circumferentiis fiunt, omnibus aliis sint meliores, et ad
unguem magis veritatem ostendant, ut manifestum est in
horologiis solaribus. Nam quae fiunt analemmatibus, sunt omnino
meliora iis, quae fiunt calculis, vel strumentis.
Illo enim ad , et ita veritatem ostendunt, ut nihil amplius desiderari
possit. Quare quomodo quandolibet altitudinem solis, nec non circumferentia
in horizonte, quantum sol a meridiano sit distans inveniri possit, ostendamus.
Sit meridianus abcd, cuius, et mundi centrum e.
Sit horizon afch, et ac horizontis, et meridiani communis sectio
quae quidem ac erit linea meridiana.
Sitque b punctum verticis, d
vero eius oppositum. Ponatur
astrum in g, transeatque per g verticalis circulus bgdh.
Huiusque circuli, et horizontis sit feh sectio communis.
Ducaturque linea bed,
et sub horizonte, ipsique horizonti aequidistans ducatur planum kolp, quod lineam
bed secet in m sitque huius plani, et verticalis bfdh communis sectio po et
lk, ipsius, et meridiani
sectio communis. Et quoniam planum afch est aequidistans kolp;
6 undecimi
erit fh aequidistans op, et ac ipsi kl.
Atque linea bem
6 undecimi
erit ad planum kolp perpendicularis.
Iunctaturque
deinde ge quae
producatur, donec in planum kolp perveniat. Sitque gen.
Quoniam autem bd~hf~gen, et po in uno, et eodem sunt plano, verticalis
nempe circuli bfdh, et op est aequidistans fh, linea gen cum
linea op conveniet,
unde constat punctum n esse in linea op. Si itaque intelligatur lineam gen solis esse radium,
et me gnomon supra planum kolp erectum; erit mn umbra in plano
k
olp facta a linea, sive gnomone
me, et circumferentia fg solis altitudinem supra horizontem ostendet.
Et circumferentia lo, cum sit circumferentiae cf similis, quantum sol a merdiano
sit distans in plano kplo horizonti aequidistante, demonstrabit,
ita ut cognitis gradibus circumferentiae lo,
cogniti quoque erunt gradus circumferetiae cp, cum numero sint pares.
Operatio fiet hoc modo.
Sit planum acl horizonti aequidistans, in quo describatur cirulus acl,
cuius centrum q. Erigaturque qr gnomon huic plano perpendicularis
qui verticem r aliquantulum habeat acutum ut fieri solet. Et ut operatio clarior innotescat; describatur
seorsum circulus bfdh, cuius centrum e, in quo diameter
ducatur
feh. Et a puncto e ipsi fh perpendicularis ducatur em.
Quae fiat aequalis
qr. Et a puncto m ipsi fh aequidistans ducatur op.
Sit
igitur quacumque hora altitudinem solis invenire voluerimus.
Observetur solis umbra facta a gnomone qr,
quae
sit qs, tunc
fiat mn aequalis qs, denique connectatur ne, quae in directum producta
usque ad circumferentiam perveniat in g.
Circumferentia fg altitudinem solis ostendet. Nam si intelligatur
punctum b Zenit et
bfdh circulus verticalis transiens per solem, et
fh ipsius, et horizontis communis sectio. Et op diameter plani horizonti
aequidistantis, et a centro mundi e linea em est
ipsi op perpendicularis, cuius umbra est mn. Iuncta
ne si producatur proculdubio ad solem pertinget. Sol ergo erit in g. Ac propterea
circumferentia fg solis altitudinem supra
la riga seguente è da sistemare
ostendet. Quod invenire oportebat.
Si autem quantum
hac hora sol a meridiano sit distans
invenire voluerimus supponatur
in plano acl linea meridiana ac quam
infra invenire docebimus erit
nimirum ac
communis sectio plani acl, et meridiani. Ductaque sq producatur usque
ad circumferentiam in l.
Cum itaque qs sit umbra solis erit
linea plani acl, verticalisque circuli per solem transeuntis,
communis
sectio.
Cum itaque qs sit umbra solis erit linea sql plani acl, verticalisque circuli per solem transeuntis, communis sectio add. in marg. 96
Circumferentia
Prima di Circumferentia un segno di inserimento. Non capisco che cosa vada inserito. Controllare sul microfilm.
igitur al ex ductis in horizonte,
quantum sol a meridiano distat, ostendet. Quod facere oportebat.
Corollarium
Hinc patet circumferentiam bg, quantum in hora
sol a nostro Zenit distat, ostendere.
Corollarium
Constat etiam, quam facile sit cognoscere cum ac sit linea meridiana. An
ante, vel post meridiem sit. Unde etiam liquet quam facillimum sit solis meridianam
observare altitudinem. Quod fiet, quando
umbra in linea ca existet.
Lemma
Sit circulus abcd, cuius diameter bd. Summatur in bd
ubicumque punctum e, a quo ad bd perpendicularis
ducatur ac. Dico circumferentiam ba circumferentiae bc aequalem esse.
Connectantur ab~bc. Quoniam enim
3 tertii
ac est aequalis ec,
et be est utrique triangulo abe~bec communis. Et rectus angulus bec
est recto aeb aequalis.
4 primi
erit latus ab lateri bc aequale. Ergo
ex 28 tertii
circumferentia ab circumferentiae bc est aequalis.
Quod demonstrare oportebat.
Cuiuscumque astri
arcum quem supra horizontem, et sub horizontem describit, invenire.
Sit circulus abcd meridianus, aecf horizon, cuius et meridiani
sit communis sectio ac
sitque parallelus quem
stella describit
hfke, cuius, et meridiani sit communis sectio hk.
Primum quidem vel hekf horizontem aecf intersecat, vel minime.
Si
non, tunc semper stella, supra
horizontem erit et numquam
ocultabitur. Caeterum
hekf horizontem
secet in ef. Diametri quoque ac~hk, cum in eodem sint plano se invicem
secabunt, secent itaque se invicem
in l.
Connectaturque ef, quae cum sit communis sectio circulorum
aecf et hecf
per punctum l transibit,
siquidem punctum l est
in utroque plano
plano.
At quoniam
la riga seguente Ú da sistemare
aecf~bekf ad meridianum abcd ad rectos sunt angulos;
19 undecimi
erit ef ad eundem meridianum abcd perpendicularis, estque hk in
plano meridiani, ergo ef ipsi hk est perpendicularis. Quia vero
ehf est supra horizontem, et fke infra horizontem. Ostendet
ehf arcum, quem stella supra horizontem describit et fke, quem infra
horizontem. et si a puncto e, quod est in horizonte, circulum ehfk
in 24 partes aequales
diviserimus. Statim innotescet spatium quod occupat
efh, quod quidem est
nuova stellae supra horizontem. Et fke
la riga seguente è da sistemare
quem sub
horizonte.
Operatio
senza li numeri
Sit meridianus ut supra abcd, b punctum verticis, horizontis, et meridiane sit ac comunis sectio.
Paralleli diameter stellae
inveniatur.
Sitque hk. Et diametro hk circulus describatur hekf. Et
primum vel hk secat ac, vel non. Si non, tunc semper stella
supra horizontem existet, et numquam ocultabitur
ocultabitur.
Sed secet in l, et a puncto l, ad hk perpendicularis ducatur elf. Erit
ex dictis circumferentia ehf ea pars
quae est supra horizontem
,
quae est supra horizontem sottolineata? o cancellata?
quam stella supra horizontem describit, et fke, quam sub horizonte.
Dividatur itaque, exordium summendo a puncto e circulus ehfk in 24 partes, et ehf
nuovam ostendet stellae supra horizontem, et fke, quae sub horizonte.
Quod invenire oportebat.Quod invenire oportebat. scritto dopo??
Corollarium
Hacque prorsus ratione arcus planetarum
(praeterquam lunae) cuiuslibet diei inveniemus, ex quibus etiam arcus
semidiurno seminocturnoque manifesti
sunt. Ut eh efk.
Corollarium
Hinc si ponatur circulus hekf
solis parallelus. Intelligaturque punctum e in occidente, in quo sunt 24
horae more italico. Punctum f erit in Oriente. Et qua hora sol oriatur
ad unguem ostendet, et punctum h meridiem indicabit. k vero mediae noctis horam
demonstrabit.
Quae omnino (ut diximus) ex analemmate ortum ducunt
.Quae omnino (ut diximus) ex analemmate ortum ducunt. sottolineata
Stellarum
ortus, occasusque amplitudinem invenire.
\VV{{M:\ANTEDEL{ Eadem exponantur,quae in (97). Sitque efh pars, quae est supra horizontem.
Et quoniam ac est communis sectio horizontis, et meridiani.
Dividantur semicirculi aec afc bifariam in m~n. Erunt puncta
m~n ; in quibus horizon aequinoctialem intersecat. Quare}:Si}}
igitur ponatur m
versus oriens, n
versus occidens.
Punctum vero e astri oriens f autem occidens circumferentia
me ortus amplitudinem ostendet. Et nf occasus.
Quae sunt quidem interse se aequales.
Nam cum sit
sit aggiunto dopo?
circumferentia cf circumferentiae ce aequalis.
Et cm~cn interse sunt aequales, cum
sint eiusdem circuli quartae. Ergo
me circumferentia
circumferentiae nf aequalis.
In sphera vero recta cuiuscumque puncti eadem est declinatio, et ortus
amplitudo
amplitudo ortus.
Si enim accipiatur in sphera recta circulus abcd pro horizonte, cum
per mundi polos transeat erit punctum h versus oriens. Unde hk
astri amplitudinem ortus ostendet.
Quae quidem circumferentia hk ipsius astri existit declinatio.
Sit abcd meridianus. Sit astri parallelus bekf. Horizon aecf,
qui se invicem secent in punctis e~f.
Sitque aequinoctialis
gmhn}{M:\ANTEDEL{vero}: gmhn, qui horizontem secet in punctis
m~n. Erunt puncta m~n versus oriens, et ocidens.
Et cum sit abcd meridianus erunt semicirculi
anc
amc bifariam in m~n divisi sint
postea ac horizontis diameter, bk vero paralleli.
Connectaturque ef, similiter
ut in praecedenti
ostendetur ef ad meridianum abcd perpendicularem esse ac propterea,
cum linea ac sit in meridiano,
erit ef ipsi ac perpendicularis circumferentiaque ce
circumferentiae cf aequalis.
Sit abck meridianus, et ac communis sectio horizontis, et
meridiani. Inveniatur diameter paralleli
stellae cuius oporteat ortus altitudinem invenire. Quae sit
bk, quae quidem horizontis diametrum
secet in l. Nunc vero invento puncto l intelligatur circulus abck horizon, et ac horizontis et
meridiani communis sectio, quae erit linea meridiana. Et a puncto l ipsi ac
perpendicularis ducatur elf. Semicirculique
aec~afc bifariam dividantur in m~n.
Erunt ex dictis puncta m~n versus oriens,
et
versus occidens. Unde si intelligatur m oriens n occidens
circumferentia me ortus amplitudinem ostendet, circumferentia vero
nf occasus. Quae intersese iam ostensae sunt
aequales.
Quod facere oportebat.
Corollarium
Hinc cuiuslibet paralleli planetarum inventa diametro.
Eorum
ortus, et occasus altitudinem invenire facillimum erit.
Cuiuscumque eclipticae puncti rectam invenire ascensionem.
Sit abcd solstitiorum colurus. Cuius et mundi centrum e,
poli
vero mundi b~d. Sit afcg aequinoctialis, et ac ipsius,
dictique coluri communis sectio, et ipsi ac perpendicularis
existat diameter feg, quae ad planum abcd
ex conversa 18 undecimi
perpendicularis erit.
Sit fkgh linea ecliptica, quae aequinoctialem secet in punctis f~g.
Sitque f principium arietis. k principium cancri,
et caetera circumferentia quidem ck erit
solis maxima declinatio. Sitque
deinde
hek
eclipticae circulique
abcd communis sectio; quae ipsi fg perpendicularis
erit,
siquidem
linea fg ad planum abcd perpendicularis
existit.
Et cek erit angulus inclinationis lineae eclipticae, et aequinoctialis.
Summatur in quarta
ecliptica fk
quodvis punctum l. Et per polos b~d, et punctum
l circulus ducatur bld, qui aequinoctialem secet in n.
Manifestum est, aequinoctialis circumferentiam fn rectam esse
ascensionem circumferentiae fl.
Connectatur
itaque en, quae erit communis sectio aequinoctialis, et circuli blnd,
a punctoque l ad planum aequinoctialis perpendicularis ducatur
lo, quae
38 undecimi
in en cadet, et ab hoc puncto o ad fg
perpendicularis ducatur om,
quae aequidistans erit ac. Connectaturque lm:
eritCitazione in margine cancellata
lm ipsi fg perpendicularis, et ob id ipsi ek aequidistans.
Cum autem duae om~ml sint ipsis ce~ck aequidistantes.
10 undecimi
erit angulus lmo angulo kec aequalis.
Qui est angulus inclinationis eclipticae, et aequinoctialis. Datus est ergo
angulus oml.
Corollarium
Hinc
manifestum est circumferentiam ln ipsius puncti l declinationem
esse.Il corollario sembra scritto con un inchiostro diverso.
Operatio
Sit circa centrum e circulus afcg, qui primum accipiatur per
ecliptica,
in quo ad rectos insint angulos diametri ac fg.
Intelligaturque punctum
f principium arietis. Summatur
in circumferentia circuli fc
quodvis punctum l, cuius oporteat rectam invenire ascensionem.
Ducatur a puncto l ad fg perpendicularis lm. Deinde seorsum exponatur
angulus pqr, qui aequalis sit angulo inclinationis Zodiaci, et aequinoctialis.
Contineat nimirum angulus
angulis pqr circuli
vigintitres gradus, cum dimidio fere, ut recentioribus placet. Fiatque qr
aequalis lm, et a puncto r ad qp perpendicularis ducatur rp.
Intelligaturque nunc circulus afcg aequinoctialis, itidemque punctum
f arietis principium.
Et a puncto m ad fg perpendicularis ducatur, quae in
eandem ml coincidet. Fiatque mo aequalis qp.
Erit ex supradictis punctum o ubi ducta perpendicularis a puncto eclipticae
ipsi circumferentiae fl respondente in planum aequinoctialis cadit. Ducatur
itaque eon, quae circumferentiam secet in n. Circumferentia fn
rectam ostendet ascensionem arcus eclipticae ipsi fl aequalis.
Quod invenire oportebat.
Si autem ipsius puncti eclipticae declinationem invenire
voluerimus
ducatur a puncto o ipsi en perpendicularis oi
secans in i,Non sono sicura del punto di inserimento,
quae quidem ipsi pr aequalis erit.
Circumferentia ni ipsius eclipticae puncti l declinationem
ostendet.
Data in ecliptica cuiuscumque
stellae longitudine, et latitudine, rectam eius ascensionem invenire.
Sit abcd solstitiorum colurus, cuius centrum e. Sint poli mundi
b~d. Sit afc aequinoctialis, cuius, dictique coluri sit aec communis
sectio. Sit gkh ecliptica, qua aequinoctialem secet in k. Sitque
k principium
Arietis et gh zodiaci, et coluri abcd
sit sectio communis. Sint l~m poli zodiaci. Sit stella
punctum n, et per n, perque
polos zodiaci circulus ducatur lnm, qui
eclipticam secet
in o. Erit ko stellae longitudo data. Et on eius latitudo data.
Si itaque per polos mundi b~d, et per n circulus ducatur bnd
aequinoctialem secans in f. Manifestum est kf rectam esse ascensionem
stellae in n constitutae. Ducatur igitur per n planum zodiaco
aequidistantem, quod in sphera circulum faciat pnq, quod quidem
ad planum abcd erit erectum; sitque linea
pq ipsius, et abcd communis sectio;
16 undecimi
erit pq ipsi
gh aequidistans. Quoniam enim lno~lqh sunt maximarum
circulorum quartae, et pnq est ipsi goh aequidistans,
secundi sphericorum Theodosii
hq aequalis on. Ergo data est hq,
quae latitudini stellae est aequalis. Et ob eandem causam \CitMargSign{secundi sphericorum
Theodosii} qu similis erit
ho.
Dividatur circumferentia
pnq bifariam in puncto u.
Erit utique quarta q similis quartae kh. Ac propterea
circumferentia un similis erit circumferentiae ko.
Ergo data est, quippe quae
tot numero continet gradus. Quot sit ipius stellae longitudine
dati. Ducatur deinde a puncto n ad planum
abcd perpendicularis nr, quae
38 undecimi
in pq
cadet, et ab hoc puncto r ad aequinoctialis planum afc perpendicularis
ducatur rs, quae in ac cadet. Et a puncto s ad ac in aequinoctialis
plano perpendicularis ducatur st,
6 undecimi
erit st plano abcd
perpendicularis.
6 undecimi
quare st aequidistans erit nr.
Fiat itaque st aequalis nr. Iunctaque nt,
33 primi
erit nt aequidistans
rs, ac propterea nt
8 undecimi
aequinoctialis plano perpendicularis
existet. Iandem connectatur ef, quae aequinoctialis, et circuli bnfd est communis
sectio. Quoniam igitur nt est aequinoctialis plano perpendicularis,
38 undecimi
cadet nt in ef. Linea ergo ef per punctum t
transit.
Operatio
Sit circulus aqcg, qui primum accipiatur per solstitiorum coluro, cuius sit centrum
e. Sit aec aequinoctialis diameter, geh eclipticae. Fiat hq stellae latitudini
ab ecliptica aequalis, et a puncto
q ipsi hg aequidistans ducatur qp. Et diametro pq circulus describatur
puq.
Sitque pu aequalis uq. Et quot longitudine sunt gradus ipsius stellae, tot fiant ipsius circuli
un.
Et a puncto n ad pq perpendicularis
ducatur nr. Erit punctum r, ubi perpendicularis a stella ad solstitiorum colurum cadit,
et a puncto r ad ac perpendicularis ducatur rs.
Nunc vero invento puncto s intelligatur circulus akc aequinoctialis,
et sit kc quarta circuli. Intelligaturque k Arietis principium. Deinde
a puncto s ipsi ac perpendicularis ducatur st
fiatque st aequalis nr. Erit punctum t, ubi cadit
perpendicularis a stella in planum aequinoctialis. Ducatur itaque etf. Circumferentia kf rectam ostendet
stella oblatae ascensionem. Quod invenire oportebat.
Aliter invenire, quod in (101) propositum est.
Eadem exponatur.
Sit scilicet abcd solstitiorum colurus, afc aequinoctialis,
cuius diameter ac. Sit hfk ecliptica, cuius diameter
hk. Sitque f principium Ariets k vero
principium cancri. Summatur punctum l, circulusque ducatur
blnd, cuius et aequinoctialis
sit en communis sectio. Iam constat circumferentiam
fn
circumferentiae fl rectam esse
ascensionem.
Ducatur itaque
a puncto l ad planum abcd perpendicularis lm, quae
38 undecimi
in hk cadet, deinde a puncto m ad ac perpendicularis ducatur
mp, et a puncto p in plano aequinoctialis ad ac perpendicularis
ducatur po, fiatque po aequalis ml.
Erit (ut saepius dictum est) po aequalis, et aequidistans
ipsi lm;
ac proptera iunctaque
lo, erit aequinoctialis
plano perpendicularis.
Quae quidem in en cadet ergo punctum o in
linea en
existit et fn
rectam
circumferentiae fl
ascensionem ostendet.
Operatio
Sit primum circulus akch ecliptica,
cuius diameter hk, sitque k cancri
principium.
hk circuli quarta intelligaturque punctum q Arietis
principium summaturque in quarta qk circumferentia sitque
ql, cuius oporteat rectam invenire
ascensionem. Et a puncto l ad hk
perpendicularis ducatur lm. Deinde intelligatur circulus solstitiorum
colurus, in quo sit ac aequinoctialis diameter, et hk eclipticae
diameter maneat. A punctoque m ducatur ad ac perpendicularis
mp. Nunc itaque invento puncto p, intelligatur afc aequinoctialis,
et cf sit circuli quarta, punctum vero f
Arietis principium, et a puncto p ipsi ac
perpendicularis ducatur po. Quae fiat aequalis lm.
Ducta
igitur eon circumferentia fn rectam ostendet
circumferentiae ql
ascensionem.
Ascensiones
rectas tantum in primo quadrante invenire
docuimus, quia vero ab ariete
quadrantes omnes aequalem habent ascensionem. Si igitur data sit a puncto
f ab Arietis nimirum principio
circumferentia fb quae maior sit fc, cuius oporteat rectam invenire ascensionem.
Inveniatur ex dictis circumferentiae gb recta ascensio gd,
circumferentia fcd
circumferentiae fcb rectam ostendet ascensionem. Si vero
data sit circumferentia fgr. Inveniatur ipsius gr ascensio recta
gp, erit fgp ascensio recta circumferentiae fgr. Data autem sit
circumferentia fan inveniatur circumferentiae fn recta ascensio
fx. Et
circumferentia
fax circumferentiae fan ascensio recta existet.
Cuilibet rectae ascensioni arcum eclipticae coascendentem invenire.
Sit ut supra abcd solstitiorum colurus.
b~d poli mundi. Sit afc aequinoctialis. hfk ecliptica. Sitque f
principium Arietis, et sit fn ascensio recta.
Ducatur
per n, et b~d planum, quod
in sphera circulum efficiat bnd, qui eclipticam secet in o.
Iam constat fo arcum esse eclipticae cum fn coascendentem.
Ducatur itaque a puncto a
ad planum abcd perpendicularis nm, quae
38 undecimi
in ac cadet. Deinde a puncto m in plano abcd
ad ac perpendicularis ducatur mp, quae hk secet in p.
Rursus a puncto p ad idem planum abcd perpendicularis ducatur
pl, erit haec in plano eclipticae, fiatque pl aequalis mn.
Iunctaque nl, erit
ipsi mp aequalis, et aequidistans quare nl aequinoctialis plano
perpendicularis existet.
Planum vero per bad transiens eidem
Controllare la punteggiatura prima di eidem
aequinoctialis plano est perpendicularis.
Ergo nl est in plano per bnd ducto. Sed et iuncta en est in eodem
plano bnd.
2 undecimi
iuncta igitur el, erit in plano bnd
siquidem omne triangulum in uno existit plano
quoniam autem op~pl sunt in eclipticae plano hok.
2 undecimi
erit quoque el in eodem eclipticae plano.
Ergo el est et in plano bond, et hok, et ob id ipsorum
est communis sectio.
Ac propterea linea el per punctum o transit.
Operatio
Sit circulus acng, cuius centrum e, et diameter ac, qui primum
accipiatur per aequinoctiali. Sit cg quarta circuli, et sit gn ascensio
recta data, cui oportet eclipticae arcum coascendentem invenire. Ducatur
a puncto n ad ac perpendicularis nm. Deinde intelligatur circulus
solstitiorum colurus in quo sit ac aequinoctialis diameter, et
hk eclipticae.
Et a puncto m rursus ad ac perpendicularis ducatur mp, quae hk
secet in p. Iandem invento
puncto p intelligatur circulus ecliptica. Sitque kf quarta circuli
punctumque
f Arietis
principium.
Ducaturque a puncto p
ad hk perpendicularis pl, quae fiat aequalis mn.
Iungaturque el, quae circulum secet in o. Erit fo eclipticae arcus,
qui cum recta ascensione data gn simul ascendit.
{\it Bisogna accomodar che ab sia minor della metà di ac
et accomodar tutta la figura cioè far li gradi
come s'usa con tre circuli} Questo periodo in italiano si trova scritto in alto vicino alla figura.
Datae circuli portionis uno gradu minoris, minuta, secunda, tertia et
caetera invenire.
Sit portio circuli ab, quae integro gradu ac sit minor. Summatur
portio circuli ad quae 60 contineat gradus integros. Erit ac
sexagesima pars ipsius ad. Secetur deinde ex ad portio ae,
cuius ab sit sexagesima pars. Quod fiet si circumferentiam ab
super circumferentia ad usque ad sexaginta multiplicaverimus. Quoniam
enim ita est ab ad ae, ut ac ad ad, erit permutando ab
ad ac, ut ae ad ad.
Ergo quot{Quot ergo} partes continet
ae ipsius ad, tot continebit ab ipsius ac. Unusquisque
autem gradus in 60 dividitur partes, quae minuta vocantur. Quot
igitur gradus ostendit ae, tot erunt minuta ipsius ab. Quod
si ae ad unguem integros non ostendit gradus, sed aliqua supererit
pars, ut fe. Rursus secundum quantitatem fe, incipiendo ab a,
multiplicetur fe super circumferentiam usque ad 60, sitque ag.
Tunc quot gradus ostendet ag, tot erunt ipsius fe secunda. Nam ita
se habent secunda ad minutum, ut minuta ad gradum,
et gradus ad circumferentiam
ad
, ac propterea, si accipiamus ae loco minutorum,
erit fe secundorum vice. Unde colligitur, circumferentiam ab
tot esse minuta, quot sunt gradus in circumferentia ae
contenti, ut af totque secunda, quot sunt gradus ag. Quod si
ag quoque ad ammissim?
gradus non ostedet, summatur similiter
quod superest. Exordiendoque ab a per 60 super circumferentiam multiplicetur.
Gradusque ob eandem causam
tertia ostendent. Et ita in reliquis.
Et quarta, et quinta, et millesima inveniemus, donec, vel ad integrum pervenerimus
gradum, vel in infinitum abibit operatio. Quod facere oportebat.
\VV[longa]{{*:\CR{bari3}:Unde constat}{M:\MARGSIGN:}{M:\INTERL\EX{Et haec operatio}:Unde
constat operationem hanc}}
omnibus circumferentiis tam astrolabiorum, quam aliorum maxime
describere, cum possimus cuiuscumque oblatae circumferentiae
gradus et minuta secunda tertia et caetera
invenire. Propter operationem autem est primo advertendum
quamvis hoc non imperat necessitatem, sed commoditatem tantum
quod circumferentia non minor uno pede diametri constituenda est,
ut operatio sub sensibiliori
quantitate perveniat possit.
Deinde, et hoc est maxime notandum, si ab, cuius minuta
quaerimus.
Manifestum est,
quam dimidia ac, tunc accipiatur cb exordiendoque
a puncto a, multiplicetur co super circumferentia da usque ad
60 sitque de, tunc
quot gradus ostendet et reliqua erit ae tot erunt ipsius ab minuta. Nam cum sit
ac ad ad, ut cb ad de, erit et ab ad ae ut ac ad ad.
Erit igitur ae ipsius db multiplex sexagenaria
Non riesco a capire se vada inserito proprio in questo punto.
et hoc fit ut nunquam moltiplicetur minor, quam
dimidia, pars, unius gradus siquidem quae ad actum operationis producuntur facilius
quae sub aliqua quantitate connectantur, quam quae sub minima vel
modica.
Circinus vero ille Fabricius Mordentis Neapolitani cursoribus constructus rectibus
quidem lineis valde accomodus est, atque utilis. Non tamen
circulorum circumferentiis, ut ipsemet aliquando fateri ausus est,
ita praecipue, ut circino ipso, et minuta, et secunda
et caetera ut supra inventa sunt, inveniri possint.
Sit enim circinus abc, cursores habens utcumque in de, aequaliter a centro
a distantes. Comprehendatque circinus secundum extremitates
rectam lineam bc, cursores vero rectam comprehendant de.
Cum enim sint ab ac aequales, et ad~ae similiter aequales;
erit ca ad ae, ut ba ad ad.
2 sexti
aequidistans igitur est de ipsi bc. Ac propeterea
4 sexti
erit ac ad ae, ut bc ad de.
Deinde circinus alium comprehendat angulum, ut fac, nec non
secundum extremitates rectam accipiat lineam fc.
Et cursores rectam be. Et quoniam ob eandem causam be est
ipsi fe aequidistans, erit ca ad ae, ut fc ad he.
Ergo
11 quinti
ut bc ad de, ita est fc ad
he.
Ac ita in reliquis, circino ita disposito, semper ostendetur, lineam
ab extremitatibus comprehensam, ad lineam cursoribus comprehensam
ita esse, ut bc ad de.
Sit autem circumferentiae quaelibet portio abc. Summatur ex hoc
portione, alia quaevis portio ec.
Dividatur abc bifariam in b. Similiter ec bifariam in f.
Apteturque circinus, ita ut extremitatibus circumferentiam accipiat ac,
cursoribus vero accipiat circumferentiam ec. Dico, circino
ita disposito, si deinde circinus extrmitatibus circumferentiam accipiat
bc, cursores maiorem, quam cf accipere. Connectantur
ab~af~ac~bc~ec~ef~fc. \CitMargSign{ 29 sexti erunt lineae
ab~bc interse
aequales, et ef~fc similiter aequales}. Quoniam
enim
21 tertii
angulus afc aequalis est angulo abc. Erit angulus efc
maior angulo abc.
Ergo reliqui fec~fce simul sumpti reliquis bac~bca simul sumptis
minores erunt.
Quare, et horum dimidii, angulus scilicet fce minor angulo bca, et
fec angulo bac; sunt enim triangula abc efc
aequicrura.
Fiat itaque super ec angulus ecg aequalis angulo
acb,
et angulus ceg angulo cab aequalis.
6 primi
erit cg aequalis eg, et angulus egc angulo abc
aequalis, ut
4 sexti
igitur ac ad cb, ita ec ad cg.
Atque
21 primi
duae eg~gc duabus ef~fc sunt maiores, ergo et
horum dimidiae, linea scilicet cg maior est ipsa cf. Sed quoniam quando
suis circinus extremitatibus rectam accipit ac, cursoribus autem rectam accipiat
ec, ut evenit circino, ut supra positum est, disposito.
Extremitatibus deinde accipiat bc, tunc cursoribus cg accipiet.
Ex ante dictis, quae cum sit maior cf, maiorem quoque circumferentiam
subtendet.
Cursores igitur maiorem comprehendent circumferentiam, quam sit
cf quod demonstrare oportebat.
Corollarium
Unde sequitur si cursores circumferentiam accipiant cf, circini
extremitates minorem, quam bc circumferentiam accipere.
Per far linee parallele
Nella prima bisogna che siano eguali ab~cd,
et ac~bd. Et li punti ab~cd sono fissi et lasciano girar le righe.
Nella seconda bisogna che siano eguali ab~ac, et ad~ae.
Et il punto a sta fisso e lascia girar le righe, et li punti
bc de camminano per canale.
Quod propositum fuit pagina 45, 46 contra Orontius
universalius hoc modo ostendemus.
Sit triangulum aequicrure abc, itidemque bcd aequicrure,
sintque latera ca~cb~cd aequalia. Dico angulum acb
ad angulum bcd non habere eandem proportionem
quam habet basis ab ad basim bd.
Quoniam enim latera triangulorum sunt aequalia. Describatur circa
centrum c circulus abd. Et quoniam (ut a multis ostensum est,
qui sinus pertractant, praecipue vero a Maurizio Bressio propositione
7
secundi libri metrices astronomicae .
Deinde a Christoforo Clavio in suis sphaericis libro de sinubus propositione 10)
maiorem habet proportionem circumferentia ab ad circumferentiam
bd, quam recta ab ad rectam bd.
Ut vero circumferentia ab, ad circumferentiam bd
ita
33 sexti
se habet angulus acb ad angulum bcd.
Maiorem igitur proportionem habet angulus acb ad angulum
bcd, quam basis ab ad basim bd. Quod demonstrare
oportebat.
Eandem tamen proportionem habere deberet angulus ad angulum,
quam basis ad basim secundum Orontium.
Dato solido parallelepipedo, aequalem ei cubum constituere.
Sit solidum parallelepipedum ab, cui oportet aequalem cubum constituere.
Primum quidem vel ab est rectangulum, vel non. Si non
fiat super eadem basi bc et sub eadem altitudine solidum
rectangulum bd,
29 vel 30 undecimi
, erit bd
aequale
ab.
