dcterms:identifier ECHO:YC97H42F.xml dcterms:creator (GND:118880632) Clavius, Christoph dcterms:title (la) Theodosii Tripolitae Sphaericorum libri tres; Sinus, vel semisses rectarum in circulo subtensarum dcterms:date 1586 dcterms:language lat text (la) free URLbase http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/zogilib?fn=/permanent/library/YC97H42F/ <000> (<000> does not occur in the text, but without it the script wouldn't find the next line) <_>9 ꝰ [001] [002] [003] [004] [005] THEODOSII TRIPOLITAE SPHAERICORVM LIBRI III. _A CHRISTOPHORO CLAVIO BAMBER-_ _gen$i Societatis IESV_ PERSPICVIS DEMONSTRATIONIBVS, _ac $cholijs illu$trati._ _Item Eiu$dem_ CHRISTOPHORI CLAVII SINVS. LINEAE TANGENTES. ETSECANTES. TRIANGVLA RECTILINEA. ATQVE SPHAERICA. ROMAE, Ex Typographia Dominici Ba$æ. M. D. LXXXVI. PERMISSV SVPERIORVM. [006] [007] ILLVSTRISS. ET EXCELL. PRINCIPI, DOM. IACOBO BONCOMPAGNO, Duci Soræ, & Marchioni Vignolæ, &c. CHRISTOPHORVS CLAVIVS è Societate IESV. S. P. D.

QVANTVM $it, Illu$tri$$ime Princeps, ad perfectam Mathe maticorum $cientiam in $ph{ae}- ricis Elementis, & in Sinuum, linearum\’q; Tangentium atque Secantium, & in tota denique Triangulorum di$ciplina momenti, nemo me- lius intelligit, mea quidem $ententia, quam qui in rerum c{ae}le$tium cognitionem neruos omnes intendit. Nam nec Orbium globorumve cæle- $tium, nec $iderum $eu quæ vocantur errantia, $eu quæ infixa $unt cælo, cur$us ac magnitudo (quæ vna omnium iucundi$$ima, & ad decus a- pti$$ima $cientia e$t) $ine eorum ope ac benefi- cio teneri pote$t. Locupleti$$imus te$tis e$t ex- cellenti doctrina vir Ptolemæus eo libro, quem Con$tructionem magnam in$crip$it: vbi quic- [008] quid ad cæle$tem doctrinam pertinet, id omne vel $phæricis ex elementis, vel ex triangulorum doctrina, vel ex arcuum denique chordis (vnde omnis Sinuum, omnis linearum Tangentium ac Secantium di$ciplina manauit) peracute demon $trat: vt fru$tra laborem operam\’q; $u$cipiat, qui$- quis hoc $ine præ$idio Demon$trationes illas conetur attingere. Mitto quanta in Gnomoni- ca, quanta in Co$mographia, Geodæ$ia, & vni- uer$a pene Geometria earum rerum $it oppor- tunitas: ne aut in re per$picua $im multus, aut aliena di$putatio videatur. Quocirca fatebor, quod res e$t, Sapienti$$ime Princeps, multas me annorum vigilias ac labores pro eo amore, quo ad Mathematicas voluptates incendor, in ea- rum, quas dixi, rerum planam ac $olidam cogni- tionem contuli$$e: & lucubrationes qua$dam $epo$ui$$e, meos duntaxat in v$us. Verum vt eruditorum, & eorum, qui $cripta no$tra tracta- bant, Gnomonica præ$ertim, vbi Sinuum, Trian gulorum, cæterarum\’q; rerum frequens incidit mentio, po$tulationi concederem; commode me facturum exi$timaui, $i quæ priuatos in v$us temere collegi$$em, ea in ordinem adducta, & in vnum qua$i coacta corpus in commune confer- rem: Et commentarios ho$ce in tres Theodo$ij Tripolitæ libros de $phæricis elem\~etis, vna cum [009] demon$trationibus no$tris Sinuum, linearum Tangentium atque Secantium, præcipue\’q; Trian gulorum tam Rectilineorum quam Sphærico- rum di$ciplina, paterer in apertum lucem\’q; pro- ferri. Quæ quidem peropportuna mihi vi$a res e$t ad declarandam no$tram in te voluntatem, perpetuam\’q; beneuolentiam, $i cum tui nomi- nis in$criptione diuulgarem. Quibus enim ti- tulis labores no$tros cohone$temus, ni$i eorum virorum, qui vel eiu$dem $tudij delectatione ducuntur, vel eas res, in quibus elaboramus, $uo pondere momento\’q; perpendunt? Scientiæ co- mes iucunditas e$t, & ea demum $unt pretia re- rum, quæ $tatuerit cuiu$que cognitio. Tu Ma- thematicorum $cientia præ$tas, atq; idcirco mi- rificas inde voluptates hauris. Apud te maxi- mo $emper in pretio atque in honore fuit, quia quanti facienda e$$et, eius diuturnus v$us tracta- tioq; te docuit. Accedit, quod cum Societati no$træ gens tua tot iam $ummæ liberalitatis of- ficia tribuerit, vix videtur $ummam ingrati ani- mi notam effugere po$$e, ni$i cum $e dedit occa- $io, aliquid aliquando retribuat. Extant Grego- rianæ liberalitatis quam ampli$$ima monumen ta: extant eius de Societate no$tra iudicia perho- norifica: Iura data atque amplificata. Conce$$æ immunitates: Collegia familiæ no$træ in vlti- [010] mis etiam terrarum partibus excitata. quæ om- nia, quantum tuo $imus ob$tricti nomini, non modo ijs, qui nunc $unt, $ed omnibus etiam po$teris te$tabuntur. Quare quî poteram in quærendis hone$tis titulis operibus meis te, Princeps Ampli$$ime, præterire? Appareat igitur in tuo nomine munu$culum hoc vigiliarum mearum tenue illud quidem & perexiguum: $ed tamen eiu$modi, quod & no$tra in te $tudia, & tua in nos officia grata quadam $ignificatione memoriæ cunctis gentibus patefaciat. Romæ Octauo Id. Decemb. M D LXXXV.

[011] ERRATORVM CORRECTIO. Pag. # Lin. # Errata. # Correctiones. 29. # 22. # Quoniam igitur in # Quoniam in 36. # 30. # atque punctum E, # atque punctum F, 44. # 20. # Quod $ecundo loco # Quod primo loco 47. ### Secunda figura cum prima paginæ 48. locum permuter. 48. #### Prima figura cum $ecunda paginæ 47. locum commutet: & in tertio ca$u de. \\ mon$trationis adhibeatur $ecunda figura paginæ 48. 48. # 11. # ADC, B E. # ADC, G H. 54. # 42. # & arcus C H, # & arcus C N, 58. # 13. # incidant. # indicant. 61. # 6. # arcus $ingulorum # arcus $ingulos 64. # 4. # IO, I B. # IO, I P. 64. # 4. ## in margine pro [12. 1. hu<007>us] lege [12. huius] 64. ### linea antepenultima, in margine apponatur [22. huius.] 65. # 12. # ad minorem # ad maiorem 67. # 6. # maiorem e$$e # minorem e$$e 69. # 3. # per C, # per D, 70. # 35. # AFC, # AFG. 75. # 22. # FB, circuli minotis # FB, c<007>rculi maioris 77. # 5. # quorum # quarum 77. # ultima. # & K L, # & K X, 80. # 10. # Si igitur $phæra # Si igitur in $phæra 109. # 30. ## in margine apponatur [14. quinti.] immediate $upra [34. primi] 112. ### prope finem in margine pro [33. primi.] reponatur [34. primi.] 127. ### infra lineam vltimam pro [DF,] ponatur [HL.] 170. # 7. # Sio. # Si 60. 172. # 43. # vel partem # vel per partem 176. # 21. # quæ rectæ F E, # quàm rectæ F E, 187. ### Infra vltimam lineam pro [TABV] reponatur [LINEÆ] 188. # 1. # LINÆ # LINEÆ 189. # 2. # CAC, # CAD, 197. # 28. # tangentem arcus # ad tangentem arcus #### In tabulis tang entium, & $ecantium pag. 203. 209. 211. 221. 223. 225. 227. 233. 235. 237. \\ 247. 249. 253. 255. 263. in margine dextro pro [39] $cribe [29] #### In tabula $ecantium pag. 252. $ub gradu 14. è regione minuti 29. antepenultima litera, nem- \\ pe 1. ver$us dexteram debet e$$e 2. 309. # 17. # $it angens B C, # $i tangens B C, 315. # 28. # different<007>a, hæcnempe # differentia hæc, nempe 322. # 7. # in E. # in D. 334. # 14. # ip$i D C, æqualis # <007>p$i D C, æqual<007> 359. # 3. # BC, # quàm B C, 374. # 28. # propo$. 45. # propo$. 41. & 42. 375. # vltima. # propo$. 45. # propo$. 66. 377. # 11. # propo$. 45. # propo$. 66. 378. # antepen. # propo$. 45. # propo$. 67. 388. ## prima figura inuer$a e$t. 395. # 14. # triangulo $phætico # triangulo $phærico rectangulo. 409. # 1. # e$$e totum # e$$e $inum totum 412. # 23. ## deleantur hæcverba [vt in propo$. dictum e$t.] 415. # 16. ## ad $inum complem\~eti, ad finum arcus E F, hoc e$t, ad finum com \\ plementi. 433. # 22. # theorema $equens # problema $equens. 446. # 28. # a<007>cu B Q, # arcu B K, 448. # 30. # $ub A V, K V, # $ub A V, K Y, [012] ERRATORVM CORRECTIO. Pag. # Lin. # Errata. # Correctiones. 471. # 24. # arum B D, # arcum B D, 472. # penult. # angum # angulum 478. # 21. # BD, notum # AD, notum 486. # 3. & 10. ## in margine pro [propo$. 1.] ponatur [propo$. 1.] 492. # 14. # vt æqualis. # $it æqualis. Errata leuiora, quæ $tudio negleximus, prudens lector facilè emendabit. [013] THEODOSII TRIPOLITAE SPHAERICORVM LIBRI TRES. PRAEF ATIO.

CVM & in Phænicia, & in Africa vrbs, cuinomen Tri- polis, à Georgraphis, atque Hi- Stor<007>cis de$cribatur, certo non con$tat apud$criptores, vtra harum ciuitatum Theodo$it patria fuerit. Quo item tempore floruerit, non $atis inter eo$dem conuenit: Non tamen leuis coniectura e$t, eum circatempora Pompeij Ma- gni vixi$$e: propterea quod eum $imul cum A$cle piade medico (quitemporibus Pompeij Magni floruit, $i Plinio credimus) in Bithynia florui$$e $cribit Strabo. Scrip$it autem varia opu$cula Mathematica, vt De Habitiationibus, De Noctibus, & diebus, atque etiam tres ho$ce $phæ [014]PRAEFATIO. ricorũlibros $umma eruditione refertos, in qui- bus varias $phæræproprietates demõ$trat, qua- rum quidem cognitio magnopere e$t nece$$aria adrerum cæle$tium doctrinam con$equendam. Ctenim $ine his A$tronomia $uã dignit at\~e tue- rinullaratione potect: Gnomonice quoque, $eu ratio horologiorum Solarium de$cribendorũ ex his maximè pendet. Adde quod & ad Geogra- phiam, & ad Per$pectiuam rectè intelligendam non parum momenti habeant, vt interim alias vtilitates $phæricorum elementorum taceamus.

QVONIAM verò duplex ver$io Sphæ- ricorum Theodo$ie circumfertur, germana alte ra & propria loannis Penæ exemplarigræco ad verbumre $pondens, altera Franci$ci Mauro- lyci Abbatis Me$$anen$is extrad<007>tione Ara- bum: nos priorem $ecut<007> $umus, quæ nouem & quinquagint a propo$itionibus ab$oluitur, in$e- ruimus{\’que} varia $cholia, quibus plurima theore- mat a nece$$aria, & $citu iucunda, à T heodo$io quidem omi$$a, ab Arabibus autem adiuncta, demonstrauimus. In demon$trationibus autem non $umus $ecuti verba codicis Graci, $ed $en- $um, vt demonstrationes ip$æ clariores fierent: [015]PRAEFATIO. adiecimus{\’que} nonnunquam corollaria quædam, & $cholia, necnõ lemmata, vt illis vtipo$simus, quandores po$tulabit. In margine porro appo- $uimus numeros $eriem propo$itionu iuxta ver- $ion\~e Franci$ci Maurolyci referentes; vt facile à quouis propo$itiones T heodo$ii, quas nonnulli $ecundũ ordin\~e Arabũ citant, po{$s}int inueniri. Figuras quoque, quæ in græco exemplari extãt, plerunque negleximus, quòd illæ, quas Mauro- licus pinxit, commodiores $int, & adintelligen- dasres $phæricas multò faciliores. Po$tremo, ne demonstrationum cur$us interrumperetur, ci- tauimus propo$itiones Euclidis, & horum libro- rum in margine. Id quod & in $equentibus ope- ribus ob$eruauimus. Citationes autem hoc mo- do intelligendæ $unt.

1. primi. # Prima propo$itio lib. 1. Euclid. 18. vndec. # Decimaoctaua propo$itio lib. 11. \\ Euclid. Coroll. 16. \\ tertij. # Corollarium propo$itionis $ex - \\ t{ae}decimæ lib. 3. Eucl. Coroll. 2. \\ 33. $exti. # Corollarium $ecundum propo$i \\ tionis trige$imætertiæ $exti \\ lib. Eucl. Schol. 1. 2. \\ octaui. # Scholium primum propo$itio- \\ nis $ecundæ lib. 8. Euclid. 4. huius. # Propo$itio quarta huius libri. 12. 2. huius. # Propo$itio duodecima libri 2. \\ huius operis. Coroll. 10. \\ huius. # Corollarium propo$itionis deci \\ mæ huius lib. Coroll. 1. \\ 1. huius. # Corollarium propo$itionis pri- \\ mæ lib. 1. huius operis. Schol. 15. \\ huius. # Scholium propo$itionis quintæ \\ decimæ huius lib. Schol. 15. \\ 1. huius. # Scholium propo$itionis quintæ \\ decimæ lib. 1. huius operis. 20. 1. Theod. # Propo$itio vige$ima lib. 1. Theod. Coroll. 16. \\ 1. Theod. # Corollarium propo$itionis $ex- \\ tædec<007>mæ lib. 1. Theodo$ij. Schol. 19. \\ 1. Theod. # Scholium propo$ition<007>s decim{ae}. \\ nonæ lib. 1. Theodo$ij.

Ex his aliæ citationes facilè percipientur, cum in omnibus eadem $it ratio.

[016] THEODOSII SPHAERICORVM LIBER PRIMVS. DEFINIT IONES. I

SPHAERA e$t figura $olida compre- hen$a vna $uperficie, ad quam ab vno eorum punctorum, quæ intra figuram $unt, omnes rectæ lineæ ductæ $unt in- ter $e æquales.

II.

Centrum autem Sphæræ, e$t eiu$modi punctũ.

III.

Axis verò Sphæræ, e$t recta quædã linea per cen trũ ducta, & vtrin que terminata in $phæræ $uper- ficie, circa quã quie$cent\~e circumuoluitur $ph{ae}ra.

IIII.

Poli $phæræ $unt extrema puncta ip$ius axis.

V.

Polus Circuli in Sphæra, e$t punctum in $uper- ficie $phæræ, à quo omnes rectæ lineæ ad Circuli circumferentiam tendentes $untinter $e æquales.

[017]LIBER PRIMVS. SCHOLIVM.

_ADDITVR_ in exemplari græco alia adhuc definitio, qua explicatur, quid $it planum ad planum $imiliter inclinari, atque alterum ad alterum. Sed quoniam in- clinatio plani ad planum ab Euclide explicata e$t lib. 11. defin. 6. At vero, quan- do planum ad planum $imiliter inclinari dicitur, atque alterum ad alterum, eodem lib defin. 7. declaratum e$t, $tatui eam omnino omittere hoc loco, & $equentem ap- ponere non di{$s}imilem definitioni 4. lib. 3. Euclidis, ita vt $extum locum obt<007>neat.

VI.

IN Sphæra æqualiter di$tare à centro $phæræ circuli dicuntur, cum perpendiculares, quæ à cen- tro $phær{ae} in ip$orum plana ducuntur, $unt æqua- les. Longius autem abe$$e ille dicitur, in cuius pla- num maior perpendicularis cadit.

THEOREMA 1. PROPOS. 1. 1.

SI Sphærica $uperficies plano aliquo $ece- tur, linea quæ fit in $phæræ $uperficie, e$t circumferentia circuli.

SECETVR Sphærica $uperficies A B C, cuius centrum D, plano ali- quo $aciente in $uperficie $phæræ lineam B E F C G. Dico B E F C G, cir- cumferentiam e$- $e circuli. Tran- $eat enim primò planum $ecans per centrũ $phæræ D, ita vt D, $it in pla- no $ecante, in quo ex D, ad lineam fa ctam B E F C G, du cantur lineæ rectæ quotcunque D E, D F, D G. Quo- niam igitur omnes hæ lineæ ductæ, quotcunque fuerint, cum ex centro $phæræ ad eius $uperficiem cadant, inter $e æquales $unt, erit, per defin. 15. lib. 1 Eucl. linea B E F C G, circunferen- tia circulia, cuius centrum D, idem quod $phæræ.

[018]THEODOSII SPHAERICORVM

TRANSEAT deinde planum $ecans non per centrum $phæræ. Du- 11. vndec. catur autem ex D, centro $phæræ ad planum $ecans perpendicularis D H, emittãturq; ex H, rect{ae} vtcunq; H E, H F, ad lineam B E F C G, & cõnectan tur rectæ D E, D F. Quoniã igitur an- guli D H E, D H F, recti $unt, ex defin. 3. lib. 11. Euclid. erit tam quadratũ ex D E, quadratis ex D H, H E, quàm 47. primi. quadratũ ex D F, quadratis ex D H, H F, æ quale: Sunt autem quadrata ex D E, D F, inter $e æqualia, quod & rectæ D E, D F, ex centro $phæræ in eius $uperfici\~e cadentes inter $e æqua- les $int. Quadrata igitur ex D H, H E, $imul quadratis ex D H, H F, $i- mul æqualia erunt. Dempto igitur communi quadrato rectæ D H, reliquæ quadrata rectarum H E, H F, inter $e æqualia, & rectæ propterea H E, H F, inter $e æquales erunt. Eodem argumento o$tendemus, omnes lineas ex H, ad lineam B E F C G, cadentes e$$e æquales & inter $e, & dictis duabus H E, H F. Linea ergo B E F C G, circum $erentia erit circuli, ex defin. 15. lib. 1. Euclid. cuius centrum e$t punctum H, in quod perpendicularis D H, cadit. Quare $i $phærica $uperficies Plano aliquo $ecetur, &c. Quod erat demon- $trandum.

COROLLARIVM.

ITAQVE $i planum $ecans per centrum $phæræ tran$ierit’, efficietur circulus idem centrum habens, quod $phæra. Si verò non per centrum tran$ierit, efficientur circulus aliud habens centrum, quàm $phæra, illud videlicet punctum, in quod cadit perpendicularis ex centro $phæræ ad planum $ecans deducta. Nam $emper demon$trabuntur l<007>neæ rectæ caden tes ex hoc puncto in circum ferentiam circuli e$$e æquales.

HOCEST.

IDEM e$t $phæræ centrum, & circuli per $phæræ centrum traiecti. Et perpend<007>culatis ducta à centro $phæræ in planum circuli per centrum $phæræ non traiecti, cadit in centrum circuli: quia punctum H, in quod perpendicularis D H, cadit, demon$tratum c$t centrum e$$e circuli.

PROBL. 1. PROPOS. 2. 2. DATAE Sphæræ centrum inuenire.

SIT centrum inueniendum Sphæræ A B C D. Secetur eius $uperficies 1. huius. 1. tertij. Coroll. 1. huius. plano quopiam faciente in ip$a lineam B D E, quæ circuli circumferentia crit. Sit huius circuli centrum F. Siigitur circulus B D E, per centrum $phæ ræ traijcitur, erit punctum F, centrum quoque $phæræ. Si verò per centrum $phæræ non traijcitur, erigatur ex F, ad planum circuli B D E, perpendicu- [019]LIBER PRIMVS. laris F G, quæ vtrinque ad $uperficiem $phæ- ræ educta ad puncta A, C, $ecetur bifariam in G. Dico G, centrum e$$e $phæræ. Si enim nõ e$t, $it, $i fieri pote$t, centrum H, $ecans diame tros omnes bifariã, quod quidem in linea A C, nõ exi$tet, cũ ea in puncto G, $olũ bifariã diui datur, $ed extra illã. Demittatur ex H, centro $phæræ ad planum circuli B D E, perpendicu laris H I, quæ æquidi$tans erit lineæ F G; ac proinde in punctum F, non cadet: coirent e\~m tunc duæ parallelæ H I, G F, in F, puncto, quod fieri non pote$t. Quoniam verò perpen dicularis ex centro $phæræ in planũ circuli B D E, demi$$a cadit in eius cen- Coroll. 1. huius. trum, erit I, centrum circuli B D E. Sed & F, ex con$tructione, centrum e$t eiu$dem circuli. Quod ab$urdum e$t. Idem enim circulus vnum tantum ha- beat centrum nece$$e e$t. Non ergo aliud punctum præter G, centrum erit $phæræ. Quare datæ $phæræ centrum inuenimus. Quod faciendum erat.

COROLLARIVM.

HINC con$tat, $i in $phæra $it circulus non per centrum $phæræ traiectus, à cuius cen- tro excitetur perpendicularis ad ip$ius planum, in linea perpendiculari centrũ e$$e $phær{ae}. O$ten$um enim e$t, punctum G, quod perpendicular\~e A C, bifariã diuidit, e$$e $phær{ae} centrũ.

THEOREMA 2. PROPOS. 3.

SPHAERA planum, à quo non $ecatur, non 3. tangit in pluribus punctis vno.

SI enim fieri pote$t, $phæra planum, à quo non $ecatur, tangat in pluri- 2. huius. bus punctis vno, vt in A, & B. Inuento igitur C, centro $phæræ, ducantur re ctæ C A, C B: & per C A, C B, ducatur pla- num faciens quidem in $uperficie $phæræ cir 1. huius. cumferentiam circuli A B D, in plano aut\~e $ecante rectam lineam E A B F. Quia igitur 3. vndec. planũ tangens, in quo e$t recta E A B F, $phæ ram non $ecat, atque adeò neque circulum A B D, in $ph{ae}r{ae} $uper$icie exi$tentem, fit vt neq; recta E A B F, circulũ A B D, $ecet. Cadet ergo recta A B, tota extra circulũ. Quoniã vero duo puncta $umpta $unt A, B, in circũfe rentia circuli A B D, cadet eadem recta A B, à pũcto A, in punctũ B, ducta tota in tra circulũ 2. tertij. A B D. Quod e$t ab$urdũ. Sph{ae}ra igi\~t planũ, à quo nõ $ecatur, nõ tangit in pluribus pũctis vno. Quod erat demon$trandũ.

COROLLARIVM.

HINC fit, $i duo puncta $ignentur in $uperficie $phæræ, rectam, quæ illa connectit, intra $phæram cadere. quia videlicet cadit intra circulum, qui in $phæræ $uperficie circumferen 2. tertij. tiam habet.

[020]THEODOSII SPHAERICORVM 4. THEOREMA 3. PROPOS. 4.

SI Sphæra planum tangat, quod eam non $e- cet, recta linea ducta à centro $phæræ ad conta- ctum, perpendicularis erit ad planum.

TANGAT Sphæra planum, quod ip 2. huius. $am non $ecet, in puncto A: Et inuento B, centro $phæræ, ducatur ab eo recta B A, ad punctum contactus A. Dico rectam B A, ad dictum planum perpendicularem e$$e. Nam per rectam A B, ducantur duo plana vtcun que $e mutuo $ecãtia, quæ in $uperficie qui- 1. huius. dem $phæræ faciant circulorum circumfe- rentias A C D E, A F D G, in plano aut\~e 3. vndec. tangente rectas H A I, K A L. Quoniara igitur vterque circulus A C D E, A F D G, per centrum B, $phæræ traijcitur, erit quo- Coroll. 1. huius. que B, vtriu$que centrum. Rur$us quia planum tangens $ph{ae}ram non $ecat, fit, vt neque rectæ H A I, K A L, in eo exi$tentes eandem $ecent; ac proinde neque circulos A C D E, A F D G, in $phæræ $uperficie exi$tentes. Tanget igitur recta H A I, circulum A C D E, in puncto A, & recta K A L, circulum 18. tertij. A F D G, in eodem puncto A. Igitur recta B A, & ad rectam H A I, & ad re- ctam K A L, perpendicularis e$t. Quare eadem recta B A, & ad planum tan- 4. vndec. gens, quod per rectas H A I, K A L, ducitur, perpendicularis erit. Si $phæra ergo planum tangat, quod eam non $ecet, &c. Quod o$tendendum erat.

THEOREMA 4. PROPOS. 5. 5.

SI Sphæra planum tangat, quod ip$am non $e- cet, à contactu autem excitetur recta linea ad an- gulos rectos ip$i plano, in linea excitata erit cen- trum $phæræ.

SPHAERA A B C D, tãgat in C, pun cto planum E F, quod eam non $ecet, à pun cto autem C, excitetur ad planum E F, per- 12. vndec. pendicularis C A. Dico in A C, centrum e$ $e $phæræ. Si enim non e$t, $it G, centrum $phæræ extra rectam A C, $i fieri pote$t, & à G, ad C, recta ducatur G C, qu{ae} ad planum 4. huius. E F, perpendicularis erit: Erat aut\~e & A C, ad idem planum perpendicularis. Igitur ex eodem puncto C, ad idem planum E F, duæ perpendiculares ducuntur. Quod e$t ab$ur- [021]LIBER PRIMVS. dum. Dato enim plano, à puncto, quod in illo datum e$t, duæ rectæ lincæ ad 13. vndee. rectos angulos non excitantur. Quare $i $phæra planum tangat, quod ip$am non $ecet, &c. Quod erat o$tendendum.

THEOREMA 5. PROPOS. 6. 6. 7.

CIRCVLORVM, qui in $phæra $unt, ma- ximi $unt, qui per $phær{ae} centrum ducuntu<007>: alio- rum autem illi inter $e æquales $unt, qu<007> æqualiter à centro di$tát: qui vero longius à centro di$tant, minores $unt. Et circuli in $phæra maximi per $phæræ centrum tran$eunt: aliorum autem æqua- les à centro æqualiter di$tant: minores verò lon- gius à centro di$tant.

IN $phæra A B C D E F, cuius centrum G, tran$eat circulus A D, per centrum G, & alij B C, F E, non per centrum. Dico A D, circulum e$$e om- nium maximum, &c. Ducantur ex centro G, ad plana circulorum B C, F E, 11. vndec. Coroll. 1. huius. perpendiculares G H, G I, quæ in ip$orum centra cadent; ita vt H, I, cen- tra $int circulorum B C, F E: E$t autem G, centrũ $phæræ, centrũ quoq; cir- Coroll. 1. huius. culi A D, per centrum $phæræ tra- iecti. Si igitur ex G, H, I, ad $uper- ficiem $phæræ rectæ ducantur G D, H C, I E, erũt hæ $emidiametri cir culorum A D, B C, F E. Conne- ctantur autem rectæ G C, G E. Quo niam igitur in triangulo G H C, an gulus H, rectus e$t, ex defin. 3. lib. 11 Eucl. erit quadratum ex G C, æqua 47. primi. le quadratis ex G H, H C. Dempto ergo quadrato rectæ G H, maius e- rit quadratum ex G C, quadrato ex H C; atque adeò & recta G C, hoc e$t, $ibi æqualis G D, (ducuntur e\~m G C, G D, ex centro $phæræ ad $u- perficiem) maior erit, quàm recta H C. Quare circulus A D, maior\~e habens $emidiametrum, quàm circulus B C, maior erit circulo B C. Non $e- cus o$tendemus, circulum A D, quocunque alio, qui per centrum G, non tran$eat, maiorem e$$e. Maximus e$t ergo circulus A D.

DISTENT iam circuli B C, F E, à centro G, æqualiter, hoc e$t, per- pendiculares G H, G I, æquales $int, ex de$in. 6. huius libri. Dico circulos B C, F E, æquales e$$e. Cum enim rectæ G C, G E, à centro $phæræ in eius $u [022]THEODOSII SPHAERICORVM perficiem cadentes $int æquales, ac proinde & earum quadrata æqualia; $it au tem tam quadratum ex G C, quadratis ex G H, H C, quàm quadratum ex 47. primi. G E, quadratis ex G I, I E, æquale; erũt quadrata ex G H, H C, $imul æqua- lia quadratis ex G I, I E, $imul. Demptis ergo æqualibus quadratis rectarum G H, G I, (po$itæ enim $unt hæ lineæ æquales) æqualia erunt reliqua quadra ta rectarum H C, I E, ac proinde & rectæ H C, I E, æquales erunt: quæ cum $int $emidiametri circulorum B C, F E, æquales erunt circuli ip$i B C, F E.

QVOD $i alter horũ circulorũ, nempe B C, longius à centro G, ponatur di$tare, quàm alter F E, hoc e$t, perp\~edicularis G H, maior ponatur perpen- diculari G I, o$tendemus eodem fere modo, circulum B C, minorem e$$e cir- culo F E. Cum enim quadrata ex G H, H C, æqualia $int demon$trata qua- dratis ex G I, I E; $i auferantur quadrata inæqualia rectarum inæqualium G H, G I, quorum illud maius e$t, (quòd & recta G H, maior ponatur quàm recta G I,) erit reliquum qua dratum rectæ H C, minus quadrato reliquo rectæ I E; ac propterea & re cta H C, minor erit, quàm recta I E. Igitur & circulus B C, circulo F E, minor erit.

SIT iam circulus omnium ma- ximus A D. Dico eum per G, cen- trum $phæræ tran$ire. Sienim non tran$eat per centrũ, erit alius qui$- piam circulus per centrum G, tran $iens maior circulo A D, non per centrũ tran$eũte, vt in hac propo$, demon$tratum e$t. Quare A D, non e$t maximus circulus. Quod e$t ab- $urdum. Ponitur enim maximus. Tran$it ergo per G, centrum $phæræ.

DEINDE $int æquales circuli B C, F E. Dico eos à centro G, æquali- ter di$tare. Con$tructa enim figura, vt prius, erunt $emidiametri H C, I E, æ- quales. Et quoniam quadrata ex G H, H C, æqualia $unt quadratis ex G I, 47. primi. I E, vt demon$tratum e$t; ablatis æqualibus quadratis linearum æqualium H C, I E, erunt reliqua quadrata rectarum G H, G I, æqualia; ac proinde & lineæ G H, G I, æquales erunt. Quæ cum perpendiculares $int, ex con$tru- ctione, ad plana circulorum B C, F E, æqualiter à centro G, di$tabunt cir- culi B C, F E, ex defin. 6. huius lib.

QVOD $i alter circulorum B C, F E, nimirum circulus B C, minor po- natur altero circulo F E, o$tendemus eodem ferè modo, perpendicularem G H, maiorem e$$e perpendiculari G I. Cum enim quadrata ex G H, H C, o$ten$a $int æqualia quadratis ex G I, I E; $it autem quadratum ex H C, mi- nus quadrato ex I E; (quòd & $emidiameter H C, circuli minoris minor $it $emidiametro I E, circuli maioris) erit quadratum reliquum rectæ G H, reli quo quadrato rectæ G I, maius; atque adeo & recta G H, maior erit, quàm G I. Quare cum G H, G I, perpendiculares $int, ex con$tructione, ad plana circulorum, longius di$tabit, per defin. 6. huius lib. circulus B C, minor à cen tro G, quàm circulus maior F E. Itaque circulorum, qui in $phæra $unt, [023]LIBER PRIMVS. maximi $unt, qui per $phæræ centrũ ducũtur, &c. Quod erat demon$trandũ.

THEOREMA 6. PROPOS. 7. 8.

SI in $phæra $it circulus, à centro autem $phæ- ræ ad centrum circuli connectatur recta linea, con nexa linea ad circuli planum recta erit.

IN $phæra A B C, cuius centrum D, $it circulus B F C G, cuius centrũ E: Et recta D E, connectat duo centra D, E. Dico D E, rectam e$$e ad planũ circuli B F C G. Ductis enim duabus diametris vtcunque B C, F G, in circu lo, ducantur ab earum extremis ad D, centrum $phæræ rectæ lineæ, B D, C D, F D, G D, quæ omnes inter $e æqua- les erunt, cum à centro $phæræ ad eius $uper ficiem cadant: Sunt autem & B E, C E, F E, G E, $emidiametri circuli B F C G, æquales. Igitur duo triangula D E B, D E C, duo la- tera D E, E B, duobus lateribus D E, E C, & ba$im D B, ba$i D C, æqualem habent; ex quo fit, angulos D E B, D E C, æquales, at- 8. primi. que adeò rectos e$$e. Recta igitur D E, rect{ae} B C, ad rectos in$i$tet angulos. Non aliter o$tendemus, rectam D E, rectæ F G, ad re- ctos angulos in$i$tere. Quamobrem & pla- no circuli B F C G, per rectas B C, F G, du- 4. vndec. cto ad rectos angulos in$i$tet. Si igitur in $phæra $it circulus, &c. Quod o$ten dendum erat.

THEOREMA 7. PROPOS. 8. 9.

SI $it in $phæra circulus, & à centro $phæræ ad circulũ ducatur perpendicularis, quæ ad vtramq; part\~e producatur, cadet ea in polos ip$ius circuli.

IN $phæra A B C D, cuius centrum E, $it cir- culus B G D H, in cuius planum à centro $phæræ 11. vndec. E, per pendicularis dedu cta $it E F, quæ in vtram- que partem protracta ca dat in $uperficiem $phæ- ræ ad puncta A, C. Dico A, C, polos e$$e circuli BGDH. Cadet e\~m per- pendicularis E F, in cen- [024]THEODOSII SPHAERICORVM trum circuli B G D H, atque adeo F, centrum erit circuli. Quòd $i circu- Coroll. 1. huius. lus B G D H, per centrum $phæræ ducatur, erit ip$um centrum $phæræ E, idem quod F, centrum circuli; ex quo ad planum circuli excitata $it perpen- 12. vndec. dicularis A C. Ductis igitur diametris B D, G H, vtcunque, ducantur ab ea rum extremis rectæ ad puncta A, C. Et quia A F, perpendicularis e$t ad planũ circuli B G D H, erunt anguli omnes, quos ad F, facit, recti, ex defin. 3. lib. 11. Euclid. quare duo triangula A F B, A F H, duo latera A F, F B, duo bus lateribus A F, F H, æqualia habent, qu{ae} qui dem angulos comprehen dunt æquales, nempe re- ctos. Igitur ba$es A B, A H, æquales erunt. Eo- 4. prim<007>. dem modo o$t\~e demus & rectas A D, A G, & alias qua$cunque ex A, ad circumferentiam circuli B G D H, ductas tam inter $e, quàm rectis A B, A H, æquales e$$e. Punctũ ergo A, polus e$t circuli B G D H, ex defin. 5. huius lib. Non aliter demon$trabimus, & C, punctum eiu$dem cir culi polum e$$e. Si igitur $it in $phæra circulus, & à centro, &c. Quod erat o$tendendum.

SCHOLIVM.

_IN_ ver$ione Maurolyci adduntur $equentia duo theoremata, quæ Arabes adie- cerunt.

I.

SI $it in $phæra circulus, a cuius centro educatur perpendicu- 10. laris ad circuli planum, quæ in vtramque partem producatur, cadet hæc in vtrumque polum circuli.

_IN_ eadem figura ex _F,_ centro circuli _B G D H,_ erigatur recta _F A,_ perpendi- 12. vndec. cularis ad circuli planum, quæ occurr at $uperficiei $phæræ in punctis _A, C._ Dico _A, C,_ e$$e polos circuli _B G D H._ Erunt enim rur$us ex definit. 3. lib. 11. Eucl. om nes anguli, quos ad _F,_ facit recta _A F,_ recti. Quare, vt prius, lineæ _A B, A D, A G,_ _A H,_ &c. æquales inter $e erunt, &c.

4. primi. Coroll. 2. huius.

_ALITER._ Quoniam perpendicularis _F A,_ tran$it per centrum $phæræ _E;_ du cta erit recta _E F,_ ex _E,_ centro $phæræ ad planum circuli _B G D H,_ perpendicu- laris. Quare vt demon$tratum e$t, cadet in polos eiu$dem circuli. Quod e$t pro- 3. huius. po$itum.

[025]LIBER PRIMVS. II.

SI $it in $phæra circulus, & ab altero polorum eius recta duca- 11. tur per centrum illius, erit h{ae}c ad planum circuli perpendicularis, & producta cadet in reliquum polum.

_IN_ eadem adbuc figura ex _A,_ polo circuli _B G D H,_ per centrum eius _F,_ demit tatur linea recta _A F,_ occurrens $uperficiei $phæræ in _C._ Dico rectam _A F,_ perpen dicularem e$$e ad planum circuli _B G D H,_ & _C,_ e$$e reliquum polum eiu$dem cir- culi. Quoniam enim duo triangula _A F B, A F D,_ duo latera _A F, F B,_ duobus la- teribus _A F, F D,_ & ba$im _A B,_ ba$i _A D,_ æqualem habent, ex defin. poli; habebunt quoque duos angulos _A F B, A F D,_ æquales, atque adeo rectos. Igitur _A F,_ re- 8 primi. ctæ _B D,_ in$i$tit ad angulos rectos. Similiter o$tendemus, eand\~e _A F,_ ad angulos rectos in$i$tere rectæ _G H._ Quare & plano circuli _B G D H,_ per rectas _B D, G H,_ ducto ead\~e 4. vndec. recta _A F,_ ad rectos in$i$tet angulos. Quod e$t primò propo$itum. Quoniamigitur _A F,_ ad rectos e$t angulos plano circuli _B G D H,_ ducta erit _F A,_ ex centro circuli _F,_ ad pla num circuli perpendicularis. Quare, vt in hoc $cholio proxime demon$tratum e$t, in vtramque partem protracta in vtrumque polum circuli cadet, ac proinde _C,_ reli- quus polus erit circuli _B G D H,_ quod e$t $ecundo loco propo$itum.

THEOR. 8. PROPOS. 9. 12.

SI $it in $phæra circulus, & ab altero polorum eius in ip$um ducatur perp\~edicularis recta linea, cadet hæc in circuli centrum, & inde producta ca det in reliquum polum ip$ius circuli.

IN Sphæra A B C D, $it circulus B F D G, à cuius polo A, ad eius pla- num perpendicularis ducatur A E, occurrens $uperficiei $phæræ in C. Dico 11. vndce. E, centrum e$$e circuli B F D G, & C, reliquũ polum. Ductis enim per E, duabus rectis vtcun que B D, F G, connectantur earum extrema cum polo A, rectis A B, A D, A F, A G, quæ omnes inter $e æquales erũt, ex definitione po li. Omnes item anguli, quos recta A E, facit ad E, recti, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. Erit igitur tam quadratũ ex A B, quadratis ex A E, E B, quàm 47. primi. quadratum ex A G, quadratis ex A E, E G, æ- quale; atq; adeò cum quadrata rectarum A B, A G, æqualium æqualia $int, erunt quadrata ex A E, E B, $imul quadratis ex A E, G E, $i- mul æqualia. Dempto ergo communi quadrato rectæ A E, reliqua quadrata rectarum E B, E G, æqualia erunt, ac proinde & rectæ E B, E G, æquales. Eodem modo o$tendemus, rectas E G, E D, æquales e$$e. Quare E, centrum e$t circuli BFDG; Quod e$t propo$itum. Quoniam igitur ex E, centro cir 9. tertij. [026]THEODOSIT SPHAERICORVM culi B F D G, ad ip$ius planum educta e$t perpendicularis E A, tran$ibit h{ae}c Coroll. 2. huius. per H, centrum $phæræ, atq; adeo ex H, centro $phæræ eadem H E, ducta erit perpendicularis ad planum circuli B F D G. Quocirca H E, vtrinq; edu- 8. huius. cta cadetin polos eiu$dem circuli; ac proinde C, reliquus polus erit circuli BFDG. Si igitur $it in $phæra circulus, & ab altero polorum eius, &c. Quod o$tendendum erat.

THEOR. 9. PROPOS. 10. 13.

SI $it in $phæra circulus, linea recta per eius po los ducta, ad circulum recta e$t, tran$it\’q per cen- trum circuli, & $phæræ.

IN $phæra A B C D, $it circulus B F D G, per cuius polos A, C, recta du catur A C, occurrens plano circuli in E. Dico rectam A C, ad planum circu li rectam e$$e, tran$ire\’q; per eius centrum, (hoc e$t, E, e$$e ip$ius centrum) nec non per centrũ $phæræ. Ductis namq; per E, duabus rectis vtcunq; B D, F G, quarum extrema cum polis A, C, iungantur rectis, vt in figura; erunt tam A B, A G, A F, A D, inter $e, quàm C B, C G, C F, C D, inter $e æquales, ex defin. poli. Igitur duo triangula A B C, A D C, duo late- ra A B, A C, duobus lateribus A D, A C, & ba $im B C, ba$i D C, æqualem habent. Quapro- pter & angulos B A C, D A C, æquales habe- 8. primi. bunt. Quoniam igitur duo triangula A B E, A D E, duo latera A B, A E, duobus lateribus A D, A E; æqualia habent, angulo$\’q; $ub ip- $is contentos B A E, D A E, æquales, vt pro- xime demon$tratum e$t, erunt & anguli A E B, 4. primi. A E D, æquales, & ob id recti. Non aliter de- mon$trabimus, rectos e$$e angu los A E G, A E F. Recta igitur A E, duabus re- ctis B D, F G, ad rectos in$i$tit angulos. Quare perpendicularis erit ad planũ circuli B F D G, per rectas B D, F G, ductum. Quod e$t primo loco propo$i- 4. vndec. tum. Quoniam igitur ex A, polo circuli B F D G, ad eius planum perpendi- cularis e$t ducta A E, cadet A E, in centrum ip$ius. E$t ergo E, centrum cir- 9. huius. culi B F D G. Rur$us quia ex E, centro circuli B F D G, educta e$t ad eius pla num perpendicularis E A, tran$ibit hæc per centrum quoq; $phæræ. Quare Coroll. 2. huius. recta A C, perpendicularis e$t ad planum circuli B F D G, tran$it\’q per eius centrum, & $phæræ. quod e$t propo$itum. Si $it igitur in $phæra circulus, linea recta per eius polos ducta, &c. Quod erat demonftrandum.

SCHOLIVM.

_ADDVNTVR_ hoc loco alia duo theoremata huiu$modi.

[027]LIBER PRIMVS. I.

SI in $phæra $it circulus, & ab altero polorum eius per centrum 14. $phæræ recta linea ducatur, erit hæc ad planum circuli perpendi- cularis, & producta cadet in centrum ip$ius, & in reliquum polum.

_IN_ $phæra _A B C D,_ cuius centrum _E,_ $it circulus _B G D H,_ a cuius polo _A,_ per _E,_ centrum $phæræ ducatur recta _A E,_ occurrens plano circuli in _F,_ & $uper$i ciei $phæræ in _C. D_ico _A E,_ perpendicularem e$$e ad planum circuli, tran$ire\’q per eius centrum, & reliquum polum, hoc e$t, _F,_ e$$e eius centrum; & _C,_ reliquum polum. _D_uctis enim per _F,_ duabus xectis vtcun- que _B D, G H,_ iungantur extrema cum punctis _A,_ & _E,_ vt in figura; erunt\’q; _A B, A H, A D,_ _A G,_ ex definitione poli, inter $e æquales; nec non & _E B, E H, E D, E G,_ $emidiametri $phæ- ræinter $e æquales. Quoniamigitur duo trian- gula _A B E, A D E,_ duo latera _A B, A E,_ duo- bus lateribus _A D, A E,_ & ba$im _E B,_ ba$i _E D,_ habent æqualem; erunt anguli _B A E, D A E._ 8. primi. æquales. _I_taque duo triangula _A B F, A D F,_ duo latera _A B, A F,_ duobus lateribus _A D, A F,_ æqualia habent, angulo$\’q $ub ip$is contentos _B A F, D A F,_ æquales, vt proxime o$ten$um e$t. Quare anguli _A F B, A F D,_ æquales erunt, at- 4. primi. que adeo recti. _E_odem modo demon$trabimus re- ctos e$$e angulos _A F H, A F G,._ _R_ecta igitur _A F,_ duabus rectis _B D, G H,_ in$i$tit ad angulos rectos. Quare perpendicularis erit ad planum circuli _B G D H,_ per re- 4. vndec. ctas _B D, G H,_ ductum. _I_taque producta cadet & in centrum circuli, & in reli- 9. huius. quum polum: ac proinde _F,_ centrum erit circuli, & _C,_ reliquus polus. Quod e$t propo$itum. Si in $phæra igitur $it circulus, &c. Quod erat o$tendendum.

COROLLARIVM.

HINC fit, circulum maximum, qui per alterum polorum cuiu$libet circuli in $phæ- ra tran$it, tran$ire quoq; per polum reliquum. Nam $i ex vno polo per centrum $phæræ dia meter ducatur circuli maximi, qui per illum polum tran$it, cadet hæc in alterum polum, vt demon$tratum e$t. Idem ergo circulus maximus per reliquum polum tran$ibit.

Et quia diameter circuli maximi e$t quoq; diameter $phæræ, manife$tum e$t, duos po- los circuli cuiu$libet in $phæra per diametrum e$$e oppo$itos: atq; adeò inter ip$os inter- po$itum e$$e $emicircuium maximi circuli.

II.

SI in $phæra $it circulus, & à centro $phæræ per centrum circu- 15. lirecta linea ducatur, cadet hæc in vtrumque polum circuli.

_IN_ eadem figura ducatur per _E,_ centrum $phæræ, & _F,_ centrum circuli _B G D H,_ [028]THEODOSII SPHAERICORVM recta _E F,_ in vtramque partem. _D_ico _E F,_ cadere in vtrumque polum circulè _BGDH;_ Quoniam enim recta _E F,_ centrum $phæræ, & centrum circuli _B G D H,_ connectens perpendicularis e$t ad planum eiu$dem circuli, cadet eadem _E F,_ vtrin 7. huius. que protracta in polum vtrumque eiu$dem circuli. Quod e$t propo$itum.

8. huius. COROLLARIVM.

EX his omnibus con$tat, in $phæra quatuor hæc puncta, nempe duos polos cuiu$q; cir- culi, e<007>u$dem centrum, & centrum $phæræ, perpetuo in vna $inea recta, nempe diametro $phæræ, exi$tere, & ip$am quidem diametrum ad planum eiu$dem circuli e$$e perpendi- cularem: Adeo vt recta pet quælibet duo puncta ex his ducta tran$eat per reliqua duo, $it\’q; ad planum circuli perpendicularis: Et recta pet vnum eorum ducta perpendicularis ad pla- num circuli, tran$eat quoq; per tria puncta reliqua.

THEOR. 10. PROP. 11. 16.

IN $ph{ae}ra maximi circuli $e mutuo $ecant bi- fariam.

IN $phæra A B C D, $ecent $e mutuo duo circuli maximi A C, B D, in punctis E, F. Dico $e mutuo $ecare bifariam. Quoniam enim circuli maximi in $phæra per centrum $phæræ tran$eunt, tran$ibunt circuli A C, B D, per 6. huius. $phæræ centrum, quod $it G. Et quoniam idem e$t $phæræ centrum, & circu- li per $phæræ centrum traiecti, erit punctum G, quod $phæræ centrum poni- Coroll. 1. huius. tur, centrum quoq; vtriu$q; circuli A C, B D, ita vt in vtroq; plano circu- lorum A C, B D, exi$tat. Sunt autem & puncta E, F, in vtroq; eodem plano. Tria igitur pũcta E, G, F, in vtroq; plano circulo rũ A C, B D, exi$tunt; atq; adeo in cõmuni eorũ $ectione erunt, cum $olũ cõmunis eorum $ectio $it in vtroq; plano: E$t autem communis eo- 3. vndec. rum $ectio linea recta. Igitur tria puncta E, G, F, in linea recta ex E, per G, ad F, ducta exi$tunt. quæ cum tran$eat per G, centrum vtriu$q; cir- culi, & $phæræ, vt o$ten$um e$t, diameter erit & $phæræ, & vtriu$q; circuli; atq; adeo vtrum- que eorum bifariam $ecabit, ita vt$emicirculi $int E A F, F C E, E B F, F D E: In $phæra er- go maximi circuli $e mutuo $ecant bifariam. Quod erat demon$trandum.

THEOR. 11. PROP. 12. 17.

IN $phæra circuli, qui $e mutuo bifariam $e- cant, $unt maximi.

[029]LIBER PRIMVS.

IN $phæra A B C D, circuli A E, B D, $e mutuo $ecent bifariam in pun- ctis E, F. Dico circulos A C, B D, e$$e maximos. Cum enim $e mutuo fecent bifariam in E, F, erit ducta recta E F, vtriu$q; diameter, cum $ola diameter circulũ quemcunq; bifariam diuidat; ac proin- de diui$a recta E F, bifariã in G, erit G, vtriu$q; circuli centrum: quod dico etiam e$$e $phæræ centrum, atq; adeo vtrumq; circulum per $ph{ae} ræ centrum duci. Sinamq; G, dicatur non e$$e centrum $phæræ, ac proinde circulos A C, B D, non e$$e per $phæræ centrum ductos; hoc ip$o o$tendemus, G, e$$e centrum $phæræ, atq; idcir co vtrumq; circulum per $phæræ centrum du- ci. Erigatur enim ex G, ad planum circuli A C, 12. vndec. perpendicularis G H: Item G I, perpendicula- ris ad planum circuli B D. Quoniam igitur cir culi A C, B D, ponuntur non tran$ire per centrum $phæræ, tran$ibit vtraq; perpendicularis G H, G I, per centrum $phæræ. Quare punctum G, in quo Coroll. 2. huius. conueniunt, centrum erit $phæræ, aliàs centrum non exi$teret in vtraque: ac proinde vterq; circulus per centrum $phæræ traijcietur. Sunt ergo circu 6. huius. li A C, B D, per centrum $phæræ traiecti, maximi. In $phæra ergo circuli, qui $e mutuo bifariam $ecant, $unt maximi. Quod erat o$tendendum.

SCHOLIVM.

_HIC_ vides mirabilem $ane argumentandi modum. _N_am ex eo, quòd _G,_ dici- tur non e$$e centrum $phæræ, demon$tratum e$t demon$tratione affirmatiua, _G,_ e$- $e centrum $phæræ. quo modo argumentandi etiam v$us e$t _E_uclides lib. 9. propo$. 12. & _C_ardanus lib. 5. de _P_roport. propo$. 201. vt in $cholio eiu$d\~e propo$. monuimus.

THEOREMA 12. PROPOS. 13. 18.

SI in $phæra maximus circulus circulum qu\~e- piam ad rectos angulos $ecet; & bifariam eum $e- cat, & per polos.

IN $phæra maximus circulus A B C D, $ecet circulũ B E D, in punctis B, D, ad an- gulos rectos, hoc e$t, planũ circuli A B C D, rectum $it ad planum circuli B E D; $it\’q; cõ- munis eorum $ectio recta B D. Dico circu- lum A B C D, bifariam, & per polos $ecare circulum B E D. Sumpto enim F, centro cir 1. tertij. culi maximi A B C D, quod & centrũ $ph{ae}- ræ erit, (Nam cum circulus maximus duca- 6. huius. tur per centrum $phæræ, erit eius centrum Coroll. 1. huius. idem, quod $phæræ.) ducatur ex F, ad planũ circuli B E D, perpendicularis F G, quæ in 11. vndec. [030]THEODOSTI SPHAERICORVM B D, communem $ectionem cadet. Cadat autem in punctum G. Et quoniam 38. vndec. Coroll. 1. huius. eadem cadit quoq; in centrum circuli B E D, erit G, centrum circuli B E D; atq; adeo B D, per G, ducta, diameter eiu$- dem: quæ cum diuidat eirculum B E D, bi- fariam, diuidet quoq; eundem bifariam cir- culus maximus A B C D, per rectam B D, ductus. Quod e$t primo loco propo$itum. Quoniam verò recta F G, in plano e$t circu li A B C D, cadet ea producta in circum- ferentiam ad A, C, puncta, quæ in $uperfi- cie $phæræ $unt: cadit autem & in vtrumq; 8. huius. polum circuli B E D, quòd ex F, centro $phæræ ad circuli planum perpendicularis $it ducta. Igitur A, C, poli $unt circuli B E D, ac proinde circulus maximus A B C D, per polos circuli B E D, tran$it. quod $ecundo loco proponebatur demon$trã- dum. Si igitur in $phæra ma ximus circulus circulum quempiam, &c. Quod o$tendendum erat.

SCHOLIVM.

_CAETERVM_ hæc propo$. vnà cum 8. 9. 10. & earum $chol{ij}s intelligenda etiam e$t, quando circulus _B D,_ maximus e$t, & per $phæræ centrum tran$it. _E_adem enim e$t ferè $emper demon$tratio, vtper$picuum e$t.

THEOR. 13. PROPOS. 14. 19.

SI in $phæra maximus circulus circulum non maximum bifariam $ecet; ad angulos rectos eum $ecat, & per polos.

IN $ph{ae}ra maximus circulus A B C D, non maximum B E D, $ecet bifa- riam in punctis B, D, $it\’q; communis eorum $ectio recta B D. Dico circulum A B C D, $ecare circulum B E D, ad angulos rectos, & per polos. Quia enim circulus B E D, bi fariam $ecatur in B, D, hoc e$t, in $emicircu los, erit B D, communis $ectio diameter eius. Diui$a ergo B D, bifariam in F, erit F, cen- 2. huius. trum circuli B E D. Sumpto autem G, cen tro $phæræ, quod & centrũ erit maximi cir- culi A B C D, ducatur ex G, ad F, recta F G, 7. huius. quæ perpendicularis erit ad planum circuli B E D. Igitur & planum circuli maximi 18. vndec. A B C D, per rectã F G, ductum ad id\~e planũ circuli B E D, rectũ erit. Secat igitur [031]LIBER PRIMVS. circulus maximus A B C D, circulum B E D, non maximum ad angulos re- ctos. Quod e$t primo loco propo$itum. Et quoniam o$ten$um e$t, rectã F G, ex G, centro $phæræ ductam ad planum circuli B E D, e$$e perpendicular\~e, cadet F G, vtrinque producta in polos circuli B E D. Quare cum G F, in 8. huius. plano circuli A B C D, exi$tens, producta cadat in circunferentiam eius ad puncta A, C, quæ etiam in $uperficie $phæræ funt, erunt A, C, poli circuli B E D, atque adeo circulus maximus A B C D, circulũ non maximũ B E D, per polos A, C, $ecabit. quod $ecundo loco propo$itũ fuit. Si igitur in $phæ ra maximus circulus circulum non maximum, &c. Quod erat oftendendum.

THEOREMA 14. PROPOS. 15. 20.

Si in $phæra maximus circulus, eorum, qui in $phæra $unt, circulorum aliquem per polos $ecet; bifariam, & ad angulos rectos eum $ecat.

IN Sphæra maximus circulus A B C D, $ecet circulum B E D, per polos A, C. Dico circulum A B C D, $ecare circulum B E D, fifariam, & ad angu los rectos. Connectat enim recta A C, polos A, C, occurrens plano circuli B E D, in F, puhcto. Et quoniam recta A C, ad planũ cir culi B E D, per pendicularis e$t, tran$it\’q; per 10. huius. centrum $phæræ, & circuli B E D; erit F, cen trum circuli B E D. Cum ergo circulus ma ximus A B C D, circulum B E D, $ecans tran $eat per rectam A C, ac proinde per centrũ F, erit communis $ectio B F D, diameter cir culi B E D. Bifariam ergo $ecatur circulus B E D. Dico quod & ad angulos rectos. Cum enim recta A C, o$ten$a $it perpendicularis ad planum circuli B E D, erit quoque planũ circuli maximi A B C D, per rectam A C, ductum ad idem planum circuli 18. vndes. B E D, rectum. Igitur $i in $ph{ae}ra maximus circulus, &c. Quod demon$tran dum erat.

SCHOLIVM.

_QVATVOR_alia theoremata hoc loco addútur in alia ver$ione, hoc ordine.

I.

SI in $phæra maximus circulus per polos alterius cuiu$piam ma 21. ximi circuli tran$eat, tran$ibit vici$$im hic per polos illius.

[032]THEODOSII SPH AERICORVM

_IN_ $phæra tran$eat maximus circulus _A B C D,_ per _A, C,_ polos circuli maximi _B D._ _Dico_ & maximum circulum _B D,_ per polos ma- ximi circuli _A B C D,_ tran$ire. Quoniam enim circulus maximus _A B C D,_ circulum _B D,_ $e- 15. huius. cat per polos, $ecabit ip$um ad angulos rectos. Quare vici{$s}im maximus circulus _B D,_ circu- lum _A B C D,_ ad angulos rectos $ccabit; at- que adeo per ip$ius polos eum $ecabit. Quod e$t 13. huius. pr opo$itum.

II. 22.

SI in $phæra circulus circulum per polos $ecet, circulus maxi- mus e$t, & bifariam eum $ecat, & ad angulos rectos.

_IN_ $phæra circulus _A B C D,_ $ecet circu- lum _B D,_ per polos _A, C._ Dico ip$um e$$e circu- culum maximum, $ecare\’q; circulum _B D,_ bifa- riam, & ad angulos rectos. Coniungat enim re- cta _A C,_ polos _A, C,_ quæ nece$$ario in plano circuli _A B C D,_ erit, quod circunferentia eius per eo$dem polos _A, C,_ ponatur tran$ire. Quo- niam vero recta _A C,_ per _A, C,_ polos circuli 10. huius. _B D,_ ducta tran$it per centrum $phæræ, tran$i- bit quoque cir culus _A B C D,_ (cum per rectã _A C,_ ducatur) per centrũ $phæræ; atque adeo 6. huius. maximus erit. Quare cum per _A, C,_ polos cir 15. huius. culi _B D,_ ponatur tran$ire, $ecabit eum bifariam, & ad angulos rectos. Quod e$t propo$itum.

III.

SI in $phæra circulus circulum bifariam, & ad angulos rectos 23. $ecet, circulus maximus e$t, & per polos eum $ecat.

_IN_$phæra circulus _A B C D,_ $ecet circulum _B D,_ bifariam, & ad angulos rectos. _Dico_ ip$um e$$e circulum maximum, tran$ire\’q; per polos cir- culi _B D._ Sit recta _BD;_ communis circu lorum $e- etio. Quo niam igitur circulus _A B C D,_ circu- lum _B D,_ $ecat bifariam, erit recta _B D,_ nempe communis $ectio circulorũ, diameter circuli B D, atque adeo diui$a recta _B D,_ bifari am in E: erit E, eiu$dem circuli centrum. Ducatur in plano cir culi _A B C D,_ recta E A, perpendicularis ad re etam _B D._ Et quoniam circulus _A B C D,_ circu [033]LIBER PRIMVS. lum _B D,_ ponitur $ecare ad angulos rectos, erit ex defin. 4. lib. 11. Eucl. _E A,_ ad pla num circuli _B D,_ recta; ac proinde cum ex E, centro ip$ius educatur, in vtrunque polum eiu$dem cadet. Cadit autem in circunferentiam circuli _A B C D,_ in $uperficie Schol. 8. huius. $phæræ exi$tem ad puncta _A, C._ Sunt ergo _A, C,_ poli circuli _BD;_ at que adeo cir culus _A B C D,_ circulũ _B D,_ per polos _A, C,_ $ecat. Quare ex præcedenti theoremate, maximus circulus e$t. Probatum autem e$t, quod & circulum _B D,_ per polos $ecat. Con$tat ergo propo$itum.

IIII.

SI in $phæra $it circulus, & ab altero polorum eius recta cadens 24. in planum ip$ius ad angulos rectos æqualis $it $emidiametro eius, circulus maximus e$t.

_IN_$phæra $it circulus _AB_, à cuius altero polorum _C,_ in planum eius cadens re eta perpendicularis _C D,_ æqualis $it ip$ius $emidiametro. _Dico A B,_ e$$e circulum ma ximum. Cum enim _C D,_ perpendicularis $it ad circulum _A B,_ cadet ip$a in circuli centrum, & producta cadet in alterum polum, qui $it E. E$t ergo _D,_ centrum circu 9. huius. li _AB;_ atque adeo perpendicularis _C D,_ tran- $it per centrum $phæræ. Ducatur per rectã _C E,_ Coroll. 2. huius. in $phæra planum vtcunque faciens in $phæra circulum _A E B C,_ qui cum tran$eat per centrũ, 1. huius. $phæræ, maximus erit: qui circulum _A B,_ $ecet in punctis _A, B,_ & iungatur $emidiameter _D B,_ cui ex hypothe$i æqualis e$t _G D._ Quoniam vero _C D,_ perpendicularis ponitur ad circulum A B, erit, ex de$in. 3. lib. 11. Eucl. angulus _C D B,_ re- Schol. 13. fextf. ctus. Quare _B D,_ media proportionalis e$t inter _C D, D E,_ hoc e$t, erit, vt _C D,_ ad _B D,_ ita _B D,_ ad _D E._ E$t autem _C D,_ ip$i _B D,_ æqualis. Igi- tur & _D E,_ eidem _B D,_ æqualis erit; atq; adeo & _C D, D E,_ inter $e æquales erunt. Cum ergo _C E,_ o$ten$a $it tran$ire per centrũ $phæræ, erit _D,_ centrum $phæræ. Erat autem & centraum circuli _A B._ Idem ergo e$t centrum $phæræ. & circuli _A B,_ ac proinde circulus _A B,_ maximus e$t. Quod e$t 6. huius. propo$itum.

THEOREMA 15. PROPOS. 16. 25.

SI in $phæra $it maximus circulus, recta linea ducta ab eiu$dem circuli polo ad circunferentiã æqualis e$t lateri quadrati in$cripti in maximo cir- culo.

IN $phæra $it circulus maximus A B, à cuius polo C, ad eius circũferentiã ducatur recta C B. Dico C B, æqual\~e e$$e lateri quadrati in circulo A B, vel [034]THEODOSII SPH AERICORVM quouis alio maximo in$cripti. Ducatur ex C, ad circulum A B, perpendicu 11. vndee. laris C E, quæ in centrum ip$ius cadet, quod $it E, & producta in reliquum 9. huius. polum, qui $it D, cadet. Iam per rectas C B, 1. huius. C D, planum ducatur faciens in $phæra cir- culum A D B C, qui cum per E, centrum $phæræ (E$t enim E, centrum circuli maxi- 6. huius. mi A B, quòd per centrum $phæræ tran$eat, Coroll. 1. huius. idem, quod $phæræ) tran$eat, maximus erit, atq; adeo circulum maximum A B, bifariam 6. huius. $ecabit. Quod etiam inde patet, quòd per 11. huius. eius polos incedat. Hinc enim fit, vt ip$um 15. huius. bifariam diuidat. Sit ergo communis $ectio diameter B E A. Et quoniam C E, perpendi cularis ducta e$t ad circulum A B, erit eadé perpendicularis ad rectam A B, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. Duæ ergo diametri A B, C D, in maximo circulo A D B C, $e$e mutuo $ecãt ad angulos rectos; ac propterea vt in lib. 4. Euclidis demon$tra 6. quarti. tum e$t, C B, latus e$t quadrati in circulo maximo A D B C, atq; adeò & in maximo A B, de$cripti. Si igitur in $phæra fit maximus circulus, recta linea ducta, &c. quod demon$trandum erat.

COROLLARIVM.

QVONIAM verò quatuor anguli recti ad centrum E, æquales $unt, atq; adeò qua- tuor arcus B C, C A, A D, D B, $uper quos a$cendetunt, æquales, nem pe quadrantes, per- 26. tertij. $picuum e$t, in $phæra polum maximi citculi abe$$e à circunferentia maximi circuli, qua- drante maximi circuli. Abe$t enim C, polus circuli maximi A B, ab eius circunferentia quadrante C B, eadem\’q; ratio de ceteris habenda e$t. Semper enim recta ducta à circunfe- rentia maximi circuli ad eiu$dem polum æqualis e$t lateri quadrati in maximo circulo 16. huius. in$cripti, arq; adeò quadrantem in maximo circulo $ubtendet.

SCHOLIVM.

_CONVERSVM_quoq; huius demon$tratur in alia ver$ione hoc theoremate.

SI in $phæra $it circulus, & ab eius polo ad circunferentiam du 26. cta recta æqualis $it lateri quadtati in eo de$cripti, circulus ip$e maximus e$t.

_IN_ eadem figura ex _C,_ polo ad circunferentiã circuli _A B,_ ductarecta _C B,_ $it equalis lateri quadrati in circulo _A B,_ de$cripti. Dico _A B,_ circulum e$$e maxi- mum. Ducatur enim ex _C,_ ad circulum _A B,_ perpendicularis _C E,_ quæ in eius 11. vndec. centrum cadet, quod $it _E._ Ducta autem $emidiametro _E B,_ erit ex de$in. 3. lib. 11. 9. huius. Eucl. angulus _E,_ rectus. Igitur quadratum in circul _A B,_ de$criptum, æquale e$t quadratis ex _B E, C E:_ $ed quadratum $emidiametri _B E,_ dimiaium e$t quadrati 47. primi. in circulo _A B,_ de$cripti, vt mox o$tendemus. I gitur & quadratum ex _C E,_ eiu$- dem quadrati in circulo _A B,_ de$cripti dimidium erit; atque adeo quadrata ex _B E, C E,_ inter $e æqualia, necnon & lineæ propterea _B E, C E._ aquales erunt. Quare cum _C E,_ ducta $it ex C, polo circuli _A B,_ ad ip$um circulum perpendicu- laris, o$ten$a\‘q; $it $emidiametro _B E,_ aequalis; erit circulus _A B,_ maximus.

Schol. 15. huius. [035]LIBER PRIMVS. LEMMA.

IN omni circulo quadratum $emidiametri dimidium e$t qua- drati in ip$o circulo de$cripti.

_IN_ circulo, cuius centrum E, ductæ $int duæ diametri A C, B D, $e$e ad angulos rectos $ecantes in E, cen- tro. lunctis igitur rectis A B, B C, C D, _D A,_ quadratum erit A B C D, in circu lo in$criptum, vt con$tat ex propo$. 6. lib. 4. Eucl. Quoniam vero quadrata ex $emi- diametris æqualibus E A, E B, æqualia inter $e, æqualia $imul $unt quadrato ex A B; dimidium erit quadratum $emidia 47. primi. metri E A, quadrati ex A B, quod in cir culo de$cribitur. Quod e$t propo$itum. Ex quo con$tat, in $uperiorifigura, quadratum $emidiametri B E, dimidium e$$e quadrati ex C B, quod æquale ponitur ei, quod in circulo A B, in- $cribitur.

THEOR. 16. PROPOS. 17. 27.

SI in $phæra $it circulus, à cuius polo in ip$ius circunferentiam ducta recta linea æqualis $it late- ri quadrati in $cripti in maximo circulo, ip$e circu lus maximus erit.

IN $phæra $it circulus A B, à cuius polo C, ad eius circunferentiam recta ducta C A, æqualis $it lateri quadrati in maximo circulo $phæræ de$cripti. Dico A B, circulum e$$e ma ximum. Per rectam enim A C, & centrũ $phæ ræ planum ducatur, faciens in $phæra circulũ 1. huius. A C B, qui maximus erit, cum per $phæræ cen 6. huius. trum ducatur. Ducatur quoq; ex C, recta li- nea C B, ad B, punctũ, in quo circulus maxi- mus A C B, circulũ A B, $ecat; erit\’q; per de$i nit. poli, recta C B, rectæ C A, æqualis. Cũ ergo A C, ponatur latus quadrati in maximo circulo A C B, de$cripti, erit quoque C B, latus eiu$dem quadrati; atque adeò duo arcus A C, C B, qua- drantes erunt con$icientes $emicirculũ A C B, quòd quatuor latera quadra- ti æqualia $ubtendãt quatuor circuli arcus æquales. Recta igitur A B, com- 28. tertij. [036]THEODOSIT SPH AERICORVM munis fectio circulorum diameter erit circuli maximi A C B; ac proinde & $phæræ. Quoniamverò circulus maximus A C B, circulum A B, per polos $e- cans $ecat bifariam, erit quoq; A B, communis $ectio diameter circuli A B, 15. huius. ac proinde cum & $phæræ diameter $it, circulus maximus erit A B. Si in $phæ ra ergo $it circulus, à cuius polo, &c. Quod erat demon$trandum.

PROBL. 2. PROP. 18. 28.

LINEAM rectam de$cribere æqualem dia- metro circuli cuiu$libetin $phæra dati.

IN $phæra $it datus circulus quilibet A B C D, cuius diametro rectam æqualem oporteat de$cribere. Sumptis tribus punctis in circunferentia circu li vtcunq; A, B, D, & iunctis rectis A B, A D, B D, con$tituatur triangulo A B D, triangulum æquale E F G, ita vt latus E F, lateri A B, & E G, ipfi Schol 22. primi. A D, & F G, ip$i B D, æqua- le $it. Deinde ex G, F, ducan- tur ad rectas E F, E G, perpen diculares F H, G H, coeuntes in H, connectatur\’q; recta E H. Dico E H, æqualem e$$e diame tro circuli A B C D. Ducta enim diam etro A C, iungatur recta D C. Quoniam vero quatuor anguli quadrilateri E F H G, quatuor rectis æquales $unt, Schol. 32. primi. $unt\’q; E F H, E G H, recti; erunt F E G, F H G, duobus re ctis æquales; atq; adeo in quadrilatero E F H G, duo quilibet anguli ex ad- uer$o duobus rectis æqua les erunt. Quare circa ip$um circulus de$cribi po- Schol. 22. tertij. te$t: quo de$cripto erunt anguli E F G, E H G, eidem $egmento, cuius chor da E G, in$i$tentes, æquales. E$t autem angulus E F G, angulo A B D, æqua- 27. tertij. lis; quod duo latera E F, F G, duobus lateribus A B, B D, æqualia $int, & ba- 8. primi. $is E G, ba$i A D, ex con$tructione: & angulus A B D, angulo A C D, æqua- 27. tertij. lis e$t. Igitur & angulus E H G, angulo A C D, æqualis erit. E$t autem & re- ctus angulus E G H, angulo A D C, æqualis, quòd hic quoque rectus $it in $e- 31. tertij. micirculo A D C, exi$tens. Igitur triangula E H G, A C D, duos angulos duobus angulis æquales habent, necnon & latus E G, lateri A D, quod æqua- 26. primi. lium angulorum vni $ubtenditur, æquale. Quare & latus E H, lateri A C, æquale erit. Lineam igitur rectam E H, de$crip$imus æqualem diametro A C, circuli A B C D. Quod erat faciendum.

PROBL. 3. PROPOS. 19. 29.

LINEAM rectam de$cribere æqualem dia- metro datæ $phæræ.

[037]LIBER PRIMVS.

IN $phæra data $umptis vtcun\’que duobus punctis A, B, de$cribatur ex A, polo, & interuallo A B, circulus B D, cuius diametro æqualis recta de$cri 18. huius. batur F G: & fiat $upra F G, triangulum E F G, habens vtruque reliquorum Schol 22. primi. laterum E F, E G, rectæ ducte primi. A B, æquale. Deinde ex F, G, ad E F, E G, perpendiculares educantur F H, G H, coeun- tes in H;iungatur\’q; recta E H. Dico E H, æqualem e$$e dia- metro datæ $phæræ. Ducta e\~m $phæræ diametro A C, traijcia tur per rectas A B, A C, pla- num $aciens in $phæra circulũ 1. huius. A B C D, qui maximus erit, 6. huius. cum per diametrum $phæræ, atque adeo per centrum eiu$- dem ducatur. Quare id\~e per A, polũ circuli B D, ductus circulum B D, bifa- 15. huius. riam $ecabit; ac propterea communis $ectio B D, diameter erit circuli B D. Iunctis autem rectis A D, D C, erunt duo latera A B, B D, duobus lateribus E F, F G, æqualia, nec non & ba$es A D, E G, æquales. E$t enium F G, diame- tro B D, æqualis, ex con$tructione: & vtraque E F, E G, rectæ A B, vel A D. Igitur & anguli A B D, E F G, æquales erunt. E$t autem angulo A B D, an- 8. primi. gulus A C D, æqualis: & angulo E F G, angulus E H G, vt in præcedenti 27. tertij. propo$. demon$tratum e$t. Igitur & anguli A C D, E H G, æquales erunt. Sunt autem & recti A D C, E G H, æquales, & latus A D, lateri E G, quod vni æqualium angulorum obijcitur, æquale. Igitur & recta E H, rectæ A C, 26. primi. æqualis erit. Lineam igitur rectam E H, de$crip$imus æqual\~e diametro A C, datæ $phæræ. Quod faciendum erat.

SCHOLIVM.

_ADDITVR_in alia ver$ione $equens hoc Theorema.

LINEA recta à polo cuiu$uis circuli in $phæra ad $uperficiem 30. $phæræ ducta, quæ $it æqualis lineæ rectæ ab eodem polo ad circun- ferentiam circuli ductæ, in circuli circunferentiam cadit.

_IN_$phæra ex _A,_ polo circuli _B C,_ recta du- cta $it vtcumque _A D,_ ad eius circunferentiã, quæ minor erit diametro $phæræ, atque adeo dia metro circuli maximi in $phæra, cum diameter $phæræ $it omnium rectarum in $phæra ductarũ maxima Ducatur iam ex eodem polo A. ad $u- perficiem $phæræ recta _A E,_ quæ ip$i _A D,_ æqua- lis $it. Dico rectam A E, caderein circunferen- tiam circuli _B C._ Si enim $i eri pote$t, non cadat in eius circunferentiam. Et per rectam _A E,_ & centrum $phæræ ducatur planũ faciens in $phæ- 1. huius. [038]THEODOSII SPH AERICORVM racirculum _A B C,_ qui maximus erit, cum per centrum $phæræ tran$eat. Secet au 6. huius. tem circulus _A B C,_ circulum _B C,_ in punctis _B, C._ Non cadet ergo recta _A E,_ in puncta _B, C._ cum ponatur non cadere in circunferentiam cir culi _B C._ Ducta igitur recta _A B,_ erit hæc, ex defin. poli, rectæ _A D,_ atque adeo rectæ _A E,_ æqualis. Et quia vtraque _A B, A E,_ minor e$t diametro maximi circuli _A B C,_ vt dictum e$t, erunt areus _A B, A E,_ cum $int $egmenta $emi- circulo minora, æquales, pars & totum. 28. tertij. Quod e$t ab$urdum. Cadet ergo recta _A E,_ in circunferentiam circuli _B C._ Quod e$t pros po$itum.

PROBL. 4. PROP. 20. 31.

PER duo puncta data in $phærica $uperficie maximum circulum de$cribere.

IN $phærica $uperficie data $int duo pũcta A, B, per quæ de$cribere opor teat circulum maximum. Si ergo puncta A, B, $int oppo$ita ex diametro $ph{ae}ræ, certum e$t, in$initos circulos maximos per ip$a duci po$$e, ductis ni- mirum in$initis planis per diametrum $phæræ puncta illa connectentem. Si autem puncta A, B, non $int in $phæræ dia- metro, de$cribatur ex A, polo, & interual- lo quod lateri quadrati in maximo circulo de$cripti æquale $it, circulus C D, qui ma- ximus erit, cum recta ex A, polo ad eius cir 17. huius. cunferentiam ducta æqualis $it lateri qua- drati in circulo maximo de$cripti, propter interuallum, quo circulus C D, de$eriptus e$t. Similiter ex B, polo, & interuallo eod\~e, quo prius, circulus de$cribatur E F, qui rur 17. huius. $us erit maximus. Secet autem hic priorem in puncto G, a quo ad polos A, B, rectæ du cantur G A, G B; quarum vtraque, ex con $tructione, æqualis erit lateri quadrati in maximo circulo de$cripti. Tanto enim interuallo ex polis A, B, circuli C D, E F, de$cripti $unt. Aequales ergo $unt G A, G B. Iam ex G, polo, & inter- uallo G A, circulus de$cribatur A E D F C B, qui maximus erit; cum recta 17. huius. G A, ex G, polo ad eius circunferentiam ducta æqualis $it lateri quadrati in maximo circulo in$cripti, vt demon$tratum e$t. Quoniam vero recta G B, æ- qualis ip$i G A, ducta ad $uperficiem $phæræ cadit in circunferentiam circu- Schol. 19. huius. li A E D F C B, de$criptus propterea erit circulus maximus A E D F C B, per data duo puncta A, B, in $uperficie $phæræ. Per duo ergo puncta data in $phærica $uper$icie maximum circulum de$crip$imus, Quod faciendum erat.

[039]LIBER PRIMVS. PROBL. 5. PROP. 21. 32.

CVIVSLIBET circuli in $phæra dati po- lum inuenire.

SIT inueniendus polus circuli A B, in $phæra dati, $it\’q; primum circu- lus A B, non maximus. Sumptis duobus punctis in circunferentia vtcumque C, D, diuidatur vterque arcus C A D, C B D, bifariam in A, & B, punctis, per 30. tertij. quæ de$cribatur maximus circulus A E B; $ecetur\’q; arcus A E B, bifariam 20. huius. in E. Dico E, polum e$$e circuli A B; Quoniam enim arcus A C, A D, æqua- les $unt, necnon B C, B D, erunt toti arcus A C B, A D B, æquales. Qua- re maximus circulus A E B, cum circulum non maximum A B, bifariam $ecet in A, & B, $ecabit eum per polos. Punctum ergo 14. huius. E, æqualiter di$tans a circunferentia cir- culi A B, polus e$t cir culi A B. Eodem mo- do $i reliquus arcus A F B, $ecetur bifa- riam in F, erit F, al- ter polus circuli A B.

SED $it iam datus circulus A B, maximus. Sumptis rur$us punctis C, D, vtcumque, & diui$is arcubus C A D, C B D, bifariam in A, B, o$tendemus, 30. tertij. vt prius, totos arcus A C B, A D B, e$$e æquales, ac propterea vtrumque e$ $e $emicirculũ circuli maximi. Diui$o ergo altero $emicirculo, nempe A C B, bifariam in G, erit recta G A, $ubtendens quadrantem circuli, latus quadrati in maximo circulo A B, de$cripti; vt ex prop.6.lib.4.Eucl.cõ$tat. Itaq; ex po lo G, & in teruallo G A, circulus de$cribatur A E B, qui maximus erit, cũ recta 17. huius. ex G, polo ad eius circun$erentiã ducta nimirũ ad punctũ A, $it æqualis lateri quadrati in circulo maximo A B, de$cripti, Diuidatur deniq; arcus A E B, bi$a riam in E. Dico E, polum e$$e circuli A B. Cum enim maximus circulus A C B, tran$eat per G, polum maximi circuli A E B, tran$ibit vici$sim maximus cir Schol. 15. huius. culus A E B, per polos maximi circuli A C B. Quare punctum E, æqualiter remotum à circunferentia circuli A C B, polus e$t circuli A C B. Eodem mo do diui$o arcu A F B, bifariam in F, erit F, alter polus circuli A C B. Cuiu$li bet ergo circuli in $phæra dati polum inuenimus. Quod erat faciendum.

SCHOLIVM.

_IN_ alia ver$ione demon$trantur $equentia duo theoremata.

I.

SI in $uper$icie $phæræ acceptum fuerit punctum aliquod, & 33. [040]THEODOSII SPHAERICORVM ab eo puncto ad circunferentiam circuli cuiu$piam in $phæra dati cadant plures, quàm duæ rectæ line{ae} æquales, acceptum punctum polus e$t ip$ius circuli.

_IN_ $uperficie $phæræ _A B C,_ acceptum $it punctum _A,_ a quo ad circunferentiã circuli _B C,_ cadant plures, quàm duæ, rectæ linæ æquales _A D, A E, A F._ Dico _A,_ polum e$$e circuli _B C._ Demittatur enim ex _A,_ in planum circuli _B C,_ perpendicularis 11. valec. _A G,_ iungãtur\’q; rectæ _D G, E G, F G,_ erunt\’q; ex 3. defin. lib. I I. Eucl. omnes treas anguli ad G, recti. Quare tam quadratum ex _A D,_ qua- dratis ex _A G, G D,_ quàm quadratum ex _A E,_ 47. primi. quadratis ex _A G, G E,_ & quadratum ex _A F,_ quadratis ex _A G, G F,_ æquale erit. Cum er- go quadrata rectarum æqualiũ _A D, A E, A F._ æqualia $int, erunt & quadrata ex _A G, G D,_ $imul quadratis ex _A G, G E,_ $imul, nec non quadratis ex _A G, G F,_ $imul æqualia; dem- pto\’q; communi quadrato lineæ _A G,_ æqualia erunt reliqua quadrata linearum _G D, G E,_ _G F,_ at que adeo & rectæ _G D, G E, G F,_ æquales erunt, Igitur _G,_ centrum erit 9. tertij. circuli _BC;_ ac proinde recta _G A,_ quæ ex centro _G,_ ad circulum _B C,_ perpendi- cularis e$t ducta, in polum circuli _B C,_ cadet. Punctum ergo _A,_ polus e$t circuli Schol. 8. hu ius. B C. Quod e$t propo$itum.

II.

IN $phæra circuli, à quorum polis rectæ ad eorum circunferen 34. tias ductæ $unt æquales, inter $e {ae}quales $unt. Et circulorum {ae}qua- lium {ae}quales $unt rect{ae} ab eorum polis ad circunferentias ductæ.

_IN_ $phæra _A B C D E F,_ cuius centrum _G,_ $int duo circuli _B F, C E,_ a quorum polis _A, D,_ rectæ _A F, D E,_ ad eorum circunfe rentias ductæ $int æquales. Dico circulos _B F,_ _C E,_ æquales e$$e. Ducantur ex polis _A, D,_ ad 21. vndec. plana circulorum perpendiculares _A H, D I,_ quæ cadent in eorum centra _H, I,_ & inde productæ 9. huius. in reliquos polos; atque adeo & in _G,_ centrum 10. huius. $phæræ. Ductis igitur $emidiametris $phæræ _F G,_ _E G,_ & $emidiametris circulorũ _F H, E I,_ cum latera _A G, G F,_ lateribus _D G, G E,_ $int æqua 3. primi. lia, & ba$is _A F,_ ba$i _DE_ erunt anquli _A G F,_ _D G E,_ æquales. Sunt autem anguli _H, I,_ ex defin. 3. lib. 11. Eucl. recti. Triangula igitur _F G H, E G I,_ duos angulos duobus angulis æ- quales habent: habent autem & latus _F G,_ lateri _E G,_ quod recto angulo opponi- [041]LIBER PRIMVS. tur æquale: Igitur & $emidiametri F H, E I, æquales erunt, atque adeo & cir- 26. primi. culi B F, C E, æquales. quod primo loco propo$itum e$t.

_SINT_ iam circuli B F, C E, æquales. Dico & rectas A F, D E, ab eorum po- lis ad circunferentias ductas e$$e æquales. Con$tructis enim ei$dem, erunt $emidiame- tri F H, E I, æquales, & circuli ip$i æqualiter acentro $phæræ di$tabunt. Perpen- 6. huius. diculares ergo G H, G I, æquales erunt; atque adeo & reliquæ lineæ A H, D I, erunt æquales. Quoniam igitur latera A H, H F, lateribus D I, I E, æqualia $unt, continent\’q; angulos H, I, æquales, cum recti $int ex defin. 3. lib, 11. Eucl, erũt 4. primi, ba$es A F, D E, æquales. Quod $ecundo loco propo$itum erat.

THEOR. 17. PROPOS. 22. 0

SI in $phæra recta linea per centrum ducta re- ctam aliquam lineam non per centrum ductam bifariam $ecet, ad angulos rectos ip$am $ecabit. Quod $i ad angulos rectos eam $ecet, bifariam quoqueip$am $ecabit.

IN $phæra, cuius centrum A, recta A B, per centrum ducta rectam C D, non per centrum ductam $ecet bifariam in B. Dico ip$am C D, $ecari ad angulos re- ctos. Ducto enim per rectas A B, C D, pla- 1. huius. no, quod circulum faciat C D, qui maxi- 6. huius. mus erit, cum per centrum $phæræ tran$eat. Quoniam igitur in circulo C D, recta A B, per eius centrum A, tran$iens rectam C D, non per centrum ductam $ecat bifariam in B, ad angulos rectos ip$am $ecabit. Et $i ad 3. tertij. angulos rectos ip$am $ecet, bifariam ip$am $ecabit. Si igitur in $phæra recta linea, &c. Quod demon$trandum erat.

SCHOLIVM.

_ADDITVR_ hic in exemplari græco theorema aliud, quod id em pror$us e$t, quod prop. 7. demon$tratum e$t. Vnde $uperuacaneũ e$$e duximus, illud hic repetere.

FINIS LIBRI PRIMI THEODOSII. [042] THEODOSII SPHAE RICORVM LIBER SECVNDVS. DEFINITIO.

IN $phæra circuli $e mutuo tangere di- cuntur, cum communis $ectio plano- rum vtrumque circulum tetigerit.

THEOREMA 1. PROPOS. 1. 1

IN $phæra paralleli circuli circa eo$dem po- los $unt.

IN $phæra A B C D E F, paralleli circuli $int B F, C E. Dico eos circa eo$dem polos e$$e. Sint enim A, D, poli circuli B, F, & cõ- 21. 1. huius. nectatur recta A D, quæ ad circulum B F, re- cta erit, tran$ibit\’q; per centrum $phæræ. 10. 1. huius. Quoniam igitur recta A D, ad circulũ B F, perpendicularis e$t, erit quoque ad circulũ parallelum C E, perpendicularis. Quare cũ Schol. 14. vndec. tran$eat per centrum $phæræ, vt o$ten$um e$t, cadet in polos circuli C E. Sunt ergo 8. 1. huius. A, D, poli circuli C E: $unt autem & poli circuli B F. In $phæra igitur paralleli circu- li B F, C E, circa eo$dem polos A, D, $unt. Quod erat demon$trandum.

THEOREMA 2. PROPOS. 2. 2

IN $phæra circuli, qui $unt circa eo$dem po- los, $unt paralleli.

[043]LIBER SECVNDVS.

IN eadem $phæra A B C D E F, circa eo$d\~e polos A, D, $int circuli B F, C E. Dico eos parallelos e$$e. Connexa enim recta A D, erit hæc ad vtrunq; 10. 1. huius. circulum perpendicularis. Quare plana circulorum B F, C E, parallela $unt. 14. vndec. In $phæra igitur circuli, qui $unt circa eo$dem polos, $unt paralleli. Quod o$tendendum erat.

SCHOLIVM.

_SED_ & hoc theorema $equens in alia ver$ione demon$tratur.

IN $phæra non $unt plures circuli æquales, & paralleli, quàm 3. duo.

_IN_ $phæra quacunque $int, $i fieri pote$t, plu res quàm duo circuli æquales, & paralleli, nem 1. huius. pe tres _A B, C D, E F,_ qui circa eo$dem polos erunt. Sint ergo eorum poli G, H, & iungatur 10. 1. huius. recta _G H,_ quæ tran$ibit per I, centrum $phæ- ræ, & per _K, L, M,_ centra circulorum; perpen dicularis\’q; erit ad circulos _A B, C D, E F._ Quo niam igitur circuli _A B, C D, E F,_ æquales 6. 1. huius. $unt, ip$i æqualiter di$tabunt à centro $phæræ _I._ Per defin. ergo 6. lib. 1. huius, perpendiculares _I K, I L, I M,_ æquales erunt, nempe pars _I L,_ & totum _I M._ Quod e$t ab$urdum. In $phæra igitur non $unt plures circuli æquales, & paralleli, quàm duo. Quod demon$tran- dum erat.

THEOREMA 3. PROPOS. 3. 4.

SI in $phæra duo circuli $ecent in eodem pun cto circunferentiam illius maximi circuli, in quo polos habent, $e mutuo tangent illi circuli.

IN $phæra duo circuli A B, A C, $ecent in puncto A, circunferentiam maximi circu- li A B C, qui per illorum polos tran$eat. Di co circulos A B, A C, $e mutuo tangere in A. Quoniam enim circulus maximus A B C, $ecat circulos A B, A C, per polos, bifariam ip$os $ecabit, & ad angulos rectos. Commu- 15. 1. huius. nes ergo $ectiones circuli A B C, & circulo- rum A B, A C, nempe rectæ A B, A C, dia- metri $unt circulorum A B, A C. Sit quo- que communis $ectio planorum, in quo circuli A B, A C, exi$tunt, recta D E, quæ per punctum A, tran$ibit, propterea quod plana circulorum in A, ponan- [044]THEODOSII SPHÆRICORVM tur $ecare circulum A B C. Et quoniam pla num circuli A B C, ad plana circulorũ A B, A C, rectum e$t o$ten$um, erunt vicis$im pla na circulorum A B, A C, ad planum circuli A B C, recta; atque adeo & D E, communis 19. vndec. ip$orum $ectio ad idem planũ circuli A B C, perpendicularis erit. Igitur & ad diametros A B, A C, in eodem plano exi$tentes perpen dicularis erit, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. Quare D E, vtrumque circulum A B, A C, tanget Coroll. 16. tertij. in A; ac proinde per de$in. huius lib. circuli A B, A C, $e mutuo tangent in A, puncto. Si igitur in $phæra duo circuli $ecent, &c. Quod erat o$tendendum.

THEOREMA 4. PROPOS. 4. 5.

SI in $phæra duo circuli $e mutuo tangant, ma- ximus circulus per eorum polos de$criptus, per eorum contactum tran$ibit.

IN $phæra tangant $e mutuo circuli A B, C B, in B; & per D, polum cir- 20. 1. huius. culi A B, & E, polum circuli C B, de$cribatur circulus maximus D E. Dico circulum D E, per contactum B, tran$ire. Non tran$eat enim, $i fieri pote$t, per tactum B, $ed $ecet circunferentiam v. g. circuli C B, in F. Polo igitur D, & interuallo D F, circulus de$cribatur F G, qui, cum ad maius interual- lum de$criptus $it, quàm circu lus A B, $ecabit circulũ C B, in F; quandoquidem circulus A B, eundem tangit in B, pun cto, vltra quod circulus G F, ex polo D, de$criptus e$t. Quo niam vero in $phæra duo cir- culi G F, C F, $ecant in eod\~e puncto F, maximum circulum D F E, per eorum polos de- $criptum, tangent $e mutuo in F, duo circuli G F, C F: Sed 3. huius. & mutuo $e$e $ecant in F, vt dictum e$t. Quod e$t ab$urdum. Non ergo circulus maximus D E, $ecat ali- bi circulos A B, C B, quàm in B, contactu, atque adeo per eorum tactũ tran $ibit. Itaque $i in $phæra duo circuli $e mutuo tangant, &c. Quod o$tenden- dum erat.

6. THEOR. 5. PROPOS. 5.

SI in $ph{ae}ra duo circuli $e mutuo tangant, ma- [045]LIBER SECVNDVS. ximus circulus de$criptus per vnius polos, & per contactum amborum circulorũ, per reliqui quo- que circuli polos tran$ibit.

IN $phæra duo circuli A B, C B, tangãt $e mutuo in B, $int\’q D, E, poli ip$orum. Dico maximum circulum per D, polum circuli A B, & per conta- ctum B, de$criptum tran$ire quoque per E, polum circuli C B. Si enim fieri pote$t, non tran$eat per E, $ed per aliud quoduis punctum F, cuiu$modi e$t circulus maximus D B F: Et per polos D, E, maximus circulus de$cribatur 20. 1. huius. D E, qui omnino per conta- 4. huius. ctum B, tran$ibit; atque adeo duo circuli maximi D B F, D B E, $e mutuo $ecabuntin D, & B, ac proinde bifariam. 11. 1. huius. Semicirculus ergo erit vterq; arcus D B. Quoniam vero cir culus maximus per alterũ po- lorũ cuiu$libet circuli in $phæ ra tran$iens, tran$it quoque Coroll. 10. 1. huius. per reliquum polum, e$t\’q; in- ter duos polos eiu$dem circu- li $emicirculus circuli maximi interpo$itus; fit, vt exi$tente D, vno polorum circuli A B, punctum B, $it al ter polus. Quod e$t ab$urdũ. E$t enim B, in circunferentia circuli. Tran$it igitur circulus maximus D B, per E. Quocirca, $i in $phæra duo circuli$e mutuo tangant, &c. Quod erat o$tendendum.

THEOREMA 6. PROPOS. 6. 7.

SI in $phæra maximus circulus aliquem circu lorum in $ph{ae}rica $uperficie de$c@iptorum tangat, tanget & alterum ei æqualem, & parallelum.

IN $phæra maximus circulus A B, tan- gat circulum A C, in A. Dico circulũ A B, tangere quoque alterum circulum ip$i A C, æqualem, & parallelum. Sit enim D, polus 20. 1. huius. circuli A C: ac per D, A, circulus maximus de$cribatur D A: qui, cum per D, polũ cir- culi A C, & per contactum A, tran$eat, tran $ibit per polos quoque circuli A B. A$$um- 5. huius. pto autem E, reliquo polo circuli A C, du- catur recta D E, quæ per centrum $phæræ 10. 1. huius. tran$ibit, atque adeo $phæræ diameter erit. [046]THEODOSII SPHÆRICORVM Ex polo igitur E, & ad interuallum E B, circulus de$cribatur B F. Dico cir- culum maximum A B, tangere quoque circulum B F, in B, & circulum B F, æqualem e$$e, ac parallelum circulo A C. Quoniam enim recta D E, per po- los circulorũ A C, B F, tran$iens perpendicularis e$t ad ip$os circulos, erunt 10. i. huius. circuli A C, B F, paralleli. Rur$us quia cir 14. vndec. culi maximi in $ph{ae}ra bifariam $e $ecant, $e- 11. 1. huius. micirculus erit A C B; atque adeo $emicir- culo D C E, æqualis. Dempto ergo commu ni arcu B D, æquales remanebũt arcus D A, E B; atque adeo rectæ D A, E B, à polis D, 29. tertij. E, ad circunferentias circulorum A C, B F, ductæ æquales. Quare æquales $unt circuli Schol. 21. 1. huius. A C, B F. Denique quia circuli A B, B F, in eodem puncto B, $ecant maximum circulũ A E B, in quo quidem polos habent, $e mutuo tangent in B, circuli A B, B F. Qua- 3. huius. re circulus maximus A B, tangens in $phæra circulum A C, tangit quoque alterum circulum B F, ip$i A C, æqualem, & parallelũ. Ac proinde $i in $phæra maximus circulus aliquem circulorum, &c. Quod erat demon$trandum.

COROLLARIVM.

HINC per$picuum e$t, puncta contactuum A, B, per diametrum e$$e oppo$ita. O$ten- $um enim e$t, A C B, e$$e $emicirculum, ac propterea rectam ex A, ad B, ductam e$$e dia- metrum $phæræ, $en circuli maximi A C B, &c.

8. THEOREMA 7. PROPOS. 7.

SI $int in $phæra duo æquales, & paralleli cir- culi, maximus circulus, qui eorum alterum tetige rit, reliquum quoque tanget.

IN eadem figura $int duo circuli æquales, & paralleli A C, B F, & maxi- mus A B, tangat A C. Dico eundem A B, tangere quoque B F. Sienim A B, non tangat ip$um B F, tanget vtique alterum ip$i A C, æqualem, & paralle- 6. huius. lum. Cum ergo & B F, eidem A C, æqualis ponatur, & parellelus, erunt tres circuli in $phæra, nempe A C, B F, & ille alius, quem A B, tangit, inter $e æquales, & paralleli. Quod e$t ab$urdum. Non enim plures circuli æquales Schol. 2. huius. $unt, & paralleli in $phæra, quàm duo. Tanget igitur circulus A B, circulũ B F. Quamobr\~e, $i $int in $phæra duo æquales, & paralleli circuli, &c. Quod erat o$tendendum.

SCHOLIVM.

_IN_ alia ver$ione demon$tratur & $equens theorema.

CIRCVLI in $phæra paralleli, quos maximus aliquis circu- 9. lus tangit, æquales inter $e $unt.

[047]LIBER SECVNDVS.

IN eadem adhuc figura $int duo circuli paralleli _A C, B F,_ quos circulus maxis mus _A B,_ tangat in _A, B._ Dico circulos _A C, B F,_ æquales inter $e e$$e. Quoniam enim paralleli ponuntur circuli _A C, B F,_ ip$i circa eo$dem polos erunt, qui $int _D,_ 1. huius. _E;_ per quos, & polos circuli _A B,_ circulus maximus de$cribatur _A F B,_ qui per con 20. 1. huius. tactus _A, B,_ tran$ibit. Quoniam vero circuli maximi in $phæra $e mutuo $ecant bi 4. huius. fariam, $emicirculus erit _A D B,_ atque adeo $emicirculo _D B E,_ æqualis. Dempto ergo arcu communi _D B,_ æquales remanebunt arcus _D A, E B;_ ac proinde & rectæ _D A, E B,_ ex polis _D, E,_ ad circunferentias circulorum _A C, B F,_ ductæ æquales. 29. tertij. Schol. 21. 1. huius. Quare circuli _A C, B F,_ æquales erunt. Quod e$t propo$itum.

THEOR. 8. PROP. 8. 10.

SI in $phæra maximus circulus ad aliqu\~e $phæ ræ circulum obliquus $it, tanget is duos circulos æqualcs quidem inter $e, parallelos autem prædi- cto circulo, ad quem obliquus e$t.

IN $phæra maximus circulus A B, ad circulum quemcunque C D, obli- quus $it. Dico circulum A B, tangere duos circulos inter $e quidem æquales, parallelos autem ip$i C D. Sint E,F, poli circuli C D, per quos, & polos cir 21. 1. huius. culi A B, circulus maximus de$cribatur 20. 2. huius. E A B, $ecans A B, in A, & B. Ex polo dein de E, & interuallo E A, circulus de$criba- tur A G. Et quoniam circuli A B, A G, in eodem puncto A, $ecant maximum circulũ 3. huius. E A B, in quo polos habent, ip$i $e mutuo tangent in A. Circulus igitur maximus A B, tangens circulum A G, tanget alterum il- 6. huius. li æqualem, & parallelum, qui $it B H. Quia vero circuli paralleli A G, B H, circa eo$d\~e 1. huius. polos $unt E, F: Sunt autem E, F, poli etiã circuli C D; erunt tres circuli A G, C D, 2. huius. B H, circa eo$dem polos; atque adeo paralle li inter $e erũt. Tangit igitur maximus circu lus A B, duos A G, B H, æquales quidem inter $e, parallelos autem ip$i C D, ad quem obliquus e$t. Quocirca, $i in $phæra maximus circulus ad aliquem, &c. Quod o$tendendum erat.

SCHOLIVM.

_ALIVD_ theorema hoc loco ad{ij}citur in alia ver$ione, videlicet.

SI in $phæra maximus circulus aliquem circulorum in $phæri- 11. [048]THEODOSII STHÆRICORVM ca $uperficie tangat, obliquus erit ad alios circulos, quos $ecat, paral lelos ei, quem tangit.

_IN_ eadem figura maximus circulus _A B,_ tangat circulum _A G,_ $ecet autem circu lum _C D,_ ip$i _A G,_ parallelum. Dico circulum _A B,_ obliquum e$$e ad circulum _C D._ Quoniã enim maximus circulus A B, tangens circulum _A G,_ non tran$it per ip$ius polos, (Si namque per 15. 1. huius. ip$ius polos duceretur, $ecaret ip$um bifariam, non autem tangeret.) atque adeo neque per po los circuli _CD;_ (habent enim paralleli circuli 1. huius. _A G, C D,_ eo$dem polos) non $ecabit maximus circulus _A B,_ circulum _C D,_ ad angulos rectos: Aliàs tran$iret per eius polos. Igitur obliquus 13. 1. huius. e$t ad circulum _C D._ Quod e$t propo$itum.

THEOR. 9. PROPOS. 9. 12.

SI in $phæra duo circuli $e mutuo $ecent, ma- ximus circulus per eorum polos ductus $ecabit bi fariam $egmenta ip$orum circulorum.

IN $phæra $e mutuo $ecent duo circuli A B C D, E D F B, in punctis B, D, & per eorum polos de$cribatur maxim us circulus A F C E, $ecans circu- 10. 1. huius. los dictos in punctis A, C, E, F. Dico circulum A F C E, $ecare bifariã $eg- menta B A D, B C D, B E D, B F D. Quo- niam enim circulus maximus A F C E, cir- 15. 1. huius. culos A B C D, E D F B, $ecat bifariam, & ad angulos rectos, quòd per eorum polos du ctus $it, erunt communes $ectiones A C, E F, quas cum ip$is facit, diametri ip$orum $ecan tes $e$e in G. Secabunt enim $e mutuo rect{ae} A C, E F, cum in eod\~e plano circuli A F C E, exi$tant, $it\’q; punctum E, inter puncta A, & C; atque punctum E, inter eadem pun- cta. Connectantur rectæ B G, D G: Erunt\’q; tria puncta B, G, D, in vtroque plano circu lorum A B C D, EDFB; atque adeo in cõ muni eorum $ectione: E$t autem communis eorum $ectio linea recta. Igitur recta erit B G D. Et quoniam circulus A F C E, 3. vndee. o$ten$us e$t $ecare ad angulos rectos vtrumque circulum A B C D, E D F B, crit vici$sim vterque rectus ad circulum AFCE; atque adeo & B D, com- munis eorum $ectio ad eundem perpendicularis erit. Recti igitur erunt angu 19. vndec. [049]LIBER SECVNDVS. li B G A, D G A, B G C, D G C, ex definit. 3. lib. 11. Eucl. Quare diameter A C, cum per centrum circuli A B C D, tran$eat, $ecet\~q; rectam B D, ad angulos rectos, bifariam eam $ecabit. Itaque cum latera A G, G B, æqualia 3. tertij. $int lateribus A G, G D, contineant\’q; angulos æquales, nempe rectos, erunt 4. primi. ba$es A B, A D, $ubtendentes arcus A B, A D, inter $e æquales, ac proinde 28. terij. & arcus A B, A D, æquales erunt. Eodem modo o$tendemus arcus C B, C D, æquales e$$e; nec non & arcus E B, E D; & F B, F D. Circulus igitur A F C E, $egmenta B A D, B C D, B E D, B F D, bifariam diuidit. Quapropter $i in $phæra duo circuli $e mutuo $ecent, &c. Quod demon$trandum erat.

SCHOLIVM.

_DVO_ alia theoremata in alia ver$ione hoc loco adduntur, hæc videlicet.

I.

SI in $phæra duo circuli $e mutuo $ecent, circulus alius eorum 13. $egmenta bifariam $ecans, it per polos eorum, e$t\’q; circulus ma- ximus.

_IN_ ead\~e figura $ecent $e mutuo duo circuli _A B C D, E D F B,_ in punctis _B, D,_ & alius qui$piã circulus _A F C E,_ $ecet $egmenta _B A D, B C D, B E D, B F D,_ bifariã. _D_i co ciculũ _A F C E,_ ire per polos ip$orũ, e$$e\’q; circulũ maximũ. Quoniã enim arcus _A D,_ _A B,_ æquales $unt, nec nõ _C D, C B,_ erũt toti arcus _A D C, A B C,_ æquales, & propte rea $emicircul<007>. _E_odem\’q; modo $emicirculi erũt _E D F, E B F. C_irculus igitur _A F C E,_ bifariam $ecat circulos _A B C D, E D F B,_ atque adeo communes $ectiones _A C, E F,_ $e inter$ecantes in _G,_ ip$orum diametri $unt. _Q_uòd $i connectantur rectæ _B G, D G,_ cum tria puncta _B, G, D,_ in vtroque plano circulorum _A B C D, EDFB_, $int, at- que adeo in communi ip$orum $ectione; $it autem communis eorum $ectio linea recta; 3. vndec. recta erit _B G D. Q_uoniam vero $ubten$æ rectæ _D A, D C,_ $ubten$is rectis B _A_, B _C,_ 29. tertij. $ingulæ $ingulis æquales $unt, ob æquales arcus, angulo$\’q; continent æquales, nem- 31. tertij. pe rectos in $emicirculis exi$tentes; æquales erunt anguli _D A C, BAC. Q_uod etiã 4. primi. ita probari poterit. _Q_uoniam latera _D A, A C,_ lateribus _BA, A C,_ æqualia $unt, ba$i$\’q; _D C,_ ba$i _BC,_ æqualis, erunt anguli _D A C, BAC,_ æquales. Rur$us quia 8. primi. latera _A D, A G,_ lateribus _AB, A G,_ æqualia $unt, angulos\’q; continent æqua- 4. primi. les, vt demon$tratum e$t; æquales erunt anguli _A G D, A G B,_ ac propterea recti. Perpendicularis igitur e$t _BGD,_ ad rectam _A C, E_odem modo o$tendemus rectam eandem _BGD,_ ad _E F,_ perpendicularem e$$e. _Q_uare eadem _BGD,_ perpendicula- ris erit ad planum circuli _A F C E,_ per rectas _A C, E F,_ ductum; ac proinde & 4. vndec. vtrumque planum circulorum _ABCD, EDFB,_ per rectam _BGD,_ ductum ad idem planum circuli _A F C E,_ rectum erit: & vici{$s}im circulus _A F C E,_ ad circu- 18. vndec. los _ABCD, EDFB,_ rectus erit. _I_taque circulus _A F C E,_ circulos _A B C D,_ Schol. 15. 1. huius. _E D F B,_ & bifariam & ad angulos rectos $ecat, _Q_uare maximus e$t, tran$it\’q; per ip$orum polos. _Q_uod e$t propo$itum.

[050]THEODOSII SPHÆRICORVM II

SI in $phæra duo circuli $e mutuo $ecent, maximus circulus $e- 14. cans bifariam duo illorum $egmenta quæcumque, habens tamen arcum inter illa $egmenta po$itum $emicirculo inæqualem; tranfit per polos ip$orum, duo\’q; reliqua $egmenta bifariam $ecat.

_IN_ $phæra duo circuli _ABCD, EBFD,_ $e mutuo $ecent in punctis _B, D:_ Et maximus circulus _A F C E,_ $ecet duo quæcumque illorum $egm\~eta, nempe, _BAD, BED,_ bifariam in punctis _A, E,_ & arcus _A F C E,_ interceptus inter d<007>cta $egmenta non $it $emicirculus. Dico circu- lum _A F C E,_ tran$ire per polos circulorum _ABCD, EBFD,_ $ecareé; reliqua $egmenta _BCD,_ _BFD,_ bifariam. Si en<007>m circulus _A F C E,_ non tran$eat per ip$orũ polos, de$cribatur, $i fieri pote$t, alius circulus maximus _A G E,_ per eorum polos, qui $egmenta ip$o- rum bifariam $ecabit; atque adeo per puncta _A, E,_ tran$ibit. Secabunt $e igitur cir 9. huius. 11. 1. huius. culi maximi _A F C E, A G E,_ in _A, E,_ bifariam: ac propterea $em<007>circulus erit _AFCE._ Quod e$t contra hypothe$im. Tran$it ergo circulus _A F C E,_ per polos cir- 9. huius. culorum _A B C D, EBFD._ Quare omnia $egmenta ip$orum $ecabit bifariam. Quod e$t propo$itum.

THEOR, 10. PROP. 10. 15.

SI $int in $phæra paralleli circuli, per quo- rum polos de$cribantur maximi circuli; paralle- lorum quidem circunferentiæ inter maximos cir- culos interceptæ, $imiles $unt; maximorum autem circulorum circunferentiæ inter parallelos circu- los interceptæ, $untæ quales.

SINT in $phæra circuli paralleli A B C D, E F G H, quorũ polus I:($unt enim paralleli circuli in $phæra circa eo$dem polos.) Per I, aut\~e circuli maxi 1. huius. mi de$cribantur vtcumque A E I G C, B F I H D. Dico circunferentias paral- lelorum A B, E F, $imiles, nec non B C, F G; Item C D, G H; & D A, H E: [051]LIBER SECVNDVS. circunferentias vero maximorum circulorum inter parallelos, nempe A E, B F, C G, D H, æquales e$$e. Sintenim communes $ectiones circuli A I C, & parallelorum rectæ A C, E G, quæ parallelæ erunt: communes vero $ectiones 16. vndec. circuli B I D, & parallelorum eorundem, rectæ B D, F H, quæ $imiliter pa- rallelæ erũt. Et quia circuli maximi A I C, B I D, per polos parallelorum de$cripti $e- cant parallelos bifariam; erunt A C, B D, 15. 1. huius. diametri circuli A B C D, & punctum L, vbi $e inter$ecant, centrũ eiu$dem: Item E G, F H, diametri circuli E F G H, & punctum K, vbi $e inter$ecant, centrum eiu$d\~e. Quo niam igitur rectæ E K, K F, rectis A L, L B, parallelæ $unt, $unt\’q; in diuer$is planis, e- runt anguli E K F, A L B, ad centra K, L, 10. vndeo. æquales. Quare circun$erentiæ A B, E F, per ea, quæ in $chol<007>o propo$. 33. lib 6. Eu- clid. o$tendimus, $imiles erunt. Eodem\’q; modo $imiles erunt B C, F G, & C D, G H, nec non D A, H E.

RVRSVS, quia rectæ ex polo I, ad puncta A, B, C, D, demi$$æ æquales $unt, ex defin. poli, erunt quoque arcus I A, I B, I C, I D, æquales: Et eo- 28. tertij. dem modo æquales erunt arcus I E, I F, I G, I H. Reliquæ igitur circunfe- rentiæ A E, B F, C G, D H, æquales inter $e erunt. Quapropter, $i $int in $phæra paralleli circuli, &c. Quod erat demon$trandum.

THEOR. 11. PROP. 11 16.

SI in diametris circulorum æqualium æqua- lia circulorum $egmenta ad angulos rectos in$i- $tant, à quibus $umantur æquales circunferentiæ, quarum quælibet inchoata ab extremitate $ui $e- gmenti, $it minor $emi$$e circunferentiæ integri $egmenti, à punctis autem æquales circunferen- tias terminantibus ducátur æquales rectæ line{ae} ad circunferentias circulorum primo po$itorum; ip- $æ circulorum primo po$itorum circunferentiæ interceptæ inter illas rectas lineas, & extremitates diametrorum, erunt æquales.

[052]THEODOSII SPH AERICORVM

IN diametris A C, D F, circulorum æqualium A B C, D E F, in$i$tant ip$is circulis ad angulos rectos $egmenta circulorũ æqualia A G C, D H F: $umantur\’q æquales arcus A G, D H, ita vt puncta G, H, $ecent $egmenta A G C, D H F, non bifariam. Ex G, H, denique in circunferentias circulo- rum A B C, D E F, cadant rectæ æquales G B, H E. Dico circunferentias A B, D E, e$$e æquales. Demittantur ex G, H, rectæ G I, H K, ad plana cir- culorum A B C, D E F, perpendiculares, quæ in communes $ectiones A C, 11. vndec. D F, cadent in puncta I, K. Sumptis quoque L, M, centris circulorũ A B C, 33. vndec. D E F, ducantur rectæ L B, B I, A G; M E, E K, D H: cadant\’q; primum pun cta I, K, in $emidiametros A L, D M. Quoniam igitur arcus A G C, D H F, æquales $unt, nec non & arcus A G, D H; æquales quoque erunt arcus, C G, F H; ac propterea anguli G A C, H D F, illis in$i$tentes æquales. Sunt autem 27. tertij. & anguli A I G, D K H, æquales, quòd recti $int ex defin. 3. lib. 11. Eucl. Ita- que duo triangula A I G, D K H, habent duos angulos G A I, A I G, duo- bus angulis H D K, D K H, æquales. Ha- bent autem & latus A G, lateri D H, {ae}qua 29. tertij. le, (ob æqualitat\~e ar cuum A G, D H.) quod angulis æquali- bus I, K, $ubtenditur. Igitur & latus A I, la 26. primi. teri D K, & latus G I, lateri H K, æquale e- rit. Quoniam vero an guli G I B, H K E, re cti $unt ex defin. 3. lib. 11. Eucl. erunt quadrata ex G B, H E, quæ inter $e æ- 47. primi. qualia $unt, ob æqualitatem rectarum G B, H E, quadratis ex G I, I B, & ex H K, K E, æqualia, ac {pro}pterea quadrata ex G I, I B, quadratis ex H K, K E, æqualia erunt. Ablatis ergo quadratis æqualibus rectarum æqualiũ G I, H K, remanebunt quadrata rectarũ I B, K E, æqualia; & idcirco & rectæ I B, K E, æquales. Et quia A L, D M, $emidiametri circulorum æqualiũ æquales $unt; o$ten$æ autem quoque $unt æquales A I, D K, erunt & reliquæ I L, K M, æ- quales. Quare latera I L, L B, lateribus K M, M E, æqualia erunt: $unt au tem & ba$es I B, K E, o$ten$æ æquales. Igitur & anguli L, M, ad centra æqua 8. primi. les erunt; ac proinde & arcus A B, D E, æquales erunt.

26. tertij.

CADANT deinde puncta I, K, in $emidiametros L A, M D, produ- ctas ad A, & D: quod quidem contingere pote$t, quando $egmenta A G C, D H F, $emicirculo $unt maiora; fiat\’q; eadem con$tructio, quæ prius. O$ten demus, vt prius, angulos G A C, H D F, e$$e æquales; ac propterea cum tam 27. tertij. G A C, G A I, quàm H D F, H D K, duobus $int rectis æquales, erũt & G A I, 13. primi. H D K, æquales. Cum ergo & anguli I, K, æquales $int, nempe recti, & late ra G A, H D, æqualia, ob æquales arcus A G, D H, erunt, vt prius, rectæ 29. tertij. G I, I A, rectis H K, K D, æquales; ac propterea & totæ I L, K M, inter $e 26. primi. æquales erunt. Igitur, vt prius, o$tendemus rectam I B, rectæ K E, & angu- lum L, angulo M, æqualem e$$e: ac denique arcum A B, arcui D E.

47. primi. 8. primi.

CADANT tertio perpendiculares ex G, H, demi$$æ in plana circulo- 26. tertij. [053]LIBER SECVNDVS. rum A B C, D E F, in pun- cta A, D: quod etiam con- tingere pote$t, quando $e- gmenta A G C, D H F, $e- micirculo $unt maiora. Du- ctis igitur rectis A B, D E, erũt anguli G A B, H D E, recti, ex defin. 3. lib. 11. Eu- clid. Quare, vt prius, æqua 47. primi. lia erunt quadrata rectarũ G A, A B, quadratis recta- rum H D, D E: Sunt aut\~e quadrata ex G A, H D, æ- qualia, quòd & rectæ G A, 29. tertij. H D, æquales $int, ob æqua les arcus A G, D H. Igitur & quadrata ex A B, D E, æ- qualia erunt; & propterea & rectæ A B, D E, æquales. Quare & arcus A B, D E, æquales erunt. Quod e$t {pro}- po$itum. Itaque $i in diametris circulorum æqualium æqualia circulorum $egmenta ad angulos rectos in$i$tant, &c. Quod erat demon$trandum.

THEOR. 12. PROPOS. 12. 16.

SI in diametris circulorum æqualium, æqua- lia $egmenta circulorum erigantur, & ab ip$is $e- gmentis æquales circunferentiæ ad extremitates $egmentorum de$umantur minores dimidijs ip- $orum partibus, ab ip$is autem circulis æquales circunferentiæ $umantur ad ea$dem partes, quæ $unt ad extremitates diametrorum, rectæ lineæ ductæ à punctis in circunferentijs $egmentorum ad puncta in circunferentijs circulorum, erunt æquales.

REPETANTVR figuræ propo$ition is præcedentis, cum ei$d\~e con- $tructionibus, ponantur\’q; arcus A B, D E, æquales. Dico & rectas G B, H E, 27. tertij. æquales e$$e. Quoniam enim, vt in præcedenti propo$. demon$tratum e$t, 29. tertij. 26. primi. [054]THEODOSII SPHAERICORVM rectæ A I, I G, rectis D K, K H, æquales $unt; & reliquæ I L, K M, ex $emidiametris A L, D M, vt in prima figura, vbi puncta I, K, cadunt in $e- midiametros A L, D M, vel certe erunt & totæ I L, K M, æquales, vt in $e- cunda figura, vbi puncta I, K, cadunt in $emidiametros A L, D M, productas ad A, & D. Quia igi\~t I L, L B, rectis K M, M E, æquales $unt; cõ tinent\’que angulos ad L, M, æquales, ob æ- 27. tertij. qualitat\~e arcuũ A B, D E; erunt & ba$es I B, K E, æquales. 4. primi. Quamobrem cum la- tera G I, I B, lateri- bus H K, K E, æqua- lia $int, contineant\’q; angulos G I B, H K E, æquales, nimirum rectos, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. erunt & ba$es G B, H E, æ- 4. primi. quales. quod e$t propo$itum. Facilius idem concludetur, $i perpendiculares ex G, H, in plana circulorum A B C, D E F, demi$$æ cadant in puncta A, D, vt in tertia figura. Nam quia rectæ G A, A B, rectis H D, D E, æquales $unt, 29. tertij. ob æquales arcus A G, D H, & A B, D E, continent\’q; angulos æquales, vt- pote rectos, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. erunt ba$es G B, H E, æquales. Si igitur 4. primi. in diametris circulorum æqualium, æqualia $egmenta, &c. Quod erat o$ten dendum.

THEOREMA 13. PROPOS. 13. 18.

SI in $phæra $int paralleli circuli, & de$cr<007>ban tur maximi circuli, qui vnum quidem parallelo- rum tangant, reliquos vero $ecent; circunferenti{ae} parallelorum interceptæ inter eos maximorum circulorum $emicirculos, qui non concurrunt, $imiles erunt; maximorum vero circulorum cir- cunferentiæ inter duos quo$cunque parallelos in- terceptæ, erunt æquales.

SINT in $phæra paralleli circuli A B, C D E, F G H, quieundem polũ 1. huius. habebunt, nempe I. Circuli autem maximi A F K, B H K, tangant parallelũ A B, in punctis A, B, & reliquos $ecent in punctis F, C, L, M; H, E, D, G: $eip$os aũt mutuo $ecent in K, N, vt $int $emicirculi K M N, N F K; K G N, N H K. Maximi enim circuli $e $ecant mutuo bifariam. Sumatur quoque ar 11. 1. huius. [055]LIBER SECVNDVS. cus K O, arcui N A, & arcus K P, arcui N B, æ- qualis, vt $int quoque $e micirculi A M O, O F A; B G P, P H B. Eruntigi- tur $emicirculi A M O, B H P, non coeuntes, cũ $e mutuo non $ecent. Eo dem modo nõ coeuntes erunt $emicirculi B G P, A F O. Dico arcus paral lelorum A B, L E, M H, interceptos inter $emi- circulos A M O, B H P, non coeuntes $imiles e$- $e, necnon & arcus A B, C D, F G, interceptos in ter $emicirculos B G P, A F O, non concurren- tes $imiles e$$e: Arcus vero maximorum circulorum A C, A L, B D, B E, æ- quales e$$e; necnon & arcus C F, L M, D G, E H: quorum illi inter paralle- los A B, C D E, hi vero inter parallelos C D E, F G H, interijciuntur: Eo- dem\’q; pacto æquales e$$e arcus A F, A M, B G, B H, inter parallelos A B, 20 1. huius. F G H, interiectos. Per polum enim I, & puncta contactuum A, B, circuli maximi de$cribantur Q A I R, S B I T, $ecantes parallelos in Q, S, V, X. Tran$ibunt hi circuli maximi per polos quoque circulorum A F K, B H K; 5. huius. ac proinde bifariam $ecabunt $egmenta C A L, D B E, C V L, D X E: necnõ 9. huius. $egmenta F A M, G B H, F Q M, G S H. Præterea <007>jdem circuli ad angulos rectos $ecabunt parallelos A B, C D E, F G H, & maximos circulos A F K, 15. 1. huius. B H K. Quoniam igitur diametris circulorum æqualium A F K, B H K, in$i $tunt ad angulos rectos $egmenta circulorum æqualia, nempe $emicirculi in- choati à punctis A, B, & per I, tran$eũtes, donec iterũ $ecent circulos A F K, B H K; $unt\’q; arcus æquales A I, B I, quòd ex defin. poli recta I A, IB æqua 28. tertij. les $int; qui quidem minores $unt dimidijs $emicirculorum partibus: (cum enim dimidij $int arcuum A I R, B I T, quòd, ex defin. poli, rectæ ex I, ad 28. tertij. puncta A, B, R, T, atque adeo arcus quoque $int æquales: $int autem arcus A I R, B I T, $emicirculo minores, quòd $emicirculi tendant ex A, & B, per I, v$que ad circulos A F K, B H K; erunt arcus A I, B I, minores dimidijs par tibus illorum $emicirculorum.) $unt quoque æquales rectæ I C, I E, ex po- li defin. erunt arcus A C, B E, æquales: E$t autem A C, ip$i A L, & B E, ip$i 11. huius. B D, æqualis, propterea quòd arcus C A L, D B E, bifariam $ecantur, vt de- 9. huius. mon$tratum e$t. Quatuor ergo arcus A C, A L, B E, B D, æquales $unt. Eo- dem modo o$tendemus, æquales e$$e quatuor arcus A F, A M, B H, B G; ac propterea & reliquos C F, L M, E H, D G, qui quidem $inguli inter binos parallelos intercipiuntur. Quod$ecundo loco proponebatur demon$trandũ.

QVIA vero arcus toti C A L, D B E, æquales $unt, quòd ip$orum dimi dia æqualia $int, vt demon$tratum e$t; erunt & rectæ $ubten$æ C L, D E, æ- 29. tertij. quales, quæ quidem arcubus quoque C V L, D X E, $ubtenduntur; ac pro- [056]THEODOSII SPH AERICORVM pterea & arcus parallelo 28. tertij. rum C V L, D X E, æ- quales erunt. Cum ergo 9. huius. $ec\~etur bifariam in V, X, vt dictum e$t, æquales e- runt eorum medietates, nimirum quatuor arcus C V, V L, D X, X E. Si igitur arcubus {ae}qualibus C V, D X, communis ar- cus addatur V D, æqua- les erunt arcus C D, V X: E$t autem arcus V X, ar 10. huius. cui A B, $imilis. Igitur & C D, eidem A B, $imi lis erit. Non $ecus o$ten demus F G, eidem A B, $imilem e$$E; nec non & arcus E L, H M, eidem arcui A B, e$$e $imiles. Quod $ecundo loco proponebatur demon$trandum. Siergo in $phæra $int paralleli circuli, &c. Quod o$tendendum erat.

PROBL. 1. PROP. 14. 17.

CIRCVLO in $phæra dato, qui minor $it quàm circulus maximus, dato\’q aliquo puncto in eius circunferentia, per illud punctum de$cri- bere circulum maximum, qui tangat datum cir- culum.

IN $phæra datus circulus $it non maximus A B, cuius polus C, opor- teat\’q; per A, punctum in eius circũferentia datum, de$cribere maximum circulum, qui circulum A B, tangat. Per polum C, & pun 20. i. huius. ctum A, de$cribatur circulus maximus C A D E B, in quo $umatur quadrans A D, & polo D, interuallo D A, circulus de$cri- batur A E, qui maximus erit, quòd recta 17. 1. huius. $ubten$a D A, latus $it quadrati in maxi- mo circulo de$cripti. Dico circulum maxi- mum A E, tangere circulum A B, in A. Quo- niam enim duo circuli A B, A E, eundem circulum C A D, per eorum polos tran$eũ [057]LIBER SECVNDVS. tem $ecant in eodem puncto A, ip$i $e mutuo tangent in puncto A. Circu- 3. huius. lo igitur in $phæra dato, &c. Quod faciendum erat.

PROBL. 2. PROPOS. 15. 19.

CIRCVLO in $phæra dato, qui minor $it maximo circulo, & puncto aliquo dato in $phæ- ræ $uperficie, quod $it inter datum circulum, & alium eidem æqualem, & parallelum, per pun- ctum illud datum de$cribere maximum circu- lum, qui tangat datum circulum maximo minor\~e.

SIT in $phæra datus circulus non maximus A B, cui æqualis $it & paral lelus C D, datum\’q; punctum $it G, inter duos circulos A B, C D; oporteat\’q; per G, circulum maximum de$cribere, qui tangat circulum A B. Sint E, F, poli parallelorum A B, C D, (habent enim paralleli eo$dem polos.) & per 1. huius. E, G, circulus maximus de$cribatur E A C, qui per reliquum polum F, tran 20. 1. huius. $ibit, ex coroll. $cholij propo$. 10. lib. 1. huius. In hoc accipiatur quadrans B H; ca- det\’q; pũ ctum H, vel $upra D, vel in D, vel in fra D: Quodcũ que aut\~e horũ cõ- tingat, ita r\~e exe quemur. Ex polo E, ad interuallum E H, vel ex polo F, ad interuallum F H, cir- culus de$cribatur H I, qui ip$is A B, C D, parallelus erit, exi$tet\’q; vel $u- 2. huius. pra C D, vel idem erit qui C D, vel infra C D, $itus erit, prout punctum H, $upra D, vel in D, vel infra D, po$itum fuerit. Sumatur rur$um qua- drans G K, erit\’q; punctum K, vltra H, cum G H, quadrante minor $it. Po- lo deinde G, interuallo autem G K, circulus de$cribatur K L, qui maxi- mus erit, quòd recta $ubtendens quadrant\~e G K, æqualis $it lateri quadrati 17. 1. huius. in maximo circulo de$cripti. Secet autem K L, circulum H I, in L, & per L, F, circulus maximus de$cribatur F L, qui per reliquum polum E, tran$i- 20. 1. huius bit, ex coroll. $cholij propo$.10.lib. 1. huius. Secet autem hic circulus F L E, circulum A B, in M. Erunt\’q; arcus M L, B H, circulorum maximorum per [058]THEODOSII SPH AERICORVM E, F, polos parallelorum tran$euntium, intercepti inter parallelos A B, H I, 10. huius. æquales, ac propterea exi$tente B H, quadrante per con$tructionem, erit & L M, quadrans. Polo igitur L, interuallo autem L M, circulus de$cribatur M N, qui maximus erit, quòd recta $ubtendens quadrantem L M, æqualis 17. i. huius. $it lateri quadrati in maximo circulo de$cripti. Quoniam vero maximus cir culus K L, tran$it per L, polum maximi circuli N M, tran$ibit vici$sim ma- ximus circulus N M, per G, polum circuli K L: atque ita tran$it maximus Scho. 15. 1. huius. circulus N M, per datum punctum G. Dico iam eundem tangere circulum A B, in M. Quoniã enim circuli A B, G N, in eodem puncto M, $ecãt maximũ circulum E F, in quo polos habent, ip$i $e mutuo tangent in M. De$criptus 8. huius. e$t ergo per G, circulus maximus G N, tangens circulum A B, in M. Quare circulo in $phæra dato, &c. Quod faciendum erat.

SCHOLIVM.

_QVOD_ $i punctum G, datum $it præci$e in medio arcus _B D,_ erit quadrans _G F._ Polo igitur _G_, interuallo\’q; _G F,_ circulus de$criptus _F E,_ $ecabit _H I,_ in _L,_ puncto, quod rur$um erit polus circuli tangentis, vt prius. Si vero _G,_ punctum datum $it idem, quod _D,_ erit polus circuli tangentis in medio arcus _D C A,_ cum hic arcus $e- micirculus $it. Circulus aut em ex illo polo de$criptus tanget _A B,_ in _A,_ & _C D,_ 1. huius. in _D_, vt patet: quo niam vi- delicet cir culus hic maximus, & paral. leli _A B,_ _C D,_ $e- cãt in pũ- ctis _A,_ _D,_ circunfe- rentiã ma ximi circuli _A C D B,_ in quo polos habent.

_QVONIAM_ vero $icut _L,_ polus e$t o$ten$us circuli maximi _G N,_ tangentis, circulum _A B,_ ita quoque o$tendi pote$t, aliud punctũ, in quo maximus circulus _K L,_ circulum _H I,_ ex altera parte $ecat, polum e$$e alterius cuiu$dam circuli maximi, qui per _G,_ tran$eat, tangat\’q; circulum _A B,_ in alio puncto; per$picuum e$t per pũ- ctum in $phæra datum inter duos circulos æquales, & parallelos de$cribi po$$e duos circulos maximos, qui circulum _A B,_ tangant in duobus punctis.

THEOR. 14. PROPOS. 16. 20.

MAXIMI circuli, qui $imiles circũferentias [059]LIBER SECVNDVS. parallelorum circulorum in $phæra auferunt, aut per parallelorum polos tran$eunt, aut eundem v- num parallelum tangunt.

IN $phæra maximi circuli A B C, D B E, auferant ex paralleli: A D C, F G, circunferentias $imiles A D, F G. Dico maximos circulos A B C, D B E, aut tran$ire per polos parallelorum A D C, F G, aut vnum eundem parallelum tangere. Aut enim alter illorum, nempe A B C, tran- $it per polos parallelorum, atque ita o$ten- demus, alterum per eo$dem tran$ire, aut nõ tran$it quid\~e per polos parallelorũ, $ed alte rũ tamen illorũ tangit, atq; ita demon$tra- bimus, alterum cundem tangere; aut deniq; neque per polos parallelorum incedit, neq; alterum illorum tangit: quo po$ito conclu demus circulos maximos datos aliqu\~e aliũ parallelum tangere datis parallelis minor\~e. Tran$eat enim primum A B C, per polos pa- rallelorum. Dico & D B E, per eo$dem trã $ire, hoc e$t, pũctum B, in quo $e $ecant maximi circuli A B C, D B E, polum e$$e parallelorum A D C, F G. Si namque B, non e$t eorum polus, $it H, po- lus ip$orum. Et quia circulus A B C, ponitur tran$ire per eorum polos, erit H, in circunferentia A B C. Per H, G, de$cribatur circulus maximus H G, 20. 1. huius. 10. huius. $ecans A D C. in I. Erunt\’q; arcus A I, F G, $imiles, cum intercipiantur in- ter maximos circulos A H, H I, per polum H, de$criptos: Ponitur autem & arcus A D, eidem arcui F G, $imilis. Similes ergo $unt arcus A I, A D; atque adeo cum $int eiu$dem circuli, inter $e æquales erunt, totum & pars. Quod e$t ab$urdum. Non ergo aliud punctum, præter B, polus erit parallelo- rum, $i alter circulorum A B C, D B E, nempe A B C, per illorum polos du citur, Quare vterque circulus maximus A B C, D B E, per polum B, paralle lorum tran$it, $i vnusip$orum tran$it.

SED iam duo maximi circuli A B C, D E F, auferant rur$um ex parallelis A D C, B E, circunferentias $imiles A D, B E, & neuter illorum tran$eat per parallelorum polos, $ed alter, nempe A B C, vnum eorum, puta B E, tangat in B. Dico & circulum D E F, eundem B E, tangere in E. Si enim non tan git, $ed $ecat, de$cribatur per E, punctũ in parallelo B E, datũ maximus circulus G E H, 14. huius. tangens parallelum B E, in E; erunt\’q; $emi circuli, quorum alter ex E, per G, ducitur, alter vero ex B, per A, tran$it, non coeun- tes, vt con$tat ex figura propo$. 13. huius libri, & ex demon$tratis ibidem. 13. huius. [060]THEODOSII SPH AERICORVM Igitur arcus B E, A G, $imiles erunt: Ponuntur autem & $imiles B E, A D. Similes ergo $unt inter $e A G, A D; ac proinde, cum $int eiu$dem circuli, inter $e æquales erunt, totum, & pars. Quod e$t ab$urdũ. Nullus ergo alius circulus maximus per E, ductus præter D E F, parallelum B E, tangit in E, $i A B C, eundem in B, tangit. Quare $i A B C, tangit B E, tanget & D E F, eundem B E.

POSTREMO maximi circuli A B C, D E F, auferant ex parallelis A D C, G H, circunferentias $imiles A D, G H; & neuter illorum per paral- lelorum polos ducatur, aut alterum eorum tangat. Dico circulos maximos A B C, D E F, tangere alium quendam pa- rallelum ip$is A D C, B E, minor\~e. Quo- niam enim circulus maximus A B C, neque tran$it per polos parallelorum, neque alte rum ip$orum tangit, erit circulus maximus A B C, ad vtrumque parallelorum A D C, G H, obliquus. Sienim rectus e$$et, tran$i- ret per ip$orum polos, quod non ponitur. 13 .1. huius. Tanget igitur A B C, duos circulos æqua- les inter $e, & parallelos vtrique A D C, 2. huius. G H. Tangat ergo parallelum B E, qui mi nor erit vtroque A D C, G H; (cum A B C, ip$os $ecet) atque adeo & alter $ibi æqua- lis, & parallelus minor erit vtroque A D C, G H: ac {pro}inde paralleli A D C, G H, po$iti erũt inter illos duos, quos circulus A B C, tangit. Dico & D E F, eundem B E, tangere. Si enim non tangit, de$cribatur per punctum H, quod e$t inter circulum B E, & $ibi æqualem, ac parallelum, ut o$tendimus, cir- 15. huius. culus maximus K H, tangens B E, in I; erunt\’q; $emicirculi, quorum alter ex I, per H, alter vero ex B, per G, tran$it, non coeuntes, vt con$tat ex figura propo$i. 13. huius libri, & ex demon$tra- 13. huius. tis ibidem. Igitur arcus A K, G H, $imi- les erunt: Ponuntur autem & A D, G H, $imiles. Similes igitur $unt A K, A D; atque adeo, cum $int eiu$dem circuli, inter $e æ- quales erunt, totum & pars. Quod e$t ab- $urdum. Nullus ergo alius circulus maxi- mus per H, de$criptus, præter D E F, paral- lelum B E, tangit, $i A B C, eundem tangit in B. Quare $i A B C, tangit circulum B E, tanget & D E F, eundem B E. Quapropter maximi circuli, qui $imiles circunferentias, &c. Quod erat o$tendendum.

SCHOLIVM.

_MANIFESTVM_ autem e$t, circulos maximos _A B C, D E F,_ ita tangere eundem parallelum _B E,_ vt $emicirculi eorum à contactibus per arcus $imiles proce- dentes non coeant. Alias non e$$ent arcus ablati $im<007>les, vt con$tat ex propo$.13. buius libri.

[061]LIBER SECVNDVS. THEOREMA 15. PROPOS. 17. 21.

IN $phæra paralleli circuli, inter quos & ma- ximum parallelorum æquales circunferentiæ ma- ximorum circulorum intercipiuntur, $untinter $e æquales: Illi vero, inter quos, & maximum paralle- lorum maiores maximorum circulorum circun- ferentiæ intercipiuntur, $unt minores.

SINT in $phæra paralleli circuli A B, C D, E F; $itque C D, maximus parallelorum. Inter circulum vero C D, & vtrumq; parallelorum A B, E F, intercipiantur æquales circunferentiæ A C, C E, maximi alicuius circuli ACEFDB. Dico parallelos A B, E F, {ae}qua lès e$$e. Sint enim communes $ectiones paral- lelorum, & circuli A C E F D B, rectæ A B, C D, E F, quæ parallelæ inter $e erunt. Tran 16. vndes. $eat autem primum circulus maximus ACE- F D B, per polos parallelorum. Quo po$ito, fecabit circulus A C E F D B, parallelos A B, C D, E F, bifariam, & ad angulos rectos; 15. 1. huius. atq; adeo diametri erunt A B, C D, E F, pa- rallelorum. Quoniam vero arcus A C, B D, æquales $unt, nec non & arcus C E, D F; po- 10. 1. huius. niturque A C, æqualis ip$i C E; erunt A C, B D, $imul ip$is C E, D F, $imul æquales: Sunt autcm $emicirculi æquales C A B D, C E F D: quia circuli maximi C D, A C E F D B, $e mutuo bifariam diuidunt. 11. 1. huius. Igitur reliqui arcus A B, E F, æquales erunt; ac propterea & rectæ A B, E F, hoc e$t, diametri circulorum A B, E F, æquales. Circuli ergo A B, E F, 29. tertij. æquales $unt.

QVOD $i arcus A C, maior ponatur arcu C E. Dico circulum A B, mi- norem e$$e circulo E F. Po$ita enim eadem con$tructione, & demon$tratione, erunt vt prius, arcus A C, B D, æquales, nec non C E, D F, cum ergo A C, ma 1@. huius. ior ponatur quam C E, erunt duo arcus A C, B D, $imul, maiores duobus ar- cubus C E, D F, $imul. Reliquus igitur A B, ex $emicirculo C A B D, minor erit reliquo E F, ex $emicirculo CEFD; ac propterea & recta A B, hoc e$t, diameter circuli A B, minor erit, quàm recta E F, hoc e$t, quàm diameter cir- culi E F, vt in $cholio propo$. 29. lib. 3. Eucl. à nobis e$t demon$tratum, cum arcus A B, E F, $emicirculo $int minores. Quare minor erit circulus A B, cir- culo E F. quod e$t propo$itum.

SED iam circulus maximus A C E F D B, non tran$eat per polos paral- lelorum A B, C D, E F; $intque rur$us arcus A C, C E, æquales. Dico adhuc circulos A B, E F, e$$e æquales. Sint enim G, H, poli parallelorum A B, C D, E F, & per G, H, ac polos circuli maximi A C E F D B, crrculus maximus de- [062]THEODOSII SPHAERICORVM $cribatur G I H K, qui circulum A C E F D B, $ecabit duobus in punctis, vt in 10. 1. huius. I, K, ad angulos rectos. Quoniam igitur circulus maximus G I H K, per po 15. 1. huius. los maximorum circulorum A C E F D B, C D, tran$it, ex conftructione, trã- $ibunt hi vici$sim per illius polos. Puncta igitur C, D, vbi $e duo hi circuli Schol. 15. 1. huius. inter$ecant, poli erunt circuli GIHK; (alias non vterque circulus A C E F D, C D, per polos circuli G I H K, tran$iret) ac proinde ductæ rect{ae} C I, C K, ex defin. poli, æquales erunt, ac propterea & ar cus C I, C K, inter $e erunt æquales. Sunt 23. tertij. autem & arcus A C, C E, per hypothe$im, æquales Reliqui igitur arcus A I, E K, æqua les quoque erunt. Rur$us quia $emicirculus I G K; $emicirculo G K H, æqualis e$t; (Diui- 11. 1. huius. dunt enim $e mutuo circuli A C E F D B, & G I H K, bifariam; ac proinde I G K, $emicir culus eft; Arcus autem G K H, $emicireulus e$t propter G, H, polos parallelorum.) dem pto communi arcu G K, erunt reliqui arcus G I, H K, æquales. Quoniam igitur in dia- metro circuli I C K D, $egmenta circulorũ æqualia I G K, K H I, quæ $emicirculi $unt, @@ 1. huius. vt o$tendimus, in$i$tunt ad angulos rectos, $untque arcus I G, K H, æquales, & non $unt $egmentorum $emi$$es, $iue quadrantes, cum G, H, non $int poli circuli I C K D: Item æquales $unt arcus I A, K E, vt demon$tratum e$t; erunt rectæ demi$$æ G A, H E, æquales. Quarc circuli A B, E F, æquales in- 12. huius. ter $e erunt.

Schol. 21. 1 huius.

QVOD $i arcus A C, maiot ponatur arcu C E; Dico circulum A B, mi- norom e$$e circulo E F. Sumpto enim arcu C L, quiæqualis $it arcui C E, erit, vt proxime demon$tratum e$t, parallelus per L, de$criptus æqualis parallelo E F: $ed parallclus A B, minor e$t, quàm parallelus per L, de$criptus, cum ille 6. 1. huius longius à maximo parallelorum, atque adeo à centro $phæræ, ab$it. Minor igi tur quoque e$t parallelus A B, quam E F. Quod e$t propo$itum. In $phæra ergo paralleli circuli, inter quos & maximum parallelorum, &c. Quod erat. demon$trandum.

THEOR 16. PROPOS. 18. 22.

IN $phæra c<007>rcunferentiæ maximorum circu- lorum interceptæ inter maximum parallelorum, & duos alios circulos æquales, & parallelos, $unt æquales: Illæ vero, quæ intercipiuntur inter maio- rem parallelum, & maximum, $unt minores.

IN $phæra $int duo paralleli æquales A B, C D, & maximus parallelorũ fit E F: Hos autem omnes parallelos $ecet maximus alius circulus A C D B. Dico arcus A E, E C, nec non B F, F D, æquales e$$e. Si enim non $unt æqua [063]LIBER SECVNDVS. les, $it A E, maior. Erit igitur circulus A B, minor circulo C D. quod e$t con- 17. huius. tra hypothe$im. Sunt ergo {ae}quales arcus A E, E C, nec non B F, F D.

QVOD $i circulus A B, maior po- natur circulo C D; Dico arcum A E, mino- rem e$$e arcu E C. Si enim non e$t minor, erit vel æqualis, vel maior. Si æqualis, erunt circuli A B, C D, æquales: $i maior, erit cir- 17. huius. culus A B, minor circulo C D, quorum vtrũ- 17. huius. que e$t cõtra hypothe$im. Minor ergo e$t ar- cus A E, quam E C. Quamobrem In $phæra circunferenriæ maximorum circulorum in- terceptæ, &c. Quod o$tendendũ erat.

THEOR. 17. PROPOS. 19. 23.

SI in $phæra maximus circulus parallelos ali- quot circulos in $phærica $uperficie de$criptos $e- cet quid\~e, non tamen per polos, in partes inæqua- les eos $ecabit, excepto maximo parallelorum: De parallelorum autem $egmentis in vno hemi$phæ- riorum interceptis, ea quæ $unt inter maximum parallelorum, & polum con$picuum, $unt maiora $emicirculo; reliqua vero, quæ $unt inter maximũ parallelorum, & polum occultum, $unt $emicircu lo minora: Æqualium denique ac parallelorum cir culorum alterna $egmenta $unt inter $e æqualia,

IN $ph{ae}ra maximus circulus A B C D, parallelos E F, G H, I K, $ecet in L, M; B, D; & O, P, non per polos, qui $int Q, R; & fit G H, parallelorum maximus, & Q, polus con$picuus, & R, occultus in hemi$ph{ae}rio, quod $upra circulum maximum A B C D, ex tat, & ad partes F, vergit. Dico circulum A B C D, parallelos non bifariam $ecare, ex cepto maximo G H; hunc enim bifariam $e- 11. 1. huius cat: $egmentum autem L F M, inter maximũ parallelum, & polum Q, con$picuum $emicir culo e$$e maius, & O K P, minus. Si denique paralleli E F, I K, {ae}quales $int, alterna $egm\~e [064]THEODOSII SPHAERICORVM ta L F M, O I P, {ae}qualia e$$e. Per polum enim Q, & punctum B, circulus maximus 20. 1. huius. de$cribatur QBRD; qui per reliquum po- lum R, tran$ibit ex coroll. $cholij pro- po$. 10. lib. 1. huius; nec non per pun- ctum D, cum vtrumque circulum G B H D, 11. 1. huius. A B C D, bifariam diuidat; circuli au- tem hi $ecentur bifariam in B, D. Ex quo fit, circulum Q B R D, paralle- lum E F, $ecare $upra circulum A B C D, at parallelum I K, infra eundem; vt in pun- ctis S, T; & V, X. Quoniam vero circulus Q B R D, parallelos E F, I K, bifariam $e- 15. 1. huius. cat, erunt S F T, V K X, $emicirculi; ac propterea arcus L F M, $emicirculo maior, & O K P, $emicirculo minor erit. Quod e$t propo$itum.

SINT iam paralleli E F, I K, {ae}quales. Dico alterna $egmenta L F M, O I P, {ae}qualia inter $e e$$e; nec non $egmenta alterna L E M, O K P. Nam per polos parallelorũ, & polos circuli A B C D, de$cribatur circulus maximus A G C H, 20. 1. huius. qui diuidet $egmenta L A M, O C P, bifariam. Aequales ergo $unt arcus A L, 9. huius. A M, inter $e, & C O, C P, inter $e. Et quoniam circulus maximus A G C H, tran$it per polos maximorum circulorum G H, A C; tran$ibunt vici$sim hi Schol. 15. 1. huius. per illius polos. Puncta igitur B, D, poli $unt circuli AGCH; ac propte- rea rect{ae} B A, B C, æquales erunt, ex defin. poli; atque idcirco & arcus ip$i B A 28. tertij. B C, æquales erunt: Sunt autem & arcus B L, B O, {ae}quales; propterea quod 18. huius. æquales ponuntur paralleli E F, I K. Igitur & reliqui arcus A L, C O, {ae}qua- les erunt: Sunt autem arcus A L, C O, dimidij arcuum E A M, O C P; pro- pterea quòd A L, ip$i A M, & C O, ip$i C P, o$ten$us e$t {ae}qualis. Aequales ergo $unt quoque arcus L A M, O C P, ae proinde & rect{ae} $ubten${ae} L M, O P, 29. tetij. æquales erunt. Quare ex circulis {ae}qualibus E F, I K, auferent æquales arcus, 28. tertij. maiorem quidem L F M, maiori O I P, & minorem L E M, minori O K P, (hoc e$t alternum $egmentum alterno $egmento) {ae}qualem. Quod e$t pro po- $itum. Itaque $i in $ph{ae}ra maximus circulus parallelos aliquot circulos in $ph{ae}rica $uperficie de$criptos $ecet quidem, &c. Quod erat demon$trandum.

THEOREMA 18. PROPOS. 20. 24.

SI in $phæra maximus circulus parallelos ali- quot circulos $ecet, non tamen per polos; de paral lelorum a$$umptis cirtumferentijs in vno hemi- $phærio, illæ quæ propius accedunt ad polũ con- $picuum, erunt maiores, quàm vt $imiles e$$e po$- $int illis, quæ ab eodem con$picuo polo longius ab$unt.

[065]LIBER SECVNDVS.

IN $phæra parallelos A B, C D, E F, $ecet in H, O; I, N; K, M, non ta- men per polos, circulus maximus GHIKLMNO, $itque $upra hemi$phæ- rium G B L, polus con$picuus P, occultus autem Q Dico arcum O B H, maiorem e$$e, quàm vt $im<007>lis $it arcui N D I, & N D I, ma iorem, quàm vt $imilis $it arcui M F K. Per polum enim parallelorum P, & puncta I, N, 20. 1. huius. de$cribãtur duo circuli maximi P I, P N, $e- cantes parallelum A B, $upra circulũ G I L N, in R, S: eritque arcus R B S, arcui I D N, $i- 10. huius. milis. Cum ergo arcus O B H, maior $it ar- cu R B S, maior quoque erit, quam vt $imilis $it arcui N D I. Eodem modo o$tendemus arcum N D I, maiorem e$$e, quàm vt $imilis $it arcui M F K, $i nimirum per polum P, & puncta K, M, duo alij circuli maximi de$cri- bantur. Igitur $i in $phæra maximus circulus parallelos aliquot, &c. Quod demon$trandum erat.

COROLLARIVM.

HINC fit, $impliciter arcum O B H, maiorem e$$e partem $ui paralleli A B, quàm ar- cum N D I, $ui paralleli, &c. quandoquidem arcus R B S, tanta pars e$t $ui paralleli, quanta e$t arcus I D N, $ui paralleli, cum hi arcus demon$trat<007> $int e$$e $imiles, &c.

THEOREMA 19. PROPOS. 21. 25.

SI in $phæris æqualibus maximi circuli ad ma- ximos circulos inclinentur, ille cuius polus $ubli- mior $upra planum $ubiectum e$t, inclinatior erit: illi vero circuli, quorum poli æqualiter di$tant à $u biectis planis, æqualiter inclinantur.

IN $phæris æqua- libus A B C D, E F G H, quarum centra I, K, ad circulos maximos A B C D, E F G H, quo rum poli L, M, incli- n\~etur duo circuli ma- ximi B N D, F O H, quo- rum poli, P, Q; $itque primum polus P, $ubli- mior $upra planum cir culi A B C D, quàm po lus Q, $upra planũ cir- culi E F G H. Dico cir- [066]THEODOSII SPHAERICORVM culum B N D, inclinatiorem e$$e ad circulum A B C D, quàm F O H, ad E F G H. De$cribantur enim per L, P, polos, & per polos, M, Q, cir- 30. i. huius culi maximi A N C, E O G; $itque communis $ectio circulorum A B C D, B N D, recta B D; circulorum autem A B C D, A N C, recta A C; & circulo- rum B N D, A N C, recta N I: quæ omnes rectæ per centrum $phæræ I, tran- $ibunt, cum circuli maximi per idem centrum $phæræ ducantur. Eodem ordi- 6. 1. huius. dine $int in alia $phæra communes $ectiones circulorum, vt recta F H, circu- lorum E F G H, F O H; recta vero E G, circulorum E F G H, E O G; & re- cta O K, circulorum F O H, E O G: quæ omnes rectæ $imiliter per centrum $phæræ K, tran$ibunt. Et quoniam circulus A N C, per polos circulorum A B C D, B N D, tran$iens, eos $ecat ad angulos rectos; erit vici$sim vterque 15. 1. huius circulus A B C D, B N D, ad circulum A N C, rectus, atque adeo & recta B D, communis eorum $ectio, ad eundem circulum A N C, perpendicularis erit. 19. vndec. Quare anguli A I D, N I D, recti erunt, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. ac pro- inde A I N, angulus erit inclinationis cir- culi B N D, ad circu- lum A B C D, ex de- fin. 6. lib. 11. Eucl. Eo- dem modo erit E K O, angulus inclinationis circuli F O H, ad cir- circulũ E F G H. Quo- niam vero P, polus cir culi B N D, $ublimior ponitur $upra circu- lum A B C D, quàm polus Q, circuli F O H, $upra circulum E F G H, erit maior arcus C P, arcu G Q. Hi enim arcus, cum $int perpendiculares ad circulos A B C D, E F G H, altitudines polo- rum P, Q, $upra ip$os circulos metiuntur. Sunt autem arcus P N, Q O, æquales, cum $int quadrantes. Poli enim P, Q, à circulis maximis B N D, F O H, per quadrantem ab$unt. Arcus ergo C N, maior erit arcu G O, ac pro Coroll. 16. huius. rea A N, reliquus ex $emicirculo A N C, minor erit reliquo E O, ex $emicir culo E O G. Quare angulus A I N, angulo E K O, minor erit, ac proinde Schol. 27. tertij. magis inclinatus erit circulus B N D, ad circulum A B C D, quam circulus F O H, ad circulum E F G H, vt in explicatione definitionis 7. lib. 11. Eucl. $crip$imus.

SED $intiam arcus C P, G Q, æquales, hoc e$t, poli B, Q, æqualiter di $tent à planis circulorum A B C D, E F G H. Dico circulos B N D, F O H, æqualiter inclinari ad circulos A B C D, E F G H. Quoniam enim arcus C P, G Q, æquales $unt, $i addantur quadrantes P N, Q O, erunt & arcus C H, G O, æquales; ac propterea & reliqui arcus A N, E O, ex ${ae}micirculis æqua- les erunt, Anguli igitur A I N, E K O, æquales erunt, ac propterea, ex defin. 27. tertij. 7. lib. 11. Eucl. $imiles, $iue æquales erunt inclinationes circulorũ B N D, F O H, ad circulos A B C D, E F G H. Si igitur in $phæris {ae}qualibus maximi circuli ad maximos circulos, &c. Quod erat o$tendendum.

[067]LIBER SECVNDVS. SCHOLIVM.

_HINC_ fit, $i circulorum maximorũ ad alios inclinatorum poli equaliter di$tent à polis maximorum, ad quos inclinantur, inclinationes e$$e equales: cuius vero polus vicinior $it pola eius, ad queminclinantur, inclinationem e$$e maiorem. Nam $i arcus Coroll. 16. 1. huius. _L P, MQ_, $int æquales, erunt & _C P, G Q,_ æquales, cum quadrantes $int _C L,_ _GM;_ atque adeo poli _P, Q,_ circulorum inclinatorum æqualiter di$tabunt à $ubie- ctis planis circulorum _A B C D, E F G H._ Quare, vt demon$tratum e$t in hac propo$. æqualeserunt inclinationes circulorum _B N D, F O H,_ ad circulos _A B C D, E F G H._ Si vero arcus _L P,_ minor $it arcu _M Q,_ erit reliquus arcus _C P,_ ex quadrante ma<007>or arcu _G Q,_ reliquo ex quadrante. Igitur, vt o$tendimus in hac prope$. maior erit inclinatio circuli _B N D,_ ad circulum _A B C D,_ quam circuli _F O H,_ ad cir- culum _E F G H._

_CONVERSVM_ quoque huius Theorematis, & $chol{ij} demon$trabimus in bunc modum.

SI in $phæris æqualibus maximi circuli ad maximos circulos æqualiter inclinentur, erunt di$tantiæ polorum ip$orum à $ubiectis planis æquales: Illius verò, qui magis incl<007>natur, $ublimior erit po- lus. Item di$tantiæ polorum illorum circulorum, qui æqualiter incli nantur, à polis circulorum, ad quos inclinantur, æquales erunt: Di- $tantia vero poli illius circuli, qui magis inclinatur, à polo circuli, ad quem inclinatur, minor erit.

_SI_ namque circuli _B N D, F O H,_ al circulos _A B C D, E F G H,_ æqualiter in- clinentur, erunt anguli _A I N, E K O,_ æquales, ex defin 7 lib. 11. Eucl. ac propterea 26. tertij. & arcus _A N, E O,_ æquales erunt. Additis igitur quadrantibus _N P, O Q,_ æqudo les erunt arcus _A P, E Q;_ ac propterea & reliqui _C P, G Q,_ ex $emicirculis æquales erunt.

_SI_ verò circulus _B N D,_ ad circulum _A B C D,_ magis inclinetur, quam circulus _F O H,_ ad circulum _E F G H,_ erit minor angulus _A I N,_ angulo _E K O,_ vt in defi- nitionem 7. lib. 11 Eucl. $erip$imus; ac propterea & arcus _A H,_ minor erit arcu _F O._ Scho. 26. tcrtij. Additis igitur quadrantibus _N P, O Q,_ minor erit arcus _A P,_ arcu _EQ;_ ac proin- de reliquus _C P,_ ex $emicirculo _A N C,_ reliquo _G Q,_ ex $emicirculo _F O G,_ maior erit.

_RVRSVS,_ $i circuli æqualiter inclinentur, erunt arcus _C P, G Q,_ vt pro- xime o$tendimus, æquales. Cum ergo quadrantes $int _C L, G M;_ erunt & arcus Coroll. 16. 1. huius. _L P, M Q,_ æquales.

_SI_ denique circulus _B N D,_ magis inclinetur, erit exproxime demo$tratis, ar@ cus _C P,_ maior arcu _G Q._ Reliquus igitur _L P,_ ex quadrante _C L,_ minor erit re- lique _M Q,_ ex quadrante _G M,_ &c.

_DVO_ quoque alia Theoremata in alia ver$ione hoc loco adiecta $unt, vide- licet.

I.

CIRCVLI maximi tangentes eundem parallelum, æqualiter 26. inclinantur ad maximum parallelorum: qui vero maiorem paralle- lum tangit, inclinatior e$t ad maximum parallelorum. Et circuli [068]THEODOSII SPHAERICORVM æqualiter inclinati ad maximum parallelorum, tangunt eundem pa- rallelum: Qui vero inclinatior e$t ad maximum parallelorum, ma- iorem parallelum tangit.

_MAXIMI_ circuli _A B, C B,_ tan- gant eundem parallelum _A C,_ $itque parallelorum maximus _D E._ Dico cir- culos _A B, C B,_ æqualiter inclinari ad circulum _D E._ Sit enim _F,_ polus pa- rallelorum, & per _F,_ & contactus _A,_ 20. 1. huius _C,_ circuli maximi de$cribantur _F A D,_ _F C E,_ qui per polos circulorum _A B,_ 3. huius. _C B,_ tran$ibunt; atque adeo ip$os ad @5. 1. huius. angulos rectos $ecabunt. Quare arcus _A F, C F,_ metientur altitudinem po- li _F,_ circuli _D E,_ $upra circulos _A B,_ _CB;_ ac proinde cum arcus _A F, C F;_ 28. tertij. æquales $int, propterea quòd rectæ $ub ten$æ _F A, F C,_ æquales $unt, ex defin. 21. huius. poli, æqualiter inclinabitur circulus _D E,_ ad circulos _A B, C B;_ & hi vi- ci$sim ad illũ æqualiter inclinabuntur.

_TANGAT_ iam maximus cireulus _G H,_ maiorem parallelum _G I._ Dico maio- rem e$$e inclinationem circuli _G H,_ ad maximum parallelorum _D E,_ quàm circuli _A B._ De$cripto enim per _F,_ & contactum _G,_ circulo maximo _F G E,_ metietur eodem 20. 1. huius. modo, vt proxime demon$tratum e$t, arcus _F G,_ altitudinem poli _F,_ circuli _D E,_ $u- pra circulum _G H._ E$t autem arcus _F G,_ maior arcu _F A,_ quòd circulus _G I,_ maior pònatur circulo _A C,_ ac proinde à polo _F,_ remotior. Igitur magis inclinabitur cir- culus _D E,_ ad circulum _G H,_ quàm ad circulum _AB;_ & vici$sim _G H,_ magis ad 21. 1. huius. _D E,_ inclinabitur, quàm _A B._

_RVRSVS_ circuli maximi _A B, C B,_ æqualiter inclinentur ad circulum _D E,_ maximnm parallelorum. Dico illos eundem parallelum tangere. Per F, enim polum pa- 20. 1. huius. rallelorum, & polos circulorum _A B, C B,_ circuli maximi de$cribantur _F A D,_ _F C E,_ $ecantes circulos _A B, C B,_ in _A, C._ Et quoniam cos $ecant ad angulos re- 15. 1. huius. ctos; metientur arcus _F A, F C,_ altitudinem poli _F,_ circuli _D E,_ $upra circulos _A B,_ _C B:_ $unt autem arcus _F A, F C,_ æquales, quòd circuli _AB, C B,_ æqualiter ponantur Schol. 21. huius. inclinari ad circulum _D E,_ atque adeo & hic vici$sim ad illos. S<007> igitur ex polo _F,_ interuallo _F A,_ vel _F C,_ circulus de$cribatur _A C,_ tanget hic circulos _AB, C B;_ 3. huius. propterea quod circulus _AC,_ & circuli _A B, C B,_ in ei$aem punctis _A, C,_ $ecant circulos maximos _F D, F E,_ qui per eorum polos tran$eunt.

_IAM_ vero circulus maximus _G H,_ magis inclinatus $it ad circulum _D E._ Dico illum tangere maiorem parallelum. De$cripto enim per _F,_ polum parallelo- 20. 1. huius. rum, & per polum circuli _G H,_ circulo maximo _F G,_ qui circulum _G H,_ $eca- bit adangulos rectos, nimirum in puncto _G;_ metietur rur$us arcus _F G,_ altitu- 15. 1. huius. dinem pol<007> _F,_ circul<007> _D E,_ $upra circulum _G H:_ E$t autem _F G,_ maior quàm _F A,_ quod Schol. 21. huius. magis inclinatus ponatur circulus _G H,_ quàm _AB._ Igitur circulus ex polo _F,_ & in- teruallo _F G,_ de$criptus maior erit circulo ex eod\~e polo _F,_ & interuallo _F A,_ de$cripto. [069]LIBER SECVNDVS. Cumergo _A B, A C,_ $e mutuo tangant in _A,_ & _G H, G I,_ $e mutue quoq; tangant 3. huius. in _G,_ con$tat propo$itum.

II.

CIRCVLI maximi ad maximum parallelorum æqualiter in- 27. clinati, polos habent in circunferentia eiu$dem paralleli. Et circuli maximi, qui polos habent in circunferentia eiu$dem paralleli, ad ma- ximum parallelorum æqualiter inclinantur.

_CIRCVLI_ maximi _A B, C D,_ quorum poli _E, F,_ æqualiter $int inclinati ad _D B,_ maximum parallelorum. _D_ico eo- rum polos _E, F,_ e$$e in eodem parallelo. 20. 1. huius. De$criptis enim per _G,_ polum paralle- lorum, & per _E, F,_ polos circulorum _A B, C D,_ maximis circulis _G E, G F,_ qui recti erunt ad circulos _A B, C D;_ 15. 1. huius. erunt arcus _E G, F G,_ di$tantiæ polorũ _E, F,_ à polo _G:_ $unt autem æquales, Schol. 21. huius. quòd circuli _A B, C D,_ ponantur æqua liter inclinati ad circulum _D B._ Igitur circulus _E F,_ ex polo _G,_ & interuallo _G E,_ vel _G F,_ de$criptus, parallelus e$t circulo _DB;_ in quo quidem paralle- 2. huius. lo _E F,_ circuli _A B, C D,_ polos _E, F_ habent. Quod e$t propo$itum.

_SED_ <007>am circuli maximi _A B, C D,_ habeant polos _E, F,_ in parallelo, _E F._ Dico eos æqualiter inclinari ad _D B,_ ma ximum parallelorum. Erunt enim ex defin. poli, rectæ _G E, G F,_ æquales, atque obid arcus _E G, F G,_ æquales quoque erunt. Cum ergo {ij}dem arcus $int di$tantiæpolorum 28. tertij. Schol. 21. huius. _E, F,_ à _G,_ polo parallelorum; æqualiter inclinati erunt circuli _A B, C D,_ ad _D B,_ parallelorum maximum.

_SEQVITVR_ iam in codice græco prepo$itio 22. cuius demon $tratio longi$si- ma e$t. Vnde quoniam in alia ver$ione multo breuius, dilucidiusque eadem demon- $tratur, vi$um e$t hoc loco in$erere alia tria theoremata a lterius ver$ionis, vt faci- lius deinde propo$itionem 22. huius libri demon$tremus. E$t autem primum Theorema $ecunda pars propo$. 1. lib. 3. Theodo$ii, quamuis magis vniuer$ale $it, vt hic proponi- tur. Primum ergo Theorema, quod ordine tertium e$t in hoc $cholio, ita $e habet.

III.

SI $uper diametro circuli con$tituatur rectum circuli $egmen- 28. tum, diuidatur autem $egmenti in$i$t\~etis circunferentia in duas inæ- quales partes, & à puncto $ectionis ad circunferentiam circuli primi plurimæ rectæ lineæ cadant; erit recta $ubtendens minorem partem in$i$tentis $egmenti omnium minima: quæ autem maiorem $ubten- dit, omnium maxima. Reliquarum vero propinquior maximæ remo tiore $em per maior e$t: At propinquior minimæ remotiore $emper [070]THEODOSII SPHAERICORVM minor e$t. Duæ vero rectæ lineæ æquales ab eodem puncto in circun ferentiam circuli cadunt, à maxima æqualiter di$tantes.

_SVPER_ diametro _A D,_ circuli _A B C D E,_ con$tituatur rectum circuli $egmen- tum _A F D,_ quod $ecetur non bifariam in _F,_ $itque minor pars _A F,_ & maior _D F:_ Cadant autem ex _F,_ plurimæ rectæ lineæ _F A, F I, F H, F B, F C, F D, F E._ _D_ico omnium minimam e$$e _FA;_ maximam vero _F D:_ At _F C,_ maiorem, quàm _F B,_ &c. Et _F I,_ minorem, quàm _F H._ &c. Denique duas _F E, F C,_ æquales e$$e, $i æqualiter di$tent à maxima _F D,_ hoc e$t, $iarcus _D E, D C,_ æquales $int. Demittatur enim ex _F,_ in pla 11. vndec. num circuli _A B C D E,_ perpendicularis _F G,_ quæ in _A D,_ communem $ectionem ca- 38. vndec. det: eritque punctum _G,_ vel inter puncta _A D,_ vt in prima figura; (Id quod $emper continget, quando $egmentum _A F D,_ $emicirculo maius non e$t, quamuis idem accide- re po$sit in $egmento maiore.) vel idem quod A; vel extra circulum in diametro _D A,_ protracta, vt po$teriores duæ figuræ indicant. Id quod $olumin $egmento, quod $emi- circulo maius $it, contingere pote$t. In prima autem figura non erit _G,_ centrum cir- culi _A B C D E,_ quod _G F,_ non diuidat bifariam $egmentum _A F D:_ Multò minus in po$terioribus duabus figuris erit _G,_ centrum circuli _ABCDE._ Iungantur rectæ _G I, G H, GB, G C, G E;_ eruntque omnes anguli ad _G,_ recti, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. Quoniam vero rectarum ex _G,_ in circulum _ABCDE,_ cadentium in prima figura, 7. vel 8. ten tij. & tertia minima e$t _GA;_ In omnibus autem figuris maxima e$t _GD;_ & _GC,_ ma- ior, quàm _GB_; atque _GI,_ minor, quàm _GH;_ duæ denique _GC:_ _GE,_ æquales: erunt 7. vel 15. vol. propterea in prima, & tertia figura duo quadrata rectarum _AG, GF,_ minora duo- 8. tertij. bus quadratis recfarum _IG, GF:_ quibus cum æqualia $int quadrata rectarum _FA,_ 47. primi. _FI;_ minus quoque erit quadratum ex _F A,_ quadrato ex _FI;_ atque adeo & recta _F A,_ minor erit quàm _F I._ Eodem modo o$tendemus _F A,_ in eadem figura prima, & tertia minorem e$$e, quàm F H, &c. In $ecunda verà figura minor quoque e$t _F A,_ quam _F I,_ vel _F H,_ &c. propterea quòd <007>n triangulis _A I F, A H F,_ (in quibus an- 19. paimi. gulus _A,_ rectus e$t, ex defin. 3. lib. 11. Eucl ac proinde al{ij} acuti.) recta _F A,_ $ub- tendit angulum acutum _I,_ vel _H,_ at recta _F I,_ vel _F H,_ &c. angulum rectum _A._ Minima ergo omnium è$t recta _F A._ Rur$us in omnibus figuris erunt duo quadrata ex _G D, G F,_ maiora duobus quadratis ex _G C, G F:_ quibus cum æqualia $int qua- 47. paimi. dxata ex _F D, F C;_ maius quoque erit quadratum ex _F D,_ quadrato ex _FC;_ ac pro- inde & recta _F D,_ maior erit, quam recta _F C._ Non aliter o$tendemus, rectam _F D,_ [071]LIBER SECVNDVS. maiorem e$$e, quàm _F B,_ &c. Maxima ergo omnium e$t recta _F D._ Præterea in om- nibus figuris erunt duo quadrata ex _G C,_ _GF,_ maiora duobus quadratis ex _GB,_ _GF:_ quibus cum æqualia $int quadrata ex _F C, FB;_ erit quoque quadratum ex _F C,_ 47. primi. maius quadrato ex _FB;_ ac proinde & recta _F C,_ maior erit, quàm _F B._ Non ali- ter o$tendemus, rectam _F C,_ quæ propinquior e$t maximæ _F D,_ maiorem e$$e quacun- quealia remotiore, &c. Adhuc in omnibus figuris erunt duo quadrata ex _G I, GF,_ minora duobus quadratis ex _GH, GF:_ quibus cum æqualia $int quadrata ex _F I,_ 47. primi. _FH;_ erit quoque quadratum ex _F I,_ minus quadrato ex _FH;_ propterea\’q & recta _F I,_ minor, quàm _F H,_ erit. Eodem\’q; modo demon$trabimus, rectam _F I,_ quæ pro- pinquior e$t minimæ _F A,_ minorem e$$e quacunque alia remotiore, &c. Po$tremo erunt duo quadrata ex _GC, GF,_ æqualia duobus quadratis ex _GE, GF:_ quibus cum æqualia $int quadrata ex _F C, F E,_ æqualia quoque erunt quadrata ex _F C,_ 47. primi. _FE;_ atque adeò & rectæ _F C, F E,_ æquales erunt. Con$tat ergo id, quod proponitur. Cæterum vt ex demon$tratione patet, eam rectam dicimus propinquiorem maximæ _F D,_ quæ cadit in puctum vicinius pucto _D:_ Illam verò propinquiorem minimæ _F A,_ quæ cadit in puctum propinquius puncto _A._

IIII.

SI in $phæræ $uperficie intra circuli cuiu$que peripheriam pun- 31. ctum $ignetur præter eius polum, ab eo autem ad circuli circunfe- rétiam plurimi arcus circulorum maximorum ducantur $emicircu lo minores; maximus e$t, qui per circuli polum ducitur; minimus autem, qu<007> ei adiacet: Reliquorum verò propinquior maximo, re- motiore $emper maior e$t: Duo verò arcus ab eodem maximo, vel minimo æqualiter remoti inter $e æquales $unt.

_SIT_ in $phæra circulus _A B C D E,_ cuius polus F, $ignetur\’q; in $phæræ $uperfi- tie intra peripheriam circuli præter polum _F,_ punctum quodlibet _G,_ à quo plurimi arcus maximorum circulorum ad circunferen- tiam circuli _A B C D E,_ ducantur, quorum _G A,_ in vtramque partem eductus tran$eat per polum F; arcus verò _G B,_ propinquior $it ip$i _G A,_ quàm _GC;_ duo denique _G B, G E,_ æqualiter di$tent ab eodem _G A,_ vel à _GD;_ $intque omnes hi arcus $e- micirculo minores: quod tum demam erit, cum $e mutuo non inter$ecabunt in alio puncto, quàm in _G._ Cum enim circuli maximi $e mutuo diui- 11. 1. huius. dant bifariam, erunt arcus _G A, G E,_ $emicircu- lo minores, cum nondum $e inter$ecent. Eadem\’q; ratione erunt al{ij} arcus ex _G,_ exeuntes minores $emicirculo, $i $e mutuo non inter$ecent. Quòd $i vnus eorum, vt v. g. arcus _G A,_ e$$et $emicirculus, tran$irent omnes al{ij} per punctum A, e$$ent\’q; $emicirculi quoque: Si vero _G A,_ e$$et $emicirculo maior, $ecarent eum omnes al{ij}, antequam ad circun- ferentiam peruenirent, e$$ent\’q; $emicirculo maiores, vt patst. Vnde n<007>hil colligi po$$et. Dico arcum _G A,_ omnium e$$e maximum, & _G D,_ minimum: _G B,_ verò ma- iorem e$$e arcu _GC;_ duos denique _GB, G E,_ e$$e æquales. Quoniam enim arcus _A D,_ $ecat circulum _ABC,_ bifariam, & ad angulos rectos; erit recta $ubten$a _A D,_ dia- 15. 1. huius. [072]THEODOSII SPHAERICORVM meter circuli _ABC;_ & $uper ip$am rectum circuli $egmentum _A G D,_ con$titutum, quod quidem inæqualiter $ecatur in _G,_ (Nam quia, ex defin. poli, rectæ $ubten$æ _F A, F D,_ æquales $unt, erunt quoque arcus _F A, F D,_ æquales; ac proinde arcus 28. tertij. _A D,_ $ectus erit bifariam in _F,_ at que ob id in _G,_ non bifariam ) maior\’q; pars e$t _G A._ Schol. 21. huius. & minor _G D._ Igitur rectarum ductarum ex _G,_ ad circunferentiam circuli _A B C,_ maxima e$t _G A,_ & minima _G D: G B,_ verò maior quàm _GC;_ & _G B,_ _G E,_ æqua- les. Quare cum arcus, quibus $úbtenduntur, ponantur $emicirculo minores, erit Schol. 28. terti.j & arcus _G A,_ maximus, & _G D,_ minimus: _GB,_ verò maior, quàm _GC;_ Arcus de- nique _GB, GE,_ æquales.

28. tertij. V.

SI in $phæræ $uperficie extra circuli cuiu$que peripheriam pun- 32. ctum $ignetur præter eius polum, ab eo autem ad circuli circunfe- rentiam plurimi arcus circulorum maximorum ducantur $emicir- culo minores, $ecantes\’q; circunferentiam circuli; maximus e$t, qui per circuli polum ducitur; Reliquorum verò maximo propinquior, remotiore $emper maior e$t: Minimus autem e$t ille, qui inter pun- ctum, & circuli circunferentiam extra circulum interijcitur; Reli- quorum verò minimo propinquior, remotiore $emper minor e$t: Duo verò arcus ab eodem maximo, vel minimo æqualiter remoti in- ter $e æquales $unt.

_IN_ $phara circulus $it _A B C D E,_ cuius polus _F;_ $ignetur\’q; in $phæræ $uperficie extra peripheriam circuli, punctum quodvis _G,_ præter alterum polum circuli _AB C D E:_ & à _G,_ plurimi arcus maximorum circulorum ducantur ad circunferentiam circu- li _A B C D E,_ ip$am $ecantes; quorum _G D F A,_ per polum _F,_ tran$eat;arcus verò _G H B,_ pro- pinquior $it ip$i _G D F A,_ quàm _G I C:_ duo de- nique _GHB, G K E,_ æqualiter di$tent ab eo- dem _G D F A,_ vel à _G D,_ $intque omnes hi ar- cus $emicirculo minores: quod tum demum erit, cum $e mutuo non inter$ecabunt in alio puncto, quàm in _G,_ veluti in antecedenti theoremate e$t o$ten$um. Dico arcum _GA,_ e$$e omnium maximum; & _GB,_ maiorem quàm _GC:_ Mini- mum autem e$$e _GD;_ & _GH,_ minorem quàm _GI:_ Denique duos arcus _GB, GE,_ Item _GH,_ _GK,_ æquales e{$s}e. Quoniam enim arcus _GA,_ $ecat circulum _A B C D E,_ 35. 1. huius. bifariam, & ad angulos rectos;erit recta $ubten $a _AD,_ diameter circuli _A B C D E,_ & $uper ip$am rectum circuli $egmentũ con$titutum _DG,_ quod initium $umens à _D,_ per _G,_ ducitur, donec in alio puncto _A,_ circulum _A B C D E,_ iterum $ecet: quod qui- dem non bifariam $ectum e$t in _G,_ (quòd _G,_ non ponatur polus circuli _A B C D E,_ in quo dictum $egmentum bifariam diuiditur, vtin præcedenti theoremate o$ten$um e$t.) maiorque pars e$t à puncto _G,_ v$que ad _A,_ cum in ea $it reliquus polus, (alias ar cus _GDA,_ per vtrumque polum duceretur.)minor vero _DG._ Igitur rectarum ex _G,_ Schol. 21. huius. ad circunferentiam circuli _A B C D E,_ ductarum, maxima e$t _GA,_ & minima _GD,_ [073]LIBER SECVNDVS. _GB,_ verò maior quàm _GC;_ & _GB, GE,_ æquales Item _GH,_ minor quàm _GI;_ & _GH_ _GK,_ æquales. Quapropter cum arcubus $emicirculo minoribus $ubtendantur, ex by- Schol. 28. tertij. pothc$i, erit quoque arcus _GA,_ omnium maximus, & _GD,_ minimus: at _GB,_ mater, quàm _GC;_ & _GH,_ minor quàm _GI:_ Denique _GB, GE,_ nec non _GH, GK,_ æqua- 28. tertij. les inter $e. Quod e$t propo$itum.

_PERSPICVVM_ autem e$t in proximis duobus theorematibus arcus $ingulorũ ex G, ductos non debere e$$e maiores $emicirculo: alias non auferrent maiores lineæ maiores arcus, & contra, vt con$tat ex$cholio propo$. 28. lib. 3. Eucl.

THEOREMA 20. PROPOS. 22. 33.

SI in $phæra maximus circulus vnum quidem circulum tangat, alium vero ei parallelum $ecet, po$itum inter $phæræ centrum, & eum circulum, quem tangit maximus circulus, polus autem maxi mi circuli fuerit inter vtrumque parallelorum, de- $cribanturque maximi circuli tangentes duorum parallelorum maiorem: hi omnes erunt inclinati ad maximum circulum, & eorum recti$$imus qui- dem eritille, cuius contactus erit in eo puncto, in quo maius $egmentum paralleli maioris bifariam diuiditur; humillimus vero & maxime inclina- tus, cuius contactus eritin eo puncto, in quo mi- nus $egmentum bifariã diuiditur; Reliquorum au- tem illi quidem, quiæqualiter di$tant ab alterutro eorum punctorum, in quibus fegmenta bifariam $ecantur, $unt $imiliter inclinati: qui vero conta- ctum remotiorem habet à puncto, in quo maius $egmentum bifariam $ecatur, inclinatior perpetuo e$t, quam qui contactum eidem puncto propio- rem habet. Poli denique maximorum circulorum erunt in vno circulo, qui & minor erit eo circulo, [074]THEODOSII SPHAERICORVM quem tangit maximus in principio circulus, & ei- dem parallelus erit.

IN $phæra maximus circulus A B C D, cuius polus E, tangat circulum A F, $ecet autem alium huic parallelum G B H D, po$itum inter $phæræ cen- trum, & circulum A F, ita vt circulus G B H D, maior $it, quam A F; $itque E, polus circuli maximi A B C D, inter vtrumque circulum A F, G B H D. Quoniam verò maximus circulus A B C D, $ecat circulum G B H D, non bi- fariam, cum non tranfeat per eius polos, hoc e$t, per polos parallelorum, erit $egmentum B H D, ad po lum con$picuum, qui $it I, mai<_>9 $emicirculo, & B G D, 19. huius. minus. Ducatur per E, po- lum circuli A B C D, & I, 20. 1. huius. polũ parallelorũ circulus maximus G A C, qui $eca- bit $egmenta B G D, B H D, 9. huius. bifariam: puncta autem M, N, æqualiter di$tent ab H; & O, magis di$tet ab H, quàm N. Tangant autem parallelum G B H D, in 14. huius. punctis G, H, M, N, O, cir- culi maximiGL, H K, M P, N K, O L, qui quidem om- nes inclinati erunt ad ma- ximum circulum A B C D, cum non tran$eant per E, polum ip$ius. Cum enim E, polus ponatur inter parallelos A F, G B H D, non poterunt circuli tangen- tes circulum G B H D, per E, tran$ire, alias $ecarent ip$um, cum alter po- lus, per quem etiam nece$$ario tran$eunt, $it extra dictos parallelos, vt patet. Coroll. 10. 1. huius. Dico circulum H K, e$$e recti$simum, hoc e$t, minime inclinatum, humilimum autem, id e$t, maximè inclinatum e$$e G L; At M P, N K, $imiliter inclinari, & O L, magis quàm N K: Polos denique horum circulorum tangentium e$$e in vno eodem\’que parallelo, qui minor $it, quàm A F. Quoniam enim E, polus e$t circuli A B C D, erit E A, quadrans maximi circuli; $umatur ei æqualis Coroll. 16. 1. huius. arcus H Q; eritque punctum Q, inter puncta A, & I, cum arcus H A, ma- ior $it quadrante, (quòd E A, quadrans $it o$ten$us.) & H I, quadrante mi- Coroll. 16. 1. huius. nor, propterea quòd arcus ex I, polo per H, v$que ad maximum parallelorum porrectus $it quadrans. Si igitur ex polo I, ad interuallum I Q, circulus de- 2. huius. $cribatur Q T R, erit is ip$i A F, parallelus, & eo minor. In hoc ergo paral- lelo Q T R, dico e$$e polos omnium circulorum parallelum G B H D, tan- 20. 1. huius. gentium. Per polum enim I, & puncta contactuum de$cribantur circuli maxi- mi M I S, N I T, O I V; qui tran$ibunt quoque per polos tangentium. Quia 5. huius. 28. tertij. vero arcus H I, M I, N I, O I, G I, æquales $unt, quòd ex definitione poli, rectæ illis arcubus $ubten$æ æquales $int, eadem\’que ratione & arcus I Q, I S, I T, I V, I R, æquales $unt;erunt toti arcus H Q, M S, N T, O V, G R, [075]LIBER SECVNDVS. æquales; atque adeò cum H Q, $it quadrans, omnes illi arcus quadrantes erunt. Quare cum demon$tratum $it eos tran$ire per polos tangentium, erunt puncta Q, S, T, V, R, poli circulorum tangentium, quæ quidem omnia Coroll. 16. 1. huius. $unt in parallelo Q T R, quod vltimo loco proponebatur demon$trandum. Iam vero quia arcus circulorum maximorũ ex E, polo circuli maximi A B C D, ad Q, S, T, V, R, polos tangentium ducti metiuntur di$tantias poli E, à polis tangentium; e$t\’que omnium maximus E Q; minimus autem E R; æqua Schol. 21. huius. les verò E S, E T; & denique E T, maior, quàm E V, quòd omnes hi arcùs $int $emicirculo minores; (e$t enim E Q, quadrante E A, minor; atque adeo reliqui eum non $ecabunt citra punctum Q, ideoque $emicirculo minores erunt.) erit circulus H K, minimè inclinatus ad circulum maximum A B C D; Schol. 21. huius. & G L, maximè; at M P, N K, æqualiter, $eu $imiliter; & O L, magis quàm N K, quod primo loco demon$trandum proponebatur. Quocirca $i in $phæ- ra maximus circulus. &c. Quod erat demon$trandum.

THEOR. 21. PROPOS. 23. 34.

IISDEM po$itis, $i circunferétiæ circulorum tangentium à contactibus ad nodos $int æqua- les;prædicti circuli maximi $imiliter inclinati erút.

RVRSVS in $phæra maximus circulus A B C D, cuius polus E, tangat circulum A F, $ecet autem alium huic parallelum G B H D, po$itum inter $phæræ centrum, & circulum A F, ita vt G B H D, maior $it, quàm A F; $it- que E, polus maximi circuli A B C D, inter vtrumque circulum A F, G B H D: Tangãt deinde in punctis M, N, circuli maximi M O, N P, circulũ G B H D, $ecantes A B C D, in O, P, nodis, $int\’que arcus M O, N P, æquales. Di- co circulos M O, N P, $imiliter inclinari ad ma- ximum circulum A B C D. Ducatur enim per E,po- 20. 1. huius. lum circuli A B C D, & I, polum parallelorum cir- culus maximus G A C: It\~e per I, polum parallelorũ, & puncta contactuum cir culi maximi I M, I N, qui per polos quoque circu- 5. huius. lorum tangentium tran- $ibũt;atque adeo ip$os ad angulos rectos $ecabunt. 15. 1. huius. Quoniam igitur $egmenta circulorum æqualia, nempe $emicirculi, qui ten- dunt ex M, & N, per I, donec iterum $ecent circulos tangentes M O, N P, in$i$tunt diametris circulorum M O, N P, (e$t enim communis $ectio circu- [076]THEODOSII SPHAERICORVM lorum maximorum I M, M O, diameter vtriu$que, cum $e mutuo $ecent bifa- @1. 1. huius. riam) ad angulos rectos, & diuiduntur non bifariam in I, quod I, polus paral- lelorum non $it polus tangentium; ponunturque arcus M O, N P, æquales; erunt ductæ rectæ I O, I B, æquales. Si igitur ex I, polo parallelus de$criba- 12. 1. huius. tur O K, ad interuallum I O, tran$ibit is quoque per P. Et quia circulus maximus I M, tran$iens per polos circulorum M O, O Q, $e $ecantium in O, Q, $ecat eorum $egmenta bifariam, æquales erunt arcus M O, M Q, & 9. huius. S O, S Q; Eodemque argumento æquales erunt arcus N P, N R, & T P, T R; nec non K O, K P, & C O, C P; propterea quòd circulus maximus IkC, tran$iens per polos circulorum O K P, O C P, $ecat eorum $egmenta bifa- 9. huius. riam in K, & C. Cum ergo arcus M O, N P, ponantur æquales, erunt & toti O M Q, P N R, quorum ip$i dimidij $unt, æqua- les; atque adeo & rectæ 29. tertij. $ubten${ae} O Q, P R, æqua les erunt. Igitur & arcus 28. tertij. O S Q, P T R, {ae}quales erunt; ac proinde & eo- rum dimidij O S, P T, æ- quales erunt. Sunt autem & toti K O, K P, o$ten$i {ae}quales. Reliqui ergo K S, K T, æquales erunt; atque adeo, cum $int vnius eiu$- dem\’que circuli, $imiles in ter $e erunt. Quia verò ar- 10. huius. cubus K S, K T, $imiles $unt arcus H M, H N; erũt quoq;æquales arcus H M, H N. Itaque cum $eg- mentum B H D, bifariam 9. huius. $eceturin H, fintque equales arcus H M, H N; erunt circuli M O, N P, $imili- ter inclinati ad circulum A B C D. Quare ij$dem po$itis, $i circunferentiæ à contactibus, &c. Quod erat demon$trandum.

FINIS LIBRI I I. THEODOSII. [077] THEODOSII SPHAERICORVM LIBER TERTIVS. THEOREMA 1. PROPOS. 1.

SI recta linea circulum in partes inæ- quales $ecet, $uper qua con$tituatur re ctum circuli $egmentum, quod non $it maius $emicirculo; diuidatur au- tem $egmenti in$i$tentis circunferentia in duas in æquales partes: Recta linea $ubtendens earum mi- norem, minima e$t linearum rectarum ductarum ab eodem puncto ad minorem partem circunfe- rentiæ primi circuli: Rectarum verò ductarum ab eo ip$o puncto ad circunferentiam interceptam inter illam minimam rectam, & diametrum, in quam cadit perpendicularis deducta ab illo pun- cto $emper minimæ propior remotiore minor e$t. Omnium autem maxima e$t ea, quæ ab illo eod\~e puncto ducitur ad extremitatem eiu$dem diame- tri: Item recta $ubtendens maiorem circunferen- tiam $egmenti in$i$tentis, minima e$t earum, quæ cadunt in circunferentiam interceptam inter ip- $am, & diametrum, $emperque huic propior remo [078]THEODOSII SPHAERICORVM tiore minor e$t. Si verò recta linea $ubiectum circu lum $ecans $it eius diameter, & reliqua omnia ea- dem $int, vt $upra; recta linea $ubtendens mino- rem partem circunferentiæ $egmenti in$i$tentis, minima e$t rectarum ductarum ab illo eodem puncto ad primi, & $ubiecti circuli circunferen- tiam; ea verò, quæ maiorem partem circunferen- tiæ $egmenti in$i$tentis $ubtendit, maxima e$t.

RECTA linea A B, $ecet circulum A C B D, cuius centrum E, in partes inæquales, quarum maior $it A C B: In$i$tat autem ip$i A B, rectum circuli $egmentum A F B, $emicirculonó maius, quod in partes in- æquales diuidatur in F; $itque minor pars B F: Ex F, demittatur in circulum A C B D, per- 11. vndec. pendicularis F L, quæ in A B, communem $e- 38. vndec. ctionem cadet: Per E, autem, & L, diameter agatur C D; & ex F, in circunferentiam A C B, maioris $egmenti circuli A C B D, plurim{ae} rectæ cadãt F B, F G, F H, F C, F A, F I, F K. Dico omnium minimam e$$e F B, & F G, mino- rem, quàm F H; Omnium autem maximam e$ $e F C. Item F A, e$$e omnium minimam, quæ ex F, in portioncm A C, cadent; & F I, minorem, quàm F K. Ducantur ex L, lineæ rect{ae} L G, L H, L I, L K; erunt\’que ex defin. 3. lib. 11. Eucl. omnes an- guli ad L, quos recta F L, facit, recti. Quoniam igitur recta L D, e$t omnium rectarum ex L, cadentium minima, & L B, minor, quàm L G, L H, L C, L K, 7. tertij. L I, L A; erunt quadrata ex F L, L B, minora quadratis ex F L, L G: E$t au- tem tam quadratum ex F B, quadratis ex F L, L B, quàm quadratum ex F G, 47. primi. quadratis ex F L, L G,æquale. Igitur erit quoq; quadratum ex F B, minus qua- drato ex F G; atq; adeo & recta F B, minor erit quàm F G. Nõ aliter o$t\~edemus, rectá F B, minoré e$$e, quàm F H, F C, F K, F I, F A. Quare F B, omniũ minima e$t.

RVRSVS quia L G, minor e$t, quàm L H, erunt quadrata ex F L, L G, 7. tertij. minora quadratis ex F L, L H: E$t autem tam quadratum ex F G, quadratis ex F L, L G, quàm quadratum ex F H, quadratis ex F L, L H, æquale. Igitur 47. primi. & quadratum ex F G, quadrato ex F H, minus erit; atq; adeo & recta F G, mi- nor erit, quàm recta F H.

AMPLIVS quia L C, omnium ex L, cadentium maxima e$t;erunt qua- 7. tertij. drata ex F L, L C, maiora quadratis ex F L, L K: E$t autem tam quadratum ex F C, quadratis ex F L, L C, quàm quadratum ex Fk, quadratis ex F L, Lk, 47. primi. æquale. Igitur & qua dratum ex F C, maius erit quadrato ex F K;ac proinde & recta F C, maior erit, quàm recta F K. Non aliter demon$trabimus, rectam F C, maiorem e$$e, quàm F I, & F A. E$t ergo recta F C, omnium maxima.

[079]LIBER TERTIVS.

ITEM quia L A, minor e$t, quàm L I, Lk, L C; erunt quadrata ex F L, 7. tertij. L A, minora quadratis ex F L, L I: E$t autem tam quadratum ex F A, qua- dratis ex F L, L A, quam quadratum ex F I, quadratis ex F L, L I, æqua- 47. primi. le. Igitur & quadratum ex F A, minus erit quadrato ex F I; atque ob id re- cta quoque F A, minor erit quàm recta F I. Eodem modo o$tendemus, rectam F A, maiorem e$$e, quàm F K, F C. E$t ergo F A, omnium rectarum ex F, in arcum A C, cadentium minima.

DENIQVE quia L I, minor e$t, quàm L K; erunt quadrata ex F L, L I, 7. tertij. minora quadratis ex F L, L K: E$tautem tam quadratum ex F I, quadra- tis ex F L, L I, quàm quadratum ex F K, quadratis ex F L, L K, æquale. Igi- 47. primi. tur & quadratum ex F I, minus erit quadrato ex F K, ideoque & recta F I, mi- nor erit, quàm recta F K.

QVOD $i recta A B, $ecet circulum A C B D, bifariam, ita vt $it eius diameter, demon$tratum à nobis iam e$t theoremate tertio $cholij propo$.21. præcedentis libri, rectam F B, minimam e$$e, & F A, maximam. Vnde non e$t nece$$e, idem hoc loco demon$trare. Immo plura ibi $unt demon$trata, quàm hic proponuntur. Sirecta igitur linea circulum in partes inæquales $ecet, &c. Quod o$tendendum erat.

THEOREMA 2. PROPOS. 2. 30. Secundi huius.

SI recta linea $ecans circulum $egmentum au- ferat, quod $emicirculo minus non $it, $uper ip$a autem recta linea $tatuatur aliud circuli $egmen- tum, quod & $emicirculo maius non $it, & incli- natum $it ad alterum $egmentum, quod $emicircu lo maius non e$t; diuidatur vero in$i$tentis $eg- menti circunferentia in partes inæquales: Recta linea $ubtendens m<007>norem circunferentiæ partem minima e$trectarum omnium ductarum ab illo puncto, à quo ip$a ducitur, ad $ubiecti circuli cir- cunferentiam illam, quæ $emicirculo minor non e$t: & reliqua omnia, quæ in præced\~eti, $equuntur.

RECTA linea A B, à circulo A C B D, cuius centrum E, auferat $eg- mentum A C B, $emicirculo non minus, $ed vel $emicirculo æquale, vt in pri- ma figura, vel maius, vt in alijs figuris; & $uper recta A B, $tatuatur $egmen- tum aliud circuli A F B, $emicirculo non maius, $ed vel $emicirculo æquale, vt in po$trema trium figurarum, vel minus, vt in primis duabus figuris, & in- clinatum ad $egmentum alterum A D B, quod $emicirculo maius non e$t, cum A C B, vel $emicirculo æquale, vel maius ponatur. Diuidatur quoque cir- [080]THEODOSII SPHAERICORVM cunferentia A F B, in F, in partes inæquales, & $it F B, minor. Ex F, demitta- tur in planum circuli A C B D, perpendicularis F L, quæ ad partes $egmenti A D B, cadet, propterea quod $egmentum A F B, ad $egmentum A D C, e$t inclinatum, ita vt punctum L, $it vel intra $egmentum A D B, vel extra, vel certe in ip$a circunferentia A D B. Per centrum autem E, & punctum L, dia- meter agatur C D, & ex F, in circunferentiam A C B, plurimæ rectæ cadant F B, F G, &c. Dico omnium minimam e$$e F B; & F G, minorem quàm F H: omnium autem maximam e$$e F C: Item F A, e$$e omnium minimam, quæ ex F, in circunferentiam A C, cadunt; & F I, minorem quàm F K. Ducantur ex L, rectæ lineæ L B, L G, L H, L A, L I, L K, eruntque omnes anguli ad L, quos facit perpendicularis F L, recti, ex defin. 3. lib. 11. Eucl.

