OPTIC AE THE SAVRVS. ALHAZENI ARABIS libri $eptem, nuncprimùm editi. EIVSDEM liber DE CREPVSCVLIS & Nubium a$cen$ionibus. ITEM VITELLONIS THVRINGOPOLONI LIBRI X. Omnes in$taurati, figuris illu$trati & aucti, adiectis etiam in Alhazenum commentarijs, A' FEDERICO RISNERO. Cum priuilegio Cæ$areo & Reg{is} Galliæ ad $exennium@ BASILE AE, PER EPISCOPIOS. M D LXXII. CIN EMATH EQUE FRANCAISE BIBLIOTHEQUE MUSEE Triplicis ui$us, directi, reflexi & refracti, de quo optica di$putat, ar- gumenta. FEDERICI RISNE- RI IN ALHAZENI ARABIS OPTICAM PRAEFATIO A D IL LVSTRISSIMAM REGINAM CA- tharinam Mediceam, matrem reg{is} Galliæ Caroli noni.

PLVRES adorant orientem $olem, Regina illu- $tri$sima, quàm occidentem, utuulgò fertur: at contrà fieri meo iudicio debuit, cum $olis oc- ca$us diti$simas & opulenti$simas orbis partes complexus $it: ut$ub æquatore e$t America, & $upra omnes in$ulas fortunati$simæ Moluccæ. Etin uita ho minis, $i qua ætas pr{ae}cipuè laudabilis $it, ip$a $enectus e$t, re- liquarum ætatum gubernatrix & magi$tra. Ideo\’q hoc mihi à P. Ramo con$ilium maie$tatis tuæ colendæ $uccurrit: qui cum tuo no miniliberales artes gallico $ermone con$ecra- rit, multos profectò mortales exemplo $uo inuitauit ad ea- dem uota concipiendum atq; nun cup an dum: tanquam iu- dicaritunam tein Gallia non $olùm tanto rege matrem di- gni$simam, $ed omnium regiarum uirtutum laudum\’q pa- tronam am anti$sim am. Itaq; tanquam clientem Alhazenũ tibi dico, nun cupo\’q, Arabem opticæ $criptorem, utèno- mine Alhazen arabico, (quod Latinè bonum uirum $onat) intelligitur: & in$criptio operis ip$um arabepatre Alhayzen natum indicat. Quatuor aut\~e philo$ophos arabes hoc no- mine fui$$e è peritis Arabicæ linguæ hominibus didici: quo tamen tempore Alhazenus no$ter floruerit, nondum neque legendo neq; percontando certò cogno$cere potui. Equi- dem à præ$tantibus mathematicis in uetu$ti$sim orum Ara- bum numero ip$um haberi animaduerto: quanquam tem- poris, quo uixerit, mentio nulla fiat. Coniectura quædam e$t anno Chri$ti mille$imo ac circiter cente$imo ip$um ui- xi$$e: ætatenimirum Auicennæ, Auerrois, Zoaræ, aliorum\’q; excellentium Arabum: quo fæculo apud Arabes & Sarrace- nos, tum omniuming enuarum artium $tudia, tum uerò ma thematicas di$ciplinas inprimis florui$$e ex hi$toriarũ com- mentarijs $atis con$tat. Huncigitur authorem (cuius editio nem abhinc amplius annis triginta à clari$simis matchema- FEDERICI RISNERI ticis expectauimus) cum P. Ramus diu multum\’q; peruarias bibliothecas requi$itum, ue$tigijs\’q; omnibus indagatũ tan dem in auctione publica pro$titutu, & tanquam pro de$er- to habitum coemi$$et: alterũ po$tea etiam exemplar nactus e$$et: utrunq; mihi (quem aliquot antè annos mathematic{ae} exercitationis con$ortem & adiutorem habui$$et) conferen dum tradidit: po$tea\’q;, cum è medio rena$centium bellorũ ardore mathemata quædam $ibi chariora, & hunc Alhaze- nũ inprimis è bibliotheca $ua $ub duxi$$et, Ba$ileam me cum his tanquam penatibus $ecum abduxit, & annum integrum in authore i$to re$titu\~edo & conformando occupauit. Dili- gentiam $anè & doctrinam in arabe homine mirabilem de- prehendi, nec admodum, quod animaduertere potuerim, à ueteribus Græciæ opticis adiutã. Euclideũ hic uel Ptolemai cum nihil ferè e$t. Aliquid forta$$e $ump$erat ex Archimede, Apollonio & Auenello, à quibus optica quædam con$cri- pta e$$e monim\~etis literarũ te$tatum extat: item à Damiano & alijs opticis, quorũ libri in manus meas nondum incide- runt. Veterum tamen opticorum lectionem Alhazenus ip$e confitetur lib. 6. cap. 4. de errore, qui accidit in $peculis $ph{ae} ricis conuexis. & lib. 7. cap. 6. quomodo ui$us cõprehendat ui$ibilia $ecundum refraction\~e. Quam obrem cum luculen tum quidem $criptorem & copio$um opticũ, $ed ualde con fu$um per$pexi$$em: id mihi P. Ramo $ua$ore & authore con. $ilium $ump$i: quod e$t eiu$modi. Primò quia totũ opus in pauca & prolixa capita continuo perpetuo\’q; $ermone diur $um fuit: $ingulos libros & capita in propo$itiones di$tinxi: & quæ Vitellonis theoremata his re$ponderent, annotaui: ut collatione theorematũ utriu$q; optica materies rudi ac nouitio lectori difficilior atq; ob$curior lucem aliquam & per$picuitatem acciperet. Deinde demon$trationes omnes emendaui & re$titui: earum firm amenta acrobora (quæ ple ri$q; locis omnibus deerant) ex Euclide, Theodo$io, Apollo nio, Sereno, alijs\’q; geometris addidi: pr{ae}cipuè uerò quintũ & $extum libros, quibus catoptrica cõprehenduntur, & $e- ptimũ, qui refractionem interpretatur, propter demon$tra- tionum ob$curitatem breuitatem\’q; cõmentariolis quibu$- dam illu$trare conatus $um. Deniq; figuras omnium propo $itionũ de integro conformaui. Atq; hic in rebus $ent\~etijs\’q; PR AE FATIO. labornobis fuit: qui nequaquam par aut $imilis fuit in uer- bis. In his enim nihil admodum mihi immutandum e$$e exi $timaui, ni$i ut pro ijs, quæ ob$curitatem rebus & ambigui- tatem allatura uidebantur, alia reponer\~e: & utin$cription\~e operis (quæ authori e$t de a$pectibus) gr{ae}co, concinniore & breuiore nomine opticam nominar\~e. Verùm, illu$tri$sima regina, uiderer pleri$q; urbanis hominibus in$tituti forta$$e mei nõ immemor, $ed certè nõ $atis memor maie$tatis tuæ, qui præfatione i$ta apud te tam multa & $chola$tica, & tam $chola$ticè di$putem: ni$i tuo nomine $cholis omnibus & $chola$ticis beneficiũ tam $ingulare, tam\’q; populare ac re- gale munus afferrem. Etenim cum præ$tantium regum regi- narum\’q; in populos beneficia munera\’q; multa queãt e$$e: certè uirtute doctrina\’q; magnificentius regaliús ue dari ni- hil pote$t. Et quidem $i de optices u$u declamandi locus the tori cuipiam hic e$$et, marathonius quidam campus ei me- ritò uideretur, $iue $upera illa mundi $iue hæc infera $pecten tur. Etenim quæcunq; hominibus de corporum cœle$tium materia, numero, ordine, de\’q; motuũ cœle$tium infinita ua rietate aperta ac patefacta $unt, optica ferè aperuit & patefe cit: meteora: miracula in iride una præ$ertim opticis radijs di$tincta $unt: fal$as opiniones de numero, motu, atq; loco elementorũ optica $olertia deprehendit & conuicit. In uita uerò hominum pleraq; dæmonum præ$tigijs attributa: ut imagines in aëre quocũq; mobiles repræ$entare: utlongin- quo $patio di$iunctum exercitũ uelut ante oculos intueri: ut cla$$em ho$tium incendio con$umere, opticæ artis ui ac facultate omnia efficiuntur: ut picturam, architecturam, me chanicam interea taceam nihil admodum ni$i opticã e$$e. Quamobrem quòd Alhazenus uetu$ti$simus & copio$i$si- mus opticæ doctrinæ $criptorè tenebris tam diuturnis eru- tus, $qualore, $itu, puluere ab$ter$o in publicam lucem pro- deat quòd in mathematicas $cholas ingrediatur: quòd in- uenta $ua publicis $tudijs communicet, Catharinæ Mediceæ in po$teritatem fama gloria\’q; immortalis e$to.

CANDIDO LECTORI

_DVo_ $unt, candide Lector, de quib{us} te pauc{is} admonendum hic duxim{us}. Primum ect, quòd ea, quæ commentario- rum uice in Alhazeno pa{$s}im in$eruim{us}, duab{us} clau$ul{is} (ut uocant) $ic [ ] inclu$imus. Alterum, quòd in fir- mament{is} demon$trationum è uar{ij}s géometr{is} allegand{is} γραφι\~Ν quadam breuitate u$i $um{us}: & Euclid{is} quidem propo$itiones omi$$o nomine hoc modo notauim{us}: per 29 p 1.1 αχ. 4 p. 1 d 6: id ect per 29 propo$itionem 1 li- bri: 1 axioma. 4 propo$itionem. 1 definitionem 6 libri elementorum Euclid{is}, &c. In reliquorum uerò geometrarum al- legationib{us} $imiliter numeros theoremat{is} & libri liter{is} th (theorema $ignificantib{us}) inter utrũq; intermed{ij}s unà cun@ nomine adiecim{us}. Alhazeni autem propo$itiones (in qu{as} à nob{is} di$tinctus ect) differentiæ breuitat{is}\’q; cau$$a in citand{is} Euclid{is} & Alhazeni propo$itionib{us} numeros appellauim{us}: {ij} \’q; it a nob{is} notati $unt: per 19 n 1.14 n 2.13 n. id ect per 19 numerum 1 libri optices Alhazeni. 14 numerum 2 libri. 13 numerum: ei{us} nimirum libri, in quo fit i$ta allegatio: id ect per 13 numerum primi, $ecundi, tert{ij}, &c. libri optices Albazeni, $i ille numer{us} in primo, $ecundo, tertio, &c. libro optices Albazeni allegat{us} $it. Quod ad errata attinet, placuit ea in ue$tibulo libri ad$cribere, quò emendare uolenti in promptu e$$ent: ubi prim{us} numer{us} paginam, $ecund{us} lineam indicat.

Pagina 4. linea 55 centrum. 7. ult. unaquaq;. 16.35 ultimum. 26.22 earum. 34.23 & 24 humiditas. 41.46 certitudin\~e. 61.1 pro 711,111. 67.16 formarũ. 80.60 po$itio. .81.82 figurarũlloca permutata $unt. 83.56 po$i tio. 93.28 po$t iterũ, adde in. 106.53 utroq;. 111.10 lucis. 134.60 angulus age. 135.14 po$t lineis ponè colon, & po$t reflexionis, comma. 142.11 ui$u & ui$ibili. 146.31 concurret. 156.49 pro 44 po$t exteriore, repone 45- 159.26 æquidi$tans. 181.36 & 37 pro ibi, ubi. 185.12 pro t, b. 189.6 fit. 194.53 & 54 pro œ, œ d. ibid. 62 pro i po$t a g, repone &. 197.15 pro 4,45. Pag. 201 figura prior 15 numeri, quæ ad $ini$tram e$t, pertinet ad 14 nume rum præcedentem: neq; enim $uo quamq; loco collocari compo$itionis, ut uocant, ratio permi$it. 205.1 z q l. 211.21 po$t le tolle comma. 213.43 $peculιs. 217.39 pro 4, 41. 219.39 pro erit, reflectetur, & pro in, ex. Pagina 221 in figura litera proximè infra rin linea gr propter linearum concur$um ob$curior, e$t k. 223.17 peripheria a z. 226.28 perueniat ergo. 229.58 tran$eunte. 237.21 po$t laminæ adde, & inter $uperficiem laminæ. Ibid. 35 dele fit. 240.46 exi$tunt. 250.55 lineam. 252.7 po$t eleuatio, pone comma. Ibid. 19 k b g. Ibid. in figura po- natur litera a è regione e centri mundi ad peripheriam meridiani b g. Ibid. 49 exi$tunt. 255.57 pro in, à. 258 in $ecunda figura ad terminum lineæ fo continuatæ, pone literam q. 266.48 tolle &. Pag. 273 in prima figu- ra ad terminum lineæ d m continuatæ pone literam e. Pagina 275 $ub numero 45 duæ figuræ cõiunctæ $unt, quarum po$terior, quæ ad dextram e$t, pertinet ad 46 numerum: ad quem prior quoq; figura 47 numeri refer- ri debet. 281.38 po$t diuer$æ dele comma. 285.23 pro e, ei. 286.51 re$tant. 288.58 pro 48,40. Deniq; illud e- tiam in erratis reponere placuit, quod in commentarijs ad quartam & tertiam figuras 64 n 5 prætermi$$um e$t: nempe. [Quando imago uidetur in puncto a: & b q, quæ parallela ducitur ip$i a l, cadit extra triangulum at g: tum omi$$a b q & o$ten$a æqualitate linearum a g, a t, ut prius, breuius per 3 p 6 propo$itum concludetur. Erit enim ut b e ad e a, $ic b g ad a g, id e$t per 7 p 5 ad a l: $ed ut b g ad a l, $ic b t ad t a propter $imilitudinem triangulorum b g t, a l t. Ergo per 11 p 5 ut b e ad e a, fic b t ad t a. Eodem modo cadente b q intra triangulum a g t: breuior & facilior ab$q; linea a l erit demon$tratio.]

ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE LIBER PRIMVS.

_P_RIMVS Liber in $eptem capita diuiditur. Primum e$t quòd lux per $e & colores illuminati operentur in ui$um aliquam operationem. Secun- dum quòd lux uehemens occultat quædam ui$ibilia, quæ lux debilis ma- nife$tat, & contrà. Tertium quòd colores corporum diuer$ificantur a- pud ui$um $ecundum dιuer$itatem lucium orientium $uper ip$os. Quartum ect de com @o$itione oculi, forma, & $itu. Quintum declarat qualitatem ui$ionis, & dependen- tia ab illa. Sextum ect de officio & utilitate in$trumentorum ui$us. Septimum de {ij}s, $ine quib{us} ui$io non potect compleri.

QVOD LVX PER SE, ET COLORES ILLVMINATI OPE- renturin ui$um aliquam operationem. Cap. 1. 1. Lux per $e, & color illuminat{us} feriunt oculos. Vitell. in hypothe$. 6. 16 p 3.

INuenimus quòd ui$us, quãdo in$pexerit luces ualde fortes, fortiter dolebit ex eis, & habebit no cumentum: a$piciens enim quando a$pexerit corpus $olis, non pote$t bene a$picere ip$um, quo- niam ui$us eius dolebit propter ip$ius lucem. Et $imiliter quando in$pexerit $peculum ter$um, $uper quod a$cendebat lux $olis, & fuerit ui$us eius in loco, ad quem reflectitur lux ab illo $pecu- lo: dolebit iterum propter lumen reflexum, perueniens ad $uum ui$um à $peculo, & non poterit a- perire oculum ad in$picien dum lumen illud. Et inuenimus iterum quando a$piciens intuetur cor- pus mundum album, $uper quod a$cen debat lux $olis, & moretur in a$pectu ip$ius: deinde conuer- tat ui$um $uum ab eo ad locum ob$curum, debilis lucis: quòd fere nõ poterit comprehendere res ui$ibiles illius loci comprehen$ione uera: & inueniet coopertorium qua$i inter ui$um & ip$as: de- in de paulatim di$cooperietur, & reuertetur ui$us in $uam di$po$itionem. Et iterum, quando in$pi- ciens in$pexerit ignem fortem: & fuerit intuitus ip$um: & moretur in a$piciendo longo tempore: deinde declinet ui$um $uum ad locum ob$curum, debilis lucis: inueniet iterum idem in ui$u $uo. Et iterum inuenimus, quando in$piciens in$pexerit corpus mũdum album, $uper quod oriebatur lux diei: & fuerit illa lux fortis, quamuis non $it lux $olis: & moretur in a$pectu diu deinde conuer- tat ui$um $uum ad locum ob$curum: inueniet formam lucis illius in loco illo, & inueniet cum hoc figuram eius: deinde $i clau$erit ui$um: inueniet in ip$o formam illius lucis: deinde auferetur hoc, & reuertetur oculus in $uam di$po$itionem. Et $imiliter erit di$po$itus ui$us, quãdo in$pexerit cor- pus, $uper quod oriebatur lux $olis. Et $imiliter quando in$pexerit corpus clarè album, $uper quod oriebatur lux ignis, quando luxignis fuerit fortis, & moretur in a$piciendo ip$um: deinde rece$$e- rit ad locum ob$curum: inueniet iterum in eo idem hoc in fuo ui$u. Et $imiliter quando a$piciens fuerit in domo, in qua fuerit foramen amplum di$coopertum ad cœlum: & a$pexerit ex illo loco cœlum in luce diei: & moretur in a$piciendo ip$um: deinde reuertatur ui$us eius ad locum ob$cu- rum in domo: inueniet formam lucis, quam comprehendebat ex foramine cum figura foraminis in loco ob$curo: & $i clau$erit oculum $uum: inuenier iterum in eo formam illam. Omnia ergo i$ta $ignificant, quòd lux operetur in ui$um aliquam operation\~e. Et inuenimus iterũ quod, quãdo a$pi ci\~es in$p exerit uiridarium multæ $pi$situdinis herbarum, $uper quod oriebatur lux $olis: & more- turin a$piciendo ip$um: deinde conuertat $uum ui$um ad locum ob$curum: inueniet in illo loco ob$curo formam coloratam à uirore illarum herbarum: deinde $i a$pexerit in i$ta di$po$itione ui$i- bilia alba: & fuerint illa ui$ibilia in umbra, & loco debilis lucis: inueniet colores i$tos admixtos cũ uirore: & $i clau$erit oculum $uum: iterum inueniet in ip$o formam lucis & formam uiroris: deinde di$cooperietur illud, & auferetur. Et $imiliter $i a$pexerit corpus coloratum colore cæruleo uel ru- beo, uel alio colore forti $cintillante, $uper quod oriebatur lux $olis: & moretu: in @$pici\~edo ip$um: deinde auferat ui$um $uum ad ui$ibilia alba in loco debilis lucis: inueniet colores illos admixtos cũ illo colore. I$ta ergo $ignificant quòd colores illuminati operentur in ui$um.

QVOD LVX VEHEMENS OCCVLTAT QVAEDAM VI- $ibilia quæ lux debilis manife$tat: & contrà. Cap. 2. 2. Lux uehemens ob$cur at quædam ui$ibilia, quæ lux debilis illu$trat: & contrà. 28. 97. 109. 150. 155. 156 p 4.

ET iterum uidemus $tellas in nocte, & non uidemus ip$as in luce diei: & nulla e$t differentia in- ter tempora, ni$i quòd aer medius inter ui$um no$trum & cœlum e$t in die illuminatus, & in ALHAZEN nocte ob$curus: cum ergo aer fuerit ob$curus, nos uidemus $tellas: cum autem illuminatus fue- rit aer medius inter ui$um no$trum & $tellas, latebunt nos $tellæ. Et $imiliter $i a$piciens nocte a$pexerit in loco lumino$o lumine ignis: & fuerit lumen ignis exten$um $uper terram: & fuerint in illo loco ui$ibilia $ubtilia, aut ui$ibilia, in quibus $unt res $ubtiles: & fuerint in aliqua umbra, $ed nõ forti: & non fuerit ignis medius inter illa ui$ibilia & ui$um: & comprehenderit tunc a$prciens illa ui $ibilia, & res $ubtiles, quæ $untin eis: deinde moueatur à $uo loco, donec $it ignis medius inter illa ui$ibilia & $uum ui$um: tunc illa ui$ibilia latebunt ip$um, $i fuerint $ubtilia, uel $ubtilia, quæ in eis $unt, & ferè non comprehendet ip$a, cum ignis fuerit medius inter ui$um $uum & ip$a ui$ibilia: & $i cooperiatur ignis a ui$u $uo: comprehendet $tatim ui$ibilia illa, quæ latebant ip$um: & $i auferatur coopertorium inter ui$um $uum & ignem: latebunt ip$um iterum illa ui$ibilia. I$tæ ergo di$po$itio- nes $ignificant, quòd luces fortes orientes $uper ui$um & $uper aerem inter oculum & rem ui$am, prohibent ui$um à comprehen$ione quorundam ui$ibilium, quorum luces $unt debiles. Et iterum, quando a$piciens a$pexerit corpus ter$um: & fuerint in illo corpore $culpturæ $ubtiles: & non fue- rint illæ $culpturæ diuer$orum colorum à colore corporis: & fuerit a$piciens in loco temperatæ lu- cis: deinde oppo$itum fuerit corpus illud $oli aut parieti illuminato lumine forti: reflectetur ab eo aliqua lux ad ui$um: & inueniet a$piciens lucem apparentem in $uperficie corporis, & in loco, à que reflectitur lux, fortiorem, & magis $cintillantem: & in i$ta di$po$itione $i in$piciens fuerit intuitus illud corpus ter$um: non uidebit in eo aliquam $culpturam ex $culpturis, quæ funt in loco lucis for tis, & $cintillátis: deinde $i in$piciens declinauerit illud corpus ab illo loco, ita ut reflexio $iat ad a- lium locũ, extra locum ui$us $ui, & fuerit præterea $uper corpus illud lux temperata: tunc in$pici\~es cõprehendet $culpturas, quæ $untin eo, quas prius non comprehendebat in reflexione lucis à cor- pore ad $uum ui$um. Et $imiliter, quando lux reflectetur à paginater$a, in qua $unt $culpturæ $ubti- les ad ui$um: non di$tinguet ui$us illas $culpturas necuerificabit, donec $it lux reflexa ad ui$um ab illa pagina: & $i declinetur $uperficies paginæ, ita ut $itus eius mutetur, & non reflectatur ab ea lux ad ui$um: cõprehendet tunc ui$us illas $culpturas, & di$tinguet. Et iterum quando ignis debilis fue rit in lumine debili: apparebit & compreh\~edetur à ui$u: & cum fuerit in lumine $olis: apparebit cor- pus, in quo e$t, den$um, coloratũ colore $cintillante forti: & tũ $i fuerit prope illud corpus, aliquod corpus albũ claræ albedinis: & fuerit corpus illud in umbra & luce debili: apparebit $uper ip$um co lor corporis illius, $icut narrauimus $uperius: deinde $i moueatur illud corpus album, donec $it in lumine $olis, latebit iam ille color, qui e$t in eo: & $i reducatur ad umbram: apparebit color ille ful- gens, qui e$t in ip$o: & apparebit color ille $uper ip$um in luce forti, & apud latitation\~e coloris, qui e$t $uper ip$um, $i obumbretur corpore den$o: & $i maneat in $uo loco, donec debilitetur lux, quæ e$t $uper ip$um: apparebit color, qui e$t $uper ip$um: & $i auferatur corpus obũbrãs, donec uigore@- cat lux $uper corpus album: latebit color, qui e$t $uper ip$um. Et $imiliter quãdo admouerimus cor- pus diaphanum coloratum colore $cintillante, igni uehementer forti: & admouerimus umbræ il- lius corporis pannũ album: apparebit color illius corporis diaphani $uper illum pannum, $icut nar- rauimus prius: deinde $i admouerimus illi panno alium ignem, ita ut lux eius oriatur $uper illũ pan num: latebit ille color, qui apparebat $uper pannum, & non apparebit ni$i albedo panni tantum: & $i auferamus illum ignem, $ecundus apparebit color $uper pannum. Et iterum quædam animalia marina habent conchas & te$tas, & cum fuerint in loco ob$curo, in quo non e$tlux, apparebuntill{ae} conchæ qua$i ignis: & $i a$piciens in$pexerit illas in luce diei uelignis, comprehendet eas, & non uidebit in eis lumen uel aliquem ignem. Et $imiliter, quando animal, quod dicitur noctiluca, uo- lat de nocte, apparet qua$i lampas, & cum a$piciens in$pexerit illud in luce diei uel in luce ignis, ap parebit animal $ine igne. Significant ergo omnes i$tæ di$po$itiones, quas declarauimus, quòd lu- ces fortes uifibilium, aliquando occultantres, quæ $untin quibu$dam ui$ibilibus: & quòd luces de- biles aliquando manife$tant quafdam res, quæ $unt in quibu$dam ui$ibilibus. Et iterum ui$um mul toties latent quædam res, qu{ae} funt inui$ibiles ex $culpturis & $cripturis $ubtilibus, quando fuerint in locis ob$curis uel in lucibus debilibus: & $i extrahantur ad loca lumino$a fortis luminis, uel po- nantur in luce $olis: appare buntres, quæ $unt in eis, quæ latebant in locis & lucibus debilibus. Et $imiliter $culpturarum $ubtilium comprehen$iones nequit ui$us comprehendere in locis ob$curis & lucibus debilibus: & cum extrahuntur ad luces fortes, comprehenduntur à ui$u. Significatur er- go per hanc di$putationem, quòd luces fortes mani$e$tant multas res ui$ibiles, & quòd luces debi- les occultant multas res ui$ibiles.

QVOD COLORES CORPORVM DIVERSIFICENTVR APVD VI- $um $ecundum diuer$itatem lucium ordentium $uper ip$os. Cap. 3. 3. Color uariatur pro luc{is} qualitate. 1 p 3.

ET iterum inuenimus, quod colores corporum den$orum coloratorum coloribus $cintillan- tibus, $icut Lazuleis, uino$is & cœle$tib. quádo ip$a fuerint in locis ob$curis & lucibus debili bus, apparent turbidi, & cum fuerint in luce forti, apparent colores eorum $cintillantes & cla ri: & quanto magis augmentabitur lux $uperip$a, tanto magis augmentabitur $uper ip$a $cintil- lantis coloris claritas. Et $i fuerit aliquod i$torum corporum in loco ob$curo: & non fuerit in eo ni$i lux parua ualde: apparebit illud corpus ob$curum, & non di$tinguet ui$us colorem eius, & uidebi tur qua$i niger: & cum extrahitur ad loca lumino$a lumine forti: apparebit color eius, & di$tingue- OPTICAE LIBER I. tur à ui$u. Et inuenimus iterum quòd colores corporum ferrei coloris, quando lux oritur $uper ip$a fortis, clare$cunt. Et inuenimus etiam quòd, quando lux fortis oritur $uper corpora den$a alba, au- gmentantur in albedine & $cintillatione apud $en$um. Et inuenimus iterum, quòd, corpora diapha na colorata coloribus fortibus, $icut uina fortia fortis ruboris, quæ $unt in ua$is diaphanis, quando fuerint in locis ob$curis & lucibus debilibus, apparent nigra & ob$cura, & qua$i non diaphana, & cum fuerint in lucibus fortibus, & orta fuerit $uper ip$a lux $olis, clare$cunt colores eorum, & appa- ret in eis diaphanitas. Et $imiliter colores lapidum diaphanorum coloratorum, quando fuerint in locis ob$curis, apparent turbidi & ob$curi: & cum $uper ip$os oritur lux fortis, uel ponuntur in op- po$itione lucis, ita quòd lux per ip$os pertran$eat, apparent colores eorum clari, & apparet in eis diaphanitas propter penetrationem lucis. Et iterum quando corpora diaphana colorata ponuntur in oppo$itione lucis: & fuerit po$itum ex parte contraria parti lucis, corpus album, $icut diximus $uperius: & $i lux fuerit fortis: apparebit form a illius coloris in umbra eius $uper corpus album op- po$itum ei: & $i lux oriens $uper ip$um, fuerit debilis, apparebit $uper corpus album oppo$itum ei umbra tantùm, & non apparebit color. Et iterum inuenimus quòd pennæ pauonis, & pannus, qui dicitur amilialmon, id e$t $ericus uiridis mixtus cum fu$co ro$eo, diuer$ificantur in colore apud ui- $um in diuer$is temporibus diei, $ecundum diuer$itatem lucis orientis $uper ip$a. Significant ergo i$tæ di$po$itiones apparentes in coloribus, quòd colores corporum coloratorum non comprehen- duntur à ui$u, ni$i $ecundum luces orientes $uper ip$a. Et cum luces fortes ui$ibilium occultent qua$dam res, quæ $unt in quibu$dam ui$ibilibus aliquando, & aliquando manife$tent nobis res qua$dam, quæ $unt in quibu$dam ui$ibilibus: & luces debiles ui$ibilium aliquando manife$tent qua$dam res, quæ $unt in quibu$dam ui$ibilibus, & aliquando occultent qua$dam res, quæ $unt in quibu$dam ui$ibilibus: & corporum coloratorum colores aliquando alterentur $ecundum diuer$i- tatem lucis, quæ oritur $uper ip$a: & luces fortes orientes $uper ip$um ui$um, aliquando prohibeãt ip$um ui$um à comprehen$ione quorundam ui$ibilium: & ui$us tamen in omnibus i$tis nihil com- prehendat ex ui$ibilibus, ni$i $it illuminata forma. Ergo quod comprehendit ui$us ex re ui$a, non e$t ni$i $ecundum lucem, quæ e$t in illa re ui$a, & $ecundum luces, quæ oriuntur $uper ip$um ui$um in comprehen$ione illius rei ui$ibilis, & $uper aerem medium inter ui$um & rem ui$am. Quare ue- rò luces fortes prohibeant ui$um à comprehen$ione ui$ibilium quorũdam, declarabitur à nobis in $ermone no$tro de qualitate ui$ionis.

DE COMPOSITIONE OCVLI, FORMA ET SI- tu. Caput quartum. 4. Ortus & principium oculi exi$tit è cerebro: & con$tat è tribus humori- bus & quatuor tunic{is}. 4 p 3.

OCulus e$t compo$itus ex telis & corporibus diuer$is: & principium & incrementum eius e$t ex anteriore parte cerebri: quoniam ex anteriore parte cre$cunt duo nerui optici con$i- miles, & incipiunt oriri ex duobus locis à duabus partib. anterioris cerebri: & dicitur quòd uterque illorum habet duas tunicas, & quòd cre$cunt à duabus telis cerebri, & perueniunt ad me- dium exterioris partis cerebri & anterioris cerebri, deinde concurrunt & efficiunt unum neruum opticum: deinde i$te neruus diuiditur, & efficiuntur iterum duo nerui optici {ae}quales & con$imiles: deinde extenduntur i$ti duo nerui, donec perueniant ad duo conuexa duorum oculorum o$sium concauorum continentium duos oculos: & in duobus medijs i$torum duorum concauorum o$siũ $unt duo foramina æqualiter perforata: & $itus eorum in neruo communi, e$t $itus con$imilis illi. Nerui ergo intrãt i$ta duo foramina, & exeunt ad concaua duorum o$sium, & illic dilatantur & am- pliantur, & efficitur extremitas utriu$q; eorum qua$i in$trum entum ponendi uinum in dolijs: & u- terq; oculorum e$t compo$itus $uper i$tam extremitatem nerui, quæ e$t prædictum in$trumentum, & con$olidatur cum ip$o: & $itus utriu$que oculorum ex neruo communi e$t $itus con$imilis. Etto tus uterq; oculus e$t compo$itus extunicis multis. Prima ergo illarum e$t pinguedo alba, quæ im- pler concauum o$sis: & e$t maxima pars oculi: & dicitur con$olidatiua. Et intra i$tam pinguedinem e$t $phæra rotunda, concaua, nιgra ut plurimum, & uiridis, & glauca in quibu$dã oculis: & corpus i$tius $phæræ e$t tenue, & in$uper den$um & non rarum: & manife$tũ eius e$t applicatum cũ con$o- lidatiua: & interius eius e$t concauum: & in parte concauitatis e$t qua$i quædã attritio: & qua$i con $olidatiua continet i$tam $phæram, præterquàm $uum anterius: quoniam con$olidatiua non coope rit anterius i$tius $phæræ, $ed circulatur $uper anterius eius: & i$ta tunica dicitur uuea, quia a$simi- latur uuæ Et in medio anterioris uueæ e$t foram\~e rotundum perforatũ u$q; ad eius concauũ: & e$t oppo$itum extremitati concauitatis nerui, $uper quem componitur oculus. Et cooperit i$tud fora- men, & omne anterius uueæ, in cuius circuitu circulatur con$olidatiua, extrin$ecus tunica fortis, al ba, diaphana: & dicitur cornea, quia a$similatur cornu albo & claro. Et intra concauũ uueæ e$t $phæ ra alba, parua, humida, receptibilis humiditatis formarũ ui$ibilium: & in ea e$t diaphanitas non in- ten$a ualde, $ed aliqua $pi$situdo: & diaphanitas eius a$similatur diaphanitati glaciei: & ideo dici- tur glacialis: & e$t cõpo$ita $uper extremitat\~e cõcauitatis nerui: & in anteriori i$tius $phæræ e$t cõ- pre$sio $uperficialis parua, & a$similatur compre$sioni $uperficiei lenticulæ: $uperficies ergo ante- rioris eius e$t portio $uperficiei $phæræ, maioris $uper$icie $ph{ae}rica, continente duo eius foramina: ALHAZEN & i$ta compre$sio e$t oppo$ita foramini, quod e$t in anteriori uueæ: & $itus eius con$imilis e$t cum eo. Et i$te humor diuiditur in partes duas diuer$æ diaphanitatis, & altera illarum $equitur anterius eius, & altera $equitur eius po$terius: & diaphanitas partis po$terioris eius a$similatur diaphanita ti uitri qua$i fru$tati: & i$ta pars dicitur humor uitreus. Et continet duas has partes cõgregatas tela ualde tenuis, & dicitur aranea, quoniam a$similatur texturæ araneæ. Et in po$teriore parte conca- uitatis $phæræ uueæ dicitur, quod e$t foramen rotundum, & e$t $uper extremitatem concauitatis nerui: & $phæra glacialis e$t compo$ita in i$to foramine: & rotunditas i$tius foraminis (& e$t extre- mitas nerui) continet medium $phæræ glacialis: & con$olidatur uuea cum glaciali in circulo cõti- nente i$tud foramen. Et dicitur quòd ortus uueæ e$t ex tunica interiore duarum tunicarũ duorum neruorum opticorum: & quòd ortus corneæ e$t ex tunica exteriore duarum tunicarũ i$tius nerui. & implet concauitatem uueæ humor albus, tenuis, clarus, diaphanus: & dicitur albugineus, quoniã a$similatur albumini oui in tenuitate, & albedine, & diaphanitate eius: & ip$e implet concauitatem uueæ, & contingit anterius glacialis, & implet foramen, quod e$t in anteriori uueæ, & contingit cõ- cauum corneæ. Et $phæra glacialis e$t cõpo$ita $uper concauitatem nerui: & $equitur cõcauitatem nerui humor uitreus. Erunt ergo cornea, & humor albugineus, & glacialis, & uitreus $e con$equen- tes. Et omnes i$tæ tunicæ $unt diaphanæ: Et foramen, quod e$t in anteriori uueæ, e$t oppo$itum fo- ramini concauitatis nerui. Et dicitur, quòd $piritus ui$ibilis emittitur ex anteriori parte cerebri, & implet duas concauitates duorum neruorũ primorum coniunctorum cum cerebro, & peruenit ad neruum communem, & implet concauitatem eius, & uenit ad duos neruos $ecũdos opticos, & im- plet ip$os, & peruenit ad glacialem, & dat ei uirtutem ui$ibilem.

5. In toti{us} oculi $eu motu $eu quiete, $it{us} partium $tabil{is} permanet. 25 p 3.

ET inter circumferentiam glacialis coniunctam cum uuea, & foramen, quod e$t in cõcauo o$- $is, ex quo exit neruus, e$t $patium aliquantulum: & neruus ext\~editur in i$to $patio ex fine fo- raminis u$q; ad circumferentiam glacialis $ecundũ pyramid alitat\~e & amplification\~e: & quã- tò magis elongatur à foramine o$sis, tantò m agis amplificatur, quou$q; perueniat ad circumferen- tiam $phæræ glacialis, & con$olidetur cũ circumferentia eius. Et corpus con$olidatiuæ continet i- $tam partem pyramidalem nerui, & continet $phæram uueã: & $phæra uueæ antecedit medium cõ- $olidatiuæ ad partem manife$tam oculi. Et corpus con$olidatiuæ e$t con$olidatum cum $phæra u- uea, & cum extremitate pyramidali, & cu$todit $itum eius. Cum ergo mouetur oculus, mouebitur $ecundum $e totum, & $ic declinabit neruus, $uper quem componitur oculus, apud motum eius, & erit declinatio apud foramen, quod e$t in concauitate o$sis: quoniam concauitas o$sis continet to- tum oculum, & oculus mouetur $ecundum $e totum in i$ta cõcauitate: & cõ$olidatiua con$olidatur cum eo quod e$t in anteriori oculi ex neruo, & ex tunicis re$iduis, & cu$todit $emper $itũ eius. De- clinatio ergo nerui apud motum oculi, non e$t, ni$i à po$teriori totius oculi: e$t ergo apud foramen, quod e$t in concauitate totius o$sis. Similiter quando oculus quieuerit, & neruus declinauerit, nõ erit declinatio ni$i apud foramen, quod e$t in concauitate o$sis. Nã non mutatur $itus partiũ totius oculi inter $e, neque apud motum neque apud quietem. Declinatio ergo nerui, $uper quem cõponi tur oculus, nõ e$t, ni$i apud foram\~e, quod e$t in cõcauitate o$sis, $iue moueatur oculus, $iue quie$cat.

6. Ocul{us} tot{us} & $pher a uuea centr{is} differunt: & oculi centrum ect alti{us}. 8 p 3.

SVperficies autem manife$ta corneæ e$t $uperficies $phærica, & e$t continuata cum $uperfi ie totius oculi & cum toto oculo: & totus oculus e$t maior $phæra uuea, quæ e$t quiddam eius: Superficies autem manife$ta corneæ e$t cũ $uperficie totius oculi, & e$t maior $uperficie $ph{ae}- ræ uueæ: $emidiameter ergo eius e$t maior $emidiametro uueæ. Et quia $uperficies intrin$eca cor- neæ $uperpo$ita foramini uueæ e$t $uperficies $phærica concaua, æquidi$tans $uperficiei manife$tæ ip$ius corneæ, quoniam tota cornea e$t æqualis $pi$situdinis, propterea quòd centrum $uperficiei concauæ corneæ e$t id\~e cũ centro manife$tæ $uperficiei $uæ conuexæ: $ed $uperficies concaua cor neæ $ecat $uperficiem $pheræ uue{ae} $uper circumferentiam foraminis, quod e$t in anteriori parte u- ueæ: centrum ergo eius e$t remotius in profundo, quã centrum uueæ, quoniam hoc e$t in proprie- tatibus centrorũ $ph{ae}rarũ $e inter$ecantium. Et etiã quia $ph{ae}ra uuea non e$t in medio con$olidati- u{ae}, $ed antecedit ad part\~e $uperficiei manife$tæ oculi, & $uperficies manife$ta oculi e$t ex $ph{ae}ra ma iore $phæra uueæ, erit centrum $uperficiei manife$tæ oculi remotius in profundo centro uueæ.

7. Rect a connectens centra $phær arum corneæ & uueæ, continuata tran$it per centrum for amin{is} uueæ, & medium caui nerui optici. 9 p 3.

ET recta linea, quæ continuat duo centra, $cilicet ctrum $uperficiei corneæ, & centrum uue{ae}, quando extrahiturct, peruenit ad centrum foraminis, quod e$t in anteriori uue{ae}, & ad duo media duarum $uperficierũ corneæ æquidi$tantium: $uperficies enim concaua corne{ae} & con uexa uueæ $unt $uperficies $phæric{ae} $ecantes $e: & linea quæ continuat centra earũ, tran$it per cen trum circuli$ectionis, & e$t perpendicularis $uper $uperficiem eius: quia linea, qu{ae} exit à cen- tro circuli $ectionis, & eft perpendicularis $uper $uperficiem eius, tran$it per centra duarum $phærarum.

OPTICAE LIBER I. 8. Centrum $phæræ uueæ e$t inferi{us} centr{is} reliquarum oculi partium. 8 p 3.

ET quia $uperficies concaua corneæ contingit $uperficiem humoris albuginei, qui e$t in ante- riori foramine uue{ae}, & $uperponitur ip$i. Superficies ergo humoris albuginei conuexa etiam e$t $uperficies $phærica, cuius centrum e$t centrũ $uperficiei ip$i $uperpo$itæ. Superficies er- go manife$ta corneæ, & $uperficies intrin$eca ip$ius, & $uperficies humoris albuginei cõuexa, quæ contingit concauum corneæ, $unt $uperficies $phæric{ae} æ quidi$tantes. Centrum igitur earum e$t u- num punctum cõmune, & e$t remotius in profundo centro uueæ: & linea, quæ tran$it per centrum uueæ, & per centrum corneæ, & per centrũ foraminis, quod e$t in anteriori uueæ, quando extendi- tur rectè, tran$ibit per medium concauitatis nerui, $uper quem cõponitur oculus: quoniã foramen quod e$t in anteriori uueæ, e$t oppo$itũ foramini, quod e$t in po$teriore parte uueæ, quod e$t extre mitas concauitatis nerui [per 4 n.]

9. Recta connect\~es centra $phærarũ cry$tallinæ & uueæ, cõtinuata cadit in centrũ circuli cõglutinãt{is} cry$tallinã & uitreã $phær {as} cũ uuea: & e$t ad ip$um perpendicular{is}. 10 p 3.

ET $uperficies anterioris glacialis etiã e$t $ph{ae}rica $uperficies, & ip$a $ecat $ph{ae}rã uue{ae}: centrũ ergo eius e$t remotius in profundo c\~etro uueæ. Et linea recta, qu{ae} cõtinuat c\~etra earũ, tran$it per centrũ circuli $ectionis, & e$t perpendicularis $uper ip$um. Et circulus $ectionis inter $u- perfici\~e anterioris glacialis, & $uperfici\~e $ph{ae}r{ae} uueæ, e$t aut circulus di$tingu\~es fin\~e con$olidatio- nis inter glacial\~e & uueã, aut æquidi$tans ei: quoniã $uperficies qu{ae} e$t in anteriori glacialis, e$t op- po$ita foramini, q<001> e$t in anteriori uue{ae}, & $itus eius e$t cõ$imilis cũ eo. Finis ergo i$tius $uperficiei (& e$t circulus $ectionis inter duas $uperficies glacialis & uue{ae}) aut e$t ip$e circulus con$olidatio- nis, aut {ae}quidi$tãs ei. Si ergo circulus $ectionis inter duas $uperficies glacialis, fuerit circulus cõ$oli dationis, i$te circulus e$t circulus $ectionis inter $uperfici\~e anterioris glacialis, & inter $uperficiem uue{ae}. Et $i circulus $ectionis inter duas $uperficies glacialis fuerit {ae}quidi$tãs circulo cõ$olidationis $ph{ae}r{ae} glacialis cũ uuea: (quod quid\~e accidit, $i fuerit cõ$olidatio in po$teriori parte glacialis) tune $uperficies anterioris partis glacialis, quando fuerit m\~ete exten$a $uper illud, $uper quod e$t ex $ua $ph{ae}ra, $ecabit $ph{ae}rã uueæ $uper circulum æquidi$tant\~e i$ti circulo, $cilicet circulo $ectionis inter duas $uperficies glacialis propter $imilitudin\~e $itus i$tius circuli ad circumferentiam $phæræ uue{ae}. Et quia i$te circulus e$t æquidi$tans circulo cõ$olidationis, erit ergo circulus $ectionis inter $uper- fici\~e anterioris glacialis, & inter $phæram uueã, aut ip$e circulus cõ$olidationis, aut {ae}quidi$tãs ei. Si ergo i$te circulus fuerit ip$e circulus cõ$olidationis, linea recta, quæ trãfit per centrũ anterioris gla- cialis, & per centrũ uue{ae}, tran$ibit per centrũ ip$ius circuli: & erit perpendicularis $uper ip$um: quo niã i$te circulus erit circulus $ectionis inter duas illas $ph{ae}ricas $uperficies. Sed $i i$te circulus fue- rit {ae}quidi$tans circulo con$olidationis, & e$t {ae}quidi$tãs circulo $ectionis inter duas $uperficies gla- cialis: e$t ergo cũ circulo $ectionis inter duas $uperficies glacialis: in $uperficie una $ph{ae}rica: quæ e$t $uperficies anterioris glacialis, & e$t {ae}quidi$tãs circulo $ectiõis. Linea ergo qu{ae} trã$it per centrũ uue{ae}, & per centrũ $uperficiei anterioris glacialis, tran$it per centrũ circuli cõ$olidationis $ecundũ o\~es di$po$itiones, & e$t perpendicularis $uper ip$um, $iue $it circulus con$olidationis ip$e circulus $ectionis inter $uperficiem anterioris glacialis & inter $phærã uue{ae}, $iue $it {ae}quidi$tans i$ti circulo.

10. Centrum $phæræ cry$tallinæ alti{us} e$t centro $phæræ uitreæ. 11 p 3.

ET iterũ $uperficies anterioris glacialis, & $uperficies re$idui glacialis, $unt du{ae} $uperficies $ph{ae} ricæ $ecantes $e: centrum ergo $uperficiei anterioris, e$t remotius in profundo centro $uper- ficiei po$terioris.

11. Rect a connectens centra $phær arum & uueæ, continuata cadit in centrum ui- treæ, & medium cauinerui optici. 12 p 3.

ET linea recta, quæ continuat i$ta duo c\~etra, tran$it per cen trũ circuli $ectionis, & e$t perp\~edi- cularis $uper ip$um: & iam declaratũ e$t [9 n] quod tran$it per centrũ circuli con$olidatiõis, & e$t perp\~edicularis $uper ip$um: hie uerò circulus aut e$t circulus $ectionis, aut {ae}quidi$tans ei. Linea ergo qu{ae} tran$it per centrũ uueæ, & per centrum anterioris glacialis, & per centrũ circuli eõ$olidationis, & e$t perpendicularis $uper i$tũ circulũ, tran$it per centrũ re$idui glacialis. Et cum linea i$ta tran$eat per c\~etrum re$idui glacialis, & per centrum circuli cõ$olidationis, & $it erecta $u- per circulum cõ$olidationis $ecundum angulos rectos: extenditur ergo in medio concauitatis ner ui, $uper qu\~e cõponitur oculus: quoniã circulus cõ$olidationis e$t extremitas cõcauitatis nerui. Et iam declaratum e$t [7 n] quòd linea trã$iens per centrum uueæ, & per centrum corne{ae}, & per cen- trum foraminis, quod e$t in exteriori $iue anteriori uue{ae}, ext\~editur in medio cõcauitatis nerui. I$ta ergo linea, qu{ae} tran$it per duo centra $uperficiei glacialis, & per c\~etrum uue{ae}, e$t ip$a linea, qu{ae} trã $it per centrum corne{ae}, & per c\~etrum foraminis, quod e$t in anteriori uue{ae}. I$ta ergo linea trã$it per c\~etrum corne{ae}, & per c\~etrum uue{ae}, & per duo c\~etra $uperficiei glacial@s & per centrum foraminis, quod e$t in anteriore uueæ, & per @c\~etrum circuli cõ$olidationis, & trã$it per duo media tunicarum omniũ oppo$itarũ foramini uue{ae}: Et e$t perp\~edicularis $uper $uքficies omniũ tunicarũ oppo$itarũ foramini uue{ae}, & e$t perp\~edicularis $uper $uքfici\~e foraminis uue{ae}, & e$t perp\~edicularis $uper $uքfi ci\~e circuli con$olidationis, & extenditur in medio cõcauitatis nerui, $uper qu\~e cõponitur oculus.

ALHAZEN 12. Centra $phær arum toti{us} oculi, cry$tallinæ, utriu$<005> $uperficiei corneæ, & con- uexæ humor{is} albuginei, e$t unum punctum. 7 p 3.

ET cum declaratũ $it, [6.8 n] quòd centrũ corne{ae}, & centrũ $uperficiei anterioris glacialis, am- bo $int $uper i$tam lineã, & ambo $int remotiora in profundo centro uueæ, melius e$t, ut cen- trũ $uperficiei anterioris glacialis $it ip$um centrũ corneæ, ita ut centra omniũ $uperficierum oppo$itarũ foramini uueæ, $int unũ punctũ cõmune: & $ic erunt omnes lineæ exeuntes à centro ad $uperficiem oculi perpendiculares $uper o\~es $uperficies oppo$itas foramini: & hinc po$terius decla rabitur, apud no$trum $ermonem de qualitate ui$ionis, quòd centrum $uperficiei corneæ & centrũ $uperficiei anterioris glacialis, e$t unum centrũ cõmune. Superficies ergo tunicarũ ui$us, oppo$ita- rum foramini uueæ, $unt $uperficies $phæricæ, quarum centrum e$t unum punctum commune.

13. In toti{us} oculi $eu motu $eu quiete $it{us} partium $tabil{is} permanet. 25 p 3. Idem 9 n.

ET iterum quia i$tud centrũ e$t centrum $uperficiei manife$tæ oculi, cõtinuat{ae} cũ $uperficie cõ tinente totum oculum, & totus oculus e$t rotundus, ni$i quantũ deficit de cõpletione $ph{ae}r{ae} pinguedinis cõ$olidatiuæ à parte anteriore ip$ius oculi, & i$te defectus nõ operatur diuer$ita tem in motu oculi, quoniã non tangit cõcauum o$sis. I$tud ergo centrum erit centrum totius oculi: ergo e$t intra totũ oculum. Centrũ ergo $uperficierum tunicarum ui$us, oppo$itarũ foramini uueæ, e$t intra totum oculum. Cum ergo mouetur oculus, non mutabitur punctum oculi, quod e$t c\~etrũ $uperficierũ tunicarum ui$us, nec mutabitur $itus eius ab i$tis $uperficieb. $ed cu$todit $itum $uum. Nam oculus qñ mouetur, nõ mouetur ni$i $ecundum $e totũ, & $itus partium totius inter $e nõ mu- tatur apud motum: & i$tud centrũ e$t intra. Situs ergo eius nõ mutatur apud $uũ motum. Et $imili- ter tunicarum $itus nõ mutatur apud totum oculum, id e$t apud motũ ip$ius ui$us. Situs ergo i$tius centri apud $uperficiem tunicarum ui$us non mutatur neq; in motu, neq; in quiete. Et iam declara- tum e$t [5 n] quòd declinatio nerui apud motum ui$us, & apud quietem non e$t, ni$i apud foramen oculi, quod e$t in concauitate o$sis: quoniam non e$t ni$i à po$teriori totius oculi. Declinatio ue- rò nerui apud motum ui$us & quietem, non e$t ni$i à po$teriori centri eius, & non mutatur $itus partium totius oculi inter $e neque in motu, neque in quiete. Situs ergo centrorum tunicarum o- culi apud totum oculum non mutatur, neque in motu ui$us, neque in quiete. Linea ergo tran$iens per c\~etrum non mutat $uum locum uel $itum apud totum oculum, neque apud partes eius, $cilicet neq; in motu, neque in quiete. Et cum $itus i$tius lineæ non mutetur apud totum oculum, neque apud partes eius: Situs erg@ i$tius lineæ non mutatur apud $uperficiem circuli con$olida- tionis, neque apud $uam circumferentiam: Et i$te circulus e$t extremitas concauitatis ner- ui. Situs ergo $uperficiei eius à $uperficie con- cauitatis nerui, e$t $itus con$imilis. Et decli- natio partis pyramidalis nerui $uper $uperfi- ciem i$tius circuli, e$t declinatio cõ$imilis: quo niam, $itus glacialis ab i$to neruo e$t $itus con- $imilis, & $itus partium oculi non mutatur in- ter $e. Superficies ergo concauitatis nerui à loco circũferentiæ circuli cõ$olidationis u$q; ad locũ declinationis nerui, qui e$t pars pyra- midalis, nõ mutat $itum $uũ apud totũ oculũ, neq; apud circulũ cõ$olidationis. Et iam decla ratũ e$t [5 n] quòd $itus lineæ, qu{ae} trã$it per c\~e tra oĩa, nõ mutatur apud circulũ cõ$olidatiõis, & quòd ip$a ext\~editur in medio concauitatis nerui. Et cũ $itus i$tius lineæ nõ mutetur apud circulũ cõ$olidationis, neq; $uperficies conca- uitatis nerui, qu{ae} e$t à loco circũferenti{ae} circu li cõ$olidationis u$q; ad locũ declinatiõis, mu- tet $uũ $itũ apud circulũ cõ$olidationis: i$ta er- go linea nõ mutat $uũ $itũ apud cõcauitat\~e ner ui, quou$q; perueniat ad locũ declinationis. Li nea ergo quæ trã$it per centra tunicarũ, tran$it per centrum cõ$olidationis: & e$t erecta $uper ip$um $ecundũ angulos rectos, & ext\~editur in medio cõcauitatis nerui pyramidalis, quou$q; perueniat ad locũ declinatiõis nerui: & erit $i- tus $uus $emper à $uperficie cõcauitatis nerui, qu{ae} e$t intra totũ oculũ, & ab omnib. partib. o- culi, & ab omnib. $uքficieb. tunicarũ ui$us, id\~e $itus, & nõ mutatur neq; in motu ui$us, neq; in OPTIC AE LIBER I. motu eius. I$ti ergo $unt $itus tunicarũ ui$us, & $itus centrorũ earũ, & $itus lineæ rectæ trã$eũtis per centra eorum. Oculi autem ambo $unt con$imiles in omnibus $uis di$po$itionibus, & in $uis tuni- cis, & figuris $uarum tunicarum, & in $itu cuiuslibet tunicæ, re$pectu totius oculi. Et cum ita $it, $i- tus ergo cuiuslibet centrorum, quorum di$tinctio declarata fuit, apud totum oculum, & apud par- tes eius, e$t $icut $itus centri re$pondentis illi centro in alio oculo apud totum oculnm illum, & a- pud partes eius. Et cum $itus centrorum in utroq; oculo $it $imilis $itus, erit $itus lineæ tran$eun- tis per centrũ in uno oculo apud totũ oculũ, & apud partes eius, & apud fuas tunicas, $imilis $itui lineæ tran$euntis per centrum alterius oculi apud totum oculum, & apud partes eius, & apud $uas tunicas. Situs ergo duarum linearum tran$euntium per c\~etra tunicarum ui$us ab utroq; oculo, e$t $itus con$imilis in omnibus $uis di$po$itionibus. Et utraq; con$olidatiuarum cõ$olidatur cum eis: cum ex eis exeant duo lacerti paruuli, quorum unus e$t in parte lachrymarum oculi, & alius in par te po$teriore. Et continent utrunq; oculum palpebr{ae} & cilia. Hoc ergo quod declarauimus, e$t di$- po$itio compo$itionis oculi, & forma eius, & forma $uarũ tunicarum. Et omne, quod diximus de tunicis oculi, & compo$itione earum, iam declaratum e$t ab anatomicis in libris anatomiæ.

DE QVALITATE VISIONIS, ET AB ILLA DE- pendentibus. Cap. 5. 14. Vi$io fit rad{ij}s à ui$ibili extrin$ec{us} ad ui$um manantib{us}. 6 p 3.

IAm declaratum e$t $uperius [1 n] quòd ex corpore quolibet illuminato cum quolibet lumine exit lux ad quamlibet partem oppo$itam ei. Cum ergo ui$us opponitur alicui rei ui$æ, & fuerit res illa illuminata cũ quolibet lumine, exlumine rei ui$æ ueniet lum\~e ad $uperfici\~e ui$us. Et de- claratũ fuit quòd ex proprietate lucis e$t operari in ui$um, & quòd natura ui$us e$t pati ex luce. Di gnum e$t ergo, ut non $entiat ui$us lumen rei ui$ae;, ni$i ex lumine ueniente ex ea ad ui$um. Et decla ratũ fuit iã, quòd forma coloris cuiuslibet corporis colorati & illuminaticũ quolibet lumine, a$$o- ciatur $emper lumini uenienti ab illo corpore ad quamlibet partem oppo$itã illi corpori, & erit lu- men & forma coloris $emper $imul. Ergo cũ lumine ueniente ad ui$um ex lumine corporis ui$i, e- rit $emper forma coloris corporis ui$i. Et cũ lum\~e & color ueniant $imul ad $uperficiem ui$us, ui$us $entit color\~e, qui e$t in re ui$a ex lumine ueniente ad $e ex re ui$a. Dignius ergo e$t, ut non $it $en$us ui$us coloris rei ui$æ, ni$i ex forma coloris uenientis ad ip$um ui$um cum lumine, & forma coloris $emper e$t admixta cũ forma lucis, & nõ e$t di$tincta ab ea. Vi$us ergo nõ $entit lum\~e, ni$i admixtũ cũ colore. Dignius ergo e$t, ut nõ $it $en$us ui$us coloris rei ui$æ & luminis, q<001> e$t in ea, ni$i ex for- ma admixta cũ lumine & colore ueniente ad ip$um ex $uperficie rei ui$æ. Et iterũ tunicæ ui$us qu{ae} $ituantur ad mediũ anterioris ui$us, $unt diaphanæ cõting\~etes $e, [per 4 n] & prima illarũ, $cilicet cornea tãgit aer\~e, in quo primo uenit forma. Et ex proprietate lucis e$t pertrã$ire in quodlibet cor pus diaphanũ: & $imiliter e$t proprietas formæ coloris, quæ a$$ociatur lumini, pertrã$ire in corpus diaphanũ, & ideo ext\~editur in aere diaphano, $icut ext\~editur lum\~e. Et ex natura corporũ diaphano rũ e$t, recipere formas lucis & coloris, & reddere ip$as partibus $ibi oppo$itis. Forma ergo ueni\~es ex re ui$a ad $uperfici\~e ui$us, trã$ibit per diaphanitat\~e tunicarũ ui$us, per foram\~e quod e$t in anteri ore uueæ, perueniet ergo ad humor\~e glacial\~e, & pertrã$ibit in eo, $ecundũ diaphanitat\~e $uã. Digni- us ergo e$t, ut tunic{ae} ui$us nõ $int diaphanæ, ni$i ut pertrã$eant in eis formæ lucis & colorũ, uenien tiũ ad ip$um. Aggregemus ergo modò q<001> cõponitur ex omnibus i$tis, & dicamus, quòd ui$us $en- tit lum\~e & colores, qui $unt in $uperficie rei ui$æ, & quòd pertran$eunt per diaphanitat\~e tunicarum ui$us. Et hoc e$t illud in quo quie$cebat phy$icorũ opinio de qualitate ui$ionis. Dicemus ergo mo- dò, quòd qualitas ui$ionis nõ a$$eritur huiu$modi e$$e tãtùm, quoniã i$te modus de$truitur, ni$i ad- datur ei aliud. Quoniã enim forma lucis & coloris cuiuslibet colorati & illuminati ext\~editur in ae- re diaphano, cõtinuato cũ eo ad o\~es partes oppo$itas, ui$us aũt opponitur eod\~e t\~epore multis reb. ui$is diuer$i coloris, & inter quãlibet earũ & ui$um $unt in aere lineæ rectæ cõtinuato medio inter eas: & cũ formæ lucis & coloris, quæ $unt in re ui$a oppo$ita ui$ui ueniant ad $uperfici\~e ui$us: for- m{ae} ergo lucis & coloris cuiuslibet rerũ ui$ibiliũ, oppo$itarũ ui$ui, in eod\~e t\~epore ueni\~et ad $uperfi ci\~e ui$us. Et cũ form{ae} ext\~edãtur ex re ui$a ad quãlibet part\~e oppo$itã, & nõ perueniãt ad ui$um, ni$i {pro}pter oppo$ition\~e: forma, qu{ae} peruenit ex re ui$a ad ui$um, peruenit ad totã $uperfici\~e ui$us. Et cũ ita $it, quãdo ui$us opponitur alicui $uperficiei rei ui${ae}, & peruenit forma coloris eius & lucis ad $u perfici\~e ui$us, & uiderit in illo t\~epore a$pici\~es alia ui$ibilia diuer$i coloris oppo$ita ui$ui: tũc forma lucis & coloris cuiuslibet illorũ ui$ibiliũ uen@et ad $uperfici\~e ui$us, & forma omniũ illorũ ui$ibiliũ perueniet ad totã $uperfici\~e ui$us. Perueni\~et ergo ad totã $uperfici\~e ui$us multa lumina diuer$a, & multi colores diuer$i, & quilibet illorũ implet $uperfici\~e ui$us: perueniet ergo in $uperficiem ui$us forma admixta ex colorib. diuer$is, & luminibus diuer$is. Si ergo $en$erit ui$us illã formã admixtã, $entiet color\~e diuer$um à colore cuiuslibet illarũ rerũ, & nõ di$tingu\~etur ab eo ui$ibilia. Et $i $en$e rit unã illarũ rerũ ui$ibiliũ, & nõ $en$erit re$iduas: cõpreh\~edet unã r\~e ui$ibil\~e, & nõ alias: $ed ip$e cõ- preh\~edit omnia illa ui$ibilia in eod\~e t\~epore, & cõpreh\~edit ip$a di$tincta. Et $i non $en$erit unã illarũ formarũ, nihil $entiet ex ip$is, uel ex alijs ui$ibilibus oppo$itis illi: $ed ip$e $entit omnia. Et iterũ po$ $unt e$$e in eod\~e ui$o diuer$i colores, & à qualibet parte eius exit lum\~e & color $ecũdum o\~es lineas rectas, quæ ext\~edũtur in aere cõtinuo. Cũ ergo fuerint partes unius rei ui${ae} diuer$i coloris: ueniet ad totã $uperfici\~e ui$us ex unoquoq; illarũ forma coloris & lucis, & $ic քmi$cebũtur colores illarũ ALHAZEN partiũ in@$uperficie ui$us. Quare cõprehendet ui$us ip$os admixtos, aut nihil cõpreh\~edet ex eis. Si uerò cõpreh\~edet eos permixtos, nõ di$tinguũtur, nec ordinabũtur ab eo partes $iue colores parti- um. Et $i nihil cõprehendit ex i$tis formis, nihil cõpreh\~edet ex i$tis partibus: & $i nihil cõprehendit ex partibus, nihil cõprehendet ex re ui$a: $ed ui$us cõpreh\~edit r\~e ui$am $ibi oppo$itã illuminatã, & comprehendit partes eius diuer$i coloris ordinatas, & di$tιnctas. Et cum ita $it, con$tat quòd aut qualitas ui$ionis erit alio modo, aut erit i$te modus pars propo$iti modi uidendi.

15. Vi${us} è $ingul{is} $uæ $uperficiei punct{is} $ingula ui$ibil{is} punct a uidet. 17. 18 p 3.

DEbemus ergo cõ$iderare utrũ i$te modus po$sit cõuenire cõditionibus, per quas di$tinguã- tur colores rerũ ui$ibiliũ, & ordinãtur partes earũ apud ui$um, & cõueniunt ad eorũ e$$e in corpore. Dicimus ergo quòd, quãdo ui$us fuerit oppo$itus alicui rei ui$ibili, ueniet ex quo- libet puncto $uperficiei rei ui$æ forma & coloris & lucis, quæ $unt in ea, ad totã $uperfici\~e ui$us, & ex quolibet puncto cuiuslibet rerũ ui$ibilium oppo$itarũ ui$ui in illa di$po$itione, etiam uenient form{ae} coloris & lucis, qu{ae} $unt in illis, ad totã $uperfici\~e ui$us. Si ergo ui$us $en$erit ex tota eius $u- perficie formas coloris & lucis, quæ ueniunt ex aliquo puncto $uperficiei rei ui$æ, $entiet ex tota e- ius $uperficie, formã cuiuslibet puncti $uperficiei rei ui$æ, & formã cuiuslibet puncti $uperficierũ omniũ ui$ibilium rerũ oppo$itarũ illi in illa di$po$itione: & $ic non ordinabuntur ab eo partes uni- us rei ui$æ, neq; di$tinguentur ab eo. Et $i $en$erit formã uenient\~e ex uno puncto $uperficiei rei ui- $æ ad totã $uperfici\~e ui$us, ex uno puncto tantùm $uperficiei ip$ius ui$us, & nõ $en$erit formã illius puncti tota eius $uperficie: ordinabuntur ab eo partes rei ui$æ, & di$tingu\~etur omnia ui$ibilia op- po$ita. Quoniã quando cõprehenderit colorem puncti unius ex uno puncto tantùm $uperficiei e- ius, cõprehendet color\~e unius partis rei ui$æ ex una parte $uperficiei $uæ, & cõprehendet colorem alterius partis ex alia parte $uperficiei $uæ, & cõprehendet unam quamq; part\~e ui$ibiliũ ex loco $u- perficiei $uæ diuer$o & oppo$ito ei, per quem cõprehendit aliã rem ui$ibilem. Quare ui$ibilia erunt ab eo ordinata & di$tincta, & $imiliter partes cuiuslibet illorum.

16. Humor cry$tallin{us} e$t præcipuum organum facult at{is} opticæ. 4. 18 p 3.

MOdò ergo cõ$ideremus utrũ hoc $it cõueniens, & po$sibile ad e$$e. Et dicamus prius, quòd ui$io nõ e$t ni$i per glacial\~e, $iue fiat ui$io per formas uenientes ex re ui$a ad ui$um, $iue $e- cundum alium modũ. Vi$io autem nõ e$t per unã aliarũ tunicarum antecedentiũ $e, quo- niam illæ tunicæ non $unt ni$i in$trumentũ glacialis. Quoniã $i contigerit humori glaciali læ$io cũ $alute aliarum tunicarũ, de$truitur ui$io, & $i acciderit re$iduis tunicis corruptio, remanente ip$a- rum diaphanitate cum $alute glacialis, non corrumpetur ui$us: Et etiam $i in foramine uueæ fuerit oppilatio, & de$truatur diaphanitas humoris eius, de$truetur ui$us cum $alute corneæ, & $i aufera- tur oppilatio, reuertetur ui$us. Et $imiliter $i peruenerit intra humor\~e albugineum pars cra$$a, non diaphana, & fuerit in facie humoris glacialis, & media inter ip$um & foramen uueæ, de$truetur ui- $io, & quando auferetur illud cra$$um, uel declinabitur auer$ione lineæ rectæ, quæ e$t inter glacia- l\~e & foram\~e uueæ ad aliquã part\~e, reuertetur ui$us. Et omnibus i$tis atte$tatur medicina. De$tru- ctio ergo $en$us ui$us e$t apud corruption\~e glacialis cũ $alute tunicarũ antecedentiũ illũ. Et illud e$t argumentũ, quòd $en$us ui$us nõ e$t, ni$i per i$tũ humor\~e, nõ per tunicas re$iduas antecedentes illũ. Et de$tructio $en$us apud de$tructionem diaphanitatis, quæ e$t inter glacial\~e & $uperficiem ui $us per corpus den$um non transluc\~es, $ignificat quòd diaphanitas i$tarum tunicarum non e$t, ni- $iut continuetur diaphanitas tunicarum ui$us cum diaphanitate aeris, & efficiantur corpora, quæ $unt inter glacialem & rem ui$am, diaphana continuitate diaphanitatis. Et de$tructio $en$us apud de$tructionem linearum, quæ $unt inter glacialem & $uperficiem ui$us: $ignificat, quòd $en$us gla- cialis non erit, ni$i ex lineis rectis, quæ $unt inter ip$um & $uperficiem ui$us. Dicemus ergo $i $en- $us ui$us e$t ex colore rei ui$æ & lucis, qu{ae} $unt in eo, & ex forma ueniente ex rebus ui$is ad $uper- ficiem ui$us, & $en$us non e$t ni$i per glacialem. Ergo non per $uper$iciem ui$us $entiet ui$us i$tam formam, $ed po$tquã tran$ierit $uperficiem ui$us, & peruenerit ad glacial\~e. Et forma quæ uenit ex re ui$a ad $uperficiem ui$us, pertran$it in diaphanitate tunicarum ui$us: quoniam ex proprietate diaphanitatis e$t, ut tran$eant in ea formæ lucis & coloris, & extendantur rectè. Et iam declaraui- mus hoc in aere [14 n.] Et cum fuerint experim\~etata omnia corpora diaphana, inuenietur quòd lux extenditur in eis $ecundum lineas rectas: & nos declarabimus pò$t apud no$trum $ermonem de obliquatione, quomodo hoc experiendum $it. Si ergo $en$us ui$us lucis & coloris, quæ $unt in re ui$a, e$t ex forma ueniente ad ui$um ex re ui$a: apud peruentionem ip$ius formæ ad glacialem e- rit $en$us. Et iam declaratum e$t antea [15 n] quòd non e$t po$sibile, ut ui$us comprehendat rem ui$am $ecundum $uum e$$e, ni$i quando comprehenderit formam unius puncti rei ui$æ ex uno puncto tantùm $uæ $uperficiei. Non e$t ergo po$sibile, ut glacialis comprehendat rem ui$am $ecun dum $uum e$$e, ni$i quando comprehenderit colorem unius puncti rei ui$æ ex forma ueniente ad ip$um ex uno puncto tantùm $uperficiei ui$us: forma autem uenit ex quolibet puncto $uperficiei rei ui$æ, & pertran$it totam ui$us $uperficiem u$que ad interius. Si uerò ex eo, quod uenit ex u- no puncto rei ui$æ ad totam $uperficiem ui$us, & pertran$it tunicas ui$us, & peruenit ad glacia- lem, non comprehendit glacialis ni$i quod uenit ad ip$um ex uno puncto tantùm $uperficiei ui- $us, & $entit colorem illius puncti tantùm ex $uperficie ui$us, & peruenit ad unum punctum OPTIC AE LIBER I. tantùm $uperficiei eius, & non comprehendit illud punctum rei ui$æ ex re$idua forma perue- niente ad $uperficiem eius ex re$idua $uperficie ui$us: complebitur ui$io, & ordinabuntur partes rei ui$æ, & di$tinguentur res in $e apud ui$um, & non complebitur ui$io, ni$i $ecundum i$tum mo- dum. Et hoc non pote$t e$$e ita, ni$i quando fuerit unum punctorũ, qu{ae} $untin $uperficle ui$us, per quam tran$it forma unius puncti $uperficiei rei ui$æ, di$tinctuш à punctis re$iduis, quæ $unt in $u- perficie ui$us, &@fuerit linea, $uper quam uenit forma ad illud punctũ $uperficiei ni$us, di$tincta à re$iduis lineis, $uper quas uenit forma. Et propter hoc pote$t glacialis cõprehendere formã ueni- entem $uper illã lineam, & ex puncto $uperficiei ui$us, quod e$t $uper illam lineã, & nõ pote$t com- prehendere ip$am per aliam.

17. Lux perpendicular{is} penetr at per qualibet diuer$a media: obliqua refringitur. 42. 43. 44. 45. 47 p 2.

ET cum inducuntur luces, & experim\~etatur qualitas tran$itus earum, & exten$ionis earũ in corporibus diaphanis, inuenitur quòd lux extenditur per corpus diaphanum $ecundum li- neas rectas, dum corpus diaphanũ fuerit cõ$imilis diaphanitatis: & cũ occurrerit corpus ali- ud diuer$æ diaphanitatis à diaphanitate corporis præcedèntis, in quo extendebatur, non pertran- $ibit $ecũdum rectitudinem linearũ, $uper quas extendebatur antè, ni$i quando illæ lineæ fuerint perpendiculares $uper $uperfici\~e $ecũdi corporis diaphani: & $i illæ lineæ fuerint obliquatæ $uper $uperfici\~e $ecũdi corporis, & nõ perpendiculares, obliquabitur lux apud $uperfici\~e $ecũdi corpo- ris, & non extendetur rectè: & cum obliquatur, ext\~edetur in $ecundo corpore $ecundũ illas lineas rectas, $uper quas obliquabatur: & erũt lineæ $uper quas obliquabatur lux in $ecũdo corpore, etiã declinantes $uper $uperfici\~e $ecundi corporis, & nõ perpendiculares. Et $i fuerint quædã lineæ $u- per quas uenit lux in primo corpore, perpendiculares $uper $uperfici\~e $ecundi corporis, & quædã declinantes: extendetur lux, quæ erat $uper lineas perpendiculares in $ecundo corpore $ecundum rectitudin\~e, & qu{ae} erat $uper lineas declinantes, obliquabitur apud $uperfici\~e $ecundi corporis $e- cundum lineas declinantes, & extendetur in eo $ecundũ rectitudin\~e illarũ linearum declinantiũ, $uper quas obliquabatur. Et hoc nos declarabimus in $ermone de refractione, & o$tendemus uiã, per quã poterit quis experiri i$tã di$po$ition\~e: & apparebit $en$ui, & cadet $uper ip$am certitudo.

18. Vi$io di$tincta fit rect{is} line{is} à ui$ibili ad $uperficiem ui${us} perp\~edicularibus. Ita<005> $in- gula ui$ibil{is} punct a eundem obtinent $itum in $uperficie ui${us}, quem in ui$ibili. 17 p 3.

ET cum ita $it, ex forma ergo lucis & coloris, quæ ueniunt ex quolibet puncto rei ui$æ ad $u- perficiem ui$us, quando peruenerit ad $uperfici\~e ui$us, nihil pertran$ibit per diaphanitatem tunicarũ ui$us $ecũdũ rectitudin\~e, ni$i illud, quod erit $uper lineã rectã eleuatã $uper $uperfi- ci\~e ui$us $ecundũ angulos rectos, & illud, quod fuerit $uper aliã, refringetur, & non pertran$ibit re- ctè: quoniam diaphanitas tunicarum ui$us nõ e$t, ficut diaphanitas aeris contingentis fuperfici\~e ui$us. Et illud, quod refringitur ex i$tis formis, refringetur etiam $uper lineas declinantes, non $u- per lineas perpendiculares exten$as ex loco refractionis: & una linea recta tantùm exit ad punctũ $uperficiei ui$us ab uno puncto $uperficiei rei ui$æ, ita ut $it perpendicularis ad $uperficiem ui$us: [per 13 p 11] & exeunt ad eã lineæ infinitæ declinãtes $uper $uperfici\~e ui$us. Et forma ueni\~es $ecun dũ rectitudin\~e perpendicularis, pertranfit tunicas ui$us $ecun dũ rectitudinem perpendicularis: & omnes formæ uenientes $ecundum lineas declinantes ad illud punctum, refringuntur apud illud punctum, & tran$eunt in tunicis ui$us $ecundum lineas declinantes: & nihil ex eis tran$it $ecundũ exten$ionem linearũ, $uper quas uenerũt, neq; etiam $ecundũ rectitudinem linearũ perpendicula- riter erectarũ $uper illud punctũ. Et ad quodlibet punctũ $uperficiei ui$us ueniunt in eodem tem- pore formæ omniũ punctorũ, quæ $unt in $uperficiebus omniũ ui$ibiliũ & illuminatorũ oppo$ito- rũ illi in illo tempore: quoniam inter ip$um & quodlibet punctũ oppo$itum illi e$t linea recta: & à quolibet punctorum, quæ $unt in $uperficiebus ui$ibilium illuminatorum, extenduntur formæ $u- per quamlibet lineam rectam, quæ pote$t extendi ex illo puncto, & forma unius puncti tantùm de numero omnium punctorum oppo$itorum ui$ui, quæ uenit ad illud punctũ $uperficiei ui$us in il- lo tempore, uenit $uper perpendicularem eleuatam $uper illud punctũ $uperficiei ui$us: & formæ omniũ punctorũ re$iduorũ ueniũt ad illud punctũ $uperficiei ui$us $uper lineas declinantes: & in quolibet puncto $uperficiei ui$us tran$eunt in eo d\~e tempore formæ omniũ punctorũ, quæ $unt in $uperficiebus omniũ ui$ibiliũ oppo$itorũ in illo t\~epore: & forma unius puncti tantùm trã$it rectè per diaphanitat\~e tunicarũ ui$us: & e$t punctũ, quod e$t apud extremitat\~e perp\~edicularis exeuntis ab illo puncto $uperficiei ui$us: & formæ omniũ punctorũ reliquorũ refringuntur apud illud pun etũ $uperficiei ui$us, & trã$eũt per diaphanitat\~e tunicarũ ui$us $ecundũ lineas declínãtes ad $uperfi ci\~e ui$us. Et ex quolibet pũcto $uperficiei glacialis exit una linea tãtũ perp\~edicularis $uper $uperfi- ci\~e ui$us: & ab eod\~e exeunt line{ae} infinitæ ad $uperfici\~e ui$us, & $unt declinãtes $uper ip$am. A pun cto ergo $uperficiei glacialis, ex quo exit perpendicularis $uper $uperfici\~e ui$us, & pertrã$it foram\~e uueæ, exeunt lineæ infinitæ, quæ trã$eunt in foram\~e uueæ, & perueniũt ad $uperfici\~e ui$us, pr{ae}ter illã perp\~edicular\~e: & extrem itates omniũ linearũ exeuntiũ à pũcto aliquo $uperficiei glacialis, & trã$euntiũ ք foram\~e uueæ, & perueni\~etiũ ad $uperfici\~e ui$us, & declinãtiũ $uper illã, quãdo fuerint ALHAZEN intellectæ refringi $ecundum modum, quem affirmat diuer$itas diaphanitatis, quæ e$t inter diapha nitatem corporis corneæ & corporis aeris, perueniunt ad diuer$a loca, & ad puncta diuer$a denu- mero punctorum, quæ $unt in $uperficiebus ui$ibilium oppo$itorum ui$ui in uno tempore: & nul- la i$tarum linearum occurrit puncto, quod e$t apud extremitatem perpendicularis. Et formæ pun- ctorũ, quæ $unt apud extremitates omnium i$tarum linearum $uperficierum ui$ibilium, extendun tur $ecundum rectitudinem i$tarum linearum, & perueniunt ad $uperficiem ui$us, & refringuntur ad idem punctum $uperficiei glacialis, præter formam puncti, quod e$t apud extremitatem perpen dicularis: quoniam ip$a extenditur $ecundum rectitudinem perpendicularis, & pertran$it ad illud punctum glacialis. Si ergo glacialis $entit ex uno puncto omnes formas uenientes ad ip$um ex o- mnibus uerticationibus, $entiet ex omni puncto formas admixtas ex multis formis diuer$is, & co- loribus multis ui$ibilium oppo$itorum ui$ui in illo tempore: & $ic nihil diftinguetur ab eo ex pun- ctis, quæ $unt in $uperficiebus ui$ibilium, neque ordinabuntur formæ punctorum uenientes ad il- lud punctum: at $i glacialis $en$erit ex uno $ui puncto illud, quod uenit ad ip$um ex una uerticatio- ne tantùm, di$tinguentur ab eo puncta, quæ $unt in $uperficiebus ui$ibilium. Et nullum punctorũ, quorum formæ perueniunt ad glacialem $uper lineas refractas, e$t dignius alio ex formis refractis, neque ulla refracta uerticatio e$t dignior alia: & formæ refract{ae} ad unum punctum glacialis in uno tempore, $unt multæ non determinatæ. Et punctum, cuius forma uenit $ecundum rectitudinem perpendicularis ad unum punctum glacialis, e$t unum punctum tantùm, & nulla alia forma uenit cum ea $ecundum rectitudinem perpendicularis: quoniam omnes formæ refractæ non refringun- tur ni$i $ecundum lineas declinantes. Et cum centrum $uperficiei ui$us $it idem cum centro $uper- ficiei glacialis [per 12 n] linea, quæ e$t perpendicularis $uper $uperficiem ui$us, eft perpendicula- ris $uper $uperficiem glacialis. Form a ergo, quæ uenit $uper perpendicularem, di$tinguitur ab alijs formis duabus di$po$itionibus: quarum altera e$t, quòd ip$a extenditur à $uperficie rei ui${ae} ad pun ctum glacialis $uper lineam rectam, & re$iduæ ueniunt $uper lineas refractas: altera autem e$t, quòd ip$a perpendicularis erecta $uper $uperficiem ui$us, e$t etiam perpendicularis $uper $uperfi- ciem glacialis: & lineæ re$iduæ, $uper quas ueniunt formæ re$iduæ refractæ, $unt declinantes $u- per $uperficiem ui$us. Et operatio lucis uenientis $uper perpendiculares, e$t fortior operatione lu cis uenientis $uper lineas inclinatas. Dignius ergo e$t, ut glacialis non $entiat ex quolibet puncto, ni$i formam uenientem ad ip$um punctum $uper rectitudinem perpendicularis tantùm, & non $entiat ex illo puncto illud, quod uenit ad illud punctum $ecundum uerticationes refractas. Et ite- rum cum centrum $uperficiei ui$us, & centrum $uperficiei glacialis, fit idem punctum, omnes per- pendiculares eleuatæ $uper $uperficiem glacialis & $uperficiem ui$us, concurrent $uper centrum commune, & erunt diametri in $uperficiebus tunicarum ui$us, perp\~ediculares $uper ip$as tunicas ui$us: & erit quælibet perpendicularis occurrens $uperficiei corneæ in uno puncto, & occurrens $uperficiei glacialis in uno puncto: & non exit ad illud punctum corneæ, ni$i una perpendicularis, neque exit ad illud punctũ glacialis, ni$i una perpendicularis tantùm. Forma ergo, quæ exit à quo- libet puncto $uperficiei rei ui$æ $uper perpendicularem, quæ extenditur ab eo ad $uperficiem ui- $us, occurrit $uperficiei ui$us $uper unum punctum, $uper quod ei non occurrit aliqua alia forma, non uenientium $uper perpendiculares.

19. Vi$io fit per pyramidem, cui{us} uertex e$t in ui$u, ba$is in ui$ibili. 18. 21. 22 p 3.

ET iterum iam determinatũ e$t, [14. 18 n] quòd ex quolibet puncto cuiuslibet corporis co- lorati & illuminati cum quolibet lumine, exeunt lux & color $uper quamlibet lineam rectã, quæ poterit extendi ab illo puncto: ergo inter quodlibet punctum ui$us, & quodlibet pun- ctum oppo$itum alicui $uperficiei, & quodlibet punctum illius $uperficiei, e$t linea recta imagina- bilis, & inter illud punctum, & illam $uperficiem e$t pyramis imaginabilis, cuius uertex e$t illud punctum, & cuius ba$is e$t illa $uperficies: & illa pyramis continet omnes lineas rectas intellectas, quæ $unt inter illud punctum & omnia puncta illius $uperficiei. Cum ergo forma lucis & coloris exierint à quolibet puncto $uperficiei corporis colorati, illuminati, $uper quamlibet lineam rectã, qu{ae} poterit extendi ab illo puncto, ad quodlibet punctum oppo$itum corpori illuminato & colo- rato: forma lucis & coloris, quæ $unt in $uperficie illius corporis, extendetur à quolibet puncto $u perficiei illius corporis, ad illud punctum, oppo$itũ illi $uper lineam rectam exten$am inter ip$um corpus & illud punctum. Form a ergo lucis & coloris cuiuslibet corporis colorati & illuminati cũ quolibet lumine, ext\~editur à $ua $uperficie ad quodlibet punctum oppo$itum illi $uperficiei $ecun dum uerticationem pyramidis, quæ formatur inter illud punctum & illam $uperficiem: & erit for- ma ordinata in illa pyramide per lineas illas concurrentes ad illud punctum, quod e$t uertex pyra- midis, $icut e$t ordinatio in partibus coloris, qui e$t in $uperficie illius corporis. Cũ ergo ui$us fue- rit oppo$itus alicui rei ui$ibili, formabitur inter punctum, quod e$t centrum ui$us, & $uperficiem illius rei ui$æ, pyramis imaginabilis, cuius uertex erit centrum ui$us, & ba$is erit $uperficies illius rei ui$æ: & cum aer medius inter illam rem ui$am & ui$um fuerit continuus, & non fuerit medium inter rem ui$am & ui$um, corpus den$um, & fuerit illa res ui$a illuminata cum quolibet lumine: extendetur forma lucis & coloris, quæ $unt in $uperficie illius rei ui$æ, ad ui$um $ecundum uertica tionem illius pyramidis, & extendetur forma cuiuslibet puncti $uperficiei illius rei ui$æ $ecundum rectitu dinem lιneæ, qu{ae} e$t inter illud punctum, & uerticem illius pyramidis, qui e$t c\~etrum ui$us. OPTIC AE LIBER I. Et quia centrum ui$us idem e$t cum centro $uperficiei glacialis, [per 12 n] erunt omnes i$tæ lineæ perpendiculares$uper $uperficiem oculi, & $uperfici\~e glacialis, & $uper o\~es $uperficies ui$us æqui- di$tantes: & erit pyramis continua $uper omnes i$tas perpendiculares, continens omnes i$tas per- pendiculares, & aerem, in quo extenditur forma à tota $uperficie illius rei ui$æ oppo$itæ ui$ui, $e- cundum uerticationes perpendicularium: & $uperficies glacialis $ecabit i$tam pyramidem: & $ic peruenit forma lucis & coloris, quæ $unt in $uperficie illius rei ui$æ, in partem $uperficiei, quã com prehendit pyramis. Et ad quodlibet punctum i$tius $uperficiei glacialis ueniet forma puncti oppo $iti $uperficiei rei ui$æ, $ecundum rectitudinem perpendicularis exeuntis ab i$to puncto $uperfici- ei rei ui$æ $uper $uperficiem tunicarum ui$us, & $uper $uperficiem glacialis, & pertran$ibit diapha- nitatem tunicarum ui$us $ecundum rectitudinem illius perpendicularis, & non pertran$ibit cum illa forma $ecundum rectitudinem illius perpendicularis alia forma. Et i$ta forma perueniet ad i$tã partem glacialis ordinata in ea $ecũdum lineas rectas, $uper quas peruenit ad ip$am, quæ $unt per- pendiculares ad ip$am, & cõcurr\~etes apud centrũ ui$us, $icut ordinatio partiũ $uperficiei rei ui$æ. Præterea ueniunt in illa di$po$itione ad quodlibet punctum huius partis $uperficiei glacialis mul tæ formæ à multis punctis $uperficierum ui$arum in eodem tempore. Perueniunt ergo in i$tã par- tem $uperficiei glacialis, quæ di$tinguebatur à pyramide, multæ formæ ex multis coloribus diuer- $is. Si ergo glacialis $en$erit ex parte di$tincta per pyramidem, formam uenientem ad $e ex uertica- tione illius pyramidis tantùm, neque $en$erit ex illa parte $uæ $uperficiei aliam formam, ni$i formã uenientem $uper illam uerticationem: $entiet formam illius rei $ecundũ $uũ e$$e, & $entiet ordina- tam $ecundum $uam ordinationem. Et poterit etiam $entire in illa di$po$itione formas aliarum re- rum ui$arum, præter illam rem ui$am ex pyramidibus di$tinguentibus ex $ua $uperficie alias par- tes ab illa parte: & poterit $entire formam cuiuslibet rerum ui$arum $ecũdum $uum e$$e, & $entire $itus earum inter $e $ecundum $uũ e$$e. Et $i glacialis $en$erit formas uenientes ad $e ex uerticatio- nibus refractis, $entiet ex eadem parte, quæ di$tinguebatur ex $ua $uperficie per illam pyramidem, formas admixtas ex formis partium illius rei ui$æ, & ex formis multarum rerum ui$arum diuer$a- rum, & erunt admixtæ ex multis coloribus diuer$is, & $entiet ex qualibet parte $uæ $uperficiei, præter illam partem, formam permixtam exformis multarum rerum diuer$arum: & $ic non $enti- et formam uenientem $ecundum pyramidis uerticationem $ecundum $uũ e$$e, neque aliquam for mam uenientem $uper perpendicularem $ecũdum $uũ e$$e, neque aliquam formam uenientem ex uerticationibus refractis. Non $entiet ergo formam unius rei ui$æ $ecundum $uũ e$$e, neq; di$tin- guentur ab ea res ui$æ oppo$itæ illi in eodem tempore: $ed ui$us compreh\~edit res ui$as di$tinctas, & comprehendit partes unius rei ui$æ ordinatas $ecundum $uum e$$e in $uperficie rei ui$æ, & com prehendit res ui$as multas $imul in eodem tempore. Et cum ui$io $it ex formis uenientibus ex re- bus ui$is ad ui$um [per 14 n] nihil $entiet glacialis ex formis rerum ui$arum ex uerticationibus refractis: & $ic nulla formarũ peruenientiũ ad $uperfici\~e glacialis ex formis rerum ui$arũ, ordinabi tur in $uperficie glacialis $ecundũ $uũ e$$e: neq; ulla formarũ partium unius rei ui$æ peruenientiũ ad $uperficiem glacialis, ordinabitur in $uperficie glacialis $ecundum $uũ e$$e in $uperficie rei ui$æ, ni$i formæ peruenientes ad eam $ecundum rectitudinem perpendicularium eleuatarum $uper $u- perficiem ui$us tantùm. Situs autem formarum refractarum apud $uperficiem ui$us etiam perue- niuntin $uperficiem glacialis conuer$i, & peruenit in$uper forma unius puncti in portionem $u- perficiei glacialis, nõ in unum punctum. Et illud e$t, quòd forma puncti dextri apud ui$um, quan- do extendetur ad punctum $uperficiei ui$us, & linea, $uper quam extenditur forma, obliqua $uper $uperficiem ui$us, refringetur ad partem $ini$tram à perpendiculari, quæ extendetur à centro ui- $us ad illud punctum $uæ $uperficiei: & peruenit forma, quæ refringitur ab extremitate perpendi- cularis, $ecundum hunc modum ad punctum $ini$trum à puncto glacialis $uperficiei, $uper quod ab$cindit illã illa perpendicularis: Et $imiliter forma puncti $ini$tri à ui$u, quæ extendetur ad illud idem punctũ $uperficiei ui$us, & declinat $uper ip$am, refringetur ad punctũ dextrũ à perpendicu- lari, & à puncto $uperficiei glacialis, quod e$t $uper illã perpendicular\~e: quoniã formæ refractæ nõ appropinquant po$t refraction\~e perpendiculari exeunti à loco refractionis, & non perueniunt per application\~e formæ ad perpendicular\~e neq; po$t refraction\~e pertran$eunt ip$am, neq; pr{ae}cedunt: quoniã hæc e$t proprietas formarũ refractarũ. Et $imiliter formæ duorũ punctorũ, quæ $untin ea- d\~e parte à ui$u, quæ exeunt ad unũ punctũ $uperficiei ui$us, & declinant $uper ip$am in ead\~e parte, perueniuntin $uperfici\~e glacialis conuer$æ: quoniã duæ lineæ, $uper quas extendũtur duæ formæ punctorũ, $ecant $e ad punctũ $uperficiei ui$us, $uper quod cõcurrunt duæ formæ, & occurrũt per- p\~ediculari exeunti ad illud punctũ $uperficiei ui$us, $uper illud punctũ. Cũ ergo i$tæ duæ line{ae} fue rint declinantes à $uperficie ui$us in ead\~e parte à perp\~ediculari exeunte à c\~etro ui$us ad illud pun- ctum, refringũtur formæ duorũ punctorũ ad punctũ oppo$itũ illi parti. Et etiã quia duæ lineæ, $u- per quas extenduntur du{ae} form{ae} ad unum punctũ $uperficiei ui$us, $ecant $e $uper illud punctum: oportet, quando extenduntur $ecundũ $uam rectitudin\~e po$t $ection\~e, ut appareat $itus eorũ con- uer$us in re$pectu eius, qui e$t in re ui$a, & re$pectu etiã perpendicularis, & efficitur linea, quæ erat dextra ante $uã peruention\~e ad $uperfici\~e ui$us ex illis duabus lineis, $ini$tra po$t $uũ pertran$itũ in $uperfici\~e ui$us, & $ini$tra, dextra. Et $imiliter erit $itus duarũ linearũ, $uper quasrefring\~etur du{ae} formæ ex uno puncto $uperficiei ui$us: quoniã duæ formæ, quæ refringuntur ex uno puncto, ap- propinquant ambo perp\~ediculari, & extenditur forma, quæ erat $uper lineã remotior\~e à perpendi ALHAZEN culari, po$t $ection\~e $uper lineá remotior\~e etiá à perpédiculari, $ed minoris remotióis quàm linea, $uper quã erat: & ext\~editur forma, quҫ erat $uper lineã propinquioré perp\~ediculari, etiá po$t $ectio né $uper lineá propinquiorem etiam perpendiculari, $ed maioris propinquitatis, quàm linea, $uper quá erat. Et $imiliter omnes formæ, quæ extenduntur ab uno puncto. Et cú$uerit experim\~etatum experimétatione $ubtili, inuenietur, $ecúdú quod diximus. Et nos o$ten demus uiam, per quá expe rimentabitur hoc experimentatione uera apud no$trum fermon\~e de refractione, & tũc di$coope- rientur omnia dep\~edentia à refractione: & nos nó utemurillic in demó$tratione rebus, quibus u$i fuimus in i$to tractatu. Duo ergo puncta declinantia ad uná partetn à re ui$a, quando formæ eorũ extenduntur ad unũ punctũ $uperficiei ui$us, $ecabũt $e $uper duas lineas, quarũ $itus erit apud ui- $um in re$pectu rei ui$ę contrarius $itui duarũ linearum primarũ, $uper quas extêdebãtur duæ for- mæ ad $uperfici\~e ui$us. Erit ergo $itus duorum punctorum $uperficiei glacialis, ad quæ perueniunt duælformæ contrarius $itui, duorũ punctorũ, ex quibus ueniunt duæ formæ. Omnes ergo $ormæ, quæ refringũtur ab uno pũcto $uper$iciei ui$us, perueniũt in $uperfici\~e glacialis cõuer$æ. Etiterũ forma cuiuslibet pũcti oppo$iti ui$ui uenit ad totá $uperfici\~e ui$us: ergo refringetur à tota $uperfi- cie ui$us: & forma, quæ refringitur à tota $uperficie ui$us, refringitur ad part\~e alicuius quãtitatis $u perficiei glacialis, nó ad unũ pũctũ. Quoniá formę refractionis $i cõcurrer\~et po$t refraction\~e $uper unũ punctũ, $ecar\~et perp\~ediculares, apud quarũ extremitates re$ringebãtur, aut pertrã$irent ip$as, aut exiret forma à $uper$icie, in qua refringebatur: $ed nulla forma refracta occurrit perp\~ediculari, apud cuius extremitat\~e fuerit refracta po$t refraction\~e, neq; pertrã$it illã, neq, exit à $uper$icie, in qua fuit re$racta. Et omnia i$ta mani$e$tãtur per experim\~etation\~e. Forma ergo unius pũcti rei ui$æ, quæ peruenit in $uperfici\~e glacialis, po$t refraction\~e nõ erit in uno pũcto, $ed in parte alicuius quã- titatis $uperficiei glacialis, & nõ erit $itus formarũ rerũ diuer$arũ uel pũctorũ diuer$orũ $uperficiei rei ui$æ, quæ perueniũt in $uperfici\~e glacialis ք refraction\~e inter $e, $icut $itus earũ $ecũdũ $uũ e$$e in $uperficiebus rerũ ui$arũ, $ed cótrarius. Nulla ergo formarũ refractarũ rerũ ui$arũ peruenientiũ ad $uperfici\~e glacialis e$t $ecũ dũ $uũ e$$e in $uperficieb. ui$arũ rerũ. Et iã declaratũ e$t [18 n] quòd formæ uenientes $uper perp\~ediculares, ordinãtur in $uperficie glacialis $ecundũ $uũ e$$e, quoniã ext\~eduntur rectè à $uperficiebus rerũ ui$arũ ad $uperfici\~e glacialis. Nulla ergo formarũ rerũ ui$arũ uenientiũ ad $uperfici\~e glacialis ordinatur in $uperficie glacialis $ecundũ $uũ e$$e, quod habentin $uperficiebus rerũ ui$arum, ni$i formæ exten$æ $uper uerticationes perpédiculariũ tãtùm. Si ergo $en$us ui$us rerũ ui$arũ $it ex form is uenientib. ad ip$um ex $uper$iciebus rerũ ui$arũ, nihil cõpre- hendet ui$us ex formis rerũ ui$arũ peruenientibus ad ip$um, ni$i ex uerticationibus, quarũ extre- mitates cõcurrunt apud centrũ ui$us tátùm: quoniã ui$us nihil cõprehendit ex $ormis rerum ui$a- rum, ni$i ordinatum $ecundum $uum e$$e in $uperficiebus rerum ui$arum.

20. Oculus & $phæra cry$tallina habent idem centrum. 7 p 3. Idem 12 n.

ET iterũ $i centrũ ui$us nõ e$t centrũ $uperficiei glacialis: lineæ rectæ, qu{ae} exeunt à c\~etro $u- perficiei ui$us, & ext\~eduntur in foramine uueæ, & perueniũt ad res ui$as, nõ erũt perp\~edicu- lares $uper $uperfici\~e glacialis, $ed declinãtes $uper ip$am: neq; $itus earũ $uper $uperfici\~e gla cialis erũt $itus cõ$imiles, ni$i una linea tantũ, $cilicet, quæ trã$it per duo c\~etra. Formas ergo uenien tes à $uperficieb. rerũ ui$arũ ad $uperfici\~e glacialis, nõ pote$t $entire glacialis, ni$i ex uerticationib. i$tarũ linearũ tãtùm, $cilicet qu{ae} $unt perp\~ediculares $uper $uperfici\~e ui$us, qu{ae} e$t $uperficies cor- ne{ae}: quoniã form{ae}, qu{ae} $unt $uper i$tas քp\~ediculares, tãtùm $unt ordinat{ae} in $uperficie glacialis $e- cundũ ordination\~e earũ in $uperficieb, rerũ ui$arũ. Si ergo glacialis cõpreh\~editres ui$as ex formis uenientib. ad $e, & nõ cõprehendit formã, ni$i ex uerticationibus i$tarũ linearũ, & i$t{ae} line{ae} nõ $unt perpendiculares $uper $uperfici\~e eius: cõprehendet tũc formas ex uerticationibus, quarũ $itus à $u perficie $ua $unt diuer$i $itus, & declinãtes $uper $uã $uperfici\~e, & cõpreh\~edet formas ex uerticatio- nibus dιuer$orũ $ituũ declinãtibus, & cõpreh\~edet o\~es formas refractas ex uerticationib. diuer$orũ $ituũ apud $uã $uperfici\~e. Et $i cõprehendit o\~es formas refractas ex uerticationib. diuer$orũ $ituũ, nihil di$tinguetur ab eo ex rebus ui$is, propter hoc, quod declaratũ fuit $uperius. Et cũ nõ $it po$si bile, ut cõpreh\~edat formas refractas ex uerticationib. diuer$orũ $ituũ, nõ e$t po$sibile, ut cõprehen dat formas rerũ ui$arũ ex uerticationib. linearũ, qu{ae} $unt perp\~ediculares $uper $uperfici\~e ui$us, ni$i quãdo lineæ fuerint perp\~ediculares $uper $uperfici\~e eius, & fuerint $itus eorũ in $uperficie cõ$imi- les: & i$t{ae} line{ae} nõ erũt perp\~ediculares $uper $uperfici\~e $uã, ni$i quãdo c\~etrũ $u{ae} $uperficiei, & c\~etrũ $uperficiei ui$us fuerint id\~e pũctũ. Si ergo $en$us ui$us rerũ ui$arũ e$t ex formis ueni\~etib. ad ip$um ex coloribus rerũ ui$arũ, & lucibus earũ, & hoc di$tinctè: oportet, ut centrũ $uperficiei ui$us & cen trũ $uperficiei glacialis $it unũ punctũ cõmune, & nihil cõpreh\~edat ui$us ex formis rerũ uifarũ, ni$i ex uerticationib. rectarũ linearũ, quarũ extremitates cõcurrũt apud unũ & id\~e pũctũ tãtùm. Et nõ e$t impo$sibile, ut duo c\~etra $int id\~e: quoniã declaratũ e$t, [6.8 n] quòd duo c\~etra $unt ex po$te- riori c\~etro uue{ae}, & $uper unã lineã rectã trã$eunt\~e per omnia c\~etra. Et quoniã nõ e$t impo$sibile, ut duo c\~etra $int id\~e, & ut lineæ rectæ, quæ exeunt à c\~etris, $int perp\~ediculares $uper duas $uperficies, $cilicet $uperfici\~e glacialis, & $uperfici\~e ui$us: nõ e$t etiã impo$sibile, ut $it cõpreh\~e$io ui$us rerũ ui- $arũ ex formis uenientib. ad ip$um, lucis & coloris, quæ $unt in $uperficie rerũ ui$arũ, cũ cõprehen- $io formarum i$tarũ $it ex uerticationibus perpendiculariũ tantùm. Et illud e$t, utnatura ui$us re- cipiatea, quæ ueniunt ad $e, ex formis rerum ui$arũ: & etiam ut $it natura ui$us infuper appropria- ta, ut non recipiat ea, quæ ueniunt ad $e ex formis, ni$i ex proprijs uerticationibus, non ex omni- OPTICAE LIBER I. bus uerticationibus: & $unt uerticationes linearum rectarum, quarum extremitates concurrunt a- pud centrum ui$us tantùm. Et i$tæ lineæ appropinquantur in centro, quia $unt diametri eius ui$us $cilicet, & perpendiculares $uper $uperficiem ui$us $entientis. Et $ic erit $en$us ex formis uenienti- bus ex rebus ui$is, & erunt i$tæ lineæ qua$i in$trumentũ ui$us, per quod di$tingu\~etur à ui$u res ui$æ, & per quod ordinabuntur à ui$u partes cuiuslibet rerum ui$arum. Et quòd e$$e ui$us appropriatur aliquibus uerticationibus tantùm, habet $imilia in rebus naturalibus. Quoniam lux oritur ex cor- poribus lumino$is, & extenditur $uper uerticationes rectas tantùm, & non extenditur $uper lineas arcuales aut tortuo$as. Et corpora pondero$a mouentur ad inferius motu naturali $uper lineas re- ctas: non $uper lineas curuas, aut arcuales, aut tortuo$as: nec tamen mouebuntur $uper omnes li- neas rectas, quæ $unt inter ea & $uperficiem terræ, $ed $uper lineas rectas proprias, qu{ae} $unt perpen diculares $uper $uperficiem terræ & diametrũ eius. Et corpora cœle$tia mou\~etur $uper lineas $phæ. ricas, & non $uper lineas rectas, neq; $uper lineas diuer$i ordinis. Et cum fuerimus intuiti motus na turales, inueniemus, quòd quilibet eorum e$t appropriatus aliquibus uerticationibus tantùm. Nõ e$t ergo impo$sibile, ut $it ui$us appropriatus in receptione operationum lucis & coloris aliquibus uerticationibus rectis, quæ concurrunt apud eius centrum tantùm, & $unt perpendiculares $uper $uperficiem eius. Comprehen$io autem ui$us de rebus ui$is ex uerticationibus linearum rectarum, quarum extremitates concurrunt apud centrum ui$us, e$t conce$$a à mathematicis, & nulla diuer$i tas e$t inter eos in hoc: & i$tæ lineæ uocantur ab eis lineæ radiales. Et cum hoc $it po$sibile, & for- mæ lucis & coloris ueniant ad ui$um, & pertran$eant per diaphanitatem tunicarum ui$us, & ui$io non compleatur ex receptione i$tarum formarum, ni$i quando ui$us receperit ip$as ex uerticatio- nibus tantùm: ui$us ergo non comprehendit luces & colores rerum ui$arum, ni$i ex formis uenien- tibus ad ip$um ex $uperficiebus rerum ui$arum, & non comprehendit i$tas formas, ni$i ex uertica- tionibus linearum rectarum, quarum extremitates concurrunt apud centrum ui$us tantùm. Aggre gemus ergo modò ea, quæ po$$unt aggregari ex omni, quod diximus, & dicamus: quòd ui$us $entit lucem & colores, qui $unt in $uperficie rei ui${ae}, ex forma exten$a, & ex luce, & colore, qui $unt in $u- perficie rei ui${ae} per corpus diaphanũ, quod e$t medium inter ui$um & rem ui$am. Et nihil compre- hendit ui$us ex formis rerum ui$arum, ni$i ex uerticationibus linearum exten$arũ inter rem ui$am & centrum ui$us tantùm. Et declaratum e$t, quòd hoc $it po$sibile.

21. Vi$ibile ui$ui oppo$itum uidetur. 2 p 3.

NOs uerò modò exponemus qu{ae}$tionem, quare fiat ui$io $ecundum modum hunc, dicendo, quòd ui$io nõ pote$t e$$e ni$i $ecundum hunc modum. Quoniam ui$us quando $en$erit rem ui$am, po$tquam non $entiebat ip$am, aliquid accidit ei, quod nõ erat prius: & nihil accidet, po$t quam non erat prius, ni$i per aliquam cau$am. Et inuenimus, quòd ui$us quando fuerit oppo$i- tus rei ui$æ, $entiet ip$am, & cũ auferetur ab eius oppo$itione, non $entiet ip$am, & cum reuertetur ad oppo$ititionem, reuertetur ui$us. Et $imiliter inuenimus, quando ui$us $en$erit rem ui$am, dein- de clau$erit palpebras, quòd $en$us de$truitur, & cum aperit palpebras, & res ui$a fuerit in oppo$i- tione, reuertitur $en$us. Sed cau$$a e$t illud, quòd quando de$truitur cau$$a, de$truitur cau$$atum, & quando reuertitur cau$$a, reuertitur cau$$atum. Cau$$a ergo, qu{ae} facit contingere rem illam in ui$u, e$t res ui$a, quando opponitur ui$ui. Vi$us ergo non $entit rem ui$am, ni$i propter illud, quod facit res ui$as contingere in ui$u, quando $cilicet opponuntur ui$ui.

22. Vi$ibile per medium per$picuum uidetur. 13 p 3.

ET iterum ui$us non comprehendit rem ui$am, ni$i quando corpus, quod e$t medium inter ea, fuerit diaphanũ. Nam comprehen$io ui$us de re ui$a ex po$teriori aeris, qui e$t medius inter eos, non e$t propter humiditatem aeris, $ed propter diaphanitat\~e eius. Quoniam $i medium fuerit inter ui$um & rem ui$am aliquis lapis, aut aliud corpus diaphanũ quodcunq;: comprehendet tunc ui$us rem ui$am, & erit comprehen$io $ecundum diaphanitat\~e corporis mediantis: & quantò corpus mediũ fuerit magis diaphanũ, tantò erit $en$us ui$us de re illa manife$tior. Et $imiliter quan do fuerit inter ui$um & rem ui$am aqua clara diaphana, comprehendet ui$us rem ui$am à po$teriori aquæ: & $i illa aqua fuerit tincta aliqua tinctura forti, ita ut de$truatur diaphanitas, quamuis rema- neat in ea humiditas, tunc ui$us non comprehendet illam rem ui$am, quæ e$t in aqua. Declarabitur ergo ex i$tis di$po$itionibus, quòd ui$io non completur, ni$i per diaphanitatem corporis medij, & non per humiditat\~e. Illud ergo quòd res ui$a operatur in ui$um apud $uam oppo$ition\~e contra illũ, ex quo e$t $en$us, non cõpletur ni$i per diaphanitat\~e corporis medij inter ui$um & rem ui$am. Lux ergo & color rei ui$æ non cõprehendetur à ui$u, ni$i ex aliquo, quod $it ex illa luce & colore in ui$u: & illud non accidit ex luce & colore in ui$u, ni$i quando corpus medium inter ui$um & rem ui$am fuerit diaphanum. Diaphanitas aũt non appropriatur alicui ex eis, quæ pendent ex luce & colore, quo diuer$i$icetur à nõ diaphanitate, ni$i quia forma lucis & coloris pertran$it per diaphanũ, & non pertran$it per non diaphanũ: & quia corpus diaphanum recipit formam lucis & coloris, & reddit ip$am partibus oppo$itis luci & colori, corpus aũt nõ diaphanũ nõ habet i$tam proprietat\~e. Et quia ui$us non $entit lucem & colorem, quæ $untin re ui$a, ni$i ex aliquo cõtingente ex luce & colore in ui$u, & illud non contingit in ui$u, ni$i quando corpus medium inter ui$um & rem ui$am fuerit dia- phanum: & corpus diaphanum nulli appropriatur, quo di$tinguatur à corpore nõ diaphano ex eis, ALHAZEN qu{ae} pendent à luce & colore, ni$i per reception\~e formarum colorum, & reddition\~e eorum ad partes oppo$itas: & declaratũ e$t, [19 n] quòd quando ui$us fuerit oppo$itus rei ui${ae}, form{ae} lucis & coloris, quæ $untin re ui$a, reddentur ui$ui, & peruenientin $uperficiem $entientis: ui$us ergo non $entit l@ cem & colorem rei ui${ae}, ni$i ex forma exten$a per corpus diaphanum inter rem ui$am & ui$um, & ex re, quam facit contingere res ui$a in ui$u, dum opponitur illi, mediante corpore diaphano.

23. Vi$io non fit rad{ij}s à ui$u emi{$s}is. s p 3.

ET licet nobis dicere, quòd corpus diaphanũ recipit à ui$u aliquid, & red dit ip$um rei ui$æ, & per continuation\~e i$tius rei ui$æ inter ui$um & rem ui$am, euenit $en$us. Et hæc e$t opinio po nentiũ radios exire à ui$u. Ponatur ergo quòd ita $it, quòd radij exeant à ui$u, & pertran$eant per corpus diaphanum peruenientes ad rem ui$am, & per i$tos radios fiat $en$us. Et cum ita fiat $en $us, quæro an per i$tos radios reddatur ui$ui aliquid, aut nõ reddatur? Si uero $en$us fiat per radios, & non reddant ui$ui aliquid, ui$us non $entiet: $ed ui$us $entit rem ui$am, & non $entit, ni$i median- tibus radijs: i$ti ergo radij, qui $entiũt rem ui$am, reddunt ui$ui aliquid, per quod ui$us $entit rem ui $am. Et cum radij reddant ui$ui aliquid, per quod $entit rem ui$am, ui$us non $entiet lucem & colo- rem, quæ $unt in re ui$a, ni$i ex aliquo ueniente à luce & colore, quæ $unt in re ui$a ad ui$um, & radij reddunt illa. Secundum ergo omnes di$po$itiones non erit ui$us, ni$i per aduentum alicuius rei ui- $æ à re ui$a, $iue exierint radij, $iue non. Et iam declaratum e$t, [22 n] quòd ui$io non completur, ni$i per diaphanitatem corporis medij inter ui$um & rem ui$am, & nõ completur, quando fuerit mediũ inter ea corpus non diaphanũ. Et e$t manife$tum, quòd corpus diaphanum à nõ diaphano in nullo di$tinguitur, ni$i $ecundum modum prædictum. Et cum ita $it, ut diximus, & $it declaratum, quòd formæ lucis & coloris, quæ $unt in re ui$a, perueniãt ad ui$um, quando fuerint oppo$itæ ui$ui. Illud ergo, quod uenit ex re ui$a ad ui$um, per quod ui$us comprehendit lucem & colores, quæ $unt in re ui$a $ecundum omnem di$po$ition\~e, non e$t ni$i i$ta forma, $iue exeant radij, $iue non. Et iam decla- ratũ e$t [14.18 n] quòd formæ lucis & coloris $emper generentur in aere, & in omnibus corporibus diaphanis, & $emper extendantur in aere, & in corporibus diaphanis ad partes oppo$itas, $iue ocu- lus fuerit præ$ens, $iue non. Exitus ergo radiorũ e$t $uperfluus & otio$us. Vi$us ergo non $entit luc\~e & color\~e rei ui$æ, ni$i ex forma ueniente à luce & colore, quæ $unt in re ui$a. Et declaratũ e$t [19 n] quòd forma cuiuslibet puncti rei ui$æ, oppo$iti ui$ui, peruenit ad ui$um $ecun dũ uerticationes mul tas diuer$as, & quòd ui$us non pote$t apprehendere formã rei ui$æ $ecundũ $uam ordination\~e in $u perficie rei ui$æ, ni$i quando receptio formarũ fuerit ex uerticationibus linearũ rectarum, quæ $unt perpendiculares $uper $uperficiem ui$us, & $uper $uperficiem m\~ebri $entientis, & quòd lineæ rectæ perpendiculares nõ erunt $uper i$tas $uperficies, ni$i quando centrũ i$tarum $uperficierũ fuerit unũ punctũ. Et cum hoc totum $it, $icut dictũ e$t: oportet, ut centrũ $uperficiei glacialis & centrũ $uperfi ciei ui$us $int unum punctũ. Vi$us ergo nihil pote$t cõprehendere ex formis rerũ ui$arũ, ni$i ex uer ticationibus linearũ rectarum, quarũ extremitates concurrunt apud hoc centrũ tantùm. Et hoc e$t, quod promi$imus antè declarare in hoc capitulo in præcedente $ermone [12 n] de forma ui$us: $cili cet quòd centrũ glacialis & centrũ $uperficiei ui$us $unt idem punctũ commune. Et cum hoc decla ratũ $it, remanet ergo modò con$iderare opinionem ponentiũ radios exire à ui$u, & declarare quid in ea fal$um, & quid uerũ. Dicamus ergo, $i ui$io $it ex re exeunte ex ui$u ad rem ui$am: i$ta res aut e$t corpus, aut nõ corpus: Si e$t corpus quando a$pexerimus cœlũ, & uiderimus $tellas, qu{ae} $unt in eo, oportet, quòd in illa hora exeat à ui$u no$tro corpus, & impleat illud, quod e$t inter cœlũ & terrã, & quòd nihil diminuatur à ui$u: & hoc e$t fal$um. Vi$io ergo nõ e$t per corpus exiens à ui$u ad rem ui$am. Et $i illud, quod exit à ui$u, nõ e$t corpus, illud nõ $entiet rem ui$am: $en$us enim nõ e$t, ni$i in corporibus. Nihil ergo exit à ui$u ad rem ui$am, $entiens rem illã. Et manife$tũ e$t, quòd ui$io e$t per ui$um: & cũ hoc $it, & ui$us nõ cõprehendat rem ui$am, ni$i quando exit ab eo ad rem ui$am, & illud quod exit, nõ $entit rem illam ui$am. Illud ergo quod exit à ui$u ad rem ui$am, nõ redditad ui$um ali quid, quo ui$us cõprehendat rem ui$am. Et hoc quod exit à ui$u, nõ e$t $en$ibile, $ed opinabile, & ni hil debet putari ni$i per ration\~e. Ponentes aũt radios exire à ui$u, opinãtur hoc, quod illi inuenerũt: quòd ui$us cõprehendit rem ui$am, & inter illa e$t $patiũ, & magnũ e$t hominibus, quòd $en$us non e$t, ni$i per contactũ. Quare illi opinati $unt, quòd ui$io nõ $it, ni$i per aliquid exiens à ui$u ad rem ui $am, ita ut illud exiens $entiat rem in $uo loco, aut accipiat aliquid à re ui$a, & reddat ip$um ui$ui, & tunc $entiat illud ui$us. Et quia non pote$t exire à ui$u corpus $enti\~es rem ui$am, & nihil $entit rem ui$am ni$i corpus: nõ reman$it opinari, ni$i ut illud, quod à ui$u exit ad rem ui$am, recipiat à ui$o ali- quid, & reddat ip$um ui$ui. Et quia declaratũ e$t [14.18.19 n] quòd aer, & corpora diaphana recipiũt formã rei ui$æ, & reddunt ip$am ui$ui, & omni corpori oppo$ito rei ui$æ: tunc illud, quod opinãtur, quod reddit ui$ui aliquid ex re ui$a, nõ e$t, ni$i aer & corpora diaphana inter ui$um & rem ui$am. Et cum aer & corpora diaphana reddũt ui$ui aliquid ex re ui$a, in quolibet t\~epore reddunt, & $ecundũ omnes di$po$itiones, quando ui$us fuerit oppo$itus rei ui$æ, $ine indig\~etia alicuius rei exeuntis à ui $u. Ratio ergo quæ induxit ponentes radios ad dicendũ radios e$$e, e$t $uperflua: quoniã illud, quod induxit eos ad dicendũ, quòd radij e$$ent, e$t illorũ opinio: quia ui$io non pote$t copleri, ni$i per ali- quid exten$um inter ui$um & rem ui$am, quod reddat ui$ui aliquid ex re ui$a. Et cum aer & corpora diaphana faciant hoc $ine indigentia alicuius rei exeuntis à ui$u, & $int in$uper exten$a inter ui$um & rem ui$am $ine indigentia: tunc ad ponendũ aliam rem reddent\~e aliquid ui$ui de re ui$a, nulla e$t OPTICAE LIBER I. opinio. Dicere ergo e$$e radios, e$t nihil. Et etiã omnes mathematici dic\~etes e$$e radios, nõ utuntur in demon$trationibus, ni$i lineis imaginarijs tantùm, & uocant ip$as lineas radiales. Et iam declara uimus nos, quòd ui$us nihil cõprehendit ex rebus ui$is, ni$i ex uerticatiõibus i$tarũ linearũ tantùm. Opinio ergo opinantiũ, quòd lineæ radiales $int imaginariæ, e$t opinio uera: & opinio opinantium, quòd aliquid exit à ui$u, e$t opinio fal$a. Iam ergo declaratũ e$t ex omnibus, qu{ae} diximus, quòd ui$us nõ $entit luc\~e & color\~e, qu{ae} $unt in $uperficie rei ui$æ, ni$i per formã exten$am à $uperficie rei ui${ae} ad ui$um per corpus diaphanũ mediũ inter ui$um & rem ui$am: & quòd ui$us nihil cõprehendit ex for mis, ni$i ex uerticationibus linearũ rectarũ, quæ intelliguntur exten$æ inter rem ui$am & centrũ ui- $us tantùm, qu{ae} $unt perpendiculares $uper omnes $uperficies tunicarũ ui$us. Et hoc e$t quod uolui mus declarare. I$ta e$t ergo qualitas ui$ionis generaliter, quòd ui$us nõ cõprehendit ex re ui$a, $en$u $poliato, ni$i luc\~e & color\~e, qu{ae} $unt in re ui$a, tantũ. Res aũt re$idu{ae}, quas cõpreh\~edit ui$us ex rebus ui$is, $icut figurã, & magnitudin\~e, & $imilia, nõ cõprehenduntur à ui$u, $en$u $poliato, $ed per ration\~e & $igna. Et hoc declarabimus nos pò$t in $ecundo tractatu po$t declaration\~e completam apud $er- monem no$trum de di$tinctione rerum ui$ibilium, quas comprehendit ui$us. Et hoc, quod declara- uimus $cilicet qualitatem ui$ionis, e$t conueniens opinioni uerificantium mathe$in & naturam.

24. Vi$io uidetur fieri per σ {υν}{άν}γ{<002>ι}αμ, id e$t receptos $imul & emi$$os radios.

ET declaratũ e$t ex hoc, quòd duæ $ectæ dicant uerũ: & quòd duæ opiniones $int rectæ & cõue nιentes: $ed non completur altera earũ, ni$i per alterã, neq; pote$t e$$e ui$io, ni$i per illud, quod aggregatur ex duabus $ectis. Sen$us ergo nõ e$t, ni$i ex forma & ex operatiõe form{ae} in ui$um, & ex pa$sione ui$us à forma: & ui$us e$t paratus ad patiendũ ex i$ta forma $ecundũ $itum proprium, $cilicet $itum uerticationũ perpendiculariũ $uper $uam $uperficiem. Natura aũt ui$us non congruit i$ti proprietati, ni$i quia nõ di$tinguuntur ui$ibilia, neq; ordinantur partes cuiuslibet eorũ apud ui- $um, ni$i quãdo $en$us eius fuerit ex uerticationibus i$tis tãtùm. Lineæ ergo radiales $unt lineæ ima ginabiles, & figuratur per eas qualitas $itus, $uper quã patitur ui$us ex forma. Et iam declaratum e$t [19 n] quòd quando ui$us oppo$itus fuerit rei ui$æ, figurabitur inter rem ui$am & centrũ ui$us pyra mis, cuius uertex erit centrũ ui$us, & ba$is eius $uperficies rei ui$æ, & erit inter quodlibet punctũ $u perficiei rei ui$æ, & inter centrũ ui$us linea recta, intellecta perpendiculariter $uper $uperficies tuni carũ ui$us: & $ic pyramis cõtinebit omnes i$tas lineas, & $uperficies glacialis $ecabit i$tã pyramid\~e: quoniã centrũ ui$us, quod e$t uertex pyramidis, e$t à po$teriori $uperficiei glacialis. Et cũ aer, qui e$t inter ui$um & rem ui$am, fuerit continuus, erit forma exten$a ab illa re ui$a $ecundũ uertication\~e il- lius pyramidis in aere, quã di$tinguit ip$a pyramis, & in tunicis ui$us diaphanis u$q; ad part\~e $uperfi ciei glacialis, qu{ae} di$tinguitur per i$tã pyramid\~e: & i$ta pyramis cõtinebit omnes uerticationes, qu{ae} $unt inter ui$um & rem ui$am, ex quib cõprehendit ui$us formã rei ui${ae}: & erit forma ordinata, $icut e$t ordinata in $uperficie rei ui$æ, & in parte i$ta $uperficiei glacialis: & ιam declaratũ e$t, [16 n] quòd $en$us nõ e$t, ni$i per glacial\~e. Sen$us ergo ui$us ex luce & colore, qu{ae} $unt in $uperficie rei ui$æ, non e$t ni$i ex parte glacialis, quam di$tinguit pyramis figurata inter illam rem ui$am & centrum ui$us.

25. Vi$io per$icitur, cŭ forma ui$ibil{is} cry$tallino humore recepta, in neruũ opticum peruenerit. 20 p 3.

ET iam declaratũ e$t, [4 n] quòd in i$to humore e$t aliquãtula diaphanitas, & aliquantula $pi$si tudo: & propter hoc a$simιlatur glaciei. Quia ergo in eo e$t aliquantulũ diaphanitatis, recipit formas: & hæ pertran$eũt in eo, cũ eo, quod e$t ex eo de diaphanitate: & quia in eo e$t aliquan- tulum $pi$situdinis, prohibet form as à trã$itu in eo, cũ eo, quod e$t ex eo de $pi$situdine: & figuntur formæ in eius $uperficie & corpore, $ed debiliter. Et $imiliter e$t quodlibet corpus diaphanũ, in quo e$t aliquid $pi$situdinis, quando $uper ip$um oritur lux, pertran$ibit in eo $ecundũ quod e$t in eo de diaphanitate, & figetur lux in $uperficie eius $ecundũ id, quod e$t in eo de $pi$situdine. Et etiã glacia lis e$t præparatus ad recipiendũ ι$tas formas, & ad $entiendũip$as. Formæ ergo pert\’ran$eunt in eo propter uirtut\~e $en$ibilem recipientem. Et cum forma peruenerit in $uperficiem glacialis, operatur in ea, & glacialis patitur ex ea: quoniã ex proprietate lucis e$t, ut operetur in ui$um, & ex proprieta- te ui$us, ut patiatur à luce. Et i$ta operatio, quam operatur lux in glaciali, pertran$it corpus glacialis $ecundum rectitudinem linearũ radialium tantùm: quoniam glacialis e$t præparatus ad recipiendũ formas lucis ex uerticationibus linearum radialiũ. Et cum lux pertran$it in corpus glacialis, color pertran$it cum ea: color enim e$t permixtus luci, & glacialis recipit i$tam operation\~e, & i$tum per- tran$itum: & ex i$ta operatione & pa$sione erit $en$us glacialis ex formis rerum ui$ibiliũ, quæ $unt in $uperficie $ua, & pertran$eunt per totum $uum corpus: & ex ordinatione partium formæ in $ua $u per$icie & $uo toto corpore, erit $en $us eius ex ordinatione partium operantis.

26. Vi$io e$t ex eorum numero, quæ dolorem faciunt. 16 p 3.

ET i$ta operatio, quã operatur lux in glacialem, e$t ex genere doloris, cum quidam dolores $int pa$sibiles, & nõ læ ditur membrũ propter eos: & tales dolores nõ manife$tantur $en$ui, neq; iu dicat dolens, quòd $it dolor. Et $ignificatio $uper hoc e$t, quòd lux inducit dolor\~e: quιa luces fortes offendũt ui$um, & lædunt manife$tè, $icut lux $olis, quando a$pici\~es a$pexerit corpus ip$ius, & $icut lux $olis reflexa à corporibus ter$is ad ui$um, quoniã i$tæ luces inducũt dolores manife$tos in ui$ũ. Et operatio omnis lucis in ui$um e$t ex eode genere, & nõ diuer$ificatur, ni$i $ecundũ magis ALHAZEN & minus: & cum omnes $int ex uno genere, & operatio fortiorũ luciũ e$t ex genere doloris: omnes ergo operationes luciũ $unt ex genere doloris: & non diuer$ificantur, ni$i $ecundũ magis & minus: & propter leuitat\~e operationũ luciũ debiliũ temperatarũ in ui$um, latet $en$um eas in ducere dolo- rem. Sen$us ergo glacialis ex operatione lucis e$t de genere $en$ibilis doloro$i. Deinde i$te $en$us, qui cadit in glacial\~e, extenditur in neruo optico, & uenit ad anterius cerebri, & illic e$t ultimus $en- $us, & $entiens ultimũ, quod e$t uirtus $en$itiua, qu{ae} e$t in anteriore cerebri. Et i$ta uirtus cõprehen dit $en$ibilia: ui$us aũt nõ e$t, ni$i quoddam in$trumentũ i$tius uirtutis: quoniã ui$us recipit formas rerum ui$arum, & reddit eas $entienti ultimo, & $entiens ultimũ comprehendit i$tas formas, & com prehendit ex eis res ui$ibiles, qu{ae} $unt in eis. Et illa forma in $uperficie glacialis extenditur in corpo re glacialis: deinde in corpus $ubtile, quod e$t in concauo nerui, quou$q; perueniat ad neruum com munem, & apud peruentum formæ apud neruum communem completur ui$io, & ex forma uenien te in neruum communem, comprehendet ultimum $entiens formas rerum ui$arum.

27. Vtro<005> ui$u una ui$ibil{is} forma plerun<005> uidetur. 28 p 3.

ET a$piciens cõprehendet res ui$as duobus oculis, & $ic oportet, ut forma rei ui${ae} perueniat ad utrunq; ui$um: quare peruenient ad ui$um ab una re ui$a duæ form{ae}, cũ a$piciens comprehen dat unam rem ui$am. Et hoc e$t, quia duæ formæ, quæ perueniunt ad duos ui$us ex uno ui$o, quando perueniunt ad neruum cõmunem, concurrunt, & $uperponitur una alij, & efficitur una for ma, & ex illa forma adunata ex duabus formis comprehendit ultimũ $entiens formam illius uι$i. Et $ignificatio $uper hoc e$t, quod duæ formæ, quæ perueniũt ad duos oculos ab uno ui$o, ordinantur & efficiuntur una forma, antequam cõprehendat ip$as ultimum $entiens. Quòd aũt ultimũ $entiens non cõprehendat formã, nι$i po$t adunation\~e duarum formarũ: e$t: quòd quando a$picιens mutaue rit $itũ oculi unius, & alius fuerit immotus, & motus unius oculi mutati $ecundũ $itum, fuerit ad an terius, uidebit de re una oppo$ita duas, & $i aperuerit unũ oculum, & cooperuerit alterũ, nõ uidebit ni$i unum. Si ergo $entiens comprehendι$$et unũ, quia unum, deberet ip$um cõprehendere $emper unum: & $i ueni$$ent ad ip$um $emper duæ formæ ab uno ui$o, cõprehenderet $emper unum ui$um, duo. Et cum ulti nũ $entiens non comprehendat ui$um, ni$i ex forma ueniente ad ip$um, & aliquan do comprehendat unã rem ui$am, duas, & aliquando unam: e$t $ignũ, quòd id, quod uenit ad ip$um, quando comprehendit ip$um duo, e$t forma duplex: & quando cõprehendit unã rem ui$am, unam, quod uenitad ip$um, e$t forma una. Et cum in utraq; di$po$itione perueniunt ab uno ui$o ad duos oculos duæ formæ: & illud, quod redditur ultimo $entienti, aliquando e$t duplex forma, aliquando una: & forma, quæ redditur ultimo $entienti, non redditur ni$i à ui$u: tunc illud, quod redditur ulti- mo $entienti ex duabus formis, quæ perueniunt ad duos oculos ab uno ui$o, quando cõprehende- rit ip$um unum, e$t una forma. Et cum ita $it, duæ ergo formæ prædictæ exten duntur à duobus ocu lis, & concurrunt, antequam comprehendatip$as ultimũ $entiens, & po$t cõcur$um inter$e, com- prehendet $entiens ultimã formam adunatam ex eis. Et duæ formæ, quæ perueniũt ad duos oculos ab uno ui$o, quando ultimũ $entiens comprehendit ip$um duo, extenduntur à duobus oculis, & nõ concurrunt, & perueniunt ad ultimũ $entiens, & $unt duæ formæ. Et comprehen$io unius ui$i, quod apparet aliquando unũ, aliquando duo, $ignificat quòd ui$io non e$t per oculum $olummodo: quo- niam $i ita e$$et apud comprehen$ion\~e ui$i, quod unũ apparet, comprehenderent duo oculi ex dua- bus formis peruenientibus ad eos, unam & eandem formã: & $i ita e$$et, cõprehenderent $emper ex duabus formis unam formã. Et cum unum ui$um cõprehendatur aliquando unum, alιquando duo, & in utraq; di$po$itione $int in duobus oculis duæ form{ae}: $ignificatur, quòd ιllic e$t aliud $entiens, præter duos oculos, ad quod perueniunt ab uno ui$o, quando cõprehenduntur per unũ, du{ae} form{ae} unũ, & apud quod cõprehenduntur duæ formæ, quando cõprehenduntur, du{ae}: & quòd $en$us non cõpletur, ni$i per illud $entiens tantùm, non per oculũ tantùm. Et etiã $en$us non ext@nditur à mem bris ad ultimũ $entiens, ni$i in neruis continuatis membris & cerebro. Duæ ergo formæ extendun tur ab oculo in neruo exten$o inter oculum & cerebrũ, quou$q; perueniant ad ultimũ $entiens. I$tæ ergo duæ formæ extenduntur à duobus oculis, & concurrunt in loco concur$us duorũ neruorũ. Et $ignificatio manife$ta, quòd formæ rerum ui$arũ extenduntur in concauo nerui, & perueniũt ad ul timum $entiens, & po$t peruentũ compleatur ui$io: e$t: quòd quando fuerit oppilatio in ι$to neruo, de$truitur ui$io, & quãdo de$truitur oppilatio, reuertitur ui$io. Et ars medicinalis te$tatur hoc. Qua re uerò aliquando concurrant duæ formæ, aliquando non: e$t: quia quando $itus duorũ oculorum fuerit naturalis, erit $itus eorũ ab uno uι$o $itus con$imilis: & $ic perueniet forma unius ui$i in duo loca con$imilis $itus: & cum fuerit declinãs $itus unius oculi, diuer$abitur $itus oculorũ ab illo ui$o: & $ic peruenient duæ formæ illius ui$i diuer$i $itus. Et iam prædictũ e$t in forma oculi, [4 n] quòd $itus nerui cõmunis à duobus oculis, e$t $itus con$imilis: & $ic erit $itus duorum locorũ con$imilis, $itus à duobus oculis ab eodem loco nerui cõmunis $itus con$imilis, & ex duobus neruis concauis fit unus, in quo uniuntur duæ formæ ui$us. Et licet dicere, quòd form{ae} uenientes ad oculũ, non per- ueniunt ad neruũ cõmunem, $ed $en$us extenditur ab oculo ad neruũ cõmun\~e, $icut extenditur $en $us doloris & tactus, & tũc cõprehendit ultimũ $entι\~es illud $en$ibile. Et nos dicemus, quòd $en$us ip$e ueniens ad oculum, peruenit ad neruum cõmunem omnino, tamen $en$us, qui peruenit ad ocu lum, non e$t $en$us doloris tantùm, $ed e$t $en$us operationis de genere doloris, & e$t $en$us lucis & coloris, & $en@us ordinationis partiũ ui$i. Sen$us aũt diuer$itatis coloris & ordinationis partiũ ui$i OPTICAE LIBER I. non e$t in genere doloris. Et nos declarabimus pò$t, quomodo erit $en$us ui$us ex omnibus rebus i$tis. Sen$us ergo perueniens in neruum communem e$t $en$us lucis, & coloris & ordinationis, & illud, à quo comprehendit $entiens ultimum lucem & colorem, e$t aliqua forma.

28. Corpora per$picua nata at<005> apta $unt ad recipiendum reddendum<006> obiect{is} corporibus lucem & colorem, ab$<005> ulla $ui mutatione. 4 p 2.

ET remanet modò explicare quæ$tion\~e, quæ e$t. Quoniam form{ae} lucis & coloris extenduntur in aere, & in corporibus diaphanis; & perueniunt ad ui$um: & aer & corpora diaphana reci- piunt omnes colores: & formæ cuiuslibet lucis, quæ $unt præ$entes in eod\~e tempore, exten- duntur in eodem t\~epore, & in eod\~e aere, & perueniunt ad ui$um, & pertran$eunt diaphanitat\~e tuni carum ui$us: quare oportet, ut admi$ceantur i$ti colores & lux in aere, & in corporibus diaphanis, & perueniant ad ui$um mixta omnia. Et $ic non di$tinguuntur à ui$u colores rerũ ui$arũ. Et $i ita e$t: Sen$us ergo ui$us non pote$t e$$e ex i$tis formis. Dicamus ergo quòd corpora diaphana non immu tantur à coloribus, neq; alterantur ab eis alteratiõe fixa, $ed proprietas coloris & lucis e$t, ut formæ eorum extendantur $ecundum uerticationes rectas: & ex proprietate e$t corporis diaphani, ut non prohibeat formas lucis & coloris tran$ire per $uam diaphanitatem: & illud non recipit formas, ni$i receptione ad reddendum, non receptione ad alterandum. Et declaratum e$t [14.18 n] quòd formæ lucis & coloris non extenduntur in aere, ni$i $ecundum lineas rectas. Formæ ergo lucis & coloris, quæ $untin corporibus præ$entibus $imul in eodem aere, extenduntur $ecundum lineas rectas, & erunt illæ lineæ, $uper quas extenduntur formæ diuer$æ, quæ dam æquidi$tantes, & quædam $ecan tes $e, & quædam diuer$i $itus: & quælibet uerticatio earum e$t di$tincta per corpus, à quo extendi- tur forma $uper illam uerticationem. Formarum ergo exten$arum à corporibus diuer$is in eodem aere, quælibet extenditur $uper $uam uerticationem, & pertran$it ad formas oppo$itas.

29. Lux & color per corpor a per$picua di$tinctè penetrant. s p 2.

ET $ignificatio, quòd luces & colores nõ permi$ceantur in aere, neq; in corporibus diaphanis: e$t, quòd quando in uno loco fuerint mult{ae} candelæ in locis diuer$is & di$tinctis, & fuerint o- mnes oppo$itæ uni formaini pertran$eunti ad locum ob$curum, & fuerit in oppo$itione illius foraminis in ob$curo loco paries, aut corpus non diaphanum: luces illarum candelarum apparent $uper corpus uel $uper illũ pariet\~e, di$tinct{ae} $ecundum numerũ candelarum illarũ: & quælibet illa- rum apparet oppo$ita uni candel{ae} $ecundũ lineam tran$eunt\~e per foram\~e: & $i cooperiatur una can dela, de$truetur lux oppo$ita uni candel{ae} tantùm: & $i auferatur coopertoriũ, reuertetur lux. Et hoc poterit omni hora probari: quòd $i luces admi$cerentur cũ aere, admi$cerentur cũ aere foraminis, & deberent tran$ire admixtæ, & nõ di$tinguerentur po$tea. Et nos nõ inuenimus ita. Luces ergo non admi$c\~etur in aere, $ed quælibet illarũ extenditur $uper uerticationes rectas: & ill{ae} uerticatiões $unt æquidi$tãtes, & $ecãtes $e, & diuer$i $irus. Et forma cuiuslibet lucis ext\~editur $uper o\~es uerticatiões, qu{ae} po$$unt extendi in illo aere ab illa hora: neq; tam\~e admi$centur in aere, nec aer tingitur per eas, $ed pertran$eunt per ip$ius diaphanitat\~e tantùm, & aer non amittit $uã formã. Et quod diximus de luce, & colore, & aere, intelligendũ e$t de omnib. corporibus diaphanis, & tunicis ui$us diaphanis.

30. Humor cry$tallin{us} lucem & color\~e aliter recipit, quàm cætera per$picua corpora. 22 p 3.

MEmbrum uerò $entiens, $cilicet glacialis, nõ recipit formã lucis & coloris, $icut recipit aer, & alia diaphana nõ $entientia, $ed $ecundũ modũ diuer$um ab illo modo: Quoniã i$tud mem- brum e$t præparatũ ad recipiendũ i$tam formã: recipit ergo i$tam, quatenus e$t $entiens, & quatenus e$t diaphanũ. Et iam declaratũ e$t, [26 n] quòd pa$sio eius ex i$ta forma, e$t ex genere do loris. Qualitas ergo receptiõis eius ab i$ta forma, e$t diuer$a à qualitate receptionis corporũ diapha norum nõ $entientiũ: Sed tamen i$tud membrũ cum $ua receptione ab i$ta forma, quatenus e$t $en- tiens, & cum $ua alteratione uel mutatione, nõ tingitur per i$tam formã illius tinctura, neq; reman\~et formæ coloris & lucis po$t rece$$um eius à $ua oppo$itione, uel rece$$u earũ. Et pote$t cõtradici huic $ermoni dicendo. Quoniã iam prædictũ e$t, [1 n] quòd colores fortes $cintillantes, $uper quos oriun tur luces fortes, operantur in oculũ, & remanent illarũ alterationes in ui$u po$t rece$$um, & rema- nent formæ coloris in oculo t\~epore aliquanto, & quodcunq; cõprehenderit ui$us po$t hoc, erit ad- mixtum cũ illis coloribus. Et hoc e$t manife$tũ; & non dubitatur. Quod cum ita $it: ui$us ergo tingi- tur à colore & luce: & $equitur quòd corpora diaphana tingantur à lucibus & coloribus. Et nos di- cemus, re$pondendo ad hoc: quòd hoc ip$um $ignificat, quòd ui$us nõ tingitur à colore & luce, neq; remanent in eo alterationes coloris & lucis: quoniã l$tæ alterationes, quas diximus, nõ accidũt ni$i extranea fortitudine, $cilicet fortitudine lucis & coloris. Et manife$tũ e$t, quòd i$t{ae} alterationes nõ remanent in ui$u, ni$i modico t\~epore, & pò$t auferuntur, & tunc debiles $unt immutationes, nec re- manet aliquid: Tunc ergo ui$us nõ tingitur ab i$tis alterationibus alteratione fixa, nec remanent in eo po$t rece$$um. Et ex hoc declarabitur, quòd luces & colores operantur in ui$um, nec remanent eorũ alterationes po$t rece$$um, ni$i paruo t\~epore. Glacialis ergo alteratur à luce & coloribus tan- tùm, ut $entiat, & deinde aufertur immutatio po$t rece$$um. Alteratio ergo eius à luce & colore e$t nece$$aria, $ed natura nõ fixa. Et etiã ui$us e$t præparatus ad patiendũ colores & luces, & ad $entien dum eos: neq; tam\~e remanet in eo alteratio. Et aer & corpora diaphana, & tunicæ ui$us diaphanæ anterioris glacialis nõ $unt præparatæ ad patiendũ luc\~e & color\~e, & $entiendũ ea, $ed ad reddendũ ALHAZEN luces & colores tantùm. Iam ergo declaratũ e$t, quòd ui$us nõ tingitur ex coloribus & formis lucis tinctura fixa: & declaratũ e$t, quòd form{ae} lucis & coloris non admi$c\~etur in aere & corporibus dia- phanis: & quòd ui$us multi cõprehendunt ip$os in aere, & in eodem tempore, & quilibet eorũ com prehendit ip$os $ecundum pyramidem, quæ di$tinguitur inter ip$os & centrum ui$us.

31. Colores ui$ibilium in obiect {is} corporib{us} illuminantur, & ob$cur antur præcipuè, pro luc{is} qualitate & obiectorum corporum colorib{us}. Vide 3 n.

QVare uerò nõ appareant omnes form{ae} omniũ corporũ uel colorũ $uper omnia corpora op- po$ita, $ed quædam appareant, quædã non: nõ e$t: ni$i quando color fuerit fortis, & lux, quæ e$t in corpore, fuerit fortis, & lux, qu{ae} e$t in corpore, $uper quod apparet forma coloris, debi lis: & hoc pertinet ad ui$um: quoniã i$t{ae} form{ae} colorũ nõ oriuntur $uper corpora oppo$ita illis, ni$i il lumin\~etur, $ed $uper corpora illuminata cũ quolibet lumine: quoniã form{ae} lucis & coloris eius $em per oriũtur $uper omnia corpora oppo$ita illis, quorũ remotio nõ e$t extranea, multa, fortis, lõga. In lucibus uerò hoc manife$tatur. Quoniã, quãdo fuerit experim\~etatũ omne corpus illuminatũ quoli bet lumine, ita quòd fuerit lux ualde debilis, & fuerit experim\~etatũ $ecũdũ modos, quos declaraui mus, [2 n] $cilicet, ut $it po$itũ in $ua oppo$itione corpus albũ, & illud corpus $it in loco ob$curo, & fuerit inter corpus illuminatũ, & locũ illũ ob$curũ foramen $trictũ: inuenietur quòd $uper illud cor pus tũc apparebit lux, colores aũt nõ apparebũt, ni$i $ecundũ modũ pr{ae}dictũ: quoniã declaratũ e$t per induction\~e, quòd formæ colorũ $emper $unt debiliores ip$is coloribus, & quãtò formæ fuerint remotiores à $uo principio, tantò erũt debiliores. Et declaratũ e$t [2 n] per induction\~e, quòd fortes colores, quando fuerint in locis ob$curis, & fuerint luces, quæ $unt $uper ip$os, ualde debiles: i$ti co lores apparebunt ob$curi, & nõ di$tinguentur à ui$u: & quando fuerint in locis illuminatis, & fuerit lux, qu{ae} e$t $uper ip$os, fortis: apparebunt colores, & di$tinguentur à ui$u. Et declaratũ e$t etiam per induction\~e, quòd, quando lux fortis fuerit $uper formas colorũ apparentes $uper corpora oppo$ita illis, latebunt ui$um, & nõ apparebunt, ni$i quando lux fuerit remota. Et etiã declaratum e$t, quòd, quãdo lux fuerit fortis, & peruenerit ad ui$um, prohibebit ip$um ab apprehen$ione rerũ ui$arũ non apparentium in $e multùm, & oppo$itarum illi tunc. Et etiam declaratum e$t, [3 n] quòd ui$us non comprehendit colores, ni$i ex forma ueniente ad ip$um ex illo colore, & quòd comprehen$io ip$ius erit $ecundum uerticationes proprias. Quando ergo in$piciens a$pexerit corpus den$um, $uper quod oriebatur forma coloris: non comprehendit illam formam, ni$i ex $ecunda forma ueniente ad ip$um ex illa forma: & i$ta forma $ecunda e$t debilior forma prima, quæ e$t $uper illud corpus, & prima forma e$t debilior ip$o colore. Et ui$us non comprehendit illud corpus den$um, $uper quod apparet forma, ni$i quando in eo apparuerit aliqua lux, $iue lux ueniens cum forma coloris $uper ip$um orientis, $iue illa lux cum alia. Forma ergo $ecunda, quæ uenit ad ui$um ex prima for- ma coloris: uenit ad ip$um cum forma lucis, quæ e$t in illo corpore den$o, & color illius corporis den$i, $uper quod e$t i$ta forma, comprehendetur à ui$u etiam in illa di$po$itione. Forma ergo co- loris uenit ad ui$um cum forma $ecunda ueniente ad ip$um ex forma coloris, quæ e$t $uper ip$um: & forma coloris i$tius corporis, quæ uenit ad ip$um ui$um in illa di$po$itione, e$t prima forma: ui- $us autem non comprehendit illud, quod comprehendit, ni$i ex uerticationibus proprijs: & uerti- catio propria, quæ e$t inter ip$um & corpus den$um, $ecundum quod comprehendit formam il- lius corporis den$i, e$t eadem cum uerticatione $ua, $ecundum quam comprehendit formam $e- cundam uenientem ex forma coloris orientis $uper illud corpus: quoniam illa forma e$t in $uper- ficie illius corporis. Vi$us ergo cõprehendit ip$am ex uerticationibus, quæ $unt inter ip$um & illud corpus: & ip$e comprehendit color\~e ip$ius ex uerticationibus, qu{ae} $unt inter ip$um & illud corpus. Et $imiliter comprehendit ui$us lucem, quæ e$t in illo corpore, ex illis ei$dem uerticationibus. Tres ergo formæ uenientes ex illo corpore ad ui$um, comprehenduntur à ui$u ex eadem uerticatione: & quidem admixtæ. Et $ormæ $ecundæ, quæ ueniunt ad ui$um ex forma coloris, quæ e$t $uper cor- pus oppo$itum illi, comprehenduntur à ui$u $emper admixtæ cum forma coloris illius corporis, & cum forma lucis eius. Vi$us ergo comprehendit ex congregatione duorum colorum formam diuer $am à forma cuiuslibet eorum. Si ergo corpus, $uper quod e$t forma, habuerit fortem colorem, e- rit forma eius, quæ uenit ad ui$um, fortis: & e$t prima forma, & e$t admixta cum $ecunda forma, quæ uenit ad ip$um ex forma coloris uenientis $uper illud corpus: & i$ta forma e$t debilis: quare nõ apparet ui$ui. quoniam quando cum colore debili fuerit admixtus color fortis, ip$e $cilicet color fortis uincet debilem: & $imiliter inueniuntur $emper colores & tincturæ, quando admi$centur inter $e. Forma uerò coloris non latet, quando lux e$t $uper ip$am fortis, & cum albedine corporis. Et iam declaratum e$t, [2 n] quòd lux fortis, quando uenit ad ui$um, prohibet ui$um à compre- hen$ione formarum debilium. Quando ergo ueniet ad ui$um lux fortis cum albedine corporis, $u- per quod cadit, prohibet ip$um à comprehen$ione $ecundæ formæ debilis, quæ uenit ad ip$um cum ea: & $i corpus, $uper quod e$t forma coloris, fuerit album, & lux, quæ e$t $uper ip$um, fuerit debilis, & forma coloris, quæ e$t $uper ip$um, fuerit debilis: tunc forma lucis, quæ e$t in illo cor- pore, quamuis $it debilis cum albedine corporis, fortè uincet formam coloris, qu{ae} e$t ualde debilis, & cum uenerit ad ui$um, non di$tinguetur forma illa à ui$u. Et $i corpus, $uper quod e$t lux, fuerit al bum, & color cum forma, quæ oritur $uper ip$um, fuerit niger, aut ob$curus, non ob$curabitur illa forma, ni$i albedine illius corporis tantùm, & erit qua$i umbra, & comprehendet ui$us illud corpus OPTICAE LIBER I. non ualde album, $icut comprehendit corpus album in umbra. Quare non di$tinguetur ab eo for- ma. Et omne hoc erit ita, quando lux, quæ e$t in corpore colorato, fuerit fortis, & forma, quæ oritur ab eo $uper corpus oppo$itum, fuerit albedinis debilis. Si autem lux, quæ e$t in corpore colorato, fuerit debilis: tunc forma, quæ exit ab eo $uper corpus oppo$itum, erit ob$cura, & erit apud ui$um, $icut colores, quos comprehendit in locis ob$curis, in quibus e$t lux ualde debilis, & qua$i colores corporum diaphanorum, $uper quæ oritur lux debilis. Formæ ergo colorum, quæ $unt in corpori- bus coloratis, quando lux, quæ e$t $uper ip$a, fuerit debilis, quando oriuntur $uper corpora oppo$i- ta $ibi, non erunt, ni$i umbræ tantùm quo ad $en$um ui$us. Et $i corpus oppo$itum colori fuerit in loco ob$curo, nihil apparebit $uper ip$um propter $uam ob$curitat\~e, & ob$curitatem formæ uenien tis ad ip$um. Et $i corpus oppo$itũ illi colori fuerit in illuminato loco, & fuerit $uper ip$um lux, præ ter luc\~e illius formæ, & fuerit illud corpus illuminatum: apparebit color eius $uper i$tam formam, & apparebit ui$ui color i$tius corporis, & nõ apparebit forma: quoniam e$t $icut umbra, & non di- $tinguetur à ui$u i$ta diminutio. Et $i i$tud corpus, $uper quod e$t forma, fuerit album, & præterea fuerit illuminatum cum alio lumine, præter lumen formæ: tunc forma ob$curabit albedinem i$tius corporis, & lucem eíus tantùm propter $uam ob$curitatem, $icut faciũt umbræ in corporibus alijs: & formæ, quæ $unt huiu$modi, tantùm compreh\~eduntur à ui$u $uper corpora oppo$ita coloribus. Vi$us ergo non comprehendit formam coloris $uper corpus oppo$itum colori, ni$i quando forma $ecũda ueniens ad ip$um ex forma coloris, fuerit fortior, & pot\~etior prima forma ueni\~ete ad ip$am cum ea, ex luce & colore, quæ $unt in corpore, $uper quod e$t forma. Et i$te modus e$t ualde rarus: & propter hoc rarò apparet huiu$modi forma, & non apparet ex ea, ni$i illud, quod e$t ex coloribus fortibus $cintillantibus. Et $imiliter quòd lux debilis, nõ apparet $uper corpus oppo$itum $ibi: e$t: quia corpus oppo$itũ luci debili, quando fuerit illuminatũ ab alio lumine, admi$cebuntur duæ lu- ces, & $ic non di$tinguetur lux debilis à ui$u. Et cũ corpus oppo$itum luci debili fuerit ob$curum, non apparebit forma lucis debilis $uper ip$um: quoniam forma lucis debilior e$t ip$a luce: & forma $ecunda ueniens ad oculũ ab i$ta forma, ex qua oportet ui$um compreh\~edere i$tam formam $uper corpus oppo$itũ luci, e$t debilior i$ta forma. Cum ergo lux fuerit debilis, & corpus oppo$itũ fuerit ob$curum: erit forma; quæ e$t $uper corpus oppo$itũ, ualde debilis, & erit forma $ecũda, quæ uenit exilla, in fine debilitatis. Vi$us aut\~e non comprehendit luc\~e, quæ e$t in fine debilitatis. Formæ ergo omnium colorũ illuminatorum, & formæ omnis lucis oriuntur $uper corpora oppo$ita, & nõ appa rent pleræq; illarũ propter cau$$as, quas diximus: & quædã apparent, quando fuerint $ecundũ mo- dum, quem narrauimus. Iam ergo declarata e$t cau$$a, propter quã non compreh\~edit ui$us formas omnium colorũ, quæ $unt in corporibus coloratis $uper omnia corpora oppo$ita illi, & cõprehen- dit qua$dã: & cum hoc compreh\~edit omnes colores, qui $unt in corporibus coloratis. Et cau$$a e$t, quia comprehendit colores, qui $unt in corporibus coloratis ex propria forma ueniente ad ip$um ex eis, quæ e$t fortior forma $ecunda ueniente ad ip$um ex formis colorum, qui $unt $uper corpora oppo$ita illi. Et comprehendit etiã formam colorum $ingular\~e non admixtam cum alia: & compre- hendit $ecundã formam uenient\~e ad ip$um ex formis colorum admixtam cum alia. Et hoc e$t quod promi$imus declarare in fine capitis tertij. Et declaratũ e$t modò, quòd colores, quos comprehen- dit ui$us ex rebus ui$is, non comprehendit, ni$i admixtos cũ formis lucis, quæ $unt in eis, & admix- tos cum omnibus formis orientibus $uper ip$os ex coloribus corporum oppo$itorum. Et $i in cor- pore diaphano, quod e$t medium inter ip$os & ui$um, fuerit aliqua $pi$situdo, admi$cebitur color eius etiam cum eis, & ui$us non comprehendit illum colorem $ingularem: $ed tamen formæ, quæ oriuntur $uper corpora colorata, $unt in maiori parte ualde debiles: & formæ $ecũdæ, quæ ueniunt ex eis ad ui$um, $unt in fine debilitatis: & propter hoc erunt colores ip$orum corporum plerunque fortiores formis orientibus $uper ip$a. Et $imiliter $i in corpore diaphano, quod e$t inter ui$uin & rem ui$am, fuerit modica $pi$situdo, non di$tinguetur à ui$u color eius à colore ui$i uenientis cum eo, quando color ui$i uenientis cum eo, fuerit fortior colore illius.

32. Lux uehemens trib{us} poti{$s}imùm de cau{$s}{is} ui$ibilia quædam ob$cur at. Vide 2 n.

QVare uerò lux fortis prohibeat ui$um à compreh\~e$ione quarundam rerũ ui$arum: e$t: quia formæ, quæ ueniunt ad ui$um $uper unam uerticationem, non compreh\~eduntur à ui$u, ni$i admixtæ. Et cum quæ dam formæ admixtæ fuerint fortis $cintillationis, & quædam debi- lis, $uperabit forma fortis formam debilem, & $ic nõ comprehendetur forma debilis à ui$u. Et cum formæ admixtæ fuerint propinquæ in fortitudine, comprehendentur à ui$u, & erit comprehen$io cuiuslibet illarum $ecundum illud, quod permi$cebitur cum eis ex formis admixtis cum eis: quo- niam formæ admixtæ non comprehenduntur à ui$u $ingulariter, $ed admixtæ. Stellæ ergo non comprehenduntur à ui$u in luce diei, quia lux, quæ peru\~enit in aerem, e$t fortior luce $tellarum. Cum ergo in$piciens a$pexerit cœlum in luce diei: erit aer, qui e$t inter ip$um & cœlum, illu- minatus à luce $olis, & continuatur cum ui$u, & erunt $tellæ ex po$teriori illius lucis. Venient ergo forma $tellæ, & forma lucis, quæ e$t in aere medio inter ui$um & $tellam, ad ui$um $uper unam uerticationem: & $ic comprehendentur admixtæ. Sed forma lucis diei e$t in ae- re fortior multò forma lucis $tellæ: quare $uperabit lux aeris lucem $tellæ, & $ic non di$tin- guetur forma $tellæ. Et $imiliter e$t lux debilis, quæ e$t in medio lucis fortis, $icut ignis de- bilis in luce $olis, & $icut noctiluca in luce diei, & $imilibus: i$ta enim ui$ibilia quando fuerint in ALHAZEN luce $olis aut diei, uenient formæ eorum ad ui$um admixtæ cum forma lucis fortis orientis $uper ip$as, & comprehendet ui$us formam huiu$modi rerũ ui$arum admixtam cum forma lucis fortis. Quare $uperabit forma lucis fortis formam debilem. Et multoties latet lux debilis, & forma rei ui- $æ debilis, quando peruenerit in ui$um lux fortis, quamuis nõ $it peruentus duarum formarum ad ui$um ex una uerticatione. Et hoc erit, quãdo peruentus duarum formarum fuerit ex duabus uer- ticationibus uicinantibus. Et hoc apparet nocte, & in luce ignis. Quoniam ui$us quando compre- henderit lucem ignis, & fuerit ignis propinquus ui$ui, & fuerit lux eius fortis, & fuerit in oppo$i- tione ui$us in illa di$po$itione aliquod ui$ibile, in quo e$t lux debilis accidentalis, & fuerit illud ui- $ibile remotius à ui$u quàm ignis, & fuerit $uper uerticationem uicinãtem uerticationi ignis: tunc ui$us non comprehendet ui$ibile illud comprehen$ione uera. Et $i a$piciens cooperuerit ignem à $uo ui$u, aut remouerit $e à uerticatione ignis, ita ut $it uerticatio, à qua comprehendet illud ui$ibi- le, remota à uerticatìone ignis: tunc comprehendet illud ui$ibile comprehen$ione manife$tiore.@Et cau$$a illius e$t, quòd ui$ibile, in quo e$t lux debilis accidentalis, habet formam ob$curam, & cum ip$am comprehenderit ui$us, non autem comprehenderit cum ea lucem fortem: $entiet lucem de- bilem, in qua e$t aliquid ob$curitatis inter ui$um, aut priuationem lucis fortis à parte eius, in quam peruenit lux debilis. Et cum ui$us comprehenderit formam lucis debilis, & comprehenderit cum ea lucem fortem: tunc etiam comprehendet lucem fortem in parte contingente partem ui$us, qua comprehendebat formam ob$curam: non comprehendet autem ui$us lucem debilem, quæ e$t in forma ob$cura propter duo: quorum unum e$t, quòd lux fortis, quando peruenerit ad ui$um, illu- minatur totus ui$us, & cum totus ui$us fuerit illuminatus, non apparebit in eo lux debilis, & maxi- mè quando lux debilis füerit proportionis minimæ re$pectu lucis fortis. Alterum e$t coniunctio lucis debilis cum luce forti in duabus partibus ui$us uicinãtibus, & quia lux debilis re$pectu lucis fortis e$t ferè ob$curitas. Et cum lux appropin quabit ad formam ob$curam debilem, & forma lucis fortis fuerit in ui$u: non comprehendet ui$us formam, quæ e$t in luce ob$cura, neque comprehen- det etiam formam ob$curam, ni$i ob$curitatem tantùm: & $ic non di$tinguetur ab eo forma, neque comprehendet eam comprehen$ione uera. Et occultatio formarum debilis lucis propter uicinita- tem lucis fortis, habet $imile in coloribus: quoniam color fu$cus $i intingatur cũ corpore albo pun- ctatim, apparebunt ip$a puncta nigra propter fortitudinem albedinis: & $i ead\~e puncta fuerint po- $ita $upra corpora ualde nigra, apparebunt ferè alba, & non apparebit ob$curitas, quæ e$t in eis. Et quando illa tinctura fuerit in corporibus, quæ non $unt multùm alba, neque multùm nigra: appa- rebit color $ecundum $uum e$$e. Et $imiliter quando color uiridis $egetalis fuerit $uper corpus ci- trinum, apparebit illa tinctura ob$cura: & quando fuerit in corpore nigro, apparebit illa tinctura $imilis colori origani. Et $imiliter e$t omnis tinctura media inter duas extremitates. Vi$ibilia ergo uicinantia, quando fuerint remota in fortitudine & debilitate coloris: quod e$t debilis coloris, la- tebit ui$um: quoniam qualitates lucis & coloris non comprehenduntur à ui$u, ni$i re$pectu eorum inter $e. Et lux fortis non prohibebit ui$um à comprehen$ione ui$ibilium lucis debilis, ni$i pro- pter admixtionem formæ lucis debilis cum formis eorum, & propter uictoriam formarum lucis fortis $uper formas lucis debilis, & debilitatem $en$us ad comprehendendum illud, quod e$t mini- mæ proportionis, re$pectu fortis. Iam ergo compleuimus declarationem omnium rerum depen- dentium ab illo capitulo.

DE OFFICIO ET VTILITATE INSTRVMEN- torum ui$us. Caput $extum. 33. Multiplex & uaria e$t partium ui${us} utilit{as}: diuer$a<006> $unt ip$arum inter ip$as officìa. 4 p 3.

TVnicæ, quas diximus in declaratione formæ ui$us, $unt in$trumenta, per quæ completur ui- $io. Tunica uerò prima, quæ dicitur cornea, e$t tunica diaphana, & nõnihil fortis, & e$t $uper- po$ita foramini, quod e$t in anteriori uueæ. Et prima utilitas eius e$t, quòd cooperit foramen uueæ: quare retinet humorem albugineum, qui e$t in anteriori uueæ: & e$t diaphana, ut tran$eant in ea formæ lucis & coloris ad interius ui$us: quoniam non tran$eunt, ni$i per diaphana. Fortitudo autem eius e$t, ut non corrumpatur citò: quoniam e$t expo$ita aeri, & pote$t citò corrumpi ex fu- mo, & puluere, & $imilibus. Humor autem albugineus e$t diaphanus, & e$t humidus & fluxibilis. Diaphanus autem e$t, ut pertran$eant in eo formæ, & perueniant in eo ad humorem glacialem: humiditas autem eius e$t, ut $emper humefaciat humorem glacialem, ita ut eius natura $it cu- $todita: quoniam tela, quæ e$t $uper glacialem, e$t ualde tenuis, & nimia $iccitate pote$t cor- rumpi. Tunica autem nigra continens humorem albugineum, quæ e$t uuea, e$t nigra, & fortis, $pi$$a, & $phærica: & in anteriori eius e$t foramen rotundum, $icut narrauimus. Nigredo ue- rò eius e$t, ut ob$curetur humor albugineus & glacialis, ita ut appareant in eis formæ lucis debi- lis: quoniam lux debilis üalde apparet in locis ob$curis, & latet in locis lumino$is. Et e$t aliquan- tulum fortis, ut retineat humorem albugineum, & ut non re$udet ex eo aliquid foras. Et e$t $pi$$a, ut $it ob$cura: quoniam $i e$$et rara, e$$et diàphana: $ed cum fuerit $pi$$a, ob$curabitur anterior pars eius. Et e$t $phærica, quia magis temperata figurarum e$t $phærica, & e$t magis remota ab offen- $ionibus: habens enim angulos, citius alteratur per angulos. Foramen autem, quod e$t in a@te- OPTICAE LIBER I. riori i$tius tunicæ, e$t, ut pertrã$eant ip$um formæ ad interius ui$us: & e$t rotundum, quia rotundi- tas e$t $implici$sima figurarũ, & ampli$sima i$operimetrarum. Humor aut\~e glacialis habet multas proprietates, per quas completur $en$us: quoniam e$t humidus & $ubtilis: & e$t in eo aliquid dia- phanitatis & $pi$situdinis: & $uper ip$um e$t tela ualde rara: & figura $uperficiei eius e$t cõpo$ita ex duabus $uperficiebus $phæricis diuer$is: & anterior illarũ e$t maioris $phæricitatis altera. E$t au- tem humidus, ut citius patiatur à luce: & e$t $ubtilis, quia talia corpora $unt $ubtilis $en$us: & e$t ali quantulum diaphanus, ut recipiat formas lucis & coloris, & ut pertrã$eant per ip$um lux & color: & e$t aliquantulũ $pi$$us, ut remaneant in eo diu formæ lucis & coloris, ita ut appareat uirtuti $en- $ibili forma lucis & coloris, quæ figebantur in eo. Nam $i e$$et diaphanus in fine diaphanitatis, per- tran$irent formæ in eo, & non pateretur à formis pa$sione, quæ e$t ex genere doloris: & $ic nõ com- prehenderet formas. Tela aut\~e quæ e$t $uper i$tum humor\~e, e$t, ut retineat ip$um, ne fluat: quoniã humores nõ retinerentur, $ed aliquò fluerent, & nõ remanerent $ecundũ unam figuram. Et i$ta tela e$t ualde rara, ut nõ occultet formas uenientes: & e$t $phærica propter cau$$am, quam diximus. Et $uperficies anterioris eius e$t ex $phæra maiori, ut $it æquidi$tans $uperficiei anteriori ui$us, ita ut centrum illarũ $it unumpunctum. Neruus aut\~e opticus, $uper quem componitur oculus totus, e$t cauus, ut currat per ip$um $piritus ui$ibilis à cerebro, & perueniat ad glacialem, & det ip$i uirtutem $en$ibilem $ucce$siuè, & ut pertran$eant etiã formæ in corpore $ubtili curr\~ete in $uo concauo, quo- u$q; perueniant ad ultimum $entiens, quod e$t in anteriori cerebri. Et principia duorũ neruorum, $uper quos componũtur oculi duo, $unt in duabus partibus anterioris cerebri, ut $itus duorũ ocu- lorum à $uis principijs $it $itus con$imilis: & nõ fuit principium eorum à medio anterioris cerebri, quia i$te locus e$t proprius $en$ui ordinatus. Quare aut\~e $int duo oculi, e$t benignitas operatoris, ut $i uni illorum accideret interitus, remaneret alter, & ut forma faciei e$$et pulchrior. Cau$$a aut\~e, propter quam concurrant i$ti duo nerui, iam fuit dicta in qualitate ui$ionis.