Eruntque bc~de parallelogramma, quae quidem vel quadrata erunt,
vel non, vel alterum tantum. Neutrum autem
sit quadratum, idcirco inter dc~ce media inveniatur proportionalis fg, super qua
constituatur quadratum fh quod quidem
17 sexti
ipsi de
aequalis
erit. Deinde compleatur solidum fk,
cuius altitudo hk
sit altitudini eb aequalis,
quoniam enim
solida db~fk in aequalibus sunt basibus de~fh, eandemque habent
altitudinem,
31 undecimi
31 undecimi si trova scritto, e quindi cancellato, anche in corrispondenza della riga precedente
erit solidum fk
solido db aequale, ac
propterea fk ipsi ab est quoque aequale.
Praeterea super basi kl, quae est quadratum, cubus constituatur lm,
deinde inter mk~kh binae inveniatur mediae proportionales, op, q.
Sitque mk ad op, ita op ad q, et q ad kh. Iamdemque
cubus constituatur or, cuius latus sit op.
Dico cubum or solido ab aequalem esse.
Quoniam enim solidum
ml solidumque lh sub eadem sunt altitudine nl,
32 undecimi
erit lm ad lh, ut basis mn ad basim nh, ut autem basis mn ad nh
1 sexti
ita est mk ad kh. Ut igitur solidum lm ad lh, ita est
mk ad kh. Quoniam autem quatuor sunt lineae continue
proportionales mk, op, q, kh, et cubus lm ad cubus
or,
33 undecimi
in tripla est proportione mk ad op cubus ergo lm ad or est, ut mk
ad kh. Quare ita est lm ad lh, ut lm ad or ergo cubus or est lh aequalis,
11 quinti
,
ac per consequens est quoque ipsi ab aequalis.
Quod invenire oportebat.
Duobus datis cubis simul sumptis aequalem cubum constituere.
Sint dati cubi ab~cd, quibus simul sumptis oportet aequalem cubum
invenire. Tertia inveniatur ipsis lateribus proportionalis, ut
scilicet sit
ae ad cf, ita cf ad g, cum
enim ah~ck sint quadrata,
cor. 20 sexti
erit ah ad ck, ut ae ad g, deinde
ut
latus cubi ab ad g, ita fiat latus cubi
cd ad aliam, quae sit l, ita nimirum, ut ae ad g, ita sit
dk ad l
vel quod idem est permutando ut ae ad cf hoc est ad dk ita g ad l. Producaturque
hb, fiatque bm ipsi l aequalis.
Solidumque compleaturque bn. Cum itaque mn sit quadratum
aequale ipsi ah, erit mn ad ck, ut latus quadrati mn, hoc est
no ad g. Ergo ut mn ad ck, ita est kd ad bm, solidorum
igitur cd~bn bases ex contraria parte altitudinibus respondent,
29 undecimi
quare cd est ipsi bn aequale.
Si igitur solido am cubus inveniatur aequalis, erit utique hic ipsis
ab~cd simul sumptis aequalis. Quod fiet
ex antecedenti
si inter bh~hm
binae inveniantur mediae proportionales, vel sit
hb ad o, ita o ad p, et p ad hm.
Cubusque constituatur cuius latus sit o erit hic ipsi am
aequalis, ac propterea ipsis ab~cd simul sumptis aequalis quod
facere oportebat.
Datis duarum sphaerarum diametris, alteram sphaerae diametrum invenire,
cuius sphaera
datis
sphaeris simul sumptis sit aequalis.
Sint dati diametri a~b duarum sphaerarum c~d, alteram invenire oportet sphaerae
diametrum, quae ipsis c~d simul sumptis sit aequalis.
Duo fiant cubi e~f quorum latera g~h sint ipsis a~b aequalia, cubusque
inveniatur k, qui ipsis ef simul sumptis sit aequalis.
Sitque sphaera n, quae diametrum habeat lineam m, quae sit ipsi l
aequalis. Dico sphaeram n ipsis c~d simul sumptis aequalem esse.
Quoniam enim k ad e in tripla se habet proportionem
33 undecimi
quam l ad g. Similiter n ad c in tripla est
proportione,
18 duodecimi
quam m ad a, et est l ad g
ut m ad a, cum lm ga interse
sint aequales, erit
k ad e ut n ad c. Simili modo ostendetur k ad f, ut n
ad d, sequitur ergo ita esse k ad e~f simul, ut n ad c~d simul;
k vero est ipsis e~f simul sumptis aequale. Sphaera igitur n
sphaeris c~d simul sumptis est aequalis. Diameter itaque
inventa est m. Quod facere oprtebat.
Corollarium
Ex his si tres sint datae sphaerae c~d~n, quas simul
oporteat sphaeram invenire aequalem, primum inveniatur sphaera duabus c~d aequalis, deinde
inventae iam
sphaerae, ipsiusque n
altera aequalis, erit haec tribus c~d~n
aequalis. Et ita si quatuor, et sic deinceps quod idem invenietur
de cubis.
Problema I
Dato prismati aequalem cubum constituere.
Datum prisma vel erit rectum, vel non rectum erit inclinatum et vel bases
habebit trilateras, vel
quadrilateras, vel plurilateras prisma autem rectum appello, cuius plana
sunt ad subiectum planum recta; inclinatum vero cuius plana sunt inclinati.
Sit primo rectum, et bases habeat quadratas, sit autem abcd, cuius
inferior basis sit cedf: exponaturque recta linea
gh aequalis lateri basis, videlicet ipsi cf et exponatur ik
aequalis altitudini basi prismatis hoc est ipsi ac: atque inter gh,
erit iam dictis sumantur duae mediae proportionales lm~no ita
ut sint quatuor rectae lineae proportionales in continua analogia
gh~lm~no~ik. Dico cubum, qui fit ex lm dato prismati abcd aequalem esse.
Secetur enim datum prisma plano pqrs parallelo existenti eisque
ex opposito planis ita ut cp sit aequalis ipsi cf. Erit igitur cr
cubus pro definitionem sex enim quadratis aequalibus continetur atque erit ex 25 undecimi
libri Elementorum ut basis cq ad basim qa ita cubus cr ad ra
videlicet ad reliquum dati prismatis sed ex prima sexti libri
Elementorum ut cp ad pa ita basis cq ad qa basim ergo ut
cp ad pa, ita cubus cr ad ra componendoque et per conversionem rationis
et convertendo ut pc ad ca ita rc cubus ad datum prisma cb. Aequalis autem
est pc ipsi cf hoc ipsi expositae gh et ob id cubus cr aequalis
cubo, qui fit ex gh, estque ca aequalis ik ut igitur gh ad ik,
ita cubus ex gh ad datum prisma cb, sed ut gh ad ik ita cubus ex
gh ad cubum qui ex lm per corollarium 33 undecimi Elementorum .
Ergo per 9 quinti Elementorum cubus qui fit ex lm dato prismati eb est aequalis.
Quod facere oportebat.
Si
questa "label'' - con contenuto diverso da un numero intero semplice - dà errore
vero dati prismatis basis sit vel
trilatera,
vel
quadrilatera quidem non autem quadrata, vel plurilatera, vel etiam
prisma non sit rectum primo inveniatur ipsius basis aequales superficies quadrata.
Deinde super eam statuatur prisma rectum aequali altitudinae quod dato aequale erit
ex 31 undecimi cui per modum iam dictum aequalis cubus constitutus erit etiam dato
prismati quomodocunque firmato aequalis. Quod facere oportebat.
Problema II
Datis duobus cubis, utrisque simul sumptis aequalem cubum constituere.
Cubi dati vel erunt aequales inter se, vel inaequales.
Si aequales simul iuncta conficiant solidum parallelepipedum seu prisma cuius basis erit eadem
quae alterius cubis et altitudo dupla. Per praemissam igitur id quod propositum est conficere
poterimus.
Si vero sunt inaequales, ut ab~cd, primum exponemus rectam lineam
ef aequalem lateri minoris cubi videlicet ab, deinde
aliam exponemus lateri maioris cubi cd, aequalem quae sit gh. Et
11 e 12 sexti
ipsis ef~gh
tertiam et quartam proportionalem inveniamus ik~lm
ut sint quatuor rectae lineae proportionales in continua analogia
ef~gh~ik~lm, postremo exponemus aliam rectam lineam no aequalem duabus extremis
simul sumptis hoc est ipsis ef~lm et inter ef et no inveniantur duae
mediae proportionales pq~rs et rursus sint aliae quatuor proportionales
in continua analogia ef~pq~rs~no.
Dico cubum qui fit ex pq aequalem esse duobus datis cubis simul sumptis, quoniam enim
quatuor rectae lineae proportionales sunt ef~gh~ik~lm, erit per corollarium
33 undecimi ut ef ad lm ita cubus qui fit ex ef qui
fit ex gh cubum et convertendo
componendoque et rursus convertendo, ut ef ad ef et lm hoc est ad no, ita
cubus, qui fit ex ef ad utrosque cubos, videlicet ad eum qui fit ex ef, et eum
qui ex gh, quiquidem sunt aequales duobus datis cubis ab~cd et rursus per idem
corollarium erit ut ef ad no ita cubus qui fit ex ef ad eum qui ex pq est igitur per 9 quinti cubus qui fit ex pq aequalis duobus datis cubis ab~cd simul sumptis. Quod faciendum
proponebatur.
Corollarium
Ex iam demonstratis manifestum aparere potest, si plures quam duo cubi dentur,
quomodo his ipsis aequalem cubum constituamus nam si sint
quatuor cubi quibus simul iunctis aequalem cubum constituere libeat
duobus primis unum aequalem inveniemus deinde huic ipsi, quo ex duobus compactus est
et tertio alium efficiemus
aequalem, et rursus huic qui ex tribus constat et quarto alium aequalem formabimus, et ita
deindeps. Si sint plures quam quatuor non dissimili ratione
duobus vel pluribus prismatibus, sive aequalibus
sive inaequalibus vel
etiam dissimilibus datis aequalem cubum constituemus,
si prius singulis prismatibus aequalem cubum efficientes
cubos deinde ipsos in unum
omnibus aequalem coaptabimus et ita etiam duabus, aut pluribus spheris datis,
tam aequalibus quam inaequalibus una sphera aequalis constitui
poterit, quippe cum proportio unius ad alteram sit, eadem, quae diametri ad diametrum triplicati.
Problema III
Dato cubo aequale prisma constituere dato prismati simile.
Sit datus cubus ab, cui oportet aequale prisma constituere et simile dato
prismati ed.
Sit ergo primum datum prisma, cui simile aliud
constituendum est, rectum et basim habens quadratam ed et altitudinem ce
exponaturque recta linea gh aequalis lateris basis videlicet ipsi
ef et exponatur alia
recta linea ik aequalis altitudini
ce inter quas sumantur duae mediae
proportionales lm~no, ut sint quatuor
rectae
lineae in continua analogia proportionales gh~lm~no~ik deinde exponatur
recta linea
qr aequalis lateri ipsius dati cubi, videlicet ap, et fiat ut lm ad gh
ita qr ad aliam quae sit st itaque duabus
rectis lineis st~gr
11 12 sexti
tertiam et quartam proportionalem inveniemus ux~yz ut rursus sint aliae quatuor deinceps
proportionales st~qr~ux~yz, quae quidem in eadem erunt proportione, in qua quatuor
iam dictae gh~lm~no~ik.
Dico prisma cuius basis sit quadratum
rectae
lineae st et altitudo yz hoc est prisma ab dato cubo esse
aequale ac dato prismati
simile nam dato prismati simile esse patet per diffinitionem
similium solidorum,
cum similibus planis et multitudine aequalibus contineatur at vero
rectae aequale dato cubo sic ostendemus.
Resecetur a prisma ipso constituto ab cubus gb, eodem quo supra
modo concludemus ut recta linea d y ad totam da, ita esse
cubum gb ad totum prisma ba hoc est ut st ad yz, ita esse
cubus qui fit ex st ad totum prisma ba. Est enim dg
aequalis st et da ipsi yz. Sed per corollarium
33 undecimi ut st ad yz ita cubus qui fit ex st ad eum qui fit ex
qr cubum hoc est ad datum cubum ab. Ergo prisma
ab est aequale dato cubo ostensum autem est et dato prismati
ed simile quod ipsum facere oportebat.
Si vero datum prisma cui simile aliud constituendum est
non sit rectum, neque basim habeat quadratam inveniatur ipsius basi
aequalis superficies quadrata cuius lateri fiat aequalis
gh et eius altitudini aequalis ik inter quas duae mediae
proportionales sumantur et cum omia confacta fuerunt
sicuti proxime docuimus postremo quadratae basi ipsius prismatis
ab inveniatur superficies aequales et similis basi prismatis,
cui simile aliud constituere propositum est, super quam ex similibus
planis prisma constitutum
illud ipsum erit quod quaerimus, erit enim aequale dato cubo ab cum sit
aequale ipsi prismati ab; et simile dato prismati quod similibus
planis contineatur.
Problema IIII
Duos cubos invenire in data proportione, qui simul sumpti
aequales sint dato cubo.
Sit datus cubus ab cui uni aequales duos cubos invenire voluimus
qui inter se sint ut duo dati cubi; vel ergo dati cubi erunt
aequales inter se vel inaequales. Si aequales in posito altero alteri constituatur
prisma per praecedens igitur dato cubo aequale prisma constituemus
ipsi
prismati quae ex duodus cubis compactus est simile quod quidem
prisma si plano eis quae ex opposito planis parallelo in duas partes aequales
secetur prodibunt duo cubi quaesiti aequales dato cubo atque in eadem proportionem
duobus datis cum sint inter se aequales, si vero dati cubi sint inaequales
ut cd ef exponantur duae rectae lineae g~h quarum altera
quidem g sit aequalis lateri minori dati cubi cd alteri vero h
aequalis lateri maioris ef. His igitur duabus tertiam et quartam
inveniamus proportionales i~k ut sint quatuor rectae lineae
in continua analogia
proportionales g~h i~k deinde exponatur alia
recta linea itidem aequalis lateri minoris cubi quae sit l
et alia exponatur aequalis duabus extremis. Quatuor iam dictarum
proportionalium simul sumptis, videlicet g et k
quae sit m et inter l et m sumantur duae mediae proportionales n~o ut sint quatuor deinceps
proportionales l~n~o~m.
Rursus exponatur
recta linea p aequalis lateri dati cubi ab
fiatque
ut n ad l, ita p ad aliam quae sit q
quibus quidem tertiam et quartam proportionalem inveniamus
r et s atque erunt quatuor proportionales q~p~r~s in eadem
proportione in qua sunt l~n~o~m postremo exposita recta
linea t aequali ipsi q fiat ut g ad h ita t ad aliam
quae sit u et nisi t~u tertiam et quartam proportionalem
indagabimus x~y eruntque quatuor proportionales t~u~x~y in eadem
proportione; in qua sunt aliae quatuor iam dictae g~h~i~k
itaque constituantur duo cubi;
unus quidem ex ipsa t qui sit ab, alter vero
ex u videlicet yd. Dico hos duos cubos simul sumptos aequales
esse dato cubo ab, et in eadem proportionem in qua dati cubi
cd~ef et enim in eadem esse proportione manifestissime patet, cum
sit ut g ad h ita t ad u si autem quatuor rectae lineae
proportionales fuerint, et quae in ipsis solida parallelepipeda
similia similiterque descripta proportionalia erunt ex 37 undecimi,
ergo ut cubus cd qui fit ex g ad cubum ef qui fit ex h ita
cubus
ab, qui fit ex t ad gd cubum qui fit ex
u
at vero eos simul sumptos aequales esse dato cubo ab ita demonstrabimus;
quoniam enim quatuor rectae lineae sunt proportionales t~u~x~y,
erit per per corollarium 33 undecimi ut t ad y ita cubus qui fit ex
t ad eum qui fit ex u cubum et convertendo, componendoque
et rursus convertendo ut t ad t et y videlicet ad s
ita cubus ad factus ex t ad duos cubos simul sumptos
ab gd quoniam ab, quidem fit ex t gd vero
ex u et per idem corollarium ut q ad s
ita cubus qui fit ex q ad eum qui ex p. Sed cum sit q aequalis ipsi t
erit ut q ad s ita cubus ab, qui fit ex et,
hoc est ex q ad duos cubos simul sumptos ab gd.
ergo per 9 quinti duo cubi ab gd
simul sumpti sunt aequales cubo qui fit ex p hoc est
dato cubo ab. Quod facere oportebat.
Corollarium
Ex his manifestum est, sicut placeat uni cubo plures
quam duo cubos aequales facere, ex aliis datis cubis proportionales
quo pactu illud perficiendum sit nam si tres volit cubos facere qui simul
sumpti sint uni cubo aequales et in eadem proportione, in qua tres alii
dati primum ex his tribus
datis duos in unus coaptabimus deinde dato cubo per
precedens aequales duos faciemus in eademmet proportione duobus datis,
videlicet illi, qui ex duobus constat ex reliquo denique
huic ipsi, qui ad illius compositi factum est duos alios formabimus,
atque in eadem proportione in qua illi qui in unum primo erant, ex hoc pacto tres cubi erunt uni aequales qui interse eandem habebunt proportionem, quam
tres alii dati, non aliter faciemus si vel quatuor vel plures, quam quatuor
placeat uni aequales constituere in data aliorum proportione per hoc antea et per antecedentia accuratius intuenti patebitur via, quae uni
prismati dati aliud prisma constituatur aequale, vel etiam plura, quae simul sumpta sint illi aequalia, vel similia inter se vel etiam dissimilia et inaequalia.
Parabola
Puncta a~a sunt in parabola.
ab semper est media proportionali inter bc et bd, et bc est
linea iuxta quam possunt.
Hyperbole
ab semper est media proportionalis inter bc~bd,
de rectum latus et df transversum. Et puncta a~a sunt
in hyperbola.
Ellipsis
ab semper est media proportionalis inter bc~bd, et
de est rectum latus, df transversum et puncta a~a sunt
in ellipsi.
Prima propositio
questa "label'' - con contenuto diverso da un numero intero semplice - dà errore
rectilinea
quae bases habent aequales, aequalemque altitudinem inter se sunt aequalia.
Rectilinea sint solida, quorum bases ab~cdefgh sint aequales,
solidorum autem altitudo sit
k. Dico solida aequalia esse inter se.
Dividantur solidorum bases in triangula in ab, et
\VV{{M:\POSTDEL{Et quoniam prisma cuius basis est b, altitudo autem k, (18
undecimi) est dimidium solidi
parallelepipedi cuius basis est dupla trianguli b, (dummodo
lateris sint lateribus paralleli), altitudo autem k. Prisma scilicet cuius basis est b,
et altitudo k, est dimidium solidi parallelepipedi, cuius basis ba,
(dummodo ba sit parallelogrammum) et altitudo k.
Similiter prisma cuius basis est c, et altitudo l, dimidium est solidi parallelepipedi
cuius basis est dupla trianguli c et altitudo k. Hoc est prisma, cuius basis est c
et altitudo k est dimidium solidi parallelepipedi cuius basis est cl,
(dummodo cl sit parallelogrammum) et altitudo k
ita vero solida parallelepipeda sunt, ut basis ba ad
basim cl et horum dimidia in eadem erit erit proportione.
Hoc est prisma erit cuius basis b altitudo k, erit, ut}: cdefgh}}.
Et quoniam prisma cuius basis est b, et altitudo k, ad prisma cuius basis
est c, et altitudo k, ita se habet, ut
triangulum b ad triangulum c. (Per corollarium 32 undecimi)C'è qualcosa in interlinea che non riesco a capire (sembrerebbe ex conis) e non so dove debba essere inserito. similiter prisma cuius basis est b et altitudo k, ita erit
ad prisma, cuius basis est d et altitudo k
ut triangulum b ad triangulum d. Et ita deinceps, ergo prisma cuius basis
est b, altitudo k erit
ad prismata omnia cuius bases sunt triangula cdefg et altitudo k, ut triangulum
b ad omnia triangula cdefg. Et quoniam prisma cuius basis est a
et altitudo k, est ad prisma, cuius basis est h et altitudo k,
ut triangulum a ad ipsum h, erit solidum cuius basis ab et altitudo k,
ut solidum cuius basis cdefgh et altitudo k, ut basis ab ad basim
cdefgh. Quia vero hae bases sunt aequales, ergo et solida interse sunt
aequalia. Quod demonstrare oportebat.
Corollarium
Ostendetur si fuerint duo solida rectilinea
aequealta, id quod maiorem basim habet maius esse.
Secunda propositio
Sit
questa "label'' - con contenuto diverso da un numero intero semplice - dà errore
solidum, cuius rectilinea basis sit a, altitudo autem k. Sitque cylindrus cuius basis
sit circulus b, altitudoque k. Dico solidum cylindro aequalem
esse.
Si enim non est, alter altero
maior erit. Si itaque maior est cylindrus quam solidum, ergo in cylindro poterit solidum describi
rectilineum, quod
eandem
habeat altitudinem, aequale solido cuius basis est a et altitudo k.
Sitque solidum inscriptum cuius basis cd et altitudo k.
Erit utique basis rectilinea cd intra circulum, cum sit totum solidum rectilineum intra cylindrum.
Ac propetera erit circulus maior figura cd, cum itaque sit basis a
circulo aequalis erit a maior cd. Ac propterea
solidum, cuius basis a, et altitudo k maius est solido, cuius basis
cd et altitudo k. Quod fieri non potest,
ponebatur
enim aequalis.
Si vero solidum maius est, quam cylindrus circa cylindrum describi poterit
solidum, eandem
altitudinem
habens k cuius basis sit ef.
Pari
ratione ostendetur basim ef
maiorem esse circulo et basi a. Quare solidum, cuius basis ef et altitudo
k maior est solido cuius basis a et altitudo k. Quod esse non potest.
Supponebantur enim esse interse aequalia. Solidum ergo cuius basis a et altitudo
k est aequale cylindro. Quod demonstrare oportebat.
Tertia propositio
Data sphaera
quis cubus sit ipsae aequalis --> determinare}.
Data sit sphaera, cuius diameter ab,
oportet
ei cubum
\VV{{*:determinare aequalem}{M:\EX{constituere aequalem}:consituere determinare}}.
Sit
cylindrus c, qui basim habeat circulum sphaerae maximum, altitudinem vero aequalem ipsi
ab.
Sit
deinde quadratum
de, quod sit aequale basi cylindri c. Erigaturque
ef quae sit
super basim de erecta. Quae quidem sit altitudini cylindri aequalis.
Denique exponatur cubus g ita ut solidum df
cubum
sit
sesquialterum.
Vel
hoc modo. Secetur ef in h sitque ef ipsius
eh sesquialtera compleaturque solidum dh,
erit utique solidum df solidi dh sesquialterum.
Deinde exponatur cubus g, qui sit aequalis solido
dh. Erit df solidum
cubi g sesquialterum.
Dico cubum g datae spherae aequalem esse.
Quoniam enim ex iis, quae Archimedes post 32
propositionem de sphera et cylindro collegit, cylindrus c est sesquialter
datae spherae, cylindro autem c aequale est solidum df
\CitMargSign{Hoc
demonstratum est antea sed demonstratio
consideranda?
}
erit igitur solidum df datae
sphaerae sesquialterum, sed df est etiam sesquialterum cubi g. Ergo cubus g
est datae sphaerae aequale.
Quod demonstrare oportebat.
I scuri devono passar dentro gl'altri. Vogliono esser solo nella piastra di ferro, senza passar
nel legno.
agraph{Figura per centrum gravitatis in duas partes secta non semper in partesdividitur aequales.}
Sit triangulum aequilaterum abc, cuius centrum gravitatis d, a quo ipsi bc
aequidistans ducatur fdg. Dico partem afg minorem esse bfgc.
Ducatur per da usque ad basim linea ade, cui
per g
aequidistans ducatur hgk.
Compleanturque figurae eh, kf. Quoniam igitur
d
centrum
est
gravitatis trianguli abc erit
ad dupla
est
de,
erit
parallelogrammum ag duplum est
parallelogrammi
ge.
Et quia gd~df sunt aequales, erit quoque kf ipsius kd duplum.
Ergo ag, hoc est, afg ipsi fk est aequale. Quare afg minor est,
quam bfgc. Quod oportebat demonstrare.
Hoc idem sequitur in triangulo aequicrure.
Sit linea ab ipsi cd perpendicularis, similiter da ipsi ca perpendicularis.
Dico angulum bad angulo bca aequalem esse.
Patet hoc ex 8
sexti in triangulo enim rectangulo
cad ab angulo recto a ducta est ab ad cd
perpendicularis. Unde pervenit triangulum abd
simile triangulo abc, et est
cb ad ba, ut ba ad bd\Comm{Tutta la frase
abc, et est
cb ad ba, ut ba ad bd è sottolineata}
angulus ergo bad angulo bca est aequalis, quod demonstrare oportebat.
Parallelogrammum ita
dividere, ut gnomon sit reliquo aequalis,
hoc est,
sit totius
ipsius dimidium.
Sit paralelogrammum ab, oportet ipsum ab ita dividere,
ut gnomon sit reliquo parallelogrammo aequalis.
Dividatur ab parallelogrammi diameter in c bifariam,
a quo lateribus aequidistans ducatur dce.
Erit db dimidium parallelogrammi ab.
Fiat deinde ipsi db aequalis
parallelogrammum af, quod quidem sit simile toti ab,
25 sexti
.
Erit ergo af circa dimetientem ab
constitutum quod, cum sit aequale db, erit ipsius ab dimidium.
Gnomon igitur gbh
quod relinquitur, erit quoque dimidio
ipsius ab aequalis.
Gnomon ergo gbh parallelogrammo af est aequalis quod facere oportebat.
Per trovar com'Archimede ritrovò quant'oro, et argento era nella
corona di Hierone re di Siracusa.
Prima sia la corona di 30 libre la qual si ponga in un vaso
pien d'acqua.
E quando la sarà tutta sott'acqua si
misuri o
pesi l'acqua,
che ne sarà uscita. Che sia libre 12, poi piglisi 30 libre
d'oro schietto, e nel medesimo modo mettasi nel medesimo vaso di acqua,
dal quale ne eschi 10 libre d'acqua similmente facciasi con
30 libre di argento schietto
e pesata l'acqua che esce, sia libre 15. Hora
la differenza del 12 al 10 è 2. E quella del 12 al 15 è 3
se adunque divideremo il 30 che è il peso della corona, in modo, che
una parte sia 3 e l'altra due, haveremo la proporzione. Che per ciò fare,
essendo che in tutto siano cinque parti, dividasi il 30 per
5 e ne verrà 6. Si che una parte sarà 18 l'altra 12.
Ma per trovar qual di queste due sia l'oro, prima dico che le 18
saranno d'oro, e le 12 d'argento
ancorché parrà il contrario
Per che essendo che l'acqua che fece uscire l'oro
schietto sia 10, e quella della corona sia 12, per l'essere
il 12 maggiore di 10 ne seguita che la corona sia di maggiore
quantità di corpo, che non è l'oro schietto. E per che
sono di trenta libre tutti due,
adunque
la maggioranza del corpo della corona nasce dall'argento
che è in essa. E per conseguenza quel di più d'acqua che fece
uscir la corona
che è 2,
nasce
dall'argento, che è nella corona.
Per l'istessa ragione la quantità
dell'acqua della corona
che è 12 per essere minore del 15 che
è quella dell'argento schietto, arguisce che la corona è
minore di corpo che non è l'argento, e però quel di manco
d'acqua che ha fatt'uscir la corona rispetto all'argento, che è
3 nasce dall'oro, che è nella corona. Dove ne seguita che le tre
parti della corona
bisogna attribuirle
all'oro, et le due all'argento. A tal che la corona havrà
18 libre d'oro, e 12 d'argento.
Et a questo risponde anche la regola della proporzione de numeri.
Cioè che se 30 libre d'oro schietto
fa uscir 10 libre d'acqua. L'oro della corona che è 18 ne
farà uscir 6 medesimamente se 30 libre d'argento, ne fa uscire 15,
l'argento della corona, che è 12 ne farà uscire 6, dove si vede
che le acque, che fanno uscire le parti della corona, sono apunto 12.
Il medesimo ancor aviene nel secondo esempio, che al senso par più
manifesto.
Il Philandro sopra Vitruvio nel 9 libro a 3 capitolo molto confusamente
insegna di trovare questo, e se ben par ch'egli metta la ragione,
non è vero. Si come non la mette neanche Vitruvio.
è nondimeno difficile
a venir all'atto pratico di questa esperienza,
perché non troppo esattamente si possono pesar le acque, che
escano di un vaso, restandone sempre attaccata al vaso, ma
si potrà prima metter la corona nel vaso e pesar quest'acqua, e
così far con l'oro et argento e così più esattamente si
troverà quanto si desidera. Ma con la libra esattissimamente
si farà come habbiamo detto a carte 233.
Angulum contingentiae quantitatem
esse
esse contra Peletarium,
sic ostendetur.
Praeter ea, quae a Cristophoro Clavio in 3
Elementorum , et
a nobis in libro Mechanicorum in tractatu de libra dicta fuere.
Sit abc angulus contingentiae, quem quantitatem esse ostendere
oportet.
Ducatur a centro circuli d linea dae, quae cum bc
conveniat, non in b, sed ut in e. Quae etiam circulum secet in a.
Primum quidem si abc non est quantitas, sequitur de
ipsi da aequalem esse. Etenim, cum non sit abc quantitas, neque ae
quantitas existet.
Eruntque puncta a~e unum tantum punctum.
Quod si duo essent puncta,
duo darentur puncta, inter quae linea non cadit. Quae omnia sunt omnino
absurda.
Quia vero potest ostendi ae quantitatem esse, ducta scilicet bd
existenteque dbe angulo recto, erit de maior db, hoc est maior
da. Erit igitur de divisa in a, eritque
ae pars ipsius de. Ac propterea ae quantitas est.
Cum non sit possibile quantitatem dividere, cuius altera pars
non sit quanta.
Contrarium enim pronunciare ridiculum esset, et a communissimis principiis
geometriae alienissimum.
Itaque si ae quantitas est, erit et spatium, in quo allocata est, quantitas.
Est autem in abc sita. Ergo angulus contactus est quantitas
ergo divisibilis
quod ostendere oportebat.
Ratio enim haec semper concludit, etsi de propinquissima ipsi
db ducta fuerit. Siquidem linea cb circulum non nisi in
puncto b contingit. Et sic ratio est efficax.
Et hoc etiam si supponamus abc non esse quantitatem, cum sit ae
quantitas, ut ostensum est, dabitur aliqua quantitas, ut ae, quae collocata
erit in situ, ut abc, qui non erit quantitas. Hoc est erit quantum in non quanto.
Quod est impossibile.
Idem sequitur in angulis curvilineis contactuum abc harum duarum figurarum.
Ut paucis mutatis, perspicuum est.
Circulum invenire duobus inaequalibus datis aequalem.
Sint dati circuli, quorum diametri ab~cd. Ipsique ab perpendicularis ducatur
ae.
Sitque ae aequalis cd.
Iungaturque eb. Quoniam enim ita se habent circuli ut diametrorum quadrata;
erit quadratum ex ab ad quadratum ex cd, hoc est ex ae, ut circulus ab
ad circulum cd.
Dictis vero quadratis aequale est quadratum ex eb circulus ergo
cuius diameter eb erit circulis ab~cd simul sumptis aequalis.
Quod invenire oportebat.
Corollarium
Hinc si tres fuerint dati circuli m~n~o, quibus simul sumptis aequalem circulum oporteat
invenire. Primum, ut iam dictum est, duobus tantum, puta m~n inveniatur
aequalis s.
Similiter ipsis os aequalis fiat circulus t. Erit hic tribus m~n~o simul sumptis aequalis.
Atque ita si quatuor dati fuerant. Et sic deinceps in pluribus.
Ultima
propositionis
Federici Commandini De centro gravitatis solidorum ,
ut
notavimus in ipso libro, falsa existit; hac ratione restitui poterit.