Quoniam igitur recta L D, e$t omnium minima, (hæc autem linea nihil e$t om 7. vel 8. vel 15. tertil. nino in ea figura, vbi punctum L, cadit in D.) & L B, minor, quàm L G, L H, L C, L K, L I, L A, & omnium maxima L C, &c. demon$trabimus, vt in præ- 7. vel 8. vel 15. tertij. & 47. primi. cedenti, rectam F B, e$$e omnium minimam, & F G, minorem quàm F H: Item F C, omnium maximam, & F A, minimam omnium ex F, in circunferentiam A C, cadentium; & F I, minorem quàm F K. Si igitur recta linea $ecans circu- lum, &c. Quod erat o$tendendum.

THEOREMA 3. PROPOS. 3.

SI in $phæra duo circul<007> maximi $e mutuo $e- cent, ab eorum verò vtroque æquales circunfe- rentiæ $umantur vtrinque à puncto, in quo $e $e- cant: Rectæ lineæ, quæ extrema puncta circunfe- rentiarum connectunt ad ea$dem partes, æquales inter $e $unt.

IN $phæra duo circuli maximi A B C, D B E, $e mutuo $ecent in B, & in vno quoque vtrinque à B, $umantur duo arcus æquales B A, B C, & B D, B E, [081]LIBER TERTIVS. $ungantur\’que rectæ A D, C E. Dico rectas A D, C E, æquales e$$e. Polo enim B, & interuallo B A, circulus de$cribatur, qui etiam per C, tran$ibit, ob æqua litatem arcuum B A, B C. Aut igitur idem circulus tran$it etiam per C, atque adeo & per E, ob æquali- tatem arcuum B D, B E, aut non. Tran$eat primũ per D, & E, vt in priori figura; $int\’que communes $ectiones circulorum ma- ximorũ, & circuli A D C E, rectæ A C, D E. Et quo- niã circuli maximi A B C, D B E, per B, polum cir- culi A D C E, tran$eun- tes $ecant ip$um bifariã, 15. 1. huius. erunt A C, D E, diametri circuli A D C E, & F, centrum; ac proinde rectæ F A, F D, rectis F C, F E, æquales. Cum ergo & angulos æquales compre- 15. primi. hendant ad verticem F; erunt & rectæ A D, C E, æquales.

4. primi.

SED non tran$eat iam circulus ex B, polo de$criptus ad interuallum B A, per D, $ed vltra punctum D, atque adeò & vltra punctum E, excurrat. Produ- 28. tertij. cantur arcus B D, B E, ad G, H. Quoniam igitur arcus B G, B H, æquales $unt, quòd ex defin. poli, rectæ $ubten$æ B G, B H, æquales $int: Sunt autem & B D, B E, ex hypothe$i, æquales; erunt & reliqui D G, E H, æquales. Et quoniam rectæ ductæ A G, C H, æquales $unt, vt proxime demon$tratum e$t in prima parte huius propo$. erunt & arcus A G, C H, æquales. Quia igitur 28. tertij. circulus maximus G B H, per polum B, ductus $ecat circulum A G C H, bifa- 15. 1. huius. riam, & ad angulos rectos, in$i$tet $egmentum G H, rectum diametro circuli AGCH. Cum ergo arcus D G, E H, æquales $int, & minores dimidio arcu G D H; $int\’que arcus G A, H C, o$ten$i quoque æquales; erunt rect{ae} D A, E C, inter $e æquales. Si igitur in $phæra duo maximi circuli$e mutuo $ecent, 12. 2. huius. &c. Quod erat demon$trandum.

THEOREMA 4. PROPOS. 4. 2.

SI in $phæra duo maximi circuli $e mutuo $e- cent, ab eorumque altero æquales circunferen- tiæ $umantur vtrinque à puncto, in quo $einter$e- cant, & per puncta terminantia æquales circunfe- rentias ducantur duo plana parallela, quorum alte rum conueniat cum communi $ectione ip$orum circulorum extra $phæram ver$us prædictum pun ctum; $it vero vna illarum æqualium circunferen- tiarum maior vtralibet circunferentiarum in alte- [082]THEODOSII SPHAERICORVM ro maximo circulo interceptarum inter prædictũ punctum, & vtrumque planorum parallelorum: Ea circunferentia, quæ e$t inter illud punctum, & planum, quod non conuenit cum communi $e- ctione ip$orum circulorum, maior e$t, quam ea eiu$dem circuli circunferentia, quæ e$t inter idem punctum, & planum, quod conuenit cum com- muni $ectione circulorum.

IN $phæra duo maximi circuli A B C, D B E, $e mutuo $ecent in B, & in A B C, $umantur arcus B A, B C, æquales, & per A, C, puncta duo plana pa- rallela inter $e ducantur facientia in $uperficie $phæræ circunferentias circu L. 1. huius. lorum A F G, C H I, quæ $ecent circunferentiam D B E, in punctis F, H; $it verò arcus B A, vel B C, maior vtralibet circunferentiarum B F, B H, inter punctum B, & plana parallela interceptarum. Ex polo deinde B, & interual- lo B A, vel B C, circulus de$cribatur A D C E, qui puncta F, H, tran$cen- det, propterea quòd arcus B F, B H, minores ponuntur arcubus B A, B C. Producantur arcus B F, B H, v$que ad circunferentiam circuli A D C E, ad puncta D, E; $int\’que communes $ectiones circuli A D C E, & circulorum A F G, C H I, rectæ A G, C I; communes autem $ectiones circulorum ma- ximorum, & circuli A D C E, rectæ A C, D E; quæ ip$ius diametri erunt, atque adeo eiu$dem centrum K, cum circuli maximi ip- $um per B, polum bifariam $ecent: Secet au- 15. 1. huius. tem recta D E, rectas A G, C I, in M, N. Sit quoque maximorum circulorum commu nis $ectio K B, recta, cum qua producta ad par tes B, conueniat planum A F G, productum extra $phæram in puncto L. Quo po$ito, non conueniet alterum planum C H I, cum re- cta K B, ad partes B, necum $ibi parallelo plano A F G, conueniat. Dico arcum B H, maiorem e$$e arcu B F. Sint enim rectæ F M, H N, communes $ectiones circuli D B E, & circulorum A F G, C H I. Et quoniam pla- num A F C, conuenit productum cum recta K B, producta in L, erit L, punctum tam in plano D B E, quàm in plano A F G; atque adeo in cõmuni eorum $ectione, nempe in recta M F. Producta ergo M F, coi- bit cum K B, producta in L. Quoniam verò planum D B E, $ecat plana pa- rallela A F G, C H I, erunt $ectiones factæ M F, N H, parallelæ. Rur$us quia 16. vndee. planum A D C E, eadem plana parallela $ecat, erunt quoque $ectiones factæ 16. vndec. A G, C I, parallelæ. Anguli ergo alterni K A M, K C N, æquales $unt: 29. primi. [083]LIBER TERTIVS. $unt autem & anguli A K M, C K N, ad verticem æquales, & latera K A, K C, 15. primi. æqualia, cum $int $emidiametri circuli A D C E. Igitur & latera K M, K N, 26. primi. æqualia erunt:$unt autem & $emidiametri K D, K E, æquales. Reliquæ ergo rectæ D M, E N, æquales erunt. Rur$us quoniam recta B K, ex B, polo circuli A D C E, ad eiu$dem centrum K, ducta, recta e$t ad planum circuli, erit an- Schol. 8. 1. huius. gulus M K L, in triangulo K L M, rectus, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. Angulus igi- 17. primi. tur K M L, acutus erit. Cum ergo duo anguli F M N, H N M, duobus $int 29. primi. rectis æquales; erit angulus H N M, obtu$us. Quare, vt mox, lemmate $equen ti o$tendemus, arcus E H, minor erit, arcu D F; atque adeo, cum æquales $int arcus B D, B E, quòd rectæ $ubten$æ B D, B E, ex defin. poli, $int æqua- 28. tertij. les, maior erit arcus B H, arcu B F. Si igitur in $phæra duo maximi circuli $e mutuo $ecent, &c. Quod erat demon$trandum.

LEMMA.

_QVOD_ autem arcus _E H,_ arcw _D F,_ minor $it, facile demon$trabimus, hoc propo$i- to theoremate prius demon$trato.

SI arcui circuli recta $ubtendatur, ad quam ex arcu duæ perpen- diculares demittantur auferentes ver$us terminos arcus duos arcus æquales; auferent eædem duas rectas ex recta $ubten$a æquales. Et $i duæ perpendiculares ad rectam $ubten$am ducantur aufer\~etes duas rectas æquales; auferent eædem duos arcus æquales.

ARCVI circuli A B C D, $ubtendatur recta A D, ad quam ex arcu demittantur duæ perpendiculares B E, C F, auferentes duos arcus A B, D C, æquales. Dico ea$dem auferre æquales rectas A E, D F. Ducta enim Schol. 27. tertij. recta B C, erunt A D, B C, parallelæ, ob æqualitatem arcuum A B, D C: $unt autem & B E, C F, parallelæ. Parallelo- 28. primi. grammum igitur e$t B E F C, atque adeò & rectæ B E, C F, æquales. Et quoniam æqualibus arcubus A B, D C, re- 34. primi. ctæ $ubten$æ A B, D C, æquales $unt; erunt quadrata ex A B, D C, æqua- 29. tertij. lia. Cum ergo tam illud æquale $it quadratis ex A E, B E, quàm boc qua- 47. primi dratis ex D F, C F; $i auferantur æqualia quadrata rectarum B E, C F, æqualia erunt quadrata rectarum A E, D F; ac proinde & rectæ A E, D F, æquales erunt. quod primo loco proponebatur.

SED iam perpendiculares B E, C F, auferant æquales rectas A E, D F. Dico ea$dem auferre æquales arcus A B, D C. Si enim non $unt æquales, $it, $i fieri potest, maior arcus A B, à quo æqualis ab$cindatur A G, & ex G, ad A D, perpendicularis ducatur G H. Erit igitur, vt proxime demon$tr atum e$t, recta A H, rectæ D F, æqualis, atque adeò & rectæ A E, pars toti: Quod e$t ab$urdum. Non e$t ergo arcus A B, maior arcu D C: eademque ratione neque minor erit. Aequalis ergo e$t. [084]THEODOSII SPHAERICORVM quod e$t propo$itum. Ex his constat, arcum H E, in figura propo$itionis minorem e$$e arcu D F. Nam cum angulus F M K, acutus $it, & H N K, ebtu$us, $i ex M, N, ad D E, perp\~ediculares ducerentur, caderent hæ in ar cus D F, B H, auferrentque, vt in proximo lemmatc o$tendimus, arcus æquales. Quare arcus H E, minor est arcu D F.

THEOR. 5. PROPOS. 5.

SI in circunferentia maximi circuli $it polus parallelorum, huncque maximum circulum $ec\~et ad angulos rectos duo alij maximi circuli, quorú alter $it vnus parallelorum, alter verò obliquus $it ad parallelos; ab hoc autem obliquo circulo æqua les circunferentiæ $umantur deinceps ad eandem partem maximi parallelorum, perque illa puncta terminantia æquales circunferentias de$criban- tur paralleli circuli: Circunferentiæ maximi illius circuli primo po$iti inter parallelos interceptæ in- æquales erunt, $emperque ea, quæ propior fuerit maximo parallelorum, remotiore maior erit.

IN circunferentia maximi circuli A B C D, $it A, polus parallelorum, cum\’que fecent duo maximi circuli B D, E C, ad angulos rectos, quorum B D, $it maximus parallelorum, & E C, ad paralle los obliquus: & per F, G, H, puncta, quæ ex obliquo circulo arcus æquales auferunt F G, G H, de$cribantur paralleli I K, L M, N O, ex polo A. Dico arcum I L, maior\~e e$$e arcu L N. 20. 1. huius Per polum enim A, & punctum G, circulus maximus de$cribatur A P, $ecans parallelos in P, Q. Quoniam igitur in $phæræ $uperficie intra periphæriam circuli I K, punctum G, $i- gnatum e$t præter polum A, & ex G, duo ar- cus G P, G F, circulorum maximorum ca- dunt in circunferentiam circuli I K; erit ar- Schol. 11. @. huius. cus G P, omnium minimus; atque adeo minor quam G F: quod arcus G P, G F, minores $int $emicirculo, cum $e non inter- $ecent, antequam parallelum I K, diuidunt. Rur$us quia in $uperficie $phæræ extra periphæriam circuli N O, punctum G, $ignatum e$t præter eius polum; [085]LIBER TERTIVS. erit & arcus G Q, omnium ex G, cadentium minimus, hoc e$t, minor, quàm Schol. 21. 2 huius. G H: quod arcus G Q, G H, minores $int $emicirculo, cum $e non inter- $ecent, antequàm parallelo N O, occurrant. Vterque igitur arcus F G, G H, vtroque G P, G Q, maior e$t. Et quoniam recta per G, & centrum $phæræ ducta, id e$t, communis $ectio circulorum maximorum A P, E C, $e- cant paralleli I K, planum intra $phæram; (non enim recta illa ad centrum $phæræ perueniet, hoc e$t, ad centrum maximi circuli B D, ni$i prius planum circuli I K, $ecet; quòd parallelus I K, po$itus $it inter maximum parallelo- rum, & punctum G.) $ecabit eadem recta planum paralleli N O, extra $phæ- ram, $irecta illa, & planum circuli ad partes G, producantur: propterea quòd punctum G, po$itum e$t inter maximum parallelorum, & parallelum N O. Quoniam igitur duo circuli maximi A P, E C, $e mutuo $ecant in G, puncto, & à circulo E C, vtrinque à puncto G, duo arcus æquales $umpti $unt G F, G H, & per F, H, plana parallela circulorum I K, N O, ducta, quorum N O, occurrit commnni $ectioni circulorum maximorum A P, E C, extra $phæram, vt o$ten$um e$t, e$t\’que vterque arcuum G F, G H, ma- ior vtroque arcuum G P, G Q, erit arcus G P, maior arcu G Q. E$t au- 4. huius. tem arcus G P, arcui I L, & arcus G Q, arcui L N, æqualis. Igitur & arcus 10. 2. huius. I L, arcu L N, maior erit. Quare $i in circunferentia maximi circuli $it po- lus, &c. Quod demon$trandum erat.

THEOREMA 6. PROPOS. 6.

SI in circunferentia maximi circuli $it polus parallelorum, hunc\’q; maximum circulum ad an- gulos rectos $ecentduo alij circuli maximi, quo- rum alter $it vnus parallelorũ, alter verò obliquus $it ad parallelos; $umantur autem ab obliquo circu lo æquales circunferentiæ deinceps ad ea$dem par tes maximi illius paralleli, & per puncta terminan- tia æquales circũferentias, per\’q; polum, de$criban- tur maximi circuli: Hi circunferentias inæquales intercip<007>ent de maximo parallelorum, quarum propior maximo circulo primo po$ito $emper erit remotiore maior.

IN circunferentia maximi circuli A B C D, $it A, polus parallelorum, eum\’que $ecent duo maximi circuli B D, E C, adangulos rectos, quorum B D, $it parallelorum maximus, at E C, ad parallelos obliquus, ex quo $umantur [086]THEODOSII SPHAERICORVM arcus æqùales F G, G H; & per puncta F, G, H, per\’que polum A, circuli ma- ximi de$eribantur A I, A K, A L, $ecantes B D, in I, K, L. Dico arcum K L, maiorem e$$e arcu I K. De$cribantur enim per eadem puncta F, G, H, paral- 20. 1. huius leli M N, O P, Q R, $ecantes A K, in V, X. Erit igitur arcus M O, 5. huius. maior arcu O Q; atque adeo, cũ 10. 2. huius arcui M O, arcus V G, & arcui O Q, arcus G X, $it æqualis; erit & V G, maior, quàm G X. Sumatur arcus G Y, ip$i G X, æqualis, & per Y, parallelus de$cribatur S T, $ecans circulum A I, in Z. Quoniam igi- tur arcus G Y, G X, æquales $unt, nec non G F, G H, erunt ductæ re- ctæ H X, Y F, æquales. Et quia cir- 3. huius. culus maximus A I, per polum A, $ecat cir culum S T, ad angulos re 15. 1. huius. ctos, & bifariam, erit communis $ectio, nempe recta ex Z, ad alte- ram $ectionem ducta diameter circuli S T, $uper quam in$i$tit $emicirculus rectus ad circulum A I, nempe $emicirculus à puncto Z, incipiens, & per S, v$q; ad alteram $ectionem progrediens, (hoc e$t, $egmentum circuli, quod $emicir- culo maius non e$t.) aufertque recta illa ex circulo A I, $egmentum $emicir- culo maius, quod nimirum à puucto Z, per I, v$que ad alteram $ectionem cum cireulo S T, ducitur, atque e$t Y Z, arcus in$i$tentis $emicirculi quadrante minor, (propterea quòd arcus Ik, qui illi e$t $imilis, quadrante quoque mi- 10. 2. huius nor e$t. quod ita o$tendi pote$t. Quoniam circuli maximi B D, E C, recti $unt ad maximum circulum A B C D, erit hic vici$sim ad illos rectos, ac proinde 13. 1 huius. per illorum polos tran$ibit. Quare eorum $egmenta, quæ $emicirculi $unt, bi- 9. 2. huius. fariam $ecabit, id e$t, in quadrantes. Quadrans ergo e$t arcus circuli B D, po- $itus inter B, & illud punctum, vbi$e mutuo $ecant circuli B D, E C, ideoque I K, quadrante minor. Nam circulus Ak, cadit inter puncta B, I, cum circu- lum A B C D, $ecet in altero polo.) atque adeo reliquus arcus ex $emicirculo in$i$tente interceptus inter Y, & altetam $ectionem cum circulo A I, quadran- te maior; erit recta Y Z, omnium rectarum ex Y, cad\~etium in circunferentiam 1. huius. Z P, minima; atq; adeò minor quàm Y F, hoce$t, quàm H X, quam {ae}qual\~e o$ten ndimus e$$e rectæ Y F. Quocirca cum eirculus Q R, minor $it circulo S T, au- feret recta H X, maior maiorem arcum ex $uo circulo, quàm recta Y Z, minor ex $uo, vt mox o$tendemus. Maior igitur e$t arcus H X, quàm vt $imilis e$$e po$sit arcui Y Z: E$t autem arcui H X, arcus kL, & arcui Y Z, arcus Ik, $imilis. 10. 2. huius. Igitur & kL, maior e$t, quàm vt $imilis fit ip$i Ik; ac proinde, cum $int in eo- dem circulo, maior erit arcus kL, quàm Ik. Quamobrem, $i in circumferentia maximi circuli $it polus parallelorum, &c. Quod demon$trandum erat.

LEMMA.

_QVOD_ autem recta _H X,_ maiorem arcum auferatex $uo circulo quàm recta Y Z, ex $uo, per$picuum fiet, $i prius theorema, quod $equitur, demon$tretur.

[087]LIBER TERTIVS.

ÆQVALES rectæ lineæ ex circulis inæqualibus auferunt ar- cus inæquales, maior\’que e$t arcus minoris circuli, quàm vt $imilis $it arcui maioris circuli.

_SINT_ circuli inæquales A B, C D, circa idem centrum E, de$cripti: ducantur autem ex E, duærect{ae} vtcunque E A, E B, $ecantes circulum C D, in punctis C, D: erunt{quam} arcus A B, C D, $imiles, cum illis idem an- $chol. 33. $exti. gulus E, in$i$tat ad centrum. Et quoniam rectæ E A, E B, proportiona- liter $unt $ectæ in punctis C, D, quòd E A, E B, æquales $int, nec non E C, E D; erunt re- 2. $exti. etæ ductæ A B, C D, parallelæ; atque adeo triangula E A B, E C D, $imilia, habentia Coroll. 4. $exti. angulos E A B, E C D, inter $e æquales, nec non & angulos E B A, E D C, & angulũ E, 4. $exti. communem. Quare erit, vt E A, ad A B, ita E C, ad C D: E$t autem E A, maior quam E C. Igitur & A B, maior erit, quàm C D. 14. quinti. Accommodetur igitur ip$i C D, in circulo 1. quarti. A B, æqualis B F; erit{quam} arcus A B, maior, quàm F B. Quare cum ar- Schol. 28. tertij. cus C D, arcui A B, $it $imilis; erit arcus C D, maior, quàm vt $imilis $it ip$i F B. Aequales igitur rectæ F B, C D, ex circulis inæqualibus A B, C D, inæquales arcus auferunt, maior{quam} e$t arcus C D, circuli minoris, quàm vt $imilis $it arcui F B, circuli minoris. quod e$t propo$itum.

HINC per$picuum e$t, multo magis maiorem lineam ex circulo mi- nore auferre arcum maiorem, quàm vt $imil<007>s $it ei, quem ex circulo ma- iore aufert linea minor. Cum enim recta C D, æqualis ip$i F B, auferat arcũ C D, maiorem, quàm vt $imilis $it arcui F B; multo magis linea maior quàm C D, auferet maiorem arcum, quàm vt $imilis $it arcui F B; cum illa maior Schol. 28. tertij. maiorem arcum ab$cindat, quam C D. Quare in propo$. hac $exta etiam recta H X, maior exi$tens, quàm recta Y Z, auferet ex circulo minore Q R, arcum H X, maiorem, quàm vt $imilis $it arcui Y Z, quem recta Y Z, aufert ex S T, circulo maiore.

HOC autem lemmate demon$trato, facile etiam o$tendemus, æquales rectas lineas ex circulis inæqualibus auferre arcus inæquales $impliciter, ita vt arcus minoris circuli $impliciter maior $it arcu circuli maioris, & nθn $olũ maior, quàm vt $imilis $it. Sint enim rectæ lineæ C D, B F, æquales, auferat{quam} C D, arcum minoris circuli C E D, & F B, arcum circuli maioris F G B. Dico $impliciter arcum C E D, maiorem e$$e arcu F G B. Congruente enim recta C D, rectæ F B, cadet nece$$ario arcus C E D, extra arcũ F G B; at que adeo arcus C E D, maior erit arcu F G B, cum ille hunc totum intra $e [088]THEODOSII SPHAERICORVM contineat, $int{quam} ambo arcus in eand\~e partem caui, at{quam} eadem extrema pun cta habeant, vt vult Archimedes in $uppo$itionibus ante lib. 1. de$phæra & cylindro. Neque vero arcus C E D, arcui F G B, congruet, aut imra ip- $um cadet. Nam $i dicatur congruere, congruet etiam tota circumferentia circuli C E D, toti circumferentiæ cir- culi F G B, atque adeo æquales erunt circuli. quod e$t ab$urdum, cum inæquæ les ponantur: Si vero arcus C E D, di- catur cadere intra arcum F G B, cu- in$modi e$t arcus C A D, quoniam vt paulo ante in hoc lemmate osten$um e$t, arcus C E D, id e$t, C A D, maior e$t, quàm vt $imilis $it arcui F G B, $u- matur arcus H F B, arcui C A D, $imilis, atque adeo maior arcu F G B: A$$umpto autem in arcu C A D, puncto A, vtcunque, ducantur rectæ A F, A B; productaque recta F A, donec arcum F G B, $ecet in G, ducantur rectæ G H, G B. Itaque quoniam arcus C A D, H F B, $imiles $unt, erunt anguli C A D, H G B, inillis fegmentis exi$tentes, æquales. Quia vero angulus C A D, angulo C G B, maior e$t, externus interno; & angulus 16. pr<007>mi. C G B, angulo H G B, maior quoque, totum parte; erit multò maior angulus C A D, angulo H G B. quod e$t ab$urdũ. O$ten$us enim e$t æqualis. Non ergo arcus C E D, cadet intra arcũ F G B: $ed neq; ei congruit, vt demõ$tratũ e$t. Cadet ergo extra, atq; adeo maior erit arcus C E D, arcu F G B, vt dictũ e$.

_HINC_ etiam liquido constat, multo magis maiorem lineam ex cir- culo minore auferre arcum maiorem $impliciter eo, quem minor linea ex circulo maiore aufert.

THEOR. 7. PROPOS. 7. 5.

SI in $phæra maximus circulus tãgat aliquem $phæræ circulum, alius autem maximus circulus ad parallelos obliquus $it, tangat\’q; circulos maio- res illis, quos tangit maximus circulus primo po$i- tus, fuerint\’q; eorum contactus in maximo circu- lo primo po$ito, & $umanturà circulo obliquo cir [089]LIBER TERTIVS. cunferentiæ æquales, & continuæ ad ea$dem par- tes maximi parallelorum; per puncta autem termi- nantia æquales circunferentias de$cribantur paral leli circuli: Hi circumferentias inæquales interci- pient de maximo circulo primo po$ito, quorum ea, quæ propior erit maximo parallelorum, erit maior remotiore.

IN $phæra maximus circulus A B C D, tangat circulum A E, in puncto A; atque adeo & alium C F, illi æqualem: Alius autem circulus maximus G H, 6. 3. huius. ad parallelos obliquus tangat alios duos circulos maiores illis, quos A B C D, tangit, $int\’que puncta contactuum G, H, in maximo circulo ABCD; $it\’q; B D, maximus parallelorum: Ex obliquo denique circulo G H, $umantur arcus æquales Ik, K L, & per puncta I, k, L, paralleli de$cribantur M N, O P, Q R. Dico arcum M O, maiorem e$$e arcu O Q. Nam per k, & S, polum pa- rallelorum circulus maximus dcfcribatur Sk, $ecans parallelos in punctis T, 20. 1. huius V. Item per k, de$cribatur ma- ximus circulus kE, tangens parallelum A E, in E, $ecans\’q; 15. 1. huius parallelos alios in X, Y; ita ta- men, vt hæc puncta X, Y, $int inter puncta L, T, & V, I. quod ita fiet. Quoniam per k, duo $chol 15. 2. huius. circuli de$cribi po$$unt tágen- ntes circulum A E, quorum vnus inter arcus kG, kS, ca- dit, alter vero extra ip$os; (Nã $i ambo ex eadem parte circu- lum A E, tangerent, $ecarent $e$e mutuo prope puncta con- tactuum, quòd alter alteri oc- curreret. quod e$t ab$urdum; cum $e inter$ecent in puncto, quod ip$i K, opponitur inter alterum polum, & maximum parallelorũ.) $i prior $umatur, cad\~et puncta X, Y, inter puncta L, T, & V, I, vt patet. Igitur quoniã in $pheræ $uperficie intra peripheriam circuli M N, punctum k, $ignatum e$t præter po- lum S, & ex k, tres arcus cadunt in eius circunferentiam kV, kY, kI; erit kV, omnium minimus, & K Y, minor, quàm kI. Rur$us quia in $uperficie Schol. 21. 2 huius. $phæræ extra peripheriam circuli Q R, $ignatum e$t punctum K, præter eius polum, & ex K, in eius circunferentiam cadunt tres arcus K T, K X, K L, Schol. 21. 2 huius. erit K T, omnium minimus, & kL, minor quam K L. Vterque igitur arcus [090]THEODOSII SPHAERICORVM K I, K L, vtroque K Y, K X, maior e$t. Et quoniam recta per K, & $ph{ae}ræ centrũ ducta, id e$t, communis $ectio maximorum circulorum G H, E Y, $ecat pla- num paralleli Q R, extra $phæram, $i recta illa, & planum circuli Q R, producantur ad partes K, vt in demon$tratione propo$. 5. huius lib. dictum e$t; erit arcus K Y, maior arcu K X: Sed arcui K Y, arcus M O, & arcui K X, 4. huius. arcus O Q, æqualis e$t; Sunt enim $emicirculi, quorum vnus ex A, per B, al- 13. 2. huius ter vero ex E, per K, ducitur, non conuenientes, vt ex ijs, quæ in demon$tra- tione propo$. 13. $ecundi lib. diximus, per$picuum e$t. Igitur & arcus M O, ma- ior erit arcu O Q. Siergo in $phæra maximus circulus tangat, &c. Quod demon$trandum erat.

THEOREMA 8. PROPOS. 8. 6.

SI in $phæra maximus circulus aliquem $phæ- ræ circulum tangat, aliquis autem alius maximus circulus obliquus ad parallelos tangat circulos ma iores illis, quos tangebat maximus circulus primo po$itus, fuerintque eorum contactus in maximo circulo primo po$ito; $umantur autem de obliquo circulo æquales circunferentiæ continuæ ad ea$- dem partes maximi parallelorum, perque puncta terminantia æquales circunferentias de$cribantur maximi circuli, qui & tangant eundem circulum, quem tangebat maximus circulus primo po$itus, & $imiles parallelorú circunferent<007>as <007>ntercipiant, habeantque eos $emicirculos, qui tendunt à pun- ctis contactuum ad puncta terminantia æquales obliqui circuli circunferentias, per quæ de$cribun- tur, eiu$modi, vt minime conueniant cum illo cir culi maximi primo po$iti $emicirculo, in quo e$t contactus obliqui circuli inter apparentem po- lum, & maximum parallelorum: Inæquales inter- [091]LIBER TERTIVS. cipient circunferentias de maximo parallelorum, quarum propior circulo maximo primò po$ito $emper erit maior remotiore.

IN $phæra maximus circulus A B, tangat circulum A C, in A; atque adeo 6. 2. huius. alium illi æqualem, & parallelum: & alius circulus maximus D E, ad paralle- los obliquus tangat alios parallelos maiores, $int\’que cõtactus in circulo A B, cuiu$modi e$t punctum D; & $it B E, parallelorum maximus: Ex obliquo au- tem circulo D E, $umantur arcus æquales F G, G H; & per puncta F, G, H, circuli maximi de$eribantur C I, K L, M N, tangentes parallelum A C, in C, K, M, $ecantes\’que B E, maximum parallelorum in I, L, N, ita vt $imiles arcus parallelorum interci- piant, eorumque $emicirculi à punctis C, K, M, incipien- tes, & per F, G, H, tran$eun- tes non conueniant cum $e- micirculo circuli A B, ab A, incipiente, & per B, tran- $eunte. Dico arcum I L, ma- iorem e$$e arcu L N. De$cri- bantur enim per F, G, H, pa- ralleli P F, Q G, R H, $ecan- tes circulum K L, in O, S. Erit 7 huius. ergo arcus P Q, maior arcu Q R; quibus cum $int æqua- 13. 2. huius. les arcus G O, G S, erit & G O, maior, quàm G S. Fiat G T, ip$i G S, æqualis, & per T, pa rallelus de$eribatur V T, $e- cans circulum M N, in X. Et quoniam eommunis $ectio cir culorum M N, V X, hoc e$t, recta ab X, $ectione, ad alte- ram $ectionem ducta au$ert $egmentum, quod incipit ab X, & tran$it per V, v$q; ad alteram $ectionem, $emicirculo minus; (Nam circulus maximus M N, $ecans parallelum V X, non per polos au$ert $egmentum maius $emicirculo, 19. 2. huius. quod nimirum e$t inter maximum parallelorum, & polum con$picuum, quale e$t $egmentum incipiens ab X, & tran$iens per α, v$que ad alteram $ectio- nem cum circulo M N.) aufert\’que ex maximo circulo M N, $egmentum maius $emicirculo, quod nimirum ab X, incipiens per N, ad alteram $ectionem tran- $it; e$t\’que $egmentum X V, ad $egmentum X M, inclinatum ver$us partes R. Nam $i per N, & Y, polum parallelorum circulus maximus de$cribatur Y N, erit hic rectus ad B E. Ergo M N, qui inter hos duos e$t po$itus, (Quoniam 15. 1. huius School. 15. 2. huius. enim ex puncto F, duo circuli tangentes parallelum A C, duci po$$unt, vnus ad $ini$tram circuli maximi Y N, & ad dexteram alter, nos priorem eligimus, vt nimirum ponatur inter maxim os circulos Y N, B E.) ad eundem B E, in- [092]THEODOSII SPHAERICORVM clinatus e$t ad partes R, & vici$sim B E, atque adeò & $ibi parallelus V X, ad M N, ad ea$dem partes R, erit inclinatus. Item $egmentum incipiens ab X, & per V, v$que ad alteram $ectionem tran$iens $ectum e$t inæqualiter in T, e$t- \’que minor pars T X, vt mox o$tcndemus. Igitur recta T X, minor e$t, quàm 2. huius. recta T F: Sed recta T F, æqualis e$t rectæ H S. Igitur & recta T X, minor erit 3. huius. quàm recta H S; atquo adeo, vt in lemmate propo$. 6. huius lib. demon$tratum e$t, maior erit arcus H S, quàm vt $imilis e$$e po$sit arcui T X. Cum ergo ar- cus I L, arcui H S, & arcus L N, arcui T X, $it $imilis, maior erit quoque ar- 13. 2. huius. cus I L, quàm vt $imilis $it arcui L N; atque adeo, cum in eodem circulo $int, erit I L, maior, quam L N. Si igitur $phæra maximus circulus aliquem $phæræ circulum tangat, &c. Quod erat o$tendendum.

LEMMA. I.

QVOD autem arcus T X, minor $it $emi$$e $egmenti, quod ab X, inci pit, et per V, v$que ad alteram $ection\~e protenditur, it a demon$trabimus. Per E, ducatur circulus maximus E Z, tangens parallelum A C, in Z, pun cto, quod $it ad dexteram cir culimaximi N Y: cùmex E, duo circuli tan- g\~etes A C, de$cribi po$$int, vnus ad $inistram circuli schol. 13. 3 huius. N Y, et ad dexteram alter. Erit\’q E Z, quadrans. Nam circulus maximus Z Y, per Y, polum circuli A C, & per Z, cõtactum de$criptus trã$it quoq; per polum cir- 5. 2. huius. culi tangentis E Z. Quare idem circulus Y Z, $ecabit $egmenta circulorum B E, 5. 2. huius. E Z, bifariam. Cum ergo hi 13. 1. huius maximi cir culi $e bifariam $ecent, $ecabitur $egm\~etum à puncto E, per Z, v$que ad alter am $ectionem, in duos quadrantes in puncto Z; atque adeo E Z, quadrans erit. Eodem modo quadrans erit E D, $i per polum Y, & contactum D, circulus maximus Y D, de$cribatur. E$t autem & arcus cir culi maximi inter E, & Y, polum, quadrans. lgitur cir culus maximus ex E, tanquam Cotol. 16.1 huius. polo, & interuallo E Z, de$criptus tran$ibit per puncta Y, D. Non aliter o$tendemus N M, e$$e quadrantem; atque adeo circulum maximum ex N, polo, & interuallo N M, de$criptum tran$ire per Y, polum paralle- lorum, qualis e$t M Y, atque adeo $ecare arcum B D, vltra punctum D, [093]LIBER TERTIVS. & arcum N B, vltra arcum D B, ideoque & arcum X V, vltra cundem arcum D B: propterea quòd maximi circuli Z Y D, M Y, $e mutuo $e- cant in Y, polo, & punctum M, e§t inter D, & Z. Quoniam verò circu- lus maximus M Y, ductus per Y, polum paralleli A C, & per cont actum M, tran$it etiam per polum circulitangentis N M; tran$ibit per polos 5. 2. huius circulorum X V, & N M, $e mutuo $ecantium in X. Quare bifariam $e- cabit ip$orum $egmenta. Cum ergo vltra punctum V, $ecet $egmentum ab 9. 2. huius. X, per V, v$que ad aliud punctum, vbi $e mutuo $ecãt circuli X V, N M, vt proxime e$t osten$um; erit X V, arcus minor $emi$$e $egmentiab X, per V, v$que ad alteram $ectionem; ac proinde multo minor $emi$$e eiu$dem $egmenti erit T X. quod e$t propo$itum.

LEMMA. I I.

PROPOSITIS duabus magnitudinibus inæqualibus, repe- rire aliam mediam, quæ datæ cuicunque magnitudini commen- $urabilis $it.

SINT propo$itæ duæ magnitudines inæquales A B, A C, & data alia quæcunque D G: oporteat{\’que} inuenire aliam mediam, boc e$t, quæ maior quidem $it, quàm A C, minor vero, quàm A B, & ip$i D G, com- men$urabilis. Sit primum D G, minor, quàm B C, exce$$us inter magnitu- dines A B, A C; & E, multiplex ip$ius D G, proxime maior quàm A C. Quo po- $ito, erit E, minor, quàm A B. Si enim æqualis e$$et, $i detraheretur ex E, vna magnitudo ip$i D G, æqualis (qu{ae} quidem minor ponitur, quàm B C,) maneret adhuc reliqua multiplex ip$ius D G, maior quàm A C. Non ergo E, e$$et multiplex ip$ius D G, proxime maior, quàm A C. Quod e$t ab$urdum. Non ergo æqualis e$t E, ip$i A B; atque adeo multo magis neque maior erit. Minor igitur e$t, quàm A B; atque adeo cum ma- ior quoque $it quà A C, & ip$i D G, commen$urabilis, quòd eius mul- tiplex $it, con$tat propo$itum.

SED iam data magnitudo D G, non minor $it, quàm B C. Diui$a igi- tur D G, bifariam, & dimidia parte rur$us bifariam, & $ic deinceps, do- nec relinquatur pars D F, minor quàm B C; $it E, ip$ius D F, multiplex 1. decimi. proximè maior, quàm A C; erit{\’que} E, ip$i D F, commen$urabilis; atque adeo & ip$i D G: propterea quod vtraque E, & D G, ip$i D F, commen 12. decimi. $urabilis e$t. Rur$us eodem pacto, vt paulo ante demon$trauimus, erit E, minor, quam A B. Cum ergo maior quoque $it, quàm A C, & ip$i D G, commen$urabilis; constat propo$itum.

[094]THEODOSII SPHAERICORVM THEOREMA 9. PROPOS. 9. 8.

SI polus parallelorum $it in circun$erentia ma- ximi circuli, quem duo alij maximi circuli ad an - gulos rectos $ecent, quorum circulorum alter $it vnus parallelorũ, alter verò ad parallelos obliquus $it: & ab hoc obliquo circulo $umantur æquales circunferentiæ, quæ continuæ quidem non $int, $ed tamen $int ad ea$dem partes maximi illius pa- ralleli; per polum autem, & $ingula puncta æqua- les circunferentias terminantia de$cribantur ma- ximi circuli: Inæquales circunferentias de maxi- mo parallelo intercipient, quarum ea, quæ pro- pior erit maximo circulo primo po$ito, $emper erit maior remotiore.

IN circun$erentia maximi circuli A B, $it A, polus parallelorum, eum- que $ecent duo maximi circuli B C, D C, ad angulos rectos, quorum B C, $it maximus parallelorum, & D C, ad parallelos obliquus; ex quo $uman- tur arcus æquales non continui E F, G H: & per puncta E, F, G, H, & polum A, de$cribantur maximi circuli A E I, A F K, A G L, A H M. Dico arcum M L, 20. 1. huius maiorem e$$e arcu K I. Autenim intermedius arcus F G, vtrique æqualium E F, G H, commen$urabilis e$t, aut incommen $urabilis. Sit primum commen$urabilis. In- uenta autem maxima communi men$ura X, 4. decimi. diuidantur tres arcus E F, F G, G H, in par- tes ip$i X, æquales, vt in prima figura appa- ret; & per puncta diui$ionum, & polum A, circuli maximi ducantur. Quoniam igitur ar- 20. 1. huius. cus E Q, Q F, F P, &c. æquales $unt, ma- ior erit arcus M R, arcu R L, & R L, maior, 6. huius. quàm L, S, &c. Igitur cum M R, maior $it quàm K V, & R L, maior quàm V I, erit & totus M L, maior toto K I. quod e$t propo- $itum.

SED iam $it arcus intermedius F G, in commen$urabilis vtrique arcuum æqualium E F, G H. Dico Rur$us arcum M L, maiorem e$$e arcu K I. Si enim maior non e$t, erit vel minor, vel æqua- lis. Sit primum, $i $ieri pote$t, M L, minor quàm K I, vt in $ecunda figura; [095]LIBER TERTIVS. & ex K I, $umatur K N, ip$i M L, æqualis; & per N, & A, circulus maximus de$eribatur A O N, $ecans circulum C D, & in O. Deinde per lemma 2. præ- 10. 1. huius. cedentis propo$. inueniatur arcus F P, maior quidem, quàm F O, minor ve- rò quàm F E, & ip$i F G, commen$urabilis: $itque G Q, ip$i F P, (qui minor e$t, quàm E F, atque adeo minor etiam quàm G H, ip- $i E F, æqualis.) æqualis: & per P, Q, & A, circuli maximi de$cribantur A P R, A Q S. 20. 1. huius Quoniam igitur arcus P F, G Q, æquales $unt non continui, e$t\’que vtrique illorum commen$urabilis arcus intermedius F G; erit, vt demon $tratum iam e$t in prima $igura, ar- cus S L, maior arcu K R. Igitur & multo maior erit, quàm K N; ac proinde & M L, mul to maior erit, quàm K N: Sed & K N, ip$i M L, æqualis po$itus e$t. Quod e$t ab$urdum. Non ergo M L, minor e$t quàm K I.

SIT deinde, $i fieri pote$t, arcus M L, æqualis arcui K I, vt in tertia figura. Diui$is aut\~e arcubus E F, G H, bifariã in N, O, de$cribantur per N, O, & A, cir 20. 1. huius culi maximi A N P, A O Q. Erit igitur arcus M Q, maior arcu Q L, & K P, 6. huius. maior quàm P I. Quare Q L, minor erit, quàm dimidiũ ip$ius M L; & K P, maior, quàm dimi- dium ip$ius K I. Cum ergo M L, K I, ponãtur æquales; erit Q L, minor, quàm K P, quod e$t ab$urdum. Quoniam enim arcus F N, G O, dimidij æqualium arcuum E F, G H, æquales $unt non continui, non poterit Q L, minor e$$e, quàm K B; vt proximè in $ecunda figura demon$tratum e$t. Non ergo arcus M L, ar- cui K I, æqualis e$t: $ed neque minor e$t o$ten $us. Maior ergo e$t. Si igitur polus paralle- lorum $it in circunferentia, &c. Quod erat demon$trandum.

SCHOLIVM.

_SICVT_ Theodo$ius in hac propo$itione 9. idem demon$trauit de arcubus non continuis, quod de continuis propo$. 6. docuit, ita in alia ver$ione demon$trantur tris bus Theorematibus eadem de arcubus non continuis, quæ Theodo$ius de continuis de- mon$trauit propo$. 5. 7. & 8. Primum autem theorema eiu$modi e$t.

I.

SI polus parallelorum $it in circunferentia maximi circuli, quem 7. duo alij maximi circuli ad angulos rectos $ec\~et, quorum circulorum alter $it vnus parallelorum, alter verò ad parallelos obliquus $it, & ab hoc obliquo circulo $umantur æquales circunferenti{ae}, qu{ae} continu{ae} quidem non $int, $ed tamen $int ad ea$dem partes maximi illius pa- [096]THEODOSII SPHAERICORVM ralleli; per $ingula autem puncta æquales circun $erentias terminan- tia, de$cribãtur paralleli circuli. Circunferenti{ae} maximi illins circuli primo po$iti inter parallelos interceptæ, inæquales erunt, $emper\’q; ea, quæ propior fuerit maximo parallelorum, remotiore maior erit.

IN _circunferentia maximi circuli_ A B, _$it polus parallelorum, quem al{ij} duo_ _maximi_ B C, A C, _$ecent ad angulos rectos, $itque_ B C, _parall lorum maximus, &_ A C, _ad parallelos obliquus. Sumantur arcus non continui æquales_ D E, F G; _ac per_ D, E, F, G, _paralleli ducantur_ D H, E I, F K, G L. _Dico arcum_ H I, _maiorem e$$e arcu_ K L. _Aut enim arcus intermedius_ E F, _vtrique æqualium_ D E, F G, _commen$urabilis_ _e$t, aut incommen$urabilis. Sit primum commen$urabilis. Inuenta autem maxima_ 4. decim. _men$ura V, $ecentur tres arcus_ D E, E F, F G, _in partes ip$i_ V, _æquales, & per pun=_ _cta d<007>ui$ionum paralleli de$cribantur, vt in prima figura apparet. Quoniam igitur_ _arcus continui_ D P, P E, E O, _&c. æquales $unt; erit arcus_ H T, _maior arcu_ T I, 5. huius. _&_ T I, _maior, quàm_ I S, _&c. Quare cum_ H T, _maior $it, quàm_ K Q, _&_ T I, _ma=_ _ior quam_ Q L; _erit totus_ H I, _maior toto_ K L. _Quod e$t propo$itum._

SED _iam_ E F, _incommen$urabilis $it vtrique_ D E, F G. _Dico adhucarcum_ H I, _maiorem e$$e arcu_ K L. _Sienim maior non e$t, erit vel minor, vel æqualis. Sit pri=_ _mum minor; & ex_ K L, _(vt in $ecunda $igura) auferatur ip$i_ H I, _æqualis_ K M; _&_ _per_ M, _parallelus ducatur_ M N. _Deinde per Lemma 2. Propo$._ 8. _huius lib. reperia=_ _tur arcus_ F O, _maior quidem, quàm_ F N, _minor verò quam_ F G, _& commen$urabi=_ _lis intermedio arcui_ E F: _Sitque_ E P, _ip$i_ F O, _(qui minor e$t, quàm_ F G, _atque_ _adeo minor etiam, quam_ D E, _ip$i_ F G, _æqualis) æqualis, ac per_ O, P, _paralleli de=_ _$cribantur_ O R, P Q. _Quoniam igitur arcus non continui_ P E, F O, _æquales $unt,_ _e$tque vtrique illorum commen$urabilis arcus intermedius_ E F; _erit, vt iam e$t de=_ _mon$tratum in prima figura, arcus_ Q I, _maior arcu_ K R. _Ergo & multo maior erit,_ _quaàm_ K M; _ac proinde multo magis arcus_ H I, _maior erit quàm_ K M: _Sed &_ H I, _equalis ponitur ip$i_ K M. _Quod e$t ab$urdum. Non ergo_ H I, _minor e$t, quàm_ K L.

SIT _deinde, $i fieripote$t, arcus_ H I, _arcui_ K L, _æqualis, vt in tertia figura._ _Dini$is autem arcubus_ D E, F G, _bifariam in_ M, N, _ducantur per_ M, N, _paralleli_ M O, N P. _Erit igitur arcus_ H O, _maior, quàm_ O I; _&_ K P, _maior, quàm_ P L. _Quare_ 5. huius. O I, _minor erit, quam dimidium ip$ius_ H I, _&_ K P, _maior dimidio ip$ius_ K L. _Cum_ [097]LIBER TERTIVS. _ergo_ H I, K L, _ponantur æquales, minor erit_ O I, _quàm_ K P. _Quod e$t ab$urdum._ _Quia enim arcus_ E M, F N, _dimid{ij} æqualium_ D E, F G, _æquales $unt, & non con=_ _tinui, non poterit_ O I, _minor e$$e, quam_ K P, _vt in $ecunda figura demon$tratum_ _e$t. Nonergo arcus_ H I, _arcui_ K L, _æqualis e$t: Sed nequeminor e$t o$ten$us. Maior_ _igitur e$t. Quod e$t propo$itum._

II.

SI in $phæra maximus circulus tangat aliquem $phæræ circu- 9. lum, alius autem maximus circulus ad parallelos obliquus $it, tan- gatque circulos maiores illis, quos tangit maximus circulus primò po$itus, fuerintque eorum contactus in maximo circulo primo po$i- to; & $umantur à circulo obliquo circun ferentiæ æquales, quæ con- tinuæ quidem non $int, $ed tamen $intad ea$dem partes maximi pa- rallelorum; per puncta autem terminantia æquales circunferentias de$cribantur paralleli circuli: HI circunferentias inæ quales interci- pient de maximo circulo primò po$ito, quarum ea, quæ propior erit maximo parallelorum, maior erit remotiore.

HOC _Theorema demon$trabitur ex propo$. 7. huius lib. quemadmodum præce=_ _dens Theorema ex propo$. 5. demon$tratũ $uit: dummodo duo circuli maximi_ A B, A C, _præcedentis Theorematis tangant duos parallelos, vt in propo$. 7. huius lib. dictum_ _e$t. Reliqua con$tructio figuræ à con$tructione præcedentis Theorematis non dif=_ _fert, &c._

III.

SI in $phæra maximus circulus aliquem $phæræ circulum tan- 10. gat, aliquis autem alius maximus circulus obliquus ad parallelos tan- gat circulos maiores illis, quos tangebat maximus circulus primo po$itus, fuerintque eorum contactus in maximo circulo primo po$i- to; $umantur autem de obliquo circulo æquales circunferentiæ, quæ continuæ quidem non $int, $ed tamen $int ad ea$dem partes maximi parallelorum, per que puncta terminantia æquales circunferentias de$cribantur maximi circuli, qui & tangant eundem circulum, quem tangebat maximus circulus primo po$itus, & $imiles parallelorum circunferentias intercipiant, habeantque eos $emicirculos, qui ten- dunt à punctis contactuum ad puncta terminantia æquales obliqui circuli circunferentias, per quæ de$cribuntur, eiu$modi, vt minimè cõueniant cum illo circuli maximi primò po$iti $emicirculo, in quo e$t contactus obliqui circuli inter apparentem polum, & maximum parallelorum: Inæquales intercipient circunferentias de maximo parallelorum, quarum propior circulo maximo primò po$ito, $em- per erit maior remotiore.

[098]THEODOSII SPHAERICORVM

HOC _etiam Theorema demon$trabitur ex propo$. 8. buius lib. quemadmodum_ _propo$itio 9. ex propo$. 6. fuit o$ten$a, dummodo maximi circuli propo$. 9. ex A,_ _prodeuntes tangant eundem circulum minoremillo, quem_ D C, _tangere debet, &c._

THEOREMA 10. PROPOS. 10. 11.

SI polus parallelorum $it in circunferentia ma ximi circuli, quem duo alij maximi circuli ad angu los rectos $ecent, quorum alter $it vnus parallelo- rum, alter verò $it obliquus ad parallelos; in hoc aute<007>n obliquo circulo $umãtur duo quælibet pun cta ad ea$dem partes maximi illius paralleli, per\’q; polum parallelorum, & per vt<007>um que illorum pun ctorum de$cribantur maximi circuli: Erit, vt cir- cunferentia maximi parallelorum intercepta inter maximum circulum primò po$itum, & proximum maximum circulum per polum, & per vnum pun- ctorum de$criptum, ad circunferentiam obliqui circuli inter eo$dem circulos interceptam, ita cir- cunferentia maximi parallelorum intercepta inter duos magnos circulos per polum, perque vtrum- que punctorum de$criptos, ad circunferentiam aliquam, quæ $it minor, quam circunferentia obli- qui circuli inter vtrum que punctum intercepta.

SIT polus A, parallelorum in circunferentia maximi circuli A B, quem duo alij maximi circuli B D, C D, $ecent ad angulos rectos, & $it B D, paral- lelorum maximus, & C D, ad parallelos obliquus; in quo $umptis duobus punctis vtcunque E, F, de$cribantur per A, polum, & per E, F, circuli ma- 20. 1. huius ximi A E G, A F H. Dico, vt e$t arcus B H, ad arcum C F, ita e$$e arcum H G, ad arcum minorem arcu F E. Aut enim arcus C F, F E, commen$urabiles $unt, aut incommen$urabiles. Sint primum commen$urabiles, vt in prima fi- gura; & inuenta eorum maxima men$ura P, diuidantur arcus C F, F E, in ar- 3. decimi. cus maximæ men$uræ æquales, perque puncta diui$ionum, & polum A, circu- 20. 1. huius li maximi ducantur I M, K N, L O. Quoniam igitur arcus continui C L, L K, [099]LIBER TERTIVS. K F, F I, I E, æquales $unt, erit arcus B O, maior quàm O N, & O N, maior 6. huius. quàm N H, &c. Igitur maior erit proportio B O, ad C L, quàm O N, ad 8. quinti. L K; & maior proportio O N, ad L K, quàm N H, ad K F, &c. Quare, cum $int quotcunque magnitudines B O, O N, N H, & totidem numero C L, L K, K F, $it\’que maior proportio primæ B O, ad primã C L, quàm $ecundæ O N, ad $ecundam L K; & maior $ecundæ O N, ad $ecundam L K, quàm tertiæ N H, ad tertiam K F; maior erit proportio B H, ad C F, quàm N H, ad K F: 34. quinti. Sed proportio N H, ad K F, maior adhuc e$t proportione H M, ad F I, vt 8. quinti. o$ten$um e$t. Multo ergo maior e$t proportio B H, ad C F, quàm H M, ad F I: Sed adhuc maior e$t proportio H M, ad F I, quàm H G, ad F E; propte- 34. quinti. rea quòd arcus H M, M G, multitudine æquales $unt arcubus F I, I E; e$t\’que maior proportio primæ H M, ad primam F I, quæ $ecundæ M G, ad $ecundam 8. quinti. I E, vt dictum e$t. Multo igitur maior e$t proportio B H, ad C F, quàm H G, ad F E. Sit vt B H, ad C F, ita H G, ad P. Erit ergo maior proportio quoque H G, ad P, quam H G, ad F E; ac proinde P, arcus minor erit arcu F E. Qua- 10. quinti. re e$t, vt arcus B H, ad arcum C F, ita arcus H G, ad arcum P, arcu F E, mi- norem. Quod e$t propo$itum.

SED iam $int arcus C F, F E, incommen$urabiles, vt in $ecunda figura. Dico adhuc, vt e$t arcus B H, ad arcum C F, ita e$$e arcum H G, ad arcum ar- cu F E, minorem. Si enim non ita $it, erit, vt B H, ad C F, ita H G, vel ad arcũ arcu F E, maiorem, vel ad ip$ummet F E. Sit primum, $i fieri pote$t, vt B H, ad C F, ita H G, ad arcum F I, arcu F E, maiorem. Inueniatur per lemma 2. pro- po$. 8. huius lib. arcus F K, maior quidem quàm F E, minor autem quàm F I, & ip$i C F, commen$urabilis, ducatur\’que per K, & A, polum circulus maxi- 20. 1. huius. mus K L. Quoniam igitur commen$urabiles $unt arcus C F, F K, erit, vt de- mon$tratum iam e$t in prima figura, vt B H, ad C F, ita H L, ad arcum arcu F K, minorem: Sed vt B H, ad C F, ita ponebatur H G, ad F I. Igitur erit quo- que, vt H G, ad F I, ita H L, ad arcum arcu F K, minorem: & permutando, vt H G, ad H L, ita F I, ad arcum arcu F K, minorem: Sed H G, arcus minor e$t arcu H L. Igitur & arcus F I, minor erit, quàm arcus arcu F K, minor, totum quàm pars. Quod e$t ab$urdum. Non ergo e$t, vt B H, ad C F, ita H G, ad ar- cum arcu F E, maiorem.

SIT deinde, $i $ieri pote$t, vt B H, ad C F, ita H G, ad F E, vt in tertia figura. Diui$o arcu F E, bifariam in I, de$cribatur per I, & per A, polum cir- 20. 1. huius [100]THEODOSII SPHAERICORVM culus maximus I K. Quoniam igitur arcus continui F I, I E, æquales $unt, erit H K, maior quàm K G; atque adeo H K, maior erit dimidio ip$ius H G, Qua- 6. huius. re maior erit proportio H K, ad F I, quàm arcus dimidij ip$ius H G, ad F I: 8. quinti. Sed vt dimidium arcus H G, ad F I, dimidium arcus F E, ita e$t totus arcus 15. quinti. H G, ad totum arcum F E, Igitur maior erit proportio H K, ad F I, quam H G, ad F E: Ponitur autem, vt H G, ad F E, ita B H, ad C F. Igitur maior erit quo- que proportio H K, ad F I, quàm B H, ad C F; atque adeo arcus H K, ad ar- cum arcu F I, maiorem erit, vt B H, ad C F. Quod e$t ab$urdum. Demon$tra- 10. quinti. tum enim proxime $uit in $ecunda figura, non po$$e e$$e, vt e$t arcus B H, ad C F, ita arcum H K, ad arcum arcu F I, maiorem. Non ergo e$t, vt B H, ad C F, ita H G, ad F E: $ed neque, vt B H, ad C F, ita e$t H G, ad arcum arcu F E, maiorem, vt demon$tratum e$t. Igitur erit, vt B H, ad C F, ita H G, ad arcum arcu F E, minorem. Quare $i polus parallelorum $it in circunferentia, &c. Quod o$tendendum erat.

COROLLARIVM.

HINC $it, maiorem e$$e proportionem arcus B H, ad atcum C F, quàm arcus H G, ad arcum F E. Cum enim $it, vt B H, ad C F, ita H G, ad atcum arcu F E, minorem: Sit autem 10. huius. maior proportio arcus H G, ad arcum arcu F E, minorem, quàm ad F E; erit quoque maior 8. quinti. proportio B H, ad C F, quàm H G, ad F E.

THEOR. 11. PROPOS. 11.

SI polus parallelorum $it in circunferentia ma ximi circuli, quem duo alij maximi circuli ad an- gulos rectos $ecent, quorum alter $it vnus paralle- lorum, alter vero $it obliquus ad parallelos; alius autem maximus circulus per polos parallelorum tran$iens obliquum circulũ $ecet inter maximum parallelorum, & eum, quem obliquus circulus tan git: Diameter $phæræ ad diametrum eius circuli, quem tãgit obliquus circulus, maiorem rationem habet, quàm circunferentia maximi parallelorum intercepta inter maximum circulum primo po$i- tum, & maximum circulum per polos parallelo- rum tran$euntem, ad circunferentiam obliqui cir- culi inter eo$dem circulos interceptam.

[101]LIBER TERTIVS.

IN circunferentia maximi circuli AB, $it parallelorum polus A, eumque duo alij circuli maximi BC, DE, ad angulos rectos $ecent, quorum BC, $it maximus parallelorum, & DE, ad parallelos obliquus tãgens parallelum DF. Per polum quoq; A, alius circulus maximus de$cri- batur AE, $ecans obliquũ DE, in puncto E, inter ma ximũ parallelorum BC, & parallelum DF, quem ob- liquus tangit, po$ito. Di- co diametrum $phæræ ad diametrum paralleli DF, maiorem habere rationé, quàm circunferétiam BC, ad circunferentiam DE. Sit AG, recta communis $ectio circulorũ AB, AE; & BG, communis $ectio circulorũ AB, BC; eruntq; AG, BG, $emidiametri ip$orum, (cum $e mutuo $ecent bifariã circuli ma- 11.1.huius. ximi in $phæra) atque adeo & $phæræ, $ecantes $e $e in G, centro $phæræ, & circulorum maximorum. Sit quoque DL, communis $ectio circulorum AB, DE, quæ quoque diameter $phæræ erit tran$iens per centrum G. Rur$us DM, $it communis $ectio circulorum AB, DF; eritque DM, diameter cir- culi DF, propterea quòd circulus AB, parallelum DF, $ecet bifariam per 15. 1. huius. polos. Item FN, CG, $int communes $ectiones circulorum DF, BC, cum circulo AE. Ex polo A, interuallo vero AE, parallelus de$cribatur OE, fint\’que OH, EH, communes eius $ectiones cum circulis AB, AE; Erunt\’que & FN, EH, CG, $emidiametri circulorum DF, OE, BC, quòd ip$os bifariam $ecet circulus maximus AE, per polos; atque adeo communes 15. 1. huius. $ectiones diametri $int occurrentes diametris DM, OH, BG, in centris N, H, G. E$t enim & OH, diameter circuli OE, cum eum circulus AB, per po- 15. 1. huius. lum A, bifariam $ecet. Sit rur$um EG, communis $ectio circulorum maximo- rum AE, DE, quæ etiam diameter erit tran $iens per G, centrum $phæræ. Denique EI, communis $it $ectio circulorum DE, OE. Et quoniam re- cta AG, ducta per polos paralleli OE, recta e$t ad planum paralleli, ca- 10. 1. huius. dit\’que in eius centrum H; erit angulus OHG, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. in triangulo GHI, rectus; atque adeo angulus HGI, acutus. Latus igitur GI, maius erit latere HI. Auferatur recta IK, rectæ IH, æqualis, iungatur\’que 19. primi. recta EK. Rur$us quia vterq; circulus DE, OE, rectus e$t ad circulum AB; erit & EI, communis eorum $ectio ad eundem perpendicularis: ac proinde, 19. vndec. ex defin. 3. lib. 11. Eucl. vterque angulus EIH, EIK, rectus. Quoniam igi- tur duo latera EI, IH, trianguli EIH, duobus lateribus EI, IK, trianguli EIK, {ae}qualia $unt, angulos\’q; continent æquales, népe rectos, vt o$tendimus, crunt anguli quoq; IHE, IKE, æquales. Quia verò maior e$t proportio re- 4. primi. ctæ GI, ad rectam I k, quàm anguli I k E, hoc e$t anguli OHE, $ibi æqualis, [102]THEODOSII SPHAERICORVM ad angulũ IGE, vt mox demon$trabimus: E$t autem angulus OHE, angulo 10. vndec. BGC, æqualis; ($unt enim rectæ OH, BG, communes $ectiones planorum pa- rallelorũ OE, BC, factæ à plano AB, parallelæ; necnõ & rectæ EH, CG, com- 15. vndec. munes $ectiones eorundem planorum factæ à plano AE.) erit quoque maior proportio rect{ae} GI, ad rectam IK, hoc e$t, ad rectam $ibi æqualem IH, quàm anguli BGC, ad angulum DGE: Vt autem angulus BGC, ad angulum DGE, ita e$t arcus BC, ad arcum DE. Maior igitur proportio quoq; erit rectæ GI, 33. $exti. ad rectam IH, quàm arcus BC, ad arcum DE: E$t autem, vt GI, ad IH, ita 4. $exti. GD, ad DN, hoc e$t, ita tota diameter DL, ad totam diametrum DM. 15. quinti. ($unt enim DN, OH, communes $ectiones planorum parallelorum DF, OE, factæ à plano AB, parallelæ.) Igitur maior quoque proportio erit DL, 16. vndec. diametri $phæræ ad DM, diametrum paralleli DF, quàm arcus BC, ad arcum DE. Quapropter, $i polus parallelorum $it in circunferentia maximi circu- li, &c. Quod demon $trandum erat.

LEMMA.

_QVOD_ autem maior $it proportio rectæ _GI,_ ad rectam _IK,_ quàm anguli _IKE,_ ad angulum _IGE,_ hoc theoremate propo$ito demon$trabimus.

IN omni triangulo rectangulo, $i ab vno acutorum angulorum vtcunque ad latus oppo$itum linea recta ducatur; erit maior propor- tio huius lateris ad eius $egmentum, quod prope angulum rectum exi$tit, quàm anguli acuti, quem linea ducta cum prædicto latere, ef- fecit, ad reliquum angulum acutum trianguli.

SIT triangulum rectangulum EGI, habens angulum I, rectum, ducaturque ab angulo acuto IEG, ad latus oppo$itum GI, recta li- nea EK, vtcunque. Dico maiorem e$$e proportionem rectæ GI, ad IK, quàm anguli acuti IKE, ad angulum acutum IGE. Ducatur enim per G, recta GA, ip$i EK, parallela, occurrens rectæ IE, protractæ 31.primi. in A. Et quoniam angulus I, rectus e$t, erit angulus IEG, acutus, & propte- rea AEG, obtu$us. Latus igitur EG, in triangulo GEI, maius e$t latere GI; 19.primi. in triangulo verò AEG, minus latere AG. Quare arcus circuli ex centro G, ad interuallum GE, de$criptus $ecabit rectam GI, productam vltra I, nempe in B, rectam vero GA, citra A, vt in C. Quoniam igitur triangulum GAE, maius e$t $ectore GCE, maior erit proportio trianguli GAE, ad triangulum GEI, quàm $ectoris GCE, ad triangulum GEI: E$t 3.quinti. autcm maior adhuc proportio $ectoris GCE, ad triangulum GEI, quàm 3.quinti. [103]LIBER TERTIVS. ad $ectorem GEB; quòd triangulum GEI, minus $it $ectore GEB. Mul- to igitur maior erit proportio trianguli GAE, ad triangulum GEI, quàm $ectoris GCE, ad $ectorem GEB: ac proinde & componendo maior erit proportio trianguli GAI, ad triangulum GEI, quàm $e- ctoris GCB, ad $ectorem GEB: E$t autem vt triangulum GAI, ad 28. quinti. triangulum GEI, itarecta AI, ad rectam IE; & vt $ector GCB, 1.$exti. ad $ectorem GEB, ita angulus BGC, ad angulum BGE. Maior igitur Corol. 1. 33 $exti. erit quoque proportio AI, ad IE, quàm anguli BGA, hoc e$t, quàm an- guli $ibi æqualis IKE, ad angulum IGE: Vt autem AI, ad IE, ita e$t 29. prim<007>. GI, ad IK. Igitur & maior erit proportio rectæ GI, adrectam IK, 2. vel 4. $ex ti. quàm anguli IKE, ad angulum IGE. Quod e$t propo$itum.

SCHOLIVM.

_ADDITVR_ in alia ver$ione hoc loco $equens Theorema.

IISDEM po$itis, Diameter $phæræ ad diametrum paralleli per 13. punctum obliqui circuli, per quod maximus circulus è polo tran$it, de$cripti, minorem rationem habet quàm circunferentia maximi pa rallelorum intercepta inter maximum circulum primo po$itum, & maxmum circulum per polos parallelorum tran$euntem, ad circun- ferentiam obliqui circuli inter eo$dem circulos interceptam.

_SINT_ de$cripti circuli, vt in præcedenti propo$. Dico minorem e$$e proportionem diametri $phæræ ad diametrum paralleli _GE,_ quàm circunferentiæ _BC,_ ad circun- ferentiam _DE._ Sint _GH, BI,_ communes $ectiones circulorum _GE, BC,_ cum circule _AB,_ quæ diametri illorum erunt, cum _AB,_ per eorum po- los ductus ip$os $ecet bifariã, 15. 1. huius. & ad angulos rectos. Erit er go _BI,_ diameter etiã $phæræ. Et quoniã circulus _DE,_ po- nitur rectus ad _AB,_ tran$i- bit _DE,_ per polos ip$ius _AB._ 13. 1. huius. Eodem modo _BC,_ per polos eiu$dem _AB,_ tan$ibit, cum re- ctus ad ip$um ponatur. Qua- re M, punctum, vbi $e mutuo $ecant, polus erit circuli _AB;_ ac propterea $egm\~etum _DEL,_ quod rectum e$t ad circulum _AB,_ inæqualiter diuidetur in E, puncto, vbi circuli _DE, GE,_ $e inter$ecant, minor\’q pars erit _ED:_ quandoquidem ar- cus _MD, ML,_ æquales $unt, quod rectæ illis $ubten$æ, ex defin. poli, æquales $int. 28. tertij. [104]THEODOSII SPHAERICORVM Recta igitur ducta _ED,_ minor erit, quàm recta _EG;_ ac proinde cum circulus _GE,_ $chol. 21. 2. huius. minor $it circulo _DE,_ mator erit circunferentia _EG,_ quàm circunferentia _DE._ Sienim recta rectæ _ED,_ æqualis aufert ex circulo _GE,_ maiorem arcum, quàm lemma 6. huius. recta _DE,_ ex circulo _DE;_ multo magis recta _EG,_ quæ maior e$t, quàm recta _ED,_ vt o$tendimus, maiorem arcum auferet, &c. Quare minor erit propor- tio arcus _BC,_ ad arcum _GE,_ quàm ad arcum _DE._ Quoniam vero e$t, vt arcus _BC,_ 8.quinti. ad totam circunferentiam cir- culi _BC,_ ita arcus _GE,_ ad to- tam circũferentiã circuli _GE,_ propter $imilitudinem arcuum _BC, GE;_ (In hoc enim con$i$tit $im<007>litudo arcuum, vt ad $uo- rum circulorum circunferen- tias integras eandem habeant proportionem, vt in $cholio pro po$ 33. li. 6. Eucl. tradidimus) atque adeo permutando, vt ar- cus _BC,_ ad arcũ _GE,_ itateta circunferentia circuli _BC,_ ad totam circunferentiam circuli _GE;_ erit quoque minor propor tio circunferentiæ circuli _BC,_ ad circunferentiã circuli _GE,_ quàm arcus _BC,_ ad arcum _DE:_ Vt autem circunferentia circuli _BC,_ ad circunferentiam circuli _GE,_ ita e$t diameter _BI,_ (quæ $phæræ etiam diameter e$t.) ad diametrum _GH,_ vt Pappus demon$trauit, & nos in libello Archi- medis de dimen$ione circuli o$tendimus. Igitur m<007>nor quoque erit proportio diame- tri $phæræ _BI,_ ad _GH,_ diametrum paralleli _GE,_ quàm arcus _BC,_ ad circunferen- tiam _DE._ Quod e$t propo$itum.

COROLLARIVM.

HINC $it, ij$dem po$itis, maiorem e$$e rationem circunferentiæ BC, maximi parallelo- rum interceptæ inter maximum circulum AB, primo po$itum, & maximum circulum AC, per polos parallelorum tran$euntem, ad circunferentiam DE, obliqui circuli inter co$dem circulos interceptam, quàm $inus totius ad $inum circunferentiæ AE, maximi circuli per polos parallelorum tran$euntis; minorem vero, quàm $inus totius ad $inum circunferenciæ AD, maximi circuli primò po$iti inter polos parall elorum, & obliquum circulum inter- ceptæ. Quoniam enim hoc Theoremate o$ten$um e$t, maiorem e$$e rat<007>onem arcus BC, ad arcum DE, quàm diametri $phæræ ad diametrum paralleli GE: vt autem diameter BI, $phæræ ad GH, diametrum circuli GE, ita e$t BK, $emidiameter, hoc e$t, $inus rotus, ad 15. quinti. GN, $emidiametrum, hoc e$t, ad $inum arcus AE. (Cum enim arcus AG, AE, æquales $int, 10.2.huius. $itque GN, $inus arcus AG; erit quoque GN, $inus arcus AE.) Maiorigitur erit quoque tatio arcus BC, ad arcum DE, quàm $inus totius BK, ad GN, $inum arcus AE.

RVRSVS, quoniã o$ten$um e$t, minorem e$$e rationem ascus BC, ad arcum DE, quàm 11. huius. diametri $phæræ ad diametrum paralleli DF: Vt autem diameter $phæræ BI, ad DF, diame trum paralleli DF, ita e$t BK, $inus totus ad DO, $inum artus AD. Minor igitur quoque 15. quinti. e$t proportio arcus BC, ad arcum DE, \~q $inus totius ad $inũ arcus AD. Quod e$t propo$itũ.

CÆTERVM quid $it $inus, ex $equenti tractatione intelligetur.

[105]LIBER TERTIVS. THEOREMA 12. PROPOS 12. 14.

Slin $phæra maximi circuli tangant vnum, eun dem\’q; parallelorum, intercipiant\’q; $imiles paralle- lorum circunferentias inter vtrũque maximorum circulorum interiectas; alius autem maximus cir- culus ad parallelos obliquus circulos tangat ma- iores illis, quos tangunt maximi circuli primò po- $iti, $ecet\’q; obliquus idem circulus eo$dem maxi- mos circulos primò po$itos in punctis po$itis in- ter maximum parallelorum, & circulum, quem tan gunt circuli maximi primo po$iti: Diameter $phæ ræ ad diametrum circuli, quem tangit obliquus circulus, maiorem rationem habet, quàm circun- ferentia maximi paralleli intercepta inter circulos primo po$itos, eundem\’q; circulum tangentes ad circunferentiam obliqui circuli inter eo$dem cir- culos interceptam.

IN $phæra duo maximi circuli AB, CD, tangant eundem parallelum AC, intercipiant\’q; $imiles paralle- lorum circunferentias inter ip$os in- teriectas; alius autem circulus maxi- mus EF, tangat parallelum EG, ma- iorem parallelo AC, in E, $itque o- bliquus ad parallelos, & $ecet duos priores AB, CD, inter maximum pa rallelorum HF, & parallelum AC, in punctis I, K. Dico maiorem e$$e rationem diametri $phæræ ad diame- trum paralleli EG, quàm circunfe- rentiæ BD, ad circunferentiam IK. Per L, enim polum parallelorum, & puncta E, I, K, maximi circuli de$cri- 20.1.huius. bantur LH, LM, LN; ac per K, pa- rallelus KO, $ecanscirculum AB, in P. Quoniam igitur maior e$t ratio dia- metri $phæræ ad diametrum circuli EG, quàm arcus HM, ad arcum EI; ra- 11.huius. [106]THEODOSII SPHAERICORVM tio autem arcus HM, ad arcum EI, maior e$t, quàm arcus MN, ad arcum coroll. 10. huius. IK; erit quoq; maior ratio diametri $phæræ ad diametrum circuli EG, quàm arcus MN, ad arcum IK. Et quia arcus PK, $imilis e$t arcui BD, ex hy- pothe$i, & arcus OK, $imilis arcui MN; e$t\’que arcus PK, minor arcu OK; erit 10. 2. huius. quoque arcus BD, minor arcu MN; ac proinde minor erit ratio arcus BD, ad arcum IK, quàm arcus MN, ad eund\~e arcum IK. Cum ergo o$ten$um $it, ra 8. quinti. tionem diametri $phæræ ad diametrum circuli EG, maiorem e$$e, quàm arcus MN, ad arcum IK; Multo maior erit ratio diametri $phæræ ad diametrum cireuli EG, quàm arcus BD, ad arcum IK. Si igitur in $phæra maximi cir- culi tangant vnum, &c. Quod erat demon$trandum.

SCHOLIVM.

_IN_ exemplari græco habetur, maiorem e$$e rationem duplæ diametri $phæræ ad diametrum circul<007> _EG,_ quàm arcus _BD,_ ad arcum _IK_ Quod quidem ex no$tra de- mon$tratione liquidò con$tat. Cum enim diameter $phæræ maiorem habeat rationem ad diametrum circuli _EG,_ quàm arcus _BD,_ ad arcum _IK;_ multo maiorem rationem habebit dupla diametri $phæræ ad diametrum circuli _EG,_ quàm arcus _BD,_ ad ar- cum _IK;_ propterea quòd dupla diametri $phæræ ad diametrum circuli _EG,_ maiorem 8.quinti. rationem habet, quàm diameter $phæræ ad eandem diametrum circuli EG.

THEOR. 13. PROPOS. 13. 15.

SI in $phæra paralleli circuli intercipiant cir- cunferentias maximi alicuius circuli vtr<007>nq; æqua les ab illo puncto, in quo ip$e maximus circulus $ecat maximum parallelorum; per puncta autem terminantia æquales circunferentias, & per paral- lelorum polos de$cribantur maximi circuli, aut $i de$cribantur maxim<007> circuli, qui vnum eundem- que parallelorum tangant: æquales intercipient cir cunferentias de maximo parallelorum.

IN $phæra AB, paralleli circuli CD, EF, auferant de maximo circulo AF, duas circunferentias æquales GC, GF, vtrin- que à puncto G, in quo circulus AF, $ecat maxi- mum parallelorum BG; & per puncta C, G, F, du cãtur maximi circuli $i- ue per polos parallelo- rum, vt in priori figura, $iue tang\~etes vnum eun- demque parallelũ, vt in figura po$teriori, $ecantes maximum parallelorum in [107]LIBER TERTIVS. H,I. Dico arcus GH, GI, æquales e$$e. Quoniam enim arcus GC, GF, æqua- les ponuntur, erunt paralleli CD, EF, æquales. Igitur & arcus GK, GL, 17. 2. huius æquales erunt. Quare rectæ ductæ CK, FL, æquales erunt; ac proinde in cir- 18. 2. huius culis æqualibus CD, EF, arcus æquales auferent CK, FL; & idcirco inter 3. huius. $e $imiles erunt arcus Ck, FL: E$t autem arcus GH, arcui CK, & arcus 28 tertij. GI, arcui FL, $imilis. Igitur & arcus GH, GI, $imiles inter $e erunt, ac 10. vel. 13. proinde, cum $int eiu$dem circuli, æquales inter$e. Siigitur in $phæra ma- 2. huius. ximus circulus, &c. Quod demon$trandum erat.

SCHOLIVM.

_HINC_ etiam con$tat, {ij}sdem po$itis, omnes arcus maximorum circuloruminter parallelos interceptos inter $e æquales e$$e, quales $unt _CH, HE, KG, GL, DI,_ _IF._ Cum enim arcus _GC, GH,_ arcubus _GF, GI,_ æquales $int, erunt & rectæ _CH_, 3. huius. _FI,_ æquales; ac propterea & arcus _CH, FI,_ æquales erunt: Sunt autem arcui _CH_, 28. tertij. arcus _KG, DI,_ & arcui _FI_, arcus _LG, EH,_ æquales. Igitur omnes illi $ex ars 10. vel 13. cus æquales erunt.

2. huius. THEOREMA 14. PROPOS. 14. 16.

SI in $phæra maximus circulus aliquem circu- lumtangat, alius autem maximus circulus obli- quus ad parallelos tangat circulos maiores illis, quos tangebat maximus circulus primo po$itus: inæquales intercipient circunfer\~etias parallelorũ circulorum, quarum propiores vtriuis polorum maiores erunt, quàm vt $imiles $int remotioribus.

IN $phæra maximus circulus AB, tangat circulum AC; & alius maximus DE, tãgat alium maior\~e DF, $ecet- \’que duos parallelos quo$cũq; GH, BI, in k, E. Dico arcus k H, EI, in- æquales e$$e, maioremque e$$e k H, polo con$picuo propiorem, quàm vt $imilis $it arcui EI, remotiori: vel ip$um EB, polo occulto pro- pior\~e e$$e maiorem, quam vt arcui KG, remotiori $imilis $it. Per pun- cta enim E, K, de$cribantur maximi 15. 2. huius. circuli LE, CN, tangentes circu- lum AC, ita vt $emicirculià C, per N, & ab A, per B, procedentes non conueniant: item $emicirculi ab L, per E, & ab A, per I, tendentes non coeant. Erunt igitur arcus MH, 13. 2. huius. EI, $imiles. Quare k H, maior e$t, quàm vt arcui EI, $imilis $it. Eodem [108]THEODOSII SPHAERICORVM modo, quoniam $imiles $unt arcus BN, Gk, erit BE, alteri polo propior ma- ior, quàm vt $imilis $it arcui Gk, ab eodem polo remotiori. Itaque $i in $phæ- ra maximus circulus aliqu\~e circulum tangat, &c. Quod erat demon$trandum.

FINIS LIBRI III. THEODOSII. AD LECTOREM.

POTERVNT, $i placet, hæ duæ figuræ tribus illis propo$itionis $ecundæ lib. 3. adiungi, vt omnes ca$us lineæ perpendicularis FL, per- $piciantur. In prima namque harum figurarum $egmentum in$i$tens AFB, e$t $emicircu- lus, cadit\’q, perpendicu laris FL, intra $egmen tum ADB: In po$te- riore aut\~e eadem FL, in ip$am circunferen- tiam ADB, cadit, exi$tente eodem $egmen to in$i$tente AFB, $e- micirculo; quemadmo- dum & in tertia figura dictæ propo$itionis idem $egmentum in$i$tens AFB, $emicirculus e$t, linea́ perpendicularis FL, extra $egmentum ADB, cadit. Hoc, benigne lector, te latere noluimus.

[109] CHRISTOPHORI CLAVII BAMBERGENSIS E SOCIETATE IESV SINVS, VEL SEMISSES RECTARVM IN CIRCVLO SVBTENSARVM: LINEAE TANGENTES: ATQVE SECANTES. [110] [111] CHRISTOPHORI CLAV II BAMBERGENSIS E SOCIETATE IESV SINVS, VEL SEMISSES RECTARVM in circulo $ubten$arum: LINEÆ TANGENTES, ATQVE SECANTES. PRÆFATIO.

DICI vix pote$t, quantam in Sinuũ vti- litas. rebustã A$tronomicis, quàm Geometricis, vtilitat\~e babeat Sinuũ cognitio: cũ innumera- bilia peneproblemata A$tro- nomica, & Geometrica ad v$umper calculum & rationem Sinuũreuocen tur, vt tumex no$tris triangulis rectilineis, ac sphæricis, tum ex Almage$to Ptolemæi, ex no$tra Gnomonica, & exal{ij}s variorum A$tronomo- rum libris manife$tume$t. Quare, cum à paucis admodum Sinuum demon$trationes $int expli- catæ, operæpretiũme facturum arbitror, $i, quan ta potero breuitate, ac per$picuitate, ex var{ij}s auctoribus, præ$ertim ex Ptolemæo, Purbachio, [112]SINVS. atque Iohanne Regiomontano, demon$trationes colligam, quibus omnium arcuum $inus & chor- das cognitas babeamus, vt & tabulas Sinuum, ac chordarumiam à multis $criptoribus $uppu- tatas examinare, (facile enim error in numero- rum impre{$s}ione committitur) & nouas alias, quandores tulerit (po$ito Sinu toto vel diame- tro quotcunq; particularum) condere po{$s}imus.

QVONIAM vero Recentiores $umma felicitate ex $inubus alias lineas collegerũt, nimi- rum Tangentes, atque Secantes, vt facilius quædam, ac breuius demon$trarent; de bi$ce e- tiam lineis agemus. Habent enim lineæ hæ egre- gium v$um in rebus A$tronomicis & Geome- tricis, vt ex no$tris triangulis planis, ac sphæri- cis fiet per $picuum. Initium autem $umemus à definitionibus.

DEFINITIONES. I.

COMPLEMENTVM arcus alicuius, e$t Comple- mentũ at- ous quid. exce$$us, quo quadrans eum $uperat, $i arcus mi- nor e$t quadrante, vel ab eo $uperatur, $i e$t qua- drante maior.

[113]SINVS. II.

CHORDA e$t linea recta arcum quemcun- Chotda quid. quein circulo $ubtendens.

III.

SINVS rectus e$t dimidium chordæ $ubten- Sinus re- ctus quid. dentis duplũ eius arcus, cuius dicitur $inus rectus.

Vel aliter.

SINVS rectus e$t linea perpendicularis cadens ab vno extremo arcus, cuius dicitur $inus rectus, in diametrum circuli ab altero extremo eiu$dem ar- cus ductam.

IIII.

SINVS ver$us e$t pars diametri circuli inter Sinus vet- $ur quid. extremum dati arcus, cuius dicitur $inus ver$us, & $inum rectum eiu$dem arcus intercepta.

V.

SINVS complementi alicuius arcus e$t $inus Sinus com plementi quid. rectus alterius arcus, qui complementum e$t illius arcus, cuius dicitur $inus complementi.

VI.

SINVS totus e$t $emidiameter circuli, hoc Sinus totus quid. e$t, $inus rectus, vel ver$us quadrantis circuli.

VII.

SINVS tam rectus, & ver$us, quàm comple- Sinus angu li rectilinei quid. menti alicuius anguli rectilinei e$t $inus illius ar- cus, qui in circulo de$cripto ex angulo inter duas rectas angulum con$tituentes interijcitur.

[114]SINVS.

_EXPONATVR_ circulus _ABCD,_ cuius centrum _E,_ per quod ducantur duæ diametri _AC, BD,_ $e$e ad rectos angulos $ecantes & totum circulum in quatuor quadrantes equales diuidentes, vtpote qui angulis rectis æqualibus in centro $ub 26. tettij. tenduntur: $umanturque arcus æquales _AF, AG:_ Item _BF, BI;_ & rectæ ducantur _FG, FI,_ $ecantes diametros in _H,_ & _K._ Arcusigitur _FB,_ dicitur complementum Ex\~epla de$i nitionum. arcus _FA;_ quia quadrans _AB,_ arcum _FA,_ $uperat arcu _FB._ Eadem ratione arcus _FA,_ complementum nominatur arcus _FB._ Item arcus _BI,_ complementum appellatur arcus _AI;_ quiaarcu _BI,_ $uperatur quadrans _AB,_ ab arcu _AI._

_RECTA_ deinde _FG,_ chorda dicitur arcus _FAG;_ & recta _FI,_ chorda arcus _FBI._ Et quia diameter _AC,_ $ecãs arcũ _FAG,_ bifariã $ecat quoq; rectã _FG,_ bifariã, vt ex coroll, 1. propo$. _IO._ lib. 13. Eu<007>l. cõ$tat, (quod tamen in l\~emate $equ\~eti breuius o$t\~ede mus.) erit recta _FH,_ $inus re- ctus arcus _FA,_ iuxtaprior\~e de fin. $inus recti: quia e$t dimi- diũ chordæ _FG,_ $ubtendentis arcũ _FAG,_ duplum arcus _FA,_ cuius _FH,_ dicitur $inus. Itaq; $i quemlibet arcũ, eius\’q; chor dam bifariã $ecemus, dimidiũ chordæ dicetur $inus rectus dimidiati arcus. Hinc factum e$t, vt Sinus recti à plerisque Sinus recti curdicãtur $em<007>$$es re- ctarum in circulo $ub ten$arum. dicantur Semi$$es rectarum in circulo $ubten$arum. Eadem quoque recta _FH,_ erit $inus rectus eiu$dem arcus _FA,_ $ecundum po$teriorem defin. $inus recti: quoniam perpendicularis e$t, ducta ab _F,_ extremo dicti arcus ad diametrum _AC,_ ab altero extremo _A,_ eiu$dem arcus ductam; propterea quod recta _EA,_ $ecans rectã _FG,_ b<007>fariam, $ecat eand\~e ad angulos rectos.

3. tertij.

_RECTA_ vero _AH,_ $inus ver$us e$t eiu$dem arcus _FA;_ cum $it pars diametri _AC,_ inter _A,_ extremum dicti arcus, & $inum eius rectum _FH,_ intercepta. Dicitur autem ver$us Inc Sinus, quia ver$omodo collocatur, $i cum $inu recto conferatur. Sinus vet- $us cur di- catur $agit ta. Hunc nonnulli dicunt $agittam, quoniam in$tar $agittæ e$t in arcu _FAG,_ à chorda _FG,_ excu$$æ.

_RECTA_ porrò _FK,_ est $inus complementi arcus _FA;_ quia e$t $inus rectus arcus Sin<_>9 ver$us cõplem\~eti alicuius ar cus quid. FB, qui complementum e$t arcus FA.

_RECTA_ autem _KB,_ e$t $inus ver$us complementi arcus _FA,_ hoc e$t, $inus ber- $us arcus _FB,_ qui complementum e$t arcus _FA._

Sinus rect<_>9 prim<_>9 ac $e cundus: It\~e $inus pri- mus & $in<_>9 $ecundus apud quos dam quid.

_NONNVLLI_ porro A$tronomi Sinum, quem nos rectum diximus, appellant Sinum rectum primum; Sinum vero, quem Sinum complementi diximus, bocant Sinum rectum $ecundum. Vt rectam _FH,_ appellant $inum rectum primum arcus _FA;_ re- ctam bero _FK,_ $inum rectum $ecundum eiu$dem arcus. Sunt al{ij} etiam, qui $inum rectum $impliciter appellent $inum primum, ver$um autem dicant$inum $ecundum. [115]SINVS. Quod dixerim, btintelligas auctores, qui varie de $inubus $unt locuti Nos communem Quandofit mentio ali cuius $inus ab$olure, intelligit $i nus rectus. modum loquendi retinuimus. Caterum cum $criptores de $inu alique loquuntur, $em- per intelligunt $inum rectum: ni$i illum bocent $inum complementi, aut ver$um.

_SEMIDIAMETER_ deinde _AE,_ $inus e$t tam rectus, quàm ver$us quadran- tis _AB:_ qui totus dicitur, $iue maximus, propterea quò d maximus $it omnium $inuum tam rectorum, quàm complem\~etorum; immo vero & maior omnibus $inubus ver$is <007>l- Sinus totus vel maxi- mus cur $ic dicatur. lorum arcuum, qui quadrante minores $unt: Solum minor e$t $inubus ver$is illorum arcuum, qui quadrante $unt maiores, vt infradicemus, qui quidem rarius in v$um veniunt, quàm al{ij}. Vel certe dicitur totus, $iue maximus, quia in tabula Sinuum, in qua Sinus recti tantummodo ponuntur, omnium Sinuum maximus e$t ille, qui qua- dranti, $eu gradibus 90. re$pondet, vt ex tabula Sinuum, quam infra ponemus, per$pi- cuumerit.

_POSTREMO,_ ducta recta _EF,_ erit recta _FH,_ $inus rectus anguli _FEH;_ re- cta autem _FK,_ $inus complementi eiusdem anguli; & recta _AH,_ eiusdem anguli $i- Duo arcus $emicircu- lum con$i- cientes eũ- dem hab\~et $inum, qu\~e admodum & duo arc circulũ con fici\~etes, eã- d\~e chordã: $in<_>9 tń ver- $os habent differentes, confici\~etes totã diame trum. nus ver$us: quoniam recta _FH,_ e$t $inus rectus arcus _FA,_ in circulo de$cripto ex an- gulo _FEH,_ interceptus inter rectas _EF, EA,_ angulum dictum con$t: tuentes: recta autem _FK,_ e$t $inus complementi eiusdem arcus; & recta _AH,_ $inus ver$us.

_CAETERVM_ duo arcus $emicirculum con$tituentes eundem pror$us habent $i- num, tam rectum, quàm complementi; quemadmodũ & duo arcus circulum conficien- tes vnam eandem\’q; chordam habent: $inus tamen ver$i eorum differunt, conficiunt\’q; totam circuli diametrum. Vt duo arcus _FA, FC,_ conficientes $emicirculum _ABC,_ cundem habent $inum rectum _FH,_ quemadmodum & duo arcus _FAG, FCG,_ eorum dupli, circulum conficientes, eandem habent chordam _FG,_ cuius dim<007>dium e$t $inus rectus _FH,_ vt vult prior de$init<007>o $inus recti; qui quidem $inus rectus _FH,_ linea perpendi cularis e$t, ducta à communi extremo _F,_ vtriu$que arcus _FA, FC,_ ad dia- metrum _AC,_ ab extrem<007>s reliquis _A, C,_ eorundem arcuum ductam, vt vult po$te- rior $inus rect<007> definitio. Iidem duo arcus _FA, FC,_ eundem $inum complementi ha- Sin<_>9 ver$us arcus qua- drãte maio ris maior \~e $inu toto. bent _FK;_ propterea quòd arcus _FB,_ cuius $inus rectus e$t _FK,_ e$t complementum vtriu$que arcus. Sinus tamen ve $i {ij}dem non $unt, $ed _AH,_ e$t $inus ver$us arcus _FA;_ & _CH,_ $t $inus ver$us arcus _FC:_ qui quidem duo $inus ve $i diametrum _AC,_ con$tituũt. V b<007> vides $inum ver$um _CH,_ arcus _FC,_ quadrantem $uperantis maiorem Duo angu- li duob<_>9 re ctis {ae}quales eund\~e $inũ habent, $ed $inus ver- $os differ\~e- tes, vtpote <003> totã dia- metrũ cõfi ciant. e$$e $emidiametro, $eu $inu toto _CE._

_SIC_ etiam duo anguli duobus rectis æquales eundem $inum babent tam rectum, quam complementi. Vt patet <007>n angulis _AEF, FEC,_ quorum vtriu$que $inus re- ctus e$t _FH;_ $inus autem complementi _FK:_ propterea quòd arcubus _AF, FC,_ in$i- $tunt, quorum vtriu$que $inus rectus e$t _FH,_ complementi autem $inus _FK,_ vt dictum e$t. Sinus tamen ver$i eorundem angulorum {ij}dem non $unt, $ed _AH,_ $inus ver$us e$t anguli _AEF,_ nempe arcus _AF; & HC,_ e$t $inus ver$us anguli _FEC,_ puta arcus _FC._ Conficiunt autem ambo $inus ver$i totam diametrum _AC._

_RVRSVM_ $inus rectus cuiu$uis arcus æqualis e$t $egmento diametri inter cen- Sinus tam rectus, <009> cõ plement<007>. cui $egmen todiametri $it e qualis. 34. primi. 28. primi. trum, & $inum rectum complementi eiusdem arcus interiecto: Sinus autem comple- menti cuiuslibet arcus æqualis e$t $egmento diametri inter centrum, & $inum rectum eiu$dem arcus po$ito. Vt _FH,_ $inus rectus arcus _FA,_ æqualis e$t $egmento diamet ri _EK: & FK,_ $inus complementi eiu$dem arcus _FA,_ æqualis e$t $egmento diametri _EH;_ ob parallelogrammum HK: $unt enim tam rectæ _HF, EK,_ quàm rectæ _KF, EH,_ parallelæ, propter rectos angulos _H, E, K, F._ Hinc fit, $i $int duo arcus, quorum vnus alterius $it complementum, vtriu$uis $inum rectum æqualem e$$e complemento $inus [116]SINVS. ver$i alterius arcus. Vocamus aut\~e cõplementum $inus ver$i $e gmentum diametri, quo Duotumat euum, quo rum vnus alterius e$t complem\~e tum, $inus rect<_>9 vtriuf libet æqua lis e$t com- plemento $inus ver$i alterius at eus. ip$e $inus ver$us à $emidiametro $uperatur, $i eius arcus quadrante minor e$t, vel $e- midiametrum $uperat, $i eius arcus maior e$t quadrante. Vt _HE,_ dicimus comple- mentum tam $inus ver$i _AH,_ arcui _FA,_ re$pondentis, quàm $inus ver$i _CH,_ arcui _FC,_ re$pondentis. Vides igitur, duorum arcuum _FA, FB,_ quorum vnus alterius e$t complementum, $inum rectum _FK,_ arcus _FB,_ æqualem e$$e ip$i _HE,_ complemente $inus ver$i _AH,_ alterius arcus _FA:_ Et $inum rectum _FH,_ arcus _FA,_ æqualem e$$e ip$i _EK,_ complemento $inus ver$i _BK,_ alterius arcus _FB._ Eadem ratione, quoniam arcus _FB,_ complementum e$t arcus _FC,_ vides $inum rectum _FH,_ arcus _FC,_ æqualem e$$e ip$i _EK,_ complemente $inus ver$i _BK,_ alterius arcus _FB:_ Et $inum rectum _FK,_ arcus _FB,_ æqualem e$$e ip$i Comple- mentum $i nus ver$i quid. _EH,_ complemento $inus ver$i _CH,_ alterius arcus _FC._ Sic etiam $inus complem\~etiarcus cuiu$uis æqualis e$t complem\~e to $inus ver$i eiu$dem arcus. Vt _FK,_ $inus complementi are cus _AF,_ vel _FC,_ æqualis e$t 14. primi. ip$i _HE,_ complemento $inus ver$i _AH,_ vel _CH,_ arcus _AF,_ vel _FC._

_PARI_ ratione in eodem circulo, vel in circulis æqua- In eodem circulo, aut æqualibus, arcuum æ- qualium finus æqua les $unt; & contra. At arcuũ in æ- qualium $i nus in{ae}qua les $unt; & contra. libus, $inus tam recti, quàm ver$i, aut $inus complemento- rum arcuum æqualium, & quadrante minorum, æquales $unt: Et contra, æqualium $i- nuũ tam rectorum, quàm ver $orum, aut $inuum complemen torum, arcus quadrãte mino- res æquales $unt. Arcuũ verò inæqualium, & quadrante minorum, $inus inæquales $unt, $inus quidem tam rectus quàm ver$us maioris maior, minoris verò minor; $inus autem comple\~eti maioris arcus minor, & minoris maior; Et contra, inæqualium $inuum tam rectorum, quam ver$orum, aut $inuum complementorum, inæquales arcus $unt, maioris qui- dem $inus tam recti quàm ver$i maior arcus, & minoris minor; maioris autem $inus complementi arcus minor, & minoris maior. Sint enim arcus æquales _BF,_ _DG._ Dico eorum $inus rectos _FK, GL,_ æquales e$$e; Item $inus ver$os _KB, LD;_ nec non $inus complementorũ _EK, EL._ Cum enim arcus _BF, DG,_ æquales $unt, erunt quoque anguli _BEF, DEG,_ æquales. Sunt aut\~e & recti anguli _K, L,_ æquales, 27. tertij. nec non & latera _EF, EG,_ æqualia, vtpote $emidiametri. Igitur & tam latera _FK,_ _GL,_ quàm latera _EK, EL,_ inter $e æqualia erunt, nempe $inus recti inter $e, & $i- 26. primi. nus complementorum inter $e. Detractis autem _EK, EL,_ æqualibus ex $emidiametru _EB, ED,_ reliqui erunt $inus ver$i _KB, LD,_ æquales. quod e$t propo$itum. Sint iam $inus æquales $iue recti _FK, GL,_ $iue ver$i _KB, LD,_ $iue $inus complementorum _EK,_ _EL._ Dico arcus _BF, DG,_ e$$e æquales, Nam $i _FK, GL,_ $int æquales, erunt eorum [117]SINVS. quadrata æqualia. Cum ergo quadrata rectarum _EF, EG,_ æqualia quoque $int, & 47. primi. illi quidem æqualia $int quadrata ex _FK, KE,_ huic vero quadrata ex _GL, LE;_ ac proinde duo quadrata ex _FK, KE,_ duobus quadratis ex _GL, LE,_ æqualia: $iau- ferantur duo æqualia quadrata rectarum _FK, GL,_ æqualia remanebunt quadra- ta ex _EK, EL;_ ac proinde & rectæ _EK, EL,_ æquales erunt Quare cum latera _EF,_ _EK,_ lateribus _EG, EL,_ æqualia $int, & ba$is _FK,_ ba$i _GL,_ æqualis; erunt anguli 8. primi. _FEB, GED,_ æquales; ac proinde & arcus _BF, DG,_ æquales erunt. Quod $i $inus 26. tertij. complementorum _EK, EL,_ $int æquales, o$tendemus eodem modo, rectas _FK, GL,_ æquales e$$e. Quare vt prius, erunt arcus _BF, DG,_ æquales. Si tandem $inus ver$i _KB,_ _LD,_ ponantur æquales; {ij}s ablatis ex $emidiametris _EB, ED,_ relinquentur $inus complementorum _EK, EL,_ æquales. Quare rur$us o$tendemus, vt prius, arcus _BF,_ _DG,_ æquales e$$e. quoderat o$tendendum. Iam vero $it arcus _BF,_ maior arcu _DM,_ & ducatur $inus _MO._ Dico $inum rectum _FK,_ maior\~e e$$e $inu recto _MO:_ Item $inũ ver$um _KB,_ maior\~e $inu ver$o _OD:_ $inũ vero cõplementi _EK,_ minor\~e $inu cõplementi _EO._ Po$ito enim arcu _DG,_ æquali arcui _BF,_ erunt, vt demon$tr auimus, tam $inus recti _FK, GL,_ quàm _OD,_ erit quoque $inus ver$us _KB,_ $inu ver$o _OD,_ maior: Item cũ _EL,_ maior $it, quàm _OD,_ erit quoque $inus ver$us _KB,_ $inu ver$o _OD,_ maior: Item cũ _EL,_ minor $it, quàm _EO,_ erit quoque $inus cõplementi _EK,_ minor $inu cõplementi _EO._ Ducatur _MN,_ ad _GL,_ perpendicularis, eritque _NL,_ ip$i _MO,_ æqualis. Cum ergo _GL,_ 34. primi. maior $it, quàm _NL,_ hoc e$t, quàm _MO,_ erit quoq; $inus rectus _FK,_ maior $inu recto _MO._ quod demon$t randum er at. Sit denique tam $inus rectus _FK,_ maior $inu recto _MO,_ quàm $inus ver$us _KB,_ $inu ver$o _OD;_ & $inus complementi _EO,_ maior $inu complementi _EK._ Dico $inui maiori tam recto, quàm ver$o re$pondentem arcum _BF,_ maiorem e$$e arcu _DM,_ qui minori $inui tam recto, quàm ver$o re$pondet. At maio- ri $inui complementi arcum re$pondentem _DM,_ minorem e$$e arcu _BF,_ qui minori $inui complementi re$pondet. Nam $i _FK,_ maior $it, quàm _MO,_ auferatur _KP,_ ip$i _MO,_ æqualis, & ducatur _PQ,_ ad _FK,_ perpendicularis, ducaturque _QR,_ ad _BE,_ perpendicularis, quæip$i _PK,_ hoc e$t, ip$i _MO,_ æqualis erit; ac proinde, vt paulò ante 34. ptimi. o$ten$um e$t, erunt arcus _BQ, DM,_ æquales, propter æqualitatem $inuum rectorum _QR, MO._ Cum ergoarcus _BF,_ arcu _BQ,_ maior $it, erit idem arcus _BF,_ arcu _DM,_ maior. Quòd $i _KB,_ maior $it, quàm _OD,_ ab$cindatur _BR,_ ip$i _DO,_ æqualis, duca- turque _RQ,_ ad _BE,_ perpendicularis: erunt\’q arcus _BQ, DM,_ vt paulo antemon- $trauimus, æquales, ob æqualitatem $inuum ver$orum _RB, OD._ Quare cũ arcus _BF,_ maior $it arcu _BQ,_ eritidem arcus _BF,_ arcu _DM,_ maior. Si tandem maior $it _EO,_ quàm _EK,_ detrahatur _EL,_ ipsi _EK,_ æqualis, ducaturque ad _ED,_ perpendicularis Anguli æ- quales ha- bent $inus {ae}quales, &c. _LG:_ Erunt\’q; arcus _BF, DG,_ ob æqualitatem sinuum complementorum _EK, EL,_ æquales, vt paulo ante fuit o$ten$um. Quam ob rem cum arcus _DM,_ arcu _DG,_ sit minor, erit idem arcus _DM,_ arcn _BF,_ minor. Quod e$t propositum.

_IDEM_ pror$us dicendum e$t de sinubus angulorum. Nam & anguli æquales ha- S<007> in trian gulo rectã gulo latus recto angu lo oppo$itũ $it $inus to tus, erit vtrumuis laterum re liquorum $inus rect<_>9 anguli acu ti oppo$iti. bent sinus æquales tam rectos, quam complem\~etorum, & ver$os, &c. propterea quod æquales anguli insi$tunt in centro æqualibus arcubus, &c.

_POSTREMO_ in omni triangulo rectangulo, si latus recto angulo oppositum ponatur sinus totus, reliqua duo latera $unt sinus recti reliquorum angulorum acu- torum, quibus opponuntur. Vt in triangulo rectangulo _EKF,_ in quo _EF,_ e$t sinus to- tus, vtpote $emidiameter circuli ex F, de$cripti, latus _FK,_ e$tsinus rectus anguli _FEK,_ ex de$in. 6. Sic quoque si idem circulus ex _F,_ de$criberetur, e$$et latus _EK,_ si- nus reclus anguli _EFK,_ ex eadem de$in. 6. Quod etiam hinc patet, quèd angulus _EFK,_ [118]SINVS. æqualis e$t angulo alterno _AEF;_ cuius sinus rectus est, ex defin. 6. recta _FH,_ quæ 29. primi. quidem æqualis e$t lateri _EK._ Eodem pacto vtrumuis reliquorum laterum in trian- 34 primi. gulo rectangulo e$t sinus complementi anguli acuti sibi adiacentis, nempe sinus com- plementi illius arcus, cuius alterum latus est sinus rectus. Vt in eodem triangulo re- Si in trian- gulo rectã- gulo latus recto angu lo oppo$i- tũ $it $inus totus, erit vttumui re liquorum alterum la tus $inus re ctus e$t. etangulo _EKF,_ latus _FK,_ e$t sinus complementi anguli _EFK,_ siue arcus _FA,_ cuius sinui recto _FH,_ alterũ latus _EK,_ æquale e$t. Item latus _EK,_ æquale estipsi _FH,_ si- nui complementi anguli _FEK,_ siue arcus _FB,_ cuius alterum latus _FK,_ sinus rectus e$t. Sed iam lemma, cuius $upra fecimus mentionem, demon $tremus.

LEMMA.

SI in circulo recta linea è centro ducta aliam rectam non per cen trum ductam bifariam $ecet, $ecabit eadem & arcum, cui illa recta Recta linea è c\~etro du- cta $ecans aliam rectã bifariã $e- cat quoque arcum, cui illa, $ubten ditur, bifa- tiam: Et cõ tra. $ubtenditur, bifariam: Et $i arcum $e cet bifariam, $ecabit quoque re- ctam ei $ubten$am bifariam.

SECET in eadem figura recta EA, rectam FG, bifariam in H, Dico eandem $ecare quo que arcum FG, bifariã in A, & contra. Ducta enim recta EG; quoniã duo latera EF, EH, triã guli EFH, æqualia $unt duobus lateribus EG, EH, trianguli EGH, vtrumq; vtrique; ba$is\’q, HF, ba$i HG, ponitur æqualis; erit angulus 2. primi. FEH, angulo GEH, 25. tertij. æqualis. Igitur arcus AF, arcui AG, æqualis erit. Quod e$t propo$itũ.

VERVM $ecet iã recta EA, arcum FG, bifariam in A. Dico eandem $ecare quoque rectam FG, bifariam in H. Quoniam enim arcus AF, AG, æquales $unt, erunt quoq; anguli FEH, 27. tertij. GEH, æquales. Igitur cum & duo latera EF, EH, trianguli EFH, duobus lateribus EG, EH, trianguli EGH, æqualia $int; erunt & ba- $es HF, HG, æquales. Quod e$t propo$itum.

4. primi.

EX boc $equitur, rectam EA, quæ arcum FG, bifariam $ecat in A, $ecare quoque rectam FG, bifariam in H; vt $upra po$uimus.

[119]SINVS.

_QVONIAM_ vero Sinus totus (hoc e$t, $emidiameter cuiusuis circuli) intelligi- tur ab A$tronomis diui$us in aliquot partes æquales, vt ratione barum partium om- Omnes $i- nus expri- muntur in partibus, in quas $i nus totus concipitut e$$e diui- $us. nes alios $inus metiantur, proportiones ve omnium $inuum ad $inum totum, $iue ad $e- midiametrum in numeris exprimant; ex plicãdum paucis erit, in quot partes $emidia- metrum di$tribuerint: Neque enim omnes eodem modo eam $unt partiti. Ptolemæus namque $emidiametrum $ecatin _60._ partes æquales, totam vero diametrum in 120. Quamlibet deinde partem concipit diui$am e$$e in _60._ Minuta, & quoduis Minutum in 60. Secunda. Hanc diui$ionem omnes fermè antiqui, & nonnulli ex recentioribus, inter quose$t Orontius, $ecuti $unt. Supputauit autem Ptolemæus lib. I. Almage$ti ta- Semidiame ter circult in quot par tes $ecetur à Ptolem{ae}o & Arzahe- le. bulam omnium chordarum, quæarcubus $emicirculi dimidiato gradu $e$e ordine $u- perantibus, initio facto ab arcu _30._ Minutorum, re$pond\~et, in partibus, quarum 120. tota diameter continet. Orontius vero tabulam condidit omnium $inuum, qui arcu- bus quadrantis vno Minuto $e$e ordine $uperantibus, initio facto ab arcu I. Minuti, re$pondent, in partibus, quarum _60._ $emidiameter, $eu $inus totus continet. Ar Zahel vero Arabs con$tituit $emidiametrum partium 150. ac proinde totam diametrum partium 300. quas quidem partes rur$us di$tribuit in Minuta, & Secunda, vt Pto- lemæus. Sed vtrouis modo $emidiameter, siue diameter diuidatur, permole$tum e$t, alios omnes $inus $iue chordas in eiusmodi partibus inue$tigare, cum $emper multi- plicatio, diui$io, extractio\’q; radicum per fractiones A$tronomicas in $tituenda $it; Vel certe Partes in Minuta, ac Secunda conuertendæ, & contra, Minuta ac Secunda in Partes: quæres valde laborio$a e$t non $olum parum exercitatis in Arithmeticis, ve- rum etiam periti{$s}imis.

_QVAMOBREM_ al{ij} A$tronomi, inter quos e$t Georgius Purbachius, Ioan- nes Regiomontanus. Petrus Appianus, $emidiametrum, hoc e$t, sinum totum, in multo Cõmodiot e$t diui$io $emidiame tr i, vel $in totius in particulas 10000000. vel _100000._ quàm in 60. plures particulas æquales partiti $unt, vtpote in partes _10000000._ vel _100000._ Ita enim opus non erit partes has in Minuta, ac Secunda di$tribuere; cum vna ha- rum partium sit vel multo minor, quàm vnum Secũdum $emidiametri in partes _60._ $ecundum Ptolemæum diui$æ, vel certe non multo maior. Nam vnum Secundum e$t {1/216000} totius $emidiametri diui$æ in 60. partes, cum 60. partes contineant _216000._ Secunda: At vna particula $emidiametridiui$æ in partes _10000000._ vel _100000._ e$t {1/10000000}. vel {1/100000}. totius $emidiametri. Con $tat aut\~e minutiã hãc {1/10000000}. e$$e multo minor\~eilla {1/216000}. hanc vero {1/100000}. non e$$e multo maior\~e illa eadem {1/216000}. Ita- que etiã si in sinu aliquo negligatur interdum vna ferme particula ex _10000000._ particulis sinus totius, multò tamen minor error committetur, quàm si negligatur vnum ferè $ecundum ex _216000._ Secundis, in quæ sinus totus intelligitur e$$e diui- $us: Si vero negligatur vna ferè particula ex _100000._ particulis sinus totius, non multò maior error cõmittetur, quàm $inegligatur vnum fere $ecundum ex _216000._ $ecundis, in quæ sinus totus di$tribuitur.

Quantue $it $inus to- tus $ecun- dum com- munem v- $um, & quã tus ab au- ctore $ta - tuatur.

_SVNT_ etiam, qui di$tr<007>buant sinum totum in partes _6000000._ vel _60000._ extant\’q tabulæ sinuũ à Ioan. Regiom. compositæ, in quibus sinus totus tot particu- las ponitur continere: $ed magis in v$u e$t apud A$tronomos diuisio sinus totius in particulas _10000000._ vel _100000._ Immo communis fere v$us omnium obtinuit, vt in $upputationibus, quæ ex sinubus depromuntur, sinus totus $tatuatur particula- rum _100000._ qualem & nos tam in $phæra, quàm in Gnomonica al{ij}sque operibus con$tituimus: quamuis, quo maior fuerit sinus totus, eo etiam accuratior $upputatio Item eo fie ri calculũ atque calculus reddatur. Con$truxit porrò Ioan. Regiom. tabulam omnium Sinuum, [120]SINVS. qui arcubus quadrantis vno Minuto $e$e ordine $uperantibus re$pondent, in parti- accuratio tem, quo maior fue- eit $inus to tus. bus sinus totius in partes _10000000_ diuisi, initio facto ab arcu 1. Minuti: quam nos $umma cura, ac diligentia exam inauimus, & in quibu$dam locis correximus; quo- niam propter typographorum incuriam mendis omnino non carebat. Hanc tabulam emendatam infra $ub{ij}ciemus, si prius demon$trationes ex Ioanne Regiomontano po- ti{$s}imum decerpt as exponamus, qu bus omnium arcuum sinus numeris exprimi po{$s}int in partibus sinus totius in quotuis partes di$tributi. Po$t tabulæ vero v$um$ub{ij}cie mus quoque Ptolemæi & aliorum demon$trationes, quibus omnium arcuum chordæ numeris exprimantur, ex quibus rur$us facili negotio tabula sinuũ con$trui pote$t.

_ATQVE_ in primis, si in plano aliquo Quadrans tantæ magnitudinis con$true- retur, vt eius arcus commode in _90._ gradus, & singuli gradus in _60._ Minuta; item- que vtraque eius $emidiameter, siue sinus totus, in _10000000._ partes æquales, vel etiam in plures, pauciores ve diuidi po$$et, facili negotio sine vlla $upputationis mole- $tia, aut labore, omniũ $inuũ magnitudines cogno$cer\~etur, si ex singulis arcus Minu- tis rectæ ad vtramque $emidiametrũ perpendiculares ducerentur. Vt in quadrãte hoc _ABC,_ si arcus _BC,_ in Gradus, ac Minuta $ecetur; (Nos ob $pat{ij} angu$tias eum in Quo pacto omnes $i- nus po$sint cogno$ci <007>n maximo a- liquo qua- drante, $ine vllo $uppu- tationis la- bore, aut mole$tia. nouem partes $ecuimus, vt sin gulæ denos complectãtur gra dus.) Item vtraque $emidia- meter in _10000000._ particu- las, vel in plures, pauciores ve di$tribuatur, atque ad vtram que $em<007>diametrum perpendi- culares ducantur: erunt per- pendiculares ad $emidiame- trum _AB,_ ductæ, sinus recti arcuum quadrantis à puncto B, incipientium; quibus æqua 34. primi. les $unt portiones $emidiame tri _AC,_ inter punctum _A,_ & perp\~ediculares ad $emidiame trum _AC,_ ductas. Quot ergo particulas cõtinebunt hæ por tiones ex illis _10000000._ tot particularũ erunt sinus recti arcũ quadrantis. Eodem modo tam sinus complementorum arcuum eorundem, quàm sinus versi cogno$centur. Per- pendiculares enim ad $emidiametrum _AC,_ demi$$æ $unt sinus complementorum, qui- bus æquales $unt portiones $emidiametri _AB,_ inter punctum _A,_ & perpendiculares 34. primi. ad $emidiametrum _AB,_ ductas: Portiones vero eiu$dem $emidiam etri _AB,_ inter pun- ctum _B,_ & dictas perpendiculares $unt sinus versi eorundem arcuum à puncto _B,_ incipientium. Sed quoniam fieri non pote$t, vt Quadrans tantæ magnitudinis repe- riatur, qui commode tot diuisiones recipiat, inue$tigabimus sinuum magnitudines per demon$tr ationes Geometricas, posito sinu to to quotcunq; particularum, $equen- tibus propo$itionibus. Satis autem erit, $inus rectos omnium arcuum inquiramus: ex his enim cognitis & $inus complementorum, & ver$i eorundem arcuum pate$ient, @@ in v$utabulæ Sinuum exponemus.

[121]SINVS. THEOR. 1. PROPOS. 1.

IN Quadrante circuli $umptis arcubus æqua- Perp\-edicu- lares ex ar- cubus qua- drãtis {ae}qua libus ad al- terutrá $e- midiame - trorum, vel ad rectam $emidiame tro paral - lelam du- ct{ae} auferũt fegm enta inæqualia, ma<007>uf\’q e$t illud, qd al teri femi- diametro {pro}pinquius e$t. libus, $i ab eorum terminis ad alterutram $emidia- metrorum, vel ad rectam $emidiametro paralle- lam, perpendiculares ducantur; erunt $egmenta $emidiametri, velillius parallelæ interillas perpen- diculares intercepta, inæqualia, maius\’q erit illud, quod alteri $emidiametro propinquius elt.

SIT Quadrans ABC, in quo arcus æquales $int DE, EF, à quorum ter- minis ad $emidiametrum AC, vel ad rectam RS, ip$i AC, parallelam per- pendiculares ducantur DKG, ELH, FMI. Dico $egmenta GH, HI, vel KL, LM, inæqualia e$$e, maius\’que e$$e GH, quàm HI, vel KL, maius, quàm LM. Com- pleto enim $emicirculo BCN, producantur rectæ DG, EH, FI, v$que ad O, P, Q. Du- ctis quoque rectis ET, FV, ad DO, EP, per- pendicularibus, iungantur rectæ EO, FP. Et quoniam arcus DE, EF, æquales $unt, 27. tertij. erunt anguli quoque DOE, EPF, illis in$i- $tentes, æquales: Sunt autem & recti anguli T, V, æquales. Igitur cum tres anguli trian- guli EOT, tribus angulis trianguli FPV, $int æquales; quòd tam illi, quàm hiduobus 32. primi. rectis $int æquales; erit & reliquus angulus TEO, reliquo angulo VFP, æqualis: ac propterea æquiangula erũt triãgula EOT, 4. @exti. FPV. Quare erit vt OE, ad ET, ita PF, ad 15.tertij. EV: E$t auté recta OE, maior, quàm recta PF; quod illa centro propinquior $it, quàm h{ae}c. Igitur & recta ET, maior e$t, quàm re- cta FV. Cum ergo recta ET, æqualis $it 34. primi. $egmentis GH, KL, ob parallelogramma TH, TL; & recta FV, $egmentis HI, LM, ob parallelogramma VI, VM; erit quoque $egmentum GH, maius $egmen- to HI, & $egmentum KL, $egmento LM. In quadrante ergo circuli $umptis arcubus æqualibus, &c. Quod erat den. on$trandum.

BREVIVS. Ducatur recta DF, $ecans $emidiametrum ductam AE, in Z, & rectam EH, in a, producatur\’que recta FV, v$que ad b. Quoniam igi- tur arcus DF, $ectus e$t bi$ariam in E, $ecta quoque erit recta DF, bi$ariam in Z, ex lemmate in definitionibus po$ito, ac proinde Da, maior erit quàm [122]SINVS. a F. Cum ergo $it, vt Da, ad aF, ita b V, ad VF, erit quoque b V, maior, @. fexti. quàm VF, hoc e$t, GH, maior, quàm HI; & KL, maior quàm LM.

COROLLARIVM.

CONSTAT ex hac propo$itione, $i quotcunque arcus quadrãtis à $emidiametro eadé Differenti{ae} $inuũ recto rũ à princ<007> pio quadrã tis v$q; ad eius finem $en$im de- cre$cunt:a- deo v<007> $in<_>9 minorú ar cuũ maio- res habeát differét<007>as, \”q $in<_>9 arcuũ maiorũ; dũ modo arc<_>9 habeát dif- ferentias {ae} quales. incipientes habeant æquales differentias, exce$$usve; $inus rectos minorum arcuum habe- re maiores differentias, quàm $inus arcuum maiorum; adeo vt differentiæ $inuum à prin- cipio quadrantis ad finem v$que $emper decre$cant. Nam $i in eadem figura huius propof. a cci piatur arcus FX, arcubus DE, EF, æ qualis, ducatur\’que recta XY, ad $emid<007>ametrum AC, perpendicularis, habebunt quatuor arcus BX, BF, BE, BD, æquales exce$lus, cum BX, ip$um BF, $uperetarcu FX; & BF, ip$um BE, arcu EF, qui arcui FX, po$itus e$t æqualis; & arcus BE, arcum BD, arcu DE, qu<007> arcui EF, æqualis e$t. Sinus autem recti eorum arcuum $unt AY, AI, AH, AG, vt $upra in ex po$itione definitionum docuimus, cum $int partes $emid<007>ametri AC, inter centrum A, & $inus complementorum interiectæ, vt patet. Et quoniam in hac propof. demonftrauimus, rectam GH, maiorem e$$e, quàm HI, & HI, maiorem, quàm IY; liquet, exce$$um GH, inter $inus arcuum minorum BE, BD, maiorem e$$e exce$$u HI, inter $inus arcuum maiorum BF, BE: Item exce$$um HI, inter $inus arcuum minorum BF, BE, maiorem e$$e exce$$u IY, inter $inus maiorum ar- cuum BX, BF. Eadem\’que ratio e$t de cæteris. Con$tat ig<007>tur, differentias $inuum rectorum $en$im decre$cere à principio quadrantis v $que ad eius finem: Id quod per$picuè ex $inuum tabula apparet.

PROBL. 1. PROPOS. 2.

LATERA Decagoni, & Pentagoni æquila- Latera De. cagoni, & Penta goni in vno eo- demq; cir- culo quo pacto inue- niantur. teri in vno eodem\’q; circulo inue$tigare.

QVAMVIS hæc latera inueniantur per ea, quæ ab Euclide lib. 4. $unt demon$trata: nihilominus eadem à Ptolemæo lib. 1. Almage$ti cap. 9. inue$ti- gantur ratione alia, quæ ad plurimorum $inuum inuentionem multum con- ducit. E$t autem hæc ratio. Sit circulus, vel (quod $atis e$t) $emicirculus ABC, ad cuius diametrum AC, ex D, centro educatur perpendicularis DB. Diui$a quoque $emidiametro CD, bifariam in E, ducatur recta EB, cui {ae}qualis ab- $cindatur EF, iungatur\’que recta FB. Dico rectam BF, e$$e latus Penta- goni, & DF, latus Decagoni in cir- culo ABC. Cum enim recta CD, $ecta $it bifariam in E, eique addi- ta DF; erit rectangulum $ub CF, DF, 6.$ecundi. vna cum quadrato rectæ DE, æquale quadrato rectæ EF, ideo\’q quadrato rectæ EB, quæ ip$i EF, {ae}qualis e$t: E$t autem quadratum rectæ EB, æquale quadratis rectarum BD, DE. 47.primi. Igitur rectangulum $ub CF, DF, vnà cum quadrato rectæ DE, æquale e$t quadratis rectarum BD, DE: Ac proinde, dempto communi quadrato rectæ DE, relinquetur rectangulum $ub CF, DF, æquale quadrato rectæ BD, hoc e$t, quadrato rectæ CD. Quamobrem erit, vt CF, ad CD, ita CD, ad 17.fexti. DF; propterea\’que recta CF, diui$a erit in D, extrema ac media ratione. Cum igitur maius $egmentum CD, $it latus Hexagoni in circulo ABC, ex co- [123]SINVS. coll. propo$. 15. lib. 4. Eucl. erit minus $egmentum DF, latus Decagoni in eo- dem circulo, vt ad propo$. 9. lib. 13. Eucl. demon$trauimus. Rur$us quoniam quadrato lateris Hexagoni BD, vna cum quadrato lateris Decagoni DF, 10. tertij- dec. æquale e$t quadratum lateris Pentagoni in eodem circulo: E$t autem ei$dem quadratis rectarum BD, DF, æquale quadratum rectæ BF; erit quadratum 47. primi. lateris Pentagoni æquale quadrato rectæ BF; ac propterea recta BF, lateri Pentagoni æqualis. Latera igitur Decagoni, & Pentagoni æquilateri in vno @odem\’que circulo inue$tigauimus. Quod faciendum erat.

PROBL. 2. PROPOS. 3. Ex $inu re- ctocuiu$uis arcus quo pacto $inus com plemé ti eiu$dem arcus, & ex chorda cu- iu$uis ar - cus qua ra- tione chor- da reliqui arcus $emi- circuli co- gno$catur. 47. primi.

EX $inu recto cuiu$uis arcus quadrante mi- noris cognito, $inum complementi eiu$dem ar- cus; lté ex chorda cuiu$uis arcus $emicirculo mino ris, chordam rehqui arcus $emicircuh cogno$cere.

SIT primo cognitus $inus rectus DE, arcus BD, cuius arcus complemen ti $inus $it DF, quem cogno$cere debemus. Ducta recta DA, erit quadratum rectæ DA, æquale quadratis rectarum DE, EA. Si igitur ex quadrato $inus totius DA, noti (Ponitur enim $inus totus particularum certo numero com- prehen$arum) detrahatur quadratũ $inus recti DE, cogniti in partibus $inus totius DA, relinquetur quadratum rectæ EA, no tum; ac proinde per radi- cem quadratam recta EA, in ei$dem partibus nota erit. Cum ergo recta EA, æqualis $it $inui comple- menti arcus BD, hoc e$t, 34. primi. rectæ DF, cognitus erit DF, $inus complementi arcus BD, cuius $inus rectus DE, notus e$t po$itus.

SIT deinde cognita chorda AB, arcus AB, & chorda BC, $ubtendens re- liquum arcum BC, $emicirculi, quam iubemur inue$tigare. Quoniam angulus 31. tertij. B, rectus e$t in $emicirculo, erit quadratum diametri AC, æquale quadratis 47. primi. chordarum AB, BC. Si igitur ex quadrato diametri AC, notæ (Ponitur enim diameter diui$a in particulas certo numero comprehen$as) dematur quadra- tum chordæ AB, notæ in partibus diametri AC, notum relinquetur quadra- tum chordæ BC; ac proinde per radicem quadratam chorda BC, in ei$dem partibus nota efficietur. Ex $inu igitur recto cuiu$uis arcus, &c. cognouimus. Quod $aciendum erat.

COROLLARIVM. Sinus vet- $us cogno- $citur ex co gnito $inu recto,.

HINC efficitur, $inum ver$um cuiu$uis arcus cogno$ci quoque ex cognito $inu recto. Quoniam enim ex $inu recto DE, cogno$citur $inus complementi DP, hoc e$t, AE; $i $inus [124]SINVS. complementi dati arcus BD, auferatur ex $inu toto AB, notus relinquetur $inus ver$us EB, dati arcus BD. Pari ratione, $i $inus rectus DE, hoc e$t, AF, dati arcus BD, dematur ex $inu toto AC, notus relinquetur $inus ver$us CF, complementi dati arcus BD.

THEOR. 2. PROPOS. 4.

SINVS rectus cuiu$libet arcus quadrante mi Cuiu$uisar c<_>9 quadrá- te minoris fin<_>9 rectus medioloco {pro} portiona l<007>s e$t inter $emi$sé $i- nus totius, & $inũ ver- $um alteri<_>9 arc<_>9, <003> prio ris duplus e$t, & qua- drante quo queminor. noris medio loco proportionalis e$t inter $emi$- $em $emidiametri, $eu $inus totius, & $inum ver- $um arcus alterius, qui prioris arcus duplus e$t, & quadrante quoque minor.

SIT arcus quicunque CE, quadrante minor, cuius dimidium $it CD. Di- ui$a autem $emidiametro AC, bifariã in G, ducatur ex E, ad AC, perpendi- cularis EF, iungaturque recta AD, quæ ductã chordam CE, $ecabit in H, bifa- riam, ex lemmate à nobis ad definitiones $upra demon$trato, atque adeo & ad angulos rectos. Erit igitur CH, $inus rectus arcus CD, & CF, $inus ver$us 3. tertij. arcus CE, qui duplus e$t arcus CD, cum EF, $it eiu$dem arcus CE, $inus rectus: vt ex definitionibus con$tat. Dico CH, $inum rectum arcus CD, medio loco e$$e proportional\~e inter CG, dimidiũ $inus to- tius, & CF, $inum ver$um arcus CE, qui arcus CD, duplus e$t. Quoniã enim duo anguli ACH, AHC, trianguli ACH, æquales $unt duobus angulis ECF, EFC, trianguli ECF, quod angulus C, vtrique triangulo $it communis, & anguli H, F, recti; {ae}quian gula erunt triangula ACH, ECF. Igitur erit, vt 32. primi. AC, ad CH, ita EC, ad CF: Et permutando, vt AC, ad CE, ita CH, ad 4.$exti. CF. Vt autem AC, ad CE, ita e$t CG, dimidium ip$ius AC, ad CH, dimi- 15. quinti. dium ip$ius CE. Igitur erit quoque vt CG, ad CH, ita CH, ad CF; ac pro- pterea CH, $inus rectus arcus CD, medio loco proportionalis e$t inter CG, $emi$$em $inus totius, & CF, $inum ver$um arcus CE, qui arcus CD, duplus Ex $inu re- cto cuiu$- uis arcus cognito no tus fit $inus rectus alte- rius arcus, qui <007>ll<007>us dimidiũ $it 33. primi. 3. huius, 27. $exti. e$t. Igitur $inus rectus cuiu$libet arcus quadrante minoris, &c. Quod de- mon$trandum erat.

COROLLARIVM.

COLLIGITVR hinc, $i $inus rectus alicuius arcus cognitus $it, notum etiam $ieri $inum rectum alterius arcus, qui ill<007>us di midium $it: ita vt ex EF, $inu recto arcus CE, cogn<007>to cogno$catur etiam CH, $inus rectus arcus CD, qui dimidium e$t arcus CE. Nam ex noto $inu recto EF, notus fiet $inus EI, complementi: quo ablato ex $inu toto AC, (æqualis enim e$t $inus EI, rectæ AF.) notus relinquetur $inus ver$us CF, arcus CE, vt in coroll. præcedentis propo$. dictum e$t. Cum ergo $inus CH, $it medio loco proporti onalis inter medietatem $inus totius, & $inum ver$um CF, vt o$tendimus; erit rectangulum $ub di midio $inus totius, & $inu ver$o CF, contentum æquale quadrato $inus CH. Quare $i multiplicetur medietas $inus totius in $inum ver$um CF, producetur quadratus numerus [125]SINVS. $inus CH, cuius radix quadrata notum dabit $inum rectum CH. Eadem\’que ratio e$t de cæter<007>s.

IDEM hac etiam ratione o$tendi pote$t. Quoniam enim EF, $inus rectus arcus CE, notus ponitur, cogno$cetur & EI, $inus complementi ei u$d em arcus, hoc e$t, re@ 3. huius. cta AF, <007>lli æqualis. Detracta igitur recta AF, hoc e$t, $inu complementi arcus CE, 34. primi. ex $inu toto AC, cognitus erit $inus ver$us FC, arcus eiu$dem CE, vt etiam in coroll. propo$. 3. o$tendinaus. Quia vero quadratum rectæ CE, æquale e$t quadratis rectarum EF, FC; fit, vt quadrata rectarum EF, FC, nota rum in vnam $ummam collecta efficiant quadratum rectæ CE: cuius radix quadrata ip$am rectam CE, reddet notam; ac proinde huius radicis d<007>midium dabit CH, $inum rectum arcus CD, qui dimidium e$t dati arcus CE, notum.

VICISSIM ex hac eadem propof. 4. colligitur, $i $inus rectus al<007>cuius arcus cognitus Ex $inu re- cto cu<007>u$- uis arc<_>9 co- gnito not<_>9 $it $inus re ctus alteri<_>9 arc<_>9, qui il- li<_>9 $it dupl<_>9 dummodo quadrante minor $it. $it, notum etiam fieri $inum rectum alrerius arcus, qui illius duplus $it, dummodo quadran- te $it minor: ita vt ex CH, $inu recto arcus CD, cognito cogno$catur etiam EF, $inus rectus arcus CE, qui arcus CD, e$t duplus. Cum enim $in us CH, $it medio loco proportionalis in- ter med<007>ctatem $inus totius, & $inum ver$um FC, vt o$tendimus; erit rectangulum $ub di- midio $inus totius, & $inu ver$o FC, contentum æquale quadrato $inus recti CH. Quare quadratum $inus CH, noti erit illud rectangulum; quo diui$o per dimidium $inus tot<007>us, notus euadet $inus ver$us FC. Quia vero recta CE, cum $it dupla $inus CH, noti nota e$t, erit & eius quadratum notum: à quo $i auferatur quadratum $inus ver$i FC, noti, relinque- tur etiam quadratum rectæ EF, notum; (cum quadratũ rectæ CE, quadratis rectarum CF, FE, $it æquale.) ac proinde radix quadrata illius notum dabit $inum rectum EF.

SCHOLIVM.

QVOD _$i quando perpendicularis_ EF, _$emidiametrum_ AC, _$ecet bifariam, vt_ _in hac figura contingit, erit adhuc_ CH, _$inus arcus_ CD, _medio loco proporlionalis inter_ CF, _$emi$$em $inus totius,_ & CF, _$inũ ver$um arcus_ CE, _qui arcus_ CD, _duplus e$t. Erũt_ _enim rur$um triangula_ ACH, ECF, _æquiangula; ac_ _proinde, vt_ AC, _ad_ CH, _ita_ EC, _ad_ CF: _Et permutan-_ 4. fexti. _do, vt_ AC, _ad_ CE, _ita_ CH, _ad_ CF. _Cum ergo $it, vt_ AC, _ad_ CF, _dimidium ip$ius_ AC, _ad_ CH, _d<007>mi-_ 15. quinti. _dium ip$ius_ CE; _erit quoq; vt_ CF, _ad_ CH, _ita_ CH, _ad_ CF: _propterea\’q;_ CH, _$inus rectus arcus_ CD, _medio loco propor-_ _tionalis e$t inter_ CF, _$emi$$em $inus totius,_ & CF, _$inum ver_ _$um arcus_ CG, _qui duplus e$t arcus_ CD.

HINC _fit, $iperpend<007>cularis_ EF, _$emidiametrum_ AC, _$ecet bifariam, rectam_ CH, _æqualem e$$e rectæ_ CF. _Si enim maior e$$et, aut minor, non po{$s}et e$$e, vt_ CF, _ad_ CH, _ita_ CH, _ad_ CF: _cum vna proportio e$$et ma<007>oris inæqualitatis, & altera_ _minoris inæqualitatis._

Sinus rect<_>9 grad. 54. æ- qualis e$t $emi$si $in<_>9 toti<_>9, & $i- nui gra. 18. $imul. Sin<_>9 aũt ver$us grad. 72 æ- qualise$t $e mi$$i $inus tot<007>us, & $i- nui ver$o grad. 36. $i- mul. THEOR 3. PROPOS. 5.

SINVS rectus arcus graduum 54. componi- tur ex $emi$$e $inus totius, & $inu recto arcus grad 18. Sinus autem ver$us arcus grad. 72. componitur ex $emi$$e $inus totius, & $inu ver$o arcus grad. 36.

[126]SINVS.

IN quadrante ABC, $it BD, arcus grad. 54. ac proinde eius cõplementum CD, grad. 36. quod diuidatur bifariam in H, vt vterq; arcuũ CH, HD, habeat grad. 18. Ducatur DM, ad AB, perpendicularis pro $inu arcus grad. 54. & DE, ad AC, perpédicularis pro $inu arcus grad. 36. Iunga tur quoq; recta AH, quæ per l\~ema in definitionibus demon$tratũ $ecabit rectã CD, in I, bifariam, ac pro inde & ad angulos rectos: erit\’q propterea CI, $inus 3. tertij. rectus arcus CH, grad. 18. Sũpta tand\~e recta EF, ip$i EC, æquali, diuidantur AC, AF, bifariã in G, K, & ex K, ad AC, perpendicularis ducatur KL. Dico $i- num rectũ DM, arcus grad. 54. hoc e$t, rectam AE, 34. primi. illi {ae}qual\~e, componi ex AG, dimidio $inus totius, & ex CI, $inu recto arcus grad. 18. hoc e$t, rectam GE, (quæ cũ AG, con$tituit totam rectã AE,) {ae}qual\~e e$ $e $inui recto CI. Item $inũ ver$um arcus grad. 72. componi ex dimidio $inus to tius, & ex CE, $inu ver$o arcus CD, grad. 36. hoc e$t, rectam EK, (quæ cum $inu ver$o CE, rectam CK, componit) æqualem e$$e dimidio $inus totius, ip- $am vero CK, e$$e $inum ver$um arcus grad. 72. hoc e$t, arcum CL, (cuius $i- nus ver$us e$t CK,) e$$e grad. 72. Ducta enim recta LN, ad AB, perpendicu- lari, pro $inu arcus BL, iungantur rectæ AD, DF. Quoniam igitur arcus CH, grad. 18. continet {1/5}. quadrantis BC, (quòd quinquies 18. faciant 90.) continebit arcus CD, {2/5}. eiu$dem quadrantis, ac pro<007>nde proportio arcus CD, ad arcum BC, erit vt 2. ad 5. E$t autem, vt arcus CD, ad arcum BC, ita 33. fexti. angulus CAD, ad rectum angulum BAC. Igitur proportio anguli CAD, ad angulum rectum BAC, erit quoque, vt 2. ad 5. ac proinde angulus CAD, continebit {2/5}. vnius anguli recti. Cum ergo tres anguli trianguli CAD, con- tineant {10/5}. vnius recti, hoc e$t, æquales $int duobus rectis, $int\’que inter $e 32. primi. æquales duo anguli ACD, ADC; continebit vterque eorum {4/5}. vnius recti. 5.primi. Et quoniam angulus DFC, angulo DCF, e$t æqualis, quòd & rect{ae} DF, DC, 5.primi. æquales $int; (cum enim DE, EF, latera trianguli DEF, æqualia $int lateri- bus DE, EC, trianguli DEC, angulos\’que ad E, contineant æquales, vtpo- te rectos; æquales erunt ba$es DF, DC,) continebit quoque angulus DFC, 4. primi. {4/5}. vnius recti; ac proinde reliquus angulus DFA, ex duobus rectis, hoc e$t, ex {10/5}. vnius recti, continebit {6/5}. vnius recti. Cum ergo angulus DAF, o$ten$us $it continere {2/5}. vnius recti, & omnes tres anguli in triangulo AFD, conti- 32. primi. neant {10/5}. vnius recti, continebit angulus ADF, {2/5}. vnius recti, propte- rea\’que angulo DAF, æqualis erit. Quare æqualia erunt latera DF, AF. 6. primi. Cum ergo recta DF, rectæ DC, o$ten$a $it æqualis, erit & recta AF, rectæ DC, æqualis: ideoque & k F, medietas ip$ius AF, ip$i CI, medietati ip$ius DC, æqualis erit.

RVRSVS quoniam AK, KF, æquales $unt; additis æqualibus EC, FE, erit recta compo$ita ex Ak, EC, æqualis rectæ KE: ac proinde KE, medie- tas erit $emidiametri AC; quandoquidem AC, diui$a e$t in duas partes æqua les, quarum vna e$t KE, altera vero, recta ex AK, EC, compo$ita. E$t igi- tur KE, æqualis ip$i CG. Ablata ergo communi recta GE, remanebunt æquales GK, EC. E$t autem EC, $umpta ip$i EF, æqualis. Igitur & GK, ip$<007> EF, æqualis erit; additaque communi recta FG, erit EG, ip$i FK, æqualis, hoc e$t, ip$i CI, cui o$tendimus $upra rectam k F, e$$e æqualem. Com- [127]SINVS. ponitur ergo AE, (quæ $inui DM, arcus grad. 54. æqualis e$t.) ex AG, me- dietate $inus totius, & GE, quæ æqualis e$t o$ten$a $inui CI, arcus grad. 18. Quod e$t primum.

IAM vero, quoniam KF, ip$i EG; & EG, ip$i CI, o$ten$a e$t æqualis: erit, KF, $inui recto CI, æqualis: E$t autem KF, ip$i AK, æqualis. Igitur erit quoque AK, ip$i CI, æqualis. Cum ergo AK, $inui LN, $it æqualis, erit 34. primi. etiam $inus LN, $inui CI, æqualis. E$t autem CI, $inus arcus grad. 18. Igitur & LN, $inus erit arcus grad. 18. ac proinde arcus BL, cuius $inus e$t LN, continebit grad. 18. ideo\’que eius complementum CL; continebit grad. 72. cuius $inus ver$us KC, cõponitur ex CG, medietate $inus totius, & ex GK, quæ $inui ver$o EC, arcus CD, grad. 36. o$ten$a e$t æqualis. Quod e$t $ecun- dum. Itaque Sinus rectus arcus graduum 54. componitur, &c. Quod erat demon$trandum.

COROLLARIVM.

CONSTAT cx his, triangulum ACD, cuius ba$is CD, $ubt\~edit gradus 36. verticem\’q; habet in centro, e$$e I$o$celes, cuius vterque æqualium angulorum C, D, reliqui anguli ad centrum duplus e$t. Nam angulus CAD, o$ten$us e$t continere {2/5}. vnius recti, vtrumque vero C, & D, {4/5}.

THEOR. 4. PROPOS. 6.

DIFFERENTIA chordarũ duorum arcuũ Differentia inter chor- das duorũ arcuũ, quo- rũ alter tá to $it mi- nor arcu grad. 120. quáto alter maior e$t, {ae}quat chot dæ arcus, quo alteru- ter dictorũ arcuũ dif- fert ab arcu grad. 120. $emicirculi, quorum alter tãto minor $it arcu grad. 120. quanto alter maior e$t, æqualis e$t chordæ ar- cus, quo alteruter d<007>ctorum arcuum ab arcu grad. 120. d<007>ffert.

IN $emicirculo ABC, $it arcus BA, grad. 120. arcus vero BD, eo tan- to minor, quanto arcus BE, maior e$t; quorum chordæ BD, BE: ab$cin- datur\’que BF, ip$i BD, æqualis, & iungantur rectæ AD, AE, AF. Dico EF, differentiã duarũ chor darum BD, BE, æqua- lem e$$e chordæ AE, vel AD. Cõpleto enim circulo, & in$criptotriã gulo æquilatero ABG, cuius vnum latus e$t AB, chorda arcus grad. 120. cum $ubtendat ter tiã circunferentiæ par- tem; erit angulus AGB, tertia pars duorum re- 32. primi. 21. tertij. ctorum. Cum ergo ei æqualis $it angulus AEB, in eodem cum illo exi$tens [128]SINVS. $egmento AGB; erit & AEB, tertia pars duorum rectorum. Deinde, quo- niam latera DB, BA, trianguli DBA, lateribus FB, BA, trianguli FBA, æqualia $unt, angulos\’que continent æquales; erunt ba$es AD, AF, inter $e 27. tertij. æquales. Cum ergo AD, ip$i AE, æqualis $it, propter æquales arcus AD, 29.tertij. AE; erit & AF, eidem AE, æqualis; ac propterea anguli AEF, AFE, æqua 5.primi. les inter $e erunt: E$t autem AEF, vt o$tendimus, tertia pars duorum recto- rum. Igitur & AFE, tertia pars erit duorum rectorum; atque adeo & reliquus EAF, tertia pars erit duorum rectorum. Quare triangulum AEF, æquilate- 32. primi. rum erit, ex coroll. propof. 6. lib. 1. Eucl. ideoque recta EF, differentia chorda- rum BD, BE, chordæ AE, vel AD, æqualis erit. Differentia ergo chorda- rum duorum arcuum $emicirculi, &c. quod erat demon$trandum.

COROLLARIVM. Duæ chor- d{ae} duorum arcuũ cõ$i- c<007>\~etiũ gra. 120. $imul {ae}quales sũt chord{ae}arc<_>9 cõpo$iti ex arcu grad. 120. & arcu minore il- lorum duo rum.

SEQVITVR hinc, $i duorum arcuum, qui $imul grad. 120. conficiant, chordæ $imul iungantur, effic<007> chordam arcus compo$iti ex arcu grad. 120, & arcu m<007>nore illorum duo- rum, $i in æquales $int. Ita namque vides chordas BD, DA, arcuum BD, DA, con$icientium grad. 120. $imul $umptas æquari chordæ BE, arcus BAE, compo$iti ex arcu BA, grad. 120. & arcu AE, qui minori AD, æqual<007>s e$t: propterea quòd vt demon$tratum e$t, differentia EF, inter cho<007>das BD, BE, æqual<007>s e$t chordæ AD.

THEOR. 5. PROPOS. 7.

SI quantitas quantitatem excedat, $emi$sis il- Si quãtitas $u<002> & quã- titaté $emi$ $is $em<007>$s \~e $uperab<007>t exce$$us $e m<007>$$e. lius $em<007>$sem huius $uperabit exce$$us $emi$$e.

SVPERET quantitas AB, quantitat\~e C, exce$$u DB, qui bifariã $ecetur in E, & ip$i EB, æqualis pona tur AF. Quoniã igitur AF, EB, toti exce$$ui DB, æ- quales $unt, erit reliqua FE, ip$i C, æqualis. Sece- tur FE, bifaria in G. Quia ergo GE, GF, æquales sũt; additis æqualibus EB, FA, æquales quoque erũt GB, GA; ac proinde & AB, in G, $ecta erit b<007>fariã. Se- mi$sis igitur BG, ip$ius AB, $uperat GE, $emi$$em ip$ius FE, hoc e$t, ip$ius C, exce$$u EB, qui $em i$sis e$t exce$$us DB. Si quan- titas ergo quantitatem excedat, &c. Quod demon$trandum erat.

THEOR. 6. PROPOS. 8.

DIFFERENTIA $inuum duorum arcuũ [129]SINVS. quadrantis, quorum alter tanto minor $it arcu Differentia inter $inus duorũ ar- cuum, quo- rum alter tanto $it m<007>norarcu grad. 60. quãto alter ma<007>or e$t, {ae}qua@ $inui arcus, quo alteruter di ctorũar@@ũ d<007>ffert ab a@cu grad. 60. grad. 60. quanto alter maior e$t, æqualis e$t $inui arcus, quo alteruter dictorũ arcuum ab arcu grad. 60. differt.

IN quadrante ABC, $it arcus CD, grad. 60. arcus vero CE, eo tanto minor, quanto arcus CF, maior e$t: quorum $inus recti EG, FH. Dico horum $inuum differ\~etiam æqualem e$$e $inui arcus DE, vel DF. Producto enim qua- drante, vna cum $inubus EG, FH, ad I, K; $umatur arcus CL, arcui CD, æqualis, ita vt totus arcus DCL, cõtineat grad. 120. Et quia & arcus CI, CK, æquales $unt arcubus CE, CF; quòd per lemma in definitionibus po$itum re- cta BC, $ecet arcus ECI, FCK, bifariam, cum & re- ctas EI, FK, bifariam $e- 3. tertij. cet: erunt quoque reliqui arcus LI, LK, reliquis ar cubus DE, DF, æquales. Sumptis quoque arcubus EM, FN, qui arcubus DE, DF, æquales $int, ducan- tur chordæ LM, LN. Et quoniam arcus FN, arcui LK, & arcus EM, arcui LI, {ae}qualis e$t; additis com munibus FL, MI, erit tam arcus NL, arcui FK, quàm arcus ML, arcui EI, æqualis: ac proinde tan chorda NL, chordæ FK, quam chorda ML, chordæ 29. tertij. EI, æqualis. Quoniam igitur arcus LM, tanto minor e$t arcu LD, grad. 120. quanto arcus LN, eodem maior e$t; erit per propo$. 6. differentia chor- darum LN, LM, chordæ DN, vel DM, æqualis; hoc e$t, recta k F, rectam IE, $uperabit chorda DN, vel DM. Quare per antecedentem propo$. $emi$- $is HF, hoc e$t, $inus arcus CF, $uperabit $emi$$em GE, id e$t, $inum arcus CE, $emi$$e chordæ DN, vel DM, hoc e$t, $inu arcus DF, vel DE. Quod de- mon$trandum erat.

ALITER. In quadrante ABD, arcus BE, $it grad. 60. & arcus EF, EG, æquales, ac proinde arcus BF, tanto minor arcu BE, quanto arcus BG, eodem arcu BE, maior e$t: ducantur\’que FH, GI, ad BD, perpendiculares, quæ $inus erunt arcuum BF, BG. Ducta autem chorda FG, $ecet eam $emi- diameter ducta DE, in L. Et quoniam arcus FG, bifariam $ectus e$t in E, erit quoque recta FG, bifariam $ecta in L, ex lemmate in definitionibus demon- $trato; ac propterea & ad angulos rectos. E$t ergo FL, $inus arcus EF; & GL, 3. terttj. $inus arcus EG. Ducta quoque recta FK, ad GI, perpendiculari, erit IK, re- [130]SINVS. ctæ FH, æqualis, ob parallelogrammum FI. Quare GK, differentia erit $i- 34. primi. nuum FH, GI. Dico hanc differentiam GK, æqualem e$$e $inui FL, vel GL. Ducta enim recta BE, quæ latus hexagoni e$t, ac propterea, ex coroll propo$. 15. lib. 4. Eucl. $emidiametro DE, æqualis; $ecetur BD, bifariã in M, iungatur\’q recta EM. Quoniã igi- tur latera DM, ME, lateribus BM, ME, æqualia $unt, & ba$is DE, ba$i BE, æqualis, erunt anguli ad 8. primi. M, {ae}quales, atque adeo recti. Completo autem $e- micirculo ABC, & productis rectis GI, EM, ad N, O, erit arcus NO, arcui GE, hoc e$t, arcui EF, æqualis, ex $cholio propo$. 27. li b. 3. Eucl. propterea quod rectæ GN, EO, parallelæ $unt, ob rectos angu 28. primi. los I, M. Addito ergo communi arcu FO, erit ar- cus FN, arcui EO, æqualis: Sed arcus EO, duplus e$t arcus BE. (Nam recta DB, rectam EO, $ecans ad 3. tertij. angulos rectos $ecat eandem bifariam: ac proinde & arcum EO, bifariam, ex $cholio in definitionibus po$ito) Igitur & arcus FN, eiu$dem arcus BE, du- plus erit. Quare ductis rectis DF, DN, erit quoque angulus FDN, anguli EDB, duplus: E$t autem idem angulus FDN, in cen 33. $exti. tro anguli FGN, in circunferentia duplus. Igitur æquales $unt anguli EDM, 20.tertij. FGK: Suntautem & recti M, K, æquales. Aequiangula ergo $unt triangula EDM, FGK: atque idcirco erit vt ED, ad DM, ita FG, ad GK. Cum ergo 4. $exti. ED, dupla $it ip$ius DM, ($ecta enim e$t DB, ip$i DE, æqualis, bifariam in M.) erit & FG, ip$ius GK, dupla: E$t autem & FG, ip$ius FL, vel GL, du- pla. Igitur recta GK, differentia $inuum FH, GI, æqualis e$t rectæ FL, $i- nui arcus EF, vel rectæ GL, $inui arcus EG. Differentia ergo $inuum duo- rum arcuum quadrantis, &c. quod erat demon$trandum.

COROLLARIVM. Duo $inus duorum ar cuũ confi- cientium grad. 60. $i- mul æqua- les $unt $i- nui arcus compo$iti ex arcu grad. 60. & arcu mino re illorum duorum.

HINC $equitur, $i duorum arcuum conficientium grad. 60. $inus $imul componantur, effici $inum arcus cõpo$iti ex arcu grad. 60. & arcu minore illorũ duorũ, $i inæquales $unt. Ita enim vides in $igura po$terior<007>s demon$trationis huius propo$. $inus rectos FH, FL, ar- cuum BF, FE, con$ic<007>ent<007>um grad. 60. $imul $umptos æquari $inui recto GI, arcus BEG, compo$iti ex arcu BE, grad. 60. & arcu EG, qui minori EF, æqualis e$t: propterea quòd, vt demon$tratum e$t, differentia GK, inter $inus FH, GI, æqual<007>s e$t $inui FL.

PROBL. 3. PROP. 9.

SINVS rectos omnium arcuum quadrantis Qua rõne omniũ ar- cuum $inus recti $uppu tentur. $e$e ordine $uperantium vno Minuto, in partibus Sinus totius in quotcunque particulas di$$ributi, $upputare.

PRIMVM omnium $upputabimus $inus rectos arcuum $e$e 15. gradibus [131]_SINVS._ $uperantium, re$pectu Sinus totius particularum 100000. quotnimirum com muniter ab omnibus, & ànobis etiam con$tituitur, vt $upra diximus. Vt auté accuratior $iat $upputatio, ponemus in hi$ce $upputationibus Sinum totum Sinus tot<_>9 in cui<_>9 par tib<_>9 alij $i- nus ompu tátur, quoe particula rú ponédus $it, vt alij $inus inue- niátur ma- gis exqui$i ti re$p ectu Sinus to- tius pattiũ 100000. vel pauciotum pluriúve. partium 10000000. Ita enim fiet, vt abiectis duabus primis figuris ad dexte- rá ex $ingulis $inubus inuentis, (addita tamen vnitate, $i duæ figuræ abiectæ nu merũ 50. $uperent) relinquãtur $inus magis exqui$iti re$pectu $inus totius par tium 100000. Quòd $i quis $inus de$ideret plurium particularum, po$ito ni- mirũ $inu toto partiũ 10000000. quot eum Ioan. Regiom. po$uit, & nos in $e qu\~eti tabula $tatuemus, con$tituendus erit Sinus totus partiũ 1000000000. Nam hac ratione, abiectis duabus primis figuris ad dexteram ex $ingulis $inu- bus inuentis, vt dictum e$t, remanebunt Sinus magis exqui$iti re$pectu Sinus totius partium 10000000. Ratio huius rei e$t, quòd in $inuum inue$tigatio- ne error $olum contingere pote$t in vna aut altera figura ad dextram: quare, abiectis duabus figuris ad dextram, relinquentur $inus re$pectu $inus totius minoris exqui$rti$simi. Id quod in $upputationibus $inuum quiuis facile ex pe- rietur, & nos infra demon$trabimus. Pari ratione, $i inue$tigandi $int $inus re- $pectu alterius Sinus totius, qui plures, aut pauciores particulas contineat, quàm 100000. vel 10000000. con$tituendus erit in $upputatione Sinus to- tus, qui ad dexteram illum $uperet duabus figuris his, 00; adeo vt illius $it centuplus, quemadmodum & hic 10000000. quem in calculo a$$umimus, cen- tuplus e$t illius 100000. quem nos cum alijs A$tronomis in v$u recipimus.

SIT igitur in quadrante ABC, arcus CD, grad. 15. CE, 30. CF, 45. ac proinde EB, grad. 60. & DB, 75. vtpote complementa arcuum grad. 30. & 15. Horum ergo arcuum $inus rectos ita $upputabimus. Ducantur EH, DI, ad AB, perpendiculares, quæ $inus recti erunt arcuum grad. 60. & grad. 75. Ductam autem chordam BC, $ecet recta AF, in L, bi- fariam, ex lemmate in definitionibus demon- $trato; ac proinde ad angulos rectos: erit\‘que 3. tertij. BL, $inus rectus grad. 45. hoc e$t, arcus BF. Ducatur rur$us EG, ad AC, perpendicula- ris pro $inu grad. 30. Item ductam chordã CE, Supputatio $inuum ar cuũ gradi- bus 15. $e$e $uperantiũ quales $unt arcus grad. 15. 30. 45. 60. 75. & 90. $ecet recta AD, in K, bifariam, ex dicto lem- mate; ac propterea ad angulos rectos; erit\’que CK, $inus rectus grad. 15. Denique rectæ iun- gantur AE, EB. Quoniam igitur arcus BE, grad. 60. $exta pars e$t totius circunferentiæ circuli, cum $exies 60. $aciant 360. grad. erit recta BE, latus Hexagoni; atque adeo, ex coroll. propof. 15. lib. 4. Euel. $emidiametro AE, æqualis. Anguliergo EAB, EBA, æquales erunt: Sunt autem & anguli ad H, æquales, vtpote recti. Igi- 5. primi. tur cum duo anguli EAH, EHA, trianguli AEH, æquales $int duobus an- gulis EBH, EHB, trianguli BEH, latus\’que AE, lateri BE, æquale; erit la- tus AH, lateri BH, æquale; ac proinde AH, medietas erit $emidia metri AB. 26. primi. Quare cum EG, $inus rectus grad. 30. $it ip$i AH, æqualis, erit $inus rectus 34. primi. grad. 30. medietati $emidiametri, $iue $inus totius, æqualis. Cum ergo $inus Sinus rect<_>9 grad. 30. æ- qualis e$t medietati $inus toti<_>9; totus ponatur 10000000. erit EG, $inus grad. 30. talium particularum 5000000. nempe medietas $inus totius.

EX hoc $inu, per propof. 3. cogno$cetur $inus complementi arcus grad. 30. [132]_SINVS._ nempe $inus EH, grad. 60. $i nimirum quadratũ $inus 5000000. ex quadrato $inus totius 10000000. auferatur, & reliqui numeri radix quadrata accipia- tur, qu{ae} e$t 8660254. fere.

DEINDE, quoniam recta AF, fecans arcum BC, bifariam, fecat quoque, ex lem- mate definitionum, rectam BC, bifariam, at- que adeo & ad angulos rectos; erit CL, $inus 3. tertij. arcus CF, grad. 45. quem ita inueniemus. Cum in triangulo CAL, angulus L, rectus $it, & angulus CAL, $emirectus, erit & angu- 32. primi. lus ACL, $emirectus, atque adeo angulo CAL, æqualis. Igitur rectæ AL, CL, æqua- 6 primi. les erunt. Cum ergo quadratum rectæ AC, æquale $it quadratis rectarum AL, CL, $i- 47. primi mul; erit quadratum $inus totius AC, du- plum quadrati $inus CL, grad. 45. Medietas igitur quadrati $inus totius erit quadratũ rectæ CL, cuius radix quadrata da- bit $inum CL, 7071068. fere pro arcu grad. 45. Qui etiam hoc modo re- perietur. Quoniam quadratum rectæ BC, æquale e$t quadratis rectarum AB, 47. primi. AC; atque adeo duplum quadrati $inus totius AC, $i quadratum $inus to- tius duplicetur, habebitur quadratum rectæ BC, cuius quadrati radix dabit re ctam BC, partium 14142136. fere, & huius dimidium 7071068. dabit $inum CL, grad. 45.

RVRSVS, quia recta AD, $ecans arcum CE, bifariam, $ecat quoque rectam CE, bifariam in K, ex lemmate definitionum, atque adeo & ad angu- 3. tertij. los rectos; erit CK, $inus arcus CD, grad. 15. quem $ic inueniemus. Quoniã ex propo$. 4. $inus CK, medio loco proportionalis e$t inter medietatem $i- nus totius, & finum verfum CG; (qui quidem habetur, $i EH, $inus grad. 60. ex $inu toto AC, detrahatur, vt in coroll. propo$. 3. diximus) $it vt, per co- roll. propof. 4. notus $iat $inus CK, arcus CD, qui dimidium e$t arcus CE. Nam $i medietas $inus totius multiplicetur in $inum ver$um CG, cognitum, producetur quadratum rectæ CK; quòd rectangulum $ub medietate $inus to- tius, & $inu ver$o CG, contentum, æquale $it quadrato mediæ proportiona- 17. $exti. lis Ck. Si igitur quadrati rectæ CK, radix eruatur, habebitur $inus CK, par- tium 2588190. vt in dicto coroll. propof. 4. docuimus. Quem $inum hoc etiam 47. primi. modo inue$tigabimus. Quoniam quadratis rectarum notarum EG, GC, æqua Arcus. # Sinus G. 15 # 2588190 30 # 5000000 45 # 7071068 60 # 8660254 75 # 9659258 90 # 10000000 le e$t quadratum rectæ EC; fiet notum quadratum rectæ EC; cuius quadrati radix quadrata dabit re- ctam EC, notam, & huius medietas erit $inus CK, cognitus.

EX $inu autem grad. 15. cognito cognofcetur quoque, per propof. 3. $inus DI, complementi arcus CD, hoc e$t, $inus arcus BD, grad. 75. qui quidem deprehendetur partium 9659258. Itaq; inuenti $unt hactenus $inus recti arcuum continentium grad. 15. 30. 45. 60. 75. & 90. vt in hac formula apparet.

HORVM autem $inuũ beneficio ad aliorum inue$tigationem ita progrediemur. Quoniam per [133]_SINVS._ coroll. propof. 4. ex $inu recto cuiu$uis arcus noto cogno$citur quoque $inus rectus dimidij illius arous; cognofcemus ex $inu a rcus grad. 15. $inum arcus grad. 7. Min. 30. Atque ex hoc $inum arcus grad. 3. Min. 45. qui arcus amplius bifariam $ecari non pote$t $ine Secundis, (continet enim eius medietas grad. 1. Supputatia $inuum ac- cuum gta- dibus 3. Min. 45. $e- $e $upetan- tium. Min. 52. Sec. 30.) quæ in Sinuum tractatione negliguntur. Deinde quia per pro po$. 3. ex $inu recto cuiu$libet arcus cognito notus quoque efficitur $inus complementi illius arcus, cogno$cemus ex $inu arcus grad. 7. Min. 30. $i- num arcus grad. 82. Min. 30. Ex hoc autem, per coroll. propo$. 4. $inum ar- cus grad. 41. Min. 15. Atque ex hoc, per propof. 3. $inum arcus grad. 48. Min. 45. Item ex $inu arcus gra. 3. Min. 45. cogno$cemus, per propo$. 3. $inum arcus grad. 86. Min. 15. Quòd $i alij arcus, quorum $inus in uenti funt, bifariam quo que fecentur, & eorum medietates rur$us bifariam, & ita deinceps, donec ad Minuta numero imparia, quæ amplius bifariã diuidi $ine Secundis nequeunt, peruentum $it; Itemque harum medietatum complementa accipiantur, quæ rur$us, eodem modo continue bifariam $ec\~etur, donec ad Minuta numero im- paria $it peruentum; & medietatum complementa $umantur, &c. cogno$ce- mus, per coroll. propo$. 4. & per propof. 3. $inus omnium harum medieta- tum, & complementorum. Qui $inus cum illis $ex primò inuentis con$tituent $inus 24. arcuum fefe ordine $uperantium gradibus 3. Min. 45. vt in hac ta- bula vides.

## Arcus # Sinus # ## Arcus # Sinus # ## Arcus # Sinus # ## Arcus # Sinus G # M # # G # M # # G # M # # G # M 3 # 45 # 654031 # 26 # 15 # 4422887 # 48 # 45 # 7518398 # 71 # 15 # 9469301 7 # 30 # 1305262 # 30 # 0 # 5000000 # 52 # 30 # 7933533 # 75 # 0 # 9659258 11 # 15 # 1950903 # 33 # 45 # 5555702 # 56 # 15 # 8314696 # 78 # 45 # 9807853 15 # 0 # 2588190 # 37 # 30 # 6087614 # 60 # 0 # 8660254 # 82 # 30 # 9914449 18 # 45 # 3214395 # 41 # 15 # 6593458 # 63 # 45 # 8968727 # 86 # 15 # 9978589 22 # 30 # 3826834 # 45 # 0 # 7071068 # 67 # 30 # 9238795 # 90 # 0 # 10000000

POST hæc, per ea, quæ propof. 2. de inuentione lateris Decagoni, & pen- Supputatio $inus arcus grad. 36. tagoniæquilateri in eodem circulo demon $trauimus, inquiremus $inum arcus grad. 36. hac ratione. Repetatur figura propo$itionis 2. vbi demon$tratum e$t, DF, e$$e latus Decagoni, & BF, latus Pentagoni {ae}quilateri. Et quoniam qua- drata rectarum BD, DE, notarum (E$t enim BD, $inus totus, & DE, eius me- dietas.) nota $unt, & æqualia quadrato 47. primi. rectæ EB; notum erit quadratum rectæ EB; ac propterea & ip$a recta EB, hoc e$t, recta EF, illi æqualis, nota erit, nem pe partium fere 11180339. Ex qua $i detrahatur recta ED, medietas $inus to tius partiũ 5000000. nota fiet recta DF, partium 6180339. cuius quadratum $i addatur quadrato $inus totius BD, no tum fiet aggregatum quadratorum ex rectis DF, BD, de$criptorum; atque [134]_SINVS._ adeo & quadratum rectæ BF, quod illis duobus æquale e$t, cognitum erit; cu- 47. primi. ius radix quadrata notam reddet rectam BF: quæ cũ fubtendat grad. 72. in cir culo ABC, vtpote quintam partem circunferentiæ, quòd $it latus pentago- ni, nota erit chorda arcus grad. 72. cuius medietas partium 5877852. dabit $i- num rectum arcus grad. 36. qui illius dimidium e$t.

PORRO ex hoc $inu arcus grad. 36. inueniemus, per propof. 3. $inum eius Supputatio $inuum at- cuum gra- dibus 2. Min. 15. $e- $e $uperan tiũ, & alio- rum quorũ dam. complementi, hoc e$t, $inum arcus grad. 54. Quos duos arcus $i bi$ariam fece- mus, eorum\’que medietates rur$us bifariam, & ita deinceps, donec ad minuta numero imparia veniamus, quæ amplius diuidi nequeunt, reperiemus quoque per coroll. propof. 4. harum medietatum $inus, nec non, per propo$. 3. $inus ea- rum complementorum: quæ complementa $i rur$us bifariam $ecemus, quoad po$$umus, & harum medietatum complementa accipiamus, quæ rur$us $ece- mus bifariam, &c. inueniemus eodem modo $inus omnium ar cuum in hac ta- bella contentorum. Quos $inus $i cum præcedentibus hactenus inuentis in or- ## Arcus # Sinus # ## Arcus # Sinus # ## Arcus # Sinus # ## Arcus # Sinus G # M # # G # M # # G # M # # G # M 36 # 0 # 5877852 # 12 # 15 # 392598 # 40 # 30 # 6494480 # 15 # 45 # 2714405 54 # 0 # 8090170 # 87 # 45 # 9992290 # 49 # 30 # 7604060 # 74 # 15 # 9624552 18 # 0 # 3090170 # 27 # 0 # 4539905 # 20 # 15 # 3461171 # 38 # 15 # 6190940 72 # 0 # 9510565 # 63 # 0 # 8910065 # 69 # 45 # 9381913 # 51 # 45 # 7853169 9 # 0 # 1564345 # 13 # 30 # 2334454 # 42 # 45 # 6788007 # 24 # 45 # 4186597 81 # 0 # 9876883 # 76 # 30 # 9723699 # 47 # 15 # 7343225 # 65 # 15 # 9081432 4 # 30 # 784591 # 6 # 45 # 1175374 # 31 # 30 # 5224986 # 29 # 15 # 4886212 85 # 30 # 9969173 # 83 # 15 # 9930665 # 58 # 30 # 8526402 # 60 # 45 # 8724960 dinem redigamus, habebimus $inus rectos omnium arcuum $e$e ordine $upe- rantium gradibus 2. & Min. 15. initio facto ab arcu grad. 2. Min. 15. v$que ad arcum grad. 87. Min. 45. inclu$iue; & in$uper $inus aliorum 17. arcuum, qui non $eruant huiu$modi incrementum. Vt in hac tabella appparet. Vbi manife ## Arcus # Sinus # ## Arcus # Sinus # ## Arcus # Sinus # ## Arcus # Sinus G # M # # G # M # # G # M # # G # M 2 # 15 # 392598 # 33 # 45 # 5555702 # 65 # 15 # 9081432 # 18 # 45 # 3214395 4 # 30 # 784591 # 36 # 0 # 5877852 # 67 # 30 # 9238795 # 26 # 15 # 4422887 6 # 45 # 1175374 # 38 # 15 # 6190940 # 69 # 45 # 9381913 # 30 # 0 # 5000000 9 # 0 # 1564345 # 40 # 30 # 6494480 # 72 # 0 # 9510565 # 37 # 30 # 6087614 11 # 15 # 1950903 # 42 # 45 # 6788007 # 74 # 15 # 9624552 # 41 # 15 # 6593458 13 # 30 # 2334454 # 45 # 0 # 7071068 # 76 # 30 # 9723699 # 48 # 45 # 7518398 15 # 45 # 2714405 # 47 # 15 # 7343225 # 78 # 45 # 9807853 # 52 # 30 # 7933533 18 # 0 # 3090170 # 49 # 30 # 7604060 # 81 # 0 # 9876883 # 60 # 0 # 8660254 20 # 15 # 3461171 # 51 # 45 # 7853169 # 83 # 15 # 9930685 # 63 # 45 # 8968727 22 # 30 # 3826834 # 54 # 0 # 8090170 # 85 # 30 # 9969173 # 71 # 15 # 9469301 [135]_SINVS._ 24 # 45 # 4186597 # 56 # 15 # 8314696 # 87 # 45 # 9992290 # 75 # 0 # 965925 27 # 0 # 4539905 # 58 # 30 # 8526402 # 3 # 45 # 654031 # 82 # 30 # 9914449 9 # 15 # 4886212 # 60 # 45 # 8724960 # 7 # 30 # 1305262 # 86 # 15 # 9978589 31 # 30 # 5224986 # 63 # 0 # 8910065 # 15 # 0 # 2588190 # 90 # 0 # 10000000 $tum e$t, $inum grad. 54. hoc e$t. 8090170. componi præci$e ex $inubus grad. 18. & 30. hoc e$t, ex 3090170. & 5000000. Et quia $inus grad. 30. æqualis e$t $emi$- $i $inus totius, vt $upra o$ten$um e$t, liquet $inum grad. 54. componi ad vngué ex $emi$$e $inus totius, & $inu recto grad. 18. Id quod propo$. 6. à nobis e$t de- mon$tratum.

IAM vero $inum arcus grad. 12. bene$icio $inuum grad. 30. & 54. qui iam Supputatio $inus arcus grad. 12. noti facti $unt, ita inue$tigabimus. Sit in quadrā te ABC, arcus BD, grad. 30. & BE, grad. 54. at- que adeò arcus DE, eorum differentia, grad. 24. ducanturque rectæ DF, EG, ad AB, perpendi- culares, quæ $inus recti erunt arcuum BD, BE; Item rectæ DH, EI, ad AC, perpendiculares, quæ finus recti erunt arcuum CD, CE, grad. 60. & 36. qui complementa $unt arcuum BD, BE. Secet autem recta DH, rectam EG, in K. Et quoniam $inus DF, hoc e$t, KG, illi æqua- 34. primi. lis, & EG, noti $unt; erit quoque eorum diffe- rentia EK, nota. Similiter quia $inus EI, hoc e$t, KH, illi æqualis, & DH, noti quoque $unt, per propof. 3. cum $int $inus 34. primi. complementorum arcuum BE, BD; erit etiam eorum differentia DK, nota; ac proinde duo quadrata rectarum notarum Ek, DK, nota erunt: quæ cum æqualia $int quadrato rectæ DE, notum quoque erit quadratum rectæ DE, 47. primi proptereaque & ip$arecta DE, nota erit, nem pe chorda arcus grad. 24. Hinc & eius medietas nota erit, nimirum $inus rectus arcus grad. 12. continebitque Ex duorũ arcuũ $inu bus notis notus quo- que $it $in<_>9 medietatis differentiæ arcuum. particulas 2079117. Hac eadem arte; $i duorum arcuum quorumcumque $inus cogniti $int, cogno$cetur etiam $inus medietatis differentiæ illorum arcuum. Vt $i $inus arcuum BD, BE, quorumcumque etiam $i non contineant grad. 30. & 54. noti $int, erunt & $inus complementorum CD, CE, per propof. 3. noti. Quare, vt modo demon $trauimus, nota $iet chorda DE; ac proinde eius me- dietas nota quoque erit, nempe $inus medietatis arcus DE.

CAETERVM ex $inu arcus grad. 12. ($i hunc arcum bifariam $ecemus Supputatio $inuu ar- cuum Mi- nutis 45. $e $e $upeian- tium. continue, quoad po$$umus, medietatum\’q; complementa accipiamus, vnà cum $inu complementi arcus grad. 12. quæ rur$us $ecemus bifariam continue, &c.) reperiemus per coroll. propof. 4. & per propo$. 3. $inus omnium hor um arcuũ, qui in hac tabella continentur. Quos $inus $i cum $inubus proxime antece- dentis tabellæ in ordinem redigamus, habebimus $inus arcuum numero 120. ## Arcus # Sinus # ## Arcus # Sinus # ## Arcus # Sinus # ## Arcus # Sinus G # M # # G # M # # G # M # # G # M 12 # 0 # 2079117 # 42 # 0 # 6691306 # 12 # 45 # 2206974 # 33 # 0 # 5446390 78 # 0 # 9781476 # 48 # 0 # 7431448 # 77 # 15 # 9753423 # 57 # 0 # 8386706 [136]_SINVS._ 6 # 0 # 1045285 # 21 # 0 # 3583679 # 35 # 15 # 5771452 # 16 # 30 # 2840153 84 # 0 # 9945219 # 69 # 0 # 9335804 # 54 # 45 # 8166416 # 73 # 30 # 9588197 3 # 0 # 523360 # 10 # 30 # 1822355 # 24 # 0 # 4067366 # 8 # 15 # 1434926 87 # 0 # 9986295 # 79 # 30 # 9832549 # 66 # 0 # 9135455 # 81 # 45 # 9896514 1 # 30 # 261769 # 5 # 15 # 915016 # 34 # 30 # 5664062 # 27 # 45 # 4656145 88 # 30 # 9996573 # 84 # 45 # 9958049 # 55 # 30 # 8241262 # 62 # 15 # 8849876 0 # 45 # 130896 # 43 # 30 # 6883546 # 17 # 15 # 2965416 # 28 # 30 # 4771588 89 # 15 # 9999143 # 46 # 30 # 7253744 # 72 # 45 # 9550199 # 61 # 30 # 8788171 39 # 0 # 6293204 # 21 # 45 # 3705574 # 39 # 45 # 6394390 # 14 # 15 # 2461533 51 # 0 # 7771460 # 68 # 15 # 9288096 # 50 # 15 # 7688418 # 75 # 45 # 9692309 19 # 30 # 3338069 # 44 # 15 # 6977905 # 23 # 15 # 3947439 # 36 # 45 # 5983246 70 # 30 # 9426415 # 45 # 45 # 7163019 # 66 # 45 # 9187912 # 53 # 15 # 8012538 9 # 45 # 1693495 # 25 # 30 # 4305111 # 32 # 15 # 5336145 # 30 # 45 # 5112931 80 # 15 # 9855561 # 64 # 30 # 9025853 # 57 # 45 # 8457278 # 59 # 15 # 8594064 qui $e ordine continuo $uperant 45. Minutis, quorum primus e$t arcus grad. o. Min. 45. vltimus vero totus quadrans grad. 90. cuiu$m odi $unt arcus $equen tis tabellæ. Omnium enim illorum arcuum $inus inuentos e$$e comperies in proximis duabus tabellis antecedentibus, licet non eo ordine $int collocati.

## Arcus # ## Arcus # ## Arcus # ## Arcus # ## Arcus # ## Arcus # ## Arcus # ## Arcus # ## Arcus # ## Arcus G # M # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M 0 # 45 # 9 # 45 # 18 # 45 # 27 # 45 # 36 # 45 # 45 # 45 # 54 # 45 # 63 # 45 # 72 # 45 # 81 # 45 1 # 30 # 10 # 30 # 19 # 30 # 28 # 30 # 37 # 30 # 46 # 30 # 55 # 30 # 64 # 30 # 73 # 30 # 82 # 30 2 # 15 # 11 # 15 # 20 # 15 # 29 # 15 # 38 # 15 # 47 # 15 # 56 # 15 # 65 # 15 # 74 # 15 # 83 # 15 3 # 0 # 12 # 0 # 21 # 0 # 30 # 0 # 39 # 0 # 48 # 0 # 57 # 0 # 66 # 0 # 75 # 0 # 84 # 0 3 # 45 # 12 # 45 # 21 # 45 # 30 # 45 # 39 # 45 # 48 # 45 # 57 # 45 # 66 # 45 # 75 # 45 # 84 # 45 4 # 30 # 13 # 30 # 22 # 30 # 31 # 30 # 40 # 30 # 49 # 0 # 58 # 30 # 67 # 30 # 76 # 30 # 85 # 30 5 # 15 # 14 # 15 # 23 # 15 # 32 # 15 # 41 # 15 # 50 # 15 # 59 # 15 # 68 # 15 # 77 # 15 # 86 # 15 6 # 0 # 15 # 0 # 24 # 0 # 33 # 0 # 42 # 0 # 51 # 0 # 60 # 0 # 69 # 0 # 78 # 0 # 87 # 0 6 # 45 # 15 # 45 # 24 # 45 # 33 # 45 # 42 # 45 # 51 # 45 # 60 # 45 # 69 # 45 # 78 # 45 # 87 # 45 7 # 30 # 16 # 30 # 25 # 30 # 34 # 30 # 43 # 30 # 52 # 30 # 61 # 30 # 70 # 30 # 79 # 30 # 88 # 30 8 # 15 # 17 # 15 # 26 # 15 # 35 # 15 # 44 # 15 # 53 # 15 # 62 # 15 # 71 # 15 # 80 # 15 # 89 # 15 9 # 0 # 18 # 0 # 27 # 0 # 36 # 0 # 45 # 0 # 54 # 0 # 63 # 0 # 72 # 0 # 81 # 0 # 90 # 0

POSTREMO aliorum arcuum $inus ita inueniemus. Ponatur in qua- drante ABC, arcus BD, grad. 1. & arcus BE, grad. 1. Min. 30. & arcus BH, grad. 0. Min. 45. Ducta autem recta EK, ad AB, perpendiculari, diui$oque ar- cu BH, in tres partes æquales BF, FG, GH, & arcu DE, in duas DI, IE, vt $inguli arcus contineant 15. Min. ducantur ad EK, perpendiculares FL, GM, HN, DO, IP. Eritque EK, $inus rectus arcus BE, & OK, $inus re- ctus arcus BD, cum æqualis $it rectæ ex D, ductæ ad AB, perpendiculari, quæ 34. primi. [137]_SINVS._ quidem $inus e$t arcus BD. Eadem\’que ratione erit NK, $inus rectus arcus Supputatie $inus grad. 1. BH. Sit ergo propo$itum inuenire $inum OK, arcus BD, grad. 1. Quoniam NK, $inus grad. 0. Min. 45. e$t inuentus 130896. erit eius tertia pars, nempe 43632. maior, quàm MN: propterea quod, per propof. 1. maior e$t KL, quàm LM, & LM, maior, quàm MN, adeo vt MN, mi- nor $it, quàm tertia pars ip$ius NK, hoc e$t, minor, quàm 43632. Multo igitur maior erit eadem tertia pars rectæ NK, nempe 43632. quàm NO: quod, per eand\~e propof. 1. maior quoque $it MN, quàm NO. Quare $i addamus 43632. ad 130896. id e$t, ad NK, $inum Minutorum 45. efficiemus numerum 174528. qui maior erit, quàm OK, $inus rectus grad. 1. quan doquidem ad NK, plus addimus, quàm rectã NO, vt dictum e$t. Rur$us quia EK, $inus grad. 1. Min. 30. inuentus e$t 261769. $i ex eo detrahamus $inum NK, Minutorum 45. nem pe 130896. relinquetur recta EN, partium 130873. cuius tertia pars, nempe 43624. fere, minor erit, quàm NO: propterea quod, per propof. 1. maior e$t NO, quàm OP, & OP, maior, quàm PE, adeo vt NO, maior $it, quàm ter- tia parsip$ius EN, hoc e$t, maior, quàm 43624. Quare $i addamus 43624. ad 130896. id e$t, ad NK, $inum Min. 45. efficiemus numerum 174520. qui minor erit, quàm OK, $inus re ctus grad. 1. quandoquidem ad NK, minus addimus, quàm rectam NO. Con$tatigitur, $inum rectum grad. 1. con$i$tere inter hos duos numeros, 174528. 174520. cum ille maior $it, hic auté minor. Statuamus ergo eum e$$e, 174524. inter illos numeros omnino medium. Ita enim non dif- feret $en$ibiliter hic numerus à vero $inu grad. 1.

EX hoc $inu grad. 1. inueniemus, per propo$. 3. $inum eius cõplementi, hoc Supputatio $inus grad. 89. e$t, $inum arcus grad. 89. e$$e 9998477. Quem hoc etiã modo reperiemus. Quo- niam numerus 174528. maior e$t, quam $inus grad. 1. vt diximus: $it, vt per eum inue$tigatus, iuxta doctrinam propof. 3. $inus cóplementi grad. 1. hoc e$t, $inus grad. 89. $it numerus 9998476. & paulo amplius, qui minor erit nece$$ario, quàm verus $inus arcus grad. 89. quandoquidem pro $inu grad. 1. numerum $ump$imus vero $inu maiorem. Rur$us quia numerus 174520. minor e$t, quàm $inus grad. 1. vt diximus; fit, vt per eum inue$tigatus, iuxta doctrinam propof. 3. $inus eius complementi, nimirum $inus grad. 89. $it numerus 9998477. & pau lo amplius, qui maior erit nece$$ario, quàm verus $inus grad. 89. quandoqui- dem pro $inu grad. 1. numerum accepimus vero $inu minorem. Con$titutus er- go erit $inus grad. 89. inter duos hos numeros 9998476. & paulo amplius, at- que 9998477. & paulo amplius: ac proinde $ine notabili errore eum $tatuemus e$$e 9998477. quantum videlicet eundem inuenimus ex $inugrad. 1. Ex quo con$tat, recte con$titutum e$$e $inum grad. 1. partium 174524. cum ex eo, per propo$. 3. repertus $it $inus complementiip$ius tot particularum, quot vere ac reip$a continere debet.

PRAETEREA ex finu arcus grad. 1. reperiemus, per coroll. propo$. 4. Supputatie $inus Min. 30. & $inus grad. 89. Min. 30. It@ $inus Min. 15. & $inus grad. 89. Min. 45. $inum rectum arcus Min. 30. & ex hoc, per propo$. 3. $inum complementi, nem- pe $inum grad. 89. Min. 30. Item ex $inu arcus Min. 30. inueniemus, per coroll. propo$. 4. $inum arcus Min. 15. atque ex hoe $inum complementi, hoc e$t, $i- num grad. 89. Min. 45.

QVEMADMODVM autem $upra ex $inubus rectis grad. 30. & 54. [138]_SINVS._ indagauimus $inum rectum grad. 12. qui dimidium e$t chordæ arcus grad. 24. quo dicti arcus grad. 30. & 54. inter $e differunt: ita quoque ex $inubus rectis Supputatio $inus grad. 26. & grad. 64. arcus Min. 30. & arcus grad. 52. Min. 30. cognitis cogno$eemus $inum rectum grad. 26. qui dimidium e$t chordæ arcus grad. 52. quo dicti arcus Min. 30. & grad. 52. Min. 30. inter $e differunt, vt $upra o$tendimus; atque ex $inu grad. 26. $iet, per propof. 3. notus quoque $inus complementi, nimirum $inus grad. 64.

QVOD $i arcus grad. 26. & grad. 64. & grad 89. & grad. 89. Min. 30. quo- rum $inus inuenti $unt, $ecemus continue bifariam, quoad po$$umus, accipia- Supputatio $inuum ar cuũ Miau- t<007>s 15. $e$e $uperãuũ. musque medictatum complementa, qu{ae} rur$us continue bi$ariam diuidamus, &c. adhibeamus\’que doctrinam illam, qua ex duorum arcuum $inubus notis cogno$citur $inus medietatis differentiæ illorum arcuum, reperiemus $in us ar cuum numero 240. qui in ordinem redacti cum $inubus arcuum numero 120. prius inuentis, con$tituent $inus arcuum numero 360. $e$e ordine $uperantium Minutis 15.

VERVM quia laborio$um e$t, atque mole$tum tot $inus ea ratione in- Alia $uppu tatio $inuũ arcuũ $e$e Minutis 15 $uperantiũ dagare, $atis erit, tanta difficultate inueni$$e $inus illos arcuum $uperiorum numero 120. $e$e ordine $uperantium Minutis 45. Ex illis enim $acile per re- gulam proportionum reperiemus $inus arcuum $e ordine $uperantium Minu- tis 15. Deinde ex his $inus arcuum, qui ordine $e $uperant Minutis 5. Acdeni- que ex i$tis $inus arcuum per $ingula Minuta exten$orum; neque vnquàm in hac $upputatione error $en$ibilis continget. Cum enim $inum totum po$ue- rimus centies maiorem, quàm 100000. $it vt abiectis primis duabus figuris ad dexteram, vt $upra dictum e$t, exqui$iti$simi relinquantur $inus re$pectu $inus totius 100000. quod totus error, qui in hac $upputatione contingere pote$t, con$i$tat in prima figura ad dexterá, vel ad $ummum in duabus primis. Qua- re abiectis duabus primis figuris, remanebunt omnic ijdem $inus, qui inuen- ti e$$ent priori illo modo Geometrico re$pectu eiu$dem $inus totius 100000. $i in $upputatione poneretur $inus totus centies etiam maior, nempe partium 10000000. & ex inuentis $inubus duæ figuræ reijcerentur: Id quod experien- tia docebit. Ita autem rem exequemur. Statuátur ordine illi arcus cum $inu- bus, & ad dexteram cuiu$que $inus a$cribatur differentia, qua à præcedenti $i- ## Arcus # Sinus # Differentiæ G # M 0 # 0 # 000000 0 # 45 # 130896 # 130896 1 # 30 # 261769 # 130873 2 # 15 # 392598 # 130829 3 # 0 # 523360 # 130762 3 # 45 # 654031 # 130671 nu differt; vt hic factum e$$e vides in quin que arcubus. Deinde dic. Si Minuta 45. re- quirunt differentiam 130896. addendam ad $inum Minuti. 0. vt $iat $inus Minutorum 45. Minuta 15. quantam po$tulant diffe- rentiam addendam eidem $inui Minur. 0. vt fiat $inus Minutorum 15? Inuenies enim requiri differentiã 43632. quæ addita $inui Minuti. 0. con$tituet $inũ Minutorum 15. partium 43632. Rur$us dic. Po$itis ij$dem, quantam differ\~etiam exigune Minuta 30. addendam eidem $inui Minuti 0. vt $iat $i- nus Minutorum 30? Reperies enim differentiam 87264. quæ addita $inui Minu tio. faciet 87264. $inum Min 30. Item dic. Si Minuta 45. quibus arcus Min. 45. ab arcu $equenti grad. 1. Min. 30. differt, requirunt differentiam 130873. ad- dendam $inui Min. 45. vt $iat $inus grad. 1. Min. 30. quantam differentiam po- $tulant Minuta 15. addédam eidem $inui Min. 45. vt fiat $inus Min. 60. hoc e$t, [139]_SINVS_ $inus grad. 1? Inuenies enim differentiã 43624. quæ addita ad 130896. $inũ Min. 45. faciat 174520. $inũ grad. 1. qui licet minor aliquanto $it illo, quem alio mo do inuenimus, abiectis tam\~e duabus primis $iguris 20. relinquetur $inus 1745. exqui$iti$simus grad. 1. re$pectu $inus totius 100000. Dic pr{ae}terea. Ii$d\~e po$i- tis, quantam differentiam po$cunt Minuta 30. addendam eid\~e $inui Min. 45. vt $iat $inus Min. 75. hoc e$t, $inus grad. 1. Min. 15? Inuenies enim differentiam 87249. quæ addita ad 130896. $inum Min. 45. faciet 218145. $inum grad. 1. Min. 15. qui licet $it aliquanto minor illo, quem prior ille modus exhibet, tamen abiectis duabus primis figuris 45. remanebit $inus 2181. ex qui$iti$simus grad. 1. Min. 15. re$pectu $inus totius 100000. Item dic. Si Minuta 45. quibus arcus grad. 1. Min. 30. differt ab arcu $equentigrad 2. Min. 15. requirunt differ\~etiam 130829. addendã $inuigrad. 1. Min. 30 vt $iat $inus grad. 2. Min. 15. quantã diffe rentiam po$cunt Minuta 15. addendam eid\~e $inui grad. 1. Min. 30. vt $iat $inus grad. 1. Min. 45? quantam præterea differentiã $lagitant Minuta 30. addendam eidem $inui grad. 1. Min. 30. vt fiat $inus grad. 2? Reperies enim priorem diffe- rentiã e$$e 43610. qu{ae} addita ad 261769. $inum grad. 1. Min. 30. efficiet 305379. $inum grad. 1. Min. 45. Po$teriorem vero differentiam inuenies e$$e 87219. quæ addita ad 261769. $inum eundem grad. 1. Min. 30. componet 348988. $inũ grad. 2. qui duo $inus quamuis minores $int, quàm illi, quos prior ille modus exhi- bet, reiectis tamen duabus figuris primis ex vtroque, reliquierunt $inus 3053. 3489. exqui$iti$simi re$pectu $inus totius 100000. Hac eadem arte progredien dum erit in cæteris, donec inuenti $int $inus omnium arcuum per 15. Minuta Sinus eut magis ex- qui$ite per regulã pro- portionum inueniátur prope qua- drantis ini tiũ quàm prope finé. exten$orum v$que ad arcum grad. 45. Vltra hunc etenim progredi hac via nõ expedit, cum magis exqui$ite $inus complementorum arcuũ illorum, per pro- po$. 3. inue$tigari po$sint, re$pectu $inus totius 10000000. quàm per regulam proportionum; propterea quòd, vt $upra o$tendimus in coroll. propof. 1. dif- ferentiæ $inuum ver$us $inem quadrantis minores $unt, quàm prope initium quadrantis; ac proinde fæpius differentiæ $inuum mutantur prope $inem qua- drantis, quàm iuxta principium. Ex quo $it rectius prope quadrantis initium reperiri $inus per regulam proportionum, quàm prope $inem: quandoquidem ibi vna eadem\’que differentia pluribus $inubus de$eruit, quàm hic, vt dictũ e$t. Id quod experientia a perti$sime quoque demon$trat.

QVOD $i omnes $inus arcuum per 15. Minuta progredientium, initio fa- Supputatio $inuum ar- cuum per 5. Minuta, & per$ingu la Minura exten$orũ. cto ab arcu Min. 0. in ordinem redigantur, vna cum eorum differentijs; repe- riemus eodem artificio $inus omnium arcuum per 5. minuta exten$orum: Ex quibus demum eadem ratione $inus omnium arcuum per $ingula minuta pro- gredientium explorabimus; ac proinde tabulam $inuum conficiem us v$que ad arcum gra. 45. Per $inus autem horũ arcuũ eliciemus, per propof. 3. $inus com- plementorum arcuum eorundem. Quare tota $inuum tabula con$ecta erit: ac proinde $inus rectos omnium arcuum Quadrantis $e$e ordine $uperantium vno Minuto, in partibus Sinus totius in quotcunque particulas di$tributi, $upputauimus. Quod faciendum erat.

SCHOLIVM. Demon$tr@ tio $upputa tiõis $inuũ per regulã proportio- num.

_CAETERVM_ vt rationem $upputationis $inuum per proportionum regulam videas, $int in Quadrante _ABC_, arcuum _BD_, _BE_, $inus _DF_, _EG_, noti, ex quibus propo$itum $it elicere $inum _HI_, arcus _BH_, inter duos illos arcus po$iti Ducta recta _DK_, perpendiculari ad _EG_; erunt rectæ _LI_, _KG_, $inui _DF_, æquales s atque adeo [140]_SINVS._ _HL_, _EK_, differentiæ inter $inus _HI_, _EG_, & $inum _DT_. Quoniam vero arcus _DE_, $i e xiguus fuerit, qualem nos ponimus, nempe Minutorum _45_. vel _15_. vel _5_. (Ex his enim $olis intermediorum arcuum $inus inquirimus) à recta linea, quoad $en$um, non differt, ac proinde multo minus arcus _DH_; erunt trianæ gula _DEK_, _DHL_, quodammodo rectilinea. & æquian- gula inter $e. Quamobrem erit, vt _DE_, differentia inter 4. fexti. arcum _BD_, & arcum _BE_, ad _EK_, differentiam inter $i- num _DF_, & $inum _EG_, ita _DH_, differentia inter ar- cum _BD_, & arcum _BH_, ad _HL_, differentiam inter $i- num _DF_, & $inum _HI_. Cum ergo priores tres magnitu- dines $int cognitæ, (nempe arcus _DE_, quo arcus _BE_, arcũ _BD_, $uperat; & recta _EK_, qua $inus _EG_, $inum _DF_, excedit; nec non arcus _DH_, quo arcus _BH_, cuius $inus queritur, $uperat arcum _BD_.) cognita etiam erit quarta magnitudo, id e$t, recta _HL_, quæ addenda e$t $inui _DF_, vt fiat $inus _HI_. Con$tat igitur, $inus per regulam pro- portionum inuentos $en$ibiliter non differre à veris $inubus, præ$ertim quando arcus _DE_, quo arcus cognitorum $inuuminter $e differunt, valde exiguus e$t, ita vt à recta linea vix differat.

_MAGNVM_ quoque compendium in hoc negotio nobis afferet propo$itio octaua. Compédiũ miri ficum pro inuen- rione pluti morum $i- nuum. Ex ea enim plurimos $inus ex alijs inuentis per $olam additionem, $ubtractionemue nanci$cemur. _N_am $i $inum cuiu$uis arcus, qui maior non $it, quàm grad. _30_. addamus $inui arcus, qui ab arcugrad. _60_. $uperatur $umpto illo arcu, componemus $inum arcus qui eodemillo arcu a$$umpto arcũgrad. _30_. $uperat: propterea quod differentia inter $inus duorum horum arcuum maiorum æqualis e$t $inui arcus illius a$$umpti, qui ma ior nõ ponitur, quàm grad. _30_. vt ib<007> demon$trauimus. Vt $i _3461171_. $inũ arcus grad. _20_. Min. _15_. ad{ij}ciamus ad _6394390_. $inum arcus grad. _39_. Min. _45._. qui abarcu grad. _60_. $uperatur dicto arcu grad. _20_. Min. _15_. conficiemus _9855561_. $inum arcus grad. _80_. Min. _15_. qui arcum gra. _60_. eodem arcu grad. _20_. Min _15_. $uperat. Sic $i _5000000_. $inum arcus grad. _30_. addamus $inui _5000000_. arcus grad _30_. quem arcus grad. _60_. fuperat dicto illo arcu grad. _30_. componemus _10000000_. $inum arcus grad. _90_. qui arcum grad. _60_. eodem illo arcu a$$umpto grad. _30_. $uperat.

_ITEM_ $i $inum cuiusl<007>bet arcus, qui arcu grad. _30_. maior non $it, $ubducamus ex $inu arcus, qui arcum grad _60_. $umpto illo arcu $uperat, relinquetur $inus arcus, qui eodem illo arcu a$$umpto ab arcu grad. _60_. $uperatur. Vt $i _3502075_. $inum arcus grad. _20_. Min. _30_ detrahamus ex _9862856_. $inu arcus grad _80_. Min. _30_. qui arcum grad. _60_. dicto arcu grad. _20_. Min. _30_. $uperat, reliquus erit _6360781_. $inus arcus gra. _39_. Min. _30_. quem arcus grad. _60_. eodemillo arcu grad. _20_. Min. _30_ $uperat.