34. Super$icies tunicarum ui${us} $unt globo$æ. 3. 4 p 3.

SVperficies uerò tunicarum oculi $unt $phæricæ & æquidi$tantes, & centrum illarũ e$t unum punctum: ita ut perpendicularis, quæ e$t $uper primam illarũ, $it pe@pendicularis etiam $uper omnes: & $unt $phæricæ, nt exeant omnes ab uno puncto, quod e$t centrum illarũ: deinde di- $tent apud extremitates $ecundũ remotionem à centro: ita ut pyramis exten$a à centro, contineat omnes perpendiculares exeuntes ab illa re ui$a, & di$tinguat ex $uperficie ui$us & m\~ebri $entientis partem, licet paruam, continentem tamen totam formam uenientem à re ui$a ad ui$um. Et $i $uper- ficies tunicarum ui$us e$$ent planæ, nõ ueniret forma ui$i ad ui$um $uper perpendiculares, ni$i e$$et ui$us æqualis ui$o. Et nulla figura e$t, in qua adunantur perpendiculares, & cõcurrunt in unũ pun- ctum, ni$i figura $phærica: & cum i$ta di$po$itione po$$unt exire à centro ui$us multæ pyramides ad multa ui$a in eodem tempore: & quælibet illarũ di$tinguet partem paruam membri $entientis, con tinentem formam illius ui$i. Et omnes tunicæ habentid\~e centrum propter illud, quod diximus: & e$t, ut perpendiculares exeuntes à re ui$a ad unam i$tarum, $int perpendiculares $uper omnes, & ut pertran$eant etiã formæ omnes $ecundũ unam uerticationem. Quare uerò nihil compreh\~edat ui- $us ex rebus ui$ibilibus, ni$i ex uerticationibus i$tarũ perpendicularium tantùm: e$t: quia per i$tas perpendiculares tantùm ordinãtur partes rei ui$æ in $uperficie m\~ebri $enti\~etis. Et hoc fuit iam ma- ni$e$tum antea [18 n] quoniã non pote$t ordinari forma rei ui$æ in $uperficie membri $enti\~etis, ni$i $it receptio eius ad formã ex i$tis uerticationibus tãtùm. Et propter hoc appropriatur natura ui$us i$ta proprietate, & naturatur, ut non recipiat aliquã formam, ni$i $ecundũ $itum i$tarum uerticatio- num tantùm. Et appropriatio ui$us, habita hac proprietate, e$t una rerũ ex quibus apparet maxima di$cretio operatoris, & bonitas præparationis naturæ, præparãdo in$trum\~eta ui$us, & formam, per quã eõpletur $en$us, & per quã di$tinguũtur ui$ibilia. Con$olidatiua aut\~e cõtinet omnes i$tas tuni- cas: & in ea e$t aliquid humiditatis, & pr{ae}terea habet aliquid ret\~etionis, & e$t aliquãtulùm fortis. Et cõtinet i$tas tunicas, ut cõgreget & cõ$eruet illas: & e$t aliquãtulũ humida, ut præpar\~etur loca tuni carũ ex ea, & ut nõ accidat $iccitas uelociter illis tunicis: & e$t aliquãtulùm ret\~etiua & fortis, ut cõ- $eruet $itus & figuras tunicarũ, ut nõ alter\~etur citò: & e$t alba, ut $it per ip$am forma faciei pulchra.

35. Ocul{us} e$t globo${us}. 3 p 3.

ET totus oculus e$t rotũdus, quoniã rotunditas e$t melior figuris, & maior, & leuioris motus. Oculus aut\~e indiget motu, & uelocitate motus, ita, ut $it oppo$itus per motũ multis ui$ibili- bus in eod\~e t\~epore, & ut $it oppo$itus propter motũ omnibus partibus rei ui$æ, mediũ a$pi- ciens, ita ut cõprehendat ip$um comprehen$ione uera, & con$imili: quoniã $en$us per mediũ mem- bri $entientis e$t manife$tior. Et hoc declarabimus pò$t in loco cõueniente. Velocitas aut\~e motus ui$us e$t, ut a$piciat omnes partes rei ui$æ, & ui$ibilia $ibi oppo$ita in modico tõpore. Palpebræ au- tem $unt, ut con$eruent oculum in $omno, & ut faciant oculũ quie$cere, quãdo fatigatur à lumine, quoniam luces fortes nocent oculis: & $i continuè aperirentur oculi, $upra modũ debilitarentur: & hoc apparet, quando oculi a$piciunt luc\~e fortem longo tempore. Et $imiliter nocet ui$ui aer, quan- do in eo fuerit fumus, aut puluis. Palpebræ ergo cooperiunt oculũ à luce, quãdo indiget, & con$er- uant ip$os ab aere, & ab$tergunt ab eis multa nocum\~eta: deinde quãdo fatigantur, $uperponuntur palpebræ eis, ita ut compleatur in eis $ua requies: & $unt uelocis motus, ut citius $uperponantur ALHAZEN oculis, dum appropinquant nocumenta oculis. Cilia autem $unt ad temperandam quandam par- tem lucis, quando dolebit ui$us propter fortitudinem lucis: & propter hoc adunat a$piciens ocu- lum, & con$tringit, ita ut po$sit a$picere ab angu$to, quando lux fortis nocuerit ei. I$ta ergo, quæ di- ximus, $unt utilitates in$trumentorum ui$us: ex quibus manife$tatur magna di$cretio operatoris. Sit ergo nomen eius benedictum, & bonitas præparationis naturæ.

DE IIS SINE QVIBVS VISIO NON PO- te$t compleri. Caput $eptimum. 36. Ad ui$ionem per$iciendam $ex inprim{is} nece$$aria $unt.

IAm ergo declaratum e$t $uperius, quòd ui$us nihil comprehendit ex rebus ui$is, quæ $unt cum eo in eodem aere, ita ut comprehen$io earum ab eo non $it $ecundum refractionem, ni$i quãdo aggregatæ fuerint i$tæ res: & $unt, ut $it inter ea aliquid $patij: & $it oppo$ita ui$ui illa res, ita ut $it inter quodlibet punctum eius $uperficiei, quam comprehendit ui$us, & inter aliud punctum $u- perficiei ui$us, linea recta imaginabilis: & ut $it in ea lux: & ut $it corpus eius aliquãtulum, in re$pe- ctu uirtutis $en$us ui$us: & ut $it aer medius diaphanus, cõtinuæ diaphanitatis, & nõ $it in eo alιud corpus non diaphanum: & ut $it res ui$a re$i$tens ui$ui, $cilicet ut non $it in ea diaphanitas, aut $i $it, $it $pi$sior diaphanitate aeris medij inter ip$am & ui$um. Vi$us autem non comprehendet rem ui- $am, ni$i quando aggregabuntur i$tæ $ex intentiones: & $i res ui$a caruerit una i$tarum intentionũ, non comprehendetur à ui$u. Indigentia autem ui$us ab unaquaque i$tarum intentionum, non e$t ni$i propter aliquam cau$$am.

37. Di$t antia inter ui$um & ui$ibile. 15 p 3.

QVare ergo non comprehendat ui$us rem ui$am, ni$i quando inter ea fuerit di$tantia aliqua, & non comprehendatip$am, quando applicatur ei, e$t propter duas cau$$as. Quarum una e$t, quia ui$us non comprehendit rem ui$am, ni$i quando in ea fuerit lux aliqua, [per 3 n] & quando fuerit applicata ui$ui, & non fuerit illuminata per $e, non erit in $ua $uperficie uicinante ui- $ui lux: quoniã corpus oculi $ecundũ $itum $uum tunc prohibetur à ui$u. Res aut\~e lumino$æ per $e non po$$unt applicari $uper$iciei ui$us: quoniam res illumιnatæ per $e $unt $tellæ, & ignis, quæ non po$$unt applicari $uperficiei ui$us. Cau$$a autem $ecunda e$t, quia ui$io nõ fit, ni$i ex parte oppo$ita foramini uueæ ex medio $uperficiei ui$us [per 4 n] & $i res ui$a applicetur ui$ui, nõ $uperponetur i$ti parti ui$ui, ni$i pars æqualis illi tantùm ex re ui$a: & $i ui$us comprehenderet rem ui$am per ap- plicationem, non comprehenderet, ni$i partem applicatam parti oppo$itæ foramini tantùm, & non comprehenderet re$iduum rei ui$æ. Et $i moueatur res ui$a $uper $uperficiem ui$us, quou$q; cõtin- gat totam $uperficiem rei ui$æ $ecundũ partem mediam ui$us, comprehendet partem po$t partem aliam, & dum comprehendet partem $ecundam non comprehendet partem primam: & $ic non po terit comprehendere totam rem ui$am $imul. Et cum ita $it, non figurabitur in eo forma rei ui$æ: ita ut $i aliqua res ui$a e$$et $uper corpus den$um, & e$$et in illo corpore den$o foramen minoris quan- titatis re ui$a, & res ui$a e$$et applicata foramini, non compreh\~ederet ex ea, ni$i partem $uppo$itam foramini tantùm: deinde $i res ui$a moueatur $uper foramen, quou$q; comprehendatur à ui$u pars po$t aliam, non figuratur in ui$u tota forma eius. Si ergo ui$io e$$et per tactum, nõ comprehenderet ui$us totam rem ui$am, neq; figuram & formam eius, ni$i e$$et res ui$a æqualis parti mediæ $uperfi- ciei ui$us, per quam erit ui$io: neq; etiam $ic pote$t compreh\~edere multas res ui$as in eodem tem- pore. Et cum inter ui$um & rem ui$am fuerit aliquod $patium, poterit rem ui$am compreh\~edere in eodem tempore totam ex parte parua, quamuis $it res ui$a magna: & pote$t compreh\~edere res ui- $as multas $imul in eodem tempore: & cum res ui$a fuerit remota à ui$u, erit po$sibile oriri lucem $uper $uperficiem ui$us oppo$itam ui$ui. Propter i$tas igitur duas cau$$as non comprehendit ui$us quicquam ex rebus ui$ibilibus, ni$i $it inter ea aliquod $patium.

38. Collocatio ui$ibil{is} ante ui$um directa. 2 p 3.

QVare uerò non comprehendat ui$us rem ui$am, quæ e$t cum eo in eodem aere, & in parte oppo$ita illi, ni$i $it inter quodlibet punctum eius, & aliquod punctũ partis $uperficiei ui- $us, per quam erit ui$io, linea recta: e$t: quia declaratum e$t, quòd ui$io non $it, ni$i ex formis uenientibus à re ui$a ad ui$um, & quòd formæ non comprehendantur, ni$i $ecundum lineas rectas: [per 14 n] & propter hanc cau$$am non comprehendit ui$us rem, ni$i $it inter ea linea recta. Et $i $e- cuerint corpora den$a media omnes lineas, quæ $unt inter ea, latebunt res ui$æ ui$um: & $i $ecuerit illud corpus qua$dam illarum linearum rectarum, latebit ui$um quædam pars, quæ e$t apud extre- mitatem linearum re$ectarum per corpus den$um.

39. Lux. 1 p 3.

QVare uerò ui$us nõ cõprehendat r\~e ui$am, ni$i $it in ea lux, e$t {pro}pter duas cau$$as: aut <003>afor mæ ui$æ nõ ext\~edũtur in aere, ni$i $it lux cũ colore, [ք 3 n] aut <003>a forma coloris ext\~editur in aere, quamuis nõ $it cũ ea lux: $ed nõ operatur in ui$um operatione $en$ibili, ni$i per luc\~e. Et manife$tũ e$t, quod forma lucis manife$tior e$t, forma coloris, & quòd lux oքatur oքatione manife $tiore: & quòd forma coloris, <003>a e$t debilis, nõ pote$t operari in ui$um, $icut operatur lux. Et forma OPTICAE LIBER I. coloris, quæ e$t in corpore illuminato, $emper e$t admixta cum forma lucis, & cum peruenerit ad ui$um, $emper operatur in ip$um per $uam fortitudinem & præparationem ui$us, ut patiatur ex ea: & quia admi$cetur cum forma coloris, & non di$tinguitur ab ea, non $entit ui$us formam lucis, ni$i admixtam cum forma coloris. Vi$us ergo non $entit colorem rei ui$æ, ni$i ex colore admixto cum forma lucis ueniente ad@ip$um ex re ui$a: & propter hoc alterantur colores multarum rerũ ui$arum apud ui$um per alterationem lucis $uper ip$as. Quia ergo forma coloris non operatur in ui$um, ni$i admixta $it cum lumine, & non e$t ex colore forma ni$i $it in ea lux: nihil comprehendit ui$us exre- bus ui$ibilibus, ni$i quando in eis fuerit aliqua lux.

40. Magnitudo rei ui$ibil{is}. 19 p 3.

QVare uerò non comprehendat ui$us rem ui$am, ni$i $it corpus eius in aliqua quantitate: e$t; quia declaratũ e$t, [19 n] quòd forma rei ui$æ non perueniat ad ui$um, ni$i ex pyramidibus, quarum caput e$t c\~etrum ui$us, & ba$is $uperficies rei ui$æ, & quòd i$ta pyramis di$tinguat ex $uperficie m\~ebri $entientis paruam part\~e, in qua ordinatur forma rei ui$æ: & $i res ui$a fuerit ual- de parua, erit pyramis, quæ e$t inter ip$am & centrum ui$us, ualde parua. Erit ergo pars di$tincta ex m\~ebro $entiente, qua$i punctũ, ualde parua: $ed $entiens nõ $entit formã, ni$i quãdo pars $uæ $uper- ficiei, ad quã peruenit forma, fuerit quantitatis $en$ibilis, re$pectu totius apud totũ membrũ. Et uir tutes $en$us etiã $unt finitæ. Et cum pars membri $entientis, ad quam peruenit forma, non e$t quan titatis $en$ibilis apud totũ membrum $entiens, non $entiet pa$sionem, quæ ìlli accidit, propter par- uitatem ip$ius. Quare non comprehendit formam. Res ergo ui$a, quæ pote$t compreh\~edi à ui$u, e$t illa, in qua pyramis, quæ figuratur inter rem ui$am & c\~etrum ui$us, di$tinguet ex $uperficie glacialis partem quãtitatis $en$ibilis re$pectu totius $uperficiei glacialis. Et i$te $en$us erit $ecundũ tantum, ad quantum peruenit uirtus $en$itiua, & non extenditur ad infinitum, & diuer$atur $ecundũ diuer- $itatem uirtutis oculi. Et cũ pyramis, quæ figuratur inter rem ui$am & centrum ui$us, di$tin xerit ex $uperficie glacialis partem quantitatis in$en$ibilis, re$pectu totius $uperficiei glacialis, non pote$t ui$us comprehendere illam rem. Et propter hoc non comprehendet ui$us rem ualde paruam.

41. Per$picuit{as} corpor{is} inter ui$um & ui$ibile interiecti. 13 p 3.

QVare uerò ui$us non comprehendat rem ui$am, ni$i quando corpus medium inter ip$um ui$um & rem ui$am fuerit diaphanum: e$t: quia ui$io non e$t ni$i ex forma ueniente ex re ui- $a ad ui$um [per 14 n] formæ autem non extenduntur ni$i in corporibus diaphanis, & ui- $io non completur, quando res ui$a fuerit cum ui$u in eodem aere, & fuerit comprehen$io non $e- cundum refractionem, ni$i quando aer fuerit continuus inter rem ui$am, & nõ ab$ciderit rectas li- neas, quæ $unt inter ea, corpus den$um: quoniam forma non extenditur in aere con$imilis diapha- nitatis, ni$i $ecundum lineas rectas. Et propter hoc ui$us nõ comprehendit rem ui$am, quæ e$t cum eo in eodem aere, & in parte oppo$ita ui$ui, ni$i quando aer medιus inter ea fuerit diaphanus, con- $imilis diaphanitatis.

42. Den$it{as} ac $olidit {as} ui$ibil{is}. 14 p 3.

QVare uerò ui$us non comprehendat ui$am rem, ni$i quãdo in ea fuerit den$itas, aut aliquid den$itatis: e$t propter duas cau$$as: quarũ altera e$t, quia quod e$t den$um, e$t coloratum, & ex colore uenit forma ad ui$um, ex qua comprehendit ui$us color\~e rei ui$æ: quod autem e$t in fine diaphanitatis, caret colore: quare non comprehendetur à ui$u. Et cau$$a $ecũda e$t, quo- niam ui$us non comprehendit rem ui$am, ni$i $it illuminata, & ueniat ex luce, quæ e$t in ea, forma fecunda ad ui$um cum forma coloris, & non erit forma $ecunda ex luce oriente $uper aliquod cor- pus, ni$i figatur lux in illo corpore, $uper quod oritur: ergo cũ lux fuerit fixa in corpore illo, erit ex eo forma $ecunda: & quando lux orietur $uper corpus diaphanũ ualde, non figetur in eo, $ed exten detur in $ua diaphanitate. Cum ergo corpus diaphanum fuerit oppo$itũ ui$ui, & $uper ip$um oritur lux ex parte, in qua e$t ui$us, in eo extendetur, & non figetur in $ua $uperficie: & $ic nõ erit in $uper- ficie oppo$ita ui$ui i$tius corporis lux, ex qua uenit forma ad ui$um. Et $i fuerit illud illuminatum, cuius lux oritur $uper illud corpus diaphanum, oppo$itum ui$ui, pertrã$ibit lux eius in corpus dia- phanum, & perueniet ad ui$um, & nihil deferet $ecũ ad ui$um ex colore corporis diaphani: quoniã corpus diaphanum, quod e$t in fine diaphanitatis, nõ habet colorem. Vi$us ergo comprehendet ex illo loco corpus illuminatum, cuius lux oritur $uper corpus diaphanum, po$t corpus diaphanum: & non comprehendet corpus diaphanũ propter hoc: quia non compreh\~edit ui$us rem ui$am, quæ e$t in fine diaphanitatis. Et cũ diaphanitas corporis fuerit $imilis diaphanitati aeris, erit eius di$po $itio, $icut di$po$itio aeris, & nõ compreh\~edetur à ui$u, $icut nec aer. Et corpora diaphana, quorum diaphanitas non e$t $pi$sior diaphanitate aeris, non comprehend\~etur à ui$u: quoniam nulla forma uenit ex eis ad ui$um, quæ po$sit operari in ui$um. Et $imiliter accidit $i inter ui$um & rem ui$am fuerit medium corpus diaphanum præter aerem, & fuerit diaphanitas rei ui$æ nõ $pi$sior diapha- nitate corporis medij. Et cum res ui$a fuerit den$a, erit colorata, & cum $uper ip$am oritur lux, fige- tur in $ua $uperficie, & erit ex colore eius, & ex luce, quæ oritur $uper ip$am, forma, quæ extendi- tur in aere, & in corporibus diaphanis: & cum i$ta forma peruenerit ad ip$um ui$um, operabitur in eo, & ex ea $entiet ui$us rem ui$am. Et cum res ui$a fuerit diaphana, $ed minus quàm aer: habe- bit colorem $ecundum $uam $pi$situdinem: & cum aer $uper ip$am oritur, lux figetur in éa aliqua ALHAZEN fixione, $ecundum illud, quod e$t in ea de $pi$situdine, & pertran$ibit in ea $ecũdum $uam diapha- nitatem, & erit ex ea, forma in aere $ecundum colorem & lucem, quæ $unt in $ua $uperficie: & cum illa forma peruenerit ad ui$um, operabitur in ui$um, & $entiet ui$us illã rem ui$am. Et propter i$tam cau$$am non comprehendit ui$us ex rebus ui$ibilibus, ni$i quãdo ip$um ui$ibile fuerit den$um, aut fuerit in eo aliquid den$itatis. Iam ergo declarat{ae} $unt cau$$æ, propter quas nihil comprehendit ui- $us, ni$i quãdo fuerint aggregatæ intentiones prædictæ. Et hoc, quod declarauimus, e$t illud, quod intendimus declarare in i$to tractatu.

ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE LIBER SECVNDVS.

_DECLARATVM_ e$t qualiter fiat ui$io: & e$t qualit{as} $en$us ui${us} à forma luc{is} & color{is}, quæ $unt in re ui$a, ordinatorum ita, $icut $unt in $uperficie rei ui$æ. Vi${us} autem comprehendit ex reb{us} ui$ibilib{us} mult{as} intentio- nes præter lucem & colorem. Et etiam declaratum e$t in primo tractatu _[18_ n_]_ quòd ui$io non $it, ni$i ex uerticationib{us} linearum radialium: & lineæ radia- les diuer$entur in $u{is} di$po$itionib{us}: & $imiliter diuer$antur di$po$itiones formarum uenientium $uper ip$as ad ui$um. Et etiam comprehen$io ui${us} à re ui$a nõ e$t in omni- b{us} corporib{us}, & in omnib{us} ui$ibilib{us}: $ed diuer$atur qualit{as} $en${us} ui${us} à reb{us} ui$ibilib{us}: & diuer$atur qualit{as} $en${us} ui${us} ab una re ui$a $ecundum $itum unum, & $ecundum eandem dι$tantiam. Et nos diuidem{us} i$tum tractatum in tria capita. In primo declarabim{us} diuer$itatem di$po$itionum linearũ radialium, & di$tingue- m{us} proprietates earum. In $ecundo declarabim{us} omnes intentiones comprehen$as à ui$u, & qualiter comprehendat ui${us} quamlibet illarum. In tertio declarabim{us} diuer- $itatem comprehen$ion{is} uι${us} ab e{is}.

DE DIVERSITATE DISPOSITIONVM LINEARVM radialium, & di$tinctione proprietatum ip$arum. Caput primum. 1. Recta connectens centra partium ui${us}, e$t ax{is} pyramid{is} opticæ. 18 p 3.

IAm declaratum e$t in primo tractatu [18.20 n] quòd lineæ radiales, ex quarum uerticationibus comprehendit ui$us ui$ibilia, $unt lineæ rectæ, quarum extremitates concurrunt apud centrum ui$us. Et iam declaratum e$t in forma ui$us [4 n 1] quòd membrum $enti\~es, quod e$t membrum glacialis, e$t compo$itum $uper extremitatem concauitatis nerui, $uper quem compo$itus e$t ocu- lus totus: & quòd i$te neruus non gyratur ni$i à po$teriori centri ui$us, & à po$teriori totius oculi, & apud foramen, quod e$t in concauo o$sis. Et iam declaratum e$t [7.9 n 1] quòd linea recta tran- $iens per omnia centra tunicarum ui$us, extenditur in medio concaui nerui, & tran$it per medium foraminis, quod e$t in anteriori uueæ. Et iam declaratum e$t [5.13 n 1] quòd centrũ i$tius lineæ non diuer$atur re$pectu totius ui$us, neq; re$pectu $uperficierum tunicarum ui$us, neque re$pectu par- tium ui$us. Linea ergo recta tran$iens per omnia centra tunicarum ui$us, $emper extenditur rectè ad locum gyrationis concaui nerui, $uper quem componitur oculus, in omnibus di$po$itionibus, $iue $it ui$us in motu, $iue in quiete. Et quia i$ta linea tran$it per centrum ui$us, & per centrum fo- raminis, quod e$t in anteriori uueæ, & per centrũ uueæ extenditur in medio pyramidis, cuius cen- trum e$t ui$us: & continet ip$am circumferentia foraminis, quod e$t in anteriori uueæ: appellemus ergo i$tam lineam axem pyramidis. Et declaratum e$t etiam in ip$o tractatu primo [19 n] quòd py- ramis figurata inter rem ui$am & centrum ui$us, di$tinguit ex $uperficie glacialis partem continen tem totam formam rei ui$æ, quæ e$t apud ba$im illius pyramidis: & erit forma ordinata in i$ta parte $uperficiei glacialis per uerticationem linearum radialium exten$arum inter rem ui$am & ui$um, $ecundum ordinationem partium $uperficiei rei ui$æ. Cum ergo ui$us comprehenderit aliquã rem ui$am, & peruenerit eius forma in partem $uperficiei glacialis, quam di$tinguit pyramis prædicta: quodlibet punctum formæ prædictæ e$t $uper lineam radialem exten$am inter illud punctum, & punctum oppo$itum illi in $uperficie rei ui$æ, $uper quam uenit forma ad illud punctum in $uperfi- ciem glacialis rectè. Cum ergo forma rei ui$æ fuerit in medio $uperficiei glacialis, erit axis prædi- ctus una linearum, $uper quas ueniunt formæ punctorum, quæ $unt in $uperficie rei ui$æ: & erit OPTICAE LIBER II. punctum $uperficiei rei ui$æ, quod e$t apud extremitatem i$tius axis, illud, $uper quod uenit forma eιus $uper i$tum axem. Et declaratũ e$t in primo tractatu [26 n] quòd formæ, quæ comprehendun tur per ui$um, extenduntur in corpore glacialis, & in concauo nerui, $uper quem componitur ocu- lus, & perueniunt ad neruum communem, qui e$t apud medium interioris cerebri, & illic e$t com- prehen$io $entientis ultimò à formis rerum ui$ibilium: & quòd ui$io non completur, ni$i per aduen tum formæ ad neruum communem: & quòd exten$io formarum à $uperficie glacialis intra corpus glacialis, e$t $ecundum rectitudinem linearum rectarum radialium tantum: quoniam glacialis non recipit i$tas formas, ni$i $ecun dum uerticationem linearum radialium tantùm.

2. Cry$tallin{us} & uitre{us} humores per$picuitate differunt. Ita<005> forma ui$ibil{is} refringitur in $uper$icie uitrei humor{is}. 21 p 3.

ET ultimum $entiens non comprehendit $itus partium rei ui$æ, ni$i $ecundum $uum $itum in $uperficie rei ui$æ. Et cum $itus partium formæ inter $e $cilicet formæ peruenientis ad $uper- ficiem glacialis, $int $itus partium $uperficiei rei ui$æ inter $e [per 18 n 1] & i$tæ formæ exten dantur, $icut prædictum e$t: & cum omnia i$ta ita $int: ui$io ergo non complebitur, ni$i po$t aduen- tum formæ, quæ e$t in $uperficie glacialis, ad neruum communem, & $itus partium eius $ecundum $uum e$$e in $uperficiem glacialis $ine aliqua admixtione. Forma autem non peruenit à $uperficie glacialis ad neruum communem, ni$i per exten$ionem eius in concauo nerui, $uper quem compo- nitur oculus $iue humor glacialis. Si ergo forma nõ perueniat in cõcauum i$tius nerui $ecundũ $uũ e$$e in glaciali, neq; etiã perueniet ad neruum commun\~e $ecundum $uũ e$$e. Forma aut\~e nõ pote$t extendi à $uperficie glacialis ad concauum nerui $ecundum rectitudinem linearũ rectarum, & con $eruare $itus partium $ecundũ e$$e $uum: quoniam omnes illæ lineæ concurrunt apud centrum ui- $us, & quando fuerint exten$æ $ecundum rectitudinem, po$t centrum conuertetur $itus earum, & quod e$t dextrũ, efficietur $ini$trum, & è contrario, & $uperius inferius, & inferius $uperius. Si ergo forma fuerit exten$a $ecundum rectitudinem linearum radialium, cõgregabitur apud centrum ui- $us, & efficietur qua$i unum punctum. Et quia centrum ui$us e$t in medio totius oculi, & ante locũ gyrationis concaui nerui: $i forma fuerit exten$a à centro oculi, & ip$ius unũ punctum $uper unam lineam: perueniet ad locum gyrationis, & ip$ius unum punctum: & $ic non perueniet formatota ad locum gyrationis: quia non ni$i unum punctum, $cilicet, quod e$t in extremitate axis pyramidis. Et $i fuerit exten$a $ecundum rectitudinem linearum radialium, & pertran$ierit per centrum: erit con uer$a $ecundum conuer$ionem linearum $e $ecantium, $uper quas extendebatur. Non pote$t ergo forma peruenire à $uperficie glacialis ad cõcauum nerui, ita ut $itus partium $it $ecundũ $uum e$$e: non pote$t ergo forma peruenire à $uperficie glacialis ad concauum nerui, ni$i $ecundum lineas re- fractas, $ecantes lineas radiales. Et cũ ita $it, ui$io ergo non complebitur, ni$i po$tquam refracta fue- rit forma, quæ peruenit à $uperficie glacialis, & extenditur $uper lineas $ecantes lineas radiales. I$ta ergo refractio debet e$$e ante peruentum ad centrum: quoniam $i fuerint refractæ po$t tran$itũ cen tri, erunt conuer$æ. Et iam declaratum e$t [18 n 1] quòd i$ta forma pertran$eat in corpore glacialis $ecundum rectitudinem linearum radialium: & cum non po$sit peruenire ad concauum nerui, ni$i po$tquam refracta fuerit $uper lineas $ecantes lineas radiales: forma ergo non refringitur, ni$i per tran$itum eius in corpore glacialis. Et iam prædictum e$t [4 n 1] in forma ui$us, quòd corpus gla- cialis e$t diuer$æ diaphanitatis, & quòd pars po$terior eius, quæ dicitur humor uitreus, e$t diuer$æ diaphanitatis à parte anteriore: & nullum corpus e$t in glaciali diuer$æ formæ à forma corporis an terioris, præter corpus uitreum: & ex proprietate formarũ lucis & coloris e$t, ut refringantur, quã- do occurrerint alij corpori diuer$æ diaphanitatis à corpore primo. Formæ ergo non refringuntur, ni$i apud peruentum earum ad humorem uitreum. Et i$tud corpus non fuit diuer$æ diaphanitatis à corpore anterioris glacialis, ni$i ut refringerentur formæ in ip$o. Et debet $uperficies i$tius corpo ris antecedere centrum, ut refringantur formæ apud ip$um, antequam pertran$eant c\~etrum: & de- bet i$ta $uperficies e$$e con$imilis ordinationis: quoniam $i non fuerit con$imilis ordinationis, ap- parebit forma mon$truo$a propter refractionem.

3. Commun{is} $ectio cry$tallinæ & uitreæ $phærarum aut e$t plana: aut e$t pars $phæræ maior{is} cry$tallina $phæra. Et habet centrum diuer- $um ab oculi centro. 23 p 3.

SV perficies aut\~e cõ$imilis ordinationis aut e$t plana, aut $phærica. Et nõ pote$t i$ta $uperficies e$$e ex $phæra, cuius centrũ e$t centrum ui$us: quoniã $i ita e$$et, e$$ent lineæ radiales $emper perpendiculares $uper ip$am: & $ic extenderetur forma $ecundũ rectitudinem earũ, & non re- fringeretur. Neq; pote$t e$$e ex $phæra parua: quoniã, $i fuerit ex $phæra parua, quãdo forma refrin- getur ab ea, & elongabitur ab ea, fiet mon$truo$a. I$ta ergo $uperficies aut e$t plana, aut $phærica è $phæra alicuius bonæ quantitatis: ita quòd $phæricitas eius nõ operabitur in ordinatione formæ. Superficies ergo humoris glacialis, quæ e$t differentia cõmunis inter i$tud corpus uitrei & corpus anterius glacialis, e$t $uperficies cõ$imilis ordinationis anteced\~es centrum ui$us. Et omnes formæ perueni\~etes in $uperfici\~e glacialis, extenduntur in corpore glacialis $ecundũ rectitudinem linearũ radialiũ, quou$q; perueniãt ad i$tã $uperficiem, & cũ peruenerint ad $uperfici\~e i$tam: refringuntur apud ip$am $ecundũ lineas cõ$imilis ordinationis, $ecantes lineas radiales. Lineæ ergo radiales nõ ALHAZEN iuuant ad ordinationem formarum rerum ui$ibilium, ni$i apud glacialem tantùm: quoniam apud membrum i$tud principium e$t $en$us. Et declaratum e$t in primo tractatu etiam [15.16.18 n] quod impo$sibile e$t, ut forma rei ui$æ $it ordinata in $uperficie ui$us cũ imagine rei ui$æ & paruitate rei $entientis, ni$i per i$tas lineas. I$tæ ergo lineæ non $unt, ni$i in$trumentũ ui$us, per quas completur comprehen$io rerum ui$arum $ecundum $uum e$$e. Peruentus autem formarum ad ultimum $en- tiens, non indiget exten$ione $ecundum rectitudinem i$tarum linearum.

4. Humor cry$tallin{us} lucem & colorem aliter recipit, quàm cæter a per$picua corpora. 22 p 3. Idem 30 n 1.

ET receptio formarum in membro $entiente non e$t, $icut receptio formarum in corporibus diaphanis: quoniam membrũ $entiens recipit i$tas formas, & $entit eas, & pertran$eunt in eo propter $uam diaphanitatem & uirtutem $en$ibilem, quæ e$t in eo. Recipit ergo i$tas formas $ecundum receptionem $en$us. Corpora autem diaphana non recipiunt i$tas formas, ni$i receptio- ne, qua recipiunt ad reddendum, & non $entiunt ip$as. Et cum receptio corporis $entientis ab i$tis formis non $it $icut receptio corporum diaphanorum, non $entientium: exten$io formarum in cor- pore $entiente non debet e$$e $ecundum uerticationes, quas corpora diaphana exigũt. Vi$us ergo non e$t appropriatus receptioni formarum ex uerticationibus linearũ radialium tantùm: ni$i quia proprietas formarũ e$t, ut extendãtur in corporibus diaphanis $uper omnes uerticationes rectas. Et cum i$tæ formæ peruenerint ad membrum $entiens ordinatæ, & comprehendantur à membro $entiente ordinatæ: nihil remanebit pò$t, indig\~es i$tarum uerticationibus. Pars ergo anterior tan- tùm glacialis e$t appropriata receptioni formarum ex uerticationibus linearum radialium: po$te- rior aut\~e pars, quæ e$t humor uitreus: & uirtus recipiens, quæ e$t in illo corpore, nõ e$t appropriata cum $uo $en$u i$tarum formarum, ni$i ad cu$todiendum eorum ordinationem tantùm.

5. Cry$tallin{us} & uitre{us} humores di{$s}imiliter lucem & colorem recipiunt. 22 p 3.

ET cũ ita $it, qualitas ergo receptionis uitrei à formis non e$t $icut receptio corporis $iue qua- litas corporis anterioris glacialis: & uirtus recipiens, quæ e$t in uitreo, nõ e$t uirtus recipi\~es, quæ e$t in parte anteriori. Et cum qualitas receptionis uitrei à formis, non $it qualitas partis anterioris glacialis: refractio ergo formarum apud $uperficiem uitrei, non e$t ni$i propter diuer$i- tatem qualitatis receptionis $en$us inter i$ta duo corpora. Formæ ergo refringuntur apud uitreum duabus de cau$sis: quarum altera e$t diuer$itas diaphanitatis duorum corporum: & altera diuer$i- tas qualitatis receptionis $en$us inter i$ta duo corpora. Et $i diaphanitas i$ta duorum corporum e$- $et con$imilis: e$$et forma exten$a in corpore uitreo $ecundum rectitudinem linearum radialium, propter con$imilιtudinem diaphanitatis: & e$$et refracta propter diuer$itatem qualitatis $en$us: & $ic e$$et forma propter refractionem mon$truo$a, aut duæ formæ e$$ent propter i$tã di$po$itionem. Et cum diuer$itas diaphanitatis affirmet refractionem, & diuer$itas qualitatis $en$us affirmet illam refractionem aut obliquationem: erit forma po$t refractionem una forma. Et propter hoc diuer$a- tur diaphanitas corporis uitrei, & diaphanitas corporis anterioris glacialis. Form{ae} ergo perueniũt ad uitreum ordinatæ, $ecũdum ordinationem earum in $uperficie ui$i: & recipit ip$as i$tud corpus, & $entit ip$as: deinde refringitur forma propter diuer$itatem diaphanitatis, & diuer$itatem $en$us i$tius corporis, & $ic peruenit forma $ecũdum di$po$itionem $uam: deinde extenditur i$te $en$us, & i$tæ formæ per hoc corpus, quou$q; perueniat i$te $en$us, & i$tæ formæ ad ultimum $entiens: & erit exten$io $en$us & exten$io formæ in corpore uitreo, & in corpore $entiente ext\~e$o in concauo nerui, ad ultimum $entiens, $icut exten$io $en$us tactus & $en$us doloris ad ultimum $entiens: $en- $us autem tactus & $en$us doloris non extenduntur à membris, ni$i in filis neruorum, & in $piritu exten$o $ecundum i$ta fila.

6. Humor uitre{us} & $pirit{us} ui$ibil{is} eadem ferè per$picuitate præditi $unt. 22 p 3.

ET formæ rerum ui$ibilium quãdo peruenerint in corpus humoris uitrei, extendetur $en$us ab illo membro in corpus $entiens, exten$um in concauo nerui continuati inter ui$um & an- terius cerebri: & $ecundum exten$ionem $en$us, extenduntur formæ ordinatæ $ecundum $uam di$po$itionem: quoniam corpus $enti\~es naturaliter $eruat ordinationem i$tarum formarum. Et i$ta ordinatio con$eruatur in corpore $entiente: quoniam ordinatio partium corporis $entien- tis, recipientium partes formarum, & ordinatio uirtutis recipientis, quæ e$t in partibus corporis recipientis, e$t in corpore uitrei, & in omni corpore $ubtili exten$o in cõcauo nerui, ordinatio con- $imilis. Et cum ita $it, quãdo forma peruenit ad quodlibet punctum $uperficiei uitrei, curret in uer- ticatione continua, & non alterabitur eius $itus in concauitate nerui, in quo extenditur corpus $en tiens: & erunt omnes uerticationes i$tæ, per quas currunt omnia puncta, quæ $unt in forma, con$i- milis ordinationis inter$e: & erunt omnes i$tæ uerticationes gyrantes apud gyrationem nerui: & erunt apud gyrationem ordinatæ $ecundum $uam ordinationem ante gyrationem, & po$t, propter qualitatem $en$us i$tius corporis: & $ic perueniet forma ad neruum communem $ecundum $uam di$po$itionem. Et non e$t po$sibile, ut $it exten$io formarum ui$ibilium u$q; ad ultimum $entiens, ni$i $ecundum hunc modum: quoniam nõ e$t po$sibile, ut formæ perueniant ad neruum commu- nem $ecundum $uum e$$e, ni$i $it exten$io earum $ecundum hunc modum. Et cum formæ exten- OPTICAE LIBER II. duntur $ecundum i$tam ordinationem, oportet, ut forma perueniens ad quodlibet punctum $uper ficiei glacialis, $emper extendatur $uper eandem uerticationem ad idem punctum loci nerui com- munis, ad quod peruenit forma: $ed tam\~e forma perueniens ad quodlibet punctum $uperficiei gla- cialis, peruenit $emper ad idem punctum $uperficiei uitrei. Et $equitur ex hoc, ut ex omnibus duo- bus punctis con$imilis $itus in re$pectu duorum oculorum, extendantur duæ formæ ad idem pun- ctum in neruo communi: & etiam $equitur ex hoc, ut corpus $entiens, quod e$t in cõcauo nerui, $it aliquantulum diaphanum, ut appareant in eo formæ lucis & coloris. Et etiam $equitur, ut $it eius diaphanitas $imilis diaphanitati humoris uitrei, ut nõ refringantur formæ apud peruentum earum ad ultimam $uperficiem uitrei, uicinantem concauo nerui: quoniam quando diaphanitas duorum corporum fuerit con$imilis, non refringentur formæ. Et non e$t po$sibile, ut formæ refringantur apud i$tam $uperficiem: quoniam i$ta $uperficies e$t $phærica. Si autem formæ refringer\~etur ab i$ta $uperficie, non elongarentur ab ea, ni$i modicùm, & fierent $tatim mon$truo$æ. Refractio ergo for- marum non pote$t e$$e apud i$tam $uperficiem. Et cum diaphanitas corporis $entientis, quod e$t in concauo nerui, non $it diuer$a à diaphanitate humoris uitrei: non faciet contingere i$ta diuer$itas aliquam diuer$itatem in forma. Et quamuis forma extendatur cum exten$ione $en$us: diaphanitas tamen corporis $entientis, quod e$t in concauo nerui, nõ e$t diuer$a à diaphanitate corporis uitrei. Diaphanitas autem i$ta i$tius corporis non e$t, ni$i ut extendantur formæ in eo $ecundum uertica- tiones, quas exigit diaphanitas, & ut recipiat formas lucis & coloris, & ut appareãt in eo: quoniam corpus non recipit lucem & colorem, neque pertran$euntin eo formæ lucis & coloris, ni$i $it dia- phanum, aut fuerit in eo aliquid diaphanitatis. Et nõ apparet lux & color in corpore diaphano, ni$i $it in eius diaphanitate aliquid $pi$situdinis: & propter hoc non e$t glacialis in fine diaphanitatis, neque in $ine $pi$situdinis. Corpus ergo $entiens, quod e$t in concauo nerui, e$t diaphanum, & in eo e$t in$uper aliquid $pi$situdinis. Forma autem pertran$it in i$to corpore cũ eo, quod e$t in eo de diaphanitate: & apparent in eo formæ uirtuti $en$itiuæ cũ eo, quod e$t in eo de $pi$situdine. Et $en- tiens ultimum non comprehendit formas lucis & coloris, ni$i ex formis peruenientibus ad i$tud corpu@ apud peruentum earum ad neruum communem: & compreh\~edit lucem ex illuminatione i$tius corporis, & colorem ex coloratione. Secũdum ergo hunc modum erit peruentus formarum ad ultimum $entiens, & comprehen$io ultimi $entientis quò ad illas.

7. Ax{is} pyramid{is} opticæ $ol{us} ad perpendiculum e$t cõmuni $ectioni cry$tallinæ & uitreæ $phærarum. 24 p 3.

ET po$tquam declaratum e$t, quòd formæ refringãtur apud $uperficiem uitrei: dicamus quòd axis pyramidis radialis nõ pote$t e$$e declinans $uper i$tam $uperficiem, neq; pote$t e$$e alia linea perpendicularis $uper ip$am. Quoniam $i axis fuerit declinans $uper i$tam $uperficiem, quando formæ peruenirent ad i$tam $uperficiem, diuer$ificarentur in ordinatione, & mutarentur ip$arum di$po$itiones. Formæ autem non po$$unt peruenire in $uperficiem uitrei $ecundum $uum e$$e, ni$i fuerit axis pyramidis $uper i$tam $uperficiem perpendicularis. Quoniam quãdo ui$us fue- rit oppo$itus alicui rei ui$æ, & peruenerit axis radialis $uper i$tam $uperficiem i$tius rei ui$æ: per- ueniet forma illius rei ui$æ in $uperficiem glacialis ordinata $ecundum ordinationem partium $u- per$iciei rei ui$æ, & perueniet forma puncti, quod e$t apud extremitatem axis $uperficiei rei ui$æ, ad punctum, quod e$t $uper axem in $uperficie glacialis [per 18 n 1] & peruenient formæ omnium punctorum $uperficiei rei ui$æ, quorũ remotio à puncto, quod e$t apud extremitat\~e axis, e$t æqua- lis, ad puncta formarum, quæ $unt in $uperficie glacialis, quorum remotio à puncto, quod e$t $uper axem, æqualis e$t: quoniam omnia puncta peruenientia ad $uperficiem glacialis, $unt $uper lineas radiales exten$as à centro ui$us ad $uperficiem ui$us, & axis radialis e$t perpendicularis $uper $u- perficiem glacialis. Omnes ergo $uperficies planæ exeuntes ab axe, & $ecantes $uperficiem glacia- lis, erunt [per 18 p 11] perpendiculares $uper i$tam $uperficiem. Et iam declaratum e$t [3 n] quòd $uperficies humoris uitrei, aut e$t plana, aut e$t $phærica, & centrum eius non e$t centrum ui$us. Si ergo axis radialis e$t declinans $uper i$tam $uperficiem, & nõ e$t perpendicularis $uper ip$am: non exibit ab axe $uperficies plana perpendicularis $uper i$tam $uperfici\~e, ni$i una $uperficies tantùm, & omnes $uperficies re$iduæ exeuntes ab axe erunt declinãtes $uper ip$am: quoniam hæc e$t pro- prietas linearũ declinantium $uper $uperficies planas & $phæricas. Imaginemur igitur $uperficiem a b c d, exeuntem ab axe a c, & perpendicula- a b d h g e f i c riter $uper $uperficiem uitrei f g e extendi: $e- cabit ergo $uperficiem uitrei & $uperfici\~e gla- cialis, & $ignabit in eis duas differentias com- munes: in glaciali quidem b d, in uitreo uerò e f: & imaginemur $uper differ\~etiam commu- nem, quæ e$t communis huic $uperficiei & $u- perficiei glacialis, duo puncta b, d: & $int re- mota à puncto a, quod e$t $uper axem, æquali- ter: & imaginemur duas lineas exeuntes à cen tro glacialis, quod e$t c, u$q; ad i$ta duo pũcta b, d, & $int c b, c d. Erũt ergo [per 1 p 11] h{ae} duæ ALHAZEN lineæ cũ axe a c in $uperficie communi a b c d perpendiculari $uper $uperficiem uitrei e g f: quoniã duo puncta b, d, & punctũ centri c $unt in i$ta $uperficie: & erunt [per 8 p 1 ductis rectis a b, a d] duo anguli, qui fient ex i$tis duabus lineis & axe, $cilicet anguli a c b, a c d, æquales: & $int i$tæ du{ae} lineæ c b, c d $ecantes differentiã commun\~e, quæ e$t in $uperficie uitrei, $uper duobus punctis e, f: & $imi- liter axis $ecet differentiam i$tam commun\~e $uper punctum g, interiectum inter illa duo puncta e, f. Si ergo $uperficies uitrei e$t plana, erit [per 3 p 11] differentia cõmunis linea recta: Et $i axis a c fuerit declinans $uper $uperficiem uitrei, & fuerit $uperficies, quæ fecit differentiã commun\~e, perpendi- cularis $uper i$tam $uperficiem: erit etiã axis a c declinans $uper cõmunem differentiã, $uper lineam e f: erunt\’q; duo anguli e g c, f g c inæquales: quoniã $i axis a c e$$et perpendicularis $uper commun\~e differentiã e f, e$$et perpendicularis $uper $uperfici\~e uitrei [per 4 d 11] & duo anguli e g c, f g c æqua les. Sed cũ hi duo prædicti anguli $int inæquales, & duo anguli e c g, f c g, qui $unt apud centrũ gla- cialis c, quod e$t extremitas axis a c, $int æquales: erũt e g & g f duæ partes lineæ e f, quæ e$t differ\~e- tia@communis, inæquales [Quia enim trianguli c e f latera c e, c f $unt inæqualia ($ecus axis a c e$$et perpendicularis ad f e per 4 p. 10 d 1, cõtra hypothe$im) e$to maius c e: facto\’q ip$i c e æquali c h, du- catur g h recta, qu{ae} per con$truction\~e & 4 p 1 erit æqualis ip$i g e: ducta\’q; ex g perpendiculari g i $u- per h c: erit per 16 p 1 angulus g f h obtu$us: itaq; ք 19 p 1 latus h g, id e$t e g, erit maius latere f g] Ergo erunt duo puncta e, f extremitatũ ip$ius, diuer$æ di$tantiæ à puncto g exi$t\~ete $uper axem in illa li- nea. Et i$ta duo puncta $unt illa, ad quæ perueniunt formæ duorũ punctorum $uperficiei glacialis, qu{ae} $unt æqualiter di$tãtia ab axe a c: quoniã $unt apud duas extremitates duarũ linearũ radialium tran$euntiũ per i$ta duo puncta. Et punctũ g, quod e$t $uper ax\~e a c ex $uperficie uitrei, e$t illud, ad quod peruenit forma puncti a, quod e$t $uper axem ex $uperficie glacialis. Et cũ axis a c fuerit decli nans $uper $uperfici\~e uitrei, & $uperficies uitrei fuerit plana: tunc quando duo puncta, (quorũ for- mæ perueniunt in $uperfici\~e glacialis, & quorũ di$tantia à puncto a, quod e$t $uper axem, e$t æqua- lis, & qu{ae} $unt in $uperficie perpendiculari $uper $uperfici\~e uitrei) peruenerint ad $uperfici\~e uitrei, erit di$tantia eorũ à puncto g ueniente $uper axem, di$tantia inæqualis. Et auãdo axis fuerit decli- nans $uper $uperfici\~e uitrei, & fuerit $uperficies uitrei plana: tũc differentia cõmunis, quæ fit à qua- libet $uperficie exeũte ab axe, & $ecante $uperfici\~e uitrei, continebit cũ axe duos angulos inæqua- les, præter unã $uperficiem tantùm: & e$t illa, quæ $ecat $uperfici\~e perpendicularem $uper uitreum: quoniam differentia cõmunis eius continebit cum axe duos angulos rectos, & erit axis declinans $uper differentias communes omniũ $uperficierum re$iduarum. Et cũ duo anguli prædicti fuerint inæquales, & fuerint duo anguli, re$picientes duas partes differentiæ cõmunis, $cilicet anguli, qui $unt apud centrum $uperficiei glacialis, æquales: erunt duæ partes differentiæ cõmunis, quæ e$t in $uperficie uitrei, inæquales: & erunt duo puncta qu{ae} $unt extremitates i$tius differentiæ cõmunis, diuer$æ di$tantiæ à puncto quod e$t $uper axem: duæ aut\~e partes differentiæ cõmunis, quæ $unt in $uperficie glacialis, erũt æquales: & erunt duo puncta quæ $unt in extremitate i$tius differ\~etiæ com munis, æqualis di$tantiæ à puncto, quod e$t $uper axem in $uperficie glacialis. Et cum ita $it, quãdo forma peruenerit à $uperficie glacialis ad $uperficiem uitrei, erit ordinatio eius non $ecundũ $uum e$$e in $uperficie glacialis, neq; $ecũdum $uũ e$$e in $uperficie rei ui$æ. Et $imiliter declarabitur etiã quando $uperficies uitrei fuerit $phærica, & fuerit axis declinans $uper ip$am: quoniã puncta, quæ $unt in $uperficie glacialis, quorũ di$tantia ab axe e$t æqualis, quando peruenerint ad $uperfici\~e ui- trei, di$ta bunt inæqualiter à puncto axis. Quoniam quando axis non fuerit perpendicularis $uper $uperficiem uitrei, & $uperficies uitrea fuerit a b d h g e f i c $ph{ae}rica, non pertran$ibit axis i$te per centrũ uitrei, & pertran$ibit per centrum $uperficiei glacialis. Lineæ ergo, quæ exeunt à c\~etro gla- cialis ad puncta, quorũ di$tãtia à puncto axis in $uperficie glacialis e$t æqualis, continent cum axe apud centrũ glacialis angulos æqua les. Et cum ita $it, & centrum glacialis non $it centrum uitrei [per 10 n 1] i$tæ lineæ di$tin- guent ex $uperficie uitrei arcus inæquales: & nullæ lineæ cõtinentes cum axe angulos re- ctos, & exi$tentes cum axe in ead\~e $uperficie, di$tinguent ex $uperficie uitrei arcus æquales, ni$i duæ lineæ tantũ: & $unt illæ, quæ $unt in $uperfi- cie $ecante $uperfici\~e perpendicularem $uper $uperficiem uitrei. Cum ergo axis fuerit declinãs $u- per $uperficiem uitrei: formæ peruenientes in $uperficiem uitrei, erũt diuer$æ ordinationis, $iue $it i$ta $uperficies plana, $iue $phærica: & cum axis fuerit perpendicularis $uper $uperficiem uitrei, erit perpendicularis $uper omnes differentias cõmunes: & quælibet duæ lineæ exeuntes à centro gla- cialis, quod e$t punctum in axe, continebunt angulos rectos, & di$tinguent ex differentia cõmuni, quæ e$t in $uperficie@uitrei, duas partes æquales: & erit di$tantia duorum punctorum, qu{ae} $unt ex- tremitates duarum partium æqualium à puncto, quod e$t $uper axem in $uperficie uitrei, æqualis, $iue $it $uperficies uitrei plana, $iue $phærica. Secundum ergo di$po$itiones omnes non peruenit forma ad $uperficiem uitrei, & $itus partium eius $ecundum e$$e $uum in $uperficie ui$us, ni$i axis perpendicularis $it $uper $uperficiem uitrei, & $entiens nõ $entit formam, ni$i $ecundum e$$e $uum OPTICAE LIBER II. apud eius peruentum ad $e, & $entiens comprehendit ordinationem partium rei ui$æ $ecundum $uum e$$e in $uperficie rei ui$æ. Non e$t ergo po$sibile, ut formæ perueniãt in $uperficiem uitrei, ni$i $it ordinatio partium $uarum $ecundum $uum e$$e. Non e$t ergo po$sibile, ut axis radialis $it decli- nans $uper $uperficiem uitrei: erit ergo perpendicularis. Omnes ergo lineæ radiales re$iduæ erunt obliquatæ $uper $uperficiem i$tam, $iue $it plana, $iue $it $phærica, quoniam $ecant axem $uper cen- trum glacialis. Nulla ergo i$tarum linearum tran$it per centrum $uperficiei uitrei, $i fuerit $phærica, ni$i axis tantùm, quoniam e$t perpendicularis $uper ip$am, & quia c\~etrum $uperficiei glacialis non e$t cen trum $uperficiei uitrei.

8. Vi$io per axem pyramid{is} opticæ certi{$s}ima e$t: per aliam lineam tantò certior, quantò ip$a axi propinquior fuerit. 43 p 3.

ET quoniam declaratum e$t [2 n] quòd formæ peruenientes in $uperficiem glacialis, nõ per- ueniunt ad concauum nerui, ni$i po$tquam fuerint refractæ, & non e$t refractio earum, ni$i apud $uperficiem uitrei, & axis e$t perpendicularis $uper i$tam $uperficiem, & omnes lineæ radiales re$iduæ $unt obliquatæ $uper i$tam $uperficiem: quãdo form{ae} peruenerint ad $uperficiem uitrei, refring\~etur omnia puncta, quæ $unt in ea, pr{ae}ter punctum axis: quoniam i$te punctus exten- ditur $ecundum rectitudinem axis, quou$q; perueniat ad locum gyrationis concaui nerui [per 17 n 1] Nulla ergo forma perueniens ad $uperficiem glacialis extenditur ad concauum nerui $ecundũ rectitudinem, ni$i punctum axis tantùm, & omnia puncta re$idua perueniunt ad concauum nerui $ecundum lineas refractas. Cum ergo ui$us comprehendit rem ui$am, & illa res ui$a fuerit oppo$i- ta medio ui$us, & fuerit axis intra pyramidem radialem continentem illam rem ui$am: forma illius rei ui$æ perueniet ad $uperficiem glacialis $ecũdum rectitudinem linearum radialium: deinde ex- tenduntur formæ ab i$ta $uperficie $ecundum rectitudinem linearum radialium etiam, quou$que perueniant ad $uperficiem uitrei: deinde punctum axis extendetur ab i$ta $uperficie $ecundũ recti- tudinem axis, quou$q; perueniat ad locũ gyrationis concaui nerui, & omnia puncta re$idua refrin- guntur $uper lineas $ecantes lineas radiales, & con$imilis ordinationis, quou$q; perueniant ad lo- cum gyrationis concaui nerui. Perueniet ergo forma in illum locum ordinata $ecundum $uum or- dinem in $uperficie glacialis, & ordinata $ecundum $uam ordinationem in $uperficie rei ui$æ. Sed di$po$itio formarum obliquatarum non e$t $icut di$po$itio formarum exten$arum rectè, quoniam obliquatio alterabit ip$as aliqua alteratione nece$$ariò. Sequitur ergo de i$ta di$po$itione, ut pun- ctum perueniens ad locum gyrationis concaui nerui, quod extendebatur $ecundum rectitudinem axis, $it magis uerificatum omnibus punctis formarum.

9. Radi{us} pyramid{is} opticæ obliqu{us}, axi propior ad minores angulos refringitur, remotior ad maiores: & duo æqualiter remoti, ad æquales. 36 p 3.

ET etiam refractio punctorũ peruenientium in $uperficiem refractionis propinquiorum pun- cto axis, e$t minor, & remotiorum, maior: quoniam refractio non e$t, ni$i $ecundum angulos, qui fiunt ex lineis, $uper quas formæ ueniunt, & ex perpendicularibus, quæ $unt $uper $uper- ficiem refractionis: & linearum continentium cum perpendicularibus angulos minores, erit refra- ctio $ecundum angulos minores: & linearum continentium cum perpendicularibus angulos ma- iores, erit refractio $ecundum angulos maiores. Et lineæ propinquiores axi minus declinant $uper $uperficiem refractionis, & $ic continent cum perpendicularibus, qu{ae} $unt $uper $uperficiem refra- ctionis, angulos minores: & illæ, quæ $unt remotiores ab axe, magis declinãt $uper $uperficiem re- fractionis, & $ic continent cum perpendicularibus angulos maiores. Et formæ, quorum refractio e$t minor, magis manife$tantur, & quarum refractio e$t maior, minus. Punctum ergo, quod e$t $u- per axem, perueniens ad locum gyrationis nerui cõcaui, e$t manife$tius omnibus alijs punctis re- $iduis, & quod e$t propinquum illi, e$t manife$tius remotiore ab illo. Et i$tæ form{ae} $unt, qu{ae} exten- duntur ad neruum communem, & ex illis compreh\~edit ultimum $entiens formam rei ui$æ. Et cum i$ta forma perueniens ad locũ gyrationis cõcaui nerui: $it diuer$æ di$po$itionis, $cilicet quòd pun- ctum axis e$t manife$tius omnibus punctis re$iduis, & quod e$t propinquius illi, e$t remotiore ma- nife$tius: forma ergo perueniens in neruo communi, ex qua compreh\~edit uirtus $en$itiua formam rei ui$æ, erit diuer$æ di$po$itionis, & punctum eius re$pondens puncto axis in $uperficie rei ui$æ, erit manife$tius omnibus punctis re$iduis formæ, & huιc propinquius, manife$tius remotiore. Et $i in ducantur di$po$itiones rerum ui$arum, & di$tinguatur qualitas comprehen$ionis ui$us à rebus ui$is, quas comprehenderit ui$us $imul, & qualitas compreh\~e$ionis ui$us à partibus unius rei ui$æ: inuenientur conuenientes omnino in hoc, quod declarauimus. Quoniam a$piciens quando in eo- dem tempore fuerit oppo$itus multis rebus ui$ibilibus, & ui$us eius fuerit quietus, & non mouerit ip$um: inueniet rem ui$am oppo$itam medio $ui ui$us manife$tiorem illis, qu{ae} $unt à parte laterum illius medij, & qu{ae} e$t propin quior medio, erit manife$tior. Et $imiliter quando in$piciens in$pexe- rit rem ui$am magnam, & ui$us eius fuerit oppo$itus medio illius rei ui$æ, & fuerit quietus, compre hendet medium illius rei ui$æ manife$tius i$tius rei extremitatibus. Et hoc manife$tabitur bene, quando fuerint multa ui$ibilia $ibi propinqua, & a$picien@ fuerit oppo$itus uni illorum; quod erit medium inter illa ui$ibilia quieto ui$u: quoniam tunc comprehendet comprehen$ione manife$ta illud medium, & $imul etiam comprehendet illa, quæ $unt in lateribus illius, $ed non manife$tè. Et ALHAZEN hoc manife$tatur magis, quando $patium, $uper quod $unt illa ui$ibilia, fuerit longum, quoniã tun@ erit inter comprehen$ionem medij, & comprehen$ionem extremitatum magna diuer$itas. Deinde $i h{ae}c $pecies motus mouerit ui$um in a$piciente, & fuerit oppo$itus alij rei ui$æ, præter illam rem ui$am, quæ antè erat oppo$ita: comprehendet i$tam $ecundam rem ui$am comprehen$ione mani- fe$ta, primam autem comprehendet comprehen$ione debili: & $i fuerit oppo$itus extremitati, & intueatur ip$am: comprehendet ip$am comprehen$ione manife$tiore, quàm in comprehen$ione primæ di$po$itionis $ecundum eius remotionem ab eo, & $imul comprehendet medium compre- hen$ione debili, quamuis $it propinquius: & erit inter comprehen$ionem medij, dum a$piciens op- ponitur extremitati, & inter comprehen$ionem medij, dum opponitur medio, diuer$itas $en$ibilis. Manife$tabitur ergo ex hac experim\~etatione, quòd ui$io per medium ui$us, & per axem, quem de- finiuimus, e$t manife$tior ui$ione per extremitates, & per lineas continentes axem. Declaratum e$t ergo, quòd ui$io erit per axem pyramidis radialis manife$tior, quàm ui$io per omnes lineas ra- diales, & quòd ui$io per propinquiores axi, e$t manife$tior, quàm per remotiores.

10. Vi$ibile percipitur aut $olo ui$u: aut ui$u & $yllogi$mo: aut ui$u & anticipata notione. In hypothe. 3 lib. inpræfa. 4 lib. 59. 60 p 3.

SEn$us aut\~e ui$us nihil comprehendit de rebus ui$ibilibus ni$i in corpore: in corpore uerò res multæ congregantur, & accidunt ei multæ res, & ui$us comprehendit de corporibus multas res, quæ $unt in eis, & quæ accidunt illis. Et color e$t unum eorum, quæ accidunt corporibus, & $imiliter lux, & $en$us ui$us comprehendit utrunque i$torum in corporibus: & comprehendit etiam alias res præter i$tas duas, $icut figuram, & $itum, & magnitudinem, & motum, & alia, quæ nos di$tinguemus pò$t: & comprehendit etiam $imilitudinem colorum, & diuer$itatem eorum, & $imilitudinem lucis, & diuer$itatem eius: & $imiliter etiam comprehendit con$imilitudinem figu- rarum, & $ituum, & motuum. Et comprehen$io omnium i$torum nõ e$t $ecundum unum modum, neq; comprehen$io cuiuslibet i$torum e$t $olo $en$u. Quoniam ui$us quando comprehendit duo indiuidua in eodem tempore, & fuerint con$imilia in forma, comprehendet indiuidua, & compre- hendet $imilia. Sed $imilitudo duarum formarum in duobus indiuiduis non $unt ip$æ formæ am- bæ, nec@una illarum. Et cum ui$us comprehendit indiuidua ex formis peruenientibus ad ip$um ex duobus indiuiduis, ip$e comprehendit con$imilitudinem duorum indiuiduorum ex $imilitudine duarum formarum peruenientium à forma ad ui$um: & con$imilitudo duarum formarum nõ $unt ip$æ formæ, neque tertia forma propria con$imilitudini: $ed con$imilitudo duarum formarum e$t conuenientia illarum in aliquo. Non ergo comprehendetur duarum formarum $imilitudo, ni$i ex comparatione unius ad alteram, & ex comprehen$ione i$tius, in quo $unt con$imiles. Et quia ui$us comprehendit $imilitudinem, & non e$t in eo tertia forma, ex qua comprehendit $imilitudinem: ui$us ergo non comprehendit $imilitudinem duarum formarum, ni$i ex comparatione unius ad al- teram. Et cum ita $it, comprehen$io ergo $en$us ui$us à con$imilitudine formarum, & diuer$itate il- larum, non e$t per $olum $en$um, $ed per comparationem formarum inter $e. Et etiam quando ui- $us comprehendit duos colores unius generis, & fuerit unus illorum fortior altero, $icut uiridem myrti & uiridem leui$tici: comprehendet, quòd $unt uirides, & comprehendet etiam quòd alter il- lorum e$t fortioris uiriditatis, & di$tinguet inter duas uiriditates, & comprehendet con$imilitudi- nem illorum in uiriditate, & diuer$itatem illorum in fortitudine & debilitate: $ed di$tinctio inter duas uiriditates non e$t ip$e $en$us uiriditatis, quoniam $en$us uiriditatis e$t ex uiridificatione ui- $us ab utraq; uiriditate: & compreh\~edet, quòd $unt unius generis. Comprehen$io ergo ui$us, quòd altera uiriditas e$t fortior altera, & quòd duæ $unt unius generis, e$t di$tinctio colorationis, qu{ae} e$t in ui$u, non ip$e $en$us coloris. Et $imiliter, quãdo duo colores $imiles in fortitudine $uerint unius generis, ui$us comprehendit duos colores, & comprehendit quòd unius generis $unt, & quòd $unt con$imiles in fortitudine. Et $imiliter e$t di$po$itio lucis apud ui$um, quoniam ui$us comprehen- dit lucem, & di$tinguit inter lucem fortem & debilem. Comprehen$io ergo ui$us quò ad con$imi- litudinem colorum, & diuer$itatem eorum, & con$imilitudinem lucis & diuer$itatem eius, & con- $imilitudinem lineationum formarum rerum ui$ibilium, & figuræ, & $itus earum, & diuer$itates earum, non e$t, ni$i ex comparatione illarum inter $e, non $olo $en$u. Et etiam $en$us ui$us com- prehendit diaphanitatem corporum diaphanorum, & diaphanitatem corporum, quæ $unt in fine diaphanitatis: $ed non comprehendit diaphanitatem talem alia ratione, ni$i per comparationem: quoniam lapides diaphani, quorum diaphanitas e$t modica, nõ comprehenduntur à ui$u e$$e dia- phani, ni$i po$tquam fuerint oppo$iti luci, & comprehendatur lux à po$teriori eorum: & com- prehendentur, quòd $unt diaphani. Et $imiliter diaphanitas cuiuslibet corporis diaphani, non comprehenditur à ui$u, ni$i po$tquam comprehen$um fuerit corpus aut lux, quæ e$t à po$terio- ri eius, & comprehendatur in$uper per di$tinctionem, quòd illud, quod appareat à po$teriori, e$t diuer$um à corpore diaphano: comprehen$io autem eius, quòd illud, quod e$t à po$teriori cor- poris diaphani, e$t diuer$um ab illo corpore, non e$t comprehen$io $olo $en$u, $ed e$t compre- hen$io per rationem. Et cum diaphanitas non comprehendatur ni$i per $ignationem, ergo non comprehendetur, ni$i di$tinctione & ratione. Et etiam $criptura non comprehenditur, ni$i ex di$tinctione formarum literarum, & compo$itione illarum, & comparatione illarum ex $ibi $imi- libus, quæ $unt notæ $criptori antè. Et $imiliter multæ res ui$ibiles, quando con$iderabitur quali- OPTICAE LIBER II. tas comprehen$ionis illarum, non comprehenduntur $olo $en$u, $ed ratione & di$tinctione. Et cum ita $it, non ergo omne, quod comprehenditur à ui$u, comprehenditur $olo $en$u: $ed multæ in- tentiones ui$ibiles comprehenduntur per rationem & di$tinctionem cum $en$u formæ ui$æ. Vi$us autem non habet uirtutem di$tinguendi, $ed uirtus di$tinctiua di$tinguit i$tas res: attamen di$tin- ctio uirtutis di$tinctiuæ in i$tis rebus ui$ibilibus non e$t, ni$i mediante ui$u. Et etiam ui$us compre- hendit multas res ui$as per cognitionem, & cogno$cit hominem e$$e hominem, & equum equum, & Socratem e$$e Socratem, quando uiderit illum prius: & cogno$cit animalia $ibi a$$ueta, & arbo- res, & plantas, & lapides, quando prius uiderit ip$a, & con$imilia. Et cogno$cit omnes intentiones in rebus uι$ibilibus $ibi a$$uetas. Et non cõprehendit ui$us quidditat\~e alicuius rei, ni$i per cognitio nem. Cognitio aut\~e non e$t comprehen$io $olo $en$u, quoniã ui$us nõ cogno$cit omne, quod uidit prius. Et cum ui$us comprehenderit aliquod indiuiduum, & po$tea $eparabitur ab illo longo tem- pore, & pò$t uiderit ip$um: & non fuerit memor ip$ius: non cogno$cet ip$um: quoniam non cogno- $cit illud, quod cognouit, ni$i quando fuerit memor. Si ergo cognitio e$$et comprehen$io $olo $en$u: oporteret, quãdo uideret ui$us aliquod indiuiduũ, quod prius uidit, quòd $tatim cogno$ceret ip$um in $ecunda ui$ione $ecundum omnes di$po$itiones: $ed non e$t ita. Et cum cognitio nõ $it ni$i per re memorationem: cognitio ergo non e$t comprehen$io $olo $en$u.

11. Vi$io per anticipatam notionem fit quodammodo per $yllogi$mum. 63 p 3.

COmprehen$io autem per cognitionem e$t comprehen$io per aliquem modorum ratiocina- tionis, quoniam cognitio e$t comprehen$io con$imilitudinis duarum formarum, $cilicet for mæ quam comprehendit ui$us apud cognitionem, & form{ae} illius rei ui$æ uel $ibi $imilis, quã comprehendebat in prima uice: & propter hoc nõ erit cognitio ni$i per rememoration\~e. Quoniam $i prima forma non fuerit præ$ens memori{ae}, non comprehendet ui@us $imιlitudinem duarum for- marum, & $ic non cogno$cit rem ui$am. Cognitio autem e$t formæ alicuius rei indiuiduæ, & formæ $peciei. Cognitio ergo indiuidui e$t ex a$similatione formæ indiuidui, quam comprehendit ui$us a- pud cognitionem indiuidui, alij formæ, quam prius comprehendebat. Et cognitio $peciei e$t ex a$si milatione formæ rei ui$æ ad alias formas $imiles indiuiduis $uæ $peciei, quæ prius cõprehendebat. Et comprehen$io $imilitudinis e$t comprehen$io per rationem, quoniam non e$t, ni$i ex compara- tione unius form{ae} ad alteram. Cognitio ergo non e$t, ni$i modus rationis. Sed i$ta ratio di$tinguitur ab omnibus rationibus: quoniam cognitio non erit per inductionem omnium intentionum, quæ $unt in forma, $ed per $igna. Cum ergo ui$us comprehendit aliquam intentionum, quæ $unt in for- ma, & fuerit memor primæ formæ, $tatim cogno$cet formam, & non e$t ita omne, quod comprehen dit per rationem: quonιam plura eorum, qu{ae} comprehenduntur per rationem, non comprehendun tur, ni$i po$t inductionem omnium intentionum, quæ $unt in eis. Quoniã $criptor quando momen to a$pexerit formam a b c, $tatim comprehendet, quod e$t a b c. ex apprehen$ione ergo eius, quòd a e$t præcedens, & c e$t ultimum, comprehendet, quod e$t a b c. Et $imiliter $i uiderit (DOMINVS) $criptum, $tatim comprehendet ip$um per cognitionem & con$uetudinem: & $imiliter omnes di$- po$itiones $ibi a$$uetas, quando $criptor uiderit ip$as, $tatim comprehendet $ine indigentia di$tin- ctionis unius ab altera: & non e$t ita, $i $criptor in$pexerit dictionem extraneam $criptam, quam antè non uidit, quoniam $criptor non comprehendet i$tam dictionem, ni$i po$tquam di$tinxerit e- ius literas, & pò$t comprehendet dictionem. Omnis ergo forma, quam prius non uidit ui$us, neq; $imilem illi, quando comprehendetur à ui$u, non comprehendet ui$us, quòd e$t illa forma, ni$i po$t- quam di$tinxerit omnes illas intentiones illius formæ, aut plures illarum. Forma autem con$ue- ta comprehendetur à ui$u $tatim comprehen$ione quarundam intentionum, quæ $unt in illa for- ma. Illud ergo quod comprehenditur per cognitionem, comprehendetur per $ignum: & non o- mne quod comprehenditur per rationem, comprehenditur per $ignum. Et plures intentiones ui$i- bilium non comprehenduntur ni$i per cognitionem. Et non comprehendetur quidditas alicuius rei ui$æ, neque alicuius rei $en$ibilis alio $en$u, ni$i per cognitionem. Et uirtus cognitionis e$t con- iuncta uirtuti $en$us: & non completur comprehen$io ui$ibilium, ni$i per cognitionem. Cogni- tio autem non e$t $olo $en$u. Intentiones ergo quæ comprehenduntur à $en$u ui$u quædam com- prehenduntur $olo $en$u, quædam per cognitionem, quædam per rationem & di$tinctionem.

12. Vi$io per $yllogi$mum, fit plerun<005> breui tempore. 69 p 3.

ET plures intentiones ui$ibilium, quæ comprehenduntur per rationem & di$tinctionem, comprehenduntur in tempore ualde paruo, & non apparet, quòd comprehen$io earum $it per rationem & di$tinctionem, propter uelocitatem rationis, per quam comprehenduntur i$tæ intentiones. Quoniam figura, & magnitudo, & diaphanitas corporis, & $imilia, ex intentioni- bus, quæ $unt in rebus ui$ibilibus, comprehenduntur in maiori parte comprehen$ione ualde ue- loci, & nõ comprehenditur tunc, quòd comprehen$io earum $it per ration\~e. Et cum comprehen$io i$tarum intentionum e$t per rationem, non e$t, ni$i per manife$tationem po$itionum illarum, & per con$uetudinem uirtutis di$tinctiuæ ad i$tas intentiones. A pud peruentum ergo illius formæ com- prehendit omnes intentiones, quæ $unt in ea, & $ic di$tinguentur ab eo apud comprehen$io ALHAZEN nem. Et $imiliter in argumentatione & omnibus rationibus, quarũ propo$itiones $unt uniuer$ale@ & manife$tæ, non indiget uirtus di$tinctiua aliquanto tempore in comprehendendo illarum con- clu$iones, $ed apud intellectum $tatim propo$itionis intelligetur conclu$io. Et cau$a in hoc e$t, quòd uirtus di$tinctiua non arguit per compo$itionem & ordinationem propo$itionis, $icut com- ponitur argumentatio per uocabula. Quoniam argumentum, quod concludit, erit $ecundum uer- bum, & $ecundum ordinationem propo$itionum: argumentum autem uirtutis di$tinctiuæ non e$t ita, quoniam uirtus di$tinctiua comprehendit conclu$ionem $ine indigentia in uerbis, & $ine in- digentia ordinationis propo$itionum, & ordinationis uerborum: quoniam ordinatio uerborum argumenti non e$t, ni$i modus qualitatis comprehen$ionis uirtutis di$tinctiuæ à conclu$ione: Sed comprehen$io uirtutis di$tinctiuæ ad conclu$ionem non indiget modo qualitatis, nec ordine qua- litatis comprehen$ionis. Intentiones ergo ui$ibiles, quæ comprehenduntur à ratione, compre- henduntur utplurimùm, ualde uelociter, & non apparet in maiori parte, $i comprehen$io earum $it in ratione. Et etiam intentiones ui$ibiles, quæ comprehenduntur per rationem & di$tinctio- nem, quoniam multoties comprehenduntur per rationem, & intelligit uirtus di$tinctiua intentio- nes earum: $i pò$t uiderit ip$as, comprehendet eas per cognitionem $ine indigentia di$tinctionis omnium intentionum, quæ $unt in $ecundis, $ed per $igna tantùm, & di$tinguet illam conclu$io- nem per cognitionem $ine indigentia argumentationis alicuius iterandæ: & e$t exemplum in eo $criptore, qui primo uidet uerbum extraneum. Et $imiliter $unt omnes intentiones, quæ compre- henduntur per rationem, quando propo$itiones earum fuerint manife$tæ, & conclu$iones fuerint ueræ. Quoniam quando anim a intellexerit conclu$ionem e$$e ueram, deinde multoties uenerit in animam: erit conclu$io qua$i propo$itio manife$ta: & $ic, quando anima uiderit propo$itionem, $ta- tim intelliget conclu$ionem $ine indigentia argumentationis iterandæ. Et plures intentiones, quas non comprehendit uirtus di$tinctiua, quòd $int ueræ, ni$i per rationem, putantur quòd $int propo- $itiones primæ, & quòd non comprehendantur, ni$i per naturam & intellectum, non per rationem: uerbi gratia, quòd totum $it maius $ua parte, putatur quòd natura intellectus iudicet quòd $it ue- rum, & quòd comprehen$io ueritatis ip$ius non e$t per rationem. Sed totum e$t maius $ua parte, non comprehendet prius, ni$i per rationem, quoniam di$tinctio non habet uiam ad comprehenden dum, quòd totum $it maius $ua parte, ni$i po$tquã intellexerit intentiones totius & partis, & inten- tionem maioritatis & minoritatis: quoniam $i non intellexerit intentionem partium, non intelli- get intentionem totius. Intentio autem totius non e$t ni$i communitas, & intentio partis, ni$i ali- quiditas, & maioritas e$t relatio ad alterum, & intentio maioris e$t illud, quod e$t æquale alij, & plus. Et probatio quòd omne totum e$t maius $ua parte, e$t quod confertur ei cum quadam æqui- ualentia, & addit $uper ip$am cum re$iduo, quod e$t plus $cilicet: & ex conuenientia intentionis maioris cum intentione totius: & argumentatione apparet, quòd totum $it maius $ua parte. Et cum comprehen$io huius propo$itionis, quòd totum $it maius $ua parte, non $it ni$i per i$tam uiam: comprehen$io ergo eius non e$t, ni$i per rationem, non per naturam intellectus: & illud, quod e$t in natura intellectus, non e$t ni$i comprehen$io conuenientiæ intentionis totius, & inten- tionis maioris, & in augmentatione tantùm. Et ordinatio i$tius $yllogi$mi e$t ita: omne totum ad- dit $uper partem: & omne addens $uper aliud, e$t maius ip$o: ergo omne totum e$t maius $ua par- te. Et uelocitas comprehen$ionis uirtutis di$tinctiuæ circa conclu$ionem, non e$t, ni$i quia pro- po$itio uniuer$alis e$t manife$ta ex comprehen$ione uirtutis di$tinctiuæ: $ed comprehen$io, quòd totum e$t maius parte, e$t per rationem. Et quia propo$itio uniuer$alis e$t ei manife$ta, compre- hendet conclu$ionem apud euentum propo$itionis minoris particularis, & propo$itio particula- ris e$t additio intentionis totiu@ $uper partem. Et quia ueritas conclu$ionis i$tius $yllogi$mi e$t cer- ti$sima in anima, & præ$ens in memoria: quando ueniet propo$itio ad ip$um, recipit ip$am intelle- ctus $ine indigentia argumentationis iterandæ, $ed per cognitionem tantùm. Et omne, quod e$t i- $tius generis, uocatur ab hominibus propo$itio prima: & putatur, quòd comprehendatur $olo in- tellectu, & quòd non indigeatur in comprehen$ione ueritatis circa ip$um, ni$i $olo intellectu. Et cau$$a illius e$t, quòd comprehenditur $tatim. Syllogi$mi ergo, quorum propo$itiones $unt uniuer $ales & manife$tæ, comprehenduntur in tempore in$en$ibili: deinde quando $yllogizatur toties, ut ueritas conclu$ionis certificetur in anima, tunc efficietur conclu$io qua$i propo$itio manife$ta. Et $ecundum hunc modum erit comprehen$io uirtutis di$tinctiuæ ad plures intentiones, quæ com prehenduntur ratione in tempore in$en$ibili, $ine indigentia argumentationis iterandæ.

13. Vi$io per anticipatam notionem fit in tempore: & qualitas ei{us} plerunque ignoratur. 64. 69 p 3.

ET etiam multoties non apparet qualitas comprehen$ionis intentionum ui$ibilium, quæ com prehenduntur ratione & cognitione, quoniam comprehen$io earum non fit ualde uelociter, & quia comprehen$io qualitatis comprehen$ionis non e$t, ni$i per $ecundum argumentum po$t primum argumentum, per quod fuit ui$io. Virtus àutem di$tinctiua non utitur i$to $ecun- do argumento, in tempore, in quo comprehendit aliquam intentionem ui$ibilem, neque di$tin- guit qualiter comprehendit illam intentionem, neq; pote$t, propter uelocitatem comprehen$ionis @ius ad intentiones cõprehen$as per cognition\~e & per argumentũ, cuius propo$itiones $unt mani- OPTIC AE LIBER II. fe$tæ & certæ in anima. Et propter hoc non $entitur qualitas comprehen$ionis ueritatis plurium propo$itionum uerarum, quæ comprehenduntur per cognitionem: Et radix affirmationis ueritatis earum e$t per rationem apud earum euentum. Quoniam quando i$tæ propo$itiones eueniunt uirtuti di$tinctiuæ, $tatim iudicat, quòd $int ueræ per cognitionem: $ed apud cognitionem non in- quirit qualiter affirmata fuerit prius ueritas, neque inquirit, qualiter comprehendit, quòd ueræ $int apud euentum earum. Et etiam pari modo argumentum, per quod comprehendit uirtus di$tincti- ua qualitatem comprehen$ionis eius ad illud, quod comprehendit, non e$t argumentum in fine ue- locitatis, $ed indiget con$ideratione, quoniam comprehen$iones diuer$antur, & quædam $unt per naturam intellectus, & quædam per cognitionem, & quædam per con$iderationem & di$tinctio- nem. Comprehen$io ergo qualitatis comprehen$ionis, & quæ coprehen$io eiu$modi cõprehen$io- nis e$t, non e$t, ni$i per argumentum & di$tinctionem non uelocem. Et propter hoc non apparet multoties qualitas comprehen$ionis rerum ui$ibilium, quæ comprehenduntur ratione apud com- prehen$ionem. Et etiam e$t homo natus ad di$tinguendum $ine difficultate, & arguendum $ine la- bore, & non percipit, quod arguit, ni$i quando arguit cum difficultate, quando uerò non utitur dif- ficultate, & cognitione, non percipit, quod arguit. Argumenta ergo a$$ueta, quorum propo$itiones $unt manife$tæ, & non indigent difficultate, $unt in homine naturaliter: & propter hoc percipit, quando comprehendit conclu$iones eorum, quòd comprehendat ip$as per argumentum. Et $igni- ficatio e$t, quòd homo natus e$t ad arguendum, quòd ip$e arguit, & non percipit quòd arguit, quod apparet in pueris in primo incremento: quoniam ip$i comprehendunt plures res, $icut homo per- fectus, & di$tinguens, & utuntur multis operationibus per di$tinctionem: uerbi gratia: Puer quan- do ei demon$trantur duo ex eodem genere, $icut duo poma, & fuerit unum pulchrius alio, accipiet pulchrius, & dimittet alterum, $ed electio rei pulchrioris non e$t, ni$i per comparationem alterius ad alterum: & comprehen$io pulchri, quòd $it pulchrum, & fœdi, quòd $it fœdum: & $imiliter quan do elegerit pulchrius alio pulchro minoris pulchritudinis, $ignificat quòd non elegit ip$um, ni$i po$t comparationem unius ad alterum, & comprehen$ionem formæ cuiuslibet eorum, & compre- hen$ionem argumenti pulchritudinis pulchrioris $uper minus pulchrum: & electio pulchrioris non e$t, ni$i per propo$itionem uniuer$alem dicentem: Quòd pulchrius e$t, melius e$t: & quod e$t melius, dignius e$t ad eligendum: ergo ip$e utitur hac propo$itione, & non percipit, quòd utatur ea. Et cum ita $it: puer ergo arguit & di$tinguit: & non e$t dubium, quòd puer ne$cit, quod e$t argumen tum, neque percipit quando arguit, utrum arguat, aut non: & $i quis etiam intenderet ip$um in$true re, quid $it argumentum, uel arguere, non intelligeret. Et quia puer arguit, & ne$cit, quid $it argu- mentum, anima ergo humana nata e$t ad arguendum $ine difficultate & labore, & non percipit ho- mo apud comprehen$ionem rei, quòd $it huiu$modi, quòd $it per argumentum. Sed intentiones, quæ comprehenduntur ratione, non $unt, ni$i intentiones manife$tæ, quarum propo$itiones $unt ualde manife$tæ: intentiones uerò, quarum propo$itiones non $unt ualde manife$tæ, & quarum ar- gumenta indigent difficultate, quando comprehenduntur ab homine, fortè percipit, quòd compre hendit ip$as per rationem, quando fuerint illæ ueræ di$tinctionis. Iam ergo declaratum e$t ex omni quod diximus, quòd quædam intentiones, quæ comprehenduntur per ui$um, comprehenduntur $olo $en$u, & quædam per di$tinctionem, & quædam per cognitionem, & argumentum, & rationem & po$itionem: & quòd qualitas comprehen$ionis intentionum particularium per ui$um, non appa ret in maiori parte propter uelocitatem i$tius, quod comprehenditur per cognitionem, & propter uelocitatem argumenti, per quod comprehenduntur intentiones ui$ibiles: & quòd uirtus di$tincti ua e$t nata ad arguendum $ine labore & difficultate, $ed natura & con$uetudine, & non indiget ar- gumentatione iteranda illa uirtus in comprehen$ione alicuius intentionum particulariũ, qu{ae} mu@ toties fuerint ui$æ.

14. È ui$ibili $æpi{us} ui$oremanet in animo gener alis notio, qua quodlibet ui$ibile $imile per- cipitur & cogno$citur. 61 p 3.

ET comprehenduntur etiam intentiones, quæ multoties fuerint ui$æ, ratione & di$tinctione, quæ $unt in anima, ita quòd homo non percipit quietem illarum, neque quies illarum habe@ principium $en$ibile, quoniam habet experientia, quòd comprehendit ui$ibilia: & experien- tia e$t in eo quædam di$tinctio, & præcipuè di$tinctio, per quam comprehenduntur intentiones $en$ib iles: Ip$e ergo comprehendit intentiones $en$ibiles ratione & di$tinctione, & acquirit inten- tiones $en$ibilium. Et multoties redduntur ip$æ intentiones $en$ibiles illi $ucce$siuè, quou$q; quie- $cant in eius anima: ita etiam ut non percipiat quietem earum: & $ic quando uenerit ip$a intentio particularis, quæ quieuerit in anima eius, cõprehendet eam apud eius euentũ per cognition\~e, neq; tam\~e percipit qualitat\~e comprehen$ionis, neq; qualitat\~e cognitionis, neq; qualiter quieuerit in ani ma eius, cognitio ip$ius intentiõis. O\~es ergo intentiões particulares, qu{ae} cõprehenduntur ratione, & di$tinctiõe, & multoties redduntur, iam cõprehen$æ $unt ab homine in præterito t\~epore, & quie uerũt in anima, & facta e$t forma uniuer$alis quie$c\~es ex qualibet intentione particulariũ. Compre henduntur ergo intentiones i$tæ $ine argumentatione iteranda, quã primò fecit, & $ine ratione, per quã cõprehen$a e$t ueritas illius intentionis, & $ine cõprehen$ione qualitatis cõprehen$ionis ip$ius apud comprehen$ion\~e, & $ine cõprehen$ione qualitatis cognitionis apud comprehen$ionem, & ni- hil remanet argumentatione iteranda indigens, ni$i con$iderare intentiones particulares, quæ $unt ALHAZEN in ip$is indiuiduis particularibus, $icut figura in re indiuidua, $cilicet in re ui$a $ignata, aut $itus rei ui$æ indiuiduæ, aut magnitudo rei ui$æ indiuiduæ, aut comparatio coloris alicuius rei ui$æ indiui- duæ cum colore alterius rei ui$æ & illi $imilis. Et $ecundum i$tos modos erit comprehen$io omniũ intentionum particularium, quæ $unt in rebus ui$ibilibus.

DE OMNIBVS INTENTIONIBVS COMPREHENSIS À VISV: & qualiter comprehendat ui$us quamlib et illarum. Cap. XI. 15. Species ui$ibiles principes $unt uigintiduæ: adquas reliquæ omnes referuntur. In hypo. 3 lib. in præfa. 4 libr.

ET cum declarata $int omnia i$ta, incipiemus modò ad declarandum qualitates comprehen$io nis cuiuslibet intentionum particularium, quæ comprehenduntur per ui$um, & qualitates argumentorum, per quæ acquirit uirtus di$tinctiua intentiones comprehen$as $en$u ui$us. Intentiones particulares, quæ comprehenduntur $en$u ui$u, $unt multæ, $ed generaliter diuiduntur in 22: & $unt lux, color, remotio, $itus, corporeitas, figura, magnitudo, continuum, di$cretio & $epa- ratio, numerus, motus, quies, a$peritas, leuitas, diaphanitas, $pi$situdo, umbra, ob$curitas, pulchri- tudo, turpitudo, con$imilitudo, & diuer$itas in omnibus intentionibus particularibus, & in omni- bus formis compo$itis ex omnibus intentionibus particularibus. I$ta ergo $unt omnia quæ com- prehenduntur per $en$um ui$us: & $i aliqua intentio ui$ibilis e$t pr{ae}ter i$tas, collocabitur $ub aliqua i$tarum, $icut ordinatio, quæ collocabitur $ub $itu, & $criptura, & pictura, quæ collocabuntur $ub fi- gura & ordine: & $icut rectitudo, & curuitas, & concauitas, & conuexitas, quæ collocantur $ub figu ra: & multitudo & paucitas, quæ collocantur $ub numero: & $icut æqualitas & augmentum, quæ collocantur $ub $imilitudine & diuer$itate: & alacritas, & ri$us, & tri$titia, qu{ae} comprehenduntur ex figura formæ faciei: collocantur ergo $ub figura: & $icut fletus, qui continetur $ub figura faciei cum motu lachrymarum, collocatur ergo $ub figura & motu: & $icut humilitas & $iccitas, quæ collocan- tur $ub motu & quiete, quoniam humilitas comprehenditur $en$u ui$u, $ed non $en$u ui$u compre- henditur, ni$i ex liquiditate corporis humidi, & ex motu unius partis illius ante aliã, & $iccitas com prehenditur $en$u ui$us, $ed nõ comprehenditur, ni$i ex retentione partium corporis $icci, & ex pri uatione motus liquiditatis: & $imiliter quælibet intentio particularis comprehen$a à ui$u, colloca- tur $ub partibus, quas diximus prius. Et omnes intentiones ui$ibiles $unt, $icut $uperius diximus.

16. Vi$io perficitur, cum forma ui$ibil{is} cry$tallino humore recepta, in neruum opticum per- uenerit. 20 p 3. Idem 25 n 1.

ET cum ita $it, di$tinctio & argumentatio uirtutis di$tinctiuæ, & cognitio formarum & $igno- rum eorum non erunt, ni$i ex cognitione uel di$tinctione uirtutis di$tinctiuæ ex formis per- uenientibus intra concauum nerui communis, apud comprehen$ionem ultimi $entientis il- las, & ex cognitione $ignorum formarum i$tarum. Et ita corpus $enti\~es exten$um à $uperficie mem bri $entientis u$q; ad concauum nerui communis, $cilicet $piritus ui$ibilis e$t $entiens per totum, quoniã uirtus $en$itiua e$t per totum i$tius corporis. Cum ergo forma extenditur à $uperficie mem bri $entientis u$q; ad concauum nerui communis, quælibet pars corporis $entientis $entiet formã: & cum peruenerit forma in concauum nerui communis, comprehendetur ab ultimo $entiente, & tunc erit di$tinctio & argumentatio. Virtus autem $en$itiua $entit formam rei ui$æ ex toto corpore $entiente exten$am à $uperficie membri $entientis u$que ad concauum nerui communis: & uirtus di$tinctiua di$tinguit intentiones, quæ $unt in forma apud comprehen$ionem ultimi $entientis cir- ca formam. Secundum ergo hunc modum erit comprehen$io formarum rerum ui$ibilium à uir- tute $en$itiua, & ab ultimo $entiente, & à uirtute di$tinctiua. Et declarabitur ex i$ta di$po$itiõe, quòd uirtus $en$itiua $entit locũ membri $entientis, in quem peruenit forma, quoniã non $entit formam, ni$i ex loco, in quem peruenit forma. Et declaratũ e$t etiam [25 n 1] quòd à quolibet puncto $uper- ficiei glacialis extenditur forma $ecundum unam uerticationem continuam, cum eo, quod e$t in eadem de obliquatione & incuruatione, quou$que perueniat ad unum punctum loci, in quem per- uenit forma in concauo nerui communis. Et cum ita $it, forma ergo perueniens in partem $uperfi- ciei glacialis, extenditur ab illa parte ad aliam partem concaui nerui communis. Et forma cuiusli- bet ui$arum rerum diuer$arum, quæ comprehenduntur $imul in eodem tempore: extenditur ad lo- cum certum in concauo nerui communis: & perueniunt formæ omnium illarum rerum ui$arum ad concauum nerui communis: & erit ordinatio formarum illarum inter $e in concauo nerui cõmu nis, $icut ordinatio ip$arum rerum inter $e ui$arum. Cum ergo ui$us fuerit oppo$itus alicui rei ui$æ, formæ lucis & coloris i$tius rei ui$æ perueniunt ad $uperficiem ui$us, & perueniunt in $uperficiem glacialis, & extenduntur $ecundum uerticationes determinatas, quas diximus $ecundũ $uam ordi- nationem, & figurã, & formã, quou$q; perueniant ad concauũ nerui cõmunis, & comprehendentur à uirtute $en$itiua apud peruentũ earũ in corpore glacialis, & apud peruentũ earũ in toto corpore $entiente, & uirtus di$tinctiua di$tinguit omnes intentiones, quæ $unt in eis: & forma lucis & forma coloris nõ perueniũt ad cõcauũ nerui, ni$i quia corpus $enti\~es ext\~e$um in cõcauo nerui, coloratur à forma lucis & coloris, & illuminatur à forma lucis, & peruenit forma ad cõcauũ nerui cõmunis: & OPTIC AE LIBER II. erit pars corporis $entientis, quod e$t in concauo nerui cõmunis, ad quam peruenit forma rei ui$æ, colorata colore illius rei ui$æ, & illuminata luce, quæ e$t in illa re ui$a: & $i res ui$a habuerit unũ co- lorem, erit illa pars corporis $entientis unius coloris, & $i partes rei ui$æ fuerint diuer$i coloris, erũt partes illius corporis partis $entientis, quod e$t in concauo nerui cõmunis, diuer$i coloris: & ulti- mum @entiens $entit colorem rei ui$æ ex coloratione, quam inuenit in illa parte, & cõprehendit lu- cem rei ui$æ ex illuminationè, quam inuenit in illa parte. Et uirtus di$tinctiua comprehendit plures intentiones particulares, quæ $unt in re ui$a, ex di$tinctione intentionum, quæ $unt in illa forma ab ea, $cilicet ex ordinatione partium formæ, & ex figuratione illius, quod continet formam, & ex figu ratione partium eius, & diuer$itate colorum, & $ituum & ordinationum, quæ $unt in partibus illius formæ, & ex con$imilitudine & diuer$itate earum. Et etiam lux ueniens à re ui$a, colorata ad ui$um, non uenit per $e $ine colore, & forma coloris ueniens à re ui$a, colorata ad ui$um, non uenit $ine lu- ce, & non uenit forma lucis & coloris, quæ $unt in re ui$a, ni$i admixtæ, neq; comprehendit eas ulti- mum $entiens, ni$i admixtas: tamen etiam $entiens comprehendit rem ui$am illuminatã, & compre hendit, quòd lux apparens in re ui$a, e$t diuer$a à colore: & i$ta comprehen$io e$t di$tincti@. Di$t n- ctio autem non e$t, ni$i uirtutis di$tinctiuæ, non $en$itiuæ@tamen cum comprehen$ione i$tius inten tionis à uirtute di$tinctiua, i$ta intentio quie$cit in anima, & non indiget argumentatione iteranda apud euentũ cuiuslibet form{ae}. Sed quod lux, quæ e$t in ea, e$t diuer$a à colore, quæ e$t in ea: & com prehen$io uirtutis di$tinctiuæ, quòd lux accidentalis, quæ e$t in re ui$a colorata, e$t diuer$a à colo- re, qui e$t in ea: e$t, quia $uper unam rem ui$am diuer$atur lux, & aliquando augmentatur, & aliquan do diminuitur. Et cum hoc e$t, remanet color eius idem, quamuis diuer$etur $cintillatio coloris $e- cundum diuer$itatem lucis, tamen genus coloris nõ diuer$atur. Et etiam lux accidentalis fortè per- uenit ad rem ui$am ex foramine, & cum fuerit ob$tructum illud foramen, ob$curabitur illa res ui$a. Ex comprehen$ione ergo uirtutis dι$tinctiuæ circa diuer$itatem lucis $uper res ui$as, & ex compre hen$ione eius circa illuminationem rei uι$æ, aliquando etiam priuationem lucis ab ea, comprehen- dit ui$us, quòd colores, qui $unt in rebus ui$is, $unt diuer$i à luce, quæ accidit in eis. Forma ergo, quam comprehendit $entiens ex re ui$a colorata, e$t forma admixta ex forma lucis & forma coloris, quæ $unt in re ui$a: Et uirtus di$tιnctiua comprehendit, quòd color, qui e$t in eo, e$t diuer$us à luce, qu{ae} e$t in ea. Et i$ta cõprehen$io, e$t comprehen$io $ecundum cognit@on\~e apud euentũ formæ, quæ e$t in $entiente: quoniam iam quie$cit in anima, quòd lux cuiuslibet formæ admixtæ ex luce & colo re, e$t diuer$a à colore, qui e$t in ea.

17. È $pecieb{us} ui$ibilib{us} primùm percipitur e$$entia luc{is} & color{is}. 67 p 3.

ET primum, quod comprehendit uirtus di$tinctiua ex intentionibus, quæ appropriantur for- m{ae}, e$t quidditas coloris: quidditas autem coloris non comprehendetur à uirtute di$tinctiua, ni$i per cognition\~e, quando color rei ui${ae} fuerit ex coloribus a$$uetis: & comprehen$io quid- dιtatis coloris à uirtute di$tinctiua $ecundum cognitionem non e$t, ni$i ex comparatione formæ co loris ad formas, quas comprehendebat antè, ex formis $cilicet $imilibus illi colori. Quoniam quan- do ui$us comprehendit colorem rubeum, & comprehendit, quòd $it rubeus, non comprehendit, quòd $it rubeus, ni$i quia cogno$cit ιp$um: & i$ta cognitio non e$t, ni$i ex a$similatione formæ eius ad res, quas comprehendebat prius. Si autem ui$us nunquam comprehendi$$et rubeum color\~e, ni$i inodo, ne$ciret apud cõprehen$ionem rubei, quòd e$$et rubeus. Cum ergo color fuerit ex coloribus a$$uetis, cogno$cetur à ui$u $ecundum cognition\~e, & $i fuerit ex coloribus extraneis, ita quòd ui$us nunquã comprehendit talem antè; non comprehendetur à ui$u, ut cogno$cat ip$um, $ed a$similabit ip$um coloribus propinquis, $cilicet quos cogno$cebat. Radix ergo comprehen$ionis coloris e$t à $en$u $olo, deinde quando $uper ui$um multoties redierit, per cognition\~e comprehendetur, $cilicet cuiu$modifuerit coloris. Et quidditas lucis etiã non comprehendetur à ui$u, ni$i per cognitionem: quoniam ui$us cogno$cit lumen ignis & lumen $olis, & di$tinguit inter ip$um lum\~e lunæ & ignis: & fic cogno$cit lucem lunæ, & lucem ignis. Comprehen$io ergo quidditatis i$tarũ lucium à ui$u, non e$t, ni$i per cognition\~e. Deinde omne, quod comprehenditur per $en$um ui$um, po$t lucem & colo- rem, non comprehenditur $olo $en$u, $ed comprehenditur per di$tinctionem & argumentationem cum $en$u, quoniã omne, quod cõprehenditur per di$tinction\~e & argumentation\~e, non cõprehen- ditur ni$i ex di$tinctione intentionũ, quæ $unt in forma $en$ibili. Et intentiones, quæ cõprehendun tur per di$tinction\~e, & argumentation\~e, & cognition\~e, non cõprehenduntur, ni$i cum $en$u formæ.

18. Lux & color ex $e$e, $olo ui$u percipiuntur. 59 p 3.

LVx autem, quæ e$t in corpore illuminato, per $e comprehenditur à ui$u $ecundum $uum e$$e, & per $e & ex ip$o $en$u: & lux & color, quæ $unt in corpore colorato, illuminato lumine acci- dentali, comprehenduntur à ui$u $imul & admixta, & $olo $en$u. Lux ergo e$$entialis compre- henditur à $entiente ex illuminatione corporis $entientis, & color comprehenditur à $entiente ex ãlteratione formæ corporis $entientis, & ex eius coloratione, & cum huiu$modi comprehen$ione lucis à corpore $entiente per lumen accidentale admixtum cum illo colore. Sentiens ergo compre- hendit ex corpore apud peruentum formæ coloris ad $e lucem coloratam, & comprehendit ex eo apud peruentum formæ lucis e$$entialis lucem $olam. I$ta ergo duo tantum comprehenduntur ã ui$u $olo $en$u.

ALHAZEN 19. Color ex $e$e, pri{us} percipitur, quàm ip$i{us} e$$entia. Ita<005> ui$ibile quodlibet ex $e$e pri{us} percipitur, quàm ip$i{us} e$$entia. 68 p 3.

ET iterum dicemus, quòd comprehen$io coloris in eo, quod e$t color, e$t ante comprehen$io- nem quid ditatis coloris, $cilicet, quòd ui$us comprehendit colorem, & $entit, quòd e$t color, antequam $entiat cuiu$modi $it coloris: quoniam apud peruentũ formæ in ui$u, coloratur ui- $us, & cum ui$us coloratur, $entit, quòd $it coloratus, & $ic $entit colorem: deinde ex di$tinctione co loris, & comparatione ip$ius ad colores notos ui$ui, comprehendit quidditat\~e coloris. Comprehen $io ergo coloris in eo, quòd e$t color, e$t ante comprehen$ion\~e quidditatis coloris, & erit cõprehen- $io quidditatis coloris per cognition\~e. Et $ignificatio, quòd ui$us comprehendit color\~e in eo, quòd e$t color, antequam comprehendat cuiu$modi $it ratio coloris: e$t: quia ui$ibilia, quorum colores $unt fortes, $icut uiriditas profunda, & fu$citas, & $imiles, quãdo fuerint in ob$curo ualde loco, non comprehenduntur à ui$u in illo loco, ni$i qua$i colores tantùm: tamen $entit quòd $int colores, & non di$tinguit cuiu$inodi $int colores in principio comprehen$ionis. Et quando locus non fuerit ualde ob$curus, & ui$us multũ intueatur, comprehendit ui$us, cuiu$modi $int coloris: aut $i lux au- gmentetur & intendatur in illo loco. Declarabitur ergo ex i$ta experimentatione, quod ui$us com- prehendit colorem in eo, quòd e$t color, antequam comprehendat cuiu$modi $it coloris: & illud, quod comprehendit ui$us ex colore in principio $ui peruentus ad ui$um, e$t coloratio, & coloratio e$t qua$i ob$curitas aut umbra, quando color fuerit $ubtilis. Et $i res ui$a fuerit diuer$orũ colorum, comprehendet ui$us in principio ex forma illius rei ui$æ ob$curitatem partium diuer$æ qualitatis, $ecundum fortitudin\~e & debilitatem, aut qua$i umbras diuer$as in fortitudine & debilitate. Primũ ergo, quod comprehendit ui$us ex forma coloris, e$t mutatio membri $entientis, & coloratio eius, quæ e$t ob$curitas aut $imilitudo ob$curitatis: deinde $entiens di$tinguet illam colorationem: & $i res ui$a fuerit illuminata, di$tinguetur ille color à ui$u, & comprehendetur eius quidditas, quando fuerit ex coloribus, quos multoties comprehendebat prius: & $i fuerit ex coloribus, quos ferè $em- per antè comprehendebat, comprehendetur in minore tempore, & in in$tanti $ecundo, inter quod & primum, in quo comprehendit colorem, quatenus e$t color, non e$t $en$ibile tempus: $i aut\~e fue- rit ex coloribus non manife$tis, quos ui$us non comprehendit antè, ni$i rarò, aut fuerit in loco ob- $curo & debilis lucis, nõ comprehendetur à ui$u quidditas eius, ni$i in tempore $en$ibili: & $i res ui- $a fuerit ob$cura, & fuerit in ea, ni$i modica lux, $icut illud, quod comprehenditur nocte, & in locis ualde ob$curis, non di$tinguetur à $entiente, ni$i ob$curitas tantùm. Declaratum e$t ergo ex com prehen$ione colorũ in locis ob$curis, quòd comprehen$io coloris in eo, quòd e$t color, e$t ante com prehen$ion\~e quidditatis eius. Et etiam $ignificatio quòd ui$us comprehendit colorem in eo, quòd e$t color, antequam comprehendat cuiu$modi $it coloris: e$t, quia ui$us cum cõprehendit colorem extraneum, quem nunquam uidit antè, comprehendit quòd e$t color, & tamen ne$cit, cuiu$modi $it coloris: & cum fuerit multùm circa ip$um, a$similabit ip$um propinquiori colori $imili illi. Ex i$tis ergo experim\~etationibus declaratur declaratione manife$ta, quòd cõprehen$io coloris in eo, quòd e$t color, erit ante comprehen$ionem quidditatis coloris: & declaratũ e$t etiam ex i$tis experimen- tationibus, quòd comprehen$io quidditatis coloris nõ erit ni$i per di$tinctionem. Illud ergo quod comprehendit ui$us $olo $en$u, non e$t, ni$i color in eo, quòd e$t color, & lux in eo, quòd e$t lux: & præter i$ta nihil comprehendit $olo $en$u, $ed per di$tinctionem, & argumentation\~e & cognition\~e.

20. E$$entia color{is} percipitur in tempore. Ita<005> e$$entia cui{us}libet ui$ibil{is} percipi- tur in tempore. 70 p 3.

ET etiã dicamus, quòd comprehen$io quidditatis coloris nõ e$t, ni$i in tempore. Quoniã enim comprehen$io quidditatis coloris non e$t, ni$i per di$tinction\~e & a$similation\~e, $ed di$tinctio non e$t, ni$i in tempore: ergo comprehen$io quidditatis coloris non e$t, ni$i in tempore. Signi ficationem aũt manife$tam, quòd comprehen$io quidditatis coloris nõ e$t, ni$i in tempore, præbet illud, quod apparet in trocho apud motum eius: quoniã quando in trocho fuerint tincturæ diuer${ae}, & illæ tincturæ fuerint lineæ exten$æ ex medio $uperficiei eius manife$tæ, & ex parte colli eius u$q: ad fin\~e $uæ circumferenti{ae}, & trochus fuerit circumgyratus motu forti, & a$pexerit ip$um quis, com prehendet omnes colores eius qua$i unũ, diuer$um ab omnibus coloribus eius, qui $unt in eo, qua$i e$$et color cõpo$itus ex omnibus coloribus illarum linearum, & non comprehendet lineation\~e, nec diuer$itatem colorum: & $imul comprehendet ip$um qua$i quietum, quando motus eius fuerit ual- de fortis, quoniam quodlibet punctum nõ figitur in eodem loco, tempore $en$ibili, $ed in quantum minimo tempore gyrat circumferentiã totam, $uper quam reuoluitur. Peruenit ergo forma puncti in ui$um $uper circumferentiam circuli in ui$u, & ui$us non comprehendit colorem illius puncti in minimo tempore, ni$i ex tota circumferentia circuli peruenientis in ui$um: cõprehendit ergo colo- rem illius puncti in minimo tempore circumgyratũ. Et $imiliter omnia puncta, quæ $unt in $uperfi- cie trochi, $ignificant quòd ui$us comprehendit colorem cuiuslibet illorum $uper totam circum$e- rentiam circuli, $uper quam mouetur illud punctum in minimo tempore. Et omnia puncta, quorũ remotio à centro e$t æqualis, mouentur apud circumgyration\~e trochi $uper eandem circuli unius circumferentiã. Accidit ergo ex hoc, ut appareat color cuiuslibet puncti illorum punctorũ, quorũ remotio à centro e$t æqualis, $uper circumferentiam eiu$dem circuli in minimo tempore, quod erit OPTICAE LIBER II. tempus reuolutionis. Quare apparebũt colores omniũ punctorũ in tota circũfer\~etia illius circuli admixti: & propter hoc cõpreh\~editur color $uperficiei trochi, qua$i color unus admixtus ex omni- bus coloribus, qui $unt in $ua $uperficie. Si ergo ui$us cõprehendi$$et quidditat\~e coloris in uno in- $tanti, & nõ indigui$$et ad cõpreh\~edendũ quidditat\~e eius, t\~epore: cõprehendi$$et in uno in$tãti, & in quolibet in$tãti t\~eporis, in quo mouetur trochus, quidditates omniũ colorũ, qui $unt in trocho, di$tinctæ e$$ent apud motum. Quoniam quando indiguerit tempore ad compreh\~edendũ quiddi- tates eornm: comprehendet illos in parte temporis reuolutionis, & in quolibet in$tanti temporis reuolutionis apud motum eorum, $icut compreh\~edet quidditatem eorum, apud eorum quietem: Quoniam quidditates omnium colorum ui$ibilium a$$uetorũ in quiete & in motu, $unt uniu$mo- di, non mutatæ: In quolibet ergo in$tanti, in quo mouetur res ui$a, non mutatur color eius. Et quia ui$us non comprehendit quidditatem colorum, qui $unt in $uperficie trochi, quando trochus mo- uebitur motu ueloci, & comprehenditip$am, quando trochus quieuerit uel fuerit in motu tardo: ui$us ergo non comprehendit quidditatem coloris, ni$i $it color fixus in eodem loco, tempore $en $ibili, uel fuerit in motu, tempore $en$ibili in $patio, cuius quantitas non operatur in $itu coloris i$tius à ui$u operatione extranea. Declarabitur ergo ex i$ta di$po$itione, quòd compreh\~e$io quid- ditatis coloris non erit, ni$i in tempore: & declarabitur ex i$ta di$po$itione, quòd comprehen$io quidditatis omnium ui$ibilium non e$t, ni$i in tempore. Quoniam quando ui$us non cõprehendit quidditatem coloris, qui comprehenditur $olo $en$u, ni$i in tempore: maximè igitur indiget tem- pore in comprehen$ione intentionũ ui$ibiliũ, quæ cõprehenduntur per di$tinctionem & argumen tation\~e. Cõprehen$io ergo quidditatis ui$ibiliũ, & cõprehen$io, per cognition\~e, & cõprehen$io per di$tinctionem & argumentationem, nõ erit, ni$i in t\~epore: fed multoties erit in minimo t\~epore.

21. Lux & color ex$e$e, percipiuntur in tempore.

ET dicemus, quòd color in eo, quòd e$t color, & lux in eo, quòd e$t lux, non comprehendetur à ui$u, ni$i in tempore, $cilicet, quòd in$tans, apud quod erit compreh\~e$io coloris in eo, quòd e$t color, & comprehen$io lucis in eo, quòd e$t lux, e$t diuer$um ab in$tãti, quod e$t primum in$tans, in quo conting it $uperfici\~e ui$us aer deferens formã. Quoniã color in eo, quòd e$t color, & lux in eo, quòd e$t lux, non comprehenduntur à $entiente, ni$i po$t peruentum formæ in corpore $en$ibili, & non comprehenduntur ab ultimo $entiente, ni$i po$t peruentum formæ ad concauum nerui communis, & peruentus form{ae} ad concauum nerui communis, e$t $icut peruentus lucis à fo raminibus, per quæ intrat lux ad corpora oppo$ita illis foraminibus: peruentus igitur lucis à fora mine ad corpus oppo$itum foramini, non erit, ni$i in tempore, quamuis lateat $en$um. Quoniam enim peru\~etus lucis à foramine ad corpus oppo$itum foramini non pote$t euadere ab altero duo- rum modorum, $cilicet, quòd aut lux ueniet in partem aeris uicinantis foramini, antequam perue- niat in part\~e aliam $equentem, deinde perueniet ad aliam partem, deinde ad aliam, quou$que per- ueniat ad corpus oppo$itũ foramini: aut quòd lux perueniet in totum aerem medium, qui e$t in- ter foramen & corpus oppo$itum foramini, & in ip$um corpus oppo$itum foramini $imul. Siergo aer reciperet lucem $ucce$siuè, nõ perueniret lux ad corpus oppo$itum foramini, ni$i per motum: $ed non e$t motus, ni$i in tempore: $i autem totus aer recipit lucem $imul, peruentus lucis etiam in aerem, po$tquam non erat in eo, non erit, ni$i in tempore, quamuis lateat $en$um. Quoniam quan- do foramen, per quod intrat lux, fuerit obturatum, & deinde fuerit ablatum obturans: in$tans, in quo fuerit ablatum obturans à prima parte foraminis, & in quo fuerit difcoopertus aer, qui e$t in foramine ad partem lucis, e$t diuer$um ab in$tanti, in quo peruenit lux in aerem contingentem il- lam partem, quæ e$t intra foramen, & in aerem continuatum cum illo aere $ecundum omnes di$po $itiones: quoniam lux non peruenit in aliquam partem aeris, qui e$t intra foramen, quod e$t coo- pertum contralucem, ni$i po$tquam fuerit di$cooperta aliqua pars foraminis contra lucem, & nul- la pars foraminis di$cooperitur in minori, uno in$tanti: $ed in$tans non diuiditur: nihil ergo exlu- ce peruenit in interius foraminis in illo in$tanti, in quo fuerit di$cooperta pars foraminis: quoniã illud, quod e$t di$coopertum ex foramine in uno in$tanti, non di$cooperitur $ucce$siuè, neque il- lud, quod di$cooperitur ex foramine in uno in$tanti, e$t pars alicuius quantitatis, quoniam non di$cooperitur in uno in$tanti, ni$i punctum carens quantitate, aut linea car\~es latitudine, quoniam non auferetur cooperiens ab habente longitudinem & latitudinem, ni$i $ucce$siuè. Igitur per mo- tum: $ed motus non erit, ni$i in tempore: & illud quod di$cooperitur à foramine in uno in$tanti, ca ret latitudine: e$t ergo punctum aut linea: $ed punctum carens quantitate, & linea carens latitudi- ne, non e$t pars aeris: Punctum ergo carens quantitate, & linea carens latitudine, quod e$t punctũ, quod di$cooperitur exforamine in in$tanti, non e$t, ni$i finis alicuius partium aeris, qui e$t intra fo ramen, non pars aeris. Et punctum carens quantitate, non recipit lucem, neq; linea carens latitudi ne, quoniam non recipit lucem, ni$i corpus. Et cum ita $it, nihil peruenit exluce in aerem, qui e$t intra foramen, in in$tanti, in quo di$cooperitur primùm, quod di$cooperitur ex foramine. In$tans ergo, quod e$t punctum uel primum in$tans, in quo peruenit lux in aerem, qui e$t intra foram\~e, aut in partem eius, e$t diuer$um ab in$tanti, in quo di$cooperitur primùm, quod di$cooperitur ex fo- ramine: $ed inter quælibet duo in$tantia e$t tempus. Lux ergo non peruenit ex aere, qui e$t extra foramen, ad aerem, qui e$t intra foram\~e, ni$i in tempore: $ed id tempus ualde latet $en$um, propter uelocitatem receptionis formarũ lucis ab aere. Et $imiliter accidit in ui$u, quãdo fuerit oppo$itus ALHAZEN rei ui$æ, po$tquam non erat ita, & aer deferens formam rei ui$æ, contigerit $uperficiem ui$us, po$t- quam non contingebatip$am prius: non peruenit forma ex aere deferente formã ad interius con- caui nerui communis, ni$i in tempore: $ed $en$us caret uia cõpreh\~e$ionis i$tius temporis propter paruitat\~e eius, & error\~e eius, & debilitat\~e eius ad cõprehendendum id, quod e$t in fine paruitatis. I$tud ergo t\~epus re$pectu $en$us e$t $icut in$tans. Et etiã m\~ebrũ $entiens non $entit formas uenien tes ad ip$um, ni$i po$tquã patitur ab illis: non $entit ergo color\~e in eo, quòd e$t color, neq; luc\~e in eo, quòd e$t lux, ni$i po$tquã patitur à forma lucis & coloris: $ed pa$sio m\~ebri $entientis à forma co loris & forma lucis, e$t aliqua alteratio: $ed nulla alteratio e$t, ni$i in t\~epore: ui$us ergo non cõpre- h\~edit color\~e in eo, quòd e$t color, neq; lucem in eo, quòd e$t lux, ni$i in t\~epore. Et in t\~epore, in quo extenditur forma à $uperficie m\~ebri $entientis ad concauũ nerui cõmunis, erit cõpreh\~e$io coloris in eo, quòd e$t color, & lucis in eo, quòd e$t lux, à uirtute $entiente, quæ e$t in toto corpore $entien te, & apud peruentum form{ae} in concauum nerui cõmunis, erit cõprehen$io coloris, in eo quòd e$t color, & lucis in eo, quòd e$t lux, ab ultimo $entiente. Comprehen$io ergo coloris in eo, quòd e$t color, & lucis in eo, quòd e$t lux, e$t in tempore $equente tempus, in quo peruenit forma à $uperfi- cie membri $entientis ad concauũ nerui communis. Et etiam in$tãs, quod e$t primum, in quo per- uenit forma in $uperficiem ui$us, diuer$um e$t ab in$tanti, quod e$t primum in$tans, in quo aer de- ferens formam, contingit primum punctum $uperficiei ui$us, quando ui$us fuerit oppo$itus rei ui- $æ, po$tquam non fuerat ita, & po$tquã oculus aperuerit palpebras, po$tquã fuerunt clau$æ. Quo- niam quando ita fuerit, primum, quod contingit $uperficiem ui$us exaere deferente formam illi- us rei ui$æ, e$t unum punctum, aut linea carens latitudine, deinde pars po$t aliam, quou$q; aer de- ferens formam, contingat partem $uperficiei ui$us, in quam peruenit forma: & apud contactum il- lius puncti carentis quantitate, aut lineæ carentis latitudine $uperficiei ui$us, ad punctum carens quantitate, aut ad lineam carentem quantitate $uperficiei aeris deferentis formam, nihil peruenit ex forma lucis & coloris in $uperficiem ui$us: quoniam minimum ex $uperficie, in quod peruenit lux, aut forma coloris, non erit, ni$i $uperficies. In in$tanti ergo, in quo contingit punctum $uperfi- ciei ui$us primum punctum aeris deferentis formam; nihil peruenit in $uperficiem ui$us. In$tans er go, quod e$t primum in$tans, in quo peruenit forma in $uperficiem ui$us, e$t diuer$um ab in$tanti, quod e$t primum in$tans, in quo contingit aer deferens formam, $uperficiem ui$us, quando fuerit ui$us oppo$itus rei ui$æ, & aperuerit palpebras eius, po$tquam fuerunt clau$æ. Et cum ita $it, non peruenit forma lucis aut coloris in aliquam partem membri $entientis, neq; in $uperficiem ui$us, ni$i in tempore. Non comprehendit ergo $entiens colorem in eo, quòd e$t color, neq; lucem in eo, quòd e$t lux, ni$i in tempore, $cilicet quòd in$tans, in quo cadit $en$us coloris in eo, quòd e$t color, & lucis in eo, quòd e$t lux, e$t diuer$um ab in$tanti, quod e$t in$tans primum, in quo contingit aer deferens formam, $uperficiem ui$us. Iam ergo declaratum e$t ex omnibus, quæ diximus, quo- modo comprehendat ui$us lucem in eo, quòd e$t lux, & quomodo comprehendat colorem in eo, quòd e$t color, & quomodo comprehendat quidditatem lucis & coloris, & quomodo compre- hendat qualitatem lucis.

22. Perceptio di$tantiæ ui$ibilis differt à perceptionibus loci ui$ibilis, & ui$ibilis in $uo lo- 60. 14 p 4.

SEd remotio rei ui$æ à ui$u nõ comprehenditur à ui$u $olo $en$u, neq; comprehen$io remotio- nis rei ui$æ, e$t comprehen$io loci rei ui$æ, neq; comprehen$io reiui$æ in loco $uo e$t ex com- prehen$ione remotionis eius tantùm. Quoniam locus rei ui$æ fit ex tribus intentionibus, $ci- licet, ex remotione, & ex parte uniuer$i, & ex quantitate remotionis. Quantitas ergo remotionis e$t diuer$a ab intentione remotionis in eo, quòd e$t remotio, quoniam intentio remotionis inter duo corpora e$t priuatio contactus, & priuatio contactus e$t, e$$e aliquod $patiũ inter illa duo cor- pora, & quantitas remotionis e$t quantitas illius $patij. Intentio ergo remotionis in eo, quòd e$t re motio, e$t ex $itu: Non e$t ergo quantitas remotionis. Compreh\~e$io ergo intentionis remotionis, quæ e$t priuatio contactus, e$t diuer$a à comprehen$ione quantitatis $patij, quæ e$t men$ura remo tionis. Et comprehen$io quantitatis remotionis e$t ex comprehen$ione magnitudinis: & compre- hen$io remotionis rei ui$æ, & comprehen$io partis eius $unt ex compreh\~e$ione $itus loci. Et qua- litas comprehen$ionis utriu$q; i$torum, e$t diuer$a à qualitate comprehen$ionis remotionis alteri- us illorum, quoniam priuatio contactus e$t diuer$a à parte. Comprehen$io ergo loci rei ui$æ, non e$t comprehen$io remotionis reiui$æ. Et comprehen$io rei ui$æ in $uo loco, cõ$i$tit in comprehen $ione quinq; rerum, $cilicet in comprehen$ione lucis, quæ e$t in ea, & comprehen$ione coloris e- ius, & comprehen$ione remotionis eius, & comprehen$ione partis eius, & comprehen$ione quan- titatis remotionis eius: & nullum i$torum comprehenditur per $e $olum, neq; comprehenditur u- num po$t aliud, $ed omnia comprehenduntur $imul, quando comprehenduntur per cognitionem, non per argumentationem iterandam.

23. Vi$io non fit radijs ab oculo emi{$s}is. 5 p 3. Vide 23 n 1.

ET ex comprehen$ione rei ui$æ in $uo loco, opinati $unt ponentes radios: quòd ui$io e$$et per radios exeuntes à ui$u, & peruenientes ad rem ui$am, & quòd ui$io e$$et per extremitatem ra dij, & ratiocinati $unt contra phy$icos, dicentes. Cum ui$io fuerit per formam uenientem à OPTICAE LIBER II. re ui$a ad ui$um, & illa forma peruenit ad interius ui$us: quare compreh\~editur res ui$a in $uo loco, qui e$t extra ui$um, & forma eius iam peruenit ad interius ui$us? Et non $ciuerunt i$ti, quòd ui$io non completur $olo $en$u tantùm, & quòd ui$io non completur, ni$i per cognitionem & di$tinctio- nem antecedentem, & $i cognitio & di$tinctio antecedens non e$$et, nõ compleretur in ui$u ui$io. Et non comprehendit ui$us quid e$t res ui$a apud ui$ionem: quoniam quid e$t res ui$a non com- prehenditur $olo $en$u, ni$i per di$tinctionem, aut cognitionem, aut argumentationem iterandam apud ui$ionem. Si ergo ui$io e$$et $olo $en$u tantùm, & omnia, quæ comprehen duntur ex intentio nibus, quæ $unt in rebus ui$ibilibus, comprehenderentur $olo $en$u, non comprehenderetur res ui $a in $uo loco, ni$i po$tquam perueni$$et aliquid ad ip$am, quod contingeret & $entiret eam. Cum autem ui$io non compleatur $olo $en$u, $ed per di$tinctionem, & argumentationem, & cognition\~e: non indiget in cõprehen$ione rei in $uo loco, $entiente exten$o ad ip$am, & contingente ip$am.

24. Remotio ui$ibilis percipitur di$tinctione & anticipata notione. 9 p 4.

REdeamus ergo ad narrandum qualitatem comprehen$ionis ui$ionis, & dicamus: Remotio rei ui$æ non comprehenditur per $e, ni$i per di$tinctionem: & i$ta intentio e$t ex intentioni- bus, quæ quie$cunt in anima $ecundum tempora pertran$ita, ita quòd percepta non recedit ab anima, propter nimiam frequ\~etationem & iterationem eius $uper uirtutem di$tinctiuam. Qua- re non opus e$t in comprehen$ione eius argumentatione iteranda apud comprehen$ion\~e cuiusli- bet rei ui$æ; neque quærit etiam uirtus di$tinctiua apud comprehen$ionem cuiuslibet rei ui$æ, quomodo quieuit intentio rei ui$æ in ea: quoniam non di$tinguit qualitatem comprehen$ionis a- pud comprehen$ionem cuiuslibet rei ui$æ, & non comprehendit remotionem, ni$i cum alijs inten tionibus, quæ $unt in re ui$a: & comprehendit illam apud comprehen$ionem rei ui$æ per cognitio nem antecedentem. Quomodo autem uirtus di$tinctiua comprehendat remotionem per di$tin- ctionem, e$t, $ecundum quod narrabo. Quando ui$us fuerit oppo$itus rei ui$æ, po$tquam non fue- rat oppo$itus: comprehendit rem ui$am, & quando aufertur ab oppo$itione, de$truitur compre- hen$io. Et $imiliter, quando ui$us aperuerit palpebras, po$tquam fuerunt clau${ae}, & fuerit oppo$itus alicui rei ui$æ: comprehendet illam rem ui$am, & cum clau$erit palpebras, de$truetur comprehen- $io. Et in natura intellectus e$t, quòd illud, quod accidit in ui$is apud aliquem $itum, & de$truitur a- pud eius ablationem, non e$t fixum intra ui$um, neque faciens ip$um accidere, e$t intra ui$um. Et in natura intellectus e$t etiam, quòd id, quod apparet apud apertionem palpebrarum, & de$truitur apud clau$ionem earum, non e$t fixum intra ui$um, neque faciens ip$um accidere, e$t intra ui$um. Et cum uirtus di$tinctiua comprehendit, quòd id, quod accidit in ui$u, ex quo ui$us comprehendit rem ui$am, neque e$t res fixa intra ui$um, neque operans ip$um e$t intra ui$um: $tatim comprehen- dit, quòd id, quod accidit in ui$u, aduenit extrin$ecus, & operans ip$um e$t extra ui$um. Et cum ui- $io de$truitur apud clau$ionem palpebrarum, & apud ablationem ab oppo$itione, & fit apud aper- tionem palpebrarum, & apud oppo$itionem: uirtus di$tinctiua comprehendit, quòd id, quod ui- detur in ui$u, non e$t applicatum cum ui$u. Et cum uirtus di$tinctiua comprehendit, quòd illud, quod uidetur, non e$t intra ui$um, neque e$t applicatum cum ui$u, $tatim compreh\~edit, quòd inter ip$um & ui$um e$t remotio: quoniam in natura intellectús e$t, aut in fine manife$tationis di$tincti- onis, quòd omne, quod non e$t in corpore, neque e$t applicatum cum ip$o, $it remotum ab eo. Et hæc e$t qualitas comprehen$ionis remotionis rei ui$æ in eo, quòd e$t remotio. Sed uirtus di$tincti ua non indiget in comprehen$ione remotionis rei ui$æ ad diuidendum ea, quæ diui$imus, quoniã non fecimus hoc, ni$i gratia declarandi. Et uirtus di$tinctiua comprehendit conclu$ionem i$tius di$tinctionis apud ui$ionem $ine indigentia illius diui$ionis. Ex comprehen$ione ergo rei apud op po$itionem, & apertionem palpebrarum, & ex de$tructione eius apud ablationem oppo$itionis, & apud clau$ionem palpebrarum comprehendit uirtus di$tinctiua, quòd res ui$a e$t extra ui$um, & quòd non e$t applicata cum ui$u. Et $ecundum i$tum modum comprehendit uirtus di$tinctiua, quòd inter ui$um & rem ui$am $it remotio: deinde propter frequentationem i$tius intentionis, & iterationem eius, quieuit in anima, ita quòd non percipit quietem eius, neque qualitatem quietis eius, $cilicet quòd omnia ui$ibilia $unt extra ui$um, & quòd inter quamlibet rem ui$am & ui$um e$t remotio. Remotio ergo rei ui$æ à ui$u non comprehenditur, ni$i per modicam di$tinctionem, $cili- cet quòd uirtus di$tinctiua comprehendit, quòd ui$io e$t propter intentionem extrin$ecam à ui$u: & cum hoc, quando fuerit quie$cens in anima, intelliget uirtus di$tinctiua, quòd quælibet res ui$a comprehen$a à ui$u, e$t extra ui$um, & inter ip$am & ui$um e$t remotio: & etiam $icut diximus $u- perius, non comprehenditur remotio ni$i cum alijs: & apud no$trum $ermonem de qualitate com- prehen$ionis $itus declarabitur, quomodo comprehendatur remotio cum $itu, & quomodo com- prehendatur res ui$a in loco $uo.

25. Magnitudo di$tantiæ percipitur è corporibus communibus inter ui$um & ui$ibile in- teriectis. 10 p 4.

COmprehen$io uerò quantitatis remotionis à ui$u, diuer$atur. Quoniam quædam compre- henduntur per $en$um ui$us, & certificatur eorum quantitas: & quædam comprehendun- tur, quorum quantitas non certificatur. Remotio rei ui$æ à ui$u comprehenditur in quali- ALHAZEN betre ui$a, & certificatur in qualibet re ui$a: quantitas autem remotionis non certificatur ui$ui i@ qualibet re ui$a: quoniam inter quædam ui$ibilia & ui$um $unt corpora ordinata continuata: inter quædam uerò & ui$um non $unt corpora ordinata continuata, neque remotio eorum re$picit cor- pora ordinata continuata. Illa ergo, quorum remotio re$picit corpora ordinata continuata, quãdo ui$us comprehen derit corpora ordinata, quæ re$piciunt remotionem eorum ui$ibiliũ, quãdo com prehendet $cilicet quantitates illorum corporum, & cum comprehenderit men$uras illorum cor- porum, comprehendet quãtitates $patiorum, quæ $unt inter extremitates illorum. Et $patiũ, quod e$t inter duas extremitates corporis ui$i, quod re$picit remotionem, quæ e$t inter ui$um & rem ui- $am, quarum altera e$t in parte rei ui${ae}, & altera in parte a$picientis: e$t remotio rei ui$æ à ui$u, quo- niam re$picit $patium, quod e$t inter ui$um & rem ui$am. Cum ergo ui$us comprehendet men$u- rã i$tius $patij: comprehendet men$urã remotionis rei ui$æ. Vi$us ergo comprehendit quantitat\~e remotionis rerũ ui$ibiliũ (quarũ remotio re$picit corpora ordinata cõtinuata) ex cõprehen$ione m\~e$urarum corporũ ordinatorũ re$picientium remotiones earũ. Et remotio quarundã rerũ i$tarũ ui$ibilium e$t mediocris: & remotio quarundã e$t extra medio critatem. Remotio ergo ui$ibilium, quorũ remotio e$t mediocris: comprehenditur à ui$u comprehen$ione uera certificata: quoniam ui$ibilia, quorũ remotio e$t mediocris, & inter quæ, & ui$um $unt corpora ordinata cõtinuata, cõ- prehenduntur à ui$u uera comprehen$ione: Et cum ui$us cõprehendit i$ta ui$ibilia uera cõprehen $ione: cõprehendit corpora ordinata interiac\~etia inter ip$um & ip$a ui$ibilia uera cõprehen$ione: & cũ cõprehendit i$ta corpora uera cõprehen$ione: cõprehendit $patia interiacentia inter extremi tates eorum uera comprehen$ione: & cum comprehendit $patia uera comprehen$ione: cõprehen- det men$uras remotionum ui$ibilium, re$picientium i$ta $patia uera comprehen$ione & certifica- ta. Vi$ibilium ergo, quorum remotio re$picit corpora ordinata continuata, & quorum remotio à ui$u e$t mediocris, men$uras remotionum comprehendit ui$us uera comprehen$ione & certa: & e$t dicere, certa, in ultimitate, in qua poterit $en$us comprehendere. Men$uræ uerò remotionum ui $ibilium, quorum remotio e$t extra mediocritatem, & quorum remotio re$picit corpora ordinata continuata, $i comprehenduntur à ui$u: non comprehenduntur uera comprehen$ione & certifica- ta: quoniam ui$ibilia, quorum remotio e$t extra mediocritatem, non comprehenduntur à ui$u ue- ra comprehen$ione. Et cum inter ui$um & i$ta ui$ibilia fuerint corpora ordinata continuata: non comprehenduntur à ui$u omnia i$ta ui$ibilia uera comprehen$ione propter extraneitatem remo- tionum extremitatum $uarum, & exitus eorum à mediocritate, per quam ui$us certificat ui$ibilia. Et cum ui$us non comprehendat i$ta corpora uera comprehen$ione: non comprehendet $patia in- teriacentia inter extremitates uera comprehen$ione. Non comprehendet ergo remotiones, quæ $untinteriacentes inter ip$um & ui$ibilia, quæ $unt apud extremitates i$torum corporũ, uera com- prehen$ione. Quãtitates ergo remotionum ui$ibilium, quorum remotio e$t extra mediocritatem, & inter quam & ui$um $unt corpora ordinata continuata, non comprehenduntur à ui$u uera com prehen$ione. Similiter remotiones ui$ibilium, quorum remotio nõ re$picit corpora ordinata con- tinuata, non comprehenduntur à ui$u uera comprehen$ione. Quare ui$us, quando comprehende- rit nubes in plano & in locis carentibus montibus: exi$timabit, quòd $int magnæ remotionis in re- $pectu corporum cœle$tium, & cum nubes fuerint inter montes, & fuerint continuatæ: fortè coo- perientur cacumina montium à nubibus: & cum nubes di$titerint, una ab altera: fortè apparebunt cacumina montium $uperiora nubibus: & fortè comprehendet ui$us partes nubium applicatas cum uertice montium, & fortè erit hoc in montibus non ualde altis. Ex i$ta ergo experimentatio- ne apparet, quod remotio nubium non e$t extranea: & quòd plures illarum $unt propinquiores terr{ae} cacuminibus montium: & quòd illud, quod exi$timatur de extraneitate remotionis illarum, error e$t. Et declarabitur inde, quòd ui$us non comprehendit men$uram remotionis nubium in plano: & quòd men$ura remotionis nubium comprehendetur à ui$u, quando fuerint inter mon- tes, & apparuerint cacumina montium $uperiora. Et hoc inuenitur etiam in pluribus ui$ibilibus, quæ $unt $uper faciem terræ, $cilicet, quòd men$uræ remotionum non re$picientes corpora or- dinata continuata, non comprehenduntur à ui$u. Ex illis ergo, ex quibus manife$tatur hoc, $ci- licet quòd ui$us non comprehendat quantitatem remotionis rei ui$æ, ni$i quando remotio eius re$pexerit corpora ordinata continuata, & comprehenderit ui$us illa corpora interpo$ita, & cer- tificauerit men$uras eorum: e$t experimentatio $equens. Sit domus, in quam experimentator non intrauerit ante horam experimentationis: & $it in quodam pariete illius domus $trictum fo- ramen: & $it po$t illud foramen uacuitas, quam ante illam horam non uidit: & $int in illa uacui- tate duo parietes, quorum unus $it propinquior foramini quàm alius: & $it inter illos duos pari- etes di$tantia alicuius quantitatis: & $it paries propinquior cooperiens quandam partem parie- tis remotioris: & $it quædam pars parietis remotioris apparens: & $it foramen eleuatum à ter- ra, ita ut quando a$piciens a$pexerit per ip$um, non uideat faciem terræ, quæ e$t po$t parietem, in quo foramen e$t. Experimentator igitur quando acce$$erit ad i$tum locum: & in$pexerit per i$tud foramen: uidebit duos parietes $imul, & non comprehendet remotionem, quæ e$t inter ip$os. Siuerò remotio primi parietis fuerit magna, remotio extranea à foramine, comprehendet duos parietes qua$i $e contingentes, & fortè exi$timabit quòd $it unus continuus, quando color eorum fuerit unus. Et $i paries primus fuerit remotus à foramine mediocriter, & percipiatur, quòd $int duo parietes: exi$timabitur, quòd $int propinqui $ibi, aut $e contingentes, & non cer- OPTICAE LIBER II. tificabitur remotio, quæ e$t inter ip$os. Et cum comprehenderit primum parietem ui$us, quan- do remotio eius fuerit mediocris, qua$i e$$et propinquus alteri: non certificabit remotionem e- ius, & non certificabitur remotio, quæ e$t inter i$ta duo corpora huiu$modi per $en$um ui$us: quo- niam ante illam horam non uiderat i$tum locum, neque illos duos parietes: & fortè comprehen- det ui$us illa duo corpora qua$i $e contingentia, quamuis antè $ciuerit di$tantiam, quæ e$t inter ea. Et cum ui$us non comprehendat remotionem, quæ e$t inter duo corpora huiu$modi: non comprehendit quantitatem remotionis ultimi corporis: & tamen comprehendit formam eius cor poris. Et cum non comprehendat quantitatem remotionis i$tius corporis, quamuis comprehen- dat illud corpus: non comprehendet corpora continuata re$picientia remotionem eius: & non comprehendet ui$us quantitatem remotionis rei ui$æ certè ex comprehen$ione formæ rei ui$æ: & non comprehendet ui$us quantitatem remotionis rei ui$æ, ni$i per argumentationem. Vi$us au- tem non arguit $uper aliquam men$uram, ni$i per argumentum comparationis, $iue per compa- rationem illius men$uræ ad aliam men$uram iam comprehen$am à ui$u, uel ad men$uram tunc comprehen$am cum ea. Et nihil e$t, per quod ui$us pote$t men$urare remotionem rei ui$æ, & com parare ad ip$am, ita ut comprehendat men$uram eius uerè, ni$i per corpora ordinata re$picientia remotionem rei ui$æ: $i autem men$urauerit ui$us remotionem per alia quàm per i$ta corpora, e- rit men$uratio quali$cunque, non certa. Non igitur comprehenditur quantitas remotionis rei ui- $æ à $en$u ui$us, ni$i remotio eius re$pexerit corpora ordinata continuata: comprehendit enim ui$us illa corpora, & men$uras illorum. Et i$ta experimentatio, quam diximus, habet multa $imi- lia in ui$ibilibus, $icut ex duabus arboribus erectis $ecũdum modum, quem diximus in parietibus, aut in ligno tran$uer$im po$ito $uper foramen, $ecundum modum, quem diximus de pariete primo. Remotiones autem ui$ibilium di$tantium abinuicem comprehenduntur à ui$u ex com- prehen$ione diui$ionis, quæ e$t inter ui$ibilia. Di$po$itiones autem quantitatis remotionis ui$i- bilium inter $e $unt apud ui$um, $icut di$po$itiones remotionum ui$ibilium à ui$u. Quoniam $i in- ter duas res ui$as di$tinctas fuerint corpora ordinata continuata, & comprehenderit ui$us illa cor- pora & men$uras eorum: comprehendet quantitatem remotionis, quæ e$t inter res ui$as: $i au- tem non: non comprehendet quantitatem di$tantiæ, quæ e$t inter illas res, uerè. Et $imiliter, $i in- ter i$tas duas res ui$as fuerint corpora ordinata continuata: & fuerint ualde extraneæ remotio- nis, ita ut ui$us non po$sit certificare men$uras illorum corporum: non certificabitur men$ura, quæ e$t inter illas duas res ui$as. Remotiones ergo ui$ibilium à ui$u non comprehenduntur, ni$i ex comprehen$ione uirtutis di$tinctiuæ: quoniam illud, quod accidit in ui$u apud ui$ionem, non accidit, ni$i per aliquid extrin$ecum. Et nulla quantitas remotionis ui$ibilium comprehenditur per $en$um ui$um uera comprehen$ione, ni$i remotiones ui$ibilium, quorum remotio re$picit cor- pora ordinata & continuata, quorum remotio $imul e$t mediocris. Et ui$us unà etiam compre- hendit corpora ordinata re$picientia remotiones eorum, & certificat men$uras illorum corpo- rum, ut $e con$equuntur. Men$uræ autem remotionum, præter huiu$modi, non certificantur à ui$u. Vi$ibilium autem, quorum remotionum men$uræ non certificantur à ui$u, quædam remo- tiones re$piciunt corpora ordinata continuata, & ui$us comprehendit illa corpora cum hoc: & $unt illa corpora, quorum extremitatum remotio e$t extranea: & quædam remotiones eorum re$piciunt corpora ordinata continuata, $ed ui$us non cõprehendit illa corpora, $iue $int remotio- nes eorum extraneæ, $iue $int mediocres: & quædam remotiones eorum non re$piciunt corpora ordinata continuata, & $untilla ui$ibilia, quæ $unt ualde eleuata à terra, quæ $unt extraneæ remo- tionis: & quæ non habent propè ip$am remotionem, neq; parietem re$picientem remotionem eo- rum. Et omnia ui$ibilia diuiduntur in i$tas partes. Et quando ui$us comprehendit ui$ibilia, quo- rum remotionum quantitates non certificantur à ui$u: uirtus di$tinctiua $tatim cogno$cit men$u- ras remotionum eorum $ecundum æ$timationem, non $ecundum rectitudinem, & comparat re- motionem eorum adremotionem $ibi $imilium ex ui$ibilibus comprehen$is à ui$u antè, & $u$ten- tat $e in argumentatione $uper formam rei ui$æ, & comparat formam rei ui$æ ad formam ui$ibili- um $imilium, quæ ui$us comprehendit antè, & in quibus quantitates remotionum iam certifican- tur à uirtute di$tinctiua: & $ic comparat remotionem rei ui$æ, cuius quantitatem remotionis non certificat, ad remotionem ui$ibilium $ibi $imilium, quæ comprehendιtui$us antè, & quorum remo tionum men$uræ iam certificantur à uirtute di$tinctiua. Cum ergo uirtus di$tinctiua non certifi- cauerit lineationes formæ rei ui$æ: comparabit quantitatem totius formæ ad men$uras formarum ui$ibilium, æqualium illis formis in men$ura, quarum remotionum quãtitates iam certificat{ae} $unt in uirtute di$tinctiua, & a$similabit remotionem rei ui$æ, cuius quantitas remotionis non certifi- cabitur ab eo, ad remotionem ui$ibilium in men$ura, quorum remotiones iam $unt certificatæ. Et e$t hoc maximum, $uper quod pote$t uirtus di$tinctiua in comprehendendo men$uras remotionũ ui$ibilium. Fortè ergo inueniet per i$tam argumentationem certitudinem in comprehendendo re motionem illius, quod e$t huiu$modi: & fortè errabit: & in illis, in quibus inueniet certitudinem, non certificatur, utrum inuenit certitudinem, an non. Et i$ta argumentatio erit argumentatio in fine uelocitatis propter a$$uetudinem uirtutis di$tinctiuæ, in comprehen dendo remotionem ui$i- bilium per argumentationem & certificationem. Et fortè æ$timabit uirtus di$tinctiua men$uras re motionis rei ui$æ, $iremotio eius re$pexerit corpora ordinata, & fuerit ex remotionibus mediocri bus, propter a$$uetudinem $uam in æ$timando uel arguendo remotiones ui$ibiliũ, & propter ue- ALHAZEN locitatem cum $uæ æ$timationis argumentatione. Et cum remotio rei ui$æ fuerit mediocris, non erit inter æ$timationem remotionis, & inter ueram remotionem magna diuer$itas. Cum ergo ui- $us comprehenderit aliquam rem ui$am, $tatim uirtus di$tinctiua comprehendet remotionem e- ius, & men$uram remotionis eius, $ecundum quod poterit comprehendere, $cilicet aut per certi- tudinem, aut per æ$timationem, & $tatim remotio eius habebit in anima men$uram conceptam. Men$ura ergo remotionis rei ui$æ comprehen$a à ui$u, cuius forma e$t concepta in anima, quan- do illa remotio re$pexerit corpora ordinata continuata, & $imul fuerit mediocris, & comprehen- derit ui$us illa corpora ordinata re$picientia eius remotionem, & etiam iam uirtus di$tinctiua co- gnouerit ip$am, & certificauerit men$uras corporum ordinatorum, certificata e$t. Si autem eius re motio non re$pexerit corpora ordinata continuata: aut re$pexerit corpora ordinata continuata, & comprehenderit ui$us illa corpora: & $imul fuerit remotio extranea, ita ut ui$us non po$sit cer- tificare men$uras illorum corporum: aut re$pexerit corpora ordinata continuata, & non com- prehenderit ui$us illa corpora, neque certificauerit men$uras eorum: aut po$sit comprehendere illa corpora, $ed non a$pexerit illa tunc, nec men$urauerit quantitates eorum, $iue $int remotio- nes illorum ui$ibilium extraneæ, $iue mediocres: erit tunc men$ura eius remotionis, quæ e$t con- cepta in anima, neque certificata, neque uerificata. Etremotiones, quæ $unt inter ui$ibilia di- $tincta, non comprehenduntur, ni$i ex comprehen$ione diui$ionis, quæ e$t inter illa ui$ibilia: & quædam quantitates remotionum, quæ $unt inter ui$ibilia di$tincta, comprehenduntur uera com prehen$ione, & quædam comprehenduntur per æ$timationem. Men$ura ergo remotionis, quæ e$t inter duo ui$ibilia, inter quæ $unt corpora ordinata continuata, quæ ui$us comprehendit, & quo- rum certificat men$uras: e$t men$ura certificata: men$ura autem remotionis, quæ e$t inter duo ui$ibilia, inter quæ non $unt corpora ordinata continuata: aut inter quæ $unt corpora ordinata continuata, $ed ui$us non certificat men$uras illorum corporum: aut non comprehendit illa, e$t men$ura non certificata. Secundum ergo i$tos modos erit comprehen$io remotionum ui$ibilium per $en$um ui$us. Et etiam corpora re$picientia remotiones ui$ibilium a$$uetorum, quæ $unt in re- motionibus a$$uetis, quæ a$$uetæ comprehenduntur à ui$u, comprehenduntur à ui$u, & certifi- cantur men$uræ eorum propter frequentationem eorum, ita ut ui$us propter hoc comprehendat men$uras remotionum eorum per cognitionem. Quoniam ui$us quando comprehendit aliquod ui$ibile a$$uetum, & fuerit in remotione a$$ueta: cogno$cetip$um, & cogno$cet eius remotionem, & æ$timabit quantitatem remotion is eius. Quando ergo æ$timabit quantitatem remotionis hu- iu$modi ui$ibilium: erit æ$timatio eorum propè uera, & non erit inter æ$timationem eius, & ueri- tatem magna diuer$itas. Quantitas ergo remotionum ui$ibilium a$$uetorum, quæ $unt in remotio, nibus a$$uetis, comprehenduntur à ui$u per cognitionem ex æ$timatione quantitatum eorum: & plures remotiones ui$ibilium comprehenduntur $ecundum huiu$modi modum.

26. Situs percipitur è ui$ibilis $iti moderata di$t antia. 29 p 4.

SItus uerò, quem ui$us compreh\~edit ex ui$ibilibus, diuiditur in tres modos: quorum unus e$t $itus totius rei ui$æ apud ui$um, aut $itus cuiu$dam partis rei ui$æ apud ui$um: & i$te modus e$t oppo$itio. Secundus e$t $itus $uperficiei rei ui$æ oppo$itæ ui$ui apud ui$um: & $itus $uperfi cierum rei ui$æ oppo$itarum ui$ui apud ui$um, quando res ui$a fuerit multarum $uperficierum, & fuerit illud, quod apparet ui$ui ex eis, multæ $uperficies: & $itus terminorum $uperficierum ui$ibi- lium apud ui$um, & $itus linearũ, & $patiorum, quæ $unt inter quælibet duo puncta, aut inter quæ- libet duo ui$ibilia, quæ $imul comprehenduntur à ui$u. Modus tertius e$t $itus partium rei ui${ae} in- ter $e, & $itus terminorum $uperficiei rei ui$æ inter $e, & $itus partium terminorum $uperficiei rei ui$æ inter $e, & $itus partium $uperficiei terminorum rei ui$æ inter $e: & i$te modus e$t ordinatio: & con$imiliter $itus ui$ibilium diuer$orum inter $e, collocatur $ub hoc modo. Omnes ergo $itus, qui comprehenduntur à ui$u, diuiduntur in i$tos tres modos. Et $itus cuiuslibet habentis $itum a- pud aliud, componitur ex remotione illius habentis $itum ab illo alio, & ex $itu illius habentis $itũ re$pectu illius alterius. Oppo$itio ergo rei ui$æ ad ui$um componitur ex remotione rei ui$æ à ui$u, & ex parte, in qua e$t res ui$a, re$pectu ui$us. Comprehen$io autem remotionis rei ui$æ iam decla- rata e$t, quòd e$t intentio quie$cens in anima.

27. Locus & oppo$itio ui$ibilis percipiuntur è $itu, quem obtinent in $uperficie ui$us. 30 p 4. Vide 22 n.

VErus autem locus rei ui$æ comprehenditur ex $itu rei ui$æ apud ui$ionem, quoniam ui$us non comprehenditrem ui$am, ni$i ex oppo$itione: & loca, quæ comprehenduntur à $en$u, comprehenduntur à di$tinctione: & $en$us & di$tinctio di$tinguunt inter loca, quamuis in eis nihil $it ex ui$ibilibus: & di$tinguit di$tinctio inter locum obiectum ui$ui, & locum propinquũ ei: Et uirtus di$tinctiua comprehendit omnia loca per imaginationem. Cum ergo ui$us fuerit op- po$itus alicuiloco, & comprehenderit aliquod ui$ibile: & ui$us po$tea fuerit ablatus ab illo loco: & fuerit oppo$itus alij loco: de$truetur ui$io illius rei ui$æ: & cum reuertetur iterum ad oppo$itio- nem illius loci, reuertetur iterum ui$io illius rei ui$æ. Et cum ui$us comprehenderit rem ui$am a- pud oppo$itionem illius in loco, in quo e$t res ui$a: & comprehenderit uirtus di$tinctiua lo- OPTICAE LIBER II. cum oppo$itum ui$ui apud comprehen$ionem illius rei ui$æ: & cum ui$us fuerit ablatus ab op- po$itione illius loci: de$truitur ui$io illius rei ui$æ: tunc ergo uirtus di$tinctiua comprehender, quòd res ui$a non e$t, ni$i in parte oppo$ita ui$ui apud ui$ionem illius rei ui$æ. Et etiam declara- tum e$t [18 n 1] quòd ui$us recipit formas propriè ex uerticationibus linearum radialium, & quòd ip$e non patitur à formis, ni$i ex uerticationibus i$tarum linearum tantùm. Et etiam decla- ratum e$t, [19 n 1] quòd forma extenditur in corpore ui$us $ecundum rectitudinem linearum radialium. Cum ergo forma rei ui$æ peruenerit in ui$um: $tatim $entiens $entiet formam, & $en- tiet partem ui$us, in quam peruenit forma, & $entiet uerticationem, per quam extenditur forma in corpore membri $entientis. Cum ergo comprehenderit ui$us locum formæ in ui$u, & compre- henderit uerticationem, per quam extendebatur illa forma: $tatim uirtus di$tinctiua compre- hendet locum, in quem, ex quo, & per quem extendebatur illa uerticatio. Locus autem per quem & ex quo extendetur illa uerticatio, e$t locus, in quo e$t illa res ui$a. Ex comprehen$ione ergo partis ui$us, in quam peruenit forma rei ui$æ, & ex comprehen$ione uerticationis, per quam extendebatur forma, & ex qua patitur ui$us à forma, comprehendit uirtus di$tinctiua uerticatio- nem, per quam extendebatur forma rei ui$æ $ecundum ueritatem. Et $ecundum hunc modum di$tinguuntur loca ui$ibilium: quoniam ui$ibilia di$tincta non di$tinguuntur à ui$u, ni$i ex di$tin- ctione locorum di$tinctorum in $uperficie membri $entientis, ad qu{ae} perueniunt formæ ui$ibilium di$tinctorum. Et comprehen$io loci rei ui$æ $ecundum hunc modum habet $imile in auditu: quo- niam $entiens comprehendit uocem per $en$um auditus, & comprehendit locum, à quo uenit uox, & di$tinguit inter uocem uenientem à dextra, & uocem uenientem à $ini$tra, & antè, & retro: Imò di$tinguit etiam inter loca uocum di$tinctione $ubtiliori i$ta: & di$tinguit inter locum uocis ue- nientis à loco $ibi oppo$ito facialiter, & locum uocis uenientis à loco obliquo à uerticatione oppo- $itionis: & non di$tinguuntur loca, à quibus ueniunt uoces re$pectu auditus, ni$i per uertica- tiones, $uper quas ueniunt uoces ad auditum. Sen$us ergo auditus comprehendit uoces, & comprehendit uerticationes, ex quibus ueniunt uoces: & ex comprehen$ione uerticationum, $uper quas ueniunt uoces ad auditum, & $uper quarum rectitudinem percutit uox auditum, com- prehendit uirtus di$tinctiua locum, à quo uenit uox. Sicut ergo loca uocum comprehendun- tur à $en$u auditus: deinde à uirtute di$tinctiua mediante auditu: ita loca ui$ibilium comprehen- duntur à uirtute di$tinctiua per $en$um ui$us. Et ex illis, ex quibus declaratur, quòd $entiens comprehendit uerticationem, $ecundum quod patitur ui$us à forma rei ui$æ, e$t illud, quod com- prehenditur in $peculis $ecundum reflexionem. Quoniam res ui$a, quam comprehendit ui$us $ecundum reflexionem, non comprehenditur à ui$u, ni$i in oppo$itione, & cum e$t oppo$ita illi: $ed forma eius peruenit ad ui$um $ecundum linearum rectarum uerticationes, quæ $unt lineæ radiales exten$æ à ui$u in partem oppo$itionis. Cum ergo ui$us $en$erit formam ex uertica- tionibus linearum radialium: æ$timabit rem ui$am e$$e apud extremitates illarum linearum: quoniam nihil comprehendit ex ui$ibilibus a$$uetis, quæ $emper comprehendit, ni$i apud ex- tremitates linearum imaginatarum inter ui$um & rem ui$am, quæ $unt lineæ radiales. Ex com- prehen$ione ergo rei ui$æ à ui$u $ecundum reflexionem ui$us ad oppo$itionem, & $ecundum rectitudinem uerticationum, $uper quas formæ reflexæ perueniunt ad ui$um, uidebitur quòd $entiens $entit uerticationem, per quam uenit forma, & ex qua patitur ui$us à forma. Et cum $entiens $entit uerticationem ui$us, ex qua patitur ui$us à forma, comprehendit uirtus di$tin- ctiua locum, in quo extenditur illa uerticatio, & comprehendet locum rei ui$æ. Locus ergo rei ui$æ comprehendetur à $entiente, comprehen$ione larga, & ex comprehen$ione $itus apud ui$ionem: & comprehendetur à uirtute di$tinctiua, comprehen$ione larga, ex comprehen$ione $itus rei ui$æ apud ui$ionem: & comprehendetur uera comprehen$ione, & certificata, ex com- prehen$ione uerticationis, ex qua patitur ui$us à forma rei ui$æ. Remotio autem rei ui$æ e$t intentio, quæ iam quieuit in anima. Igitur apud peruentum rei ui$æ ad ui$um, comprehendit uirtus di$tinctiua locum rei ui$æ cum quiete intentionis remotionis apud ip$am: & adiunctio remotionis & loci e$t oppo$itio. Cum ergo uirtus di$tinctiua comprehenderit locum rei ui- $æ, & $uam remotionem, $imul comprehendet eius oppo$itionem. Comprehen$io ergo oppo- $itionis e$t ex comprehen$ione loci rei ui$æ, & ex comprehen$ione remotionis rei ui$æ in $i- mul. Et comprehen$io loci erit $ecundum modum, quem diximus. Cum ergo forma rei ui- $æ peruenerit in ui$um, $entiet $entiens locum membri $entientis, in quem peruenit forma, & comprehendet uirtus di$tinctiua locum rei ui$æ ex uerticatione, per quam extenditur forma: & intentio remotionis iam quieta e$t apud ip$am. Ip$a ergo comprehendet locum, & remotio- nem $imul apud comprehen$ionem formæ à $entiente. Igitur apud comprehen$ionem formæ à $entiente comprehendet uirtus di$tinctiua oppo$itionem. Secundum ergo hunc modum dictum, erit comprehen$io oppo$itionis. Et iam declaratum e$t, [10 n] quo modo ui$us comprehendat formam rei ui$æ $olo $en$u. A pud peruentum ergo formæ rei ui$æ in ui$um comprehendet $entiens colorem rei ui$æ, & lucem eius, & locum ui$us, qui colorabatur & illuminabatur ab illa forma: & comprehendet uirtus di$tinctiua locum eius, & remotionem apud comprehen$ionem lucis & co- loris eius à $entiente. Et $ic comprehenduntur lux & color, locus & remotio $imul in minimo tem- pore. Sed locus & remotio $unt oppo$ita, & lux & color $unt forma rei ui$æ, & ex comprehen$ione formæ & comprehen$ione oppo$itionis $u$tentatur cõprehen$io rei ui${ae} in oppo$itione ui$us Ergo ALHAZEN comprehen$io rei ui$æ in oppo$itione ui$us non e$t, ni$i quia forma & oppo$itio comprehenduntur $imul: deinde propter frequentationem i$tius intentionis, & multitudinem iterationis eius e$t facta forma $ignum $en$ui, & uirtuti di$tinctiu{ae}. Apud peruentum ergo formæ in ui$um comprehenditur à $entiente, & comprehendit uirtus di$tinctiua oppo$itionem, & efficitur ex hoc ab ip$o $entiente comprehen$io rei ui$æ in $uo loco: & $imiliter de qualibet parte rei ui$æ. Secundum ergo hunc modum erit comprehen$io rei ui$æ in loco $uo: & $imiliter de qualibet parte rei ui$æ. Cum ergo re- motio rei ui$æ fuerit ex remotionibus mediocribus certificatæ quantitatis: erit locus rei ui$æ, in quo comprehenditur à ui$u, locus uerus: & $i remotio rei ui$æ non fuerit ex remotionibus certifi- catæ men$uræ: erit comprehen$io rei ui$æ in oppo$itione certificata $ecundum oppo$itiones: quo- niam oppo$itio componitur exubitate & remotione in eo, quod e$t remotio. Sed locus rei ui$æ, in quo comprehenditur à ui$u, e$t æ$timatus, non certificatus: quoniam locus certificatus non com- prehenditur, ni$i ex certificatione quantitatis remotionis.

28. Situs directus & obliquus lineæ, $uperficiei, & $pat{ij} percipitur ex æquabili & inæqua- bili terminorum di$tantia. 31 p 4.

SItus uerò $uperficierum ui$ibilium apud ui$um diuiditur in duo, $cilicet in directam oppo$i- tionem, & obliquationem. Superficies autem directa oppo$ita ui$ui e$t illa, cuius axis ra- dialis, (quando $uperficies comprehenditur à ui$u apud rectam oppo$itionem) occurrit ali- cui puncto ex ea, & e$t $imul eleuatus $uper $uperficiem eleuatione æquali. Et $uperficies obli- quata e$t illa, cuius axis radialis, (quando ip$a comprehenditur à ui$u apud obliquationem) oc- currit alicui puncto ex ea, & e$t obliquatus $uper $uperficiem, non eleuatus $uper ip$am eleuatio- ne æquali $ecundum omnes diuer$itates modorum obliquationis. Termini uerò $uperficierum ui$ibilium, & lineæ, quæ $unt in rebus, & $patia quæ $unt inter ui$ibilia, & inter partes ui$ibilium, diuiduntur in duo: quorum alterum $untlineæ, & $patia $ecantia lineas radiales: & alterum $unt li- neæ & $patia æquidi$tantia lineis radialibus, & re$picientia ip$as. Et lineæ & $patia $ecantia lineas radiales diuiduntur $ecundum $itum in duo: in obliquationem & directionem, $ecundum diui$io- nem $ituum & $uperficierum in i$ta duo. Linea autem directa e$t illa, ad cuius aliquod punctum perueniet axis radialis: & erit perpendicularis $uper ip$am: & linea obliquata e$t illa, cuius axis ra dialis, quando peruenerit ad aliquod punctum eius, erit obliquatus $uper ip$am, non perpendicu- laris. Vi$us autem comprehendit directionem & obliquationem $uperficierum, & linearum, & di- $tinctionem earum ex comprehen$ione diuer$itatis remotionum extremitatum $uperficierum & linearum, & æqualitatis earum. Quoniam quando ui$us comprehenderit $uperficiem rei ui$æ: & comprehenderit remotiones extremitatum eius: & $en$erit æqualitatem remotionum termino- rum $uperficiei ab eo, aut æqualitatem duorum locorum oppo$itorum æqualis remotionis à loco $uperficiei, ad quam intuetur quis: comprehendet $uperficiem e$$e directè oppo$itam, & iudica- bit uirtus di$tinctiua, quòd $it directa. Et cum ui$us comprehenderit $uperficiem rei ui$æ, & com- prehenderit remotionem extremitatum eius & diuer$itatem, & non inuenerit in $uperficie duo lo- ca æqualis remotionis à loco $uperficiei, ad quam intuetur, quorum remotio ab eo fuerit æqualis: comprehendet $uperficiem obliquatam in re$pectu $ui, & iudicabit uirtus di$tinctiua, quòd $it ob- liquata. Et $imiliter de $itibus linearum, & $patiorum directorum & obliquorum: $cilicet, quòd ui$us comprehendat directionem lineæ & $patij, quando $en$erit, quòd duæ remotiones duarum extremitatum lineæ aut $patij $unt æquales ab eo: aut quòd duæ remotiones duorum punctorum lineæ aut $patij, quorum remotio à puncto, ad quod intuetur quis, puncto $cilicet lineæ, aut $pa- tij e$t æqualis: & comprehendit ui$us obliquationem lineæ aut $patij, quando $en$erit, quòd duæ remotiones duarum extremitatum lineæ aut $patij ab eo $untinæquales: aut quòd duæ remotio- nes duorum punctorum, & æqualis remotionis à puncto, ad quod intuetur quis, lineæ aut $pa- tij, $unt diuer$æ. Et i$ta æqualitas & diuer$itas multoties comprehenduntur à $entiente per æ- $timationem & $igna. Secundum ergo hunc modum erit obliquationis comprehen$io, & dire- ctionis à ui$u. Et cum $uperficies tota, aut linea tota fuerit directa ui$ui, non erit quælibet pars eius per $e directè oppo$ita ui$ui: imò nulla pars eius e$t directè oppo$ita ui$ui per $e, ni$i pars, $upra quam e$t axis apud directam oppo$itionem. Cum ergo mouetur axis radialis $uper $uperfi- ciem directam, aut $uper lineam directam, erit obliquatus $uper quamlibet ip$ius partem, $u- pra quam tran$it, præter primam partem, in qua e$t punctum, $uper quod fuerit perpendicularis: & $ic erit quælibet pars $uperficiei directè oppo$itæ, & lineæ directè oppo$itæ, quando fuerit $um- pta per$e, obliquata, præter partem prædictam: & quando accipietur tota linea, aut $uperficies, erit directa. Et cum punctum, apud quod erit axis perpendicularis $uper $uperficiem aut li- neam, fuerit in medio $uperficiei aut lineæ: erit $uperficies aut linea in fine directæ oppo$itionis ad ui$um. Si autem punctum non fuerit in medio: erit $uperficies aut linea directa, $ed non in fi- ne directionis: & quantò fuerit punctum, apud quod axis fuerit perpendicularis $uper $uperfi- ciem aut lineam, medio $uperficiei aut lineæ propinquius, tantò erit $uperficies autlinea directio- ris oppo$itionis. Situs autem linearum & $patiorum æquidi$tantium lineis radialibus, compre- henduntur à ui$u ex comprehen$ione oppo$itionis. Quoniam, quando ui$us comprehende- rit extremitates linearum aut $patiorum, quæ $equuntur ui$ibilia oppo$ita ui$ui illi, & extre- mitates eorum propinquas, quæ $equuntur eundem ui$um, comprehendet $itus eorum, & com- OPTICAE LIBER II. prehendet exten$ionem eorum in uerticatione oppo$itionis. Secundum ergo i$tos modos erit comprehen$io $ituum, $uperficierum, linearum, & $patiorum à ui$u, re$pectu illius. Quædam au- tem $uperficies, & lineæ, & $patia $ecantia lineas radiales $unt obliquationis ualde magnæ $uper radiales lineas, & quædam $unt modicæ, & quædam $unt perpendiculares $uper lineas radiales: & $unt $uperficies, & lineæ, & $patia directè oppo$ita ui$ui. Extremitas autem remotior cuiusli- bet $uperficiei, & lineæ, & $patij $equitur partem remotam à ui$u, $cilicet partem $equentem ex- tremitates linearum radialium, & extremitas propinquior $equitur partem propinquam ui$ui, $ci- licet partem $equentem ui$um. Et quando ui$us comprehenderit aliquam lineam, uel aliquod $patium, $tatim comprehendet duas ubitates $equentes extremitates lineæ illius, aut illius $patij: & $imiliter quando ui$us comprehenderit aliquam $uperficiem: comprehendet ubitates $equentes extremitates illius $uperficiei ex comprehen$ione exten$ionis illius $uperficiei, in longitudine, & latitudine. Cum ergo ui$us comprehenderit $uperficiem obliquam $uper lineas radiales, & fue- rit illa $uperficies maximæ declinationis: comprehendet ui$us ubitatem $equentem extremitatem remotiorem apud comprehen$ionem $uperficiei, & comprehendet ip$am e$$e $equentem extre- mitates linearum radialium, & comprehendet ubitatem $equentem extremitatem propinquio- rem, & comprehendet ip$am e$$e $equentem illud, quod e$t prope ui$um. Et $imiliter de linea, & $patio maximæ obliquationis. Et cum ui$us perceperit, quòd una duarum extremitatum $uper- ficiei, aut lineæ, aut $patij $equantur ubitatem remotam à ui$u, & quòd altera extremitas fequatur ubitatem propinquam ui$ui: $tatim percipiet remotionem unius duarum extremitatum, aut line{ae}, aut $patij, aut $uperficiei, & appropinquationem alterius. Et cum perceperit remotionem unius duarum extremitatum, aut lineæ, aut $patij, aut $uperficiei, & appropinquationem alterius: $tatim percipiet obliquationem $itus illius $uperficiei, aut lineæ, aut $patij. Obliquatio ergo $uperficie- rum, & linearum, & $patiorum obliquatorum $uper lineas radiales extraneæ obliquationis, com- prehenditur à ui$u ex comprehen$ione duarum ubitatum extremitatum eorum.