Et haec demonstratio est Christophori Clavii e societate Jesu.
Cuiuslibet frusti a portione parabolici conoidis abscissi, centrum
gravitatis est in axe, ita ut dempta primum a quadrato diametri maioris basis
tertia ipsius parte, et a reliquo demptis quoque duabus tertiis quadrati, quod fit ex diametro minoris basis: deinde
a tertia parte quadrati diametri maioris basis versus dempta portionis quadam, ad
quam reliquum quadrati diametri basis maioris (reliquum appello, quod
remansit post detractionem duarum tertiarum quadrati minoris basis ex duabus tertiis quadrati basis
maioris) una cum dicta portione, duplicatam proportionem habeat eius,
quae est quadrati diametri basis maioris ad quadratum diametri basis minoris, et
rursus ab hoc eodem reliquo una cum dicta portione, sublata reliqua
parte tertia quadrati
diametri minoris basis, centrum erit in eo axis puncto, quo ita dividitur, ut pars,
quae minorem basim attingit, ad alteram partem habeat proportionem
eandem, quam habet id, quod
ultimo relictum est, quando tertia pars quadrati basis minoris dempta
fuit a reliquo quadrati diametri maioris basis, una cum dicta illa portione
tertiae partis quadrati diametri maioris basis ad reliquam eiusdem tertiae partis
portionem.
Sit frustum a portione conoidis parabolici abscissum abcd, cuius
maior basis circulus, vel ellipsis diametri ad. Minor vero diametri
bc. Et axis ef. Perficiatur autem tota portio conoidis agd, a qua dictum frustum
est abscissum. Et secetur plano per axem gf, ut fiat
12 Archimedis de conoidibus et spheroidibus
parabole agd; cuius diameter gf.
Deinde divisis rectis gf, ge in h~i, ita ut gh ipsius hfi
et gi ipsius ie sit dupla, erit h
29 Federici Commandini De centro gravitatis solidorum
centrum gravitatis portionis
conoidis agd; et i portionis bgc. Quod si fiat, ut portio agd
ad portionem bgc, ita recta ik ad hk, erit dividendo,
ut frustum abcd ad portionem bgc, ita ih ad hk.
Et convertendo, ut portio bgc ad frustum abcd, ita
hk ad hi. Quare erit punctum k
8 primi Archimedis aequeponderantium
centrum gravitatis frusti abcd.
Eritque ik maior, quam ih.
Quandoquidem et portio agd maior est frusto abcd.
Cumque sit agd ad bgc, ut ik ad kh. Erit
per conversionem rationis, ut portio agd ad frustum abcd, ita ik
ad ih, ideoque punctum k infra h cadet.
Dematur a quadrato rectae ad pars tertia. Quae sit lmn, et a reliquis
duabus tertiis auferantur duae tertiae quadrati rectae bc. Sitque reliquum spatium
o. Deinde ex lmn auferatur portio mn, ita ut o una cum mn ad
mn duplicatam proportionem habeat eius, quam habet quadratum ad ad quadratum
bc. Rursus ex o una cum mn subtrahatur tertia
pars quadrati rectae bc, sitque reliquum spatium p
(est enim spatium o una cum mn maius, quam tertia pars quadrati
bc ut infra ostendetur). Dico axem ef a k centro gravitatis
frusti abcd ita dividi, ut ek ad kf eandem proportionem
habeat, quam habet spatium p ultimo relictum
ad lm reliquam portionem tertiae partis quadrati ad.
Quoniam enim
20 primi conicorum Apollonii
quadratum af ad quadratum be; hoc est quadratum ad
ad quadratum bc, (cum haec illorum sint quadrupla)
est, ut fg ad ge; erit quoque tertia pars quadrati ad
ad tertiam partem quadrati bc, ut hf tertia pars fg
ad ie tertiam partem ge. Et reliquae duae tertiae quadrati ad
ad reliquas duas tertias quadrati bc, ut reliqua gh ad reliquam gi.
Si igitur duae tertiae quadrati rectae bc ex duabus tertiis quadrati ed
demantur erit dividendo reliquum spatium o ad easdem duas tertias quadrati
rectae bc, ut ih ad eandem gi.
Relictum enim fuit spatium o. Detractis duabus tertiis quadrati bc a duabus
tertiis quadrati ad.
Quia vero duae tertiae quadrati ad ad duas tertias quadrati bc sunt, ut gh
ad gi; erunt convertendo duae tertiae quadrati bc ad duas tertias quadrati
ad, ut gi ad gh. Et rursus duae tertiae quadrati ad ad
tertiam eiusdem quadrati partem, nempe ad lmn, sunt, ut gh
ad hf. Utrobique enim est dupla proportio. Erit ex aequali spatium o ad lmn,
ut ih ad hf.
Et convertendo lmn ad o ita erit, ut hf ad hi. Quoniam
autem spatium o, una cum mn ponitur habere ad mn proportionem
duplicatam eius, quam habet quadratum ad ad quadratum bc. Habet
autem, et portio conoidis agd ad portionem conoidis bgc
30 Federici Commandini De centro gravitatis solidorum
proportionem
duplicatam eiusdem proportionis quadrati ad ad quadratum bc.
Et ut portio agd ad portionem bgc, ita posita est ik ad hk.
Erit quoque o una cum mn ad mn, ut ik ad hk, et dividendo
spatium o ad mn, ut ih ad hk.
Itaque quoniam est lmn ad o, ut hf ad ih. Et rursus ex
proxime demonstratis o ad mn, ut ih ad hk; erit
ex aequo lmn ad mn, ut hf ad hk.
Per conversionem ergo rationis, erit quoque lmn ad lm, ut
hf ad kf.
Et dividendo mn ad lm, ut hk ad kf. Quoniam igitur
est o una cum mn ad mn, ut ik ad hk, et mn ad lm
est, ut hk ad kf; erit ex aequali o una cum mn ad lm, ut ik
ad kf.
Rursus quia est quadratum bc ad quadratum ad, ut ge ad gf,
erit quoque tertia pars quadrati bc ad tertiam partem quadrati ad, hoc est ad
lmn, ut ie tertia pars ipsius ge, ad hf tertiam ipsius gf,
20 primi Conicorum Apollonii
.
Ut vero tertia pars quadrati ad, nempe spatium lmn ad lm, ita
ostensa est hf ad kf.
Ex aequali igitur erit tertia pars quadrati be ad lm, ut ie ad kf.
Itaque quoniam est o una cum mn ad lm, ut ik ad kf, atque
tertia pars quadrati bc ad idem spatium lm est, ut ie ad eandem kf.
Si igitur tertia pars quadrati bc dematur ex o una cum mn, quod quidem
fuit p, similiter recta ie ex ik remanebitque ek, erit spatium p
ad idem spatium lm, nempe ad reliquam portionem tertiae partis quadrati ad;
ut reliqua ek ad eandem kf.
In corrispondenza del periodo Si igitur eadem kf troviamo un asterisco che rimanda alla pagina seguente in cui troviamo: Questo si potria inserir nella dimostratione dove dice * si igitur tertia pars et caetera
At adeo axis
ef a centro gravitatis k frusti abcd dividitur ita, ut ek
ad kf eam habeat proportionem, quam p ad lm.
Cuiuslibet ergo frusti a portione parabolici conoidis abscissi, centrum gravitatis
et caetera. Quod demonstrare oportebat.
Quod autem (ut suppositum fuit) spatium o una cum mn, maius sit, quam tertia pars
quadrati bc, ac perinde haec ab illo possit subtrahi, ita ostendemus.
Primum quidem eodem modo ostendetur spatium o una cum mn
ad lm ita esse ut ik ad kf. Est autem
8 quinti
proportio ik ad
kf maior, quam proportio ie ad kf, propterea quod ik maior
est ie, cum punctum k cadat infra e. Quod k sit centrum gravitatis
frusti abcd. Quare et proportio ipsius o una cum mn ad lm
maior erit, quam proportio ie ad kf. Est autem ut ie ad kf,
ita tertia pars quadrati bc ad lm. Maior igitur quoque erit proportio
o, una cum mn ad lm, quam tertiae partis quadrati bc ad lm.
Quare spatium o una cum mn maius est, quam tertia pars quadrati bc.
Quod est propositum.
De Usu Astrolabii Ptolemei
Si horas ab occasu scire voluerimus.
Ponatur gradus solis in rete notatur in horizonte occiduo, quo manente ponatur
Almuri super hora 12. Deinde Almuri cum rete hac dispositione voluantur; donec
gradus solis perveniat in circulum altitudinis i Almicantarath ex parte orientis,
vel occidentis secundum altitudinem inventam in dorso Astrolabii.
Almurique in limbo determinatam signatamque horam ostendet.
Quae si 12 excesserit (cum horae ab occasu ad 24 terminum recipiant)
facile erit primam in limbo signatam per 13
, secundam per 14
et caetera accipere.
Haecque regula multis huiusmodi aliis deserviet.
Nonnullasque speculationes circa horas, temporaque cognoscenda;
quas Stoflerinus absolvit in limbo, gradus nempe ipsius limbi inter duas Almuri stationes numerando, ut tempus quaesitum
inveniat; nos facilius, primam Almuri stationem in 12 hora collocando, hac
ratione assequemur.
In dorso Astrolabii utile erit, si in altera tamen quarta a summitate horizontem
versus numerorum series progrediatur ut statim etiam in observationibus
distantiae solis, atque stellarum a Zenit perspiciantur.
In invenienda enim poli altitudine, cognita solis, aut stellae a Zenit
distantia tempore meridiano; huicque (nobis sub artico polo vitam
degentibus) ipsius solis aut stellae
declinatio, si septentrionalis fuerit, addatur, si vero Australis
dematur; quodque pervenit, erit loci latitudo quaesita, quippe quae semper poli altitudini
est aequalis.
Ex horologio horizontali quodlibet verticale describere.
Sit d centrum mundi. Sitque ab linea horaria horologii horizonti aequidistantis.
Cuius quidem gnomon sit cd. ed vero sit gnomon horologii ad horizontem erecti. Eruntque utique
haec horologia invicem ad rectos angulos.
Ducatur ef aequalis, et aequidistans cd. Iunctaque cf erit ipsi
de aequalis, et aequidistans. Ac propterea parieti perpendicularis.
Deinde
a puncto f horizonti aequidistans linea ducatur fg; quae erit communis sectio
planorum horologiorum.
Ducaturque cbg. Deinde in pariete ipsi fg perpendicularis ducatur gh.
Postea ducatur bk ipsi cf aequidistans, ducaturque ekh.
Ostendendum est, horam puncti b in pariete in h existere. Quod patebit
ostendendo lineas ekh~dbh lineam gh in puncto h secare.
Primum enim quoniam dbh est radius solis horam terminans in pariete,
lineaque he umbram gnomonis ed in pariete repraesentat;
estque triangulum dhe, et punctum b in uno, et eodem plano; ducta igitur
a puncto b ipsi de aequidistans, erit in plano deh.
Haec vero est bk. Ergo ducta bk, ductaque ekh, secabit haec lineam gh
in h.
Quod autem punctum h cadat in linea gh ostensum est supra, in pagina 2, 3, 4.
Quo ad praxim
vero.
Ducatur linea fg quae sit secundum situm parietis, in quo conficiendum est horologium,
quae quidem linea ita ut distans a puncto c, ut ducta cf ipsi perpendicularis,
sit aequalis longitudini gnomonis.
Producaturque cf, fiatque fe aequalis cd, nimirum
gnomoni horologii horizontalis.
Deinde ducatur cbg, ipsique fg perpendicularis ducatur gh.
Deinceps ducatur bk aequidistans cf.
Ducaturque ekh, erit h punctum horae quaesitum in pariete, posito nempe gnomone
in e ad parietem perpendiculari, cuius longitudo sit cf.
Il Clavio a carta 568 et caetera assegna un'altro modo.
De Horologgis Italicis conficiendis absque divisione tropicorum
Lemma
Circuli in eodem plano minime existentes (quorum centra a~b) se
invicem contingant in c, quorum sit communis sectio de.
Dico lineam de ductis ac~cb perpendicularem esse.
Primum quidem perspicuum est de per c transire; cum sit c
in utroque plano. Ex quo sequitur de circulos contingere ac propterea ipsis ac~cb
perpendicularem esse.
Sit in sphaera abc, horizon ab, aequinoctialis de.
Parallelusque apparentium maximus sit cb.
Iam constat horizontem ab circulum esse horarium, ipsumque cb
in b contingere.
Et quoniam horarii circuli (nunc de horis italicis sermo est) similes auferunt circumferentias
parallelorum, cum paralleli in 24 partes ab ipsis divisi perveniant aequales: ex
16 secundi sphaericorum Theodosii si omnes horarii circuli circulum cb contingent.
Quare ipsum in 24 partes aequales dispescent.
Horariusque 12
ipsum contingat
in c, cuius quidem umbra posito
gnomone fg erit in m. Quod si intelligatur kl
communis sectio plani horologii,
et circuli cb, in quo iungatur r~23, cui perpendicularis ducatur 23~l.
Erit haec in plano horarii 23 horae.
Ac per consequens, punctum l in plano horologii in linea horaria existet.
\Sinterl{Ex his, et ex 15 secundi sphaericorum Theodosii patet, horarios circulos in sphaera
maximos esse}.
Facto igitur (ut in sequenti figura) in plano circulo cb qui in 24
partes aequales ex b dividatur intelligaturque kl communis sectio plani circuli cb,
et horologii, deinde iungatur r~23, cui perpendicularis ducatur 23~l, erit
haec ex dictis perinde ac si esset communis sectio circuli cb, et horarii
23 horae. Punctum ergo l in plano horologii est
in linea horaria 23 horae.
Divisa itaque linea ho, aequinoctialis scilicet, ut fieri solet
vel
ut ostendetur 187.
Sitque o 23 hora. Iungaturque lo.
Erit haec linea horaria 23 horae quod idem fiat in reliquis. Ex quo statim
apparet horariam 12 hp ipsi ho aequidistantem esse. Quia circulus
horarius tangit circulum cb in c.
Ut autem omnes horariae lineae ducantur, notandum est, quod
quamvis
circuli horarii sint 24, horarius tunc 12 transit
per 24 aequinoctialis quemadmodum horarius 13
transit etiam per primam aequinoctialis
et horarius 2 etiam per 14
aequinoctialis, et ita aliis, ut (3 per 15)
4 per 16) (5 per 17) 6 per 18) 7 per 19) 8 per 20) 9 per 21)
10 per 22) 11 per 23) 12 per 24) quare iungatur 9, quae cadit
in kl cum 21 aequinoctialis ho. Statimque consurget horaria
horae 9 et ita in aliis.
Va inserita questa grafica, anche se si tratta di uno schizzo tremendo...
Quamvis horariae lineae sint satis per complemento horologii, tamen
ut inveniantur termini tropicorum, ut fieri solet, sint dati termini tropicorum 23
horae (quos invenire docebimus) deinde sint divisae in
aequinoctiali ho horarum medietates.
Ut inter 22, et 23 r. Ducanturque per 23 et r lineae hae enim terminabunt horas 22. Et ita in
aliis.
Nam circulus per 23 cancri, et 22 capricorni transiens per mediam aequinoctialis horam inter 22
et 23 existentem transibit.
Vel per eosdem terminos 23 et per r, deinde per 22 aequinoctialis, postea per huius
medietatem, et sic deinceps, omnes alii horarum termini invenientur. Cuius quidem ideo est, quia circulus
per 23 capricorni et 21 cancri transiens necessario per 22 aequinoctialis
pertransit. Et quae per 23 capricorni et 20 cancri, per
aequinoctialis punctum medium inter 21 et 22 existentem pertransit. Similiterque
in aliis.
Ut autem inveniantur termini horarum 23, sit gnomon gf. Linea vero lo
sit horaria 23
ut in praecedenti. Punctumque o aequinoctialis.
Ducatur per verticem f linealinea in effetti, 7nel manoscritto: lineam
ofx. Sitque horarius horarum 23 qxp: qui in eodem est plano cum lo, in quo
quando sol est in Cancro sit in q, in Capricorno autem in p in aequinoctiali
vero erit in x. Eruntque circumferentiae xq~xp latitudines horizontales.
Horarii enim circuli tot sunt horizontes, eodemque prorsus modo a tropicis
et aequinoctiali divisi perveniunt, ut horizon ipse qui cum sint circuli maximi, patet ex 13 sphericorum Theodosi.
Cognitis ergo tropicorum latitudinibus horizontalibus, datae quoque erunt xq~xp. Quod
idem fiet in aliis parallelis, ductae igitur qft~pfs, erunt s~t puncta horarum 23
tropicorum.
Quod ut inveniantur in eodem plano. Summatur in linea
horaria quodvis punctum l. Iungantur go~gl~fl.
Et quoniam angulus fgo est rectus, lineaeque fg~go
ex praecedenti figura datae; erit et fo
data. Similiter fgl est rectus, dataeque sunt fg~gl, data quoque erit
fl. Tres igitur datae sun fl~fo~ol, quae sunt in plano circuli
horarii qxp 23 horae.
Fiant igitur duo triangula
rectangula fgo~fgl, fiantque fg aequales altitudini
gnomonis go vero et gl eliciantur ex figura 130 in qua punctatim ductae sunt.
Deinde ex duabus fo~fb triangulorum
huius figurae, et ex lo illius figurae (130)
construatur triangulum flo.
Producaturque ofx. Et centro f, quolibetque intervallo circulus describatur
qxp. Deinde (ex amplitudinem ortuum, ut supra in 100 huius diximus)
inveniantur
tropicorum latitudines horizontales xq~xp.
Ducanturque qft~pfs. Erunt st terminorum puncta 23
horae. Dum sol est in tropicis. Quod si aliorum parallelorum quoque invenientur
latitudines horizontales, quae inveniantur in linea st
statim
in horologio per omnes horas, ut dictum est in 130
invenientur termini omnium parallelorum. Per quae si ducantur lineae in nostris
regionibus hyperboles erunt.
Poterimus quoque in singulis lineis horariis invenire puncta
tropicorum
terminantia,
ut factum est in linea horaria 23.
De divisione lineae aequinoctialis in plano horologii
Quoniam autem horae aequinoctialis maximam afferunt utilitatem,
ut linea aequinoctialis in horologio divisa perveniat, intelligatur circulus del
aequinoctialis. Lineaque fh pars diametri a mundi centro usque
ad planum horologii contenta. Quae est aequalis lineis bi in supra expositis
figuris 129 130. Atqui ho (ipsi fe perpendicularis)
aequinoctialis, planique horologii sit sectio communis.
Si igitur dividatur quarta dl in sex partes aequales, ac per centrum
lineae ducantur, statim ho divisa erit, ut quaeritur.
Et ut horarum medietatem quoque reperiantur, dividatur dl in 12
partes aequales. Eodemque modo statim in ho consurgent. Quae quidem omnia
referunt ad ea, quae in 129 dicta sunt.
Per far, che una cochlea da se alzi l'acqua da un fiume, mettasi il
timpano acb eretto alla cochlea de, laqual sia inclinat'all'horizonte
nell'angolo edf. Et il piano tirato per edf attraversi il fiume ad angoli
retti. Et corra il fiume da g verso h. Et sia il c un poco sott'acqua.
Tirisino dal centro k, kc~kb~ka. Poi da c si tiri equidistante
all'horizonte cl, laqual sarà equalmente sotto l'acqua del fiume. Et secondo
questa cl si metta la tavola secondo che si costuma eretta all'horizonte. Accio
che il fiume urtando nella tavola facci voltar la rota, et la cochlea.
E si faccino gl'angoli kbm~kan eguali ad acl, secondo li quali si ponghino
le tavole. E così medesimamente tutte le altre. Poi facciasi l'altro timpano
lnm, il qual insieme con il timpano acb tenghi le tavole ben incastrate, et
forti,
che per esser kcl
angulo obtuso il timpano lnm sarà maggiore del timpano acb.
E le dette tavole saranno in un medesimo piano con l'asse della
cochlea.
Ma se la cochlea non attraversasse il fiume ad angoli retti, all'hora (acciò
la rota venghi ben voltata dal fiume) tirisi la cl non solamente equidistante all'horizonte,
ma che l'attraversi ancora il corso del fiume ad angoli retti, poi si metta la tavola eretta all'horizonte,
e con la medesima dispositione si mettino l'altre tavole, le quali così~
disposte saranno ben
accomodate, che se ben elle non saranno in un medesimo piano con l'asse della
cochlea
non importa. Perché secondo la dispositione, nella quale ha da star la cochlea,
così bisogna accomodar il timpano, acciò l'acqua lo giri facilmente.
Comodità e incomodità delle rote erette,
et equidistanti all'horizonte, con le quali
si muoveno li pesi.
Nelle machine, che hanno la forza nelle rote erette e perpendicolari
all'horizonte,
che gli caminano dentro huomini dico che queste rote hanno in sé
alcune
incomodità.
Come per esempio, sia la rota abc, e sia il suo diametro aeb
equidistante all'horizonte,
ma hl perpendicolare.
Prima non è possibile, che si possi caminar in a,
dove è la maggior forza.
Perché di dentro l'huomo non potria star in piedi.
E di fuori, ancorché
si attaccasse con le mani, e se gli facesse li scalini, non di meno
non potria camminar, perché li scalini li darebbero
sempre nelli ginocchi.
Si che bisogna, ch'l camini, com'in c, dove vien a scortare la leva,
secondo la quantità
ad, che viene a fare il circolo dfg, come se egli caminasse in d.
E perché
bisogna ch'l camini nella rota grande abc; è necessario ch'l
camini tutta la
rota, per far dar'una volta al circolo dfg. Che se sarà doppio ab
di df
(havendo le circonferenze fra di loro la medesima propotione, che hanno
li suoi diametri) l'huomo camminarà il doppio di quello che bisognarebbe.
Che se la rota stesse equidistante all'horizonte, l'huomo si attaccarebbe
in d,
e caminaria per terra, quanto è il circulo dfg, che sarebbe il
suo viaggio
giusto, come si fa negli argani e simili. Vi si aggionge ancora,
che in questo modo
caminaria sempre alla piana, che quando la rota è eretta, bisogna
(ancor che non si muova di luogo) ch'l vadi sempre all'in sù.
Nelle quali però vi è questa comodità, che in questa l'huomo fa quanto pesa,
et in quelle, se ben camina alla piana, bisogna che continuamente vada spingendo
per forza.
Ma queste horizontali hanno poi questo comodo, che si possono metter uomini atorn'atorn'al
circulo per quanto comporta la sua grandezza, e tutti hanno la medesima forza,
che nelle rote erette non si possono metter se non da c in h, e di fuori da k
in l. Li quali hanno sempre minor forza et in h~l non ne hanno niente. Oltre che a questa non si
possono adattar cavalli, et altre bestie, come a quelle horizontali.
Considerando poi la spesa, quella eretta vuol maggior spesa assai
perché vuol esser doppia, e foderata con altre cose acciò vi si possi
caminar. Che alle horizontali, il più delle volte bastano le stanghe con il fuso, della
lunghezza che si vuole. Come appar ne gl'argani e simili.
Circa le
girelle va considerato cancellato
taglie, accade alle volte, che volendo far
le taglie con molte girelle, et che una sia di mano in mano maggior dell'altra, acciò
che le corde non si tocchino, e si sfreghino l'una con l'altra, par che bisogna farle tanto
grande, come di cinque, et sei piedi di diametro, e più, che non sia
imposssibile il farle, et per rimediar a questo alcuni le voltano per altri versi, ma si
potrà far in questi due modi et in altri simili.
Le girelle si potranno far di bronzo, gettate tutte a un modo grosse, et fidate
di diametro di \frac{2}{3}, o di \frac{3}{4} di un piede. E se bene queste girelle hanno molti assi,
e per conseguenza hanno più resistenze, non dimeno havendosi a muovere grandissimi
pesi, serviranno benissimo, anzi pare, che quelle da tre ordini, si aiutino meglio l'un'all'altra.
Che si potriano far'ancora di più ordini, come di quattro, cinque, sei et caetera.
Et in questo modo si potranno scomporre, et comporre, et portarle
con facilità. Potendosi accomodar benissimo di scomporre i legnami congl'incastri, et ogni
altra cosa.
Duobus datis circulis inaequalibus alium invenire circulum, qui una cum
minore dato alteri
maiori dato add. in interl. et corr. ex alteri
sit aequalis.Controllare questa sul microfilm
Inaequales sint circuli dati abk, cdl; quorum minor cdl,
oportet alium invenire circulum qui una
cum cdl sint ipsi abk aequalis.
Ducantur diametri ab~cd. Rectis deinde lineis ab~cd tertia
inveniatur proportionalis bg. Erit utique ab ad bg, ut
abk ad circulum cdl. Inter rectas vero ab ag media inveniatur
proportionalis fh, circa quam circulus describatur fhm. Unde erit quidem
ab ad ag ut circulus abk ad circulum fhm.
Quoniam igitur ita est ab ad bg ut circulus abk
ad circulum cdl, atque ut ba ad ag, ita circulus
abk ad circulum fhm, erit ut ab ad bg, et ag
simul, hoc est ad ipsamet ab, ut circulus abk
ad circulos cdl~fhn simul sumptos.
Estque recta ab sibimet ipsi aequalis. Ergo circulus
ab circulis cdl~fhm simul sumptis est aequalis.
Quod erat faciendum.
Corollarium
Ex hoc erit quoque perspicuum (si describatur circa
centrum circuli abk, circulus nop aequalis circulo cdl)
circulum fhm aequalem esse spatio circulis abk~nop contento.
Aliter quoque quod propositum est ostendetur.
Ponatur bx, quae sit aequalis cd in circumferentia abk, iungaturque ax.
Et quoniam ex 122 circuli quorum diametri sunt bx, xa ?
sunt aequales circulo abk. Erit inventus circulus cuius diameter
ax, qui una cum circulo cdl erit ipsi abk aequalis.
Duas datas rectas ita secare, ut quatuor partes in continua sint proportione.
Sint datae rectae lineae ab~bc, quas ita secare oportet, ut partes
in continua sint proportione.
Exponantur in angulo recto abc semicirculique describantur
adb~bdc, qui se dispescant in d. A quo ad datas rectas
ducantur perpendiculares de~df.
Itaque quoniam est ae ad ed, hoc est bf, ut de ad eb,
hoc est bf ad fd: et ut bf ad fd, ita est df, hoc est eb
ad fc. Erit ae ad bf, ut bf ad be, et ut be ad fc.
Rectae igitur lineae ab~bc et caetera. Quod faciendum erat.
Vide infra in 141
Duabus datis lineis rectis alteram ita dividere ut
ipsius partes cum altera data sint in continua proportione.
Organice
Sint datae rectae lineae ab~bc, quae constituantur in angulo recto
abc. Oporteatque dividere bc; ut propositum est.
Ducatur a puncto c ipsi ba aequidistans cd.
Deinde ducatur aed, ita ut eb sit aequalis cd
.
Quoniam enim ob similitudinem triangulorum, ita est ab ad cd
ut be ad ec, et est ed ipsi be aequalis:
erit ab ad be, ut be ad ec. Quod facere oportebat.
Quod autem problema
fieri possit, ut scilicet ducta aed; eb sit ipsi cd
aequalis, ex iis, quae infra in 141~142 demonstrata sunt; fiat
ab ad be, ut be ad ec; ducaturque aed; erit utique be
ipsi cd aequalis, cum ob triangulorum similitudinem, sit ab
ad cd, ut be ad ec, ac propterea ut ab ad be.
Unde be~cd interse sunt aequales.
Si sint quotcumque magnitudines, et aliae ipsis numero aequales in
eadem proportione, erit prima priorum ad omnes consequentes simul sumptas,
ut prima posteriorum ad suas consequentes simul sumptas.
Sint quotcumque magnitudines a~b~c, totidemque numero pares d~e~f,
et in eadem proportione, nempe, ut a ad b, ita d ad e, et ut b ad c
ita e ad f.
Dico a ad omnes simul b~c ita esse, ut d ad omnes simul e~f.
Quoniam enim expositae magnitudines sunt proportionales, erit ex aequali
a ad c, ut d ad f, et e converso, c ad a, ut f ad d.
At vero quoniam b ad c est, ut e ad f, erit componendo
bc ad c, ut ef ad f; c vero ad a est, ut f ad d.
Rursus igitur ex aequali bc ad a est, ut ef ad d,
Tandemque convertendo a ad bc simul est, ut d ad ef.
Si vero plures fuerint magnitudines ut gabc hdef, sitque
g ad a, ut h ad d et caetera.
Similiter ostendetur, g ad omnes a~b~c simul sumptas ita esse,
ut h ad omnes def, sumendo ut in secunda figura
bc pro una tantum magnitudine, et ef pro alia.
Eruntuqe ex utraque parte tres magnitudines, et sic in infinitum.
Coni frustum invenire dato cono aequale; cuius quidem frusti altera basis sit data, altitudoque
sit aequalis altitudini dati coni.
Oportet autem datam basim frusti minorem esse basi coni.
Si enim haec basis maior, vel aequalis esset, tunc frustum (cum
aequalem cono debeat habere altitudinem) semper ipso cono maius existeret.
Quandoquidem conum intra se contineret. Ac propterea dato cono aequale
huismodi frustum invenire,
esset impossibile.
Sit datus conus abc, cuius altitudo bd. Diameter vero basis ach sit ac.
Minor autem ac data sit linea ef, quae sit diameter circuli efg.
Habeantque circuli idem centrum d. Oportet coni frustum constituere, aequalem dato cono
abc, eandemque altitudinem habens bd. Cuius quidem altera basis sit efg.
Inveniatur
ex praecedentibus
primum circulus klm aequalis spatio circulis
ach~efg contento; cuius diameter sit kl. Deinde ut ef ad kl, ita
fiat kl ad no. Erit utique ef ad no, ut circulus efg ad circulum klm.
Dividatur
ut infra
no in p, ita ut sit ef
ad np, quemadmodum
np ad po ac inter ef~np media fiat proportionalis qr,
circa quam
circulus describatur qrs.
Et inter np~po media similiter inveniatur proportionalis z.
Atque ut np ad z, ita fiat qr ad tu, circa quam circulus
describatur
tux. Denique circa centrum b circulus describatur abG
aequalis circulo tux; cuius quidem planum
plano ach aequidistat.
Intelligaturque
eabf frustum coni. Dico frustum hoc eb
dato cono abc aequale esse.
Cuius quidem data est altera basis efg, et existit
sub altitudine bd.
Quoniam enim qr media est proportionalis inter ef~np, erit
ef ad np, ut circulus efg ad qrs. Parique ratione quoniam
z inter np~po proportionalis
existit; et ut np ad z; ita factum est qr ad tu; erit np ad po,
ut circulus qrs ad tux. Ergo ef ad suas consequentes np~po
simul sumptas, hoc est ad no, ita erit, ut circulus efg ad circulos simul
sumptos qrs~tux. At quoniam ef ad no est, ut circulus efg ad klm;
circuli qrs~tux simul circulo klm aequales erunt. Ac per consequens spatio circulis
ach~efg contento aequales
existent. Unde sequitur etiam tres circulos efg~qrs~tux, vel
huius loco abG,
circulo ach aequales esse. Qui quidem tres circuli in continua sunt proportione. Quippe
cum lineae ef~np~po, quibus circuli proportionaliter respondent in continua existant
proportione. Quapropter quoniam coni frustum eb bases habet efg,
abG, quae una cum circulo qrs (qui inter ipsas est proportionalis)
sunt aequales basi coni ach, frustumque eandem habet coni altitudinem bd.
Erit frustum eb dato cono abc aequale. Quod patet in demonstratione
XXV propositionis Federici Commandini in libro De centro gravitatis solidorum . Quodque
facere propositum fuerat.
Ex eadem XXV propositione Federici Commandini facile hanc nostram demonstrationem
aptabimus portioni coni ac frusto portionis coni.