_RVRSVS_, $i ex $inu cuiu$uis arcus, qui maior $it arcu grad. _60_. detrahatur $inus arcus, quitanto minor $it arcu grad. _60_. quanto ille maior e$t, relinquetur $inus ar- cus, quo vteruis illorũ ab arcu grad. _60_. differt. Vt $i ex _9781476_. $inu arcus gra. _78_. auferatur _6691306_. $inus arcus gra. _42_. reliquus erit _3090170_. $inus arcus grad. _18_. quo vterq; illorũ ab arcu grad. _60_. differt. Quæ omnia ex dicta prope$. _8_. colliguntur.

_ITAQVE_ $atis e$t, vt inueniantur per regulam proportionum $inus ommum ar- cuum à principio quadrantis v$que ad arcum grad. _30_. Si enim ex his eliciantur $inus complementorum, & ex his inuentis detrahãtur priores illi $inus, reli qui erunt $inus omnium arcuum inter arcum grad. _30_ & arcum grad. _90_. Item $icogniti e$$ent $inus arcuũ omniũ ab arcu grad. _30_. v$q; ad finem quadrantis, & $inus omniũ arcuum, qui [141]_SINVS._ minores $int arcu grad. 60. detraherentur ex $inubus omnium arcuum maiorũ, quàm grad. 60. remanerent $inus omnium arcuum à principio quadrantis v$que ad arcum grad. 30. Denique $i $inus omnium arcuum à principio quadrantis v$que ad arcum grad. 60. inuenti e$$ent, & $inus omnium arcuum minorum, quàm grad. 30. $inubus omnium arcuum maiorum, quàm grad. 30. ad{ij}cerentur, componerentur $inus omnium arcuum maiorum, quàm grad. 60.

_SED_ iam $ub{ij}ciamus tabulam $inuum omnium arcuum quadrantis per $ingula Minuta exten$orumà Ioanne Regiom. $upputatam, quam tamen pleri$que in locis ab erroribus, qui incuria typographorum irrep$erant, purgauimus. Cõtinet autem in hac tabula $inus totus particulas 10000000. ratione cuius omnes al{ij} $inus inuenti $unt. Quòd $i à $ingulis re{ij}ciantur primæ duæ figuræ ad dexteram, (addita tamen vnita- te, $i duæ figuræ abiectæ numerum maiorem con$tituant, quàm 50.) relinquetur $inus re$pectu $inus totius 100000. Si tamen quis eandem tabulam per præcepta tradita Quid ageu dum, vt $e- quens tabu la $inuum exqui$ite có $truat, po$i- to $inu to- to partium 10000000. proprio Marte con$trnere velit, po$ito $inu toto partium 10000000. con$tituendus ei erit $inus totus in $upputatione partium 1000000000. _N_am $i ex $ingulis $inubus inuentis ab{ij}ciantur duæ primæ figuræ ad dexteram, vt diximus, reliqui erunt $inus re$pectu $inus totius 10000000. {ij}dem omnino, qui in tabula Ioannis Regiom. de- $cripti $unt. _H_oc idcirco dico, ne mireris, non omnes $inus per regulam proportionũ inuentos ex $inubus arcuum Minutis 45. $e ordine $uperantium, po$ito $inu toto 10000000. ad vnguem re$pondere $inubus huius tabulæ. Vt enim $inus exqui$itere- periatur re$pectu alicuius $inus totius, con$tituendus e$t in $upputatione $inus totus centies maior, vt $upra dictum e$t.

_QVOD_ aut\~e, abiectis duabus primis figuris ad dexterã ex $ingulis $inubus, rema Ratio, cur abtectis duabus pri mis figuris ex $inu quocũque re$pectu $i- nus totius 10000000. relinqua - tut idé $i- nus re$pe- ctu $in<_>9 to- ti<_>9 100000. licet prior ille Ron $it exqui$itein uentus. neant $inus exqui$iti re$pectu $inus totius 100000. quàmuis priores illi nõ $int exqui $ite inuenti, manife$tũ e$t. Quoniã enim $inus totus, $iue $emidiameter ad $inum rectũ quemcumq; determinatã quandã proportion\~e habet; fit, vt omnes partes illius, quot- cunq; illæ $int, ad partes huius inu\~etas re$pectu illarũ partiũ $inus totius eand\~e habeãt proportionem, quam omnes partes eiusd\~e $inus totius pauciores, quàm illæ priores, ha bent ad partes eiu$dem $inus re$pectu illarum partium $inus totius pauciorum : alio- quin $inus totus non haberet $emper ad eundem $inum eandem proportionem, $ed ali- quando e$$et maioris quantitatis re$pectu illius, & ali quando minoris : quod e$t ab- $urdum. Quocirca $i $inus cuiuslibet arcus, vt v. g illius, qui continet grad. 28. inuen- tus $it re$pectu $inus totius in quotuis particulas di$tributi, facile per regulam pro- portionum inueniemus eundem $inũ re$pectu eiu$dem $inus totius in pauciores partes diui$i, $i ita dicamus. Si $inus totus partium 10000000. dat $inum arcus grad. 28. par tium 4694716. Idem $inus totus partium 100000. quot partium dabit $inam eiu$d\~e arcus grad. 28? Inueniemus enim $inum partium 46947 {1600000/10000000}. Omi$- $a autem hac fractione, (quòd minor $it, quàm vnitas.) continebit idem $inus partes duntaxat 46947. quemadmodum in tabulis $inuum ponitur, in quibus $inus totus continet partes 100000. Vbi vides, $inum hunc relinqui, $i ex illo duæ primæ figuræ ad dexteram ab{ij}ciantur. Ratio huius abiectionis e$t; quia vt $inus ille grad. 28. mul- tiplicatus per $inum totum 100000 (quæ multiplicatio fit per appo$itionem quinque cifrarũ, hoc modo; 469471600000. vt in cap. 4. Arithmeticæ diximus.) diuidatur per $inum totum 10000000. vt regula proportionnm præcipit; $atis e$t, $i ex numero pro- ducto re{ij}ciantur $eptem figuræ, quotnimirum cifræ $unt in diui$ore 10000000. vt in cap. 5. Arithmeticæ docuimus. Quare re{ij}ciendæ $unt quing; illæ cifræ appo$itæ, & præterea duæ figuræ primæ, n\~epe hic numerus 1600000. qui cum diui$ore hanc mi [142]_SINVS._ nutiam {1600000/10000000}. con$tituit, quæ vnitate minor e$t; proptered quòd n@ merator cotinet $eptem figuras, denominator autem octo. Eadem\’q; ratio e$t in omnibus al{ij}s $inubus. Hinc fit, $inum relictum po$t abiectionem duarum primarum figurarum $atis exqui$itum e$$e re$pectu $inus totius 100000. etiam$i ille, a quo duæ figuræ ab{ij} ciuntur, re$pectu $inus totius 10000000. non e$$et exqui$ite inuentus. Cum enim to- tus error, qui in $upputatione contingere pote$t, (quando nimirum con$tituendus e$t $inus inter duos numeros, quorum vnus vero $inu maior e$t, & alter minor; Vel quan- do per regulam proportionum $inus inquiritur: hic enim maius periculum errandi e$- $e pote$t. Nam quando $inus inuenitur per extractionem radicis quadratæ, error vnitatem non excedit.) con$i$tat vel in prima $ola figura ad dexteram, vel in duabus primis, ita vt ad $ummum error $it in 99. vnitatibus, quibus $inus inuentus verum $i- num excedat, vel ab eo deficiat; (quis enim pluribus vnitatibus à $copo aberret, ni$i plane rerum Geometricarum, at que Arithmeticarum $it ignarus?) Duæ vero primæ figuræ cum quinque cifris appo$itis con$tituant numeratorem fractionis, quam diui- $io exhibet, minorem denominatore, ita vt fractio minor $it, quàm vnitas; liquet, $atis exqui$itum $inum relinqui.

Siad $inũ quemcúq; re$pectu $i- nus totius 100000. adijciãtut duæ cifræ ad dexterã, fitid\~e $in<_>9 re$pectu $i- nus totius 10000000.

_E A D E M_ ratione, $icuilibet $inui re$pectu $inus totius partium 100000. inuen- to apponãtur duæ cifræ ad dexteram, habebitur idem $inus re$pectu $inus totius par- tium 10000000. Nam $i dicamus verbi gratia; Sinus totus partium 100000. dat $inum arcus grad. 28. partium 46947: Sinus ergo totus partiũ 10000000. quot par- tium dabit eund\~e $inũ arcus grad. 28? reperiemus $inũ partium 4694700. Vbi vides, $inum hunc procreari, $i illi duæ ci$ræ ad dexteram ad{ij}ciantur. Ratio huius adiectio- nis e$t; quia vt $inus ille grad. 28. multiplicatus per $inum totum 10000000. (quæ multiplicatio fit per appo$itionem $eptem cifrarum, vt in cap 4. Arithmeticæ tradidi- mus) diuidatur per $inum totum 100000. vt regula proportionum præcipit, $atis e$t, $i ex numero producto 469470000000. auferantur quinque cifræ, vt ex cap. 5. no $træ Arithmeticæ con$tat. Quocirca relinquetur prior $inus cum duabus cifris ad dex- tram appo$itis. Quòd aut\~e ex $inu 46947. non sit inuentus sinus 4694716. ille id\~e, ex quo prius illum elicuimus, $ed $olum hic 4694700. cau$a e$t, quòd sinus 46947. non e$t omnino exquisitus re$pectu sinus totius 100000. Deberet namq; e$$e 46947. & in$u- per {1600000/10000000}. vt ex dictis patet, ex quo præci$e inuenietur sinus ille 4694716. Sed licet hæ 16. vnitates negligantur, accipiatur\’q; sinus 4694700. qua- lem inuenimus, non tamen fit error notabilis, cum 16. vnitates re$pectu sinus totius sint {16/10000000}. quæ minutia multo minor e$t, quàm {1/216000}. hoc e$t, quàm vnũ $ecundũ re$pectu sinus totius 60. vt merito negligi po{$s}it. Ad $um mũ poterit aliquãdo cõtingere error, quàmuis valde raro, in {99/10000000}. quæ minutia licet sit ali quanto maior, quàm {1/216000}. hoc e$t, quàm vnum Secundum re$pectu sinus totius 60 e$t tamen multo minor, quàm {1/3600}. hoc e$t, quàm vnum Minutum re$pectu sinus totius 60. Id vero, quod de sinubus totis partiũ 10000000 & 100000. diximus, intelligendum quoq; e$t de al{ij}s sinubus totis quot- Quo pacto ex $inubus maioribus $iant mino res, & con- tra, quotcũ que parti- cularum $i nus totus @atuatur. cunq; partium siue plurium, siue pauciorum. Semper enim ex sinubus re $pectu sinus totius maioris inuentis ab{ij}ciendæ $unt tot figuræ, vt relinquantur sinus re$pectu si- nus totius minoris, quot ci fris sinus totus maior sinum totum minorem $uperat: Item sinubus re$pectu sinus totius minoris inuentis ad{ij}ci\~e dæ $unt tot cifræ, vt fiãt sinus re $pectu sinus totius maioris, quot cifris minor sinus totus à sinu toto maiore $upera- tur. Quod eodem modo demon$trabitur. Vt si $upputentur sinus re$pectu sinus totius 100000000. & ex singulis ab{ij}ciantur tres primæ figuræ ad dexteram, reliqui erũt [143]_SINVS._ sinus re$pectu sinus totius 100000. & quidem multò exquisitiores, quàm si sinus $upputentur re$pectu sinus totius 10000000. & ex singulis duæ figuræ ab{ij}ciantur. Quòd si sinubus re$pectu sinus totius 100000. inuentis ad{ij}ciantur tres cifræ, fient sinus re$pectu sinus totius 100000000. at que ita de cæteris.

Cognitis duabus li- neis rectis re$pectu ali cuius men- $uræ, dein- de vero v- na earum re$pectu al terius men $uræ cogni ta, quo pa- cto alterare $pectu hu- ius alteri m\~e$ur{ae} co. gno$catur. Id qd A$tro nomis e$t familiati$- $imum.

_E X_ his patet ratio illius operationis, qua frequenter & in mea Gnomonica, & al{ij}s in locis v$us $um; cum duabus lineis cognitis re$pectu alicuius lineæ rectæ, tan- quam sinus totius, deinde vero vna earum iterum cognita re$pectu alterius lineæ rectæ maioris vel minoris veluti sinus totius, vel re$pectu alterius cuiu$piam men$u- ræ, alteram re$pectu huius alterius sinus totius, vel re$pectu alterius huius men$uræ inue$tigo. Id quod & Ptolemæus, & al{ij} A$tronomi non raro etiam faciunt. Exempli gratia; cum duabus lineis rectis A, B, co- gnitis re$pectu lineæ rectæ C, tanquã sinus totius cõ tinentis particulas 100000. linea quidem A, partium 91354. linea vero B, partium 40673. Deinde vero recta A, re$pectu alterius lineæ maioris D, veluti sinus totius cõplectentis quoque particulas 100000. deprehen$a iterum sit partium 80901. vel palmorum. 4 re$pectu men$uræ E. quæ palmo $it æqualis, vel re$pectu men $uræ F, quæ plures palmos, nempe quinque, cõtineat, inquiro, quot partes, aut palmos linea B, contineat re$pectu po$terioris sinus totius, aut re$pectu dictæ illius men$uræ E, vel F. Quod quidem expedio per regulam proportionum hoc modo. Si linea A, partiũ 91354. dat lineam B, partium 40673. Eadem linea A, partium 80901. vel palmo- r@m 4. quot partium, aut palmorũ dabit eandem lineã B ? Inuenietur namque lineæ B, partium 36019. & paulo amplius, vel palmorũ 1 {35669/45677}. Cuius operationis ratio à $uperiori non differt, cum recta A, ad rectam B, habeat $emper vnam & ean dem, determinatam\’q; proportionem.

SEQVITVR TABVLA SINVVM RECTORVM per $ingula Quadrantis Minuta exten$a, & à Ioan. Regio- montano quondam $upputata, nunc autem per me examinata, & pleri$que in locis ca$tigata, atque correcta. [144]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro $inubus # 0 # 1 # 2 # 3 # 4 0 # 0000 # 174524 # 348995 # 523360 # 697565 # 60 1 # 2909 # 177433 # 351902 # 526265 # 700467 # 59 2 # 5818 # 180341 # 354809 # 529170 # 703369 # 58 3 # 8727 # 183250 # 357716 # 532075 # 706270 # 57 4 # 11636 # 186158 # 360623 # 534980 # 709172 # 56 5 # 14544 # 189066 # 363530 # 537884 # 712073 # 55 6 # 17453 # 191975 # 366437 # 540789 # 714975 # 54 7 # 20362 # 194883 # 369344 # 543694 # 717876 # 53 8 # 23271 # 197792 # 372251 # 546598 # 720777 # 52 9 # 26180 # 200700 # 375158 # 549503 # 723678 # 51 10 # 29088 # 203608 # 378064 # 552407 # 726579 # 50 11 # 31997 # 206517 # 380971 # 555312 # 729480 # 49 12 # 34906 # 209425 # 383878 # 558216 # 732381 # 48 13 # 37815 # 212333 # 386785 # 561120 # 735282 # 47 14 # 40724 # 215241 # 389692 # 564024 # 738183 # 46 15 # 43632 # 218149 # 392598 # 566928 # 741084 # 45 16 # 46541 # 221057 # 395505 # 569832 # 743985 # 44 17 # 49450 # 223965 # 398412 # 572736 # 746886 # 43 18 # 52359 # 226873 # 401318 # 575640 # 749787 # 42 19 # 55268 # 229781 # 404225 # 578544 # 752688 # 41 20 # 58177 # 232689 # 407131 # 581448 # 755588 # 40 21 # 61086 # 235597 # 410038 # 584352 # 758489 # 39 22 # 63995 # 238505 # 412944 # 587256 # 761389 # 38 23 # 66904 # 241413 # 415851 # 590160 # 764290 # 37 24 # 59813 # 244321 # 418757 # 593064 # 767190 # 36 25 # 72721 # 247229 # 421663 # 595967 # 770090 # 35 26 # 75630 # 250137 # 424570 # 598871 # 772991 # 34 27 # 78539 # 253045 # 427476 # 601775 # 775891 # 33 28 # 81448 # 255953 # 430382 # 604678 # 778791 # 32 29 # 84357 # 258861 # 433288 # 607582 # 781691 # 31 30 # 87265 # 261769 # 436194 # 610485 # 784591 # 30 # 89 # 88 # 87 # 86 # 85 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [145]_SINVVM._ rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 0 # 1 # 2 # 3 # 4 30 # 87265 # 261769 # 436194 # 610485 # 784591 # 30 31 # 90174 # 264677 # 439100 # 613389 # 787491 # 29 32 # 93083 # 267585 # 442006 # 616292 # 790391 # 28 33 # 95992 # 270493 # 444912 # 619196 # 793291 # 27 34 # 98901 # 273401 # 447818 # 622099 # 796191 # 26 35 # 101809 # 276308 # 450724 # 625002 # 799090 # 25 36 # 104718 # 279216 # 453630 # 627905 # 801990 # 24 37 # 107627 # 282124 # 456536 # 630808 # 804889 # 23 38 # 110536 # 285032 # 459442 # 633711 # 807789 # 22 39 # 113445 # 287940 # 462348 # 636614 # 810688 # 21 40 # 116353 # 290847 # 465253 # 639517 # 813587 # 20 41 # 119262 # 293755 # 468159 # 642420 # 816486 # 19 42 # 122171 # 296663 # 471065 # 645323 # 819385 # 18 43 # 125079 # 299570 # 473970 # 648226 # 822284 # 17 44 # 127988 # 302478 # 476876 # 651129 # 825183 # 16 45 # 130896 # 305385 # 479781 # 654031 # 828082 # 15 46 # 133805 # 308293 # 482687 # 656934 # 830981 # 14 47 # 136714 # 311200 # 485592 # 659837 # 833880 # 13 48 # 139622 # 314108 # 488498 # 662739 # 836778 # 12 49 # 142531 # 317015 # 491403 # 665642 # 839677 # 11 50 # 145439 # 319922 # 494308 # 668544 # 842576 # 10 51 # 148348 # 322830 # 497214 # 671447 # 845474 # 9 52 # 151257 # 325737 # 500119 # 674349 # 848372 # 8 53 # 154165 # 328645 # 503024 # 677251 # 851271 # 7 54 # 157074 # 331552 # 505929 # 680153 # 854169 # 6 55 # 159982 # 334459 # 508834 # 683055 # 857067 # 5 56 # 162891 # 337367 # 511740 # 685957 # 859965 # 4 57 # 165799 # 340274 # 514645 # 688859 # 862863 # 3 58 # 168708 # 343181 # 517550 # 691761 # 865761 # 2 59 # 171616 # 346088 # 520455 # 694663 # 868659 # 1 60 # 174524 # 348995 # 523360 # 667565 # 871557 # 0 # 89 # 88 # 87 # 86 # 85 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [146]_TABVLA._ Gradus Quadrantis pro $inubus # 5 # 6 # 7 # 8 # 9 0 # 871557 # 1045285 # 1218693 # 1391731 # 1564345 # 60 1 # 874455 # 1048178 # 1221580 # 1394612 # 1567218 # 59 2 # 877353 # 1051071 # 1224467 # 1397492 # 1570091 # 58 3 # 880250 # 1053964 # 1227354 # 1400373 # 1572964 # 57 4 # 883148 # 1056857 # 1230241 # 1403253 # 1575837 # 56 5 # 886045 # 1059749 # 1233128 # 1406133 # 1578709 # 55 6 # 888943 # 1062642 # 1236015 # 1409013 # 1581581 # 54 7 # 891840 # 1065534 # 1238901 # 1411893 # 1584453 # 53 8 # 894737 # 1068426 # 1241788 # 1414772 # 1587325 # 52 9 # 897634 # 1071318 # 1244674 # 1417652 # 1590197 # 51 10 # 900531 # 1074210 # 1247560 # 1420531 # 1593069 # 50 11 # 903428 # 1077102 # 1250446 # 1423410 # 1595941 # 49 12 # 906325 # 1079994 # 1253332 # 1426289 # 1598812 # 48 13 # 909222 # 1082886 # 1256218 # 1429168 # 1601684 # 47 14 # 912119 # 1085778 # 1259104 # 1432047 # 1604555 # 46 15 # 915016 # 1088669 # 1261990 # 1434926 # 1607426 # 45 16 # 917913 # 1091561 # 1264876 # 1437805 # 1610297 # 44 17 # 920809 # 1094452 # 1267761 # 1440684 # 1613168 # 43 18 # 923706 # 1097344 # 1270647 # 1443562 # 1616038 # 42 19 # 926602 # 1100235 # 1273532 # 1446441 # 1618909 # 41 20 # 929498 # 1103126 # 1276417 # 1449319 # 1621779 # 40 21 # 932395 # 1106017 # 1279302 # 1452197 # 1624649 # 39 22 # 935291 # 1108908 # 1282187 # 1455075 # 1627519 # 38 23 # 938187 # 1111799 # 1285072 # 1457953 # 1630389 # 37 24 # 941083 # 1114690 # 1287957 # 1460831 # 1633259 # 36 25 # 943979 # 1117580 # 1290841 # 1463708 # 1636129 # 35 26 # 946875 # 1120471 # 1293726 # 1466586 # 1638999 # 34 27 # 949771 # 1123361 # 1296610 # 1469463 # 1641868 # 33 28 # 952667 # 1126252 # 1299495 # 1472340 # 1644738 # 32 29 # 955563 # 1129142 # 1302378 # 1475217 # 1647607 # 31 30 # 958458 # 1132032 # 1305262 # 1478094 # 1650476 # 30 # 84 # 83 # 82 # 81 # 80 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [147]_SINVVM._ rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 5 # 6 # 7 # 8 # 9 30 # 958458 # 1132032 # 1305262 # 1478094 # 1650476 # 30 31 # 961354 # 1134922 # 1308146 # 1480971 # 1653345 # 29 32 # 964249 # 1137812 # 1311030 # 1483848 # 1656214 # 28 33 # 967144 # 1140702 # 1313914 # 1486724 # 1659082 # 27 34 # 970039 # 1143592 # 1316798 # 1489601 # 1661951 # 26 35 # 972934 # 1146482 # 1319681 # 1492477 # 1664819 # 25 36 # 975829 # 1149372 # 1322564 # 1495353 # 1667687 # 24 37 # 978724 # 1152261 # 1325447 # 1498229 # 1670555 # 23 38 # 981619 # 1155151 # 1328330 # 1501105 # 1673423 # 22 39 # 984514 # 1158040 # 1331213 # 1503981 # 1676291 # 21 40 # 987408 # 1160929 # 1334096 # 1506857 # 1679159 # 20 41 # 990303 # 1163818 # 1336979 # 1509733 # 1682027 # 19 42 # 993198 # 1166707 # 1339862 # 1512608 # 1684894 # 18 43 # 996092 # 1169596 # 1342744 # 1515484 # 1687761 # 17 44 # 998987 # 1172485 # 1345627 # 1518359 # 1690628 # 16 45 # 1001881 # 1175374 # 1348509 # 1521234 # 1693495 # 15 46 # 1004775 # 1178263 # 1351392 # 1524109 # 1696362 # 14 47 # 1007669 # 1181151 # 1354274 # 1526984 # 1699229 # 13 48 # 1010563 # 1184040 # 1357156 # 1529859 # 1702095 # 12 49 # 1013457 # 1186928 # 1360038 # 1532734 # 1704962 # 11 50 # 1016351 # 1189816 # 1362920 # 1535608 # 1707828 # 10 51 # 1019245 # 1192704 # 1365802 # 1538482 # 1710694 # 9 52 # 1022139 # 1195592 # 1368683 # 1541356 # 1713560 # 8 53 # 1025032 # 1198480 # 1371564 # 1544230 # 1716426 # 7 54 # 1027926 # 1201368 # 1374446 # 1547104 # 1719292 # 6 55 # 1030819 # 1204255 # 1377327 # 1549978 # 1722157 # 5 56 # 1033713 # 1207143 # 1380208 # 1552852 # 1725022 # 4 57 # 1036606 # 1210031 # 1383089 # 1555725 # 1727887 # 3 58 # 1039499 # 1212918 # 1385970 # 1558599 # 1730752 # 2 59 # 1042392 # 1215806 # 1388851 # 1561472 # 1733617 # 1 60 # 1045285 # 1218693 # 1391731 # 1564345 # 1736482 # 0 # 84 # 83 # 82 # 81 # 80 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [148]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro $inubus # 10 # 11 # 12 # 13 # 14 0 # 1736482 # 1908090 # 2079117 # 2249511 # 2419219 # 60 1 # 1139347 # 1910945 # 2081962 # 2252345 # 2422041 # 59 2 # 1742211 # 1913800 # 2084807 # 2255179 # 2424863 # 58 3 # 1745075 # 1916655 # 2087652 # 2258013 # 2427685 # 57 4 # 1747939 # 1919510 # 2090497 # 2260847 # 2430507 # 56 5 # 1750803 # 1922365 # 2093342 # 2263680 # 2433329 # 55 6 # 1753667 # 1925220 # 2096186 # 2266513 # 2436150 # 54 7 # 1756531 # 1928074 # 2099030 # 2269346 # 2438971 # 53 8 # 1759394 # 1930928 # 2101874 # 2272179 # 2441792 # 52 9 # 1762258 # 1933782 # 2104718 # 2275012 # 2444613 # 51 10 # 1765121 # 1936636 # 2107562 # 2277844 # 2447434 # 50 11 # 1767984 # 1939490 # 2110405 # 2280676 # 2450254 # 49 12 # 1770847 # 1942344 # 2113248 # 2283508 # 2453074 # 48 13 # 1773710 # 1945197 # 2116091 # 2286340 # 2455894 # 47 14 # 1776573 # 1948050 # 2118934 # 2289172 # 2458714 # 46 15 # 1779435 # 1950903 # 2121777 # 2292004 # 2461533 # 45 16 # 1782298 # 1953756 # 2124620 # 2294835 # 2464352 # 44 17 # 1785160 # 1956609 # 2127462 # 2297666 # 2467171 # 43 18 # 1788022 # 1959462 # 2130304 # 2300497 # 2469990 # 42 19 # 1790884 # 1962314 # 2133146 # 2303328 # 2472809 # 41 20 # 1793746 # 1965166 # 2135988 # 2306159 # 2475628 # 40 21 # 1796608 # 1968018 # 2138830 # 2308989 # 2478446 # 39 22 # 1799469 # 1970870 # 2141671 # 2311819 # 2481264 # 38 23 # 1802331 # 1973722 # 2144512 # 2314649 # 2484082 # 37 24 # 1805192 # 1976574 # 2147353 # 2317479 # 2486900 # 36 25 # 1808053 # 1979425 # 2150194 # 2320309 # 2489717 # 35 26 # 1810914 # 1982276 # 2153035 # 2323138 # 2492534 # 34 27 # 1813774 # 1985127 # 2155876 # 2325967 # 2495351 # 33 28 # 1816634 # 1987978 # 2158716 # 2328796 # 2498168 # 32 29 # 1819495 # 1990829 # 2161556 # 2331625 # 2500984 # 31 30 # 1822355 # 1993679 # 2164396 # 2334454 # 2503800 # 30 # 79 # 78 # 77 # 76 # 75 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [149]_SINVVM._ rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 10 # 11 # 12 # 13 # 14 30 # 1822355 # 1993679 # 2164396 # 2334454 # 2503800 # 30 31 # 1825215 # 1996530 # 2167236 # 2337282 # 2506616 # 29 32 # 1828075 # 1999380 # 2170076 # 2340110 # 2509432 # 28 33 # 1830935 # 2002230 # 2172916 # 2342938 # 2512248 # 27 34 # 1833795 # 2005080 # 2175755 # 2345766 # 2515064 # 26 35 # 1836654 # 2007930 # 2178594 # 2348594 # 2517879 # 25 36 # 1839513 # 2010780 # 2181433 # 2351421 # 2520694 # 24 37 # 1842372 # 2013629 # 2184272 # 2354248 # 2523509 # 23 38 # 1845231 # 2016478 # 2187111 # 2357075 # 2526324 # 22 39 # 1848090 # 2019327 # 2189949 # 2359902 # 2529138 # 21 40 # 1850949 # 2022176 # 2192787 # 2362729 # 2531952 # 20 41 # 1853808 # 2025025 # 2195625 # 2365555 # 2534766 # 19 42 # 1856666 # 2027874 # 2198463 # 2368381 # 2537580 # 18 43 # 1859524 # 2030722 # 2201300 # 2371207 # 2540393 # 17 44 # 1862382 # 2033570 # 2204137 # 2374033 # 2543206 # 16 45 # 1865240 # 2036418 # 2206974 # 2376859 # 2546019 # 15 46 # 1868098 # 2039266 # 2209811 # 2379684 # 2548832 # 14 47 # 1870956 # 2042114 # 2212648 # 2382509 # 2551645 # 13 48 # 1873813 # 2044962 # 2215485 # 2385334 # 2554458 # 12 49 # 1876670 # 2047809 # 2218322 # 2388159 # 2557270 # 11 50 # 1879527 # 2050656 # 2221158 # 2390983 # 2560082 # 10 51 # 1882384 # 2053503 # 2223994 # 2393808 # 2562894 # 9 52 # 1885241 # 2056350 # 2226830 # 2396632 # 2565706 # 8 53 # 1888098 # 2059197 # 2229666 # 2399456 # 2568517 # 7 54 # 1890954 # 2062043 # 2232502 # 2402280 # 2571328 # 6 55 # 1893810 # 2064889 # 2235337 # 2405104 # 2574139 # 5 56 # 1896666 # 2067735 # 2238172 # 2407927 # 2576950 # 4 57 # 1899522 # 2070581 # 2241007 # 2410750 # 2579760 # 3 58 # 1902378 # 2073427 # 2243842 # 2413573 # 2582570 # 2 59 # 1905234 # 2076272 # 2246677 # 2416396 # 2585380 # 1 60 # 1908090 # 2079117 # 2249511 # 2419219 # 2588190 # 0 # 79 # 78 # 77 # 76 # 75 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [150]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro $inubus # 15 # 16 # 17 # 18 # 19 0 # 2588190 # 2756373 # 2923717 # 3090170 # 3255682 # 60 1 # 2591000 # 2759169 # 2926499 # 3092936 # 3258532 # 59 2 # 2593809 # 2761965 # 2929280 # 3095702 # 3261182 # 58 3 # 2596618 # 2764761 # 2932061 # 3098468 # 3263931 # 57 4 # 2599427 # 2767556 # 2934842 # 3101234 # 3266681 # 56 5 # 2602236 # 2770351 # 2937623 # 3103999 # 3269430 # 55 6 # 2605045 # 2773146 # 2940403 # 3106764 # 3272179 # 54 7 # 2607853 # 2775941 # 2943183 # 3109529 # 3274927 # 53 8 # 2610661 # 2778735 # 2945963 # 3112294 # 3277675 # 52 9 # 2613469 # 2781529 # 2948743 # 3115058 # 3280423 # 51 10 # 2616277 # 2784323 # 2951523 # 3117822 # 3283171 # 50 11 # 2619084 # 2787117 # 2954302 # 3120586 # 3285918 # 49 12 # 2621891 # 2789911 # 2957081 # 3123349 # 3288665 # 48 13 # 2624698 # 2792704 # 2959860 # 3126112 # 3291412 # 47 14 # 2627505 # 2795497 # 2962638 # 3128875 # 3294159 # 46 15 # 2630312 # 2798290 # 2965416 # 3131638 # 3296906 # 45 16 # 2633118 # 2801082 # 2968194 # 3134400 # 3299652 # 44 17 # 2635924 # 2803874 # 2970972 # 3137162 # 3302398 # 43 18 # 2638730 # 2806666 # 2973750 # 3139924 # 3305144 # 42 19 # 2641536 # 2809458 # 2976527 # 3142686 # 3307889 # 41 20 # 2644342 # 2812250 # 2979304 # 3145448 # 3310634 # 40 21 # 2647147 # 2815041 # 2982081 # 3148209 # 3313379 # 39 22 # 2649952 # 2817832 # 2984857 # 3150970 # 3316123 # 38 23 # 2652757 # 2820623 # 2987633 # 3153731 # 3318867 # 37 24 # 2655562 # 2823414 # 2990409 # 3156491 # 3321611 # 36 25 # 2658366 # 2826204 # 2993185 # 3159251 # 3324355 # 35 26 # 2661170 # 2828994 # 2995960 # 3162011 # 3327098 # 34 27 # 2663974 # 2831784 # 2998735 # 3164770 # 3329841 # 33 28 # 2666777 # 2834574 # 3001510 # 3167529 # 3332585 # 32 29 # 2669580 # 2837364 # 3004284 # 3170288 # 3335327 # 31 30 # 2672383 # 2840153 # 3007058 # 3173047 # 3338069 # 30 # 74 # 73 # 72 # 71 # 70 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [151]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 15 # 16 # 17 # 18 # 19 30 # 2672383 # 2840153 # 3007058 # 3173047 # 3338069 # 30 31 # 2675186 # 2842942 # 3009832 # 3175805 # 3340811 # 29 32 # 2677989 # 2845731 # 3012606 # 3178563 # 3343553 # 28 33 # 2680792 # 2848520 # 3015380 # 3181321 # 3346294 # 27 34 # 2683595 # 2851308 # 3018153 # 3184079 # 3349035 # 26 35 # 2686397 # 2854096 # 3020926 # 3186837 # 3351776 # 25 36 # 2689199 # 2856884 # 3023699 # 3189594 # 3354516 # 24 37 # 2692001 # 2859672 # 3026472 # 3192351 # 3357256 # 23 38 # 2694802 # 2862459 # 3029244 # 3195108 # 3359996 # 22 39 # 2697603 # 2865246 # 3032016 # 3197864 # 3362736 # 21 40 # 2700404 # 2868033 # 3034788 # 3200620 # 3365475 # 20 41 # 2703205 # 2870819 # 3037559 # 3203375 # 3368214 # 19 42 # 2706005 # 2873605 # 3040330 # 3206130 # 3370953 # 18 43 # 2708805 # 2876391 # 3043101 # 3208885 # 3373691 # 17 44 # 2711605 # 2879177 # 3045872 # 3211640 # 3376429 # 16 45 # 2714405 # 2881963 # 3048643 # 3214395 # 3379167 # 15 46 # 2717204 # 2884748 # 3051413 # 3217150 # 3381905 # 14 47 # 2720003 # 2887533 # 3054183 # 3219904 # 3384642 # 13 48 # 2722802 # 2890318 # 3056953 # 3222658 # 3387379 # 12 49 # 2725601 # 2893103 # 3059723 # 3225412 # 3390116 # 11 50 # 2728400 # 2895888 # 3062492 # 3228165 # 3392852 # 10 51 # 2731198 # 2898672 # 3065261 # 3230918 # 3395588 # 9 52 # 2733996 # 2901456 # 3068030 # 3233671 # 3398324 # 8 53 # 2736794 # 2904240 # 3070798 # 3236423 # 3401060 # 7 54 # 2739592 # 2907023 # 3073566 # 3239175 # 3403795 # 6 55 # 2742389 # 2909806 # 3076334 # 3241927 # 3406530 # 5 56 # 2745186 # 2912589 # 3079102 # 3244679 # 3409265 # 4 57 # 2747983 # 2915371 # 3081869 # 3247430 # 3411999 # 3 58 # 2750780 # 2918153 # 3084636 # 3250181 # 3414733 # 2 59 # 2753577 # 2920935 # 3087403 # 3252932 # 3417467 # 1 60 # 2756373 # 2923717 # 3090170 # 3255682 # 3420201 # 0 # 74 # 73 # 72 # 71 # 70 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [152]TABVLA. Gradus Quadrantis pro $inubus # 20 # 21 # 22 # 23 # 24 0 # 3420201 # 3583679 # 3746066 # 3907311 # 4067366 # 60 1 # 3422934 # 3586395 # 3748763 # 3909989 # 4070023 # 59 2 # 3425667 # 3589110 # 3751460 # 3912666 # 4072680 # 58 3 # 3428400 # 3591825 # 3754156 # 3915343 # 4075337 # 57 4 # 3431133 # 3594540 # 3756852 # 3918020 # 4077993 # 56 5 # 3433865 # 3597254 # 3759548 # 3920696 # 4080649 # 55 6 # 3436597 # 3599968 # 3762243 # 3923372 # 4083305 # 54 7 # 3439329 # 3602682 # 3764938 # 3926048 # 4085960 # 53 8 # 3442060 # 3605395 # 3767633 # 3928723 # 4088615 # 52 9 # 3444791 # 3608108 # 3770327 # 3931398 # 4091269 # 51 10 # 3447522 # 3610821 # 3773021 # 3934072 # 4093923 # 50 11 # 3450253 # 3613533 # 3775715 # 3936746 # 4096577 # 49 12 # 3452983 # 3616245 # 3778408 # 3939420 # 4099231 # 48 13 # 3455713 # 3618957 # 3781101 # 3942093 # 4101884 # 47 14 # 3458442 # 3621669 # 3783794 # 3944766 # 4104537 # 46 15 # 3461171 # 3624380 # 3786486 # 3947439 # 4107189 # 45 16 # 3463900 # 3627091 # 3789178 # 3950112 # 4109841 # 44 17 # 3466629 # 3629802 # 3791870 # 3952784 # 4112493 # 43 18 # 3469357 # 3632512 # 3794562 # 3955456 # 4115144 # 42 19 # 3472085 # 3635222 # 3797253 # 3958128 # 4117795 # 41 20 # 3474813 # 3637932 # 3799944 # 3960799 # 4120446 # 40 21 # 3477540 # 3640642 # 3802635 # 3963470 # 4123096 # 39 22 # 3480267 # 3643351 # 3805325 # 3966140 # 4125746 # 38 23 # 3482994 # 3646060 # 3808015 # 3968810 # 4128395 # 37 24 # 3485721 # 3648768 # 3810704 # 3971480 # 4131044 # 36 25 # 3488447 # 3651476 # 3813393 # 3974149 # 4133693 # 35 26 # 3491173 # 3654184 # 3816082 # 3976818 # 4136341 # 34 27 # 3493899 # 3656892 # 3818771 # 3979487 # 4138989 # 33 28 # 3496624 # 3659599 # 3821459 # 3982155 # 4141637 # 32 29 # 3499349 # 3662306 # 3824147 # 3984823 # 4144285 # 31 30 # 3502075 # 3665012 # 3826834 # 3987491 # 4146932 # 30 # 69 # 68 # 67 # 66 # 65 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [153]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 20 # 21 # 22 # 23 # 24 30 # 3502075 # 3665012 # 3826834 # 3987491 # 4146932 # 30 31 # 3504799 # 3667718 # 3829521 # 3990159 # 4149579 # 29 32 # 3507523 # 3670424 # 3832208 # 3992826 # 4152226 # 28 33 # 3510247 # 3673130 # 3834895 # 3995493 # 4154872 # 27 34 # 3512971 # 3675835 # 3837581 # 3998159 # 4157518 # 26 35 # 3515694 # 3678541 # 3840267 # 4000825 # 4160163 # 25 36 # 3518417 # 3681246 # 3842953 # 4003491 # 4162808 # 24 37 # 3521140 # 3683951 # 3845638 # 4006156 # 4165453 # 23 38 # 3523862 # 3686655 # 3848323 # 4008821 # 4168097 # 22 39 # 3526584 # 3689359 # 3851008 # 4011486 # 4170741 # 21 40 # 3529306 # 3692062 # 3853692 # 4014150 # 4173385 # 20 41 # 3532027 # 3694765 # 3856376 # 4016814 # 4176028 # 19 42 # 3534748 # 3697468 # 3859060 # 4019478 # 4178671 # 18 43 # 3537469 # 3700170 # 3861743 # 4022141 # 4181313 # 17 44 # 3540190 # 2702872 # 3864426 # 4024804 # 4183955 # 16 45 # 3542910 # 3705574 # 3867109 # 4027467 # 4186597 # 15 46 # 3545630 # 3708276 # 3869791 # 4030130 # 4189239 # 14 47 # 3548350 # 3710977 # 3872473 # 4032792 # 4191880 # 13 48 # 3551070 # 3713678 # 3875155 # 4035454 # 4194521 # 12 49 # 3553789 # 3716379 # 3877837 # 4038115 # 4197162 # 11 50 # 3556508 # 3719080 # 3880518 # 4040776 # 4199802 # 10 51 # 3559227 # 3721780 # 3883199 # 4043437 # 4202442 # 9 52 # 3561945 # 3724480 # 3885880 # 4046097 # 4205081 # 8 53 # 3564663 # 3727179 # 3888560 # 4048757 # 4207720 # 7 54 # 3567380 # 3729878 # 3891240 # 4051416 # 4210359 # 6 55 # 3570097 # 3732577 # 3893919 # 4054075 # 4212997 # 5 56 # 3572814 # 3735275 # 3896598 # 4056734 # 4215635 # 4 57 # 3575531 # 3737973 # 3899277 # 4059392 # 4218273 # 3 58 # 3578247 # 3740671 # 3901955 # 4062050 # 4220910 # 2 59 # 3580963 # 3743369 # 3904633 # 4064708 # 4223547 # 1 60 # 3583679 # 3746066 # 3907311 # 4067366 # 4226183 # 0 # 69 # 68 # 67 # 66 # 65 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [154]TABVLA Gradus Quadrantis pro $inubus # 25 # 26 # 27 # 28 # 29 0 # 4226183 # 4383712 # 4539905 # 4694716 # 4848096 # 60 1 # 4228819 # 4386326 # 4542497 # 4697284 # 4850640 # 59 2 # 4231455 # 4388940 # 4545088 # 4699852 # 4853184 # 58 3 # 4234090 # 4391554 # 4547679 # 4702419 # 4855727 # 57 4 # 4236725 # 4394167 # 4550270 # 4704986 # 4858270 # 56 5 # 4239360 # 4396780 # 4552860 # 4707553 # 4860812 # 55 6 # 4241994 # 4399392 # 4555450 # 4710119 # 4863354 # 54 7 # 4244628 # 4402004 # 4558039 # 4712685 # 4865895 # 53 8 # 4247262 # 4404616 # 4560628 # 4715250 # 4868436 # 52 9 # 4249895 # 4407227 # 4563216 # 4717815 # 4870977 # 51 10 # 4252528 # 4409838 # 4565804 # 4720380 # 4873517 # 50 11 # 4255161 # 4412449 # 4568392 # 4722944 # 4876057 # 49 12 # 4257793 # 4415059 # 4570979 # 4725508 # 4878596 # 48 13 # 4260425 # 4417669 # 4573566 # 4728071 # 4881135 # 47 14 # 4263056 # 4420278 # 4576153 # 4730634 # 4883674 # 46 15 # 4265687 # 4422887 # 4578739 # 4733197 # 4886212 # 45 16 # 4268318 # 4425496 # 4581325 # 4735759 # 4888750 # 44 17 # 4270949 # 4428104 # 4583911 # 4738321 # 4891287 # 43 18 # 4273579 # 4430712 # 4586496 # 4740882 # 4893824 # 42 19 # 4276209 # 4433320 # 4589081 # 4743443 # 4896361 # 41 20 # 4278838 # 4435927 # 4591665 # 4746004 # 4898897 # 40 21 # 4281467 # 4438534 # 4594249 # 4748564 # 4901433 # 39 22 # 4284096 # 4441140 # 4596833 # 4751124 # 4903968 # 38 23 # 4286724 # 4443746 # 4599416 # 4753683 # 4906503 # 37 24 # 4289352 # 4446352 # 4601999 # 4756242 # 4909037 # 36 25 # 4291979 # 4448957 # 4604581 # 4758801 # 4911571 # 35 26 # 4294606 # 4451562 # 4607163 # 4761359 # 4914105 # 34 27 # 4297233 # 4454167 # 4609744 # 4763917 # 4916638 # 33 28 # 4299859 # 4456771 # 4612325 # 4766474 # 4919171 # 32 29 # 4302485 # 4459375 # 4614906 # 4769031 # 4921703 # 31 30 # 4305111 # 4461978 # 4617486 # 4771588 # 4924235 # 30 # 64 # 63 # 62 # 61 # 60 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [155]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 25 # 26 # 27 # 28 # 29 30 # 4305111 # 4461978 # 4617486 # 4771588 # 4924235 # 30 31 # 4307736 # 4464581 # 4620066 # 4774144 # 4926767 # 29 32 # 4310361 # 4467184 # 4622646 # 4776700 # 4929298 # 28 33 # 4312986 # 4469786 # 4625225 # 4779255 # 4931829 # 27 34 # 4315610 # 4472388 # 4627804 # 4781810 # 4934359 # 26 35 # 4318234 # 4474990 # 4630382 # 4784365 # 4936889 # 25 36 # 4320858 # 4477591 # 4632960 # 4786919 # 4939418 # 24 37 # 4323481 # 4480192 # 4635538 # 4789473 # 4941947 # 23 38 # 4326104 # 4482792 # 4638115 # 4792026 # 4944476 # 22 39 # 4328726 # 4485392 # 4640692 # 4794579 # 4947004 # 21 40 # 4331348 # 4487992 # 4643268 # 4797132 # 4949532 # 20 41 # 4333970 # 4490591 # 4645844 # 4799684 # 4952059 # 19 42 # 4336591 # 4493190 # 4648420 # 4802236 # 4954586 # 18 43 # 4339212 # 4495788 # 4650995 # 4804787 # 4957113 # 17 44 # 4341833 # 4498386 # 4653570 # 4807338 # 5959639 # 16 45 # 4344453 # 4500984 # 4656145 # 4809888 # 4962165 # 15 46 # 4347073 # 4503582 # 4658719 # 4812438 # 4964690 # 14 47 # 4349693 # 4506179 # 4661293 # 4814988 # 4967215 # 13 48 # 4352312 # 4508776 # 4663866 # 4817537 # 4969740 # 12 49 # 4354931 # 4511372 # 4666439 # 4820086 # 4972264 # 11 50 # 4357549 # 4513968 # 4669012 # 4822635 # 4974788 # 10 51 # 4360167 # 4516563 # 4671584 # 4825183 # 4977311 # 9 52 # 4362785 # 4519158 # 4674156 # 4827731 # 4979834 # 8 53 # 4365402 # 4521753 # 4676727 # 4830278 # 4982356 # 7 54 # 4368019 # 4524347 # 4679298 # 4832825 # 4984878 # 6 55 # 4370635 # 4526941 # 4681869 # 4835371 # 4987399 # 5 56 # 4373251 # 4529535 # 4684439 # 4837917 # 4989920 # 4 57 # 4375867 # 4532128 # 4687009 # 4840462 # 4992441 # 3 58 # 4378482 # 4534721 # 4689578 # 4843007 # 4994961 # 2 59 # 4381097 # 4537313 # 4692147 # 4845552 # 4997481 # 1 60 # 4383712 # 4539905 # 4694716 # 4848096 # 5000000 # 0 # 64 # 63 # 62 # 61 # 60 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [156]TABVLA Gradus Quadrantis pro $inubus # 30 # 31 # 32 # 33 # 34 0 # 5000000 # 5150381 # 5299192 # 5446390 # 5591929 # 60 1 # 5002519 # 5152874 # 5301659 # 5448829 # 5594340 # 59 2 # 5005038 # 5155367 # 5304125 # 5451268 # 5596751 # 58 3 # 5007556 # 5157859 # 5306591 # 5453707 # 5599161 # 57 4 # 5010074 # 5160351 # 5309056 # 5456145 # 5601571 # 56 5 # 5012591 # 5162843 # 5311521 # 5458583 # 5603981 # 55 6 # 5015108 # 5165334 # 5313985 # 5461020 # 5606390 # 54 7 # 5017624 # 5167825 # 5316449 # 5463456 # 5608798 # 53 8 # 5020140 # 5170315 # 5318913 # 5465892 # 5611206 # 52 9 # 5022656 # 5172805 # 5321376 # 5468328 # 5613614 # 51 10 # 5025171 # 5175294 # 5323839 # 5470763 # 5616021 # 50 11 # 5027686 # 5177783 # 5326301 # 5473198 # 5618427 # 49 12 # 5030200 # 5180271 # 5328763 # 5475632 # 5620833 # 48 13 # 5032714 # 5182759 # 5331224 # 5478066 # 5623239 # 47 14 # 5035227 # 5185246 # 5333685 # 5480499 # 5625644 # 46 15 # 5037740 # 5187733 # 5336145 # 5482932 # 5628049 # 45 16 # 5040253 # 5190220 # 5338605 # 5485364 # 5630453 # 44 17 # 5042765 # 5192706 # 5341065 # 5487796 # 5632857 # 43 18 # 5045277 # 5195192 # 5343524 # 5490228 # 5635260 # 42 19 # 5047788 # 5197677 # 5345983 # 5492659 # 5637663 # 41 20 # 5050299 # 5200162 # 5348441 # 5495090 # 5640066 # 40 21 # 5052809 # 5202646 # 5350898 # 5497520 # 5642468 # 39 22 # 5055319 # 5205130 # 5353355 # 5499950 # 5644869 # 38 23 # 5057829 # 5207614 # 5355812 # 5502379 # 5647270 # 37 24 # 5060338 # 5210097 # 5358268 # 5504808 # 5649670 # 36 25 # 5062847 # 5212580 # 5360724 # 5507236 # 5652070 # 35 26 # 5065355 # 5215062 # 5363179 # 5509664 # 5654469 # 34 27 # 5067863 # 5217544 # 5365634 # 5512091 # 5656868 # 33 28 # 5070370 # 5220025 # 5368088 # 5514518 # 5659266 # 32 29 # 5072877 # 5222506 # 5370542 # 5516944 # 5661664 # 31 30 # 5075384 # 5224986 # 5372996 # 5519370 # 5664062 # 30 # 59 # 58 # 57 # 56 # 55 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [157]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 30 # 31 # 32 # 33 # 34 30 # 5075384 # 5224986 # 5372996 # 5519370 # 5664062 # 30 31 # 5077890 # 5227466 # 5375449 # 5521795 # 5666459 # 29 32 # 5080396 # 5229949 # 5377902 # 5524220 # 5668856 # 28 33 # 5082901 # 5232425 # 5380354 # 5526645 # 5671252 # 27 34 # 5085406 # 5234904 # 5382806 # 5529069 # 5673648 # 26 35 # 5087911 # 5237382 # 5385258 # 5531493 # 5676043 # 25 36 # 5090415 # 5239860 # 5387709 # 5533916 # 5678438 # 24 37 # 5092619 # 5242337 # 5390159 # 5536338 # 5680832 # 23 38 # 5095422 # 5244814 # 5392609 # 5538760 # 5683226 # 22 39 # 5097925 # 5247290 # 5395058 # 5541182 # 5685619 # 21 40 # 5100427 # 5249766 # 5397507 # 5543603 # 5688012 # 20 41 # 5102929 # 5252241 # 5399955 # 5546024 # 5690404 # 19 42 # 5105430 # 5254716 # 5402403 # 5548444 # 5692796 # 18 43 # 5107931 # 5257191 # 5404851 # 5550864 # 5695187 # 17 44 # 5110431 # 5259665 # 5407298 # 5553283 # 5697578 # 16 45 # 5112931 # 5262139 # 5409745 # 5555702 # 5699968 # 15 46 # 5115431 # 5264612 # 5412191 # 5558120 # 5702358 # 14 47 # 5117930 # 5267085 # 5414637 # 5560538 # 5704747 # 13 48 # 5120429 # 5269557 # 5417082 # 5562956 # 5707136 # 12 49 # 5122927 # 5272029 # 5419527 # 5565373 # 5709524 # 11 50 # 5125425 # 5274501 # 5421972 # 5567790 # 5711912 # 10 51 # 5127922 # 5276972 # 5424416 # 5570206 # 5714299 # 9 52 # 5130419 # 5279443 # 5426859 # 5572622 # 5716686 # 8 53 # 5132916 # 5281913 # 5429302 # 5575037 # 5719072 # 7 54 # 5135412 # 5284383 # 5431745 # 5577452 # 5721458 # 6 55 # 5137908 # 5286852 # 5434187 # 5579866 # 5723844 # 5 56 # 5140403 # 5289321 # 5436629 # 5582280 # 5726229 # 4 57 # 5141898 # 5291789 # 5439070 # 5584693 # 5728613 # 3 58 # 5145393 # 5294257 # 5441510 # 5587106 # 5730997 # 2 59 # 5147887 # 5296725 # 5443950 # 5589518 # 5733381 # 1 60 # 5150381 # 5299192 # 5446390 # 5591929 # 5735764 # 0 # 59 # 58 # 57 # 56 # 55 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [158]TABVLA Gradus Quadrantis pro $inubus # 35 # 36 # 37 # 38 # 39 0 # 5735764 # 5877852 # 6018150 # 6156615 # 6293204 # 60 1 # 5738147 # 5880205 # 6020473 # 6158907 # 6295464 # 59 2 # 5740529 # 5882558 # 6022796 # 6161198 # 6297724 # 58 3 # 5742911 # 5884910 # 6025118 # 6163489 # 6299983 # 57 4 # 5745292 # 5887262 # 6027439 # 6165780 # 6302242 # 56 5 # 5747672 # 5889613 # 6029760 # 6168070 # 6304501 # 55 6 # 5750052 # 5891964 # 6032080 # 6170359 # 6306759 # 54 7 # 5752432 # 5894314 # 6034400 # 6172648 # 6309016 # 53 8 # 5754811 # 5896664 # 6036719 # 6174936 # 6311273 # 52 9 # 5757190 # 5899013 # 6039038 # 6177224 # 6313529 # 51 10 # 5759568 # 5901361 # 6041357 # 6179512 # 6315784 # 50 11 # 5761946 # 5903709 # 6043675 # 6181799 # 6318039 # 49 12 # 5764323 # 5906056 # 6045992 # 6184085 # 6320293 # 48 13 # 5766700 # 5908403 # 6048309 # 6186371 # 6322547 # 47 14 # 5769076 # 5910750 # 6050625 # 6188656 # 6324800 # 46 15 # 5771452 # 5913096 # 6052940 # 6190940 # 6327053 # 45 16 # 5773827 # 5915442 # 6055255 # 6193224 # 6329305 # 44 17 # 5776202 # 5917787 # 6057570 # 6195508 # 6331557 # 43 18 # 5778576 # 5920132 # 6059884 # 6197781 # 6333808 # 42 19 # 5780950 # 5922476 # 6062198 # 6200074 # 6336059 # 41 20 # 5783324 # 5924820 # 6064511 # 6202356 # 6338310 # 40 21 # 5785697 # 5927163 # 6066824 # 6204638 # 6340560 # 39 22 # 5788069 # 5929505 # 6069136 # 6206919 # 6342809 # 38 23 # 5790441 # 5931847 # 6071448 # 6209199 # 6345058 # 37 24 # 5792812 # 5934189 # 6073759 # 6211479 # 6347306 # 36 25 # 5795183 # 5936530 # 6076069 # 6213758 # 6349553 # 35 26 # 5797553 # 5938871 # 6078379 # 6216037 # 6351800 # 34 27 # 5799923 # 5941211 # 6080688 # 6218315 # 6354046 # 33 28 # 5802292 # 5943551 # 6082997 # 6220593 # 6356292 # 32 29 # 5804661 # 5945890 # 6085306 # 6222870 # 6358537 # 31 30 # 5807030 # 5948228 # 6087614 # 6225146 # 6360782 # 30 # 54 # 53 # 52 # 51 # 50 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [159]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 35 # 36 # 37 # 38 # 39 30 # 5807030 # 5948228 # 6087614 # 6225146 # 6360782 # 30 31 # 5809398 # 5950566 # 6089922 # 6227422 # 6363026 # 29 32 # 5811766 # 5952904 # 6092229 # 6229698 # 6365270 # 28 33 # 5814133 # 5955241 # 6094536 # 6231973 # 6367513 # 27 34 # 5816499 # 5957578 # 6096842 # 6234248 # 6369756 # 26 35 # 5818865 # 5959914 # 6099147 # 6236522 # 6371999 # 25 36 # 6821230 # 5962250 # 6101452 # 6238796 # 6374241 # 24 37 # 5823595 # 5964585 # 6103756 # 6241069 # 6376482 # 23 38 # 5825959 # 5966919 # 6106060 # 6243342 # 6378722 # 22 39 # 5828323 # 5969253 # 6108364 # 6245614 # 6380962 # 21 40 # 5830687 # 5971586 # 6110667 # 6247885 # 6383201 # 20 41 # 5833050 # 5973919 # 6112970 # 6250156 # 6385440 # 19 42 # 5835412 # 5976251 # 6115272 # 6252426 # 6387678 # 18 43 # 5837774 # 5978583 # 6117573 # 6254696 # 6389916 # 17 44 # 5840136 # 5980915 # 6119873 # 6256966 # 6392153 # 16 45 # 5842497 # 5983246 # 6122173 # 6259235 # 6394390 # 15 46 # 5844858 # 5985577 # 6124473 # 6261503 # 6396626 # 14 47 # 5847218 # 5987907 # 6126772 # 6263771 # 6398862 # 13 48 # 5849578 # 5990237 # 6129071 # 6266038 # 6401097 # 12 49 # 5851937 # 5992566 # 6131369 # 6268305 # 6403332 # 11 50 # 5854295 # 5994894 # 6133667 # 6270572 # 6405566 # 10 51 # 5856653 # 5997222 # 6135964 # 6272838 # 6407799 # 9 52 # 5859010 # 5999549 # 6138261 # 6275103 # 6410032 # 8 53 # 5861367 # 6001876 # 6140557 # 6277368 # 6412264 # 7 54 # 5863724 # 6004202 # 6142853 # 6279632 # 6414496 # 6 55 # 5866080 # 6006528 # 6145148 # 6281895 # 6416728 # 5 56 # 5868436 # 6008853 # 6147442 # 6284158 # 6418959 # 4 57 # 5870791 # 6011178 # 6149736 # 6286420 # 6421189 # 3 58 # 5873145 # 6013502 # 6152030 # 6288682 # 6423419 # 2 59 # 5875499 # 6015826 # 6154323 # 6290943 # 6425648 # 1 60 # 5877852 # 6018150 # 6156615 # 6293204 # 6427876 # 0 # 54 # 53 # 52 # 51 # 50 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [160]TABVLA. Gradus Quadrantis pro $inubus # 40 # 41 # 42 # 43 # 44 0 # 6427876 # 6560590 # 6691306 # 6819984 # 6946584 # 60 1 # 6430104 # 6562785 # 6693468 # 6822111 # 6948676 # 59 2 # 6432331 # 6564979 # 6695629 # 6824237 # 6950767 # 58 3 # 6434558 # 6567173 # 6697789 # 6826363 # 6952858 # 57 4 # 6436785 # 6569367 # 6699949 # 6828489 # 6954949 # 56 5 # 6439011 # 6571560 # 6702108 # 6830614 # 6957039 # 55 6 # 6441236 # 6573753 # 6704267 # 6832738 # 6959128 # 54 7 # 6443461 # 6575945 # 6706425 # 6834861 # 6961216 # 53 8 # 6445685 # 6578136 # 6708582 # 6836984 # 6963304 # 52 9 # 6447909 # 6580326 # 6710739 # 6839107 # 6965392 # 51 10 # 6450132 # 6582516 # 6712895 # 6841229 # 6967479 # 50 11 # 6452355 # 6584705 # 6715051 # 6843350 # 6969565 # 49 12 # 6454577 # 6586894 # 6717206 # 6845471 # 6971651 # 48 13 # 6456799 # 6589082 # 6719361 # 6847591 # 6973736 # 47 14 # 6459020 # 6591270 # 6721515 # 6849711 # 6975821 # 46 15 # 6461240 # 6593458 # 6723668 # 6851830 # 6977905 # 45 16 # 6463460 # 6595645 # 6725821 # 6853949 # 6979988 # 44 17 # 6465679 # 6597831 # 6727973 # 6856067 # 6982071 # 43 18 # 6467898 # 6600016 # 6730125 # 6858184 # 6984153 # 42 19 # 6470116 # 6602201 # 6732276 # 6860301 # 6986235 # 41 20 # 6472333 # 6604386 # 6734427 # 6862417 # 6988319 # 40 21 # 6474550 # 6606570 # 6736577 # 6864533 # 6990396 # 39 22 # 6476766 # 6608753 # 6738726 # 6866648 # 6992476 # 38 23 # 6478982 # 6610936 # 6740875 # 6868762 # 6994555 # 37 24 # 6481198 # 6613118 # 6743024 # 6870876 # 6996634 # 36 25 # 6483413 # 6615300 # 6745172 # 6872989 # 6998712 # 35 26 # 6485628 # 6617481 # 6747319 # 6875102 # 7000789 # 34 27 # 6487842 # 6619661 # 6749465 # 6877214 # 7002866 # 33 28 # 6490055 # 6621841 # 6751611 # 6879325 # 7004942 # 32 29 # 6492268 # 6624021 # 6753757 # 6881436 # 7007018 # 31 30 # 6494480 # 6626200 # 6755902 # 6883546 # 7009093 # 30 # 49 # 48 # 47 # 46 # 45 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [161]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 40 # 41 # 42 # 43 # 44 30 # 6494480 # 6626200 # 6755902 # 6883546 # 7009093 # 30 31 # 6496692 # 6628379 # 6758047 # 6885656 # 7011167 # 29 32 # 6498903 # 6630557 # 6760191 # 6887765 # 7013241 # 28 33 # 6501114 # 6632734 # 6762334 # 6889874 # 7015314 # 27 34 # 6503324 # 6634911 # 6764477 # 6891982 # 7017387 # 26 35 # 6505533 # 6637087 # 6766619 # 6894089 # 7019459 # 25 36 # 6507742 # 6639263 # 6768760 # 6896196 # 7021530 # 24 37 # 6509950 # 6641438 # 6770901 # 6898302 # 7023601 # 23 38 # 6512158 # 6643612 # 6773041 # 6900408 # 7025671 # 22 39 # 6514365 # 6645786 # 6775181 # 6902513 # 7027741 # 21 40 # 6516572 # 6647959 # 6777320 # 6904617 # 7029810 # 20 41 # 6518778 # 6650132 # 6779459 # 6906721 # 7031879 # 19 42 # 6520984 # 6652304 # 6781597 # 6908824 # 7033947 # 18 43 # 6523189 # 6654476 # 6783734 # 6910927 # 7036014 # 17 44 # 6525394 # 6656647 # 6785871 # 6913029 # 7038081 # 16 45 # 6527598 # 6658817 # 6788007 # 6915131 # 7040147 # 15 46 # 6529801 # 6660987 # 6790143 # 6917232 # 7042213 # 14 47 # 6532004 # 6663156 # 6792278 # 6919332 # 7044278 # 13 48 # 6534206 # 6665325 # 6794413 # 6921432 # 7046342 # 12 49 # 6536408 # 6667493 # 6796547 # 6923531 # 7048406 # 11 50 # 6538609 # 6669661 # 6798681 # 6925630 # 7050469 # 10 51 # 6540809 # 6671828 # 6800814 # 6927728 # 7052432 # 9 52 # 6543009 # 6673994 # 6802946 # 6929725 # 7054594 # 8 53 # 6545208 # 6676160 # 6805078 # 6931922 # 7056655 # 7 54 # 6547407 # 6678326 # 6807209 # 6934018 # 7058716 # 6 55 # 6549606 # 6680491 # 6809340 # 6936114 # 7060776 # 5 56 # 6551804 # 6682655 # 6811470 # 6938209 # 7062836 # 4 57 # 6554001 # 6684818 # 6813599 # 6940303 # 7064895 # 3 58 # 6556198 # 6686981 # 6815728 # 6942397 # 7066953 # 2 59 # 6558394 # 6689144 # 6817856 # 6944491 # 7069011 # 1 60 # 6560590 # 6691306 # 6819984 # 6946584 # 7071063 # 0 # 49 # 48 # 47 # 46 # 45 complementorum arcuum e<007>u$dem Quadrantis. [162]TABVLA Gradus Quadrantis pro $inubus # 45 # 46 # 47 # 48 # 49 0 # 7071068 # 7193398 # 7313537 # 7431448 # 7547096 # 60 1 # 7073125 # 7195418 # 7315521 # 7433394 # 7549004 # 59 2 # 7075181 # 7197438 # 7317504 # 7435339 # 7550911 # 58 3 # 7077236 # 7199457 # 7319486 # 7437284 # 7552818 # 57 4 # 7079291 # 7201476 # 7321468 # 7439229 # 7554724 # 56 5 # 7081345 # 7203494 # 7323449 # 7441173 # 7556630 # 55 6 # 7083399 # 7205511 # 7325429 # 7443116 # 7558535 # 54 7 # 7085452 # 7207527 # 7327409 # 7445058 # 75@@439 # 53 8 # 7087504 # 3209543 # 7329388 # 7447000 # 7562343 # 52 9 # 7089556 # 7211559 # 7331367 # 7448941 # 7564246 # 51 10 # 7091607 # 7213574 # 7333345 # 7450882 # 7566148 # 50 11 # 7093658 # 7215588 # 7335322 # 7452822 # 7568050 # 49 12 # 7095708 # 7217601 # 7337298 # 7454761 # 7569951 # 48 13 # 7097757 # 7219614 # 7339274 # 7456699 # 7571851 # 47 14 # 7099806 # 7221627 # 7341250 # 7458637 # 7573751 # 46 15 # 7101854 # 7223639 # 7343225 # 7460574 # 7575650 # 45 16 # 7103902 # 7225651 # 7345199 # 7462511 # 7577548 # 44 17 # 7105949 # 7227662 # 7347173 # 7464447 # 7579446 # 43 18 # 7107995 # 7229672 # 7349146 # 7466382 # 7581343 # 42 19 # 7110041 # 7231681 # 7351118 # 7468317 # 7583240 # 41 20 # 7112086 # 7233689 # 7353090 # 7470251 # 7585136 # 40 21 # 7114131 # 7235697 # 7355061 # 7472184 # 7587031 # 39 22 # 7116175 # 7237704 # 7357031 # 7474117 # 7588925 # 38 23 # 7118218 # 7239711 # 7359001 # 7476049 # 7590819 # 37 24 # 7120261 # 7241718 # 7360970 # 7477981 # 7592713 # 36 25 # 7122303 # 7243724 # 7362939 # 7479912 # 7594606 # 35 26 # 7124344 # 7245729 # 7364907 # 7481842 # 7596498 # 34 27 # 7126385 # 7247733 # 7366874 # 7483771 # 7598389 # 33 28 # 7128425 # 7249737 # 7368841 # 7485700 # 7600280 # 32 29 # 7130465 # 7251741 # 7370807 # 7487629 # 7501170 # 31 30 # 7132504 # 7253744 # 7372773 # 7489557 # 7604060 # 30 # 44 # 43 # 42 # 41 # 40 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [163]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 45 # 46 # 47 # 48 # 49 30 # 7132504 # 7253744 # 7372773 # 7489557 # 7604960 # 30 31 # 7134543 # 7255746 # 7374738 # 7491484 # 7605949 # 29 32 # 7136581 # 7257747 # 7376702 # 7493410 # 7607837 # 28 33 # 7138618 # 7259748 # 7378666 # 7495336 # 7609725 # 27 34 # 7140655 # 7261749 # 7380629 # 7497262 # 7611612 # 26 35 # 7142691 # 7263749 # 7382592 # 7499187 # 7613498 # 25 36 # 7144727 # 7265748 # 7384554 # 7501111 # 7645384 # 24 37 # 7146762 # 7267746 # 7386515 # 7503034 # 7617269 # 23 38 # 7148796 # 7269744 # 7388475 # 7504957 # 7619153 # 22 39 # 7150830 # 7271741 # 7390435 # 7506879 # 7621037 # 21 40 # 7152863 # 7273737 # 7392394 # 7508801 # 7622920 # 20 41 # 7154895 # 7275733 # 7394353 # 7510722 # 7624802 # 19 42 # 7156927 # 7277728 # 7396311 # 7512642 # 7626683 # 18 43 # 7158958 # 7279722 # 7398268 # 7514561 # 7628564 # 17 44 # 7160989 # 7281716 # 7400225 # 7516480 # 7630445 # 16 45 # 7163019 # 7283710 # 7402181 # 7518398 # 7632325 # 15 46 # 7165049 # 7285703 # 7404137 # 7520316 # 7634204 # 14 47 # 7167078 # 7287695 # 7406092 # 7522233 # 7636082 # 13 48 # 7169106 # 7289687 # 7408046 # 7524149 # 7637960 # 12 49 # 7171134 # 7291678 # 7410000 # 7526065 # 7639838 # 11 50 # 7173161 # 7293668 # 7411953 # 7527980 # 7641715 # 10 51 # 7175187 # 7295658 # 7413905 # 7529894 # 7643591 # 9 52 # 7177213 # 7297647 # 7415856 # 7531808 # 7645466 # 8 53 # 7179238 # 7299635 # 7417807 # 7533721 # 7647341 # 7 54 # 7181263 # 7301623 # 7419758 # 7535634 # 7649215 # 6 55 # 7183287 # 7303610 # 7421708 # 7537546 # 7651088 # 5 56 # 7185310 # 7305597 # 7423657 # 7539457 # 7652961 # 4 57 # 7187333 # 7307583 # 7425605 # 7541367 # 7654833 # 3 58 # 7189355 # 7309568 # 7427552 # 7543277 # 7656704 # 2 59 # 7191377 # 7311553 # 7429501 # 7545187 # 7658575 # 1 60 # 7193398 # 7313537 # 7431448 # 7547096 # 7660445 # 0 # 44 # 43 # 42 # 41 # 40 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [164]TABVLA Gradus Quadrantis pro $inubus # 50 # 51 # 52 # 53 # 54 0 # 7660445 # 7771460 # 7880108 # 7986355 # 8090170 # 60 1 # 7662314 # 7773290 # 7881898 # 7988105 # 8091879 # 59 2 # 7664183 # 7775120 # 7883688 # 7989855 # 8093588 # 58 3 # 7666051 # 7776949 # 7885477 # 7991604 # 8095296 # 57 4 # 7667919 # 7778777 # 7887266 # 7993352 # 8097004 # 56 5 # 7669786 # 7780605 # 7889054 # 7995100 # 8098711 # 55 6 # 7671652 # 7782432 # 7890841 # 7996847 # 8100417 # 54 7 # 7673517 # 7784258 # 7892927 # 7998593 # 8102122 # 53 8 # 7675382 # 7786084 # 7894413 # 8000339 # 8103827 # 52 9 # 7677246 # 7787909 # 7896198 # 8002084 # 8105531 # 51 10 # 7679110 # 7789833 # 7897983 # 8003828 # 8107234 # 50 11 # 7680973 # 7791557 # 7899767 # 8005571 # 8108936 # 49 12 # 7682835 # 7793380 # 7901550 # 8007314 # 8110638 # 48 13 # 7684697 # 7795202 # 7903332 # 8009056 # 8112339 # 47 14 # 7686558 # 7797024 # 7905114 # 8010797 # 8114040 # 46 15 # 7688418 # 7798845 # 7906895 # 8012538 # 8115740 # 45 16 # 7690278 # 7800665 # 7908676 # 8014278 # 8117439 # 44 17 # 7692137 # 7802485 # 7910456 # 8016017 # 8119137 # 43 18 # 7693995 # 7804304 # 7912235 # 8017756 # 8120835 # 42 19 # 7695853 # 7806123 # 7914014 # 8019494 # 8122532 # 41 20 # 7697710 # 7807941 # 7915792 # 8021232 # 8124229 # 40 21 # 7699566 # 7809758 # 7917569 # 8022969 # 8125925 # 39 22 # 7701422 # 7811574 # 7919345 # 8024705 # 8127620 # 38 23 # 7703277 # 7813390 # 7921121 # 8026440 # 8129314 # 37 24 # 7705132 # 7815205 # 7922896 # 8028175 # 8131008 # 36 25 # 7706986 # 7817020 # 7924671 # 8029909 # 8132701 # 35 26 # 7708839 # 7818834 # 7926445 # 8031642 # 8134393 # 34 27 # 7710692 # 7820647 # 7928218 # 8033375 # 8136084 # 33 28 # 7712544 # 7822459 # 7929990 # 8035107 # 8137775 # 32 29 # 7714395 # 7824271 # 7931762 # 8036838 # 8139465 # 31 30 # 7716246 # 7826082 # 7933533 # 8038569 # 8141155 # 30 # 39 # 38 # 37 # 36 # 35 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [165]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 50 # 51 # 52 # 53 # 54 30 # 7716246 # 7826082 # 7933533 # 8038569 # 8141155 # 30 31 # 7718096 # 7827892 # 7935303 # 8040299 # 8142844 # 29 32 # 7719945 # 7829702 # 7937073 # 8042028 # 8144532 # 28 33 # 7721794 # 7831511 # 7938842 # 8043757 # 8146220 # 27 34 # 7723642 # 7833320 # 7940611 # 8045485 # 8147907 # 26 35 # 7725490 # 7835128 # 7942379 # 8047212 # 8149593 # 25 36 # 7727337 # 7836935 # 7944146 # 8048938 # 8151278 # 24 37 # 7729183 # 7838741 # 7945912 # 8050664 # 8152963 # 23 38 # 7731028 # 7840547 # 7947678 # 8052389 # 8154647 # 22 39 # 7732872 # 7842352 # 7949443 # 8054114 # 8156330 # 21 40 # 7734716 # 7844157 # 7951208 # 8055838 # 8158013 # 20 41 # 7736559 # 7845961 # 7952972 # 8057561 # 8159695 # 19 42 # 7738402 # 7847764 # 7954735 # 8059283 # 8161376 # 18 43 # 7740244 # 7849566 # 7956497 # 8061005 # 8163057 # 17 44 # 7742085 # 7851368 # 7958259 # 8062726 # 8164737 # 16 45 # 7743926 # 7853169 # 7960020 # 8064446 # 8166416 # 15 46 # 7745766 # 7854970 # 7961780 # 8066166 # 8168094 # 14 47 # 7747606 # 7856770 # 7963540 # 8067885 # 8169772 # 13 48 # 7749445 # 7858569 # 7965299 # 8069603 # 8171449 # 12 49 # 7751283 # 7860368 # 7967057 # 8071321 # 8173126 # 11 50 # 7753121 # 7862166 # 7968815 # 8073038 # 8174802 # 10 51 # 7754958 # 7863963 # 7970572 # 8074754 # 8176477 # 9 52 # 7756794 # 7865759 # 7972328 # 8076470 # 8178151 # 8 53 # 7758630 # 7867555 # 7974084 # 8078185 # 8179825 # 7 54 # 7760465 # 7869350 # 7975839 # 8079899 # 8181498 # 6 55 # 7762299 # 7871145 # 7977593 # 8081613 # 8183170 # 5 56 # 7764132 # 7872939 # 7979347 # 8083326 # 8184841 # 4 57 # 7765965 # 7874732 # 7981100 # 8085038 # 8186512 # 3 58 # 7767797 # 7876525 # 7982852 # 8086749 # 8188182 # 2 59 # 7769629 # 7878317 # 7984604 # 8088460 # 8189851 # 1 60 # 7771460 # 7880108 # 7986355 # 8090170 # 8191520 # 0 # 39 # 38 # 37 # 36 # 35 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [166]TABVLA Gradus Quadrantis pro $inubus # 55 # 56 # 57 # 58 # 59 0 # 8191520 # 8290376 # 8386706 # 8480481 # 8571673 # 60 1 # 8193188 # 8292002 # 8388290 # 8482022 # 8573171 # 59 2 # 8194855 # 8293628 # 8389873 # 8483562 # 8574668 # 58 3 # 8196522 # 8295253 # 8391456 # 8485102 # 8576164 # 57 4 # 8198188 # 8296877 # 8393038 # 8486641 # 8577660 # 56 5 # 8199854 # 8298501 # 8394619 # 8488180 # 8579155 # 55 6 # 8201519 # 8300124 # 8396199 # 8489718 # 8580649 # 54 7 # 8203183 # 8301746 # 8397778 # 8491255 # 8582142 # 53 8 # 8204846 # 8303367 # 8399357 # 8492791 # 8583635 # 52 9 # 8206508 # 8304987 # 8400935 # 8494326 # 8585127 # 51 10 # 8208170 # 8306607 # 8402513 # 8495860 # 8586619 # 50 11 # 8209831 # 8308226 # 8404090 # 8497394 # 8588110 # 49 12 # 8211491 # 8309844 # 8405666 # 8498927 # 8589600 # 48 13 # 8213151 # 8311462 # 8407241 # 8500459 # 8591089 # 47 14 # 8214810 # 8313079 # 8408816 # 8501991 # 8592577 # 46 15 # 8216469 # 8314696 # 8410390 # 8503522 # 8594064 # 45 16 # 8218127 # 8316312 # 8411963 # 8505052 # 8595551 # 44 17 # 8219784 # 8317927 # 8413536 # 8506582 # 8597037 # 43 18 # 8221440 # 8319541 # 8415108 # 8508111 # 8598523 # 42 19 # 8223096 # 8321155 # 8416679 # 8509639 # 8600008 # 41 20 # 8224751 # 8322768 # 8418250 # 8511167 # 8601492 # 40 21 # 8226405 # 8324380 # 8419820 # 8512694 # 8602975 # 39 22 # 8228058 # 8325991 # 8421389 # 8514220 # 8604457 # 38 23 # 8229711 # 8327602 # 8422957 # 8515745 # 8605939 # 37 24 # 8231363 # 8329212 # 8424525 # 8517270 # 8607420 # 36 25 # 8233015 # 8330822 # 8426092 # 8518794 # 8608901 # 35 26 # 8234666 # 8332431 # 8427658 # 8520317 # 8610381 # 34 27 # 8236316 # 8334039 # 8429223 # 8521839 # 8611860 # 33 28 # 8237965 # 8335646 # 8430788 # 8523361 # 8613338 # 32 29 # 8239614 # 8337252 # 8432352 # 8524882 # 8614815 # 31 30 # 8241262 # 8338858 # 8433915 # 8526402 # 8616292 # 30 # 34 # 33 # 32 # 31 # 30 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [167]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 55 # 56 # 57 # 58 # 59 30 # 8241262 # 8338858 # 8433915 # 8526402 # 8616292 # 30 31 # 8242909 # 8340463 # 8435477 # 8527921 # 8617768 # 29 32 # 8244556 # 8342067 # 8437039 # 8529440 # 8619243 # 28 33 # 8246202 # 8343671 # 8438600 # 8530958 # 8620718 # 27 34 # 8247847 # 8345247 # 8440161 # 8532476 # 8622192 # 26 35 # 8249492 # 8346877 # 8441721 # 8533993 # 8623665 # 25 36 # 8251136 # 8348479 # 8443280 # 8535509 # 8625137 # 24 37 # 8252779 # 8350080 # 8444838 # 8537024 # 8626608 # 23 38 # 8254421 # 8251680 # 8446396 # 8538538 # 8628079 # 22 39 # 8256062 # 8353279 # 8447953 # 8540052 # 8629549 # 21 40 # 8257703 # 8354878 # 8449509 # 8541565 # 8631019 # 20 41 # 8259343 # 8356476 # 8451064 # 8543077 # 8632488 # 19 42 # 8260982 # 8358073 # 8452618 # 8544588 # 8633956 # 18 43 # 8262621 # 8359670 # 8454172 # 8546099 # 8635423 # 17 44 # 8264259 # 8361266 # 8455725 # 8547609 # 8636889 # 16 45 # 8265897 # 8362862 # 8457278 # 8549119 # 8638355 # 15 46 # 8267534 # 8364457 # 8458830 # 8550628 # 8639820 # 14 47 # 8269170 # 8366051 # 8460381 # 8552136 # 8641284 # 13 48 # 8270806 # 8367644 # 8461932 # 8553643 # 8642748 # 12 49 # 8272441 # 8369236 # 8463482 # 8555149 # 8644211 # 11 50 # 8274075 # 8370828 # 8465031 # 8556655 # 8645673 # 10 51 # 8275708 # 8372419 # 8466579 # 8558160 # 8647134 # 9 52 # 8277340 # 8374009 # 8468126 # 8559664 # 8648595 # 8 53 # 8278972 # 8375599 # 8469673 # 8561168 # 8650055 # 7 54 # 8280603 # 8377188 # 8471219 # 8562671 # 8651514 # 6 55 # 8282234 # 8378776 # 8472765 # 8564173 # 8652973 # 5 56 # 8283864 # 8380363 # 8474310 # 8565675 # 8654431 # 4 57 # 8285493 # 8381950 # 8475854 # 8567176 # 8655888 # 3 58 # 8287121 # 8383536 # 8477397 # 8568676 # 8657344 # 2 59 # 8288749 # 8385121 # 8478939 # 8570175 # 8658799 # 1 60 # 8290376 # 8386706 # 8480481 # 8571673 # 8660254 # 0 # 34 # 33 # 32 # 31 # 30 [168]TABVLA. Gradus Quadrantis pro $inubus # 60 # 61 # 62 # 63 # 64 0 # 8660254 # 8746197 # 8829476 # 8910065 # 8987940 # 60 1 # 8661708 # 8747607 # 8830841 # 8911385 # 8989215 # 59 2 # 8663162 # 8749016 # 8832205 # 8912704 # 8990489 # 58 3 # 8664615 # 8750425 # 8833569 # 8914023 # 8991762 # 57 4 # 8666067 # 8751833 # 8834932 # 8915341 # 8993035 # 56 5 # 8667518 # 8753240 # 8836295 # 8916659 # 8994307 # 55 6 # 8668968 # 8754646 # 8837657 # 8917976 # 8995578 # 54 7 # 8670417 # 8756051 # 8839018 # 8919292 # 8996848 # 53 8 # 8671866 # 8757456 # 8840378 # 8920607 # 8998117 # 52 9 # 8673314 # 8758860 # 8841737 # 8921921 # 8999386 # 51 10 # 8674762 # 8760263 # 8843095 # 8923234 # 9000654 # 50 11 # 8676209 # 8761665 # 8844452 # 8924546 # 9001921 # 49 12 # 8677655 # 8763067 # 8845809 # 8925858 # 9003187 # 48 13 # 8679100 # 8764468 # 8847165 # 8927169 # 9004453 # 47 14 # 8680544 # 8765868 # 8848521 # 8928479 # 9005718 # 46 15 # 8681988 # 8767268 # 8849876 # 8929789 # 9006982 # 45 16 # 8683431 # 8768667 # 8851230 # 8931098 # 9008245 # 44 17 # 8684874 # 8770065 # 8852583 # 8932406 # 9009508 # 43 18 # 8686316 # 8771462 # 8853936 # 8933714 # 9010770 # 42 19 # 8687757 # 8772859 # 8855288 # 8935021 # 9012031 # 41 20 # 8689197 # 8774255 # 8856639 # 8936327 # 9013292 # 40 21 # 8690636 # 8775650 # 8857989 # 8937632 # 9014552 # 39 22 # 8692074 # 8777044 # 8859338 # 8938936 # 9015811 # 38 23 # 8693512 # 8778437 # 8860687 # 8940240 # 9017069 # 37 24 # 8694949 # 8779830 # 8862035 # 8941543 # 9018326 # 36 25 # 8696386 # 8781222 # 8863383 # 8942845 # 9019582 # 35 26 # 8697822 # 8782613 # 8864730 # 8944146 # 9020838 # 34 27 # 8699257 # 8784003 # 8866076 # 8945446 # 9022093 # 33 28 # 8700691 # 8785393 # 8867421 # 8946746 # 9023347 # 32 29 # 8702124 # 8786782 # 8868765 # 8948045 # 9024600 # 31 30 # 8703557 # 8788171 # 8870108 # 8949344 # 9025853 # 30 # 29 # 28 # 27 # 26 # 25 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [169]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 60 # 61 # 62 # 63 # 64 30 # 8703557 # 8788171 # 8870108 # 8949344 # 9025853 # 30 31 # 8704989 # 8789559 # 8871451 # 8950642 # 9027105 # 29 32 # 8706420 # 8790946 # 8872793 # 8951939 # 9028356 # 28 33 # 8707851 # 8792332 # 8874134 # 8953235 # 9029606 # 27 34 # 8709281 # 8793717 # 8875475 # 8954530 # 9030856 # 26 35 # 8710710 # 8795102 # 8876815 # 8955824 # 9032105 # 25 36 # 8712138 # 8796486 # 8878154 # 8957117 # 9033353 # 24 37 # 8713565 # 8797869 # 8879492 # 8958410 # 9034600 # 23 38 # 8714992 # 8799251 # 8880830 # 8959702 # 9035847 # 22 39 # 8716418 # 8800633 # 8882167 # 8960994 # 9037093 # 21 40 # 8717844 # 8802014 # 8883503 # 8962285 # 9038338 # 20 41 # 8719269 # 8803394 # 8884838 # 8963575 # 9039582 # 19 42 # 8720693 # 8804773 # 8886172 # 8964864 # 9040825 # 18 43 # 8722116 # 8806152 # 8887506 # 8966152 # 9042068 # 17 44 # 8723538 # 8807530 # 8888839 # 8967440 # 9043310 # 16 45 # 8724960 # 8808907 # 8890171 # 8968727 # 9044551 # 15 46 # 8726381 # 8810283 # 8891502 # 8970013 # 9045791 # 14 47 # 8727801 # 8811659 # 8892833 # 8971299 # 9047031 # 13 48 # 8729221 # 8813034 # 8894163 # 8972584 # 9048270 # 12 49 # 8730640 # 8814408 # 8895492 # 8973868 # 9049508 # 11 50 # 8732058 # 8815782 # 8896821 # 8975151 # 9050746 # 10 51 # 8733475 # 8817155 # 8898149 # 8976433 # 9051983 # 9 52 # 8734891 # 8818527 # 8899476 # 8977715 # 9053219 # 8 53 # 8736307 # 8819898 # 8900802 # 8978996 # 9054454 # 7 54 # 8737722 # 8821268 # 8902127 # 8980276 # 9055688 # 6 55 # 8739137 # 8822638 # 8903452 # 8981555 # 9056922 # 5 56 # 8740551 # 8824007 # 8904776 # 9882833 # 9058155 # 4 57 # 8741964 # 8825375 # 8906099 # 8984111 # 9059387 # 3 58 # 8743376 # 8826743 # 8907422 # 8985388 # 9060618 # 2 59 # 8744787 # 8828110 # 8908744 # 8986664 # 9061848 # 1 60 # 8746197 # 8829476 # 8910065 # 8987940 # 9063078 # 0 # 25 # 26 # 27 # 28 # 29 complementorum arcuum eiu$dem Quadrant<007>s [170]TABVLA Gradus Quadrantis pro $inubus # 65 # 66 # 67 # 68 # 69 0 # 9063078 # 9135455 # 9205049 # 9271839 # 9335804 # 60 1 # 9064307 # 9136638 # 9206185 # 9272928 # 9336846 # 59 2 # 9065535 # 9137820 # 9207321 # 9274017 # 9337887 # 58 3 # 9066763 # 9139001 # 9208456 # 9275105 # 9338928 # 57 4 # 9067990 # 9140181 # 9209590 # 9276192 # 9339968 # 56 5 # 9069216 # 9141361 # 9210723 # 9277278 # 9341007 # 55 6 # 9070441 # 9142540 # 9211855 # 9278363 # 9342045 # 54 7 # 9071665 # 9143718 # 9212986 # 9279448 # 9343082 # 53 8 # 9072889 # 9144895 # 9214117 # 9280532 # 9344119 # 52 9 # 9074112 # 9146072 # 9215247 # 9281615 # 9345155 # 51 10 # 9075334 # 9147248 # 9216376 # 9282697 # 9346190 # 50 11 # 9076555 # 9148423 # 9217504 # 9283778 # 9347224 # 49 12 # 9077775 # 9149597 # 9218631 # 9284859 # 9348257 # 48 13 # 9078995 # 9150770 # 9219758 # 9285939 # 9349289 # 47 14 # 9080214 # 9151943 # 9220884 # 9287018 # 9350321 # 46 15 # 9081432 # 9153115 # 9222010 # 9288096 # 9351352 # 45 16 # 9082649 # 9154286 # 9223135 # 9289173 # 9352382 # 44 17 # 9083866 # 9155457 # 9224259 # 9290250 # 9353411 # 43 18 # 9085082 # 9156627 # 9225382 # 9291326 # 9354440 # 42 19 # 9086297 # 9157796 # 9226504 # 9292401 # 9355468 # 41 20 # 9087512 # 9158964 # 9227625 # 9293476 # 9356495 # 40 21 # 9088726 # 9160131 # 9228746 # 9294550 # 9357521 # 39 22 # 9089939 # 9161297 # 9229866 # 9295623 # 9358546 # 38 23 # 9091151 # 9162463 # 9230985 # 9296695 # 9359571 # 37 24 # 9092362 # 9163628 # 9232103 # 9297766 # 9360595 # 36 25 # 9093572 # 9164792 # 9233220 # 9298836 # 9361618 # 35 26 # 9094781 # 9165955 # 9234337 # 9299905 # 9362640 # 34 27 # 9095990 # 9167117 # 9235453 # 9300974 # 9363662 # 33 28 # 9097198 # 9168279 # 9236568 # 9302042 # 9364683 # 32 29 # 9098406 # 9169440 # 9237682 # 9303109 # 9365703 # 31 30 # 9099613 # 9170601 # 9238795 # 9304176 # 9366722 # 30 # 24 # 23 # 22 # 21 # 20 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [171]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis. # 65 # 66 # 67 # 68 # 69 30 # 9099613 # 9170601 # 9238795 # 9304176 # 9366722 # 30 31 # 9100819 # 9171761 # 9239908 # 9305242 # 9367740 # 29 32 # 9102024 # 9172920 # 9241020 # 9306307 # 9368758 # 28 33 # 9103228 # 9174078 # 9242131 # 9307371 # 9369775 # 27 34 # 9104432 # 9175235 # 9243242 # 9308434 # 9370791 # 26 35 # 9105635 # 9176391 # 9244352 # 9309497 # 9371806 # 25 36 # 9106837 # 9177547 # 9245461 # 9310559 # 9372820 # 24 37 # 9108038 # 9178702 # 9246569 # 9311620 # 9373834 # 23 38 # 9109238 # 9179856 # 9247676 # 9312680 # 9374847 # 22 39 # 9110438 # 9181009 # 9248782 # 9313739 # 9375859 # 21 40 # 9111637 # 9182161 # 9249888 # 9314798 # 9376870 # 20 41 # 9112835 # 9183313 # 9250993 # 9315856 # 9377880 # 19 42 # 9114032 # 9184464 # 9252097 # 9316913 # 9378889 # 18 43 # 9115229 # 9185614 # 9253200 # 9317969 # 9379898 # 17 44 # 9116425 # 9186763 # 9254303 # 9319024 # 9380906 # 16 45 # 9117620 # 9187912 # 9255405 # 9320079 # 9381913 # 15 46 # 9118814 # 9189060 # 9256506 # 9321133 # 9382919 # 14 47 # 9120007 # 9190207 # 9257606 # 9322186 # 9383925 # 13 48 # 9121200 # 9191353 # 9258706 # 9323238 # 9384930 # 12 49 # 9122392 # 9192499 # 9259805 # 9324290 # 9385934 # 11 50 # 9123584 # 9193644 # 9260903 # 9325341 # 9386937 # 10 51 # 9124775 # 9194788 # 9262000 # 9326391 # 9387939 # 9 52 # 9125965 # 9195931 # 9263096 # 9327440 # 9388941 # 8 53 # 9127154 # 9197073 # 9264192 # 9328488 # 9389942 # 7 54 # 9128342 # 9198215 # 9265287 # 9329535 # 9390942 # 6 55 # 9129529 # 9199356 # 9266381 # 9330582 # 9391941 # 5 56 # 9130716 # 9200496 # 9267474 # 9331628 # 9392940 # 4 57 # 9131902 # 9201635 # 9268566 # 9332673 # 9393938 # 3 58 # 9133087 # 9202774 # 9269658 # 9333717 # 9394935 # 2 59 # 9134271 # 9203912 # 9270749 # 9334761 # 9395931 # 1 60 # 9135455 # 9205049 # 9271839 # 9335804 # 9396926 # 0 # 24 # 23 # 22 # 21 # 20 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [172]TABVLA Gradus Quadrantis pro $inubus # 70 # 71 # 72 # 73 # 74 0 # 9396926 # 9455186 # 9510565 # 9563048 # 9612617 # 60 1 # 9397921 # 9456133 # 9511464 # 9563898 # 9613418 # 59 2 # 9398915 # 9457079 # 9512362 # 9564747 # 9614219 # 58 3 # 9399908 # 9458024 # 9513259 # 9565596 # 9615019 # 57 4 # 9400900 # 9458968 # 9514155 # 9566444 # 9615818 # 56 5 # 9401891 # 9459911 # 9515050 # 9567291 # 9616616 # 55 6 # 9402882 # 9460854 # 9515944 # 9568137 # 9617413 # 54 7 # 9403872 # 9461796 # 9516838 # 9568982 # 9618209 # 53 8 # 9404861 # 9462737 # 9517731 # 9569826 # 9619005 # 52 9 # 9405849 # 9463677 # 9518623 # 9570670 # 9619800 # 51 10 # 9406836 # 9464616 # 9519514 # 9571513 # 9620594 # 50 11 # 9407822 # 9465555 # 9520404 # 9572355 # 9621387 # 49 12 # 9408808 # 9466493 # 9521294 # 9573196 # 9622179 # 48 13 # 9409793 # 9467430 # 9522183 # 9574036 # 9622971 # 47 14 # 9410777 # 9468366 # 9523071 # 9574875 # 9623762 # 46 15 # 9411760 # 9469301 # 9523958 # 9575714 # 9624552 # 45 16 # 9412742 # 9470236 # 9524844 # 9576552 # 9625341 # 44 17 # 9413724 # 9471170 # 9525730 # 9577389 # 9626129 # 43 18 # 9414705 # 9472103 # 9526615 # 9578225 # 9626917 # 42 19 # 9415685 # 9473035 # 9527499 # 9579061 # 9627704 # 41 20 # 9416665 # 9473967 # 9528382 # 9579896 # 9628490 # 40 21 # 9417644 # 9474898 # 9529264 # 9580730 # 9629275 # 39 22 # 9418622 # 9475828 # 9530146 # 9581563 # 9630059 # 38 23 # 9419599 # 9476757 # 9531027 # 9582395 # 9630843 # 37 24 # 9420575 # 9477685 # 9531907 # 9583226 # 9631626 # 36 25 # 9421550 # 9478612 # 9532786 # 9584057 # 9632408 # 35 26 # 9422525 # 9479539 # 9533664 # 9584887 # 9633189 # 34 27 # 9423499 # 9480465 # 9534541 # 9585716 # 9633969 # 33 28 # 9425472 # 9481390 # 9535418 # 9586544 # 9634748 # 32 29 # 9425444 # 9482314 # 9536294 # 9587371 # 9635527 # 31 30 # 9426415 # 9483237 # 9537169 # 9588197 # 9636305 # 30 # 19 # 18 # 17 # 16 # 15 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [173]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 70 # 71 # 72 # 73 # 74 30 # 9426415 # 9483237 # 9537169 # 9588197 # 9636305 # 30 31 # 9427386 # 9484160 # 9538043 # 9589023 # 9637082 # 29 32 # 9428356 # 9485082 # 9538917 # 9589848 # 9637858 # 28 33 # 9429325 # 9486003 # 9539790 # 9590672 # 9638633 # 27 34 # 9430293 # 9486923 # 9540662 # 9591495 # 9639408 # 26 35 # 9431260 # 9487842 # 9541533 # 9592318 # 9640182 # 25 36 # 9432227 # 9488761 # 9542403 # 9593140 # 9640955 # 24 37 # 9433193 # 9489679 # 9543272 # 9593961 # 9641727 # 23 38 # 9434158 # 9490596 # 9544141 # 9594781 # 9642498 # 22 39 # 9435122 # 9491512 # 9545009 # 9595600 # 9643268 # 21 40 # 9436085 # 9492427 # 9545876 # 9596419 # 9644038 # 20 41 # 9437048 # 9493341 # 9546742 # 9597237 # 9644807 # 19 42 # 9438010 # 9494255 # 9547607 # 9598054 # 9645575 # 18 43 # 9438971 # 9495168 # 9548472 # 9598870 # 9646342 # 17 44 # 9439931 # 9496080 # 9549336 # 9599685 # 9647108 # 16 45 # 9440890 # 9496991 # 9550199 # 9600499 # 9647873 # 15 46 # 9441849 # 9497902 # 9551061 # 9601313 # 9648638 # 14 47 # 9442807 # 9498812 # 9551922 # 9602126 # 9649402 # 13 48 # 9443764 # 9499721 # 9552783 # 9602938 # 9650165 # 12 49 # 9444720 # 9500629 # 9553643 # 9603749 # 9650927 # 11 50 # 9445676 # 9501536 # 9554502 # 9604559 # 9651689 # 10 51 # 9446631 # 9502443 # 9555360 # 9605368 # 9652450 # 9 52 # 9447585 # 9503349 # 9556217 # 9606177 # 9653210 # 8 53 # 9448538 # 9504254 # 9557074 # 9606985 # 9653969 # 7 54 # 9449490 # 9505158 # 9557930 # 9607792 # 9654727 # 6 55 # 9450441 # 9506061 # 9558785 # 9608598 # 9655484 # 5 56 # 9451392 # 9506963 # 9559639 # 9609403 # 9656240 # 4 57 # 9452342 # 9507865 # 9560492 # 9610208 # 9656996 # 3 58 # 9453291 # 9508766 # 9561345 # 9611012 # 9657751 # 2 59 # 9454239 # 9509666 # 9562197 # 9611815 # 9658505 # 1 60 # 9455186 # 9510565 # 9563048 # 9612617 # 9659258 # 0 # 19 # 18 # 17 # 16 # 15 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [174]TABVLA Gradus Quadrantis pro $inubus # 75 # 76 # 77 # 78 # 79 0 # 9659258 # 9702957 # 9743600 # 9781476 # 9816272 # 60 1 # 9660011 # 9703660 # 9744355 # 9782080 # 9816827 # 59 2 # 9660163 # 9704363 # 9745008 # 9782684 # 9817381 # 58 3 # 9661514 # 9705065 # 9745660 # 9783281 # 9817934 # 57 4 # 9662264 # 9705766 # 9746312 # 9783889 # 9818486 # 56 5 # 9663013 # 9706466 # 9746963 # 9784490 # 9819037 # 55 6 # 9663761 # 9707165 # 9747613 # 9785090 # 9819587 # 54 7 # 9664508 # 9707863 # 9748262 # 9785689 # 9820137 # 53 8 # 9665255 # 9708561 # 9748910 # 9786288 # 9820686 # 52 9 # 9666001 # 9709258 # 9749557 # 9786886 # 9821234 # 51 10 # 9666746 # 9709954 # 9750203 # 9787483 # 9821781 # 50 11 # 9667490 # 9710649 # 9750849 # 9788079 # 9822327 # 49 12 # 9668233 # 9711343 # 9751494 # 9788674 # 9822872 # 48 13 # 9668976 # 9712036 # 9752138 # 9789268 # 9823417 # 47 14 # 9669718 # 9712729 # 9752781 # 9789862 # 9823961 # 46 15 # 9670459 # 9713421 # 9753423 # 9790455 # 9314504 # 45 16 # 9671199 # 9714112 # 9754065 # 9791047 # 9825046 # 44 17 # 9671938 # 9714802 # 9754706 # 9791638 # 9825587 # 43 18 # 9672677 # 9715491 # 9755346 # 9792228 # 9826128 # 42 19 # 9673415 # 9716180 # 9755985 # 9792818 # 9826668 # 41 20 # 9674152 # 9716868 # 9756623 # 9793407 # 9827207 # 40 21 # 9674888 # 9717555 # 9757260 # 9793995 # 9827745 # 39 22 # 9675623 # 9718241 # 9757897 # 9794582 # 9828282 # 38 23 # 9676357 # 9718926 # 9758533 # 9795168 # 9828818 # 37 24 # 9677091 # 9719610 # 9759168 # 9795753 # 9829354 # 36 25 # 9677824 # 9720294 # 9759802 # 9796337 # 9829889 # 35 26 # 9678556 # 9720977 # 9760435 # 9796921 # 9830423 # 34 27 # 9679287 # 9721659 # 9761067 # 9797504 # 9830956 # 33 28 # 9680017 # 9722340 # 9761699 # 9798086 # 9831488 # 32 29 # 9680747 # 9723020 # 9762330 # 9798667 # 9832019 # 31 30 # 9681476 # 9723699 # 9762960 # 9799247 # 9832549 # 30 # 14 # 13 # 12 # 11 # 10 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [175]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 75 # 76 # 77 # 78 # 79 30 # 9681476 # 9723699 # 9762960 # 9799247 # 9832549 # 30 31 # 9682804 # 9724378 # 9763589 # 9799827 # 9833079 # 29 32 # 9682931 # 9725056 # 9764217 # 9800406 # 9833608 # 28 33 # 9683657 # 9725733 # 9764845 # 9800984 # 9834136 # 27 34 # 9684383 # 9726409 # 9765472 # 9801561 # 9834663 # 26 35 # 9685108 # 9727085 # 9766098 # 9802137 # 9835189 # 25 36 # 9685832 # 9727760 # 9766723 # 9802712 # 9835714 # 24 37 # 9686555 # 9728434 # 9767347 # 9803287 # 9836239 # 23 38 # 9687277 # 9729107 # 9767970 # 9803861 # 9836763 # 22 39 # 9687998 # 9729779 # 9768593 # 9804434 # 9837286 # 21 40 # 9688719 # 9730450 # 9769215 # 9805006 # 9837808 # 20 41 # 9689439 # 9731120 # 9769836 # 9805577 # 9838329 # 19 42 # 9690158 # 9731789 # 9770456 # 9806147 # 9838850 # 18 43 # 9690879 # 9732458 # 9771075 # 9806716 # 9839370 # 17 44 # 9691593 # 9733126 # 9771693 # 9807285 # 9839889 # 16 45 # 9692309 # 9733793 # 9772311 # 9807853 # 9840407 # 15 46 # 9693025 # 9734459 # 9772928 # 9808420 # 9840924 # 14 47 # 9693740 # 9735124 # 9773544 # 9808986 # 9841440 # 13 48 # 9694454 # 9735789 # 9774159 # 9809551 # 9841956 # 12 49 # 9695167 # 9736453 # 9774773 # 9810116 # 9842471 # 11 50 # 9695879 # 9737116 # 9775387 # 9810680 # 9842985 # 10 51 # 9696590 # 9737778 # 9776000 # 9811243 # 9843498 # 9 52 # 9697301 # 9738439 # 9776612 # 9811805 # 9844010 # 8 53 # 9698011 # 9739099 # 9777223 # 9812366 # 9844521 # 7 54 # 9698720 # 9739759 # 9777833 # 9812926 # 9845032 # 6 55 # 9699428 # 9740418 # 9778442 # 9813486 # 9845542 # 5 56 # 9700135 # 9741076 # 9779050 # 9814045 # 9846051 # 4 57 # 9700842 # 9741733 # 9779658 # 9814603 # 9846559 # 3 58 # 9701548 # 9742389 # 9780265 # 9815160 # 9847066 # 2 59 # 9702253 # 9743045 # 9780871 # 9815716 # 9847572 # 1 60 # 9702957 # 9743700 # 9781476 # 9816272 # 9848078 # 0 # 14 # 13 # 12 # 11 # 10 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [176]TABVLA Gradus Quadrantis pro $inubus # 80 # 81 # 82 # 83 # 84 0 # 9848078 # 9876883 # 9902681 # 9925461 # 9945219 # 60 1 # 9848583 # 9877338 # 9903085 # 9925816 # 9945523 # 59 2 # 9849087 # 9877792 # 9903489 # 9926169 # 9945826 # 58 3 # 9849590 # 9878245 # 9903892 # 9926521 # 9946128 # 57 4 # 9850092 # 9878697 # 9904294 # 9926873 # 9946429 # 56 5 # 9850593 # 9879148 # 9904695 # 9927224 # 9946729 # 55 6 # 9851093 # 9879598 # 9905095 # 9927574 # 9947028 # 54 7 # 9851593 # 9880048 # 9905494 # 9927923 # 9947327 # 53 8 # 9852092 # 9880497 # 9905893 # 9928271 # 9947625 # 52 9 # 9852590 # 9880945 # 9906291 # 9928618 # 9947922 # 51 10 # 9853087 # 9881392 # 9906688 # 9928965 # 9948218 # 50 11 # 9853583 # 9881838 # 9907084 # 9929311 # 9948513 # 49 12 # 9854079 # 9882283 # 9907479 # 9929656 # 9948807 # 48 13 # 9854574 # 9882728 # 9907873 # 9930000 # 9949100 # 47 14 # 9855068 # 9883172 # 9908266 # 9930343 # 9949393 # 46 15 # 9855561 # 9883615 # 9908659 # 9930685 # 9949685 # 45 16 # 9856053 # 9884057 # 9909051 # 9931026 # 9949976 # 44 17 # 9856544 # 9884498 # 9909442 # 9931367 # 9950266 # 43 18 # 9857035 # 9884938 # 9909832 # 9931707 # 9950555 # 42 19 # 9857525 # 9885378 # 9910221 # 9932046 # 9950844 # 41 20 # 9858014 # 9885817 # 9910610 # 9932384 # 9951132 # 40 21 # 9858502 # 9886255 # 9910998 # 9932721 # 9951419 # 39 22 # 9858989 # 9886692 # 9911385 # 9933057 # 9951705 # 38 23 # 9859475 # 9887128 # 9911771 # 9933393 # 9951990 # 37 24 # 9859961 # 9887564 # 9912156 # 9933728 # 9952274 # 36 25 # 9860446 # 9887999 # 9912540 # 9934062 # 9952557 # 35 26 # 9860930 # 9888433 # 9912923 # 9934395 # 9952840 # 34 27 # 9861413 # 9888866 # 9913306 # 9934727 # 9953122 # 33 28 # 9861895 # 9889298 # 9913688 # 9935058 # 9953403 # 32 29 # 9862376 # 9889729 # 9914069 # 9935389 # 9953683 # 31 30 # 9862856 # 9890159 # 9914449 # 9935719 # 9953962 # 30 # 9 # 8 # 7 # 6 # 5 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [177]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis # 80 # 81 # 82 # 83 # 84 30 # 9862856 # 9890159 # 9914449 # 9935719 # 9953962 # 30 31 # 9863336 # 9890588 # 9914828 # 9936048 # 9954240 # 29 32 # 9863815 # 9891017 # 9915206 # 9936376 # 9954518 # 28 33 # 9864293 # 9891445 # 9915584 # 9936703 # 9954795 # 27 34 # 9864770 # 9891872 # 9915961 # 9937029 # 9955071 # 26 35 # 9865246 # 9892298 # 9916337 # 9937355 # 9955346 # 25 36 # 9865722 # 9892723 # 9916712 # 9937680 # 9955620 # 24 37 # 9866197 # 9893147 # 9917086 # 9938004 # 9955893 # 23 38 # 9866671 # 9893571 # 9917459 # 9938327 # 9956165 # 22 39 # 9867144 # 9893994 # 9917832 # 9938649 # 9956437 # 21 40 # 9867616 # 9894416 # 9918204 # 9938970 # 9956708 # 20 41 # 9868087 # 9894837 # 9918575 # 9939290 # 9956978 # 19 42 # 9868557 # 9895257 # 9918945 # 9939609 # 9957247 # 18 43 # 9869027 # 9895677 # 9919314 # 9939928 # 9957515 # 17 44 # 9869496 # 9896096 # 9919682 # 9940246 # 9957782 # 16 45 # 9869964 # 9896514 # 9920049 # 9940563 # 9958049 # 15 46 # 9870431 # 9896931 # 9920416 # 9940879 # 9958315 # 14 47 # 9870897 # 9897347 # 9920782 # 9941194 # 9958580 # 13 48 # 9871362 # 9897762 # 9921147 # 9941509 # 9958844 # 12 49 # 9871827 # 9898177 # 9921511 # 9941823 # 9959307 # 11 50 # 9872291 # 9898591 # 9921874 # 9942136 # 9959370 # 10 51 # 9872754 # 9899004 # 9922236 # 9942448 # 9959632 # 9 52 # 9873216 # 9899416 # 9922598 # 9942759 # 9959893 # 8 53 # 9873677 # 9899827 # 9922959 # 9943069 # 9960153 # 7 54 # 9874137 # 9900237 # 9923319 # 9943379 # 9960412 # 6 55 # 9874597 # 9900646 # 9923678 # 9943688 # 9960670 # 5 56 # 9875056 # 9901055 # 9924036 # 9943996 # 9960927 # 4 57 # 9875514 # 9901463 # 9924393 # 9944303 # 9961183 # 3 58 # 9875971 # 9901870 # 9924750 # 9944609 # 9961438 # 2 59 # 9876427 # 9902276 # 9925106 # 9944914 # 9961693 # 1 60 # 9876883 # 9902681 # 9925461 # 9945219 # 9961947 # 0 # 9 # 8 # 7 # 6 # 5 # complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [178]TABVLA Gradus Quadrantis pro $inubus # 85 # 86 # 87 # 88 # 89 0 # 9961947 # 9975640 # 9986295 # 9993908 # 9998477 # 60 1 # 9962200 # 9975843 # 9986447 # 9994009 # 9998527 # 59 2 # 9962452 # 9976045 # 9986598 # 9994109 # 9998576 # 58 3 # 9962703 # 9976246 # 9986748 # 9994208 # 9998625 # 57 4 # 9962954 # 9976446 # 9986897 # 9994307 # 9998673 # 56 5 # 9963204 # 9976645 # 9987045 # 9994405 # 9998720 # 55 6 # 9963453 # 9976843 # 9987193 # 9994502 # 9998766 # 54 7 # 9963701 # 9977040 # 9987340 # 9994598 # 9998811 # 53 8 # 9963948 # 9977237 # 9987486 # 9994693 # 9998855 # 52 9 # 9964194 # 9977433 # 9987631 # 9994787 # 9998899 # 51 10 # 9964440 # 9977628 # 9987775 # 9994881 # 9998942 # 50 11 # 9964685 # 9977822 # 9987918 # 9994974 # 9998984 # 49 12 # 9964929 # 9978015 # 9988061 # 9995066 # 9999025 # 48 13 # 9965172 # 9978207 # 9988203 # 9995157 # 9999065 # 47 14 # 9965414 # 9978398 # 9988344 # 9995247 # 9999104 # 46 15 # 9965655 # 9978589 # 9988484 # 9995336 # 9999143 # 45 16 # 9965895 # 9978779 # 9988623 # 9995424 # 9999181 # 44 17 # 9966135 # 9978968 # 9988761 # 9995512 # 9999218 # 43 18 # 9966374 # 9979156 # 9988899 # 9995599 # 9999254 # 42 19 # 9966612 # 9979343 # 9989036 # 9995685 # 9999289 # 41 20 # 9966849 # 9979530 # 9989172 # 9995770 # 9999323 # 40 21 # 9967085 # 9979716 # 9989307 # 9995854 # 9999356 # 39 22 # 9967320 # 9979901 # 9989441 # 9995937 # 9999389 # 38 23 # 9967555 # 9980085 # 9989574 # 9996019 # 9999421 # 37 24 # 9967789 # 9980268 # 9989706 # 9996101 # 9999452 # 36 25 # 9968022 # 9980450 # 9989837 # 9996182 # 9999482 # 35 26 # 9968254 # 9980631 # 9989968 # 9996262 # 9999511 # 34 27 # 9968485 # 9980811 # 9990098 # 9996341 # 9999539 # 33 28 # 9968715 # 9980991 # 9990227 # 9996419 # 9999566 # 32 29 # 9968944 # 9981170 # 9990355 # 9996496 # 9999593 # 31 30 # 9969173 # 9981348 # 9990482 # 9996573 # 9999619 # 30 # 4 # 3 # 2 # 1 # 0 Gradus Quadrantis pro $inubus rectis [179]SINVVM. rectis arcuum eiu$dem Quadrantis. # 85 # 86 # 87 # 88 # 89 30 # 9969173 # 9981348 # 9990482 # 9996573 # 9999616 # 30 31 # 9969401 # 9981525 # 9990608 # 9996649 # 9999644 # 29 32 # 9969628 # 9981701 # 9990734 # 9996724 # 9999668 # 28 33 # 9969854 # 9981877 # 9990859 # 9996798 # 9999691 # 27 34 # 9970079 # 9982052 # 9990983 # 9996871 # 9999713 # 26 35 # 9970304 # 9982226 # 9991106 # 9996943 # 9999735 # 25 36 # 9970528 # 9982399 # 9991228 # 9997014 # 9999756 # 24 37 # 9970751 # 9982571 # 9991349 # 9997085 # 9999776 # 23 38 # 9970973 # 9982742 # 9991470 # 9997155 # 9999795 # 22 39 # 9971194 # 9982912 # 9991590 # 9997224 # 9999813 # 21 40 # 9971414 # 9983082 # 9991709 # 9997292 # 9999830 # 20 41 # 9971633 # 9983251 # 9991827 # 9997359 # 9999846 # 19 42 # 9971851 # 9983419 # 9991944 # 9997425 # 9999862 # 18 43 # 9972069 # 9983586 # 9992060 # 9997491 # 9999877 # 17 44 # 9972286 # 9983752 # 9992175 # 9997556 # 9999891 # 16 45 # 9972502 # 9983917 # 9992290 # 9997620 # 9999904 # 15 46 # 9972717 # 9984081 # 9992404 # 997683 # 99999916 # 14 47 # 9972931 # 9984245 # 9992517 # 9997745 # 9999927 # 13 48 # 9973145 # 9984408 # 9992629 # 9997806 # 9999938 # 12 49 # 9973358 # 9984570 # 9992740 # 9997867 # 9999948 # 11 50 # 9973570 # 9984731 # 9992850 # 9997927 # 9999957 # 10 51 # 9973781 # 9984891 # 9992960 # 9997986 # 9999965 # 9 52 # 9973991 # 9985050 # 9993069 # 9998044 # 9999972 # 8 53 # 9974200 # 9985209 # 9993177 # 9998101 # 9999978 # 7 54 # 9974408 # 9985367 # 9993284 # 9998157 # 9999984 # 6 55 # 9974615 # 9985524 # 9993390 # 9998212 # 9999989 # 5 56 # 9974822 # 9985680 # 9993495 # 9998267 # 9999993 # 4 57 # 9975028 # 9985835 # 9993599 # 9998321 # 9999996 # 3 58 # 9975233 # 9985989 # 9993703 # 9998374 # 9999998 # 2 59 # 9975437 # 9986143 # 9993806 # 9998426 # 9999999 # 1 60 # 9975640 # 9986295 # 9993908 # 9998477 # 10000000 # 0 # 4 # 3 # 2 # 1 # 0 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [180]SINVS. EXPLICATIO, ATQVE VSVS TABVLAE præcedentis Sinuum rectorum.

_IN_vertice præcedentis tabulæ ordine de$cripti $unt 90. gradus Quadrantis, & Expo$itio partium ta bul{ae}Sinuũ. ad $ini$tram deor$um ver$us, 60. Minuta. In infimo deinde latere {ij}dem 90. gradus Quadrantis repo$iti $unt ordine retrogrado, & ad dexteram $ur$um ver$us, 60. Mi- nuta. Quod ideofactum est à nobis, vt illico cuiuslibet arcus complementum cogno$ca- tur. Nam quilibet gradus in vertice tabulæ po$itus cum quouis Minuto ad $ini$tram Comple m\~etum cu iu$uis arc<_>9 quo pacto ex hac ta- bula elicia tur. collocato, habet pro complemento gradum in infimo latere gradui accepto in vertice re$pondentem cum Minuto, quod ad dextram Minuto ad $ini$tram accepto re$pondet. Vt quomam gradui 46. in vertice, & Minuto O ad $ini$tram po$ito, re$pondet in infi- mo latere gradus 43. & Minutum 60. ad dexteram collocatum; erit arcus grad. 43. Min. 60. hoce$t, arcus grad. 44. Min. o. complementum arcus grad. 46. Min. o. Sic quoque arcus grad. 43. Min. 13. complementum habebit arcum grad. 46 Min. 47. Ea- dem ratione quilibet gradus in infimo latere po$itus cum quouis Minuto ad dexteram collocato, habet pro complemento gradum in vertice gradui acceptoin infimo latere re$pondentem cum Minuto, quod ad $ini$tram Minuto ad dextram accepto re$pondet. Po$tremo $ub gradibus in vertice tabulæ de$criptis po$iti $unt $inus recti omnium ar- cuũ per $ingula Quadrãtis Minuta progredientiũ, quatenus $inus totus e$t 10000000. Quòd $i ex $ingulis $inubus binæ priores figuræ ad dexter am ab{ij}ciãtur, (addita tamen vnitate, $i duæ figuræ abiectæ numerum 50. excedunt) reliqui erunt $inus eorundem arcuum, quatenus $inus totus e$t 100000. vt $upra diximus. Vnde quicquid in v$u hu- ius tabulæ præcipiemus de $inubus re$pectu $inus totius 10000000. intelligendum quo- que erit de $inubus re$pectu $inus totius 100000. abiectis nimirum duabus primis fi- V$us tabu- bul{ae} $inuũ duplex. guris ad dexteram, vt diximus.

_HVIVS_tabulæ v$us duplex e$t. Nam in ea vel cuiuslibet arcus inquiritur $i- nus, vel cuiu$uis $inus cogniti arcus inue$tigatur. Quando ergo dati arcus Quadrante Sinus tect<_>9 cuiu$uis ar cus quadrã te minoris quo pacto í tabula repe riatur. minoris $inum rectum quæris, $ume gradus illius in vertice tabulæ, Minuta vero ad $ini $tram. In communi enim angulo, procedendo nimirum à Minutis dextram ver$us, do- nec adlocum $ub gradibus acceptis peruenias, illico $inum rectum inuenies. Ita $inum rectum arcus grad 25. $ub grad 25. è regione Minuti o ad $inistram collocati repe- ries 4226183. Sinum vero rectum arcus grad. 25. Min. 19. inuenies 4276209. Sinum denique rectum arcus grad. 25. Min. 50. offendes 4357549. Si vero $inum rectum ar- Sin<_>9 rectus cuiu$uis ar cus quadrã te maioris, qua rõne inueniatur cus Quadrante maioris, $ed $emicirculo minoris de$ideras, detrabe arcum datum ex $emicirculo, & re$idui arcus $inum rectum cape, vt prius. Hic enim $inus erit etiam $inus rectus arcus quadrante maioris: propterea quòd duo arcus $emicirculum con- ficientes eundem $inũ rectum habent, vtin definitionũ expo$itione diximus. Vt $i da- tus $it arcus grad. 138. Min. 47. detrabe eum ex $emicirculo, hoc e$t, ex grad. 180. Sinus namq; rectus 6589082. re$idui arcus grad. 41. Min. 13. e$t quoq; $inus rectus arcus grad. 138. Min. 47. cum illo arcu grad. 41. Min. 13. $emicirculũ coficientis.

_QVOD_$iarcus datus præter gradus, ac minuta habeat etiam Secunda, inquiren- Sin<_>9 rectus cuiu$uis ar cus hab\~etis Secũda, pr{ae} ter Minuta quomodo elicia\~t per da erit pars proportionalis, hoc modo. Accipe differentiam inter $inum rectum arcus proxime minoris, & $inũ arcus proxime maioris, & dic. Si 60. $ecunda (qui- bus $inguli arcus proximiin hae tabula inter $e differunt) requirũt tota eam differen tiam addendam $inui arcus proxime minoris, vt componatur $inus arcus proxime maioris, quantam differentiam requirunt propo$ita $ecunda addendam eidem $inui [181]SINVS areus proxime minoris, vt fiat $inus propositi arcus? _N_am differentia inuenta erit partem pre pottional\~e pars proportionalis, quæ $i addatur $inui arcus proxime minoris, efficietur $inus re- ctus arcus propo$iti. _V_t $i propo$itus $it arcus grad. _20_. _M_in. _43_. _S_ec. _20._ _A_ccipe dif- ferentiam _2721_. inter $inum _3537469_. arcus grad. _20_. _M_in. _43_. proxime minoris, & $inum _3540190_. arcus grad. _20_. _M_in. _44_. proxime maioris, & dic. _S_i _60._ $ecunda vequirunt differentiam _2721_. addendam $inui _3537469_. arcus grad. _20_. min _43_. vt efficiatur $inus _3540190_. arcus grad. _20_. _M_in. _44_. quantam differentiam po$tu- lant _20_. $ecunda addendam eidem $inui _3537469_. arcus grad. _20_. _M_in. _43_. vt fiat $inus arcus grad. _20_. _M_in. _43_. $ec. _20_? _I_nuenies enim differentiam, $iue partem pro- portionalem _907_. quæ addita $inui _3537469_. efficiet _3538376_. $inum arcus grad. _20_. _M_in. _43_ $ec. _20_. _C_ommuniter tamen ab _A_$tronomis negliguntur in hoc negotio _S_e- Secũda cõl ter ĩttacta tione $inuũ negligũ tut ab A$trone mis. cunda, $i pauciora $unt, quàm _30._ _S_i vero pl@ra, addunt proillis vnum minutum al{ij}s _M_inutis. _N_ullus enim error, qui alicuius momenti $it, inde oritur. _I_taq; pro dato arcugrad. _20._ _M_in. _43._ _S_ec. _20._ accipiunt $inum arcus grad. _20._ _M_in. _43._ ne- glectis illis _20_ $ec. _P_ro arcu vero grad. _20._ _M_in. _43_ $ec. _48._ $umunt $inum arcus grad. _20._ _M_in. _44._ computatis illis _48._ $ec. pro vno _M_inuto.

_SEMICIRCVLI_porro, atq; arcus $emicirculo maioris, non e$t quòd $inus rectus Semicircu- li, & arc<_>9 $e micirculo maioris, nõ e$t $inus re ctus inqui- rendus; im- mo nullus eft eorũ $i- nus rectus. inue$tigetur, cùm nunquam in $upputationibus _A_$tronomicis buiu$modi arcuum $i- nus adbibeantur, quod {ij}s per$ptcuum e$t, qui in triangulis rectilineis, ac $phæri- cis, in quibus tota _S_inuum $cientia ver$atur, $unt exercitati. _I_mmo $emicirculus nullum habet $inum, vt ex vtraq; defin. $inus recti patet. quod etiam de arcu ma- iore dici pote$t, ni$i quis in prima figura definitionum rectam _FK,_ $inum rectum velit appellare arcus _DBF_, $ecundum po$teriorem defin. $inus recti; & rectam _FH_, $inum rectum arcus _ACF_. quod non videturproprie dici, cum huiu$modi lineis prior defi- nitio $inus recti nullo modo conuenire po$sit, vt ex eadem figura per$picuum e$t. Sinus com plem\~eti ar- cus quadrã te minoris quomodo i tabula re periatur.

_QVANDO_ autemdati arcus _Q_uadrante minoris $inum complementi quæris, cape gradus illius in in feriori parte tabulæ, _M_inuta vero ad dexteram. _I_n communi enim angulo continuò $inum complementireperies, hoc e$t, $inum rectum illius arcus, qui dati arcus complementum e$t. _N_am $inus ille rectus debetur arcui, cuius gradus in vertice tabulæ, & minuta in $ini$tro latere collocantur, qui quidem dati arcus com- plementum e$t, vt $upra diximus. _I_ta $inum complementi arcus grad. _30_. $upra grad. _30._ infimi lateris tabulæ è regione _M_inuti _0._ ad dextram collocati inuenies _8660254_. qui quidem $inus rectus e$t arcus grad. _59_. _M_in. _60_. hoc e$t, arcus grad. _60_. qui complementum e$t arcus grad. _30_. _I_tem $inum complementi arcus grad. _30_. _M_in. _49_. reperies _8588110_. qui quidem sinus rectus e$t arcus grad. _59._ _M_in. _11._ qui complementum e$t arcus grad. _30_. _M_in. _49_. _S_i vero offeratur arcus _Q_uadrante Sinus cõple m\~eti cuiu$ uis arc<_>9 qua drãte maio ris, qua arte deprehen - datur. maior, $ed $emicirculo minor, ita $inum complementi ip$ius reperies. _D_etrabe ex eo quadrantem, & re$idui arcus $inum rectum cape. _C_um enim reliquus hic arcus $it complementum dati arcus, vt in definitionibus dictum e$t, erit eius $inus rectus, $inus complementi dati arcus. _V_t $i oblatus $it arcus grad. _127_. _M_in. _30._ _D_etrabe ex eo quadrantem, hoc e$t, _90._ gradus. _S_inus namque rectus _6087614._ reliqui arcus grad. _37._ _M_in. _30._ e$t $inus complementi dati arcus grad. _127._ _M_in. _30._ cumille arcus $it buius complementum. Sin<_>9 cõple- m\~eti cuiu$ uis arc<_>9 ha b\~etis Secũ- da, \~pter Mi nuta, quo

_QVOD_ $i datus arcus præter gradus, ac _M_inuta habeat etiã _S_ecunda; $i quidem _Q_uadrante minor $it, inue$tigabis eius $inum complementi per regulam proportio- num, quemadmodum $upra de $inu recto diximus, ni$i quòd hic differentia inuenta, $iue pars proportionalis $ubtrahenda e$t à $inu arcus proxime minoris, _S_i vero ar- [182]SINVS. cus datus $it _Q_uadrante maior, $ed $emicirculo minor; detracto _Q_uadrante, inqui- modo eli- cia\~t per par t\~e propor- tionalem. res re$idui arcus $inum rectum per eandem regulam proportionum, eo modo, quem $upra de $inu recto tradidimus. _Q_uamuis _S_ecunda negligi po$sint, vt $upra docui- mus, in hoc $inuum negotio _E_xemplum. _S_it datus arcus grad. _69_. _M_in. _16._ _S_ec. _40._ _A_ccipedifferentiam _2721_. inter $inum _3540190._ arcus grad. _69_. _M_in. _16_. proxime minoris in parte tabulæ inferiori de$cripti, & $inum _3537469_. arcus grad. _69_. _M_in. _17._ proxime maioris in eadem parteinferiori tabulæ po$iti; & dic. _S_i _40._ _S_ecundæ requirunt differentiam _2721_. $ubtrahendam à $inu _3540190_. arcus grad. _69_. _M_in. _16._ in i feriori parte tabulæ po$iti, vt relinquatur $inus _3537469_. arcus grad. _69_. _M_in. _17_. in eadem parte inferiori tabulæ de$cripti: quantam differentiam po$tulãt _40_. _S_ecunda $ubtrahendam ab eodem $inu _3540190_. arcus grad _69_. _M_in. _16_. po$iti in part in feriori tabulæ, vt relinquatur $inus arcus grad. _69_. _M_in. _16._ _S_ec. _40_ in ead\~e parte inferiori tabulæ contenti? Inuenies enim differentiã $iue part\~e proportio- nal\~e _1814_. quæ $ubtracta ex sinu _3540190_. relinquet sinum _3538376_. arcus grad. _69_. _M_in. _16_. _S_ec. _40_. in inferiori parte tabulæ collocati: qui quidem e$t sinus rectus arcus grad. _20_ _M_in. _43_ _S_ec. _20_. hoc e$t, complementi arcus datigrad. _69._ _M_in. _16_. _S_ec. _40_. _S_it rur$um datus arcus grad. _110_. _M_in. _43_. _S_ec. _20_. _D_etrahe _Q_uadrantem, id e$t, grad. _90_ & residui arcus grad. _20_. _M_in. _43_. _S_ec. _20_. quære sinum rectum, vt $upra tradidimus. _I_nuenies enim per partem proportionalem, sinum _3538376_. qui e$t sinus complementi arcus propositi.

_HOC_ etiam modo sinum complem\~eti arcus propositi quadrante minoris reperies. @lia rõ in. ue$tigãd<007> $i nũ comple menti arc<_>9 quad rante minoris. _S_ubtrahe propositũ arcum ex quadrante, vt habeas eius complementum _S_inus enim rectus eius complementi inuentus, vt de sinu recto diximus, e$t is, qui quæritur. _V_t si quæratur sinus complementi arcus grad. _69_. _M_in. _16_. _S_ec. _40_. detrahe hunc ar- cum ex grad. _90_. & residui arcus grad. _20_. _M_in. _43_. $ec. _20_. (qui complementum e$t dati arcus grad. _69_. _M_in. _16_. _S_ec. _40_) sinum rectum quære, quem inuenies e$$e _3538376_. atque hic e$t sinus complementi dati arcus grad. _69_. _M_in. _16_. _S_ec. _40_. Sin<_>9 cõple m\~eti $emi- circuli, aut arcus maio ris, \~qrendus non e$t.

_HIC_ quoque $emicirculi, atque arcus $emicirculo matoris sinus complementi quærendus non e$t, ob rationem $upra dictam.

_QVANDO_ deniq; propositi arcus sinum ver$um desideras; si quidem _Q_uadrante minor e$t, detrahe eius sinum complementi ex sinu toto: si vero _Q_uadrante e$t ma- ior, $ed $emicirculo minor, adde eius sinum complementi sinui toti. _N_umerus enim reliquus, vel compositus, erit sinus ver$us dati arcus: propterea quod sinus comple- Sin<_>9 ver$us cuiu$uis ar c<_>9 $iue qua d@ãte mino ris $iue ma ioris, quo pacto colli gatur. menti cuiusuis arcus æqualis est complemento sinus versi eiu$dem arcus, vt $upra in definitionibus o$tendimus. Ex quo fit, vt sinus complementi arcus cuiusuis abla- tus ex sinu toto, vel ad eum adiectus relinquat, vel componat eiu$dem arcus sinum ver$um: _I_d quod per$picuum e$t ex prima figura, quam in expositione definitionum po$uimus. _E_xemplum. _S_it quærendus sinus ver$us arcus grad. _20_. _M_in. _57_. _H_uius sinuscomplementi e$t _9338928_ qui detractus ex sinu toto _10000000_. relinquet sinum ver$um _661072_. dati arcus grad. _20_. _M_in. _57_. _R_ur$us sit inue$tigandus sinus ver$us arcus grad. _138_. _M_in. _31_. _H_uius sinus complementi e$t _7491484_. qui additus sinui toti _10000000_. efficiet sinum ver$um _17491484_. arcus propositi grad. _138_. _M_in. _31_. _P_o$tremo sit inueniendus sinus ver$us arcus grad. _69_. _M_in. _16_. _S_ec. _40_. _H_uius complementi sinus e$t _3538376_. inuentus per partem proportionalem; qui $ubtractus ex $inu toto _10000000_. relinquet $inũ ver$um _6461624_. dati arcus grad. _69_ _M_in. _16_. _S_ec. _40_. _S_ic quoque $inus ver$us arcus grad. _159_. _M_in. _16_. _S_ec. _40_. reperie- tur _13538376_. per partem proportionalem.

[183]SINVS.

_CAETERVM_ _Q_uadrantist tam $inus rectus, quàm ver$us e$t $inus totus; $inus Sinus tã re ctus, \~q ver- $us Quadiã tis e$t $inus totus, $inus vero cõple- menti ni- hil e$t. vero complementi nihil e$t, vt manife$tum e$t ex prima figura in definitionibus po$ita.

_IAM_ vero ex cognito $inu recto ita arcum inuenies. _Q_uære $inum rectum propo- $itum inter $inus tabulæ; vel $i eum non inueneris, $ume proxime maiorem, vel mino- rem, qui nimirum paucioribus vnitatibus à propo$ito $inu di$tat. _N_am in vertice ta- bulæ reperies gradus, & ad $ini $tram è regione $inus accepti, _M_inuta illius arcus, qui propo$ito $inut re$pondet. _V_t $i cognitus $it $inus _7510767_. _I_nuenio $inum _7510722_. proxime minorem, qui paucioribus vmtatibus à $inu cognito di$tat, quàm $inus Arcus qua- drante m<007>- not quo pà cto ex $inu recto cogni to elicia\~t. _7512642_. proxime maior: _C_ui $inui proxime minori re$põdent in vertice tabulæ grad. _48_. & ad $ini$tram _M_inuta _41_. _A_rcum ergo grad. _48_. & _M_in _41_ dico deberi $inui pro- po$ito. _N_am vnitates illæ, quibus $inus propo$itus à $inu dicti arcus differt, non indu- cunt errorem notabilem. _S_i tamen arcum cupis præci$iorem, inue$tiganda erit pars proportionalis, hac arte. _C_ape differentiam inter $inum proxime minorem, & $inum proxime maiorem: _I_tem differentiam inter $inum propo$itum, & illum in tabula re- pertũ, à quo minus differt; & dic. _S_i differentia inter duos $inus in tabula repertos dat Arcus qua- drante mi- nor magis \~pci$us, quo pacto p par t\~e propor- tional\~e ex dato $inu eliciatur. _60_. _S_ecunda addenda arcui $inus proxime minoris, vel auferenda ab arcu $inus proxi- me maioris, (prout videlicet $umpta fuerit differentia inter $inum propo$itum, & $inum proxime minorem, vel proxime maiorem) vt habeatur arcus $inus proxime ma- ioris, vel proxime minoris; quot _S_ecunda po$tulat differentia inter $inum propo$itum & $inum proxime minorem, vel proxime maiorem, addenda arcui $inus proxime mi- noris, vel auferenda ab arcu $inus proxime maioris, vt habeatur arcus propo$iti $inus? _N_am hæc $ecunda inuenta addita arcui $inus proxime minoris, vel ablata ab arcu $inus proxime maioris, dabunt arcum $inus propo$iti. _V_t in dato exemplo, $i dicas. _D_iffer\~etia _1920_. inter $inum _7510722_. proxime minorem, & $inum _17512642_. pro- xime maior\~e, dat _60_. _S_ecunda addenda arcui grad. _48_. _M_in. _41_. qui $inui proxime mi- nori re$põdet, (quoniã propo$itus $inus minus differt à $inu proxime minori quàm à si nu proxime maiori) vt habeatur arcus grad. _48_. _M_in. _41_. _S_ec. _60_. hoc e$t, grad. _48_. _M_in. _42_. re$põdens $inui proxime maiori. _Q_uot ergo Secũda po$tulat differ\~etia _45_. inter $inũ propo$itũ, & $inũ proxime minor\~e, addenda eid\~e arcui $inus proxime minoris, vt fiat arcus dati $inus? _I_nuenies enim _S_ecundũ _1._ & paulo amplius addendũ arcui grad. _48_. _M_in. _41_. ita vt $inui propo$ito _7510767_. re$pondeat arcus grad. _48_. _M_in. _41_. _S_ec. _1._ & paulo amplius. _R_u-$us $it datus $inus _455630_. quem in tabula quæ$itum non inuenio. _A_ccipio ergo proxime maiorem _456536_. (_A_b hoc enim minus di$tat, quàm à proxime minori _453630_.) cui re$pondet arcus grad. _2_. _M_in. _37_. _Q_uòd $i magis præci$um arcum de$iderem, inquiram partem proportionalem, hoc modo. _D_ifferentia _2906_. inter $inũ _456536_. proxime maiorem, & $inum _453630_. proxime minorem, dat _60_. _S_ecũda au- ferenda ab arcu grad. _2_. _M_in. _37_. qui $inui proxime maiori re$pondet, vt reliquus sit arcus grad. _2_. _M_in. _36_. re$pondens sinui proxime minori: _Q_uot ergo _S_ecunda po$tulat differentia _906_. inter sinum propositum, & sinum proxime maiorem, auferenda ab eodem arcu $inus proxime maioris, vt fiat arcus dati sinus? _I_nuenio enim _S_ecunda _19_. fere, quæ ablata ex arcu grad. _2_. _M_in. _37_. relinquunt arcum grad. _2_. _M_in. _36_. _S_ec. _41_. sinui dato _455630_. debitum. _Q_uoniam veroidem sinus rectus re$pondet duobus Atcus qu@- drante ma tor qua ar- te ex $inu recto etua- tur. arcubus $emicirculum conficientibus, vt $upra diximus, si arcus dicta arte ex sinu recto inuentus $ubducatur ex $emicirculo, ide$t, ex grad. _180_. reliquus erit alter ar- cus quadrante maior, qui dicto etiam $inui debetur. _V_t $i arcus grad. _48._ _M_in. _41_. _S_ec. _1._ inuentus dematur ex grad. _180_. remanebit arcus grad _131_. _M_in. _18_. _S_ec. _59_. eid\~e sinui recto _7510767_. debitus. _P_ulchre autem operatio in triangulis tam rectilineis, [184]SINVS. quàm $phæricis, docebit, num accipiendus sit arcus quadrante maior proposito $inui ve$pondens, an vero minor, vt propr{ij}s locis apparebit.

_SI_ vero sinus cognitus, e$t sinus complementi arcus quæsiti, $umendierunt gra- Arcus qua- dranre mi- nor quo pa cto ex $inu complem\~e ti cruatur. dus in parte inferiori tabulæ, & _M_inuta ad dextram. _I_ta enim habebitur arcus quæ- situs. _V_elcerte inueniendus erit arcus, vt prius diximus, $inui dato, tanquam recto, re$pondens, is que ex quadrante demendus, vt arcus quæsitus relinquatur. _V_t si co- gnitus sit _7510767_. sinus complementi al<007>cuius arcus. _I_nuenio sinum _7510722_. pro- xime minorem; quoniam paucior<007>bus hic vnitatibus à sinu cognito di$tat, quàm sinus _7512642_. proxime maior in tabula sinuum: _C_ui sinui proxime minori re$pondent in ima $ede tabulæ grad. _41_. & ad dexteram _M_inuta _19_. _A_rcus igitur grad. _41_. _M_in. _19_. e$t is, qui quæritur. _H_uius enim complementum e$t arcus grad. _48_. _M_in. _41_. cui sinus datus debetur _I_dem arcus grad. _41_. _M_in. _19_. reperietur, si arcus grad. _48_. _M_in. _41_. sinui dato in vertice tabulæ, & ad sini$tram re$pondens ex quadrante $ubducatur. _Q_uòd si partem proportionalem $upra inuentam, nimirum _S_ec. _1._ detrahas ex arcure Arcus qua- drante mi- nor mag<007>s pr{ae}cis<_>9, qua via ex $inu cõplementi @ogno$ca\~t. perto grad. _41_. _M_in. _19_. (quia maiorem arcum, quàm par e$t, dato sinui _7510767_. tri- buimus.) inuenietur arcus magis præci$us grad. _41_. _M_in. _18_. _S_ec. _59_. _Q_ui etiam repe- rietur, si arcum grad. _48_. _M_in. _41_. _S_ec. _1._ eidem $inui, tanquam recto, debitum, & $e- cundum partem propertionalem inuentum, detrahas ex quadrante. _R_ur$us detur _455630_. sinus complementi alicuius arcus, quem in tabula quæsitum non inuenio. _A_ccip<007>o ergo proxime maiorem _456536_. (quoniam ab hoc minus di$tat, quàm à pro- xime minore _453630_.) cui in parte inferiori tabulæ re$pondet arcus grad. _87_. _M_in. _23_. quæ$itus; cum huius complementum $it arcus grad. _2_. _M_in. _37_. sinu<007> dato, tanquã recto, debitus. _Q_uòd si partem proportionalem $upra inuentam, nimirum _S_ec. _19_. ad- das arcui inuento grad. _87_. _M_in. _23_. (quia minorem arcum, quàm par e$t, dato sinui _455630_. tribuimus.) inuenietur arcus magis præc<007>$us grad. _87_. _M_in. _23_. _S_ec. _19_. _Q_u\~e etiam reperies, si arcum grad. _2_. _M_in _36_. _S_ec. _41_. eidem sinui, tanquam recto, debitũ, & $ecundum partem proportionalem inuentum, ex quadrante $ubducas _I_am vero si sinus propositus, e$t sinus complementi arcus quadrante maioris, (_Q_uod quãdo fiat, Arcus qua- drante ma- ior quomo do ex $inu cõplementi inue$tige\~t. pulchre operatio in triãgulis $iue rectilineis, $iue $phær<007>cis doceb<007>t) $um\~edus erit arcus ei in vertice tabulæ, tanquàm $inui recto re$pondens, & quadrãti ad{ij}ciendus, vt ar- cus quæ$itus conf<007>ciatur. _V_t s<007>sinus complementi alicuius arcus quadrante maioris cognitus sit _7510722_. $umendus erit arcus ei re$pondens in vertice tabulæ vna cum parte proportionali, grad. _48_. _M_in. _41_. _S_ec. _1._ & quadranti ad{ij}ciendus. _C_omponetur enim arcus grad. _138_. _M_in. _41_. _S_ec. _1._ qui quæritur, cuius nimirum complement@ datus sinus debetur.

_DENIQVE_ ex sinu ver$o cognito ita arcum inquires. _S_i datus sinus ver$us Arcus quo pacto ex $i- nu ver$o cruatur. minor e$t, quàm sinus totus, detrahe eum ex sinu toto. _R_eliquus enim eritsinus com- plementi arcus quæsiti. _Q_uare ex hoc, vt proxime docu<007>mus, arcum quæsitum inue- nies. _S_i vero datus sinus ver$us sinum totum $uperat, $ubtrahe ex eo sinum totum. _R_emanebit enim sinus rectus arcus, qui quadranti adiectus arcum quæsitum conf<007>ciet- _E_xemplum. _D_etur $inus ver$us _9544370_. _H_unc detraho ex sinu toto _10000000_. re- manebitq; _455630_. sinus complementi arcus quæsiti, ex quo inuenietur arcus grad. _87_. _M_in. _23_. _V_el partem proportionalem magis præci$us, grad. _87_. _M_in. _23_. _S_ec. _19_. _I_tem sit datus sinus ver$us _10455630_. Exhoc $ubduco sinum totum _10000000_. re- linquetur\’q; _455630_. sinus rectus, cuius arcus grad. _2_. _M_in. _37_. vel magis præci$us per partem proportionalem inuentus, grad. _2_. _M_in. _36_. _S_ec. _41_. ad<007>ectus quadranti efficiet arcum quæsitum grad. _92_. _M_in. _37_. vel magis præci$um, grad. _2_. _M_in. _36_. _S_ec. _41_. _H_uius [185]SINVS. operationis ratio per$picua e$t ex prima figura in expo$itione definitionũ po$ita. _I_n ea enim $inus ver$us _AH,_ ex $inu toto _AE_, $ublatus relinquit _HE_, vel _FK_, $inum comple menti arcus _AF_, qui dicto $inui ver$o _AH_, debetur. _I_tem ex $inu ver$o _HC_, $ubdu- ctus $inus totus _EC_, relinquit _EH_, vel _KF_, $inum rectum arcus _FB_, qui quadranti _BC_, adiectus componit arcum _FC_, dicto $inui ver$o _HC_, re$pondentem.

_EX_ eadem tabula $inuum rectorum indagabimus quoq; cuiusq; arcus chordam; Chorda cu- iu$q; arc<_>9; & cõtra, ar- cus chordæ cuiu$q; qua rõne ex ta- bula $inuũ eliciatur. & contra datæ cuiusq; chordæ arcum reperiemus. _N_am $i dimid{ij} arcus propo$iti $i- num rectũ accipiamus, eumq; duplicemus, conflabimus dicti arcus chordam. _I_tem $i datæ chordæ dimidium, tanquàm sinum rectum $umamus, eiu$\’q; arcum eliciamus, da bit h<007>c arcus duplicatus arcum datæ chordæ re$pondentem. _I_d quod ex eadem figura prima, quã <007>n definitionum explicatione de$cripsimus, manife$tum e$t. _N_ã in ea _FH_, $inus rectus arcus _AF,_ vel _FC_, e$t $emi{$s}is chordæ _FG_, arcus _FAG_, vel _FCG_, &c.

_VERVM_ quia tabulam $inuum non $emper in promptu habemus, non iniucun- dum $tudio$is fore $um arbitratus, $i breuiter hoc loco doceam, antequam ad alia progrediar, qua ratione $inubus _G_eometrice, $ine auxilio numerorum, vti po{$s}imus in theorematibus, atq; problematibus _A_$tronomorum ac _G_eometrarũ explicandis: ita vt $olo circini beneficio omnia illa con$equamur, quæ longis multiplicationibus, diui$ioni bus\’q; numerorum in $inuum tabula contentorũ inquiri $ol\~et. _H_ac enim re{ij}s præ$er tim con$ultum erit, qui vel magnã mole$tiam in numerorũ $upputationibus $entiũt, vel non admodum in {ij}s $e$e exercuerunt. _Q_uod vt commodius exequamur, rem totam vno aut altero exemplo exponemus. _S_it ergo, exempli cau$a, inue$tiganda deslinatio cuiu$uis puncti _E_clipticæ, vt grad. _20_. <022>. _D_e$cribatur circulus _ABCD_, vnà cum Quo pacto $inubus vt\~e dũ $it Geo- metricè $i- ne tabu la finuum. duabus diame- tris _AC, BD_, $e$e in centro _E_, ad angulos rectos $ecanti- bus. _E_tquoniã, vt in coroll. propo$. _1._ l<007>b. _1._ no$træ _G_no- monices o$ten- dimus, ea e$t proportio $i- nus totius ad $inum maximæ declinationis, quæ $inus illius arcus, quo datum punctum à viciniori puncto æquinoct{ij} di$tat, ad $inum declinationis eiu$dem puncti; $umatur arcus maxi- mæ declinationis _DF_, (quod quidem facile fiet, $i ad$it quadrãs æneus, aut ligneus ac- curate in _90_. gradus diui$us, de quo in initio no$træ _G_nomonices $crip$imus. _S_ine hoc enim quadrãte non e$$et operæ pretium velle $inubus vti $ine numeris.) & arcus grad. _50._ _DG_, quo nimirum datus gradus _20._ <022>. à principio γ. abe$t: atq; ex _F, G_, ad _DE_, perpendiculares demittantur _FI, GH_; quod facile fiet, $i arcubus _DF, DG,_ $uman- tur arcus _DK, DL_, æquales: _R_ectæ enim puncta _G, L,_ & _F, K_, iungentes erunt ad _DE_, perpendiculares, cum per $cholium in definitionibus po$itum $ecentur in _H,_ _I_, bifariam, ac propterea ad angulos rectos: _E_runt autem _FI, GH_, $inus re- 3. tertij. cti arcuum _DF, DG._ _I_gitur $i tribus rectis _ED_, $inui toti, & _FI_, $inui ma- ximæ declinationis, & _GH_, $inui arcus, quo datum punctum ab æquinoctio [186]SINVS. di$tat, inveniatur quarta proportionalis, inuentus erit $inus rectus declinationis 12. fexti. quæ$itæ. _I_ta autem $ine magno labore quartam proportionalem reperiemus cum _E_u- clide. _D_uct<007>s duabus rectis _AB, AC_, angulum quemcunq; facientibus in _A_, $umatur in earum altera, recta _AD_, primæ lineæ, boc e$t, $inui toti _ED_, æqualis; & _DB_, æqualis $ecundæ lineæ, vt $inui maximæ declinationis _FI:_ _I_n altera vero, recta _AE_, tertiæ lineæ, nempe $inui _GH_, æqualis. _D_einde ducta recta _DE_, ægatur illi per _B_, parallela _BC_. _N_am _EC_, erit quarta proportionalis, boc e$t, $inus rectus declina- tionis grad. _20._ <022>. _C_uius arcum ita inquiremus. _R_ectæ _EC_, inuentæ ab$cindemus ex $emidiametro _EA_, æqualem _EM_, & per _M_, rectæ _EB_, parallelam ducemus _MN_. _A_rcus namq; _BN_, erit arcus declinationis quæ$itæ, cum re$pondeat $inui recto _EM_, $iue _EC:_ propterea quod, ducto $inu recto _NO,_ arcus _NB_, inter $e æquales $intre- @4. primi. ctæ _EM, ON_, ob parallelogrammum _MO_. _E_undem tamen arcumita quoq; obtine- bimus. _R_ectæ inæ uentæ _EC_, æquæ lem ab$cindemus _CF_, vt _EF_, ip$ius _EC_, $it du pla, hoc e$t, chor da illius arcus, qui duplus e§t arcus, cuius $is nus rectus e§t _EC_. _N_am $ire- ctæ _EF_, æqua- lem chordã _PQ,_ in circulo accommodemus, & cius arcum _PQ_, bifariam $ecemus in _R_, erit quoq; _QR_, vel _PR_, arcus declinationis quæ$itæ re$pondens $inui _EC_, hoc e$t, dimidiatæ chordæ _PQ_, vt con$tat ex definitione $inus rect<007>. _Q_uadrans porroin _90._ gradus diui$us mon- $trabit, ($ihoc etiam $cire lubeat) quot gradus ac _M_inuta in _BN_, vel _PR,_ arcu declina tionis contineantur: quamuis _M_inuta $ecundũ exi$timation\~e accipienda $int; proptereæ quòd gradus quadrantis, ni$i admodum magnus e$$et, in _M_inuta diuidi non po{$s}it.

_RVRSVS_ inue$tiganda $it a$cen$io recta grad. _20._ <022>. _Q_uoniamigitur, vtin $ch@ lio propo$. _9_. lib. _2._ _G_nomonices demon$trauimus, eadem e$t proportio $inus complemen ti declinationis puncti propo$iti ad $inum complementi arcus, quo datũ punctũ à vicia niori puncto æquinoct{ij} abe$t, quæ $inus totius ad $inum complem\~eti a$cen$ionis rectæ: $umatur in eadem figura arcus _BN_, declinationis grad. _20_. <022>. quæ in tabula declina- tionis continet grad. _17_. _M_in. _47_. ducatur\’q; _NM_, ad _EA_, perpendicularis, quæ $inus erit complementi dictæ declinationis. _C_apiatur quoq; arcus _DG_, grad. _50_. quo datum pun ctum ab æquinoctio verno abe$t, & ad _EA_, perpendicularis ducatur _GS_, nempe $inus complementi dicti arcus _DG_. _P_o$t hæc tribus rectis _NM_, $inui complem\~eti declinationis dati puncti, & _GS_, $inui complementi arcus _DG_, quo datũ punctum ab æquinoct{ij} pun cto di$tat, et _ED_, $inui toti, quarta proportionalis inueniatur _LI_, vtin lineis _GH, GI_, $e$ein _G_, $ecantibus factũ e$t: _S_umpta enim ibi e$t _GK_, ip$i _NM_, & _KH,_ ip$i _GS_, & _GL_, $inui tot<007> _ED_, æqualis, &c. _N_am _LI_, inuenta erit $inus complementi a$cen$ionis rectæ dati grad. _20_. <022>. _Q_uare $i ip$i _LI_, ex $emid<007>ametro _EC_, ab$cindatur æqualis recta _ET_, ducaturq; _TV_, ip$i _EB_, parallela, & _VX_, ip$i _EC_, parallela, erunt æquales rectæ _ET,_ 34. primi. _VX. C_um ergo $inui _VX_, re$pondeat arcus _BV_, erit huius complementũ _VC_, a$cen$i@ [187]SINVS. recta gradus _20._ <022>. _Q_uot autem gradus complectatur arcus _VC_, indicabit quadrans in _90_. gradus diui$us.

_EODEM_ pacto omnia alia problemata _G_eometrice per $inus ab$oluemus, etiam$i $inubus ver$is vti oportuerit aliquando, qui quidem eadem facilitate exdatis arcu- bus inueniuntur, & exip$is arcus, qua $inus rectos, & $inus complem\~etorum reperi- mus. _S_i enim arcus datus minor e$t quadrante, vt _AG;_ ducta _GS_. ad _AE_, perpendi- culari, erit _AS_ $inus ver$us arcus _AG_. _S_i vero datus arcus quadrante maior e$t, vt _AV;_ ducta _VT_, ad _EC_, perpendiculari, erit _AT_, $inus ver$us arcus _AV_, vt ex definitione manife$tum e$t.

_SED_ iam ad inqui$itionem chordarum _G_eometricam aggrediamur, ex quibus rur$um $inuum tabulam fac<007>l<007> negotio componemus.

THEOR. 7. PROPOS. 10.

IN circulo $umptis duobus arcubus inæqua- Maior e$t proportio ma<007>or<007>s ar- c<_>9 in circu- lo ad arcũ minor\~e, \~q chordæ ma ioris arcus ad chordã minoris. libus, quorum maioris chorda maior $it, quam chorda minoris; maior e$t proportio arcus maio- ris ad minorem, quam chordæ arcus maioris ad chordam minoris arcus.

IN circulo ABCD, $int in{ae}quales arcus AB, BC; ille maior, hic vero minor: quorum chordæ AB, BC; illa maior, hæc vero minor. Dico maiorem e$$e proportionem arcus AB, ad arcum BC, quam chordæ AB, ad chordam BC. Contineant enim chordæ AB, BC, angulum ABC, ita vt arcus $int conti- nuati, minore$q; $int tota circunferentia. Nam $i toti circunferentiæ forent æquales, e$$et eadem chorda vtriu$q; arcus: $i vero totam circunferentiam excederent, e$$et chorda arcus minoris maior, quam maioris, vt patet in $e- cunda figura, $i minor arcus foret BAI. Angulus porrò ABC, bifariam $e- 9. primi. cetur recta BD, connectãtur\’q; rectæ AC, AD, CD, quarum AC, rectam BD, $ecet in E. Erunt autem rectæ AD, CD, æquales, propter arcus AD, CD, 29. tertij. qui $ubten $iangulis ABD, CBD, ex con$tructione æqualibus æqualesinter 26. tertij. $e $unt. Et quoniam in triangulo ABC, recta BE, angulum ABC, bifariam $ecat; erit, vt AB, ad BC, ita AE, ad EC: E$t autem recta AB, maior, quam 3. fextia [188]SINVS. recta BC, ex hypothe$i. Igitur & AE, maior erit, quã EC. Diui$a ergo AC, bi- fariã in F, erit punctũ F, in maiori $egmento AE. Ducta aut\~e recta DF; quoniã latera AF, FD, trianguli AFD, lateribus CF, FD, trianguli CFD, ba$is\’q; AD, ba$i CD, o$ten$a e$t æqualis; erit angulus AFD, angulo CFD, æqua- 8. primi. lis; ac proinde vterq; rectus erit. Cum ergo in triangulo DEF, duo anguli E, F, duobus rectis $int minores, erit angulus E, acutus, ac proinde reliquus 17. primi. CED, obtu$us. Quare cum in triangulo CDE, duo anguli C, E, $int duo- bus rectis minores, erit angulus C, acutus. E$t igitur in triangulo DEF, la- tus DE, maius latere DF, & in triangulo CDE, minus latere CD. Quocir- 19. primi. ca arcus circuli ex D, centro per E, de$criptus $ecabit rectam DF, productam in H, rectam autem CD, infra punctum C, in G. Quoniam vero $ector DHE, ad triangulum DEC, maiorem proportionem habet, quam triangulũ DFE, 8, quinti. adidem triangulum DEC: Item $ector idem DHE, ad $ectorem DEG, ma- iorem proportionem habet, quam ad triangulum DEC; habebit multò ma- iorem proportionem $ector DHE, ad $ectorem DEG, quam triangulum DFE, ad triangulum DEC. E$t autem, vt $ector DHE, ad $ectorem DEG, Coroll. 1. propo$. 33. lib. 6. ita angulus HDE, ad angulum EDG. Maior ergo quoq; erit proportio an- guli HDE, ad angulum EDG, quam trianguli DFE, ad triangulum DEC: 1. $exti. Sed vt triangulum DFE, ad triangulum DEC, ita e$t recta FE, ad rectam EC. E$t igitur maior quoq; proportio anguli HDE, ad angulum EDG, quæ rect{ae} FE, ad rectam EC. Etcomponendo, maior etiam erit proportio 28. quinti. anguli HDG, ad angulum EDG, quam rectæ FC, ad rectam EC. Quia igi- Anguli # Rectæ. ADC. # AC. HDG. # FC. EDG. # EC. tur e$t, vt angulus ADC, ad angulum HDG, ita recta AC, ad rectã FC: (vtrobiq; enim e$t proportio dupla) Angulus autem HDG, ad angulum EDG, maiorem habet proportionem, quam recta FC, ad rectam EC, vt o$tendimus; erit ex æquo maior quo- 31. quinti. que proportio anguli ADC, ad angulum EDG, quam rectæ AC, ad rectam EC, vt in hac formula apparet. Diuidendo ergo erit quoq; maior proportio anguli ADE, ad angu- 29. quinti. lum EDG, quam rectæ AE, ad rectam EC. Atqu<007> vt angulus ADE, ad an- gulum EDG, ita e$t arcus AB, ad arcum BC; Et vt recta AE, ad rectam EC, 33. $exti. ita e$t chorda AB, ad chordam BC. Igitur maior erit etiam proportio arcus 3. $exti. AB, ad arcum BC, quam chordæ AB, ad chordam BC. In circulo ergo $um- ptis duobus arcubus inæqualibus, &c. Quod demon$trandum erat.

[189]SINVS. SCHOLIVM.

_QVAMVIS_ autem Theorema hoc proponatur $olum de arcubus illis inæqualin bus, quorũ maiori maior chorda $ubtenditur, quam minori: _I_dem tamen locum etiam habet in illis arcubus inæqualibus, quorum maioris chorda minor e$t, quam chordæ minoris. _N_am quia tunc arcus maior ad minorem habet proportion\~e maioris inæqua- litatis, chorda vero maioris arcus ad chordam minoris arcus proportionem habet mi- noris inæqualitatis, maior erit proportio maioris arcus ad minorem, quam chordæ arcus maioris ad chordam minoris arcus.

COROLLARIVM.

SEQVITVR ex hac propo$itione, minorem e$$e proportionem minoris arcus ad ma- iorem, quam chordæ minoris arcus ad chordam maioris. Cum enim maior arcus ad mi- norem habeat maiorem proportionem, quam chorda maioris arcus ad chordam minoris, vt demon$tratum e$t; habebit conuertendo minor arcus ad ma<007>orem, minorem propor- 26. quinti. tionem, quam chorda arcus minoris ad chordam maior<007>s.

THEOR. 8. PROPOS. II.

SI in circulo quadrilaterum de$cribatur cum Rectangu- lũ $ub dia- metris qua drilateri in circulo de- $cripti con tentũ æqua le e$t duo- bus rectan- gulis $ub oppo$itis la teribus con tentis. $uis diametris; eritrectãgulum $ub diametris com- prehen$um æquale duobus rectãgulis $imul, quæ $ub lateribus oppo$itis continentur.

IN circulo ABCD, $it quadrilaterum ABCD, cuius diametri AC, BD. Dico rectangulum $ub AC, BD, comprehen$um æquale e$$e rectangulis $i- mul $ub AD, BC, & $ub AB, DC, contentis. Fiat angulo DAC, æqualis angulus BAE; cadet\’q recta AE, vel in ip$am rectam AC; vel inter AC, rectam, & punctum B; vel deniq; inter rectam AC, & punctum D: atq; erit in primo ca$u angulus BAC, angulo DAE; & in $ecundo ca$u totus angu- lus BAC, toti angulo DAE, pro- pter cõ mu- nem angu- lum EAC, additum; & & in tertio ca$u reli- quus angu- lus BAC, reliquo angulo DAE, ob communem angulum EAC, ablatum æqualis. Et quoniam angulus quoq; ACB, angulo ADB, æqualis e$t; erit 21. tertij. reliquus etiam angulus ABC, in triangulo ABC, reliquo angulo AED, in 32. primi. triangulo AED, æqualis. Erit igitur vt AC, ad CB, ita AD, ad DE. Qua- 4. $exti. re rectangulum $ub AC, DE, æquale e$t rectangulo $ub CB, AD. Rur$us 16. $exti. quia angulus BAE, angulo DAC, ex con$tructione æqualis e$t; & angulus ABD, angulo ACD: erit & reliquus angulus AEB, in triangulo AEB, re- 21. tertij. [190]SINVS. liquo angulo ADC, in triangulo ADC, æqualis. Erit igitur, vt AC, ad CD, 4. $exti. ita AB, ad BE. Quare rectangulum $ub AC, BE, æquale e$t rectangulo $ub 16. $exti. CD, AB. Quoniam igitur rectangulum $ub AC, DE, rectangulo $ub CB, AD, o$ten- $um e$t æqua le; & rectãgu lum $ub AC, BE, rectãgu lo $ub CD, AB: Suntau tem rectangu la $ub AC, DE, & $ub AC, BE, $imul rectangulo $ub AC, BD, æqualia; erit rectangulum $ub AC, 1. $ecundi. BD, rectangulis $ub BC, AD, & $ub CD, AB, contentis æquale. Siergo in circulo quadrilaterum de$cribatur, &c. Quod erat demon$trandum.

SCHOLIVM.

_QVANDO_ figura in circulo de$cripta e$t quadratum, vt in prima figura, fa- cilius demon$trabitur theorema, hoc modo. _Q_uon<007>am rectangulum $ub _AC, BD,_ Schol. 34. lib. 1. hoc e$t, quadratum ex _AC,_ ($unt enim diametri in quadrato æquales) æquale e$t quadratis ex _AD, DC,_ hoc e$t, rectangulis $ub _AD, BC,_ & $ub _AB, DC,_ conten- 47. primi. tis, propter æqualitatem rectarum _AD, BC,_ & _AB, DC;_ liquido con$tatid, quod proponitur.

PROBL. 4. PROP. 12. Ex data dia metro cir- culi quo pa cto latera trianguli {ae}- quilateri, quadrati, hexagoni, pentagoni, & dccago- ni eiu$dem circuli in- ue$tigen\’t.

EX data circuli diametro quotlibet particula- rum, latera trianguli æquilateri, quadrati, hexago- ni, pentagoni, & decagoni in eodem circulo de- $criptorum, in ei$dem partibus inue$tigare.

PONATVR diameter partium 20000000. Quoniam igitur latus he- xagoni $emidia metro circuli e$t æquale, ip$um notum fiet partium 10000000.

Coroll. 15. quarti.

RVRSVS, quia quadratum à diametro quadrati cuiu$uis de$criptum, duplum e$t quadrati eiu$dem; E$t autem diameter quadrati in circulo de$cri- Schol. 47. primi. pti eadem, quæ circuli diameter: $i accipiatur quadratum à diametro circuli de$criptũ, népe 400000000000000. erit dimidiũ eius, puta 200000000000000. quadratum lateris quadrati, cuius radix quadrata 14142136. dabit latus qua- drati. Quod hoc etiam modo reperietur. Quoniam quadratum in circulo de- $criptum duplum e$t quadrati à $emidiametro de$criptum, vt patet in trian- 47. ptimi. gulo rectangulo ADE, prim{ae} figuræ præced\~etis propo$. $i 100000000000000. quadratum $emidiametri duplicetur, fiet quadratum in circulo de$criptum partium 200000000000000. cuius radix quadrata 14142136. rur$us dabit la- tus quad rati.

[191]SINVS.

PRAETEREA, cum latus trianguli æquilateri in circulo de$cripti $it 12. tertij- dec. potentia triplum $emidiametri eiu$dem circuli, efficitur, vt quadratum $e- midiametri triplicatum det quadratum lateris triãguli 300000000000000. cu- ius radix quadrata idem latus exhibebit partium 17320508.

SIT in$uper AB, $emidiameter circuli cuiu$uis, qua diui$a $ecundum ex- 30.$exti. tremam ac mediam rationem in C, vt maius $egmentum $it BC; producta autem AB, & ab$ci$$a BD, quæ maiori $eg- mento BC, $it æqualis; erit quoq; AD, in B, diui$a $ecundum extremam ac mediam rationem, maius\’q; 5. terrijdec. coroll. 15.6 Schol. 9. 13 $egmentum erit AB: quod cum $it latus hexagoni in circulo, cuius $emidia- meter AB; erit BD, latus decagoni in eodem circulo. Quod hac ratione notum efficietur. Secta AB, bifariam in E, erit quadratum rectæ DE, com- po$itæ ex minori $egmento DB, & dimidio BE, maioris $egmenti BA, quin- 3. tertijdec. tuplum quadrati rectæ BE, quæ cognita e$t, cum $it $emi$sis $emidiametri AB, ac proinde partium 5000000. Quare $i quadratum rectæ BE, quincupli- cetur, fiet quadratum rectæ DE, 125000000000000. cuius radix quadrata dabit rectam DE, partium 11180340. ex qua $i dematur recta BE, partium 5000000. reliquum erit BD, latus decagoni partium 6180340.

POSTREMO, quoniam pentagoni latus pote$t & latus hexagoni, & 10. tertij- dec. latus decagoni; $i quadratum lateris hexagoni 100000000000000. & quadra- tum lateris decagoni 38196602515600. $imul componantur, fiet quadratum lateris pentagoni 138196602515600. cuius radix quadrata dabit latus pen- tagoni partium 11755705. Atq; ita latera trianguli æquilateri, quadrati, pen tagoni, hexagoni, & decagoni nota facta $unt in partibus diametri circuli, in quo de$cribuntur. Ex data igitur circuli diametro quotlibet particularum, latera trianguli æquilateri, quadrati, &c. inue$tigauimus. Quod erat fa- ciendum.

PROBL. 5. PROP. 13. Qua ratio- ne ex dua- buschordis cognitis in ue$tigetur chorda dif- ferentiæ, qua arcus chordarũ datarũ in- ter $e diffe runt.

EX datis chordis duorum arcuũ inæqualium chordam arcus, quo maior arcus minorem $upe- rat, inquirere.

IN $emicirculo ABCD, $int datæ chordæ AB, AC, & BC, $it chorda arcus BC, quo maior arcus AC, minorem AB, $uperat: oporteat\’q; inqui- rere chordã BC. Ductis rectis BD, CD; quoniam 3. huius. chordæ AB, AC, ponuntur notæ, notæ quoque erunt chordæ BD, CD. Rectangulum ergo $ub datis rectis AB, CD, comprehen$um, notum erit: Itemrectangulum $ub datis rectis AC, BD. E$t autem rectangulum $ub rectis, AC, BD, æquale 11.huius. duobus rectangulis $ub AB, CD, & $ub BC, AD. Ablato ergo rectangulo noto $ub AB, CD, ex rectangulo $ub AC, BD, notum $iet reliquum rectangulum $ub BC, AD. [192]SINVS. quod diui$um per diametrum AD, notam, cognitam faciet chordam BC. Ex datis ergo chordis duorum arcuum inæqualium chordam arcus, quo maior arcus minorem $uperat, inqui$iuimus. Quod faciendum erat.

COROLLARIVM.

ITAQVE datis chordis duorum arcuum inæqualium, $i maioris chorda multiplice- Praxis. tur in chordam arcus, qui cum minori arcu $emicirculum confic<007>t, quæ quidem per 3. pro- po$. datur; & ex producto $ubtrahatur numerus procreatus ex minoris arcus chorda in chor dam arcus, qui cum arcu maiori $emicirculum complet, quæ per eandem propo$. 3. dat@r; reliquus autem numerus per diametrum diuidatur, reddetur chorda illius arcus, quo ma- ior arcus minorem $uperat, nota: vt ex figura & demon$tratione huius propo$, manife- $tum e$t.

PROBL. 6. PROPOS. 14. Qua arte ex datis dua- bus chordis cogno$caf chorda ar- cus cõpo$iti ex duobus arcubus da tarũ duarũ chordarũ.

EX datis chordis duorum arcuum chordam arcus, qui ex duobus illis arcubus componitur, in- ue$tigare.

IN circulo ABCDE, cuius centrum F, datæ $int duæ chordæ AB, BC: oporteat\’q; inue$tigare chordam AC, arcus ABC, ex duobus arcubus AB, BC, compo$iti. Ductis duabus diametris AD, BE, & rectis BD, CE, CD, DE; quoniam data e$t chorda AB, dabitur quoq; chorda BD, arcus BCD, 3.huius. reliqui in $emicirculo ABD. Pariratione, quia data e$t chorda BC, dabitur quoq; chorda CE, arcus CDE, reliqui in $emicirculo BCE. Et quia anguli AFB, DFE, æquales $unt, latera\’q; FA, 15. primi. FB, lateribus FD, FE, æqualia, æquales quoque erunt ba$es AB, DE; ac proinde cum AB, data 4.primi. $it, data quoq; erit DE. Quoniam igitur rectan- gulum $ub datis rectis BD, CE, æquale e$t rectan 11.huius. gulis $ub datis rectis BC, DE, & $ub diametro BE, ac recta CD: $i rectangulum $ub BC, DE, datum auferatur ex rectangulo dato $ub BD, CE; notum relinquetur rectan gulum $ub BE, CD. quo diui$o per diametrum notam BE, nota fiet chor- da CD; ac proinde & chorda AC, reliqui arcus ABC, in $emicirculo ACD, 3. huius. nota erit.

ALITER. Quoniam data e$t chorda AB, dabitur etiam BD, reliqui ar- 3.huius. cus BCD, in $emicirculo ABD: Data e$t autem & BC. Igitur cum chordæ BD, BC, datæ $int, dabitur quoq; chorda CD, arcus CD, quo maior arcus 13. huius. BD, minorem arcum BC, $uperat; ac proinde rur$us chorda AC, reliqui 3.huius. arcus ABC, in $emicirculo ACD, dabitur. Ex datis ergo chordis duorum ar cuum chordam arcus, qui ex duobus illis arcubus componitur, inue$tigaui- mus. Quod erat faciendum.

COROLLARIVM.

ITAQVE datis chordis duorum arcuum, $i chordæ arcuum duorum, qui cum illis $e- Praxis. micirculos complent, quæ quidem per propo$. 3. dantur, inter $e multiplicentur; & ex pro- [193]SINVS. ducto auferatur numerus procreatus ex multiplicat<007>one duarum chordarum datarum in- ter $e; reliquus autem numerus per diametrum diuidatur, relinquetur chorda, ex qua $i per propo$. 3. inue$tigetur chorda arcus, qui cum rel<007>ctæ chordæ arcu $emicirculum confic<007>t, erit hæc inuenta $ubtendens arcum compo$itum ex duobus arcubus duarum chordarum datarum. Operat<007>o hæc per$picua e$t ex figura, & demon$trarione priori huius propo$.

EADEM hæc operatio colligi pote$t ex po$teriori demon$trat<007>one, vt manife$tum e$t.

PROBL. 7. PROPOS. 15. Quo pa- cto ex da- ta chorda reperiatur chorda $e- mi$$is arcus datæ chor- dæ.

EX data chorda cuiu$uis arcus chordã $emi$- $is illius arcus inuenire.

IN circulo ABC, cuius centrum E, data $it chorda BC, arcus BDC, cu- ius $emi$sis $it arcus BD, eius\’q; chorda BD, quam inuenire oporteat. Ducta diametro DG, $ecabitea, per lemma in definitionibus po$itum, rectam BC, bifariam, ac proinde ad angulos rectos. Iunctis autem rectis BA, BG; erunt 3. tertij. duo triangula ABC, EFC, æquiangula, cum angulus EFC, o$ten$us $itre- ctus, & angulus ABC, $it quoq; rectus in $emicirculo, at angulus C, commu 31. tertij. nis. Igitur erit, vt CF, ad FE, ita CB, ad BA: & 4. $exti. permutando, vt CF, ad CB, ita FE, ad BA. Cum ergo CF, dimidium $it ip$ius CB, vt o$tendimus, erit & EF, dimidium ip$ius AB: ac propterea cum AB, data $it ex data BC, data quoq; erit EF; qua 3. huius. dempta ex $emidiametro ED, nota, data erit quoq; reliqua FD. Quoniam vero in triangulo GBD, an- gulus B, rectus e$t, à quo demi$$a e$t BF, ad ba$im 31. tertij. GD, perpendicularis; erit recta DB, media propor Coroll.8.6. tionalis inter GD, & FD: atq; adeo rectangulum $ub GD, FD, notis quadrato rectæ DB, æquale. 17. $exti. Notum ergo erit quadratum rectæ DB; propterea\’q; radix eius quadrata re- ctam DB, notam exhibebit. Quam etiam ita cogno$cemus. Quoniam FD, nota facta e$t, erunt quadrata rectarum FD, FB, nota: quæ cum æqualia $int 47. primi. quadrato rectæ BD; erit & hoc quadratum notum, cuius radix quadrata ite- rum rectam BD, efficiet notam. quod e$t propo$itum.

ALITER. SIT rur$us in $emicirculo ABC, data chorda BC, arcus BDC, cuius $emi$sis $it arcus DC, cius\’q; chorda DC, quam oporteat dari. Ducta chorda AB, ab$cindatur ei æqualis AE, iunganturq; rectæ BD, DE; Diui$a quoq; EC, bifariam in F, demittatur recta DF. Quoniam igitur duo latera BA, AD, equa- lia $unt duobus lateribus EA, AD, angulo$q; comprehendunt æquales, ob arcus æquales BD, 27. tertij. DC; erunt ba$es BD, DE, æquales. E$t autem 4. primi. BD, recta rectæ DC, æqualis. Igitur & recta DE, 29. tertij. eidem DC, æqualis erit. Quare cum duo latera EF, FD, duobus lateribus CF, FD, æqualia $int, ba$is\’q; DE, ba$i DC, æqualis; erunt anguli ad F, 8.primi. æquales, ideo\’q; recti. Quoniam vero chorda AB, nota e$t ex data chorda BC; 3. huius. erit quoq; AE, ip$i AB, æqualis, nota: qua ablata ex diametro AC, nota re- linquetur EC; ac proinde & huius medietas FC. Iam vero, quia CD, media Coroll. 8.6. [194]SINVS. proportionalis e$t inter AC, FC; erit rectangulum $ub AC, FC, æquale 15.$exti. quadrato rectæ CD. Cum ergo illud notũ $it, ob notas AC, FC; erit & qua- dratum ex DC, notum: atq; adeo radix eius quadrata rectam DC, efficiet notam. Quare ex data chorda cuiu$uis arcus chordam $emi$sis illius arcus in- uenimus. Quod erat faciendum.

COROLLARIVM.

ITAQVE, $i per propo$. 3. inueniatur chorda arcus, qui cum arcu datæ chordæ $emicir- Praxis. culum con$icit; inuentæ autem huius chordæ dimidium ex $emidiametro detrahatur, & reliquus numerus in diametrum multiplicetur, dabit radix quadrata huius producti chor- dam $emi$sis illius arcus, cuius chorda data e$t. Vel $i reliqui illius numer<007> quadratum iun gatur quadrato $emi$sis chordæ datæ, componetur numerus, cuius radix quadrata chordam quæ$itam exhibebit cognitam. Quæ quidem operatio facile colligitur ex figura, & priori de- mon $tratione huius propo$.

ITEM $i per propo$. 3. reperiatur chorda arcus, qui cum arcu datæ chordæ $emicircu- lum con$icit; inuenta autem hæc chorda ex dia metro detrabatur, & reliqui numeri dimi- dium <007>n diametrum multiplicetur, dabit radix quadrata huius product<007> chordam $emi$$is illius arcus, cuius chorda data e$t. Vt per$picuum e$t ex figura, & po$ter<007>ori demon$tra- tione huius propo$.

PROBL. 8. PROPOS. 16.

CHORDAS omnium arcuum $emicirculi Qua ratio- tione om- niu arcuũ chordæ $up putentur. $e$e ordine $uperantium vno Minuto, in partibus diametri in quotius particulas di$tributæ, $uppu- tare.

STATVAMVS, chordas omnium arcuum $upputandas e$$e re$pectu diametri in partes 200000. di$tributæ. Quod vt fiat accuratius, ponenda erit in $upputationibus diameter partium 20000000. Ita enim fiet, vt abiectis dua- bus primis figuris ad dexteram ex $ingulis chordis inuentis, relinquãtur chor- dæ magis exqui$it{ae} re$pectu diametri partium 200000. quemadmodum ad ini- tium propo$. 9. de Sinubus docuimus, vbi etiam addidimus, quot particula- rum $inus totus a$$umi debeat in $upputatione, $i $inus totus in tabula plu- rium particularum de$ideretur. Quod etiam de tota diametro hic intelligi debet, $tatuendo $emper diametrum duplo plurium particularum in $uppu- t<007>tione, quam $inum totum ibi con$tituimus.

PRIMVM ergo omnium inuentæ $unt in propo$. 12. chordæ arcuum grad. 36. grad. 60. grad. 72. grad. 90. & grad. 120. nempe latera decagoni, he- xagoni, pentagoni, quadrati, & trianguli æquilateri, partium 6180340. 10000000. 11755705. 14142136. 17320508. qualium 20000000. tota diame- ter $tatuitur. Ex chordis autem 6180340. 11755705. arcuum grad. 36. & grad. 72. inuenientur chordæ arcuum reliquorum in $emicirculo, vt grad. 144. & grad. 108. partium 19021130. 16180340. vt in propo$. 3. o$tendimus.

DEINDE per propo$. 13. eius\’q corollarium reperientur chordæ om- nium arcuum, qui differentiæ $int duorum quorumlibet arcuum, quorũ chor- dæ $int notæ. Vt ex chorda arcus grad. 120. & ex chorda arcus grad. 36. inue- niemus chordam arcus grad. 84. qui illorum differentia e$t. Item ex chorda [195]SINVS. arcus grad. 90. & ex chorda arcus grad. 60. cogno$cemus chordam arcus grad. 30. quo duo illi inter $e differunt. Eodem\’q; modo plurimorum arcuum chor- das inue$tigabimus.

RVRSVS perea, quæ propo$. 14. eius\’q; corollario demon$trauimus, reperiemus chordam cuiu$q; arcus compo$iti ex duobus, quorum chordæ no- tæ $int. Vt ex chorda arcus grad. 60. & ex chorda arcus grad. 90. nota red- detur chorda arcus grad. 150. ex illis duobus compo$iti. Sic etiam ex chor- da arcus grad. 90. & ex chorda arcus grad. 36. cogno$cetur chorda arcus grad. 126. &c.

PRAETEREA per doctrinam propo$. 15. eius\’q; coroll. cognita chor- da cuiu$uis arcus, cogno$cemus & chordam dimidiati arcus. Vt ex chorda ar- cus grad. 60. notam efficiemus chordam arcus grad. 30. Ex hac chordam ar- cus grad. 15. Ex hac vero chordam arcus grad. 7. Min. 30. & ex hac chordam arcus grad. 3. Min. 45. Item ex chorda arcus grad. 72. explorabimus chordam arcus grad. 36. Et ex hac chordã arcus grad. 18. Et ex hac chordã arcus grad. 9. Et ex hac chordã arcus grad. 4. Min. 30. Et ex hac chordam arcus grad. 2. Min. 15. Sic etiam, quoniam per propo$. 13. eius\’q; coroll. ex chordis arcuum grad. 36. & grad. 48. cogno$citur chorda arcus grad. 12. quo illi duo inter $e differunt, cogno$cemus ex chorda arcus grad. 12. chordam arcus grad. 6. Et ex hac chordam arcus grad. 3. Ex hac chordam arcus grad. 1. Min. 30. Et ex hac chordam arcus grad. 0. Min. 45. Deinde $i per ea, quæ demon$trata $unt, ar- Supputa- tio chorda- rũ arcuum Min. 45. $e- $e $nperan- tium. cuum cæterorum chordas dilig\~eter ex inuentis inquiramus, inueniemus chor das omnium arcuum, qui $e ordine continuo $uperant Minutis 45. ita vt pri- mus arcus contineat grad. 0. Min. 45. $ecundus grad. 1. Min. 30. tertius grad. 2. Min. 15. vltimus deniq; $it totus $emicirculus grad. 180. Immo vero, $i, vt proxime docuimus, inuenta fuerit chorda arcus grad. 0. Min. 45. inueniemus ex hac, per doctrinam propo$. 14. eius\’q; coroll. chordas omnium arcuum $e- $e continue Minutis 45. $uperantium, $i primo inue$tigemus chordam arcus grad. 1. Min. 30. ex duobus arcubus Min. 45. & Min. 45. compo$iti: Deinde ve ro chordam arcus grad. 2. Min. 15. qui ex duobus arcubus grad. 1. Min. 30. & Min. 45. componitur: Et po$tea chordam arcus grad. 3. qui componitur ex arcu grad. 2. Min. 15. & ex arcu Min. 45. atq; ita deinceps, apponendo $emper arcui antecedenti arcum Min. 45.

POSTREMO aliorum arcuum chordas inue$tigabimus hac arte. Sit in Supputatio chordæ ar- cus grad. 1. $emicirculo ABCDE, chorda AB, arcus Min. 45. & AD, chorda arcus grad. 1. Min. 30. at AC, chorda arcus grad. 1. quæ inue$tiganda propo- natur. Quoniam igitur maior e$t proportio arcus AC, ad arcum AB, quam chordæ AC, ad chor- 10. huius. dam AB: Habet autem arcus AC, ad arcum AB, proportion\~e $esquitertiam; habebit chorda AC, ad chordam AB, proportionem minorem, quàm $e$quitertiam. Cum ergo chorda AB, arcus Min. 45. ex præcedentibus inuenta $it partium ferè 130899. erit chorda AC, ar- cus grad. 1 (quæ nimirum ad chordam AB, hoc e$t, ad 130899. minorem pro- portionem habet, quam $e$quitertiam.) minor, quàm 174532. cum hic nume 10. quinti. rus ad illum proportionem habeat $e$quitertiam. Rur$us quia maior e$t pro- portio arcus AD, ad arcum AC, quam chordæ AD, ad chordam AC: Habet 10. huius. [196]SINVS. autem arcus AD, ad arcum AC, proportionem $e$quialteram; habebit chor da AD, ad chordam BC, minorem proportionem, quam $e$quialteram. Cum ergo chorda AD, arcus grad. 1. Min. 30. ex præcedentibus inu\~eta $it partium ferè 261792. erit chorda AC, arcus grad. 1. (ad quam nimirum chorda AD, hoc e$t, numerus 261792. minorem proportionem habet, quam $e$quialterã.) maior, quam 174528. cum ad hunc numerum numerus 261792. proportio- 10.quinti. nem $e$quialteram habeat. Con$tat igitur, chordam arcus grad. 1. con$i$tere inter duos hos numeros, 174532. 174528. cum ille maior $it, hic vero minor. Statuamus ergo eam e$$e 174530. inter numeros illos omnino mediam. Ita enim $en$ibiliter non differet à vera chorda arcus grad. 1.

NON putes autem, eadem hac arte inue$tigari po$$e chordam arcus cu- iu$uis plurium graduum ex duabus chordis notis duorum arcuum circun$tan tium. Nam cum in maioribus arcubus magna $it differentia inter arcus, & chor das, ægre iudicari poterit, quinam numerus ex intermedijs inter duos inu\~etos con$titui debeat chorda arcus propo$iti. Quod hoc exemplo faciemus per$pi- cuum. Sint cognitæ chordæ arcuum grad. 59. Min. 46. & grad. 60. Min. 30. partium 9964712. & 10075480. Si quis igitur ex his eruere vellet chordam ar- cus grad. 60. ita e$$et ei progrediendum. Quoniam minor e$t proportio arcus Coroll. 10. huius. grad. 59. Min. 46. ad arcum grad. 60. quam chordæ ad chordam: Habet autem 9964712. chorda arcus grad. 59. Min. 46. ad 10003614 {1698/1793}. proportio- nem eandem, quam arcus grad. 59. Min. 46. ad arcum grad. 60. erit chorda ar- cus grad. 60. minor, quam 10003614 {1698/1793}. vtpote ad quam chorda 10. quinti. 9964712. maiorem proportionem habeat, quam ad 10003614 {1698/1793}. Item quia maior e$t proportio arcus grad. 60. Min. 30. ad arcum grad. 60. quam chor 10. huius. dæ ad chordam: Habet autem 10075480. chorda arcus grad. 60. Min. 30. ad 9992211 {69/121}. eandem proportionem, quam arcus grad. 60. Min. 30. ad arcum grad. 60. erit chorda arcus grad. 60. maior, quam 9992211 {69/121}. vt- 10. quinti. pote ad quam chorda 10075480. proportionem habeat minorem, quam ad 9992211 {69/121}. Con$tituenda igitur e$$et chorda arcus grad. 60. inter hos duos numeros 10003614 {1698/1793}. 9992211 {69/121}. qui cum valde inter $e differant (e$t enim eorum differentia ferme 11403.) ambiguum erit, quanta ea $it a$$umenda. Quæ ambiguitas in perue$tigatione chordæ arcus grad. 1. lo- cum non habet, cum in tam paruis arcubus chord{ae} parũ ab arcubus differant.

IAM vero inuenta chorda arcus grad. 1. reperiemus quoq;, per propo$. Supputatio chordarũ arcuum per Min.15. ex- ten$orum. 15. eius\’q; coroll. chordam arcus Min. 30. Et ex hac chordam arcus Min. 15. Sed hanc po$tremam etiam inueniemus per propo$. 13. eius\’q; coroll. cum ar- cus Min. 15. $it differentia inter arcum grad. 1. & arcum Min. 45. quorũ chordæ iam $unt cognitæ. Per chordã autem arcus Min. 15. cogno$cemus per propo$. 14. eius\’q; coroll. chordã arcus Min. 30. qui ex arcu Min. 15. & ex arcu Min. 15. componitur. Item chordam arcus Min. 45. ex arcubus Min. 30. & Min. 15. com po$iti. Item chordam arcus grad. 1. ex arcubus Min. 45. & Min. 15. conflati. Et chordam arcus grad. 1. Min. 15. Et chordam arcus grad. 1. Min. 30. quam- uis omnes hæ chordæ iam factæ $int alia ratione notæ. Deniq; hac via reperie- mus chordas omnium arcuum $e$e ordine Minutis 15. $uperantium: quamuis multas illarum alijs rationibus inue$tigare po$simus, vt ex propo$. 13. 14. 15. earum\’q; corollarijs manife$tum e$t.

QVOD $i $tatuantur ord<007>ne omnes arcus $e$e Minutis 15. $uperantes, Supputatio chordarũ vnà cum eorum chordis; & ad dexteram cuiu$uis chordæ a$cribatur differen- [197]SINVS. tia, qua à præcedenti chorda differt, inueniemus per regulam proportionum arcuum per $ingula Mi nuta exten $orum. chordas al<007>orum arcuum intermediorum per qu<007>na minuta exten$orum: & ex his chordas omnium arcuum per $ingula minuta progredientium; quemadmo- dum $upra de inu\~etione $inuum diximus. Quod vt facilius intelligatur, propo nemus hoc vnum exemplum. Sit inquirenda chorda arcus Min. 20. Quoniam igitur differentia inter 43632. chordam Min. 15. & 87264. chordam Min. 30. e$t 43632. Dic. Si Min. 15. quibus arcus Min. 15. ab arcu Min. 30. differt, @ re- quirunt differentiam 43632. adijciendam ad chordam arcus Min. 15. vt fiat chorda arcus Min. 30. quantã po$tulant differentiam Minuta 5. quibus arcus Min. 15. ab arcu Min. 20. differt, addendam ad eandem chordam arcus Min. 15. vt componatur chorda arcus Min. 20? Inuenies enim requiri differentiam 14544. quæ additaad 43632. chordam arcus Min. 15. con$tituet 58176. chor- dam arcus Min. 20. Eadem\’q; ratio e$t de cæteris.

SCHOLIVM.

SED magnum compendium nobis in hac re afferet propo$itio $exta. Nam ex ea Compen- dium miri ficũ pro in uentione plurim arũ chordarũ. plurimas chordas ex al{ij}s inuentis per $olam additionem, $ubtract<007>onemue cõficiemus. Si namq; chordam cuiu$uis arcus, qui maior non $it, quàm grad. 60. addamus chordæ arcus, quem arcus grad. 120. $umpto illo arcu $uperat, componemus chordam arcus, qui eodem illo arcu a$$umpto arcum grad. 120. excedit: propterea quòd differentia <007>nter chordas duorum horum arcuum maiorum æqualis e$t chordæ arcus illius a$$um- pti, qui maior non ponitur, quàm grad. 60. vtibi o$tendimus. Vt $i 3472964. chor- dam arcus grad. 20. ad{ij}c<007>amus ad 15320890. chordam arcus grad. 100. quem arcus grad. 120. $uperat dicto arcugrad. 20. cõponemus 18793854. chordã arcus grad. 140. qui arcum grad. 120 codem arcu grad. 20. excedit. Ita quoque, $i 10000000. chor- dam arcus grad. 60. addamus chordæ 10000000. arcus grad. 60. quem arcus grad. 120. dicto <007>llo arcu grad. 60. $uperat, confic<007>emus 20000000. chordam arcus grad. 180. qui arcum grad. 120. eodem illo arcu grad. 60. $uperat.

ITEM $ichordam cuiuslibet arcus, qui arcu grad. 60. maior non $it, $ubtraha- mus ex chorda arcus, qui arcum grad. 120 $umpto illo arcu $uperat, relinquetur chor da arcus, quem arcus grad. 120. eodem illo arcu a$$umpto excedit. Vt $i 3472964. chordam arcus grad. 20. detrahamus ex 18793854. chorda arcus grad. 140. qui ar- cum grad. 120. $uperat arcu illo $umpto grad. 20 remanebit 15320890. chorda arcus grad. 100. qui eodem illo arcu grad. 20. abarcu grad. 120. $uperatur.

RVRSVS $iex chorda cuiu$uis arcus, qui maior $it arcu grad. 120 $ubducatur chorda arcus, qui tanto minor $it arcu grad. 120. quanto ille maior e$t, reliqua erit chorda arcus, quo vteruis illorum ab arcu grad. 120. differt. Vt $i ex 18793854. chorda arcus grad. 140. auferamus 15320890. chordam arcus grad. 100. relinque- tur 3472964. chorda arcus grad. 20. quo vterq; illorum ab arcu grad. 120. differt. Quæ omnia ex dicta propo$. 6. colliguntur.

SATIS ergo e$t, vt per regulam proportionum inue$tigentur chordæ omnium ar cuum à principio $emicirculi v$que ad arcum grad. 60. Si enim ex his reperiantur chordæ arcuum, qui cum illis $emicirculum conficiant, & ex his repertis $ubducantur priores illæ inuentæ, remanebunt chordæ omnium arcuum inter arcum grad. 60. & arcum grad. 120. Item $inotæ e$$ent chordæ omnium arcuum ab arcu grad. 60. v$q; ad finem $emicircul<007>, & chordæ omnium arcuũ, qui minores $int arcu grad 120. au- [198]SINVS. ferrentur ex chordis omnium arcuũ maiorũ, quàm grad. 120. reliquæ fierent chordæ mnium arcuum à principio $emicirculi v$que ad arcum grad. 60. Deniq; $i chordæ om nium arcuum à principio $emicirculi v$que ad arcum grad. 120. inuentæ e$$ent, & chordæ omnium arcuum m<007>norum, quàm 60. grad. chordis omnium arcuum maiorum quàm grad. 60. ad{ij}cerentur, componerentur chordæ omn<007>um arcuum ma<007>orum, quàm grad. 120.

PORRO $i chordæ omnium arcuum $emicir culi in tabulam redigantur, & chor Qua rõne $inus o<007>um a@cuum ex cho@d<007>s in- ueniantur. dæ omnium arcuum, qu<007> $econtinuè Minutis 2. excedunt, $ecentur b<007>fariam, <007>nuenti erunt $inus omnium arcuum per $ingula Minuta progredientiũ, vt ex defin. 3. con$tat.

HINC con$tat, rectius feci$$e recent<007>ores, qui $inuum tabulã confecerunt, quàm Ptolemæum & veteres, qui chordas in tabulam redegerunt. Pro $inubus enim $at<007>s e$t, Rect<007><_>9 face re eos, <003> @a bulã $inuũ cõ$truunt, quàm qu@ chordarũ. $i Quadrans circuli per $ingula Minuta extendatur: at pro chordis nece$$e e$t totum $emicir culum per M<007>nu<007>a $ingula extendere: ita vt chordarum tabula $it duplo maior quàm tabula $inuum. Taceo, multo expeditiorem, breuiorem, fac@ liorem\’q; e$$e $inuum, vjum in rebus A$tronomic{is}, & Geometricis, quàm chordarum: vt {ij}s e$t man<007>fe$tum, qui $e$e <007>n bu@@ $modi v$u exercue; unt aliquando.