29. Situs ui$ibilis obliquus ex immoderata di$tantia uidetur direct{us}. 34 p 4.

DEclinatio autem & directa oppo$itio linearum, & $uperficierum, & $patiorum modicæ obli- quationis, & directionis, non comprehenduntur à ui$u uera comprehen$ione certificata, ni$i remotio eorum $it mediocris, & re$piciat corpora ordinata comprehen$a à ui$u, & com- prehenderit ex men$uris eorum corporum men$uras remotionum extremitatum illarum $uper- ficierum, & linearum, & $patiorum, & comprehenderit æqualitatem duarum remotionum duarum extremitatum $uperficiei, aut lineæ, aut $patij: aut inæqualitatem earum: quoniam nul- la ubitatum $equentium extremitates $uperficierum, & linearum, & $patiorum directè oppo$i- torum, aut declinantium modica declinatione, $equitur ui$um: Sed extremitates eorum oppo- $itæ $equuntur ubitates dextras, aut $ini$tras, aut $uperiores, aut inferiores. Si ergo ui$us non comprehenderit men$uras remotionum eorum, quæ $unt huiu$modi à ui$u, non comprehendet æqualitatem remotionum extremitatum eorum, aut inæqualitatem: & $i hæc non comprehen- derit, non comprehendet obliquationem eorum, neque directionem. Cum ergo $uperficies, & lineæ, & $patia fuerint maximæ remotionis, & fuerit obliquatio eorum modica: non poterit ui- $us comprehendere obliquationem eorum, neque pote$t di$tinguere inter obliquum, & re- ctum: quoniam quantitates remotionum $uperficierum, & linearum, & $patiorum, quorum re- motio e$t magna, non certificantur à ui$u, $ed æ$timantur. Et cum remotio eorum fuerit magna, & fuerint ip$a modicæ obliquationis: erit differentia, quæ e$t in ter remotas extremitates eorum oppo$itorum, ualde modica, ferè carens quantitate re$pectu quantitatum remotionum eorum. Et cum ui$us non certificauerit quantitates remotionum extremitatum eorum, non comprehen- det diuer$itatem remotionum, quæ e$t inter extremitates eorum. Et cum non comprehende- rit diuer$itatem, quæ e$t inter remotiones extremitatum $uperficiei, lineæ, & $patij, æ$tima- bitremotiones illas e$$e æquales, & non comprehendet obliquationem illius $uperficiei, aut li- neæ, aut $patij: & cum non comprehenderit obliquationem illius $uperficiei, aut lineæ, aut $pa- tij, æ$timabit ip$um e$$e directum. Et obliquatio modica $uperficierum, & linearum, & $patio- rum, quorum remotio e$t maxima, non comprehenditur à ui$u. Vi$us ergo comprehendit o- mnes $uperficies, & lineas, & $patia, quæ $unt maximæ remotionis, & minimæ obliquationis, qua$i directè oppo$ita, & non certificat $itus eorum, neque di$tinguit inter obliquum, & directè oppo$itum, $ed comprehendit obliquum, & rectum $ecundum unum modum. Et $imiliter $itus $uperficierum, & linearum, & $patiorum, quorum remotio e$t mediocris, quando non re$pexe- rint corpora ordinata, aut ui$us non comprehenderit corpora re$picientia remotiones eorum, & non certificauerit quantitates remotionum eorum, non certificatur à ui$u, nec di$tinguit ui- $us inter obliquum eorum & directum, $ed accipit $itum eorum æ$timatione: & forta$$e æ$timabit illud, quod e$t huiu$modi, e$$e directum, quamuis $it obliquum. Et cum $uperficies, & lineæ, & $pa tia fuerint in remotione mediocri, & remotiones eorum re$pexerint corpora ordinata, & compre- henderit ui$us illa corpora ordinata, & quantitates eorum, comprehendet quantitates remo- tionum extremitatum $uperficierum illarum, & linearum, & $patiorum, & comprehendet æqua- litatem remotionum extremitatum eorum oppo$itorum, $i fuerint extremitates illæ æquales, & ALHAZEN inæqualitatem eorum, $i fuerint inæquales. Et cum comprehenderit æqualitatem remotionum extremitatum $uperficierum, aut linearum, aut $patiorum, aut inæqualitatem eorum: comprehen- det directionem illius $uperficiei, autlineæ, aut $patij, aut eorum obliquationem certificata com- prehen$ione. Et $imiliter obliquatio linearum, aut $uperficierum, aut $patiorum, quæ $unt maxim{ae} obliquationis, non comprehenditur à ui$u, ni$i ip$a $int in remotione mediocri, re$pectu magnitu- dinis eorum. Nam ui$us non comprehendit ubitates $equentes extremitates $uperficiei, aut line{ae}, aut $patij: ni$i quando comprehenderit quantitatem exten$ionis illius $uperficiei, aut line{ae}, aut $pa tij: $ed ui$us non comprehendit quantitatem exten$ionis $uperficiei, aut lineæ, aut $patij, ni$i quã- do fuerit in remotione mediocri re$pectu quantitatis illius $uperficiei, aut lineæ, aut $patij. Decli- natio ergo $uperficiei, aut lineæ, aut $patij $ecantium lineas radiales, quando fuerit maxima, com- prehendetur à ui$u comprehen$ione ubitatum extremitatum eius: & $i fuerit modicæ obliquatio- nis, aut directæ oppo$itionis: comprehendetur à ui$u e$$e obliquum, aut e$$e directum ui$ibile ex comprehen$ione quantitatum remotionum extremitatum eorum. Et ui$us non certificat quali- tatem $ituum $uperficierum, & linearum, & $patiorum, quæ $unt maximæ obliquationis, ni$i quan- do certificauerit qualitatem exten$ionis eorum. Et non certificat $itum $uperficierum, & linea- rum, & $patiorum, quæ $unt modicæ obliquationis, aut directæ oppo$itionis, ni$i quando certifi- cauerit quantitates remotionum extremitatum eorum, & comprehenderit inæqualitatem remo- tionum extremitatum eorum oppo$itorum, aut æqualitatem. Sed ui$us rarò certificat $itus ui$i- bilium, & plura, quæ comprehendit ui$us ex $itibus ui$ibilium, non comprehendit, ni$i per æ$ti- mationem. Su$tentatio ergo ui$us in comprehen$ione $ituum ui$ibilium non e$t, ni$i per æ$timatio nem. Cum ergo a$piciens a$pexerit, & uoluerit certificare $itum alicuius $uperficiei, aut $itum a- licuius lineæ, quæ $unt in ui$ibilibus, aut $itum alicuius $patij, in $uperficiebus ui$ibilium: intue- bitur formam illius rei ui$æ, & qualitatem exten$ionis illius $uperficiei, autlineæ, aut $patij. Si er- go forma illius rei ui$æ, in qua e$t illa $uperficies, aut linea, aut $patium, fuerit manife$ta, & certifi- cata, & fuerit obliquatio i$tius $uperficiei, aut lineæ, aut $patij maxima: comprehendet ui$us obli- quationem eius uerè ex comprehen$ione qualitatis exten$ionis eius, & ex comprehen$ione dua- rum ubitatum extremitatum eius. Et $i forma illius rei ui$æ fuerit manife$ta, & non fuerit maxi- mæ obliquationis, & remotio eius re$pexerit corpora ordinata: uidebit corpora re$picientia re- motiones extremitatum eius, & con$iderabit quantitatem eorum: & comprehendet remotionem illius $uperficiei, aut lineæ, aut $patij, & quantitatem obliquationis eius, aut directionem eius ex comprehen$ione quantitatum remotionum extremitatum eius. Et $i forma rei ui$æ non fuerit manife$ta, aut fuerit manife$ta, $ed obliquatio fuerit maxima, & remotio non re$pexerit corpo- ra ordinata: non comprehendet ui$us certitudinem $itus huiu$modi $uperficiei, aut lineæ, aut $patij. Et quando ui$us comprehenderit formam non manife$tam, & inuenerit remotiones eius re$picere corpora ordinata: $tatim percipiet, quòd $itus illius $uperficiei, aut lineæ, aut $patij non certificatur. Secundum ergo i$tos modos comprehendit ui$us $itus $uperficierum ui$ibilium, & $itus linearum, & $patiorum, quæ $unt in $uperficiebus ui$ibilium, $cilicet quæ omnes $ecant li- neas radiales. Quod uerò e$t ex $patijs, quæ $unt inter ui$ibilia di$tincta in rebus remotioribus maximis, $cilicet, quando fuerit remotio utriu$que ui$ibilium, quæ $unt apud duas extremitates $patij, maxima remotio, comprehenditur à ui$u tunc qua$i directè oppo$itum, quamuis $it obli- quum: quoniam non comprehendit diuer$itatem, quæ e$t inter remotiones extremitatum eius. Et $i alterum duorum ui$ibilium, quæ $unt apud duas extremitates $patij, fuerit propinquius al- tero, & $en$erit ui$us appropinquationem eius: comprehendet $patium, quod e$t inter ea, e$$e obliquum, $ecundum quod comprehendit ex appropinquatione propinquioris illorum duorum ui$ibilium, & ex remotione remotioris illorum. Et $i alterum duorum ui$ibilium fuerit propin- quius, $ed ui$us non comprehenderit appropinquationem eius: non $entiet obliquationem $pa- tij, quod e$t inter ea. Situs ergo $uperficierum, & linearum, & $patiorum $ecantium lineas radia- les, non certificatur à ui$u, ni$i $it remotio eorum mediocris: & $imul non certificat ui$us æquali- tatem aut in{ae}qualitat\~e remotionum extremitatũ eorum. Si autem ui$us nõ certificauerit æqualita t\~e remotionis extremitatum eorũ, aut inæqualitat\~e, non poterit certificare $itum illorum. Et plura illorum, quæ comprehenduntur à ui$u ex $itibus ui$ibilium, non comprehenduntur ni$i per æ$ti- mationem. Si ergo ip$a fuerint in remotione mediocri, non erit magna diuer$itas inter $itum com- prehen$um à ui$u per æ$timationem, & uerum $itum: & $i fuerint in remotione maxima, non di- $tinguet inter obliquum & directum. Quoniam ui$us quando non comprehenderit inæqualita- tem duarum remotionum duarum extremitatum rei ui$æ: comprehendet ip$as e$$e æquales, & $ic iudicabit ip$am rem ui$am e$$e directam. Secundum ergo i$tos modos erit comprehen$io $ituum $uperficierum, & linearum, & $patiorum per $en$um ui$us.

30. Situs partium & terminorum rei ui$ibilis, & $itus ui$ibilium di$tinctorum per- cipiuntur ex æquabili & inæquabili di$tantia, ordinéque formarum ad ui$um manantium. 32 p 4.

SItus uerò partium rei ui$æ inter $e, & $itus terminorum $uperficiei rei ui$æ, aut $uperficiei eius inter $e, & $itus ui$ibilium di$tinctorum inter $e, quæ collocantur $ub ordinatione, compreheri- OPTICAE LIBER II. duntur à ui$u ex comprehen$ione locorum ui$us, ad quæ perueniunt formæ partium, & ex compre hen$ione ordinationis partium form{ae} peruenientis ad ui$um, per uirtutem di$tinctiuam. Quoniam enim forma cuiuslibet partium $uperficiei rei ui$æ peruenit in aliquam partem $uperficiei membri $entientis, in quam peruenit forma totius: unde cum $uperficies rei ui$æ fuerit diuer$orum colo- rum, & fuerint inter partes eius differentiæ, per quas di$tinguantur partes inter $e: erit forma per- ueniens ad ui$um diuer$orum colorum, & erunt partes eius di$tinctæ $ecundum partium di$tin- ctionem $uperficiei rei ui$æ. Et $entiens $entit formam, & $entit quamlibet partium formæ ex $en- $u colorum illarum partium, & lucis quæ e$t in eis: & $entit loca formarum partium in ui$u ex $en- $u colorum partium illarum, & lucis illarum. Et uirtus di$tinctiua comprehendit ordinem illorum locorum ex comprehen$ione diuer$itatis colorum partium formæ, & ex comprehen$ione differen tiarum partium. Et $ic comprehendit dextrum & $ini$trum, $uperius & inferius ex comparatione illorum inter $e: & $ic comprehendit etiam contiguum & $eparatum. Situs uerò partium rei ui$æ, inter $e $ecundum acce$sionem & remotionem, $cilicet $ecundum pr{ae}eminentiam & profundatio- nem, comprehenduntnr à ui$u, ex comprehen$ione quantitatis remotionum partium à ui$u, & comprehen$ione diuer$itatis remotionum partium $ecundum magis & minus. Situs uerò partium rei ui$æ quando fuerint in remotione mediocri inter $e, $ecundum acce$sionem & remotionem comprehenduntur à ui$u: & hoc, cum ui$us comprehenderit quantitatem illius remotionis, & cõ- prehenderit inæqualitatem, quæ e$t inter remotiones partium à ui$u, & æqualitatem. Si autem ui- $us non certificauerit quantitates rem otionis eius, & quantitates remotionum partium eius: non comprehendet ui$us ordinationem partium eius $ecundum acce$sionem & remotionem apud ui- $ionem. Si autem fuerit aliquid ex ui$ibilibus a$$uetis, quæ cogno$cuntur à ui$u, comprehendet ordinationem partium eius $ecundum præeminentiam & profunditatem, & figuram $uperficiei e- ius per cognitionem, non $ola ui$ione: & $i fuerit ex ui$ibilibus extraneis, quæ ui$us non cogno$cit: comprehendet $uperficiem eius qua$i planam, quando non certificauerit quantitates remotio- num partium eius. Et i$ta intentio apparet, quando ui$us in$pexerit aliquod corpus conuexum, aut concauum, & fuerit in remotione maxima: quoniam ui$us tunc non comprehendet conuexi- tatem aut concauitatem, $ed comprehendet ip$um qua$i planum. Et $itus partium $uperficiei rei ui$æ inter $e in diuer$itate ubitatum, & in $eparatione, & in continuatione non comprehendun- tur à ui$u, ni$i ex comprehen$ione partium formæ peruenientis in ui$um, & comprehen$ione di- uer$itatis colorum & differentiarum, per quas di$tinguuntur partes, & ex comprehen$ione ordi- nationis partium formæ per uirtutem di$tinctiuam. Et $itus partium $uperficiei rei ui$æ inter $e in acce$sione, & etiam $ecundum remotionem re$pectu ui$us, non comprehenduntur à ui$u, ni$i ex comprehen$ione quantitatis remotionis partium, & ex comprehen$ione æqualitatis & inæquali- tatis quantitatum remotionum earum. Ordinatio ergo partium rei ui$æ $ecundum acce$sionem & remotionem illius, cuius quantitates remotionum partium certificantur à ui$u, comprehendi- tur à ui$u: ordinatio uerò partium illius remotionum partium, cuius quantitates non certifican- tur à ui$u, non comprehenditur à ui$u. Ordinatio autem partium rei ui$æ di$tinctarum com- prehenditur à ui$u ex comprehen$ione locorum ui$us, in quæ perueniunt formæ illarum par- tium, & ex comprehen$ione di$tinctionis in ui$u per uirtutem di$tinctiuam. Et $imiliter e$t de ui- $ibilibus di$tinctis. Termini autem $uperficiei rei ui$æ, aut $uperficierum eius, & ordinatio eo- rum comprehenduntur à ui$u ex comprehen$ione partis $uperficiei eius, in quam peruenit color illius $uperficiei, & lux eius à ui$u, & ex comprehen$ione terminorum illius partis, & ordinatio- nis circumferentiæ illius partis per uirtutem di$tinctiuam. Secundum ergo i$tos modos compre- hendit ui$us $itus partium ui$ibilium, & $itus partium $uperficierum ui$ibilium inter $e, & $itus ter- minorum $uperficierum, & $itus partium di$tinctarum ui$ibilium inter $e, & $itus ui$ibilium di- $tinctorum inter $e.

31. Solidit{as} quorundam corporum $olo ui$u percipitur: quorundam ui$u & $yllo- gi$mo $imul. 63 p 4.

COrporeitas uerò, quæ e$t exten$io $ecundum trinam dimen$ionem, comprehenditur à ui$u in quibu$dam corporibus, & in quibu$dam non. Tamen apud hominem di$tinguentem iam quietum e$t principium, quod non comprehenditur $en$u ui$u, ni$i corpus: & $ic quando ip$e comprehendet ui$ibile: $ciet $tatim quod e$t corpus, quamuis non comprehendat exten$io- nem $ecundum trinam dimen$ionem. Et ui$us comprehendit in corporibus exten$ionem eorum $ecundum longitudinem & latitudinem ex comprehen$ione $uperficierum corporum oppo$ito- rum illi. Cum ergo comprehenderit $uperficiem corporis, $ciendo quòd illud ui$ibile e$t corpus: comprehendet $tatim exten$ionem illius corporis $ecundum longitudinem & latitudinem, & non remanet ni$i dimen$io tertia. Et quædam corpora continentur à $uperficiebus planis $ecantibus $e obliquè: & quædam continentur à $uperficiebus concauis, aut conuexis: & quædam continentur à $uperficiebus diuer$arum figurarum $ecantibus $e obliquè: & quædam continentur ab una $uperfi- cie rotunda. Corpus autem, quod continetur à $uperficiebus $ecãtibus $e, cuius una $uperficies e$t plana, quando comprehenditur à ui$u, & fuerit $uperficies eius plana oppo$ita ui$ui & directa, & $u perficies re$idu{ae} $ecuerint $uperfici\~e directè oppo$itam, aut perp\~ediculares $uper $uperfici\~e directè ALHAZEN oppo$itam, aut obliquæ $uper ip$am ad partem $trictam ex parte po$teriori $uperficiei directè op- po$itæ: non apparebit ui$ui ex eo, ni$i $uperficies directè oppo$ita tantùm. Ergo ex huiu$modi cor- poribus non comprehendit ui$us, ni$i longitudinem & latitudinem tantùm: ergo non $entit corpo- reitatem huiu$modi. Corpus autem, quod continetur à $uperficiebus $ecantibus $e, quando $uper- ficies eius fuerit oppo$ita ui$ui, $ed non $ecundum directam oppo$itionem, & fuerit $ectio i$tius $u- perficiei cum alia $uperficie illius corporis, comprehen$a à ui$u, ita ut po$sit comprehendere duas $uperficies $imul: comprehendetur à ui$u tunc eius corporeitas: quoniam comprehendet obliqua- tionem $uperficiei corporis ad eius profunditatem: quare comprehendet exten$ionem corporis $e- cundum profunditatem, cum comprehenderit ex $uperficie obliqua exten$ionem in longum & la- tum. Et $ic comprehendet corporeitatem huiu$modi corporum. Et $imiliter erit, quando una $u- perficierum corporis directè fuerit oppo$ita ui$ui, & fuerint $uperficies $ecantes illam $uperficiem, aut una illarum obliqua $uper $uperficiem directè oppo$itam ad partem amplam ex parte po$terio- ri $uperficiei directè oppo$itæ: quoniam ui$us comprehendet in tali corpore $uperficiem directè op po$itam, & $uperficiem obliquè $ecantem $uperficiem directè oppo$itam, & comprehendet etiam $ectionem i$tarum $uperficierum: & $ic, $icut diximus, comprehendet corporeitatem illius corpo- ris. Et generaliter dico, quòd omne corpus, in quo pote$t ui$us comprehendere duas $uperficies $ecantes $e, comprehendetur in $ua corporeitate à ui$u. Corporum autem, in quibus e$t $uperficies conuexa comprehen$a à ui$u, & illud, quod continet ip$a, e$t aut una $uperficies, aut multæ $uperfi- cies, corporeitatem ui$us comprehendere poterit ex comprehen$ione ueritatis eius. Quoniam $i $uperficies conuexa fuerit oppo$ita ui$ui: erunt remotiones partium eius à ui$u inæquales, & erit medium eius propinquius extremitatibus ui$us: & cum ui$us comprehenderit conuexitatem eius, comprehendet quòd medium eius e$t $ibi propinquius extremitatibus: & cum $en$erit quòd me- dium eius e$t propinquius illi, & quòd extremitates eius $unt remotiores: $entiet $tatim, quòd $u- perficies exit ad ip$um ab ultimis tendentibus ad po$terius: & $ic $entiet exten$ionem corporis in profunditate, re$pectu $uperficiei directè oppo$itæ. Et ip$e comprehendet exten$ionem corporis illius $ecundum longitudinem & latitudinem, ex comprehen$ione exten$ionis $uperficiei conuex{ae} $ecundum longitudinem & latitudinem. Et $imiliter $i alia $uperficies corporis præter $uperficiem directè oppo$itam, fuerit conuexa: & comprehenderit ui$us conuexitatem eius: comprehendet e- tiam exten$ionem eius $ecundum trinam dimen$ionem. Si uerò corporis, in quo e$t $uperficies con caua comprehen$a à ui$u, aliam $uperficiem $en$erit ui$us, & $en$erit $ectionem eius cum $uperficie concaua: tunc $entiet obliquationem $uperficiei corporis illius, & cum $en$erit obliquationem il- lius $uperficiei, $tatim $entiet corporeitatem eius. Si autem $uperficies fuerit concaua, comprehen $a à ui$u, & non apparuerit ui$ui alia $uperficierum re$iduarum: non comprehendet ui$us corporei- tatem illius corporis: neque ui$us comprehendet ex huiu$modi corporibus, ni$i exten$iones eius $ecundum duas dimen$iones tantùm, & non $entiet corporeitatem huiu$modi corporum, ni$i per $cientiam præcedentem tantùm, non per $en$um trium dimen$ionum illius corporis. Et $uperfi- cies concaua etiam extenditur in profunditate propter propinquitatem extremitatum eius ad ui- $um & remotionem medij: Sed non comprehenditur ex exten$ione profunditatis, ni$i exten$io ua- cuitatis, non exten$io corporis ui$i, cuius $uperficies e$t illa $uperficies concaua. Comprehen$io ergo corporeitatis à ui$u, non e$t, ni$i ex comprehen$ione obliquationis $uperficierum corporum: & obliquitates $uperficierum corporũ, per quas $ignificatur ui$ui, quòd corpora $int corpora, non comprehenduntur à ui$u, ni$i in corporibus, quorum remotio e$t mediocris. In corporibus au- tem maxim{ae} remotionis, quorum remotio non certificatur à ui$u, non comprehendit ui$us obli- quationes $uperficierum: & $ic non comprehendit corporeitatem eius per $en$um ui$us. Quoniam in talibus corporibus non comprehendit ui$us $itus partium $uperficierum eorum inter $e, neque comprehendit ip$as ni$i planas, & $ic non comprehendit obliquationes $uperficierum, & $ic deni- que non comprehendit corporeitatem. Vi$us ergo non compreh\~edit corporeitatem corporis ma- ximæ remotionis, cuius remotio non certificatur illi. Et ip$e comprehendit corporeitatem cor- porum ex comprehen$ione obliquationum $uperficierum corporum: & obliquationes $uperficie- rum corporum non comprehenduntur à ui$u, ni$i in ui$ibilibus mediocris remotionis, quorum $i- tus partium $uperficierum inter $e comprehenduntur à ui$u. Et præter i$torum ui$ibilium corpo- reitatem, non comprehendit corporeitatem ui$us, ni$i per $cientiam antecedentem tantùm.

32. Circulus percipitur è $itu, quem obtinet in $uperficie ui$us. 45 p 4.

FIgura autem rei ui$æ diuiditur in duo: quorum alterum e$t figura circumferentiæ $uperficiei rei ui$æ, aut circumferentiæ alicuius partis rei ui$æ: $ecundum autem e$t figura corporeita- tis rei ui$æ, aut figura corporeitatis alicuius partis rei ui$æ. Et i$te modus e$t forma $uperfi- ciei rei ui$æ, cuius corporeitas comprehenditur per $en$um ui$us, aut forma partis $uperficiei rei ui$æ, cuius corporeitas comprehenditur. Et omne, quod ui$us comprehendit ex figuris ui$i- bilium, diuiditur in i$tos modos. Figura uerò circumferentiæ $uperficiei rei ui$æ comprehendi- tur à $entiente, ex comprehen$ione circumferentiæ formæ, quæ peruenit in concauum nerui com- munιs, & ex comprehen$ione circumferentiæ partis $uperficiei membri $entientis, in quam per- uenit forma rei ui$æ: quoniam in utroque i$torum locorum figuratur circumferentia $uperficiei rei ui$æ. Quemcunque ergo i$torum locorum animaduerterit $entiens, poterit comprehendere in eo OPTICAE LIBER II. figuram circumferentiæ rei ui$æ. Et $imiliter figura circumferentiæ cuiuslibet partium $uperficiei rei ui$æ comprehenditur à $entiente ex $en$u ordinationis partium terminorum partis formæ. Et cum $entiens uoluerit certificare figuram circumferentiæ $uperficiei rei ui$æ, aut figuram circum- ferentiæ partis rei ui$æ, mouebit axem radialem $uper circumferentiam rei ui$æ: & $ic per motum certificabit $itum partium terminorum formæ $uperficiei, quæ e$t in $uperficie membri $entientis, & in concauo nerui communis. Quare comprehendet ex certificatione $ituum terminorum for- mæ, figuram circumferentiæ $uperficiei rei ui$æ. Secundum ergo hunc modum erit comprehen- $io figuræ circumferentiæ rei ui$æ, & figuræ circumferentiæ cuiuslibet partis $uperficiei rei ui$æ per $en$um ui$us.

33. Superficies globo$a percipitur è propinquitate partium mediarum, & æquabi- li longinquitate extremarum. 48 p 4.

FOrma autem $uperficiei rei ui$æ non comprehenditur à ui$u, ni$i ex comprehen$ione $ituum partium $uperficiei rei ui$æ, & ex con$imilitudine & di$similitudine eorundem $ituum. Et certificatur forma $uperficiei ex comprehen$ione diuer$itatis inæqualitatis remotionum par- tium $uperficiei rei ui${ae}, & æqualitatis earum, aut inæqualitatis eleuationum partium $uperficiei & æqualitatis earum. Quoniam conuexitas $uperficiei non comprehenditur à ui$u, ni$i aut ex comprehen$ione propinquitatis partium mediarum in $uperficie, & remotionis partium in termi- nis: aut ex in{ae}qualitate eleuationum partium eius, quando $uperficies $uperior corporis fuerit cõ- uexa. Et $imiliter conuexitas termini $uperficiei non comprehenditur à ui$u, ni$i aut ex compre- hen$ione propinquitatis medij, & remotionis extremitatum, quando conuexitas eius opponitur ui$ui: aut ex in{ae}qualitate eleuationum partium eius, quãdo gibbo$itas eius fuerit deor$um, aut $ur- $um: aut ex in{ae}qualitate partium eius, quod in eo dextrum e$t, aut $ini$trum, quando gibbo$itas e- ius fuerit dextra aut $ini$tra.

34. Superficies caua percipit ur è longinquit ate partium mediarum, & æquabilipro- pinquitate extremarum. 49 p 4.

COncauitas autem $uperficiei, quando opponitur ui$ui, comprehenditur à ui$u ex compre- hen$ione remotionis partium mediarum, & appropinquatione extremitatum terminorum. Similiter e$t de concauitate terminorum $uperficiei, quando opponitur ui$ui: & ui$us non comprehendit concauitatem $uperficiei, quando concauitas fuerit oppo$ita $ur$um, aut deor$um, aut ad latus, ni$i quando $uperficies concaua fuerit in parte ab$ci$$a, & apparuerit arcualitas termi- ni eius, qu{ae} e$t uer$us ui$um.

35. Planities in di$tantia moderata directè oppo$ita ui$ui: percipitur ex æquabili partium longinquitate, & $imilitudine collocationis atque ordin{is} ip$arum inter i- p$as. 47 p 4.

PLanities autem $uperficierum comprehenditur à ui$u ex comprehen$ione æqualitatis remo- tionum partium & con$imilitudinis ordinationis earum. Et $imiliter comprehenditur recti- tudo termini $uperficiei, quando terminus opponetur ui$ui. Rectitudo enim termini $uper- ficiei, & arcualitas, aut curuitas eius, quando $uperficies fuerit oppo$ita ui$ui, & termini continue- rint ip$am, comprehenditur à ui$u ex ordinatione partium eius inter $e. Conuexitas ergo $uperfi- ciei rei ui$æ, quæ opponitur ui$ui, & concauitas eius, & planities comprehenduntur à ui$u ex com prehen$ione diuer$itatis remotionis partium $uperficiei, aut eleuationum earum, aut latitudinum earum, & ex quantitatibus exce$$us remotionis partium, aut eleuationum, aut latitudinum ea- rum inter$e. Et $imiliter conuexitas, & concauitas, & planities cuiuslibet partis rei ui$æ compre- henditur à ui$u ex comprehen$ione exce$$us remotionum partium illius partis, aut exce$$us eleua- tionum, aut latitudinum earum, aut æqualitatis earum. Et propter i$tam cau$$am non comprehen dit ui$us concauitatem & conuexitatem, ni$i in ui$ibilibus, quorum remotio e$t mediocris. Vi- $us autem comprehendit propinquitatem quarundam partium $uperficiei, & remotionem qua- rundam per quædam corpora interuenientia inter ip$um, & $uperficiem, & per corpora re$picien- tia remotiones partium, quarum appropinquatio & remotio certificatur à ui$u. Et cum quædam partes $uperficiei fuerint prominentes, & quædam profundæ: comprehendet ui$us prominen- tiam & profunditatem illarum per obliquationem $uperficierum partium, & $ectiones partium, & curuitates earum in locis profunditatis, & per $itus $uperficierum partium inter $e. Et hoc erit, quando ui$us non comprehenderit illam $uperficiem antè, neque aliquam huius generis. Si autem illa res ui$a fuerit ex ui$ibilibus a$$uetis, comprehendet ui$us formam eius, & formam $uper$iciei per cognitionem antecedentem. Forma a@tem rei ui$æ, quæ continetur ex $uperficiebus $ecanti- bus $e, & diuer$orum $ituum, comprehenditur à ui$u ex comprehen$ione $ectionis $uperficiei e- ius, & ex comprehen$ione $itus cuiuslibet $uperficierum eius, & ex comprehen$ione $uperficie- rum earum inter $e. Formæ igitur figurarum rerum ui$arum, quarum corporeitas comprehendi- tur à ui$u, comprehenduntur ex comprehen$ione formarum $uperficierum earum, & ex compre- ALHAZEN hen$ione $ituum $uperficierum earum inter $e. Et $ormæ $uperficierum ui$ibilium, quarum par- tes $unt diuer$i $itus: comprehenduntur à ui$u ex comprehen$ione conuexitatis & concauitatis, & planitiei partium $uperficierum in ui$ibilibus, & prominentiæ, & profunditatis partium $uperfi- ciei. Secundum ergo hunc modum erit comprehen$io $uperficierum formarum ui$ibilium, & fi- gurarum earum. Et cum $entiens uoluerit certificare formam $uperficiei rei ui$æ, aut formam ali- cuius partis rei ui$æ, mouebit ui$um in oppo$itionem eius, & faciet tran$ire axem radialem $uper omnes partes eius, donec $entiat remotiones partium eius, & $itus cuiuslibet illarum a pud ui$um, & $itum earum inter $e. Et cum $entiens comprehenderit remotionem partium $uperficierum, & $itus earum, & comprehenderit prominentiam & profunditatem: comprehendet formam illius $uperficiei rei ui$æ, & certificabit figuram eius. Et multoties errat ui$us in eo, quod comprehen- dit ex formis $uperficierum ui$ibilium, & formis figurarum ui$ibilium, & non percipit errorem. Quoniam conuexitas parua & concauitas parua, & prominentia, & profunditas parua non com- prehenduntur $ecundum acce$$um ad ui$um, quamuis earum remotio $it mediocris, ni$i $it propin- qua ualde ui$ui. Vi$ibilia ergo, quorum formæ comprehenduntur à ui$u, $unt illa, quorum quan- titates partium $uperficierum comprehenduntur à ui$u, & quorum exce$$us & æqualitates remo- tionum partium comprehenduntur à ui$u. Et ui$ibilia, quorum formæ certificantur à ui$u, $unt il- la, quorum quantitates remotionum partium, & quorum quantitates exce$$us remotionis par- tium certificantur à ui$u. Et $imiliter figuræ circumferentiarum $uperficierum ui$ibilium, & figu- ræ circumferentiarum partium $uperficierum ui$ibilium non certificantur à ui$u, ni$i $int in re- motionibus mediocribus, & certificauerit ui$us ordinationem terminorum earum, & $itum par- tium terminorum earum inter $e, & certificauerit angulos earum. Et in quibus $itus terminorum non certificãtur à ui$u, neque anguli, $i habuerint angulos: in ijs non certificabit ui$us figuras. O- mnes ergo figuræ ui$ibilium comprehenduntur à ui$u, $ecundum modos, quos declarauimus.

36. Magnitudo nec ex angulo pyramidis opticæ tantum: nec ex anguli & di$tantiæ compa- ratione percipitur. 27 p 4.

MAgnitudo uerò & quantitas rei ui$æ comprehenduntur à ui$u: $ed qualitas comprehen$io- nis eius e$t ex intentionibus dubitabilibus. Et plures opinantur, quòd quantitas magni- tudinis rei ui$æ non comprehenditur à ui$u, ni$i ex quantitate anguli, qui fit apud centrum ui$us, quem continet $uperficies pyramidis radialis, cuius ba$is continet rem ui$am: & quòd ui$us comparat quantitates rerum ui$arum ad quantitates angulorum, qui fiunt à radijs, qui continent res ui$as apud centrum ui$us, & non $u$tentatur in comprehen$ione magnitudinis, ni$i $uper an- gulos tantùm. Et quidam illorum opinantur, quòd comprehen$io magnitudinis non completur in comparatione ad angulos tantùm, $ed per con$iderationem remotionis rei ui$æ, & $itus eius cum comparatione ad angulos. Et ueritas e$t, quòd non e$t po$sibile, ut $it comprehen$io quanti- tatum rerum ui$arum à ui$u ex comparatione ad angulos, quos res ui$æ re$piciunt apud centrum ui$us tantùm. Quoniam eadem res ui$a non diuer$atur in quantitate apud ui$um, quamuis remo- tiones eius diuer$entur diuer$itate non magna. Quoniam quãdo res fuerit prope ui$um, & ip$e cõ- prehenderit quantitatem eius: & po$tea fuerit elongata à ui$u non multum: non diminuetur eius quantitas apud ui$um, quando eius remotio fuerit mediocris. Et nunquam diuer$atur quantitas alicuius rei ui$æ a$$uetæ apud ui$um, quando remotiones eius diuer$antur, & fuerint ex remotioni bus mediocribus. Et $imiliter corpora æqualia diuer$arum remotionum, quando remotio illo- rum fuerit mediocris, cõ- e b a d c b e g a h d k f z prehenduntur à ui$u æ- qualia: Sed anguli, quos re$picit una & eadem res ui$a in remotionibus di- uer$is mediocribus, diuer $antur diuer$itate alicu- ius quantitatis, [ut patet per 21 p 1] Quoniam quando res ui$a fuerit re- mota à ui$u per unum cu- bitum, deinde $i elonge- tur à ui$u, donec fuerit e- ius remotio per duos cu- bitos: erit inter duos an- gulos, qui fiunt apud ui- $um ab illa re ui$a, ma- gnus exce$$us: & tamen non comprehendit ui$us rem ui$am in remotione duorum cubitorum, mi- OPTICAE LIBER II. norem, quàm in remotione unius cubiti. Et $imiliter $i elongetur à ui$u pertres cubitos aut qua- tuor, non uidebitur minor, quamuis anguli, qui fiunt apud ui$um, diuer$entur diuer$itate extra- nea. Et etiam $i in $uperficie alicuius corporis $ignetur figura quadrata {ae}qualium laterum, & recto- rum angulorum: & eleuetur illud corpus, donec $uperficies eius, in qua e$t quadratio, $it prope æquidi$tantiam ui$us, & ita ut ui$us comprehendat figuram quadratam: comprehendet ui$us fi- guram quadrilateram æqualium laterum: & tamen anguli, quos re$piciunt latera quadrati apud centrum ui$us, quando centrum ui$us fuerit prope $uperficiem, in qua e$t quadratio, erunt diuer- $i: cum nihilominus ui$us comprehendat latera quadrati {ae}qualia. Et $imiliter quando in circulo ex- trahuntur diametri diuer$orum $ituum, deinde eleuatur $uperficies, in qua e$t circulus, donec $it prope {ae}quidi$tantiam ui$us: erunt anguli, quos re$piciunt diametri circuli apud centrum ui$us, di- uer$i diuer$itate magna $ecundum diuer$itatem $itus diametrorum: & tamen ui$us non compre- hendit diametros circuli, ni$i æquales, quando remotio circulorum fuerit mediocris. Si ergo com- prehen$io rerum ui$arum e$$et ex comparatione ad angulos tantùm, qui fiunt ex ui$ibilibus a- pud centrum ui$us: non comprehenderentur quadrati latera æqualia, neque comprehenderen- tur diametri circuli æquales, neque comprehenderetur circulus rotun dus, neque comprehende- retur una res ui$a in rebus diuer$is unius quantitatis. Experimentatione igitur i$tarum intentio- num patet, quòd comprehen$io quantitatum rerum ui$arum non e$t ex comparatione ad angu- los tantùm.

37. Magnitudo rei ui$ibil{is} percipitur è magnitudine partis $uperficiei ui${us} (in quam per- uenit forma) & angulo pyramid{is} opticæ. 17 p 4.

ET quia hoc declaratum e$t, quomodo certificemus qualitatem comprehen$ionis magnitu- dinis: & iam declaratum e$t, quòd $u$tentatio in comprehen$ione plurium $en$ibilium non e$t, ni$i per argumentationem & di$tinctionem: magnitudo autem e$t una intentionum, qu{ae} comprehenduntur ratione & argumentatione: & radix, $uper quam $u$tentatur uirtus di$tincti- ua in di$tinctione quantitatis magnitudinis rei ui$æ, e$t quantitas partis ui$us, in quam peruenit forma rei ui$æ: & pars, in quam peruenit forma rei ui$æ, determinatur, & men$uratur per angulum, qui e$t apud centrum ui$us, quem continet pyramis radialis, continens rem ui$am, & partem ui- $us, in quam peruenit forma rei ui$æ. Pars ergo ui$us, in quam peruenit forma rei ui$æ, & angulus, quem continet pyramis radialis, continens illam partem, $unt radix, quam non pote$t $en$us & di$tinctio uitare in comprehen$ione magnitudinis rei ui$æ. Sed tamen non $ufficit uirtuti di$tin- ctiuæ in comprehen$ione magnitudinis con$ideratio anguli tantùm, aut con$ideratio partis ui$us re$picientis angulum tantùm. Quoniam una res ui$a quando comprehenditur à ui$u, & e$t prope i- p$um: comprehendet $enti\~es locũ ui$us, in quem peruenit forma rei ui$æ, & comprehendet quan- titatem illius loci: deinde quando illa res ui$a elongabitur à ui$u: comprehendetur etiam à ui$u, & comprehendet $entiens locum ui$us, in quem peruenit forma eius $ecundò, & comprehendet quantitatem loci. Et manife$tum e$t, quòd locus ui$us, in quem peruenit forma eius primò, & lo- cus ui$us, in quem peruenit forma eius $ecundò, diuer$antur $ecundum quantitatem: quoniam lo- cus form{ae} in ui$u erit $ecundum quantitatem anguli, quem re$picit illa res ui$a apud centrum ui$us. Et quãtò magis elongabitur res ui$a, tantò magis angu$tabitur pyramis cõtinens ip$am, & eius an- gulus, & locus ui$us, in quem peruenit forma.

38. Magnitudo uera ui$ibil{is} percipitur è comparatione ba$is anguli, & longitu- dine pyramid{is} opticæ. 27 p 4.

ET cum $entiens comprehenderit locum, in quem peruenit forma rei ui$æ, & comprehende- rit quantitatem loci: comprehendet diminutionem loci apud remotionem rei ui$æ à ui$u. Et i$ta intentio $æpe reuertitur ad ui$um: $cilicet quòd ui$ibilia $æ pe elongantur à ui$u, & ui$us ab eis, & appropin quant ui$ui, & ui$us illis: & ui$us comprehendit ip$a, & comprehendit diminu- tionem locorum formarum illarum in ui$u apud remotionem, & comprehendit augmentationem locorum formarum illarum in ui$u apud appropinquationem. Quare ad comprehen$ionem quan- titatis rei ui$æ adiungit uirtus di$tinctiua remotionem rei ui$æ ad angulum pyramidis radialis, qui e$t in centro oculi. Ex frequentia ergo i$tius intentionis quieuit in anima apud uirtutem di$tincti- uam, quòd quantò magis elongatur res ui$a à ui$u, tantò magis diminuitur locus formæ eius in ui- $u, & angulus, quem re$picit res ui$a apud centrum ui$us. Et cum hoc e$t: e$t quietum in anima, quòd locus, in quem peruenit $orma rei ui$æ, & angulus, quem re$picit res ui$a apud centrum ui- $us, non erit ni$i $ecundum remotionem rei ui$æ à ui$u. Et cum hoc quietum e$t in anima, quando uirtus di$tinctiua di$tinguet quantitatem rei ui$æ, non con$iderabit angulum tantùm, $ed con$i- derabit angulum & remotionem $imul: quoniam quietum e$t apud ip$am, quòd angulus non erit, nι$i $ecundum remotionem. Quantitates ergo ui$ibilium non comprehenduntur, ni$i per di$tin- ctionem & comparationem. Comparatio autem, per quam comprehenditur quantitas rei ui$æ, e$t comparatio ba$is pyramidis radialis, quæ e$t $uperficies rei ui$æ, ad angulum pyramidis, & ad quantitatem longitudinis pyramidis, quæ e$t remotio rei ui$æ à ui$u. Et con$ideratio uirtutis di- ALHAZEN $tinctiuæ non e$t, ni$i in parte $uperficiei membri $entientis, in quam peruenit forma rei ui$æ, cum con$ideratione remotionis rei ui$æ à $uperficie ui$us. Quoniam quantitas partis, in quam perue- nit forma, nunquam erit ni$i $ecundum quantitatem anguli, quem re$picit illa pars apud centrum ui$us. Et non e$t inter remotionem rei ui$æ à $uperficie ui$us, & remotionem eius à centro ui$us in maiori parte diuer$itas operans in remotionem. Et etiam iam declaratum e$t, [18 n 1. & 24. 25 n] quòd $entiens comprehendit uerticationes, quæ $unt inter centrum ui$us & rem ui$am, quæ $unt uerticationes linearum radialium, & comprehendit uerticationum ordinationem, & ordina- tionem ui$ibilium, & ordinationem partium rei ui$æ. Et cum $entiens comprehendit hæc: uirtus di$tinctiua comprehendit, quòd i$tæ uerticationes quantò magis elongantur à ui$u, tantò magis ampliantur $patia, quæ $unt inter earum extremitates. Et i$ta intentio iam etiam quieta e$t in ani- ma: & præterea, quietum e$t etiam in anima, quòd lineæ radiales quantò magis elongabuntur à ui$u, tantò erit res ui$a apud earum extremitates minor. Cum ergo ui$us comprehenderit ali- quam rem ui$am, & comprehenderit terminos eius: comprehendet uerticationes, ex quibus com- prehendet terminos rei ui$æ: & uerticationes, ex quibus comprehendet terminos rei ui$æ, $unt lineæ continentes angulum, qui e$t apud centrum ui$us, quem re$picit illa res ui$a, & $unt lineæ continentes locum ui$us, in quem peruenit forma rei ui$æ. Cum ergo ui$us comprehenderit uer- ticationes: imaginabitur uirtus di$tinctiua exten$ionem i$tarum linearum à centro ui$us u$que ad terminos rei ui$æ: & quando $imul comprehenderit quantitatem remotionis rei ui$æ: imagina- bitur quantitatem longitudinum i$tarum linearum, & quantitatem $patij, quod e$t inter extremi- tates earum: & $patia, quæ $unt inter extremitates i$tarum linearum, $unt diametri rei ui$æ. Et quando uirtus di$tinctiua imaginabitur quantitatem anguli, & quantitatem longitudinum linea- rum radialium, & quantitatem $patiorum, quæ $unt inter extremitates earum: comprehendet quantitatem rei ui$æ $ecundum $uum e$$e. Verticationes autem, quæ extenduntur inter centrum ui$us & terminos cuiuslibet rei ui$æ comprehen$æ à ui$u, comprehenduntur à $entiente, & à uir- tute di$tinctiua: & $entiens & uirtus di$tinctiua comprehendunt quantitatem partis ui$us, in quam peruenit forma illius rei ui$æ. Et cum uirtus di$tinctiua comprehenderit uerticationes li- nearum radialium: comprehendet $itus earum inter $e, & comprehendet appropinquationem ea- rum inter $e, & comprehendet qualitatem exten$ionis earum: & nihil remanet, quo completur comprehen$io magnitudinis rei ui$æ, ni$i quantitas remotionis rei ui$æ. Et iam declaratum e$t in qualitate comprehen$ionis remotionis rei ui$æ, [24 n] quòd cuiuslibet rei ui$æ remotio com- prehenditur à ui$u, aut certè, aut æ$timatione. Et cum uirtus di$tinctiua comprehenderit $itus li- nearum radialium continentium terminos rei ui$æ, & quantitatem partis, quæ e$t inter ip$as li- neas radiales, & $uperficiem membri $entientis, quæ e$t quantitas anguli, & imaginata fuerit $i- mul quantitatem remotionis rei ui$æ: $tatim imaginabitur quantitatem anguli, & remotionis $i- mul. Et cum imaginata fuerit quantitatem anguli & remotionis $imul, comprehendet quantita- tem rei ui$æ $ecundum quantitatem anguli, & $ecundum quantitatem remotionis $imul. Et uir- tus di$tinctiua imaginatur quantitatem remotionis cuiuslibet rei ui$æ comprehen$æ à ui$u, & i- maginatur uerticationes continentes terminos illius, & per imaginationem i$tam perueniet ad i- p$am forma pyramidis continentis rem ui$am, & quantitas ba$is eius, quæ e$t res ui$a: & $ic per- ueniet ad illam quantitas rei ui$æ. Et $ignificatio, quòd comprehen$io magnitudinis rei ui$æ $it per comparationem magnitudinis ad remotionem rei ui$æ, e$t: Quia ui$us quando comprehen- derit duo ui$ibilia diuer$æ remotionis, & re$picientia eundem angulum apud centrum ui$us: $ci- licet, ut radij tran$euntes per extrema primi illorum, perueniant ad extrema $ecundi, & primum illorum non cooperuerit totum $ecundum, & comprehenderit ui$us remotionem cuiuslibet illo- rum comprehen$ione certificata: $emper ui$ibile remotius comprehendetur à ui$u ui$ibili pro- pinquiore maius. Et quantò remotius ui$ibile magis elongabitur, & ui$us certificauerit quanti- tatem remotionis eius, tantò comprehendetur maius. Verbi gratia: quando aliquis a$pexerit pa- rietem remotum à ui$u remotione mediocri: & certificauerit ui$us remotionem illius parietis, & quantitatem eius: & certificauerit quantitatem latitudinis eius: deinde appo$uerit manum u- ni ui$ui inter ui$um & parietem: & clau$erit alterum oculum: inueniet tunc, quòd manus eius co- operiet portionem magnam illius parietis, & comprehendet quantitatem manus eius in i$ta di$- po$itione, & comprehendet quòd quantitas cooperta à manu ex pariete, e$t multò maior quan- titate manus eius: & ui$us $imul comprehendet uerticationes linearum radialium, & compre- hendet angulum, quem continent lineæ radiales. Tunc ergo ui$us comprehendet, quòd angu- lus, quem re$piciunt manus & paries, e$t idem angulus: & tunc etiam comprehendet, quòd pars parietis cooperta manu eius, e$t multò maior manu. Et cum ita $it: uirtus di$tinctiua in illa comprehen$ione comprehendit, quòd remotius duorum ui$ibilium diuer$æ remotionis, re$pici- entium unum angulum, e$t maioris quantitatis. Deinde quando quis in illa di$po$itione ui$um $uum auerterit: & a$pexerit alium parietem remotiorem illo pariete: & appo$uerit manum $u- am inter ui$um & illum parietem: inueniet, quòd illud, quod cooperitur ex $ecundo pariete, e$t maius illo, quod cooperitur ex primo. Et $i tunc afpexerit cœlum: inueniet quòd manus eius cooperiet medium illius, quod apparet de cœlo, aut magnam portionem eius: tamen a$piciens non dubitabit, quin manus eius nihil $it re$pectu illius, quod cooperuerit de cœlo $ecundum $en- $um. Determinabitur ergo ex i$ta experimentatione, quòd ui$us non comprehendit quantita- OPTICAE LIBER II. tem magnitudinis rei ui$æ, ni$i ex comparatione magnitudinis rei ui$æ ad quantitatem remotionis eius cum comparatione ad angulum, non ex comparatione ad angulum tantùm. Et $i comprehen- $io quantitatis magnitudinis e$$et $ecundum angulum tantùm: oporteret ut duo ui$ibilia diuer$æ remotionis, re$picientia unum angulum apud centrum ui$us, uiderentur æqualia. Et non e$t ita. Quantitas ergo magnitudinis rei ui$æ non comprehenditur per di$tinctionem, ni$i ex imaginatio- ne pyramidis continentis rem ui$am à uirtute di$tinctiua, & eximaginatione quantitatis anguli py ramidis, & ex comparatione ba$is pyramidis ad quantitatem anguli eius, & ad quantitatem lon- gitudinis eius $imul. Et hæc e$t qualitas comprehen$ionis magnitudinis. Et propter multitudi- nem con$uetudinis ui$us in di$tinctione remotionum ui$ibilium, quando $en$erit formam & remo tionem rei ui$æ: $tatim imaginabitur quantitatem loci formæ, & quantitatem remotionis, & com- prehendet ex congregatione i$tarum duarum intentionum magnitudinem rei ui$æ: Sed tamen quantitates remotionum ui$ibilium $unt collocatæ $ub magnitudinibus, quæ comprehenduntur à ui$u. Et iam prædictum e$t, [24. 25 n] quòd quædam quantitates remotionum ui$ibilium com- prehenduntur certè, & quædam æ$timatiuè. & quòd illæ, quæ comprehenduntur æ$timatiuè, com prehenduntur à $imilitudine remotionis rei ui$æ ad remotiones $ibi $imilium ex ui$ibilibus certifi- catæ remotionis: & quòd remotiones certificatæ quantitatis $unt illæ, quæ re$piciunt corpora or- dinata & continuata. Et ex comprehen$ione corporum ordinatorum continuatorum re$picien- tium ip$as à ui$u, & ex certificatione quantitatum illorum corporum, erit certificatio quantitatum remotionum ui$ibilium, quæ $unt apud extremitates eorum.

39. Magnitudo di$t antiæ percipiturè corporib{us} communib{us}, inter ui$um & ui- $ibile interiect{is}. 10 p 4. Idem 25 n.

REmanet ergo declarandum, quomodo ui$us comprehendat quantitates remotionum ui$ibi- lium refpicientium corpora ordinata continuata, & quomodo certificet quantitates corpo- rum ordinatorum continuatorum re$picientium remotiones ui$ibilium. Corpora ergo ordi- nata continuata re$picientia remotiones ui$ibilium, $unt in maiori parte partes terræ, & ui$ibilia a$$ueta, quæ $emper comprehenduntur à ui$u, & frequentius $unt $uperficies terræ, & corpus ter- ræ interiacet inter ip$a, & corpus hominis a$picientis. Et quantitates partium terræ interiacen- tium inter a$picientem & ui$ibilia, quæ $unt $uper faciem terræ re$picientes remotionem i$torum ui$ibilium à ui$u, $emper comprehenduntur à ui$u. Et comprehen$io quantitatum partium terræ interiacentium inter a$picientem, & ui$ibilia, quæ $unt $uper faciem terræ, non e$t ni$i ex men$u- ratione illarum inter $e à ui$u, & ex men$uratione partium terræ remotarum ab eo, ad partes ter- ræ propinquas illi, quarum quantitates $unt certificatæ. Deinde ex frequentatione comprehen- $ionis partium terræ à ui$u, & ex frequentatione men$urationis illarum à ui$u, comprehendet ui- $us quantitatem partium terræ, quæ $unt apud pedes per cognitionem & a$similationem illarum per $imiles iam prius comprehen$as. Vi$us ergo quando a$pexerit partem terræ interiacentem in- ter ip$um & rem ui$am: cogno$cet quantitatem eius propter frequentationem comprehen$ionis $imilium illi parti terræ. Et i$ta intentio e$t ex illis intentionibus, quas $entiens acquirie à prin- cipio quie$centiæ. Et $ic peruenient quantitates remotionum ui$ibilium a$$uetorum figuratæ in i- maginationem & quietem in anima, ita ut homo non percipiat qualitatem quie$centiæ earum. Vn de uerò $it principium comprehen$ionis partium terræ interiacentium inter ui$um & ui$ibilia, e$t, $ecundum quod narrabo. Principium eius, cuius quantitas certificatur à ui$u, e$t illud, quod e$t a- pud pedes: quoniam quantitas illius, quod e$t apud pedes, comprehenditur à ui$u & à uirtute di- $tinctiua, & ui$us certificat ip$am per men$uram corporis hominis. Quoniam illud, quod e$t ex ter ra apud pedes, $emper men$uratur ab homine $ine intentione per pedes eius, quando ambulat $u- per ip$um, & per brachium eius, quando extendit manus ad ip$um. Et omne, quod e$t prope ho- minem ex terra, $emper men$uratur per corpus hominis $ine intentione, & ui$us comprehendit il lam men$uram, & $entit ip$am: & uirtus di$tinctiua comprehendit i$tam men$uram, & intelligit i- p$am, & certificat ex ea quantitates partium terræ continuatarum cum corpore hominis. Quanti- tates ergo partium terræ propinquarum homini iam $unt intellectæ apud $entientem, & apud uir- tutem di$tinctiuam. Et iam formæ earum $unt conceptæ apud uirtutem di$tinctiuam, & quietæ in anima: & ui$us comprehendit i$tas partes terræ $emper, & $entiens $entit uerticationes, qu{ae} ex- tenduntur à ui$u ad extremitates i$tarum partium apud comprehen$ionem illarum à ui$u, & apud con$iderationem corporis terræ à ui$u, & comprehendit partes $uperficiei membri $entientis, in quas perueniunt formæ i$tarum partium terræ, & comprehendit quantitates partium, & quantita- tes angulorum, quos re$piciunt i$tæ partes ui$us. Anguli uerò, quos re$piciunt partes terræ pro- pinquæ homini, intelliguntur apud membrum $entiens $ecundum tran$itum temporis, & formæ eorum $unt conceptæ in anima. Et quantitates longitudinum linearum radialium, quæ extendun tur à centro ui$us ad extremitates partium terræ propinquarum homini, comprehenduntur à $en- tiente, & à uirtute di$tinctiua, & certificantur ab ea. Quoniam uerò longitudines i$tarum uertica- tionum $emper men$urantur per corpus hominis $ine intentione: $i ergo homo fuerit erectus, & a$pexerit terram apud pedes eius, erunt longitudines linearum radialium $ecundum quantitatem erectionis hominis: & uirtus di$tinctiua intelliget certè, quòd remotio interiacens inter ui$um & ALHAZEN partem terræ, e$t quantitas erectionis hominis: & longitudines locorum terræ continuatorum cum corpore hominis, $unt intellectæ & perceptæ quantitates apud uirtutem di$tinctiuam, & for- mæ eorum $unt quietæ in anima. Cum ergo ui$us a$pexerit partem, quæ e$t apud pedes: $tatim $en tiens comprehendet uerticationes peruenientes ad extremitates illius partis: & imaginabitur uir- tus di$tinctiua quantitates longitudinum uerticationum peruenientium ad extremitates earum, & quantitates angulorum, quos continent illæ uerticationes. Et cum uirtus di$tinctiua imaginata fuerit quantitates longitudinum uerticationnm, & quantitates angulorum, quos continent uerti- cationes: comprehendet quantitatem $patij, quæ e$t inter extremitates illarum uerticationum, cer ta comprehen$ione. Secundum ergo hunc modum certificantur quantitates partium terræ per $en $um ui$us. Deinde quantitates partium $equentium i$tas partes in remotione, comprehenduntur â ui$u ex comparatione quantitatum partium linearum radialium, quæ extenduntur ad extremita- tes earum, ad quantitates radialium, quæ extenduntur ad primas partes, quæ $equuntur homi- nem: & $ic comparat uirtus di$tinctiua lineas radiales tertio loco uenientes ad radios $ecundo ue- nientes, communes primæ parti & $ecundæ, & percipit quantitatem augmentationis tertij radij $u- pra $ecundum, & cum $en$erit, $entiet quantitatem tertij radij: & ip$e comprehendet quantitatem $ecundi radij certa comprehen$ione. Erunt ergo duo radij continentes $ecundam partem terræ no tæ quantitatis apud uirtutem di$tinctiuam: & $imiliter erit $itus eorum notus apud ip$am. Et cum comprehenderit longitudinem duorum radiorum, & $itum eorum: comprehendet $patium, quod e$t inter extremitates eorum certa comprehen$ione. Secundum ergo hunc modum comprehen- det uirtus di$tinctiua etiam quantitates partium terræ, $equentium partes continentes pedes. Et etiam partes $equentes partes continentes pedes, $emper men$urantur per corpus hominis: quo- niam quando homo ambulauerit $uper terram: men$urabitur terra, $uper quam ambulat, per pedes eius & pa$$us, & comprehendet uirtus di$tinctiua quantitatem eius. Et cum homo pertran$ierit lo cum, in quo fuerit, & partes continuatas cum pedibus eius: & peruenerit ad illas partes$equen- tes: men$urabuntur etiam illæ partes $equentes, $icut men$urabantur etiam priores, & compre- hendet etiam $equentes, $icut comprehendebat priores. Et i$ta comprehen$io erit certificata $ine dubio: & $ic certificabitur ab eo per comprehen$ionem i$tam $ecundam prima comprehen$io. Si er go quantitas eius non fuerit certificata primò, certificabitur $ecundò. Et i$ta commen$uratio com- prehenditur à $entiente $emper, & utitur ip$a $ine intentione $olicita. Sed a$pecta aliqua partiũ ter- ræ à ui$u: comprehendit $entiens & uirtus di$tinctiua i$tam men$urationem per uiam accidental\~e $ine intentione: deinde propter frequentationem i$tius intentionis $unt iam certificatæ quantita- tes partium terræ $equentium pedes, & quantitates earum, quæ $equuntur ip$as. Secundum ergo hunc modum acquirit $entiens & uirtus di$tinctiua quantitates partium terræ continentium homi nem, interiacentium inter ui$um & ui$ibilia. Et i$ta acqui$itio e$t in principio quie$centiæ hominis: deinde acquie$cunt quantitates remotionum ui$ibilium a$$uetorum, quæ $unt $uper faciem terræ apud $entientem & apud uirtutem di$tinctiuam. Erit ergo comprehen$io remotionum ui$ibilium a$$uetorum, quæ $unt $uper faciem terræ, per cognitionem & a$similationem eorum adinuicem: & e$t dicere, comprehen$ionem quantitatum remotionũ ui$ibilium e$$e per acqui$itionem à $entien- te, & à uirtute di$tinctiua: non quòd per i$ta comprehendat a$piciens quot cubiti $int in qualibet re motione, $ed acquirit ex qualibet remotione, & ex qualibet parte terræ quantitatem determinatã, & ad illas quantitates determinatas comparat quantitates remotionum ui$ibilium, quas compre- hendit po$t. Et $imiliter acquirit ex cubito & palmo, & à qualibet quantitate men$urata quantita- tem determinatam. Quando ergo a$piciens comprehenderit aliquod $patium, & uoluerit $cire, quot cubiti fuerint in eo: comparabit formam acqui$itam ex imaginatione ex illo $patio, ad formã acqui$itam in imaginatione ex cubito, & comprehendet per i$tam comparationem $patij quantita- tem re$pectu cubiti. Et etiam ex a$$uetudine hominis e$t, quòd quãdo uoluerit certificare aliquam intentionem: iterabit a$pectum $uum: & di$tinguet intentiones eius: & con$iderabit tempus: & per illud comprehendet illam intentionem $ecun dum ueritatem. A$piciens ergo quando comprehen- derit aliquam rem ui$am $uper faciem terræ, & uoluerit certificare remotionem eius: intuebitur partem terræ continuatam, interiacentem inter ip$um & rem ui$am, & mouebitur ui$us in longitu- dine ip$ius, & $ic mouebitur axis radialis $uper illam partem, & men$urabit ip$am, & comprehen- det ip$am $ecundum $ingulas partes, & $entiet partes eius paruas, quando remotio illius ultimi $pa tij fuerit mediocris. Et quando ui$us comprehenderit partes terræ, & comprehenderit partes par- uas: comprehendet uirtus di$tinctiua quantitatem totius $patij: quoniam per motum axis ra- dialis $uper $patium, certificabit uirtus di$tinctiua quantitatem partis ui$us, in quam peruenit for- ma illius $patij, & quantitatem anguli, quem re$picit illud $patium, & quantitatem longitudi- nis radij, qui extenditur ad ultimum $patij: & cum i$tæ duæ intentiones certificabuntur à uirtu- te di$tinctiua, certificabitur quantitas partis terræ ui$æ. Et $imiliter quantitates longitudinum corporum eleuatorum à terra exten$orum in parte remota ($icut parietum & montium) com- prehenduntur à ui$u, $icut comprehenduntur quantitates partium terræ, & comprehendun- tur remotiones ui$ibilium re$picientium ip$as, ex comprehen$ione quantitatum longitudinum earum. Secundum ergo hunc modum certificat ui$us quantitates remotionum ui$ibilium, quan- do fuerint ex remotionibus mediocribus, & fuerint re$picientia corpora ordinata continua- ta. Quædam autem ui$ibilia, quæ $unt $uper faciem terræ, habent remotionem mediocrem, OPTICAE LIBER II. & quantitates partium terræ interiacentium inter ui$um & ip$a, $unt quantitates mediocres: & quædam $unt, quorum remotio e$t maxima & extra mediocritatem, & quantitates partium terræ interiacentium inter ui$um & ip$a, $unt extraneæ magnitudinis. Et quantitates partium terr{ae} com prehenduntur à ui$u $ecundum modos, quos narrauimus. Illud ergo, quod e$t propinquum & me- diocris quantitatis, comprehenditur, & certificatur à ui$u, & quantitas eius, quòd e$t extraneæ re- motionis, non certificatur à ui$u: quoniam ui$us quando comprehenderit $patia: comprehen- det quantitates eorundem, dum $en$erit augmentationem longitudinis radij: & dum $en$erit an- gulos, quos re$piciunt partes paruæ partium $patij apud motum axis $uper $patium: & certifica- bit quantitatem $patij, dum $en$erit paruam augmentationem in longitudine radij, & augmen- tationem paruam in angulo, quem re$picit $patium. Et cum remotio fuerit maxima, non $entiet augmentationem paruam in longitudine radij, nec $entiet motum radij propter paruam partem $patij, cuius remotio e$t maxima, nec $entiet angulum, quem re$picit parua pars remotionis ma- ximæ, nec certificabit longitudinem radij peruenientis ad extremum $patij, nec certificabit quan- titatem anguli, quem re$picit $patium illud. Et cum non certificauerit longitudinem radij perue- nientis ad extremum $patij, & non certificauerit quantitatem anguli, quem re$picit $patium: non certificabit quantitatem $patij. Et etiam, quando remotio fuerit maxima, partes paruæ $patij, quæ $unt in ultimo $patij, non comprehenduntur à ui$u, nec di$tinguuntur ab eo: quoniam parua quantitas in remotione maxima latet ui$um. Cum ergo axis radialis mouebitur $uper $patium re- motum maximè, & perueniet ad remotionem maximam, tran$ibit partem paruam $patij, & non $entiet $entiens motum eius: quoniam parua pars in remotione maxima non facit angulum $en$ibilem apud centrum ui$us. Cum ergo axis radialis mouebitur $uper $patium remotum, & $en- $erit ui$us, quòd ip$e iam tran$ierit aliquam partem $patij: quantitas illius partis $patij, quam tran- $iuit, non erit quantitas, quam comprehendit per $en$um, $ed erit maior: & quantò magis augmen- tabitur remotio $patij, tantò magis partes latebunt ui$um apud ultimum $patij, & $uper quas la- tet motus radij ui$us, erunt maiores. Quantitates ergo remotionum maximarum, quæ $unt $u- per faciem terræ, non certificantur à ui$u; quonram non certificat quantitatem longitudinis radij peruenientis ad ultimum earum, nec quantitatem anguli, quem re$picit illud $patium.

40. Vi$ibile propinquum ui$ui accur ati{us} uidetur. 15 p 4.

ET etiam $entiens $entit certificationem quantitatis $patij: quoniam ui$ibile propinquum ui$ui e$t certioris ui$ionis: $cilicet quia formæ ui$ibilium propinquorum $unt manife$tio- res, & comprehenduntur à ui$u manife$tiore comprehen$ione, & color & lux eorum $unt manife$tiores, & $itus $uperficierum eorum apud ui$um, & $itus partium eorum, & forma parti- um eorum, & partium $uperficierum $unt manife$tiores ui$ui: & $i in eis fuerit lineatio, aut pictura, aut partes paruæ, apparebunt ui$ui manife$tius: & non e$t ita de ui$ibilibus remotionis maximæ: quoniã formã rei ui${ae}, qu{ae} fuerit in remotione maxima, non certificabit ui$us $ecundum $uum e$$e, & dubitabit in colore, luce, & forma $uperficierum eius, & nihil apparebit in ea ex $ubtilibus in- tentionibus & ex partibus paruis. Et i$ta intentio manife$ta e$t $en$ui. Cum ergo ui$us compre- henderit aliquod $patium $uper faciem terræ, $tatim $entiet, priu$quam uiderit ultimum eius, & quædam ui$ibilia in ultimo eius, quòd illud $patium e$t ex $patijs mediocribus, aut ex $patijs ma- ximæ remotionis. Si uerò certificauerit formam ultimi eius, aut formam rei ui$æ, quæ e$t apud ul- tim@@ eius, manife$tè, & di$tinxerit etiam quantitat\~e illius $patij $ecundum modum prædictum: tunc uirtus di$tinctiua etiam comprehendet, quòd quantitas illius $patij e$t certificata ex compre- hen$ione manife$tationis formæ ultimi eius, aut formæ rei ui$æ, quæ e$t apud ultimum eius. Si au- tem non certificauerit formam ultimi eius, aut formam rei ui$æ, quæ e$t apud ultimum eius, non certificabit quantitatem illius $patij. Et uirtus di$tinctiua apud con$iderationem i$tius $patij $imul comprehendet, quòd i$tud $patium non e$t certificatæ quantitatis, propter latentiam formæ ulti- mi eius, aut formæ rei ui$æ, quæ e$t apud ultimum eius. Quantitates ergo remotionum ui$ibili- um di$tinguuntur à ui$u, & qualitas comprehen$ionis quantitatum earum certificatur apud intui- tionem. Et quando a$piciens uoluerit certificare quantitatem rei ui$æ, & certificare quantitatem remotionis rei ui$æ: intuebitur remotionem, & di$tinguet ip$am, & $ic di$tinguetur ab eo remotio certificata à remotione non certificata. Nihil ergo e$t ex intentionibus ui$ibilium, cuius quantitas $it certificata, ni$i remotiones re$picientes corpora ordinata continuata, & cuius etiam remotio- nes $unt mediocres. Quantitates ergo huiu$modi remotionum comprehenduntur à ui$u $ecun- dum modum, quem declarauimus. Et præter i$ta non certificantur à ui$u, $ed æ$timantur & a$si- milantur: $cilicet quòd ui$us a$similat remotionem rei ui$æ remotioni $ibi $imilium ex ui$ibilibus a$$uetis, quorum quantitas remotionis e$t certificata iam ab eo. Et cum ui$us $en$erit iam laten- tiam formæ rei ui$æ propter remotionem, dubitabit de quantitate remotionis eius. Et remotio mediocris, cuius quantitas certificatur à ui$u, e$t remotio, apud cuiu@ ultimum non latet ui$um pars, habens proportionem $en$ibilem ad totam remotionem: & remotio mediocris re$pectu rei ui$æ, in qua ui$us comprehendit ueram quantitatem rei ui$æ, e$t remotio mediocris, apud cu- ius ultimum non latet pars illius rei ui$æ, habens proportionem $en$ibilem ad quantitatem rei ui$æ, quando ui$us intuebitur illam partem per $e. Omne ergo $patium, in quo cuiuslibet partis ALHAZEN longitudo habet proportionem $en$ibilem ad quantitatem longitudinis $patij, comprehenditur à ui$u, & non latet ui$um ex partibus $patij, quæ $unt apud ultimum eius, nι$i illud, quod caret pro- portione $en$ibili ad longitudinem illius $patij: & omne tale $patium e$t ex remotionibus medio- cribus. Remotio autem, quæ e$t extra mediocritatem in longitudine, e$t illa, apud cuius ultimum latet quantitas habens proportionem $en$ibilem ad totam illam remotionem: & remotio, quæ e$t extra mediocritatem re$pectu ui$us, e$t illa, in qua latet quantitas aliqua ex illa re ui$a, habens proportionem $en$ibilem ad totam illam rem ui$am: aut latet aliqua intentio illius rei ui$æ, cuius latentia operatur in latentiam quidditatis illius rei ui$æ. Et etiam $entiens comprehendit quanti- tatem remotionis rei ui$æ ex quantitate anguli, quem re$picit illa res ui$a. Quoniam quando ui- $us comprehendit ui$ibilia a$$ueta, quæ $unt in remotionibus a$$uetis, $tatim apud comprehen- $ionem cogno$cet ip$a ui$us: & quando ui$us cognouerit ip$a: cogno$cet ip$as quantitates magni- tudinum eorum: quoniam quantitates magnitudinum eorum iam fuerunt certificatæ propter frequentationem cuiuslibet comprehen$ionis ui$ibilium a$$uetorum, & iam $unt quietæ in ima- ginatione. Et ui$us, cum comprehenderit rem ui$am a$$uetam, $tatim comprehendit partem ui$us, in quam peruenit forma illius rei ui$æ, quam re$picit illa pars. Et cum $entiens comprehenderit quantitatem magnitudinis rei ui$æ per cognitionem, & comprehenderit angulum, quem tunc re- $picit illa res ui$a: comprehendet quantitatem remotionis illius rei ui$æ in illa di$po$itione: quo- niam angulus, quem re$picit illa res ui$a, non erit, ni$i $ecundum quantitatem remotionis. Et $i- cut $entiens recipit $ignificationem $uper quantitatem magnitudinis ex remotione cum illo angu- lo: ita accipit $ignificationem $uper quantitatem remotionis ex quantitate magnitudinis cognitæ apud ip$am cum illo angulo: quoniam illa magnitudo non re$picit illum angulum, ni$i ex illa ea- dem remotione, aut ex remotione æquali illi, non ex omnibus remotionibus. Et cum $entiens comprehenderit quantitatem remotionis illius rei ui$æ a$$uetæ multoties & frequenter in horis, in quibus illa res ui$a re$picit apud centrum ui$us $imilem illi angulo, & multoties acceperit $igni- ficationem $uper quantitatem magnitudinis illius rei ui$æ ex quantitate remotionis illius rei ui$æ cum quantitate anguli, qui e$t æqualis illi angulo: uirtus di$tinctiua intelliget quantitatem remo- tionis, in qua comprehendit magnitudinem illius rei ui$æ, re$pectu illius anguli. Et cum uirtus di- $tinctiua intellexerit quantitatem illius rei ui$æ, re$pectu illius anguli, & comprehenderit in i$ta re- motione magnitudinem rei ui$æ, re$pectu illius eiu$dem anguli, & cognouerit illam rem ui$am, & cognouerit quantitatem magnitudinis eius, quam antè comprehendit, & comprehenderit quan- titatem illius anguli, quem tunc re$picit illa res ui$a: cogno$cet quantitatem remotionis, $ecun- dum quam illa remotio re$picit illum angulum. Sentiens ergo comprehendit quantitatem remo- tionum ui$ibilium a$$uetorum ex comparatione anguli ad magnitudinem rei ui$æ: deinde pro- pter frequentationem comprehendit $entiens remotionem rei ui$æ a$$uetæ per cognitionem. Et erit quantitas anguli, quem re$picit res ui$a a$$ueta apud comprehen$ionem anguli eius, cum co- gnitione illius rei ui$æ, $ignum $uper quantitatem remotionis illius rei ui$æ. Et plures remotio- nes ui$ibilium a$$uetorum comprehenduntur $ecundum hunc modum. Et i$ta comprehen$io non e$t in fine certitudinis: T amen inter remotionem i$tam & remotionem certificatam non e$t maxi- ma diuer$itas. Et ex i$ta comprehen$ione opinati $unt mathematici, quòd magnitudo rei compre- hendatur per angulum. Quando ergo ui$us comprehenderit ui$ibilia a$$ueta, քuæ $unt in remo- tionibus a$$uetis, & cognouerit quantitates remotionum illorum $ecundum i$tam uiam: inueniet ueritatem in maiori parte in quantitatibus remotionum ip$orum, aut non erit inter illud, quod comprehendit ex quantitatibus remotionum eorum, & inter remotiones ueras magna diuer$i- tas. In illo autem, quod ui$us comprehendit ex quantitatibus remotionum ui$ibilium extraneo- rum, quæ non frequenter comprehendit ui$us, errat in maiori parte: & eum hoc fortè inueniet a- liquid in eo, quod comprehendit ex quantitatibus eorum $ecundum hunc modum. Secundum ergo i$tos modos, quos declarauimus, comprehenduntur quantitates remotionum ui$ibilium per $en$um ui$us.

41. Magnitudines ui$ibiles $unt $uperficies, earum partes, termini, & $patia, quæinter di- $tincta ui$ibilia inter{ij}ciuntur. 18 p 4.

ET po$tquam declarata e$t qualitas comprehen$ionis quantitatum remotionum ui$ibilium, & di$tinctæ $unt remotiones ui$ibilium: di$tinguemus modò magnitudines ui$ibilium, quæ comprehenduntur à ui$u, & di$tinguemus comprehen$ionem illarum à ui$u. Dicamus ergo, quòd magnitudines, quas comprehendit ui$us apud oppo$itionem, $unt quantitates $uperficie- rum ui$ibilium, & quantitates partium $uperficierum ui$ibilium, & quantitates terminorum $u- perficierum ui$ibilium, & quantitates $patiorum, quæ $unt inter terminos partium $uperficierum ui$ibilium, & quantitates $patiorum, quæ $unt inter ui$ibilia di$tincta. Et i$ti $unt omnes modi quantitatum, quas comprehendit ui$us apud oppo$itionem rei ui$æ. Quantitas autem corporis rei ui$æ non comprehenditur à ui$u apud oppo$itionem quoniam ui$us non comprehendit totã $uperfici\~e corporis apud oppo$ition\~e, & non cõprehendit ni$i illud, quod $ibi opponitur ex $uperfi cie corporis, aut ex $uperficiebus eius, quãuis corpus $it paruũ. Et $i ui$us cõpreh\~ederit corporeita t\~e corporis, nõ cõpreh\~edet quantitat\~e corporis eius, $ed figurã corporeitatis tãtùm. Si ergo corpus fuerit motum, aut ui$us moueatur, ita ut comprehendat ui$us totam $uperficiem corporis per $en- OPTICAE LIBER II. $um, aut per $ignificationem: tunc uirtus di$tinctiua comprehendet quantitates corporeitatis e- ius per $ecundam argumentationem, præter argumentationem, qua u$a e$t apud ui$ionem. Et $i- militer $i uirtus di$tinctiua comprehendet quantitatem corporeitatis cuiuslibet partium corpo- ris, non comprehendet ip$am, ni$i per argumentationem $ecundam, præter argumentationem, quæ e$t apud ui$ionem. Quantitates ergo, quas ui$us comprehendit apud oppo$itionem, non $unt ni$i quantitates $uperficierum, & linearum quas determinauimus tantùm. Et iam declaratum e$t, [38 n] quòd comprehen$io magnitudinis non e$t, ni$i ex comparatione ba$is pyramidis radialis continentis magnitudinem, ad angulum pyramidis, qui e$t apud centrum ui$us, & longitudinem pyramidis, quæ e$t remotio magnitudinis rei ui$æ: & iam declaratum e$t, [24. 25 n] quòd quæ- dam remotiones ui$ibilium $unt certificatæ, & quædam æ$timatæ: magnitudines autem ui$ibili- um, quorum remotio e$t certificata, comprehenduntur à ui$u ex comparatione magnitudinum earum ad angulos, quos re$piciunt illæ magnitudines apud centrum ui$us, & ad remotiones eo- rum certificatas. Comprehen$io ergo quantitatum remotionum huiu$modi ui$ibilium erit com- prehen$io certificata. Quantitates autem remotionum ui$ibilium, quorum remotio e$t æ$timata, & non certificata: comprehenduntur à ui$u ex comparatione magnitudinis eorum ad angulos, quos re$piciunt illæ magnitudines apud centrum ui$us: & ad remotiones earum æ$timatas & non certificatas. Comprehen$io ergo quantitatum remotionum ui$ibilium huiu$modi, erit compre- hen$io non certificata. Cum ergo $entiens uoluerit certificare quantitatem magnitudinis alicuius rei ni$æ, mouebit ui$um $uper illius diametros, & $ic mouebitur axis radialis $uper omnes partes rei ui$æ. Si ergo remotio rei ui$æ fuerit ex remotionibus maximis: $tatim apparebit $en$ui laten- tia formæ eius, & manife$tabitur $entienti, quòd quantitas eius non e$t certificata: $i uerò re- motio rei ui$æ fuerit ex remotionibus mediocribus: $tatim apparebit $en$ui uerificatio ui$ionis e- ius. Si ergo axis radialis moueatur $uper illud, quod e$t in huiu$modi ui$ibilibus: men$urabit ip$um uera men$uratione, & comprehendet partes eius, & certificabit quantitates partium eius, & per motum certificabit quantitatem partium $uperficiei membri $entientis, in quam peruenit forma illius rei ui$æ, & quantitatem anguli pyramidis, quem re$picit illa pars. Et cum $entiens uo- luerit certificare remotionem $uper corpus re$piciens remotionem eius, per motum certificabit quantitatem corporis re$picientis remotionem eius, quæ e$t æqualis $ecundum $en$um longitu- dinibus linearum radialium. Et cum $entiens certificauerit quantitatem remotionis rei ui$æ, & quantitatem anguli, quem continet pyramis, continens rem ui$am: certificabit quantitatem il- lius rei ui$æ.

42. Ax{is} opticæpyramid{is}, oculo moto immut abil{is} permanet. 53 p 3.

MOtus autem axis $uper partes rei ui$æ non erit per gyrationem axis à loco centri, & per motum eius per $e $uper partes rei ui$æ: quoniam iam declaratum e$t, [11 n 1 & 7 n] quòd i$ta linea $emper e$t exten$a rectè u$que ad locum gyrationis nerui, $uper quem componi- tur oculus, & quòd $itus eius à ui$u non mutatur, & totus oculus mouetur in oppo$itione rei ui- $æ, & medium loci, qui e$t locus $en$us ui$us, opponitur cuilibet parti partium rei ui$æ. Ergo cum totus ui$us mouebitur in oppo$itione rei ui$æ: axis tran$ibit per quamlibet partium rei ui$æ: & tunc forma cuiuslibet partium rei ui$æ extendetur ad ui$um apud peruentum axis ad ip$am $uper rectitudinem axis: & erit axis fixus in $uo loco, & non mutabitur à $uo loco re$pectu omnium par- tium totius oculi: & erit gyratio eius in $ua di$po$itione apud motum totius ui$us in loco nerui, qui e$t apud concauum o$sis tantùm. Et cum ui$us uoluerit intueri rem ui$am, & incœperit intue- ri in extremitatem rei ui$æ: erit tunc extremum axis $uper partem extremam rei ui$æ. Erit ergo in i$ta di$po$itione maior pars totius rei ui$æ in parte $uperficiei ui$us declinante, aut obliqua ab axe ad aliquam partem, præter partem, $uper quam e$t axis: quoniam forma eius erit in medio eius & in loco axis in ui$u, & erit re$iduum formæ obliquum aut declinans ad aliam partem ab axe. De- inde quando ui$us mouebitur po$t illam di$po$itionem $uper aliam diametrum rei ui$æ: transfe- retur axis ad partem $equentem illam partem, & forma primæ partis declinabit $uper alteram u- bitatem oppo$itam ubitati, ad quam mouetur axis: iam deinde non ce$$abit forma declinare, dum axis mouetur $uper illam diametrum, quou$que axis perueniat ad ultimum illius diametri rei ui- fæ, & ad partem extremam rei ui$æ oppo$itam primæ parti. Erit ergo forma totius rei ui$æ in i$ta di$po$itione obliqua ad ubitatem oppo$itam ubitati, ad quam prius fuit obliqua, præterquam ul- tima pars, quæ erat $uper axem, & in medio ui$us. Et axis in toto i$to motu erit fixus in $uo $itu, & erit i$te motus ualde uelox, & in maiori parte e$t in$en$ibilis propter uelocitatem.

43. Ax{is} optic{us} in $uo motu nunquã fit ba$is anguli à $uperficie ui$ibil{is} $ubten$i: nec $em- per $et at angulum ab aliqua ui$ibil{is} diametro $ubten$um. 54 p 3.

AXis autem nõ $upponitur in $uo motu terminus anguli, quem re$picit illa res ui$a apud cen- trum ui$us, neq; $ecat latitudinem anguli, quem re$picit aliqua diametrorum rei ui${ae}: quo- niam hoc non erit, ni$i quando axis fuerit motus per $e, & totus oculus quieuerit, quod e$t impo$sibile; totus enim oculus mouetur apud intuitionem, & axis mouetur per motum eius.

ALHAZEN 44. Vi${us} percipit magnitudinem anguli optici è parte $uperficiei ui${us}, in qua formatur rei ui$ibil{is} forma. 73 p 3.

SEntiens autem non comprehendit quantitatem anguli, quem re$picit res ui$a apud centrum ui$us, ni$i ex comprehen$ione quantitatis partis $uperficiei ui$us, in qua figuratur forma rei ui$æ, & ex imaginatione anguli, quem re$picit illa pars apud centrum ui$us. Nam $en$us ui$us comprehendit naturaliter quantitates partium ui$us, in quibus figurantur formæ, & naturaliter i- maginatur angulos, quos re$piciunt i$tæ partes. Sentiens autem non certificat formam rei ui$æ, & quantitatem magnitudinis rei ui$æ per motum ui$us, ni$i quia per i$tum motum comprehendit quamlibet partium rei ui$æ per eius medium & per locum axis in ui$u: & per i$tum motum moue- tur forma rei ui$æ $uper $uperficiem ui$us, & $ic mutabitur pars $uperficiei ui$us, in qua fuit forma: quoniam forma rei ui$æ apud motum, erit in parte po$t aliam partem in $uperficie ui$us. Et quo- ties comprehenderit $entiens partem rei ui$æ, quæ e$t apud extremum axis: comprehendet $imul totam rem ui$am, & comprehendet totam partem $uperficiei ui$us, in quam peruenit forma toti- us rei ui$æ, & comprehendet quantitatem illius partis, & comprehendet quantitatem anguli, quem re$picit illa pars, apud centrum ui$us. Et $ic multoties comprehendet $entiens quantita- tem anguli, quem re$picit illa res ui$a. Quare erit ab eo certificata: quare etiam uirtus di$tinctiua intelliget quantitatem anguli, & quantitatem remotionis, ex quibus comprehendet quantitatem magnitudinis rei ui$æ $ecundum ueritatem. Secundum ergo hunc modum erit intuitio ui$ibilium à ui$u, & certificatio quantitatis magnitudinum rerum ui$arum per intuitionem.

45. Sit{us} direct{us} & obliqu{us} lineæ, $uperficiei, & $pat{ij} percipitur ex æquabili & inæqua- bili terminorum di$tantia. 12 p 4. Idem 28 n.

ET etiam quando ui$us comprehendet quantitates longitudinum linearum radialium, quæ $unt inter ui$um & terminos rei ui$æ, aut partes $uperficiei rei ui$æ, $entiet æqualitatem & inæqualitatem earum quantitatum. Si $uperficies rei ui$æ, quam ui$us comprehendit, fuerit obliqua: $entiet obliquationem eius ex $en$u inæqualitatis quantitatum remotionum extremo- rum eius. Et $i $uperficies fuerit directè oppo$ita, $entiet directionem ex $en$u æqualitatis remo- tionum: & $ic non latebit quantitas magnitudinis eius uirtutem di$tinctiuam: quoniam uirtus di- $tinctiua comprehendit ex inæqualitate remotionum diametrorum extremorum $patij obliqui, obliquation\~e pyramidis continentis ip$um. Quare $entiet exce$$um magnitudinis eius ba$is pro- pter obliquationem. Et non admi$cetur $ecundum a$similationem quantitas magnitudinis obli- quæ magnitudini directè oppo$itæ, ni$i quando comparatio fuerit ad angulum tantùm: $i autem comparatio fuerit ad angulum & ad longitudines linearum radialium interiacentium inter ui$um & extrema rei ui$æ: non dubitabit uirtus di$tinctiua in quantitate magnitudinis. Quantitates er- go magnitudinum, linearum & $patiorum comprehenduntur à ui$u ex comprehen$ione quanti- tatum remotionum extremorum in illis, & ex comprehen$ione in{ae}qualitatis & {ae}qualitatis eorum. Sed remotio remoti$sima remotionum mediocrium, re$pectu rei ui$æ, quando res ui$a fuerit obli qua, e$t minor remoti$sima remotionum mediocriumr, e$pectu illius eiu$dem rei ui$æ, quando res ui$a fuerit directè oppo$ita: quoniam remotio mediocris re$pectu rei ui$æ e$t, in qua non latet ui- $um pars rei ui$æ habens proportionem $en$ibilem ad totam rem ui$am. Et cum res ui$a fuerit ob- liqua, angulus, quem continent duo radij exeuntes à ui$u ad aliquam partem rei ui$æ obliquæ, e- rit minor angulo, quem continent duo radij exeuntes à ui$u ad il- d a a b c @ lam eandem partem & ad illam eandem remotionem, quando res ui$a fuerit directè oppo$ita ui$ui. Et pars habens $en$ibilem pro- portionem ad totam rem ui$am, quando res ui$a fuerit obliqua: la- tet in remotione minori quàm e$t remotio, in qua latet eadem illa pars, quando illa res ui$a fuerit directè oppo$ita. Remoti$sima er- go remotionum mediocrium re$pectu rei ui$æ obliquæ, e$t minor remoti$sima remotionum mediocrium re$pectu illius eiu$dem rei ui$æ, quando illa res ui$a fuerit directè oppo$ita: & tota res ui$a ob- liqua latet in remotione minori quàm e$t remotio, in qua latet illa res ui$a, quando fuerit directè oppo$ita: & diminuitur quantitas eius in remotione minore remotione, in qua diminuitur quanti- tas eius, quando fuerit directè oppo$ita. Magnitudines ergo re- rum ui$arum, quarum quantitates certificantur à ui$u, $unt illæ, quarum remotio e$t mediocris, & quarum remotio re$picit corpo- ra ordinata continuata: & comprehenduntur à ui$u ex comparati one illarum ad angulos pyramidum radialium continentium ip$as, & ad longitudines linearum radialium. Remotiones autem me- diocres re$pectu rei ui$æ $unt $ecundum $itum illius rei ui$æ in ob- liquatione, aut in directa oppo$itione. Et anguli nõ certificãtur, ni$i per motũ ui$us re$picientis $uper diametros $uperficiei rei ui$æ, aut OPTICAE LIBER II. $uper $patiũ, cuius magnitudin\~e uoluerit $cire. Et certificatur remotio per motum ui$us $uper cor- pus re$pici\~es remotiones extremorũ illius $uperficiei, aut illius $patij. Et generaliter formareiui${ae}, & forma remotionis rei ui$æ, cuius remotio e$t mediocris, & refpicit corpora ordinata continuata, perueniunt cõmuniter in imaginationem $imul apud intuitionem rei ui$æ: quoniam ui$us cõpre- hendit corpus re$piciens remotionem rei ui$æ apud comprehen$ionem rei ui$æ: & $ic uirtus di$tin ctiua comprehendet magnitudinem rei ui$æ $ecundum quantitatem formæ remotionis eius cer- tificatæ, & coniunct{ae} cum forma eius. Quantitates ergo huiu$modi ui$ibilium tantùm comprehen duntur à ui$u uera comprehen$ione. Secundum ergo hunc modum, quem declarauimus, compre- henduntur magnitudines rerum ui$arum per $en$um ui$us. Quare uerò res ui$a comprehendatur in maxima remotione minoris quantitatis $ua uera quantitate: & quare comprehendatur quan- titas rei ui$æ in propinqui$sima remotione maior quantitate $ua uera, declarabimus in no$tro $er- mone de erroribus ui$us.

46. Di$tinctio ui$ibilium percipitur è di$tinctione formarum, quæ in diuer$is $uperficiei ui- ${us} partib{us} $unt impre$$æ. 99 p 4.

DI$tinctio uerò, quæ e$t inter ui$ibilia, compreh\~editur à ui$u ex di$tinctione formarum duo- rum corporum $iue duorum ui$ibilium di$tinctorum peruenientium in ui$um. Sed in di$tin ctione, quæ e$t inter quælibet duo corpora di$tincta, aut e$t lux: aut e$t corpus coloratum il luminatum: aut e$t ob$curitas. Cum ergo ui$us compreh\~ederit duo corpora di$tincta: forma lucis, aut forma coloris corporis, aut forma ob$curitatis, quæ e$t in loco di$tinctionis, peruenit in part\~e ui$us interiacentem inter duas formas duorum corporum di$tinctorum peruenientium in ui$um. Lux uerò, aut color, aut ob$curitas aliquando erit in corpore medio interiacente inter duo corpo- ra continuata cum utroque corporum. Si ergo ui$us non $en$erit, quòd lux, color, aut ob$curitas, quæ e$t in loco di$tinctionis, non e$t in corpore continuato cum utroq; corporum, qu{ae} $unt in eius lateribus, non $entiet di$tinctionem duorum corporum. Et etiam $uperficies cuiuslibet illorũ duo rum corporum e$t obliqua ad locum remotionis. In loco ergo di$tinctionis fortè erit obliquatio duarum $uperficierum duorum corporum, aut $uperficiei alterius duorum corporum manife$ta ui $ui, & fortè non. Cum ergo obliquatio duarum $uperficierum duorum corporum, aut $uperficiei alterius duorum corporum fuerit manife$ta ui$ui: tunc $entiet ui$us di$tinctionem duorum corpo rum. Vi$us ergo comprehendit di$tinctionem corporum ex comprehen$ione intentionum, quas diximus, aut ex comprehen$ione lucis in loco di$tinctionis, $entiendo, quòd illa lux e$t ex po$te- riori duarum $uperficierum duorum corporum di$tinctorum: aut ex comprehen$ione corporis co lorati in loco di$tinctionis, $entiendo, quòd illud corpus e$t diuer$um ab utroque corporum di$tin ctorum: aut ex comprehen$ione ob$curationis loci di$tinctionis, comprehendendo, quòd i$tud e$t ob$curitas, & non e$t corpus continuatum cum duobus corporibus: aut ex comprehen$ione obli- quationis utriu$que $uperficiei duorum corporum in loco di$tinctionis, aut obliquationis $uper- ficiei alterius duorum corporum. Omne ergo, quod ui$us comprehendit ex di$tinctione corpo- rum: non comprehendit, ni$i $ecundum aliquam i$tarum intentionum. Di$tinctio autem fortè erit inter duo corpora di$tincta: & fortè inter duo corpora non diuer$a, $cilicet quòd duo corpora $unt continuata $ecundum qua$dam partes, & diuer$a $ecũdum qua$dam inter $e, ut digiti, & mem- bra animalis, & rami arborum: & $ecundum utramlibet di$po$itionum ui$us non comprehendit di $tinctionem, ni$i $ecundum modos, quos declarauimus. Et fortè comprehenditur di$tinctio corpo rum per cognitionem & per $cientiam antecedentem: $ed illa comprehen$io non e$t per $en$um ui- $us. Et quædam di$tinctio corporum e$t ampla, & quædam $tricta. Di$tinctio uerò ampla non late@ ui$um in maiori parte, propter apparentiam corporis re$picientis di$tantiam di$tinctam, & pro- pter hoc, quòd illud corpus apparet diuer$um ab utro que corporum di$tinctorum, & propter com prehen$ionem lucis & uacuitatis illuminati re$picientis di$tantiam. Di$tinctio autem modica & $tricta non comprehenditur à ui$u, ni$i in remotione, in qua non latet ui$um corpus, cuius quanti- tas e$t æqualis quantitati amplitudinis di$tanti{ae}. Si autem di$tantia inter duo corpora fuerit $tricta & occulta: & fuerit remotio illius à ui$u $imilis illi, in qua lateant corpora, quorum quantitas e$t, $icut quantitas amplitudinis di$tantiæ: nõ comprehendet ui$us illam di$tãtiam. Et $i remotio duo- rum corporum à ui$u $it ex remotionibus mediocribus, & ui$us comprehenderit duo corpora ue- ra comprehen$ione: (mediocris autem remotio e$t illa, in qua non latet omnino quantitas $en$ibi- lis re$pectu quantitatis totius remotionis: & uera compreh\~e$io e$t illa, inter quam & ueritatem rei ui$æ non e$t diuer$itas $en$ibilis omnino re$pectu totius rei ui$æ) amplitudo autem di$tantiæ for- tè $it quantitatis carentis proportione $en$ibili ad remotionem rei ui$æ, & carentis quantitate $en- $ibili re$pectu duorum corporum di$tinctorum: (quoniam di$tinctio fortè erit in quantitate unius capilli:) tum illud diminutum non aufert di$tantiam $en$ibilem in ui$u. Di$tãtia igitur inter ui$ibi lia comprehenditur à ui$u fecundum modos, quos declarauimus.

47. Continuatio ui$ibil{is} percipitur è di$tantiæ priuatione. 100 p 4.

COntinuatio aũt cõpreh\~editur à ui$u ex priuatione di$tantiæ. Cũ ergo ui$us nõ $en$erit in ali- quo corpore di$tãtiã: cõpreh\~edet ip$um e$$e continuũ. Et $i in corpore fuerit di$tãtia occul- ta, nõ cõpreh\~e$a à ui$u: cõpreh\~edet ui$us illud corpus e$$e cõtinuũ, quãuis in eo $it di$cretio. ALHAZEN Et ui$us cõprehendit continuationem, & di$cernit inter cõtinuation\~e & contiguation\~e ex cõpre- hen$ione aggregationis duorum terminorum duorum corporum. Et ui$us non iudicat contigua- tionem, ni$i po$tquam $ciuerit, quòd utrumque duorum corporum contiguorum e$t diuer$um ab altero: quoniam differentia, quæ e$t inter duo cõtigua, fortè inuenitur in duobus corporibus con- tinuis. Si ergo $entiens non $en$erit, quòd utrumq; duorum corporum contiguorum e$t diuer$um ab altero, & di$tinctum ab eo:non $entiet contiguationem, & iudicabit continuationem.

48. Numerus percipitur è ui$ibilium di$tinctione. 101 p 4.

NVmerus uerò comprehenditur à ui$u, & numeri medietas. Quoniam ui$us comprehendit in una hora multa ui$ibilia $imul: & cum ui$us comprehenderit di$tinctionem illorũ, com- preh\~edet quodlibet illorũ e$$e diuer$um ab alio: & $ic comprehendit multitudinem. Et uir- tus di$tinctiua comprehendit numerum ex multitudine. Numerus ergo comprehenditur per $en- $um ui$us ex cõprehen$ione multorũ ui$ibilium di$tinctorũ, quando ui$us cõprehendit ip$a $imul: & comprehenderit di$tinctionem illorum: & comprehenderit quòd quodlibet illorum e$t diuer- $um ab alio. Secundum ergo i$tum modum comprehenditur numerus per $en$um ui$us.

49. Motus ui$ibilis percipitur è mutatione $itus eius in $en$ilitempore. 110 p 4.

MOtus autem comprehenditur à ui$u ex comparatione rei motæ ad aliud ui$ibile. Quoniam quando ui$us comprehenderit ui$ibile motum, & cum ip$o comprehenderit aliud ui$ibi- le, comprehendet $itum eius re$pectu illius ui$ibilis moti. Et cum illud ui$ibile fuerit motũ, & illud aliud ui$ibile fuerit non motum: per motum illius ui$ibilis moti, $itus illius ui$ibilis moti di uer$abitur re$pectu illius ui$ibilis non moti. Et cum ui$us comprehenderit ip$um, & cum eo com- prehenderit aliud ui$ibile: comprehendet $itum eius re$pectu illius ui$ibilis, & comprehendet mo tum eius. Motus ergo comprehenditur à ui$u ex comprehen$ione diuer$itatis $itus rei ui$æ motæ re$pectu alterius. Et motus cõprehenditur à ui$u $ecũdum aliquem trium modorũ: aut ex re$pectu rei ui$æ motæ ad multa ui$ibilia: aut ex re$pectu rei ui$æ motæ ad unum ui$ibile: aut ex re$pectu rei ui$æ motæ ad ip$um ui$um. Primum aut\~e quando ui$us comprehenderit r\~e ui$am & eius motũ, & comprehenderit ip$am re$picient\~e aliquod ui$ibile: deinde comprehenderitip$am re$picientem a- liquod aliud ui$ibile diuer$um à primo, exi$tente ui$u in $uo loco: $entiet motũ illius rei ui$æ. Re$pe ctus autem rei ui$æ motæ ad unum $olum ui$ibile e$t, quando ui$us compreh\~ederit r\~e ui$am motã, & comprehenderit $itum eius re$pectu alterius ui$ibilis: deinde cõprehenderit $itũ eius, qui muta- tus e$t re$pectu illius alterius ui$ibilis: aut quòd e$t remotius: aut quòd propinquius: aut quòd e$t in parte altera, ui$u exi$tente in $uo loco: aut per mutationem $itus alicuius partis rei ui$æ motæ, re$pectu illius ui$ibilis immoti: aut per mutationem $itus partiũ eius re$pectu ui$ibilis illius: & $e- cundum i$tum ultimũ modum comprehendit ui$us motum ui$ibilis moti circulariter, quando ho- mo comparauerit ip$um ad aliud ui$ibile. Cum ergo ui$us comprehenderit $itũ rei ui$æ motæ, aut $itum partium eius, aut $itũ alicuius partis eius: cõprehendet motũ rei ui${ae} motæ. Re$pectus autem rei ui$æ motæ ad ip$um ui$um e$t, quando ui$us comprehendit rem ui$am motã, cõprehendetubr- tatem eius & remotion\~e eius à ui$u: & cum ui$us fuerit quietus, & res ui$a fuerit mota: tunc muta- bitur $itus rei ui$æ motæ re$pectu ui$us. Si ergo motus rei ui$æ fuerit $ecundum $patium latũ: mu- tabitur ubitas eius, & $entiet ui$us mutationem ubitatis. Et cum ui$us $en$erit mutationem ubita- tis eius, ui$u quie$cente, $entiet motum eius. Et $i motus rei ui$æ fuerit in longitudine exten$a inter ip$um & ui$um: tuncres ui$a aut elongabitur à ui$u per motũ, aut appropinquabit. Et cũ ui$us $en- $erit elongationem aut appropinquationem eius, ui$u exi$t\~ete in $uo loco: ui$us $entiet motum e- ius. Et $i motus rei ui$æ fuerit circularis, nece$$ariò mutabitur pars rei ui$æ eius, qu{ae} opponitur ui- $ui: & cum illa pars rei ui$æ fuerit mutata, & $en$erit ui$us mutation em eius, ui$u exi$tente in $uo lo co: $entiet motum rei ui$æ. Secundum ergo i$tos modos comprehendit ui$us motum, quando ui- $us fuerit fixus in $uo loco. Et ui$us comprehendet etiam motum $ecundum quemlibet i$torũ mo- dorum, quamuis ui$us etiam moueatur. Et hoc erit quando ui$us $en$erit diuer$itatem $itus rei ui- $æ motæ, $entiendo, quòd illa diuer$itas non e$t propter motum eius, & di$tinguendo inter diuer$i tatem $itus, quæ accidit illi rei propter motum illius rei ui$æ, & inter diuer$itatem $itus, qu{ae} accidit ei propter motum ui$us. Cum ergo ui$us $en$erit diuer$itatem $itus rei ui$æ, & $en$erit, quòd diuer- $itas eius $itus non e$t propter motum ui$us: $entiet motum rei ui$æ. Et forma rei ui$æ motæ moue tur etiam in ui$u propter motum eius: $ed ui$us non cõprehendit motum rei ui$æ ex motu $uæ for- mæ in ui$u tantùm: imo ui$us non comprehendit motum rei ui$æ, ni$i ex comparatione reiui$æ ad aliam $ecundum modos, quos declarauimus: quoniã forma rei ui$æ quie$centis aliquando moue- turin ui$u cum quiete rei ui$æ, & inde ui$us non comprehenditip$am motam. Quoniã ui$us quan- do mouebitur $uper oppo$itionem rerum ui$arum: mouebitur forma cuiuslιbet rei ui$æ oppo$itæ ui$ui in $uperficie ui$us apud motũ eius, $iue quie$cat, $iue moueatur. Et quia ui$us iam a$$uefactus e$t ad motum formarum rerum ui$arum in $uperficie eius cum quiete illarum rerum ui$arum: non iudicabit motum rei ui$æ propter motum formæ eius, ni$i quando in ui$um peruenerit forma ali- cuius rei ui$æ, & comprehenderit ui$us diuer$itat\~e $itus formæ rei ui$æ motæ, re$pectu alterius for- mæ rei ui$æ: aut ex mutatione formarum in eodem loco ui$us, qui erιt in loco circulari. Motus er- go non comprehenditur à ui$u, ni$i $ecundum modos, quos di$tinximus.

OPTICAE LIBER II. 50. Qualitas motus percipitur è $patio, per quodui$ibile mouetur. 711 p 4.

COmprehen$io aũt qualitatis motus e$t ex cõprehen$ione $patij, $uper quod mouetur res ui- $a, quando res ui$a mouebitur $ecundum $e totam. Et ui$us certificat qualitat\~e motus, quan- do certificauerit figuram $patij, $uper quod mouetur res ui$a mota. Et cum res ui$a mouebi- tur circulariter: ui$us comprehendet motum eius e$$e circularem ex comprehen$ione mutationis partium eius $equentium ui$um apud aliquam rem ui$am: aut ex re$picientia alicuius partis illius ad diuer$a ui$ibilia, unum po$t alterum: aut ad partes unius rei ui$æ unam partem po$t aliam, cum quiete totalitatis rei ui$æ in $uo loco. Et $i motus rei ui$æ fuerit compo$itus ex motu circulari & lo cali, ui$us comprehendet illum e$$e compo$itum ex comprehen$ione mutationis partium rei ui$æ motæ re$pectu ui$us, aut re$pectu alterius rei ui$æ cum comprehen$ione motus totalitatis rei ui$æ à $uo loco. Secundum ergo i$tos modos ui$us comprehendit qualitates motus ui$ibilium.

51. Motus ui$ibilis percipitur in tempore $en$ili.

ET ui$us non comprehendit motum, ni$i in tempore: quoniam motus non e$t, ni$i in tempore, & omnis pars motus non e$t, ni$i in tempore. Et ui$us non comprehendit motum rei ui$æ, ni- $i ex comprehen$ione rei ui$æ in duobus locis diuer$is, aut $ecundum duos $itus. Locus au- tem & $itus rei ui$æ non diuer$antur, ni$i in temporibus. Cum ergo ui$us comprehenderit rem ui- $am in duobus locis diuer$is, aut in duobus $itibus diuer$is, nõ e$t, ni$i in duabus horis diuer$is. Sed inter quaslibet horas duas diuer$as e$t tempus mediũ. Vi$us ergo nõ comprehendit motum, ni$i in tempore. Et etiam dicemus quòd tempus, in quo ui$us comprehendit motũ, non erit, ni$i $en$ibile: quoniam ui$us nõ comprehendit motũ, ni$i ex comprehen$ione rei ui$æ in duobus locis diuer$is in uno loco po$t aliũ: aut $ecundũ duos $itus diuer$os unũ $itum po$taliũ. Cum ergo ui$us cõprehen- derit rem ui$am motã in $uo loco $ecundo, & nõ comprehenderit tunc ip$am in primo loco, in quo cõprehendit antè ip$am: $tatim $entiet $entiens, quòd hora, in qua cõprehendit ip$am in $ecundo lo co, e$t diuer$a ab hora, in qua comprehendit ip$am in primo loco. Quare $entiet diuer$itat\~e duarum horarum. Et $imiliter quando comprehenderit motũ ex diuer$itate $itus rei ui$æ. Quoniam $i com- prehenderit rem ui$am motam $ecundum $itum, & non comprehenderit ip$am tunc $ecundum pri- mum $itum, $ecundum quem comprehendit ip$am antè: $tatim $entiet diuer$itatem duarum hora- rum. Quare $entiet tempus quod e$t inter ip$as. Tempus ergo, in quo ui$us comprehendit motum, e$t $en$ibile nece$$ariò. Et cum omnes i$tæ intentiones $int declarat{ae}, narremus modò quod coacer uatur ex eis. Dicemus ergo, quòd ui$us comprehendit motum ex comprehen$ione rei ui${ae} mot{ae} $e- cundum duos $itus diuer$os, in duabus horis diuer$is, inter quas e$t t\~epus $en$ibile: & hæc e$t quali tas comprehen$ionis motus à ui$u. Et ui$us comprehendit diuer$itat\~e motuum $ecundum ueloci- tatem & tarditatem, & æqualitatem motuum ex comprehen$ione $patiorum, $uper quæ mouentur ui$ibilia mota. Cum ergo ui$us comprehenderit duo ui$ibilia mota, & cõprehenderit $patia, $uper quæ mouentur illa duo ui$ibilia, & $en$erit quòd alterum duorum $patiorum, quæ à duobus ui$ibili bus motis pertran$eunturin eodem tempore, e$t maius altero, $entiet uelocitatem rei ui$æ motæ tran$euntis $uper maius $patium. Et cum duo $patia, $uper quæ mouentur ui$ibilia, $unt pertran$ita in duobus temporibus æqualibus, & $en$erit ui$us æqualitatem illorum $patiorum, $entiet æquali- tatem duarum rerum motarũ. Et $imiliter, $i ui$us $en$erit æqualitatem duorum $patiorũ cum inæ- qualitate duorum temporum duorum motuũ: $entiet uelocitatem motus rei motæ tran$euntis per $patium in minore tempore. Et $imiliter quando duo mota tran$ierint in duobus temporibus æqua libus per duo $patia æqualia, & $en$erit ui$us æqualitat\~e temporis & æqualitatem $patiorũ: $entiet æqualitatem duorum motuũ. Iam diximus, qualiter ui$us comprehendat motum, & di$tinguat mo- tum, & qualitatem eius, & æqualitatem & inæqualitatem eius.

52. Quies percipitur è ui$ibili, eundem $itum locum<006> tempore $en$ili occupante. 112 p 4.

QVies autem comprehenditur à ui$u ex comprehen$ione rei ui${ae} in tempore $en$ibili in eo- dem loco & in eodem $itu. Cum ergo ui$us comprehenderit ui$um in eod\~e loco, & $ecundũ eundem $itũ in duabus horis diuer$is, inter quas e$t t\~epus $en$ibile: cõprehendet rem ui$am in illo tempore quie$centem. Et ui$us comprehendit $itum rei ui$æ quie$centis re$pectu alterius rei ui${ae}, & re$pectu ip$ius ui$us. Secundũ ergo hunc modum erit comprehen$io quietis ui$ibiliũ à ui$u.

53. A$peritas percipitur è luce a$per am $uperficiem illuminante. 139 p 4.

ASperitas uerò comprehenditur à ui$u in maiori parte ex forma lucis appar\~etis in $uper$icie corporis a$peri: quoniã a$peritas e$t diuer$itas $itus partium $uperficiei corporis. Quare lux quando oritur $uper $uperficiem illius corporis, partes prominentes facient umbrã in maio- ri parte. Et cum lux peruenerit in partes profundas, erunt cum eo etiam umbr{ae}, & partes prominen tes erunt manife$tæ luce, & di$coopertæ luce. Et cum in partes profundas ueniunt umbræ, & $uper prominentes non fuerit aliqua umbra: diuer$abitur forma lucis in $uperficie illius corporis. In $u- perficie autem plana non e$t ita: quoniam $uperficiei planæ partes $unt con$imilis $itus: & cum lux orietur $uperip$as, erit forma lucis in tota $uperficie con$imilis. Forma ergo lucis in $uperficie cor- poris a$peri e$t diuer$a à forma lucis in $uperficie plana. Et ui$us cogno$cit formam lucis, quæ e$t in ALHAZEN $uperficiebus a$peris, & formam lucis, quæ e$t in $uperficiebus planis propter frequentationem ui- $ionis $uperficierũ a$perarum & planarum. Cum ergo ui$us $en$erit lucem, quæ e$t in $uperficiebus corporis $ecundum modum, qu\~e a$$ueuit in $uperficiebus a$peris: iudicabit a$peritat\~e illius corpo- ris: & cum $en$erit lucem in $uperficie corporis $ecundum modum, quem a$$ueuit in $uperficiebus planis: iudicabit planitiem in $uperficiebus illius corporis. Et cum a$peritas fuerit extranea: erunt partes prominentes alicuius quantitatis: & $ic ui$us comprehendet prominentiã illarum partium: & comprehendet $itum $uperficiei corporis ex comprehen$ione di$tantiæ, quæ e$t inter partes. Et cum ui$us comprehenderit diuer$itat\~e $ituum partium $uperficiei corporis: comprehendet a$peri- tatem eius $ine indigentia ad con$iderandum lucem. Et etiam quando a$peritas corporis fuerit ex- tranea, & oritur $uper ip$am lux: erit forma lucis in $uperficie eius diuer$a maxima diuer$itate. Vi- debitur ergo ex diuer$itate lucis di$tantia partium & diuer$itas $itus earum: & ex hoc apparebit a- $peritas corporis. Si ergo lux oriens $uper corpus a$perum, fuerit ex parte oppo$ita $uperficiei a$pe- ræ, & fuerit lux fortis: non comprehendet ui$us a$peritatem huius corporis, ni$i quando compre- henderit prominentiam quarundam partium & profunditatem quarundam. Si ergo a$peritas hu- ius corporis fuerit extranea, id e$t, maxima: comprehendet ui$us di$tantiam partium & diuer$ita- tem $itus earum, & comprehendet a$peritatem corporis in maiori parte. Si autem a$peritas fuerit modica, & partes fuerint profundæ, & pori illius corporis in ultimitate paruitatis: latebit ui$um in maiori parte, & nunquam ui$us comprehendet a$peritatem huius corporis, ni$i in magna appropin quatione cum intuitu partium $uperficiei corporis. Cum ergo ui$us di$tinxerit di$tantiam partium huiu$modi corporis, & prominentiam & profunditatem illarum: comprehender a$peritatem eius. Si autem ui$us non di$tinxerit di$tantiam partium eius, nec prominentiam & profunditatem par- tium eius: non comprehendet a$peritatem eius. A$peritas ergo comprehenditur à ui$u ex compre- hen$ione diuer$itatis $ituũ partium $uperficiei corporis, aut ex forma lucis, quam ui$us a$$ueuit ui- dere in $uperficiebus corporum a$perorum. Et ui$us cogno$cit etiam a$peritatem ex prænotione con$imilitudinis. Cum ergo ui$us nihil $en$erit in corpore, ex con$imilitudine, iudicabit eius a$pe- ritatem. Sed multoties errat ui$us in a$peritate, quando uoluerit cogno$cere ip$am per i$tam inten- tionem: quoniam erit $uperficies ter$a, & non apparet eius ter$itudo: quoniam ter$itudo non appa- ret, ni$i in $itu proprio.

54. Lenit as percipitur è luce lenem $uperficiem illuminante. 140 p 4.

PLanities autem & æqualitas $uperficiei corporis comprehenditur à ui$u in maiori parte ex forma lucis apparentis in $uperficie corporis plani, quam a$$ueuit uidere in $uperficiebus pla- nis. Et cum lux, quæ e$t in $uperficiebus corporis, fuerit con$imilis formæ: cogno$cet peri- p$am planitiem $uperficiei. Et ui$us comprehendit aliquando planitiem per intuitum etiam. Cum ergo ui$us intuebitur $uperficiem corporis plani, comprehendet æqualitatem partium eius: & $ic comprehendet planitiem. Ter$itudo autem (& e$t fortis planities) comprehenditur à ui$u ex $cin- tillatione lucis in $uperficie corporis $ui. Planities ergo comprehenditur à ui$u ex comprehen$io- ne æqualitatis $uperficiei. Aequalitas autem $uperficiei comprehenditur à ui$u in maiori parte ex $imilitudine formæ lucis in $uperficie corporis. Et ter$itudo comprehenditur à ui$u ex $cintilla- tione lucis in $uperficie corporis, & ex $itu, $ecundum quem reflectitur lux. Et fortè $imul aggre- gatur a$peritas & planities in eadem $uperficie, $cilicet quòd $int in $uperficie alicuius corporis par tes diuer$i $itus, profundæ & prominentes, & $int partes cuiuslibet partium diuer$i$itus prominen tium & profundarum ad qua$dam partes, uel ad partes quarundam con$imilis $itus, ita ut tota $u- perficies $it a$pera, & partes eius, aut quædam $int planæ. Et a$peritas huiu$modi $uperficiei com- prehenditur à ui$u ex comprehen$ione diuer$itatis $itus partium prominentium & profundarum. Et planities partium comprehenditur à ui$u in $uperficie bus partium. Et aliquando ui$us compre- hendit planitiem huiu$modi partium per intuitionem, & ex comprehen$ione con$imilitudinis $u- perficiei cuiuslibet iHarum. Et $ecundum i$tos modos comprehendit ui$us planitiem & ter$itudi- nem & a$peritatem.

55. Per$picuit{as} percipitur è perceptione corpor{is} den$i ultra corp{us} per$picuum po$iti. 142 p 4.

DIaphanitas autem comprehenditur à ui$u per argumentationem ex comprehen$ione illius, quod e$t ultra corpus diaphanum. Et diaphanitas corporis diaphani non comprehenditur à ui$u, ni$i quando fuerit in eo $pi$situdo quædam, & fuerit diaphanitas eius $pi$sior, dia- phanitate aeris interiacentis inter ui$um & ip$um. Si autem fuerit in fine diaphanitatis, non com- prehendet ui$us diaphanitatem eius, & non comprehendet, ni$i illud, quod e$t ultra ip$um tantùm. Et cum in eo fuerit quædam diaphanitas: comprehendetur à ui$u propter illud, quod e$t de $pi$si- tudine in eo, & diaphanitas eius comprehendetur ex comprehen$ione illius, quod e$t ultra ip$um. Quoniam quando ultra corpus diaphanum fuerit lux aut corpus coloratum illuminatum, uidebi- tur ultra corpus diaphanum. Et ui$us non $entit diaphanitatem corporis, quando $en$erit illud, quod e$t ultra ip$um, ni$i cum $en$erit quòd color & lux, quæ comprehenduntur ultra corpus dia- phanum, e$t lux & color ultra corpus diaphanum, & non e$t color & lux ip$ius corporis: $i autem OPTICAE LIBER II. non: nõ $entiet diaphanitatem corporis diaphani. Si ergo ultra corpus diaphanum non fuerit lux, nec corpus illuminatum, nec in circuitu eius, & non apparuerit ultra ip$um, neq; in aliqua alia par- te lux aut color: diaphanitas illius corporis non comprehenditur. Et hoc erit quando corpus dia- phanum fuerit applicatum cum aliquo corpore $pi$$o, & illud corpus $pi$$um continuerit ip$um, aut re$pexerit ip$um, & fuerit quoq; corpus diaphanum ob$curi coloris: quoniam tunc ui$us non $entiet diaphanitatem huius corporis. Et $imiliter quàndo ultra corpus diaphanũ fuerit locus ob- $curus, & non apparuerit ultra ip$um aliqua lux: non comprehendetur diaphanitas eius. Cum ergo ui$us $en$erit, quòd color, qui compreh\~editur ultra corpus diaphanum, e$t color corporis ultra cor- pus diaphanum, $entiet diaphanitatem corporis diaphani. Et $imiliter quando corpus diaphanum fuerit debilis diaphanitatis, & fuerit corpus, quod e$t ultra ip$um, & corpora quæ $unt in circuitu e- ius, debilis lucis: tunc diaphanitas eius non comprehenditur à ui$u, ni$i apponatur forti luci. Cum autem cogno$cet lucem ultra ip$um: comprehendet diaphanitatem. Secundum ergo i$tos inodos comprehendet ui$us diaphanitatem corporum diaphanorum.

56. Den$itas percipitur è per$picuitat{is} priuatione. 143 p 4.

SPi$situdo comprehenditur à ui$u ex priuatione diaphanitatis. Cum ergo ui$us comprehenderit corpus, & non $en$erit in ip$o aliquam diaphanitatem, arguet eius $pi$situdinem.

57. Vmbra percipitur è lucis unius ab$entia, alterius præ$entia. 145 p 4.

VMbra uerò comprehenditur à ui$u re$pectu lucis illuminantis, aut partis lucis illuminantis. Quoniã enim umbra e$t priuatio quarundam lucium cum illuminatione loci umbr{ae} ab ex- tranea luce priuata à loco umbræ: Itaq; cum $en$erit ui$us illud, quod e$t uicinum ip$i, & fue- rit $uper illud corpus uicinum lux fortiorluce, quæ e$t in loco umbræ, $entiet umbrationem illius loci, & priuation\~e à luce oriente $uper corpus uicinũ illi. Quoniã quando ui$us $en$erit aliquã luc\~e in aliquo loco: & caruerit ille locus luce $olis, aut aliqua luce forti: $entiet obumbration\~e illius loci & priuation\~e à luce $olis, aut ab alia luce forti. Et fortè ui$us $entiet corpus faci\~es umbram, & fortè non di$tinguetur ab eo $tatim corpus obumbrans, $ed tandem, quando ui$us comprehenderit lo- cũ, in quo e$t luxdebilis, & cõprehenderit ultima corporà in loco lucis debilis e$$e fortioris lucis il- la luce debili: $entiet $tatim umbrã illius loci. Secundũ ergo hunc modũ ui$us cõprehendit umbrã.

58. Ob$curit{as} percipitur è lucis priuatione & ab$entia. 146 p 4.

OB$curitas uerò comprehenditur à ui$u per argumentationem expriuatione lucis. Cum er- go ui$us comprehenderit aliquem locum, & non comprehenderit in eo aliquam lucem, $en tiet ob$curitatem eius.

59. Pulchritudo percipitur tum è $ingulis ui$ibilibus $peciebus, tum è pluribus $imul coniun ctis, $ymmetris inter $e. 148 p 4.

PVlchritudo autem comprehenditur à ui$u ex comprehen$ione intentionum particularium, quarum comprehen$ionis qualitas e$t declarata antè. Nam unaquæque intentionum particu- larium præ dictarum faciet per $e aliquem modum pulchritudinis, & coniugationes illaruin faoiunt etiam alios modos pulchritudinis. Et ui$us non comprehendit pulchritudinem, ni$i in for- mis ui$ibiliũ, quæ comprehenduntur per $en$um ui$us. Et formæ ui$ibiliũ $unt compo$itæ ex inten tionibus particularibus, quarũ di$tinctio iam e$t declarata. Et ui$us comprehendit formas ex com- prehen$ione i$tarum intentionum. Ip$e ergo comprehendit pulchritudinem ex comprehen$ione i$tarum intentionum. Modi autem pulchritudinis, qui comprehenduntur à ui$u in formis ui$ibi- lium, $unt multi. Quædam ergo ui$ibilia habent unam cau$$am ex intentionibus particularibus, qu{ae} $unt in forma: & cau$$a quorundam non e$t, ni$i intentionum inter $e coniunctio, non ip$æ inten- tiones: & cau$$a quorundam e$t compo$ita ex intentionibus & ex compo$itione illarum. Et ui$us comprehendit quamlibet intentionum, quæ $unt in qualibet forma per$e: & comprehendit ip$as compo$itas: & comprehendit compo$itionem & coniugationem illarum. Vi$us ergo comprehen- dit pulchritudinem $ecundum diuer$os modos. Et omnes modi, ex quibus ui$us comprehendit pulchritudinem, reuertuntur ad comprehen$ionem intentionum particularium. Si uerò i$tæ in- tentiones particulares faciunt pulchritudinem: etiam compo$itæ $imiliter. Et e$t dicere: facere pul chritudinem, e$t inducere di$po$itionem in anima, qua uidebiture ei, quòd $it res pulchra, quæ ui- detur. Et hoc apparebit per modicam in$pectionem: quoniam lux facit pulchritudinem: & pro- pter hoc apparebunt pulchra $ol, luna & $teliæ: & non e$t in $ole, luna & $tellis cau$a, propter quam apparebunt decora, ni$i luxearum. Lux ergo per $e facit pulchritudinem. Et color etiam facit pulchritudinem. Quoniam quilibet color $cintillans $icut uiridis & ro$eus, & his $imiles ap- parebunt pulchri ui$ui, & delectatur ui$us eis. Et propter hoc apparebunt pulchri panni tincti, & flores, & uiridia. Color ergo per $e facit pulchritudinem. Et remotio etiam aliquando facit pulchri- tudinem accidentaliter. Quoniam in quibu$dam formis pulchris $unt macul{ae} & rugæ, quæ faciunt turpitudinem in formis: & cum elongabuntur à ui$u, latent illæ intentiones $ubtiles, quæ faciunt ALHAZEN turpitudinem in illis formis, & apud latentiam illarum intentionum apparebit pulchritudo illius formæ. Et $imiliter etiam in multis formis pulchris $unt intentiones $ubtiles, per quas forma e$t pulchra, $icut lineatio & ordinatio, & multæ i$tarum intentionum latent ui$um in multis remotio- nibus mediocribus: & quando $unt prope ui$um, apparebunt ill{ae} intentiones $ubtiles ui$ui, & appa rebit pulchritudo formæ. Remotio ergo & appropinquatio faciunt pulchritudin\~e. Et $itus aliquan- do facit pulchritudinem: & plures intentiones pulchræ non apparent pulchræ, ni$i propter ordi- nem & $itum tantùm. Quoniam omnes di$tinctiones ordinatæ qua$i punctatæ non apparent pul- chræ, ni$i propter ordinem. Et $criptura non apparet pulchra, ni$i propter ordinationem: quoniam pulchritudo non e$t, ni$i ex directione figurarum literarum, & ex compo$itione earum inter $e. Si autem compo$itio literarum & ordinatio non fuerit $ecundum unam proportionem, $cilicet, ut u- na magna, alia parua: tunc non erit pulchra $criptura, quamuis figuræ literarum per $e $int benè po $itæ. Et aliquando apparet $criptura pulchra, quando compo$itio eius fuerit proportionalis, quam- uis literæ non $int in fine bonæ di$po$itionis. Et $imiliter plures formæ ui$ibilium non apparent pulchræ, ni$i propter di$po$itionem & ordinationem partium inter $e. Et corporeitas etiam facit pulchritudinem: & propter hoc apparent pulchra corpora hominum & multorum animalium. Et figura facit pulchritudinem: & propter hoc luna, & formæ pulchræ hominum & multorum anima- lium, & arborum, & plantarum non apparent pulchræ, ni$i propter formas eorum, aut propter fi- guras partium eorum, aut propter eorum figuras, aut propter figuras partium formæ. Et magnitu- do facit pulchritudinem: & propter hoc apparet luna pulchrior $tellis, & $tellæ magnæ pulchrio- res $tellis paruis. Et diui$io facit pulchritudinem: & propter hoc $tellæ $eparatæ $unt pulchriores $tellis exten$is, & pulchriores $tellis galaxiæ: & propter hoc candelæ di$tinctæ $unt pulchriores i- gne. Et continuatio etiam facit pulchritudinem: & propter hoc uiridale continuum, & plantæ con- tinuæ & $pi$$æ $unt pulchriores di$tinctis. Et numerus facit pulchritudinem: & propter hoc loca cœli multarum $tellarum $unt pulchriora locis paucarum $tellarum: & propter hoc candelæ multæ in eodem loco faciunt pulchritudinem. Et etiam motus hominis in $erm one facit pulchritudinem. Et quies eius facit pulchritudinem: & propter hoc apparet pulchra grauitas & taciturnitas. Et a$pe- ritas facit pulchritudinem: & propter hocapparet uillo$itas pulchra, ut uillo$itas in multis pannis. Et planities facit pulchritudinem: & propter hoc apparet pulchrum in pannis. Et diaphanitas facit pulchritudinem: & propter hoc apparent de nocte micantes diaphani. Et $pi$situdo facit pulchri- tudinem: quoniam color & lux, & figura, & lineatio, & omnes intentiones pulchræ apparentes in formis ui$ibilium non comprehenduntur $imiliter à ui$u, ni$i propter $pi$situdinem & umbram. Et umbra facit apparere pulchritudinem: quoniam in multis formis ui$ibilium $unt maculæ, & pori $ubtiles reddentes eas turpes: & cum fuerint in luce $olis, apparebunt maculæ in eis: quare la- tebit pulchritudo earum: & cum fuerint in umbra aut luce debili, latebunt illæ maculæ & rugæ: quare comprehendetur pulchritudo earum. Et etiam tortuo$itates, quæ apparent in plumis a- uium, & in panno, qui dicitur amilialmon, in umbra non apparent & in luce debili. Et ob$curitas facit pulchritudinem apparere: quoniam $tellæ non apparent, ni$i in ob$curo: & $imiliter non ap- paret pulchritudo earum, ni$i in nigredine noctis, & in locis ob$curis, & latet in luce diei: & $tellæ in noctibus ob$curis $unt pulchriores, quàm in noctibus lunæ. Et con$imilitudo facit pulchritudi- nem: quoniam membra animalis eiu$dem $peciei, ut oculus oculo, non apparent pulchra, ni$i quan do fuerint con$imilia: quoniam oculi, quando fuerint diuer$æ figuræ, $cilicet quod unus $it rotun- dus, & alter longus, erunt in fine turpitudinis: & etiã $i unus fuerit niger & alter uiridis, erũt etiã tur pes: & $imiliter $i unus fuerit maior altero. Et $imiliter $i una gena fuerit profunda, & altera pro- minens, erunt in fine turpitudinis. Et $imiliter quando unum $uperciliorum fuerit gro$$um, & al- terum $ubtile, aut unum illorum longum, & alterum breue, erunt turpia. Omnia ergo membra ani- malium uniu$modi non erunt pulchra, ni$i cum fuerint con$imilia. Et $imiliter literæ & picturæ non apparent pulchræ, ni$i quando literæ fuerint, quæ $unt uniu$modi: & partes illarum, quæ $unt uniu$modi, con$imiles. Et diuer$itas facit pulchritudinem: quoniam figuræ membrorum anima- lis $unt diuer$arum partium, & non $unt pulchræ, ni$i propter illam diuer$itatem. Quoniam $ina- $us totus e$$et eiu$dem gro$situdinis, e$$et in fine turpitudinis: & pulchritudo eius non e$t, ni$i pro- pter diuer$itatem duorum extremorum eius, & eius pyramidalitatem. Et $imiliter pulchritudo $u- perciliorum non e$t, ni$i quando extrema eorum fuerint $ubtiliora re$iduis anterioribus. Et $imi- liter omnia membra animalium quando a$piciuntur: inuenitur quòd pulchritudo eorum non e$t, ni$i ex diuer$itate figurarum partium eorum. Et $imiliter $cripturæ: quoniam $i partes $criptu- ræ e$$ent æqualis gro$situdinis, non apparerent pulchræ: quoniam extrema literarum non appa- rent pulchra, ni$i quando fuerint $ubtiliora re$iduo. Quoniam $i extrema literarum & media ea- rum, & continuatio earum e$$ent unius $pi$situdinis: e$$et $criptura in fine turpitudinis. Diuer$i- tas ergo facit pulchritudinem in multis formis ui$ibilium. Iam ergo declaratum e$t ex eo, quod di- ximus, quòd unaquæque intentionum particularium, quando comprehenditur per $en$um ui$us, aliquando facit pulchritudinem per $e. Et cum $ermo fuerit factus de multis corporibus inductiuè per $e: cum inducentur omnia corpora: inuenietur, quòd quælibet i$tarum intentionum facit pul- chritudinem in multis locis. Et non diximus, ea quæ diximus, ni$i gratia exempli, & ut po$$ent acquiri alia exempla per i$ta. Sed tamen i$tæ intentiones non faciunt pulchritudinem in omnibus locis, neque unai$tarum intentionum facit pulchritudinem in qualibet forma, in quam peruenit OPTICAE LIBER II. illa intentio, $ed in quibu$dam formis, & in quibu$dam non. Verbi gratia: non quælibet magni- tudo facit pulchritudinem in quolibet corpore alicuius magnitudinis: & $imiliter non quili- bet color facit pulchritudinem: neque uiridis color facit pulchritudinem in quolibet corpore, in quod peruenit ille color: & $imiliter non quælibet figura facit pulchritudinem. Et quælibet illa- rum intentionum, quas diximus, facit pulchritudinem per $e, $ed in quibu$dam locis, & in quibu$- dam non, & $ecundum quo$dam modos, & $ecundum alios non. Et etiam i$tæ intentiones faciunt pulchritudinem per coniunctionem illarum inter$e: quoniam $criptura pulchra e$t illa, cum figu- ræ literarum $unt pulchræ, & compo$itio illarum inter $e e$t compo$itio pulchra: quoniam $cri- ptura, in qua adunantur i$tæ duæ intentiones, e$t pulchrior $criptura, in qua e$t una i$tarum dua- rum intentionum tantùm. Finis ergo pulchritudinis $cripturæ non e$t, ni$i ex coniugatione figu- ræ & $itus. Et $imiliter quando colores $cintillantes & picturæ fuerint ordinatæ ordinatione con- $imili, $unt pulchriores coloribus & picturis carentibus ordinatione con$imili. Et $imiliter pul- chritudo apparet in forma hominum & animalium ex coniugatione intentionum particularium, quæ $unt in eis. Quoniam magnitudo oculorum mediocris cum figura eius amygdalata e$t pul- chrior oculo, qui non habet, ni$i magnitudinem tantùm aut figuram amygdalatam tantùm. Et $i- militer rotunditas faciei cum tenuitate & $ubtilitate cutis & coloris, e$t pulchrior quàm unum $i- ne altero. Et $imiliter paruitas oris cum $ubtilitate labiorum & mediocritate, e$t pulchrior paruita- te oris cum gro$situdine labiorũ: & pulchrior gracilitate labiorũ cũ amplitudine oris. Et i$ta inten- tio e$t multæ diuer$itatis, & multorũ modorũ. Et cum feceris induction\~e in formis pulchris omniũ modorũ ui$ibiliũ: inuenies quòd coniunctio intentionũ particulariũ, quæ $unt in formis, facit in eis modos pulchritudinis, quosnõ facit una intentionũ per $e. Et pulchritudo in maiori parte nõ fit, ni$i ex coniunctione i$tarum intentionũ inter $e. Quoniã intentiones particulares, quas diximus, faciũt pulchritudin\~e per $e, & faciunt pulchritudinem per coniunction\~e earum inter $e. Et etiã pulchritu- do fit ex alia intentione præter i$tas duas intentiones, quas prædiximus: & e$t proportionalitas & con$onoritas. Quoniam formæ compo$itæ ex membris diuer$is, & partibus diuer$is, habent fi- guras diuer$as, & magnitudines diuer$as, & $itus diuer$os, & continuationem & coniunctionem, & perueniunt in quamlibet illarum multæ intentiones particulares, tamen omnes non $unt pro- portionales. Quoniam non quælibet figura e$t pulchra cum qualibet figura: nec quælibet magni- tudo e$t pulchra cum qualibet magnitudine: neque quilibet $itus e$t pulcher cum quolibet $itu: neque quælibet figura cum qualibet magnitudine: neque quælibet magnitudo cum quolibet $i- tu. Sed quælibet intentionum particularium habet proportionem cum quibu$dam intentionibus, & e$t a$ymmetra quibu$dam. Verbi gratia: Simitas na$i cum profunditate oculorum non e$t pul- chra: & $imiliter magnitudo na$i cum magnitudine oculorum non e$t pulchra: & $imiliter pro- minentia frontis cum profunditate oculorum non e$t pulchra: & $imiliter frontis planities cum prominentia oculorum non e$t pulchra. Quodlibet ergo membrorum habet figuram, quæ facit formam eius pulchram: & etiam quælibet figura cuiuslibet membri non habet proportionem, ni- $i cum quibu$dam figuris re$iduorum membrorum, & cum alijs non. Et forma fit pulchra per con- gregationem figurarum proportionalium: & $imiliter magnitudines & $itus, & ordinatio eorum. Quoniam magnitudo oculorum cum pulchritudine figuræ eorum, & cum mediocritate $imita- tis na$i, & cum magnitudine proportionali ad magnitudinem oculorum, e$t pulchra. Et $imili- ter amygdalitas oculorum, & dulc\~edo, & tenuitas figuræ eius: & $i fuerint parui cum $ubtilitate na$i & mediocritate figuræ quantitatis eius, erunt pulchri. Et $imiliter gracilitas labiorum cum $ubtilitate oris e$t pulchra, quando gracilitas oris fuerit proportionalis ad gracilitatem labiorum: $cilicet quòd labia non $int in fine gracilitatis, & os non in fine paruitatis, $ed erit paruitas oris me- diocris, & labia gracilia, & præterea proportionalia ad quantitatem oris. Et $imiliter amplitudo faciei, quando fuerit proportionalis ad quantitates membrorum faciei, erit pulchra: $cilicet, quòd facies non $it in fine amplitudinis, & membra faciei $int proportionalia ad quantitatem to- tius faciei. Quoniam quando facies fuerit ampla maximæ amplitudinis, & membra, quæ $unt in ea, $unt parua, non proportionalia ad quantitatem eius: non erit facies pulchra, quamuis quan- titates membrorum $int proportionales, & figuræ eorum $int pulchræ. Et $imiliter quando fue- rit parua facies, & $tricta, & membra eius fuerint magna, membra dico faciei: erit facies turpis: & cum membra fuerint proportionalia inter $e, & proportionalia ad quantitatem amplitudinis faciei: erit facies pulchra, quamuis membra per $e non $int pulchra: $ed proportionalitas tantum- modò facit pulchritudin\~e. Cum ergo in forma congregabitur pulchritudo figuræ cuiuslibet partis eius, erit pulchritudo quantitatis & compo$itionis, & proportionalitas membrorum $ecundum fi- guras, & magnitudines, & $itus: & fuerint præterea proportionalia ad totam figuram faciei & quantitatem eius, erit in fine pulchritudinis. Et $imiliter $criptura non erit pulchra, ni$i quando fuerint literæ eius proportionales in figura, & quantitate, & $itu, & ordine. Et $imiliter e$t cum o- mnibus modis ui$ibilium, cum quibus congregantur partes diuer$æ. Et cum con$ideraueris for- mas pulchras de omnibus modis ui$ibilium: inuenies quòd proportionalitas facit pulchritudi- nem magis, quàm aliqua alia intentio, uel etiam aliquæ coniunctæ per $e. Et cum con$iderabun- tur intentiones pulchræ, quas faciunt intentiones particulares per coniunctionem earum inter $e: inuenietur, quòd pulchritudo, quæ apparet ex coniunctione illarum inter $e, non apparet, ni$i ALHAZEN propter proportionalitatem illarum intentionum coniunctarum inter $e. Quoniam non, quan- docunque adunabuntur illæ intentiones, fit pulchritudo, $ed in quibu$dam formis fit, & in alijs non. Et hoc e$t propter proportionalitatem, quæ contingit inter illas intentiones. Pulchritudo ergo non e$t, ni$i ex intentionibus particularibus, & perfectio eius non e$t, ni$i ex proportiona- litate & con$onantia, quæ fit inter intentiones particulares. Iam ergo declaratum e$t ex omni, quod diximus, quòd formæ pulchræ comprehen$æ à ui$u non $unt pulchræ, ni$i ex intentionibus particularibus, quæ comprehenduntur per $en$um ui$us, & ex coniunctione earum inter $e, & ex proportionalitate earum inter $e. Et ui$us comprehendit intentiones particulares prædictas $im- plices & compo$itas. Cum ergo ui$us comprehenderit aliquam rem ui$am, & fuerit aliqua inten- tio in illa re ui$a particularis, faciens pulchritudinem per $e aliquam: & intueatur ui$us illam in- tentionem per $e: perueniet forma illius intentionis po$t intuitum apud membrum $entiens, & comprehendet uirtus di$tinctiua pulchritudinem rei ui$æ, in qua e$t illa intentio. Quoniam ue- ro forma cuiuslibet rei ui${ae} e$t compo$ita ex multis intentionibus earum intentionum, quarum di- ui$ionem prædiximus: cum ergo ui$us comprehenderit rem ui$am, & non di$tinxerit intentio- nes, quæ $untin ea: non comprehendet pulchritudinem eius: & cum di$tinxerit intentiones, quæ $unt in ea, & fuerit aliqua intentio earum, quæ $unt in ea, $ecundum modum facientem pulchri- tudinem in anima: $tatim ui$us apud intuitionem illius intention is comprehendet illam intentio- nem per $e. Et cum comprehenderit illam intentionem per$e: perueniet illa comprehen$io apud membrum $entiens: & $ic uirtus di$tinctiua comprehendet pulchritudinem, quæ e$t in ea: & per i$tam comprehen$ionem comprehendet pulchritudinem illius rei ui$æ. Cum ergo ui$us compre- henderit aliquam rem ui$am, & in illa re ui$a fuerit pulchritudo compo$ita ex intentionibus coniun ctis: & fuerit ui$us intuitus illam rem ui$am: & di$tinxerit intentiones, quæ $unt in ea: & compre- henderit intentiones, quæ faciunt pulchritudinem per coniunctionem earum inter $e, aut propor- tionalitatem earum inter $e: & peruenerit illa comprehen$io apud membrum $entiens: & compa- rauerit uirtus di$tinctiua illas intentiones inter $e: comprehendet pulchritudinem illius rei ui$æ compo$itam ex coniunctione intentionum, quæ $unt in ea. Vi$us ergo comprehendet pulchritu- dinem, quæ e$t in ui$ibilibus ex compo$itione illarum intentionum inter $e $ecundum modum, quem declarauimus.

60. Deformitas percipitur tum è $ingulis ui$ibilibus $peciebus, tum è pluribus $imul coniun- ctis, a$ymmetris inter $e. 149 p 4.

TVrpitudo uerò e$t forma carens intentione qualibet pulchra. Quoniam enim iam prædictum e$t, quòd intentiones particulares faciunt pulchritudinem, $ed non in omnibus locis, ne@ in omnibus formis, $ed in alijs, & in alijs non: & $imiliter proportionalitas non e$t in omni- bus formis, $ed in quibu$dam formis, & in quibu$dam non. Formæ ergo, in quibus non faciunt in- tentiones particulares pulchritudinem aliquam per$e, nec per $uam coniunctionem, & in quibus non e$t aliqua proportionalitas inter partes earum, carent omni pulchritudine: & $ic $unt turpes: quoniam turpitudo formarum e$t priuatio pulchritudinis in eis. Et fortè aggregantur in eadem forma intentiones pulchræ & turpes: $ed ui$us comprehendit pulchritudinem ex pulchro, & tur- pitudinem exturpi, quando di$tinxerit, & fuerit intuitus intentiones quæ $unt in ea. Turpitudo er- go comprehenditur à ui$u in formis carentibus omnibus pulchritudinibus, ex priuatione pulchri- tudinis apud comprehen$ionem.

61. Similitudo percipitur è ui$ibilium inter $e conuenientia. 151 p 4.

COn$imilitudo autem e$t æqualitas duarum formarum aut duarum intentionum in re, in qua $unt con$imiles. Cum ergo ui$us comprehenderit duas formas, aut duas intentiones con$i- miles: $imul comprehendet con$imilitudinem ex illarum comprehen$ione cuiuslibet dua- rum formarum, uel intentionum, & ex compcratione alterius illarum ad alteram. Vi$us ergo com- prehendit con$imilitudinem in formis, uel intentionibus con$imilibus ex comprehen$ione cuiusli bet formarum uel intentionum $ecundum $uum e$$e, & ex comparatione illarum inter $e.

62. Di{$s}imilitudo percipitur è priuatione $imilitudinis & conuenientiæ ui$ibilium inter $e. 152 p 4.

DIuer$itas autem comprehenditur à ui$u in formis diuer$is ex comprehen$ione cuiuslibet for marum diuer$arum, & ex comparatione alterius illarum ad alterã, & ex comprehen$ione pri uationis æqualitatis, id e$t con$imilitudinis in eis. Diuer$itas ergo comprehenditur per $en- $um ui$us ex comprehen$ione cuiuslibet formarum & intentionum per $e, & ex comparatione ea- rum inter $e, & ex $en$u priuationis æqualitatis à $entiente. Iam ergo cõpleuimus, & declarauimus declaration\~e qualitatis cõprehen$ionis cuiuslibet intentionũ particulariũ, quæ comprehenduntur per $en$um ui$us. Et declaratũ e$t ex omnibus his, quòd quædã intentiones particulares cõprehen- duntur $olo $en$u: & quædã cõprehenduntur per cognitionem: & quædam per argumentation\~e &  OPTICAE LIBER II. $ignificationem $ecundum uias, quarum declarationem prædiximus. Et i$tæ $unt intentiones, qua- rum declarationem intendimus in hoc opere.

DE DIVERSITATE COMPREHENSIONIS VISVS AB intentionibus particularibus. Cap. III. 63. Vi$us plures ui$ibiles $pecies $imul percipit. 2 p 4.

IAm declaratum e$t, quomodo ui$us compreh\~edat quamlibet intentionum particularium, quæ comprehenduntur per $en$um ui$us. Et ui$us non comprehendit ni$i formas ui$ibilium, quæ $unt corpora: $ed formæ ui$ibilium $unt compo$itæ exintentionibus particularibus prædictis, $icut, figura, & magnitudine, & colore, & $itu, & ordine, & $imilibus. Vi$us ergo non comprehendit quamlibet intentionum, ni$i ex comprehen$ione formarum ui$ibilium compo$itarum ex intentio- nibus particularibus: & ui$us comprehendit quamlibet formarum ui$ibilium $ecundum intentio- nes particulares, quæ $unt in formis ui$ibilibus: & nihil comprehendit ui$us ex intentionibus par- ticularibus per $e: quoniam nulla intentionum prædictarum e$t $ola per $e. Nam omnes i$tæ parti- culares intentiones non inueniũtur, ni$i in corporibus, & nullum corpus e$t, in quo e$t aliqua i$ta- rum intentionum $ola $ine alia. Vi$us ergo non comprehendit ni$i formas ui$ibilium: $ed quælibet forma ui$ibilium e$t compo$ita ex multis intentionibus particularibus. Ergo ui$us comprehendit in qualibet formarum ui$ibilium multas intentiones particulares, quæ di$tinguuntur in imagina- tione. Vi$us ergo comprehendit quamlibet intentionũ particularium apud ui$ionem rei ui$æ, con- iunctam cum intentione aliqua particulari: deinde ex di$tinctione eius inter intentiones, quæ $unt in forma, comprehendit quamlibet intentionum per $e.

64. Vi$io fit a$pectu, aut obtutu. 51 p 3.

ET iam declaratum e$t, & determinatum, qualiter ui$us compreh\~edat formas ui$ibilium, quæ componuntur ex intentionibus particularibus. Et qu{ae}dam intentiones particulares, ex qui- bus componuntur formæ ui$ibilium, apparent apud a$pectum rei ui$æ: & quædam non ap- parent, ni$i po$t intuitionem & con$iderationem $ubtilem: $icut $criptura $ubtilis, & lineatio $ubti- lis, & diuer$itas colorum con$imilium ferè. Et genéraliter omnes intentiones $ubtiles non appa- rent ui$ui apud a$pectum rei ui$æ, $ed po$t intuitionem & con$iderationem. Et forma rei ui$æ com- prehen$a per $en$um ui$us, e$t illa quæ componitur ex omnibus intentionibus particularibus, quæ $unt ex forma rei ui$æ, quas po$sibile e$t ui$um comprehendere. Et ui$us non comprehendit ue- ram formam rei ui$æ, ni$i per comprehen$ionem omnium intentionum particularium, quæ $unt in forma rei ui$æ. Et cum ita $it, forma ergo uera rei ui$æ, in qua $unt intentiones $ubtiles, non com- prehenditura à ui$u, ni$i po$t intuitionem. Et cum ui$us nõ comprehendat $ubtiles intentiones, ni$i per intuitionem, & non appareant intentiones $ubtiles ui$ui apud a$pectum rei ui$æ: quando igi- tur ui$us comprehenderit aliquam rem ui$am, & comprehenderit formam eius, & fuerint in illa re ui$a $ubtiles intentiones, non apparentillæ per a$pectũ, $ed per intuitionem. Cum ergo ui$us com- prehenderit aliquam rem ui$am, & non fuerit in ea aliqua intentio $ubtilis: comprehendet ueram eius formam: quamuis non certificabit, quod illa forma e$t uera, ni$i po$tquam habuerit fortem in- tuitionem $uper quamlibet partem illius rei ui$æ, & certificauerit, quòd nulla intentio $ubtilis e$t in ea, & tunc certificabit quod forma, quam comprehendit, e$t uera forma. Secundum ergo omnes di$po$itiones non certificat ui$us formam rei ui$æ, ni$i per con$iderationem omnium partium rei ui$æ, & per intuitionem omnium partium, quæ po$$unt apparere in re ui$a. Et quia hoc e$t decla- ratum, dicamus quòd comprehen$io ui$ibilium erit $ecundum duos modos, qui$unt comprehen- $io $uperficialis, & comprehen$io per intuitionem, quæ profundum a$picit. Quoniam quando ui- $us a$picit rem ui$am, comprehendit intentiones manife$tas, quæ $unt in ea apud a$pectum: dein- de $i præter illud in$pexerit ip$am, & con$iderauerit omnes partes eius, certificabit formam eius: $i autem non intuetur partes eius, non comprehendet formam certificatam. Et illa forma, quæ e$t in ui$u, aut erit uera eius forma, $ed ui$us non certificat, quòd $it uera eius forma: aut non erit forma eius uera. Et cum ita $it, comprehen$io ergo ui$ibilium erit $ecundum duos modos: & e$t compre- hen$io $uperficialis, quæ e$t in primo a$pectu, & comprehen$io, quæ e$t per intuitionem. Compre- hen$io autem per primum a$pectum, e$t comprehen$io non certificata: & comprehen$io per intui- tionem, e$t comprehen$io, per quam certificantur formæ ui$ibilium.

65. Vi$io per a$pectum, fit per quemlibet pyramidis opticæ radium: per obtutum uerò fit per $olum axem. 52 p 3.

ET cum hoc declaratum $it, dicamus quòd intuitio, per quam comprehenduntur ueræ formæ ui$ibilium, erit per ip$um ui$um, & erit per di$tinction\~e. Quoniam iam declaratũ e$t in di$tin- ctione linearum radialium [8 n] quòd formæ, quæ à ui$u comprehenduntur ex axe radiali, & exillo, qui e$t prope axem, $unt manife$tiores, & maioris certificationis, formis, quæ compre- ALHAZEN henduntur ex re$iduis uerticationibus. Cum ergo ui$us fuerit oppo$itus alicui rei ui$æ: & illa res- ui$a non fuerit in fine paruitatis, $ed alicuius quantitatis: & ui$us fuerit fixus in oppo$itione eius apud a$pectum: illud, quod opponitur medio ui$us ex illa re ui$a, & fuerit $uper axem aut prope axem: erit manife$tius partibus re$iduis rei ui$æ: & ui$us percipit i$tam di$po$itionem. Quoniam quando comprehenderit rem ui$am totam: inueniet locum oppo$itum medio eius, cuius forma peruenit in medium ui$us, e$$e manife$tiorem partibus re$iduis. Et $uperius declaratum e$t, quòd i$ta intentio apparet $en$ui, quando res ui$a fuerit magnæ quantitatis. Cum ergo ui$us comprehen derit totam rem ui$am: inueniet, quòd forma partis oppo$itæ medio eius, e$t manife$tior omni- bus partibus re$iduis. Et cum uoluerit certificare formam rei ui$æ, mouebitur, ita ut medium eius $it oppo$itum cuilibet parti partium rei ui$æ: & $ic comprehendet formam cuiuslibet partis par- tium rei ui$æ, comprehen$ione manife$ta & certificata, $icut comprehendit partem oppo$itam me- dio eius apud a$pectum rei ui$æ. Cum igitur $entiens uoluerit certificare rem ui$am: mouebitur ui- $us ita, ut $it medium eius oppo$itum cuilibet parti partium rei ui$æ. Et per i$tum modum compre- hendet formam cuiuslibet partium rei ui$æ ualde manife$tè: & uirtus di$tinctiua di$tinguet omnes formas uenientes ad ip$am, & di$tinguet colores partium, & diuer$itatem colorum, & ordinatio- nem partium inter$e. Et generaliter di$tinguet omnes intentiones rei ui$æ, quæ apparent per in- tuitum, & formam totius rei ui$æ comp o$itam ex illis intentionibus. Secundum ergo hunc mo- dum erit certificatio cuiuslibet partium rei ui$æ $ecundum $uum e$$e, & certificatio omnium in- tentionum rei ui$æ. Et non certificatur forma cuiuslibet partium rei ui$æ, ni$i po$t motum ui$us $uper omnes partes. Et præterea natus e$t ui$us ad motum intuitionis, & ad faciendum axem ra- dialem tran$ire $uper omnes partes rei ui$æ. Cum ergo uirtus di$tinctiua quæ$ierit intueri rem ui- $am: mouebitur axis radialis $uper omnes partes rei ui$æ. Et cum intentiones $ubtiles, quæ $unt in illa re ui$a, non appareant, ni$i per motum ui$us, & per tran$itum axis, aut linearum radialium, quæ $unt prope ip$um $uper quamlibet partium rei ui$æ: non perueniet forma rei ui$æ certifica- ta ad $entientem, quando corpus eius fuerit alicuius quantitatis, ni$i per motum ui$us, & per op- po$itionem cuiuslibet partium rei ui$æ, medio ui$us. Et etiam quando res ui$a fuerit in fine par- uitatis, & non fuerit oppo$ita medio ui$us: etiam nõ complebitur intuitio eius, ni$i po$tquam mo- tus fuerit ui$us, donec axis trã$eat in illam rem ui$am, & perueniat forma illius rei ui$æ in medium ui$us, & appareat forma rei ui$æ. Et cum ita $it, intuitio, per quam ui$us comprehendit ueras for- mas ui$ibilium, fortè erit per ip$um ui$um & fortè per di$tinctionem $imul. Compreh\~e$io ergo for- mæ ueræ rei ui$æ non erit, ni$i per intuitionem: & intuitio, per quam certificabitur forma rei ui$æ, non complebitur, ni$i per motum ui$us. Et cum corpus rei ui$æ fuerit alicuius quantitatis, non complebitur intuitio eius, ni$i per motum axis radialis in omnes diametros rei ui$æ. Et i$tam in- tentionem uoluit dicere ille, qui opinabatur, quòd ui$io non fieret ni$i per motum: & quòd nulla res ui$a uideretur tota $imul. Quoniam ip$e intendebat dicere ui$ionem certificatam, quæ non po- te$t e$$e, ni$i per intuitionem, & per motum ui$us, & per motum axis radialis $uper omnes diame- tros rei ui$æ. Quomodo uerò $entiens certificet per intuitionem & per motum, formam rei ui$æ, e$t: quia quando ui$us fuerit oppo$itus rei ui$æ, $entiens comprehendet totam formam apud op- po$itionem comprehen$ione qualicunque, & comprehendet partem, quæ e$t apud extremum axis uera comprehen$ione in fine ueritatis: & etiam tunc quamlibet partem re$iduarum partium for- mæ aliqua comprehen$ione. Deinde quando ui$us mouebitur, & mutabitur axis à parte, in qua erat, ad aliam partem: comprehendet $entiens in i$ta di$po$itione formam totius rei ui$æ $ecunda comprehen$ione, & comprehendet partem, quæ e$t apud extremum axis $ecunda comprehen$io- ne etiam. Et erit comprehen$io i$tius partis, quæ e$t apud extremum axis, in $ecunda di$po$itio- ne, manife$tior comprehen$ione eius in prima di$po$itione. Et in i$ta di$po$itione etiam $entiens comprehendet partes re$iduas aliqua comprehen$ione. Et $imiliter, quando axis mutabitur per motum ad tertiam partem, comprehendet $entiens in tertia di$po$itione totam rem ui$am tertia comprehen$ione, & comprehendet partem, quæ e$t apud extremitatem axis tertia comprehen$io- ne etiam. Et erit comprehen$io i$tius partis ab eo in i$ta di$po$itione manife$tior comprehen$io- ne in duabus primis di$po$itionibus: & tunc $entiens comprehendet in i$ta di$po$itione etiam quamlibet partium re$iduarum aliqua comprehen$ione. Per motum ergo ui$us $uper partes rei ui- $æ acquirit $entiens duas di$po$itiones: quarum altera e$t frequentatio comprehen$ionis totius rei ui$æ, & $ecunda e$t, quæ comprehendit quamlibet partium rei ui$æ per axem radialem, aut per illud, quod e$t prope axem radialem, manife$ta comprehen$ione. Apparet ergo $en$ui omne, quod e$t po$sibile apparere exillis partibus. Et cum $entiens $æpe comprehenderit rem ui$am totam, & quamlibet partium rei ui$æ: comprehendet per i$tam di$po$itionem omne, quod e$t po$sibile com prehendi ab illa re ui$a. Et cum hac comprehen$ione multoties iterata in duplicationibus & itera- tionibus comprehen$ionis totius rei ui$æ, di$tinguit uirtus di$tinctiua illud, quod apparet ex colo- ribus partium, & luce, & magnitudine, & remotione, & figura, & $itu earum, & æqualitate illarum, quæ $unt cõ$imiles in i$tis di$tinctionibus, & diuer$itate earum, quæ $unt diuer$æ in omnibus i$tis intentionibus aut in quibu$dá, & ex ordine partiũ inter $e: & comprehendit ex di$tinctione omniũ i$tarum intentionũ ad ea, quæ cogno$cuntur ex $imilibus earũ, formam compo$itam ex omnibus: & $ic $ignatur in imaginatione forma compo$ita ex omnibus i$tis intentionibus: & $ic certificatur OPTICAE LIBER II. forma rei ui$æ, per quam appropriatur illa res ui$a apud $entientem. Secundum ergo hũc modum certificat $entiens per intuitionem formas ui$ibilium.

66. Obtut{us} iteratio alti{us} imprimit formas ui$ibiles animo, certiores<006> efficit. 58 p 3.

ET etiam dicamus, quòd quando ui$us comprehenderit aliquam rem ui$am, & fuerit certifi- cata forma eius apud $entientem: forma illius rei ui$æ remanet in anima: & figuratur in ima- ginatione, & iteratur compreh\~e$io rei ui$æ, & erit forma eius magis fixa in anima, quàm for- ma rei ui$æ, quam ui$us non comprehendit, ni$i $emel autrarò. Et quòd ui$us quando comprehen- derit aliquod indiuiduũ: deinde comprehenderit alia indiuidua eiu$modi indiuidui, & iterata fue- rit comprehen$io in diuiduorum frequenter: quie$cet forma illiu$modi in anima, & perueniet for- ma uniuer$aliter figurata in imaginatione. Et $ignificatio $uper hoc, quòd formæ ui$ibilium rema- neant in anima & in imaginatione, e$t: Quia homo, quãdo meminerit de aliquo homine, quem co- gnouit antè, & certificauerit formam eius, & meminerit tempus, in quo uidit illum homin\~e, & lo- cum uera memoratione: $tatim imaginabitur formã illius hominis, & figuram faciei eius, & $itum illius, in quo erat in illo tempore, & imaginabitur locum, in quo uidit ip$um: & fortè imaginabitur alia ui$ibilia, quæ fuerunt præ$entia in illo loco, quando uidit ip$um. Et hæc e$t $ignificatio manife- $ta, quòd forma illius hominis & forma illius loci $unt fixæ in anima, & remanent in imaginatione. Et propterhoc, quando homo meminerit de aliqua ciuitate, quam uidit, imaginabitur formam il- lius ciuitatis, & formam locorum, in quibus fuit in illa ciuitate, & formas indiuiduorum, quæ co- gnouit in illa ciuitate. Et $imiliter omnium, quæ uidit ex ui$ibilibus, quando ei occurrunt ad me- moriam: imag@nabitur formas $ecundum modum & e$$e, ut percepit ea antea. Imaginatio ergo for- marum ui$ibilium, quas homo antè uidit, & modò $ciuerit, cum $unt ab$entes: e$t $ignificatio, quòd formæ ui$ibilium, quas comprehendit, perueniunt in animam, & figurãtur in imaginatione. Quòd uerò forma rei, cuius comprehen$io iterabitur à ui$u, $it magis fixa in anima & in imaginatione, quàm forma rei ui$æ, cuius comprehen$io non iterabitur, e$t: quia, quando ad animam peruenit ali- qua intentio, $tatim perueniet forma illius intentionis in animam. Et cum tempus pertran$ierit, & intra multum tempus nõ redierit iterum ad animam: fortè tradetur illa intentio obliuioni, aut ali- qua intentionum, quæ $unt in illa intentione: & $i redierit ad animam ante obliuionem, renouatur forma illius in anima, & rememorabit anima per formam $ecũdam, formam primam. Et cum mul- toties iterabitur euentus illius intentionis $uper animam, anima magis meminerit de illa intentio- ne: & $ic erit illa intentio magis fixa in anima. Et etiã prima uice, in qua intentio uenit ad animam, aut in qua forma rei ui$æ uenit ad animam, fortè anima non compreh\~edet omnes intentiones, quæ $unt in illa forma, neque certificabit ip$as, $ed comprehendet tantùm qua$dã intentiones, quæ $unt in ea. Et cum forma redierit $ecundò, comprehendet anima ex ea aliquid, quod in prima uice non comprehendit: & quantò magis iterabitur forma $uper animam, tantò magis manife$tabitur ex ea, quod prius non apparebat. Et cum anima comprehenderit ex forma intentiones $ubtiles eius, & certificauerit formam eius: erit magis fixa in anima, & in imaginatione, quàm forma, ex qua non uerè comprehendit mens omnes intentiones, quæ $unt in ea. Et cum anima comprehenderit ex forma omnes intentiones, quæ $unt in ea prima uice: deinde iterabitur peruentus formæ $uper ip$am, & comprehenderit in ea $ecundò intentiones: plus certificabit: quod illud quod in prima ui- ce comprehendit, e$t uera forma illius. Forma autem, uera uerificata & certificata e$t magis fixa in anima & in imaginatione, quàm forma non certificata. Forma ergo rei ui$æ, quando multoties iterabitur comprehen$io eius, erit magis certificata apud animam, & in imaginatione, & per fixio- nem formæ in anima, & per fixionem formæ in imaginatione erit memoratio illarum ab anima. Et $ignificatio $uper hoc manife$ta, quòd intentiones & formæ quando iterabuntur in anima, erunt magis fixæ, quàm intentiones & formæ non iteratæ, e$t: Quia quando homo uoluerit corde tene- re aliquem $ermonem, uel uer$um aliquem, iterabit $ermonem illius intentionis multoties: & $ic figetur in $ua anima. Et quantò magis iterabit lectionem eius, tantò magis erit fixa in anima, & re- motioris obliuionis: & $i $emel legeritip$am uel ip$um uer$um, non remanebit uer$us ille fixus in anima: & $imiliter, $i bis legerit ip$um, fortè non figetur in anima eius: & $i figatur, $tatim tradetur obliuioni. Experimentatione ergo i$tius intentionis patet, quòd formæ uenientes ad animã, quan- tò magis iterabuntur, tantò magis erunt fixæ in anima & in imaginatione.

67. E ui$ibili $æpi{us} ui$o remanet in animo general{is} notio: qua quodlibet ui$ibile $imile per cipitur & cogno$citur. 61 p 3. Idem 14 n.