Novisse tamen oportet, quod si casu in constructione accideret, lineam no
duplam esse ipsius ef, tunc eb non eveniet frustum coni, sed cylindrus.
Nam divisa no in p, ita ut sit ef ad np, ut np ad po, cum sit
no ipsius ef duplex.
Erit unaquaeque np~po ipsi ef aequalis. Similiter qr media proportionalis inter
ef~np ipsi ef aequalis existet. Sicuti etiam eidem aequalis eveniet
tu. Et ob id circulus abG circulo efg aequalis eveniet.
Datis duobus circulis inaequalibus duos alios circulos
invenire qui in
continua sint proportione, atque tres simul omnes scilicet duo inventi una cum minori dato
maiori dato sint aequales.
Hoc quidem problema ex praecedenti demonstratione perspicuum est,
ut sint dati circuli (in eadem figura) ach~efg. Inventique sunt
qrs~tux, qui una cum efg sunt aequales ach, et efg est ad qrs,
ut qrs ad tux. Quod facere oportebat.
Ex eadem demonstratione sequens quoque problema colligi poterit, nempe.
Similes construere figuras, quae inter sese datas habeant proportiones. In eadem enim
figura, datae sint proportiones, quas debeat habere figurae inveniendae,
ef ad np, et np ad po (quae quidem, etsi non sint in eadem
proportionem, nihil refert). Invenianturque figurae similes efg~qrs~tux,
quae sive circuli, vel quadrata, sive aliae quomodocumque exponantur
figurae similes super rectis ef~qr~tu constructae. Et factum erit.
Quod propositum est in 138 aliter geometrice
invenire nempe.
Duabus datis rectis lineis, alteram ita dividere, ut ipsius partes
una
cum altera data in continua sint proportione.
Datae sint lineae ab~bc, quae ita interse se aptentur ut angulum contineant rectum abc.
Oporteatque dividere bc, ut propositum est.
Fiant super ab~bc quadrata ap~cd, non ad easdem partes. Compleaturque
rectangulum be.
Iungaturque
ae, quae bifariam dividatur in h, et centro h intervalloque ha circulus describatur
afe.
Dico ab ad bf esse ut bf ad fc
primum quidem circulum afde lineam bc dispescere ostendendum est.
Nam quoniam linea bc
ipsa ba minor esse potest, ut in prima figura, vel ipsi ba aequalis, ut in 2
,
vel minor un in 3. Tunc si bc minor est ba; iungantur in prima figura
hb
hd. Et quoniam ade rectus est angulus, circumferentia afe per punctum d
transibit. Ergo hd circuli semidiameter existit.
Ducatur deinde per h ipsi ad aequidistans khl, erit
utique
kh aequalis hl, quandoquidem est ah ad he, ut
kh ad hl.
Et quoniam ab maior est, quam bc, ac per consequens, quam bd, erit ko
ipsi ab aequalis maior, quam ol, quae est aequalis bd. Punctum ergo
h in linea ko
existit.
Quoniam autem obd est angulus rectus, erit hbd obtusus; linea
igitur hd, hoc est semidiameter circuli maior erit hb, quare circumferentia
afde ulterius erit quam sit hb.
Postea iungatur hc, ducaturque in quadrato ap diameter bm;
secetque bm
ipsam ko in n. Quoniam igitur kl transit per punctum h
quod quidem est in medio rectanguli ae, atque kl est ipsi ad
aequidistans, dividet kl rectangulum ae in duo aequalia nempe
rectangulum kd ipsi lm erit aequale ac per consequens kb ipsi kp aequale quare bo ipsi op aequalis existit. Ut
autem bo ad op ita est bn ad nm atque ut bn ad nm,
ita on ad nk, unde sequitur kn ipsi no aequalem esse. Cum
autem minor sit kl, quam ko, et horum dimidia scilicet kh maior
erit kn, ex quo perspicuum est punctum h inter puncta n~o
reperiri, lineamque hb in triangulo nbo existere.
Ac propterea angulum obn maiorem esse angulo obh. Cum vero sit bm
diameter quadrati ap, erit angulus abm angulo obm aequalis, ergo
abn maior est obh, quare multo maior est abh ipso hbo. Quibus si
addantur aequales anguli abc~obd (nempe recti) erit cbh maior hbd.
Quoniam itaque duo latera hb~bc duobus lateribus hb~bd sunt aequalia, erit
basis ch maior hd circuli semidiametro, ac propterea
cum sit hd circuli semidiameter minor hc,
maior vero hd necesse est circumferentiam afde
inter puncta bc transibit
quapropter lineam bc secabit.
In 2
figura quoniam ab aequalis est bc, hoc est bd, et
ah est aequalis he, erit centrum h in linea bp.
Cum itaque sit angulus abh rectus; erit linea ha, circuli nempe semidiameter, maior
hb et quoniam ha minor est, quam duae simul hb~ba, hoc est hc;
circumferentia afde inter puncta b~c transibit: lineam igitur bc
secabit.
Corollarium
Ex hac
patet quomodo lineam extrema ac media ratione dividere
possimus, ut bc hoc est ab hoc est bd
ad bf ut bf ad fc.
Problema in 2
figura dividendo lineam
bc extrema ac media ratione.
In 3
figura, quoniam bc, hoc est bd, maior est ab;
ducta khl ipsi ad aequidistans, simili ratione
ut in prima figura ostendetur, centrum h esse in linea ol.
Iuncta igitur hb, erit hba angulus obtusus. Ergo ha
semidiameter circuli maior erit hb. Ductis vero hd~hc~cd
lineis, quoniam bc est aequalis bd erit angulus cdb angulo
dcb aequalis. Sed cdh maior est cdb, deh vero minor dcb. Maior igitur erit cdh ipso dch. Ac propterea
hd semidiameter circuli minor est hc. Ex quibus constat, circumferentiam
afde lineam bc dispescere.
Hoc itaque demonstrato secet circumferentia afde lineam bc in f.
Iunganturque af~fe, secetque fe lineam bd in g.
Quoniam enim angulus afe est rectus, et fb est perpendicularis ad ag,
8 sexti
erit triangulum abf triangulo fbg simile. Et angulus afb
angulo fgb aequalis. Sed fgb est ipsi dge aequalis; angulus ergo
afb angulo dge est aequalis. Quoniam autem abf rectus recto
edg est aequalis, atque latus de ipsi ab aequale; cum utraque
ab~de
sint ipsi bp
aequalia.
26 primi
erit triangulum edg triangulo abf aequale.
Quare latus bf erit lateri dg aequale. Cum itaque bc sit aequalis
db, erit reliqua fc reliquae bg aequalis.
Quoniam igitur in triangulo rectangulo afg, ab angulo recto
ad basim ducta est perpendicularis fb;
Cor. 8 sexti
erit ab ad
bf, ut bf ad bg, hoc est ad fc. Divisa est igitur bc in
puncto f, ut propositum fuerat.
Quod facere oportebat.
Data recta linea utcumque divisa, alterum segmentum in duas partes ita dispescere,
ut reliquum segmentum ad minorem partem sit, ut data linea ad maiorem partem.
Sit data recta linea ab, quae utcumque sit divisa in c. Oportet alterum segmentum, puta, cb
ita in d dividere, ut ac ad cd sit ut ab ad bd.
Dividatur cb in d, in data proportione ac ad ab, ut scilicet sit ac
ad ab quemadmodum cd ad db.
Erit enim permutando ac ad cd, ut ab ad bd. Quod fecisse oportebat.
Data recta linea utcumque in partes inaequales secta; lineam invenire, quae
ad minorem partem eandem habeat proportionem, quam data cum inventa
ad maiorem.
Sit data recta linea bc utcumque
in partes inaequales
secta in d. Sitque minor cd quam db.
Lineam invenire oportet, quae ad cd eandem habeat proportionem, quam
cb, una cum inventa linea habet ad bd. Ducatur bf angulum
cum bc constituens. Quae fiat aequalis ipsi bd, ex qua secetur fg
aequalis cd.
Iungaturque
gc. Productaque linea bc ex c; a puncto
f ipsi gc
aequidistans. Ducantur
fa
Quoniam enim
ac ad ab ita est, ut
ef ad fb, hoc est cd ad db.
Erit permutando
ac
ad cd, ut
ab ad bd.
Inventa ergo est ac. Quod facere oportebat.
Lineam vero bc in partes inaequales divisam esse oportet.
Nam si cd esset aequalis db, tunc esset impossibile lineam reperiri,
ut problema proponit.
Nam si fieri posset ac ad ad, ut ab ad bd; et permutando ac
ad ab, ut cd ad db. At vero cd est aequalis db, ergo ac ipsi ab
esset aequalis.
Quod est absurdum.
Absurdum quoque eveniet si invenienda linea esse
invenienda
ad maiorem partem, ut haec cum cb ad minorem.
Nam si cd esset maior, quam db, essetque ac ad cd, ut
ab ad bd. Similiter permutando esset ac ad ab, ut cd ad db.
Quare ac ipsa ab maior existeret.
Quod est inconveniens.
L'intero testo contenuto nella pagina 144, riportato qui di seguito, è cancellato. Si intra lineas parallelas duae ductae fuerunt
lineae aequales, suos terminos in
parallelis possidentes, erunt intersese parallelae. \VV{{M:\INTERL\DES{diverso atramento}:Oportet ut lineae
tendant ad easdem partes}}.
Aequidistantes sint rectae lineae ab~cd, intra quas duae ducantur
lineae ac~bd aequales
\VV{{M:\INTERL\DES{diverso atramento}:et ad easdem partes id est
non ut ca bg}}.
Dico ac~bd aequidistantes esse. Ducantur a punctis a~b
perpendiculares ae~bf
ad
parallelas, quippe quae
29, 34 primi
inter se aequidistantes erunt, ac propterea aequales.
Quoniam autem trianguli rectanguli aec quadratum lateris ac
est
aequale quadratis laterum ae~ec.
Parique ratione quadratum ex bd ipsis ex bf fd quadratis aequale
existit. Cumque sint ac~bd aequales, erunt et ipsorum quadrata aequalia.
Ergo quadrata ex ae~ec quadratis ex bf~fd aequalia erunt. Quia vero
quadrata ex ae bf sunt aequalia, siquidem lineae ae~bf sunt aequales;
erit quadratum ex ec quadrato ex fd aequale. Linea igitur ec ipsi fd aequalis
existet. Itaque quoniam ac~ae~ec aequales sunt ipsis bd~bf~fd;
erit triangulum aec triangulo bfd aequale, unde sequitur angulum
ace angulo bdf aequalem esse; et ob id ac~bd intersese parallelas
existere. Quod demonstrare oportebat.
Si duo triangula duo latera duobus lateribus habuerunt aequalia, unumque
angulum uni angulo sibi respondentem aequalem, non autem eum, qui
aequalibus continetur datis lineis, erit triangulum triangulo aequale, et
latera angulique unius lateribus angulisque alterius aequales erunt.
Sint triangula abc~def, quorum latera ab~de, ac~df sint aequalia,
sint autem anguli abc~def aequales.
Dico et caetera. Exponatur (iuncta ce)
in directum linea bc~ef, iungaturque ad. Quoniam enim anguli abc~def
sunt aequales, erit ab aequidistans de. Suntque ab~de aequales, ergo
ad est aequidistans bf. At vero quoniam ac est aequalis df, et
ad~cf sunt aequidistantes, erunt ac~df intersese parallelae.
Angulus igitur dfe angulo acb est aequalis. Cum itaque
sint anguli ad bc aequales ipsis ad ef, et latus ab
aequale ipsi de.
26 primi
erit triangulum triangulo, et latera, et anguli
aequales. Quod demonstrare oportebat.
Queste due dimostrationi si possono mettere in una, e sarà meglio.
Questo non è universale perché si pò dar caso, che doi triangoli abc~adc
habbino doi lati ac~cb eguali a ae~ad, et l'angolo acb commune eguale,
con tutto ciò li triangoli abc ade non sono uguali et caetera.
Contra Cap. 2 Jo. de Benedicti de Mechanicis
Inquit auctor in demonstratione idem
pondus in f, aeque grave esse ut in u et in E. Quod est tamen falsum.
Nam lineae fm aq non sunt aequidistantes, cum in centrum mundi conveniant.
Ac propterea ducta per u linea lus ipsi aq aquidistante; erit cd inter
fu~ab; ue vero inter us et bq. Quare ducta srd, erit bd ad bu,
ut dr ad rs. Ac propterea si bu dimidia est ipsius bd, et sr erit
dimidia ipsius rd. Si igitur ducatur bs, quae intelligatur consolidata
cum bd ponaturque pondus in s duplum ponderis d, aequeponderabunt
pondera sd ex distantiis br~rs ita constitutis. Cum sit r ipsorum
centrum gravitatis in linea bq. Hoc est in infimo loco.
Ut ex nostris mechanicis patet.
Pondus igitur in s aequegrave erit, atque u non autem pondus
in e, ut ipse existimat. Idem enim pondus gravius est in s quam in
e. Ut ipse fatetur quod probabitur quoque hoc modo. Nam productis
ls~de in x est quidem dz ad zx, ut dr ad rs. Atque
maiorem habet proportionem dz ad ze, quam ad zx; duplum igitur
ponderis d in x ipsi d aequeponderabit.
Positum ergo in e ipsi d non aequeponderabit. Et ut aequeponderet,
maius erit quam duplum.
Similiter ad partem f ducta lgb quoniam lu est gb aequidistans;
erit dg ad gl, ut db ad bu. Si igitur intelligatur bl consolidata
cum bd, idem pondus, tam in l, quam in u eidem ponderi in d
aequeponderabit. Cum g sit centrum gravitatis ponderum in l~d
existentium. Non igitur pondus in f aequegrave est, ut idem pondus in u.
Praeterea secet fd ipsam lu in h. Patet idem pondus in u et in
h ipsi ponderi in d aequeponderare. Cum sit dk ad kb, ut db
ad bn, et dg ad gl. Minorem autem proportionem habet
dk ad kf, quam ad kh. Minus igitur pondus in f quam duplum
ipsius d, ipsi d aequeponderabit. Et quibus etiam constat idem
pondus in f, et in u,
et in e, diversi modo gravitare. Gravius
est enim in situ e quam in u et in f. In u vero gravius, quam in f. non si trova esattamente in marg. CONTROLLARE.
Fallacia vero argumenti est cum inquit, existente filo fue
perpendiculari, idem pondus in f et in u eodem modo gravitabit.
Quod est quidem verum, si intelligatur quod eodem modo gravitet in f a quo
libere pendet.
Cum vero inquit, quoniam punctum fili u secet bc in u, ergo
pondus in puncto u librae dbu, ac propterea in u
brachii bn
eandem habebit
gravitatem
ut in f; est falsum. Nunc enim valet consequentia pondus in filo
in u eandem habet gravitatem ut in f. Ergo pondus in u
brachii bu eandem habet gravitatem ut in
f.
Veluti quoque falsum est propter filum pondus in
e est aequegrave, ut
pondus
in u
brachii bu. Non est igitur haec
vera et proxima , et per se harum gravitatum. Ut ipse
profitetur.
Libra abd habeat ab horizonti aequidistans. Ponderaque
in a~d maneant. Primum ducta dc ad ab perpendiculari,
dico pondus d ad pondus a esse, ut ab ad bc.
Sit bk ipsi ab perpendicularis, et in centrum mundi tendat,
iungaturque
agd. Et quoniam pondera manent, erit ex nostris mechanicis punctum
g centrum gravitatis, et ut pondus d ad pondus a, it ag ad gd.
Et quoniam bg~dc sunt parallelae erit ab ad bc ut ag ad
gd, hoc est ut pondus d ad a.
Ex hoc patet
idem pondus
in a~d
ita esse
pondus a ad pondus d
ut ag ad gd. Sit enim ob evitandam confusionem
pondus l, quod intelligatur in a aequale existens ipsi ponderi in d.
Quoniam enim pondus in d
ad pondus in
a cui aequeponderat
est ut ag ad gd. Pondus vero in d eandem
habet gravitatem
ut pondus in a, ergo pondus
l ad pondus a scilicet ad pondus in d est ut ag ad gd.
Et per consequens ut ab ad bc.
Levius ergo est pondus in d quam pondus in b,
quando minor est bc quam ba.
Quod
demonstrare oportebat.
Sit deinde planum de horizonti
inclinatum,
et per ef
horizonti erectum
sitque df horizonti aequidistans.
Dico potentiam pondus sustinentem in ef ad potentiam idem
pondus sustinentem super de, ita esse, ut de ad ef.
Intelligatur idem pondus in n.
Quoniam enim pondus
in e super ef
est, ac si esset libra abe
essetque
pondus in brachio bn, cum sit bnp angulus rectus. Similiter
ob eandem causam pondus in d super de est ac si esset in brachio bd,
cum sit bde angulus quoque rectus. Hoc enim modo pondera tangunt
plana
quoniam enim similiter pondus in n super planum npo est
ac si esset in brachio bn pondus vero in n est aequegrave ut in a
erit pondus in n ad pondus d ut ab hoc est bd ad bc.
Et quoniam triangula cde~edf
pdo sunt similia,
et
cde simile est ipsi bdc erit bd ad bc ut de ad ef, hoc
est ut dp ad po.
Pondus autem
in n sustinetur a pondere l. Pondus vero d sustinetur
a pondere in a, pondus vero in l ad ipsum in a est ut ab
hoc est bd
ad be, ergo
potentia sustinens
pondus super no ad potentiam pondus sustinens super dpe est ut bd ad
bc.
Eodem autem modo sustinetur pondus super dp, veluti
super de, et super po, ut super ef ergo potentia sustinens pondus super
de ad eam, quae sustinet pondus
super ef est ut de ad ef. Quod demonstrare oportebat.
Contra capitulum 3 eiusdem
Falsum est igitur ex dictis, quod in principio tertii capitoli inquit. Praeterea
demonstratio falsa quoque videtur. Inquit enim sint e~c duo pondera, aut duae virtutes,
ita ut intelligat, et supponat virtutes ponderum officio fungi. Intelligantur
itaque ad maiorem evidentia duo pondera e~c. Sitque bac angulus primum
acutus. Et quoniam pondus (inquit) in i aequale c ipsi e
Controllare se è e o c
aequeponderat, cum sit pondus c ad pondus e, ut bo ad
oi. Quia vero facta est oi aequalis ot inquit.
Si loco oi imaginabimur ot consolidata cum ob, et per lineam tc attractam virtute c, similiter quoque continget, ut bot, communi quadam scientia, non moveatur situ
.
Fateor me hanc quamdam communem scientiam non intelligere. At propendamus
sensum quod nil aliud significat, nisi quod idem pondus ipsi c aequale, in i,
rectam libram boi, idemque pondus c consolidatam libram botc,
ponderi e aequeponderat. Quod esse non potest. Nam si intelligatur
linea ba horizonti aequidistans. Centroque o circulus describatur
it, idem pondus gravius erit in i, quam in t.
Quare pondus in t ipsi c aequale non aequeponderabit
libram tob. Quod patet etiam ducta primum oq linea perpendiculari,
quam ipse lineam verticalem, et axem horizontis nuncupat.
Deinde ducatur id ipsi oq aequidistans, ducaturque bftd:
erit bf ad fd, ut bo ad oi.
Si igitur intelligatur od consolidata cum ob, idem pondus in d
ipsi e aequeponberabit. Cum punctum f ponderum in bd centrum gravitatis
existens sit in linea ofq.
Pondus ergo in t ipsi e non aequeponderabit.
Multoque minus pondus c
ipsi e aequeponderare potest. Nam si iungatur bc,
fiatque ut c ad e, ita
bs ad sc; erit s ponderum centrum gravitatis. Quod quidem in linea
oq existere non potest. Productis enim id~bc in x; erit
bo ad oi, ut bu ad ux.
Quare ducta ox, quae intelligatur consolidata cum bo, pondus in x
aequale ipsi c ponderi e aequeponderabit.
Itaque existente pondere c in recta linea bcx, intelligaturque
ducta co consolidata cum ob; pondus c non aequeponderabit
e. Idem enim sequitur sive intelliganturque
co~ob
consolidatae, sive ct~to~ob consolidatae.
Non enim punctum u esse potest centrum gravitatis ponderum in b~c existentium.
Cum maiorem habeat proportionem bu ad uc quam ad ux, ac propterea maiorem
quam pondus c ad e. Quare centrum gravitatis s ponderum
in cb est inter ub. Numquam autem manebit libra cotb, donec
punctum s sit in linea oq.
Ergo non aequeponderabunt.
Ergo non aequeponderabunt sembra aggunto dopo.
Similiter existente bac angulo obtuso, ostendetur pondus in t minorem
habere gravitatem, quam in i. Deinde
pondus in x aequale ipsi c aequeponderare ipsi e;
cum sit bu ad ux, ut bo ad oi. Si itaque
sit s centrum gravitatis ponderum in b~c; erit s inter uc.
Quare cum non sit s in linea oq.
Pondera c~e consolidatam libram ctob non aequepoberabunt.
Falsa igitur est demonstratio. Fallacia vero est, cum inquit, continget, ut
bot communi quadam scientia, non moveatur situ.
Et est omnino falsum si intelligatur c esse pondus, quod in centrum mundi
sempre tendit. Ut ipse supponere videtur. Et ut ipse in seguentibus capitolis
accipit hoc tamquam de ponderibus demonstratum.
At vero si intelligatur i potentia movens, ut hominis, qui
potest trahere t per rectam lineam tc, tunc vera esse potest
demonstratio. Ut patet \Sinterl{ex tractatum de axe in peritrochio
nostrorum Mechanicorum }.
Notandum tamen, quod conclusiones per communem quandam
scientiam deductae, non sunt periti mathematici cum propriis
uti oporteat.
Ex hac etiam figura magis patet absurdum, hoc est pondera e~c
aequeponderare non posse.
Circa le machine è d'avertir, che alcuna volta per comodità, come per la
strettezza del luogo, dove si ha da metter la machina; come anche non si potendo
far le machine grandissime per la difficultà di metterle in opera, o per altro rispetto,
all'hora si pò divider una machina in più parte, come per esempio. Se la ruota ad voltarà
il suo rochello, et il suo rochello voltarà
la ruota ce, et il
rochello
di ce volti poi unaltra cosa; et la proportion delle ruote a i suoi rochelli
sia per esempio dupla. La forza in d a quella che è in f sarà quadrupla.
Ma volendo mover'una cosa in f con una sola ruota con la medesima forza,
bisognarà far una rota grande atorno al rochello f, che gli sia quadrupla
come gh, et occuparà più spatio gh, che non fa da d in e per
diritto. Che in questo caso quando le ruote et li rochelli fussero aequali (dico
delle piccole) sarebbe quanto da otto a sette.
E se fussero tre ruote medesimamente in dupla proportione a i suoi
rochelli, all'hora la forza d sarà ottupla all' f; che volendo far
una sola ruota, come gh, laqual sia ottupla al suo rochello, questa
occuparà più spatio, che non fanno le tre; e sarà come da 16 a 10 cioè
8 a 5.
È ben vero che la ruota sola gf sarà
più sbrigata; perché non ha senò una sola resistenza
di un fuso solo, che le altre tanto ne hanno più; quant'hanno più fusi.
In circulo bcd, cuius centrum a, sit brachium ab. Iam constat
ex nostro mechanicorum libro , tractatum de axe in peritrochio pondus b
ad pondus d libra existente bad ita esse, ut de ad eb.
Producantur vero brachia ab~ad aequaliter; eademque pondera ponantur in fh.
Dico similiterSimiliter o scilicet?
aequeponderare quando bf dh sunt aequalia, erit ab
ad bf, ut ad ad dh, quare bd ipsi fh est aequidistans. Ac
propterea bd~fh a linea aeg in eadem dividuntur proportione.
Erit igitur be ad ed, ut fg ad gh. Ac propterea, cum sit
aeg horizonti perpendicularis, pondera in f~h
aequiponderare perspicuum est.
Problema
Quotcumque datis circulis circulum invenire circumferentiam omnibus
datis circulorum
circumferentiis simul sumptis aequalem habentem.
Quotcumque sint dati circuli abc~bde~dfg. Circulum invenire
oportet, qui circumferentiam habeat circumferentiis abc~bde~dfg
simul sumptis aequalem.
Exponantur circuli ita ut eorum diametri ab~bd~df
in recta
sint linea. Et circa diametrum af circulus describatur afh.
Quoniam igitur ex Pappo in quinto
et octavo libro mathematicarum collectionum ita se habet
circumferentia afh ad circumferentiam abc, ut diameter af ad diametrum ab,
similiter af ad bd, ut circumferentia afh ad
bde,
et adhuc
ut circumferentia afh ad circumferentiam dfg,
ita af ad df
erit af
ad omnes diametros ab~bd~df simul sumptos, ut circumferentia afh
ad abc~bde~dfg circumferentias simul sumptas: et vero af
omnibus diametris simul sumptis aequalis.
Ergo circumferentia afh circumferentiis abc~bde~dfg simul sumptis
aequalis existit.
Quod fieri oportebat. Et ita si plures dati fuerint circuli. Quorum diametri
in directum ponantur et caetera.
Error Francisci Barocii
Decima demonstratio libri Francisci Barocii de lineis
assymptotis omnino falsa est.
Nam cum inquit (in eius figura) lineam ik rectam esse non posse, decipitur.
Primumque in ipsamet figura recta apparet. Nos vero rectam esse posse
atque lineas aequidistantes
omnesque conditiones, quas ipse in constructione
ponit, habere posse; hoc modo ostendemus.
Tangant intus sese circuli xbc~xef~xpk in puncto x.
Quorum quidem circulorum centra sint adg. Sitque ad ipsi dg
aequalis. Et utcumque ducatur xbtu. Dico primum bt aequalem esse tu.
Primum quidem xu, vel ducta est per centra a~d~g, vel minus.
Si ducta est per centra a~d~g ut acfk. Ostendendum est cf
aequalem esse fk.
Quod cum sint ax ac aequales, et dx~df aequales,
superetque dx ipsam ax quantitate da; superabit et df ipsam ac
eadem quantitate da.
Diameter igitur fx ipsam cx superat quantitate ipsius da dupla.
Sed fx superat cx quantitate etiam cf. Ergo cf dupla est
ipsius da. Eademque prorsus ratione ostendetur fk duplam esse dg.
Sunt vero ad~dg aequales: ergo et earum duplae, hoc est cf~fk inter se sunt
aequales.
Non transeat autem xu per centra. Iunganturque bc~tf~uk. Quoniam igitur
anguli kux~ftx~cbx in semicirculis
31 tertii
sunt recti, ac propterea invicem aequales,
erunt uk~tf~bc
28 primi
inter se parallelae. Quae cum secent lineas btu~cfk
1 lemma in 13 primi Archimedis aequiponderantium
in eadem proportione;
erit cf ad fk, ut bt ad tu. Quare bt ipsi tu aequalis existit.
Similiter si plures essent circuli idem ostedentur.
Dico insuper bt minorem esse cf. Cum enim sit cbx angulus rectus; erit
bcx acutus. Ac propterea xc
19 primi
maior est xb. Et quoniam
2 sexti
est xc ad cf, ut xb ad bt; erit permutando xc ad xb,
ut cf ad bt. Et est xc maior quam xb. Ergo
cf maior est, quam bt. Unde sequitur fk maiorem esse, quam tu.
Praeterea ducatur xoep, ita ut sit angulus pxk maior, quam uxk. Dico oe adhuc minorem esse bt. Eodem enim modo (ductis oc~ef~pk) ostedentur cx ad xo ita esse, ut cf ad
oe. Sed quoniam cx ad xb est, ut cf ad bt
est autem
xo
ex 7 tertii
minor,
quam xb; habebit cx ad xo
8 quinti
maiorem proportionem, quam ad xb, ergo cf maiorem habet
proportionem ad oe, quam ad bt. Ac propterea
10 quinti
minor est oe, quam bt.
Ex quo sequitur ep minorem esse tu.
tu
His cognitis, ducatur utcumque abcd recta linea, quae sit inter an~xz.
Sintque an~xz ipsi ax perpendiculares.
Dico bc maiorem esse cd: ducantur xbfh, xocg, xsd.
Et bo~cs~cf~gd iungantur. Quoniam enim cg
ex proxime demonstratis
maior est ds, rectae lineae gd~cs concurrent ex parte ds.
Similiter quoniam fb maior est co, bo~fc ex co concurrent,
quia vero fc producta, ut in u, cadit cu extra circulum csx.
Linea cs in circulo multo magis cum bo concurret.
Ac propterea ducta cm ipsi bo aequidistans; erunt
cs~cu inter lineas cm~bo. Quoniam autem gd cum cs convenit,
eadem gd multo magis cum cm conveniet.
Ducta igitur ge ipsis cm~bo aequidistans; erit gd inter
lineas ge~cm. Unde ge ipsam cd extra circulum secabit, ut in e.
At vero quoniam lineae bec~ocg a lineis dividuntur aequidistantibus
bo~cm~ge; erit
\CitMargSign{primo
lemma in 13 primi Archimedis aequeponderantium }
oc ad cg, ut bc ad ce. Est autem oc ipsi cg
ex proxime demonstratis
aequalis; ergo bc ipsi ce est aequalis.
Quare bc maior est, quam cd. Et ita si plures essent circuli lineae
semper minores erunt.
Ductis denique tbl~uck~dq ipsis an~xz aequidistantibus.
Et a punctis c~d ipsis tl~uk perpendiculares ducantur ct~du.
Dico ct maiorem esse du. Quoniam anim ob similitudinem triangulorum
bct~cdu, ita est
4 sexti
bc ad ct, ut cd ad du. Erit
16 quinti
permutando bc ad cd, ut ct ad du.
Est vero bc maior cd; erit igitur ct maior, quam du.
Ex quibus patet parallelam dq proximiorem esse uk, quam uk ipsi tl.
Et ita in aliis si plures darentur circuli patet igitur, quod propositum fuit.
Praefata igitur demonstratio nihil valet.
Lineae enim ad~xz concurrunt. Et falsitas in hoc consistit. Nempe in illis verbis. (Quoniam
si infiniti et caetera) Nam
aliud est ducere lineam in infinitum absolute et simpliciter. Aliud est eam ducere
per infinita spacia sive
puncta terminata. Linea enim ad (quae in eius figura est ik) ut ostensum est
esse quidem potest recta linea. Quocirca cum inquit (quoniam si infiniti
describantur circuli infinitisque parallelis secentur et caetera) tunc recta linea ad
ducetur per spacia sive
puncta infinita semper tamen terminata
non tamen linea absolute in infinitum protrahitur.
Ut Proclus et iam in primum Euclidis librum pag. 222 efficit.
Neque enim iis quae diximus obstat, quoniam ipse
in demonstratione posticipit,
ut secundum punctum sumatur. Proximius
primae lineae parallelae quo ad fieri potest. Et sic tertium, et
quartum punctum et caetera. Nam sumatur punctum e, lineae an
proximum.
Deinde ducatur recta linea aefhs.
Si igitur per puncta efhs lineae ducantur ipsi an aequidistantes.
Erunt ad unguem interse, sicut ipse in
eius demonstratione posuit. Fallacia vero huic similem per rectas lineas
efficere possumus hoc pacto.
Sint ab~cd parallelae, sitque ac ipsis perpendicularis; quae bifariam dividatur
in e. Ducaturque ef ipsi ab aequidistans. Factaque ag ipsi ae aequali.
Ducatur gf ipsi ac aequidistans. Deinde divisa ec bifariam in h, factaque al
aequali ah; similiter ab ipsis aequidistantes ducantur hk~lk.
Adhuc deinceps
eadem ratione eodemque ordine ducantur mn~bn. Iungantuque af~fk~kn.
Et hoc modo semper fiat. Manifestum est afkn cum cd cuncurrere non posse.
Divisio enim facta in ac semper per dimidium, quod relinquitur,
numquam ad c pertingere potest. Attamen an recta est linea.