QVEMADMODVM autem $inuũ differentiæ $en$im decre$cunt à principie Differ\~e@iæ chordarũ à pr<007>n c@pio $emici@culi v$q; ad e@@s finé $en $im decre$cunt@ ita vt chor- dæ minorũ arcuũmaio res habeant differentias quàm chor dæ arcuum ma<007>orũ dũ modo arc<_>9 habeãt dif- ferentias æ quales. quad@ant{is} v$que ad e<007>us finem; <007>ta vt, po$itis pluribus arcubus æqualiter $e$e exc@- dent<007>bus, m<007>norum $inus habean<007> maiores d<007>fferentias, quàm $inus maiorum, vt in co- roll. propo$. 1 o$tendimus@ ita quoque chordarum differentiæ paulatim decre$cunt à princ<007>pio $emic<007>rcul<007>ad eius finem v$q. Nam po$itis pluribus arcubus, quorum æqua- les $int differentiæ, minorum chordæ maiores habent differentias, quàm chordæ ma- iorum. quod ita demon$trabimus. Sint in $emicirculo ABCDE, arcus AB, AC, AD, quorum differentiæ BC, CD, æquales $int, chordæ autem eorundem AB, AC, AD: ab$einda- turq; recta AF, chordæ AB, æqualis; & recta AG, chordæ AC, æqualis. Dico FC, d<007>fferentiam inter chordas AB, AC, maiorem e$$e, quàm GD, diffe- rentiam inter chordas AC, AD. Ab$ei$$a enim re- cta AH, æquali ip$i AF, vel ip$i AB, iunct<007>$que re- ctis BC, CD, CG, CH: quoniam latera BA, AC, lateribus HA, AC, æqual<007>a $unt, angulos\’q; con- tinent æquales ad A, propter æquales arcus BC, CD; erunt ba$es BC, CD; æqua- 27. tertij. les. E$t autem recta BC, rectæ CD, æqualis, ob æquales arcus eo$dem BC, CD. Igi- 29.tertij. tur & recta CH, rectæ CD, æqualis erit. Anguli ergo CHD, CDH, æquales quo- 5. primi. que erunt: qui cum $int duobus rectis minores; erit vterque eorum acutus. Eodem pa- 17.primi. cto erit vterque angulorum ACG, AGC, acutus: propterea quod inter $e etiam æqu@les $unt ob æquales rectas AC, AG. Quia igitur in triangulo CGH, anguli 5.primi. ad G, H, acuti $unt; fit, vt CI, ducta ad DH, perpendicularis cadat intra triangu- lum in r@ctam GH, vt in $eholio propo$. 13. lib. 2. Eucl. demon$trauimus. Itaque quia duo anguli CHI, CIH, trianguli CHI, duobus angulis CDI, CID, æquales $unt, $untq; duo latera CH, CD, æqual<007>bus rectis angulis oppo$ita æqualia, vel certe latus CI, commune e$t; erunt quoque latera IH, ID, æqualia. Cum ergo ID, 26.primi. maior $it, quàm GD, er<007>t quoq; HI, & à fortiori HG, maior, quam GD. E$t au- tem HG, ip$i FC, æqualis, propterea quòd & rectæ AC, AG, inter $e, & rectæ AF, AH, <007>nter $e æquales $unt. Igitur & FC, differentia chordarum AB, AC, maior erit, quàm GD, differentia chordarum AC, AD. Quod e$t propo$itum.

[199]SINVS.

NEC vero prætereundum e$t, $i, po$ita diametro par ## Arcus ### Chordæ G # M # Par. # M # Sec. 0 # 30 # 0 # 31 # 25 10 # 0 # 10 # 27 # 32 20 # 0 # 20 # 50 # 16 45 # 0 # 45 # 55 # 19 50 # 0 # 50 # 42 # 51 60 # 0 # 60 # 0 # 0 66 # 30 # 65 # 47 # 43 80 # 30 # 77 # 32 # 6 90 # 0 # 84 # 51 # 10 120 # 0 # 103 # 55 # 23 170 # 0 # 119 # 32 # 37 tium 120 chordas arcuum inquiramus in partibus, Mi- nutis, & Secundis, vt Ptolemæus fec<007>t, chordas arcuum minorum, quàm grad. 60. habere plures Partes, Minu@a, ac Secunda: quam arcus, quorum $unt chordæ: at ve- ro chordas arcuum maiorum, quàm grad 60. e$$e pau- ciorum Partium, Minutorum, ac Secundorum, quàm ar- cus illis re$pondentes. Vt <007>n tabula hic appo$ita man<007>fe- $tum e$t, quam ex Ptolemæi tabula exerceptam huc tran- $tuli. In qua cernis chordas arcuum minorum, quàm grad. 60. maiores e$$e, quoad numerum partium, Mi- nutorum, & $ecundorum, quàm arcus re$pondentes, quoad gradus, ac Minuta; chordas vero arcuum ma- iorum, quàm grad. 60. e$$e minores arcubus re$ponden- tibus, quoad eo$dem numeros. Cuius quidem re<007> hæc e$t demon$tratio.

IN $emicirculo ABCDE, $it arcus AC, grad. 60. & AB, minor, nempe grad. 45. at AD, maior, puta grad. 80. Min. 30. ducanturque chordæ AB, AC, AD. Dico chordam AB, maiorem e$$e, quàm Par. 45. at chordam AD, minorem, quàm Partiũ 80. Min. 30. Cumenim maior $it proportio arcus AC, 10. huius. ad arcum AB, quam chordæ AC, ad chordam AB: $it autem proportio arcus AC, ad arcum AB, eadem, quæ 60. ad 45. erit proportio chordæ AC, ad chordam AB, minor, quàm 60. ad 45. Quare cum chorda AC, $it Partium 60. vtpote quæ $emidiametro æqualis e$t, per coroll. propo$. 15. lib. 4. Eucl. erit chorda AB, maior, quàm Partium 45. propterea quòd 60. ad numerum, quimaior $it, quàm 45. mi- norem proportionem habet, quàm ad 45. Atq; ita in tabella $uperiori vides chordam 8. quinti. arcus grad. 45. e$$e Partium 45. Min. 55. Sec. 19. Rur$us quia maior e$t proportio arcus AD, ad arcum AC, quàm chordæ AD, ad chordam AC: E$t autem proportio 10. huius. arcus AD, ad arcum AC, eadem, quæ grad. 80. Min. 30. ad 60. erit chordæ AD, ad chordam AC, minor proportio, quàm Par. 80. Min. 30. ad 60. Cum ergo chorda AC, $it Partium 60. erit chorda AD, minor, quàm Par. 80. Min. 30. propterea quòd numerus, qui minor $it, quàm Par. 80. Min. 30. ad 60. minorem proportion\~e habet, 8. quinti. quàm Par. 80. Min. 30. ad eundem numerum 60. Atqueita cernis in $uperiori tabella chordã arcus grad. 80. Min. 30. cõtinere partes duntaxat 77. Min. 32. Sec. 6. Eadem\’q; ratio e$t deal{ij} schordis minoribus, & maioribus, quàm AC, hoc e$t, quàm chorda ar- cus grad. 60.

[200]TANGENTES LINAE TANGENTES, atque Secantes.

QVANQVAM A$tronomi omnia $ua problemata, atque theoremata per $olos $i- nus explicare po{$s}int, vt communiter ab omni- bus fieri $olet, quia tamen multa facilius, ac bre- uius expediuntur, $i vnà cum $inubus lineætan- gentes, $ecantesque adhibeantur, vt ex doctri- na triangulorum erit manifestum; quas qui- demlineas vtili $ane con$ilio Recentiores exco- gitarunt, atque in tabulas redegerunt: vi$um est has etiam lineas paucis exponere, vt doctri- na no$trorum triangulorum perfectior euadat. Vniuer$a $iquidem triangulorum doctrina in Doctrina triangulo - rũ in quo con$i$tat. tribus hi$ce line arum generibus, nempe in $inu- bus, lineis tangentibus, & $ecantibus, poti{$s}i- mum con$i$tere videtur. Primum autem expli- candum e$t, quid $it linea tangens, & quid $e- cans propo$iti cuiu$uis arcus.

CVM ergoab altero extremo cuius libet arcus, qui quadrante minor $it, $emi- Linea tan- gens, & $e- cans quid. diameter ducta fuerit, <007>n cuius extremitate recta linea circulum tangat, & per al<007>erum extremum eiu$dem arcus extendatur alia recta linea ex centro ad tangen- tem lineam v$que: appellatur portio lineæ tangentis inter duas rectas è centro egre- dientes, Linea tangens illius arcus, quem eæd\~e duæ rectæ e centro eductæ includunt: Recta vero altera puncto contactus oppo$ita inter centrum, & lineam tangentem, di- citur Linea $ecans eiu$dem arcus. Vt $i in circulo AB, cuius centrum C, $umatur ar- cus AB, quadrante minor, & in extremitate $emidiametri AC, ab extremitate A, [201]ET SECANTES. ducta recta AD, circulum tangat, recta autem CD, circulum $ecet, conueniens cum AD, in D, (conueniet enim nece$$ario, propterea quòd duo anguli CAC, DCA, duobus rectis $unt minores; cum ille rectus $it, hic autem recto minor, propter arcum AB, quadrante minorem.) dicetur AD, Tangens arcus AB, at CD, Secans eiu$d\~e arcus. Tangentem vocant nonnulli Ad$criptam, quòd Linea ad- $cripta, & Hypotenu- $a quid. circulo quodãmodo ad$cribatur; Secantem vero, Hypo- tenu$am, propterea quòd in triangulo rectãgulo ACD, (angulus enim A, apud contactum rectus e$t) angulum rectum $ubtendit: Semidiametrum denique AC, $iue $i- 18. tertij. num totum, dicunt ba$em eiu$dem trianguli.

QVEMADMODVM autemin omni triangulo Si in trian- gu’o rectan gulo alteru trum late- rum circa angulũ re- ctum pona tur $inus to tus, erit al- terum latus circa angu- lum rectú tangens an gulĩ acuti$i bi oppo$iti, & latus re- cto angulo oppo$itum eiu$dem $e cans. rectangulo, $ilatus recto angulo oppo$itum ponatur $inus totus, reliqua duo latera $unt $inus recti reliquorum angulorum acutorum, quibus opponuntur; Item vtrumuis reliquorum laterum e$t $inus complementi anguli $ibi adiacentis, vt in definitionibus $inuum traditum e$t: ita quoque $i alterutrum late- rum circa angulum rectum $tatuatur $inus totus, erit alterum latus circa angulum rectum Tangens anguli acuti $ibi oppo$iti, latus vero angulo recto oppo$itum Secans eiu$dem anguli. Vt in triangulo rectangulo ACD, latus CA, e$t $inus totus, nempe $emidiameter circuli AB: at AD, tangens anguli C, vel arcus AB, & CD, eiu$dem $ecans. Eodem pacto, $t DA, $tatuatur $inus totus, erit AC, tangens anguli D, & DC, eiu$dem $ecans.

ETSI autem diximus, tangentem, & $ecantem $umi re$pectu arcus quadrante minoris, tamen eadem tangens, & $ecans referri $olet ad arcum etiam, qui cum illo $emicirculum complet: adeo vt duo arcus $emicirculum conficientes, vel duo anguli duobus rectis æquales, vnam eandemq; tangentem, atq; $@cantem habeant: quemad- modum & eundem $inum rectum habent, vt in tractatione $inuum tradidimus: adeo Duo arcus $em icircu- lú cóficiéte vel duo än guli duob<_>9 rectis æqua les habent eandé tan- gentem & $ecantem. vt $i quæratur tangens & $ecans alicuius arcus quadrante maior{is}, $umenda $it tan gens, & $ecans arcus quadrante minor{is}, qui cum illo $emicireulum complet.

PORRO qua ratione Tangentes, & Secantes omnium arcuum quadrantis reddantur cognitæ in partibus $inus totius, ac proinde qua via tabula Tangentium, tabula item Secantium componenda $it, $equentibus propo$ition<007>bus, quæ ad line{as} Tangentes, ac Secantes $pectant, planum fiet.

THEOR. .9. PROPOS. 17.

TANGENS dimidij quadrantis $inui toti Tangentes quomodo $e habeant cũ $inu to- to com pa- ratæ. æqualis e$t: Tangens autem arcus maioris dimidio quadrantis maior e$t $inu toto: Et Tangens mino- ris arcus minor e$t. Secans denique dimidij qua- drantis dupla e$t $inus recti eiu$dem dimidij.

IN quadrante ABC, $it arcus CD, $emi$sis ip$ius; CE, $emi$$e maior, & [202]TANGENTES CF, minor. Ducta autem recta CH, ad AC, perpendiculari, quæ circulum tanget in C, ducantur rectæ AG, AH, AI, per puncta D, E, F. Item DK, ad coroll. 16 3 AC, perpendicularis. Eritq; CG, tangens arcus CD; & CH, tangens arcus CE; & CI, tangens arcus CF. at DK, $inus rectus arcus CD, & AG, eiu$dem $ecans. Dico CG, æqua- lem e$$e $inui toti AC; at CH, maiorem, & CI, mi- norem. Item AG, duplam $inus DK. Quoniam 27. tertij. enim anguli CAG, GAB, æquales $unt, ob arcus æquales CD, DB; e$t\’q; angulus BAC, rectus, erit vterq; illorum $emirectus. Quare & reliquus angu- 32. primi. lus CGA, in triangulo ACG, $emirectus erit; propterea quòd angulus C, rectus e$t. Igitur recta 5. primi. CG, tangens arcus CD, qui $emi$sis e$t quadran- tis, $inui toti AC, æqualis erit. Ex quo $equi- tur, CH, tangentem arcus CE, qui $emi$$e quadrantis maior e$t, $inu toto AC, maiorem e$$e; & CI, tangentem arcus CF, qui $emi$$e quadrantis mi- nor e$t, minorem: cum punctum H, nece$$ario cadat $upra G, & punctum I, infra.

QVOD tamen $eor$um ita quoq; o$tendi pote$t, nulla habita ratione tan gentis CG, cuius arcus e$t $emi$sis quadrantis. Quoniam arcus CE, $emi$$e quadrantis maior e$t, erit arcus BE, $emi$$e quadrantis minor. Igitur angulus CAH, angulo HAB, maior e$t, ac proinde maior $emirecto. Cum ergo an- Schol. 27. 3. gulus C, rectus $it, erit reliquus AHC, in triangulo ACH, $emirecto minor. 32. primi. Quare recta CH, tangens arcus CE, qui $emi$$e quadrantis maior e$t, ma- 19. primi. ior e$t $inu toto AC.

RVRSVS quia arcus CF, $emi$$e quadrantis minor e$t, ac proinde BF, maior, erit angulus CAI, angulo IAB, minor; atque adeo minor $emirecto. Schol. 27. 3. Cum ergo angulus C, $it rectus, erit reliquus AIC, in triangulo ACI, maior 32. primi. $emirecto: ac propterea recta CI, tangens arcus CF, qui quadrantis $emi$$e minor e$t, minor erit $inu toto AC.

19. primi.

PRAETEREA quoniam angulus K, rectus e$t, & DAK, $emirectus, vt o$ten$um e$t; erit & AD k, $emirectus; ac proinde AK, $inui DK, æqualis 6. primi. erit. Quia vero triangula GAC, DAK, æquiangula $unt, erit vt AG, ad AC, 4. $exti. ita AD, hoc e$t, AC, ad AK; ac proinde tres rectæ GA, $ecans; AC, $inus totus, & AK, $inus dimidij quadrantis, continue proportionales erunt. Ita ergo erit quadratum ex AG, ad quadratum ex AC, vt recta AG, ad rectam Corol. 20. 6 AK. E$t autem quadratum ex AG, quadrati ex AC, duplum propterea quòd 47 primi. æquale e$t quadratis ex AC, CG, æqualibus. Igitur & AG, $ecans dimidij quadrátis dupla e$t $inus AK, vel DK, eiu$dem dimidij. Quocirca tangens di- midij quadrantis $inui toti æqualis e$t, &c. Quod demon$trandum erat.

Q uæ tan- gentes in ta bula tágen- tiũ mino - res$int $inu toto, & qu{ae} maiores. Ité cur $e- cás gt. 45. dupla $it $i- nus gt. 45. SCHOLIVM.

E X hac propo$. aperte cau$a colligitur, cur in tabula Tangentium omnes tangen tes arcuum minorum, quàm grad. 45. minores $int $inu toto: Tangens vero arcus gra. 45. $inui totiæqual{is}: Tangentes denique omnes arcuum maiorum, quàm grad. 45. $inu toto maiores. Item cur in tabula Secantium $ecans arcus grad. 45. dupla $it $inus arcus eiu$dem grad. 45.

[203]ET SEC ANTES. THEOR. 10. PROPOS. 18.

QVAM proportionem habet $inus comple Quam pro portionem habeat $in<_>9 totus ad :5 genté, & $e cantem cu- iu$uis arc<_>9. ment<007> arcus cuiu$uis ad $<007>num rectum eiu$dem ar cus, eam habet $inus totus ad tangentem eiu$dem arcus: Item quam proportionem habet $inus re- ctus cuiu$l<007>bet arcus ad $inum complementi eiu$- dem arcus, eam habet $inus totus ad tangentem eiu$dem complementi. Sinus autem totus medio loco proportionalis e$t inter $inum complementi cuiu$uis arcus, & $ecantem eiu$dem a<007>cus: Item inter $inum rectum cuiu$libet arcus, & $ecantem complementi eiu$dem arcus. Sinus denique idem totus med<007>us proportional<007>s e$t inter tangentem arcus cuiu$uis, & tangentem complementi eiu$- dem arcus.

IN quadrante ABC, $it DF, $inus arcus CD; & CE, eiu$dem tangens inter $emidiametrum AC, & $ecantem AE: Item BG, tangens arcus BD, qui complementum e$t arcus CD. Dico ita e$$e $inum complementi arcus CD, ad $inum rectum eiu$dé arcus, vt e$t $inus totus AC, ad tangentem CE, &c. Quoniam enim, vt in ex- po$itione definitionum dictum e$t, AF, æqualis e$t $inui complementi arcus CD, cum $it æqualis $inui recto arcus BD, qui complementum e$t arcus CD; $unt\’q; triangula AFD, ACE, æquiangula, ob rectos angulos F, C, & communem angulum A: erit vt AF, $inus complementi arcus CD, ad 4. $exti. FD, $inum rectum eiu$dem arcus CD, ita AC, $i- nus totus ad CE, tangentem eiu$dem arcus. quod e$t primum.

DEINDE eadem ratione erit, vt AF, $inus rectus arcus BD, ad FD, $inũ complementi eiu$dem arcus BD, ita AC, $inus totus ad CE, tangentem eiu$dem complementi arcus BD. quod e$t $ecundum.

TERTIO in ei$dem triangulis erit, vt AF, $inus complementi arcus CD, ad AD, $inum totum, ita AC, $inus totus ad AE, $ecantem eiu$dem [204]TANGENTES arcus CD. Item vt AF, $inus rectus arcus BD, ad AD, $inum totum, ita AC, $inus totus ad AE, $ecantem arcus CD, qui complementum e$t eiu$dem arcus BD. Quare $inus totus medius proportionalis e$t inter AF, $inũ cõ plementi arcus CD, & AE, $ecantem eiu$dem arcus CD: Item inter AF, $inum rectum arcus BD, & AE, $ecantem complementi eiu$dem arcus BD. quod e$t tertium.

POSTREMO, quia triangula ACE; GBA, æquiangula $unt, quòd anguli C, B, $int recti; & alterni CAE, BGA, nec non alterni 29. primi. 4. $exti. AEC, GAB, æquales: erit vt CE, tangens ar- cus CD, ad AC, $inum totum, ita AB, $inus to- tus ad BG, tangentem complementi eiu$dem ar- cus CD. Pari ratione erit, vt BG, tangens arcus BD, ad AB, $inum totum, ita AC, $inus totus ad CE, tangentem complementi eiu$dem arcus BD. quod e$t quartum. Quã ergo proportionem habet $inus complementi arcus cuiu$uis, &c. Quod erat demon$trandum.

SCHOLIVM.

ITAQVE per ea, quæ primo loco demon$trata $unt in hac propo$. $i fiat, vt $in{us} com Quo pacto tangentes omniú ar- cuum repe- tiantur. plementi cuiu$u{is} arc{us} ad $inũ rectũ eiu$d\~e arc{us}, ita $in{us} tot{us} ad aliud; hoc e$t, $i $i- n{us} arc{us} cui{us}libet in $inum totũ multiplicetur, (quod fiet facile, $i e<007> ad dextrã præ- ponas tot ci fras, quot in $inu toto continentur, nempe $eptem, $i $in{us} tot{us} fuerit 10000000. vel quinque, $i $inus totus fuerit 100000.) productus\’q; numerus per $i- num complementi eiu$dem arc{us} diuidatur: <007>nuenietur Tangens ill<007>{us} arc{us}, cui{us} $i- num complementi accepi$ti, vel cuius $inum rectum in $inum totum multiplica$ti. Vt $i tangens arc{us} gra. 30. quæratur, adiungemus eius $inui recto 5000000 $eptem ci- fras, hoc modo. 50000000000000. & hunc numerum per 8660254 $inumcomple- menti eiu$dem arcus grad. 30. partiemur. Nam quotiens numerus 5773503. dabit tangentem arcus grad. 30. quatenus $inus totus e$t 10000000. Hinc fit, tangentes Sola diui- $ione om nes tangen tes eliciun- tur. emnes per $olam diui$ionem inueniri. Nam $iomnium arcuum $inubus, initio facto à principio quadr antis, $eptem ci fr{as} appon{as}, & compo$itos numeros per $inus comple mentorum eorundem arcuum, quemlibet per $uum corre$pondentem, diuid{as}, prodi- bunt omnium arcuum tangentes, vt ex demon$trat{is} liquido cõ$tat. Quamobrem per- facil{is} e$t con$tructio tabulæ Tangentium.

RVRSVS per ea, quæ tertio loco in hac propo$. $unt demon$trata, $i fiat, vt $i- Qua tõne $ecátes om- niú arcuũ inue$tigen- tur. nus complementi cuiu$u{is} arcus ad $inum totum, ita $inus totus ad aliud: hoc e$t, $i $i- nus totus in $eip$um multiplicetur, (quod facile fiet, $i ei ad dextram præpon{as} tot cifras, quot $unt in $inu toto, puta $eptem, vel quinque, prout $inus totus habuerit $eptem, aut quinque cifras.) numerus\’q; productus per $inum complementi cuiu$u{is} ar- cus diuidatur: reperietur Secans illius arcus, per cuius $inum complementi diui$io fa cta e$t. Vt $i $ecans arcus grad. 30. de$ideretur, diuidemus 100000000000000. (pro- ductum $cilicet numerum ex $inu toto in $eip$um) per 8660254. $inum complementi arcus grad. 30. Numerus enim Quotiens 11547005. dabit $ecantem arcus grad. 30. quatenus $inus totus est 10000000. Sola ergo d<007>ui$@one huius $emper numeri [205]ET SEC ANTES. 100000000000000. per sinus complementorum omnium arcuum, initio facto à Sola diui- $ione eiu$- dé $emper numeri p $i nus omnes $ecantes in uen<007>untur. principto Quadrant{is}, omnium arcuum $ecantes eruuntur, vt ex demon$trat{is} liquet. Ex quo facilima er<007>t con$tructio tabulæ $ecantium.

THEOR 11. PROPOS. 19.

TANGENS cuiu$uis arcus, qui $emi$$e qua- Tangens ar cus ma<007>oris $em<007>$le qua d<007>ant<007>s, cui tangent<007>, & $ecanti $i- mul $it æ- qualis. drantis maior $it, æqualis e$t tangenti & $ecanti $i- mul arcus, qui duplus $it exce$$us, quo datus ar- cus $emi$$em quadrantis $uperat.

IN quadrante ABC, $it CG, tangens arcus CF, qui $emi$$e quadrantis maior $it, inter $emidiametrum AC, & $ecantem AG, eiu$dem arcus CF, com prehen$a. Dico CG, æqualem e$$e tangenti, & $ecanti $imul arcus, qui duplus $it exce$$us, quo arcus CF, $emi$$em quadrantis $uperat. Sumpto enim arcu FD, ip$i FB, æquali, ducatur recta AD, extendatur\’q; v$que ad E. Et quoniam anguli BAF, FAE, ob æquales arcus 27. tertij. BF, DF, æquales $unt: Et angulo BAF, æqualis e$t alternus angulus G; erit quoq; idem angulus 29. primi. G, angulo GAE, æqualis. Quare rectæ EG, EA, 6. primi. æquales $unt: ac propterea, addita communi CE, erit CG, tota tangens arcus CF, duabus CE, & AE, hoc e$t, tangenti, & $ecanti arcus CD, $imul æqualis. Dico iam arcum CD, duplum e$$e exce$- $us quo arcus CF, propo$itus $emi$$em quadrãtis $uperat. Producto enim ar- cu quadrantis ad partes B, $umpto\’q; arcu BH, æquali ip$i CD, cum & arcus FB, arcui FD, $it æqualis, erit totus arcus FH, toti arcui CF, æqualis, ac pro- inde arcus CH, duplus erit arcus CF. Quoniam vero arcus CH, quadrantem CB, $uperat arcu BH, hoc e$t, arcu CD; $uperabit CF, $emi$sis arcus CH, $e 7. huius. mi$sem quadrantis CB, $emi$se exce$$us CD. Arcus igitur CD, duplus e$t ex- ce$$us, quo datus arcus CF, $emi$$em quadrantis $uperat. E$t auté o$ten$um, CG, tangentem arcus CF, æqualem e$$e tangenti CE, & $ecanti AE, $imul ar- cus CD. Igitur tangens cuiu$uis arcus, qui $emi$$e quadrantis maior $it, æqua lis e$t tangenti, & $ecanti $imul arcus, qui duplus $it exce$$us, quo datus ar- cus $emi$$em quadrantis $uperat. Quod o$tendendum erat.

SCHOLIVM.

HANC propo$itionem nonnulli ita proponunt.

SECANS cuiu$uis arcus vna cum tangente eiu$dem æqualis e$t Secás @@ tá- gens e<007>u$- dem arcus cui tágenti $imul {ae}qua les $int. tangenti arcus compo$iti ex dato arcu, & $emi$$e complementi eiu$dem.

N A M in eadem figura $it AE, $ecans, & CE, tangens eiu$dem arcus CD. Secto [206]TANGENTES autem arcu BD, nempe complemente arcus C D, bifariam in F, ducatur ex centre A, per F, recta A G, $ecans tangentem C E, productam in G. Erit\’q; C G, tangens arcus CF, compo$iti ex dato arcu CD, & DF, $emi$$e complementi DB. Dico $e- cantem AE, & tangent\~e CE. $imul æquales e$$e tangent<007> CG. Quia enim anguli BAF, 27. tertij. FAE, æquales $unt, propter æquales arcus BF, FD; & angulo BAF, alternus 29. primi. angulus G, æqual{is} e$t; erit quoque angulus idem G, angulo GAE, æqual{is} Quare 6. primi. aquales $unt rectæ EA, EG: at que adeo, addita communi EC, duæ A E, EC, $imul toti CG, æquales erunt.

THEOR. 12. PROPOS. 20.

SECANS cuiu$uis arcus æqualis e$t tangen- Secans cu- iu$uis arc<_>9 quorũ duo rú arcuum tangentib<_>9 $it æqualis. ti e<007>u$dem, vna cum tangente $emi$$is comple- menti arcus eiu$dem.

IN quadrante ABC, $it AD, $ecans, & CD, tangens arcus CE, cuius complementi EB, $emi$sis $it EF, vel FB, & huic $emi$si æqualis $it arcus CG. Ducta autem recta AG, & producta, donec cum DC, protracta coeat in H, erit CH, tangens arcus CG, qui $emi$sis e$t complementi arcus CE. Dico $ecantem AD, æqualem e$$e tangenti CD, & tangenti CH, $imul, hoc e$t, toti li- neæ DH. Quoniam enim anguli EAF, CAG, 27. tertij. æquales $unt, ob æquales arcus EF, CG; addito communi angulo EAC, erunt toti anguli FAC, EAH, æquales. Rur$us quia in triangulo rectangulo ACH, duo anguli 32. primi. A, H, vni recto, nimirũ angulo BAC, æqua- les $unt; ablatis angulis BAF, CAH, qui propter æquales arcus BF, CG, æquales $unt, 27. tertij. erunt reliqui anguli FAC, & H, æquales. E$t autem angulus FAC, o$ten$us æqualis angu lo EAH. Igitur & angulus H, eidem angulo EAH, æqualis erit: ac propte- rea rectæ AD, DH, æquales erunt, hoc e$t, $ecans AD, tangentibus DC, CH, 6. primi. æqualis erit. quod e$t propo$itum.

ALITER. Sit rur$us AD, $ecans, & CD, tangens arcus CE. Dico $ecan- tem AD, æqualem e$$e tangenti CD, vnà cum tangente $emi$sis complemen ti arcus EC, $eu anguli DAC, hoc e$t, vna cum tangente $emi$sis anguli D, qui complementum e$t anguli DAC, cum ambo in triangulo rectágulo ACD, vni recto $int æquales. Centro namque D, & interuallo DA, arcus circuli de- 32. primi. $cribatur AHI, $ecans DC, productam in H, & AC, productam in I, ducan- tur\’q; rectæ AH, HI. Quia igitur recta DC, ex centro D, circuli AHI, edu- cta $ecans rectam AI, ad angulos rectos, $ecat eam bifariam; $ecabit eadem 3. tertij. DCH, & arcum AHI, bifariam, ex lemmate in definitionibus demon$trato. Quare anguli CAH, & I, æquales $unt. Quoniam autem, cum anguli D, & I, 27. tertij. candem habeant ba$im arcum AH, & ille $it ad centrum D, hic vero ad cir- [207]ET SEC ANTES. cunferentiam, angulus D, anguli I, duplus e$t; erit quoque idem angulus D, 20. tertij. anguli CAH, duplus: ac proinde angulus CAH, $emi$sis erit anguli D, qui complementum e$t anguli DAC. Cum ergo CH, tangens $it anguli CAH, $it\’q; DA, recta rectæ DH, ex defin. circuli, æqualis: liquido con$tat, $ecan- tem AD, arcus CE, æqualem e$$e tangenti CD, eiu$dem arcus, vnà cum CH, tangente $emi$sis complementi arcus CE, $eu anguli CAD. Quapropter Se- cans cuiu$uis arcus æqualis e$t tangenti eiu$d\~e, &c. Quod demon$trandũ erat.

SCHOLIVM.

EX preximis duobus theorematibus mirificum nobis compendium $uppeditatur ad Compédl @ mirificum pro có$tru- ctione tabu læ tam tan gentium, \~q $ecantium. tabulam tam Tangentium, quàm Secantium con$truendam. Nam $iper ea, quæ pro- po$. 18. eiu$\’q; $cholio præcepim{us}, tangentes omnium arcuum per $ingula minuta ex- ten$orum v$que ad $emi$$em quadrantis, $ecantes vero omnium arcuum totius qua- drant{is} inquiramus; inueniemus earum beneficio per $olam additionem tangentes aliorum arcuum, v$que ad arcum grad 67. Min. 30 $i nimirum tangentem, & $ecan- tem cuiu$q; arcus minor{is} $emi$$e quadrantis, qui minuta numero paria contineat, in vnam $ummá colligamus: propterea quòd tangens cuiu$u{is} arc{us} maior{is} $emi$$e qua- 19. huius. drant{is} æqual{is} e$t tangent<007>, ac $ecanti arcus, qui duplus $it exce$$us, quo datus arcus $emi$$em quadrant{is} $uperat; quales $unt omnes arcus minutorũ parium v$q; ad gra. 45. vt arcus Min. 2. Min. 4. Min. 6. &c. Exempli cau$a. $i de$ideretur tangens arcus gra. 45. Min. 1 colligemus in vnam $ummam tangentem 5818. & $ecant\~e 10000002. arcus Min. 2 qui duplus e$t arcus Min. 1. quo datus arcus grad. 45 Min. 1. $emi{$s}em quæ drantis, hoc e$t, arcũ grad. 45 $uperat. Numerus enim cõ$latus 10005820. dabit tã- gent\~e propo$iti arcus grad. 45. Min. 1. qui $emi$$em quadrantis $uperat $emi$$e arcus Min. 2. vt propo$. 19. o$ten$um e$t. Id\~e arcus grad. 45. Min. 1. cõponitur ex arcu Min. 2. & $emi$$e cõplem\~et<007> eiu$d\~e arcus, quod cõplectitur grad. 89. Min. 58. hoc e$t, ex ar- cu Min. 2. & arcu grad. 44. Min. 59 ac proinde, vt in $cholio propo$. 19. demon$traui- mus, numerus 10005820. con$latus ex tangente, & $ecante arcus Min. 2. dabit tan- gentem dict<007> arcus compo$iti ex arcu Min. 2. & $emi$$e complementi eiu$dem.

EADEM ratione tangens cuiu$u<007>s arcus maur{is} $em<007>$$e quadrantis compone- tur ex tang\~ete, & $ecante arcus, qu<007> duplus $it exce$$us, quo arcus ille $em<007>$$em qua- drantis $uperat. Item $i in vnam $ummã colligantur tangens, & $ecans cuiu$u<007>s ar- cus minoris $emi$$e quadrátis, con$labitur tàgens arcus cõpo$iti ex illo arcu, & $emi$ $e complement<007> e<007>u$dem. Vt tangens 14352451. arcus grad. 55 Min. 8. compo$ita e$t ex tangente 3692500. & $ecante 10659951. arcus grad. 20 Min. 16. qu<007> duplus e$t arcus grad. 10. Min. 8. quo datus arcus grad. 55 Min. 8. quadrantis $emi$$em $uperat. Item $i tangens 3692500. & $ecans 10659951. arcus grad. 20. Min. 16. in vnam $ummam colligantur, con$labitur tangens 14352451. arcus grad 55. Min. 8. com$o$i- ti ex illo arcu grad. 20. Min. 16. & $emi$$e complementi eiu$dem, nempe ex arcu grad. 34. Min. 52. cum complementũ arcus grad. 20. Min. 16. cõprehendat grad. 69. Min. 44.

ITAQVE propo$ito arcu quocunque, qui maior $it quadrantis dimidio, $i ex eo detrahatur $emi$s<007>s quadrantis, id e$t, arcus grad. 45. & reliqui arcus $umatur duplus, component tangens & $ecans huius dupli arcus $umpti tangentem propo$iti illius arcus. Vt $i quæratur tangens arcus grad. 55. Min. 8. detrahendi erunt grad. 45. ex eo, & reliqui arcus grad. 10. Min. 8. $umendus duplus arcus grad. 20. Min, [208]TANGENTES 16. Huius enim tangens, & $ecant component illius tangentem, vt demon$tratum e$t.

19. huius.

INVENTIS autem hoc modo tangentibus arcuum $emi$$e quadrant{is} maiorũ v$que ad arcum grad. 67. Min. 30. inclu$iue; $i rur$us tangentem, ac $ecantem cu<007>u$q; horum arcuum, qu<007> minuta numero paria complectatur, (quales $unt arcus grad. 45. Min. 2. & grad. 45. Min. 4. &c.) in vnam $ummam coll<007>gamus, reperiemus tangentes ma<007>orum adhuc arcuum, nempe grad. 67. Min. 31. & grad. 67. Min. 32. &c. v$que ad arcũ gra. 78. Min. 45. inclu$iue. Nam huius arcus grad. 33. Min. 45. quo arcus grad. 78 Min 45 $em<007>$$em quadrant{is} excedit, duplus e$t arcus grad. 67. M<007>n. 30. cu- ius tangens vltimo loco <007>nuenta $uit. Item ex h{is} tangentibus arcuum maiorum, quàm grad. 67. Min. 30. @$que ad arcum grad. 78. Min. 45. inclu$iue inuent{is}; $i rur$us tangentem, & $ecantem cuiu$q; illorum, qui minuta numero paria compre- hendat, in vnam colligamus $ummá, inueniemus tágentes maiorum adhuc arcuum, cuiu$mod<007> $unt arcus grad. 78. Min. 46. & grad. 78. Min. 47. &c. v$que ad arcum grad. 84. Min. 22. inclu$iue. Nam huius arcus grad. 39. Min. 22. quo arcus grad. 84. Min. 22. $emi{$s}em quadrant{is} $uperat, duplus e$t arcus grad. 78. Min. 44. qui maxi- mus e$t eorum, qui minuta numero paria habent, & quorum tangentes iam inuentæ $unt. Sic etiam ex h{is} inuent{is} reperiemus tangentes maiorum adhuc arcuum, quàm grad. 84. Min. 22. v$que ad arcum grad. 87. Min. 11. Quia huius arcus grad 42. Min. 11 quo arcus grad 87 Min 11. d<007>midium quadrant{is} excedit, duplus e$t arcus grad. 84. Min 22. cu<007>us tangens vltimo loco fuit inuenta. Ex h{is} vero repert{is} conficiemus tangentes $equentium arcuum, v$que ad arcum grad. 88. Min. 35. propterea quòd hu- ius arcus grad. 43 Min. 35. quo arcus grad. 88. Min. 35. quadrát{is} d<007>midiũ excedit, d@ plus e$t arcus gra. 87. Min. 10. qu<007> maximus e$t eorũ, qui minuta habent numero paria, & quorum tangentes proxime inuent æ $unt. Per has quoque reperiemus aliorum ar- cuum tangentes, v$que ad arcum grad. 89. Min. 17. inclu$iue; cum huius arcus grad. 44. Min. 17. quo arcus grad. 89 Min. 17. dimidiatum quadrantem excedit, duplus $it arcus grad. 88. Min. 34. vtpote maximus eorum, qui minuta numero paria continent, & quorum iam tangentes $unt cognitæ. Beneficio deinde harum tangentium inuen- tarum elic<007>emus tangentes aliorum arcuum, v$que ad arcum grad. 89. Min. 38. in- clu$iue; eo quod huius arcus grad. 44. Min 38. quo arcus grad. 89. Min. 38. $emi$$em quadrantis $uperat, duplus e$t arcus grad. 89. Min. 16. qui maximus e$t eorum, qui minuta numero habent paria, & quorũ tangentes iam factæ $unt notæ; Hinc aliorum arcuũ tãgentes inquiremus, v$q; ad arcũ gra. 89. Min. 49. quippe qu<007> $uperet quadrã t{is} dimid<007>ũ drcugrad. 44. Min. 49 cuius duplus e$t arcus grad. 89. Min. 38. ad qu\~e pro- xime peruenimus. At ex his inue$tigabimus tangentes $equentium arcuum v$q; ad ar- cum grad. 89. Min 54 quippe qui quadrantis medietat\~e $uperet arcu grad. 44. Min. 54. cuius duplus $t arcus grad. 89. Min. 48. qui maximus e$t eorum, qui minuta ha- bent numero paria, & quorum tangentes iam $unt inuentæ. Ead\~e ratione ex his in- ueniemus tangentes $equentium arcuum v$q@ ad arcum grad. 89. Min. 57 Quia hu- ius arcus grad. 44. Min. 57. quo arcus grad. 89. Min 57 quadrant{is} dimidium $upe- rat, duplus e$t arcus grad. 89. Min. 54. ad quem proxime peruentum fuit. Denique ex tangente, & $ecante arcus grad. 89. Min. 56. conficiemus tangentem arcus grad. 89. Min. 58. Et hinc tangentem explor abimus arcus grad. 89. Min. 59. Atq; ita, vt vides, ex tangentibus arcuum v$que ad grad. 45. & ex $ecantibus omnium arcuum qua- drant{is} perficitur <007>ntegra tabula tangentium.

QVOD $i $ecantem cuiu$cunq; arcus $ubducas ex tangente alterius arcus, qui ex priore illo, ac $emi$$e complementi eiu$dem componitur, reliquam facies tangen- [209]ET SEC ANTES. tem eiu$dem prioris illius arcus, cuius $ecantem $ubduxi$ti Item $i tangentem cuiu$@ libet arcus ex eiu$dem $ecante detrahas, remanebit tangens $emi$sis complementi arcus eiu$dem. Primum con$tat ex $cholio propo$. 19. vb<007> o$ten$um e$t, $ecantem, & tangentem cu<007>u$u<007>s arcus $imul æquales e$$e tangenti arcus compo$iti ex illo, & ex $emi$$e complementi eiu$dem. H@nc enim fit, vt $ecans ex cõpo$ita hac tangente ablata relinquat alteram illá tangentem. Secundum vero liquet ex propo$. hac 20. vbi de- mon$trauimus, $eca ntem cuiusuis arcus æqualem e$$e tangenti e<007>u$dem, vna cum tan- gente $emi$sis complementi arcus eiu$dem. Quare huius $emi$sis tangens reliqua fiet po$t $ubtractionem alterius illius tangentis ex $ecante. V. g. $i $ecantem arcus grad. 20. quæ e$t 10641777. detrahamus ex 14281480. tangente arcus grad. 55. compo$iti ex arcu grad. 20. & $emi$$e complementi eiu$dem, relinquetur tangens 3639703. arcus eiu$dem grad. 20. Item $i 4244748. tangentem arcus grad. 23. ex 10863603 $ecante eiu$dem arcus $ubducamus, remanebit tangens 6618855. ar- cus grad 33. Min. 30. hoc e$t, $em $sis complementi dati arcus grad. 23. Rur$us $i 11547004. $ecantem arcus grad. 30 ex 17320508. tangente arcus grad. 60. qui ex arcu grad. 30. & $emi$$e complementi eiu$dem componitur, auferamus, @elin quetur tangens 5773504. arcus grad. 30. Et $i 1763268. tangentem arcus grad. 10. demamus ex 10154264. $ecante eiu$dem arcus gra. 10. remanebit tang\~es 8390996. arcus grad. 40. qui $em<007>$s<007>s e$t complementi d<007>cti arcus grad. 10.

IAM vero $i per ea, quæ propo$. 18. eius\’q; $cholio tradidimus, tangentes om- nium arcuum quadrantis per $ingula Minuta exten$orum inue$tigemus; reperiemus earum beneficio per $olam additionem $ecantes omnium arcuum per bina minuta pro- gredientium, $i mmirum tangentem cuiu$uis arcus minuta numero paria habentis addamus ad tangentem $emi$sis complementi arcus eiu$dem: propterea quòd Secans cuiu$u{is} arcus æqualis e$t tangenti e<007>u$dem, vna cum tangente $emi$sis complementi 20. huius. eiu$dem; con$tat autem omnium arcuum minuta numero paria habentium comple- menta $em<007>$$es habere, Exempli cau$a, $i de$ideretur $ecans arcus Min. 2. addemus eius tangentem 5818. ad 9994184. tangentem arcus grad. 44. Min. 59. qui $emi$sis e$t com plementi arcus dati Min. 2. Numerus enim compo$itus 10000002. erit $ecans arcus Min. 2. sic etiam $i quæratur $ecans arcus grad. 89. Min. 58. addemus eius tangentem 17188033689. ad 2909 tangentem arcus Min. 1. qui $emi$sis e$t complementi arcus dati grad. 89. Min. 58. Ná numerus conflatus 17188036598. erit $ecans arcus grad. 89 Min. 58. Hac ratione conficietur dimidiata pars tabulæ Tangentium: at Tangen- tes arcuum minuta numero imparia habentium, quoniam eorum complementa $emi$- $es non habent, ni$i ad Secunda venire velimus, inue$tigandæ erunt, vt propo$. 18. eiu$q; $cholio præcepimus.

RVRSVS $ecantem cuiu$u{is} arcus inueniemus, $i eius tangentem demamus ex tangente arcus compo$iti ex ar cu illo, & $emi$$e complementi eiu$dem arcus. Nam cũ, vt demon$trauimu, $ecans cuiu$u{is} arcus, vnà cum tangente eiu$dem æqual{is} $it tan- Schol. 19. huius. genti arcus compo$iti ex dato arcu, & $emi$$e complementi eiu$dem; efficitur, vt tan gens dati arcus ex tangente arcus ex eo, & $emi$$e complementi compo$iti ablata re- linquat $ecantem eiu$dem dati arcus. Vt $i cupiamus $ecantem arcus Min. 2. aufere- mus 5818. tangentem ip$ius ex 10005820. tangente arcus grad. 45. Min. 1 cõpo$iti ex arcu Min. 2. & ex arcu grad. 44. Min. 59. qu<007> $emi$sis e$t complementi arcus dati Min. 2 Relictus namque numerus 10000002 erit $ecans arcus dati Min. 2. Ita quoq; $i velimus habere $ecantem arcus grad. 60. $ubducemus 17320508. eius tangentem ex 37320514. tangente arcus grad. 75. compo$iti ex dato arcu grad. 60. & ex arcu [210]TANGENTES grad. 15. qui $emi$sis e$t complementi dati arcus grad. 60. Remanebit enim numeras 20000006 pro $ecante dati arcus grad. 60.

HAEC, quæ hoc $cholio tradita à nobis $unt, vera $unt, $i $inus exqui$ite inuen@ Tangétes, & Secátes ma g<007>s e$$e ac curatas, per $inus inué tas, \~q per additioné, $ubtract<007>o - néue, vt in hoc $cholio trad<007>tú e$t. ti fuer<007>nt: $ed quia non omnes $inus accurate $unt cogniti, maxime $inus arcus grad. 1. & al{ij} ex hoc dependentes, quales $unt $inus arcuum per $ingula minuta exten$o- rum; fit vt neq; tangentes, neq; $ecantes inu\~etæ per ho$ce $inus $int admodũ accuratæ. Quare $i ex inuent{is} quibu$dam aliæ per $olam additionem, $ubtractionem ve inqui- rantur vt hoc $cholio docuimus, non parum d<007>fferent ab ei$dem, $i per $inus inue$tiga rentur. Nam tangentes & $ecantes per $inus inuentæ ex vno $olo principio non omni ex parte vero, nempe ex $inubus, gignuntur: at eædem per $olam addit<007>onem, $ubtra, ctionem ve procreatæ oriuntur ex pluribus fal$is princip{ij}s, nimirum ex $inubus pr mum, deinde vero et<007>á ex tangentibus, & $ecátibus per $inus inuent{is}, quæ accuratæ e$$e non po$$unt, vt diximus. Mag{is} exqui$ite ergo cogno$centur huiu$modi lineæ per $inus, vt propo$. 18. eiu$\’q; $cholio traditum e$t. Hac ratione & tabulam Tangentium, & tabulam Secantium breui $upputabimus. Non paruos enim errores in al<007>orum ta- bul{is} deprehendimus; vt tutò ill{is} fid ere non po$simus; propterea quòd multas tangen- tes, & $ecátes vel per partem proportionalem, vel per $olam additionem aut $ubtra- ctionem inue$tigarunt, non autem omnes per $inus. Subiungemus tamen paulo infra aliorum tabulas, donec per tempus nouas con$truere licebit.

THEOR. 13. PROPOS. 21.

TANGENS cuiu$uis arcus e$t ad tangen- Tangentes duorum at cuú quotú- libet sút re ciprocè {pro}- portionales cũ tangen- tib<_>9 comple métorú ar- cuú eo<007>un- dem. tem alterius arcus cuiu$libet, vt tangens comple- menti po$terioris arcus ad tangétem complemen- ti prioris.

IN quadrante ABC, arcus CD, tangens $it CE, & $ecans AE: Item ar- cus CF, tangens $it CG, & $ecans AG: Ducta autem recta BH, circulum tan gente, & vtrique $ecanti AE, AG, occurrente in I, H; erit BI, tangens com- plementi arcus CD; & BH, tangens comple- menti arcus CF. Dico ita e$$e CE, tangentem arcus CD, ad CG, tangentem arcus CF, vt e$t BH, tangens complementi po$terioris arcus CF, ad BI, tangentem complementi arcus prio ris CD. Cum enim $inus totus $it medius pro- 18. huius portionalis tam inter CE, tangenté arcus CD, & BI, tangentem complementi arcus eiu$dem CD, quàm inter CG, tangentem arcus CF, & BH, tangentem complementi arcus eiu$dem CF; erit tam rectangulum $ub CE, BI, quam re- ctangulum $ub CG, BH, quadrato $inus totius æquale: ac proinde rectangu- 17. $exti. lum $ub CE, BI, rectangulo $ub CG, BH, æquale erit. Quare erit, vt CE, prima ad CG, $ecundam, ita BH, tertia ad BI, quartam; nempe vt CE, tan- 16. $exti. [211]_ET SECANTES._ gens arcus CD, ad CG, tangentem arcus CF, ita BH, tangens complemen- ti arcus po$terioris CF, ad BI, tangentem complementi prioris arcus CD. Tangens igitur cuiu$uis arcus e$t ad tangentem alterius, &c. Quod o$tenden- dum erat.

THEOR. 14. PROPOS. 22.

SECANS cuiu$uis arcus e$t ad Secantem al- Secãtes du@ rũ arcuum quorũlibet sũt recipro- ce pportio nales cũ fi- nubus com plem\~eto rũ arcuum eo rundem. terius arcus cuiu$libet, vt $inus complementi po $terioris arcus ad $inum complementi prioris.

IN quadrante ABC, $it AD, $ecans arcus CE, & AF, $ecans arcus CG: & EH, $inus complementi arcus CE, at GI, $inus complementi arcus CG. Di- coita e$$e $ecantem AD, arcus CE, ad AF, $ecantem arcus CG, vt e$t GI, $inus complementi po$terioris arcus CG, ad EH, $inum complementi arcus prioris CE. Quoniam enim $inus totus e$t medius proportionalis tã in- 18. huius. ter $ecantem AD, arcus CE, & EH, $<007>num com- plementi eiu$dem arcus CE, quàm inter AF, $e- cantem arcus CG, & GI, $inum complementi eiu- $dem arcus CG; erit tam rectangulum $ub AD, EH, quàm rectangulum $ub AF, GI, quadrato 17. fexti. $inus totius æquale: ac proinde rectangulum illud huic æquale. Quare erit vt AD, prima ad AF, $e- 16. fexti. cundam, ita GI, tertia ad EH, quartam; hoc e$t, vt AD, $ecans arcus CE, ad AF, $ecantem arcus CG, ita GI, $inus comple- menti arcus po$terioris CG, ad EH, $inum complementi arcus prioris CE. Secans igitur cuiu$uis arcus e$t ad $ecantem alterius arcus, &c. Quod demon- $trandum erat.

THEOR. 15. PROPOS. 23.

SI plures $int arcus æquali exce$$u progredien Tangentes & $ecantes arcuũ {ae}qna liter cre$c\~e tiũ augent femper dif- ferentias. tes, habebunt tam tangentes, quàm Secantes ma- iorum arcuum maiorem differentiam, quàm mi- norum:ita vt in tabula differentiæ tam tangentiũ, quàm $ecantium $emper cre$cant v$que ad finem quadrantis.

IN quadrante ABC, $intarcus CD, CE, CF, quorum differentiæ DE, EF, æquales $int, & eorumdem tangentes $int CG, CH, CI; $ecantes autem [212]_TANGENTES_ AG, AH, AI.Et quia in triangulo ACH, angulus C, rectus e$t; erit AHC, recto minor, cum ambo $int duobus rectis minores. Cum ergo duo anguli 17. primi. ad H, $int duobus rectis æquales, erit AHI, maior recto, ac proinde angu- 13. primi. lus I, in triangulo AHI, recto minor. Quare maior erit $ecans AI, $ecante 17. primi. AH. Ead\~e ratione maior erit quam AG: Item 19. primi. AH, maior, quã AG. Ab$cindatur ergo. AK, ip$i AH, & AL, ip$i AG, æqualis. Dico IH, differ\~e tiã tangentiũ CI, CH, arcuũ maiorũ CF, CE, maiorem e$$e differentia HG, tãgentium CH, CG, minorum arcuum CE, CD: Item KI, differentiam $ecantium AI, AH, arcuum ma- iorum CF, CE, maiorem e$$e differentia LH, $ecantium AH, AG, minorum arcuum CE, CD. Cum enim arcus DE, EF, æquales $int, 27. tertij. erunt & anguli DAE, EAF, æquales: ac pro- inde angulus IAG, $ectus erit bifariam per re- 3. fexti. ctam AH. Igitur erit, vt IA, ad AG, ita IH, ad HG: E$t autem AI, maior, quàm AG, vt o$ten$um e$t. Recta ergo IH, maior quoque erit, quàm HG. quod e$t primum.

DVCTIS iam FM, EN, DO, ad AC, perpendicularibus, nempe fi- nubus rectis arcuum CF, CE, CD; erit AM, $inus complementi arcus CF; & AN, $inus complementi arcus CE; & AO, $inus complementi arcus CD, vt in expo$itione definitionum dictum e$t. Quoniam vero recta MN, maior 1. huius. e$t, quam NO; maior erit proportio AN, ad NO, quàm ad MN: E$t autem 8. quinti. adhuc maior proportio AO, ad NO, quàm AN, ad eandem NO. Igitur multo maior erit proportio AO, ad NO, quàm AN, ad MN. Et per con- uer$ionem rationis, minor proportio AO, ad AN, quàm AN, ad AM: hoc 30. quinti. e$t, maior proportio AN, ad AM, quàm AO, ad AN. Cum ergo $it, vt AN, ad AM, ita AI, ad AH; Et vt AO, ad AN, ita AH, ad AG: maior 22. huius. quoque erit proportio AI, ad AH, hoc e$t, ad AK, quàm AH, ad AG, hoc e$t, ad AL. Diuidendo ergo maior etiam proportio erit IK, ad AK, hoc 29. quinti. e$t, ad AH, quàm HL, ad AL: Et conuertendo minor erit proportio AH, 26. quinti. ad KI, quàm AL, ad LH: hoc e$t, maior proportio erit AL, ad LH, quàm AH, ad KI. Quare cum maior adhuc $it proportio AH, ad LH, quàm AL, 8. quinti. ad eandem LH: multo maior proportio erit AH, ad LH, quàm eiu$dem AH, ad KI; ac propterea recta LH, minor erit, quàm kI. quod e$t $ecun- 10. quinti. dum. Ex quo fit, differentias tam tangentium, quàm $ecantium in tabula $em per augeri ad finem v$q; quadrantis: cuius quidem contrarium in $inubus ac- cidit, vt $upra demon$tratum e$t. Quamobrem $i plures $int arcus æquali exce$$u porgredientes, &c. Quod demon$trandum erat.

COROLLARIVM.

SEQVITVR hinc, $i quotlibet arcuum tangentes æqualiter $e$e excedant, arcus Arcus tan- gentium æ quales ex- ce$$us hab\~e tium inæ- quales ha earum inæqualiter $e$e excedere, exce$$usq; ma orum arcuum e$$e minores: quàm ma- iorum Omnium item $ecantium $egmenta extra quadrantem e$$e inæqualia, minoraq; e$$e illa, quæ principio quadrantis $unt propinquiora. Quoniam enim po$i is arcubus DE, EF, æqualibus, o$ten$um fuit, rectam IH, maiorem e$$e quam HG; liquido con$tat, $i ex HI, auferatur recta ip$i HG, æqualis. $ecantem inter duas AI, AH, ductam diuidere ar- [213]_ET SECANTES._ eum EF, atq; adeo ab$cindere arcum minorem arcu DE, nempe partem arcus EF. Eadem\’q; ratio e$t de alijs.

RVRSVS quia demon$tratum e$t, $ecantem AG, minorem e$$e, quàm AH; fit, vt ablatis femidiametris æqualibus AD, AE, $egmentum DG, $eliquum minus $it $egmen- to reliquo EH, &c.

THEOR. 16. PROPOS. 24.

TANGENS arcus maioris ad tangentem Arcuu in{ae}- qualiú tan- gens maio- ris ad tan- gentem mi noris pro- portionem habet maio rem, quam fecans ma- ioris ad $e- cantem mi noris. minoris arcus maioré proportionem habet, quá $ecans maioris eiu$dem arcus ad $ecantem eiu$dé minoris.

REPETATVR figura pr{ae}cedentis propo$. Dico maiorem e$$e proportionem tágentis CI, ad tangentem CH, quàm $ecantis AI, ad $ecan tem AH. Quoniam enim e$t, vt AF, ad FM, 4. fexti. ita AI, ad IC: Item vt AE, ad EN, ita AH, ad HC. E$t autem minor proportio $emidia- 8. quinti. metri AF, ad FM, quàm $emidiametri AE ad, EN; quòd $inus FM, maioris arcus CF, ma- ior $it $inu EN, minoris arcus CE, vt in ex- po$itione definitionum dictum e$t. Igitur minor quoq; erit proportio AI, ad IC, quàm AH, ad HC: Et permutando, minor etiam propor- $chol. 27. 5. tio AI, ad AH, quàm IC, ad HC; hoc e$t, tan gens CI, ad tangentem CH, habebit maiorem proportionem, quàm $ecans AI, ad $ecantem AH. Quocirca Tangensar- cus maioris ad tangentem minoris arcus, &c. Quod demon$trandum erat.

SEQVVNTVR TABVLAE TANGEN- tium atque $ecantium. [214]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus 0 # 1 # 2 # 3 # 4 0 # 0000 # 174550 # 349207 # 524078 # 699269 # 60 1 # 2909 # 177459 # 352120 # 526995 # 702193 # 59 2 # 5818 # 180369 # 355033 # 529911 # 705116 # 58 3 # 8127 # 183279 # 357945 # 532828 # 708039 # 57 4 # 11636 # 186189 # 360858 # 535745 # 710962 # 56 5 # 14544 # 189100 # 363770 # 538663 # 713886 # 55 6 # 17452 # 192010 # 366683 # 541580 # 716809 # 54 7 # 20361 # 194920 # 369596 # 544498 # 719733 # 53 8 # 23270 # 197830 # 372508 # 547415 # 722657 # 52 9 # 26179 # 200740 # 375421 # 550333 # 725580 # 51 10 # 29088 # 203650 # 378334 # 553251 # 728504 # 50 11 # 31996 # 206561 # 381247 # 556169 # 731428 # 49 12 # 34905 # 209471 # 384160 # 559087 # 734353 # 48 13 # 37814 # 212381 # 387073 # 562005 # 737277 # 47 14 # 40723 # 215291 # 389987 # 564923 # 740202 # 46 15 # 43632 # 218201 # 392900 # 567841 # 743127 # 45 16 # 46541 # 221111 # 395814 # 570759 # 746052 # 44 17 # 49450 # 224022 # 398727 # 573678 # 748978 # 43 18 # 52359 # 226932 # 401641 # 576596 # 751903 # 42 19 # 55268 # 229842 # 404554 # 579514 # 754829 # 41 20 # 58177 # 232752 # 407468 # 582433 # 757754 # 40 21 # 61086 # 235663 # 410382 # 585352 # 760680 # 39 22 # 63995 # 238574 # 413295 # 588270 # 763606 # 38 23 # 66904 # 241485 # 416209 # 591189 # 766532 # 37 24 # 69813 # 244395 # 419123 # 594108 # 769459 # 36 25 # 72722 # 247306 # 422037 # 597028 # 772385 # 35 26 # 75631 # 250217 # 424951 # 599947 # 775311 # 34 27 # 78540 # 253128 # 427866 # 602866 # 778238 # 33 28 # 81450 # 256038 # 430780 # 605786 # 781164 # 32 29 # 84359 # 258949 # 433694 # 608705 # 784091 # 31 30 # 87268 # 261859 # 436609 # 611625 # 787017 # 30 # 89 # 88 # 87 # 86 # 85 Gradus Quadrantis pro tangentibus [215]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis # 0 # 1 # 2 # 3 # 4 30 # 87268 # 261859 # 436609 # 611625 # 787017 # 30 31 # 90177 # 264770 # 439523 # 614544 # 789944 # 39 32 # 93086 # 267681 # 442438 # 617464 # 792871 # 28 33 # 95995 # 270592 # 445353 # 620384 # 795799 # 27 34 # 98904 # 273503 # 448267 # 623304 # 798726 # 26 35 # 101814 # 276414 # 451182 # 626225 # 801653 # 25 36 # 104723 # 279325 # 454097 # 629145 # 804581 # 24 37 # 107632 # 282237 # 457012 # 632066 # 807509 # 23 38 # 110541 # 285148 # 459927 # 634986 # 810437 # 22 39 # 113450 # 288059 # 462842 # 637907 # 813365 # 21 40 # 116360 # 290970 # 465757 # 640828 # 816293 # 20 41 # 119269 # 293882 # 468672 # 643749 # 819221 # 19 42 # 122178 # 296794 # 471588 # 646671 # 822150 # 18 43 # 125088 # 299705 # 474503 # 649592 # 825079 # 17 44 # 127997 # 302617 # 477419 # 652514 # 828008 # 16 45 # 130906 # 305528 # 480335 # 655435 # 830937 # 15 46 # 133816 # 308439 # 483251 # 658357 # 833866 # 14 47 # 136725 # 311351 # 486166 # 661278 # 836795 # 13 48 # 139635 # 314262 # 489082 # 664200 # 839724 # 12 49 # 142544 # 317174 # 491997 # 667121 # 842653 # 11 50 # 145454 # 320085 # 494913 # 670043 # 845583 # 10 51 # 148363 # 322997 # 497829 # 672965 # 848513 # 9 52 # 151273 # 325909 # 500745 # 675888 # 851443 # 8 53 # 154182 # 328821 # 503662 # 678810 # 854374 # 7 54 # 159092 # 331733 # 506578 # 681733 # 857304 # 6 55 # 160001 # 334645 # 509495 # 684656 # 860234 # 5 56 # 162911 # 337558 # 512411 # 687578 # 863164 # 4 57 # 165820 # 340470 # 515328 # 690501 # 866095 # 3 58 # 168730 # 343382 # 518244 # 693423 # 869025 # 2 59 # 171640 # 346295 # 521161 # 696346 # 871956 # 1 60 # 174550 # 349207 # 524078 # 699269 # 874886 # 0 # 89 # 88 # 87 # 86 # 85 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [216]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus # 5 # 6 # 7 # 8 # 9 0 # 874886 # 1051042 # 1227846 # 14008 # 1583844 # 60 1 # 877817 # 1053983 # 1230798 # 1408374 # 1586826 # 59 2 # 880748 # 1056924 # 1233751 # 1411341 # 1589808 # 58 3 # 883680 # 1059866 # 1236704 # 1414308 # 1592791 # 57 4 # 886611 # 1062808 # 1239658 # 1417275 # 1595774 # 56 5 # 889543 # 1065750 # 1242612 # 1420242 # 1598757 # 55 6 # 892475 # 1068692 # 1245566 # 1423210 # 1601740 # 54 7 # 895407 # 1071634 # 1248520 # 1426178 # 1604723 # 53 8 # 898339 # 1074576 # 1251474 # 1429146 # 1607707 # 52 9 # 901271 # 1077518 # 1254428 # 1432115 # 1610691 # 51 10 # 904204 # 1080461 # 1257383 # 1435084 # 1613675 # 50 11 # 907137 # 1083404 # 1260338 # 1438053 # 1616660 # 49 12 # 910070 # 1086347 # 1263293 # 1441022 # 1619645 # 48 13 # 913003 # 1089291 # 1266249 # 1443992 # 1622630 # 47 14 # 915936 # 1092234 # 1269205 # 1446961 # 1625615 # 46 15 # 918870 # 1095178 # 1272161 # 1449931 # 1628601 # 45 16 # 921804 # 1098122 # 1275117 # 1452901 # 1631587 # 44 17 # 924738 # 1101066 # 1278073 # 1455871 # 1634573 # 43 18 # 927771 # 1104010 # 1281029 # 1458842 # 1637560 # 42 19 # 930605 # 1106954 # 1283986 # 1461813 # 1640547 # 41 20 # 933539 # 1109899 # 1286943 # 1464784 # 1643534 # 40 21 # 936473 # 1112844 # 1289900 # 1467755 # 1646522 # 39 22 # 939407 # 1115789 # 1292857 # 1470727 # 1649510 # 38 23 # 942342 # 1118734 # 1295815 # 1473699 # 1652499 # 37 24 # 945277 # 1121680 # 1298773 # 1476671 # 1655488 # 36 25 # 948212 # 1124625 # 1301731 # 1479644 # 1658477 # 35 26 # 951147 # 1127571 # 1304689 # 1482617 # 1661466 # 34 27 # 954083 # 1130517 # 1307648 # 1485590 # 1664456 # 33 28 # 957019 # 1133463 # 1310607 # 1488563 # 1667446 # 32 29 # 959954 # 1136409 # 1313566 # 1491536 # 1670436 # 31 30 # 962890 # 1139355 # 1316525 # 1494510 # 1673426 # 30 # 84 # 83 # 82 # 81 # 80 Gradus Quadrantis pro tangentibus [217]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis. # 5 # 6 # 7 # 8 # 9 30 # 962890 # 1139355 # 1316525 # 1494510 # 1673426 # 30 31 # 965826 # 1142302 # 1319485 # 1497484 # 1676417 # 29 32 # 968763 # 1145249 # 1322445 # 1500458 # 1679408 # 28 33 # 971699 # 1148196 # 1325405 # 1503433 # 1682399 # 27 34 # 974636 # 1151114 # 1328365 # 1506408 # 1685390 # 26 35 # 977573 # 1154092 # 1331325 # 1509383 # 1688382 # 25 36 # 980509 # 1157040 # 1334285 # 1512358 # 1691374 # 24 37 # 983446 # 1159988 # 1337246 # 1515334 # 1694366 # 23 38 # 986383 # 1162936 # 1340207 # 1518310 # 1697358 # 22 39 # 989320 # 1165884 # 1343168 # 1521286 # 1700351 # 21 40 # 992257 # 1168822 # 1346129 # 1524262 # 1703344 # 20 41 # 995195 # 1171781 # 1349091 # 1527239 # 1706337 # 19 42 # 998133 # 1174730 # 1352053 # 1530216 # 1709331 # 18 43 # 1001072 # 1177679 # 1355015 # 1533193 # 1712325 # 17 44 # 1004010 # 1180628 # 1357977 # 1536170 # 1715319 # 16 45 # 1006949 # 1183577 # 1360940 # 1539148 # 1718313 # 15 46 # 1009887 # 1186527 # 1363903 # 1542126 # 1721308 # 14 47 # 1012825 # 1189477 # 1366866 # 1545104 # 1724304 # 13 48 # 1015763 # 1192427 # 1369830 # 1548082 # 1727300 # 12 49 # 1018702 # 1195377 # 1372793 # 1551061 # 1730296 # 11 50 # 1021641 # 1198328 # 1375757 # 1554040 # 1733292 # 10 51 # 1024580 # 1201279 # 1378721 # 1557019 # 1736287 # 9 52 # 1027519 # 1204230 # 1381686 # 1559999 # 1739284 # 8 53 # 1030459 # 1207181 # 1384650 # 1562979 # 1742281 # 7 54 # 1033399 # 1210132 # 1387615 # 1565959 # 1745278 # 6 55 # 1036339 # 1213084 # 1390580 # 1568939 # 1748275 # 5 56 # 1039279 # 1216036 # 1393545 # 1571920 # 1751273 # 4 57 # 1042219 # 1218988 # 1396510 # 1574901 # 1754271 # 3 58 # 1045160 # 1221940 # 1399476 # 1577882 # 1757270 # 2 59 # 1048101 # 1224892 # 1402442 # 1580863 # 1760269 # 1 60 # 1051042 # 1227845 # 1405408 # 1583844 # 1763268 # 0 # 84 # 83 # 82 # 81 # 80 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [218]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus # 10 # 11 # 12 # 13 # 14 0 # 1763268 # 1943803 # 2125565 # 2308682 # 2493280 # 60 1 # 1766268 # 1946822 # 2128605 # 2311746 # 2496370 # 59 2 # 1769268 # 1949841 # 2131646 # 2314810 # 2499411 # 58 3 # 1772268 # 1952861 # 2134687 # 2317875 # 2502552 # 57 4 # 1775269 # 1955881 # 2137729 # 2320940 # 2505643 # 56 5 # 1778270 # 1958901 # 2140771 # 2324006 # 2508735 # 55 6 # 1781271 # 1961922 # 2143814 # 2327072 # 2511827 # 54 7 # 1784272 # 1964943 # 2146857 # 2330139 # 2514920 # 53 8 # 1787274 # 1967964 # 2149900 # 2333206 # 2518013 # 52 9 # 1790276 # 1970985 # 2152944 # 2336273 # 2521106 # 51 10 # 1793278 # 1974007 # 2155988 # 2339341 # 2524200 # 50 11 # 1796281 # 1977029 # 2159032 # 2342419 # 2527294 # 49 12 # 1799284 # 1980052 # 2162077 # 2345478 # 2530389 # 48 13 # 1802287 # 1983075 # 2165122 # 2348547 # 2533484 # 47 14 # 1805291 # 1986098 # 2168167 # 2351616 # 2536580 # 46 15 # 1808295 # 1989122 # 2171213 # 2354686 # 2539676 # 45 16 # 1811299 # 1992146 # 2174259 # 2357757 # 2542773 # 44 17 # 1814303 # 1995171 # 2177306 # 2360828 # 2545870 # 43 18 # 1817308 # 1998196 # 2180352 # 2363899 # 2548968 # 42 19 # 1820313 # 2001221 # 2183400 # 2366971 # 2552066 # 41 20 # 1823318 # 2004247 # 2186448 # 2370043 # 2555165 # 40 21 # 1826324 # 2007273 # 2189496 # 2373116 # 2558264 # 39 22 # 1829329 # 2010299 # 2192544 # 2376189 # 2561364 # 38 23 # 1832335 # 2013326 # 2192544 # 2379263 # 2564464 # 37 24 # 1835342 # 2016353 # 2195593 # 2382337 # 2567564 # 36 25 # 1838349 # 2019380 # 2201692 # 2385411 # 2570665 # 35 26 # 1841357 # 2022408 # 2204742 # 2388486 # 2573766 # 34 27 # 1844365 # 2025436 # 2207792 # 2391561 # 2576868 # 33 28 # 1847373 # 2028464 # 2210843 # 2394636 # 2579970 # 32 29 # 1850382 # 2031493 # 2213894 # 2397712 # 2583073 # 31 30 # 1853391 # 2034522 # 2216946 # 2400788 # 8586176 # 30 # 79 # 78 # 77 # 76 # 75 Gradus Quadrantis pro tangentibus [219]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis. # 10 # 11 # 12 # 13 # 14 30 # 1853391 # 2034522 # 2216946 # 2400788 # 2586176 # 30 31 # 1856400 # 2037552 # 2219998 # 2403865 # 2589280 # 29 32 # 1859409 # 2040582 # 2223051 # 2406942 # 2592384 # 28 33 # 1862419 # 2043612 # 2226104 # 2410020 # 2595489 # 27 34 # 1865429 # 2046643 # 2229157 # 2413098 # 2598594 # 26 35 # 1868439 # 2049674 # 2232211 # 2416176 # 2601700 # 25 36 # 1871449 # 2052705 # 2235265 # 2419255 # 2604806 # 24 37 # 1874460 # 2055737 # 2238319 # 2422334 # 2607912 # 23 38 # 1877471 # 2058769 # 2241374 # 2425414 # 2611019 # 22 39 # 1880482 # 2061801 # 2244429 # 2428494 # 2614126 # 21 40 # 1883494 # 2064834 # 2247485 # 2431574 # 2617234 # 20 41 # 1886506 # 2067867 # 2250541 # 2434655 # 2620342 # 19 42 # 1889518 # 2070900 # 2253597 # 2437736 # 2623451 # 18 43 # 1892531 # 2073934 # 2256654 # 2440818 # 2626560 # 17 44 # 1895544 # 2076968 # 2259711 # 2443900 # 2629670 # 16 45 # 1898558 # 2080002 # 2262769 # 2446983 # 2632780 # 15 46 # 1901572 # 2083037 # 2265827 # 2450066 # 2635891 # 14 47 # 1904586 # 2086073 # 2268885 # 2453150 # 2639002 # 13 48 # 1907601 # 2089109 # 2271944 # 2456234 # 2642114 # 12 49 # 1910616 # 2092145 # 2275003 # 2419319 # 2645226 # 11 50 # 1913632 # 2095182 # 2278063 # 2462404 # 2648339 # 10 51 # 1916648 # 2098219 # 2281123 # 2465490 # 2651452 # 9 52 # 1999664 # 2101256 # 2284183 # 2468576 # 2654566 # 8 53 # 1922680 # 2104293 # 2287244 # 2471662 # 2657680 # 7 54 # 1925697 # 2107331 # 2290305 # 2474749 # 2660795 # 6 55 # 1928714 # 2110369 # 2293367 # 2477836 # 2663910 # 5 56 # 1931731 # 2113407 # 2296429 # 2480924 # 2667026 # 4 57 # 1934749 # 2116446 # 2299492 # 2484012 # 2670142 # 3 58 # 1937767 # 2119485 # 2302555 # 2487101 # 2673258 # 2 59 # 1940785 # 2122525 # 2305618 # 2490191 # 2676375 # 1 60 # 1943803 # 2125565 # 2308682 # 2493280 # 2679492 # 0 # 79 # 78 # 77 # 76 # 75 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [220]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus # 15 # 16 # 17 # 18 # 19 0 # 2679492 # 2867453 # 3057307 # 3249197 # 3443276 # 60 1 # 2682610 # 2870601 # 3060487 # 3252413 # 3446530 # 59 2 # 2685728 # 2873749 # 3063669 # 3255630 # 3449785 # 58 3 # 2688847 # 2876898 # 3066851 # 3258848 # 3453040 # 57 4 # 2691966 # 2880048 # 3070034 # 3262066 # 3456296 # 56 5 # 2695086 # 2883198 # 3073218 # 3265285 # 3459553 # 55 6 # 2698206 # 2886349 # 3076402 # 3268504 # 3462810 # 54 7 # 2701327 # 2889501 # 3079587 # 3271724 # 3466068 # 53 8 # 2704448 # 2892653 # 3082772 # 3274944 # 3469326 # 52 9 # 2707570 # 2895806 # 3085958 # 3278165 # 3472585 # 51 10 # 2710693 # 2898960 # 3085144 # 3281387 # 3475845 # 50 11 # 2713816 # 2902114 # 3092331 # 3284609 # 3479105 # 49 12 # 2716940 # 2905268 # 3095518 # 3287832 # 3482366 # 48 13 # 2720064 # 2908423 # 3198706 # 3291055 # 3485628 # 47 14 # 2723189 # 2911578 # 3101895 # 3294280 # 3488891 # 46 15 # 2726314 # 2914734 # 3105084 # 3297505 # 3492154 # 45 16 # 2729439 # 2917890 # 3108274 # 3300731 # 3495418 # 44 17 # 2732565 # 2921047 # 3111464 # 3303957 # 3498683 # 43 18 # 2735691 # 2924204 # 3114655 # 3307184 # 3501949 # 42 19 # 2738818 # 2927362 # 3117846 # 3110411 # 3505215 # 41 20 # 2741945 # 2930520 # 3121038 # 3313639 # 3508482 # 40 21 # 2745073 # 2933679 # 3124230 # 3316868 # 3511749 # 39 22 # 2748201 # 2936839 # 3127423 # 3320097 # 3515017 # 38 23 # 2751330 # 2939999 # 3130617 # 3333327 # 3518286 # 37 24 # 2754459 # 2943160 # 3133811 # 3326558 # 3521555 # 36 25 # 2757589 # 2946321 # 3137006 # 3329789 # 3524825 # 35 26 # 2760729 # 2946483 # 3140201 # 3333020 # 3528096 # 34 27 # 2763850 # 2952645 # 3143397 # 3336252 # 3531368 # 33 28 # 2766981 # 2955808 # 3146594 # 3339485 # 3534640 # 32 29 # 2770113 # 2958971 # 3149791 # 3342719 # 3537913 # 31 30 # 2773245 # 2962135 # 3152989 # 3345953 # 3541186 # 30 # 74 # 73 # 72 # 71 # 70 Gradus Quadrantis pro tangentibus [221]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis 15 # 16 # 17 # 18 # 19 30 # 2773245 # 2962135 # 3152989 # 3345953 # 3541186 # 30 31 # 2776378 # 2965299 # 3156187 # 3349188 # 3544460 # 39 32 # 2779511 # 2968464 # 3159386 # 3352423 # 3547735 # 28 33 # 2782645 # 2971629 # 3162585 # 3355659 # 3551010 # 27 34 # 2785779 # 2974795 # 3165785 # 3358896 # 3554286 # 26 35 # 2788914 # 2977962 # 3168986 # 3362133 # 3557563 # 25 36 # 2792050 # 2981129 # 3172187 # 3365371 # 3560840 # 24 37 # 2795186 # 2984297 # 3175389 # 3368610 # 3564118 # 23 38 # 2798323 # 2987465 # 3178591 # 3371850 # 3567397 # 22 39 # 2801460 # 2990634 # 3181794 # 3375090 # 3570676 # 21 40 # 2804597 # 2993804 # 3184998 # 3378331 # 3573956 # 20 41 # 2807735 # 2996973 # 3188202 # 3381572 # 3577237 # 19 42 # 2810873 # 3000143 # 3191407 # 3384814 # 3580519 # 18 43 # 2814012 # 3003314 # 3194613 # 3388057 # 3583801 # 17 44 # 2817151 # 3006486 # 3197819 # 3391300 # 3587084 # 16 45 # 2820291 # 3009658 # 3201026 # 3394544 # 3590367 # 15 46 # 2823432 # 3012831 # 3204233 # 3397798 # 3593651 # 14 47 # 2826573 # 3016004 # 3207441 # 3401033 # 3596936 # 13 48 # 2829714 # 3019178 # 3210649 # 3404279 # 3600221 # 12 49 # 2832856 # 3022353 # 3213858 # 3407525 # 3603507 # 11 50 # 2835999 # 3025528 # 3217067 # 3410772 # 3606794 # 10 51 # 2839142 # 3028703 # 3220277 # 3414020 # 3610082 # 9 52 # 2842286 # 3031879 # 3223488 # 3417268 # 3613370 # 8 53 # 2845430 # 3035055 # 3226699 # 3420517 # 3616659 # 7 54 # 2848575 # 3038232 # 3229911 # 3423766 # 3619949 # 6 55 # 2851720 # 3041410 # 3233124 # 3427016 # 3623239 # 5 56 # 2854866 # 3044588 # 3236337 # 3430267 # 3626530 # 4 57 # 2858012 # 3047767 # 3239551 # 3433518 # 3629822 # 3 58 # 2861159 # 3050946 # 3242766 # 3436770 # 3633115 # 2 59 # 2864306 # 3054126 # 3245981 # 3440023 # 3636408 # 1 60 # 2867453 # 3057307 # 3249197 # 3443276 # 3639702 # 0 74 # 73 # 72 # 71 # 70 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [222]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus 20 # 21 # 22 # 23 # 24 0 # 3639702 # 3838640 # 4040262 # 4244748 # 4452286 # 60 1 # 3642997 # 3841978 # 4043647 # 4248182 # 4455772 # 59 2 # 3646293 # 3845316 # 4047031 # 4251617 # 4459259 # 58 3 # 3649589 # 3848655 # 4050416 # 4255052 # 4462747 # 57 4 # 3652886 # 3851995 # 4053802 # 4258488 # 4466236 # 56 5 # 3656183 # 3855336 # 4057189 # 4261925 # 4469726 # 55 6 # 3659481 # 3858678 # 4060577 # 4265363 # 4473216 # 54 7 # 3662780 # 3862020 # 4063966 # 4268801 # 4476707 # 53 8 # 3666079 # 3865363 # 4067356 # 4265363 # 4480199 # 52 9 # 3669379 # 3868707 # 4070747 # 4268801 # 4483692 # 51 10 # 3672680 # 3872052 # 4074139 # 4272240 # 4487186 # 50 11 # 3675982 # 3875397 # 4077531 # 4275680 # 4490681 # 49 12 # 3679284 # 3878743 # 4080924 # 4279121 # 4494177 # 48 13 # 3682587 # 3882090 # 4084318 # 4282563 # 4497674 # 47 14 # 3685891 # 3885438 # 4087713 # 4286006 # 4501172 # 46 15 # 3689195 # 3888787 # 4091109 # 4289450 # 4504671 # 45 16 # 3692500 # 3892136 # 4094506 # 4292895 # 4508171 # 44 17 # 3695806 # 3895486 # 4097903 # 4296340 # 4511672 # 43 18 # 3699113 # 3898837 # 4101301 # 4299786 # 4515173 # 42 19 # 3702420 # 3902188 # 4104699 # 4303233 # 4518675 # 41 20 # 3705728 # 3905540 # 4108097 # 4306681 # 4522178 # 40 21 # 3709037 # 3908893 # 4111497 # 4310130 # 4525682 # 39 22 # 3712347 # 3912247 # 4114898 # 4313580 # 4529187 # 38 23 # 3715657 # 3915601 # 4118300 # 4317031 # 4532693 # 37 24 # 3718968 # 3918956 # 4121703 # 4327387 # 4536200 # 36 25 # 3722279 # 3922312 # 4125107 # 4330841 # 4539708 # 35 26 # 3725591 # 3925669 # 4128511 # 4334296 # 4543217 # 34 27 # 3728904 # 3929027 # 4131916 # 4337752 # 4546727 # 33 28 # 3732218 # 3932385 # 4135322 # 4341209 # 4550238 # 32 29 # 3735533 # 3935744 # 4138728 # 4344666 # 4553750 # 31 30 # 3738848 # 3939104 # 4142135 # 4348124 # 4557264 # 30 69 # 68 # 67 # 66 # 65 Gradus Quadrantis pro tangentibus [223]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis 20 # 21 # 22 # 23 # 24 30 # 3738848 # 3939104 # 4142135 # 4348124 # 4557264 # 30 31 # 3742164 # 3942465 # 4145544 # 4351583 # 4560778 # 39 32 # 3745480 # 3945826 # 4148953 # 4355043 # 4564293 # 28 33 # 3748797 # 3949188 # 4152363 # 4358504 # 4567809 # 27 34 # 3752115 # 3952551 # 4155773 # 4361966 # 4571326 # 26 35 # 3755434 # 3955915 # 4159184 # 4365429 # 4574843 # 25 36 # 3758753 # 3959280 # 4162596 # 4368893 # 4578361 # 24 37 # 3762073 # 3962646 # 4166009 # 4372357 # 4581880 # 23 38 # 3765394 # 3966012 # 4169423 # 4375822 # 4585400 # 22 39 # 3768716 # 3969379 # 4172838 # 4379288 # 4588921 # 21 40 # 3772038 # 3972746 # 4176255 # 4382755 # 4592443 # 20 41 # 3775361 # 3976114 # 4179672 # 4386223 # 4595966 # 19 42 # 3778685 # 3979483 # 4183090 # 4389692 # 4599490 # 18 43 # 3782010 # 3982853 # 4186509 # 4393162 # 4603015 # 17 44 # 3785335 # 3986224 # 4189928 # 4396633 # 4606541 # 16 45 # 3788661 # 3989596 # 4193348 # 4400105 # 4610068 # 15 46 # 3791988 # 3992969 # 4196769 # 4403578 # 4613596 # 14 47 # 3795315 # 3996342 # 4200191 # 4407051 # 4617125 # 13 48 # 3798643 # 3999716 # 4203613 # 4410525 # 4620654 # 12 49 # 3801972 # 4003090 # 4207036 # 4414000 # 4624184 # 11 50 # 3805302 # 4006465 # 4210460 # 4417476 # 4627715 # 10 51 # 3808632 # 4009841 # 4213885 # 4420953 # 4631247 # 9 52 # 3811963 # 4013217 # 4217311 # 4424431 # 4634780 # 8 53 # 3815295 # 4016594 # 4220738 # 4427910 # 4638314 # 7 54 # 3818628 # 4019972 # 4224165 # 4431390 # 4641849 # 6 55 # 3821961 # 4023351 # 4227593 # 4434871 # 4645385 # 5 56 # 3825295 # 4026731 # 4231022 # 4438352 # 4648922 # 4 57 # 3828630 # 4030112 # 4234452 # 4441834 # 4652460 # 3 58 # 3831966 # 4033494 # 4237883 # 4445317 # 4655999 # 2 59 # 3835303 # 4036877 # 4241315 # 4448801 # 4659540 # 1 60 # 3838640 # 4040262 # 4244748 # 4452286 # 4663081 # 0 69 # 68 # 67 # 66 # 65 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [224]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus 25 # 26 # 27 # 28 # 29 0 # 4663081 # 4877328 # 5095254 # 5317094 # 5543090 # 60 1 # 4666623 # 4880930 # 5098919 # 5320826 # 5546893 # 59 2 # 4670166 # 4884533 # 5102585 # 5324559 # 5550697 # 58 3 # 4673710 # 4888137 # 5106252 # 5328293 # 5554503 # 57 4 # 4677255 # 4891742 # 5109920 # 5332028 # 5558310 # 56 5 # 4680801 # 4895347 # 5113589 # 5335765 # 5562118 # 55 6 # 4684348 # 4898953 # 5117259 # 5339503 # 5565927 # 54 7 # 4687896 # 4902560 # 5120930 # 5343242 # 5569738 # 53 8 # 4691444 # 4906168 # 5124602 # 5346982 # 5573550 # 52 9 # 4694993 # 4909777 # 5128275 # 5350723 # 5577363 # 51 10 # 4698543 # 4913387 # 5131949 # 5354465 # 5581177 # 50 11 # 4702094 # 4916998 # 5135625 # 5358209 # 5584993 # 49 12 # 4704646 # 4920610 # 5139302 # 5361954 # 5588810 # 48 13 # 4709199 # 4924223 # 5142980 # 5365700 # 5592628 # 47 14 # 4712753 # 4927838 # 5146659 # 5369447 # 5596447 # 46 15 # 4716308 # 4931454 # 5150339 # 5373195 # 5600268 # 45 16 # 4719864 # 4935071 # 5154020 # 5376944 # 5604090 # 44 17 # 4723422 # 4938689 # 5157702 # 5380694 # 5607913 # 43 18 # 4726981 # 4942308 # 5161385 # 5384445 # 5611737 # 42 19 # 4730541 # 4945928 # 5165069 # 5388198 # 5615562 # 41 20 # 4734102 # 4949549 # 5168755 # 5391952 # 5619388 # 40 21 # 4737664 # 4953171 # 5172442 # 5395707 # 5623216 # 39 22 # 4741227 # 4956794 # 5176130 # 5399463 # 5627045 # 38 23 # 4744790 # 4960418 # 5179819 # 5403221 # 5630875 # 37 24 # 4748354 # 4964043 # 5183509 # 5406980 # 5634707 # 36 25 # 4751919 # 4967669 # 5187200 # 5410740 # 5638540 # 35 26 # 4755485 # 4971296 # 5190892 # 5414501 # 5642374 # 34 27 # 4759052 # 4974924 # 5194585 # 5418263 # 5646210 # 33 28 # 4762620 # 4978553 # 5198279 # 5422026 # 5650047 # 32 29 # 4766189 # 4982184 # 5201974 # 5425791 # 5653885 # 31 30 # 4769759 # 4985816 # 5205670 # 5429557 # 5657725 # 30 64 # 63 # 62 # 61 # 60 Gradus Quadrantis pro tangentibus [225]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis. 25 # 26 # 27 # 28 # 29 30 # 4769759 # 4985816 # 5205670 # 5429557 # 5657725 # 30 31 # 4773330 # 4989448 # 5209368 # 5433324 # 5661566 # 29 32 # 4776902 # 4993081 # 5213067 # 5437092 # 5665408 # 28 33 # 4780475 # 4996716 # 5216767 # 5440861 # 5669251 # 27 34 # 4784049 # 5000352 # 5220468 # 5444632 # 5673096 # 26 35 # 4787624 # 5003989 # 5224170 # 5448404 # 5676942 # 25 36 # 4791200 # 5007627 # 5227873 # 5452177 # 5680789 # 24 37 # 4794777 # 5011266 # 5231577 # 5455951 # 5684637 # 23 38 # 4798355 # 5014906 # 5235283 # 5459726 # 5688486 # 22 39 # 4801934 # 5018547 # 5238990 # 5463503 # 5692337 # 21 40 # 4805515 # 5022189 # 5242698 # 5467281 # 5696189 # 20 41 # 4809096 # 5025832 # 5246407 # 5471060 # 5700043 # 19 42 # 4812678 # 5029476 # 5250117 # 5474840 # 5703898 # 18 43 # 4816261 # 5033121 # 5253828 # 5478621 # 5707754 # 17 44 # 4819845 # 5036767 # 5257540 # 5482404 # 5711611 # 16 45 # 4823430 # 5040414 # 5261254 # 5486188 # 5715469 # 15 46 # 4827016 # 5044062 # 5264969 # 5489973 # 5719329 # 14 47 # 4830603 # 5047712 # 5268685 # 5493759 # 5723190 # 13 48 # 4834191 # 5051363 # 5272402 # 5497546 # 5727052 # 12 49 # 4837780 # 5055015 # 5276120 # 5501335 # 5730916 # 11 50 # 4841371 # 5058668 # 5279839 # 5505125 # 5734781 # 10 51 # 4844962 # 5062322 # 5283959 # 5508916 # 5738647 # 9 52 # 4848554 # 5065977 # 5287280 # 5512708 # 5742515 # 8 53 # 4852147 # 5069633 # 5291003 # 5516501 # 5746384 # 7 54 # 4855741 # 5073290 # 5294727 # 5520296 # 5750254 # 6 55 # 4859336 # 5076948 # 5298452 # 5524092 # 5754125 # 5 56 # 4862932 # 5080607 # 5302178 # 5527889 # 5757998 # 4 57 # 4866529 # 5084267 # 5305905 # 5531687 # 5761872 # 3 58 # 4870127 # 5087928 # 5309633 # 5535487 # 5765747 # 2 59 # 4873727 # 5091590 # 5313363 # 5539288 # 5769624 # 1 60 # 4877328 # 5095254 # 5317094 # 5543090 # 5773502 # 0 64 # 63 # 62 # 61 # 60 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [226]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus 30 # 31 # 32 # 33 # 34 0 # 5773502 # 6008606 # 6248693 # 6494076 # 6745085 # 60 1 # 5777381 # 6012566 # 6252738 # 6498212 # 6749318 # 59 2 # 5781262 # 6016528 # 6256785 # 6502350 # 6753553 # 58 3 # 5785144 # 6020491 # 6260834 # 6506489 # 6757789 # 57 4 # 5789027 # 6024455 # 6264884 # 6510630 # 6762027 # 56 5 # 5792911 # 6028420 # 6268935 # 6514773 # 6766267 # 55 6 # 5796797 # 6032387 # 6272988 # 6518917 # 6770508 # 54 7 # 5800684 # 6036355 # 6277042 # 6523063 # 6774751 # 53 8 # 5804572 # 6040324 # 6281098 # 6527200 # 6778996 # 52 9 # 5808462 # 6044295 # 6285155 # 6531359 # 6783243 # 51 10 # 5812353 # 6048267 # 6289214 # 6535510 # 6787491 # 50 11 # 5816245 # 6052241 # 6293274 # 6539662 # 6791741 # 49 12 # 5820139 # 6056216 # 6297336 # 6543816 # 6795993 # 48 13 # 5824034 # 6060193 # 6301399 # 6547971 # 6800246 # 47 14 # 5827930 # 6064171 # 6305464 # 6552128 # 6804501 # 46 15 # 5831828 # 6068150 # 6309530 # 6556287 # 6808758 # 45 16 # 5835727 # 6072131 # 6313598 # 6560447 # 6813016 # 44 17 # 5839627 # 6076113 # 6317667 # 6564609 # 6217276 # 43 18 # 5843528 # 6080096 # 6321738 # 6568772 # 6821538 # 42 19 # 5847431 # 6084081 # 6325810 # 6572937 # 6825801 # 41 20 # 5851335 # 6088067 # 6329883 # 6577103 # 6830066 # 40 21 # 5855241 # 6092055 # 6333958 # 6581271 # 6834333 # 39 22 # 5859148 # 6096044 # 6338034 # 6585440 # 6838602 # 38 23 # 5863056 # 6100035 # 6342112 # 6589611 # 6842872 # 37 24 # 5866966 # 6104027 # 6346191 # 6593784 # 6847144 # 36 25 # 5870877 # 6108020 # 6350272 # 6597958 # 6851417 # 35 26 # 5874489 # 6112015 # 6354355 # 6602134 # 6855692 # 34 27 # 5878702 # 6116011 # 6358439 # 6606312 # 6859969 # 33 28 # 5882617 # 6120009 # 6362525 # 6610491 # 6864247 # 32 29 # 5886533 # 6124008 # 6366613 # 6614672 # 6868527 # 31 30 # 5890450 # 6128008 # 6370702 # 6618855 # 6872809 # 30 59 # 58 # 57 # 56 # 55 Gradus Quadrantis pro tangentibus [227]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis. 30 # 31 # 32 # 33 # 34 30 # 5890450 # 6128008 # 6370702 # 6618855 # 6872809 # 30 31 # 5894369 # 6132010 # 6374792 # 6623039 # 6877093 # 29 32 # 5898289 # 6136013 # 6378884 # 6627225 # 6881379 # 28 33 # 5902211 # 6140018 # 6382977 # 6631413 # 6885666 # 27 34 # 5906134 # 6144024 # 6387072 # 6635603 # 6889955 # 26 35 # 5910058 # 6148032 # 6391169 # 6639792 # 6894246 # 25 36 # 5913984 # 6152041 # 6395267 # 6643984 # 6898539 # 24 37 # 5917911 # 6156052 # 6399366 # 6648178 # 6902833 # 23 38 # 5921839 # 6160064 # 6403467 # 6952373 # 6907129 # 22 39 # 5925769 # 6164077 # 6407569 # 6656570 # 6911426 # 21 40 # 5929700 # 6168092 # 6411673 # 6660768 # 6915725 # 20 41 # 5933633 # 6172108 # 6415779 # 6664968 # 6920026 # 19 42 # 5937567 # 6176126 # 6419886 # 6669170 # 6924329 # 18 43 # 5941502 # 6180147 # 6423995 # 6673373 # 6928634 # 17 44 # 5945438 # 6184168 # 6428105 # 6677578 # 6932940 # 16 45 # 5949376 # 6188190 # 6432216 # 6681785 # 6937248 # 15 46 # 5955315 # 6192213 # 6436329 # 6685994 # 6941558 # 14 47 # 5957255 # 6196237 # 6440444 # 6690204 # 6945869 # 13 48 # 5961197 # 6200263 # 6444560 # 6694416 # 6950182 # 12 49 # 5965140 # 6204290 # 6458678 # 6698630 # 6954497 # 11 50 # 5969084 # 6208319 # 6452798 # 6702845 # 6958813 # 10 51 # 5973030 # 6212350 # 6456919 # 6707062 # 6963131 # 9 52 # 5976776 # 6216382 # 6461042 # 6711281 # 6967451 # 8 53 # 5980926 # 6220416 # 6465166 # 6715501 # 6971773 # 7 54 # 5984876 # 6224451 # 6469292 # 6719723 # 6976097 # 6 55 # 5988827 # 6228488 # 6473419 # 6723946 # 6980423 # 5 56 # 5992780 # 6232526 # 6477548 # 6728171 # 6984750 # 4 57 # 5996734 # 6246566 # 6481678 # 6732397 # 6989079 # 3 58 # 6000690 # 6240607 # 6485809 # 6736625 # 6993409 # 2 59 # 6004647 # 6244649 # 6489942 # 6740854 # 6997741 # 1 60 # 6008606 # 6248693 # 6494076 # 6745085 # 7002075 # 0 59 # 58 # 57 # 56 # 55 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [228]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus 35 # 36 # 37 # 38 # 39 0 # 7002075 # 7265424 # 7535541 # 7812856 # 8097840 # 60 1 # 7006411 # 7269869 # 7540103 # 7817542 # 8102658 # 59 2 # 7010749 # 7274316 # 7544667 # 7822230 # 8107478 # 58 3 # 7015088 # 7278765 # 7549233 # 7826920 # 8112300 # 57 4 # 7019429 # 7283216 # 7553801 # 7831612 # 8117124 # 56 5 # 7023772 # 7287669 # 7558371 # 7836306 # 8121951 # 55 6 # 7028117 # 7292124 # 7562943 # 7841002 # 8126780 # 54 7 # 7032463 # 7296581 # 7567517 # 7845700 # 8131611 # 53 8 # 7036811 # 7301040 # 7572093 # 7850400 # 8136444 # 52 9 # 7041161 # 7305501 # 7576670 # 7855102 # 8141280 # 51 10 # 7045513 # 7309963 # 7581249 # 7859807 # 8146118 # 50 11 # 7049867 # 7314427 # 7585830 # 7864514 # 8150958 # 49 12 # 7054223 # 7318893 # 7590413 # 7869223 # 8155801 # 48 13 # 7058581 # 7323361 # 7594999 # 7873934 # 8160646 # 47 14 # 7062940 # 7327831 # 7599587 # 7878647 # 8165493 # 46 15 # 7067301 # 7332303 # 7604177 # 7883363 # 8170343 # 45 16 # 7071664 # 7336777 # 7608769 # 7888081 # 8175195 # 44 17 # 7076029 # 7341253 # 7613363 # 7892801 # 8180049 # 43 18 # 7070395 # 7345731 # 7617959 # 7897523 # 8184905 # 42 19 # 7084763 # 7350210 # 7622557 # 7902247 # 8189764 # 41 20 # 7089133 # 7354691 # 7627157 # 7906973 # 8194625 # 40 21 # 7093505 # 7359174 # 7631759 # 7911702 # 8199488 # 39 22 # 7097879 # 7363659 # 7636363 # 7916433 # 8204354 # 38 23 # 7102254 # 7368146 # 7640969 # 7921166 # 8209222 # 37 24 # 7106631 # 7372635 # 7645577 # 7925901 # 8214092 # 36 25 # 7111010 # 7377126 # 7650187 # 7930638 # 8218965 # 35 26 # 7115391 # 7381619 # 7654799 # 7935378 # 8223840 # 34 27 # 7119773 # 7386114 # 7659413 # 7940120 # 8228717 # 33 28 # 7124167 # 7390611 # 7664030 # 7944864 # 8233597 # 32 29 # 7128543 # 7395110 # 7668649 # 7949610 # 8238479 # 31 30 # 7132931 # 739961 # 7663270 # 7954358 # 8243363 # 30 54 # 53 # 52 # 51 # 50 Gradus Quadrantis pro tangentibus [229]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis. 35 # 36 # 37 # 38 # 39 30 # 7132931 # 7399610 # 7673270 # 7954358 # 8243363 # 30 31 # 7137321 # 7404112 # 7677893 # 7959109 # 8248250 # 29 32 # 7141713 # 7408616 # 7682518 # 7963862 # 8253139 # 28 33 # 7146106 # 7413122 # 7687145 # 7968617 # 8258031 # 27 34 # 7150501 # 7417630 # 7691774 # 7973374 # 8262925 # 26 35 # 7154898 # 7422140 # 7696405 # 7978133 # 8267821 # 25 36 # 7159297 # 7426652 # 7701038 # 7982895 # 8272720 # 24 37 # 7163698 # 7431167 # 7705673 # 7987659 # 8277621 # 23 38 # 7168100 # 7435684 # 7710310 # 7992425 # 8282524 # 22 39 # 7172504 # 7440203 # 7714949 # 7997193 # 8287429 # 21 40 # 7176910 # 7444724 # 7719590 # 8001963 # 8292337 # 20 41 # 7181318 # 7449246 # 7724233 # 8006736 # 8297247 # 19 42 # 7185728 # 7453770 # 7728878 # 8011511 # 8302160 # 18 43 # 7190140 # 7458296 # 7733525 # 8016288 # 8307075 # 17 44 # 7194554 # 7462824 # 7738175 # 8021067 # 8311992 # 16 45 # 7198970 # 7476354 # 7742827 # 8025849 # 8316912 # 15 46 # 7203387 # 7471886 # 7747481 # 8030633 # 8321834 # 14 47 # 7207806 # 7476420 # 7752137 # 8035419 # 8326759 # 13 48 # 7212227 # 7480956 # 7756795 # 8040207 # 8331686 # 12 49 # 7216650 # 7485494 # 7761455 # 8044997 # 8336615 # 11 50 # 7221075 # 7490033 # 7766117 # 8049790 # 8341547 # 10 51 # 7225502 # 7494574 # 7770781 # 8054585 # 8346481 # 9 52 # 7229931 # 7499117 # 7775447 # 8059382 # 8351418 # 8 53 # 7234362 # 7503663 # 7780116 # 8064181 # 8356357 # 7 54 # 7238794 # 7508211 # 7784787 # 8068983 # 8361298 # 6 55 # 7243228 # 7512761 # 7789460 # 8073787 # 8366242 # 5 56 # 7247664 # 7517313 # 7794135 # 8078593 # 8371188 # 4 57 # 7252102 # 7521867 # 7798812 # 8083401 # 8376136 # 3 58 # 7256541 # 7526423 # 7803491 # 8088212 # 8381087 # 2 59 # 7260982 # 7530981 # 7808172 # 8093025 # 8386040 # 1 60 # 7265424 # 7535541 # 7812856 # 8097840 # 8390996 # 0 54 # 53 # 52 # 51 # 50 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [230]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus 40 # 41 # 42 # 43 # 44 0 # 8390996 # 8692867 # 9004040 # 9325151 # 9656888 # 60 1 # 8395954 # 8697975 # 9009308 # 9330591 # 9662511 # 59 2 # 8400915 # 8703085 # 9014579 # 9336034 # 9668137 # 58 3 # 8405878 # 8708198 # 9019853 # 9341480 # 9673766 # 57 4 # 8410844 # 8713344 # 9025130 # 9346929 # 9679398 # 56 5 # 8415812 # 8718433 # 9030410 # 9352381 # 9685034 # 55 6 # 8420782 # 8723555 # 9035693 # 9357835 # 9690674 # 54 7 # 8425754 # 8728679 # 9040978 # 9363292 # 9696315 # 53 8 # 8430729 # 8733806 # 9046266 # 9368752 # 9701960 # 52 9 # 8435706 # 8738935 # 9051557 # 9374215 # 9707609 # 51 10 # 8440686 # 8744067 # 9056850 # 9379682 # 9713261 # 50 11 # 8445668 # 8749201 # 9062146 # 9385152 # 9718916 # 49 12 # 8450653 # 8754338 # 9067445 # 9390625 # 9724574 # 48 13 # 8455640 # 8759478 # 9072747 # 9396101 # 9730235 # 47 14 # 8460630 # 8764620 # 9078052 # 9401580 # 9735900 # 46 15 # 8465622 # 8769764 # 9083360 # 9407062 # 9741568 # 45 16 # 8470617 # 8774911 # 9088670 # 9412547 # 9747239 # 44 17 # 8475614 # 8780061 # 9093983 # 9418034 # 9752913 # 43 18 # 8480614 # 8785214 # 9099299 # 9423524 # 9758591 # 42 19 # 8485617 # 8790369 # 9104618 # 9429017 # 9764272 # 41 20 # 8490622 # 8795527 # 9109940 # 9434513 # 9769956 # 40 21 # 8495629 # 8800688 # 9115265 # 9440012 # 9775643 # 39 22 # 8500639 # 8805851 # 9120593 # 9445514 # 9781334 # 38 23 # 8505651 # 8811017 # 9125923 # 9451019 # 9787028 # 37 24 # 8510666 # 8816186 # 9131256 # 9456528 # 9792725 # 36 25 # 8515683 # 8821357 # 9136592 # 9462040 # 9798425 # 35 26 # 8520703 # 8826531 # 9141930 # 9467555 # 9804128 # 34 27 # 8525725 # 8831708 # 9147271 # 9473073 # 9809835 # 33 28 # 8530750 # 8836887 # 9152615 # 9478594 # 9815545 # 32 29 # 8535777 # 8842069 # 9157962 # 9484118 # 9821258 # 31 30 # 8540806 # 8847253 # 9163312 # 9489645 # 9826974 # 30 49 # 48 # 47 # 46 # 45 Gradus Quadrantis pro tangentibus [231]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis. 40 # 41 # 42 # 43 # 44 30 # 8540806 # 8847253 # 9163312 # 9489645 # 9826974 # 30 31 # 8545838 # 8852440 # 9168665 # 9495175 # 9832694 # 29 32 # 8550872 # 8857630 # 9174021 # 9400708 # 9838417 # 28 33 # 8555909 # 8862822 # 9179380 # 9506244 # 9844143 # 27 34 # 8560949 # 8868017 # 9184741 # 9511783 # 9849872 # 26 35 # 8565991 # 8873015 # 9190105 # 9517325 # 9855605 # 25 36 # 8571036 # 8878415 # 9195472 # 9522870 # 9861341 # 24 37 # 8576083 # 8883628 # 9200842 # 9528419 # 9867180 # 23 38 # 8581133 # 8888824 # 9206215 # 9533971 # 9872922 # 22 39 # 8586185 # 8899033 # 9211590 # 9539526 # 9878668 # 21 40 # 8591239 # 8899244 # 9216968 # 9545084 # 9884317 # 20 41 # 8596296 # 8904458 # 9222349 # 9550645 # 9890070 # 19 42 # 8601355 # 8909675 # 9227733 # 9556209 # 9895826 # 18 43 # 8606417 # 8914894 # 9233120 # 9561776 # 9901585 # 17 44 # 8611482 # 8920116 # 9238510 # 9567346 # 9907347 # 16 45 # 8616549 # 8925341 # 9243903 # 9572919 # 9913113 # 15 46 # 8621619 # 8930568 # 9249299 # 9578495 # 9918882 # 14 47 # 8626692 # 8935798 # 9254698 # 9584074 # 9924654 # 13 48 # 8631767 # 8941031 # 9260100 # 9589656 # 9930430 # 12 49 # 8636845 # 8946267 # 9265505 # 9595241 # 9936209 # 11 50 # 8641926 # 8951506 # 9270913 # 9600830 # 9941991 # 10 51 # 8647009 # 8956747 # 9276324 # 9606422 # 9947777 # 9 52 # 8652095 # 8961991 # 9281738 # 9612017 # 9953566 # 8 53 # 8657183 # 8967238 # 9287155 # 9617615 # 9959359 # 7 54 # 8662273 # 8972487 # 9292574 # 9623216 # 9965155 # 6 55 # 8667366 # 8977739 # 9297996 # 9628820 # 9970954 # 5 56 # 8672461 # 8982994 # 9303421 # 9634427 # 9976756 # 4 57 # 8677559 # 8988252 # 9308849 # 9640037 # 9982562 # 3 58 # 8682659 # 8993512 # 9314280 # 9645651 # 9988371 # 2 59 # 8687762 # 8998775 # 9319714 # 9651268 # 9994184 # 1 60 # 8692867 # 9004040 # 9325151 # 9656888 # 10000000 # 0 49 # 48 # 47 # 46 # 45 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [232]_TABVLA_ Gradus Qudrantis pro tangentibus 45 # 46 # 47 # 48 0 # 10000000 # 10355302 # 10723686 # 11106124 # 60 1 # 10005820 # 10361332 # 10729942 # 11112623 # 59 2 # 10011643 # 10367365 # 10736202 # 11119126 # 58 3 # 10017469 # 10373402 # 10742466 # 11125634 # 57 4 # 10023299 # 10379443 # 10748734 # 11132146 # 56 5 # 10029132 # 10385487 # 10755006 # 11138662 # 55 6 # 10034968 # 10391535 # 10761282 # 11145182 # 54 7 # 10040808 # 10397587 # 10767562 # 11151706 # 53 8 # 10046651 # 10403643 # 10773845 # 11158235 # 52 9 # 10052497 # 10409702 # 10780132 # 11164768 # 51 10 # 10058347 # 10415765 # 10786423 # 11171305 # 50 11 # 10064201 # 10421832 # 10792718 # 11177846 # 49 12 # 10070058 # 10427902 # 10799017 # 11184392 # 48 13 # 10075918 # 10433976 # 10805320 # 11190942 # 47 14 # 10081782 # 10340054 # 10811627 # 11197496 # 46 15 # 10087649 # 10446135 # 10817938 # 11204054 # 45 16 # 10093520 # 10452220 # 10824253 # 11210617 # 44 17 # 10099394 # 10458309 # 10830572 # 11217184 # 43 18 # 10105272 # 10464401 # 10836895 # 11223755 # 42 19 # 10111153 # 10470497 # 10843222 # 11230330 # 41 20 # 10117038 # 10476597 # 10849554 # 11236910 # 40 21 # 10122926 # 10482701 # 10855889 # 11243494 # 39 22 # 10128818 # 10488808 # 10862228 # 11250082 # 38 23 # 10134713 # 10494919 # 10868571 # 11256675 # 37 24 # 10140611 # 10501034 # 10874918 # 11263272 # 36 25 # 10146513 # 10507153 # 10881269 # 11269873 # 35 26 # 10152418 # 10513275 # 10887624 # 11276478 # 34 27 # 10158327 # 10519401 # 10893983 # 11283088 # 33 28 # 10164239 # 10525531 # 10900346 # 11289702 # 32 29 # 10170154 # 10531664 # 10906713 # 11296321 # 31 30 # 10176073 # 10537801 # 10913084 # 11302944 # 30 44 # 43 # 42 # 41 Gradus Quadrantis pro tangentibus [233]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis 45 # 46 # 47 # 48 30 # 10176073 # 10537801 # 10913084 # 11302944 # 30 31 # 10181996 # 10543942 # 10919459 # 11309571 # 39 32 # 10187922 # 10550087 # 10925838 # 11316203 # 28 33 # 10193852 # 10556235 # 10932221 # 11322899 # 27 34 # 10199785 # 10562387 # 10938608 # 11329480 # 26 35 # 10205722 # 10568543 # 10945000 # 11336125 # 25 36 # 10211663 # 10574703 # 10951396 # 11342774 # 24 37 # 10217607 # 10580867 # 10957796 # 11349428 # 23 38 # 10223555 # 10587034 # 10964200 # 11356086 # 22 39 # 10229506 # 10593205 # 10970608 # 11362748 # 21 40 # 10235460 # 10599280 # 10977020 # 11369415 # 20 41 # 10241418 # 10605559 # 10983436 # 11376086 # 19 42 # 10247380 # 10611742 # 10989856 # 11382762 # 18 43 # 10253345 # 10617929 # 10996280 # 11389442 # 17 44 # 10259314 # 10624119 # 11002708 # 11396126 # 16 45 # 10265286 # 10630313 # 11009140 # 11402815 # 15 46 # 10271262 # 10636511 # 11015577 # 11409508 # 14 47 # 10277242 # 10642713 # 11022028 # 11416206 # 13 48 # 10283225 # 10648919 # 11028463 # 11422908 # 12 49 # 10289212 # 10655128 # 11034912 # 11429615 # 11 50 # 10295202 # 10661341 # 11041365 # 11436326 # 10 51 # 10301196 # 10667558 # 11047822 # 11443042 # 9 52 # 10307193 # 10673779 # 11054283 # 11449762 # 8 53 # 10313194 # 10680004 # 11060748 # 11456487 # 7 54 # 10319199 # 10686233 # 11067218 # 11463216 # 6 55 # 10325207 # 10692466 # 11073692 # 11469950 # 5 56 # 10331219 # 10698702 # 11080170 # 11476688 # 4 57 # 10337234 # 10704942 # 11086652 # 11483431 # 3 58 # 10343253 # 10711186 # 11093138 # 11490178 # 2 59 # 10349276 # 10717434 # 11099629 # 11496929 # 1 60 # 10355302 # 10723686 # 11106124 # 11503684 # 0 44 # 43 # 42 # 41 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [234]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus 49 # 50 # 51 # 52 0 # 11503684 # 11917537 # 12348972 # 12799416 # 60 1 # 11510444 # 11924580 # 12356320 # 12807093 # 59 2 # 11517208 # 11931628 # 12363673 # 12814776 # 58 3 # 11523977 # 11938680 # 12371031 # 12822465 # 57 4 # 11530751 # 11945737 # 12378394 # 12830159 # 56 5 # 11537529 # 11952799 # 12385762 # 12837859 # 55 6 # 11544312 # 11959866 # 12393136 # 12845565 # 54 7 # 11551100 # 11966938 # 12400515 # 12853277 # 53 8 # 11557893 # 11974015 # 12407999 # 12860994 # 52 9 # 11564691 # 11981097 # 12415288 # 12868717 # 51 10 # 11571494 # 11988183 # 12422683 # 12876445 # 50 11 # 11578301 # 11995274 # 12430083 # 12884179 # 49 12 # 11585112 # 12002370 # 12437489 # 12891919 # 48 13 # 11591928 # 12009471 # 12444900 # 12899665 # 47 14 # 11598748 # 12016578 # 12452317 # 12907417 # 46 15 # 11605572 # 12023690 # 12459739 # 12915175 # 45 16 # 11612401 # 12030807 # 12467167 # 12922939 # 44 17 # 11619234 # 12037929 # 12474600 # 12930709 # 43 18 # 11626072 # 12045056 # 12482039 # 12938485 # 42 19 # 11632915 # 12052188 # 12489484 # 12946267 # 41 20 # 11639763 # 12059325 # 12496934 # 12954055 # 40 21 # 11646615 # 12066467 # 12504389 # 12961843 # 39 22 # 11653472 # 12073614 # 12511850 # 12969647 # 38 23 # 11660334 # 12080766 # 12519316 # 12977457 # 37 24 # 11667200 # 12087923 # 12526787 # 12985263 # 36 25 # 11674071 # 12095085 # 12534264 # 12993080 # 35 26 # 11680947 # 12102252 # 12541746 # 13000903 # 34 27 # 11687827 # 12109424 # 12549233 # 13008732 # 33 28 # 11694712 # 12116601 # 12556725 # 13016567 # 32 29 # 11701602 # 12123783 # 12564222 # 13024407 # 31 30 # 11708497 # 12130970 # 12571724 # 13032253 # 30 40 # 39 # 38 # 37 Gradus Quadrantis pro tangentibus [235]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis 49 # 50 # 51 # 52 30 # 11708497 # 12130970 # 12571724 # 13032253 # 30 31 # 11715396 # 12138162 # 12579232 # 13040105 # 39 32 # 11722300 # 12145359 # 12586746 # 13047963 # 28 33 # 11729208 # 12152561 # 12594265 # 13055827 # 27 34 # 11736121 # 12159768 # 12601790 # 13063697 # 26 35 # 11743039 # 12166981 # 12609321 # 13071573 # 25 36 # 11749962 # 12174199 # 12616858 # 13079455 # 24 37 # 11756989 # 12181422 # 12624400 # 13087343 # 23 38 # 11763821 # 12188650 # 12631948 # 13095237 # 22 39 # 11770758 # 12195883 # 12639501 # 13103138 # 21 40 # 11777700 # 12203121 # 12647060 # 13111045 # 20 41 # 11784646 # 12210364 # 12654624 # 13118958 # 19 42 # 11791597 # 12217613 # 12662194 # 13126877 # 18 43 # 11798553 # 12224867 # 12669769 # 13134802 # 17 44 # 11805514 # 12232126 # 12677350 # 13142732 # 16 45 # 11812479 # 12239390 # 12684937 # 13150668 # 15 46 # 11819449 # 12246659 # 12692530 # 13158610 # 14 47 # 11826424 # 12253933 # 12700128 # 13166558 # 13 48 # 11833404 # 12261212 # 12707732 # 13174512 # 12 49 # 11840388 # 12268496 # 12715341 # 13182472 # 11 50 # 11847377 # 12275786 # 12722956 # 13190438 # 10 51 # 11854371 # 12283081 # 12730577 # 13198411 # 9 52 # 11861370 # 12290381 # 12738203 # 13206390 # 8 53 # 11868374 # 12297687 # 12745835 # 13214375 # 7 54 # 11875383 # 12304998 # 12753473 # 13222367 # 6 55 # 11882397 # 12312314 # 12761116 # 13230365 # 5 56 # 11889417 # 12319635 # 12768765 # 13238369 # 4 57 # 11896438 # 12326961 # 12776420 # 13246379 # 3 58 # 11903466 # 12334293 # 12784080 # 13254396 # 2 59 # 11910499 # 12341630 # 12791745 # 13262419 # 1 60 # 11917537 # 12348972 # 12799416 # 13270448 # 0 40 # 39 # 38 # 37 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [236]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus 53 # 54 # 55 # 56 0 # 13270448 # 13763820 # 14281480 # 14825610 # 60 1 # 13278483 # 13772243 # 14290325 # 14834916 # 59 2 # 13286524 # 13780673 # 14299177 # 14844230 # 58 3 # 13294571 # 13789109 # 14308037 # 14853553 # 57 4 # 13302624 # 13797552 # 14316905 # 14862884 # 56 5 # 13310683 # 13806002 # 14325780 # 14872223 # 55 6 # 13318749 # 13814459 # 14334662 # 14881570 # 54 7 # 13326821 # 13822922 # 14343552 # 14890925 # 53 8 # 13334899 # 13831392 # 14352451 # 14909288 # 52 9 # 13342984 # 13839869 # 14361354 # 14909659 # 51 10 # 13351075 # 13848352 # 14370266 # 14919038 # 50 11 # 13359172 # 13856842 # 14379186 # 14928426 # 49 12 # 13367276 # 13865339 # 14388113 # 14937822 # 48 13 # 13375386 # 13873843 # 14397048 # 14947226 # 47 14 # 13383502 # 13882354 # 14405990 # 14956638 # 46 15 # 13391624 # 13890872 # 14414939 # 14966058 # 45 16 # 13399753 # 13899397 # 14423896 # 14975486 # 44 17 # 13407888 # 13907930 # 14432861 # 14984923 # 43 18 # 13416029 # 13916470 # 14441833 # 14994368 # 42 19 # 13424177 # 13925017 # 14450812 # 15003821 # 41 20 # 13432331 # 13933571 # 14459799 # 15013283 # 40 21 # 13440492 # 13942131 # 14468794 # 15022753 # 39 22 # 13448659 # 13950698 # 14477797 # 15032231 # 38 23 # 13456832 # 13959272 # 14486807 # 15041717 # 37 24 # 13465011 # 13967853 # 14495825 # 15051211 # 36 25 # 13473197 # 13976441 # 14504850 # 15060714 # 35 26 # 13481390 # 13985035 # 14513883 # 15070225 # 34 27 # 13489589 # 13993636 # 14522924 # 15079744 # 33 28 # 13497794 # 14002244 # 14531972 # 15089271 # 32 29 # 13506006 # 14010859 # 14541028 # 15078807 # 31 30 # 13514224 # 14019481 # 14550091 # 15108351 # 30 36 # 35 # 34 # 33 Gradus Quadrantis pro tangentibus [237]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis 53 # 54 # 55 # 56 30 # 13514224 # 14019481 # 14550091 # 15108351 # 30 31 # 13522449 # 14028110 # 14559162 # 15117903 # 39 32 # 13530680 # 14036746 # 14568241 # 15127464 # 28 33 # 13538918 # 14045389 # 14577327 # 15137034 # 27 34 # 13547162 # 14054040 # 14586421 # 15146612 # 26 35 # 13555413 # 14062698 # 14595523 # 15156199 # 25 36 # 13563670 # 14071363 # 14604633 # 15165794 # 24 37 # 13571834 # 14080035 # 14613750 # 15175398 # 23 38 # 13580104 # 14088715 # 14622875 # 15185011 # 22 39 # 13588381 # 14097402 # 14632007 # 15194632 # 21 40 # 13596764 # 14106097 # 14641146 # 15204261 # 20 41 # 13605054 # 14114798 # 14650293 # 15213899 # 19 42 # 13613350 # 14123506 # 14659449 # 15223545 # 18 43 # 13621653 # 14132221 # 14668613 # 15233200 # 17 44 # 13629963 # 14140923 # 14677785 # 15242863 # 16 45 # 13638279 # 14149672 # 14686965 # 15252535 # 15 46 # 13646602 # 14158409 # 14696153 # 15262216 # 14 47 # 13654932 # 14167153 # 14705349 # 15271905 # 13 48 # 13663268 # 14175904 # 14714553 # 15281603 # 12 49 # 13671610 # 14184663 # 14723765 # 15291309 # 11 50 # 13679959 # 14193429 # 14732985 # 15301024 # 10 51 # 13688315 # 14202202 # 14742212 # 15310748 # 9 52 # 13696677 # 14210982 # 14751447 # 15320481 # 8 53 # 13705046 # 14219769 # 14760690 # 15330222 # 7 54 # 13713422 # 14228563 # 14769941 # 15339972 # 6 55 # 13721805 # 14237365 # 14779200 # 15349730 # 5 56 # 13730194 # 14246174 # 14788466 # 15359497 # 4 57 # 13738590 # 14254990 # 14797740 # 15369273 # 3 58 # 13746993 # 14263813 # 14807022 # 15379057 # 2 59 # 13755403 # 14272643 # 14816312 # 15388850 # 1 60 # 13763820 # 14281480 # 14825610 # 15398651 # 0 36 # 35 # 34 # 33 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [238]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus 57 # 58 # 59 # 60 0 # 15398651 # 16003347 # 16642794 # 17320508 # 60 1 # 15408461 # 16013710 # 16653766 # 17332150 # 59 2 # 15418280 # 16024083 # 16664749 # 17343804 # 58 3 # 15428108 # 16034466 # 16675742 # 17355469 # 57 4 # 15437945 # 16044859 # 16686746 # 17367146 # 56 5 # 15447791 # 16055261 # 16697760 # 17378834 # 55 6 # 15457646 # 16065673 # 16708785 # 17390534 # 54 7 # 15467510 # 16076095 # 16719820 # 17402246 # 53 8 # 15477382 # 16086527 # 16730866 # 17413969 # 52 9 # 15487263 # 16096968 # 16741922 # 17425704 # 51 10 # 15497153 # 16107419 # 16752989 # 17437451 # 50 11 # 15507052 # 16117880 # 16764067 # 17449210 # 49 12 # 15516960 # 16128351 # 16775156 # 17460981 # 48 13 # 15526877 # 16138832 # 16786256 # 17472764 # 47 14 # 15536803 # 16149322 # 16797367 # 17484559 # 46 15 # 15546738 # 16159822 # 16808489 # 17496366 # 45 16 # 15556682 # 16170332 # 16819621 # 17508185 # 44 17 # 15566636 # 16180852 # 16830764 # 17520026 # 43 18 # 15576599 # 16191381 # 16841918 # 17531869 # 42 19 # 15586571 # 16201920 # 16853083 # 17543724 # 41 20 # 15596552 # 16212469 # 16864259 # 17555591 # 40 21 # 15606542 # 16223028 # 16875446 # 17567470 # 39 22 # 15616541 # 16233597 # 16886644 # 17579362 # 38 23 # 15626549 # 16244176 # 16897853 # 17591266 # 37 24 # 15636566 # 16254766 # 16909074 # 17603182 # 36 25 # 15646592 # 16265366 # 16920306 # 17615111 # 35 26 # 15656627 # 16275976 # 16931549 # 17627052 # 34 27 # 15666671 # 16286596 # 16942803 # 17639006 # 33 28 # 15676724 # 16297226 # 16954068 # 17650972 # 32 29 # 15686786 # 16307866 # 16965344 # 17662951 # 31 30 # 15696857 # 16318516 # 16976631 # 17674941 # 30 32 # 31 # 30 # 29 Gradus Quadrantis pro tangentibus [239]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis 57 # 58 # 59 # 60 30 # 15696857 # 16318516 # 16976631 # 17674942 # 30 31 # 15706938 # 16329176 # 16987929 # 17686945 # 39 32 # 15717028 # 16339847 # 16999239 # 17698960 # 28 33 # 15727127 # 16350528 # 17010560 # 17710987 # 27 34 # 15737235 # 16361219 # 17021892 # 17723027 # 26 35 # 15747353 # 16371920 # 17033236 # 17735079 # 25 36 # 15757480 # 16382631 # 17044591 # 17747143 # 24 37 # 15767616 # 16393352 # 17055957 # 17759220 # 23 38 # 15777761 # 16404083 # 17067325 # 17771309 # 22 39 # 15787915 # 16414824 # 17078714 # 17783410 # 21 40 # 15798078 # 16425575 # 17090115 # 17795524 # 20 41 # 15808251 # 16436337 # 17101527 # 17808651 # 19 42 # 15818433 # 16447109 # 17112950 # 17819790 # 18 43 # 15828625 # 16457892 # 17124384 # 17831942 # 17 44 # 15838827 # 16468685 # 17135829 # 17844107 # 16 45 # 15849038 # 16479488 # 17147285 # 17856285 # 15 46 # 15859259 # 16490302 # 17158752 # 17868475 # 14 47 # 15869489 # 16501126 # 17170231 # 17880678 # 13 48 # 15879729 # 16511960 # 17181721 # 17892894 # 12 49 # 15889979 # 16522805 # 17193222 # 17905123 # 11 50 # 15900238 # 16533660 # 17204734 # 17917364 # 10 51 # 15910507 # 16544526 # 17216258 # 17929618 # 9 52 # 15920785 # 16555402 # 17227794 # 17941885 # 8 53 # 15931073 # 16566289 # 17239342 # 17954164 # 7 54 # 15941370 # 16577186 # 17250902 # 17966456 # 6 55 # 15951676 # 16588094 # 17262473 # 17978761 # 5 56 # 15961992 # 16599013 # 17274056 # 17991079 # 4 57 # 15972317 # 16609942 # 17285651 # 18003410 # 3 58 # 15982651 # 16620882 # 17297258 # 18015753 # 2 59 # 15992994 # 16631833 # 17308877 # 18028109 # 1 60 # 16003347 # 16642794 # 17320508 # 18040478 # 0 32 # 31 # 30 # 29 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [240]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus 61 # 62 # 63 # 64 0 # 18040478 # 18807265 # 19626104 # 20503034 # 60 1 # 18052860 # 18820471 # 19640225 # 20518180 # 59 2 # 18065255 # 18833691 # 19654362 # 20533344 # 58 3 # 18077663 # 18846925 # 19668516 # 20548526 # 57 4 # 18090084 # 18860174 # 19682686 # 20563726 # 56 5 # 18102518 # 18873437 # 19696872 # 20578945 # 55 6 # 18114966 # 18886715 # 19711074 # 20594182 # 54 7 # 18127427 # 18900007 # 19725293 # 20609437 # 53 8 # 18139901 # 18913314 # 19739528 # 20624711 # 52 9 # 18152388 # 18926636 # 19753780 # 20640003 # 51 10 # 18164889 # 18939972 # 19768048 # 20655313 # 50 11 # 18177403 # 18953323 # 19782333 # 20670642 # 49 12 # 18189930 # 18966689 # 19796634 # 20685989 # 48 13 # 18202470 # 18980070 # 19810951 # 20701355 # 47 14 # 18215024 # 18993466 # 19825285 # 20716739 # 46 15 # 18227591 # 19006876 # 19839635 # 20732142 # 45 16 # 18240171 # 19020301 # 19854002 # 20747564 # 44 17 # 18252765 # 19033741 # 19868386 # 20763004 # 43 18 # 18265372 # 19047196 # 19882786 # 20778463 # 42 19 # 18277992 # 19060665 # 19897203 # 20793941 # 41 20 # 18290626 # 19074149 # 19911637 # 20809438 # 40 21 # 18303273 # 19087648 # 19926088 # 20824953 # 39 22 # 18315934 # 19101162 # 19940555 # 20840487 # 38 23 # 18328608 # 19114691 # 19955039 # 20856040 # 37 24 # 18341296 # 19128235 # 19669540 # 20871612 # 36 25 # 18353997 # 19141795 # 19984057 # 20887202 # 35 26 # 18366712 # 19155370 # 19998591 # 20902811 # 34 27 # 18379440 # 19168960 # 20013142 # 20918439 # 33 28 # 18392182 # 19182565 # 20027709 # 20934086 # 32 29 # 18404938 # 19196185 # 20042297 # 20949752 # 31 30 # 18417707 # 19209821 # 20056898 # 20965436 # 30 28 # 27 # 26 # 25 Gradus Quadrantis pro tangentibus [241]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis. # 61 # 62 # 63 # 64 30 # 18417707 # 19209821 # 20056898 # 20965436 # 30 31 # 18430490 # 19223472 # 20071516 # 20981140 # 29 32 # 18443287 # 19237138 # 20086152 # 20996863 # 28 33 # 18456098 # 19250819 # 20100805 # 21012605 # 27 34 # 18468922 # 19264516 # 20115475 # 21028367 # 26 35 # 18481760 # 19278228 # 20130163 # 21044148 # 25 36 # 18494612 # 19291955 # 20144868 # 21059949 # 24 37 # 18507478 # 19305698 # 20159@90 # 21075769 # 23 38 # 18520357 # 193194@6 # 20174329 # 21091609 # 22 39 # 18533250 # 19333230 # 20189086 # 21107468 # 21 40 # 18546157 # 19347019 # 20203860 # 21123347 # 20 41 # 18559078 # 19360824 # 20218651 # 21139246 # 19 42 # 18572013 # 19374644 # 20233460 # 21155164 # 18 43 # 18584962 # 19388480 # 20248286 # 21171102 # 17 44 # 18597925 # 19402331 # 20263130 # 21187059 # 16 45 # 18610902 # 19416198 # 20277991 # 21203036 # 15 46 # 18623894 # 19430081 # 20292870 # 21219032 # 14 47 # 18636900 # 19443980 # 20307767 # 21235048 # 13 48 # 18649920 # 19457894 # 20322681 # 21251083 # 12 49 # 18662954 # 19471824 # 20337613 # 21267138 # 11 50 # 18676002 # 19485770 # 20352563 # 21283213 # 10 51 # 18689064 # 19499732 # 20367531 # 21299308 # 9 52 # 18702140 # 19513710 # 20382516 # 21315423 # 8 53 # 18715231 # 19527704 # 20397519 # 21331558 # 7 54 # 18728335 # 19541714 # 20412539 # 21347713 # 6 55 # 18741454 # 19555739 # 20427577 # 21363888 # 5 56 # 18754587 # 19569780 # 20442633 # 21380083 # 4 57 # 18767735 # 19583837 # 20457706 # 21396298 # 3 58 # 18780897 # 19597910 # 20472797 # 21412534 # 2 59 # 18794074 # 19611999 # 20487906 # 21428790 # 1 60 # 18807265 # 19626104 # 20503034 # 21445067 # 0 # 28 # 27 # 26 # 25 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [242]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus # 65 # 66 # 67 # 68 0 # 21445067 # 22460371 # 23558529 # 24750869 # 60 1 # 21461364 # 22477965 # 23577595 # 24771613 # 59 2 # 21477681 # 22495582 # 23596687 # 24792387 # 58 3 # 21494019 # 22513222 # 23615805 # 24813191 # 57 4 # 21510377 # 22530885 # 23634950 # 24834024 # 56 5 # 21526756 # 22548571 # 23654121 # 24854887 # 55 6 # 21543155 # 22566281 # 23673318 # 24875780 # 54 7 # 21559575 # 22584014 # 23692542 # 24896704 # 53 8 # 21576015 # 22601771 # 23711793 # 24917659 # 52 9 # 21592475 # 22619551 # 23731071 # 24938644 # 51 10 # 21608956 # 22637355 # 23750375 # 24959659 # 50 11 # 21625458 # 22655183 # 23769706 # 24980705 # 49 12 # 21641981 # 22673034 # 23789064 # 25001782 # 48 13 # 21658525 # 22690909 # 23808448 # 25022890 # 47 14 # 21675090 # 22708808 # 23827859 # 25044029 # 46 15 # 21691676 # 22726730 # 23847297 # 25065198 # 45 16 # 21708283 # 22744676 # 23866762 # 25086398 # 44 17 # 21724911 # 22762646 # 23886254 # 25107629 # 43 18 # 21741559 # 22780639 # 23905773 # 25128991 # 42 19 # 21758228 # 22798656 # 23925320 # 25150183 # 41 20 # 21774918 # 22816696 # 23944895 # 25171506 # 40 21 # 21791629 # 22834760 # 23964496 # 25192861 # 39 22 # 21808362 # 22852848 # 23984124 # 25214248 # 38 23 # 21825116 # 22870960 # 24003779 # 25235666 # 37 24 # 21841892 # 22889096 # 24023462 # 25257116 # 36 25 # 21858689 # 22907256 # 24043172 # 25278597 # 35 26 # 21875508 # 22925441 # 24062910 # 25300110 # 34 27 # 21892348 # 22943650 # 24082675 # 25321655 # 33 28 # 21909210 # 22961883 # 24102468 # 25343232 # 32 29 # 21926094 # 22980141 # 24122289 # 25364841 # 31 30 # 21943000 # 22998424 # 24142137 # 25386482 # 30 # 24 # 23 # 22 # 21 Gradus Quadrantis pro tangentibus [243]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis. # 65 # 66 # 67 # 68 30 # 21943000 # 22998424 # 24142137 # 25386482 # 30 31 # 21959926 # 23016731 # 24162013 # 25408154 # 29 32 # 21976874 # 23035062 # 24181917 # 25429858 # 28 33 # 21993843 # 23053418 # 24201849 # 25451594 # 27 34 # 22010834 # 23071798 # 24221809 # 25473362 # 26 35 # 22027846 # 23090203 # 24241798 # 25495162 # 25 36 # 22044879 # 23108632 # 24261815 # 25516995 # 24 37 # 22061934 # 23127086 # 24281860 # 25538860 # 23 38 # 22079011 # 23145565 # 24301934 # 25560758 # 22 39 # 22096109 # 23164068 # 24322037 # 25582688 # 21 40 # 22113229 # 23182597 # 24342169 # 25604651 # 20 41 # 22130372 # 23201151 # 24362329 # 25626647 # 19 42 # 22147537 # 23219730 # 24382518 # 25648675 # 18 43 # 22164725 # 23238335 # 24402735 # 25670736 # 17 44 # 22181935 # 23256965 # 24422981 # 25692830 # 16 45 # 22199168 # 23275621 # 24443256 # 25714957 # 15 46 # 22216424 # 23294302 # 24463559 # 25737118 # 14 47 # 22233703 # 23313008 # 24483891 # 25759312 # 13 48 # 22251004 # 23331740 # 24504252 # 25781540 # 12 49 # 22268328 # 23350498 # 24524642 # 25803801 # 11 50 # 22285675 # 23369282 # 24545061 # 25826096 # 10 51 # 22303044 # 23388092 # 24565509 # 25848424 # 9 52 # 22320435 # 23406927 # 24585986 # 25870786 # 8 53 # 22337848 # 23425788 # 24606492 # 25893181 # 7 54 # 22355284 # 23444674 # 24627028 # 25915610 # 6 55 # 22372742 # 23463586 # 24647594 # 25938073 # 5 56 # 22390223 # 23482523 # 24668189 # 25960569 # 4 57 # 22407726 # 23501486 # 24688814 # 25983099 # 3 58 # 22425252 # 23520475 # 24709469 # 26005663 # 2 59 # 22442800 # 23539489 # 24730154 # 26028261 # 1 60 # 22460371 # 23558529 # 24750869 # 26050893 # 0 # 24 # 23 # 22 # 21 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [244]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus # 69 # 70 # 71 # 72 0 # 26050893 # 27474777 # 29042105 # 30776834 # 60 1 # 26073559 # 27499665 # 29069569 # 30807323 # 59 2 # 26096260 # 27524592 # 29097080 # 30837866 # 58 3 # 26118996 # 27549559 # 29124638 # 30868465 # 57 4 # 26141766 # 27574565 # 29152243 # 30899119 # 56 5 # 26164571 # 27599612 # 29179895 # 30929828 # 55 6 # 26187411 # 27624699 # 29207595 # 30960593 # 54 7 # 26210286 # 27649827 # 29235343 # 30991413 # 53 8 # 26233196 # 27674995 # 29263139 # 31022289 # 52 9 # 26256141 # 27700204 # 29290382 # 31053221 # 51 10 # 26279120 # 27725453 # 29318873 # 31084208 # 50 11 # 26302135 # 27750742 # 29346811 # 31115252 # 49 12 # 26325185 # 27776072 # 29374797 # 31146352 # 48 13 # 26348270 # 27801443 # 29402831 # 31177508 # 47 14 # 26371390 # 27826855 # 29430913 # 31208720 # 46 15 # 26394546 # 27852308 # 29459043 # 31239989 # 45 16 # 26417738 # 27877803 # 29487221 # 31271315 # 44 17 # 26440966 # 27903339 # 29515446 # 31302698 # 43 18 # 26464229 # 27928917 # 29543719 # 31334138 # 42 19 # 26487528 # 27954536 # 29572041 # 31365636 # 41 20 # 26510863 # 27980196 # 29600411 # 31397191 # 40 21 # 26534234 # 28005898 # 29628831 # 31428805 # 39 22 # 26557641 # 28031642 # 29657301 # 31460476 # 38 23 # 26581084 # 28057429 # 29685820 # 31492205 # 37 24 # 26604563 # 28083258 # 29714388 # 31523992 # 36 25 # 26628079 # 28109129 # 29743006 # 31555838 # 35 26 # 26651631 # 28135043 # 29771674 # 31587742 # 34 27 # 26675220 # 28160999 # 29800392 # 31619705 # 33 28 # 26698845 # 28186998 # 29829160 # 31651727 # 32 29 # 26722507 # 28213040 # 29857978 # 31683807 # 31 30 # 26746206 # 28239125 # 29886847 # 31715946 # 30 # 20 # 19 # 18 # 17 Gradus Quadrantis pro tangentibus [245]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis # 69 # 70 # 71 # 72 30 # 26746206 # 28239125 # 29886847 # 31715946 # 30 31 # 26769942 # 28265253 # 29915765 # 31748144 # 39 32 # 26793716 # 28291424 # 29944734 # 31780401 # 28 33 # 26816527 # 28317638 # 29973753 # 31812717 # 27 34 # 26841375 # 28343895 # 30002823 # 31845093 # 26 35 # 26865260 # 28379195 # 30031943 # 31877528 # 25 36 # 26889183 # 28396539 # 30061113 # 31910024 # 24 37 # 26913143 # 28422926 # 30090334 # 31942580 # 23 38 # 26937141 # 28449357 # 30119605 # 31975197 # 22 39 # 26961177 # 28475832 # 30148927 # 32007875 # 21 40 # 26985251 # 28502350 # 30178299 # 32040613 # 20 41 # 27009362 # 28528913 # 30207723 # 32073413 # 19 42 # 27033511 # 28555520 # 30237200 # 32106275 # 18 43 # 27057698 # 28582172 # 30266730 # 32139200 # 17 44 # 27081922 # 28608868 # 30296312 # 32172187 # 16 45 # 27106184 # 28635608 # 30325947 # 32205237 # 15 46 # 27130484 # 28662393 # 30355635 # 32238349 # 14 47 # 27154823 # 28689222 # 30385375 # 32271524 # 13 48 # 27179200 # 28716096 # 30415169 # 32304762 # 12 49 # 27203616 # 28743015 # 30445015 # 32338064 # 11 50 # 27228070 # 28769979 # 30474915 # 32371430 # 10 51 # 27252563 # 28796987 # 30504867 # 32404858 # 9 52 # 27277095 # 28824040 # 30534872 # 32438348 # 8 53 # 27301667 # 28851139 # 30564930 # 32471901 # 7 54 # 27326278 # 28878283 # 30595041 # 32505517 # 6 55 # 27350929 # 28905472 # 30625205 # 32539196 # 5 56 # 27375620 # 28932707 # 30655423 # 32572937 # 4 57 # 27400350 # 28959988 # 30685695 # 32606741 # 3 58 # 27425120 # 28987315 # 30716020 # 32640907 # 2 59 # 27449929 # 29014687 # 30746400 # 32674536 # 1 60 # 27474777 # 29042105 # 30776834 # 32708528 # 0 # 20 # 19 # 18 # 17 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [246]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus # 73 # 74 # 75 # 76 0 # 32708528 # 34874151 # 37320517 # 40107808 # 60 1 # 32745286 # 34912477 # 37363987 # 40157569 # 59 2 # 32776709 # 34950881 # 37407551 # 40207446 # 58 3 # 32810898 # 34989364 # 37451210 # 40257440 # 57 4 # 32845153 # 35027925 # 37494964 # 40307552 # 56 5 # 32879747 # 35066565 # 37538814 # 40357781 # 55 6 # 32913862 # 35105283 # 37582760 # 40408129 # 54 7 # 32948317 # 35144080 # 37626803 # 40458596 # 53 8 # 32982839 # 35182956 # 37670943 # 40509183 # 52 9 # 33017427 # 35221911 # 37715180 # 40559890 # 51 10 # 33052082 # 35260945 # 37759515 # 40610718 # 50 11 # 33086802 # 35300059 # 37803948 # 40661665 # 49 12 # 33121588 # 35339253 # 37848479 # 40712731 # 48 13 # 33156441 # 35378528 # 37893109 # 40763917 # 47 14 # 33191362 # 35417883 # 37937838 # 40815224 # 46 15 # 33226351 # 35457320 # 37982666 # 40866652 # 45 16 # 33261408 # 35496838 # 38027592 # 40918201 # 44 17 # 33296534 # 35536438 # 38072616 # 40969871 # 43 18 # 33331728 # 35576121 # 38117740 # 41021663 # 42 19 # 33366990 # 35615888 # 38162963 # 41073577 # 41 20 # 33402321 # 35655739 # 38208285 # 41125614 # 40 21 # 33437720 # 35695672 # 38253708 # 41177775 # 39 22 # 33473188 # 35735689 # 38299232 # 41230062 # 38 23 # 33508725 # 35775789 # 38344857 # 41282475 # 37 24 # 33544330 # 35815973 # 38390584 # 41335015 # 36 25 # 33580005 # 35856241 # 38436414 # 41387683 # 35 26 # 33615750 # 35896593 # 38482347 # 41440480 # 34 27 # 33651566 # 35937029 # 38528384 # 41493407 # 33 28 # 33687453 # 35977550 # 38574525 # 41546464 # 32 29 # 33723410 # 36018156 # 38620772 # 41599653 # 31 30 # 33759438 # 36058848 # 38667125 # 41652974 # 30 # 16 # 15 # 14 # 13 Gradus Quadrantis pro tangentibus [247]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis # 73 # 74 # 75 # 76 30 # 33759438 # 36058848 # 38667125 # 41652974 # 30 31 # 33795535 # 36099623 # 38713580 # 41706424 # 39 32 # 33831703 # 36140483 # 38760139 # 41760003 # 28 33 # 33867942 # 36181427 # 38806801 # 41813712 # 27 34 # 33904252 # 36222456 # 38853567 # 41867550 # 26 35 # 33940634 # 36263570 # 38900438 # 41921518 # 25 36 # 33977088 # 36304771 # 38947416 # 41975617 # 24 37 # 34013615 # 36346060 # 38994501 # 42029848 # 23 38 # 34050215 # 36387437 # 39041695 # 42084211 # 22 39 # 34086888 # 36428903 # 39088998 # 42138706 # 21 40 # 34123634 # 36470459 # 39136409 # 42193334 # 20 41 # 34160453 # 36512103 # 39183929 # 42248096 # 19 42 # 34197345 # 36553836 # 39231557 # 42302993 # 18 43 # 34234310 # 36595659 # 39279294 # 42358025 # 17 44 # 34271348 # 36637572 # 39327139 # 42413193 # 16 45 # 34308459 # 36679574 # 39375094 # 42468497 # 15 46 # 34345644 # 36721666 # 39423158 # 42523937 # 14 47 # 34382903 # 36763849 # 39471331 # 42579514 # 13 48 # 34420237 # 36806121 # 39519614 # 42635228 # 12 49 # 34457647 # 36848483 # 39568006 # 42691080 # 11 50 # 34495132 # 36890936 # 39616509 # 42747070 # 10 51 # 34532692 # 36933479 # 39665124 # 42803199 # 9 52 # 34570327 # 36976114 # 39713852 # 42859468 # 8 53 # 34608038 # 37018840 # 39762695 # 42915878 # 7 54 # 34645824 # 37061659 # 39811654 # 42972429 # 6 55 # 34683686 # 37104570 # 39860729 # 43029122 # 5 56 # 34721625 # 37147574 # 39909917 # 43085958 # 4 57 # 34759640 # 37190670 # 39959218 # 43142937 # 3 58 # 34797733 # 37233859 # 40008633 # 43200060 # 2 59 # 34835903 # 37277141 # 40058103 # 43257328 # 1 60 # 34874151 # 37320517 # 40107808 # 43314742 # 0 # 16 # 15 # 14 # 13 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [248]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus # 77 # 78 # 79 # 80 0 # 43314742 # 47046295 # 51445543 # 56712854 # 60 1 # 43372301 # 47113680 # 51525561 # 56809480 # 59 2 # 43430006 # 47181249 # 51605820 # 56906425 # 58 3 # 43487857 # 47249003 # 51686321 # 57003690 # 57 4 # 43545855 # 47316942 # 51767065 # 57101277 # 56 5 # 43604000 # 47385067 # 51848053 # 57199188 # 55 6 # 43662293 # 47453380 # 51929285 # 57297425 # 54 7 # 43720733 # 47521882 # 52010762 # 57395990 # 53 8 # 43779321 # 47590575 # 52092485 # 57494885 # 52 9 # 43838057 # 47659460 # 52174455 # 57594111 # 51 10 # 43896942 # 47728538 # 52256673 # 57693670 # 50 11 # 43955977 # 47797809 # 52339140 # 57793564 # 49 12 # 44015163 # 47867274 # 52421857 # 57893795 # 48 13 # 44074501 # 47936934 # 52504826 # 57994366 # 47 14 # 44133992 # 48006790 # 52588048 # 58095279 # 46 15 # 44193637 # 48076841 # 42671525 # 58196536 # 45 16 # 44253435 # 48147088 # 52755259 # 58298138 # 44 17 # 44313387 # 48217531 # 52839251 # 58400087 # 43 18 # 44373494 # 48288171 # 52923503 # 58502385 # 42 19 # 44433756 # 48359008 # 53008016 # 58605034 # 41 20 # 44494174 # 48430043 # 53092792 # 58708035 # 40 21 # 44554749 # 48501278 # 53177831 # 58811388 # 39 22 # 44615481 # 48572714 # 53263134 # 58915095 # 38 23 # 44676371 # 48644352 # 53348702 # 59019157 # 37 24 # 44737419 # 48716193 # 53434536 # 59123576 # 36 25 # 44798626 # 48788238 # 53520637 # 59228353 # 35 26 # 44859993 # 48860488 # 53607006 # 59333490 # 34 27 # 44921521 # 48932945 # 53693644 # 59438989 # 33 28 # 44983211 # 49005610 # 53780552 # 59544852 # 32 29 # 45045065 # 49078483 # 53867731 # 59651081 # 31 30 # 45107083 # 49151565 # 53955183 # 59757678 # 30 # 12 # 11 # 10 # 9 Gradus Quadrantis pro tangentibus [249]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis # 77 # 78 # 79 # 80 30 # 45107083 # 49151565 # 53955183 # 59757678 # 30 31 # 45169263 # 49224856 # 54042909 # 59864646 # 39 32 # 45231607 # 49298357 # 54130911 # 59971987 # 28 33 # 45294114 # 49372069 # 54219190 # 60079703 # 27 34 # 45356785 # 49445993 # 54307748 # 60187796 # 26 35 # 45419621 # 49520130 # 54396586 # 60296268 # 25 36 # 45482623 # 49594481 # 54485705 # 60405121 # 24 37 # 45545790 # 49669047 # 54575107 # 60514358 # 23 38 # 45609123 # 49743829 # 54664793 # 60623981 # 22 39 # 45672623 # 49818827 # 54754764 # 60733992 # 21 40 # 45736291 # 49894042 # 55845022 # 60844392 # 20 41 # 45800128 # 49969475 # 54935569 # 60955184 # 19 42 # 45864135 # 50045127 # 55029406 # 61066370 # 18 43 # 45928314 # 50120999 # 55117535 # 61177952 # 17 44 # 45992666 # 50197092 # 55208958 # 61289930 # 16 45 # 46057192 # 50273407 # 55300676 # 61402307 # 15 46 # 46121892 # 50349935 # 55392692 # 61515085 # 14 47 # 46186767 # 50246707 # 55485007 # 61628267 # 13 48 # 46251817 # 50503695 # 55577622 # 61741856 # 12 49 # 46318043 # 50580910 # 55670539 # 61855854 # 11 50 # 46382445 # 50658353 # 55763759 # 61970263 # 10 51 # 46448023 # 50736025 # 55857283 # 62085085 # 9 52 # 46513778 # 50813927 # 55951112 # 62200323 # 8 53 # 46579711 # 50892060 # 56045247 # 62315979 # 7 54 # 46645823 # 50970425 # 56139689 # 62432056 # 6 55 # 46712115 # 51049023 # 56234439 # 62548556 # 5 56 # 46778587 # 51127855 # 56329498 # 62665481 # 4 57 # 46845240 # 51206922 # 56424868 # 62782833 # 3 58 # 46912075 # 51286225 # 56520550 # 62900615 # 2 59 # 46979093 # 51365765 # 56616545 # 63018829 # 1 60 # 47046295 # 51445543 # 56712854 # 63137478 # 0 # 12 # 11 # 10 # 9 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [250]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus # 81 # 82 # 83 # 84 0 # 63137478 # 71153707 # 81443502 # 95143611 # 60 1 # 63256564 # 71304198 # 81639821 # 95410585 # 59 2 # 63376089 # 71455313 # 81837074 # 95679034 # 58 3 # 63496056 # 71607058 # 82035268 # 95948971 # 57 4 # 63616468 # 71759440 # 82234410 # 96220411 # 56 5 # 63737327 # 71912459 # 82434508 # 96493467 # 55 6 # 63858635 # 72066117 # 82635570 # 96767939 # 54 7 # 63980394 # 72220422 # 82837603 # 97044063 # 53 8 # 64102607 # 72375376 # 83040614 # 97321646 # 52 9 # 64225276 # 72530983 # 83244610 # 97600890 # 51 10 # 64348404 # 72687247 # 83449598 # 97881716 # 50 11 # 64471994 # 72844173 # 83655585 # 98164135 # 49 12 # 64596049 # 73001766 # 83862572 # 98448162 # 48 13 # 64720571 # 73160031 # 84070565 # 98733810 # 47 14 # 64845563 # 73318972 # 84279571 # 99021104 # 46 15 # 64971028 # 73478593 # 84489598 # 99310047 # 45 16 # 65096969 # 73638898 # 84700687 # 99600655 # 44 17 # 65223388 # 73799892 # 84912817 # 99893042 # 43 18 # 65350287 # 73961579 # 85125995 # 100187022 # 42 19 # 65477669 # 74123964 # 85340229 # 100482822 # 41 20 # 65601537 # 74287052 # 85555525 # 100780346 # 40 21 # 65733894 # 74450847 # 85771891 # 101079507 # 39 22 # 65862743 # 74615354 # 85989335 # 101380525 # 38 23 # 65992087 # 74780577 # 86207866 # 101683314 # 37 24 # 66121928 # 74946521 # 86427493 # 101987889 # 36 25 # 66252268 # 75113189 # 86648225 # 102294266 # 35 26 # 66383110 # 75280586 # 86870072 # 102602473 # 34 27 # 66514457 # 75448716 # 87093043 # 102912514 # 33 28 # 66646313 # 75617584 # 87317150 # 103224405 # 32 29 # 66778681 # 75787195 # 87542404 # 103538166 # 31 30 # 66911564 # 75957554 # 87768816 # 103853919 # 30 # 8 # 7 # 6 # 5 Gradus Quadrantis pro tangentibus [251]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis. # 81 # 82 # 83 # 84 30 # 66911564 # 75957554 # 87768816 # 103853919 # 30 31 # 67044965 # 76128666 # 87996394 # 104171468 # 29 32 # 67178887 # 76300536 # 88225146 # 104491055 # 28 33 # 67313334 # 76473170 # 88455079 # 104812581 # 27 34 # 67448309 # 76646573 # 88686196 # 105136063 # 26 35 # 67583815 # 76820751 # 88918508 # 105461519 # 25 36 # 67719855 # 76995710 # 89152021 # 105788969 # 24 37 # 67856423 # 77171455 # 89386745 # 106118428 # 23 38 # 67993549 # 77347991 # 89622688 # 106449917 # 22 39 # 68131209 # 77525324 # 89859858 # 106783466 # 21 40 # 68269416 # 77703459 # 90098268 # 107119198 # 20 41 # 68408173 # 77882402 # 90337927 # 107456902 # 19 42 # 68547438 # 78062159 # 90578848 # 107796712 # 18 43 # 68687350 # 78242737 # 90821043 # 108138767 # 17 44 # 68827777 # 78424142 # 91064526 # 108482852 # 16 45 # 68968768 # 78606379 # 91309309 # 108829233 # 15 46 # 69110326 # 78789454 # 91555401 # 109177805 # 14 47 # 69252455 # 78973371 # 91802810 # 109528589 # 13 48 # 69395158 # 79158136 # 92051546 # 109881598 # 12 49 # 69538439 # 76343754 # 92301618 # 110236864 # 11 50 # 69682302 # 79530231 # 92553036 # 110594415 # 10 51 # 69826751 # 79717572 # 92805759 # 110954264 # 9 52 # 69971789 # 79905783 # 93059875 # 111316432 # 8 53 # 70117419 # 80094869 # 93315361 # 111680940 # 7 54 # 70263645 # 80284835 # 93572238 # 112047814 # 6 55 # 70410470 # 80475688 # 93830595 # 112417202 # 5 56 # 70557898 # 80667435 # 94090270 # 112788838 # 4 57 # 70705932 # 80860083 # 94351448 # 113163656 # 3 58 # 70854576 # 81053639 # 94614055 # 113539681 # 2 59 # 71003833 # 81248110 # 94878103 # 113918875 # 1 60 # 71153706 # 81443502 # 95143611 # 114300579 # 0 9 # 8 # 7 # 6 # 5 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [252]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus # 85 # 86 # 87 0 # 114300579 # 143006601 # 190811200 # 60 1 # 114684819 # 143606943 # 191879163 # 59 2 # 115071619 # 144212307 # 192959095 # 58 3 # 115461005 # 144822757 # 194051200 # 57 4 # 115853017 # 145438358 # 195155685 # 56 5 # 116247668 # 146059175 # 196273146 # 55 6 # 116644985 # 146685275 # 197403054 # 54 7 # 117044995 # 147316726 # 198545993 # 53 8 # 117447864 # 147953611 # 199702191 # 52 9 # 117853346 # 148595987 # 200871878 # 51 10 # 118261757 # 149244148 # 202055705 # 50 11 # 118672834 # 149897753 # 203253093 # 49 12 # 119086890 # 150557233 # 204464726 # 48 13 # 119503669 # 151222301 # 205691260 # 47 14 # 119923488 # 151893462 # 206932111 # 46 15 # 120346233 # 152570581 # 208188402 # 45 16 # 120771937 # 153253487 # 209459545 # 44 17 # 121200643 # 153942729 # 210746693 # 43 18 # 121632370 # 154638158 # 212049271 # 42 19 # 122067151 # 155339855 # 213368214 # 41 20 # 122505017 # 156047923 # 214704085 # 40 21 # 122946003 # 156762433 # 216056022 # 39 22 # 123390142 # 157483474 # 217425507 # 38 23 # 123837634 # 158211136 # 218812405 # 37 24 # 124288195 # 158945509 # 220217049 # 36 25 # 124742169 # 159686753 # 221639784 # 35 26 # 125199280 # 160434770 # 223080983 # 34 27 # 125659878 # 161189849 # 224540987 # 33 28 # 126123842 # 161952305 # 226020167 # 32 29 # 126591211 # 162721698 # 227518902 # 31 30 # 127062036 # 163498660 # 229037584 # 30 4 # 3 # 2 Gradus Quadrantis pro tangentibus [253]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis. # 85 # 86 # 87 30 # 127062036 # 163498660 # 229037584 # 30 31 # 127536341 # 164282764 # 230576614 # 29 32 # 128014165 # 165074651 # 232136427 # 28 33 # 128495548 # 165873906 # 233717425 # 27 34 # 128980531 # 166681172 # 235320041 # 26 35 # 129469305 # 167496287 # 236945285 # 25 36 # 129961652 # 168319085 # 238592501 # 24 37 # 130457692 # 169150247 # 240262714 # 23 38 # 130957670 # 169989613 # 241957021 # 22 39 # 131461286 # 170837304 # 243674732 # 21 40 # 131968930 # 171693461 # 245417543 # 20 41 # 132480297 # 172558198 # 247184785 # 19 42 # 132995769 # 173431641 # 248978216 # 18 43 # 133515636 # 174313925 # 250797165 # 17 44 # 134038804 # 175205183 # 252643455 # 16 45 # 134566419 # 176105555 # 254517088 # 15 46 # 135098153 # 177015180 # 256417991 # 14 47 # 135634096 # 177934219 # 258348100 # 13 48 # 136174272 # 178862806 # 260307416 # 12 49 # 136718731 # 179801085 # 262296605 # 11 50 # 137267523 # 180749537 # 264316358 # 10 51 # 137820702 # 181707670 # 266366704 # 9 52 # 138378319 # 182676299 # 268449755 # 8 53 # 138940429 # 183654941 # 270565570 # 7 54 # 139507087 # 184644417 # 272714927 # 6 55 # 140078545 # 185644562 # 274898633 # 5 56 # 140654481 # 186655202 # 277117516 # 4 57 # 141235334 # 187677207 # 279372435 # 3 58 # 141820765 # 188710414 # 281664304 # 2 59 # 142411234 # 189755028 # 283994009 # 1 60 # 143006601 # 190811200 # 286362498 # 0 # 4 # 3 # 2 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [254]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro tangentibus # 88 # 89 0 # 286362498 # 572899830 # 60 1 # 288770746 # 582610421 # 59 2 # 291219764 # 592655713 # 58 3 # 293710598 # 603057015 # 57 4 # 296244357 # 613825994 # 56 5 # 298823024 # 624990311 # 55 6 # 301445987 # 636564040 # 54 7 # 304115322 # 648591509 # 53 8 # 306833212 # 661050728 # 52 9 # 309599077 # 674016435 # 51 10 # 312416191 # 687500725 # 50 11 # 315283945 # 701531474 # 49 12 # 318204757 # 716149676 # 48 13 # 321181137 # 731385593 # 47 14 # 324212583 # 747289264 # 46 15 # 327302782 # 763899813 # 45 16 # 330451272 # 781259259 # 44 17 # 333661982 # 799432199 # 43 18 # 336934467 # 818463792 # 42 19 # 340272744 # 838430438 # 41 20 # 343677949 # 859395374 # 40 21 # 347150587 # 881427652 # 39 22 # 350695255 # 904627361 # 38 23 # 354312962 # 929081086 # 37 24 # 358006024 # 954893332 # 36 25 # 361776788 # 982180553 # 35 26 # 365626388 # 1011062679 # 34 27 # 369560062 # 1041705454 # 33 28 # 373579199 # 1074263399 # 32 29 # 377686614 # 1108922084 # 31 30 # 381885288 # 1145891136 # 30 1 # 0 Gradus Quadrantis pro tangentibus [255]_TANGENTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis. # 88 # 89 30 # 381885288 # 1145891136 # 30 31 # 386178258 # 1185395877 # 29 32 # 390568737 # 1227736470 # 28 33 # 395060088 # 1273213435 # 27 34 # 399655828 # 1322188681 # 26 35 # 404359642 # 1375082163 # 25 36 # 409175388 # 1432363027 # 24 37 # 414111295 # 1494645462 # 23 38 # 419159137 # 1562590046 # 22 39 # 424335793 # 1637005697 # 21 40 # 429641796 # 1718863124 # 20 41 # 435082056 # 1809337410 # 19 42 # 440661780 # 1909864971 # 18 43 # 446386310 # 2022219818 # 17 44 # 452261453 # 2148619711 # 16 45 # 458293185 # 2291873854 # 15 46 # 464487853 # 2455533838 # 14 47 # 470852152 # 2644433955 # 13 48 # 477393195 # 2864819229 # 12 49 # 484118353 # 3125276745 # 11 50 # 491038024 # 3437829002 # 10 51 # 498155754 # 3819696333 # 9 52 # 505482730 # 4297181900 # 8 53 # 513030946 # 4911098124 # 7 54 # 520805157 # 5729633839 # 6 55 # 528821258 # 6875680006 # 5 56 # 537085003 # 8594003953 # 4 57 # 545610968 # 11457529506 # 3 58 # 554414914 # 17188033688 # 2 59 # 563504309 # 34376070815 # 1 60 # 572899830 # infinita # 0 # 1 # 0 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [256] [257]TABVLA LINEARVM SECANTIVM, SIVE BENEFICA. [258]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 0 # 1 # 2 # 3 0 # 10000000 # 10001524 # 10006095 # 10013723 # 60 1 # 10000001 # 10001574 # 10006198 # 10013875 # 59 2 # 10000002 # 10001626 # 10006301 # 10014029 # 58 3 # 10000004 # 10001679 # 10006405 # 10014184 # 57 4 # 10000008 # 10001733 # 10006509 # 10014339 # 56 5 # 10000010 # 10001788 # 10006615 # 10014495 # 55 6 # 10000014 # 10001844 # 10006721 # 10014653 # 54 7 # 10000020 # 10001900 # 10006828 # 10014811 # 53 8 # 10000027 # 10001957 # 10006936 # 10014970 # 52 9 # 10000034 # 10002015 # 10007045 # 10015130 # 51 10 # 10000042 # 10002074 # 10007155 # 10015291 # 50 11 # 10000051 # 10002134 # 10007265 # 10015453 # 49 12 # 10000060 # 10002195 # 10007376 # 10015615 # 48 13 # 10000071 # 10002256 # 10007488 # 10015778 # 47 14 # 10000083 # 10002318 # 10007601 # 10015942 # 46 15 # 10000095 # 10002381 # 10007716 # 10016107 # 45 16 # 10000108 # 10002445 # 10007831 # 10016273 # 44 17 # 10000122 # 10002510 # 10007946 # 10016440 # 43 18 # 10000137 # 10002576 # 10008062 # 10016608 # 42 19 # 10000152 # 10002642 # 10008179 # 10016777 # 41 20 # 10000168 # 10002709 # 10008298 # 10016946 # 40 21 # 10000186 # 10002777 # 10008417 # 10017116 # 39 22 # 10000204 # 10002846 # 10008537 # 10017287 # 38 23 # 10000223 # 10002916 # 10008658 # 10017459 # 37 24 # 10000243 # 10002987 # 10008779 # 10017632 # 36 25 # 10000264 # 10003058 # 10008902 # 10017806 # 35 26 # 10000285 # 10003130 # 10009025 # 10017981 # 34 27 # 10000308 # 10003203 # 10009149 # 10018157 # 33 28 # 10000332 # 10003277 # 10009274 # 10018333 # 32 29 # 10000357 # 10003352 # 10009400 # 10018510 # 31 30 # 10000381 # 10003428 # 10009527 # 10018687 # 30 89 # 88 # 87 # 86 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [259]_SECANTIVM._ arcuum eiu$dem Quadrantis # 0 # 1 # 2 # 3 30 # 10000381 # 10003428 # 10009527 # 10018687 # 30 31 # 10000407 # 10003505 # 10009655 # 10018865 # 39 32 # 10000433 # 10003582 # 10009783 # 10019044 # 28 33 # 10000461 # 10003660 # 10009912 # 10019224 # 27 34 # 10000489 # 10003739 # 10010043 # 10019405 # 26 35 # 10000518 # 10003819 # 10010174 # 10019587 # 25 36 # 10000548 # 10003900 # 10010306 # 10019770 # 24 37 # 10000579 # 10003982 # 10010439 # 10019954 # 23 38 # 10000611 # 10004060 # 10010572 # 10020138 # 22 39 # 10000643 # 10004148 # 10010706 # 10020324 # 21 40 # 10000677 # 10004232 # 10010841 # 10020510 # 20 41 # 10000711 # 10004317 # 10010977 # 10020698 # 19 42 # 10000746 # 10004403 # 10011114 # 10020886 # 18 43 # 10000782 # 10004490 # 10011252 # 10021086 # 17 44 # 10000819 # 10004578 # 10011390 # 10021266 # 16 45 # 10000857 # 10004666 # 10011529 # 10021456 # 15 46 # 10000895 # 10004755 # 10011670 # 10021649 # 14 47 # 10000934 # 10004845 # 10011811 # 10021842 # 13 48 # 10000975 # 10004936 # 10011952 # 10022035 # 12 49 # 10001016 # 10005028 # 10012098 # 10022239 # 11 50 # 10001058 # 10005122 # 10012238 # 10022424 # 10 51 # 10001100 # 10005216 # 10012383 # 10022620 # 9 52 # 10001144 # 10005310 # 10012528 # 10022817 # 8 53 # 10001188 # 10005405 # 10012674 # 10023015 # 7 54 # 10001233 # 10005501 # 10012822 # 10023213 # 6 55 # 10001280 # 10005598 # 10012970 # 10023412 # 5 56 # 10001327 # 10005696 # 10013119 # 10023612 # 4 57 # 10001375 # 10005795 # 10013269 # 10023813 # 3 58 # 10001423 # 10005894 # 10013419 # 10024014 # 2 59 # 10001473 # 10005994 # 10013570 # 10024217 # 1 60 # 10001524 # 10006095 # 10013723 # 10024420 # 0 89 # 88 # 87 # 86 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [260]_TABVLA_ Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 4 # 5 # 6 # 7 0 # 10024420 # 10038198 # 10055082 # 10075098 # 60 1 # 10024625 # 10038454 # 10055390 # 10075459 # 59 2 # 10024830 # 10038710 # 10055699 # 10075820 # 58 3 # 10025036 # 10038968 # 10056009 # 10076182 # 57 4 # 10025242 # 10039226 # 10056320 # 10076545 # 56 5 # 10025450 # 10039486 # 10056632 # 10076909 # 55 6 # 10025658 # 10039746 # 10056944 # 10077274 # 54 7 # 10025868 # 10040008 # 10057256 # 10077639 # 53 8 # 10026078 # 10040269 # 10057570 # 10078005 # 52 9 # 10026289 # 10040532 # 10057884 # 10078372 # 51 10 # 10026500 # 10040796 # 10058200 # 10078740 # 50 11 # 10026713 # 10041061 # 10058517 # 10079009 # 49 12 # 10026927 # 10041326 # 10058834 # 10079479 # 48 13 # 10027141 # 10041592 # 10059153 # 10079850 # 47 14 # 10027357 # 10041859 # 10059472 # 10080222 # 46 15 # 10027573 # 10042128 # 10059792 # 10080595 # 45 16 # 10027790 # 10042397 # 10060113 # 10080968 # 44 17 # 10028009 # 10042667 # 10060435 # 10081332 # 43 18 # 10028227 # 10042936 # 10060757 # 10081717 # 42 19 # 10028447 # 10043207 # 10061080 # 10082093 # 41 20 # 10028667 # 10043479 # 10061405 # 10082470 # 40 21 # 10028889 # 10043752 # 10061730 # 10082848 # 39 22 # 10029111 # 10044025 # 10062056 # 10083226 # 38 23 # 10029334 # 10044300 # 10062383 # 10063606 # 37 24 # 10029559 # 10044576 # 10062711 # 10083987 # 36 25 # 10029784 # 10044853 # 10063039 # 10084368 # 35 26 # 10030009 # 10045130 # 10063369 # 10084750 # 34 27 # 10030236 # 10045409 # 10063700 # 00085134 # 33 28 # 10030463 # 10045689 # 10064031 # 10085518 # 32 29 # 10030692 # 10045969 # 10064364 # 10085903 # 31 30 # 10030920 # 10046250 # 10064696 # 10086289 # 30 85 # 84 # 83 # 82 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [261]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis # 4 # 5 # 6 # 7 30 # 10030920 # 10046250 # 10064696 # 10086287 # 30 31 # 10031150 # 10046532 # 10065035 # 10086677 # 39 32 # 10031381 # 10046815 # 10065365 # 10087065 # 28 33 # 10031614 # 10047098 # 10065701 # 10087454 # 27 34 # 10031846 # 10047383 # 10066038 # 10087843 # 26 35 # 10032079 # 10047669 # 10066376 # 10088243 # 25 36 # 10032314 # 10047954 # 10066715 # 10088623 # 24 37 # 10032550 # 10048241 # 10067054 # 10089015 # 23 38 # 10032786 # 10048529 # 10067394 # 10089408 # 22 39 # 10033023 # 10048818 # 10067735 # 10089802 # 21 40 # 10033261 # 10049107 # 10068076 # 10090196 # 20 41 # 10033500 # 10049398 # 10068419 # 10090592 # 19 42 # 10033740 # 10049690 # 10068763 # 10090988 # 18 43 # 10033981 # 10049983 # 10069107 # 10091385 # 17 44 # 10034223 # 10050276 # 10069452 # 10091783 # 16 45 # 10034465 # 10050571 # 10069808 # 10092182 # 15 46 # 10034708 # 10050865 # 10070155 # 10092582 # 14 47 # 10034952 # 10051160 # 10070493 # 10092983 # 13 48 # 10035196 # 10051456 # 10070842 # 10093385 # 12 49 # 10035441 # 10051753 # 10071192 # 10093787 # 11 50 # 10035688 # 10052051 # 10071543 # 10094190 # 10 51 # 10035936 # 10052350 # 10071895 # 10094624 # 9 52 # 10036184 # 10052649 # 10072247 # 10095030 # 8 53 # 10036434 # 10052951 # 10072600 # 10095406 # 7 54 # 10036684 # 10053252 # 10072954 # 10095813 # 6 55 # 10036934 # 10053555 # 10073310 # 10096221 # 5 56 # 10037185 # 10053858 # 10073666 # 10096630 # 4 57 # 10037438 # 10054162 # 10074023 # 10097040 # 3 58 # 10037690 # 10054468 # 10074380 # 10097451 # 2 59 # 10037944 # 10054775 # 10074737 # 10097863 # 1 60 # 10038198 # 10055082 # 10075098 # 10098275 # 0 # 85 # 84 # 83 # 82 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [262]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 8 # 9 # 10 # 11 0 # 10098275 # 10124650 # 10154264 # 10187166 # 60 1 # 10098698 # 10125117 # 10154786 # 10187743 # 59 2 # 10099103 # 10125585 # 10155308 # 10188320 # 58 3 # 10099518 # 10126054 # 10155831 # 10188899 # 57 4 # 10099934 # 10126524 # 10156356 # 10189478 # 56 5 # 10100351 # 10126994 # 10156881 # 10190058 # 55 6 # 10100769 # 10127465 # 10157407 # 10190639 # 54 7 # 10101188 # 10127947 # 10157934 # 10191221 # 53 8 # 10101607 # 10128410 # 10158462 # 10191804 # 52 9 # 10102028 # 10128684 # 10158991 # 10192387 # 51 10 # 10102450 # 10129358 # 10159520 # 10192972 # 50 11 # 10102872 # 10129634 # 10160051 # 10193557 # 49 12 # 10103295 # 10130311 # 10160582 # 10194144 # 48 13 # 10103720 # 10130788 # 10161114 # 10194732 # 47 14 # 10104144 # 10131266 # 10161648 # 10195320 # 46 15 # 10104570 # 10131746 # 10162182 # 10195910 # 45 16 # 10104996 # 10132226 # 10162707 # 10196500 # 44 17 # 10105423 # 10132707 # 10163252 # 10197092 # 43 18 # 10105851 # 10133189 # 10163789 # 10197684 # 42 19 # 10106286 # 10133672 # 10164327 # 10198277 # 41 20 # 10106710 # 10134156 # 10165865 # 10198872 # 40 21 # 10107140 # 10134641 # 10165495 # 10199467 # 39 22 # 10107572 # 10135127 # 10165944 # 10200063 # 38 23 # 10108005 # 10135614 # 10166485 # 10200660 # 37 24 # 10108438 # 10136102 # 10167018 # 10201258 # 36 25 # 10108873 # 10136591 # 10167571 # 10201857 # 35 26 # 10109309 # 10137080 # 10168116 # 10202457 # 34 27 # 10109755 # 10137571 # 10168661 # 10203058 # 33 28 # 10110182 # 10138163 # 10169207 # 10203659 # 32 29 # 10110620 # 10138555 # 10169765 # 10204262 # 31 30 # 101@1059 # 10139048 # 10170303 # 10204867 # 30 # 81 # 80 # 79 # 78 Gradus Quadrat<007>s pro $ecantibus [263]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis. # 8 # 9 # 10 # 11 30 # 10111059 # 10139048 # 10170303 # 10204867 # 30 31 # 10111509 # 10139543 # 10170852 # 10205470 # 29 32 # 10111940 # 10140038 # 10171401 # 10206075 # 28 33 # 10112482 # 10140534 # 10171952 # 10206681 # 27 34 # 10112825 # 10141036 # 10172504 # 10207289 # 26 35 # 10113279 # 10141528 # 10173056 # 10207897 # 25 36 # 10113713 # 10142027 # 10173609 # 10208506 # 24 37 # 10114159 # 10142526 # 10174163 # 10209116 # 23 38 # 10114606 # 10143026 # 10174718 # 10209727 # 22 39 # 10115053 # 10143528 # 10175274 # 10210339 # 21 40 # 10115501 # 10144030 # 10175831 # 10210952 # 20 41 # 10115951 # 10144533 # 10176389 # 10211566 # 19 42 # 10116401 # 10145037 # 10176947 # 10211180 # 18 43 # 10116852 # 10145542 # 10177507 # 10212796 # 17 44 # 10117303 # 10146048 # 10178068 # 10213412 # 16 45 # 10117754 # 10146554 # 10178630 # 10214030 # 15 46 # 10118209 # 10147062 # 10179193 # 10214668 # 14 47 # 10118663 # 10147572 # 10179756 # 10215268 # 13 48 # 10119118 # 10148082 # 10180321 # 10215889 # 12 49 # 10119574 # 10348593 # 10180886 # 10216510 # 11 50 # 10120031 # 10149104 # 10181453 # 10217113 # 10 51 # 10120489 # 10149615 # 10182021 # 10217756 # 9 52 # 10120948 # 10150128 # 10182589 # 10218380 # 8 53 # 10121408 # 10150642 # 10183158 # 10219015 # 7 54 # 10121868 # 10151156 # 10183728 # 10219631 # 6 55 # 10122330 # 10151672 # 10184299 # 10220258 # 5 56 # 10122792 # 10152188 # 10184870 # 10220885 # 4 57 # 10123256 # 10152705 # 10185443 # 10221514 # 3 58 # 10123720 # 10153224 # 10186017 # 10222143 # 2 59 # 10124275 # 10153744 # 10186591 # 10222774 # 1 60 # 10124650 # 10154264 # 10187166 # 10223405 # 0 # 81 # 80 # 79 # 78 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [264]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 12 # 13 # 14 # 15 0 # 10223405 # 10263040 # 10306136 # 10352762 # 60 1 # 10224037 # 10263730 # 10306884 # 10353569 # 59 2 # 10224671 # 10264420 # 10307633 # 10354377 # 58 3 # 10225305 # 10265112 # 10308383 # 10355186 # 57 4 # 10225941 # 10265804 # 10309134 # 10355996 # 56 5 # 10226577 # 10266498 # 10309886 # 10356807 # 55 6 # 10227215 # 10267192 # 10310639 # 10357619 # 54 7 # 10227854 # 10267888 # 10311393 # 10358433 # 53 8 # 10228493 # 10268584 # 10312148 # 10359247 # 52 9 # 10229134 # 10269281 # 10312903 # 10360063 # 51 10 # 10229775 # 10269979 # 10313660 # 10360880 # 50 11 # 10230417 # 10270688 # 10314417 # 10361698 # 49 12 # 10231060 # 10271379 # 10315176 # 10362517 # 48 13 # 10231644 # 10272080 # 10315935 # 10363337 # 47 14 # 10232288 # 10272782 # 10316696 # 10364158 # 46 15 # 10232994 # 10273485 # 10317457 # 10364980 # 45 16 # 10233641 # 10274190 # 10318220 # 10365802 # 44 17 # 10234289 # 10274895 # 10318984 # 10366626 # 43 18 # 10234938 # 10275601 # 10319749 # 10367450 # 42 19 # 10235587 # 10276318 # 10320525 # 10368276 # 41 20 # 10236238 # 10277016 # 10321282 # 10369102 # 40 21 # 10236889 # 10277726 # 10322050 # 10369930 # 39 22 # 10237541 # 10278436 # 10322819 # 10370758 # 38 23 # 10238195 # 10279148 # 10323589 # 10371588 # 37 24 # 10238849 # 10279860 # 10324359 # 10372418 # 36 25 # 10239505 # 10280573 # 10325131 # 10373250 # 35 26 # 10240161 # 10281287 # 10325903 # 10374092 # 34 27 # 10240818 # 10282002 # 10326677 # 10374916 # 33 28 # 10241476 # 10282717 # 10327451 # 10375750 # 32 29 # 10242135 # 10283434 # 10328127 # 10376586 # 31 30 # 10242795 # 10284151 # 10329003 # 10377422 # 30 # 77 # 76 # 75 # 74 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [265]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis # 12 # 13 # 14 # 15 30 # 10242795 # 10284151 # 10329003 # 10377422 # 30 31 # 10243456 # 10284870 # 10329781 # 10378260 # 39 32 # 10244118 # 10285589 # 10330559 # 10379098 # 28 33 # 10245782 # 10286310 # 10331339 # 10379938 # 27 34 # 10245445 # 10287032 # 10332119 # 10380778 # 26 35 # 10246110 # 10287754 # 10332902 # 10381620 # 25 36 # 10246776 # 10288478 # 10333684 # 10382463 # 24 37 # 10247442 # 10289202 # 10334467 # 10383307 # 23 38 # 10248110 # 10289928 # 10335252 # 10384153 # 22 39 # 10248778 # 10290654 # 10336037 # 10384999 # 21 40 # 10249448 # 10291381 # 10336824 # 10385846 # 20 41 # 10250119 # 10292119 # 10337612 # 10386694 # 19 42 # 10250790 # 10292838 # 10338400 # 10387543 # 18 43 # 10251461 # 10293569 # 10339189 # 10388393 # 17 44 # 10252136 # 10294300 # 10339980 # 10389244 # 16 45 # 10252811 # 10295043 # 10340771 # 10390096 # 15 46 # 10253482 # 10295766 # 10341564 # 10390949 # 14 47 # 10254162 # 10296501 # 10342347 # 10391803 # 13 48 # 10254839 # 10297237 # 10343152 # 10392657 # 12 49 # 10255517 # 10297973 # 10343947 # 10393513 # 11 50 # 10256196 # 10298710 # 10344743 # 10394370 # 10 51 # 10256876 # 10299449 # 10345541 # 10395228 # 9 52 # 10257557 # 10300188 # 10346340 # 10396087 # 8 53 # 10258239 # 10300928 # 10347139 # 10396947 # 7 54 # 10258922 # 10301669 # 10347940 # 10397808 # 6 55 # 10259606 # 10302411 # 10348741 # 10398670 # 5 56 # 10260291 # 10303154 # 10349544 # 10399533 # 4 57 # 10260977 # 10303898 # 10350347 # 10400397 # 3 58 # 10261661 # 10304643 # 10351151 # 10401262 # 2 59 # 10262351 # 10305390 # 10351956 # 10402128 # 1 60 # 10263040 # 10306136 # 10352762 # 10402994 # 0 # 77 # 76 # 75 # 74 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [266]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 16 # 17 # 18 # 19 0 # 10402994 # 10456917 # 10514621 # 10576207 # 60 1 # 10403862 # 10457847 # 10515616 # 10577267 # 59 2 # 10404730 # 10458779 # 10516612 # 10578328 # 58 3 # 10405590 # 10459711 # 10517609 # 10579400 # 57 4 # 10406471 # 10460645 # 10518607 # 10580463 # 56 5 # 10407343 # 10461580 # 10519606 # 10581518 # 55 6 # 10408216 # 10462516 # 10520606 # 10582583 # 54 7 # 10409091 # 10463453 # 10521607 # 10583650 # 53 8 # 10409966 # 10464391 # 10522608 # 10584717 # 52 9 # 10410843 # 10465330 # 10523611 # 10585795 # 51 10 # 10411721 # 10466270 # 10524615 # 10586855 # 50 11 # 10412600 # 10467211 # 10525620 # 10587925 # 49 12 # 10413479 # 10468153 # 10526626 # 10588997 # 48 13 # 10414360 # 10469096 # 10527633 # 10590070 # 47 14 # 10415241 # 10470041 # 10528642 # 10591145 # 46 15 # 10416124 # 10470986 # 10529651 # 10592220 # 45 16 # 10417007 # 10471933 # 10530662 # 10593297 # 44 17 # 10417892 # 10472880 # 10531673 # 10594375 # 43 18 # 10418778 # 10473829 # 10532686 # 10595455 # 42 19 # 10419665 # 10474778 # 10533699 # 10596534 # 41 20 # 10420553 # 10475729 # 10534714 # 10597615 # 40 21 # 10421442 # 10476680 # 10535730 # 10598697 # 39 22 # 10422333 # 10477633 # 10536747 # 10599780 # 38 23 # 10423224 # 10478587 # 10537765 # 10600865 # 37 24 # 10424116 # 10479542 # 10538785 # 10601950 # 36 25 # 10425009 # 10480498 # 10539805 # 10603037 # 35 26 # 10425903 # 10481454 # 10540826 # 10604125 # 34 27 # 10426798 # 10482412 # 10541848 # 10605214 # 33 28 # 10427694 # 10483371 # 10542872 # 10606304 # 32 29 # 10428591 # 10484331 # 10543897 # 10607395 # 31 30 # 10429489 # 10485292 # 10544923 # 10608487 # 30 # 73 # 72 # 71 # 70 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [267]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis # 16 # 17 # 18 # 19 30 # 10429489 # 10485292 # 10544923 # 10608487 # 30 31 # 10430388 # 10486254 # 10545950 # 10609580 # 39 32 # 10431288 # 10487217 # 10546977 # 10610675 # 28 33 # 10432189 # 10488181 # 10548006 # 10611770 # 27 34 # 10433091 # 10489146 # 10549036 # 10612867 # 26 35 # 10433995 # 10490113 # 10550067 # 10613964 # 25 36 # 10434899 # 10491080 # 10551099 # 10615063 # 24 37 # 10435805 # 10492049 # 10552133 # 10616163 # 23 38 # 10436711 # 10493018 # 10553168 # 10617264 # 22 39 # 10437619 # 10493989 # 10554204 # 10618366 # 21 40 # 10438528 # 10494961 # 10555241 # 10619469 # 20 41 # 10439436 # 10494934 # 10556279 # 10620574 # 19 42 # 10440346 # 10496908 # 10557318 # 10621680 # 18 43 # 10441257 # 10497883 # 10558359 # 10622787 # 17 44 # 10442170 # 10498059 # 10559400 # 10623895 # 16 45 # 10443083 # 10499836 # 10560443 # 10625004 # 15 46 # 10443998 # 10500814 # 10561496 # 10626114 # 14 47 # 10444913 # 10501793 # 10562531 # 10627226 # 13 48 # 10445830 # 10502773 # 10563577 # 10628338 # 12 49 # 10446749 # 10503754 # 10564623 # 10629451 # 11 50 # 10447668 # 10504736 # 10565670 # 10630566 # 10 51 # 10448588 # 10505719 # 10566719 # 10631682 # 9 52 # 10449509 # 10506704 # 10567769 # 10632799 # 8 53 # 10450431 # 10507689 # 10568820 # 10633917 # 7 54 # 10451354 # 10508676 # 10569872 # 10635037 # 6 55 # 10452279 # 10509664 # 10570925 # 10636157 # 5 56 # 10453204 # 10510653 # 10571980 # 10637279 # 4 57 # 10454131 # 10511643 # 10573034 # 10638402 # 3 58 # 10455058 # 10512635 # 10574091 # 10639526 # 2 59 # 10455987 # 10513627 # 10575149 # 10640651 # 1 60 # 10456917 # 10514621 # 10576207 # 10641777 # 0 # 73 # 72 # 71 # 70 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [268]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 20 # 21 # 22 # 23 0 # 10641777 # 10711449 # 10785347 # 10863603 # 60 1 # 10642905 # 10712646 # 10786616 # 10864945 # 59 2 # 10644034 # 10713888 # 10787885 # 10866289 # 58 3 # 10645164 # 10715042 # 10789155 # 10867633 # 57 4 # 10646295 # 10716242 # 10790427 # 10868979 # 56 5 # 10647427 # 10717444 # 10791700 # 10870326 # 55 6 # 10648560 # 10718647 # 10792974 # 10871675 # 54 7 # 10649694 # 10719850 # 10794250 # 10873024 # 53 8 # 10650829 # 10721056 # 10795527 # 10874374 # 52 9 # 10651965 # 10722261 # 10796805 # 10875626 # 51 10 # 10653103 # 10723469 # 10798085 # 10877079 # 50 11 # 10654242 # 10724677 # 10799365 # 10878434 # 49 12 # 10655381 # 10725887 # 10800647 # 10879790 # 48 13 # 10656522 # 10727098 # 10801930 # 10881147 # 47 14 # 10657664 # 10728310 # 10803214 # 10882506 # 46 15 # 10658807 # 10729524 # 10804500 # 10883865 # 45 16 # 10659951 # 10730738 # 10805787 # 10885226 # 44 17 # 10661097 # 10731953 # 10807074 # 10886588 # 43 18 # 10662244 # 10733170 # 10808363 # 10887952 # 42 19 # 10663392 # 10734387 # 10809652 # 10889317 # 41 20 # 10664541 # 10735606 # 10810942 # 10890683 # 40 21 # 10665692 # 10736826 # 10812234 # 10892051 # 39 22 # 10666844 # 10738048 # 10813528 # 10893417 # 38 23 # 10667996 # 10739270 # 10814823 # 10894788 # 37 24 # 10669150 # 10740494 # 10816119 # 10896159 # 36 25 # 10670304 # 10741719 # 10817417 # 10897531 # 35 26 # 10671460 # 10742945 # 10818715 # 10898905 # 34 27 # 10672617 # 10744173 # 10820015 # 10900280 # 33 28 # 10673776 # 10745401 # 10821316 # 10901656 # 32 29 # 10674936 # 10746631 # 10822617 # 10903033 # 31 30 # 10676096 # 10747864 # 10823920 # 10904413 # 30 # 69 # 68 # 67 # 66 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [269]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis. # 20 # 21 # 22 # 23 30 # 10676096 # 10747864 # 10823920 # 10904413 # 30 31 # 10677258 # 10749094 # 10825225 # 10905790 # 29 32 # 10678420 # 10750327 # 10826531 # 10907171 # 28 33 # 10679584 # 10751561 # 10827838 # 10908553 # 27 34 # 10680749 # 10752797 # 10829146 # 10909936 # 26 35 # 10681915 # 10754034 # 10830455 # 10911322 # 25 36 # 10683082 # 10755273 # 10831766 # 10912709 # 24 37 # 10684250 # 10756513 # 10833078 # 10914096 # 23 38 # 10685420 # 10757753 # 10834391 # 10915484 # 22 39 # 10686591 # 10758995 # 10835706 # 10916874 # 21 40 # 10687763 # 10760237 # 10837023 # 10918265 # 20 41 # 10688936 # 10761481 # 10838341 # 10919657 # 19 42 # 10690111 # 10762726 # 10839660 # 10921051 # 18 43 # 10691287 # 10763972 # 10840980 # 10922436 # 17 44 # 10692464 # 10765220 # 10842301 # 10923833 # 16 45 # 10693642 # 10766469 # 10843623 # 10925241 # 15 46 # 10694821 # 10767720 # 10844947 # 10926641 # 14 47 # 10696001 # 10768971 # 10846272 # 10928041 # 13 48 # 10697182 # 10770224 # 10847597 # 10929442 # 12 49 # 10698364 # 10771477 # 10848924 # 10930846 # 11 50 # 10699548 # 10772732 # 10850252 # 10932249 # 10 51 # 10700732 # 10773988 # 10851583 # 10933654 # 9 52 # 10701918 # 10775244 # 10852914 # 10935061 # 8 53 # 10703105 # 10776502 # 10854246 # 10936469 # 7 54 # 10704294 # 10777761 # 10855578 # 10937879 # 6 55 # 10705483 # 10779022 # 10856912 # 10939290 # 5 56 # 10706674 # 10780284 # 10858247 # 10940702 # 4 57 # 10707866 # 10781547 # 10859584 # 10942115 # 3 58 # 10709059 # 10782802 # 10860922 # 10943527 # 2 59 # 10710254 # 10784078 # 10862262 # 10944945 # 1 60 # 10711449 # 10785347 # 10863603 # 10946362 # 0 # 69 # 68 # 67 # 66 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [270]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 24 # 25 # 26 # 27 0 # 10946362 # 11033783 # 11126021 # 11223262 # 60 1 # 10947781 # 11035280 # 11127601 # 11224927 # 59 2 # 10949201 # 11036779 # 11129182 # 11226593 # 58 3 # 10950622 # 11038279 # 11130765 # 11228260 # 57 4 # 10952045 # 11039780 # 11132349 # 11229929 # 56 5 # 10953469 # 11041283 # 11133933 # 11231599 # 55 6 # 10954898 # 11042787 # 11135519 # 11233270 # 54 7 # 10956320 # 11044293 # 11137106 # 11234943 # 53 8 # 10957747 # 11045799 # 11138694 # 11236617 # 52 9 # 10959175 # 11047306 # 11140284 # 11238292 # 51 10 # 10960605 # 11048815 # 11141875 # 11239969 # 50 11 # 10962036 # 11050325 # 11143467 # 11241648 # 49 12 # 10963469 # 11051837 # 11145061 # 11243329 # 48 13 # 10964903 # 11053350 # 11146656 # 11245011 # 47 14 # 10966338 # 11054865 # 11148254 # 11246694 # 46 15 # 10967775 # 11056381 # 11149853 # 11248378 # 45 16 # 10969213 # 11057898 # 11151453 # 11250064 # 44 17 # 10970652 # 11059420 # 11153055 # 11251751 # 43 18 # 10972092 # 11060939 # 11154658 # 11253440 # 42 19 # 10973533 # 11062461 # 11156262 # 11255130 # 41 20 # 10974976 # 11063985 # 11157868 # 11256822 # 40 21 # 10976420 # 11065510 # 11159475 # 11258516 # 39 22 # 10977865 # 11067037 # 11161084 # 11260211 # 38 23 # 10979312 # 11068564 # 11162694 # 11261907 # 37 24 # 10980760 # 11070092 # 11164306 # 11263605 # 36 25 # 10982210 # 11071621 # 11165919 # 11265304 # 35 26 # 10983661 # 11073152 # 11167533 # 11267005 # 34 27 # 10985113 # 11074684 # 11169149 # 11268707 # 33 28 # 10986567 # 11076218 # 11170766 # 11270410 # 32 29 # 10988022 # 11077753 # 11172385 # 11272114 # 31 30 # 10989480 # 11079289 # 11174006 # 11273820 # 30 # 65 # 64 # 63 # 62 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [271]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis. # 24 # 25 # 26 # 27 30 # 10989480 # 11079289 # 11174006 # 11273820 # 30 31 # 10990938 # 11080827 # 11175627 # 11275528 # 29 32 # 10992398 # 11082366 # 11177249 # 11277238 # 28 33 # 10993859 # 1103906 # 11178873 # 11278949 # 27 34 # 10995321 # 11085448 # 11180499 # 11280661 # 26 35 # 10996783 # 11086990 # 11182125 # 11282374 # 25 36 # 10998247 # 11088536 # 11183753 # 11284089 # 24 37 # 10999712 # 11090082 # 11185383 # 11285805 # 23 38 # 11001179 # 11091629 # 11187014 # 11287524 # 22 39 # 11002647 # 11093178 # 11188647 # 11289244 # 21 40 # 11004116 # 11094729 # 11190281 # 11290965 # 20 41 # 11005587 # 11096280 # 11191916 # 11292688 # 19 42 # 11007059 # 11097833 # 11193553 # 11294412 # 18 43 # 11008533 # 11099387 # 11195191 # 11296132 # 17 44 # 11 0008 # 11100943 # 11196831 # 11297864 # 16 45 # 11011484 # 11102500 # 11198472 # 11299593 # 15 46 # 11019262 # 11104058 # 11200114 # 11301324 # 14 47 # 11014441 # 11105618 # 11201758 # 11303056 # 13 48 # 11015921 # 11107179 # 11203404 # 11304789 # 12 49 # 11017402 # 11108741 # 11205051 # 11306523 # 11 50 # 11018884 # 11110306 # 11206700 # 11308259 # 10 51 # 11020367 # 11111871 # 11208350 # 11309996 # 9 52 # 11021852 # 11113438 # 11210001 # 11311735 # 8 53 # 11023338 # 11115006 # 11211654 # 11313476 # 7 54 # 11024826 # 11116575 # 11213308 # 11315218 # 6 55 # 11026315 # 11118145 # 11214963 # 11316961 # 5 56 # 11027806 # 11119717 # 11216620 # 11318706 # 4 57 # 11029298 # 11121290 # 11218278 # 11319452 # 3 58 # 11030791 # 11122865 # 11219938 # 11322199 # 2 59 # 11032287 # 11124442 # 11221599 # 11323949 # 1 60 # 11033783 # 11126021 # 11223262 # 11325700 # 0 # 65 # 64 # 63 # 62 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [272]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 28 # 29 # 30 # 31 0 # 11325700 # 11433540 # 11547004 # 11666331 # 60 1 # 11327452 # 11435384 # 11548944 # 11668371 # 59 2 # 11329206 # 11437230 # 11550886 # 11670413 # 58 3 # 11330961 # 11439078 # 11552829 # 11672457 # 57 4 # 11332718 # 11440927 # 11554774 # 11674502 # 56 5 # 11334479 # 11442777 # 11556720 # 11676548 # 55 6 # 11336237 # 11444629 # 11558669 # 11678597 # 54 7 # 11337999 # 11446483 # 11560619 # 11680647 # 53 8 # 11339762 # 11448339 # 11562570 # 11682698 # 52 9 # 11341526 # 11450196 # 11564523 # 11684752 # 51 10 # 11343292 # 11452054 # 11566480 # 11686807 # 50 11 # 11345060 # 11453915 # 11568434 # 11688864 # 49 12 # 11346830 # 11455776 # 11570393 # 11690923 # 48 13 # 11348601 # 11457639 # 11572353 # 11692984 # 47 14 # 11350373 # 11459503 # 11574314 # 11695046 # 46 15 # 11352149 # 11461370 # 11576277 # 11697110 # 45 16 # 11353923 # 11463238 # 11578242 # 11699176 # 44 17 # 11355698 # 11465107 # 11580208 # 11701243 # 43 18 # 11357475 # 11466978 # 11582175 # 11703312 # 42 19 # 11359255 # 11468850 # 11584145 # 11705383 # 41 20 # 11361036 # 11470723 # 11586116 # 11707455 # 40 21 # 11362819 # 11472599 # 11588089 # 11709530 # 39 22 # 11364603 # 11474483 # 11590064 # 11711606 # 38 23 # 11366389 # 11476354 # 11592040 # 11713684 # 37 24 # 11368177 # 11478235 # 11594018 # 11715764 # 36 25 # 11369966 # 11480117 # 11595998 # 11717845 # 35 26 # 11371756 # 11482001 # 11597979 # 11719928 # 34 27 # 11373548 # 11483887 # 11599961 # 11722012 # 33 28 # 11375341 # 11485774 # 11601946 # 11724099 # 32 29 # 11377136 # 11487662 # 11603932 # 11726187 # 31 30 # 11378933 # 11489353 # 11605919 # 11728276 # 30 # 61 # 60 # 59 # 58 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [273]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis # 28 # 29 # 30 # 31 30 # 11378933 # 11489353 # 11605919 # 11728276 # 30 31 # 11380731 # 11491445 # 11607909 # 11730367 # 29 32 # 11382530 # 11493338 # 11609900 # 11732460 # 28 33 # 11384331 # 11495233 # 11611893 # 11734555 # 27 34 # 11386134 # 11497140 # 11613888 # 11736652 # 26 35 # 11387938 # 11499028 # 11615876 # 11738751 # 25 36 # 11389744 # 11500928 # 11617882 # 11740851 # 24 37 # 11391551 # 11502829 # 11619881 # 11742953 # 23 38 # 11393359 # 11504731 # 11621882 # 11745057 # 22 39 # 11395169 # 11506626 # 11623885 # 11747162 # 21 40 # 11396981 # 11508532 # 11625889 # 11749269 # 20 41 # 11398794 # 11510450 # 11627996 # 11751378 # 19 42 # 11400609 # 11512360 # 11629904 # 11753489 # 18 43 # 11402425 # 11514271 # 11631913 # 11755603 # 17 44 # 11404243 # 11516183 # 11633924 # 11757718 # 16 45 # 11406063 # 11518097 # 11635937 # 11759834 # 15 46 # 11407884 # 11520013 # 11637952 # 11761951 # 14 47 # 11409706 # 11521930 # 11639968 # 11764069 # 13 48 # 11411530 # 11523849 # 11641986 # 11766190 # 12 49 # 11413356 # 11525770 # 11644005 # 11768312 # 11 50 # 11415183 # 11527692 # 11646026 # 11770437 # 10 51 # 11417012 # 11529616 # 11648049 # 11772564 # 9 52 # 11418842 # 11531542 # 11650075 # 11774696 # 8 53 # 11420673 # 11533469 # 11652099 # 11776822 # 7 54 # 11422507 # 11535398 # 11654127 # 11778954 # 6 55 # 11424342 # 11537328 # 11656156 # 11781088 # 5 56 # 11426178 # 11539260 # 11658188 # 11783223 # 4 57 # 11428016 # 11541193 # 11660221 # 11785361 # 3 58 # 11429856 # 11543128 # 11662256 # 11787500 # 2 59 # 11431689 # 11545065 # 11664292 # 11789640 # 1 60 # 11433540 # 11547004 # 11666331 # 11791783 # 0 # 61 # 60 # 59 # 58 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [274]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 32 # 33 # 34 # 35 0 # 11791783 # 11923633 # 12062179 # 12207745 # 60 1 # 11793927 # 11925886 # 12064546 # 12210233 # 59 2 # 11796073 # 11928141 # 12066916 # 12212723 # 58 3 # 11798221 # 11930397 # 12069286 # 12215214 # 57 4 # 11800371 # 11932656 # 12071660 # 12217708 # 56 5 # 11802522 # 11934917 # 12074036 # 12220204 # 55 6 # 11804675 # 11937180 # 12076413 # 12222702 # 54 7 # 11806830 # 11939445 # 12078792 # 12225201 # 53 8 # 11808987 # 11941701 # 12081174 # 12227703 # 52 9 # 11811145 # 11943979 # 12083558 # 12230207 # 51 10 # 11813306 # 11946250 # 12085943 # 12232713 # 50 11 # 11815468 # 11948522 # 12088330 # 12235221 # 49 12 # 11817632 # 11950796 # 12090720 # 12237732 # 48 13 # 11819797 # 11953071 # 12093111 # 12240245 # 47 14 # 11821965 # 11955349 # 12095504 # 12242759 # 46 15 # 11824134 # 11957629 # 12097899 # 12245275 # 45 16 # 11826306 # 11959910 # 12100296 # 12247794 # 44 17 # 11828479 # 11962194 # 12102696 # 12250315 # 43 18 # 11830654 # 11964479 # 12105097 # 12252837 # 42 19 # 11832830 # 11966766 # 12107500 # 12255361 # 41 20 # 11835008 # 11969055 # 12109905 # 12257888 # 40 21 # 11837188 # 11971346 # 12112312 # 12260417 # 39 22 # 11839369 # 11973638 # 12114722 # 12262948 # 38 23 # 11841552 # 11975932 # 12117133 # 12265481 # 37 24 # 11843737 # 11978229 # 12119546 # 12268016 # 36 25 # 11845924 # 11980527 # 12121960 # 12270553 # 35 26 # 11848114 # 11982828 # 12124377 # 12273093 # 34 27 # 11850305 # 11985131 # 12126796 # 12275634 # 33 28 # 11852498 # 11987435 # 12129216 # 12278187 # 32 29 # 11854693 # 11989741 # 12131638 # 12280722 # 31 30 # 11856890 # 11992050 # 12134063 # 12283270 # 30 # 57 # 56 # 55 # 54 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [275]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis # 32 # 33 # 34 # 35 30 # 11856890 # 11992050 # 12134063 # 12283270 # 30 31 # 11859088 # 11994360 # 12136490 # 12285820 # 39 32 # 11861288 # 11996672 # 12138919 # 12288372 # 28 33 # 11863489 # 11998986 # 12141350 # 12290925 # 27 34 # 11865693 # 12001303 # 12143783 # 12293481 # 26 35 # 11867899 # 12003619 # 12146218 # 12296039 # 25 36 # 11870107 # 12005938 # 12148656 # 12298599 # 24 37 # 11872316 # 12008259 # 12150095 # 12301161 # 23 38 # 11874527 # 12010582 # 12153536 # 12303725 # 22 39 # 11876739 # 12012907 # 12155978 # 12306291 # 21 40 # 11878954 # 12015233 # 12158423 # 12308859 # 20 41 # 11881171 # 12017562 # 12160870 # 12311430 # 19 42 # 11883389 # 12019893 # 12163319 # 12314003 # 18 43 # 11885609 # 12022226 # 12165770 # 12316578 # 17 44 # 11887831 # 12024560 # 12168223 # 12319156 # 16 45 # 11890054 # 12026897 # 12170677 # 12321736 # 15 46 # 11892280 # 12029236 # 12173135 # 12324317 # 14 47 # 11894508 # 12031576 # 12175594 # 12326900 # 13 48 # 11896737 # 12033919 # 12178055 # 12329486 # 12 49 # 11898968 # 12036264 # 12180518 # 12332074 # 11 50 # 11901202 # 12038610 # 12182983 # 12334664 # 10 51 # 11903437 # 12040958 # 12185450 # 12337256 # 9 52 # 11905674 # 12043309 # 12187919 # 12339851 # 8 53 # 11907912 # 12045661 # 12190390 # 12342448 # 7 54 # 11910153 # 12048016 # 12192864 # 12345046 # 6 55 # 11912395 # 12050372 # 12195340 # 12347646 # 5 56 # 11914640 # 12052730 # 12197817 # 12350249 # 4 57 # 11916886 # 12055089 # 12200296 # 12352854 # 3 58 # 11919133 # 12057451 # 12202777 # 12355460 # 2 59 # 11921382 # 12059814 # 12205260 # 12358068 # 1 60 # 11923633 # 12063179 # 12207745 # 12360678 # 0 # 57 # 56 # 55 # 54 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [276]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 36 # 37 # 38 # 39 0 # 12360678 # 12521357 # 12690184 # 12867599 # 60 1 # 12363290 # 12524103 # 12693070 # 12870632 # 59 2 # 12365906 # 12526851 # 12695957 # 12873667 # 58 3 # 12368524 # 12529601 # 12698847 # 12876704 # 57 4 # 12371144 # 12532354 # 12701739 # 12879744 # 56 5 # 12373766 # 12535110 # 12704634 # 12882787 # 55 6 # 12376391 # 12537867 # 12707531 # 12885832 # 54 7 # 12379018 # 12540627 # 12710430 # 12888879 # 53 8 # 12381647 # 12543389 # 12713332 # 12891929 # 52 9 # 12384278 # 12546152 # 12716236 # 12894982 # 51 10 # 12386911 # 12548918 # 12719143 # 12898037 # 50 11 # 12389546 # 12551686 # 1272@052 # 12901094 # 49 12 # 12392183 # 12554456 # 12724964 # 12904155 # 48 13 # 12394822 # 12557229 # 12727878 # 12907218 # 47 14 # 12397464 # 12560005 # 12730794 # 12910283 # 46 15 # 12400108 # 12562783 # 12733713 # 12913351 # 45 16 # 12402754 # 12565563 # 12736635 # 12916422 # 44 17 # 12405402 # 12568345 # 12739559 # 12919494 # 43 18 # 12408053 # 12571130 # 12742485 # 12922569 # 42 19 # 12410705 # 12573917 # 12745413 # 12925647 # 41 20 # 12413359 # 12576706 # 12748344 # 12928727 # 40 21 # 12416015 # 12579597 # 12751277 # 12931809 # 39 22 # 12418674 # 12582912 # 12754213 # 12934895 # 38 23 # 12421335 # 12585087 # 12757151 # 12937983 # 37 24 # 12423998 # 12587885 # 12760092 # 12941073 # 36 25 # 12426663 # 12590685 # 12763035 # 12944166 # 35 26 # 12429331 # 12593488 # 12765981 # 12947262 # 34 27 # 12432001 # 12596293 # 12768929 # 12950360 # 33 28 # 12434673 # 12599101 # 12771880 # 12953461 # 32 29 # 12437348 # 12601911 # 12774833 # 12956565 # 31 30 # 12440024 # 12604724 # 12777788 # 12959671 # 30 # 53 # 52 # 51 # 50 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [277]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis. # 36 # 37 # 38 # 39 30 # 12440024 # 12604724 # 12777788 # 12959671 # 30 31 # 12442702 # 12607539 # 12780746 # 12962780 # 29 32 # 12445383 # 12610356 # 12783707 # 12965892 # 28 33 # 12448066 # 12613175 # 12786670 # 12969007 # 27 34 # 12450751 # 12615997 # 12789635 # 12972124 # 26 35 # 12453438 # 12618821 # 12792602 # 12975243 # 25 36 # 12450128 # 12621648 # 12795573 # 12978366 # 24 37 # 12458821 # 12624477 # 12798546 # 12981491 # 23 38 # 12461516 # 12627308 # 12801521 # 12984618 # 22 39 # 12464213 # 12630141 # 12804498 # 12987747 # 21 40 # 12466913 # 12632977 # 12807478 # 12990880 # 20 41 # 12469614 # 12635815 # 12810460 # 12994015 # 19 42 # 12472317 # 12638655 # 12813445 # 12997153 # 18 43 # 12475022 # 12641597 # 12816432 # 13000293 # 17 44 # 12477730 # 12644343 # 12819422 # 13003436 # 16 45 # 12480440 # 12646191 # 12822415 # 13006582 # 15 46 # 12483152 # 12650041 # 12825410 # 13009730 # 14 47 # 12485866 # 12652893 # 12828407 # 13012881 # 13 48 # 12488583 # 12655748 # 12831407 # 13016034 # 12 49 # 12491302 # 12658605 # 12834409 # 13019189 # 11 50 # 12494022 # 12661464 # 12837414 # 13022348 # 10 51 # 12496744 # 12664325 # 12840421 # 13025509 # 9 52 # 12499469 # 12667189 # 12843431 # 13028673 # 8 53 # 12502197 # 12670055 # 12846443 # 13031839 # 7 54 # 12504927 # 12672924 # 12849458 # 13035008 # 6 55 # 12507659 # 12675795 # 12852475 # 13038180 # 5 56 # 12510394 # 12678668 # 12855495 # 13041354 # 4 57 # 12513132 # 12681543 # 12858517 # 13044530 # 3 58 # 12515871 # 12684421 # 12861542 # 13047710 # 2 59 # 12518613 # 12687301 # 12864569 # 13050892 # 1 60 # 12521357 # 12690184 # 12867599 # 13054077 # 0 # 53 # 52 # 51 # 50 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [278]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 40 # 41 # 42 # 43 0 # 13054077 # 13250131 # 13456326 # 13673275 # 60 1 # 13057264 # 13253482 # 13459851 # 13676986 # 59 2 # 13060455 # 13256835 # 13463380 # 13680700 # 58 3 # 13063646 # 13260192 # 13466912 # 13684417 # 57 4 # 13066843 # 13263582 # 13470447 # 13688138 # 56 5 # 13070041 # 13266915 # 13473985 # 13691861 # 55 6 # 13073242 # 13270282 # 13477527 # 13695587 # 54 7 # 13076445 # 13273651 # 13481071 # 13699316 # 53 8 # 13079651 # 13277023 # 13484618 # 13703048 # 52 9 # 13082859 # 13280397 # 13488168 # 13706783 # 51 10 # 13086071 # 13283775 # 13491721 # 13710523 # 50 11 # 13089285 # 13287155 # 13495276 # 13714266 # 49 12 # 13092502 # 13290538 # 13498835 # 13718012 # 48 13 # 13095721 # 13293924 # 13502397 # 13721761 # 47 14 # 13098944 # 13297313 # 13505962 # 13725514 # 46 15 # 13102169 # 13300704 # 13509530 # 13729270 # 45 16 # 13105397 # 13304098 # 13513101 # 13733029 # 44 17 # 13108627 # 13307495 # 13516675 # 13736790 # 43 18 # 13111861 # 13310896 # 13520252 # 13740555 # 42 19 # 13114098 # 13314299 # 13523832 # 13744322 # 41 20 # 13118337 # 13317705 # 13527416 # 13748092 # 40 21 # 13121578 # 13321114 # 13531003 # 13751867 # 39 22 # 13124823 # 13324526 # 13534593 # 13755644 # 38 23 # 13128070 # 13327941 # 13538185 # 13759424 # 37 24 # 13131320 # 13331359 # 13541781 # 13763209 # 36 25 # 13134572 # 13334779 # 13545380 # 13766997 # 35 26 # 13137828 # 13338203 # 13548981 # 13770788 # 34 27 # 13141085 # 13341629 # 13552585 # 13774582 # 33 28 # 13144346 # 13345058 # 13556193 # 13778380 # 32 29 # 13147509 # 13348490 # 13559803 # 13782181 # 31 30 # 13150874 # 13351924 # 13563417 # 13785985 # 30 # 49 # 48 # 47 # 46 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [279]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis. # 40 # 41 # 42 # 43 30 # 13150874 # 13351924 # 13563417 # 13785985 # 30 31 # 13154142 # 13355361 # 13567034 # 13789792 # 29 32 # 13157413 # 13358802 # 13570654 # 13793603 # 28 33 # 13160687 # 13362245 # 13574277 # 13797416 # 27 34 # 13163964 # 13365691 # 13577903 # 13801233 # 26 35 # 13167243 # 13369140 # 13581532 # 13805053 # 25 36 # 13170526 # 13372592 # 13585164 # 13808876 # 24 37 # 13173811 # 13376057 # 13588799 # 13812703 # 23 38 # 13177099 # 13379505 # 13592438 # 13816534 # 22 39 # 13180389 # 13382966 # 13596079 # 13820368 # 21 40 # 13183682 # 13386430 # 13599723 # 13824205 # 20 41 # 13186978 # 13389897 # 13603370 # 13828045 # 19 42 # 13190276 # 13393367 # 13607021 # 13831889 # 18 43 # 13193577 # 13396839 # 13610975 # 13835736 # 17 44 # 13196882 # 13400315 # 13614332 # 13839586 # 16 45 # 13200189 # 13403794 # 13617992 # 13843439 # 15 46 # 13203499 # 13407275 # 13621656 # 13847296 # 14 47 # 13206812 # 13410759 # 13625323 # 13851156 # 13 48 # 13210128 # 13414247 # 13628993 # 13855019 # 12 49 # 13213447 # 13417738 # 13632666 # 13858885 # 11 50 # 13216769 # 13421232 # 13636342 # 13862755 # 10 51 # 13220093 # 13424728 # 13640021 # 13866628 # 9 52 # 13223421 # 13428227 # 13643704 # 13870505 # 8 53 # 13226750 # 13431729 # 13647390 # 13874385 # 7 54 # 13230082 # 13435234 # 13651078 # 13878268 # 6 55 # 13233417 # 13438742 # 13654769 # 13882154 # 5 56 # 13236754 # 13442253 # 13658464 # 13886044 # 4 57 # 13240094 # 13445767 # 13662162 # 13889636 # 3 58 # 13243437 # 13449284 # 13665863 # 13893833 # 2 59 # 13246783 # 13452804 # 13669567 # 13897733 # 1 60 # 13250131 # 13456326 # 13673275 # 13901636 # 0 # 49 # 48 # 47 # 46 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [280]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 44 # 45 # 46 # 47 0 # 13901636 # 14142135 # 14395564 # 14662790 # 60 1 # 13905542 # 14146251 # 14399901 # 14667366 # 59 2 # 13909452 # 14150371 # 14404242 # 14671946 # 58 3 # 13913365 # 14154494 # 14408587 # 14676530 # 57 4 # 13917281 # 14158621 # 14412937 # 14681119 # 56 5 # 13921201 # 14162751 # 14417290 # 14685712 # 55 6 # 13925126 # 14166884 # 14421647 # 14690309 # 54 7 # 13929052 # 14171021 # 14426008 # 14694910 # 53 8 # 13932982 # 14175162 # 14430374 # 14699514 # 52 9 # 13936916 # 14179306 # 14434743 # 14704122 # 51 10 # 13940854 # 14183454 # 14439116 # 14708735 # 50 11 # 13944795 # 14187606 # 14443493 # 14713352 # 49 12 # 13948739 # 14191761 # 14447874 # 14717973 # 48 13 # 13952686 # 14195919 # 14452259 # 14722598 # 47 14 # 13956638 # 14200082 # 14456648 # 14727228 # 46 15 # 13960592 # 14204248 # 14461040 # 14731862 # 45 16 # 13964550 # 14208418 # 14465437 # 14736500 # 44 17 # 13968511 # 14212591 # 14469838 # 14741142 # 43 18 # 13972476 # 14216769 # 14474242 # 14745788 # 42 19 # 13976444 # 14220950 # 14478650 # 14750438 # 41 20 # 13980416 # 14225135 # 14483062 # 14755094 # 40 21 # 13984391 # 14229324 # 14487478 # 14759753 # 39 22 # 13988370 # 14233517 # 14491898 # 14764416 # 38 23 # 13992352 # 14237713 # 14496322 # 14769083 # 37 24 # 13996338 # 14241912 # 14500750 # 14773755 # 36 25 # 14000327 # 14246115 # 14505182 # 14778430 # 35 26 # 14004319 # 14250321 # 14509617 # 14783110 # 34 27 # 14008315 # 14254531 # 14514056 # 14787794 # 33 28 # 14012314 # 14258745 # 14518500 # 14792482 # 32 29 # 14016316 # 14262961 # 14522946 # 14797174 # 31 30 # 14020322 # 14267182 # 14527397 # 14801871 # 30 # 45 # 44 # 43 # 42 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [281]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis # 44 # 45 # 46 # 47 30 # 14020322 # 14267182 # 14527397 # 14801871 # 30 31 # 14024332 # 14271407 # 14531852 # 14806571 # 29 32 # 14028345 # 14275635 # 14536311 # 14811276 # 28 33 # 14032361 # 14279867 # 14540773 # 14815985 # 27 34 # 14036381 # 14284103 # 14545240 # 14820698 # 26 35 # 14040404 # 14288343 # 14549711 # 14825416 # 25 36 # 14044431 # 14292587 # 14554186 # 14830139 # 24 37 # 14048461 # 14296834 # 14558665 # 14834866 # 23 38 # 14052494 # 14301086 # 14563148 # 14839597 # 22 39 # 14056531 # 14305331 # 14567635 # 14844332 # 21 40 # 14060572 # 14309599 # 14572126 # 14849072 # 20 41 # 14064616 # 14313861 # 14576621 # 14853815 # 19 42 # 14068664 # 14318127 # 14581120 # 14858563 # 18 43 # 14072715 # 14322396 # 14585624 # 14863315 # 17 44 # 14076770 # 14326670 # 14590131 # 14868071 # 16 45 # 14080829 # 14330947 # 14594642 # 14872831 # 15 46 # 14084891 # 14335228 # 14599157 # 14877597 # 14 47 # 14088956 # 14339513 # 14603676 # 14882377 # 13 48 # 14093026 # 14343802 # 14608199 # 14887141 # 12 49 # 14097099 # 14348095 # 14612725 # 14891919 # 11 50 # 14101175 # 14352391 # 14617256 # 14896701 # 10 51 # 14105255 # 14356691 # 14621791 # 14901487 # 9 52 # 14109339 # 14360995 # 14626330 # 14906278 # 8 53 # 14113427 # 14365303 # 14630873 # 14911073 # 7 54 # 14117518 # 14369615 # 14635421 # 14915873 # 6 55 # 14121612 # 14373930 # 14639973 # 14920677 # 5 56 # 14125709 # 14378350 # 14644528 # 14925486 # 4 57 # 14129810 # 14382573 # 14649087 # 14930299 # 3 58 # 14133915 # 14386900 # 14653651 # 14935116 # 2 59 # 14138023 # 14391230 # 14658218 # 14939938 # 1 60 # 14142135 # 14395564 # 14662790 # 14944764 # 0 # 45 # 44 # 43 # 42 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [282]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 48 # 49 # 50 # 51 0 # 14944764 # 15242532 # 15557239 # 15890158 # 60 1 # 14949594 # 15247634 # 15562635 # 15895869 # 59 2 # 14954429 # 15252741 # 15568036 # 15901586 # 58 3 # 14959268 # 15257852 # 15573441 # 15907307 # 57 4 # 14964112 # 15262969 # 15578852 # 15913034 # 56 5 # 14968960 # 15268090 # 15584267 # 15918766 # 55 6 # 14973812 # 15273216 # 15589688 # 15924504 # 54 7 # 14978668 # 15278347 # 15595114 # 15930247 # 53 8 # 14983530 # 15283484 # 15600545 # 15936095 # 52 9 # 14988396 # 15288626 # 15605981 # 15941748 # 51 10 # 14993266 # 15293773 # 15611422 # 15947508 # 50 11 # 14998104 # 15298924 # 15616868 # 15953273 # 49 12 # 15003020 # 15304080 # 15622319 # 15959044 # 48 13 # 15007903 # 15309240 # 15627775 # 15964820 # 47 14 # 15012791 # 15314405 # 15633237 # 15970603 # 46 15 # 15017683 # 15319574 # 15639704 # 15976390 # 45 16 # 15022580 # 15324748 # 15644177 # 15982184 # 44 17 # 15027481 # 15329926 # 15649655 # 15987983 # 43 18 # 15032387 # 15335109 # 15655138 # 15993788 # 42 19 # 15037297 # 15340297 # 15660626 # 15999599 # 41 20 # 15042212 # 15345491 # 15666119 # 16005416 # 40 21 # 15047131 # 15350689 # 15671617 # 16011237 # 39 22 # 15052054 # 15355892 # 15677121 # 16017065 # 38 23 # 15056982 # 15361100 # 15682630 # 16022898 # 37 24 # 15061915 # 15366313 # 15688144 # 16028736 # 36 25 # 15066852 # 15371530 # 15693663 # 16034579 # 35 26 # 15071791 # 15376753 # 15699188 # 16040429 # 34 27 # 15076739 # 15381980 # 15704717 # 16046283 # 33 28 # 15081690 # 15387212 # 15710252 # 16052143 # 32 29 # 15086645 # 15392449 # 15715792 # 16058008 # 31 30 # 15091605 # 15397692 # 15721337 # 16063878 # 30 # 41 # 40 # 39 # 38 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [283]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis # 48 # 49 # 50 # 51 30 # 15091605 # 15397692 # 15721337 # 16063878 # 30 31 # 15096569 # 15402939 # 15726887 # 16069754 # 29 32 # 15101538 # 15408191 # 15732443 # 16075637 # 28 33 # 15106571 # 15413447 # 15738003 # 16081524 # 27 34 # 15111490 # 15418708 # 15743569 # 16087418 # 26 35 # 15116472 # 15423974 # 15749141 # 16093318 # 25 36 # 15121459 # 15429246 # 15754718 # 16099224 # 24 37 # 15126451 # 15434522 # 15760300 # 16105135 # 23 38 # 15131447 # 15439803 # 15765887 # 16111053 # 22 39 # 15136447 # 15445089 # 15771479 # 16116976 # 21 40 # 15141453 # 15450380 # 15777077 # 16122905 # 20 41 # 15146463 # 15455675 # 15782680 # 16128839 # 19 42 # 15151478 # 15460976 # 15788289 # 16134779 # 18 43 # 15156497 # 15466282 # 15793903 # 16140724 # 17 44 # 15161520 # 15471593 # 15799523 # 16146676 # 16 45 # 15166548 # 15476908 # 15805147 # 16152634 # 15 46 # 15171581 # 15482229 # 15810777 # 16158598 # 14 47 # 15176619 # 15487554 # 15816412 # 16164567 # 13 48 # 15181661 # 15492885 # 15822052 # 16170542 # 12 49 # 15186708 # 15498220 # 15827697 # 16176522 # 11 50 # 15191760 # 15503560 # 15833349 # 16182509 # 10 51 # 15196816 # 15508905 # 15839005 # 16188501 # 9 52 # 15201877 # 15514256 # 15844667 # 16194499 # 8 53 # 15206943 # 15519611 # 15850335 # 16200503 # 7 54 # 15212013 # 15524972 # 15856008 # 16206513 # 6 55 # 15217088 # 15530338 # 15861676 # 16212528 # 5 56 # 15222168 # 15535710 # 15867370 # 16218550 # 4 57 # 15227253 # 15541083 # 15873058 # 16224577 # 3 58 # 15232342 # 15546463 # 15878753 # 16230610 # 2 59 # 15237435 # 15551848 # 15884453 # 16236648 # 1 60 # 15242532 # 15557239 # 15890158 # 16242692 # 0 # 41 # 40 # 39 # 38 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis [284]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 52 # 53 # 54 # 55 0 # 16242692 # 16616401 # 17013017 # 17434469 # 60 1 # 16248742 # 16622819 # 17019832 # 17441715 # 59 2 # 16254799 # 16629243 # 17026654 # 17448968 # 58 3 # 16260861 # 16635673 # 17033482 # 17456229 # 57 4 # 16266929 # 16642109 # 17040318 # 17463499 # 56 5 # 16273003 # 16648551 # 17047160 # 17470775 # 55 6 # 16279083 # 16655001 # 17054010 # 17478059 # 54 7 # 16285169 # 16661457 # 17060866 # 17485351 # 53 8 # 16291261 # 16667919 # 17067729 # 17492650 # 52 9 # 16297358 # 16674408 # 17074599 # 17499957 # 51 10 # 16303461 # 16680864 # 17081476 # 17507272 # 50 11 # 16309570 # 16687345 # 17088359 # 17514594 # 49 12 # 16315685 # 16693834 # 17095250 # 17521924 # 48 13 # 16321806 # 16700328 # 17102148 # 17529262 # 47 14 # 16327934 # 16706829 # 17109053 # 17536607 # 46 15 # 16334067 # 16713336 # 17115965 # 17543959 # 45 16 # 16340197 # 16719850 # 17122885 # 17551319 # 44 17 # 16346353 # 16726362 # 17129812 # 17558687 # 43 18 # 16352505 # 16732877 # 17136747 # 17566063 # 42 19 # 16358663 # 16739430 # 17143689 # 17573446 # 41 20 # 16364827 # 16745970 # 17150638 # 17580837 # 40 21 # 16370996 # 16752517 # 17157593 # 17588236 # 39 22 # 16377172 # 16759070 # 17164556 # 17595643 # 38 23 # 16383359 # 16765629 # 17171525 # 17603057 # 37 24 # 16389542 # 16772195 # 17178502 # 17610480 # 36 25 # 16395736 # 16778767 # 17185485 # 17617909 # 35 26 # 16401936 # 16785347 # 17192476 # 17625347 # 34 27 # 16408152 # 16791933 # 17199472 # 17632793 # 33 28 # 16414365 # 16798525 # 17206477 # 17640246 # 32 29 # 16420573 # 16805124 # 17213488 # 17647707 # 31 30 # 16426798 # 16811729 # 17220507 # 17655174 # 30 # 37 # 36 # 35 # 34 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [285]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis # 52 # 53 # 54 # 55 30 # 16426798 # 16811729 # 17220507 # 17655175 # 30 31 # 16433027 # 16818341 # 17227532 # 17662651 # 29 32 # 16439263 # 16824960 # 17234565 # 17670136 # 28 33 # 16445505 # 16831585 # 17241605 # 17677627 # 27 34 # 16451754 # 16838217 # 17248653 # 17685127 # 26 35 # 16458008 # 16844856 # 17255708 # 17692635 # 25 36 # 16464269 # 16851502 # 17262770 # 17700151 # 24 37 # 16470536 # 16858154 # 17269839 # 17707674 # 23 38 # 16476809 # 16864813 # 17276917 # 17715206 # 22 39 # 16483089 # 16871479 # 17284002 # 17722744 # 21 40 # 16489385 # 16878151 # 17291095 # 17730290 # 20 41 # 16495668 # 16884830 # 17298194 # 17737844 # 19 42 # 16501967 # 16891515 # 17305300 # 17745407 # 18 43 # 16508272 # 16898207 # 17312413 # 17752978 # 17 44 # 16514582 # 16904907 # 17319514 # 17760555 # 16 45 # 16520898 # 16911613 # 17326662 # 17768142 # 15 46 # 16527220 # 16918326 # 17333798 # 17775740 # 14 47 # 16533548 # 16925046 # 17340941 # 17783343 # 13 48 # 16539883 # 16931772 # 17348091 # 17790955 # 12 49 # 16546224 # 16948504 # 17355249 # 17798575 # 11 50 # 16552571 # 16945244 # 17362415 # 17806203 # 10 51 # 16558925 # 16951990 # 17369587 # 17813838 # 9 52 # 16565286 # 16958743 # 17376767 # 17821481 # 8 53 # 16571642 # 16965495 # 17383954 # 17829132 # 7 54 # 16578026 # 16972270 # 17391148 # 17836792 # 6 55 # 16584406 # 16979044 # 17398350 # 17844460 # 5 56 # 16590792 # 16985824 # 17405560 # 17852135 # 4 57 # 16597184 # 16992611 # 17412776 # 17859818 # 3 58 # 16603584 # 16999406 # 17420000 # 17867509 # 2 59 # 16609989 # 17006208 # 17427231 # 17875209 # 1 60 # 16616401 # 17013017 # 17434469 # 17882917 # 0 # 37 # 36 # 35 # 34 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [286]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 56 # 57 # 58 # 59 0 # 17882917 # 18360816 # 18870800 # 19416039 # 60 1 # 17890632 # 18369014 # 18879589 # 19425445 # 59 2 # 17898356 # 18377251 # 18888389 # 19434862 # 58 3 # 17906089 # 18385497 # 18897196 # 19444290 # 57 4 # 17913830 # 18393753 # 18906018 # 19453727 # 56 5 # 17921579 # 18402017 # 18914846 # 19463175 # 55 6 # 17929337 # 18410291 # 18923685 # 19472635 # 54 7 # 17937102 # 18418574 # 18932534 # 19482114 # 53 8 # 17944876 # 18426865 # 18941393 # 19491595 # 52 9 # 17952658 # 18435165 # 18950261 # 19501076 # 51 10 # 17960448 # 18443454 # 18959139 # 19510578 # 50 11 # 17968247 # 18451792 # 18968027 # 19520091 # 49 12 # 17976054 # 18460120 # 18976926 # 19529615 # 48 13 # 17983869 # 18468456 # 18985834 # 19539150 # 47 14 # 17991693 # 18476802 # 18994752 # 19548697 # 46 15 # 17999525 # 18485157 # 19003680 # 19558254 # 45 16 # 18007365 # 18493521 # 19012618 # 19567822 # 44 17 # 18015214 # 18501895 # 19021516 # 19577401 # 43 18 # 18023071 # 18510278 # 19030523 # 19586991 # 42 19 # 18030936 # 18518670 # 19039491 # 19596592 # 41 20 # 18038811 # 18527072 # 19048468 # 19606204 # 40 21 # 18046693 # 18535483 # 19057455 # 19615827 # 39 22 # 18054584 # 18543903 # 19066453 # 19625462 # 38 23 # 18062482 # 18552332 # 19075461 # 19635107 # 37 24 # 18070389 # 18560770 # 19084480 # 19644765 # 36 25 # 18078305 # 18569217 # 19093509 # 19654434 # 35 26 # 18086129 # 18577674 # 19102549 # 19664114 # 34 27 # 18094161 # 18586139 # 19111598 # 19673805 # 33 28 # 18102102 # 18594614 # 19120658 # 19683507 # 32 29 # 18110051 # 18603098 # 19129727 # 19693220 # 31 30 # 18118009 # 18611591 # 19138807 # 19702945 # 30 # 33 # 32 # 31 # 30 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [287]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis # 56 # 57 # 58 # 59 30 # 18118009 # 18611591 # 19138807 # 19702945 # 30 31 # 18125975 # 18620094 # 19147897 # 19712680 # 29 32 # 18133950 # 18629606 # 19156998 # 19722428 # 28 33 # 18141934 # 18637127 # 19166109 # 19732186 # 27 34 # 18149926 # 18645658 # 19175231 # 19741956 # 26 35 # 18157927 # 18654198 # 19184362 # 19751738 # 25 36 # 18165937 # 18662748 # 19193504 # 19761531 # 24 37 # 18173956 # 18671307 # 19202656 # 19771335 # 23 38 # 18181984 # 18679875 # 19211818 # 19781141 # 22 39 # 18190021 # 18688452 # 19220990 # 19790968 # 21 40 # 18198065 # 18697038 # 19230172 # 19800808 # 20 41 # 18206118 # 18705634 # 19239365 # 19810658 # 19 42 # 18214179 # 18714239 # 19248569 # 19820320 # 18 43 # 18222249 # 18722854 # 19257783 # 19830393 # 17 44 # 18230328 # 18731480 # 19267008 # 19840277 # 16 45 # 18238416 # 18740115 # 19276242 # 19850172 # 15 46 # 18246513 # 18748760 # 19285488 # 19860079 # 14 47 # 18254618 # 18757414 # 19294744 # 19869997 # 13 48 # 18262732 # 18766078 # 19304010 # 19879927 # 12 49 # 18270854 # 18774752 # 19313287 # 19889868 # 11 50 # 18278986 # 18783436 # 19322574 # 19899820 # 10 51 # 18287126 # 18792130 # 19331872 # 19909784 # 9 52 # 18295276 # 18800833 # 19341181 # 19919760 # 8 53 # 18303434 # 18809546 # 19350501 # 19929748 # 7 54 # 18311601 # 18818268 # 19359831 # 19939749 # 6 55 # 18319776 # 18826999 # 19369172 # 19949760 # 5 56 # 18327961 # 18835741 # 19378524 # 19959784 # 4 57 # 18337154 # 18844492 # 19387886 # 19966820 # 3 58 # 18344356 # 18853252 # 19397260 # 19979868 # 2 59 # 18352567 # 18862021 # 19406644 # 19989928 # 1 60 # 18360816 # 18870800 # 19416039 # 20000000 # 0 # 33 # 32 # 31 # 30 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [288]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 60 # 61 # 62 # 63 0 # 20000000 # 20626654 # 21300545 # 22026892 # 60 1 # 20010083 # 20637484 # 21312206 # 22039475 # 59 2 # 20020179 # 20648338 # 21323882 # 22052074 # 58 3 # 20030285 # 20659184 # 21335570 # 22064690 # 57 4 # 20040404 # 20670054 # 21347275 # 22077322 # 56 5 # 20050534 # 20680937 # 21358993 # 22089970 # 55 6 # 20060676 # 20691834 # 21370727 # 22102635 # 54 7 # 20070832 # 20702744 # 21382475 # 22115316 # 53 8 # 20080995 # 20713667 # 21394238 # 22128014 # 52 9 # 20091172 # 20724603 # 21407016 # 22140728 # 51 10 # 20101361 # 20735554 # 21417808 # 22153459 # 50 11 # 20111562 # 20746517 # 21429615 # 22166204 # 49 12 # 20121776 # 20757494 # 21441438 # 22178971 # 48 13 # 20132001 # 20768484 # 21453275 # 22191751 # 47 14 # 20142239 # 20779488 # 21465128 # 22204548 # 46 15 # 20152489 # 20790505 # 21476995 # 22217361 # 45 16 # 20162751 # 20801535 # 21488877 # 22230191 # 44 17 # 20173035 # 20812579 # 21500774 # 22243038 # 43 18 # 20183321 # 20823636 # 21512686 # 22255902 # 42 19 # 20193619 # 20834706 # 21524612 # 22268782 # 41 20 # 20203930 # 20845791 # 21536553 # 22281680 # 40 21 # 20214252 # 20856888 # 21548509 # 22294595 # 39 22 # 20224588 # 20868000 # 21560481 # 22307526 # 38 23 # 20234936 # 20879125 # 21572467 # 22320474 # 37 24 # 20245296 # 20890264 # 21584469 # 22333439 # 36 25 # 20255669 # 20901416 # 21596487 # 22346420 # 35 26 # 20266054 # 20912582 # 21608520 # 22359419 # 34 27 # 20276452 # 20923761 # 21620568 # 22372434 # 33 28 # 20286863 # 20934955 # 21632631 # 22385466 # 32 29 # 20297286 # 20946162 # 21644710 # 22398418 # 31 30 # 20307721 # 20957383 # 21656804 # 22411584 # 30 # 29 # 28 # 27 # 26 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [289]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis # 60 # 61 # 62 # 63 30 # 20307721 # 20957383 # 21656804 # 22411584 # 30 31 # 20318170 # 20968618 # 21668913 # 22424667 # 29 32 # 20328630 # 20979867 # 21681038 # 22437768 # 28 33 # 20339102 # 20991130 # 21693178 # 22450886 # 27 34 # 20349587 # 21002406 # 21705334 # 22464022 # 26 35 # 20360084 # 21013696 # 21717505 # 22477175 # 25 36 # 20370594 # 21025001 # 21729691 # 22490346 # 24 37 # 20381116 # 21036319 # 21741893 # 22503543 # 23 38 # 20391751 # 21047651 # 21754111 # 22516748 # 22 39 # 20402198 # 21058997 # 21766344 # 22529965 # 21 40 # 20412758 # 21070357 # 21778593 # 22543201 # 20 41 # 20423331 # 21081731 # 21790858 # 22556358 # 19 42 # 20433916 # 21093119 # 21803138 # 22569723 # 18 43 # 20444514 # 21104522 # 21815434 # 22583025 # 17 44 # 20455126 # 21115938 # 21827745 # 22596336 # 16 45 # 20465750 # 21127368 # 21840072 # 22609663 # 15 46 # 20476387 # 21138814 # 21852415 # 22623009 # 14 47 # 20487037 # 21150273 # 21864774 # 22636372 # 13 48 # 20497700 # 21161747 # 21877149 # 22649754 # 12 49 # 20508376 # 21173235 # 21889539 # 22663152 # 11 50 # 20519064 # 21184737 # 21901946 # 22676569 # 10 51 # 20529765 # 21196253 # 21914369 # 22690004 # 9 52 # 20540479 # 21207783 # 21926808 # 22703456 # 8 53 # 20551205 # 21219328 # 21939263 # 22716924 # 7 54 # 20561945 # 21230887 # 21951734 # 22730414 # 6 55 # 20572697 # 21242460 # 21964220 # 22743919 # 5 56 # 20583463 # 21254048 # 21976722 # 22757443 # 4 57 # 20594242 # 21265650 # 21989240 # 22770984 # 3 58 # 20605033 # 21277267 # 22001775 # 22784543 # 2 59 # 20615837 # 21288899 # 22014325 # 22798120 # 1 60 # 20626654 # 21300545 # 22026892 # 22811726 # 0 # 29 # 28 # 27 # 26 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [290]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 64 # 65 # 66 # 67 0 # 22811726 # 23662013 # 24585936 # 25593051 # 60 1 # 22825329 # 23676784 # 24602010 # 25610602 # 59 2 # 22838962 # 23691575 # 24618107 # 25628180 # 58 3 # 22852612 # 23706387 # 24634227 # 25645783 # 57 4 # 22866281 # 23721220 # 24650370 # 25663414 # 56 5 # 22879968 # 23736073 # 24666536 # 25681071 # 55 6 # 22893674 # 23750947 # 24682727 # 25698754 # 54 7 # 22907387 # 23765842 # 24698940 # 25716464 # 53 8 # 22921140 # 23780757 # 24715178 # 25734201 # 52 9 # 22934901 # 23795692 # 24731439 # 25751965 # 51 10 # 22948680 # 23810648 # 24747724 # 25769755 # 50 11 # 22962478 # 23825625 # 24764033 # 25787582 # 49 12 # 22976294 # 23840623 # 24780365 # 25805417 # 48 13 # 22990129 # 23855642 # 24796721 # 25823287 # 47 14 # 23003983 # 23870683 # 24813101 # 25841185 # 46 15 # 23017855 # 23885844 # 24829504 # 25859104 # 45 16 # 23031747 # 23900827 # 24845932 # 25877061 # 44 17 # 23045657 # 23915931 # 24862383 # 25895040 # 43 18 # 23059586 # 23931055 # 24879958 # 25913046 # 42 19 # 23073534 # 23946200 # 24895356 # 25931080 # 41 20 # 23087501 # 23961366 # 24911878 # 25949142 # 40 21 # 23101486 # 23976553 # 24928423 # 25967230 # 39 22 # 23115490 # 23991762 # 24944993 # 25985345 # 38 23 # 23129513 # 24006992 # 24961587 # 26003487 # 37 24 # 23143556 # 24022245 # 24978205 # 26021658 # 36 25 # 23157616 # 24037518 # 24994847 # 26039855 # 35 26 # 23171696 # 24052814 # 25011514 # 26058081 # 34 27 # 23185795 # 24068130 # 25028205 # 26076333 # 33 28 # 23199913 # 24083469 # 25044920 # 26094614 # 32 29 # 23214050 # 24098830 # 25061660 # 26112923 # 31 30 # 23228205 # 24114213 # 25078426 # 26131259 # 30 # 25 # 24 # 23 # 22 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [291]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis # 64 # 65 # 66 # 67 30 # 23228205 # 24114213 # 25078426 # 26131259 # 30 31 # 23242380 # 24129616 # 25095216 # 26149623 # 29 32 # 23256574 # 24145041 # 25112030 # 26168015 # 28 33 # 23270797 # 24160487 # 25128869 # 26186436 # 27 34 # 23285021 # 24175956 # 25145732 # 26204884 # 26 35 # 23299273 # 24191445 # 25162620 # 26223361 # 25 36 # 23313546 # 24206956 # 25179532 # 26241867 # 24 37 # 23327838 # 24222488 # 25196469 # 26260400 # 23 38 # 23342150 # 24238043 # 25213432 # 26278963 # 22 39 # 23356481 # 24253619 # 25230418 # 26297555 # 21 40 # 23370832 # 24269217 # 25247431 # 26316176 # 20 41 # 23385203 # 24284838 # 25264468 # 26334825 # 19 42 # 23399593 # 24300481 # 25281531 # 26353503 # 18 43 # 23414003 # 24316147 # 25298620 # 26372209 # 17 44 # 23428433 # 24331835 # 25315734 # 26390945 # 16 45 # 23442882 # 24347546 # 25332874 # 26409709 # 15 46 # 23457351 # 24363281 # 25350039 # 26428502 # 14 47 # 23471840 # 24379038 # 25367229 # 26447323 # 13 48 # 23486348 # 24394818 # 25384445 # 26466174 # 12 49 # 23500876 # 24410620 # 25401687 # 26485053 # 11 50 # 23515424 # 24426446 # 25418956 # 26503962 # 10 51 # 23529992 # 24442294 # 25436250 # 26522890 # 9 52 # 23544580 # 24458164 # 25453570 # 26541867 # 8 53 # 23559188 # 24474056 # 25470915 # 26560863 # 7 54 # 23573817 # 24489973 # 25488286 # 26579889 # 6 55 # 23588565 # 24505908 # 25505683 # 26598945 # 5 56 # 23603134 # 24521869 # 25523005 # 26618030 # 4 57 # 23617822 # 24537851 # 25540553 # 26637145 # 3 58 # 23632532 # 24553857 # 25558027 # 26656291 # 2 59 # 23647262 # 24569885 # 25575526 # 26675466 # 1 60 # 23662013 # 24585936 # 25593051 # 26694672 # 0 # 25 # 24 # 23 # 22 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [292]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 68 # 69 # 70 # 71 0 # 26694672 # 27904284 # 29238045 # 30715531 # 60 1 # 26713907 # 27925445 # 29261433 # 30741500 # 59 2 # 26733172 # 27946642 # 29284861 # 30767516 # 58 3 # 26752467 # 27967873 # 29308328 # 30793579 # 57 4 # 26771791 # 27989139 # 29331835 # 30819689 # 56 5 # 26791145 # 28010440 # 29355382 # 30845846 # 55 6 # 26810529 # 28031776 # 29378970 # 30872051 # 54 7 # 26829942 # 28053147 # 29402599 # 30898304 # 53 8 # 26849390 # 28074553 # 29426268 # 30924605 # 52 9 # 26868867 # 28095994 # 29449978 # 30950953 # 51 10 # 26888373 # 28117469 # 29473728 # 30977350 # 50 11 # 26907910 # 28138980 # 29497519 # 31003793 # 49 12 # 26927479 # 28160527 # 29521350 # 31030285 # 48 13 # 26947078 # 28182108 # 29545222 # 31056824 # 47 14 # 26966709 # 28203725 # 29569136 # 31083412 # 46 15 # 26986370 # 28225378 # 29593090 # 31110047 # 45 16 # 27006062 # 28247067 # 29617087 # 31136731 # 44 17 # 27025785 # 28268793 # 29641124 # 31163462 # 43 18 # 27045539 # 28290553 # 29665204 # 31190241 # 42 19 # 27065323 # 28312349 # 29689326 # 31217019 # 41 20 # 27085138 # 28334181 # 29713488 # 31243945 # 40 21 # 27104985 # 28356049 # 29737692 # 31270871 # 39 22 # 27124864 # 28377954 # 29761938 # 31297848 # 38 23 # 27144774 # 28399894 # 29786227 # 31324873 # 37 24 # 27164717 # 28421871 # 29810558 # 31351948 # 36 25 # 27184690 # 28443884 # 29834931 # 31379072 # 35 26 # 27204686 # 28465934 # 29859347 # 31406247 # 34 27 # 27224734 # 28488021 # 29883705 # 31433472 # 33 28 # 27244804 # 28510144 # 29908306 # 31460747 # 32 29 # 27264906 # 28532304 # 29932850 # 31488072 # 31 30 # 27285040 # 28554501 # 29957438 # 31515448 # 30 # 21 # 20 # 19 # 18 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [293]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis. # 68 # 69 # 70 # 71 30 # 27285040 # 28554501 # 29957438 # 31515448 # 30 31 # 27305205 # 28576735 # 29982069 # 31542873 # 29 32 # 27325402 # 28599007 # 30006743 # 31570349 # 28 33 # 27345631 # 28621316 # 30031460 # 31597875 # 27 34 # 27365893 # 28643662 # 30056220 # 31625453 # 26 35 # 27386186 # 28666045 # 30081023 # 31653080 # 25 36 # 27406513 # 28688467 # 30105870 # 31680758 # 24 37 # 27426872 # 28710925 # 30130760 # 31708486 # 23 38 # 27447264 # 28733422 # 30155714 # 31736265 # 22 39 # 27467688 # 28755956 # 30180672 # 31764094 # 21 40 # 27488145 # 28778549 # 30205694 # 31791974 # 20 41 # 27508635 # 28801139 # 30230760 # 31819906 # 19 42 # 27529157 # 28823787 # 30255871 # 31847891 # 18 43 # 27549722 # 28846473 # 30281026 # 31875929 # 17 44 # 27570301 # 28869196 # 30306226 # 31904019 # 16 45 # 27590922 # 28891957 # 30331460 # 31932164 # 15 46 # 27611578 # 28914756 # 30356759 # 31960358 # 14 47 # 27632266 # 28937594 # 30382092 # 31988606 # 13 48 # 27652989 # 28960471 # 30407470 # 32016909 # 12 49 # 27673745 # 28983386 # 30432893 # 32045263 # 11 50 # 27694535 # 29006340 # 30458361 # 32073672 # 10 51 # 27715358 # 29029332 # 30483873 # 32102132 # 9 52 # 27736215 # 29052363 # 30509430 # 32130649 # 8 53 # 27757105 # 29075435 # 30535033 # 32159212 # 7 54 # 27778029 # 29098546 # 30560682 # 32187832 # 6 55 # 27798987 # 29121697 # 30586375 # 32216504 # 5 56 # 27819978 # 29144888 # 30612115 # 32245231 # 4 57 # 27841003 # 29168118 # 30637890 # 32274012 # 3 58 # 27862060 # 29191388 # 30663732 # 32302846 # 2 59 # 27883156 # 29214697 # 30689608 # 32331735 # 1 60 # 27904284 # 29238045 # 30715531 # 32360678 # 0 # 21 # 20 # 19 # 18 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [294]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 72 # 73 # 74 # 75 0 # 32360678 # 34203038 # 36279559 # 38637042 # 60 1 # 32389676 # 34235609 # 36316402 # 38679033 # 59 2 # 32418726 # 34268245 # 36353333 # 38721117 # 58 3 # 32447837 # 34300947 # 36390323 # 38763296 # 57 4 # 32477001 # 34333716 # 36427401 # 38805571 # 56 5 # 32506219 # 34366553 # 36464558 # 38847941 # 55 6 # 32535494 # 34399452 # 36501793 # 38890408 # 54 7 # 32564823 # 34432420 # 36539107 # 38932971 # 53 8 # 32594209 # 34465456 # 36570511 # 38975632 # 52 9 # 32623651 # 34498557 # 36613973 # 39018390 # 51 10 # 32653148 # 34531726 # 36651525 # 39061246 # 50 11 # 32682701 # 34564959 # 36689156 # 39104200 # 49 12 # 32712311 # 34598259 # 36726868 # 39147252 # 48 13 # 32741977 # 34631626 # 36764660 # 39190423 # 47 14 # 32771699 # 34665061 # 36802533 # 39233653 # 46 15 # 32801478 # 34698564 # 36840488 # 39277002 # 45 16 # 32831314 # 34732135 # 36878524 # 39320449 # 44 17 # 32861207 # 34765775 # 36916641 # 39363994 # 43 18 # 32891157 # 34799483 # 36954842 # 39407640 # 42 19 # 32921165 # 34833259 # 36993127 # 39451384 # 41 20 # 32951231 # 34867105 # 37031496 # 39495228 # 40 21 # 32981355 # 34901024 # 37069947 # 39539172 # 39 22 # 33011537 # 34935005 # 37108482 # 39583218 # 38 23 # 33041776 # 34966052 # 37147101 # 39627364 # 37 24 # 33072074 # 35003172 # 37185803 # 39671613 # 36 25 # 33102431 # 35037361 # 37224589 # 39715965 # 35 26 # 33131846 # 35071621 # 37263459 # 39760420 # 34 27 # 33163320 # 35105952 # 37302413 # 39804979 # 33 28 # 33193853 # 35140354 # 37341453 # 39849642 # 32 29 # 33224444 # 35174826 # 37380577 # 39894411 # 31 30 # 33255094 # 35209369 # 37419788 # 39939286 # 30 # 17 # 16 # 15 # 14 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [295]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis. # 72 # 73 # 74 # 75 30 # 33255094 # 35209369 # 37419788 # 39939286 # 30 31 # 33285803 # 35243981 # 37459081 # 39984263 # 29 32 # 33316571 # 35278664 # 37498460 # 40029344 # 28 33 # 33347398 # 35313418 # 37537923 # 40074528 # 27 34 # 33378286 # 35348244 # 37577471 # 40119816 # 26 35 # 33409132 # 35383140 # 37617104 # 40165289 # 25 36 # 33440240 # 35418110 # 37656824 # 40210709 # 24 37 # 33471307 # 35453152 # 37696632 # 40256316 # 23 38 # 33502436 # 35488268 # 37736518 # 40302033 # 22 39 # 33533625 # 35523456 # 37776513 # 40347858 # 21 40 # 33564875 # 35558718 # 37816588 # 40393792 # 20 41 # 33596187 # 35594052 # 37856751 # 40439834 # 19 42 # 33627561 # 35629460 # 37897004 # 40485985 # 18 43 # 33658998 # 35664940 # 37937146 # 40532245 # 17 44 # 33690497 # 35700494 # 37977779 # 40578613 # 16 45 # 33722059 # 35736121 # 38018300 # 40625091 # 15 46 # 33753683 # 35771822 # 38058912 # 40671678 # 14 47 # 33785370 # 35807597 # 38099614 # 40718374 # 13 48 # 33817120 # 35843447 # 38140406 # 40765180 # 12 49 # 33848934 # 35879373 # 38181288 # 40812093 # 11 50 # 33880813 # 35915374 # 38222261 # 40859121 # 10 51 # 33912753 # 35951451 # 38263324 # 40906259 # 9 52 # 33944756 # 35987602 # 38304479 # 40953510 # 8 53 # 33976821 # 36023829 # 38345725 # 41004876 # 7 54 # 34008950 # 36060132 # 38387064 # 41048358 # 6 55 # 34041141 # 36096510 # 38428495 # 41095957 # 5 56 # 34073395 # 36132966 # 38470019 # 41143668 # 4 57 # 34105712 # 36169497 # 38511635 # 41191492 # 3 58 # 34138091 # 36206107 # 38553344 # 41239431 # 2 59 # 34170523 # 36242794 # 38595146 # 41287425 # 1 60 # 34203038 # 36279559 # 38637042 # 41335654 # 0 # 17 # 16 # 15 # 14 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [296]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 76 # 77 # 78 # 79 0 # 41335654 # 44454097 # 48097335 # 52408433 # 60 1 # 41383937 # 44510183 # 48163151 # 52486983 # 59 2 # 41432338 # 44566415 # 48229350 # 52565774 # 58 3 # 41480856 # 44622793 # 48295633 # 52644807 # 57 4 # 41529492 # 44679318 # 48362102 # 52724084 # 56 5 # 41578245 # 44735990 # 48428756 # 52803604 # 55 6 # 41627117 # 44792810 # 48495599 # 52883368 # 54 7 # 41676108 # 44849777 # 48562631 # 52963377 # 53 8 # 41725219 # 44906892 # 48629854 # 53043632 # 52 9 # 41774450 # 44964155 # 48697269 # 53124134 # 51 10 # 41823802 # 45021567 # 48764877 # 53204885 # 50 11 # 41873273 # 45079129 # 48832678 # 53285884 # 49 12 # 41922863 # 45136843 # 48900673 # 53367134 # 48 13 # 41972573 # 45194707 # 48968853 # 53448635 # 47 14 # 42022405 # 45252726 # 49037249 # 53530390 # 46 15 # 42072357 # 45310898 # 49105830 # 53612399 # 45 16 # 42122431 # 45369224 # 49174607 # 53694666 # 44 17 # 42172625 # 45427703 # 49243590 # 53777191 # 43 18 # 42222942 # 45486338 # 49312751 # 53859976 # 42 19 # 42273380 # 45545127 # 49382118 # 53943022 # 41 20 # 42323942 # 45604073 # 49451684 # 54026331 # 40 21 # 42374627 # 45663175 # 49521449 # 54109903 # 39 22 # 42425439 # 45722435 # 49591416 # 54193739 # 38 23 # 42476377 # 45781853 # 49661584 # 54277840 # 37 24 # 42527442 # 45841429 # 49731956 # 54362207 # 36 25 # 42578635 # 45901164 # 49802532 # 54446842 # 35 26 # 42629957 # 45961059 # 49873313 # 54531744 # 34 27 # 42681409 # 46021115 # 49944301 # 54616915 # 33 28 # 42732991 # 46081333 # 50015497 # 54702356 # 32 29 # 42784705 # 46141715 # 50086901 # 54788068 # 31 30 # 42836551 # 46202261 # 50158514 # 54874053 # 30 # 13 # 12 # 11 # 10 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [297]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis. # 76 # 77 # 78 # 79 30 # 42836551 # 46202261 # 50158514 # 54874053 # 30 31 # 42888527 # 46262969 # 50230335 # 54960312 # 29 32 # 42940631 # 46323841 # 50302367 # 55046847 # 28 33 # 42992865 # 46384877 # 50374610 # 55133659 # 27 34 # 43045229 # 46446076 # 50447065 # 55220751 # 26 35 # 43097722 # 46507440 # 50519732 # 55308122 # 25 36 # 43150347 # 46568970 # 50592614 # 55395775 # 24 37 # 43203103 # 46630665 # 50665711 # 55483710 # 23 38 # 43255992 # 46692527 # 50739024 # 55571930 # 22 39 # 43309012 # 46754555 # 50812553 # 55660434 # 21 40 # 43362166 # 46816752 # 50886299 # 55749226 # 20 41 # 43415454 # 46879117 # 50960263 # 55838300 # 19 42 # 43468877 # 46941653 # 51034447 # 55927677 # 18 43 # 43522435 # 47004361 # 51108850 # 56017340 # 17 44 # 43576129 # 47067242 # 51183475 # 56107297 # 16 45 # 43629959 # 47130297 # 51258321 # 56197549 # 15 46 # 43683925 # 47193526 # 51333391 # 56288099 # 14 47 # 43738728 # 47256930 # 51408684 # 56378948 # 13 48 # 43792268 # 47320509 # 51484204 # 56470097 # 12 49 # 43846646 # 47384264 # 51559951 # 56561548 # 11 50 # 43901162 # 47448195 # 51635936 # 56653302 # 10 51 # 43955817 # 47512302 # 51712129 # 56745360 # 9 52 # 44000612 # 47576586 # 51788563 # 56837723 # 8 53 # 44065548 # 47641048 # 51865227 # 56930392 # 7 54 # 44120625 # 47705689 # 51942124 # 57023369 # 6 55 # 44175844 # 47770510 # 52019254 # 57116653 # 5 56 # 44231207 # 47835511 # 52096618 # 57210246 # 4 57 # 44286712 # 47900693 # 52174216 # 57304150 # 3 58 # 44342362 # 47966058 # 52252051 # 57398367 # 2 59 # 44398156 # 48031605 # 52330123 # 57492896 # 1 60 # 44454097 # 48097335 # 52408433 # 57587740 # 0 # 13 # 12 # 11 # 10 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [298]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 80 # 81 # 82 # 83 0 # 57587740 # 63924495 # 71852975 # 82055127 # 60 1 # 57682901 # 64042118 # 72002006 # 82249986 # 59 2 # 57778381 # 64160180 # 72151659 # 82445779 # 58 3 # 57874180 # 64278683 # 72301942 # 82642513 # 57 4 # 57970302 # 64397632 # 72452863 # 82840196 # 56 5 # 58066748 # 64517028 # 72604421 # 83038833 # 55 6 # 58163520 # 64636873 # 72756618 # 83238436 # 54 7 # 58260619 # 64757168 # 72909461 # 83439009 # 53 8 # 58358049 # 64877918 # 73062954 # 83640561 # 52 9 # 58455810 # 64999124 # 73217100 # 83843097 # 51 10 # 58553904 # 65120789 # 73371903 # 84046626 # 50 11 # 58652333 # 65242916 # 73527367 # 84251153 # 49 12 # 58751099 # 65365508 # 73683499 # 84456680 # 48 13 # 58850205 # 65488566 # 73840302 # 84663213 # 47 14 # 58949653 # 65612095 # 73997782 # 84870760 # 46 15 # 59049444 # 65736097 # 74155942 # 85079327 # 45 16 # 59149581 # 65859675 # 74314786 # 85288957 # 44 17 # 59250065 # 65985531 # 74474318 # 85499628 # 43 18 # 59350898 # 66110967 # 74634544 # 85711347 # 42 19 # 59452082 # 66246886 # 74795468 # 85924121 # 41 20 # 59553618 # 66363291 # 74957095 # 86137958 # 40 21 # 59655506 # 66490185 # 75119429 # 86352864 # 39 22 # 59757728 # 66617572 # 75282475 # 86568849 # 38 23 # 59860346 # 66745453 # 75446238 # 86785921 # 37 24 # 59963291 # 66873831 # 75610721 # 87004089 # 36 25 # 60066612 # 67002708 # 75775928 # 87223362 # 35 26 # 60170285 # 67132088 # 75941864 # 87443750 # 34 27 # 60274319 # 67261972 # 76108533 # 87665261 # 33 28 # 60378718 # 67392365 # 76275941 # 87887909 # 32 29 # 60483482 # 67523270 # 76444091 # 88111704 # 31 30 # 60588615 # 67654691 # 76612989 # 88336657 # 30 # 9 # 8 # 7 # 6 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [299]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis. # 80 # 81 # 82 # 83 30 # 60588615 # 67654691 # 76612989 # 88336657 # 30 31 # 60694118 # 67786629 # 76782641 # 88562776 # 29 32 # 60799995 # 67919089 # 76953050 # 88790069 # 28 33 # 60906246 # 68052073 # 77124223 # 89018543 # 27 34 # 61012875 # 68185585 # 77296165 # 89248201 # 26 35 # 61119882 # 68319630 # 77468882 # 89479054 # 25 36 # 61227271 # 68454208 # 77642381 # 89711108 # 24 37 # 61335043 # 68589313 # 77816665 # 89944373 # 23 38 # 61443202 # 68724977 # 77991740 # 90178856 # 22 39 # 61551749 # 68861175 # 78167612 # 90414568 # 21 40 # 61660686 # 68997920 # 78344287 # 90651519 # 20 41 # 61770013 # 69135315 # 78521769 # 90889717 # 19 42 # 61879735 # 69273018 # 78700066 # 91129181 # 18 43 # 61989853 # 69411469 # 78879183 # 91369917 # 17 44 # 62100367 # 69550434 # 79059128 # 91611941 # 16 45 # 62211280 # 69689963 # 79239905 # 91855265 # 15 46 # 62322594 # 69830059 # 79421520 # 92099899 # 14 47 # 62434312 # 69970726 # 79603976 # 92345849 # 13 48 # 62546437 # 70111967 # 79787381 # 92593126 # 12 49 # 62658971 # 70253786 # 79971439 # 92841739 # 11 50 # 62771918 # 70396188 # 80156456 # 93091699 # 10 51 # 62885274 # 70539174 # 80342336 # 93342963 # 9 52 # 62999049 # 70682751 # 80529087 # 93595620 # 8 53 # 63113241 # 70826919 # 80716713 # 93849647 # 7 54 # 63227855 # 70971684 # 80905219 # 94105066 # 6 55 # 63342890 # 71117047 # 81094612 # 94361964 # 5 56 # 63458352 # 71263014 # 81284899 # 94620181 # 4 57 # 63574240 # 71409586 # 81476087 # 94879901 # 3 58 # 63690559 # 71556760 # 81668183 # 95141050 # 2 59 # 63807309 # 71704564 # 81861195 # 95403639 # 1 60 # 63924495 # 71852975 # 82055127 # 95667689 # 0 # 9 # 8 # 7 # 6 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [300]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 84 # 85 # 86 0 # 95667689 # 114737188 # 143355808 # 60 1 # 95933204 # 115119970 # 143954694 # 59 2 # 96200195 # 115505313 # 144558602 # 58 3 # 96468673 # 115893242 # 145167595 # 57 4 # 96738655 # 116283797 # 145781740 # 56 5 # 97010253 # 116676991 # 146401101 # 55 6 # 97283267 # 117072851 # 147025745 # 54 7 # 97557932 # 117471403 # 147655740 # 53 8 # 97834057 # 117872815 # 148291169 # 52 9 # 98111843 # 118276840 # 148932108 # 51 10 # 98391211 # 118683794 # 149578791 # 50 11 # 98672171 # 119093414 # 150230942 # 49 12 # 98954738 # 119506013 # 150888966 # 48 13 # 99236930 # 119921335 # 151552578 # 47 14 # 99524766 # 120339695 # 152222283 # 46 15 # 99812250 # 120760985 # 152897946 # 45 16 # 100101400 # 121185232 # 153579394 # 44 17 # 100392329 # 121612482 # 154267179 # 43 18 # 100684851 # 122042752 # 154961155 # 42 19 # 100979193 # 122476076 # 155661396 # 41 20 # 101275259 # 122912485 # 156368008 # 40 21 # 101572962 # 123352014 # 157081063 # 39 22 # 101872522 # 123794696 # 157800648 # 38 23 # 102173854 # 124240732 # 158526854 # 37 24 # 102476971 # 124689836 # 159259771 # 36 25 # 102781890 # 125142353 # 159999560 # 35 26 # 103088639 # 125598007 # 160746121 # 34 27 # 103397202 # 126057149 # 161499724 # 33 28 # 103707656 # 126519656 # 162260744 # 32 29 # 104019959 # 126985568 # 163028671 # 31 30 # 104334254 # 127454936 # 163804188 # 30 # 5 # 4 # 3 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [301]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis # 84 # 85 # 86 30 # 104334254 # 127454936 # 163804188 # 30 31 # 104650345 # 127927785 # 164586836 # 29 32 # 104968474 # 128404152 # 165377268 # 28 33 # 105288542 # 128884078 # 166175067 # 27 34 # 105610566 # 129367604 # 166980877 # 26 35 # 105934564 # 129854921 # 167794536 # 25 36 # 106260557 # 130345812 # 168615879 # 24 37 # 106588558 # 130840395 # 169445585 # 23 38 # 106918589 # 131338917 # 170283495 # 22 39 # 107250680 # 131841076 # 171129820 # 21 40 # 107584955 # 132347264 # 171984431 # 20 41 # 107921201 # 132857174 # 172847712 # 19 42 # 108259554 # 133371390 # 173719700 # 18 43 # 108600151 # 133889600 # 174600528 # 17 44 # 108942779 # 134411312 # 175490331 # 16 45 # 109287702 # 134937471 # 176389247 # 15 46 # 109634817 # 135467749 # 177297417 # 14 47 # 109984143 # 136002235 # 178215000 # 13 48 # 110335695 # 136540955 # 179142131 # 12 49 # 110689503 # 137083887 # 180078954 # 11 50 # 111045597 # 137631223 # 181025951 # 10 51 # 111403988 # 138183016 # 181982628 # 9 52 # 111764699 # 138739177 # 182949802 # 8 53 # 112127750 # 139299830 # 183926988 # 7 54 # 112493167 # 139865032 # 184915009 # 6 55 # 112861097 # 140435034 # 185913698 # 5 56 # 113231316 # 141009514 # 186922883 # 4 57 # 113604036 # 141588910 # 187943432 # 3 58 # 113979204 # 142172885 # 188975184 # 2 59 # 114356941 # 142761897 # 190018342 # 1 60 # 114737188 # 143355808 # 191073059 # 0 # 5 # 4 # 3 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [302]TABVLA Gradus Quadrantis pro $ecantibus # 87 # 88 # 89 0 # 191073059 # 286537048 # 572987098 # 60 1 # 192139567 # 288943841 # 582696234 # 59 2 # 193218044 # 291391404 # 592740072 # 58 3 # 194308693 # 293880683 # 603139919 # 57 4 # 195411723 # 296413087 # 613907444 # 56 5 # 196527729 # 298990299 # 625070305 # 55 6 # 197656182 # 301611807 # 636642580 # 54 7 # 198797665 # 304279687 # 648655621 # 53 8 # 199952408 # 306996123 # 661126359 # 52 9 # 201120639 # 309760533 # 674090521 # 51 10 # 202303011 # 312576192 # 687573461 # 50 11 # 203498943 # 315442491 # 701612741 # 49 12 # 204709121 # 318361849 # 716229489 # 48 13 # 205934200 # 321336774 # 731453951 # 47 14 # 207173596 # 324366765 # 747356168 # 46 15 # 208428431 # 327455509 # 763965262 # 45 16 # 209698119 # 330602545 # 781323254 # 44 17 # 210983811 # 333811800 # 799494739 # 43 18 # 212284914 # 337082830 # 818524878 # 42 19 # 213602421 # 340419652 # 838490069 # 41 20 # 214936837 # 343823403 # 859453551 # 40 21 # 216287319 # 347294586 # 881484374 # 39 22 # 217655350 # 350837799 # 904682629 # 38 23 # 219040792 # 354454051 # 929134899 # 37 24 # 220443981 # 358145679 # 954945691 # 36 25 # 221865261 # 361914968 # 982231457 # 35 26 # 223305005 # 365763113 # 1011112129 # 34 27 # 224763453 # 369695332 # 1041753449 # 33 28 # 226241278 # 373713015 # 1074309940 # 32 29 # 227738558 # 377818975 # 1108967170 # 31 30 # 229255785 # 382016194 # 1145934768 # 30 # 2 # 1 # 0 Gradus Quadrantis pro $ecantibus [303]SECANTIVM. arcuum eiu$dem Quadrantis # 87 # 88 # 89 30 # 229255785 # 382016194 # 1145934768 # 30 31 # 230793360 # 386307709 # 1185438054 # 29 32 # 232351718 # 390696734 # 1227777193 # 28 33 # 233931261 # 395186630 # 1273252703 # 27 34 # 235532422 # 399780916 # 1322226495 # 26 35 # 237156211 # 404483275 # 1375118522 # 25 36 # 238801972 # 409397566 # 1432397932 # 24 37 # 240470730 # 414227875 # 1494678912 # 23 38 # 242163582 # 419278406 # 1562622042 # 22 39 # 243879838 # 424453607 # 1637036239 # 21 40 # 245621193 # 429758156 # 1718892212 # 20 41 # 247386980 # 435196961 # 1809365043 # 19 42 # 249178956 # 440775230 # 1909891150 # 18 43 # 250996450 # 446498305 # 2022234532 # 17 44 # 252841285 # 452371994 # 2148642981 # 16 45 # 254713463 # 458402271 # 2291895669 # 15 46 # 256612911 # 464595485 # 2455554199 # 14 47 # 258541565 # 470958329 # 2644450861 # 13 48 # 260499426 # 477497828 # 2864894681 # 12 49 # 262487160 # 484221619 # 3125282743 # 11 50 # 264505458 # 491139838 # 3437843546 # 10 51 # 266554348 # 498256113 # 3819709423 # 9 52 # 268635944 # 505581634 # 4297193536 # 8 53 # 270750304 # 513128395 # 4911255640 # 7 54 # 272898206 # 520901152 # 5729642566 # 6 55 # 275080457 # 528915798 # 6875687278 # 5 56 # 277297985 # 537178089 # 8594018365 # 4 57 # 279551349 # 545702599 # 11458691197 # 3 58 # 281841763 # 554505091 # 17188036598 # 2 59 # 284170013 # 563593031 # 34376072269 # 1 60 # 286537048 # 572987098 # Infinita. # 0 # 2 # 1 # 0 complementorum arcuum eiu$dem Quadrantis. [304]TANGENTES, ET SECANTES VSVS TABVLÆ TAM TANGEN- tium, quam $ecantium.