PEruentus autem formarum uniuer$alium modorum ui$ibilium in anima, & figuratio eorum in imaginatione, e$t. Quia quodlibet indiuiduorum ui$ibilium habet formam & figuram, in quibus æquabuntur omnia indiuidua illiu$modi: & illa indiuidua diuer$antur tantùm inten- tionibus particularibus comprehen$is per $en$um ui$us: & forte erit color in omnibus indiuiduis illiu$modi unus. Et forma, & figura, & color, & omnes intentiones, ex quibus cõponitur forma cu- iuslibet indiuidui $peciei, e$t forma uniuer$alis illiu$modi: & ui$us cõprehendit illam formã & uni- uer$al\~e illã figurã, & cõprehendit omn\~e intention\~e, in qua æquabuntur omnia indiuidua $peciei in omnib. indiuiduis, quæ cõprehendũtur ex indiuiduis omnib. illi<_>9 $peciei: & cõprehendũtur etiã in- t\~etiones particulares, p quas diuer$antur illa indiuidua. Per intuition\~e ergo cõpreh\~e$ionis indiui- ALHAZEN duorum omnium uniu$modi à ui$u, iteratur forma uniuer$alis, quæ e$t in illa $pecie, cum diuer$ita te formarum particularium illorum indiuiduorum. Et cum forma uniuer$alis iterabitur in anima, figetur in anima, & quie$cet: & ex diuer$itate formarum particularium uenientium ad ui$um cum formis uniuer$alibus apud intuitionem, comprehendet anima, quòd forma, in qua æquabuntur o- mnia indiuidua illiu$modi; e$t forma uniuer$alis illiu$modi. Secundum ergo hũc modum erit per- uentus formarum uniuer$alium, quas ui$us comprehendit ex modis ui$ibilium in anima & in ima- ginatione. Formæ ergo indiuiduorum ui$ibilium, quas ui$us comprehendit, remanent in anima, & figurantur in imaginatione: & quantò magis iterabitur comprehen$io eorum â ui$u, tantò magis erunt fixæ in anima & in imaginatione.

68. E$$entia ui$ibil{is} percipitur è $pecieb{us} uifibilib{us}, beneficio formæ in animo re$iden- tis. 66 p 3.

ET $u$tentatio $entientis in comprehen$ione quidditatis ui$ibilium non e$t, ni$i $uper formas peruenientes in animam: quoniam comprehen$io quidditatis ui$ibilium nõ erit, ni$i per co- gnitionem: & cognitio non e$t, ni$i ex comprehen$ione formæ, quã ui$us comprehendit mo- dò ad formam $ecundam, quæ e$t in imaginatione ex formis ui$ibilium, quas ui$us comprehendit antè: & ex comprehen$ione con$iderationis formæ comprehen$æ modò ad aliam formarum per- uenientium in imaginationem. Comprehen$io ergo quidditatis rei ui$æ nõ e$t, oi$i ex comprehen- $ione a$similationis formæ rei ui$æ alicuius formarum quie$c\~etium in anima, fixarũ in imaginatio- ne. Su$tentatio ergo $entientis in comprehen$ione quidditatis ui$ibilium nõ e$t, ni$i $uper formam uniuer$alem peruenientem in animam: & $u$tentatio eius in cognitione indiuiduorum ui$ibilium non e$t, ni$i $uper formas indiuiduorum perueni\~etes in animam cuiuslibet indiuiduorum, quæ ui- $us comprehendit antè, & quorum formæ $unt cõceptæ imaginatione antè & intellectæ. Et uirtus di$tinctiua naturaliter a$similat formas ui$ibilium apud ui$ion\~e, formis ui$is fixis in imaginatione, quas anima acquirit ex formis ui$ibilium. Cum ergo ui$us compreh\~ederit aliquam rem ui$am, $ta- tim uirtus di$tinctiua quærit eius $imile in formis exi$tentibus in imaginatione: & cũ inuenerit in imaginatione aliquam $imilem formæ illius rei ui$æ: cogno$cet illam rem ui$am, & comprehendet quidditatem eius: & $i non inuenerit ex formis exi$tentibus in imaginatione formam $imilem for- mæ illius rei ui$æ: non cogno$cet illam rem ui$am, neq; compreh\~edet quidditatem eius. Et propter uelocitatem a$similationis formæ reiui$æ apud ui$ionem à uirtute di$tinctiua, fortè accidet ei er- ror, ita quòd a$similabit rem ui$am alij rei ui$æ, quando in re ui$a fuerit aliqua intentio, quæ e$t in illa alia re: deinde $i con$iderauerit cum iteratione illam rem ui$am po$t i$tam di$po$itionem, & cer tificauerit formam eius: a$similabit ip$am formæ $imili ei in rei ueritate, & manife$tabitur illi $e- cundò, quòd errauerat in prima a$similatione. Secundum ergo hunc modum comprehenduntur quidditates ui$ibilium per $en$um ui$us.

69. Di$tinctaui$io fit aut obtutu $olo: aut obtutu & anticipata notione $imul. 62 p 3.

ET cum omnes i$tæ intentiones $int declaratæ, dicamus modò: quòd comprehen$io ui$ibi- lium per intuitionem erit duobus modis: comprehen$io $ola intuitione: & comprehen$io per intuitionem cum $cientia præcedente. Comprehen$io uerò, quæ e$t $ola intuitione, e$t comprehen$io ui$ibilium extraneorum, quæ ui$us non uidit antè: aut ui$ibilium, quæ ui$us com- prehendit antè, $ed non meminit ui$ionis illorum. Quoniam ui$us quando comprehenderit ali- quam rem ui$am, quam antè non percepit uidendo, necrem ui$am huius $peciei, & uoluerit a$pi- ciens certificare formam huius rei ui$æ: intuebitur ip$am, & con$iderabit per intuitionem omnes intentiones, quæ $unt in ea, & comprehendet per intuitionem formam eius ueram. Et cum antè non perceperitillam rem ui$am, neq; aliquam rem huius $peciei: non cogno$cet formam eius apud eius comprehen$ionem: & in talibus indiget ui$us intuitione ad formam propriam. Erit ergo cer- tificatio formæ huiu$inodi ui$ibilium non ni$i per $olam intuitionem tantùm. Et $imiliter quando ui$us comprehenderit aliquam rem ui$am, quam antè percepit, & non meminit ip$ius: non cogno- $cet formam eius ni$i per intuitionem. Erit ergo comprehen$io huiu$modi ui$ibilium per $olam in- tuitionem. Comprehen$io uerò, quæ e$t per intuitionem cum $cientia pr{ae}cedente, e$t comprehen- $io omnium ui$ibilium, quæ ui$us comprehendit antè, aut de quorum $pecie aliquid comprehen- dit ui$us antè, & peruenerunt formæ $pecierum eorum & indiuiduorum eorum in animam. Cum ergo ui$us comprehendit aliquam rem ui$am, quam antè comprehendit, aut cuius $peciei àliquam rem antè comprehendit: $tatim apud a$pectum illius rei ui$æ comprehendet totam formaim eius: deinde modica intuitione comprehendet totam formam eius, quæ e$t uniuer$alis forma $peciei. Cum ergo antè comprehendit ui$ibilia illiu$modi rei ui$æ, & peruenerit forma $peciei illius rei ul- $æ in $uam animam, & fuerit memor ex forma uniuer$ali illiu$modi rei ui$æ: cogno$cet formam uniuer$alem, quam comprehendit in illa re ui$a apud comprehen$ionem eius, & apud cognitio- nem formæ uniuer$alis, quam comprehendit in illa re ui$a, $tatim cogno$cet illam rem ui$am $pe- cialiter: deinde quando intuitus fuerit intentiones re$iduas, quæ $unt in illa re ui$a, certifica- bit formam eius particularem. Si autem non percepit antè illam rem ui$am, aut fortè percepit il- lam, $ed non meminit de perceptione illius: non cogno$cet formam particularem: & cum non OPTICAE LIBER II. cognouerit formam particularem, non cogno$cet illam rem ui$am: & $ic erit cognitio illius rei ui$æ ab eo $ecundum $peciem tantùm, & acquiret ex intuitione & certificatione formæ eius, formã eius particularem, quæ appropriatur $uo indiuiduo. Et $i antè perceperit illam rem ui$am, & non perce- perit alia indiuidua huiu$modi $peciei, & fuerit memor illius formæ, quam antè comprehendit ex illa re ui$a: quando comprehenderit formam eius particularem, cogno$cet per cognition\~e formam particularem, & apud cognitionem formæ particularis comprehendet rem ui$am: & $ic per com- prehen$ionem formæ eius particularis certificabit formam rei ui$æ, & $imul cogno$cet ip$am rem ui$am: & erit cognitio rei ui$æ ab eo $pecialiter & $ecundum indiuiduum $imul. Et $i antè percepe- rit illam rem ui$am, $ed non perceperit ex modo illius rei ui$æ, ni$i illud indiuiduum tantùm, & non di$tinguatur ab eo forma uniuer$alis illius modi rei ui$æ: quando comprehenderit illam rem ui$am, & comprehenderit intentiones uniuer$ales, quæ $unt in illa re ui$a, & in omnibus rebus il- lius $peciei, non cogno$cet illam rem ui$am, neq, comprehendet quidditatem eius ex comprehen- $ione formæ uniuer$alis. Cum ergo comprehenderit intentiones re$iduas, quæ $unt in illa re ui$a, & comprehenderit formam particularem eius, & fuerit memor formæ particularis, quam compre- hendit in illa re ui$a: cogno$cet formam particularem apud comprehen$ionem eius: & cum cogno- uerit formam particularem, cogno$cet eandem rem ui$am: & erit cognitio illius rei ui$æ ab eo in- diuidualiter. Et nulla res ui$a comprehendetur per intuitionem, ni$i $ecundũ aliquem i$torum mo- dorum. Comprehen$io ergo omniũ ui$ibilium $ecundum intuitionem erit duobus modis: $ola in- tuitione, & comprehen$ione per intuitionem cũ $cientia præced\~ete. Cognitio autem talis & $cien- tia quandoq; erit $ecundum $peciem tantùm, quandoq; $ecundum $peciem & indiuiduum $imul.

70. Obtut{us} fit in tempore. 56 p 3.

ET etiam comprehen$io per intuitionem non erit, ni$i in tempore: quoniam intuitio non erit ni$i per di$tinctionem & motum ui$us: $ed di$tinctio & motus non erunt ni$i in tempore. In- tuitio ergo non erit ni$i in tempore. Et $uperius declaratum e$t [12.13 n] quòd comprehen$io per cognitionem & comprehen$io per di$tinctionem non e$t ni$i in tempore.

71. Vi$ibile obtutu & antegre$$a cognitione $imul, minore tempore percipitur, quàm $olo ob- tutu. 64 p 3.

ET quia declaratum e$t [69 n] quòd compreh\~e$io ui$ibilium per intuitionem, erit quandoq; $ola intuitione & quandoq; per intuitionem cum cognitione præced\~ete: & quòd illud, quod comprehenditur per intuitionem & quod comprehenditur per cognitionem, non compre- henditur, ni$i in tempore: dicemus quòd comprehen$io, quæ erit per intuitionem cum cognitione uel $cientia præcedente, erit in maiori parte in minori tempore, quàm $it tempus, in quo erit com- prehen$io per $olam intuitionem. Quoniã enim formæ exi$tentes in anima & pr{ae}$entes memoriæ, non indigent, ut cogno$cantur omnes intentiones, quæ $unt in eis, ex quibus componuntur in rei ueritate: $ed $ufficit in comprehen$ione earum cõprehen$io alicuius intentionis propri{ae} illis. Cum ergo uirtus di$tinctiua comprehenderit in forma ueniente ad ip$am, aliquã intentionem propriam illi form{ae}, & fuerit memor prim{ae} formæ: cogno$cet omnes formas uenientes ad ip$am: quoniam o- mnis intentio, qu{ae} appropriatur alicui formæ, e$t $ignum $ignans $uper illas formas. Verbi gratia: Quia quando ui$us comprehenderit indiuiduum hominis, & compreh\~ederit lineationem $uæ ma- nus tantùm: $tatim comprehendet, quòd $it homo antequam compreh\~edat lineationem faciei $uæ, & antequam comprehendat lineationem partium re$iduarum eius. Et $imiliter $i comprehenderit lineationem faciei $uæ, antequã comprehendat partes re$iduas eius. Ex compreh\~e$ione ergo qua- rundam intentionũ, qu{ae} appropriantur formæ hominis, compreh\~edit, quòd illud ui$ibile $it homo $ine indigentia comprehen$ionis partium re$iduatum: quoniam compreh\~edet partes re$iduas per cognitionem præcedent\~e ex formis re$identibus in anima, formis d@@o hominũ. Et $imiliter quan- do ui$us comprehenderit aliquas intentiones, quæ appropriantur formæ particulari alicuius indi- uidui, quod antè ui$us percepit, $icut $imitatem in na$o, aut uiriditatem in oculo, aut arcualitat\~e in $upercilijs: comprehendet comprehen$ione totius $uæ form{ae} illud in diuiduũ, & cogno$cet ip$um. Et $imiliter cogno$cet equũ per aliquã maculam in fronte eius, aut per diuer$itat\~e coloris. Et $imi- liter $criptor quãdo cõprehenderit formã alicuius dictionis, $uperficialiter cogno$cet eam, antequã cõ$ideret literas particulares. Et $imiliter omnes partes, quas $criptor frequ\~eter & continuè uidet, cogno$centur ab eo ex comprehen$ione quarundã literarum. Vi$ibilia ergo, quæ ui$us antè cõpre- henderit, & modò cogno$cit formas illorũ, & e$t memor illorũ: comprehenduntur à ui$u per $igna. Vi$ibilia aut\~e extranea, quæ ui$us antè nõ percepit, aut ui$ibilia, qu{ae} antè percepit, $ed non e$t me- mor illorũ, non $unt ita. Quoniã quando ui$us compreh\~ederit aliquã rem ui$am, quã antè nõ uidit, & comprehenderit lineationem quarundã partium: non compreh\~edet ex eo quidditatem illius reĩ ui$æ: quoniam apud ip$um non quie$cit forma partium re$iduarum. Vi$us ergo non comprehendit certitudinem rei ui$æ, quam antè non uidit, ni$i per con$iderationem omnium $uarum partium, & omniũ intentionum, qu{ae} $unt in ea. Et $imiliter forma rei ui$æ, quã ui$us antè percepit, $ed non me- minit eius: non certificatur ab eo, ni$i po$t cõ$iderationem omnium intentionũ, qu{ae} $unt in ea. Sed comprehen$io quarundã intentionum, qu{ae} $unt in forma, erit in minoritempore illo, in quo cõpre- hendit omnes intentiones, quæ $unt in forma. Vi$io ergo, quæ e$t per intuitionem cum cognitione ALHAZEN præcedente, erit in maiori parte in breuiore tempore, illo tempore, in quo erit ui$io $ola intuitione. Et propter hoc ui$us comprehendit ui$ibilia cõ$ueta comprehen$ione ualde ueloci in tempore la- tente $en$um: & non eritinter oppo$itionem ui$us & rem ui$am, & inter comprehen$ionem quid- ditatis rei ui$æ a$$uetæ tempus $en$ibile in maiori parte. Quoniã homo ex pueritia & ex principio incrementi compreh\~edit ui$ibilia, & iterantur $uper eius a$pectum indiuidua ui$ibilium, & formæ uniuer$ales ui$ibilium. Et etiam declaratum e$t [14.67 n] quòd formæ ui$ibilium, quas ui$us com- prehendit, perueniunt in animam, & figurantur in imaginatione: & quòd formæ, quæ iterantur ui- $ui, figurantur in anima: & quas ui$us compreh\~edit, perueniunt in animam, & quie$cit figuratio ea- rum in imaginatione. Omnia ergo ui$ibilia a$$ueta, & omnes modi a$$ueti exi$tũt in anima, & quie- $cunt figurati in imaginatione & præ$entes memoriæ. Cum ergo ui$us comprehenderit aliquam rem ui$am a$$uetam, & compreh\~ederit totam formam $uam, & po$t illud comprehenderit aliquod $ignum proprium illius rei ui$æ: comprehendet quidditatem rei ui$æ apud comprehe$ionem illius $igni: & erit comprehen$io rei ui$æ ab eo per cognitionem præcedentem & modicam intuitionem. Vi$ibilia ergo a$$ueta comprehenduntur à ui$u per $igna & per cognitionem præcedentem. Quare erit comprehen$io quidditatum eorum in maiori parte in tempore $en$ibili.

72. Generales ui$ibil{is} $pecies citi{us} percipiuntur $ingularib{us}. 71 p 3.

ET etiam comprehen$io $peciei rei ui$æ e$t in maiori parte in minore tempore, quàm compre- hendatur indiuiduitas rei ui$æ. Et e$t: quoniam quando ui$us comprehenderit aliquod indi- uiduum hominis, primò comprehendet ip$um e$$e hominem, antequam comprehendat for- mam eius particularem: & fortè comprehendet ip$um e$$e hominem, quamuis nõ comprehendat lineationem faciei, $ed ex erectione $ui corporis, & ordinatione membrorum corporis eius com- prehendet ip$um e$$e hominem, quamuis non uiderit faciem eius. Et $imiliter ui$us fortè compre- hendet quandoq; $pecialitatem modorum alicuius ui$ibilium a$$uetorum per quædam $igna, quæ appropriantur illi $peciei. Et non e$t $ic comprehen$io indiuiduitatis rei ui$æ. Indiuidualitas enim rei ui$æ non comprehenditur, ni$i ex comprehen$ione intentionũ particularium, quæ approprian- tur illi indiuiduo, aut ex comprehen$ione quarundam: $ed compreh\~e$io quarundam intentionum particularium, quæ appropriantur indiuiduo, non comprehenduntur, ni$i po$t comprehen$ionem intentionum uniuer$alium, qu{ae} $unt in illo indiuiduo, aut po$t comprehen$ionem quarundam: aut generaliter, intentiones, quæ $unt in formis uniuer$alibus illiu$modi indiuidui, $unt ante intentio- nes, quæ $unt in forma eius indiuiduali: $ed comprehen$io partis e$t in minori tempore, quàm tem- pus, in quo comprehenditur totum. Comprehen$io ergo $pecialitatis rei ui$æ à ui$u e$t in minori tempore, quàm tempus, in quo comprehenditur in diuidualitas illius rei ui$æ.

73. E ui$ibilib{us} communib{us} alia al{ij}s citi{us} percipiuntur. 72 p 3.

ET etiam tempus comprehen$ionis $pecialitatis ui$ibiliũ $cilicet a$$uetorum diuer$atur. Quo niam quædam $pecierum ui$ibilium a$$uetorum a$similantur alijs $peciebus: & quædã non, ut $pecies hominis & $pecies equi: quoniam forma $peciei hominis non a$similatur alij $pe- ciei animalium: & nõ e$t ita in equis. Quoniam equus aliquis a$similatur multis animalibus in to- ta forma. Tempus ergo, in quo ui$us comprehendit $peciem indiuidui hominis, & comprehendit ip$um e$$e hominem, non e$t $icut tempus, in quo comprehendit $peciem equi, & comprehendit ip$um e$$e equum: & maximè quando comprehendit utrumq; in remotione alicuius quantitatis. Quoniam quando ui$us comprehenderit indiuiduum hominis alicuius motum localiter: $tatim comprehendet ip$um e$$e animal ex motu, & ex erectione corporis comprehendet ip$um e$$e ho- minem: & non e$t ita, quando comprehenderit equum. Quoniam quando ui$us comprehenderit indiuiduum equi mouens $e, & comprehenderit $imul motum eius, & numerum pedum, non com prehendet ex hocip$um e$$e equum: quoniã illæ intentiones $unt in pluribus quadrupedibus, qu{ae} a$similãtur equo in pluribus intentionibus, & maximè in mulo: quoniam mulus a$similatur equo in multis di$po$itionibus: quoniam mulus non di$tinguitur ab equo, ni$i per intentiones ferè non manife$tas, $icut lineationem faciei, & exten$ionem colli, & uelocitatem motus, & amplitudinem pa$$uum. Si autem ui$us non comprehenderit aliquam intentionum i$tarum, per quas comprehen ditur equus cũ comprehen$ione totius $uæ formæ, non comprehendet ip$um e$$e equum. Et tem- pus, in quo ui$us comprehendit erectionem corporis hominis, non e$t $icut tempus, in quo com- prehendit formam equi cum intentionibus particularibus, per quas di$tinguitur equus ab alio. Comprehen$io ergo $peciei hominis e$t in minore tempore, quàm tempus, in quo comprehendi- tur $pecies equi: quamuis duo tempora $int parua: tamen unum eorum $ecundum omnes di$po$i- tiones e$t maius altero. Et $imiliter quando ui$us comprehenderit colorem ro$eum in floribus cu- iu$dam horti: $tatim comprehendet quòd $ub$tantiæ illorum colorum $unt ro$æ propter colorem proprium ro$arum: & cum hoc, quòd ille color e$t in rebus exi$tentibus in horto: comprehenditur ante comprehen$ionem rotunditatis, & ante rotunditatem foliorum eius, & applicationum folio- rum eius, unius $uper alterum, & ante comprehen$ionem omnium intentionum eius, ex quibus componitur forma ro$æ: & non e$t ita, quando comprehenderit uiriditatem myrti in horto: quo- niam quando ui$us comprehenderit tantùm uiriditatem myrti in horto: non comprehendet ip$am e$$e myrtum ex comprehen$ione uiriditatis tantùm: quoniam plures plantæ $unt uirides, & plures OPTICAE LIBER II. plantæ a$similantur myrto in uiriditate & figura. Si ergo non comprehenderit figuram foliorum eius, & $pi$situdinem eorum, & intentionem propriam myrti: non comprehendet ip$am e$$e myr- tum. Et tempus, in quo comprehendit figuram foliorum myrti & intentiones, $ecundum quas ap- propriatur myrtus cum comprehen$ione uiriditatis, non e$t $icut tempus, in quo compreh\~edit co- lorem ro$aceum tantùm. Et $imiliter quidditates omnium $pecierum, quæ po$$unt a$similari alijs, non comprehenduntur à ui$u, ni$i per magnam intuitionem: quidditas autem paucæ a$similatio- nis ad alia, comprehenditur à ui$u pauca intuitione. Et $imiliter de indiuiduis: quoniã indiuiduum, quod ui$u non a$similatur alij indiuiduo, comprehenditur à ui$u per modicam intuitionem, & per $igna: & indiuiduum, quòd ui$us cogno$cit, & quod a$similatur alij indiuiduo, quamuis cogno$cit, tamen comprehenditur à ui$u per magnam intuitionem. Species ergo & indiuiduum omnium ui- $ibilium a$$uetorum comprehenditur à ui$u per modicam intuitionem cũ cognitione præcedente. Et erit comprehen$io eorum in maiori parte in tempore $en$ibili: tamen diuer$atur tempus com- prehen$ionis eorum $ecundum diuer$itatem $pecierum & indiuiduorum eorum: & erit compre- hen$io $peciei uelocior comprehen$ione indiuidui: & erit comprehen$io $peciei paucæ a$simila- tionis ad alia, uelocior comprehen$ione $peciei multæ a$similationis. Et $imiliter comprehen$io indiuidui paucæ a$similationis, erit uelocior comprehen$ione indiuidui multæ a$similationis.

74. Temp{us} obtut{us} pro $pecierum ui$ibilium uarietate uariat. 56 p 3.

ET tempus intuitionis diuer$atur $ecundum intentiones, quas qui$que intuetur in ui$ibili- bus. Verbi gratia. Quia quando ui$us comprehenderit animal multipes paruorum pedum, & illud animal fuerit in motu: per modicam intuitionem comprehendet motum eius, & cum comprehenderit motum eius, comprehendet ip$um e$$e animal: deinde per modicam intuitionem in pedibus comprehendet ip$um e$$e multipes ex comprehen$ione di$tantiæ inter pedes: & $ic non cogno$cet $tatim numerum pedum: & $i uoluerit cogno$cere numerum pedum, indigebit lon- giore intuitione, & maiore tempore. Comprehen$io ergo animalitatis eius erit in tempore paruo: deinde comprehen$io multitudinis pedum erit in tempore paruo: $ed numerus pedum non com- preh\~edetur, ni$i po$tquam fuerit ui$us intuitus quemlibet pedem, & numeraueritip$os, quod non pote$t e$$e, ni$i in tempore alicuius quantitatis: & erit quantitas temporis $ecũdum multitudinem pedum & paucitatem eorum. Et $imiliter quando ui$us comprehenderit figuram rotundam, intra quam e$t figura multorum laterum, & fuerint latera illius figuræ parua, & cum hoc fuerit diuer$o- rum laterum non maxima diuer$itas: apud comprehen$ionem totalis figuræ comprehendet ip$am e$$e rotundam, & non comprehendet $tatim, quòd intra ip$am $it laterata figura: quoniam latera eius fuerunt in fine paruitatis. Et cum intuitus fuerit figuram rotundam profundiore intuitione, apparebit figura laterata, quæ e$t intra rotundam. Erit ergo comprehen$io rotunditatis figuræ ue- locior comprehen$ione figuræ lateratæ, quæ e$t intra: deinde apud comprehen$ionem i$tius non apparebit diuer$itas laterum i$tius figuræ, nec di$tinguetur à ui$u an $int æqualia, an non: & non apparebit inæqualitas laterum figuræ lateratæ, ni$i po$t magnam intuitionem & in tempore ali- cuius quantitatis. Et etiam $entiens quando uoluerit intueri figuram totius rei ui$æ, $ufficit ei, ut tran$eat ui$us $uper $uperficiem rei ui$æ tantùm. Et $imiliter quando uoluerit intueri colorem rei ui$æ, $ufficit ei tran$ire ui$um $uper ip$um tantùm. Et $imiliter quando uoluerit intueri a$peritatem $uperficiei rei ui$æ, aut planitiem, aut diaphanitatem, aut $pi$situdinem: & non $untita intentiones occultæ $ubtiles, quæ $unt in ui$ibilibus, $icut figuræ, quæ $unt in quibuslibet partibus ui$ibilium: & con$imilitudo figurarum & quantitatis partium, & diuer$itas quantitatum, & colorum, & con- $imilitudo eorum, & ordinatio partium paruarum inter $e: quoniam i$tæ intentiones non compre- henduntur per intuitionem, ni$i po$tquam fuerit ui$us fixus $uper quamlibet partium, & con$ide- rauerit figuras illarum partium, & comparauerit unam ad alteram: & hoc non complebitur in tem- pore paruo, & per motum uelocem, $ed in tempore alicuius quantitatis. Tempus ergo intuitionis intentionum ui$ibilium diuer$atur $ecundum diuer$itatem intentionum intuitarum.

75. Vi$io per anticipatam notionem & breuem obtutum, e$t incerta. 65 p 3.

ET cum hoc $it declaratum, dicamus: quòd ui$io, quæ e$t per cognitionem præcedentem, & per $igna & per modicam intuitionem, non e$t comprehen$io certificata. Quoniam compre- hen$io rei ui$æ per cognitιonem præcedentem & per $igna non e$t, ni$i circa totalitatem & uniuer$alitatem rei ui$æ in gro$$o: & uirtus di$tinctiua compreh\~edit intentiones particulares, quæ $unt in illa re ui$a, $ecundum modum, quo cognouit illas res ui$as ex prima forma illius rei ui${ae} exi- $tente in anima: $ed i$tæ intentiones particulares, quæ $unt in ui$ibilibus, mutantur $ecundum tran $itum temporis: & $ic ui$us non comprehendit intentiones, quæ $unt mutatæ in illa re ui$a per co- gnitionem præcedentem. Et cum mutatio fuerit occulta & non bene manife$ta, non comprehen- ditur à ui$@ primo a$pectu, & non comprehenditur, quando non fuerit ualde manife$ta, ni$i per in- tuitionem. Verbi gratia: quando ui$us cogno$cit aliquem hominem, & fuerit facies illius hominis munda, & certificauerit ui$us formam eius: deinde rece$$erit ille homo à ui$u longo tempore: & contingat in facie eius macula: & fuerit occulta illa macula: & comprehenderit ip$um po$t i$tam di$po$itionem: cogno$cet ip$um apud comprehen$ionem: $ed tamen non propter comprehen$io- ALHAZEN nem & cognitionem illius hominis, compreh\~edet maculam in facie eius, ni$i $it manife$ta: & $i non fuerit intuitus ip$am, non comprehendet ip$am $ecundum $uum e$$e: & $i intuitus fuerit ip$am pu- riore intuitione: apparebit ei macula, quæ e$t in facie eius: & tunc comprehendet formam eius $e- cundum $uum e$$e. Et $imiliter quando ui$us comprehenderit aliquam arborem, & intuitus fuerit ip$am, & certificauerit formá eius: deinde rece$$erit ab eadem diu, dum creuerit illa arbor, & aucta fuerit: & mutata figura eius: & facta $it in ea aliqua mutatio: & illa mutatio, quæ fuerit in arbore, fuerit modica: deinde $i reuertatur ui$us ad illam arborem, & cogno$cat eam: non comprehendet apud comprehen$ionem per cognitionem illam modicam, mutationem, quæ contigit in ea: $i au- tem intuitus fuerit ip$am $ecundò, & $imul fuerit memor ueræ formæ eius, quam habebat prima uice: comprehendet mutation\~e, quæ contigit in ea, & certificabit formam eius $ecundò: & $i non fuerit intuitus ip$am, non erit illa forma, quam comprehendit ex illa arbore per cognitionem ante- cedentem, ip$a forma uera, quam habet $ecunda comprehen$ione. Et $imiliter, quando ui$us com- preh\~ederit parietem in quibu$dam locis: & ille paries fuerit planus: & fuerint in eo picturæ & $cul- pturæ: & intuitus fuerit ui$us illum parietem: & certificauerit formã eius: deinde rece$$erit ab illo loco diu: & contingat pò$t mutatio in illo pariete ex a$peritate $uperficiei, aut ex intentione qua- rundam picturarum: & non fuerit illa mutatio ualde manife$ta: deinde $i reuertatur ui$us ad illum locum: & a$pexerit illum parietem: & fuerit memor formæ primæ: comprehendet ip$am apud pri- mam ui$ionem: $ed apud comprehen$ionem per cognitionem nõ comprehendet mutationem oc- cultam, quæ in eo contigit: & ip$e cogno$cet formam eius $ine aliqua mutatione. Si ergo in eo con- tigit aliqua a$peritas, æ$timabit ip$am e$$e læuem, $icut con$ueuit e$$e: & $i picturæ primò fuerint certificatæ uerè, & fuerint mutatæ, æ$timabit eas e$$e qua$i certificatas. Et omnia ui$ibilia, qu{ae} $unt apud nos, $unt recipientia mutationem $ecundum colorem, & figuram, & magnitudinem, & $itum, & a$peritatem, & læuitatem, & ordinationem partium, & $ecundum multas intentiones particula res: quoniam naturæ earum $unt mutabiles & præparatæ pa$sioni ab eo, quod accidit eis extrin$e- cus. Et quia mutatio e$t po$sibilis in eis, po$sibile e$tip$am comprehendi à ui$u in omnibus illis. Et quamuis $it in eis aliqua mutatio, quæ non pote$t apparere ui$ui: nihil e$t tamen ex eis, in quo non accidat extrin$ecus mutatio, quæ po$sit apparere ui$ui. Et cum omnia ui$ibilia $int præparata mutationi, quæ po$sit comprehendi à ui$u: nullum ergo ui$ibile, quod ui$us comprehendit modò, & erat prius comprehen$um: certificatum e$t apud comprehen$ionem $ecundam â ui$u, $cilicet, quòd ui$us $it $ecurus $ecundò, quòd non fuerit mutatum, cum mutatio $it po$sibilis in omnibus ui$ibilibus. Cum ergo ui$us comprehenderit aliquam rem ui$am, quam antè comprehendit: & in- tuitus fuerit ip$am: & certificauerit formam eius: & fuerit memor $uæ formæ apud comprehen$io- nem, cogno$cet ip$am. Et $i in illa re ui$a contigit mutatio manife$ta, compreh\~edet illam mutatio nem apud ui$ionem: $i autem nõ fuerit manife$ta: cogno$cet illam rem, & æ$timabit illam e$$e apud cognitionem $ecundũ modum primum: & $ic, $i non iterauerit intuitionem, non erit $ecúrus, quòd forma, quam antè cogno$cebat, remaneat $ecundum $uum e$$e, cum $it po$sibile, quòd in ea conti- gerit mutatio occulta, quæ non pote$t apparere, ni$i per intuitionem. Si ergo iterauerit intuitio- nem, certificabit formam eius: & $i non iterauerit intuitionem, non erit comprehen$io illius rei ui- $æ certificata. Comprehen$io ergo ui$ibilium per cognitionem præcedentem, & per $igna, & per modicam intuitionem, non e$t uera comprehen$io.

76. Vera ui$ibil{is} forma percipitur obtutu: accurata con$ideratione: & dilig enti omnium ui$ibilium $pecierum di$tinctione. 57 p 3.

ET ui$us non comprehendit rem ui$am uera comprehen$ione, ni$i per intuitionem rei ui$æ apud comprehen$ionem eius, & per con$iderationem omnium intentionum, qu{ae} $unt in illa re ui$a, & per di$tinctionem omnium apud comprehen$ionem illius rei ui$æ. Vi$io ergo erit $ecundum duos modos: ui$io in primo a$pectu, & ui$io quæ e$t per intuitionem. Et per ui$ionem, quæ e$t in primo a$pectu, comprehendet ui$us intentiones rei ui$æ manife$tas tantùm, & non cer- tificatur per huiu$modi a$pectum forma rei ui$æ. Et ui$io, quæ e$t in primo a$pectu: quandoque e$t $olùm phanta$tica: & quandoq; cum cognitione præcedente: & ui$io talis, quæ e$t $ecundum phan ta$iam, e$t ui$io ui$ibilium, quæ ui$us non cognouit apud a$pectum: & cum hoc intuetur ip$a. Et ui- $io, quæ e$t $ecundum phanta$iam cum cognitione præcedente, e$t ui$io ui$ibilium, quæ ui$us co- gnouit antè: & cum hoc non intuetur intentiones eorum. Et $ecundum di$po$itionem utriu$que earum non comprehendit ui$us per phanta$iam ueritatem rei ui$æ, $iue præcognouerit illam rem, $iue non. Et ui$io per intuitionem erit $ecundum duos modos, $cilicet ui$io $ola intuitione, & ui$io per intuitionem cum præcedente cognitione. Vi$io autem, quæ e$t $ola intuitione, e$t ui$ibilium, quæ ui$us antè non comprehendit, aut non e$t memor comprehen$ionis eorum, quando intuetur modò ip$a. Et ui$io per intuitionem cum $cientia præcedente, e$t ui$io omnium ui$ibilium, quæ ui- $us comprehendit: & e$t memor comprehen$ionis eorum, quando intuitus fuerit eorum intentio- nes, & con$yderauerit intentiones omnes, quæ $unt in eis. Et i$ta ui$io diuiditur in duos modos: quorum unus, e$t ui$io a$$ueta ui$ibilium a$$uetorum: & i$ta pars erit per $igna, quæ comprehen- duntur modica intuitione, & per cõ$yderationem quarundam intentionum, quæ $unt in illa re ui- $a cum cognitione præcedente. Et illa ui$io e$t in maiore parte in tempore in$en$ibili; & compre- OPTICAE LIBER III. hen$io illius, quod comprehenditur $ecundum hunc modum, non e$t comprehen$io in fine certi- tudinis. Pars autem $ecunda e$t per finem intuitionis, & per con$yderationem omnium intentio- num, quæ $unt in re ui$a apud comprehen$ionem illius rei ui$æ, & cum cognitione præcedente: & erit in maiori parte in tempore $en$ibili: & diuer$atur tempus $ecundum intentiones, quæ $unt in re ui$a. Et ui$io, quæ e$t $ecũdum hunc modum, per quem ui$ibilia a$$ueta comprehenduntur com- prehen$ione in fine certitudinis, non e$t ni$i per intuitionem omnium intentionum, quæ $unt in re ui$a, & per con$yderationem omnium partium rei ui$æ, & per di$tinctionem omniũ intentionum, quæ $unt in re ui$a apud comprehen$ionem rei ui$æ, $iue præcognouerit illam rem $iue non. Et i$ta certificatio, quæ e$t re$pectu $en$us, e$t intentio certificata: & e$t dicere finem certificationis in i$tis locis, finem illius, quod pote$t comprehendi à $en$u. Et cum omnibus i$tis compreh\~e$io ui$ibilium à ui$u e$t $ecundum fortitudinem ui$us: quoniam $en$us ui$us oculorum diuer$atur $ecundum ui- gorem & debilitatem. Secundum ergo i$tos modos erit comprehen$io ui$ibilium à ui$u, & i$ti $unt omnes modi ui$ibiliũ. Et hoc e$t illud, quod intendebamus declarare in i$to capitulo. Et iam com- pleuimus diui$ionem omnium ui$ibilium, & diui$ionem omnium intentionum ui$ibilium, & de- clarauimus omnes intentiones, per quas uenit ui$us ad comprehen$ionem ui$ibilium & intentio- num ui$ibilium, & di$tinximus omnes partes, in quas diuiduntur omnes modi ui$ionum. Et i$tæ $unt intentiones, quas intendebamus declarare in i$to tractatu.

ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE LIBER TERTIVS.

_TERTIVS_ tractat{us} e$t ex $eptem capitul{is}. Primum capitulum e$t proœ- mium. Secundum de {ij}s, quæ debent præponi $ermoni in deceptionib{us} ui- ${us}. Tertium de cau{$s}{is}, quib{us} deceptio accidit ui$ui. Quartum in di$tin- guendo deceptiones ui${us}. Quintum de qualitatib{us} deceptionum ui${us}, quæ fiunt $olo $en$u. Sextum de qualitatib{us} deceptionum ui${us}, quæ fiunt in cognitio- ne. Septimum de qualitatib{us} deceptionum ui${us}, quæ fiunt in ratione.

PROOEMIVM LIBRI. CAP. 1. 1. Vi${us} in perceptione ui$ibilium aliquando allucinatur. 1 p 4.

DEclaratum e$t in primo tractatu & $ecundo, quomodo ui$us comprehendat ui$ibilia $ecun- dum quod $unt, $i comprehen$io eius fuerit rectè: & quomodo certificet formam ui$i: & quo modo comprehendat unamquamque intentionum particularium, $ecundum quod e$t: & quomodo certificet illam. Sed non omne comprehen$ibile à ui$u, compreh\~editur ab eo $ecundum quod e$t, neq; omne, quod uidetur ab a$piciente comprehendi in rei ueritate, e$t rectè comprehen- $um. Sed multoties decipitur ui$us in multis eorum, quæ comprehendit ex ui$ibilibus, & compre- hendit illa alio modo ab eo, quo $unt: & fortè percipit $uam deceptionem etiam cum decipitur, & fortè non, $ed reputat $e benè comprehendere. Cum enim ui$us comprehenderit aliquod ui$um per $patium remotum: tunc men$ura eius uidebitur minor, quàm uera men$ura: & quando illud ui$um fuerit fortè propinquum ui$ui: comprehendet men$uram eius maiorem uera. Et amplius, quando ui$us comprehenderit quadratum, aut polygonum à remoto: comprehendet illud rotun- dum, $ifuerit æqualium diametrorum: aut longum, $i fuerit inæqualium diametrorum. Et $i com- prehenderit $phæram à remoti$simo, comprehendet eam planam. Et talia $unt multa & multimo- da: & omnia quæ $unt comprehen$a à ui$u tali modo, $unt fallibilia. Amplius, quando ui$us in$pe- xerit aliquam $tellam, comprehendet eam quie$centem, licet $tella tunc moueatur: & cũ in$piciens reuertetur ad $cientiam: $ciet illam $tellam moueri apud a$pectum: & cum in$piciens di$tinxerit il- lud: $tatim comprehendet $e decipi in hoc, quod comprehenderit de quiete $tellæ. Et cum aliquis in$pexerit aliquod indiuiduum $uper faciem terræ à remoti$simo interuallo, & illud indiuiduum fuerit motum motu tardi$simo, & non diu durauerit a$pectus: tunc in tali $tatu a$piciens compre- hendet ip$um quie$cens: & $i a$piciens non perceperit antè motum illius indiuidui, & nõ diu dura- uerit in eius oppo$itione: tunc non percipiet $e e$$e deceptum in hoc, quod compreh\~edit de quiete illius indiuidui: & in comprehen$ione huius erit deceptus, & tamen non percipiet $e decipi. Acci- dit igitur ui$ui deceptio in multis eorum, quæ compreh\~edit: & fortè percipitur ab eo, & fortè non. Et cum in duobus libris pr{ae}cedentibus $it declaratum, quomodo ui$us comprehendat ui$ibilia, $e- cundum quod $unt: In hoc autem capitulo declaratum e$t ex eis, quæ diximus, quòd multoties ac- cidit ui$ui deceptio in multis eorum, quæ comprehendit: remanet declarãdum, quare deceptio ac- cidat ui$ui, & quando, & quomodo. Nos autem in hoc tractatu contenti $umus de deceptionibus ui$us in eis, quæ compreh\~edit rectè: & declarabimus cau$$am in hoc, & diuer$itates deceptionum, & quomodo accidat unaquæq; deceptio.

ALHAZEN DE IIS QVAE DEBENT PRAEPONI SERMONI in deceptionibus ui$us. Cap. II. 2. Axes pyramidum opticarum utriu$<005> ui${us} per centrum foramin{is} uueæ tran$euntes, in uno ui$ibil{is} puncto $emper concurrunt: & $unt perpendiculares $uperficiei ui${us}. 32. 35 p 3.

DEclaratum e$t in primo tractatu [18 n] quòd ui$us nihil comprehendat ex ui$ibilibus, ni$i $ecundum uerticationes refractas linearum radialium: & quòd ordo ui$ibilium & partium eorum non comprehenditur, ni$i ex ordinatione linearum radialium. Et dictum e$t etiam [27 n 1] quòd unum ui$um, quod comprehenditur duobus oculis $imul, non comprehenditur unum, ni$i quando po$itio eius in re$pectu duorum oculorum fuerit po$itio con$imilis: & quòd $i po$itio fuerit diuer$a: tunc comprehendetur unum duo. Sed unumquodq; ui$ibilium a$$uetorum, quæ $emper comprehenduntur à duobus ui$ibus, $emper comprehendetur unum. Vnde oportet nos declarare, quomodo unum ui$um comprehendatur à duobus ui$ibus unum in maiore parte temporis & in pluribus po$itionibus: & quomodo po$itio unius ui$i ab ambobus oculis in maiore parte temporis, & in pluribus erit con$imilis. Et declarabimus etiã a e g b f z q x c u d quomodo po$itio unius ui$i ab ambobus ui$ibus erit po$itio diuer- $a, & quomodo accidat hoc. Et iam diximus hoc in primo tractatu [27 n] & declarauimus ip$um uniuer$aliter, non determinatè. Dica mus ergo quòd cum in$pici\~es in$pexerit aliquod ui$um, tunc uterq; ui$us erit in oppo$itione illius ui$i: & cum in$piciens direxerit pu- pillam ad illud ui$um: tunc uterq; ui$us diriget pupillam ad illud ui- $um directione æquali. Et cum ui$us fuerit motus $uper rem ui$am: tunc uterq; ui$us mouebitur $uper illud. Et cum ui$us direxerit pu- pillam ad rem ui$am: tunc axes duorum ui$uum congregabuntur in illa re ui$a, & coniungentur in aliquo puncto illius $uperficiei. Et $i in$piciens mouerit ui$um per illam rem ui$am: tũc illi duo axes mo- uebuntur $imul $uper $uperfici\~e illius ui$i, & per omnes partes eius. Et uniuer$aliter duo oculi $unt æquales in omnibus $uis di$po$itio- nibus: & uirtus $en$ibilis, quæ e$t in eis, e$t eadem, & actio & pa$sio eorum $emper e$t æqualis & omnino cõ$imilis. Et $i alter ui$us fue- rit motus ad uidendum, $tatim reliquus mouebitur ad illud ui$um illo eodem motu: & $i alter ui$us quieuerit, reliquus quie$cit. Et im- po$sibile e$t, ut alter ui$us moueatur ad uid\~edum, & reliquus quie- $cat, ni$i impediatur. Et declaratũ e$t in præteritis [19 n 1] quòd in- ter quodlibet ui$um & c\~etrum ui$us e$t pyramis imaginabilis apud ui$ionem, cuius uertex e$t centrum ui$us, & ba$is $uperficies ui$i, quod ui$us comprehendit: & i$ta pyramis continet omnes uertica- tiones, ex quibus comprehendit illã rem ui$am. Cum ergo duo axes amborum ui$uum fuerint cõiuncti in aliquo puncto $uperficiei ui$i: tunc $uperficies ui$i erit ba$is communis ambabus pyramidibus ra- dialibus, figuratis inter duo c\~etra amborum ui$uum & illud ui$um: & tunc po$itio puncti, in quo axes $unt cõiuncti apud ambos ui$us, e$t po$itio cõ$imilis: quia e$t oppo$itũ duobus medijs amborum ui- $uum, & duo axes, qui $unt inter illud & duos ui$us, $unt perpendi- culares $uper $uperficiem duorum ui$uum.

3. Sit{us} ui$ibil{is} erga utrun<005> ui$um e$t plerun<005> $it{us} $imil{is}. Ita<005> axes pyramidum optica- rum & lineæ ab utro<005> ui$u ductæ ad cõcur$um duorum axιum, factũ in recta linea adutrun<005> axem perpendiculari, $unt æquales. 40. 42 p 3.

QVod aut\~e remanet de $uperficie ui$i, inter quodlibet punctũ eius, & inter duo c\~etra ambo- rum ui$uũ, $unt duæ lineæ, quarũ po$itio in re$pectu duorũ axiũ, erit po$itio cõ$imilis in par te $cilicet: quoniã omnes duæ lineæ imaginabiles inter duo c\~etra duorũ ui$uum & punctũ $uperficiei ui$æ, in quo coniungũtur duo axes duorũ ui$uũ: erunt declinabiles à duobus axibus ad unã part\~e. Nã omne punctũ $uperficiei ui$i, in quo duo axes coniungũtur, declinabit à puncto con- iunctionis ad eand\~e part\~e: punctũ uerò cõiunctionis e$t $uper utrumq; axem. Remotiones autem i$tarũ linearum à duobus axibus $unt æquales: quoniã omnes duæ lineæ exeuntes à duobus c\~etris duorũ ui$uum ad quodlibet punctum punctorũ ualde propinquorũ puncto cõiunctionis, æquali- ter di$tant à duobus axibus, quantũ ad $en$um. Duo enim axes exeuntes ad punctũ cõiunctionis, erũt æquales, aut nõ erit inter eos diuer$itas $en$ibilis, quãdo res ui$a nõ fuerit ualde propinqua ui- $ui, & di$tãtia eius à ui$u fuerit mediocris. Et $imiliter e$t di$po$itio cuiuslibet pũcti multũ propin- qui pũcto cõiunctionis, $cilicet, quòd omnes duæ lineæ exeũtes à duobus c\~etris duorũ ui$uum ad quodlibet punctũ eorũ, ferè nõ differũt in longitudine quantùm ad $en$um, $ed ferè erũt æquales.

OPTICAE LIBER III. 4. Duærectæ lineæ ab utro<005> ui$u ductæad concur$um duorum axium, factum in recta linea ad utrun<005> axem obliqua, $unt ferè inæquales. 41 p 3.

QVando uero lineæ duæ declinantes, fuerint coniunctæ in $uperficie, in qua $unt duo axes, erunt inæ quales. Nãlinea, quæ exit ex puncto, in quo duo axes coniunguntur, ad punctum declinans ab illo, continet cũ duobus axibus angulos inæquales, & duo axes $unt æquales, & linea copulans duo puncta, e$t cõmunis. Quapropter duæ lineæ declinãtes erunt inæquales: $ed i$ta inæqualitas nõ operatur in $en$um, $i punctũ declinans fuerit propinquum puncto cõiunctio- e r g b z f k m a n l c u d nis. Si autem duæ lineæ declinãtes fuerint $ub axi bus, aut $uper illos, po$$unt e$$e æquales. Duo enim anguli, quos cõtinent duo axes cũ linea cõtinuante duo pũcta, po$$unt e$$e æquales, $i punctũ fuerit $ub axibus, aut $uper eos. Et in po$itionibus, qu{ae} $unt in ter has duas po$itiones, erit diuer$itas, quæ e$t inter duas declinãtes, minor quàm diuer$itas, quæ e$t in- ter duas lineas primas declinãtes: & $ic nõ erit inter eas differ\~etia operãs in $en$um. Ergo duæ lineæ ex- euntes à duobus c\~etris duorũ ui$uum ad pũcta pro pinqua puncto, in quo coniungũtur duo axes, non differũt ferè in longitudine, quantùm ad $en$um: & axes $unt æquales: & linea quæ copulat punctũ c on iunctionis cũ puncto declinãte, ad quod exeũt duæ lineæ à duobus centris, e$t cõmunis duobus trian- gulis factis ex i$tis lineis. Ergo duo anguli, qui $unt apud duo centra duorũ ui$uum, quibus $ubt\~editur apud $uperficiem ui$i linea cõmunis, erũt æquales: aut ferè inter eos nõ e$t diuer$itas $en$ibilis: & i$ti duo anguli $emper erũt minimi, quãdo punctum fuerit ualde propinquũ cõiunctioni duorũ axium. Et cũ duæ lineæ, quæ exeunt ad quodlibet pun- ctum propinquũ puncto cõiunctionis, continent cũ duobus axibus angulos æquales: tũc remotio quarumlibet duarũ linearum, exeuntium ad id\~e punctum punctorũ propinquorum puncto cõiun- ctionis à duobus axibus duorũ ui$uum, erit remotio æqualis. Ergo po$itio cuiuslibet puncti $uper- ficiei ui$i, in quo coniunguntur duo axes ui$uum, $i fuerit propinquum puncto cõiunctionis, in re- $pectu duorũ ui$uũ, e$t po$itio cõ$imilis in parte & in remotione à duobus axibus. Di$po$itio aut\~e in punctis remotis à puncto cõiunctionis, declinãtibus ad unã part\~e ab ambobus axibus, e$t talis. Anguli, qui $untinter duas lineas exeũtes ad aliquod punctum eorũ & inter duos axes, forta$$e dif- ferunt diuer$itate aliquantula: & po$itio omniũ huiu$modi punctorũ remotorum à puncto cõiun- ctionis in re$pectu duorũ ui$uum, e$t po$itio cõ$imilis in parte tantùm: $ed nõ in remotione à duo- bus axibus. Po$itio igitur cuiuslibet pũcti ui$i cõprehen$i ambobus ui$ibus, cũ fuerit alicuius quan titatis & propinquarum diametrorũ, apud duos ui$us e$t po$itio con$imilis in parte, & in remotio- ne. Quapropter forma eius $tatuetur in duobus locis cõ$imilis po$itionis à duobus ui$ibus: & cum ui$um cõprehen$um ambobus ui$ibus, fuerit maximarũ diametrorũ: tũc po$itio eius puncti, in quo coniungũtur duo axes, erit po$itio cõ$imilis apud duos ui$us Et quantò magis appropinquauerint illi duo pũcta, quæ $unt in $uperficie illius ui$i, tantò magis po$itio illorũ apud duos ui$us erit cõ$i- milis in parte & in remotione $imul. Puncta aut\~e, quæ $unt in $uperficie illius ui$i, remota à puncto cõiunctionis, & declinãtia ab ambobus axibus ad unã part\~e, habent po$ition\~e con$imilem in parte apud duos ui$us, & in remotione fortè con$imil\~e, & fortè nõ. Forma igitur partis, qu{ae} e$t apud pun- ctum cõiunctionis huius ui$i, & eius, quod cõtinet punctũ coniunctionis, & eius, quod e$t illi pro- pinquum, in$tituitur in duobus locis duorũ ui$uũ cõ$imilis po$itionis in omnibus di$po$itionibus. Et in$tituentur formæ partiũ re$iduarũ remotarũ à puncto cõiunctionis circundantiũ partem cõ- $imilis po$itionis cõtinuæ cũ forma partis cõ$imilis po$itionis: & $ic uniuer$um duarũ formarũ in- $tituitur in duob locis duorũ ui$uũ, inter quæ nõ e$t maxima differ\~etia in po$itione: & $i fuerit, erit extrema tantùm, & erit modica propter cõtinuationem duorũ extremorũ cũ duobus medijs, quæ $unt, cõ$imilis po$itionis. Et hocerit, cũ duo ui$us fixi fuerint in oppo$itione ui$i, & duo axes fuerint fixi in uno puncto eius. Cũ autem duo ui$us fuerint moti $uper rem ui$am: & duo axes fuerint trãs- lati ab illo pũcto: & fuerint moti $imul per $uperfici\~e ui$i: tũc po$itio cuiuslibet puncti illius ui$i, & po$itio punctorũ propinquorũ illi, in re$pectu duorũ ui$uum apud coniunction\~e duorum axiũ in ip$o, erit po$itio cõ$imilis ualde. Et forma cuiuslibet partis ui$i apud motum duorũ axium per $u- perfici\~e, erit in duob. locis po$itionis con$imilis apud duos ui$us: & $ic forma omnium partium ui$i apud motum & intuitionem, erit con$imilis di$po$itionis apud ambos ui$us.

5. E plurib. ui$ibilib. ordinatim intraopticos axes di$po$it{is}: remotiora incertè uid\~etur. 50 p 3.

ET $imiliter etiam quando ui$us compreh\~ederit ui$ibilia $eparata in eadem hora $imul: & duo axes fuerint cõiuncti in aliquo eorũ: & illud ui$um, in quo $unt cõluncti duo axes, fuerit pro- pinquarum diametrorũ: tunc forma illius ui$i in$tituetur in duobus locis duorũ ui$uum cõ- $imilis po$itionis. Et etiã forma eius, quod propinquum e$t illi ui$o, $i fuerit paruæ quãtitatis: in$ti- ALHAZEN tuetur in duobus locis duorum ui$uum, inter quorum po$itiones non erit differentia $en$ibilis. n m a b k c e d f g p h q $ r o Forma autem ui$i remoti à ui$o, in quo duo axes coniungun- tur, quando ambo ui$us comprehendunt illud ui$um, dum duo axes $unt fixi in illo ui$o: in$tituetur in duobus locis duorũ ui- $uum con$imilis po$itionis in parte tantùm, & non inremotio- ne: aut non omnes partes eorum erunt con$imilis po$itionis in remotione à duobus axibus: nec forma erit certificata. Dein- de $i duo ui$us fuerint moti, & duo axes: & fuerint coniuncti in unoquoq; ui$ibilium comprehen$orũ $imul: tunc forma utriu$q; eorum in$tituetur in duobus locis cõ$imilis po$itionis in re$pe- ctu duorum ui$uum in parte & in remotione: & tunc certificabi- tur forma uniu$cuiu$q; illorum ui$ibilium. Et multoties coniun- guntur duo axes amborũ ui$uum in aliquo ui$o: & cum hoc duo ui$us compreh\~edent aliam rem ui$am, cuius po$itio in re$pectu amborum ui$uum erit diuer$a in parte. Et hoc erit, quando illud aliud ui$um fuerit propin quius ambobus ui$ibus ui$o, in quo di $tinguuntur duo axes: & fuerit $imul inter duos axes: aut fuerit remotius ab ambobus ui$ibus ui$o, in quo coniunguntur duo axes, & fuerit etia inter duos axes, cũ fuerimus imaginati eos ex ten$ospo$t cõiunction\~e: & ui$um, in quo cõiungũtur duo axes, nõ cooperiet ui$um, q<001> e$t remotius ip$o, aut cooperiet quiddã illius. His ergo modιs fit cõprehen$io ui$ibiliũ ambobus ui$ibus.

6. Si duæ rectæ lineæ à medio nerui cõmun{is} $int contermi- nærectæ cõnectenti centra for aminum gyrineruorum cauo- rum: con$tituent triangulum æquicrurum. 30 p 3.

ET etiam declaratum e$t in $ecundo tractatu [1.42 n] quòd axis radialis in utroq; ui$u e$t ead\~e linea, qu{ae} nõ tran$mu- tatur: & quòd pertran$it centra omniũ tunicarum ui$us, & extenditur rectè per centra omniũ tunicarum ad mediũ loci in curuationis ex cõcauo nerui, $uper quem cõponitur oculus, qui e$t apud foramen, quod e$t in con- cauo o$sis: & quòd e$t in$eparabilis ab omnibus c\~etris: & quòd po$itio eius apud omnes partes ui- a r t $us, e$t po$itio $emper ead\~e, nõ tran$mutabilis apud motũ ui$us, nec apud quietem eius: & quòd po$itio duorũ axium apud duos ui$us e$t po$itio con$imilis in re$pectu amborũ ui$uum, apud cõcauitatem ner- ui cõmunis, ex quo ultimum $entiens compreh\~edit formas ui$ibilium. Imaginemur ergo lineam rectam copulãtem duo centra duorũ foraminum, quæ $unt in duabus concauitatibus duorum o$sium cõtinen- tiũ duos oculos: & imaginemur duas lineas exeun- tes à duobus centris duorũ foraminum, exten$as in duobus medijs duarũ concauitatum neruorum. Hæ ergo lineæ cõiunguntur in medio concauitatis ner- uι communis: quia po$itio duorum neruorum in re- $pectu communis nerui, e$t po$itio cõ$imilis [per 4 n 1] & po$itio duarum harum linearum apud lineam copulãtem duo centra duorum foraminum, erit po- $itio con$imilis: quia duorum neruorum po$itiones, in re$pectu duorum foraminum, e$t po$itio cõ$imi- lis [per 4 n 1] & $ic duo anguli, qui $unt inter has duas lineas & lineam copulatem duo centra duo- rum foraminum, erunt æquales [$ecus di$similis e$$et po$itio neruorum.]

7. Si recta linea $it à medio nerui commun{is} admedium rectæ lineæ connectent{is} centra fo- raminum gyrineruorum cauorum: erit ad ip$am perpendicular{is}. 33 p 3.

ET imaginemur etiã lineã copulantem duo c\~etra duorũ foraminũ, diui$am in duo æqualia: & imaginemur lineã exeunt\~e à puncto, q<001> e$t in medio cõcauitatis nerui cõmunis, in quo duæ lineæ exten$æ in cõcauitatibus duorũ neruorũ $unt cõiunctæ, ext\~e$am ad punctũ diuid\~es li- neã copulant\~e duo c\~etra duorũ foraminã in duo æqualia. H{ae}cigitur linea erit perp\~edicularis $uper lineã copulant\~e duo c\~etra duorũ foraminũ [Nã recta cõnectens c\~etra duorũ foraminũ, fit ba$is tri- anguli æquicruri, cuius latera, $unt rectæ à medio nerui cõmunis: itaq; $i recta $it à uertice in mediũ ba$is, erit քp\~edicularis ad ba$im, ք 8 p. 10 d 1.] Et imaginemur i$tã քp\~edicular\~e ext\~e$am rectè in par- t\~e oppo$itã ui$ui: & $ic i$ta linea erit fixa in eod\~e $tatu, & po$itio ei<_>9 nõ trã$mutabitur: <003>a pũctũ, q<001> e$t in medio cõcauitatis nerui cõmunis, in quo du{ae} lineæ ext\~e$æ in duob. medιjs concauitatũ duo- rũ neruorũ $unt cõiunctæ, e$t unũ nõ tran$mutabile: & punctũ etiã, q<001> diuidit lineã copulant\~e duo OPTICAE LIBER III. centra duorum foraminum, e$t unum nõ tran$mutabile. Quapropter po$itio lineæ tran$euntis per illa, e$t una po$itio, non tran$mutabilis. Hæc igitur linea uocetur axis communis.

8. Si axes, commun{is} & duo optici, in uno ui$ibil{is} puncto concurrant: erunt in eodem plano cum rect{is}, connectente centra foraminum gyrineruorum cauorum, & duab{us} à medio nerui commun{is} connectenti contermin{is}. 34 p 3.

ET imaginemur apud punctũ aliquod i$tius line{ae}, in parte oppo$ita ui$ui aliquod ui$um, & ima ginemur duos ui$us in$picere illud ui$um, & duos axes $imul cõiungi in puncto $uperficiei ui $i, in quo axis communis occurrerit $uperficiei illius ui$i: & hoc quidem po$sibile e$t in omni ui$o, cuius $itus ex duobus ui$ibus e$t $itus cõ$imilis. Cum ergo duo axes fuerint cõiuncti in aliquo puncto axis cõmunis, tunc duo axes & axis cõmunis, & linea, quæ copulat duo centra foraminum duorum o$sium, & du{ae} lineæ exten${ae} in concauitatibus duorũ neruorũ, omnia erunt in una $uper$i cie. Duo enim axes tran$eunt per centra duorum foraminũ: tran$eunt enim per duo media concaui tatum duorũ neruorũ, in loco pyramidationis duorum neruorũ. Cum igitur duo axes fuerint con- iuncti in axe cõmuni, erunt omnes in $uperficie, in qua e$t axis cõmunis, [per 2 p 11] & $imiliter linea $ecans ip$am, qu{ae} copulat centra foraminũ duorũ o$siũ, & duæ line{ae} ext\~e${ae} in cõcauitatibus duorũ neruorũ: & duo axes de loco centrorum duorũ foraminũ, u$q; ad punctum cõiunctiõis, quod e$t in axe cõmuni, erunt æquales: & po$itio eorũ apud axem commun\~e, erit po$itio con$imilis: & duæ par tes duorum axiũ, qu{ae} $unt de centris duorũ ui$uum u$q; ad punctũ coniunctionis, erunt æquales: & remotιo duorum centrorũ ui$uum à foraminibus duorum o$sium, & à centris duorum foraminũ, e$t remotio æqualis: & etiam duæ partes duorum axium, quæ $unt de $uperficiebus duorũ ui$uum u$q; ad punctum coniunctionis, erunt æquales: nam duæ medietates diametrorũ $phærarum duo- rum ui$uum $unt æquales.

9. Vtro<005> ui$u ui$ibile unum plerun<005> uidetur. 28 p 3. Idem 27 n 1.

ET quia ita e$t: po$itio puncti $uperficiei ui$i, in quo coniuncti $unt duo axes, apud duo puncta, per quæ tran$eunt duo axes, erit po$itio con$imilis: & remotio eius ab eis erit æqualis. Et hæc duo puncta $uperficierum ui$uum $untilla, in quibus infigitur forma puncti, in quo coniuncti $unt duo axes. Et etiam po$itio utriu$q; duorum punctorũ, quæ $unt in duobus axibus $uperficierũ duorum ui$uum, apud concauitat\~e nerui cõmunis, erit po$itio con$imilis. Et po$itio i$torũ duorum punctorum apud quodlibet punctum in axe communi, e$t po$itio con$imilis. Ergo po$itio duorum punctorum, qu{ae} $unt in duobus axibus $uperficierũ duorum ui$uum, apud punctum axis cõmunis, qui e$t in medio concauitatis nerui cõmunis, in quo $unt coniunctæ duæ lineæ exeuntes à centris duorum foraminũ, e$t po$itio ualde cõ$imilis & æqualis. Et ambæ formæ, quæ in$tituuntur in duo- bus punctis $uperficierum duorum ui$uum, quæ $unt in duobus axibus, cum peruenerint ad conca uitatem communis nerui, infigentur in puncto, quod e$t in axe communi, quod e$t in medio conca uitatis communis nerui, in quo lineæ $unt coniunctæ, & efficietur una forma. Et cum duæ formæ, quæ $unt in duobus punctis, quæ $unt in duobus axibus $uperficierum duorum ui$uum, figuntur in puncto, quod e$t in axe cõmuni, quod e$t in medio concauitatis nerui cõmunis: formæ, quæ $unt in punctis circundantibus utrunq; duorũ punctorũ, quæ $unt in duobus axibus $uperficierũ duorũ ui$uũ, infiguntur in concauitate cõmunis nerui, in punctis circundantibus punctũ, quod e$t in axe cõmuni. Et po$itio quorumlibet duorũ punctorum $uperficierũ duorum ui$uũ, quorũ po$itio apud duo puncta, in medio in duobus axibus duorũ ui$uum e$t po$itio cõ$imilis in parte & in remotiõe: apud idem punctũ concauitatis nerui cõmunis e$t po$itio con$imilis. Et puncta, quorũ po$itio apud ip$um e$t po$itio con$imilis, declinabunt à puncto, quod e$t in axe cõmuni, quod e$t in loco cõiun- ctionis linearum ex cõcauitate nerui cõmunis in partem, ad quã ambo puncta, quæ $unt in $uperfi ciebus duorũ ui$uũ, declinant: & remotio eorũ ab ip$o erit $ecundũ remotiones eorũ à duobus axi- bus: & duæ formæ, qu{ae} infiguntur in duobus punctis, qu{ae} $unt cõ$imilis po$itionis apud $uperficies duorum ui$uũ, peruenient ad illud idem punctũ concauitatis cõmunis ip$ius nerui, & $uperponen tur illi apud illud punctũ, & efficietur una forma. Et po$itio uniu$cuiu$q; punctorũ $uperficiei ui$i, quæ $unt in circuitu puncti, quod e$t in axe cõmuni, apud duos axes duorum ui$uũ e$t po$itio con- $imilis. Ergo forma cuiuslibet puncti eorũ infigetur in duobus ui$ibus in duobus locis cõ$imilis po $itionis, in re$pectu duorũ punctorũ, quæ $unt in duobus axibus $uperficierũ duorũ ui$uũ. Duæ er- go form{ae} ui$i, in quo cõiuncti $unt tres axes, infiguntur in duobus medijs duarũ $uperficierũ duorũ ui$uũ. Et du{ae} form{ae} puncti, in quo $unt cõiuncti tres axes, infigentur in duobus punctis, qu{ae} $unt in duobus axibus $uperficierũ duorum ui$uũ. Et quodlibet punctũ duarum formarũ infigetur in duo- bus locis cõ$imilis po$itionis de duobus ui$ibus: deinde duæ formæ ui$æ perueni\~et ad concauitat\~e nerui cõmunis: & perueni\~et duæ formæ, qu{ae} $unt in puncto, quod e$t in duobus axibus, ad punctũ, quod e$t in cõmuni axe, & efficietur una forma. Et quælibet qu{ae} form{ae}, qu{ae} $unt in duobus punctis con$imilis po$itionis à duobus ui$ibus, peruenient ad idem punctũ punctorũ circundantiũ punctũ, quod e$t in axe cõmuni: & $ic du{ae} form{ae} totius ui$i $uperponentur $ibi, & efficietur una forma, & $ic unũ cõprehendetur unũ. Secundũ ergo hũc modũ du{ae} form{ae}, qu{ae} infig\~etur duobus ui$ibus ab uno ui$o, cuius po$itio in re$pectu duorũ ui$uũ e$t con$imilis: efficiuntur una forma: & $ic $enti\~es cõpre- hendit unũ ui$um, licet duæ form{ae} infigãtur ab eo in duobus ui$ibus. Et cũ duæ form{ae}, qu{ae} $unt in duob. pũctis, qu{ae} $unt in duob. medijs $uperficierũ duorũ ui$uũ, qu{ae} $unt in duob. axibus, peruene rint ad punctũ, q<001> e$t in axe cõmuni: tũc quælibet duæ formæ infixæ in duab. $uperficiebus duorũ ALHAZEN ui$uum in duobus punctis, quæ $unt in duobus axibus, peruenient $emper ad illud idem punctum concauitatis nerui cõmunis, quod e$t in cõmuni axe. Nam duo puncta, per quæ tran$eunt duo axes duorũ ui$uum nõ mutantur: quoniã po$itio duorũ axium apud duos ui$us $emper e$t ead\~e po$itio, non tran$mutabilis. Ergo punctũ concauitatis cõmunis nerui, ad quod perueniunt duæ form{ae}, qu{ae} infiguntur in duobus punctis, qu{ae} $unt in duobus axibus $uperficierũ duorum ui$uũ, $emper e$t id\~e punctũ: & e$t punctũ, quod e$t in cõmuni axe, in quo cõcurrunt duæ line{ae} exeuntes à duobus cen- tris foraminũ duorum o$sium exten$orũ in duobus medijs concauitatũ duorum neruorũ. I$tud igi tur punctum, quod e$t in concauitate communis nerui, quod e$t in cõmuni axe, uocetur centrum.

10. Concur$i{is} axium opticorum in axe communifacit ui$ionem certi{$s}imam: extrà, tantò certiorem, quantò axi propinquior fuerit. 44 p 3.

HOc igitur declarato, declaratũ e$t, quòd forma cuiuslibet comprehen$i, quod cõprehenditur ambobus ui$ibus, in cuius $uperficiei puncto concurrunt axes duorũ ui$uũ, infigitur in duo- bus locis $uperficierũ duorum ui$uum, quæ $unt duo media $uperficierũ duorum ui$uũ: dein de i$tæ duæ formæ perueniunt à duobus ui$ibus ad concauitatem cõmunis neruiad eundem locũ, & $uperponuntur $ibi, & efficitur una forma. Et duæ formæ puncti, in quo concurrunt duo axes ex ui$o, infigentur in duobus punctis, quæ $unt in duobus axibus $uperficierũ duorum ui$uũ, & ibunt ab i$tis duobus punctis ad punctũ centri concauitatis cõmunis nerui, & indifferenter, $iue punctũ, in quo concurrunt duo axes, fuerit in axe cõmuni, $iue extrà. Sed tam\~e cum ui$um fuerit in axe com muni, & duo axes cõcurrerint in puncto ip$ius, quod e$t in axe cõmuni, tunc duæ formæ i$tius pun cti erunt magis cõ$imiles. Remotiones enim i$tius puncti à duobus punctis, in quibus figuntur du{ae} form{ae} i$tius puncti $uperficierũ duorum ui$uũ (& $unt illa, quæ $unt $uper axes) erũt æquales: quo- niam duo axes in hac di$po$itione erunt æquales in longitudine. Et $imiliter formæ cuiuslibet pun- cti propinqui i$ti puncto, cuius remotiones à duobus punctis, in quibus infiguntur formæ $uæ, $unt æquales, quantùm ad $en$um, erunt magis con$imiles, quàm duæ formæ ui$i, quod e$t extra cõmu- nem axem. Quapropter forma ui$i, quod e$t in cõmuni axe, cum fuerit infixa in concauitate cõmu- nis nerui, erit magis certificata. Sed cum ui$um fuerit extra cõmunem axem, & remotio non fuerit maxima: tunc $uæ du{ae} formæ, qu{ae} infiguntur in duobus ui$ibus, nõ maximè different. Quapropter formæ eius, quæ infiguntur in concauitate nerui cõmunis, non erunt duæ. Cum uerò ui$um fuerit extra cõmunem axem, & maximè fuerit remotũ ab ip$o: & axes duorũ ui$uũ cõcurrerint in aliquo puncto ip$ius: tũc forma eius infigetur in cõcauitate cõmunis nerui una forma: & forma pũcti eius, in quo duo axes concurrunt, infigetur in puncto cõmunis centri: $ed tamen forma eius non erit ue- rificata, $ed dubitabilis. Forma igitur puncti ui$i, in quo duo axes concurrunt, infigetur in omnibus di$po$itionibus, in puncto centri concauitatis cõmunis nerui, $iue punctũ concur$us fuerit in com- muni axe, $iue extra illum: quod aũt remanet de forma ui$i, infigetur in circuitu puncti centri. Si aũt ui$um fuerit minimi corporis, & propinquarũ diametrorum, & fuerit in cõmuni axe, uel prope: tũc forma eius infigetur in cõcauitate cõmunis nerui una forma, & uerificata: & po$itio cuiuslibet pun cti eius apud duos ui$us, e$t po$itio cõ$imilis, ut prius declarauimus. Si uerò ui$um fuerit magni cor poris & remotarũ diametrorum, & etiam fuerit in cõmuni axe: tunc forma illius partis, quæ e$t a- pud locum coniunctionis duorum axium, quæ circundat punctum coniunctionis, infigetur in com muni neruo una forma & uerificata, & forma re$iduarum partium infigetur continua cum forma i- $tius partis. Quapropter forma totius ui$i infigetur una in omnibus di$po$itionibus: $ed tamen for ma extremorum, & illorum, quæ remota $unt à puncto concur$us, erit non certificata. Quoniam o- mnis puncti remoti à puncto concur$us, figentur duæ formæ in duobus punctis con$imilis po$itio- nis, in re$pectu amborum ui$uum in fine con$imilitudinis: $ed forma cuiuslibet puncti remoti à pun cto concur$us, figetur in duobus punctis amborum ui$uum, quorum po$itio apud duos ui$us e$t po $itio con$imilis in parte, & fortè cõ$imilis in remotione à duobus axibus, & fortè non con$imilis in remotione à duobus axibus. Form{ae} aũt eorum, quorũ remotio non e$t con$imilis, figentur in conca uitate communis nerui, in duobus punctis obliquis à centro in una parte: & erunt duæ. Et $i ui$um fuerit unius coloris, tunc i$tud ferè nihil operabitur in ip$um, propter con$imilitudinem coloris & identitat\~e formæ: Si aut\~e ui$um habuerit diuer$os colores, aut fuerit in eo lineatio, aut pictura, aut $ubtiles intentiones: tũc i$tud operatur in ip$um. Quapropter extremorũ forma erit dubitabilis, nõ certificata. Et cum ui$um fuerit magni corporis & remotarum diametrorum, & axes amborum ui- $uum fuerint fixi in aliquo puncto eius, & immobiles: tunc forma eius apparet una, & locus concur $us eius, & illud, quod ei propinquum e$t, erunt certificata & indubitabilia: extrema autem, & illa, quæ uicina $unt eis, erunt non certificata propter duas cau$$as: quarum una e$t, quòd extre- ma comprehendantur per radios remotos ab axe: quapropter non bene erunt manife$ta. Secun- da e$t, quia non forma cuiuslibet puncti eius in$tituitur in concauitate communis nerui in uno puncto, $ed quæ dam $unt, quorum forma in$tituitur in duobus punctis, non in uno. Cum ergo duo axes fuerint moti $uper omnes partes huius ui$i: tunc certificabitur forma eius. Si autem ui$um fuerit extra axem communem, & remotum ab ip$o: tunc forma eius non erit certificata. Por$i tio enim cuiuslibet puncti illius apud ambos ui$us, non e$t po$itio con$imilis propter inæqua- litatem remotionum puncti huius ui$i à duobus punctis $uperficierum duorum ui$uum, in qui- bus in$tituuntur duæ formæ eius, & à duobus axibus. Cum igitur ambo ui$us obliquabun- OPTICAE LIBER III. tur ad huiu$inodi ui$um, adeò ut axis communis ueniat ad i$tud ui$um, aut prope, tunc certificabi- tur forma eius.

11. Vi$ibile intra axes opticos $itum: ueluni ui$ui rectè, reliquo obliquè oppo$itum: uidetur geminum. 104.103 p 4.

ET $imiliter cum ambo ui$us comprehenderint multa ui$a $imul: & axes amborum ui$uum $i- mul concurrerint in aliquod unum ui$orum illorum: & fuerint fixi in illo: re$idua autem ui$a fuerint extra duos axes: & ui$um, in quo concurrunt duo axes, fuerit minimi corporis: tunc forma ui$i, in quo concurrunt duo axes, in concauitate nerui communis, erit una forma & certifica ta. Et $i ui$um fuerit $uper axem communem: tunc forma eius erit magis certificata, quàm forma ui- $i, quæ e$t extra axem communem, & $i in ip$o concurrunt duo axes. Vi$orum autem, quæ compre- henduntur à ui$u in illo $tatu, quæ $unt propinqua ui$o, in quo duo axes concurrunt, $i etiam fue- rint ip$a minimi corporis: forma in$tituitur in concauitate communis nerui una, in qua non erit du bitatio maxima: nam forma eius erit propinqua centro. Ex illis autem ui$ibilibus, quæ compre- henduntur à ui$u in i$to $tatu, quod fuerit remotum à ui$o, in quo concurrunt duo axes: eius forma in$tituetur in concauitate i$tius nerui, dubitabilis: & tunc aut erunt duæ formæ $e mutuò pene- trantes, quia $unt in una parte: quapropter inæqualitas, quæ e$t inter $uas po$itiones in remotione, non erit maxima: unde duæ formæ $e mutuò penetrabunt: aut forma quarundam partium erit du- plex, & forma quarundam erit una: & $ic forma huiu$modi ui$ibilium erit dubitabilis in omnibus di$po$itionibus, propter diuer$itatem po$itionis radiorum exeuntium ad illa, & quia radij exeun- tes ad illa, erunt remoti à duobus axibus. Forma autem obliqui ui$i à duobus axibus, remoti à loco concur$us duorum axium, erit non certificata, dum fuerit remota à concur$u duorum axium. Cum autem duo axes fuerint remoti, & concurrerint in ip$o: tunc uerificabitur forma eius. Cum autem duo axes duorum ui$uum concurrerint in aliquo ui$o, & hi duo ui$us comprehenderint aliud ui- $um propinquius duobus ui$ibus, ui$o, in quo concurrunt duo axes: aut remotius: & fuerit etiam inter duos axes: tunc po$itio eius apud duos ui$us erit diuer$a in parte. Nam cum fuerit inter duos axes, erit dextrum unius axis, $ini$trum alterius, & radij exeuntes ad ip$um ab altero ui$o, erunt de- xtri ab axe, & qui exeũt ad ip$um à reliquo ui$o, erunt $ini$tri: & $ic po$itio eius apud duos ui$us erit diuer$a in parte. Et forma huiu$modi ui$orũ in$tituitur in duobus ui$ibus, in duobus locis diuer$æ po$itionis: & duæ formæ, quæ in$tituuntur in duobus ui$ibus, perueni\~et ad duo loca diuer$a conca uitatum communis nerui, & erunt à duobus lateribus centri. Quapropter erunt duæ form{ae}, & non $uperponentur $ibi. Et $imiliter cum fuerit ui$um in altero axe, & extra reliquum, forma eius in$ti- tuetur in concauitate communis nerui, in duobus locis, una $cilicet in centro, & alia obliqua à cen- tro, & non $uperponentur $ibi. Secundum ergo hos modos in$tituetur forma ui$ibilium in duobus ui$ibus, & in concauitate communis nerui.

12. Vi$ibile aliàs unum: aliàs geminum uideri organo ostenditur. 108 p 4.

OMnia aut\~e, qu{ae} diximus, $ic po$$unt experimentari experim\~eto: cum quo ueniet certifica- tio. Accipiatur tabula leuis ligni: cuius longitudo $it unius cubiti: & cuius latitudo $it qua- d z c s f r t q k l h b n m a tuor dígitorũ: & $it bene plana & æqualis & læuis: & $int fines $uæ longitudinis æquidi$tan tes, & $uæ latitudines æquidι$tantes: & $int in ip$a duæ diametrι $e $ecantes: à quarũ loco $ectionis extrahatur linea recta æquidi$tans duobus fini- bus longitudinis [per 31 p 1.] Et extrahatur etiam à loco $ectionis linea recta perpendicularis $uper lineam primam po$itam in medio: [per 11 p 1] & intingantur i$tæ lineæ tincturis lucidis dιuer$o- rum colorum, ut bene appareant: $ed tamen duæ diametri $int unius coloris. Et fiat cauatura in me dio latitudιnis tabulæ, apud extremum lineæ re- ctæ po$it{ae} in medio, & inter duas diametros con- cauιtate rotũda, & qua$i pyramidaliter, $ic ut po$- $it intrare cornu na$i, quando tabula $uperpone- tur ei, quou$q; tangãt duo anguli tabul{ae} ferè duo media $uperficierum duorum ui$uum, quamuis non tangent. Sit igitur tabula in figura a b c d: & diametrι a d, b c: & punctus $ectionιs $it q: & linea exten$a in medio longitudinis $it h q z: & linea $e- cans hanc lineam $ecundum angulos rectos $it k q t: & concauitas, quæ e$t in medio latitudinis ta- bulæ, $it illa, quæ continetur à linea m h n. Hac igitur tabula facta hoc modo: accipiatur cera al- ba, ex qua fiant tria indiuidua parua columna- ALHAZEN ta: & intingantur diuer$is coloribus, & erigatur unum indiuiduorum in medio tabulæ in puncto q, & applicetur tabulæ adeò, ut non po$sit auferri à $uo loco: & $it $tans $uper tabulam $tatu æquali: duo aũt indiuidua reliqua erigantur $uper extrema lineæ lat{ae} in duobus punctis k, t: & $ic tria indi- uidua erunt in una uerticatione. Et hoc quidem facto: eleuet experimentator hanc tabulam, & $u- perponat concauitat\~e, quæ e$t in medio longitudinis, cornu na$i, & inter oculos adeò, ut cornu na$i intret concauitat\~e, & applicetur cum tabula, & fientduo anguli tabul{ae} apud duo media $uperficierũ duorum ui$uum, & propinqui, ut tangãt ip$a ferè. Deinde experimentator debet in$picere indiui- duum po$itum in medio tabul{ae}, & pupillam $uper ip$um tenere fortiter. Cum igitur experim\~etator in$pexerit indiuiduum po$itum in medio hoc modo: axes duorum ui$uum concurrent in hoc indi- uiduo, & $uperponentur duabus diametris, aut erũt æquidi$tantes illis: & erit axis cõmunis, quem prius determinauimus, $uperpo$itus lineæ ext\~e${ae} in medio lõgitudinis tabul{ae}, qu{ae} e$t linea h z. De- inde experim\~etator in hac di$po$itione debet intueri omnia, qu{ae} $unt in $uperficie tabul{ae}: tunc aũt inueniet unum quodq; triũ indiuiduorũ, qu{ae} $unt in punctis k, q, t unum: & inueniet lineã k q t etiã unam: linea aũt h z exten$a in longitudine tabul{ae}, inuenientur du{ae}, $e $ecantes apud indiuiduũ po$i tum in medio. Et $imiliter duæ diametri etiã, cum experimentator intuetur eas in hoc $tatu, appare bunt quatuor: utraq; earũ $cilicet duplex. Deinde experimentator debet ponere pupillã circa alte- rum indiuiduorũ, quæ $unt in duobus punctis k, t, ut duo axes concurrãt in indiuiduo po$ito in ex- tremo: deinde intueatur etiã in hac di$po$itione: & inueniet triũ indiuiduorũ unumquodq; unum: & lineam po$itã in latitudine etiã unam: & inueniet lineã mediam exten$am in longitudine tabulæ duas: & utrãq; diametrorũ duas. Cum igitur experimentator cõprehenderit has lineas & indiuidua po$ita $uper tabulã: auferat duo indiuidua, qu{ae} $unt in duob. punctis k, t: & ponat ea $uper lineã h z, ext\~e$am in lõgitudine, unũ $cilicet in puncto l, quod $equitur ui$um, & reliquũ in puncto s, quod e$t ultra indiuiduũ po$itum in medio: deinde uertat tabulam ad $uam primã po$itionem, & dirigat pu pillam ad indiuiduũ po$itũ in medio: tunc aũt inueniet duo indiuidua, quatuor, & obliqua à medio, duo $cilicet in dextro, & duo in $ini$tro: & inueniet ea $uper duas lineas, quæ in rei ueritate $unt una linea in medio, $ed apparent du{ae}: & inueniet quælibet duo horũ quatuor $uper alterã duarũ linearũ. Et $imiliter $i ab$tulerit duo indiuidua ab hac linea, & po$uerit ea $uper alterã diametrorũ duarũ, u- num in parte ui$us, & reliquũ ultra indiuiduũ po$itũ in medio inueniet illa quatuor: nam utraq; dia metrorũ apparebit duplex. Quaproter apparebunt $uper utrãq; linearũ, quæ $unt unius diametri, in rei ueritate duo indiuidua, unum in parte ui$us, & aliud ultra indiuiduũ po$itum in medio. Et $imi- liter $i po$uerit duo indiuidua $uper ambas diametros, utrumq; $uper alterã diametrum, & po$uerit in ea parte ui$us: inueniet illa quatuor: duo propinqua, & duo remota. Deinde experimentator de- bet auferre duo indiuidua à tabula, & ponere alterum eorum $uper margin\~e tabulæ, ultra punctum k, & prope ip$um ualde, ut$uper punctum r, & reuertatur tabula ad $uam primam po$itionem, & di- rigat pupillam ad indiuiduũ po$itũ in medio: tunc inueniet indiuiduũ po$itum in puncto r, unum. Deinde auferat indiuiduũ à puncto r, & ponat ip$um in margine tabulæ etiam ultra punctum k, $u- per punctum remotum à puncto k, ut $uper punctũ f, & dirigat pupillam ad indiuiduum po$itum in medio: quoniã tunc inueniet indiuiduum po$itum in puncto f, duo. Experimentator aũt inueniet omnia, quæ diximus, cum direxerit pupillam ad indiuiduũ po$itũ in medio, aut ad indiuiduũ po$itũ d z c s f r t q k l h b n m a in linea recta in latitudine, aut ad punctũ unius li- ne{ae}, quodcunq; $it, & dum duo axes cõcurrunt in indiuiduo po$ito in medio, aut in aliquo puncto li neæ po$itæ in latitudine. Si ergo experimentator direxerit pupillã in illo $itu ad indiuiduũ, po$itũ extra lineam po$itam in latitudine, aut ad pun- ctum po$itum extra lineam illam, & concurrerint duo axes in aliquo puncto extra lineam po$itam in latitudine: tunc indiuiduum po$itum in medio uidebitur duo: & $i reliqua indiuidua fuerint in duobus punctis k, t: tũc utrumq; eorum etiã uide bitur duo. Deinde cũ experim\~etator direxerit pu pillam ad mediũ indiuiduum, aut ad aliqu\~e locũ lineæ po$itæ in latitudine: $tatim di$po$itio reuer- tetur ut in prima figura. Igitur à puncto b extra- hantur lineæ b k, b r, b f, linea igitur k b e$t maior linea b t, [per the$in & 19 p 1] & linea k q e$t æ- qualis q t[ex the$i.] Sic igitur angulus t b q, e$t ma ior angulo q b k [per 4 p geometriæ Iordani. In triangulo enim b t k ab angulo t b k, inæqualibus lateribus b t, b k comprehen$o, recta b q e$t in me- diũ ba$is t k: itaq; angulus q b k ab ip$a b q & ma- iore latere b k copreh\~e$us, minor e$t angulo t b q, ab ead\~e b q & minore latere b t comprehen$o] & angulus t b q e$t æqualis angulo k a q [per 8 p 1] OPTICAE LIBER III. ergo àngulus k a q e$t maior angulo k b q. Ergo remotio line{ae} a k ab axe a q, e$t maior quã rem otio lineæ b k ab axe b q:$ed differ\~etia inter has duas remotiones e$t modica: differ\~etia enim inter duos angulos k a q, k b q e$t parua, & indiuiduum, quod e$t apud punctum k, uidetur ambobus ui$ibus u- num, quando axes concurrerint in indiuiduo, quod e$t a pud punctum q. Et duæ lineæ a k, b k, $unt æ quidi$tantes duobus radijs exeuntibus ad indiuiduũ, quod e$t a pud punctũ k, cum duo axes con- currerint in indiuiduo, quod e$t apud q. Similiter di$po$itio indiuidui, quod e$t apud punctum r, $ci- tur: quoniam radij exeuntes ad ip$um, erũt in uerticatione duarum linearum a r, b r, & uidebitur u- num: & duo anguli r a q, r b q non maxim è differunt: & angulus k b r non habet $en$ibilem quantita tem, quando punctum r fuerit ualde propinquũ puncto k. Declarabitur igitur ex hac di$po$itione: quòd ui$um, cuius di$po$itio apud duos axes e$t una po$itio in parte, & remotio radiorum exeun- tium ad ip$um à duobus ui$ibus, non e$t maximè differens: illud ui$um uidebitur duobus ui$ibus unum. Anguli autem f a q, f b q $unt diuer$i diuer$itate maxima: & indiuiduum, quod e$t apud pun- ctum f, uidebitur duo:quoniã duo axes concurrent in indiuiduo, quod e$t apud punctum q. Decla- rabitur igitur ex hac di$po$itione, quòd ui$um, ad quod po$itio radiorum exeuntium à duobus ui$i- bus e$t diuer$a in remotione à duobus axibus maxima diuer$itate, uidetur duo: licet po$itio eius in re$pectu duorum axium eadem e$t po$itio in parte. Po$itio autem lineæ h q z in re$pectu axium duorum ui$uum, e$t po$itio diuer$a in parte: radij etenim exeuntes ad partem h q à dextro ui$u, $unt $ini$tri ab axe a q: radij autem exeuntes ad hanc partem à $ini$tro ui$u, $unt dextri ab axe b q: radij uerò exeuntes ad partem q z à dextro ui$u, $unt dextri ab axe a q: & radij exeuntes ad ip$am à $ini$tro ui$u, $unt $ini$tri ab axe b q: & radij qui exeunt ad ip$um, $unt diuer$æ po$itionis in parte: & remotio duorum radiorum exeuntium ad quodlibet punctum illius lineæ à duobus ui$ibus, à duo- bus axibus e$t æ qualis: & i$ta linea, & omnia po$ita $uper ip$am, pr{ae}ter indiuiduum po$itum in me- dio, $emper uidentur duo, cum duo axes concurrerint in indiuiduo po$ito in medio. Declaratum igitur e$t ex hac di$po$itione, quòd ui$um, cuius po$itio in re$pectu duorum axium e$t diuer$a in parte, $emper uidetur duo: quamuis remotiones radiorum exeuntium ad ip$um à duobus ui$ibus, à duobus axibus $int æquales. Remotiones enim quorumlibet duorum radiorum exeuntium à duobus ui$ibus ad aliquod punctum eius, erunt in duabus partibus diuer$is. Quapropter duæ for- mæ cuiuslibet puncti eius in$tituentur in duobus punctis concauitatis communis nerui à duobus lateribus centri. Et $imiliter etiam e$t di$po$itio utriu$que diametrorum. Quoniam radij exeuntes ad utramlibet earum à ui$u $equente ip$am, erunt à medio ui$us, & propinqui axi, & $ub axe, & $u- pra axem: & radij exeuntes ad ip$am à reliquo ui$u, erunt declinantes à reliquo axe: qui uerò à de- xtro ui$u ad $ini$tram diametrum, erunt $ini$tri ab axe: qui autem exeunt à $ini$tro ui$u ad dextram, erunt dextri ab axe. Et formæ diametrorum i$tarum, & omnia puncta, & omnia po$ita $uper i- p$as, uidentur duo, præter indiuiduum po$itum in medio, quando duo axes concurrerint in me- dio indiuiduo.

13. Vi$ibile medio unius ui$us rectè, reliquo obliquè oppo$itum, uidetur geminum. 103 p 4. Idem II n.

DEclarabitur igitur exhoc, quòd ui$um, quod in re$pectu alterius ui$us e$t oppo$itum medio eius, in re$pectu autem reliqui e$t obliquum à medio, uidetur duo. Nam formæ puncti, quæ in$tituitur in medio alterius ui$i, ueniet ad centrum: forma uerò puncti obliqui à medio re- liqui ui$us, ueniet ad punctum aliud à centro, & obliquum à centro, $ecundum obliquationem pun cti $uperficiei ui$us.

14. Vi$ibile, in quo concurrunt axes optici, aut rad{ij} h{is} propinqui: uidetur unum. 46 p 3.

EX hac igitur experimentatione & expo$itione declaratur bene, quòd ui$um, in quo concur- runt duo axes, $emper uidetur unum: & quòd unum quod que ui$orum, etiam in quibus con- currunt radij, qui $unt con$imilis po$itionis in parte, inter quos non e$t maxima diuer$itas in remotione à duobus axibus, uidetur etiam unum: & quòd ui$um, in quo concurrunt radij con$imi- lis po$itionis in parte, & diuer$æ po$itionis in remotione à duobus axibus maxima diuer$itate, uide tur duo: & quòd ui$um, quod comprehen ditur per radios diuer$æ po$itionis in parte, uidetur duo: quamuis remotiones radiorum exeuntium ad ip$um à duobus axibus, $unt {ae}quales: & quòd omnia i$ta erunt $ic: dum duo axes concurrent in uno ui$o. Et omnia ui$a a$$ueta $unt oppo$ita ambo- bus ui$ibus, & ambo ui$us in$piciunt ad quodlibet eorum. Ergo duo axes duorum ui$uum $em- per concurrunt in eis, & po$itio radiorum re$iduorum, qui concurrũt in communi puncto eorum, e$t po$itio con$imilis in parte, & non differt in remotione à duobus axibus maxima differentia. Et ideo quodlibet ui$ibilium a$$uetorum uidetur ambobus ui$ibus unum: & nullum ui$ibilium uide- tur duo, ni$i rarò. Nullum enium ui$ibiliũ uidetur duo, ni$i cum cõpo$itio eius in re$pectu amborũ ui fuũ fuerit diuer$a maxima diuer$itate, aut in parte, aut in remotione, aut in utroq;. Et po$itio unius ui$i apud duos ui$us non diuer$atur quid\~e maxima diuer$itate, ni$i rarò. Cau$$a igitur propter quã unũquodq; ui$orũ a$$uetorũ uidetur unũ ambobus ui$ibus, declarata e$t ratiõe & experientia. Et e- tiã cũ experim\~etator ab$tulerit indiuiduũ, quod e$t in medio tabul{ae}, & in$pexerit mediũ $ectionis, qu{ae} e$t in medio tabul{ae}: & intuitus fuerit tũc lineas $criptas in tabula: inueniet duas diametros qua tuor: & inueniet $imul duas illarũ quatuor {pro}pinquas $ibi, & duas à $e remotas: & etiã o\~es $e $ecãtes $uperpunctũ mediũ, q<001> e$t punctũ $ectiõis duarũ diametrorũ, q<001> e$t $uper ax\~e cõmun\~e: & inueniet ALHAZEN utramque illarum remotarum, magis remotam à medio, quàm $it in rei ueritate. Deinde cum ex- perimentator cooperuerit alterum ui$um: uidebit duas diametros, & uidebit $patium inter eas ma- ius, quàm in rei ueritate $ecundum $uam pyramidationem: quod autem e$t magis amplum de ip$o, e$t latitudo tabulæ: & apparebit, quòd diameter remota à medio, e$t diameter, quæ $equitur ui$um coopertum. Ex quo declaratur, quòd duæ diametri, quæ uidentur propinquæ, cum ui$io fuerit in utroque ui$u: $unt illæ, quarum utraque uidetur ui$u $equente: & quòd duæ diametri remotæ $unt illæ, quarum utraque uidetur ui$u obliquo. Propinquitas autem duarum è quatuor e$t: quia cum duo axes concurrerint in indiuiduo po$ito in medio: tunc utraque diametrorum comprehende- tur à ui$u $equente per radios ualde propinquos axi. Quapropter formæ eorum propter hoc e- runt in concauitate communis nerui ualde propinquæ centro, & erit punctus $ectionis eorum in ip$o centro: unde uidentur propinquæ $ibi, & medio. Remotio autem duarum è quatuor e$t: quia utraque diametrorum comprehenditur etiam alio ui$u obliquo ab ip$o. Quapropter comprehen- ditur per radios remotos ab axe: & altera comprehenditur per radios dextros ab axe, & reliqua per radios $ini$tros ab axe alio. Quapropter formæ earum in$tituentur in concauitate communis nerui remotæ. Infigentur enim in duabus partibus contrarijs in re$pectu centri, & etiam remotis à cen- tro: unde du{ae} diametri habent duas formas propinquas $ibi, & duas formas remotas à $e. Quare ue rò comprehendatur remotio utriu$q; remotarũ à medio, maior quàm $it $ua remotio uera: e$t: quia remotio, qu{ae} e$t inter duas diametros, cõprehenditur ab utroq; ui$u maior, quàm $it in rei ueritate: & hoc apparet, quando experimentator cooperuerit alterũ ui$um, & in$pexerit per reliquũ. Quare uerò, quando experimentator cooperuerit alterum ui$um, & in$pexerit per reliquum tantùm: inue niat $patium inter duas diametros magis amplum, quàm in rei ueritate: e$t: quia $patium, quod e$t inter duas diametros, comprehenditur ab utroq; ui$u ualde propinquũ ui$ui: & omne, quod e$t ual de propinquum ui$ui, uidetur maius, quàm $it in rei ueritate. Et cau$a huius declarabitur pò$t, cum loquemur de deceptionibus ui$us. Ex con$ideratione igitur di$po$itionum diametrorum, quæ $unt in tabula, & indiuiduorum po$itorum $uper eas, non in medio: apparet, quòd omne ui$um po$itum $uper axem communem, & comprehen$um à ui$u per axem radialem, comprehenditur in $uo loco, $iue comprehendatur uno ui$u, & per unũ axem axiũ duorũ ui$uum, $iue cõprehendatur per duos ui$us & ambos axes. Et declaratur, quòd omne ui$um comprehen$um per unum ui$um & per axem radialem, quod ui$um non e$t $uper axem cõmunem, comprehenditur in loco propinquiore cõmu- muni axi quàm $uo loco uero: & hoc etiã $equitur in eis, quæ cõprehenduntur per re$iduos radios, præter axem. Quoniã cũ ui$us comprehenderit rem ui$am $ecundũ quod e$t: & in$tituta fuerit for- ma in cõcauitate cõmunis nerui in uno loco: & continua $ibi inuicem $ecundum continuation\~e rei ui$æ: & punctũ ui$i, quod e$t $uper axem radialem, cum nõ fuerit $uper axem cõmunem, uideatur in loco propinquiore cõmuni axi, quàm $uo loco uero: tunc puncta $ua re$idua etiam uidentur in loco propinquiore cõmuni axi, $uo loco uero, quia $unt continuata cum parte, quæ e$t apud extremum axis. Et $i axes duorũ ui$uum concurrer\~et in aliquo ui$o extra axem cõmunem, $equeretur etiã i$ta di$po$itio: $cilicet quòd uideretur in loco propinquiore cõmuni axi, quàm $uo loco uero. Sed i$ta po $itio rarò accidit. Cum enim illi axes duorũ ui$uum cõcurrerint in aliquo ui$o: tunc in pluribus di$- po$itionibus axis cõmunis tran$ibit per illud ui$um, & nunquã axes duorum ui$uũ concurrentin aliquo ui$o extra axem cõmunem, ni$i per laborem aut per impedimentũ cogens ui$um ad hoc. Et hæc di$po$itio nõ apparetin ui$is a$$uetis. Nam cum acciderit hoc in aliquo ui$o a$$ueto: continget in omnibus ui$is continuis cum illo ui$o: unde po$itio ui$orum inter $e inuicem nõ tran$mutabitur propter hoc. Et cum po$itio illius ui$i in re$pectu ui$orũ uicinantium non fuerit tran$mutata: tunc non apparebit tran$mutatio $uiloci, cum acciderit in ui$is a$$uetis. Quando igitur con$ideratur hæc uia prædicta: declarabitur ex illa experientia, quòd hoc $equitur in omnibus ui$is, in quibus cõcur- runt axes duorũ ui$uum, quæ $unt extra axem cõmunem. Et etiam oportet experimentator\~e acci- pere tres $chedulas pergameni, paruas, æquales: & $cribat in una uerbum aliquod $criptura mani- fe$ta: & in re$iduis $cribat illam eandem partem: & in illa quantitate & in illa figura: & ponat in diui- duum unum in medio tabulæ, ut prius: & ponat etiam alterum indiuiduum $uper punctum k. Dein de applicet unam $chedulam cum indiuiduo, quod e$t in medio tabulæ, & aliã in puncto k: & ob$er uet, ut po$itio eius $it, $icut po$itio primæ $chedulæ: & ponat tabulam, ut prius fecit: & dirigat pupil lam ad $chedulam, qu{ae} e$t in medio in diuiduo: & intueatur illam: tunc cõprehendet part\~e $criptam $uper illam certa comprehen$ione: & comprehendet $imul in illa di$po$itione aliam $chedulã, & par tem $criptã in ea, $ed non bene declaratã, $icut e$t pars $imilis illi, quæ e$t $cripta in media $chedula, licet $int cõ$imiles in figura, forma & quãtitate. Deinde in hac di$po$itiõe oportet experimentator\~e accipere tertiam $chedulam manu $equente punctum k: & ponat illam in uerticatione duarum $che dularum, qu{ae} $unt in tabula, & in rectitudine exten$ionis lineæ, qu{ae} e$t in latitudine tabulæ, quæ e$t in $uperficie tabulæ, quantũ ad $en$um: $ed tamen $it remota à tabula: Et huius uerticatio uocetur uerticatio facialis. Et ob$eruet experimentator, ut po$itio tertiæ $chedulæ, & po$itio partis, quæ e$t in illa, quando ponit $chedulã, $it $imilis po$itioni duarũ $chedularũ, quæ $unt in tabula: & tunc figat ambos ui$us in $chedulam po$itã in medio, & dirigat pupillam ad ip$am: & tunc quid\~e cõprehendet tertiã $chedulam, $i non fuerit multũ remota à tabula: $ed comprehendet formã partis, quæ e$t in ea, dubitabil\~e, non intelligibil\~e, & nõ inueniet eam, $icut inuenit formã partis $imilis illi, quæ e$t in me- dio tabul{ae}:nec $icut inuenit formã partis, qu{ae} e$t apud punctũ k, dum ambo ui$us direxerint pupillã OPTICAE LIBER III. ad $chedulam, quæ e$t in medio. Deinde auferat experim\~etator indiuiduum, quod e$t apud punctũ k, & $chedulam, quæ e$t in illo: & appropinquet $chedulam, quam tenet in manu, quou$q; applicet eam ad latus $chedulæ, applicatæ cũ indiuiduo po$ito in medio: & præ$eruet $e, ut $chedula $it per- pendicularis $uper lineam po$itam in latitudine: & dirigat pupillam, $icut prius, ad $chedulam po- $itam in medio: tunc quidem in medio comprehendet ambas partes, quæ $untin duabus $chedu- lis comprehen$ione manife$ta & certificata, & non erit inter duas formas duarum partium in de- claratione & certificatione differentia $en$ibilis. Dein de experim\~etator moueat $chedulam, quam tenet in manu motu $ubtili $uper lineam po$itam in latitudine: & præ$eruet $e, ut $itus eius $it, $icut erat prius: & intendat certificare $chedulam, quæ e$t in medio, & intueatur bene duas $chedulas in hoc $tatu: tunc quidem uidebit, quòd quantò magis $chedula mota remouetur à medio, tantò ma- gis diminuitur declaratio partis, quæ e$t in ea. Cum igitur uenerit apud punctum k: tunc inueniet formam partis intelligibilem, $ed non tantùm, quantum, cum e$$et apud $uam applicationem cum $chedula, quæ e$t in medio. Deinde experim\~etator moueat $chedulam etiam: & extrahat illam à ra bula: & rem oueat illã paulatim & paulatim in uerticatione lineæ po$itæ in latitudine: & intueatur cõ$iderans optimè; & dirigat pupillam ad $chedulã po$itam in medio: quoniã tunc inueniet, quòd $chedula mota, quantò magis remouetur à medio, tantò minus apparebit pars $cripta in ea, adeò quòd erit nõ intelligibilis omnino. Deinde cum mouerit illam po$t hoc: uidebit, quòd quantò ma- gis illa remouetur à medio, tantò magis latebit forma illius partis $criptæ in ea. Et etiam cooperiat experimentator ui$um, qui $equitur punctumt: & figat tabulam in ead\~e di$po$itione: & dirigat pu- pillam unius ui$us, qui $equitur punctum k, ad $chedulam po$itam in medio: & applicet aliam $che- dulam ad latus $chedulæ po$itæ in medio, $icut fecit prius: tũc quidem inueniet partem, quæ e$t in alia $chedula, manife$tam, inter quam & $chedulam po$itam in medio, non e$t differentia $en$ibilis. Deinde moueat $ecundam $chedulam, ut primò fecit: & intendat $chedulam po$itam in medio: & dirigat pupillam ad ip$am: tunc quidem inueniet partem, quæ e$t in $ecunda $chedula apud motũ latére. Et cum peruenerit ad punctum k: tunc erit inter $uam certificationem in hoc $tatu, & $uam certificationem apud applicationem $uam cum ea, quæ e$t in medio: differentia $en$ibilis. Deinde moueat hãc $chedulam, & extrahat illam à tabula, ut primò fecit: & intueatur $chedulam in medio po$itam: tunc quidem inueniet, quòd $chedula mota, quantò minus remouetur à medio, tantò mi- nus diminuitur declaratio, quæ e$t in ea: adeò quòd forma eius omnino erit intelligibilis: & quan- tò magis remouetur à medio, tantò magis latebit.

15. Vi$ibile in axium opticorum concur$u certi{$s}imè uidetur: extratantò certius, quantò concur$ui fuerit propinquius. 45 p 3.

APparet ergo ex hac con$ideratione, quòd manife$ti$simum ui$ibilium facialium ui$ui, quæ comprehenduntur ambobus ui$ibus: e$t illud, quod e$t apud concur$um duorum axium: & quod e$t propin quius concur$ui duorum axium, e$t manife$tius remotiore: & quòd forma remoti ui$i ad concur$um duorum axium e$t non certificata, licet comprehendatur utroque ui$u. Amplius apparet ex hac con$ideratione, quòd manife$ti$simum ui$ibilium facialium, qu{ae} compre- henduntur uno ui$u: e$t illud, quod uidetur per axem radialem: & illud, quod e$t propinquius illi, e$t manife$tius, quàm illud, quod e$t remotius: & quod remotum ui$um à radiali axe habet formã dubitabilem, non certificatam.

16. Vi$ibile magnum $imul totum æquabiliter non uidetur. 48 p 3.

AMplius apparet, quòd ui$us non comprehendit rem ui$am, quæ e$t remotarum diametrorũ, uera comprehen$ione, ni$i moueat radialem axem $uper omnes eius diametros, & $uper o- mnes eius partes, $iue comprehen$io $it ambobus ui$ibus, $iue uno. Vi$us enim cum fuerit $ixus in oppo$itione ui$i, quod e$t maximarum diametrorum, non comprehendet totum uera com prehen$ione: $ed $olùm illud, quod e$t $uper axem & prope, certificata $cilicet cõprehen$ione: re$i- duæ uerò partes eius, & illud, quod remotum e$t ab axe $cilicet, comprehendetur, $ed non certè, li- cet ui$um $it faciale, & indifferenter, $iue comprehen$io $it utroq; ui$u, $iue uno tantùm. Po$tea o- portet experimentatorem accipere pergamenum quatuor digitorũ in omni diui$ione, in quo $cri- bat lineas $criptura $ubtili, tamen manife$ta & intelligibili. Deinde auferat indiuiduum po$itum $uper tabulam: & $uperponat tabulam prope ui$um, ut prius fecit: & erigat pergamenum $uper li- neam po$itam in latitudine, quæ e$t in medio tabulæ: & dirigat pupillam utroque ui$u ad medium pergameni, & intueatur ip$um: quoniam tunc inueniet $cripturam, quæ e$t in pergameno, apertã & intelligibilem: Sed tamen $criptura, quæ e$t in medio pergameni, e$t manife$tior, quàm quæ e$t in extremis: quando ui$us direxerit pupillam ad medium pergameni, & non fuerit motus $uper o- mnes eius diametros. Dein de obliquet pergamenum adeò, ut $ecet lineam po$itam in latitudine, in puncto po$ito in medio tabulæ, quod e$t punctum $ectionis (obliquatio autem pergameni $u- per lineam po$itam in latitudine $it parua) & in$piciat ambobus ui$ibus medium pergameni: quo- niam tunc inueniet $cripturam legibilem, $ed non tantùm, quantùm cum pergamenum erat facia- le. Deinde experimentator debet obliquare pergamenum obliquatione maiore prima, ita ut me- dium eius $it $uper punctum $ectionis: & dirigat pupillam utroq; ui$u ad medium eius: tunc quid\~e ALHAZEN uidebit $cripturam latentiorem prima. Deinde etiam obliquet pergamenum paulatim, ita ut me- dium eius $emper $it in puncto $ectionis, & intueatur $ucce$siuè: & tunc inueniet $cripturam lat\~e- re apud obl quationes pergameni: & quantò magis pergamenum fuerit obliquum, tantò magis latebit $criptura, adeò ut pergamenum appropinquet lineæ exten$æ in medio longitudinis tabul{ae}: & tunc $criptura, quæ e$t in pergameno: uidebitur multum dubitabilis, & ferè non intelligibilis, & non certificata. Deinde oportet experimentatorem uertere pergamenum ad primam po$itio- nem: & erigere ip$um $uper lineam po$itam in latitudine: & cooperire alterum ui$um: & in$picere pergamenum reliquo ui$u: & tunc inueniet $cripturam manife$tam, & legibilem. Deinde obliquer pergamenum, ut prius fecit: & in$piciat ip$um uno ui$u: & tunc inueniet $cripturam latentiorem, quàm cum eratapud oppo$itionem facialem. Deinde obliquet pergamenum plus paulatim & pau latim: & intueatur ip$um multoties: & tunc inueniet, quòd quanto magis obliquatur, tanto ma- gis latet pars $cripta, adeò ut pergamenum appropinquet diametro, quæ $equitur ui$um apertum. Declarabitur ergo ex hac con$ideratione, quòd manife$ti$simum ui$ibilium, quæ $unt $uper axem radialem: e$t illud, quod e$t faciale ui$ui: & quòd illud, cuius po$itio e$t magis facialis, e$t manife- $tius illo, cuius po$itio e$t minus facialis: & quòd illud, quod e$t obliquum ab axe radiali obliqua- tione maxima, e$t dubitabile, non intelligibile, $iue ui$io $it utroque ui$u, $iue uno. Deinde oportet experimentatorem uertere indiuiduum, quod erat $uper tabulam: & ponereip$um in medio tabu- læ: & applicare ip$um ad punctum $ectionis, ut in prima con$ideratione. Deinde erigat pergame- num $uper alteram partem lineæ po$itæ in latitudine $uper uerticationem facialem: & dirigat pu- pillam utroq; ui$u ad indiuiduum po$itum in medio: In hac quidem di$po$itione comprehendet pergamenum, & $cripturam, quæ e$t in ip$o: $ed illud, quod propinquum e$t indiuiduo po$ito in medio: erit manife$tum, & quod remotum e$t ab illo, e$t dubitabile & latens: & quanto magis re mouetur ab indiuiduo, tantò magis latet. Etiterum oportet experimentatorem obliquare perga- menum in hoc $tatu, ita ut $ecet lineam po$itam in latitudine $uper aliquod punctum alterms eius partis: & $it parua obliquatio: & dirigat pupillam ad indiuiduum po$itum in medio: tunc quidem uidebit $cripturam, quæ e$t in pergameno latentiorem, quàm cum erat facialis. Deinde obliquet plus pergamenum: & dirigat pupillam ad indiuiduum po$itum in medio: tunc quidem uidebit dcripturam dubitabilem, non manife$tam, nec legibilem. Deinde oportet experimentatorem coo- perire alterum ui$um, & in$picere uno ui$u: & uertat pergamenum in $ua prima po$itione: & erigat ip$um $uper partem lineæ po$itæ in latitudine, quæ $equitur ui$um in$picientem: & dirigat pupil- lam unius ui$us ad indiuiduum po$itum in medio: tunc quidem comprehendet etiam $cripturam, quæ e$t in pergameno, & uidebit illam, quæ e$t prope indiuiduum, manife$tiorem remota, & uide- bit illam, quæ e$t remoti$sima ab indiuiduo, dubitabilem, & non legibilem. Deinde obliquet per- gamenum ita, ut $ecet lineam po$itam in latitudine $uper punctum partis, $uper quam erat erectũ, & in$piciat indiuiduum po$itum in medio, illo eodem ui$u: tunc quidem uidebit $cripturam, quæ e$t in pergameno, dubitabilem, & illegibilem magis, quàm cum pergamenum erat faciale. Dein- de obliquet pergamenum magis paulatim ac paulatim, & uidebit, quòd quantò magis obliquatur pergamenum, tantò magis latebit $criptura. Apparet ergo exhac con$ideratione, quòd ui$um, quod e$t faciale, e$t manife$tius ui$o obliquo: quamuis ui$um non fuerit $uper axem radialem, fed extra ip$um. Vi$um enim quando multùm e$t obliquum, latet multùm, licet non $it $uper axem ra- dialem, $iue ui$io $it utroque ui$u, $iue uno tantùm. Et iterum oportet experimentatorem au$erre indiuiduum à tabula: & erigere pergamenum $uper extremum tabulæ: & $uperponere finem erus fini latitudinis tabulæ, qui e$t c d: & dirigat pupillam utroq; ui$u ad medium pergameni: quoniam tunc inueniet $cripturam manife$tam & legibilem. Deinde obliquet pergamenum ita, ut $ecetla- titudinem tabul{ae} $uper punctum z, quod e$t in medio latitudinis tabul{ae}, & dirigat pupillam utro- que ui$u ad medium pergameni: tunc quidem uidebit $cripturam latentiorem, quàm prius. Dein- de addat in obliquatione pergameni paulatim & paulatim: & uidebit $cripturam latére paulatim & paulatim, adeò, ut$i obliquatio pergameni fuerit maxima: uideat $cripturam ualde latentem in eadem di$po$itione, in qua erat, quando con$iderabatur in medio tabulæ. Et $imiliter $i con$idera- uerit ip$um in hoc loco uno ui$u. Deinde oportet experimentatorem ponere indiuiduum $uper- punctum z, & erigere pergamenum $uper alteram partem latitudinis, apud extremum tabulæ, $i- cut fecit in medio tabulæ: & dirigat pupillam ad indiuiduum po$itum in medio, & intueatur per- gamenum, & con$ideret $cripturam: tunc enim uidebit di$po$itionem, $icut uidebateam, quan- do erat in medio tabulæ, $iue con$ideretur utroque ui$u, $iue uno. Deinde oportet experimenta- torem etiam experiri $chedulas paruas, quas præ diximus, apud extremum tabulæ, & uidebit di$- po$itionem in eis, $icut cum erant in medio, $cilicet, quòd pars, quæ e$t in media $chedula, e$t manife$tior parte, quæ e$t in $chedula remota à medio: & quantò $chedula magis e$t remota à me- dio, tantò magis latebit pars. Sed tamen uidebit, quòd remotio à medio, apud quam latet pars po $ita in extremo, quando con$ideratio fuerit apud extre mum tabulæ, e$t proportionalis ad remo- tionem à medio, apud quam latet pars po$ita in extremo, quando con$ideratio fuerit in medio ta- bulæ: e$t enim $ecundum remotionem radiorum exeuntium ad extremum ab axe. Proportio igi- tur remotionis, apud quam latet forma po$ita in extremo, à forma po$ita in medio, ad remotionem formæ po$itæ in medio, e$t ead\~e proportio in con$ideratione apud mediũ tabulæ, & in con$idera- tiõe apud extremũ eius. Et $imiliter etiã $i experim\~etator ab$tulerit tabulã; & po$uerit pergamenũ, OPTICAE LIBER III. in quo e$t $criptura in maiore di$tantia, quàm longitudo tabulæ $it, & ubi po$sit legere $cripturam: & fuerit faciale ui$ui: & intueatur ip$um: deinde obliquauerit ip$um in $uo loco: inueniet $criptu- ram latêre: & $i magis obliquauerit, magis latebit, ita quòd $i multùm obliquauerit ip$um, adeò ut po$itio eius $it propin qua po$itioni radiorum exeuntium ad medium eius: tunc uidebit $cripturã in pergameno latentem ualde, adeò, ut non po$sit legi: & hoc uidebit, $iue con$ideretur utroque ui$u, $iue uno tantùm. Et $imiliter cum fixerit aliquam $chedularum paruarum in loco oppo$ito ui $ui remotiore, quàm $it longitudo tabulæ: & po$uerit ip$am facialem ui$ui: & direxerit pupillam ad ip$am utroque ui$u: & po$uerit aliam $chedulam obliquam $uper illam, aut dextror$um aut $ini- $tror$um: & erexerit eam ita, ut $it facialis: inueniet eam latentiorem. Deinde $i aliquis mouerit $ecundam $chedulam, & remouerit eam paulatim & paulatim à $chedula, ad quam dirigit pupil- lam: inueniet, quòd forma partis, quæ e$t in $chedula, quæ e$t in extremo, quantò magis illa re- motior e$t à $ecunda $chedula, tantò magis latet, adeò ut fiat illegibilis omnino. Et $imiliter $i con- $iderauerit has duas $chedulas, uno ui$u: inueniet talem di$po$itionem.

17. Vi$ibile ui$ui directũ, certi{$s}imè uidetur: obliquũ tantò minus, quantò obliquius. 33 p 4.

DEclaratur ergo exi$tis con$iderationibus omnibus, quòd manife$ti$simum ui$ibilium in o- muibus remotionibus e$t illud, quod e$t $uper axem radialem: & quòd illud, quod e$t pro- pinquius axi, e$t manife$tius remotiore ab ip$o: & quòd ui$um remotum ab axe maxima re motione, e$t dubitabilis form{ae}, nõ certificabilis, & indifferenter, $iue ui$io $it uno ui$u, $iue utroq;. Amplius etiam quòd ui$um faciale e$t in omnibus remotionibus manife$tius ui$o obliquo: & quòd quantò magis po$itio ui$i appropinquat po$itioni faciali, tantò erit manife$tius: & quòd ui- $um obliquum $uper lineas radiales obliquatione maxima, habet formam multùm dubitabilem, & nõ certificatam à ui$u, $iue ui$io $it uno ui$u, $iue utroq;, & $iue ui$um $it $uper axem, $iue extra ax\~e. Quare uerò ui$um multùm obliquum $it dubitabilis form{ae}, licet remotio eius $it mediocris, & licet magnitudo $it comprehen$a, $ecundum quod e$t: & quare ui$um faciale $it manife$tius obliquo, hæc e$t: quia forma ui$i multùm obliqui in$tituitur in $uperficie ui$us cõgregata propter $uam ob- liquationem. Quoniam cum ui$us fuerit multùm obliquus, tunc angulus, quem $ubtendit ui$um $uper centrum ui$us, erit paruus, & pars ui$us, in qua in$tituitur forma illius ui$i, erit minor multò parte, in qua in$tituitur forma illius, $i fuerit faciale ui$ui, & partes eius paruæ $u$tentantur apud ui $um angulis in$en$ibilibus, propter maximã obliquationem. Pars enim parua cum multùm fuerit obliqua: tunc duæ lineæ exeuntes à centro ui$us ad extrema illius partis, fient qua$i una linea. Quapropter $entiens non comprehendit angulum contentum inter eas, neque partem, quam di- $tinguit ex $uperficie ui$us. Et ui$um multùm obliquum erit dubitabile, quia forma eius, quæ infi- gitur in ui$u, erit congregata maxima congregatione, & partes eius paruæ erunt in$en$ibiles, & i- deo forma eius erit dubitabilis. Et ideo $i in huiu$modi ui$o fuerint $ubtiles intentiones, non com prehendentur à ui$u propter latentiam $uarum partium paruarum, & propter congregationem formæ. Vi$um autem faciale e$t è contrario. Nam forma eius, quæ in$tituitur in ui$u, erit ordinata $ecundum quod e$t in $uperficie ui$i, & partes eius paruæ, quæ po$$unt com prehendi à ui$u, erunt manife$tæ & ordinatæ in $uperficie ui$us $ecundum $uam ordinationem in $uperficie ui$i: & tunc forma erit manife$ta, & non dubitabilis. Et uniuer$aliter intentiones $ubtiles, & partes $ubtiles, & ordinatio partium ui$i non comprehenduntur à ui$u uera comprehen$ione, ni$i cum forma impri- mitur in $uperficie membri $entientis, & in$tituitur quælibet pars eius in parte $en$ibili $uperficiei membri $entientis. Et cum ui$um fuerit multùm obliquum: tunc forma eius non imprimetur in ui$u, neque formæ aliquarum partium paruarum infigentur in parte $en$ibili ui$us. Hoc enim non fit, ni$i quando ui$um fuerit faciale, aut quando obliquatio eius fuerit parua, & fuerit remotio eius $imul ex remotionibus mediocribus, in re$pectu remotionum, quæ $unt in illo ui$o. Comprehen- $io uerò magnitudinis ui$i obliqui multùm, $ecundum quod e$t, cum fuerit in remotione medio- cri, licet obliquatio eius $it maxima: non e$t ex ip$a forma ui$i, quæ in$tituitur in ui$u, tantùm, $ed ex ratione extra formam, $cilicet ex hoc, quòd comprehendens comprehendit diuer$itatem dua- rum remotionum extremorum eius, cum hoc, quòd comprehendit men$uram formæ. Et cum ui- $us comprehenderit diuer$itatem remotionis duorum extremorum ui$i multùm obliqui, & com- prehenderit differentiam maximam inter eas: $tatim uirtus di$tinctiua imaginabitur po$itionem il lius ui$i, & comprehendet men$uram eius $ecundum diuer$itatem remotionum duorum extremo- rum eius: & $ecundum men$uram partis, in qua in$tituitur forma: & $ecundum men$uram anguli, quem $ubtenditilla pars apud centrũ ui$us, non $olum modò exip$a forma. Et cũ uirtus di$tinctiua cõprehenderit diuer$itat\~e duorũ extremorũ ui$i multũ obliqui, & cõpreh\~ederit obliquation\~e eius: $tatim percipiet congregation\~e form{ae}. Cõprehendit ergo men$urã eius, cũ $en$erit quantitat\~e obli quationis eius non $ecundum men$urã formæ, $ed $ecundũ po$ition\~e eius. Et partes paruæ & $ub- tiles intentiones, quæ $unt in ui$o, non po$$unt comprehendi ratione, $i ui$us non $en$erit illas par tes, aut illas intentiones. Latentia igitur formæ ui$i accidit ex congregatione formæ eius in ui$u, & ex lat\~etia partiũ eius paruarũ. Et appar\~etia formæ ui$i cũ fuerit in remotione mediocri, e$t propter impre$sion\~e form{ae} in ui$u, $ecũdũ q<001> e$t, & propter hoc, quòd $entit ui$us partes eius paruas. Qua- re igitur forma ui$i maximè obliqui $it dubitabilis, forma aũt ui$i facialis $it manife$ta, declaratum e$t. His aũt declaratis, incipi\~edũ e$t à $ermõe de deceptiõe ui$us, & declarãd{ae} cau$${ae} & $pecies earũ.

ALHAZEN DE CAVSSIS, QVIBVS VISVI ACCIDIT DE- ceptio. Cap. III. 18. Ad ui$ionem perficiendam octo nece$$aria $unt: quorum quodlibet ad uitandum allu- cinationes, ui$ibili $ymmetrum e$$e oportet. 1. 2. 13. 14. 15. 16. 19. 56 p 3. 1 p 4. Vide 36 n 1.

DEclaratum e$t in libro primo [36 n] quòd ad hoc, ut formas corporis ui$i directè ui$us com prehendat, nece$$aria e$t quorundam aggregatio, quæ $unt Longitudo: Oppo$itio: Lux non multùm debilis: Soliditas corporis: Magnitudo eiu$dem: Raritas intermedij aeris: $i enim adfuerit alicuius horum defectus, non erit ui$us. Planum e$t etiam exlibro $ecundo [12. 13. 20 n] quòd nihil pote$t ui$us comprehendere ex corporibus, ni$i in tempore. T\~epus igitur e$t unum eo- rum, quæ nece$$aria $unt ad hoc, ut fiat ui$us. Similiter infirmitas oculi impedit ui$um: quare $ani- tas erit unum nece$$ariorum. Amplius iam explanatum e$t in parte præcedente [15. 17n] quòd corpus multùm elongatum ab axe, occultatur ui$ui: & $i multùm tunc fuerit declinatum, non ple- nè comprehendetur. Nece$$arius ergo e$t $itus ad complementum ui$us, cum non plena fiat com- prehen$io, ni$i in $itu determinato. Sunt ergo octo nece$$aria ad operationem ui$us, Longitudo: Situs: Lux: Magnitudo corporis: Soliditas: Raritas aeris: T\~epus: Sanitas ui$us. Et quodlibet i$to- rum latitudinem habet proportionatam ad rem ui$am. Verbi gratia, corpus aliquod ab aliqua di- $tantia plenè comprehenditur, ab alia non plenè: & inter illas di$tantias e$t latitudo magna, in qua fit plena comprehen$io illius corporis, quæ e$t latitudo longitudinis, re$pectu tanti corporis, & $e- cundum quod maius fuerit corpus, maior erit latitudo di$tantiæ eius. Pari modo cum magna fue- rit corporis alicuius declinatio:non comprehendentur notæ, uel particulæ, quæ $unt in eo: $i aut\~e in eadem declinatione uideatur corpus, in quo maioris quantitatis notæ, uel partes minus minut{ae} fuerint: comprehendentur: in minore autem declinatione corporis primi, uidebuntur eius minu- tiæ: & e$t inter has declinationes latitudo. Similiter corpus paruum circa axem $itum uidetur: mul tùm elongatum, occultatur: & in eadem elongatione corpus maius uidebitur. Palàm ergo, quòd $itus habet latitudinem proportionatam ad corporis magnitudinem & minutias eius. Lucem pla- num e$t habere latitudinem: fortitu do enim lucis cum magna fuerit, obfu$cat apparentiam corpo- ris: & $imiliter etiam eiu$dem debilitas: $ed erit corporum apparentia in lucibus intermedijs. Præ- terea in luce aliqua quædã partes corporis cõprehenduntur, & in ead\~eluce aliæ minuti$simæ ab- $conduntur, quæ in luce maiore uider\~etur. E$t ergo latitudo lucis proportionata ad magnitudin\~e corporis. Magnitudo corporis habet latitudin\~e: Si enim partes rei ui$æ nõ fuerint proportionales totali: occultabũtur ui$ui: $i uerò fuerint {pro}portionales, & corpus totale fuerit modicũ, adhuc ab- $condentur. Vnde in auibus & animalibus minutis particulas aliquas nõ percipimus, licet $int pro- portionales eis: Si aũt magnũ fuerit corpus ui$um, & partes eius {pro}portionales: nõ latebũtu$que- adeò. E$t igitur latitudo magnitudinis rei ui$æ proportionata ad totale corpus, cuius pars fuerit. Soliditas aũt habet latitudin\~e {pro}portionatã ad rem ui$am. Si enim in corpore aliquo coloracutus fuerit: licet paucæ $oliditatis: uideri poterit, quòd ead\~e $oliditate man\~ete nõ accideret, $i color e$$et obtu$us. Raritas aeris habet latitudin\~e. Si enim ui$ui & $cripturæ interponatur aer parũ $olidus, ut flãma uel fumus, $criptura nõ di$cernetur, pergamenũ tam\~e uidebitur: & $ic in huiu$modi alijs. E$t ergo proportionata hæc latitudo $ecũdũ ui$a. Tempus habet latitudin\~e. Si quis enim per foramen in$piciat corpus, quod $tatim tran$eat, non percipietur. Similiter motus trochi (quia ueloci$si- mus) in tempore multùm paruo non attenditur. Similiter accidit in motu multùm paruo. Sani- tas habet latitudinem. In quadam enim infirmitate minutiæ corporis ui$i ab $conduntur, in mino- re percipiuntur. Et generaliter quilibet $itus, in quo non uerificatur forma rei ui$æ, $icut e$t in ueri- tate, e$t $itus egre$$us à remperantia ad rem ui$am illam proportionata. Egreditur autem $itus rei ui$æ à temperamento in longitudine: uel propter maximum longitudinis excrementum: uel maxi mam eius diminutionem. In $itu $it egre$sio à temperantia per maximam ab axe elongationem: per $itus corporis re$pectu duorum ui$uum diuer$itatem: per maximam eius decliñationem. In lu- ce egre$$um à temperantia efficit fortitudo maxima eius, uel debilitas nimia. In magnitudine di- minutio quantitatis rei ui$æ. In $oliditate raritatis inten$io. In aere nimia eius $pi$situdo. In tèmpo- re minima eius duratio. In $anitate debilitas ui$us maxima, uel eius immutatio $ecundum ægritu- dinem. Habet autem temperamentum latitudinem, quæ $ic patebit. Vi$o aliquo corpore, & pau- lulum à ui$u elongato uel adducto: dum uidetur di$tans à ueritate in$en$ibili proportione, adhuc e$t de temperamento: & ita donec proportionalis $it, & $en$ibilis apparentiæ mutatio. Men$ura- tur etiam temperamenti latitudo in quolibet i$torum $ecundum proportionem eius ad alia $ept\~e: & $ecundum colorem & partium corporis paruitatem. Igitur latitudo temperamenti longitudinis attenditur, & $ecundum colorem & $ecundum minutias, quæ in corpore fuerint, & $ecundum lu- cem, & $exalia, quæ dicta $unt. Secundum coloris uarietatem: quoniam corpus fortis & acuti co- loris, à maiore longitudine percipitur, quàm ob$curi & debilis. Vnde latitudo temperamenti longitudinis maior, e$t proportionata magis ad colorem fortem, quàm ad debilem. Similiter $i fuerint in corpore ui$o notæ notabiles, à maiore longitudine comprehendentur, quàm $i multùm paruæ. Vnde maior longitudinis temperantia, re$pectu partium corporis notabilium, quàm re$pe ctu minutarum. Pari modo maius e$t temperam\~etum longitudinis ad rectam corporis oppo$itio- OPTICAE LIBER III. nem proportionatum, quàm ad eius declinationem. Similiter erit maius $ecundum propinquita- tem corporis ab axe, quàm elongationem. Eodem modo maior e$t temperamenti longitudinis la- titudo in fortiluce, quàm in debili. Et maior, $i corpus ui$um fuerit magnum, quàm $i paruum. Similiter corpus multùm $olidum à maiore longitudine percipitur, quàm minus $olidum. Vnde $oliditati corporis proportionatur longitudinis temperamentum. Ad qualitatem aeris propor- tionatur temperamentum longitudinis: quoniam $pi$situ do aeris ab aliqua longitudine corpora ui$ui ab$condit, quæ ab eadem, uel à maiore longitudine, claritas exponit. Temporis quantita- ti proportionatur temperamentum longitudinis. Quoniam in tempore aliquo motus corporis percipitur ab aliqua longitudine, & à maiore percipietur in maiore tempore. Pari modo in aliquo $tatu $anitatis ui$us, in maiore longitudine uidebitur corpus, quàm in minore. Similiter men$ura- tur temperamentum $itus, $ecundum proportionem factam ad longitudinem, ad colorem, ad mi- nutias corporis, ad lucem, & ad alia, quæ enumerauimus. Et tu con$idera, & $ingulis adapta, & ui- dere poteris facile: & eodem modo proportionabis temperamentum cuiuslibet i$torum ad omnia alia, & uidebis, quod dictum e$t per $ingula. Quando ergo $ingula eorum, quæ enumerata $unt, fuerint in latitudine temperamenti $ui: apparebit ueritas formæ rei ui$æ, $icut e$t in re: quando au- tem non apparet forma, $icut e$t in ueritate, egre$$um e$t uel aliquod prædictorum à temperamen- to, aut plura eorum. Igitur cau$$a, quare erret ui$us in comprehen$ione formarum, nõ e$t, ni$i egre$- $us alicuius prædictorum à temperamento, aut plurium. Et hæc dicenda in hac erant parte.

DE DISTINGVENDIS ERRORIBVS VI- $us. Cap. IIII. 19. In ui$ione erratur aut $olo ui$u: aut anticipata notione: aut $yllogi$mo.

PLanum e$t ex libro $ecundo [10 n] quòd comprehen$io rerum fit per $en$um, $cientiam, $yl- logi$mum. Cum autem accidit error ιn his, quorum fit comprehen$io per$olum $en$um: $ci- mus quòd e$t error $en$us tantùm. Cum uerò in ijs, quæ per $cientiam comprehendit, quis errauerit: in $cientia tantùm erit error. Si uerò in his, quæ per $yllogi$mum comprehenduntur, er ret quis: erit error in $yllogi$mo tantùm. Sen$us acquirit lucem & colorem tantùm, $icut dictum e$t [17 n 2.] Scientia uero prætendit ea, quæ prius $unt ui$a & in ui$u habita, ut lux $olis cogno- $citur, quòd plurimùm ui$a $it, & inter lucem $olis & lunæ di$cernitur: & licet, fiat comprehen$io lucis per $en$um tantùm: tamen per $cientiam accidit di$tinctio lucis. Similiter accidit per $cien- tiam notitia figurarum, ut trianguli, quadrati, circuli, & aliarum $imilium. Similiter notitia a$peri- tatis, læuitatis, umbræ, decoris, & $imilium. Per $yllogi$mum fit comprehen$io eorum, quæ $u- prà explanauimus, licet ea non plurimùm nouerit $en$us. Omnis autem comprehen$io rerum con tinetur $ub aliquo horum trium modorum: & cum error accidit in comprehen$ione formarum, non accidit, ni$i in aliquo i$torum. Accidit error $en$ui, $i corpus, in quo $it multa colorum parti- cularium diuer$itas, occurrat ui$ui $ub luce multùm debili, ut ue$tis aliqua diuer$is coloribus & mi nutis picturata, apparebit unius coloris. Et erit error in $en$u propter lucem à temperamento $uo egre$$am, cæteris a temperantia non egre$sis. In $cientia error accidit, cum in magna longitudine uidetur aliquando homo notus, æ$timatur e$$e alius, $imiliter cognitus: unde ab aliqua longitu- dine uidens fratrem, putat $e uidere patrem, uel aliquem in hunc modum. Et e$t error in $cientia, propter egre$$um $olius longitudinis à temperamento. In $yllogi$mo accidit error, ut quando mo- tis nubibus, æ$timatur e$$e lunæ motus. Et accidit error i$te ex intemperata longitudine. Quo- niam quando ui$ilongitudinis e$t temperantia, non euenit ita: ut baculum fundoaquæ infixum, & aquam $upereminentem, in motu etiam immotum uidemus, & motum tran$euntis aquæ per- cipimus. Accidit autem error prædictus in motu lunæ, cum nubes fuerint multæ & continuæ. Et cau$$a eius e$t: quoniam $icut patuit $uperius, [49 n 2] non comprehenditur motus, ni$i per ac- ce$$um alicuius ad aliquid, uel rece$$um con$ideratum. Cum ergo paucitas fuerit nubium: po$$u- mus di$cernere motus earum propter uniu$cuiu$q; ad $tellam aliquam acce$$um apparentem, aut rece$$um: cum uerò cœlum nubibus fuerit coopertum, propter continuitatem earum non di$cer- nimus motum, ueruntamen lunam modò in una parte uidemus, modò in alia: unde ip$am mo- tu celerrimo moueri concludimus. Eodem modo erit error per $itum à temperamento egre$$um, & per unum quodque octo $uprà dictorum in comprehen$ione per $en$um, per $cientiam, & per $yllogi$mum.

DE QVALITATIBVS DECEPTIONVM VISVS, QVAE fiunt $olo $en$u. Cap. v. 20. Erratur $olo ui$u in luce & colore, propter $ingulorum ui$ionem perficientium a$ymme- triam. 156 p 4.

EX prædictis palàm, quòd non fit comprehen$io per $en$um, ni$i lucis & coloris tantùm. Non ergo error accidit $en$ui, ni$i in luce & coloretãtùm. Nec accidit perlucem aut colorem, ni- $i propter intemperatam debilitat\~e eius aut fortitudinem: uel propter colorum minutorũ & ALHAZEN debilium diuer$itatem. Et hæc colorum diuer$itas in luce debili uenitad oculum, tanquam aliquid ob$curum aut tenebro$um: & etiam in luce forti, quando $ub$tantia colorum fuerit ualde parua. Longitudo inducit errorem $en$us, cum temperata fuerit elongatio corporis à ui$u, & fuerint in corpore partes minut{ae} in coloribus diuer${ae}, ad quas prop ortionata partiũ elongatio fit intempera ta: apparebit enim corpus illud unius coloris tantùm: quoniam extra temperantiam e$t longitu- do, re$pectu particularium, licet omnia alia conueniant in temperantia. Et e$t error i$te $en$ualis, cum $en$us $it comprehen$iuus coloris. Situs $en$um errare facit, cum maxima fuerit corporis ui- $i declinatio: occultabuntur ui$ui minutæ eius particulæ. Et $i in partibus minutis fuerit colorum diuer$itas: apparebit in totali corpore colorum unitas. Et accidit error propter $itũ tantùm. Quia oppo$ito corpore ui$ui, in $itu recto, alijs ($icut $unt) immotis, percipientur etiam partes corpo- ris & coloris, cum $olus $itus egre$$us $it à temperamento. Idem error accidit ex $itus intemperan- tia, cum elongatio partium minutarum ab axe fuerit magna. Lux multùm debilis errorem facit, ab- $condit enim ui$ui particulas corporis, & prætendit unitat\~e tenebro$i coloris: & $i lux ad temperã- tiam reduceretur: diuer$itas colorum aut diminutio partium non occultaretur: quoniam lux $ola extra temperantiam e$t $ita. Magnitudo errorem inuehit. Cum enim partes corporis minuti$simæ di$similes fuerint in totali colore: latebunt ui$um partes illæ propter $uam paruitatem, & $imiliter corum colores: & apparebit color unicus in corpore, magnitudine $ola extra temperantiam $ita: quod nõ appareret, $i paruitas partiũ extra t\~eperamentũ non exiret. Soliditas cau$$a e$t erroris $em $ualis, $i remi$$a fuerit $oliditas, ut in cry$tallo:unde cum ei $upponitur corpus coloratum, uidetur cry$tallus colore illo affecta, propter $oliditatis paruitatem à temperamento egre$$am: quod non accideret, $i cry$tallus magis $olida e$$et. Ex raritate aeris procedit error $en$ualis: cum intercidit inter ui$um & corpus oppo$itum, flamma, licet fortis coloris $it corpus ui$um: uidebitur tenebro- $um. Et $ola raritas aeris egre$$a e$t temperamentum. Tempus e$t cau$$a erroris: quoniam $i $ubitò $uper corpus diuer$orum colorum fiat ui$us directio: apparebit color $ingularis, donec prolonge- tur in$pectionis duratio: luce dico, $ub qua comprehenditur corpus, non forti. In luce enim debi- li non $tatim immutatur ui$us $ecundum quemlibet colorum particularium: quod accideret in lu- ce forti. Vi$us aliquan do errorem prætendit: Luce enim forti in ui$um cadente: læditur ui$us, & $tatim ad colorem alicuius corporis conuer$us, ip$um tenebro$um recipit, donec paululum $tete- rit, & læ$io rece$$erit. Pari modo cum aderit oculi infirmitas: occultabitur ui$ui colorum ueritas. Vnde error e$t ex $ola ui$us qualitate à temperamento recedente. Patet ergo, quòd accidanterro- res ui$ui $ecundum quo dlibet prædictorum con$iderati. Et acciduntin $en$u tantùm: cum ex $olo $en$u fiat comprehen$io colorum.

DE QVALITATIBVS DECEPTIONVM VISVS, QVAE fiuntin $cientia & cognitione. Cap. VI. 21. Erratur anticipata nõtione: cum forma anticipata, obiecto ui$ibili perperam a{$s}imila- tur, propter $ingulorum ui$ionem perficientium a$ymmetriam. 155 p 4.

DIctum e$t in $ecundo libro, [14. 67 n] quòd non ni$i per $cientiam fit definitionis rei acqui- $itio. Peruenit enim definitio ex $imilitudine uel di$similitudine alicuius rei cũ alia, in com- muni forma. Et proprium e$t $cientiæ communicare rem ui$ui præ$entem cum re prius ui- $a in $orma recepta: & ex hac communicatione acquiritur definitio rei cuiufcunque. Diuer$ifica- tur autem $cientia in $cientiam ideæ uniuer$alis, aut $ingularis, aut utriu$que. Et omnis error $ci- entiæ erit error in aliquo i$torum, aut in utroque. Cum ergo res aliqua, aut alia, aut alterius $pe- ciei apparet, quàm $it in rei ueritate: erit error in definitionis a$signatione. Nec accidit error i$te, ni$i aliquod prædictorum fuerit extra temperamentum. Error $cientiæ in longitudine erit: $i à lon gitudine magna uideatur homo notus: apparebit for$itan e$$e alius uidenti notus. Vnde aliquan- do uidens Petrum, ui$um dicit e$$e Martinum, cum con$tet utrumq; ei e$$e notum. In forma com- muni erit error: $i quis ab aliqua longitudine uideat equum, & puter $e uidere a$inum. In utraque formarum, $cilicet $ingularis & cõmunis, e$t error: ut $i quis à longitudine maxima uideat equum $ibi notum, & æ$timet $e uidere a$inum $ibi cognitum. Pari modo accidit error in arboribus tri- plex: in indiuiduis: in communibus formis: in utri$que. Vnde aliquando una amygdalus æ$tima- tur alia: aliquando à longitudine magna pyrus æ$timatur amygdalus: aliquando pyrus Petri, cre- ditur amygdalus Martini. Eadem triplicitas erroris ex longitudine accidit plurimum in ue$tibus, lapidibus, & alijs. Aliquando uidetur res ignota, & contingit error in $cientia: $icut $i aliquis ui- derit ignem longè remotum in aere, æ$timat for$itan $e $tellam uidere. Planum autem, quemlibet errorem prædictum cadere in $cientiam, cum in eo fiat a$signatio definitionis rei ui$æ, quæ non e$t in ea, in ueritate. Palàm etiam, quòd accidit error præfatus exlongitudine extra temperamen- tum exeunte. Ea enim ad temperamentum reducta, alijs erroris cau$sis ($icut $unt,) manenti- bus, non accidit error in $cientia prædictus. Situs errorem infert $cientiæ, cum corpus aliquod multùm fuerit elongatũ ab axe: non erit certa formæ cõprehen$io. Vnde ali quando in hoc $itu Pe- trus æ$timabitur Martinus, aliquãdo equus æ$timabitur e$$e a$inus. Et in hac incertitudine for$an eligetur ueritas, for$an fal$itas. Cum enim in hoc $tatu incertum $it iudiciũ: ca$ualis electio erit. Ac- OPTICAE LIBER III. cidit autem error ex intemperamento $itus: quoniam ip$o ad t\~eperantiam reducto, non errabit iu- dicium ex $cientia $umptum. Pari modo in magna corporis declinatione non uerificantur particu- læ minutæ. Vnde accidit in hoc $itu error figuræ, coloris, magnitudinis. For$an enim quadratum ui- detur circulare: & ita error in quantitate & colore. Egre$sio lucis à temperam\~eto error\~e inducit $ci entiæ. Debilitas enim lucis nimia errorem infert form{ae}. Vnde accidit error in crepu$culis, in anima libus, ue$tib. arboribus, $cilicet triplex, uel in indiuiduo, uel in $pecie, uel in utroq;: quod non acci- deret in temperata luce. Amplius $i fuerit egre$sio lucis à temperamento proportionato ui$o, oppo $ito ui$ui: accidet error prædictus, licet non $it intemperata in $e lux: $icut euenit in quadam aue ara bicè aluerach dicta: non enim uideri pote$t, ni$i de nocte: egreditur enim lux à temperam\~eto, re$pe ctu illius: percipitur aũt de nocte, $icut ignis: de die uerò cũ nõ plenè di$cernatur, for$an papilio (cui e$t $imilis) putabitur. Etaccidit error in definitione rei ex intemperata luce. Quantitas extra tem- perantiam $ita errare facit $cientiam. Vn de aliquan do formica præ $ui paruitate æ$timatur mu$ca tritico innata: & aliquando ead\~e de cau$$a $inapis granũ reputatur na$turtium. Soliditas à t\~epera mento egre$$a error\~e efficit, ut cũ cry$tallo cõtinuatur corpus rubeum, alia cry$talli facie ui$ui oppo $ita: æ$timabit uidens color\~e cry$talli, e$$e rubedin\~e: unde error e$t $cientiæ, quia in coloris defini- tione. Raritas aeris nimis diminuta, erroris e$t cau$$a:unde in eius $pi$situdine fit error in rei defini tione. Similiter $i oculo & corpori ui$o interponatur corpus, cuius raritas extra temperantiam e$t, re$pectu aeris t\~eperatæ raritatis, $icut e$t uitrum: æ$timabitur color corporis oppo$iti mixtus ex co lore proprio & colore uitri. Et ita e$t error in coloris definitiõe. Pari modo $i anreponatur oculo pã nus multũ rarus, & po$t illũ uideatur corpus: apparebit color corporis mixtus. Sed oritur quæ$tio, quomodo po$t pãni oppo$ition\~e appareat coloris corporis mixtura, cũ partiales corporis colores accedãt ad oculũ non ni$i per pãni foramina: & ex pãno nõ accedat ad oculũ color, ni$i ex filis eius, per qu{ae} non tran$eunt colores corporis. Et huius rei ueritas e$t Quod licet partiales corporis colo res $igillatim ueniant, & in $ual loca cadãt, nec commi$ceantur filorum coloribus, $ed filorum colo- res $int ab eis $eparati intra ui$um & extra, nec $it ibi aliqua confu$io: tñ quia ualde propinqua $unt puncta, in quæ incidunt color corporis $uperficialis & color fili (cum non $it di$tantia $en$ibilis in- ter ea) uidentur qua$i punctum: unde colores ibi apparent unus ex eis mixtus. Si uerò magna fue- rint panni foramina, di$cernetur & panni & coloris corporis ueritas $ine mixtura. Et quantò com- pre$sior fuerit foraminum $trictura, tantò uerior apparebit mixtura. Vnde ui$o corpore po$t pan- num lanæ, uidebitur mixtura colorum plurimùm con$onans colori filorum. Foramina enim panni lanei in $e $unt $tricta, & quoniam pilis teguntur, efficiuntur $trictiora. Similiter cum aliquis iocula- tor facit imagines ligneas moueri, umbræ earum in$picienti per pannum, ($icut $olet fieri) lineum $ubtilem, apparebunt aues, aut animalia form is imaginum con$ona. Nec accidit error i$te in defini- tionis a$signatione, ni$i ex raritatis aeris diminutione. Temporis di$tantia extra temperamentum erroris $cientiæ e$t cau$$a. Si quis enim per foramen in$piciat corpus tran$iens ueloci motu, non plenè acquirit formam corporis. Vnde accidit error in indiuiduo, in $pecie, in utroque, ut in equis, hominibus & arboribus. Similiter etiã accidit $ine foramine, ut $i quis $ubitò aliquid uideat, quod $tatim à ui$u recedat, errabit in comprehen$ione illius formæ: unde for$an erit error in $pecie, in indiuiduo, uel in utroque. Et erit error i$te ex $olo tempore. Vi$us $olus errorem facit: $i lux $olis fortiter de$cendat $uper colorem uiridem fortem, uel inten$am rubedinem, adhibito ui$u lædetur: & cum aliquid deinde in$pexerit: aliud ei, quàm $it in ueritate, apparebit, aut alterius coloris, pro- pter præ$entiam læ$ionis. Et modo $imili accidunt errores plurimi. Pari modo in oculorum ægri- tudine aliquando equus apparet a$inus. Et accidit error triplex prædictus & in pluribus. Et planũ e$t, error\~e e$$e in $cientia, ex$ola immoderatione ui$us. Plani ergo $unt errores, qui in ui$u $cienti@ accidunt $ecundum $ingulas erroris ui$us cau$$as.

DE QVALITATIBVS DECEPTIONVM VISVS, QVAE AC- cidunt in $yllogi$mo & ratione. Cap. VII. 22. Erratur $yllogi$mo propter $ingulorum ui$ionem perficientium a$ymmetriam.

PLurima eorum, quorum in ui$u fit comprehen$io, acquiruntur ex $yllogi$mo, $icut patuit ex præcedente libro: & præce$sit explanatio eorum, quorum per $yllogi$mum fit comprehen- $io: & quòd exeis occurrat $en$ui compo$itio in $ingulis formis. Cum ergo acciderit error in aliquo illorum: erit error in comprehen$ione facta per $yllogi$mum. Bipertita e$t autem partitio erroris in $yllogi$mo: aut enim erit in propo$itionibus: aut in earum congregatione. In propo$itio- nibus triplex: aut enim fal$a loco ueræ $umitur: aut particularis loco uniuer$alis: aut in compara- tione propo$itionum erratur. Verbi gratia. Sifuerint in re ui$a partes, quæ appareant, & partes, quæ lateant, quæ tamen comprehen$ibiles $int ui$ui: Sim illam figatur ui$us intentio, cum uiden- tem partes illæ præcedant: ex eis tantùm, quæ in re ui$a acquirit, concludit. Cum etiam con- clu$iones aliquas, quas rei illi accidentes con$iderat: æ$timat eas accidere ei expartibus eius ap- parentibus: quoniam non m$i eas computat. Cum uero intuitus diligentiam in re ui$a figit, par- tes prius latentes percipit, & errorem cogno$cit. Enumerabo igitur errores eorum, quæ compre- bendit ui$us per $yllogi$mum, quæ numero $unt uiginti duo, ut $ic pateant errores in $yllogi$mo. ALHAZEN Et hæc erit enumeratio $ecundum unam quam que octo cau$$arum prius dictarum, & primò $ecun- dum longitudinem.

23. Di$tantia immoder ata cre at errores in $ingulis ui$ibilibus $peciebus. In remotione. 16 p 4.

DIco ergo, quòd longitudo egre$$a à temperamento errare facit uidentem in longitudine: $i- cut accidit, cum quis arbores ualde remotas in$pexerit, licet plurimùm di$tent inter $e, uide- buntur tamen qua$i coniunctæ, aut $altem æ$timabuntur $ibi propinquæ. Ob eandem cau$- $am euenit, ut $tellæ aliquando reputentur qua$i coniunctæ, licet plurimùm di$tent in ueritate. Ob hoc $tellæ erraticæ æ$timantur ab hominib. in eadem $uperficie cum fixis, licet plurimùm elongat{ae} $int ab eis. E$t ergo error in longitudine propter egre$$um longitudinis à temperantia. Et e$t error i$te in $yllogi$mo, cum longitudin is tantùm per $yllogi$mum fiat comprehen$io.

24. In $itu. 44. 59. 61. 62. 97 p 4.

LOngitudo extra temperantiam, $itus errorem inducit: quoniam à tali longitudine corpus de- clinatum apparebit rectum: & ob hoc corpus quadratũ in hac lõgitudine declinatũ, uidebitur oblongum. Eod\~e modo oblõga apparebit circularis forma in hac longitudine declinata. Nec accidit error i$te, ni$i ex declinationis occultatione, qu{ae} latet in tanta lõgitudine. Si enim appareret declinatio, nõ e$$et a$signare, quare occultaretur ueritas corporalis form{ae}. E$t igitur error in $olo $i- tu ex lõgitudinis immoderatione. Et quare ignoretur $itus, e$t h{ae}c ratio. Exce$$us unius radiorũ in latus quadrati cadentium $uper longitudinem alterius, nõ e$t proportionalis, re$pectu totalis remo tionis corporis à ui$u: proportione dico $en$ibili: unde propter in$en$ibilitat\~e exce$$us nõ {ae}$timatur maior aliquo aliquis radius. Reputatur uerò oblõga quadrati forma, qñ unũ eius latus nõ declina- tũ, re$pectu ui$us, cadit in partem oculi, & in minorem incidit forma lateris declinati, quoniã $ub mi nore angulo. Et erit huiu$modi minoritatis perceptio, $ecundum quod fuerit quadrati declinatio. Et quoniã non attenditur declinatio, æ$timabitur unũ latus maius alio: quoniã $ub maiore angulo. Proinde forma apparebit oblonga. Pari ratione in circulari forma, una diameter maior apparet alia: unde reputatur oblõga. Et e$t error i$te exint\~eperantia longitudinis: quod nõ accideret, $i t\~eperata e$$et. Si uerò lõgitudo, licet int\~eperata, non fuerit multũ magna, $ed ualida $it illius corporis declina tio: perpendet forta$$e uidens declinationem, $ed non declinationis ueritat\~e: imò minorem æ$tima bit quàm $it, & conferet declination\~e lateris cum angulo, $ub quo cõprehenditur: unde minor appa rebit quantitas talis quã $it: unde & $ic reputabitur quadrati forma oblõga, $ed minus quàm prius.

25. In $oliditate & figura. 98. 97. 95. 50. 65 p 4.

SVperfluitas longitudinis errorem generat corporeitatis. Corporeitas aũt e$t ex di$po$itione $peciei, & cõprehenditur notitia corporeitatis ex notitia huiu$modi di$po$itionis. Cum ergo error acciditin corporeitate, erit in $peciei uel $pecierum di$p o$itione:uelut $i $pecies corporis incuruata ex aliqua lõgitudine uideatur plana, aut plana æ$timetur curua. Et h{ae}c apparentia erit in figura. E$t igitur figura $pecierũ corporis di$po$itio. Recipit etiã $itũ $pecierũ di$po$itio: unde corpo reitas includitur $ub figura & $itu: unde errorem corporeitatis gerit in $e error $itus & figuræ. Acci- dit aũt error figuræ ab$que $itus errore ex longitudinis immoderatione. Verbi gratia, figura multo rum laterum {ae}qualium, directè oppo$ita ui$ui in longitudine intemperata, circularis apparet: nõ ob aliud quid\~e, ni$i quia anguli figuræ $unt imperceptibiles ui$ui. Longitudo enim illa ab$condit ui$ui etiam proportionalia toti, quamuis nõ totum. Eodem erroris tenore ab hac longitudine linea cur- ua æ$timatur recta. Non enim perceptibilis e$t maioritas acce$$us unius lineæ partis incuruatæ ad ui$um, $uper partis eiu$dem remotioris acce$$um: quia occultatur incuruatio partiũ, licet error non accidit in $itu line{ae} illius. Similiter ui$a $phæra ab hac longitudine æ$timabitur $pecies plana. Quo- niam propin quitas tumoris eius imperceptibiliter propinquitat\~e extremitatũ ab hac longitudine excedit: unde {ae}$timatur æqualis partium propinquitas: unde $peciei planitudo. Inde e$t, quòd $ol & luna $uperficiales uidentibus reputantur; qu{ae} erronea excluderetur figuræ reputatio, $i temperata e$$et longitudo.

26. In magnitudine. 28 p 4.

IN magnitudine corporis erit error ex intemperata lõgitudine: quoniã uidebitur multò minus, quàm $it in ueritate. Ethuius rei ratio e$t. Quoniã, ut diximus, longitudo int\~eperata e$t, quæ par tes proportionales toti proportione etiam $en$ibili ab$condit ui$ui. Et cum fuerit occultatio par tium $en$ui perceptibilium: anguli, in quos cadunt, non $entientur, licet totali angulo proportiona- les $int. Vnde cum di$currit axis rem ui$am, ab$conduntur ei lineæ mult{ae} ex ea, & partes multæ. Vn de minor efficitur totalis apparentia. Amplius magnitudo partis alicuius corporis non con$idera- tur, ni$i $ecundum magnitudinem anguli, in qu\~e cadit: & magnitudo anguli attenditur $ecundũ par tem in ui$u $ectam: & partis $ect{ae} quantitas æ$timatur $ecundũ duo puncta illius partis terminalia: & puncta illa $en$ibilia $unt, & parti $ectæ proportionalia. Quoniã à lõgitudine tanta æ$timatur res ui$a $ecundũ fines toti ui$o proportionales: aliter enim non e$$ent fines illi $en$ibiles: & fines partis $ect{ae} directè opponuntur finib. partis ui${ae} proportionalib. Puncta ergo illa partis $e ctæ terminalia ab$condunt ex re ui$a partes $en$ibiles. Cum ergo incedit axis $uper$ingulas rei partes: ex $ingulis partib. ab$conduntur partes $en$ibiles: & ita minor apparet tota rei quantitas. Cum aũt uidetur cor pus à t\~eperata long tudine, puncta terminalia partis $ect{ae} ualde $unt parua, & qua$i in$en$ibilia ad OPTICAE LIBER III. ip$am collata. Fines enim rebus ui$is in$en$ibiles eligit in longitudine t\~eperata exi$timatio uiden- tis: unde non ab$conduntur partes toti proportionales. Quare corpus nõ apparet minus, quàm ha- beat ueritas eius. Amplius, $icut dictũ e$t in $uperioribus, [38 n 2] magnitudo nõ acquiritur in cor pore, ni$i ex lõgitudinis & anguli collatione: & iã dictũ e$t, quòd eximmoderata lõgitudine apparet minor angulus: quia minor e$t in ueritate. Sed remotionis nõ fit di$cretio. Iã enim $uprà patuit [39 n 2] quòd remotio moderata cõprehenditur per corpora interpo$ita: immoderata uerò minimè. Cũ ergo remotio rei ui$æ $it ignota: fiet forta$sis collatio ip$ius ad longitudin\~e notã, & æ$timabit eã mi norem. Quare putabitur minor & in angulo minoritas, & in longitudine, quã $it in ueritate: unde er ror in corporis quãtitate. Et quãtò augm\~etabitur longitudo, tantò inuale$cet error. Et adeò poterit augmentari lõgitudo, ut æ$timetur quãtitas corporis qua$i punctualis. Et $i ultrà creuerit lõgitudo, occultabitur ui$ui corpus illud. Simili modo accidit corporis occultatio in lõgitudine t\~eperata, nõ ex ip$a remotione, $ed ex coloris corporis debilitate. Et patet occultationem fieri ex debili colore. Quoniã $i loco huius corporis in eadem longitudine $tatuatur corpus eiu$d\~e quantitatis, in quo $it fortitudo coloris, nõ latebit ui$um, $icut corpus, in quo fuerat coloris debilitas. Quare aliquãdo oc- cultat corpus ui$ui, non elongatio, nõ diminuta quãtitas, $ed $ola coloris debilitas. Amplius, aliquã- do euenit corporis occultatio ex coloris eius $imilitudine, cũ interpo$itorum ip$i & ui$ui corporũ colore: & hoc in t\~eperata longitudine. Vnde corpus albũ à longè po$itũ, effu$a niue $uper $upficiem interiac\~etis terr{ae}, non di$cernitur: niue uerò remota percipitur. Et palã, quòd erat occultatio ex hac colorũ identitate. Quoniã $i loco illius corporis opponatur ui$ui ab eadem remotione corpus {ae}qua le alterius coloris, non occultabitur. Cũigitur aliqua res oppo$ita ui$ui nõ քcipitur, poterit e$$e cau $a ab$con$ionis $uperfluitas elõgationis, ad partem ui$us in$en$ibil\~e formã dirigentis, uel qua$i pun ctual\~e. Quòd $i in part\~e ui$us $en$ibil\~e forma inciderit: poterit iterũ pr{ae}terire ui$um, uel propter co- loris remi$sion\~e, uel colorũ rei ui${ae} & corporũ interiacentiũ conformitat\~e. A mplius accidit error in rei ui${ae} quantitate, etiã in longitudine t\~eperata. Quoniã corpore aliquo $econdũ moderation\~e elon gato & ui$o: occultabuntur ui$ui partes eius minut{ae}: qu{ae} quid\~e in minore elongatione apparent, li- cet forta$sis non plenè: & paululũ amplius elongatæ iterum, minus plenè. Et minuetur cõpreh\~e$io nis plenitudo, inuale$cente remotionis augmento: donec occurrat partiũ occultatio: licet nõ egre- diatur t\~eperantiam illa elongatio. Iterũ immoderata remotione pars aliqua plenè cõprehenditur, aliqua minimarum eius partium occultatur. Quoniã elongatio rei egre$$a e$t à temperamento pro- portionato ad partes illas, licet non re$pectu totius corporis, aut cõprehen${ae} partis. Et licet nota $it hominih{ae}clongitudo: tñ accidit error in cõprehen$ione quãtitatis partium: & hoc propter angulũ, $ub quo pars cõprehenditur, cuius capacitas minor æ$timatur, <004> habeat ueritas. Et cau$$a apparen- tiæ minoritatis eius, e$t ex punctis terminalib. $ect{ae} partis, in ui$u part\~e occultantib. & anguli capa- citatem con$tringentib. Igitur cũ immoderata $uerit rei ui$æ ab aliquo di$tantia: proueniet error in eius quantitate dupliciter: & ex anguli minoritate: & exlõgitudinis incertitudine. In moderata ue- rò longitudine erit error in quantitate minutarũ partium ex errore anguli tantùm. Et hæ $unt cau$- $æ, quare corpus æ$timetur minus, quàm $it in longitudine temperata. Immoderatio longitudinis aliquando errorem inducit maioritatis. Vnde in longitudine immoderata, minima $cilicet, qñ cor- pus ui$um fuerit multùm uicinum ui$ui, uidebitur corpus maioris quantitatis, quàm in longitudi- ne temperata, uel quàm $it reuera: & hoc duplici de cau$$a. Quoniã, ut dictũ e$t [38 n 2] intellectus longitudinem & angulum con$iderat, & inde quantitatem corporis $yllogizat. Et in hac elongatio- ne angulus pyramidis e$t ualde magnus: & elongatio corporis nõ æ$timatur, ni$i à ui$us $uperficie ad $uperficiem corporis. Non enim pote$t cadere in ui$us æ$timation\~e lõgitudo, ad interiora ui$us penetrans à corpore ui$o: cũ pars eius interior radijs non $ubiaceat, nec men$urari à ui$u queat. Syl logizat igitur ui$us ex anguli capacitate & tota longitudine. Vera aũt remotio corporis attenditur $ecundum lineam à centro oculi ad corpus procedentem: cum re$pectu centri fiat con$ideratio an- guli. Et in temperata corporis di$tantia $emidiameter oculi, qua uera corporis elongatio excedit apparentem, in$en$ibilis e$t, re$pectu totalis di$tantiæ corporis. Vnde non facit errorem in longitu dinis æ$timatione: $ed corpore circa oculum exi$tente, erit magnitudo $emidiametri proportiona- lis di$tantiæ corporis proportione $en$ibili. Erit enim aliquando maior, aliquando {ae}qualis, aliquan do minor, $ed proportione modica, uelut $ubdupla, uel huiu$modi. Vnde in propinquitate rei ui$æ excrementum anguli pyramidalis, & $en$ibilis minoritas longitudinis æ$timatæ, re$pectu ueræ, in- ducunt apparentiam maioritatis in corpore.

27. In diui$ione, & continuatione & numero 109 p 4.

IMmoderata exten$io remotionis error\~e inuehit di$tinctionis. Pariete enim aliquo à lõgè ui$o, $i in parte eius fuerit color tenebro$us: fiet uidenti fides, color\~e illũ e$$e di$tinctionem partiũ: un- de continuum ex hoc errore reputabitur di$cretum. Similiter $i prope parietem illum cre$cat al titudo herbarum, uidebitur for$an di$tinctio partium, inter quas fuerit pars occulta ab omni oppo $itione herbarum: Vnde non reputabitur paries aliquid continuum. Pari modo luce $olis in parie- tem de$cendente non multùm forti: $i corpus aliquod umbram iaciat, quæ umbra in parietem ca- dat: accidet error idem in partium, $ine intermedio, $eparatione. Palàm ergo, quòd error di$tinctio nis in $yllogi$mo e$t ex immoderatione remotionis. Longitudo à moderatione egre$$a erroris con tinuitatis e$t cau$$a. Corpora enim à longè ui$a in colore $imilia $ibi, propinqua credũtur cõtinua. ALHAZEN Hinc accidit quòd tabul{ae} parietis uel $camni apparent ali quãdo cõtinuæ: licet abinuic\~e $int diui$æ, modica, dico, di$tinctione. Et accidet hoc etiã in int\~eperata remotione rei ui$æ, $cilicet immodera- ta, quantũ ad comprehen$ion\~e remotionis di$tinctionis tam paruæ. Et ita ex hoc remotionis errore di$cretum creditur continuum. Et quoniam $ecundum con$iderationem continuitatis & di$cretio- nis attenditur numeri comprehen$io: accidi terror in numero, cum in rebus di$cretis apparebit u- nitas, aut in re una prætendetur pluralitas.