Quadrata enim sunt an~ak~af circa diametrum an. Huiusque falsitas
similis est praedictae.
Pagina 101 eiusdem libri reprehendit auctor Apollonium, qui demonstratio vigesimaeprimae
propositionis primi libri Conicorum non sit
neque una neque
utilis. Quando hyperbole, ellipsis, et circulus habent commune genus innominatum.
Sed haec ratio nihil prorsus valet. Nam Apollonius non demonstrat hoc per genus. Sed applicanda sunt
verba demonstrationis seorsum unicumque figurae.
Siquidem Apollonius nominatim particulariterque inquit hoc accidere,
hyperbolae ellipsi, et circulo hoc est omnibus hyperbolis, et omnibus ellipsibus, et omnibus circulis.
Ob hanc vanam rationem multa in libris Conicorum male demonstrata
essent.
Sit ellipsis adbc cuius axes ab~dc. Describatur centro e, circulus
anbm. Ubicumque autem in ellipsi sumatur punctum g a quo axibus
aequidistantes ducantur gl~go. Ducaturque op ipsi gl aequidistans.
Dico ita esse rectangulum nem ad npm, ut dec rectangulum ad rectangulum
dlc.
Quoniam enim rectangulum nem est aequale quadrato ex ae. Ipsum
vero rectangulum npm est aequale quadrato ex op. Est vero quadratum
ex op quadrato ex gl aequale. Cum sint lineae op~gl aequales, erit quadratum
ex ae ad quadratum ex gl ut rectangulum nem ad rectangulum npm. Sed
21 primi conicorum Apollonii
ut quadratum ex ae ad quadratum ex gl, ita est
rectangulum dec ad rectangulum dle. Ut igitur rectangulum nem ad npm,
ita rectangulum dec ad dlc. Quod demonstrare oportebat.
Sit rursus as lineaque altitudinis circuli, quae perpendicularis ad planum bcd.
vero per ab duo plana abc~abd. Sitque linea bc ipsi cd perpendicularis.
Dico angulum acd ipsi bcd aequalem esse. Angulum vero cbd maiorem esse
cad. Angulum vero bdc angulo adc minorem
Quoniam enim ab est plano bcd erecta, erit planum abc erectum
plano bdc, et est dc communi sectioni bc perpendicularis, ergo erit
cd plano abc erecta. Quare angulus acd rectus angulo bcd recto est
aequalis. Quia vero abc est angulus rectus, erit ac maior, quam bc.
Itaque fiat ce aequalis cb. Iungaturque ed. Quoniam igitur duo latera
cd~ce duobus lateribus cd~cb sunt aequalia, angulique ecd~bcd interse sunt
aequales, cum sint recti, erit angulus edc ipsi bdc aequalis. Quare
cum sit edc minor, quam adc. Erit bdc minor quoque angulo adc.
Quae demonstrare oportebat.
Hinc sequitur angulum bdf angulo adf maiorem esse. Quandoquidem
cdb~bdf simul sunt aequales ipsis cda~adf simul sumptis. Ambo enim sunt duobus
rectis aequales, estque bdc minor adf.
Hinc similiter ostendetur, si producatur ba in g.
Ductaeque fuerint
cg~gd esse
angulus gcd
rectus
angulus vero cgd adhuc minorem angulo cad,
angulusque
adc minorem angulo gdc.
De horologiis describendis
Sit sphera, cuiusque meridianus abc, cuius et horizontis communis sectio sit ad.
Tropicus aestivus ber, cuius in meridiano diameter br horizontem secans
in f. Sit centrum mundi g. Gnomonisque altitudo gh. Sitque horologii planum klo.
kc vero sit plani horologii, et meridiani communis sectio. Sitque lo sectio communis
plani horologii et tropici ber.
Lineaeque ck~br sive productae, sive minus, secent se se in s.
Sit in tropico data hora quaelibet e, puta decima.
Ducaturque egn. Erit utique n
punctum horae decimae tropici aestivi in plano horologii. Ducatur efp.
Sitque p in plano klo. Et quoniam efp est in plano tropici, erit p
in linea ol, quae in eodem est plano . . Iungatur np. Ducaturque eq ad
br perpendicularis. Ducaturque qgt. Quae quidem cadet in linea ck,
cum sit qgt in eodem plano linearum
qs~sk. Denique iungatur tn. Quoniam igitur lineae egn~efp planis secantur
parallelis nempe ab horizonte, et plano horologii klo, erit eg ad gn, ut ef ad fp,
17 undecimi
.
Quare linea np aequidistans est lineae agd.
Ac propterea est etiam aequidistans lineae ck. At vero quoniam plana
ber~klo sunt meridiano abc erecta, erit eorum communis sectio lso
plano abc erecta. Ac per consequens
lineis kc perpendicularis.
Et quoniam eq est perpendicularis br, erit eq plano abc perpendicularis.
Unde ls~eq sunt aequidistantes. Quare erit ef ad fp, ut qf ad fs.
Et quoniam sunt gf~ts parallelae, erit qf ad fs, ut qg ad gt.
Est igitur qg ad gt, ut ef ad fp. Sed ef ad fp
est ut eg ad gn; ergo eg ad gn est ut qg ad gt.
Ac
propterea nt~eq sunt parallelae.
Et quoniam est eq plano abc erecta, erit et nt eidem plano erecta.
Quare est ipsi ls parallela. Quod cum sint ts~np parallelae, erit
nt ipsi ps aequalis, suntque ambae ipsi kc perpendiculares.
Ad inveniendum igitur punctum n, ducatur efp. Ipsique br
perpendicularis agatur eq. Ducaturque qgt. Et a puncto t ad ck
perpendicularis ducatur tn, quae fiat aequalis sp. Erit punctum n
terminus horae decimae CancriCancri: inserire il simbolo in plano horologii.
Et ita in aliis.
Praxis
Exponatur Analemma, ut in prima figura, ut fieri solet, sitque seorsum tropicus
aestivus bol, ut in 2
figura, qui dividatur more solito in 24 partes
aequales initio sumpto in horizonte occiduo.
Sitque punctum e hora 10 et in hac figura fiat fs
aequalis fs primae figurae. Ducaturque osl ad br perpendicularis.
Iungaturque ef, et producatur ad p.
Ducaturque eq perpendicularis ipsi br.
Fiat deinde in prima figura fq aequallis fq 2 figurae.
Ducaturque qgt. Ipsique kc perpendicularis ducatur tn, quae fiat
aequalis lineae sp in secunda figura existenti.
Erit utique n in prima figura
punctum horae 10 CancriCancri: inserire il simbolo. Intelligendo nempe planum abc per plano horologii
in quo linea meridiana erit kc, et c ad septentrionem.
Gnomon vero in h collocandus est, cuius altitudo est hg. Et ita in aliis horis.
Della Prospettiva
1 modo
Siano A B C li punti che si hanno da tirar in prospettiva, sia ut la
commune settione della tavola, laqual sia perpendicolar al piano, e
del piano. Sia nq la diatanza dalla tavola al piede, sia qx
l'altezza dell'occhio perpendicolare a ut, et x l'occhio, sia nz
prependicolare a ut, et equale a qx, e volendo tirar il punto aA
in prospettiva, tirisi dal punto A As perpendicolar a ut, e
facciasi sk equale a a sA e tirisi sz et kx, e dove le se
intersecano (come in a) rappresentaranno il punto A in prospettiva
e nel medesimo modo si tiraranno gl'altri punti, e volendo alzar il
punto A, tirisi pd parallela a ut tanto alta da ut quanto si
vuol che sia alto il punto A, e si tiri Am perpendicolare a pd,
e facciasi mo aequale a As, e si tiri mz et ox e dove le se
intersecano, rapresentaranno il punto A in prospettiva alzato, e nel
medesimo modo si faranno gl'altri punti.
In questo modo ci serviamo delli punti x z
2 modo
Servendosi della medesima costruttione, tirisi Aq, laqual seghi ut
in f, e dalli punti A f si tirino As fa perpendicolari a
ut, e si tiri sz e dove la sega fa sarà il punto a tirato
in prospettiva, e volendo alzar in pd, slunghisi fa, e sia Am
perpendicolare a pd, e si tiri mz e dove le se intersecano,
sarà rapresentato il punto a elevato.
In questo modo ci serviamo delli punti q z.
3 modo
Facciasi come nella seconda e si faccia sk et mo, aequale a sA
come nella prima, e si tirino kx ox, e dove le
intersecano fa sarà il
punto A tirato in perspectiva, cosí in ut come in pd. In
questo modo ci serviamo delli punti q x.
4 modo
Facciasi come nella prima, e si tirino le doi kx, e nell'altezza
pd, le doi ox, e dove le se intersecano rappresentaranno il punto
A et in questo ci serviamo di due punti x x senza il z.
Le dimostrationi di questi quattro modi saranno più di sotto.
5 modo
Sia ut la tavola, nq la distanza dalla tavola al piede, e si
tirino Aq Bq Cq, e se si vol tirar in prospettiva il punto A
tirisi qx perpendicolar'a qA tanto longa quanto
è l'altezza dell'occhio, di poi si tiri xA, e dal punto f dove
qA sega la tavola ut si tiri fo perpendicolare a qA, et è
manifesto che se noi elevaremo il triangolo Aqx per pendicolare al
piano, i punto A ci parerà in o, tirisi adunque fa
perpendicolare a ut, e facciasi fa aequale a fo, il punto a
rapresentarà il punto A in perspettiva, e volendolo alzare
tirisi Am perpendicolare a qA, e si tiri xm, laqual seghi fo
slongata in p. op sarà la sua altezza perché se ci
immaginaremo che'l quadrilatero Aqxm sia elevato perpendicolarmente
sopr'al piano, il punto m parerà in p, slungata adunque fa
facciasi aa, equale a op, il punto a di sopra rapresentarà
il punto A elevato in m, e cosí si procederà negli altri
punti, et accioché le cose vengano manco confuse, si potrà far
tutti li triangoli e quadrilateri separati.
6 modo
Siano le medesime distanze, et altezze, come in questa di sopra e sia
qx parallela a ut, e si tirino qA Ax, e si tiri fa
perpendicolare a ut, e si facci fa equale a fo, il punto a
rappresentarà il punto A in perspectiva, perché essendo li
doi triangoli Aqx di questa figura e di quella di sopra, li quali
hanno fo parallela a qx, e la proporzione che hanno le doi qx a
qA, la medesima hanno le doi fo a fa
per la 4 del sesto
, e perché le doi
qc e le doi qA, e le doi fA sono equali, di necessità ancora
le doi fo saranno equali, e volendo alzare il punto A, tirisi Am
parallela a ut, e si tiri mx, e slungata fa facciasi AA equale
a op, che per la medesima ragione sarà equale alla op della
figura di sopra.
Per questi doi ultimi modi vedi la propositione 14 e nella 15 si
mostra il 7
modo da tirar in perspectiva.
Modo di tirar i circoli in perspectiva separati
Modo di metter l'ombre in piano per tirarle in
perspettiva
Sia b il puno nel piano, che cadendo la perpendicolar dal lume al
piano, cada in b, sia l'altezza del lume ab, e si tiri bg
perpendicolar a ba, sia il corpo, la base del quale sia cdef, e la
sua altezza ch, e si tirino bc bf be in infinito, le quali
saranno commune sectioni del piano, e dell'ombre che passano per
gl'angoli, di poi si facci bk equale a bc, e si tiri ki
perpendicolar a bk, e si facci equale a ch, laqual sarà
parallela a ba, e si tiri ai laqual seghi bg in m, e si faccia
cn equale a km;
cn sarà il termine dell'ombra, perché
se ci immaginaremo il lume ellevato sopr'al b dell'altezza di ba, e
che erett, al medesimo piano, li triangoli abn ikm saranno equali
alli triangoli nbc del lume, et hcn, e nel medesimo modo si
procederà nelle altre ombre.
Si pò ancora, tirato che si ha il corpo in perspettiva, e posto il
punto b, si tiri ba perpendicolare al piano, laqual sarà
parallela alle perpendicolari del corpo tirato in perspettiva e dal
b si tirino le linee agl'angoli della base di sopra e dove se
intersecano, come in c d e saranno li termini dell'ombra.
E tirato che si ha le ombre in perspettiva, procedendo al contrario,
si trovarà dove è ab, tirando dalli termini dell'ombre
agl'angoli, e veder dove le se intersecano.
Per far le piante
Modo di trovar dove cascano le perpendicolare in un piano da una
superficie inclinata a quel piano
1
propositio
In questa figura il punto a tocca il piano.
Sia abcd il rettilineo inclinato al piano, e sie ef commune
settione del piano e del piano che passa per il rettilineo
abcd. Tirisi bh perpendicolare a ef, e sia il b in g,
cioè essendo inclinato il b e cadendo la perpendicolare nel
piano cada in g, e per trovar dove c d caderanno nel piano,
facciasi hf equale a bh, e si descriva la quarta del circolo bf
essendo il centro h, e si tiri gh parallela a hf, prima dico che
gk è l'altezza della perpendicolar che casca dal b in g
essendo la superficie inclinata, perché se ce immaginaremo hf
eretta perpendicolarmente sopra il piano insieme con la quarta bkf e
che bh resti nel piano, è manifesto che gk sarà
perpendicolare al piano, e se la superficie abcd fusse perpendicolar
sopr'al piano, il punto b saria in f e la sua perpendicolar saria
fh, et inclinatosi, il punto b sempre toccarà la quatrta fkb
e perché havemo posto che la perpendicolar che casca dal b della
superficie inclinata caschi nel g, di necessità adunque il b
sarà in k, e la sua perpendicolar et altezza sarà kg. Hora
per saper (essendo b in g) dove sarà il c, tirisi cn
perpendicolare a ef, e si facci ne equale a cn, e sia
centro n si descriva la quarta del circolo
ce, e perché li punti b c inclinandosi caminano
proportionalmente nella loro quarte dei circoli, facciasi che la
medesima proportione habbia em a mc che ha fk a kb, cioè
facciasi l'angolo enm equale a fhk e si tiri mo parallela a ef
il punto o sarà dove il c cascarà nel piano, e la sua
altezza sarà mo, che per la medesima ragione, se ce immaginaremo
ne eretta al piano, in quel medesimo tempo che b sarà in k
il c sarà in m e così si faranno gl'altri punti.
Corollario
E da questo è manifesto che se abcd non sarà inclinata, ma
eretta perpendicolarmente sopr'al piano, il b sarà in h e la
sua altezza sarà bh, et il c sarà in n, e la sua altezza
sarà cn, e così gl'altri saranno nella linea ef.
nilp rapresenta in perspectiva la figura abcd inclinata come di
sopra.
La medesima solamente mutata la settione ut
2 propositio
Se la figura abcd sarà tutta elevata dal piano zx, cioè
che neanche il punto a tocchi il piano zx, e che voliamo sapere
dove caderanno le perpendicolare da abcd, tirisi ef, che passi per
a, laqual sia in un medesimo piano con abcd e l'altezza delli
piani si aat perpendicolare al piano zx, e se c'immaginiamo che
per ef passi un piano equidistante al piano, che passa per zx, e
per la pesedente troviamo le perpendicolare che cascano nel piano
ef, che se le si slungaranno fin al piano zx, per essere li piani
paralleli, e per esser le linee perpendicolare a tutti doi li piani,
faranno la medesima figura nel piano di sotto zx, come nel piano
ef, e l'altezza del b sarà kg agiunteli l'altezza che è
da un piano all'altro, laqual sia gu, equale a ta, perché se
ce immaginaremo, come nella precedente, che hf insieme con la quarta
fkb sia eretta sopra al piano ef, e che hb resti nel detto
piano, e chel b sia in k, gk sarà perpendicolar al piano
ef, laqual slongata sarà perpendicolar al piano zx e per esser
ug l'altezza da un piano all'altro, il punto u, sarà nel piano
zx et uk sarà l'altezza dal b al piano zx, aggiunta
adunque a mo l'altexzza che è da un piano all'altro, tutta
insieme sar{`a} l'altezza cheè dal c al piano zx, e così
si procederà negl'altri punti.
E nel modo che si sa l'inclinatione delli rettilinei, nel medesimo
modo si saprà quella dei curvilinei o sia circolo, elipse,
parabola, hyperbola, o qualsiasi altra figura descrivendoli dentro una
figura rettilinea, che habbia molti lati, della quale si saprà la
sua inclinatione, per le precedenti.
stpa rapresenta in perspettiva la figura abcd inclinata come in
questa di sopra.
La medesima solamente mutata la settione.
3 propositio
Sia il corpo di superficie equidistante rettangolo la base del quale
sia ABCD, et il punto A tocchi il piano et inclinata questa base
al piano per laprima propositione
tirando
EF commune settione trovaremo dove cascano le perpendicolare nel
detto piano, che sarà AGOR, e sapremo le sue altezze. Sia AP
l'altezza del corpo, e sia Ap perpendicolare a EF e fatto centro
A si descriva la quarta ps, e facciasi che la proportione che ha
FK a KB la medesima abbia pt ats, e si tiri ta
perpendicolare a Ap. Prima dico che quando il punto B sarà in
g, il punto p sarà in a, perché se c'immaginaremo che
bF insieme con la quarta FKB sia eretta perpendicolarmente sopr'al
pinao EF e che medesimamente As insieme con la quarta stp sia
eretta sopr'al medesimo piano e che bB et Ap restino nel piano
è chiara cosa che quando ABCD sarà perpendicolare al piano
che B sarà in F e che il punto p sarà nel piano in p;
et inclinandosi la figura ABCD, il p s'inalzarà, e quanto
s'inclinarà il B sopra la sua quarta FKB, tanto s'alzarà
il p nella sua pts. Adunque quando il B sarà in K, il p
sarà in t e la sua altezza sarà ta, per le cose dette
nelle precedente, e per essere il corpo parallelepipedo descrivasi dal
punto a abcd equale a ABCD e similmente posta laquale ne
rapresentará la base di sopra, che è equidistante a quella di
sotto, e si tiri ef parallela a EF che passi per il punto a, e
se c'immaginaremoun piano che passi per ef equidistante a quello che
passa per EF, e per esser ABCD equidistante a abcd, e trovando
le perpendicolare di abcd nel piano ef. Farà la figura agor
simile et equale a AGOR, per haver quelle due base equal
inclinatione alli doi piani paralleli, e per essere at l'altezza che
è da a al piano che passa per EF aggiunda adunque a gk et
alle altre altezze una linea equale a ta, tutte insieme saranno le
altezze di abcd sopr'al piano che passa per EF per la 2
propositione, et agor
per la medesima sarà la figura dove cascano le perpendicolare da
abcd nel detto piano EF.
E se ben la superficie ABCD et abcd non sono rettangole, in goni
modo si procederà nel medesimo modo. Purché l'altezze del
solido siano ad angoli retti alle dette base ABCD et abcd.
Le lettere piccole AGOR et agor
rappresentano in perspettiva
AGOR et agor, e congiunte dipoi Aa Gg Oo Rr
come qui sotto tutt'insieme rapresentarà tutto il
solido in perspettiva.
4 propositio
E se il solido non sarà rettangolo, tirisi AP che non sia
perpendicolare a EF, ma che facci l'angolo EAP equale all'angolo
del solido, e tirata pn perpendicolare a EF, e fatto centro n si
descriva la quarta ps laqual si divida in t che la proportione che
ha FK a KB la medesima habbia pt a ts, e si tiri ta
perpendicolare a pn, che per la medesima ragione, quando B
sarà in G, il p sarà in a, e la sua altezza sarà
at e dal punto a si descriva abcd equale alla base di sopra del
solido, o sia equale, o simile a quella di sotto o
no, non importa, e si tiri ef equidistante a EF e si operi come
si è detto di sopra, aggiungendo all'altezzze la quantità
at.
E se abcd non sarà equidistante a EF, tirisi a traverso
dov'ella è, e si veda l'inclinatione del rettilineo sopr'al detto
piano, si operarà nel medesimo modo agiungendo alle altezze, la
quantità at.
E sel solido haverà le base di molti lati si procederà nel
medesimo modo.
Le lettere piccole AGOR et agor
rappresentano in perspettiva
AGOR et agor le quale si congiungeranno come di sopra si è
detto.
5 propositio
E se il solido non toccarà il piano, cioè che ne anche il
punto A tocchi il piano. Sia Ai l'altezza, che è da A al
piano, et aggiunte alle altezze di AGOR la quantità Ai, tutte
insieme saranno le altezze di ABCD, et AGOR sarà la figura nel
piano per la 2
. Similmente agiunte a tutte le altezze di agor
la quantità ai tutte insieme saranno le altezze di abcd per le
cose dette.
Nel metter'in perspettiva si operarà come di sopra.
6 propositio
Se la settione sarà di là della figura ABC che si haverà
di tirar in perspettiva, sarà rapresentata in abc di sotto,
immaginandoci chel piano che passa per la settione sia lungo in
infinito dall'una e l'altra parte, cioè di sotto e di sopra, e se
AD sarà l'altezza dal piano in giù, et aE dal piano in su,
si tirino le linee xDm xEn, e si facci fa che è
perpendicolare alla settione, equale a fo, et ad equale a om, et
ae a on, e così il d rapresentarà il D et e
rapresentarà l'E, et fd sarà equale a fm et fe a fn,
l'occhio che è in x se intende alto dal piano in su, quanto
è qx. Il piano s'intende dove è ABC, e la linea della
settione, et il punto q perché tutti s'intendono et sono in un
medesimo piano.
La settione lascia una parte della figura ABC di là, che è
BC et una parte di qua, che è A.
7 propositio
Se l'occhio sarà abassato dal piano in giù quanto è qx,
e che la settione sia di là della figura ABC, sarà
rapresentata in abc di sopra, e se AD sarà l'altezza
all'ingiù, et AE all'insu, si facci ae equale a on, et ad
a om, d e rapresentaranno D E in perspettiva, et fe
sarà equale a fn et fd a fm.
8 propositio
Se l'occhio sarà medesimamente abassato in giù, e che la
settione sia di qua dalla figura ABC sarà rapresentata in
giù dove è abc.
ABC è rapresentata nel convexo del cilindro.
9 propositio
Sia ABC la figura che si ha da mettere in prospettiva, e sia la settione un cilindro
retto la base del qual sia il circolo pAs, laqual sarà commune settione del piano
dove è ABC e del cilindro, e volendo tirare il B in perspettiva tirasi qB e
fB, e qB seghi il circolo in p, e dal punto p si tiri pr paralella a qx, et xB
seghi pr in r, e dal punto p si tiri pb perpendicolare a pr, e si facci pb equale a pr.
Dico che'l B sarà rapresentato in perspettiva nella superficie del cilindro in b, cioè
se pb saràeretta perpendicolarmente sopr'al piano. Perché se ce immaginaremo che pb
sia eretta perpendicolarmente sopr'al piano, e che un piano passi per pr, il qual sia anche egli
perpendicolare al piano, è chiara cosa, (essendo il cilindro retto) che pb sarà comune
settione del detto piano, e del cilindro, Adunque per le cose dette, il B sarà nella settione
in b. Similmente volendo trovare il C tirasi qC, laqual seghi il circolo in s, e dal punto s si tiri una paralella a qx, e si operi come si è detto. Trovaremo che C sarà in c, e per esser la superficie del cilindro rotonda, non bisogna congiongere Abc con linee rette ma divider ABC in quante
parte si vuole, e di tutte trovar dove le saranno nel cilindro, e poi congiongerle che così sarà
rapresentato benissimo in perspettiva ogni cosa tirando le perpendicolar nel cilindro
di dove le linee che si partono dal q segano il circolo, sicome si
è fatto pb e sc.
E nel medesimo modo si farà se pAs sarà elipse.
Questa è rapresentata nel concavo del cilindro.
10 propositio
In questa si opererà come nella precedente.
Nota
Et è d'avertir che la figura abc che si rapresenta in carta, non mostra come quella che è nella settione del cilindro, ma mostra le altezze et il sito dove vanno poste nel cilindro.
E questo è da notar in tutte le altre simil settione.
11 propositio
Similmente se la settione sarà parte convexa e parte concava e parte retta, si procederà
nel medesimo modo come nelle due precedenti.
12 propositio
E di qui nasce che la settione retta non sarà equidistante a xq si procederà come si è
detto nella 9
perché se pb sarà elevata perpendicolarmente sopr'al piano.
pb sarà commune settione del piano che passa per pr, e della settione.
E bisogna che pb et cs siano tirate perpendicolarmente alla settione, accioché venghi
nel piano la figura Abc, equale a quella che viene nella settione eretta.
E se faremo qx equidistante alla settione et operando come si è detto di sopra nel
6
modo, troveremo che ci tornerà il medesimo.
13
propositio
Se si vorrà mettere in perspettiva come pareno le figure nel
cilindro, come nella 9 et 10. Piglisi la figura che è in carta con
le altezze, e si metta in perspettiva con la veduta che ci parerà
e sia per esempio la 10.
14
propositio
Sia qx l'altezza dell'occhio perpendicolar al piano qBA, sia
ACDB la figura
e CD AB parallele , sia CDla commune settione del
piano e della settione, sia CghD la settione ad angoli retti sopr'al
piano, laqual sia segata dalli raggi xA~xB in g
h. Li raggi segano le perpendicolar Cg Dh perché il punto A Cg qx sono in un medesimo piano, et il punto B Dh qx
Sia qCA perpendicolare a CD AB
et qDB una linea retta.
Dico che gh è parallela a CD et AB. Perché essendo CD
paralella a AB et a Cg Dh paralelle a qx la medesima
proportione ha BD a Dq che ha Ag a gx. Adunque la medesima
proportione ha Ag a
gx che ha Bh a hx. gh adunque è paralella a AB et a
CD. E per esser gl'angoli C D retti CghD sarà
paralellogrammo rettangolo e gh sarà equale a CD e Cg equale
a Dh.
Et è manifesto che CDBA parerà nella settione in CghD, e
se si farà Ca equale a Cg, e Db equale a Dh et Cg
congiungendo ab; la figura CDba nel piano qBA sarà equale a
CghD, per esser tutte due rettangole.
Dimostratione per le altezze
E se AE BF saranno equale e perpendicolare al piano.
Tirisino li raggi Ex Fx, li quali segaranno la settione in kl per esser AE Ck qx in un medesimo piano, e similmente BF Dl qx. E tirata kl, Dico che kl sarà similmente paralella a CD perché la medesima proportione ha Ax a xg che ha Bx a xh, per esser li triangoli simili e la proportione che ha Ax a xg la medesima ha AE a gk, e la medesima ha Bx a xh che ha BF a hl, per la similitudine dei triangoli, adunque la medesima proportione ha AE a gk, che ha BF a hl, e permutando, la medesima ha AE a BF, che ha gk a hl, ma AE BF sono equale, Adunque gk hl sono equale, e gl'angoli g h sono retti adunque kl è parallela a gh et a CD.
E perché gklh rapresenta nella settione AEFB, facciasi adunque ae bf equale a gk hl congiungendo ef la figura abfe nel piano sarà equale a gklh.
In questa propositione si vede anche la dimostrazione del 5
e 6 modo.
15 propositio
Dalla precedente si po cavar un'altro modo da tirar in perspettiva.
7
modo da tirare in perspettiva
Siano A B li punti che si hanno da tirar in perspettiva, tirisi dal q qf perpendicolare alla settione, laqual si slunghi in infinito, e dal punto A si tiri AE parallela alla settione, e si tiri xe laqual seghi la settione in n, e si tiri qA laqual seghi la settione in m, e si tiri ma perpendicolare alla settione laqual si facci equale a fn. Dico che da chel punto a rapresenterà il punto A in perspettiva perché se faremo il paralellogrammo fnam, per le cose dette nella precedente, fnam ne rapresenterà feAm, et il medesimo si farà negl'altri punti.
E se AD sarà l'altezza perpendicolarmente sopr'al piano, facciasi eg equale a AD, e perpendicolare a qe, e tirata xg, la qual seghi la settione in i, e slungata ma fin al d, e si facci ad equale a ni. il d rapresenterà il D. perché nida rapresenterà ehDA.
16 propositio
Sia qx l'altezza dell'occhio perpendicolare al piano qBa, sia ABCD la figura che si ha da tirar in perspettiva, siano AB CD parallele, sia CD la commune settione del piano e della settione, sia CefD la settione piana, ma non ad angoli retti sopr'al piano, e sia qCA paerpendicolare a CD et AB ; e volendo rapresentar nella settione la figura ABCD, tirisino li raggi xA xB liquali seghino la settione in ef, e tirata la linea ef è manifesto che ABCD parerà in CDef, e volendo metter nel piano qAB una figura equale a CefD. Prima Dico che ef è paralella a CD.
Sia Cghd la settione retta nella quale (per la 14) gh è paralella a CD. Tirisi dal punto h hm paralella a ge, laqual seghi ef in m, che per eseer il punto h nel medesimo piano che è ge, cioè nel piano xAB, hm sarà nel medesimo piano e si congiunga mD laqual sarà nel piano CefD e perché Cg Dh sono paralelle
per la 10 e 15 del 11
e ge hm paralelle; l'angolo adunque Cge sarà equale all'angolo Dhm, e li piani Cge Dhm saranno paralelli, e perché Cge Dhm sono segati dal piano CemD, Ce sarà
per la 16 del 11
paralella a Dm, e perché Cg Dh sono paralelle, e Ce Dm paralelle, l'angolo adunque gCe è equale all'angolo hDm, e perché gl'angoli Cge gCe del triangolo gCe sono equali all'angoli Dhm hDm del triangolo hDm, et il lato gC (per la 14) è equale al lato hD, adunque {per la 26 del primo} il triangolo gCe sarà equale al triangolo hDm e la linea ge sarà equale alla linea hm, em adunque cioè ef sarà paralella a gh et a CD, e volendo metter nel piano qAB, lequale cascaranno
per la 38 et 18 del 11
nelle linee qA qB, per esser li piani qBx qAx perpendicolari al piano qAB e congiunta po, la linea po sarà equale e paralella a ef, Perché essendo ef paralella a CD la sarà anche paralella a AB, et ep fo sono paralelle
per la 2 del 6
a qx. Adunque la medesima proportione ha Ae a ex che ha Bf a fx, e che ha Ap a pq che ha Bo a oq. Adunque po è paralella a AB et a ef et CD: e gl'angoli della figura pefo saranno retti, adunque pefo sarà pralellogrammo rettangolo, e po sarà equale a ef. Facciasi poi Ca equale a Ce e dal punto a si tiri ab equale e paralella a po, e congiunta Db la figura CDba sarà simile et equale a CefD perché CD è commune, e Ca è equale a Ce e l'angolo eCD è retto per esser CD perpendicolare al piano qAx, et equale a DCa, et ab è equale a ef e paralella a CD, quella che resta adunque cioè Db sarà equale a Df.
le altezze
Siano AN BR equale e perpendicolare al piano qAB, e si tirino li raggi xN xR. liquali seghino la settione inclinata in k i. Prima dico che slungate le linee Ce Df le saranno segate dalli raggi xN xR. Perché essendo AN qx xA in un medesimo piano per esser il piano qaX perpendicolare al piano qAB, xN adunque sarà nel medesimo piano, slungata adunque Ce, per esser nel medesimo piano sarà segata da xN, e sia in k.
Similmente per esset qx xB BR xR Df in un medesimo piano, slungata adunque Df sia segata da xR in i, e si tirino NR ki è manifesto che ANRB parerà nella settione in ekif e ki sarà paralella a ef, perché essendo gsth la settione ad angoli retti (per la 14) st sarà paralella a gh et a ef, e Cs sarà equale a Dt; e se dal punto t tiraremo tu paralella a sk congiungendo uD, il triangolo sCk, per la medesima ragione detta di sopra, sarà equale al triangolo tDu, e tu sarà equale a sk, ku adunque, cioè ki sarà paralella a st, et ef, e volendo metter nel piano qAB una figura equale a ekif facciasi an equale a ek, e dal punto n si tiri una paralella a ab, laqual seghi Db slungata, in r. Dico che abrn sarà equale a ekif, perché essendo ef equlae a ab, e gl'angoli e k retti equali agl'angoli a n retti, e per esser Df equale a Db, gl'angoli al f saranno equali agl'angoli al b, e di necessità sarà che nr sia equale a ki et fi a br e gl'anoli i r equali.