EX vtraq; tabula non aliter tangentes, ac $ecantes arcuum, vel complemento@ V$us tabu- læ tam tan gentium, quam $ecá- tium. rum arcuum inue$tigabimus, ac $upra $inus rectos, & $inus complementorum arcuum ex $inuum tabula eruere docuimus. Vt $i quæratur tam tangens, quam $ecans arcus grad. 50. Min. 24. inuenietur in tabula tangentium $ub grad. 50. in vertice tabu- læ po$itis, è regione Min. 24. ad $ini$tram collocatorum tangens particularum 1 2087923. qualium $inus totus ponitur 10000000. In tabula vero $ecantium repe- rietur $ub grad. 50. è regione Min. 24. $ecans earundem particularum. 15688144. Quod $i quæratur tam tangens, quam $ecans complementi arcus 39. Min. 36. repe- rietur in priori quidem tabula $upra grad. 39. in ima $ede po$itos, è regione Min 36. ad dextram collocatorum tangens eadem, quæ prius, 12087923. In po$teriori vero ta- bula eadem $ecans 15688144. propterea quòd complementum arcus grad. 39. Min. 36. complectitur grad. 50. Min. 24. cui arcui dicta tangens, ac $ecans debetur, vt patet.

I AM verò $i $inus totus a$$umatur particularum tantummodo 100000. abiectis duabus cifris ex $inu tote 10000000. ab{ij}ciendæ quoq; erunt ex $ingulis tangentibus, ac $ecantibus duæ priores figuræ ad dextram: quemadmodum de $inubus diximus.

SINVVM, TANGENTIVM, ET SECANTIVM FINIS. [305]CHRISTOPHORI CLAVII BAMBER GENSIS E SOCIETATE IESV TRIANGVLA RECTILINEA. [306] [307]CHRISTOPHORI CLAVII BAMBER GENSIS E SOCIETATE IESV TRIANGVLA RECTILINEA. PRÆFATIO.

SINVVM, linearum tan- v$us $inu@, linearũ tan gentium, & $ecantium in doctrina triangulo- rum poti$- $imum con $i$tit. gentium, & $ecantium v$us poti{$s}imum in doctrina trian- gulorum tam rectilineorum, quàm $phæricorum con$i$tit. Omnes enim A$tronomi in mo tibus cæle$tibus vel inue$tig andis, vel explican- dis explorant in triangulis beneficio $inuum, li- nearum tang entium, & $ecantium tumlatera ex angulis notis, tum etiam angulos ex lateribus cognitis. Id quod ex Epitoma Ioan. Regiom. <007>n Almage$tum, $iue magnam cõ$tructionem Pto- lomæi, ex opere Copernici dereuolutionibus cæle- $tibus, & ex aliorum A$tronomorũ $criptis per- $picuè con$tare potest. Quam ob rem cum iarn tractationem $inuum, linearum{\’que} tangentium, ac $ecantium ab$oluerimus, ordo po$tulat, vt $ci\~etiam hanc triang ulorum à Foanne Regiom. [308]PRÆFATIO. quin{que} libris diffusè explicatam, & à Gebro Hi- $palen$i Arabe, necnon à Nicolao Copernico bre- uiter quidem, $ed paulò ob$curius traditam, pro virili etiam exponamus, cum incredibil<007>s $it eo- rum vtilit as cum in rebus omnibus Mathema- ticis, tum præ$ertim in cæle$tibus motibus, & in {ij}s rebus, quæ ex illis pendent, rectè intelligendis, velinue$tig ãdis, vt dictum est, & partim etiam non ob$cure ex no$tra Gnomonica colligi pote$t, vbi permulta ad horologia pertinentia ex trian- gulis à nobis $unt demon$trata. Exordiemur autem à triangulis rectilineis, tanquam facilio- ribus, de quibus ea$olum demon$tr abimus, quæ ad res A$tronomicas, & Geometric as recte per- cipiend as nece$$aria e$$e iudicamus: Id quod e- tiam in $phæricis triang ulis ob$eruauimus. Qui plur a de$ider at, leg at Menelaum, & Mauro- lycum de sphæricis triangulis, de rectilineis ve- ro Ioannem Regiomontanum. Ante omnia au- tem explicandum erit, penes quid angulorum rectilineorum quantitas $umenda $it.

PENES QVID ANGVLI rectilinei magnitudo $umatur.

Angulorũ rectilineo- rũ magni tudo penes quid $uma tur.

ANGVLI cuiu$uis rectilinei magnitudo $umitur penes arcum circuli ex <007>p$o angulo, vt centro, de$cripti ad quodcunq; interuallum, inter rectas lineas angulum comprehendentes interceptum. Nam quil<007>bet angulus rectilineus tantus e$$e dicitur, quantus e$t arcus circuli, cuius centrum e$t inip$o angulo, inter duas lineas rectas, [309]TRIANG. RECTIL. quæ angulum continent, interiectus: ita vt quot graduum fuerit ille arcus, totidem Angulus r@ ctilineus e$t tot partiũ, quot gra- duũ e$t ar- cus circuli, cui in cen- tro in$i$tit. partium $it & angulus, qualium quatuor recti $unt 360. aut vnus rectus 90. Ex quo fit, indifferenter $inum anguli rectilinei pro $inù arcus accip<007> po$$e, & contra; quod etiam de tangente, & $ecante intelligatur: quandoquidem arcus, & angulus il- li in centro in$i$tens eundem habent partium numerum, licet diuer$i generis, cum par tes arcus $int arcus, partes vero anguli $int anguli: quamuis & partes anguli dici po$sint arcus, ita vt angulus dicatur habere tot gradus, quot in arcu, cui in$i$tit, comprehenduntur.

QVANDOCVNQVE ergo arcus angulum rectilineum metiens e$t quadrãs, id e$t, quarta pars totius circunferentiæ, angulus ei in$i$tens in centro rectus erit, nempe quarta pars quatuor rectorum, quibus $patium, quod circum$tat centrum Coroll. 2. 15. primi. circuli æqualiter omnes partes circunferentiæ re$piciens, æquale e$t; quando autem arcus idem e$t quadrante minor, angulus quoq; minor erit recto, nempe acutus: quan do deniq; arcus e$t maior quadrante, angulus etiam recto maior erit, nimirum obtu- $us. Et contra, quando angulus e$t rectus, erit arcus illum metiens quadrans: quan- do acutus, quadrante minor: quando deniq; obtu$us, maior quadrante. Quæ omnia ex lemmate $equenti erunt per$picua.

LEMMA.

RECTÆ lineæ angulum rectum comprehendentes ab$cindũt Quomodo $e habeant anguli rect<007> line<007> ad ar- cus circulo- rú ex ip$<007>s, vt centris, de$criptorũ, & contra. quadrantem ex circulo, qui ex ip$o angulo, vt centro, ad quodcunq; interuallum de$cribitur: lineæ vero rectæ angulum acutum conti- nentes auferunt arcum quadrante minorem: lineæ deniq; rect{ae} con- $tituentes angulum obtu$um intercipiunt in eodem circulo arcum maiorem quadrante. Et contra, rectæ lineæ ex centro circuli egre- dientes, quadrantem\’q; intercipientes con$tituunt angulum rectum: lineæ vero arcum quadrante minorem ab$cindentes angulum acu- tum continent: rectæ deniq; lineæ au$erentes arcum maiorem qua- drante obtu$um angulum comprehendunt.

RECTAE lineæ AB, CB, angulum rectum contineant ABC, & ex B, circulus de$cribatur ACDE. Dico arcum AC, quadrantem e$$e, &c. Quoniam enim e$t, vt angulus ABC, in centro ad qua- Coroll. 2. 33. $exti. tuor rectos, ita arcus AC, ad totam circun. ferentiam; e$t autem angulus ABC, cum re- ctus $it, quarta pars quatuor rectorum: erit quoq; arcus AC, totius circunferentiæ quar t a pars, id e$t, quadrans. Quoniam vero re- cta linea con$tituens cum recta AB, in pun- cto B, angulum acutum cadit in arcum AC, recta vero linea cum eadem AB, con$tituens angulum obtu$um in puncto B, cadit in arcum CD; liquido con$tat, rectas lineas angulum acutum in [310]TRIANGVLA centro B, con$tituentes inter cipere arcum quadrante AC, minorem, li- neas vero rectas contin\~etes angulum obtu$um ab$cindere arcum quadran te AC, maiorem.

SED auferant iam rectæ BA, BC, ex centro B, egredientes qua- àrantem AC. Dico angulum ABC, e$$e rectum, &c. Quoniam enim e$t, vt arcus AC, ad totam circunferentiam, ita angulus ABC, in cen- Coroll. 2. 33. $exti. tro ad quatuor rectos; e$t autem arcus AC, quadrans, id e$t, quarta pars circunferentiæ totius: erit quoq; angulus ABC, quarta pars quatuor rectorum, atq; adeo rectus. Quia vero rectæ ex centro B, emi$$æ, atque arcum quadrante AC, minorem auferentes angulum con$tituunt mino- rem angulo recto ABC, auferentes vero arcum quadrantc AC, maio- rem con$tituunt angulum recto angulo ABC, maiorem; per$picuum e$t, rectas lineas arcum quadrante AC, minorem intercipientes con$tituere in centro B, angulum acutum, lineas vero rectas arcum quadrante AC, maiorem includentes continere in centro B, angulum obtu$um. Quod est propo$itum.

ALITER. Contineant rur$um rectæ AB, CB, angulum rectum ABC, et ex B, circulus de$cribatur ACDE. Dico arcum AC, e$$e quadrantem, &c. Product<007>s enim rectis AB, CB, ad D, E, erunt & anguli ABE, CBD, cum $int an- gulo ABC, deinceps, recti, ex definitione; necnõ & angulus DBE, quòd angulo ABC, 23. primi. $it ad verticem æqualis, rectus. Quare cum omnes quatuor anguli ad B, centrum $int re- 26. tertij. cti, id e$t, æquales, æquales quoq; erunt qua- tuor arcus AC, CD, DE, EA; atq; adeo quilibet eorum quadrans erit. Reliqua demon$trabuntur, vt prius.

VERVM rectæ BA, BC, ex centro B, emi$$æ auferant iam qua- drantem AC. Dico angulum ABC, rectum e$$e, &c. Pro tuctis enim rectis AB, CB, ad D, E, cum angulus DBE, angulo ABC, ad verti- 23. primi. cem $it æqualis, erit & arcus DE, arcui AC, æqualis, & proinde qua- 26. tertij. drans. Semicir culum ergo conficiunt duo quadrantes AC, DE; atque adeo reliqui duo arcus AE, DC, alterum $emicir culum con$tituent. Cum 26. tertij. ergo duo arcus AE, DC, æquales $int, quòd anguli ABE, CBD, ad verticem $int æquales; erit vterq; eorum quadrans: ac propterea qua- 15. primi. tuor arcus AC, CD, DE, EA, cum $int quadrantes, æquales erunt. Quatuor ergo anguli ad centrum B, æquales quoq; erunt; atq; adeo eorum 27. tertij. quilibet erit rectus. Vel breuius. Cum AC, $it quadrans, erit quoque [311]RECTILINEA. tam in $emicirculo CAE, reliquus arcus AE, quam in $emicirculo ACD, reliquus arcus CD, quadrans: Eodem\’q, modo in $emicirculo AED, vel CDE, reliquus arcus DE, quadrans erit; & proinde qua- tuor anguliad B, quatuor quadrantibus æqualibus in$i$tentes erunt æqua- 27. tertij. les, & recti. Reliqua, vt prius, o$tendentur.

SCHOLIVM. Datis duo- bus angulis tirãgul<007> re- ct<007>l<007>ne<007>, da- tus et<007>ã erit tertius. It\~e in triãgulo rectangulo, $i detur vn<_>9 angulus a- cutus, datus quoq; erit acutus reli- quus.

_IN_ materia porro triangulorum rectilineorum, cum dantur duo anguli noti, ter tius <007>llico notus quoq; erit, cum $it complementum duorum rectorum: Item cum in triangulo rectãgulo datur vnus acutus angulus, notus etiã erit reliquus acutus, quod $it complementum vnius recti. Itaq; detractis duobus angulis notis $imul ex grad. 180. reliquus erit tertius notus. Item in tr<007>angulo rectangulo, $i detrahatur acutus no@ tus ex grad. 90. remanebit alter acutus notus. Quod $emel monu<007>$$e $atis $it.

THEOR. I. PROPOS. I.

IN omni triangulo rectilineo latera quæuis Latera triã- guli rect<007>li- ne<007> $unt $i- nubus an- gulotũ op- po$itorum proportio- nalia. duo eandem proportionem habent, quam $inus angulorum illis oppo$itorum.

SIT primum triangulum rectangulum ABC, cuius angulus rectus B. Dico e$$e AB, ad AC, vt e$t $inus anguli C, ad $inum anguli B. Item AB, ad BC, vt e$t $inus anguli C, ad $inum angu- li A, &c. Quoniam enim, vt in definitionibus $i- nuum o$tendimus, $i AC, ponatur $inus totus, latus AB, e$t $inus anguli C; & BC, $inus anguli A: liquido con$tat, ita e$$e latus AB, ad latus AC, vt e$t AB, $inus anguli C, ad AC, $inum totum anguli recti B: Vel ita e$$e latus AC, ad latus AB, vt e$t AC, $inus totus re- cti anguli B, ad AB, $inum anguli C; cum ip$a latera $int $inus angulorum oppo$itorum, ac proinde vtro- biq; $it identitatis proportio. Eadem ratione erit, vt latus AC, ad latus BC, ita AC, $inus totus anguli recti B, ad BC, $inum anguli A: Vel vt latus BC, ad latus AC, ita BC, $inus angul<007> A, ad AC, $inum totum recti anguli B. Item vt latus AB, ad latus BC, ita AB, $inus anguli C, ad BC, $inum an- guli A: Vel vt latus BC, ad latus AB, ita BC, $inus anguli A, ad AB, $i- num anguli C.

SIT deinde triangulum ABC, non rectangulum. Dico rur$us e$$e la- tus AB, ad latus AC, vt e$t $inus anguli C, ad $inum anguli B, &c. Aut enim latera a$$umpta AB, AC, æqualia $unt, autinæqualia. Siæqua- lia, erunt quoq; anguli C, B, æquales; ac proinde, vt in definitionibus $i- 5. primi. nuum docuimus, eorum $inus æquales. Quare erit, vt latus AB, ad latus AC, ita $inus anguli C, ad $inum anguli B: Vel vt latus AC, ad latus AB, ita $inus anguli B, ad $inum anguli C; cum $emper $it proportio æqualitatis. Si [312]TRIANGVLA vero latera AB, AC, $unt inæqualia, $it AC, maius, ex quo ab$cindatur re- cta CE, minori lateri AB, æqualis, & ex A, E, ad tertium latus BC, perpen diculares demittantur AD, EF, quarum vtraq; cadet intra triangulum, quando angulus B, ma- iori lateri AC, oppo$itus acutus e$t. Erit enim & tunc angulus quoq; C, acutus, cum minor $it, quam B. Quare perpendicularis AD, intra 18. pr<007>mi. Schol. 13. $ecundi. Schol. 12. $ecundi. triangulum cadet, ac proinde & perpendi@ula- ris EF. Quando vero angulus B, obtu$us e$t, cadet quidem AD, $emper extra triangulum, at EF, cadere pote$t vel extra etiam, vel in pun ctum B, vel intra triangulum. Quomodocunq; autem cadant dictæ perpendiculares, $emper ea- 18. primi. Coroll. 4. $exti. dem erit demon$tratio. Nam cum AD, EF, $int parallelæ, erunt triangula CEF, CAD, $imi- lia. Quamobrem erit, vt CE, ad EF, ita CA, ad AD. Cum ergo ex ijs, quæ 4. $exti. in definitionibus $inuum tradidimus, po$ito $inu toto CE, recta EF, $it $inus anguli C; po$ito item $inu toto AB, recta AD, $it $inus anguli ABD; $intq; $inus toti CE, AB, re$pectu quorum illi $unt $inus, æquales; liquet e$$e, vt CE, hoc e$t, latus AB, ad EF, $inum anguli C, ita latus CA, ad AD, $inum anguli ABD: Et permutando, vt latus AB, ad latus AC, ita EF, $inum anguli C, ad AD, $inum anguli ABD, hoc e$t, in po$teriori triangulo, ad $inum anguli ABC, cum duo anguli ad B, æquales $int duobus rectis, & pro- inde eundem $inum habeant, vt in definitionibus $inuum docuimus. Ex quo con$tat, ita e$$e minus latus AB, ad maius AC, vt e$t EF, $inus anguli C, mi- nori lateri oppo$iti ad AD, $inum anguli ABC, maiori lateri oppo$iti: Et conuertendo, ita e$$e maius latus AC, ad minus AB, vt e$t AD, $inus angu- li ABC, maiori lateri oppo$iti ad EF, $inum anguli C, minori lateri oppo- $iti. Non aliter o$tendemus e$$e, vt latus AB, ad latus BC, ita $inum anguli C, ad $inum anguli A: Vel vt latus BC, ad latus AB, ita $inum anguli A, ad $inum anguli C. &c. dummodo ex puncto, vbi conueniunt latera a$$umpta inæqualia, ($i forte æqualia non $unt) ducas ad latus oppo$itum lineam per- pendicularem, & minori lateri ex maiore rectam æqualem ab$cindas, initio facto ab altero puncto extremo maioris lateris, vbi cum tertio latere coniun- gitur, vt à nobis factum e$t, &c.

ALITER. Sit rur$us triangulum non rectangulum ABC: de rectangulo enim in principio huius demon$trationis iam e$t de- mon$tratum. Dico e$$e, vt latus AB, ad latus AC, ita $inum anguli C, ad $inum anguli B: Vel vt latus AC, ad latus AB, ita $inum an- guli B, ad $inum anguli C, &c. Ducta enim ex A, vbi duo late- latus AB. # $in. ang. C. latus AD. # $in. ang. D. latus AC. # $in. ang. B. ra a$$umpta co- eunt, ad tertiũ latus BC, per- p\~ediculari AD, quæ vel i@tra triangulum cadet, vel extra, prout anguli B, & C, acuti fue- [313]RECTILINEA. rint, vel alter eorũ obtu$us: erit in triangulo rectangulo ABD, vt latus AB, ad latus AD, ita $inus anguli recti D, ad $inum anguli B, vt $upra e$t demon- $tratum: Item in triangulo rectangulo ADC, vt latus AD, ad latus AC, ita $inus anguli C, ad $inum anguli rect<007> D. Ex æqualitate ergo, & perturbata proportione erit, vt latus AB, ad latus AC, ita $inus anguli C, (Hab\~et enim duo anguli ad C, in obtu$angulo triangulo eundem $inum, vt in tractatione $inuum o$tendimus. ad $inum anguli B, vt in formula $uprapo$ita apparet: Et conuertendo quoq;, vt latus AC, ad latus AB, ita $inus anguli B, ad $inum anguli C. Eodem modo concludemus e$$e, vt latus AB, ad latus BC, ita $i- num anguli C, ad $inum anguli BAC: Vel vt latus BC, ad latus AB, ita $i- num anguli BAC, ad $inum anguli C, &c. Quocirca in omni triangulo re- ctilineo latera quæuis duo eandem proportionem habent, quam $inus angu- lorum illis oppo$itorum. Quod erat demon$trandum.

SCHOLIVM. Qua rŏne ex @@<007>b<_>9 vel duobusan- gul<007>s notis cuiu$u<007>s triãgul<007> co- gno$cantur propott<007>o- nes laterũ.

_EX_ hac propo$ facile coll<007>gemus proportiones laterum cuiu$uis trianguli recti- linei, cuius omnes angul<007> cogn<007>t<007> $int, vel duo tantum Sint entm omnes anguli in triangulo _ABC,_ noti. D<007>co proportiones laterum notas e$$e. Cum enim eadem $it proportio lateris _AB,_ ad latus _AC,_ quæ $inus anguli _C,_ ad $inum anguli _B;_ $int autem $inus angulorũ @.hu<007>us. _C, B,_ notorum cognit<007> ex tabula $i- nuum; nota erit proport<007>o lateris _AB,_ ad latus _AC,_ &c. Exempli cau$a, ponatur in primo triangulo angulus _C,_ grad. _60. B,_ grad. _50. & A,_ grad. _70._ Horum $inus $unt _86602._ _76604. 93969._ E$t ergo proportio _AB,_ ad _AC,_ eadem, quæ _86602._ ad _76604._ & _AB,_ ad _BC,_ eadem, quæ _86602._ ad _93969._ & _AC,_ ad _BC,_ eadem, quæ _76604._ ad _93969._ In triangulo vero $ecun do ponatur angulus _B,_ rectus, ac proinde grad. _90. C,_ grad. _50._ & _A,_ grad _40._ Horum $inus $unt _100000. 76604. 64278._ Eritigitur _AB,_ ad _AC,_ vt _76604._ ad _100000._ & _AB,_ ad _BC,_ vt _76604._ ad _64278._ & _AC,_ ad _BC,_ vt _100000._ ad _64278._ In triangulo deniq; tertio $tatuatur angulus _B,_ obtu$us & grad. _124 C,_ grad. _30_ & _A,_ grad _26_ Horum $inus $unt ($i pro $inu anguli obtu$i acc<007>piatur $i- nus complementi <007>p$ius v$q; ad grad. _180_ nempe $inus grad _56._) _82903. 50000._ _43837_ Quare erit _AB,_ ad _AC,_ vt _50000._ ad _82903._ & _AB,_ ad _BC,_ vt _50000._ ad _43837._ & _AC,_ ad _BC,_ vt _82903._ ad _43837._

IT AQVE vt facile pro@ortiones laterum habeantur, $atis e$t, $ila- Praxis. teribus $inus angulorum oppo$itorum a$cribantur: propterea quòd late- ra eandem proportionem habent, quam oppo$itorum angulorum $inus, vt demon$tratum e$t.

_QVOD_ $i duo tantum anguli cogniti $int, erit reliquus tertius quoq; notus. Quare, vt pr<007>us, laterum proportiones cogno$centur.

_POSSVMVS_ ea$dem proportiones laterum cogno$cere ex angulis datis, $ine auxil<007>o antecedentis propo$. hoc modo. Circa datum triangulum _ABC,_ de$cr<007>ba- 5. quarti. [314]TRIANGVLA tur circulus, cuius centrum _D,_ quod cadet vel intra triangulum, vel in vnum latus, Coroll. 5. quarti. vel extra triangulum, prout triangulum fuerit vel acutangulum, vel rectangulũ, aut obtu$angulum. Ductis deinde ex centro _D,_ ad omnes angulos rectis _DA, DB, DC,_ (In rectangulo triangulo $atis e$t, $i ducatur _DA,_ quòd _DB, DC,_ partes $int late- ris _BC._) $ecentur $ingula latera, & arcus, quos $ubtendunt, bifariam in punctis _F,_ _H, K,_ & _E, G, I._ In rectangulo tamen triangulo arcus _BC,_ cui rectus angulus in$i$tit, non e$t diuidendus bifariã: In obtusangulo autem $ecãdus e$t bifariam arcus _BAC,_ in quo exi$tit obtu$us angulus, non autem arcus _BC,_ cui in$i$tit. Erunt autem me- dietates laterum $inus recti medietatum arcuum, ex defin. $inus recti. Itaq; quo- niamtam angulus _ADB,_ anguli _ACB,_ quàm angulus _ADC,_ anguli _ABC,_ & in 20. tertij. triangulo acutangulo etiam angulus _BDC,_ angul<007> _BAC,_ duplus e$t: ponuntur autem anguli triangulorum noti; erunt quoq; eorum dupli in centro cogniti. Qua- re & eorũ arcus _AB, AC,_ necnon & arcus _BC,_ in primo circulo noti erunt; ac proin de & $emi$$es eorundem. Igitur, ex tabula $inuum, dabuntur $inus harum $emi$sium, hoc e$t, $emi$$es laterum _AB, AC,_ & in triangulo acutangulo $emi$sis quoq; lateris _BC;_ propterea\’q; & tota latera _AB, AC,_ vnà cum latere _BC,_ in tr<007>angulo acno tangulo, cognita fient in partibus $inus tot<007>us _AD._ In triangulo porrò rectangulo latus _BC,_ recto angulo oppo$itum duplum e$t $inus totius, ac pro<007>nde notum in ei$dem partibus $inus tot<007>us _AD_ : In triangulo vero obtu$angulo latus _BC,_ angulo obtu$o oppo$itum ita dabitur. Quoniam arcus _AB, AC,_ dat<007> $unt, datus etiamerit totus arcus _BAC,_ ex ip$is conflatus. Igitur & eius $emi$sis _BE,_ & proinde & huius $emi$sis $inus rectus _BF,_ dabitur; propterea\’q; & totum latus _BC._ Cognita ergo erunt hacratione omnia laterain part<007>bus $emidiametri circuli triangulo circun- $cripti; & proinde eorum proportiones notæ.

ITA autem $ine longa circuitione latera cogno$ces in partibus dictæ @raxis. $emidiametri. Sinus rectus cuiu$uis anguli acuti duplicetur, & habebi- tur latus illi angulo oppo$itum in partibus dictæ $emidiametri. quod fa- cile ex demon$tratis intelligi pote$t. Nam quilibet angulus acutus con- tinet tot gradus, quot $unt in $emi$$e arcus, cui in$i$tit; Vt angulus ACB, continet tot gradus, quot $unt in arcu AG, $emi$$e arcus AB, cui in$i- $tit, propterea quòd angulus ADB, cui totus arcus AB, debetur, du- 20.tertij. plus e$t anguli ACB. Quare cum AH, $emi$$is lateris AB, $it $inus arcus AG, erit eadem AH, $inus anguli ACB: atq; adeo $inus an- [315]RECTILINEA. guli ACB, duplicatus dabit latus AB, in partibus $emidiametri AD, &c. Latus autem recto angulo oppo$itum perpetuò e$t diameter circuli circun$cripti triangulo. quare $i $emidiameter, $inus ve totus duplicetur, cognitum fiet ip$um latus. Latus deniq; obtu$o angulo oppo$itum habe- bitur, $i vterq; angulorum acutorum duplicetur, & duplicatorum $emi$- $is accipiatur. Nam $inus huius $emi$sis duplicatus illico latus o$tendet 20. tertlj. notum. Anguli namq; ADB, ADC, dupli $unt acutorum angulorum ACB, ABC: quibus quidem duplis angulis totus arcus BAC, de- betur, &c.

_IMMO_ vero $inon dentur anguli, $ed eorum tantum proportiones, cogne$ce- Quomodo ex datis {pro}- portionib<_>9 omniũ an- gulotũ tr<007>ã guli cogno $cantur ip$i anguli. mus nihilominus proportiones laterum, $i prius ex angulorum proportionibus dat{is} eorundem magnitudines inue$tigemus, hocmodo. In primo triangulo prioris figur æ huius $chol{ij} ponatur proportio anguli _C,_ ad angulum _B,_ eadem, quæ _12._ ad _10._ & anguli _B,_ ad angulum _A,_ quæ _20._ ad _28._ quæ duæ proportiones notæ $atis $unt, e- t<007>am$i proportio anguli _A,_ ad angulum _C,_ ignota $it. Inuentis autem minim{is} nu- mer{is} _6. 5._ qui eandem proportio- 35. $eptimi nem habeant, quam anguli _C, B,_ hoc e$t, quam numeri _12. 10._ $ihi mini- mi non $int; Item minimis _5. 7._ ean- dem proportionem habentibus, quam angul<007> _B, A,_ $iue numer<007> _20. 28._ $u- memus tres ho$ce numeros deinceps minimos _6. 5. 7._ in proportionibus numerorum minimorum _6. 5._ & _5 7._ qui $i non e$$ent deinceps minimi, in- quirendi e$$ent tres m<007>nimi, per ea, quæ ab Euclide demon$trata $unt lib. _8._ Erit 4. octaui. ergo angulus _C,_ vt _6. B,_ vt _5._ & _A,_ vt _7._ quos in gradibus per regulam Societatum ita notos efficiemus. Collectis numeris _6. 5. 7._ in vnam $ummam _18._ dicemus per auream regulam. Si _18._ dant grad. _180._ (tot enim grad<007>bus omnes tres anguli, hoc e$t, duo recti, æquiualent.) quid dabunt 6? quid 5? & quid 7? vt hic vides.

18. 180. grad. {6? \\ 5? \\ 7?} fiunt {60. gr. \\ 50. gr. \\ 70. gr.} pro angulo {C. \\ B. \\ A. Inueniemus\’q; angulum C, grad. 60. _B,_ grad. _50._ & _A,_ grad. _70._ Quòd $i duæ no- Quãdo pro po<007>tiones angulorũ notæ non $unt conti- nuat{ae}, quid agendum. tæ proportiones angulorum non $int continuatæ, vt in dato exemplo, cont<007>nuandæ erunt. Vt $i dicat quis. Proportio anguli _C,_ ad angulum _B,_ e$t vt _12._ ad _10._ & pro- portio anguli _A,_ ad angulum _B,_ vt _28._ ad _20._ vbi vides, eundem angulum _C,_ in vtraq; proportione e$$e con$equens: continuabimus <007>llas, $i dicamus, proportionem _C,_ ad _B,_ e$$e vt _12._ ad _10._ & _B,_ ad _A,_ vt _20._ ad _28._ Aut $i quis dicat. Proportio an- guli _C,_ ad _B,_ e$t vt _12._ ad _10._ proportio autem _A,_ ad _C,_ e$t vt _28._ ad _24._ continua- bimus eas, ponendo proportionem _A,_ ad _C,_ vt _28._ ad _24._ & _C,_ ad _B,_ vt _12._ ad _10._ Aut deniq; $i quis dicat. Proportio _C,_ ad _B,_ e$t vt _12._ ad _10._ & _C,_ ad _A,_ vt _24._ ad [316]TRIANGVLA _28._ continuabimus eas, ponendo _B,_ ad _C,_ vt _10._ ad _12._ & _C,_ ad _A,_ vt _24._ ad _28._ &c.

_SED_ demus aliud exemplum in tertio triangulo eiu$dem figuræ, in quo $it pro- portio anguli _B,_ ad angulum _C,_ vt _62._ ad _15._ & proportio anguli _B,_ ad angulum _A,_ vt _248._ ad _52._ Quoniam angulus _B,_ bis fuit antecedens, hoc e$t, proportiones datæ non $unt continuatæ, eas continuabimus, $tatuendo proportionem _A,_ ad _B,_ vt _52._ ad _248._ & _B,_ ad _C,_ vt _62._ ad _15._ Inuentis autem minimis numeris _13. 62._ eandem proportionem habentibus, quam anguli _A, B,_ $iue numeri _52. 248._ erunt duæ datæ proportiones continuatæ in his tribus numeris minimis _13. 62. 15._ vt con$tat. Col- lectis ergo ip$is in vnam $ummam _90._ inueniemus per regulam Societatum angulos in grad<007>bus, vt hic apparet.

90. 180. grad. {13? \\ 62? \\ 15?} fiunt {26. gr. \\ 124. gr. \\ 30. gr.} pro angulo {A. \\ B. \\ C. Inuentis hac ratione angulis, reperientur laterum proportiones, vt prius.

_PORRO_ in triangulo rectangulo $atis e$t, $i duorũ angulorum proportio detur. Quo pacto ex propor- tione duo- tũ tantum angulorũ in triangu- lo rectangu lo propot tiones late- rum cogno $eantur. Sit enim in $ecundo triangulo eiu$dem figuræ proportio anguli _A,_ ad angulum _B,_ re- ctum, vt _8._ ad _18._ Quoniam ergo rectus angulus _B,_ e$t grad. _90._ inueniemus per re- gulam auream angulum _A,_ e$$e grad. _40._ vt hic vides.

18. 90. grad. 8? fiunt 40. gr. pro angulo A. Reliquus ergo angulus _C,_ complectetur grad. _50._ &c. Sit rur$um proportio aculi anguli _A,_ ad angulum acutum _C,_ vt _16._ ad _20._ Quoniam ergo duo anguli _A, C,_ vni recto $unt æquales, hoc e$t, contin\~et grad. _90._ Collectis numeris _16._ & _20._ in vnam $ummam _36._ reperiemus per regulam Societatum vtrumq; angulum in gradibus, vt hic cernis.

36. 90. grad. {16? \\ 20?} fiunt {40. gr. \\ 50. gr.} pro angulo {A. \\ C. Iuuentis autem angulis hac ratione, notæ fient laterum proportiones, vt prius.

Quo pacto ex propor- tione vtriu$ uis angulo rum æqua- lium ad ter tium angu lum in triã gulo I$o$ce le inueniã- cur laterũ proportio- nes.

_EODEM_ modo in triangulo I$o$cele $atis e$t, $i proportio vtriuslibet æqualium angulorum ad tertium angulum cogno$catur, aut tert{ij} anguli ad vtrumlibet angu- lorum æqualium. Nam $i in triangulo I$o$cele _ABC,_ cu- ius duo latera _AB, AC,_ æqualia $unt, cognita $it propor- tio anguli _B,_ ad angulum _A,_ nempe eadem, quæ _10._ ad _16._ erit quoq; proportio anguli _C,_ @ad angulum _A,_ vt _10._ ad _16._ Quare duæ proportiones notæ erunt, quas continuabimus, $i dicamus proportionem _A,_ ad _B,_ e$$e, vt _16._ ad _10._ & _B,_ ad _C,_ vt _10._ ad _10._ Ex quibus inuenietur angulus _A,_ grad. _80._ & vterq; _B, C,_ grad. _50._ per ea, quæ iam demon$tra- ta $unt.

_DE_ æquilatero triangulo non e$t, quòd quicquam præcipiamus, cum in eo late- @a babeant æqualitatis proportionem.

[317]RECTILINEA.

_SED_ iam ad inuentionem laterum, atq; angulorum in triangulis rectilineis ex quibu$dam datis ac cognitis accedamus; qua in re, vt certum ordinem, ac methodum $eruemus, agemus primo loco de triangulis rectangulis, deinde vero de non rectangu- l{is}, cum in ill<007>s minor, quàm in his, difficultas reperiatur.

PROBL. 1. PROPOSITIO 2.

DATO vno latere, cum vno angulo acuto In triangu lo rectangu lo ex vno la tere dato, vna cũ an- gulo acuto reliqua in- ue$tigãtur. trianguli rectáguli, vel cum proportione duorum angulorum quorumcunq;; reliqua duo latera co- gno$cere, & quorumlibet duorum laterum pro- portionem efficere notam.

SIT triangulum ABC, cuius angulus B, rectus, $itq; primò latus AC, Quando la t<_>9 recto an- gulo oppo- $itũ datur, cum acuto angulo. recto angulo oppo$itũ datum 13. palmorum, vna cum angulo acuto C, grad. 22. Min. 37. ac proinde & cum angulo acuto A, grad. 67. Min. 23. Oportet ex his indagare reliqua latera. Quoniam, per ea, quæ in defin. Sinuum tra- didimus, po$ito $inu toto AC, latera AB, BC, $unt $inus oppo$itorum angulo rum: $unt autem anguli dati; noti erunt $inus di- ctorum angulorum; AB, quidem 38456. at BC, 92310. Per regulam ergo auream dicemus. Si AC, partium 100000. nempe quatenus $inus totus, dat 13. palmos, quid dabit AB, $inus partium 38456. & quid $inus BC, partium 92310? vt hic vides. Inueniemus\’que latus AB, palm. 5. & BC, palm. 12. ferè.

AC. # AC. # {AB.} # # {AB. 100000. # 13. # 38456? # funt # 5 # # BC. # # BC. # # 92310? # # 12

IT AQVE quando latus recto angulo oppo$itum datur cum angu- Praxis. lo vno acuto, ac proinde cum altero etiam acuto: Sifiat, vt $inus totus ad latus datum recto angulo oppo$itum, ita $inus vtriusque anguli acuti $eor$um ad aliud, reperientur latera ei$dem angulis oppo$ita in partibus men$uræ, $ecundum quam datum est latus angulo recto oppo$itum.

DEINDE datum $it vnum ex lateribus circa angulum rectum, vt BC, Quãdo la- tus vnum circa angu lum rectũ datur, cum acuto an- gulo. palmorum 12. cum angulo C, grad. 22. Min. 37. & proinde cum angulo etiam A, grad. 67. Min. 23. Oportet ex his reliqua latera inue$tigare. Quoniam per ea, quæ in lineis tangentibus, atque $ecantibus ad initium o$tendimus, po$ito $inu toto BC, latus AB, e$t tangens anguli C, & latus AC, ciu$dem $ecans, dabitur tang\~es AB, partium 41660. & $ecans AC, partium 108331. Quare per [318]TRIANGVLA regulam auream dicemus. Si BC, quatenus $inus totus partium 100000. dat 12. palmos, quid dabit tangens AB, inuenta partium 41660. & quid $ecans AC, inuenta partium 108331? vt hic cernis. Inueniemus\’que latus AB, palm. 5. & AC, palm. 13. ferè.

BC. # BC. # {AB.} # # {AB. 100000. # 12. # 41660? # fiunt # 5. # # AC. # # AC. # # 108331? # # 13.

IT AQVE cum datur vnum latus circa angulum rectum, cum vno Praxis. angulo acuto, ac proinde cum altero etiam acuto: Sifiat, vt $inus totus ad datum latus circa angulum rectum, ita tam tangens anguli acuti dato lateri adiacentis, quàm $ecans eiu$dem anguli, ad aliud, prodibit tam la- tus, quod fuit tangens, quàm latus, quod fuit $ecans, notum in partibus men$uræ, $ecundum quam latus circa angulum rectum fuit datum.

PER $olos autem $inus, cum datur vnum latus circa rectum angulum, cũ Aliter per $olos $inus. vno acuto angulo, & proinde etiam cum altero acuto, ita reliqua latera ex- quiremus. Sit rur$us datum latus BC, palm. 12. & angulus C, grad. 22. Min. 37. ac proinde angulus A, grad. 67. Min. 23. Quoniam igitur, vt in defin. $inuum diximus, po$ito $inu toto AC, latus AB, e$t $inus anguli C, & BC, $inus an- guli A: $unt autem anguli dati; noti erunt dicti $inus, vt AB, 38456. & BC, 92310. Per auream igitur regulam dicemus. Si BC, $inus partium 92310. dat palm. 12. quid dabit $inus AB, partium 38456. & quid $inus totus AC, par- tium 100000? &c. vt hic apparet. Inuenietur enim latus AB, palm. 5. & AC, palm. 13. ferè.

BC. # BC. # {AB.} # # {AB. 92310. # 12. # 38456? # fiunt # 5. # # AC. # # AC. # # 100000? # # 13.

QV ANDO ergo vnum latus datur circa angulum rectũ, & vnus Praxis. acutus angulus, ac proinde & alter acutus: Si fiat, vt $inus anguli acuti dato lateri circa angulum rectum oppo$iti ad latus datum, ita tam $inus alterius anguli acuti, quam $inus totus, ad aliud, prodibit tam latus alte- rum circa angulum rectum, quàm latus recto angulo oppo$itum, notum in partibus men$uræ, $ecundum quam latus circa angulum rectum fuit datũ. Sed expeditior e$t via per lineas tangentes, & $ecantes, cum ibi$inus to- tus in regula aurea primum locũ obtineat, & proinde diui$io fiat facilior.

QVOD $idetur vnum latus, vnà cum proportione duorum angulorum, Quando la- tus vnũ da- tur, & pro- portio duo- rum angulo rum quorũ l<007>bet. ita problema ab$oluemus. Ex proportione angulorum reperiemus acutorum angulorum magnitudines, vt in $cholio propo$. 1. o$tendimus. Quam ob rem inueniemus ex angulis notis reliqua latera, vt prius.

INVENTIS autem lateribus, manife$tum e$t, proportionem quorum- libet duorum dari in numeris, in quibus inuenta $unt. Erit enim proportio [319]RECTILINEA. AB, ad AC, ut 5. ad 13. Vel ut 38456. ad 100000. Vel ut 41660. ad 108331. &c. In his enim omnibus numeris dicta latera inuenta $unt. Dato ergo uno la- tere, cum uno angulo acuto trianguli rectanguli, &c. Quod faciendum erat.

PROBL. 2. PROPOS. 3.

DATIS duobus lateribus trianguli rectangu In triã gulo rectãgulo ex duobus late ribus notis, vel ex eorũ proportione nota, vna cũ vno latere quocunque, reliqua in- quiruntur. li, duos angulos acutos efficere notos, vna cum tertio latere. Item data proportione duorum late- rum, & in$uper vno latere dato quocunque, duos angulos acutos, vna cum reliquis duobus lateri- bus cogno$cere.

IN triangulo ABC, cuius angulus B, rectus, $it primum latus AC, recto Quando la- tus angulo recto oppo$i tum, cũ vno latere circa angulum r@ ctum datur. angulo oppo$itum, & in$uper latus AB, circa angulum rectum datum, nem- pe AC, palm. 13. & AB, palm. 5. Oportet ex his & angulos A, C, & latus ter- tium BC, explorare. Quoniam, po$ito $inu toto AC, latus AB, e$t $inus an- guli C, dicemus. Si AC, palm. 13. dat AC, $inum totum partiũ 100000. quid dabit AB, palm. 5? inueniemus\’que $inum AB, partium 38461. ut hic uides.

AC. # AC. # AB. # # AB. 13. # 100000. # 5? # fit # 38461.

Ex tabula ergo $inuum dabitur an- gulus C, grad. 22. Min. 37. ac pro- inde reliquus angulus A, grad. 67. Min. 23. Igitur & huius anguli A, $inus, nempe BC, dabitur partium 92310. ex eadem tabula $inuum. Dicemus ergo rur$um. Si $inus totus AC, par tium 100000. dat AC, palm. 13. Vel $i $inus AB, inuentus partium 38461. dat AB, palm. 5. quid dabit $inus BC, partium 92310? reperiemus\’que BC, e$- $e palm. 12. fermè, ut hic apparet.

AC. # AC. 100000. # 13. AB. # AB.} # BC. # # BC. 38461. # 13. # 5. # 92310? # fit # 12.

CVM ergo datur latus angulo recto oppo$itum, cum vno latere cir- Praxis. ca eundem angulum rectum; Si fiat, vt datum latus recto angulo oppo$i- tum ad $inum totum, ita alterum latus datum ad aliud, prodibit $inus acu ti anguli, qui lateri dato circarectum angulum opponitur. Inuento autem, beneficio huius $inus inuenti, vtro angulo acuto; Si iterum fiat, vt $inus [320]TRIANGVLA totus ad datum latus recto angulo oppo$itum; vel vt $inus anguli acuti dato lateri circa rectum angulum oppo$iti ad datum latus circa angulum rectum, ita $inus alterius anguli acuti ad aliud, cogno$cetur tertium latus in partibus men$uræ, $ec@ndum quam duo latera $unt data.

ALITER. Sit rur$us AC, palm. 13. & AB, palm. 5. Quia igitur, ut ad Aliter per li neas tang\~e- tes & $ecan- tes. initium lincarum tangentium, ac $ecantium o$tendimus, po$ito AB, $inu toto latus AC, $ecans e$t anguli A, & BC, tãgens eiu$dem; dicemus. Si AB, palm. 5. dat AB, $inum totum partium 100000 quid dabit AC, palm. 13? inuenie- mus\’q; $ecantem AC, partium 260000. ut hic patet.

AB. # AB. # AC. # # AC. 5. # 100000. # 13? # fit # 260000.

Ex tabula ergo Secantium erit angulus A, grad 67. Min. 23. & proinde reli- quus angulus C, grad. 22. Min. 37. Igitur & tangens anguli A, nempe BC, da- bitur partium 240038. ex tangentium tabula. Quare rur$um dicemus. Si $inus totus AB, partium 100000. dat AB, palm. 5. Vel $i $ecans AC, inuenta par- tium 260000. dat AC, palm. 13. quid dabit tangens BC, partium 240038? in- ueniemusque iterum BC, e$$e ferme palm. 12. ut hic con$tat.

AB. # AB. 100000. # 5. AC. # AC.} # BC. # # BC. 260000. # 13. # 240038? # fit. # 12.

IGITVR quando latus recto angulo oppo$itum datur, cum vno Praxis. latere circa angulum rectum; Si fiat, vt datum latus circa angulum re- ctum ad $inum totum, ita datum latus angulo recto oppo$itum ad aliud, prodibit $ecans anguli acuti $ub dat{is} lateribus comprehen$i. Inuento er- go, beneficio huius $ecantis repertæ, vtroque angulo acuto, & tangente acu ti anguli $ub dat{is} lateribus comprehen$i, ex tarigentiũ tabula; S@ iterum fiat, vt $inus totus ad datum latus circa angulum rectum; Vel vt $ecans acuti anguli $ub dat{is} lateribus comprehen$i ad latus datum recto angu- lo oppo$itum, ita tangens acuti anguli $ub lateribus dat{is} comprehen$i ad aliud, notum fiet tertium latus in partibus men$uræ, $ecundum quam $unt data duo latera. Verum $atius e$t per $olos $inus operari, cum tangentes lineæ, at que $ecantes nihil compend{ij} afferant, $intque per $inus inuentæ.

ADHVC aliter. Ponatur rur$um AC, palm. 13. & AB, palm. 5. Quoniã ergo quadratum rectæ AC, duobus quadratis rectarum AB, BC, æquale 47. primi. e$i; $i auferatur quadratum lateris AB, quod e$t 25. ex quadrato lateris AC, quod e$t 169 relinquetur quadratũ lateris BC, nempe 144. cuius radix qua- d<007>ata 12. dabit latus BC, palm.12. Et quia, po$ito AC, $inu toto, latera AB, BC, $unt $inus angulorum oppo$itorum, ut in defin. $inuum explicauimus: Sifiat, ut latus AC, angulo recto oppo$itum palmorum 13. ad AC, $inum totum partium 100000. ita alterutrum laterum circa angulum rectum, nempe BC, palm. 12. ad aliud, prodibit $inus anguli acuti A, $umpto lateri oppo$iti partium 92308. Ex $inuum ergo tabula dabitur angulus A, grad. 67. Min. 23. [321]RECTILINEA. atque adeo reliquus C, grad. 22. Min. 37. Hoc modo primo loco inuenitur tertium latus, deinde vero anguli:cũ alijs vijs inuenti $int prius anguli, quam tertium latus.

SINT iam duo latera AB, BC, circa rectum angulum data, vt AB, palm. Quando duo latera circa angu lum rectú data $unt, 5. & BC, palm. 12. Oportet ex his tertium latus AC, & acutos angulos in- uenire. Quoniam, ex demon$tratis in principio linearum tangentium, $ecan- tium\’que, po$ito AB, $inu toto, latus BC, tangens e$t anguli A, & latus AC, eiu$dem $ecans; dicemus. Si AB, palm. 5. dat AB, $inum totum partium 100000. quid dabit BC, palm. 12? reperiemus\’que tangentem BC, par- tium 240000. vt hic manife$tum e$t.

AB. # AB. # BC. # # BC. 5. # 100000. # 12? # $it. # 240000.

Ex tabula ergo tangentium dabitur angulus A, grad.67. Min.23. ac proinde reliquus angulus C, grad. 22. Min. 37. Igitur & AC, $ecans anguli A, dabitur ex tabula $ecantium, partium 260035. Rur$us ergo dicemus. Si AB, $inus totus partium 100000. dat AB, palm. 5. Vel, $it an- gens BC, inuenta partium 240000. dat BC, palm. 12. quid dabit AC, $ecans partium 260035? inueniemus\’que AC, palm. 13. ferè vt hic vides.

AB. # AB. 100000. # 5. BC. # BC.} # AC. # # AC. 240000. # 12. # 260035? # $it. # 13.

ITAQVE $identur duo latera circa angulum rectum: Si fiat, vt Praxis. alterutrum datorum laterum ad $inum totum, ita alterum latus datum ad aliud, proueniet tang\~es acuti anguli buic alteri dato lateri oppo$iti. In- uento ergo, beneficio huius tangentis inuentæ, vtroq; angulo acuto, in tabu- la tangentium; & extabula $ecantium, $ecante anguli acuti, qui alteri buic dato lateri opponitur: Sirur$um fiat, vt $inus totus ad primum la- tus datum; Vel vt tangens inuenta ad $ecundum latus datum, ita $ecans accepta ex tabula $ecantium, ad aliud, notum fiet latus tertium recto an- gulo oppo$itum in {ij}$dem partibus, in quibus duo latera circa angulum Aliter $ine tãgentibus & Secanti- bus. rectum data $unt.

ALITER. Sit rur$um AB, palm. 5. & BC, palm. 12. Et quoniam qua- drata laterum AB, BC, $imul æqualia $unt quadrato lateris AC; erit qua- 47.primi. dratum lateris AC, palm. 169. cuius radix quadrata dabit latus AC, palm. 13. Quia vero, vt in de$in. $inuum traditum e$t, po$ito AC, $inu toto, latera AB, BC, $unt $inus oppo$itorum angulorum: Si $iat, vt latus AC, quod an- gulo recto opponitur, inu\~etum palm. 13. ad AC, $inum totum partiũ 100000. ita alterutrum laterum circa angulum rectum, nempe AB, palm. 5. ad aliud, reperietur $inus anguli acuti C, qui accepto lateri opponitur, partiũ 38461. Ex tabula ergo $inuum dabitur angulus C, grad. 22. Min. 37. ac propterea re- liquus A, grad. 67. Min. 23. Hac via primo loco reperitur tertium latus, de- inde vero duo anguli: cum tamen alio modo anguli prius inuenti $int, quam tertium latus.

[322]TRIANGVLA

IAM vero $i detur duorum laterũ quorumlibet proportio, & vnum latus, Quãdo {pro}- portio duo rum laterũ datur, & v- nũlatus. quodcũque illud $it, $umemus numeros proportionis notæ, ac $i e$$ent partes alicuius men$ur{ae}, in quibus duo illa latera dentur; atq; ex his, vt demon$tra- uimus in hac propo$. angulos inueniemus, ac tertium latus in ei$d\~e partibus. Deinde, $i $iat, vt numerus illius lateris, quod datum e$t, ad ip$um latus datũ, ita numeri aliorum laterum $igillatim ad aliud, reperientur alia latera in par- tibus men$uræ, $ecundum quam illud alterum latus e$t datum. Vt $i propor- tio AB, ad AC, $it, vt 15. ad 39. & latus BC, palm. 12. reperietur, ex demon- $tratis, angulus A, grad. 67. Min. 23. & angulus C, grad. 22. Min. 37. latus vero BC, partium 36. qualium AB, e$t 15. & AC, 39. Quare $i fiat, vt latus BC, inuentum partium 36. ad idem BC, datum palm. 12. ita tam AB, partium 15. quàm AC, partium 39. ad aliud, inuenietur AB, palm. 5. & AC, palm. 13. Datis ergo duobus lateribus trianguli rectanguli, duos angulos acutos effeci- mus notos, &c. Quod erat faciendum.

SCHOLIVM.

_ABSOLVTVS_ iam e$t rectangulorum triangulorum calculus, $equitur de triangulis non rectangulis. Sed prius quædam ad hanc rem nece$$aria demon$tranda $unt, quorum nonnulla plurimum etiam triangulis $phæricis conducent.

THEOR. 2. PROPOS. 4.

SI diameter circuli chordam quamlibet, eius\’q; Quam pro portionem habeãt duo $egmenta cuiu$que chordæ. arcum $ecet in duas partes; habebunt $egmenta chordæ eandem proportionem, quam $inus $eg- mentorum arcus re$pondentium.

IN circulo ABCD, diameter AC, $ecet chordam BD, in E, eiu$\’que ar- cum BAD, in A, uel BCD, in C: ducantur\’que BF, DG, ad diametrum AC, perpendiculares; quarum BF, $inus e$t arcus BA, uel BC: & DG, $i- nus arcus AD, uel CD. Dico ita e$$e BE, ad ED, ut BF, ad DG. Quoniam enim in triangulis BE F, DEG, anguli F, G, æquales $unt, utpote recti: It\~e 15. primi. anguli E, ad uerticem æquales; æquiangula erunt 32. primi. triangula BEF, DEG. Quare erit, ut BE, ad BF, 4.$exti. ita ED, ad DG: Et permutando, ut BE, ad ED, ita BF, ad DG. Si ergo diameter circuli chordam quamlibet, eius\’q; arcum $ecet in duas partes, &c. Quod erat demon$trandum.

THEOR. 3. PROPOS. 5.

SI in circulo chorda cuiu$libet arcus ad vnam Quã {pro}por tionem ha beat chor- da circuli partem producatur, conueniat\’q; cum diametro [323]RECTILINEA. quauis ad eandem partem producta; erit eadem producta, & cũ dia- metro pro- ducta con- uen<007>ens, ad $egm\~etum exterius. proportio totius chordæ productæ ad $egm\~etum exterius, quæ $inus arcus inter punctú, per quod diameter producta e$t, & remotius punctum ex- tremum dictæ chordæ, ad $inum arcus inter idem punctum diametri, & propinquius punctum ex- tremum eiu$dem chordæ.

IN circulo ABCD, chorda AD, arcus AD, ad partes D, producta con- ueniat cum diametro BC, ad ea$dem partes producta in puncto E; demittan- tur\’que AF, DG, ad diametrum BC, perpendiculares; quarum AF, $inus e$t arcus AC: & DG, $inus arcus CD. Dico ita e$- $e AE, ad DE, ut AF, ad DG. Quoniam enim AF, DG, parallelæ $unt obangulos rectos F, 28. primi. Coroll. 4. $exti. G; $imilia erunt triangula AEF, DEG. Qua- re erit, ut AE, ad AF, ita DE, ad DG: Et per- mutando, ut AE, ad DE, ita AF, ad DG. Si igitur in circulo chorda cuiu$libet arcus ad unam partem producatur, conueniat\’que cum diametro quauis, &c. Quod o$tendendum erat.

PROBL. 3. PROPOS. 6. Ex $umma data duorũ arcuũ, quo rum quili- bet $emicir culo minor $it, vel duo- rum angu- lotum, vna cũ propor- ticne, quã eorũ $inus hab\~e@, vter- que cogno $citur.

DATO aggregato duorum arcuum, quo- rum $inguli $emicirculo $int minores, vel duorum angulorum rectilineorum, $iue minus illud $it, $i ue maius, quàm grad. 180. vnà cum proportione, quam eorum $inus habent: vtrum queillorum $i gillatim exhibere notum.

IN circulo ABCD, cuius centrum E, datum $it primo aggregatum ar- Quãdo ag gregatũ ar- cuum, vel angulorũ minus e$t, quã grad. 180. cuum BF, FD, quorum $inguli $int $emicirculo minores, uel angulorũ BEF, FED, & aggregatum tam arcuum, quàm angulorum minus, quàm grad. 180. nimirum datum $it grad. 130. Data quoque $it proportio $inus arcus BF, vel anguli BEF, ad $inum arcus FD, uel anguli FED, ead\~e, quæ 10.ad 5. Opor- tet ex his utrumque arcum BF, FD, uel utrumque angulum BEF, FED, notum efficere. Ducta chorda BD, ducatur ex puncto F, ubi dati arcus con- iunguntur, diameter FC, $ecans chordam BD, in G. Diui$o quoque toto ar- [324]TRIANGVLA cu BAD, bifariam in A, $ecabit $emidiameter ducta EA, chordam BD, bi- 3. tertij. fariam in H, ex lemmate ad defin. $inuum demon$trato; atque adeo & ad an- gulos rectos. Quoniam vero proportio $inus arcus BF, ad $inum arcus FD, ponitur, vt 10. 4.huius. ad 5. e$t\’que vt $inus arcus BF, ad $inum ar- cus FD, ita BG, ad GD; erit quoque BG, ad GD, vt 10. ad 5. Po$ita igitur recta BG, 10. erit GD, 5. ac proinde tota BD, 15. vtraque vero $emi$sis BH, HD, 7 {1/2}. & de- nique HG, differentia inter $emi$$em BH, & maius $egmentum BG, vel inter $emi$$em HD, & minus $egmentum GD, erit 2 {1/2}. Rur$us quia totus arcus BAD, ponitur grad. 130. erit vtraque $emi$sis BA, AD, grad. 65. ac proinde & vterque angulus BEA, AED, graduum quoque 65. Et quoniam ex ijs, quæ ad initium tangentium, $ecantium\’que tradidimus, po$ito $inu toto EH, recta BH, tangens e$t angu- li BEH, & HG, tangens anguli HEG; dabitur, ex tangentium tabula, tan- gens grad. 65. nempe BH, partium 214451. Quare, vt tangentem anguli AEF, nimirum HG, inueniamus, dicemus per auream regulam. Si BH, $emi$sis ag- gregati terminorum proportionis datæ, nempe 7 {1/2}. dat BH, tangentem $e- mi$sis aggregati angulorum BEF, FED, vel arcuũ BF, FD, partium 214451. quid dabit HG, differentia inter $emi$$em aggregati terminorum datæ pro- portionis, & vtrumlibet terminorum eiu$dem proportionis, nimirum 2 {1/2}? in- ueniemus\’q; tangentem HG, partium 71484. vt hic factum vides.

BH. # BH. # HG. # # HG. 7 {1/2}. # 214451. # 2 {1/2}? # $it # 71484.

Ex tabula ergo tangentium elicietur angulus HEG, hoc e$t, arcus AF, grad. 35. Min. 34. qui additus $emi$si AB, grad. 65. componet arcum BF, maiorem, a@q; adeo & angulum BEF, grad. 100. Min. 34. ablatus vero ex $emi$$e AD, relinquet arcum minorem FD, & proinde & angulum FED, grad.29. Min.26.

ITAQVE, quando duo arcus $imul minores $unt, quàm $emi@ir- Praxis. culus, vel duo anguli $imul duobus rectis minores: Si fiat, vt $emi$$is ag- gregatiterminorum proportionis datæ ad tangentem $emi$$is aggregati ar cuum, vel angulorum (quærendo tangentem per partem proportionalem re$pondentem 30. $ecundis, $i forte aggregatum bifariam diuidi nequeat $ine Secund<007>s.) ita differentia inter $emi$$em aggregati terminorum datæ proportionis, & alterutrum terminorum, ad aliud, reperietur tangens ar cus, vel anguli, quo vterque arcus, angulusve quæ$itus à $emi$$e aggregati eorundem differt. Additus igitur arcus, vel angulus buius inuentæ tan- gentis ad $emi$$em dabit maiorem arcum, vel angulum; ablat us vero ex eadem $emi$$e relinquet arcum, vel angulum minorem.

ALITER. Producta $emidiametro BE, ad K, & diametro CF, produ- Alia demõ. $tratio. cta, donec in L, conueniat cum recta KDL, ex K, per D, ducta, agatur EI, ad 3.tertij. DK, perpendicularis, quæ ip$am DK, bifariam $ecabit; ac proinde cum late- [325]RECTILINEA. ra DE, EI, lateribus KE, EI, æqualia $int, & ba$is DI, ba$i KI; angulus DEI, angulo KEI, æqualis erit. Quia ergo arcus BFD, datus e$t grad. 130. dabi- 8.primi. tur reliquus DK, de $emicirculo grad. 50. & eius $emi$sis, id e$t, angulus DEI, grad. 25. Rur$us quia finus arcus BF, ad $inum arcus FD, ponitur, ut 10. ad 5. e$t\’que idem $inus arcus KF, qui arcus BF, vt in defin. $inuum o$ten$um e$t: erit quoque $inus arcus KF, ad $inum arcus DF, vt 10.ad 5. Cum ergo $it, vt $inus arcus KF, ad $inum arcus DF, ita KL, ad DL; erit etiam KL, ad DL, vt 5.huius. 10.ad 5. Po$ita igitur KL, 10. erit DL, 5: ac proinde & reliqua KD, 5. & eius $emi$sis ID, 2 {1/2}. At quoniam, vt ad initium tangentium & $ecantiũ diximus, po$ito $inu toto EI, recta ID, tangens e$t anguli DEI, hoc e$t, grad. 25. da- bitur ID, ex tabula tang\~etium, partium 46631. Dicemus ergo per auream re gulam. Si ID, $emi$sis differentiæ inter terminos proportionis datæ, nempe 2 {1/2}. dat ID, tangentem $emi$sis differentiæ inter aggregatum datum, & $emi- circulum, partium 46631. quid dabit IL, compo$ita ex $emi$$e differentiæ in- ter terminos datæ proportionis, & con$equente eiu$dem proportionis, nimi- rum 7 {1/2}? reperiemus\’que IL, partium 139893. qualium ID, e$t 46631. vel EI, 100000. vt hic vides.

ID. # ID. # IL. # # IL. 2 {1/2}. # 46631. # 7 {1/2}? # $it # 139893.

Cum ergo IL, $it tangens anguli IEL, po$ito $inu toto EI, vt in tractatione tangentium ac $ecantium tradidimus; dabitur, ex tangentium tabula, angulus IEF, grad. 54. Min. 26. Ablato ergo angulo DEI, grad.25. nimirum $emi$$e differentiæ inter datum aggregatum, & $emicirculum, reliquus erit angulus FED, ac propterea & arcus FD, minor, grad.29. Min. 26. qui $ubtractus ex da- to aggregato grad. 130. relinquet angulum BEF, & proinde & arcum BF, maiorem, grad.100. Min.34. vt prius.

IGITVR $i fiat, vt $emi$$is differentiæ inter terminos proportio- Praxis. nis datæ ad tangentem $emi$$is diff rentiæ inter aggregatum datum, & $emicirculum, ita aggregatum ex $emi$$e differentiæ inter terminos datæ proportionis, & con$equente eiu$dem proportionis, ad aliud, inuenietur tangens anguli, à quo $i dematur $emi$$is differentiæ inter datum aggrega- tum, & $emicir culum, reliquus erit angulus, $eu arcus minor quæ$itus: qui detractus ex aggregato dato, relinquet maior\~e angulum, $ine arcũ qu{ae}$itũ.

ALITER adhuc per $olos $inus $ine tangentibus. Ijsdem po$itis, quo- Aliter abs- que tang\~e- tibus. niam vt in $inubus declarauimus, po$ito $inu toto EB, recta BH, e$t $inus an- guli BEH, nempe $emi$sis aggregati angulorum, vel arcuũ dati, nempe grad. 65. & HE, $inus anguli EBH, grad. 25. vtpote complementi anguli BEH; dabitur ex tabula $inuum, BH, partium 90631. at HE, partiũ 42262. Quòd $i dicamus. Si BH, $emi$sis aggregati terminorum proportionis datæ, nempe 7 {1/2}.dat BH, $inum $emi$sis aggregati angulorum, vel arcuum, partiũ 90631. quid dabit HG, differentia inter $emi$$em aggregati terminorum proportio- nis datæ, & alterutrum terminorum, nimirum 2 {1/2}? reperiemus HG, partium 30210. qualium $inus totus EB, e$t 100000. vel EH, 42262. vt hic patet.

BH. # BH. # HG. # # HG. 7 {1/2}. # 90631. # 2 {1/2}? # $it # 30210.

Quia vero quadrata rectarum HE, HG, nempe 1786076644. 912644100. 47. primi. [326]TRIANGVLA quadrato rectæ EG, æqualia $unt, $i ea <007>n vnam $ummam colligamus, fiet qua- dratum rectæ EG, 2698720744. cuius radix quadrata dabit EG, partium 51949. Cum autem, po$ito $inu toto EG, recta HG, $inus $it anguli HEG, vt in $inuum defin. diximus, dicemus rur$um. Si EG, inuenta partium 51949. dat EG, $inum totum partium 100000. quid dabit HG, inuenta partium 30210? inueniemusque HG, $inum anguli HEG, partiũ 58153. vt hic vides.

EG. # EG. # HG. # # HG. 51949. # 100000. # 30210? # $it. # 58153.

Ex $inuum ergo tabula dabitur angulus HEG, $iue arcus AF, grad. 35. Min. 34. qui additus $emi$si AB, grad. 65. exhibebit maiorem arcum BF, ideo\’que & angulum BEF, grad. 100. Min. 34. ablatus vero ex $emi$$e AD, reliquum faciet arcum minorem FD, atque adeo & angulum FED, grad. 29. Min.26. vt prius.

QVOCIRCA, quando aggregatum duorum arcuum, vel angulo- Praxis. rum minus e$t, quam grad. 180. Si fiat, vt $emi$$is aggregati terminorum proportionis datæ ad $inum $emi$$is aggregatiarcuum, angulorumve, ita differentia inter $emi$$em aggregati terminorum datæ proportionis, & alterutrum terminorum, ad aliud, inuenietur numerus; cuius quadr atum $i adiungatur quadrato $inus complementi $emi$$is aggregati arcuum, $eu angulorum; Et tandem fiat, vt compo$iti buius numeri radix quadrata ad $inum totum, it a numerus per auream regulam nuper inu\~etus ad aliud, producetur $inus anguli, $iue arcus, quo vter angulus, arcusve quæ$itus ab eorundem aggregati $emi$$e differt. Additus ergo arcus, $iue angulus buius $inus inuenti ad $emi$$em aggregati dati, dabit maiorem arcum, vel angulum; ablatus vero ex eadem $emi$$e relinquet minorem arcum, $iu@ angulum. Sed priores duæ viæ longe $unt expeditiores; vt per$picuum e$t

DETVR deinde aggregatum arcuum BC, CD, quorum $inguli $emicit Quádo ag- gregatũ ar cuũ, vel an gulorũ ma <007>us e$t, quá grad.180. culo quoq; $int minores, vel angulorum BEC, CED, at aggregatum tam arcuum, quam angulorum $uperet grad. 180. nempe detur grad. 230. Detut item proportio $inus arcus BC, vel anguli BEC, ad $inum arcus CD, vel an- guli CED, eadem, quæ 10. ad 5. Oportet ex his vtrumq; arcum BC, CD, vel vtrumq; angulum BEC, CED, elicere. Ducta diametro CF, & detracto da- to aggregato ex integro circulo, hoc e$t, ex grad. 360. reliquum erit aggrega- tum arcuum BF, FD, vel angulorum BEF, FED, grad. 130. minus, quam grad. 180. Et quoniam arcus BC, BF, eundem $inuum habent, necnon & ar- cus CD, FD, vt in de$in. $inuum diximus, data quoq; erit proportio $inuum arcuum BF, FD, vel angulorum BEF, FED, eadem, quæ 10. ad 5. Quam ob rem, vt iam demon$tratum e$t, inueniemus arcus BF, FD, vel angulos BEF, FED, grad. 100. Min. 34. & grad. 29. Min. 26. qui ex $emicirculo, hoc e$t, ex grad. 180. $ublati relinquent arcus BC, CD, vel angulos BEC, CED, grad. 79. Min. 26. & grad. 150. Min. 34.

QVANDO ergo aggregatum duorum arcuum, $eu angulorum ma- Praxis. ius e$t, quam grad. 180. Si illud ex grad. 360. auferamus, remanebit aggregatum aliorum duorum arcuum, vel angulorum minus, quam grad. [327]RECTILINEA. _180._ Quare $i, vtiam demon$tratum e$t, beneficio buius aggregatimino- ris, & proportionis datæ, vtrum arcum, vel angulum inquir amus, & vtrumq, inuentum $igillatim ex grad. _180._ demamus, noti relinquentur arcus, vel anguli quæ$iti.

QVOD $i quando proportio $inuum data $it proportio æqualitatis, hoc Quando fi- nuum pro- portio da- ta e$t {pro}por tio æquali- tatis. e$t, $inus $int æquales, erunt quoq; tam duo arcus, quam duo anguli æqua- les, vt in de$in. $inuum o$tendimus. Quapropter $emi$sis dati aggregati dabit vtrumq; arcum, $iue angulum cognitum. Dato igitur aggregato duorum ar- cuum, quorum $inguli $emicirculo $int minores, vel duorum angulorum re- ctilineorum, &c. vtrumq; illorum $igillatim exhibuimus notum. Quod fa- ciendum erat.

SCHOLIVM.

_SI_ aggregatum duorum arcuum, vel angulorum fuerit præcisè grad. _180_ non Quãdo ag- gregatũ da tũ continet grad. 180. problema $olui non pote$t. poterunt arcus illi, vel anguli cogno$ci, etiam $i proportio, quam eorum $inus habent, data $it. Nam quomodocunq; $emicirculus in duos arcus $ecetur, habebunt $emper eorum $inus proportionem æqualitatis, cum vnus, & idem $inus $it vtriu$q; arcus, vt ad defin. $inuum demon$trauimus. _Ne_ce$$e e$t ergo, aggregatum datum vel minus e$- $e, vel maius, quam grad. _180._ vt in propo$itione expre$$um e$t.

PROBL. 4. PROPOS. 7. Ex diffe- rentia data duorum, ar cuũ, quorũ quilibet $e- micirculo minor $it, vel duorũ angulorũ, vna cũ pro portione, quã eorum $inus ha- bent, vter cogno$cit.

DATA differentia duorum arcuum, quorum $inguli $emicirculo $int minores, vel duorum an- gulorum rectilineorum, vna cum proportione, quam eorum $inus habent: vtrumq; illorum $igil- latim notum efficere.

IN circulo ABCD, cuius centrum E, $uperet arcus BF, $emicirculo Quãdo $i- n<_>9 maioris arcus, vel anguli ad $inum mi- noris ha- bet propor tion\~e maio ris in{ae}qua- litatis. minor arcum DF, arcu BD, vel angu- lus BEF, angulum DEF, angulo BED, $itque differentia hæc, nempe arcus BD, vel angulus BED, data grad. 60. Proportio quoque $inus maioris arcus BF, vel angu- li BEF, ad $inum arcus minoris DF, vel anguli DEF, $it primo maioris inæqualita- tis data, eadem, quæ 11. ad 5. quod quidem contingit, quando duo arcus BF, DF, $emi- circulo $unt minores $imul $umpti. Oportet ex his vtrumque arcum BF, DF, $iue vtrum- que angulum BEF, DEF, cognitum facere. Ducta chorda BD, & diametro CF, conue- [328]TRIANGVLA nient hæ lineæ productæ ad partes D, F, vt in puncto G. Cum enim $inuum proportio $it data maioris inæqualitatis, maior erit $inus arcus BF, hoc e$t, perpendicularis ex B, ad CF, demi$$a, $inu arcus DF, hoc e$t, perpendiculari ex D, ad CF, demi$$a. Quare minus di$tabit punctum D, à recta CF, quàm pun- ctum B; atque adeo tandem coibunt BD, CF, productæ ad partes D, F. Quod etiam ita probabitur. Si ambo $inus, hoc e$t, perpendiculares ex B, D, ad CF, 28.primi. demi$$æ e$$ent æquales, cum ip$æ $int paral- lelæ, e$$ent quoque BD, CF, parallelæ. Cũ 33.primi. ergo perpendicularis ex D, demi$$a minor $it, e$$icitur, vt conueniant, &c. Diui$o dein- de arcu BD, bifariam in A, $ecabit $emidia- meter ducta EA, chordã BD, quoq; bifariã in H, ex lemmate ad defin. $inuum demon- 3.tertij. $trato; & proinde & ad angulos rectos. Quo- niam vero proportio $inus arcus BF, ad $i- num arcus DF, e$t, ex hypothe$i, vt 11. ad 5. e$t\’que vt $inus arcus BF, ad $inum arcus 5.huius. DF, ita BG, ad DG; erit quoque BG, ad DG, vt 11. ad 5. Po$ita igitur recta BG, 11. erit DG, 5. ac proinde reliqua BD, 6. vtraque uero $emi$sis BH, HD, 3.ac denique HG, 8. Rur$us quia arcus BD, ponitur grad. 60. erit utraque $emi$- $is BA, AD, grad. 30. propterea\’que & uterque angulus BEA, AED, gra- duum quoque 30. Et quia, po$ito $inu toto EH, recta HD, tangens e$t angu- li DEH, & HG, tangens anguli HEG, ut ad initium tangentium, atque $ecãtium monuimus; dabitur ex tangentium tabula, tangens grad. 30. hoc e$t, HD, partium 57735. Quapropter, ut tangentem HG, anguli HEG, cogno$- camus, dicemus per auream regulam. Si HD, $emi$sis differentiæ terminorum proportionis datæ, nempe 3. dat HD, tangentem $emi$sis differentiæ datæ arcuum BF, FD, uel angulorum BEF, DEF, partium 57735. quid dabit HG, aggregatum ex $emi$$e differentiæ terminorum datæ proportionis, & con$equente eiu$dem proportionis, nimirum 8? proueniet\’que HG, tangens partium 153960. ut hic apparet.

HD. # HD. # HG. # # HG. 3. # 57735? # 8? # $it. # 153960.

In tangentium autem tabula hæc tangens inuenta offert angulum AEF, $iue arcum AF, grad. 57. cui $i addatur $emi$sis AB, grad. 30. dabitur maior arcus BF, $iue angulus BEF, grad. 87. $i uero ab eodem $ubtrahatur $emi$sis AD, grad.30. remanebit minor areus DF, uel angulus DEF, grad.27.

IGITVR quando proportio $inus maioris arcus, vel anguli, ad $i- Praxis. nũ minoris e$t maioris inæqualitatis: Si $iat, vt $emi$$is differentiæ termi- norum proportionis datæ ad tangentem $emi$$is differ\~etiæ arcuum, vel an- gulorum datæ, ita aggregatum ex $emi$$e differentiæ terminorum propor- tionis, & con$equente proportionis ad aliud, producetur tangens arcus, vel anguli, qui $emi$$i differentiæ arcuum, vel angulorum datæ additus componit maiorem arcum, $eu angulum; & $i ab eodem $emi$$is dicta $ubducatur, remanet arcus, vel angulus minor.

[329]RECTILINEA.

ALITER $ine tangentibus per $olos $inus. Iisdem po$itis, quoniam, per Aliter $ine tãg\~etibus. ea, quæ in $inuum de$in. o$tendimus, po$ito $inu toto ED, recta HD, $inus e$t anguli HED, nimirum $@mi$sis differentiæ arcuum, vel angulorum datæ, hoc e$t, grad. 30. & HE, $inus anguli HDE, grad. 60. vt pote complementi anguli HED; dabitur ex $inuum tabula, HD, partium 50000. & EH, par- tium 86603. Iam vero $i dicamus. Si HD, $emi$sis differentiæ terminorum proportionis datæ, nimirum 3. dat HD, $inum @0000. vtpote $inum $emi$sis differentiæ arcuũ, angulorum ve datæ, quid dabit HG, aggregatũ ex $emi$$e differentiæ terminorum proportionis, & con$equente eiu$dem proportionis, nempe 8? inueniemus HG, e$$e 133333. re$pectu $inus totius ED, vt hic vides.

HD. # HD. # HG. # # HG. 3. # 50000. # 8? # $it. # 133333.

Igitur, cum quadrata rectarum EH, HG, nempe 7499906404. 17777688889. æqualia $int quadrato rectæ EG, fiet quadratum rectæ EG, 25277595293. 47.primi. cuius radix quadrata indicabit rectam EG, e$$e 158989. re$pectu $inus totius ED. Cum autem, vt in no$tris $inubus diximus, po$ito $inutoto EG, recta HG, $it $inus anguli HEG; dicemus rur$um. Si EG, inuenta partiũ 158989. dat EG, $inum totum partium 100000. quid dabit HG, inuenta partium 133333? reperiemus\’q; HG, $inum anguli HEG, partiũ 83863. vt hic apparet.

EG. # EG. # HG. # # HG. 158989. # 100000. # 133333? # $it. # 83863.

Hic $inus in tabula $inuum mon$tratarcum grad. 57. Tantus e$t ergo angulus AEF, $iue arcus AF; cui $i adijciatur $emi$sis AB, grad. 30. fiet arcus maior BF, & angulus BEF, grad. 87. Sivero ab eodem minuatur $emi$sis AD, grad. 30. reliquus erit minor arcus DF, & angulus DEF, grad. 27. vt prius.

SI igitur (quando proportio $inuum data e$t maioris inæqualitatis) Praxis. f<007>at, vt $emi$$is differentiæ terminorum proportionis datæ ad $inum $emi$- $is differentiæ arcuum, vel angulorum datæ, ita aggregatum ex $emi$$e differentiæ terminorum proportionis, & con$equente eiu$dem proportio- nis, ad aliud, inuenietur numerus; cuius quadratum $i ad{ij}ciatur quadra- to $inus compl@menti $emi$$is differentiæ arcuum, vel angulorum datæ: Et tandem fiat, vt compo$iti buius numeriradix quadrata ad $inum totum, itanumerus per regulam auream nuper inuentus ad aliud, inuenietur $i- nus anguli, $iue arcus, cui $i addatur $emi$$is differentiæ arcuum, vel an- gulorum datæ, notus fict maior arcus, $iue angulus: Ab eodem vero $i eadem $emi$$is detrahatur, remanebit minor arcus, angulusve cognitus. Sed prior ratio breuior e$t, vt con$tat.

ADHVC aliter tam per tangentes, quam per $inus. Ij$dem po$itis, & exten$a recta BE, v$q; ad I: Quoniam arcus BD, hoc e$t, differentia arcuum BF, DF, datur grad. 60. dabitur reliquus $emicirculiarcus DI, nimirum ag- gregatum arcuum DF, FI, grad. 120. Datur autem & proportio $inus arcus BF, hoc e$t, arcus FI, (cum arcus BF, FI, eundem $inum habeant, vt in de- fin. $inuum diximus.) ad $inum arcus DF, eadem, quæ 11. ad 5. Quare, vt de- mon$tratum e$t, vterq; arcus IF, DF, cogno$cetur, quorum DF, e$t minor 6.huius. propo$itorum arcuum: at FI, complementum maioris BF, v$q; ad $emicir- [330]TRIANGVLA culum, ac proinde ex $emicirculo $ublatus maior\~e BF, notum relinquet. Erit 26. tertij. aut\~e $emper arcus IF, maior, quam DF, propterea quod {ae}qualis e$t arcus IF, arcui BC, qui maior e$t arcu DF, quòd illius $inus maior ponatur $inu huius.

QVOCIRCA {ij}$dem po$itis: Siex data proportione $inuum ma- Praxis. ioris inæqualitatis, & ex arcu, quirelinquitur po$t detractionem differen tiæ datæ ex $emicirculo, tanquam aggregato duorum arcuum, inquiran- tur duo arcus buius aggregati, vt in antecedente propo$. o$ten$um e$t; da- bit maior inuentus, $i ex $emicirculo auferatur, maiorem arcum, atque adeo & angulum propo$itum; minor vero inu\~etus erit minor propo$itus.

DEINDE $uperet arcus DBC, $emicirculo minor arcũ BC, arcu DB, vel Quãdo $i- nus maio- ris arcus, aut anguli ad $inum minoris {pro} portionem minoris in{ae}qualita tis habet. angulus DEC, angulũ BEC, angulo DEB; $it\’q; differ\~etia h{ae}c, n\~epe arcus DB, vel angulus DEB, data grad.60. Proportio quoq; $inus arcus maioris DBC, vel anguli DEC, ad $inũ arcus minoris BC, vel anguli BEC, $it data, & mi- noris inæqualitatis, eadem, quæ 5. ad 11. quod quidem accidit, quando duo arcus $imul $umpti DBC, BC, $emicirculũ excedũt. Oportet ex his vtrumq; arcum DBC, BC, vel vtrumq; angulum DEC, BEC, notum fieri. Ij$dem con$tructis, quæ prius, non conueniet chorda DB, cum diametro CF, ad par tes B, C, minoris arcus producta, $ed ad partes D, F, vt ex ijs, quæ ad initium huius propo$. o$tendimus, manife$tum e$t. Quia vero tam arcus DBC, DF, eundem $inum habent, quam arcus BC, BF, erit quoq; proportio $inus arcus DF, ad $inum ar- cus BF, data, eadem, quæ 5. ad 11. & proinde proportio $inus arcus BF, ad $inum arcus DF, vt 11. ad 5. nempe maioris inæqualitatis. Qua- recum arcus BF, DF, eandem differentiam habeant BD, datam, reperiemus vtrumq; ar- cum BF, DF, atq; adeo & vtrumq; angulum BEF, DEF, vt ante demon$trauimus, illum ni- mirum grad. 87. hunc vero grad. 27. qui ex $e- micirculo $igillatim detracti relinquent mino- rem arcum propo$itum BC, grad. 93. maiorem vero DBC, grad. 153.

ITAQVE, quando proportio $inuum data e$t minoris inæqualita- Praxis. tis: Si inuertatur, vt fiat maioris in{ae}qualitatis proportio, & ex hac, et dif ferentia data inquirantur duo arcus, dabit maior inuentus, $i ex $emicir culo dematur, minorem arcum, atq; angulum propo$itum, minor vero, $i ex eodem $emicirculo au$eratur, maiorem.

IAM vero $i quãdo $inuum data proportio fuerit æqualitatis; quod qui- Quandò proportio $inuũ e$t {ae}- qualitatis. dem euenit, quando duo arcus propo$iti BF, DF, $emicirculo æquantur, erunt arcus DF, BC, æquales, vt in $inuum defin. demon$trauimus, ob æqua- litatem $inuum.

QVARE $itunc data differentia grad. 60. nempe arcus BD, ex $e- Praxis. micirculo detrabatur, & re$idui arcus grad. 120. $emi$$is, nempe grad. 60. ad differentiam addatur, componetur maior arcus BF, $iue angulus [331]RECTILINEA. BEF, grad. _120._ Ip$a vero $emi$$is erit arcus minor DF, vel angulus DEF, grad. _60._ Ita $i differentia data complectatur grad. _104._ Min. _20._ detrahemus eam ex grad. _180._ & reliqui arcus grad. _75._ Min. _40._ $emi$$em, nempe grad. _37._ Min. _50._ datæ differentiæ addemus, vt com- ponatur maior arcus, $eu angulus propo$itus, grad. _142._ Min. _10._ Minor enim erit io$a differentiæ $emi$$is grad. _37._ Min. _50._

QVOCIRCA, data di$$erentia duorum arcuum, quorum $inguli $e- micirculo $int minores, vel duorum angulorum rectilineorum, &c. vtrumq; illorum $igillatim notum effecimus. Quod faciendum erat.

THEOR. 4. PROPOS. 8.

SI ab angulo trianguli cuiu$uis duobus lateri- Quãto ma ius $it qua- dratũ ma- ioris late- r<007>s. quàm minoris in quouis triã gulo. bus inæqualibus comprehen$o linea perpendicu- laris ad ba$im ducatur, $i quidem intra triangu- lum cadit, erit quadratum ma<007>oris laterum dictum angulum ambientium maius, quam quadratum minoris, rectangulo $ub ba$e, & differentia $eg- mentorum à perp\~ediculari factorum comprehen- $o: $i vero extra cadit, erit quadratum maioris la- teris maius, quam quadratum minoris, rectangu- lo $ub ba$e, & recta linea, quæ ex ba$e, & duplo ex- terioris lineæ inter perpendicularem, & angulum trianguli componitur, comprehen$o.

IN triangulo ABC, cuius duo latera AB, AC, inæqualia $int, AC, maius, & AB, minus, ducatur ex angulo A, ad ba$im BC, perpendicu- laris AD, cadens primùm intra triangulum, vt in priori figura. Et quoniam tam quadrata re- ctarum AD, DB, quadrato rectæ AB, quàm 47. primi. quadrata rectarum AD, DC, quadrato rectæ AC, æqualia $unt; e$t autem quadratum rectæ AB, minus quadrato rectæ AC, quòd minor po natur recta AB, quam AC: erunt quoque duo quadrata rectarum AD, DB, $imul; minora duobus quadratis AD, DC, $imul; ablato- que propterea communi quadrato rectæ AD, quadratum rectæ BD, quadrato rectæ DC, [332]TRIANGVLA minus erit, & proinde & recta: BD, minor, quam recta DC. Ab$ci$$a erge recta DE, ip$i BD, æquali, erit EC, differentia inter $egmenta BD, DC. Dico quadratum lateris AC, $uperare quadratum lateris AB, rectan- gulo $ub BC, EC, comprehen$o. Quia enim recta BE, $ecta e$t bifariam in D, ei\’q; addita in continuum recta EC, erit rectangulum $ub BC, EC, contentum vna cum quadrato rectæ DE, qua- drato rectæ DC, æquale. Addito ergo quadrato @. $ecundi. communi rectæ AD, erit rectangulum $ub BC, EC, vnà cum quadratis rectarum DE, AD, hoc e$t, rectarum BD, AD, hoc e$t, cum quadrato rectæ AB, æquale quadratis rectarum DC, AD, hoc e$t, quadrato rectæ AC. Maius ergo e$t qua- dratum lateris AC, quam quadratum lateris AB, rectangulo $ub BC, EC, comprehen$o. quod e$t propo$itum.

CADAT deinde perpendicularis AD, ex- tra triangulum in ba$im CB, productam, vt in figura po$teriori. Ab$ci$$a recta DE, ip$i DB, æquali, erit recta EC, compo$ita ex ba$e BC, & EB, quæ dupla e$t lineæ DB, inter perpendicu- larem, & angulum B. D<007>co rur$us, quadratum lateris AC, $uperare quadratum lateris AB, rectangulo $ub BC, EC, com- @. fecundi. prehen$o. Eritenim rur$us rectangulum $ub BC, EC, vnà cum quadrato re- ctæ DB, quadrato rectæ DC, æquale. Addito ergo quadrato communi rect{ae} AD, erit rectangulum $ub BC, EC, vnà cum quadratis rectarum DB, AD, hoc e$t, cum quadrato rect{ae} AB, æquale quadratis rectarum DC, AD, hoc e$t, quadrato rectæ AC. Excedit igitur quadratum lateris AC, quadratum lateris AB, rectangulo contento $ub BC, EC.

ALITER. Quoniã quadratis ex AD, DC, quadratum ex AC; & qua- 47 primi. dratis ex AD, DB, quadratum ex AB, æquale e$t: idem erit exce$$us qua- drati ex AC, $upra quadratum ex AB, qui quadratorum ex AD, DC, $u- pra quadrata ex AD, DB: Et, ablato communi quadrato ex AD, idem, qui quadratiex DC, $upra quadratum ex DB, per pronunciatum 17. lib 1. Eucl. Sed quadratum ex DC, $uperat quadratum ex DB, rectangulo $ub BC, CE, comprehen$o; propterea quòd quadratum ex DC, æquale e$t quadrato ex @. $ecundi. D B, vel ex DE, in prima $igura, vnà cum rectangulo $ub BC, CE, contento. Igitur & quadratum ex AC, $uperat quadratum ex AB, rectangulo com- prehen$o $ũb BC, CE. Quocirca, Si ab angulo trianguli cuiu$uis duobus lateribus inæqualibus com prehen$o linea perpendicularis ad ba$im ducatur, &c. Quod o$tendendum erat.

COROLLARIVM. Perp\~edicu laris in l$o $cele $ecat ba$im b<007>fa riam.

EX demon$tratis con$tat, In I$o$cele perpendicularem $ecare ba$im bifariam. Nam $i in priore triangulo latera AB, AC, ponantur æqualia, erunt eorum@uadrata quoque æqual<007>a. Quare cum quadratum ex AB, æquale $it quadratis ex AD, BD; & quadratum ex AC, 47. primi. quadrat<007>s ex AD, CD: erunt quoque quadrata ex AD, BD, quadratis ex AD, CD, æqua- l<007>a: Ablatoque communi quadrato rectæ AD, rel<007>qua erunt quadrata ex BD, CD; æqua- l<007>a, & proinde rectæ BD, CD, æquales.

[333]RECTILINEA. PROBL. 5. PROPOS. 9.

SI ab vno angulo trianguli cuiu$uis notorum Cognltis la teribus triã guli, cogno fcútur $eg menta ba- $is inter p- pendicula- r\~e, & vtrũ- que angu- lum com- prehen$a. laterum ad oppo$itũ latus perpendicularis demit- tatur: quanta $it recta inter perpendicularem, & vtrumuis angulorum reliquorum comprehen$a, cogno$cere.

REPETANTVR duo triangula præced\~etis propo$. $it\’q; latus AC, 20. AB, 13. & in priori quidem triangulo, BC, 21. in po$teriori vero, 11. Oporteatq; cogno$cere, quanta $it tam recta BD, quàm CD. Quoniam qua- dratum ex AC, $uperat quadratum ex AB, re- 8. huius. ctangulo $ub BC, CE, contento; $i quadratum rectæ AB, hoc e$t, 169. detrahatur ex 400. qua- drato rectæ AC, reliquum erit rectangulum $ub BC, CE, contentum 231. quo diui$o per latus BC, hoc e$t, per 21. in priori triangulo, prodibit recta CE, 11. quæ ablata ex latere BC, id e$t, ex 21. relinquet BE, 10. Huius ergo dimidium 5. dabit rectam BD: ac proinde reliqua CD, erit 16. nempe re$iduum lateris BC. In po$te- riori vero triangulo, diui$o eodem rectangulo 231. per 11. nimirum per latus BC, inuenietur C E, 21. à qua $i latus BC, hoc e$t, 11. aufera- tur, remanebit BE, 10. cuius $emi$sis dabit BD, 5. ac proinde CD, erit 16. nempe compo$itum ex latere BC, ac BD.

ITAQVE, Sidifferentia inter duo quadrata laterum ambien- Praxis. tium angulum, à quo porpendicularis ducta est, diuidatur per tertium latus, in quod perpendicularis e$t demi$$a, producetur numerus, qui $i minor tertio latere fuerit, indicabit perpendicularem intra triangu- Quo pacto ex opera- t<007>one intel liga\~t, num perp\~edicu- laris intra triãgulum @adat, an extra. lum cecidi$$e, idemque ex tertio latere $ubductus relinquet numerum, cuius $emi$$is dabit minus $egmentum ba$is: hoc autem ex tertio latere $ubtractum exhibebit $egmentum maius. Si vero numerus ille ex diui- $ione productus fuerit tertio latere maior, argumento e$t, perpendicula- rem extra triangulum cecidi$$e. Quare $i ex eo tertium latus detraha- tur, reliquus erit numerus, cuius $emi$$is dabit rectam extra triangu- l um inter perpendicularem, & angulum obtu$um; eadem vero $emi$$is tertio lateri addita exhibebit alteram rectam inter perpendicularem, & angulum acutum.

[334]TRIANGVLA

ALITER & facilius. Ex A, ad interuallum minoris lateris AB, circulus Alia inu\~e- tio $egm\~e- torum ba- $is. & fac@- lior. de$cribatur $ecans maius latus AC, in F, idem\’q. productum in G, & latus BC, $i perpen dicularis intra trian gulum cadit, vel certe, $i ex- tra cadit, ip$um productum in E: $ecabitur\’q; recta BE, bifa- 3. tertij. riam in E. Quia vero rectan- gulum $ub BC, CE, rectan- corol. 1. 36. tertij. gulo $ub GC, CF, æquale e$t; erit, vt BC, latus, in quod 16. $exti. perpendicularis ducitur, nem- pe vt 21. in priori triangulo, vel vt 11. in po$teriori, ad GC, $ummam reliquorũ duorum laterũ AC, AB, (quod AG, ip$i AB, $it æqualis) hoc e$t, ad 33. ita CF, differentia in- ter eadem duo latera, id e$t, ita 7. ad CE. Quare per regulam auream inuenietur C E, partium 11. in triangulo priori, in po$teriori autem 21. vt hic per$picuum e$t.

BC. # GC. # # CF. # # CE. 21. # 33. # # 7? # fit. # 11. # # Item 11. # 33. # # 7? # fit. # 21.

Quòd $i EC, inuenta partium 11. in priori triangulo auferatur ex latere BC, nempe ex 21. remanebit BE, 10. cuius $emi$sis 5. erit $egmentum BD, ac proinde alterum CD, erit 16. In po$teriori vero triangulo, $i ex EC, inuenta partium 21. dematur latus BC, partium 11. relinquetur rur$us BE, 10. Qua- re eius dimidium 5. dabit rectam BD, extra triangulum inter perpendicula- rem, & angulum obtu$um; ac proinde tota CD, compo$ita ex latere BC, & dicto dimidio BD, erit 16.

SI igitur fiat, vt latus, in quod perpendicularis ducta e$t, ad $um- Praxis. mam aliorum duorũ laterum, ita diff@rentia eorundem laterum ad aliud, Quo pacto ex <007>p$a ope ratione co gno$catur, an perpen- dicularis cadat intra triangulũ, an extra. reperietur numerus, qui $i minor fuerit tertio latere, indicabit perpendi- cularem intra triangulum cecidi$$e, idem\’q, extertio latere ablatus relin- quet numerum, cuius dimidium erit minus $egmentum ba$is, hoc autem ex tertio latere demptum reliquum faciet maius $egmentum. Si vero nu- merus per auream regulam inuentus tertium latus $uperet, argumento e$t, perpenticularem cecidi$$e extra triangulum. Quare $i ex eolatus tertium detrahatur, dabit $emi$$is reliqui numeri rectam extra triangu- lum inter perpendicularem, & angulum obtu$um: Eadem vero $emi$$is [335]RECTILINEA. tertio lateri adiuncta offeret alteram rectam inter perpendicularem, & angulum acutum.

SI ergo ab vno angulo trianguli cuiu$uis notorum laterum, &c. Quod fa- ciendum erat.

SCHOLIVM.

_VIDES_ igitur, in vtraque prax<007> calculum ip$um mon$trare, num perpendicula ris <007>ntra triangulum cadat, an vero extra.

_IDEM_ hoc problema ab$olui pote$t per propo$. _13._ aut _12._ lib. _2._ Eucl. prout per@ pendicularis intra triangulum cadit, vel extra. Cadat enim primũ perpendicularis _AD,_ intra, $int\’q; latera, vt prius; _AB, 13. AC, 20 BC._ _21._ _E_ritq; vterq; angulus _B, C,_ acutus, propter rectos angulos ad _D._ cũ tam duo anguli _B,_ & ADB, quàm duo _C,_ & 17. primi. _ADC,_ $int duobus rectis m<007>nores. Quoniam igitur quadratũ ex _AC,_ minus e$t, quàm duo quadrata ex _AB, BC,_ rectangulo bis cõprehen$o $ub _CB, BD;_ $i quadratũ lateris 13. $ecundi. _AC,_ nempe 400. auferatur ex $umma quadratorum laterum _AB, BC,_ nimirum ex _610._ reliquum erit rectangulũ $ub _CB, BD,_ bis com- preh\~e$um _210._ Semi$sis ergo huius, vtpote _105._ erit re- ctangulum $ub _CB, BD,_ comprehen$um: quo diui$@ per latus _BC,_ hoc e$t, per _21._ exibit $egmentum _BD,_ _5._ Reliquum ergo _CD,_ erit _16._ Quod tamen eodem mo do reperirs pote$t, $i quadratum lateris _AB,_ ex qua- dratis laterum _AC, CB,_ $ubducatur, &c. _E_$t enim 13. $ecundi. & illud minus, quàm hæc duo, rectangulo $ub _BC,_ _CD,_ bis comprehen$o.

_CADAT_ deinde perpendicularis _AD,_ extra, $int\’q; latera, vt prius; _AB, 13. AC, 20. BC, 11._ _E_rit\’q; angulus _ABC,_ obtu$us: propterea quod duo _D,_ & _ABD,_ $unt duobus rectis minores; ac proinde _ABD,_ 17. primi acutus, cum _D,_ rectus $it. Qu<007>a ergo quadratum ex _AC,_ maius e$t, quàm duo quadrataex _AB, BC,_ re- 12. $ecundi. ctangulo b<007>s comprehen$o $ub _CB, BD;_ $<007> $umma quadratorum laterum _AB, BC,_ id e$t, _290._ auferatur ex _400._ quadrato lateris _AC,_ relinquetur rectangulum bis comprehen$um $ub _CB, BD, 110._ Semi$sis ergo huius, n<007>mirum _55._ erit rectangulum $ub _CB, BD,_ contentum: quo diui$o per 11. latus _BC,_ prodibit recta _BD,_ extra triangulum, _5._ quæcum _11._ latere _BC,_ componet rectam _CD, 16._

ITAQVE, cadente perpendiculari intra triangulum; Si$emi$$is Praxis. differentiæinter quadratum vtriusuis laterum ambientium angulum, à quo perpendicularis demi$$a e$t, & $ummam quadratorum ex reliquis duobus lateribus de$criptorum, diuidatur per latus, in quod perpendicu- laris cadit, producetur $egmentum ba$is prope angulum, quem continent latera, quorum $umma quadratorum accepta fuit: Hoc autem $egmentum ex eadem-ba$e det ractum relinquet alterum $egmentum.

CADENTE ver o perpendiculari extra triangulum; Si $e mi$$is diffcrentiæinter quadratum lateris angulo obtu$o oppo$iti, & $ummam [336]TRIANGVLA quadratorum ex reliquis duobus lateribus de$criptorum, diuidatur per latus, in quod productum perpendicularis cadit, procreabitur linea ex- tra triangulum inter perpendicularem, & angulum obtu$um: Hæc vero addita ba$i con$tituet alteram rectam inter perpendicularem, & angu- lum acutum ba$is.

PROBL. 6. PROPOS. 10.

DATIS omnibus angulis trianguli non re- In triang@ lo non re- @tãgulo ex angul<007>s no tis, vel ex proportio- nib<_>9 angu lorum no- tis, vna cũ vno latere, reliqua in @e$t<007>gãtur. ctanguli, vel datis eorum proportionibus, vna cũ vno latere; reliqua duo latera cogno$cere, & quo- rumlibet duorum proportionem facere notam.

IN triangulo ABC, $int primum omnes anguli acuti, & dati; A, grad. 75. Min. 45. B, grad. 67. Min. 23. C, grad. 36. Min. 52. Datum quoq; $it la- tus AB, 13. Oportet ex his reliqua duo latera inueni- re. Quoniam e$t, vt $inus 1. huius. anguli C, ad $inum anguli A, ita latus AB, datum ad latus BC: $i fiat, vt $inus anguli C, nempe 59996. ad 96923. $inum anguli A, ita latus AB, datũ 13. ad aliud, inuenietur latus BC, 21. ferè, vt hic apparet.

C. # A. # AB. # # BC. 59996. # 96923. # 13? # fit # 21. # ferè.

Item quia e$t, vt $inus anguli C, ad $inum anguli B, ita latus AB, datum ad latus AC: $i fiat, vt 59996. $inus anguli C, ad 92310. $inum anguli B, ita latus AB, datum 13. ad aliud, inuenietur latus AC, fere 20. vt h<007>c vides.

C. # A. # AB. # # BC. 59996. # 92310. # 13? # fit # 20. # ferè.

Velquia e$t, vt $inus anguli A, ad $inum anguli B, ita latus BC, inuentum 1. huius. ad latus AC: $i fiat, vt 96923. $inus anguli A, ad 92310. $inum anguli B, ita latus BC, inuentum 21. ad aliud, reperietur latus AC, fere 20. vt nic cernis.

A. # B. # BC. # # AC. 96923. # 92310. # 21? # fit # 20. # ferè.

SIT deinde angulus B, obtu$us grad. 112. Min. 37. A, grad. 30. Min. 31. C, grad. 36. Min 52. & rur$um latus AB, 13. Quoniam idem e$t $inus anguli B, qui eius complementigrad. 67. Min. 23. vt in tractatione $inuum demou- $trauimus, inuen<007>etur ratione iam expo$ita latus BC, 11. & AC, 20. fermè. vt hic liquido con$tat.

[337]RECTILINEA. C. # A. # # AB. # # BC. 59996. # 50779. # # 13? # fit # 11. # ferè. # # Item. C. # B. # # AB. # # AC. 59996. # 92310. # # 13? # fit # 20. # ferè. # # Vel. A. # B. # # BC. # # AC. 50779. # 92310. # # 11? # fit # 20. # ferè.

ITAQVE, datis angulis omnibus, cum vno latere; Si fiat, vt $i- Praxis. nus anguli lateri dato oppo$iti ad $inum vtriu$uis reliquorum angulorum, ita latus datum ad aliud, inuenietur latus angulo illi, cuius $inus acce- ptus e$t, oppo$itum: Et $i rur$us fiat, vt $inus anguli lateri dato oppo- $iti ad $inum tert{ij} anguli, ita datum latus ad aliud, reperietur latus ter tio angulo oppo$itum, &c.

Quãdo triã gulũ e$t I$o $celes, vel {ae}- quilaterũ: aut quãdo in $caleno dãtur duo latera cum angulis.

QVOD $i triangulum fuerit I$o$celes, & dentur anguli: Vel $i fuerit $ca- lenum, & duo dentur latera cum angulis, vnius tantum lateris inuentione opus e$t, vt patet. In æquilatero autem triangulo, $i detur vnum latus, erunt & reliqua data, vtpoteilli æqualia.

IAM verò $i datæ $int proportiones angulorum, cum vno latere, inue- $tigandæ erunt ex illis proportionibus magnitudines angulorum, vt in $cho- lio propo$. 1. demon$trauimus: Deinde vero reliqua latera exploranda, vt Quãdo dã- rur propor tiones an- gulorũ, cũ vno latere. hic o$ten$um e$t.

INVENTIS autem lateribus, liquido con$tat, eorum proportiones e$$e notas in numeris, in quibus ip$a cognita $unt. Datis ergo omnibus angu- lis trianguli non rectanguli, &c. Quod erat faciendum.

PROBL. 7. PROPOS. 11.

DATIS omnibus trianguli non rectanguli In triãgulo ex notis la- teribus, vel ex eorũ pro portionib<_>9 notis, angu li inueniũ- tur. lateribus, vel eorum proportionibus, omnes an- gulos notos efficere.

IN triangulo priori ABC, $int data omnia latera; AB, 13. AC, 20. & BC, 21. Oporter ex his inue$tigare angulos. In maximum latus BC, ex oppo$ito angulo A, ducatur perpendicularis AD, qu{ae} nece$lario intra triangulum cadet. Cum enim latus BC, $it maximum, erit & angulus A, 19. primi. ip$i oppo$itus, maximus: ac propterea vterq; B, 17. primi. C, acutus. Ex quo fit, perpendicularem AD, in- Scholium tra triangulum cadere. Primùm itaq; inquiran- 13. $ecundi. tur rectæ BD, CD. Inuenietur BD, 5. & CD, 9. huius. 16. Quia ergo, po$ito $inu toto AB, recta BD, $inus e$t anguli BAD, vt in tractatione $inuum o$tendimus, dicemus per auream regulam. Si AB, [338]TRIANGVLA 13. dat AB, $inum totum partium 100000. quid dabit BD, 5? inueniemus\’q $inum BD, 38461. vt hic vides.

AB. # AB. # BD. # # BD. 13. # 100000. # 5? # fit. # 38461.

Ex tabula ergo $inuum dabitur angulus BAD, grad. 22. Min. 37. atq; adeo eius complementum B, grad. 67. Min. 23. qui e$t vnus angulorum qu{ae}- $itorum. Rur$us, quia po$ito AC, $inu toto, CD, $inus e$t anguli CAD, dicemus iterum per regu- lam auream. Si AC, 20. dat AC, 100000. $inum totum, quid dabit CD, 16? Inueniemu$q; $inum CD, 80000. Vt hic patet.

AC. # AC. # CD. # # CD. 20. # 100000. # 16? # fit # 80000.

Qui $inus in tabula $inuum mon$trat angulum CAD, grad. 53. Min. 8. ac proinde eius comple- mentum C, erit grad. 36. Min. 52. qui e$t vnus etiam angulorum quæ$itorum. Quòd $i duo an- guli duorum $inuum inuentorum, nempe grad. 22. Min. 37. & grad. 53. Min. Praxis. 8. $imul componantur, fiet tertius angulus BAC, grad. 75. Min. 45. Vel cer- te $i $umma duorum angulorum B, C, inuentorum ex grad. 180. auferatur, reliquus fiet tertius angulus BAC, grad. 75. Min. 45.

ITAQVE, (vt totam praxim complectamur) $i fiat, vt maximum latus (in quod perpendicularis ducta e$t) ad $ummam aliorum duorum, ita differentia eorundem duorum ad aliud, reperietur numerus, qui ex maximo latere $ubductus relinquet numerum, cuius $emi$$is dabit minus $egmentum ba$is, hoc autem ex ba$i detractum relinquet maius $egmen- tum, vt con$tat ex $ecunda praxi propo$. 9. Quòd $i rur$um fiat, vt mi- nimum latus ad $inum totum, ita $egmentum ba$is minus ad aliud, inue- nietur $inus, cuius arcus complementum dabit angulum $upra ba$im me- dio lateri oppo$itum. Deinde $i rur$um fiat, vt medium latus ad $inum totum, ita maius $egmentum ba$is ad aliud, reperietur $inus, cuius ar- cus complementum dabit angulum $upra ba$im minimo lateri oppo$itum. Tertius vero angulus maximo lateri oppo$itus conflabitur ex duobus il- l<007>s arcubus duorum $inuum inuentorum: vel certè relinquetur po$t de- tractionem duorum angulorum inuentorum ex duobus rectis.

RVRSVS in po$teriori triangulo datum $it latus AB, 11. AC, 13. & BC, 20. Demi$$a in maximum latus BC, perpendiculari AD, inuenietur $egmentum BD, 8 {4/5}. at CD, 11{@/5}. vt hic apparet $ecundum praxim po$te- riorem propo$. 9.

BC. # AB. AB. # Differ. inter # AB, AC. 20. # 24. # 2? # fit # 2 {2/5}.

Hic numerus ex ba$e 20. ablatus relinquit 17 {3/5}. cuius $emi$sis 8 {4/5}. dat $eg- mentum minus BD. Ergo maius CD, erit 11 {1/5}. Hinc inuenietur angulus [339]RECTILINEA. B, grad. 36. Min. 52. C, grad. 30. Min. 31. & BAC, grad. 112. Min. 37. vt hic vides.

AB. # AB. # # BD. # # BD. 11. # 100000. # # 8 {4/5}? # fit # 80000. # # Item. AC. # AC. # # CD. # # CD. 13. # 100000. # # 11 {1/5}? # fit # 86154.

Complemétum arcus, quem prior $inus inuentus offert, dat angulum B, grad. 36. Min. 52. At complementum arcus po$terioris $inus inuenti dat angulum C, grad. 30. Min. 31. &c. E$t ergo doctrina huius propo$itionis generalis, $i- Generalitas huius pro- po$. ue angulus maximus A, acutus $it, vt in priori triangulo, $iue obtu$us, vt in po$teriori, $iue deniq; rectus $it; quamuis in rectangulo triangulo iam $upra traditum $it propo$. 3. quo pacto ex duobus lateribus cognitis facilius an- guli duo acuti inueniantur.

Quando la terum pro- portiones datæ $unt.

IAM $i dentur laterum proportiones, $altem duæ, continuabimus eas in tribus minimis numeris, $i proportionum numeri minimi non $int, vt Eucl. docuit propo$. 4. lib. 8. eos\’q; numeros lateribus a$cribemus, perinde ac $i in 35. $eptimi. illis numeris darentur. Vt $i in priori triangulo proportio AB, ad BC, $it, quæ 26. ad 42. At AB, ad AC, quæ 39. ad 60. reuocabuntur hæ proportiones ad minimos ho$ce numeros 13. 21. & 13. 20. Dabitur ergo AB, 13. AC, 20. Quãdo triã gulũ e$t I$o $celes. coroll. 8. huius. & BC, 21. Ex quibus angulos eruemus, vt prius.

PORRO in I$o$cele datorum laterum ducenda e$t perpendicularis ad ba$im, $iue ea $it maximum latus, $iue minimum: quæ diuidet ba$im bifariam. Quare $i fiat, vt vnum æqualium laterum ad $inũ totum, ita dimidium ba$is ad aliud, inuenietur $inus cuiu$dam arcus, cuius complementum dabit vnum æ qualium angulorum $upra ba$im, vt ex demon$tratis liquet. Ergo & alter da- bitur: ac proinde & tertius ba$i oppo$itus, vtpote reliquus duorũ rectorum.

IN æquilatero deniq; triangulo dabuntur anguli, etiam$i latera non den- Quãdo triã gulũ e$t æ- quilaterũ. tur, cum quilibet $it tertia pars duorum rectorum, hoc e$t, contineat grad. 60. Datis igitur omnibus trianguli non rectanguli lateribus, &c. Quod fa- ciendum erat.

SCHOLIVM.

_ETSI_ in hac propo$. præcepimus, perpendicularem ad maximum latus e$$e du- cendam ex angulo oppo$ito, vt intra triangulum cadat, fiatq; calculus facilior: ta- men eadem fere via problema ab$oluemus, $i in triangulo obtu$angulo perpendicula- ris non ducatur ab obt$o angulo in maximum latus, $ed ab alterutro acutorum an- Quádo per pendicũla- ris in obtu- sãgulo triã gulo cadit extta trian gulum. gulorum in latus oppo$itum protractum, ita vt cadat extra triangulum, vt in hoc triangulo _ABC,_ manife$tum e$t, in quo latus _AB,_ datur _22. AC, 31._ & _BC, 14._ _N_am $i fiat, vt _BC, 14._ (in quod latus perpendicularis e$t ducta) ad _53._ $ummam aliorum laterum _AB, AC,_ ita _9._ differentia eorundem laterum ad aliud, reperietur numerus _34 {1/14}._ à quo $i $ubducatur latus _BC,_ remanebit numerus _20 {1/14}._ cuius $emi$sis _10 {1/28}._ erit recta _BD,_ ac proinde _CD,_ _24 {1/28}._ Quam obrem $i iam fiat, vt _AB,_ _22._ ad _AB,_ $i- num totum 100000. ita _BD, 10 {1/28}._ ad aliud, innenietur _BD,_ $inus _45617._ [340]TRIANGVLA cuius arcus complementum exhibebit angulum _ABD,_ grad. _62._ Min. _52._ ac propte- rea reliquum duorum rectorum _ABC,_ grad. _117._ Min. _8._ _I_tem $i fiat, vt _AC, 31._ ad _AC,_ _100000._ $inum totum, ita _CD, 24 {1/28}._ ad aliud, reperietur $inus _77534._ cuius arcus complementum offeret angulum _C,_ grad. _39._ _M_in. _10._ Quòd $i duo an- guli _ABC,_ & _C,_ ex grad. _180._ demantur, relinquetur angulus _BAC,_ grad. _23._ _M_in. _42._ _R_atio huius operationis colligitur ex tractatione $inuum, vbi o$tendimus, $i _AB,_ $tatuatur $inus totus, _BD,_ e$$e $inum anguli _BAD:_ _I_tem $i _AC,_ ponatur $inus totus, _CD,_ e$$e $inum anguli _CAD,_ &c.

PROBL. 8. PROPOS. 12.

DATIS duobus lateribus trianguli non re- In triágulo nõ rectágu lo ex duo- bus lateri- bus notis, velex eorũ proportio- ne nota, cũ angulo ab ip$is com- prehen$o, tertium la- tus, & reli- qui anguli exquirũ\~t. ctanguli, cum angulo ab ip$is comprehen$o; vel data proportione duorum laterum angulum da- tum continentium: tertium latus, & reliquos an- gulos inuenire.

IN triangulo ABC, data $int primum duo latera AB, AC, illud 3. hoc 5. ambientia angulum A, obtu$um, qui datus etiam $it gnad. 93. Min. 50. Oportet ex his tertium latus BC, & reliquos angulos B, C, inue$tigare. Quo- niam datur angulus A, grad. 93. Min. 50. $i detrahatur ex grad. 180. hoc e$t, ex duobus rectis, reliquum erit aggregatum duorum angulorum B, C, grad. 86. Min. 10. E$t autem & proportio $inuum angulorum C, B, data, nempe ea- dem, quæ lateris AB, 3. ad latus AC, 5. propterea quod e$t, vt latus AB, ad latus AC, ita $inus anguli C, ad $inum anguli B. Quare vterq; angulus C, 1. huius. B, $igillatim cognitus erit, ille grad. 29. Min. 55. hic vero grad. 56. Min. 15. 6. huius. Quia vero latera $unt $inubus angulorum op- 1. huius. po$itorum proportionalia, erit, vt $inus anguli C, ad $inum anguli A, ita latus AB, ad latus BC: vel vt $inus anguli B, ad $inum anguli A, ita latus AC, ad latus BC. Per auream ergo regulam inuenietur latus BC, ferme 6. vt hic apparet.

C. # A. # # AB. # # BC. 49874. # 99776. # # 3? # fit # 6. ferè # # Vel. B. # A. # # AC. # # BC. 83147. # 99776. # # 5? # fit # 6. ferè.

VT ergo totam praxim complectamur: Si (ablato angulo dato ex Praxis. grad. 180. vt $umma aliorum duorum habeatur) fiat, vt $emi$$is $ummæ duorum lat erum datorum, nempe $emi$$is $ummæ terminorum proportio- n<007>s $inuum angulorum reliquorum, ad tangentem $emi$$is $ummæ reliquo- rum angulorum, ita differentia inter $emi$$em $ummæ datorum laterum, [341]_RECTILINEA._ hoc e$t, terminorum proportionis $inuum angulorum reliquorum, & al- terum laterum, $iue terminorum proportionis, ad aliud, reperietur tan- gens anguli, qui cum $emi$$e $ummæ reliquorum angulorum componet ma- iorem angulum, qui nimirum maiori lateri dato opponitur: idem verò ex eadem $emi$$e dictæ $ummæ detractus relinquet angulum minorem mino- ri lateri dato oppo$itum; vt per$picuum e$t ex praxi priore propo$. 6. Quòd $i rur$us fiat, vt $inus vtriu$uis angulorum inuentorum ad $inum anguli in principio dati, ita latus inuento angulo, qui acceptus fuerit in regula aurea, oppo$itum ad aliud, inuenietur tertium latus. Et ad maio- rem per$picuit atem proponemus aliud exemplam.

SINT in triangulo ABC, data duo latera AB, AC, 22. & 31. vnà cum angulo A, grad. 23. Min. 42. Hicangulus ablatus ex grad. 180. reliqua fiet $umma angulorum B, C, grad. 156. Min. 18. Si ergo fiat, vt 26 {1/2}. $emi$sis laterum AB, AC, id e$t, terminorum proportionis $inuum angulorum B, C, ad 476595. tangentem $emi$sis $um- mæ angulorum B, C, hoc e$t, ad tangentem grad. 78. Min. 9. ita 4 {1/2}. differentia inter $emi$$em $ummæ la- terũ AB, AC, vel terminorũ laterum, $eu terminorum, ad aliud, reperietur tangens 80931. cuius arcus grad. 38. Min. 59. additus ad grad. 78. Min. 9. nempe ad $emi$$em $ummæ angulorum B, C, con$tituet an- gulum maiorem B, maiori lateri dato AC, oppo$itum grad. 117. Min. 8. Idem vero arcus grad. 38. Min. 59. ex eadem $emi$$e $ummæ angulorum B, C, id e$t, ex grad. 78. Min. 9. detractus relinquet minorem angulum C, minori la- teri dato AB, oppo$itum grad. 39. Min. 10. Operationem aureæ regulæ hic vides.

26 {1/2}. # 476595. # 4 {1/2}? # fit # 80931.

Quòd $i iam fiat, vt 63158. $inus anguli C, ad 40195. $inum anguli A, ita la- tus AB, 22. ad aliud: Vel vt 88995. $inus anguli B, ad 40195. $inum anguli A, ita latus AC, 31. ad aliud, inuenietur latus BC, 14. ferè. vt hic cernis.

C. # A. # # AB. # # BC. 63158. # 40195. # # 22? # $it # 14 ferè # # Vel B. # A. # # AC. # # BC. 88995. # 40195. # # 31? # fit # 14. ferè.

SI vti nolis tangentibus, v$urpanda erit po$terior praxis propo$. 6. in in- uentione angulorum B, C.

IAM $i proportio laterum AB, AC, data $it, vna cum angulo A, ab ip$is Quando la terum pro- portio data e$t. comprehen$o, a$cribemus dictis lateribus numeros proportionis, ac $i in ip$is data e$$ent, problema\’q ab$oluemus, vt prius.

HOC etiam problema ab$olui pote$t $ine auxilio propo$. 6. hoc modo. Alia demõ $tratio pro- blematis $i- ne ppo$.6. In triangulo ABC, detur latus AB, 29. AC, 24. & angulus A, primùm acutus grad. 38. Min. 16. Ducatur ad maius latus A B, ab angulo oppo$ito C, per- pendicularis CD: quæ nece$$ario intra triangulum cadet. Cum enim latus [342]_TRIANGVLA_ AB, maius $it latere AC, erit & angulus C, angulo B, maior. Quare B, acu- 19. primi. tus erit. Nam $i rectus e$$et, aut maior, e$$et C, etiam maior recto. quod e$t ab$urdum; quòd B, C, $int mino- 17. primi. res duobus rectis. Cum ergo & A, ponatur acutus, ca- det perpendicularis CD, intra triangulum. In trian- Schol. 13. $ecundi. gulo igitur rectangulo ACD, cum angulus A, $it grad. 38. Min. 16. erit eius complementum ACD, grad. 51. Min. 44. Quare cum $it, vt $inus totus anguli recti D, 1. huius. ad $inum anguli A, ita latus AC, 24. ad latus CD: inuenietur latus CD, per regulã auream, 14 {2699/3125}. Vt hic apparet.

D. # A. # AC. # # CD. 100000. # 61932. # 24? # fit # 14 {2699/3125}.

Eadem ratione, cum $it, vt $inus totus anguli recti D, ad $inum anguli ACD, 1. huius. ita latus AC, 24. ad latus AD: reperietur latus AD, 18 {5271/6250}. vt hic vides.

D. # ACD. # AC. # # AD. 100000. # 78514. # 24? # fit # 18 {5271/6250}.

Ablata autem AD, inuenta ex AB, data 29. relinquetur BD, 10 {979/6250}. Et quia, vt in tractatu tangentium o$tendimus, po$ito $inu toto BD, recta CD, tangens e$t anguli B, inuenietur CD, tangens 146344. vt hic manife- $tum e$t.

BD. # BD. # CD. # # CD. 10 {979/6250}. # 100000. # 14 {2699/3125}? # fit # 146344.

Tangens autem 146344. mon$trat in tabula tangentium angulum B, grad. 55. Min. 40. ac proinde duo anguli A, B, grad. 38. Min. 16. & grad. 55. Min. 40. ex grad 180. $ubducti reliquum facient angulum ACB, grad. 86. Min. 4. Quoniam autem e$t, vt $inus anguli B, noti ad $inum anguli A, dati, ita latus 1. huius. datum AC, 24. adlatus BC, reperietur latus BC, 18. ferè. vt hic vides.

B. # A. # AC. # # BC. 82577. # 61932. # 24? # fit # 18. ferè.

RVRSVS in triangulo ABC, datum $it latus AB, 13. AC, 11. & an- gulus A, ab ip$is comprehen$us obtu$us, & datus grad. 112. Min. 37. Duca- tur ex alterutro angulorum acutorum, vt ex B, ad oppo$itum latus CA, perpendicularis: quæ Schol. 12. $ecundi. extra triangulum cadet. Quia igitur angulus BAC, ponitur grad. 112. Min. 37. erit BAD, grad. 67. Min. 23. eius\’q complementum pro- pterea ABD, nece$$ariò grad. 22. Min. 37.