28. In motu & quiete. 138 p 4.

EGre$$us remotionis à moderamine errorem efficit motus. Si quis ad partem, in qua lunã, aut $olem, aut $tellam aliquam uiderit, moueatur, cum plurimùm motus, lunam ante $e uiderit e- longatã, non minus, quàm in principio motus: concludit ip$am in eandem partem moueri, & ab eo recedere: & ob hoc elõgationes durare. Et accidit hoc, luna etiã ad partem contrariam prope- rante. Ethuius erroris ratio e$t: Quia notum e$t uidenti, quòd in his inferiorib. Naturis, $tatutis duo bus corporib. quorum unũ moueatur in partem aliquã, $i perman$erit id\~etitas $itus unius re$pectu alterius: nece$$e e$t aliud moueri in eandem part\~e, & motu æquali. Verũ hoc nõ oportet exi$timare in luna & $tellis. Cum enim in his non percipiatur $itus motus mouentis ad $tellã motam: occultè ex propo$itionib. iam dudum animo notis infertur $yllogi$ticè motio, & occultatur immutatio $itus mouentis ad $tellã. Quoniam uia, quã quis peragit motu $uo, nõ e$t proportionalis ip$ius $tell{ae} ma- gnitudini: multò magis igitur exce$$us po$trem{ae} propin quitatis eius ad $tellã $uper primam propin quitat\~e, nõ e$t $en$ibilis re$pectu totalis remotionis. Idem error accidit in motu nubiũ: creditur e- nim ueloci$simus e$$e lun{ae} motus, licet non $it, ut nos $uprà [19 n] explanauimus. Euagatio remo- tionis à t\~eperamento, error\~e infert quietis. Si quis à longè ui$us motu non ueloci moueatur: putabi tur quie$cere: unde $tellas errantes credimus immotas: licet in$it eis motus uelocitas. Et e$t h{ae}c <003>e- tis $tellarum æ$timatio. Quoniã uiæ, quas incedunt etiã in t\~epore magno, nõ $unt perceptibiles ui- $ui à tanta remotione. Vnde durante $itu earũ, re$pectu uidentis, identitate æ$timãtur quie$cere. Pa ri modo $i corpus aliquod à lõgitudine moueatur $uper radios ui$us: & accedat ad ip$um ui$um, uel recedat ab eo: putabitur immotũ, ni$i morus eius fuerit ualde fortis. Et accidit i$te error, quoniã, ut $uprà [49 n 2] patuit, motus non cõprehenditur in corpore, ni$i quia modò uidetur cũ aliquo cor- pore, modò cum alio. Hic autem excluditur hæc perceptio: quoniam uia, quam incedit mouens $u- per radios, imperceptibilis e$t à tanta longitudine.

29. In a$peritate & lenitate. 141 p 4.

SVperflua longitudo error\~e ingerit a$peritatis. Vnde in capillis alicuius pict{ae} imaginis à lõgitu dine int\~eperata æ$timatur a$peritas, cũ expre$$a fuerit pictura. Quia enim notum e$t a$perita- tem e$$e in ueris capillis: concludit eã animus illis $imiliter ine$$e propter expre$sion\~e formæ. Idem error accidit in ue$tib. depictis, & animalium pilis expre$sè depictorum. In his aũt omnib. nõ e$t a$peritas, $ed immen$a læuitas. Etlicet à corporib. læuibus fiat reflexio lucis, nõ ab a$peris: rñ in pictura aliquando uidetur reflexio lucis, nec ob hoc excluditur opinio a$peritatis. Quoniam opinã ti e$t certũ aliquando in eod\~e corpore a$peritatis & reflexionis fieri concur$um, $icut accidit in ca- pillis hominis nigerrimis & benè lotis: reflectitur enim lux in eis, licet a$peris. Vnde ex hac $imilitu dine accidit error in æ$timatione a$peritatis picturæ per immoderatã remotion\~e, ad corpus pictum proportionatum. Non enim poterit cõprehendi l{ae}uitas in pictura, ni$i cum multùm fuerit certa. Vn de di$tantia re$pectu aliarũ rerũ extra temperantiã, e$t ad acqui$ition\~e læuitatis comparata. Ex eua- gata remotione accidit error in læuitate. Si enim à magna longitudine opponatur ui$ui corpus, in quo modica e$t a$peritas, putabitur læue. A$peritas enim nõ acquiritur in corpore, ni$i ex diuer$ita- te $itus partiũ inter $e, uel luce emin\~etiũ, uel umbra depre$$arũ, $icut explanatũ e$t $uperius [53 n 2:] & à tali longitudine non percipitur diuer$itas $itus partium eminentium $uper depre$$as, aut proie- ctio umbræ. Vnde iudicatur in eo læuitas.

30. In raritate & den$itate. 144 p 4.

EX immoderatione elongationis oritur error raritatis. Cum enim circa oculũ erigitur acus, aut aliquid $ubtile multum: licet appareat ui$ui maius, quàm $it: tñ nihil occultat ei de oppo$i- to pariete, aut alio oppo$ito corpore. Vnde cum fiat raritatis comprehen$io in corpore, ex eo, quòd po$tip$um po$$um us aliquid uidere: in acu erecta, aut in aliquo cõ$imili, raritas æ$timabitur, cum po$t ip$am totus paries uideatur. Quare aũt acus prope ui$um $ita maior appareat, patet ex $u- perioribus. Quare autem in tanta propin quitate nihil ab$condat ui$ui ex pariete oppo$ito: e$t: quia remotio tam modica, re$pectu occultationis acus, immoderata e$t. Si enim paululũ elongetur ab o- culo acus illa: occultabitur pars parietis maior acuip$a. Et huius rei cau$$a plenius explanabitur. Ex $uperabundantia longitudinis accidit error $oliditatis. Si quis enim à lõgè intueatur corpus ra- rum, & $tatuatur po$t ip$um corpus coloratum, aut quid tenebro$um: non reputabitur corpus il- lud rarum, $ed $olidum. Et e$t error: quoniã po$t corpus illud non percipit aliud, cũ natura rari $it, ut po$tip$um po$sit uideri $olidum: concludetur corpus illud non e$$e rarum, $ed $olidum.

31. In umbra & tenebris. 147 p 4.

EX $uperfluitate remotionis oritur error in umbra. Si enim à tali lõgitudine opponatur ui$ui cor pus albũ, in quo $it pars tenebro$a, luce $olis $uper corpus illud de$c\~edente: apparebit umbra in OPTICAE LIBER III. parte corporis tenebro$a: & $i circa corpus illud uideatur aliud: fiet conclu $io, quòd umbra appar\~es proijciatur ab illo alio. Et palàm, quòd accidit error i$te ex nimia remotione. Propter di$tantiæ ex- ce$$um $e ingerit error tenebrarum. Si enim procul uideatur corpus album, in quo pars nigra mul- tùm $it: æ$timabuntur forta$sis in parte illa tenebræ: unde fiet conclu$io, quòd in directo illius par- tis $it foramen corporis, per quod appareat tenebrarum egre$sio po$t corpus illud exi$tentium.

32. In pulchritudine & deformitate. 150 p 4.

REmotio excedens modum cau$$a e$t erroris pulchritudinis & deformitatis. Cũ enim procul in$picitur res aliqua, $i fuerint in ea maculæ paru{ae}, eã deformantes, quia occultantur exlõgi tudine, iudicatur formo$a: quoniam ex $olis apparentib. fit conclu$io, & latent maculæ, appa rent uerò partes formo${ae}. Similiter $i à tanta lõgitudine uideatur res, in qua $unt pictur{ae}, $ed minu- tæ, rei totali decorem conferentes: cum lateant ui$um cau$$æ decoris: iudicabitur res illa deformis, cum ex apparentibus tantùm $umat iudex iudicium.

33. In $imilitudine & di{$s}imilitudine. 153 p 4.

EX $uperflua elõgatione accidit error in $imilitudine corporum & di$similitudine. Si enim di- rigantur ui$us in corpora lõgè remota in colore $imilia, & $i fuerint in eis notæ uel protractio nes minutæ $ibi di$similes & diuer${ae}, qu{ae} cũ ui$us prætereant: iudicabuntur corpora ex toto $imilia. Ècontrario $i diuer$itas fuerit in totalibus corporum coloribus, $ed in eis $int notæ minut{ae}, inter quas $it $imilitudo: iudicabuntur di$similia ex toto. Et accidet error: quoniam ex $olùm appa- rentibus fiet conclu$io.

34. Situs immoderatus creat errores in $ingulis ui$ibilibus $peciebus. In di$tantia. 16 p 4.

SItus egreditur à temperamento, & errorem inducit in quòlibet eorum, quorum fit cõprehen- $io per$yllogi$mum. In longitudine, ut $i uideãtur duo corpora, quorũ unum $it po$t aliud dire cte, ita ut unũ cooperiat part\~e alterius, & pars po$terioris emineat: & hoc in lõgitudine t\~epera ta, non tñ multùm certa, nec inter ea fuerint alia corpora: nõ plenè æ$timabitur longitudinis unius ad aliud men$ura. Et for$itã iudicabit uidens ea ualde $ibi e$$e propinqua. Et e$t error in $yllogi$mo, cum per$yllogi$mũ tantùm comprehendatur longitudo: per $itum uerò, quoniam, $i unũ nõ occul- taret alterius partem, $ed utrunq; totum exponeretur ui$ui, utuia inter ip$a in diuer$os, nõ in eun- dem incideret radios: di$cerneretur di$tantia unius ab alio Et e$t error ex$ola $itus int\~eperãtia: quo niam $itu ad temperantiam reducto (cæteris partibus non mutatis) non accidit error talis.

35. In $itu. 44 p 4.

SItus extra temperantiam, in $itu errorem inuehit: cadente enim axe ui$uali in corpus à tempe rata longitudine oppo$itum ui$ui, $umpto alio corpore multũ elõgato ab axe, & declinato mo dicũ $uper lineam intellectual\~e, $uper quã cadit axis perpendiculariter: nõ cõprehendetuid\~es corporis illius declination\~e propter $itum à temperamento egre$$um: quoniã non plena fit cõpre- hen$io corporum ab axe longè po$itorũ [per 15 n.] Et in hoc errore declinatũ iudicabit ui$us rectũ.

36. In figura. 97. 96. 61. 62 p 4.

IN figura autem error e$t per $itum. Si enim corpus circulare, ut $chyphus uel $cutella ab axe elõ- getur, & modicum $uper lineã intellectual\~e, quã diximus, declinetur: occultabitur eius declina- tio, & una eius diameter $ub maiore angulo comprehendetur, quàm alia. Quæ enim apparetre- cta, maior\~e re$picit angulũ, quã declinata. Et quia notabilis e$t unius anguli ad aliũ exce$$us: iudica tur diameter recta maior declinata: unde circularis figura corporis, iudicabitur oblonga. Pari erro- re figura quadrãgula æ$timabitur oblonga, cũ latus eius directè oppo$itũ oculo, maius appareat la- tere declinato. Et e$t error in $yllogi$mo. Pr{ae}mittit enim propo$iiones, in quibus e$t fal$itas, $cilicet: neutrum laterum e$$e declinatum: & ui$a ab eadem longitudine $ub eodem & inæqualib. angulis, e$$e inæqualia: & oblongam e$$e formam, cuius unum latus e$t inæquale alij. Inde concluditur er- ror, non ueritas figuræ.

37. In magnitudine. 28 p 4.

EX eadem cau$$a palàm, errorem e$$e in quantitate, cũ diameter circularis corporis maior uide tur alia eiu$dem diametro, cui e$t æqualis. Amplius alio modo accidit error in magnitudine, ex $itu int\~eperato & $olo: cũ aliquis in alto po$itus intuetur $ub altitudine illa inced\~etes & in- ter $e æquales, eis in ordine uno po$t aliũ di$po$itis, radius cadens $uper primũ ab$q; dubio demil- $ior erit radio cadente $uper $ecundũ: & $ecundum, quod augmentabitur elõgatio alicuius eorum à primo, $ecundum illud maior erit radij $uper ip$um cadentis altitudo. Vnde altior erit radius cad\~es in po$tremũ, quàm in aliqu\~e aliũ. Iudicabitur ergo à uidente po$tremus maior omnib. Ita dico, $i ter ræ $patium inter quoslibet duos $itum lateat ui$um, ne in collatione ad terram appar\~etem facta, cõ- prehendi po$sit altitudinis hominũ men$ura: erit error in $yllogi$mo: quoniã errat in antecedentib. quorum unum e$t: Quæcunq; apparent altiora, $unt maiora: & hoc non inuenitur in omnibus, $ed in pluribus. Et e$t error ex $itus immoderatione, re$pectu cõpreh\~e$ionis magnitudinis rei $ic di$po- $itæ. Si enim radius cadens in primum $it æquidi$tans terræ, & id\~e radius cadat in quemlibet alium proce$$u $uo: non habebit locum error i$te.

ALHAZEN 38. In diui$ione, continuatione, & numero. 109 p 4.

IN di$tinctione prouenit error ex exce$$u $itus: $i enim magna fuerit corporis alicuius $uper radi os declinatio, & fuerint in eo puncta $en$ibilia nigra, uel ualde tenebro$a: putabũtur for$itã e$$e foramina: & ita inter partes huic tenebrico$itati affines iudicabitur diui$io, licet ibi $it cõtinuita tis unio. Si uerò in hoc corpore fuerint lineæ $en$ibiles tenebro$æ: iudicabuntur contermin ales di- ui${ae}, cũ $int continu{ae}. Et ita error accidit ex corporis declinatione. In cõtinuitate erit error ex $itu: $i opponatur ui$ui plurium parietum di$po$itio, quorum unus $it ordinatim po$t aliũ, modicũ di$tans ab eo, & omnes cadant $uper eundem radium: occultabitur for$itã uidenti $patium, quod inter eos fuerit: unde putabuntur cõtinui, cum $int diui$i: quod non accidet, $itu parietũ immutato, utnon cõ prehendantur $ub eodem radio. Error inducitur in numero ex $itu immoderato, quando corpus ali quod uidetur duo: & hoc accidit, cum re$pectu duorum ui$uum, corporis diuer$us fuerit $itus. Pari modo & in corpore uno iudicatur pluralitas, cũ inter duos axes corpus ui$um ceciderit, $icut $uprà patuit [11 n.] Et e$t error in $yllogi$mo: præmittit enim uidens e$$e diuer$a corpora exterius ui$a, cũ forma interius in diuer$a ui$us ceciderit loca: Inde diuer$itatem, ubi identitas e$t, concludit.

39. In motu & quiete. 138 p 4

IN motu oritur error ex $itu, ut nauim current\~e in flumine, aliquo in$piciente, $i fuerint in littore fluminis arbores ab axe multùm elongat{ae}, putabuntur moueri: & $i fiat directio axium $uper eas, uidebuntur immotæ. In quiete error ex $itu $e ingerit: ui$a re aliqua, ut rota, quæ motu citi$simo uoluatur ab axe elongata: apparebit immota. Et planum e$t per $itum e$$e errorem: quoniã $itu mu- tato percipietur eius motio: unde error e$t ex $itu $olo intemperato.

40. In a$peritate & lenitate. 141 p 4.

IN a$peritate $itus errorem facit. Si enim à capillis expre$sè depictis, fiat reflexio lucis, nec fuerit ui$us in loco reflexionis: fiet in eis comprehen$io a$peritatis, cum $ola $it in eis læuitas. Et ex $itu $olo e$t error: quoniam ui$u $ub luce reflexa fixo, non cõprehenditur a$peritas in corpore ui$o. In læuitate erit error ex$itu: cũ aliquid fuerit elongatum ab axe, & modica fuerit in eo a$peritas: appa- rebit l{ae}ue: cuius quid\~e a$peritat\~e ($itu ad temperantiam reducto) po$$et uidens comprehendere.

41. In raritate & den$itate. 144 p 4.

IN raritate & $oliditate fiet error ex $itus immoderamine. Si enim de$cenderit lux declinata in ui trũ uino plenum, & lateat ui$um tran$itus lucis per uitrũ, & magna $it declinatio illius lucis à ra- dijs incidentibus, & uidentem lateat uinum e$$e in ua$e uitreo: æ$timabitur à uidente uinum $o- lidum corpus unum cum ua$e. Et non accidit error i$te tran$itu luci per uas uitreum patente. Vn- de error in $itu ex raritate & $oliditate.

42. In umbra & tenebris. 147 p 4.

IN umbra & tenebris. Corpore enim aliquo ab axe elongato, $i fuerit in eo pars tenebro$a: putabi tur forta$sis umbra: & corpore aliquo circumpo$ito: {ae}$timabitur procedere ab illo. Si aũt in cor- pore illo fuerit pars multum nigra: æ$timabitur for$itan in loco nigredinis perforatio, per quam egrediantur tenebr{ae}. Quod non accideret in corpore $tatuto in $itus temperantia.

43. In pulchritudine & deformitate. 150 p 4.

IN $pecie & deformitate aũt error accidit ex $itu: cum corpus aliquod remotum fuerit ab axe, & fuerintin eo multæ minutæ maculæ, ip$um deturpantes: occultabuntur, & iudicabitur in corpo re $pecies. Vnde facies lentigino$a in hoc $itu uidetur $pecio$a. Similiter in hoc $itu obliquo lat\~et uident\~e lun{ae} adh{ae}rentes maculæ: unde ad$cribitur decor lunæ $ic in$pectæ. Si aut\~e in corpore ui$o fuerint pictur{ae}, ei $peciem reddentes, nec $it corpus decorum, ni$i ex prætentu earum, cum ip$æ in hoc $tatu lateant ui$um: iudicabitur corpus deforme. Et e$t error in $yllogi$mo: quia per apparen- tiam tantùm fiet deformitatis uel decoris conclu$io.

44. In $imilitudine & di{$s}imilitudine. 153 p 4.

IN $imilitudine & di$similitudine ex $itu error oritur. Si enim longè ab axe $tatuãtur duo cõcor- dantia in figura, $pecie & colore, $ed in eis $int modicæ & di$similes not{ae}: iudicabitur in eis $imi- litudo omnimoda: cum notæ illæ uidenti $int ignot{ae}. Si aũt fuerit diuer$itas inter ea, in $pecie, fi- gura & colore, $ed in eis $int not{ae} $imiles: putabuntur ex toto di$similia, cũ aliqua di$similitudo $it inter ea. Et ita e$t error in $imilitudine & di$similitudine, propter conclu$ion\~e ex apparentib. tantũ factam. Et in omnib. prædictis procreatur error ex $olo $itu int\~eperato: quoniam eo intra tempera- mentum $ito, alijs ($icut $unt) manentibus, non accidit erronea æ$timatio.

45. Lux immoderata creat errores in $ingulis ui$ibilibus $peciebus. In di$tantia. 16 p 4.

LVx à temperantiæ finibus egreditur, & ob hoc $olùm in omnib. quorum fit acqui$itio per$yl- logi$mum, error procreatur in longitudine exlucis paruitate. Si enim in longitudine t\~epera- ta non multũ certa, fiat hominũ di$po$itio, ut$it unus po$taliũ, & ui$u huic di$po$itioni de no- cte adhibito: uidebuntur $ibi coh{ae}rere, & incõprehen$a inter eos di$tantia, propter debilitat\~e lucis, OPTICAE LIBER III. quæ pateret, $i lux e$$et fortis: qui homines, $i in eandem partem moueantur, æquali motu $imul $em per moueri putabuntur.

46. In $itu. 44 p 4.

IN $itu. Vt $i in nocte non ob$cura aliquid modicè à ui$u declinatum, opponatur ui$ui:{ae}$timabitur in eo $itus rectitudo, propter debilitatem lucis egre$$æ à temperamento.

47. In figura & magnitudine. 97. 28 p 4.

SImiliter figura multorum laterum æqualium, circularis apparebit de nocte a$pecta: quoniã oc- cultat angulos lux nimium debilis. Pari modo $phæra $ic ui$a reputatur $uperficies plana: quia occultatur ui$ui partium eminentia. In ma gnitudine. Vt nocte in$pecto homine & ui$o nemo- re, aut remoto ab eo, pariete, uidebitur propin quitas hominis ad nemus uel parietem, cum lateat ui $um di$tantia eorum, licet $it plurima. Et for$an exibit idem radius $uper caput hominis & altitudi- nem nemoris, $ecundum quantitatem di$tantiæ à nemore: & in hoc $itu uidebuntur e$$e eiu$dem al titudinis: aut for$itan homo uidebitur e$$e maioris: quod non accideret, $i lux in temperamento e$- $et: quoniam di$tantia hominis ad nemus di$cerneretur, & altitudo uniu$cuiu$que $ecundum ter- ram apparentem men$uraretur.

48. In diui$ione, continuatione & numero. 109 p 4.

IN di$tinctione, numero, continuitate erit error ex lucis debilitate. Vt $i de nocte uideatur tabu- la, in qua $it linearum ob$curarum protractio: putabit for$an uid\~es diui$iones e$$e uel fi$$uras. Et ita error e$t in di$tinctione, quia continuũ apparet diui$um. Et in numero, quia pluralitas in uno. Similiter exi$tente ui$u in lucis fortis reflexione: $i adhibeantur corpora modicũ di$tantia: appare- bunt continua. Et ita error e$t in cõtinuitate, propter lucem nimiùm aut fortem aut debilem.

49. In motu & quiete. 138 p 4.

IN motu & quiete accidit error ex luce. Si enim nocte cõprehenderit ui$us hominem, & remotũ ab eo nemus: occultabitur di$tantia hominis ad nemus: & $i moueatur uidens ad hominem illũ, quantò magis ad illum acce$$erit, tantò di$tantiam illam certius uidebit. Vnde cum prius $imul cum nemore appareret ei homo ui$us, quando ad eum accedit, plus uidetur à nemore remotus: & cum certum $it ei, nemus immotum manere: $yllogizabit hominem ui$um à parte nemoris incede- re, licet ueritas habeat ip$um immotum e$$e: qui error nõ accideret in temperata luce. In quiete. Vt homo de nocte ui$us non plenè comprehenditur: unde $i modicum uideatur, nõ di$cernitur, & mo- tus putabitur quie$cere.

50. In a$peritate & lenitate: raritate & den$itate: umbra & tenebris. 141. 144 p 4.

IN a$peritate & læuitate erit error. De nocte enim ui$a a$peritas iudicatur for$an læuitas: aut è cõ trario, $ecundum quod fuerit rei ui$æ qualitas. In raritate & den$itate. De nocte enim remi$$a iu- dicabitur in corpore multũ raro raritas: quia cũ po$t ip$um non plena fiat comprehen$io $olidi: æ$timabitur remi$sio raritatis eius uiam negare ui$ui: Corpus uerò modicè rarũ uidebitur $olidũ. In umbra & tenebris. Si enim in pariete albo fuerint partes ob$cur{ae}, & cadat $uper pariet\~e illum lux candelæ: iudicabit for$itan uidens ob$curitat\~e illam e$$e umbrã: & uidebiture ei for$itan, quòd proce dat apparens umbra à uicino pariete: & ita error e$t in umbr{ae} æ$timatione. Similiter $i fuerit in par- te parietis nigredo multùm: æ$timabitur for$itan uacuitas foraminis iter pr{ae}bens egredientib. tene bris. Et $i tota parietis $uperficies afficiatur inten$a nigredine: totus for$itan putabitur tenebr{ae}, ut accidit in pariete cooperto ignis fuligine, & ui$o in debili luce.

51. In pulchritudine & deformitate: $imilitudine & di{$s}imilitudine. 150. 153 p 4.

IN $pecie & deformitate. Palàm enim, quòd de nocte uidetur facies formo$a, licet in ea $int macu- læ, $icut in lentigino$a. Et $i fuerint in re ui$a pictur{ae} $ubtiles, totalis $peciei cau$$æ, cum in nocte ui$um lateant: uidebitur res deformis. In $imilitudine & di$similitudine. In corporib. enim eiu$- dem $peciei, coloris, & figur{ae}, in quibus e$t partialis diuer$itas per lat\~etes notas: in debili luce omni moda $imilitudo iudicabitur. Et $i diuer$a fuerint corpora, in $pecie, colore, & figura, $ed ex aliquib. notis conformitas e$t partialis: propter occultationem notarum exremi$sione lucis, iudicabitur o- mnimoda diuer$itas corporum. Et palàm, in omnibus prædictis errorem accidere ex$ola debilita- te lucis, cum ip$a intra terminos temperantiæ $ita, error non accidat, alijs immotis.

52. Magnitudo immoderata creat errores in $ingulis ui$ibilib. $peciebus. In di$tantia. 16 p 4.

QVantitas egreditur à temperantia, & ille egre$$us cau$$a e$t erroris in omnibus, quibus fid\~e facit $yllogi$mus. Error erit in longitudine ex cau$$a prædicta: ut $i uideantur duo homines à longitudine temperata, & in $uo genere maxima, & unus paululum fuerit ante alium: non di$cernetur uia inter cos $ita: unde unus eorum apparebit circa alium. Et accidit error: quoniam di $tantia eorum cum multùm $it parua, non e$t proportionalis totali eorũ à ui$u elongationi, licet elõ gatio $it temperata. E$t aũt error in longitudine, quoniam homines illi iudicabuntur ab oculo {ae}què remoti: & ita quantitas unius longitudinis maior, quàm $it in ueritate. Vnde error in longitudine.

ALHAZEN 53. In $itu. 44 p 4.

IN $itu propter quantitatis paruitatem e$t error. Quoniam granum $inapis $i fuerit ab oculo de- clinatum, tamen uidetur rectum: quoniam pro paruitate nimia non pote$t deprehendi declina- tio huius grani $uper lineam intellectualem, in quam axis communis cadit orthogonaliter: quo- niam non plenè di$cernitur longitudo inter hanc lineam & extremitates grani, cum $it minima. Et $ecundum hanc longitudinem con$ideratur declinatio eius $uper lineam illam. Et $ecundum hanc lineam con$ideratur $emper declinatio rei ui$æ, re$pectu ui$us utriu$que. Et ita error e$t in $itu, ex quantitate immoderata.

54. In figura & magnitudine. 97. 28 p 4.

IN figura. Cum enim res ui$a fuerit multùm parua, & fuerint in ea anguli: anguli occultab untur ui$ui: unde forta$$e eius forma, cum non $it, æ$timabitur rotunda aut longa: & $i fuerit in ea incur uatio modica, latebit ui$um, & æ$timabitur $uperficies eius plana: unde palàm, quòd error e$t in figura. In quantitate. Quantitas intemperata errorem inuehit: Propo$itis enim ui$ui duobus corpo ribus, quorum unum modicè excedat aliud in longitudine $ola, aut in latitudine: for$itã iudicabun- tur æqualia omni dimen$ione. Et e$t error i$te: quoniam excrementum unius dimen$ionis $uper a- liam, eua$it fines temperantiæ, re$pectu ui$us, cum $it ei in$en$ibile præ nimia $ua diminutione: Ob hoc nece$$ariæ $unt men$uræ, ut uerificentur quantitates corporum: cum non acquiratur certitu- do per ui$um.

55. In diui$ione, continuatione, & numero: motu & quiete. 109. 138 p 4.

IN diui$ione error accidit. Capillo enim adh{ae}rente uitro: apparebit diui$io e$$e in uitro & fi$$ura, cum ibi $it continuitas uera: & prouenit hoc ex capilli tenuitate, quoniam $i adh{ae}$erit uitro quan titas corpulenta: non {ae}$timabitur in eo fi$$ura. In continuitate. Si enim prætendantur ui$ui folia pergameni tenuia, æqualis latitudinis bene compre$$a, & ignoret uid\~es e$$e folia: iudicabit ip$a e$$e cõtinua, & unũ corpus efficere. Et e$t erroris cau$$a quãtitas ui{ae} interiac\~etis inter folia, qu{ae} præ $ua paruitate non percipitur à uidente. Et ead\~e erit cau$$a erroris numeri, quæ cõtinuitatis. In motu. Si enim moueantur duo, quorum unum moueatur paulò uelocius alio: putabit uid\~es æqual\~e e$$e mo tum corum: quia in$en$ibile e$t unius $uper aliud excrementum uidenti. Similiter quantitas exce$- $us uiæ, quã incedit unus $uper eã, quã incedit alius, imperceptibilis e$t ui$ui. Vnde iudicatur {ae}qua- litas uiarum & motuũ. In quiete. Cũ enim offertur ui$ui aliquid multũ paruum, for$itan mouebitur pars eius aliqua, & ip$um iudicabitur immotum, cum motus partis lateat ui$um.

56. In a$peritate & lenitate: raritate & den$itate: umbra & tenebris. 141. 144. 147 p 4.

IN a$peritate & læuitate. Cũ enim occurrerit ui$ui res multũ parua: iudicabitur for$an l{ae}uitas, ubi fuerit a$peritas, & è cõtrario. Quoniã, ut dictũ e$t, [53 n 2] a$peritas nõ cõpreh\~editur in corpore, ni$i ex umbra quarun dam partiũ $uper alias, uel eminentia earum, & depre$sione aliarũ: quod to tum occultabitur iudicio uidentis, præ nimia paruitate corporis. In raritate & $oliditate. Si quis e- nim intueatur corpus ualde paruum politũ, ut ab eo lux po$sit reflecti, $icut e$t margaritæ $imile: ra rum e$$e iudicabitur, cum non $it. Similiter ui$o corpore raro multũ paruo, quòd po$tip$um non $it corporis $olidi comprehen$io: exi$timatur e$$e $olidum. In umbra & tenebris. Si enim in pariete al- bo ui$ui oppo$ito fuerit punctorum ualde nigrorum di$tinctio, adhibita $olis luce, $ed directè in pa- rietem cadente uel prope: æ$timabuntur à uidente $ingula puncta $ingula e$$e foramina, po$t qu{ae} e- rumpant tenebræ. unde error cum tenebrarum æ$timatione ex $ola punctorum paruitate: qui non accideret, $i nigredo quantumcunq; inten$a magnam partem parietis inficeret. Si aũt fuerit in pun ctis illis nigredo non ade\‘c inten$a: reputabũtur quidem puncta illa, foramina, in quibus $it umbra: cum lux nõ penetret ea, $icut $olet accidere luce $uper multorum foraminum $peciem cadente. Vn de error um bræ ex $o a punctorum diminutione.

57. In pulchritudine & deformitate: $imilitudine & di{$s}imilitudine. 150. 153 p 4.

IN $pecie & deformitate: Cum præ $ua paruitate occultantur ui$ui deturpantes corpus ui$um ma cul{ae}, accidit erroneum de $pecie iudicium: quia $umitur ex apparentibus tantùm: Sicut e$t error in deformitate, cum propter paruitatem lateant picturæ decorem ingerentes rei ui$æ. In $imilitu dine & di$similitudine. Cum enim notæ minuti$simæ inter aliqua corpora, $imilitudinis aut di$si- militudinis fuerint cau$$æ: quia prætereunt ui$um præ paruitate $ua, iudicabitur $imilitudo aut di$- $imilitudo omnimoda: & $umetur iudicium ex apparentibus tãtùm. In omnibus pr{ae}dictis e$t error in $yllogi$mo ex paruitate corporis: cum ea exi$tente t\~eperata non accidat error, alijs immotis.

58. Solidit {as} immoderata creat errores in $ingulis ui$ibilibus $peciebus. In di$tantia & $itu. 16. 44 p 4.

SOliditas aliquando egreditur temperamentum, & errorem inducit in quolibet eorum, quæ cõ prehenduntur per $yllogi$mum. In lõgitudine. Si enim minima fuerit corporis $oliditas: & e$t: ut $it ualde rarum, $icut e$t cry$tallus pura, & $it po$t ip$am corpus lucidũ luce forti: non cõpre- hendetur cry$tallus, $ed qua$i nullum e$$et intermedium, cõpreh\~edetur corpus per ip$am: unde, cũ qua$i non $it, fiat rari acqui$itio: non plena erit longitudinis eius ab eo compreh\~e$io. Vnde error in longitudine. Quare $i corporis rari $itus fuerit declinatus, occultabitur uid\~eti declinatio, & iudica- OPTICAE LIBER III. bitur $or$itan rectitudo. Vnde error in $itu, & etiam error in longitudine: quoniam una eius extre- mitas eiu$dem longitudinis reputabitur cum alia, cum $int diuer$æ.

59. In magnitudine & figura: diui$ione, continuatione & numero. 28. 97. 109 p 4.

DEinde quoniam quantitas corporis comprehenditur ex longitudine, & anguli, $ub quo ui- detur, capacitate: ignorata longitudine: accidit error in quãtitate. Modo con$imili erit error in figura. Si enim in corpore fuerint anguli: occultabũtur uidenti: unde $exangula forma pu- tabitur $phærica. Si uerò modica fuerit incuruatio in corpore, latebit, & iudicabitur corpus planũ e$$e. In di$tinctione erit error. Si enim fuerit per corpus magnæ raritatis linea nigra, apparebit cor- pus diui$um in loco, in qu\~e cadit linea. Si uerò fuerint duo corpora talia modicũ à $e di$tãtia: repu- tabuntur continua. Vnde error in continuitate. Et palàm, quòd ex his erit error in numeri compre- hen$ione: cum uel unum plura, uel plura unum apparebunt.

60. In motu & quiete. 138 p 4.

IN motu erit error ex immoderatione raritatis: $i opponatur foramini corpus ualde rarum, ut cry $tallus: & huius corporis extremitates lateant ui$um: & po$t corpus hoc moueatur aliud: puta- bit uidens corpus rarum moueri, cum $it immotum: quod non accideret ip$o temperatè $olido. In quiete accidit error ex eadem intemperantia. Si enim corpus ualde rarum includatur in manu, coniunctum manui, & ab ea recedat, & moueatur intra manum reuolutionis motu, immota manu: ita tamen, ut appareat diui$io aliqua inter ip$um & manum: iudicabitur corpus illud immotũ: quo- niã non pote$t in eo cõprehendi motus, ni$i mutatione $itus partiũ partis alicuius, re$pectu manus, uel partis eius. Et quia omnimoda e$t $imilitudo in partibus, uel prætenditur: propter raritat\~e non pote$t di$cerni alicuius partium $itus: quare nec motus.

61. In a$peritate & lenitate: raritate & den$itate. 141. 144 p 4.

IN a$peritate & l{ae}uitate. Si enim in corpore multùm raro fuerit a$peritas non magna, putabitur for$itan læue. Si uerò fuerit læue, & $tatuatur po$t ip$um corpus a$perum, aut corpus diuer$orũ colorum, æ$timabitur hoc corpus rarum & l{ae}ue, a$perũ. Vnde error in læuitate. In raritate. Si e- nim po$t corpus ualde rarũ $it aliud corpus rarũ non multũ, & colore forti coloratũ: apparebit pri- mum non multũ rarum, $ed æ$timabitur eius raritas $ecundum raritatem po$tpo$iti. Vnde uitrum alij uitro $uperpo$itum non apparet ita rarum, $icut appareret eo $olo ui$ui adhibito. Vnde error in raritate. Si aũt po$t po$t primũ rarum $tatuatur corpus $olidum: iudicabitur primũ $olidũ: unde er- ror in $oliditate. Pari modo $iuas ualde rarum contineat uinũ, cum po$tillud nõ percipiatur luxaut corpus aliud: iudicabitur for$an totum cum uino uitrum e$$e unum corpus $olidum.

62. In umbra & tenebris. 147 p 4. 67 p 10.

IN umbra erit error ex raritate. Luce enim $olis in domũ aliquam per foramen aliquod de$cend\~e te, & $uper fene$tram uitream cadente, cum domus illa $it umbro$a: apparebit $uper fene$tram il lam umbra, licet in ueritate lux in ip$am incidat: quæ quidem @@x comprehenderetur, $i $olidum e$$et fene$træ corpus: quoniam non tran$iret, & ita $uper $olidum appareret. Vnde error in umbra. In tenebris. Luce enim $olis in aquam fluminis nõ de$cendente, aut in mare, $icut accidit hora ma- tutina & ue$pertina: & $i fuerit claritas in aqua: apparebit tenebro$a: & quantò fuerit clarior, tantò putabitur tenebro$ior. Et accidit hoc: quoniam pars aquæ $uperior umbrã iacit $uper proximã par tem inferiorem, & illa proxima $uper aliam inferiorem propinquam: & ita per $ingulas u$q; ad fun- dum. Et licet $ingularum partium umbra in $e $it modica: tamen coniunctæ unam efficiunt maxi- mam, $icut palàm e$t in colore uini accidere: In modica enim quantitate uini color e$t debilis: & in multa, licet eiu$dem modi, fortis. Cau$$a autem quare in mari umbram iaciente uideantur e$$e tene bræ in maris claritate, e$t: quoniam inten$a claritas inten$am reddit raritatem: unde ui$ui maiorem reddit penetrationem: Vnde fit acqui$itio plurium maris partium umbram facientium: quoniã um brarum aggregatarum perceptio inducit fidem tenebrarum. Si uerò mare fuerit turbulentum, pro- pter diminutam raritatem penetrabit ui$us paululum, & comprehendet modicam aquæ partem: & licet faciat umbram, cum ip$a $it remi$$a, color illius partis uincit umbram. In turbida enim aqua co lor apparet, in clara nullus: unde & propter turbidæ aquæ colorem & propter umbræ partis appa- rentis remi$sionem non comprehenduntur in aqua tenebr{ae}: unde ip$a turbida, apparebit colora- ta, & clara tenebro$a. Solis autem radio cadente $uper faciem maris, cum ei per raritatem ip$ius pa- teat tran$itus: abijcietur omnis tenebrarum & umbræ apparentia.

63. In pulchritudine & deformitate: $imilitudine & di{$s}imilitudine. 150. 153 p 4.

IN decore & deformitate. Si enim in ua$e multùm raro $int particulæ uel inci$uræ ip$i decorem afferentes: & imponatur ua$i illi uinum turbidum & turpe: occultabuntur decoris cau$$æ: & iu- dicabitur uas deforme, ut aliquando accidit in uitreo ua$e. Econtrariò $i uas tale deformente- ius aliquæ particulæ, & imponatur ei uinum clarum lucidum, & in colore formo$um: occultabũtur deformitatis cau$$æ, & reputabitur uas $pecio$um, cum $it deforme. In $imilitudine & di$similitudi ne. Si duo ua$a multũ rara conueniant in forma, $pecie, raritate: $ed di$crepent in aliquarum partiũ ALHAZEN di$po$itione, & uino eiu$dem coloris, eiu$d\~e claritatis impleantur: latebunt cau$${ae} diuer$itatis, & re putabuntur omnino $imilia. Si uerò inter ea fuerit diuer$itas in $pecie & forma: $ed in aliquibus par tialibus conuenientia, & uino $imili impleantur: putabuntur omnino di$similia. Vnde error in $imi litudine & di$similitudine: quia $umitur iudicium ex appar\~etib. tantùm. Et in omnib, prædictis ac- cidit error ex $ola $oliditatis intemperantia: quoniã alijs in $uo e$$e manentibus, non accidit error, ea ad temperantiam reuocata.

64. Per$picuitas medij immoder ata creat errores in $ingulis ui$ibilibus $peciebus. In di$tãtia: $itu: figura: magnitudine: diui$ione: continuatione & numero. 16. 44. 97. 28. 109 p 4.

RAritas aeris inter ui$um & rem ui$am intercidentis egreditur temperamenti proprij metas, & errorem generat in omnibus, quorum fidem ui$us efficit per $yllogi$mum. In longitudine. Si enim fueritaer pruino$us & ob$curus, $icut in horis matutinis $olet accidere: turri aliqua ui- $ui oppo$ita in longitudine temperata: æ$timabitur plus à ui$u elongata, quàm habeat ueritas. Vn- de error in longitudine e$t. Et cau$$a e$t: quoniã non comprehenditur longitudo inferioris terræ, $u per quã elongationis turris $umitur men$ura: & occultatur terra ex raritate aeris diminuta. Vnde raritas e$t cau$$a erroris. Si aũt in hoc aere declinetur modicè corpus ui$um: occultabitur declina- tio, quæ pateret in aere claro. Vnde error in $itu. Et $i fuerit in corpore gibbo$itas modica: appare- bit planum in tali aere: & $i fuerint in corpore anguli, latebunt. Vnde erroneum erit figuræ iudiciũ. In quantitate erit error extali aere: quoniã ui$um maius apparebit, quã in temperato aere: Sicut ac- cidit in corporib po$t aqu{ae} raritatem cõprehen$is. Et $i fuerit in corpore qua$i linea nigra: putabi- tur e$$e partium diui$io. Vnde error in diui$ione. Et $i fuerint duo corpora modicũ à $e di$iuncta: ap parebunt in hoc aere cõtinua. Vnde error in cõtinuitate. Et ex his palã, quòd error e$t in numero.

65. In motu: quiete: a$peritate: lenitate: raritate: den$itate: umbra: tenebris: pulchritudine: deformitate: $imilitudine & di{$s}imilitudine. 138. 141. 144. 147. 150. 153 p 4.

IN motu. Si enim in aere duo uideantur, quorum unum alio paulò uelocius moueatur: iudicabũ tur forta$$e æquales e$$e eorum motus: cũ in temperato aere di$cerni po$$et unius ad alium ex- ce$$us. Et e$t error propter lat\~es excrementũ ui{ae} unius $uper uiã alterius. In quiete. Si quis enim per talem aerem à longitudine t\~eperata non tñ parua uideat aquã fluentem: aut iudicabit eam im- motam: aut $i fuerit fortis eius fluxus: minus, <004> moueatur, motam. In a$peritate & læuitate. Quia in hoc aere uidebitur a$perum læue, propter latentes a$peritatis cau$$as. Et ui$a re polita, cũ nõ di$cer natur in ea reflexio: æ$timabitur a$pera. In umbra. Si enim po$t hunc aerem uideatur corpus album, in quo $int particulæ rotundæ nigræ, luce ignis in corpus illud cadente, ita tñ, ut fit interpo$itio hu- ius aeris: apparebit in locis illis umbra, aut for$itan reputabuntur foramina uiã tenebris erũpentib. pr{ae}$tantia. Vnde error in umbra & tenebris. Quare po$t hunc aerem corpus rarũ apparebit minus rarũ: & for$an putabitur $olidum. Et ita error in $oliditate & raritate. In $pecie & deformitate, {pro}pter cau$$as particulares corpus decorantes, uel deformantes, in hoc aere latentes. In $imilitudine & di$ $imilitudine propter particulares diuer$itatis, aut conuenientiæ cau$$as, inter duo corpora non ap- parentes. Et in his omnibus prouenit error ex raritate aeris $ola immoderata, cum alijs immotis, in aere temperato non accideret.

66. Tempus immoderatum creat errores in $ingulis ui$ibilibus $peciebus. In di$tantia: $itu: figura: magnitudine. 16. 44. 97. 28 p 4.

TEmpus extra temperamenti $ui fines locatũ cau$$a e$t erroris per $ingula, quorũ fides in ui$u $umitur ex $yllogi$mo. In lõgitudine. Si enim $ubitò intueatur quis aliquod remotum à turri, quod $tatim ui$ui $urripiatur: nõ poterit plenè di$cernere lõgitudin\~e inter illud & turrim: & iu dicabitur for$an aut minus remotũ à turri, <004> $it in ueritate, aut magis. Et e$t cau$$a: quoniã in illa t\~e- poris in$tantia nõ percipitur à uidente terra intermedia inter turrim & rem ui$am, $ecundũ quã $u- mitur di$tantiæ men$ura: aut quoniã in breui t\~epore, nõ poterit axis uiã intermediã di$cernere. Vn- de nec plenè cõprehendere. Et ita error in lõgitudine. In fitu. Cũ aliquid $ubit ò occurrit ui$ui, & $ta tim recedit: reputabitur for$itan rectum, declinatum, aut econtrariò. In $igura. Si fuerit modica gib- bo$itas in re $ubitò ui$a: latebit, & putabitur res plana, aut latebunt anguli, $i fuerint in ea. In quãti- rate. Si quis enim titionem ardentem moueat motu citi$simo, & intra uiam modicam, ut $æpe ua- dat & reuertatur per eam: apparebit uia motus ignea: quoniam motus titionis ab uno uiæ termino ad alium fit qua$i in in$tanti. Vnde propter breuιtatem temporis non pote$t di$cerni uel quantitas uel motus titionis. Vnde & hic error in motu.

67. In diui$ione: continuatione: numero: quiete & motu. 109. 138 p 4.

IN diui$ione. Si quid enim $ubitò ui$um à ui$u diuertatur, & fuerit in eo linea nigra: putabitur e$- $e diui$io partiũ, illa nigredo. Et $i corpora contigua uel ualde propinqua $ubitò uideantur: {ae}$ti- mabuntur continua: $icut accidit in $camnorum tabulis $ubitò in$pectis. Vnde error in cõtinui- tate. In motu. Cum duorũ unum paulò uelocius alio mouetur: motus in t\~epore modico cõprehen$i æquales iudicabuntur, cum non tam $ubitò cõprehen$ibilis $it exce$$us. In quiete. Si enim aliquid modicè moueatur: $ubitò ui$um moueri nõ uidebitur: quoniã uia, quã percurrit in t\~epore $u{ae} perce ptionis, imperceptibilis e$t ui$ui \~p $ui paruitate. Superius aũt explanatũ e$t, [51 n 2] quòd non com OPTICAE LIBER III. prehenditur motus in corpore, ni$i in tempore $en$ibili. Similis error accidit in rota modica: cum citi$simè uoluitur, apparet immota: cum non po$sit fieri comprehen$io reuolutionis eius in tempo re tam paruo, quàm paruum e$t, in quo fit una eius reuolutio. Idem error accidit in trocho. Vnde er ror in quiete: quoniam non pote$t di$cerni mutatio $itus partium trochi: quare nec motus eius. Et $i unius coloris fuerit trochus: palàm, quòd non comprehenditur motus. Si uerò plurium & diuer$o- rum colorum: nec $ic etiam apparebit motus: cum lateat colorum diuer$itas, & prætendatur ex ni- mia fe$tinatione, confu$a quædam colorum unitas.

68. In a$peritate: lenitate: raritate: den$itate: umbra: tenebris: pulchritudine: deformitate: $imilitudine: di{$s}imilitudine. 141. 144. 147. 150. 153 p 4.

IN a$peritate. Cum enim $ubitò uidetur a$perum: putabitur for$itan læue: & $i hoc modo uidea- tur, non poterit in eo di$cerni læuitas aut a$peritas. Vnde dubitatio & error. In raritate. Luce e- nim declinata $uper corpus remi$sè rarũ de$cendente, $ubitò ui$um, cũ non percipiatur declina- tio lucis: putabitur for$itan, quod in fine raritatis $it appar\~es raritas corporis. Quòd $i in t\~epore pau lo maiore adhibeatur ui$us: percipietur declinatio cau$$a apparentiæ raritatis remi$${ae}. In $oliditate. Si quis enim in$tanter uideat corpus rarũ, & po$t ip$um nõ di$cernat lucis tran$itũ, putabit illud e$- $e $olidũ. In umbra. Si in albo pariete $int partes $ubnigr{ae}, de$cend\~ete $uper ip$um ignis luce, $ubitò ui$æ putabuntur e$$e umbræ. Si uerò nigredo earum ui$a fuerit inten$a: æ$timabuntur foramma te- nebris plena. In $pecie & deformitate. Quia in tã paruo t\~epore non $unt cõprehen$ibiles minut{ae} de- coris & deformitatis cau$$æ: $icut accidit cũ aliquis in$piciens per foramen intuetur faciem, iudicat aliquando fœdam: formo$am: uel econtrariò. Et id\~e error accidit mota re ui$a, oculo immoto. In $i- militudine & di$similitudine: Quoniam latent particulares $imilitudinis & di$similitudinis cau$${ae}. Et in his omnibus ex $olo tempore non moderato accidit error: cum in prædictis nullus accideret, eo ad temperantiam reducto.

69. Imbecillit{as} ui$us creat errores in $ingulis ui$ibilibus $peciebus. In di$tantia: $itu: magni- tudine: figura: diui$ione: continuatione: numero. 16. 44. 28. 97. 109 p 4.

VI$us debilitas & immoderatio error\~e inuehit $ingulis per $yllo gi$mũ in ui$u compreh\~e$is. In lõgitudine. Si enim opponãtur ui$ui duo corpora, quorum unũ $it coloris fortis, & remotius: aliud coloris debilis, & oculo propinquius: cũ nõ fiat cõprehen$io longirudinis, ni$i facta col latione ad aliqua corpora interiecta: [per 25. 39 n 2] faciet incertã collation\~e debilitas ui$us. Et quia certum e$t homini, quòd ex locis propin quiorib. certior fit fides ui$ui, <004> ex remotiorib. concludit il- lud, quod apparet ei certius ex his corporib e$$e propinquius. Et planum, quòd ui$ui debili certior fit fides coloris fortis, quàm debilis: licet paulò plus elon gati. Idem error accidit etiã in t\~eperantia ui$us: quoniã à longitudine magna propinquius iudicatur corpus, cuius color fortis, quã cuius co- lor debilis: licet nõ $it multò remotius. In $itu errat ui$us debilitas. Si enim ab aliquãta longitudine, licet temperata declinetur corpus, & $it modica declinatio: ignorabitur, cũ plenè comprehenditur lõgitudo. Et incertitudo longitudinis quãtitatis, error\~e etiã $itus ingerit. In figura. Quia gibbus mo dicus, & multiplex angulus latent debilitat\~e ui$us. Et $i in corpore linea nigra fuerit: æ$timabitur di ui$io uel fi$$ura: & æ$timabuntur corpora contigua, unũ continuum. Vnde error in diui$ione: conti- nuitate: numero. Eadem erroris cau$$a $trabo unum iudicat duo:$i fuerit deformitas in uno tantùm oculo. Quoniam habet res ui$a diuer$itatem $itus, re$pectu duorum oculorum eius. Si aũt in duo- bus oculis eius $it deformatio: cum acciditeos moueri for$itan accidet eis diuer$itas $itus, re$pectu rei ui$æ: & ita in uno pluralitas.

70. In motu & quiete. 138 p 4.

IN motu. Si quis enim $æpius in circuitũ uoluitur, cũ quie$cit: putat, quòd parietes moueãtur. Et e$t, quoniam moto uidente, mouetur intrin$ecus uis ui$ibilis: & licet uid\~es $teterit, nõ $tatim uis ui$ibilis $tabit: $ed motus eius in uidentis quiete durabit: & ob hoc motus ui$arum rerũ æ$tima- tio in$urgit. Et huius motus exemplum in trocho uidemus: quoniã diu po$t manus mouentis quie tem uoluitur trochus. E$t etiam infirmitas, in qua uidentur patienti omnia uolui. In quiete. Quan- do corpus $imilium partium, ut $unt quædã rotæ horologiorum, reuoluitur reuolutione pauca: ui- $us debilis non percipit eius motum, qu\~e quidem perciperet ui$us temperatus. Si aũt multa $it reuo lutio, non percipitur etiam à temperato. Si uerò $it di$similiũ partium corpus motũ, ut in rota mo- letrinæ: tunc ui$us debilis comprehendet motum: Si autem fe$tina fueritrotæreuolutio: occultabi tur ui$ui debili motus. Quoniã partes rotæ multũ di$similes $unt: non plenè comprehendetur di$si militudo in fe$tinatione: & per di$s imilitudinem partium fit comprehen$io motus earum.

71. In a$peritate: lenitate: raritate: den$itate: umbra: tenebris: pulchritudine: deformitate: $imilitudine: di{$s}imilitudine. 141. 144. 147. 150. 153 p 4.

IN a$peritate & læuitate. Quia for$an reputabit modicè l{ae}ue, a$perũ: uel ecõtrariò, $i inter formas a$peri & l{ae}uis fuerit di$similitudo. In raritate. Cũ fuerit in corpore raro $oliditas pauca: æ$timabi tur à ui$u debili maior uera. In $oliditate. Si fuerit in corpore raro color fortis, aut po$t ip$um, & raritas nõ maxima: putabit illud e$$e $olidũ. In umbra. Notæ parietis $ubnigræ, de$c\~ed\~ete $uք ip$um luce, appar\~et huic ui$ui umbr{ae}: & $i fuerintmultũ nigr{ae}: apparebũt foramina, in quibus tenebr{ae}. In ALHAZEN deformitate & decore: $imilitudine & di$similitudine {pro}pter particulares decoris uel fœditatis, $imi litudinis & di$similitudinis cau$$as ui$ũ lat\~etes. Et e$t error in \~p dictis omnib. ex $ola debilitate ui$ 9.

72. In ui$ione errores creantur aliàs quidem à $ingulis ui$ion\~e perficientibus: aliàs uerò à plu- ribus $imul, quorum nullum per $e errorem crearet. 154 p 4.

IAm diximus, quomodo accidat error in $yllogi$mo, $ecundum unamquãq; cau$$arum erroris ui $us in qualibet partium, quæ acquiruntur per $yllogi$mum, & ince$simus $uper quemlibet erro- ris modum, & cuiuslibet $uppo$uimus exemplum. Et licet in errorib. ui$us $it copio$a multitu- do: tñ omniũ ad modos dictos fiet reductio, & ad ex\~epla ordinatim propo$ita: a$signauimus quoq; errores, $ecundum quod $inguli eorum accidunt ab unica tantũ cau$$a. Et aliquan do error infertur non ab una tantùm, $ed à duabus cau$sis uel plurib. Verbi gratia. Simoueatur aliquid à longitudi- ne magna motulento: $ubitò ui$um uidebitur immotũ: & percipi po$$et motus ille in di$tantia tem perata etiam celeri ui$u, uel etiã in illa longitudine intemperata non occultaretur motus: $i t\~epera- tum e$$et in $pectionis t\~epus. Prouenit igitur error ex duabus intemperantijs, quarum neutra per $e $ufficit: triũ aggregatio errorem efficit. Si à magna lõgitudine, $ub debili luce, in modico t\~epore, op- ponatur ui$ui corporis diuer$orum colorũ reuolutio non cita: æ$timabitur corpus $tare: Et $i ab ea- dem longitudine, $ub eadem luce, tempore temperato, adhibeatur intuitus: comprehendetur mo- tus: qui $imiliter non latebit in t\~eperata longitudine, $ub eadem luce & modico t\~epore: & etiã perci pi poterit in ead\~e longitudine $ub fortiluce. Et generaliter ex omnib. errorib. ui$ui accidentib. nec unus nec plures congregati euadũt cau$$as, quas diximus. Quælibet aũt forma rei ui$æ, ex ijs, quæ enumerauimus, e$t cõpo$ita. Et cum ui$us non ac quirat ex rebus ui$is, ni$i aliquas i$tarũ: non acci- dit error in ui$u, ni$i in aliqua i$tarũ. Et omnis error, qui accidit in $cientia, e$t, quoniam intellectus $imilia efficit, quæ percipit, cũ ijs, qu{ae} percepit in modo aliquo, aut di$similia. Et omnis error in par tialibus erit, aut in $en$u, aut in $cientia, aut in $yllogi$mo: & non pote$t e$$e, quin $it in aliquo i$torũ, aut duobus, autip$is tribus. Et quicunque error accidit in huiu$modi tribus, non erit, ni$i per erro- rem ui$us in partibus. Et iam patuit, quòd error ui$us in partialib. non erit, ni$i propter cau$$as, quas a$signauimus, aut ex una earum tantùm, aut ex pluribus.

ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE LIBER QVARTVS.

_LIBER_ i$te diuiditur in quinque partes. Pars prima e$t proæmium libri. Se- cundaest in declaratione, quòd luci accidat reflexio à politis corporib. Tertia est in modo reflexionis formæ. Quarta in o$ten$ione, quòd comprehen$io for mæ ex corporibus politis non est, ni$i ex reflexione. Quinta est in modo comprehen$io- nis formarum per reflexionem.

PROOEMIVM LIBRI. CAP. I. 1. Vi$io fit trifariam: rectè: reflexè: & refr actè. In præf. 1. 3. 10 Libr.

IAm explanauimus in libris tribus modũ comprehen$ionis formarũ in ui$u, cum fuerit directus: & enumerauimus $ingula, quæ in rebus ui$is cõprehendit ui$us. Sed diuer$ificatur acqui$itio ui- $us tripliciter: Aut enim directè, $icut diximus: aut per reflexionem in politis corporibus: aut per penetrationem, ut in raris, quorum non e$traritas, $icut raritas aeris. Et non pote$t diuer$ificari ui- $us, ni$i in his modis tribus. Et his duobus modis po$terioribus comprehendit ui$us in rebus ui$is, quæ $uprà expo$uimus, & quorum acqui$ition\~e in ui$u directo patefecimus. Et for$itan ui$us in his incurrit in errorem, aut con$equitur ueritatem. Et nos a$sign abimus in hoc libro, quando per refle- xionem fiat formarum acqui$itio: & quomodo erit reflexio: & quis linearũ reflexarum $itus: Et præ ponemus quædam accidentia præponenda.

QVOD LVCI ACCIDAT REFLEXIO À POLITIS corporibus. Cap. II. 2. Lux & color reflectuntur à quolibet politæ $uperficiei puncto, lineis rectis. 1 p 5.

PLanum e$t ex libro primo [1. 2. 3. 14. 18. 19 n] quòd lux à corpore lucido luce propria uel accid\~e- tali dirigatur in omne corpus ei oppo$itum: & eodem modo color, cũ in eo lux fuerit, mittitur- Itaq; corpore polito oppo$ito corpori lucido, mittitur ad ip$um lux mixtim cũ colore, & refle- ctitur lux cũ colore, $iue fuerit fortis, $iue debilis, $iue prima, $iue $ecundaria. Et quòd fiat in luce for ti reflexio, pote$t patére: oppo$ito luci forti $peculo ferreo, $i oppo$itus fuerit paries $peculo, & de- $c\~ederit $uք ip$um lux declinata, nõ recta: uidebitur in pariete lux fortis reflexa: qu{ae} <003>d\~e nõ uidebi- tur $uper eun dem locum, $i $peculũ auferatur uel moueatur: imò $ecũdum motum $peculi mutabi- OPTICAE LIBER IIII. tur locus lucis reflexæ in pariete. Quare palàm, reflexionem fieri in luce forti. In luce debili patére pote$t facile. Si intra domũ aliquã, per foramen unicũ à terra elongatũ, $ed non multùm, de$cendat lux diei, non $olis, $uper aliquod corpus: & circa corpus $tatuatur $peculũ ferreum: & circa $peculũ corpus aliquod albũ: apparebit in $ecun do corpore albo lux maior quàm $ine $peculo: & augmen- tũ illius nõ e$t, ni$i ex $peculi reflexione, quoniã ablato $peculo $ola lux $ecundaria debilis appare- bit in corpore albo. Amplius: $i diligens figatur intuitus in lineis, per quas à corpore primo lux in $peculũ mittitur: perpendetur quid\~e linearũ illarũ declinatio $uper $peculũ, & $uper id\~e linearum punctũ, reflexionis declinatio ead\~e. Et e$t propriũ reflexionis, ut $it ead\~e declinatio, & id\~e angulus linearũ uenientiũ & reflexarũ. Quòd $i moueatur corpus albũ à loco reflexionis in aliũ locũ: tam\~e circa $peculũ: nõ uidebitur in eo lucis augmentũ: nec uideri poterit, ni$i in illo $itu tantùm. Quare planũ e$t propriũ e$$e reflexionis hunc $itũ. Hoc id\~e poterit uideri in $ecundaria luce: $i prædictum $peculũ $it argenteum, & corpus tertiũ albũ $it ex alia parte $peculi: apparebit quid\~e $uper corpus tertium lux $ecundaria, & $uper corpus $ecundũ lux maior illa: Et palàm, huius maioritatis cau$$am $olã e$$e reflexion\~e. Patebit aũt in omni loco lucis reflexio: ubi $uper corpus de$cendit per foram\~e aliquod lux fortis, adhibito luci $peculo, & ei corpore albo oppo$ito, modo $uprà dicto. Verùm lo- cũ reflexionis & linearũ $itũ explanabimus. Iã patuit in libro primo, [1. 2. 3. 14. 18. 19 n] quòd lux re- flexa $equitur rectitudinem linearum: quare ex corporibus politis fit reflexio $ecũdum proce$$um rectitudinis in $itu proprio.

3. Lux & color à quolibet $uperficiei coloratæ puncto ad quodlibet $uperficiei politæ oppo$itæ punctum permixti confluunt. 2 p 5.

AMplius: Planum e$t ex $uperioribus, quòd lux $ecunda à corpore illuminato, accidentali lu- ce procèd\~es, $ecũ fert color\~e corporis. Ab omni igitur corpore illuminato $eu lucido color mixtim cũ luce ad corpora oppo$ita polita mittitur, & mixtim in part\~e debitã reflectitur. Et huic rei fides poterit fieri, $i intra domũ unius foraminis tãtùm, de$cendat lux $uper corpus forti & $pecio$o colore: & $tatuatur circa ip$um $peculũ ferreũ, & circa $peculũ corpus concauũ ad $cyphi modũ, intra quod $it corpus albũ, & aptetur hoc uas in loco reflexionis, ut lux reflexa incidat in cor pus albũ: apparebit quid\~e $uper faci\~e albi corporis color illius, in q<001> fit prim ò de$cen$us lucis: q<001> quid\~e nõ accidet, $i extra propriũ $itũ reflexiõis $tatuatur corpus albũ. Et $ecundũ diuer$as colorũ $pecies hoc {pro}batũ inuenies, uelut in colore cœle$ti, rubore, uiriditate, & huiu$modi. Quare planũ, color\~e mixtũ cũ luce remitti, & certior\~e e$$e coloris reflexi appar\~etiã, $i $peculũ fuerit argenteum.

4. Reflexio debilit at lucem & colorem: & omnino totam ui$ibilis $peciem. 3 p 5.

QVare aut\~e nõ appareat hæc probatio, $cilicet, quòd cõpreh\~edatur color reflexus, cuicunq; corpori opponatur $peculũ, $ed ei adhibeatur albũ, hæc e$t ratio: $icut $uprà dictũ e$t: colo- res debiles (licet $imul cũ luce mittãtur) nõ $entiuntur. Formæ enim, quæ reflectũtur, de- biliores $unt formis, à quibus reflexio oritur. Et hoc in hac luce pote$t patére. Quoniã luce forti in $peculum cad\~ete, & reflexa in pariete: debilior uidebitur lux parietis, quàm $peculi, & notabilis e$t inter eas proportio. Id\~e patebit in luce debili pari modo, ut in domo in prima di$po$itiõe: $i corpus ter$um tertiũ albũ ponamus loco $peculi ferrei, uel circa ip$um: maior apparebit lux $uper hoc cor- pus, quàm $uper $ecũdũ: quod nõ accideret, ni$i reflexio luc\~e debilitaret. Sed dicet aliquis, cau$$am huius rei e$$e nigredin\~e $peculi ferrei, quæ admixta luci, in $peculũ cadenti, ip$am obumbrat, & re- flexa in corpus $ecũdũ debilis & fu$ca apparet: $ed in corpus tertiũ loco $peculi po$itũ nõ de$c\~edit lux, ni$i à corpore primo nulli admixta nigredini. Verùm quòd hoc nõ $it in cau$$a, palàm ex eo e$t: quòd loco $peculi ferrei, argenteo po$ito, ead\~e accidit probatio. Pari modo reflexus color debilior erit colore, à quo fit reflexio: quod in domo & ua$e, ut antea, patére pote$t: $i corpus albũ loco $pe- culi ponatur, uel circa: fortior apparebit in ip$o color, quã in corpore albo intra uas po$ito. Et idem patebit, $i loco ferrei $peculi argenteũ ponatur $peculũ. Igitur reflexio debilitat & luces & colores: $ed colores amplius, quàm luces, $ecun dum utrumq; $peculum. Et e$t: quoniam colores accedunt debiliores, quàm luces: unde facile efficiũtur in reflexione debiliores. Amplius: color debilis cum peruenerit ad $peculũ, mi$cetur colori eius: quare reflexus apparebit debilis & tenebro$us. Et for- mæ debiliores $unt reflexæ, quàm in loco reflexionis: & reflexio cau$a e$t debilitatis.

5. Lux & color reflexi $unt debiliores luce & colore primis: fortiores autem $ecund{is}, cum quibus ab eodem ortu æquabiliter di$tant. 4 p 5.

POterit aliquis dicere, nõ e$$e debilitat\~e formarũ in reflexione, ni$i ex elongatione earũ à $ua origine. Sed explanabitur, quòd licet ab ortu æqualiter elongentur lux directa & lux reflexa: tamen debilior erit reflexa. Intret radius $olis in domum aliquã per foramen: & opponatur $o ramini in aere $peculũ ferreũ minus foramine: & lux foraminis re$idua cadat in terrã $uper corpus albũ: & lux à $peculo reflexa cadat in corpus albũ eleuatum: hoc ob$eruato: ut ead\~e fit eleuati & ia- centis à foramine longitudo: uidebitur quid\~e $uper eleuatum lux minor, quàm $uper iacens. Et hu ius minoritatis nõ pote$t a$signari cau$$a, ni$i reflexio $ola. Id\~e accidit, $i $peculum $it argenteũ. Id\~e in colore pote$t patére: lux enim $olis in domũ aliquã per foram\~e de$c\~edat $uper corpus coloris for tis, cui adhibeatur $peculũ, & aliud corpus concauũ: intra quod $it corpus albũ, in quod cadit refle xio: & $tatuatur in domo aliud corpus albũ eiu$d\~e modi, cũ eo, quod e$t in cõcauo: & $it elongatio ALHAZEN huius albi à corpore colorato, in quod cadit lux foraminis, eadem cum elongatione albi, quod e$t in concauo ab eodem, & cum elongatione $peculi ab codem: tunc comprehendetur color debilior in albo, quod e$t intra concauum, quàm in eo, quod e$t extra: licet æquidi$tent ab ortu $uo, id e$t à corpore colorato. Et in cau$$a e$t reflexio colorem debilitans. Amplius: lux reflexa fortior e$t lu- ce$ecundaria: licet eiu$dem $int elongationis ab origine $ua. Luce enim reflexa cadente in cor- pus aliquod: $i aliud eiu$modi corpus ponatur extra locum reflexionis: & $it cum eo eiu$dem e- longationis à $peculo: uidebitur $uper ip$um lux minor, quàm in illo. Idem etiam planum erit in domo: $i deponatur in terram, in directo foraminis $peculum, quod accipiat totam foramin is lu- cem: erit lux fortior $uper corpus in loco reflexionis po$itum, quàm $uper aliud eiu$dem modi extra hunc locum, tantundem elongatum à $peculo. Eodem modo $i excedat lux foraminis quan- titatem $peculi: & cadat circa $peculum lux in terram, aut corpus album, à quo aliud corpus tan- tùm elongatur, quantùm corpus reflexionis à $peculo: debilior apparebit in eo lux, quàm $uper reflexionis corpus. Similiter accidit in colore, $i corpus aliquod tantùm di$tet à $peculo extra $i- tum reflexionis, quantùm aliud ei $imile, quod e$t in $itu reflexionis: apparebit quidem $uper cor- pus, quod e$t in $itu reflexionis, color reflexus: $uper aliud for$itan nullus. Si enim ferreum fuerit $peculum: aut modicus uidebitur, aut omnino nullus. Si uerò argenteum fuerit $peculum: appa- rebit $uper ip$um color aliquis, $ed ualde debilis, & longè debilior, quàm in corpore, quod e$t in $itu reflexionis. Et iã igitur planũ, quòd formæ luciũ & colorũ ex corporibus politis reflectuntur, & in reflexione debilitantur: & erit forma directa fortior reflexa, cũ ead\~e fuerit earũ origo, & æqua lis ab ea origine elongatio: & reflexa fortior $ecũdaria, cũ e$t id\~e uel æqualis ortus, & par elõgatio.

DE MODO REFLEXIONIS FORMARVM À POLI- tis corporibus. Cap. III. 6. Lenitatis: politæ $uperficiei: & perpendicularis incidentiæ definitiones. In def. 5 libr.

POlitum e$t læue multùm in $uperficie: Et læuitas e$t, ut $int partes $uperficiei continuæ, $ine pororum multitudine. Læuitas inten$a e$t, ubi e$t multa partium $uperficiei continuitas, & pororum paruitas & paucitas: & finis læuitatis e$t priuatio pororũ, & priuatio diui$ionis par tium. Itaq; politio e$t politiua cõtinuitas partium $uperficiei, cum poris raris & exiguis: & finis po- litionis e$t uera continuitas partium, & priuatio pororum. In omnibus politis $uperficiebus, licet diuer$is $ubiaceant figuris, accidet reflexio: & idem reflexionis modus & eadem proprietas e$t. Et e$t, quòd ab omni politi $uperficie & quolibet eius puncto fit reflexio. Et $umpto quocunq; pũcto in $uperficie, à qua fit reflexio: linea acce$$us formæ ad illud punctum, & linea reflexionis in ead\~e $uperficie erunt cum linea perpendiculari $uper illud punctum erecta: & tenebunth{ae} lineæ eund\~e $itum re$pectu perpendicularis, & æqualitatem angulorum. Et uolo dicere perpendicularem: quæ $it perpendicularis $uper $uperfici\~e, tangentem corpus politum in illo puncto. Et du{ae} line{ae} cũ per- pendiculari $unt in eadem $uperficie orthogonaliter cadente $uper $uperficiem, corpus politum in puncto, à quo fit reflexio, tangentem. Si autem linea, per quam accedit ad $peculũ forma, cadat per- pendiculariter $uper illud: fiet reflexio formæ per ip$am, non per aliam. Et hoc e$t propriũ in omni reflexione, in omni polito corpore. Si igitur corpus politum fuerit planum: $uperficies tang\~es pun ctũ reflexionis, erit una & eadem cũ $uperficie corporis. Si uerò fuerit columnare $peculũ interius aut exterius politũ: erunt contactus $uperficiei $peculi & $uperficiei contingentis linea tantùm, $e- cundum longitudinem $peculi intellecta. Id\~e in $peculo pyramidali intus uel extrà polito. In $phæ- rico $iue interius $iue exterius polito, contingens $uperficies tangit in $olo puncto.

7. Fabricatio & u$us organi reflexionis. 9 p 5.

QVomodo autem etiam ad oculum pateat hic modus reflexionis in $peculis omnibus, expla nabimus. Accipe tabulam æneam $pi$$am, ut firmior $it: eius longitudo $it non minor duo- decim digitis: $it\’q; latitudo $ex digitorum, & fiat linea æquidi$tans extremitati longitudi- nis: & circa illam extremitat\~e, & $uper pũctũ n m l b h i k e p t r o s u q a f d g c huius lineæ mediũ ponatur pes circini, & fiat $emicirculus, cuius $emidiameter $it latitudo tabulæ & [per 11 p 1] extrahatur à puncto, quod e$t centrũ, linea orthogonaliter $uper diametrũ iã factã: & erit linea illa $emidiame- ter diuidens $emicirculum per æqualia [per 33 p 6.] Et in hac $emidiametro $umatur men $ura unius digiti, & po$ito pede circini $uper centrũ, fiat $emicirculus $ecundũ quantitat\~e partis re$iduæ $emidiametri, $ecundum $emi- diametrũ quinq; digitorũ. Et diuidiantur $e- micirculi primi medietates, in quot libuerit, partes, ita ut $ibi re$pondeant in æ qualitate, prima $cili cet primæ, $ecũda $ecundæ, & $ic de alijs: & protrahantur line{ae} à centro ad pũcta diui$ionum. De- inceps in $emidiametro men$ura digiti $ignetur: & ex parte centri & $uper punctum $ignatum pro- trahatur linea, æquidi$tans diametro $emicirculi, $iue tabulæ extremitati [per 31 p 1:] & $ecetur è tabula, quod interiacet hanc lineam & $emidiametrũ, u$q; ad centrum & lineas primas, ad diui$io- OPTICAE LIBER IIII. nes $emicirculi protractas, id e$t ad lineas tales $emidiametro propinquiores. Pò$t $ecetur tabula circa $emicirculum maiorem, ut $olum remaneat $emicirculus: & $ecetur tabula $ub centro, ut cen- tri locus acuatur qua$i punctum: hoc tamen modo, ut in eadem $uperficie remaneat cum $emicir- culo & alijs lineis. Pò$t $umatur tabula lignea plana excedens æneam in longitudine duobus digi- tis: & $it quadrata: & eius altitudo fiue $pi$situdo $eptem digitorum. Signetur ergo in hac tabula punctum medium: & $uper ip$um fiat circulus excedens maiorem circulum tabul{ae} æneæ, quanti- tate digiti magni: & fiat $uper idem centrum circulus, æqualis circulo minori tabul{ae} æne{ae}: & diui- datur circulus maior in partes, in æqualitate re$pondentes partibus $emicirculi tabulæ æne{ae}: ut $cilicet prima re$pondeat primæ, $ecunda $ecundæ, & $ic de alijs: & circumquaque $ecetur ta- bula lignea, ut $olum remaneat maior circulus: & fiet hæc $ectio u$itato $ecandi modo. Secetur e- tiam pars tabulæ minore circulo contenta: & modus $ectionis erit: uthuic tabulæ a$$ocietur alia tabula, ita ut linea à centro huius ad centrum illius tran$iens, $it perpendicularis $uper illam: & ad- hibito tornatili in$trumento centris earum, fiat $ectio partis circularis iam dictæ: (e$t autem alte- rius tabulæ a$$ociatio, ut fixa $tet in $ectione) igitur re$tabit tabula qua$i annulus circularis, cuius latitudo erit duorum digitorum: longitudo quatuordecim: altitudo $eptem. Et $it hæc altitudo optimè circula- ta ad modum, co lumn{ae}: reman\~et aut\~e in latitudi ne huius annuli line{ae} diuidentes circulũ eius $e cundum diui$io n\~e $emicirculi ta bulæ æne{ae}. À ca pitibus autem li nearum harũ {pro}- ducantur lineæ in $uperficie al titudinis exteri oris, perp\~edicu lares $uper $u- perficiem latitu dinis: & poterit hoc modo fieri. Quæratur regu- la bene aeuta, cu ius capiti linéæ adhibeantur, & regula mouea- tur, donec tran $eat $uperfici\~e al titudinis, in qua libet parte acu- minis: Signa e- ius capita, & fac lineam, quoniam illa erit perpendicularis, quam quæris. Aliter poterit hoc idem fieri. Ponatur pes circini $uper terminũ lineæ diuidentis circulũ, & fiat $emicirculus $ecũdũ altitudin\~e annuli, qui di uidatur per æqualia, & protrahatur à puncto in punctũ linea, & ita de $ingulis. Pari modo à termi- nis illarum diuidentium protrahantur perp\~ediculares ex parte interioris altitudinis. Amplius: $u matur in altitudine interiori ex parte faciei non diui${ae}, altitudo duorum digitorum: & in perpen- dicularibus fiat $ignum, & in $ignis illis fiat circulus, æquidi$tans faciei annuli hoc modo. Tabula aliqua plana fiat circularis, æqualis circulo minori tabul{ae} æne{ae}: & $ecetur ex ea pars aliqua u$que ad centrum, qua$itriangulum ex duabus $emidiametris & arcu circuli, $ecundum quod libuerit, ut po$sis tabulam cum manu imponere, & locis a$signatis aptare. Apta ergo locis illis, ut $it æqui- di$tans faciei annuli, & fac circulum $ecundum ip$am. Sumatur etiam infra hunc circulum altitu- do medietatis grani hordei, & fiant $igna, & in punctis a$signatis fiat circulus per aptationem ta- bul{ae}. Et in hoc po$tremo circulo fiat circularis concauitas, & $it unius digiti eius profunditas, & altitudo tanquam altitudo tabul{ae} æne{ae}: & $it h{ae}c altitudo intra altitudinem duorum digitorum, ut eadem $it po$tremi circuli & cõcauitatis $pecies. Aptetur autem huic concauitati tabula {ae}nea, qu{ae} quidem intret concauitatem u$q; ad circulum minorem. Et cum di$tantia minoris à maiori $it uni- us digiti, & concauitas $imiliter: igitur circulo po$tremo & tabul{ae} {ae}ne{ae} communis erit $uperficies: & line æ perpendiculares in altitudine annuli, tangent lineas diui$ionis tabulæ æneæ, & cadent perpendiculariter $uper tabulam {ae}neam. Sit autem $uperficies tabul{ae} {ae}ne{ae} diui$a ex parte faciei ALHAZEN annuli diui$æ. Amplius: in exteriore planitudine annuli $ignetur punctus, à longitudine duorum digitorum: & po$ito pede circini $uper punctum $ignatum, fiat circulus, $ecundum quantitatem u- nius grani hordei, & in$trumento ferreo, cuius $imiliter latitudo $it quantitas unius grani hordei, perforetur foramine columnari: & baculus ligneus foramini aptetur: qui quidem cum tran$ierit ad interiorem concauitatem, tanget tabulæ æne{ae} $uperficiem. Pari modo $uper $ingulas exterioris al- titudinis perpendiculares $imilia & æqualia efficiantur foramina, in quantitate & altitudine. De- inde $umatur tabula lignea quadrata, cuius latus $it æquale diametro annuli, & protrahatur in eius $uperficie linea diuidens per medium quadratum, æquidi$tans lateribus. Et ab una parte $umatur longitudo duorum digitorum, & fiat $ignum: & pò$t $umatur longitudo $emidiametri minoris cir- culi tabulæ æneæ, & po$ito pede circini, fiat circulus tran$iens per $ignum: qui quidem circulus e- rit æqualis minori circulo tabulæ æneæ & concauitati annuli. Deinde $upra centrum huius circu- li $umatur longitudo duorum digitorum, & infra centrum $imiliter: & $ignentur puncta ab utro- que in utranque partem: & protrahatur linea æquidi$tans lateribus quadrati: & in utraq; harum linearum $ignetur longitudo duorum digitorum, ex utraq; parte puncti $ignati: & à punctis unius lineæ $ignatis protrahantur line{ae} æquidi$tantes ad puncta alterius line{ae} $ignata: & fiat quadratum quatuor digitorum. Cauetur po$tea hoc quadratum, $ecundum altitudinem unius digiti, & conca- uationis latera efficiantur plana, & orthogonalia, & fundus $imiliter planus. Deinde aptetur hæc tabula faciei annuli, ita ut circulus minor applicetur foramini eius, & extremitas eius extremitati: & firmetur hæc applicatio cum clauis, ut immota maneat tabula. Notandum uerò, quòd in omni- bus prædictis, dictorum digitorum men$ura certa debet e$$e & determinata: & ob hoc in linea ali- qua fiat immutabili, ne ex mutatione men$ur{ae} error accidat. Amplius: fiat columna ferrea conca- ua, plana, aliquantulum $pi$$a, ut $tatim intret, nec immutari queat: & $it quantitas diametri circuli eius unius grani hordei: & ponatur columna in foraminibus: qu{ae} quidem cum ad interiora annuli peruenerit: continget lineas in tabula ænea factas. Et erit operis eius complementum, $i linea ta- bul{ae} æne{ae} contingat circulum column{ae} in puncto lineæ altitudinis annuli, perpendicularis $uper tabulam æneam, & tran$euntis per centrum circuli column{ae}. Fiat autem in capite columnæ annu- lus aut repagulum, quod non permittat columnam intrare, ni$i ad locum determinatum. Sit autem huius longitudinis columna, ut procedens $uper tabulam æneam, attingat lineam æquidi$tantem diametro tabulæ, intra quam facta e$t $ectio. Et hæc e$t linea illa æquidi$tans ba$i trianguli ta- bulæ æneæ.

8. Fabricatio $eptem $peculorum regularium. 8 p 5.

AMplius: fabricentur $eptem $pecula ferrea, quorum unum planum: duo $phærica, unum con cauum intrà politum, aliud extrà: duo pyramidalia, unum politum in facie, aliud in conca- uitate: duo columnaria, unum concauum, aliud in $uperficie politum. Speculum autem pla num $it circulare: & $it eius diameter trium digitorum. Speculum columnare politum in $uperficie $it lucidum, & perfectè politum: & $it diameter circuli longitudinis $ex digitorum, qui circulus e$t ba$is eius. Longitudo autem column{ae} $it trium digitorum. In ba$i column{ae} $umatur chorda longi- tudinis trium digitorum: $imiliter in ba$i eiu$dem column{ae} oppo$ita $umatur huic æqualis chor- da, & ei oppo$ita, ut line{ae} à capitibus unius chord{ae} ad capita alteri- p k c z q x y b us product{ae}, $intrect{ae}. Et $ecetur hæc columna $ecundum harum li- nearum proce$$um, ut re$tet nobis pars column{ae}, cuius capita $int portiones chordarum: altitudo autem axis remanentis portionis minor, quàm altitudo dimidij digiti. Axem autem dico lineã à me- dio puncto arcus, ad mediũ chord{ae} punctũ productã. Column{ae} aũt cõcau{ae} longitudo $it triũ digitorũ, & diameter ba$is eius $ex digito- rum: & in ea $umatur chorda trium digitorum, & $iat $ectio, $icut in prima: & erit altitudo axis partis remanentis minor, quàm altitudo dimidij digiti. Sit autem in his omnibus politura exqui$ita, & æqua- litas omnimoda. In $peculo pyramidali qu{ae}ratur diameter ba$is: cu- ius quantitas $it $ex digitorũ, & chorda trium: & longitudo quatuor digitorum & dimidij: & fiat $ectio $ecũdum lineas rectas: & axis por- tionis altitudo $it minor quàm altitudo dimidij digiti. Et hæc in utraque pyramidali intellige. Speculum $ph{ae}ricum $it portio $ph{ae}- r{ae}, cuius diameter $it $ex digitorum, & diameter ba$is huius $pecu- li trium digitorum: & erit axis altitudo minor quàm altitudo dimi- dij digiti. Idem operare in $peculo $ph{ae}rico concauo. Deinde fa- cias $eptem regulas ligneas planas, quarum latera $int æquidi$tan- tia & orthogonalia, $uper capita æquidi$tantia in fine po$sibilita- tis: & $it longitudo regularum $ex digitorum, latitudo quatuor. Po$tea quadrato adaptetur ali- qua regularum, ita ut orthogonaliter cadat$uper inferiorem concaui quadrati $uperficiem, & ui- de, ut facile intret quadratum: ne compre$$a immutetur. Cadat igitur $uper faciem lateris re- gul{ae} acumen tabul{ae} {ae}ne{ae}, & ubi continuabitur ei, fiat $ignum: & à puncto a$signato produca- tur in extremitates regul{ae}, linea æquidi$tans lateribus regulæ, ut $it linea illa, linea longitudinis OPTICAE LIBER IIII. regulæ. Deinceps in longiore parte illius lineæ circa punctum $umptum, $umatur altitudo me- dij grani hordei, & fiat punctum. Dico quod illud e$t punctum medium regulæ, quod etiam cen- tris foraminum opponitur rectè. Quoniam enim centra foraminum elongantur $uper $uperfi- ciem tabulæ æneæ, in medij grani quantitate, & di$tant à $uperficie annuli per duos digitos: lgi- tur punctum illud di$tat ab eadem per duos digitos, & in quadrato concauo per digitum unum. Quare ab extremitatibus regulæ ad punctũ $unt tres digiti. Quare punctũ illud erit mediũ. Super hoc mediũ punctum producatur in utrãq; part\~e linea, $ecundũ latitudin\~e æquidi$tans extremιtati- bus: & medietates lineæ longitudinis ($uper quam e$t hæc perpendicularis) diuidãtur per æqua- lia, per lineas latitudinis perpendiculares extremitatibus æquidi$tantes. Et ita diui$a erit regula in quatuor æquales partes. Similis fiat in alijs regulis operatio.

9. Sit{us} & collocatio $peculorum regulariũ in reflexion{is} organo.10.12.13.14.15.16.17 p 5.

HIs completis, adaptetur $peculum planũ uni regularum: & e$t: ut $it regula cauata $ecundũ altitudinem $peculi, ita ut $uperficies $peculi $it in eadem $uperficie cũ $uperficie regulæ: & ita, ut medium $uperficiei $peculi punctũ, directè $upponatur medio $uperficiei regulæ pun cto: & ita, ut linea diuidens $uperfici\~e regul{ae} in duo æqualia: diuidat etiã $uperficiem $peculiper {ae}- qualia, & ut cõtinuentur partes $peculi cũ linea diuidente: & hoc ob$eruetur in po$sibilitatis fine. Deinde $peculum columnare politũ in facie applicetur alicui regulæ ita, ut mediũ punctũ eius ca- dat $uper mediũ regulæ punctũ, & ita, ut linea in longitudine $peculi $umpta, diuidens ip$um per æqualia, cõtinuetur cũ partibus lineæ lõgitudinis $uperficiei regulæ æ què diuidenti, & ut media longitudinis $peculi linea $it in $uperficie regul{ae}. Et hoc $ic fieri poterit. Vtriu$q; ba$is $peculi arcus per æqualia diuidantur, & à puncto diui$ionis $ignato ad oppo$itũ $ignatum punctũ linea produca tur, & line{ae} mediæ longitudinis aptetur & cõtinuetur. Speculũ columnare concauũ aptetur regu- læ, ut media lõgitudinis eius linea $ecundũ æ qual\~e ba$ium arcuum diui$ion\~e $umpta, æquidi$tãs $it line æ mediæ longitudinis regulæ: & etiã ut utriu$q, arcus chord{ae} cũ lineæ lõgitudinis extremis $int in $uperficie regulæ. Pyramidale $peculũ extrà politũ applicetur regulæ, ut acumen eius $it in termino line æ mediæ lõgitudinis regulæ, & linea diuidens portion\~e pyramidalis per æ qua, qu{ae} $ci licet à uertice ad medium arcus ba$is punctũ producitur, $it in $uperficie continuata cum parte re- $tante line{ae} mediæ, longitudinis regulæ. Speculum pyramidale concauum applicetur regul{ae} ita, ut acumen eius $it in directo mediæ lineæ longitudinis regulæ, chorda uerò arcus ba$is $it in $uperfi- cie regulæ, & linea à uertice ad medium arcus ba$is punctum ducta, $it æ quidi$tans mediæ lineæ longitudinis regulæ. Cum autem longitudo pyramidis $it quatuor digitorum & dimidij: re$tabũt ex longitudine regulæ digitus & dimidius. Ad aptandum regulæ $peculum $phæricum extrà poli- tum: fiat in regula circulus $ecundum quantitatem trium digitorum: eius centrum $it medium re- gulæ punctum: & aptetur $peculum, ut medium $uperficiei eius punctum $it in $uperficie regulæ, & in medio puncto mediæ lineæ longitudinis regulæ: quod quid\~e $ciri poterit per application em alterius regulæ acutæ, æ qualis huic in longitudine, & diui$æ per æ qualitatem, & applicat{ae} mediæ lineæ longitudinis regulæ, ita ut medium huius regulæ acutæ punctum, tangat medium $peculi $phærici punctum. Sph{ae}ricum concauum aptatur: facto in regula circulo $ecundum quantitatem trium digitorum, cuius centrum medium regulæ punctum: Cauato circulo imponatur ita, ut circu lus ba$is $peculi $it in $uperficie regulæ, & punctum medium concauitatis $peculi, $it directè oppo- $itũ medio regulæ puncto, & diameter ba$is $peculi continuetur mediæ lineæ regul{ae}: Quæita per- pendetur. In regula acuta punctũ $ignetur: & ab illo puncto lõgitudo $emidiametri ba$is $peculi no retur ex utra que parte, & ita hæc acuta regula mediæ lineæ regulæ applicetur, ut punctum $ignatũ in ea, directè opponatur medio cõcauitatis $peculi puncto, & diameter in ea facta $imul $it cum ba- fis diametro. His peractis in $emidiametro tabulæ æneæ triangulum per æqualia diuidente: $igne- tur ab acumine eius longitudo, æqualis axi huius $peculi concaui, & fiat punctum. Axis autem $ic digno$citur. Regula acuta $uperficiei $peculi applicetur, ut acuitas directè $it $uper mediam longi- tudinis lineam, puncto eius $uper medium concaui $peculi punctum directè $tatuto: deinde acus recta & $ubtilis $uper illud regulæ acutæ punctum perpendiculariter cadat in $peculum: de$cen- det quidem $uper medium concaui punctum: $ignetur autem in acu punctum, quod po$t $uum de$c\~e$um tangat concauitas regulæ: & $it modicum declinata regula, ut certius po$sit fieri in acu $ignum. Po$tea $ecun dum longitudinem acus à puncto $ignato in ea, metire ab acumine tabulæ æ- neæ in linea triangulum diuidente, & fac punctum. Deinceps hanc regulam facias intrare quadra- tum concauum, ita ut acumen tabulæ æneæ de$cendat $upra $peculum, & adhibeatur regula acu- ta, ut $ignetur punctum in linea diuidente triangulum, quod tetigerit ex ea regula acuta, cum a- cumen trianguli de$eenderit u$que ad $uperficiem concaui: Signa igitur punctum: hoc uerò $e- cundum punctum minus di$tabit ab acumine quàm primum. Superficies enim tabulæ æneæ di- $tat à $uperficie annuli $iue tabulæ, in qua e$t quadratum concauum, per duos digitos minus me- dietate grani hordei: punctum autem medium regulæ directè e$t oppo$itum medio $peculi conca- ui puncto: quod quidem di$tat ab eadem $uperficie tabulæ per duos digitos. Cum ergo acumen ta- bul{ae} orthogonaliter de$cendat: nõ cadet $uper mediũ cõcaui punctũ, quod e$t terminus axis, $ed in punctũ altius. Quare patet propo$itũ. Signetur uerò in $peculo cõcauo pũctũ, in q<001> incidit acum\~e tabulæ æneæ, & extracto in pũcto illo foramine, orthogonaliter de$c\~ed\~ete & modico, ad hãc quid\~e ALHAZEN men$uram, ut in eo de$cendat acumen: donec acuitas lineæ adhibitæ, cõtingat punctũ lineæ diui- dentis triangulum primò $ignatũ: quod cum fuerit: erit quidem acumen tabulæ æneæ in eadem $u perficie cũ termino axis $peculi: quæ $uperficies e$t æquidi$tãs $uperficiei regul{ae}: & erit linea à ter- mino axis ad acumen ducta, perpendicularis $uper $uperfici\~e tabulæ æneæ. Axis aũt $peculi in ea- dem erit $uperficie cũ centris foraminũ: quoniam di$tantia eorũ à $uperficie annuli duorum e$t di- gitorum, & terminus axis $imiliter. His cum diligentia præparatis, poterit uĩderi, quod {pro}mi$imus.

10. Radi{us} $peculo plano obliqu{us}, in oppo$itam partem reflectitur: & æquat angulos inci- dentiæ & reflexion{is}. 10 p 5.

IMmittatur annulo regula, $uper quã e$t $peculum planũ, donec acumen tabulæ æneæ cadat $u- per $peculũ, & $it infixa regula quadrato concauo: & in eo $ubtus regulã aliquid appo\‘natur, q<001> ei cõferat firmitat\~e, ne uacillet: deinde opponatur pergamenũ foraminibus, & cũ digito fiat im pre$sio, ut obturentur, & impre$sion\~e percipere po$sis, & $ignum foraminis fiat in pergameno cũ in cau$to uel aliquo alio: Vnum autem foraminum relinquatur apertum, declinatũ non $uper me- diam regulam, & adhibeatur radio $olis foramen apertum: certior autem erit huius rei comprehen $io, $i adhibeatur radio $olis per foramen domus intranti. Cum igitur radius foram\~e intrans ad $pe culum peruenerit, uidebis ip$um reflecti ad foramen illud, re$piciens $uper lineam tabulæ æne{ae} æ- qualem angulum continentem cum linea triangulum per æqua diuidente, ei angulo, quem tenet li nea à foramine di$cooperto cum eadem tabulæ $emidiametro. Siuerò foram\~e, in quod fit reflexio, di$coopertum opponas radio, priore cooperto: uidebis radium reflecti in coopertum. Si uerò fora mini imponatur columna ferrea concaua, quam ad quantitatem foraminum fieri pr{ae}cepimus: qu{ae} ut firmius $tet, modicum ceræ circa eam apponatur: de$cendet lux per columnæ concauitatem, $i- cut de$cendit per foramen, & reflectetur in foramen $ibi re$pondens, & $uper lineas tabulæ æneæ erit de$cen$us & reflexio pari modo, ut prius. Et $i ad $ecundum foramen columnã tran$tulerimus: in primum lucem reflexam uidebimus. Erit autem debilior lux per columnam de$cendens, quàm $ine columna per foramen. Erit autem uιdere eundem reflectendi modum in debiliore luce. Obtu retur foramen cum cera, ut modicum circa centrum ei re$tet uacuum: & uidebitur lucis reflexio in foramine $imili circa centrum. Pari modo, $i concauitatem columnæ cum cera obturaueris, ut re- maneat qua$i terminus $olius axis: de$cen det lux $uper axem columnæ, & reflectetur ad centrum foraminis $imilis. Eodem modo altera columna impo$ita, cũ de$cen derit lux $uper axem unius fo- raminis: reflectetur $uper axem $imilis. Centrum enim foraminis directè axi opponitur: & cũ lucis reflexio cadat in centrũ, nec moueatur, ni$i per lineam rectã, oportet, ut procedat $ecundum axem.

11. Radi{us} $peculo perpendicular{is}, reflectitur in $eip$um. 11.12 p 5.

OBturatis autem foraminibus $ingulis, præter medium, quod directè $uper tabulam æneam incidit: fiat baculus columnaris ad quantitat\~e foraminis, & extremitas eius acuatur, ut re- maneat $olus terminus axis eius, & de$c\~edat per foramen ad $peculũ, & $ignetur punctum, in quod ceciderit: deinde de$cen dat radius $olis per foramen illud: cadet quid\~e $uper punctũ $igna tum, & circa ip$um efficiet circulum. Signetur igitur in fine huius lucis circularis punctũ, & $ecun- dum quantitat\~e lineæ interiacentis puncta $ignata, fiat circulus: erit quid\~e circulus i$te maior circu lo foraminis: quoniam proce$$us lucis perforamen ingredientis, e$t per modum pyramidis. Vnde palàm, quòd lux de$cendens per axem, reflectitur $uper eundem. Veruntamen apparebit lux circu laris circa ba$im interiorem foraminis, maioris quidem capacitatis luce incidente uel radio, & ma- ioris etiã lucis, interioris lucis circulo: & palã e$t, hãc luc\~e e$$e per reflexion\~e: uerùm nõ per reflexi onem lucis $uper axem de$cendentis: quod ex hoc poterit patére. Obturata utraq; foraminis ba$i, ut qua$i $ola remaneat axis uia, & radio $olis per uiam axis de$cendente: nõ apparebit lux illa circu laris, circa interior\~e ba$im foraminis. Quare nõ procedebat ex reflexa lúcis axe. Amplius: ut $uprà quid\~e $uppo$uimus, ut regula orthogonaliter caderet in quadratũ concauũ; $i aliquantulũ inde au feratur, ut regula declinetur, ita, ut extremitas à quadrato remotior, $it demi$sior radio de$cen- dente $uper foramen mediũ: non cadet perpen diculariter $uper $peculũ: & apparebit lux reflexa à foramine medio remota: & quantò maior erit declinatio, tantò maior erit lucis reflexæ à foramine remotio. Si uerò ad rectitudin\~e regula reducatur, lux reflexa circa interior\~e foraminis ba$im, ut pri us, uidebitur. Palã igitur, quòd luce $uper $peculũ perpendiculariter cad\~ete, regreditur ad foram\~e, per quod ingre$$a e$t. Cũ uerò lux axis declinata ceciderit, nõ reflectetur ad foramen, per quod in- gre$$a e$t, $ed tam\~e apparebit centrum lucis $emper $uper lineam $uperficiei concauæ annuli, per- pendicularem $uper tabulam æneam, & de$cendentem per centrum foraminis medij. Quæcun- que autem dicta $unt in duobus foraminibus primis declinatis: intellige in $ingulis: & quod dictũ e$t in $peculo plano, de luce per foramen $eu declinatum $eu medium de$cendente: regula $eu recta $eu declanata: in alijs $peculis intellige.

12. In $pecul{is}, conuex{is}, cau{is}: $phærico, conico cylindraceo, anguli incidentiæ & reflexio- n{is} æquantur. 12.13.14.15.16.17.20 p 5.

SIaut\~e regula, in qua fuerit $peculũ columnare extrà politũ, declinetur in quadrato, ita ut non orthogonaliter cadat $uper quadratum, $ed declinetur $uper partem dextram uel $ini$tram: OPTICAE LIBER IIII. @pparebit tamen lux reflecti $uper foramen, $imile eius de$cen$ui, & medium lucis $uper medium foraminis, $icut ui$um e$t in regula non declinata. Regulam, in qua $itum e$t columnare concauum, impones, ut de$cendat acumen tabulæ æneæ, donec tangat $uperficiem $peculi: & declinabis hoc $peculum $ecundum latus $uum, $icut declina$ti extrà politum. Idem in $peculis pyramidalibus con cauis operaberis. Sphæricum concauũ aptetur, donec de$cendat acumen tabulæ æneæ in foramen $peculi, factum $ecundum acuminis de$cen$um. Sphæricum extrà politum $ic imponatur, ut acu- men tabulæ æneæ $it in $uperficie regulæ, & in eadem $uperficie cum medio $peculi puncto: quod $ic fieri poterit. Adhibeatur regula acuta regul{ae}, & puncto $peculi medio, & de$cendat acumen tabu læ æneæ, quou$q; $it in directo acuitatis regulæ: & tunc cogatur $i$tere. In $peculis columnaribus ui debis reflexionem hoc modo. Aptetur $peculum, $icut dictum e$t: & per foramen medium de$cen- dat baculus columnaris, $icut factũ e$t in $peculis planis: Cadet quidem baculus $uper mediam lon gitudinis $peculi lineam, & erit eius terminus in $uperficie regul{ae}. Super mediam igitur lineã $igne- tur punctum, in quod cadit: & ab hoc puncto in $uperficie regulæ $umatur longitudo $emidiametri circuli facti in regula, ad di$cernendum circularem lucis ca$um: & ex alia parte puncti $umatur lon- gitudo eadem, & habebitur linea æqualis diametro prædicti circuli. Videbitur autem lux cadens, extendi $uper præd ctam lineam tantùm, & reflectetur ad foramen medium: & circa eius ba$im in- teriorem uidebitur lux circularis maior circulo interiori, $icut in $peculis planis ui$um e$t. Idem in $peculis pyramidalibus uidere poteris. Pari modo in $peculis $phæricis, luce per foramen mediũ de$cendente: fiat circulus in $uperficie regulæ ad quantitatem circuli iam dicti: & uidebitur lux ex- tendi $uper hunc circulum, & reflecti ad foramen medium modo iam dicto. Et apparebit in his o- mnibus rectis reflexionibus, linea perpendicularis in interiore $uperficie annuli $ecare luc\~e circu- larem reflexam, & diuidere circulum eius per medium. Quod autem dictum e$t de luce naturali: ui- deri poterit in luce accidentali. Domus unici foraminis opponatur parieti, in quem de$cendit ra- dius $olis, & applicetur in$trumentum foramini. Cum ergo intrauerit lux accidentalis per foramen non medium, uidebitur reflecti per eius oppo$itum: & $i aptetur in$trumentum, utintret per duo foramina, reflectetur per duo $imilia. Verùm ut po$sis perpendere lucem, cum intrauerit directè: appone $uperius pergamenum album, & inclina in$trumentum, donec uideas locem cadentem $u- per pergamenum: in $peculis enim non plenè comprehenditur lucis accidentalis ca$us, propter de- bilitat\~e eius. Idem autem in hac luce patebit, quod in naturali patuit: non enim e$t diuer$itas in ea- rum natura, ni$i quòd una'fortis e$t, & alia debilis. Palàm ergo, quòd luces per diuer$as lineas ad $pe cula accedentes, per diuer$as reflectuntur lineas: & quòd $ecundum rectam perpendicularem in- cidentes, $ecundum eandem regrediuntur: & quòd declinatio linearũ reflexionis, e$t æqualis decli nationi linearum acce$$us.

13. Superficies reflexion{is} e$t perpendicular{is} plano $peculum in reflexion{is} puncto tan- genti. 25 p 5.

ET planũ, quòd lineæ lucis reflexæ & aduenientis, $unt in eadem $uperficie orthogonali $uper $uperficiem politi, aut $uperficiem contingentem punctum politi, a quo fit reflexio: & $i lux $u per perpendicularem uenerit, reflectitur $uper perpendicularem: & in quodcunq; punctum ceciderit, reflectitur in $uperficie perpendiculari, $uper $uperficiem tangentem illud punctum: & $emper linea reflexa cum perpendiculari $uper illud punctum, æqualem tenet angulum, angulo, quem includit linea ueniens cum eadem perpendiculari. Et huius rei probatio e$t. Quia palàm [per 10.11.12.n] quòd $i de$cendat lux quæcunq; per foramen aliquod: reflectitur per aliud ip$um re$pi- ciens: & $i con$trin gatur foramen, ut re$tet qua$i $olus axis: reflectitur per axem re$picientis: & $i fiat alteratio de$cen$us lucis: reflectitur per lineas, per quas prius de$cenderat. Et palàm [ex in$tru- menti reflexionis cõ$tructione] quòd foramina $e re$picientia eundem habent $itum, re$pectu me- dij. Et cum non procedat lux, ni$i per rectas lineas: palam, quòd reflectitur per lineas eiu$dem $itus, re$pectu medij foraminis, cum lineis de$cen$us: Vnde cũ accedit per orthogonal\~e, per eam reflecti- tur $olam. Quare $emper lineæ reflexionis eundem $eruant $itum cum lineis de$cen$us, re$pectu $u- perficiei contingentis punctum reflexionis. Et hoc uerum e$t $iue in $ub$tantiali $iue in accidenta- li luce, $iue forti $iue debili: & generaliter in omni. Et nos o$tendemus identitat\~e $itus. Iam $cimus, quòd $uperficies regulæ cadit $uper tabulam, in qua quadratum fecimus, orthogonaliter. Igitur li- nea media tabulæ quadrati orthogonalis e$t $uper lineam communem $ectioni ip$ius & regulæ, & $uper lineam latitudinis regulæ: Et tabula quadrati æquidi$tat æneæ tabulæ, & linea eius, id e$t, ta- bulæ quadratæ concauæ media, æquidi$tat lineæ mediæ tabulæ æneæ, qu{ae} e$t linea à centro tabu- læ æneæ producta, & diuidens $emicirculum per æqualia. Linea autem comunis $uperficιei tabul{ae} æneæ & $uperficiei regulæ, in qua e$t linea latitudinis, e$t æquidi$tãs lineæ communi concau{ae} tabu læ & regulæ [per 28 p 1: linea enim longitudinis regulæ rectè $ecat latitudinis lineas.] Quare linea media tabulæ æneæ cadet perpendiculariter $uper lineam cõmunem regulæ & tabul{ae} æneæ. Et re- gula perpendicularis e$t $uper $uperficiem quadrati, & $uperficies quadrati æquidi$tans $uperficiei tabulæ æne{ae} Quare $uperficies tabul{ae} æne{ae} orthogonalis e$t $uper $uperficiem regul{ae}: & linea me- dia latitudinis regul{ae}, e$t perpendicularis $uper mediam longitudinis regulæ lineam: & $imiliter li- nea media tabul{ae} æne{ae}, e$t perpendicularis $uper eand\~e. Et ita media linea tabul{ae} æneæ e$t perpen dicularis $uper $uperficiem regulæ, & $uper mediam longitudinis eius lineam: E$t ergo perpendicu ALHAZEN laris $uper $uperfici\~e $peculi plani, & $uper mediã longitudinis eius lineã. Amplius: $uperficies tabu læ æne{ae} e$t æquidi$tans $uperficiei de$cendenti per centra foraminũ. Nam longitudo centrorũ à $u perficie tabul{ae} æne{ae} e$t eadem, id e$t medietatis unius grani hordei, & diameter foraminis e$t unius grani hordei: $imiliter latitudo $uperficiei columnæ e$t unius grani: & $uperficies de$cendens per centra foraminum, $ecat columnã per medium: & ita axis columnæ e$t in $uperficie illa. Et columna de$cen$u $uo tangit lineã in tabula ænea, cui quid\~e æquidi$tat axis: quoniã axis e$t æquidi$tans cuili bet line{ae} $uperficiei columnæ. Et axis colũnæ cadit in punctũ $uperficiei regulæ, à quo puncto linea ducta ad centrum tabul{ae} æne{ae}, e$t perpendicularis $uper tabulam æneam: quoniam per quodcunq; foramen de$cendat columna: axis eius cadit $uper mediã longitudinis regulæ lineam: & linea pro- tracta à puncto regulæ, in quod cadit axis per centra foraminum, e$t æ quidi$tans line{ae} protractæ à centro tabul{ae} æne{ae} ad terminum diametri foraminis: [per 33 p 1] quoniam linea inter punctum il- lud & centrum e$t orthogonalis $uper $uperficiem tabul{ae} æne{ae}, cum $it pars line{ae} medi{ae} longitudi- nis regul{ae}: & huic line{ae} interiacenti centrum tabul{ae} æne{ae} & punctum, e$t æquidι$tans linea annuli, tran$i\~es per centra foraminũ, & perpendiculariter cad\~es $uper $uperficiem tabul{ae} æne{ae} [per 6 p 11: Vtraq; enim linea ad perpendiculum e$t tabul{ae} æne{ae}.] Quare æquidi$tantes erunt line{ae} cadentes à puncto regul{ae} ad centra foraminũ, lineis à tabulæ æne{ae} centro, ad terminos diametrorũ eorundem foraminũ in $uperficie tabul{ae} ductis. Pari modo in $ingulis foraminibus. Quare line{ae} à puncto regu læ, in quod cadιt axis, product{ae} ad centrũ duorum foraminũ $e re$picientiũ, æquidi$tantes duabus lineis, à centro tabul{ae} æne{ae} ad extremitates diametrorũ eorundem foraminũ protractis, æqualem cum his lineis tenent angulũ [per 10 p 11.] Et $i à termino axis erigatur linea ad centrũ foraminis: erit in $uperficie per centrum de$cendente, & erit æquidi$tans medi{ae} line{ae} tabul{ae} æne{ae}: [per 6 p 11] quoniã lιnea inferior interiacens capita earũ, e$t perpendicularis $uper tabulam æneam, & æqualis $uperiori ead\~e capita interiacenti, & $uper tabulã æneã perpendiculari: & e$t æquidi$tans ei. Et $imi liter linea à centro foraminis medij ad terminũ axis colũn{ae}, e$t æquidi$tãs medi{ae} line{ae} tabul{ae} æne{ae}: & e$t illa perpendicularis $uper regulã: quare & i$ta [per 8 p 11.] Igitur h{ae}c linea & altera an gulũ cõti nentes, æquidi$tant medi{ae} line{ae} tabul{ae} æne{ae}, & alteri lineæ in tabula ænea reliquũ angulũ cõtinen- ti. Quare anguli partiales $ibi oppo$iti $unt æquales [per 10 p 11.] Igitur linea tabulæ æne{ae} media di- uidit angulum $uum per æqualia. Quare linea à centro foraminis medij, diuidit angulum $uum per æqualia. Et cum certum $it, quòd lux foramen declinatum intrans per illas lineas angulũ continen- tes moueatur: planũ, quòd lux omnis reflectitur per lineas, qu{ae} cum lineis de$cen$us $unt in $uper- ficie orthogonali $uper $uperficiem reflexionis, & angulum æqualem facientes cum linea perpen- diculari, angulo, qu\~e continet perpendicularis cum lineis de$c\~e$us: & quòd lux perpendiculariter de$cendens: reflectitur per perpendicularem Et hoc generale e$t in omni luce. Si aũt declinetur re gula, non in latus $uũ, $ed in caput, ut axis foraminis medij non $it perpendicularis $uper regulã: re- flectetur lux, & uidebitur $uper lineam altitudinis annuli perpendicular\~e, & per centrum foraminis tran$eunt\~e: & quantò maior fuerit declinatio, tantò maior erit lucis reflexæ à foramine uel axe elon gatio: & $i diminuatur declinatio, diminuetur elongatiò: & ita, donec $itus regulæ ad rectitudin\~e re- grediatur, & $uper perpendicular\~e illã reflectatur lux. Quòd aũt in hac declinatione axis foraminis medij & linea reflexionis, $int in eadem $uperficie orthogonali $uper $uperficiem reflexionis, planũ per hoc. Quoniã enim axis foraminis medij e$t perpendicularis $uper latitudin\~e regulæ, id e$t $uper lineã commun\~e $uperficiei regul{ae}, & $uperficiei per centra foraminũ de$cendentis, & media linea ta bul{ae}, $cilicet annuli, e$t æquidi$tãs huic axi, & æquidi$tans medi{ae} lineæ tabulæ æne{ae}, & media linea tabul{ae} æne{ae} e$t perpendicularis $uper latitudin\~e regul{ae}, & $uper lineã cõmunem $uperficiei regul{ae}, & $uperficiei tabul{ae} æne{ae}. Quare $uperficies, in qua $unt, media linea tabul{ae} æne{ae}, & axis foraminis medij, etiã orthogonalis e$t $uper $uperficiem regul{ae}: & in hac $uperficie e$t linea perpendicularis in altitudine annuli: [per 7 p 11] quoniã tran$it per terminos æquidi$tantium, $cilicet medi{ae} tabul{ae} æne{ae} & axis foraminis medij. Palàm igitur, quòd lux reflexa, qu{ae} apparet in perpendiculari altitudi nis annuli, reflectitur per lineam, qu{ae} cum axe, per quem fit de$cen$us, e$t in $uperficie orthogonali $uper $uperficiem regul{ae}. Luce ergo de$cendente in $peculum planum, fit reflexio $ecundũ lineas, quarũ eadem declinatio $uper $uperficiem $peculi: & ip${ae} $unt cum perpendiculari in $uperficie or- thogonali $uper $peculi $uperficiem. In $peculo columnari exteriori ead\~e penitus probatio, qu{ae} e$t in plano: $cilicet quòd acum\~e tabul{ae} æne{ae} cadat $uper lineam longitudinis $peculi orthogonaliter: & $imiliter colũna de$cen d\~es $uper eand\~e: & pars illius line{ae} inter hos ca$us e$t orthogonalis $uper tabulã æneam. Et $emper, $iue per foram\~e mediũ, $iue per declinatũ de$cen derit lux: reflexio eius cũ de$cen$u erit in eadem $uperficie, orthogonali $uper $uperficiem contingent\~e lineam longitudinis $peculi. In pyramidali uero exteriori, cum $uperficies regulæ $it in eadem $uperficie cum linea longi tudinis pyramidis, $icut in columnari: erit idem $itus linearũ $uperficiei, & idem reflexionis modus, $icut in plano $peculo, & eadem penitus probatio. In $peculo columnari concauo de$c\~edit acumen tabulæ æne{ae} u$q; ad lineam longitudinis eius mediam, & $uper eand\~e cadit axis cuiu$q; foraminis: & pars illius line{ae} inter hos ca$us e$t orthogonalis $uper $uperfici\~e tabul{ae} æne{ae}: & axis foraminis, & media linea tabul{ae} æneæ, $unt orthogonales $uper $uperficiem, tangent\~e $peculum illud in linea longitudinis (qu{ae} e$t locus reflexionis) & æquidi$tant\~e $uperficiei regul{ae}. Et ita id\~e modus proban di, qui prius: quòd $cilicet reflexio & de$cen$us $int in ead\~e $uperficie, orthogonali $uper $uperfici\~e loci reflexionis: & quòd eiu$d\~e $int declinationis: & quòd de$cen$us per mediũ, efficit reflexionem OPTICAE LIBER IIII. per ip$um: & declinato capite regulæ: erit reflexio $uper perpendicular\~e annuli, $icut dictũ e$t in pla no. In $peculo pyramidali concauo ead\~e in omnibus probatio. In $peculo $ph{ae}rico exteriori palàm, quòd mediũ eius punctũ e$t in $uperficie regulæ, & axis cadit in punctũ illud: & erit in eo id\~e $itus li nearum & aliorũ penitus, qui in plano: & eadem demon$tratio. In $peculo $phærico cõcauo iam de- claratum e$t, [9 n] quòd axis foraminis de$cendat ad punctum eius mediũ, & acumen tabulæ æne{ae} tran$eat per foram\~e in $peculo iam factũ, u$q; dum $it in eadem $uperficie cum puncto illo medio: & linea à puncto illo ad acumen protracta, e$t æquidi$tans mediæ line{ae} longitudinis regulæ. Et ita de- $cen$us & reflexio $unt in ead\~e $uperficie, orthogonali $uper $uperficiem contingent\~e $peculũ in illo puncto mediò, & æquidi$tant\~e $uperficiei regul{ae}. Et eadem probatio penitus, qu{ae} in alijs. Planũ er- go, quòd omnis lux, in quodcunq; horum $peculorũ ceciderit, reflexio & de$cen$us $unt in ead\~e $u- perficie orthogonali. Hic aũt modus reflexionis non accidit ex proprietate axis uel puncti, in quod cadit: uel foraminis, per quod intrat: uel {pro}prietate $peculi. Accidit enim in quolibet foramine, quæ- cunq; $it lux, & per quamcunq; lineã de$cendat, & in quodcunq; $peculi punctũ cadat. Quoniã quo- cunq; puncto $peculi $umpto, $i lux in ip$um de$cendat, cũ idem $it ei $itus, re$pectu longitudinis $pe culi, & cuicunq; alij: erunt $imiliter ijdem re$pectu linearũ ab eo protractarũ, quæ eiu$d\~e $unt decli- nationis cũ lineis à puncto priore intellectis, $icut puncto priori uel cuicunq; alij. Et generaliter id\~e e$t $itus cuilibet puncto, in quod cadit lux, qui & in priore $umpto, & re$pectu axis & re$pectu acu- minis tabulæ æne{ae}: & eadem in omnibus probatio, & $imilis demon$tratio. Vnde e$t certũ, non e$$e hoc ex proprietate lucis uel figura alicuius $peculi, $ed ex proprietate quadam communi rei politæ & cuilibet luci. Si autem per diuer$a in quodcunq; punctum de$cenderit lux foramina, uidebitur re flexio diuer$a, & angulorum diuer$itas $uo de$cen$ui con$ona: & $ic in omnibus.

14. Inter ui$ibile & $peculũ innumer abiles pyramides fiũt altern{is} ba$ib. & uerticib{us}. 22 p 5.

MAnife$tũ aũt ex $uperioribus [2.3 n] quòd $i corpus politum opponatur corpori lumino$o: cadet in quodlibet punctũ eius lux à quolibet puncto lumino$i: unde $uper quodlibet politi punctũ cadit pyramis, cuius acum\~e in eo, & $uperficies lumino$i e$t ba$is: & à quolibet pun cto lumino$i procedit pyramis, cuius acum\~e in eo, & ba$is $uperficies politi. Si aũt inter lumino$um & politũ intelligatur punctũ aliquod: ueniet quid\~e ad illud punctũ lux lumino$i, in modum pyrami dis, cuius acumen in puncto, & latera huius pyramidis procedentia, u$q; dum cadant in $uperficiem politi, pyramid\~e efficiunt. Vnde in puncto intellecto erunt acumina duarũ pyramidũ, quarũ ba$es $unt $uperficies lumino$i & politi. Et $i ad punctũ quodcũq; intermediũ intelligatur pyramis, cuius ba$is $uperficies politi, & procedant huius pyramidis line{ae}: illud, quod occupabunt ex $uperficie lu mino$i, hoc e$t, à quo procedebat lux ad politũ: erit $ecun dũ duas pyramides, quarũ acumina $unt in puncto intellecto: & quicquid procedit lucis in his duabus pyramidibus, procedit & includitur in duabus primis pyramidibus. Et à lumino$o $ecundũ lineas æquidi$tantes procedit lux ad $peculũ: $ed hæ line{ae} includuntur in duabus primis pyramidibus: & per qua$cũq; lineas mouetur lux ad $pe culũ: ob$eruant line{ae} reflexionis eund\~e penitus $itum, qu\~e habebant lineæ motus lucis. Vnde $i mo ueatur lux per æquidi$tantes, reflectitur per æquidi$tantes: & lux cad\~es in politũ, ad modũ pyrami- dis reflectitur, ob$eruãs modũ eiu$dem pyramidis. Et cũ de$cendit lux à corpore lumino$o per fora men aliquod ad corpus politũ: $i in $uperficie foraminis ex parte lumino$i intelligatur pũctũ, à quo puncto intelligãtur du{ae} pyramides, ba$is unius in lumino$o, alterius in polito: à $ola ba$i pyramidis, cuius lumino$um ba$is: uenit lux ad politũ $uper illud punctũ. Similiter $i in $uperficie foraminis ex parte politi intelligatur punctũ, in quo acumina duarũ pyramidum, unius ad $peculũ, alterius ad lumino$um: à $ola ba$i pyramidis, qu{ae} ba$is e$t in lumino$o, accedit lux ad $peculum $uper hoc pun- ctum: & à parte lumino$i his duabus pyramidibus cõmunis, accedit lux ad part\~e $peculi commun\~e duabus pyramidibus. Venit etiã lux à lumino$o ad $peculũ per lineas {ae}quidi$tãtes: $ed per qua$cũq; accedat: fit reflexio modo prædicto: & quælibet line{ae} reflexionis ob$eruant $itum linearum de$cen $us lucis eas re$picientium: & in omni reflexione ob$eruatur identitas form{ae} lucis, qu{ae} fuerit in po- lito corpore: & hæc deinceps explanabimus explanatione euidenti.

15. Lux à $uperficie polita longinquiore reflexa, trifariam debilitatur.

AMplius: Patuit [4.5 n] quòd lux quanto plus ab ortu $uo elongatur, tantò plus debilitatur: patuit etiã, quòd lux cõtinua fortior e$t di$gregata. Cũ igitur ab aliquo puncto lumino$i pro cedit lux ad $uperfici\~e $peculi in modũ pyramidis, quãto magis elongatur ab illo puncto: tan tò maior erit eius debilitas duplici de cau$$a: & propter elongation\~e ab ortu $uo, & propter di$gre- gation\~e. Cum aũt ab aliquo $peculi puncto reflectitur lux i$ta, fit debilior tripliciter: & propter refle xion\~e, quæ debilitat, & propter elongation\~e à loco reflexionis, & propter di$gregation\~e. Si uerò lux reflexa à $peculo aggregetur in punctũ aliquod: fiet quid\~e fortior propter aggregation\~e, $ed debilita bitur propter reflexion\~e & elongation\~e. Si igitur aggregatio lucis tantũ reddit ei fortitudinis, quan tum $ubtrahunt reflexio & elongatio: erit lux reflexa aggregata eiu$d\~e fortitudinis, cuius e$t in $u- perficie $peculi: $i uerò aggre gatio minus addat fortitudinis, quàm diminuũt illa duo: erit debilior: & $i plus addat, erit fortior. Sumiliter $i à $uperficie lumino$i procedat pyramis ad aliquod punctum $peculi: erit lux proced\~es $ecundum hanc pyramidalitat\~e debilior propter elongation\~e, $ed fortior propter aggregation\~e. Si aũt aggregatio pote$t $uper elongation\~e: erit lux in pũcto $peculi aggrega ta fortior luce unica à lumino$o ueniente per lineã unã: unica dico: quia ad quodlibet punctũ lineæ ALHAZEN ex illis $umptæ uenit etiã pyramis à lumino$o, quæ quid\~e pyramis cum $imilibus excluditur in ha@ con$ideratione. Si uerò elongatio ponderet $uper aggregationem: erit lux puncti politi minor luce $ola unius lineæ $umpta: & $i aggre gatio plus ponderet elongatione: erit fortior. Luces aũt, qu{ae} à lu mino$o ad $peculũ accedunt $uper lineas æquidi$tantes: erunt debiliores, quàm modo alio acceden tes: quoniã debilitat{ae} propter elon gation\~e non aggregantur in $peculũ, $ed in reflexione per lineas æquidi$tantes mouentur: unde per reflexion\~e & elongation\~e debilitantur. Et $i aggregentur in re- flexione: conferetur eis fortitudo comparata ad fortitudinem, quam habuerunt in $peculo, $ecun- dum po$$e aggregans $uper reflexionem & elongationem.

16. Lux & color reflectuntur per line{as} phy$ic{as}, latitudine quadam pr{ae}dit{as}. 3 p 2.6 p 5.

AMplius. Omnis linea, per quã mouetur lux à corpore lumino$o ad corpus oppo$itũ, e$t linea $en$ualis, non $ine latitudine. Lux enim nõ procedit, ni$i à corpore, quoniã non e$t, ni$i in cor pore: $ed in minore luce, quæ $umi pote$t, e$t latitudo, & in linea proce$$us eius e$t latitudo: & in medio illius lineæ $en$ualis, e$t linea intellectualis, & aliæ eius lineæ $unt æquidι$tantes illi. Et $i diuidatur minor ex lucibus: neutra eius pars erit lux, $ed utraq, extinguetur, nec apparebit. Si aũt lux minima doplicetur, aut amplius multiplicetur, & cõpacta per æqualιa diuidatur: erit lux utraq; pars eius: Si uerò per inæqualia fiat diui$io: erit altera pars eius lux, altera minime. Lux aũt minima procedit in minimã corporis partem, quã lux occupare po$sit, & proce$$us eius e$t $ecundum lineã intellectualem, lineæ $en$ualis mediam, & extremitates ei æquidi$tantes. Et cadit lux minima non in punctũ corporis intelligibile, $ed $en$ibile, & reflectitur per lineam $en$ibilem, cuius latitudo e$t æqualis latitudini line{ae} $en$ibilis ueni\~etis. Et $i intelligatur in linea $in$ibili, linea reflexa intellectua lis media: eund\~e habebit $itũ $uper reflexiõis locũ, qu\~e habet linea intelligιbιlis media, line{ae} $en$ibi- lis ueni\~etis. Et qu{ae}libet linea intellectualis in linea reflexa $en$ibili eund\~e penitus ob$eruat $itũ cũ li nea intell gibili alterius line{ae} $en$ibilis, ip$ã re$pici\~ete. Ob$eruatur ergo in omniluce ratio linearũ & punctorũ intellectorũ, licet ab eis aut per ip$as nõ procedat lux: & in hũc modũ erit reflexio lucis.

17. Reflexio luc{is} & color{is} à $uperficie a$per a facta, plerun<005> fugit ui$um. 1 p 5.

AMplius: quare ex politis corporibus, non ex a$peris fiat reflexio: e$t: Quoniã lux, ut diximus, non accedit ad corpus, ni$i per motum citi$simũ, & cum peruenerit ad politũ: eijcit eam po- litum à $e: corpus uerò a$perum non pote$t eam eijcere: quoniã in corpore a$pero $unt pori, quos lux $ubintrat: in polιtis aũt non inuenit poros, nec accidit eiectio hæc, propter corporis forti- tudin\~e uel duriciem, quia uidemus in aqua reflexion\~e: $ed e$t hæc repul$io propria politur{ae}: $icut de natura accidit, quod aliquid poro$um cadens ab alto $uper lapid\~e durum, reuertitur in altũ: & quan tò minor fuerit duricies lapidis, in qu\~e ceciderit, tantò regre$sio cadentis debilior erit: & $emper re greditur cadens uer$us part\~e, à qua proce$sit: Verũ in arena propter eius molliti\~e non fit regre$sio, quæ accidit in corpore duro. Si aũt in poris a$peri corporis $it politio: tamen lux intrans poros nõ reflectitur: & $i eam reflecti acciderit, di$pergitur, & propter di$per$ionem à ui$u nõ percιpitur. Pari modo $i in a$pero corpore partes elatiores fuerint politæ: fiet reflexa di$per$io: & ob hoc occultabi- tur ui$ui. Si uerò eminentia partiũ adeò $it modica, ut eius qua$i $it idem $itus cũ depre$sis: compre- hendetur eius reflexio tan quam in polito, non a$pero, licet minus perfectè.

18. Rad{ij} incidentiæ & reflexion{is}, $it{us} $imilitudine conueniunt. Ita<005> anguli incidentiæ & reflexion{is} æquantur. 20 p 5.

QVare aũt fiat reflexio lucis $ecundum lineam eiu$dem $itus cum linea, per quã accedit ad $pe culũ ip$a lux: e$t: Quoniã lux motu citi$simo mouetur: & quando cadit in $peculũ, nõ recipi tur: $ed ei fixio in corpore illo negatur: & cũ in ea per$eueret adhuc prioris motus uis & na- tura, reflectitur ad part\~e, à qua proce$sit, & $ecundũ lineas eund\~e $itũ cũ prioribus habentes. Huius aũt rei $imile in naturalibus motibus uidere po$$umus, & etiã in accidentalibus. Si corpus $phæricũ pondero$um ab aliqua altitudine de$cendere permittamus perpendiculariter $uper politũ corpus: uide bimus ip$um $uper perpendicular\~e reflecti, per quã de$cenderat. In accidentali motu. Si eleue- tur aliquod $peculum $ecundum aliquã altitudin\~e hominis, & firmiter in pariete figatur: & in acu- mine $agittæ cõ$olidetur corpus $phæricũ: & proijciatur $agitta per arcum in $peculũ hoc modo, ut eleuatio $agitt{ae} $it æqualis eleuationi $peculi, & $it $agitta æquidi$tans horizonti: planũ, quòd $uper perpendicular\~e accedit $agitta ad $peculũ, & uidebitur $uper eand\~e perpendicular\~e eius regre$$us. Si uerò motus $agittæ fuerit $uper lineam declinatã in ip$um, uidebitur reflecti non per lineam, per quam uenerat, $ed per lineam æquidi$tant\~e horizonti, $icut & alia erat, & eiu$d\~e $itus, re$pectu $pe- culi cum ea, & re$pectu' perpendicularis in $peculo. Quòd aũt ex prohibitione corporis politi acci- dat luci motus reflexionis, palàm: quia cum fortior fuerit repul$io uel prohibitio, fortior erit lucis re flexio. Quare aũt accidat idem motus reflexionis & eius acce$$us, hæc e$t ratio. Cum de$cendit cor pus pondero$um $uper perpendicular\~e: repul$io corporis politi, & motus de$cendentis pondero$i directè $ibi $unt oppo$iti, nec e$t ibi motus, ni$i perpendicularis: & prohibitio fit per perpendicula- rem: quare repellitur corpus $ecundum perpendicular\~e. Vnde perpendiculariter regreditur. Cum uerò de$cenderit corpus $uper lineam declinatã: cadit quidem linea de$cen$us inter perpendicula- rem $uperficiei politi, per ip$um politum tran$eunt\~e, & lineam $uperficiei eius orthogonalem $uper OPTICAE LIBER IIII. hanc perpendicular\~e: & $i penetraret motus ultra punctum, in quod cadit, ut liberũ inueniret tran$i tum: caderet quidem hæclinea inter perpendicularem, tran$euntem per politum, & lineam $uperfi- ciei orthogonalem $uper perpendicularem, & ob$eruaret men$uram $itus, re$pectu perpendicularis tran$euntis, & re$pectu lineæ alterius, quæ orthogonalis e$t $uper perpen dicularem illam. Compa- cta e$t enim men$ura $itus huius motus ex $itu ad perpendicularem & $itu ad orthogonalem. Re- pul$io uerò per perpendicularem incedens, cum no po$sit repellere motum $ecundum men$uram, quam habet ad perpen dicularem tran$euntem per politum: quia nec modicum intrat: repellit ergo $ecundum men$uram $itus ad perpendicularem, quam habet ad orthogonalem. Et quando motus regre$sio eadem fuerit men$ura $itus ad orthogonalem, quæ fuit prius ad eandem ex alia parte: erit $imiliter ei eadem men$ura $itus ad perpendicularem tran$euntem, qu{ae} fuit prius. Sed pondero$um corpus in regre$$u, cum finitur repul$ionis motus, ex natura $ua de$cendit, & ad centrũ tendit. Lux autem eandem habens reflectendi naturam, cum ei naturale non $it a$cendere aut de$cendere, mo- uetur in reflexione $ecundum lineam incœptam u$q; ad ob$taculum, quod $i$tere faciat motum. Et hæc e$t cau$$a reflexionis.

19. Colorem luci permi$tum reflecti, reflexion{is} organo ostenditur. 3 p 5.

PAtet etiam ex $uperioribus, quòd colores $imul mouentur cum lucibus: unde erit reflexio co- loris, $icut & lucis. Et $i probation\~e eius uidere uolueris $ecundum modum in parte $ecunda a$signatũ, poteris: Verùm per in$trumentũ ad hanc denotandam reflexion\~e factum, nõ plenè uidebis propter debilitat\~e coloris. Debilitatur enim color per elongation\~e: per reflexion\~e: per fora men, per quod intrat. Quòd aũt foramen debilitet, planũ per hoc: Quia lux apparet maior po$t fora men magnũ, quàm po$t paruũ. Pari modo cũ foramina $tricta $unt: color po$t reflexion\~e aut nullus apparebit, aut ualde modicus. Tamen $i in prædicto in$trumento uidere uolueris: facias $peculũ ar- genteum: in ferreo enim $peculo color apparet debilior: quoniã in reflexione mi$cetur cum luce re- flexa, mixta exluce de$cendente & luce $peculi ferrei modica, & color ferreus colori reflexo mixtus debilitat ip$um. Verùm in domo unici foraminis tantùm, habeatur in$trumentũ prædictum, cui do mui paries opponatur albus; & in$trumentũ foramini domus aptetur: cuius foraminis latitudo $it, ut duo in$trumenti foramina occupare po$sit, per quorũ alterũ in$piciatur paries albus, domui op- po$itus, & parti comprehen$æ parietis apponatur corpus coloris fortis, & per aliud in$trumenti fo- ramen uideatur pars parietis. Cum ergo lux intrauerit per foramina in$trum\~eti: uidebitur color re- flecti per foramen illud re$pici\~es, quod oppo$itum e$t colorato corpori, per aliud minimè: & ita ac- cidet quocunq; oppo$ito corpori foramine. Et quæ dicta $unt in reflexione lucis, con$iderari po- terunt in reflexione coloris. Occupauit autem latitudo foraminis parietis duo in$trumenti fora- mina ei adhibita, ut maior de$cendat in $peculum lux, & melius appareat color reflexus. Et quoniã color debilitatur per foramen directus, & $imiliter reflexus, cum in corpus ceciderit ui$ui oppo$itũ, percipietur $ecundus: unde $i po$t reflexionem cadat in corpus album foramini colorationis adhi- bitum: for$an propter debilitatem non comprehendet eum ui$us: adhibito autem $ecundo ui$u fo- ramini colorationis, for$an comprehendetur: quoniam primus, non $ecundus uidebitur.

QVOÒD COMPREHENSIO FORMARVM È CORPORIBVS politis fiat reflexione. Cap. 1111. 20. Fal$a e$t utra<005> opinio: & radios à ui$u ad $peculum mi$$os, inde<006> ad ui$ibile reflexos, ima ginem percipere: & imagin\~e in $peculo iam antè impre$$am inde ad ui$um manare. 23. 24 p 5.

SVper modum cõprehen$ionis formæ in politis corporibus di$$entiunt plurimi. Vnde quidam eorum radios à ui$u exire ad $peculũ, & à $peculo redire, & formã rei in reditu comprehendere exi$timant: alij affirmant formã corporis $peculo ei oppo$ito imprimi: & proin de in eo uideri, $icut in corporibus fit cõprehen$io formarũ naturalium eius. Verùm quòd aliter $it, palàm per hoc. Quoniã $i quis $e uiderit in aliqua $peculi parte, motus in part\~e aliam, non uidebit $e in parte prima, $ed in $ecunda: quod non accideret, $i in parte prima infixa e$$et eius forma: pari modo $i ad tertiam mutetur partem, mutabitur locus apparentiæ formæ, nec apparebit in prima uel in $ecunda parte. Amplius:ui$o corpore aliquo, & uidente ab eo $itu remoto: poterit accidere, ut non uideat corpus illud in $peculo illo, licet uideat totam $peculi $uperficiem: quod quidem non e$$et, $i imprimeretur forma in $peculo, cum uideatur $peculum, & non mutet locum, & corpus $imiliter $it immotum, & forma eius inficiat $peculum, $icut & prius. Et ut planè appareat, non accidere hoc ex comprehen- $ione formæ: obturetur medietas foraminum in$trumenti, & in aliquo obturatorum $it $criptura aliqua, $i in$piciatur $peculum regulæ per foramen $cripturã re$piciens: comprehendet@r in $pecu- lo $criptura: per quodcũq; aliud minimè: quod $i $cripturæ forma $peculo e$$et impre$$a, per quod- cunq; foram\~e in$trum\~eti po$$et percipi. Simili modo in $peculis columnaribus perforamen, re$pi- ciens tantùm foram\~e obturatũ, in quo e$t $criptura, cõprehendetur $criptur{ae} $itus. Verùm in $pecu- lis pyramidalibus & $phæricis $itus & magnitudo $cripturæ mutabitur. Amplius: $peculo columna ri extracto, regula $uper ba$es $uas directè $ita apparebit facies hominis in eo directa. Si uerò eriga- tur regula, aut multum inclinetur, uidebitur di$torta. Palàm ergo, quòd non accidit comprehen- $io ex forma fixa in $peculo, cum non comprehendatur res ui$a in $peculis, ni$i fuerit ui$us in $itu re- ALHAZEN flexionis. Palàm etiã, quòd di$tortio faciei apparentis non e$t ex forma rei, $ed di$po$itione $peculi. Amplius: ui$o corpore in $peculo, & pò$t elongato: comprehendetur corpus magis intra $peculum, quàm prius: quod non e$$et, $i forma corporis in $uperficie $peculi e$$et, & ibi comprehenderetur. Comprehen$ionem igitur formæ in $peculo efficit reflexio.

DE MODO COMPREHENSIONIS FORMARVM È COR- poribus politis. Cap. V. 21. Imago ui$ibil{is} percipitur è reflexione formæ ui$ibil{is} à $peculo ad ui$um facta. 24 p 5.

IAm patuit in parte $uperiori, [3 n] quòd $i opponatur $peculo corpus coloratũ lucidum: à quo- libet eius puncto procedit lux cum colore ad totam $peculi $uperficiem, & reflectitur per lineas reflexionis proprias. Igitur à puncto $umpto in corpore, oppo$ito $peculo procedit lux cum co- lore ad $peculum, in modum pyramidis continuæ, cuius ba$is e$t $uperficies $peculi. Et forma illa re flectitur per lineas eiu$dem $itus cum lineis acce$$us, & erit po$t reflexionem continuitas, $icut in acce$$u. Et $i lineis reflexis occurrat $uperficies corporis, propter continuitatem earum tota occu- pabitur, ut nihil inter$it uacuum. Si ergo forma illius corporis moueatur ad $peculum per lineas il- las reflexas, & ad ba$im pyramidis peruenerit: quoniã line{ae} pyramidis eiu$d\~e $unt $itus cũ lineis re- flexis: reflectetur forma per lineas pyramidis, & aggregabitur tota in puncto $umpto. Quoties ergo forma alιcuius corporis ad $peculũ uenerit per aliquas lineas: $i lineæ i$tæ eiu$d\~e $int $itus cũ lineis pyramidis, à puncto $umpto ad $peculum (intellige tam\~e) eas re$picientibus: mouebitur forma per pyramidem illam ad punctum $umptum: & $i in puncto $umpto fuerit ui$us: uidebit corpus, cuius e$t forma illa. Et $uperius declaratum e$t [2.17.18 n] quòd in $itu determinato fiat acqui$itio formæ in $peculo. Situs igitur proprius & naturalis acqui$itionis ui$us per reflexionem hic e$t: ut line{ae} ac- ce$$us formæ ad $peculum, eundem habeant $itum cum lineis pyramidis à centro ui$us ad capita il- larum linearum, $cilicet unaquæq; cum $ua re$piciente: nec accidit form{ae} reflex{ae} comprehen$io, ni- $i in i$to $itu. Palàm ergo, quòd $ecundum hanc di$po$itionem linearum tantùm fiat comprehen$io formarum. Et palàm, quòd ex corpore colorato lumino$o procedat lux cum colore ad $peculum, & reflectatur, nec procedat aliquid ex corpore, præter lucem & color\~e. Patet ergo, quòd ex luce & co- lore cantùm huiu$modi forma comprehenditur. Et cum moueatur forma ex colore & luce compa- cta $ecundum prædictam $itus ob$eruationem: $uperfluum e$t dicere, quòd ab oculo exeant radij ad $peculum, & reflectantur $ecundum $itum prædictum, $icut à pluribus dictum e$t. Hic e$t igitur reflexionis modus geometrarum doctrinæ non aduer$us, $ed con$onus: cum in eo geometricè ra- diorum exeuntiũ opinione ob$eruetur $itus. Et hic modus mihi $oli u$q; nunc patuit. Verùm cum à corpore lumino$o procedat forma ad $peculum $ecundum uarietat\~e $ituum, propter lineas à quoli- bet puncto corporis ad totam $peculi $uperficiem intellectas: erit formæ eiu$dem reflexio per diuer $as pyramides, quarum capita $unt diuer$a puncta, & ba$es $peculi $uperficies, $itum linearũ motus formæ ob$eruantes. Ob hoc accidit, ut eadem hora fixo $peculo, eadem percipiatur corporis forma à diuer$is, $uper quorũ intuitus cadunt capita pyramidum reflexarũ. Similiter $i idem ui$us mouea- tur $uper illa pyramidum capita: apparebit ei, $peculo immoto, à locis diuer$is ead\~e $orma. Sed di- uer$is in $peculo eandem formã comprehendentibus, in diuer$a $peculi loca cadunt eorũ intuitus. Quoniã ab eodem $peculi puncto diuer$orũ punctorum formas comprehendere ea$d\~e nõ po$$unt. Et iam dictũ e$t [3 n] quòd à quolibet puncto corporis procedit lux ad quodlibet punctum $peculi. Vnde $uper quodlibet corporis punctũ e$t acumen pyramidis, cuius $uperficies $peculi e$t ba$is: & quodlibet $uperficiei $peculi punctũ, e$t acum\~e pyramidis, cuius ba$is $uperficies corporis tota. Er- go forma corporis erit in quolibet puncto $peculi, per lineas proced\~etes in partes diuer$as, nec con currere po$sibiles. Et forma à corpore ad quodcunq; $peculi punctum accedens per pyramidem: reflectetur per pyramidem.

22. Si ui$ibile & $peculum figuræ $it{us}<006> $imilitudine conueniant: uera & distincta imago uidetur. 35 p 5.

ET licet in $peculi $uperficie $uper numerũ multiplicetur ead\~e iteratio formæ, cũ concurrat for matotalis cũ qualibet parte & in quolibet puncto, & non $it in formis illis di$cretio, $ed conti- nuitas in$eparabilis in reflexione: tam\~e, quia forma totalis nõ cadit in diuer$as $peculi partes, $ecundũ identitat\~e $itus dirigitur ad loca diuer$a, in quibus eam cõpreh\~edit ui$us. Cũ igitur $imilis fuerit forma $peculi form{ae} corporis: erit in $peculo complementũ form{ae} corporis & figur{ae}: quoniã in $peculo eiu$d\~e figur{ae} cũ corpore, forma primi puncti dirigitur ad primũ punctũ $peculi, $ecundi ad $ecundum, & $ic in omnibus $e re$picientibus: & ita erit in $peculi $uperficie figura totalis figur{ae}: quod nõ accidit in $peculo alterius figur{ae}. Similiter $umpta quacunq; $peculi parte, cui ead\~e cũ cor- pore figura, erit complementũ figur{ae} corporis in ea. Et cũ infinit{ae} $int tales $peculi partes, infinitæ erũt form{ae} corporis reflexionis, $ed ad puncta diuer$a procedentes, à quibus formã cõprehendit ui $us. Cũ igitur $ecundũ hanc linearũ di$po$ition\~e fiat formæ cõprehen$io, non erit form{ae} proceden- tis à corpore in $peculi $uperficie fixio. Et in hũc modũ accidit in omnibus $peculis, $ed in planis cer tinus: in alijs aũt accidit quædã diuer$itas ex errore ui$us, $ecundũ modum prædictũ. Et quilibet ui- $us $ecundum modum pr{ae}dictum ab uno $peculi puncto non percipit, ni$i unũ corporis punctum: nec à ui$ibus duobus percipitur in eodem $peculi puncto idem corporis punctum.

OPTICAE LIBER IIII. 23. Superficies reflexion{is} quatuor habet puncta: ui$ibil{is}: reflexion{is}: ui${us}: & terminũ per- pendicular{is} ductæ à puncto reflexion{is} $uper planum in eodem puncto $peculum tangens. Ita<005> perpendicular{is} hæc cõmun{is} e$t omnib{us} reflexion{is} $uperficieb{us}. 27 p 5.6 p 6.24 p 7.3 p 8.3 p 9.

AMplius: $i opponatur $peculum ui$ui: & intelligatur à c\~etro ui$us ad $uperficiem $peculi py- ramis & ba$is illius pyramidis: & $umatur punctum: & intelligatur linea pyramidis à centro ui$us ad illud punctum: cum à puncto illo infinitæ po$sint produci lineæ: $i aliqua earũ cum latere pyramidis eundem habeat $itum, & æqualem cum perpendiculari teneat angulum, & ita ac- cidat quolibet puncto $peculi $umpto: planũ, quòd à quolibet puncto $peculi pote$t fieri reflexio. Dico igitur, quòd inter lineas à puncto $umpto productas, e$t linea, quæ eund\~e habet $itum cum la- tere pyramidis, & æqualem tenet angulum cum perp\~ediculari $uper illud punctum: & illa linea e$t latus pyramidis intellectæ à puncto illo $uperficiei rei occurr\~etis: & quod $uper terminum illius li- neæ ceciderit, cum per eam ad punctũ $umptum uenerit: reflectetur ad ui$um, per latus pyramidis iam dictũ. Et huius pyramidis latus cum linea à puncto illo producta erit in ead\~e $uperficie, ortho- gonali $uper $uperfici\~e tãgent\~e $peculũ in illo pũcto. Et hoc dico, cũ lateris pyramidis $uper punctũ $umptũ fuerit declinatio. Si enim orthogonaliter cadat $uper $uperfici\~e tangent\~e $peculũ in pũcto $umpto, latus pyramidis productum à c\~etro ui$us reflectetur in $e, & redibit in ui$um ad originem $ui motus [per 11 n.] In $peculo plano planũ e$t: quod diximus. Quo e d f a c b niã in quodcunq; punctũ $uperficiei planæ ceciderit radius: à pũcto illo pote$t erigi linea orthogonalis $uper $uperfici\~e illã: & à c\~etro ui $us pote$t intelligi linea perpendiculariter cad\~es in $uperfici\~e planã prædictæ continuam, aut in eand\~e: & [per 35 d 1] hæ duæ perpendi- culares erũt in ead\~e $uperficie: quoniã $unt æquidi$tãtes [per 6 p 11] & linea à termino unius u$q; ad terminũ alterius protracta in $uper- ficie plana tenebit angulũ cum utraq;: & erit in ead\~e $uperficie cum utraq; [per 2 p 11] & radius, qui à linea illa eleuatur: tenebit acutum angulum cũ perpendiculari $peculi, & $imiliter cum perpendiculari ui$us [angulus enim d c e acutus e$t: quia pars recti d c a: & huic æ- quatur a e c per 29 p 1: quia a e, d c $unt parallelæ.] Et $i intelligatur in partem alteram produci linea $uperficiei planæ, tran$iens ortho- gonaliter $uper terminos perpendicularium: tenebit ex parte alte- ra cum perpendiculari $peculi angulum rectum [per 29 p 1:] unde ex illo recto poterit ab$cindi angulus acutus, æqualis angulo acu- to, quem cum eadem perpendiculari tenet radius. Et hi duo anguli $unt in eadem $uperficie. Quare radius exiens & reflexus in eadem $unt $uperficie, & in $uperficie perpendicularium dictarum. In$pe- cto autem alio puncto, idem $itus accidet radiorum cum perpendi- cularibus: quarum una à centro ui$us: alia à puncto ui$o. In omni ergo $uperficie reflexionis accidit quatuor punctorũ concur$us, quæ $unt: centrũ ui$us: & punctũ apprehen$um: & terminus perpen- dicularis à c\~etro ui$us ductæ: & punctũ reflexionis. Et o\~es reflexionis $uքficies $ecãt $e in քp\~edicu- lari, à pũcto reflexionis intellecta: & e$t ip$a cõmunis omnib. $uperficieb. reflexionis. Et cũ id\~e ac- cidat, quolibet pũcto $uքficiei planæ in$pecto: erit ex omnib. pũctis $imilis reflexio & eod\~e modo.

24. Si ui${us} $it extra $uperficiem $peculi $phærici conuexi, uelip$i continuam: commun{is} $e- ctio ba$is pyramid{is} opticæ & $uperficiei $peculi, erit peripheria minimi in $phæra circuli. 3 p 6.

IN $peculis autem $ph{ae}ricis palàm erit, quod diximus: oppo$ito a s b c ui$ui $peculo $phærico: (& e$t oppo$itio, ut ui$us nõ $it in $uper- ficie illius $peculi: aut in $uperficie ei continua) & in$pecto hoc $peculo: pars eius à ui$u comprehen$a, erit pars $phæræ circulo mi- nore inclu$a, quem efficit motu $uo radius, tang\~es $uperfici\~e $phæ- ræ, $i per gyrum moueatur contingendo $phæram, donec redeat ad punctum primum, à quo $ump$it motus principium: quia $i intelli- gantur $uperficies $e $ecantes $uper diametrum $phæræ, à polo cir- culi prædicti intellectam: quilibet arcuum $uperficiei $ph{ae}ræ, & his $uperficiebus communium, à polo circuli ad ip$um circulum intel- lectorum, erit minor quarta circuli magni. Quoniam linea à centro $phæræ ad terminum radij, $phæram contingentis protracta (quæ e$t ad circulum prædictum) tenet cum radio angulum rectum ra- tione contingentiæ [per 18 p 3.] Tenet ergo angulum acutum cum $emidiametro à polo circuli producta [per 17 p 1] & hunc angulum re$picit arcus interiacens@polum circuli & circulum [Quare per 33 p 6 peripheria c s minor e$t quadrãte peripheriæ maximi in $phæ- ra circuli. Itaq; cum per 16 th. 1 $ph{ae}r. Theodo$ij peripheria maximi ALHAZEN circuli di$tet à $uo polo quadrante peripheriæ maximi circuli: erit peripheria, conuer$ione radij ab uno ui$u $phæram tangentis, in $phærica $uperficie de$cripta, minor maximi circuli peripheria.]

25. Si duarum rectarum linearum à ui$u, alter a $peculum $phæricum conuexum tangat, re- liqua per centrum $ecet: tangens circa $ecantem fixam cõuer$a, definiet $egmentum $uperficiei $peculι: à cui{us} puncto quolibet pote$t ad ui$um fieri reflexio. Et centra ui${us} & $peculi, puncta reflexion{is} & ui$ibil{is} $unt in reflexion{is} $uperficie. 2.5.6 p 6.

DIco igitur, quòd à quolibet puncto huius portionis poterit fieri reflexio. Quoniã $umpto ali- quo eius puncto: diameter $phæræ ab illo puncto intellecta, erit perp\~edicularis $uper $uper- ficiem planam tangentem $phæram in puncto illo [per 4 th. 1 $phæ.] Et huius rei probatio e$t. Intellectis duabus $uperficiebus $phæram $uper diametrum à puncto $umptam, intellectam $e- cantibus: lineæ communes $uperficiei $phæræ & his $uperficiebus $unt circuli $phæræ tran$euntes per punctum $umptum [per 1 th. 1 $phæ:] & intellectis duabus lineis, tangentibus hos circulos in puncto $umpto: erit diameter perpendicularis $uper utramq; lineam [per 18 p 3.] Quare $uper $u- perficiem, in qua $unt illæ lineæ [per 4 p 11.] Et cum de$cenderit radius $uper punctum@ $umptum: eritin eadem $uperficie cũ diametro $phæræ, cuius terminus punctum e$t $umptum [per 2 p 11] & linea à centro ui$us ad centrũ $phæræ intellecta: quæ quid\~e tran$it per polum circuli (& e$t radius orthogonaliter cadens $uper $uperficiem $ph{ae}ræ) [quia per 4 th. 1 $phær. e$t perpendicularis plano $phæram in puncto d tangenti] e$t $imiliter in eadem $uperficie [per 2 p 11:] & exhis tribus lineis erit triangulum: & radius $uper punctũ $umptũ incid\~es; a k f s d m b g c h tenet acutũ angulũ cũ diametro $phæræ ab exteriori par te: quoniã cũ elatior $it i$te radius radio $phæram cõtin- gente: $ecabit $ph{ae}ram cũ producta intelligitur: & $uper- ficies tang\~es $phærã in pũcto $umpto demi$sior erit hoe radio: & $ecabit inter $phærã & ui$um, ui$am diametrũ, id e$t lineã à c\~etro ui$us ad centrũ $phæræ intellectã, per polum circuli tran$euntem: unde cũ diameter $ph{ae}ræ $it orthogonalis in $uperficie punctũ tangente: tenebit an- gulũ recto maior\~e ex parte interiori cũ radio in punctũ de$cendente: unde [per 13 p 1] in exteriori parte tenebit cum eo angulũ minor\~e recto: & producta, orthogonalis erit $uper $uperfici\~e cõtingent\~e exterius [ք 4 th. 1 $phæ.] Quare ex angulo recto, qu\~e tenebit cũ $uperficie ex alia radij parte, poterit ab$cindi acutus æqualis ei, qu\~e inclu- dit radius cũ illa diametro: & erũt line{ae} tres hos angulos duos includêtes in ead\~e $uperficie [per 6. 13 n.] Quare à puncto portionis $umpto pote$t produci linea in eadem $uperficie cum radio, in punctũ illud cad\~ete, & linea or- thogonali in $uperficie punctũ conting\~ete, & ad parita- tem angulorum cũ perp\~ediculari illa: & illi lineæ occur- rer forma puncti mota ad $uperfici\~e $peculi per radium illum. Igitur eiu$dem e$t $itus cum linea, quæ poterit re- flecti [per 12 uel 18 n.] Et erit $uperficies, in qua $unt hæ lineæ, orthogonalis $uper $uperficiem, $phærã in puncto contingent\~e [per 13 n.] Et ita in quolibet portionis pun- cto intelligendum. Ergo in omni $uperficie reflexionis erũt centrũ ui$us: centrũ $phæræ: punctũ reflexionis: & punctũ reflexũ. Et o\~es hæ $uքficies $ecabũt $e $uք lineã à c\~etro ui$us ad c\~etrũ $ph{ae}ræ ptractã: & cuilibet reflexiõis $uքficiei & $uքficiei $phæræ, cõmunis linea erit circulus $ph{ae}ræ [ք 1th. 1 $phæ:] & o\~es circuli $ecabũt $e $uք pũctũ $ph{ae}ræ, in q<001> cadit diameter ui$us: & e$t $uք circuli portiõis polũ. Cũ aũt radius ceciderit in $peculũ orthogona- liter $uք $uքfici\~e, in pũcto, in q<001> radius cadit, $phærã tãgent\~e (& e$t radius ille, diameter ui$us ք po- lũ circuli portiõis ad c\~etrũ $ph{ae}ræ) fiet reflexio ad ui$um ք eũd\~e radiũ ad motus radij ortũ [ք 11 n.]

26. Siduo plana à c\~etro ui$i{is}, ducãtur ք later a cõ$picuam $peculi cylindracei cõuexi $uperfici\~e terminãtia: tang\~et $peculũ: & facient in ui$u cõmunem $ection\~e par allelã axi$peculi. 2.3 p 7.

IN $peculis aut\~e columnaribus patebit, quod diximus. Opponatur $peculũ columnare exterius politum oculo: (& e$t oppo$itio, ut non $it ui$us in $uperficie columnæ, aut $uperficie ei conti- nua) & intelligamus $uperficiem à centro ui$us ad columnæ $uperficiem, $ecantem columnam $uper circulum æquidi$tant\~e ba$ibus columnæ: & in hac $uperficie $umantur duæ lineæ, tangentes circulũ $ectionis in duobus punctis oppo$itis: ab utroq; illorũ punctorum producatur linea $ecun- dum longitudinem columnæ: & intelligãtur duæ $uperficies, in quibus $int hæ duæ lineæ longitu- dinis, & duæ lineæ à centro ui$us ductæ, contin gentes circulũ $ectionis. Dico, quòd hæ $uperficies tangent columnã. Si enim dicatur, quòd altera $ecat illã: planũ e$t, quòd $ectio e$t $uper lineã longi- tudinis colũnæ, in quã $uperficies cadit: [per 21 def. 11] & $imiliter erit $ectio $uper lineã lõgitudinis OPTICAE LIBER IIII. columnæ huic oppo$itam: & circulus $ectionis trã$it per has duas lineas longitudinis: & linea con- tingens circulum $ectionis: cum $it in $uperficie aliqua: $ecat columnam $uper aliquas longitudinis lineas, $ibi inuicem æquidi$tantes: & $i tran$it per unam earum, tran- a e g c b d h f $ibit per alteram, & ad paritatem angulorum. Cum ergo tran$eat per punctum, in quo circulus $ectionis $ecat primã longιtudinis lineam: tran$ibit etiam per punctũ, in quo alia longitudinis linea tangit hunc circulum: & ita $ecat circulum. Quare non contingit, quod e$t contra hypothe$in. Palàm ergo, quòd duæ illæ $uperficies cõtingunt $pecu- lum, & quod inter illas cadit ex $uperficie $peculi, e$t, quod apparet ui$ui. Cum autem duarum illarum $uperficierum $it concur$us in cen tro ui$us, $ecabunt $e, & linea $ectionis communis tran$ibit per cen- trum ui$us: & erit æquidiftans axi columnæ. Quoniam enim axis co- lumnæ orthogonalis e$t $uper circulum $ectionis [per conuer$am 14 p 11] & lineæ longitudinis columnæ orthogonales $uper eund\~e cir- culum [per 8 p 11: latera enim cylindri parallela $unt axi, perpendicu- lari ad circulum $ectionis per 21 d 11] etiam $uperficies tang\~etes co- lumnam $ecũdum lineas has: orthogonales erunt $uper circulũ eun- dem [per 18 p 11:] ergo & $uper $uperficiem $ecant\~e columnam in illo circulo. Quare linea communis harum $uperficierum e$t orthogona lis $uper eandem $uperficiem [per 19 p 11] quare æquidi$tans axi co- lumnæ [per 6 p 11.]

27. Si linea recta à c\~etro ui${us}, ducta ad punctũ cõ$picuæ $uper- ficiei $peculi cylindr acei cõuexi, cõtinuetur: $ecabit $peculũ. 4.5 p 7.

DIco ergo, quòd quocunq; puncto in $ectione $peculi apparen te $umpto: linea à centro ui$us ad punctum producta, $ecabit $peculum. Quoniam intellecta linea longitudinis columnæ à puncto $umpto, tran$ibit per circulum $ectionis, & tanget ip$um in puncto: ad quod punctum $i ducatur linea à centro ui$us: $ecabit $pe- culum: quia cadit inter lineas conting\~etes hunc circulum: ergo & $u- perficies à centro ui$us procedens, in qua fuerit hæc linea, $ecabit $pe culum. Cum ergo in eadem $uperficie $it linea à centro ui$us, ad pun- ctum $umptum ducta: $ecabit linea illa $peculum: & ita quælibet linea à centro ui$us, ad portionem $peculi intellecta, $ecat $peculum. Eod\~e modo quælibet linea à linea cõmuni, per centrum ui$us in- tellecta, ad hãc portion\~e ducta, $ecat $peculũ. Vnde quælibet $uperficies tangens $peculũ in aliqua portionis apparentis linea, $ecat $uperficies, qu{ae} contingũt portionis extremitates: & nulla omniũ $uperficierum portion\~e tangentiũ, peruenit ad ui$us centrũ, $ed inter ui$um ext\~editur & $peculum.

28. In $peculo cylindraceo conuexo, à quolibet con$picuæ $uperficiei puncto pote$t ad ui$um reflexio fieri. 25 p 7.

DIco ergo, quòd à quolibet puncto portionis huius pote$t fieri reflexio lucis. Dato enim pun- cto, fiat $uper ip$um circulus æquidi$tans columnæ ba$ibus: $i ergo $uperficies à c\~etro ui$us procedens, & column{ae} $uperficiem æquidi$tanter ba$i $ecans, $ecet eam $uper hunc circulũ: & linea à centro ui$us ad circuli centrũ ducta, tran$eat per punctum datũ: fiet reflexio $ormæ illius puncti per eandem lineam ad lineæ ortum [per 11 n] quia linea illa e$t axis ui$us $uper axem colu- mnæ perpendicularis [per 21 d 11, 29 p 1.] Sumpto autem puncto quocunq; per quod tran$eat axis, perpendicularis $uper axem columnæ: fiet reflexio illius puncti per eund\~e axem [per 11 n.] Si ueró prætereat axem punctum $umptum, quæcunq; $it linea à centro circuli, æquidi$tantis ba$ibus per ip$um punctum ducti, ad $uperficiem in linea longitudinis columnæ per punctũ illud tran$euntis, contingentem: erit $uper axem orthogonalis [per 21 d 11, & conuer$am 14 p 11.] Quare $uper lineam longitudinis per punctum illud trã$euntem [per 29 p 1.] Et quoniã ui$us e$t altior $uperficie pun- ctum conting\~ete: linea à c\~etro ui$us ad punctum $umptũ ducta, tenebit acutum angulũ cũ perpen- diculari illa, à pũcto ad centrũ circuli ducta: & hic e$t ex parte exteriore, quia obtu$um habet ex in- teriore: & ex angulo recto, quem illa perpendicularis tenet cum linea $uperficiei contingentis cir- culum [per 18 p 3] poterit ab$cindi acutus huic æqualis: & perpendicularis illa cum c\~etro ui$us e$t in eadem $uperficie: quare etiam cum linea à c\~etro ad punctum ducta: & erit linea reflexa in eadem $uperficie: quare cum linea à centro ad punctum ducta. Et erit hæc $uperficies orthogonalis $uper $uperficiem, contingentem $peculum in puncto illo: quoniam perpendicularis orthogonaliter ca- dit $uper hanc $uperficiem: & huiu$inodi erit reflexionis $uperficies.

29. Si ui${us} $it extra $uperficiem $peculi cylindr acei conuexi, in plano ui$ibil{is} per axem du- cto: cõm un{is} $ectio $uperficier um reflexion{is} & $peculi, erit lat{us} cylindri: & unicum tantùm e$t in eadem con$picua $uperficie planum, à quo ad eundem ui$um reflexio fieri pote$t. 7.16 p 7.

ESt aut\~e diuer$itas inter lineas $uperficiebus reflexionis & $uperficiei columnæ cõmunes. Cũ enim reflexio erit per eund\~e radium: cadet id\~e radius ille orthogonaliter $uper axem, & linea ALHAZEN cõmunis $uperficiei columnæ & $uperficiei reflexionis, erit linea recta, $cilicet latus columnæ: cum in $uperficie reflexionis $it diameter columnæ. Et planum hoc e$t, quoniam columnæ compo$itio e$t ex motu $uperficiei æquidi$tantium laterum $uper unum latus immotum [per 21 d 11.] Vnde $u- perficiei columnam $ecanti, in qua $it axis, id e$t latus immotum, & $uperficiei column{ae} communis linea, erit latus motum. Et dico, quòd ex omnibus reflexionis $uperficiebus una $ola e$t, cui & co- lumnæ $uperficiei $it linea communis recta. Quoniã unica pote$t intelligi $uperficies, in qua $it axis columnæ & centrum ui$us: & non plures.

30. Si ui${us} $it extrá $uperficiem $peculi cylindracei cõuexi, in planò ui$ibil{is} ad axem recto: commun{is} $ectio $uperficierum reflexion{is} & $peculi, erit circul{us}: & unic{us} tantùm e$t in ea- dem con$picuà $uperficie, à quo ad ui$um reflexio fieri pote$t. 9.17 p 7.

SI uerò $uperficies reflexionis $it æquidi$tans ba$ibus columnæ: erit linea communis circulus [per 5 th Sereni de $ectione cylindri] & hæc $ola e$t $uperficies, quæ cum columnæ $uperficie lineam communem habeat circularem. Quoniam in omni reflexione, perpendicularis $uper $uperficiem, conting\~etem punctum reflexionis, e$t diameter circuli, ba$ibus columnæ æquidi$tan- tis: & non pote$t e$$e in columnæ $uperficie, ni$i unus circulus æquidi$tans ba$ibus, qui cum cen- tro ui$us $it in eadem $uperficie.

31. Si ui${us} $it extra $uperficiem $peculi cylindracei conuexi, in plano ui$ibil{is} ad axem obli- quo: commun{is} $ectio $uperficierum reflexion{is} & $peculi erit ellip$is: & plures in eadem con$pi- cua $uperficie e$$e po$$unt, à quib{us} ad eundem ui$um reflexio fiat. 10. 18 p 7.

OMnes aut\~e aliæ $uperficies reflexionis, $ecant columnã & ax\~e columnæ: quoniã perpendi- cularis ducta à pũcto reflexionis $ecat ax\~e columnæ: & lineæ cõmunes his $uperficiebus & $uperficiebus column{ae}, $unt $ectiones, quas in colũnis & pyramidibus a$signãt geometræ.

32. Si commun{is} $ectio $uperficierum reflexion{is} & $peculi cylindr acei conuexi, fuerit lat{us} cylindri, uel cιrcul{us}: reflexio à quocun<005> commun{is} $ection{is} puncto facta, in eadem $uperficie $emper fiet. 19. 20 p 7.

CVm $uperficiebus columnæ & reflexionis linea recta fuerit cõmunis, quodcunq; punctum illius lineæ intueatur ui$us: fiet reflexio in $uperficie eadem, in qua e$t axis. Quoniam e$t $u- perficies unica, contingens columnam in linea illa longitudinis: & quocunq; puncto huius lineæ $umpto: perpendicularis ab eo ad axem ducta, erit in eadem $uperficie cum axe: & hæc linea erit orthogonalis $uper $uperficiem, contingentem $uperficiem columnæ [Nam quia per 21 d 11 la- tus cylindri e$t parallelum axi: erit recta linea perpendicularis axi: perpendicularis tum lateri per 29 p 1, tum rectæ circulum per idem lateris punctum de$criptum, tangenti, per 18 p 3. Quare per 4 p 11 erit perpendicularis plano $peculum tangenti.] Sed centrum ui$us e$t in $uperficie orthogo- nali $uper eandem $uperficiem: quia in una $uperficie e$t centrum ui$us & linea communis & axis columnæ [per 6. 13 n] & una $ola e$t $uperficies orthogonalis $uper illam $uperficiem [per 13 p 11.] Quare omnes reflexiones à punctis huius lineæ factæ, $unt in eadem reflexionis $uperficie. Verùm cum linea cõmunis $uperficiei reflexionis & columnæ fuerit circulus, quo cunq; puncto illius cir- culi ui$o: fiet in una & eadem $uperficie reflexio. Quoniam quæcunq; perpendicularis à puncto re- flexionis ducta: erit diameter huius circuli: quare in $uperficie huius circuli e$t: & punctum ui$us $imiliter: & $uperficies hæc orthogonalis e$t $uper $uperfici\~e, quodcunq; punctũ huius circuli $um- ptum contingentem. Quare in hac $ola $uperficie erit cuiuslibet puncti, prædicti circuli reflexio.