17 propositio
Sia B il punto che si ha da tirare in perspettiva, tirisi qC perpendicolare alla settione e si slunghi in infinito, sia DCe l'angolo della settione inclinata e si tiri qB, et dal B si tiri la linea BA paralella alla settione finché la seghi qC in A, e si tiri xA, laqual seghi la settione inclinata in f, e dal punto f si tiri fg perpendicolar a CA, e dal g si tiri qh paralella alla settione, laqual seghi qB in h, e si facci Ca equale a Cf, e dal punto a si tiri ab equale e paralella a gh. Dico che per la precedente il punto b rapresenta il B in perspettiva, nella settione inclinata, perché il quadrilatero CDba rapresenta CDBA, e così si faranno gl'altri punti, et il punto A sarà in a.
Per le altezze, facciasi AN equale all'altezza del punto che è
sopr'al B, laqual sia BR perpendicolar sopr'al piano, e si tiri Nx, laqual seghi Ce in k, e si facci an equale a fk, e dal punto n si tiri una paralella a AB laqual seghi Db. slungata in r. il punto r per la precedente rapresenterà il punto R. et il medesimo si farà tirando ki perpendicolare a qA et io paralella a BA, e facendo aN equale a fk overo Cn equale a Ck, e tirando nr equale e paralella a io.
Tre circoli ad angoli retti
Fatto che si ha il circolo abcd in un piano, e
volendo tirar sopr'al diametro ac un circolo eretto
perpendicolarmente, operaremo come si è detto nella prima,
maxime nel suo corollario, immaginandoci ceba, la parte di sopra,
et efda la parte di sotto, trovando le altezze nel diametro ac
operando come si è detto nella prima mettendo le altezze paralelle
alla settione, similmente volendo tira un circolo sopr'al diametro
db,
immaginandoci bcgd la parte di sopra, et bahl quella di sotto, tirando le altezze nel diametro db, et operando come si è detto.
Ordinariamente come nei primi modi si rapresenta il D tirando df perpendicolare alla tavola
ef et facendo fe eguale a fd poi tirando eb fa, et il d rappresenterà il D.
Se bene li punti ab nei primi modi sono di qua dalla tavola ef e però tutt'una cosa.
Et forsi così si (innica?) manco il rappresentato in perspettiva con la pianta.
Ma havendo molti punti da rappresentare per far presto si rappresentino in qualsivoglia
modo li punti m n di maniera situati che gl'altri punti g h k l siano fra m n
et la tavola ef. accioché da ognuno di loro si possi tirar le linee, come mk nk,
lequali slungate seghino ef. Tirate adunque mkq nkr, poi tirate qo rp, è manifesto,
che dove si segano in s chel punto s rappresenta il k. Perché qo rappresenta qm,
et np rappresenta rn.
Et così si faranno gl'altri punti prestissimo. Et per far gl'altri
si potrà servir dei punti o s, overo s p, et così di m k et k n, come
dire tirando le linee mg kg volendo rapresentar il g. Et in questo modo servirsi di tutti
quelli che saranno rappresentati.
Sit oculus a, sit bc paries, in quo describendae sint distantiae bd de ef et.c.
quae visui a vere videantur aequales. Fiat ab ipsi bc perpendicularis, et ba ipsa
bc maior, iungaturque ac; erit bac minor recti dimidio, et centro a spatioque ab
circulus describatur bg, qui a puncto b aequaliter dividatur in bh hk kl et.c.
Deinde a centro a per puncta h k l ducantur lineae quae bc secent in d e f
et.c. punctis neque ultra lineam cga in circulo describendae secat divisiones, ut deinde in
linea bc protracta designatae videatur aequales, cum recta visio
visio fieri debeat in angulo
acuto ut CAN. Quia vero perpendiculares ab oculo a ad cn est ab, visio igitur fiet ex
utraque parte scilicet ex bc, et bn et hoc modo divisiones videbuntur aequales, cum sub
aequalibus angulis videantur.
Si autem divisiones fierent ultra lineam ca, tunc non esset una tamen visio, sed plures,
et propterea hoc sensus cum iudicio non deciperetur, quia multo maiores videbuntur divisiones
supra c factae, quam quae sunt infra c.
Et hoc maxime notandum est, quo longius aberit visus a pariete, ut quo longius erit
ab, eo magis decipietur sensus, nam visio a totam cn melius videbit, quo minor erit
angulus can, cum visio vera fiat in puncto, quod est tamen intelligendum in debita distantia,
dummodo scilicet visus ea, quae videt recte percipere possit.
Quadrilatera, quae duo latera sese tangentia duobus lateribus sese
tangentibus aequalia habeant, et tres angulos tribus angulis aequales,
qui lateribus adiacent aequalibus; erit reliquus angulus reliquo angulo aequalis,
et reliqua latera reliquis lateribus aequalia.
Sint quadrilatera pqrx~omzy. Sintque pq~om, et px~oy aequalia.
Similiter anguli ad p~o aequales, itidemque pqr~omz, et pxr~oyz aequales.
Dico reliquum angulum reliquo angulo, et reliqua latera
reliquis lateribus aequalia esse.
Iungantur qx~ym. Quoniam enim duae pq~px sunt duabus om~oy aequales,
quae quidem angulos continent aequales ad po.
Erit basis qx basi my aequalis. Angulusque omy ipsi pqx, et
oym ipsi pxq erit aequalis. Quod cum totus omz ipsi pqr, et oyz
ipsi pxr sit aequalis
erit reliquus ymz ipsi xqr et myz ipsi qxr aequalis. Sitque
linea my ipsi qx aequalis; erit igitur triangulum myz triangulo
qxr aequale. Quare anguli ad z~r sunt aequales. Lateraque mz~qr,
et zy~rx interse sunt aequalia. Quod demonstrare oportebat.
Sit ba ad ad, ut bc ad de, sintque bc~de parallelae.
Iungantur ce~ea. Dico cea rectam lineam esse.
Non sit quidem, sed sit recta linea afc. Erit utique triangulum abc
triangulo ade simile. Quare ut ba ad ad,
ita bc ad bf. Est
autem ba ad ad ut bc ad de ergo bc eandem habet proportionem
ad de, quam habet ad df.
Quod fieri non potest. Recta igitur est recta linea aec. Quod demonstrare oportebat.
Propositio
Cuiuslibet aequilaterae figurae in circulo inscriptae angulus exterior aequalis est angulo
ad centrum facto, basim figurae latus
subtendenti.
Quaelibet sit figura in circulo aequilatera abcdef, cuius exteriores anguli
(productis nempe lateribus) sint cbg, dch, edk, fel, afm, ban.
Sitque o circuli centrum. Et anguli ad centrum sint aob, boc, cod,
doe, eof, foa. Dico cbg angulo aob aequalem esse.
Quoniam enim anguli abc~cbg simul duobus sunt rectis aequales, quemadmodum
bcd~dch simul sunt duobus rectis aequales, erunt anguli abc~cbg simul sumpti angulis
bcd~dch simul sumptis aequales. Angulus vero abc est ipsi bcd aequalis.
Siquidem cuiuslibet figurae aequilaterae in circulo descriptae omnes anguli interse sunt aequales.
Erit igitur exterior angulus cbg angulo dch exteriori aequalis.
Et ita ostedentur, omnes angulos exteriores interse aequales esse. At
vero quoniam lineae ab, bc, cd et caetera interse sunt aequales,
erunt circumferentiae ab, bc, cd, de , ef, fa, inter se aequales.
Quare ad centrum anguli aob~boc~cod~doe~eof~foa interse sunt aequales.
Quia vero tres anguli cuiuslibet trianguli duobus sunt rectis aequales. Erunt in hac figura
anguli sex triangulorum aob~boc~cod~doe~eof~foa duodecim rectis aequales.
Anguli vero abc cbg, bcd dch , et caetera hoc est anguli figurae cum suis
exterioribus sunt etiam aequales duodecim rectis. Quandoquidem unusquisque
cum suo exteriori est duobus rectis aequalis. Erunt
quippe
omnes anguli triangulorum aob~boc et caeterum angulis figurae cum suis exterioribus,
nempe abc~cbg, bcd~dch, et caetera aequales.
Quia vero triangulorum omnes
anguli ad basim scilicet oba~obc,
ocb~ocd et caetera sunt aequales angulis figurae, nimirum abc,
bcd et caetera. Si itaque a triangulis demantur omnes anguli
oba~obc, ocb~ocd et caetera qui sunt ad basim;
ab angulo
vero figurae cum suis exterioribus demantur anguli
abc~bcd et caetera, quae relinquuntur, erunt interse aequalia.
Sex igitur anguli ad o simul sumpti sex angulis eexterioribus
cbg~dch~edk~fel~afm~ban simul sumtpis aequales.
Quia vero exteriores anguli interse sunt aequales.
Angulique ad o interse quoque
sunt aequales, erit unusquisque unicuique aequalis.
Quare angulus cbg angulo aob, est aequalis. Et dch
ipsi doc et caetera. Quod demonstrare oportebat.
Propositio
Si angulus cuiuslibet aequilaterae figurae in circulo descriptae minor fuerit
angulo recto,
quantitate
qua
superatur ab angulo recto
eadem et
rectus
angulus ab angulo ad centrum facto superabitur.
Si vero sit recto aequalis, et
angulo ad centrum
recto erit
aequalis. Quod si fuerit maior, quantitate, quam superat
angulum rectum; eadem, et rectus angulus angulum ad centrum factum
superabit.
Sit primo aequilaterum triangulum abc in circulo descriptum, cuius centrum
d. Sitque angulus ad centrum adb. Dico angulum abc eadem quantitate
minorem esse angulo recto, qua rectus angulus minor est angulo adb.
Producatur ab ad f. Ducaturque be ipsi ba perpendicularis.
Quoniam enim abe minor est recto abe quantitate anguli cbe.
Angulus vero cbf exterior maior est recto angulo fbe eadem
quantitate anguli cbe, eo igitur minor est angulus abc recto angulo,
quo rectus angulus minor est angulo cbf. At vero quoniam
exterior angulus cbf est aequalis adb. Eo minor erit
angulus abc recto angulo, quo minor est angulus rectus angulo
adb.
Sit deinde quadratum ac in circulo inscriptum, cuius angulus
abc est rectus, verum ad centrum d angulus adb est quoque
rectus. Quoniam producta ad in c, duae ad~db duabus
db~dc sunt aequales
basisque ab basi bc est aequalis; erit angulus adb angulo
bdc aequalis. Quare adb est rectus. Angulus igitur abc est aequalis
recto, rectusque est aequalis ipsi adb.
Praeterea sit aequilatera figura in circulo
inscripta ag quotcumque
laterum, cuius angulus abc; ad centrum vero sit angulus adb.
Dico angulum abc eadem quantitate superare angulum rectum,
qua rectus angulus superat adb.
Producatur ab in f.
Ducaturque be ad ab perpendicularis. Quoniam enim angulus
abc excedit angulum rectum abe quantitate anguli ebc,
angulus vero rectus ebf superat cbf eodem angulo ebc, tam igitur
angulus abc superat angulum rectum abe, quam angulus
rectus superat angulum cbf.
Exterior autem angulus cbf est aequalis angulo adb. Quo ergo
anguls abc excedit angulum rectum, eo rectus angulus excedit angulum
adb, quae quidem demonstrare oportebat.
Ex his si sint pentagona, vel exagona, vel alia quaepiam
aequilatera et aequiangula ac~df. Ad centrum vero
anguli ad g~h. Erunt hi aequales interse.
Quoniam abc def
sunt aequales tamque excedunt angulum rectum, quam angulus
rectus excedit angulos
g~h.
Ex his patet si sit abc circumferentia cuius centrum f. Sitque ab quarta
circuli sitque ad circumferentia anguli pentagoni. Fiat be aequalis bd, erit
ae circumferentia anguli ad centrum pentagoni. Ductis enim lineis fd~fb~fe~fa.
Cum sit angulus afd angulus pentagoni, erit afe angulus ad centrum.
Quoniam afd rectum angulum afb excedit quantitate anguli dfb, hoc est bfe,
et angulus rectus afb excedit afc eadem quantitate anguli bfe. Et ita in aliis. Ut
si ah sit circumferentia anguli eptagoni, facta bk ipsi bh aequali, erit ak
circumferentia anguli ad centrum eptagoni.
Praeterea erit ae quinta pars circumferentiae
totius
circuli abc. ak septima.
Hinc e contra si ae fuerit quinta pars circumferentiae circuli
abc facta bd
aequali be, erit ad, hoc est angulus afd pentagoni angulus. Et si ak
est septima pars circuli abc, facta bh aequali ak. Erit angulus afh
eptagoni angulus.
Et ita in aliis.
Sed si fuerit am hoc est angulus afm trianguli angulus. Erit (existentibus
bl~bm aequalibus) al, hoc est afh angulus ad centrum.
Et circumferentia ah tertia pars circuli.
De horologiis, praecipue italicis describendis,
absque divisione tropicorum
et aequinoctialis
Primum inteligantur ea, quae dicta sunt in 129, eodem modo constructa, et
demonstrata. Sitque inventum punctum l, ut in figura 129. Sed ob commoditatem
aliquando loco circuli semper apparentium maximi, poterimus eandem operationem
efficere aliis circulis hoc modo. Nempe sumatur quodvis punctum o in axe fn,
et centro o circulus describatur horizontem contingens. Sitque hic circulus circulo
semper apparentium maximo aequidistans. Erit fcb conus rectus, cuius axis fn, basis
circulus cb, cui aequidistans est circulus klm. Quoniam autem horarii
circuli contingunt circulum cb transeuntque dicti circuli per centrum f;
siquidem maximi sunt. Contingent quoque circuli horarii superficiem conicam, eamque divident
in 24 partes aequales. Quemadmodum dividunt maximum semper apparentium. Ut exempli gratia
horizon, qui est circulus horarius horae 24 tanget circulum cb in b, superficiem vero
conicam tanget secundum lineam flb. Unde circulum klm continget in l.
Similiter horarius, puta, horae 22, continget superficiem conicam secundum lineam fm 22.
Ex quo patet hunc circulum horarium contingere circulum klm in m. Et
ita in aliis. Quapropter circuli horarii dividunt circulum klm in 24 partes aequales, sicuti
dividunt maximum semper apparentium. Itaque possumus loco circuli cb accipere circulum
klm, eodemque prorsus modo operari. Veluti
Producatur kl in d. Ducaturque in plano horologii linea ed ad gd perpendicularis.
Ex 129
erit ed communis sectio circuli klm, et plani horologii. Itaque iungatur om,
cui ducatur in plano circuli klm perpendicularis me. Erit utique me communis sectio
circuli klm, et circuli horarii horae 22.
Quare punctum e in
plano horologii est in linea horaria horae 22. Similiter ad alteras partes sub horizonte in axe sumatur fp
aequalis fo, et centro p circulus describatur qst aequalis, et aequidistans klm,
productisque kf~mf in sq, erit conus fts cono ekl aequalis, quorum axes pe~eo in
directum existunt, circulusque qst horizontem contingat in t. Eodemque modo ostendetur
circulos horarios contingere circulum qst, conumque fts, sicuti contingunt circulum
klm, conumque fkl. Linea igitur horaria horae 22 continget conum fts
secundum lineam fl. Cum sit mfq recta linea.
Sit communis sectio plani horologii, et circuli qst
linea xr, quae ipsi xd erit perpendicularis iunctaque pq, cui
in eodem plano circuli qst perpendicularis ducatur qr.
Erit qr communis sectio circuli qst, circulique horarii horae
22. Quare punctum r in plano horologii erit in linea horaria horae 22. Linea igitur
er in plano horologii est linea horaria horae 22.
Quoniam autem coni fts~fkl sunt recti, et aequales, axisque fp est aequalis
axi fo, qui sunt erecti circulis qst~klm. Erunt ts~km interse aequales
et parallelae. Cum circuli qst~klm sint aequales, sintque ts~kl in eodem plano,
nempe meridiani. Fiat ly aequalis ld. In planoque circuli klm ipsi ly
perpendicularis ducatur yz. Producaturque em
usque ad z. Quoniam enim ts xd sunt parallelae,
similiter tx~ld parallelae, erit tx ipsi ld, ac per consequens
ipsi ly, aequalis; et tl ipsi xd aequalis. At vero quoniam diameter aequinoctialis
fh est ipsis tx~ld aequidistans. Sunt enim omnes axi peo perpendiculares;
erit xh ad hd, ut tf ad fl. Sunt vero tf~fl aequales, cum sint ut pf~fo.
Ergo xh ipsi hd est aequalis. Sed quoniam ly est ipsi tx aequalis. Quarum
tp est ipsi lo aequalis, cum
sint semidiametri circulorum aequalium erit reliqua oy reliquae
px aequalis. Quoniam autem (iunctis lm~tq) circumferentia tq circumferentiae lm
respondet propter lineas rectas lft~mfq in superficie conica ductas, quae ad verticem continent
angulos aequales lfm~tfq. Suntque tf~fq
lf~fm interse aequales, erit basis qt basi lm aequalis. Cumque circuli
qst~klm sint aequales; erit igitur circumferentia tq ipsi lm aequalis.
Quare angulus tpq angulo lom est aequalis.
Unde et reliquus qpx reliquo moy est aequalis. Angulus vero pqr
rectus recto omz aequalis, et recti quoque sunt rxp~zyo, ac propterea aequales,
cum sint rx~zy meridiano erectae lineaeque pq~om sunt aequales,
sunt enim ex centro circulorum aequalium.
Ex 181
erit quadrilaterum pqrx
quadrilatero omzy aequale. Quocirca rx est ipsi yz aequalis.
Ad inveniendam igitur lineam horariam re. Fiat ly aequalis ld,
et ipsi ly in plano circuli klm perpendicularis ducatur yz. Iungaturque om, cui
in eodem plano
ducatur perpendicularis emz. Deinde fiat hx aequalis ipsi hd.
Ducaturque in plano horologii xr ipsi xd perpendicularis.
Fiatque xr aequalis yz. Iunctaque re, erit rc linea horaria
horae 22. Et ita in aliis.
Praxis
Exponatur linea yx. Fiantque xh~hd, dl~ly, deinde lo~hg,
quae sint aequales lineis superioris figurae: iisdem literis signatis. Quae quidem
figura pro Analemmate deserviet. A punctisque xhdy perpendiculares ducantur ad xy.
Centroque o, intervalloque ol circulus describatur; qui ab l
dividatur in 24 partes aequales. Ut factum fuit in 130. Ducatur o22, cui
perpendicularis ducaur ze. Fiat deinde xr aequalis yz, erit ducta er
linea horaria horae 22.
Et ita fiet in aliis. Gnomon vero collocandus erit in g, cuius altitudo gf, ut superioris
figurae. Eritque bhc linea aequinoctialis, quae
a lineis horariis divisa perveniet. Ut ab er in c.
Pro inveniendis punctis tropicorum fiet, ut dictum est in 131, 132, et 130,
in quibus plures traditi sunt modi ad hoc efficiendum.
Novisse etiam oportet, hanc operationem posse fieri circulo semper apparentium
maximo. Nam et eadem demonstratio, et eadem
operatio erit.
Theorema. Propositio
Si oculos parallelas
lineas
videt,
sitque
sectio
lineis aequidistantibus parallela, lineae
in sectione
eruntinter se parallelae.
Sit oculus a, qui
videat aequidistantes lineas bc de
fg \CitMargSign{quomodocunque et ubicunque sitas itaest sive
sint in uno, vel pluribus planis}
sitque
sectio rhk quomocumque
sita
dummodo
sit bc de~fg parallela.
Sintque visuales radii
ba~ca,~da~ea, fa~ga qui
sectionem
secent in lm~no~pq. Iunganturque lm no pq
quae nimirum in
sectione ostendunt, bc~de~fg in sectione
apparent.
Dico lineas lm no pq inter se parallelas esse. Intelligatur per bc planum plano rhk hoc est sectioni
aequidistans, lineae ab ac a planis dividentur parallelis, eritque
17 undecimo
al ad lb, ut am ad mc quare
linea lm est ipsi bc parallela.
Eodemque modo, si intelligatur planum per de aequidistans plano rhk, ostenditur no
ipsi de parallelam esse. Et ita in aliis. Et vero lineae bc de
fg inter se sunt parallelae, ergo et lm no pq inter se sunt
parallelae. Quod demonstrare oportebat.
Corollarium
Ex his patet lm no pq ipsis bc de fg parallelas esse.
Exponantur
eadem, sed sectio
non sit lineis bc de fg aequidistans. Sed sit k
ipsis propinquius. Ostendendum est lineas lm no pq non esse parallelas, et ex parte l
n p in unum, et idem punctum concurrere.
Ducatur
a puncto h in subiecto plano
lineis bc de fg aequidistans
non capisco che cosa Ú in interlinea e che cosa non lo Ú
Deinde ducatur planum per lh~hr, sitque hi,
secetque
ri lineas ac ae~ag in punctis i~t~u.
Erit nimirum ln ipsi it, et np ipsi tu aequalis.
Intelligendum
est tabula esse plano per s~h~k
ducto erecta. as vero oculi
altitudo supra dictum planum.
Quoniam enim mo it sunt aequidistantes siquidem mk~ir sunt
parallelae;
erit, ob similitudinem triangulorum amo~ait, ma ad ai,
ut mo ad it. Sed
cum sit punctum r ipsi s propinquius quam k erit ma
maior
quam ai ergo mo maior
est, quam it. Ac per consequens maior, quam ln. Quia vero lineae
mk~lh sunt
interse aequidistantes,
lineae lm~no non erunt parallelae sed ex
parte ln inter se convenient, cum sit ln minor quam mo.
Itaque concurrant in x. Eritque, ob similitudinem triangulorum xmo
xln, ut mx ad xl, ut mo ad ln. Ostensum autem
est ma ad ai ita esse, ut mo ad it
et
it ln sunt aequales; habebit mo ad
it eandem proportionem, quam ad ln. Quare ita erit mx ad xl,
ut ma ad ai. Eodemque prorsus modo ostenditur mq ad iu ita
esse, ut ma ad ai; Suntque iu~lp aequales, erit mq ad lp,
ut ut ma ad ai hoc est mx ad
xl: linea igitur qpx est recta linea quare
181
producta pq ex p lineis ox mx occurret
in x.
Et ita si plures essent lineae, omnes in x concurrere ostenditur.
Quod demonstrare oportebat.
Propositio
Dico punctum x
aequealtum
esse supra subiectum
planum, veluti punctum a
18 undecimi
.
non riesco a capire i "in interl.''
Quoniam igitur ita est ma ad ai, ut mx ad xl; erit dividendo
mi ad ia, ut ml ad lx. Quare linea li est ipsi ax
parallela.
Sed li est ipsi bc aequidistans, erit igitur ax ipsi bc
aequidistans.
Ac per consequens subiectum planum aequidistans ex quibus liquet punctum x aequealtum s supra subiectum planum ut a . Quod demonstrare oportebat.
In tabula punctum linearum concursus invenire; nempe x.
Ducatur (iisdem positis) sy ipsi bc aequidistans. Producaturque khy. A punctoque y in plano kx ipsi ky perpendicularis ducatur yx; quae fiat aequalis as. Erit ex dictis punctum x punctum quaesitum. Quod facere oportebat.
\VV{{M:\ANTEDEL{
Sequitur demonstratio quae est in 189.
Similiter, si bc de fg non fuerint in plano shk,
ut in praecedentibus, eodem adhuc modo ostenditur lm no~pq
aequidistantes esse, et ln ipsi mo, et np ipsi oq aequalem
esse.
Eodem modo, si bc de~fg non fuerint in uno et eodem plano,
eadem contingent nempe lm~no~pq aequidistantes esse. Et
ln ipsi mo, et np ipsi oq aequalem esse. Quae quidem eodem
modo ostendentur.}:Propositio}}
Si bc de fg fuerint inter s et tabula hk, eodem
prorsus modo, ductis sklbh sgeck, et sub plano shk producta
tabula lineis hp~kq plano shk erectis, ductisque abl adn
apq
acm aeo demonstrabitur, lineas lm~no pq
aequidistantes esse, et ln mo inter se aequales esse. Veluti
np~oq.
Idemque pari ratione ostenditur, si aequidistantes lineae bc~de~fg
non fuerint in eodem plano.
Sequitur demonstratio quae est in 190.
Eodem modo, si bc de fg non fuerint in plano shk, ut in praecedenti, ostenditur lm
no pq in unum et idem punctum concurrere.
Quod idem continget, etiam si bc de fg in uno, et eodem plano
non fuerint, punctum x invenietur ut in praecedenti. Protrahendo khy, ductaque sy ipsi hr
aequidistans, ductaque ad yk perpendicularis yx, quae fiat aequalis sa.
Et inventum erit punctum x. Hac eadem quoque ostenditur, si lineae bc de fg fuerint
inter tabulam hk, et punctum s. Quae quidem in tabula erunt sub plano shk.
Si oculus videt lineas aequidistantes in subiecto plano
existentes, quae sint sectionis lineae
perpendiculares lineae in tabula
apparentes in unum, et idem punctum convenient in subiectum planum aequealtum ut oculus.
Sit oculus a cuius altitudo supra subiectum planum sit as qui quidem aequidistantes lineas bc~de ~fg in subiecto plano existentes videat;
sitque
sectionis linea bf
sintque lineae bc~de
fg
plano bsf erectae
lineae autem que in sectione ostendunt}{M:\ANTEDEL{Erit utique planum bxf subiescto plano in quo (?) sunt lineae aequidistantes erectum. Lineaeque bc~de~fg ipsi (lineae) bq perpendiculares erunt. (Sint vero autem) lineae vero secundum quas osulus in tabula videt }:lineae
lineas bc~de~fg, sint bl~do~fm.
Dico bl~do~fm in unum, et idem punctum
concurrere
quod supra subiectum planum sit
aequealtum ut a. Sit sectio bxf,
quae vel erit subiecto plano erecta vel
minus.
Sit autem quomodocumque lineae
autem bc~de~fg
sint vel fiant interse aequales
ceg
recta linea
quae ipsi bf erit aequidistans.
Eritque bd ipsi ce et df ipsi eg aequalis.
Sint visuales
radii
cla eoa gma qui sectionem
secant
in punctis l~o~m puncta
b~d~f sunt in sectione
in
in iisdemmet punctis b~d~f in sectione apparentes.
Iungantur
188
lo~om et quoniam punctum l in sectione ostendit punctum c, o ipsum e et m ipsum g
erit lo ipsi ce et
om ipsi eg aequidistans recta vero linea est ceg ergo recta
quoque est lom. Quoniam itaque lo est ipsi aequidistans; erit ob similitudinem
triangulorum ace alo, ut ca ad al ita ce ad lo. Est vero
ca maior quam al. Ergo et ce maior est, quam
ol. Cum vero sit bd ipsi ce aequalis.
Erit bd maior
quam lo.
Et quoniam bd~lo sunt ipsi ce aequidistantes, erunt bd~lo
inter se parallelae. Lineae igitur bl~do ex parte l o inter
se convenient. Itaque concurrant in x.
Eodemque modo ostenditur lm minorem esse, quam
bf, ipsique parallelam esse. Unde et bl~fm inter se
convenient. At vero quoniam bd~lo
sunt parallelae, erit ob similitudinem triangulorum bdx lox, ut
bx ad xl, ut bd ad lo. Cumque sit ce ipsi bd aequalis,
eandem habebit proportionem ce ad
lo, quam habet bd ad lo. Ut
vero ce ad lo ita est ca ad al; erit igitur bx ad xl,
ut ca ad al. Eademque ratione
ostenditur ita esse ca ad al, ut cg ad lm.
Est vero bf equalis ipsi cg. Erit igitur bf ad lm ut ca ad
al.
Sed est ca ad al, ut bx ad xl.
Ergo erit bf ad lm ut bx ad xl, suntque df lm parallelae.
Linea igitur fmx recta est. Quare fm ex m producta ipsis bx dx in idem punctum x
occurret. Et ita ostenditur omnes alias in x concurrere.
Dico insuper punctum x aequealtum esse supra subiectum
planum,
sicut punctum a.
Quoniam enim ita est ca ad al, ut bx ad xl, erit dividendo
cl ad la, ut bl ad lx. Estque angulus bla ipsi xla
aequalis cum sint ad verticem.
Ergo triangulum blc triangulo xla est simile. Ac propterea angulus
xbc angulo bxa est aequalis.
Quare linea ax est ipsi bc, et ideo subiecto plano
aequidistans. ergo punctum x supra subiectum planum est
aequealtum ut a.
Itaque punctum in quo lineae in sectione concurrunt puta x, vocatur
punctum linearum conrcursus.
Punctum x invenire.
\Smargsign{Haec demonstratio totius est per resolutionem
compositionem}.
Ducatur sr ipsis bc de fg aequidistans. Et in tabula ducatur
rx perpendicularis ipsi bf. Fiatque rx aequalis sa. Quoniam
enim planum ductum per punctum x, et lineam as est planum
ax~rs. Cum sint as xr subiecto plano per sr bf ducto
perpendiculares.
Et quoniam ax est aequidistans bc, quae est ipsi sr parallela,
erit ax ipsi sr aequidistans. Parallelogrammum est igitur xs ac
propterea xr est ipsi as aequalis, punctumque x ex dictis est
punctum
quaesitum. Quod facere oportebat.
\VV{{M:\INTERL:Si vero}{M:\ANTEDEL{Sit ut antea oculus a (cuius altitudo (supra subiectum planum) sit as. In quo) sectionis linea (sit) fh et sint vero aequidistantes lineae bc~de fg, (partim in subiecto plano ut fg partim non ut bc~de) non fuerint in uno, et eodem subiecto plano nihilomninus. (Dico) lineas in tabula (sectione) has (ipsas bc~de~fg) ostendentes in unum et idem punctum x concurrere ostenditur. (Aequealtum supra subiectum planum ut a). Intelligatur (subiectum planum id quod per s lin) enim planum per bc ductum subiecto plano hoc est tabula (sectioni) fxn erectum. Iam ex praecedenti constat omnes lineas, quae in tabula (sectione) ostendunt lineas in hoc plano ipsi bc aequidistantes, quae quidem tabulae fxn erunt erectae; in x concurrent ut bx, quae ostendit bc. Quod idem demonstrabitur de linea de, et de fg. Quare omnes in x conveniunt. Quod demonstrare oportebat.
Iisdem positis et constructis}:Si}}
lineae bc de fg sint inter punctum
s et sectionem; lineas lb~od~mf
in sectione, infra vero
subiectum planum per s et sectionis lineam bf ductum existentes, ipsasque bc~de~fg
ostendentes.
In idem punctum x concurrere similiter ostenditur.
Sit data linea bc. Datum vero punctum a recta lineam.
Sitque datus angulus acutus def. Oportet a puncto a
lineam ac ducere, quae angulum acb dato angulo
def aequalem efficiat.
Producatur de in g, et ipsi dg perpendiculariter agatur he a punctum a ad bc perpendicularis ducatur ab.
Deinde fiat angulus bac aequalis angulo hef.
Et quoniam angulus abc est aequale angulo geh cum sint recti, angulus
vero bac est
angulo hef aequalis, erit reliquus angulus acb
reliquo fed aequalis cum sit tres anguli trianguli duobus rectis aequales;
veluti sunt geh,~hef,~fed duobus rectis aequales.
Quare angulus c est dato
angulo acuto def aequalis.
Quod facere oportebat.
Eadem, ut in 193, exponantur sed lineae bc,~de,~fg non
sint sectionis lineae bf erectae.