Quare cum $it, vt $inus totus anguli recti D, ad 1. huius. $inum anguli BAD, ita latus AB, datum 13. ad latus BD: Item vt $inus to- tus anguli recti D, ad $inum anguli ABD, ita latus datum AB, 13. ad latus AD; in uenietur BD, quidem 12. at AD, 5. ferè. vt hic apparet.

D. # BAD. # # AB. # # BD. 100000. # 92310. # # 13? # fit # 12. ferè. # # Item. D. # ABD. # # AB. # # AD. 100000. # 38456. # # 13? # fit # 5. ferè. [343]_RECTILINEA._

Addita autem AD, inuenta 5. ad latus AC, datum 11. fiet tota CD, 16. Cum ergo, po$ito $inu toto CD, recta BD, $it tangens anguli C; reperietur tan- gens BD, 75000. vt hic cernis.

CD. # CD. # BD. # # BD. 16. # 100000. # 12? # fit # 75000.

Quæ tangens offeret in tangentium tabula angulum C, grad. 36. Min. 52. & proinde duo anguli A, C, grad. 112. Min. 36. & grad. 36. Min. 52. ex grad. 180. ablatirelinquent angulum ABC, grad. 30. Min. 31. Quoniam tandem e$t, vt $inus anguli C, cogniti ad $inum anguli BAC, dati, ita latus AB, 13. 1. huius. datum ad BC, inuenietur latus BC, 20. ferè. vt hic apparet.

C. # BAC. # AB. # # BC. 59996. # 92310. # 13? # fit # 20. ferè.

Verum, vt vides, prior ratio multò e$t breuior, & ex peditior.

QVOD $i quando data duo latera datum angulum ambientia fuerint Quado da ta latera sũt æqualia. æqualia, facilius erit problema. Sint namq; in triangulo ABC, duo latera AB, AC, æqualia, quodlibet 9. & angulus A, com- prehen$us grad. 80. Ablato hoc angulo ex grad. 180. dabit $emi$sis re$idui, quod e$t grad. 100. vtrum- que angulorum B, C, grad. 50. Si autem fiat, vt $inus anguli B, vel C, ad $inum anguli A, ita latus AC, vel AB, ad aliud, prodibit latus BC, 11 {43685/76604}. vt hic vides.

B, vel C. # A. # AB, vel AC. # # BC. 76604. # 98481. # 9? # fit # 11 {43685/76604}.

Datis ergo duobus lateribus trianguli non rectanguli, cum angulo ab ip$is comprehen$o, &c. Quod erat faciendum.

PROBL. 9. PROPOS. 13. In triãgule non rectan gulo ex da- tis duobus laterib<_>9 da tis, vel ex eo rũ propor- cũ vno an- gulo nõ ab ip$is cõpre- hen$o, ter- tium latus, & reliqui anguli in- ue$tigãtur.

DATIS duobus lateribus trianguli non re- ctanguli, vel eorum proportione data, vnà cum angulo, qui alteri datorum laterum opponitur: reliquos angulos, & tertium latus in quirere. Opor tet autem con$tare, num alter angulus reliquo la- teri dato oppo$itus $it acutus, an obtu$us, $i datus angulus acutus e$t.

SINT in triangulo ABC, data duo latera AB, AC. 13. & 20. datus\’q; $it acutus angulus C, grad. 36. Min. 52. lateri dato AB, oppo$itus, con$tet\’que de angulo B, qui alteri dato lateri AC, opponitur, num acutus $it, an obtu- $us: alias enim nihil certi colligi po$$et, vt ex $equenti $cholio patebit. Quo- niam ergo e$t, vt latus AB, ad latus AC, ita $inus anguli C, ad $inum anguli 1. huiun B; $untque tria primadata, inuenietur per auream regulam quartum, hoc e$t, $inus anguli B, 92302. vt hic liquet.

[344]TRIANGVLA AB. # AC. # C. # # B. 13. # 20. # 59996? # fit # 92302.

Qui $inus in tabula $inuum exhibet angulum B, ferè grad. 67. Min. 23. $i acu tus fuerit, vt in priori triangulo: $i autem obtu$us, vt in triangulo po$terio- ri, grad. 112. Min. 37. vtpote qui cum illo $emicirculum compleat; cum ob- tu$us, & acutus conficientes grad. 180. eundem $inum habeant, vt ad de$ini- tiones $inuum demõ$traui- mus. Ablatis autem duo- bus angulis C, B, ex grad. 180. relinquetur in priori triangulo angulus A, grad. 75. Min. 45. In po$teriori vero grad. 30. Min. 31. La- tus autem BC, inuenietur, per auream regulam, par- tium ferè 21. in priori trian gulo; in po$teriori autem ferè 11. quòd $it, vt $inus anguli C, ad $inum anguli A, ita latus AB, ad la- 1. huius. tus BC. vt in hac operatione apparet.

C. # A. # # AB. # # BC. 59996. # 96923. # # 13? # fit # 21. ferè. # # Item C. # A. # # AB. # # BC. 59996. # 50779. # # 13? # fit # 11. ferè.

ITAQVE, $i fiat, vt latus datum dato angulo oppo$itum ad al- Praxis. terum latus datum, ita $inus dati anguli ad aliud, reperietur $inus, cuius arcus dabit angulum alteri lateri dato oppo$itum, $i acutus fuerit, (quod quidem $emper contingit, quando datus angulus e$t obtu$us) aut certe ex $emicirculo $ublatus dabit illum angulum, $i obtu$us fuerit: Summa ve- ro ex dato angulo, & inuento angulo conflata ex grad. 180. $ubducta exhibebit tertium angulum. Si deni fiat, vt $inus anguli dati ad $inum tert{ij} anguli à datis lateribus comprehen$i, qui vltimo inuentus e$t, ita latus datum dato angulo oppo$itum ad aliud, producetur tertium latus.

QVOD $i detur duorum laterum proportio, Quãdo pro portio duo rum laterũ datur. $i lateribus illis numeri proportionis a$cribantur, eodem modo problema exequemur.

ALITER. Dentur rur$um duo latera AB, 13. & AC, 20. vnà cum angulo C, acuto grad. 36 Min. 52. $it\’q; primum alter angulus B, acutus etiam, vt in priori triangulo. Ducta ex A, ad BC, perpendi- culari AD, quæ intra triangulum cadet: quoniam Schol. 13. $ecundi. in triãgulo rectangulo ACD, po$ito $inu toto AC, recta AD, $inus e$t anguli dati C, vt in tractatu $i- nuum docuimus; $i fiat, vt AC, $inus totus ad AC, latus datum, ita AD, $inus dati anguli C, ad aliud, reperietur AD, 12. ferè, vt hic vides.

[345]RECTILINEA. AC. # AC. # AD. # # AD. 100000. # 20. # 59996? # fit # 12. ferè.

Rur$us, quia po$ito $inu toto AB, recta AD, e$t $inus anguli B, vt in $inubus traditum e$t; $i $iat, vt AB, latus datum ad $inum totum, ita AD, iam in- uenta ad aliud, inuenietur $inus AD, 92308. vt hic apparet.

AB. # AB. # AD. # fit # AD. 13. # 100000. # 12? # # 92308.

Ex tabula ergo $inuum dabitur angulus B, grad. 67. Min. 23. ac proinde BAC, reliquus duorum rectorum, grad. 75. Min. 45. Quoniam vero e$t, vt $i- nus anguli dati C, ad $inum anguli A, inuenti, ita latus AB, ad latus BC, in- 1. huius. uenietur latus BC, 21. ferme: vt hic cernis.

C. # BAC. # AB. # # BC. 59996. # 96923. # 13? # fit # 21. ferè.

DEINDE, ij$dem po$itis, $it alter angulus B, obtu$us, vt in po$terio- Schol. 12. $ecundi ri triangulo. Ducta ex A, ad BC, perpendiculari AD, quæ extra triangu- lum cadet: quoniam in triangulo rectangulo ACD, po$ito $inu toto AC, recta AD, $inus e$t anguli C, vt dictum e$t in tractatione $inuum; $i fiat, vt finus totus ad @@tum latus AC, ita $inus dati anguli C, ad aliud, inuenietur AD, ferme 12. vt hic apparet.

AC. # AC. # AD. # # AD. 100000. # 20. # 59996? # fit # 12. ferè.

Rur$us, quia po$ito $inu toto AB, recta AD, $inus e$t anguli ABD, vt in defin. $inuum explicauimus; Si fiat, vt latus datum ad $inum totum, ita AD, proxime inuenta ad aliud, reperietur $inus AD, 92308. vt hic vides.

AB. # AB. # AD. # # AD. 13. # 100000. # 12? # fit # 92308.

Qui $inus exhibet in tabula $inuum angulũ ABD, grad. 67. Min. 23. ac proin- de reliquum duorum rectorum ABC, grad. 11. Min. 37. Ablatis autem duo- bus angulis C, & ABC, notis ex grad. 180. remanebit angulus BAC, grad. 30. Min. 31. Hinc, quoniam e$t, vt $inus anguli C, dati ad $inum anguli A, in- 1. huius. uenti, ita latus AB, datum ad latus BC, inuenietur latus BC, fere 11. vt hic manife$tum e$t.

C. # A. # AB. # # BC. 59996. # 50779. # 13? # fit # 11. ferè.

POSTREMO, datis ij$dem lateribus, detur angulus obtu$us ABC, grad. 112. Min. 37. vt in po$teriori triangulo, facta\’que eadem con$tructione; quoniam po$ito $inu toto AB, recta AD, $inus e$t anguli ABD, hoc e$t, an- guli dati ABC, inuenietur rur$um AD, 12. ferè, vt hic cernis.

AB. # AB. # AD. # # AD. 100000. # 13. # 92308? # fit # 12. ferè.

Rur$us, quia po$ito $inu toto AC, recta AD, $inus e$t anguli C, reperietur $inus AD, 60000. Vt hic apparet.

[346]TRIANGVLA AC. # AC. # AD. # # AD. 20. # 100000. # 12? # fit # 60000.

E$t ergo angulus C, grad. 36. Min. 52. & proinde reliquus duorum rectorum BAC, grad. 30. Min. 31. Latus BC, inuenietur 11. vt prius. Igitur, Datis duobus lateribus trianguli non rectanguli, &c. Quod faciendum erat.

SCHOLIVM. Quãdo da- tus angu- lus e$t acu- tus, cur cõ- $tare de- beat, num alter angu lus $it acu- tus, vel ob- tu$us.

QVOD _autem nihil certi colligi po$sit, quando datus angulus vni datorum la-_ _terum oppo$itus acutus e$t, ni$i prius cognitum $it, num angulus alteri dato la-_ _teri oppo$itus $it acutus, obtu$usue, vt in propo$. diximus, ita per $picuum faciemus._ _Sint in triangulo_ ABC, _data latera_ AB, AC, _vna cum angulo acuto_ B. _Du-_ _cta ex_ A, _ad_ BC, _perpendiculari_ AD, _ignorabitur, num ea cadat extra trian-_ _gulum, an intra, ni$i $ciatur, angulum alterum_ ACB, _e$$e_ _obtu$um, acutumue. Sumpta quoque recta_ DE, _ex altera_ _parte perpendicularis_ AD, _ip$i_ DC, _æqualis, ducta\’q; recta_ 4. primi. AE; _erit_ AE, _ip$i_ AC, _æqualis: propterea quòd latera_ DC, DA, _lateribus_ DE, DA, _æqualia $unt, angulos\’q; com_ _prehendunt æquales, vtpote rectos. Itaque etiam$inota $int_ _latera_ AB, AC, _vel_ AB, AE, _& angulus acutus_ B, _non_ _tamen idcirco reliquum latus notum erit, aut reliqui an-_ _guli; cum reliquum latus po$sit e$$e vel_ BC, _vel_ BE; _ac_ _propterea reliqui anguli vel_ BCA, BAC, _vel_ BEA, BAE: _ni$i prius con$tet, angulum_ BCA, _obtu$um e$$e, vel acutum._ H_oc enim co-_ _gnito, $ciemus, quando perpendicularis_ AD, _extra triangulum cadit, & quando_ _intra; &c._

EX _quibus con$tat, Nicolaum Copernicum, alioquin diligenti{$s}imum, hallucina-_ Error Nico lai Coper- nici, _tum fui$$e lb._ 1. _Reuo lutionum propo$._ 6. _triangulorum rectilineorum, dum $implici-_ _ter proponit: Si duo latera trianguli data $int, & angulus vni eorum oppo$itus datus_ _etiam, reliquum latus, & reliquos angulos dari po$$e. Hoc etenim fieri non pote$t, vt_ _demon$trauimus, quando datus angulus e$t acutus, ni$i con$tet, num angulus alteri_ _laterum daterum oppo$itus $it acutus, an obtu$us._

FINIS TRIANGVLORVM RECTILINEORVM. [347] [348] [349] CHRISTOPHORI CLAVII BAMBERGENSIS ESOCIETATE IESV TRIANGVLA SPHÆRICA. [350] [351] CHRISTOPHORI CLAVII BAMBERGENSIS E SOCIETATE IESV TRIANGVLA SPHÆRICA. PRÆFATIO.

XPLICATIS {ij}s, quæ ad triangulorum rectilineorum $cientiam, qua ex angulis no- tis latera, & vici{$s}im ex notis later<007>bus anguli cogno$cũtur, nece$$aria e$$e duximus; reli- quum e$t, vt sphæricorum etiam triangulorum doctrinam, qua arcus ex cognitis angulis, et con tra, anguli ex arcubus notis inquiruntur, tra- damus. Quamuis en<007>m Menelaus, qui etiam Mileus, nobilis $criptor, qui temporibus Traia- ni Imperatoris floruit, vt auctor e$t Ptolemæus, Lib. 7. Al- mag. cap. 1. acuti{$s}imos tres libros de triãgulis $phæricis com po$uerit, non tamen eius ordinem nos in hi$ce no $tris sphæric<007>s triangulis $equemur; propterea quòd & plurimas eius propo$itiones, licet iucun- di{$s}imæ $int, mira{\’que} eruditione refertæ, tãquam [352]_TRIANGVLA_ non nece$$arias reiecimus, & alias non paucas ab eo omi$$as ex Gebro Hi$palen$i, Ioanne Re- giom. Franci$co Maurolyco, & ex al{ij}s adie- cimus, quas omnino nece{$s}arias e$$e iudic aui- mus ad res A$tronomicas intelligendas. Ple- run{que} etiam nouas demon$trationes, eas{\’que} bre- uiores, ac faciliores adhibuimus, nonnullas item eodem modo demõ$trauimus, quoeædem de an- gulis, & triangulis rectilineis demon$tratæ $unt ab Euclide, vt planior fieret earum demon$tra- tio: ex quarum numero $unt propo$. 5. 6. 7. 8. & 9. Non parumtamen operæin eo po$uimus, vt omnes propo$itiones triangulorum Sphærico- rum it a in ordinem redigeremus, vt po$teriores ex prioribus pender\~et, quemadmodum res Ma- thematicæ po$tulant, & in omnibus elementis Geometricis fieri con$ueuit Sed iam ad rem ve- niamus, exordio $umpto à definitionibus.

DEFINITIONES. I.

ANGVLVS $phæricus e$t, quem in $phær{ae} Angulus fphæricus quid. $uperficie duo arcus circulorum maximorum $e- $e mutuo $ecantes continent.

_QVONIAM_ angulus $phæricus, qui à Geometris in $phærica $uperficie con$ia deratur, ab arcubus maximorum circulorum tantummodo con$titu<007>tur, omnes au@ [353]_SPHAERICA._ tem circuli maximi in $phæra $e mutuo $ecantb<007>fariam, fit, vtduo arcus angulum 11.1. Theod., Angulus $phæricus nece$$ar<007>o fit ex duo- bus arcub<_>9 $e mutuo $ecantibus. $phæricum in $uperficie $phæræ contin\~etes, $i producantur, $e mutuo $ecent, non autem $e mutuo contingant: Ita vt omnis angulus $phæricus fiat ex duobus arcubus $e$e in- ter$ecantibus in $uperficie $phæræ, non autem ex arcubus $e mutuo tangentibus. _I_d quod de angulis in plana $uperfic<007>e exi$tentibus dici non po<007> $t. _In_ hac enim non $o- lum duæ l<007>neæ rectæ, vel curuæ, vel quarum vna recta e$t, & altera curua, $e mutuo $ecantes. $i producantur, angulum planum con$tituunt, verum etiam duæ l<007>neæ, qua- Angulus planus fie- ri etiam po te$t ex dua bus lineis $e non $ecan- tibus, $ed tã gentibus $e mutuo dũ- taxat. rum vtraque vel curua e$t, vel vna curua, & altera recta, $e$e tangentes tantum- modo, angulum planum curuilineum, vel mixtum (qui quidem angulus contactus, vel contingentiæ à Geometris vocatur,) con$tituere po$sunt, vt ex propo$. 16. l<007>b. 3. Eucl. per$picuum e$t: licet Iacobus Peletar<007>us neget eum e$$e angulum, conetur\’q; <007>llud multis rat<007>onibus confirmare, quæ omnes $ophi$ticæ $unt, & fr<007>uolæ, vt ex $olutionibus <007>l- larum, quas in $cholio d<007>ctæ propo$. addux<007>mus, per$picuũ e$t. Neque vero Peletarius in Apologia de contactu linearũ, quam anno 1579. in me con$crip$it, (quàm mode$te, & $yncere, ip$e vider<007>t.) au$us e$t $olutiones meas impugnare, aut opinion\~e $uam, no uam<007>llam quidem, & inaud<007>tam, nouis ration<007>bus ($cilicet nullas habebat) confirma- re: $ed verbis duntaxat, & conuit{ij}s $e defendere conatur, vt facile {ij}, qui eam per- legerint, iudicabunt.

HVIC ego Apologiæ iam pridem non tam mei purgandi, quam ve- D<007>gre$$io cõtta Apo logiam Pe letar<007>j in auctotem $criptam. ritatis tuend{ae} gratia re$pondi$$em, ni$i me ab hoc con$ilio graui$sima eru- diti$simorum hominum auctoritas, qui eam re$pon$o omnino indignam iudicabant, reuoca$$et. Nunc vero quoniam de re ip$a, e<007>usq; Apolo- gia nece$$ario mentio facta e$t, non alienum e$$e duxi, breuiter calumnias, atq; iniurias, quibus frequenter me in ea Apologia afficit, quanta pote- ro mode$tia, depellere, vt benignus lector intelligat, $ine cau$a eum tan- to animi dolore, & iracundia, quantam præ $e fert, contra me exar$i$$e, falsoq; mihi impo$ui$$e multa: me autemè contrario nullum verbum in- iurio$um in illum effudi$$e, aut conuitium, quod fru$tra in epi$tola nuncu- patoria criminatur, vbi me à conuitijs non ab$tinere, aperte te$tatur. Atq; in illa Apologia nihil adeo me offendit, quàm quòd me Peletarius non $yncere, $ed animo$e, atq; adeo inuidio$e feci$$e in$imulat, vt eum in meis commentarijs vel reprehenderem, vel laudarem: quæ $ane vitia pu$illi $emper animi e$$e duxi, & ab homine liberaliter, chri$tianeq; educato a- lieni$sima. Verum ea quàm longe ab$int tum à no$træ Societatis di$cipli- na, tum à mea con$uetudine, nemo omnino, qui nos ac no$tra norit, igno- rat. His vero, qui no$tra minime norunt, liber ip$e fidem faciet, $yncere omnia dici, nihil inuidio$e, nihil animo$e: planè vt veritatem quæ$itam, non cuiu$q; auctoritatem contemptam e$$e appareat. Neq; enim mihi tan tum derogo, (et$i nihil arrogo) vt mihi vni interdictum putem, ne, $i quid in alienis $criptis fal$um videatur, occa$ione oblata, cur id mhi minus pro- betur, o$tendam; modo (quod pudentium, ac bene moratorum hominum con$uetudo po$tulat) id $ine conuitio, atq; irri$ione faciam: Hoc autem liber ip$e, qui in medio e$t, ita à me factum e$$e clamat. Etenim vt totum illum librum peruolutes, ne verbum quidem vnum reperias, quod vel $peciem maledicti habeat, atq; conuitij. Nam in $cholio de angulo con- [354]_TRIANGVLA_ tactus iurare liquido po$$em, nihil me minus cogita$$e, quàm vt Peleta- rium obtrectandi animo oppugnarem; $ed illud habui$$e propo$itum, ($i modo con$equi po$$em) vt $uus e$$et veritati locus. Quod quidem eò li- berius feci, quòd Peletario ip$o non modo inuito, $ed etiam libenti exi- $timaui me e$$e facturum, quod vel ip$o auctore facerem: qui non à Car- dano $olum, atque Campano, $ed etiam à Proclo, Theone, Apollonio, Erato$thene, Pappo, Ptolemæo, Hippocrate Chio, Geometriæ lumini- bus, ab ip$o deniq; omnium magi$tro Euclide di$$entire non dubitauit- Nimirum quia, vt ab eodem in Apologia vere dictum e$t, in omni doctri- na, præ$ertim verò in Geometria, non auctoritas e$t $pectanda, $ed veri- tas: quanquam non video, qui amicus veritatis $it is, apud quem veritas odium parit; ni$i forte aut decipi $e non po$$e arbitratur, qui columina illa Geometriæ erra$$e interdum prædicat, aut veritatem in alienis rebus amat, ac quærit potius, quàm in $uis. Equidem $i quis me in re quapiam (quod pro humani ingenij imbecillitate fieri po$$e video) erra$$e o$ten- derit, næ ego maximam illi gratiam habuero, qui errantem in viam veri- tatis reduxerit. At enim probat $tudium veritatis Peletarius, conuitia ferre non pote$t: quæ tandem conuitia? rogas? Demon$trationes meas appellas $ophi$mata. Nunc demum, quæ conuitia dicat, intelligo. Nam alia nulla in meo libro e$$e certò $cio: ab his ($i conuitia $unt) fateor me non ab$tinere. At ego homo $implex, & ignarus verborum, conuitia e$$e nunquam duxi, cum vere dicerentur. Neq; enim, quo alio vocabulo de- mon$trationes plane fallaces, & adulterinas appellarem, habebam: neq; vero philo$ophorum, ac Mathematicorum con$uetudo loquendi magis appo$itum mihi verbum $nppeditabat. Accedit, quòd cum à Peletario, homine in loquendo con$iderati$simo, germanas Campani, Cardanique demon$trationes paralogi$mos appellari viderem, exi$timaui in fal$is eius demon$trationibus refellendis impunius per$imili me vocabulo v$urum. Quòd $i $ophi$ma contumelio$ius verbum e$t, quam paralogi$mus, in Gal lia, igno$cat con$uetudinis eius ignaro, atq; exi$timet, me paralogi$mos dicere volui$$e. Atq; vt plane intelligat Peletarius, me non contradicen di $tudio illa $crip$i$$e, mecum vnà con$ideret, quantam mihi materiam $ui refellendi dederit, $i hominem refellere potius, quam rem, quæ tum agebatur, explanare in animo fui$$et: quanquam occa$ion\~e eius reprehen dendi in $inum delatam $æpius omi$i, ne illum mihi delegi$$e viderer, in quem poti$simum incurrerem. Quàm præclara enim occa$io fuit in pro- po$. 4. & 8. lib. 1. atq; in propo$. 24. lib. 3. quam ip$e 23. facit? In his enim omnibus reijcit demon$trationes antiqui$simas Euclidis, tanquam non Geometricas; quippe in quibus figuram vnam alteri $uperponi conci- pere animo oporteat: quod ip$e a Geometriæ dignitate putat e$$e alie- num, hac $olum inductus ratione, quòd $uperpo$itionem illam mechani- cum quid e$$e arbitretur, & quòd omnes fere propo$itiones hoc modo, vt ait, po$sint demon$trari, etiam problemata, in quibus aliquid propo- nitur con$truendum: atq; in huius rei exemplum adducit propof. 2. & 3. [355]_SPHAERICA._ lib. 1. quæ problemata $unt. Hic certe Peletarium iure carpere potui$- $em, $i id mihi fui$$et propo$itum, vt fal$o criminatur; maxime in eo, quòd eadem ratione v$ui fore exi$timauit $uperpo$itionem in demo$trãdis pro- blematibus, ac theorematibus. Nam non $atis intellexi$$e videtur, quo pacto Geometræ $uperpo$itionem illam v$urpent. Neq; enim volunt, re <007>p$a faciendam e$$e figurarum $uperpo$itionem, (hoc enim mechanicum Superpo$i- tio figura- rum apud Geometras quo modo intelliga-- tur, & cur ea locum habeat in theorema- tibus, non autem in problema- tibus. quid e$$et) $ed cogitatione tantum, ac mente, quod opus e$t rationis atq; intellectus. Itaque in theorematibus quidem locum habebit genus hoc argumentaudi, in problematibus vero non. Namq; in theorematibus, propter magnitudinum æqualitatem, inæqualitatemve, quæ, vt nota, po- nitur, facile intellectus cuiu$uis $ine vlla h{ae}$itatione comprehendit, vnam vel non excedere alteram, vel excedere, $i animo concipiatur vna alteri e$$e $uperpo$ita, quamuis re ip$a non fiat illa $uperpo$itio, vt in propo$. 4. lib. 1. factum e$t: At in problematibus, in quibus magnitudin\~e quis alte- ri æqualem con$truere iubetur, licet mente cogitet magnitudinem propo $itam ttansferri in alium locum, non tamen propterea quicquam efficiet, cum reip$a tran$latio nulla facta $it: Vt mirum $it, Peletarium $ibi per$ua- dere potui$$e, propo$. 2. & 3. lib. 1. & alias pene omnes per $uperpo$itio- nem, $iue tran$lationem linearum, figurarumve po$$e demon$trari, $i hoc modo argumentandi in Geometria vti liceret. Et certe hac in re non $o- lum Euclidem in crimen vocat Peletarius, verum etiam Archimedem, quo, omnium iudicio, acutior in demon$trando, & $ubtilior fuit nemo, eiu$que commentatorem graui$simum, eumque docti$simum Eutocium A$calonitam, qui eodem argumentandi genere vtuntur in æqueponderan tibus, immo vero & omnes Geometras redarguat nece$$e e$t, qui non ra- ro hoc argumenti genus adhibent. Sed videamus, quò tandem egregius hic no$ter Geometra, qui omnes alios Geometras reprehendit, $it deuo- lutus. Viderat Peletarius, (neq; enim rem adeo manife$tam videre non po terat) $i hunc modum argumentandi è medio tollat, vniuer$am $e Geo- metriam funditus euertere, cum plurimæ, eæque præcipuæ propo$itiones in Geometria demon$trentur ex propo$. 4. & 8. lib. 1. & ex 24. lib. 3. quæ quidem alio modo demon$trari nequeunt, quam per dictam figura- rum $uperpo$itionem, non quidem re ip$a exi$tentem, $ed cogitatione duntaxat, vt dixi, comprehen$am. Quò igitur $e verteret? quid ageret? Excogitauit $ane rem magis à Geometria alienam, quam e$t $uperpo$itio Ab$urda s\~e tentia Pele tarij de pro pof. 4. & 8. lib. 1. Eucl. illa figurarum. Coactus enim e$t a$$erere, propo$itionem 4. lib. 1. e$$e de- finitionem angulorum {ae}qualium, (& quis vnquam talem audiuit definitio- nem?) atq; adeo concedendam eam e$$e $ine demon$tratione: propo$i- tionem vero 8. e<007>u$dem lib. principium e$$e per $e quoq; notum. Quod vt cred<007>bile magis efficiat, ita $cribit in propo$itionem 4. lib. 1. [_Etenim_ _nulla eu<007>dentiori Specie æqualitas figurarum digno$citur, quam ex laterum_ _æqualitate._] Idemque qua$i confirmat, & repetit in propo$itionem 8. eiu$- dem lib. dum ita loquitur. [_Quis enim negauerit, duas $uperficies e$$e æqua-_ _les, quarum latera & quantitate, & numero $unt æqualia?_] Hæc Peleta- [356]_TRIANGVLA_ rius, vt dict{ae} propo$itiones Euclidis $ine demon$tratione admittantur, cõ- m\~etatus e$t, $ed qu{ae} omn<007>no fal$a $unt: vt magnopere mirandũ $it, potui$$e eũ propo$itiones a Geometria pror$us alienas tam incõ$iderate proferre. Sc<007>licet verum e$t, quod ph<007>lo$ophi a$$erunt; Dato vno ab$urdo, cætera con$equũtur. A$$ump$erat enim Peletarius propo$. 4. & 8. lib. 1. pro prin cipijs: quod quidem fal$um e$t, atq; ab$urdum. Vnde ad eas ab$urditates nece$$ario deuenit, quas etiam illi, qui vix adhuc principia Geometriæ attigerunt, vel facile vitare potui$$ent. Nam quis non videt, Rhombum, & Quadratum, etiam$i latera habeant & quantitate, & numero æqualia, po$$e tamen inter $e valde e$$e inæqualia? Id quod in Pentagonis quoque æquilateris, & in alijs figuris pluriũ laterum æqualium cerni pote$t: quod non e$t huius loci pluribus verbis explicare. Cum ergo in omnibus figu- ris multilateris inæqualitas reperiatur, licet latera habeant & quantitate, & numero æqualia, demon$trandum fuit nece$$ario Euclidi, æqualitatem triangulorum colligi ex laterum {ae}qualitate, quandoquidem in alijs figuris ea non colligitur. Quare neq; propo$itio 4. Definitio, neq; propo$itio 8. principium erit; ac proinde omnes propo$itiones, quæ illis nituntur, quæ innumerabiles propemodum $unt, corruant nece$$e e$t, ni$i demon$tra- tiones Euclidis recipiãtur in illis propo$itionibus, cum alio modo demon Petitut principiũ à Peletario in propo$. 4. lib. 1. Eucl. $trari non po$sint. Demon$tratio enim noua propof. 4. quam Peletarius confinxit, nihil aliud e$t, quam (vt cum Logicis loquamur) petitio prin- cipij. Id quod per$picuum erit cuilibet, qui eam diligentius con$iderare voluerit. Nam in ea $olum cõ$truitur vnum triangulum po$teriori ex duo- bus datis æquale, immo idem, atq; hoc ip$um quidem inepti$sime, cum ad id præ$tandum circulos de$cribat Peletarius, quibus tamen in demon- $tratione non vtitur, quod vitio$um omnino e$t in Geometria: Deinde infert, triangulum hoc con$tructum, quod a po$teriori ex duobus propo- $itis non differt, priori e$$e æquale, $ine vlla demon$tratione; certum au- tem e$t, hoc ab initio propo$itum fui$$e, vt demon$tretur. Quocirca ma- nife$te principium petit, cum eadem facilitate $tatim in principio conclu dere potui$$et, etiam$i nullam adhibui$$et con$tructionem, triangula pro- po$ita e$$e æqualia; quippe cum con$tructio illa ad rem non faciat. Idem dico de demon$tratione propof. 24. lib. 3. quam etiam nouam confinxit: quod eorum iudicio, ad quorum manus eius commentarij peruenerunt, re- linquo. Prætereo alia loca innumerabilia, in quibus abutitur propo$itio- n<007>bus Euclidis in demon$trando, vt quòd plerunq; $ecundam propo$. lib. 1. in$cite pro tertia a$$umat, &c. Neq; enim mihi in animo nunc e$t, eius commentarios examinare, $ed $olum calumnias, quas frequentes in $ua Apologia adhibuit, a me depellere. Quæ cum ita $int, quod ille falsò de me, verè ego de illo dicere po$$em, rubere me, (vt eius verbis vtar) Eu- clidi interpretem contigi$$e, quinõ iam Theonem, aut Campanũ em\~edet, $ed ip$um Euclidem $ine cau$a reprehendat; quippe cum ego Euclidem (vti par e$t) a calumnijs ip$ius defendam, omne$que in$idias, ac fallacias, quas contra eum in$truxerat, detegam ac refellam. Liquet igitur, me ea [357]_SPHAERICA._ mente non fui$$e, vt Peletarium redarguerem, cum tot ac tantos errores di$simulauerim: quos ego ne nunc quidem in lucem protul<007>$$em, ni$i vel- lem omnes & intelligere, quantum Peletarius a me, de quo tam acerbe queritur, tum beneficium acceperit, & ex breui hac d<007>$putatione fructus aliquid, vtilitati$que percipere. Nunc vt, quam di$pari ille animo in me fuerit, appareat, eius calumnias breuiter exponam, atq; ita refellam ac diluam, vt omnes oculis videant, eas e$$e calumnias: In quo tamen eiu$- modi a me moderatio adhibeb<007>tur, vt mode$tiæ, quæ hominem religio- $um decet, minime obliui$car. Neq; enim illi, vti prouocauit, re$põdebo.

PRIMVM itaq; mihi obijcit Peletarius, quòd in eius demon$tra- tion<007>bus citandis ita me ge$$erim, vt $i quo modo nomen ip$ius $upprime- re potui$$em, id me o$tendam l<007>benter fui$$e facturum. Quod quam $it fal- $um, facile iudicabuntij, qui meos commentarios legerint; cum vbiq; eum honorifice appellem, eique plurimas demon$trationes a$cribam, tanquam proprias, quas tamen aliter, quam ip$e, & multo breuius demon$tro, & interdum etiã (quod maius e$t) vniuer$alius, vt liquido con$tat ex ijs, quæ tum ad propof. 38. tum ad propof. 45. lib. 1. ex Peletario demon$traui, vt alia interim taceam: quæ non iniuria mihi vendicare potui$$em: vt mirer, quid illi in mentem venerit, id a me parum $yncere, atq; adeo inuidio$e factum exi$timare, quod ego verebar, ne nimis ambitio$e factũ qui$piam iudicaret. Quòd vero propo$. 16. lib. 3. & in prioribus duabus definitio- nibus lib. 5. vt ip$e obijcit, animo$e, vt ego fateor, libere, quid de eius de- mon$trationibus $entir\~e, expo$ui, id feci, vt iam ante dixi, non cuiu$quam lædendi cau$a, $ed quærendæ veritatis. Ea enim e$t natura, & conditio eorum, qui liberalibus artibus dant operam, vt etiam$i alter alterius in- terdum $ententiam impugnet, non tamen idcirco odijs potius, quam in- genijs inter $e certare videantur. Qui $it aliorum $en$us ignoro, equidem, vt $upra dixi, ita $um animo, vt $i quis me alicuius erroris in demon$tran- do commi$si admoneret, ei quam maximas gratias haberem: atq; vt libe- rius id facerent, enixe rogaui non paucos, & nunc iterum eo$dem, atque etiam alios amicè oratos volo. Scio enim quam facile po$sit in $uis quisq; inuentis hallucinari; video (quod ip$e quoq; Peletarius in Apologia $a- pienter a$$eruit) omnibus hominibus commune e$$e, vt peccent. Deinde quòd in additionibus ad propof. 47. lib. 1. eius mentionem non fecerim, non e$t, quod ægre ferat, cum illæ propo$itiones non $int ab ip$o inuentæ. Quædam enim multo tempore ante ip$um demon$tratæ $unt vel a Cam- pano, vel a Proclo, aut Theone: qua$dam vero demon$traui egomet, ante- quam ip$ius demon$trationes vidi$$em; quòd adeo man<007>fe$tæ $int, & faci- les, vt nulla probatione egeant, $ed $int in$tar corollariorum propo$. 47. Vt nulla pror$us laus, aut gloria illi acce$$ura videretur, $i maxime eas ab ip$o inuentas e$$e (quod tamen verum non e$t) prædica$$em; cum eas qui- libet, modo primoribus labris $tudia Mathematica degu$tarit, nullo negotio ex illa propo$. 47. colligere po$sit: Vt non videam, cur tandem eas propo$itiones tanti ponderis e$$e dicat, cum $int omnium iudicio leui$ [358]_TRIANGVLA_ $imæ; adeo vt in pleri$que earum nec ip$e Peletarius demon$trationem vl lam, propter earum euidentiam, adducat, $ed eas nulla probatione egere fateatur. Denique non e$t, quod tantopere mihi $uccen$eat idcirco, quod con$tructionem Pentagoni æquilateri, & æquianguli $upra datam rectam lineam finitam ei non tribuerim: quoniam in ea con$tructione nihil pror$us ab eo $um mutuatus: quod ijs d<007>judicandum relinquo, qui meam cum illius con$tructione contulerint. Nam & mea omnino diuer$a e$t, & ille in $ua mirifice (vt alia peccata taceam) abutitur propo$itione 9. lib. 3. cum ex ea probet, punctum quoddam e$$e centrũ circuli, qui nondum e$t de$criptus. Geometra $anè dixi$$et, punctum illud e$$e eiu$modi, vt circulus ex eo Improprie tates Pele- tarij in de- mon$tran- do. de$criptus ad interuallum cuiu$libet lineæ rectæ ex illis tribus, quæ ibi o$ten$æ $unt æquales, tran$eat per extremitates reliquarum duarum linea- rum æqualium. Nam propo$itio 9. lib. 3. nihil eo loco ad rem facit, cum propo$itum ex ip$a cõ$tructione po$sit cõcludi, & ex demõ$tratis, vt pro- xime dixi, etiam$i propo$itio illa vera non e$$et, aut nu$quam demon$tra- ta. Idem peccatum committit Peletarius in omnibus propo$itionibus lib. 4. in quibus vel intra $iguram rectilineam, vel circa eand\~e circulus de$cri- b\~edus e$t. Quòd $i ideo $um repreh\~edendus, quòd propo$itionem vnã, mul to aliter a me, & breuius demon$tratam, ei non a$crip$erim, non video, quo pacto in idem ip$e vitium non incurrat, cum problema hoc [_Propo$i-_ _tis duabus lineis inæqualibus, potentiam maioris $upra mincrem cogno$ce-_ _re._] multis $eculis ante ip$um a Theone demon$tratum $ibi arroget, hac $olum de cau$a, vt arbitror, quòd <007>llud alia ratione, longiore tamen, de- mon$trauerit. Mitto hoc aliud problema, [_Dato angulo rectilineo æqua-_ _lem angulum curuilineum constituere._] quod in Apologia $uum proprium appellat, idemque hactenus de$ideratum e$$e gloriatur; cum tamen illud ip$um ego ex Proclo, qui mult<007>s ante eum $eculis floruit, in defin. 5. lib. 5. multo breuius, & clarius demon$trauerim. Nam, vt eo in loco o$tendi, $i rectæ lineæ datum angulum rectilineum continentes ponantur æquales, & circa ip$as duo $emicirculi (qui æquales erunt) ver$us ea$dem partes de- $cribantur, illico con$titutus eritangulus curuilineus dato angulo rectili- neo æqualis: Neque opus e$t tot ambagibus vti, quot Peletarius ad eam rem demon$trandam adhibet; quamuis robur demon$trationis ip$ius idem $it, quod meæ. Et quod magis mirandum e$t, fatetur Peletarius, $e meam demon$trationem vidi$$e, & eam nihilominus $ibi audet, tanquam pro- priam arrogare. En cur Peletarius clamet, me non paucas demon$tratio- nes parum hone$te, vt mihi vendicem, $ibi $ubducere conatum. Qu<007>s au- tem non videt, id eum in altero vituperare, quod ip$e $ibi glorio$um pu- tat? Itaque multo verius, ac iu$tius eodem illum crimine ego, quàm ille me, condemnare po$$um; cum nunquam propo$itionum illarum inuento- rem me appellauerim, vtip$e, $ed $olum eius nomen, obrationes a me ex- po$itas, reticuerim.

DEINDE angulum contactus, & acutum rectilineum eiu$dem ge- neris e$$e, contra me pluribus verbis conatur o$tendere. Sed ne$cio quo [359]_SPHAERICA._ modo aberrat, quod dicitur, a $copo. Solum enim probat, vtrumque angu- lum eodem genere quantitatis contineri, hoc e$t, vtrumque angulum pla- num e$$e; quod acutus angulus rectilineus, vel et<007>am rectus con$tare po$- $it ex angulo contactus, & alio angulo mixto: quod neque ego, neque vllus vnquam Geometra negauit. Ego angulos illos eiu$dem e$$e generis nega- Angulus contactus, & rect<007>li- neus curdi cantur e$$e diuer$i g@- neris. ui hac $olum de cau$a, quòd angulus contactus quantumuis multiplicatus angulum acutum rect<007>lineum $uperare nequeat, vt in $cholio propof. 6. lib. 3. euidenter o$tendi. Hinc enim fit, vt alter ad alterum proportionem non habeat, atque adeo quodammodo diuer$i generis $int: quemadmo- dum ead\~e de cau$a linea recta finita, & infinita non cen$entur e$$e eiu$dem generis, cum altera ad alteram proportionem non habeat; quamuis $ub eodem genere magnitudinis; nimirum $ub linea recta, comprehendantur. Hoc itaque feriat, vt collima$$e videatur: quamquam vt omnia faciat, col- limabit nunquam; ita longè abe$t, quod e$t propo$itum. Magnitudines au- tem, quarum altera multiplicata alteram $uperare nequit, non cen$eri eiu- $dem generis, (quod ad proportionem attinet) licet $ub eod\~e genere quan titatis, hoc e$t, $ub longitudine, aut latitudine, aut profunditate, aut nume- ro, collocentur, liquido con$tat ex defin. 5. lib. 5. vbi Euclides $atis per$pi- cue explicat, cuiu$modi debeant e$$e magnitudines eiu$dem generis, inter quas proportio reperitur. Quare viderint alij, Peletarius homo con$ide ratus quam cogitatè me incogitantem hominem appellarit; qua$i non re- cte intellexerim, quæ magnitudines $int eiu$d\~e generis, quæ non $int. Nun- quam enim dixi (id quod mihi affinxit, vt carperet) duarum magnitudi- num, quæ $ub diuer$is quãtitatis generibus collocantur, quales $unt linea, $uperficies, corpus, ac numerus, alterutram ita po$$e multiplicari, vt alte- ram $uperet: In quo, n\~emine reluctante, fru$tra $e$e fatigat, vt doceat, id fieri non po$$e; $ed de illis duntaxat magnitudinibus $um locutus, quæ cum in eodem genere quantitatis ver$entur, diuer$i tamen generis cen$eri po$- $unt: quales $unt $uperficies rectilinea & curuilinea, $iue mixta: Itemque li nea recta, & curua. Hæ etenim ita differre inter $e videntur, vt Ari$tote- les liquido affirmarit, vnam alteri æqualem e$$e non po$$e: quod tamen (pa ce Ariftotelis dictum $it) verum v$quequaque non e$t; cum Archimedes in lib. de lineis $piralibus demon$trauerit, quænam linea recta æqualis po$ $it e$$e circunferentiæ cuiu$uis circuli dat<007>. Non igitur negare poterit Pele tarius, aut qui$quam alius, ab Euclide defin. 5. lib. 5. aliquas quantitates a proportionis definitione excludi, diuer$ique propterea e$$e quodammo- do generis, quod ad proportionem attinet, licet in eodem magnitudinis genere ponantur: quales $unt angulus contactus, & angulus rectilineus; Li nea item recta finita, & infinita: Multas item magnitudines comprehendi in eadem definitione proportionis, quas plerique excludebant; cuiu$mo- di $unt curuilinea $uperficies, & rectilinea; necnon linea circularis, & re- cta, vt paulo ante diximus, latiu$que in defin. 5. lib. 5. expo$uimus. Verum Peletarius, ne opinionem illam $uam, quam de angulo contactus $emel im- biberat, de$erere cogeretur, noluit hanc expo$itionem quintæ defin. lib. 5. [360]_TRIANGVLA_ recipere; immo eã vt oppugnet, omnes videtur in Apologia int\~edi$$e ner- uos, oblitus $ui, <003> fere eod\~e modo illam defin. in quinto lib. olim expo$ue- rat; ni$i quod nõ recte inde colligit, angulum cõtactus non e$$e quantitat\~e, propterea quod multiplicatus nullam magnitudinem, vt dicit, po$sit exce- dere. Hoc enim (pace eius dixerim) fal$um e$t. Nam licet angulus conta- ctus multiplicatus angulum rectiiineum non po$sit excedere, excedet ta- men alium angulum contactus. Quare ex illa defin. $olum recte colligitur, angulum contactus ad angulum rectilineum non habere proportionem vllam; ad angulum vero alium contactus quemcunque proportionem ha- bere. Sed $iue ita intellexerit eam de$in. vt ex commentarijs eius in lib. 5. colligi pote$t, $iue $ecus, vt in Apologia indicare videtur, non multum la- boro: Certè ita illam e$$e intelligendam, vt expo$ui, nemo, qui verba Eu- clidis diligenter expenderit, negabit. Verum enim verò, $i mihi fidem ha- bere non vult Peletarius, habebit certe, (ni$i arrogans haberi volet) aut Proclo graui$simo $criptori, qui lib. 2. in lib. 1. Eucl, ad definitionem an- guli plani eodem modo definitionem illam intellexit, aut Petro Nonio Lu$itano, quem tanti facit, (& merito id quid\~e: fuit enim acerrimo vir in- genio, & nullo hac no$tra ætate in Mathematicis inferior) vt eum vnum pro multis millibus te$tem citet, & $uarũ demõ$trationum approbatorem, qui di$erti$simis verbis tum in libro de Erratis Orontij, tum in Algebra $ua, illam definitionem explicat, vt a me e$t expo$ita: quinetiam ibidem a$$erit, ex ea defin. colligi, angulum contactus ad angulum rectilineum, & lineam finitam ad infinitam nullam habere proportionem; vt Petrus No. nius, quem te$tem produxerat pro $e Peletarius, iam pro me te$timonium dicat. Atque ex hi$ce duobus locis Petri Nonij facile quiuis intelliget, quam $ine ratione, quanto contradicendi $tudio mihi in$ultet Peletarius, cum $emel atque iterum odio$e percontatur, vndenam potuerim illi lineã in$initam deportare. In idem enim crimen ($i crimen e$t, lineam infinitam exempli cau$a nominare) vocat etiam Petrum Nonium te$tem $uum, at- que adeo omnes philo$ophos, quorum e$t illa vox nemini inaudita, præ- terquam Peletario, finiti ad infinitum nullam e$$e proportionem. De$i- nat igitur a me $ci$citari, vnde lineam infinitam deportauerim: Inde enim re$pondebo, vnde eam Petrus Nonius, vnde philo$ophi omnes deporta- runt. Quid? nonne $ophi$ma illud Peletarij, $emper in hoc erro, demon- $tratio illa, volui dicere, & quidem palmaris, qua conatur o$tendere, pro- po$itionem 1. lib. 10. cum propo$. 16. lib. 3. $tare non po$$e, $i angulus con- tactus concedatur e$$e quantitas, a Petro Nonio Peletarij cognitore ea- dem pror$us ratione, qua a me ip$o, confutatur? Quæ $i germana demon- ftratio e$t, miror quid $it, cur eã Nonius Geometriæ $cienti$simus, idemq; Peletarij approbator, minus probarit: Cur nihilo magis demou$trationes eiu$dem, quibus planum $acit, (vt putat) angulum contactus quantitatem non e$$e, eundem illum Nonium nihil admodum mouerint? Id enim (n<007>$i fal lor) illa Non<007>j verba [_Si quis $ententiam Peletar{ij} de angulo contactus am-_ _plect<007> velit._] declarant. Nam $i demon$trationes exi$tima$$et, profecto Pe- [361]_SPHAERICA._ letarij doctrinä in eo retinendam e$$e dixi$$et, Geometricæ enim demon- $trationes eiu$modi $unt, vt a$$en$um extorqueant, ac dubitationem om- nem excludant, nulloq; modo quempiam $inant ancipiti opinione di$tra- hi $ic, vt tum a$$entiatur, $i velit, tum, $i nolit, di$$entiat. En cur Peletarius Nonij te$timonio aliorũ iudicia cõtemnat, en pr{ae}clarum te$timoniũ, quod Petrus Nonius eius demon$trationibus dedit: quò æquiore animo ferat, eas a me nihilo magis, quã ab illo $uo approbatore, demõ$trationes putari.

TERTIO, quòd exi$timare dixi Peletarium, angulum contingen- tiæ nihil e$$e, fal$um e$$e, clamat: Nu$quam enim dixi$$e $e, nihil e$$e, $ed quantitatem non e$$e. Ita ne vero? at in prædicamento Quantitatis, quod neque e$t punctum, (quis enim inclinationem illam punctum e$$e dixerit?) neque quantitas, quo alio nomine vocetur, quam Nihil? Sed vt vt dixit, profecto non modo mirabile e$t, $ed mon$tri in Geometria fimile, putare angulum contactus non e$$e quantitatem, qui po$tea additus alijs angulis efficiat curuilineum angulum rectilineo æqualem. Quis enim vnquã Geo- metrarum id, quod quantitas non e$t, magnitudini adiunxit, vt æqualem eam alteri efficeret? Prætereo, quod figura trilatera curuilinea intra tres circulos $e mutuo tangentes conclu$a nullum haberet angulũ ex Peleta- rij $ententia; quia tres illi contactus, anguli non $unt: cum tamen tribus di- uer$is lineis contineatur; quod omnino nouum e$t, & inauditũ apud Geo- metras. Itemque, $i quatuor, aut plures circuli $e mutuo tangerent, vt fie- ret figura curuilinea quadrilatera, vel plurium laterum, illa nullum angu- lum haberet. Atque etiam, $i duæ lineæ rectæ angulum continentes, vnum eundemque circulum tangerent, trilatera illa figura habens tertium latus curuum, vnicum tantum haberet angulum. Quæ omnia $i $unt ab$urda, con$entanea non e$t opinio Peletarij. Sed nimis forta$$e multa ad Nihil illud Peletarij euertendum, ad quod tuendum ille nihil afferat. Quoniam vero, ne pro N<007>hilo $uo nihil agere videatur, quando res non pote$t, mea verba carpit, verba defendam: quæ quid\~e ille ne$cio quibus præ$tigijs ita deprauat, vt dicere videar, nihil e$$e minus quocũq; angulo: atq; (vt $im- plicem, credo, homin\~e irretiat) quærit ex me, quod tãdem genus $ermonis $it illud. Viderit is, cuius ex officina prodijt. Neque enim ego eiu$modi $ermonem agno$co, qui, nihil e$$e minus quocunque angulo, nu$quamdi- xerim, ni$i ex $ententia Peletarij. Sed videlicet homo vehemens, vt $uum illud Nihil vlci$ceretur, aliud mihi nihil affinxit, quo cum impune pugna- ret: At quam palæ$trice pugnat? quam $ibi placet hoc loco, dum meum il- lud argumentum, quo petitus fuerat, in me ip$um mira venu$tate conuer- tit? Sic enim argumentatur. [_Angulus contactus nihil e$t: Angulus conta-_ _ctus angulo contactus maior e$t. Angulus igitur maior nihilo e$t: Atqui Cla_ _uius eund\~e ponit minor\~e nihilo. E$t igitur angulus contactus nihilo maior, et_ _id\~e nihilo minor_] Mox qua$i Nihil illud ab $e effictũ iugula$$et, exclamat. [_En Clauy argumenta, quæ vtrum tandem Peletary $ophi$mata $unt, an_ _Clauij potius $igmenta, cum ip$e $uum angulum contactus nihil e$$e dicat,_ _non ego?_] Verum vt hominem fæneum, atque adumbratum nequicquam [362]_TRIANGVLA_ petere de$inat, virum o$tendam, qui cum, $i velit, certare cum laude po$- $it. Ego vt o$tenderem, angulum contactus, ex Euclidis $ententia, verè e$- $e angulum, & angulum $emicirculi angulo recto rectilineo minorem, ita $um argumentatus. Si Euclides $en$i$$et, angulum contactus nihil pror$us e$$e, (hoc e$t, vt Peletarius intelligit, non e$$e angulum, vel non e$$e quan- titatem) & angulum $emicirculi æqualem recto rectilineo; quid, ob$ecro, tantopere de$uda$$et, vt demon$traret, angulum contactus e$$e minorem omni acuto rectilineo, angulum vero $emicirculi maiorem? Quid enim cla rius, quàm nihil, cuiu$modi e$t angulus contactus, ex Peletarij $ententia, hoc e$t, quàm id, quod quantitas non e$t, minus e$$e quocunque angulo? Quid rur$us magis per$picuum, quàm angulum rectum, qualem ponit Pe- letarius angulum $emicirculi, maiorem e$$e quolibet acuto? Agno$cat itaque Peletarius, Nihil illud $uum male à nobis acceptum, idque ita vlci$catur, vt meum hoc argumentum refellat: in quo ego $i angulum contactus dixi e$$e nihil, & non potius eum nihil e$$e a$$erui ex $enten- tia Peletarij, libenter manus dabo. Videtur Peletarius aut non intelle- xi$$e meum argumentum, aut intelligere nolui$$e: ni$i eum quis dicat, de- dita opera verba mea volui$$e cauillari; quod & plerisque alijs in locis facere videtur. Nunquam enim dixi, angulum contactus minorem e$$e, aut maiorem nihilo: Solum affirmaui, angulum contactus quemcunque mino- rem e$$e, aut maiorem aliquo alio angulo contactus, quem non ego dixi nihil e$$e, $ed Peletarius, eundemque Euclides minorem quolibet acuto rectilineo recte demon$trauit. Vt autem intelligat Peletarius, me, quod ip$e negat, didici$$e Dialecticam, illum ip$um tam lepidum, atque acu- tum $yllogi$mum, quo Nihil illud ab $e cõfictum mira venu$tate confixit, pauli$per con$iderabimus; vt quàm $uo iure Dialecticæ ignaros alios vo- cet, appareat. Nam mihi quidem male tornatus ille ip$e $yllogi$mus vide- Paralogif- mus Pele- tarij in$i- gnis. tur, incudique reddendus. Etenim cum ver$etur in tertia figura, in eo ma- ior extremitas, (vt Dialectici loquuntur) quæ e$t, Nihil, de minori, qu{ae} e$t, angulo contactus maior, in recto prædicari deberet, hoc pacto. Angulus contactus nihil e$t: Angulus contactus angulo contactus maior e$t. Igitur aliquid, quod angulo contactus maius e$t, nihil e$t. Quæ quidem con- clu$io recte $equitur ex præmi$sis, quarum prior Peletarij e$t, non mea, po$terior autem mea, & Procli, immo & Euclidis. Conclu$io autem illa Peletarij, Angulus igitur maior nihilo e$t, nulla ratione ex præmi$sis in- ferri pote$t. Nam $i, angulum cum dicit, intelligit Peletarius angulum con tactus, a$$umitur medius terminus, qui in vtraq; præmi$$a $ubijcitur: quod nefas e$$e, Ari$toteles in prioribus Anal. & Dialectici omnes clamant. Si autem alium angulum intelligit, a$$umitur in conclu$ione terminus, cuius nulla facta e$t mentio in præmi$sis: quod nihilo magis licere, nemo e$t tam plumbeus in Dialecticis, qui ne$ciat. Neque contendat Peletarius, men- tionem factam e$$e anguli in minore extremitate, vbi dictum e$t, angulum contactus angulo contactus maiorem e$$e. Nam angulus in minore extre- mitate po$itus e$t in obliquo, qui in conclu$ione $ubijcitur in recto: quod, [363]_SPHAERICA_ vt auctore Ari$totele docent omnes Logici, $ine peccato fieri non pote$t. Quod vt planum fiat, vtemur ea palæ$tra, quam ab illo didicimus. Si qui$- piam ita argumentetur; Angulus in $emicirculo rectus e$t: Angulus in $e- micirculo angulo acuto maior e$t. Angulus igitur acutus maior recto e$t; quis, modo $it imbutus Dialecticis, eiu$modi argumentationem probet, cum præmi$$æ veræ $int, conclu$io autem fal$a? Talis ille $yllogi$mus e$t Peletarij, qui apud imperitam multitudinem alter Chry$ippus videri voluit. Conclu$io, quæ recte ex præmi$sis inferretur, hæc e$$et. Igitur ali- quis angulus, qui acuto maior e$t, rectus e$t. Sed tamen ei veniam dandam puto, quòd $e Geometricum Dialecticum, ex alio quodam Dialecticorum genere, profitetur, cuius ego me Dialecticæ, $i ab Ari$totelica abhorret, planè fateor ignarum. Fatetur deinde Peletarius, $e non intelligere, quo pacto dicere po$sim, angulum rectilineum minimum dari non po$$e, & ta- men angulum contactus e$$e omni acuto rectilineo minorem, (ip$e, vt ali- quid addat de $uo, dicit, omni minimo acuto rectilineo minorem; cum ta- men verbum illud, minimo, ego non addiderim) cupitque $cire, quid aliud $it, angulum contactus minorem e$$e omni rectilineo acuto, quàm angu- lum contactus e$$e acutorum rectilineorum minimum. Qua in re morem geram homini non grauate, et$i è $cholio ad propo$. 16. lib. 3. potuit id, quod cupit, cogno$cere. Nempe ea ratione me illud potui$$e dicere, qua dicimus, angulum obtu$um rectilineum minimum dari non po$$e, & tamen angulum rectilineum acutum e$$e omni obtu$o rectilineo minorem. Item quemadmodum aliud e$t, angulum rectilineum acutum minorem e$$e om- ni rectilineo obtu$o, quàm angulum rectilineum acutum e$$e obtu$orum rectilineorum minimum: propterea quod angulus acutus non e$t obtu$us, $icut nec angulus contactus rectilineus e$t, aut acutus. Id quod etiam cla- ri$sime docet Proclus lib. 2. in primum Eucl. ad defin. anguli recti, obtu$i, & acuti. Sed hæc puerilia $unt, & quæ magis ad Grammaticos $pectent, quàm ad Geometras. Quòd etiam, ne librum meum parum $pi$$um vide- rer feci$$e, $uas demon$trationes ad verbum me recita$$e queritur, id in me reprehendit, quod ego in ip$o de$idero. Id enim eo a me con$ilio factum e$t, vt omnes plane viderent, $yncere me, ac fideliter eius opinionem retu- li$$e, nullumq; omnino verbũ immuta$$e. Quod vtinam in meis verbis reci tãdis ip$e facere in animum induxi$$et. Multo enim minus $pi$$am Apolo- giam $uam facere potui$$et. Nam ego, quid erat, cur laborarem meum li- brum Peletarij verbis magis $pi$$um efficere? Qui enim parum $pi$$um iu- dicarem librum eum, qui nec raras, nec inanes in libros omnes Euclidis commentationes contineret, cum Peletarius $uum librum, qui $ex prio- rum duntaxat librorum demon$trationes complectitur, $atis $pi$$um $it ar- bitratus? Sed eo $um æquior Peletario, quòd ex $e alios iudicat. Nam in Apologia $ua, ne inanis rerum videretur, tres demon$trationes nihil pe- nitus ad eam pertinentes infer$it: quarum priorem immeritò $uam pro- priam facit, vt $upra dixi: po$teriorem vero, quam mirum in modum glo- riatur $e clariorem feci$$e, ego & longè breuius, & dilucidius (ni$i meorum [364]_TRIANGVLA_ me amor fallat) iam pridem demon$traui, vt mox, Deo adiuuante, ex libel- lo meo de dimen$ionibus magnitu dinum apparebit. Sed licuerit Peletario $uæ A pologi{ae}, ne incomitata prodiret, nouo more comites ac pedi$$equas adiungere: mihi cur non liceat, quod omnibus $emper licuit, aliorum $en- tentias totas meis $criptis intexere? Autigitur omnes reprehendat, atque in primis Petrum Nonium laudatorem $uum, qui idem fecit in refellen- dis paralogi$mis Orontij, aut $ine cau$a id $e mihi vitio dedi$$e fateatur. Quòd $i, po$tquam tam fideliter eius verba propo$ui, Peletarius crimi- natur, me eius $ententiam perperam e$$e interpretatum, quid facturus fui$- $et, $i alienis verbis eius opinionem in medium adduxi$$em? Equidem fa- cile $ibi per$uadebit quis, nullum eum verbum relicturum fui$$e, quod non reprehendi$$et.

QVARTO vt leuiora hæc omittat, illud putat palmare, quòd me laborare o$tendit, vt probem, angulos cõtactus alios alijs e$$e inæquales: propterea quòd $crip$i, æqualitatem angulorum eiu$dem generis require- re eandem inclinationem linearum, ita vt lineæ vnius conueniant omni- no lineis alterius, $i alter alteri $uperponatur, iuxta octauum pronuncia- tum. Qua in re dupliciter me peccare ait. Primum quod dicam, ad æqua- litatem angulorum eiu$dem generis requiri eandem linearum inclinatio- nem; cum tamen angulus rectilineus o$ten$us $it a me æqualis circuilineo, atque adeo eiu$dem generis cum illo, licet non $it in vtroq; eadem linea- rum inclinatio. Deinde quod putem angùlos contactus ideo inter $e in- æquales e$$e, quòd $ibi mutuo non congruant. Equidem $i quid in eo a me peccatum e$$e <007>ntelligerem, & peccatum (quod e$t ingenuo, & liberali- ter educato homine dignum) agno$cerem, & Peletario correctori, & emendatori meo (quo cunque id animo fecerit) gratias agerem. Nunc ve- ro, cum, totare etiam atque etiam con$iderata, nihil omnino vitij ine$$e videam, ita, quæ obijciuntur, diluam, vt tamen gratiam habeam Peletario, qui occa$ionem dedit eius loci diligentius explicandi. Ego igitur eo loco intellexi angulos eiu$dem generis illos, qui vnam lineam habent rectam, & alteram circularem, quales $unt anguli contactus, & $emicirculorum, de quibus tunc agebamus. Quare cum linea recta vnius congruat lineæ rectæ alterius, circularis vero circulari non it\~e, ni$i circuli ponantur æqua- les, efficitur, angulos illos e$$e inæquales inter $e, quippe cum alter alte- rum excedat. Eadem ratione, $i dentur duo anguli curuilinei æqualium circulorum æquales, nece$$e e$t, lineas vnius lineis alterius congruere, $i alter alteri $uperponatur. Quòd $i Peletarius hanc doctrinam oppugnat, $ciat, $e iam bellum mouere non mihi, $ed Proclo, qui lib. 3. in primum Eucl. ad propo$. 4. idem pror$us docet, quod ego. Ait enim [_Angulorum_ _autem æqualitatem $umemus iuxta conuenientiam laterum in rectilineis,_ _in cæterisque omnibus, qui eiu$dem $unt speciei, vt in Lunaribus, in Sy$troi-_ _dibus, atque in vtrinque conuexis, &c._] Et infra. [_Quæ æqualia data $unt,_ _$ibi inuicem congruunt. Hoc autem non in omnibus veru e$t, $ed in ys, quæ_ _$pecie $imilia $unt. Specie autem $imilia hæc d<007>co, vt recta linea rectæ lineæ,_ [365]_SPHAERICA._ _& circunferentia circunferentiæ circuli eiu$dem, & anguli, qui à $imili-_ _bus $imiliter iacentibus lineis comprehen$i $unt. Horum autem dico, quòd_ _quæ æqualia data fuerint, $ibi inuicem congruũt._] Nonne luce clarius ex his colligitur, Proclum illos $olum angulos contactus concedere æquales, quorum rectæ lineæ, & curuæ $ibi mutuò congruunt? Temere igitur Pele- tarius mihi obijcit angulum rectilineum & circuilineum, triangulum & quadratum, atque alia huiu$modi, de quibus eo loco $ermo non erat; quip- pe quæ non $int eiu$dem $peciei, atque adeo æqualitatem tueantur, etiam$i alterum alteri non congruat. Vtiam vereri incipiam, ne Peletarius no$ter contentionis $it cupidior, quàm veritatis.

POSTREMO, vt nihil intactum relinquat, me non modo Geo- metriæ ignarum vocat, $ed etiam Logices: propterea quòd lib. 5. dixi, non recte à quibu$dam diuidi Proportionem rationalem in proportion\~e æqua- litatis, atque inæqualitatis? quòd multæ proportiones inæqualitatis $int etiam irrationales. Ego vero (et$i non is $um, qui mihi quicquã vllo in ge- nere arrogem) tamen in hi$ce $tudijs, in quibus mediocriter ver$atus $um, planè rudem non e$$e, præ me $emper tuli. Quantulum autem $it id, quod in vtroq; po$$im, cæteri melius, qui vacant amore, & odio, iudicabunt; Pe- letario quidem ip$i ita me adhuc re$põdi$$e arbitror, vt iam minus forta$$e ignarus Geometriæ, ac Dialecticæ videar, quàm putarat. Nunc, vt per$pi- ciat, neq; me pertinacem e$$e, neq; illa, quæ exagitat, à Dialecticorũ præ- ceptis abhorrere, lib\~eter ei concedo, diui$ion\~e illam, quam à me reprehen $am criminatur, probã e$$e, ita tamen, $i in quolibet diui$ionis membro Di- ui$um intelligatur: neq; vero hoc vnquã negaui, cum alibi $imiles diui$io- nes v$urpem. Solũ id eo loci cont\~edi, rectius meo iudicio, diuidi Propor- tionem in vniuer$um duplici diui$ione, priori quidem in proportionem ra tionalem, & irrationalem; po$teriori vero in proportion\~e æqualitatis, atq; inæqualitatis, (quod veri$simum e$$e, neminem negaturum cen$eo, qui rem diligentius expenderit) cum tam priora duo membra diuid\~etia, quam po$teriora totum Diui$um (vt Logici loquuntur) exhauriant: quam $i prius membrum prioris diui$ionis, hoc e$t, proportio rationalis, $ecetur in proportionem æqualitatis, & inæqualitatis, cum hæc membra diuidentia latius pateant, quam Diui$um, ni$i in illis Diui$um intelligatur. Atque eò magis duplex illa diui$io mihi probatur, quòd non de$int, qui primum par- tiantur Proportionem in proportione\~e æqualitatis, & inæqualitatis; po$te- riorem deinde hanc in proportionem rationalem, & irrationalem: contra- rio $cilicet modo, quàm priores. Vt igitur hanc controuer$iam dirimerem, ac dubitationem, vtri rectius faciant, priores ne an po$teriores, tollerem, $t atui duabus diui$ionibus $ecandam e$$e Proportionem, quarum vtraque ab$oluti$sima e$t, ac perfecti$sima. Non aliter arbitror, omnes magis e$$e probaturos, $i corpus duplici diui$ione $ecetur, primum quidem in viuens, & non viuens; deinde vero in album, nigrum, ac mixto colore affectum: quam $i corpus viuens diuidatur in album, nigrum, ac mixto colore affe- ctum; ob cau$am iam dictam: licet h{ae}c $ubdiui$io bona $it, $i Diui$um $em- [366]_TRIANGVLA_ per intelligatur. Huiu$modi diui$iones $excentas adducere po$$em: $ed $a- tis e$t, me prudenti lectori in$titutum meum in diui$ione Proportionis ex- po$ui$$e, & cur duplicem illam diui$ionem $ubdiui$ioni aliorum prætule- rim. Quòd $i tam acres, & $eueri iudices $ingulorum verborum aut impro- prietatum, quæ per incogitantiam interdum excidunt, e$$e velimus, næ $criptorum nullus aliquo vitio carebit, neque ip$e quidem Peletarius, vt partim ex ijs, quæ dicta $unt, con$tat, partim etiam ex alijs eius demon$tra- tionibus apparere pote$t: quas $i liberet ad certam illam Dialecticorum normam exquirere, profecto reprehendendi materia non dee$$et. Verum non e$t hoc no$tri con$ilij, refellendi $tudio vitia al<007>ena $crutari, $ed vbi $e- $e occa$io obtulerit, meam (quali$cunque e$t) de aliorum $ententijs $enten- tiam exponere: Solum ab eo peto, (quoniam $e tam acutum Dialecticum iactat, vt alios contemnere videatur; quanquàm ex $uperiore $yllogi$mo, quem in me conuertit, liquido con$tat, quam $it Dialecticæ peritus) ex qua Logica hanc argumentationem hau$erit; Omnes anguli contactus $unt mi- Argum\~eta tiones Pele tarij $ophj $ticæ. nores quolibet angulo acuto rectilineo: ergo omnes inter $e $unt æquales. Itemque hanc; Anguli $emicirculorum, quò a maioribus circulis fiunt, eò $unt maiores: igitur tandem ad aliquem perueniemus, qui recto rectilineo ma<007>or $it; in qua quidem ad Cardanum $cribit, nullum e$$e paralogi$mum. Ego $ane vehementer miror, qua ratione in tam apertas hallucinationes, & viro Geometra omnino indignas, incidere potuerit. Sed argumentatio- nes eiu$modi $atis $uperque in $cholio propo$. 16. lib. 3. a me $unt confu- tatæ, adductis contra ip$as euidenti$simis in$tantijs. Deinde quòd me per- $tringit, qua$i parũ intellexerim, quæ $it proportio rationalis, & quæ irra- tionalis, non multum laboro. Con$tat enim eum $tudio mihi detrahendi id dixi$$e; cum has proportiones vbique ex $ententia graui$simorum $cri- ptorum definierim: neque vero ip$e, vllum peccatũ a me ea in re e$$e com- mi$$um, poterit o$tendere. Certe commentarius meus in lib. 10. Eucl. abun- de declarat, numillas intellexerim, nec ne. Denique quòd criminatur, me in de$initionibus lib. 5. proportionis nomen confundere cum Rationis no- mine, nullo modo verum e$t. Per$picuis enim verbis docui in defin. 4. lib. 5. me in commentario comparationem duarum quantitatum Proportio- nem cum pluribus Geometris appellaturum, habitudinem autem propor- tionum, Proportionalitatem; licet in textu cum interprete illam dicam Ra tionem, hanc vero, Proportionem. Neque enim quicquam in textu Eucli- dis volui immutare. Itaque nulla in meis verbis pote$t e$$e ambiguitas.

EX HIS, quæ diximus, $atis (vt opinior) apparet, docti$simos illos vi ros, de quibus initio memini, non $ine cau$a Apologiam Peletarij inanem, ac re$pon$ionis indignam iudica$$e. Ego tamen, ne contemnere hominem viderer, quem $emper laudandum e$$e duxi, occa$ione inuitatus re$ponden dum amice putaui. Exi$timet ille, angulum contactus quantitatem non e$- $e, atque adeo angulum $emicirculi recto rectilineo e$$e æqualem, ego cer- te contrariam $ententiam tuebor, donec aliud mihi demon$tratum ab ali- quo fuerit; rationes enim Peletarij fallaces $unt, nihilque continent in $e [367]_SPHAERICA._ Probabilitatis, vt in $cholio propo$. 16. lib. 3. o$tendi, vbi omnes di$$olui: neque meis ip$e $olution<007>bus vel vnum verbum (exceptis ijs, quæ $upra ex lib. 10. adduxi) re$pond<007>t; quod tamen maxime ad Apologiam pertine- bat: Vt non $ine cau$a permulti exi$timauermt, eum non veritatis $tudio eam Apologiã $crip$i$$e, $ed ne veritati ce$si$$e videretur. Nec vero qui$- quam putet, me vnum exi$timare, angulum contactus vere e$$e angulum, & angulum $emicirculi recto rectilineo minorem. Multos enim eius rei Varij au- ctores, qui $en$erunt, angulũ cõ- tactus vere e$$e angu- lum, & an- gulũ $emi- c<007>rculi an- gulo recto rectilineo minorem. auctores, eo$que graui$simos laudare po$$um, Theonem, Campanum, Pe- trum Nonium, & (vt Nonius refert) Archimedem, atque Iordanum: quin etiam (quod plurimi facio) Euclidem ip$um, eiu$que commentatorem ce- leberrimum Proclum; vt taceam ex Gallis præ$tanti$simos, atque eru- diti$simos viros non paucos, è quorum numero in primis e$t Franci$cus Candalla ex illu$tri$sima Flu$$atum familia oriundus, qui in$igne volumen in elementa Geometrica Euclidis edidit, vbi ad propo$. 16. lib. 3. aperti$- $ime docet, angulos contingentiæ verè e$$e angulos, ex definitione anguli plani, aliosq; alijs e$$e maiores, æquales, ac minores: Eos autem, qui aliter $entiũt, (Peletariũ proculdubio intelligit. Præter eum enim ad hunc diem nemo hac de re $crip$it) ab$urde multa ex fal$is $uppo$itis concludere af- firmat. Huc accedat etiam Henricus Monantholius Mathematicarum ar- tium profe$$or regius qui, cum Apologiam Peletarij in me con$criptam vidi$$et, opu$culum eruditum aduer$us Peletarium de angulo contactus edidit. Vt autem $tudio$us lector videat, quid in hoc negotio $entiat Pro- clus, afferam in mediũ pauca quædam ex eius commentarijs in lib. 1. Eucl. quæ obiter notaui, & ex quibus liquido con$tabit, eius $ententiam e$$e Pe- letarij commento pror$us contrariam. Primum itaque ita $cribit lib. 2. in Poeli $en- tentia de angulo eõ- tactus, & $e micircul<007>. primum Eucl. ad definitionem anguli plani. [_Duænamque circunferentiæ_ _$e inuicem $ecando, vel $e$e contingendo, angulos effic<007>unt. Quinetiam àre-_ _cta linea, & conuexa circunferentia angulus continetur, vt Cornicularis._] Intelligit autem nomine Cornicularis angul<007> angulum contactus mixtum. Paulo enim ante dixerat, angulum Cornicularem e$$e omni rectilineo mi- norem: quod $olius anguli contactus proprium e$t. Deinde in eodem lib. ad definitionem anguli recti, obtu$i, & acuti ita habet. [_Cornicularis nam-_ _que angulus omni recto e$t minor, quandoquidem & acuto, nec tamen acu-_ _tus e$t: Semicir cularis itidem quocunque recto est minor, acutus tamen non_ _e$t._] Quid clarius, quam Proclum hic a$$erere, angulum $emicirculi mino- norem e$$e recto? Rur$us lib. 3. ad propo$. 4. lib. 1. Eucl. ita $cribit. [_Addi-_ _$cemus enim, quòd angulus Cornicularis acuto $emper inæqualis e$t, & nun-_ _quàm æqualis: Et $emicir cularis $imiliter, tran$itusque à maiori ad minus_ _non omnino per æquale fit._] En quam aperte docet, angulum $emicirculi æqualem e$$e non po$$e angulo rectilineo, tran$itumque propterea fieri a maiori ad minus non per æquale: quorum vtrumque Peletarius negat, au- detque po$terius appellare paralogi$mũ. Denique in eodem lib. 3. ad pro- po$. 23. hæc verba habentur. [_Cum autem nullus angulus mixtus rectilineo_ _æqualis e$$e po$sit, &c._] Et Peletarius tamen non dubitat angulum $emi- [368]_TRIANGVLA_ circuli, qui mixtus e$t, angulo recto rectilineo facere æqualem, Cõtra Pro- cli $ententiam, Ex his liquere arbitror, vt de cæteris taceam, idem $entire Proclum de angulo contactus, & $emicirculi, quod ego contra Peletarium $crip$i: quis autem neget, maiorem e$$e auctoritatem, meliora argumenta Procli, quam Peletarij?

OBITER quoque hoc loco monendum lectorem cen$eo, id, quod Idem dic\~e- dum e$t de angulo cõ- tactus, qui in conicis fectionib<_>9 fit, quod de illo Eucli- @is d<007>citur. de angulo contactus, qui fit in circulis, ex $ententia Euclidis, & Procli do- cui, verum etiam e$$e de angulo cõtactus, qui in conicis $ectionibus effici- tur, nimirum in Parabola, Hyperbola, & Ellip$i. Vt enim Apollonius Per- gæus demon$trat lib. 1. propo$. 32. in locum, qui inter coni $ectionem, & rectam lineam tangentem interijcitur, altera recta linea non cadit; atque adeo angulus ille contactus minor etiam e$t omni acuto rectilineo, & re- liquus angulus ex recto ($i nimirum ex puncto contactus ad lineam tan- gentem excitetur perpendicularis) omni acuto rectilineo maior. Si igitur, vt opinatur Peletarius, angulus contactus quantitas non e$t, (eadem enim hic e$t ratio, quæ in circulo) erunt omnes anguli contactus inter $e æqua- les, hoc e$t, vt ip$evult, non inæquales, & reliquorum angulorum $ingu- li recto rectilineo æquales. Vbi $anè maior ab$urditas apparet, quo ad $en $um, in Ellip$i, quæ perexiguam habeat latitudinem, & in Hype<007>bola, quæ ferè linea recta e$$e videatur. Valde enim inæquales cernuntur anguli ad verticem Ellip$is, & Hyperbolæ con$tituti; vt incredibile omnino $it, ni- $i firma ratione demon$tretur, angulos illos contactus ad vertices $ectio- num con$titutos inter $e, & reliquos ex rectis inter $e quoque e$$e æqua- les; propterea quod in ea Ellip$i linea tangens magis recedere per$picia- tur a circunferentia Ellip$is, quam in circulo; in illa vero Hyperbola mi- nus. Sed hæc alio tempore examinanda relinquamus: nunc ad interruptam expo$itionem definitionum reuertamur.

II.

ANGVLVS $phæricus rectus e$t, quem in Angulus $phæricus rect<_>9 quid. $phær{ae} $uperficie duo arcus circulorum maximo- rum $e$e ad angulos rectos $ecantium, id e$t, quo- rum alter ad alterum rectus e$t, continent.

III. Anguius $phæricus obcu $us quid.

ANGVLVS $phæricus obtu$us e$t, qui re- cto maior e$t.

IIII. Angulus $phæricus acutus qd.

ACVTVS verò, qui minor e$t recto.

[369]_SPHAERICA._

_CONSTITVITVR_ angulus $phæricus rectus ad punctum datum in dato ar- Cõ$tructi@ anguli $ph{ae} ralis recti, obtu$i & acuti. tu circuli max<007>mi $uperficie in $phæræ, $i per illud punctũ & per polum dati arcus (qui per propo$ 21. l<007>b 1. Theod. inuenitur) circulus maximus de$cribatur. Huius enim cir- culi circunferentia cum arcu dato angulum rectum con$t<007>tuet; cum circulus hic ad circulum illius arcus $it rectus. Si vero per datum punctum de$cribatur arcus circuli 15. 1. Theo. maximi non per polos dati arcus, con$tituet circunferentiæ huius circuli cum date ar cu angulos inæquales, obtu$um vnum, & alterum acutum.

V. Triangulũ $ph{ae}ricum quid.

TRIANGVLVM $phæricum e$t, quod tri Triangulũ $ph{ae}ri cum diuiduur vt rectili- neum ab Euclide. bus arcubus circulorum maximorum in $phæræ $uperficie continetur.

_HOC_ autem e$t vel æquilaterum, $i omnes arcus æquales fuerint; vel I$o$celes, $i duo arcus tantum fuerint æquales; vel denique Scalenum, $i omnes arcus <007>næqua- Di$crimen inter trian gulũ rectã- gulum, ob- tu$angulũ- que rect<007>li- neum, ac $phæticũ. les inter $e fuerint. Item\’q; vel rectangulum, $i aliquem angulum habuerit rectum; vel obtu$angulum, in quo angulus aliquis fuerit obtu$us; vel denique acutangulum, $i omnes anguli fuer<007>nt acut<007>: quemadmodum de rectilineo triangulo dixit Euclides. _Hoc_ tamen di$crimen reperitur inter triangulum rectangulum, obtu$angulumque rectilineum, & $phæricum, quòd in rectilineo reliqui duo anguli nece$$ario $int acu- ti, propterea quòd duo anguli quomodolibet $umpti minores sũt duobus rectissin $phœ 17. primi. rico autem $i vnus angulus fuerit rectus, vel obtu$us, po$$unt al{ij} duo etiam e$$e recti, vel obtu$i, vel alter $altem, vt ex demon$trationibus $equentibus per$picuum fiet.

VI. Arc<_>9 angu. li $phæri@ quid.

ARCVS anguli $phærici e$t arcus circuli ma ximi, cuius polus e$t in ip$o angulo, inter duos ar- cus angulum $phæricum comprehendentes inter- ceptus.

_QVIA_ vero polus circuli maximi quadrante maximi circuli ab eo abe$t, fit, vt Coroll. 16. vterque arcuum angulum comprehendentium <007>nter angulum, & arcum anguli po$i- 1. Theod. torum $u quadrans. Quare $i angulus $uerit rectus, arcus anguli erit quadrans; $i acutus, quadrante minor; $i denique obtu$us, maior quadrante: & contra. Vt propo$. 26, demon$trabimus.

VII.

COMPLEMENTVM arcus e$t exce$$us, Complem@ tum arcus quid. quo quadrans eum $uperat, $i arcus minor e$t qua- [370]_TRIANGVLA_ drante, vel ab eo $uperatur, $i e$t quadrante maior.

VIII.

COMPLEMENTVM anguli $phærici di Complem@ tũ anguli $phærici quid. citur exce$$us, quo quadrans arcum ip$ius anguli $uperat, vel ab eo $uperatur.

IX.

SINVS, Tangens, & Secans alicuius anguli $phærici e$t $inus, tangens, & $ecans illius arcus, qui arcus anguli dicitur.

PROBLEMA I. PROPOSITIO I.

DATIS duobus arcubus circulorum ma- ximorum in $uperficie $phæræ inæquali- bus, quorũ neuter $emicirculo maior $it, de maiore æqualem minori arcum detrahere.

SINT duo arcus circulorum maximorum inæquales AB, CD, quorum neuter $emicirculo maior $it, & maior $it CD; oporteat\’que ex ma iori CD, minori AB, æqualem de- trahere. Ducta recta AB, applice- 1. quarti. tur ei æqualis CE, in arcu CD. Dico arcum ablatum CE, æqua- lem e$$e arcui minori AB. Cum enim circuli arcuum AB, CD, maximi $int, & propterea æqua- les; auferent rectæ æquales AB, CE, arcus æquales AB, CE: quòd 28. tertij. vterque arcus $emicirculo minor ponatur. Datis igitur duobus arcubus cir- culorum, &c. Quod erat faciendum.

THEOR. 1. PROPOS. 2.

IN omni triangulo $phærico, latus quodcun- que minus e$t $emicirculo.

SIT triangulum $phæricum ABC. Dico quodcunque latus $emicir- culo e$$e minus. Productis enim arcubus BA, BC, donec conueniant in D, vl [371]SPHÆRICA. tra A, & C, erunt arcus BAD, BCD, $emicirculi; cum circuli maximi $e mu- 11. 1 Theod. tuo bifariam $ecent. Quare tam arcus BA, BC, $emicirculo minor e$t. Eodem modo, productis arcubus AB, AC, o$tendemus ar cum AC, $emicirculo e$$e minorem. Con- uenient autem arcus BA, BC, producti vl- tra puncta A, & C, propterea quòd $phæ- ricos angulos faciunt cũ arcu AC, $unt\‘q; omnes tres arcus portiones circulorum ma ximorum, qui $e mutuo $ecant in punctis A,B, C, non autem tangunt. Hinc enim fit, vt vterque arcus BA, BC, productus arcum AC, productum $ecet in pun- ctis A, C, vt ex defin. con$tat; ac proinde inter $e coeant vltra puncta A, C. In omniergo triangulo $phærico, &c. Quod erat demon $trandum.

THEOR. 2. PROPOS. 3. IN omni triangulo $phærico, duo latera reli- quo $unt maiora, quomodocunque a$$umpta.

SIT triangulum $phæricum ABC. Dico duo quælibet latera, vt AB, AC, maiora e$$e latere BC. Si enim triangulum e$t æquilaterum, manife$tum e$t duo $imul dupla e$$e reliqui, atque adeo maiora. Quod $i alterum laterũ AB, AC, æquale $it lateri BC, vel maius, vel etiã vtrumq; maius, per$picuum quoque e$t, duo latera AB, AC, ma- iora e$$e reliquo BC. Si vero vtrum- que latus AB, AC, a$$umptum late- re tertio BC, minus $it, demon$trabi- mus, latera AB, AC, $imul maiora e$- $e latere BC, hac ratione. Perficia tur circulus arcus tertij BC. Deinde ex polo B, nempe ex altero extremo ma ioris lateris BC, ad interuallũ vtriu$- uis arcuum minorum, nimirum ad in- teruallũ arcus BA, in $uperficie $phæ ræ circulus de$cribatun AD, $ecans ar cum BC, qui maior ponitur arcu BA, in D, puncto inter B, & C. Et quoniam circulus BC, tran$it quoque per reliquum polum circuli AD; $it alter po- $chol. 10. 1. lus E, qui per $emicirculũ remotus erit à polo B; ita vt $emicirculus $it BCE. Theod. Cum ergo arcus BC, $emicirculo minor $it, exi$tet polus E, vltra punctum C: 2. huius. E$t autem punctum D, inter B, & C, vt dictum e$t. Punctum igitur C, inter puncta D, E, cadet. Quare cum ex puncto C, quod extra peripheriam circuli AD, e$t, & præter eiu$dem polum E, $ignatur, ducantur duo arcus maximorum circulorum CB, CA, $emicirculo minores (quòd latera $int trianguli $phæ- 2. huius. rici ABC.) ad peripheriam AD, erit arcus CD, per polum B, tran$iens, mi- $chol. 21. nor arcu CA. Additis ergo æqualibus arcubus DB, AB; ($unt autem æqua- 2 Theod. [372]TRIANGVLA les, proptèrea quòd rectæ eos $ubten dentes æquales $unt, per defin. poli.) erit 1@. tertij. totus arcus BC, minor duobus arcubus AB, AC; hoc e$t, duo latera AB, AC, maiora erunt latere BC. Eodemque modo quælibet alia duo latera re- liquo maiora demon$trabuntur. In omni ergo triangulo, &c. Quod erat de- mon$trandum.

THEOR. 3. PROPOS. 4.

IN omni triangulo $phærico, tria latera $imul minora $unt integro circulo maximo.

SIT triangulum $phæricum ABC. Dico tria latera $imul minora e$$e in- tegro circulo maximo. Productis enim duobus arcubus quibu$libet BA, BC, donec coeant in D, puncto, (Coibunt autem nece$$ario vltra A, C, quod cir- culum maximum AC, $ecent in punctis A, C. vel propterea quòd vterque arcus BA, BC, $emicirculo minor e$t.) erunt duo ar- us BAD, BCD, $emicirculi; propte- rea quòd circuli maximi $e$e bifariam di- 11. 1 Theod. uidunt. quoniam verò in triãgulo DAC, latera DA, DC, maiora $unt latere AC; $i 3. hu<007>us. addantur communes arcus AB, CB, hoc e$t, aggregatum ex arcubus AB, CB, fient quoque arcus BAD, BCD, maiores tribus arcubus AC, AB, BC; hoc e$t, tria latera AC, AB, BC, minora erunt duobus $emicirculis BAD, BCD, hoc e$t, integro circulo maximo. In omni ergo triangulo $phærico. &c. Quod demon$trandum erat.

THEOR. 4. PROPOS. 5.

CVM arcus circuli maximi in $ph{ae}ra $uper ar cum circuli maximi con$i$tens angulos facit; aut duos rectos, aut duobus rectis æquales efficier.

ARCVS circuli maximi AB, cõ$i$tens $uper arcum circuli maximi CD, faciat duos angulos $phærices ABC, ABD. Si igitur circulus arcus AB, per polum circuli arcus CD, tran$it, $ecabit, omnino arcum CD, ad angulos re- 15. 1. Theo. ctos; atque idcirco anguli ABC, ABD, recti erunt. Si verò arcus AB, per polos ar- cus CD, non tran$it, faciet vnum quidem angulũ obtu$um, alterũ verò acutum. Di- coigitur ip$os duobus e$$e rectis æquales. Ducatur enim arcus circuli maximi EB, per 30. 1. Theo. punctum B, & polum arcus CD; eruntque duo anguli EBC, EBD, recti. Quoniam 15. 1. Theo. verò angulus rectus EBD, æqualis e$t duo- bus angulis DBA, ABE; appo$ito communi angulo recto EBC, erunt duo recti EBD, EBC, tribus angulis DBA, ABE, EBC, æquales. Rur$us quia an- [373]SPHÆRICA. gulus ABC, duobus angulis ABE, EBC, æqualis e$t, appo$ito communi an- gulo ABD, erunt duo anguli ABC, ABD, tribus angulis DBA, ABE, EBC, æquales. Sed ei$dem his tribus o$ten$um fuit e$$e etiam æquales duos rectos EBD, EBC; quæ autem eidem æqualia, inter $e $unt æqualia. Duo igitur anguli ABC, ABD, æquales $unt duobus rectis EBD, EBC. Cum ergo arcus circuli maximi in $phæra, &c. Quod erat o$tendendum.

COROLLARIVM.

SEQVITVR ex his, duos arcus duorum angulorum, qui duobus rectis angulis $unt æquales, hoc e$t, qui ab ateu circuli maximi arcui alterius cireuli maximi in$i$tente efficiuntur, qua les $unt duo anguli ABC, ABD, $emicireulum con$tituere. Nam $i ex polo B, circulus maximus de$eribatur CAD, erunt, ex defin. 6. CA, AD, arcus angulorum ABC, ABD, Per$picuum autem e$t, arcus CA, AD, $emicirculum con$icere; cum circuli maximi CBD, CAD, $e mutuo $ecent bifariam in C, D.

11. 1. Theod. THEOR. 5. PROPOS. 6.

SI duo arcus circulorum maximorũ in $phæ- ra $e mutuo $ecuerint, angulos ad verticem æqua- les inter $e efficient.

SECENT $e duo arcus AB, CD, circulorum maximorum in $phæra in E, vtcunque. Dico angulos, quos faciunt ad verticem E, inter $e e$$e æqua- les; angulum videlicet AED, angulo BEC, & angulum AEC, angulo BED. Quoniam enim tam anguli AED, DEB, quàm angu- 5. huius. li DEB, BEC, duobus $unt rectis æquales, erunt illi duo his duobus æquales: ablato ergo communi angulo DEB, remanebit angulus AED, angulo BEC, æqualis. Ea- demque ratione con$irmabimus, angulum AEC, angulo BED, æqualem e$$e. Si duo ergo arcus circulorum maximorum, &c. Quod o$tendendum erat.

THEOR. 6. PROPOS. 7.

SI duo triangula $phærica duo latera duobus lateribus æqualia habeant, vtrumque vtrique; ha- beant verò & angulum angulo æqual\~e $ub æqua- libus arcubus contentũ: Et ba$im ba$i æqualem ha bebunt; eritque triangulũ triangulo æquale, ac re- liqui anguli reliquis angulis æquales erunt, vterq; vtrique, $ub quibus æqualia latera $ubtenduntur.

[374]TRIANGVLA

SINT duo triangula $phærica ABC, DEF, habentia duo latera AB, AC, duobus lateribus DE, DF, æqualia, vtrumq; vtriq;, & angulum A, an- gulo D, æqualem. Dico & ba$em BC, ba- $i EF, æqualem e$$e, & triangulum ABC, triangulo DEF, & reliquos angulos B, C, reliquis angulis E, F, vtrumq; vtriq;. Quoniam enim arcus AB, arcui DE, æ- qualis ponitur, fit, vt $i alter alteri intel- ligatur $uperponi in $uperficie $phæræ, collocato puncto A, in puncto D, & pun cto B, in puncto E, plana circulorum AB, DE, $ibi mutuo congruant, & proinde ar cus AB, arcui DE, congruat. Alias $e mutuo $ecarent bifariam circuli illorum arcuum in A, & B, atq; adeo $emicir 11. 1. Theod. culi e$$ent AB, DE. quod e$t ab$urdum. E$t enim $emicirculo vterq; mi- 2. huius. nor. Cum ergo angulus A, angulo D, ponatur æqualis, congruet quoq; ar- cus AC, arcui DF, punctumq; C, in punctum F, cadet, ob æqualitatem ar- cuum AC, DF. Ba$is igitur BC, ba$i EF, congruet quoq;: alias, $i $upra ca deret, aut infra, cuiu$modi e$t arcus EGF, e$$ent arcus EF, EGF, vel BC, $e mutuo $ecantes in E, F, $emicitculi; cum circuli maximi $e mutuo $ecent 11. 1. Theod. bifariam. quod e$t ab$urdum. Singuli enim $emicirculo minores $unt. Quo- a. huius. circa ba$is BC, ba$i EF, æqualis erit, cum neutra alteram excedat; & trian gulum ABC, triangulo DEF; & anguli B, C, angulis E, F, vterq; vtrique, æquales erunt, ob eandem cau$am. Quare $i duo trangula $phærica, &c. Quod o$tendendum erat.

THEOR. 7. PROPOS. 8.

ISOSCELIVM triangulorum $phærico- rum, qui ad ba$im $unt, anguli inter $e $unt æqua- les: Et productis æqualibus arcubus, qui $ub ba$i $unt, angul<007> inter $e æquales erunt.

SIT triangulum $phæricum I$o$celes ABC, cuius duo latera AB, AC, æqualia $int. Dico angulos B, C, $upra ba$im BC, æquales e$$e: Item $i pro- ducantur arcus æquales AB, AC, infra ba$im BC, quantumlibet, angulos quoque B, C, $ub ba$i BC, æquales e$$e. Quoniam enim arcus AB, $emicir- 2. huius. culo minor e$t, poterit in eo producto accipi adhuc arcus minor $emicircu- lo. Sit igitur arcus AD, $emicirculo minor; & ex arcu AE, quantumcunq; 1. huius. producto ab$cindatur arcus AF, æqualis arcui AD; & per duo puncta B, F, nec non per C, D, ducantur duo arcus maximorum circulorum BF, CD. 20. 1. Theo. Quia ergo duo latera AB, AF, trianguli ABF, æqualia $unt duobus late- ribus AC, AD, trianguli ACD, vtrumque vtrique, continent\’q; angulum communem A; erit ba$is BF, ba$i CD, æqualis, & anguli ABF, & F, angu- 7. huius. lis ACD, & D. Rur$us, quoniam arcus AD, AF, æquales $unt; $i deman- [375]SPHÆRICA. tur æquales AB, AC, erunt & BD, CF, æquales. Quare duo latera DB, DC, trianguli DBC, æqualia $unt duobus lateribus FC, FB, trianguli FCB: quæ cum contineant angulos æquales D, F, vt o$ten- dimus, erunt & anguli DBC, DCB, angu- 7. huius. lis FCB, FBC, æquales. Quòd $i ex angu- lis ABF, ACD, quos o$tendimus æquales e$$e, auferantur anguli FBC, DCB, quos etiam æquales e$$e demon$trauimus, rema- nebunt anguli ABC, ACB, $upra ba$im BC, æquales: O$ten$um e$t autem & angu- los DBC, FCB, infra eandem ba$im BC, e$$e æquales. Igitur & anguli $upra ba$im in- ter $e, & anguli infra eandem inter $e æquales $unt. Quam ob rem I$o$celium triangulorum $phæricorum, &c. Quod demon$trandum erat.

COROLLARIVM.

HING manife$tum e$t, omne triangulum $phæricum æquilaterum, e$$e quoque @uiangulum.

THEOR. 8. PROPOS. 9.

SI trianguli $phærici duo anguli æquales inter $e fuerint: Et $ub æqualibus angulis $ubten$a late- ra æqualia inter $e erunt.

IN triangulo ABC, $int duo anguli B, C, $upra latus BC, æquales. Di- co latera quoque AB, AC, illis $ubten$a e$$e æqualia. Si enim non $unt æ- qualia, $it, $i fieri pote$t AB, maius. Et quo- niam arcus AC, minor e$t $emicirculo, ab$cin- 2. huius. datur ex arcu maiore AB, arcus BD, arcui mi- 1. huius. nori AC, æqualis; & per puncta C, D, arcus cir 20 1. Theo. culi maximi ducatur CD. Quoniam ergo duo latera AC, CB, trianguli ACB, æqualia $unt duobus lateribus DB, BC, trianguli DBC, continent\’q; angulos æquales ACB, DBC; erunt triangula ACB, DBC, æqualia, totum 7. huius. & pars. Quod fieri non pote$t. Non ergo inæ- qualia $unt latera AB, AC, $ed æqualia. Si trian guli igitur $phærici duo anguli, &c. Quod erat o$tendendum.

COROLLARIVM.

SEQVITVR hinc, omne triangulum $phætricum æquiangulum, e$$e quoque æqui- laterum.

[376]TRIANGVLA PROBL. 2. PROPOS. 10.

AD datum arcum circuli maximi in $phæra, datum\’q; in eo punctum, dato angulo $phærico æ- qualem angulum $phæricum con$tituere.

SIT datus arcus maximi circuli in $phæra AB, datumq; in eo punctum C, oporteat\’q; dato angulo $phærico D, ad punctum C, æqualem angulum $phæricum con$tituere. Productis arcubus DE, DF, angulum D, continen- 20. 1. Theo. tibus quantumlibet, $umatur quadrans DG; atq; per G, & polum circuli DE, arcus circuli ma- ximi ducatur GH, $e- cans arcum DF, in H. Erit igitur angulus G, 25. 1. Theo. rectus. Deinde $umpto quoque quadrante CI, ducatur per I, & polum 20. 1. Theo. circuli AB, arcus ma- ximi circuli IK. Erit igitur & angulus 1, re- 15. 1. Theo. ctus. Po$tremo, quia ar- cus GH, $emicirculo 2. huius. minor e$t, ab$cindatur 1. huius. ei arcus IK, æqualis, ducaturque per C, K, arcus circuli maximi CK. Dico 20. 1. Theo. angulum C, æqualem e$$e angulo D. Cum enim latera DG, GH, æqualia $int lateribus CI, IK, contineant\’que angulos æquales, vt pote rectos; æqua- les erunt anguli D, & C. Ad datum ergo arcum circuli maximi, &c. Quod fa- 7. huius. ciendum erat.

THEOR. 9. PROPOS. 11.

OMNIS trianguli $phærici maior angulus maiori lateri$ubtenditur. Et maius latus maiorem angulum $ubtendit.

IN triangulo $phærico ABC, $it angulus ACB, angulo A, maior. Dico latus AB, maius e$$e latere BC. Quoniam angulus 10. huius. ACB, maior ponitur angulo A, fiat angulus ACD, angulo A, æqualis, $ecet\’que arcus CD, arcum AB, in D. Quoniam igitur in triangulo ADC, anguli A, & ACD, æquales $unt; erunt & latera AD, CD, 9. huius. æqualia. Addito ergo communiarcu DB, erunt ar- cus BD, DC, æquales arcui AB: Sed arcus BD, DC, $imul maiores $unt arcu BC. Igitur & arcus 3. huius. AB, eod\~e arcu BC, maior erit. Quod e$t propo$itũ.

[377]SPHÆRICA.

SED iam in triangulo $phærico ABC, latus AB, maius $it latere BC. Dico angulum C, maiorem e$$e angulo A. Si enim angu lus C, maior non e$t angulo A, erit vel ei æqualis, vel minor. Si e$t æqualis, erunt latera AB, CB, 9. huius. æqualia. Quod e$t ab$urdum, cum AB, ponatur ma- ius, quàm CB: Si vero minor e$t angulus C, angu- lo A, erit latus BC, latere AB, maius, vt iã o$ten- $um e$t. Quod etiam ab$urdum e$t. ponitur enim AB, maius, quàm BC. Cum ergo angulus C, æqua- lis non $it, neque minor angulo A, erit vtique ma- ior. Quod e$t propo$itum. Omnis ergo trianguli $ph{ae}rici maior angulus, &c. Quod erat o$tendendũ.

THEOR. 10. PROPOS. 12.

SI duo triangula $phærica duo latera duobus lateribus æqualia habuerint, vtrumque vtrique, angulum verò angulo maiorem $ub æqualibus ar- cubus contentum: Et ba$im ba$i maiorem habe- bunt. Quòd $i ba$im ba$i maiorem habuerint: Et angulum $ub æqualibus arcubus contentum an- gulo maiorem habebunt.

SINT duo latera AB, AC, trianguli ABC, æqualia duobus lateri- bus DE, DF, trianguli DEF, $ed angulus EDF, maior $it angulo A. Dico ba$im EF, maiorem quoque e$$e ba$i BC. Sint enim primum triangula hæc $phærica I$o$celia, & ex D, polo per puncta E, F, arcus circuli de$cribatur in $uperficie $phæræ EGF, qui circulus, $i maximus fue- rit, idem erit omnino, qui EF: alias, cum ma- ximi circuli $e bifariam $ecent, e$$et EF, $e- 11. 1. Theo. micirculus. quod e$t ab$urdum, cum $it $e- micirculo minor. Tunc autem circulus arcus 2. huius. EGF, maximus erit, cum arcus DE, DF, quadrantes fuerint; quòd maximus circulus quadrante ab$it à $uo polo. Sit ergo iam ar- Coroll. 16. cus EGF, maximi circuli, & idem, qui EF, 1. Theod. fiat\’que angulus FDG, angulo A, æqualis. 10. huius. Erit arcus DG, arcui DE, atque adeo & arcui AB, æqualis: propterea quòd 28. ter@ij. rectæ $ubtendentes DE, DG, ex defin. poli, æqua les $unt. Quia igitur latera AB, AC, æqualia $unt lateribus DG, DF, angulos\‘que continent æquales; æquales reunt ba$es BC, GF. Cum ergo arcus EF, maior $it arcu GF, ma- 7. huius. ior quoque erit arcus EF, arcu BC. Quod e$t propo$itum.

QVOD $i circulus ex polo D, per puncta E, F, de$criptus non fuerit ma- [378]TRIANGVLA ximus, atque adeò idem non $it, qui EF; $ed vel cadat infra arcum EF, $iue $upra, (nihil enim intere$t, quocunque cadat.) fiat nihilominus angulus 10. huius. FDH, angulo A, æqualis: erit\‘que rur$us arcus DH, arcui DE, hoc e$t, ar- 28. tertij. cui AB, æqualis; eo quòd rectæ $ubtendentes DE, DH, æquales $int, ex de- fin. poli. Ducto igitur per puncta F, H, arcu circuli maximi FH; cum latera 10. 1. Theo. AB, AC, lateribus DH, DF, æqualia $int, angulos\‘que contineant æquales; erunt & ba$es BC, HF, æquales. Quoniam verò circulus maximus DF, per 7. huius. D, polum circuli EHF, tran$iens eum bifariam $ecat; erit arcus EHF, $emi- 15. 1. Theo. circulo minor; (quia arcus à puncto F, per E, v$que ad illud punctum, in quo, $i protractus e$$et vltra E, $ecaretur ab arcu FD, ad partes D, producto, e$t $emicirculus: quandoquidem circulus arcus EHF, bifariam $ecatur a circulo arcus FD, vt dictum e$t.) atque adeo recta FE, maior, quàm recta FH, in eo- 25. tertij. dem circulo: quia illa propin quior e$t centro circuli EHF, hoc e$t, diame- tro, quàm hæc. Cum ergo circuli arcuum EF, HF, maximi $int, ideo\‘q æqua- les; $it autem vterque arcus EF, HF, $emicirculo minor; erit arcus EF, ma- 2. huius. ior arcu HF: O$ten$us autem e$t arcus HF, æqualis arcui BC. Maior igitur $chol. 28. erit quoque arcus EF, arcu BC. Quod e$t propo$itum.

tertij.

SINT deinde triangula propo$ita non I$o$celia, $ed latus AB, maius $it latere AC, ac proinde & latus DE, maius latere DF. Producto ergo arcu DF, ad partes F, ab$ci$$o\’que arcu DG, æquali ip$i DE, qui minor e$t $e- 1. huius. micirculo, de$cribatur ex polo D, per pun 2. huius. cta E, G, arcus circuli EHG, $iue maxi- ximus is $it, $iue non maximus. Fiat rur- $us angulus FDH, angulo A, æqualis; 20. huius. erit\’que arcus DH, arcui DE, hoc e$t, ar- 28. tertij. cui AB, æqualis; eò quòd rectæ $ubten$æ DH, DE, æquales $int, ex defin. poli. Du- cto igitur per puncta H, F, arcu circuli maximi HF, erit, vt prius, arcus BC, ar- cui HF, æqualis. Quoniam verò circulus maximus DG, per D, polum circuli EG, 7. huius. ducitur, e$t\’que punctum F, intra periphe- riam circuli EG, (nempe inter circulum, & polum D.) & præter eius polum; erit arcus FE, maior arcu FH, cum ille propin quior $it arcui FD, per po- Schol. 21. lum D, tran$eunti, & vterque arcus FE, FH, $emicirculo $it minor: propte- 2. Theod. rea quòd non $e inter$ecant, ni$i in puncto F: O$ten $us e$t autem arcus HF, arcui BC, æqualis. Maior ergo erit quoque arcus EF, arcu BC. Quod e$t propo$itum.

SED iam ba$is EF, maior $it ba$i BC. Dico & angulum D, maiorem e$$e angulo A. Si enim angulus D, maior non e$t angu- lo A, erit vel æqualis, vel minor. Si æqualis dicatur e$$e, erit arcus EF, æqualis arcui 9. huius. B C. quod e$t ab$urdum. Ponitur enim arcus EF, maior arcu BC. Si verò minor dicatur e$$e angulus D, angulo A, erit, vt iam o$ten $um e$t, arcus BC, maior arcu EF. quod etiam ab$urdum e$t, cum EF, maior pona- [379]SPHÆRICA. tur, quàm BC. Cum ergo angulus D, neque æqualis $it angulo A, neque mi- nor, erit vtique maior. Quod e$t propo$itum. Itaque $i duo triangula $phæ- rica, &c. Quod demon$trandum erat.

THEOR. 11. PROPOS. 13.

DVO $emicirculi maximorum circulorum $e mutuo $ecantes continent duos angulos inter $e æquales.

DVO $emicirculi maximorum circulorum ABC, ADC, $e mutuo $e- cent in A, C. Dico angulos A, & C, æqua- les e$$e. Diui$o enim $emicirculo ABC, in B, bifariam, vt AB, BC, quadrantes $int, ducatur per B, & polum circuli ABC, ar- 20. 1. Theo. cus circuli maximi BD, $ecans arcũ ADC, in D; erit\‘q angulus B, ex vtraque parte 15. 1. Theo. rectus. Quia igitur duo latera AB, BD, duobus lateribus CB, BD, æqualia, $unt, cõtinent\‘q angulos æquales, vtpote rectos; erunt & anguli A, & C, æquales. Quare duo 7. huius. $emicirculi maximorum circulorum, &c. Quod demon$trandum erat.

THEOR 12. PROPOS. 14.

CVIVSCVNQVE trianguli $phærici vno latere producto, $i reliqua latera $imul {ae}qualia $int $emicirculo, erit angulus externus æqualis angu- lo <007>nterno oppo$ito $upra arcum productum: Si verò minora $int $emicirculo, erit angulus exter- nus eodem interno oppo$ito maior: $i denique maiora $int $emicirculo, idem angulus externus dicto angulo interno oppo$ito minor erit.

IN triangulo $phærico ABC, produca- tur latus BC, ad D, & $int primum reliqua duo latera AB, AC, $imul $emicirculo æqua- lia. Dico angulum externum ACD, æqualem e$$e interno oppo$ito B, $upra arcum produ- ctum BC, &c. Coeat enim arcus BA, produ- ctus cum arcu BC, producto in D; erit\‘que BAD, $emicirculus. Quia vero arcus BA, 11. 1. Theo. [380]TRIANGVLA AC, æquales ponuntur $emicirculo BAD; dempto communi arcu BA, erunt reliqui arcus AC, AD, æquales. Quare & angulus ACD, angulo D, æqua- 8. huius. lis erit. Cum igitur anguli B, & D, $int quoque æquales, æqualis quoque erit 13. huius. angulus ACD, angulo B. quod e$t propo$itum.

SINT deinde duo latera AB, AC, mi- nora $emicirculo BAD. Dempto ergo com muniarcu AB, erit reliquus AC, reliquo AD, minor; ac propterea angulus ACD, 11. huius. maior angulo D, hoc e$t, angulo B, qui an- 13. huius. gulo D, æqualis e$t. Quod e$t propo$itum.

SINT po$tremo latera AB, AC, ma- iora $emicirculo BAD. Dempto igitur cõ- muni arcu AB, erit reliquus AC, reliquo AD, maior; ac propterea angulus D, maior erit angulo ACD. Cum ergo 11. huius. angulo D, æqual<007>s $it angulus B, erit quoque angulus B, maior angulo ACD, 13. huius. hoc e$t, angulus ACD, angulo B, minor erit. Cuiu$cunque ergo trianguli, &c. Quod erat o$tendendum.

THEOR. 13. PROPOS. 15.

SI cuiu$cunque trianguli $phærici vno latere producto, externus angulus æqualis fuerit interno oppo$ito $upra arcum productum, erunt duo reli- qua latera $imul æqualia $emicirculo: Si verò an- gulus externus maior fuerit interno eodem, & op- po$ito, erunt duo reliqua latera $emicirculo mi- nora: Si deniq; externus angulus interno oppo$i- to dicto minor fuerit, erunt duo latera reliqua $e- micirculo maiora.

POSITO eodem triangulo $phærico, & con$tructione figuræ eadem; Sit primum angulus ACD, externus æqua- lis interno oppo$ito B. Dico latera AB, AC, $emicirculo e$$e {ae}qualia, &c. Cum enim angulus B, angulo D, æqulis $it, erit quo- 13. huius. que angulus ACD, angulo D, æqualis; ideo\‘q & arcus AC, AD, æquales erunt. 9. huius. Addito ergo communi arcu AB, erunt duo arcus AB, AC, $emicirculo BAD, æqua- les. Quod e$t propo$itum.

SIT deinde angulus ACD, maior angulo B, hoc e$t, angulo D, qu<007>an- 13. huius. gulo B, æqualis e$t; erit\’q arcus AD, maior arcu AC. Addito ergo commu- 11. huius. [381]SPHÆRICA. miarcu AB, erunt duo arcus AB, AC, minores $emicirculo BAD. Quod e$t propo$itum.

SIT po$tremò angulus ACD, minor angulo B, hoc e$t, angulo D, qui 13. huius. angulo B, æqualis e$t; erit\’que arcus AC, maior arcu AD. Addito ergo com- 11. huius. muniarcu AB, erunt duo arcus AB, AC, maiores $emicirculo BAD. Quod e$t propo$itum. Si igitur cuiu$cunque trianguli $phærici, &c. Quod erat de- mon$trandum.

THEOR. 14. PROP. 16.

SI cuiu$cunque trianguli $phærici duo latera $imul æqualia $int $emicirculo, erunt duo angu- li $upra ba$im duobus rectis æquales: Si verò mi- nora $int $emicirculo, erunt duobus rectis mino- res:Si denique $emicirculo $int maiora, erunt duo- bus rectis maiores.

IN triangulo $phærico ABC, $int primum duo latera AB, AC, $emi- circulo æqualia. Dico duos angulos B, C, effe æquales duobus rectis, &c. Producto enim arcu BC, ad D, erit angulus ACD, angulo B, æqualis. Cum 14. huius. ergo duo anguli ad C, duobus $int rectis æquales; erũt 5 huius. quoque duo anguli B, & ACB, æquales duobus rectis.

SINT deinde latera AB, AC, $emicirculo mi- nora. Cum ergo duo anguli ad C, $int duobus rectis 5. huius. æquales; & angulus B, minor $it angulo ACD; erunt 14. huius. anguli B, & ACB, duobus rectis minores.

SINT tandem latera AB, AC, $emicirculo ma- iora. Quoniam igitur duo anguli C, $unt duobus re- 5. huius. ctis æquales, e$t\’que angulus B, maior angulo ACB; 14. huius. erunt anguli B, & ACB, maiores duobus rectis. Si igitur cuiu$cun que trian guli $phærici, &c. Quod erat o$tendendum.

THEOR. 15. PROP. 17.

SI cuiu$cunque trianguli $phærici duo anguli $upra vnum latus duobus rectis æquales fuerint, erunt reliqua duo latera $emicirculo æqualia: Si vero duobus rectis fuerint minores, erunt minora $emicirculo: Si denique maiores extiterint duo- bus rectis, erunt $emicirculo maiora.

[382]TRIANGVLA

POSITO eodem triangulo $phærico, & con$tructione figuræ eadem; Sint primum duo anguli B, C, duobus rectis æquales $upra latus BC. Dico reliqua duo latera AB, AC, $emicirculo æqualia e$$e, &c. Cum enim & an- guli duo ad C, æquales $int duobus rectis; dempto 5. huius. communi angulo ACB, remanebit angulus ACD, 15. huius. angulo B, æqualis. Quare $emicirculo æquales $unt arcus AB, AC.

SINT deinde anguli B, ACB, duobus rectis mi- 5. huius. nores. Cum ergo duo anguli ad C, $int duobus rectis æquales; dempto communiangulo ACB, remane- bit angulus ACD, maior angulo B. Arcus ergo AB, 15. huius. AC, $emicirculo $unt minores.

SINT denique anguli B, ACB, duobus rectis maiores. Cum ergo duo 5. huius. anguli ad C, $int æquales duobus rectis; $i dematur communis angulus ACB, 15. huius. erit reliquus ACD, reliquo B, minor; atque adeo arcus AB, AC, $emicir- culo maiores. Quo circa $i cuiu$cunque trianguli $phærici, &c. Quod o$ten- dendum erat.

THEOR. 16. PROP. 18.

SI duo triangula $phærica habeant tria latera tribus lateribus æqualia, $ingula $ingulis: habebũt & tres angulos tribus angulis æquales, $ingulos $ingulis, $ub quibus æqualia latera $ubtenduntur.

SINT duo triangula $phærica ABC, DEF, habentia tria latera AB, AC, BC, tribus lateribus DE, DF, EF, $ingula $ingulis, æqualia. Dico & angulostres A,B,C, tribus angulis D,E,F, $ingulos $ingulis, e$$e æquales, $ub quibus æqualia $ubtenduntur latera. Si enim angulus A, (vt ab hoc angulo incipia- mus.) non e$t æqualis angulo D, erit vel ma- 12. huius. ior eo, vel minor. Si maior, erit ba$is BC, ma- ior quoque ba$i EF. Quod e$t ab$urdũ. ponun tur enim latera BC, EF, æqualia. Si verò mi- nor e$t angulus A, angulo D, erit ba$is E F, 12. huius. maior ba$i BC. Quod rur$um e$t ab$urdum, cum æquales ponantur. Cum ergo angulus A, neque maior $it, neque minor angulo D, erit vtique illi æqualis. Igitur & re- liqui anguli B, C, angulis reliquis E, F, æquales erunt, nempe B, ip$i E, & C, 7. huius. ip$i F. Si duo ergo triangula $phærica, &c. Quod erat o$tendendum.

THEOR. 17. PROPOS. 19.

SI duo triangula $phærica habeant tres angu- los tribus angulis, $ingulos $ingulis, æquales: habe- [383]SPHÆRICA. bunt & tria latera tribus lateribus æqualia, $ingu- la$ingulis, quæ æquales angulos $ubrendunt.

HABEANT duo triangula $phærica ABC, DEF, tres angulos A, B, C, tribus angulis D, E, F, $ingulos $ingulis, æquales. Dico & tria latera AB, AC, BC, tribus lateribus DE, DF, EF, e$$e æqualia, $ingula $ingulis, quæ angulos æquales $ubtendunt. Sienim la- tera BC, EF, (vt ab his lateribus exordiamur.) non $unt æqualia, $it BC, $i fieri pote$t, maius; 1. huius. & ab$cindatur arcus BG, arcui EF, æqua- lis. Aut ergo arcus BA, æqualis e$t arcui ED, aut maior, aut minor. Quodcunque horũ di- catur, $equetur ab$urdũ ex eo, quòd inæqua- lia dicuntur e$$e latera BC, EF, nempe BC, maius, quàm E F. Sit enim primum arcus BA, 20. 1. Theo. arcui ED, æqualis; ducatur\’que per puncta A, G, arcus maximi circuli AG. Igitur cum latera BA, BG, æqualia $int la- teribus ED, EF, angulos\’que contineãt æquales B,E, ex hypothe$i; erunt an- guli BAG, & D, æquales: E$t autem angulus D, po$itus æqualis angulo BAC. 7. huius. Angulus igitur BAG, æqualis erit quoque angulo BAC, pars toti. Quod e$t ab$urdum.

1. huius.

SIT deinde arcus BA, maior arcu ED, & ab$cindatur arcus BI, æqua- lis ip$i ED; ac per puncta G,I, arcus circuli maximi ducatur GI, conueniens 20. 1. Theo. cum arcu CA, protracto in H. Quoniam igitur latera BI, BG, æqualia $unt 7. huius. lateribus ED, EF, angulos\’que continent æquales B, E; erunt anguli BIG, BGI, angulis D, F, hoc e$t, angulis BAC, BCA, æquales; quod his duobus 6. huius. æquales $int po$iti D, & F; $unt autem anguli BIG, BAC, angulis HIA, HAK, ad verticem æquales. Aequales ergo $unt & anguli HAK, HIA. Igi- tur cum & angulus BGH, externus æqualis $it interno BCH, & externus HAK, interno HIK, vt o$tendimus: erunt tam arcus AH, HI, quam arcus 15. huius. CH, HG, $emicirculo æquales; atque adeo arcus AH, HI, arcubus CH, HG, æquales erunt, pars toti. Quod e$t ab$urdum.

SIT tandem arcus BA, minor arcu ED, producatur\’que vltra A, & ex eo ab$cindatur arcus BK, æqualis arcui ED; atque per puncta G, K, arcus cir- 1. huius. culi maximi ducatur GK, $ecans arcum AC, in L. Quoniam ergo latera BK, 20. 1. Theo. BG, lateribus ED, EF, æqualia $unt, angulo$que continent æquales B, E, erunt & anguli BKG, BGK, angulis D, F, hoc e$t, angulis BAC, BCA, 7. huius. (quòd his duobus æquales $int po$iti anguli D, F.) æquales. Itaque cum & angulus BAL, externus æqualis $it interno BKL, & externus BGL, inter- no BCL, vt o$tendimus, erunt tam arcus AL, LK, quàm arcus CL, LG, 15, huius. $emicirculo æquales; ac proinde duo arcus AC, GK, integro circulo æqua- les erunt. Quod e$t ab$urdum, cum vterque arcus AC, GK, $emicirculo $it 2. huius. minor. Non ergo inæqualia $unt latera BC, EF, $ed æqualia. Eodem\’que mo- do o$tendemus, latera AC, DF, nec non AB, DE, æqualia e$$e. Tria ergo latera trianguli ABC, tribus lateribus trianguli DEF, æqualia $unt. Quare $i duo triangula $phærica, &c. Quod o$tendendum erat.

[384]TRIANGVLA THEOR. 18. PROPOS. 20.

SI duo triangula $phærica duos angulos duo- bus angulis æquales habuerint, vtrumque vtrique, vnumque latus vni lateri æquale, quod æqualibus adiacet angulis: Et reliqua latera reliquis lateribus æqualia, vtrumque vtrique, & reliquum angulum reliquo angulo æqualem habebunt.

DVO triangula $phærica ABC, DEF, habeant duos angulos B, C, duo- bus angulis E, F, æquales vtrumque vtrique, & latus BC, lateri EF, æquale, quod æqualibus angulis adiacet. Dico & reliqua latera AB, AC, reliquis la- teribus DE, DF, æqualia e$$e, vtrumq; vtri- que, & reliquum angulum A, reliquo angulo D. Si enim latera AB, DE, (vt ab his exor- diamur.) non $unt æqualia, $it AB, maius, & ab$cindatur arcus BG, arcui DE, æqualis, 1. huius. & per puncta C, G, arcus circuli maximi du- 20. 1. Theo. catur C G. Quoniam igitur latera GB, B C, æqualia $unt lateribus DE, EF, angulos\’quc comprehendunt æquales B, E, ex hypothe$i; 7. huius. erunt & anguli BCG, & F, æquales: Sed F, æqualis ponitur ip$i BCA. Igitur & angulus BCG, eidem BCA, æqualis erit, pars toti. Quod e$t ab$urdum. Non ergo inæqualia $unt latera AB, DE, fed æqualia. Quare cum latera AB, BC, lateribus DE, EF, æqualia $int, an- gulos\’que comprehendantæquales B, E; erunt & latera AC, DF, æqualia, & 7. huius. anguli A, D, æquales. Quapropter $i duo triangula $phærica duos angulos, &c. Quod o$tendendum erat.

THEOR. 19. PROPOS. 21.

SI fuerint duo triangula $phærica rectangula, habuerintque duos alios angulos æquales, & non rectos, nec non duo latera æqual<007>a, quæ $ub rectis angulis $ubtenduntur: Erunt & duo reliqua latera duobus lateribus æqualia, vtrumque vtrique, & re- liquus angulus reliquo angulo æqualis erit.

SINT in duobus triangulis $phæricis ABC, DEF, anguli B, E, recti, & duo anguli C, F, æquales, & non recti, nec non latera AC, DF, rectos an- [385]SPHÆRICA gulos $ubtendentia, æqualia. Dico & reliqua latera AB, BC, reliquis lateri- bus DE, EF, æqualia e$$e, vtrumque vtrique; Item & reliquos angulos A, D, e$$e æquales. Productis enim arcubus AC, BC, ab$cindatur arcus CH, ar- 1. huius. cui FD, hoc e$t, arcui CA, & arcus CG, arcui FE, æqualis; & per puncta G, H, de$cribatur arcus GH, maximi circuli. Et quo- 20. 1. Theo. niã latera CH, CG, æqualia $unt lateribus FD, FE, angulos\’que continent æquales GCH, & F; (E$t enim ex hypothe$i angulus F, angulo ACB, æqualis, & ACB, ip$i GCH, ad verticem æqua- 6. huius. lis,) erunt & ba$es GH, ED, æquales, & anguli G, 7. huius. H, angulis E, D, æquales; ac propterea, exi$ten- te angulo E, recto, erit & angulus G, rectus. Duca- tur iam per C, & polum arcus BG, in vtramque 20. 1. Theo. partem arcus circuli maximi ICK, $it\’que I, po- lus arcus BG. Et quia circuli arcuum BA, HG, tran$eunt quoque per polos eiu$dem arcus BG, 13. 1. Theo. ob angulos rectos B, G; conuenient arcus BA, GH, protracticum arcu CI, in polo I. Conue- niat quoque arcus GH, ex altera parte cum eodem arcu ICK, in K, puncto, quod alter polus erit arcus BG, cum vter- Coroll. 10. que arcus ICK, IGK, per alterum polum arcus BG, tran$eat. Erunt igitur 1. Theod. tres arcus IB, IC, IG, æquales; propterea quòd rectæ $ubten$æ illis inter $e 28. tertij. æquales $unt, ex definitione poli: Similiter\’que æquales erunt arcus KC, KG. Quoniam verò anguli ICG, IGC, æquales $unt angulis KCG, KGC, cum omnes $int recti; quòd I, polus $it arcus BG; illis\’que adiacet latus 15. 1. Theo. commune CG; erunt latera IC, IG, lateribus KC, KG, æqualia, vtrun- 20. huius. que vtrique; ac propterea cum IG, arcus arcui IB, æqualis $it o$ten$us, erit & arcus KG, eidem arcui IB, æqualis. Et quoniam latera IC, CA, æqualia $unt lateribus KC, CH, (factus enim e$t arcus CH, arcui AC, æqualis.) an- gulos\’que ad vertic\~e continent æquales; erunt ba$es IA, KH, & anguli IAC, 6. huius. KHC, æquales. Ablatis ergo arcubus æqualibus IA, KH, ex arcubus æqua- 7. huius. libus IB, KG, & angulis æqualibus IAC, KHC, ex binis ad A, & H, quo- rum bini duobus rectis æquales $unt; remanebunt & arcus AB, HG, & angu- 5. huius. li BAC, GHC, æquales: o$ten $us e$t autem arcus HG, arcui DE, & angulus GHC, angulo D, {ae}qualis. Igitur & arcus AB, arcui DE, & angulus BAC, an- gulo D, æqualis erit. Quare cum latera AB, AC, æqualia $int lateribus DE, DF, angulos\’que complectantur æquales; erunt & arcus BC, EF, æquales. 7. huius. Sunt ergo latera AB, BC, lateribus DE, EF, æqualia, & angulus BAC, an- gulo D. Quamobrem, $i fuerint duo triangula $phærica rectangula, &c. Quod demon$trandum erat.

SCHOLIVM

_DEBENT_ autem latera æqualia $ub rectis angulis $ubtendi. Alioquin, $i alios angulos $ubtenderent, nihil certi colligi po{$s}et. Sit enim triangulum $phæricum quod- cunque ABC, habens duo latera _AB, AC,_ inæqualia inter $e, $ed $imul $emicircu- lo æqualia: producto verò latere _CB,_ ad partes _B,_ ducatur per _A,_ & polum arcus _20. 1. Theo._ _CD,_ arcus _AD,_ circuli maximi $ecans _CD,_ in _D;_ erit\’q; angulus _D,_ rectus. Quo- 15. 1. Th niam igitur arcus _AB, AC,_ $emicirculo $unt æquales, erit angulus _ABD,_ angulo 14. huius. [386]TRIANGVLA _C,_ æqualis. Itaq; duo triangula _ADB, ADC,_ angulum rectum _D,_ habent commu- nem, & duos angulos _ABD,_ & _C,_ æquales, & non rectos: (alias latera _AB, AC,_ 9. huius. æqualia e$$ent, propter angulos _B, C,_ rectos, & æquales:) nec non latus _AD,_ æqua- les angulos non rectos $ubtendens, commune: Et tamen nec reliqua latera _AB, BD,_ reliquis lateribus _AC,_ _CD,_ æqualia $unt, vtrumque vtrique, nec reliquus an gulus _BAD,_ reliquo angulo _CAD,_ vt per$picuum e$t. Hoc autem indeprouenit, quòd latera æqualia non $ub- tendunt rectos angulos, $ed latus commune _AD,_ angu- los æquales non rectos $ubtendit.

Error Nico lai Coper- nici.

_QVAMOBREM decipitur Nicolaus Copernicus_ _lib. I. Reuolutionum propo$. 6. triãgulorũ $phæricorum,_ _vbi dicit._ [Si bina triangula rectum angulum, ac in- fuper alium {ae}qualem habuerint, alterum alteri, vnumq; latus vni lateri æqua- le, quod alterutri {ae}qualiũ angulorum (etiã non recto, vt in demon$tratione di cit) opponitur; reliqua quoque latera reliquis lateribus, alterũ alteri, acan- gulum angulo, reliquũ reliquo æqualem habebunt.] _Oppo$itum enim apparuit_ _in triangulis rectangulis_ ADB, ADC, _in quibus latus commune_ AD, _opponitur_ _angulis æqualibus_ ABD, ACD, _non rectis._

_Vnde verum non $emper e$t, quod idem Copernicus docet ibidem propo$. 4. vbi ait._ Alius error Nicolai co pernici. [In quocunq; triãgulo rectum angulum habente, alius in$uper angulus fuerit datus, cum quolibet latere, reliquus etiam angulus cum reliquis lateribus da- bitur.] _Quamuis enim angulus rectus_ D, _& angulus_ ABD, _noti $int, cum latere_ AD, _quod angulo noto_ ABD, _non recto opponitur, non tamen proptereain cognitionem reliqui anguli, & reliquorum laterum veniemus, cum reliqua latera po$sint e$$e vel AB, BD, _vel_ AC, CD, & _reliquus angulus vel_ BAD, _vel_ CAD, _vt per$picuum_ _e$t. Oportebit ergo aliquid aliud præterea constare, antequam reliquus angulus cum_ _reliquis lateribus colligatur, vtin $cholio propo$. 45. docebimus._

THEOR. 20. PROPOS. 22.

SI fuerint duo triangula $phærica, quæ duos angulos habeant duobus angulis æquales, vtrum- que vtrique, vnumq; latus vni lateri æquale, quod vni æqualium angulorum $ubtenditur, duo verò latera $ubtend\~etia reliquos angulos æquales {ae}qua- lia non $int $emicirculo, $ed vel maiora, vel mino- ra: Erunt & duo reliqua latera duobus reliquis la- teribus æqualia, vtrum que vtrique, & reliquus an- gulus reliquo angulo æqualis erit.

HABEANT duo triangula $phærica ABC, DEF, duos angulos B, [387]SPHÆRICA. C, duobus angulis E, F, æquales, vtrumque vtrique, & latera AC, DF, $ub- tendentia angulos æquales B, E, inter $e æqualia, reliqua verò latera AB, DE, $ubtendentia alios æquales angulos C,F, non æqualia $int $emicirculo, $ed vel maiora, vel minora. Dico reliqua latera CB, BA, reliquis lateribus FE, ED, e$$e æqua- lia, vtrumque vtrique, & reliquos quoque an- gulos A, D, e$$e æquales. Si enim CB, & FE, non $unt æqualia, $it CB, maius, & ab$cindatur CG, arcus arcui FE, æqualis, & per A, G, ar- 1. huius. cus circuli maximi ducatur AG. Quoniam igi- 10. 1. Theo. tur latera AC, CG, lateribus DF, FE, æqua- lia $unt, angulos\’que continent æquales C, F; erunt & arcus AG, DE, & anguli AGC, & E, æquales: Po$itus e$t autem an- 7. huius. gulus E, angulo B, æqualis. Aequalis igitur e$t etiam angulus AGC, angulo B; ac propterea arcus AB, AG, $emicirculo æquales erunt. Cum ergo arcus 15. huius. AG, arcui DE, o$ten$us $it æqualis, erunt quoque arcus AB, DE, $emicir- culo æquales: Ponuntur autem & non æquales $emicirculo. Quod e$t ab$ur- dum. Non ergo inæquales $unt arcus CB, FE, $ed æquales. Quare cum late- ra AC, CB, $int æqualia lateribus DF, FE, angulos\’que æquales contineant C, F; erunt & arcus AB, DE, & anguli BAC, & D, æquales. Siigitur $ue- 7. huius. rint duo triangula $phæica, &c. Quod demon$trandum erat.

SCHOLIVM.

_DIXIMVS,_ duo latera $ubtendentia reliquos angulos æquales, non debere e$$e æqualia $emicirculo. Nam alias propo$itio vera non e$$et. Sit enim triangulum $phæricum _ABC,_ quodcunq; habens duo latera _AB, AC,_ inæqualia inter $e, $ed $imul $emicirculo æqualia: Producto autem latere _BC,_ v$que ad _D,_ ita tamen, vt _BD,_ $emicirculo $it minor, du- ca<007>ur per _A, D,_ arcus circuli maximi _AD._ Quoniam igi- _20. 1. Theo._ tur arcus _AB, AC,_ $emicirculo æquales $unt, erit angu- lus _ACD,_ angulo _B,_ æqualis. Itaq; duotriangula _ABD,_ _14. huius._ _ACD;_ duos angulos _B, D,_ duobus angulis _C, D,_ æqua- leshabent, vtrumque vtrique, & latus _AD,_ commune, quod æqualibus angulis _B, C,_ $ubtenditur; & tamen ne- que reliqualatera _AB, BD,_ reliquis lateribus _AC, CD,_ æqualia $unt, vtrumque vtrique, neque reliquus angulus _BAD,_ reliquo angulo _CAD,_ vt per$p<007>cuum e$t. Hoc autem ideò contingit, quod latera _AE, AC,_ $emic<007>r- culo $unt æqualia.

_NICOLAVS_ ergo Copernicus lib. 1. Reuolutionum propo$. 12. triangulorum Error Ni- colai Co- pernici. $phæricorum hallucina<007>ur, cum docet, omne triangulum $phæricum, cuius duo anguli vtcunque dati fuer<007>nt, cum aliquo latere, datorum e$$icv angulorum, & laterum. Nam in triangulo _ACD,_ licet duo anguli _D,_ & _ACD,_ noti $int cum latere _AD,_ non tamen ex hoc peruen<007>emus in notit<007>am reliquerum laterum, & reliquianguli: cum reliqua latera e$$e po$sint vel _AC, CD,_ vel _AB, BD,_ &c. Oportebit ergo præterea aliquid aliud con$tare, antequam reliquus angulus, cumreliquis lateribus cogno$catur, vt in $cholio propo$. 45. dicemus.

[388]TRIANGVLA THEOR. 21. PROPOS. 23.

Si fuerint duo triangula $phærica, quæ duos an- gulos duobus angulis habeant{ae}quales, vtrumque vtrique, duoque latera duobus lateribus circa re- liquum angulum æqualia, vtrumque vtrique, & in reliquo angulo dicto non $it polus reliqui late- ris: Erit & reliquum latus reliquo lateri, & reliquus angulus reliquo angulo æqualis.

IN duobus triangulis $phæricis ABC, DEF, $int anguli B, C, angulis E, F, æquales, vterque vtrique, & latera AB, AC, circa reliquum angulum A, æqualia lateribus DE, DF, vtrumque vtrique, non $int autem A,D, po- li arcuum BC, EF. Dico & reliqua latera BC, EF, æqualia e$$e, & reliquos angulos A, D. Si enim arcus BC, EF, non $unt æquales, $it BC, 1. huius. maior, ab$cindatur\’que arcus CG, æqualis ip$i 20. 1. Theo. FE, & per puncta A, G, arcus maximi circu- li de$cribatur AG. Quoniã igitur latera AC, CG, æqualia sũt lateribus DF, FE, angulos\’q; æquales continent C, F; erunt & arcus AG, 7. huius. DE, & anguli AGC, & E, & quales: Ponitur autem arcus DE, arcui AB, & angulus E, an- gulo B, æqualis. Igitur & arcus AG, arcui AB, & angulus AGC, angulo B, 5. huius. æqualis erit; atque adeò, cum AGC, AGB, $int æquales duobus rectis, erũt & B, AGB, duobus rectis æquales: Sunt autem B, & AGB, inter $e æquales, 8. huius. ob æqualitatem arcuum AB, AG. Vterque igitut rectus erit; ac propterea vterque arcus AB, AG, per polum arcus BC, tran $ibit E$t ergo A, polus ar- 13. 1. Theo. cus BC. Quod e$t ab$urdum. Ponitur enim non e$$e. Non igitur inæquales $unt arcus BC, EF, $ed æquales; atque idcirco & anguli BAC, & D, æqua- 18. huius. les erunt.

SCHOLIVM.

_EST_ autem nece$$aria conditio illa, quòd in reliquo angulo polus non $it reliqui lateris Fal$a enim e$$et propo$itio, $i <007>n illo angulo polus fo- ret rel<007>qu<007> lateris. Sit enim triangulum $phæricum _ABC,_ $it\’q; in _A,_ polus arcus _BC;_ & ex _A,_ arcus circuli ma- ximi de$cendat quicunque _AD,_ $ecans _BC,_ in _D._ Erunt _15. 1. Theo._ igitur angul<007> ad _B, C, D,_ omnes recti, atque omnes tres _Coroll. 16._ arcus _AB, AC, AD,_ quadrantes. Itaque duo triangu- _1. Theod._ la _AB C, ADC,_ duos angulos _B, C,_ du & _C,_ æquales habent, vtrumque vtrique, & duo la- tera _AB, AC,_ duobus lateribus _AD, AC,_ circa angu- [389]SPHÆRICA. los _BAC, DAC,_ æqualia, vtrumque vtrique, & tamen neque veliqua latera _BC,_ _DC,_ æqualia inter $e $unt, neque reliqui anguli _BAC, DAC,_ vt manife$turn e$t. Hoc autem ideo accidit, quòd _A,_ polus $it arcuum _BC, DC._

_HINC_ per$picuum quoque e$t, copernicũ hallucinari lib. 1. Reuolutionum pro- Error Ni- colai Co- pernici. po$. 12. cum a$$erit, omnetriangulum $phæricum, cuius duo anguli vtcunque dati fuerint, cum al<007>quo latere, datorum effici angulorum, & laterum. Nam in trian- gulo _ABC,_ etiam$i dentur duo anguli _B, C,_ cum duobus lateribus _AB, AC,_ (& non cum vnotantum, vtip$e vult) non tamen $tatim reliquum latus, & reliquus angu- lus cogno$cetur; cum reliquum latus e$$e po$sit vel _BC,_ vel _DC,_ & reliquus angu- lus vel _BAC,_ vel _DAC,_ &c. Aliquid ergo aliud præterea cõ$tet, nece$$e e$t, vt relio quus angulus, cum reliquis lateribus cogno$catur, vt in $cholio propo$. 45. o$t\~edemus.

THEOR. 22. PROPOS. 24.

SI fuerint duo triangula $phærica, quæ vnum angulum vni angulo æqualem habeant, & duo la- tera duobus lateribus circa alium angulum æqua- lia vtrumque vtrique, atq; vtrum que reliquorum angulorum vel maiorem recto, vel minorem: Erit & reliquum latus reliquo lateri æquale, & reliqui anguli reliquis angulis æquales, vterque vtrique.

IN duobus triangulis $phæricis ABC, DEF, $int anguli B, E, æquales, & duo latera BC, CA, {ae}qualia duobus lateribus EF, FD, vtrumque vtrique, circa angulos C, F, & vterq; angulorũ reli- quorum A, D, vel minor $it, vel maior recto. Dico reliqua latera AB, DE, æqualia quo- que e$$e, & reliquos duos angulos A, C, re- liquis duobus angulis D, F, vtrũq; vtrique. Si enim latera AB, DE, æqualia non $unt, $it AB, maius, & ab$cindatur arcus BG, 1. huius. æqualis arcui DE, & per puncta C, G, ar- cus circuli maximi ducatur CH. Quia igi- 20.1 Theod. tur latera BG, BC, æqualia $unt lateribus ED, EF, angulosque comprehendunt æquales B, E; erunt & arcus GC, DF, 7. huius. & anguli G, D, æquales: Ponitur autem arcus DF, arcui AC, æqualis. Ae- qualis igitur erit quoque arcus GC, eidem arcui AC; atque adeo anguli A, 8. huius. & CGA, æquales. Et quoniam anguli duo ad G, $unt æquales duobus re- 5. huius. ctis, erunt queque duo anguli BGC, & A, duobus rectis æquales; ac proin- de, cum angulus BGC, o$ten$us $it æqualis angulo D, erunt & duo anguli D, & A, duobus rectis æquales. Quod fieri non pote$t. Cum enim vterque minor recto ponatur, vel maior, erunt ambo $imul vel duobus rectis minores, vel maiores. Non ergo inæqualia $unt latera AB, DE, $ed æqualia. Quare [390]TRIANGVLA & duo Anguli A, C, duobus ãngulis D, F, æquales erunt, vterque vtrique. Si 18. huius. fuerint igitur duo triangula, &c. Quod o$tendendum erat.

SCHOLIVM.

_DIXIMVS,_ vtrumque reliquorum angulorum debere e$$e vel maiorem, vel minorem recto. Nam alias fal$a e$$et propo$itio. Sit enim triangulum $phæricum 20.1 Theod. quodcunque _ABC,_ habens duo latera _AB, AC,_ æqualia: Producto autem latere _CB,_ ad _D,_ ita vt _CD,_ $it arcus $emicirculo minor, duca- tur per puncta _A, D,_ arcus circuli maximi _AD. Itaque triangula _ADB, ADC,_ angulum angulo æqualem hab\~et, nempe _D,_ communem, & duo latera _AD, AB,_ æqualia duobus lateribus _AD, AC,_ vtrumque vtrique; & tamen reliqua latera _DB, DC,_ æqualia non $unt, nec reliqui anguli _DAB, DAC,_ immoneque anguli _ABD, ACD,_ n<007>$i vterq; rectus $it, vt demon$trab<007>mus. Hoc autemideò euenit, quòd non vterque angulus _ABD, ACD,_ maior e$t vel minor recto, $ed vel vterq; rectus, vel vnus maior recto, & alter minor: quodita o$tendemus. Sit primum angulus _ABD,_ rectus. Dico & _C,_ rectum e$$e. Recto enim exi$tente angulo _ABD,_ erit & _ABC,_ rectus; quòd ambo anguli ad _B,_ æquales $int duobus rectis: $ed h<007>c æqualis e$t angulo _C,_ ob 5. huius. 8. huius. æqualitatem laterum _AB, AC._ Igitur & _C,_ rectus erit.

_SIT_ deinde angulus _ABD,_ ma<007>or recto. Dico _C,_ minorem e$$e recto. Cum enim _ABD,_ $it recto maior, erit _ABC,_ minor recto, cum ambo duobus rectis $int æquales. 5. huius. Igitur & angulus _C,_ qui æqualis e$t angulo _ABC,_ recto minor erit.

8. huius.

_SIT_ tandem angulus _ABD,_ minor recto. Dico _C,_ e$$e recto maiorem. cum enim _ABD,_ $it minor recto, erit _ABC,_ hoc e$t, $ibi æqualis _C,_ maior recto.

Error Ni- colai Co- pernici.

_HINC_ manife$tum e$t, propo$itionem _8._ Nicolai Copernici de $phæricis triangu- lis, lib. _1._ Reuolutionum fal$am e$$e, quo ad eam partem, in qua dicit. _Si bina trian gula duo latera duobus lateribus æqualia habuerint, alterum alteri, & angu- lum angulo æqualem, quiad ba$im fuerit; ba$im quoque ba$i, ac reliquos an- gulos reliquis angulis habebunt æquales. Hoc en<007>m verum non e$t, ni$i ponatur vter que reliquorum angulorum ad ba$im vel maior recto, vel minor. In triangulis enim propo$itis _ADB, ADC,_ $unt duo latera _AD, AB,_ duobus lateribus _AD, AC,_ æqualia, angulus\’q; _D,_ communis e$t $uper ba$es _DB, DC;_ & tamen ba$es non $unt æquales, ob cau$am dictam.

_VNDE_ errat idem Nicolaus in eodem libro propo$. II. vbi ait. _Omne trian- Alius error Nicolai Co pernici. gulum, cuius duo latera fuerint data cum aliquo angulo, datorum e$$icitur angulorum, & laterum. Nam etiam$i latera _AD, AB,_ nota $intcum angulo _D,_ non tamen inde in notitiam alterius lateris, & aliorum angulorum perueniemus, cum reliquum latus po$sit e$$e vel _DB,_ vel _DC,_ &c. Nece$$e e$t ergo al<007>ud quip- piam præterea con$tare, antequam reliquum latus, cum reliquis angulis notum effi- ciatur, vt in Scholio propo$. 45. per$picuum faciemus.

THEOR. 23. PROPOS. 25.

IN omni triangulo $phærico I$o$cele, $i duo [391]SPHÆRICA. latera æqualia $int quadrantes, erunt duo angul<007> æquales $uper ba$im recti: $i verò vtrumque qua- drante minus $it, acuti: $i den<007>que maius quadran te, obtu$i. Et $i duo anguli æquales ad ba$im $int recti, erunt duo latera æqualia, quadrantes: $i ve- rò acuti, vtrumque quadrante minus erit: $i deni- que obtu$i, vtrumque quadrante maius.

IN triangulo $phærico I$o$celc ABC, $int primum duo arcus æquales AB, AC, quadrantes. Dico æquales angulos B, C, ad ba$im e$$e rectos, Cum enim vterque atcus AB, AC, quadrans $it, erunt ambo $imul $emicirculo æquales. Quare producto arcu BC, ad D, angulus ACD, æqualis erit an- 14. huius. gulo B: $ed angulus B, angulo ACB, æqualis e$t. 8. huius. Igitur & angulus, ACD, angulo ACB, æqualis erit; atque adeò, cum duo anguli ad C, duobus re- 5. huius. ctis {ae}quales $int, erit vterque angulus ad C, rectus. Qnare & angulus B, quirecto ACB, æqualis e$t, 8. huius. rectus erit. Quod e$t propo$itum.

SIT deinde vterque arcuum AB, AC, æqua- lium quadrante minor. Dico angulos B, C, æqua- les e$$e acutos. Cum enim vterque arcus AB, AC, quadrante minor $it, erunt ambo $imul $emicircu- lo minores. Quare angulus ACD, maior erit 14. huius. angulo B, hoce$t, angulo ACB; cum anguli B, 8. huius. & ACB, æquales $int. Cum ergo duo anguli ad C, æquales $int duobus 5. huius. rectis, erit angulus ACB, recto minor; atque adeo angulus B, qui ei æqua- 8. huius. lis e$t, recto quoq; minor erit. Sunt ergo duo anguli B, & ACB, acuti. Quod e$t propo$itum.

SIT po$tremo vterque arcuum AB, AC, quadrante maior. Dico angu- los æquales, B, C, e$$e obtu$os. Cum enim vterque arcus AB, AC, maior $it quadrante, eruntambo maiores $emicirculo. Quare angulus ACD, minor 14. huius. erit angulo B, hoc e$t, angulo ACB, qui angulo B, æqualis e$t. Cum ergo 8. huius. duo anguliad C, duobus rectis $int æquales, erit angulus ACB, recto ma- 5. huius. ior, hoc e$t, obtu$us; atque idcirco & angulus B, qui ei æqualis e$t, obtu$us 8. huius. erit. Quod e$t propo$itum.

SED iam vterque angulorum æqualium B, C, $it rectus. Dico vtrumque arcum AB, AC, quadrantem e$$e. Cum enim ACB, rectus $it, & duo angu- li ad C, æquales duobus rectis, erit quoque ACD, rectus, ac proinde recto 5. huius. B, æqualis. Suntergo duo arcus AB, AC, $imul $emicirculo æquales, ac pro- 15 huius. pterea cum ip$i æquales ponantur, vterq; quadrans erit. Quod e$t propo$itũ.

DEINDE vterque angulorum B, C, $it acutus. Dico vtrumque arcum AB, AC, quadrante minorem e$$e. Cum enim duo anguliad C, æquales duo- 5. huius. [392]TRIANGVLA bus rectis $int, & ACB, ponatur recto minor; erit ACD, recto maior; ae propterea maior, quam B, qui recto etiam minor ponitur. Sunt ergo arcus AB, AC, $imul $emi- 15. huius. circulo minores; atque idcirco, cum ip$i $int {ae} qua- les, vterque quadrante minor erit. Quod e$t pro- po$itum.

POSTREMO $it vterque angulorum B, C, obtu$us. Dico utrumque arcum AB, AC, maio- rem e$$e quadrante. Cum enim duo anguli ad C, $int æquales duobus rectis, & ACB, ponatur maior 5. huius. recto, erit ACD, recto minor, atque idcirco mi- nor angulo B, qui recto quoque maior ponitur. 25. huius. Arcus ergo AB, AC, $imul maiores $unt $emicir- culo; atque adeò, cum ip$i æquales $int, erit uterq; quadrante maior. Quod e$t propo$itum. In omni ergo triangulo $phærico I$o$cele, &c. Quod demon$trandum erat.

COROLLARIVM.

EX his $equitur, omne triangulum $phæricum æquilaterum, $eu æquiangulum, $i $in- gula latera $int quadrantes, habere $ingulos angulos rectos: $i verò quadrante minora, acu- tos. Si denique quadrante maiora, obtu$os. Et omne triangulum $phæricum æquiangu- lum, $eu æquilaterum, $i $inguli anguli $int recti, habere $ingula latera quadrantes: S<007> verò acuti, quadrante minora: $i denique obtu$i, quadrante maiora.

SCHOLIVM.

_CAETERVM,_ quando duo latera trianguli $pliarici $unt quadrätes, vtrum- que angulum ad ba$im e$$e rectum: Et $i vterque angulus ad ba$im rectus e$t, vtrum- que latus e$$e quadrantem, demon$trari etiam poterit bac ratione.

_SINT_ in triangulo _ABC,_ quadrantes _AB, AC._ Dico angulos _B, C,_ e$$e rectos. Productis enim arcubus _AB, AC,_ donec coëantin _D,_ vt $int ABD, ACD, $emicirculi; erunt 11. 1. Theod. quoque arcus _DB, DC,_ quadrantes; atque adeo vterque arcus _ABD, ACD,_ bifariam diu<007>detur ab arcu _B C,_ in Schol. 9. 2. Theod. punctis _B,_ & _C._ Igitur arcus _BC,_ per polos arcuum _AB,_ _AC,_ tran$ibit; atqueidcirco rectos angulos ad _B,_ & _C,_ 15. 1 Theod. efficiet.

_VERVM_ iam anguli _B, C,_ recti $int. Dico latera _AB,_ _AC,_ quadrantes e$$e. cum enim anguli _B, C,_ $int recti, 13. 1. Theod. tran$ibit arcus _BC,_ per polos arcuum _ABD, ACD,_ qui 11. 1. Theod. quidem $emicirculi $unt; atque adeò vtrumque bifariam $e- 9. 2. Theod. cabit in _B, C._ Sunt ergo arcus _AB, AC, DB, DC,_ qua- drantes. Quod demon$trandum erat.

THEOR. 24. PROPOS. 26.

IN omni triangulo I$o$cele $phærico, cuius [393]SPHÆRICA. duo latera æqualia $int quadrantes, $i angulus $ub ip$is comprehen$us fuerit rectus, erit ba$is qua- drans: Si verò acutus, quadrante minor: Si deni- que obtu$us, quadrante maior. Et $i ba$is fuerit quadrans, eritangulus $ub lateribus comprehen- $us, rectus: Si verò minor quadrante, acutus: Si de- nique maior quadrãte, obtu$us. Semper autem po- lus ba$is erit in angulo $ub lateribus cõprehen$o.

IN triangulo $phærico I$o$cele ABC, $int latera AB, AC, quadrantes, & primum angulus A, $it rectus, vt in prima figura. Dico ba$im BC, quadran tem e$$e. Cum enim AB, AC, $int quadrãtes, erunt anguli B, C, recti. Quare 25. huius omnes arcus erunt qua- Corollar. 25. huius. drantes. Quadrans ergo e$t BC. Quod e$t propo- $itum.

SIT deinde angulus A, acutus, vt in $ecunda figura. Dico ba$im BC, minorem e$$e quadrante. Ductoenim per A, & po- 20. 1. Theod. lum arcus AB, arcu cir- culi maximi AD, erit an- gulus BAD, rectus, atque adeo maior acuto angulo BAC. Occurret ergo 15. 1 Theod. AD, arcus arcui BC, producto, nempe in puncto D. Quoniam igitur in trian gulo ABC, vterque angulus B, C, rectus e$t, erunt in triangulo ABD, duo 25. huius. anguli recti B, & DAB, ideoque æquales; ac propterea & arcus DA, DB, 9. huius. æquales erunt. Quare I$o$celes e$t DAB, habens ad ba$im AB, duos angu- 25. huius. los rectos; ac proinde vterque arcus AD, BD, quadrans e$t. Igitur BC, qua- drante erit minor. Quod e$t propo$itum.

TERTIO $it angulus A, obtu$us, vt in tertia figura. Dico ba$im BC, e$$e quadrante maiorem. Ducto enim per A, & polum arcus AB, arcu circuli 20. 1 Theod. maximi AD, erit angulus DAB, rectus; atque adeo minor obtu$o angulo 15. 1 Theod. BAC. Occurret ergo arcus AD, arcui BC, intra triangulum, nempe in pun cto D. Quoniam ergo in triangulo ABC, rectus e$t vterque angulus B, C, 25. huius. erunt in triangulo DAB, duo anguli ad ba$im AB, recti, & propterea æqua- les; atque idcirco & arcus AD, BD, æquales. Quare I$o$celes e$t DAB, ha- 9. huius. bens ad ba$im AB, duos angulos rectos. Vterque igitur arcus AD, BD, qua- 25. huius. drans e$t, ideoque BC, quadrante maior. Quod e$t propo$itum.

SED iam ba$is BC, quadrans $it, vt in eadem prima figura. Dico angu- lum A, rectum e$$e. Quoniam enim duo arcus CA, CB, quadrantes $unt, 25. huius. [394]TRIANGVLA erit vterque angulus A, B, rectus. Rectus igitur e$t angulus. A.

SIT deinde ba$is BC, quadrante minor. Dico angulum BAC, e$$e acu- tum. Producto enim arcu BC, ad D, vt $it BD, quadrans, ducatur per pun- cta A, D, arcus AD, cir- 20. 1 Theod. culi maximi. Quoniã igi- tur duo arcus BA, BD, quadrãtes $unt, erit vter- 25. huius. que angulus D, & DAB, rectus. Acutus igitur e$t angulus BAC.

SIT tãdem ba$is BC, maior quadrante. Dico angulum BAC, obtu$um e$$e. Ab$cindatur BD, ar- 1. huius. cus æqualis quadrãti AB; & per puncta A, D, arcus circuli maximi de$criba- 20. 1 Theod. tur AD. Et quia duo arcus BA, BD, quadrantes $unt, erit vterque angu- lus BDA, DAB, rectus. Obtu$us igitur e$t BAC, angulus.

25. huius.

DICO præterea, in omnibus his punctum A, polum e$$e ba$is BC. Cum enim latera AB, AC, ponantur quadrantes, erit vterque angulus ad ba$im 25. huius. BC, rectus; ac propterea vterque arcus AB, AC, per polum arcus BC, tran- 23. 1 Theod. $ibit. Siue igitur BC, quadrans $it, $iue minor, $iue maior quadrante; Et $i- ue angulus A, $it rectus, $iue acutus, $iue obtu$us, $emper punctum A, vbi coëunt arcus AB, AC, polus erit ba$is BC. In omni igitur triangulo Ifo- $cele $phærico, cuius duo latera, &c. Quod erat o$tendendum.

SCHOLIVM.

_IMMO_ in omni triangulo $phærico babente duos angulos rectos, demon$trabi- mus eodem modo, in concur$u duorum laterum, quæ rectos $ubtendunt angulos, re- liqui lateris, quod rectis angulis adiacet, polum e$$e, etiam $inondum $ciatur, duo illa latera e$$e quadrantes. Sint enim intrangulo $phærico _ABC,_ duo anguli recti _B, C._ Dico _A,_ polum e$$e arcus _BC;_ Nam vterque arcus _AB, AC,_ per polum arcus 13. 1. Theod. BC, tran$ibits ac propterea A, polus erit arcus BC.

_VERVM_ e$t tamen, duos arcus AB, AC, e$$e $emper quadrantes, propter an- 25. huius. gulos rectos _B, C._

THEOR. 25. PROPOS. 27.

IN omni triangulo $phærico, cuius omnes ar- cus $int quadrante maiores, vel vnus quadrans, & reliqui duo quadrante maiores, omnes tres an- guli $unt obtu$i.

[395]SPHÆRICA.

IN triangulo $phærico ABC, $int primum $ingula latera quadrante ma- iora. Dico tres angulos A, B, C, e$$e obtu$os. Aut enim triangulum æquila- terum e$t, aut I$o$celes, aut Scalenum.

SI æquilaterum, per$picuum e$t, tres angulos e$$e obtu$os.

Corollar. 25. huius.

SI vero e$t I$o$celes, habens duo latera AB, 25. huius. AC, æqualia, erunt duo anguli B, C, ad ba$im ob- 20. 1. Theod. tu$i. Sint quadrantes BD, BE, & per puncta D, E, arcus circuli maximi ducatur ED, conue- nienscum arcu CA, protracto in F. Quoniam igi- tur BD, BE, quadrantes $unt, & angulus B, o$ten 26. huius $us e$t obtu$us, erit DE, arcus quadrante maior, 25. huius. & anguli BDE, BED, recti: Ponitur autem & arcus AC, quadrante maior. Igitur arcus DE, AC, $imul $emicirculo maiores $unt; ac propte- rea arcus FD, FA, $imul minores $emicirculo, cum arcus FE, FC, integro circulo $imul $int mino- res; cum vterque arcus minor $it $emicirculo. An- 2. huius. gulus igitur FDB, maior e$t angulo FAD: E$t autem angulus FDB, rectus; 14. huius. quòd anguli FDB, BDE, duobus rectis æquales $int, & BDE, rectus o$ten- 5 huius. $us. Ergo FAD, acutus e$t; ac proinde, cum FAD, DAC, æquales $int duo- 5. huius. bus rectis, angulus BAC, obtu$us erit: o$ten$i $unt autem & anguli B, C, obtu$i. Omnes ergo tres anguli A, B, C, obtu$i $unt.

SI denique triangulum ABC, e$t Scalenum, $it latus AC, latere AB, maius, & ab$cindatur arcus AD, arcui AB, æqualis; erit\’que adhuc arcus AD, quadrante maior, quòd & arcus AB, cui æqualis e$t, maior ponatur quadran 1. huius. te. Si igitur per puncta B, D, ducatur arcus BD, circuli maximi, erit vterq; 20. 1 Theod. angulus ADB, ABD, obtu$us. Multo ergo ma- 25. huius. gis obtu$us erit angulus ABC. Sint quadrantes BE, BF, & per puncta E, F, ducatur arcus EF, 20. 1 Theod. circuli maximi, coiens cum arcu CA, producto in G. Quoniã igitur BE, BF, quadrantes $unt, erunt anguli ad E, & F, recti; & cum angulus EBF, o$ten 25. huius. $us $it obtu$us, erit arcus EF, quadrante maior: 26. huius. Ponitur autem & arcus AC, quadrante maior. Igitur arcus EF, AC, $imul $emicirculo $unt ma- iores; & idcirco multo magis FG, CG, maiores erũt $emicirculo. Angulus ergo BFG, quem o$ten dimus e$$e rectum, min or e$t angulo BCG; ac pro- 14. huius. pterea angulus C, obtu$us erit. Et quoniam arcus FG, CG, $imul integro $unt circulo minores; quòd vterque $emicirculo min or $it; & EF, AC, 2. huius. $imul $emicirculo maiores; eruntarcus GE, GA, $imul $emicirculo mino- res; ac proinde angulus GEB, maior erit angulo GAB. Cum ergo angu- 14. huius. lus GEB, rectus $it, quòd duo anguli ad E, duobus $int rectis æquales, & an- 5. huius. gulus BEF, o$ten$us $it rectus; erit angulus GAB, acutus. Quapropter cum GAB, BAC, {ae}quales $int duobus rectis, erit BAC, obtu$us. Suntautem duo 5. huius. etiam anguli ABC, & C, o$ten$i obtu$i. Tres ergo anguli A, B, C, trianguli ABC, obtu$i $unt. Quod e$t propo$itum.

[396]TRIANGVLA

SINT iam in eodem triangulo ABC, duo arcus AB, AC, quadrante quidem maiores, at BC, quadrans. Autigitur arcus AB, AC, æquales $unt, aut inæquales. Si æquales, erunt duo anguli B, C, obtu$i. Sit quadrans BD, 25. huius. & per puncta C, D, arcus CD, maximi circuli du- 20. 1 Theod. catur conueniens cum arcu CA, protracto in E. Quia igitur arcus BC, BD, quadrantes $unt, erũt anguli D, & BCD, recti; & arcus CD, propter 25. huius angulum B, quem obtu$um e$$e o$tendimus, qua- drante maior: Ponitur autem & arcus AC, qua- 26. huius. drante maior. Igitur arcus CD, CA, $imul ma- iores $unt $emicirculo; ac propterea, cum arcus CDE, CAE, circulum conficiant, (quòd vter- que $emicirculus $it.) erunt arcus ED, EA, $emi- 11. 1. Theod circulo minores. Quare angulus EDB, qui rectus e$t, (quòd duo anguli ad D, æquales $int duobus 5. huius. rectis, & angulus BDC, o$ten$us $it rectus.) maior erit angulo EAD; atque adeo EAD, acutus erit. 14. huius. Cum ergo anguli EAD, DAC, duobus rectis $int 5. huius. æquales, erit BAC, obtu$us. Sunt etiam anguli B, C, demon$trati obtu$i. Tres igitur anguli A, B, C, trianguli ABC, obtu$i $unt.

SI verò AB, AC, latera, quæ quadrante maiora $unt, non $unt æqualia, $it maius AC; & ab$cindatur arcus AD, æqualis arcui AB; & per puncta B, 1. huius. D, tran$eat arcus BD, circuli maximi: erit\’que adhuc arcus AD, maior qua- 20. 1 Theod. drante, cum ei æqualis AB, maior etiam ponatur- Anguli igitur ADB, ABD, obtu$i $unt. Multo 25. huius. ergo magis obtu$us erit angulus ABC. Sit qua- drans BE, & per puncta C, E, tran$eat arcus CE, 20. 1 Theod. circuli maximi occurrens arcui CA, producto in F. Quoniam igitur quadrantes $unt BE, BC, & angulus EBC, o$t\~e$us e$t obtu$us, erit arcus EC, 26. huius. maior quadrãte, $ed anguli E, & BCE, recti erunt. 25. huius. Angulus ergo ACB, obtu$us erit. Et quoniam arcus CE, o$ten$us e$t quadrante maior, & arcus AC, maior etiam ponitur, quam quadrans; erunt arcus CE, CA, $imul $emicirculo maiores. Cũ ergo arcus CEF, CAF, integro circulo æquales $int, 21. 1. Theod. quòd vterque $it $emicirculus, erũt arcus FE, FA, $imul $emicirculo minores. Quamobrem angulus FEB, quirectus e$t, ($unt enim duo anguli ad E, duobus rectis æquales, & 5. huius. angulus BEC, o$ten$us e$t rectus.) maior erit angulo FAE. Acutus ergo e$t 14. huius. angulus FAE; ac propterea, cum duo anguli ad A, $int æquales duobus rectis, 5. huius. angulus BAc, obtu$us erit. Sunt autem etiam o$ten$i obtu$i anguli ABC, ACB. Tres igitur anguli in triangulo ABC, obtu$i $unt. In omni ergo trian gulo $phærico, cuius omnes arcus, &c. Quod erat demon$trandum.

SCHOLIVM.

_HAEC_ propo$itio non conuertitur. Non enim omne triangulum $phæricum, cu- ius omnes anguli $unt obtu$i, nece$$ario habet omnes arcus quadrante maiores, vel [397]SPHAERICA. duos quidem maiores quadrante, & vnum quadranti æqualem: Sed po$$unt e$$e duo quidem quadrante maiores, reliquus verò quadrante minor. Sint enim duo $emicir- culi in $uperficie $phæra continentes angulos _A, C,_ obtu$os. Si igitur accipiantur duo arcus æquales _AB, AD,_ quorum vterque maior $it $esqusaltero quadrante, ita vt ambo $imul tres quadrantes $uperent; de$eribatur autem per puncta _B, D,_ arcus circuli maximi 20. 1 Theod. _BD;_ erit hic arcus _BD,_ quadrante minor. Cum enim tres arcus _AB, AD, BD,_ integro circu- 4. huius. lo minores $int, ponatur autem duo arcus _AB,_ _AD,_ tribus quadrantibus maiores; erit nece$- $ario tertius arcus _BD,_ minor quadrãte: Alias, $i quadrans e$$et, aut maior quadrante, $upe- rarent tres arcus trianguli _ABC,_ integrum circulum. Quoniam igitur duo anguli _B,_ & _D,_ in triangulo _ABD,_ obtu$i $unt, 25. huius. necnon & tertius angulus _A,_ obtu$us quoque, ex bypothe$i; erunt omnes tres anguli _A, B, D,_ obtu$i; & tamen neque omnes arcus $unt quadrante maiores; neque duo tantum, & tertius quadrans; $ed duo quidem _AB, AD,_ quadrante maiores $unt, at tertius arcus _BD,_ quadrante minor, vt o$tendimus.

THEOR. 26. PROPOS. 28.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cuius omnes arcus $int quadrante minores, reliqui duo anguli acuti $unt. Et $i reliqui duo anguli $int acu- ti, erunt $inguli arcus quadrante minores.

IN triangulo $phærico ABC, $it angulus B, rectus, & $inguli arcus qua- drante minores. Dico reliquos angulos A, C, e$$e acutos. Producantur enim arcus BA, BC, vt $int quadrantes BD, BE; & per puncta C, D, arcus maxi- mi circuli ducatur CD, necnon per puncta A, E, ar- 20. 1 Theod. cus circuli maximi AE. Et quoniam quadrans BD, ob angulum rectum B, per polos arcus BC, tran$it, 13. 1. Theod. Coroll. 16. abe$tq; polus circuli maximi quadrate circuli maxi- mi ab eo, erit D, polus arcus BC. Igitur erit angu- 1. Theod. lus BCD, rectus; ac propterea angulus ACB, acu- 15. 1 Theod. tus. Eodem modo, quia quadrans BE, ob angulum rectum B, per polos arcus AB, tran$it, abe$t\’q; polus 13. 1 Theod. circuli maximi quadrante maximi circuli ab eo, erit Coroll. 16. E, polus arcus AB, Igitur angulus EAB, rectus erit; 1. Theod. ac proinde BAC, acutus.

15. 1 Theod.

SED iam in eodem triangulo ABC, angulus B, rectus $it, & reliqui A, C, acuti. Dico $ingulos arcus e$$e quadrante minores. Fiant enim recti angu- li BCD, BAE. Quia igitur vterque angulus B, BCD, rectus e$t, erit vter- 25. huius. que arcus BD, CD, quadrans. Arcus igitur BA, quadrante minor e$t. Eo- dem modo arcus BC, minor erit quadrante; propterea quòd & arcus BE, AE, 25. huius. [398]TRIANGVLA quadrantes $unt, ob angulos rectos B, BAE. Sed & arcum AC, minorem e$- $e quadrante, ita o$tendemus. Quoniam arcus BE, ducitur per E, polum ar- cus BD; (o$tendemus enim E, e$$e polum arcus AB, vt $upra, cum BE, quadrans $it, rectus\’que ad arcum AB.) erit punctum C, intra peripheriam circuli ar- cus BD, in $uperficie $phæræ, & præter eiu$dem po- lum. Quare arcus CA, minor erit arcu CD: At CD, Schol. 21. o$ten$us e$t e$$e quadrans. Igitur AC, quadrante mi- 2. Theod. nor erit. Omnes ergo arcus trianguli ABC, qua- drante $unt minores. Quocirca in omni triangulo $pherico rectangulo, &c. Quod o$tendendum erat.

SCHOLIVM.

_PRIMA_ pars buius propo$itionis vera quoque e$t, $i $olum vterque arcus circa angulum rectum ponatur quadrante miner, etiam$i ignoretur, reliquum arcum, qui rectum angulum $ubtendit, minorem e$$e quadrante. Id quod liquido con$tat ex demon$tratione prioris partis. O$ten$um e$t enim, angulos _BAC, BCA,_ e$$e acu- tos, ex eo $olum, quòd vterque arcus _BA, BC,_ quadrante minor ponatur, nulla facta mentione arcus _AC._ Erit tamen $emper arcus rectum angulum $ubtendens quadrante minor, $i duo arcus rectum angulum continentes quadrante minores $int, vt ex demon$tratione manife $tum e$t. Nam cum ex eo, quòd arcus _BA, BC,_ mino- res $int quadrante, anguli A, C, acuti $int, vt in priore parte demon$tratum e$t, $it, vt & arcus AC, minor $it quadrante, vtin parte po$teriori e$t o$ten$um. Itaque proponi poterit etiam buiu$modi Theorema.

IN omni ttiangulo $phærico rectangulo, cuius duo arcus rectum angulum comprehendentes quadrante $int minores, erit & arcus angulum rectum $ubtendens quadrante minor.

THEOR. 27. PROPOS. 29.

IN omni triangulo $phærico, cuius omnes an- guli $int acuti, arcus $inguli quadrante $unt mi- nores.

IN triangulo $phærico ABC, $int omnes an- guli acuti. Dico $ingulos arcus quadrante mino- res e$$e. Sint enim primum omnes anguli acuti æquales. Quo po$ito, erunt $inguli arcus qua- Corollar. 25. huius. drante minores, vt $upra demon$tratum e$t.

DEINDE $int duo tantum anguli acuti æ- quales B, C; & A, minor vtroque illorum. Eric 25. huius. igitur vterque arcus AB, AC, minor quadrante. [399]SPHAERICA. Et quia angulus B, maior ponitur angulo A, erit arcus AC, maior arcu BC. Cum igi- 11. huius. tur arcus AC, o$ten$us $it quadrante mi- nor, erit multo magis arcus BC, minor qua- drante.

TERTIO $int duo tantum anguli acu- ti iterum æquales B, C; & A, acutus vtroque illorum maior. Erit igitur rur$us vterque ar- 25. huius. cus AB, AC, quadrante minor. Dico & BC, quadrante e$$e minorem. Fiatenim angulus rectus BAD, $ir\’que arcus AD, vtrique arcuum AB, AC, æqualis; & per puncta B, D, de$cribatur ar- 20. 1 Theod. cus circuli maximi BD. Quoniam igitur vter- que arcus AB, AC, o$ten$us e$t quadrante minor erit & AD, min or quadrante. Vterque ergo an- 25. huius gulus ABD, & D, acutus e$t. Quare cum in trian gulo ABD, angulus BAD, rectus $it, & reliqui 28. huius. acuti erunt omnes arcus quadrante minores. Ar- cusigitur BD, quadrante minor e$t: At quia la- tera AB, AC, lateribus AB, AD, æqualia $unt, e$t\’que angulus BAD, angulo BAC, maior; erit & ba$is BD, ba$e BC, maior: O$ten$us e$t autem 12. huius. arcus BD, quadrante minor. Multo ergo minor quadrante erit arcus BC. Omnes ergo tres arcus trianguli ABC, quadrante $unt minores.

POSTREMO $int omnes anguli acuti A, B, C, inæquales; & $it A, om- niũ maximus. Eric igitur propterea arcus BC, maior vtrouis arcuũ AB, AC. 11. huius. Sit quoque angulus C, maior angulo B; erit\’que propterea arcus AB, maior 11. huius. arcu AC, Quoniam igitur arcus BC, maior e$t arcu AB, & AB, maior, quam AC; ab$cindatur arcus BD, æqualis arcui AB, & per puncta A, D, ducatur arcus AD, circuli maximi: erunt\’que anguli BAD, BDA, æquales: E$t au- 8. huius. tem angulus BAD, acutus, cum pars $it anguli acu- ti BAC. Igitur & angulus BDA, acutus erit. Vter- que igitur arcus AB, BD, quadrante e$t minor. Mul 25. huius. to igitur magis arcus AC, qui minor e$t arcu AB, minor erit quadrante. Dico & arcum BC, quadran- te minorem e$$e. Fiat enim angulus BAE, rectus, & arcus AE, arcui AC, æqualis, ac per puncta B, E, de$cribatur arcus BE, maximi circuli. Et quia arcus 20. 1 Theod. AC, o$ten$us e$t minor quadrante, erit & AE, mi- nor quadrante. In triangulo ergo ABE, angulus BAE, rectus e$t, & vterque arcuum ip$um comprehendentium quadrante m<007>nor. Igitur reliqui anguli ABE, AEB, acuti $unt. Quoniam igitur in Schol. 28. huius. eodem triangulo ABE, angulus BAE, rectus e$t, & reliqui duo acuti, erunt omnes arcus quadrante minores. Arcus ergo BE, minor e$t quadrante. Quo- 28. huius. niam vero duo latera AB, AE, duobus lateribus AB, AC, æqualia $unt, e$tque angulus BAE, maior angulo BAC; erit & ba$is BE, ba$e CE, maior: 12. huius. O$ten$us e$t autem arcus BE, minor quadrante. Multo igitur minor quadran te erit arcus BC. Tres ergo arcus trianguli ABC, quadrante $unt minores. Quamobr\~e, In omni triangulo $phærico, cuius, &c. Quod demon$trandũ erat.

[400]TRIANGVLA SCHOLIVM.

_PORRO_ neque hæc propo$itio conuerti pote$t. Non enim omne triangulum $phæ- ric@m, cuius $inguli arcus quadrante $unt minores, nece$$ario habet omnes angulos acutos. Nam vnus angulus pote$t e$$e rectus, & reliqu<007> duo acuti, vt ex propo$. præcedenti con$tat. Immo & vnus pote$t e$$e obtu$us, & reliqui acuti. Sint enim duo $emicirculi _ABC, ADC,_ continentes angulos _A,_ C, obtu$os, accipiantur\’q; duo arcus æquales _AB, AD,_ quorum vterque $esquialterum quadrantem $uperet, & 20. i Theod. per puncta _B, D,_ arcus circuli maximi de$cribatur _BD,_ qu<007> minor erit quadrante, vt in $cbolio propo$. 27. o$ten- dimus. Erunt igitur in triangulo _BCD,_ tres arcus _BC,_ _CD, BD,_ $inguli quadrante minores, & tamen non om- 25. huius. nes anguli in triangulo _BCD,_ acuti $unt, $ed _C,_ qui- dem obtu$us, ex bypotbe$i, at verò _B, D,_ acuti, propterea quòd duo latera _CB,_ CD, æqualia $unt, & quadrante minora.

THEOR. 28. PROPOS. 30.

IN quolibet triangulo $phærico, cuius vnus quidem arcus quadrante maior $it, reliquorum verò vterque quadrante minor, nullus angulo<007>um rectus erit.

IN triangulo $phærico ABC, $it quidem arcus AC, quadrante maior, at tam AB, quam BC, minor quadrante. Dico nullum angulorum e$$e rectum. Sit enim $i fieri pote$t, angulus B, qui arcui AC, quadrante maiori opponi- tur, rcctus. Ab$ci$lo igitur AD, quadrante, & producto arcu AB, ad E, vt AE, $it etiam quadrans, & per puncta D, E, arcu D E, circuli maximi de$cripto, qui arcum BC, $ecet in 20. 1 Theod. F; erit vterque angulus D, E, rectus: Ponitur autem 25. huius. & angulus ABC, rectus, hoc e$t, EBC; $unt enim duo anguli ad B, duobus rectis æquales. Vterque igi- 5. huius. tur arcus EF, BF, quadrans erit, atque adeo arcus 25. huius. BC, maior quadrante, quod e$f ab$urdum, cum po- natur quadrante minor. Non ergo angulus B, rectus e$$e pote$t.

QVOD $i angulus C, rectus e$$e dicatur, erit, $i eadem f<007>at con$tructio, eodem modo vterque arcus DF, CF, quadrans: (Nam & angulus CDF, rectus e$t, cum vterque D, E, 25. huius. rectus $it, ob quadrantes AD, AE.) atque adeo arcus BC, quadrante maior. 25. huius. quod e$t contra hypothe$im.

SI denique angulus A, rectus concedatur, $i ex arcu CA, ab$cindatur [401]SPHAERICA. quadrans CG, & arcus CB, producatur v$que ad H, vt & CH, quadrans $it, de$cribatur\’que per puncta G, H, arcus circuli maximi GH, $ecans arcum AB, 20.1 Theod. in I; erit vterque angulus G, H, rectus. Cum ergo & angulus A, ponatur re- 25. huius. ctus, erunt in triangulo AGI, duo anguli A, G, recti. Quare vterque arcus AI, GI, quadrans e$t; at\’que adeo arcus AB, quadrante maior. quod e$t con- 25. huius. tra hypothe$im.

POSSVMVS tamen aliter demon$trare, angulum A, non po$$e e$$e rectum, licet non ab$cindatur quadrans CG, &c. Si enim angulus A, rectus 26. huius. concedatur, erit arcus DE, quadrans. Cum ergo & EA, quadrans $it, erit 25. huius. vterque angulus A, D, rectus; & E, polus arcus AC, propterea quòd vter- que arcus DE, AE, per polum arcus AD, tran$it, ob angulos rectos A, 13. 1. Theod. D. Eodem modo D, polus erit arcus AB. Quoniam igitur punctum F, e$t intra peripheriam circuli AB, & præter eius polum, ducitur\’que arcus FE, per polum circuli AB, nempe per D, erit arcus FB, ma<007>or arcu FE. Ea- dem ratione arcus FC, maior erit arcu FD, cum FD, ducatur per E, polum circuli AC. Totus igiturarcus BC, quadrante DE, maior erit. quod e$t Schol. 21. 2. Theod. ab$urdum, cum minor quadrante ponatur. Nullus ergo angulorum A, B, C, rectus e$t. Quamobrem, In quolibet triangulo $phærico, &c. Quod de- mon$trandum erat.

THEOR. 29. PROPOS. 31.

CVIVSCVNQVE trianguli $phærici tres anguli duobus quidem rectis $unt maiores, $ex ve- rò rectis minores.

SIT triangulum $phæricum ABC. Dico tres angulos A, B, C, maiores quidem e$$e duobus rectis, minores verò $ex rectis. Si enim omnes tres angu- lirecti $int, vel obtu$i; vel duo tantũ recti, vel obtu$i; vel vnus tantum rectus, & reliquorum alter obtu$us, per$picuum e$t, omnes tres duobus e$$e rectis maiores. In quolibet autem triangulo hæc erit demon$tratio. Producto late- re BC, ad D, erit angulus ACD, vel æqualis, vel mi- nor, vel maior angulo B. Sit primum æqualis. Erunt igitur arcus AB, AC, $imul $emicirculo æquales; atq; 15. huius. adeò duo anguli ABC, ACB, duobus rectis æquales. 16. huius. Tres ergo anguli A, B, C, duobus rectis maiores erũt. Sit deinde angulus ACD, minor angulo B. Erunt igitur arcus AB, AC, $imul maiores $emicirculo; ac 15. huius. propterea duo anguli ABC, ACB, duobus rectis ma- iores. Multo ergo magis tres anguli A, B, C, duobus rectis maiores erũt. Sit denique angulus ACD, maior angulo B, & fiat angulus DCE, angulo B, æqualis, occurrat\’que arcus CE, 10. huius. arcui BA, producto in E: & tandem arcus CA, protrahatur ad F. Erunt igi- tur arcus EB, EC, $imul æquales $emicirculo; ac propterea arcus EA, EC, 15. huius. $imul $emicirculo minores. Angulus igitur EAF, hoc e$t, angulus BAC, [402]TRIANGVLA qui illi ad verticem æqualis e$t, maior erit angulo ACE: Sed angulus ACE, @4. huius. & anguli ACB, & B, duobus rectis $untæquales. Igitur anguli BAC, ACB, 16. huius. & B, maiores erunt duobus rectis. Semper ergo tres anguli $imul duobus re- ctis $unt maiores.

QVIA verò omnis angulus $phæricus, etiam obtu$us, minor e$t duobus rectis; per$picuum e$t, tres angulos cuiusuis trianguli $phærici $imul minores e$$e $ex rectis. Cuiu$cunque ergo trianguli $phærici tres anguli, &c. Quod erat demon$trandum.

THEOR. 30. PROPOS. 32.

IN omni triangulo $phærico, cuius vnus an- gulus rectus $it, & alter reliquorum acutus, $i qui- dem arcus illis angulis adiac\~es fuerit quad<007>ans, erit & arcus rectum $ubtendens angulum quadrans; $i verò minor fuerit quadrante, quadrante quoque minor erit: $i deniq; quadrante fuerit maior, qua- drante quoq; maior erit: Sem per autem arcus acu- tum angulum $ubtendens minor erit quadrante.

IN triangulo ABC, angulus C, rectus $it, & B, acutus, $itque primum ar- cus BC, quadrans, Dico & AB, quadrantem e$$e. Fiat enim angulus CBD, rectus, coëat\’que arcus BD, cum arcu CA, producto in D. Erit igitur vterque arcus BD, 25. huius. CD, quadrans: Ponitur autem & BC, qua- drans. Ergo B, polus e$t arcus CD; atque 26. huius. adeo rectus erit angulus ad A. Quare vterque 15. 1 Theod. arcus BC, BA, quadrans erit. Quadrans igi- 25. huius. tur e$t arcus AB, angulo recto C, oppo$itus.

SIT deinde arcus BC, quadrante minor. Dico & arcum AB, quadrante e$$e minorem. Fiat enim rur$us angulus CBD, rectus, oc- currat\’que arcus BD, arcui CA, producto in D; eritque vt prius, vterque arcus BD, CD, 25. huius. quadrans. Producto autem BC, ad E, vt $it BE, quadrans, ducatur per puncta D, E, arcus circuli maximi DE, quem BA, 20. 1 Theod. productus $ecet in F. Quoniam igitur arcus BE, BD, quadrantes $unt, erit vterque angulus BDE, BED, rectus, & B, polus arcus DE. Rectus ergo 25. & 26. huius. erit angulus ad F; atque adeò vterque arcus BE, BF, quadrans erit. Igitur 15. 1 Theod. arcus BA, quadrante erit minor.

25. huius.

SIT denique arcus BC, quadrante maior. Dico & arcum AB, maiorem [403]SPHAERICA. quadrante e$$e. Fiat enim rur$us angulus CBD, rectus, conuenlat\’que arcus BD, cum CA, protracto in D; erit\’que, vt prius, vterque arcus BD, CD, 25. huius. quadrans. Ab$ci$$o autem quadrante BG, ducatur per puncta D, G, arcus cir 20.1 Theod. culi maximi DG, $ecans arcum AB, in H. Quoniam igitur arcus BD, BG, 25. & 26. huius. quadrantes $unt, erit vterque angulus BDG, BGD, rectus, & B, polus ar- cus DG. Rectus ergo erit angulus ad H; ac proinde vterque arcus BG, BH, 25. 1 Theod. erit quadrans. Quare AB, quadrante maior erit.

25. huius.

ET quoniam arcus CD, $emper o$ten$us e$t e$$e quadrans, erit arcus AC, quadrante minor. Quapropter in omni triangulo $phærico, &c. Quod o$ten- dendum erat.

THEOR. 31. PROPOS. 33.

IN omni triangulo $phærico, cuius vnus an- gulus rectus, & alter reliquorum acutus, $i quidem arcus illis angulis adiacens $uerit quadrans, erit re- liquus angulus rectus: $i verò minor quadrante, acutus: $i denique quadrante maior, obtu$us.

SIT in triangulo ABC, $phærico angulus C, rectus, & B, acutus, $it\’que primum arcus BC, quadrans. Dico reliquum angulum A, rectum e$$e. Erit 32. huius. enim, & AB, quadrans. Igitur vterque angulus C, 25. huius. A, rectus.

SIT deinde arcus BC, quadrante minor. Dico angulum A, e$$e acutum. Erit enim & arcus AB, 32. huius. quadrante minor; atque adeo arcus AB, BC, $imul $emicirculo erunt minores. Quare anguli A, C, duo- 16. huius. bus rectis $unt minores; ac proinde, cum C, $it re- ctus, erit A, acutus.

SIT tandem arcus BC, maior quadrante. Dico angulum A, obtu$um e$$e. Erit enim & AB, quadran 32. huius. te maior; ac proptcrea arcus AB, BC, $imul $emi- circulo maiores erunt. Igitur anguli A, C, duobus rectis $unt maiores; atque 16. huius. adeo, cum C, $it rectus, erit A, obtu$us. Quocirca in omni triangulo $phæ- rico, cuius vnus angulus, &c. Quod erat o$tendendum.

THEOR. 32. PROPOS. 34.

IN omni triangulo $phærico, cuius vnus angu- lus rectus, $i vteruis reliquorum angulorum $it re- ctus, erit arcus eum $ubtendens, quadrans: $i verò [404]TRIANGVLA acutus, quadrante minor: $i denique obtu$us, ma- ior quadrante. Et $i vteruis arcuum rectum angu- lum continentium fuerit quadrans, erit angulus, quem $ubtendit, rectus: $i verò minor quadrante, acutus: $i denique quadrante maior, obtu$us.

SIT in triangulo $phærico ABC, angulus C, rectus, $it\’que primum al- ter reliquorum, nempe B, etiam rectus. Dico arcum AC, qui eum $ubtendit, quadrantem e$$e. Cum enim vterque angulus B, C, rectus $it, erit & vterque arcus AB, AC, quadrans.

25. huius.

SIT deinde B, angulus acutus. Dieo arcum AC, e$$e quadrante mino- rem. Fiat enim angulus CBD, rectus, coëat- que arcus BD, cum arcu CA, producto in D. Quoniam igitur vterq; angulus C, CBD, rectus e$t, erit & vterque arcus BD, CD, 25. huius. quadrans; atque adeo arcus AC, minor erit quadrante.

SIT po$tremo angulus B, obtu$us. Dico arcum AC, quadrante maiorem e$$e. Fiat enim angulus CBE, rectus, $ecet\’que arcus BE, arcum AC, in E. Quoniam igitur vter- que angulus C, CBE, rectus e$t, erit & v- terque arcus BE, CE, quadrans; atque adeo 25. huius. arcus AC, quadrante maior erit.

RVRSVM $it angulus C, rectus, & $it primum arcus AC, quadrans. Dico angulum ei $ubten$um B, e$$e rectum. Erit enim A, polus arcus BC, Coroll 16. 1. Theod. 13. 1. Theod. 15. 1. Theod. (cum arcus CA, per polum arcus BC, tran$eat, ob angulum rectum C;) atque adeo angulus ABC, rectus.

DEINDE $it arcus AC, quadrante minor. Dico angulum ei $ubten- $um B, e$$e acutum. Producto enim arcu CA, ad D, vt $it CD, quadrans, Coroll. 16. 1. Theod. 13.1 Theod. 20.1 Theod. 15.1 Theod. erit eodem modo D, polus arcus CB; cum arcus CA, per polum arcus BC, tran$eat. Ducto ergo per puncta D, B, arcu DB, circuli maximi, erit angu- lus DBC, rectus; ac proinde ABC, acutus.

POSTREMO $it arcus AC, maior quadrante. Dico angulum B, ei Coroll. 16. 1. Theod. 13. 1. Theod. 20. 1 Theod. 25. 1. Theod. $ubten$um obtu$um e$$e. Ab$ci$$o enim quadrante CE, erit rur$um E, polus arcus BC; propterea quod arcus CA, per plum arcus BC, tran$it. Ducto ergo per puncta E, B, arcu EB, circuli maximi, erit angulus EBC, rectus; atque adeò ABC, obtu$us. Quapropter, in omni triangulo $phærico, &c. Quod erat demon$trandum.

THEOR. 33. PROPOS. 35.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, $i v- terque arcuum comprehendentium angulum re- [405]SPHAERICA. ctum, vel vnus tantum, fuerit quadrans, erit & ar- cus rectum angulum $ubtendens, quadrans: Si ve- ro vterque dictorum arcuum minor fuerit qua- drante, aut maior, erit arcus rectum angulum $ub- rendens quadrante minor: $i denique alter illo- rum maior fuerit quadrante, & alter minor, erit ar- cus rectum angulũ $ubtendens maior quadrante.

IN triangulo $phærico rectangulo ABC, $it angulus B, rectus, & primum vterque arcus AB, BC, vel alter illorum tantum quadrans. Dico & arcum AC, qui rectum angulum $ubtendit, quadrantem e$$e. Si enim vterque arcus AB, BC, quadrans e$t, cum angulus B, ponatur rectus, erit quoq; arcus AC, 26. huius. quadrans. Si verò alter tantum arcuum AB, BC, e$t quadrans, $it AB, quadrans. Quoniã igitur arcus AB, quadrans e$t, tran$it\’q; per polos arcus BC, propter 13.1 Theod. angulum rectum B, erit A, polus arcus BC; ac propte- Coroll. 16. 1. Theod. 15. 1 Theod. rea angulus C, rectus erit. Cum ergo vterque angu- lus B, C, rectus $it, erit vterque arcus AB, AC, qua- 25. huius. drans. Eodem modo $i BC, ponatur quadrans, o$ten demus AC, e$$e quadrantem. Erit enim $imiliter C, polus arcus AB; ac pro- inde angulus A, rectus. Cum crgo vterque angulus B, A, rectus $it, erit vter- 25. huius. que arcus BC, AC, quadrans.

SIT deinde vterque arcus AB, BC, quadrante minor, vel maior. Dico arcum AC, e$$e quadrante minorem. Si enim vterque e$t quadrante minor, pro- ducto arcu CB, ad partes B, & BA, ad partes A, vt $int CD, BE, quadrantes, ducatur per puncta D, E, arcus circuli maximi DE, $ecans arcum CA, pro- 20.1 Theod. ductum in F. Quoniam igitur in triagulo BED, an- gulus B, rectus e$t, & arcus BE, quadrans, erit angulus D, quem $ubtendit, re- ctus. Rur$us quia in triangulo CDF, angu- 34. huius. lus D, rectus e$t, & arcus DC, quadrans, erit $imiliter angulus F, rectus; atque idcirco vter- que arcus DC, FC, quadrans erit. Quare 34. huius. arcus AC, quadrante minor erit. Si verò 25. huius. vterque arcus AB, BC, quadrante maior e$t, ab$ci$sis quadrantibus BD, CE, ducatur per puncta D, E, arcus circuli maximi ED, 20.1 Theod. $ecans arcum CA, productum in F. Quoniã igitur in triangulo DBE, angulus B, rectus e$t, & arcus BD, quadrans erit angulus E, quem BD, $ubtendit, rectus. Rur$us quia in 34. huius. triangulo CEF, angulus E, e$t rectus, & arcus EC, quadrans, erit eodem mo- 34. huius. [406]TRIANGVLA do angulus F, rectus. Vterque ergo arcus CE, CF, quadrans erit; ac propte- 25. huius. rea arcus AC, quadrante minor.

SIT po$tremo arcus AB, quadrante quidem maior, arcus vero BC, mi- nor quadrante. Dico arcum AC, maiorem e$$e quadrante. Auferatur enim quadrans BD; & arcus CB, producatur ad E, vt CE, $it quadrans; ac per pun cta D, E, arcus circuli maximi ducatur ED, $ecans 20. 1 Theod. arcum AC, in F. Quia igitur in triangulo BED, angulus B, rectus e$t, & arcus BD, quadrans, erit an- gulus E, rectus. Rur$us, quia in triangulo CEF, 34. huius. angulus E, rectus e$t, & arcus EC, quadrans, erit eadem ratione angulus F, rectus. Vterque igitur ar- 34. huius. cus CE, CF, quadrans erit; ac proinde arcus AC, 25. huius. quadrante maior. In omni ergo triangulo $phærico rectangulo, &c. Quod erat demon$trandum.

THEOR. 34. PROPOS. 36.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, $i ar- cus rectum angulum $ubtendens fuerit quadrans, erit vel vterq; arcuum angulum rectum compre- hendentium quadrans, vel alter illorum $altem: $i verò fuerit minor quadrante, vterque reliquorum vel minor, vel maior quadrante erit: $i deniq; qua- drante maior fuerit, erit reliquorum alter maior quadrante, & alter minor.

SIT in triangulo $phærico ABC, angulus B, rectus, & eum $ubtendens arcus AC, $it primum quadrans. Dico vel vtrumque arcuum AB, BC, e$$e quoque quadrantem, vel $altem alterum illorum. Si enim neuter illorum e$t quadrans, erit vel vterque illorum maior, vel minor quadrante, atque adeo arcus AC, quadrante minor; 35. huius. vel alter illorum quadrante quidem maior, alter ve- rò minor, ac proinde arcus AC, quadrante maior; 35. huius. quorum vtrumq; ab$urdum e$t, cum arcus AC, po- natur quadrans. Erit ergo vel vterque arcus AB, BC, quadrans, vel $altem alter illorum.

DEINDE $it arcus AC, quadrante minor. Di- co vtrumque arcum AB, BC, e$$e vel quadrante mi- norem, vel maiorem. Si enim vterque non e$t minor, vel maior quadrante, erit vel vterque quadrans, ideo\’que & arcus AC, qua- 35. huius. drans; vel vnus illorum quadrans, & alter non, atque idcirco & arcus AC, 35. huius. quadrans; vel vnus quidem quadrante minor, alter verò maior, atque adeò & [407]SPHAERICA. @rcus AC, quadrante maior: quæ omnia ab$urdo $unt, eum arcus AC, po- 35. huius natur quadrante minor. Erit ergo vel vterque arcus AB, BC, minor quadran te, vel maior.

TERTIO $it arcus AC, maior quadrante. Dico alterum reliquorum AB, BC, quadrante quidem e$$e maiorem, alterum verò minorem. Si enim non e$t alter maior, & alter minor quadrante, erit vel vterque quadrans, vel alter $altem quadrans, & alter non, ac proinde & arcus AC, quadrans; 35. huius. vel vterque minor quadrante, aut maior, atque adeo arcus AC, quadrante 35. huius. minor: quæ omnia $unt ab$urda, cum arcus AC, maior ponatur, quam qua- drans. Erit ergo alter arcuum AB, BC, quadrante quidem maior, alter ve- ro minor. Quocirca in omni triangulo $phærico rectangulo, &c. Quod de- mon$trandum erat.

THEOR. 35. PROPOS. 37.

IN omni triangulo $phærico, $i vterque reli- quorum angulorum, vel alter $altem fuerit rectus, erit arcus rectum angulum $ubtendens, quadrans: $i verò vterque reliquorum angulorum minor fue- rit recto, vel maior, erit arcus $ubtendens angulum rectum quadrante minor: $i deniq; alter reliquo- rum fuerit maior recto, & alter minor, erit arcus angulum rectum $ubtendens, quadrante maior.

IN triangulo $phærico ABC, cuius angulus B, rectus, $it primum vter- que angulorum A, C, vel alter $altem, nempe C, rectus. Dico arcum AC, qui rectum angulum B, $ubtendit, e$$e quadrantem. Si enim vterque angulus A, C, rectus e$t, vel C, tantum, erit triangulum ABC, rectangulũ habens angulum C, rectum: E$t autem & angulus B, rectus. Igitur arcus AC, quadrans erit.

34. huius.