33. Ab uno cõmun{is} $ection{is} $uperficierum reflexion{is} & $peculi cylindr acei conuexi pun- cto, unum ui$ibil{is} punctum ad unum ui$um in eadem $uperficie reflectitur. 22 p 7.

QVacunq; uerò alia linea communi $umpta: nõ fiet in eadem reflexionis $uperficie reflexio, ni$i ex uno tantùm huius lineæ puncto. Quoniam perp\~edicularis ducta à puncto reflexio- nis, orthogonalis e$t $uper lineam longitudinis columnæ per punctũ illud tran$euntis [per 3 d 11] quare & $uper axem [per 29 p 1] & perpendicularis illa, e$t diameter circuli, æquidi$tantis ba$ibus columnæ: & $uperficies reflexionis & circulus ille $ecant $e: & linea ijs communis, e$t dia- meter illius circuli: & e$t illa diameter perpendicularis $uper $uperficiem, columnam in illo puncto contingentem, & $uperficies reflexionis $ecat illam lineam longitudinis columnæ $uper quam fit contingentia, & e$t declinata $uper ip$am: ergo & $uper axem erit illa $uperficies reflexionis decli- nata: & in $uperficie plana $uper lineam aliquam declinata nõ pote$t intelligi, ni$i una linea ortho- gonaliter cadens in illam. Sed $i à duobus $uperficiei reflexionis punctis fieret reflexio in eadem $uperficie: e$$ent duæ lineæ illius $uperficiei orthogonales $uper axem: quod e$$e non pote$t, cum $uperficies illa $it declinata $uper eum. Nam perpendicularis à puncto reflexionis cadit in circu- lum, æquidi$tantem ba$ibus columnæ, & in punctum axis, & e$t $ectio cõmunis $uperficiei circuli & $uperficiei reflexionis. Si ergo ab alio lineæ communis puncto, in eadem $uperficie fieret refle- xio: alia perpendicularis ab alio puncto ducta: e$$et diameter alte@ius circuli columnæ, huic æqui- di$tãtis, & caderet in punctũ axis, in quod nõ cadit $uperficies reflexionis. Et ita in omnibus $uper- ficiebus reflexionis e$t intelligendũ: quòd ab uno puncto tantùm lineæ communis fiat reflexio in OPTICAE LIBER IIII. cadem $uperficie, re$pectu eiu$dem ui$us: quoniam re$pectu duorum ui$uum pote$t reflexio fieri à duobus pũctis $uperficiei $peculi, ut circuli diametri terminis, quæ e$t perpendicularis $uper ip$am $ectionem: re$pectu uerò unius ui$us non accidit: quoniam illa duo puncta nõ $imul ab eodem ui$u po$$unt comprehendi: $emper enim nece$$e e$t partem columnæ medietate minorem uideri.

34. Si rect a line à reflexion{is} puncto, $it perpendicular{is} $peculo cylindraceo conuexo: in- t{us} continuata, tran$ibit per centrum circuli ba$ib{us} par alleli: & contrà. 21 p 7.

PAlàm ex prædictis, perpendicular\~e $uper punctum reflexionis intellectam extrà & intrà pro- duci, diametrum circuli efficere. Quia $i non: cum con$tet diametrum circuli $uper punctum illud tran$euntem, perpendicularem e$$e $uper $uperficiem contingentem columnam in illo puncto [ut o$ten$um e$t 32 n] & perpendicularem extrà $imiliter: erit [per 14 p 1] cõtinuitas inter has perpendiculares, & unam efficient lineam. Quia $i non e$t, quòd diameter extrà producta, per- pendicularis $it $uper illã $uperficiem: accidet ex eod\~e $uperficiei puncto duas erigi perpendicula- res [cõtra 13 p 11] In omni ergo $uperficie reflexionis patet quatuor punctorũ cõcur$us: c\~etri ui$us: pũcti axis, in q<001> cadit քp\~edicularis: pũcti reflexiõis in $peculo: pũcti, à quo forma corporis {pro}cedit.

35. Si à ui$u extra $peculi conici conuexirecti $uperficiem, uel ip$i continuam $ito, recta li- nea cum uertice ax{is} acutum angulũ faciat: duo plana educta per rect{as} à ui$u, $peculum tan- gentes & conica latera, per tact{us} puncta tran$euntia, tangent $peculum, & cõ$picuam $uper- ficiem dimidiat a minorem, à qua ad ui$um reflexio fiat, terminabunt. 1. 2 p 7.

IN $peculis pyramidalibus $uper ba$es $uas orthogonalibus politis exterius e$t oppo$itio ui$us: ut non $it ui$us in $uperficie $peculi, aut in continua ei: & $ecũdum ui$us $itum, re$pectu $peculi pyramidalis erit quantitas compreh\~e$æ in eo partis. Igitur $i radius ab oculi centro ad terminũ axis pyramidis, id e$t ad acumen intellectus, faciat cum axe angulũ a b f g c d n acutum ex parte pyramidis: intelligemus à centro ui$us $uperficiem $ecantem pyramidem $uper circulũ æquidi$tantem ba$i pyramidis: & intelligemus duas lineas à centro quid\~e ui$us, tang\~etes illum cir- culum in punctis oppo$itis, à quibus protrahemus lineas $ecundum longitudin\~e pyramidis. Superficies ergo ex una harum linearũ lon- gitudinis & altera contingentium circulum, continget pyramidem. Si enim $ecuerit: continget aliud punctum, quàm punctum contin- gentiæ circuli: $uper illud punctum producatur linea longitudinis, & illud punctum & acumen pyramidis $imul $unt in hac $uperficie. Quare illa linea erit in hac $uperficie, & tran$ibit per aliquod punctũ circuli: illud igitur punctum in hac $uperficie e$t, & in circulo: quare e$t in linea cõmuni circulo & $uperficiei: $ed illa contingit circulum: quare cõtingens tran$it per duo puncta circuli, qu\~e contingit, quod e$t impo$sibile [& contra 2 d 3.] Re$tat igitur, ut illa $uperficies tan- gat pyramidem. Et generaliter omnis $uperficies, in qua cõcurrunt linea, tang\~es aliquod punctum pyramidis, & longitudinis linea, per punctum illud tran$iens, tangit pyramidem $uper lineam longitudi- nis. Habemus ergo duas $uperficies ab oculi centro proced\~etes, py- ramidem contingentes, inter quas e$t portio pyramidis apparentis ui$ui in hoc $itu: & e$t minor medietate pyramidis: quoniam lineæ tangentes circulum, includun@ eius partem medietate minorem.

36. Si à ui$u recta linea, $it perpendicular{is} uertici ax{is} $pecu- b a f l g e k h n d c li conici cõuexi recti: duo plana educta per rect{as} $peculum in ter- min{is} diametricirculi, ad ba$im paralleli tangentes, & later a co- nica per tact{us} puncta tran$euntia: tangent $peculum: & dimi- diatam $uperficiem con$picuam, à qua ad ui$um reflexio fiat, ter- minabunt. 89 p 4.

SI uerò linea à centro ui$us ad acumen pyramidis ducta, teneat angulum rectum cum axe, & intelligatur circulus $ecans pyra- midem æquidi$tanter ba$i: linea communis huic circulo, & $u- perficiei, in qua $unt axis pyramidis, & centrũ ui$us: erit orthogona- lis $uper axem pyramidis: quoniã axis e$t orthogonalis $uper $uper- ficiem circuli [per cõuer$am 14 p 11: itaq; per 3 d 11 axis coni e$t ad per pendiculum omnibus lineis, à quibus in plano circuli tangitur.] Et $uper lineam communem protrahatur per c\~etrum circuli diameter orthogonalis $uper hãc lineam: & à terminis huius diametri ortho- gonalis protrahãtur duæ cõtingentes circulum: & etiam duæ lineæ u$q; ad acumen pyramidis. Duæ $uperficies, in quibus erũt hæ duæ lineæ cũ conting\~etibus, cõting\~et pyramid\~e $ecũdũ modũ prædictũ. ALHAZEN Et quoniam linea communis circulo & $uperficiei, in qua $unt centrum ui$us, & axis pyramidis: e$t æquidi$tans lineæ, à centro illius ui$us ad terminum axis productæ [per 28 p 1: quia axis ad perpen diculum e$t utriq;] & huic lineæ communi $unt æquidi$tantes lineæ, circulum in prædictis pun- ctis contingentes [per 28 p 1: quia per 18 p 3 diameter ip$is ad perpendiculum e$t] erunt illæ lineæ æquidi$tantes lineæ à centro ui$us ad terminum axis ductæ [per 9 p 11.] Quare erunt in eadem $u- perficie cum illa [per 35 d 1.] Igitur utraq; $uperficierum circulum contingentium, tran$it per cen- tra ui$us: & communis illarum $uperficierum $ectio, e$t linea à c\~etro ui$us ad terminum axis ducta: & quod inter illas $uperficies cadit ex pyramide, apparet ui$ui: & e$t medietas pyramidis: quoniam lineas has contingentes circulum interiacet medietas circuli. Et ita palàm, quòd in hoc $itu appa- ret medietas pyramidalis $peculi.

37. Si recta linea à centro ui${us}, cum uertice $peculi conici conuexi recti angulum obtu$um faciens, continuata concurr at extra $peculum, cum diametro circuli ad ba$im par alleli conti- nuata: duo plana educta per rect{as} à concur$u $peculum in dicto circulo tangentes, & later a conica per tact{us} puncta tran$euntia, tangent $peculum: & $uperficiem con$picuam dimidiata maiorem, à qua ad ui$um reflexio fiat: terminabunt. 90 p 4.

VErùm $i linea à centro ui$us ducta ad terminum axis pyramidis, teneat cũ axe angulum ob- tu$um ex parte $uperiori apparente: & fiat circulus $ecans pyramidem æquidi$tanter ba$i- linea communis huic circulo & $uperficiei, in qua e$t centrum ui$us & axis, e$t perpendicu- laris $uper axem pyramidis [per demon$trata numero præcedente] a b e c f h g r i d m Et hæc linea communis extra producta, concurret cum linea à cen- tro ui$us ad terminum axis ducta [per 11 ax] propter angulum acu- tum, quem facit hæc linea cum axe ex inferiori parte [per the$in & 13 p 1: & propter angulum b c g rectum.] A puncto igitur concur$us linearum protrahantur duæ lineæ, contingêtes circulum in duobus punctis oppo$itis: & producantur lineæ ab his punctis ad acumen pyramidis: $uperficies, in quibus $unt lineæ contingentes cum his longitudinis lineis, contingunt pyramidem: & in utraq; harum $u- perficierum $unt duo puncta lineæ à centro ui$us ad terminum axis ductæ, $cilicet terminus axis & terminus perpendicularis, in quo $ci licet concurrunt linea illa & perpendicularis. Quare linea illa, quæ ducitur à c\~etro ui$us per terminum axis, e$t in utraq; $uperficie [per 1 p 11.] Igitur utraq; $uperficies tran$it per c\~etrum ui$us. Et includunt hæ $uperficies ex inferiori parte minor\~e partem pyramidis medie- tate: quia lineæ contingentes circulum, includunt partem eius mi- norem medietate. Vnde ex parte $uperiori interiacet $uperficies py- ramidem contingentes pars medietate maior: & illa e$t, quæ appa- ret ui$ui. Quare in hoc $itu comprehendit ui$us partem pyramidis medietate maiorem.

38. Sirecta linea à ui$u per uerticem $peculi conici conuexi recti, continuetur cum conico latere: tota $uperficies, præter dictum lat{us}, uidebitur. 91 p 4.

SI autem linea à centro ui$us ad terminum axis producta, cadit $uper latus pyramidis, ut ex ea & latere unum efficiatur continuum latus: Dico quòd non la- a b h c tebit ui$um ex hac pyramide, præter lineam quandam intelle- ctualem. Quoniam omnis $uperficies, in qua e$t linea à centro ui$us ad terminum axis ducta, & $ecundum lateris longitudinem prolon- gata, $ecat pyramidem, una tantùm excepta, quæ contingit pyrami- dem in latere, quod e$t pars lineæ: & hoc $olùm latus intellectuale, in tota pyramidis $uperficie $ub hoc $itu ui$um præterit. Et huius rei ueritas patet ex hoc. Quòd quocunq; pyramidis puncto $umpto ex- tra latus intellectuale, $i ad ip$um ducatur linea à centro ui$us, & ab eo linea longitudinis pyramidis ad terminum axis, efficient hæ duæ line{ae} triangulum cum linea lateri applicata: & erit triangulum in $u- perficie â centro ui$us intellecta, pyramidem $ecante. [Nam $i conus $ecetur plano per axem: cõmunis $ectio e$t triangulum per 3 th 1 co- nico. Apollonij] Et ex his lineis huius $uperficiei nõ ni$i duæ cadunt in $uperficiem pyramidis, $cilicet linea longitudinis, à punct@$um- pto ad acumen pyramidis, & linea oppo$ita huic ex altera parte. Et linea à centro ui$us ad punctum $umptum ducta, $ecat lineam longi- tudinis in puncto $umpto, & lineam lateris continuati cum ui$u in centro ui$us. Quare huic lineæ à centro ui$us non accidet concur$us cum aliqua line arum, ni$i in ip$o centro ui$us. Cum igitur non po$sit OPTICAE LIBER IIII. $umi punctum aliud, ad quod linea à centro ui$us accedat, & in hoc punctum tran$eat: nõ occulta- tur punctum i$tud ab alio puncto, quòd non perueniat ad centrum ui$us: quare apparet ui$ui, cum inter ip$um & ui$um non intercidat corporis $olidi obiectio. Et eadem probatio e$t de quolibet $u- perficiei pyramidis puncto.

39. Si recta linea à ui$u in uerticem $peculi conici conuexi recti, continuetur cum axe: tota $uperficies conica uidebitur. 92 p 4.

ET $i linea à centro ui$us in terminum axis cadens, intret pyramidem: dico quòd nullũ occul- tatur ui$ui punctũ in tota pyramidis $uperficie. Sumpto enim quocunq; pũcto in pyramidis $uperficie: intelligatur ad ip$um linea à centro ui$us, & alia ab a d b k $ c @o u$q; ad acumen pyramidis: hæ duæ lineæ includunt $uperficiem triangularem cũ linea à centro ui$us ad terminũ axis ducta, pyrami- dem intrãte: & e$t i$tud triangulũ in $uperficie pyramidem $ecante: cum omnis $uperficies, in qua fuerit linea intrans pyramidem, $ecet eam. Linea uerò à centro ui$us ad punctũ $umptũ ducta, $ecat in illo puncto lineã longitudinis ab eo ad acum\~e pyramidis ductã. Et ex li- neis $uperficièi, in qua $unt hæ duæ lineæ, non $unt, ni$i duæ lineæ in $uperficie pyramidis, $cilicet hæc linea longitudinis, à pũcto ad acu- men ducta, & alia oppo$ita, $ecans angulũ, quem includit hæc cũ li- nea pyramid\~e intrante. Igitur linea illa oppo$ita, extra pyramid\~e pro ducta, $ecat lineam à centro ad punctũ $umptum ductã. Quare linea hæc $ecat duas lineas, qu{ae} $olæ ex lineis huius $uperficiei $unt in py- ramidis $uperficie: unam extra pyramidem, aliã in puncto $umpto. Quare producta in infinitum nõ concurret cũ aliqua illarum linea- rum: unde nõ occultatur ui$ui $umptum punctum, $ecundũ modum $uprà dictum. In hoc $itu ergo nulla $uperficιerũ pyramidem tangen tium tran$ibit per centrũ ui$us, $ed qu{ae}libet $ecabit lineam à ui$u $u- per terminum axis pyramidem intrãtis, inter ui$um & pyramidem: & e$t in termino axis. Cum uero linea ui$us lineæ longitudinis pyra midis applicatur: nulla $uperficierum pyramidem tangentium pertinetad centrum ui$us præter il- lam, quæ in prædicta linea contingit pyramidem: & omnes $uperficies conting\~etes, $ecabunt lineã illam inter ui$um & uerticem pyramιdis. Similiter in $itu, in quo duæ $uperficies contingentes py- ramid\~e per centrũ ui$us tran$eunt: quælibet $uperficies tangens pyramid\~e in portione pyramidis appar\~ete, qu{ae} duas conting\~etes interiacet, à centro ui$us diuertit: & $uper quodcunq; punctũ illius portionis cadat linea ui$ualis: $ecabit pyramid\~e, cũ intercidat inter duas cõting\~etes ui$uales: & $u- perficies, in qua fuerit linea hæc ui$ualis, & linea longitudinis pyramidis, $ecabit pyramid\~e: & erit hæc ui$ualis $uperficies cuicunq; $uperficiei pyramidis in hac portione, continua: quare & ui$us.

40. Si commun{is} $ectio $uperficierum, reflexion{is} & $peculi conici conuexi fuerit lat{us} coni- cum: à quolιbet con$picuæ $uperficiei puncto ad ui$um reflexio fieri pote$t. 31 p 7.

DIco ergo, quòd in quolibet $itu, à quolibet puncto pote$t fieri reflexio. Sumatur enim pun- ctum, & intelligatur circulus per punctum tran$iens, ba$i py- b $ a u f d c h n g r k s x q p ramidi æquidi$tãs: diameter igitur huius circuli ab hoc pun- cto incipiens, erit perpendicularis $uper axem [per 3 d 11] cũ axis $it perpendicularis $uper circuli $uperfici\~e [per 18 d 11, & conuer$am 14 p 11.] Quare linea longitudinis à puncto ad acum\~e pyramidis ducta, tenet angulum acutum cum diametro, & acutum cum axis termino in eadem $uperficie [per 32 p 1, quia angulus ab axe & $emidiametro g d comprehen$us, e$t rectus.] Sit linea ui$ualis $uper punctũ cadens in $uperficie, in qua e$t linea lõgitudinis & axis, in qua $uperficie de- ducatur perpendicularis $uper lineã longitudinis in puncto illo: con curret hæc quidem perpendicularis cum axe: [per 11 ax] & ex ea, & axe, & linea longitudinis efficietur triangulum. Super punctũ illud intelligatur linea contingens, & $uper diametrum circuli, quem feci mus, intelligatur diameter alia orthogonalis $uper ip$am: quæ erit orthogonalis $uper ip$um axem: & $uper $uperficiem, in qua e$t axis, & diameter prima [per 4 p 11] & hæc diameter $ecunda e$t æquidi- $tans contingenti [per 28 p 1] quoniam contingens perpendicularis e$t $uper diametrum primam [per 18 p 3] & ita linea contingens or- thogonalis e$t $uper $uperficiem, in qua $unt axis & diameter prima [per 8 p 11.] Quare erit perpendicularis $uper perpendicular\~e, quam primo fecimus [per 3 d 11] & ita illa prima perpendicularis orthogonaliter cadit $uper $uperficiem, conting\~etem pyramidem, in qua punctum e$t $umptum. Igitur $i linea ui$ualis, cadens in punctum $umptum, trã$eat $ecundũ proce$$um perpendicularis: erit quid\~e orthogonalis $uper $uperficiem, ALHAZEN pyramidem illã in puncto contingent\~e, & fiet reflexio formæ per eand\~e lineam [per 11 n.] Si aute@ deuiet à proce$$u perp\~edicularis: faciet quid\~e angulum cum perpendiculari acutũ in puncto $um- pto: & poterit produci in $uperficie eius lineæ ui$ualis, alia linea à puncto illo, quæ æqual\~e angulũ huic teneat cum perpendiculari: cum perpendicularis orthogonalis $it $uper $uperfici\~e contingen tem. Linea aut\~e quæcunq; $uper $uperficiem, contingentem in puncto $umpto orthogonaliter ca- dens, tran$it ad axem [per 11 a x: e$t enim perp\~edicularis conico lateri: quia, cum ex the$i $it perpen- dicularis plano conum tangenti in latere per 6 uel 35 n: erit per 3 d 11 ip$i lateri perpendicularis] & $i ab axe ducatur orthogonalis ad hanc $uperficiem, efficient perpendiculares, interior & exterior, lineã unam [per 14 p 1:] quòd $i non: cũ perpendicularis interior, extrà producta, $it etiã perpendi- cularis $uper $uperficiem: accidet ab eod\~e puncto $uper aliquam $uperficiem, erigi duas perpendi- culares in eand\~e partem [contra 13 p 11.] Palàm igitur, quòd à quocunq; puncto $uperficiei pyrami- dis ui$o, pote$t fieri reflexio ad paritatem angulorum. Et cum linea declinata occurrerit: forma ue- niet ad $peculum $uper lineam hanc, & reflectetur ad ui$um $uper aliam: & $unt hæ lineæ in eadem $uperficie orthogonali, $uper $uperficiem contingentem pyramidem in puncto reflexionis [per 6. 13 n.] Et hæc e$t $uperficies reflexionis, in qua $emper fit comprehen$io quatuor punctorũ, $cilicet, centri ui$us, puncti ui$i, puncti reflexionis, termini perpendicularis.

41. Commun{is} $ectio $uperficierum reflexion{is} & $peculi conici cõuexi e$t lat{us} conicum uel ellip$is: nunquam uerò circul{us}. 12 p 7.

DIuer$ificantur aut\~e lineæ cõmunes $uperficiei reflexionis, & $uperficiei pyramidis. Cũ enim radius ui$ualis continuus fuerit axi pyramidis, $cilicet, cũ in $uperficie reflexionis fuerit to- tus axis, & perpendicularis ad axem tran$iens: erit $uperficici reflexionis & $uperficiei py- ramidis cõmunis linea, linea longitudinis in hoc $itu. Quoniã quælibet $uperficies, in qua e$t totus axis, hanchabet lineam communem cum $uperficie pyramidis [ut patet è 18 d 11.] Et in omni alio $itu unica longitudinis pyramidis linea erit communis, illa $cilicet, qu{ae} fuerit in $uperficie ui$us c\~e- trum & ax\~e contin\~ete. Et quãdo centrũ ui$us nõ erit in directo axis, una tantùm erit $uperficies ta- lis: & omnis alia cõmunis linea, erit $ectio pyramidalis, nõ circulus. Si enim fuerit circul<_>9: erit $uք- ficies illi<_>9 circuli in $uքficie reflexiõis. Et <003>a axis orthogonalis e$t $uք illũ circulũ [ք 18 d 11, & cõuer- $am 14 p 11] cũ quilibet circulus pyramidis $it æquidi$tãs ba$i [ք 4 th. 1 conicorũ Apollonij] erũt la- tera pyramidis declinata $uք circulũ: & ita $uք $uքfici\~e reflexiõis. Quare in $uperficie illa nõ pote$t duci քp\~edicularis $uք lineã lõgitudinis pyramidis: $ed [ք 6.13 n] քpendicularis ducta $uք $uքfici\~e, cõting\~et\~e locũ reflexiõis, e$t in $uքficie reflexiõis, & քp\~edicularis $uք lineã lõgitudinis [ut o$t\~e$um e$t {pro}ximo numero] cũ \~qlibet $uքficies tãg\~es tãgat in linea lõgitudinis [ք 6. 35 n.] Accidit igitur im po$sibile [cõtra 13 n.] Quare re$tat o\~es alias cõmunes reflexiõis lineas, $ectiões pyramidales e$$e.

42. Si commun{is} $ectio $uperficierum reflexion{is} & $peculi conici conuexi, fuerit lat{us} co- nicum: reflexio à quocun<005> ip$i{us} puncto facta, in eadem $uperficie $emper fiet. 19 p 7.

ET cũ fuerit linea cõmunis, linea lõgitudinis, ex quocũ q; pũcto illius lineæ fiat reflexio: erit in ead\~e $uperficie cũ cuiu$cunq; alterius pũcti reflexione. Quoniã à quolibet huius lineæ pũcto ducta perp\~edicularis cõtin get ax\~e [ut o$t\~e$um e$t 40 n:] & erũt in $uքficie reflexiõis c\~etrum ui$us: & punctũ reflexionis: & punctũ axis. Quare in hac $uperficie fit reflexio à quocunq; puncto.

43. Si cõmun{is} $ectio $uperficierũ, reflexion{is} & $peculi conici cõuexi fuerit ellip$is: ab uno uel duob. cõ$picuæ $uperficiei pũct{is} quib{us}libet, in ead\~e $uքficie ad ui$um reflexio fieri pote$t. 34 p 7.

SI uerò cõmunis linea nõ fuerit linea lõgitudinis: dico quòd uel f d d e r b g c h i p $ q s n k ab uno cõmunis lineæ pũcto, in ead\~e $uperficie fiat reflexio, uel à duobus tantùm. Quoniã ducta perpendiculari à puncto refle- xionis: perueniet ad ax\~e, & cadet in aliquod punctũ eius [ut patuit 40 n:] & intellecto circulo $uper punctũ reflexionis, orthogonaliter $ecabit circulus axem [Quia enim circulus parallelus e$t ba$i per 4 th 1 conico. Apollonij: erit axis ad ip$um perpendicularis per 18 d, & conuer$am 14 p 11.] Et quia perpendicularis tenet angulum acutum cum axe: erit perp\~edicularis declinata $uper circulũ; & circumquaq; ducta, $emper erit æqualis. Vnde fiet pyramis, cuius ba$is circulus, acumen punctum axis, in quod cadit perpendicularis. Igitur $uper- ficies reflexionis aut tanget hanc pyramid\~e, aut $ecabit. Si tangat: di- co quòd à puncto reflexionis $umpto po$sit tantùm fieri in ead\~e $u- perficie reflexio. Planũ enim, quòd $uperficies reflexionis continget hanc pyramid\~e $uper perpendicular\~e, quæ e$t linea orthogonalis in $uperficie reflexionis [per 6. 35 n.] Et $i ab acumine totalis pyrami- dis ducantur lineæ ad $ectionem commun\~e $uperficiei reflexionis & pyramidis totalis, prius cadent in circulũ, qui e$t ba$is pyramidιs in- tellectæ, quàm in $ection\~e: præter unã, quæ in punctũ reflexionis ca- dit. Si ergo ab alio puncto cõmunis $ectionis fieret reflexio: linea ab illo puncto ad acumen intellectæ pyramidis ducta: erit perpendicularis $uper lineam longitudinis OPTICAE LIBER IIII. pyramidis, per punctum illud tran$euntem [ut antè patuit:] $ed linea ab acumine pyramidis intel- lectæ ad punctũ circuli, per quod tran$it illa linea longitudinis, ab$q; dubio e$t perpendicularis $u- per eam. Quare alia angulum tenet acutum cum hac linea, non rectum. f a r d e b g c h p $ s n k [$ecus tres anguli trianguli rectilinei maiores e$$ent duobus rectis cõ- tra 32 p 1: quod tamen ab$urdum ex angulis c r i, cir rectis conclu$is $equitur.] Si uerò $uperficies reflexionis $ecet intellectualem pyrami- dem: $ecabit circulum, qui e$t ba$is, in duobus punctis. [Quia enim cõ- munis $ectio ellip$is (quæ ex the$i e$t reflexionis $uperficies) & circuli (qui e$t fictæ pyramidis ba$is) e$t linea recta per 3 p 11, duobus punctis terminata: ellip$is igitur $ecat circulũ in duobus punctis, nempe lineæ rectæ terminis.] Dico, quòd hæc $ola $unt puncta in tota $ectione com- muni, à quibus fieri po$sit reflexio in ead\~e $uperficie. Quoniã ab utroq; i$torum punctorũ linea ducta ad acumen intellectæ pyramidis, e$t per- pendicularis $uper lineam longitudinis $uper punctum $uũ tran$eun- tem. Àquocunq; enim $ectionis puncto alio ducatur linea ad acumen illius pyramidis: tenebit angulum acutum cum linea longitudinis per ip$um tran$eunte, cũ perpendicularis cum ead\~e longitudinis linea an- gulum rectum teneat in circulo. Et lineæ ductæ ab acumine pyramidis intellectæ ad puncta $ectionis, quæ intercidunt inter $peculi acumen & circulum: facient angulos obtu$os cum lineis longitudinis uer$us par- tem acuminis pyramιdis totalis: & quæ ducuntur ad puncta inter cir- culum & ba$im $peculi interiacentia, faci\~et cum linea longitudinis an- gulos acutos ex parte acuminis $peculi, obtu$os ex parte ba$is. Ergo à nullo i$torũ punctorum po- te$t fieri reflexio.

44. Si ui${us} fuerit in caua $peculi $phærici $uperficie: uidebit totam: $i intra uel extra: aliâs hemi$p hærium, aliâs pl{us}, aliâs min{us}: $i in centro: $e ip$um tantùm uidebit. 71. 72 p 4. 4 p 8.

IN $peculis $phæricis concauis $i ui$us fuerit intra concauitatem $peculi: tota $peculi $uperficies apparebit ei: quod $i extra fuerit: poterit comprehendere portionem eius maiorem medietate, quam $cilicet fecit circulus $phæræ, quem contingunt duo radij à centro ui$us ducti: ui$u autem in centro huius $peculi exi$tente, non fiet ab aliquo puncto $peculi reflexio, ni$i in $e. Quoniã enim quælibet linea à centro $phæræ ad $phæram ducta perpendicularis e$t $uper $uperficiem, $phæram in puncto illo tangentem [per 25 n uel 4 th. 1 $phæricorum:] ergo in hoc $itu non comprehendet ui$us per reflexionem, ni$i $e tantùm [per 11 n.]

45. Si ui${us} $it extra centrum $peculi $phærici caui: ui$ibile à quolibet ei{us} puncto ad ui$um reflecti pote$t: excepto eo, in quod recta à ui$u per centrum $peculi ducta, cadit. 6. 3 p 8.

SI uerò $tatuatur ui$us extra centrum $phæræ: poterit fieri reflexio alterius rei ui$ibilis à quo- cunq; $peculi puncto: præterquam ab eo, in quod cadit diameter, à centro ui$us ad $phæram per centrum $phæræ ducta: quoniam diameter cadit $uper $uperficiem contingentem $phæ- ram, orthogonaliter [per 25 n, ideo\’q; reflectitur in $eip$am per 11 n.] Sumpto aut\~e alio puncto, du- catur ad ip$um diameter à centro $phæræ, & linea à $ g d f h b a @ centro ui$us. Ex his ergo lineis acutus includetur angulus: quoniam linea ui$ualis cadit inter diame- trum & $uperficiem contingentem punctum, quæ $cilicet e$t extra $phæram: & $iue $it oculus intra $pe culum, $iue extra, cadit ui$ualis linea intra $pecu- lum: quia cadit inter lineas ui$uales contingentes circulum portionis $phæræ. [Itaq; $i diameter g b & linea reflexionis g a in peripheriam cõtinuatæ, con- nectantur: erit angulus a g b acutus per 31 p 3.32 p 1.] Cum igitur diameter angulum rectum teneat cum conting\~ete [per 18 p 3:] $ecetur ex eo acutus, æqua- lis prædicto in eadem $uperficie: dico ergo, quòd li- nea reflexionis cadit intra $peculum: quoniam com munis linea $peculi & $uperficiei reflexionis, e$t cir- culus, tenens cum diametro angulum acutum ma- iorem omni rectilineo acuto [per 31 p 3.] Et in $in- gulis punctis erit hic modus reflexionis. Palàm ex his, quòd in omni $uperficie reflexionis erunt centrum ui$us: centrum $peculi: punctum reflexio- nis: punctum ui$um: terminus diametri à centro ui$us per centrum $phæræ ductæ: & quòd com- munis omnium $uperficierum reflexionis linea cum $uperficie $peculi, e$t circulus: & quòd à quo- libet lineæ communis puncto pote$t fieri in eadem $uperficie reflexio.

ALHAZEN 46. In $peculo cylindraceo cauo $uperficies reflexion{is} quatuor habet puncta: ui${us}, ui$ibil{is}, reflexion{is}, & ax{is}, in quod perpendicular{is} à reflexion{is} puncto ducta, cadit. 3 p 9.83 p 4.

IN $peculis columnaribus concauis pote$t comprehendi totum $peculum: $i fuerit ui$us intra ip$um: $ed eo extrà $ito, uidebitur maior medietate $peculi portio, quæ $cilicet interiacet duas $uperficies à centro ui$us procedentes, columnam contingentes. Intelligemus autem $uperfi- ciem à centro ui$us proced\~etem, ba$ibus columnæ æquidi$tantem: a d f @ t e b hæc $uperficies aut cadet in columnã, aut nõ: $i ceciderit, linea com- munis huic $uperficiei & columnæ erit circulus [per 5th. Sereni de $ectione cylindri:] & linea ui$ualis, tran$iens per centrum huius cir- culi, cadet orthogonaliter $uper $uperficiem, contingentem colu- mnam in puncto, in quod cadit linea [ut dem õ$tratũ e$t 32 n] & fiet reflexio per eandem lineam ad eius originem [per 11 n. Itaq; cum li- nea recta (quæ per 1 p 11 in uno e$t plano) tran$eat per puncta ui$us, ui$ibilis, reflexionis, & axis, in quod perpendicularis à reflexionis puncto ducta, cadit: erũt ipĩa in uno reflexionis plano.] Quodcunq; aliud $umatur punctum, linea perpendiculariter ab hoc puncto du- cta, cadet in axem [ut patuit 40 n:] & linea ui$ualis in punctũ illud cadens, faciet angulum acutum cum linea perpendiculari [ut o$ten- $um e$t $uperiore numero] cũ $it inter perpendicular\~e & contingen tem. Et quòd h{ae}c linea cadat intra $peculũ, planum e$t ex hoc: quòd cadit inter $uperficies portionem contingentes. Poterimus igitur in eadem reflexionis $uperficie ex angulo, quem facit perpendicularis cum contingente, excipere angulum acutum, æqualem angulo acu to prædicto: & cadet linea reflexionis, hunc angulum continens, in- tra columnam: quoniam cadet inter perpendicularem & lineam lõ- gitudinis, per terminum perpendicularis tran$euntem. Erunt igitur in $uperficie reflexionis cen- trum ui$us, punctum reflexionis, punctum ui$um, punctum axis, in quod cadit perpendicularis.

47. Si commun{is} $ectio $uperficierum, reflexion{is} & $peculi cylindracei caui, fuerit lat{us} cy- lindr aceum, aut circul{us}: reflexio à quocun<005> $ection{is} puncto facta, in eadem $uperficie fiet.

ET $i hoc modo $tatuatur ui$us, ut communis linea $uperficiei reflexionis & $uperficiei colu- mnæ $it linea longitudinis; à quo cunq; puncto cõmunis lineæ fiat reflexio: in una determi- nata erit $uperficie, omnibus his reflexionibus communi, ea $cilicet, in qua centrum ui$us, & axis columnæ totus, $icut dictum e$t $uperius in columnari $peculo non concauo [32 n.] Similiter $i linea communis fuerit circulus, omnes reflexiones à punctis illius circuli factæ, procedent in ea- dem $uperficie, $icut in alijs circulis patuit.

48. Si commun{is} $ectio $uperficierum, reflexion{is} & $peculi cylindracei caui fuerit elli- p$is: à plurib{us} ei{us} punct{is} idem ui$ibile ad eundem ui$um, in eadem $uperficie reflecti po- te$t. 9 p 9.

ET $i $ectio columnaris, fuerit linea communis: à duobus quidem eius punctis tantùm fiet re- flexio in ead\~e $uperficie, licet in $uperioribus columnis [33 n] tantùm ab uno puncto in uni- ca $uperficie fieret reflexio, unico ui$u adhibito: quoniam illic latebant ui$um puncta $ectio- nis $e re$picientia, per quæ $cilicet tran$it circulus columnæ ba$ibus æquidi$tans: ui$o enim uno il- lorum punctorum, latebat aliud, propter minoris columnæ portionis apparentiam: $ed in his appa ret maior columnæ portio: unde ab uno ui$u percipiuntur puncta terminantia diametrum circuli, æquidi$tantis ba$ibus columnæ.

49. Si ui${us} fuerit intra $peculum conicum cauum: tota ei{us} $uperficies uidebitur: $i extra & recta à ui$u continuetur cum axe, uel conico latere: tot a occultabitur. 5. 2. 9. 3 p 9.

IN $peculis pyramidalibus concauis, $i fuerit ui$us intra $peculum: uidebit ip$um totum: $i uerò extra, & linea à c\~etro ui$us ad acumen pyramidis ducta, intret pyramidem, aut applicetur lineæ longitudinis pyramidis, nihil uidebitur ex $peculò. Quohiam quæcunq; alia linea ab oculo ad pyramidem ducta, cadet in pyramidis $uperficiem exteriorem: unde occultabitur interior $uperfi- cies. Si autem auferatur portio à pyramide, poterit uideri pars pyramidis, cadens inter contingen- tes $uperficies à centro ductas, $cilicet maior. Et $i linea à centro ui$us, $it perpendicularis $uper $u- perficiem contingentem pyramidem, & continuetur axi: erunt lineæ communes ($icut dictum e$t in alijs pyramidalibus) aut lineæ longitudinis pyramidum, aut $ectiones. Et in his à duobus pun- ctis $ectionis poterit fieri reflexio, in eadem $uperficie, re$pectu eiu$dem ui$us. Et in $uperficie re- flexionis erunt, centrum ui$us, punctum ui$um, punctum reflexionis, punctum axis, in quod cadit perpendicularis.

OPTICAE LIBER IIII. 50. Si ui${us} opponatur ba$i $peculi conici caui: ui$ibile intra $peculum po$itum, tantùm uide- bitur. 6 p 9.

SEd $peculum pyramidale integrum $i opponatur ui$ui, & $it ui$us ex parte ba$is, non percipiet ni$i hoc, quod fuerit intra $peculum: quoniam perpendicularis tenet angulum acutum cum linea ab oculo ad ip$am ducta, ex parte ba$is: unde fit reflexio ex parte acuminis [radius enim reflexus declinat ad partem oppo$itam radio, obliquè $peculo incid\~eti per 10 n:] & cadent omnes lineæ reflexæ intra pyramidem, & uideri poterit, quod intra pyramidem po$itum e$t. Si autem au- feratur ex eo portio $ecundum longitudinem: poterunt quidem comprehendi exteriora, cum pa- teat exitus lineis reflexionis. Similiter $i $ecetur pyramis ad modum annuli, ut auferatur uertex: li- berum habebunt lineæ ingre$$um, & exteriora apparebũt: & $i fuerit ui$us ex parte $uperficiei con- cauitatis $peculi: plura poterit comprehendere exteriora, quàm ex parte ba$is: quia latior inciden- tibus datur lineis uia.

51. Ab uno cui{us}libet $peculi puncto, unum ui$ibil{is} punctum ad unum ui$um reflectitur. 29. 30. 31 p 5. Item 37 p 5: item in præfat. 1. 5. & 10 librorum.

AMplius: $umpto uniu$cuiu$q; $peculi puncto, nõ e$t po$sibile in eo percipi formam, ni$i for- mam unius puncti ab eodem ui$u. Quoniam enim per perpendicularem & centrum ui$us unica tran$it $uperficies: & una $ola e$t linea à centro ui$us ad punctum: & unicus angulus ex linea perpendiculari acutus, & unicus angulus in eadem $uperficie acutus æqualis huic [$ecus pars æquaretur toti contra 9 ax.] ergo e$t unica linea, quæ angulum æqualem huic cum perpendi- culari facit: & cum linea peruenerit ad partem corporis, nõ pote$t forma alterius puncti per ip$am uehi, cum punctum præcedens occultet po$tpo$itum. Sed duobus ui$ibus po$$unt in eodem $pe- culi puncto comprehendi duæ punctuales formæ: quoniam infinitæ po$$unt $umi $uperficies, $u- per perpendicularem $e $ecantes, in quarum qualibet circa perpendicularem $umi poterunt duo anguli æquales acuti. Iam ergo proprietatem reflexionis declarauimus, & $imiliter cuiuslibet $pe- culi proprium. Vi$us autem cum per reflexionem formas comprehendit, non animaduertit quòd hæc acqui$itio per reflexionem $it. Non enim accidit ex proprietate ui$us reflexio: quoniam ui$u remoto, procedit non minus forma à corpore ad $peculum, & reflectitur $ecundum modum pr{ae}di- ctum: & $i accidat ui$um e$$e in loco, in quem linearum reflexarum fit aggregatio: comprehendet ui$us formam illam in capitibus harum linearum: & e$t in $peculo tanquam non adueniens, $ed na- turalis e$$et forma $peculo. Amplius: aliquando acquirit ui$us formas in $peculis in $ola $uperficie, aliquando intra $peculum, aliquando ultra. Et erit apparens locus formæ $ecundum figuram $pe- culi & $itum rei ui$æ: & $emper comprehendetur forma in loco proprio, mutato $itu ui$us & $pecu- li: & erit diuer$itas elongationis loci formæ ad $peculi $uperficiem, $ecundum diuer$itatem figuræ $peculi. Et locus formæ dicitur locus imaginis. Et forma dicitur imago. Vi$us autem comprehen- dit rem ui$am in loco imaginis. Et nos dicemus illum locum, & eius proprium in quolibet $pecu- lorum, quæ enumerauimus: & a$signabimus cau$as, propter quas comprehendantur res ui$æ in loco illo: & hoc in $equente libro, $i deus uoluerit.

ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE LIBER QVINTVS.

_LIBER_ i$te in du{as} partes diui${us} est. Prima pars e$t proœmium libri. Secunda de imaginib{us}.

PROOEMIVM LIBRI. CAP. I. 1. Imago e$t form a ui$ibil{is}, à polit a $uperficie reflexa. In def. 5 libri.

LIquet ex quarto libro [2 n] quòd formæ rerum ui$arum reflectuntur ex corporibus politis, & ui$us comprehendit eas in corporibus politis propter reflexionem: & patuit [20. 21 n 4] quo- modo fieret acqui$itio rerum ex reflexione formarum. Et ui$us comprehendit rem ui$am in loco determinato: & primò, cum non fuerit $itus rei ui$æ ad ui$um mutatio. Et forma comprehen$a in corpore polito nominatur imago. Et nos explanabimus in hoc libro loca imaginũ ex corporibus politis: & dicemus quomodo acquiratur horũ locorũ $cientia, & quomodo inueniatur $yllogi$ticè.

DE LOCIS IMAGINVM. CAP. II. 2. In $peculo plano imago uidetur in concur$u perpendicular{is} incidentiæ & lineæ reflexio- n{is}. 37 p 5.

IMaginis cuiu$cunq; puncti locus, e$t punctum in quõ linea reflexionis $ecat perpendicularem à puncto rei ui$æ intellectam $uper lineam contingentem lineam cõmunem $uperficiei $peculi, ALHAZEN uel $uperficiei $peculo continuæ, & $uperficiei reflexionis. Et nos hæc declarabímus. Sumatur $pe- culum planum, & $tatuatur æquidi$tans horizonti: & lignum directũ & politum erigatur $uper $pe culum: & $it $peculi quantitas, ut totũ po$sit uideri lignum: ni$i enim totum appareat, error inerit: & $ignetur in ligno punctum aliquod nigrum: apparebit quidem ui$ui lignũ æquale huic ultra $pe- culum, huic ligno continuum, & orthogonale $upra $peculum, & in ligno appar\~ete apparebit pun- ctum $ignatum, tantùm di$tans à $uperficie $peculi, quantùm ab eadem di$tat in ligno $uperiore. Et $i declinetur lignum $upra $peculum: apparebit apparens eadem declinatione declinatum: & pun- ctum $ignatum in apparente apparebit æquè remotum à $uperficie $peculi. Et $i à puncto $ignato lignum aliquod erigatur orthogonaliter $upra $peculum: uidebitur etiam hoc lignum à puncto ap- parente orthogonaliter $upra $peculum, & huic orthogonali continuum. Idem accidet pluribus punctis in ligno $ignatis. Idem\’que penitus accidet eleuato aut depre$$o $peculo. Planum ergo per hoc, quòd imago puncti ui$i apparet in perpendiculari, ducta à puncto ui$o ad $uperficiem $peculi. Et in hoc $peculo, quæ perpendicularis e$t $uper $uperficiem $peculi, e$t perpendicularis $uper li- neam communem $uperficiei $peculi & $uperficiei reflexionis. Idem patére pote$t in pyramide $u- per ba$im orthogonali, cuius ba$is plana $peculo plano $it orthogonaliter adhibita: apparebit enim huic pyramis alia continua, & harum pyramidum ba$is eadem, & acumina ip$arum æqualiter à $pe culo di$tantia. Et planum, quòd $i ab acumine ad acumen ducatur linea recta, erit perpendicularis $uper ba$im: & ita $uper $peculum, cum eadem $it $uperficies $peculi & ba$is. Quare uertex pyra- midis in perpendiculari uidebitur ab eo ad $peculum ducta. Similiter à quocunq; puncto pyrami- dis ducatur linea æquidi$tans axi, cadet ad punctum re$piciens ip$um in apparente pyramide: & erit linea illa perpendicularis $uper ba$im & $uper $peculi $uperficiem [per 8 p 11.] Quare imago cuiu$q; puncti pyramidis cadit in perp\~edicularem, intellectam à puncto illo in $peculi $uperficiem. Sed quodcunq; punctum opponatur $peculo plano, e$t intelligere pyramidem, cuius punctum il- lud uertex: [per 14 n 4] quæ quidem pyramis $uper ba$im orthogonalis e$t, & etiam $uper $peculi $uperficiem, aut ei continuam: & e$t intelligere aliam huic pyramidi oppo$itam, quarum ba$is ea- dem, & perpendicularis à uertice ad uertic\~e orthogonalis erit $uper $peculum. Quare imago cuiu$- cunq; puncti $peculo oppo$iti, cadit in perpendicularem ductam à puncto ad $peculi $uperficiem, aut ei continuam. Sed [per 21 n 4] planum e$t, quòd in $peculis non accidit comprehen$io forma- rum, ni$i per lineas reflexionum. Quare imago puncti ui$i cadit in lineam reflexionis: & quælibet talis linea e$t recta. Quare imago cuiu$cunq; puncti cadit in punctum $ectionis perp\~edicularis, du- ctæ ab illo puncto ad $uperficiem $peculi, & lineæ reflexionis. Et in $peculis planis linea communis $uperficiei $peculι & $uperficiei reflexionis e$t una linea cum linea contingente locum reflexionis. Quare planum, quòd in $peculis planis imaginis locus, e$t punctũ $ectionis perpendicularis à pun- cto ui$o $uper lineam, contingentem communem lineam $uperficiei $peculi & $uperficiei reflexio- nis, & lineæ reflexionis.

3. In $peculo $phærico conuexo, imago uidetur in concur$u perpendicular{is} incidentiæ & li- neæ reflexion{is}. 11 p 6.

IN $peculis $phæricis extrà politis patebit quod diximus. Qu{ae}ratur $uperficies $peculi talis ma- gna, in qua appareat forma baculi gracilis, perpendiculariter erecti $uper ip$um: apparebit qui- dem forma baculi baculo continua: & apparebit in forma baculi punctum $ignatum, di$tans à $uperficie $peculi $ecundum di$tantiam eius ab eodem, in baculo: & $i fuerit baculus gracilior ex parte unius capitis, quàm ex parte alterius: apparebit quidem in hoc $peculo forma eius pyrami- dalis: & e$t error ui$us, quem po$tea a$signabimus. Amplius: fiat pyramis orthogonalis $uper ba$im circularem circulatione perfecta: & applicetur etiam huic $peculo: uidebitur quidem pyramis huic cõtinua $uper eandem ba$im erecta, $ed minori$ta. Quòd autem appareat pyramis, planum e$t per hoc, quòd omnes lineæ ab apparehte imagine uerticis ad circulum ba$is, uideantur æquales. Et $i declinetur pyramis modicùm $upra $peculum a $itu, in quo tota uidetur, ut $cilicet aliquid ex ea ab- $condatur, dum tamen locus reflexionis in $peculo ui$ui exponatur: apparebit etiam inde imago pyramidis. Et $i elongetur ui$us à $peculo, aut accedat, dum tam\~e $uper lineam à loco ad ip$um pro- tractam cadat: comprehendetur imago pyramidis. Sed acce$$us uel rece$$us $ecundum hanc li- neam erit, ut notetur locus reflexionis, & à nota ad locum ui$us ducatur linea, $ecundum quam fiat proce$$us. Verùm quoniam imago pyramidis orthogonalis e$t $uper ba$im pyramidis, & ba- $is e$t circulus ex circulis in $phæra: erit linea à uertice pyramidis ad uerticem imaginis ducta, or- thogonalis $uper circulum illum, & tran$ibit per centrum eius [per 6.8 d 1 conicorum] & erit or- thogonalis $uper $phæram, & tran$ibit per centrum $phæræ, & erit perpendicularis $uper $uperfi- ficiem, $phæram contingentem in puncto, per quod tran$it hæc linea [per 4 th. 1 $phær. uel 25 n 4] & erit $imiliter orthogonalis $uper lineam, contingentem circulum $phæræ per punctum illud tran$euntem [per 3 d 11.] Et hæc contingens e$t linea, communis $uperficiei reflexionis & $uperficiei contingenti $phæram in puncto illo: & hæc linea contingit circulum $phæræ, commu- nem $uperficiei $phæræ & $uperficiei reflexionis. Linea ergo à uertice pyramidis ad uerticem imaginis ducta, e$t perpendicularis $uper lineam contingentem, lineam communem $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi: quæ quidem e$t circulus. In hac igitur perpendiculari uide- tur imago uerticis. Et planum [per 21 n 4] quòd imago uerticis e$t in linea reflexionis. Quare OPTICAE LIBER V. comprehendetur imago uerticis in cõcur$u lineæ reflexionis, & perpendicularis à uertice ad $phæ- ram ductæ, $iue ad contingentem, circulum communem $uperficiei $phæræ & $uperficiei reflexio- nis. Sumpto autem quocunque puncto huic $peculo oppo$ito, e$t intelligere pyramidem $uper $uperficiem $peculi orthogonalem, aut $uper continuam ei, cuius uertex $it punctũ $umptum: [per 14 n 4] & linea ab illo puncto ad imagin\~e puncti illius, erit in $uperficie reflexionis, & perpendicu- laris $uper $uperficiem $peculi, uel ei continuam modo prædicto: quoniam punctum ui$um & ima- go $emper $unt $imul in $uperficie reflexionis [per 23 n 4.] Quare & linea à puncto ui$o ad eius imaginem ducta.

4. In $pecul{is} conuex{is} cylindraceo, conico, imago uidetur in concur$u perpendicular{is} inci- dentiæ & lineæ reflexion{is}. 37 p 5.

IN $peculis columnaribus exterius politis non apparent, quæ in ligno & pyramide diximus: quoniam recta in his $peculis uidetur non recta: & e$t error ui$us communis, cuius po$tea cau$- $am a$signabimus. Accidit tamen in $olo corporis puncto uidere locum imaginis prædictum, hoc modo. Adhibito præcedentis libri in$trumento, immittatur regula, cui $it infixum columnare $peculum, ut media portionis $peculi linea $it in $uperficie regulæ, & non tran$eat hæc regula tabu- lam æneam, $ed $uper ip$am cadat orthogonaliter, ita ut altitudo regulæ $it $uper lineam, diuident\~e triangulum tabulæ æneæ. Erectione facta in hac tabula, impleatur cera, & inducatur ei planities, ut $it in eadem $uperficie cum tabula: & e$t; ut certior fiat orthogonalis regul{ae} directio $uper tabulam. Deinde quæratur regula acuta, & acuatur extremitas, & applicetur huius regulæ acuitas mediæ $u perficiei annuli lineæ, & de$cendat $ecundum lineam hanc, & ubi ceciderit $uper regulam, fiat $i- gnum. Po$tea acus de$cendat, in qua infixum $it modicũ corpus album: & hoc in termino, ne de- icendat acus u$q; ad regulam. Adhibeatur autem ui$us, ut $it in $uperficie regulæ, & claudatur unus ui$uum: uidebitur quidem imago corporis $uper lineam, à puncto $ignato ad acumen acus protra- ctam: quæ quidem linea perpendicularis e$t $uper $uperficiem regulæ; quæ $uperficies tangit colu- mnam in linea longitudinis: & e$t perpendicularis $uper lineam longitudinis columnæ, quæ e$t in $uperficie regulæ: & e$t linea cõmunis $uperficiei regulæ & $uperficiei reflexionis: & in $uperficie re flexionis $unt linea longitudinis & linea perpendicularis. Et $i $itus ui$us mutetur, & circa annuli $u perficiem ui$us uoluatur: apparebunt $icut prius, & in eadem linea corpus, & imago corporis, & a- cus. Et e$t linea illa perpendicularis $uper mediam longitudinis columnæ lineam: & hæc e$t per- pendicularis in $uperficie reflexionis: quoniam $uperficies annuli $ecat columnam $uper circulum, æquidi$tantem ba$i columnæ: & in hac $uperficie e$t ui$us. Et nos probabimus po$tea, quòd quan- do ui$us, & ui$um corpus fuerint in $uperficie, æquidi$tante ba$i columnæ, illa e$t $uperficies refle- xionis. In hoc autem $itu, linea communis $uperficiei columnæ, & $uperficiei reflexionis, e$t circu- lus: & perpendicularis, in qua uidetur imago & corpus, orthogonaliter cadunt $uper lineam, hunc circulum contingentem. His peractis auferatur acus à loco $uo, & ponatur regula acuta $uper li- neam annuli mediam, ita ut cadat $uper mediam longitudinis regulæ lineam, & adhibeatur regula acuta $uperficiei annuli cera firmiter. Po$tea auferatur regula, in qua e$t $peculum, & accipiatur regula acuta, & applicetur eius acuitas mediæ longitudinis regulæ lineæ, & $ecundum proce$$um acuitatis fiat cum incan$to $uper $peculum protractio. Pò$t $umatur triangulum cereum modi- cum, cuius unum latus $it æquale altitudini regulæ, in qua e$t $peculum, & $it $pi$situdo huius tri- anguli moderata, & $uperficies huius trianguli $int planæ pro po$$e: & adhibeatur columnæ re- gulæ triangulum firmiter $ub ba$i regulæ, & latus eius æquale altitudini regulæ ponatur $uper la- tus ba$is regulæ. Cum ita fuerit, erit huius trianguli altitudo $uper ba$im columnæ æqualem regu- læ. Et ut efficiatur $uperficies plana ad modum $uperficiei regulæ, includatur triangulum inter regulam & $uperficiem planam, & comprimatur, donec $it bene complanatum, & $uper $uperfi- ciem huius trianguli ponatur regula acuta, & $ecetur finis huius trianguli cum acuitate regulæ, & erit finis eius linea recta, & erit linea hæc ba$is regulæ, in qua e$t $peculum. Po$tea ponatur regu- la $uper $uperficiem tabulæ, quæ e$t in in$trumento, & ponatur finis eius ba$is, quæ e$t in longitu- dine, quæ e$t latus trianguli cerei, $uper lineam, qu{ae} e$t in longitudine tabul{ae}, $icut factum e$t prius: & erit $uperficies regulæ, in qua e$t $peculum, orthogonalis $uper tabulam æneam: & hæc $uperfi- cies $ecat tabulam æneam $uper lineam, quæ e$t in longitudine eius: & hæc $uperficies tangit $u- perficiem $peculi $uper lineam, quæ e$t in $uperficie $peculi: & hæc e$t $uperficies regulæ, in qua e$t $peculum: & erit angulus regulæ acutæ, adhærentis in media linea $uperficiei annuli, in qua $uper- ficie erit $peculum, declinatus in partem, in qua e$t caput trianguli: quia regula exaltauit unam partem eius cum corpore trianguli, & alia pars, quæ e$t po$t caput trianguli, e$t $uperficies tabulæ æneæ: & erit linea, quæ e$t in medietate $peculi, declinata. Et quando fuerit latus trianguli cerei $u- per lineam, quæ e$t in longitudine æneæ tabulæ: mouebitur regula, in qua e$t $peculum: & latus trianguli in hoc motu, $i $it $uper lineam longitudinis tabul{ae} æneæ, & procedat uel retrocedat, do- nec concurrat angulus regulæ acut{ae} cum puncto aliquo line{ae} $uperficiei $peculi, donec firmetur re gula acuta, & auferatur linea in $peculo cum incau$to facta: & fiat punctum in $uperficie $pecu- li in directo capitis regulæ acut{ae}, & auferatur regula acuta, & apponatur acus, & $it acus $uper li- neam mediam $uperficiei annuli, & adhærere cogatur cum cera: erit linea intellectualis ab acu in punctum $ignatum in $uperficie $peculi, perpendicularis $uper $uperficiem regulæ, quæ tangit $u- ALHAZEN perficiem $peculi $uper punctum $ignatum, & perpendicularis $uper quamlibet lineam ab illo pun- cto protractam, in $uperficiem contingentem $peculum. Erit ergo perpen dicularis $uper lineam re- ctam, contingentem lineam communem $uperficiei altæ annuli & $uperficiei $peculi. Ponatur au- tem ui$us in $uperficie annuli, in capite eius, & uidebit in $peculo, donec comprehendat formam corporis parui, quod e$t in acu: & tunc percipiet corpus illud, & punctum in $peculo $ignatum, & imaginem illius corporis. Et linea tran$iens per corpus paruum, & per punctum in $uperficie $igna- tum, e$t perpendicularis $uper $uperficiem, contingentem $peculi $uperficiem $uper punctũ $igna- tum: & hæc $uperficies annuli, e$t ex $uperficiebus reflexionis: & corpus paruum, & centrum ui$us $unt in hac $uperficie, & punctus reflexionis e$t in hac $uperficie: & hæc deinceps probabimus. Et imago corporis parui in hoc $itu, erit $uper lineam rectam, à corpore paruo protràctam $uper $u- perficiem, contingentem $uperficiem $peculi: & e$t hæc linea perpendicularis $uper lineam rectam, contingentem lineam communem $uperficiei $peculi, & $uperficiei reflexionis, quæ e$t $uperficies annuli. Et $uperficies reflexionis e$t ex $uperficiebus declinantibus, $ecantibus columnam inter li- neas longitudinis columnæ, & circulos eius æquidi$tantes ba$ibus: quia regula & $peculum, quod e$t in ea, $unt declinata. Linea ergo communis huic $uperficiei & $uperficiei $peculi, e$t ex $ectio- nibus columnaribus. Et ita explanabimus locum imaginis, ut mutetur $itus regulæ, in qua e$t $pe- culum & declinetur $uper $uperficiem eius aliqua declinatione maiore uel minore. Palàm ergo ex his, quòd imago percipitur, ubi perpendicularis à ui$o puncto ad $peculi $uperficiem ducta, concur rit cum linea reflexionis. Et hic e$t $itus prædictus. Eadem poterit adhiberi operatio in $peculo py- ramidali exteriore: & idem patebit $iue $intimagines rerum ui$arum in $ectionibus pyramidalibus, $iue in ijs, quæ fiunt $ecundum lineas longitudinis.

5. Rectarum linearum ab eodem ui$ibil{is} puncto in $pecula planum uel conuexum caden- tium: minima e$t perpendicular{is}. 21 p 1.

SI à puncto ui$o ad $peculi $uperficiem ducantur line{ae}: quæ perpendicularis e$t, minor e$t quali bet alia. Quoniã quælibet alia prius $ecat commun\~e lineã $uperficiei cõtingentis $peculum, in quam orthogonaliter cadit perpendicularis, & $uperficiei reflexionis, antequã ueniat ad $pe- culum: & quælibet linea à puncto ui$o in hac $uperfi- d b c e f g b d @ cie, ad hanc lineã cõmun\~e ducta, e$t maior perpendi culari [per 19 p 1] quia maior\~e re$picit angulũ [rectũ n\~epe a e f in triangulo a e f.] Quare patet propo$itũ.

6. In $peculo $pbærico cauo, imago uidetur in concur$u perpendicular{is} incidentiæ & lineæ refle xion{is}. 37 p 5.

IN $peculis $phæricis concauis comprehendun- tur imagines quædam ultra $peculum: quædam in $uperficie: quædam citra $uperficiem. Et harũ quædam comprehenduntur in ueritate, quædam præter ueritatem. Omnes, quarum comprehenditur ueritas, apparent in loco $ectionis perpendicularis & lineæ reflexionis: quod $ic patebit. Fiat pyramis, & eius axis $it orthogonalis $uper ba$im: & diame- ter ba$is $it minor medietate diametri $phæræ: & li- nea longitudinis pyramidis, $it maior ead\~e $emidia- metro: & $ecetur ex parte ba$is, ad quantitat\~e eius, $cilicet $emidiametri: & fiat $uper $ection\~e circu lus: & $ecetur pyramis $uper hũc circulũ. Po$tea in medio $peculi fiat circulus ad quantitat\~e ba$is py ramidis remanentis: & aptetur huic circulo pyramis, & firmetur cum cera. Deinde $tatuatur ui$us in $itu, in quo imaginem pyramidis po$sit comprehendere: & adhibeatur lux, ut certior fiat com- prehen$io: non uidebis quidem pyramidem huic coniumctam, $ed comprehendes hanc ultra $pecu- lum exten$am: unde apparebit pyramis quædam continua, cuius ba$is ultra $peculum e$t, & pars cius pyramis cerea. Et $i in hac pyramide $ignetur linea longitudinis cum incau$to: uidebitur hæc linea protendi $uper $uperfici\~e pyramidis apparentis. Et quoniã uertex pyramidis e$t centrũ $phæ- ræ: linea à uertice $ecundum longitudinem pyramidis ducta, erit perpendicularis $uper lineam, con tingentem quemlibet circulum $phæræ, per caput lineæ tran$euntem[quodlibet enim conilatus æ- quatur $emidiametro $phæræ per fabricam: uertex igitur coni e$t centrum maximi in $phæra circu- li: cuius $emidiameter e$t latus: itaque per 18 p 3 ad lineam tan gentem e$t perpendiculare.] Quare quælibet linea longitudinis pyramidis apparentis, e$t perpendicularis $uper lineam, contingen- tem lineam cõmunem $uperficiei reflexionis & $uperficiei $phæræ: qu{ae} quidem linea cõmunis e$t circulus [per 1 th 1 $phæ.] & quodlibet punctum pyramidis in hac uidetur perpendiculari: & quæ- libet perpendicularis e$t in $uperficie reflexionis [per 23 n 4:] quoniam punctum ui$um & ima- go eius $unt in perpendiculari, & in hac $uperficie: & omnis imago comprehenditur in linea re- flexionis [per 21 n 4.] Quare imago cuiu$cũq; puncti pyramidis, erit in puncto $ectionis perpendi- OPTICAE LIBER V. cularis & lineæ reflexionis. Puncta autem, quorum imagines citra $peculum eomprehenduntur, hoc e$t inter ui$um & $peculum, $unt, cum à quolibet eorum linea ducta ad centrum $peculi, $ecat la titudinem uiæ inter ui$um & $peculum interiacentis. Et ut uideatur hoc: auferatur pyramis à me- dio $peculi: & collocetur in parte, erit uertex centrum $peculi: & remotio ui$us $it maior $emidiame tro $phæræ. Deinde $umatur lignum gracile album, & $tatuatur in $peculo, ut $it centrum $peculi directè medium inter caput ligni & centrum ui$us, & dirigatur intuitus in punctum $peculi, à quo linea ad uerticem pyramidis ducta, $it inter caput ligni & ui$um: & apparebit forma capitis ligni ci- tra $peculum, & propin quior ui$ui uertice pyramidis: & erunt in eadem linea recta, uertex pyrami- dis, & caput ligni, & imago capitis. Et hæc linea e$t perpendicularis $uper lineam, contingentem lineam communem $uperficiei $peculi & $uperficiei reflexionis [per 25 n 4:] quoniam $uperficies reflexionis tran$it per centrum & punctum ui$us. Et linea tran$iens per hæc duo puncta, e$t in $uperficie reflexionis. Et linea cõmunis e$t circulus: & hæc linea huic circulo erit diameter: quoniã centrum illius circuli, e$t centrum $phæræ. Quare erit hæc linea perpendicularis $uper lineam, contingentem circulum in capite huius lineæ [per 18 p 3:] & hæc linea tran$it per punctum ui$um, & eius imaginem. Et ita quodlibet punctum citra $peculum ui$um, comprehenditur in eadem li- nea cum centro & cum imagine eius: & quodlibet punctum uidetur in linea reflexionis [per 21 n 4.] Quare in loco $ectionis perpendicularis & lineæ reflexionis. Et ea, quorum ueritas in his $pe- culis comprehenditur, $unt, quorum imagines apparent ultra $peculum uel citra $uperficiem eius: & præter hæc, nulla $unt, quæ in hoc $peculo in ueritate comprehendat ui$us, ip$a enim prohibent imagines $uas ueras apparere. Imagines, quæ apparent in $uperficie huius $peculi, $unt ex ultima partitione: & hæc explanabimus, cum erit $ermo de erroribus ui$us. Quodlibet ërgo punctum in ueritate in hoc $peculo comprehen$um, apparet in concur$u perpendicularis & lineæ reflexionis: quæ quidem perpendicularis tran$it à puncto ui$o ad centrum $phæræ, & cadit orthogonaliter in contingentem, lineam communem.

7. In $pecul{is} cau{is} cylindraceo, conico, imago uidetur in concur$u perpendicular{is} inciden- tiæ & lineæ reflexion{is}. 37 p 5.

IN $peculis columnaribus concauis diuer$ificatur imago: aliquando enim erit locus eius in $u- perficie $peculi: aliquando ultra: & in his omnibus aliquando in ueritate comprehendetur: ali- quando non. Cum uolueris in his locum imaginis percipere: facias, $icut feci$ti in columnari- bus exterioribus. Adhibeatur enim regula, in qua $it columna concaua, $icut adhibita e$t $uperius, & acus $imiliter, & corpus modicum, in $ummitate acus: & ponatur ui$us oppo$itus in medio cir- culi, & in medio $uperficiei annuli: & $ubleuetur ui$us modicum à $uperficie annuli: & in$piciat, donec imaginem corporis uideat, & comprehendat formam corporis, & corpus, & punctum in $pe culo, $ignatum in eadem linea perpendiculari, $uper $uperficiem $peculi: & hoc per $yllogi$mum $en $ualem. Et erit imago ultra $peculum, & erit reflexio ex puncto lineæ rectæ, quæ e$t in medio $pe- culi. Deinde $tatuatur ui$us in $uperficie annuli, $ed extra medium, donec uideat imaginem cor- poris parui: uidebit quidem eam citra $peculum: & uidebit corpus, & eius imaginem, & punctum in $peculo $ignatum, in una linea recta perpendiculari, $uper lineam rectam contingentem circu- lum æquidi$tantem ba$i $peculi, $uper punctum $ignatum in $peculi $uperficie: & $uperficies huius, e$t $uperficies reflexionis in hoc$itu: & e$t $uperficies faciei annuli: & punctum reflexionis e$t pun- ctum illius circuli. Po$tea adhibeatur cum manu alia acus, in cuius $ummitate $it corpus modicum: & $tatuaturin $uperficiem & axem, hoc modo, ut corpus, & punctum $ignatum $int in eadem li- nea, $ecundum $en$ualem $yllogi$mum: & $it ui$us in $uperficie annuli, inter caput eius & medium: uidebit quidem imaginem corporis, & uidebit hanc imaginem & corpus eius, & punctum $igna- tum in $uperficie $peculi, in eadem linea recta. Si autem declinetur linea recta cum triangulo par- uo, quod fecimus, & $it ui$us in medio annuli: uidebit imaginem citra $peculum, $ed in eadem linea recta cum corpore, & puncto $ignato. Et hæc reflexio erit ex columnaribus $ectionibus: quoniam $peculum e$t declinatum: & $cimus [è 21 n 4] quòd non percipitur imago, ni$i in linea reflexio- nis. Palàm ergo, quòd locus imaginis e$t, ubi $ecat perpendicularis prædictam lineam reflexio- nis, cum comprehenditur ueritas. Et licet non comprehendatur certitudo imaginis, tamen erit modus harum imaginum cum ueritatis imaginibus. Pari modo uidere poteris imaginem in py- ramidalibus concauis in concur$u perpendicularis cum linea reflexionis. Palàm ergo, quòd in o- mnibus $peculis comprehenduntur imagines in loco prædicto: qui quidem locus $imiliter dicitur imaginis locus.

8. Imago in quocun<005> $peculo, uidetur in concur$u perpendicular{is} incidentiæ & lineæ refle- scion{is}. 37 p 5.

QVare autem comprehendantur res ui$æ per reflexionem in locis imaginum: & quare ima- go $it $uper perpendicularem à re ui$a in $peculi $uperficiem, declarabimus cau$$am. Vi$us cum acquirit form am per reflexion\~e, acquirit eam $tatim $ine certitudine, & acquirit longi- tudin\~e per æ$timation\~e, & hanc longitudin\~e cõprehendet for$itan in ueritate, per diligentiã intui- tus adhibitã, for$itan nõ. Et i$tud explanauimus in libro $ecũdo [24. 25. 38. 39 n:] & ibi dictũ e$t, quòd ALHAZEN ui$us acquirit longitudinem per $yllogi$mum ex magnitudine corporis, & angulo aliquo, $ub quo comprehenditur magnitudo. Et acqui$itio rei ui$æ notæ manife$ta e$t in hunc modum. Res etiam ignotæ comprehenduntur in hunc modum: conferuntur enim rebus cognitis & magnitudinibus uel longitudinibus notis. Cum ui$us comprehendit rem aliquam per reflexionem: non compre- hendit longitudinem imaginis, ni$i per æ$timationem: dein de adhibita diligentia, acquirit longitu- dinem, & uerificat per $yllogi$mum ex magnitudine rei ui$æ & angulo pyramidis, $uper quam for- ma reflectitur ad ui$um. Cum ergo res ui$a ex rebus notis fuerit, ui$us acquirit eius longitudinem per iam notam longitudinem angulum æqualem huic tenentem, & huic longitudini $imilem. Simi- liter res ui$a cum fuerit ignota, confertur magnitudo eius alij magnitudini rerum ui$arum nota- rum, & acquiritur longitudo eius imaginis per $yllogi$mum men$uræ anguli, quem tenet imago in centro ui$us, in hora reflexionis. Et à loco, in quo e$t forma rei ui$æ comprehen$a per reflexionem, forma directè ueniens ad angulum circa oculum, accedit $uper pyramidem ip$am, per quam for- ma reflectitur ad ui$um: & eadem pyramis occupabit totam formam, quæ fuerit in loco imaginis. Vi$us ergo cum acquirit rem ui$am per reflexionem: acquirit eam in loco imaginis: quoniam for- ma comprehen$a e$t in loco imaginis per reflexionem. Quare $imilis e$t formæ directè comprehen $æ, occupatæ ab illa pyramide. Et hæc e$t cau$a, quare comprehendatur in loco imaginis.

9. Imago in $peculo plano uidetur in perpendiculari incidentiæ. 36 p 5.

QVare autem comprehendatur imago in perpendiculari, dicemus. Scimus [per16 n 4] quòd punctum ui$ui perceptibile, non e$t intellectuale, $ed $en$uale, & forma eius $en$ualis. Dico igitur in $peculis planis, quòd cum imago non appareat in $uperficie $peculi, $ed ultra: com- petentius e$t, & rationabilius, ut appareat $upra perpendicularem, quàm extra eam. Cum enim in loco perpendicularis a$signata fuerit di$tantia eius à puncto refle- a f b c d e xionis $peculi, quæ $cilicet e$t pars lineæ reflexionis, à loco imaginis ad punctum reflexionis ductæ: erit æqualis di$tantiæ puncti ui$i à puncto reflexionis. Quia enim $uperficies $peculi e$t orthogonalis $uper perpendicularem, [per the$in] & linea à puncto reflexionis ad perpendicularem ducta e$t latus duobus triangulis commune, & angulus lineæ acce$$us e$t æqualis angulo reflexionis [per 10 n 4, & angulus f c d æquatur angulo e c b per 15 p 1: ideo\’q; angulo a c b] quare duo anguli unius trianguli $untæquales duobus angulis al- terius trianguli [anguli enim ad b recti $unt per the$in & 3 d 11] & u- num latus commune e$t: quare [per 26 p 1] reliqua latera æqualia $unt reliquis lateribus. Si ergo imago in perpendiculari apparuerit: æqualiter à $peculo di$tabit cum corpore, à quo procedit: & erit ima gini idem $itus, re$pectu puncti reflexionis, qui e$t in puncto ui$o, re$pectu puncti eiu$d\~e: & idem e$t $itus, re$pectu ui$us. Vnde in hoc $itu apparebit ueritas & puncti ui$i, & imaginis. Si uerò imago fuerit extra perpendicularem, cum fuerit nece$$e eam in linea reflexionis e$$e, [per 2 n 4] aut erit ultra perpendicularem, aut citra, re$pectu ui$us. Si fuerit ultra: erit quidem remotior à puncto reflexionis, & à ui$u, quàm punctum ui$um, unde tenebit minorem angulum in ocu lo, quàm punctum ui$um, & minorem occupabit ui$us partem: unde cum $it æqualis, uidebitur mi- nor eo. Si autem fuerit citra perpendicularem, uidebitur maior, cum $it propinquior.

10. Imago in $pecul{is} conuex{is}, cau{is}: $phærico, cylindraceo, conico uidetur in perpendiculari incidentiæ. 36 p 5.

IN $peculo $phærico extrà polito uidetur imago $uper perpendicularem. Aut enim uidetur ima- go centri ui$us: aut alterius puncti. Si imago centri ui$us: dico, quòd dignior e$t perpendicula- ris ab oculo ad centrum $phæræ ducta, ut $uper eam appareat imago centri ui$us, quàm alia. Si enim forma directè procedat $ecundum hanc perpendicularem u$que ad centrum $phæræ, eun- dem $emper $eruabit $itum, re$pectu ui$us: & ita cuicunque puncto $phæræ opponatur forma: per- pendicularis ad centrum mota, identitatem $itus tenebit, re$pectu ui$us: & idem erit $itus for- mæ in una perpendiculari, quæ & in alia: quoniam centrum $phæræ eundem habet $itum, re$pe- ctu cuiuslibet puncti $phæræ, & omnes huiu$modi perpendiculares eiu$dem $unt $itus. Si autem extra perpendicularem imago moueatur, ad quodcunque punctum $phæræ mutabitur $itus e- ius, re$pectu ui$us: quoniam alium habebit $itum extra perpendicularem, quàm in perpendicu- lari, & extra $peculum mouebitur perpendicularis, & non intra: & $i extra $peculum appareat, non $eruabit $itum. Et conuenientius fuit, ut $eruaret $itum imago, quàm ut mutaret, ut ui$us rem ui$am certius comprehenderet. Ob hoc imago centri ui$us $uper perpendicularem apparet. Et huic imagini non po$$umus certum a$signare in perpendiculari punctum: quoniam non inueni- tur dignitas in uno perpendicularis puncto maior, quàm in alio, ut hæc imago determinatè appa- reatin eo: $ed $cimus, quòd in quocunque puncto huius perpendicularis appareat, $emper appa- OPTICAE LIBER V ret continua cum apparente oculo: & $emper in totali forma apparente eundem tenet locum & $i- tum. Cuiu$cunq; uerò puncti imago, præter centrũ ui$us, ad $peculum accedit, mouetur declinatè: quare nõ durat ei $imilitudo $itus, re$pectu ui$us: & perpendicularis à puncto ui$o ad $peculũ ducta, cadit $uper centrũ $ph{ae}r{ae}: in qua quid\~e perp\~ediculari ob$eruat imago $imilitu din\~e $itus. Nõ e$t ergo punctum, in quo cõprehen$a imago $eruet $imilitudin\~e $itus, ni$i in perpendiculari illa. Et cũ opor- teat ip$am comprehendi in linea reflexionis, [per 21 n 4] comprehendetur in concur$u huius lineæ cum hac perpendiculari. Iam ergo a$signauimus cau$$am huius rei. Verùm rerum naturaliũ $tatus re$picit $itus $uorum principiorũ, & principia rerum naturaliũ $unt occulta. Idem erit modus proba tionis in $peculo $phærico concauo. Similiter in pyramidali concauo, uel extrà polito. Et uniuer$ali ter erit locus imaginis in perpendiculari in quocunq; $peculo: quoniam non e$t locus extra perpen pendicularem, in quo forma ob$eruet $imilitudinem $itus & identitatem. His explanatis re$tat de- mon$tratiuè declarare locum imaginis, in qualibet $peculorum $pecie. Dicimus ergo, quod linea, per quam reflectitur forma puncti cuiuslibet comprehen$i à ui$u in $peculo plano, quando ip$um e- gre$$um e$t à perpendiculari, quæ à centro ui$us cadit in $uperficiem $peculi plani: concurret cum perpendiculari, producta ab illo puncto ad $uperficiem $peculi: & erit punctum concur$us (qui e$t locus imaginis) ultra $peculum: & erit longitudo illius à $uperficie $peculi, æqualis longitudini pun cti ui$i à $uperficie $peculi: & ui$us non acquirit imaginem puncti ui$i, ni$i in loco illo. Et quodcunq; punctum acquirit ui$us in hoc $peculo: non apparebit ex eo, ni$i unica imago. Quodcunq; aut\~e pun ctum comprehendit ui$us in $peculo $phærico extrà polito, quando egreditur forma à perpendicu- lari, ducta à centro ui$us ad centrum $peculi: linea, per quã reflectitur imago ad oculum, concurret cum linea producta à puncto illo ad centrum $peculi: quæ linea e$t perpendicularis, ducta à puncto illo orthogonaliter $uper lineã, contingent\~e lineam cõmunem $uperficiei reflexionis, & $uperficiei $peculi. Et $itus puncti concur$us, qui e$t locus imaginis, à $uperficie $peculi erit $ecundũ $itum ui- $us à $uperficie $peculi. Et for$itan erit punctum concur$us ultra $peculum, for$itan in $uperficie $pe culi, for$itan intra $peculum. Et ui$us comprehendit imagines omnes ultra $peculum, licet diuer$a $int earum loca: & non comprehendit locum cuiuslibet imaginis, ni$i $yllogi$ticè in $uperficie $pe- culi. Et quodlibet punctum comprehen$um in hoc $peculo, non prætendit, ni$i unam imaginem. In $peculo columnari extrà polito, & pyramidali extrà polito, quodcunq; punctum comprehendit ui- $us, cum fuerit extra perpendicularem, ductam à centro ui$us, orthogonalem $uper $uperficiem con tingentem $uperficiem $peculi: linea, per quam reflectitur forma ad ui$um, concurret cum perpendi culari, ducta ab illo puncto $uper rectam lineam, contingentem lineam communem $uperficiei re- flexionis, & $peculi. Et loca imagihum horum $peculorum quædam $unt ultra $uperficiem $peculi: quædam in $uperficie: quædam citra. Et ui$us acquirit omnes imagines horum $peculorum ultra $u perficiem $peculi. Et quodcunq; punctum comprehendit ui$us in his $peculis, non efficit, ni$i unam imaginem tantùm. In $peculo $phærico concauo lineæ, per quas reflectuntur formæ punctorũ ui$o- rum: quædam concurrunt cum perpendicularibus, ductis à punctis illis $uper lineas, contingentes lineas communes $uperficiei $peculi & $uperficiei reflexionis: quædam $unt æquidi$tantes his per- pendicularibus. Et earum, quæ concurrunt cum perpendicularibus, quædam habent locum con- cur$us (qui e$t locus imaginis) ultra $peculum: quædam citra $peculum. Et quæ citra $peculum ha- bent: quædam inter ui$um & $peculum: quædam $uper ip$um centrũ ui$us: quædam ultra centrum ui$us. Et ui$us qua$dam formarum rerum ui$arum, quas acquirit in his $peculis, comprehendit in lo co imaginis, qui e$t punctum concur$us: & hæ $unt, quas ui$us certò comprehendit: qua$dam com- prehendit extra locum concur$us: & e$t comprehen$io $ine certitudine. Et res ui$æ, quas acquirit ui $us in hoc $peculo, quædam unam præ $e ferunt imaginem tantùm: quædam duas: quædam tres: quædã quatuor. Nec pote$t e$$e, quod una res prætendat plures. In $peculo pyramidali cõcauo & co lumnari concauo lineæ, per quas reflectuntur formæ ad ui$um: quædam concurrunt cum perpendi cularibus, ductis à punctis ui$is $uper lineas, contingentes lineas communes: & quædam $unt æqui di$tantes perpendιcularibus. Quæ concurrunt cum perpendicularibus: quædam habent concur- $um ultra $peculum: quædam citra. Quæ autem citra: quædam inter $peculum & ui$um: quædam $u per centrum ui$us: quædam ultra centrum ui$us. Et comprehen$io rerum ui$arum in hoc $peculo per ui$um, quædam fit in loco imaginis (qui e$t locus concur$us) quædam extra locum concur$us. Et eorum, quæ comprehenduntur, aliud prætendit unam imaginem tantùm: aliud duas: aliud tres: alind quatuor. Nec aliquod e$t, quod po$sit prætendere plures, quàm quatuor. Et nos declarabi- mus hæc omnia demon$tratiuè.

11. Vi$ibile & imago à $peculi plani $uperficie in oppo$it {as} partes æquabiliter distant. 49 p 5.

SIt a punctum ui$um: b centrum ui$us: c d e $peculum planum: & $it d punctum reflexionis: c d e linea communis $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi. A puncto d ducatur d f perpendi- cularis $uper lineã cõmun\~e: [per 11 p 1] & à puncto a ducatur perpendicularis $uper $peculi $u perfici\~e, [per 11 p 11] quæ $it a c, & producatur ultra $peculũ: & a d $it linea, per quã forma accedit ad $peculũ: b d, per quã reflectitur ad ui$um. Igitur b d, f d, a d, $unt in $uperficie reflexionis [per 23 n 4.] Et cũ f d $it æquidi$tãs a c [per 28 p 1: quia cũ a c $it քp\~edicularis $uperficiei $peculi per fabricatiõem: erit perp\~edicularis line{ae} c d e per 3 d 11] & [per 13 p 11] d b declinata $it $uper f d, cõcurret [per lemma Procli ad 29 p 1] b d cũ a c. Cõcurrat ergo in puncto g. Dico, quòd g c e$t æqualis c a. Quoniã enim ALHAZEN angulus b d e æqualis e$t angulo a d c [per 10 n 4, & per 15 p 1 angulus b d e æqualis angulo g d c: er- go per 1 ax: angulus a d c æquatur angulo g d c] & angulus a c d æ- a f b c d e g qualis angulo g c d [per 10 ax:] & latus c d commune. Quare [per 26 p 1] triangulum æquale triangulo. Quare g c æqualis a c.

12. Vi$u & ui$ibili dat{is}, in $peculo plano punctum reflexion{is} inuenire. 46 p 5.

ET $i uoluerimus per perpendicularem inuenire locum reflexio nis: $ecetur ex perpendiculari ultra $peculum pars, æqualis par ti eius u$q; ad $peculum: & e$t, ut $it g c æqualis a c: & ducatur li nea à centro ui$us ad punctum g, quæ $it b d g. Dico, quòd d, e$t pun- ctum reflexionis. Quoniam enim [per fabricationem & 2 ax:] a c & c d $unt æqualia c g & c d, & angulus angulo [a c d ip$i g c d per the$in & 10 ax.] Ergo [per 4 p 1] triangulum triangulo. Igitur angulus g d c e$t æqualis angulo a d c: Sed g d c e$t æqualis angulo b d e [per 15 p 1] re$tat ergo [per 1 ax] ut angulus b d e $it æqualis angulo a d c. Et ita [per 10 n 4] d e$t punctum reflexionis: & ita patet propo$itum.

13. Si recta linea ab uno ui$u $it perpendicular{is} $peculo plano, unum ip$i{us} punctũ; in quo ui${us} $uperficiem $ecat, ab uno $peculi puncto, in quod cadit, ad eundem ui$um reflectetur. 32 p 5.

SIt a centrum ui$us: & a g perpendicularis $uper $peculũ planũ: & d $ecet hanc perpendicular\~e in $uperficie oculi. Dico, quòd in hac perpendiculari non e$t punctũ, quod reflectatur ab hoc $pe- culo ad ui$um, præter d. Sin autem: $umatur ultra ui$um punctum in hac perpendiculari: & $it h: Non iam perueniet forma eius ad $peculũ $uper h t a d $ s g k b e perpendicular\~e a h, propter $olidi corporis inter- po$itionem: & ita nõ reflectetur forma eius $uper perpendicular\~e. Et $i dicatur, quòd ab alio puncto $peculi po$sit reflecti: $it illud b. Mouebitur quid\~e forma eius ad punctũ b per lineã h b: & reflectetur per lineam b a. Diuidatur angulus h b a [per 9 p 1] per {ae}qualia, per lineã t b. Igitur erit perp\~edicularis $uper $uperfici\~e $peculi. [Quia enim angulus h b c æquatur angulo a b g ք the$in & 10 n 4, & h b t ip$i a b t per fabrication\~e: totus t b c æquabitur toti t b g. quare per 10 d 1 t b e$t perpendicularis ip$i g c cõ muni $ectioni $uperficierũ reflexionis & $peculi. Itaq; cũ reflexiõis $uperficies, in qua e$t t b, $it per pendicularis $uperficiei $peculi per 13 n 4: erit t b քp\~edicularis $uperficiei $peculi per cõuer$am 4 d 11] $ed [per hypothe$in] t g e$t perp\~edicularis $uper eand\~e. Quare ab eod\~e puncto e$t ducere duas per pendiculares ad $uperficiem $peculi, quod e$t im- po$sibile: [$ic enim tres interiores anguli triangu- li e$$ent maiores duobus rectis, cõtra 32 p 1.] Ead\~e erit probatio, quòd forma puncti d nõ pote$t refle cti ab alio $peculi puncto, quam à puncto g. Quare non reflectitur, ni$i $uper perpendicular\~e d g. Pun ctum aũt in hac perpendiculari $umptum inter g & d: $i dicatur formã per reflexion\~e ad ui$um mit- tere: improbo. Quoniã aut erit corpus $olidum, aut rarũ. Si $olidum, procedet $ecundum perpendi- cularem forma eius ad $peculum, & regredietur $ecundũ eandem u$q; ad ip$um, [per 11 n 4] & pro- pter $oliditat\~e non poterit tran$ire, & ad ui$um peruenire. Si aũt punctum illud fuerit rarum: forma eius regredi\~es à $peculo $uper perpendicular\~e mi$cebitur ei, & adhærebit, nec reflectetur ad ui$um. Quòd autem forma cuiu$cunq; puncti in hac perpendiculari inter g & d $umpti non po$sit ab alio puncto $peculi ad ui$um reflecti, modo $uprà dicto pote$t probari. Similiter forma puncti inter a & d $umpti non reflectitur ad ui$um per perpendicularem, nec per aliam. Quoniã puncta inter centrũ ui$us & $uperficiem eius interpo$ita $unt ualde rara. Vnde nec mittitur eorum forma, nec reflecti- tur, ut $entiatur. Et quoniám quodlibet punctum, præter d in $uperficie ui$us $umptum: opponitur $peculo, non ad rectum angulum, uidebitur quodlibet $uper perpendicularem ab eo ad $peculum ductam, & imago eius ultra $peculum æquè di$tans à $uperficie, $icut ip$um punctum [per 11 n.] Et quoniam d uidetur continuum cum alijs $uperficiei ui$us punctis, & imago eius cõtinua cum alijs imaginibus: uidebitur imago d tantùm di$tans à $uperficiei $peculi, quantùm di$tat d ab eadem. Pa- làm ergo, quòd cuiu$cunq; puncti in $peculo ui$i imago uidebitur $uper perpendicularem: & elon- gatio imaginis, & ui$i corporis à $uperficie $peculi e$t eadem.

OPTICAE LIBER V. 14. Ab uno $peculi plani puncto, unum ui$ibil{is} punctũ ad unũ ui$um reflectitur. 45 p 5.

AMplius: forma puncti ui$i in $peculo plano non reflectitur ad eund\~e ui$um, ni$i ab uno pun- cto tantùm. Sit enim a centrum ui$us: b pun a b h e d z ctum ui$um: z h $peculum. Si ergo dicatur, quod à duobus punctis $peculi reflectatur forma b ad ui$um a: $it unum punctũ d, aliud e: & ducatur linea à puncto ui$o ad ui$um, $cilicet b a: quæ quid\~e linea aut erit perpendicularis $upra $peculũ: aut nõ. [Siquid\~e cum $peculi $uperficie concurrit. Nã cum $it in plano lineæ h z per 23 n 4: h nece$$ariò uel ad ip$am parallela e$t, uel concurrit.] Si non fuerit per pendicularis, $cimus, quòd illa linea e$t in $uperficie reflexionis orthogonali $uper $uperficiem $peculi [quia cõnectit duo pũcta a & b, quæ per 23 n 4 $unt in reflexionis $uperficie, perp\~ediculari ad $peculi $u- perfici\~e, per 13 n 4:] & in una $ola tali. Quoniam $i in duabus: erit communis duabus $uperficiebus ortho gonalibus: & $umpto in ea puncto, & ducta ab illo linea in alteram $uperficierum, $uper lineam, com- munem huic $uperficiei & $uperficiei $peculi, erit [per 19 p 11] hæc linea orthogonalis $uper $peculum. Similiter ab eodem puncto ducatur linea in alia $uperficie $uper lineam, communem huic $uperficiei & $uperficiei $peculi: erit h{ae}c linea ortho- gonalis $uper $peculum. Quare ab eodem puncto erit ducere duas perpendiculares ad $uperficiem $peculi [& $ic connexis per rectam lineam perpendicularium duarũ terminis: erunt ip$æ ad con- nectentem perpendiculares, per 3 d 11: itaque in triangulo rectilineo erunt duo anguli recti, co n- tra 32 p 1.] Cum ergo b a $it in una $ola $uperficie orthogonali: & tria puncta a, b, e $int in eadem $u- perficie orthogonali [per 23 n 4] erunt a e, e b in illa $uperficie orthogonali: $imiliter [per 2 p 11] e d, d b, d a. Quare e a, e b $unt in eadem $uperficie cum d a, d b: $ed angulus a e h e$t æqualis angu- lo b e d, [per 10 n 4] & angulus a e h maior angulo a d e, [per 16 p 1] quia exterior. Quare b ed ma ior a d e. Sed b d z æqualis a d e [per 10 n 4, & per 16 p 1 b d z maior b e d.] Quare a d e maior b e d: & dictum e$t, quod minor. Re$tat ergo, ut à $olo puncto fiat reflexio. Si uerò a b $it perpendicularis $uper $peculum: iam dictum e$t, [13 n] quò d unicum e$t punctum in linea, à centro ui$us ad $pecu lum orthogonaliter ducta, cuius forma reflectitur à $peculo ad ui$um. Et iam probatum e$t, quòd imago illius puncti ab uno $olo reflectitur puncto. Quare patet propo$itum.

15. In $peculo plano, imagouni{us} puncti, una, & uno eodem<006> in loco ab utroque ui$u uide- tur. 51 p 5.

AMplius: in$pecto aliquo puncto ab utroque ui$u: una tantùm & eadem imago apparet u- trique ui$ui & in loco prædicto. Vnde planum e$t, quòd forma puncti non reflectitur ad u- trumque ui$um ab eodem puncto $peculi. Quia enim linea reflexionis ad unum ui$um pro- cedens, angulum tenet cum perpendiculari erecta $uper $uperficiem $peculi, æqualem angulo, qu\~e tenet linea acce$$us formæ a d $peculum cum eadem perpendiculari [per 10 n 4:] non poterit in eadem $uperficie $umi alia linea, quæ æqualem angulum huic efficiat cum perpendiculari [$ecus b a g q t d z e h a g b e d z t q h pars æquaretur toti, contra 9 ax:] Vnde ab hoc puncto non reflectetur linea aliqua ad alterũ ui- $um. Oportet ergo ut à diuer$is punctis $peculi fiat reflexio. Sint illa puncta t, z: & $it $peculũ pla- num q e: punctum ui$um a: duo ui$us b, g: perpendicularis a d. Palàm ergo [per 23 n 4] quòd b t, ALHAZEN at, ad $unt in eadem $uperficie orthogonali $uper $uperficiem $peculi. Similiter g z, a z, a d $unt in eadem $uperficie orthogonali: & linea d t communis $uperficiei a d t b & $uperficiei $peculi: & d z linea communis $uperficiei a d z g & $uperficiei $peculi. Si iam b t, g z fuerint in eadem $uperficie orthogonali, erit [per 3 p 11] t d z linea una recta: & perpendicula- b g a t z d h ris a d aut erit inter duas perpendiculares productas ad $uperficiem $peculi à duobus ui$ibus: aut extra. Vtrumlibet $it: linea b t $ecabit ex perpendiculari a d ultra $peculum partem, æqualem parti, quæ e$t a d [per 11 n.] Similiter g z $ecabit ex eadem perpendiculari partem ultra $peculum, æqualem illi parti. Illæ igitur duæ lineæ reflexionis $ecabunt perpendicularem ultra $peculum in eodem puncto. Ergo imago puncti a in eodem perpendicularis puncto percipietur ab u- troque ui$u. Quare unica tantùm erit imago & eadem: & in eodem loco: quæ e$$et uno tantùm ui$u adhibito. Si uerò puncta t, z non fuerint in eadem $uperficie reflexionis orthogonali $uper $peculum: eadem tamen erit probatio: quòd utraque linea reflexionis $ecet ex perpendiculari partem, æqual\~e parti $uperiori: & erit $ectio linearũ reflexionis cum perpendiculari in eodem puncto. Quare patet pro- po$itum. Si uerò fuerit punctum a in perpendiculari ducta ab uno ui$u ad $uperficiem $peculi tantùm, $ecundum eundem ui$um com- prehendetur [per 11 n 4] ultra $peculum in puncto perp\~edicularis, tãtùm elõgato à $uperficie $peculi, quantũ di$tat a ab ead\~e [per 11 n.] Quia forma a uidetur continua cum formis aliorum punctorũ, quæ quidem uidentur in locis $imilibus: & ab alio ui$u comprehendetur imago a in eodem perpendicularis puncto. Quare & $ic utriq; ui$ui unica tantùm apparet image puncti a, & in eodem eiu$dem perpendicularis puncto. Quod e$t propo$itum.

16. In $peculo $phærico conuexo linea reflexion{is} & perpendicular{is} incidentiæ concurrunt: & imago uidetur in ip$arum concur$u. 9. 11 p 6. Idem 3 n.

IN $peculis $phæricis extrà politis patebit, quod diximus. Sit a punctum ui$um: b c\~etrum ui$us: g punctũ reflexionis. Palàm [per 23. 13 n 4] quòd b g, a g $unt in eadem $uperficie orthogona- lι $uper $uperficiem $phæram contingent\~e in puncto g: linea com a h b e g p d z n q munis $uperficiei reflexionis & fuperficiei $phæræ e$t circumferen- tia [per 1 th 1 $phær: uel 25. uel 45 n 4] & $it z g q. Linea conting\~es hunc circulum in puncto reflexionis $it p g e: perpendicularis $uper hanc lineam $it h g: planum, quòd h g perueniet ad centrum $phæræ. Quod $i non: cum linea à centro $phæræ ducta ad punctum g, $it e- tiam perpendicularis $uper lineam p g e [per 25 n 4 & 3 d 11:] erit ab eodem puncto in eandem partem ducere duas lineas perpendicula- res $uper unam lineam [& $ic pars æquaretur toti, contra 9 ax.] Sit autem centrum $phæræ n: & ducatur linea à puncto ui$o ad centrum $phæræ, $cilicet a n: quæ quidem erit perpendicularis $uper $uperfi- ciem, contingentem $phæram in puncto $phæræ, per quod tran$it [per 25 n 4.] Et quoniam planum e$t, quòd b g $ecat $ph{ae}ram: cum $it inter h g, g p, quæ continent rectum angulum: concurret cum li- nea a n: Et cũ perp\~edicularis h g $it in $uքficie reflexiõis [per 23 n 4] erit centrum $phæræ in eadem [per 1 p 11: quia h g continuata cadit in n centrum $phæræ, ut patuit] & ita a n in eadem $uperficie cum h g. Sit ergo concur$us b g cum a n, punctum d. Planum [per 3 n] quòd d erit locus imaginis. Et hæc quidem intelligenda $unt, quan- do linea ducta à puncto ui$o ad centrum ui$us, non fuerit perpendi- cularis $uper $peculum [ui$u enim & ui$ibili in recta linea perpendiculari $uper $peculum colloca- tis, reflexio fit per eandem perpendicularem, per 11 n 4.]

17. Fin{is} contingentiæ in $peculo $phærico, e$t concur${us} rectæ $peculum in reflexion{is} puncto tangent{is}, cum perpendiculari incidentiæ uel reflexion{is}. Et rect a à centro $peculi $phærici conuexi ad imaginem, maior est recta ab imagine ad reflexion{is} punctum ducta. In def. 13 p 6.

AMplius: linea p g e $ecat lineam a n: $it punctum $ectionis e: & dicitur punctum i$tud finis contingentiæ. Dico, quòd in hoc $itu linea à centro $phæræ a d locum imaginis ducta, ma- ior e$t linea, à loco imaginis ducta ad locum reflexionis, id e$t d n maior d g. Quoniam e- nim angulus b g h e$t æqualis angulo h g a [ut demon$tratum e$t 13 n] $ed [per 15 p 1] angulus b g h æqualis e$t angulo n g d: ergo [per 1 ax] angulus h g a æqualis e$t eidem: & e g perpendicu- laris $uper h g n [per fabricationem.] Quare [per 3 ax] angulus a g æqualis e$t angulo e g d. Igi- tur [per 3 p 6] proportio a g ad g d, $icut a e ad e d. Protrahatur à puncto a æquidi$tans ip$i d g OPTICAE LIBER V. [per 31 p 1] & concurrat cum linea h n in puncto h [cõcurret autem per lemma Procli ad 29 p 1.] Erit igitur [per 29 p 1] angulus n g d æqualis angulo g h a: $ed an- h a b e g p d z n q gulus n g d æqualis e$t angulo a g h [ergo per 1 ax angulus g h a æqualis e$t angulo a g h.] Quare [per 6 p 1] duo latera a g, h a $unt æqualia. Igitur [per 7 p 5] proportio a h ad g d, $icut a g ad eandem. Sed proportio a h ad g d, $icut a n ad d n [per 4 p 6: $unt enim triangula a h n, d g n æquiangula per 29 p 1, & quia an- gulus ad n communis e$t utrique triangulo.] Quare [per 11 p 5] a n ad d n, $icut a g ad g d: Igitur [per 16 p 5] proportio a n ad a g: $icut d n ad d g: Sed a n e$t maior a g: [per 19 p 1] quia re$picit angulum maiorem recto in triangulo a g n [rectus enim e$t, ut pa- tuit, e g n.] Igitur d n maior d g: quod e$t propo$itum.

18. Si in $peculo $phærico conuexo perpendicular{is} incidentiæ $ecetur à line{is} reflexion{is}: & $peculum in reflexion{is} puncto tan- gente: erit, ut tota perpendicular{is} ad inferum $egmentum: $ic $u- perum ad intermedium. Et pars perpendicular{is} inter punctum contingentiæ, & peripheriam, communem $ectionem $uperficie- rum reflexion{is}, & $peculi, erit minor eiu$dem peripheriæ $emidia metro. 12. 14 p 6.

AMplius: dico quòd linea ducta à fine contingentiæ, qui e$t e, u$que ad $phæram perpendicu lariter, id e$t e f, pars lineæ e n minor e$t $emidiametro. Sit f punctum, in quo a n $ecat $u- perficiem $phæræ. Dico ergo, quòd e f minor e$t n f. Quo a h b e g p f d z n q niam ut dictum e$t [proximo numero] proportio a g ad g d, $icut a e ad e d: $ed a n ad d n, $icut a g ad g d: Igitur [per 11 p 5] a n ad d n, $icut a e ad e d: Igitur [per 16 p 5] a n ad a e, $icut d n ad d e: $ed [per 9 ax] a n maior a e. Quare d n maior d e: quare d n maior d f: quare n f maior e f: quod e$t propo$itum.

19. Sirecta linea ab uno ui$u $it perpendicular{is} $peculo $phæ- rico conuexo: unum ip$i{us} punctum, in quo ui${us} $uperficiem $e- cat, ab uno $peculi puncto, in quod cadit, ad eundem ui$um refle- ctetur. 10 p 6.

AMplius: $it g centrum ui$us: d centrum $phæræ: d z g per- pendicularis à centro ui$us a d $phæram. Dico, quòd nullius puncti forma reflectitur per hãc perpendicularem, ni$i pun- cti eius, quod e$t in $uperficie ui$us. Punctorum enim formæ po$t centrum ui$us $um ptorum non reflectuntur per eam, propter cau$- $am $upradictam [13 n.] Similiter nec puncta inter $uperficiem ui- $us & $peculum $umpta. Dico etiam, quòd nullum punctum huius perpendicularis reflectitur ab alio puncto $peculi. Si enim dicatur, quòd ab alio puncto: $it illud punctum a: erit x e g k z a d linea g a linea reflexionis: & à puncto illo in- telligamus lineam ad a, quæ e$t linea, per quã mouetur forma: & includunt hæ duæ lineæ angulum $uper a: quem quidem angulum ne- ce$$ariò diuidet per æqualia diameter d a, cum $it perp\~edicularis $uper punctum a. Quia per- pendicularis diuidit angulum ex linea motus form{ae} & linea reflexiõis, per {ae}qua [per 13 n 4.] Etita diameter d a concurret cum perpendicu lari g d, inter punctum $umptum & g. Et ita duæ lineæ rectæ in duobus punctis concur- rent, & $uperficiem includent [contra 12 ax:] Re$tat ergo, ut $olius puncti, quod e$t in $uperficie ui$us, forma reflectatur à $peculo per perpendicularem, & uideatur in proprio imaginis loco, pro- pter eius cum alijs punctis continuitatem.

20. Sipars lineæ reflexion{is}, intra peripheriam circuli (qui e$t commun{is} $ectio $uperficie- rum reflexion{is} & $peculi $phærici conuexi) continuatæ, æquetur $emidiametro eiu$dem peri- pheriæ: imago intra $peculum uidebitur. 24 p 6.

AMplius: g a, g b $int lineæ à centro ui$us ductæ, contingentes $phæram: & $ignetur circulus, $u ALHAZEN per quem $uperficies his lineis inclu$a $ecat $phæram: erit [per 25 n 4] a b portio apparens ex hoc circulo. Dico ergo, quòd loca imaginum, quæ per reflexiones ab hac portione factas compre- henduntur: quædam $unt intra $peculum: qu{ae}dam in $u g m h z p b d a k perficie $peculi: qu{ae}dam extra $peculũ. Et unumquod- que horum e$t determinandum. Ducatur à puncto g li- nea $ecans circulum, & pars eius, quæ e$t chorda arcus circuli, $it æqualis $emidiametro circuli [id quod per 1 p 4 fieri pote$t:] $it linea illa g h k: & chorda æqualis $emidiametro $it h k: & producatur à puncto h perpen- dicularis, quæ $it d h m. Dico, quòd formæ reflex{ae} à pun cto h locus e$t intra $ph{ae}ram. Ducatur [per 23 p 1] à pun cto h linea æ qualem renens angulum cum m h, angulo m h g: & $it p h: reflectentur quidem puncta huius lineæ à puncto h ad ui$um g, & nõ alterius [per 12 n 4.] Suma tur ergo aliquod eius punctum: & $it p: & ducatur ab eo linea ad centrum $phær{ae} qu{ae} $it p d: erit [ut demon$tra tum e$t 25 n 4] p d perpendicularis $uper $uperficiem, contingentem $phæram $uper punctum eius, per quod tran$it p d: & coniungatur d k. Verùm angulus p h m e$t æqualis angulo m h g [ex fabricatione.] Quare [per 15 p 1] $imiliter æqualis e$t angulo contrapo$ito k h d: $ed [per hypothe$im & 5 p 1] k h d e$t æqualis k d h: quoni- am re$piciunt æqualia latera: Igitur [per 1 ax:] angulus p h m æ qualis e$t angulo k d m. Quare [per 28 p 1] line{ae} k d, p h $unt {ae}quidi$tantes: ergo [per 35 def 1] in infi- nitum product{ae} nun quam concurrent: & linea p d $eca- bit lineam, interiacentem inter k d, & p h [quia $ecat an- gulum h d k ip$i h k $ubten$um.] Et ita quodcunq; pun- ctum $umatur in linea p h: linea ducta ab illo puncto, ad punctum d, $ecabit lineam reflexionis intra $ph{ae}ram: qu{ae} quidem linea perpendicularis erit $uper $ph{ae}ram [per 25 n 4] $icut e$t p d. Quare imago cuiu$cunque puncti line{ae} p h apparebit intra $ph{ae} ram [per 3 n.]

21. Si reflexio fiat à peripheria circuli (qui e$t commun{is} $ectio $uperficierum, reflexion{is} & $peculi $phærici conuexi) inter rectam à ui$u ad $peculi centrum ductam, & lineam reflexion{is}, æquantem partem $uam intra peripheriam, eiu$dem $emidiametro: imago intra $peculum ui- debitur. 25 p 6.

AMplius: arcus circuli interiacens inter punctum h, & punctum, per quod tran$it perpendi- cularis à centro ui$us ducta: e$to h z. Dico, quod t g p b h i z d a k s à quocunq, puncto huius arcus fiat reflexio: lo- cus imaginis erit intra $phæram. Sit i punctum $umptũ: & ducatur linea à centro ui$us $ecans cιrculũ $uper pun- ctum illud, qu{ae} $it g is: & ducatur perpendicularis per punctum hoc, qu{ae} $it d i t: & [per 23 p 1] fiat linea p i, æ- qualem tenens angulum cum it angulo tig. Palàm [per 12 n 4] quòd $ola puncta line{ae} p i reflectuntur à puncto iad ui$um. Palàm etiam [per 15 p 3] quòd linea i s ma- ior e$t linea k h. Quare maior s d [e$t enim h k ex prima hypothe$i {ae}qualis $emidiametro s d.] Igitur [per 18 p 1] angulus s d i maior e$t angulo s i d: quare [per 15 p 1] e$t maior angulo g i t: quare e$t maior angulo tip. Igitur line{ae} p i & s d nunquam concurrent [ad partes p & s: $ecus $patium comprehenderent contra 12 ax. quia con- currunt ad partes i & d per 11 ax.] Et linea ducta à pun- cto quocunque p i line{ae}, ad punctum d, $ecat lineam s i intra $ph{ae}ram: qu{ae} s i e$t linea reflexionis: & omnis linea ducta à quocunq; puncto p i line{ae}, ad punctum d: erit perpendicularis $uper $ph{ae}ram [ut o$ten$um e$t 25 n 4,] $icut e$t p d. Et cum locus imaginis $it in concur- $u perpendicularis à puncto ui$o & line{ae} reflexionis: [per 3n] erit imago cuiuslibet puncti line{ae} p i intra $ph{ae}@a n. Palàm ergo, quòd omnium imaginum arcus hz, locus proprius erit intra $peculum: Quod e$t propo$itum.

OPTICAE LIBER V. 22. Si reflexio fiat à peripheria circuli (qui e$t commun{is} $ectio $uperficierum reflexion{is} & $peculi $phærici conuexi) inter rectam à ui$u $peculum tangentem, reflexion{is} puncto proxi- mam, & lineam reflexion{is} æquãtem partem $uam intra peripheriam eiu$dem $emidiametro: imago aliàs intra $peculum: aliàs in $uperficie: aliàs extra uidebitur. 26 p 6. Item 27. 7 p 6.

AMplius: $umpto quocunque puncto arcus h b: dico, quòd qu{ae}dam eius imago erit intra $pe culum: quædam in $uperficie $peculi: quædam extra $peculum. Sumatur aliquod eius pun- ctum: & $it n: & ducatur linea à pũcto g $e- g z f h a b d c q e k $ r cans circulum, quæ $it g n q: & ducatur perpen- dicularis d n f: & [per 23 p 1] protrahatur linea, æqualem angulum tenens cum perpendiculari, angulo f n g: & $it e n. Quoniam linea n q minor e$t k h [per 15 p 3] e$t etiam minor linea q d [nã h k po$ita e$t æqualis $emidiametro $phæræ] & ita [per 18 p 1] q d n angulus minor e$t angu- lo d n q: quare [per 15 p 1] minor angulo g n f: quare etiam minor angulo e n f: Igitur e n & d q concurrent [ad partes e & q per 11 ax.] Sit ergo concur$us in puncto e. Palàm [per 25 n 4] quòd linea e q d e$t perpendicularis $uper $phæram: & $ecat lineam g n q, quæ e$t linea re- flexionis, in puncto q, quod e$t punctum $phæ- ræ. Quare imago puncti e, cum fuerit reflexio $u- per punctum n, apparebit in puncto q: [per 3 n] & e$t in $uperficie $phæræ. Si uerò in linea n e $u- matur punctum ultra e, utpoter: perp\~edicularis ducta ab eo ad centrum $phæræ, quæ $it r d, $eca bit lineam g n q reflexionis, ultra punctum q: & e$t extra $phæram. Quare imago cuiuslibet pun- cti lineæ e n ultra e $umpti, erit extra $uperficiem $peculi. Si uerò in linea e n, citra punctum e $u- matur aliquod punctum: perpendicularis ab eo ducta ad $peculum, $ecabit lineam g n q intra $phæram: quoniam in puncto, quod e$t inter n & q. Quare imago cuiuslibet puncti lineæ e n inter e & n $umpti, apparebit intra $phæram. Eadem peni tus erit probatio, $umpto quocunque alio arcus b h puncto: & ita imago cuiuslibet puncti arcus b h una $ola e$t imago in $uperficie $peculi: aliarum quædam in $peculo: quædam extra. Et quod demon$tratum e$t in arcu z b, eodem modo pote$t patére in arcu z a: & eadem penitus erit demon- $tratio, cuiu$cunque circuli $phæræ $umatur portio, ui$ui oppo$ita, à perpendiculari g d æqualiter diui$a. Vnde ui$u immoto, & perpendiculari g z d manente, $i moueatur æquidi$tanter perpendi- culari ui$us linea g h, $ecabit ex $phæra motu $uo portionem circularem: & cuiuslibet puncti hu- ius portionis imago apparebit intra $phæram. Si uerò linea g b contingens, moueatur æquidi$tan- ter perpendiculari ui$us, $ecabit ex $phæra portionem prædicta maiorem: & à quolibet puncto excrementi unius portionis $uper aliam reflectitur imago, cuius locus erit in $uperficie $phæ- ræ: & aliarum quædam intra $phæram: quædam extra. Scimus ex his, quòd in hoc $peculo quæli- bet imago apparet in diametro $phæræ: aut intra $phærã: aut extra: aut in $uperficie. Et omnis dia- meter, in qua apparet imago aliqua in $uperficie $phæræ, aut extra, demi$sior e$t puncto $phæræ, quod tangit linea contingens à centro ui$us, ducta in ultimum punctum portionis apparentis. Sci mus etiam, quòd quælibet linea reflexionis $ecat $phæram in duobus punctis, in puncto reflexio- nis, & in alio. Re$tatiam, ut loca imaginum certius determinemus.

23. Si linea reflexion{is} $ecans diametrum $peculi $phærici conuexi: æquet $egmentum $uum inter $peculi $uperficiem & dictam diametrum, $egmento eiu$dem diametri contermino centro $peculi: erit hoc $egmentum imaginum expers. 28 p 6.

DIco, quòd $umpta diametro, $i ad ip$am ducatur linea $ecans $phæram à centro ui$us, cuius pars interiacens punctum $ectionis $phæræ & punctum diametri, quam attingit, e$t æqua- lis parti diametri, interiacenti inter punctum illud & centrum: punctum illud non e$t locus alicuius imaginis. Verbi gratia. $it a g circulus $phæræ: h ui$us: e d $emidiameter $phæræ, $iue per- pendicularis: & h z $it linea $ecans $phæram $uper punctum f, & concurrens cum e d in puncto z: & $it z f æqualis z d. Dico, quòd z non e$t locus alicuius imaginis. Palàm enim, quòd nõ e$t locus i- maginis alterius, quàm alicuius puncti lineæ e d: quoniam imago cuiuslibet puncti e$t $uper dia- metrum, ab eo ad centrum $phæræ ductam [per 10 n.] Et quòd locus imaginis alicuius puncti e d non $it in z: $ic con$tabit. Ducatur perpendicularis à puncto d $uper punctum f: & $it d f n: & [per 23 p 1] $uper punctum f fiat angulus æqualis angulo n fh: & $it q f n. Palàm ergo [per 15 p 1. 1 ax] ALHAZEN quòd angulus q fn æqualis e$t angulo z f d: $ed [per hypothe$im, & 5 p 1] z f d e$t æqualis angulo z d f: Igitur [per 1 ax] q f n e$t æqualis angulo z d n. Quare [per 28 p 1] linea f q e$t æqui- di$tans line{ae} e d. Igitur [per 35 d 1] in infinitum productæ nun- m t n q h b f e z p d a g quam concurrent. Igitur nullius puncti e d forma mouebitur ad punctum f per q f: non pote$t autem e$$e locus imaginis alicuiu puncti in puncto z, ni$i forma eius moueatur ad f per lineam q f [quia h ex the$i e$t ui$us, & h f linea reflexionis.] Eadem erit pro- batio $umpta quacunque diametro. Quare patet propo$itum. Am- plius: dico quòd nullum punctum lineæ z d pote$t e$$e locus ali- cuius imaginis. Sumatur enim punctum p: & ducatur linea h p, $e- cans $phæram in puncto b: & ducatur perpendicularis d b m: & [per 23 p 1] angulo m b h fiat angulus æqualis, qui $it t b m. Palàm [per 15 p 1. 1 ax] quòd t. b m e$t æqualis p b d: & palàm [per 16 p 1] quòd angulus d p h e$t maior angulo p z f: quia exterior. Igi- tur duo alij anguli trianguli d p b $unt minores duobus alijs angu- lis trianguli z d f [per 32 p 1.] Sed [per 9 ax.] p d b e$t maior an- gulo z d f: re$tat ergo ut angulus d p b $it minor angulo d f z: $ed angulus d f z e$t æqualis angulo z d f: [utiam patuit per the$in & 5 p 1:] quare angulus d b p minor e$t angulo z d f: Igitur mul- to minor angulo p d b: ergo t b m minor e$t p d b. Ergo t b, e d nunquam concurrent [ad partes t, e: & ita nulla forma à puncto b reflectetur ad punctum h, ut p $itlocus imaginis. $imiliter neci- mago alterius puncti. Et $imiliter de quolibet puncto lineæ z d. Re$tat ergo, ut tota linea z d $it ua- cua à locis imaginum.

24. Si in diametro $peculi $phærici conuexi extra ui${us} centrum ducta, in<006> apparentem $uperficiem continuata, imaginum meta notetur: Imagines dictæ diametri uidebuntur inter metam & $peculi $uperficiem. 29 p 6.

AMplius: $umpta quacunque diametro inter lineas contingentiæ à ui$u ad $phæram ductas, præter diametrum à centro ui$us ad centrum $phæræ intellectam, & determinato in ea pun cto, quod diximus, quod e$t meta locorum imaginum. Dico, quòd in punctis tantùm illius diametri, quæ $unt inter $uperficiem $phæræ, & metam prædictam, $untloca imaginum, puncto- rum illius diametri. Verbi gratia, $int b z, b e lineæ contingentes: b centrum ui$us: a centrum $phæ- ræ: b h a diameter ui$ualis: d a diameter $umpta, cuius meta $it t: g punctum $phær{ae}, in quo dia- meter $ecat $phæram. Dico, quòd in $ola puncta inter g, t interiacentia, cadunt imagines puncto- rum rectæ d a. Quòd enim non cadant in punctum g, uel extra $u- b $ d h f r g z q t e a perficiem $phæræ: palàm per hoc, quod $uprà dictum e$t [22 n,] diametrum, in qua e$t locus imaginis in $uperficie $phæræ aut ex- tra, demi$siorem e$$e puncto contingentiæ: & cum diameter d a $it inter lineas contingentes: non erit in ea locus imaginis, aut in $u- perficie $phæræ, aut extra. Quòd autem in quodlibet punctum in- ter g & t $umptum, cadat imago: $ic con$tabit. Sumatur punctum: & $it q: & ducatur linea b q, $ecans $phæram in puncto p: & duca- tur perpendicularis a p l: & [per 23 p 1] angulo l p b fiat æqualis angulus d p l: & educatur linea b t, $ecans $phæram in puncto f: & ducatur perpendicularis a f. Igitur triangulum a p b continet tri- angulum a f b: quare [per 21 p 1] angulas a f b maior e$t angu- lo a p b: re$tat ergo [per 13 p 1] ut angulus a f t $it minor a p q: $ed angulus a f t e$t æqualis angulo f a t, quia æqualia latera re$pi- ciunt: [per hypothe$in & pr{ae}cedentem numerum.] Igitur a p q e- rit maior angulo f a t: ergo & angulo p a q, [per 9 ax.] Quare [per 15 p 1. 1 ax.] l p b maior e$t p a q. Vnde d p l maior p a q: Igitur p d, a q concurrent [per 11 ax.] $it d concur$us. Forma igitur pun- cti d reflectetur à puncto p per lineam p b: & locus imaginis eius e$t q [per 3 n.] Et eadem e$t probatio, $umpto quocunque pun- cto inter g & t. Re$tat, uta$signemus loca imaginum in $ectione $phæræ occulta ui$ui.

25. Si linea reflexion{is} $ecans $peculum $phæricum conuexum, æquet $egmentum intra ip$i- {us} $uperficiem, eiu$dem $emidiametro: & $emidiameter per terminum lineæ reflexion{is} con- currat cum rect a à ui$u $peculum tangente: Imagines concurrent{is} $emidiametri, inter concur $um & $peculι $uperficiem uidebuntur. 30 p 6.

SInt ergo a c, a g lineæ contin gentes portionem apparentem: a centrum ui$us: b centrum $phæ- OPTICAE LIBER V. ræ: a d b z diameterui$ualis: z c g circulus $phæræ in $uperficie linearũ conting\~etiæ: & protrahatur à centro ad punctũ contingentiæ diameter b g. Palàm, quòd angulus z b g e$t maior recto. Cũ enim in triãgulo b a g angulus b g a [per 18 p 3] a d q c m x b g p o k t f z h $it rectus, erit [per 17 p 1] angulus g b a mi nor recto: quare [per 13 p 1] z b g maior. Sit ergo [per 23 p 1] h b g rectus: erit ergo [per 28 p 1] h b æquidi$tans line{ae} cõting\~e ti{ae} a g: Igitur [per 35 d 1] productæ nun<004> concurrent: & qu{ae}libet diameter inter h & g concurret cũ linea a g [per l\~ema Pro- cli ad 29 p 1.] Ducatur à pũcto a linea $e- cans $ph{ae}rã: quæ $it a m o: ita quod chor- da, qu{ae} e$t m o, $it {ae}qualis $emidiametro o b: & cõcurrat $emidiameter b o cum li- nea a g, in puncto t. Dico, quòd in quoli- bet pũcto t o e$t locus imaginis: & in nul lo alio puncto diametri t b e$t locus ima- ginis: & $unt o, t termini locorũ imaginũ [per 23 n.] Sumatur enim punctũ: & $it k: & a n k ducatur $ecans $phærã in puncto n: & ducatur perpendicularis b n x: & [ք 23 p 1] angulo x n a fiat angulus {ae}qualis per lineam f n. Palàm, quò d n f nõ cadet inter b, g. Quoniã $ic aut $ecaret $phæram, aut $ecaret contingent\~e a g in duobus punctis [& $ic du{ae} line{ae} rect{ae} $patiũ cõ- prehenderent contra 12 ax.] Igitur forma puncti f mouebitur per f n ad punctum n, & reflectetur ad a per lineam a n: & apparebit imago eius in puncto k [per 3 n.] Et eadem probatio e$t, $umpto quocunque alio puncto.

26. Si linea reflexion{is} æquans $ua parte in$cripta $emidiametrum circuli (qui est commun{is} $ectio $uperficierum reflexion{is} & $peculi $phærici conuexi) terminetur in peripheria non appa rente: perp\~edicular{is} incid\~etiæ, $ecãs peripheriã inter lineã reflexion{is}, & rectã à ui$u $peculũ tangent\~e: habebit qua$dam imagines intra, qua$dam extra $peculũ: unam in $uperficie. 31 p 6.

AMplius: dico, quòd in arcu o g, qu{ae}cunque a d k u m r h b g i l f e o z t y $umatur diameter, continebit loca imagi- num: & intra $peculum qua$dã: & unã in $u perficie: & alias extra $peculũ. Sumatur ergo pun- ctum l: & protrahatur diameter b l, quou$q; $ecet a t in puncto e: & producatur linea a l, $ecans $phæ ram in puncto r. Palàm, quòd r l minor e$t t b: quia [per 15 p 3] e$t minor m o: quæ e$t {ae}qualis $emidia metro [ex the$i.] Si ergo ab a ducatur linea ad dia metrum b l: cuius pars interiacens inter circulũ & diametrum, $it æqualis parti diametri à puncto, in quod cadit, u$q; ad centrũ: cadet inter l & b. Si e- nim inter l & e ceciderit: erit r l maior l b: oĩs enim linea interiacens inter centrũ, & illam part\~e lineæ reflexionis, illi parti diametri {ae}qualem: erit maior parte diametri, qua terminatur, $ecundum proba- tionem a$signatam in explanatione metæ imagi- num [23 & proximo numeris.] Sit ergo punctum, in quod linea æqualis cadit: i. Dico, quòd in quo- libet puncto line{ae} e i e$t locus imaginis: & erit ea- dem demon$tratio, qu{ae} fuit in t o [præcedente nu mero.] Igitur qu{ae}dã imagines in diametro e b $or tiuntur loca intra $peculũ: qu{ae}dam extra $peculũ: una $ola in $uperficie: $cilicet in puncto l. Et ita po teris demon$trare in qualibet diametro per puncta arcus o g tran$eunte.

27. Si linea reflexion{is}, æquans $ua parte in $cripta $emidiametrum circuli (qui e$t commu- n{is} $ectio $uperficierum reflexion{is} & $peculi $phærici conuexi) terminetur in peripheria nõ ap- parente: perpendicular{is} incidentiæ $ecans peripheriam inter terminos lineæ reflexion{is} & quadr ant{is} peripheriæ, à puncto tact{us}, rectæ à ui$u $peculum tangent{is}, inchoati, habebit i- magines extra $peculum. 32 p 6.

AMplius: $umpta quacunq; diametro in arcu o h: locus imaginis in eo erit extra $peculũ. Suma ALHAZEN tur diameter b q: & concurrat cum cõtingente in puncto p [concurrit enim per lemma Procli ad 29 p 1:] & ducatur linea a u q $ecãs $ph{ae}ram in puncto u. Iam dictum e$t, quòd m o e$t æqualis o b [per the$in commun\~e 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27 n.] Sed [per 15 p 3] u q e$t a d u m b g o e q s z h p maior m o: quare u q e$t maior o b, id e$t b q. Et linea ducta à circum- ferentia ad diametrum p b, {ae}qualis parti p b, interiacenti inter ip$am & centrum: non cadet inter q & b. Si enim ceciderit: $ecundũ $upra- dictam probationem [23 & præcedente numeris] erit u q minor q b. Re$tat ergo, ut linea {ae}qualis cadat inter p & q. Et quòd non cadatin punctũ p: palàm per hoc: quia angulus p g b e$t rectus [per 18 p 3.] I- gitur [per 19 p 1] p b maius e$t p g. Cadet ergo citra punctum p: Sit punctum, in quod cadit: s. Erit ergo s meta locorum imaginum [per 23 n:] & quodlibet punctũ inter p & s erit locus imaginum. Et ead\~e e$t probatio, quæ $uprà [25. 26 n.] Palàm ex his, quòd imagines dia- metrorum arcus h o, omnes $unt extra $uperficiem $peculi: imaginũ diametri f y, una in $uperficie $peculi: qu{ae} e$t in l: aliæ intra, $cilicet in i l: aliæ omnes extra, $cilicet in l e. Omniũ aũt imaginum diametri ar- cus o g, quædam intra $peculum: qu{ae}dã extra: qu{ae}dam in $uperficie.

28. Perpendicular{is} incidentiæ $ecans occult ãperipheriam cir culι (quie$t commun{is} $ectio $uperficierum reflexion{is} & $peculi $phærici conuexi) inter terminos rectæ per centra ui${us} ac $peculi ductæ, & quadrant{is} peripheriæ, à puncto tact{us} rectæ à ui$u $pe- culum tangent{is}, inchoati: imaginem nullam habet. 33 p 6.

AMplius: in arcu h z non pote$t $umi diameter, in qua e$t locus imaginis. Quoniam nulla dia- meter ibi $umpta concurrit cũ contingente a p. [Quia enim g h e$t quadrans totius periphe riæ ex the$i: rectus e$t angulus h b g per 33 p 6: & $imiliter b g a d u m c g b o t q p n z h p per 18 p 3. Quare perp\~edicularis incidenti{ae}, cadens in peripheriã h z, facit cum b g angulũ obtu$um: ideo\’q; cũ tangente a g p non cõ curret ad partes h & p: $ecus duæ rectæ $patium cõprehender\~et cõ- tra 12 ax.] Et à quocunq; puncto illius talis diametri ducatur linea ad $phærã: cadet quidem in portion\~e g z c, & nulla in portion\~e g d c, ni$i $ecando $ph{ae}ram. Quare nulla forma alicuius puncti talis dia metri ueniet ad portionem ui$ui apparentem. Quod aũt dictum e$t in arcu g h z: pote$t eodem modo demon$trari in parte arcus c z eã re$piciente. Et $umpto arcu citra z, æquali h z: in nulla diametro il- lius arcus erit imaginis locus. Id\~e e$t demon$trandi modus in quo- cunq; circulo. Quare $i linea h b moueatur, eodem manente angu- lo h b z: $ignabit motu $uo portionem $phæræ, in cuius diametris nullus $it imaginis locus. Si uerò h b immota, moueatur o h: de$cri- betur portio, cuius o\~es imagines extra $peculum $unt. Moto aũt ar cu o g: fiet portio, cuius qu{ae}dam imagines $untin $uperficie: qu{ae}dã extra $peculum: qu{ae}dam intra. Verũ ui$us nõ comprehendit, quæ imagines $int in $uperficie $ph{ae}ræ, aut qu{ae} extra: nec certificatur in comprehen$ione earum: ni$i quòd $int ultra portionem apparent\~e. Iam ergo determinata $unt in his $peculis imaginum loca.

29. Ab uno $peculi $phærici conuexi puncto, unum ui$ibil{is} punctum adunũ ui$um reflecti- tur. Ita<005> uni{us} punctiuna uidetur imago. 16 p 6.

AMplius: Puncti ui$i forma nõ pote$t in hoc $peculo ad unũ ui$um reflecti, ni$i ab uno $olo pũ cto $peculi. Sit enim punctũ ui$um b: a centrũ ui$us: & nõ $it a in perp\~ediculari ducta ad c\~etrũ $ph{ae}r{ae}. Dico, quòd b reflectitur ad a ab uno $olo $peculi puncto: & unã $olã o$tendit ui$ui ima gin\~e in hoc $peculo. Palàm [per 25 n 4] quòd ab aliquo puncto pote$t reflecti forma eius: $it illud g: & ducantur b g, a g: & $it n centrum $ph{ae}r{ae}: & ducatur diameter b n, $ecans $uperficiem $phæræ in puncto l: & termini portionis ui$ui oppo$itæ $int d, e: & $ecet linea a g perp\~edicularem in puncto q: quod e$t locus imaginum [per 3 uel 16 n.] Palàm, quòd a, n, b $int in ead\~e $uperficie orthogonali $uք $phæram [per 13. 23 n 4.] Et cum omnes $uperficies orthogonales $uper $phærã, in quibus fuerint b, n, $ecent $e $uper b n: & nõ po$sit $uperficies, in qua b n linea, extendi ad punctũ a, ni$i una tantũ: [<003>a punctum a indiuiduũ e$t.] Palàm, quòd a, & b, & n $unt in una $uperficie tantùm, orthogonali $uper $ph{ae}rã, non in plurib. & cũ nece$$e $it, [per 13. 23 n 4] ut omne punctũ ui$um, & a $int in ead\~e $uperfi- cie orthogonali $uper punctũ reflexionis: palàm, quòd non fiet reflexio puncti b ad ui$um, ni$i in cir culo $ph{ae}r{ae}, qui e$t in $uperficie a n b. Sit ergo circulus d g e. Dico igitur, quòd à nullo puncto huius circuli pr{ae}ter<004> à g, fiet reflexio. Si enim dicatur, quòd à pũcto l: cum b n $it $uք $uքfici\~e $peculi per- pendicularis: [ut o$t\~e$um e$t 25 n 4] & a l nõ $it perp\~edicularis: [<003>a nõ tran$it per centrü:] & forma per perp\~edicular\~e ueniens, nece$$ariò ք perpendicular\~e reflectatur: [ք 11 n 4:] palã, quòd non refle ctetur b ad a à puncto l, Planum etiam e$t, quòd non reflectetur ab alio puncto arcus l e: quìa ad OPTICAE LIBER V. quodcunq; punctum illius arcus ducatur linea à puncto b: tenebit cũ contingente illius puncti an- gulum obtu$um ex parte e: [Nam $emidiameter circuli ad rectam lineam per punctum illud, $pecu lum tang\~etem educta, declinat à puncto b uer$us b k a p f m e l z g t r o q h n d e, & facit cum tangente angulum rectum per 18 p 3. Itaq; angulus tangentis & lineæ rect{ae} à puncto b ad pũctum tactus duct{ae}, maior e$t recto: ide o \’q; per 11 d 1 obtu$us:] & linea ducta à puncto a ad il. lud punctum, tenebit cũ contingente illa angulũ acutum ex parte l: [quia angulus $emidiametri & tangentis rectus e$t per 18 p 3: & recta à puncto a ad illud punctũ ducta $ecat circulũ d e g.] Quare $i ab illo puncto fieret reflexio: e$$et angulus acu- tus æqualis obtu$o [per 12 n 4.] Iterũ à nullo pun cto arcus g l pote$t fieri reflexio. Sumatur enim punctum quodcunq;: & $it z: & ducatur linea a z o, $ecans perpendicular\~e in puncto o: & ducatur li- nea contingens circulum in puncto z: [per 17 p 3] quæ cadit nece$$ariò inter b g, & b l: [quia punctũ z e$t inter puncta g & l] & $it m z: & f g circulũ cõ- tingat in puncto g. Palã ex $uperiorib. [18 n] quòd proportio b n ad n q, $icut b f ad f q. Eodem modo proportio b n ad n o, $icut proportio b m ad m o: Sed [per 9 ax. 8 p 5] maior e$t proportio b n ad n q, quã b n ad n o. Igitur [per 11 p 5] maior e$t pro- portio b fad f q, quàm b m ad m o. Quod planè im po$sibile: cum [per 9 ax] b f $it minor b m, & f q maior m o. [ideo\’q; ratio b f ad f q minor e$t ratio- ne b m ad m o, ut patet ex 8 p 5.] Re$tat ergo, ut à puncto z non fiat reflexio. Verùm quòd ab aliquo puncto arcus g d non fiat reflexio: $ic con$tabit. Sumatur quodcunq; punctum: & $it t: & ducatur li- nea b t: & linea a t h, $ecans b n in pũcto h & [per 17 p 3] ducatur cõtingens circulũ in pũcto t: qu{ae} $it p t. Erit ergo ex $uperiorib. [18 n] {pro}portio b n ad n h, $icut b p ad p h: & b n ad n q, $icut b fad f q: Sed [per 9 ax. 8 p 5] b n ad n h maior e$t, quá b n ad n q: ergo [per 11 p 5] maior e$t proportio b p ad p h, <004> b fad f q: quod planè fal$um: cum [per 9 ax] b f $it maior b p, & p h maiorf q. [ideo\’q; ratio b p ad p h minor e$t ratione b f ad f q, ut con$tat ex 8 p 5.] Re$tat ergo, ut à nullo puncto arcus g d fiat refle- xio puncti b. Quare quodlibet punctum ab uno $olo puncto $peculi reflectitur ad ui$um. Ergo una $ola erit linea reflexionis cuiuslibet puncti ui$i. Quare unica unius puncti imago. Si aũt punctum b fuerit in perpendiculari ui$uali: palàm [per 11 n 4] quòd reflectetur ab uno $olo puncto, per quod perpendicularis, tantũ: & unica erit eius imago: & erit propter continuitatem aliorum punctorum, in loco imaginis proprio.

30. Siduo perpendicular{is} incidentiæ pun- b k u a p e g t q n d cta, à $peculo $phærico conuexo ad unum ui$um reflectantur: loc{us} tum imagin{is} tum reflexio- n{is}, puncti centro $peculi propinquior{is} erit re- motior: imagin{is} ab eodem centro: reflexion{is} à ui$u. 17 p 6.

AMplius: $i in aliqua diametro $umãtur duo puncta ex parte centri eadem: locus ima- ginis centro propinquioris, erit remotior à centro $ph{ae}r{ae}, loco imaginis puncti remotioris à c\~etro $ph{ae}r{ae}. Verbi gratia dico, quòd locus ima- ginis puncti p, remotior e$t à centro, loco imagi- nis puncti b: & punctum reflexionis puncti p re- motius ab a puncto ui$us, puncto reflexionis pun cti b, quod e$t punctum g. Dico, quòd punctum p non reflectitur, ni$i ab aliquo puncto arcus g l. Palàm enim, quòd non reflectitur ab aliquo pun- cto arcus le, ni$i à puncto l: [$ic\’q; per 11 n 4 refle- ctetur per perpendicularem b l n, nõ ad ui$um, in a po$itum] nec à puncto g: cũ b reflectatur ab eo, [ad ui$um $cilicet a ex the$i: ideo\’que nullum ali- ud punctum, ut p, ab eodem puncto g reflectetur ad eund\~e ui$um a ք pr{ae}ced\~et\~e numerũ.] Et $i dica tur, q<001> ab aliquo pũcto arcus g d: $it illud pũctũ t: ALHAZEN & $it t p linea, per quam forma mouetur ad $peculũ: & ducatur perpendicularis n t u: qu{ae} nece$$ariò diuidet angulum p t a per æqualia: [ut o$ten$um e$t 13 n 4] & ducatur perpendicularis n g k: erit [ք 21 p 1] angulus n t a maior n g a: re$tat ergo [per 13 p 1] angulus u t a minor angulo k g a. Quare angu- lus p t u@minor angulo b g k: [angulus enim k g a æquatur angulo b g k, per 12 n 4.] Sed [per 32 p 1] angulus p t u ualet angulum t n p, & t p n: quia exterior: & angulus b g k ualet angulũ g n b, & an- gulum g b n Erunt ergo duo anguli t n p, t p n minores duobus angulis g b n, g n b: quod [per 9 ax] e$t impo$sibile: cum angulus p n t contineat angulum g n b tanquam partem: & [per 16 p 1] angulus t p n $it maior g b n. Re$tat ergo, ut punctum p non reflectatur, ni$i à punctis inter g & l intermedijs. Et omnes lineæ à puncto a per hæc puncta ductæ ad diametrum b n, cadunt in puncta $ph{ae}ræ à cen tro ui$us magis elongata, puncto g. Et ita patet propo$itum.

31. Vi$a & ui$ibilia à centro $peculi $phærici conuexi æquabiliter di$tantib{us}: punctum refle- xion{is} inuenire. 20 p 6.

AMplius: dato $peculo, & dato puncto ui$o: e$t inuenire punctum reflexionis. Sit enim b pun- ctum ui$um: a centrum ui$us: & ducantur ab eis duæ lineæ ad b d a f e g c centrum $peculi. Si fuerint duæ illæ lineæ æquales: erit facile inuenire: quoniam $umetur circulus $phæræ in $uperficie duarum il- larum linearum. Et $cimus [per 29 n] quòd ab unico $olo puncto il lius circuli fit unius puncti reflexio. Diuidatur ergo [per 9 p 1] angu- lus, quem continent in centro duæ illæ line{ae}, per æqualia: & ducatur linea diuidens angulum, extra $phæram: erit quidem [per 18 p 3] per- pendicularis $uper lineam contingentem hunc circulum in puncto, per quod tran$it. Et $i ducantur ad illud punctum du{ae} line{ae}: una à cen tro ui$us: alia à punctu ui$o: efficient cum perpendiculari illa & dua- bus primis lineis, duo triangula: quorum duo latera duobus laterib. æqualia, & angulus angulo [ideo\’q; per 4. 13 p 1. 3 ax angulus a e d æ- quatur angulo b e d.] Et ita punctum circuli, per quod perpendicula ris illa tran$it: e$t punctum reflexionis: [quia c e d bifariam $ecat an- gulum ab incidenti{ae} & reflexionis lineis comprehen$um, ut patuit 13 n 4.] Si nero linea à puncto ui$o ad centrum $phær{ae} ducta, fuerit in{ae} qualis line{ae} à centro ui$us ad idem centrum duct{ae}: oportet nos qu{ae}- dam antecedentia præponere: quorum unum e$t.

32. À puncto dimidiatæ peripheriæ medio, ducere lineam re- ctam, ut $egmentum ei{us} conterminum continuatæ diametro, æquetur datæ lineæ rectæ. 128 p 1.

SVmpta circuli diametro, & $umpto in circumferentia puncto: e$t ducere ab eo ad diametrũ ex- tra productam, lineam, qu{ae} à puncto, in quo $ecat circulum, u$q; ad cõcur$um cum diametro, $it æqualis lineæ datæ Verbi gratia, $it q e data linea: g b diameter circuli a b g: a punctũ datum. Di co, quòd à puncto a ducam lineam, quæ à pũcto, in quo $ecuerit circulum, u$q; ad diametrum g b, $it æqualis lineæ q e: quod $ic con$tabit. Ducantur du{ae} lineæ a b, a g: qu{ae} aut erunt æ quales: aut in{ae}qua les. Sint {ae}quales: & adiungatur lineæ q e linea talis, ut illud, quod fit ex ductu totius cum adiuncta in ad ũctam, $it q a e g a z g e b q d @ q g h @ a z b {ae}quale quadra to a g. [id uerò expeditè fiet: $i linea q e fiat dia meter circuli, cuius periphe- riam tangens re cta linea æqua- lis a g, cõcurrat cum continua- ta diametro q e: $ic enim oblongum cõprehen$um $ub continuata diametro & exte- riore eius $egmento {ae}quabitur quadrato line{ae} a g per 36 p 3.] Et $it li nea adiũcta e z. Cũ igitur illud, q<001> fit ex ductu q z in e z $it {ae}quale ei, quod fit ex ductu a g in $e: erit q z maior a g, & e z minor eadem. Si e- nim e z fuerit æqualis, aut maior a g: e$t impo$sibile, ut ductus q z in e z $it æqualis quadrato a g [$ic enim oblongum compreh\~e$um $ub q z & e z $emper maius e$$et quadrato a g: quia linea q z e$$et maior e z, ut totum $ua parte.] Si autem minor: palàm, quòd q z e$t maior a g. Producatur ergo ad {ae}qualitatem: & $it a g t: & po$ito pede circini $uper a, fiat circulus $ecundum quantitatem a g t: qui quidem circulus $ecabit diametrum b g: [infinitè uer$us t continuatam] & OPTICAE LIBER V. $ecet in puncto d: & ducatur linea a d: quæ $ecabit nece$$ariò circũlum. Si enim contingeretin puncto a: e$$et æquidi$tans b g, & nunquam concurreret cum ea. [Nam ex the$i g a, b a æ- quantur. Itaque $emidiameter à centro ad a ducta, efficiet per 8 p. 10 d 1 angulos cum b g rectos. Similiter angulus lineæ d a tãgentis & $emidiametri rectus e$t per 18 p 3: ergo per 28 p 1 b d, a d e$- $ent parallelæ: quæ tamen concurrunt in puncto d, è fabricatione.] Secet ergo in puncto h: & du- catur linea g h. Palàm [per 22 p 3] cum a b g h $it quadrangulum intra circulum: a b g, a h g an- gulos oppo$itos ualere duos rectos: $ed [per 5 p 1] a g b e$t æqualis angulo a b g, cum re$piciant æqualia latera ex hypothe$i. Erit igitur angulus a h g æqualis angulo d g a: [per 13 p 1] & angu- lus h a g communis triangulo totali a d g, & partiali a h g: re$tat ergo [per 32 p 1] ut angulus h d g $it æqualis angulo h g a: & triangulum $imile triangulo [per 4 p. 1 d 6.] Quare proportio d a ad a g, $icut a g ad a h: ergo [per 17 p 6] quod fit ex ductu d a in a h, e$t æquale quadrato a g: Sed [per 15 d 1] d a e$t æqualis t a: igitur [per 1 ax] e$t æqualis q z: & erit a h æqualis e z: [quia è prima fabricatione oblongum comprehen$um $ub q z & e z æquatur quadrato a g: cui æquale o- $ten$um e$t oblongum comprehen$um $ub d a & a h: & d a æquaturip$i q z] & [per 3 ax] d h æqua- lis q e: quæ e$t data linea. Et ita e$t propo$itum.

33. À puncto dimidiatæ peripheriæ non medio, ducere lineam rectam: ut $egmentum ei{us} conterminum continuatæ diametro, æquetur datæ lineæ rectæ. 130 p 1.

SI uerò a b & a g non $int æquales: protrahatur [per 31 p 1] à puncto g linea æquidi$tans a b: quæ $it g n: & $umatur linea, quæcunque $it: z t: & [per 23 p 1] $uper punctum z fiat angulus {ae}- qualis angulo a g d per lineam z f: & [per 31 p 1] ducatur à puncto t linea æquidi$tans z f: & $it t m: & [per 23 p 1] ex angulo t z f $ecetur angulus æqualis angulo d g n per lineam z m. Hæc k t o z m u y f c l z q d @ g e a b igitur linea nece$$ariò cõcurrit cum t m: [per lemma Procli ad 29 p 1] cum $it inter æquidi$tantes. Sit pun- ctum concur$us m: re$tat ergo [per 3 ax] angulus m z f æqualis angu- lo a g n. Et à puncto t ducatur li- nea æquidi$tans lineæ z m: [per 31 p 1] quæ $it t o: quæ quidem nece$$a- riò concurret cum f z: [per lemma Procli ad 29 p 1] & $it concur$us in puncto k: & $umatur [per 12 p 6] li- nea, cuius proportio ad lineam z t, $i- cut b g ad q e lineam datam: & $it i. Deinde fiat $uper punctum m $e- ctio pyramidalis, quemadmodũ do- cet Apollonius in libro $ecundo de pyramidalibus, propo$itiõe quarta: & $it u c m: quæ quidem $ectio non $ecat lineas k o, k f: & in hac $ectione ducatur linea æqualis line{ae} i: $cilicet m c: & producatur u$que ad lineas k t, k f: & $int puncta $ectio num o, l. Igitur, $icut ibidem [8 th 2 coni conicorum] probatur: erit o m æqualis c l: & à puncto t ducatur linea æquidi$tans c m: [per 31 p 1,] quæ $it t f: & [per 23 p 1] $uper punctum a fiat angulus æqualis angulo z f t per lineam a n d. Palàm, quòd hæc linea concurret cum g d: cum angulus a g n $it {ae}qualis f z m angulo: [per con- clu$ionem] & angulus g a n angulo z f t [per fabricationem: & totus angulus f z t æquatus $it toti angulo d g a: & per 32 p 1 anguli ad z & f $int minores duobus rectis. Ergo anguli ad g & a ip$is æ- quales, minores erunt duobus rectis. Itaque per 11 ax. g d, a d concurrent.] Igitur a d linea aut tan- get circulum: aut $ecabit ip$um. Quoniam $i non tetigerit, & arcus a b fuerit maior arcu a g: $eca- bit arcum a b: & $i a b fuerit minor: $ecabit arcum a g. Tangat igitur in puncto a. Cum igitur [per fabricationem] angulus g a n $it æqualis angulo z f t, & angulus a g n angulo f z y: erit [per 32 p 1] tertius tertio æqualis: & erit triangulum a g n $imile triangulo z f y. Similiter cum [per fabricationem] a g d $it æqualis angulo f z t: erit [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulum a g d $imile triangulo f z t. Igitur quæ e$t proportio a n ad a g, ea e$t proportio f y ad f z: & quæ e$t propor- tio a g ad g d, ea e$t f z ad z t. Quare [per 22 p 5] quæ e$t proportio a n ad g d, ea e$t f y ad z t. Verùm cum [per fabricationem] t m $it æquidi$tans f l, & f t $it æquidi$tans l m: e$t @ per 34 p 1] f t æqualis l m. Quare [per 2 ax] erit æqualis c o: cum [per 8 th 2 conicorum Apol- lonij] m o $it æqualis l c: $ed [per 34 p 1] m o e$t æqualis y t: cum [per fabricationem] $it ip$t æquidi$tans, & y m æquidi$tans t o. Re$tat ergo [per 3 ax] f y æqualis c m: $ed [per fabrica- tionem] c m e$t æqualis i. Quare [per 1 ax] f y e$t æqualis i: $ed [per fabricationem] propor- tio i [id e$t, per 7 p 5 f y] ad z t, $icut b g ad e q. Igitur [per 11 p 5] proportio a n ad g d, $i- cut b g ad e q. Verùm angulus g a n e$t æqualis angulo g b a: $icut probat Euclides in ter- ALHAZEN tio [32 propo$itione] $ed [per 29 p 1] angulus n g d e$t æqualis angulo a b g: cum [per fabri- cationem] n g $it æquidi$tans a b. Igitur [per 1 ax] angulus n g d æqualis e$t angulo n a g, & an- gulus n d g communis. Quare [per 32 p 1] tertius tertio e$t æqualis. Quare [per 4 p. 1 d 6] triangu- lum n d g $imile triangulo a d g. Igitur proportio a d ad d g, $icut g d ad d n. Quare [per 17 p 6] quod fit ex ductu a d in d n e$t æquale quadrato d g. Verùm quadratum a d e$t æquale ei, quod fit ex du- ctu b d in d g: $icut probat Euclides 36 propo$itione [libri tertij,] & quadratum a d e$t æquale ei, quod fit ex ductu a d in d n, & ei quod fit ex ductu a d in n a [per 2 p 2:] & illud, quod fit ex ductu b d in d g, e$t æquale quadrato d g, & ei quod fit ex ductu b g in g d: $icut probat Euclides [3 p 2.] Abla- tis ergo æqualibus [quadrato nempe d g & rectangulo a d n] re$tat [per 3 ax,] ut, quòd fit ex du- ctu a d in a n, $it æquale ei, quod fit ex b g in g d. Igitur [per 16 p 6] proportio primæ lineæ ad $ecun dam, e$t $icut tertiæ ad quartam [nempe ut a d ad g d, $ic b g ad a n: & alternè [per 16 p 5] ut a d ad b g, $ic g d ad a n.] Quare [per con$ectarium 4 p 5] proportio a n ad g d, $icut b g ad a d. Sediam dictum e$t, quòd proportio a n ad g d e$t, $icut b g ad e q. Igitur [per 9 p 5] e q e$t æqualis a d. Quod e$t propo$itum. Quòd $i a d non tetigerit circulum, $ed $ecuerit, & q d n e g h a b fuerit a g maior a b: $ecabit quidem arcũ a g. Secet ergo in puncto h: & ducatur linea h g. Palàm [per 22 p 3] quòd duo anguli a h g, a b g ualent duos rectos: $ed angulus n g d æqualis e$t a b g [per 29 p 1: quia n g parallela ducta e$t ip$i a b.] Igitur angulus a h g & angulus n g d $unt {ae}quales duobus rectis. Quare [per 13 p 1. 3 ax] angulus n g d e$t {ae}qualis angulo n h g: & angulus n d g communis. Quare [per 32 p 1] tertius angulus tertio angulo e$t æqualis: & triangulum h g d $imi le triangulo n d g [per 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio h d ad d g e$t, $icut proportio d g ad d n. Quare [per 17 p 6] illud, quod fit ex ductu h d in d n, e$t {ae}quale quadrato d g: $ed quod fit ex ductu a d in h d, e$t æ- quale ei, quod fit ex ductu b d in d g, $icut probat Euclides [cõ$ecta- rio 36 p 3] & [per 1 p 2] illud, quod fit ex ductu a d in d h, e$t {ae}quale ei, quod fit ex ductu d h in d n, & d h in a n: & [per 3 p 2] q<001> fit ex ductu b d in d g, e$t æquale ei, quod fit ex ductu b g in g d & quadrato d g. Ablatis igitur æqualibus, $cilicet quadrato d g, & eo, quod fit ex du- ctu d h in d n: re$tat [per 3 ax] ut illud, quod fit ex ductu d h in a n, $it {ae}quale ei, quod fit ex ductu b g in d g. Quare proportio $ecund{ae} line{ae} ad quartam, id e$t a n ad g d, $icut tertiæ ad primã, id e$t b g ad d h [e$t enim per 16 p 6 ut d h ad d g, $ic b g ad a n: & per 16 p 5, ut d h ad b g, $ic d g ad a n, & per con$ectarium 4 p 5, ut a n ad d g, $ic b g ad d h.] Sed iam probatum e$t, quòd pro- portio a n ad d g, $icut b g ad e q. Igitur [per 9 p 5] e q e$t {ae}qualis d h. d q n g a e h b Et ita e$t propo$itum. Si uerò a g $it minor a b: & $ecet a d arcum a b: $it $ectionis punctum h: & ducatur linea h g. Palàm [per fabricatio nem primam & 29 p 1] quòd angulus n g d e$t æqualis angulo a b g: $ed [per 27 p 3] anguli a b g, a h g $unt æquales: quia cadunt in eund\~e arcum. Igitur [per 1 ax] angulus n g d e$t æqualis angulo a h g, & an- gulus n d g communis. Quare [per 32 p 1] tertius tertio æqualis: & triangula $imilia [per 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio h d ad d g, $icut d g ad d n. Quare [per 17 p 6] quod fit ex ductu h d in d n, e$t æquale qua drato d g: $ed quod fit ex ductu h d in d a, e$t æquale ei, quod fit ex du ctu b d in d g [per con$ectarium Campani ad 36 p 3] & [per 1 p 2] q<001> fit ex ductu h d in d a, e$t æquale ei, quod fit ex ductu d n in h d & a n in h d: & [per 3 p 2] ductus b d in d g ualet quadratum d g, & ductum b g in d g. Igitur remotis æqualibus: [rectangulo nimirum h d n, & quadrato d g] erit [per 3 ax] ductus h d in a n, $icut b g in d g. Igitur [per 16 p 6. 16 p. 13 d 5] proportio a n ad d g, $icut b g ad h d. Sed iam dictum e$t, quòd proportio a n ad d g e$t, $icut b g ad e q. Igitur [per 9 p 5] e q e$t æqualis h d. Quod e$t propo$itum. Quare à puncto a da to, duximus lineam, $ecantem circulum, & à puncto $ectionis ad dia metrum e$t æqualis lineæ datæ.

34. À puncto peripheriæ circuli extra datam diametrum dato, ducere lineam rectam, it æ $ectam data diametro, ut $egmentum inter diametrum & punctum peripheriæ dato puncto op po$itum, æquetur datæ rectæ, minori circuli diametro. 133 p 1.

AMplius à puncto dato in circulo, extra diametrum eius, e$t ducere lineam per diametrum ad circulum, ut pars eius à diametro ad circulum, $it æqualis line{ae} datæ. Verbi gratia: a b g $it da tus circulus: b g diameter: a punctum datum: h z linea data. Dico, quòd à puncto a e$t duce re lineam, tran$euntem per diametrum b g, cuius pars à diametro ad circulum $it æqualis lineæ h z. Ducantur lineæ a b, a g: & [per 23 p 1] $uper punctum h fiat angulus {ae}qualis angulo a g b per lineam m h: & $uper idem punctum fiat angulus {ae}qualis angulo a b g per lineam h l: & [per 31 p 1] à puncto z OPTICAE LIBER V. ducatur æquidi$tans lineæ h m: quæ $it z n: quæ quidem $ecabit h l [per lemma Procli ad 29 p 1] & à puncto z ducatur æquidi$tans h l: quæ $it z t: & $ecet h m in puncto t: & à puncto t ducatur $ectio pyramidis t p, quam a$signauit Apollonius in libro pyramidum [4 th 2:] quæ quidem $ectio non continget aliquam linearum z n, h l, inter quas iacet. Similiter fiat $ectio pyramidis ei oppo$ita inter ea$dem lineas: quæ $it c u. Cum igitur li- a g e b d h n t f x q c u p m z $ nea minima ex lineis à puncto t ad $ectionem c u ductis, fuerit æqualis diametro b g: circu- lus factus $ecundum hanc minimam lineam, po$ito pede circini $uper punctum t: contin- get $ectionem c u. Si uerò minima ex lineis à puncto t ad $ectionem c u ductis, fuerit minor diametro b g: circulus factus modo prædicto $ecundum quãtitatem b g, $ecabit $ectionem in duobus punctis. Sit ergo t c minima, & æ- qualis diametro b g: quæ quidem $ecabit z n & h l: cum ducatur ad $ectionem, quæ inter eas interiacet: & [per 31 p 1] ducatur à puncto z æ quidi$tans huic: quæ quidem $ecabit h m, h l [per lemma Procli ad 29 p 1] $icut $ua {ae}qui di$tans t c. Secet ergo in punctis m l: & $it m z l: & punctum $ectionis, in quo t c $ecat z n, $it q: & [per 23 p 1] $uper diametrum g b fiat an- gulus {ae}qualis angulo h l m: qui $it d g b, & du- cantur line{ae} du{ae} a d, d b. Palàm ergo, cũ [per 31 p 3] angulus g a b $it rectus: alij duo anguli trianguli a g b ualent rectũ [per 32 p 1.] Quare angulus l h m e$t rectus: [con$tat enim è duo- bus angulis per fabrication\~e {ae}qualib. angulis a g b, a b g rectũ {ae}quantibus] & e$t æqualis an gulo g d b: & [per fabricationem] angulus h l m e$t æqualis angulo d g b: Igitur [per 32 p 1] tertius tertio: & triangulum $imile triangulo [per 4 p. 1 d 6.] Quare {pro}portio b g ad b d e$t, $icut l m ad m h. Sed quoniam [per 27 p 3] angulus a d b æqualis e$t angulo b g a: quia cadunt in eundem arcum: & angulus b g a æqualis angulo m h z: [per fabricationem] e$t ergo [per 1 ax.] an- gulus a d b æqualis angulo m h z. Et iam habemus, quòd angulus d b g e$t æqualis angulo h m z. I- gitur [per 32 p 1] tertius tertio: & triangulum d e b $imile triangulo m h z. [per 4 p. 1 d 6] Sit autem e punctum, in quo linea a d $ecat diametrum b g. Igitur proportio b d ad d e, $icut m h ad h z. Verùm Apollonius [16 th 2] probat: quòd cum fuerint duæ $ectiones oppo$itæ, & producatur linea à $e- ctione ad aliam: pars eius, quæ interiacet inter unam $ection\~e, & unam ex lineis, e$t {ae}qualis alij par- ti, quæ interiacet inter aliam $ectionem, & aliam lineam. Quare q t æqualis e$t c f. Sed [per 34 p 1] t q e$t æqualis m z: cum $it illi æquidi$tans, inter duas æquidi$tantes. Igitur [per 1 ax.] m z æqualis f c: & [per 34 p 1] z l æqualis t f. Igitur [per 2 ax.] m l æqualis t c. Quare proportio t c ad h z, $icut m l ad h z. [per 7 p 5] Quare proportio g b ad e d, $icut t c ad h z. [demõ$tratũ enim e$t, ut g b ad b d, $ic l m ad m h: item ut b d ad d e, $ic m h ad h z: ergo per 22 p 5, ut g b ad d e, $ic l m ad h z: $ed ut l m ad h z, $ic t c a d h z: quare per 11 p 5 ut g b ad d e, $ic t c ad h z.] Et cum t c $it æqualis b g [ex the$i] erit [per 14 p 5] e d æqualis h z. Quod e$t propo$itum. Si autem lineat c ad $ectionem c u ducta, & minima: fuerit minor diametro b g: producatur ultra $ectionem, donec $it æqualis, & $ecundum quantitat\~e eius fiat circulus: qui quidem circulus $ecabit $ectionem in duobus punctis: à quibus lineæ ductæ ad t, erunt æquales b g: [per 15 d 1] & à puncto z ducatur {ae}quidi$tãs utriq. Et tunc erit ducere à pun cto a modo prædicto duas lineas, æquales lineæ datæ: erit\’q; idem penitus probandi modus.

35. À puncto dato in altero laterum trianguli rectanguli angulum rectum contin\~etium, ducere per lat{us} angulo recto oppo$itum, rectam, cui{us} $egmentum conterminum reliquo late- ri infinito, habeat ad $egmentum later{is} angulo recto oppo$iti, conterminum primo lateri, ratio nem in duab{us} rect{is} datam. 134 p 1.

AMplius: dato triangulo orthogonio, & dato puncto in uno laterum angulum rectum conti- nentium, e$t ducere à puncto illo lineam, ad aliud laterum continentium rectum, $ecantem tertium oppo$itum recto, ita ut pars huius line{ae} interiacens interpunctum $ectionis & latus, in quo non e$t punctum datum, $e habeat ad partem lateris oppo$iti recto, quæ e$t de $ectione ad la tus, in quo e$t punctum datum, $icut data linea ad datam lineam. Verbi gratia: e$t triangulum datũ a b g, cuius angulus a b g rectus: & in latere g b e$t punctum datum d, extra triangulum, aut intra. Di co, quòd à puncto d e$t ducere lineam, $ecantem latus a g, & concurrentem cum latere a b: ita ut ALHAZEN pars eius interiacens inter latera a b, a g, $it eius proportionis ad partem lateris a g, quæ e$t ab illa li- nea u$q; ad punctum g, $icut $e habet e ad z, quæ $unt dat{ae} lineæ. Sit punctum d in ip$o triangulo a b g: & [per 31 p 1] ducatur ab eo linea æquidi$tans a b: quæ $it d m: & [per 5 p 4] $uper tria puncta g, m, d fiat circulus: & protrahatur linea a d. Quoniam [per 29 p 1] q $ a e z h a t d m c b d g n planum e$t, quòd angulus g m d e$t æqualis angulo g a b: erit [per 9 ax.] maior g a d. Secetur ex eo æqualis per lineam m n: & $it d n m: & $it [per 12 p 6] h linea, ad quam $e habeat a d, $icut $e habet e ad z: & à puncto n, quod e$t punctum circuli, ducatur linea ad dia- metrum g m æqualis lineæ h, $ecundum $uprà dicta [32 uel 33 n] & $it n l: [ita ut $egmentum l c inter continuatam diametrum & peri pheriam æquetur lineæ h] & punctum, in quo $ecat circulum, $it c: & ducatur linea g c: & à puncto d ducatur linea ad punctum c: qu{ae}, cum cadat inter duas æquidi$tantes, tenens angulum acutum cum altera, $i producatur, nece$$ariò concurret cum alia [per l\~ema Pro- cli ad 29 p 1.] Cõcurrat igitur: & $it punctum concur$us q. Planum [per 27 p 3] quòd angulus g m d e$t æqualis angulo g c d: quia ca- dunt in eundem arcum: & [per 29 p 1] angulus g m d e$t æqualis angulo g a b: re$tat igitur [per 1 ax. 13 p 1. 3 ax.] ut angulus g c q $it æqualis angulo g a q. Sit t punctum, in quo d q $ecat a g: & [per 15 p 1] angulus g t c e$t æqualis angulo a t q: igitur [per 32 p 1] tertius tertio. Quare triangulum a t q $imile triangulo t c g [per 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio q t ad t g, $icut a t ad t c. Verùm [per fabrication\~e] angulus n m d e$t æqualis angulo t a d: & [per 27 p 3] angulo n c d [id e$t per 15 p 1 angulo l c t.] Quare [per 1 ax.] l c t æqualis t a d: & angulus c t l communis duobus triangulis: quare [per 32 p 1] tertius tertio: & triangulum $imile triangulo, $cilicet t l c triangulot a d [per 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio t a ad t c, $icut proportio a d ad l c. Quare [per 11 p 5] proportio a d ad l c, $icut q t ad t g [patuit enim, ut q t ad t g, $ic a t ad t c.] Sed [per fabricationem] l c e$t æqua lis lineæ h: & [per fabricationem] proportio a d ad h, $icut e ad z. Ergo [per 7. 11 p 5] proportio q t ad t g, $icut e ad z. Quod e$t propo$itum. Si uerò d $umatur in illo latere extra triangulum: produ- catur [per 31 p 1] à puncto d, æquidi$tans a b: & $it d m: & ducatur a g, donec concurrat cum d m in puncto m, [concurrat autem per lemma Procli ad 29 p 1.] Et fiat circulus tran$iens per tria pun- cta g, d, m: & ducatur linea a d: erit $ a e z h d g c t b q a d n m d b q a $ e z h @ g c a m n d quidem [per 16 p 1] angulus g a d ma ior angulo g m d: fiat [per 23 p 1] ei æ- qualis: & $it n m d: & à pũcto n, quod e$t punctum circuli, ducatur linea æ- qualis h lineæ [id uerò fiet per 33 uel 34 n: ita ut non tota linea à puncto n ducta, $ed pars eius contermina dia- metro extrà continuatæ, æquetur ip$i h] ad quam lineã h $e habeat a d, $icut e ad z, & $it n c l [tota nimirum linea, cuius pars c l æquetur lineæ h] $uper diametrum m g: & concur$us $it l. Cũ igitur [per 22 p 3] angulus n m d & an gulus n c d ualeant duos rectos: & [per fabricationem] angulus n m d $it {ae}qualis angulo t a d: erũt duo trian gula t c l, t a d $imilia. [Quia enim an- guli n c d & l c d æquantur duobus re ctis per 13 p 1, quibus item ex conclu- $o æquantur n c d & t a d: communi igitur n c d $ubducto, æquabitur reliquus l c d reliquo t a d: & anguli ad uerticem t æquantur per 15 p 1, & per 32 p 1, tertius tertio. Quare triangula t c l, t a d $unt $i- milia per 4 p. 1 d 6.] Et cum [per 27 p 3] duo anguli g c d, g m d $int æquales: erunt duo triangula gt c, t a q $imilia: [Nam cum angulus g m d æquetur angulo t a q per 29 p 1 (parallelæ enim $unt d m b a per fabricationem) æquabitur per 1 ax. angulus t a q angulo t c g, & ad uerticem t æquantur per 15 p 1: ideo\’q; per 32 p 1 triangula g t c, t a q $unt æquiangula, & per 4 p. 1 d 6 $imilia] & erit proportio a d ad c l (quæ e$t æqualis h) $icut q t ad t g: & ita e$t e ad z, $icut q t ad t g. [Quia enim triangula t a d, t c l $unt æquiangula: erit per 4 p 6, ut a d ad c l, $ic a t ad t c. Rur$us quia triangula a t q, t c g funt æ- quiangula: erit per 4 p 6, a t ad t c, $icut q t ad t g. Quare per 11 p 5 ut a d ad cl (id e$t e ad z) $ic q t ad t g.] Quod e$t propo$itum.