Lineae autem quae in sectione ostendunt lineas bc,~de,~fg,
sint eodem modo bl,~do,~fm. Sitque sectio quomodocumque sita;
hoc est sive subiecto plano erecta, sive minus.
Dico lineas bl,~do,~fm in unum, et idem punctum concurrere. Quod
erit supra subiectum planum auquealtum, ut a.
Ducantur bh,~fk ipsis bc,~de,~fg perpendiculares.
Planaque erigantur bph, kqf subiecto plano erecta quae intelligantur esse altrae duae sectiones
ducatur visuales radii c9lua,~eiona,~gzmta. Producanturque de~fg donec ipsi bh occurrat in punctis r,~h,~b,~t vero et de secet fk in punctis y,~k lineae} {M:\INTERL\ANTEDEL{lineae autem bc,~de,~fgproductae secant lineam hb in punctis r,~h. fk veri in y,~k quae autem}:ducatur.
Quae
ostendunt lineas bc~re~hg
in
sectione bph sint bu,~rn,~ht. Quae in unum, et idem
punctum conveniant, ut in p. Ita ut ducta ap sit ipsis bc,~re,~hg aequidistans.
Lineae vero easdem lineas kc,~ye,~fg
in sectione kqf
ostendentes sint k9,~yi,~fz.
Quae similiter in unum punctum, puta q concurrent. Ita ut ducta aq sit ipsis bc,~de,~fg aequidistans et quoniam ap,~aq sunt eisdem lineis aequidistantes erit apq recta linea.
Questa è la medesima proposizione della 190. che potrà servir per Aliter.
Quoniam
autem in triangulo cbu sunt lineae bl,~k9,
erunt lineae bu,~bl,~k9 in uno, et eodem plano.
Quia vero rectae lineae bup,~k0q lineas coniungunt
parallelas pq,~bk. Erunt
bp,~kq in eodem plano, in quo sunt pq,~bk. Quare planum erit bpqk
cuius pars est planum bu9k. Quod quidem planum est idem cum plano trianguli cbu, in quo
est etiam linea bl. Quoniam igitur bl st in
plano pk
convenitque bl cum linea bk in b; conveniet quoque bl
producta cum pq.
Itaque producatur, atque ipsi pq occurrat in x. Eademque ratione ob triangulum
enr, in quo sunt lineae do,~yi; triangulumque enr est in plano rpqy, ostenditur do ipsi pq occurrere.
Parique ratione, cum sint lineae fm,~fz in triangulo gth, quod est in plano hpqf demonstrabitur lineam fm
lineae pq occurrere.
Tres igitur lineae bl,~do,
fm in linea
pq conveniunt.
Sunt vero bl,~do,~fm in uno et eodem plano. Ergo omnes in unum,
et idem punctum in linea pq existens concurrent, ut in x.
Planum enim per b,~x,~f ductum in uno tantum puncto linea
pq \Cong{dispescit}.
Quod necesse est id esse, in quo lineae bl,~do,~fm conveniunt inter se. At vero quoniam punctum
x est in linea aq, quae
est lineis bc,~de,~fg, hoc est plano scg
aequidistans.
Erit punctum x aequealtum, ut a. Quod demonstrare oportebat.
Punctum x invenire
Ducatur sa ipsi bc aequidistans, et
si sectio est plano scg erecta, in ipsa ducatur a puncto a ad bk perpendicularis ducatur ax,
quae fiat aequalis as. Erit x punctum quaesitum. Planum enim per x, et as ductum, est ipsum
asax.
Sunt quippe as,~xa, et ax,~sa parallelae.
Idemque accidere similiter ostenditur, si lineae repraesentandae essent
inter
sectionem, et punctum s, lineae has ostendentes sub plano per s,~b,~f ducto existerent. Ut supra in aliis dictum est.
Si autem sectio bxf subiecto
plano nempe per sd, bf ducto inclinata; cuius inclinatiosit angulus k.
Ducatur sd ipsis bc de,~fg
aequidistans sectionis in linea sd
\VV{{*:\INTERL:vel producta vel non}{M:\ANTEDEL{(producta si opus est)}:vel}}
quodvis sumatur punctum m
a quo ad planum per sd bf ductum hoc est subiectum planum
erigatur perpendicularis gl;
quae plano sectionis bxf occurrat in puncto l.
Deinde ab eodem puncto m ducatur ad bf perpendicularis
gh, et iungatur hl, quae
43 sexti libri Pappi
erit
perpendicularis ipsi bf erit
lhg angulus inclinationis
transientis.
Deinde iungatur ld, quae erit
in plano
sectionis bxf, cum in hoc plano sit triangulum hld.
Deinceps ducatur
linea an, quae faciat
196
angulum ans aequale
angulo lm.
Producaturque dl in x. Fiatque dx aequalis na iunctaque ax, erit haec ipsi sd, ac per consequens ipsi bc aequidistans. Cum sint an,~dx aequales, et parallelae.
Ergo ex dictis x est punctum quaesitum.
In una et eadem tabula infinita possunt esse puncta linearum concursus
supra subiectum planum aequealta.
Oculus a cuius altitudo supra subiectum planum sit as. Sit sectionis linea bf, sectio autem sit quomodocumque sita hoc est sive subiecto plano erecta, sive minus.
Sintque in subiecto plano parallelae lineae bc,~de,~fg.
Deinde aliae bh,~dk,~fl. Denique aliae
quoque
bm,~dn, fo.
In tabula autem
punctum concursus linearum bc,~de,~fg.
Sit x.
Itidemque concursus linearum bh,~dk,~fl sit punctum
p.
Linearum vero bm,~dn,~fo punctum
concursus sit q.
Iungaturque bx,~dx,~fx, bp,~dp,~fp, bq,~dq,~fq.
Ex dictis enim
bc,~de ,~fg
in sectione apparent in lineas bx,~dx,~fx.
Lineae vero bh,~dk,~fl in
lineis apparent bp,~dp,~fp.
Atque lineae bm,~dn,~fo in lineis apparent bq,~dq,
fq.
At vero quoniam infinitis modis
in eodem
plano possumus ducere lineas parallelae diversimode collocatae infinita quoque possunt
esse puncta{linearum concursus}
Cumque unum quodque
punctum linearum concursus sit aequealtum supra subiectum planum ut oculus a. Ergo infinita
esse possunt puncta linearum concursus supra subiectum planum aequealta.
Quod demonstrare oportebat.
Aliter, quae in 193 et 197 demonstrata sunt tantum unica demonstratione
ostendemus. Exponantur eadem, et sit sectio bxf quomodocumque sita.
Et a puncto s ipsi bf aequidistans ducatur nh producaturque cb,~ed,
gf
donec adhic linea occurrat in n,~p,~h
linea vero sectionis in punctis b,~d,~f.
Iungatque ah,~ap,~an.
Ducanturque visuales radii cls,~eoa,~gma. Quoniam enim planum
trianguli agh transit per a, possibile erit per a in hoc plano per agh ducto ipsi hg parallelam lineam ducere. Itaque ducatur, et sit ax. Et quoniam fm est in plano trianguli ahg, ac per consequens est in plano per ax,~hg ducto. Si igitur fm producatur, ipsam ax secabit, quandoquidem ipsa
hg ipsi ax parallelam
dispescit. Quonima autem nc est aequidistans ipsi hg.
Erit, et ax ipsi nc aequidistans.
Quare ax,~nc in uno sunt plano, in est etiam lineam an siquidem parallelas
ax,~nc secant. Sed lineae lb sunt in eodem plano linearum ac,~cn
linea igitur bl producta
ipsam ax secabit cum ipsi nc occurrat in b.
Parique ratione ostenditur planum ape per ax transire; lineaque do producta
ipsa ax dispescere. At vero quoniam bl,~do,~fm in uno sunt plano, nempe tabulae, lineae bl,~do,~fm in uno tantum puncto secabunt lineam ax, ut in x. Planum enim bxf, in quo sunt lineae bl,~do,~fm, lineam ax in x tantum secat. Quod est punctum, in quo lineae concurrunt.
At vero quoniamax est ipsis bc,~de,~fg aequidistans. Ac propterea est subiecto
plano aequidistans. Erit punctum x super subiectum planum aequealtum ut oculus a. Quod demonstrare oportebat.
Si oculus videt lineas subiecto plano perpendiculares; sitque tabula eidem plano
erecta;
lineae, in sectione apparentes,
erunt et subiecto
plano et sectionis lineae perpendiculares.
Sit oculus a, qui videat lineas bc,~de, quae sint perpendiculares subiecto
plano per sc,~se ducto.
Sitque
sectionis linea
fg sectio autem sit subiecto
plano
erecta.
Lineaque
in sectione apparentes sint hm,~kl.
Dico hm,~kl subiecto plano per
erectas esse.
Sint visuales radii bha,~cma,~dka,~ela.
Quoniam
enim linea bc est subiecto plano
erecta, erit
18 undecimi
planum trianguli abc eidem plano erectum. Et quoniam hm est in triangulo abc, eademque hm est in tabula, erit hm
trianguli
abc, ac tabulae communis sectio. Tabula vero et planum abc sunt
subiecto plano
erecta. Ergo linea
19 undecimi
quoque hm subiecto plano
erecta erit. Eodemque modo ostenditur kl esse
eodem plano
erecta.
Et
quoniam fg
est
in subiecto
plano. Suntque hg, kf subiecto plano
erectae. Ergo et ipsi
fg perpendiculares erunt. Quod demonstrare oportebat.
Aliter
Iisdem constructis quoniam enim bc, de sunt subiecto plano
perpendiculares,
estque sectio eidem plano erecta, erunt bc, de sectioni aequidistantes. Quare hm, kl
et
inter se et ipsis bc,~de sunt parallelae, sunt autem bc, de subiecto plano erectae, ergo hm, kl sunt subiecto plano perpendiculares. Quod autem hg, kf sint ipsi fg perpendiculares eodem modo ostenditur. Quod demonstrare oportebat.
Si oculus
videat datas lineas quomodocumque sitas quae tamen existant in planis per ipsas et oculum ductis subiecto plano erectis. Sectio autem sit quoque subiecto plano erecta
lineae in sectione apparentes erunt subiecto plano perpendiculares .
Sit oculus a, datae autem utcumque lineae bg, cf.
Sit sectionis linea fg sectioque sit subiecto plano erecta. Plana vero per bg et a, et cf et a ducta sint subiecto plano erecta.
Lineae autem in sectione apparentes sint ef,~dg.
Dico lineas dg,
ef subiecto plano per sgf ducto perpendiculares esse.
Sint visuales radii bda, ga, cea, fa.
Quoniam enim sectio planumque agb,
sunt subiecto plano
erecta. Lineaque dg horum planorum est communis sectio; erit dg subiecto plano
perpendicularis. Similiterque ostenditur ef plano sgf erectam esse. Quod demonstrare oportebat.
Sit oculus a supra subiectum planum per sbf
ductum altitudine as. Aequidistantes vero
lineae
in uno plano existentes sint bc,~de,~fg
quae non sint sectionis lineae bf aequidistantes
planum autem}{M:\ANTEDEL{aequales quae quod quidem}:planum
in quo sint parallelae lineae sint subiecdto plano
inclinatum. Sitque tabula bxf quomodocumque sita. In qua sint lineae bl,~do,
fm apparentes.
Dico bl,~do,~fg in unum, et idem punctum concurrere, aequealtum supra planum per
bc, de, fg ductum, veluti est punctum a.
Sint bc, de, fg aequales quae cum non sint ipsi bf parallelae, cum ipsa concurrent quare concurrant in bdf sintque
visuales radii cla, eoa, gma.
Iunganturque ceb, quae quidem recta erit linea, cum sint bc,~de,~fg aequales, et parallelae. Eritque ceg ipsi bf aequalis et aequidistans. Iungantque deinde lo,~om, quae erit recta linea, cum sit
cg sectionis linea bf aequidistans.
Quoniam
enim ce, lo sunt aequidistantes, ob similitudinem triangulorum ace, alo erit ut ca ad al, ut ce ad lo. est autem ca maior, quam al, ergo ce maior est, quam lo. Quia vero ce est aequalis bd, erit bd maior, quam lo. Suntque bd, lo parallelae, cum sit ce ipsis bd, lo aequidistans; lineae igitur bl, do ex l, o productae
concurrent. Quare concurrant in x. Ob similitudinemque triangulorum bxd, lxo, erit bx ad xl, ut bd ad
lo et ut bd ad lo, ita ce ad lo. Ut vero ce ad lo, ita est ca ad al. Ut igitur bx ad xl,
ita ca ad al. Eademque ratione ostenditur ita esse bx ad xl, ut bf ad lm. Estque lm ipsi bf aequidistans. Ergo fm
producta puncto x occurret. Quare bl, do, fm in unum,
et idem punctum concurrent. At vero quoniam ita est ca ad al, ut bx ad xl, dividendo erit cl ad
la, ut bl ad lx. Ducta igitur ax est ipsi bc, ac per consequens plano per bc, de, fg ducto aequidistans. Ergo punctum x supra hoc planum est aequealtum ut a. Quod demonstrare oportebat.
Aliter
Iisdem constructis. Intelligatur planum per bc, de, fg ductum productum esse; cui
ab a perpendicularis ducatur
ah.
Tunc si intelligatur
planum per h et bf ductum esse subiectum planum in quo sunt lineae bc, de, fg manifestum est lineas bl, do, fm in idem punctum concurrere, esseque punctum x supra dictum planum aequealtum, ut a. Quod demonstrare oportebat.
Le altezze
Corollarium
Ex hoc manifestum est si intelligatur panum sbf horizonti aequidistans; punctum x linearum
concursus non esse supra hoc planum semper aequealtum, ut oculus a. Ut nonnulli fortasse falso extimarunt.
Punctum x linearum concursus invenire.
Ducatur snk perpendicularis ad bf. Iungaturque an, quae
34 sexti libri Pappi
eidem bf perpendicularis erit. Rursus ipsi bf in plano per bc, de, fg ducto perpendicularis ducatur np, quae producatur ipsique ad a perpendicularis agatur ah. Erit utique
2 undecimi
ah plano per bc, de, fg ducto perpendicularis. Eritque snh veluti knp inclinationis angulus planorum per bc, de, fg et per sbf ductorum. Itaque invento puncto h, et altitudine ah, ex 198, et 199 invenietur punctum x.
In
eadem tabula,
infinita possunt esse puncta linearum
concursus supra subiectum planum non aequealta.
Sit oculus a cuius altitudo supra subiectum planum sit as. Sectionis vero linea sit bf. Sectio autem sit quacumque. Exponantur
in uno plano
aequidistantes lineae bc, de,
fg
quod quidem planum ad subiectum
planum
sit inclinatum in angulo r. Similiter bh, dk, fl sint
in
altero plano
aequidistantes quod ad subiectum
planum sit inclinatum in angulo t.
Lineae vero parallelae bm, dn, fo sint in subiecto
plano
bh bc, bm non sint in uno
et eodem plano veluti dk, de, dn et fl, fg, fo sectione autem sit punctum
x linearum concursus ipsarum bc, de, fg. Linearum vero bh, dk, fl punctum concursus sit punctum q. Linearum autem bm, dn, fo sit punctum p.
Si
igitur iunganturque bx, dx, fx, bq, dq, fq, bp, dp, fp parallelae lineae.
bc,
de, fg in sectione apparebunt in bx, dx, fx
lineae vero
bh, dk, fl apparebunt in bq, dq fq
lineae
denique bm, dn, fo apparebunt in bp, dp,
fp
si
igitur iungantur ax, aq, ap erit ax ipsis bc, de, fg aequidistans,
aq vero ipsis bh, dk, fl, et ap ipsis bm, dn, fo parallela erit.
Parallelae vero lineae sunt in diversis planis diversas inclinationes habentibus. Ergo puncta x,
q, p non erunt supra subiectum planum aequealta. Quoniam autem
infinitis modis lineas ducere possumus parallelas in planis existentes, magis, minusque subiecto plano inclinatis, infinita quoque poterunt esse puncta linearum concursus, quae non erunt supra subiectum planum aequealta. Quod demonstrare oportebat.
Hoc sequitur 188 est enim pars illius
propositionis.
si ab cd sint horizonti herectae, videntur erectae quare et aequidistantes videntur
(omittatur nunc qui? ex bd in centrum mundi concurrant) linea tamen ac minor videtur
quam fg, et fg quam bd. Ratio haec est.
Sint aequidistantes lineae ab cd plano ebd erectae. Sitque ebd angulus rectus.
Sintque ac fg bd aequidistantes. Iungantur ea ec, ef eg. Dico
angulos efg eac ipsi ebd aequales esse. Angulum vero feg minorem esse angulo bed,
et aec minorem feg. Angulum efg maiorem esse angulo edb, et eca maiorem angulo egf.
Quoniam enim ab est erecta plano ebd, erit dba angulus rectus. Sed et dbe est rectus;
linea igitur bd
4 undecimo
est plano eba perpendicularis. Quia vero fg ac sunt ipsi
.bd parallelae; erunt
8 undecimi
fg ac eidemplano eab erectae.
Quare angulus efg est rectus. Veltui eac rectus. Unde anguli efg eac sunt ipsi ebd
aequales. At vero quoniam angulus ebf est rectus, erit ef maior que eb.
Quare secetur ef in h. Sitque fh aequalis eb. Iungaturque hg. Et quoniam
parallelogrammum est fd, erit fg ipsi bd aequalis; sed et fh est ipsi be aequalis,
et anguli ebd hfg, quos continent, sunt aequales, nempe recti; erit triangulum hfg
triangulo ebd aequale. Ac propterea angulus fhg angulo bed, et angulus fghangulo bde
aequalis. Sed cum angulus feg minor est angulo fhg, erit angulus feg
minor angulo bed. Hacque prorsus ratione ostenditur angulum aec minorem esse angulo feg.
Et eca minorem angulo egf. Quod demonstrare oportebat.
Sit datum punctum c. Oporteatque invenire ubi punctum c apparet in tabula erecta plano per
bt et s ducto. Ducatur ut in 193 sr rx. Deinde in linea bt fiat rt aequalis et rs
et in tabula ducatur tu perpendicularis lineae tb. His ita expositis ducatur cb ipsi tb
perpendicularis. In lineaque bt fiat bh (non ad partem t, sed ad alteram) aequalis bc.
Ducanturque bx hu,
quae se invicem secent in l. Dico punctum l in tabula ostendere punctum c. Iungantur st
hc. Quoniam enim bc sr sunt ipsi rb
wieso ist der satz ``perpendiculare... recto'' ausgegraut? steht im manuscript ohne durchstreichung!!
srt aequalis. Quare anguli rst rts uno recto aequales simul sunt angulis bhc bch
aequales. Quia vero lineae sr rt sunt aequales; erit angulus rst aequalis rts.
Qui cum ambo simul sint uni recto aequales, erit rts recti dimidius. Ob eandemque causam cum
sint lineae bc bh aequales; erit anguus bhc recti dimidius. Unde sequitur angulum rts
angulo bhc aequalem esse. Ac propterea linea st ipsi ch est aequidistans. At vero quoniam
ducta est st ipsi ch aequidistans. In tabulaque ducta est tu ipsi tb perpendicularis,
quae ipsi sa
est
aequalis. Erit
190 197
punctum u linearum concursus ipsius ch, et omnium, quae sunt
ipsi ch aequidistantium. Quapropter linea hu in tabula ostendit lineam hc, etiam si ex c
infinite produceretur. Sed ex 193 bx in tabula ostendit lineam bc. Ergo cum punctum c sit
in utraque linea ch cb punctum quod
in tabula ostendit ipsum c erit ubi
se invicem secant hu bx. Quare punctum l
, ostendit
punctum c. Quod facere oportebat.
Itaque, duobus tantum punctis u x, inveniri poterit quodlibet datum punctum in subiecto
plano, ut g. Ducta nempe gf ad fb perpendiculari; factaque fk ipsi fg aequalis sed
non ad partes t. Deinde ductis ku fx, quae se invicem secent in m. Punctum m in
tabula ostendit punctum g. Quod eodem prorsus modo demonstrabitur. Ducta nempe gk, quae
ipsis st hc aequidistans esse ostenditur.
Quod si ducta fuerit gc, iungatur ml, ostendit haec in tabula lineam gc.
Quod idem in aliis punctis, et aliis lineis fieri potest.
Praxis
Cadat perpendicularis ab oculo ad subiectum planum in s, cuius altitudo sit data, quae sit
d. Communis autem sectio plani, et tabulae supra planum erectae sit tb. Data vero linea,
quam repraesentare oportet sit cg. Ducatur a puncto s ad tb perpendicularis sr.
Fiatque rt aequalis rs. Ducaturque a punctis t r ipsi tb perpendiculares tu rx.
Et unaquaeque fiat aequalis datae altitudini ipsius oculi supra subiectum planum, hoc est
aequalis ipsi d. His constructis ducatur cb ipsi tb perpendicularis. Fiatque ad alteram
ipsius t partem bh aequalis bc. Iungaturque bx hu, quae se invicem secent in l.
Punctum l in tabula ostendit ipsum c. Similiter fiat gf perpendicularis ipsi tb,
et fiat fk ipsi fg aequalis. Ducanturque fx ku, quae se secent in m. Punctum m
ostendit punctum g. Quare iungatur ml, ostendit ml in tabula lineam gc, oculo existente
supra punctum s altitudinbe d. Quod facere oportebat.
His itaque tantum duobus punctis u x quodlibet
aliud punctum in subiecto plano datum ac per consequens quaelibet data linea
in tabula eodem prorsus modo invenientur.
Hae
SPECIFICARE CHE C'E' SCRITTO: HIC SEUITUR PRAXIM 208
autem operationes hoc modo sunt intelligendae, nempe, ut in subiecto plano inveniatur
puncta, lineae, superficies ut apparent in tabula. Quae ostendant puncta lineae superficies,
et corpora, quae ab oculo cernuntur? Ut in hac praxi exempli gratia, si intelligantur planum,
in quo sunt lineae rx tu bx, hu fx ku, et kl erectum supra
subiectum planum, in quo sunt lineae th gc, et punctum in s.
Tunc si oculus esset ad subiectum planum perpendiculariter erectus supra
punctum s altitudine d, visuales radii et cg ad oculum pervenientes per lm transirent,
ita ut in tabula linea lm ipsam ostenderet cg. Quod idem in aliis operationibus observandum
est.
Sit
rursus oculus a cuius altitudo as, sitque sectionis linea nf.
Data vero figura bcd oporteat in erecta sectione figura apparente
describere oporteatque duabus tantum punctis a, s uti
ducantur ac, sc, et ipsi sc
a puncto
n
in sectione perpendicularis ducatur nl fiatque ut sc ad cn ita as ad nl.
Dico primum punctum l in tabula ostendere.
Quonima enim as est subiecto plano
erecta, erit as ipsi sc perpendicularis, sed et ln est ipsi sc perpendicularis ergo as, ln sunt parallelae. Et quoniam as est subiecto plano erecta, erit ln eidem plano erecta. Sed tabula est subiecto plano erecta, erit igitur punczum l in tabula. Quare propter lineam cla visualem, ostendit punctum l ipsum c. Duobus igitur tantum punctis sa quodlibetaliud punctum inveniemus ut si in subiecto plano datum fuerit aliud punctum g. Ductis ag skg.Ductaque km ipsi sg perpendiculari, ostendit intabula punctum m ipsum g.
Et si connectatur cg. Iungatur lm, ostendit lm in tabula ipsam cg. Fiat praxis
inveniendo puncta l, m supra n, k perpendiculariter quantitate nl km quod fiet demittendo triangula asc, asg cum lineis nl, km subiecto plano quae quidem deservient, ac si essent erecta. Cum sint eadem hoc modo
Praxis
Datum sit punctum c, linea vero tabule kn. Cadatque perpendicularis ab oculo in subiectum
planum in s, cuius altitudo sit d. Ducatur sc, cui perpendicularis ducatur sa, quae
fiat aequalis d. Iungaturque ac. Et a puncto n ad sc perpendicularis ducatur nl.
Invento itaque puncto n, inventaque altitudine nl, fiat a puncto n ad nk
perpendicularis nb. Quae fiat aequalis ipsi nl. Punctum b in tabula ostendit punctum c.
Et hoc modo invenietur punctum e. Quod in tabula ostendat ipsum g, ductaque be lineam
cg ostendit.
Quod facere oportebat.
Eadem, ut in praecedenti demonstratione exponatur. Atque punctum l ostendat in tabula ipsum
c. Deinde in subiecto plano ducatur sb ipsi dk aequidistans, quae fiat aequalis sa.
Ducaturque bdc. Dico dn in subiecto plano ipsi nl erectae aequalem esse. Quoniam enim
as ln sunt parallelae, erunt triangula acs lcn similia quare est sc ad cn, ut as
ad nl. Similiter cum sint bs dn parallelae, ob similitudinem triangulorum scb ncd,
erit sc ad cn, ut sb ad nd. Quapropter erit as ad nl, ut sb ad dn.
Et permutando as ad sb, ut nl ad dn. Suntque as sb aequales ergo dn ipsi nl
est aequalis.
Similiter cum punctum m in tabula ostendat punctum g, ducta bfg ostenditur fk aequalem
ipsi km. Iuctaque lm ostendit haec lineam cg.
Praxis
questa si pó far alla rovescia.
Sit datum punctum c, linea vero tabulae sit dk. Perpendicularis vero
ab oculo in subiectum planum cadat in s, cuius altitudo sit h. Ducatur sb aequidistans
ipsi dk. Fiatque sb ipsi h aequalis. Ducaturque sc bc, quae ipsam dk secent in n
d, a punctoque n ipsi dk ducatur perpendicularis ipsi nl, quae fiat aequalis ipsi nd.
Ostendit punctum l in tabula ipsum c. Similiter ductis sg bg, factaque km aequali
kf, quae sit perpendicularis ipsi dk, ostendit punctum k ipsum g. Ductaque lm
ostendit lm lineam cg. Quod facere oportebat.
Sit ostendendum punctum c in sectione supra subiecto plano erecta. Intelligantur eadem
ut in 207. Ducatur snc, et a puncto c ipsi fb ducatur perpendicularis
cf rursus in sectione a puncto n ipsi fb perpendicularis ducatur nl. Iungaturque fx.
Quae nl secet in l. Dico punctum l in sectione ostendere punctum c. Primam quidem ex
209 patet, punctum in sectione quod ostendit ipsum c, esse in linea nl. Sed ex 207 est
etiam in linea fx. Ergo ubi se invicem secant, ut in l est punctum, quod in sectione
ostendit ipsum c.
Duobus igitur tantum punctis s x inveniemus in sectione quodlibet punctum quaesitum.
Ut ducta skg, factaque gb ipsi fb perpendiculari. Rursusque ipsi fb in sectione facta
perpendiculari km. Ductaque mx, punctum m ostendit ipsum g. Ductaque lm ostendit
lineam cg.
Praxis
Cadat perpendicularis ab oculo in subiectum planum in s. Duaturque sr ipsi bf
perpendicularis. Fiatque rx aequalis altitudini oculi. Inventisque punctis s x.
Sit datum punctum c in subiecto plano. Ducaturque snt, et a puncto c ipsi cf
perpendicularis ducatur cf, quae intelligantur in subiecto plano. Inventis autem punctis
f n nunc intelligantur sectio per fb et x transiens. Ducaturque nl ipsi fb
perpendicularis. Iungaturque fx, quae ipsam nl secet in l. Punctum l in sectione
ostendit ipsum c. Eodemque modo invenietur punctum m ostendens ipsum g. Ductaque $lm
ostendit lineam cg$. Quod facere oportebat.
Eadem construantur fiat rrt aequalis rs. In sectione autem ipsi fr ducatur tu
perpendicularis, quae fiat aequalis sa. Deinde ut in praecedenti ducatur snc ipsique
tr perpendicularis ducatur cf. Fiatque (non ad partem t) fk aequalis fc. In sectione
autem ducatur ipsi ft perpendicularis nl. Ducaturque ku, quae ipsam nl secet in l.
Dico punctum l ostendere ipsum c. Ex praecedentibuss, et ex 209 constat punctum, quod in
sectione ostendit ipsum c, esse in linea nl.
Sed ex 207 est etiam in linea ku, quae
quidem lineae cum se invicem secent in l, ostendit l in sectione punctum c. Parique
ratione duobus tantum punctis s k alia invenientur puncta autem? invenietur
punctum m, quod ostendit ipsum g. Lineaque lm ipsam cg.
Iisdem positis Loco autem cf fk. Iungatur st cui aequidistans ducatur
ck. Ducaturque ku, quae ipsam nl secet in l.
ostedit (ex 207) linea ku ipsam kc.
Ergo punctum l in sectione ostendit punctum c.
Bisogna far la sua figura.
Praxis
Perpendicularis ab oculo in subiectum planum cadat in s. Ducaturque sr ipsi tr
perpendicularis. Fiatque rt aequalis rs. Ipsique tr agatur perpendicularis tu.
Sitque datum punctum c. Intelligaturque nunc subiectum planum. Ducaturque snc, ducaturque
cf ipsi fr perpendicularis. Fiatque fk aequalis fc. Inventis punctis n k,
intelligatur nunc sectio per tr et u transiens. Ducaturque nl ipsi nr perpendicularis.
Iunctaque ku, quae nl secet in l. Erit punctum l in sectione quaesitum. Quod quidem
ostendit ipsum c. Parique ratione invenietur punctum m, quod ipsum g ostendit. Lineaque
lm ipsam cg in sectione represaentabit.
Praxis
Loco autem cf et fk. Iungatur st, cui aequidistans ducatur ck. Iungaturque kl, quae
nl secabit in l. Punctumque l ostendit ipsum c, et ita in aliis.
Bisogna far la sua figura.
Iisdem positis, fiat rt rz aequales ipsi sr. Ducaturque tu zy perpendiculares ipsi
fz, quae fiant aequales ipsi as. Deinde a puncto c ducatur ipsi fr perpendicularis cf.
Fiatque ex utraque parte fb fk aequales ipsi fc. Ducaturque ku b y,
quae se invicem
secent in l. Dico punctum l ostendere in sectione ipsum c.
Quod patet ex 207. Hisque
duobus punctis u y alia omnia puncta inveniemus, ut m,
quod quidem ipsum g ostendat,
lineaque lm ipsam cg
repraesentabit.
Ut in praecedenti fiat rt aequalis rs, ad alteram quoque
partem fiat rz eidem rs
aequalis. Ipsique tz perpendiculares ducantur tu zy.
A datoque puncto c ducatur in
subiecto plano cf perpendicularis ipsi tz.
Et ex utraque parte fiant fb fk aequales
ipsi fc.
Nunc vero intelligatur sectio per tz, punctaque u y transiens.
Ducanturque
by ku, quae secent sese in l. Punctum l ostendit ipsum c.
Duobusque tantum punctis
u y alia omnia invenietur ut m,
quod ipsumk g repraesentabit, veluti linea lm ipsam
cg.
Sit oculus a cuius supra subiectum planum altitudo sit as.
Sit sectionis
linea bf in sectione vero ubicumque
sumantur
puncta u x.
Quorum tamen perpendiculares ut xf sint
aequales
ipsi as.
daraque dataque
sit in subiecto plano figura cgh oportet in sectione figuram apparentem describere tribusque tantum punctis s u x uti oporteat.
Iungantur st sf. Et a puncto c ipsis st sf aequidistantes ducantur ck
cb. iunganturque
ku bx, quae se invicem secent in l.
Dico l ostendere ipsum c in sectione. Quoniam
enim ck est aequidistans ipsi st, erit punctum
u
punctum linearum concursus lineae ck, et omnorum ipsi ck aequidistantium.
Similiter cum sit cb ipsi sf parallela, erit punctum x linearum concursus ipsius cb,
et aliarum,
quae fuerint ipsi cb aequidistantes. Quare linea ku
ostendit in sectione lineam kc, ipsa vero bx
ipsam bc.