DEINDE $it vterque angulus A, C, vel minor recto, vel maior. Dico arcum AC, quadrante e$$e minorem. Si namque vterque angulus A, C, e$t mi- 34. huius. nor recto, erit tam arcus BC, quam AB, minor qua- drante; $i verò vterque angulus A, C, maior e$t re- 34. huius. cto, erit tam arcus BC, quam AB, quadrante maior. Quare cum in triangulo ABc, angulus B, rectus $it, & vterque arcus AB, BC, vel minor, vel maior quadrante, erit $emper arcus AC, quadrante minor.

35. huius.

TERTIO $it angulus A, maior recto, & C, minor. Dico arcum AC, e$- $e quadrante maiorem. Cum enim angulus A, obtu$us $it, erit arcus BC, 34. huius. maior quadrante: Et cum angulus C, acutus $it, erit arcus AB, quadrante mi- 34. huius. [408]TRIANGVLA nor. Igitur cum arcus BC, quadrante quidem maior $it, & AB, minor, erit arcus AC, quadrante maior. Quamobrem in omni triangulo $phærico re- 35. huiu@. ctangulo, &c. Quod erat o$tendendum.

THEOR. 36. PROPOS. 38.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, $i ar- cus rectum angulum $ubtendens fuerit quadrans, erit $altem alter reliquorum angulorũ rectus quo- que: $i verò minor quadrante, erit vterq; reliquo- rum angulorum vel maior recto, vel minor: $i de- nique quadrante maior, erit alter reliquorum an- gulorum maior recto, & alter minor.

IN triangulo $phærico ABC, cuius angulus B, rectus, $it primum arcus AC, $ubtendens angulum rectum B, quadrans. Dico $altem alterum angu- lorum A, C, rectum quoque e$$e. Cum enim angulus B, $it rectus, & arcus AC, quadrans, erit $altem alter arcuum AB, BC, quadrans; atque adeò & 36. huius. angulus A, vel C, quem ille arcus $ubtendit, rectus erit.

34. huius.

SIT deinde areus AC, quadrante minor. Dico vtrumque angulorum A, C, e$$e maiorem, vel mino- rem recto. Erit enim vterque arcus AB, BC, vel ma- 36. huius. ior quadrante, vel minor. Quare vterque angulus A, C, maior erit recto, vel minor.

34. huius.

POSTREMO $it arcus AC, maior quadran- te. Dico alterum angulorum A, C, e$$e recto maio- rem, & alterum minorem. Erit enim alter arcuum AB, BC, quadrante maior, & alter minor. Igitur 36. huius. alter angulorum A, C, recto erit maior, & alter mi- 34. huius. nor. Quapropter In omni triangulo $phærico rectangulo, &c. Quod o$ten- dendum erat.

COROLLARIVM.

EX his omnibus colligitur, In omni triangulo $phærico, cuius vnus arcuum e$t qua- drans, vnus\’que angulorum rectus, reliquorum quoque arcuum vnum $al@em e$$e quadran tem, & reliquotum angulorum vnum $altem rectum. Nam $i vnus angulorum rectus e$t, & alter arcuum ip$um com prehendentium quadrans, erit & arcus rectum angulum $ubten 35. huius. dens quadrans; & angulus quem prior quadrans $ubtendit rectus: S<007> verò arcus angulum 34. huius. rectum $ubtendens quadrans e$t, erit & vel vterque arcuum rectum angulum comprehen- 36. huius. dentium, vel alter $altem quadrans; & vel vterque reliquorum angulorum, vel alter $altem 38. huius. rectus. Itaque fieri non pote$t, vt detur triangulum $phæricum rectangulum, cuius vnus Nota. duntaxat arcus $it quadrans, $ed vel nullus erit quadrans, vel omnes tres, vel duo quadran- ces erunt.

[409]SPHAERICA. THEOR. 37. PROPOS. 39.

ANGVLI $phærici eandem hab\~et rationem, quam eorum arcus.

SINT duo anguli $phærici BAC, EDF, quorum arcus BC, EF. Dico ita e$$e angulum A, ad angulum D, vt e$t arcus BC, ad arcum EF. Erunt Defin. 6. huius. enim A, D, poli arcuum BC, EF; & arcus AB, AC, DE, DF, quadrantes. Productis igitur arcu- bus BC, EF, $uman- tur quotcunque arcus BG, GH, arcui BC, & quotcũq; arcus FI, IK, KL, arcui EF, æquales; ac per puncta G, H, I, K, L, & po- los A, D, arcus circu- 20.1 Theod. lorum maximorũ du- cantur AG, AH, DI, DK, DL, qui omnes quadrãtes erunt, nem- pe quadrantibus AB, 28. tertij. AC, DE, DF, æquales, propterea quòd & rectæ $ubten$æ AG, AH, DI, DK, DL, rectis $ubten$is AB, AC, DE, DF, æquales $unt, ex defin. poli. Erunt ergo omnes anguli ad A, inter $e æquales; atque adeò quam multiplex 18. huius. e$t arcus CH, arcus BC, tam multiplex erit aggregatum omnium angulorũ ad A, anguli BAC: Eademque ratione tam multiplex erit aggregatum om- nium angulorum ad D, anguli EDF, quam multiplex e$t arcus EL, arcus EF. Quoniam verò $i arcus CH, arcui EL, æqualis fuerit, etiam angulus HAC, angulo EDL, æqualis e$t; $i autem arcus CH, maior $uerit arcu EL, 18. huius. etiam angulus HAC, angulo EDL, maior e$t; & $i minor, minor; deficient propterea vnà arcus CH, & angulus HAC, æquè multiplicia primæ magni- 12. huius. tudinis BC, & tertiæ BAC, ab arcu EL, & angulo EDL, æque multiplici- bus $ecund{ae} magnitudinis EF, & quartæ EDF; vel vnà æqualia erunt, vel vnà excedent. Quare qu{ae} proportio e$t arcus BC, primæ magnitudinis ad Defin. 6. quinti. arcum EF, $ecundam magnitudinem, ea erit anguli BAC, tertiæ magnitu- dinis ad angulum EDF, quartam magnitudinem. Itaque anguli $phærici eandem habent rationem, quam eorum arcus. Quod erat demou$trandum.

COROLLARIVM.

EX hoc $equitur, @ta e$$e angulum $phæricum quemcumque ad quatuor angulos rectos $phæricos, vt e$t arcus illius anguli ad totam circunferentiam circuli maximi; & contra. Cum enim $it angulus $phæricus quicunque ad angulum rectum $phæricum, vt arcus il- 39. huius. lius anguli ad quadrantem, nimirum ad arcum anguli recti, erit quoque idem angulus ad quadruplum anguli recti nempe ad quatuor rectos, vt idem arcus illius anguli ad quadru- Schol. 4. quinti. plum quadrantis, hoc e$t, ad totam circun ferentiam; & contra.

[410]TRIANGVLA THEOR. 38. PROPOS. 40.

SI duo circuli maximi in $phæra $e mutuo $e- cent, & in eorum peripherijs duo puncta $ignen- tur, quorum vtrumque vel in eodem $emicirculo $umatur; vel in vno $emicirculo vnum, & alterum in altero eiu$dem circuli; vel vnum in $emicircu- lo vno vnius circuli, & alterum in $emicirculo vtrolibet alterius circuli; atque per vtrumque ho- rum punctorum arcus maximi circuli ducatur fa- ci\~es cum peripheria alterius circuli, ad quamcum- que partem, angulum rectum: habebit $inus arcus intercepti inter vnum illorum punctorum, & al- terutram $ectionem circulorum, ad $inum arcus, qui per illud punctũ ductus rectum cum periphe- ria alterius circuli angulum facit, eandem propor- tionem, quam habet $inus arcus inter punctum al terum, & alterutram circulortum $ectionem inter- iecti, ad $inum arcus, qui per illud punctum de- $criptus cum alterius circuli peripheria rectũ con- $tituit angulum.

IN $ph{ae}ra duo circuli maximi ABCD, AECF, $e mutuo $ecentin A, & C, & primum ad angulos non rectos; $ignentur\’que primum in eodem $emicir- culo ABC, duo puncta vtcũque B, G; per qu{ae}, & polum circuli AECF, qui $it H, circuli maximi ducantur IBHK, LGHM; erunt\’que anguli ad I, L, K, M, 20. 1 Theod. recti. Dico eãdem habere proportion\~e $inum arcus AB, vel CB, ad $inũ arcus 15. 1. Theod. BI, vel BK, quam habet $inus arcus AG, vel CG, ad $inũ arcus GL, vel GM. Sit enim cõmunis $ectio circulorum recta AC, ad quam ex B, G, perp\~ediculares 3. vndee. agátur BN, GO, in plano circuli ABCD; eritq; BN, $inus rectus tam arcus 12. primi. AB, quam arcus CB, ex definitione $inus recti; & eodem modo GO, $inus vtriu$que arcus AG, CG. Demittantur ab ei$dem punctis B, G, ad planum 31. vndee. [411]SPHAERICA. eirculi AECF, perpendiculares BP, GQ. Et quoniam rectæ BP, GQ, ca- dunt in communes $ectiones circulorum IBK, LGM, cum circulo AECF, 38. vndec. 11. 1. Theod. quem bifariam $ecãtin punctis I, K; L, M, hoc e$t, cadũtin diametros circulorũ maximorum IBK, LGM; (quòd horum circulorum 15. 1. Theod. plana recta $int ad planum circuli AECF,) ac proin- de rectos angulos faciunt cum diametris circulorum IBK, LGM, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. erit quoque tam BP, $inus rectus arcuũ BI, BK, quam GQ, $inus rectus arcuum GL, GM, ex definitione $inus recti. Ducantur in plano circuli AECF, rectæ NP, OQ; eruntq; per defin. 3. lib. 11. Eucl. anguli P, Q, recti, in triangulis NBP, OGQ. Quia verò tam rectæ BN, 28. primi. GO, parallel{ae} $unt, propter angulos rectos ANB, AOG, quam rectæ BP, GQ, cum hæ perpendiculares $int ad planũ circuli AECF; 6. vndee. erunt quoque anguli B, G, æquales in eisdem triangulis NBP, OGQ. 10. vndee. AEquiangula igitur $unt triangula NBP, OGQ; atque adeò erit, vt NB, 32. primi. $inus arcus AB, vel CB, ad BP, $inum arcus BI, vel BK, ita OG, $inus ar- 4. $exti. cus AG, vel CG, ad GQ, $inum arcus GL, vel GM, quomodocunque ar- cus $umantur, cum cuilibet $inui duo arcus $emicirculũ conficientes re$pon- deant. Hcc e$t, erit, vt $inus arcus AB, ad $inum arcus BI, ita $inus arcus AG, ad $inum arcus GL. Item vt $inus arcus AB, ad $inum arcus BK, ita $inus ar- cus AG, ad $inum arcus GM. Item vt $inus arcus CB, ad $inum arcus BI, ita $inus arcus CG, ad $inum arcus GL. Item vt $inus arcus CB, ad $inum arcus BK, ita $inus arcus CG, ad $inum arcus GM. Item vt $inus arcus AB, ad $inum arcus BI, ita $inus arcus CG, ad $inum arcus GM, &c.

DEINDE $umatur vnum punctum, puta B, in $emicirculo ABC, & al- terum, nempe D, in altero $emicirculo CDA, eiu$dem circuli, ducantur\’que per puncta B, D, & polum circuli AECF, qui $it H, duo arcus circulorum 20. 1 Theod. maximorum IBK, DFS; erunt\’que anguli recti F, I, S, K. Dico rur$us, vt e$t $i- 15. 1. Theod. nus arcus AB, vel CB, ad $inum arcus BI, vel BK, ita e$$e $inum arcus AD, vel CD, ad $inum arcus DF, vel arcus, qui cum arcu FD, $emicirculum per- ficit ã puncto D, v$que ad punctum S, $emicirculi AEC. Nam arcus ab F, per D, v$que ad S, $emicirculus e$t, cum circuli AECF, DFS, $e mutuo bifa- 11. 1. Theod. riam $ecentin F, S. Sumatur enim arcui AD, arcus AG, æqualis, & per G, 1. huius. & polum circuli AECF, nempe per H, arcus maximi circuli ducatur LGM; 20. 1 Theod. erunt\’que anguli L, M, recti. Quoniam igitur duo anguli A, L, trianguli AGL, 15. 1. Theod. duobus angulis A, F, trianguli ADF, æquales $unt, ($unt enim duo anguli A, ad verticem æquales, & anguli L, F, recti.) $unt\’que latera AG, AD, rectos 6. huius. [412]TRIANGVLA $ubtendentia angulos, per con$tructionem, æqualia; erunt quoque arcus GL, 21. huius. DF, æquales, ac propterea & eorum $inus æquales erunt, necnon & $inus ar- cuum æqualium AG, AD, erunt æquales. Eadem ergo e$t proportio $inus arcus AG, ad $inum arcus GL, quæ $inus arcus AD, ad $inum arcus DF: Vt autem $inus arcus AG, ad $inum arcus GL, ita demon$tratum e$t, e$$e $inum arcus AB, vel CB, ad $inum arcus BI, vel BK, propterea quòd puncta B, G, in eodem $emicirculo $umpta $unt. Igitur erit quoque, vt $inus arcus AB, vel CB, ad $inum arcus BI, vel BK, ita $inus arcus AD, ad $inum arcus DF, &c.

POSTREMO $umatur in $emicirculo ABC, punctum B, & in alterius circuli $emicirculo vtrouis nempe in AEC, aliud pun ctum L: Et per B, & polum circuli AEC, arcus maxi- 20. 1 Theod. mi circuli ducatur IBK: Item per L, & per polum circuli ABC, arcus LGM, maximi circuli; erunt\’que anguli I, G, recti. Dico rur- 25. 1 Theod. $us, vt e$t $inus arcus AB, ad $inum arcus BI, ita e$$e $inum arcus AL, ad $inum arcus LG, &c. Per po- los enim vtriusque circuli 20. 1 Theod. ABCD, AECF, arcus cir culi maximi ducatur RE; erunt\’que anguli R, E, re- 15. 1. Theod. cti, diuidentur\’que $emicir- culi ABC, AEC, bifa- 9. 2. Theod. riam in punctis R, E; atque adeo $inus quadrantum AR, AE, æquales erunt; Eadem\’que proportio erit 7. quinti. $inus arcus AR, ad $inum arcus RE, quæ $inus arcus AE, ad $inum arcus ER. Quoniam vero e$t, vt $inus arcus AR, ad $inũ arcus RE, ita $inus arcus AB, ad $inum arcus BI, vt demon$tratum e$t; ($umpta $unt enim duo puncta R, B, in eodem $emicirculo) erit quoque, vt $inus arcus AE, ad $inum arcus ER, ita $inus arcus AB, ad $inum arcus BI: Sed eadem ratione e$t, vt $inus arcus AE, ad $inum arcus ER, ita $inus arcus AL, ad $inum arcus LG. Igitur erit quoque, vt $inus arcus AB, ad $inum arcus BI, ita $inus arcus AL, ad $inum arcus LG, &c. Quòd $i loco puncti L, $umatur in altero $emicirculo AFC, eiu$dem circuli AECF, aliud punctum, nempe F, & arcus FD, faciat angu- lum D, rectum, erit adhuc, vt $inus arcus AB, ad linum arcus BI, ita $inus ar- cus AF, ad $inum arcus FD, &c. Vt enim proxime o$tendimus, vt $inus ar- cus AB, ad $inum arcus BI, ita e$t arcus $inus AL, ad $inum arcus LG: Vt autem $inus arcus AL, ad $inum arcus LG ita demon$tratum e$t, e$$e $inum arcus AF, ad $inum arcus FD, quòd puncta L, F, $umantur in duobus $emi- circulis eiu$dem circuli. Igitur erit quoque, vt $inus arcus AB, ad $inum ar- cus BI, ita $inus arcus AF, ad $inum arcus FD: Atque <007>ta in vniuer$um vera e$t propo$itio, quomodocunq; duo puncta $umãtur, quando circuli ABCD, AECF, $e mutuo $ecantad angulos non rectos.

[413]SPHAERICA.

SED iam circuli ABCD, AECF, $ecent $e mutuo ad angulos rectos in punctis A, C; $it\’que eorum communis $ectio recta AC. Diui$o autem v. g. $emicirculo ABC, bifariam in H, vt $int quadrantes AH, CH, $umantur duo puncta vtcunque B, G. Dico ita e$$e rur$us $inum arcus AB, ad $inum arcus, qui per B, ductus rectos angulos facit cum circulo AECF, vt e$t $inus arcus AG, ad $inum arcus, qui per G, ductus cum circulo AECF, rectos facit angulos. Quo- niam enim circulus ABC, cum rectus ad circulum AEC, ponatur, tran$it per polos circuli AEC, 13. 1. Theod. Coroll. 16. 1. Theod. erit H, polus circuli AEC. Quare arcus perpen- diculares ad circulum AEC, per puncta B, G, du- cti nece$$ario per H, tran$ibunt; atque adeò arcus 13. 1 Theod. illi erunt BA, GA: Per$picuum autem e$t, vt e$t $inus arcus AB, ad $inum arcus BA, ita e$$e $inum arcus AG, ad $inum arcus GA, cum vtrobique $it proportro æqualitatis, $eu identitatis: E$t e- nim idem $inus arcus AB, & arcus BA, necnon idem $inus arcus AG, & arcus GA.

QVOD $i alterum punctorum $it H, polus circuli AEC, erit quicun- que arcus ex H, ductus, qualis e$t HE, perpendicularis, ad AEC, atque adeò 15. 1 Theod. quadrans. Rur$us igitur manife$tum e$t, ita e$$e $inum arcus AB, ad $inum ar- Coroll. 16. 1. Theod. cus BA, vt e$t $inus arcus AH, ad $inum arcus HE, vel HA; cum vtrobique quoque $it æ qualitatis proportio, &c. Si duo ergo circuli maximi in $phæra $e mutuo $ecent, &c. Quod erat o$tendendum.

SCHOLIVM.

PERSPICVVM e$t ex demon$tratis: Si duo circuli $e mutuo $ecent, & in vno eorum ex duobus punctis vtcunq; a$$umptis ducantur ad alterius circuli planum duæ lineæ rectæ perpendiculares; ita e$$e $inum rectum arcus intercepti inter vnum illo- rum punctorum, & alterutram circulorum $ectionem, ad perpendicularem ex illo puncto in planum alterius circul<007> demi$$am, vt e$t $inus rectus arcus inter alterum punctum, & alterutram $ectionem circulorum interiecti, ad perpendicularem ab hoc altero puncto in planum alterius circuli demi$$am. Nam in priori figura buius pro- po$. o$ten$um e$t, ita e$$e $inum arcus AB, vel CB, ad BP, $inum rectum arcus BI, vt e$t $inus arcus AG, vel CG, ad GQ, $inum rectum arcus GL. Cum ergo $inus BP, GQ, $int perpendiculares ex punctis B, G, in planum circuli AECF, demi$$æ, pa- tet propo$itum. Quòd $i vnum punctorum acceptum $it B, ex vna parte $ectionis A, & alterum punctum acceptum $it D, ex altera parte $ectionis A, in eodem circulo; erit nibilominus ita $inus arcus AB, ad perpendicularem BP, ex B, demi$$am in pla- num alterius circuli AECF, vt $inus arcus AD, ad perpendicularem, quæ ex D, in planum alterius circuli AECF, demitteretur: propterea quod o$ten$um e$t, ita e$$e $inum arcus AB, ad $inum arcus BI, vt @$t $inus arcus AD, ad $inum arcus DF; qui quidem $inus arcuum BI, DF, $unt perpendiculares ex punctis B, D, in planum c<007>rculi AECF, cadentes, vt ex demon$tratis <007>n hac propo$. l<007>quido con$tat. Idem per$picitur in figura po$teriori; cum ibi etiam $it, vt $inus arcus AB, ad perpendicu- [414]TRIANGVLA larem ex B, in planum circuli AECF, demi$$am, ita $inus arcus AG, ad perpendi- cularem ex G, in planum circuli AECF, demi$$am: propterea quòd $inus arcuum AB, AG, $untip$æmet perpendiculares ex B, G, in planum circuli AECF, demi$$æ cadentes in rectam AC, communem circulorum $ectionem, vt patet.

38. vndee.

HINC facile demon$trari poterunt $equentia theoremata, quorum nonnulla pl@ rimum ad $phæricorum triangulerum calculum conducunt. Primum autem ac $ecun- dum $unt duo Theoremata Ptolemæi Cyclica in primo lib. Almage$ti, $ed multo bre- uius, ac facilius demon$trata ex {ij}s, quæ in hoc $cholio o$ten$a $unt. Vnde omittend@ @on videbantur, licet eorum v$us in hi$ce triangulis non appareat.

I.

SI in $phæræ $uperficie ab vno puncto duo arcus maximorum circulorum educantur, quorum vterque $emicitculo $it minor, & ab eorum terminis in ip$os reflectantur alij duo arcus maximorum cir- culorum $e inter duos illos priores arcus inter$ecantes: proportio, quam $inus $egm\~eti vnius eductorum arcuum inter terminum eius, & arcum reflexum habet ad $inum alterius $egmenti eiu$dem arcus educti, componitur ex proportione, quam $inus $egmenti arcus re- flexi inter eundem terminum, & alterum arcum reflexum habet ad $inum alterius $egmenti eiu$dem arcus reflexi, & ex proportione, quam $inus $egmenti alterius eductorum arcuum inter eius termi- num, & arcum reflexum habet ad $inũ totius eiu$dem arcus educti.

E X puncto A, in $uperficie $pharæ educantur duo arcus AB, AC, $emicirculis minores, & à terminis B, C, reflectantur adip$os duo arcus BD, CE, $e inter$e- cantes in F. Dico proportionem $inus arcus BE, ad $inum arcus EA, componi ex pro- portione $inus arcus BF, ad $inum arcus FD, & ex proportione $inus arcus CD, ad $inum arcus CA. Ductis enim ex punctis B, A, D, ad planum circuli CE, tribus perpendicularibus BG, AH, DI; quoniam duo circuli AB, CE, $e mutuo $ecant in E, & ex punctis B, A, in planum circuli CE, demi$$æ $unt perpendiculares BG, AH; erit vt $inus arcus EB, ad $inum arcus EA, ita recta BG, ad Schol. 40. huius. & permutan. do. rectam AH: Item quoniam duo circuli BD, CE, $e mutuo $ecant in F, & ex punctis B,D, in planum circuli CE, deductæ $unt perpendiculares BG, DI; erit eadem ratione, vt $inus ar- cus FB, ad $inum arcus FD, ita recta BG, ad rectam DI: De- nique quia duo circuli AC, CE, $e inter$ecant in C, & ex punctis D, A, in planum circuli CE, demi$$æ $unt perpendi- culares rectæ lineæ DI, AH; erit $imiliter, vt $inus arcus CD, ad $inum arcus CA, ita recta DI, ad rectam AH. Pro- p@rtio autem recta BG, ad rectam AH, (po$ita media linea DI.) componitur ex pro- portione rectæ BG, ad rectam DI, & ex proportione rectæ DI, ad rectam AH. Igi- tur & proportio $inus arcus BE, ad $inum arcus EA, (quæ eadem e$t, quæ propor- tio BG, ad AH.) componetur ex proportione $inus arcus BF, ad $inum arcus FD, (quæ eadem e$t, quæ proportio BG, ad DI.) & ex proportione $inus arcus CD, ad @inum arcus AC, (quæ eadem e$t, quæ DI, ad AH.) quod e$t propo$itum.

[415]SPHAERICA. II.

IISDEM po$itis, proportio $inus vnius arcuum eductorum ad $inum $egmenti eiu$dem arcus inter punctum eductionis, & arcum reflexum, componitur ex proportione $inus arcus reflexi à termino dictiarcus ad $inum $egmenti eiu$dem arcus reflexi inter alterum ar- cum eductum, & alterum arcum reflexum, & ex proportione $i- nus $egmenti alterius arcus reflexi inter terminum alterius arcus educti, & priorem arcum reflexum ad $inum totius po$terioris ar- cus reflexi.

HOC e$t, proportio $inus arcus AB, ad $inum arcus AE, componitur ex pr@- portione $inus arcus BD, ad $inum arcus DF, & ex proportione $inus arcus CF, ad $inum arcus CE. Ductis enim ex punctis B, E, F, ad planum circuli AC, tribus per- pendicularibus BG, EH, FI; quoniam duo circuli AB, AC, $e mutuo $ecant in A, & ex punctis B, E, in planum circuli AC, demi$$æ $unt perpendicu- lares BG, EH; erit, vt $inus arcus AB, ad $inum Schol. 40. huius. & permutan- do. arcus AE, ita recta BG, ad rectam EH: Item quiæ duo circuli BD, AC, $e inter$ecant in D, & ex punctis B, F, in planũ circuli AC, deductæ $unt per- pendiculares BG, FI; erit pari ratione, vt $inus arcus DB, ad $inum arcus DF, ita recta BG, ad re- ctam FI: Denique quoniam duo circuli AC, CE, $e in C, inter$ecant, & ex pun- ctis F, E, in planum circuli AC, demi$$æ $unt perpendiculares FI, EH; erit eadem argumentatione, vt $inus arcus CF, ad $inum arcus CE, ita recta FI, ad rectam EH. Componitur autem proportio rectæ BG, ad rectam EH, (po$ita media lineæ FI.) ex proportione rectæ BG, ad rectam FI, & exproportione rectæ FI, ad rectam EH. Igitur & proportio $inus arcus AB, ad $inum arcus AE, (quæ eadem e$t, quæ BG, ad EH.) componetur ex proportione $inus arcus BD, ad $inum arcus DF, (quæ @adem e$t, quæ BG, ad FI,) & ex proportione $inus arcus CF, ad $inum arcus CE, (quæ cadem e$t, quæ FI, ad EH.) quod e$t propo$itum.

III.

IISDEM po$itis, proportio $inus vnius arcuum eductorum ad $inum $egmenti eiu$dem arcus inter eius terminum, & arcum refle- xum, componitur ex proportione $inus $egmenti alterius arcus edu- cti inter punctum eductionis, & arcum reflexum ad $inum reliqui $egmenti, & ex proportione $inus $egmenti arcus reflexi à termino po$terioris arcus educti inter terminum, & alterum arcum reflexum ad $inum reliqui $egmenti eiu$dem arcus reflexi.

HOC e$t, (repetita figura primi theorematis) proportio $inus arcus AC, ad $i- num arcus CD, componitur exproportione $inus arcus AE, ad $inum arcus EB, & [416]TRIANGVLA ex proportione $inus arcus BF, ad $inum arcus FD. Quoniam enim duo circuli AC, CE, $e inter$ecant in C, & ex punctis A, D, demi{$s}æ $unt perpendiculares AH, DI, ad planum circuli CE; erit, vt $inus arcus CA, ad $inum arcus CD, ita recta AH, Schol. 40. huius. & permutan- do. ad rectam DI: Item quoniam duo circuli AB, CE, $e mutuo $ecant in E, & expunctis A, B, in planum circuli CE, dedu- ctæ $unt perpendiculares AH, BG; erit $imili modo, vt $inus arcus EA, ad $inum arcus EB, ita recta AH, ad rectam BG. Denique quia duo circuli BD, CE, $e mutuo $ecant in F, & ex punctis B, D, ad planum circuli CE, ductæ $unt perpendi- culares BG, DI; erit eadem ratione, vt $inus arcus FB, ad $i- num arcus FD, ita recta BG, ad rectam DI. Componitur au- tem proportio rectæ AH, ad rectam DI, (po$ita media lineæ BG) ex proportione rectæ AH, ad rectam BG, & ex propor tione rectæ BG, ad rectam DI. Igitur & proportio $inus ar- cus AC, ad $inum arcus CD, (quæ eadem e$t, quæ AH, ad DI.) componetur ex proportione $inus arcus AE, ad $inum ar- cus EB, (quæ eadem e$t, quæ AH, ad BG.) & ex proportione $inus arcus BF, ad $inum arcus FD, (quæ eadem e$t, quæ BG, ad DI.) quod e$t propo$itum.

IIII.

IISDEM po$itis, proportio $inus $egmenti vnius arcuum re- flexorum inter terminum arcus educti, & alterum arcum reflexum ad $inum reliqui $egmenti, componitur ex proportione $inus $egmen ti vnius arcuum eductorum inter eundem terminum, & alterum ar- cum reflexum ad $inum reliqui $egmenti, & ex proportione $inus al- terius arcus educti ad $inum $egmenti illius inter terminum, & ar- cum reflexum.

HOC e$t, (repetita eadem figura primi theorematis) proportio $inus arcus BF, ad $inum arcus FD, componitur ex proportione $inus arcus BE, ad $inum arcus EA, & ex proportione $inus arcus AC, ad $inum arcus CD. Cum enim duo circuli BD, CE, $e mutuo $ecent in F, & ex BD, ad planum circuli CE, perpendiculares BG, DI, $int demi$$æ; erit, vt $inus arcus FB, ad $inum arcus FD, ita recta BG, ad re- Schol. 40. huius. & permutan. do. ctam DI: Quia item duo circuli BA, CE, $e mutuo $ecantin E, & ex punctis B, A, ad circulum CE, perpendiculares ductæ $unt BG, AH; erit quoque, vt $inus arcus EB, ad $inum arcus EA, ita recta BG, ad rectam AH: Denique quia duo circuli AC, CE, $e$e in C, $ecant, & ex punctis A, D, ad planum circuli CE, demi$$æ $unt perpendiculares AH, DI; erit $imiliter, vt $inus arcus CA, ad $inum arcus CD, ita recta AH, ad rectam DI. Proportio autem rectæ BG, ad rectam DI, (po$ita media linea AH) componitur exproportione rectæ BG, ad rectam AH, & ex proportione rectæ AH, ad rectam DI. Igitur & proportio $inus arcus BF, ad $inum arcus FD, (quæ eadem e$t, quæ BG, ad DI.) componetur ex proportione $i- nus arcus BE, ad $inum arcus EA, (quæ eadem e$t, quæ BG, ad AH.) & ex pro- portione $inus arcus AC, ad $inum arcus CD, (quæ eadem e$t, quæ AH, ad DI.) quod e$t propo$itum.

[417]SPHAERICA. V.

IISDEM po$itis, proportio $inus vnius arcuum reflexorum ad $inum $egmenti eiu$dem inter terminum arcus educti, & alterum arcum reflexum, componitur ex proportione $inus $egmenti alte- rius arcus educti inter punctum eductionis, & arcum reflexum ad $inum totius arcus educti; & ex proportione $inus alterius arcus re- flexi ad $inum $egmenti eiu$dem inter priorem arcum eductum & priorem arcum reflexum.

HOC e$t, (repetita figura $ecundi theorematis) proportio $inus arcus CE, ad $inum arcus CF, componitur ex proportione $inus arcus AE, ad $inum arcus AB, & exproportione $inus arcus BD, ad $inum arcus DF. Nam cum duo circuli AC, CE, $e in C, mutuò $ecent, & ex punctis E, F, ad planum circuli AC, ductæ $int perpendiculares EH, FI, erit vt $inus arcus CE, ad $inum arcus CF, Schol. 40. huius. & permutan- do. ita recta EH, ad rectam FI: Item cum duo circuli AB, AC, $e inter$ecent in A, & ex punctis E, B, ad planum circuli AC, cadant perpendiculares EH, BG; erit etiam, vt $inus arcus AE, ad $inum arcus AB, ita recta EH, ad rectam BG: Quia de- nique duo circuli AC, BD, $e mutuo $ecant in D, & expunctis B, F, ad planum circuli AC, demi$$æ $unt perpendiculares BG, FI; erit pari ratione, vt $inus arcus DE, ad $inum arcus DF, ita recta BG, ad rectam FI. Componitur autem proportio rectæ EH, ad rectam FI, (po$ita media linea BG,) ex proportione rectæ EH, ad rectam BG, & ex proportione rectæ BG, ad rectam FI. Igitur proportio quoque $inus arcus CE, ad $inum arcus CF, (quæ eadem e$t, quæ EH, ad FI.) componetur ex proportione $inus arcus AE, ad $inum arcus AB, (quæ eadem e$t, quæ EH, ad BG.) & ex proportione $inus arcus BD, ad $inum arcus DF, (quæ eadem e$t, quæ BG, ad FI.) quod e$t propo$itum.

VI.

SI in $phæræ $uperficie duo maximi circuli $e mutuò non ad an- gulos rectos $ecent, & à duobus punctis in vno a$$umptis ad alterum circulum ducantur duo arcus perpendiculares: Erit, vt $inus arcus inter punctum inter$ectionis, & alterutrum angulorum rectorum intercepti ad tangentem illius arcus perpendicularis, ita $inus arcus inter punctum inter$ectionis, & alterum angulum rectum interie- cti ad tangentem alterius huius arcus perpendicularis.

DVO circuli maximi AB, AC, $e mutuo $ecent in A, non ad angulos rectos, & ex punctis C, E, in circulo AC, a$$umptis ad circulum AB, ducantur arcus perpen- diculares GB, ED. Dico ita e$$e $inum arcus AB, ad tangentem arcus CB, vt e$t $inus arcus AD, ad tangentem arcus ED. Productis enim arcubus BC, DE, donec coëant in F, erunt BF, DF, quadrantes. Quoniam vero à puncto B, duo arcus ma- 25. huius. [418]TRIANGVLA æimorum circulorum BA, BF, educuntur, ab eorum\’q; terminis A, F, ad ip$os du@ arcus AC, FD, reflectuntur $e inter$ecantes in E;componetur proportio $inus arcus Theorema 3. huius $cholij. AB, ad $inum arcus AD, ex proportione $inus arcus BC, ad $inum arcus CF, & ex proportione $inus arcus EF, ad $inum arcus DE. E$t autem, (cum CF, $it complementũ arcus BC.) 18. Sinu@. vt $inus arcus CF, ad $inum arcus BC, ita $inus totus ad tangentem arcus BC; conuertendo\’q; vt $inus arcus BC, ad $inum arcus CF, ita tangens arcus BC, ad $inum totum: Item (cum EF, $it complementum arcus DE.) vt $inus arcus EF, ad $inum arcus DE, ita $inus totus ad tangentem ar- cus DE. Igitur proportio $inus arcus AB, ad $i- num arcus AD, componetur quoque ex proportio- ne tangentis arcus BC, ad $inum totum, & ex proportione $inus totius ad tangentem arcus DE. Cum ergo & proportio tangentis arcus BC, ad tangentem arcus DE, componatur exproportio- ne tangentis arcus BC, ad $inum totum, & ex proportione $inus totius ad tangen- tem arcus DE; quòd $inus totus inter dictas tangentes $it po$itus: erit, vt $inus ar- cus AB, ad $inum arcus AD, ita tangens arcus BC, ad tangentem arcus DE; & permutando, vt $inus arcus AB, ad tangentem arcus CB, ita $inus arcus AD, ad tangentem arcus ED. Quod e$t propo$itum.

VII.

SI in $phæræ $uperficie duo quadrantes maximorum circulorum $e inter$ecent ad angulos non rectos, & per extrema puncta arcus ma- ximi circuli ducatur, necnon ab aliquo puncto vnius quadrantis ad alterum arcus perpendicularis demittatur: Erit, vt $inus totus ad tan- gentem huius arcus perpendicularis, ita tangens complementi arcus per extremitates quadrantum ducti ad $inum arcus quadrantis, ad quem perpendicularis arcus demi$$us e$t, inter punctum $ectionis, & arcum perpendicularem interiecti.

DVO quadrantes maximorum circulorum AD, AE, $ecent $e$e in A, ad angulos non rectos, & per D, E, arcus circuli maximi de$eribatur DE: erunt\’q anguli D, E, recti. Item ex C, pun 25. huius. cto quocunque demittatur ad AD, arcus perpen- dicularis CB: Productis autem arcubus DE, BC, donec in F, coëant, erunt DF, BF, quadrantes. 25. huius. Dico ita e$$e $inum totuma ad tang\~etem arcus BC, vt e$t tangens arcus EF, qui complementum e$t arcus DE, ad $inum arcus AB. Quoniam enim à puncto D, duo arcus circulorũ maximorum educti $unt DA, DF, & ab eorum terminis A, F, duo al{ij} Theorema 4. huius @cholij. reflectuntur AE, FB, $ecantes $e$e in C; erit proportio $inus arcus CF, ad $inum [419]SPHAERICA. arcus BC, compo$ita ex proportione $inus arcus EF, ad $inum arcus DE, & ex proportione $inus totius quadrantis AD, ad $inum arcus AB. E$t autem, (cum CF, $it complementum arcus BC.) vt $inus arcus CF, ad $inum arcus CB, ita $inus to- 18. Sinu@. tus ad tangentem arcus BC: Item, (cum DE, $it cowplementum arcus EF.) vt $i- nus arcus DE, ad $inum arcus EF, ita $inus totus ad tangentem arcus EF; & con- uertendo, vt $inus arcus EF, ad $inum arcus DE, ita tangens arcus EF, ad $inum totum. Igitur & proportio $inus totius ad tangentem arcus BC, compo$ita erit ex proportione tangentis arcus EF, ad $inũ totum, & ex proportione $inus totius qua- drantis AD, ad $inum arcus AB. Cum ergo proportio tangentis arcus EF, ad $i- num arcus AB, componatur quoque ex proportione tangentis arcus EF, ad $inum totum, & ex proportione $inus totius ad $inum arcus AB; quòd $inus totus $it me- dius inter illam tangentem, & hunc $inum: erit, vt $inus totus ad tangentem arcus BC, ita tangens arcus EF, ad $inum arcus AB. Quod e$t propo$itum.

VIII.

SI in $phæræ $uperficie duo maximi circuli ad angulos non rectos $e mutuo $ecent, & à duobus punctis in vno a$$umptis ad alterum cir- culum duo arcus perpendiculares ducantur: Erit, vt $inus arcus inter punctum $ectionis, & alterutrum punctorum $umptorum ad $ecan- tem complementi arcus per reliquum punctum a$$umptum ducti, ita $inus arcus inter punctum $ectionis, & reliquum hoc punctum $um- ptum ad $ecantem complementi arcus per alterum illud punctum a$- $umptum ducti.

IN proxima figura $ecent $e$e duo maximi circuli AD, AE, in A, ad angulosno@ rectos, & ex punctis C, E, ad AD, arcus perpendiculares ducantur CB, ED, pro- ducantur\’q;, donec coeant in F. Erunt BF, DF, quadrantes, ac propterea CF, EF, 25. huius. complementa arcuum BC, DE. Dico ita e$$e $inũ arcus AE, ad $ecantem arcus CF, vt e$t $inus ar- cus AC, ad $ecantem arcus EF. Quoniam enim à puncto D, duo arcus educuntur DA, DF, à quo- rum terminis A, F, duo al{ij} ad ip$os reflectuntur AE, FB, $e inter$ecantes in C; erit proportio $i- nus arcus AE, ad $inum arcus AC, compo$ita ex Theorema 5. huius $cholij. proportione $inus arcus DE, ad $inum totum qua- drantis DF, & ex proportione $inus totius qua- 18. Sinuũ. drantis BF, ad $inum arcus BC. E$t autem, vt $inus arcus DE, ad $inum totum quadrantis DF, ita $inus totus ad $ecantem arcus EF; propterea quòd $inus totus medio loco proportionalis e$t in- 18. Sinuú. ter $inum rectum arcus DE, & $ecantem arcus EF, qui complementum e$t arcus DE: Eadem\’q; ratione ita e$t $ecans arcus CF, ad $inum totum, vt $inus totus quadrantis BF, ad $inum arcus BC; quòd $inus totus medio quoque loco $it proportionalis inter $ecantem arcus CF, qui complementum e$t arcus BC, & $inum rectum arcus BC. Igitur proportio $inus arcus AE, ad $inum arcus AC, componetur quoque ex pro- portione $ecantis arcus CF, ad $inum totum, & exproportione $inus totius ad $ecan- [420]TRIANGVLA tem arcus EF. Cum ergo & proportio $ecantis arcus CF, ad $ecantem arcus EF, componatur ex proportione $ecantis arcus CF, ad $inum totum, & ex proportione $inus totius ad $ecantem arcus EF; quòd $inus totus $it medius inter has $ecãtes: erit, vt $inus arcus AE, ad $inum arcus AC, ita $ecans arcus CF, ad $ecantem arcus EF; & permutando, vt $inus arcus AE, ad $ecantem arcus CF, ita $inus arcus AC, ad $ecantem arcus EF. Quod e$t propo$itum.

ALITER. Quoniam e$t, vt $inus arcus AE, ad $inum arcus ED, ita $inus ar- 40. huius. cus AC, ad $inum arcus CB; hoc e$t, permutando, vt $inus arcus AE, ad $inum ar- cus AC, ita $inus arcus ED, ad $inum arcus CB: E$t autemita $ecans arcus CF, 22. Sinuũ. ad $ecantem arcus EF, vt $inus ED, qui complementum e$t po$terioris arcus EF, ad $inum arcus CB, qu<007> complementum e$t arcus prioris CF; erit quoque, vt $inus ar- cus AE, ad $inum arcus AC, ita $ecans arcus CF, ad $ecantem arcus EF. Et per- mutando, vt $inus arcus AE, ad $ecantem arcus CF, ita $inus arcus AC, ad $ecan- tem arcus EF. Quod e$t propo$itum.

EADEM hæc demon$tratio locum etiam habet, licet duo puncta a$$umpta $int ad diuer$as partes puncti $ectionis. Secent enim rur$um $e$e duo circuli maximi EF, BA, in D; & à punctis F, E, arcus EF, ducantur ad BA, arcus perpend<007>culares FA, EB. Dicoita e$$e $inum arcus ED, ad $ecantem complementi arcus FA, vt est $inus arcus DF, ad $ecantem comple- menti arcus EB. Nam quoniam e$t, vt $inus arcus ED, 40. huius. ad $inum arcus EB, ita $inus arcus DF, ad $inum arcus FA; & permutando, vt $inus arcus ED, ad $inum arcus DF, ita $inus arcus EB, ad $inum arcus FA; Vt autem $inus arcus EB, ad $inum arcus FA, ita e$t $ecans com- 22. Sinuũ. plementi arcus FA, ad $ecantem complementi arcus EB: erit quoque, vt $inus arcus ED, ad $inum arcus DF, ita $ecans complementi arcus FA, ad $ecantem complementi arcus EB; & permutando, vt $inus arcus ED, ad $ecantem complementi arcus FA, ita $inus arcus DF, ad $ecantem complementi arcus EB. Quod e$t propo$i@um.

REPETIVIMVS autem hic figuram quartam propo$. 35. licet arcuum BC, CF, nulla fiat mentio, ne nouam figuram cogeremur extruere.

THEOR. 39. PROPOS. 41.

IN omni triangulo $phærico, $inus cuiu$libet arcus ad $inum anguli, quem $ubtendit, eandem habet proportionem, quam $inus vtriu$que reli- quorum arcuum ad $inũ anguli, quem $ubtendit.

SIT triangulum $phæricum quodcunque ABC. Dico ita e$$e $inum ar- cus AB, ad $inum anguli C, quem $ubtendit, vt e$t $inus arcus AC, ad $inum auguli B, quem $ubtendit, & vt $inus arcus BC, ad $inum anguli A, quem $ubtendit. Sint enim primum omnes tres anguli recti; erunt\’que propterea Coroll. 25. huius. omnes arcus quadrantes. Manife$tum igitur e$t, vt e$t $inus totus quadrantis [421]SPHAERICA. AB, ad $inum totum anguli recti C, ita e$$e totum quadrantis A C, ad $inum totum anguli recti B, & $inum totum quadrantis B C, ad $inum totum anguli recti A.

DEINDE $int duo tantum anguli A, B, recti, erunt\’q; idcirco arcus AC, BC, quadrantes, & C, po- 25. huius. Schol. 26. huius. lus arcus AB. Itaque rur$us per$picuum e$t, vt e$t $i- nus arcus AB, ad $inum anguli C, hoc e$t, ad $inum arcus AB, (E$t enim A B, arcus anguli C, cum C, $it polus arcus AB, vt o$ten$um e$t) ita e$$e $inum totum quadrantis AC, ad $inum totum anguli recti B, & $i- num totum quadrantis BC, ad $inum totum anguli recti A; cum $emper $it æqualitatis proportio.

TERTIO $it angulus duntaxat C, rectus, & reliquorum angulorum A, B, vterque recto minor, vel maior; vel alter recto maior, & alter minor. Si igitur vterque recto minor e$t, erunt omnes arcus quadrante minores. Produ- 28. huius. cantur omnes, & fiant quadrantes BD, AE, BF, AG, & per puncta D, F, arcus maximi circuli DF, & per 20. i Theod. puncta E, G, arcus maximi circuli E G, ducatur; e- runt\’que anguli D, F, E, G, recti, & B, polus arcus 25. huius. Schol. 26. huius. DF, & A, polus arcus EG; ac proinde arcus DF, EG, arcus erunt angulorum B, A. Tam verò qua- drans BD, quam AE, arcus e$t anguli recti C, vt ex defin. 6. per$picuum e$t. Quoniam igitur duo circu- li maximi BD, BF, $e mutuo $ecant in $phæra in pun cto B, & in arcu BD, $umpta $unt duo puncta A, D, à quibus ad arcum BF, ducti $unt arcus perpendiculares AC, DF; erit vt $i- nus arcus AB, ad $inum arcus AC, ita $inus arcus BD, ad $inum arcus DF: 40. huius. & permutando, vt $inus arcus AB, trianguli ABC, ad $inum quadrantis BD, hoc e$t, ad $inum totum anguli recti C, in eodem triangulo ABC, ita $inus arcus AC, trianguli eiu$dem ABC, ad $inum arcus DF, hoc e$t, ad $inum an- guli B, eiu$dem trianguli ABC. Eodem modo erit, vt $inus arcus AB, in triangulo ABC, ad $inum quadrantis AE, hoc e$t, ad $inum totum anguli recti C, eiu$dem trianguli ABC, ita $inus arcus BC, eiu$dem trianguli ABC, ad $inum arcus EG, hoc e$t, ad $inum anguli A, in eodem triangulo ABC. Patet ergo propo$itum.

SI verò vterque angulorum A, B, e$t re- cto maior, erit arcus AB, quadrante minor: 37. huius. & tam arcus AC, quam BC, quadrante ma- 34. huius. ior. Producto igitur arcu AB, in vtramque partem, vt $int quadrantes AE, BD, ab$ci$- $is\’que quadrantibus AG, BF, ducatur per puncta D, F, arcus maximi circuli DF, & per 20. 1 Theod. E, G, maximi circuli arcus EG; erit\’que rur- 26. huius. $um B, polus arcus DF, & A, polus arcus EG. Igitur DF, EG, arcus erunt angulorum B, A; necnon tam quadrans BD, quam AE, ar- cus anguli recti C, ex defin. 6. Item propter quadrantes BD, BF, vterque angulus D, F; & propter quadrantes AE, AG, 25. huius. [422]TRIANGVLA vterque angulus E, G, rectus erit. Quia igitur duo maximi circuli BD, BC, $e mutuo in $phæra $ecant in B, $umpta\’que $unt in BD, duo puncta A, D, à quibus ad BC, ducti $unt duo arcus AC, DF, perpendiculares, erit vt $inus arcus AB, ad $inum arcus AC, ita $inus arcus BD, ad $in um arcus DF: & per- 40. huius. mutando, vt $inus arcus AB, trianguli ABC, ad $inum quadrantis BD, hoc e$t, ad $inum totum anguli recti C, in eodem triangulo ABC, ita $inus arcus AC, eiu$dem trianguli ABC, ad $inum arcus DF, hoc e$t, ad $inum anguli B, in eodem triangulo ABC. Eademq; ratione erit, vt $inus arcus AB, trian guli ABC, ad $inum quadrantis AE, hoc e$t, ad $inum totum anguli recti C, in eodem triangulo ABC, ita finus arcus BC, eiu$dem trianguli ABC, ad finum arcus EG, hoc e$t, ad $inum anguli A, in eodem triangulo ABC. Quod e$t propo$itum.

SI denique alter angulorum A, B, recto maior e$t, & alter minor; $it B, ma- ior, & A, minor. Erit igitur arcus AB, quadrante maior: Item arcus AC, 37. huius. 34. huius. quadrante etiam maior, at verò BC, minor quadrante. Ab$cindantur ergo quadrantes BD, AE, & AG, producto\’que arcu BC, fiat 20. 1 Theod. quadrans BF; & per puncta D, F, ducatur ar- cus DF, circuli maximi, necnon per E, G, arcus circuli maximi EG; erit\’que rur$us B, polus arcus DF, & A, polus arcus EG. Igi- 26. huius. tur DF, EG, arcus erunt angulorum B, A; necnon tam quadrans BD, quam AE, arcus anguli C, recti, ex defin. 6. Item propter qua- drantes AE, AG, vterque angulus E, G, re- 25. huius. ctus erit. Quoniam igitur duo circuli maxi- mi BA, BF, in $phæra $e mutuo $ecant in B, $umpta\’que $unt in BA, duo puncta A, D, à quibus ad BF, ducti $unt duo arcus perpendiculares AC, DF; erit, vt $inus arcus AB, ad $inum arcus AC, ita $inus arcus BD, ad $inum arcus DF: & 40. huius. permutando, vt $inus arcus AB, trianguli ABC, ad $inum quadrantis BD, hoc e$t, ad $inum totum anguli recti C, in eodem triangulo ABC, ita $inus arcus AC, trianguli eiu$dem ABC, ad $inum arcus DF, hoc e$t, ad $inum an- guli B, in triangulo eodem ABC. Eodem\’que modo erit, vt $inus arcus AB, trianguli ABC, ad $inum quadrantis AE, hoc e$t, ad $inum totum recti an- guli C, in eod\~e triangulo ABC, ita $inus arcus BC, eiu$dem trianguli ABC, ad $inum arcus EG, hoc e$t, ad $inum anguli A, eiu$dem trianguli ABC, Quod e$t propo$itum.

QVARTO ac vltimo nullus angulorum A, B, C, rectus $it. Per pun- ctum A, & polum circuli BC, ducatur arcus circu- 20. 1 Theod. li maximi AD, cadat\’que primum in latus BC, in- 25. 1. Theod. tra triangulum; erunt\’q; anguli ad D, recti. Quoniam igitur in triangulo ABD, angulus D, rectus e$t; erit, vt iam demon$tratum e$t, vt $inus arcus AB, ad $i- num anguli ADB, ita $inus arcus AD, ad $inum an- guli B: & permutando, vt $inus arcus AB, ad $inum arcus AD, ita $inus anguli ADB, ad $inum anguli B. Sed eodem modo, cum in triangulo ADC, an- [423]SPHAERICA. gulus D, rectus $it; e$t, vt $inus arcus AD, ad $inum anguli ACD, ita $inus arcus AC, ad $inum anguli ADC: & permutando, vt $inus arcus AD, ad $i- num arcus AC, ita $inus anguli ACD, ad $inum anguli ADC, hoc e$t, ad $inum anguli ADB, cum anguli ad D, $int recti. Ex æqualitate ergo, & per- turbata proportione, erit, vt $inus arcus AB, ad $inum arcus AC, ita $inus an- guli ACD, ad $inum anguli B; vt in appo$ita formula apparet. Igitur & per- mutando erit, vt $inus arcus AB, in triangulo ABC, ad $inum anguli ACB, in eodem triangulo ABC, ita $inus arcus AC, eiu$dem trianguli ABC, ad $inum anguli B, in eodem triangulo ABC.

arcus # anguli AB. # ACD. AD. # ADB. AC. # B.

CADAT deinde arcus per A, & polum circuli BC, ductus in arcum BC, productum ad E, erit\’q; angulus E, re- 15. 1. Theod. ctus. Quoniam igitur in triangulo ABE, angulus E, rectus e$t; erit, vt demon$tratum e$t, vt $inus arcus AB, ad $inum anguli E, ita $inus arcus AE, ad $inum anguli B: & permu- tando, vt $inus arcus AB, ad $inum arcus AE, ita $inus anguli E, ad $inum anguli B. Sed eadem ratione, cum in triangulo ACE, angulus E, rectus $it, e$t, vt $inus arcus AE, ad $inum anguli ACE, ita $inus arcus AC, ad $i- num anguli E: & permutando, vt $inus arcus AE, ad $inum arcus AC, ita $inus anguli ACE, ad $inum anguli E. Igitur ex æqualitate, & perturbata proportione, erit vt $inus arcus AB, ad $inum arcus AC, ita $inus anguli ACE, hoc e$t, anguli ACB, (cum idem $it arcus # anguli AB. # ACE. AE. # E. AC. # B. $inus vtriu$q; anguli ad C, quòd eorum arcus $emicirculum con$tituant, vt con$tat ex coroll. propo$. 5. huius tracta- tus. Per$picuum autem e$t ex ijs, quæ in tractatione $inuum diximus, duos arcus $emicirculum conficientes, eundem ha- bere $inum.) ad $inum anguli B; vt in appo$ita $ormula ap- paret. Igitur & permutando erit, vt $inus arcus AB, in triangulo ABC, ad $inum anguli ACB, eiu$dem trianguli ABC, ita $inus arcus AC, in eodem triangulo ABC, ad $inum anguli B, eiu$dem trianguli ABC. Quod $i ex B, ad arcum AC, ducatur alius arcus perpendicularis, qui vel intra trian gulum cadet, vel in arcum productum, o$tendemus eodem modo, ita e$$e $inũ arcus AB, ad $inum anguli ACB, vt e$t $inus arcus BC, ad $inum anguli BAC. Itaque in omni triangulo $phærico, $inus cuiu$libet arcus, &c. Quod erat o$tendendum.

COROLLARIVM.

HINC per$picuum e$t, in omni triangulo $phærico rectangulo, vt e$t $inus arcus rectum angulum $ubtendentis ad $inum totum, nempe ad $inum anguli recti, quem $ubtendit, ita e$$e $inum cuiu$@@bet reliquorum arcuum ad $inum anguli, quem $ubtendit. Quod idcir. co dixerim, quia plerique $criptores hoc corollarium, tanquàm propo$itionem ab hac no- ftra propo$itione 41. diuer$am, demon$trant: $ed placuit nobis propo$itionem hanc magis vniuer$alem reddere, prout nimirum complectitur & triangulum $phæricum rectangulum, & non rectangulum.

SCHOLIVM.

IN hac, & $equentibus propo$itionibus adducemus problemata, quibus $phæri- corum triangulorum rectangulorum calculus perficitur, quæ\’q; ex ip$is propo$itioni- bus eliciuntur, Quanquam autem nonnunquam in problemate aliquo plura propo- [424]TRIANGVLA nantur inue$tiganda, primum tamen $emper poti$simum e$t, quod quæritur, infer- tur\’q; primò ac per $e ex ip$o problemate. Ex hac igitur propo$itione $equentia triæ problemata colliguntur.

I.

IN triangulo $ph{ae}rico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo opponitur & alterutro arcuum angulum rectum ambientium; in- uenire angulum huic arcui oppo$itum.

IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, dati $int arcus AB, AC. Dico dari quoque angulum B, arcui 41. huius. AC, oppo$itum. Quoniam enim e$t, vt $inus arcus AB, ad $inum totum anguli recti C, ita $inus arcus AC, ad $i- num anguli B:

S I fiat, vt $inus arcus dati recto angulo oppo$iti ad $inum totum, ita $inus arcus circa Praxis. angulum rectum dati ad aliud, reperietur $inus anguli quæ$iti.

VERVM hic diligenter attendendum e$t, num angulus quæ$itus B, $it acutus, an obtu$us. Si enim acutus e$t, dabit arcus $inui inuento re$pondens angulum B: Si vero e$t obtu$us, relinquet idem arcus ex $emicirculo $ublatus angulum B. Pulchre autem arcus datus AC, circa angulum rectum C, docebit, an angulus B, acutus $it, 24. huius. vel obtu$us. Nam $i AC, e$t minor quadrante, erit angulus B, acutus: Si vero quadrante maior, obtu$us. Sumimus autem hic triangulum $phæricum, in quo vnus tantum angulus rectus e$t, & proinde nullus arcus Quadrans, vt in propo$. dictum e$t: quod etiam in $equentibus intelligatur.

II.

IN triangulo $ph{ae}rico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo opponitur, & alterutro angulorum non rectorum; inuenire arcum huic angulo oppo$itum.

IN eodem triangulo datus $it arcus AB, recto angulo C, oppo$itus, & in $uper angulus B. Dico dari quoque arcum AC, angulo B, oppo$itum. Cum enim $it, vt $inu@ 41. huius. arcus AB, ad $inum totum anguli recti C, ita $inus arcus AC, ad $inum anguli B @ erit conuertendo, vt $inus totus ad $inum arcus AB, ita $inus anguli B, ad $inum arcus AC.

SI igitur fiat, vt $inus totus ad $inum arcus angulo recto oppo$iti, ita Praxis. $inus anguli dati ad aliud, inuenietur $inus arcus quæ$iti.

Hic autem arcus erit quadrante minor, $i datus angulus e$t acutus: quadrante 34. huius. autem maior, $i obtu$us.

III.

IN triangulo $phærico rectangulo, dato alterutro arcuũ circa an- gulum rectũ, & angulo, qui ei opponitur; inuenire arcũ recto angulo oppo$<007>tum. Oportet autem con$tare, num tertius angulus $itacutus, an obtu$us: vel an tertius arcus $it quadrante minor, aut maior.

[425]SPHAERICA.

IN eodem triangulo datus $it arcus AC, circa angulum C, rectum, & angulus præterea B, illi oppo$itus. Dico dari quoque arcum AB, recto angulo oppo$itum, Cum enim $it, vt $inus arcus AC, ad $inum anguli B, ita $inus arcus AB, ad $inum 41. huius totum anguli recti C; erit conuertendo, vt $inus anguli B, dati ad $inum arcus AC, dati, ita $inus totus ad $inum arcus AB, recto angulo oppo$iti, qui quæritur.

SI igitur fiat, vt $inus anguli dati ad $inum dati arcus, ita $inus to- Praxia. tus ad aliud, reperietur $inus arcus quæ$iti, qui recto angulo opponitur.

OPORTET autem con$tare, num tertius angulus A, acutus $it, an obtu$us: vel an tertius arcus CB, quadrante minor $it, aut maior. Hinc enim di$cemus, quan do arcus quæ$itus AB, e$t quadrante minor, & quando maior; $i aliunde id non con- $titerit. Nam $i angulus A, fuerit acutus, $i quidem & B, datus $it acutus: Vel $i A, fuerit obtu$us, $i quidem & B, datus $it obtu$us; erit arcus AB, recto angulo op- 37. huius. po$itus quadrante minor. Si vero angulus A, fuerit acutus, at B, datus obtu$us: Vel $i A, fuerit obtu$us, at B, datus acutus; erit arcus AB, maior quadrante. Ita etiã, $i arcus CB, fuerit quadrante minor, $i quidem & AC, datus $it quadrante minor: Vel $i CB, fuerit quadrante maior, $i quidem & AC, datus $it maior quadrante; erit arcus AB, recto angulo oppo$itus quadrante minor. Si vero arcus CB, fuerit 35. huius. minor quadrante, at AC, datus quadrante maior: Vel $i CB, fuerit quadrante ma- ior, at AC, datus quadrante minor; erit arcus AB, maior quadrante. Itaq; non $atis e$t, dari vnum arcum circa rectum angulum, cum angulo oppo$ito, vt vult Co- pernicus propo$. 4. de triangulis $phæricis: Id quod in $cholio propo$. 21. $upra ad- monuimus; $ed dari etiam debet $pecies tert{ij} anguli, vel tert{ij} arcus. Qua in re etiam lap$us e$t Ioan. Regiom. propo$. 27. lib. 4. triangulorum.

THEOR. 40. PROPOS. 42.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cu- ius nullus arcuum quadrans $it, $inus vtriu$libet reliquorum angulorum eandem habet propor- tionem ad $inum totum, quam $inus complemen- ti reliqui anguli ad $inum complementi arcus ip- $um $ubtendentis.

IN triangulo $phærico ABC, angulus B, $it rectus, & nullus arcuum quadrans. Dico ita e$$e $inum anguli C, ad $inum totum, vt e$t $i- nus complementi reliqui anguli A, ad $inum complementi arcus BC, angulum A, $ubten- dentis. Quoniam enim nullus arcuum ponitur quadrans, nullus reliquorum angulorum re- ctus erit: Alias triangulum ABC, duos habens Schol. 25 huius. angulos rectos haberet duos arcus quadrantes; quod non ponitur. Sit ergo primum angulus A, acutus, & arcus AB, ip$i, & recto angulo B, [426]TRIANGVLA adiacens, quadrante minor. Quo po$ito, erit & angulus C, acutus: atque adeo 33. huius. omnes arcus trianguli ABC, quadrante minores. Producantur arcus AB, 28. huius. AC, & fiant quadrantes AD, AE, ac per puncta D, E, arcus DE, circuli maximi ducatur DE, conueniens cum arcu BC, 20. 1 Theod. 25. huius. producto in F; Erit ergo vterq; angulus D, E, rectus, ob quadrantes AD, AE; atque adeo, cum & angulus B, rectus $it, vterque arcus BF, DF, quadrans erit, ob angulos 25. huius. rectos B, D. Erit quoque DE, arcus anguli A; propterea quòd A, polus e$t arcus DE, 26. huius. ob quadrantes AD, AE. Item arcus EF, complementum erit arcus DE, & arcus CF, complementum arcus BC, ob qua- drantes DF, BF. Quoniam vero in triangu- lo CEF, angulus E, rectus e$t; erit vt $inus arcus CF, ad $inum totum, ita Coroll. 41. huius. $inus arcus EF, ad $inum anguli ECF: & conuertendo, vt $inus anguli 6. huius. ECF, hoc e$t, anguli ACB, qui illi æqualis e$t ad verticem, ad $inum ar- cus EF, ita $inus totus ad $inum arcus CF: & permutando, vt $inus anguli ACB, ad $inum totum, ita $inus arcus EF, hoc e$t, $inus complemen- ti anguli A, ad $inum arcus CF, id e$t, ad $inum complementi arcus CB. Quod e$t propo$itum.

SIT deinde angulus A, obtu$us, & adhuc arcus AB, quadrante minor. Fiat angulus BAD, rectus, $ecet\’que arcus AD, arcum BC, in D. Producto quoque arcu AB, fiat quadrans AE, & per puncta E, D, ducatur arcus ED, 20. 1 Theod. circuli maximi $ecans arcum AC, in F. Et quia duo anguli DAB, DBA, recti $unt, erunt ar- Schol. 25. huius. cus AD, BD, quadrantes; atque adeo cum AE, quadrans quoque $it, & angulus DAE, 26. huius. rectus, erit & DE, quadrans, & A, polus arcus DE. Igitur & arcus AF, quadrans erit, cum ar- Coroll. 16. cus EF, quadrante $em per ab $it à $uo polo. An 2. Theod. gulus item vterque ad F, cum arcus AF, tran- 25. 1. Theod. $eat per A, polum arcus EF, rectus erit. Præ- terea EF, erit arcus anguli BAC, ob quadran- tes AE, AF. Erit quoque arcus DF, comple- tum arcus EF, $eu anguli BAC; & arcus CD, complementum arcus BC, ob quadrantes DE, BD. Quoniam igitur in triangulo CDF, an- Corollar. 41. huius. gulus F, rectus e$t, erit vt $inus arcus CD, ad $inum totum, ita $inus ar- cus DF, ad $inum anguli C: & conuertendo, vt $inus anguli C, ad $i- num arcus DF. ita $inus totus ad $inum arcus CD: & permutando, vt $inus anguli C, ad $inum totum, ita $inus arcus DE, hoc e$t, $inus complemen ti anguli BAC, ad $inum arcus CD, id e$t, ad $inum complementi arcus BC. Quod e$t propo$itum.

SIT tertio angulus A, acutus, & arcus AB, quadrante maior. Quo po$i- to, erit reliquus angulus C, obtu$us; ac proinde arcus AC, rectum angulum 33. huius. B, $ubtendens quadrante quoque maior. Ab$cindantur quadrantes AD, AE, 37. huius. [427]SPHAERICA. & per puncta D, E, ducatur arcus DE, circuli maximi coiens cum arcu BC, 20. 1 Theod. protracto in F; erit\’q; vterq; angulus D, E, re- 25. huius. ctus, ob quadrantes AD, AE; atque idcirco, cum & angulus B, $it rectus, quadrantes erunt 25. huius. BF, DF. Erit quoque DE, arcus anguli A, quòd A, polus $it arcus DE. Quare EF, com- 26. huius. plementum e$t anguli A; & CF, complemen- tum arcus BC, ob quadrantes DF, BF. Quoniam igitur in triangulo CEF, angulus E, rectus e$t, erit vt $inus arcus CF, ad $inum Coroll. 41. huius. totum, ita $inus arcus EF, ad $inum anguli ECF: & conuertendo vt $inus anguli ECF, hoc e$t, anguli ACB. (Habent enim duo an- guli ad C, eundem $inum, cum eorum arcus $emicirculum conficiant, ex coroll. propo$. 5.) ad $inum complementi anguli A, ita $inus totus ad $inum arcus CF, hoc e$t, ad $inum complementi arcus BC: & per mutãdo, vt $inus anguli ACB, ad $inum totum, ita $inus arcus EF, $iue complementi anguli A, ad $inum arcus CF, $eu complementi arcus BC. Quod e$t propo$itum.

QVARTO ac vltimo $it angulus A, obtu$us, & adhuc arcus AB, qua- drante maior. Fiat angulus rectus BAD, $ecet\’q; arcus AD, arcum BC, in D. Ab$cindatur quoque ex AB, quadrans AE, & per puncta E, D, ducatur 20. 1 Theod. arcus ED, circuli maximi $ecans arcum AC, productum in F. Et quia an- gulus B, rectus ponitur, & angulus BAD, rectus quoque ex con$tructio- ne e$t, erunt arcus AD, BD, quadrantes. Rur$us quia arcus AD, AE, 25. huius. quadrantes $unt, continentque angulum DAE, rectum, erit arcus DE, qua- 26. huius. drans, & A, polus arcus DE; ac proinde cum arcus AF, tran$eat per A, polum arcus EF, erit angulus F, rectus. Item EF, erit arcus an- 15. 1. Theo. guli BAC. Præterea arcus DF, complemen- tum erit arcus EF, $eu anguli BAC; & arcus CD, complementum arcus BC, ob quadran- tes DE, BD. Quoniam igitur in triangulo CDF, angulus F, rectus e$t, erit vt $inus arcus CD, ad $inum totũ ita $inus arcus DF, ad $inum Coroll. 41. huius. anguli DCF: Et conuertendo, vt $inus anguli DCF, hoc e$t, anguli ACB, (Habent enim ar- cus angulorum DCF, ACB, eundem $inum, cum $emicirculum cõ$tituant) ad $inum arcus Coroll. 5. huius. DF, hoc e$t, ad $inum complementi anguli BAC, ita $inus totus ad $inum ar- cus CD, hoc e$t, ad $inum complementi arcus BC: Et permutando, vt $inus anguli ACB, ad $inum totum, ita $inus arcus DF, $iue complementi anguli BAC, ad $inum arcus CD, $eu complementi arcus BC. Quod e$t propo$i- lum. Igitur in omni triangulo $phærico rectangulo. &c. Quod demon$tran- dum erat.

SCHOLIVM.

COLLIGEMVS ex hac propo$itione duo hæc problemata.

[428]TRIANGVLA I.

IN triangulo $ph{ae}tico rectangulo, datis duobus angulis non rectis; inuenire arcum vtrilibet eorum oppo$itum, vna cum arcu, qui recto angulo opponitur.

IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, dati $int anguli A, B. Dice vtrumuis arcuum AC, BC, quoque dari, cum arcu AB. Quoniam enim e$t, vt $inus anguli A, ad $inum totum, ita $inus complementi anguli B, ad $inum com- 41. huius. plementi arcus AC. Item, vt $inus anguli B, ad $inum totum, ita $inus complementi anguli A, ad $inum com- plementi arcus BC;

SI fiat, vt $inus anguli dati, qui quæ$ito la Praxit. teri adiacet, ad $inum totum, ita $inus com- plementi reliqui anguli dati ad aliud, produ- cetur $inus complementi arcus huic posteriori angulo oppo$iti, qui quæ- ritur. Inuento autem vtroque arcu circa angulum rectum, reperietur quoque ex vtrolibet illorum, & ex angulo, qui ei opponuntur dato, ar- cus recto angulo oppo$itus, vt in problemate 3. propo$itionis 41. o$ten- dimus.

VTRVM autem arcus AC, BC, $int minores quadrante, aut maiores, ita di$cemus. Si angulus B, e$t acutus, erit arcus AC, ei oppo$itus quadrante minor: Si 14. huius. vero obtu$us, quadrante maior. Eadem ratione $i angulus A, fuerit acutus, erit ar- cus ei oppo$itus BC, quadrante minor: $i vero obtu$us, quadrante maior.

II.

IN triangulo $phærico rectangulo, dato alterutro angulorum non rectorum, cum alterutro arcuum c<007>rca angulum rectum; inue- nire alium angulum non rectum, & reliquos duos arcus.

IN eodem triangulo datus $it primum arcus AC, cum angulo A, $ibi adiacente. Dico dari quoque angulum B, cum arcubus BC, AB. Cum enim $it, vt $inus an- guli A, ad $inum totum, ita $inus complementi anguli B, ad $inum complementi ar- 42. huius. cus AC; erit conuertendo, vt $inus totus ad $inum anguli A, dati, ita $inus comple- menti dati arcus AC, ad $inum complementi anguli B, qui quæritur.

QVANDO ergo datur arcus cum angulo $ibi adiac\~ete, $i fiat, vt $i- Praxis, quã do datur areus cum angulo a- diacente. nus totus ad $inum anguli dati, ita $inus complementi arcus dati ad aliud, reperietur $inus complementi alterius anguli, qui quæritur. Hinc ex duo- bus angulis non rectis iam cognitis, cogno$centur reliqui duo arcus, vt in proximè antecedenti problemate demon$tratum e$t: Tertius autem da- tus e$t ex hypothe$i.

NVM vero angulus B, quæ$itus $it acutus, obtu$usue, docebit datus arcus AC. Si enim fuerit quadrante minor, erit angulus B, acutus: $i vero maior quadrante, 44. huius. @btu$us.

[429]SPHAERICA.

DATVS deinde $it arcus AC, cum angulo B, $ibi oppo$ito, con$tet\’q; de reliqu@ angulo A, num acutus $it, an obtu$us: vel de altero arcu B C, circa rectum angulum, qualis $it. Dico rur $um dari & reliquum angulũ A, & reliquos arcus BC, AB. Nam cum $it, vt $inus anguli A, ad $inum totum, ita $inus complementi anguli B, ad $inum 42. huius. complementi arcus AC; erit conuertendo, vt $inus complementi arcus AC, dati ad $inum complementi anguli B, dati, ita $inus totus ad $inum anguli A, quæ$iti.

IGITVR cum datur arcus cum angulo $ibi oppo$ito, $i fiat, vt $i. Praxis, quã do datur arcus cum angulo op- po$ito. nus complementi arcus dati ad $inum complementi anguli dati, ita $inus totus ad aliud, procreabitur $inus reliqui anguli, qui quæritur. Ex duo- bus ergo angul<007>s non rectis iam cognitis, cogno$centur reliqui duo arcus, vt in præcedenti problemate mon$trauimus. Tertius autem per hypothe- $im datus est.

OPORTET autem con$tare, num reliquus angulus A, $it acutus, an obtu$us, vt $ciatur, qualis angulus $inui inuento re$pondens $it accipiendus, acutu$ne, an obtu- $us. Quòd $i con$taret de arcu BC, qualis $it, illico cogno$ceretur quoque $pecies an- guli A. Nam $i arcus B C, fuerit quadrante minor, erit angulus A, acutus: $i autem quadrante maior, obtu$us. Pari ratione, $i $ciretur, qualis $it arcus AB, angulo re- 34. huius. cto oppo$itus, continuò $peciem anguli A, cogno$ceremus. Nam $i arcus AB, fuerit minor quadrante, & datus quidem angulus B, acutus, erit quoque angulus A, acu- 38. huius. tus; Si vero datus angulus B, $it obtu$us, erit quoque obtu$us angulus A. At $i arcus AB, fuerit maior quadrante, & datus quidem angulus B, acutus, erit angulus A, obtu$us: Si vero datus angulus B, $it obtu$us, erit angulus A, acutus. Itaque non e$t $atis, dari angulum non rectum, cum arcu oppo$ito, vt vult Copernicus propo$. 4. de triangulis $phæricis: Id quod $upra quoque monuimus in $cholio propo$. 21. $ed debet etiam dari $pecies tert{ij} anguli, vel $pecies arcus alterius circa rectum angu- lum; vel certe $pecies arcus recto angulo oppo$iti. Qua in re lap$us e$t Nicolaus Co- Error Co- pernici. pernicus, qui voluit in propo$ 4. de triangulis $phæricis, $atis e$$e, vt detur arcus cir- ca rectum angulum, cum alterutro angulorum non rectorum. Fal$um enim hoc e$t de angulo dato arcui oppo$ito, ni$i aliud præterea con$tet, vt hic diximus, & in $cho- lio propo$. 21. monuimus.

THEOR. 41. PROPOS. 43.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cuius nullus arcuum quadrans $it, $inus complementi arcus rectum angulum $ubtend\~etis ad $inum com plementi vtriu$ve reliquorum arcuum eandem ha bet proportionem, quam $inus complementi re- liqui arcus ad $inum totum.

IN triangulo $phærico rectangulo ABC, angulus B, $it rectus, & nullus [430]TRIANGVLA arcuum quadrans. Dico ita e$$e $inum complementi arcus AC, ad $inum com plementi arcus v. g. AB, vt e$t, $inus complementi reliqui arcus BC, ad $i- num totum. Quoniam enim nullus arcuum ponitur quadrans, nullus reliquorum angu- lorum erit rectus. Alias triangulum ABC, duos angulos habens rectos haberet duos ar- Schol. 25. huius. cus quadrantes. quod non ponitur. Sit ergo primum angulus A, acutus, & arcus AB, ip$<007> & recto angulo B, adiacens quadrante minor. Quo po$ito, erit & angulus C, acutus; atque 33. huius. adeo omnes arcus trianguli ABC, quadran- 28. huius. te minores. Producantur arcus AB, AC, & fiant quadrantes AD, AE; ac per puncta D, E, arcus DE, circuli maximi ducatur DE, 20. 1 Theod. conueniens cum arcu BC, producto in F. Erit ergo vterque angulus D, E, rectus, ob quadrantes AD, AE; atque adeo, cum 25. huius. & angulus B, ponatur rectus, erit vterq; arcus BF, DF, quadrans, ob rectos angulos B, D. Præterea BD, erit arcus anguli F; propterea quòd F, polus e$t 26. huius. arcus BD, ob quadrantes BF, DF. Item CF, complementum erit arcus BC; & BD, CE, complementa arcuum AB, AC, ob quadrantes BF, AD, AE. Manife$tum autem e$t in triangulo CEF, ita e$$e $inum arcus CE, hoc e$t, $i- 41. huius. num complementi arcus AC, ad $inum anguli F, hoc e$t, ad $inum arcus BD, $eu complementi arcus AB, vt e$t $inus arcus CF, hoc e$t, $inus complemen ti arcus BC, ad $inum anguli recti E, id e$t, ad $inum totum. Quod e$t pro- po$itum.

SIT deinde angulus A, obtu$us, & adhuc arcus AB, quadrante minor. Fiat angulus BAD, rectus, $ecet\’q; arcus AD, arcum BC, in D. Producto quoque arcu AB, fiat quadrans AE, & per puncta E, D, ducatur arcus ED, 20. 1 Theod. circuli maximi $ecans arcum AC, in F. Et quia duo anguli DAB, DBA, recti $unt, erunt arcus AD, BD, quadrantes; atque adeo cum AE, quoque Schol. 25. huius. $it quadrans, & angulus DAE, rectus, erit & arcus DE, quadrans; ac proinde BE, ob qua- 26. huius. drantes BD, ED, erit arcus anguli BDE, hoc e$t, anguli CDF, qui illi ad verticem e$t 6. huius. æqualis. Quoniam vero A, polus e$t arcus 26. huius. ED, erit & arcus AF, quadrans, cum arcus Coroll. 16. EF, quadrante $emper ab$it à $uo polo; nec- 1. Theod. non & angulus AFE, & angulus CFD, re- 25. 1. Theod. ctus. Præterea erit arcus CE, complemen- tum arcus AC; & arcus BE, complementum arcus AB; & arcus CD, complementum ar- cus BC, ob quadrantes AF, AE, BD. Per- $picuum autem e$t in triãgulo CDF, ita e$$e $inum arcus CF, hoc e$t, $inum complementi 41. huius. arcus AC, ad $inum anguli CDF, hoc e$t, ad $inum arcus BE, $iue comple- menti arcus AB, vt e$t $inus arcus CD, nempe $inus complementi arcus BC, ad $inum anguli recti F, hoc e$t, ad $inum totum. Quod e$t propo$itum.

TERTIO $it angulus A, acutus, & arcus AB, quadrante maior. Quo [431]SPHAERICA. po$ito, erit reliquus angulus C, obtu$us;; ac proinde arcus AC, rectum angu- 33. huius. lum B, $ubtendens quadrante quoque maior. 37. huius. Ab$cindantur quadrantes AD, AE, & per puncta D, E, ducatur arcus DE, circuli ma- 20. 1 Theod. ximi conueniens cum arcu BC, producto in F; Eritá; vterque angulus D, E, rectus, ob 25. huius. quadrantes AD, AE; atque adeo, cum & an- gulus B, rectus $it, quadrantes erunt arcus 25. huius. BF, DF; propterea\’q; BD, arcus erit anguli F. Item arcus CF, complementum erit arcus 41. huius. BC, & arcus DB, EC, complementa arcuum AB, AC, ob quadrantes BF, AD, AE. Per- $picuum e$t autem in triangulo CEF, ita e$- $e $inum arcus EC, id e$t, $inum complemen- ti arcus AC, ad $inum anguli F, hoc e$t, ad $i- num arcus DB, hoc e$t, ad $inum complementi arcus AB, vt e$t $inus arcus CF, nempe $inus complementi arcus BC, ad $inum anguli recti E, hoc e$t, ad $inum totum. Quod e$t propo$itum.

POSTREMO $it angulus A, obtu$us, & adhuc arcus AB, quadrante maior. Fiat angulus rectus BAD, $ecet\’q; arcus AD, arcum BC, in D. Ab- $cindatur quoque ex AB, quadrans AE, & per puncta E, D, de$cribatur ar- 20. 1 Theod. cus ED, circuli maximi $ecans arcum AC, productum in F. Et quia angulus B, ponitur rectus, & angulus BAD, rectus factus e$t, e- 25 huius. runt arcus AD, BD, quadrantes. Rur$us quia arcus AD, AE, quadrantes $unt, con- tinent\’q; angulum rectum DAE, erit & arcus DE, quadrans, & A, polus arcus ED; atque 26. huius. adeo angulus F, rectus erit Præterea quia 15. 1. Theo. DB, DE, quadrantes $unt o$ten$i, erit EB, arcus anguli BDE, hoc e$t, anguli CDF, qui 6. huius. illi ad verticem e$t æqualis. Item cum A, po- lus $it arcus EF, erit arcus AF, quadrans, Coroll. 16. 1. Theod. quòd arcus EF, quadrãte $emper ab$it à $uo polo. Arcus item CF, complementum erit arcus AC; & arcus EB, complementum arcus AB; & arcus CD, complemen tum arcus BC, ob quadrantes AF, AE, BD. Mani$e$tum e$t autem in trian gulo CDF, ita e$$e $inum arcus CF, id e$t, $inum complementi arcus AC, ad 41. huius $inum anguli CDF, hoc e$t, ad $inum arcus BE, $iue complementi arcus AB, vt e$t $inus arcus CD, nempe $inus complementi arcus BC, ad $inum anguli recti F, hoc e$t, ad $inum totum. Quod e$t propo$itum. In omni ergo trian- gulo $phærico rectangulo, &c. Quod erat o$tendendum.

SCHOLIVM. I.

SEQVENS problema ex hac propo$. colligemus hunc in modum.

IN triangulo $phærico rectangulo, datis duobus arcubus qui- bu$libet, inuenire tertium arcũ, & reliquos duos angulos non rectos.

[432]TRIANGVLA

IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, dat@ $int primum duo arcus AC, CB, circa angulum rectum C. Dico dari quoque tertium arcum AB, cum duobus an- gulis A, B. Quoniam enim e$t, vt $inus complementi ar- 43. huius. cus AB, ad $inum complementi arcus AC, ita $inus com- plementi arcus CB, ad $inum totum; erit conuertendo, vt $inus totus ad $inum complementi arcus CB, ita $inus com plementi arcus AC, ad $inum complementi arcus AB.

QV AMOBREM, dat<007>s duobus arcubus rectum angulum ambien Praxis, quã do dantut duo arcus circa angu lũ rectum. tibus, $i fiat, vt $inus totus ad $inum complementi vtriu$libet arcuum datorum, ita $inus complementi alterius arcus dati ad aliud, producetur $inus complementi arcus recto angulo oppo$iti, qui quæritur. Ex dato au- tem arcu, quirecto angulo opponitur, cum vtrou<007>s arcu cir ca rectum an- gulum, inuenietur angulus ci oppo$itus, vt in probtemate 1. propo$. 41. tradidimus.

VTRVM vero quæ$itus arcus AB, quadrante minor $it, aut maior, docebunt 35. huius. duo arcus dati, Si enim vter que fuerit m<007>nor, aut maior quadrante, erit arcus AB, quadrante minor: Si vero vnus $it quadrante minor, & alter maior, erit arcus AB, quadrante maior.

DATVS deinde $it arcus AB, recto angulo oppo$itus, cum alterutro arcuum circa angulum rectum, vt cum AC. Dico rur$um dari reliquum arcum CB, cum duobus angulis A, B. Nam cum $it, vt $inus complementi arcus AB, ad $inum com- 43. huius. plementi arcus AC, ita $inus complementi arcus CB, ad $inum totum; erit conuer- tendo, vt $inus complementi arcus AC, ad $inum complementi arcus AB, ita $inus totus ad $inum complementi arcus CB.

QV APROPTER, dato arcu, qui recto angulo opponitur, cum Praxis, quã do datur arcus recto angulo op- po$itus, cũ alterutro circa angu lũ rectum. alterutro arcuum circa angulum rectum, $i $iat, vt $inus complementi ar- cus dati circa angulum rectum ad $inum complementi arcus angulo recto oppo$iti, ita $inus totus ad aliud, inuenietur $inus complementi alterius arcus circa angulum rectum, qui quæritur. Ex quouis autem arcu dato cir ca rectum angulum, cum arcu, quirecto angulo opponitur, reperietur angulus illi arcui oppo$itus, vt in problemate 1. propo$. 41. demon$tra- tum est.

AN vero tertius arcus CB, quæ$itus $it quadrante minor, aut maior, intellige- mus ex duobus arcubus datis. Si namque arcus AB, angulo recto oppo$itus fuerit quadrante minor, $i quidem & alter datus AC, $it quadrante minor, erit & arcus CB, quadrante minor; $i vero AC, $it quadrante maior, erit & CB, maior qua- 36. huius. drante. Si autem AB, fuerit quadrante maior, $i quidem & AC, $it quadrante maior, erit CB, quadrante minor; $i vero AC, $it minor quadrante, erit CB, quadrante maior.

SCHOLIVM. II.

QVAMVIS & hanc propo$. 43. & antecedentem 42. quadrimembrem feco- Quicquid demon$tra tur de triã- gulo $phæ. [433]SPHAERICA. rimus, vt vtraque in omnibus ca$ibus demon$traretur: $atis tamen fui{$s}et, $i vtraq; tico rectan gulo, cuius omnes ar- cus $int qua drante mi- nores, locũ etiã habet i omni trian gulo $phæ- rico rectan gulo. in primo ca$u, exi$tentibus nimirum omnibus arcubus quadrante minoribus, demon $tratione fui$$et confirmata. Eo enim ca$u demon$trato, facile demon$trationem om- nibus al{ij}s ca$ibus accommodabimus. Sit nam- que triangulum $phæricum quodcunq; rectan gulum ACD, habens angulum C, rectum. Aut igitur duo arcus AC, CD, circa angulum re- ctum quadrãte $unt minores, ac proinde & ter tius arcus AD, quadrante quoque minor; aut vnus quadrante maior, & alter minor; aut 35. huius., denique ambo quadrante maiores: Nam de eo $olo $phærico triangulo rectangulo agimus, in quo nullus arcus e$t quadrãs. Sint primum duo arcus AC, CD, circa angulum rectum quadrante minores: quo po$ito, erit vterque 34. huius. angulus D, A, acutus, proptereaque triangulo ACD, demon$tratio vtriu$que pro- po$itionis conueniet, quo ad primum ca$um.

SIT deinde arcus DC, quadrante maior, & CA, minor. Productis arcubus DC, DA, donec coeant in B; erunt DAB, DCB, $emicirculi; atque adeo CB, qua- 11. 1 Theod. drante minor. Sunt ergo in triangulo ACB, duo arcus AC, CB, circa angulum re- ctum C, quadrante minores. Quare, vt proxime o$tendimus, ei vtriu$que propo$i- tionis demon$tratio, quo ad primum ca$um, conueniet. Cum ergo {ij}dem $inus tam re- cti, quam complementorum, $int arcuum, & angulorum triangul<007> ACB, qui arcuum, & angulorum trianguli ACD; (Nam, vt in $inubus diximus, arcus CD, CB, eun- dem $inum habent tam rectum, quam complementi, necnon & arcus AD, AB. Item tam recti anguli ad C, eundem $inum habent, nempe totum, quam anguli obliqui ad A, cum duobus rectis $int æquales. Denique & anguli D, B, eundem $inum habent, 5. huius. cum $int inter $e æquales: Arcus autem AC, vtrique triangulo communis e$t.) li- 13. primi. quido con$tat, quicquid de $inubus arcuum, angulorum\’q; trianguli ACB, fuerit o$ten$um, idem in $inubus arcuum, & angulorum trianguli ACD, locum habere.

POSTREMO $int duo arcus DC, CA, quadrante maiores: quo po$ito, erit arcus CB, minor quadrante. Habet igitur triangulum ACB, arcum AC, circa angulum rectum C, quadrante maiorem, & CB, minorem. Quare ei, vt proxime e$t demon$tratum, vtraque propo$itio conueniet. Cum ergo {ij}dem $inus tam recti, quam complementorum, $int arcuum, & angulorum trianguli ACB, qui arcuum, & angulorum trianguli ACD, vt paulo ante diximus, liquet ea$dem propo$it<007>ones triangulo quoque ACD, conuenire. Per$picuum ergo e$t, quicquid de $inubus arcuum, angulorum\’q; trianguli $phærici rectanguli, cuius duo arcus circa angulum rectum quadrante $int minores, demon$tratum fuerit, locum etiam habere in quocunq; alio triangulo $phærico rectangulo.

IDEM pror$us dicendum e$t de tertio ca$u propo$. 41. Satis enim fui$$et illum demon$tra$$e in triangulo rectangulo, cuius omnes arcus $unt quadrante minores, quale est triangulum $ecundæ figuræ propo$. 41 dictæ; cum eius trianguli demon- $tratio omnibus al{ij}s conueniat, vt ex demon$tratis in hoc $cholio e$t manife$tum.

EX his, quæ proximis tribus propo$itionibus demon$trauimus, ab$olutus iam per $inus e$t calculus triangulorum $phæricorum rectangulorum: quareiam non rectan gulorum calculus $equ<007> deberet. Sed quia per lineas tangentes, ac $ecantes breuius plerunque triangulorum rectangulorum calculus, quam per $inus, expeditur, adiun [434]TRIANGVLA gemus $equentes propo$itiones ad triangula quoque $phærica rectangula $pectantes, antequam triangulorum $phæricorum non rectangulorum calculum exponamus. Vt autem clariores fiant demon$trationes, & minus confu$æ, proponemus $emper triangulum $phæricum rectangulum, cuius duo arcus circa angulum rectum, ac pro- inde omnes tres, minores $int quadrante. Nam eædem demon$trationes al{ij}s omnibus conuenient, vt in hoc $cbolio demon$trauimus: quippe cum & tam duo arcus $emicir culum con$icientes, quàm duo anguli duobus rectis æquales, eandem habeant tangen tem, ac $ecantem, quemadmodum & eundem $inum, vt in tractatione tangentium, & $ecantium monuimus.

THEOR. 42. PROPOS. 44.

IN omni triangulo $phætico rectangulo, cu- ius omnes arcus quadrante $int minores: $inus to- tus ad $inum vtriu$uis arcuum circarectum angu- lum eandem habet proportionem, quam tangens anguli non recti dicto arcui adiacentis ad tangen- tem reliqui arcus circa angulum rectum huic an- gulo oppo$iti.

IN triangulo $ph ærico ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, $it angulus C, rectus. Dico ita e$$e $inum totum ad $inum arcus BC, vt e$t tan- gens anguli B, ad tangentem arcus AC. Productis enim arcubus BC, BA, donec fiant quadrantes BF, BD, ac per puncta F, D, arcu FD, circuli maximi de$cripto; erit vterque angulus F, D, rectus, ob qua- 25. huius. drantes BF, BD: & DF, arcus erit anguli B; cum B, polus $it arcus DF. Quia igitur duo circuli ma- 26. huius. ximi in $phæra BF, BD, $ecant $e$e in B, ducti\’que $unt ex A, D, ad BF, arcus perpendiculares AC, DF; erit, vt $inus quadrantis BF, hoc e$t, $inus to- Theor. 6. $cholij. 40. huius. tus, ad tangentem arcus FD, hoc e$t, ad tangentem anguli B, ita $inus arcus BC, ad tangentem arcus AC: Et permutando, vt $inus totus ad $inum arcus BC, ita tangens anguli B, ad tangentem arcus AC. Non aliter demon$trabimus, ita e$$e $inum totum ad $inum arcus AC, vt e$t tangens anguli A, ad tangentem arcus BC: vt patet, $i arcus AC, AB, pro- ducantur, donec fiant quadrantes AG, AE, perque G, E, arcus maximi cir- culi de$cribatur GE. Erit enim rur$us, vt $inus quadrantis AG, id e$t, $inus Theor. 6. $cholij 40. huius. totus, ad tangentem arcus EG, $eu anguli A, ita $inus arcus AC, ad tangen tem arcus BC: Et permutãdo, vt $inus totus ad $inum arcus AC, ita tangens anguli A, ad tangentem arcus BC. In omni ergo triangulo $phærico rectan- gulo, &c. Quod erat demon$trandum.

[435]SPHAERICA. SCHOLIVM.

HINC colligemus duo $equentia problemata.

I.

IN triangulo $phærico rectangulo, dato alterutro arcuum circa angulum rectum, cum alterutro angulorum non rectorum, reperire alium arcum circa rectum angulum, & reliquum angulum non re- ctum, cum arcu, qui recto angulo opponitur: dum modo, quando angulus datus opponitur arcui dato, con$tet, an reliquus arcus circa rectum angulum $it quadrante minor, maiorve; vel an reliquus an- gulus non rectus $it acutus, obtu$usve.

IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, da- tus $it primum arcus AC, cum angulo A, $ibi adia- cente. Dico dari quoque arcum BC, vnà cum angu- lo B, & arcu AB. Quoniam enim e$t, vt $inus totus 44. huius. ad $inum arcus AC, ita tangens anguli A, ad tangen- tem arcus BC:

SI (quando datur arcus cum angulo adia- Praxis, cũ datur arcus cum angu- lo adiac\~ete. cente) fiat, vt $inus totus ad $inum dati arcus, ita tangens anguli dati ad aliud, producetur tangens arcus quæ$iti. Ex eodem vero arcu dato, & argulo dato, inue- nietur alter angulus non rectus, et arcus recto angulo oppo$itus, vt in pro- blemate 2. propo$. 42. demon$trauimus.

AN vero arcus quæ$itus BC, $it quadrante minor, maiorue, indicabit angulus datus A. Nam $i fuerit acutus, erit arcus BC, quadrante minor; $i vero obtu$us, 34. huius. quadrante maior.

SIT deinde datus arcus AC, cum angulo B, $ibi oppo$ito, con$tet\’q; præterea de altero arcu BC, num quadrante minor $it, an maior; vel an alter angulus A, acu- tus $it, an obtu$us. Dico rur$um dari arcum BC, vnà cum angulo B, & arcu AB. Cum enim $it, vt tangens anguli B, ad tangentem arcus AC, ita $inus totus ad $i- 44. huius. num arcus BC:

SI (quando datur arcus cum angulo oppo$ito) fiat, vt tangens angu- Praxis. cũ datur arcus cũ angulo oppo$ito. li dati ad tangentem dati arcus, ita $inus totus ad aliud, reperietur $inus arcus quæ$iti. Ex dato vero arcu, & angulo dato dabitur & alter angu- lus non rectus, & arcus recto angulo oppo$itus, vt in problemate 2. pro- po$. 42. diximus.

OPORTET autem con$tare, an arcus BC, $it quadrante minor, an maior, vt $ciamus, qualis arcus inuento $inui re$pondens accipi\~edus $it, an videlicet minor qua- dr ante, an vero maior. Quòd $i con$taret de angulo A, qualis $it, $tatim cogno$ce- remus, qualis $it arcus BC. Exi$tente enim angulo A, acuto, erit arcus BC, qua- 34. huius. drante minor: exi$tente vero obtu$o, quadrante maior. Sic etiam, $i $ciretur, qualis [436]TRIANGVLA $it arcus AB, recto angulo oppo$itus, $peciem quoque arcus BC, cogno$ceremus. Nam $i AB, $it quadrante minor, erit vterque AC, BC, vet minor quadrante, vel maior: qualis ergo e$t datus arcus 36. huius. AC, talis quoque erit arcus BC. Si vero AB, fuerit maior quadrante, & datus arcus AC, minor quidem quadrante, erit BC, quadrante maior; $i vero datus ar- cus AC, $it quadrante maior, erit BC, quadrante mi- nor. Itaque non $atis e$t, dari arcum, cum angulo oppo- $ito, vt vult Copernicus propo$ 4. de triangulis $phæri- cis. Id quod $upra in $cholio propo$. 21. monuimus.

II.

IN triangulo $phærico rectangulo, datis duobus arcubus circa rectum angulum, vtrumlibetangulorum non rectorum, vnà cum ar- cu reliquo, qui angulo recto opponitur, explorare.

IN eodem triangulo dati $int duo arcus AC, BC. Dico dari quoque vtrum vis angulorum A, B, & arcum AB. Cum enim $it, vt $inus totus ad $inum arcus AC, 44. huius. ita tangens anguli A, ad tangentem arcus BC: Et conuertendo, vt $inus arcus AC, ad $inum totum, ita tangens arcus BC, ad tangentem anguli A; Eadem\’q; ratione, vt $inus arcus BC, ad $inum totum, ita tangens arcus AC, ad tangentem anguli B.

SI fiat, vt $inus vtriu$uis ar cuum circa angulum rectum ad $inurn Praxis. totum, ita tangens alterius arcus ad aliud, inuenietur tangens anguli huic po$teriori arcui oppo$iti. Ex datis quoque duobus ar cubus circa angulum rectum cogno$cetur & tertius arcus recto angulo oppo$itus, vt in proble- mate propo$. 43. traditum e$t. Vel certe ex dato vno arcu, & alterutro angulor um inuento, vt in problemate 2. propo$. 42. o$ten$um e$t.

NVM autem angulus quæ$itus $it acutus, obtu$u$ve, docebit arcus ei oppo$itus. Hic enim $i minor quadrante $uerit, erit angulus ei oppo$itus, acutus, $i vero ma- 54. huius. ior, obtu$us.

QVONIAM verò in $cholio 2. propo$. præcedentis diximus, per lineas tangen- tes, ac $ecantes breuius nonnulla expediri, quam per $inus, intelligendum id e$t de {ij}s, quæ primo loco in problematibus quæruntur, non autem, quæ $ecundo loco inue$ti- gantur. Quod vt planius fiat, exponemus, quo paõto vtrumque problema hic pro- po$itum ab$oluendum $it per $inus. Itaque, vt ex arcu circa angulum rectum dato, cum alterutro angulorum acutorum, inueniatur alter arcus circa angulum rectums qui primo loco in primo problemate inue$tigandus proponitur: ita progrediendum erit. Si arcus circa rectum angulum detur cum angulo oppo$ito, inquirendus pri- mum erit arcus recto angulo oppo$itus, ex problemate 3. propo$. 41. Deinde ex hoc arcu inuento, & dato arcu, eliciendus erit, per problema propo$. 43. alter arcus cir ca angulum rectum, qui quæritur. Si vero detur arcus circa angulum rectum cum angulo adiacente, quærendus e$t primum per problema 2. propo$. 42. alter angulus acutus. Deinde per problema 1. eiu$dem propo$. 42. ex hoc angulo inuento, & angulo dato, arcus dato angulo oppo$itus eliciendus. At, vt ex duobus arcubus circa angu- lum rectum datis, vteruis angulorum acutorum eruatur; qui primo loco in $ecun- do problemate inquiritur: reperiendus erit primum arcus recto angulo oppo$itus per [437]SPHAERICA. problema propo$. 43. ex datis duobus arcubus. Deinde per problema 1. propo$. 41. ex hoc arcu inuento, & alterutro circa angulum rectum dato, inueniendus angulus huic dato arcui oppo$itus. Vides igitur, id, quod primo loco in vtroque problemate quæritur, duplici opere inue$t<007>gar<007> per $inus, quod $implici per tangentes inuenimus. Eadem ratio e$t in $equentibus problematibus, quod $emel hic monui$$e $atis $it.

THEOR. 43. PROPOS. 45.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cu- ius omnes arcus quadrante $int minores: $inus to- tus ad $inum complement<007> vtriu$uis angulorum acutorum eandem proportionem habet, quam tan gens arcus recto angulo oppo$iti ad tangentem ar- cus dicto acuto angulo adiacentis.

IN triangulo $phærico ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, $it angulus B, rectus. Dico ita e$$e $inum totum ad $inum complementi anguli A, vt e$t tangens arcus AC, ad tangentem arcus AB. Productis enim arcubus AB, AC, dictum angulum comprehendenti- bus, donec quadrantes $iant AD, AE; de- $cripto\’q; per D, E, arcu circuli maximi DE, producto\’que, donec cum arcu BC, produ- cto coëat in F: erit vterque angulus D, E, 25. huius. rectus, ob quadrantes AD, AE; & DE, ar- cus erit anguli A, cum A, $it polus arcus DE. 26. huius. Item arcus DF, BF, quadrantes erunt, ob re- ctos angulos B, D; ac proinde arcus EF, com plementum anguli A. Quoniam igitur duo circuli maximi in $phæra BF, DF, $e in ter$e- cant in F; ducti\’q; $unt ex punctis B, C, arcus BF, ad arcum DF, arcus perp\~ediculares BD, CE; erit vt $inus totus quadrantis DF, ad tangentem arcus BD, ita $inus ar- Theor. 6. $cholij 40. huius. cus EF, hoc e$t, $inus complementi anguli A, ad tangentem arcus CE: Et permutando, vt $inus totus ad $inum complementi anguli A, ita tangens ar- cus BD, ad tangentem arcus CE. E$t autem (cum AC, AB, $int complemen ta arcuum CE, BD.) vt tangens arcus BD, ad tangentem arcus CE, ita tan 21. Sinuũ. gens arcus AC, ad tangentem arcus AB. Igitur erit quoque, vt $inus totus ad $inum complementi anguli A, ita tangens arcus AC, recto angulo oppo$i- ti ad tangentem arcus AB, acuto angulo A, adiacentis. Eodem modo o$ten- demus, ita e$$e $inum totum ad $inum complementi anguli C, vt e$t tangens arcus AC, recto angulo oppo$iti ad tangentem arcus BC, angulo acuto C, adiacentis, $i nimirum arcus CA, CB, angulum C, continentes producantur, &c. In omni ergo triangulo $phærico rectangulo, &c. Quod o$tendendũ erat.

[438]TRIANGVLA SCHOLIVM.

EX hoc theoremate ab$oluemus $equentia tria problemata.

I.

IN triangulo $phærico rectangulo, dato alterutro arcuum circa angulum rectum, cum angulo non recto adiacente, inuenire arcum recto angulo oppo$itum, & reliquum arcum circa angulum rectum, cum reliquo angulo non recto.

IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, datus $it arcus AC, & angulus A. Dico dari quoq; arcum AB, cum arcu BC, & angulo B. Cum enim $it, vt $inus totus ad $inũ complementi anguli A, <007>ta tangens arcus AB, ad tangentem arcus AC; 45. huius. Et conuertendo, vt $inus complementi anguli A, ad $inum totum, ita tangens arcus AC, ad tangentem arcus AB:

SI fiat, vt $inus complementi anguli dati Praxis. ad $inum totum, ita tangens arcus dati ad aliud, reperietur tangens arcus recto angulo oppo$iti, qui quæritur. Ex arcu vero AB, & angulo A, inuenietur arcus BC, per problema 2. propo$. 41. Et ex arcubus AB, AC, angulus B, arcui AC, oppo$itus, per problema 1. eiu$dem pro- po$. 41.

ITA autem $ciemus, an arcus quæ$itus AB, $it quadrante maior, an minor. Si datus angulus A, fuerit acutus, erit arcus BC, quadrante minor. Si ergo datus arcus AC, 34. huius. $it quoq; minor, erit & arcus AB, minor quadrante, Si vero AC, $it quadrante ma- 35. huius. ior, erit & AB, maior. At $i datus angulus A, $uerit, obtu$us, erit arcus BC, qua- 34. huius. drante maior: Si ergo datus arcus AC, $it quoque maior, erit arcus AB, minor qua- 35. huius. drante; Si vero AC, $it minor quadrante, erit AB, ma<007>or.

II.

IN triangulo $ph{ae}rico rectangulo, dato alterutro arcuum circa angulum rectum, cum arcu, qui recto angulo opponitur, inue$tigare angulum à dictis arcubus comprehen$um, hoc e$t, arcui, qui circa angulum rectum datus e$t, adiacentem, cum reliquo arcu, & angulo.

IN eodem triangulo dati $int arcus AC, AB. Dico dari etiam angulum A, cum 45. huius. arcu BC, & angulo B. Quoniam enim e$t, vt $inus totus ad $inum complementi angu li A, ita tangens arcus AB, ad tangentem arcus AC: Hoc e$t, vt tangens arcus AB, ad tangentem arcus AC, ita $inus totus ad $inum complementi anguli A:

SI fiat, vt tangens arcus recto angulo oppo$iti ad tangentem dati Praxis. arcus circa rectum angulum, ita $inus totus ad aliud, procreabitur $inus complementi anguli quæ$iti. Hinc reliqua inuenientur, vt in præcedenti problemate.

[439]SPHAERICA.

VTRVM vero angulus A, quæ$itus $it acutus, obtu$usue, ita di$cemus. Si arcus AB, recto angulo oppo$itus fuer<007>t quadrante minor, er<007>t vterq; arcus AC, BC, vel 36. huius. minor quadrante, vel maior. Si ergo datus arcus AC, $it minor, erit quoque BC, mi- nor, ac proinde angulus A, acutus; $i vero AC, $it quadrante maior, erit & BC, 34. huius. maior, ac propterea angulus A, obtu$us. At $i arcus AB, fuerit quadrante ma<007>or, erit 36. huius. alter reliquorum arcuum maior, & alter minor: Si <007>g<007>tur datus arcus AC, $it ma- 34. huius. ior, erit BC, minor, propterea\’q; angulus A, acutus; Si vero AC, $it quadrante mi- nor, erit BC, maior, & angulus A, obtu$us:

III.

IN triangulo $phærico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo opponitur, cum alterurro angulorum non rectorum, inuenire arcum huic angulo adiacentem, cum reliquo arcu, & angulo.

IN eodem triangulo datus $it arcus AB, cum angulo A. Dico dari quoq; arcum AC, &c. Nam cum $it, vt $inus totus ad $inum complementi anguli A, ita tangens 45. huius. arcus AB, ad tangentem arcus AC:

SI fiat, vt $inus totus ad $inum complementi anguli dati, ita tangens Praxis. arcus recto angulo oppo$iti ad aliud, producetur tangens arcus quæ$iti. Reliqua inuer. ientur, vt in primo problemate huius propo$.

NVM autem quæ$itus arcus AC, $it minor quadrante, maiorue, hinc cogno$ce- mus. Si arcus AB, angulo recto oppo$itus fuerit minor quadrante, erit vterq; angu- lus A, B, vel acutus, vel obtu$us. Quare $i datus angulus A, $it acutus, erit quoque 38 huius. B, acutus, atque adeo arcus AC, quadrante minor; Si vero A, $it obtu$us, erit & 34 huius. B, obtu$us, ideo\’q; arcus AC, quadrante maior. At $i arcus AB, $uuerit maior qua- drante, erit alter reliquorum angulorum acutus, & alter obtu$us. Siergo A, datus 38. huius. $it acutus, erit B, obtu$us, & <007>dc<007>rco arcus AC, quadrante maior; S<007> vero A, $it 34. huius. obtu$us, erit B, acutus, & arcus AC, quadrante minor.

THEOR. 44. PROPOS. 46.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cu- ius omnes arcus quadrante $int minores: $inus to- tus ad $inum complementi vtriu$uis angulorum acutorum eandem proportionem habet, quam tangens complementi arcus circa angulum rectũ dicto angulo adiacentis ad tangentem comple- menti arcus recto angulo oppo$iti.

IN triangulo ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, $it angulus B, rectus. Dico ita e$$e $inum totum ad $inũ complem\~eti anguli A, vt e$t tangens [440]TRIANGVLA complementi arcus AB, ad tangentem complementi arcus AC. Facta namque con$tructione, vt in pr{ae}ced\~eti propo$. quoniam duo circuli maximi in $phæra BF, DF, $e mutuo $ecãt in F, producti\’q; $unt ex pũctis B, C, arcus BF, ad arcum DF, arcus perpendiculares BD, CE; erit, vt $inus totus quadrantis DF, ad rangentem arcus BD, ita $inus arcus EF, ad tangentem arcus CE: Et Theor. 6. $cholij 40. huius. permutando, vt $inus totus ad $inũ arcus EF, hoc e$t, ad $inum complementi anguli A, ita tangens arcus BD, hoc e$t, ita tangens com- plementi arcus AB, ad tangentem arcus CE, hoc e$t, ad tangent\~e complementi arcus AC. Non aliter demon$trabimus, ita e$$e $inum to tum ad $inum complementi anguli C, vt e$t tangens complementi arcus BC, ad tangentem complementi arcus AC, $i ni- mirum arcus CB, CA, angulum C, continentes producantur, &c. In omni igitur triangulo $phærico rectangulo, &c. Quod demon$trandum erat.

SCHOLIVM.

INFEREMVS hinc problema $equens, quod quamuis in problemate prima antecedentis propo$. demon$tratum quoque $it, facilius tamen hic ab$oluitur, cùm <007>n aurea regula primum locum $ortiatur $inus totus.

IN triangulo $phærico rectangulo, dato alterutto arcuum cir- ca angulum rectum, cum angulo non recto adiacente, inuenire ar- cum recto angulo oppo$itum, vnà cum reliquo arcu circa angulum rectum, & reliquo angulo non recto.

IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, datus $it arcus AC, cum angulo A, $ib<007> adiacente. Dico dari quoque arcum AB, vnà cum arcu BC, & angulo B. Nam cum $it, vt $inus totus ad $inum complementi angu- li A, ita tangens complement<007> arcus AC, ad tangentem 46. huius. complementi arcus AB:

SI fiat, vt $inus totus ad $inum complemen- Praxis. ti anguli dati, ita tangens complementi arcus da- ti ad aliud, producetur tangens complementi ar- cus recto angulo oppo$iti, qui quæritur. Reliqua inuenientur, vt in pro- blemate 1. propo$itionis antecedentis dictum e$t.

ARCVM autem AB, quæ$itum e{$s}e quadrante minorem, maioremve, cogno$ce- mus, vt in dicto problemate 1. $uperioris propo$. o$tendimus.

THEOR. 45. PROPOS. 47.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cuius omnes arcus quadrante $int minores: $inus totus [441]SPHAERICA. ad $inum complementi arcus recto angulo oppo- $iti eandem proportionem habet, quam tangens vtriusvis angulorum non rectorum ad tangentem complementi reliqui anguli.

IN triangulo ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, $it angulus B, rectus. Dico, ita e$$e $inum totum ad $inum complementi arcus AC, vt e$t tangens anguli C, ad tangentem complementi anguli A. Facta con$tru- ctione, vt in propo$. 45. producto\’q; arcu CE, ad G, vt CG, $it quadrans, de$cribatur ex polo C, ad interual lum quadran tis CG, arcus circuli maximi GH, $ecans ar- cus CF, EF, productos in I, H: erit\’q; CI, qua- drans quoque; cum circulus GH, à polo C, ab- Coroll. 16. 1. Theod. 25. huius. $it quadrante. Arcus item GH, EH, quadran- tes erunt, propter rectos angulos G, E. E$t enim angulus E, rectus, vt propo$. 45. o$ten$um e$t; at G, rectus e$t, propterea quòd circulus CG, ad circulum GH, rectus e$t. Rur$us IG, ar- 15.1. Theod. cus e$t anguli C; & CE, complementum arcus AC, recto angulo oppo$iti; & FE, complementum arcus DE, id e$t, anguli A. Quoniam igitur duo cir- culi maximi CG, CI, in $phæra $e inter$ecant in C, ducti\’q; $unt ex arcus CI, punctis F, I, ad arcum CG, arcus perpend<007>culares FE, IG; erit, vt $inus to- Theor. 6. $chol<007>j 40. huius. tus quadrantis CG, ad tangentem arcus IG, hoc e$t, anguli C, ita $inus ar- cus CE, hoc e$t, complementiarcus AC, ad tangentem arcus FE, hoc e$t, complementi anguli A: Et permutando erit, vt $inus totus ad $inum comple- mentiarcus AC, recto angulo oppo$iti, ita tangens anguli C, ad tangentem complementi anguli A. Similimodo, aliter con$tructa figura, demon$trabi- mus, ita e$$e $inum totum ad $inum complementi arcus AC vt e$t tangens anguli A, ad tangentem complementi anguli C. In omni igitur triangulo $phærico rectangulo, &c. Quod o$tendendum erat.

SCHOLIVM.

EX hoc theoremate $equens problema colligitur.

IN triangulo $phærico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo opponitur, cum alterutro angulorum non rectorum, inuenire alte- rum angulum non rectum, & duos arcus circa angulum rectum.

IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, datus $it arcus AB, cum angulo B. Dico dari quoque reliquum angulum A, & duos arcus AC, CB. Cum enim $it, vt 47. huius. $inus totus ad $inum complementi arcus AB, ita tangens anguli B, ad tangentem complementi anguli A:

SI fiat, vt $inus totus ad $inum complementi Praxis. arcus recto angulo oppo$iti, & dati, ita tangens anguli dati ad aliud, reperietur tangens comple- [442]TRIANGVLA menti anguli quæ$iti. Hincex arcu AB, & vtroque angulo B, A, vter- que arcus AC, CB, inuenietur, vt in 2. proble- mate propo$. 41. o$tendimus.

AN vero angulus quæ$itus A, acutus $it, obtu$usve, di$cemus exarcu dato AB, & dato angulo B. Nam $i AB, e$t quadrante minor, & angulus B, acutus quidem, erit 38. huius & A, acutus; $i autem B, e$t obtu$us, erit & A, obtu$us. At $i AB, e$t maior quadrante, & B, quidem acutus, erit A, obtu$us; $i vero B, e$t obtu$us, erit A, acutus.

THEOR. 46. PROPOS. 48.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cuius omnes arcus quadrante $int minores: Sinus totus ad $inum vtriusvis arcuum circa angulum rectum eandem habet proportionem, quam tangens com plementi alterius arcus circa angulum rectum ad tangentem complementi anguli oppo$iti.

IN triangulo $phærico ABC, cuius omnes arcus minores quadrante, $it rectus angulus B. Dico ita e$$e $inum totum ad $inum arcus AB, vt e$t tangens complementi arcus BC, ad tangentem com- plementi anguli A. Facta enim con$tructio- ne, vt in propo$. 45. erit angulus D, rectus, & CF, complementum arcus BC; & EF, com plementum anguli A; & AD, quadrans, vt ibi o$ten$um e$t. Quoniam igitur duo circuli ma- ximi AD, AE, in $phæra $e mutuo $ecãt in A, ducti\’q; $unt ex punctis C, E, ad arcum AD, arcus perpendiculares CB, ED; erit, vt $inus totus quadrantis AD, ad tangentem arcus Theor. 6. $cholij 40. huius. DE, ita $inus arcus AB, ad tangentem arcus BC: Et permutando, vt $inus totus ad $inum arcus AB, ita tangens arcus DE, ad tangen- tem arcus BC. E$t autem, (cum CF, EF, $int complementa arcuum BC, DE,) vt tangens arcus DE, ad tangentem arcus BC, ita tangens arcus CF, ad tan 81. Sinuũ gentem arcus EF. Igitur erit quoque, vt $inus totus ad $inum arcus AB, ita tangens arcus CF, hoc e$t, complementi arcus BC, ad tangentem arcus EF, hoce$t, complementi anguli A, arcui BC, oppo$iti. Non aliter o$tendemus, $i aliter figura con$truatur, ita e$$e $inum totum ad $inum arcus BC, vt e$t tan gens complementi arcus AB, ad tangentem complementi anguli C. In omni triangulo ergo $phærico rectangulo, &c. Quod demon$trandum erat.

[443]SPHAERICA. SCHOLIVM.

INFERTVR ex theoremate hoc $equens problema: quod licet demon$tratum quoque $it problemate 2. propo$. 44. facilius tamen hic ab$oluitur, cumin aurea re- gula $inus to tus primum obtineat locum.

IN triangulo $phærico rectangulo, datis duobus arcubus circa angulum rectum, vtrumlibet angulorum non rectorum, vnà cum arcu reliquo, qui angulo recto opponitur, <007>ndagare.

IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, $int dati duo arcus AC, CB. Dico vtrumuis angulo- rum A, B, & arcum AB, quoque dari. Nam cum $it, vt $inus totus ad $inum arcus AC, ita tangens comple- 48. huius. menti arcus CB, ad tangentem complementi anguli A. Item vt $inus totus ad $inum arcus CB, ita tan- gens complement<007> arcus AC, ad tangentem complemen ti angul<007> B:

SI fiat, vt $inus totus ad $inum vtrius vis arcuum circa angulum re- Praxis. ctum, ita tangens complementi alterius arcus circa rectum angulum ad aliud, reperietur tangens complementi anguli huic po$terioriarcui oppo- $iti. Ex datis quoque duobus arcubus circa angulum rectum cogno$cetur & tertius arcus angulo recto oppo$itus, vt in problemate propo$. 43. o$ten dimus. Vel certe ex dato vtrolibet arcu, & angulo, qui ei opponitur, in- uento, vt in problemate 3. propo$. 41. traditum e$t.

VTRVM autem angulus quæ$itus $it acutus, obtu$usve, docebit arcus ei oppo- $itus. Hic enim $i minor fuerit quadrante, erit angulus ei oppo$itus, acutus; $i vero 34. huius. maior, obtu$us.

THEOR. 47. PROPOS. 49.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cu- ius omnes arcus $int minores quadrante: $inus to- tus ad tangentem vtriusvis arcuum circa angulum rectum eandem proportionem habet, quam tan- gens complementi anguli oppo$<007>ti ad $inum alte- rius arcus circa rectum angulum.

IN $phærico triangulo ADE, cuius arcus omnes quadrante minores, $it angulus D, rectus. Dico ita e$$e $inum totum ad tangentem arcus DE, vt e$t [444]TRIANGVLA tangens complementi anguli A, ad $inum arcus AD. Repetita enim con$tru- ctione figuræ propo$. 45. erunt AB, AC, quadrantes, & CF, complementum arcus BC, id e$t, anguli A, vt ibi o$ten$um e$t. Igitur quoniam quadrantes $unt AB, AC, & arcus ED, ad AB, perpendicularis; erit, vt $inus totus ad tangentem arcus ED, ita tangens complementi arcus CB, hoc e$t, Theor. 7. $cholij 40. huius. anguli A, ad $inum arcus AD. Eodem mo do o$tendetur, ita e$$e $inum totum ad tan gentem arcus AD, vt e$t tangens comple- menti anguli E, ad $inum arcus DE: $i ni- mirum aliter figura con$truatur. In omni ergo triangulo$phærico rectangulo, &c. Quod erat demon$trandum.

SCHOLIVM.

HINC tale problema colligitur, quod per problema 1. propo$. 44. alio modo ab- $elui quoque potest.

IN triangulo $phærico rectangulo, dato alterutro arcuum circa angulum rectum, cum angulo oppo$ito, reliquum arcum circa re- ctum angulum, & arcum recto angulo oppo$itum, cum reliquo an- gulo non recto inquirere: $i modo con$tet, num arcus quæ$itus $it maior quadrante, minorve: Vel an reliquus angulus non rectus $it acutus, obtu$usve.

IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, datus $it arcus AC, cum angulo oppo$ito B. Dico dari quoque arcum BC, &c. Cumenim $it, vt $inus totus ad tangentem arcus AC, ita tangens 49.huius. complementi anguli B, ad $inum arcus BC:

SI fiat, vt $inus totus ad tangentem datiar- Praxis. cus, ita tangens complem\~eti anguli dati ad aliud, producetur $inus arcus quæ$iti. Ex duobus por- ro arcubus circa rectum angulum cognitis in co- gnitionem reliqui arcus, & reliqui angulinon re- cti perueniemus, vt in problemate propo$. 43. demon$trauimus; vel cer- te ex alterutro arcuum circa angulum rectum, & dato angulo, vt in pro- blemate 2. propo$. 42. docuimus.

OPORTET autem hic con$tare, num arcus quæ$itus BC, $it quadrante maior, minor ve; vel an angulus A, reliquus $it acutus, obtu$us ve: quemadmodũ in po$teriore parte problematis 1. propo$. 44. traditum e$t: Vbi etiam error\~e Copernic<007> deteximus.

THEOR. 48. PROPOS. 50.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cuius [445]SPHAERICA. omnes arcus quadrante $int minores: $inus totus ad tangentem complementi vtriusvis angulorum non rectorum habet proportionem eãdem, quam tangens complem\~eti reliqui anguli ad $inum com plementi arcus recto angulo oppo$iti.

IN triangulo ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, $it angulus B, rectus. Dico ita e$$e $inum totum ad tangentem complementi anguli A, vt e$t tangens complementi anguli C, ad $inum complementi arcus AC. Repe- tita namq; figura propo$. 47. cum CG, CI, qua- drãtes $int $e inter$ecãtes in C, & arcus IG, FE, ad CG, perpendiculares, vt ex con$tructione ibi- dem facta per$picuum e$t; erit, vt $inus totus ad Theor. 7. $cholij 40, huius. tangentem arcus EF, qui complementũ e$t arcus DE, hoc e$t, anguli A, ita tangens complementi arcus IG, id e$t, anguli C, ad $inum arcus CE, hoc e$t, complementi arcus AC, recto angulo oppo$iti. Simili ratione o$tendemus, $i aliter figuræ con$tructio in$tituatur, ita e$$e $inum totum ad tangentem complementi anguli C, vt e$t tangens com plementi anguli A, ad $inum complementi arcus AC. Quam ob rem in omni triangulo $phærico rectangulo, &c. Quod demon$trandum erat.

SCHOLIVM.

INFEREMVS ex hac propo$. theorema $equens.

IN triangulo $phærico rectangulo, datis duobus angulis non re- ctis, inquirere arcum angulo recto oppo$itum, & reliquos duos ar- cus circa angulum rectum.

IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, dati $int duo anguli non rect<007> A, B. Dico dari quoque arcum AB, vnà cum arcubus AC, BC. Quoniam enim e$t, vt $inus totus ad tangentem complementi anguli A, ita tan- 50. huius. gens complementi anguli B, ad $inum complementi ar- cus AB:

Praxis.

SI fiat, vt $inus totus ad tangentem comple- menti vtriusvis angulorum datorum, ita tangens complementi alterius dati anguli ad aliud, procre abitur $inus complemen ti arcus recto angulo oppo$iti. Iam ex arcu, qui recto angulo opponitur, & vtrolibet angulorum non rectorum, inuenietur arcus ei oppo$itus, vt in 2. problemate propo$. 41. mon$tr auimus.

PORRO an arcus quæ$itus quadrante $it maior, aut minor, ita di$cemus. Si vterq; angulorum A, B, fuerit obtu$us, vel acutus, erit arcus AB, quadrante minor, 37. huius. $i vero alter eorum acutus fuerit, et alter obtu$us, erit idem arcus quadrante maior.

[446]TRIANGVLA THEOR. 49. PROPOS. 51.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cuius arcus omnes $int minores quadrante: $inus totus ad tangentem complementi arcus recto angulo oppo$<007>ti proportionem habet eandem, quam tan gens vtriusvis arcuum circa angulum rectum ad $inum complementi anguli non recti adiacentis.

IN triangulo $phærico ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, re- ctus $it angulus B. Dico ita e$$e $inum totum ad tangentem complementi ar- cus AC, vt e$t tangens arcus AB, ad $inum complementi anguli A. Repetita namq; con- $tructione figuræ propo$. 45. erunt AD, AE, quadrantes, & anguli D, E, recti, necnon & BF, DF, quadrantes, vt ibi e$t o$ten$um. Quia igitur in $phæra arcus DB, per extremi- tates quadrantum BF, DF, $e$e in F, $ecan- tium ducitur, & CE, ad DF, perpendicularis e$t; erit vt $inus totus ad tangent\~e arcus CE, Theor. 7. $cholij 40. huius. qui complementum e$t arcus AC, recto angu- lo oppo$iti, ita tangens complementi arcus DB, hoc e$t, tangens arcus AB, ad $inum ar- cus EF, qui complementum e$t arcus DE, $eu anguli A. Non aliter demon$trabitur, ita e$$e $inum totum ad tangen tem complementi arcus AC, vt e$t tangens arcus BC, ad $inum complementi anguli C, $i aliter in$tituatur con$tructio figuræ. Quocirca in omni triangulo $phærico rectangulo, &c. Quod erat o$tendendum.

SCHOLIVM.

ORITVR ex hoc theoremate problema huiu$modi, quod problemate 2. propo$. 45. declaratum quoque fuit.

IN triangulo $phærico rectangulo, dato arcu, quirecto angulo opponitur, cum alterutro arcuum circa eundem rectum angulum, reperire angulum non rectum huic arcui adiacentem, hoc e$t, à da- tis arcubus comprehen$um, cum reliquo arcu, & angulo non recto.

IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, datus $it arcus AB, cum arcu AC. Dico dari quoque angulum A, cum arcu BC, & angulo B. Quoniam enim e$t, vt $inus totus ad tangentem complementi arcus AB, ita tan- 51.huius. gens arcus AC, ad $inum complementi anguli A:

SI fiat, vt $inus totus ad tangentem comple- Praxis. menti arcus recto angulo oppo$iti, ita tangens da- [447]SPHAERICA. ticrcus circa rectum angulum ad aliud, inuenietur $inus complementi an- g@l adiacentis, qui quæritur. Hinc reliqua inuenientur, vt in problema- te 1. propo$. 45. traditum est.

NVM vero quæ$itus angulus acutus $it, nec ne, addi$cemus, vt in problemate 2. propo$. 45. docuimus.

THEOR. 50. PROPOS 52.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cu- ius omnes arcus quadrante $int minores: $inus to- tus ad $inum vtriusv<007>s angulorum non rectorum habet proportionem eandem, quam $ecans alte- rius anguli non recti ad $ecantem arcus huic angu lo oppo$iti.

IN triangulo $phærico ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, $it angulus B, rectus. Dico ita e$$e $inum totum ad $inum anguli A, vt e$t $ecans anguli C, ad $ecantem arcus AB. Facta con$tructione, vt in propo$. 47. erunt GH, HE, AE, AD, DF, quadrantes, & GI, arcus anguli C, & DE, ar- cus anguli A, vt partim in propo$. 45. partim vero in 47. o$ten$um e$t. Item angulus I, rectus erit, propterea quòd arcus CI, tran$iens per C, polum arcus GH, rectus e$t 15. 1. Theod. ad GH. Itaque quonlam duo circuli maximi BI, DH, in $phæra $e mutuo $ecant in F, & ex punctis D, H, arcus DH, ad arcum BI, ducti $unt arcus perpendiculares DB, HI; erit, vt $i- Theor. 8. $cholij 40. huius. nustotus quadrantis DF, ad $ecantem arcus GI, qui complementum e$t arcus HI, ita $inus arcus FH, ad $ecantem arcus AB, qui complementum e$t arcus DB: Et per- mutando, vt $inus totus ad $inum arcus FH, vel arcus DE, ($unt enim arcus FH, DE, æquales, quod & toti quadrantes EH, DF, æquales $int) hoc e$t, anguli A, ita $ecans arcus GI, id e$t, anguli C, ad $ecantem arcus AB, angu- lo C, oppo$iti. Pari ratione, $i aliter con$truatur figura, demon$trabimus, ita e$$e $inum totum ad $inum anguli C, vt e$t $ecans anguli A, ad $ecantem arcus BC. In omni ergo triangulo $phærico rectangulo, &c. Quod erat o$tendendũ.

SCHOLIVM.

ELICITVR hinc $equens problema, quod aliter etiam in probl. 1. $chol{ij} propo$. 42. $olutum fuit.

IN triangulo $phærico rectangulo, datis duobus angulis non re- ctis, elicere arcum vtrilibet eorum oppo$itum, vnà cum arcu, qui recto angulo opponitur.

[448]TRIANGVLA

IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, dati $int duo anguli A, B. Dic@ dari quoque vtrumuis arcuum BC, AC, vnà cum arcu 52. huius. AB. Nam cum $it, vt $inus totus ad $inum anguli A, ita $ecans anguli B, ad $ecantem arcus AC: Item, vt $inus totus ad $inum angult B, ita $ecans anguli A, ad $ecan- tem arcus BC;

SI fiat, vt $inus totus ad $inum anguli non re Praxis. cti quæ$ito lateri adiacentis, ita $ecans alterius anguli non recti ad aliud, reperietur $ecans arcus huic po$teriori angulo oppo$iti, qui quæritur. In- uento autem vtroque arcu circa angulum rectum, reperietur ex ip$is ter- tius arcus recto angulo oppo$itus, vt in problemate propo$. 43. o$tendi- mus: Vel certe ex inuento alterutro arcu, & angulo dato, quiei opponi- tur, vt in problemate 3. propo$. 41. diximus.

NVM vero duo arcus quæ$it<007> circa angulum rectum minores quadrante $int, ma- isresve, $ciemus, vt in problemate 1. propo$. 42. docu<007>mus.

THEOR. 51. PROPOS. 53.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cuius omnes arcus quadrante minores $int: $inus totus ad $inum complementi vtriusvis arcuum circa an gulum rectum habet eandem proportion\~e, quam $ecans arcus recto angulo oppo$<007>ti ad $ecantem re- liqui arcus.

IN triangulo $phærico ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, $it angulus B, rectus. Dico ita e$$e $inum totum ad $inum complementi arcus BC, vt e$t $ecans arcus AC, ad $ecantem ar- cus AB. Facta namque con$tructione figuræ, vt in propo$. 45. erit BF, quadrans; CE, BD, ad DF, perpendiculares, vt ibi e$t demon- $tratum. Quia ergo in $phæra duo circuli ma- ximi BF, DF, $e mutuo $ecant in F, ducti\’q; $unt ex punctis B, C, ad DF, perpendiculares arcus BD, CE; erit, vt $inus totus quadran- tis BF, ad $ecantem complementi arcus CE, Theot. 8. $chol<007>j 40. huius. hoc e$t, ad $ecantem arcus AC, ita $inus ar- cus FC, qui complementum e$t arcus BC, ad $ecantem complementi arcus BD, hoc e$t, ad $ecantem arcus AB: Et permutando, vt $i- custotus ad $inum complementi arcus BC, ita $ecans arcus AC, ad $ecantem [449]SPHAERICA. arcus AB. Simili modo o$tendemus, ita e$$e $inum totum ad $inum comple- menti arcus AB, vt e$t $ecans arcus AC, ad $ecantem arcus BC, $i nimitum figura paulo aliter con$truatur. In omni ergo triangulo $phærico rectangu- lo, &c. Quod erat demon$trandum.

SCHOLIVM.

SEQVENS problema ex hoc theoremate colligitur.

IN triangulo $phærico rectangulo, dato arcu, quirecto angulo opponitur, cum alterutro arcuum circa rectum angulum, inue$tiga- re tertium arcum, cum duobus angulis non rectis.

IN triangulo ABC, cu<007>us angulus C, rectus, datus $it arcus AB, vnà cum ar- cu AC. Dico dar<007> quoque arcum BC, cum angul<007>s A, B. Camen<007>m$it, vt $inus totus ad $inum complementi arcus 53. huius. AC, ita $ecans arcus AB, ad $ecantem arcus BC:

SI fiat, vt $inus totus ad $inum complementi Praxis. dati arcus circa angulum rectum, ita $ecans arcus angulo recto oppo$iti ad aliud, producetur $ecans tert{ij} arcus, qui inquiritur. Hinc ex duobus ar- cubus circa rectum angulum cognitis, vterlibet angulorum non rectorum cogno$cetur, vt in 5. problemate $chol{ij} propo$. 44. vel in problemate $chol{ij} propo$. 48. docuimus.

VTRVM vero quæ$itus arcus BC, $it quadrante maior, minorve, di$cemus eæ datis duobus arcubus, vt ad finem problematis $chol{ij} 1. propo$. 43. traditum e$t.

THEOR. 52. PROPOS. 54.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cu- ius omnes arcus quadrante $int minores: $inus to- tus ad $inum vtriu$libet angulorum non rectorum proportionem habet eandem, quam $ecans com- plementi arcus illi angulo oppo$<007>ti ad $ecantem complementi arcus recto angulo oppo$<007>ti.

IN triangulo ABC, cuius arcus omnes $int minores quadrante, $it angu- lus B, rectus. Dico ita e$$e $inum totum ad $inum anguli A, vt e$t $ecans com- plementi arcus BC, ad $ecantem complementi arcus AC. Repetita enim con$tructione figuræ propo$. 47. erit angulus I, rectus, vt in propo$. 52. mon$tratum e$t; necnon & angulus G. Item GH, EH, DF, BF, AE, qua- drantes, vt ex demon$tratis in propo$. 45. & 47. con$tat. Quia igitur in $phæra [450]TRIANGVLA duo circuli maximi EH, GH, $e mutuo $ecant in H, & ex punctis E, F, arcus EH, ad arcum GH, ducti $unt arcus perpendiculares EG, FI; erit, vt $inus totus quadrantis EH, ad $ecant\~e complementi Theor. 8. $chol<007>j 40. huius. arcus FI, hoc e$t, ad $ecãtem arcus CF, qui com plementum etiam e$t arcus BC, ita $inus arcus FH, hoc e$t, arcus DE, (e$t enim arcus FH, ar- cui DE, æqualis, ob quadrantes EH, DF, æqua les) qui arcus e$t anguli A, ad $ecantem comple- menti arcus EG, id e$t, ad $ecantem arcus EC, qui complementum quoque e$t arcus AC: Et permutãdo, vt $inus totus ad $inum arcus DE, hoc e$t, anguli A, ita $ecans complementi arcus BC, ad $ecantem comple- menti arcus AC. Non $ecus o$tendemus, $i aliter figura con$truatur, ita e$$e $inum totum ad $inum anguli C, vt e$t $ecans complementi arcus AB, ad $ecantem complementi arcus AC. In omni igitur triangulo $phærico rectan- gulo, &c. Quod erat demon$trandum.

SCHOLIVM.

SEQVITVR ex hoc theoremate $equens problema, quod aliter etiam ab$ol- nimus in problemate. 3. propo$. 41.

IN triangulo $ph{ae}rico rectangulo, dato vtrolibet angulorum non rectorum, cum arcu oppo$ito, inue$tigare arcum recto angulo op- po$itum, vnà cum tertio arcu, & reliquo angulo non recto: dummo- do con$tet, num arcus angulo recto oppo$itus $it maior quadrante, minorve: aut an alter angulus non rectus $it acutus, obtu$usve.

IN triangulo ABC, rectum habente angulum C, datus $it angulus B, cum ar- cu AC. Dico dari quoque arcum AB, vnà cum arcu BC, & angulo A. Cum namque $it, vt $inus totus ad 54.huius. $inum angul<007> B, dati, ita $ecans complementi arcus da- ti AC, ad $ecantem complementiarcus AB:

SI fiat, vt $inus totus ad $inum dati anguli, Praxis. ita $ecans complementi dati arcus ad aliud, pro- ducetur $ecans complementi arcus recto angulo oppo$iti, qui inquir<007>tur. Ex arcubus vero AB, AC, cognitis notus fiet tertius arcus BC, ex problemate propo$. 43. Item ex arcubus AB, BC, notis cognitus fiet angulus A, ex problema- te 1. propo$. 41.

OPORTET autem hic con$tare, num arcus quæ$itus AB, $it quadrante ma- ior, an minor: Vel an reliquus angulus non rectus A, $it acutus, obtu$us ve, al<007>oquin ne$ciremus, qualis arcus pro AB, a$$umendus $it, cum po{$s}it e{$s}e maior quadrante, vel minor, vt per$picuum e$t. Id quod ad problema 3. propo$. 41. monuimus: Vbi etiam copernici, atque Ioan Regiom. errorem aperuimus.

[451]SPHAERICA. THEOR. 53. PROPOS. 55.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cu- ius omnes arcus minores quadrante $int: $inus to- tus ad $inum arcus recto angulo oppo$iti eandem proportionem habet, quam $ecans complementi vtriu$libet arcuum circa angulum rectum ad $ecã- tem complementi anguli huic arcui oppo$iti.

IN $phærico triangulo ABC, cuius omnes arcus $int minores quadrante, angulus B, rectus $it. Dico ita e$$e $inum totum ad $inum arcus AC, vt e$t $e- cans complementi arcus BC, ad $ecantem complementi anguli A, arcui BC, oppo$iti. Repetita enim con$tructione figuræ propo$. 45. erit AE, quadrans; DE, arcus anguli A, & EF, eius complementum; atque CF, com- plementum arcus BC, vt ibi demon$tratum e$t. Quia ergo in $phæra duo maximi circuli AE, AD, $e inter$ecant in A, & ex punctis Theor. 8. $cholij. 40. huius. C, E, arcus AE, ad arcum AD, ducti $unt per- pendiculares arcus CB, ED; erit vt $inus to tus quadrantis AE, ad $ecantem complemen ti arcus CB, hoc e$t, ad $ecantem arcus CF, ita $inus arcus AC, ad $ecantem complemen- ti arcus DE, $iue anguli A, id e$t, ad $ecan- tem arcus EF: Et permutando, vt $inus totus ad $inum arcus AC, ita $ecans complementi arcus BC, ad $ecantem complementi anguli A. Pari ratione, $i aliter figura extruatur, erit, vt $inus totus ad $inum arcus AC, ita $ecans com plementi arcus AB, ad $ecantem complementi anguli C. Quare in omni trian gulo $phærico rectangulo, &c. Quod erat o$tendendum.

SCHOLIVM.

EX his $equens problema di$$oluemus, quod alio quoque modo in problemate 1. propo$. 41. ab$olutum fuit.

IN triangulo $phærico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo opponitur, cum alterutro arcuum circa rectum angulum, inuenire angulum huic arcui oppo$itum, cum reliquo arcu, & angulo.

IN triangulo ABC, cuius rectus angulus C, datus $it tam arcus AB, quam AC. Dico dari quo que angulum B, vnà cum arcu B C, & angulo A. Quia enim e$t, vt $i- nus totus ad $inum arcus AB, ita $ecans complementi arcus AC, ad $ecantem com- 55. huius. plementi anguli B:

[452]TRIANGVLA

SI fiat, vt $inus totus ad $inum arcus angulo recto oppo$iti, ita $ecans @raxis. complementi arcus circa rectum angulum dati ad aliud, producetur $e- cans complementi anguli quæ$iti, qui dicto arcui opponitur. Iam ex da- tis duobus arcubus tertium inueniemus, vt in problemate propo$. 43. vel in problemate propo$. 53. tradidimus. Item ex arcu, qui recto angulo opponitur, & hoc arcu inuento, reperiemus reliquum angulum huic inuen to arcui oppo$itum, vt dictum e$t in hoc problemate, vel certe, vt in pro- blemate 1. propo$. 41. o$tendimus.

AN vero quæ$itus angulus B, acutus $it, an obtu$us, docebit arcus AC, circa an- gulum rectum datus, vt in problemate 1. propo$. 41. præcepimus.

THEOR. 54. PROPOS. 56.

IN omni triangulo $phærico rectangulo, cu- ius arcus $int omnes quadrante minores: $inus to- tus ad $inum complementi vtriu$l<007>bet arcuum cir ca rectum angulum eandem proportionem ha- bet, quam $ecans anguli huic arcui oppo$iti ad $e- cantem complementi reliqui anguli non recti.

IN triangulo $phærico ABC, angulum B, rectum habente, $int omnes ar- cus quadrante minores. Dico ita e$$e $inum totum ad $inũ complementi ar- cus BC, vt e$t $ecans anguli non recti A, ad $ecantem complementi anguli C. Repetita enim con$tructione figuræ propo$. 47. erunt anguli G, E, re- cti, & arcus BF, DF, CI, EH, GH, quadran- tes, & DE, arcus anguli A, & GI, arcus anguli C, vt ex demõ$tratis in propo$. 45. & 47. l<007>quet. Igitur quia duo maximi in $phæra circuli CG, Theor 8. $cholij 40. huius. CI, $e in C, inter$ecant, ducti\’q; $unt ex pun- ctis F, I, arcus CI, ad arcum CG, arcus perpen- diculares FE, IG; erit, vt $inus totus quadran tis CI, ad $ecantem complementi arcus FE, hoc e$t, ad $ecantem arcus DE, anguli A, ita $inus arcus CF, qui complementum e$t arcus BC, ad $ecantem complementi arcus GI, anguli C: Et permutando, vt $inus totus ad $inum complementi arcus BC, ita $ecans anguli A, ad $ecantem complementi anguli C. Non $ecus o- $tendemus, $i aliter con$truatur figura, ita e$$e $inum totum ad $inum comple menti arcus AB, vt e$t $ecans anguli C, ad $ecantem complementi anguli A. Quapropter in omni triangulo $phærico rectangulo, &c. Quod demon$tran- dum erat.

SCHOLIVM.

INFERTVR hinc problema huiu$modi.

[453]SPHAERICA.

IN triangulo $phærico rectangulo, dato vtrouis arcuum circa an- gulum rectum, cum angulo non recto oppo$ito, inquirere teliquum angulum non rectum, & iu$uper reliquos duos arcus: modo con$ter, an quæ$itus angulus $it acutus, obtu$usve: Vel certe, an alter arcus circa angulum rectum $it minor quadrante, an maior.

IN triangulo ABC, angulum C, rectum habente, datus $it arcus AC, cum an- gulo B. Dico dari quoque engulum A, cum arcubus BC, AB. Cum enim $it, vt $inus totus ad $inum complementi arcus AC, dati, ita $ecans angul<007> dati B, ad $ecantem 56. huius. complementi anguli A:

SI fiat, vt $inus totus ad $inum complementi Praxis. arcus dati, ita $ecans dati anguli ad aliud, repe- rietur $ecans complementi anguli alterius non re- cti. Hinc ex duobus angulis non rect<007>s not<007>s inue- $tigabitur arcus recto oppo$itus angulo, vt in problemate propo$. 50. mon $trauimus, ac proinde & reliquus arcus, ex arcu, qui recto angulo oppo- nitur, & ex noto angulo, qui reliquo arcui opponitur, vt in problemate 2. propo$. 41. diximus.

OTORTET autem con$tare, an reliquus angulus non rectus, qui quæritur $it acutus, obtu$usve; vel, an reliquus arcus circa angulum rectum $it minor, aut maior quadrante, vt ad calcem problematis 2. propo$. 42. monuimus, vbi errorem etiam Nicolai Copernici deteximus.

QVONIAM vero ab$olutus iam e$t triangulorum $phæricorum rectangulorum calculus, libet hoc loco omnia problemata hactenus explicata in tabulam quandam referre, vt facilius quilibet id, quod maxime $cire de$iderat, po$sit inuenire. Itaque cum in omni triangulo $phærico rectangulo id, quod primo loco quæritur, $it vel ar- cus recto angulo oppo$itus, vel vterl<007>bet arcuum circa rectum angulum, vel denique alteruter angulorum non rectorum, (quamuis eo, quod poti$simum quæritur, inuen- to, cætera quoque reperiantur, vt ad praxes $ingulorum problematum monuimus) trimembrem tabulam, pro numero quæ$itorum, con$ecimus, appo$uimu$que problema- ta propo$itionum, in quibus inuentiones quæ$itorum demon$tratæ $unt.

Sequuntur problemata $uperiorum propo$i- tionum in trimembrem tabel- lam dige$ta. [454]TRIANGVLA Inuentio arcus recto angulo oppo$iti.

Quando datur {1. Arcus circa angulum rectum: Et an- \\ gulus non rectus ei oppo$itus. \\ 2. Vterque arcus circa angulum re- \\ ctum. \\ 3. Arcus circa angulum rectum: Et an- \\ gulus non rectus ei adiacens. \\ 4. Vterque angulus non rectus. Probl. 3. propo$. 41. \\ (& Probl. propo$. 54. \\ Probl. propo$. 43. \\ Probl. 1. propo$. 45. \\ (& Probl. propo$. 46. \\ Probl. propo$. 50.

Inuentio arcus vtriu$libet circa angu- lum rectum.

Quando datur {1. Arcus recto angulo oppo$itus: Et an- \\ gulus non rectus qu{ae}$ito arcui op- \\ po$itus. \\ 2. Vterq; angulus non rectus- \\ 3. Arcus recto angulo oppo$itus: Et al- \\ ter arcus c<007>rca rectum angulum. \\ 4. Arcus alter circa angulum rectum: \\ Et vteruis angulorum non recto- \\ rum. \\ 5. Arcus recto angulo oppo$itus: Et \\ angulus non rectus quæ$ito arcui \\ adiacens. \\ 6. Arcus alter circa angulum rectum: \\ Et alter angulus non rectus ei op- \\ po$itus. Probl. 2. propo$. 41. \\ Probl. 1. propo$. 42. \\ (& Probl. propo$. 52. \\ Probl. {pro}po$. 43. & 53. \\ Probl. 1. propo$. 44. \\ Probl. 3. propo$. 45. \\ Probl. propo$. 49. \\ (& Probl. 1. {pro}po$. 44.

[455]SPHAERICA. Inuentio anguli non recti vtriusvis.

Quando datur {1. Arcus recto angulo oppo$itus: Et \\ arcus circa angulum rectum qu{ae}- \\ $ito angulo oppo$itus. \\ 2. Arcus circa angulum rectum: Et \\ alter angulus non rectus. \\ 3. Vterq; arcus circa rectum angulum. \\ 4. Arcus recto angulo oppo$itus: Et \\ arcus circa rectum angulum qu{ae}- \\ $ito angulo adiacens. \\ 5. Arcus recto angulo oppo$itus: Et \\ alter angulus non rectus. \\ 6. Arcus circa angulum rectum quæ- \\ $ito angulo adiacens: Et alter an- \\ gulus non rectus huic arcui op- \\ po$itus: Probl 1. propo$. 41. & \\ (Probl. propo$. 55. \\ Probl. 2. propo$. 42. \\ Probl. 2. propo$. 44. \\ (& Probl. propo$. 48. \\ Probl. 2. propo$. 45. \\ (& Probl. propo$. 51. \\ Probl. propo$. 47. \\ Probl. propo$. 56. & \\ (Probl. 2. propo$. 42.

SED quia hactenus de eo $olum triangulo rectangulo egimus, cuius nullus ar- Quid agen dũ in trian gulo rectã- gulo, ĩ quo quadrãtes $unt. cuum quadrans e$t, doceamus breuiter, (rem quidem cuilibet perfacilem ex demon- $tratis) quo pacto nos gerere debeamus in eo, quod duos $altem arcus habet quadran tes, & duos angulos rectos. Nullum enim triangulum e$$e pote$t rectangulum, cuius vnus duntaxat arcus $<007>t quadrans, $ed vel nullus erit quadrans, vel omnes tres qua- Coroll. 38. huius. drantes erunt, vel duo, &c. Sit ergo triangulum $phæricum ABC, in quo angulus B, ponatur rectus, & arcus AB, circa angulum rectum quadrans. Hoc po$ito, erit & arcus AC, recto angulo oppo$itus, quadrans. Quare cum duo arcus AB, AC, 35. huius. quadrantes $int, erunt duo anguli B, C, recti; ac propte- 25. huius. rea A, polus erit arcus BC; & BC, arcus anguli A, ex Coroll. 26. huius. definitione 6. Igitur $i datus $it tert<007>us angulus A, datus etiam erit tert<007>us arcus BC: Et contra, $i datus $it ter- tius arcus BC, datus quoque erit tertius angulus A. Eo- dem modo, $i alter arcus BC, circa angulum rectum qua- drans ponatur, ostendemus & arcum AC, recto angulo oppo$itum quadrantem e$$e, & angulum A, rectum. S<007> ergo detur tertius angulus C, dabitur quoque tertius arcus AB, & contra, vt prius. Quòd $i quantitas tert{ij} angu- li, aut arcus datanon fuerit, nih<007>lcerti colligi poterit, licet duo al{ij} anguli recti $int, [456]TRIANGVLA duoque arcus illis oppo$iti, quadrantes, vt manife$tum e$t.

PONATVR iam arcus AC, recto angulo B, oppo$itus quadrans. Quo po$ito, 36. huius. erit & alter $altem arcuum AB, BC, circa angulum rectum quadrans. Quamobrem reliqua con$equentur, vt proxime demon$tratum e$t.

QVOD $i quando duo arcus AB, BC, c<007>rca angulum rectum quadrantes ponan 26. vel 35. huius. tur, erit quoque tertius arcus AC, recto angulo oppo$itus, quadrans. Quocirca cum omnes arcus quadrantes $int, erunt omnes anguli recti.

Coroll. 25. huius.

EX his facile quiuis intelliget, quid agere debeat, quando aliquis arcus in trian gulo rectangulo quadrans pon<007>tur: præ$ertim $i propo$. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. attente con$iderentur.

SEQVITVR iam, vt calculum triangulorum non rectangulorum tandem ex- ponamus: Verũ prius al<007>quot theoremata ad hanc rem perutilia demon$tranda $unt.

THEOR. 55. PROPOS. 57.

SI in triangulo $phærico $upra vnum arcum duo anguli acuti, aut obtu$i con$i$tant; Perpendi- cularis arcus à tertio angulo in eum arcum demi$- $us intra triangulum cadit. Si vero duorum angu- lorum $upra vnum arcum con$i$tentium vnus $it acutus, & obtu$us alter; Perpendicularis arcus à tertio angulo in eum arcum demi$$us extra trian- gulum cadit.

IN triangulo $phærico ABC, $int duo anguli B, C, $upra arcum BC, acu- ti, vel obtu$i. Dico arcum perpendicularem ex A, ad arcum BC, demi$$um cadere intra triangulum, cuiu$modi e$t arcus AD. Si enim dicatur cadere ex- tra, cadat, $i fieri pote$t, arcus AE, ad BC, arcum productum perpendicularis extra triangulum, & po nantur primum duo anguli B, C, acuti, ac proinde angulus ACE, obtu$us. Quoniam igitur in trian- gulo ACE, angulum E, habente rectum, angulus ACE, obtu$us e$t, erit arcus AE, quadrante ma- 34. huius. lor. Rur$us quia in triangulo ABE, habente angu- lum rectum E, angulus B, acutus e$t, erit arcus AE, 34. huius. quadrante minor: Sed & quadrante maior o$ten- $us e$t; quod e$t ab$urdum.

PONANTVR deinde anguli B, C, obtu$i, atque adeo angulus ACE, acutus. Quia ergo in triangulo ACE, habente rectum angulum E, angulus ACE, acutus e$t, erit arcus AE, minor quadrante. Rur$us quoniam in trian 34. huius. gulo ABE, rectum habente E, angulum, angulus B, obtu$us e$t, erit arcus AE, quadrante maior: Sed & quadrante minor o$ten$us e$t; quod e$t ab$ur- 34. huius. dum. Non cadit ergo arcus perpendicularis extra triangulum: $ed neque cum [457]SPHAERICA. altero arcuum AB, AC, coincidet, quòd neuter angulorum B, C, ponatur rectus. Cadit ergo intra triangulum.

IAM vero ponatur in eodem triangulo ABC, angulus B, acutus, & C, obtu$us. Dico perpendicularem arcum ex A, ad arcum BC, demi$$um extra triangulum cadere, cuiu$modi e$t arcus AE. Nam $i intra dicatur cadere, ca- dat, $i fi fieri pote$t, arcus AD, ad BC, perpendicularis intra triangulum. Ita- que quia in triangulo ACD, angulum rectum habente D, angulus C, obtu- $us e$t, erit arcus AD, maior quadrante. Rur$us cum in triangulo ABD, re- 34. huius. ctum habente angulum D, angulus B, acutus e$t, erit arcus AD, quadrante 34. huius. minor: Sed & quadrante o$ten$us e$t maior; quod e$t ab$urdum. Arcus ergo perpendicularis non cadit intra triangulum; $ed neque cum altero arcuum AB, AC, coincidit, cum neuter angulorum B, C, rectus ponatur. Cadit ergo extra triangulum. Quapropter, $i in triangulo $phærico $upra vnum arcum duo anguli acuti, &c. Quod erat demon$trandum.

THEOR. 56. PROPOS. 58.

IN omni triangulo $phærico, cuius duo arcus $int <007>næquales; quadratum $inus totius ad rectan- gulum $ub $inubus rectis duorum arcuum in{ae}qua lium contentum, eandem proportionem habet, quam $inus ver$us anguli à dictis arcubus compre- hen$i ad differentiam duorum $inuum ver$orum, quorum vnus differentiæ eorundem arcuum de- betur, alter vero tertio arcui, qui prædicto angulo oppo$itus e$t, re$pondet.

IN triangulo $phærico ABC, $int duo arcus AB, AC, in{ae}quales, ille minor, & hic maior. Dico ita e$$e quadratum $inus totius ad rectangulum $ub $inubus rectis arcuum AB, AC, contentum, vt e$t $inus ver$us anguli A, ad differentiam inter $inum ver$um arcus, quo arcus AB, AC, inter $e differunt, & $inum ver$um arcus BC. Cu- ius rei demon$trationem, vt cla- rior fiat, & generalior, in quin- decim ca$us diuidemus.

1. SINT omnes tres arcus quadrante minores. Complea- 1. ca$us. tur minoris arcus AB, circulus ABDGH, productis\’q; arcu- bus AC, BC, fiant quadrantes AL, BM; & polis A, B, inter- uallis autem quadrantum AL, BM, circuli maximi de$cribantur DLEF, GMEH: Et ei$dem polis, inter- [458]TRIANGVLA uallis autem AC, BC, circuli non maximi delineentur KCN, OCP, qui il- lis maximis paralleli erunt: & tam hi, quam illi ad circulum ABDGH, re- 2. 2. Theod. cti erunt, cum ille per horũ polos trã$iens ad <007>p$os $it rectus. Po$t hæc, vt con- 15. 1. Theo. fu$io vitetur, in circulo ABDGH, $eor$um de$cripto $int communes $ectio- nes ip$ius, & circulorum ex polis A, B, de$criptorum, nempe DF, GH, com- munes $ectiones ip$ius, & maximorum circulorum DLEF, GMEH, quæ ip$orum diametri erunt $e$e in centro $phæræ X, inter$ecantes: At KN, OP, communes $ectiones eiu$dem, & circulorum KCN, OCP, $e inter$ecantes in S; quæ ip$is DF, GH, parallelæ erunt; & diametri circulorum KCN, 16. vndec. OCP; quòd maximus circulus ABDGH, per eorum polos tran$iens eos bifariam $ecet, nimirum per eorum diametros. Ducantur quoque $emidiame- 15.1 Theod. tri AX, $ecans KN, in Y; & BX, $ecans KN, OP, in I, R. Eruntque $emi- diametri AX, BX, perpendiculares ad circulos per DF, KN, GH, OP, Schol. 10. ductos; cum ab eorum polis A, 1. Theod. B, ducantur per X, $phæræcen- trum: ac proinde anguli ad Y, & R, recti erunt, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. Ducantur denique ad BX, OP, perpendiculares AV, KQ, KT. Erit igitur, per ea, quæ in tractatione $inuum $crip$imus, AV, $inus rectus arcus AB; & KY, $inus rectus arcus AK, hoc e$t, arcus AC, cum arcus AK, AC, ex defin. poli, æquales $int, vt in primo circulo apparet. BR, erit $inus ver$us arcus BO, id e$t, arcus BC, cum arcus BO, BC, æquales $int, ex defin. poli. BQ, $inus ver$us erit arcus BK, qui differentia e$t arcuum inæqualium AB, AC, propterea quod, ex defin. poli, arcus AK, arcum AB, arcu BQ, $upe- rans, æqualis e$t arcui AC: ac proinde QR, vel KT, differentia erit inter BR, $inum ver$um tertij arcus BC, & BQ, $inum ver$um differentiæ arcuum inæ- qualium AB, AC, hoc e$t, $inum ver$um arcus BK. Po$tremo erit KS, $inus ver$us arcus KC, in circulo non maximo KCN, cum recta ex C, in commu- nes $ectiones c<007>rculorum KCN, OCP, cum circulo ABDGH, hoc e$t, in punctum S, cadens, (quæ quidem ad circulũ ABDGH, recta e$t, vtpote com- munis $ectio circulorum KCN, OCP, ad eundem circulum ABDGH, re- 19. vndec. ctorum) $inus rectus $it eiu$dem arcus KC. Sumatur quoque DZ, $inus ver- $us arcus DL, hoc e$t, anguli A, qui quidem arcus arcui KC, $imilis e$t. De- 10.2. Theo. mon$trandum igitur e$t, ita e$$e quadratum $inus totius, hoc e$t, rectangulum $ub DX, XA, contentum, ad rectangulum $ub $inubus rectis AV, KY, ar- cuum AB, AC, contentum, vt e$t $inus ver$us DZ, anguli A, ad KT, di$- fer entiam inter BR, $inum ver$um arcus BC, & BQ, $inum ver$um arcus BK, differentiæ arcuum inæqualium AB, AC. quod ita fiet.

QVONIAM angulus XIY, angulo RIS, æqualis e$t, & angulus re- 15. primi. ctus Y, angulo recto R; erit reliquus angulus IXY, trianguli IXY, reliquo 32. primi. angulo ISR, trianguli ISR, æqualis, hoc e$t, angulo ad verticem KST. Cum ergo & angulus rectus V, recto angulo T, æqualis $it, erit & reliquus angulus XAV, trianguli XAV, reliquo angulo SKT, trianguli SKT, æqualis Quam ob rem erit, vt XA, ad AV, ita SK, ad KT. Rur$us quia DZ, 4. $exti. [459]SPHAERICA. KS, $inus ver$i $unt arcuum $imilium DL, KC; erit, vt DX, ad KY, $inus totus ad $inum totum, ita DZ, ad KS, per lem ma propo$. 1. no$træ Gnomo- nices. Quia vero proportio rectanguli $ub DX, XA, ad rectangulum $ub KY, AV, componitur ex proportione DX, ad KY, hoc e$t, DZ, ad KS, & ex 23. $exti. proportione XA, ad AV: Et proportio DZ, ad KT, componitur ex ei$d\~e proportionibus, nempe (po$ita media recta KS) ex proportione DZ, ad KS, & ex proportione KS, ad KT, hoc e$t, ex proportione XA, ad AV; erit, vt rectangulum $ub DX, XA, id e$t, quadratum $inus totius, ad rectangulum $ub KY, AV, $inubus rectis arcuum inæqualium AC, AB, ita DZ, $inus ver $us anguli A, ad KT, differentiam inter BR, $inum ver$um arcus BC, angu- lo A, oppo$iti, & BQ, $inum ver$um differentiæ arcuum inæqualium AC, AB. Quod e$t propo$itum.

2. SINT duo arcus inæquales AB, AC, quadrante quidem minores, at 2. ca$us. BC, quadrans. Compleatur minoris arcus AB, circulus ABDGH, & pro- ducto arcu AC, vt fiat quadrans AL, de$cribantur ex polis A, B, ad inter- ualla quadrantum AL, BC, cir- culi maximi DELF, GECH: Item ex polo A, ad interuallum AC, circulus non maximus KCN, qui ip$i DELF, paral- 2.2. Theo. lelus erit, $ecabit\’que circulus ABDGH, circulos DELF, 15.1. Theod. GECH, KCN, ad angulos re- ctos, & bifariam: ac proinde ho- rum cum illo communes $ectio- nes DF, GH, KN, diametri eo- rum erunt, & DF, GH, $e in X, centro $phæræ inter$eca bunt, parallelæ\’que erunt DF, KN. Reliqua fiant, vt in præcedenti ca$u, ni$i quòd hic punctum 16. vndec. R, idem e$t, quod X, propterea quòd circulus OCP, à circulo GEH, atq; adeo recta ORP, à recta GH, non differt. Erit, vt prius, AV, $inus rectus ar- cus AB; & KY, $inus rectus arcus AK, hoc e$t, arcus AC, ip$i AK, ex de- fin. poli, æqualis. Item BR, $inus ver$us erit arcus BG, id e$t, arcus BC, ip$i BG, æqualis. At BQ, $inus erit ver$us arcus BK, differentiæ arcuum AB, AC; <007>deoq; QR, vel KT, differentia erit inter $inus ver$os BR, BQ, arcuum BC, BK. Deniq; KS, erit $inus ver$us arcus KC. Sumpto ergo DZ, $inu ver$o arcus DL, hoc e$t, anguli A, demon$trandum e$t, ita e$$e quadra- tum $inus totias, id e$t, rectangulum $ub DX, XA, ad rectangulum $ub AV, KY, $inubus rectis arcuum AB, AC, vt e$t $inus ver$us DZ, anguli A, ad KT, d<007>fferentiam $inuum ver$orum BR, BQ, arcuum BC, BK. quod quidem demon$trabitur, vt in præcedenti ca$u, ni$i quod triangulum XAV, o$tende- tur hic æquiangulum e$$e triangulo SKT, ex eo quòd angulus IXY, angu- lo YSX, æqualis e$t, propterea quòd triangula IXY, YSX, $imilia $unt inter 8. $exti. $e. Hinc enim fit, rectangula triangula XAV, SKT, inter $e omnino æquian- gula e$$e.

3. SINT rur$us AB, AC, quadrante minores, at BC, maior. Com- 3. ca$us. pleatur minoris arcus AB, circulus, & ex BC, ab$cindatur quadrans BM, producatur\’q; AC, vt fiat quadrans AL. Reliqua con$truantur, vt in prmo ca$u. Erunt hic $inus, vt ibi. Demon$trandum ergo e$t, ita e$$e quadratũ $inus [460]TRIANGVLA totius, nempe rectangulum $ub DX, XA, ad rectangulum $ub AV, KY, $inu- bus rectis arcuum AB, AC, vt e$t $inus ver$us DZ, anguli A, ad KT, d<007>$$e- rentiam $inuum ver$orum BR, BQ, arcuum BC, BK. quod quidem o$tendetur, vt in primo ca$u, ni$i quòd triangulũ XAV, o$tendemus hic triangulo SkT, æquiangulum e$$e, ex eo, quòd angulus XIY, angulo SKT, externus interno, æqualis e$t. 29. primi. Hinc enim efficitur, in triangu- lis rectangulis XIY, SkT, re- liquos angulos IXY, kST, æ- quales e$$e; atq; idcirco rectangula triangula XAV, SkT, e$$e æquiangula.

4. SIT arcus AC, quadrans, atque adeo AB, quadrante minor; $tatua- 4. ca$us. tur quoque BC, minor quadrante. Completo circulo ABDGH, minoris arcus AB; producto\’q; arcu BC, vt fiat quadrans BM, de$cribantur ex polis A, B, ad interualla quadrantum AC, BM, circuli maximi DCEF, GMEH: Item ex polo B, ad in- teruallum arcus BC, circulus non maximus OCP. Reliqua con$truantur, vt in primo ca$u, ni$i quòd hic duo circuli paral- leli DEF, kCN, inter $e non differunt, propter quadrantem AC. Ex quo fit, rectas DF, kN, inter $e quoq; non differre. quod etiam de $inubus ver$is kS, DZ, dicendum e$t. Alij $inus $unt, vt prius. Iam verò, ita e$$e quadratum $inus totius, $iue rectan gulum $ub DX, XA, ad rectangulum $ub AV, kV, $inubus rectis arcuum AB, AC, vt e$t DZ, $inus ver$us anguli A, $iue arcus KC, ad KT, differentiam $i- nuum ver$orum BR, BQ, arcuum BC, BK, o$tendemus, vt in primo ca$u; ex- cepto, quod hic triangulum XAV, triangulo SkT, æquiangulum e$$e de- mon$trabimus, ex eo, quòd angulus AXV, angulo YSR, æqualis e$t, (pro- pterea quod triangula IXR, RSY, $imilia $unt) atque adeo angulo KST. 8. $exti. Hinc enim fit, rectangula triangula XAV, SkT, e$$e {ae}quiangula.

5. SIT rur$us AC, quadrans, propterea\’q; AB, quadrante minor, $ed 5. ca$us. BC, ponatur quoque quadrans. Completo circulo ABDGH, mi- noris arcus AB, de$cribantur ex polis A, B, ad interualla quadran- tũ AC, BC, circul<007> maximi DCF, GCH, & reliqua fiant, vt prius, ni$i quod hic circuli kN, OP, non maximi à maximis DF, GH, non differunt, &c. Demon$trandum igitur e$t, ita e$$e quadratum $inus totius, hoc e$t, rectangulum $ub DX, XA, ad rectangulum $ub AV, kY, $i- [461]SPHAERICA. nubus rectis arcuum AB, AC, vt e$t DZ, $inus ver$us anguli A, $eu arcus kC, ad kT, differentiam $inuum ver$orum BY, BQ, quorum ille arcui BC, hic autem arcui Bk, debetur. quod quidem o$tendemus, vt in primo ca$u. So- lum triangulum XAV, ita demon$trabitur triangulo SkT, æquiangulum. Quoniam anguli DSA, BSH, recti $unt, cum AS, BS, axes $int circulo- rum DF, GH; erunt, dempto communi ASB, reliqui DSB, ASH, æqua- les: $ed ille angulo alterno SkT, & hic alterno angulo XAV, æqualis e$t. 29. primi. Igitur & anguli SkT, XAV, æquales erunt: ac proinde triangula rectangu. la XAV, SkT, æquiangula erunt.

6. SIT adhuc AC, quadrans, ideo\’q; AB, minor quadrante, $ed BC, 6. ca$us. quadrante $tatuatur maior. Completo circulo ABDGH, arcus minoris AB; & ex BC, ab$ci$$o quadrante BM, de$cribantur ex polis A, B, ad interualla quadrantum AC, BM, maximi circuli DEF, GEH: Item ex polo B, ad interuallum BC, cir- culus non maximus OCP, qui ip$i GEH, parallelus crit. Reli- 2. 2. Theod. qua fiant, vt prius, ni$i quòd hic inter $e non difterũt circuli DF, kN, &c. Iam demon $trabimus, vt in primo ca$u, ita e$$e quadra- tum $inus totius, id e$t, rectan- gulum $ub DX, XA, ad rectan- gulum $ub AV, kY, $inubus rectis arcuum AB, AC, vt e$t DZ, $inus ver- $us anguli A, $eu arcus DC, ad kT, differentiam $inuum ver$orum BR, BQ, arcuum BC, Bk. Verum triangulum XAV, triangulo SkT, æquiangulum e$$e, ita mon$trabimus. Cum anguli recti $int AXk, BXG, reliqui æquales erunt AXV, kXG: $ed hic æqualis e$t oppo$ito, & interno TSk. Igitur & an- 29. primi. gulus AXB, angulo TSk, æqualis erit: atque adeo rectangula triangula XAV. SKT, æquiangula erunt.

7. SIT arcus AC, quadrante maior, & AB, BC, quadrante minores. 7. ca$us. Completo circulo ABDGH, & ab$ci$$o quadrante AL, ex AC, producto- \’que arcu BC, vt fiat quadrans BM, fiant reliqua omnia, vt in primo ca$u. Demon$trabimus enim, vt ibi, ita e$$e quadratum $inus totius, $iue rectangulũ $ub DX, XA, ad rectangulum $ub AV, kY, $inubus rectis arcuum AB, AC, vt e$t DZ, $inus ver- $us anguli A, $iue arcus DL, ad kT, differentiam $inuum ver$o- rum BR, BQ, arcuum BC, BK: $ed triangulum AXV, ita probabitur æquiangulum e$$e triangulo SKT. An- gulus KST, angulo ISR, æqualis e$t. Igitur in triangulis rectangulis SkT, 15. primi. ISR, reliqui anguli SkT, SIR, æquales erunt; ac proinde & in rectangulis triangulis SKT, XIY, reliqui anguli KST, IXY, æquales erunt. Cum ergo angulus IXY, angulo AXV, æqualis $it, erit quoq; kST, eidem AXV, 15. primi. [462]TRIANGVLA æqualis; propterea\’q; in triangulis rectangulis SkT, XAV, reliqui anguli SKT, XAV, æquales erunt.

8. SIT adhuc AC, quadrante maior, & AB, minor quadrante, $ed BC, 3. ca$us. quadrans. Completo circulo ABDGH, & ab$ci$$o quadrante AL, ex AC, de$cribantur ex polis A, B, ad in- terualla quadrantum AL, BC, maximi circuli DEF, GEH: Item ex polo A, ad interuallum AC, circulus nõ maximus KCN, & alia fiãt, vt in primo ca$u. De- mon$trabitur, vt ibi, ita e$$e qua- dratum $inus totius, nimirum re ctãgulum $ub DX, XA, ad re- ctangulum $ub AV, KY, $inubus rectis arcuum AB, AC, vt e$t DZ, $inus ver$us arcus DL, $iue anguli A, ad KT, differentiam $inuum ver$o- rum BR, BQ, arcuum BC, BK: $i tamen triangula XAV, SKT, o$tenda- mus æquiangula e$$e, vtin $eptimo ca$u.

9. SIT rur$us AC, maior quadrante, & AB, quadrante minor, $ed BC, 5. ca$us. maior etiam quadrante. Completo circulo ABDGH, & ab$ci$sis quadran- tibus AL, BM, ex AC, BC, reliqua con$truantur, vt in primo ca$u. Nam, vtibi, ita hic demon$trabitur, ita e$$e quadratum $inus totius, re- ctangulum videlicet $ub DX, XA, ad rectangulum $ub AV, KY, $inubus rectis arcuum AB, AC, vt e$t DZ, $inus ver$us ar- cus DL, $iue anguli A, ad KT, differentiam $inuum ver$orum BR, BQ arcuum BC, BK. Sed triangula XAV, SKT, e$$e æ- quiangula, ita confirmabitur. Angulus KST, angulo ISR, æqualis e$t. Igitur in rectangulis triangulis SKT, 15. primi. SIR, & reliqui anguli SKT, SIR, æquales erunt; ac proinde in triangulis rectangulis SKT, IXY, reliqui quoque anguli KST, IXY, hoc e$t, AXV, (cum hic ip$i IXY, $it æqualis) inter $e æquales erunt. Quare & reliqui angu- 15. primi. li SKT, XAV, in triangulis rectangulis SKT, XAV, erunt æquales.

10. SIT arcus AC, maior 10. ca$us. quadrante, & AB, quadrans, at BC, quadrante minor. Comple- to circulo ABGF, ab$ci$$o\’que quadrante AL, ex AC, & pro- ducto BC, vt fiat quadrans BM, de$cribãtur ex polis A, B, ad in- terualla quadrantum AL, BM, circuli maximi BLEF, AEMG, incedet\’q; ille per punctum B, & hic per punctum A, ob quadrantem AB; pro- Coroll. 16. pterea quòd maximus circulus à polo abe$t quadrante maximi circuli. Item 1. Theod. [463]SPHAERICA. ex ei$dem polis A, B, ad interualla AC, BC, delineentur circuli non maxi- mi KCN, OCP, qui prioribus erunt paralleli. De$criptis deinde in alio cir 2. 2. Theod. culo communibus $ectionibus horum circulorum cum circulo ABGF, quæ inter $e parallel{ae} erunt, $e$e\’q; ad angulos rectos $ecabunt; (Nam AX, ex A, 16. vndec. polo circuli BF, in $phæræ centrum X, cadens ad ip$um circulum recta e$t; Schol. 10. ac propterea, ex defin. 3. lib. 11. Eucl. anguli ad X, recti erunt. Ex quo fit, etiam 1. Theod. angulos ad R, S, Y, rectos e$$e, ob parallelas lineas BF, KN, & AG, OP.) erit 29. primi. AV, $inus rectus quadrantis AB; KY, $inus rectus arcus AC, $iue arcus AK, illi, ex defin. poli, æqualis; BR, $inus ver$us arcus BC, $eu arcus BO, illi, ex poli defin. æqualis; BQ, (ducta KQ, ad BF, perpendiculari) $inus ver$us ar- cus BK, quo arcus AB, AC, inter $e differunt; Denique KS, $inus ver$us ar- cus KC. Itaque $i $umatur DZ, $inus ver$us anguli A, $iue arcus BL, qui ar- cui KC, $imilis e$t, demon$trabimus, vt in primo ca$u, ita e$$e quadratum $i- nus totius, nempe rectangulum $ub DX, XA, ad rectangulum $ub AV, KY, $inubus rectis arcuum AB, AC, vt e$t DZ, $inus ver$us anguli A, $iue arcus BL, ad KT, $iue ad QR, differentiam $inuum ver$orum BR, BQ, arcuum BC, BK, ni$i quòd hic non inueniuntur triangula æquiangula, $ed AV, ab XA, non differt, quemadmodum nec KS, à KT.

11. SIT iterum AC, quadrante maior, attam AB, quam BC, quadrans. 11. ca$us. Completo circulo ABGF, & re$ecto quadrante AE, ex AC, de$cribantur ex polo A, ad interualla AE, AC, circuli BEF, KCN, & ex polo B, ad interuallum BC, cir- culus AEG, aliaque fiant, vt in præcedenti ca$u. O$tendemus ergo, vt in primo ca$u, ita e$$e quadratum $inus totius, hoc e$t, rectangulum $ub DX, XA, ad re- ctangulum $ub AV, KY, $inu- bus rectis arcuum AB, AC, vt e$t DZ, $inus ver$us anguli A, $i- ue arcus BE, ad KT, $eu QR, differentiam $inuum ver$orum BR, BQ, ar- cuum BC, BK, ni$i quod hic nulla ad$int æquiangula triangula, quemadmo- dum nec in præcedenti ca$u, atque AV, ab XA, & DZ, à BR, & KS, à KT, non differt.

12. SIT arcus AC, quadrante maior, & AB, quadrans, $ed BC, maior 12. ca$us. etiam quadrante. Completo cir- culo ABGF, & ablatis quadran tibus AL, BM, ex arcubus AC, BC, de$cribantur circuli ex po- lis A, B, ad interualla quadran- tum AL, BM, & arcuum AC, BC, cætera\’que fiant, vt in præ- cedentibus. Erit ergo rur$us, vt in primo ca$u demon$tratum e$t, ita quadratum $inus totius, id e$t, rectangulum $ub DX, XA, ad rectangulum $ub AV, KY, $inubus rectis arcuum AB, AC, vt e$t DZ, [464]TRIANGVLA $inus ver$us anguli A, $iue arcus BL, ad KT, differentiam $inuum ver$orum BR, BQ, arcuum BC, BK; quamuis nulla hic appareant triangula æquian- gula, $ed XA, AV, inter $e non differant, quemadmodum neque KS, KT.

13. SINT arcus AC, AB, quadrante maiores, at BC, minor quadran- 13. ca$us. te. Completo circulo ABGF, & re$ecto quadrante AL, ex AC, producto item arcu BC, vt fiat quadrans BM, reliqua fiant, vt in $uperioribus. Demon $trabimus iam, vt in primo ca$u, ita e$$e quadratum $inus totius, nimirum rectangulum $ub DX, XA, ad rectangulum $ub AV, KY, $inubus rectis arcuum AB, AC, vt e$t DZ, $inus ver$us an- guli A, $euarcus DL, ad KT, differentiam $inuum ver$orum BR, BQ, arcuum BC, Bk; ni- $i quòd triagulum XAV, trian gulo SKT, demon$trandum e$t e$$e æquiangulum hac ratione. Quoniam angulus KST, angulo oppo$ito, & 29 primi. interno YIX, æqualis e$t, erit in triangulis rectangulis SKT, IXY, & re- liquus angulus SKT, reliquo angulo IXY, hoc e$t, angulo oppo$ito, & inter- no VAX, (cum parallelæ $int AV, GH.) æqualis. Igitur in triangulis rectan gulis SKT, XAV, anguli quoque reliqui KST, AXV, æquales erunt, ac proinde æquiangula erunt triangula SKT, XAV.

14. SINT rur$um AC, AB, maiores quadrante, at BC, quadrans. Com- 14. ca$us. pleto circulo ABGF, & ab$ci$$o quadrante AL, ex AC, necnon de$criptis circulis DEF, KCN, ex polo A, ad interualla AL, AC, de$cribatur quoq; ex polo B, ad interuallum quadrantis BC, circulus maximus GEH, atq; alia frant, vt $upra. Demon$trandum ergo e$t, ita e$$e quadratum $inus totius, id e$t, rectágulum $ub DX, XA, ad rectangulum $ub AV, KY, $inubus arcuum AB, AC, vt e$t DZ, $inus ver$us anguli A, arcu$- ve DL, ad KT, differentiam in- ter $inus ver$os BR, BQ, ar- cuum BC, BK. Quod quidem o- $tendemus, vtin primo ca$u. So- lum triangula SKT, XAV, pro- babũtur æquiangula e$$e, hoc mo do. Angulus S, communis e$t vtrique triangulo rectangulo SKT, SRY. Igi- tur angulus reliquus SKT, reliquo angulo SRY, hoce$t, angulo oppo$ito, & 29. primi. interno VAX, (cum parallel{ae} $int AV, GH.) æqualis erit. Quare rectangu la triangula SKT, XAV, æquiangula erunt.

15. SINT po$tremo omnes tres arcus trianguli ABC, quadrante ma- 25. ca$us. iores. Completo circulo ABGF, & re$ectis quadrantibus AL, BM, ex ar- cubus AC, BC, fiant omnia alia, vt prius. O$tendemus non $ecus, ac in pri- mo ca$u, ita e$$e quadratum $inus totius, nempe rectangulum $ub DX, XA, ad rectangulum $ub AV, KY, $inubus rectis arcuum AB, AC, vt e$t DZ, $i- [465]SPHAERICA. nus ver$us anguli A, $eu arcus DL, ad KT, differentiam inter $inus ver$os BR, BQ, arcuum BC, BK; $i modo triangula SKT, XAV, æquiangula e$$e concludamus, hac argumétatio- ne. Angulus YIX, æqualis e$t interno & oppo$ito KST. Igitur 29. primi. in triangulis rectangulis SKT, IXY, reliquus angulus SKT, re- liquo angulo IXY, hoc e$t, an- gulo interno, & oppo$ito XAV, (cum parallelæ $int AV, GH.) æqualis erit; ac proinde triãgula rectangula SKT, XAV, æquian- gula erunt. Quapropter In omni triangulo $phærico, cuius duo arcus $int inæquales, &c. Quod demon$trandum erat.

SCHOLIVM. I.

FX omnibus quindecim ca$ibus buius demon$trationis liquet, arcum BC, angus lo A, $ub arcubus inæqualibus comprehen$o oppo$itum $emper maiorem e$$e arcu BK, hoc e$t, d'fferentia arcuum inæqualium. In omnibus enim figuris arcus BC, per de- fin. poli, arcui BO, (vel arcui BG, quando BC, quadrans e$t, vt in ca$u 2. 5. 8. 11. & 14.) æqualis e$t. Con$tat autem arcum BO, (vel arcum BH, in dictis quinque ca$ibus) maiorem e$$e arcu BK: quod tamen ita e$$e, facile $equens quoque theore- ma demon$trabit.

IN omni triangulo $phærico, cuius duo arcus $int inæquales; ar- cus rel<007>quus maior e$t arcu, quo inæquales arcus inter $e d<007>fferunt.

IN triangulo enim ABC, $it arcus AB, maior arcu AC, & ex polo A, ad interuallum AC, arcus circuli de- $cribatur CD. Erit ergo arcus AD, arcui AC, per de$in. poli, æqualis, atque adeo arcus BD, differentia arcuum inæqualium AB, AC. Dico arcum BC, arcu BD, maiorem e$$e. Quoniam enim duo arcus AC, CB, $imul maiores $unt arcu AB; ablatis æqual<007>bus arcubus 3. huius. AC, AD, reliquus quoq; CB, reliquo BD, maior erit. Quod e$t propo$itum.

ITAQVE in omni $phærico triangulo, cuius duo arcus inæquales $int, $inus ver In triangu lo $ph{ae}rico duorum ar cuum inæ- qualium, $inus uer- $uster@j ar cus ma@or e$t $inu ver $o differen ti{ae} arcuum inæqualiũ. $us reliqui arcus $emper maior e$t $inu ver$o differentiæ arcuum inæqualium. Cum enim arcus ille reliquus o$ten$us $it maior, quam ea d<007>fferentia, maior autem arcus habeat $emper maiorem $inum ver$um, vt ex tractatione $inuum con$tat, per$p<007>cuum fit, reliqu<007> arcus $inum ver$um maiorem e$$e $<007>nu ver$o differentiæ arcuum inæ- qualium.

HOC idcirco dixerim, vt rationem videas, quare in praxipropo$. 64. differentia inter $inus ver$os, quorum vnus reliquo tertio arcui, alter vero d<007>fferentiæ inæqua- l<007>um arcuum debetur, ad{ij}cienda præc<007>piatur $inui ver$o d<007>fferent<007>æ arcuum inæqua l<007>um, vt componatur $inus ver$us reliqui tert{ij} arcus, nunquam autem detrahenda à $inu ver$o dictæ d<007>fferentiæ, vt $inus ver$us reliqui arcus relinquatur.

[466]TRIANGVLA. SCHOLIVM. II.

CATERVM ex hac propo$. 58. colligemus $equens theorema ad calculum trian gulorum $phæricorum non rectangulorum perutile, videlicet.

IN omni triangulo $phærico, cuius duo arcus $int inæquales: $i- nus totus ad quantitatem, quæ $inui toti, & duobus $inubus arcuum <007>næqualium quarto loco proportionalis e$t, eandem proportionem habet, quam $inus ver$us anguli $ub dictis arcubus comprehen$<007> ad differentiam inter $inum ver$um reliqui tertij arcus, & $inum ver- $um arcus, quo duo inæquales arcus inter $e differunt.

IN triangulo $phærico ABC, proxime antecedenti $it arcus AB, maior arcu AC, & ex polo A, ad interual lum AC, de$cribatur arcus circuli CD, vt arcus AC, AD, per defin. poli, $int æquales, atque adeo arcus BD, exce$$us $it, $eu differentia arcuum AB, AC. Fiat iam, vt $inus totus ad $inum arcus AB, ita $inus arcus AC, ad aliud, quod quantitas quarta proportionalis vocetur, vt hic vides: Sinus \\ totus. # $inus arcus \\ AB. # $inus arcus \\ AC. # quantitas quarta \\ proportionalis. Dico ita e$$e $inum totum ad quantitatem quartam $inui toti, & duobus $inubus ar- cuum inæqualium proportionalem, vt e$t $inus ver$us anguli A, ad differentiam inter $inum ver$um arcus BC, & $inum ver$um arcus BD, quo inter $e arcus AB, AC, differunt. Quoiniam enim proportio $inus totius ad quantitatem illam quartam pro- portionalem componitur (po$ito $inu arcus AB, medio) ex proportione $inus totius ad $inum arcus AB, & ex proportione $inus arcus AB, ad quantitatem quartam pro- portionalem: Et proportio quadrati $inus tot<007>us ad rectangulum $ub $inubus rectis ar- cuum AB, AC, componitur ex ei$dem proportionibus, nempe ex proportione $inus to tius ad $inum arcus AB, & ex proportione $inus totius ad $inum arcus AC, quæ ea- 23. $exti. dem e$t, quæ proportio $inus arcus AB, ad quantitatem quartam proportionalem: (Nam cum $it, vt $inus totus ad $inum arcus AB, ita $inus arcus AC, ad quantita- tem quartam proportionalem; erit permutando, vt $inus totus ad $inum arcus AC, ita $inus arcus AB, ad quantitatem quartam proportionalem.) erit, vt $inus totus ad quantitatem quartam proportionalem, ita quadratum $inus totius ad rectangu- lum $ub $inubus arcuum AB, AC, contentum. Cum ergo $it, vt quadratum $inus to- tius ad rectangulum $ub $inubus arcuum AB, AC, ita $inus ver$us anguli A, ad dif- 38. huius. ferentiam $inuum ver$orum arcuum BC, BD; erit quoque, vt $inus totus ad quan- titatem quartam proportionalem, ita $inus ver$us anguli A, ad differentiam inter $i- nus ver$os arcuum BC, BD. quod e$t propo$itum,

THEOR. 57. PROPOS. 59.

SI duo triangula $phærica duos angulos duo- bus angulis æquales habeant, vtrumque vtrique: [467]SPHAERICA. crũt $inus arcuum circa reliquum angulum vnius $inubus arcuum circa reliquum angulum alterius proportionales, homologi\’q; erunt $inus arcuum æquales angulos $ubtendentium. Et $i vnus angu- lus vnius vniangulo alterius $it æqualis, $inus\’q; ar- cuum circa alium angulum vnius $inubus arcuum circa alium angulum alterius proportionales, ita vt $inus arcuum æquales angulos $ubtendentium $int homologi: erunt & anguli arcubus reliquo- rum $inuum homologorum oppo$iti inter $e æ- quales, vel æquales duobus rectis.

SINT in duobus triangulis $phæricis ABC, DEF, duo anguli inter $e æquales B, E, necnon duo C, F. Dico ita e$$e $inum arcus AB, ad $inum arcus AC, vt e$t $inus arcus DE, ad $inum arcus DF. Quia enim e$t, vt $inus arcus AB, ad $inum anguli C, ita $inus arcus AC, ad $inum 41. huius. anguli B; erit permutando, vt $inus arcus AB, ad $i- num arcus AC, ita $inus anguli C, ad $inum anguli B, hoc e$t, ita $inus anguli F, ad $inum anguli E, cum hi anguli illis ponantur æquales. Item quia e$t, vt $i- nus arcus DE, ad $inum anguli F, ita $inus arcus DF, 41. huius. ad $inum anguli E; erit permutando, vt $inus arcus DE, ad $inum arcus DF, ita $inus anguli F, ad $inum anguli E. O$ten$um autem e$t, ita etiam e$$e $inum arcus AB, ad $inum arcus AC, vt e$t $inus anguli F, ad $inum anguli E. Igitur erit, vt $inus arcus AB, ad $inum arcus AC, ita $inus arcus DE, ad $inum arcus DF. Quod e$t propo$itũ.

SED $int iam anguli B, E, æquales, & ita $it $inus arcus AB, ad $inus ar- cus AC, vt e$t $inus arcus DE, ad $inum arcus DF. Dico angulos quoq; C, F, æquales e$$e, vel certe duobus rectis æquales. O$tendemus enim, vt prius, ita e$$e $inum arcus AB, ad $inum arcus AC, vt e$t $inus anguli C, ad $inum 41. huius. Et permu- tando. anguli B. Item ita e$$e $inum arcus DE, ad $inum arcus DF, vt e$t $inus angu- li F, ad $inum anguli E. Quare cum ponatur, vt $inus arcus AB, ad $inum ar- cus AC, ita $inus arcus DE, ad $inum arcus DF; erit, vt $inus anguli C, ad $i- num anguli B, ita $inus anguli F, ad $inum anguli E: Et conuertendo, vt $inus anguli B, ad $inum anguli C, ita $inus anguli E, ad $inum anguli F. Cum ergo $inus æqualium angulorum B, E, æquales $int, erunt & $inus angulorum C, 14. quinti. F, æquales; ac proinde vel anguli C, F, æquales erunt, vel duobus rectis æqua- les. Quod e$t propo$itum. Itaque $i duo triangula $phærica duos angulos, &c. Quod erat demon$trandum.

[468]TRIANGVLA SCHOLIVM.

QVOD $i anguli B, E, vel C, F, non forent æquales, $ed $olum æquales duobus rectis, adhuc theorematis veritas vetineretur: propterea quod anguli B, E, $emper æquales $inus rectos habent, $iue ip$i inter $e æquales $int, $iue æquales duobus re- ctis. quod etiam de angulis C, F, dicendum e$t. Id quod per$picue con$tare pote$t ex {ij}s, quæ in tractatione $inuum tradidimus.

THEOR. 58. PROPOS. 60.

SI ab angulo $phærici triangul<007> ad ba$im arcus maximi circuli demittatur diuidens angulum bi- fariam: habebunt $inus $egmentorum ba$is ean- dem proportionem, quam $inus reliquorum duo- rum arcuum. Et $i $inus $egmentorum ba$is ean- dem proportionem habeant, quam $inus reliquo- rum duorum arcuum: diuidet arcus demi$$us an- gulum bifariam.

IN triangulo $phærico ABC, $ecet arcus AD, angulum A, bifariam. Di- co ita e$$e $inum arcus AB, ad $inum arcus AC, vt e$t, $inus arcus BD, ad $i- num arcus DC. Quia enim triangula ABD, ACD, angulos ad A, habent 59. huius. & eius $cho hum. æquales, & angulos ad D, æquales duobus rectis; erit, vt $inus arcus AB, ad $inum arcus BD, ita $inus arcus AC, ad $inum arcus CD: Et permutando, vt $inus arcus AB, ad $inum arcus AC, ita $inus arcus BD, ad $inum arcus DC. quod e$t pro- po$itum.

SED iam $it, vt $inus arcus AB, ad $inum arcus AC, ita $inus arcus BD, ad $inum arcus DC. Dico angulum A, $ectum e$$e bifariam. Erit enim permutando quoque, vt $inus arcus AB, ad $inum arcus BD, ita $inus arcus AC, ad $inũ arcus CD. Habent igitur triangula ABD, ACD, angulos ad D, {ae}quales duobus rectis, & $inus arcuum circa angulos B, C, proportionales, homologi\’q; $unt finus arcuũ angulis ad D, op- po$itorũ. Igitur & anguli ad A, vel æquales erunt inter $e, vel duobus rectis æ- 59. huius. & eius $eho lium. quales: Non po$$unt aut\~e duobus rectis e$$e æquales, quod angulus A, $it duo- bus rectis minor. Igitur æquales inter $e erunt. quod e$t propo$itum. Si igitur ab angulo $phærici trianguli ad ba$im, &c. Quod o$tendendum erat.

THEOR. 59. PROPOS. 61.

SI ab angulo $phærici triáguli ad ba$im, etiam [469]SPHAERICA. productam, arcus perpendicularis deducatur: ha- bebunt $inus angulorum, quos arcus perpendicu- laris cum duobus arcubus dictum angulum com- prehendentibus facit, eandem proportion\~e, quam $inus complem\~etorum reliquorum duorum trian guli angulorum.

IN triangulo ABC, deducatur ex angulo A, ad ba$in BC, arcus perpen dicularis AD, cadens $iue intra triangulum, $iue extra. Dico ita e$$e $inum anguli BAD, ad $inum anguli DAC, vt e$t $inus comple- menti anguli B, ad $inum complementi angu li C. Nam in triangulo ABD, cuius angulus D, rectus, erit, vt $inus anguli BAD, ad $i- 42. huius. num totum, ita $inus complementi anguli B, ad $inum complementi arcus AD. Item in triangulo CAD, habente angulum D, rectum, erit, vt $inus anguli DAC, ad $inum totum, ita $inus complementi anguli C, (habent au- tem duo anguli ad C, in $ecundo triangulo eundem $inum) ad $inum complementi arcus AD: Et conuertendo, vt $inus totus ad $inum anguli DAC, ita $inus com. Sin. ang. BAD. # Sin. compl. ang. B. Sinus totus. # Sin. cõpl. arcus AD. Sin. ang. DAC. # Sin. compl. ang C. plementi arcus AD, ad $inum com- plementi anguli C. Ex æqualitate ergo (vt in appo$ita formula vides) erit, vt $inus anguli BAD, ad $inum anguli DAC, ita $inus complemen- tianguli B, ad $inum complementi anguli C. Si igitur ab angulo $phærici trianguli ad ba$in, &c. Quod o$tendendum erat.

PROBL. 3. PROP. 62.

DATIS omnibus angulis trianguli $phærici non rectanguli, omnes tres arcus efficere notos.

IN triangulo $phærico non rectangulo ABC, Quãdo on@ nes tres an guli $unt inæquales. dati $int omnes anguli A, B, C: $int\’q; primum omnes tres anguli inæquales. Oportet ex his tres cius arcus per$crutari. Quoniam nullus angulus ponitur rectus, erunt $altem duo vel acuti, vel obtu$i: $int B, C, vel ambo acuti, vel obtu$i, quicquid $it de reliquo A, \.a quo ad arcum BC, arcus perpendicularis ducatur, qui nece$$ario cadet intra triangulum. Et quia e$t, vt $i- 57. huius. 61. huius. nus anguli BAD, ad $inum anguli DAC, ita $inus complementi anguli B, ad [470]TRIANGVLA $inum complementi anguli C: proportio autem hæc po$terior data e$t in $inu- bus complementorum angulorum B, C, datorum; erit quoque proportio $i- nus anguli BAD, ad $inum anguli DAC, data, nempe in $inubus complemen torum angulorum B,C: Sed & aggregatum eorun- dem duorum angulorum BAD, DAC, datum e$t, & minus $emicirculo, nempe totus angulus BAC, qui duobus rectis minor e$t. Sigillatim igitur vterque an- gulorum BAD, DAC, cognitus erit. Quoniam ergo @. triang. rect<007>l. in triangulo ABD, cuius angulus D, rectus, dati $unt duo anguli non recti B, & BAD; dabitur quoque ar- Schol. 50. huius. cus AB, recto angulo oppo$itus. Hinc, quia in eo- dem triangulo ABD, angulum habente rectum D, co gnitus e$t arcus AB, recto angulo oppo$itus, & in$u- Schol. 41. huius. per angulus non rectus BAD: VEL certe, quoniam dati $unt duo anguli non Schol. 42. vel 52. hui<_>9. recti B, & BAD; notus quoque fiet, ex $cholijs in margine citatis, arcus BD, circa angulum re- ctum angulo BAD, oppo$itus. Eadem ratione, quia in triangulo ACD, cu- ius angulus D, rectus, dati $unt duo anguli non recti C, & CAD; dabitur quo- Schol. 50. huius. que arcus AC, angulo recto oppo$itus. Hinc, quoniam in eodem triangulo ACD, habente rectum angulum D, cognitus iam e$t arcus AC, recto angulo oppo$itus, cum angulo non recto CAD: Schol. 41. huius. AVT certe, quia dati$unt duo anguli non re- Schol. 42. vel 52. hui<_>9. cti C, & CAD; cogno$cetur etiam, ex ei$dem $cholijs in margine adductis, arcus CD, circa angulum rectum angulo CAD, oppo$itus. Atque ita iam duo arcus AB, AC, cogniti $unt: Aggregatum vero duorum arcuum BD, CD, inuentorum ter- tium arcum BC, notum etiam efficiet.

QVOD $i quando alter angulorum ad A, nempe BAD, inuentus fuerit rectus, cum & D, rectus $it, erit vterque arcus AB, BD, quadrans: atque ita 25. huius. $ine vlla mole$tia inuenti erunt dicti arcus. Pari ratione, $i angulus CAD, deprehen$us fuerit rectus, non autem BAD, (fieri enim non pote$t, vt vter- que angulus ad A, rectus $it, cum angulus BAD, duobus rectis $it minor.) erunt arcus AC, CD, quadrantes; atque adeo noti, $ine alio labore.