36. Duob{us} punct{is} extra circuli peripheriam, uel uno extra, reliquo intra dat{is}: inuenire in peripheria punctum, in quo recta linea ip$am tang\~es, bif ariam $ecet angulum comprehen$um OPTICAE LIBER V. duab{us} rect{is}, à dict{is} punct{is} ad punctum tact{us} duct{is}. 135 p 1.

AMplius: duobus punctis datis, $cilicet e, d, & dato circulo: e$t inuenire punctum in eo, ut an- gulum contentum à lineis, à punctis prædictis ad illud punctum ductis, diuidat per æqualia, linea circulum contingens in illo puncto. Verbi gratia: ducatur à puncto e ad centrum circu li dati, linea e g: & producatur u$q; ad circumferentiam: & $it e s: deinde ducatur linea g d. Et $it [per 10 p 6] m i linea diui$a in puncto c, ut $it proportio i c ad e m, $icut e g ad g d: & [per 10 p 1] diuidatur m i per æqualia in puncto n: & [per 11 p 1] ducatur perpendicularis n o: & $uper punctum m fiat an- gulus {ae}qualis medietati anguli d g s [per 9 & 23 p 1] per lineã m o. Palàm, quòd erit minor recto. [Nã anguli ad g deinceps æquantur duobus rectis per 13 p 1: itaq; d g s ij$dem e$t minor: quare d g s dimi diatus minor e$t recto] & o n m rectus: igitur [per 11 ax.] cõcurret cum n o: concurrat aũt in puncto o: & ducatur à puncto c [per præcedentem numerum] linea ad triangulũ: qu{ae} $it c k f: ita ut propor tio k f ad m f $it, $icut proportio e g ad g s: & [per 23 p 1] $uper punctum g [terminum lineæ e g] fiat angulus æqualis angulo m f k, per lineam u$q; ad circulum ductam: quæ $it a g: & $it angulus a g e: & ducantur lineæ a g, a d. Dico, quòd a e$t punctum, quod qu{ae}rimus. Ducatur linea e a. Cum igitur an gulus m f k [per fabricationem] $it æqualis angulo a g e: & [per fabricationem] proportio k f ad m f, $icut g e ad g a: cum [per 15 d 1] g a $it æqualis g s: erit triangulum a g e $imile triangulo m f k [per 6. 4 p. 1 d 6.] Igitur angulus f m k e$t {ae}qualis angulo e a g, & angulus a e g æqualis angulo m k f. Iam [per 23 p 1] à puncto a ducatur linea, tenens cum linea a e angulum æqualem angulo n m k: & $it li- nea a z: qu{ae} nece$$ariò concurret cum linea e g. Quoniam, quæ e$t proportio k fad m f, ea e$t e g ad g a, & angulus g a z {ae}qualis d a h $ s u g e z t q o k f i l n m e$t angulo f m c. [{ae}qualis e- nim conclu$us e$t angulus f m k angulo e a g] Igitur $i- cut linea m o concurrit cũ f k in puncto f: $ic concur- ret a z cum e g. Sit concur- $us in puncto z: & produ- catur a z u$q; ad punctũ q: ita ut linea a z $e habeat ad z q, $icut m c ad c i: [per 12 p 6] & ducatur linea e q. De- inde [per 31 p 1] à puncto a ducatur æquidi$tans e q: qu{ae} $it a t: erit quidem [per 29 p 1] angulus a q e æqua- lis angulo q a t. Et quoniam duo anguli z e a, e a t $unt minores duobus rectis [quia per 29 p 1 angu- li q e a, e a t æquantur duobus rectis] concurret a t nece$$ariò cum e z [per 11 ax.] Sit concur$us pun ctum t. Palàm [ex prius demon$tratis] quòd angulus a e g e$t æqualis angulo m k f. Ducta autem à puncto e linea perp\~ediculari $uper a z: quæ $it e l: erit [per 32 p 1] angulus a e l æqualis angulo m k n: cum [per fabricationem] angulus e a l $it æqualis angulo k m n, & angulus a l e {ae}qualis m n k: quia uterq; rectus: re$tat ergo [per 13 p 1. 3 ax.] l e z æqualis angulo n k c: & angulus e l z rectus, {ae}qualis an gulo k n c: re$tat [per 32 p 1] ut angulus e z l $it {ae}qualis k c n: igitur [per 13 p 1. 3 ax.] e z q æqualis angu lo k c i. Palàm ergo [per 4 p. 1 d 6] quòd triangulum e a g $imile e$t triangulo f m k: & triangulũ e a l $imile triangulo k m n: & triangulũ e l z $imile k n c: & triangulũ e a z triangulo k m c [Nam ք fabri- cationem angulus e a l æquatur angulo k m n, & angulus e z l {ae}qualis o$ten$us e$t angulo k c n: ergo per 32 p 1 reliquus reliquo: ideo\’q; per 4 p. 1 d 6 triangula e a z, k m c $unt $imilia] Ergo proportio a z ad z e, $icut m c ad c k, & [per fabricationem] proportio a z ad z q, $icut m c ad c i: Igitur [per 22 p 5] proportio q z ad e z, $icut i c ad c k. Quare [per 6. 4 p. 1 d 6] triangulum q z e $imile triangulo i c k: & triangulũ q l e $imile triangulo i n k [quia iam patuit triangulum e l z $imile e$$e triangulo k n c: itaq; cum partes partibus $imiles $int: totum triãgulum q l e toti i k n $imile erit. Quare per 1 d 6, ut q l ad l e, $ic i n ad n k: & $imiliter ob triangulorum a e l, k m n $imilitudinem e$t, ut e l ad a l, $ic k n ad m n] erit ergo [per 22 p & con$ectarium 4 p 5] proportio m n ad n i, $icut a l ad l q: & ita a l æqualis l q [<004>a m n æquata e$t ip$i n i] & [per 4 p 1] e q erit {ae}qualis e a: & angulus e q z æqualis angulo l a e: & [per fabricationem & 29 p 1] angulus e q z {ae}qualis angulo z a t: igitur [per 15. 32 p 1] tertius tertio {ae}qualis. Quare [per 4 p 6] proportio q z ad z a, $icut e z ad z t, & $icut e q ad at: & [per 7 p 5] $icut a e ad a t. Sed q z ad z a, $icut e g ad d g [fuit enim per fabricationem e g ad g d, $icut i c ad c m: item ut c m ad i c, $ic a z a d z q, & per cõ$ectarium 4 p 5 ut i c ad c m, $ic z q ad a z: ergo per 11 p 5, ut e g ad g d, $ic z q ad a z.] Igitur [per 11 p 5] a e ad a t, $icut e g ad g d. Fiat autem [per 23 p 1] $uper punctum a angulus æ- qualis angulo g a e: qui $it u a g. Palàm, quòd angulus g a l e$t medietas anguli u a t: [Quia enim ex conclu$o anguli z a t, z a e æquantur eidem z q e: ip$i inter $e æquantur. Itaq; $i æqualib. æqualia ad- dantur, æquabitur angulus g a l duobus angulis u a g, z a t. Quare totus u a t duplus erit anguli g a l] Sed e$t medietas d g u: [quia angulus g a l {ae}qualis conclu$us e$t angulo f m c: qui per fabricationem e$t dimidius anguli d g u.] Quare angulus u a t e$t {ae}qualis angulo d g u: [per 6 ax.] $ed anguli u a t, ALHAZEN & t u a $unt minores duobus rectis [per 17 p 1] cum a t & t u concurrant. Quare duo anguli t u a & d g u $unt minores duobus rectis: igitur [per 11 ax.] a u concurret cum d g. Dico, quòd concurret in puncto d: quoniam efficiet cum lineis u g, g d triangulum $imile triãgulo a u t: habebunt enim angu lum a u g communem: & angulus t a u e$t æqualis angulo d g u [per conclu$ion\~e.] Igitur [per 4 p 6] proportio a u ad a t, $icut u g ad lineam, quã $ecat a u ex d g: & [per 3 p 6] proportio e a ad a u, $icute gad g u: cũ $it angulus u a g {ae}qualis angulo g a e [per fabricationem.] Cum ergo eadem $it propor- tio e a ad a t, ficut e g ad g d [ex conclu$o] & proportio e a ad a t, $it compo$ita ex proportione e a ad a u & a u ad a t [ratio enim extremorum cõponitur ex omnib. rationibus intermedijs, ut demon$tra uit Theon ad 5 d 6] erit proportio e g ad g d cõpo$ita ex ij$dem. Quare erit cõpacta ex proportione e g ad g u & g u ad lineã, quã $ecat a u ex d g. Sed [ratio e g ad g d] e$t cõpacta ex proportionib. e g ad g u & g u ad g d. Igitur linea, quã $ecat a u ex g d, e$t linea g d: igitur a u $ecat d g in puncto d. Produca tur ergo [per 17 p 3] à puncto a cõtingens: qu{ae} $it h a: erit ergo [per 18 p 3] g a h rectus: $ed g a l e$t me dietas anguli d g u: igitur angulus l a h e$t medietas anguli d g e: cũ illi duo [d g u, d g e] ualeãt duos rectos [per 13 p 1.] Sed cũ angulus t a u $it æqualis angulo d g u: erit angulus t a d {ae}qualis d g e [per 13 p 1. 3 ax.] Igitur angulus l a h e$t medietas anguli t a d: & angulus e a l medietas anguli e a t [quia, ut patuit, e a l æquatur ip$i l a t:] igitur angulus e a h medietas anguli e a d. Quare a h diuidit angulum e a d per {ae}qualia. Quod e$t propo$itũ. Si uerò a u (cum $it angulus $uper punctum a {ae}qualis angu lo g a e) non cadit $uper lineam e s extra circulum, uel intra: $it ergo æquidi$tans. Igitur [ք 29 p 1] an gulus u a g {ae}qualis e$t angulo a g e: $ed idem e$t æqualis angulo g a e [ex the$i.] Quare [per 1 ax.] an gulus g a e e$t æqua- d a u m l t z c g s h q lis angulo a g e: igi- tur [per 6 p 1] e g e$t æqualis a e. Simili ter angulus t a d erit {ae}qualis angulo a t g [per 29 p 1.] Sed iam dictum e$t [in primo ca$u huius numeri] quòd angulus t a d e$t {ae}qualis angulo d g t. Igitur angulus a t g e$t {ae}qualis angulo d g t: & $imiliter [per 29 p 1] duo anguli a d g, d g t $unt {ae}- quales: igitur duo anguli a d g, a t g $unt {ae}quales. Sequetur ergo ex his, quòd linea, quam $ecat a u ex d g, $it {ae}qualis lineæ a t [nam cũ anguli a t g, d g t: it\~e a d g, t a d {ae}quentur: {ae}quabitur per 6 p 1 t m ip$i m g: item m d ip$i m a. Itaq; $i {ae}qualibus {ae}qualia addantur: {ae}quabitur d g ip$i a t.] Et iam dictum e$t, quòd e g {ae}qualis $it a e. Igitur [per 7 p 5] proportio e g ad lineam, quã $ecat a u e x d g, e$t $icut a e ad a t. Sed iam dictum e$t ut a e ad a t, $ic e g ad g d: igitur linea, quã $ecat a u ex d g, e$t d g. Et cum t a d $it æqualis d g t: erit l a h medietas anguli t a d, $icut dictum e$t $uprà, & e a l medietas e a t. Erit ergo e a h medietas anguli e a d. Quod e$t propo$itum.

37. À dato extra circulum puncto, ducere ad datam diametrũ, lineã rectã: cui{us} pars inter peripheriam & datam diametrum æquetur parti diametri centro circuli conterminæ. 136 p 1.

AMplius: dato circulo, cuius centrum g: & data in eo diametro b g: & dato e puncto extra cir- culum: e$t ducere à puncto e ad diametrum b g, lineã $ecãtem circulum, ita ut pars eius à cir- culo u$q; ad diametrũ $it {ae}qualis parti diametri, interiacenti inter ip$am & centrum. Verbi gratia: ducatur à puncto e perpendicularis $uper diametrum: & $it e c: & ducatur linea e g: & $uma- tur linea q t æqualis e c: & [per 33 p 3] fiat $uper q t portio circuli, ut quilibet angulus cadens in hanc portionem, $it {ae}qualis angul@ e g b: & compleatur circulus [per 25 p 3] & à medio puncto q t duca- tur ex utraq; parte perp\~edicularis u$q; ad circulũ: erit quid\~e [per co$ectarium 1 p 3] dιameter huius circuli: & à puncto q ducatur linea ad hanc diametrũ, $ecans eam in puncto f, & producatur u$q; ad punctum p circuli, ita ut f p $it æqualis medietati g b [per 34 n] & ducatur linea p t, & linea t f, Et du catur à puncto p linea k b d z e i c g x p @ n f o m u q $ @ {ae}quidi$tans diametro: quæ $it p u: cõcurrat\’q; cũ t f in puncto u: [con curret autem per lem- ma Procli ad 29 p 1] & à puncto u ducatur æ- quidi$tãs t q: quæ $it u o: & à pũcto t ducatur perpendicularis $uper p q: quæ $it t n: & à pun cto t ducatur æquidi$tans p q: quæ $it t s: & à puncto u perpendicularis $uper p q: quæ $it u h. Dein de [per 23 p 1] ex angulo b g e $ecetur angulus æqualis angulo q p u: [id aũt fieri pote$t, cum totus angulus q p t {ae}quetur ք the$in angulo b g e: ideo\’q; pars illius ab hoc toto detrahi pote$t] <003> $it b g d: OPTICAE LIBER V. & ducatur linea e d z. Dico, quòd d z e$t {ae}qualis z g: & ducatur à puncto d perpendicularis $uper b g: quæ $it d i. & ducatur [per 17 p 3] à puncto d contingens: qu{ae} $it d k. Palàm, cũ diameter fl $it per- pendicularis $uper q t [per fabricationem] & $uper o u [per 29 p 1] & p u $it {ae}quidi$tans ei: erit [per 29 p 1] angulus o u p rectus: & cum o u diuidatur à diametro per æqualia & orthogonaliter: [Nam per fabrication\~e, 29. 32 p 1 triangula f q l, f o m: it\~e f l t, f m u $unt {ae}quiangula. Itaq; per 4 p 6 ut q l ad l f, $ic o m ad m f: & ut fl ad l t, $ic f m ad m u: ergo per 22 p 5 ut q l ad l t, $ic o m ad m u: atqui per fabri- cationem q l {ae}quatur ip$i l t: ergo o m {ae}quatur ip$i m u] erit [per 4 p 1] f o {ae}qualis fu, & angulus f o u {ae}qualis angulo f u o. Sed cũ duo anguli p o u, o p u ualeant rectum [per 32 p 1: quia angulus ad u re- ctus o$ten$us e$t] erit angulus f u p {ae}qualis angulo f p u. [angulus enim f o u {ae}quatur angulo f u o ex conclu$o, & anguli p o u & o p u {ae}quantur uni recto. Quare anguli f u o f p u æquantur uni recto: & angulus o u p rectus e$t: $ubducto igitur cõmuni angulo f u o: reliquus f u p æquabitur reliquo f p u per 3 ax.] Quare [per 6 p 1] f p {ae}qualis e$t f u: & ita [per 1 ax.] æqualis f o: & ita p o {ae}qualis b g: [quia f p æquatur per fabricationem dimidi{ae} g b, & ex conclu$o ip$i f o: tota igitur p o {ae}quatur toti b g] & æqualis g d: [per 15 d 1] & ita [per 7 p 5] e c ad g d, $icut t q ad p o. Sed cũ angulus k d g $it rectus [per 18 p 3] æqualis angulo g i d: & angulus i g d cõmunis: erit triangulum i g d $imile triangulo k d g: [ք 32 p 1. 4 p. 1 d 6] & proportio g d ad d i, $icut g k a d k d. Sed [per fabrication\~e] angulus k g d e$t {ae}qua- lis angulo o p u, & angulus k d g rectus, æqualis o u p: & ita triangulum k g d $imile triangulo o u p: & [per 1 d 6] proportio g k ad k d, $icut o p ad o u. Igitur [per 11 p 5] d g ad d i, $icut o p ad o u. Igitur proportio e c ad d i, $icut t q ad o u [demõ$tratum enim e$t, ut e c ad g d, $ic t q ad p o: & ut g d ad d i, $ic p o ad o u: ergo per 22 p 5, ut e c ad d i, $ic t q ad o u.] Sed proportio q t ad o u, $icut t f, ad f u: cũ triã gulum t f q $it $imile triangulo o f u [per 29 p 1. 4 p. 1 d 6.] Verũ [per fabricationem & 29 p 1] angulus u t s æqualis angulo h f u: quia coalternus ei: & angulus u s t rectus, æqualis angulo f h u: erit trian- gulum u s t $imile triangulo h u f: & ita proportio t u ad u f, $icut s u ad u h: [quare per 18 p 5 t fad u f, $icut s h ad u h.] Sed [per 34 p 1] t n æqualis s h: cum $it ei {ae}quidi$tans [per 28 p 1: quia anguli ad h & n interiores $unt recti per fabrication\~e] & $int inter duas æquidi$tãtes. Igitur [per 7 p 5] proportio t f ad u f, $icut t n ad u h. Quare proportio q t ad o u, $icut t n ad u h: & e c ad d i, $icut t n ad u h [Nã o- $ten$um e$t, ut e c ad d i, $ic t q ad o u: it\~e ut t q ad o u, $ic t f ad u f: & ut t f ad u f, $ic s h, id e$t, t n ad u h: ergo per 11 p 5 ut e c ad d i, $ic t n ad u h.] Sed cum [per fabricationem] angulus g i d $it rectus, æqua- lis angulo p h u, & angulus i g d {ae}qualis angulo h p u: e$t triangulũ i g d $imile h p u triangulo: & [per 1 d 6] proportio i d ad g d, $icut h u ad u p: quare proportio e c ad g d, $icut t n ad u p [o$ten$um enim e$t proximè ut e c ad d i, $ic t n ad u h: & ut d i ad g d, $ic u h ad u p: ergo ex æquo ut e c ad d g, $ic t n ad u p.] Sed cum [per fabricationem] c g e $it {ae}qualis angulo n p t, & angulus g c e rectus, {ae}qualis p n t: erιt [ք 32 p 1. 4 p 6] g e ad e c, $icut p t ad t n. Igitur g e ad g d, $icut p t ad u p: [patuit enim, ut g e ad e c, $ic p t ad t n: & ut e c ad d g, $ic t n ad u p: ergo ք 22 p 5, ut g e ad d g, $ic p t ad u p.] Sed [ք fabrication\~e, 3 ax.] angulus d g e e$t {ae}qualis angulo u p t. Igitur triangulũ d g e $imile triangulo u p t: [ք 6. 4 p. 1 d 6] ergo angulus g d e {ae}qualis angulo p u t: re$tat ergo [per 13 p 1. 3 ax.] angulus g d z {ae}qualis angulo f u p: [& per fabrication\~e angulus f p u æquatur angulo z g d] quare tertius tertio [per 32 p 1: ideo\’q; triangula z g d, f p u erunt æquiangula] & [per 4 p 6] proportio d z ad z g, $icut u f ad f p: $ed u f {ae}qua lis e$t f p. Ergo d z {ae}qualis z g. Quod e$t propo$itum.

38. À puncto dato in altero laterũ trianguli rectanguli, angulũ rectũ continentiũ, ducere ad lat{us} angulo recto oppo$itũ, rectã cõcurr\~et\~e cũ reliquo latere infinito: ita, ut tota ad $egm\~etũ later{is} angulo recto oppo$iti, cõterminũ primo lateri, habeat ration\~e in duab. rect{is} datã. 137 p 1.

AMplius: dato triangulo orthogonio a b g: cuius angulus a b g rectus: & dato in b g, uel a b pũ cto d: e$t ducere lineã à puncto d ad latus a g, concurrent\~e in puncto, quod $it q: & ex alia par te cõcurrent\~e cũ alio latere: ut ip$a totalis $e habeat ad g q, $icut e$t e ad z. Verbi gratia: duca- tur à puncto d {ae}quidi$tãs a b: quæ $it d m: & [ք a a n m e z h q $ b d g d t c 5 p 4] fiat circulus, trã$iens per tria puncta d, m, g: erit m g diameter [per con$ectariũ 5 p 4] & ducatur linea a d: & $it [per 12 p 6] h linea, ad quã $e habet a d, $icut e ad z. Et cũ [per 29 p 1] angulus d m g $it {ae}qualis b a g: $ecetur ex eo {ae}- qualis angulo d a g: & $it c m d: & ducatur m c, quou$q; contingat circulũ in puncto c: à quo ducatur [per 34 n] linea ad diametrũ m g u$q; ad circulum: ita quòd l n $it æqualis lineæ h: & ducatur linea n g, & linea d n cõcurrens cũ a g in puncto q, & cũ a b in puncto t. Cũ igitur [ք 27 p 3] angulus d m c $it æqualis angulo d n c: quia $uper eund\~e arcũ: erit [per 1 ax.] angulus q n l æ- qualis angulo d a q, & [per 15 p 1] n q l æqualis angulo d q a. Quare [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulum n q l $imile triangulo d q a: ergo a q ad q n, $icut a d ad n l. Verũ cũ angulus d m g $it {ae}qualis angulo d n g [per 27 p 3] erit [per 1 ax.] q n g {ae}qualis t a q. Sit t punctũ, in quo d n concurrit cũ a b: & [ք 15 p 1] angulus t q a {ae}qualis angulo n q g: erit triangulũ t q a $imile triãgulo n q g: & [per 1 d 6. 16 p 5] erit {pro}- portio a q ad q n, $icut t q ad q g. Igitur [per 11 p 5] proportio t q ad q g, $icut a d ad n l: $ed [per fabri- ALHAZEN cation\~e] n l {ae}qualis h: & a d ad h, $icut e ad z. Igitur [ք 11 p 5] t q ad q g, $icut e ad z. Q<001> e$t {pro}po$itum. Põt aũt cõtĩgere: quòd à pũcto c erit ducere lineas duas, $imiles c l n: & tũc erit ducere duas lineas à puncto d, $imiles t q, ut utriu$q; ad part\~e, <004> $ecat ex a g, $it {pro}portio, $icut e ad z: & erit ead\~e probatio.

39. Vi$u & ui$ibili à centro $peculi $phærici conuexi inæquabiliter di$tantib{us}, punctum re- flexion{is} inuenire. 22 p 6.

PR{ae}dictis habitis, dato $peculo $phærico: erit inuenire punctũ reflexionis. Verbi gratia: $it a c\~e- trũ ui$us: b punctũ ui$um: g centrũ $phær{ae}: & ducantur line{ae} a g, b g: & $umatur $uperficies, in qua $unt h{ae} du{ae} lineæ [$unt enim in ead\~e $uքficie ք 23 n 4] & $umatur circulus, cõmunis huic $uperficiei & $peculo. Inuenietur ergo punctũ reflexionis in hoc circulo. Et $umatur linea alia m k: & [ք 10 p 6] diuidatur in pũcto f, ut m f $e habeat ad f k, $icut b g ad g a: & [per 10 p 1] diuidatur m k ք æqualia in puncto o: & [per 11 p 1] ducatur à puncto o perp\~edicularis: qu{ae} $it c o: & ducatur à pũcto k linea ad c o, tenens cũ ea angulũ æqual\~e medietati anguli b g a: [hoc aũt fiet: $i linea e g bifariã $e- cans angulũ b g a, & o c infinit{ae} intelligãtur, educta à puncto b perpendiculari $uper e g, fiat angu- lus o k c {ae}qualis angulo e b g: tũc enim (quia anguli ad o & e $unt recti) {ae}quabitur angulus o c k an- gulo e g b per 32 p 1] qu{ae} $it k c: & à pũcto f ducatur linea ad c k: qu{ae} $it f p: & cõcurrat cũ c o in pũcto s, ita ut proportio s p ad p k $it, $icut b g ad $emidiametrũ g d [per pr{ae}cedent\~e numerũ.] Et [ք 23 p 1] ex angulo b g a $ecetur {ae}qualis angulo f p k: [Id aũt fieri po$$e hinc cõ$tat. Quia enim angulus s c p, maior angulo c s p per 18 p 1 (cũ latus p s maius $it latere c p: $ecus propo$itũ problema per lineã m k expediri nõ po$$et) {ae}quetur per fabrication\~e dimidiato angulo b g a: ergo c s p eod\~e dimidiato mi- nor e$t. Quare duo anguli s c p, c s p minores $unt angulo b g a: at per 32 p 1 duob. angulis s c p, c s p {ae}quatur angulus s p k: idcirco s p k minor e$t angulo b g a. Itaq; ab hoc {ae}qualis illi detrahi pote$t] $ci licet d g b: & ducãtur line{ae} s k, b d: erit igitur [ք fabrication\~e] {pro}portio b g ad g d, $icut s p ad p k: & i- ta [per 6. 4 p. 1 d 6] triangulũ c p r m o f k y s b f e m h u d a i z q c t y g $ s p k $imile triãgulo b g d: & erit angulus s k p {ae}qualis an gulo b d g. Sed for$an $ecun- dũ pr{ae}dicta [34. 38 n] poteri- mus à puncto f ducere aliã li neã ad c k, $imil\~e s p: ut $it {pro}- portio eius ad part\~e, <004> $eca- bit ex c k, $icut s p ad p k: & tũc à pũcto k ad o s ducetur alia linea <004> s k, aliũ cũ c k an- gulũ ten\~es maior\~e uel mino rem angulo c k s Si maior ex his angulis non fuerit maior recto: nõ licebit inuenire pũ ctũ reflexionis [ut mox o$t\~e detur.] Sit ergo angulus c k s maior recto: erit angulus b d g [<003> illi {ae}qualis e$t o$t\~e$us] maior recto. & inuenitur punctũ $ic. Ducatur [ք 17 p 3] cõtingens n d y. Et quia angulus p k o e$t minor recto [ք 32 p 1: <003> a c o k rectus e$t ք fabrication\~e] $ecetur [per 23 p 1] ex angulo b d g [<003> recto maior e$t ex con- clu$ione] æqualis ei: quι $it q d g: e$t igitur triangulũ f p k $imile triãgulo q g d [{ae}quatus. n. e$t angu- lus s p k angulo b g d, & q d g angulo p k f: reliquus igitur ad f {ae}quatur reliquo ad q ք 32 p 1, & ք 4 p. 1 d 6 triãgula f p k, q d g $unt $imilia] & erit angulus d q b {ae}qualis angulo k f s [ք 13 p 1. 3 ax.] & trιãgulũ d q b $imile triangulo k f s. [totus. n. angulus p k s {ae}quatur toti b d g, ut patuit: & p k f {ae}quatur ip$i q d g ք proximã fabrication\~e: ergo per 3 ax. reliquus f k s {ae}quatur reliquo q d b: & ք 32 p 1 tertius tertio. Itaq; per 4 p. 1 d 6 d q b, k f s triangula $unt $imilia.] Producatur d q, & [per 12 p 1] ducatur à puncto b perp\~edicularis $uք ip$am: qu{ae} $it b z: erit [per 13 p 1] angulus b q z {ae}qualis angulo s f o & angulus b z q rectus, {ae}qualis angulo s o f: & ita triãgulũ b q z $imile triangulo s f o. Ducatur d z u$q; ad punctũ i: & $it z i {ae}qualis z d [per 3 p 1.] Palã [è triangulorũ z q b, s o f: it\~e q d b, k f s $imilitudine] quòd z q ad q b, & q b ad q d, $icut o f ad f s, & f s ad f k [ideo\’q; per 22 p 5, ut z q ad q d, $ic o f ad f k] & ex hoc [per 18 p 5] z d ad q d, $icut o k ad f k: & ita [$umendo antecedentiũ dupla per 15 p 5] i d ad q d, $icut m k ad f k: & ita [per 17 p 5] i q ad q d, $icut m f ad f k: & [per 11 p 5] i q ad q d, $icut b g ad g a [e$t enim per fabrication\~e m f ad f k, $icut b g ad g a.] Ducatur aũt linea b i: & ei æquidi$tãs d l: erit triangulũ l d q $imile triãgulo b q i: [Nã per 29 p 1 angulus q d l {ae}quatur angulo b i q, & per 15 p 1 d q lip$i b q i: itaq; per 32 p 1 reliquus reliquo: & per 4 p. 1 d 6 triãgula d q l, b q i erunt $imilia] & {pro}portio i q ad q d, $icut i b ad d l. Et cum i z $it {ae}qualis z d, & b z perpendicularis: erit [per 4 p 1] b d æqualis b i. Quare e- rit [per 7. 11 p 5] b d ad d l, $icut b g ad g a. Ducatur à puncto d linea: qu{ae} $it d h, æqualem tenens angu lum cũ linea l d, angulo b g a: & cũ h l & d l concurrant: erunt [per 17 p 1] l h d, l d h minores duobus rectis: & ita duo anguli a g h, d h g, eis {ae}quales, $unt minores duobus rectis: quare [ք 11 ax.] h d cõcur ret cũ g a. Dico quòd cõcurret in pũcto a. Palã [per 18 p 3] quòd angulus g d n rectus, e$t {ae}qualis duo bus angulis o c k & o k c: [quia {ae}qualis e$t angulo m o c recto, {ae}quali ei$d\~e angulis per 32 p 1] & an- gulus o k c {ae}qualis angulo g d q: per fabricationem] re$tat [per 3 ax.] angulus q d n {ae}qualis angu- OPTICAE LIBER V. lo o c k: & ita q d n medietas anguli b g a, & ita medietas anguli h d l [æquati angulo b g a.] Sed [ք 3 p 6] angulus q d b e$t medietas anguli b d l: quoniã {pro}portio b q ad q l, $icut b d ad d l: cũ triangulũ d l q $it $imile triangulo b q i [ex cõclu$o] & b d æqualis b i, [ut patuit.] Re$tat ergo, ut angulus n d b $it medietas anguli h d b: & ita b d n æqualis n d h. Producatur g d ultra d a d punctũ f. Quia igitur [per 18 p 3] anguli f d n, g d n $unt recti: ergo [ք 3 ax.] re$tat b d f æqualis angulo h d g: Sed angulus h d g æqualis angulo f d a contrà po$ito [per 15 p 1.] Quare b d f æqualis f d a. Et ita d e$t punctũ re- flexionis [per 12 n 4.] Ita dico: $i a d cõcurrat cũ a g in pũcto a: quod quid\~e $ic patebit. Ducatur [per 31 p 1] linea h t æquidi$tãs b d. Palàm [è proximè demõ$tratis] quòd angulus b d f æqualis e$t an- gulo h d g: $ed [per 29 p 1] b d f e$t æqualis angulo h t d [ergo per 1 ax. h d g, h t d æquãtur.] Quare [per 6 p 1] h t erit æqualis h d. Sed proportio b d ad h t, $icut b g ad g h. [$unt enim triangula b d g, h t g æquiangula: quãdoquid\~e angulus ad g cõmunis e$t, & g h t æquatur g b d per 29 p 1: ideo\’q; per 32 p 1 tertius tertio. Quare per 4 p 6 hab\~et latera æqualib. angulis oppo$ita homologa.] Igitur [per 7 p 5] proportio b d ad d h, $icut b g ad g h. Sed h d producta cõcurret cũ g a [ut mõ$tratũ e$t] & fiet triangulũ $imile triangulo h d l: cũ habeant angulũ l h d cõmun\~e, & angulus h d l $it æqualis angulo h g a [per fabrication\~e: & per 32 p 1 reliquus reliquo.] Igitur [per 4 p 6] proportio h d ad d l, $icut h g ad lineã, <004> $ecat h d ex g a: & {pro}portio b d ad d l cõ$tat ex {pro}portiõe b d ad d h, & d h ad d l [ratio. n. extremorũ cõponitur ex omnib. ratiõib. intermedijs, ut o$t\~edit Theon ad 5 d 6.] Igitur cõ$tat ex b g ad g h, & g h ad lineã, <004> $ecath d ex g a: $ed b d ad d l, $icut b g ad g a [ut patuit.] Igitur {pro}portio b g ad g a cõ$tat ex {pro}portionib. b g ad g h & g h ad lineã, <004> $ecat h d ex g a: $ed cõ$tat ex {pro}portionib. b g ad g h, & g h ad g a. Igitur g a e$t linea <004> $ecat h d ex g a: & ita cõcurret cũ ea in pũcto a. Q<001> e$t {pro}po$itũ.

40. Si radi{us} à ui$ibili $peculo $phærico cõuexo obliquè incidens, cum $emidiametro eiu$dem an- gulũ nõ maior\~e recto coprehendat: non reflectetur ad ui$um ab illo incid\~etiæ puncto. 21. 22 p 6.

SI uerò angulus c k s nõ fuerit maior recto. Dico, q<001> nõ fiet reflexio ab aliquo pũcto $peculi ad ui$um. Si enim dicatur, quòd pote$t: Sit d punctũ reflexionis: & producatur linea a d u$q; ad h punctũ in diametro b g. Et [per 23 p 1] fiat angulus l d h æqualis angulo a g b: & producatur cõtingens n d y: & fiat angu c p p m o f k s s b e n h d a i z q u t y g $ x lus q d n æqualis medietati anguli a g b. Palàm, quòd triangulũ h d l $imile e$t tri- angulo h g a [quia enim an- gulus h d l æquatus e$t an- gulo h g a: & d h g e$t com- munis: æquabitur per 32 p 1 tertius tertio: & per 4 p. 1 d 6 triangula erunt $imilia.] Quare proportio d h ad d l, $icut h g ad g a: $ed b d ad d h, $icut b g ad g h: q<001> pate- bit per æquidi$tant\~e h t ip$i b d. [$ic enim triangula b g d, h g t fient æquiangula. Et h d {ae}quatur ip$i h t. Nam quia d per the$in e$t punctum reflexionis, & e g perpendicularis plano $pe culũ in reflexionis puncto tãgenti per 25 n 4: {ae}quabitur angulus b d e angulo a d e per 12 n 4: & per 29 p 1 b d e, id e$t a d e, id e$t ք 15 p 1 h d t {ae}quatur ip$i h t d: Itaq; per 6 p 1 latus h d æquatur lateri h t.] Igitur b d ad d l, $icut b g ad g a [quia enim ex cõclu$o e$t, ut b d ad d h, $ic b g ad g h: it\~e ut d h ad d l, $ic g h ad g a: erit per 22 p 5, ut b d ad d l, $ic b g ad g a.] Sed cũ angulus b d e $it æqualis angulo h d g: [ex cõclu$o] erit angulus b d n medietas anguli b d h [nã angulι n d e, n d g recti per 18 p 3, æquãtur per 10 ax: & b d e ip$i h d g: ergo per 3 ax. reliquus b d n reliquo h d n æquatur. Itaq; b d n dimidius e$t ip$ius b d h.] Sed n d q e$t medietas anguli h d l [e$t enim per fabrication\~e dimidius anguli a g b, cui æquatus e$t h d l.] Igitur b d q medietas anguli b d l. Quare [per 3 p 6] proportio b q ad q l, $icut b d ad d l. Ducatur [ք 31 p 1] à pũcto b {ae}quidi$tãs d l: & $it b i: & cõcurrat d q cũ e a in pũcto i: [cõcur- ret aũt per l\~ema Procli ad 29 p 1] & [ք 10 p 1] diuidatur d i in æqualia in pũcto z: & ducatur b z: e- rit [ք 29. 15. 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulũ b q i $imile triangulo q d l. Igitur ut b q ad q l, $ic b i ad d l [at o$t\~e$um e$t, ut b q ad q l, $ic b d ad d l: ergo per 11 p 5 ut b i ad d l, $ic b d ad d l] & ita [per 9 p 5] b i {ae}- qualis b d: & i q ad q d, $icut m f ad f k: [e$t enim ob triangulorum b q i, q d l $imilitudinem, ut i q ad q d, $ic b q ad q l: & ut b q ad q l, $ic b i, id e$t, b d ad d l: & ut b d ad d l, $ic b g ad g a ex cõclu$o: & ut b g ad g a, $ic m f ad f k per fabrication\~e: ergo per 11 p 5, ut i q ad q d, $ic m f ad f k] & ita [per 18 p 5] i d ad q d, $icut m k ad f k: & ita [$umendo antecedentiũ dimidia per 15 p 5] d z ad q d, $icut o k ad f k: & ita [per 17 p 5] z q ad q d, $icut o f ad fk. Palàm, quòd b z e$t perpendicularis: [quia enim b i æquatur b d ex conclu$o, & i z ip$i z d per fabricationem, & b z communis e$t: erũt triangula i b z, d b z æqui- angula ք 8 p 1: & angulus b z i æquabitur angulo b z d: $unt\’q; deinceps: Quare per 10 d 1 b z perp\~edi cularis e$t i d] {pro}ducatur, donec cõcurrat cũ d g in pũcto x: q<001> quid\~e po$sibile e$t [per 11 ax.] cũ an- gulus d z x $it rectus, z d x minor recto. Et palã, q<001> {pro}portio b g ad g d, $icut s p ad p k: [ք fabricatio- n\~e.] Cũ ergo angulus c k s dicatur nõ e$$e maior recto: dico, q<001> $uք pũctũ k fiet maior recto, ք lineã ALHAZEN cõcurrent\~e cũ co in pũcto, à quo ducetur linea ad ck, trã$iens ք pũctũ f, retin\~es proportion\~e ad par t\~e p k, $icut b g ad g d. Quòd aũt hoc po$sibile, planum e$t: cũ angulus q d n $it æ qualis angulo k c o: [e$t enim uterq; dimidius duorũ æ qualiũ b g a, h d l, ut mõ$tratũ e$t] erit angulus q d g æ qualis an- gulo cko. [quia enim trianguli c o k angulus ad o rectus e$t: reliqui o c k, o k c æ quãtur uni recto ք 32 p 1: ideo\’q; ք 10 ax. angulo n d g recto per 18 p 3: & o c k æ quatur q d n: ergo per 3 ax. reliquus o k c {ae}quatur reliquo q d g.] Fiat ergo $uք pũctũ k angulus {ae}qualis b d q: & ponatur, quòd linea hũc angu lũ ten\~es, cõcurrat cũ c o in pũcto s: & ducatur s fp. Planũ e$t, cũ angulus b z d rectus, {ae}qualis angu- lo s o k: q<001> erit triangulũ b z d $imile s o k [per proximã fabrication\~e. 32 p 1. 4 p. 1 d 6] & b z ad b d, $icut o s ad s k, & b z ad z d, $icut s o ad o k: $ed q z ad q d, $icut o f ad fk. [ex cõclu$o: & ք cõ$ectariũ 4 p 5, ut q d ad q z, $ic fk ad o f: & per 18 p 5, ut z d ad q z, $ic o k ad o f: e$t aut\~e ut b z ad z d, $ic s o ad o k: & ut z d ad q z, $ic o k ad o f: ergo per 22 p 5, ut b z ad z q, $ic s o ad o f. Triangula igitur b z q, s o f $unt æ quiangula per 6. 4 p. 1 d 6 $imilia.] erit ergo angulus z b q æ qualis angulo o s f: & angulus q b d æ qualis angulo f s k. [per 3 ax. totus enim angulus o s k toti z b d æquatur, ob triangulorũ o s k, z b d $imilitudin\~e iã demõ$tratã.] Quare triangulũ b g d $imile triangulo s p k. [Nã angulus q d g æ- qualis o$t\~e$us e$t angulo p k f: & angulus f k s {ae}quatus e$t angulo b d q: totus igitur p k s toti b d g {ae}- quatur. Itaq; per 32 p 1 reliquus reliquo. Suntigitur per 4 p. 1 d 6 triangula b g d, s p k $imilia.] Igitur {pro} portio s p ad p k, $icut b g ad g d. [Quare $i ad lineã b g, eius\’q; terminũ g, per $emidiametrũ $pecu li $ph{ae}rici g u angulus æ quetur angulo s p k $ecũdo: erit u punctũ reflexionis. Quia igitur an gulus ad p primus, maior e$t angulo ad p $ecũdo per 16 p 1: per$picuũ e$t è primò demõ$tratis, ui$ibile h à duobus pũctis $peculi d & u ad eund\~e ui$um reflecti, cõtra 29 n. Itaq; angulus c k s, cuius beneficio reflexionis punctũ inueniendũ e$t, nece$$ariò e$t obtu$us.] Quod e$t propo$itũ. Amplius: impo$si- bile e$t, ut duorũ angulorũ $uper m o cõ$titutorum, $it uterq; maior recto. Si enim uterq; talium fue rit maior recto, cum $uperid\~e centrum fiat angulus æ qualis angulo s k m: fiet $uperid\~e centrum a- lius angulus diuer$us ab i$to, quem efficit $uper k m alia linea $imilis s k: & ita à puncto d, & ab alio puncto illius circuli fiet reflexio: quod e$t impo$sibile: cum iam probatum $it [29 n] quòd unum uni ui$ui $it reflexionis punctum: & iam o$ten$um $it, quomodo inueniri po$sit.

41. Vi$ibile à duob. $peculi $phærici cõuexi pũct{is} ad utrũ<005> uisũ reflexũ, unã habet imagin\~e. 34 p 6.

DVobus aũt ui$ibus, licet duo $int reflexiõis pũcta: tam\~e unica erit imago $en$uali $yllo gi$mo, & unus imaginis locus. Et hoc probabimus, quãdo duæ lineæ à c\~etris. oculorũ ad c\~etrũ cir- culi duct{ae}, $unt æ quales. Si ergo $itus pũcti ui$i, re$pectu utriu$q; ui$us, $it id\~e, ut lineæ à pun- cto ui$o ad c\~etra oculorũ, $int æ quales: facilis erit probatio. Quoniã a b c p g l m g h o j k d e f diametriui$uales $ecãt ex circulo arcus reflexionis, & ten\~et angulos æquales cũ linea, à puncto ui$o ad c\~etrũ $phæræ ducta, & arcus inter hác lineã & diametros ui$uales interiac\~etes, $unt æquales. [Cũ enim ex the$i uterq; ui$us æ quabiliter di$tet tũ à ui$ibili tũ à $peculi c\~etro: ducta igitur perp\~ediculari incid\~etiæ: fient duo triangula æ quilatera, ideo\’q; per 8 p 1 æ quiangula. Itaq; æ qualib. in c\~etro angulis æ quales arcus $ubt\~ed\~etur per 26 p 3.] Et $i $umãtur pũcta reflexionis: $ecũdũ $uprà dictã probation\~e, arcus circuli interiac\~etes inter hæc pũcta, & punctũ circuli, q<001> e$t in perp\~ediculari, à puncto ui$o ducta: erunt æ- quales: [Nã propter utriu$q; ui$us æquabil\~e tũ à ui$ibili tũ à $peculi c\~etro di$tãtiã: perp\~ediculares per reflexionũ pũcta duct{ae}, cõprehen- dunt cũ perp\~ediculari incid\~eti{ae} æ quales angulos in c\~etro, quib. per 26 p 3 æquales arcus $ubt\~eduntur] q<001> facile patebit, iterata $uperio- re probatione: & hoc: $iue pũcta reflexion is $int in ead\~e $uperficie re flexionis, $iue in diuer$is: erũttam\~e arcus illi æquales: & lineæ duct{ae} à c\~etris oculorũ ad pũcta reflexionũ æquales: & line{ae} à pũcto ui$o ad ead\~e pũcta, æ quales. [Quia enim anguliab opticis diametris ex the$i æqualibus, & $peculi $emidiametris cõprehen$i, æquales demõ$trati $unt: æquabũtur igitur ք 4 p 1 tũ reflexionis tũ incid\~etiæ lineæ inter $e.] Et lineæ à c\~etris oculorũ ad reflexionũ pũcta proced\~etes, nece$$ariò $e $ecabũt [per 11 ax: angu- li enim ք reflexionũ lineas in utroq; ui$u facti, $unt minores duob. rectis.] Et euid\~es e$t {pro}batio, q<001> $uper id\~e punctũ perp\~edicularis à pũcto ui$o duct{ae}, erit $ectio ambarũ linearũ reflexionis. [Nã an- gulorum reflexionis o$ten$am æquabilitatem con$equitur æquabilitas angulorum incidentiæ per 12 n 4: & anguli comprehen$i à lineis incid\~eti{ae} & perpendiculari æquales probati $unt. Itaq; per 32 p 1 triangula comprehen$a à lineis incidenti{ae}, cõtinuatione linearum reflexionis, & communi per- pendiculari incidenti{ae}, $unt {ae}quiangula. Quare per 4 p 6, ut $unt line{ae} incidenti{ae}, $ic $unt cõtinua- tiones linearum reflexionis: at ill{ae} {ae}quantur: igitur & hæ. Itaq; in un o perpendicularis puncto con currunt.] Et in hoc puncto utriq; ui$ui apparebit imago: & una $ola. Quod e$t propo$itum.

42. In $peculo $phærico conuexo puncta imagin{is}, punct{is} ui$ibil{is} $itu & ordine, in utro<005> ui$u re$pondent. 35 p 6.

ESt aũt ordinatio imaginũ, $icut ordinatio pũctorũ ui$orũ. Sienim in re ui$a $umatur linea, à cuius capitib. ducãtur duæ lineæ ad c\~etrũ $phær{ae}: fiet triangulũ, in quo cõtine buntur imagi- nes omniũ punctorũ illius lineæ. Et $i $it in illa linea punctũ nõ eiu$d\~e $itus, re$pectu amborũ ui$uũ: Imago puncti remotioris ab eo, erit in diametro remotiore ab eius diametro: & propinquio- OPTICAE LIBER V. re. Etita ob$eruatur $itus partiũ in imaginibus, $icut fuit in punctis ui$is. Sumpta aũt linea, in qua e$t punctũ eiu$d\~e $itus: quodlibet punctũ illius line{ae} eiu$d\~e $itus erit, re$pectu duorũ oculorũ $ecũ- dũ modũ pr{ae}dictũ: & unicã habebit imagin\~e, propter æqualitat\~e angulorũ illius line{ae} cũ lineis ui- $ualibus. Si aũt $umatur linea, quæ angulũ, qu\~e cõtinent duæ lineæ à c\~etris oculorũ ad punctum ui $um, diuidat per æqualia: $itus cuiuslibet puncti lineæ quãtumlibet productæ, eritid\~e utriq; uifui@ $icut $uit uni. Et id\~e e$t probationis modus. Præter has duas lineas nõ e$t $umere aliã, eundem ob- $eruantem $itum. Vnde, cum punctum ui$um comprehendatur in perpendiculari [per 3 n] cadet imago eius in diuer$is punctis illius perpendicularis, $ed imperceptibiliter à $e remotis: & imago cuiuslibet puncti à quotcunq; uideatur oculis, $emper ob$eruat identitatem partis. Vnde apparet unitas imaginis, $icut dictum e$t in ui$u directo [27 n 1] quòd formæ, licet in diuer$a cadant loca: propter tamen di$tantiã earum in$en$ibilem nõ diuer$i$icant apparentiam, ni$i diuer$ificent part\~e. Similiter hic, quando remotio puncti ab uno ui$u fuerit modicò maior, quàm ab alio: eruntlocai- maginum imperceptibiliter remota. Vnde apparent $imul, & ex eis una imago compacta: quando- quidem imaginum loca aliquando non totaliter di$tant, $ed partialiter.

43. Si cõmunis $ectio $uperficierũ re$lexiõ{is} & $peculi cylindracei cõuexi fuerit latus cylindri, uel circul{us}: loca, tum reflexionum tum imaginum eodem modo $ehabebunt, ut in $pecul{is} pla- no & $phærico conuexo. 42. 43 p 7.

IN $peculis columnaribus exterioribus aliquãdo linea cõmunis $uperficiei reflexiõis & $uperfi- ciei $peculi, e$t linea recta: aliquãdo circulus: aliquãdo $ectio columnaris. Cũ fuerit linea cõmu- nis, linea recta: erit locus imaginis in perpendiculari à puncto ui$o ducta $uper $uperficiem $pe- culi, tantum di$tans à linea communi, quantum punctum ui$um ab eadem. Et eadem e$t probatio, quæ dicta e$t in $peculo plano [11 n.] Cum autem communis linea fuerit circulus: erit aliquando imaginis locus intra circulum: aliquando extra: aliquando in ip$a circumferentia. Eius rei eadem penitus a$signatio, quæ in $peculo exteriore $phærico [22 n.]

44. Siperpendicular{is} incidentiæ $ecetur à line{is}: reflexion{is}, intra ellip$in (quæ est communis $ectio $uperficierum reflexion{is} & $peculi cylindracei conuexi) & tangente in reflexion{is} pun- cto: erit ut tota perpendicular{is} adinferum $egmentum, $ic $uperum adintermedium. Et infe- rum mai{us} erit $egmento lineæ reflexion{is}. 47.48 p 7.

SIuerò linea cõmunis fuerit $ectio colũnaris: dico, quòd imaginũ qu{ae}dã $unt intra $peculũ: qu{ae} dã in $uքficie $peculi: qu{ae}dã extra $peculũ: qu{ae} in $ingulari explanabũtur. Sit a b c $ectio colũ- naris: b $it pũctũ reflexionis: e pũctũ ui$um: d c\~etrũ ui$us: & [ք 12 p 11] ducatur à puncto b per- pendicularis $uper $uperfici\~e cõtingent\~e $peculũ: quæ $it g b q: & [ք 11 p 11] ducatur à puncto e per- pendicularis $uper $uperfici\~e, cõtingent\~e $peculũ: qu{ae} $it e k q: & linea cõting\~es $peculũ in pũcto b: $it t u: linea cõting\~es $peculũ in pũcto k: $it k m. Dico, quòd du{ae} perp\~ediculares g b q, e k q cõcurr\~et. Ducãtur line{ae} e b, d b: & ducatur linea k b. Palàm, q<001> k m cadet in figurã e k b, & linea b t in figurã eand\~e [quia recta linea $ecãs angulũ trianguli, $ecat ba$im angulo $ubt\~e$am: $ecus nõ $ecaret angu lũ.] Igitur b t $ecabite k: $ecetin pũcto t. Palàm, quòd angulus g b k e$t maior recto, & angulus e k b $imiliter maior recto [quia g b q, e k q $unt քpendiculares ip$is t u, k m.] Quare [per 13 p 1. 11 ax.] g b, e k cõcurr\~et. Sit cõcur$us punctũ q. Similiter d b k maior recto: igitur d b, e k cõcurr\~et. Sit cõcur$us punctũ h. Igitur h e$t locus imaginis [ք 4 n.] Dico e g d t m b u k h f q a c etiã, quòd proportio e q ad q h, $icut e t ad th: & etiã quòd q h e$t maior h b. Ducatur [ք 31 p 1] h f æquidi $tãs e b. Palàm, quòd angulus e b t e$t {ae} qualis angulo d b u [ք 12 n 4:] e$t igitur [ք 15 p 1. 1 ax.] æqualis an- gulo t b h: re$tat e b g æqualis angulo h b q: cũ g b t, t b q $int recti. Cũ igitur t b diuidat angulũ e b h ք æ- qualia: erit [ք 3 p 6] et ad t h, $icut e b ad b h: Sed an- gulus e b g e$t æqualis angulo h $b [ք 29 p 1:] quare h f, h b $unt æqualia. [angulus enim e b g {ae}qualis con clu$us e$t angulo h b f: itaq; anguli h f b, h b f æquan- tur: quare ք 6 p 1 latera h f, h b {ae}quantur: ergo ք 7 p 5, ut e t ad th, $ic e b ad h f] Sed e b ad h f, $icut e q ad q h [ք 4 p 6: <003>a enim h f parallela ducta e$t ip$i e b: $unt trιangula e b q, h f q æquiãgula ք 29. 32 p 1.] Erit ergo [per 11 p 5] et ad th, $icute q ad q h. Q<001> e$t propo$i- tũ. Et ex hoc: cũ $it {pro}portio e q ad q h, $icut e b ad h f [& h f æquetur ip$i h b: erit ք 7 p 5, e q ad q h, $icute b ad b h] & e q $it maior e b [ք 19 p 1: <003>a angulus e b q recto maior e$t] erit [ք 14 p 5] q h maior h b Quod e$t {pro}po$itũ. Palàm exhoc, quòd $i $uper $ection\~e a b c ducatur քpendicul aris $uք $uperfici\~e cõtingent\~e $ection\~e: cõcurret cũ g b. Et h{ae}c quid\~e pat\~et, cũpunctũ ui$um nõ fuerit in քp\~ediculari ui$uali. Palàm enim ex $uperioribus [19 n] quòd unius $olius pũcti forma ք perp\~edicular\~e accedit ad $peculũ, & $ecũdũ eund\~e reflectitur. Et e$t pũctũ քpendicularis, exi$t\~es in $uքficie ui$us: punctũ enim ultra ui$um $umptũ nõ pote$t reflecti $uք hãc քpendicular\~e: <003>a nõ põt accedere ad $peculũ $u ALHAZEN per perpendicular\~e, propter prædictã ibid\~e ration\~e. Et $imiliter non poterit reflecti ab alio puncto $peculi, quã à puncto perpendicularis huius: quia accideret duas perp\~ediculares cõcurrere, & effi- ficere triangulum, cuius duo anguli recti, $icut $uprà patuit.

45. Si cõmun{is} $ectio $uperficierũ, reflexion{is} & $peculi cylindracei cõuexi fuerit ellip$is: imago ui$ibil{is} obliquè reflexi, aliâs in $uքficie $peculi: aliâs intra: aliâs extra $peculũ uidebitur. 49 p 7.

AMplius: $umatur $ectio columnaris: & $umatur in ea punctũ a: & ducatur contingens $ectio- n\~e: quæ $it e a t: & $umatur perpendicularis $uper a tintra $peculũ: qu{ae} $it d a. Palàm, quòd d a diuidit $ection\~e in duas partes, in quarũ utraq; e$t punctũ unicũ, cuius puncti linea cõtin- gens, erit æ quidi$tans a d. Sit ergo aliud punctũ g, cuius cõtingens cõcurrat cũ linea a d in puncto h: & ducatur perpendicularis $uper hãc cõtingent\~e: quæ $it q g: & hæc quid\~e nece$$ariò cõcurret cũ h d, $icut o$ten$um e$t in præcedente figura [e$t enim angulus q g h per fabrication\~e rectus: ergo q g a maior e$t recto: & ob id h a g recto maior e$t. Itaq; per 13 p 1 d g a, d a g $unt minores duobus re- ctis. Quare per 11 ax. q g, h a cotinuatæ cõcurrent.] Sit concur$us in puncto d: & ducatur linea g a u$q; ad p: & ducatur linea q a. Igitur angulus q a h aut e$t æqualis angulo h a p: aut maior: aut mi- nor. Sit {ae}qualis. Procedet igitur forma puncti q ad s f h q n x r p l z u t m a b o e g k d a, & reflectetur ad p [per 12 n 4] quod ui$us $it: & locus imaginis erit punctũ $ectionis columnaris, $cilicet g [per 4 n.] Si uerò $upra punctum q $uma tur aliquod punctũ, ut punctũ f: erit quid\~e angulus f a h minor angulo h a p [quia angulus h a p æqua- tur h a q, qui per 9 ax. maior e$tangulo h a f.] Fiat ei æqualis n a h: cõcurret quid\~e n a cũg q [per 11 ax. ut antea] intra columnã. [quia punctũ n $ublimi- us e$t puncto p.] Sit in puncto k. Palã ergo, quòd imago puncti f erit in puncto k [per 4 n] & imagi- nes omniũ punctorũ lineæ q fultra punctũ q, intra columnã. Si uerò inter q & t $umatur punctum ali- quod: ut punctũ r: erit angulus r a h maior angulo h a p [quia h a p æquatur h a q, quo angulus h a r maior e$t per 9 ax.] Fiat ei {ae}qualis h a m. Palàm, q<001> m a cadet $upra lineã g q, & extra $ectionem [cũ e- nim linea p a (quæ cũ h a cõtinet angulũ æqualem h a q) cõcurrat cũ $ectione in puncto g: & punctũ m $it inferius puncto p: linea igitur m a cõtinua- ta cõcurret cũ g q extra $ection\~e.] Sit in pũcto o. Erit igitur imago r in pũcto o [per 4 n.] Et omniũ punctorũ inter t, q interiacentiũ imagines, erũt extra $ection\~e inter o & g. Siuerò angulus q a h fue rit minor angulo h a p: $ecetur ex eo æqualis: & $it h a n. Palàm, quòd imago q erit in puncto k: & o- mniũ punctorũ $uperiorũ imagines erũt intra $ection\~e. Si uerò inferius $umatur r punctũ, ut angu- lus r a h $it {ae}qualis angulo h a p: erit imago r in $ectione: & o\~es inter r & q intra: o\~es inter r & t extra. Si uerò angulus q a h fuerit maior angulo h a p: fiat ei æqualis h a m. Palàm, quòd m a $ecabit $ectio n\~e: [quia e a t tangit] & $ecet in puncto b: & ducatur cõting\~es $uper punctũ b: qu{ae} cõcurret cũ d h, utin puncto l [ducta enim recta d b: erit angulus d b l rectus, & b d lacutus: itaq; tãgens $ection\~e in pũcto b cõcurret cũ d h per 11 ax.] erit\’q; [per 17 p 1] angulus d l b acutus, & angulus h l b obtu$us: [per 13 p 1] & l b cõcurr\~es cũ h g faciet cũ ea acutũ [per 32 p 1: quia angulus h l b e$t obtu$us.] Duca tur perp\~edicularis à pũcto b $uper l b: qu{ae} $it s b: $ecabit quid\~e h g, utin pũcto x: & faciet angulũ a- cutũ cũ ea [per 15 p 1] quoniã angulus cõtrapo$itus $imiliter erit acutus [ք 32 p 1: quia angulus ad b rectus e$t] & h g $ecat q a: $it punctũ $ectionis u: & facit acutũ angulũ cũ ea $uper punctum u [cum enim h g cõcurrat cum q a: & q a cum fd, & angulus h g q $it rectus: erit per 32 p 1 angulus q u g acu- tus.] Quare s b & q u concurrunt [quia enim angulis s x h, qu g acutis cõclu$is æquãtur anguli ad uertic\~e per 15 p 1. Ergo per 11 ax. q u & s b cõcurrũt.] Sit cõcur$us in z. Palàm ergo, quòd forma pun cti z mouebitur ad $peculũ per z a, & reflectetur per a m: & locus imaginis, b: & imagines punctorũ lineæ z s ultra z, erunt intra $ection\~e: & punctorũ citra z, extra $ectionem. Quod fuit propo$itum.

46. Si cõmun{is} $ectio $uperficierũ, reflexiõ{is} & $peculi cylindracei conuexi, fuerit lat{us} cylindri, uel circul{us} ba$ib. parallel9: ab uno pũcto unũ ui$ibil{is} pũctũ ad unũ uisũ reflectetur. 26. 27 p 7.

AMplius: ab uno $olo pũcto $peculi colũnaris fit reflexio ad c\~etrũ ui$us: utpote pũctũ b refle- ctatur ad a à pũcto g. Dico, quòd nõ reflectetur ad ip$um ab alio puncto $peculi, quã à pũcto g. Quoniã, $i in $uperficie reflexionis, quæ e$t a b g, $it totus axis $peculi: erit linea cõmunis $uperficiei $peculi & $uperficiei reflexionis linea lõgitudinis $peculi [per 29 n 4.] Et cũ in $uperfi- cie reflexionis $it c\~etrũ ui$us, pũctũ ui$um, punctũ reflexiõis, & punctũ axis, in q<001> cadit perp\~edicu laris: [per 23. 34 n 4] una $ola $uperficies $umi pote$t, in qua $it linea illa longitudinis, axis, & pun- cta a, b, g. Quare non pote$t $ieri reflexio ad a, ni$i ab aliquo puncto line{ae} longitudinis: $ed iam pro- batũ e$t [51 n 4 generatim de quolibet $peculo, & 14 n $peciatim de $peculo plano] quòd nõ pote$t fieri reflexio ad a ab alio puncto, quã à puncto g. Quare in hoc $itu ab uno $olo pũcto $peculi fit ad a reflexio. Si uerò $uperficies a b g $it æquidi$tans ba$i colũnæ: erit linea cõmunis, circulus æquidi- OPTICAE LIBER V. $tans ba$i [per 5 th Sereni de $ectione cylindri.] Et iam patuit [29 n] quòd ab alio pũcto illius cir- culi non pote$t fieri ad a reflexio. Et $i ab alio a q k b f l n g c e l d h puncto $peculi fiat reflexio perp\~edicularis du cta à puncto illo, cadet orthogonaliter $uper ax\~e. [Nã cũ per 34 n 4 perp\~edicularis illa in- tus cõtinuata fiat diameter circuli ba$ibus pa ralleli: erit per 21 d 11. 29 p 1 ad axem perpendi cularis] & $ecabit lineã a b in puncto aliquo. À pũcto illo ducatur linea ad axem in $uper- ficie, æquidi$tante ba$i colũnæ: erit quid\~e or- thogonalis $uper axem [per 21 d 11. 29 p 1.] Et ita duæ perp\~ediculares efficient cũ axe trian- gulum, cuius duo anguli $unt recti: quod e$t impo$sibile [& contra 32 p 1.] Palàm ergo, quòd in hoc $itu non reflectetur b ad a, ni$i à puncto g.

47. Si communis $ectio $uperficierum, reflexion{is} & $peculi cylindracei conuexi fuerit elli- p$is: ab uno puncto unum ui$ibil{is} punctum ad unum ui$um reflectetur. 28 p 7.

SIuerò $uperficies a b g $ecet $peculũ $ectione columnari: dico, quòd à $olo pũcto g fit reflexio. Ducatur à puncto a $uperficies æquidi$tans ba$i columnæ: [ductis nimirũ duabus perpen di- cularibus $uper axem $e inter$ecãtibus: una quid\~e à puncto a per 12 p 1: altera uerò ab axis pun cto, in quod illa cadit per 11 p 1. Sic enim axis, qui per 21 d 11 e$t perpendicularis ba$i: erit per 4 p 11 perpendicularis plano ductarũ perpen diculariũ. Itaq; per 14 p 11 ba$is & hoc planũ erũt parallela] quæ $it e z i: & à puncto g $imiliter $uperficies æquidi$tans ba$i $peculi: in qua ducatur ab axe linea ad pũctũ g: quæ $it t g: erit quid\~e perp\~edicularis $uper $uperfici\~e, cõting\~et\~e $peculũ in pũcto g [per 34 n 4: quia e$t diameter circuli ba$ibus cylindri paralleli] & cõcurrat cũ a b in puncto k [cõcurret aũt: quia diuidit angulũ a g b] & ducatur à puncto g linea lõgitudinis $peculi: [educto n\~epe plano per axem & per rectã, cũ ip$o à puncto g utlibet cõcurrent\~e: erit enim huius plani & cylindraceæ $u perficiei cõmunis $ectio latus cylindri per 21 d 11] quæ $it g z: & $it axis t q: & à puncto b perp\~edicu laris ducatur ad $uperfici\~e e z i: qu{ae} $it b h: & ducãtur line{ae} a z, h z: & ducatur à pũcto z in $uperficie illa ad axem linea, quæ $it z q: erit quid\~e perp\~edicularis $uper axem [per 3 d 11] cũ axis $it perp\~edi- cularis $uper hãc $uperfici\~e [per 21 d 11] & erit perp\~edicularis $uper $uperfici\~e, cõtingent\~e $peculũ in puncto z [ut paulò antè o$t\~e$um e$t] & cõcurrat cũ linea a k in pũcto l. [cõcurret uerò, quia $e- cat angulũ a z h.] Dico, quòd forma puncti h reflectetur ad a, à puncto z. Ducatur à pũcto a æ quidi- $tãs line{ae} k g: qu{ae} $it a m: qu{ae} quid\~e cõcurret cũ b g. [per l\~ema Procli ad 29 p 1.] Sit cõcur$us in pun cto m. Palàm [per 6 p 11] quòd g z e$t æquidi$tãs lineæ b h: cũ utraq; $it orthogonalis $uper $uperfi ci\~e æquidi$tant\~e ba$ibus colũnæ. Quare [per 7 p 11] linea b g m e$t in $uperficie harũ linearũ. Igitur tria pũcta m, z, h $unt in hac a $ f K b h d z g e s n q o t m i p $uքficie. Sed iterũ a m e$t æ- quidi$tans k g [per fabrica- tion\~e] & l z æquidi$tãs k g: quoniã g z æquidi$tãs t q & inter $uperficies æquidi$tan tes. [nã per 21 d 11 latus z g & axis q t paralleli & æquales, circulis oppo$itis & paral- lelis terminantur, in quibus $emidiametritg, q z $unt pa rallel{ae} per 33 p 1: & t g conti- nuata e$t in k.] Igitur l z æ- quidi$tãs a m [ք 30 p 1: $unt enim m a, z l eid\~e t g k paral- lelæ.] Quare $unt in eadem $uperficie [per 35 d 1] & in ea e$t linea a h [per 7 p 11: quia cõnectit m a, z l parallelas.] Igitur in hac $uperficie $unt tria puncta, m, z, h: & iã patuit, quòd $int in $uperficie b m h: igitur $unt in linea cõmu ni his duabus $uperficiebus. Igitur [per 3 p 11] h z m e$t linea recta. Palàm igitur, cum g $it punctum reflexionis: erit [per 12 n 4] angulus a g k æqualis angulo k g b: & ita [per 29 p 1.1 ax.] {ae}qualis an- gulo a m g: $ed [per 29 p 1] e$t æqualis m a g: quia coalternus. Igitur [per 6 p 1] a g, m g $unt æ qua les. Sed quoniam g z e$t orthogonalis $uper quãlibet lineã $uperficiei z a h: [per 3 d 11] erit quadra tũ m g æquale quadratis m z, g z [per 47 p 1] erit igitur a z æqualis m z [Nam propter eand\~e cau$- $am quadratum a g æquatur quadratis a z, g z: at quadrata a g, m g æquãtur: quia ip$orum latera a g, m g æquãtur: communi igitur quadrato g z ablato, reliquum quadratũ a z {ae}quabitur quadrato m z: quare ip$orũ latera m z, a z {ae}quabuntur.] Quare [per 5 p 1] angulus a m z e$t æqualis angulo m a z: $ed [per 29 p 1] angulus a m z e$t æqualis angulo l z h: & angulus z a m e$t æqualis l z a: quia coal- ternus. Igitur angulus a z l e$t æqualis angulo l z h. Quare forma puncti h acced\~es ad punctũ z, re- ALHAZEN flectetur ad punctum a. [per 12 n 4.] Si ergo dicatur, quòd ab alio puncto, quàm à puncto g, pote$t forma b reflecti ad a: illud aliud punctũ aut erit in linea lõgitudinis, quæ e$t g z: aut in alia. Si e$t in li nea g z: ducatur ab eo perp\~edicularis: qu{ae} nece$$ariò $ecabit lineã a k [quia $ecar angulũ lineis inci d\~eti{ae} & reflexionis cõprehen$um, ut patet per 13 n 4] & [per 28 p 1] erit æquidi$tãs line{ae} a m: & li- nea ducta à puncto b ad illud punctũ nece$$ariò cõcurret cũ a m: [per lemma Procli ad 29 p 1] & e- rit punctũ illud, & punctũ m in ead\~e $uperficie: & linea illa aut cadet $uper pũctũ m: aut$uper aliud. Si $uper punctũ m: erit ducere à puncto b ad punctũ m duas lineas rectas: quod e$t impo$sibile. [$ic enim du{ae} rect{ae} line{ae} $patiũ cõprehender\~et cõtra 12 ax.] Si aũtad aliud punctũ line{ae} a m: ducatur à puncto illo linea ad punctũ z: & probabitur, quòd h{ae}c linea cũ h z facit lineã rectã, $icut probatũ e$t de linea z m: & ita à puncto h erit ducere duas lineas rectas, per punctũ z trã$euntes in diuer$a pun- cta line{ae} a m cad\~etes: quod e$t impo$sibile [& cõtra 1 p 11: hoc\’q; modo duarü rectarũ linearũ e$$et cõmune $egmentum contra line{ae} rect{ae} definition\~e.] Palàm ergo, quòd à nullo puncto line{ae} g z, ni$i à g, pote$t b reflecti ad a. Si dicatur, quòd à puncto extra hãc lineam $umpto: ducatur $uper punctũ illud linea longitudinis $peculi: [per 7 th. Sereni de $ectione cylindri] & à puncto circuli e z i, in quod cadit h{ae}c linea, probabitur h reflecti ad a $ecundũ $uprà dictã probation\~e: $ed iã probatũ e$t. quòd h à puncto z reflectitur ad a. Etita impo$sibile: [quia ita à duobus $peculi punctis forma e- iu$dem ui$ibilis ad eundem ui$um reflecteretur, contra 51 n 4, & 29 n.] Re$tat ergo ut à $olo puncto $peculi reflectatur b ad a. Quod e$t propo$itum.

48. Si commun{is} $ectio $uper$icierum, reflexion{is} & $peculi cylindracei conuexi fuerit elli- p$is: ui$u & ui$ibili dat{is}, punctum reflexion{is} inucnire. 29 p 7.

AMplius: dato pũcto b, quod reflectatur ad a: erit in uenire punctũ reflexionis: & hoc patebit per reuolution\~e pr{ae}dict{ae} probationis. Ducatur à puncto a $uperficies æquidi$tãs ba$i colu- mn{ae}: qu{ae} quid\~e $ecabit columnã $uper circulũ: [per 5 th. Sereni de $ectione cylindri] qui $it e z i: & ducatur à puncto b perp\~edicularis $uperhãc $uperfici\~e: qu{ae} $it b h: & inueniatur in hac $u- perficie punctũ, à quo fit reflexio h ad a: [ut traditũ e$t 31 uel 39 n] quod $it z: & à puncto z ducatur linea longitudinis: [per 7 th. Sereni de $ectione cylindri] qu{ae} $it z g: & à pũcto z perp\~edicularis z l: & huic æquidi$tãs à pũcto a: qu{ae} $it a m: & etiã linea h z producatur, quou$q; cõcurrat cũea: [con curret uerò per lemma Procli ad 29 p 1] & $it cõcur$us in pũcto m: & à pũcto m ducatur linea ad b: qu{ae} nece$$ariò $ecabit lineã z g: cũ $it in ead\~e $uperficie cũ ea: quoniã cũ b h $it æquidi$tãs g z: [per 6 p 11: e$t enim utraq; ip$arũ perp\~edicularis circulo e zi] erit h z m in $uperficie illarũ: [per 7 p 11: quia cõnectit parallelas] & ita b m in ead\~e: qu{ae}, $i $ecuerit z g in puncto g: erit g punctum reflexio- nis: quod quidem, $i reuoluas probationem prædictam, uidere poteris.

49. Si commun{is} $ectio $uperficierum, reflexion{is} & $peculi conici conuexi fuerit lat{us} coni: locatum reflexionum tum imaginum eodem modo $e habebunt, ut in $peculo plano. 42 p 7.

IN $peculis exteriorib. pyramidalibus, $i linea cõmunis $upficiei reflexiõis & $peculi, fuerit linea lõgitudinis $peculi: erit locus imaginis, $icut a$signatus e$t in $peculis planis. Et ead\~e e$t {pro}batio.

50. Cõmun{is} $ectio $uperficierũ, reflexiõ{is} et $peculi conici cõuexi nõ e$t circul{us}. 12 p 7. Id\~e 41 n 4.

QVòd aũt nõ po$sit e$$e linea cõmunis, circulus: palàm per hoc: q <001> $uperficies reflexionis or thogonalis e$t $uper $uperfici\~e, cõtingent\~e $peculũ in pũcto reflexionis [per 13 n 4] & cir- culus nece$$ariò e$t æquidi$tans ba$i. [per cõuer$ion\~e 4 th 1 conicorũ Apollonij] Superfi- cies ergo h{ae}c æquidi$tãs ba$i, nõ erit orthogonalis $uper $uperfici\~e, cõtingent\~e $peculũ. [Nam pla- nũ tang\~es conũ, tangit in latere per 35 n 4, ad ba$im & circulũ ip$i parallelũ obliquo: quia e$t latus trianguli acutanguli facti à plano conũ per uertic\~e $ecante, per 3 th 1 conicorũ Apollonij. Quare cir culus erit extra reflexionis $uperficiem: neq; idcirco ui$ibile ab ip$o ad ui$um reflectetur.]

51. Si cõmun{is} $ectio $uperficierũ reflexiõ{is} & $peculi conici cõuexi fuerit ellip${is}: imago ui$ibil{is} obliquè reflexi, aliâs in $uperficie $peculi: aliâs intra: aliâs extra $peculũ uidebitur. 49 p 7.

SI uerò cõmunis linea fuerit $ectio pyramidalis: imagines qu{ae}dam erunt in $uperficie $peculi: qu{ae}dã intra $peculũ: qu{ae}dã extra. Etid\~e e$t a$signationis modus, qui fuit in $peculo columna- ri exteriore: [44 n] & ead\~e {pro}batio. Et ($icut e$t in colũnari exteriore) [44 n] penperp\~edi cular\~e ui$ual\~e nõ reflectetur forma ad oculũ, ni$i pũcti $uperficiei oculi tãtũ: & hoc ab uno $olo $pe- culi pũcto: & locus imaginis eius erit cõtinuus locis aliarũ imaginũ, $icut patuit $uperius [44 n.]

52. Si à puncto in communi $ectione $uperficierum, reflexion{is} & $peculi conici conuexi dato, re flexio fiat: po$$unt ui${us} & ui$ibile $ic collocari, ut ab eodem puncto, tanquam puncto circuli ba- $i paralleli ad ui$um reflexio fiat. 32 p 7.

RE$tat in his $peculis declarare: quòd ab uno $olo puncto eius fiat reflexio: quod $ic patebit. Sit ui$us a: b punctũ ui$um: g punctũ reflexionis: & ducatur $uper punctũ g $uperficies æqui di$tãs ba$i: [ductis nimirũ duabus perp\~edicularibus $uper axem $e inter$ecãtibus: una qui- d\~e à reflexionis puncto per 12 p 1: altera uerò ab axis puncto, in quod illa cadit, per 11 p 1. Sic enim axis, qui per 18 d 11 perpendicularis e$t ba$i: erit per 4 p 11 perpendicularis plano ductarũ perpendi culariũ. Quare per 14 p 11 ba$is & hoc planũ erunt parallela] qu{ae} quid\~e $ecabit pyramid\~e $uper cir- OPTICAE LIBER V. culum [per 4 th. 1 conicorũ Apollonij] <003> $it p g: & ducãtur line{ae} a g, b g, a b: & à pũcto g ducatur ad c\~etrũ circuli linea: \~q $it g t: & uertex pyramidis $it e: à quo ducatur axis: <003> erit e t. [per 3 d 1 coni. A- pol.] Et ducatur [per 12 p 11] perp\~edicularis $uper $uperfici\~e, cõtingent\~e fpeculũ in pũcto g: \~q $it h g: \~q cũ diuidat angulũ a g b per æqualia, [per 13 n 4] cadet $uper a b: pũctũ ca$us $it z. Et à uertice py ramidis ducatur linea lõgitudinis $peculi ad punctũ g: [educto n\~epe plano per axem, & perrectã à puncto g, cũ ip$o utlibet cõcurrent\~e: cõmunis enim fectio huius plani & conicæ $uperficiei erit la- tus coni, ք 18 d 11, uel 3 th. 1 coni. Apol.] qu{ae} $it e g: cui lineæ ducatur æquidi$tãs à pũcto a: [per 31 p 1] qu{ae} nece$$ariò $ecabit $uperfici\~e circuli g p: [$i enim circulũ cũ diametro infinitè ext\~e$um cogites: diameter $ecãs e g conilatus, $ecabit etiã rectã lateri parallelã, per l\~ema Procli ad 29 p 1. Quare ead\~e parallela circulũ ip$um quoq; $ecabit] $ecet in pũcto n: & $it n a. Similiter à pũcto b ducatur æqui- di$tãs eid\~e e g, $cilicet b m: qu{ae} $ecet $uperfici\~e p g in pũcto m. Et à pũcto n ducatur {ae} <003> di$tãs ip$i g t: qu{ae} $it n f: & ducãtur lineæ n g, m g, n m. Palàm, quòd t g $ecabit m n: [per l\~ema Procli ad 29 p 1] $e- cetin pũcto q. Palàm etiã, quòd m g $ecabit n f: cũ $ecet ei æquidi$tãt\~e: $it pũctũ $ectionis f. Et à pun cto a ducatur æquidi$tãs h z: qu{ae} $it a l. Palàm [per l\~ema Procli ad 29 p 1] quòd b g cõcurret cũ a l: $it cõcur$us l. Deinde ducatur linea cõmunis $uperficiei, f d a e p t m f k h i g z o q n b cõting\~eti $peculũ in puncto g, & $uperficiei circuli p g: \~q $it g o. Palàm [per 18 p 3] quòd erit orthogonalis $uper g t: & $imiliter [ք 29 p 1] $uper n f. Sumatur etiã linea cõ- munis $uperficiei, cõting\~eti $peculũ, & $uperficiei reflexi onis: qu{ae} $it g d: \~q quid\~e cũ $ecet g h, $ecabit a l. [per l\~ema Procli ad 29 p 1.] Sit punctũ $ectionis d: & erit orthogo- nalis $uper a l. [Quia enim h g perp\~edicularis e$t plano, tãg\~eti $peculũ in pũcto reflexionis g, ք fabrication\~e: erit ք 3 d 11 perp\~edicularis rectæ lineæ g d ip$am in puncto g tãg\~eti. Et quoniã a l, h z $unt parallel{ae}, ք fabrication\~e: erit g d perp\~edicularis ip$i a l per 29 p 1.] Palàm ex pr{ae}dictis, quoniã n f e$t æquidi$tãs g t, & a l {ae}quidi$tãs g h: igitur [ք 15 p 11] $uperficies, in qua $unt n f, al, e$t {ae}quidi$tãs $uper- ficiei g t h: $ed linea e g æquidi$tat b m [ք fabrication\~e] quare $unt in ead\~e $uperficie [ք 35 d 1] \~q $uperficies $ecat pre{ae}dictas æquidi$tãtes: unã $uper lineã e g: aliã $uper li- neã fl. Quare [ք 16 p 11] fl e$t æquidi$tãs e g: $ed a n æqui di$tat eid\~e. Igitur [ք 30 p 1] fl e$t æquidi$tãs an. Verũ $u perficies cõting\~es $peculũ in pũcto g, $ecat $uperficies e- a$d\~e æquidi$tãtes: unã in linea e g: aliã in linea o d. Igitur [ք 16 p 11] o d e$t æquidi$tãs e g. Igitur [ք 30 p 1] e$t æ <003>- di$tãs a n & l f. Et à pũcto f ducatur linea æ quidi$tãs l a, $ecãs d o in k, & a n in i: ergo f k æqualis l d, & k i æqualis d a. [ք 34 p 1.] Quare erit {pro} portio a d ad d l, $icut n o ad o f. [nã ք 7 p 5 e$t, ut a d ad d l, $ic i k ad k f: $ed ք 2 p 6, ut i k ad k f, $ic n o ad o f: ergo ք 11 p 5, ut a d ad d l, $ic n o ad o f.] Palã etiã, quòd angulus b g z æqualis e$t angulo z g a: [recta enim linea g z bifariã $ecat angulũ a g b, ut patuit] & etiã angulo g l a: [interiori & oppo$ito per 29 p 1] & etiã angulo g a l: [alterno ք 29 p 1.] Quare [per 1 ax.] g a l, g l a $unt æquales: & [ք 6 p 1] g a, g l æquales: & g d քp\~edicularis $uper al: [per cõclu$ion\~e] erit [per 26 p 1] a d æqualis d l. Erit igitur n o {ae}qualis o f: [demõ$tratũ enim e$t, ut a d ad d l, $ic n o ad o f: & alternè, ut a d ad n o, $ic d l ad o f: $ed a d æquatur ip$i d l: ergo ք 14 p 5 n o æquabitur ip$i o f] & g o perp\~edicularis $uper n f: [parallelæ enim $unt n f, g t ք fabrication\~e, & g o perp\~edicularis e$t ip$i gt per 18 p 3: ergo per 29 p 1 g o e$t perpendicularis ip$i n f: ideo\’q; angulus ad o uterq; rectus e$t] erit [per 4 p 1] angulus o f g {ae}qualis angulo o n g. Erit igitur angulus n g q {ae}qua lis angulo m g q. [Nã cũ t q, f n duct{ae} $int parallel{ae}: æquabitur ք 29 p 1 angulus m g q angulo n f g: ք æqualis cõclu$us e$t ip$i f n g: æquali angulo n g q alterno per 29 p 1. Quare anguli m g q, n g q inter $e {ae}quãtur.] Igitur [per 12 n 4] à puncto circuli p g, quod e$t g, pote$t punctum m reflecti ad n, nõ impediente pyramide. [H{ae}c conclu$io uidetur repugnare 41 n 4 & 50 n, quibus demon$tratum e$t communem $ectionem $uperficierum reflexionis & $peculi conici cõuexi non e$fe circulum. Qua- re punctum g circuli p g, à quo hic reflexio fieri concluditur, intelligendum e$t punctum circuli, qui e$t communis $ectio $phæræuel cylindri, quos mens intra conum fingit ac concipit.]

53. Si commun{is} $ectio $uperficierum, reflexion{is}, & $peculi conici cõuexifuerit latus conicũ: ab uno puncto unum ui$ibil{is} punctum ad unum ui$um reflectetur. 33 p 7.

DIco igitur, quòd punctũ b à $olo g reflectitur ad a. Si enim dicatur, quòd ab alio pũcto pote$t reflecti: illud aut erit in linea lõgitudinis: qu{ae} e$t e g: aut nõ. Sit in ea: & $it x: & ab eo ducatur perp\~edicularis $uper $uperfici\~e, cõting\~et\~e $peculũ in pũcto illo: [per 12 p 11] \~q quid\~e perp\~edi- cularis, erit [ք 6 p 11] {ae}quidi$tãs z g: & ita [per 30 p 1] æquidi$tãs a l. Igitur a l e$t in $uperficie reflexio- nis huius perp\~edicularis: [per 35 d 1] & e$t $imiliter in $uperficie reflexionis perp\~edicularis z g: [ք 35 d 1: parallela enim ducta e$t a l ip$i z g] igitur illæ duæ $uperficies reflexiõis $ecãt $e $uper lineam ALHAZEN al: $ed $ecãt $e $uper pũctũ b: [quia ui$ibile e$t in qualibet reflexionis $uperficie ք 23 n 4] q<001> e$t im- po$sibile. Quoniã b nõ e$t in linea a l: q<001> patet ք hoc: quoniã fl æquidi$tat b m. [ut patu it proximo numero per fabrication\~e & 30 p 1.] Re$tat ergo, ut à nullo pũcto lineæ e g, pr{ae}terquã à g, po$sit re- flecti b a d a. Si aũt ab aliquo pũcto extra lineã e g: $it illud u: & ducatur linea lõgitudinis e u o: & $u- matur $uperficies æquidi$tãs ba$i, trã$i\~es ք pũctũ u. [ut dictũ e$t proximo numero.] Palã, quòd a n $ecabit hãc $uperfici\~e: [quia e g parallela ip$i a n, eand\~e $ecat] $it punctũ $ectionis y. Similiter b m $e- cabit eand\~e: $it punctũ $ectionis k: & ducãtur lineæ k u, y l d a e f @ x u y t k p r c z o h g M n q m i b s u, y k. Et cũ $uperficies illa $ecet pyramid\~e $uper circulũ, trã$eunt\~e per u [per 4 th 1 coni. Apol.] ducatur à pũcto u linea ad c\~etrũ huius circuli, qu{ae} extra circulũ {pro}ducta, $it r u: & ducãtur line{ae} e k, e y: qu{ae} quid\~e $ecabũt $uperfici\~e circuli p g: [quia $ecãt circulũ ip$i parallelũ, per u trã$eun t\~e] & $int pũcta $ectionũ s, i: & ducãtur lineæ i c, s c. Sicut igitur probatũ e$t [proximo numero] de pũcto m: quòd, nõ impediente pyramide, pote$t reflecti ad n à pũcto g: ita {pro}babitur de pũcto k: q<001> pote$t reflecti à puncto u ad punctũ y: & ead\~e e$t {pro}batio: & ita angulus r u y erit {ae}qua lis angulo r u k [per 12 n 4.] Palàm, quoniã b k e$t æquidi $tãs e g: [Nã b m parallela ip$i e g ք fabrication\~e, cõtinua- ta e$t in pũctũ k] & linea, cõmunis $uքficiei b g e k, & $uք- ficiei circùli p g, e$t linea m g. Igitur linea e k cũ $it in hac $uperficie, & $ecet $uperfici\~e circuli p g: [in pũcto s, ut pa tuit] cadet $uper lineã cõmun\~e, qu{ae} e$t m g. Erit igitur s m g linea recta. Eod\~e modo cũ $uperficies n y e g $ecet $u perfici\~e circuli p g, $uper lineã n g: linea e y cõcurret cũ li nea n g. [in pũcto i, ut patuit.] Igitur i n g linea e$t recta. Palã etiã, quòd $uքficies i e c $ecat $uperfici\~e circuli p g, $uper lineã i c, & $ecat $uperfici\~e huic æquidi$tãtem, quæ trã$it ք u, $uper lineã y u. Ergo [per 16 p 11] y u æquidi$tat i c. Similiter $uperficies s e c $ecat $uperficies illas æqui- di$tãtes, $uper duas lineas s c, k u. Ergo [per 16 p 11] s c {ae}- quidi$tat k u. Similiter $i $umatur $uperficies, $ecãs $pecu lũ $uper lineã lõgitudinis e c, in qua $uքficie $untru, c M: $ecabit illas $uքficies æquidi$tãtes [n\~epe circulos ք u & c eductos] $uք duas lineas M c, r u. Igitur [ք 16 p 11] h{ae} du{ae} lineæ $unt æquidi$tãtes. Igitur angulus s c M æqualis e$t angulo k u r, & angulus M c i æqualis angulo r u y. [ք 10 p 11.] Sed iã patuit, q<001> angulus k u r æqualis e$t r u y. Igitur [ք 1 ax.] an- gulus s c M æqualis e$t angulo M c i. Quare pũctũ s pote$t reflecti ad i à puncto c, nõ impediente py ramide: $ed iã probatũ e$t [proximo numero] q<001> punctũ m reflecti põt ad i à pũcto g. [cadunt. n. pũcta i, n, g in eand\~e rectã lineã, ut mõ$tratũ e$t.] Igitur punctũ s reflectitur ad i à duob. punctis cir- culi p g. [nimirũ g & c] q<001> e$t impo$sibile [& cõtra 51 n 4. 29. 46 n.] Re$tat ergo, ut primũ $it impo$ $ibile, $cilicet, ut punctũ b reflectatur ad a ab aliquo puncto alio $peculi, <004> à g. Quod e$t propo$itũ.

54. Vi$u & ui$ibili inter ba$im $peculi conici conuexi, & planum per uerticem ductum, ba- $i<006> parallelum po$it{is}: punctum reflexionis inuenire. 35 p 7.

AMplius: dato $peculo pyramidali: e$t inuenire punctũ reflexionis. Verbi gratia: $it g uertex pyramidalis $peculi: & $uper ip$um fiat $uperficies æquidi$tãs ba$i pyramidis: [ut o$tenfum e$t 52 n] qu{ae} $it m n g: a $it pũctũ ui$um: b c\~etrũ ui$us. A & b aut erũt citra illã $uperfici\~e: aut ultra: aut in ip$a $uperficie: aut unũ citra, aliud ultra: aut unũ in $uperficie, aliud citra uel ultra. Sint citra $uperfici\~e: & à puncto a ducatur $uperficies, $ecãs pyramid\~e {ae}quidi$tãter ba$i: & ducatur à pun cto g linea ad punctũ b: qu{ae} {pro}ducta cadet in $uperfici\~e ab a ductã, cũ $it inter $uperficies æquidi$tã- tes: [quarũ una ք uertic\~e, altera ք ui$ibile a ducitur] punctũ, in q<001> cadit h{ae}c linea, $it h. Probatur aũt modo $uprà dicto [52 n] q<001> a reflectitur ad h ab aliquo pũcto circuli, qu\~e efficit $uperficies, $e- cãs pyramid\~e, ducta à pũctis a, h: & inueniatur in circulo illo punctũ reflexionis: [ք 31 uel 39 n] & $it e: & ducatur linea a b: & linea lõgitudinis pyramidis g e: & axis pyramidis g t: & ducatur à pun- cto e linea ad centrũ circuli: qu{ae} quid\~e cadet $uper axem: [ք 4 th 1 coni. Apol. quia c\~etrũ circuli e$t in axe] & $it e t: & erit [ք 18 p 3] orthogonalis $uper lineã, cõtingent\~e circulũ illũ in pũcto e: & du- ctis lineis a e, h e: $ecabit angulũ earũ ք æqualia: [ut o$t\~e$um e$t 13 n 4] & diuidet lineã a h: [քa $ecat angulũ ip$i $ubt\~e$um: $unt enim e h, e a, h a in ead\~e reflexionis $uperficie ք 23 n 4] $it pũctũ diui$io- nis r. Palàm, quoniã g e, e t efficiũt $uperfici\~e, $ecant\~e lineã a b: $it pũctũ $ectionis f: & à pũcto f duca- tur perp\~edicularis $uper lineã g e [ք 12 p 1] & $it f q: qu{ae} quid\~e erit orthogonalis $uper $uperfici\~e, cõting\~et\~e pyramid\~e $uper lineã g e. [quia enim f q perp\~edicularis e$t duab. rectis inter$ectis, in cõ- muni ip$arũ $ectione (q<001> e$t punctũ q) lateri n\~epe conico e g ք fabrication\~e proximã, & rect{ae} pe- ripheriã circuli ք punctũ q de$cripti, in extrema diametro tãgenti ք 18 p 3: erit perp\~edicularis plano ք ip$as ducto ք 4 p 11, id e$t plano in latere conũ tãgente per 35 n 4.] Deinde à pũcto a ducatur {ae}qui di$tãs lineæ f q: & $it a l: f q aũt cõcurrat cũ axe in pũcto k: [q<001> enim cõcurrat, patet ք 11 ax. quia per OPTICAE LIBER V. 18 d 11 & 32 p 1 angulus ab axe & latere e g cõpreh\~e$us, e$t acutus] & à pũcto a ducatur {ae}quidi$tãs li- n e æ r t: qu{ae} $it a s: & ducatur à pũcto e linea, cõmunis $uperficiei reflexionis a e h & $uperficiei, con ting\~eti pyra mid\~e in linea g e: quæ $it e o. Cadet quid\~e orthogonaliter $uper a s: cũ $it orthogonalis $uper e t: [quia enim e o tãgit peripheriã circuli in e: erit g m n b f q k l @ @ e p o h r a ք 18 p 3 perp\~edicularis ip$i r e t, cui a s parallela e$t ք fabri cation\~e. Quare ք 29 p 1 e o perpendicularis e$t ip$i a s] & ducatur linea b q: quæ {pro} ducta, nece$$ariò cõcurret cũ li- nea a l: [ք l\~ema Procli ad 29 p 1] $it pũctũ cõcur$us l: & ducatur à pũcto q linea, cõmunis $uperficiei cõtingenti, [$peculũ in latere conico e g] & $uperficiei a b l: quæ $it o p: & ducãtur l s, p o. Palàm, quoniam $uperficies a l s e$t {ae}quidi$tãs $uperficiei g e k: [Nã quia e t $emidiameter cir culi, e$t perp\~edicularis axi ք 18. 3 d 11: & angulus g q k re- ctus ք fabrication\~e: ergo ք 32 p 1 angulus g k q e$t acutus, & reliquus t k q obtu$us. Quare e t, f k ultra ax\~e cõtinua- tæ efficient angulos duob. rectis minores ք 13 p 1, & ք 11 ax. cõcurrent: His uerò parallelæ a l, a s cõcurrũt in pun- cto a: $unt\’q; bin{ae} in diuer$is planis. Ergo ք 15 p 11 ip$arũ plana $unt parallela] & lineæ q e, p o $unt in $uքficie con ting\~ete: qu{ae} $uքficies $ecat illas $uperficies {ae}quidi$tãtes, $uper duas lineas q e, p o: Igitur [ք 16 p 11] q e æquidi$tat p o. Ducatur aũt linea h e, donec cõcurrat cũ h s in pũcto s [cõcurret aũt ք l\~ema Procli ad 29 p 1.] Palã [ք 1 p 11] q <001> linea e s e$t in $uperficie h e g: & in ead\~e e$t linea b l: [ք 2 p 11] & h{ae}c $uperficies $ecat prædictas $uperficies æquidi $tãtes, in duabus lineis e q, l s. Igitur [ք 16 p 11] e q e$t æ- di$tãs l s: erit igitur [@ք 30 p 1] p o {ae}quidi$tãs l s. Quare [ք 2 p 6] a o ad o s, $icut a p ad p l: $ed palã [per 12 n 4] quod angulus h e r æ qualis e$t angulo r e a: erit angulus e s a {ae}- qualis angulo e a s: [Nã cũ r t $it parallela ip$i a s per fabri cation\~e: æquabitur tũ angulus h e r exterior, angulo e s a interiori & oppo$ito, tũ e a s alterno r e a per 29 p 1. Quare ք 1 ax. angulus e s a æquabitur angulo e a s] & e o e$t perp\~edicularis $uper a s: [ut o$t\~e$um e$t] erit ergo [per 26 p 1] a o æqualis o s: erit ergo a p æqualis p l [demõ$tratũ enim e$t, ut a o ad o s, $ic a p ad p l] & q p perp\~edicularis e$t $uper a l. cũ $it perp\~edicularis $uper f k. [Quia enim f k քp\~edicularis e$t plano tãg\~eti, ut patuit, in quo e$t q p: cũ $it illius, & plani a b l cõmunis $ectio: ergo ք 3 d 11 f k e$t քp\~edicularis ip$i p q, & ք 29 p 1 ip$i a l parallel{ae}.] Igitur [ք 4 p 1] q l {ae}qualis a q: & angul9 q l a æqualis angulo l a q. Erit ergo angulus b q f æqualis angulo a q f: [Quia enim q f parallela e$t ip$i a l: {ae}quabitur exterior angulus b q finteriori & oppo$ito q l a: & q a l alterno a q f ք 29 p 1. Qua- re b q f æquabitur a q f.] Igitur a reflectetur ad b à puncto q [per 12 n 4.] Quod e$t propo$itum.

55. Vi$u & ui$ibili in plano per uerticem $peculi conici conuexi ducto, ba$i<006> par allelo, po$it{is}: punctũ reflexio- nis inuenire. 36 p 7. g m q n t e b r a

SI uerò c\~etrũ ui$us & punctũ ui$um fuerint in $uperfi cie m g n: $it unũ in puncto m, aliud in pũcto n: & du cãtur lineæ m g, n g, m n: & diuidatur angulus m g n per æqualia, per lineã q g [per 9 p 1.] Palã [per 12 n 4] q<001> n à puncto g reflectitur ad m. Palã etiã, quòd linea q g & axis pyramidis $unt in $uperficie, $ecãte pyramid\~e $uper lineã longitudinis: [$unt enim axis & latus in uno plano, ut è 18 d 11 intelligitur, & in eod\~e plano e$t recta linea q g per 2 p 11] à pũcto q ducatur orthogonalis $uper hãc lineã lõgitudinis g e: qu{ae} $it q e: & $uper pũctũ e fiat $uperficies æquidi$tãs ba$i: [ut dictũ e$t 52 n] quæ $ecabit pyramid\~e $uper circulũ [per 4 th 1 coni. Apol.] linea cõmunis $uք- ficiei q e g, & huic circulo $it e t. Palã, quoniã cadet $uper axem & $uper c\~etrũ circuli. [Quia enim conus $ectus e$t duplici plano: uno per axem, altero ad ba$im parallelo: & illius quid\~e & coni cõmunis $ectio e$t triágulũ, per 3 th 1 coni. Apol. huius uerò circulus per 4 th eiu$d\~e: ergo per cõ$ectariũ 4 th comunis $ectio circuli & trianguli e$t dia meter circuli, cuius c\~etrum e$t in axe.] Deinde à pũcto m ducatur {ae}quidi$tãs line{ae} e g: qu{ae} quid\~e in $uperficie illius circuli cadat in pũctũ b: [cadet aũt, <003>a e$t interplana pa- rallela.] Similiter à pũcto n ducatur æquidi$tans g e: quæ cadat in pũctũ a: & ducatur a b: & e t $ecet eá in punctor. ALHAZEN [$ecabitaũt: quia cũ $int in uno plano ք 23 n 4: & et $ecet angulũ a e b: cõtinuata $ecabit etiã ba$im angulo $ubt\~e$am.] Palàm, quoniã m b æquidi$tat g e: e$t in ead\~e $uperficie cũ ip$a: [ք 35 d 1] qu{ae} $u perficies $ecat $uperfici\~e m g n & $uperfici\~e b e a {ae}quidi$tãtes, $uper duas lineas m g, b e: ergo [ք 16 p 11] m g æquidi$tãs e$t b e. Similiter n a, ge $unt in $uperficie $ecante illas $uperficies æquidi$tãte s, $u per n g, a e: igitur [per 16 p 11] n g æquidi$tat a e. Similiter $uperficies q g e $ecat ea$d\~e $uperficies, $u per duas lineas r e, q g: igitur [ք 16 p 11] r e, q g æquidi$tãt. Igitur q g & m g æquidi$tãt b e, r e. Quare [ք 10 p 11] angulus m g q æqualis angulo b e r: & angulus q g n æqualis angulo r e a: & angulus b e r æqualis angulo r e a. [<003>a angulus m g q æquatus e$t angulo n g q.] Et ita pũctũ a põt reflecti ad pun ctũ b à pũcto e [ք 12 n 4.] Si ergo à pũcto a ducatur {ae}<003>di$tãs q e, & alia {ae}<003> di$tãs r e: & ducatur b e, do nec cõcurrat cũ linea æ<003>di$tãte ip$i q e: & ducãtur line{ae} cõmunes, ut prius, & m e, n e: & iteretur {pro}- batio \~pdicta: patebit, q<001> n põtreflecti ad m à pũcto e. Erit igitur e pũctũ reflexiõis. Q<001> e$t {pro}po$itũ.

56. Vi$u & ui$ibili ultra planum per uerticem $peculi conici conuexi ductum, ba$i<006> paralle lum, po$itis: punctum reflexion{is} inuenire. 37 p 7.

SI uerò ambo fuerint ultra m g n: fiat pyramis huic oppo$ita: & e$t, ut {pro}trahãtur lineæ lõgitudi nis pyramidis iã factæ [ut è 1 d 1 coni. Apol. intelligitur] & à pũcto a ducatur $uperficies, $ecans hãc ultimã pyramid\~e $uք circulũ y z: [ut o$t\~e$um e$t 52 n: erit\’q; hic circulus parallelus utriu$q; coni ba$ib. ք cõuer$ion\~e 4 th 1 coni. Apol.] B aũt erit in z y a p d q b m n g t e f r h hac $uքficie: aut nõ. Si fuerit: fiat operatio à pũcto b. [ut 54 n.] Si nõ: ducatur linea g b, u$q; dũ cõcurrat cũ hac $u perficie: [cõcurret aũt: quia e$t inter plana parallela] & $it cõcur$us in pũcto d. Palàm, q<001> a reflectitur ad d ab ali quo pũcto circuli y z interiore [per 40 n 4.] Inueniatur pũctũ illud: $icut deinceps {pro}babimus & docebimus, nõ ex anterioribus: & $it z: & ducãtur lineæ a z, d z, a d: & li- nea p z diuidat angulũ illũ ք æ\‘qualia: [ք 9 p 1] & à pun- cto g ducatur g z linea lõgitudinis: [ut o$t\~e$um e$t 52 n] & ducatur a b: & producatur linea z g ad aliã pyramid\~e: qu{ae} quid\~e perueniet ad $uperfici\~e eius: & erit linea lõgi- tudinis: [ut patet è 1 d 1 coni. Apollo.] & $it z g e. Palàm, quòd $uperficies p z e $ecabit lineã a b: $ecet in puncto q: & ducatur à pũcto q perp\~edicularis $uper lineã g e: [ք 12 p 1] & cadat in pũctũ e: & erit perp\~edicularis $uper $uper fici\~e, cõtingent\~e pyramid\~e $uper lineã g e: [ք 3 d 11] & $u- perpũctũ e fiat $uperficies, æquidi$tãs ba$i: qu{ae} $it f e h: & ducatur à pũcto d linea æquidi$tãs z e: qu{ae} $it d h, cõcur- r\~es cũ $uperficie illa in pũcto h: [cõcurret aũt: quia cõcur rit cũ plano ip$i parallelo] & eid\~e lineæ $it æ quidi$tãs a f. Palàm, quoniam d h e$t æquidi$tãs z e: quòd $unt in ead\~e $uperficie: [ք 35 d 1] qu{ae} $uperficies $ecat $uperficies æ- quidi$tantes, $uper duas lineas d z, h e: igitur [ք 16 p 11] h e, d z $unt {ae}quidi$tátes. Similiter a z, fe $unt {ae}quidi$tãtes. Similiter, quoniã p z trã$it per cêtrũ circuli y z: [ducta e- nim recta linea circulũ in pũcto z tãg\~ete ք 17 p 3: quoniã angulus a z d bifariã $ectus e$t à linea p z: & anguli incid\~etiæ & reflexiõis æquãtur ք 10 n 4: anguli igitur deinceps line{ae} p z & tãg\~etis {ae}quãtur ք 2 ax. & ita ք 10 d 1 uterq; rectus e$t. Quare ք 19 p 3 p z e$t diameter circuli y z] $imiliter r e t ք c\~etrũ al terius circuli, $uper qu\~e $uperficies a e h $ecat pyramid\~e. Igitur $uperficies p z e r $ecat duas $uperfi- cies æquidi$tãtes, $uper duas lineas p z, r e: igitur [ք 16 p 11] p z æquidi$tat r e. Quare [ք 10 p 11] an- gulus a z p æ qualis angulo f e r: & angulus d z p angulo h e r: & ita erit angulus f e r æqualis angulo r e h. [<003>a a z p æquatus e$t d z p.] Quare f reflectetur ad h à pũcto e. Igitur $i à pũcto f {pro}traxerimus {ae}quidi$tãt\~e q e, & aliã æquidi$tãt\~e r e: & lineas cõmunes, $icut $uprà: & iterauerimus modũ {pro}bandi prædictũ: patebit, quòd punctum a reflectetur ad b à puncto e. Quod e$t propo$itum.

57. Vi$u in plano per uerticem $peculi conici conuexi ducto, ba$i<006> parallelo, ui$ibili citraid\~e po$it{is}: punctum reflexion{is} inuenire. 38 p 7.

SI uerò centrũ ui$us fuerit in $uperficie æquidi$tante, quæ e$t $upra uertic\~e, $cilicet g: & punctũ ui$um citra hãc $uperfici\~e: erit inuenire punctũ reflexionis hoc modo. Sit enim c\~etrũ ui$us m: pũctũ ui$um a: & $it m n g $uperficies æquidi$tãs ba$i pyramidis: & à pũcto a ducatur $uperfici- es æquidi$tãs ba$i pyramidis: [ut mõ$tratũ e$t 52 n] quæ $ecabit pyramid\~e $uper circulũ [per 4 th. 1 coni. Apol.] <003> $it d e k: cuius c\~etrũ t: & à pũcto m ducatur perp\~edicularis $uper hãc $uperfici\~e: [ք 12 p 1] qu{ae} $it m h: & ducatur axis g t: & linea h t: & ducatur ab m ad a linea recta m a: & à puncto a du catur ad lineã h t, intra circulũ, linea a e q, & e q $it æqualis q t $ecũdũ $upradicta: [37 n] & ducatur linea t e i: & à pũcto h ducatur æquidi$tãs te, & æqualis: [ք 31. 3 p 1] \~q $it h b: & ducãtur lineæ m b, b e, g e. Palã, q<001> $uperficies g t e $ecabit lineã a m: $it punctũ $ectionis f: & ducatur à pũcto fperp\~edi cularis $uper lineã e g: [ք 12 p 1] & {pro}ducatur ad axem: [cũ quo cõcurret, ut o$t\~e$um e$t 54 n] cad\~es in pũctũ o: qu{ae} $it f o p: & ducãtur lineæ m o, a o. Dico, q<001> o e$t punctũ reflexionis. Palã, quoniã h b æquidi$tãs & æqualis t e: [per fabrication\~e] igitur h t æquidi$tãs & æqualis e b. [per 33 p 1.] Sed m h OPTICAE LIBER V. æqualis & æquidi$tãs g t: cũ utraq; $it perp\~edicularis: [duob. planis ք m n g & ք a ductis. Nã utraq; քp\~edicularis e$t plano ք a ducto: m h quid\~e ք fabrication\~e: g t uerò m n g p o f i b a h e q d t k ք 18 d 11: <003>a e$t axis. Itaq; ք cõuer$am 14 p 11. utraq; perp\~edicularis e$t plano m n g parallelo ք fabrication\~e plano ք a ducto: quare ք 28. 33 p 1 m h, g t $unt parallelæ & æquales] igitur h t e$t æquidi$tans & æ- qualis m g: [ք 33 p 1] igitur m g æ quidi$tãs & æqualis b e [per 30 p 1. 1 ax.] Quare m b æ quidi$tãs & æqualis g e [ք 33 p 1.] Palã etiã, q<001> an- gulus q t e æqualis e$t angulo q e t: [ք 5 p 1: <003> a e q, q t æ quat{ae} $unt] & ita [ք 15 p 1] æqualis angulo a e i: $ed q t e e$t æqualis angulo i e b. [ք 29 p 1: <003> a e b, h t $unt parallelæ.] Igitur [ք 1 ax.] i e b æqualis e$t i e a: Quare a reflectitur ad b à pũcto e [ք 12 n 4.] Et cũ linea b m æquidi- $tãs $it lineæ g e: $i à pũcto a ducatur æquidi$tãs f o p, & æquidi$tans it: & iteretur figura $upradicta, & {pro}batio: [54 n] palàm, quòd a re- flectetur ad m à puncto o. Etita e$t propo$itum.

58. Vi$u in plano per uertic\~e $peculi conici conuexiducto, ha$i<006> parallelo, ui$ibili ultra id\~e po$it{is}: pũctũ reflexiõ{is} inuenire. 39 p 7.

SI uerò m $it in $uperficie, & a ultra $uperficiem: fiet pyramis alia huic oppo$ita: & fiat $uք a $uքficies æquidi$tãs ba$i huius pyra- midis: & inueniatur in circulo buius $uքficiei pũctũ reflexiõis ex punctis interiorib. & ducatur à pũcto illo linea ad g: & {pro}ducatur: & inuenιetur pũctũ $ecũdũ $uքiora: [56 n] & id\~e e$t {pro}bãdi modus.

y z m q p a n g t e f r h 59. Vi$u citra planum per uerticem $peculi conici cõuexi ductum, ba$i<006> parallelum: ui$ibili ultra idem po$it{is}, uel contrà: punctum reflexion{is} inuenire. 40 p 7.

SIaũt pũcta, $cilicet c\~etrũ ui$us & pũctũ ui$um ita di$ponãtur, ut unũ $it citra $uքfici\~e uerticis, aliud ultra: $it unũ b: aliud a: $uքfi cies uerticis m g n: & ducatur à pũcto a $uperficies {ae}<003>di$tãs ba- $i: [ut mõ$tratũ e$t 52 n] $ecabit pyramid\~e $uք circulũ: [ք 4 th. 1 coni. Apol.] <003> $it d e: centrũ eius $it t: & ducatur axis g t: & ducatur linea b g: cõcurret quid\~e cũ $uperficie a e d: [<003>a cõcurrit cũ plano ip$i paral- lelo] $it cõcur$us k, & in circulo d e inueniatur punctũ, q<001> $it e: ita, ut cõting\~es ducta à pũcto illo, qu{ae} $it s e, diuidat ք æqualia angulũ, qu\~e cõtin\~et lineæ k e, a e: [ք 36 n] & ducatur linea lõgitudinis g e: & à pũ- cto b ducatur linea æquidi$tãs g e: qu{ae} nece$$ariò cõcurret cũ linea k e: [ք l\~ema Procli ad 29 p 1] $it cõcur$us h. Palàm [ք 1 p 11] q<001> h e$t in $uperficie g e k: & b h in ead\~e $uperficie [ք 35 d 1] <003>a æ <003> di$tãs e$t g e: & ducatur linea t e i. Palã, q<001> $uperficies g t e $ecat lineã b a: $ecetin pũcto u:à quo ducatur քp\~edicularis $uք $uperfici\~e cõting\~et\~e: [$pecu lũ in latere conico ge] \~q $it u o p: & ducãtur line{ae} a o, b o. a s t d k i e h o p u m g n b Palã [è fabricatione] q<001> angulus a e s {ae}qualis e$t angu- lo s e k: & cũ [per 18 p 3] angulus i e s $it rectus, & s e t re- ctus: [ideo\’q; ք 10 ax. æquales: & per 3 ax. reliquus a e t æ- quatur reliquo k e i] erit i e a æqualis angulo t e k: [per 2 ax.] & ita angulus a e i æqualis angulo i e h. [Nã angulus t e k æqualis angulo a e i, æquatur angulo i e h per 15 p 1: ideo\’q; ք 1 ax. angulus a e i æquatur angulo i e h] Quare a reflectetur ad h à pũcto e. Si ergo à pũcto a ducatur {ae}qui di$tãs u o, & æquidi$tãs i t: & iteretur {pro}batio: [54 n] pa- tebit, q<001> reflectetur a à pũcto o ad b. Et ita patet {pro}po$i- tũ. Palã ergo, qũo $it inuenire pũctũ ref$exionis. Et h{ae}c, qu{ae}dicta $unt, de unico ui$u intellig\~eda $unt: in duplici aũt ui$uid\~e accidit: quoniã ead\~eforma, & id\~elocus for- mæ cõprehenditur ab utroq; ui$u. Et ($icut dictũ e$t [41 n] in $peculo $phærico exteriore) form{ae} à duob. oculis cõpreh\~e${ae}, in his $peculis propter cõtiguitat\~e uld\~etur u- na: & aliquãdo $imul $unt in loco: & aliquãdo cõmi$cen- tur earum loca in parte: aliquando $eparãtur, $ed modi- cùm. Forma autem, quæ per perpendicular\~e in his $pe- culis de$cendit, $ecundum eandem regreditur, $icut $u- prà patuit: [11 n 4] & forma illa ab uno oculo $uper per- pendicularem, percipitur ab alio oculo $ecundum line- am reflexionis, $ed loca formarum continua $unt. Vnde eadem apparet ui$ui forma.

ALHAZEN 60. In $peculo $phærico cauo, imago uidetur aliâs in reflexion{is} puncto: aliâs in ui$u: aliâs ul- tra: aliâs citra $peculum: aliâs inter ui$um & $peculum. 11 p 8.

IN $peculis $phæricis concauis aliquãdo perpendicularis à pũcto ui$o ducta $ecat lineã reflexio- nis: aliquãdo e$t æquidi$tãs ei. Quãdo $ecat: erit locus formæ aliquãdo in $peculo: aliquãdo ul- tra $peculũ: aliquãdo citra. Et cũ fuerit locus formæ citra $peculũ: aliquando erit inter ui$um & $peculũ: aliquãdo in c\~etro ui$us: aliquãdo citra c\~etrũ ui$us. Et nos h æc demõ$trabimus. Sit a c\~etrũ ui$us: d c\~etrũ $peculi: & fiat $uperficies $uper hæc puncta: quæ $ecabit $peculũ $uք circulũ [per 1 th. 1 $phær. Theodo.] <003> circulus $it h b f g: erit qúid\~e $uքficies h{ae}c, $uքficies reflexionis: quoniã e$t ortho gonalis $uք quãlibet $uperfici\~e, cõtingent\~e circulũ: [ք 13 n 4] & ducatur linea a d: & à pũcto a duca tur linea ad circulũ maior <004> a d: qu{ae} $it a e: & à pũcto d ducatur ad circulũ æquidi$tãs a e: \~q $it d h: & {pro}ducatur a d u$q; in pũcta b, i: [qñ nimirũ ui$us fuerit intra circulũ h b f g: q<001> $i fuerit in peripheria uel extra: linea a d ab una tãtùm parte in peripheriã cõtinuabitur: erit\’q; ead\~e demõ$trãdi ratio: <003>a a e $emք maior e$$e debet a d] & ducatur linea d e. Palã, q<001> angulus a e d e$t minor recto: [cõnexis enim rectis e i, e b: erit angulus i e b rectus ք 31 p 3, ideo\’q; a e d acutus] quoniã e d $emidiameter: & qu{ae}libet linea in circulo cũ diametro facit angulũ acutũ [ut patet ք 31 p 3. 32 p 1 uel 9 ax.] Et $uք pun ctũ e fiat angulus æqualis angulo a e d [ք 23 p 1] <003> $it d e t. Palã, q<001> e t cadet intra circulũ: [$i. n. cade ret extra: uel tãgeret peripheriã, efficeret\’q; cũ $emidiametro de angulũ rectũ ք 18 p 3: uel $ecaret, & efficeret obtu$um: quorũ uterq; cũ acuto a e d maior $it ք 11 12 d 1: mãdato $atis factũ nõ e$$et] & $e- cabit lineã d h: [ք l\~ema Procli ad 29 p 1: <003>a $ecat a e ip$i parallelã] $it pũctũ $ectiõis t. Palã etiã, q<001> an gulus a d e maior e$t angulo d e t: [<003>a cũ a e maior $it a d, maior erit ք l g e n h m t q u i a @ s z b k y f p o 18 p 1 angulus a d e angulo a e d, cui {ae}quatus e$t angulus d e t] & ita et $ecabit a b: [<003>a. n. anguli a d e, e d b æquãtur duob. rectis per 13 p 1: & angulus a d e maior e$t angulo d et: anguli igitur e d b, d e t minores $unt duob. rectis: quare e t, d b cõcurr\~et ք 11 ax.] $ecet in pũcto z. De- inde à pũcto a ducatur ad arcũ e h linea: \~q $it a n: & ducatur linea d n: & $uper pũctũ n fiat angulus æqualis angulo d n a, ք lineã m n: \~q ne- ce$$ariò cadet intra circulũ: [ob cau$$am {pro}ximè expo$itã] & $ecabit d h: [Nã cũ angulus a n d à $emidiametro d n & recta linea a n cõpre hen$us, $it acutus, ut patuit: erit angulus d n m ip$i æquatus, acutus: $ed & n d m e$t acutus, <003>a pars e$t acuti e d t: anguli igitur d n m, n d m $unt minores duob. rectis. Quare n m, d h cõcurrent ք 11 ax.] $ecet in pũcto m. Palã etiã, q<001> a n cõcurret cũ d h extra circulũ: [per l\~ema Procli ad 29 p 1] $it cõcur$us in l. Ducatur etiã à pũcto a linea ad arcũ e i f: \~q $it a g: & ducatur d g: & fiat angulus d g q æqualis angulo a g d. Palã, q<001> q g $ecabit d h: [ut patuit] $it pũctũ $ectionis q. Palã etiã, q<001> a g cõcurret cũ d h ex parte f: [Nã q<001> cõcurrat, cõ$tatè l\~emate Pro- cli ad 29 p 1: q<001> uerò uer$us f, è paulò antè demõ$tratis ք$picuũ e$t] $it cõcur$us o. Q<001> aũt g q cadat inter d & h, palã: cũ arcus, qu\~e $ecat g o ex circulo, $it maior arcu g h: $i. n. ducatur linea g h: angulus h g d maior\~e re$piciet arcũ angulo a g d. [ideo\’q; ք 33 p 6 angulus h g d e- rit maior angulo a g d: at angulo a g d, æquatus e$t angulus q g d: an- gulus igitur h g d maior e$t angulo q g d: itaq; linea q g $ecans angu- lũ q g d, $ecabit ba$im h d angulo q g d $ubt\~e$am.] Iterũ à pũcto a du catur ad arcũ fb, linea a k, $ecãs d h in pũcto s: [q<001>. n. $ecet, patet è l\~e mate Procli ad 29 p 1] ut $it k s maior s d: [$ecta n\~epe d f bifariã ք 10 ք 1, & ab a ducta linea a k ք $ectionis pũctũ, uel ք quodcũq; aliud uer- $us d: utroq;. n. modo erit s k maior fs ք 7 p 3: & ob id maior s d] & ducatur k d. Palã, q<001> angulus d k a e$t acutus. [ut in principio huius numeri o$t\~e$um e$t] Fiat [ք 23 p 1] ei æqualis: <003> $it d k u. Palã, q<001>, cũ angulus k d s $it maior angulo d k s: [ք 18 p 1: <003> a s k maior e$t s d ք fabrication\~e]k u cõcurret cũ d h: [Nã cũ anguli h d k, k d s æqu\~etur duob rectis ք 13 p 1: & k d s $it maior d k s è cõclu$ione: erit k d s etiã maior d k u æquali d k s: anguli igitur h d k, d k u $ũt minores duob. rectis. Quare h d, ku cõcur r\~et ք 11 ax.] $it cõcur$us in pũcto u. Palã $ecũdũ $upra dicta [& 12 n 4] q<001> pũctũ t mouetur ad e, & re flectitur ad a: & քp\~edicularis à pũcto t ducta, e$t t d: \~q քp\~edicularis e$t $uք $uքfici\~e, cõting\~et\~e $pecu lũ: [ք 25 n 4] & e$t æquidi$tãs lineæ reflexiõis, \~q e$t a e: [ք fabrication\~e] unde nõ cõcurret cũ e a: [ք 35 d 1. Imago igitur pũcti tuidebitur in reflexiõis pũcto e] Pũctũ aũt z mouetur ad e, & reflectitur ad a: & քp\~edicularis ducta à pũcto z, e$t a z: \~q cõcurrit cũ a e in pũcto a. Vnde locus form{ae} pũcti z erit a. [ք 3 n.] Pũctũ uerò m mouetur ad n, & reflectitur ad a: & քp\~edicularis ducta à pũcto m, qu{ae} e$t m d. cocurrit cũ a n in pũcto l, q<001> e$t ultra $peculũ: & locus form{ae} pũcti m erit l. Forma uerò pũcti q m o uetur ad g, & reflectitur ad a: & locus eius erit o: qui e$t ultra ui$um. Et forma puncti u mouetur ad k, & reflectitur ad a: & perpendicularis ab eo, e$t k d: & locus imaginis s. [inter ui$um & $peculũ.] Palàm ergo ex prædictis, quòd imaginum quædam inter ui$um & $peculum: quædam in ip$o ui$us quædam citra ui$um: quædam ultra ui$um apparent. Quod e$t propo$itum.

61. In $peculo $phærico cauo imago prouario eius $itu at<005> loco uariè uidetur. 12 p 8.

AMplius: palàm, quoniã ui$us քfectius acquirit formas $ibi oppo$itas. [per 21. 38 n 1. 17 n 3.] Vn de cũlocus imaginis fuerit ultra $peculũ [ut in puncto l] autinter ui$um & $peculum: [ut in OPTICAE LIBER V. punctos] cõpreh\~editur ueritas illius imaginis. Cũ aũt քp\~edicularis à pũcto ui$o ducta, fuerit {ae}qui di$tãs lineæ reflexiõis: apparebit imago in pũcto reflexiõis. [utin e.] Quoniã cũ pũctũ illud $it $en $uale [ut patet è 16 n 4] $umpto pũcto eius intellectuali medio: imago cuiu$cũq; partis illius puncti $en$ualis, ultra mediũ $umptæ, erit ultra $peculũ: & imago partis citra mediũ erit inter ui$um & $pe culũ. Et cũ totalis forma ex ulteriorib. & citeriorib. partibus uideatur una & continua: nece$$ariò forma illius puncti $en$ualis uidebitur in ip$o $peculo, in loco reflexionis. Verũ in imaginib. quarũ locus fuerit in c\~etro ui$us, non cõpreh\~editur ueritas earũ: unde $æpius error accidit in his $peculis. Vt aũt hoc pateat: erigatur $uք $uքfici\~e $peculi lignũ perp\~ediculariter, minus medietate $emidiame tri $peculi: & circa caput huius ligni, $it c\~etrũ ui$us: & dirigatur ui$us ad pũctũ $peculi, cuius lõgitu, do à ligno $it maior, <004> lõgitudo c\~etri ui$us à diametro, ք lignũ trã$eunte: uidebitur <003> d\~e imago illius ligni ultra ui$um, nec erit certa cõpreh\~e$io eius: imò apparebit arcuata: cũ nõ $it. In his ergo $pecu- lis nõ cõpreh\~editur ueritas imaginis, ni$i cuius locus fuerit ultra $peculũ: aut inter ui$um & $pecu- lũ. Cũ aũt c\~etrũ ui$us fuerit in քp\~ediculari ք lignũ trã$eũte: nõ plenè cõpreh\~edit formã illius ligni.

62. Vι$us in centro $peculi $phærici caui po$itus: $eip$um tantùm uidet. 4 p 8. Idem 44 n 4. b c a e d

SIuerò ui$us fuerit ín diametro $ph{ae}r{ae}, & in c\~e tro eius (cũ qu{ae}libet linea ab eo ad $peculum ducta $it perp\~edicularis $uper $peculũ) [quia perp\~edicularis e$t plano $peculum tang\~eti ք 4 th 1. $ph{ae}r. uel 25 n 4: ea\’q; de cau$$a in $e ip$am reflecti- tur per 11 n 4] nõ cõpreh\~edetur forma alicuius pũ cti, ni$i puncti portionis oculi, interiacentis latera pyramidis ui$ualis, qu{ae} à c\~etro $peculi intelligitur {pro}t\~edi. Quoniã forma cuiuslibet alterius pũcti ca det in $peculũ $uք lineã declinatã, & nece$$ariò re- flectetur $uք declinatã. Quare linea reflexionis nõ trã$ibit per centrũ: & ita nõ cõtinget centrũ ui$us.

63. Semidiameter $peculi $phærici caui, in qua e$t ui${us} extra c\~etrũ: nullum $ui punctũ obliquè $peculo incid\~es ad ui$um reflectit: reliqua uerò $emidiameter prædictæ cõtinua, reflectit. 5 p 8.

SIuerò fuerit ui$us in diametro: non comprehendet formam alterius puncti $emidiametri, in qua e$t. Quoniã angulus, quem efficient duæ lineæ à puncto $umpto in $emidiametro, & à cen- tro ui$us ιn id\~e $peculi punctũ, non diuidetur per perpendicularem ab illo puncto $peculi du- ctam: cum illa perpendicularis tendat ad centrum $peculi: [per 4 th. 1 $phær.] Sed formam alicuius puncti alterius $emidiametri percipere poterit.

64. In $peculo $phærico cauo perpendiculari incidentiæ, & linea reflexionis concurrentib{us}: e$t: ut perpendicularis incidentiæ ad rectam inter centrum $peculi & locum imagin{is}: $ic re- cta inter ui$ibile & finem contingentiæ, adrectam inter finem contingentiæ & locum ima- gin{is}. 13 p 8.

AMplius: ui$o pũcto in huiu$modi $peculo, l b z c g q a b e cũ non fuerit perpendicularis {ae}quidi$tans line{ae} reflexionis: linea à centro $peculi ad punctũ uifum ducta, $e habebit ad lineã ab eodem centro ad locũ imaginis ductam, $icut linea à pun ctò ui$o ad punctum, (quod diximus) contingen- ti{ae} [17 n] $e habet ad lineam à puncto contingen tiæ, ad locum imaginis ductam. Verbigratia: $it e centrum $peculi: b punctum ui$um: a centrum ui- $us: g punctum reflexionis: linea contingentiæ z g. z g aut\~e aut concurret cum e b: aut erit æquidi- $tãs ei. Cõcurrat in puncto t. Linea uerô e b cõcur rit cũ a g [ex the$i,] $ed non in puncto g: cũ b e, a g $int du{ae} line{ae}. Igitur aut cõcurrit ultra g: aut inter g & a: aut in a: aut ultra a. Sit ultra g, & in pũcto h. Dico ergo, quòd e$t proportio e b ad e h, $icut b t ad t h. Produeatur perp\~edicularis e g: & à puncto h ducatur {ae}quidi$tans lineæ b g: [per 31 p 1] qu{ae} cõ curret cũ e g: [per l\~ema Procli ad 29 p 1] $it cõcur- $us l: & à puncto b ducatur {ae}quidi$tãs g h: [qu{ae} ne ce$$ariò cõcurret cũ z t: [per dictũ l\~ema] $it cõcur- $us q. Palã [per 12 n 4] quòd angulus b g e e$t {ae}qua lis a g e: $ed angulus b g e e$t æqualis angulo g l h: [exterior interiori & oppo$ito ք 29 p 1] & [ք 15 p 1] angulus a g e {ae}qualis angulo l g h: ergo angulus g l h {ae}qualis e$t angulo l g h. Igitur [ք 6 p 1] lh {ae}qua ALHAZEN lis e$t g h. Similiter angulus b g q {ae}qualis e$t angulo a g z. [Nã cũ angulus e g q æquetur angulo e g z: <003>a ք 18 p 3 uterq; rectus e$t, & e g b ip$i e g a, ut patuit: reliquus igitur b g q {ae}quatur reliquo a g z ք 3 ax.] & angulus a g z {ae}qualis e$t angulo g q b [exterior interiori oppo$ito ք 29 p 1: ideo\’q; b g q {ae}quatur g q b: & ita [ք 6 p 1] b q {ae}qualis e$t b g. Quare [ք 7 p 5] {pro}portio b g ad h l, $icut b q ad h g. Sed quoniã angulus g h t e$t {ae}qualis angulo t b q: [per 29 p 1] erit triangulũ t b q $imile triãgulo g h t. [Nã anguli ad t æquãtur ք 15 p 1, & ք 32 p 1 tertius tertio. Quare ք 4 p. 1 d 6 triãgula t b q. g h t $unt $imilia.] Igitur {pro}portio q b ad h g, $icut b t ad t h: & ita [per 7 p 5] b g ad h l, $icut b t ad t h. Sed cũ triangulũ b g e $it $imile triangulo h e l: [angulus enim ad e cõmunis e$t, & exteriores ad g & b {ae}quãtur interiorib, op po$itis ad l & h per 29 p 1. Quare ք 4 p. 1 d 6 triangula b g e, h e l $unt $imilia] erit {pro}portio b g ad h l, b l a e h q g f z l t b e a q g z $icut e b ad e h: & ita [ք 11 p 5] e b ad e h, $icut b t f g q a c b t ad t h. Q<001> e$t {pro}po$itũ. Ead\~e erit {pro}batio, $i lo cus imaginis fuerit inter a & g: aut in a: aut ul tra. Si uerò linea cõting\~etiæ z g $it æquidi$tãs perp\~ediculari, \~q e$t b e h: ducatur perp\~edicu- laris g e: [à pũcto g $uper z g] qu{ae} cũ $it քpen- dicularis $uper g z: erit perp\~edicularis $uք b h z g q h c b [per 29 p 1] & erit angulus b e g {ae}qualis angu lo h e g: & [per 12 n 4] angulus b g e æqualis e$t angulo e g h: re$tat triãgulũ b g e $imile triã gulo e g h. [{ae}quabitur. n. ք 32 p 1 reliquus angu lus ad b, reliquo ad h: itaq; ք 4 p. 1 d 6 triãgu- la b g e, h g e erunt $imilia.] lgitur proportio b e ad h e, $icut b g ad g h. Q<001> e$t propo$itum. Quare in hoc ca$u non põt $umi aliud punctũ cõting\~eti{ae}, <004>punctũ g, eo modo, quo punctũ contingenti{ae} $uprà [17 n] appellauimus.

65. Vi$u & ui$ibili in diametro $peculi $phærici caui æquabiliter à c\~etro di$tantib{us}: pote$t fie- rireflexio à tota peripheria circuli, qu\~e $emidiameter perp\~edicular{is} ad dictã diametrum, cõ- uer$a de$cribit. 14 p 8.

AMplius: $it circulus a b g d: & h centrum ui- b z a c g h d $us intra $peculum: e centrum $peculi: z pun ctum ui$um: & ducatur diameter b e d. Si fue rit z in $emidiametro b e: poterit e$$e reflexio ab ali quo puncto $emicirculi b a d, & ab aliquo pũcto $e- micirculi ei oppo$iti. Quoniam quocunq; puncto $emidiametri b e $umpto: $i ab eo ducatur linea ad aliquod punctum $emicirculi, & à puncto h ad id\~e punctum ducatur alia linea: illæ du{ae} lineæ efficient angulum, quem diuidet per æqualia $emidiameter ducta à puncto e ad illud punctum [quia enim $e- midiameter illa exthe$i e$t perpendicularis diame- tro, in qua ui$us & ui$ibile {ae}quabiliter à centro $pe- culi di$tantia collocantur: ita que $i à ui$u & ui$ibi- li du{ae} rectæ lineæ cum dicta $emidiametro in peri- pheria cõcurrant: erunt anguli ad cõcur$us punctũ {ae}quales per 4 p 1. Quare per 12 n 4 ip$um e$t reflexionis punctũ.] Similiter in $emicirculo oppo$ito.

OPTICAE LIBER V. 66. Vi${us} & ui$ibile in diuer$is dimetr{is} circuli (qui e$t commu n{is} $ectio $uperficierum refle- xion{is} & $peculi $phærici caui) inter $e reflectuntur, tum à perip heria inter $emidiametros, in quibus $unt: tum ab alia huic oppo$ita: à reliquis uerò duab{us} minimè. 20 p 8.

SI uerò b punctũ ui$um fuerit extra diametrum d a g, ducatur diameter tran$iens per b: quæ fit t q. Dico, quòd b pote$t reflecti ad ui$um a per arcum interiacent\~e diametros, in quibus $unt a & b, & $imiliter per eius oppo$itum, id e$t, per arcum t d, & per arcum g q: & non poterit refle- cti ab aliquo puncto arcus g t uelarcus q d. Verbi gratia: $umatur punctum in arcu g t, propet, quod $it k: & du cantur lineæ a k, k b: donec cadat k b $uper diametrum d g in puncto o. Cum igitur o & a $int ex ead\~e parte centri circuli, quod e$t e: perp\~edicularis ducta à puncto k ad e, nõ diuidet angulũ o k a. Et ita b non reflectetur ad a à puncto k. Simili- t k m b f d a o e g c h q ter $umpto alio pũcto, quod $it f: patebit, quòd per- pendicularis e f non diuidet angulum a fb. Et ita nõ reflectetur b ad a à puncto f. Quòd autem à puncto arcus t d, uel arcus g q po$sit fieri reflexio: palàm per hoc. Sit m punctum arcus t d: & ducantur line{ae} a m, m b: fiet quadrangulum a m b e. Igitur perpendicu- laris e m diuidet angulum a m b. Simili modo $it h punctum arcus g q: Linea a h $ecabit diametrum t q in puncto c: & linea h b eundem in puncto b. Et $unt hæc etiam duo puncta ex diuer$is partibus centri. Quare linea e h diuidet illum angulum. Pari modo, $i fuerit b in $uperficie $peculi: aut extra $peculum, dum a $it intra $peculum: idem erit probãdi modus, qui prius. Similiter $i a fuerit in $uperficie $peculi, b interius, aut exterius. Si uerò a fuerit extra $pecu- lum, b intra: patebit, quod diximus. Ducantur enim lineæ à puncto a contingentes circulum d t g [per 17 p 1] quæ $int a h, a z: & ducantur du{ae} diametri a z m d h f b t b e q q g a e g, t e q: & b in diametro t e q: reflectetur b ad a ab aliquo puncto arcus t d: [ut conftat è iam demon$tra tis.] Sed palàm, quòd non ab aliquo puncto arcus z d. [ductis enim duabus rectis e z, b z: erit angulus e z a rectus per 18 p 3, & e z b acutus, ut o$ten$um e$t 60 n. Quare ob angulorum inæquabilitatem, à puncto z, ad ui$um a nulla fiet reflexio: multò igitur minus à punctis inter z & d intermedijs: quia angulorum ad lineã z a factorũ, unius quid\~e acuti, alterius uerò ob- tu$i per 16 p 1, multò maior futura e$t in{ae}quabilitas.] Igitur ab aliquo pũcto arcus t z: & $imiliter ab aliquo pũcto arcus oppo$iti ip$i t d, $cilicet arcus g q refle- xio fiet. Sed ab arcu t g, uel d q nõ fiet reflexio $ecun- dũ $uprà dictũ modũ. Si uerò b fuerit extra hanc dia metrũ, & $uper aliã, quæ $imiliter $it t e q: fiet reflexio ab arcu t d: & à $ola parte eiust z, & ab arcu oppo$ito, qui e$t g q: $ed ab arcu t g, uel d q non fiet reflexio.

67. Si ui$u & ui$ibili in diuer$is diametr{is} circuli (qui e$t communis $ectio $uperficierum, re- flexion{is} & $peculi $phærici caui) $itis: linea à ui$u parallela dia- l p m t n b d a c g x s u q metro ui$ibil{is}, $ecet dicti circuli peripheriam. Imago reflexa à peripheria inter parallelam & ui$ibilis diametrum, uidebitur extra $peculum: à peripheria inter par allelam & diametrum ui- ${us}, ultra ui$um: à peripheria uerò oppo$ita, inter ui$um & $pe- culum. 21 p 8.

VErũ $i â puncto a ducatur æquidi$tans t e: quæ $it a p: loca ima ginũ reflexarũ à punctis arcus t p, erunt extra $peculũ: loca au t\~e imaginũ arcus p d, ultra centrũ ui$us, quod e$t a: loca au- tem imaginum arcus q g $unt inter centrum ui$us & $peculum. Et quod $uprà [60. 61 n] dictum e$t de locis imaginum: idem intellig\~e- dum, ducta a m æquidi$tante lineæ t q.

68. In quolibet puncto diametri circuli (qui e$t com- mun{is} $ectio $uperficierum, reflexion{is} & $peculi $phæri- ci caui) quantumlibet continuatæ, pote$t imago uideri. 22 p 8.

AMplius: $umpta diametro circuli in $phærico $peculo cõcau: quodlibet punctũ illius diametri, ALHAZEN quantum cunq; productæ, pote$t e$$e locus imaginum. Verbi gratia: $it a g diameter circuli a m g: cu- ius d centrum. Sumatur in hac diametro punctum z: e c\~etrum ui$us. z t a l m e d b p g Dico, quòd z pote$t e$$e locus imaginis. Ducatur linea e t z per t pun ctum circuli: & ducatur linea d t: erit angulus e t d acutus: [ut demõ- $tratum e$t 60 n.] Fiat aũt ei {ae}qualis [ք 23 p 1] <003> $it d t l. Palã [per 12 n 4] quòd l reflectetur ad e à puncto t: & eius imago erit z [ք 6 n.] Simi liter $umpto l puncto: patebit quod e$t locus imaginis. Ducatur. n. li- neale u$q; in b punctũ circuli: & ducatur linea b d: erit [ut prius] an- gulus e b d acutus. Fiat ei {ae}qualis: qui $it d b p: reflectetur quid\~e pun- ctum p ad e à puncto b: [per 12 n 4] & locus imaginis eius erit l: [per 6 n.] Et ita $umpto quocunq; alio puncto: erit eadem probatio.

69. Si ui$u et ui$ibili in ead\~e diametro circuli (<003> e$t cõmun{is} $ectio $uperficierũ, reflexion{is} & $peculi $phærici caui) $it{is}: imago uidea tur in ip$o ui$u: ab uno $emicirculi, uel à quolibet alteri{us} definiti circuli puncto pote$t ad ui$um reflexio fieri. 23 p 8.

AMplius: punctorum, quæ cõpreh\~eduntur in his $peculis: quo- rundã imagines quaturor loca $ortiuntur: quorundã tria: quo- rundã duo: quorundã unum. Punctũ, cuius imago in quatuor ceciderit loca: â quatuor pũctis determinatis reflectitur, nõ ab alijs, uel plurib. Punctum, cuius imago tria $ibi u$urpat loca: à tribus pun- ctis $peculi reflectitur, nõ à plurib. cuius duo: à duobus. Puncti aũt, cuius imago in unicum caditlo- cũ: poterit e$$e: quòd ab uno tãtùm puncto $it reflexio: & poterit e$$e: quòd à quolibet circuli deter- minati puncto, non ab alio. Verbi gratia: $it e c\~etrum ui$us: h $it punctũ ui$um in ead\~e diametro: d $it centrum circuli. Ducatur diameter z e h a: aut e d e$t æqualis d h: aut nõ. Sit æqualis: & $uper e h du catur à puncto d perpendiculariter diameter g d b: & ducãtur line{ae} h g, g e, h b, b e. Palã [per 4 p 1] quòd triangulũ h g d æquale triãgulo e d g, & {ae}qua- g c z e d h a b le triãgulo h b d, & triãgulo e b d. Palàm, quòd, cum angulus h g e diui$us $it per {ae}qualia, h à puncto g re flectetur ad e: [per 12 n 4] & locus imaginis eius e$t e [per 6 n.] Similiter h à puncto b reflectetur ad e: & locus imaginis eius e. Si igitur diametro z e h a immota, moueatur $emicirculus a g z per $phæram $peculi aut $olũ triangulũ h g e: de$cribet quid\~e pun ctum g motu $uo circulũ: & à quolibet puncto circu li reflectetur h ad e: & locus imaginis eius $emper erit punctũ e. Et ita patet propo$itum. Quòd aũt ab alio puncto, <004> aliquo illius circuli, nõ po$sit fieri re- flexio puncti h ad e: palã per hoc. Sumatur punctũ c, & ducatur e c, c h: erit quid\~e [per 7 p 3] e c maior linea e g, & linea h c minor linea h g. Quare non erit proportio e c ad c h, $icut e d ad d h. [Quia. n. ex the $i punctum h reflectitur ad e à puncto g: erit per 12 n 4. 3 p 6 e g ad g h, $icut e d ad d h. Itaq; cum e c, h c $int in{ae}quales ip$is e g, g h: nõ erunt proportionales ip$is e d, d h.] Igitur [per 3 p 6] linea d c nõ diui- det angulum e c h per æqualia. Quare h à puncto c non põtreflecti ad e. [Id\~e breuius cõcludetur ք 4 {pro}. geometri{ae} Iordani. Quia. n. triãguli e c h latera e c, h c $untin{ae}qualia: & recta c d ab ip$orũ angu lo e$t in mediũ ba$is e h ex the$i: erit ք allegatã 4 {pro}po$ition\~e angulus e c d minorangulo h c d. Qua re h à puncto c ad ui$um e nõ reflectetur. Quòd aũt e c, h c latera $int inæqualia, patet: quia per 7 p 3 e c maior e$t e g, id e$t, h g ({ae}quales. n. $unt è cõclu$o) & h g maior h c: erit e c multò maior h c.] Eadem erit probatio, $i $umatur c inter g & z. Si uerò e d fuerit maior d h: mutetur figura: & addatur lineæ d h, linea h q, ut productum ex e q in q h, $it æquale quadrato d q. Erit igitur proportio e q ad d q, $i- cut d q ad h q, $icut probat Euclides [17 p 6.] Fiat circulus ad quãtitat\~e $emidiametri q d: cuius q c\~e trum: g, b loca $ectionis duorũ circulorum: & ducãtur line{ae} e g, e b, q g, q b, d g, d b, h g, h b. Palã ergo, quòd erit proportio e q ad q g, $icut q g ad q h: [{ae}quales enim $unt q g, d q ք 15 d 1: itaq; e q ad d q & q g eãd\~e habet ration\~e ք 7 p 5: & iã patuit, ut e q ad d q, $ic d q ad h q: ergo per 7 p 5, ute q ad g q, $ic g q ad h q] & angulus g q h cõmunis utriq; triãgulo e q g, h q g. Igitur illa duo triãgula $unt $imilia. [ք 6. 4 p. 1 d 6.] Erit igitur proportio e q ad q g, $icute e g ad g h. Erit igitur e d ad d h, $icut e g ad g h. [o$ten $ũ. n. e$t, ut tota e q ad totã d q, $ic ablata d q ad ablatã h q: ergo ք 19 p 5, uttota e q ad totã d q, id e$t q g. $ic reliqua e d ad reliquã d h: $ed ut e q ad q g, $ic e g ad g h: ergo ք 11 p 5 ut e d ad d h, $ice g ad g h.] Quare [ք 3 p 6] linea d g diuidet angulũ e g h ք {ae}qualia. Vnde punctũ h à pũcto g reflectetur ad e: [ք 12 n 4] & locus imaginis eius pũctũ e [ք 6 n.] Similiter h à pũcto b reflectetur ad e: & locus imaginis e$t pũctũ e. Si ergo moueatur triãgulũ e g h, pũctis e, h immotis: pũctũ g de$cribet in $ph{ae}ra circulũ, à cuius quolibet pũcto reflectetur h ad e: & $emք erit locus imaginis e. Et q<001> ab alio pũcto, <004> aliquo illius circuli, nõ po$sit h reflecti ad e: palã, ut prius. Si. n. $umatur c inter g & a: erit e c maior e g, & h c OPTICAE LIBER V. minor h g: [per 7 p 3] non ergo erit {pro}portio e c ad h c, $icut e d ad d h: & ita [ք 3 p 6] d c nó diuidet an gulũ e c h ք {ae}qualia. Similiter, $ic $umatur inter g & z, poterit improbari. Et ita patet {pro}po$itũ. Notã- dum tñ, quòd e e$t punctum intellectuale: & circulus ille (cuius e e$t polus) e$t circulus intellectua- lis: & h punctũ intellectuale. Vn- g c f q a h d e z b de, quod dictũ e$t, $ecundũ geo- metricã demõ$tration\~e e$t intel- ligendum, nõ $ecundum ui$us {pro} bation\~e: cũ intellectualia ui$um lateant. Sed quoniã forma h con tinua uidetur formis aliorũ pun ctorũ: uidebitur quid\~e à ui$u for ma, cuius punctũ medium h: & locus puncti medij illius formæ erit e: & reflectetur h forma à lo- co $peculi circulari, cuiusmediũ erit circulus \~pdictus, & e polus eius. Cum aũt e d fuerit maior d h: in tãtum poterit e$$e maior, ut nõ reflectatur h ad e à puncto g. Sciendum, quòd, ni$i fuerit pro- portio e a ad a h maior, quã e d ad d h: nõ poterit h reflecti ad e. Si enim pote$t reflecti: reflectatur à puncto: quod $it g: erit quidem g d h minor recto, cũ re$piciat $e- ctionem minor\~e quarta. [quadrans enim peripheri{ae} ab angulo recto in c\~etro $ubt\~editur per 33 p 6. Vel angulus g d h minor e$t recto, quia $emidiametro q d & recta g d cõprehenditur, ut demõ$tratũ e$t 60 n.] Ducatur à puncto g cõtingens [per 17 p 3] qu{ae} nece$$ariò cõcurret cũ e a: [per 11 ax: quia anguli interiores ad g & d $unt minores duobus rectis: cum angulus ad g $it rectus per 18 p 3, ad d ue rò acutus] $it cõcur$us f. Erit quid\~e proportio e f ad f h, $icut e d ad d h: [e$t enim per 64 n d h ad d e, $icut h fad e f: & per cõ$ectariũ 4 p 5, ut e f ad f h, $ic e d ad d h] $ed maior e$t proportio e a ad a h, quã e f ad fh. [Quia enim a h minor e$t h f: erit ratio e h ad a h maior, quã ad h f per 8 p 5: & per 18 p 5, e a ad a h maior, quã e f ad h f.] Igitur maior e$t e a ad a h, <004> e d ad d h: & ita nece$$ariò: $i h reflectitur ad e: erit proportio e a ad a h maior, quàm e d ad d h. Patent ergo, quæ dicta $unt: cum centrum ui$us & punctum ui$um fuerint in eadem diametro.

70. Vi$u & ui$ibili extra circulum (qui e$t cõmunis $ectio $uperficierũ, reflexionis & $peculi $phærici caui) $it{is} in diuer$is diametr{is}: ab uno puncto fit reflexio, et una uidetur imago. 24 p 8.

AMplius: cum punctũ ui$um & centrũ ui$us non fuerint in ead\~e diametro, & fuerint extra $pe culum: non reflectetur punctũ ui$um ad centrũ ui$us, ni$i ab uno tantùm $peculi puncto. Ver bi gratia: $it t punctũ ui$um: h centrũ ui$us: d centrũ $ph{ae}ræ: & ducãtur line{ae} h d, d t, h t. Suքfi cies quid\~e h d t $ecat $phærã $uper circulum: [per 1 th. 1 $ph{ae}r.] qui $it e b q g. Palàm, quòd t non refle ctetur ad h, ni$i ab aliquo puncto huius circuli: [quia ip$e e$t reflexionis $uperficies.] Producãtur er go h d, t d u$q; ad circumferentiã circuli. Palã, quòd nõ reflectetur ab h l m t k g e b f d p q o z a arcu q g, uel b a $ecundum modũ pr{ae}dictum [66 n.] Reflectetur ergo aut ab arcu g b: aut a q. Diuidatur [per 9 p 1] angulus t d h per {ae}qua- lia, per lineã l e d z: & à puncto e ducatur contingens: [per 17 p 3] qu{ae} $it k e f. Si puncta t, h fuerint $uper illam contingent\~e: nõ reflectetur t ad h ab aliquo pũcto arcus b g. Cũ enim à puncto t ducetur linea ad aliquod interius punctũ huius arcus: linea à puncto h ad id\~e punctũ ducta, cadet $uper ip$um exterius, interius nõ. Et ideo non erit refle- xio [à caua $peculi $uperficie.] Et quòd ab uno puncto tãtùm arcus a q fiat reflexio: palã erit ex hoc. Ducãtur enim lineæ t z, h z. Cũ angu lus t d h diui$us $it per {ae}qualia: erit t d z {ae}qualis angulo h d z. [per 13 p 1.] Lineæ igitur t d, h d aut $unt æquales: aut nõ $unt æquales. Si $unt æquales, & d z cõmunis: erit [per 4 p 1] triãgulũ t z d æquale triangu lo h z d: & angulus t z h diui$us per {ae}qualia, per lineã d z. Et ita t refle- cterur ad h à puncto z. [per 12 n.] Quòd aũt ab alio puncto nõ po$sit: $ic cõ$tabit. Sumatur punctũ o: & ducãtur lineæ t o, h o: & linea o d m per c\~etrum d diuidat angulum illum per {ae}qualia. Planũ [per 8 p 3] q<001> t z minor e$t t o, & h o minor h z: & proportio t z ad h z, $icut t l ad l h: [per 3 p 6: e$t enim angulus t z h bifariã $ectus à recta linea z l] & erit [per eand\~e] proportio t o ad h o, $icut t m ad m h: $ed minor e$t {pro}por tio h o ad t o, quã h z ad t z. [quia enim è quatuor lineis h o, t o, h z, t z prima minor e$t quã tertia, $e- cunda maior <004> quarta: erit ratio primæ ad $ecundã minor, <004> terti{ae} ad quartã, ut patet ex 8 p 5] Ergo [per 11 p 5] minor e$t proportio h m ad m t, <004> h l ad l t: quod e$t impo$sibile. [Nã cum è quatuor lineis h m, m t, h l, l t prima h m maior $it, <004> tertia h l: $ecũda uerò m t minor, <004> quarta l t: erit ratio h m ad m t ALHAZEN maior, <004> h l ad l t, ut cõ$tat ex 8 p 5.] Palã igitur, quòd $it & h {ae}qualiter di$t\~et à c\~etro, & fuerint $uper contingent\~e: non reflectetur t ad h, ni$i ab uno $peculi puncto tãtùm: & unicus erit eius imaginis lo cus. Si uerò t d, h d $unt inæquales: $ecentur ad æqualitat\~e [per 3 p 1] & fiat demon$tratio, ut antea.

71. Si angulum compreb\~e$um à duab{us} diametr{is}, in centro circuli (qui e$t commun{is} $ectio $uperficierum, reflexionis & $peculi $phærici caui) tertia bifariã $ecet: & ab eius termino in pe- ripheria dicto angulo $ubten$a, $int perpendiculares $uper dictas diametros: puncta diametro- rum, tum in quæ perpendiculares cadunt: tũ citr a hæc, à $peculi centro æquabiliter di$tãtia, à $ecant{is} diametri termin{is} tantùm inter $e mutuò reflect\~etur: duas<006> babebũt imagines. 25 p 8.

AMplius: b d q, a d g $int duæ diametri $phæræ: & diameter e d z diuidat angulũ b d g per {ae}qua- lia: & à puncto e ducãtur duæ perpendiculares, $uper duas diametros b d, d g: [per 12 p 1] qu{ae} $int e t, e h. Palàm [per 26 p 1] quòd triangulũ e t d æquale e$t triangulo e h d, & angulus t e d angulo h e d, latus\’q; t d lateri h d, & latus e t lateri e h: cũ e d $it cõmunis utriq;. tigitur reflectetur ad h à puncto e. [per 12 n 4.] Eod\~e modo à puncto z [Quia enim angulus b d g bifariã $ectus e$t per li- neã e d: erit angulus t d z æqualis angulo h d z per 13 p 1, & t d æquatur ex cõclu$o ip$i h d, latus\’q; d z cõmune: angulus igitur t z d æquatur angulo h z d per 4 p 1. Quare per 12 n 4 t & h reflect\~etur inter $e à puncto z.] Et palã [per 66 n] quòd t non reflectetur ad h, ab aliquo puncto arcus a b, uel arcus g q: nec reflectetur ab alio puncto arcus a q, <004> à puncto z $ecundũ $upradictam probation\~e: [numero præced\~ete.] Verũ quòd ab alio puncto arcus b g, <004> à puncto e, nõ po$sit reflecti: patebit $ic. Detur o punctũ: & ducantur line{ae} o d, h o, t o: fiat\’q; circulus ad quantitat\~e lineæ d e, trã$iens per tria puncta, t, d, h: [tran$ibit aũt per conuer$ion\~e 31 p 3 demon$tratã à Theone in cõm entarijs in 3 librũ magn{ae} cõ $tructionis Ptolem{ae}i, & à Cãpano ad 31 p 13:] cuius quid\~e circuli linea d e erit diameter: cũ angulus e t d, qu\~e re$picit, $it rectus Igitur circulus ille tran$ibit per punctũ e. Cum igitur e $it cõmunis utriq; circulo, & $it $uper eand\~e diametrum: continget circulus minor maiorem in puncto e: $icut probat Euclidis [13 p 3.] Igitur circulus i$te $ecabit lineam d o, [$ecus tangeret maiorem circulũ in puncto o: $ic\’q; in duobus punctis e & o tangeret contra 13 p 3] $ecet in puncto l: & ducantur lineæ t l, h l. Iam patet [è $uperioribus] quod t d e$t {ae}qualis h d [ergo per 28 p 3 peripheria t d æquatur peripheriæ h d.] Igitur angulus t l d æqualis angulo d l h [per 27 p e p o l g h n d m t b q a z 3] quia $uper æquales arcus. Re$tat [per 13 p 1] t l o æ- qualis angulo h l o: & angulus l o t {ae}qualis angulo l o h ex hypothe$i: [quia $unt anguli incidentiæ & refle- xionis] & l o commune latus: erit [per 26 p 1] triangu lum t l o æquale triangulo h l o: & erit t o {ae}qualis h o: quod e$t impo$sibile: quoniam [per 7 p 3] h o maior h e, & t o minor t e: & t e, $icut prius probatum e$t, æ- qualis e$t h e: [linea igitur h o maior e$t linea t o.] Re $tat ergo, ut t nõ reflectatur ad h, ab alio puncto, quã ab e uel à z. Item à puncto e ducatur linea $uper dia- metrum t d: quæ $it e m: & $ecetur à linea h d pars, æ- qualis m d: quæ fit n d: & ducantur e m, e n. Palàm [per 16 p 1] quòd e m d maior e$t recto: [quia angu- lus e t d rectus e$t per fabricationem] $ecetur ex eo æqualis recto per lineam p m [per 23 p 1] quæ cõcur- ret cum d e: [per lemma Procli ad 29 p 1] $it concur- $us punctum p: & ducatur n p: & fiat circulus ad quantitatem p d, tran$iens per tria puncta m, d, n. Cum p m d $it rectus [ex fabricatione] erit p d diameter [per con$ectarium 5 p 4] & tran$ibit circu lus per p, [ut o$ten$um e$t.] Palàm ergo, quòd m reflectetur ad n à puncto e: [cum en: m per 4 p 1 tri angulum d m p $it æquilaterum & æquiangulum triangulo d n p: æquabitur m p ip$i n p, & angulus d p m angulo d p n: ergo per 13 p 1. 3 ax. angulus m p e æquatur angulo n p e, latus\’que p e commune e$t: angulus igitur m e p æquatur angulo n e p per 4 p 1. Quare per 12 n 4 m & n à puncto e inter $e mutuò reflectuntur] & $imiliter à puncto z: & non ab aliquo puncto arcus a b, uel g q: [per 66 n.] Et palàm, quòd non ab alio puncto arcus a q, quã à puncto z: & quòd non ab alio puncto arcus b g, quàm à puncto e $ecundum modum prædictum. Sumpto enim puncto, & ductis lineis à punctis t, d, h: & $umpto puncto, in quo circulus ultimus $ecabit diametrum: & à punctis $ectionis ductis li- neis ad puncta t, h: eadem erit improbatio, quæ prius. Palàm ergo ex prædictis: quòd $i angulum contentum duabus diametris, per æqualia diuidat tertia diameter: & à termino illius diametri du- cantur perpendiculares ad illas diametros: puncta diametrorum, in quæ cadunt, ad $e inuicem re- flectuntur à duobus punctis $peculi tantùm. P unctorum aũt diametrorum citra hos terminos per- pen dicularium $umptorum, id e$t uer$us centrum: reflectitur quodlibet à duobus punctis tantùm: & unũ reflectitur ad illud, quod æqualiter di$tat à c\~etro: & omniũ talium duplex e$t imaginis locus.

72. Si angulũ cõprehen$um à duabus diametris in c\~etro circuli (qui e$t cõmunis $ectio $uper- ficierũ, reflexionis & $peculi $phæricicaui) tertia bifariã $ecet: et ab eius termino in peripheria dicto angulo $ubt\~e$a, $int քp\~ediculares $uք dict{as} diametros: pũcta diametrorũ inter քipheriã et OPTICAE LIBER V. perpendicularium terminos à centro $peculi æquabiliter di$tantia, à quatuor peripheriæ pũctis inter $e mutuo reflectentur, & quatuor habebunt imagines. 26 p 8.

AMplius: $umptis duabus diametris b q, a g: & e z diuidente angulum earum per æqualia: $u- matur in b d punctum t $upra punctum, in quod cadit perpendicularis, ducta à puncto e: & in d g $umatur d h æqualis d t: [per 3 p 1] & ducanturte, h e. Reflectetur quidem t ad h à pun- cto e, & $imiliter à puncto z, non ab alio puncto arcus a q: nec ab aliquo puncto arcus a b uel g q [per 66 n.] Deinde à puncto t ducatur perp\~edicularis $uper t d: [per 11 p 1] quæ quidem concurret cũ d e extra circulum $phær{ae}, cũ angulus b d e $it acutus [ut o$ten$um e$t 36 n: quare d e & perp\~edicularis $uper t d per 11 ax: concurrent: & quidem extra circulum b z g. Quia cum hæc perp\~edicularis, & ea, quæ à puncto e $uper eandem $emidiametrum d b ducitur, $int parallel{ae} per 28 p 1: nunquã cõcurr\~et per 35 d 1. Quare perpendicularis à puncto t continuata, cadet extra circulũ ultra punctũ e. Itaq; cõ- curret cum $emidiametro e d extra circulum b z g.] Cõcurrat ergo in puncto o: & ducãtur line{ae} to, h o. Et fiat circulus tran$iens per tria puncta t, d, h: qui nece$$ariò tran$ibit per punctum o [ut pr{ae}ce- dente numero demon$tratum e$t] & erit d o diameter eius: [per con$ectarium 5 p 4] & ducatur li- nea cõtingens circulũ b z g, in puncto e [per 17 p 3] qu{ae} $it k e. Palàm, quòd ultimus circulus $ecabit primum, $cilicet b z g in duobus punctis: [per 10 p 3] $int illa puncta l, m: & ducantur lineæ t l, h l, l d, t m, d m, h m. Cũ ergo arcus t d $it æqualis arcui h o e k m f l g h d t b q a z d: [per 28 p 3: quia rect{ae} d t, d h $unt {ae}quales per fa- bricationem] erit [per 27 p 3] angulus t l d æqualis angulo d l h. Et ita t reflectetur ad h à puncto l [per 12 n 4.] Similiter angulus t m d æqualis angulo d m h [per 27 p 3.] Et ita t reflectetur ad h à puncto m. Pa làm igitur, quòd t reflectitur à quatuor pũctis a d h: $cilicet e, z, l, m: & quadruplex erit locus imaginis e- ius. Et non pote$t t reflecti ad h ab alio puncto, quã ab aliquo i$torum. Detur enim f punctum: & ducan tur lineæ t f, h f, d f: & producatur d f, quou$que cõ- currat cum contingente k e: [concurret autem per 11 ax: quia angulus k e d rectus e$t per 18 p 3, & f d e acutus, quia pars acuti b d e] & $it concur$us k: & du cantur lineæ t k, h k. Igitur angulus t f d æqualis an- gulo d f h ex hypothe$i: [& 12 n 4] re$tat [per 13 p 1] angulus t f k æqualis angulo k fh. Sed angulus t k f e$t æqualis angulo f k h [per 27 p. 3] quia $uper {ae}qua les arcus: & f k communis: erit [per 26 p 1] triangulum æquale triangulo: & ita t k æqualis k h: quod e$t impo$sibile: quoniam h k maior h o, & t k minor to [per 7 p 3] & t o {ae}qualis h o. [Nam quia recta d t æquatur ip$i d h per fabricationem, & angulus t d o ip$i h d o per the$im, & latus o d commune: ergo per 4 p 1 latus t o æquatur lateri h o: ideo\’q; t k minor e$t h k.] Palàm igitur, quòd non e$t refle- xio ab aliquo puncto, quam à punctis quatuor. Igitur $i in diuer$is diametris $umantur duo puncta, $cilicet t, h, {ae}qualiter à centro di$tantia: $i fuerint $uper punctis diametrorum, in qu{ae} cadunt perpen diculares, duct{ae} à termino diametri diuidentis per æqualia angulum duarum diametrorũ: aut fue- rint inter centrum & puncta illa, id e$t citra perpendiculares, dum æqualiter di$tent à centro: refle- ctetur quidem t ad h à duobus punctis tantùm. Si uerò fuerint t & h à locis perpendicularium u$q; ad circulum: reflectetur quidem t ad h à quatuor punctis. Si uerò fuerint in circulo, uel extra: tam\~e citra contingentem k e: reflectetur quidem t ad h à duobus punctis tantùm. Si uerò $upra conting\~e tem fuerint: reflectetur quidem t ad h ab uno puncto tantùm. Et hæc quidem accidunt, dum t {ae}qua- liter di$tat à centro cum puncto h.

73. Vi$u & ui$ibili in diuer$is diametris circuli (qui e$t communis $ectio $uperficierum refle- xionis & $peculi $phæricicaui) à centro inæquabiliter di$tantibus: ab uno puncto peripheriæ in- ter $emidiametros, extra quas $unt ui$us & ui$ibile, reflexio fieripote$t. 27 p 8. 120 p 1.

AMplius: t, h $i fuerint in diuer$is diametris: & longitudo eorum à centro fuerit in{ae}qualis: re- flexio fiet ab uno puncto. Verbi gratia: ducantur diametri a d g, b d q: & e z diuidat angulum eorum per æqualia: & t propinquius $it centro d, quàm h. Et $umatur linea l y: & [per 10 p 6] diuidatur in puncto m, ut $it proportio y m ad m l, $icut h d ad d t: & diuidatur l y in æqualia in pun- cto n [per 10 p 1] & à puncto n ducatur perpendicularis n k: [per 11 p 1] & $uper punctum l fiat angu lus {ae}qualis medietati a d t per lineã f l: erit quid\~e angulus f l y acutus: [quia æquatus e$t dimidiato angulo a d t acuto, ut o$ten$um e$t 36 n.] Quare [per 11 ax] fl cõcurret cum n k: [quia l n k rectus e$t per fabricationem] concurrant in puncto f: & [per 35 n] à puncto m ducatur linea ad latus fl, cõcur rens cum latere n k in puncto, quod $it k: & $ecet linea illa latus fl in puncto c, ut $it proportio k c ad c l, $icut h d ad d z. Deinde $uper pũctum d fiat angulus æqualis angulo l c m: [per 23 p 1] qui $it i d a: & $it i punctum circuli $upra z, aut infra: & $uper i punctũ fiat angulus {ae}qualis c l m: qui $it o i d: & $u per hanc lineam o i [continuatã] ducatur perpendicularis à puncto h [per 12 p 1] quæ $it h r: & pro- ALHAZEN ducatur r x æqualis line{ae} ri: & ducantur line{ae} h x, h i. Palàm $ecundum prædicta, quòd à puncto m non pote$t linea duci ad latus fl, diuidens ip$um eo modo, quo diuidit lineam m c k, præter hanc $o lam lineam m c k. Si enim po$sit: $it m p o. Palàm, quòd p o minor erit c k: quod quid\~e patebit ducta linea p q æquidi$tante c k: qu{ae} erit minor c k: [cũ enim triangula k c f, q p f $int æquiangula per 29. 32 p 1: erit per 4 p 6 ut k f ad q f, $ic k c ad q p: $ed k f maior e$t q f per 9 ax. ergo k c maior e$t q p] & maior p o: [quia maior e$t q p, quæ per 19 p 1 maior e$t o p, cũ angulus p o q $it obtu$us per 32. 13 p 1] & p l maior c l [per 9 ax:] Igitur non erit proportio p o ad p l, $icut k c ad c l. [Si enim $it ut k c ad cl, $ic o p ad p l: erit per 14 p 5 c l maior l p, contra 9 ax: quia k c maior e$t o p.] Quare non erit propor- tio p o ad p l, $icut h d ad d t [per 11 p 5.] Re$tat ergo ut à puncto m non ducatur alia, quàm m c k, $imi lis ei. Verùm cũ o d i $it {ae}qualis angulo l c m, & angulus o i d {ae}qualis angulo c l m: [per fabrication\~e] erit triãgulum c l m $imile triangulo i o d [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6.] Igitur angulus i o d erit æqualis angu lo l m c: re$tat [per 13 p 1] angulus r o h æqualis angulo k m n: & angulus h r o rectus {ae}qualis erit an- gulo k n m: re$tat [per 32 p 1] angulus n k m æqualis angulo r h o. Ducta autem linea d i, donec con- currat cum h r in puncto s: b u a x r o i c p e d z s h g q l m c k p q o f n y [concurret aũt per 11 ax: <003>a angulus ad r rectus e$t, ad i uerò acutus] erit angulus s d h æqualis angulo k c f [ք 15 p 1. 1 ax:] & erit triangulũ s d h $imile triãgulo c k f [ք 32 p 1. 4 p. 1 d 6.] Igitur pro- portio s d ad d h, $icut f c ad c k: $ed [per 7 p 5] h d ad d i [æqual\~e ip$i d z per 15 d 1] $icut k c ad c l [ք fabricatio n\~e.] Igitur [per 22 p 5] s d ad d i, $icut f c ad c l: igitur [per 18 p 5] s i ad d i, $icut fl ad c l: $ed d i ad i o, $icut c l ad l m: cũ triangulũ d i o $it $imile triangulo c l m. Igitur [per 22 p 5] s i ad i o, $icut fl ad l m [& ք con$ectariũ 4 p 5, ut i o ad s i, $ic l m ad fl.] Sed proportio s i ad i r, $icut fl ad l n: quoniam triangulũ s i r $imile e$t triangulo fl n [an- gulus enim r i s æquatur angulo fl n per fabricationem, & s r i rectus fn l recto: ergo per 32 p 1. 4 p. 1 d 6 triangula s i r, fl n $unt $imilia.] Igitur [per 22 p 5] proportio i o ad i r, $icut l m ad l n. [& percon $ectarium 4 p 5 ut i r ad i o, $ic l n ad l m.] Igitur proportio y m ad l m, $icut x o ad i o. [Quia enim xi dupla e$t ip$ius i r, & y l dupla ip$ius l n: erit igitur per 15 p 5 ut x i ad i o, $ic y l ad l m, & ք 17 p 5 ut x o ad i o, $ic y m ad l m.] Ducta autem à puncto i {ae}quidi$tante linea u i, line{ae} h x, & producta linea d a, donec concurrat cum u i [concurret autem per lemma Procli ad 29 p 1] concurrat in puncto u: erit triangulum o u i triangulo h o x $imile [per 15. 29. 32 p 1. 4 p. 1 d 6.] Igitur erit proportio h o ad o u, $i- cut y m ad m l: [Quia ob triãgulorum o u i, h o x o$ten$am $imilitu din\~e e$t, ut h o ad o u, $ic x o ad i o, & ut x o ad i o, $ic y m ad m l ex cõclu$o: ergo per 11 p 5, ut h o ad o u, $ic y m ad m l] & ita h o ad o u, $icut h d ad d t. [Fuit enim per fabrication\~e h d ad d t, $icut y m ad m l.] Sed quoniã [per 4 p 1] triãgu lũ h r i æquale e$t triangulo h r x: cũ h r $it perpendicularis [per fabrication\~e: & x r æquetur ip$i r i, latus\’q; r h cõmune $it.] Igitur angulus h x r æqualis e$t angulo r i h: & ita r i h æqualis e$t angulo u i o [quia u i o æquatur ip$ι h x o propter $imilitu dinem triangulorum u i o, h o x.] Quare [per 3 p 6] proportio h o ad o u, $icut h i ad i u: & ita [per 11 p 5] h i ad i u, $icut h d ad d t. Verùm angulus u i d ma ior e$t angulo d i h: [quia æqualis conclu$us e$t angulo o i h] $ecetur ab eo æqualis: & $it p i d: & du- catur linea p t: & p $it punctum diametri d a. Palàm, quòd proportio h i ad u i cõ$tat ex proportione h i ad i p, & p i ad u i: [quia ratio extremorum componitur ex omnibus rationibus intermedijs, ut Theon demon$trauit ad 5 d 6.] & [per 3 p 6] proportio h i ad i p, $icut d h ad d p: quoniam d i diuidit angulum p i h per {ae}qualia. Igitur proportio h i ad u i (quæ e$t h d ad d t) con$tat ex proportione h d ad d p, & d p ad d t. Igitur proportio d p ad d t, $icut p i ad u i. Verùm angulus o i h e$t medietas angu li u i h: [ex conclu$o] $ed angulus d i h medietas e$t anguli p i h: re$tat angulus d i o medietas anguli p i u. Sed angulus d i o e$t medietas anguli t d p: quia e$t æqualis angulo fl m [qui {ae}quatus e$t dimi- diato angulo a d t $eu p d t.] Igitur angulus p i u e$t {ae}qualis angulo t d p: & proportio d p ad d t, $icut p i ad u i. Igitur triangulũ u i p $imile triangulo t p d: [per 6. 4 p. 1 d 6] & angulus u p i æqualis t p d: erit igitur [per 14 p 1] t p i linea recta: quia angulus d p t cum angulo t p o ualet duos rectos: & ita an gulus o p i cum angulo o p t ualet duos rectos. [Idem uerò patet per conuer$ionem 15 p 1 à Proclo demon$tratã.] Et ita [per 12 n 4] treflectetur ad h à puncto i. [quia linea t p i e$t linea incidenti{ae}, & anguli t i d, h i d $unt æquales per fabricationem.] Et eadem erit probatio, $iue $it t extra circulum, $iue intra. Et $imiliter $umpto puncto h extra uel intra: dum in{ae}qualiter di$tent à centro.