At vero punctum
c est in utraque linea ck cb
ergo punctum l ubi ku bx se invicem secant, ostendit in sectione punctum c. Hacque ratione
inveniemus
quaelibet alia
puncta,
ut m in quo punctum g apparebit. Unde linea
lm ipsam cg repraesentabit.
Et quoniam punctum h est in ipsa sectione iunctis lh hm, apparebit ch in hl.
Et gh in hm,
quare figura cgh in sectione in lmh
apparebit. Est igitur lmh in sectione figura apparens.
Praxis
In subiecto
plano datum sit s punctum distantiae, dataque sit sectionis
linea bf. Figura vero rectilinea in subiecto plano data sit cgh.
Nunc planum habeatur per sectione in
qua dataque erunt
duo puncta
u, x. Ita ut ambae perpendiculares
ut,~xf ipsi sectionis linea bf ductae sint
aequales
ipsi as. Nunc vero
rursus intelligatur planum per subiecto plano
in quo connectantur st,
sf
a quo punctoque c ducantur cb, ck ipsis sf, st
parallelae.
Inventis itaque punctis b, k planum
intelligatur sectio per bf et puncta u, x transiens,
iunganturque ku, bx, quae se secent il l. Ostendit punctum l in sectione punctum
c. Hacque prorsus ratione invenietur punctum m, quod ipsum g ostendat.
Unde lineaque lm
ipsam cg ostendit. Et quoniampunctum h est in ipsa sectione, iungantur lh, hm, apparebit ch in sectione in hl, et gh in hm. Atque idem figura cgh in sectione apparebit in lmh. Quod manifestum est si intelligatur sectio, lineaque sa subiecto plano
erectae unde figura
lmh erit in sectione figura apparens. Quod facere oportebat.
Questa seguita la 209, 210.
Exponatur prorsus eadem ut in praecedenti
et
a puncto autem c ducatur cl. In sectione autem ducatur ko ipsi nf perpendicularis. Ducaturque aol.
Deinde iungatur sc, et a puncto n in sectione ipsi nf perpendicularis ducatur nl, quae fiat aequalis ipsi ko. dico punctum l in sectione ostendere punctum c. Iungatur ol erit utique ol ipsi kn aequidistans. Siquidem sunt ko, nl aequales, et aequidistantes. Est vero cl est ipsi ol parallela. Quare
ol
in sectione ostendit ipsam cl.
At vero ex praecedenti
punctum, quod ostendit ipsum c, est in linea nl. Cum sit igitur punctum c in
lineis
cg, nc apparebit punctum c in l, ubi similiter ol, nl inter se conveniunt.
Eodem modo iisdem punctis s, a linaque sb alia quotcumque data puncta inveniemus. Ut punctum m, quod in sectione ostendit ipsum g. Iunctaque lm ipsam cg repraesentabit.
Praxis
Sit in subiecto plano punctum
s
punctum distantiae oculi vero altitudo as quae sit sectionis linea nf aequidistans. Data
vero}{*:\POSTDEL{vero punctum c, quae quidem in subiecto plano existere intelligenda sunt, in quo etiam}:vero figura bcd ducattur skg ipsi nf perpendicularis, a punctoque c
ipsi sg perpendicularis ducatur
cg
ducanturque sc, ag
lineam sectionis nf secent in punctis p, o. Inventisque punctis n, k, o nunc autem intelligatur
sectio,
cui perpendicularis ductaur nl, quae fiat aequalis ko. Ex demonstratis punctum
l ostendit in sectionem ipsum c
eodemque
modo invenietur punctum m ipsum d ostendens, qui cum sit
b in sectione iunctis bl, lm, mb, erit blm in sectione figura apparens quod quidem
patet si manentem sl connectatur triangulum asb una cum linea ko donec subiecto
plano fiat erectum.
Intelligaturque sectio una
cum figura blm subiecto plano
erecta.
Oculus fuerit in a. Quod facere oportebat.
Qui seguita 211, 212.
Questo vuol essere ilprimo modo da tirar in perspettiva.
Ut ad praxim deveniamus primum quoniam in sectione subiecto plano erecta lineas indefinitas
terminatas inveniri possine ostendamus. Veluti.
Sit oculus a, cuius altitudo supra subiectum planum sit as. Sit sectionis linea bc. Datae vero sint lineae in subiecto plano ei, gh, kl,
op
quae
cum bc conveniant in punctis e, g, k, o.
Sintque eas ei, gh parallelae veluti kl, op quoque parallelae, qui si etiam linearum termini i, h, l in recta fuerint linea.
Ducatur lhi, quae tamen producta sectionis lineae occurrat in m, qui si
iungantur termini pl fueritque linea pl ipsi bc aequidistans, non coniungatur pl, sed a puncto p utcumque ducatur pn, quae tamen proportionis facilitatem ducatur ipsis ei, gh aequidistans.
Itaque inveniatur punctum x
linearum concursus ipsarum ei, gh. Ductis nempe sf, fx ut in praecedenti. Similter inveniatur punctum linearum concursus kl, op. Quod sit y ducta sc ipsi kl, op parallela et cy in sectione perpendiculari
cb, et ipsi as aequali. Deinde inveeniatur adhuc punctum u quod si punctum linearum concursus ml et aliarum ipsi ml aequidistantium, si existerint. Quod sint ducta sb parallela ml, et in sectio bu aequali sa perpendicularique bc, ut saepe dictum est.
\VV{{*:\INTERL:Iungantur}{M:\ANTEDEL{Ducatur sf ipsi ei aequidistans, et in sectione ipsi bc perpendicularis ducatur fx, quae fiat aequalis ipsi as. Erit utique punctum x ex ... linearum concursus iparum ei, gh, kl. Iunctis igitur}:Iungantur}} ex,
gx
et etiam nx, cum sit np ipsis ei, gh aequidistans. Ostendent
hae lineae in sectione ipsas ei,
gh np
ex scilicet
vero ipsam ei, gx ipsam gh, et
mx ipsam np.
Praxis
Sit punctum s punctum distantiae ubi ab oculo in subiectum planum
cadit perpendicularis cuius quidem oculi
altitudo intelligatur quantitate sa.
Sit sectionis linea bc. Datae vero quotcumque lineae sint ei, gh,
kl
op
teminatae, quae cum
bc conveniant in punctis e, g, k, o.
Sintque casu? ei, gh parallelae veluti
kl, po quoque parallelae. Et si casu fuerint puncta i. h, l in recta linea ducatur linea lhi quid si modo producta ipsi bc occurrat ut in m. Qui si
iungantur pl, quae ipsi bc esser aequidistans non
iungantur pl, sed ducatur pn utcunque dummodo conveniat cum bc, qui per facilitatem operationis ducatur pn ipsis ei, gh aequidistans. Itaque intelligatur subiectum planum.
Scrivere in qualche modo che dopo planum c'e' un 2.
Ducaturque sf ipsi ei gh aequisdistans
Scrivere in qualche modo che dopo aequidistans c'e' un 3.
Ducaturque fx ipsi bc perpendicularis, quae fiat aequalis d. Nunc vero intelligatur sectio per bc, et punctum x transiens. Erit utique ex ... punctum x linearum concursus ipsarum ei,
gh, kl. Itaque ducantur ex, gx, kx.
Nimirum hae lineae in sectione lineas ei, gh, kl ostendent
hoc est ex ipsam ei, gx ipsam gh, et kx ipsam kl
ostendit per linea
vero mn ducatur sb ipsi mn aequidistans.
Ducaturque bn perpendicularis bc, quae fiat aequalis d. Erit punctum u linearumconcursus ipsius mn, et omnium ipsi mn aequidistantium. Quare ducta mu in sectione ostendit ipsam mn. Similiter per
linea
op ducatur ipsi aeuidistans sc. Ipsique bc agatur perpendicularis cy aequalis d, ducta oy ipsam op in sectione repraesentabit. Quod facere oportebat.
Quoniam in sectione subiecto plano erecta inveniri possint lineae ostedentes lineas terminatas sectioni aequidistantes in subiecto plano existentes. Ostendamus exponantur eadem.dire che dopo eadem c'e' un 2
Sintque indeterminatae lineae sectionis lineae bf parallele il, ho,
np sumatur utcumque in bf punctum m. Ducaturque
mihn quae parallelas lineas secet in punctis i, h, n. Deinde utcumque ducatur
ie dummodo sectionis lineae occurrat, ut in e et a punctis h, n ipsi ie aequidistantes ducatur hg, nk et ex praecedenti inveniatur punctum x linearum lineae ex, gx, kx eq, gr, t quae in sectione ostendant ipsas ei, gh,
kn.
Puncta sane i, h. k in sectione apparebunt in punctis q, r, t hoc est i in g, h in r, k in t.
Et quoniam lineae il, ho, np sunt sectionis lineae bf aequidistantes, lineae, quae in setione ostendunt il, no, np, erunt ipsis il, no, np parallelae. Quare a punctis q, r, t ducatur qy, rz, tc ipsi
bm parallelae ex utraque parte infinitae. Hae quidem lineae erunt ipsis il, ho, np parallelae, cum omnes sint ipsi bm parallelae. Lineae igitur qy, rz, tc in sectione ostednunt lineas il, no, np. Ipsaque nempe qy ipsam il, rz ipsam il, rz ipsam
ho, tc vero ipsam np.
Praxis
Accipiatur primam planum per subiecto plano in quo sit punctum c ubi cadit ab oculo
in subiectum planum perpendicularis hoc est sit punctum distantiae. Oculi vero altitudo intelligatur as; sintque in subiecto plano datae lineae ex utraque parte infinitae
il, ho, np aequidistantes. Linea vero sectionis sit bf. Datis lineis aequidistans sumatur in bf quodvis punctum m. Ducaturque utcumque mn
quae parallelas secet in punctis i, h, n deinde utcumque etiam ducatur ie
dummodo
bf secet ut in e deinde iungantur hg, nk ipsi ie parallelae.
Inventis itaque punctis m, r, g, k
intelligatur nunc planum per sectionem. Et ex praecedenti
inveniatur
in sectione lineae ex, eq, gx, gr, kx, kt,
quae ostendant ipsas ei, gh, kn.
A punctisque
q, r, t
ipsi bf aequidistantes ducantur qy, rz, tc ex utraque parte infinitae,
Linea
il in sectione apparebit in qy, ho in rz, et np in tc
quod perspicuum est si intelligatur sectio
subiecto plano erecta, similiter as eidem quoque plano erecta, oculusque intelligatur in a.
Hoc enim modo erunt qy, rz, tc lineae apparentes. Quod facere oportebat.
Questa vorrebbe esser prima della 221 ma accomodar la dimostratione lunga a questa,
et quella ridurla breve come questa, perché quella é piú facile di questa.
La figura della dimostratione é la medesima.
Eadem ut in 221 intelligantur constructa et demonstrata. Si ducatur ol ipsi ok
proportionalis quae fiat aequalis ipsi kn. Dico punctum l ostendere in sectione punctum
c. Eodem enim modo ostenditur ok ln esse interse aequales, et aequidistantes. Quare ol
ipsi kn est aequalis, et aequidistans.
lineaque
ol ostendit ipsam bc. nl vero ostendit ipsam nc ex ... punctum vero c est in utraque
linea bc nc, punctum ergo l ubi se invicem secant ol nl in sectione ostendit ipsum c.
Similiterque invenietur m ipsum g ostendens. Lineaque lm ipsam cg.
Praxis
Eadem, ut in antecedenti praxi exponantur. Ductisque cb ab sc, fiat kp aequalis ko.
Ducaturque pl ipsi sb perpendicularis, quae fiat aequalis kn punctum l erit in sectione
quaesitum, nempe ostendens punctum c. Similiter inveniatur m, quod ipsum g ostendat.
Quare linea lm ipsam cg ostendit. Hoc? Enim patet si manente sb triangulum asb
connectatur una cum linea - donec subiecto plano sit erectum, similiter intelligatur kp
subiecto plano erecta unde erit punctum p, et punctum o, unum et idem, ex quibus sequitur
lineam lm in sectione ipsam cg ostendere.
Possumus quoque invento puncto o ducere ol perpendicularem ipsi ok, similiterque
invenire punctum m, ductaque lm ipsam cg repraesentabit. Intelligendo nempe planum
asb supra subiectum planum erectum, lineaeque lo qm connectatur, donec sint in sectione,
sitque ol ipsi kn, et quoniam ipsi kf aequidistantes.
Eritque linea lm in sectione ostendens ipsam cg. Quod facere oportebat.
qui seguita la 221
questo é il primo modo di tirare in perspettiva del Vignuola
In linea esse puncta actu infinita sic probatur.
Linea in infinitum dividi potest, ergo in ipsa sunt puncta infnita.
Probatur
consequentia
quia divisio in linea fit in punctis. Quod si linea non haberet puncta
actu infinita in
ipsa non posset fieri divisio in infinitum.
Neque obstat, quia divisio non fit tota simul, ergo neque puncta
sunt infinita actu.
Quia quoniam divisio fieri potest in infinitum, idcirco oportet, qui
semper in linea reperiatur
aliud, atque aliud, atque aliud punctum, in quo fieri possit divisio.
Ergo puncta infinita. Vero
autem infinitum non fiat totum simul, pervenit ex ipsa divisione infinita,
et non ex punctis
in linea existentibus. Si enim divisio debet esse infinita non potest
absolvi aliter enim esset
terminata, et non infinita, ut in successivis patet.
Praeterea in qualibet linea, puncta sunt infiities infinita. Omnis enim linea dividi potest in
infinita puncta, inter quae sunt similiter puncta infinita. Ergo, et caetera.
Immo propter hoc in qualibet linea sunt puncta infinities infinita, inter quae sunt puncta
infinities infinita, et iterum, et sic semper in infinitum.
De infinito
Infinitum cum infinito comparari non potest, ut alterum altero sit aequale, vel inaequale,
ut per maius et minus, et aequale determinari possint.
Hoc primum patet ex iis, quae dicta sunt de lineis.
Praeterea numeri quadrati sunt infiniti, sed plures sunt numeri
non quadrati, quam quadrati.
Ergo quadrati sunt minores aliis numeris. Et per consequens, numeri omnes sunt quadratis
numeris maiores.
At vero omnis numerus est radix, et omis radix habet quadratum, ergo
tot sunt numeri quot sunt quadrati numeri. Patet igitur quod oppositum fuerat.
Cum probatum sit quadrata, et minora, et aequalia esse aliis numeris
et ipsismet quadratis.
Omnes vero numeri, et maiores, et aequales ipsis quadratis. Quae sunt
absurda, et esse non possunt.
Ex his patet infinitum non esse proprie sub genere quantitatis.
Oculo in superficie sphaerae dato a quo
recta linea in centrum ducta sit plano per centrum ducto erecta, omnes circuli
in sphaera in dicto plano circuli apparebunt.
Hoc prius lemma ostendemus.
Sit circulus, cuius centrum c, sitque ac~bce ad rectos angulos. Ducatur
utcumque bda. Dico rectangulum abd aequale esse quadrato in circulo
descripto. Iungatur de. Primum quidem triangula abc~dbe sunt similia,
quia anguli ad c~d sunt recti, et angulus b est utrique communis.
Quare ab ad bc est, ut eb ad bd. Ergo rectangulum abd aequale est
rectangulo ebc. Rectangulum vero ebc est aequale quadrato in circulo descripto,
quia rectangulum ebc dimidium est quadrati circa circulum descripti, quod quidem quadratum
quadrati in circulo descripti duplum existit. Patet igitur rectangulum abd aequale esse quadrato
in circulo descripto. Quod demonstrare oportebat.
Eodem modo in altera figura utcumque in circulo ducta linea bad, rectangulum abd
aequale est quadrato in circulo descripto. Iuncta enim de triangula abc~dbe
sunt similia siquidem anguli ad c~d sunt recti, et b communis. Unde
ita est ab ad bc, ut eb ad bd. Quare rectangulum abd est rectangulo
ebc, hoc est quadrato in ciruclo descripto aequale. Quod demonstrare oportebat.
Hoc demonstrato, sit a oculus, a quo ducta linea in centrum sit ipsi
per de plano perpendicularis .
Sitque per centrum.
Sitque in sphaera ubicumque circulus, cuius diameter sit
bc. Per polosque circuli et per a circulus describatur
maximus abc. Dico circulum bc in plano ducto per de,
cui linea ab a in centrum ducta sit erecta
circulum esse. Ducantur lineae abe~acd.
Quoniam enim rectangula eab~dac sunt inter se aequalia,
cum sint utraque quadrato in circulo descripto aequalia, erit ae ad ad, ut ca ad ab, suntque circa eundem angulum a, ergo triangula ade~abc sunt subcontrarie posita. Intelligatur igitur conus bac, erit de sectio
subcontraria. ergo circulus. Quod demonstrare oportebat.
Corollarium
Ex hoc manifestum est, in omnibus planis dicto plano de
planis, circulos in sphaera, ut bc, circulos apparere.
Hoc patet ex 4
primi Apollonii. Siquidem
de circulus existit.
Ex his talis constitui potest universalis propositio nempe.
Oculo in superficie sphaerae dato, a quo recta linea per centrum ducta
sit cuicumque plano erecta, omnes sphaerae circuli in dicto plano circuli
apparebunt.
Cylindri, quorum superficies (ex ipsis basibus)
sunt aequales, ita se habent, ut eorem altitudines permutatim.
Sint cylindrorum superficies ac~df aequales. Dico ita esse cylindrum df ad cylindrum ac,
ut recta ab ad de. Quoniam enim
\CitMargSign{Archimedis de conoidibus et spheroidibus propositione 5
vide Commandinum} cylindri df ad cylindrum ac proportio composita est ex proportione
ab ad de, et ex proportione basis feh ad basim cbg, feh vero ad cbg
eam habet proportionem, quam
diameter
fe ad cb duplam, et quam proportionem habet fe ad cb, eandem habet
Pappus in 8 libro
circumferentia feh ad cbg, basis feh
ad basim cbg proportionem habebit compositam ex proportione circumferentiae
feh ad cbg, et ex proportione fe ad cb. Quapropter proportio cylindri
df ad ipsum ac composita est ex proportione ab ad de, et circumferentia
feh ad cbg, et fe ad cb. At vero quoniam superficies cylindrorum
sunt aequales, quippe quae sunt parallelogramma circa cylindros convoluta,
23 sexti
horum latera parallelogrammorum ex adverso erunt proportionalia,
hoc est erit ab ad de, ut circumferentia feh ad circumferentiam cbg.
Cum itaque cylindrus df ad cylindrum ac proportionem habeat compositam ex
proportione ab ad de, et circumferentia feh ad cbg, et fe ad cb;
cylindrus df ad ipsum ae proportionem habebit compositam ex proportione
superficiei cylindri ac ad superficiem cylindri df, et
ex fe ad cb. Superficies autem cylindrorum sunt aequales, ergo
cylindrus df ad ipsum ac est, ut fe ad cb. Sed cum sit fe ad cb,
ut circumferentia feh ad ipsam cbg, circumferentiae vero sunt (ut diximus)
ut ab ad de. Cylindrus igitur df ad cylindrum ac est, ut
altitudo ab ad altitudem de.
Quod demonstrare oportebat.
Gravitatum proportionem cuiuslibet gravis humido gravioris ad humidum
libra notam reddere.
Sit in c pondus a humido gravius, distantiaeque sumantur utcunque
bc, bd. Appendaturque in d pondus e, quod ipsi a equeponderet.
Deinde ponatur a in humido, moveatur pondus e in f, donec
aequeponderet ipsi a in humido.
Dico gravitatem ponderis a extra humidum, ad gravitatem molis humidi ipsi a
aequalis esse, ut bd ad fd.
Cum enim a extra humidum aequeponderet e in d, sed a in humido
aequeponderet ipsi e in f, erit gravitas a extra humidum ad e in d,
ut a in humido ad e in f, et permutando, ut a extra humidum
ad a in humido, ut e in d ad e in f; hoc est, ut bd ad bf
6 de libra
. At vero quoniam a in humido est levior quam extra humidum
quanta est gravitas molis humidi ipsi a aequalis \CitMargSign{7
primi Archimedis
de iis quae vehuntur in aqua }, erit gravitas ipius a in humido una cum mole
humidi aequegravis, ut a extra humidum. Unde sequitur a in humido una cum mole humidi aequegrave esse ut a extra humidum. Ergo.
Siquidem a extra humidum aequeponderat ipsi
e in d. Cum igitur a in humido aequeponderet e in f, a
vero in humido una cum mole humidi aequeponderat e in d, erit a
in humido ad a in humido una cum mole humidi, ut e in f ad e in
d: hoc est
6 de libra
, ut bf ad bd. Quare,
convertendo et dividendo,
a in hummido ad molem aquae erit ut bf ad fd. Sed quoniam a extra
humidum ad a in humido, est ut bd ad bf, a vero in humido ad
molem humidi est, ut bf ad fd, erit ex aequali a extra humidum ad
molem humidi, sicut bd ad df. Quod demonstrare oportebat.
Ex hoc colligitur si fuerit a, puta aurum, cui aequeponderet pondus e
in d, si ponatur aurum in aqua et pondus e aequeponderet, auro in aqua
in f, tunc si in a fuerit appensum aliud quodcunque pondus auri, ut g,
et in d appendatur pondus h, quod aequeponderet ipsi g extra aquam, posito
pondere h in f, aequeponderabit h in f auro g in aqua demerso.
Eandem enim proportionem habet a ad molem aquae sibi aequalem,
ut g ad molem aquae sibi g aequalem. Siquidem ex Archimede unumquodque
in aqua est levius, quanta est gravitas aquae unicuique aequalis.
Hoc idem eveniet aliis metallis, caeterisque rebus humido gravioribus, etiam si datum
pondus fuerit mixtum, ut puta ex auro, plumboque compositum. Eadem enim est ratio.
Aliter
Simili modo, si prius ponetur a in humido, cui aequeponderet e in f,
deinde auferatur a ex humido, cui aequeponderet e in d, eodem modo ostendetur
a ad molem aquae ita esse, ut bd ad fd.
Similiter sequitur, si g fuerit eiusdem materiae ut a, ponaturque g in aqua,
cui aequeponderabit h in f, similiter h in d aequeponderabit g
extra aquam, veluti pondus e ipsi a aequeponderat in f, et in d.
Mixti proportionem invenire
Sit ac mixtum ex a~c compositum, cuius oporteat gravitatem
utriusque ac seorsum notam reddere.
Exponatur libra bed, cuius suspensio sit in e. Deinde in ed
ubicunque appendatur pondus fg in d, quod aequeponderet ipsi ac.
Ponaturque gratia exempli partem a esse auri, et c argenti.
Deinde in b ponatur pondus h auri,
cui aequeponderet aliquod pondus in d, ut k. Deinde ponatur h
in humido, ut exempli gratia in aqua, cui pondus k aequeponderet in l. Deinceps
in b aliud appendatur pondus m
argento, cui aequeponderet pondus o in d.
Demersoque pondere m in aqua, pondus o ipsi m in aqua constituto aequeponderet
in n. Denique ponatur mixtum ac in aqua, cui aequeponderet pondus fg
in p. Dico auri gravitatem ad gravitatem argenti se habere ut np ad pl.
Intelligatur fg divisum, ita ut f in d aequeponderet a, g vero ipsi c,
tunc posito a in aqua pondus f ipsi auro aequeponderabit in l ex ante dictis.
Similiterque posito c in aqua pondus g in n ipsi c aequeponderabit. Ex
quibus patet ponderi mixto ac in aqua posito, pondus f in l, ex g in n
aequeponderare.
Sed ac in aqua aequeponderat ipsi fg in p. Ergo eandem habebit gravitatem f
in l, et g in n, sicut fg in p. Quare ex quinta de libra ita est gravitas
f ad g, ut np ad pl. Gravitas vero f in l, et g in n est,
ut a ad c, siquidem interse aequeponderant. Ergo a ad c est, ut np
ad pl. Quod facere oportebat.
Aliter
Si iisdem positis ipsi ac in aqua posito primum aequeponderet fg in d,
ipsi vero ac extra aquam aequeponderet fg in p.
Sed auro h in aqua aequeponderet k in d, eidem autem auro extra
aquam aequeponderet k in l. Similiter argento m in aqua aequeponderet
o in d, ipsi vero m extra aquam aequeponderet o in n.
Dico a ad c esse, ut np ad pl. Si enim appendatur f in l et
g in n, ut diximus
in antecedente
, aequeponderabunt fg
in ln ipsi ac extra aquam, cui etiam aequeponderat fg in p.
Ob eandem igitur rationem aequegrave est fg in ln, ut fg in p,
5 de libra
.
Ergo ita est f ad g, hoc est a ad c, ut np ad pl.
Quod facere oportebat.
Potrà forse accadere, che np, pl venghimo linee tanto piccole,
che non si possi comodamente trovar la loro proportione. Et però
si potrà pigliar il punto q, dove si voglia, e tirar le linee qnr,
qps, qlt, e tirar la linea rst parallela a npl, che haverà
rs a st la medesima proportione, che ha np a pl.
Poi si potrà pigliar un bastone diritto, et avvolgergli atorno una corda
di citara ben sottile, e che le spire si tocchino l'un l'altra, che per esser pari, si potrà
veder quante spire siano np~pl, overo
rs~st.
E così, quanto comporta l'atto pratico, si haverà in numeri la proportion
dell'oro e dell'argento della magnitudine di ac.
Le corde tirate egualmente, quella che è più leggiera
fa il suono più acuto essendo lunga egualmente, come per
esperienza si prova con una corda di ottone, o acciaio, et una di leuto
alle quali se gli pò attaccar due pesi eguali, essendo
gl'intervalli eguali, se quella di leuto sarà
più leggiera, ancorché più grossa dell'altra, farà
il suono più acuto.
La ragione è che percotendole tutte due, quella più
leggiera riceve il moto più veloce nell'andar e tornar che
fa la corda
e però fa il suono più acuto.
E di qui è, che due corde in unisono, sonano bene insieme,
e non si percotono tra loro, mentre sonano. Che nasce, per che
hanno il medesimo moto nell'andar e tornar, che se se ne
scorda, e muove una, non sonano bene insieme, ma si percoteno,
et urtano insieme l'una con l'altra, perché il moto
dell'una non è come il moto dell'altra, che per essere un moto più
veloce dell'altro è causa, che si urtano, come si
sente per esperienza con due corde di leuto vicine.
Di qui ancora si pò render ragione per che causa, se saranno
due instrumenti vicini, che habbino più corde, e posta
una paglia sopra le corde di uno, e con l'altro si tocchi una corda,
si sente, che quella corda dell'altro instrumento che sarà
unisono con quella che si tocca suona ancor lei, e le altre non suonano.
E questo potrebbe nascer da questo, che l'aere della corda che è sonata
per la sua agitazione ne muove tutte le altre corde, ma perché
quelle che non sono in unisono non possono ricevere il medesimo moto
di quella che è sonata, e quella che è in unisono lo pò
ricevere, però ancor'ella suona, e le altre non sonano.
La paglia poi, che se gli mette sopra fa, che movendosi la corda,
urta nella paglia spesso e si sente il suono, favorisce questa ragione,
che bisogna, che gl'instrumenti siano fra loro vicini, che
come sono lontani, non segue l'effetto.
Le corde sono false, quando non sono per tutto di egual grossezza,
perché quando si toccano per farle sonare le parti più sottili
pigliano di moto più veloce, che non fanno le parti più grosse,
e così non possono far il suono eguale
\Sinterl{cioè di una sol voce,
ma mista}. E però non si possono accordare
con le altre, massime con le buone.
Quand'una caduta sarà alta dieci, per dar l'acqua a un molino la canala vuol esser
15 come la caduta ab, et la canala ac. Ma per regola generale, vuole esser ac elevata
circa a 45 gradi per l'ordinario, secondo la considerazione della
grandezza dell'acqua che si ha.
Se si tira una palla, o con una balestra, o con artiglieria, o con la mano o con altro instrumento, sopra
la linea dell'horizonte, il medesimo viaggio fa nel callar, che nel montar, e la figura è quella,
che rivoltata sotto la linea horizontale fa una corda,
che non stia tirata, essendo l'un e l'altro composto di naturale, e di violento, et è una linea in vista simile
alla parabola, et hyperbole Disegno. E questo si vede meglio con una catena, che con una
corda per che la corda abc Disegno quando ac sono vicini la parte b non si accosta
come doverebbe, percioché la corda resta in se dura. Che non fa così~una catena, o catenina.
La esperienza di questo moto si pò far pigliando una palla tinta d'inchiostro, e tirandola
sopra un piano di una tavola, il qual stia quasi perpendicolare all'horizonte, che se ben la
palla va saltando, va però facendo li punti, dalli quali si vede chiaro, che sicome ella
ascende, così~anco descende, et è così~ragionevole, perché la violentia che ella
ha acquistata nell'andar in su, fa che nel callar vadi medesimamente superando il
moto naturale nel venire in giù. Che la violentia che superò da b al c conservandosi
fa che dal c al d sia eguale a cb, e descendendo di mano in mano perdendosi la violentia
fa che dal d al e sia eguale a ba. Essendo che non vi è ragione, che dal c verso
de mostri, che si perda a fatto la violentia, che se ben va continuamente perdendo verso
e, nondimeno sempre se ne resta, che è causa, che verso e il peso non
va mai per linea retta.
Una corda che sostenta un peso, tanto sostien essendo corta, quanto lunga.
È ben vero che nella longa, prima per la sua gravità, poi perché nella lunga ci
possono esser molte parti deboli, pò essere che ella si tronchi
più facilmente e da minor peso. Ma se dove ella si stronca per la sua distrattione, la
corda fusse sostenuta poco di sopra, e poco di sotto fusse stato il peso senza dubbio ella
medesimamente si sarebbe stroncata, perché si sarebbe nel medesimo
modo distratta.
{La carta 236 delle Meditatiuncuale}
Sit abc triangulum obtusum habens angulum ad b. Dico fieri posse, ut a punctis bc
latera duo erigantur, ut bd cd, ita ut bd sit maius ba, cd vero sit maius
ca, angulus vero bdc maior sit angulo bac.
Fiat centro c et secundum ca circulus
describatur ak,
similiter centro b
intervallo autem ba circulus describatur af.
Et inter circumferentiam ae~ag punctum utcumque sumatur d iunganturque
bd~cd. Primum quidem cd maior est ce, sed ce est aequalis ca.
Ergo cd maior est ca. Parique ratione bd maior est bf, et sunt
bf~ba aequales ergo bd maior est ba. Secet bd circunferentiam
ag in g, iungaturque cg et quoniam angulus bgc est aequalis bag, sed
bdc maior est bgc
erit igitur bdc angulo bac maior. Quod facere oportebat.
Proposto di saper quanti stara di grano sta in una fossa da grano la qual'in fondo
sia di diametro 7 piedi, alta 6 piedi, et in cima di diametro
Il staro sia sei toppi, et un toppo cilindro sia di diametro un piede, e tre oncie, alto oncie 7
Prima circa la fossa si ridurrà ogni cosa a mezzi piedi, per esser
nel diametro di sopra
piede.
Et fatta la figura, trovisi o per via di linea, o
\VV{{M:\INTERL\EX{de i numeri dalli trianguli del Monte regio}: come si è detto
a carte 33}}
il lato id,
il qual sia 7 per esempio non essendo così apunto.
aefb che è la fossa da grano, et tanti sono mezzi piedi cubi, liquali per essere la ottava parte di un piede cubo bisogna divider 929 per 8
La ragion del zoppo bisogna ridurla a oncie
Multiplichisi adunque li 116 pie' cubi trovati sopr per 1728,
poi partisi per 1232,
ovvero multiplichisi per 108, e si parta per 77, et quel che viene saranno
quante volte entra un zoppo di grano nella fossa data.
Un pie' cubo d'acqua della misura di Pesaro pesa libre --- 129
mezza soma d'acqua pesa libre --- 119.