PRAXIS huius problematis, cum ex propo$. 6. triang. rectil. & ex Praxis, quã do omnes tres dati an guli inæ- quales sũt. $chol{ij}s in margine $criptis pet\~eda $it, nõ e$t, quòd hic pluribus explicetur. Nam $i statuãtur duo $inus complementorum angulorum B, C, acutorum, vel obtu$orũ, pro terminis proportionis $inus anguli BAD, ad $inũ angu- li CAD, inueniemus vtrumq; angulũ BAD, CAD, per primã, vel $ecun dam praxim propo$. 6. triangulorum rectilineorum, quòd bæ expeditio- res $inò, quam tertia. Nam licet propo$itio illa 6. de arcubus, & angulis Pro@o$itio 6. triag. re- ctil. intelli- genda eti á e$t de angu lis $phæri- cis. rectilineis antum propo$ita $it, intellig\~eda tamen etiã e$t de angulis $phæ ricis, cumillorum $inus à $inubus arcuum eorũdem angulorum non di$cre- pent. Innento antem vtroque angulo BAD, CAD, adhibenda erit pra- xis problemat<007>s $choly propo$. 50. huius, vt tam arcus AB, recto angu- [471]SPHAERICA. lo D, intriangulo ABD, oppo$itus, quam arcus AC, angulo recto D, in triangulo ACD, oppo$itus inueniatur. Po$tremo adducenda est praxis problematis 2. $chol{ij} propo$. 41. vel problematis 1. $chol{ij} propo$. 42. vel certe praxis $chol{ij} propo$. 52. ad eruendum tam arcum BD, angulo non recto BAD, in triangulo ABD, oppo$itum, quam arcum CD, an- gulo non recto CAD, oppo$itum in triangulo ACD.

QVOD $i in hoc problemate enodando $olis $inubus vti libeat, inue- Praxis per $olos $inus, quãdo om- nes tres an guli dati $unt inæ- quales. niendus erit vterque angulus BAD, CAD, per praxim tertiam propo$. 6. triang. rectil. non autem per primam, vel $ecundam. Deinde cx praxi problematis 1. $chol{ij} propo$. 42, huius, eliciendus tam arcus BD, angu- lo non recto BAD, oppo$itus in triangulo ABD, quam arcus CD, an- gulo nonrecto CAD, in triangulo ACD, oppo$itus. Ad extremum, per praxim problemat<007>s 3. $chol{ij} propo$. 41. inuestigandus tam arcus AB, quam arcus AC, recto angulo D, quilibet in $uo triangulo oppo$itus: quia præter inuentum arcum BD, & oppo$itum angulum BAD; necnon præ- ter arcum inuentum CD, & angulum CAD, oppo$itum, con$tat etiam Quãdo o\~es tres anguli dati@, vel duo $alté, sũc {ae}quales. $pecies tam anguli B, quam anguli C, cum vterque datus $it.

LONGE facilius fit hoc problema, quando omnes tres anguli dati, vel duo $altem, $unt æquales. Nam $i $int duo v. g. anguli B, C, æquales, quic- quid $it de reliquo A; erunt & arcus AB, AC, æquales. Et quoniam trian- 9. huius. gulum ABC, ponitur non rectangulum, erit vterque an- gulorum æqualium B, C, vel acutus, vel obtu$us. Quare arcus perpendicularis AD, ex tertio angulo A, ad arcum BC, demi$$us intra triangulum cadet. Quia ergo triangu- 57. huius. la ABD, ACD, angulos ad D, rectos habent, & angulos B, C, non rectos, æquales; necnon & arcus AB, AC, rectis angulis oppo$itos, æquales, vt o$tendimus; erunt & arcus BD, CD, & anguli BAD, CAD, æquales; ac proinde 21. huius. vterque angulus BAD, CAD, cum dimidium $it dati an- guli BAC, notus erit. Po$t hæc, quoniam in triangulo ABD, rectum habente angulum D, datus e$t vterque an- gulus non rectus B, & BAD; dabitur quoque arcus AB, recto angulo oppo- Schol. 50. huius. $itus; proptereaque & illi æqualis AC, notus erit. Atque ita iam duo arcus Schol. 42. vel 52. hui<_>9. AB, AC, noti facti $unt. Rur$us quia in eodem triangulo ABD, dati $unt duo anguli non recti B, & BAD: VEL, quoniam datus e$t arcus AB, angulo recto op- Schol. 45. huius. po$itus, & angulus non rectus B: VEL denique, quia datus e$t arcus AB, recto angulo Schol. 41. huius. oppo$itus, cum angulo non recto BAD; cognitus etiam erit arcus BD, circa angulum rectum: qui duplicatus totum tertium arcum BC, notum exhibebit. Omnes ergo tres arcus, qui quæruntur, noti effecti $unt.

NON est ob$cura praxis huius rei. Pendet enim ex $chol{ij}s in mar- [472]TRIANGVLA gine citatis. AT $i $olis $inubus quis vti velit, inquirendus erit per pro- Praxis pet folo@ $inus, quãdo om- nes @res an guli dati, vel duo $al tem, $unt æquales. blema 1. $chol{ij} propo$. 42. arcus BD, in triangulo ABD, in quo da- tus est angulus B, & angulus BAD, nempe dimidium anguli dati BAC: qu<007> arcus BD, duplicatus dabit totum ar cum BC. Deinde per problema 3. $chol{ij} propo$. 41. in eodem triangulo, in quo repertus e$t arcus BD, & angulus oppo$itus BAD, constat{quam} $pecies alterius anguli non recti B, dati, eliciendus erit arcus AB, angulo recto oppo$itus: quo inuento, in- uentus quoque erit ei æqualis AC.

DATIS igitur omnibus angulis trianguli $phærici non rectanguli, om- nes tres arcus effecimus notos. Quod faciendum erat.

SCHOLIVM.

DIFFERT ergo, vt vides, $phæricum triangulum non rectangulum à rectili- neo non rectangulo; quòd in $phærico ex$olis angulis datis inueniuntur omnes arcus, vt in hoc problemate o$ten$um e$t; in rectilineo vero ex datis $olis angulis latera co- gno$ci nequeunt, ni$i vnum $altem latus etiam detur. Cuius rei cau$a hæc e$t, quòd duo triangula rect@linea $imilia, quamuis latera vnius lateribus alterius valde $int inæqualia, $ingula $ingulis, angulos tamen habeant angulis aquales, $ingulos $ingu- lis; ita vt dari po$sint duo triangula rectilinea inter $e quidem æquiangula, non ta- men æquilatera: At vero duo triangula $phærica inter $e æquiangula e$$e non po$- 39. huius. $unt, quin etiam æquilatera exi$tant. Ex quo fit, in $phærico triangulo ex datis an- gulis dari etiam arcus, cum angulis determinati re$pondeant arcus; in rectilineo ve ro ex datis angulis latera dari non po$$e, cum angulis determinata latera non re$pon deant, $ed po$sint ei$dem maiora, vel minora later a $ubtendi.

PROBL. 4. PROPOS. 63.

DATIS omnibus arcubus triangul<007> $phæri- ci non rectanguli, omnes tres eius angulos inue- $tigare.

IN triangulo $phærico non rectangulo ABC, dati $int omnes tres arcus. Oportet ex ip$is omnes tres angulos reperire. Sit primo loco quærendus an- gulus A: Neque enim $emper omnibus angulis indigemus; $ed $æpenumero vnus, aut alter ex datis arcubus inquirendus e$t. Aut igitur duo arcus AB, AC, angulum A, qui quæritur, complectentes, $unt in{ae}quales, aut æquales: Si inæquales, aut ambo $unt quadrante minores; aut maiores; aut vnus maior, & alter minor; aut vnus quadrans, & alter quadrante minor; aut deniq; vnus quadrans, & alter maior quadrante. Neque enim ambo e$$e po$$unt quadran tes: quia duo anguli ip$is oppo$iti e$$ent recti. quod e$$et ab$urdum, cum trian 25. huius. gulum ponatur non rectangulum. Sint primum duo arcus AB, AC, inæqua- Quuando duo arcus angulũ pri mo loco in ueni\~edum les, & quadrante minores, quicquid $it de arcu BC. Productis arcubus AB, AC, vt fiant quadrantes AD, AE, de$cribatur per D, E, arcus circuli maxi- mi DE, occurrens arcui BC, in vtramuis partem producto in F: Hortarer [473]SPHAERICA. autem, vt produceretur ver$us ma<007>orem arcum, qui hic $it AC. Erunt au- comprehe d\~etes $unt <007>næquales. tem anguli D, E, recti, ob quadrantes AD, AE. Quoniam igitur duo maximi circuli BF, DF, $e inter$ecant in F, & à pun- ctis B, C, arcus BF, ad arcum DF, demi$si $unt perpendiculares arcus BD, CE; erit, vt $inus arcus BF, ad $inum arcus BD, ita $inus 40. huius. arcus CF, ad $inum arcus CE: Et permutan do, vt $inus arcus BF, ad $inum arcus CF, ita $inus arcus BD, ad $inum arcus CE. E$t au- tem proportio $inus arcus BD, ad $inum ar- cus CE, data, quòd arcus BD, CE, dati $int, vtpotè complementa datorum arcuum AB, AC. Igitur proportio $inus arcus BF, ad $i- num arcus CF, data quoque erit, nempe in $inubus complementorum, arcuum datorum AB, AC: Sed & eorundem arcuum BF, CF, quorum $inguli $emicirculo minores $unt, differentia data e$t, nempe arcus 2. huius. BC. Vterque ergo arcus BF, CF, notus reddetur. Itaque quoniam in trian 7. triãg. re- ctil. gulo BFD, habente angulum D, rectum, datus e$t arcus BF, recto angulo op- po$itus cum arcu BD, complemento videlicet arcus AB, dati; cognitus erit Schol. 53. vel 43. hui<_>9. & tertius arcus DF. Eadem ratione, cum in triangulo CFE, angulum ha- bente rectum E, datus $it arcus CF, angulo recto oppo$itus, cum arcu CE, complemento nimirum arcus dati AC; cogno$cetur, etiã tertius arcus EF: qui Schol. 53. vel 43. hui<_>9. $ubtractus ex inuento arcu DF, notum reddet arcum reliquum DE, anguli A; ac proinde angulus A, cognitus erit. Rur$us in triangulo priore BFD, cuius Schol. 51. vel 45. hui<_>9. angulus D, rectus, cum datus $it arcus BF, recto angulo oppo$itus, cum arcu BD, complemento videlicet arcus dati AB: VEL, cum duo arcus BD, DF, circa angulum re- Schol. 44. vel 48. hui<_>9. ctum dati $int: AVT denique, cum datus $it arcus BF, recto angu- Schol. 55. vel 41. hui<_>9. lo oppo$itus, & arcus DF; inuenietur quoque, ex $cholijs in margine citatis, angulus DBF: ideoque & reliquus duorum rectorum ABC, notus erit. Eadem ratione, cum in po$te- Schol. 51. vel 45. hui<_>9. riore triangulo CFE, angulum E, habente rectum, datus $it arcus CF, angu- lo recto oppo$itus, cum arcu CE, complemento nimirum arcus dati AC: VEL, cum duo arcus CE, EF, circa rectum angu- Schol. 44. vel 48. hui<_>9. lum dati $int: AVT denique, cum datus $it arcus CF, recto angu- Schol. 55. vel 41. hui<_>9. lo oppo$itus, & in$uper arcus EF; cogno$cetur etiam, ex $cholijs in margine po$itis, angu- lus ECF: ideo\’que & angulus ACB, qui ei ad verticem 6. huius. æqualis e$t, notus erit. Tres ergo anguli trianguli ABC, omnes noti facti $unt.

SINT deinde duo arcus inæquales AB, AC, maio- res quadrante. Prodocantur, donec coeant in D. Erunt iu triangulo DBC, duo arcus DB, DC, quadrante mi- nores, atq; adeo noti, cum reliqui $int ex arcubus ABD, ACD, qui $emicirculi $unt. Igitur, vt proxime demon- 11. 1 Theod. [474]TRIANGVLA $trauimus, omnes eius tres anguli noti fient, ac proinde & reliqui duorum re- ctorum ABC, ACB, necnon & angulus A, cum angulo D, $it æqualis.

13. huius.

SIT tertio arcus quidem AB, quandrante minor, at AC, maior. Produ- cto arcu AB, vt fiat quadrans AD, & re$ecto quadrante AE, ex AC, vt in prima harum figurarum, ducatur per D, E, arcus circuli maximi DE, $ecans arcum BC, in F. Erunt\’q; anguli D, E, recti, ob quadrantes AD, AE. Quia 25. huius. ergo duo maximi circuli BC, DE, $ecant $e- $e in F, & à punctis B, C, arcus BC, ad arcum DE, ducti $unt arcus perpendiculares BD, 40. huius. CE; erit, vt $inus arcus BF, ad $inum arcus BD, ita $inus arcus CF, ad $inum arcus CE: Et permutando, vt $inus arcus BF, ad $inum arcus CF, ita $inus arcus BD, ad $inum ar- cus CE. E$t autem proportio $inus arcus BD, ad $inũ arcus CE, cognita, quod arcus BD, CE, dati $int, cũ $int complem\~eta datorũ ar- cuũ AB, AC. Igitur & proportio $inus arcus BF, ad $inũ arcus CF, cognita erit, vtpote in $inubus complementorum arcuum AB, AC, datorum: Sed & eorundem arcuum BF, CF, aggregatum datum e$t, (nimirũ totus arcus BC.) & minus $emicirculo; quod latus quodlibet trianguli $phærici $emicirculo $it minus. Igitur vterque arcus 2. huius. BF, CF, cognitus erit. Quoniam ergo in triangulo BFD, cuius angulus D, 6. triang. rectil. rectus, datus e$t arcus BF, angulo recto oppo$itus, cum arcu BD, qui com- Schol. 53. vel 43. hui<_>9. plementum e$t arcus AB, dati; notus erit quoque tertius arcus DF. Simili modo, quia in triangulo CFE, rectum habente angulum E, datus e$t arcus CF, angulo recto oppo$itus, & arcus CE, complementum $cilicet arcus AC; reperietur quoque tertius arcus EF: qui additus arcui DF, inuento, notum Schol. 53. vel 43. hui<_>9. efficiet totum arcum DE, anguli A; propterea\’q; angulus A, notus erit. Rur- $us in triangulo priori BFD, cuius angulus D, rectus, quoniam datus e$t ar- cus BF, recto angulo oppo$itus, & arcus BD, complementum nimirum da- Schol. 51. vel 45. hui<_>9. ti arcus AB: Schol. 44. vel 48. hui<_>9 AVT quia duo arcus BD, DF, circa rectum angu- lum dati $unt: VEL certe, quia datus e$t arcus BF, recto angulo Schol. 55. vel 41. hui<_>9 oppo$itus, cum arcu DF; notus efficietur quoque angulus DBF, ex $cholijs in margine adductis; atque adeo & reliquus duorum rectorum ABC, notus erit. Pari ratione, cum in po $teriori triangulo CFE, cuius angulus E, rectus, datus $it arcus CF, recto an- Schol. 51. vel 45. hui<_>9. gulo oppo$itus, cum arcu CE, complemento videl<007>cet arcus AC, dati; VEL cum duo arcus CE, EF, circa angulum re- Schol. 44. vel 48. hu<007><_>9 ctum dati $int: VEL certe, cum datus $it arcus CF, recto angulo Schol. 55. vel 41. hu<007><_>9. oppo$itus, cum arcu EF; dabitur etiam angulus C, per $cholia in margine de$cripta. Atque ita omnes tres anguli ABC, noti facti $unt.

SIT quarto arcus AB, quadrans, & AC, minor, vt in po$teriore proxi- marum figurarum. Producto arcu AC, vt fiat quadrans AD, ducatur per B, [475]SPHAERICA. D, arcus circuli maximi BD. Etunt\’q; anguli ABD, & D, recti, ob quadran- 25. huius tes AB, AD. Et quoniam in triangulo BCD, cuius angulus D, rectus, datus e$t arcus BC, angulo recto oppo$itus, & in$uper arcus CD, quippequicom- plementum $it dati arcus AC; dabitur quoque arcus teriius BD, anguli A, Schol. 53. vel 43. hui<_>9. ideo\’que angulus A, notus erit. Deinde quia in eodem triangulo BCD, haben te angulum rectum D, datus e$t arcus BC, recto angulo oppo$itus, cum arcu Schol. 51. vel 45. hui<_>9 CD, complemento $cilicet arcus dati AC: VEL, quia duo arcus BD, CD, circa angulum re- Schol. 44. vel 48. hui<_>9. ctum dati $unt: VEL certe, quoniam datus e$t arcus BC, recto an- Schol. 55. vel 41. hui<_>9. gulo oppo $itus, cum arcu BD; inuenietur etiam ex $cholijs notatis in margine, angulus BCD: ac proinde & duorum rectorum reliquus ACB, notus erit. Po$tremo, cum in eodem pro- ximo triangulo BCD, angulum rectum habente D, datus $it arcus BC, an- Schol. 55. vel 41. hui<_>9. gulo recto oppo$itus, & præterea arcus CD, complementnm videlicet dati ar- cus AC: AVT cum dati $int duo arcus BD, CD, circa an- Schol. 44. vel 48. hui<_>9. gulum rectum: VEL cum datus $it arcus BC, recto angulo oppo- Schol. 51. vel 45. hui<_>9. $itus, cum arcu BD; AVT cum datus $it angulus BCD, cum arcu CD, Schol. 42. huius. vel BD; Nam quando datur arcus BD, con$tat de al- tero arcu CD, circa rectum angulum@, cum datus $it, an $it maior quadrante, vel minor: VEL denique, quia datus e$t arcus BC, recto an- Schol. 47. huius. gulo oppo$itus, cum angulo BCD; notus fiet quoque ex $cholijs in margine citatis, angulus CBD; atque adeo & eius complementum, angulus $cilicet ABC, cogno$cetur, Omnes ergo tres anguli trianguli ABC, cogniti $unt.

SIT quinto, & vltimo arcus AC, quadrans, & AB, maior, vt in eadem po$teriore proximarum figurarum. Ab$ci$$o quadrante AE, ex AB, ducatur per C, E, arcus circuli maximi CE. Erunt\’q; anguli ACE, & E, recti, ob quadran 25. huius. tes AC, AE. Quia ergo in triangulo BCE, angulum rectum habente E, da- tus e$t arcus BC, recto angulo oppo$itus, & præterea arcus BE, nempe com- plementum dati arcus AB; dabitur quoque tertius arcus CE, anguli A; pro- Schol. 53. vel 43. hui<_>9 inde\’q; & angulus A, cognitus fiet. Rur$us, cum in eodem triangulo BCE, cuius angulus E, rectus, datus $it arcus BC, recto angulo oppo$itus, cum ar- Schol. 51. vel 45. hui<_>9. cu BE, complemento nimirum dati arcus AB: AVT cum dati $int duo arcus BE, CE, circa an- Schol. 44. vel 48. hui<_>9. gulum rectum. VEL denique, cum datus $it arcus BC, angulo Schol. 55. vel 41. hui<_>9. recto oppo$itus, cum arcu CE; dabitur etiam angulus CBE, ex $cholijs in margine adductis. Denique quia in triangulo eodem BCE, angulum rectum habente E, datus e$t arcus BC, Schol. 55. vel 41. hui<_>9. angulo recto oppo$itus, & arcus etiam BE, cum $it complementum arcus AB, dati: VEL, quiæ duo arcus BE, CE, circa angulum re- Schol. 44. vel 48. hui<_>9. ctum dati $unt: [476]TRIANGVLA AVT, quoniam notus e$t arcus BC, recto angulo Schol. 51. vel 45. hui<_>9. oppo$itus, & arcus CE: VEL, quia datus e$t angulus CBE, & arcus BE, Schol. 42. huius. vel CE; Nam quando datur arcus CE, con$tat etiam, an alter arcus BE, circa angulum rectum datus, ma- ior $it quadrante, vel minor: AVT denique, quia notus e$t arcus BC, angulo Schol. 47. huius. recto oppo$itus, cum angulo CBE; notus quoq; $iet, ex $cholijs in margine citatis angulus BCE; atque idcirco, addito recto angulo ACE, totus angulus ACB, datus erit. Rur$us ergo om nes tres anguli trianguli ABC, inuenti $unt.

PRAXIS huius problemat<007>s petenda e$t ex $chol{ij}s in margine ci- Praxis, quã do duo at- cus quæ$i- tum angu- lum conti- nentes $unt inæquales. tatis. Solum, vt cogno$cantur arcus BF, CF, in primo ca$u, & tertio, $tatuendi erunt $inus complementorum arcuum datorum AB, AC, pro termin<007>s proportionis $inus arcus BF, ad $inum arcus CF, & in primo quidem ca$u adhibenda vel prima praxis propo$. 7. triangulorum recti- lineorum, vel aliqua ex al{ij}s eiu$dem propo$. prout res exiget; in tertio vero ca$u adducenda erit prima, vel $ecunda praxis propo$. 6. triangulo- rum rectilineorum, &c.

QVOD $i $ol<007>s vti libeat $inubus, inue$tigandi erunt arcus BF, CF, Praxis per $olos $inus, quando @ar cus duo an gulũ quæ- $itum am- b<007>\~etes $unt inæquales. in primo ca$u, per $ecundam praxim propo$. 7. triang. rectil. In tertio ve- ro per praxim tertiam propo$. 6. Deinde in triangulo BFD, per praxim $chol{ij} 1. propo$. 43. eruendus arcus DF: Et eodem modo in triangulo CFE, arcus EF; vt reliquus arcus DE, in primo ca$u, vel totus arcus DE, in tertio ca$u habeatur, qui quidem e$t arcus anguli A. Po$t hæc per praxim problematis 1. $chol{ij} propo$. 41. inueniendus in triangulo BFD, angulus DBF: ex quo reliquus duorum rectorum ABC, notus fiet. At- que eodem pacto in triangulo CFE, eliciendus angulus ECF, ex quo in primo ca$u angulus quoque ACB, ad verticem cognitus erit.

AT vero in quarto ca$u ex praxi $chol{ij} 1. propo$. 43. inueniendus e$t arcus BD, anguli A, in triangulo BCD: Et eodem modo in quinto ca $u arcus CE, anguli eiu$dem A, in triangulo BCE. Deinde in quarto ca- $u, per praxim problemat<007>s 1. $chol{ij} propo$. 41. in triangulo BCD, inda- gandus angulus BCD; ex quo reliquus duorum rectorum ACB, notus fiet: Atque eadem ratione in quinto ca$u, angulus EBC, in triangulo BCE, inueniendus. Ad extremum in quarto ca$u, per praxim problema- tis 2. propo$. 42. in triangulo BCD, exquirendus angulus CBD; ex quo & ABC, reliquus recti ABD, notus erit: Et $imiliter in quinto ca$u, eliciendus angulus BCE; qui additus recto angulo ACE, totum angu- lum ACB, notum exhibebit.

ALITER, & multo breuius. Sint rur$um dati tres arcus trianguli ABC, Alia demõ ftratio bre. [477]SPHAERICA. arcus\’q; AB, AC, angulum A, inquirendum continentes, inæquales. Quo- uior, & per $olos $inus. niam igitur e$t, vt $inus totus ad quantitatem quartam proportionalem $inui toti, & duobus $inubus arcuum AB, AC, inæqua- lium, ita $inus ver$us anguli A, ad differentiam in- Schol. 2. 58. huius. ter $inum ver$um arcus BC, angulo A, oppo$iti, & $inum ver$um arcus, quo $e mutuo excedunt arcus inæquales AB, AC: Et conuertendo, vt dicta quan titas quarta proportionalis ad $inum totum, ita dif ferentia inter $inũ ver$um arcus BC, & $inum ver- $um arcus, quo inter $e arcus inæquales AB, AC, differunt, ad $inum ver$um anguli A, quæ$iti:

Praxis, bre- uior, & per $olos $inus, quãdo duo arcus dati quæ$itũ an gulum cõ- prehenden tes $unt in- æquales.

SI fiat, vt $inus totus ad $inum vtriuslibet arcuum inæqualium quæ- $itum angulum comprehendentium, it a $inus alterius arcus circa eundem angulum ad aliud, inuenietur numerus quartus proportionalis $inui toti, & duobus $inubus dictorum duorum arcuum. Si ergo rur$um fiat, vt nu- merus quartus proportionalis proxime inuentus ad $inum totum, ita dif- ferentia inter $inum ver$um arcus quæ$ito angulo oppo$iti, & $inum ver- $um arcus, quo duo arcus quæ$itum angulum ambientes inter $e differunt, ad aliud, producetur $inus ver$us anguli, qui quæritur: Ex quo arcum an- guli quæ$iti, atque adeo ip$um angulum, elicies, vt in explicatione, atque v$u tabulæ Sinuum docuimus.

CAETERVM differentia inter $inum ver$um arcus quæ$ito angu Inuétio dif ferenti{ae} in- ter $inum ver$um ar- cus angulo quæ$ito op po$it<007>, & $i- nũ ver$um differentiæ arcuũ eun- dem angu- lum amb<007>\~e tium. lo oppo$iti, & $inum ver$um differentiæ arcuum eundem angulum conti- nentium, ita facile reperietur. Quando arcus angulo quæ$ito oppo$itus quadrante minor e$t, tetrahendus er<007>t $inus eius complementi ex $inu com plementi differ\-etiæ arcuum quæ$itum angulum ambientium. Reliqua enim erit differentia, quæinquiritur. Id quod liquido con$tat ex figuris ca$uum 1. 4. 7. 10. & 13. propo$. 58. Quando vero arcus quæ$ito angulo oppo- $itus quadrans e$t; dabit $inus complementi d<007>fferentiæ arcuum angulum quæ$itum comprehendentium differentiam inter dictos $inus ver$os quæ$i- tam: vt manife$tum ex figuris ca$uum 2. 5. 8. 11. & 14. eiu$dem pro- po$. 58. Quendo denique arcus quæ$ito angulo oppo$itus quadrante maior e$t; ad{ij}ciendus erit $inus eius complementi ad $inum complementi diffe- rentiæ arcuum quæ$itum angulum continentium. Compo$itus namque nu- merus erit differentia quæ$ita: Vt facile apparere pote$t ex figuris ca$uum 3. 6. 9. 12. & 15. eiu$dem propo$, 58.

EODEM modo inue$tigabimus angulos B, C, $i arcus illos continentes fuerint inæquales.

PORRO, inuento vno angulo, nullo fere negotio reliqui duo inueniren tur, $i con$taret, qualis qui$que eorum $it, acutu$ne, an obtu$us. Nam inuento v. g. angulo A, $i e$$et inueniendus angulus B, $umeremus pro eius $inu nume rum, qui quartus proportionalis e$t $inui arcus BC, inuento angulo A, op- [478]TRIANGVLA po$iti; $inui anguli inuenti A; & $inui arcus AC, quæ$ito angulo B, oppo$iti: Siautem quærendus e$$et angulus C, acciperemus pro eius $inu numerum, qui quartus proportionalis e$t $inui arcus BC, inuento angulo A, oppo$iti; $inui anguli inuenti A; & $inui arcus AB, angulo quæ$ito C, oppo$it<007>: propterea quòd e$t, vt $inus arcus BC, ad $inum anguli A, ita tam $inus arcus AC, ad 41. huius. Quádo oés tres arcus, vel duo tã- tũ angulũ primo loco inue$tigan dum conti nentes $unt æquales. $inum anguli B, quam $inus arcus AB, ad $inum anguli C. Quocirca $i con- $taret, qualis $it tam angulus B, quam angulus C, illico ex $inu illo quarto proportionali angulum quæ$itum in tabula $inuum reperi@emus.

IAM vero $i omnes tres arcus dati, vel duo tantum AB, AC, angulum A, complectentes, æquales fint, quicquid $it de reliquo arcu BC, longe faci- lius angulum A, & reliquos duos B, C, inquiremus. Quoniam duo arcus AB, AC, æquales $unt, erunt & duo anguli B, C, æquales inter $e: propterea quod I$o$celium triangulorum $phæricorum, qui ad ba$in $unt, anguli inter $e $unt 8. huius. æquales. Cum ergo triangulum ABC, ponatur non rectangulum, neuter an- gulorum B, C, rectus erit, ac proinde neuter arcuum AB, AC, quadrans: quia 25. huius. alias duo anguli B, C, e$$ent recti. Erit igitur vterque angulus B, C, vel acu- tus, vel obtu$us. Demi$$us ergo ex A, ad arcum BC, ar- cus perpendicularis AD, intra triangulum cadet. Duo 57. huius. ergo triangula ABD, ACD, angulos ad D, rectos ha- bent, & angulos B, C, non rectos æquales, necnon & ar- cus AB, AC, rectis oppo$itos angulis æquales. Quare & arcus BD, CD, & anguliad A, inter $e æquales erunt. 21. huius. Itaque quoniam in triangulo ABD, cuius angulus D, rectus e$t, arcus AB, recto angulo oppo$itus datus e$t, & præterea arcus BD, quippe qui dimidium $it dati arcus BC; dabitur quoque angulus BAD, arcui BD, circa an- Schol. 55. vel 41. hui<_>9. gulum rectum dato oppo$itus: qui duplicatus totum an- gulum quæ$itum BAC, notum efficiet; cum anguli ad A, o$ten$i $int æqua- les. Rur$us, quia in eodem triangulo ABD, angulum rectum habente D, ar- cus AB, angulo recto oppo$itus datus e$t, cum arcu BD, nempe cum dimi- Schol. 51. vel 45. hui<_>9. dio dati arcus BC: VEL, quia datus e$t angulus non rectus BAD, cum Schol. 42. vel 56. hui<_>9. arcu oppo$ito BD, circa angulum rectum; con$tat\’q; præterea $pecies reliqui anguli nõ recti B. Nam $i AB, quadrãte minor $it, erit angulus B, acutus, quemadmo- 38. huius. dum, & BAD, acutus e$t: Si vero AB, $it maior quadran te, erit idem angulus B, obtu$us, cum BAD acutus $it: Schol. 47. huius. VEL certe, quoniam datus e$t arcus AB, recto an- gulo oppo$itus, cum angulo non recto BAD; datus quoque erit angulus B; ac proinde & reliquus angulus C, ip$i B, æqua- lis notus erit. Atq; ita omnes tres anguli in triangulo ABC, inuenti $unt.

QVANDO ergo duo arcus $unt æquales, adhibenda erit praxis $cho Praxis, quã do duo at- cus quæ$i- tum angu- lum amb@\~e tes $unt æ- quales. l{ij} propo$. 55. vel problematis 1. propo$. 41. vt ex altero arcuum æqua- lium, & ex dimidio tert{ij} arcus eliciatur angulus, qui duplicatus angu- lum tertio arcui oppo$itum exhibeat. Deinde adhibenda praxis $chol{ij} propo$. 51. vel 45. vt ex ei$dem arcubus inueniatur alter angulorum æ- qualium $upratertium arcum. Vel aduocanda praxis problematis 2. $cho [479]SPHAERICA. l{ij} propo$. 42. vel propo$. 56. aut certe praxis $chol{ij} propo$. 47.

Praxis pet $olos $inus, quãdo duo arcus da@ũ quæ$itũ an gulũ conti- nentes $unt æquales.

PER $olos $inus ita rem peragemus. Ex praxi problematis 1. propo$. 41. inueniemus angulum BAD; qui duplicatus totum BAC, dabit. De- inde per praxim problematis 2. $chol{ij} propo$. 42. reperiemus angulum B, qui ip$i C, æqualis est.

SCHOLIVM.

IOANNES Regiom. & Nicolaus Copernicus alio etiam modo, datis omnibus arcubus trianguli $phærici, omnes tres angulos inquirunt, inue$tigantes nim<007>rum angulum quendam rect<007>lineum in centro $phæræ, cuius arcus angulum $phæricum quæ$itum exh<007>bet notum. Sed eam rationem, quamuis acutam, & $ubtilem, quoniam ob$curior e$t, & longior, dedita opera h<007>c omi$imus: præ$ertim, cum eam quil<007>bev apud Reg<007>om. propo$. 34. l<007>b. 4. triangulorum, & apud Copern<007>cum l<007>b. 1. Reuo- lutionum propo$ 13. de triangul<007>s $phæricis, legere po$sit.

MALVIMVS in $ecund@ demon$tratione huius problematis v$urpare theoremæ $chol{ij} 2. propo$. 58. quam cum Ioan. Regiom. theorema eiu$dem propo$. 58. vt labo- ris d<007>fficultatem effugeremus. Nam cum $it, vt rectangulum $ub $inubus arcuum in- 58. huius. & permu- tando. æqualium angulum quæ$itum amb<007>ent<007>um ad quadratum $inus totius, ita d<007>fferen- tiainter $inum ver$um arcus e<007>dem angulo oppo$iti, & $inum ver$um d<007>fferentiæ ar- cuum illorum inæqualium, ad $inum ver$um anguli quæ$iti: $i vellemus hoc theore- mate propo$. 58. vti, obtineret rectangulum illud primum aureæ regulæ locum. Qua- re laborio$a redderetur diui$io, vt patet. Facilior autem fit diu<007>$io $ecundum theore- ma $chol{ij} 2. eiu$dem propo$. 58. cum primum locum aureæ regulæ quantitas quartæ proportionalis occupet, quæ multo minor e$t illo rectangulo, facile\’q; inuenitur per abiectionem $olam tot figurarum ad dexteram ex eo rectangulo, quot cifræ in $inu to to cominentur; propterea quod d<007>ctum rectangulum per $inum totum $it diuidendum, vt <007>lla quantitas quarta proportionalis producatur.

PROBL. 5. PROPOS. 64.

DATIS duobus arcubus trianguli $phærici non rectanguli, cum angulo ab ip$is comprehen- $o; reliquum arcum, cum reliquis angulis reperire.

IN $phærico triangulo ABC, non rectãgulo dati $int duo arcus AB, BC, Quãdo duo arcus dati inæquales $unr, & neu t@r quadrãs cum angulo B. Oportet ex his & reliquum arcum AC, & reliquos angulos BAC, & ACB, exquirere. Sint primum dati arcus inæquales, & ex termino vnius eorum, nempe ex termino A, arcus AB, ad alterum arcum BC, demit- tatur arcus per pendicularis AD: qu@an intra triangulum, an vero extra ca- dat, calculus, & operatio docebit. Quoniam enim in triangulo ABD, cu- ius angulus D, rectus, datus e$t arcus AB, recto angulo oppo$itus, cum an- gulo B; dabitur quoque arcus perpendicularis AD, dato angulo B, oppo$i- Schol. 41. huius. tus. Rur$us, quia in eodem triangulo datus e$t arcus AB, recto angulo oppo- Schol. 45. huius. $itus, cum augulo B: [480]TRIANGVLA VEL, quia cognitus e$t arcus AD, & præterea an- Schol. 49. vel 44. hu<007><_>9. gulus B, datus: con$tat\’q; $pecies alterius arcus BD, circa angulum rectum. Nam quando arcus AB, e$t mi- nor quadrante, $i quidem & inuentus AD, $it minor, erit & BD, minor; Si vero AD, $it quadrante maior, erit 36. huius. & BD, maior: At $i AB, e$t maior quadrante, $i quidem & inuentus AD, $it maior, erit BD, minor; $i autem AD, $it minor, erit BD, maior:

VEL denique, quia datus e$t arcus AB, recto angu Schol. 53. vel 43. hui<_>9. lo oppo$itus, & arcus AD, circa rectum angulum; inuenietur quoq;, ex $cholijs in margine ad- ductis, arcus BD. Si igitur arcus hic BD, in- uentus fuerit minor dato arcu BC, argumen to e$t, arcum perpendicularem AD, intra triangulum cecidi$$e; extra vero, $i maior. Et quoniam ad vtramque partem arcus AB, du- ci pote$t arcus perpendicularis ad BC, nos, quãdo is extra triangulum cadit, eum in hac, & $equentibus propo$itionibus eligimus, qui angulum ABC, $ubtendit. Iam ablato arcu inuento BD, $i minor e$t, quam datus arcus BC, ex arcu BC; vel $i maior e$t, $ublato ar- cu dato BC, ex inuento arcu BD, notus fiet reliquus arcus CD. Quare cum in triangulo ADC, angulum habente rectum D, arcus duo AD, CD, circa rectum angulum cogniti $int; dabitur quoque ar- Schol. 1. 43. huius. cus AC, recto angulo oppo$itus, qui in triangulo ABC, quærebatur. POST hæc, quoniam in triangulo ABD, rectum Schol. 47. huius. habente angulum D, datus e$t arcus AB, recto angulo oppo$itus, cum angulo B: VEL, quia notus e$t arcus AD, circa angulum re- Schol. 56. vel 42. hui<_>9. ctum, cum angulo B, non recto; con$tat\’q; præterea de reliquo arcu BD, circa rectum angulum inuento, an maior $it quadrante, minorue. AVT quia datus e$t arcus AB, recto angulo oppo- Schol. 51. vel 45. hui<_>9. $itus, & in$uper arcus AD, circa rectum angulum: VEL deniq;, quia datus e$t arcus AB, oppo$itus an Schol. 55. vel 41. hui<_>9. gulo recto, & præterea arcus BD, circa rectum angulũ; cognitus quoque erit, per $cholia in margine notata, angulus BAD, Sic quo- que, quia in triangulo ACD, rectum habente angulum D, datus e$t arcus Schol. 51. vel 45. hui<_>9. AC, recto angulo oppo$itus, cum arcu AD, circa rectum angulum: VEL certe, quia datur arcus AC, recto angulo op- Schol. 55. vel 41. hui<_>9. po$itus, & præterea arcus CD, circa angulum rectum; notus efficietur etiam, per $cholia in margine appo$ita, angulus CAD. Addi- tus autem angulus CAD, proxime inuentus angulo BAD, nuper etiam in- uento, quando arcus AD, intra triangulum cadit; vel quando cadit extra, ablatus angulus CAD, ex angulo BAD, notum efficiet angulum BAC, qui in triangulo ABC, quærebatur.

AD extremum, cum in triangulo ACD, rectum habente angulum D, da- Schol. 47. huius. [481]SPHAERICA. tus $it arcus AC, angulo recto oppo$itus, & angulus CAD, iam inuentus: VEL cum $it cognitus arcus CD, circa angulum. Schol. 56. vel 42. hui<_>9. rectum, ac præterea angulus CAD; con$tet\’q; de re- liquo arcu AD, circa rectum angulum noto iam facto, an minor quadrante $it, an maior: AVT, cum datus $it arcus AC, angulo recto oppo- Schol. 51. vel 45. hui<_>9. $itus, cum arcu CD, circa angulum rectum: VEL denique, quoniam notus e$t arcus AC, recto Schol. 55. vel 41. hui <_>9. angulo oppo$itus, vnà cum arcu AD, circa angu- lum rectum; cognitus quoque fiet, per $cholia in margine adducta, angulus ACD; qui qui- dem in priori triangulo, vbi arcus AD, intra triangulum cadit, quærebatur: in po$terioriautem, vbi arcus AD, extra triangulum cadit, idem angulus ACD, ex duobus rectis ablatus, notum relinquit quæ$itum angulum ACB. Atque ita inuentus e$t & arcus reliquus AC, & reliqui anguli BAC, ACB.

NVLLA porro ratione alteruter arcuum AD, BD, e$$e pote$t quadrans: quia alias & arcus AB, recto angulo oppo$itus quadrans foret: quod e$t con 35. huius. tra hypothe$im.

QVOD $i quando arcus CD, deprehen$us fuerit quadrans; erit & arcus AC, quæ$itus, & recto angulo oppo$itus, quadrans; & angulus CAD, rectus. 35. huius. Atque ita $ine vllo labore inuentus erit & arcus AC, qui quæritur, & angulus 34. huius. CAD. Reliqua reperientur, vt prius.

PRAXIS ad enodandum hoc problema petenda e$t ex $chol{ij}s in margine citatis.

VERVM per $olos $inus ita progrediendum erit. Ex praxi proble- Praxis per $olos $inus, quãdo duo dati arcus $unt inæ- quales, & neuter qua drans. matis 2. $chol{ij} propo$. 41. inquirendus erit arcus AD.

DEINDE ex praxi $chol{ij} 1. propo$. 43. arcus BD; ex quo arcus CD, notus efficietur, auferendo inuentum arcum BD, ex dato arcu BC, vel datum arcum BC, ex ip$o inuento arcu BD, prout minor inuentus fuerit, quam datus arcus BC, aut maior.

AD hæc, in triãgulo BAD, explorãdus erit angulus BAD, per praxim problematis 1. propo$. 41. vel per praxim problematis 2. $chol{ij} propo$. 42. Similiter in triangulo ACD, eliciendus angulus CAD, ex praxi problematis 1. $chol{ij} propo$. 41. Ex duobus autem angul<007>s BAD, CAD, inuentis notus euadet angulus BAC, trianguli propo$iti; addendo $cili- cet vnum alteri, vt in prioritriangulo, vel auferendo angulum CAD, ex angulo BAD, vt in triangulo po$teriori.

PER praxim denique problematis 1. $chol{ij} propo$. 41. vel problema- tis 2. $chol{ij} propo$. 42. in tr<007>angulo ACD, eodem indagandus angulus ACD. Hic enim in priori triangulo propo$ito e$t quæ$itus, in po$teriori veroreliquus duorum rectorum e$t is, qui quæritur.

ALITER, & quidem magis expeditè. Sint rur$us in triangulo ABC, dati Alia demõ $tratio bre- uior. duo arcus inæquales AB, AC, cum angulo A. Quoniam igitur e$t, vt $inus [482]TRIANGVLA totus ad quantitatcm quartam proportionalem $inui toti, & duobus $inubus chol. 58. huius. arcuum inæqualium AB, AC, ita $inus ver$us an- guli A, ad difterétiam inter $inum ver$um arcus BC, angulo A, oppo$iti, & $inum ver$um differentiæ ar- cuum AB, AC:

SI fiat, vt $inus totus ad $inum vtriuslibet Praxis bre- uior, per $o los $inus, quádo dati duo arcus sũt inæqua les, & neu- ter qua- drans. arcuum inæqualium datorum, ita $inus alterius arcus dati ad aliud, producetur numcrus quartus proportionalis $inui toti, & duobus $inubus dicto- rum duorum arcuum. Si ergo rur$us fiat, vt $inus totus ad numerum quar tum proportionalem proxime inuentum, ita $inus ver$us anguli A, dati ad aliud, reperietur differentia inter $inum ver$um tert{ij} arcus, qui quæ- ritur, & $inum ver$um differentiæ ar cuum datorum inæqualium. Et quia $upra mon$trauimus, $inum ver$um tert{ij} arcus maiorem $emper e$$e $inu Schol. 1. 58. huius. ver$o differentiæ duorum arcuum inæqualium; $i differentia nuper inuen- ta ad{ij}ciatur ad $inum ver$um differentiæ datorum arcuum inæqualium, componetur $inus ver$us tert{ij} arcus dato angulo oppo$iti, qui quæritur, ex quo arcum ip$um eliciemus, vt in explicatione, atque v$u tabulæ $inuum dictum e$t. Angulum porro C, inueniemus ex cognitis arcubus AC, CB; & angulum B, ex notis arcubus AB, BC, vt in praxi $ecundæ demon- strationis præcedentis propo$. præcepimus, $i duo arcus angulum quemli- bet quæ$itum continentes fuerint inæquales. Nam $i aliquando æquales $int, adhibenda erit praxis po$tremæ demonstrationis eiu$dem propo$itio- nis antecedentis. Quòd $i $ciremus, an anguli B, C, $int acuti, vel obtu$i, Quando alter arcuũ datorũ in{ae}- qualiũ e$t quadrans. facili negotio, inuento arcu BC, ip$os inueniremus, vt ad finem $ecundæ demonstrationis antecedent<007>s propo$. monuimus.

QVOD $i alter inæqualium arcuum datorũ $it quadrans, nempe AB, ducemus ab eius extremo A, ad alterum arcum BC, arcum perpendicu- larem AD. Erit\’q alter $altem arcuum AD, BD, quadrans quoque. Non 36. huius. pote$t autem AD, e$$e quadrans; quia alias, cum & AB, quadrans po- natur, e$$ent anguli B, D, recti, atq; adeo triangulum ABC, e$$et rectan- 25. huius. gulum. quod non ponitur. Erit ergo BD, quadrans, ideo\’q angulus oppo- 34. huius. $itus BAD, rectus. Polus quoq; arcus AD, erit B, ob quadrantes AB, 26. huius. BD: propterea\’q, arcus AD, ex angulo ip$o B, dato cognitus erit. Atq; ita duo arcus AD, BD, cum angulo BAD, facti erunt noti $ine vllo ne- gotio multiplicationis. Reliqua inuenientur, vt prius.

SED $int iam dati arcus AB, AC, datum angulum A, comprehendentes, Quãdoduo arcus dati funt æqua. les. æquales. Erunt igitur duo anguli B, C, æquales, nempe vel acuti, vel obtu$i, & neuter arcuũ AB, AC, quadrans; arcus\’q; perpendicularis AD, ex A, in BC, demi$$us intra triangulum cadet, necnon & arcus BD, CD, & anguli ad A, [483]SPHAERICA. æquales erunt, vt in vltima figura præcedentis propo$. o$tendimus: ac proin- de vterque angulus ad A, datus erit, cum dimidium $it an- guli BAC, dati. Quoniam ergo in triangulo ABD, an- gulum habente rectum D, datus e$t arcus AB, recto angu- lo oppo$itus, cum angulo BAD, nimirum cum dimidio Schol. 41. huius. datianguli BAC; cognitus erit arcus BD, dato angulo BAD, oppo$itus: qui duplicatus totum arcum BC, quæ- $itum reddet notum. Rur$us quia in eodem triangulo ABD, Schol. 51. vel 45. hui<_>9. rectum habente angulum D, datus e$t arcus AB, angulo recto opppo$itus, cum arcu BD, circa angulum rectum: VEL, quia datus e$t arcus AB, recto angulo op- Schol. 47. huius. po$itus, & præterea angulus non rectus BAD: VEL denique, quia datus e$t arcus BD, circa re- Schol. 56. vel 42. hui<_>9. ctum angulum, vnà cum angulo non recto BAD, qui dato arcui BD, opponitur, con$tat\’q; pr{ae}terea $pecies reliqui anguli non recti B. Nam $i AB, fuerit quadran te minor, erit angulus B, acutus, $icut & BAD, acutus e$t: Si vero AB, maior quadrante extiterit, erit angu- lus B, obtu$us, quandoquidem BAD, acutus e$t; notus erit quoque, ex $cholijs in margine adductis, angulus B; ideo\’q; & an- gulus C, illi æqualis.

38. huius.

PRAXIS petatur ex $chol{ij}s in margine adductis.

Praxis.

SOLIS $inubus ita vtemur. Per praxim problematis 2. $chol{ij} pro Praxis per $olos $inus, quádo dati duo arcus $unt æqua- les. po$. 41. exquiremus arum BD; qui duplicatus totum BC, qui quæritur, dabit. Deinde ex praxi problemat is 2. $chol{ij} propo$. 42. quæremus an- gulum B; cui æqualis e$t alter angulus C.

DATIS igitur duobus arcubus trianguli $phærici non rectanguli, cum angulo ab ip$is comprehen$o; reliquum arcum, cum reliquis angulis reperi- mus. Quod faciendum erat.

SCHOLIVM.

HIC quoque potius vti voluimus theoremate $chol{ij} 2. propo$. 58 in demon$tra- tione $ecunda huius problemat is, quam theoremate eiu$dem propo$. 58. vt praxis mi- nus fieret laborio$a. Nam cum $it, vt quadratum $inus totius ad rectangulum $ub $i- 58. huius. nubus datorum arcuum inæqualium contentum, <007>ta $inus ver$us anguli dati à dictis arcubus comprehen$i ad d<007>fferentiam inter $inum ver$um arcus dato angulo oppo$iti, & $inum ver$um differentiæ duorum arcuum datorum inæqualium: $i vellemus vti hoc theoremate propo$. 58. mole$ta redderetur multiplicatio in aurea regula, cum $inus ver$us dati anguli multiplicandus e$$et per dictum rectangulum. At in no$tra praxi multo breuior fit mul<007>iplicatio, vt patet, quamuis bis regulam auream adhi- beamus.

PROBL. 6. PROP. 65.

DATIS duobus angulis triáguli $phærici non [484]TRIANGVLA rectanguli, vnà cum arcu ip$is adiacente; reliquos arcus, cum reliquo angulo $crutari.

IN triangulo $phærico ABC, non rectangulo dati $int duo anguli B, & Quãdo duo anguli dati sũt inæqua les, & arcus adiac\~es da- tus maior, aut minor quadrante. BAC, cum arcu adiacente AB. Oportet ex his reliquos arcus AC, BC, cum reliquo angulo C, $crutari. Sit prim um datus arcus AB, non quadrans, $ed vel maior, vel minor quadrante, & dati anguli B, BAC, inæquales, à quorum vno, nempe à BAC, ad arcum oppo$itum BC, arcus perpendicularis demit- tatur AD: qui an intra triangulum, an ve- ro extra cadat, calculus, atque operatio in- dicabit. Nam cum in triangulo ABD, rectũ habente angulum D, datus $it arcus AB, an- gulo recto oppo$itus, & angulus B; dabitur etiam angulus BAD: qui $i minor repertus Schol. 47. huius. fuerit dato angulo BAC, cadet arcus AD, intra triangulum; extra vero, $i maior. Iam ablato angulo BAD, inuento, $i minor e$t dato angulo BAC, ex angulo BAC; vel $i maior e$t, $ubducto angulo dato BAC, ex inuento angulo BAD, notus euadet reliquus angulus CAD.

NVNQVAM vero inuentus angulus BAD, e$$e pote$t rectus: quia duo arcus AB, BD, e$$ent quadrantes, ob angulos rectos BAD, ADB; cum 25. huius. tamen AB, ponatur e$$e nõ quadrans: $ed CAD, poterit aliquando e$$e rectus.

RVRSVS, quia in eodem triangulo ABD, rectum habente angulum Schol. 41. huius. D, datus e$t arcus AB, angulo recto oppo$itus, & angulus non rectus B: VEL, quia notus e$t vterque angulus non rectus Schol. 52. vel 42. hui<_>9. B, & BAD: AVT denique, quoniam datus e$t arcus AB, recto School. 45. huius. angulo oppo$itus, vna cum angulo non recto BAD; cogno$cetur quoque, per $cholia adducta in margine, arcus AD. Eodem\’que Schol. 41. huius. pacto, quia in eodem triangulo BAD, cuius angulus D, rectus, datus e$t ar- cus AB, recto angulo oppo$itus, vna cum angulo BAD: VEL, quia cognitus e$t vterque angulus non re- Schol. 52. vel 42. hui<_>9. ctus B, & BAD: VEL, quoniam notus e$t arcus AB, angulo recto Schol. 45. huius. oppo$itus, vna cum angulo non recto B: AVT, quia datus e$t arcus AB, angulo recto oppo Schol. 53. ve 43. hui<_>9. $itus, & præterea arcus AD, circa rectum angulum: VEL, quoniam notus e$t arcus AD, circa angu- Schol. 49. vel 44. hui<_>9. lum rectum, vna cum angulo non recto B, ei oppo$ito; con$tat\’q; præterea, an alter arcus BD, circa rectum angulum $it maior, minorue quadrante. Nam $i inuen tus angulus BAD, e$t acutus, erit arcus BD, quadran te minor; maior autem, $i obtu$us: VEL denique, quoniam notus e$t arcus AD, circa Schol. 44. huius. rectum angum, & præterea angulus non rectus BAD, ci adiacens; [485]SPHAERICA. cogno$cetur quoque, ex $cholijs in margine citatis, arcus BD. Præterea, quia in triangulo ACD, habente rectum angulum D, cognitus e$t arcus AD, circa angulum rectum, vnà cum angulo non recto CAD, ei adiacente; inuenietur quoque arcus AC, recto angulo oppo$itus. Atque ita iam vnus reliquorum Schol. 46. vel 45. hui<_>9. arcuum repertus e$t AC.

POST hæc, quoniam in eodem triangulo ACD, cuius angulus D, rectus, Schol. 41. huius. datus e$t arcus AC, recto angulo oppo$itus, vna cum angulo non recto CAD: VEL, quia datus e$t arcus AC, recto angulo op- Schol. 43. vel 53. hui<_>9. po$itus, & præterea arcus AD, circa eundem angu- lum rectum: VEL denique, quia datus e$t arcus AD, circa angu Schol. 44. huius. lum rectum, vnà cum angulo non recto CAD, ei adia- cente: notus quoque fiet, ex $cholijs in margine de$criptis, arcus CD: qui adiectus arcui inuento BD, quando perpendicularis arcus AD, intra triangulum ca- dit; vel, quando extra cadit, $ublatus ex arcu inuento BD, notum exhibebit arcum BC, qui e$t alter reliquorum arcuum, qui quæruntur.

AD extremum in eodem triangulo ACD, quoniam datus e$t arcus AC, re- Schol. 41. vel 55. hui<_>9. cto angulo oppo$itus, cum arcu AD, circa rectum angulum: VEL, quia datus e$t arcus AD, circa angulum re- Schol. 42. huius. ctum, & angulus non rectus CAD, ei adiacens: VEL, quia datus e$t arcus AD, circa angulum re- Schol. 56. vel 42. hui<_>9. ctum, & angulus non rectus ACD, ei oppo$itus; con- $tatq; præterea, an reliquus arcus CD, circa rectum an- gulum inuentus $it maior quadrante, aut minor: AVT, quia datus e$t vterque arcus AD, CD, cir- Schol. 48. vel 44. hui<_>9. ca angulum rectum: AVT, quia datus e$t arcus AC, angulo recto op- Schol. 45. vel 51. hui<_>9. po$itus, & in$uper arcus CD, circa rectum angulum: AVT denique, quoniam datus e$t arcus AC, recto Schol. 47. huius. angulo oppo$itus, cum angulo non recto CAD; notus quoque fiet, ex $cholijs in margine nominatis, angulus ACD, qui in priori triangulo e$t is, qui quæritur; in po$teriori vero $ubductus ex duobus rectis reliquum facit quæ$itum angulum ACB. Atque ita iam omnia, quæ propo$ita $unt, inuenimus.

DE praxi nibil noui præcipimus, $ed recurrendum erit ad praxes $cho liorum, quæ in margine citata $unt.

PER $olos autem $inus ita propo$itum exequemur. Per praxim pro- Praxis per $olos $inus, quãdo dati duo anguli inæquales $unt, & arc<_>9 datus illis adiac\~es nõ e$t quadrãs. blematis 2. $chol{ij} propo$. 41. in triangulo ABD, rectangulo inue$tiga- bimus arcum AD: Et per praxim problematis $chol{ij} 1. propo$. 43. ar- cum BD. Deinde per praxim problematis 1. $chol{ij} 1. propo$. 41. angu- lum BAD: quem, $i minor est dato angulo BAC, auferemus ex angulo BAC, dato; vel, $imaior e$t, ab eo datum angulum BAC, detrahemus, vt notus fiat angulus CAD.

HINC per praxim problematis 2. $chol{ij} propo$. 42. eliciemus in [486]TRIANGVLA triangul o rectangulo ACD, angulum ACD: qui erit quæ$itus ACB, in triangulo ABC, $i inuentus angulus BAD, fuerit minor angulo dato BAC: Si autem maior, idem angulus ACD, ex duobus rect<007>s demptus reliquum faciet angulum quæ$itum ACB.

IAM vero per praxim problematis 3. $chol{ij} propo$. 41. inueniemus in triangulo eod\~e ACD, arcum AC, recto angulo oppo$itum. Datur enim arcus AD, circa angulum rectum, & angulus nõrectus ACD, constat{quam} præterea, qual<007>s $it alter angulus non rectus CAD, iamdudũ inuentus: qui quidem arcus AC, e$t vnus reliquorũ, qui in triangulo ABC, quæruntur.

PER praxim tandem problematis 2. $chol{ij} propo$. 41. reperietur arcus CD: Vel per praxim problematis 1. $chol{ij} propo$. 42. Vel certe per praxim problematis $chol{ij} 1. propo$. 43. eundem arcum CD, cogno- $cemus: qui additus inuento arcui BD, quando angulus BAD, inuentus minor fuerit dato angulo BAC; vel, quando maior $uerit, ab eodem ar- cu BD, $ubtractus, notum efficiet arcum BC, qui e$t alter eorum in trian gulo ABC, qui inue$tigari debent.

QVOD $i quando angulus inuentus CAD, fuerit rectus, cum & ADC, rectus $it, erunt AC, CD, quadrantes; & AD, arcus anguli C; 25. huius. ac proinde angulus C, ex arcu inuento AD, cognitus erit. Reliquus autem Quãdoduo anguli $unt inæquales, & arcus ad- iac\~es datus quadrans. arcus BC, cogno$cetur ex quadrante CD, & arcu BD, inuento, vt prius.

IAM vero $i datus arcus AB, $it quadrans, exi$tentibus adhuc angulis B, & BAC, inæqualibus, erit angulus BAD, rectus, & arcus etiam BD, quadrãs. Nam cum in triangulo rectangulo ABD, arcus AB, angulo recto oppo$itus ponatur quadrans, erit $altem alter reliquorum arcuum quadrans. Non po- 36. huius. te$t autem AD, e$$e quadrans: quia duo anguli B, D, e$$ent recti, ob quadran 25. huius. tes AB, AD, cum tamen triangulum ABC, ponatur non rectangulum. Igi- tur BD, quadrans erit; ac propterea oppo$itus angulus BAD, rectus. Polus 34. huius. quoque arcus AD, erit B, ob quadrantes BA, BD; ac proinde AD, arcus 26. huius. erit dati anguli B, ideo\’q datus. Inuentis autem arcubus AD, BD, & angu- lo recto BAD, $ine vllo labore, cum in eis inue$tigandis nullo problemate ex præcedentibus egeamus, reliqua inueniemus, vt prius.

Quãdo duo angul@dati aũt {ae}quales.

SINT deinde in triangulo ABC, dati duo anguli B, & C, æquales, cum arcu BC, illis adiacente, $iue quadrans is $it, fiue qua- drante maior, aut minor. Erunt arcus AB, AC, æqua- 9. huius. les; ideo\’q; arcus perpendicularis AD, ad datum arcum BC, ex oppo$ito angulo A, demi$$us intra triangulum ca- det, $ecabitque & arcum datum BC, & angulum BAC, oppo$itum bifariam, vt in po$teriore ca$u propo$. 62. mon$trauimus. Quoniam ergo in triangulo ABD, re- ctum habente angulum D, datus e$t arcus BD, circa re- ctum angulum, quippe qui dimidium $it datiarcus BC, & in$uper angulus B, ei adiacens; dabitur & arcus AB, re- Schol. 45. vel 46. hui<_>9. cto angulo oppo$itus, ideo\’q; & AC, illi æqualis datus erit. Atque ita duo ar- [487]SPHAERICA. cus reliqui iam noti facti $unt. Rur$us quia in eodem triangulo datus e$t, per Schol. 41. vel 55. hui<_>9. inuentionem, arcus AB, recto angulo oppo$itus, cum arcu BD, circa re- ctum angulum: VEL, quia datus e$t arcus BD, circa angulum re- Schol. 42. huius. ctum, vnà cum angulo non recto B, ei adiacente: VEL certe, quia datus e$t arcus AB, angulo recto Schol. 47. huius. oppo$itus, cum angulo non recto B; reperietur, per $cholia in margine adducta, angulus quoque BAD: qui du- plicatus totum angulum BAC, quæ$itum efficiet cognitum.

SED per $olos $inus ita praxis $e habet. Per praxim problematis 2. Praxis per $olos $inus, quãdo duo anguli dati $unt æqua- les. $chol{ij} propo$. 42. ex arcu BD, circa angulum recturn dato, & ex angu- lo B, ei adiacente dato, inueniemus angulum BAD, qui duplicatus totum angulum quæ$itum BAC, dabit. Deinde per praxim problemat<007>s 3. $cho l{ij} propo$. 41, ex arcu BD, circa rectum angulum, & angulo BAD, op- po$ito iam inuento, eruemus ar cum AB, recto angulo oppo$itum, ideo{quam} & arcum AC, illi æqualem. Nam præter data con$iat etiam $pecies re- liqui anguli B, dati non recti.

DATIS igitur duobus angulis trianguli $phærici non rectanguli, vnà cum arcu ip$is adiacente; reliquos arcus, cum reliquo angulo $crutati $umus. Quod faciendum erat.

SCHOLIVM.

IN triangulis rectilineis non rectãgulis problema huic $imile propo$itum non fuit: propterea quod, datis duobus angulis, datur & tertius: qui nimirum relinquitur, 32. primi. $i duo illi ex duobus rectis tollantur. Quare cum vnum etiam latus detur, duo reli- qua latera per propo$. 10. triang. rectil. efficientur nota.

PROBL. 7. PROPOS. 66.

DATIS duobus angulis triãguli $phærici non rectanguli, cum arcu, qui alteri illorum opponi- tur; reliquos arcus, cum reliquo angulo indagare. Oporter autem con$tare, num arcus alteri angulo dato oppo$itus maior $it quadrante, an minor, aut certe quadrans.

Quãdoduo anguli dati inæquales sũt, & arcns dat<_>9 qui v- ni eorũ op- ponitur, nõ quadrans.

IN triangulo ABC, non rectangulo dati $int duo anguli B, C, cum ar- cu AB, qui angulo C, opponitur, con$tet\’que, an arcus AC, maior quadrante $it, minorve, an quadrans. Oportet ex his & reliquos arcus AC, BC, & reliquũ angulum BAC, inuenire. Sint primum dati duo anguli B, C, inæquales, & [488]TRIANGVLA datus arcus AB, non quadrans. Ducatur ex angulo A, ad arcum BC, datis angulis adiacent\~e arcus perpendicularis AD: 57. huius. qui intra triangulum cadet, $i vterque angu- lorum B, C, datorum fuerit acutus, vel obtu- $us; extra vero, $i vnus fuerit acutus, & obtu $us alter. Quia ergo in triangulo ABD, re- ctum hab\~ete angulum D, datus e$t arcus AB, angulo recto oppo$itus, cum angulo non re- cto B; notus fiet arcus AD, circa angulum Schol. 41. huius. rectum dato angulo B, oppo$itus. Hinc in eodem triangulo ABD, quoniam datus e$t Schol. 43. vel 53. hui<_>9. arcus AB, recto angulo oppo$itus, cum arcu AD, circa angulum rectum: VEL, quia datus e$t arcus AB, angulo recto op- Schol. 45. huius. po$itus, & præterea angulus B, non rectus: VEL denique, quoniam datus e$t arcus AD, circa Schol. 49. vel 44. hui<_>9. rectum angulum, cum angulo B, non recto ei oppo$ito; con$tat\’q; præterea $pecies arcus BD. Nam $i AB, da- tus fuerit minor quadrante; $i quidem & AD, inuentus $it minor, erit quoque BD, minor; $i autem maior, ma- 36. huius. ior. Si vero AB, datus fuerit quadrante maior; $i qui- dem & AD, inuentus $it maior, erit BD, minor; $i ve- ro AD, $it minor, erit BD, maior; reperietur quoque, ex $cholijs in margine citatis, alter arcus BD, circa an- gulum rectum. Hinc rur$us in eodem triangulo ABD, quoniam datus e$t ar- Schol. 41. vel 55. hui<_>9. cus AB, recto angulo oppo$itus, & præterea arcus BD, circa angulũ rectum: AVT, quia datus e$t vterque arcus AD, BD, cir- Schol. 44. vel 48. hui<_>9. ca angulum rectum: VEL, quia datus e$t arcus AB, recto angulo oppo Schol. 45. vel 51. hui<_>9. $itus, cum arcu AD, circa angulum rectum: VEL, quia datus e$t arcus AD, circa rectum angu- Schol. 56. vel 42. hui<_>9. lum, & in$uper angulus non rectus B, ei oppo$itus; con $tat\’q; præterea $pecies anguli BAD. Nam $i BD, arcus inuentus $it quadrante maior, erit angulus BAD, ob- 34. huius. tu$us; $i vero minor, acutus. VEL denique, quia datus e$t arcus AD, angulo Schol. 47. huius. recto oppo$itus, cum angulo non recto B; notus fiet quoq; angulus non rectus BAD, ex $cholijs in margine appo$itis.

DEINDE in triangulo ACD, rectum habente angulum D, quoniam datus e$t arcus AD, circa rectum angulum, cum angulo C, oppo$ito; (Nam quando perpendicularis arcus AD, extra triangulum cadit, dabitur angulus ACD, $i datus angulus ACB, ex duobus rectis $ubducatur.) poniturq; præ- terea con$tare $pecies arcus AC, qui in propo$ito triangulo ABC, alteri da- to angulo B, opponitur, in hoc vero triangulo ACD, recto angulo D, op- po$itus e$t; notus quoque euadet arcus AC; qui vnus e$t reliquorum arcuum, Schol. 41. vel 54. hui<_>9. qui inue$tigandi proponuntur in triangulo ABC. Hinc quia in eodem trian gulo ACD, datus e$t arcus AC, recto angulo oppo$itus, & arcus AD, circa Schol. 43. vel 53. hui<_>9. rectum angulum: [489]SPHAERICA. VEL, quia datus e$t arcus AC, angulo recto op- Schol. 45. huius. po$itus, cum angulo non recto C: VEL denique, quoniam datus e$t arcus AD, circa Schol. 49. vel 44. hui<_>9. angulum rectum, cum angulo C, ei oppo$ito, con$tat\’q; præterea $pecies arcus CD. Nam $i arcus AC, recto an- gulo oppo$itus, inuentus fuerit minor quadrante, erit vterque arcus AD, CD, vel minor etiam, vel maior; 56. huius. atque ita ex cognito arcu AD, $ciemus, an CD, minor $it, vel maior quadrante: Si vero inuentus arcus AC, fuerit quadrante maior, & AD, minor, erit CD, maior; at $i AD, maior fuerit, erit CD, minor; cogno$cetur etiam, per $cholia in margine po$ita, arcus CD: qui additus ar- cui iamdudum inuento BD, $i perpendicularis arcus AD, intra triangulum cadit; vel, $i extra, ablatus ex arcu BD, inuento; notum efficiet arcum BC, quæ$itum. Atque ita iam reliqui duo arcus AC, BC, inuenti erunt.

POSTREMO, quia in eodem proximo triangulo ACD, datus e$t ar- Schol. 47. vel 55. hui<_>9. cus AC, angulo recto oppo$itus, cum arcu CD, circa rectum angulum: VEL, quoniam datus e$t arcus CD, circa rectum Schol. 42. huius. angulum, & præterea angulus non rectus C: VEL, quia datus e$t arcus AD, circa angulum re- Schol. 42. vel 56. hui<_>9. ctum, vnà cum angulo non recto C, oppo$ito; con$tat\’q; præterea $pecies alterius anguli CAD. Nam $i arcus inuentus CD, minor e$t quadrante, erit angulus CAD, 34. huius. acutus; obtu$us vero, $i CD, quadrante maior e$t: VEL, quia datus e$t vterq; arcus AD, CD, circ@ Schol. 44. vel 48. hui<_>9. angulum rectum. VEL, quoniam datus e$t arcus AC, recto angulo Schol. 45. vel 51. hui<_>9. oppo$itus, & arcus AD, circa rectum angulum; VEL denique, quia datus e$t arcus AC, angulo re- Schol. 47. huius. cto oppo$itus, vnà cum angulo C, non recto; fiet quoque notus angulus CAD, ex $cholijs in margine adductis. Hic autem angulus CAD, additus angulo BAD, iam antea inuento, $i arcus perpendi- cularis AD, intra triangulum cadit; vel $i extra, ablatus ex inuento angulo BAD, cognitum exhibebit angulum BAC, quæ$itum.

CAETERVM nullo modo alteruter arcuum AD, BD, quadrans e$$e pote$t in hoc ca$u: quia $i alter illorum e$$et quadrans, e$$et quoq; arcus AB, 35. huius. angulo recto oppo$itus, quadrans. quod e$t contra hypothe$im.

PRAXIS huius problematis pendet ex $chol{ij}s in margine not atis.

SOLIS autem $inubus it a rem perficiemus. Per praxim problema- Praxis pet $olos $inus, quãdo dati anguli in{ae}- quales sũt, & datus at cus, qui vni eorum op- ponitur, nõ quadrans. t<007>s 2. $chol{ij} propo$. 41. inueniemus arcum AD: Et per praxim proble- matis $chol{ij} 1. propo$. 43. arcum BD: Et per prax<007>m problematis 1. $chol{ij} propo$. 41. angulum BAD.

DEINDE per praxim problematis 3. $chol{ij} propo$. 41. cogno$ce- mus arcum AC, cum con$tet ex bypothe$i eius $pecies. Hinc per praxim problematis $chol{ij} 1. propo$. 43. arcus CD, notus fiet; ex quo, $i adda- tur arcui inuento BD, vel abe@dem $ubtrahatur, prout perpendicularis [490]TRIANGVLA arcus AD, intra, vel extra triangulum ceciderit, cognitus fiet arcus BC.

AD extremum, per praxim problematis 1. $cholij propo$. 41. erue- mus angulum CAD; qui additus angulo inuento BAD, vel ab eo $ubtra- ctus, prout arcus perpendicularis AD, intra triangulum ceciderit, vel extra, notum faciet angulum BAC.

QVOD $i quando arcus AC, alteriangulo B, dato oppo$itus, $it qua- drans, quod euenire pote$t, non exi$tente quadrante AB; erit alter $altem reliquorum quoque arcuum AD, CD, in triangulo ACD, quadrans. Cum 36. huius. ergo AD, e$$e non po$sit quadrans, erit CD, quadrans; ac proinde angulus 46. huius. ei oppo$itus CAD, rectus. Itaque tunc inuentus erit & arcus CD, & angu- Quãdo duo anguli dati inæquales sũt, & datus arc<_>9 vni eo- rũ oppo$it<_>9, quadrans. lus CAD, $ine vllo alio labore: ex quibus & arcus BC, & angulus BAC, de- prehendentur, vt dictum e$t.

SIT iam arcus datus AB, quadrans, & adhuc duo anguli dati B, C, inæ- quales. Erit arcus BD, quadrans etiam, & angulus BAD, rectus. Cum enim in triangulo ABD, arcus AB, angulo recto oppo$itus quadrans ponatur; erit 36. huius. $altem & alter reliquorum arcuum AD, BD, quadrans. Non pote$t aut\~e AD, 25. huius. e$$e quadrans: quia duo anguli B, D, ob quadrantes AB, AD, recti e$$ent, ideo\’q; triangulum ABC, rectangulum, quod non ponitur. Erit ergo BD, quadrans, ac proinde angulus oppo$itus BAD, rectus. Erit quoque B, po- 34. huius. lus arcus AD, ob quadrantes AB, BD; propterea\’q; datus angulus B, arcum 26. huius. BD, notum efficiet. Inu\~etis autem arcubus AD, BD, cum angulo recto BAD, $ine vlla multiplicationis mole$tia, in uenientur reliqua, vt prius. In hoc ta- men ca$u arcus AC, nullo pacto quadrans erit, ne duo quadrantes $int AB, 25. huius. AC, in triangulo ABC, ac proinde duo anguli B, C, recti. Quod e$tet contra hypothe$im, cum triangulum ponatur non rectangulum.

VERVM $int iam in triangulo ABC, dati duo anguli B, C, æquales. Quãdo duc dati anguli squales sũt. Erunt duo arcus AB, AC, a quales; atq; adeo neuter eorum quadrans, ne duo anguli B, C, recti exi$tant. Demi$$us igitur arcus perpendicularis AD, ex tertio angulo A, intra triangulum cadet, diuidetq; tam ar- cum BC, quam angulum BAC, bifariam, vt $upra in $ecundo ca$u propo$. 62. o$tendimus. Igitur quia in triangulo ABD, rectum habente angulum D, datus e$t arcus AB, angulo recto oppo$itus, cum angulo Schol. 45. huius. B; cognitus erit & arcus BD: qui duplicatus totum arcum BC, notum efficiet: Sed & AC, notus e$t, cum dato arcui AB, æqualis $it. Deinde quoniam in eodem triangulo ABD, Schol. 41. vel 55. hui<_>9. datus e$t arcus AB, angulo recto oppo$itus, cum arcu BD, circa angulum re- ctum proximè inuento; VEL, quia datus e$t arcus BD, circa angulum re- Schol. 42. huius. ctum, cum angulo non recto adiacente B: VEL denique, quoniam datus e$t arcus AB, recto Schol. 47. huius. angulo oppo$itus, cum angulo non recto B; dabitur quoque, per $cholia in margine adducta, angulus BAD: qui duplica- tus totum BAC, quæ$itum præbebit.

ITA autem $olis $inubus in hoc ca$u vtemur. Per praxim proble- [491]SPHAERICA. matis 2. $cholij propo$. 41. reperiemus arcum AD: Ethinc per pra- Praxis pet $olos $inus, quádo dati duo anguli {ae}quales sũt. xim problematis $chol{ij} 1. propo$. 43. arcum BD; qui duplicatus totum arcum BC, dabit notum. Deinde per praxim problematis 1. $chol{ij} pro- po$. 41. Vel per praxim problematis 2. $chol{ij} propo$. 42. inueniemus an- gulum BAD, ac proinde eius duplum BAC, qui quæritur. Tertius au- tem arcus AC, dato arcui AB, æqualis e$t, atque adeo cognitus.

DATIS igitur duobus angulis trianguli $phæricinon rectanguli, cum vno arcu, qui alteri illorum opponitur, &c. Quod erat faciendum.

SCHOLIVM.

HVIC etiam problemati nullam propo$itionem re$pondentem attulimus in triam gulis rect<007>lineis, propter cau$am in $cholio antecedentis propo$. allatam.

OPORTET autem in primo ca$u huiu$ce problematis dari etiam nece$$ario $pe ciem arcus AC, alteri angulo dato B, oppo$iti. Alioquin in triangulo ACD, exda- to arcu AD, & angulo C, oppo$ito, (cum nihil certi adhuc exploratum habeamus de arcu CD, vel angulo CAD, qualesnã $int.) non inueniretur arcus AC, recto angu- lo oppo$itus, cum is po$sit e$$e vel maior quadrante, vel minor, & nondum ex datis, vel demon$tratis con$tet, qualis futurus $it. Caterum non $atis e$$e, $i dentur anguli duo, cum arcu vnieorum oppo$ito, ad eliciendos reliquos arcus, & reliquum angu- Etror Co- pernici. lum, iampridem admonuimus in $cholio propo$ 22. & 23. Vbi etiam Copernicum hal- lucinatum ea in re e$$e lib. 1. Reuolutionum propo$. 12. triang. $phær. indicauimus. Nõ $atis e$- $e, dari duo@ angulos, cũ arcu vni co rũ oppo$i- to, ad reli- qua ĩuenié da in tr<007>an gulo nõ re- ctangulo. Quod tamen hic breuiter ita rur$um demon§trab<007>mus. Sint duo arcus inæquales AB, AC, angulum BAC, con tinentes, & $emicirculo $imul æquales; atque adeo vnus quadrante maior, & alter minor. Ducto autem per B, C, arcu circuli maximi BC, ducatur ad eum productum ex A, alius arcus AD, neque per polos arcus AC, neque per polos arcus BC; ita vt anguli D, & CAD, $int non recti. Sed neque angulus ACD, rectus e$t. Nam $i foret rectus, e$$et angulus ABC, cui ille æquælis e$t, rectus quo 14. huius. que; atque ita duo arcus AB, AC, propter rectos angu- 25. huius. los B, C, æquales e$$ent, & quadrantes. Quod e$t contra hypothe$im. Triangulum ergo ACD, non rectangulum e$t; in quo licet duo anguli ACD, & D, dentur, cum arcu AD, qui angulo ACD, opponitur; non tameninde colligemus arcum AC, alte- ridato angulo D, oppo$itum, cum eidem opponatur in triangulo ABD, etiam arcus AB, ip$i AC, inæqualis; propterea quod eadem hypothe$is manet in triangulo ABD, nempe angul<007> dati B, D, (cum angulus B, angulo ACD, æqualis $it, vt o$tendimus) & arcus datus AD, angulo B, oppo$itus. Nece$$e e$t ergo, vt detur $pecies arcus an- gulo D, oppo$iti, vt $ciamus, num maior quadranteis $it, an minor, hoc e$t, num ar- cus AB, an AC, $umendus $it, cum vnus eorum maior quadrante $it, & alter mi- nor, &c.

HAC inre lap$us etiam e$t Ioan. Regiom. lib. 4. triangulorum propo$. 32. cum Error Re- giom. vult ex duobus angul<007>s datis, cum vno latere oppo$ito, reliqua inuenire. quod tamen non $atis e$$e, hic demon$trauimus.

[492]TRIANGVLA PROBL. 8. PROP. 67.

DATIS duobus arcubus trianguli $phærici non rectanguli, cum angulo, qui alteri eorum op- ponitur; rel<007>quos angulos, cum reliquo arcu inue- nire. Oportet autem con$tare, num angulus alte- ri arcui dato oppo$itus acutus $it, an obtu$us.

IN triangulo $phærico non rectangulo ABC, dati $int duo arcus AB, AC, cum angulo B, qui arcui AC, opponitur, Quando aeuter da- torũ arcuũ inæqualiũ o$t quadrás. con$tet\’q;, an angulus C, acutus $it, an obtu- $us. Oportet ex his & reliquos angulos C, BAC, & reliquum arcum BC, $crutari. Sint primum dati duo arcus AB, AC, inæquales, & neuter eorum quadrans. Ducantur ab angulo A, tertio arcui oppo$ito ad ip$um arcum ter- tium BC, arcus perpendicularis AD: qui in- tra triangulum cadet, $i vterque angulus B, 57. huius. C, acutus e$t, vel obtu$us; extra vero, $i vnus acutus, & alter obtu$us fuerit: con$tat autem ex datis, an vterque angulus acutus $it, obtu- $usve, an vnus acutus, & obtu$us alter; cum datus $it angulus B, cum $pecie anguli C. Ita- que quoniam in triangulo ABD, rectum habente angulum D, datus e$t arcus Schol. 41. huius. AB, angulo recto oppo$itus, cum angulo B; datus etiam erit arcus AD, circa rectum angulum dato angulo B, oppo$itus. Hinc in eodem triangulo ABD, quia datus e$t arcus AB, recto angulo oppo$itus, & in$uper arcus AD, circa Schol. 43. vel 53. hui<_>9. eundem angulum rectum:

VEL, qu<007>a datus e$t arcus AB, recto angulo op- Schol. 45. huius. po$itus, & præterea angulus non rectus B:

VEL denique, quia datus e$t arcus AD, circa an- Schol 49. vel 44. hui<_>9. gulum rectum, cum angulo B, oppo$ito; con$tat\’q; $pe- cies præterea arcus BD. Nam $i AB, datus fuerit mi- nor quadrante; $i quidem & AD, inuentus minor $it, erit quoque BD, minor; $i autem maior, maior. At $i 36. huius. AB, datus fuerit maior quadrante; $i quidem & AD, inuentus maior $it, erit BD, minor; $i autem AD, mi- nor $it, erit BD, maior;

cognitus etiam erit, ex adductis $cholijs in margine, alter arcus BD, circa an- gulum rectum. Hinc rur$us in eodem triangulo ABD, quia datus e$t arcus Schol. 41. vel 55. hui<_>9. AB, angulo recto oppo$itus, cum arcu BD, circa eundem rectum angulum:

VEL, quia datus e$t vterque arcus AD, BD, cir- Schol 44. vel 48. hui<_>9. ca angulum rectum:

[493]SPHAERICA.

VEL, quoniam datus e$t arcus AB, recto angulo Schol. 45. vel 51. hui<_>9. oppo$itus, cum arcu AD, circa eundem angulũ rectum:

VEL, quia datus e$t arcus AD, circa angulum re- Schol. 56. vel 42. hui<_>9. ctum, cum angulo oppo$ito B, con$tat\’q; præterea $pe- cies anguli BAD. Nam $i BD, arcus inuentus $it mi- nor quadrante, erit angulus BAD, acutus; obtu$us 34. huius. vero, $i maior:

VEL denique, quoniam datus e$t arcus AB, an- Schol. 47. huius. gulo recto oppo$itus, & in$uper angulus non rectus B;

efficietur quoq; notus, ex $cholijs in margine po$itis, angulus nõ rectus BAD.

DEINDE, quia in triangulo ACD, rectum habente angulum D, da- tus e$t arcus AC, recto angulo oppo$itus, & inuentus arcus AD, circa angu- lum rectum; cogno$cetur quoque angulus CAD, à dictis arcubus comprehen Schol. 51. vel45. hui<_>9. $us: qui additus inuento angulo BAD, vel ab eo $ubtractus, prout arcus per- pendicularis AD, intra triangulum cadit, aut extra, (quod quidem cogno- $cemus, vt ad initium diximus, ex dato angulo B, & $pecie data anguli C.) da- bit quæ$itum angulum BAC.

RVRSVS, quoniam in eodem triangulo ACD, datus e$t arcus AC, an- Schol. 55. vel41. hui<_>9. gulo recto oppo$itus, & inuentus arcus AD, circa rectum angulum:

VEL, quia datus e$t arcus AD, circa angulum re- Schol. 42. huius. ctum, & in$uper angulus non rectus CAD:

AVT denique, quoniam datus e$t arcus AC, an- Schol. 47. huius. gulo recto oppo$itus, & præterea angulus non re- ctus CAD;

cognitus quoque erit angulus ACD. Si igitur arcus perpendicularis AD, ca- dit intra triangulum, inuentus angulus erit ACB, qui quæritur; $i vero ca- dit extra, angulus inuentus ACD, demptus ex duobus rectis, notum relin- quet quæ$itum angulum ACB. Qui quidem angulus ACB, ita quoque re- perietur, licet arcus AD, non ade$$et. Quoniam e$t, vt $inus arcus AC, ad 41. huius. $inum anguli B, ita $inus arcus AB, ad $inum arcus ACB: $i fiat, vt $inus da- ti arcus dato angulo oppo$iti ad $inum dati anguli, ita $inus alterius arcus da- ti ad aliud, producetur $inus anguli huic arcui oppo$iti; ac proinde angulus ip$e ACB, cognitus erit, cum con$tet eius $pecies. Atq; ita inuenti iam $unt reliqui duo anguli BAC, ACB.

QVONIAM denique in eodem triangulo ACD, datus e$t arcus AC, Schol. 41. huius. angulo recto oppo$itus, cum angulo CAD, proxime inuento:

VEL, quia datus e$t vterque angulus non rectus Schol. 42. vel 52. hui<_>9. ACD, CAD:

VEL, quia datus e$t arcus AC, recto angulo oppo- Schol. 43. vel 53. hui<_>9. $itus, cum arcu AD, circa angulum rectum:

VEL, quia datus e$t arcus AD, circa angulum re- Schol. 44. huius. ctum, cum angulo non recto CAD:

VEL, quoniam datus e$t arcus AD, circa rectum Schol. 49. vel 44. hui<_>9. angulum, cum angulo oppo$ito ACD; con$tat\’q; præ- terea $pecies alterius arcus CD, circa rectum angulum. Exi$tente enim angulo inuento CAD, acuto, erit ar- cus CD, quadrante minor; maior autem, $i obtu$us.

34. huius.

VEL denique, quia datus e$t arcus AC, recto an- Schol. 45. huius. [494]TRIANGVLA gulo oppo$itus, cum angulo non recto ACD;

reperietur quoque, per $cholia in margine adducta, arcus CD, circa rectum angulum: qui vel additus arcui BD, iam dudum inuento, vel ab eo $ubductus, (prout nimirum arcus perpendicularis AD, intra triangulum ceciderit, vel extra) dabit arcum BC, in propo$ito triangulo ABC, quæ$itum.

PORRO nulla ratione alteruter arcuum AD, BD, in hoc ca$u, qua- drans e$$e pote$t: quia alioquin & arcus AB, recto angulo D, oppo$itus e$$et 35. huius. quadrans, quod e$t contra hypothe$im. Eadem ratione neque CD, quadrans erit, ne & arcus AC, angulo recto oppo$itus quadrans $it, quod e$$et etiam contra hypothe$im.

PRAXIS huius problematis petatur ex $chol{ij}s in margine po$itis.

Praxis per $olos $inus, quãdoneu- ter datorũ arcuum in {ae}qualiũ e$t quadrans.

SED per $olos $inus ita problema ab$oluetur. Per praxim problema- tis 2. $chol{ij} propo$. 41. inuenietur arcus AD, in triangulo ABD: Et hinc per praxim problematis $cholij propo$. 43. arcus BD. Deinde per praxim problematis 2. $chol{ij} propo$. 42. reperietur angulus BAD.

POST hæc in triangulo ACD, per praxim problematis 1. $chol{ij} pro- po$. 41. cognitus erit angulus ACD, qui e§t vnus quæ$itorum, $i con$tet, angulum C, eiu$dem e$$e $peciei cum angulo dato B; $i vero diuer$æ, veli- quus duorum rectorum erit angulus ACB, quæ$itus, quia ibi arcus per- 57. huius. pendicularis intra triangulum cadit, hic vero extra. Rur$us per praxim problematis $chol{ij} propo$. 43, notus efficietur arcus CD, qui in priori triangulo additus inuento arcui BD, in po$teriori vero ex eodem $ublatus exhibebit reliquum arcum BC, in propo$ito triangulo notum. Ad extre- mum, per praxim problematis 1. $chol{ij} propo$. 41. reperietur angu- lus CAD, qui additus, vel $ubductus ex inuento angulo BAD, tertium angulum BAC, qui quæritur, notum efficiet.

Quando al ter duorũ arcuũ inæ- qualiũ da- torum e$t guadrans.

QVOD $i alter arcuum datorum inæqualium AB, AC, $it quadrans; $i quidem AB, quadrans fuerit, erit quoque BD, quadrans, & angulus BAD, rectus, necnon B, polus arcus AD; atque adeo angulus datus B, eundem ar- cum AD, notum exhibebit, vt in præcedenti propo$. o$tendimus, quando ar- cus AB, ponebatur e$$e quadrans. Inuentis igitur arcubus AD, BD, & angu lo BAD, $ine vllo negotio, reliqua inueniemus, vt prius. Si vero arcus AC, $it quadrans, erit eadem ratione CD, quadrans, & angulus CAD, rectus, nec non C, polus arcus AD; atque adeo inuentus arcus AD, angulum ACD, no- tum faciet: qui vnus erit ex quæ$itis, quando arcus AD, cadit intra triangulum; $i vero extra, reliquus duorum re ctorum dabit angulum quæ$itum ACB. Atq; ita inuen- tus tunc erit, $ine multiplicatione vlla, & arcus CD, & angulus CAD, necnon angulus ACD: ex quibus repe- rientur reliqua, vt prius.

SINT iam dati duo arcus AB, AC, æquales. Erunt Quãdo da ti duo arc<_>9 {ae}quales sũt. duo anguli B, C, æquales; & arcus perpendicularis AD, ex A, in BC, demi$lus intra triangulum cadet; necnon & ar- cus BD, CD, & anguli ad A, {ae}quales erunt, vt in vltimo ca$u propo$. 63. o$ten [495]SPHAERICA. dimus. Cum ergo angulus B, datus $it, erit quoque C, illi æqualis, datus. Dein- de quia in triangulo ABD, habente rectum angulum D, datus e$t arcus AB, angulo recto oppo$itus, cum angulo B; dabitur quoque angulus BAD: qui Schol. 47. huius. duplicatus totum angulum BAC, quæ$itum offeret notum. Hinc, quoniam in eodem triangulo ABD, datus e$t arcus AB, recto angulo oppo$itus, cum an- Schol. 41. huius. gulo BAD, inuento:

VEL, quia vterq; angulus non rectus B, & BAD, Schol. 42. vel52. hui<_>9. datus e$t:

VEL denique, quia datus e$t arcus AB, angulo re- Schol. 45. huius. cto oppo$itus, cum angulo B, non recto;

cogno$cetur quoque, per $cholia in margine allata, arcus BD, circa angulum rectum; atque adeo & eius duplus BC, qui in quirendus proponitur.

PRAXIS facile colligi pote$t ex $chol{ij}s in margine appo$it<007>s.

SI vero $olos $inus adhibere malueris; inueniendus primum erit ar- Praxis, per $olos $inus, quãdo duo arcus dati {ae}quales sũt. cus AD, per praxim problematis 2. $chol{ij} propo$. 41. Atque hinc per praxim problematis $chol{ij} propo$. 43. arcus BD: qui duplicatus totum quæ$itum BC, dabit. Deinde per praxim problematis 1. $chol{ij} propo$. 41. vel per praxim problematis 2. $chol{ij} propo$. 42. reperiendus angulus BAD; ex quo eius duplus BAC, quem quærimus, notus erit: tertius au- tem angulus C, iam datus e$t, cum æqualis $it dato angulo B.

DATIS igitur duobus arcubus trianguli $phærici non rectanguli, cuns vno angulo, qui alteri eorum opponitur, &c. Quod faciendum erat.

SCHOLIVM. I.

NECESSE e$t autem con$tare in hoc problemate, num angulus C, alteri da- to arcui oppo$itus $it acutus, obtu$us ve, vt $ciatur, num perpendicularis arcus AD, intra triangulum cadat, nec ne. Hoc enim ignorato, ne$ciremus, an angulus CAD, addendus $it angulo BAD, an ab eo $ubtrahendus, vt inueniatur angulus BAC, quæ- $itus: Item an arcus CD, arcui BD, $it ad{ij} ciendus, an $ubducendus ex eo, vt ar- cus quæ$itus BC, reperiatur. Vel denique, num angulus inuentus ACD, $it is, qui quæritur, an vero reliquus duorum rectorũ, vt manife§tum e$t. Non e$$e porro $atis, $i duo arcus dentur, cum angulo vni eorum oppo$ito, ad inqu<007>rendos reliquos angu- los, cum reliquo arcu, iam dudum $upra docuimus in $cholio propo$. 24. Qua in re Error Co- pernici. Nicolaum Copernicum erra$$e lib. 1. Reuolutionum, pro- po$. 11. triang. $phær. ibidem monuimus. Quod tamen bre Nõ $atis e$- $e, dari duos arcus, cum angulo vni eorũ oppo $ito, in triã gulo nõ re- ctãgulo, vt reliqua in- ueniantur. uiter ita hic rur$us o$tendemus. Sint duo arcus æquales AD, AC, angulum DAC, ambientes, & vterque qua- drante minor, aut maior. Ducto autem per C, D, arcu circuli maximi CD, ducatur ad eum productum alius ar cus AB, ex A, neque per polos arcus CD, neque per po- los arcus AD, ita vt anguli B, & DAB, $int non recti. Sed neque angulus ADB, rectus e$t. Si namque vterque arcus AD, AC, minor e$t quadrante, erunt duo anguli C, & ADC, acuti; $i vero 25. huius. vterq; arcus AD, AC, quadrante maior e$t, erunt duo anguli C, & ADC, obtu$i. [496]TRIANGVLA Ex quo fit, angulum ADB, e$$e vel obtu$um, quando nimirum ADC, acutus e$ts 5. huius. vel acutum, quando videlicet ADC, e$t obtu$us: cum duo anguli ad D, duobus re- ctis $int æquales. Triangulum ergo ABD, non rectangulum e§t: in quo licet duo ar- cus AB, AD, dentur, cum angulo B, qui arcui AD, oppo n<007>tur; non tamen inde coll<007>gere poter<007>mus rel<007>quum an- gulum alteri arcui dato AB, oppo$itum e$$e ADB; cum eidem arcui AB, opponatur quoque in triangulo ABC, angulus C, ip$i ADC, inæqualis: propterea quòd in trian gulo ABC, eadem hypothe$is manet, nempe arcus duo da ti AB, AC, (ponitur enim arcus AC, arcui AD, æqua- lis) & angulus datus B, arcui AC, oppo$itus. Oportet ergo con$tare, num angulus alter<007> arcui AB, oppo$itus $it acutus, aut obtu$us, hoc e$t, an $umendus $it angulus ADB, an vero C, cum vnus obtu$us $it, & alter acutus, &c.

SCHOLIVM. II.

HACTENVS demon$trauimus ea, quæ ad triangulorum calculum requirun- tur, pluribus $ane propo$itionibus, & forta$$e longior<007>bus, quam in calculo, qui fa- cilis & breuis e$$e debet, quis de$ideret. Quare operæ pretium me facturum arbitror, $i Epilogi loco praxes omnium problematum, quæ in triangulis rectil<007>neis, & $phæ- ricis demon $tratæ $unt, $eor$um hic, in vnum qua$<007> locum conge$tas, de$cribam; vt in promptu eas $emper, & qua$<007> ad manus habeamus, quando v$urpandæ $unt, ne $ru- $train eis è tanta propo$itionum multitudine $eligendis tempus teramus. In margine porrò propo$itiones, ac problemata, in quibus earum demon$trationes continentur, adducemus, vt facile à quovis, cum res exiget, po$sint reperiri. Itaque quod ad cal culum triangulorum attinet, $atis erit, $i pauca hæc, quæ $equuntur, attente, cum opus fuerit, perlegantur. In eis enim $umma omnium, quæ de triangulis demon$tra- uimus, comprehenditur. Quamuis autem in triangulis $phæricis non rectangulis ple- runque arcus, & angules triangulorum, in quæ triangula non rectangula re$ol- uimus, pluribus v{ij}s inue$tigauerimus, in praxibus tamen $equ\~etibus, vt omnem con- fu$ionem vitaremus, vnam tantum in quouis arcu, $iue angulo inquirendo, quam vi- delicet iudicauimus e$$e commodiorem, delegimus.

SEQVVNTVR PRAXES PRO- blematum omnium triangulorum ex de- mon$trationibus $uperioribus excerptæ, in quibus totus fructus no$trorum trian- gulorum tam rectilineorum, quam $phæ- ricorum con$i$t<007>t.

[497] TRIANGVLORVM RECTI- LINEORVM RECTANGVLORVM PROBLEMATA, ET PRAXES.

1. DATIS angulis omnibus cuiu$cunq; trian Quærũtur proportio- nes laterũ. guli; inuentire omnium laterũ proportiones.

ADSCRIBANTVR fingulis lateribus $inus recti angulorum oppo- Schol. pro- po$. 1. triãg. rectil. $itorum. Latera enim eas inter $e proportiones habent, quæ inter dictos $i- nus angulorum lateribus oppo$itis ad$criptos reperiuntur. Quod $i duo tan- tum anguli dati $int, in ueniendus primum erit tertius angulus, per $ubt ractio nem duorum datorum ex duobus rectis, ac tum demum eodem modo propor- tiones laterum indagandæ.

Aliter.

DVPLICETVR $inus rectus cuiusvis anguli acuti, habebitur\’q; la- Schol. pro- po$ 1. triãg. rectil. tus illi angulo oppo$itum in partibus $inus totius, quem refert $emidiameter circuli triangulo circum$cripti. Pro latere vero, quod recto angulo opponi- tur, $i forte triangulum e$t rectangulum, $umatur $inus totus duplicatus. Pro latere denique, quod angulo obtu$o opponitur, $i forte obtu$angulum e$t triangulum, accipiatur duplũ $inus recti, qui $emi$si aggregati ex duplis duo- rum angulorum acutorum debetur.

Quætitur latus, circa angulum re ctum vtrili bet angulo rum acuto rum oppo- $itum. 2. DATO latere in triangulo rectágulo, quod recto angulo opponitur, cum vno angulo- rum acutorum, ac proinde & cum altero acu to: (cum ambo $int vni recto æquales) inue- nire latus circa angulum rectum vtrilibet a- cutorum angulorum oppo$itum.

FIAT, vt $inus totus ad datum latus recto angulo oppo$itum, ita $inus Propo$. 2. triang. re- ctil. vtriu$vis anguli acuti dati ad a liud, producetur\’q; latus illi dato acuto angu- lo oppo$itum in partibus men$uræ, $ecundum quam datum e$t latus angulo recto opppo$itum.

Quætitur latus recto angulo op- po$itum, & alterutrum duorũ cir. ca eundem angulũ re- ctum. 3. DATO vno latere trianguli rectanguli cir- ca rectum angulum, cum vno acutorum an gulorum, atque adeo & cum altero acuto: [498]TRIANGVLA (quòd ambo vni recto $int æquales) inueni- realia duo latera.

FIAT, vt $inus totus ad latus datum circa angulum rectum, ita tangens Propo$. 1. triang. re- ctil. acuti anguli dato lateri adiacentis ad aliud, inuenietur\’q; alterum latus circa angulum rectum: Fiat item, vt $inus totus ad latus idem circa angulum re- ctum datum, ita $ecans eiu$dem anguli acuti dato lateri adiacentis ad aliud, producetur\’q; latus recto angulo oppo$itum, in partibus men$uræ, $ecun- dum quam latus circa angulum rectum e$t datum.

Aliter per $olos $inus.

FIAT, vt $inus anguli acuti dato lateri oppo$iti ad latus datum circa angulum Propo$. 1. triang. re- ctil. rectum, ita $inus alterius anguli acuti ad aliud, inuenietur\’q; latus huic alter<007> acuto angulo opp o$<007>tum circa angulum rectum: Fiat item, vt $inus anguli acuti dato lateri oppo$iti ad datum latus circa rectum angulum, ita $inus totus ad aliud, producetur\’q; latus angulo recto oppo$itum, in partibus men$uræ, $ecundum quam latus circa an- gulum rectum datum e$t.

Quærũtur duo anguli acuti, & v- num latus circa angu lum rectũ. 4. DATO latere in triangulo rectãgulo, quod angulo recto opponitur, cum alterutro reli- quorum duorum laterum circa angulum re ctum, reperire duos angulos acutos, & alte- rum latus circa angulum rectum.

FIAT, vt datum latus recto angulo oppo$itum ad $inum totum, ita da- Propo$. 3. triang. re- ctil. tum latus circa angulum rectum ad aliud, procreabitur\’q; $inus anguli acuti huic po$teriori lateri dato oppo$iti: Ex hoc autem angulo inu\~eto, alter quo- que acutus notus fiet, cum ambo vni recto $int æquales. Fiat rur$us, vt $inus totus ad datum latus angulo recto oppo$itum, ita $inus acuti anguli inuenti quæ$ito tertio lateri oppo$itiad aliud, inuenietur\’q; alterum hoc latus circa angulũ rectum, in partibus men$uræ, $ecundũ quam duo alia latera data $unt.

Quætũtur duo acuti anguli, &@la tus recto an gulo oppo- $itum. 5. DATIS duobus lateribus circa angulum rectum, inuenire duos angulos acutos, & la- tus recto angulo oppo$itum.

FIAT, vt alterutrum laterum datorum ad $inum totum, ita alterum la- Propo$. 3. triang. re- ctil. tus datum ad aliud, prodibit\’q; tangens anguli acuti huic po$teriori lateri op po$iti. Ex hoc autem angulo inuento notus euadet alter acutus angulus, cum ambo acuti vni recto $int æquales. Fiat rur$um, vt $inus totus ad vtrumuis la- terum circa angulum rectum datum, ita $ecans anguli acuti accepto huic la- teri a diacentis ad aliud, inuenietur\’q; latus angulo recto oppo$itum, in par- tibus, in quibus data $unt duo latera c<007>rca rectum angulum.

[499]RECTILINEA. Aliter per $olos $inus.

ADDANTVR $imul quadrata duorum laterum circa angulum rectum date- Propof. 3. triang. re- ctil. rum. Nam huius aggregatir adix erit latus angulo recto oppo$itum. Fiat rur$us, vt latus recto angulo oppo$itum, quod iam inuentum e$t, ad $inum totum, ita alteru- trum datorum laterum circa angulum rectum ad aliud, proueniet\’q; $inus acuti angu- li a$$umpto lateri circa angulum rectum oppo$iti. Ex hoc autem angulo inuento fiet quoque alter cognitus, cum vni recto ambo acuti $int æquales.

TRIANGVLORVM RECTILI- NEORVM NON RECTANGVLORVM PROBLEMATA, ET PRAXES. Quærũtur duo arcus, vel anguli, ex eorũ ag- gregato. 6. DATO aggregato duorum arcuum, vel an- gulorum, quod minus $it, quam grad. 180 vna cum proportione, quam eorum $inus hab\~et, vtrumqueillorum exhibere notum.

FIAT, vt $emi$sis aggregati terminorum proportionis datæ, quam $inus Propo$. 6. triang. re- ctil. arcuum, vel angulorum habent, ad tangentem $emi$sis aggregati arcuum, vel angulorum dati, (quærendo tangentem per partem proportionalem re$pon- dentem 30. $ecundis, $i forte aggregatum arcuum, vel angulorum bifariam diuidi nequeat $ine $ecundis.) ita differentia inter $emi$$em aggregati ter- minorum datæ proportionis, & alterutrum terminorum, ad aliud. Inue- nietur enim tangens arcus, vel anguli, quo vterque arcus, vel angulus quæ$i- tus à $emi$$e aggregati eorundem arcuum, vel angulorum dati differt: atque adeo arcus, vel angulus tangentis huius inuentæ additus ad $emi$$em dati ag- gregati arcuum, vel angulorum dabit maiorem arcum, vel angulum qu{ae}$itum; ablatus vero ab eadem $emi$$e relinquet arcum, vel angulum minorem.

Al<007>ter.

FIAT, vt $emi$sis differentiæ inter duos terminos proportionis datæ ad Propo$. 6. triang. re. ctil. tangentem $emi$sis differentiæ inter datum aggregatum arcuum, vel angulo- rum, & $emicirculum, ita aggregatum ex $emi$$e differentiæ inter duos termi- nos datæ proportionis, & con$equente termino eiu$dem proportionis, ad aliud. Producetur enim tangens arcus, $eu anguli, à quo $i detrahatur $emi$- $is differentiæ inter datum aggregatum arcuum, vel angulorum, & $emicircu- lum, reliquus fiet arcus, $iue angulus minor quæ$itus: hic autem ex dato ag- gregato $ubductus relinquet arcum, vel angulum quæ$itum maiorem.

[500]TRIANGVLA Aliter per $olos $inus.

FIAT, vt $emi$sis aggregati terminorum proportionis datæ ad $inum $emi$sis aga Propo$. 6. triang. re- ctil. gregati arcuum, $eu angulorum, ita differentia inter $emi$$em aggregati terminorum datæ proportionis, & alterutrum terminorum, ad aliud, inuenietur\’q; quartus qui- dam numerus; cuius quadratum $i ad{ij}ciatur quadrato $inus complementi $emi{$s}<007>s ag- gregati arcuum, $eu angulorum: Et rur $um fiat, vt radix quadrata aggregati duo- rum dictorum quadratorum ad $inum totum, ita quartus ille numerus inuentus ad aliud, producetur $inus arcus, $iue anguli, quo vterque arcus, angulus ve ab eorun dem aggregati dati $emi$$e differt. Additus ergo hic arcus, $eu angulus ad $emi$$em aggregati datipræbebit maiorem arcum, vel angulum; ablatus vero ex eadem $emi$- $e minorem arcum, $eu angulum relinquet.

QVOD $i quando proportio $inuum data $it æqualitatis, dabit $emi$sis dati aggregati arcuum, $eu angulorum, vtrumque arcum, $iue angulum.

Quærũtur duo arcus, $eu anguli, ex eorũ ag- gregato. 7. DATO duorum arcuum, quorum vterq; $emicirculo minor $it, vel duorum angulo- rum aggregato, quod maius $it, quam grad. 180. vnà cum proportione, quam eorũ $inus habent, vtrumque illorum reddere notum.

DETRACTO dato aggregato ex grad. 360. inueniatur per proble- Propo$. 6. triang. re- ctil. ma 6. vterque arcus, $iue angulus re$idui aggregati, quod minus e$t $emper, quam grad. 180. remanet\’q; eadem proportio $inuum. Nam $i ambo inuenti $eor$um ex $emicirculo $ubtrahantur, reliqui erunt arcus, vel anguli qu{ae}$iti.

QVANDO proportio data e$t æqualitatis, dabit quoque $emi$sis dati aggregati vtrumque arcum, $iue angulum quæ$itum.

QVOD $i forte datum aggregatum contineat præci$e grad. 180. proble- ma$olui non pote$t.

Quærũtur duo arcus, $iue angu- li, ex eorum differ\~etia. 8. DATA differentia duorum arcuum, quo- rum vterque $emicirculo $it minor, vel duo- rum angulorum, vna cum proportione, quam eorum $inus habent, vtrum que illo- rum notum efficere.

SI proportio $inus maioris arcus, vel anguli, ad $inum minoris e$t maio- Propo$. 7. triang. re. ctil. ris inæqualitatis; fiat, vt $emi$sis differentiæ ter minorum proportionis datæ ad tangentem $emi$sis datæ differentiæ arcuum, vel angulorum, ita aggrega- tum ex $emi$$e differentiæ terminorum proportionis, & con$equente termino proportionis eiu$dem, ad aliud, producetur\’q; tangens arcus, $iue anguli, qui $emi$si differentiæ arcuum, vel angulorum date additus componet maiorem arcum, $eu angulum; $i vero ab eodem $emi$sis differentiæ arcuum, vel angu- [501]RECTILINEA. lorum $ubducatur, reliquus erit arcus, vel angulus minor.

SI vero proportio $inus maioris arcus, vel anguli, ad $inum minoris e$t minoris inæqualitatis; inuertantur eius termini, vt fiat proportio maioris in- æqualitatis; atque ex hac, & data differentia arcuum, $eu angulorum inue- niantur duo arcus, vel anguli, vt dictum e$t. Nam maior eotum ex $emicircu- lo $ublatus dabit minorem arcum, $eu angulum quæ$itum; minor vero $ubdu- ctus ex $emicirculo offeret maiorem.

Aliter.

QVANDO $inus maioris arcus, vel anguli ad $inũ minoris habet pro- Propo$. 7. triang re- ctil. portionem maioris inæqualitatis; inquirantur ex data illa proportione maio- ris inæqualitatis, & ex arcu, $eu angulo, qui po$t detractionem datæ differen- tiæ ex $emicirculo relinquitur, tanquam ex aggregato duorum arcuum, $iue angulorum, duo arcus, $iue anguli huius aggregati, vt in problemate 6. præ- cepimus. Nam maior arcus, $eu angulus inuentus, $i ex $emicirculo aufera- tur, dabit maiorem arcum $iue angulum quæ$itum: Minor autem inuentus erit minor quæ$itus.

QVANDO autem proportio data e$t minoris inæqualitatis; inuertan- tur eius termini, vt fiat proportio maioris inæqualitatis: atque ex hac, & da- ta differentia arcuum, $eu angulorum, inue$tigentur duo arcus, $iue anguli, vt iam dictum e$t. Maior enim eorum ex $emicirculo $ubtractus dabit arcum, $eu angulum quæ$itum minorem; Minor vero maiorem.

Aliter per $olos $inus.

SI data proportio $inus maioris arcus, $iue anguli ad $inum minoris e$t maioris in- Propo$. 7. trtrang. re- ctil. æqualitatis; fiat, vt $emi$sis differentiæ terminorum proportionis datæ ad $inum $e- mi$sis datæ d<007>fferentiæ arcuum, vel angulorum, <007>ta aggregatum ex $em<007>$$e d<007>fferen tiæ terminorum proportionis, & con$equ\~ete termino eiu$dem proportionis, ad aliud, inuenietur\’q; quartus quidam numerus; cuius quadratum $i ad{ij}ciatur quadrato $i- nus complement<007> $emi$sis differentiæ arcuum, $eu angulorum datæ: Et rur$um fiat, vt rad<007>x quadrata aggregati dictorum duorum quadratorum ad $inum totum, ita numerus ille quartus inuentus ad aliud, reperietur $inus arcus, $iue anguli, cui $i addatur $em<007>{$s}is datæ differentiæ arcuum, $eu angulorum, notus fiet maior arcus, $i- ue angulus: ab eodem vero $i eadem $em<007>$sis detrahatur, reliquus erit minor.

QVOD $i data proport<007>o $it minoris inæqualitatis, ag\~edũ erit, vt $upra diximus.

IAM vero $i forte proportio data $it æqualitatis, detrahatur differentia data arcuum, $iue angulorum ex $emicirculo. Nam re$idui $emi$sis erit minor arcus, $eu angulus quæ$itus: eadem vero $emi$sis ad datam differentiam adie- cta dabit maiorem.

Quærũtur ca$us l<007>neæ perp\~ed<007>cu- laris. 9. SI ab vno angulo trianguli cuiu$vis dato- rum laterum ad latus oppo$itum perpendicu laris demittatur, quãta $it recta inter perpen- dicularem, & vtrum vis reliquorum angulo- rum, inuenire. [502]TRIANGVLA

DIFFERENTIA inter quadrata duorum laterum ambientium an- Propo$. 9. triang. re- ctil. gulum, à quo perpendicularis demi$$a e$t, diuidatur per latus tertium, produ cetur\’q; numerus; qui $i minor fuerit tertio latere, indicabit, perpendicularem intra triangulum cecidi$$e; idem\’q; ex tertio eodem latere $ubductus relinquet numerum, cuius $emi$sis dabit minus $egmentum ba$is, hoc autem ex toto ter tio latere $ubtractum dabit $egmentum maius. Idem vero numerus ex diui- $ione productus, $i fuerit maior tertio latere, argumento erit, perp\~edicularem extra triangulum cecidi$$e. Quare $i ex eo tertium latus au$eratur, reliquus erit numerus, cuius $emi$sis dabit rectam extra triangulum inter perpendicu- larem, & angulum obtu$um; eadem vero $emi$sis tertio lateri appo$ita dabit alteram rectam inter perpendicularem, & angulum acutum.

Aliter, & facilius.

FIAT, vt tertium latus, in quod demi$$a e$t perpendicularis, ad $ummam Propo$. 9. triang. re- ctil. aliorum duorum laterum, ita differentia eorundem ad aliud, proueniet\’q; nu- merus, ex quo rectam inter perpendicularem, & angulum vtrumq; inuenie- mus, vt nuper diximus.

Aliter.

CADENTE perpendiculari intra triangulum; diuidatur $emi$sis diffe- Schol. pro- po$ 9. triãg- rectil. rentiæ inter quadratum vttiu$vis laterum ambientium angulum, à quo per- pendicularis e$t demi$$a, & $ummam quadratorum ex alijs duobus lateribus de- $criptorum, per latus, in quod perpendicularis cadit, producetur\’q; $egmen- tum ba$is prope angulum, quem contin\~et duo latera, quorum $umma quadra- torum fuit accepta; hoc autem $egmentum ex tota ba$i detractum relinquet alterum $egmentum.

CADENTE vero perpendiculari extra triangulum, diuidatur $emi$s<007>s differentiæ inter quadratum lateris angulo obtu$o oppo$iti, & $ummam qua dratorum ex alijs duobus lateribus de$criptorum, per latus, in quod produ- ctum perpendicularis cadit, procreabiturq; linea extra triangulum inter per- pendicularem, & angulum obtu$um; hæc vero toti ba$i adiecta conficiet alte- ram rectam inter perpendicularem, & acutum angulum ba$is.

QVOD $i duo latera circa perpendicularem $int æqualia, $ecabit perpen Coroll. pro- po$. S. tr<007>ãg. rect<007>l. dicularis ba$im bifariam. Quare dimidiũ ba$is dabit vtramq; rectã qu{ae}$itam.

Quærũtur duo latera. 10. DATIS omnibus angulis trianguli non rectanguli, cum vno latere, inuenire alia duo latera.

FIAT, vt $inus anguli dato lateri oppo$iti ad $inum vtriusvis reliquo- Propo$. 10. triang. re ctil. rum angulorum, ita latus datum ad aliud, inuenietur\’q; latus po$teriori huic angulo oppo$itum. Fiat rur$us, vt $inus anguli dato lateri oppo$iti ad $inum tertij anguli, ita latus datum ad aliud, producetur\’q; tertium latus huic ter- tio angulo oppo$itum.

SI triangulum $it I$o$celes, vnius tantum lateris inuentione opus e$t, $i vnum datum $it, cum angulis. Idem dicendum e$t de Scaleno, $i duo eius late- ra cum angulis data $int. In Aequilatero vero, $i vnum latus detur, data e- runt & reliqua illi æqualia.

[503]RECTILINEA. Quærũtur angul<007>. 11. DATIS omnibus lateribus trianguli non rectanguli, reperire omnes eius angulos.

DVCTA ad maximum latus perp\~ediculari ex angulo oppo$ito, (vt per- Propo$. 11. triang. re- ctil. pendicularis $emper intra triangulum cadat) inueniãtur, per antecedens pro- blema, rectæ inter perpendicularem, & duos angulos maximi lateris po$itæ. Deinde fiat, vt minimum latus ad $inum totum, ita minus $egmentum ba$is ad aliud, gignetur\’q; $inus, cuius arcus complementum dabit angulum ba$is mini- mo lateri adiacentem. Rur$us fiat, vt medium latus ad $inum totum, ita ma- ius $egmentum ba$is ad aliud, procreabitur\’q; $inus, cuius arcus complemen- tum dabit angulum ba$is medio lateri adiacentem. Tertius vero angulus ma- ximo lateri oppo$itus conflabitur ex duobus arcubus duorum $inuum inuen- torum: Vel certe relinquetur po$t detractionem duorum angulorum inuen- torum ex duobus rectis.

SI triangulum $it I$o$celes, ducenda erit perpendicularis ad ba$im, quam bifariam $ecabit. Nam $i tunc fiat, vt vnum æqualium laterum ad $inum to- tum, ita dimidium ba$is ad aliud, reperietur $inus, cuius arcus complementum dabit vnum æqualium angulorum $upra ba$im, ac proinde & alterum. Ter- tius ex his duobus elicietur.

IN æquilatero dabuntur anguli, etiam $i latera non dentur, cum quilibet $it tertia pars duorum rectorum, vel duæ tertiæ vnius recti.

Quæritur latus, cum eius angu- lis duobus. 12. DATIS duobus lateribus trianguli non rectanguli, cum angulo ab ip$is comprehen $o, inuenire tertiũ latus, & reliquos angulos.

SVBDVCTO angulo dato ex duobus rectis, vt aggregatum aliorum Propo$. 12. triang. re- ctil. duorum habeatur, inueniatur, per 6. problema triang. rectil. ex hoc aggrega- to, & proportione laterum da torum eis oppo$itorum, (quæ eadem e$t, quæ inter $inus eorum reperitur) vterque eorum. Deinde fiat, vt $inus vtriusvis horum angulorum inu\~etorum ad $inum anguli in principio dati, ita latus in- uento angulo, qui in aurea regula acceptus fuerit, oppo$itum ad aliud, inue- nietur\’q; tertium latus.

QVOD $i data duo latera $int æqualia, ablato angulo dato ex duobus rectis, dabit $emi$sis re$idui vtrumque angulorum æqualium: Et $i fiat, vt $i- nus vnius illorum ad $inum anguli dati, ita vnum laterum æqualium ad aliud, prodibit tertium latus.

Quærũtur duo angu- li, cum vno latere. 13. DATIS duobus lateribus trianguli non rectanguli, cum angulo, qui vni eorum oppo nitur, inue$tigare reliquos angulos, & ter- tium latus: $i modo, quando datus angulus e$t acutus, con$tet, num angulus alteri da- [504]TRIANGVLA to lateri oppo$itus $it acutus etiam, an vero obtu$us.

FIAT, vt latus datum angulo dato oppo$itum ad alterum latus da- Propo$. 13. triang. re- ctil. tum, ita $inus anguli dati ad aliud, reperietur\’que $inus anguli alteri dato la- teri oppo$iti, qui $i acutus fuerit, ($emper autem acutus erit, $i datus e$t ob- tu$us) ex ip$o $inu inuento notus fiet; $i vero obtu$us, $inus inuentus dabit angulum, qui ex duobus rectis $ubductus quæ$itum angulum alteri dato la- teri oppo$itum relinquet: Summa autem ex dato angulo, & inuento angulo conflata, $i ex duobus rectis $ubtrahatur, indicabit tertium angulum à datis lateribus comprehen$um. Fiat deinde, vt $inus anguli dati ad $inum huius ter tij angul<007> inuenti, ita latus datum dato angulo oppo$itum ad aliud, gigne- tur\’q; tertium latus quæ$itum.

SI data latera $int æqualia, datus etiam erit angulus alteri dato lateri op- po$itus, cum dato angulo vt æqualis. Hinc tertius angulus, & tertium latus reperietur, vt prius.

TRIANGVLORVM SPHAERI- CORVM RECTANGVLORVM PROBLEMATA, ACPRAXES. Quæritur angulus nõ rectus. 1. DATO arcu in triangulo rectangulo, qui recto angulo opponitur, cum alterutro ar- cuum circa rectum angulum, inuenire angu lum huic arcui oppo$itum.

FIAT, vt $inus arcus dati recto angulo oppo$iti ad $inum totum, ita $i- Probl. 1. pro po$. 41. tri- ang. $phær. nus arcus dati circa angulum rectum ad aliud, inuenietur\’q; $in us anguli huic arcui oppo$iti, qui quæritur. Hic autem angulus erit acutus, $i datus ar- cus ei oppo$itus circa rectum angulum fuerit quadrante minor; obtu$us au- tem, $i maior.

Aliter.

FIAT, vt $inus totus ad $inum arcus angulo recto oppo$iti, ita $ecans Probl. pro- po$. 55. tri- ang. $phær. complementi arcus circa rectum angulum dati ad aliud, producetur\’q; $ecans complementi anguli quæ$iti, qui huic arcui opponitur.

2. DATO arcu in triangulo rectangulo, qui [505]SPHAERICA. recto angulo opponitur, cum alterutro an- gulorum nõ rectorum, inuenire arcum huic angulo oppo$itum. Quæritue arcus circa rectum an- gulum.

FIAT, vt $inus totus ad $inum arcus angulo recto oppo$iti, ita $inus an- Probl. 2. pro po$. 41. tri- ang. $phær. guli dati ad aliud, reperietur\’q; $inus arcus huic angulo oppo$iti, qui quæri- tur. Hic autem arcus quadrante minor erit, $i datus angulus ei oppo$itus fue rit acutus; maior vero, $i obtu$us.

Quæritur arcus recto angulo op- po$itus. 3. DATO alterutro arcuum in triangulo re- ctangulo circa angulum rectum, cum angu- lo ei oppo$ito, reperire arcum recto angulo oppo$itum: $i modo con$tet, num quadran- te minor $it, an maior; vel an alter angulus dato arcui adiacens $it acutus, obtu$usve; vel denique, an alter arcus circa rectum angu- lum $it minor quadrante, aut maior.

FIAT, vt $inus anguli dati ad $inum dati arcus, ita $inus totus ad aliud, Probl. 3. pro po$ 41. tri- ang. $phær. producetur\’q; $inus arcus recto angulo oppo$iti: qui ex inuento $inu cogno- $ci non poterit, ni$i con$tet, num $it quadrante minor, vel maior; aut an al- ter angulus non rectus $it acutus, obtu$usve; aut an alter arcus circa angu- lum rectum $it minor, aut maior quadrante. Nam $i alter angulus e$t acutus, $i quidem & angulus datus acutus $it; aut $i tam ille, quam hic e$t obtu$us, erit quæ$itus arcus recto angulo oppo$itus, quadrante minor: $i vero alter ille angulus e$t acutus, & datus obtu$us; aut ille obtu$us, & hic acutus, erit idem arcus quæ$itus, & angulo recto oppo$itus, quadrante maior. Sic etiam, $i alter arcus circa angulum rectum, & datus arcus, $unt eiu$dem $peciei, nem pe ambo minores, aut maiores quadrante, erit arcus quæ$itus recto angulo op po$itus quadrante minor; $i vero diuer$arum $pecierum, nimirum vnus qua- drante minor, & altet maior, erit idem arcus quæ$itus quadrante maior.

Aliter.

FIAT, vt $inus totus ad $inum dati anguli, ita $ecans complementi arcus Probl. pro- po$. 54. tri- ang. $phær. dati ad al<007>ud, producetur\’q; $ecans complementi arcus recto angulo oppo$iti.

Quæritur vterque ar- cuscirca an gulũ rectũ. Deinde ar- cus recto an gulo oppo- $itus. 4. DATIS duobus angulis non rectis in trian gulo rectãgulo, inuenire arcum vtrilibet eo- rum oppo$itum, vna cum arcu rectum angu lum $ubrendente. [506]TRIANGVLA

FIAT, vt $inus anguli dati quæ$ito arcui adiacentis ad $inum totum, ita Probl. 1. pro po$. 42. tri- ang. $phær. $inus complementi alterius anguli dati ad aliud, producetur\’q; $inus comple- menti arcus huic po$teriori angulo oppo$iti. Erit autem vterlibet arcus inuen tus quadrante minor, $i datus angulus ei oppo$itus fuerit acutus; maior vero, $i obtu$us.

IAM inuento vtroque arcu circa angulum rectum, inuenietur, per pro- blema 3. ex vtrolibet illorum, & angulo ei oppo$ito dato, arcus quoque recto angulo oppo$itus.

Aliter.

FIAT, vt $inus totus ad $inum anguli non recti quæ$ito arcui adiacen- Probl. pro- po$ 52. tri ang. $phær. tis, ita $ecans alterius anguli non recti ad aliud, reperietur\’q; $ecans arcus huic po$teriori angulo oppo$iti, qui quæritur.

Quæritur angulus nõ rectus, Dein de al<007>j duo arcus. 5. DATO alterutro arcuum in triangulo re- ctangulo circa angulum rectum, cum angu- lo ei adiacente, inue$tigare alium angulum eid\~e arcui oppo$itũ, & reliquos duos arcus.

FIAT, vt $inus totus ad $inum anguli dati, ita $inus complementi arcus Probl 2 pro po$. 42. tri- ang $phær. dati ad aliud, procreabitur\’q; $inus complementi alterius anguli, quem quæri- mus. Hic autem angulus erit acutus, $i datus arcus $uerit quadrante minor; obtu$us vero, $i maior.

EX vtroque autem angulo non recto, quorum vnus datus e$t, & alter in- uentus, reperientur reliqui duo arcus, vt in præcedenti problemate dictũ e$t.

Quæritur angulus nõ rectus. Dein de al<007>j duo arcus. 6. DATO alterutro arcuum in triangulo re- ctangulo circa angulum rectum, cum angu- lo ei oppo$ito, in ue$tigare alium angulum non rectum eidem arcu<007> adiacentem, & reli- quos duos arcus: $i modo con$tet, num alius ille angulus non rectus quæ$itus $it acutus, obtu$usve; vel an alteruter arcuum quæ$ito- rum quadrante minor $it, vel maior.

FIAT, vt $inus complementi arcus dati ad $inum complementi anguli da Probl 2. pro po$. 42. tr<007>- ang. $phær. ti, ita $inus totus ad aliud, reperietur\’q; $inus alterius anguli non recti quæ$i- ti: qui ex inuento $inu non elicietur, ni$i prius con$tet, an acutus $it, an ob- tu$us: Aut, an alteruter reliquorum duorum arcuum non datorum $it qua- drante minor, aut maior. Nam $i alter arcus circa angulum rectum non da- tus, & quæ$ito angulo oppo$itus, fuerit minor quadrante, erit quæ$itus angu lus acutus; $i vero maior, obtu$us. Pari ratione, $i arcus recto angulo oppo- [507]STHAERICA. $itus, & non datus, fuerit quadrante minor; $i quidem angulus datus $it acu- tus, erit quæ$itus quoque angulus acutus; $i vero obtu$us, obtu$us: At $i ar- cus angulo recto oppo$itus fuerit maior quadrante; $i quidem datus angulus $it acutus, erit quæ$itus angulus obtu$us; $i vero obtu$us, acutus.

EX vtroque porro angulo non recto, quorum vnus datus e$t, & alter in- uentus, inuenientur reliqui duo arcus, vt in problemate 4. traditum e$t.

Aliter.

FIAT, vt $inus totus ad $inum complementi arcus dati, ita $ecans dati Probl. pro- po$. 56. tri- ang. $phær. anguliad aliud, reperietur\’q; $ecans complementi alterius anguli non recti, qui quæritur. Reliqua in uenientur, vt $upra dictum e$t.

Quæritur arcus recto angulo op- po$itus. De- inde duo anguli non recti. 7. DATIS duobus arcubus in triangulo re- ctangulo circa angulum rectum, reperire ter tium arcum angulo recto oppo$itũ, & duos angulos non rectos.

FIAT, vt $inus totus ad $inũ complementi vtriu$libet arcuum datorum, Probl. pro- po$. 43. tri- ang. $phær. ita $inus complementi alterius arcus dati ad aliud, producetur\’q; $inus com- plementi arcus recto angulo oppo$iti. Hic autem arcus quadrante erit mi- nor, $i vterque arcus circa rectum angulum datus fuerit minor, aut maior qua drante; quadrante vero maior, $i vnus datorum arcuum fuerit quadrante mi- nor, & alter maior.

EX arcu autem rectum angulum $ubt\~edente inuento, & alterutro arcuum circa angulum rectum datorum, inuenietur angulus ei oppo$itus, vt in pro- blemate 1. diximus.

Quæritur arcus circa angulũ re- ctum. Dein de duo an- guli non re cti. 8. DATO arcu in triangulo rectangulo, qui recto angulo opponitur, cum alterutro ar cuum circa angulũ rectum, inquirere alium arcum circa rectum angulum, & duos angu- los non rectos.

FIAT, vt $inus complementi arcus dati circa angulum rectum ad $inum Probl. pro- po$. 43. tri- ang. $phær. complementi arcus recto angulo oppo$iti, ita $inus totus ad aliud, gignetur\’q; $inus complementi alterius arcus circa rectum angulum, qui quæritur. Hic au tem arcus erit quadrante minor, $i vterque arcus datus minor quadrante fue- rit, aut maior; maior vero, $i alter datorum arcuum fuerit quadrante minor, & alter maior.

INVENTO autem arcu rectum angulum $ubtendente, reperientur an- guli, vt in præcedenti problemate dictum e$t.

Aliter. Probl. pro- po$. 53. tri- ang. $phær.

FIAT, vt $inus totus ad $inum complementi dati arcus circa angulum re [508]TRIANGVLA ctum, ita $ecans arcus angulo recto oppo$iti ad aliud, producetur\’q; $ecans ter tij arcus, qui quæritur, &c.

Quæritur arcus eirca angulũ re- ctum. Dein de alter an gulus non rectus, & at cus recto angulo op- po$itus. 9. DATO alterutro arcuum in triangulo re- ctangulo circa angulum rectum, cum angu- lo non recto ei adiacente, $crutari alterum arcum circa angulum rectum, & alium angu lum non rectum, cum arcu rectum angulum $ubtendente.

FIAT, vt $inus totus ad $inum dati arcus, ita tang\~es dati anguli ad aliud, Probl. 1. pro po$. 44. tri- ang. $phær. producetur\’q; tangens arcus quæ$iti. Qui arcus min or quadrante erit, $i datus angulus ei oppo$itus fuerit acutus; maior autem, $i obtu$us.

EX eodem porrò arcu circa angulum rectum dato, & angulo adiacente, reperietur & alter angulus non rectus, & arcus recto angulo oppo$itus, vt $u- pra in 5. problemate docuimus.

Quæritur arcus c<007>rca angulũ re- ctum. Dein de alter an gulus non rectus, & ar cus recto angulo op- po$itus. 10. DATO alterutro arcuum in triangulo re- ctangulo circa angulum rectum, cum angu- lo ei oppo$ito, indagare alterum arcum circa rectum angulum, & alium angulum non re- ctum, cum arcu rectum angulum $ubtenden te: $i modo con$tet, an reliquus arcus circa angulum rectum qu{ae}$itus quadrante minor $it, aut maior; vel an alter angulus non rectus $it acutus, obtu$usve; vel denique num arcus angulo recto oppo$itus $it minor quadran- te, aut maior.

FIAT, vt tangens anguli dati ad tangentem dati arcus, ita $inus totus ad Probl. 1. pro po$. 44. tri- ang. $phær. aliud, reperietur\’q; $inus arcus quæ$iti: qui ex inuento $inu non cogno$cetur, ni$i cõ$tet, num quadrante minor $it, aut maior; vel an alter angulus non re- ctus $it acutus, obtu$usve; vel denique, an arcus recto angulo oppo$itus $it minor quadrante, aut maior. Nam $i alter angulus fuerit acutus, erit quæ$i- tus arcus ei oppo$itus, quadrante minor; $i vero obtu$us, maior. Sic etiam, $i arcus recto angulo oppo$itus fuerit minor quadrante, $i quidem & datus ar- cus $it quadrante minor, erit quæ$itus arcus minor quoque quadrante; $i vero quadrãte maior, maior quoque: At $i arcus recto angulo oppo$itus fuerit qua- [509]SPHAERICA. drante maior, $i quidem datus arcus maior quoque $it, erit qu{ae}$itus arcus mi- nor quadrante; $i vero quadrante minor, maior.

IAM vero ex eodem arcu circa angulum rectum dato, & angulo oppo$i- to, reperietur & alter angulus non rectus, & arcus recto angulo oppo$itus, vt in problemate 6. traditum e$t. Vel certe, ex duobus arcubus circa angulum rectum, quorum vnus datus e$t, & alter inuentus, inuenietur arcus recto angu lo oppo$itus, cum duobus angulis non rectis, vt in problemate 7. traditum e$t.

Aliter.

FIAT, vt $inus totus ad tangentem dati arcus, ita tangens complemen- Probl. pro- po$. 49. tri- ang. $phær. ti anguli dati ad aliud, reperietur\’q; $inus arcus quæ$iti. Reliqua inuenientur, vt proxime præcepimus.

Quæritur vterque an gulus non rectus. Dein de arcus re cto angulo oppo$itus. 11. DATIS duobus arcubus in triangulo re- ctangulo circa angulum rectum, inuenire vtrumlibet angulorum non rectorum, & ar- cum præterea recto angulo oppo$itum.

FIAT, vt $inus vtriusvis arcuum datorum ad $inum totum, ita tangens Probl. 2. pro po$. 44. tri- ang. $phær. alterius arcus dati ad aliud, procreabitur\’q; tangens anguli huic po$teriori ar- cui oppo$iti. Qui angulus acutus erit, $i datus arcus oppo$itus fuerit quadran te minor; obtu$us autem, $i maior.

EX ei$dem duobus arcubus datis inuenietur, per 7. problema, arcus ter- tius recto angulo oppo$itus: Vel certe, per problema 3. ex alterutro arcuum datorum, & angulo oppo$ito inuento.

Aliter.

FIAT, vt $inus totus ad $inum vtriusvis arcuum datorum, ita tangens Probl. pro- po$. 48. tri- ang. $phær. complementi alterius arcus dati ad aliud, prodibit\’q; tangens complem\~eti an- guli po$teriori huic arcui oppo$iti. Reliqua inueni\~etur, vt proxime dictum e$t.

Qu{ae}ritur ar cus recto an gulo oppo$i tus. Deinde alter arcus circa rectũ angulum, cum altero angulo nõ recto. 12. DATO alterutro arcuum in triangulo re- ctangulo circa angulum rectum, cum angu- lo non recto ei adiacente, inuenire arcum re cto angulo oppo$itum, & reliquum arcum circa angulum rectum, cum altero angulo non recto.

FIAT, vt $inus complementi anguli dati ad $inum totum, ita tangens Probl. 1. pro po$. 45. tri- ang $phær. dati arcus ad aliud, reperietur\’q; tangens arcus angulo recto oppo$iti. Hic autem arcus quadrante erit minor, $i datus angulus fuerit acutus, & datus arcus ei adiacens quadrante minor; aut $i angulus datus obtu$us fuerit, & ar- cus datus quadrante maior: Maior autem quadrante erit idem arcus quæ$itus, [510]TRIANGVLA $i datus angulus $uerit acutus, & arcus datus quadrante maior; aut $i datus angulus fuerit obtu$us, & arcus datus minor quadrante.

IAM vero, per 2. problema, ex arcu rectum angulum $ubtendente inuen to, & angulo dato, reperietur alter arcus circa angulum rectum dato angulo oppo$itus. Ex eodem vero arcu rectum angulum $ubtendente, & arcu in prin cipio dato, inuenietur, per 1. problema, alter angulus non rectus dato ar- cui oppo$itus.

Aliter.

FIAT, vt $inus totus ad $inum complementi anguli dati, ita tangens com Probl. pro- po$. 46. tri- ang. $phær. plementi arcus dati ad aliud, inuenietur\’q; tangens complementi arcus recto angulo oppo$iti. Reliqua reperientur, vt prius.

Quæritur angulius nõ rectus. De- inde alter arcus circa rectum an- gulũ, & al. ter angulus non rectus. 13. DATO alterutro arcuum in triangulo re- ctangulo circa angulum rectum, cum arcu re ctum angulum $ubtendente, reperire angu- lum à dictis arcubus comprehen$um, $iue da to arcui circa rectum angulum adiacentem, & in$uper reliquum arcum, & angulum.

FIAT, vt tangens arcus recto angulo oppo$iti ad tangentem dati arcus Probl. 2. pro po$. 45. tri- ang. $phær. circa angulum rectum, ita $inus totus ad aliud, producetur\’q; $inus comple- menti anguli à dictis arcubus comprehen$i, qui quæritur. Hic autem acutus erit, $i datus arcus recto angulo oppo$itus fuerit quadrante minor, & arcus circa rectum angulum datus minor quoque; aut $i tam ille, quam hic quadran te maior fuerit: Idem vero angulus quæ$itus erit obtu$us, $i datus arcus an- gulo recto oppo$itus fuerit minor quadrante, & datus arcus circa rectum an- gulum quadrante maior; aut $i ille fuerit quadrante maior, & hic minor.

RELIQVA inue$tigabũtur, vt in præcedenti problemate traditum e$t.

Aliter.

FIAT, vt $inus totus ad tangentem complementi arcus angulo recto op Probl. pro- po$. 51. tri- ang. $phær. po$iti, ita tangens dati arcus circa rectum angulum ad aliud, inuenietur\’q; $i- nus complementi anguli adia centis, qui de$ideratur.

Quæritur arcus circa angulũ re- ctum. Dein de alter ar- cus circa an gulum re- ctum, cum reliquo an- gulo non recto. 14. DATO arcu rectum angulum $ubtenden te in triangulo rectangulo, cum alterutro an- gulorum non rectorum, reperire arcum cir- ca angulum rectum huic angulo adiac\~etem, ac præterea alterum arcum circa angulum re ctum, cum altero angulo non recto. [511]SPHAERICA.

FIAT, vt $<007>nus totus ad $<007>num complementianguli dati, ita tangens ar- Probl. 3. propo$. 45. triãg. $ph{ae}r. cus recto angulo oppo$<007>ti ad aliud, procreabitur\’q; tangens arcus quæ$<007>ti. Qui quadrãte minor erit, $<007> arcus datus recto angulo oppo$<007>tus fuerit minor qua- drante, & datus angulus acutus; aut $<007> arcus datus quadrante fuerit maior, & angulus datus obtu$us: Idem vero arcus quæ$itus erit quadrante maior, $i da- tus arcus angulo recto oppo$itus fuerit minor quadrãte, & datus angulus ob- tu$us; aut $i arcus datus fuerit quadrante maior, & datus angulus acutus.

CAETERA explorabuntur, vt in problemate 12. docuimus.

15. DATO arcu in triangulo rectangulo, qui Quæritur angulus nõ rectus. De- inde duo rel<007>qui ar- cus. recto angulo opponitur, cum alterutro angu lorum non rectorum, inquirere alterum an- gulum non rectum, & duos arcus circa re- ctum angulum.

FIAT, vt $inus totus ad $inum complementi dati arcus recto angulo op Probl. pro- po$ 47. tri- ang $phær. po$iti, ita tangens anguli dati ad aliud, reperietur\’q; tangens complementian- guli quæ$iti. Hic vero erit acutus, $i arcus recto angulo oppo$itus fuerit qua- drante minor, & datus angulus acutus; aut $i datus arcus fuerit maior quadran te, & datus angulus obtu$us: At angulus idem quæ$itus erit obtu$us, $i arcus angulo recto oppo$itus quadrante minor fuerit, & angulus datus obtu$us; aut $i arcus ille fuerit quadrante maior, & datus angulus acutus.

HINC ex dato arcu angulum rectum $ubtendente, & vtroque angulo non recto, quorum vnus datus e$t, & alterinuentus, reperietur, per 2. pro- blema, vterque arcus circa rectum angulum.

16. DATIS duobus angulis non rectis in trian Quæritur arcus angu lo recto op po$itus. De inde duo arcus circa angulum rectum. gulo rectangulo, inuenire arcum recto angu- lo oppo$<007>tum, & reliquos duos arcus circa angulum rectum.

FIAT, vt $<007>nus totus ad tangentem complementi vtriusvis angulorum Probl. pro- po$. 50. tri- ang $phær. datorum, ita tangens complementi alterius dati anguli ad aliud, procreabi- tur\’q; $<007>nus complementi arcus angulo recto oppo$<007>ti, quem de$<007>deramus. Hic arcus erit quadrante minor, $<007> vterque angulorum datorum acutus fuerit, ob- tu$usve; quadrante vero maior, $<007> alter acutus fuerit, & alter obtu$us.

PORRO ex arcu rectum angulum $ubtendente inuento, & vtrouis an- gulorum datorũ, reperietur arcus ei oppo$<007>tus, vt in 2. problem. traditum e$t.

[512] TRIANGVLORVM SPHAERI- CORVM NON RECTANGVLORVM PROBLEMATA, ETPRAXES.

17. DATIS omnibus angulis trianguli non Quætũtur omucs ar- cus. rectangul<007>, inuenire omnes eius arcus.

SINT primum omnes anguli dati in triangulo ABC, inæquales, quo- Quãdo om nes anguli dati sũt in- æquales. rum duo B, C, acuti, vel obtu$<007>, & ex tertio angulo A, ad BC, ducatur arcus perdendicularis AD, qui intra triangulum cadet. Sta tuantur f<007>nus complementorum angulorum B, C, pro terminis proportionis $<007>nus anguli BAD, ad $<007>num Propo$. 62. triãg. $ph{ae}r. anguli CAD. Atque ex hac proportione, & ag- gregato angulorum BAD, CAD, hoc e$t, ex dato angulo BAC, inquiratur, per problema 6. triang. re- ctil. vterque angulus BAD, CAD. Deinde, per pro- blema 16. triang. $phær. tam ex duobus angulis B, BAD, non rectis inue$tigetur arcus AB, angulo re- cto D, oppo$<007>tus in triangulo ABD, quam ex duo- bus angulis non rectis C, CAD, arcus AC, recto angulo D, in triãgulo ACD, oppo$<007>tus. Po$tremo, per problema 2. tam ex arcu AB, rectum angulum D, $ubtendente, & angulo BAD, inuentis reperiatur arcus BD, quam ex arcu AC, rectum angulum D, $ubtendente, & angulo CAD, inuentis arcus CD. Summa enim arcuum BD, CD, totum arcum BC, efficiet notum. Atque ita omnes tres arcus AB, AC, BC, noti facti erunt.

_PER_ $olos $<007>nus ita problema ab$oluemus. _V_ter que angulus _BAD, CAD,_ in- Per $olos $i nus, quãdo omnes dati anguli in{ae}- quales sũt. ueniatur per _3._ praxim problematis 6. triang. rect<007>l. _D_einde, per 1. praxim proble- matis _4._ triang. $phær. tam ex duobus angulis _B, BAD,_ inue$tigetur arcus _BD,_ quam ex duobus angul<007>s _C, CAD,_ arcus _CD._ Summa enim arcuum _BD, CD,_ to- tum arcum _BC,_ notum efficiet. _P_o$tremo, per problema _3._ triang. $phær. reperia- tur tam arcus _AB,_ recto angulo _D,_ oppo$itus, ex arcu _BD,_ & angulo eioppo$ito _BAD,_ inuentis, quam arcus _AC,_ recto angulo _D,_ oppo$itus, ex arcu _CD,_ & an- gulo _CAD,_ ei oppo$<007>to inuentis: quia preter data con$tat etiam $pecies tam alterius anguli _B,_ quam anguli alterius _C,_ cum vterque datus $it.

QVOD $i quando alter angulorum ad A, inuentus fuerit rectus, nempe BAD; inuenti erunt duo arcus AB, BD, cum vterque $<007>t quadrans, ob rectos angulos D, DAB. Eadem ratione, $<007> deprehen$us fuerit angulus CAD, re- ctus, non autem BAD, (f<007>eri enim non pote$t, vt angulus vterque ad A, re- ctus $<007>t, cum totus BAC, minor $<007>t duobus rectis.) inuenti erunt duo arcus AC, CD, vtpote quadrantes, ob angulos rectos D, DAC.

SINT deinde duo $altem anguli dati B, C, æquales, quicquid $<007>t de ter- Quãdo da ti duo an- guli $unt æquales. tio A, à quo arcus perpendicularis AD, ad BC, ducatur. Erunt tam duo ar- cus AB, AC, quam duo BD, CD, & duo anguliad A, æquales; ac proinde vterque angulus ad A, cognitus, tanquam dimidium dati anguli BAC. Inue- [513]SPHAERICA. niatur ergo, per 16. problema, triang. $phær. arcus AB, recto angulo D, op- po$itus, ex duobus angulis B, BAD; erit\’q; proinde & AC, illi æqualis, cognitus. Deinde, per problema 14. triang. $phær. ex inuento arcu AB, rectum angulum $ub- tendente, & dato angulo B, reperiatur arcus BD; erit\’q; propterea & CD, illi æqualis, cognitus; ideo\’q; & totus BC, notus. Inuenti\’q; iam erunt omnes tres arcus AB, AC, BC.

_PER_ $olos autem $<007>nus ita rem exequemur. _P_er 1. praxim Per $olos G nus, quãdo duo dati an guli $unt æquales. problematis _4._ triang. $phær. inquiratur arcus _BD,_ ex duobus angulis _B, BAD;_ erit\’q; idcirco & _CD,_ illi æqualis, cognitus, propterea\’q; & totus _BC,_ notus. _D_einde, per problema _3._ triang. $phær. ex arcuinuento _BD,_ & an- gulo ei oppo$<007>to _BAD,_ reperiatur arcus _AB,_ recto angulo oppo$<007>tus: quia præter da- ta con$tat etiam $pecies alterius anguli _B,_ cum datus $<007>t: erit\’q; propterea & arcus _AC,_ ip$<007> _AB,_ æqualis, cognitus.

18. DATIS omnibus arcubus trianguli non Quætũtur omnes an- guli. rectanguli, inue$tigare omnes eius angulos.

SINT omnes arcus in triangulo ABC, dati, $<007>t\’q; primo loco inquiren Quãdo duo dati arcus $unt inæ- quales, & quadrante minores. dus angulus A, & duo arcus AB, AC, eum continentes $<007>nt inæquales, quadran te\’q; minores, quicquid $<007>t de arcu BC. Productis arcubus AB, AC, vt fiant quadrantes AD, AE, de$cribatur per D, E, arcus circuli maximi DE, occur- rens arcui BC, producto ver$us maiorem arcum, qui $<007>t AC, in puncto F. Sta- Prop. 63. triãg. $ph{ae}r. tuantur $<007>nus complementorum arcuum datorum AB, AC, pro terminis pro- portionis $<007>nus arcus BF, ad $<007>num arcus CF. Atque ex hac proportione, & arcu dato BC, qui differentia e$t arcuum BF, CF, inue$tigetur, per proble- ma 8. triang. rectil. vterque arcus BF, CF. Deinde, per problema 8. triang. $phær. inue- $tigetur tam arcus DF, ex arcu inuento BF, rectum angulum D, $ubt\~edente, & arcu BD, qui complementum e$t dati arcus AB; quam arcus EF, ex arcu inuento CF, rectum angu lum E, $ubtendente, & arcu CE, qui comple mentum e$t dati arcus AC. Subducto enim arcu EF, inuento, ex inuento arcu DF, no- tus remanebit arcus DE, anguli, A; ac proin de angulus A, notus erit. Po$t hæc, per pro- blema 11. triang. $phæ. ex arcubus notis BD, DF, circa rectum angulum D, inueniatur an- gulus DBF, ac proinde & reliquus duorum rectorum ABC. Eadem denique ratione, ex arcubus CE, EF, notis circa an- gulum rectum E, eruatur angulus ECF, atque adeo & angulus ACB, ei ad verticem æqualis. Atque ita iam omnes tres anguli A, B, C, inuenti erunt.

_PER_ $olos $<007>nus ita progrediemur. Vterque arcus _BF, CF,_ reperiatur per _3._ Per $olos fi- nus, quãdo dati duo ar cus sũt in- æquales, & praxim problematis _8._ triang. rectil. _D_einde, per _1._ praxim problematis _8._ triang. $phar. tam arcus _DF,_ ex arcu inuento _BF,_ rectum angulum _D,_ $ubtendente, & ar- cu _BD,_ complemento dati arcus _AB,_ inueniatur, quam arcus _EF,_ ex inuento ar- [514]TRIANVLA cu _CF,_ rectum angulum _E,_ $ubtendente, & arcu _CE,_ complemento dati arcus _AC._ quadrante minores. Subducto enim arcu _EF,_ ex arcu _DF,_ notus relinquetur _DE,_ arcus anguli A; atq; adeo angulus _A,_ notus erit. Po$t hæc, per problema _1._ triang. $phær. ex arcu inuen- to _BF,_ rectum angulum _D,_ $ubtendente, & inuento arcu _DF,_ inquiratur angu- lus _DBF,_ arcui _DF,_ oppo$<007>tus: _E_x quo notus quoque fiet reliquus angulus duorum rectorum, nempe _ABC._ Ad extremum eadem ratione, ex arcuinuento _CF,_ rectum angulum _E,_ $ubtendente, & inuento arcu _EF,_ inue$tigetur angulus _ECF,_ arcui _EF,_ oppo$<007>tus: Ex quo notus etiam f<007>et angulus ei ad vert<007>cem æqualis _ACB._

SINT deinde duo arcus inæquales AB, AC, qua- Quãdo duo dati arcus sũt in{ae}qua- les, & qua- drante ma- iores. drante maiores; qui producantur, donec conueniant in D: Erunt\’q; in triangulo DBC, duo arcus DB, DC, inæquales, & quadrante minores. Quare, vt proxime diximus, omnes eius tres anguli reperientur; ac pro- inde & reliqui duorum rectorum ABC, ACB, noti erunt, nec non & A, ip$i D, æqualis.

SIT tertio arcus AB, quadrante minor, & AC, Quãdo duo arcus dati inæquales sũt, & vnus quadrante maior, & al ter minor. maior quadrante. Producto AB, vt fiat quadrans AD, & ab$ci$$o ex AC, quadrante AE, ducatur per D, E, arcus circuli maxi- mi DE, $ecans BC, in F, vt in priore harum duarum f<007>gurarum. Statuantur $inus complem\~etorum arcuum datorum AB, AC, pro terminis proportionis $<007>nus arcus BF, ad $<007>num arcus CF. Atque ex hac pro- portione, & aggregato arcuum BF, CF, hoc e$t, ex dato arcu BC, indagetur, per 6. pro- blema triang. rectil. vterque arcus BF, CF. Deinde, per problema 8. triang. $phær. inue- niatur tam arcus DF, ex arcu BF, inuento rectum angulum D, $ubtendente, & arcu BD, complem\~eto dati arcus AB; quam arcus EF, ex inuento arcu CF, rectũ angulum E, $ubten dente, & arcu CE, complemento arcus AC, dati. Summa enim inuentorum arcuum DF, EF, dabit totum arcum DE, anguli A; ac proinde angulus A, cognitus erit. Po$t hæc, per problema 11. triang. $phær. perue$tigetur ex arcubus DB, DF, notis circa angulum rectum D, angulus DBF, ac proinde & duorum recto- rum reliquus ABC. Ac tandem eodem modo ex arcubus CE, EF, circa an- gulum rectum E, notis eliciatur angulus C: Inuenti\’q; erunt omnes tres an- guli A, B, C.

_PER_ $olos $<007>nus ita agendum erit. _V_terque arcus _BF, CF,_ per _3._ praxim pro- Per $olos $i- nus, quãdo dati duo ar cus inæqua les $unt, & vnus qua- drante ma ior, & alter minor. blematis 6. triang. rectil, inueniatur. _D_einde per _1._ praxim problematis _8._ triang. $phær. tam arcus _DF,_ ex arcus _BF,_ inuento, rectum\’q; angulum _D,_ $ubtendente, & arcu _BD,_ complemento arcus dati _AB;_ quam arcus _EF,_ ex inuento arcu _CF,_ qui recto angulo _E,_ opponitur, & arcu _CE,_ complemento dati arcus _AC,_ eruatur. _N_am $umma inuentorum arcuum _DF, EF,_ totum arcum _DE,_ anguli _A,_ dabit. Po$t hæc, per problema _1._ triang. $phær. reperiatur ex arcu _BF,_ rectum angulum _D,_ $ub- tendente, & arcu _DF,_ notis, angulus _DBF,_ ac pro<007>nde & duorum rectorum re- liquus _ABC._ Et tand\~e eodem modo ex notis arcubus _CF, EF,_ angulus _C,_ inueniatur.

SIT quarto maior arcus AB, quadrans, & AC, minor quadrante, vtin [515]SPHAERICA. po$teriore proximarum duarum $<007>gurarum. Producto arcu AC, vt f<007>at qua- Quãdo duo arcus dati inæquales sũt, & ma- ior arcus quadrans, m<007>nor au- tem qua- dr ante mi- nor. drans AD, ducatur per B, D, arcus circuli maximi BD. Deinde, per proble- ma 8. triang. $phær. ex arcu dato BC, rectum angulum D, $ubtendente, & ar- cu CD, complemento dati arcus AC, inueniatur arcus BD, anguli A; ex quo angulus ip$e A, notus erit. Po$t hæc, per problema 11. triang. $phær. inue$ti- getur ex duobus arcubus notis BD, CD, circa rectum angulum D, angulus BCD; ex quo notus quoque erit duorum rectorum reliquus ACB. Denique, per <007>dem problema 11. ex ei$dem arcubus BD, CD, reperiatur angulus CBD; qui ex recto ABD, detractus notum relinquet angulum ABC.

_PER_ $olos $<007>nus $<007>c procedemus _P_er _1_ praxim problemat<007>s _8._ triang $phær ex da Per $olcs $<007>- nus, quan- do ma<007>or arcus qua- draus e$t. toarcu _BC,_ rectum angulum _D,_ $ubtendente, & arcu _CD,_ complemento dati arcus _AC,_ reper<007>atur _BD,_ arcus anguli _A:_ ex quo angulus ip$e _A,_ cognitus erit. _D_e<007>nde ex arcubus not<007>s _BC, BD,_ per problema _1._ triang $phær. eru<007>tur angulus _BCD;_ ac proinde & duorum rectorum rel<007>quus _ACB._ _E_adem tandem rat<007>one, ex not<007>s arcubus _BC, CD,_ inquiratur angulus _CBD,_ qui ex recto _ABD,_ demptus notum relinquet angulum _ABC._

SIT quinto, & vltimo maior arcus AB, quadrante maior, & minor AC, Quãdo ma ior arcus da tus quadrã te maior e$t, & mi- nor qua- drans. quadrans, vt in eadem po$teriore proximarum duarum $<007>gurarum. Ab$ci$$o quadrante AE, ex AB, ducatur per C, E, arcus circuli maximi CE, Deinde, per problema 8. triang. $phær. ex dato arcu BC, rectum angulum E, $ubten- dente, & arcu BE, complemento arcus dati AB, inueniatur arcus CE, angu- li A; ex quo angulus ip$e A, cogno$cetur. Po$t hæc, per problema 11. triang. $phær. ex notis duobus arcubus BE, EC, circa rectum angulum E, eliciatur angulus BCE; cui $<007> addatur rectus ACE, notus f<007>et totus angulus ACB. Eadem tãdem ratione ex ei$dem arcubus BE, EC, inueniatur angulus EBC.

_PER_ $olos $<007>nus ita propo$<007>tum exequemur. _P_er _1._ prax<007>m problematis 8 triang. Per $olos $<007>- nus, quãdo ma<007>or ar-- cus datus quad<007>ante ma<007>or e$t, & minor quadrans. $phæ. ex dato arcu _BC,_ rectum angulũ _E,_ $ubtendente, & arcu _BE,_ complemento da- t<007> arcus _AB,_ inquiratur arcus _CE,_ anguli _A:_ f<007>etque ita notus angulus _A. D_einde per problema _1._ triang $phær. ex notis arcubus _BC, BE,_ reperiatur angulus _BCE;_ cu<007> $<007> addatur rectus _ACE,_ totus _ACB,_ cognitus erit. _P_ari ratione tandem ex ar- cubus notis _BC, CE,_ indagetur angulus _CBE._

ALITER, & facilius, per $olos $<007>nus, quan- do duo arcus quæ$<007>tum angulũ comprehen- dentes $unt inæquales quo modocunque.

_FIAT,_ vt $<007>nus totus ad $<007>num vtriusl<007>bet arcuum inæqualiũ quæ$<007>tum angulum Praxis faci lior, & gene ral<007>s, per $o los $<007>nus, quãdo duo arcus angu lum quæ$<007>- tum conti- nentes $unt inæquales. comprehendent<007>um, ita $<007>nus alter<007>us arcus circa eundem angulum ad al<007>ud, <007>nue- nietur\’q; numerus quidam quartus. _D_einde rur$us f<007>at, vt numerus <007>lle quartus inuentus ad $<007>num totum, ita d<007>fferentia inter $<007>num ver$um arcus quæ$<007>to angulo oppo$<007>ti, & $<007>num ver$um arcus, quo duo arcus quæ$<007>tum angulum ambientes <007>nter $e d<007>fferunt, ad aliud, producetur\’q; $<007>nus ver$us anguli, qui quærnur: ex quo an- gulus ip$e elicietur.

_EODEM_ modo al{ij} duo anguli inue$tigabuntur, $<007> arcus illos continentes fue- rint inæquales.

SINT iam duo arcus AB, AC, quæ$<007>tum angulum A, comprehenden- Quãdoduo arcus dati sũt {ae}quales. tes, æquales. Secab<007>t arcus perpendicularis AD, & angulum A, & ba$<007>m BC, [516]TRIANGVLA bifariam. Inueniatur ergo, per problema 1. triang. $phær. ex dato arcu AB, rectum angulum D, $ubtendente, & arcu BD, dimidio dati arcus BC, angulus BAD, qui duplicatus totum angulum BAC, dabit. Deinde, per problema 13. triang. $phær. ex ei$dem notis arcubus AB, BD, reperiatur an- gulus B, cui æqualis e$t angulus C, (ob æquales arcus AB, AC,) ac proinde cognitus quoque.

_PER_ $olos $<007>nus ita agemus. _P_er _1._ praxim problematis Per $olos $i nus, quãdo dati duo ar cus æquales $unt. _1._ triang. $phær. inueniatur ex dato arcu _AB,_ rectum angu lum _D,_ $ubtendente, & arcu _BD,_ dimidio arcus dati _BC,_ an- gulus _BAD,_ qui duplicatus totum _BAC,_ notum effic<007>et. Deinde per _1._ praxim problematis 6. triang. $phær. ex arcu _BD,_ dimidio arcus da- ti _BC,_ & angulo oppo$<007>to _BAD,_ inuento, (cum $pecies alterius anguli _B,_ con$tet. _N_am $<007> datus arcus _AB,_ recto angulo _D,_ oppo$<007>tus e$t quadrante minor, angulus _B,_ acutus erit, quemadmodum & _BAD,_ acutus e$t: Si vero _AB,_ quadrante maior e$t, erit angulus _B,_ obtu$us, cum _BAD,_ acutus $<007>t.) reperiatur angulus _B,_ cui æqualis e$t angulus _C,_ ob æquales arcus _AB, AC._

NEQVE vero duo duo æquales arcus e$$e po$$unt quadrãtes. Nam alias duo anguli $upra ba$<007>m e$$ent recti; atque adeo triangulum e$$et rectangulum. quod e$t contra hypothe$<007>n.

Quæritur arcus, cum duobus an gulis adia- centibus.

19. DATIS duobus arcubus trianguli non re- ctanguli cum angulo ab ip$<007>s comprehen $o, inue$tigare reliquum arcum, cum reliquis duobus angulis.

SINT in triangulo ABC, duo arcus AB, BC, dati, cum angulo B: $<007>nt\’q; Quãdoduo arcus dati $unt inæ- quales, & neuter eo- rum qua- drans. primum inæquales, & neuter eorum quadrans. Ex A, termino vnius eorum ad alterum demittatur arcus perpendicularis AD, qui an intra triangulum, an vero extra cadat, ex operatione ip$a di$cemus. Nam inueniatur, per proble- ma 2. triang. $phær. ex arcu dato AB, rectum angulum D, $ubtendente, & dato angulo B, arcus AD, angulo B, oppo$<007>tus. Rur$us ex da- Propro$. 64. @riãg. $ph{ae}r. to arcu AB, rectum angulum D, $ubtenden- te, & inuento arcu AD, reperiatur, per pro- blema 8. triang. $phær. tertius arcus BD. Si igitur arcus hic BD, inuentus fuerit minor dato arcu BC, cadet arcus AD, intra trian- gulum, extra vero, $<007> maior. Sublato autem inuento arcu BD, ex dato arcu BC, ($<007> ille hoc minor e$t) vel dempto arcu BC, dato ex inuento arcu BD, ($<007> hic illo maior e$t) no- tus relinquetur arcus CD. Ex arcubus deni- que AD, CD, circa angulum rectum D, inueniatur, per problema 7. triang. $phær. tertius arcus AC, qui quæritur.

DEINDE, per problema 13. triang. $phær, ex dato arcu AB, rectum [517]SPHAERICA. angulum D, $ubtendente, & arcu inuento AD, reperiatur angulus BAD, à dictis arcubus comprehen$us. Eadem\’q; ratione, ex inuento arcu AC, rectum angulum D, $ubtendente, & inuento arcu AD, inueniatur angulus CAD, à dictis arcubus comprehen$us. Nam angulus CAD, additus angulo BAD, (quando arcus AD, <007>ntra triangulum cadit) vel angulus CAD, ex angulo BAD, $ublatus, (quando arcus AD, cadit extra triangulum) con$<007>ciet, aut relinquet angulum quæ$<007>tum BAC.

AD extremum, per problema 13. triang. $phær. ex inuento arcu AC, re- ctum angulum D, $ubtendente, & arcu inuento CD, eliciatur angulus C: qui, vbiarcus AD, intra triangulum cadit, quæritur; at, quando arcus AD, ca- dit extra triangulum, $ubductus ex duobus rectis relinquit angulum ACB, quæ$<007>tum.

_PER_ $olos $<007>nus $<007>c agemus. _P_er problema 2. triang. $phær reperiatur ex dato ar- Per $olos $<007> nus, quan- do dati duo arcus <007>næ- quales sũt, & neuter eo rum qua- drans. cu _AB,_ rectum angulum _D,_ $ubtendente, & dato angulo _B,_ oppo$<007>tus arcus _AD: E_t hinc per _1._ praxim problematis _8._ triang. $phær arcus _BD. H_ic enim ablatus ex dato arcu _BC,_ ($<007> <007>lle hoc minor e$t) vel ex inuento arcu _BD,_ ablatus adtus arcus _BC,_ ($<007> hic illo minor e$t) notum relinquet arcum _CD. D_einde per _1._ praxim problematis _1._ triang. $phær. tam ex dato arcu _AB,_ rectum angulum _D,_ $ubtendente, & arcu in- uento _BD,_ eruatur angulus oppo$<007>tus _BAD;_ quam ex inuento arcu _AC,_ rectum angulum _D,_ $ubtendente, & inuento arcu _CD,_ oppo$<007>tus angulus _CAD. N_am ex duo- bus angulis _BAD, CAD,_ inuentis quæ$<007>tus angulus _BAC,_ cogno$<007>etur, $<007> vnus al- vi addatur, quando arcus _AD,_ intra triangulum cadit, vel, quando cadit extra, $<007> ex _BAD,_ detrahatur _CAD. P_o$tremo, per _1._ praxim problematis _1._ triang. $phær. inqu<007>ratur ex inuento arcu _AC,_ rectum angulum _D,_ $ubtendente, & arcu inuente _AD,_ oppo$<007>tus angulus _C. H_ic enim in priori triangulo e$t quæ$<007>tus, in po$teriori ve ro reliquus duorum rectorum _ACB,_ e$t is, qui quæritur.

QVOD $<007> forte arcus CD, deprehendatur quadrans, (nunquam autem BD, erit quadrans, po$<007>to AB, non quadrãte) erit tunc & arcus quæ$<007>tus AC, quadrans, & angulus CAD, rectus. Atque ita $<007>ne mole$tia inuentus erit ar- cus AC, qui quæritur, & angulus CAD: ex quibus quæ$<007>tos angulos BAC, ACB, inueniemus, vt prius.

SIT iam alter datorum arcuum inæqualium quadrans, nempe AB, à cu- Quando al ter datotũ inæqualiũ arcuum e$t quadrans. ius extremo A, ad alterum arcus perpendicularis AD, demittatur. Erit tunc arcus quoque BD, quadrans, & angulus BAD, rectus: nec non B, polus ar- cus AD; ac proinde arcus AD, ex dato angulo B, notus $<007>et. Atque ita in hoc ca$u duo arcus BD, AD, cum angulo BAD, noti facti erunt, $<007>ne alio la- bore: ex quibus reliqua inue$tigabuntur, vt prius.

ALITER, & facilius, per $olos $<007>nus, quando Praxis faci- lior, & gene ralis, per $o los $<007>nus, quando da ti duo ar- cus $unt in æquales. dati duo arcus inæquales $unt quomodo- cunque.

_FIAT,_ vt $<007>nus totus ad $<007>num vtriuslibet datorum arcuum inæqualium, ita $<007>nus alterius arcus dati ad aliud, producetur\’q; quidam quartus numerus. _D_einde vur$us $<007>at, vt $<007>nus totus ad inuentum illum quartum numerum, ita $<007>nus ver$us anguli dati ad aliud, reperietur\’q; differentia inter $<007>num ver$um tert{ij} arcus, qui quæritur, & $<007>num ver$um differentiæ datorum arcuum inæqualium: quæ differen- [518]TRIANGVLA tiainuenta, $<007> ad{ij}ciatur ad $<007>num ver$um d<007>fferentiæ datorum arcuum, componet $<007>- num ver$um tert{ij} arcus quæ$<007>ti. _C_ognitis iam tribus arcubus propo$<007>ti trianguli, re- perientur al{ij} duo anguli ex præcedenti problemate, præ$ertim ex praxi illa facilio- ri, $<007> arcus duo queml<007>bet illorum cont<007>n\~etes fuerint inæquales. Quòd $<007> quando æ qua- les $<007>nt, adhibenda erit po$trema praxis eiu$dem problematis præcedentis.

SED iam duo arcus dati AB, AC, datum angulum A, com prehendentes Quando duo arcus dati sũt æ- quales. $<007>nt æquales, ac proinde neuter quadrans. Secabit arcus perpendicularis AD, bifariam & datum angulum A, & ba$<007>m BC. Inueniatur ergo, per problema 2. triãg. $pher. ex dato arcu AB, angulum rectum D, $ubtendente, & ex angulo BAD, dimidio dati anguli BAC, arcus oppo$<007>- tus BD: qui duplicatus totum arcum BC, quæ$<007>tum da- bit. Deinde, per problema 13. triang. $phær. ex dato ar- cu AB, rectum angulum D, $ubtendente, & inuento arcu BD, inquiratur angulus B, à d<007>ctis arcubus comprehen- $us; cui {ae}qualis e$t angulus C, ob {ae}quales arcus AB, AC.

_PER_ $olos $<007>nus ita res peragetur. _E_x dato arcu _AB,_ rectum angulum _D,_ $ub- Per $olos $i- nus, quan- do duo ar- cus datisũt æquales. tendente, & angulo _BAD,_ dimid<007>o dat<007> angul<007> _BAC,_ reperiatur, per problema 2, tr<007>ang. $phær. arcus oppo$<007>tus _BD:_ qu<007> dupl<007>catus quæ$<007>tum totum _BC,_ offeret. _D_e- inde, per _1._ praxim problematis 6. triang. $phær. ex inuento arcu _BD,_ & angulo _BAD,_ dimidio angul<007> _BAC,_ dati (cum præterea con$tet $pecies alterius angul<007> _B._ _N_am $<007> arcus _AB,_ fuerit minor quadrante, erit angulus _B,_ acutus, $<007>cut & _BAD,_ acutus est: Si vere _AB,_ $<007>t quadrante maior, er<007>t _B,_ obtu$us, cum _BAD,,_ acutus $<007>t.) eliciatur angulus _B;_ cui angulus _C,_ æqualis e$t.

20. DATIS duobus angulis trianguli non re- Quætũtur duo arcus, cũ angulo ab ip$is cõ- prehen$o. ctanguli, cum arcu ip$<007>s adiacente, indagare rel<007>quos arcus, cum angulo reliquo.

SINT in triangulo ABC, dati duo anguli B, BAC, cum arcu AB, adia- Quãdo da- t<007> anguli sũt inæquales, & arcus ad- iacens non quadrans. cente: $<007>nt\’q; primum dati anguli inæquales, & arcus AB, non quadrans. Ex altero datorum angulorum, nempe ex A, ad arcum oppo$<007>tum BC, demittatur arcus per- pendicularis, quian intra triangulum cadat, an extra, operatio ip$a docebit. Inueniatur enim per problema 15. triang. $phær. ex dato Propo$. 65. triãg. $ph{ae}t. arcu AB, angulum rectum D, $ubtendente, & dato angulo B, alter angulus nõ rectus BAD: qui $<007> minor fuerit angulo dato BAC, cadet arcus AD, intra triangulum; extra vero, $<007> maior. In priori ca$u $ubductus angulus BAD, inuentus ex dato angulo BAC; in po$terio- r<007> vero datus angulus BAC, ex inu\~eto BAD, detractus, notum relinquet angulum CAD. Rur$us, per problema 2. triang. $phær. ex da- to arcu AB, angulum rectum D, $ubtendente, & angulo B, dato, reperiatur ar- cus AD, oppo$<007>tus, Item, per problema 12. triang. $phær. ex inuento arcu AD, [519]SPHÆRICA. & angulo adiacente CAD, inuento, eruatur arcus AC, recto angulo D, op- po$itus; qui quidem e$t vnus ex quæ$itis.

DEINDE, per problema 8. triang. $phær. tam ex dato arcu AB, rectum angulum D, $ubtendente, & inuento arcu AD, indagetur arcus BD; quam ex inuento arcu AC, rectum angulum D, $ubtendente, & arcu inuento AD, arcus CD: qui adiectus ad inuentum arcum BD, cadente arcu AD, intra triangulum, vel $ubductus ex eodem arcu BD, cadente arcu AD, extra trian gulum, notum dabit alterum arcum BC, quæ$itum.

AD extremum, per problema 15. triang. $phær. inue$tigetur ex inuento arcu AC, rectum angulum D, $ubtendente, & angulo inuento CAD, angulus ACD: qui in priori triangulo e$t is, qui quæritur; in po$teriori autem $ubdu- ctus ex duobus rectis reliquum facit ACB, quæ$itum.

_PER_ $olos $inus $ic negotium ab$oluetur. _P_er problema _2._ triang. $phær. inue- Per $olos $i nus, quãdo dati anguli sũt in{ae}qua- les, & arcus adiac\~es nõ quadrans. niatur ex dato arcu _AB,_ rectum angulum _D,_ $ubtendente, & angulo dato _B,_ arcus oppo$itus _AD:_ _E_tper _1._ praxim problematis _8._ triang. $phær. reperiatur ex dato ar- cu _AB,_ rectum angulum _D,_ $ubtendente, & inuento arcu _AD,_ tertius arcus _BD._ _I_tem per _1._ praxim problematis _1._ triang. $phær. inquiratur ex dato arcu _AB,_ an- gulum rectum _D,_ $ubtendente, & inuento arcu _BD,_ angulus oppo$itus _BAD:_ qui ablatus ex dato _BAC,_ ($i ille hoc minor e$t) vel ex eo datus _BAC,_ detractus, ($i hic illo minor e$t) notũ relinquet angulum _CAD. R_ur$us per problema _5._ triang. $phær. ex inuento arcu _AD,_ & angulo adiac\~ete _CAD,_ eruatur angulus _ACD;_ qui in priori triangulo e$t quæ$itus, in po$teriori vero reliquus duorũ rectorum _ACB,_ quæ$itus e$t.

_POST_ hæc, per _1._ praxim problematis _4._ triang. $phær. ex vtroque angulo _CAD, ACD,_ inuento reperiatur arcus _CD:_ qui in priori triangulo additus iam- dudum inuento arcui _BD,_ vel in po$teriori ab eo ablatus, notum faciet arcum _BC,_ quæ$itum.

_DENIQVE,_ per problema _7._ triang. $phær. inueniatur exinuentis arcubus _AD, CD,_ circa angulum rectum _D,_ arcus tertius _AC,_ recto angulo _D,_ oppo$itus, qui quæritur. _A_tqueita inuenti erunt duo reliqui arcus _BC, AC,_ cum reliquo an- gulo _ACB._

QVOD $i quando angulus inuentus CAD, fuerit rectus, (BAD, nun- quam pote$t e$$e rectus, po$ito AB, non quadrante) erunt AC, CD, qua- drantes; & AD, arcus anguli C; ac proinde angulus C, notus fiet ex inuento arcu AD. Reliquus autem arcus BC, cogno$cetur ex inuento arcu BD, & quadrante CD, veluti prius.

IAM vero $i datus arcus AB, $it quadrans, exi$ten tibus adhuc angulis B, Quãdo da- tus arcus e$t quadrans. BAC, datis inæqualibus, erit angulus BAD, rectus, & arcus quoque BD, quadrans. Item B, erit polus arcus AD; propterea\’q; arcus ip$e AD, ex dato angulo B, cognitus erit. Inuentis autem tunc tanta facilitate arcubus AD, BD, & angulo recto BAD, reperiemus cætera, vt prius.

SINT deinde in triangulo ABC, dati duo anguli B, Quãdo da- ti duo an - gul<007> sũt æ- quales. C, æquales, cum arcu BC, adiacente, $iue quadrans is $it, $iue non. Erunt arcus AB, AC, æquales, & arcus per- pendicularis AD, ex tertio angulo A, ad BC, demi$$us $ecabit & arcum BC, & angulum A, bifariam. Inuenia- tur ergo, per problema 12. triang. $phær. ex arcu BD, di- midio dati arcus BC, & dato angulo B, adiacente, arcus AB, recto angulo D, oppo$itus; cui cum æqualis $it AC, [520]TRIANGVLA inuenti erunt reliqui duo arcus. Rur$us, per problema 5. triang. $phær. ex eodem arcu BD, dimidio dati arcus BC, & dato angulo B, adiacente reperia- tur alter angulus non rectus BAD. Hic namque dupl<007>catus totum quæ$i- tum angulum BAC, dabit.

_PER_ $olos $inus ita operabimur. _P_er problema _5._ triang. $phær. inueniatur ex Per $olos $i- nus, quãdo duo anguli dat<007> sũt æ- quales. arcu _BD,_ dimidio dati arcus _BD,_ & dato angulo _B,_ adiacente angulus _BAD:_ qui duplicatus dabit totum _BAC,_ quæ$itum. _D_einde per _1._ praxim problematis _3._ triang. $phær. ex arcu _BD,_ dimidio dati arcus _BC,_ & inuento angulo _BAD,_ oppo$ito re- periatur (cum præterea con$tet $pecies alterius anguli _B,_ qui datus e$t) arcus _AB,_ recto angulo _D,_ oppo$itus: cui æqualis e$t _AC._

21. DATIS duobus angulis trianguli non re- Quærũtur duo arcus, cũ vno an- gulo. ctanguli, cum arcu qui alteri <007>llorum oppo- nitur, reliquos arcus, cum reliquo angulo in- ue$tigare: $i modo con$tet, num arcus alteri angulo dato oppo$itus quadrante maior $it, aut minor, aut certe quadrans.

SINT in triangulo ABC, dati duo anguli B, C, primum inæquales, cum Quãdo da- ti duo an- guli in{ae}qua les $unt, & arcus datus non qua- drans. arcu AB, qui angulo C, opponitur, non quadrante, con$tet\’q; præterea $pe- cies arcus AC, alteri angulo dato B, oppo$iti. Du- catur ex tertio angulo A, ad arcum BC, arcus per- pendicularis AD; qui intra triangulum cadet, $i v- terque angulus datus B, & C, e$t acutus, vel obtu- $us; extra vero, $i vnus acutus, & alter obtu$us e$t. Inue$tigetur, per problema 2. triang. $phær. ex dato Propo$. 66. triãg. $ph{ae}r. arcu AB, rectum angulum D, $ubtendente, & dato angulo B, arcus oppofitus AD. Item, per proble- ma 14. triang. $phær. ex eodem dato arcu AB, an- gulum rectum D, $ubtendente, & dato angulo B, eli- ciatur arcus BD. Rur$us reperiatur, per problema 15. triang. $phær. ex eodem dato arcu AB, rectum angulum D, fubtendente, & dato angulo B, angu- lus BAD. Ad hæc, per problema 3. triang. $phær. inueniatur quoque ex in- uento arcu AD, & dato angulo C, oppo$ito (Nam, cadente arcu AD, extra triangulum, angulus ACD, arcui AD, oppo$<007>tus relinquitur norus po$t $ub- tractionem dati anguli ACB, ex duobus rectis) arcus AC, recto angulo D, oppo$itus, cum eius $pecies con$tare ponatur. Atque ita inuentus erit arcus AC, vnus ex quæ$itis.

DEINDE, per problema 14. triang. $phær. reperiatur ex inuento arcu AC, rectum angulum D, $ubtendente, & dato angulo C, arcus CD: quiad- ditus arcui BD, $upra inuento, vel ex eo detractus, (prout nimirũ arcus AD, mtra triangulum cadit, aut extra) notum faciet arcum BC, qui e$t alter ex quæ$itis.

AD extremum, per problema 15. triang. $phær. ex inuento eodem arcu [521]_SPHAERICA._ AC, rectum angulum D, $ubtendente, & dato angulo C, inueniatur angulus CAD: qui additus angulo BAD, $i arcus intra triangulum cadit, vel $i ex- tra, ex eodem $ubductus, cognitum efficiet angulum BAC, quæ$itum.

SOLIS _$inubus vtemur $ic. Per problema 2. triang. $phær. ex dato arcu_ AB, Per $olos $i nus, quãdo dati duoan guli sũt in{ae} quales, & arcus datus non qua- drans. _rectum angulum_ D, _$ubtendente, & dato angulo_ B, _inquiratur arcus oppo$itus_ AD. _Et hinc, per 1. praxim problematis_ 8. _triang. $phær. ex dato arcu_ AB, _angulum _rectum_ D, _$ubtendente, & inuento arcu_ AD, _reperiatur tertius arcus_ BD. _Et_ _rur$us, per_ 1. _praxim problematis_ 1. _traing $phær. ex dato arcu_ AB, _rectum an-_ _gulum_ D, _$ubtendente, & inuento arcu_ BD, _eruatur angulus oppo$itus_ BAD. _Po§t_ _hæc, per_ 1 _praxim problematis_ 3. _triang. $phær. eliciatur ex inuento arcu_ AD, & _oppo$ito angulo dato_ C, _arcus_ AC, _recto angulo_ D, _oppo$itus, cum eius $pecies con-_ _$tet ex hypothe$i: qui arcus_ AC, _ex quæ$itis vnus e$t._

DEINDE, _per_ 1. _praxim problematis_ 8 _triang. $phær. ex inuento arcu_ AC, _rectum angulum_ D, _$ubtendente, & arcu_ AD, _reperiatur tertius arcus_ CD: _ex quo,_ _$i in priori triangulo arcui_ BD, _inuento addatur, velin po$teriori ex eodem $ub-_ _trahatur, cognitus fiet alter arcus quæ$itus_ BC.

PBR 1. _praxim denique problematis_ 1. _triang. $phær. ex arcu_ AC, _angulum_ _rectum_ D, _$ubtendente, & arcu_ CD, _inuento, inquiratur angulus oppo$itus_ CAD. _Nam hic in priori triangulo additus inuento angulo_ BAD, _vel in po$teriori ab eo- _dem demptus, notum faciet angulum_ BAC, _quæ$itum._

QVOD $i quando arcus AC, alteri angulo B, dato oppo$itus $it quadrãs, quod euenire pote$t, non exi$t\~ete quadrante AB, (quo in ca$u nunquam qua- drans e$$e poterit AD, vel BD,) erit quoque CD, quadrans, & angulus CAD, rectus. Quare non laborandum tunc erit in inqui$itione arcuum AC, CD, & anguli CAD: $ed ex ijs inueniendus erit arcus BC, & angulus BAC, vt diximus.

VERVM $it iam datus arcus AB, quadrans, & adhuc dati duo anguli B, Quãdo da- tus arcus quadrãs e$t, & dati duo anguli in{ae}- quales. C, inæquales. Quo po$ito, erit & BD, quadrans, & angulus BAD, rectus; nec non B, polus arcus AD; ac proinde arcus AD, ex dato angulo B, cum eius arcus $it, notus fiet. Cognitis autem tanta facilitate arcubus BD, AD, cum angulo recto BAD, inuenientur reliqua, vt prius.

SINT tandem dati duo anguli B, C, æquales. Diui- Quãdoduo anguli dati $unt æqua- les. det arcus AD, & ba$im BC, & angulum A, bifariam; & arcus AB, AC, æquales erunt. Inquiratur, per pro- blema 14. triang. $phær. ex dato arcu AB, angulum re- ctum D, $ubtendente, & dato angulo B, arcus BD: qui duplicatus totum quæ$itum BC, offeret. Alter autem quæ$itus AC, datus erit, cum dato AB, $it æqualis. Rur- $us, per problema 15. triang. $phær. ex eodem arcu dato AB, & angulo B, eliciatur angulus BAD; quo duplica- to, habebitur totus BAC, qui quæritur.

PER _$olos $inus ita ab$oluemus problema. Per problema_ 2. _triang. $phær. inve-_ Per $olos $i nus, quãdo duo anguli dati sũt æ- quales. _$tigetur arcus_ AD, _ex dato arcu_ AB, _rectum angulum_ D, _$ubtendente, & dato an-_ _gulo_ B, _arcui_ AD, _oppo$ito. Atque hinc, per_ 1. _praxim problematis_ 8. _triang. $phær._ _reper<007>atur ex dato arcu_ AB, _angulum rectum_ D, _$ubtendente, & inuento arcu_ AD, _tertius arcus_ BD: _qui duplicatus totum quæ$itum_ BC, _dabit. Deinde, per_ 1. _pra-_ _xim problematis_ 1. _triang. $phær. ex dato arcu_ AB, _rectum angulum_ D, _$ubtendente,_ [522]_TRIANGVLA_ _& arcu_ BD, _inuento indagetur angulus oppo$itus_ BA:D _qui duplicatus offeres_ _totum_ BAC, _quæ$itum._

IN hoc porro ca$u non pote$t datus arcus AB, e$$e quadrans.

22. DATIS duobus arcubus trianguli non Quætũtur luo angu- li cum vno ercu. rectanguli, cum angulo, qui alteri eorum opponitur, reliquos angulos, cum reliquo arcu $crutari: $i modo con$ter, num angu- lus alteri arcui dato oppo$itus acutus $it, aut obtu$us.

SINT in triangulo ABC, dati duo arcus AB, AC, cum angulo B, qui Quãdo da- ti duo ar- cus sũt in{ae} quales, & neuter eo- rum qua- drans. arcui AC, opponitur: $int autem primum illi arcus inæquales, & neuter qua- drans, con$tet\’q; præterea $pecies anguli C, alteri arcui dato AB, oppo$iti. Ducatur ex angulo A, à datis arcubus comprehen$o ad arcum BC, arcus per- pendicularis, qui intra triangulum cadet, $i vterque angulus B, C, $it acutus, vel obtu- $us; extra vero, $i vnus acutus $it, & alter ob- Propo$. 67. triãg. $ph{ae}r. tu$us. Con$tat autem, an vterque angulus acutus $it, obtu$usve, an non; quia angulus B, datus e$t, cum $pecie anguli C. inquiratur ergo, per problema 2. triang. $phær. ex dato arcu AB, angulum rectum D, $ubtendente, & angulo dato B, arcus oppo$itus AD. Et hinc, per problema 8. triang. $phær. ex eodem ar- cu dato AB, & arcu inuento AD, eliciatur tertius arcus BD. Hinc rur$us, per proble- ma 1. triang. $phær. ex dato arcu AB, rectum angulum D, $ubtendente, & arcu BD, inuen- to reperiatur angulus BAD, arcui BD, oppo$itus: Et per problema 13. triãg. $phær. ex dato arcu AC, rectum angulum D, $ubtendente, & arcu AD, in- uento eruatur angulus CAD, à dictis arcubus comprehen$us. Nam hic an- gulus adiectus ad inuentum angulum BAD, vel ab eodem $ubtractus, (prout arcus AD, cadit intra, vel extra triangulum) dabit quæ$itum angulum BAC. Inueniatur præterea, per problema 15. triang. $phær. ex dato arcu AC, re- ctum angulum D, $ubtendente, & inuento angulo CAD, angulus ACD: qui erit is, quem quærimus, $i arcus AD, intra triangulum cadit, $i vero extra, ablatus ex duobus rectis dabit angulum ACB, quæ$itum: $ic\’q; duo reliqui anguli BAC, ACB, erunt cogniti.

DEINDE, per problema 8. triang. $phær. ex dato arcu AC, angulum rectum D, $ubtendente, & inuento arcu AD, inquira tur arcus CD. Hic enim additus arcui inuento BD, vel ab eodem $ubductus (prout arcus AD, intra triangulum cadit, vel extra) notum offeret quæ$itum arcum BC.

IN hoc porro ca$u, nullus arcuum AD, BD, CD; quadrans e$$e pote$t.

PER _$olos $inus ita erit agendum. Per problema_ 2. _triang. $phær. ex dato arcu_ [523]SPHAERICA. AB, _angulum rectum_ D, _$ubtendente, & angulo dato_ B, _inueniatur oppo$itus ar-_ Per $olos $i nus, quan- do duo ar- cus dati sũt inæquales, & neuter eorum qua drans. _cus_ AD: _Atque hinc, per_ 1. _praxim problematis_ 8. _triang. $phær. ex dato arcu_ AB, _dato rectum $ubtendente angulum_ D, _& inuento arcu_ AD, _eruatur tertius arcus_ BD: _Atque hinc rur$us, per_ 1. _praxim problematis_ 1. _triang. $phær. ex arcu_ AB, _angulum rectum_ D, _$ubtendente, & arcu inuento_ BD, _reperiatur angulus oppo$itus_ BAD: _Nec non, per_ 1. _praxim problematis_ 8. _triang. $phær. ex dato arcu_ AC, _rectum angulum_ D, _$ubtendente, & arcu inuento_ AD, _eruatnr tertius arcus_ CD; _qui vel additus arcui inuento_ BD, _vel ex eo $ubtractus, (prout arcus_ AD, _cadit_ _intra, vel extra triangulum) dabit quæ$itum arcum_ BC.

DEINDE _inue$tigetur per_ 1. _praxim problematis_ 1. _triang $phær. ex dato ar-_ _cu_ AC, _rectum angulum_ D, _$ubtendente, & inuento arcu_ CD, _angulus oppo$itus_ CAD: _qui angulo_ BAD, _adiunctus, vel ab eo demptus, (prout arcus_ AD, _intra_ _triangulum, aut extra cadit) exhibebit quæ$itum angulum_ BAC. _Denique per_ _problema_ 5. _triang. $phær. ex arcu inuento_ AD, _& inuento angulo adiacente_ CAD, _reperiatur angulus alter_ ACD: _qui erit ex quæ$itis alter, $i arcus_ AD, _intra trians-_ _gulum cadit, $i vero cadit extra, detrahendus erit ex duobus rectis, vt reliquus_ _fiat alter angulus quæ$itus_ ACB.

QVOD $i alter datorum arcuum $it quadrans; $i quidem AB, quadrans Quãdo al- ter datorũ arcuum e$t quadrans. fuerit, erit quoque BD, quadrans, & angulus BAD, rectus, nec non B, po- lus arcus AD, ac proinde arcus AD, cogno$cetur ex dato angulo B. Atque ita cognitis arcubus AD, BD, & angulo recto BAD, reliqua inueniemus, vt prius. Pariratione, $i AC, fuerit quadrans, erit quoque CD, quadrans, & angulus CAD, rectus, nec non C, polus arcus AD; atque adeo inuentus ar- cus AD, notum faciet angulum $uum ACD; qui vnus erit ex quæ$itis, $i ar- cus AD, intra triangulum cadit; $i vero cadit extra, idem ex duobus rectis detractus relinquet quæ$itum angulum ACB. Inuentis autem tanta facilita- te angulis CAD, ACD, & arcu CD, reperientur cætera, vt prius.

SINT iam dati duo arcus AB, AC, æquales. Secabit arcus AD, & ba- Quãdoduo arcus dati sũt {ae}quales. $im BC, & angulum A, bifariam, anguli\’q; B, C, &qua- les erunt; atque ita inquirendus erit tantum angulus BAC, cum arcu BC. Inquiratur ergo, per problema 15. triang. $phær. ex dato arcu AB, rectum angulum D, $ubtendente, & dato angulo B, angulus BAD; qui du- plicatus offeret totum quæ$itum BAC. Rur$us, per pro- blema 2. triang. $phær. ex arcu AB, angulum rectum D, $ubtendente, & inuento angulo BAD, reperiatur arcus oppo$itus BD: qui duplicatus totum quæ$itum BC, dabit.

PER _$olos $inus $ic. Per problema_ 2. _triang. $phær. inueniatur ex dato arcu_ AB, Per $olos fi nus, quan- do dati duo arcus $unt æquales. _angulum rectum_ D, _$ubtendente & dato angulo_ B, _arcus oppo$itus_ AD: _Atque hinc _per_ 1. _praxim problematis_ 8. _triang. $phær. ex dato arcu_ AB, _rectum angulum_ D, _$ubtendente, & inuento arcu_ AD, _reperiatur tertius arcus_ BD; _qui duplicatus_ _totum quæ$itum_ BC, _exhibebit. Per problema tandcm_ 5. _triang. $phær. inue$tige-_ _tur ex inuento arcu_ BD, _& dato angulo_ B, _adiacente angulus_ BAD, _arcui_ BD, _oppo$itus. Hicenim duplicatus dabit totum_ BAC, _quem de$ideramus._

CAETERVM, vt facilius problema illud, quod maxime optamus, pr{ae}- $ertim in $phæricis triangulis, inuenire po$simus, confecimus hic indicem om- [524]_TRIANVLA_ nium problematum ad calculum nece$$ariorum: quibus quidem numeros pr{ae}- fiximus, qui indicent, quem ordinem quodlibet inter problemata, quorum praxes proxime expo$uimus, obtineat; quemadmodum & $upra problematibus ip$is in margine ad$crip$imus propo$itiones, & problemata, in quibus praxes demon$trantur in no$tris triangulis rectilineis, & $phæricis. Quanquam autem in indice triangulorum $phæricorum rectangulorum proponantur tantum $ingula in $ingulis problematibus inuenienda: ijs tamen inuentis, pleraque etiam alia in ei$dem reperiuntur, vt ex $uperioribus liquet.

INDEX PROBLEMATVM, ET PRAXIVM TRIANGVLORVM. IN TRIANGVLIS RECTILINEIS RECTANGVLIS Inuenitur

2. Latus circa angulum rectum vtrilibet angulorum acutorum op- po$itum; ex latere rectum angulum $ubtendente, & alterutro acutorum angulorum.

3. Latus angulo recto oppo$itum, & alterutrum duorum circa eun- dem rectum angulum; ex altero latere circa angulum rectum, & vno acutorum angulorum.

4. Vterque angulus acutus, & alterutrum duorum laterum circa an- gulum rectum; ex latere angulum rectum $ubtendente, & al- tero latere circa eundem rectum angulum.

5. Vterque angulus acutus, & latus recto angulo oppo$itum; ex duo- bus lateribus circa eundem angulum rectum.

IN TRIANGVLIS RECTILINEIS NON RECTANGVLIS Inueniuntur

10. Duo latera; ex omnibus angulis, & reliquo latere.

11. Omnes anguli; ex omnibus lateribus.

[525]SPHAERICA.

12. Vnum latus, & duo anguli illi adiacentes; ex reliquis duobus la- teribus, & reliquo angulo ab ip$is comprehen$o.

13. Duo anguli, & vnum latus vni eorum oppo$itum; ex reliquis duo- bus lateribus, & reliquo angulo, qui vni eorum opponitur.

IN TRIANGVLIS SPHÆRICIS RECTANGVLIS Inuenitur arcus angulo recto oppon$itus

3. Ex arcu circa rectum angulum, & angulo ei oppo$ito.

12. Ex arcu circa angulum rectum, & angulo ei adiacente.

7. Ex vtroque arcu circa angulum rectum.

16. Ex vtroque angulo non recto.

Inuenitur arcus circa angulum rectum

2. Ex arcu rectum angulum $ubtendente, & angulo, qui quæ$ito ar- cui opponitur.

14. Ex arcu rectum angulum $ubtendente, & angulo, qui quæ$ito ar- cui adiacet.

8. Ex arcu angulum rectum $ubtendente, & altero arcu circa angu- lum rectum.

10. Ex altero arcu circa rectum angulum, & angulo ei oppo$ito.

9. Ex altero arcu circa angulum rectum, & angulo ei adiacente.

4. Ex vtroque angulo non recto.

Inuenitur angulus non rectus

1. Ex arcu rectum angulum $ubtendente, & arcu circa angulum re ctum, qui quæ$ito angulo opponitur.

13. Ex arcu angulum rectum $ubtendente, & arcu circa angulum re- ctum, qui quæ$ito angulo adiacet.

15. Ex arcu rectum angulũ $ubtendente, & altero angulo non recto.

11. Ex vtroque arcu circa angulum rectum.

5. Ex arcu circa rectum angulum, qui angulo quæ$ito opponitur, & [526]TRIANGVLA altero angulo non recto illi arcui adiacente.

6. Ex arcu circa angulum rectum, qui angulo quæ$ito adiacet, & al- tero angulo non recto illi arcui oppo$ito.

IN TRIANGVLIS SPHÆRICIS NON RECTANGVLIS Inueniuntur

17. Omnes tres arcus; ex omnibus tribus angulis.

18. Omnes tres anguli; ex omnibus tribus arcubus.

19. Vnus arcus, & duo anguli illi adiacentes; ex alijs duobus arcubus, & reliquo angulo ab ip$is comprehen$o.

20. Duo arcus, & angulus ab ip$is comprehen$us; ex reliquo arcu, & alijs duobus angulis huic arcui adiacentibus.

21. Duo arcus, & vnus angulus vni eorum oppo$itus; ex reliquo arcu, & alijs duobus angulis, quorum vni hic arcus opponitur: $i mo- do con$tet $pecies arcus alteri angulo dato oppo$iti.

22. Duo anguli, & vnus arcus vni eorum oppo$itus; ex reliquo angu- lo, & alijs duobus arcubus, quorum vni hic angulus opponi- tur: $i modo con$tet $pecies anguli alteri arcui dato oppo$iti.

ATQVE hic finis $it no$trorum triangulorum, in quibus omnia ea videor e$$e complexus, quæ ad calculum ip$orum requiruntur. His ergo, benigne Lector, interea fruere feliciter, dum tres integros libros triangu- lorum $phæricorum Menelai, cum duobus Franci$ci Maurolyci, in quibus multo plura, quam hic à nobis explanata $unt, & quidem $citu iucundi$- $ima, continentur, clarioribus demon$trationibus illu$tratos in lucem, Deo no$tr<007>s cœpt<007>s bene fauente, prodire $inamus.

FINIS TRIANGVLORVM SPHÆRICORVM. [527]Rege$tum.

ABCDEFGHIKLMNOPQRST VXYZ.

Aa Bb Cc Dd Ee Ff Gg Hh Ii Kk Ll Mm Nn Oo Pp Qq Rr S$ Tt Vu Xx Yy Zz.

Aaa Bbb Ccc Ddd Eee Fff Ggg Hhh Iii Kkk Lll Mmm Nnn Ooo Ppp Qqq Rrr.

Omnes $unt Duerni. Solum Gg S$ Nn Terni $unt.

ROMAE, Ex Typographia Dominici Ba$æ. MDLXXXVI. [528] [529] [530] [531] [532]