74. Si angulum comprehen$um à duabus diametris in centro circuli (qui e$t cõmunis $ectio $uperficierum reflexionis & $peculi $phærici caui) tertia bifariam $ecet: puncta in dictis dia- OPTICAE LIBER V. metris à centro inæquabiliter di$tantia, reflectuntur à quolibet puncto peripheriæ inter $emidia metros, extra quas $unt, comprehen$æ: excepto eo, in quo $ecans diameter terminatur. 28 p 8.

AMplius: ductis diametris b q, a g: & diametro e z diuidente angulum b d g per æqualia. Dico, quòd quodcũq; punctũ $umatur in arcu a q, pr{ae}ter punctũ z: [à pũcto enim z reflectũtur tan tùm pũcta diametrorũ à centro æquabiliter di$tania, ut con$tat è $uperioribus numeris] ab illo poterunt reflecti infinita paria punctorũ, inæqualiter à centro di$tantiũ. Verbi gratia: $umatur h punctum: & $umatur in $emidiametro g d punctũ l: & à $emidiametro b d $ecetur m d, æqualis l d: [per 3 p 1] & ducantur line{ae} l m, l h, m h, d h. Punctũ, in quo e z diuidit l m, $it f: erit [per 4 p 1] f l æqua- lis f m: & ducatur h d, quou$q; cadat $uper l m in pun- b a m h e f t d z n p l g q cto n: erit igitur l n minor m n. Verùm cum angulus m d f $it æqualis f d l [ex the$i] & angulo q d z: [per 15 p 1] & angulus m d a æqualis angulo l d q: [per ean dem] & angulus a d h æqualis angulo n d l: erit angu- lus l d h maior angulo m d h: [Quia enim m d n, id e$t per 15 p 1 h d q maior e$t n d l, id e$t a d h, & m d a æ- quatur ip$i l d q: angulus igitur l d h maior e$t angulo m d h] igitur [per 24 p 1] l h erit maior m h: cum m d, d h æqualia $int l d, d h. Erit ergo angulus d h l minor angulo d h m. Si enim e$$et æqualis: e$$et proportio l h ad h m, $icut l n ad n m: [per 3 p 6] q<001> e$t impo$sibi le. [Sic enim maior l h ad minor\~e h m eand\~e haberet ration\~e, quam minor l n ad maior\~e n m.] Si aut\~e fue- rit maior: $ecetur ex e o æqualis: & improbabitur eo- d\~e modo. Igitur e$t minor. Secetur igitur ab angulo m h d {ae}qualis illi [d h l:] qui $it t h d. Igitur t reflectetur ad l à puncto h [per 12 n 4.] Et linea t d e$t minor l d. [quia minor e$t d m, perthe$in æquali ip$i d l.] Similiter $i $umãtur in $emidiametris b d, g d alia pun cta, quàm l, m, æqualiter à puncto d di$tantia: probabitur $imiliter, quòd à puncto h fit reflexio@ pun- ctorum ad inuicem, in æqualiter di$tantium à centro: & ita de infinitis punctis in his diametris $um- ptis $imilis erit probatio: & à quocunq; puncto arcus a q $umpto, præter quàm à puncto z.

75. Si ui$us & ui$ibile in diuer$is diametris circuli (qui e$t cõmunis $ectio $uperficierũ refle- xiõis, et $peculι $phærici caui) à c\~etro inæquabilιter di$tãtia, à pũcto aliquo peripheriæinter $emi diametros, extr a quas $unt, inter $e mutuò reflectãtur: ab uno tatùm puncto reflect\~etur. 29 p 8.

AMplius: $umptis punctis t, l in diametris: quorũ inæqualis $it lõgitudo à centro: reflectantur ipla ad inuic\~e à puncto h: nõ poterit reflecti t ad l ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h. Si enim ab alio: $it illud k: & ducantur, t k, l k, b a t h e p d z n l k g q d k, l t, t h, l h, n d h: & producatur d k; quou$q; con- currat cum l t in puncto p [concurret autem, quia $ecat angulũ t k l à ba$i t l $ubten$um.] Palàm, quòd proportio l h ad h t, $icut l n ad n t. [per 3 p 6: quia e- nim t ex the$i e$t reflexionis punctũ: æquabitur per 12 n 4 angulus l h n angulo t h n.] Et $imiliter cũ an- gulus t p k $it æqualis l k p, exhypothe$i: erit [per 3 p 6] proportio l k ad k t, $icut l p ad p t: Sed [per 7 p 3] l h maior l k, & t h minor t k: igitur maior e$t pro portio l h ad t h, quàm l k ad t k. [ut patet per 8 p 5.] Quare maior erit proportio l n ad n t, quàm l p ad p t: quod planè impo$sibile. [Quia enim l n minor e$t l p per 9 ax: & n t maior p t: erit ratio l n ad n t mi- nor, quàm ratio l p ad p t, ut con$tat ex 8 p 5.] Re- $tat, ut ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h non po$sit t reflecti ad l. Palàm igitur, quæ acci- dunt in arcu a q.

76. Vi$u in diametro circuli (qui e$t communis $ectio $uperficierũ, reflexionis & $peculi $phæ- rici caui) intra peripheriam po$ito: ui$ibile cum ui$u à centro utlibet di$tans: à quolιbet $emicir- culi puncto ad ip$um reflecti pote$t. 30 p 8.

AMplius: $it a centrũ ui$us: b centrum $peculi: & ducatur diameter d a b g: & $umatur $uperfi. cies, in qua $it a b quocunq; modo: quæ $ecabit $phærã $uper circulum: [per 1 th. 1 $phær.] qui $it d l g. Dico, quòd à quolibet puncto $emicirculi d l g reflectuntur puncta ad a, inæqualis longitudinis à centro, cum eo. Verbi gratia: $umatur punctũ e: & ducantur line{ae} e a, e b. Palàm, quòd angulus a e b erit acutus: quia cadet in minorem arcum $emicirculo. [Nam angulus in$i$tens in pe- ripheriam $emicirculi rectus e$t per 31 p 3. Vel etiã angulus a e b acutus e$t per ea, quæ 60 n demon- ALHAZEN $trata $unt.] Fiat ei æqualis [per 23 p 1] & $it p e b: & producatur linea b e quantumlibet. Palàm, quòd quo dlibet punctum illius line{ae} reflectetur ad a à pun l e p d a b g cto e: [per 12 n 4.] Ducta autem à puncto b ad li- neam p e perpendiculari: [per 12 p 1] aut erit perpen- dicularis illa æqualis b a: aut maior: aut minor. Si fue rit æqualis: lineæ omnes duct{ae} à puncto b ad lineam p e, præter illam perpendicularem, erunt maiores li- nea b a: [quia per 19 p 1 maiores $unt perpendiculari, æquali b a] & ita quodlibet punctum lineæ p e, uno excepto [puncto nimirum perpendicularis] in æqua liter di$ta bit à centro, cum puncto a. Si uerò perpen- dicularis fuerit maior: omnia puncta line{ae} illius plus di$tabunt à centro, quàm a punctum. Si aut\~e perpen dicularis fuerit minor: erit po$sibile ducere à puncto b duas lineas ex diuer$is partibus perpendicularis, æquales line{ae} b a: & omnes ali{ae} line{ae} [ductæ à pun- cto b ad lineam e p] aut minores erunt, aut maiores [b a.] Palàm igitur, [per 74 n] quòd à puncto e refle- ctuntur puncta ad a: quorũ longitudo à centro in æ- qualis e$t longitudini a ab eodem. Quod e$t propo$itum.

77. Si à ui$u duæ rectæ lineæ tangant circulum (qui e$t communis $ectio $uperficierum, refle xionis & $peculi $phærici caui) tertia per centrũ $ecet: ui$ibile cũ h d t b q g ui$u à centro $peculi inæquabiliter di$tãs, pote$t reflecti à quolibet pũcto peripheriæ inter tactus punct a ultra centrũ interiectæ: ex- ceptis tactus punctis & $ecantis diametri termino. 31 p 8.

COn$tat ex his: quòd $i $umatur ui$us extra circulũ: & $it h: & ducatur diameter h b d g: & du{ae} cõtingentes h t, h q: [per 17 p 3] à quolibet pũcto arcus t g q, pr{ae}terquã à punctis t, g, q po te$t fieri reflexio ad h punctorum, inæqualiter di$tantium à centro cum puncto h. [nam à peripheria t d q & punctis t, g, q nullam ad ui $um h reflexionem fieri con$tat tum per 70 n: tum quia angulus ta- ctus indiuiduus e$t: tum ex ijs, qu{ae} 45 n 4 demon$trata $unt.] Et ea- dem erit probatio [quæ fuit 70 n.]

78. Si ui$us & ui$ibile intra circulum (qui e$t communis $ectio $uperficierũ, reflexionis & $peculi $phærici caui) à centro inæqua- biliter di$tantia, inter $e reflect antur: angulus exterior à diame tris ui$us & ui$ibilis factus, aliâs maior: aliâs minor e$t angulo incidentiæ & reflexionis $imul utro<005>. 32 p 8.

AMplius: ex his con$tabit, quòd, facta reflexione ad a à puncto e, uel alio puncto inæqualiter di$tante à centro, cũ puncto a: diameter, in qua fuerit punctũ reflexũ, cum diametro a b g fa- cit duos angulos, unũ re$picient\~e angulum reflexionis, alium ei collateralem: qui quid\~e col- lateralis aliquã do erit maior angulo, cõ$tãte ex angu e o f n p d a b g lo incidenti{ae} & reflexionis: aliquando minor. Verbi gratia: ducatur perpendicularis f b $uper e o [per 12 p 1] b a aut erit perpendicularis $uper e a, aut non. Sit perpen dicularis: erũt ergo duo anguli f b a, f e a {ae}qua les duobus rectis [per the$in & 32 p 1.] Ducta aũt li- nea b o: erũt duo anguli o b a, o e a minores duobus rectis. Igitur [per 13 p 1] erit angulus o b g maior angu lo o e a, qui e$t angulus con$tãs ex angulo incidenti{ae} & reflexiõis. Et cũ triangulũ e b f $it æquale triangu lo e b a: [quia enim anguli ad a & frecti $unt per the- $in & fabrication\~e: & per 12 n 4 anguli fe b, a e b æ- quãtur, & cõmune latus e$t e b: erũt triangula e b f, e b a æquilatera & {ae}qualia per 26 p 1] & erit b f æqualis b a: & ita o b maior b a [quia maior e$t f b per 19 p 1, cũ $ubt\~edat angulũ rectũ in triangulo o f b.] Ducta aũt linea b n: erunt duo anguli n b a, n e a maiores duob. rectis: [quia fb a, f e a æquãtur duobus rectis, ut patuit] erit ergo angulus n b g minor angulo n e a: [Nam cũ anguli n b a, n b g æqu\~etur duobus rectis per 13 p 1, & n b a, n e a maiores duobus rectis per conclu$ion\~e: erit angulus n b g minor angulo n e a] & n b maior b a [quia maior b f ք 19 p 1.] Et ita n OPTICAE LIBER V. & o reflectũtur ad a à puncto e, & inæqualiter di$tant à centro cũ puncto a: & diameter o b cũ diame tro a b g ex parte g facit angulũ maior\~e angulo reflexionis & incidentiæ: & diameter n b minor\~e. Et ita patet {pro}po$itũ. Si uerò b a nõ fuerit perp\~edicularis $uք e a: ducatur [per 12 p 1] perp\~edicularis: qu{ae} $it b k: qu{ae} quid\~e $iue cadat $upra a b, aut $ub: ead\~e erit {pro}batio. Et b f $it perpendicularis $uper e o: & ducatur f t æqualis a k: & ducatur b t. Palàm, quòd in triangulo k e b angulus e k b rectus, {ae}qualis e$t angulo e f b, & [per 12 n 4] angulus k e b {ae}qualis angulo reflexiõis f e b: re$tat [per 32 p 1] tertius tertio {ae}qualis: & cũ latus e b $it cõmune utriq; triãgulo: erũt [per 26 p 1] triãgula æqualia: & erit f b æqualis k b: $ed [ք fabrication\~e] a k e$t æqualis ft: erit ergo [per 4 p 1] a b æqualis b t, & angulus a b k æqualis angulo f b t: addito igitur cõmuni angulo f b a: erit k b f æqualis t b a: Sed k b f & fe a ualent duos re- e o f t p d a b g k e o f t p k d a b g ctos: [per 32 p 1: quia in quadrilatero e b anguli ad f & k recti $unt.] Quare t b a, t e a ualent duos re- ctos: & ita t b g æqualis e$t angulo t e a: [quia t b g & t b a æquantur duobus rectis per 13 p 1] qui e$t angulus con$tans ex angulo incidentiæ & reflexionis. Si igitur à puncto b ad lineam e t, ducatur li- nea ultra t: faciet cum b g ex parte g, angulum minor\~e angulo con$tante ex angulo incidentiæ & re- flexionis: & erit linea illa maior a b: quoniã t b [qua illa per 19 p 1 maior e$t] æqualis e$t a b. Et quæli bet linea à puncto b ad e t ducta citra t: faciet angulũ t b g ex parte g, maior\~e angulo cõ$tante ex an- gulo incid\~etiæ & reflexionis: & erit minor a b [quia minor æquali b t per 19 p 1.] Et ita e$t propo$itũ.

79. Si ui$us & ui$ibile in diuer$is diametris circuli (qui e$t communis $ectio $uperficierum, reflexionis & $peculi $phærici caui) à centro inæquabiliter di$tantia, inter $e reflectantur: angu- lus exterior à diametris ui$us & ui$ibilis factus, e$t inæqualis angulo incidentiæ & reflexionis $imul utri<005>. 33 p 8.

AMplius: $it b centrum ui$us: g centrum $phæræ: ducatur diameter z b g d: & $umatur $uperfi- cies, in qua $it diameter $ecans $ph{ae}ram $uper circulũ [per 1 th 1 $phæ.] qui $it e z h. Dico, quòd $i punctum a reflectitur ad b ab aliquo puncto circuli: & inæqualis e$t di$tantia puncti a à cen- t z e b a g h d t z e b a g h d tro, & puncti b ab eodem: diameter a g cum diametro g d, ex parte d faciet angulũ, quem impo$sibi- le e$t e$$e æqual\~e angulo con$tanti ex angulo incidentiæ & reflexionis. Sit enim æqualis: & t $it pun ctum reflexionis: & $it a g inæqualis b g: & ducantur lineæ t a, t g, t b: & fiat circulus tran$i\~es per tria puncta a, g, b: [per 5 p 4] qui nece$$ariò tran$ibit per punctũ t. Si enim cadit extra: ductis lineis à pun ALHAZEN ctis a, b ad id\~e pũctũ illius circuli extrà: fiet [per 21 p 1] angulus minor angulo a t b: & probabitur e$$e æqualis. Quoniã [per 22 p 3] cũ angulo a g b ualebit duos rectos, & anguli a g b & a g d ualent duos rectos: [per 13 p 1] & angulus a t b e$t æqualis angulo a g d ex hypothe$i: ergo angulus a t b cum angu lo a g b ualet duos rectos. Et ita impo$sibile [cõtra 21 p 1.] Similiter $i circulus citra t ceciderit, ead\~e erit improbatio. Re$tat ergo, ut tran$eat per punctum t. Cum igitur [per 12 n 4] angulus a t g $it æqua lis angulo b t g: erit [per 26 p 3] arcus a g æqualis arcui b g: & ita [per 29 p 3] a g erit æqualis b g: & po- $itum e$t e$$e eas inæquales. Et ita e$t propo$itum.

80. Si ui$us & ui$ibile in diuer$is diametris circuli (qui e$t cõmunis $ectio $uperficierũ, refle- xionis & $peculi $phærici caui) à centro inæquabiliter di$tantia inter $e reflectãtur à duobus pun ctis peripheriæ, cõprehen$æ inter $emidiametros, in quibus ip$a $unt: nõ erit uter<005> angulus cõpo $it us ex angulo incid\~etiæ & reflexionis, minor angulo exteriore à dictis diametr{is} facto. 34 p 8.

AMplius: $umptis in duabus diametris e g h, z g d, duobus pũctis a, b, ut b g $it maior a g. Dico, quòd $i punctũ a reflectatur ad b à duobus punctis arcus e z: nõ erit uterq; angulus con$tans ex angulo incidenti{ae} & reflexiõis, minor angulo a g d. Sumãtur enim duo puncta t, q ιn arcu e z, à quib. a reflectatur ad b: & ducãtur line{ae} b t, g t, a t, b q, g q, a q: & $i angulus a t b minor e$t angu lo a g d: dico, quòd angulus a q b nõ erit minor a g d. Sit enim minor: & ducatur linea g n, diuid\~es an gulũ diametrorũ per {ae}qualia: [per 9 p 1] & ducatur linea a b, quã diuidat g n per punctũ f. Palàm [per 3 p 6] quòd proportio b g ad g a, $icut b f ad f a: $ed cũ b g maior $it g a: [ex the$i] erit b f maior f a. Diui datur a b per mediũ in puncto k: [per 10 p 1] & fiat [per 5 p 4] circulus tran$iens per tria puncta a, b, t: qui quid\~e circulus nõ tran$ibit per g: quoniã anguli a g b, b t a e$$ent æquales duobus rectis [per 22 p 3] & palàm, quòd $unt minores: cũ [per the$in] angu z t n q p i b k f e l a n m g h d lus b t a $it minor angulo a g d [qui cũ angulo a g b {ae}- quatur duobus rectis per 13 p 1.] Igitur trã$ibit $upra g. Similiter nõ trã$ibit per q: quoniã $umpto puncto circuli, in quo linea g q $ecat ip$ũ, $cilicet m: e$$et ar- cus a m æqualis arcui b m [per 26 p 3] cũ re$piciãt æ- quales angulos $uper q: [per the$in & 12 n 4: quia q e$t reflexiõis punctũ] quod manet impo$sibile. Quo niam $umpto puncto o, in quo linea g t $ecat hũc cir. culũ: erit arcus a o {ae}qualis arcui o b: [per 26 p 3] quia re$piciũt {ae}quales angulos $uք t [per the$in & 12 n 4: & $ic peripheria b o maior e$$et peripheria b m, pars $uo toto cõtra 9 ax:] Re$tat, ut hic circulus tran$eat $upra q: $i enim infra: ead\~e erit improbatio. Ducatur aũt linea à puncto o ad punctũ k: quæ quid\~e cum di- uidat chordã a b per {ae}qualia: [per fabrication\~e] & $i- militer arcũ a b: [quia peripheria a o æqualis o$ten$a e$t ip$i b o] erit perpendicularis $uper a b. [rectæ e- nim lineæ $ubtendentes peripherias a o, b o, æquales $unt per 29 p 3, & b k æquatur ip$i k a, & cõmu ne latus e$t k o. Quare per 8 p. 10 d 1, o k perpendicularis e$t ip$i a b.] Verùm angulus b a g maior an- gulo a b g: [per 18 p 1] cũ b g $it maior g a: [ex theli] & angulus b f g ualet duos angulos fa g, f g a [per 32 p 1] & angulus a f g ualet duos angulos f b g, f g b: $ed a g f {ae}qualis e$t f g b: [per fabrication\~e] & f a g maior f b g. Igitur angulus b f g maior e$t angulo a f g: igitur b f g maior e$t recto: [per 13 p 1] quare n f b minor e$t recto. [per 13 p 1.] Sed o k $uper f b facit angulũ rectũ: ergo producta cõcurret cũ g n [per 11 ax:] $upra b f, & inferius nun<004>. [$ecus per 3 p 6 b k z t n q b k f a e o g h d fieret maior k a, cui e$t æquata.] Facto autem circulo trã$eunte per tria pũcta a, q, b: trã$ibit $upra g. [Quia $i trã$iret per punctũ g: e$$ent anguli a q b, a g b æqua les duob. rectis per 22 p 3: & anguli a g b, a g d æquan tur duob. rectis per 13 p 1. Quare per 3 ax. a q b æqua- retur a g d: cõtra præcedent\~e numerũ] & g q diuidet arcũ eius a b per æqualia [quia enim q ex the$i e$t re- flexiõis punctũ: æquãtur anguli g q a, g q b per 12 n 4 & per 26 p 3 peripheria a b bifariã $ecabitur à recta g q] $ed k o diuidit chordã a b per æqualia [per fabrica tion\~e.] Ergo k o cõcurret cũ g n infra b f, & $upra pũ- ctũ g. Igitur k o cõcurrens cũ b a, prius cõcurret cum g n infra b f: & iam improbatũ e$t. Re$tat ergo, ut an- gulus a q b nõ $it minor angulo a g d: aut quòd a nõ reflectetur ad b à pũcto q [cõtra the$in.] Similis erit improbatio, $umpto quolibet puncto arcus e n. Sũ- pto aũt puncto in arcu n z: qui $it p: fiat reflexio puncti a ad b à puncto p, ut angulus cõ$tans ex angu lo incid\~eti{ae} & reflexiõis $uprap, $it minor angulo a g d, $icut angulus cõ$tãs ex angulo incid\~eti{ae} & re flexionis $uprat, minor e$t eod\~e. Improbabitur aũt hoc modo, Ducãtur a p, b p, g p: oportet ergo ne- OPTICAE LIBER V. ce$$ariò, ut g p diuidat k o propter arcum a b, qué diuidit ex circulo a b t linea g t per æqualia: [peri- pheria enim b o æquatur peripheriæ c a ex conclu$o:] & $imiliter linea k o. Sit ergo punctum con- cur$us lineæ g p cum k o, punctum l: & ducatur linea t p. Cum igitur duæ lineæ g p, g t $int æquales: [per15 d 1] erũt [per 5 p 1] duo anguli g p t, g t p æquales: & [per 32 p 1] uterq; acutus. Ductaigitur perpendiculari $uper g t à punctot: [per 11 p 1] cõtingetcirculum $peculi [per con$ectarium 16 p 3] & producta, cadet $uper terminum diametri minoris circuli: cum angulus, quem efficit cum g t, re- ipiciat arcum $emicirculi minoris circuli: [per 31 p 3] & cũ to cadat$uprako, & k o producta tran- $eat per c\~etrum minoris circuli: [per con$ectarium 1 p 3, quia recta linea o k bifariam, & ad angulos rectos $ecat rectam a b] nece$$ario illa perpendicularis cadet $uper terminum k o producta: [per 31 p 3] & p t e$t in$erior illa perp\~ediculari, habito re$pectu ad n. Igitur quæcung; linea ducatur à pun- cto g ad lineam t p, $ecans diametrum illius circuli, quæ e$t o k: cadet in punctum aliquod lineæ t p, citra illam perpendicularem. Cum igitur g p cadat in p, & $ecet o k: erit p citra perpendicularem, & in$ra arcum illius perpendicularis. Facto igitur circulo tran$eunte per tria puncta a, b, p: tran$ibit quidem per l, & $ecabit circulum a b t in duobus punctis a, b: & cum exeat à puncto b, & iterum re: deat in punctum p, inferius punctot, cum p $it citra illum circulum: nece$$ariò $ecabit illum in ter- tio puncto: quod e$t impo$sibile [& contra 10 p 3.] Re$tat ergo, ut punctum a non reflectatur ad b à duobus punctis arcus, interiacentis eorum diametros, id e$t arcus e z, ut uterq; angulus con$tans ex angulo incidentiæ & reflexionis $it minor angulo a g d.

81. Duo punctain diuer$is diametris circuli (qui e$t cõmunis $ectio $uperficierum, reflexio- nis, & $peculi $phærici caui) à centro inæquabiliter di$tantia: à duobus punctis peripheriæ com- prehen$æ inter $emidiametros, in quibus ip$a $unt, inter $e mutuò reflecti po$$unt. 35 p 8.

AMplius: dico quòd po$$unt reflecti duo puncta ad $e, inæqualis longitudinis à centro, à duo- bus punctis arcus ip$a re$picientis, id e$t diametros, in quibus $unt puncta illa, interiac\~etis. Verbi gratia: $umptis duabus $emidiametris in circulo $pheræ, $cilicet b d, g d: diuidatur an- gulus earũ p æqualia, per$emidiametrũ e d: [per 9 p 1] & in b d $umatur punctũ m, $upra punctũ, in quod cadet perpendicularis ducta à puncto e $uper b d: & $umatur [per 3 p 1] n d æqualis m d: & [per 5 p 4] fiat circulus tran$iens per tria puncta d, m, n: nece$$ariò circulus ille tran$ibit extra e. Si enim per e: fieret quadrangulũ à quatuor punctis d, n, e, m: & duo anguli illius qua dranguli $ibi op- po$iti $unt æquales duobus rectis: [per 22 p 3] quod quid\~e non e$$et: cum linea e m $it $upra perpen dicularem: & ideo angulus e m d acutus: [per 16 p. 12 d 1] & $imiliter ei oppo$itus $uper n, acutus: quia e n $upra perpendicularem e$t. [Quare in quadrilatero circulo in$cripto oppo$iti anguli e$$ent minores duobus rectis contra 22 p 3.] Similis erit improbatio: $i tran$eat circulus citra e. Tran$ibit ergo extra, & [per 10 p 3] $ecabit circulũ $phæræ in duobus punctis, $icut t, l: & ducantur lineæ m t, d t, n t, m i, d l, n l: & ducatur linea m n $ecans t d in puncto f, lineam e d in puncto p. Palàm, cum m d $it æqualis n d [per fabricationem] & p d cõmunis, & angulus n d p æqualis angulo m d p: [per fa- bricationem] erit [per 4 p 1] triangulum æquale triangulo: & erit angulus f p d rectus: [per 10 d 1] igitur angulus p f d acutus [per 32 p 1] Ducatur [per 11 p 1] à pũcto f perpendicularis $upert d: quæ $it k f. Palàm, quòd aliquod punctũ line{ae} n l, erit infe- k e @ t o z r l g b x n p f m q d s n a rius pũcto k, $umpta inferioritate re$pectu n: $itillud punctũ z: & ducatur t z linea u$q;; ad circulũ, cad\~es in punctũ circuli: quod $it o. Arcus n o aut minor e$t ar- cu tl: aut nõ Sinõ fuerit minor: $umatur ex eo arcus minor; & ad terminũ illius arcus ducatur linea à pun cto t: & erit id\~e, ac $i arcus n o e$$et minor arcutl. Sit igitur n o minortl. Palàm [per 33 p 6] angulus t n l erit maior angulo o t n, quia re$picit maior\~e arcum. Secetur ex eo æqualis: & $it i n z: & $uper punctum t lineæ t m, fiat angulus, æqualis angulo o t n [ք 23 p 1] qui $it q t m. Cum igiturangulus t m l $it maior angu- lo m t q: [ք 33 p 6: quia peripheria t l $ubten$a angulo t m l, maior e$t exthe$i, peripheria n o, $ubt\~e$a angu- lo n t o, cui æquatus e$t angulus m t q] cõcurret linea t q cũ linea l m: cõcurrat in puncto q. Cum igitur an- gulus l m t $it æqualis duob. angulis m q t, m t q [per 32 p 1] & angulus l n t $it {ae}qualis l m t [ք 27 p 3] <003>a $unt $uք eũd\~e arcũ: [l t] & ang@@us in z $it {ae}qualis in t q: [ք $abrication\~e] erit angulus int æqualis angulo m q t: & ita triangulũ m q t $imile triangulo int [e$t enim angulus m t q æquatus angulo o t n: itaq; ք 32 p 1 triãgula m t q, i t n $unt æquiangula: & ք 4 p. 1 d 6 $imilia.] Et $imiliter triangulũ i n z e$t $imile triãgulo t n z: [cõmunis enim e$t angulus n z t: & z n i æquatus e$t ip$i o t n: ergo ք 32 p 1.4 p.1 d 6 triãgula $unt $imilia] & ita {pro}portio n t ad t q, $icut n i ad m q: & $imiliter {pro}portio t n ad t z, $icut in ad n z. Sed t z maior t q: q<001> $ic patet. Sit r pun- ctũ, in quo t z $ecat k f. Angulus t fre$trectus: [nã k f քp\~edicularis ducta e$t $uք t d] quare [ք 32 p 1] angul<_>9 $tracutus. Igitur angul<_>9 qtfei {ae}qualis. [Quia enim ex the$i recta d m æquatur ip$i d n: æqua bitur peripheria d m peripheriæ d n ք 28 p 3: & angulus d t m angulo d t n: & m t q æquatus e$t o t n. ALHAZEN Totusigitur $tr æquatur toti ft q] e$t acutus: & k f perpendicularis $upert d. Quare [per 11 ax.] k f producta concurret cum t q: $it concur$us s: & linea t s ducta à puncto t ad punctum concur$us, cu- ius lineæ pars e$t t q: erit æqualis lineæ t r: [quia anguli ad $$unt recti, & ft r, ft s æquantur, latus\’q; t fcommune: æquabitur r t ip$it s per 26 p 1] & ita t q minortz [quia minor e$t ip$atr, quæ pars e$t ip$ius t z.] Quare [per 8 p 5] maior e$t proportio n t ad t q, quàm n t ad tz. Igitur maior e$t propor- tio in ad m q, quàm in ad n z. Quare [per 10 p 5] m q minor e$t n z. Secetur igitur exn z æqualis ei [per 3 p 1] quæ $it n x. Quoniam [per 22 p 3] angulus l n d cum angulo l m d ualet duos rectos: erit [per 13 p 1. 3 ax] angulus l n d æqualis q m d: & x n, n d, æqualia q m, m d. Igitur [per 4 p 1] q d æqua- lis x d. Sed z d maior x d: quoniam angulus l n d cum angulo l m d ualet duos rectos: [per 22 p 3] $ed angulus l m d acutus: cum angulus e m d $it acutus [per 16 p. 12 d 1.] Igitur angulus l n d maior e$t recto: igitur z d maior x d [quia enim angulus l n d e$t obtu$us: erit per 32 p 1 n x d acutus, & per 13. 32 p 1 z x d obtu$us, x z d acutus: quare per 19 p 1 z d maior e$t x d.] Quare z d maior q d. Igitur q re- flectitur ad z à duobus punctis t, l: & q & z $untin{ae}qualis longitudinis à centro, & in diuer$is dia- metris. Et quòd non $int in eadem diametro, palàm: quoniam angulus x d n æqualis e$t angulo q d m: addito ergo communiangulo x d m, erit angulus n d m æqualis angulo x d q: & minor duobus rectis. Quare magis angulus z d q [pars anguli x d q] minor duobus rectis. Quare q & z non $unt in eadem diametro, $ed in diuer$is.

82. Siduo punctain diuer$is diametris circuli (qui e$t communis $ectio $uperficierum, refle- xionis & $peculi $phærici caui) à centro inæquabiliter di$tantia, à duobus punctis peripheriæ compreben$æ inter $emidiametros, in quibus ip$a $unt, inter $e mutuò reflect antur: à nullo alio eiu$dem peripheriæ puncto reflecti po$$unt. 36 p 8.

AMplius: $umptis duobus punctis, quæ $int o, k, & inæqualiter di$tantibus à c\~etro: reflectetur quid\~e unum ad aliud à duob pũctis arcus, re$pici\~etis $emidiametros, in quib. $unt: $ed nõ ab alio pũcto illius arcus, quàm ab illis duob. Verbi gratia: d $it centrũ: k remotius à d quàm o à d: g d, b d $emidiam etri: t punctũ unũ reflexionis. Palàm ex $uperioribus, quod uterq; angulus con- $tans ex angulo incid\~etiæ & reflexionis, nõ erit min or angulo o d a: [ք 80 n] nec {ae}qualis [per 79 n] alter ergo erit maior. Sit angulus cõ$tans ex angulo incid\~etiæ & reflexionis, qui e$t $uք t, maior an- gulo o d a: & ducãtur lineæ o t, d t, k t: & ex angulo illo $ecetur angulus æqualis angulo o d a: [ք 23 p 1] qui$it o t $: & diuidatur angulus f t k per æqualia per lineã t e [per 9 p 1] & à puncto k ducatur æquidi$tãs t f: [per 31 p 1] quæ quid\~e cõcurret cũ te: [per lemma Procli ad 29 p 1] cõcurrat in pũcto z: & ducatur linea o k: & diuidatur angulus o d k peræqualia, per lineã d u, $ecant\~elineã o k in pun- cto p: & e$t k d maior o d [exthe$i.] Cũ igitur [per 3 p 6] $it {pro}portio k d ad d o, $icut k p ad p o: erit k p maior p o. It\~elinead t $ecet lineã o k in puncton. Dico, quod p cadit inter n & k, nõ inter n & o, quod $ic patebit. Angulus k p dualet duos angulos p d o, p o d: & angulus o p d ualet duos angulos p k d & p d k [per 32 p 1.] Sed angulus p d o æqualis e$t angulo p d k: [per fabricationem] & [per the $im & 18 p 1] angulus k o d maior angulo o k d: igitur angulus k p d maior angulo o p d: igitur [ք 13 p 1] angulus k p d maior recto: & angulus k n d b @ o @ p n g k e f d a q l m acutus: quod $ic cõ$tabit: $i fiat circulus per tria pũcta o, t, k: [per 5 p 4] tran$ibit infra d. Quoniã $i tran$eat per d: cũ angulus o t k $it maior angulo o d a: [ք the- $in] erũtduo anguli o t k, o d k maiores duobus rectis [cõtra 22 p 3.] Si tran$eat $upra d: ead\~e e$t demõ$tra- tio. Et linea n d diuidet arcũ illius circuli, qui e$t o k, ք æqualia infra d. [Quia cum t $it reflexionis punctũ ex the$i: æquabuntur anguli k t d, d t o per 12 n 4, & peri- pheriæ illis $ubten$æ per 26 p 3.] Si aut\~e à pũcto diui- $ionis ducatur linea ad mediũ punctũ lineæ o k: quæ e$t chorda illius arcus: erit linea illa perpendicularis $uper o k: [rect{ae} enim lineæ à puncto medio periphe- riæ k o, ductæ ad puncta k & o, æquantur per 29 p3: & recta, qu{ae} ab eodem puncto connectit medium rectæ k o, æquatur $ibijp$i. Quare per 8 p. 10 d 1 ip$a perpen dicularis e$t ad k o] & cadet inter p & k: cũ p k $it ma- ior p o: [excõclu$o] & angulus $uper n à parte illius perp\~edicularis & ex parte p erit acutus: [per 32 p 1] & angulus $uper p ex parte o e$t acutus [per 13 p 1: o$ten$um enim e$t angulum k p d e$$e ob- tu$um.] Si ergo p cadit inter n & o: impo$sibile erit perp\~edicularem illam cadere inter n & p: quia $ecatet d p, & fieret triangulũ, cuius unus angulus rectus, alius obtu$us [contra 32 p 1.] Cadet ergo intern & k: & erit angulus n ex parte perpendicularis acutus: igitur ex parte o obtu$us [per 13 p 1:] ergo p non cadit inter n & o: quia ita erit triangulum, cuius duo anguli obtu$i [e$t enim angulus k p d obtu$us conclu$us.] Palàm, quòd angulus k t d e$t medietas anguli k t o: [per the$in & 12 n 4: quia t e$t punctũ reflexionis: & d t perpendicularis e$t plano $peculum in puncto t tangenti per 25 n 4] $ed k t e e$tmedietas anguli k t f [per fabricationem.] Re$tat e t d medietas angulift o: $ed fto OPTICAE LIBER V. æqualis e$t angulo o d a [per $abricationem:] igitur e t d medietas anguli o d a: $ed angulus o d a cũ angulo o d f ualet duos rectos [per 13 p 1] & [per 32 p 1] tres anguli trianguli e t d duos rectos: ab- lato e d t cõmuni: re$tat angulus t e d æqualis medietati anguli o d a, & angulo o d n [nam po$t $ub- ductionem communis anguli t d e, relinquũtur anguli d t e, t e d æquales angulis o d t, o d a: $ed d t e æquatur dimidiato angulo o d a, ut patuit: reliquus igitur t e d {ae}quatur dimidiato angulo o d a & an gulo o d n $imul utriq;.] Sed angulus o d p cũ medietate anguli o d a e$t rectus: [<003> a enim anguli o d k, o d a æquãtur duobus rectis per 13 p 1: & angulus o d u e$t dimidius anguli o d k per fabrication\~e: duo igitur dimidiati anguli duorũ rectorũ æquãtur uni recto] igitur angulus t e d e$t acutus: [quia enim angulus o d p cum dimidiato angulo o d a æquatur unirecto ex conclu$o: & maior e$t angulo o d n: quia, ut patuit, n cadit inter p & o: ergo angulus t e d æqualis angulo o d n, & dimidiato o d a, erit minor recto: ideo\’q; acutus] quare ei contrapo$itus e$t acutus [per 15 p 1.] Igitur $i à puncto k ducatur perpendicularis ad t z: [per 12 p 1] cadet inter e & z. Si enim $upra e ceciderit, cum angulus t e k $it obtu$us: [per 13 p 1: acutus enim conclu$us e$t t e d] accidet triangulũ habere duos angulos rectum & obtu$um [contra 32 p 1.] Sit ergo perpendicularis k q. Dico, quo d k t $e habet ad t f, $icut k d ad d o, t o enim aut e$t æquidi$tans k d: aut concurrit cum ea. Sit æquidi$tans: erit ergo [per 29 b t o u p n g k e f d a q z m b u t o p n g k e f d a q z m p 1] angulus o d a æqualis angulo t o d: & ita t o d æqualis angulo o t f [æquatus enim e$t o t f ip$i o d a.] Et o d, t $aut $unt æquidi$tãtes: aut cõcurrunt. Si æquidi$tantes, cũ cadant inter æquidi$tan- tes [k d, t o] erũt [per 34 p 1] æquales. Si uerò cõcurrunt: faci\~et triangulũ, cuius latera æqualia [per 6 p 1] quia re$piciunt æquales angulos: [f t o, & d o t] & f d $ecat illa latera æquidi$tanter ba$i. Erit ergo [per 2 p 6.18 p 5] proportio unius laterum ad d o, $icut alterius ad f t: & ita t f æqualis d o [per 9 p 5.] Ethoc dico, $ilineæ illæ concurrant $ub k d. Et $i cõcurrant $ub t o: eadem erit probatio: quia $iet triangulum, cuius unũ latus e$t t o, & alia duo latera æqualia: [per 6 p 1] & erit [per 2 p 6.18 p 5] proportio unius laterum ad d o, $icut alterius a d t f: & ita [per 9 p 5] t $ æqualis d o. Item angulus t d k e$t æqualis angulo d t o [per 29 p 1] quia d tinter æquidi$tantes: [ex the$i: nempe k d, t o] igitur e$t æqualis angulo d t k: [qui ex the$i & 12 n 4 æquatur angulo d t o] quare [per 6 p 1] d k æqualis e$t t k. Igitur [per 7 p 5] proportio tkad t f, $icut k d ad d o. Siuero to concurrit cum k d: concurrat ex parte a in puncto l. Scimus [è demõ$tratis à Theo u t b p n o g k e f d l a q m z ne ad 5 d 6] quòd proportio k t ad t $ compacta e$t ex proportione k t ad tl, & tl ad t f: $ed [per 3 p 6] k t ad tle$t, $icut k d ad d l: quoniam d t diuidit angulum k to per æqualia: & proportio tladtf, $icut d l ad d o: quoniã angulus o d le$t æqualis angulo l t f [per$a- bricationem] & angulus $uperl communis: [trian- gulis l t f, o d l] erit partiale triangulum $imile totali [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio k t ad t f cõ$tat ex proportione k d ad d l, & proportione dl ad d o: $ed proportio k d ad d o con$tat exij$dem [a$$umpta dlmedia interk d & d o.] Quare proportio k t ad t f, $icut k d ad d o. Si uerò to concurrat cum k d ex par- te g: $it concur$us s. Et à puncto d ducatur æquidi- $tans lineæ k t: [per 31 p 1] quæ $it d r, cõcurrens cum to in puncto r: igitur [per 29 p 1] angulus k t d e$t æqualis angulo t d r: $ed id\~e e$t æqualis angulo d t o [perthe$in & 12 n 4.] Quare [ք 6 p 1] d r e$t æqualis tr. Sed quia triangulũ s t k $imile e$t triangulo s r d: [per 29. 32 p 1. 4 p. 1 d 6] erit proportio d rad sr, $icut k t ad t s: & ita r t ad r s, $icut kt ad ts: [ք 7 p 5: æqualis enim cõclu$a e$t trip$i d r] $ed r t ad r s, ALHAZEN $icut d k ad d s [e$t enim per 2 p 6, ut s t ad tr, $ic s k ad kd: & per 18 p 5, ut s r ad rt, $ic s d ad d k, & per con$ectarium 4 p 5, utrtadrs, $ic d k ad d s.] Igitur [per 11 p 5] ktadts, $icut d k ad d s. Sed que niam angulus ft o æqualis e$t angulo o d a: [perfabrica- s g z k t e f d o b r a tionem] erit [per 13 p 1] angulus o d s {ae}qualis angulo fts [& angulus ad s {ae}quatur $ibijp$i: itaq; per 32 p 1 trian gula s t f, d s o $unt æquiangula.] Igitur [ք 4 p 6] stad t f, $icut d s ad d o: & e$t k t ad t s, $icut d k ad d s: & ts ad t f, $icut d s ad d o: quare [ք 22 p 5] ktadt$, $icut k d ad d o. Quod e$t propo$itũ. Sed quoniã k z æquidi$tat t f: [per fabrica- tionem] erit [per 29 p 1] angulus k z e {ae}qualis angulo e t f: & ita triangulũ k z e $imile triangulo e t $. [Nam anguli ad e æquãtur per 15 p 1; itaq; per 32 p 1. 4 p. 1 d 6 triangula k z e, e t f $unt $imilia.] Quare {pro}portio k e ad e $, $icut k z ad t f: $ed [per 3 p 6] k e ad e f, $icut k t ad t f, propter angu- lum $uper t diui$um ք æqualia. Igitur [ք 9 p 5] k z æqua- lis e$t k t. Verùm quoniã k q e$t perp\~edicularis $uper e z: [per $abrication\~e] erũt omnes eius anguli recti: $ed an- gulus e t d e$t acutus: quoniã e$t medietas anguli [fto, ut patuit.] Igitur k q cõcurret cũ t d [ք 11 ax.] Sit cõcur$us h: & ducatur linea e h: & [per 31 p 1] à pũcto e ducature æ- quidi$tans h k, {pro}ducta u$q; ad d h: quæ $it e x: & mutetur figura propter intrication\~e linearũ: & [per 5 p 4] fiat cir- culus, trã$iens per tria puncta x, t, e: & {pro}ducatur k d u$q; in circulũ, cadens in punctũ m: & educatur m t: erit [per 27 p 3] angulus t m e æqualis angulo t x e: quia cadunt in eund\~e arcũ: [e f t] & [ք 29 p 1] angulus t x e æqualis an gulo t h k: erit t m e æqualis angulo t h k. Secetur ab an- gulo t m e, æqualis angulo d h e: [id uerò fieri pote$t: <003>a angulus t h k maior e$t angulo d h e per 9 ax: itaq; t m e eod\~e maior e$t] <003> $it $ m d: & punctũ, in quo $ m $ecat t x, $it i. Palàm quòd triangulũ i m d $imile e$t triangulo e d h [quia enim angulus f m d æquatus e$t angulo d h e, & anguli ad d æquãtur per 15 p 1@ ergo ք 32 p 1 triangula $unt æquiangula, & ք 4 p. 1 d t f i k e d m q z x h 6 $imilia.] Quare proportio h d ad d m, $icut e h ad i m. Et $imiliter triangulũ t m d $imile triangulo k h d: [Nã angulus t m d æqualis cõclu$us e$t angulo th k: & anguli ad d {ae}quãtur ք 1 5 p 1. Quare ut prius trian- gula $unt $imilia] & {pro}portio k d ad d t, $icut h d ad d m: & ita [ք 11 p 5] k d ad d t, $icut e h ad im. Sed pro- portio k d ad d t nota: quoniã $emք una & ead\~e per- manet, quodcũq; punctũ reflexionis $it t in arcu b g: quia $emper linea t d e$t una: [quia e$t $emidiameter circuli, qui e$t cõmunis $ectio $uper$icierũ reflexio- nis & $peculi] & k d $imiliter [quia e$t di$tãtia pũcti reflexi à c\~etro $peculi.] Linea etiam e h unà in qua- cunq; reflexione permanet, & nõ mutatur eius quã- titas [quia angulus o d a id\~e $emper քmanet: eius\’q; dimidius e$t angulus e t d: <003> a, ut patuit, dimidius e$t angulifto, æquati angulo o d a.] Quare linea im $emper erit una: quare punctũ $notũ & determina- tum [quia per lineam i m longitudine $emper eand\~e, continuatam in peripheriam o$tenditur.] Si ergo à tribus punctis arcus b g fieri po$$et reflexio: e$$et ducere à puncto fad circulum x t e tres li- neas æquales: quarum cuiuslibet pars interiacens diametrum tx & circumferentiam circuli e$$et æqualis lineæ i m: quia $emper erit proportio k d ad d t, $icut e h ad quamlibet illarum. Et patet ex $uperioribus [34 n] quòd non, ni$i duæ æquales po$$unt. Quare à duobus tantùm punctis fiet re- flexio. Quod e$t propo$itum.

83. Datis duobus punctis in diuer$is diametris circuli (quie$t cõmunis $ectio $uperficierum, reflexionis & $peculi $phærici caui) à centro inæquabiliter di$tantibus: inuenire in peripberia compreben$a inter $emidiametros, in quibus ip$a $unt, duo reflexionis puncta. 37 p 8.

AMplius: datis duobus punctis k, o in diuer$is diametris, inæ qualiter di$tantibus à centro: e$t inuenire punctum reflexionis. Verbi gratia: $umatur linea z t: & [per 10 p 6] diuidatur in puncto e, ut $it proportio z e ad et, $icut k d ad d o [in primo diagrammate præcedentis numeri.] Quoniam k d maior d o [exthe$i præced\~etis numeri] erit z e maior e t: diuidatur z t per æqualia in puncto q: [per 10 p 1] & à puncto q ducatur perpendicularis $uper z t: [per 11 p 1] & fiat OPTICAE LIBER V. ãngulus e t d æqualis medietati anguli o d a: erit quidem acutus: [quia æquatur angulo rectilineo dimidiato, ut o$ten$um e$t 36 n] igitur t d concur- @ k e d q h z l b k d o ret cum perpendiculari [per 11 ax.] Sit concur$us in puncto h: & [per 38 n] ducatur linea d e k, ut $it proportio k d ad d t, $icut k d ad $emidiametrum $phæræ [erit igitur $emidiameter $phæræ æqualis d t per 9 p 5.] Etangulo, quem habemus k d t fiat [per 23 p 1] in $peculo angulus æqualis, $cilicet k d t. Dico, quò d t e$t punctum reflexionis, Et $i prædi- ctam probation\~e replicaueris, manife$tè uidebis.

84. Siduo puncta extra circulum (quie$t com- munis $ectio $uperficierum reflexionis & $pecu- li $phæricicaui) uel alterum intra, reliquum ex- tra, in diuer$is diametris, à centro inæquabiliter di$tantia, reflectantur à peripheria comprehen- $a inter $emidiametros, extra quas ip$a $unt: ab uno puncto tantùm reflectentur. 38 p 8.

AMplius: $umptis duobus punctis in diuer$is diametris, quæ puncta inæqualis $int longitu. dinis à centro: $i fuerint extra circulum, & reflectantur ab a- a b n m @ k l q g d h @ e liquo puncto arcus oppo$iti diametris: non reflectentur ab alio eiu$dem arcus. Verbi gratia: $int a, b puncta in diuer$is diame- tris, extra circulum: g centrum: t punctum reflexionis: & ducantur b t, a t, t g: b t $ecabit arcum circuli: $it punctum $ectionis q: a t $eca- bit $imiliter arcum circuli: $it punctum $ectionis m. Quoniam angu- lus b t g {ae}qualis e$t angulo a t g: [per 12 n 4: quia t e$t reflexionis pun ctum ex the$i] cadent in arcus circuli æquales: [per 26 p 3] quod p @ tebit producta $emidiametro t g in p. Erit ergo arcus q p æqualis ar- cui m p. Si igitur b reflectitur ab alio puncto: $it illud h: & ducantur lineæ b h, a h, g h. Secet b h circulum in puncto l: a h in puncto n: & producatur h g in k. Secundum igitur prædictam probationem e- rit l k æqualis n k: $ed iam habemus, quòd q p æqualis p m: quod e$t impo$sibile [& contra 9 ax.] Re$tat ut b non reflectatur ad a, à pun cto h, uel ab alio puncto arcus oppo$iti diametris, præterquam à t. Similiter $i fuerit alterum punctorum in circulo, alterum extra: ab uno tantùm puncto arcus poterit reflecti ad aliud.

85. Sirecta linea connectens duo puncta in diuer$is diametris circuli (qui e$t communis $ectio $uperficierum reflexionis & $pecu li $phæricicaui) à centro inæquabiliter di$tantia, tangat peripheriam dicti circuli, uel$it extra ip$am: ab uno tantùm puncto reflexio fiet. 39 p 8.

AMplius: $ilinea ducta ab uno duorũ puncto- b a b a m @ f g d n rum, cõtingat circulũ, aut tota $it extra: $um- pto quocũq; puncto in atcu oppo$ito diame- tris: [in quibus $unt data puncta] altera linearum à punctorum duorum altero, ad illud punctum ducta rum, tota erit extra circulum: & $ic neutrum puncto rum ad aliud reflectetur ab aliquo puncto illius ar- cus: [m l] & ab uno $olo puncto $peculi [in periphe- ria d n $umpto per 73 & præcedentem numeros.]

86. Sirecta linea connectens duo puncta in di- uer$is diametris circuli (qui e$t communis $ectio $uperficierũ reflexiõis & $peculi $phærici caui) à c\~e- troinæquabiliter di$tantia, continuata eundem $ecet: po$$unt dicta puncta ab uno, duobus, tri- bus, aut quatuor punctis $peculi inter $e reflecti. 40 p 8.

SI uerò linea ducta ab uno pũcto ad aliud, $ecet circulũ: fiat circulus ք centrũ $peculi & illa duo pũcta [ք 5 p 4.] circulus ille aut tot<_>9 erit intra circulũ: aut cõtingetip$um intrin$ecus: aut $eca bit. Sit tot<_>9 intra: & ducãtur du{ae} line{ae} à duob. pũctis ad aliquod pũctũ arcus oppofiti: angul<_>9, ALHAZEN quem facient [qui $it at b] erit minorangulo [b g d] quem una diameter facit cum alia, exparte c@- tri: [Nam $i à puncto f, in quo g t $ecat peripheriam m t h @ f b p a g d n circuli a b g, ducantur rectæ f a, f b: {ae}quabuntur angu li ad f & g duobus rectis per 22 p 3: quibus etiam æ- quantur anguli ad g deinceps per 13 p 1: quare per 3 ax. b g d {ae}quatur a f b: qui per 21 p 1 maior e$t angulo a t b. Angulus igitur a t b minor e$t angulo b g d.] Et quilibet angulus $ic factus $uper arcum oppo$itum [l m] minor erit illo angulo. Quoniam angulus fa- ctus in interiore circulo, per lineas à punctis ad ar- cum eius interiacentem ductas, erιt æqualis illi an- gulo: quoniam cum angulo diametrorum $uper cen trũ ualet duos angulos rectos [per 22 p 3.] Sed [per 21 p 1] angulus arcus minoris circuli [angulus nem- pe in ip$ius peripheria] maior e$t angulo arcus $pe- culi [eo nempe, qui fit in peripheria circuli: qui e$t communis $ectio $uperficierum, reflexionis & $pe- culi.] Igitur in arcu $peculi nõ fiet reflexio, ni$iab u- no puncto: cum iam dictum $it [80 n] quòd non e$t po$sibile reflexionem à duobus punctis fieri, ut $it uterque angulus, con$tans ex angulo incidentiæ & reflexionis, minor angulo diametrorum ex alia parte centri. Siuerò circulus ille contingat intrin $ecus circulum $peculi: angulus factus à lineis, ab il- m t h @ b @ a g d n lis punctis ad punctum contactus ductis, erit æqua- lis angulo diametrorum ex alia parte centri [angu- li enim ad h & g æquantur duobus rectis per 22 p 3: quibus etiam æquantur anguli ad g deinceps per 13 p 1: angulus igitur a h d æquatur angulo b g d per 13 ax.] Quare ab illo puncto contactus non fiet refle- xio [per 79 n.]. Et angulus factus $uper quodcunq; punctum aliud maioris circuli, erit minorillo [ut $i angulus fiat $uper pũctum t: erit a f b maior a t b per 21 p 1: $ed a f b æquatur a h b per 21 p 3: quare a h b ma ior e$t a t b: eodem\’q; modo de quocunq; angulo de- mon$trabitur.] Quare à duobus punctis arcus non fiet reflexio $ecundum prædicta [80 n.] Si uerò cir- culus interior $ecet circulum $peculi: duo puncta [peripheria enim peripheriam in duobus punctis tantùm $ecat per 10 p 3] aut erunt extra circulũ: aut intra: aut unum intra, aliud extra: aut unum in cir- cumferentia, aliud extra, uel intra. Si fuerint extra: circulus $ecans, non $ecabit arcum circuli $pecu- li, interiacentem diametros. Et iam probatum e$t in præcedente figura [pr{ae}cedentis numeri] quòd h{ae}c puncta ab uno $olo puncto arcus a b l m l t a b m g n d n d f e t h k o b m @ a g n d interiacentis diametros poterunt re- flecti [quod e$t punctum peripheriæ inter $emidiametros, extra quas $unt reflexa puncta, ut patuit pr{ae}ced\~ete nu mero.] Si uerò unum fuerit in circũ- ferentia, aliud extra: circulus $ecans $ecabit arcum circuli $peculi, diame- tros interiacentem in unico puncto. Et quilibet angulus factus $uper arcũ illum: erit maior angulo diametrorũ ex alia parte centri: & $ic [per 80 n] ab uno puncto, uel à duobus pote$t fieri reflexio. Si uerò duo pũcta fuerint in- tra: $ecabit circulus interior arcũ in- teriacentem in duobus punctis: & re- $tabunt ex eo duo arcus ex diuer$is partibus. Et omnes anguli facti $uper arcum, interiacentem duo puncta $ectionis, erunt maiores angulo diametrorum ex alia parte cen- tri: [ut patet in angulo a e b per 22 p 3. 13. 21 p 1.] Etab hoc arcu po$$et fieri reflexio for$itan ab u- no puncto tantùm: for$itan à duobus [per 80 n.] Et $i à duobus arcubus fiat reflexio, quire$tant ex arcu totali, & ex diuer$is partibus: omnes anguli erunt minores angulo diametrorum: [per 22 p 3. 13. 21 p 1] & tantùm ab uno eorum puncto fiet reflexio [per 80 n.] Et in hoc $itu poterit OPTICAE LIBER V. fieri reflexio à duobus punctis arcus interiacentis diametros, aut à tribus. Palàm etiam [per 73. 75 n] quòd ab uno tantùm puncto arcus oppo$iti [n d] fiet reflexio. Et f e t b m f a g d n ita in hoc $itu, aliquando à tribus, aliquando à quatuor punctis fiet reflexio. Si uerò unum punctorum fuerit intra circulũ, aliud in cir- cumferentia, uel extra: $ecabit circulus arcum interiacentem in uni- co puncto: & re$tabit unus arcus tantùm. Et omnes anguli facti in parte illius arcus, inclu$a à $ecante circulo: erũt maiores angulo dia- metrorũ [per 22 p 3. 13. 21 p 1.] Et poterit fieri reflexio à duobus pun- ctis illius partis, uel ab uno [per 80 n.] Omnes uerò anguli alterius partis interiacentis [quæ e$t tl] erunt minores angulo diametro- rum [ut o$ten$um e$t.] Et ab uno tantùm pũcto illius partis fiet re- flexio [per 80 n.] Etita, cũ ab uno puncto arcus oppo$iti [n d] $em- per fiat reflexio in hoc $itu: [per 73.75 n] aliquãdo à tribus, aliquan- do à quatuor: & nõ à pluribus poterit e$$e reflexio. Palàm ergo, quòd puncta inæqualis longitudinis à centro, aliquando ab uno puncto tantùm: aliquando à duobus: aliquando à tribus: aliquando à qua- tuor: nunquam à pluribus reflectuntur.

87. Sirecta linea connectens duo puncta in diuer$is diametris circuli (quie$t communis $e- ctio $uperficierum, reflexionis & $peculi $phærici caui) à centro æquabiliter di$tantia, cõtinua- ta eund\~e $ecet: po$$unt dicta puncta ab uno, duobus uel quatuor punctis $peculi inter $e reflecti: nunquam uerò à tribus tantùm. 41 p 8.

CVm autem puncta eiu$d\~e longitudinis fuerint: poterit fieri reflexio aut ab uno tantûm pun cto; [ut o$ten$um e$t 70 n] aut à duobus: [ut 71 n] aut à quatuor: [ut 72 n] nunquam uerò à tribus. [Quia $i reflexio fiat à tribus punctis, fiet etiam à quatuor. Nam cum è tribus i$tis reflexionum punctis duo in eand\~e peripheriam ca- l m a b g n d dant, ut in præcedentibus numeris patuit: periphe- ria igitur inter duo illa reflexionũ puncta interiecta, per 30 p 3 bifariam $ecta, ductis\’q; rectis à centro, & datis punctis, in diuer$is diametris {ae}quabiliter à c\~e- tro di$tantibus, ad $ectionis punctum: erunt anguli ad ip$um facti æquales per 27 p 3. 4 p 1. Quare ip$um e$t reflexionis punctum per 12 n 4: atqui in periphe- ria priori l m oppo$ita, $cilicet n d, e$t etiam unũ re- flexionis punctũ per 73. 75 n. A@ quatuor igitur pun- ctis, nõ à tribus tantùm fit reflexio.] Vbi ab uno pun cto fit reflexio, una apparet imago: ibi â duobus, duæ: ubi à tribus, tres: ibi à quatuor, quatuor. Siue- rò punctum ui$um & c\~etrum ui$us fuerintin eadem diametro: fiet reflexio à circulo toto: & locus imagi- nis erit c\~etrum ui$us [ut o$ten$um e$t 65 n.] Verùm $i centrum ui$us fuerit in centro $peculi: nihil uidet [præter $e ip$um, ut patuit 44 n 4. 62 n.] Si uerò pũ- ctum ui$um fuerit in centro $peculi: non uidebitur: quoniam forma eius accedet ad $peculum $uper perpendicularem, nec reflecti poterit, ni$i $uper perpendicularem [per 11 n 4.] Cum autem centrum ui$us & punctum ui$um fuerint in diuer$is li- neis extra centrum: lineæ ill{ae} ad centrum productæ, $ecabunt in diuer$is partibus ex circulo $phæ- ræ duos arcus: ab uno puncto unius tantùm fiet reflexio: ab alio for$itan à quatuor. Quòd $i c\~etrum $phæræ fuerit ex una parte: centrum ui$us & punctum ui$um ex una: arcus, quem $ecant diametri, propter oppo$itionem capitis ab$condetur. Vnde tunc à tribus tantùm punctis fiet reflexio. Et $i dirigatur in hoc $itu ui$us ad arcum unius reflexionis tantùm: ab$condetur alius trium reflexionũ, & unica apparebit imago. Item: Si integrum fuerit $peculum: nõ erit ibi perceptio: oportet igitur, ut in eo $it ab$ci$sio. Et accidet nonnunquam arcum interiac\~etem diametros ab$ci$$um e$$e: & tunc nihil in eo uideri. Quare rarò eueniet quatuor imagines in hoc $peculo comprehendi. Vnde $i quis hanc pluralitatem imaginum uoluerit uidere: di$ponat ui$um intra $peculum circa ip$um, ut modi cam partem eius ab$condat mole capitis, & totam $peculi $uperficiem ui$u di$currat.

88. In $peculo $phærico cauo imago eiu$dem ui$ibilis utrog ui$u aliâs una, aliâs gemina uide- tur. 59 p 8.

CVm autem aliquid in hoc $peculo percipietur duplici ui$u: $i linea reflexionis fuerit æqui- di$tans perpendiculari: [incidentiæ] erit locus imaginis punctum reflexionis [per 60 n.] Et cum di$tant à $e puncta reflexionis re$pectu duorum ui$uum: apparebũt duobus ui$ibus duæ imagines eiu$dem puncti: & locus cuiu$q; imaginis e$t in puncto $uæ reflexionis. Si uerò linea reflexionis non $it æquidi$tans perpendiculari: [incidentiæ] & punctum ui$um tantùm di$tet ab ALHAZEN uno ui$u, quantum ab alio, uel modica $it differentia: erit locus imaginis re$pectu utríu$que ui$us idem, aut diuer$us, $ed modicùm di$tans. Vnde aut una apparebit imago, aut ferè una: $icut proba- tum e$t in $peculis $phæricis exterioribus.

89. Communis $ectio $uperficierum, reflexionis & $peculi cylindracei caui aliâs e$t latus cy- lindri: aliâs circulus: aliâs ellip$is. 1 p 9.

IN $peculis columnaribus concauis aliquando linea communis e$t linea recta: cum $uperficies reflexionis tran$it per axem: [per 21 d 11] aliquando linea communis erit circulus, cum $uperfi- cies illa e$t æquidi$tans ba$ibus: [per 5 th. Sereni de $ectione cylindri] aliquando linea commu- nis e$t $ectio columnaris. Quando fuerit linea recta: erit locus imaginis & modus reflexionis, $icut in $peculis planis. Quando fuerit circulus: erit idem modus, qui in $phæricis concauis.

90. Sicommunis $ectio $uperficierum, reflexionis & $peculi cylindracei caui fuerit ellip$is: image uidebitur, aliâs ultra $peculum: aliâs in $uperficie: aliâs citra ui$um: aliâs in ui$u: aliâs inter ui$um & $peculum. 10 p 9.

CVm uerò linea communis fuerit columnaris $ectio: aut erit locus imaginis ultra $peculum: aut citra ui$um: aut in centro ui$us: aut inter $peculum & ui$um: aut in ip$o $peculo: quod $ic patebit. Sit a b g $ectio: ducatur perpendicularis in hac $ectione: [$uper planum tangens $pe culum in reflexionis puncto] quæ $it d g: quam $ecundum prædicta patet e$$e diametrum circuli. [Quia enim planum tangens cylindrum, tangit in latere per 26 n 4: ergo per 3 d 11 linea recta, per- pendicularis plano tangenti, erit perpendicularis lateri, quod e$t parallelum axi per 21 d 11. Quar@ per 29 p 1 perpendicularis plano tangenti, perpendicula- e b @ g q @ m d a o @ z @ h k @ ris e$t axi. Planum uerò ba$i parallelum & per dictam per- pendicularem ductum e$t circulus, c\~etrum habens in axe per 5th Sereni de $ectione cylindri. Recta igitur linea per pendicularis plano, cylindrum in reflexionis puncto tan- genti, e$t diameter circuli per reflexionis punctum ducti] & unicam po$$e e$$e: cum ab alio puncto $ectionis nõ po$- $it duci perpendicularis $uper $uperficiem contingentem. [Nam cum communis $ectio circuli & ellip$is per reflexio nis punctum $e $ecantium, $it perp\~edicularis, tum ad pla- num in eodem reflexionis puncto cylindrum tang\~es, tum ad axem, ut iam patuit: rectæ igitur lineæ ab alijs $ectionis punctis ad axem duct{ae}, ad ip$um obliquæ erunt: $ecus per 4 p 11 axis e$$et perpendicularis plano ellip$is: contra 9 th Sereni de $ectione cylindri.] Sumatur aliud punctũ, & $it b: & ducatur ab eo in $ectione linea perpendicularis $uper lineam, conting\~etem $ectionem in puncto b: quæ quidem linea $ecundũ pr{ae}dicta nece$$ariò concurret cum perpen- diculari g d. Concurrat in puncto d: & $umptum $it b circa punctum g, ut angulus b d g $it acutus. Deinde [per 31 p 1] à puncto g ducatur in $ectione linea æquidi$tans b d: quæ $it g h: qu{ae} quid\~e cadet intra columnarem $ectionem: quia angulus h g d erit acutus, cum $it æqualis g d b: [per 29 p 1] & à puncto ginter d & h ducatur linea: quæ nece$$ariò cõ- curret cum b d: [per lemma Procli ad 29 p 1] concurrat in puncto n: & inter n & g $umatur punctũ quodcunq;: quod $it o: ultra punctum n $umatur punctum t. Item à puncto g ducatur $upra g h, alia linea g z, tamen intra $ectionem: quæ nece$$ariò concurret cũ b d ex alia par- re: [per lemma Procli ad 29 p 1] $it concur$us e. Ducatur g q linea, ut angulus q g d $it æ qualis z g d [per 23 p 1] & fiat angulus l g d æqualis angulo h g d: & angulus m g d æqualis angulo n g d. Palàm, [per 12 n 4] quòd $i fuerit ui$us in puncto z: reflectetur punctũ q ad ip$um, à puncto g: & punctum imaginis e$t e: [per 6 n] & $i ui$us fuerit in puncto h: reflectetur ad ip$um l à puncto g: & erit locus imaginis g: $i uerò fuerit ui$us in puncto o: reflectetur ad ip$um, punctum m: & locus imaginis erit n: $i autem fuerit in n: erit locus imaginis puncti m in centro ui$us, id e$t in n: $i autem fuerit in t: erit locus imaginis tunc inter ui$um & $peculum: quia in n. Et ita patet propo$itum.

91. Si ui$us & ui$ibile fuerint in ead\~e recta linea, perpendiculari plano $peculum cylindra- ceum cauum tangenti: aliâs ab uno: aliâs à duobus $peculi punctis reflexio fiet: & imago uide- bitur in centro ui$us. 11 p 9.

HAec quidem iam dicta intelligenda $unt, cum punctum ui$um nõ fuerit $uper perpendicu- larem cum ip$o ui$u. Tunc enim cum infinitæ $uperficies po$sintintelligi, quarum quælibet orthogonalis $it $uper $uperficiem, contingentem $peculum [per 18 p 11: quia $uperficies illæ ducuntur per rectam plano $peculum tangenti perpendicularem] & omnes $ecent $e $uper illam OPTICAE LIBER V. perpendicularem: quædam illarum $uperficierum efficiet lineam cõmunem, lineam rectam: & non fiet reflexio, ni$i $uper illam perpendicularem: [per 11 n 4] & locus imaginis erit centrum ui$us: & non uidebitur punctum, ni$i quod fuerit in $uperficie ui$us [per 13 n.] Quædam aut\~eillarũ $uper- ficierum efficiet lineam communem, circulum: & tunc puncta, inter quæ & ui$um fuerit centrum circuli: poterunt reflecti ad ui$um, $ingula à duobus punctis circuli: cum à $ingulis ducantur lineæ facientes angulũ cum $uperficie contingente, quem a s c p c f d @ d e b per æqualia diuidit perpendicularis ducta ad cen- trum. [Nam cum a b $it diameter circuli, & f g axis cylindri: erit per 3 d 11 e f perp\~edicularis f g: itaq; an- guli ad f erunt recti: at ex the$ic e æquatur ip$i e d: & communis e$t e f: ergo per 4 p 1 triangula d f e, c f e $unt æquiangula. Quare perp\~edicularis fe bifariam $ecat angulum c e d: eodem\’q; modo o$t\~edetur per- pendicularem g f bifariam $ecare angulũ d g c.] Et hæc quidem dico de punctis, qu{ae} $unt in illa perpen diculari: & loca imaginũ erunt in centro circuli: alia puncta illius perpendicularis nõ reflectentur ad ui- $um, præter punctum, quod e$t in $uperficie ui$us: & illud per illam perpendicularem [per 11 n 4.] Cum autem fuerit linea cõmunis, $ectio columnaris: non poterunt puncta perpendicularis reflecti ab aliqui- bus alijs punctis $ectionis: cum forma accedens $u- per perpendicularem, reflectatur $uper perpendicularem: & in $ectione una $it perpendicularis [ut proximo numero o$ten$um e$t.] Quare per hanc $olam perpendicularem fiet reflexio: & $olũ pun- ctu m $uperficiei ui$us uidebitur: & locus imaginis erit centrum ui$us.

92. Siui$us fuerit in centro circuli $peculi cylindracei caui: reflectetur ab eiu$d\~e circuli peri- pheria, $imili peripheriæ circuli per centrũ ui$us ducti: & imago uidebitur in c\~etro ui$us. 12 p 9.

SI uerò fuerit ui$us in c\~etro circuli: reflectetur portio ui$us, quam $ecant perpendiculares, du- ctæ à centro ui$us ad circulum, [per c\~etrum ui$us ductum] à portione $imili circulo, [$peculi] quam $ecant $imiliter eædem perpendiculares. Quia cum quælibet linea ducta à centro ui$us ad circulum, $it perpendicularis: [$uper $uperficies ui$us & $peculi per 25 n 4: quia tran$it per cen- tra ui$us & $peculi] fiet reflexio $uper perpendicularem: [per 11 n 4] & locus imaginis erit c\~etrum ui$us: quod e$t centrum circuli.

93. Si communis $ectio $uperficierum, reflexionis & $peculi cylindracei cauifuerit ellip$is: à pluribus punct is idem ui$ibile ad eundem ui$um reflecti pote$t. 9 p 9. e b @ g q l m d o a z n @ h k

AMplius: $uper punctum a fiat angulus acutus quo @ quo modo: qui $it f a g. Palàm, quòd cõcurret f a cũ g z: [quia g z cadens intra ellip$in ex the$i 90 n ef- ficit angulum z g d acutum: itaq; cũ anguli z g d, f a g duo- bus rectis $int minores: rectæ a f, g z concurrent ad partes z, per 11 a x] $it concur$us in puncto z: & [per 23 p 1] fiat an- gulus c a g æqualis angulo f a g: concurret equid\~e a c cum g q: [per 11 ax. Nam quia angulus q g d æquatus e$t angulo z g a acuto, ut patuit 90 n: & modo angulus c a g æquatur z a g: anguli q g d, c a g $unt minores duobus rectis] $it cõ- cur$us in puncto c. Palàm [per 12 n 4] quòd c reflectetur ad z à puncto g: & ita reflectetur à puncto a ad z, & non ab alio puncto $ectionis. Quia non poterit reflecti, ni$i à ter- mino perpendicularis: & una e$t in $ectione illa perpendi- cularis [ut o$ten$um e$t 90 n] $cilicet g a.

94. Si duo puncta $umantur in axe$peculi cylindra- ceicaui: po$$unt à tota circuli peripheria inter $e mutuò reflecti: & imago uidebitur in peripheria circuliextra $peculi $uperficiem de$cripti. 13 p 9.

AMplius: $umptis duobus punctis in axe columnæ: poterit unum reflecti ad aliud ab uno circulo colu- mnæ toto: & locus imaginis erit circulus quidam extra columnam. Verbi gratia: $it e z axis: t, h puncta $um- pta in axe: a g, b d ba$es. Diuidatur t h per æqualia in puncto q [per 10 p 1] & fiat circulus, cuius q centrum: eius diameter l m: qui erit æquidi$tans ba$ibus: [per 5 th. Sereni de $ectione cylindri] la- tera columnæ b l a, d m g. Fiat etiam circulus k p, cuius h centrum, p k diameter: & ducantur lineæ ALHAZEN t l, t m, h l, h m. Palàm, quòd quatuor angulorum $uper q quilibet e$t rectus [per 3 d 11: quia axis pe@@ pendicularis e$t circulo l m per 21 d 11] & t q æqualis q h d z b t m l q r p h k f g e a [per fabricationem] & q l æqualis q m: [per 15 d 1] erũt illa triangula $imilia [per 4 p 1. 4 p. 1 d 6] & anguli t l q, q l h æquales: $imiliter anguli t m q, q m h æquales. Siergo fuerit t centrum ui$us: reflectetur quidem h ad punctum t à punctol: & $imiliter à puncto m [per 12 n 4.] Si ergo moueatur triangulũ t l h, immoto axe t h: de$cribet pun- ctum l circulũ: & $emper duo anguli t l q, q l h manebunt æquales: & $emper in hoc motu reflectetur h ad t. Pro- ducatur autem linea p h k, donec cõcurrat cum linea t l: [concurret aut\~e per lemma Procli ad 29 p 1: quia m l, c k $unt parallel{ae} per 29 p 1] & $it cõcur$us f. Palàm [per 7 n] quòd ferit locus imaginis. Et motu trianguli t l h, mo- uebitur triangulum t f h: & hoc motu punctum f de$cri- bet circulum extra columnam: & totus ille circulus erit locus imaginis. Et hoc e$t propo$itum Id\~e erit probandi modus, $umptis quibuslibet duobus punctis in axe.

95. Si communis $ectio $uperficierum, reflexionis & $peculi cylindracei caui fuerit circulus, uelellip$is: reflexio fiet aliâs ab uno: aliâs à duobus: aliâs àtri- bus: aliâs à quatuor $peculipũctis: totidem<006> uidebun- tur imagines. 14. 15 p 9.

AMplius: punctorum extra perp\~edicularem ui$us $umptorum quædam unicam habent imaginem: quædam duas: quædam tres: quædam quatuor: & non plures. Verbi gratia: $it a punctum ui$um extra perpendicularem ui$us: & fiat $uperficies tran$iens per a æquidi$tans ba$ibus $peculi: [ut oft\~e$um e$t 47 n] faciet quidem [per 5 th. Sereni de $ectione cylindri] circulum in columna. Sit centrum il- lius circuli h: & $umatur in $uperficie circuli aliud s z o r x a h k g m u b d e t l f q p n punctum, quod $it b: & ducãtur dιametri a h, b h. Palàm ex eis, quæ dicta $unt in $peculis $phæricis concauis [86 n] quòd ab uno puncto arcus, qu\~e intercipiunt hæ duæ diametri, pote$t a reflecti ad b: for$itan à duobus punctis, aut tribus, $ed non à pluribus: ab arcu autem oppo$ito, nõ ni$i ab uno puncto. Sit ergo, quòd a reflectatur ad b à tribus punctιs interci$i arcus: & $int puncta illa g, d, e: & ducãtur lineæ a g, h g, b g, h d, b d, a d, a e, h e, b e: & à puncto a ducantur in ead\~e $uperficie tres lineæ æquidi$tantes tribus diametris h g, h d, h e: quæ $int a k, a f, a n. Cum igitur a k $it æquidi$tans h g: cõcurret b g cum a k: [per lemma Procli ad 29 p 1] concurrat in puncto k. Similiter b d concurret cũ a f: $it cõcur$us in puncto f. Similiter b e cum a n: $it concur$us in puncto n. Deinde à puncto h eri- gatur axis: qui $it h x: & à puncto b perpendicula- ris $uper $uperficiem circuli: [per 12 p 11] quæ erit æquidi$tans axi [per 6 p 11] quæ $it b t: & $umatur in ea punctum quodcunq;: quod $it t: & ducantur tres lineæ t k, t f, t n: & [per 12 p 11] à tribus punctis g, d, e erigantur tres perp\~ediculares $uper $uper- ficiem circuli: g m, d l, e q: erunt quid\~e [per 6 p 11] æquidi$tãtes t b, e q: igitur erũt in $uperficie trian guli t b n: [per 35 d 1. 1 p 11] igitur e q $ecabit t n: [per lemma Procli ad 29 p 1] $ecet in puncto q: d l $ecett fin puncto l: g m $ecet t k in puncto m. Et erunt hæ tres perp\~ediculares, lineæ longitudinis columnæ [ut patet è 21 d 11.] À puncto q ducatur æquidi$tans lineæ n a: [per 31 p 1] quæ quid\~e con- curret cum axe x h: [per@lemma Procli@ad 29 p 1] quoniam erit æquidi$tans e h: [per 30 p 1] $it con cur$us in puncto u: & ducatur linea t a: quam $eca bit q u: quoniam q u ducitur à latere trianguli [tbn] & linea e q equidi$tãte ba$i [t b.] Sit punctum OPTICAE LIBER V. $ectionisi: & ducatur linea q a. Palàm, quòd angulus b e h æqualis e$t angulo e n a [per 29 p 1: quia a n, h e $unt parallelæ per fabricationem] & angulus h e a æqualis angulo e a n: & [per 12 n 4] angu lus b e h æqualis angulo h e a: erit angulus e a n æqualis angulo e n a: quare [per 6 p 1] e n æqualis e a, & e q perpendicularis: [duabus rectis e a, e n per 3 d 11: quia perpendicularis e$t per fabrication\~e triangulo a e n] erit [per 4 p 1] triangulũ q e a æquale triangulo q e n: & erit q n æqualis q a: & erit [per 5 p 1] q n a æqualis angulo q a n: $ed angulus t q i æqualis angulo q n a, & angulus i q a æqua- lis angulo q a n: [per 29 p 1: quia q i, a n $unt parallelæ per fabricationem] erit angulus i q t æqualis angulo i q a. Quare a reflectetur adt à puncto columnæ, quod e$t q [per 12 n 4.] Eodem modo pro- babitur, quòd reflectetur a ad t â punctis l, m: Et ita à tribus punctis columnæ ex eadem parte: nec pote$t à pluribus. Detur enim aliud: ducto latere [cylindri, ut o$ten$um e$t 47 n] ab illo puncto: cadet in circulum, quem habemus: & probabitur, quòd à pũcto ca$us, qui e$t in circulo, poterit re- flecti a ad t, repetita {pro}batione: quod e$t impo$sibile [ut o$t\~e$um e$t 86 n.] Ex arcu uerò circuli op- po$ito [arcui g d e] poterit reflecti a ad b ab uno puncto: [per 73 n] $it illud z: & ducatur diameter h z: & [per 31 p 1] ei æquidi$tans a s: & ducatur b z: quæ concurrat cum a s in puncto s: [cõcurret au- tem per lemma Procli ad 29 p 1] & erigatur perpendicularis: [$uper circulũ, cuius centrũ e$t h] qu{ae} $it o z: quæ erit latus [per 21 d 11] & [per 6 p 11] æquidi$tans t b: & ducatur t s: qu{ae} $ecabitur à linea o z: [per lemma Procli ad 29 p 1.] Sit $ectio in pũcto o. Probabitur modo pr{ae}dicto, quòd a reflectetur ad t à puncto o. Et $i $umatur exilla parte punctum aliud columnæ, à quo po$sit reflecti: per repli- cationem probationis probabitur, quòd ab alio puncto circuli, quàm z, pote$t reflecti ex parte illa: quod e$t impo$sibile [ut demon$tratũ e$t 75 n.] Si ergo a ab uno puncto circuli reflectitur ad b ex aliqua parte: reflectetur ab uno columnæ ex eadem ad t: $i à duobus, à duobus: $i à tribus, à tribus: nec pote$t amplius ab illa parte: ab oppo$ita uerò parte non ni$i ab uno puncto circuli tantùm, & ab uno columnæ tantùm. Item t b æquidi$tat u h: [ut ab initio demõ$tratum e$t: itaq; per 35 d 1 $unt in eadem $uperficie, quæ e$t t b u h] nec pote$t $umi $uperficies æqualis, in qua $it t cum u h, præter $uperficiem t b u h. Similiter non pote$t $uperficies $umi, in qua $it a cum u h, præter $uperficiem a u h, quæ e$t perpendicularis [circulo, cuius c\~etrum h, per 18 p 11.] Igitur t non e$t in eadem $uperficie perpendiculari cum a, necin eodem circulo, nec e$t in axe, quia e$t in linea ei æ quidi$tante. Super- ficies igitur, in qua a reflectitur ad t, eft $ectio colũnaris [per 9 th. Sereni de $ectione cylindri.] Ve- rùm producta $it t a ultra t, & a ex utraq; parte: & $it r p. Cum quatuor $int $uperficies reflexionis: quia à quatuor punctis [q, l, m; o] $it reflexio, & in qualibet harum $int duo puncta t, a: erit r p com- munis quatuor $uperficiebus reflexionis: [per 1 p 11: quia ui$us & ui$ibile, quæ $unt in linea r p, $unt in qualibet reflexionis $uperficie per 23 n 4] & quælibet harũ $uperficierum $ecat $uperficiem, con- tingentem $peculum in puncto $@æ reflexionis, $uper $uam lineam communem, nõ $uper eandem [quia cum puncta reflexionis $int diuer$a, etiam communes $ectiones illarum $uperficierum (quæ $untrectæ lineæ per 3 d 11) diuer$æ erunt.] Linea ergo r p perpendicularis e$t $uper unam linearum quatuor cõmunium, non $uper duas: e$$et enim perpendicularis $uper $uperficiem contingentem: [per 3 d 11] & ita perueniret ad axem. [Quia enim per 21 d 11 latus cylindraceum {ae}quidi$tat axi: & r p perpendicularis plano tangenti ex cõclu$o, $imul perpendicularis e$t lateri per 3 d 11: ergo per lem- ma Procli ad 29 p 1 r p (quæ paulo antè o$t\~e$a e$t extra ax\~e e$$e) cõtinuata $ecabit ax\~e; quod e$t ab: $urdum.] Sunt ergo diuer$æ perpendiculares à puncto t ad has quatuor lineas communes: nec e$t ni$i una perpendicularis tantùm, qu{ae} tran$it per a. Et perpendicularis aut e$t æquidi$tans lineæ re- flexionis: aut concurrit cum ea ultra $peculum, uel intra. Si fuerit æquidi$tans: erit locus imaginis punctum reflexionis, ut probatum e$t@[91. n] Et cum quatuor $int reflexionis puncta: erunt qua- tuor imagines. Si concurrit, cum quatuor $unt perpendiculares: erunt concur$us quatuor, & qua- tuor im agines.

96. Vi$u & ui$ibili datis, in $peculo cylindraceo cauo punctum reflexionis inuenire. 16 p 9.

AMplius: datis puncto ui$o, & puncto ui$us: erit inuenire punctum reflexionis. Verbi gratia; $it a punctum ui$um: b centrum ui$us. Fiat $uperficies $ecans columnam æquidi$tanter ba$i [ut o$ten$um e$t 47 n] tràn$iens per a: & [per 5 th. Sereni de $ectione cylindri] faciet circu- lum. b aut e$t in $uperficie huius circuli: aut nõ. Si fuerit: inueniemus punctũ reflexionis in illo cir- culo, $icut dictum e$t in $phærico concauo [73 n.] Si nõ fuerit: ducatur [per 11 p 11] à puncto b perp\~e- dicularis $uper $uperficiem huius circuli: & replicetur $uprà dicta probatio: & inuenietur pũctum reflexionis. Duplici autem ui$u adhibito, una imago in ueritate, efficientur duæ, $ed contiguæ uel admixtæ: unde uidebitur una.

97. Cõmunis $ectio $uperficierũ, reflexionis & $peculiconici caui e$t latus coni, aut ellip$is. 2 p 9.

IN $peculis pyramidalibus concauis linea, communis $uperficiei reflexionis & $uperficiei $pecu li, aut erit linea lõgitudinis $peculi: aut erit $ectio pyramidalis. Si fuerit linea longitudinis: erũt loca imaginum in ip$o $peculo. Si fuerit $ectio pyramidalis: erunt loca imaginum aliquando ci- tra ui$um: aliquando in ui$u: aliquando inter ui$um & $peculum: & aliquando ultra $peculum, $i- cut o$ten$um e$t in $peculo columnari concauo.

98. Siui$us $it in communi $ectione axis & rectæ lineæ perpendicularis plano, $peculum co- nicum cauum tang\~eti: reflectetur à tota peripheria circuli (cuius centrum e$t dict a communis $ectio) per lineas perpendiculares: & imago uidebitur in centro ui$us. 17 p 9. ALHAZEN

AMplius: $i in perpendiculari ducta à centro ui$us ad $uperficiem contingentem pyramide@@, $umatur punctum corporeum inter ui$um & $peculum: non refle- a b h ctetur forma eius ad ui$um per perp\~edicularem: quoniam punctũ illud occultabit terminũ perpendicularis illius, & ob hoc non reflectetur ab eo. Si autem nullum fuerit punctum in perpendiculari illa: reflectetur quidem ad ui$um per hanc perpendicularem punctum ui$us, quod $ecat perpendicularis ex eo: & illud $olum. Verùm ui$u exi$t\~ete in hac perpen- diculari & in axe: efficietur circulus, ad cuius quodlibet punctum linea ducta à ui$u, erit perpendicularis $uper $uperficiem contingentem. Vnde â quolibet puncto illius circuli fieri poterit reflexio ad ui$um, $ecundum perpendiculares. Et fiet reflexio partis ui$us, quam $ecant perpendicula- res duæ, maiorem angulum in eo continentes. Si uerò inter ui$um & $pe- culum fuerit axis: non fiet ad ip$um reflexio per perpendicularem, ni$i puncti eius, quod $ecant perpendiculares.

99. Siui$us & ui$ibile fuerint in axe $peculi conici caui: po$$unt à tota alicuius circuli peripheria inter $e reflecti: & ιmago uidetur in peripheria circuli, extra $peculi $uperficiem de$cripti. 18 p 9.

AMplius: exi$tente ui$u & puncto ui$o in axe: poterit reflecti unum ad aliud. Verbi gratia: $it h centrum ui$us: t punctum ui$um. Fiat $uperficies $ecans pyramidem, trã$iens $uper axis longitudinem: qu{ae} $it a b g h: a h axis: a b, a g latera pyramidis: à puncto t du- a l c q g d b h catur perpendicularis $uper lineam a b [per 12 p 1] quæ $it t q: & producatur quou$q; q l $it æqualis q t: & à puncto h duca- tur linea ad punctum l: quæ $ecabit lineam longitudinis, quæ e$t a b: $ecet in puncto b: & à puncto b ducatur æquidi$tans lineæ t q [per 31 p 1] quæ nece$$ariò perueniet ad axem: [ut o$ten$um e$t 54 n] perueniat in pũcto d: & ducatur linea t b. Palàm, cum t q $it perpendicularis $uper a b, & t q æqualis q l: erit [per 4 p 1] b t q triangulum æquale triangulo b q l: & erit angulus q l b æqualis angulo q t b: $ed [per 29 p 1] angulus q t b æqualis e$t angulo t b d: & angulus d b h æqualis e$t angu- lo q l b: igitur angulus t b d æqualis e$t angulo d b h. Et ita [per 12 n 4] t reflectitur ad h à puncto b: & locus imaginis e$t l [per 7 n.] Igitur moto triangulo t l h: de$cribet punctum b circulum in pyramide: & à quolibet puncto illius circuli re- flectetur t ad h: l uerò extra lpeculum de$cribet circulum, qui totus erit locus imaginis puncti t.

100. Si cõmunis $ectio $uperficierum, reflexionis & $pe- a g e u @ m q d o n z h p l culi conici caui fuerit ellip$is: ui$us & ui$ibile extra ax\~e in ba- $i, aut plano ip$i parallelo, reflectentur inter $e: aliâs ab uno: aliâs à duobus: aliâs à tribus: aliâs à quatuor $peculipunctis: tot<006> erunt imagines, quot reflexionum puncta. 19 p 9.

AMplius: $umptis duobus punctis & extra perpendicula- rem ui$us, & extra axem in hoc $peculo: $cilicetz, e. Fiat $uperficies æquidi$tans ba$i $uperz: [ut o$t\~e$um e$t 52 n] faciet circulum in $peculo [per 4 th. 1 coni. Apoll.] e aut erit in hoc circulo, aut in alia $uperficie ip$i æquidi$tante. Sit in $uperfi- cieillius circuli: & ducatur linea e z. Palàm [per demon$trata in $peculis $phæricis cauis 86 n] quòd z reflectetur ad e à circulo illo ex una parte, aut ab uno pũcto: aut à duobus: aut à tribus: ex alia uerò ab uno. Sumatur igitur punctum circuli, à quo reflecti- tur ad ip$um: & $it h: centrum circuli t: & ducantur lineæ z h, e h: & diameter t h diuidet quidem angulum illum per æqualia: [per 13 n 4] & $ecabit lineam e z: [quia $ecat angulum ip$i e z $ubten- $um] $ecet in puncto q: & $it a uertex pyramidis: a h linea longi- tudinis. À puncto q ducatur linea perp\~edicularis $uper lineam a h: [per 12 p 1] quæ $it q m: quæ quidem perueniet ad axem: [ut o$t\~e$um e$t 54 n] qui e$t a d: & cadat in ip$um in puncto d: & du- cantur lineæ z m, e m: à puncto z ducatur in $uperficie circuli li- nea æquidi$tans lineæ q h: [per 31 p 1] quæ $it z l: concurret qui- dem [per lemma Procli ad 29 p 1] e h cũilla: $it cõcur$us in pun ctol: & à puncto h ducatur perpendicularis $uper l z: quæ $it h p. Deinde in $uperficie e m z ducatur linea æquidi$tans lineæ q m: quæ $it z o: & cõcurrat e m cum ea in puncto o: [cõcurret aũt per lemma Procli ad 29 p 1] & ducatu@ OPTICAE LIBER V. linea l o: & à puncto p ducatur æquidi$tans l o: quæ $it p n: & ducatur linea m n. Palàm [per the$in & 12 n 4] quòd angulus e h q æqualis e$t angulo q h z: & [per 29 p 1] angulo h l z: & angulus q h z æqua- lis e$t angulo coalterno h z l [ideo\’q; angulus h l z æquatur angulo h z l.] Eritigitur [per 6 p 1] h l æ- qualis h z: & h p perpendicularis e$t $uper l z: [per fabricationé] erit triangulũ l p h æquale triangulo p h z, & erit l p æqualis p z: [per 26 p 1: quia anguli ad l & z æquantur, & ad precti $unt per fabricatio nem, & h z æquatur h l] & p n æquidi$tans e$t o l: erit [per 2 p 6] proportio l p ad p z, $icut o n ad n z. Quare o n æqualis n z. Item cum o z $it æquidi$tans q m [per fabrication\~e] & h q æquidi$tans l z: erit [per 15 p 11] $uperficies z o l æquidi$tans $uperficiei q m h: & $uperficies e o l $ecatillas duas, $uper li- neas cõmunes, [per 3 p 11] qu{ae} quid\~e[per 16 p 11] erunt æquidi$tãtes, $cilicet m h, l o: quare [per 30 p 1] h m, p n $unt æquidi$tantes. Et quoniã h p cadit inter l z, h q æquidi$tantes: & e$t perpendicularis $u per l z: [angulus igitur p h trectus e$t: quia per 29 p 1 æquatur alterno h p l] quare [per con$ectariũ 16 p 3] p h continget circulũ: quare $uperficies a h p e$t $uperficies contingens pyramid\~e. In hac $uper$i cie e$t p n & m n: [Nam cũ h m $it in plano a h p conũ tang\~ete, & illi parallela $it n p, ut patuit: erit igi tur n p in eod\~e plano per 35 d 1: m n uerò, quia utranq; h m & n p connectit, in eod\~e e$t cũ ip$is plano per 7 p 11] & $uper hanc $uperfici\~e e$t perpendicularis linea d m [per demõ$trata 54 n.] Igitur [per 3 d 11] perpendicularis e$t $uper lineam m n: quare [per 29 p 1] m n e$t perpendicularis $uper o z, & o n æ- qualis n z: [ex cõclu$o] erit [per 4 p 1] m o æqualis m z: & [per 7 p 5] e m ad m o, $icut e m ad m z: $ed [ք 2 p 6] e m ad m o, $icut e h ad h l: [nã h m ex cõclu$o parallela e$t ip$i o l] & [per 7 p 5] e h ad h l, $icut e h ad h z: [æquales enim demõ$trat{ae} $unt h l, h z] & [per 3 p 6] e h ad h z, $icute q ad q z [angulus enim e h z bifariã $ectus e$t à linea h q.] Igitur [per 11 p 5] e m ad m z, $icut e q ad q z. Quare [per 3 p 6] angu- lus e m q æqualis angulo q m z. Quare [per 12 n 4] z reflectitur ad e à puncto m. Siigitur z reflectitur ad e à puncto circuli h:reflectetur ad ip$um à puncto pyramidis m: & $i à duobus circuli, à duobus pyramidis: $i à tribus, à tribus: $i à pluribus, à pluribus. Eodem modo ex alia parte circuli fiet proba- tio: quòd ab uno puncto pyramidis, $icut ab uno circuli, reflexio fiat.

101. Sicõmunis $ectio $uperficierum, reflexionis & $peculi conici cauifuerit ellip$is: ui$us & ui $ibile intra $peculum, extra tum axem tum ba$im uel planum ip$i parallelum: reflectentur inter $e: aliâs ab uno: aliâs à duobus: aliâs à tribus: aliâs à quatuor $peculi punctιs: tot<006> erunt imagi- nes, quot reflexionum puncta. 20 p 9.

SIuerò e nõ fuerit in circulo {ae}quidi$tãte ba$i, trã$eũte $uper z: erit quid\~e $uprà uel infrà. Sit $uprà: quia utrobiq; ead\~e e$t probatio. Ducatur linea à uertice a per punctũ e, donec $ecet $uperfici\~e illius circuli: & $it punctũ $ectionis h: q centrũ circuli. Palàm [per demon$trata in $peculis $phæ ricis cauis 66 n] quòd h pote$t reflecti ad z ab aliquo pũcto circuli: $it illud t: & ducatur diameter q t: & linea h z $ecabit hãc diametrũ in puncto: quod $it n: [Nam quia per the$in t e$t reflexiõis punctũ: ergo per 12 n 4 $emidiameter q t bifariã $ecat angulũ h t z: ideo\’q; & ba$im h z angulo $ubt\~e$am] & du catur e z: & linea longitudinis a t. Palàm, cũ punctũ z $it ex una parte diametri q t, & ex alia e: linea e z $ecabit $uperfici\~e a q t: $ecet in puncto o: & à puncto o ducatur perpendicularis $uper lineã a t: [per 12 p 1] qu{ae} $it o p: qu{ae} nece$$ariò cadet $uper axem: [ut o$ten$um e$t 54 n] cadat in puncto d: & ducan turline{ae} e p, z p. Dico, quòd z reflectetur ad e à puncto p. Ducatur à pũcto z linea æquidi$tãs q t[per 31 p 1] quæ $it z f: & producatur linea h t, donec cõcurrat cũ illa: a e u g d o p h q n k z i s t f [cõcurret aũt per lem ma Procli ad 29 p 1] $it cõcur$us in puncto f. Similiter à puncto z ducatur æquidi$tãs line{ae} o p: qu{ae} $it z k: & producatur linea e p, donec cõcurrat cũ illa: $it cõcur$us in pun cto k: & ducantur lineæ k f, k h. Palàm [per 15 p 11] cũ linea z f $it æquidi$tás q t, & z k {ae}quidi$tans o p: [& z f, z k cõcurrant in pun cto z: & p o, t q cõtinuatæ concurrãt per 11 ax: quia angulus o p t rectus e$t è fabricatiõe, & q t p acutus ք 18 d 11] quòd erit $uperfi cies z k f {ae}quidi$tãs o p t: qu{ae} e$t $uperficies a q t: [quia enim p o cadit in axem, ut patuit: e$t igitur in a q t plano per 1 p 11: in quo etiã e$t linea q t: planũ igitur o p q t e$t pars plani a q t] & $uperfi cies h k f $ecat has duas $uperficies, $uper lineas p t, k f. Igitur[ք 16 p 11] p t, k f $unt æquidi$tantes. Ducatur à puncto t perpendi- cularis $uper lineã z f [per 12 p 1] qu{ae} $it t s. Palàm, cũ cadatinter duas æquidi$tantes [q t, z f:] erit angulus q t s rectus [per 29 p 1] & ita [per cõ$ectariũ 16 p 3] cõtinget circulũ: [cuius c\~etrũ e$t q.] Igitur $uperficies a t s contingit pyramid\~e $uper lineã a t: [per 35 n 4] & linea o p e$t perpendicularis $uper hãc $uperfici\~e [ut de- mon$tratũ e$t 54 n.] Superficies igitur a t q erit orthogonalis $u per $uperficiem a t s: [per 18 p 11] & $uperficies a t s $ecat duas $u perficies a t q, z k f@quæ $unt æquidi$tantes: igitur[per 16 p 11] li- ne{ae} cõmunes $ectionũ $unt æquidi$tantes. Vnaharũ linearũ e$t p t: alia $it s i. Sed iam patuit, quod p t æquidi$tans e$t k f: igitur [per 30 p 1] s i e$t æquidi$tans k f. Sed planũ e$t, quòd angulus n t z {ae}qualis e$t angulo t z f, & angulus h t n {ae}qualis angulo t f z: [ք 29 p 1: quia q t & z f$unt parallel{ae} per fabrication\~e] & t s perpen cicularis [$uper z f perfabricationem] erit f s æqualis s z. [Quia ALHAZEN enim anguli t z f, t f z æquantur angulis z t n & h t n per 12 n 4 æqualibus, cum t ex the$i $it reflexio nis punctum: ip$i igitur inter $e æquantur: & anguli ad s recti $unt: & t s commune latus e$t. Quare per 26 p 1 f s æquatur s z.] Sed [per 2 p 6] proportio f s ad s z, $icut k i ad i z: erit ergo k i {ae}qualisi z. Du cta autem linea p i: cum $uperficies a t f $it orthogonalis $uper $uperficiem z k f: erit [per 4 d 11] p i or- thogonalis $uper z k: & erit [per 4 p 1] angulus p k z æqualis angulo k z p: $ed [ք 29 p 1] angulus e p o æqualis angulo p k z, & angulus o p z æqualis angulo p z k. Quare angulus e p o æqualis e$t angulo o p z. Etita z reflectitur ad e à puncto p [per 12 n 4.] Quod e$t propo$itum. Si autem $umatur aliud punctũ $n circulo, à quo z reflectatur ad h: probabitur, quòd ab alio puncto pyramidis, quàm p, refle ctetur z ad e. Et $i reflectatur z ad h à tribus punctis circuli: reflectetur z a d e à tribus pũctis pyrami dis: $i à quatuor, à quatuor. Si uerò dicatur, quòd à pluribus pũctis pyramidis, <004> quatuor, po$sit pun ctũ z reflecti ad e: per cõuer$ion\~e prædictæ probatiõis poterit o$tendi, quòd punctũ z reflectitur ad h à pluribus punctis circuli quàm quatuor [contra 86 n.] Et ubi accidet punctũ z reflecti ad h ab ali quot punctis circuli, uel ab uno tantùm: accidet punctũ z reflecti ad e à totidem punctis pyramidis, aut ab uno tantùm, aut è contrario. Quòd $i dicatur contrarium: poterit improbari prædicto modo. Palàm ergo, quòd punctorũ quædam unicã habent imagin\~e: qu{ae}dam duas: quædã tres: quædã qua- tuor: $ed nõ po$sibile plures. Verùm duplici ui$u adhibito, $peculo: eiu$dem imaginis diuer$a erunt loca: quæ diuer$itas propter $uam imperceptibilitatem non inducit errorem.

102. Vi$u & ui$ibili datis, in $peculo conico cauo punctum reflexionis inuenire. 21 p 9.

PVnctum autem reflexionis, à quo z reflectitur ad e, facile e$t inuenire: inuento puncto circuli, à quo punctum z reflectitur ad h. Et erit inuentio modo prædicto.

ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE LIBER SEXTVS.

_L_lber $extus in nou\~e partes diuiditur. Pars prima e$t titulus libri. Secunda, quòd er- ror accidat ui$ui propter reflexionem. Tertia de errore eueniente in $peculis planis. Quarta de errore, qui oritur in $peculis $phæricis exteriorib. Quinta de errore in $peculis columnaribus exterioribus. Sexta de errore in pyramidalibus exterioribus. Septima de errore in $phæricis concauis. Octaua de errore in columnaribus concauis. Nona de errore in pyramidalibus concauis.

PROOEMIVM LIBRI. CAP. I.

PAtuit ex $uperioribus libris modus acqui$itionis formarum in $peculis per ui$um, $itus linearum reflexionis & acce$$us, $itus imaginum: & loca ip$arũ. Verùm per reflexion\~e non $emper comprehenditur formæ ueritas. In $peculis enim concauis apparet imago faciei di$torta, & occultatur ui$ui di$po$itio eius uera. Vnde planum e$t, error\~e incide. re in comprehen$ione formarum propter reflexionem. Huius erroris modum, & modi cau$$am, propo$itum e$t in libro præ$ente explanare, & $ecundum diuer$itates $peculorum di$curre re uarietates errorum.

QVO'D ERROR ACCIDAT VISVI PROPTER RE- flexionem. Cap. II. 1. Vi$us reflexus $imiliter allucinatur, ut directus: $ed uebementius & frequentius. 7 p 5.

COmprehen$ionem formarũ in ui$u directo liber $ecundus docuit: & $ingula, qu{ae} propter e- gre$$um à t\~eperantia in ui$u illo error\~e inducũt, liber tertius dilig\~eter expo$uit. Fit aũt com- prehen$io formarũ per reflexion\~e, $icut & directè: & quorũ fit acqui$itio in directione, fit eriã in reflexione, utpote lucis, coloris, figur{ae}, magnitudinis, di$tantiæ, & $imiliũ. Et quemadmodũ in di rectione rerum præfixarũ & cognitarũ ad alias fit collatio, & inde oritur cõiecturatio, & $umitur iu- diciũ in anima: $imiliter accidit in reflexione. Vnde quæcunq; temperamentũ egre$$a, in ui$u dire- cto error\~e efficiunt, in reflexione $imiliter inducunt. Et $ecundũ $ingula maior accidit error in refle xione, propter luc\~e debilem, quã debilitat ip$a reflexio. Vt aũt generaliter loquamur, nõ pote$t in re flexione coprehendi ueritas form{ae}, $icut in directione, propter triplex impedιmentũ reflexioni $pe- ciale. Primũ e$t, quòd in reflexione apparet rei forma præ oculis ui$ui oppo$ita, cum non $it reuera. Secundũ, quòd lux & color corporis ui$i mi$centur cum colore $peculi, quã mixturã ui$us percipit, nõ uerũ rei ui${ae} color\~e uel lucem. Tertiũ, quòd ip$a reflexio, ut in $uperioribus [4 n 4] e$t a$signatũ, luc\~e & color\~e debilitat. Quare in reflexione latebit ui$um ueritas lucis & coloris plus, <004> in directio- ne. Amplius: $uperiorà docuerunt, quòd quantitas temperamenti eorũ, qu{ae} in ui$u directo errorem inducunt, fortitudin\~e lucis & coloris re$picit: fortiore enim luce uel colore erit maior, debiliore mi- hor. Cum autem per reflexionem debilitentur lux & color: erit latitudo temperamenti $ingulorum error\~e inducentium minor in reflexione, quàm in directione: & temperantiæ diminuta latitudo plu @alitatem erroris inducit. Præterea quædam minutiæ corporum comprehendi poterunt per dire- OPTICAE LIBER VI. ctionem, qu{ae} nullatenus $unt comprehen$ibiles per reflexionem. Palàm ergo, quòd directionem $u perat reflexio in maioritate errorum & numero.

DE ERRORE, QVI ACCIDIT IN SPECVLIS planis. Cap. III. 2. In $peculo plano imago æquatur ui$ibili. 52 p 5.

IN $ingulis $peculis erronea formarum accidit comprehen$io, $ed iuxta uarietatem $peculorũ fi uarietas errorum. In $peculis planis minor accidit error, quàm in alijs. In his etenim comprehen ditur ueritas figuræ, & quantitatis, $icut & in directione, quod per probation\~e patebit. Propona tur $peculũ planum: & $it a b linea in $uperficie illius $pe- culi, cõmunis $uperficiei $peculi & $uperficiei orthogona f f e a z b h d g li $uper $uperficiem $peculi, [id e$t $uperficiei reflexionis, qu{ae} per 13 n 4 perpendicularis e$t plano $peculo, uel pla- no $peculũ obliquũ in reflexionis puncto tangenti.] Sint l, f duo puncta in $uperficie illa orthogonali: e centrum ui $us: & à puncto l ducatur perpendicularis $uper $uperfi- ciem $peculi[per 11 p 11] quæ $it l h: & producatur, ut h g $it æqualis l h. Similiter producatur perpendicularis f z, ut d f $it æqualis z f. Palàm ex $uperioribus [2.3 n 4] quòd l re flectitur ad e ab aliquo puncto $peculi: & locus imaginis e$t g [per 2 n 5] tantùm di$tans à $uperficie $peculi, quan- tùm l [per 11 n 5.] Similiter f reflectitur ad e: & locus ima- ginis e$t d [per 2 n 5.] Ducta aut\~e linea f l: & $imiliter g d: quodcunq; punctum lineæ f l reflectetur ad e: locus ima- ginis eius e$t tantùm di$tans à $uperficie $peculi, quantũ ip$um punctũ. Et ita quo dlibet punctũ linéæ f l tantùm uidetur di$tare, quantùm di$tat! Vnde $i linea f l fuerit re cta: erit linea d g recta: $i fuerit arcus: erit d g arcus & eiu$dem curuitatis. Quare linea l fapparebit e- iu$dem quantitatis, eiu$dem figuræ, cuius fuerit. Quod e$t propo$itum.

3. Vi$us in reflexione præcipuè allucinatur propter lucis immoderation\~e: $itus diuer$itatem: ui$us & ui$ibilis à $peculo di$tantiam. 7 p 5.

VErùm $i in punctis lineæ f l fuerit uarietas colorum minutim uariata: for$itan nõ di$cernetur uariatio, $ed una prætendetur ui$ui coloris con$u$io. Vnde error erit in luce & colore. Et hoc in numero, propter reflexion\~e. Illa etenim colorum & lucium uarietas for$itan comprehen- di po$$et directè, $ed egre$$us e$t color à t\~eperantia re$pectu reflexionis, nõ re$pectu directionis. Si- militer particulæ minutæ occultantur, aut confunduntur in reflexione, quæ di$cerni po$$ent in dire ctione. Et propter debilitat\~e lucis uel coloris ex reflexione, accidit error in longitudine, qui quid\~e nõ accideret directè. In $itu manife$tè accidit error ex reflexione $ola. In imagine enim, $ini$tra com prehendimus ea, quæ in corpore ui$o ($i e$$et in loco imaginis) dextra uideremus. Cũ enim aliquid alij opponitur, contrarius eis $itus e$t ad inuicem: quod enim uni fuerit dextrum, alij erit $ini$trum. Igitur quod rei ui$æ dextrum, e$t imagini $ini$trum: & $ini$trum in imagine, dextrum e$t uidenti. Et generabter in modo lucis, uel coloris, uel $itus $emper error accidit ex $ola reflexione. Et in alijs, quæ errorem inducunt directè: inducunt $imiliter in reflexione: & facilius: quoniam temperamen- tum $ingulorum minus e$t in ui$u reflexo, quàm in directo. Horum omniũ unum proponatur exem plum, & idem in cæteris intelligatur. In ui$u directo cum fuerit corpus ui$um, remotum ab axibus ui$ualibus, accidit ip$um uider@ duo: [ut demon$tratum e$t 11 n 3] idem euenit in $peculis, re ui$a ab axibus elongata. In $peculis ab aliqua lõgitudine uidebitur corpus minus, quàm $it, quod for$an di- rectè à tanta longitudine uideretur etiã minus, quàm e$$et in ueritate, $ed non adeò minus. Et hoe minoritatis additamentum in $peculis, prouenit propter minus in longitudine temperamentũ. In figura nonnunquam accidit error in $peculis propter cau$$as, propter quas in ui$u directo: $ed ma- ior & frequentior propter $itum. Si aliquid ab aliqua longitudine opponatur $peculo, & eius capita non percipiantur à ui$u, ut funis, del aliquid tale: uidebitur for$itan continuũ $peculo. Idem accidit in ui$u directo, $i opponatur funis aliquιs foramini, & non uideantur capita funis: non apparebit di $tantia inter funem & foramen, licet magna $it. Et e$t propter $itum. Si autem alterum capitum ui- deatur, alterum uerò non: uidebitur forta$sis illud caput continuum. Et in $ingulis ubi directè er- ror accidit: $imiliter in reflexione.

DE ERRORE, QVI ACCIDIT IN SPECVLIS SPHAE- ricis conuexis. Cap. IIII. 4. In $peculo $phærico cõuexo id\~e e$t $itus, eadem<006> di$po$itio partiũ imaginis & ui$ibilis. 35 p 6.

VNiuer$itas errorũ in $peculis planis accidentiũ, euenit $imiliter in $phæricis exterioribus. Et præter hoc res ui$a uidetur minor <004> $it. Et generaliter in his $peculis nihil exre ui$a compre- ALHAZEN henditur in ueritate, præter ordination\~e partiũ, quæ talis apparet in $peculo, qualis e$t in imagine.

5. In $peculo $phærico conuexo, imago ui$ibilis, cuius uera magnitudo ui$ione directa percipi pote$t, minor e$t ui$ibili. 39 p 6.

QVòd autem res $emper uideatur minor, quàm $it: probatur. Sit a b linea ui$a: z x $peculum: d centrum: e punctum ui$us. a reflectatur ad e à puncto h: b à puncto n. a b producta aut tran$i bit per centrum $peculi, aut non. Tran$eat: & ducatur à puncto n linea contingens circulum [per 17 p 3] quæ $it n l: à puncto h contingens circulum, h m: & ducantur line{ae} acce$$us & reflexionis b n, e n, a h, e h: & producãtur lineæ e h, e n, donec cadant in perpendicalar\~e, quæ e$t a d: & puncta ca $us $int, t, q. Palàm [ք 3 n 5] quòd t e$t locus imaginis a: q e$t locus imaginis b. Dico, quòd a b maior e$t q t. Palàm ex $uperioribus [18 n 5] quòd proportio a d ad d t, $icut a m ad m t. Similiter {pro}portio b d ad d q, $icut proportio b l ad l q: $ed [per 9 ax:] a d maior d b, & d t mi nor d q: ergo maior e$t proportio a m ad m t: quàm b l ad l q. [Quia e- a f b m @ k @ q n e t h d @ z nim è quatuor lineis a d prima maior e$t b d tertia, & d t $ecunda mi- nor d q quarta: erit ratio a d ad d t maior quàm b d ad d q, ut patet ex 8 p 5: & per 11 p 5 ratio a m ad m t maior quàm b l ad l q.] Secetur [per 12 p 6] a m in pũcto f, ut proportio fm ad m t $it, $icut b l ad l q: erit er go minor proportio b m ad m t, quàm b l ad l q. [Nam cum m t $it ma- ior l q: erit ք 14 p 5 f m maior b l: quare per 8 p 5 ratio f m ad m t maior e$t, quàm b l ad eandem m t: ratio igitur b l ad m t minor e$t, quàm b l ad l q: ergo ratio b m ad m t multo minor erit, <004> b l ad l q.] Secetur [per 12 p 6] m t in puncto k, ut proportio b m ad m k $it, $icut b l ad l q. k cadet nece$$ariò inter m & q: quia l q minor m q, & b l maior b m. Cũ igitur f m ad m t, $icut b l ad l q, & $icut b m ad m k: erit [per 19 p 5] proportio f b ad k t, $icut b l ad l q: $ed b l, maior l q: [conclu$um enim e$t ut b d ad d q, $ic b l ad l q: itaq; cum b d $it maior d q, erit b l maior l q] ergo f b maior k t. Quare a b maior q t. [quia a b maior e$t f b, quæ maior o$t\~e$a e$t k t, & k t maior e$t q t. Quare a b multò maior e$t q t.] Quod e$t propo$itum. Si uerò linea a b producta non perueniat ad centrum: ducatur à puncto a linea ad c\~etrum: quæ $it a d: & $it d cen- trum: & à puncto b ducatur linea b d: & locus imaginis a $it punctum g: locus imaginis b $it p: & ducatur linea g p: quæ quidem e$t imago lineæ a b. Dico quòd a b maior e$t g p: quoniam g p aut e$t æquidi$tans a b, aut nõ. Si fuerit æquidi$tans, planum: quòd e$t minor. [Nam per 29.32 p 1 triangula a d b, & g d p $unt æquiangula: ideo\’q; per 4 p 6, ut a d ad d g, $ic a b ad b a e p g d a b h z e p g d g p: $ed per 9 ax. a d maior e$t d g: ergo a b maior e$t g p.] Si non fuerit æquidi$tans, producatur, quou$que concurrat cum ea: $it concur$us z: & [per 31 p 1] à puncto p producatur æquidi$tans a b: quæ $it p h. Angulus p g h aut e$t acutus: aut rectus: aut maior. Sit rectus uel maior: erit [per 19 p 1] latus p h maius p g: $ed [per 29. 32 p 1. 4 p 6] p h minus a b: [ideo\’q; recta p g multò mi- nor e$t a b.] Et ita e$t propo$itũ. Si fuerit acutus: pote$t accidere ut forma $it maior ip$a re, cuius e$t forma: [quando nimirum angulus p g h minor e$t angulo p h g] quam licet, excedat: rarò accidet. Et $i acciderit, for$itan comprehendetur forma à longitudine tali, quòd minor uidebitur quàm $it: quoniam ip$um corpus ab hac longitudine for$itan uidebitur minus.

6. In $peculo $phærico conuexo, imagoui$ibilis, cuius uera magnitudo ui$ione directa propter immoder at am di$tantiam percipi non pote$t: aliâs e$t æquabilis ui$ibili: aliâs maior. 38 p 6. OPTICAE LIBER VI.

QVòd aũt forma in his $peculis aliquando uideatur maior re ui$a: $cilicet cum cõprehenditur à tali longitudine, à qua eius certa quantitas nõ po$sit di$cerni: declarabitur. Sit a centrum $peculi: & $uperficies $umatur reflexionis: quæ $ecabit $peculum $uper circulum: [per 1 th. 1 $phær.] $it circulus ille e d b: e d diameter illius circuli: & producatur diameter e d u$q; ad z, ut multi plicatio e z in z d $it æqualis quadrato a d: quod planũ e$t, cum $it po$sibile diametro e d talem addi lineam, ut ductus totalis in partem additam, $it æqualis quadrato a d: [id uerò quomodo expeditè fiat, o$ten$um e$t 32 n 5] & diuidatur linea z d in partes æquales, in puncto h [per 10 p 1.] Erit igi- tur a h medietas e z. [Nam $i a d, a e per 15 d 1 æquales, addantur æqualibus h d, h z: æquabitur a h ip$is z h & a e. Tota igitur e z dupla e$t ip$ius a h.] Ductus ergo a h in h d erit æqualis quartæ parti quadrati a d. [Quia enim oblongum comprehen$um $ub e z & z d æquatur quadrato a d per fabri- cationem: ergo quod comprehend: tur $ub a h dimidiata ba$i & z d altitudine eadem, æquatur di- midiato quadrato a d per 1 p 6: rur$us\’q; oblongũ comprehen$um $ub a h ba$i eadem & h d altitudi- ne dimidiata, æquatur dimidiato oblongo $ub a h & z d. Quare æquatur quadranti quadrati a d.] Et quoniam ductus a h in h d maior e$t quadrato h d: [quia per 3 p 2 æquatur quadrato h d, & oblongo comprehen$o $ub a d, & d h] $it ductus a h in h t, æqualis quadrato h d [fiet autem æqualis, $i ip$is a h & h d tertiam proportionalem per 11 p 6 inueneris: tum enim per 17 p 6 oblongum extremarum æquabitur quadrato mediæ h d. Itaq; $i de h d detraxeris æqualem inuentæ proportionali, manda- tum executus fueris.] Fiat circulus $ecundum quantitatem a h: & à puncto h producatur chorda, æqualis medietati lineæ h d: [per 1 p 4] quæ $it h q: & producantur lineæ q a, q t: & [per 23 p 1] $uper punctũ q fiat angulus, æqualis angulo q a h: qui $it h q n. Cum ergo in his duobus triangulis hi duo anguli $int æquales, & unus cõmunis, $cilicet q h a: erit [per 32 p 1] tertius tertio æqualis, $cilicet a q h angulo h n q: & erũt triangula $imilia: [per 4 p. 1 d 6] & erit proportio a h ad h q, $i cut h q ad h n. Igi- tur [per 17 p 6] q<001> fit ex ductu a h in h n, æquale e$t quadrato h q: $ed, [per con$ectariũ 4 p 2] quadra tum h q e$t quarta pars quadrati h d: cũ h q $it medietas h d [per fabrication\~e.] Igitur multiplicatio a h in h n, {ae}qualis e$t quartæ parti multiplicationis a h in h t. Quare h n e$t quarta pars h t [per 1 p 6.] Igitur n cadit inter h & t: re$tat, ut ductus h t in t n $int tres quartæ quadrati h t. [Quia enim h n e$t quadrans ip$ius h t: reliqua igitur n t e$t dodrans, $eu tres quartæ h t. Et quoniam rectangula com- prehen$a $ub tota h t & $egmentis n t & n h æquantur quadrato h t per 2 p 2: rectangulum igitur comprehen$um $ub tota h t & $egmento t n (quod e$t dodrans totius h t) æquatur dodranti quadra ti h t.] Verùm angulus q h a acutus e$t: [ut o$ten$um e$t 60 n 5] & [per 5 p 1] æqualis angulo h q a: quia re$piciunt æqualia latera in triangulo maiori. Igitur angulus q h n æqualis angulo h n q: [æqua lis enim conclu$us e$t angulus a q h angulo h n q] & ita [per 6 p 1] h q æqualis q n, & angulus h n q acutus: quare [per 13 p 1] angulus q n t obtu$us. Quadratum igitur t q $uperat quadratum q n & qua- dratum t n, ductu lineæ t n in h n. Quoniam, ut dicit Euclides [12 p 2] quadratum lateris oppo$iti ob- ru$o $uperat quadrata duorũ laterũ, quantũ e$t, quod fit ex ductu unius lateris bis in part\~e ei adiun- ctam, procedent\~e u$q; ad locũ ca$us perpendicularis à capite alterius lateris ductæ. Nam $i à pũctò q ducatur perpendicularis $uper lineam h t: cadet in punctũ me- o z @ l h m n q t d a b e dium lineæ h n: [non enim cadit extra puncta h & n: $ecus per 16 p 1 angulus acutus maior e$$et recto contra 12 d 1: caditigitur in medium rectæ h n per 26 p 1] & [per 1 p 2] ductus t n in medie- tatem h n bis, æquipollet ductui t n in h n. Igitur quadratum t q $uperat quadrata q n, t n, ductu tn in n h. Sed [per 3 p 2] ductus t n in h n, cum quadrato tn, æqualis e$t ductui h t in tn. Igitur [$ubducto quadrato tn] ductus h t in t n e$t exce$$us quadrati t q $upra quadratum h q. [nam quadratum q h æquatur quadra- to q n: quia rectæ q h, q n æquales o$ten$æ $unt.] Amplius: $it proportio a i ad a h, $icut q t ad q h: [per 12 p 6] erit [per 22 p 6] quadratum [ai] ad quadratum [a h] ficut quadratum [qt] ad quadratum [qh] & erit [per 17 p 5] proportio exce$$us quadra- ti a i $upra quadratum a h, ad quadratum a h, $icut ductus h t in t n, ad quadratum q h. [Nam a i maior e$t a h: quia q t maior e$t q h: cum quadratum q t $it maius quadrato q h: & oblongũ com prehen$um $ub h t, t n e$t exuperantia quadrati q t $upra quadra tum q h.] Et quoniã quadratum q h quater $umptũ, efficit quadratum h d: [per con$ectarium 4 p 2: quia q h dimidia e$t ip$ius h d per fabrication\~e] & ductus h t in t n quater $umptus, efficit triplũ qua- drati h t: [o$ten$um e$t enim rectangulũ cõprehen$um $ub h t & t n, e$$e dodrant\~e quadrati h t: itaq; quater $umptũ, erit triplũ quadrati h t] erit [per 15 p 5] ductus h t in t n ad quadratũ h q, $icut triplum quadrati h t ad quadratum h d. Sit autem h o tripla ad h t: erit ductus h o in h t triplus ad quadratum h t [per 1 p 6.] Sed quoniã proportio a h ad h d e$t, $icut h d ad h t: [Nam per the$in rectangulum com prehen$um $ub a h & h t {ae}quatur quadrato h d: ergo per 17 p 6, ut a h ad h d, $ic h d ad h t] erit [per cõ- $ectaria 20 p 6. 4 p 5] h t ad a h, $icut quadratũ h t ad quadratum h d. Verùm proportio o h ad a h, $i- cut ductus o h in h t ad ductum a h in h t [per 1 p 6] & [per 11 p 5] proportio o h ad h a, $icut propor- tio tripli quadrati h t ad quadratũ h d. Sed hæc erat {pro}portio exce$$us quadrati a i $upra quadratũ a h ad quadratũ a h. Igitur o h ad a h, $icut exce$$us quadrati a i $upra quadratũ a h ad quadratum a h. ALHAZEN Igitur coniumctim [per 18 p 5] proportio o a ad a h, $icut quadrati a i ad quadratũ a h: exce$$us enin@ quadrati a i $upra quadratũ a h, cum quadrato a h efficit quadratum a i: igitur [per conuer$ion\~e cõ$e- ctarij ad 20 p 6] i a erit media in proportione inter o a & a h. Igitur proportio o a ad i a, $icut i a ad h a: & [per 19 p 5] eadem erit proportio re$idui ad re$iduum: id e$t o i ad i h. Amplius: ductus a d in h d minor e$t quarta parte quadrati a d: [demon$tratum enim e$t rectangulum comprehen$um $ub a h & h d, æquari quadranti quadrati a d: & a d minor e$t quàm a h per 9 ax:] igitur h d e$t minor quarta parte lineæ a d. [nam $i æqualis e$$et: rectangulũ comprehen$um $ub a d & h d, æquaretur quadranti quadrati a d per 1 p 6.] Igitur h d e$t minor quinta parte a h. Cũ ergo a h $it maior quàm quintupla ad h d, & ductus eius in h t efficiat quadratũ h d: [per the$in] erit h t minor quinta parte h d: [nam per the$in & 17 p 6 e$t, ut a h ad h d, $ic h d ad h t: $ed per proximã conclu$ion\~e a h maior e$t, quàm quintu pla ip$ius h d: ergo h d maior e$t quàm quintupla ip$ius h t: ide@\’q; h t minor quinta parte ip$ius h d] & ita h t minor uice$ima quinta parte h a. [Quia enim ratio h a ad h d, & h d ad h t maior e$t <004> quintu pla, ut patuit: erit per 10 d 5 ratio a h ad h t maior, <004> uicecupla quintupla: ideo\’q; h t minor uice$ima quinta parte ip$ius a h.] Sed proportio o i ad i h, $icut i a ad a h, ut dictũ e$t. Igitur cõiunctim [per 18 p 5] o h ad i h, $icut i a cũ a h ad a h. Igitur [per 15 p 5] tertia prim{ae} ad $ecũdã, $icut tertia terti{ae} ad quartã: $ed h t e$t tertia pars lineæ o h [nam per the$in h o tripla e$t ip$ius h t.] Igitur t h ad i h e$t, $icut tertia pars line{ae} i a, cũ tertia parte a h, ad lineã a h. Igitur t h ad i a, $icut du{ae} terti{ae} line{ae} a h, cum tertia line{ae} i h, ad lineã a h. Sed quoniã linea o i e$t maior i h: [o$ten$um enim e$t, ut o a ad ia, $ic o i ad i h: at per 9 ax: o a maior e$t i a: ergo o i maior e$t i h] erit i h minor medietate o h: & erit tertia i h minor $exta par te o h: & ita tertia i h erit minor medietate t h. Igitur duæ tertiæ a h, cum minore parte, quàm $it me- dietas h t, $e habebunt ad a h, $icut t h ad i h. Igitur [per con$ectariũ 4 p 5] i h ad h t, $icut a h ad duas $ui tertias cum minore, quàm $it medietas h t: $ed h t minor uice$ima quinta a h: & eius medietas mi nor quàm medietas uice$imæ quintæ partis. Sed linea a h in uigintiquinq; partes diui$a: duæ tertiæ cum medietate uice$imæ quintæ partis non efficiunt octodecim eius partes. [Nam ex arithmeticæ regulis intelliges {2/3} de 25 e$$e 16 integra, & $upere$$e {2/3}, quæ additæ cum eo, quod minus e$t {1/2} uel etiã cum {1/2}, efficiunt 1{1/6}. Itaq; {2/3} cum {1/2} de 25, $unt 17{1/6}.] Igitur proportio i h ad h t maior e$t, quàm $it pro- portio 25 ad 18. Item cum h t $it minor uice$ima quinta parte a h: erit at maior uigintiquatuor parti- bus, quarum a h e$t uigintiquinq;. Sed linea i h minor e$t medietate o h: & ita minor medietate h t: [quia h t & eius $emi$sis efficiunt $emi$$em ip$ius o h: quo i h minor conclu$a e$t] & ita minor una & dimidia uigintiquinq; partium a h: & i a ita minor 26{1/2}, $umptis partibus $ecundum diui$ionem a h. Ergo proportio i a ad a t, $icut minoris lineæ 26{1/2} ad maiorem 24. Igitur proportio i a ad a t mi- nor e$t, quàm 26{1/2} ad 24. Sed proportio i h ad h t maior e$t, quàm 25 ad 18: igitur proportio i h ad h t maior e$t, quàm i a ad a t [ratio enim 25 ad 18 maior e$t, <004> 26{1/2} ad 24, ut patet ex arithmethica.] Sit proportio i m ad m t, $icut i a ad a t: [id autem efficies: $irectæ ex i a & a t compo$itæ $egmenta $u- mas i a, a t: i t uerò in$ectam $imiliter $eces per 10 p 6] cadet quidem m inter i & h. [Quia enim ra- tio lineæ i h ad h t maior e$t, quàm i m ad m t: erit i m minor i h: itaq; punctum m cadit inter i & h: e- rit\’q; per 9 ax: m t maior m h.] Item maior erit proportio i m ad m h, quàm i a ad a t: [Quia enim li- nea m t maior e$t m h è proxima conclu$ione: erit per 8 p 5 ratio i m ad m h maior, quàm ad m t: at ratio i m ad m t, e$t ratio i a ad a t per fabrication\~e. Qua- @ z i l @ m h n t d z a @ k g y c f b z r s u p a @ e x re per 11 p 5 ratio i m ad m h maior e$t, quàm i a ad a t] & ita maior, quàm i a ad a h. [Quoniam enim ratio i m ad m h maior e$t, quàm i a ad a t è $uperiore conclu- $ione: ratio uerò i a ad a t maior e$t, quàm ad a h per 8 p 5: cum a t $it maior ip$a a h per 9 ax. Ratio igitur i m ad m h multò maior e$t, quàm ratio i a ad a h.] Sit igi- tur proportio il ad lh, $icut i a ad a h: [per 10 p 6] ca- det quidem linter m & i. Amplius à punctis l, m ducan- tur contingentes l b, m g [per 17 p 3] & ducantur lineæ i b, h b, i g, t g, a b, a g: quæ duæ ultimæ producantur u$- que ad exteriorem circulum: & habebitur ex quarto li- bro, quòd angulus i b z $it æqualis angulo h b a [conti- nuata enim h b in x: æquabuntur anguli i b z & x b z per 12 n 4: item x b z & h b a per 15 p 1: itaq; per 1 ax. an- guli i b z, h b a æquantur.] Cum igitur $it proportio il ad l h, $icut i a ad a h [per $uperiorem fabricatio- nem] erit [per 18 n 5] h locus imaginis i, dum reflecti- tur à puncto b. Et $i dicatur cõtrarium, & $umatur alius locus imaginis i: probabis per impo$sibile, $umpta im- po$sibilitate à proportione, quam non e$t uerum e$$e i a ad lineam à puncto imaginis ductam ad punctum a, $icut i l ad lineam à puncto l ad locum imaginis. Cum igitur h $it locus imaginis: & l b contingat circulum in b: producta a b faciet angulum l b z æqualem $uo collaterali [a b l: quia uterq; per 18 p 3 rectus e$t.] Et quoniã l b perpendicularis $uper a b z [per 18 p 3] re$tabit angulus i b l æ qualis angulo l b h. [Nam OPTICAE LIBER VI. recti l b z, a b l æquantur per 10 ax: & i b z æqualis cõclu$us e$t ip$i h b a: reliquus igitur i b l æquatur reliquo l b h.] Eod\~e modo erit angulus i g z æqualis angulo t g a. [Quia enim m g tangit, & per fabri- cation\~e e$t, ut i m ad m t, $ic i a ad a t: erit per 18 n 5 t locus imaginis pũcti i, reflexi à puncto $peculi g. Quare cõtinuata t g in x: æquabũtur per 12 n 4 anguli i g z, x g z: & per 15 p 1 x g z, t g a: quare i g z, t g a æquãtur.] Et cũ m g $it perpendicularis $uper a g z: [per 18 p 3] erit angulus i g m æqualis angulo m g t [quia enim anguli m g z, m g a per 18 p 3 recti {ae}quãtur per 10 ax: & i g z t g a æquales cõclu$i $unt: reli qui igitur i g m, t g m {ae}quabũtur.] Amplius: ducatur à pũcto h ad lineã a b linea {ae}quidi$tãs i b [ք 31 p 1] qu{ae} $it h p: & à pũcto t æquidi$tãs i g ad lineã a g: qu{ae} $it t r: erit [ք 29 p 1] angulus i b z æqualis angulo h p b: Sed angulus i b z {ae}qualis angulo h b a, ut dictũ e$t: & ita duo anguli h b a, h p b $ũt {ae}quales. Qua re [ք 6 p 1] duo latera h b, h p $unt {ae}qualia: $imiliter t r {ae}qualis t g. Verũ angulus h p b e$t acutus: cũ $it æqualis angulo i b z: [qui minor e$t recto l b z] erit igitur angulus h p a obtu$us: [ք 13 p 1] & erit [ք 19 p 1] a h maior h p. Similiter erit t a maior t g. Amplius: quoniã h p æquidi$tat i b: erit [per 29 p 1. 4 p 6] i a ad a h, $icut a b ad a p: erit $imiliter proportio i a ad a t, $icut a g ad a r: & erit [per con$ectariũ 4 p 5] proportio a h ad i a, $icut a p ad a b: $ed i a ad a t, $icut a b ad a r (cum a b $it æqualis a g) [per 15 d 1.] Igitur [per 22 p 5] erit proportio a h ad a t, $icut a p ad a r. Verùm cum angulus h p a $it obtu$us [ut patuit] quadratum h a excedet quadratum h p & quadratum a p, multiplicatione a p in lineam du- ctam à puncto p u$q; ad locum perpendicularis, ductæ à puncto h, bis [per 12 p 2.] Sed perpendicu- laris ducta à puncto h, cadet in medium lineæ p b: [non enim cadit extra puncta p, b: $ecus angulus acutus e$$et maior recto per 16 p 1: cadit igitur inter puncta p, b, & in medium lineæ p b per 26 p 1] cum h b, h p $int æquales: & ita [per 1 p 2] quadratum h a excedet quadratum h p, & quadratum a p, in multiplicatione a p in p b: & ita quadratum a h excedit quadratum h p in multiplicatione a b in a p: quoniam [per 3 p 2] ductus a p in p b cum quadrato a p, ualet ductum a b in a p. Similiter qua- dratum a t excedit quadratum tr, in ductu a g in a r, $iue a b in a r: quod idem e$t. [æquales enim $unt a g, a b per 15 d 1.] Ducatur igitur linea a b in duas lineas a p & a r, & prouenient duo exce$$us. Igitur proportio exce$$us ad exce$$um, $icut a p ad a r. [nam eadem altitudo a b multiplicans ba$es a p & a r, facit duo rectangula æquantia duos exce$$us, proportionalia ba$ibus per 1 p 6.] Erit ergo proportio exce$$us quadrati a h $upra quadratum h p; ad exce$$um quadrati a t $upra quadratum t r, $icut a h ad a t [patuit enim a p & a r proportionales e$$e ip$is a h & a t.] Et cum h p $it æqualis h b, & t r, t g: erit [per 7 p 5] proportio exce$$us quadrati a h $upra quadratum h b, ad exce$$um quadra- ti a t $upra quadratum t g, $icut a h ad a t. Sed multiplicatio e h in h d e$t æqualis quadrato lineæ, à puncto h ad circulum d b e contingenter ductæ: [per 36 p 3] & erit [tangens] minor h b. [Quia enim h b continuata $ecat peripheriam d b e: æquabitur oblongum comprehen$um $ub tota $ecante & exteriore $egmento, quadrato rectæ ab eodem puncto h peripheriam tangentis per 36 p 3. Itaque per 17 p 6 ut exterius $egmentum ad tangentem, $ic tangens ad totam $ecantem: at per 8 p 3 exte- rius $egmentum minus e$t tangente: quare tangens minor e$t $ecante] & ita multiplicatio e h in h d minor e$t quadrato h b. Et fiat ductus a h in h u æqualis quadrato h b [ut o$ten$um e$t 32 n 5.] Er- go h u minor e$t h a. [Quia enim oblongum comprehen$um $ub h a & & h u æquatum e$t quadrato h b: erit per 17 p 6, ut h a ad h b, $ic h b ad h u: at h a maior e$t h b, ut patuit: ergo h b maior e$t h u: qua- re h a multò maior e$t h u] & quadratum a h e$t {ae}quale multiplicationi a h in a u & h u: [per 2 p 2.] Igi tur multiplicatio a h in a u erit exce$$us quadrati h a, $upra quadratum h b. Igitur proportio a h ad a t, $icut proportio multiplicationis a h in a u, ad exce$$um quadrati a t, $upra quadratum t g. Et $i duæ lineæ a h, a t ducantur in a u: erit proportio a h ad a t, $icut proportio multiplicationis a h in a u, ad multiplicationem a t in a u [per 1 p 6: quia eadem altitudo a u multiplicat ba$es a h & h t.] Igitur mul tiplicatio a t in a u, e$t exce$$us quadrati a t $upra quadratum t g: erit ergo multiplicatio h a in h u, æ- qualis quadrato h b: & multiplicatio a t in t u æqualis quadrato t g. [Quia enim per 2 p 2 quadra- tum a t æquatur oblongis comprehen$is $ub a t & t u, item $ub a t & a u: & oblongũ comprehen$um $ub a t & a u, æquatur exuperantiæ quadrati a t $upra quadratum t g per proximam conclu$ion\~e: re- liquum igitur oblongum comprehen$um $ub a t & t u æquatur quadrato t g.] Amplius: arcus b g di uidatur per æqualia in puncto o [per 30 p 3] & ducatur a o: & [per 12 p 1] ducantur tres perpendicula res $uper lineam h a: $cilicet b f, o y, g k: & [per 31 p 1] à puncto g ducatur æquidi$tans h a: qu{ae} $it g s: & [per 11 p 1] à puncto b ducatur perpendicularis $uper a g: quæ $it b c: hæc quidem b c, $i produceretur u$q; ad circulum [id e$t peripheriam circuli d b e] diuideret linea a g ip$am per æqualia [per 3 p 3] & arcum, cuius e$$et chorda: & ita $ecaretur alius arcus, {ae}qualis arcui b g: quoniam illum arcum re$pi- ceret angulus c b g: & ita angulus c b g e$t medietas anguli $uper centrũ re$picientis eund\~e arcũ, fe- cundũ Euclid\~e [20 p 3.] Igitur angulus c b g e$t medietas anguli g a b, [æquatur enim angulo $ubten denti peripheriã æqualem ip$i b g per 27 p 3] qu\~e diuidit linea a o per {ae}qualia. Igitur angulus c b g e$t æqualis angulo o a g: Duo autem anguli b s g, b c g recti $unt. Si igitur intelligatur circulus $uper b g tran$iens per s, tran$ibit per c[per conuer$ion\~e 31 p 3 demon$tratam à Theone in cõmentarijs in 3 li- brum magn{ae} cõ$tructionis Ptolemei] & fiet arcus s c, $uper qu\~e cadent duo anguli c b s, c g s: igitur [per 27 p 3] hi duo anguli $unt æquales. Sed angulus g a y æqualis e$t angulo c g s [per 29 p 1] propter æquidi$tantiá linearũ: [g s & y a] & ita angulus g a y æqualis angulo c b s. Et, ut dictũ e$t, angulus g b c {ae}qualis angulo o a g: erit angulus o a y æqualis angulo g b s: & erit triangulũ o a y $imile triangulo g b s. Igitur proportio g b ad b s, $icut o a ad a y, & proportio g b ad g s, $icut o a ad o y. Amplius: cum angulus a h b $it acutus [ut o$ten$um e$t 60 n 5] quadratũ a b minus e$t quadratis a h, h b, quantũ e$t ALHAZEN illud, quod fit ex ductu a h in h f bis, $ecundũ quod dicit Euclides [13 p 2.] Igitur quadratũ a h cũ qua drato h b, $uperat quadratum a d quæ e$t æqualis a b) in ductu a h in h f bis: & ita [per 1 p 2] in ductu a h in h d bis, & a h in d f bis: Sed [per 7 p 2] multiplicatio a h in h d bis, cum quadrato a d, e$t æqua- lis quadrato a h cum quadrato h d: & ita ablato cõmuni quadrato a d, cũ ductu a h in h d bis: re$tabit quadratũ h d cũ ductu a h in f d bis, æquale quadrato h b. Sed [per fabrication\~e] multiplicatio a h in h t æqualis e$t quadrato h d: & multiplicatio a h in h u, æqualis quadrato h b: erit ergo multiplicatio a h in h u, æqualis multiplicationi a h in h t, & multiplicationi a h in d f bis, $ubtracto\’q; ductu a h in @ t(qu\~e commun\~e ponimus utriq; multiplicationi.) [Quia enim oblonga cõprehen$a $ub a h t & $ub a h & t u, æquãtur oblongo cõprehen$o $ub a h u perip 2: ergo æquãtur oblõgis cõprehen$is $ub a h t & $ub a h & d f bis: cõmune igitur e$t oblongũ cõprehen$um $ub a h t] re$tabit multiplicatio a h in t u {ae}qualis multiplicationi a h in d f bis. Igitur t u e$t dupla d f: [Quia enim oblongũ comprehen$um $ub altitudine a h & ba$i t u, æquatur duplici oblongo, comprehen$o $ub eadem altitudine & ba$i d f:erit per 1 p 6 ba$is t u dupla ba$is d f.] Amplius: cũ angulus a t g $it acutus [ut o$ten$ũ e$t 60 n 5] erit $ecundũ prædictũ modũ, quadratũ a t cum quadrato t g, æquale quadrato a d, cũ ductu a t in t k bis: & ita [per 1 p 2] cũ ductu a t in t d bis, & in d k bis. Et probabitur modo prædicto, quòd quadratũ t g æquale e$t quadrato t d, cũ ductu a t in d k bis: $ed ductus a t in t u, æqualis e$t quadrato t g [excõclu $o] & ita æqualis quadrato t d, cũ ductu a t in d k bis. Sit aũt ductus a t in t æ æqualis quadrato t d [ut o$ten$ũ e$t in principio huius numeri] re$tat ergo, ut ductus a t in æ u, $it {ae}qualis ductui a t in d k bis, per ablation\~e cõmunis, qui e$t ductus a t in t æ [nam oblonga cõprehen$a $ub a t æ, it\~e $ub a t & æ u, æquãtur oblongo cõprehen$o $ub a t u per 1 p 2: ergo æquãtur oblongis cõprehen$is $ub a t æ $emel, & $ub a t & d k bis. Cõmune igitur e$t a t æ, quo $ublato: reliquũ oblongũ coprehen$um $ub at & æ u æquatur oblongo $ub a t & d k bis cõprehen$o.] Igitur æ u e$t dupla k d [per 1 p 6] $ed iam dictũ e$t, quòd t u e$t dupla d f: re$tat ergo t æ dupla k f. Amplius: proportio a h ad h t e$t, $icut a h ad h d dupli cata [per 10 d 5] h d enim media e$t in proportione interillas: cũ eius quadratũ $it æquale ductui a h in h t [per fabrication\~e.] Et $imiliter proportio a t ad t æ, $icut a t ad t d duplicata [e$t enim ex $abri- catione & 17 p 6 a t ad t d, $icut t d ad t æ.] Sed maior e$t proportio a t ad t d, quàm a h ad h d. [Quia enim h t minor e$t quinta parte h d, ut patuit: itaq; $i a t, uerbi gratia, ip$am t d quater contineat: a h eandem t d quater continebit, & h d $emel. Quare a h nõ continebit h d quater. Ratio igitur a t ad t d maior e$t, quàm a h ad h d.] Et cum a h $it maior a t: [per 9 ax:] erit h t maior t æ [quia enim a h maior e$t a t: erit ք 8 p 5 ratio a h ad t æ maior, quàm a t ad t æ: $ed ratio a t ad t æ maior e$t, quàm a h ad h t. Ergo per 11 p 5 ratio a h ad t æ maior e$t, quàm a h ad h t. Quare ք 10 p 5 h t maior e$t t æ.] Sed t æ du- pla ad k f: ergo h t maior e$t, quàm dupla ad k f. Item. Vt dictũ e$t, proportio b g ad g s, $icut o a ad o y, erit [per 16 p 5] b g ad o a, $icut g s ad o y: $ed o a {ae}qualis b a [per 15 d 1] & g s {ae}qualis f k [per 34 p 1] pro- pter {ae}quidi$tantiã: erit [per 7 p 5] proportio b g ad b a, $icut f k ad o y. Amplius: quia i h minor e$t me- dietate o h [ut patuit] & o h tripla th: eriti h minor h t, & medietate ip$ius: $ed h t minor quinta parte h d. Igitur i h minor e$t t d: quare i h multò minor n d: quare m i multò minor n d [quia m i minor e$t i h, quæ minor e$t n d.] Et palàm per hoc, quòd i cadit inter h & z. Amplius: quod fit ex ductu e z in z d, e$t æquale quadrato a d: [per the$in] igitur quod fit ex ductu e m in m d, e$t minus quadrato a d. Sed quoniam m g circulum d b e cõtingit, quod fit ex ductu e m in m d, e$t æquale quadrato m g, $e- cundũ quod dicit Euclides [36 p 3.] Igitur m g e$t minor a d: igitur minor e$t a g. Amplius: triangula a g m, m g k habent unum angulũ communem [a d m] & utrunq; eorum habet unũ angulum rectũ [ad g & k.] Igitur [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] $unt $imilia. Quare proportio m k ad k g, $icut m g ad g a: & ita m k minor e$t k g [e$t enim m g minor g a ex conclu$o.] Et cum [per 15 p 3] o y $it maior g k: erit h d minor o y [quia h d minor e$t m k, & m k minor k g, & k g minor o y.] Amplius: quia a h ad h d, $icut h d ad h t: [per the$in & 17 p 6] erit $ic [per 15 p 5] medietas h d ad medietatem h t: & ita a h ad h d, $icut q h ad medietatem h t: cum q h $it medietas h d: [per fabricationem] & ita a h ad q h, $icut h d ad medietatem h t: & ita [per con$ectarium 4 p 5] q h ad a h, $icut medietas h t ad h d. Sed medietas h t maior e$t f k [demon$tratũ enim e$t ip$am h t maior\~e e$$e, quàm duplam ip$ius k f] & h d minor o y. Erit igitur proportio medietatis h t ad h d maior, quàm f k ad o y [ut con$tat ex 8 p 5.] Quare [per 11 p 5] erit proportio q h ad a h maior, quàm f k ad o y. Amplius: linea a q $ecat circulum e b d: $it punctũ $ectiõis œ: & ducatur linea d œ: qu{ae} erit æquidi$tãs q h: [Quia enim tota a h æquatur toti a q, & pars a d parti a œ per 15 d 1: reliqua igitur d h {ae}quatur reliqu{ae} œ q: quare per 7 p 5, ut a d ad d h, $ic a œ ad œ q. Ita q; per 2 p 6 œ d parallela e$t ip$i q h] erit\’q; per 29 p 1. 4 p 6 proportio q h ad h a, $icut œ ad d a: & ita proportio œ ad d a maior, quàm f k ad o y. Sed fk ad o y, $icut g b ad b a [ex conclu$o.] Erit igitur maior proportio œ d ad d a, quàm b g ad b a [id e$t ad d a: æquales enim $unt d a & b a per 15 d 1] & ita œ d maior b g: [per 10 p 5] & arcus œ d maior arcu g b [per 28 p 3.] Amplius: producatur a q u$q; ad punctũ s, ut $it a s æqualis a i: [per 3 p 1] & ducatur linea s i: qu{ae} erit æquidi$tãs q h: [eod\~e argum\~eto, quo œ d parallela cõclu$a e$t ip$i q h] & erit [per 29 p 1. 4 p 6] si ad q h, $icut i a ad h a. Sed $uprà po$i- tũ e$t, quòd i a ad a h, $icut t q ad q h: erit igitur [per 9 p 5] si æqualis t q. Amplius: mutetur figura ad euitandam linearũ intrication\~e multiplic\~e, & propter defectũ literarũ ad di$tinction\~e linearũ. Cum ergo i a $it æqualis line{ae}, quã diximus a s: fiat circulus $ecundũ quantitat\~e ip$arũ, & loco s ponatur li tera n: & producantur a g i ab u$q; ad circulũ hunc: & $int a b c, a g r: & loco literæ œ ponamus f. Di- ctum e$t, quòd arcus d f maior e$t arcu b g: $it arcus b m æqualis arcui d f: [fiet uerò æqualis, $iad re- ctam a b eius\’q; punctũ a cõ$tituatur per 23 p 1 angulus b a m æqualis angulo d a f: $ic enim per 33 p 6 OPTICAE LIBER VI. peripheriæ b m & d f æquabũtur] & ducatur linea a m u: & line{ae} i b, i g, i m, n m: & linea q m: qu{ae} pro- ducatur u$q; ad exterior\~e circulũ: & cadat in punctũ z: & ducantur line{ae} z a, z g. Cum aũt arcus b m $it æqualis arcui d f: addito cõmuni: [m d] erit arcus m f æqualis arcui d b: erit\’q; [per 27 p 3] angulus n a m æqualis angulo i a b, & latera lateribus æqualia [per 15 d 1] erit [per 4 p 1] m n æqualis i b: & an- gulus n m a æqualis angulo i b a: & [per 13 i u r c z h @ t m g b n q f a p 1] angulus n m u angulo i b c. Et cũ po$i ta $it $uprà [in $ecunda figura] a q æqualis a h: erunt a q, a m latera æqualia a h, a b: & angulus [q a m] angulo [h a b per proxi- mam cõclu$ion\~e] erit [per 4 p 1] q m {ae}qua lis h b: & erit angulus q m a æqualis h b a, & q m n æqualis angulo h b i: [per 8 p 1] quoniã duo eius latera duobus illius æ- qualia: [nam m n æqualis cõclu$a e$t ip$i i b, & q m ip$i h b] & ba$is, quæ e$t q n, e$t æqualis ba$i h i: [nam a n, a i æquãtur per 15 d 1: it\~e a q, a h per the$in: reliqua igitur q n æquatur reliquæ h i] & angulus n m u æqualis angulo i b c, & i b c æqualis angu lo h b a: [ut o$ten$um e$t in $ecũda figura: ubi angulus i b z e$t hic i b c] & angulus h b a {ae}qualis angulo q m a: ergo n m u {ae}qua lis q m a. Et quoniam, ut po$uimus, q m z e$t linea recta: erit angulus q m a æqualis angulo u m z [ք 15 p 1: ideo\’q; anguli n m u, z m u æquãtur. Quare punctũn reflectitur ad z à puncto m: [per 12 n 4] & locus imaginis ip$ius q [per 3 n 5.] Hocta- men dee$t probationi, ut pateat m z totã e$$e extra circulũ: quod $ic patebit. Palàm, quod conting\~es ducta à pũcto b cadat inter i & h: [demõ$tratũ enim e$t in prima figura punctũ l alterũ terminũ rect{ae} tangentis peripheriã d b e in puncto b, cadere inter puncta i & h] & tanta e$t remotio puncti b à pun cto h, quãta e$t puncti m à pũcto q[æquales enim cõclu${ae} $unt h b, q m] & i h æqualis n q. igitur con- ting\~es, ducta à puncto m cadet inter n & q. Igitur q m $ecat circulũ [quia tang\~ete inferior e$t.] Qua- re tota m z e$t extra circulũ. Amplius: quoniã angulus n m u æ qualis e$t angulo u m z: erit arcus n u æqualis arcui u z. [Quia enim m n {ae}quatur ip$i m z: cõnex{ae} igitur n u & u z æquãtur per 4 p 1. Quare per 28 p 3 peripheri{ae} n u, u z æquãtur] & erit angulus n a u æqualis angulo u a z [per 27 p 3.] Sed iam patuit, quòd angulus n a u æqualis e$t angulo i a c: igitur angulus i a c erit æqualis angulo u a z. An- gulus uerò b a g aut erit æqualis angulo g a m: aut minor: aut maior. Sit æqualis. Si igitur ab angulo i a c $ubtrahatur angulus b a g, & ab angulo z a u angulus m a g: remanebit angulus i a g æqualis an- gulo z a g: & erit per 4 p 1 i g æqualis z g, & triangulũ triangulo: & erit angulus i g a æqualis angulo z a g: re$tabit igitur [per 13 p 1] angulus i g r æqualis angulo z g r. Fiat igitur angulo i g r æqualis angu lus t g a: per 23 p 1] erit angulus t g a æqualis angulo z g r. Si igitur t g producatur: ueniet ad z [ք con uer$ion\~e 15 p 1 à Proclo ibid\~e demon$tratã.] Quare t g z linea recta [per 14 p 1.] Igitur i à puncto g re flectitur ad z: & locus imaginis eius e$t punctũ t. Si ergo z $it ui$us: reflect\~etur ad ip$um duo pũctai, n à duobus punctis m, g: & loca imaginũ puncta t, q. Igitur linea t q erit imago lineæ i n. Probatũ aũt e$t $uprà, quòd t q æqualis e$t i n. Et ita pote$t accidere in his $peculis imagin\~e e$$e æqual\~e rei ui${ae}. Si uerò angulus b a g fuerit maior angulo i u r k c z l b d t m g n q f a g a m: erit angulus z a g maior àngulo i a g [mutua angulorum $ubductione, ut prius facta.] Sit angulus k a g æqualis angulo i a g. Quonia pũctũ k demi$sius puncto z, & punctũ m demi$sius pũcto g:linea k g $ecabit lineã z m: $ecet in pũ- ctol. Igitur exi$t\~ete ui$u in puncto l, re- flectetur n ad ip$um à pũcto m: & locus imaginis q. Similiter i reflectetur ad i- p$um: & locus imaginis e$t t $ecundum prior\~e probation\~e. Et ita t q imago e$t i n. Quod e$t propo$itũ. Si uerò angulus b a g f uerit minor angulo g a m: erit an gulus z a g minor angulo i a g. Sit angu lus o a g æqualis angulo i a g: & duca- tur linea o g. Palàm, quòd i reflectitur ad o à puncto g. Linea o g aut $ecabit li neam z m q extra circulũ $peculi: aut nõ. Si $ecet extra, & ui$us fuerit inpuncto $ectionis: reflect\~etur ad ip$um duo puncta n, i: & loca imaginũ erunt t q. Et ita redit propo$itũ [quod erat imagin\~e æquari ui$ibili.] Si for$an linea o g $ecet lineã z m q intra circulũ: nõ poterit applicari pr{ae}dicta probatio. Sed ALHAZEN dico, quòd extra hanc total\~e $uperficiem licebit inuenire punctũ, ad quod reflectãtur duo pũcta i, n à duobus $peculi punctis: & imago erit t q. Verbi gratia. Palàm, quòd angulus n a z duplus e$t ad an- gulũ c a b: [o$ten$um enim e$t peripherias n u & u z {ae}quari: itaq; n z dupla e$t ip$ius u z, & per 33 p 6 angulus n a z duplus ad angulũ n a u, ideo\’q; duplus ad æqual\~e i a b] & angulus i a o duplus ad angu lum i a g, $ecundũ prædicta: [æquatus enim e$t o a g ip$i i a g: itaq; totus i a o duplus e$t ad i a g] & an gulus n a z nõ excedit angulũ i a o in angulo maiore angulo n a i. [Quia enim anguli n a z & i a o du- pli $unt angulorũ i a b & i a g: & i a b exuperat angulũ i a g, angulo g a b (qui per the$in minor e$t an- gulo g a m) ergo angulus g a b minor e$t dimidiato angulo b a m (qui per 33 p 6 {ae}quatur angulo n a i, ob peripherias f d & m b æquales) angulus igitur g a b minor e$t dimidiato angulo n a i. Quare angu lus n a z exuperans angulũ i a o, duplo angulo g a b, nõ exuperat maiore angulo <004> $it n a i] & duo an- guli i a o, i a n maiores tertio, qui e$t n a z: & duo z a n, n a i maiores tertio i a o: & duo n a z, i a o maio res tertio n a i. Habemus ergo tres angulos [n a i, n a z, i a o] quorũ quilibet duo maiores $unt tertio, & o\~es $imul quatuor rectis minores: [quia non totũ circa centrum a locum replent.] Igitur [per 23 p 11] exillis licet facere angulũ corporal\~e. Fiat angulus ille $uper a: & $it linea s a erecta $uper a: & angu lus i a s $it {ae}qualis angulo i a o: & angulus n a s {ae}qualis angulo n a z: angulus n a i manebit immotus: & fiat linea a s æqualis lineæ a n uel a i: quæ o\~es $unt æquales: & {pro}ducãtur line{ae} t s, q s. Palàm, quo- niã angulus t a s e$t æqualis angulo t a o [e$t enim t a pars lineæ i a [& duo latera [t a, & a o] lateribus duob. [t a & a s] erit [per 4 p 1] ba$is t s {ae}qualis ba$i t o, & triangulũ triãgulo: & ita angulus g t a æqua lis angulo s t a [<003> a g t pars e$t lineæ o t.] Si- l u r c z o d t @ m g b n k q f a s p x e @ s militer angulus q a s {ae}qualis angulo q a z, & latera [q a, a s] lateribus: [q a, a z] & [per 4 p 1] triangulũ æquale triangulo: & angulus m q a æqualis angulo s q a [e$t enim m q pars line{ae} z q.] Diuidatur angulus t a s per æqua lia per lineam a y [per 9 p 1.] Sit y punctũ, in quo linea illa $ecabit lineã t s. Palàm, cũ an- gulus i a g $it medietas angulii a o: erit an- gulus t a g æqualis angulo t a y, & angulus g t a æqualis y t a: & unũ latus cõmune, $cili cet t a: erit [per 26 p 1] t g æqualis t y, & trian gulũ [y t a] triangulo: [g t a] & erit a y æqua lis a g: & ita y in $uperficie $peculi: [cũ enim puncta g & y à centro a æquabiliter di$tent per conclu$ion\~e proximam: $it\’q; g ex the$i in $peculi $uperficie: erit y in ead\~e.] Erit etiã angulus i a g æqualis angulo i a y, & latera [i a, a g] lateribus [i a, a y] & [per 4 p 1] trian- gulum i a g triangulo [i a y] æquale: & erit angulus a g i {ae}qualis angulo a y i: & linea i y {pro}ducta, æqua lis i g. Et producatur a y extra $ph{ae}rã u$q; ad punctũ p: re$tabit angulus i g r æqualis angulo i y p [ք 13 p 1.] Verũ cum t s $it æqualis t o, & t y æqualis t g: [per cõclu$ion\~e] re$tat g o æqualis y s. Igitur a y, y s æqualia, a g, g o: & ba$is a s æqualis ba$i a o: erit [per 8 p 1] triangulũ [a y s] {ae}quale triangulo: [a g o] & erit angulus a y s æqualis angulo a g o: re$tat [per 13 p 1] angulus s y p æqualis angulo o g r. Igitur duo anguli i g r, o g r æquales $unt duobus angulis i y p, s y p. Verùm linea a s $ecabit $ph{ae}rã: $it punctum $ectionis e. Igitur tria pũcta e, y, d $unt in $uperficie $phæræ. Quare linea e y d e$t pars circuli $phær{ae}: & e$t linea comunis $uperficiei $phær{ae} & $uperficiei reflexionis t s p. Quare punctũ i reflectitur ad punctũ s à puncto y: & locus imaginis e$t t. Similiter diui$o angulo n a s per æqualia per ax: probabi tur modo prædicto, quòd q x æqualis e$t q m, & a x æqualis a m, & x s æqualis m z: & duo anguli n x æ & s x æ æquales duobus angulis n m u, z m u. Et ita n reflectetur ad s à puncto x: & locus imaginis q: & ita t q imago i n: [& $ic imago, ut prius, erit æqualis ui$ibili: cum t q æqualis conclu$a $it ip$i i n.] Quod e$t propo$itũ. Amplius: $i à puncto i ducatur perpendicularis $uper n a: cadet inter n & q, non extra n: cũ angulus i n a $it acutus: quoniá æqualis angulo n i a [ducta enim recta in, {ae}quabuntur an- guli ad ba$im i n per 5 p 1] & $i caderet քpendicularis illa extra n: e$$et acutus maior recto [per 16 p 1.] Faciet ergo perpendicularis illa angulũ rectũ $uper n q, qu\~e angulũ re$picit linea i n. Quare [ք 19 p 1] linea in maior e$t illa perpendiculari. Quare perpendicularis illa minor t q [{ae}quali ip$i in per cõclu $ion\~e.] Punctũ igitur line{ae} n q, in quod cadit perp\~edicularis, reflectitur ad punctũ s: imago uerò eius cadet in lineã n a [per 3 n 5] $upra punctũ q. Quia quantò remotiora $unt puncta, qu{ae} reflectũtur, tan tò loca imaginũ magis accedunt ad centrũ circuli [per 30 n 5.] Et quæcunq; linea ducetur à puncto t [quod e$t imago puncti i, reflexi à puncto $peculi y] ad aliquod punctũ n q $upra q: erit maior t q [per 19 p 1.] Igitur imago perpendicularis erit maior ip$a perpendiculari. [Quia enim t q æquatur ip$i i n, qu{ae} maior cõclu$a e$t perpendiculari: ergo t q imago perpendicularis ead\~e maior e$t.] Eod\~e modo qu{ae}cunq; linea ducetur à puncto i ad n q, inter hanc perpendicular\~e & in: erit imago ip$ius maior i- p$a. Verùm determinentur h{ae}c certius. Punctũ n quia reflectitur ad z à puncto m: & locus imaginis e$t q: linea z m q $ecat circulũ in puncto, quod e$t 3: cõtingens ergo ducta à pũcto z ad circulũ: cadet $uper punctũ aliquod arcus m 3 [$i enim z m tangeret: angulus z m a e$$et rectus per 18 p 3: quare per OPTICAE LIBER VI. 40 n 5 nulla fieret à pũcto m reflexio: multò igitur minus tang\~es à pũcto z, tanget citra punctũ m] $i uerò caderet in punctũ 3, $ecaret peripheriã, nõ tangeret: cadit igitur in peripheriá m 3. & conting\~es illa cadet $upra q: quoniá punctũ, in quod cadit, erit finis contingentiæ, & finis imaginũ: [per 17 n 5] & puncta $ub puncto illo, quod e$t finis cõtingenti{ae}, nõ poterũt reflecti: $uperiora uerò poterũt. Igi- tur perpendicularis ducta à puncto i $uper n q, $i ceciderit $upra punctũ, quod e$t finis cõtingentiæ: reflectetur punctũ, in quod cadit: & erit imago perpendicularis maior perpendiculari. Siuerò per- pendicularis cadat in punctũ contingentiæ, aut infra: non reflectetur punctũ, in quod cadit. Quare nulla erit imago perpendicularis. Veruntamen quoniá finis cõtingentiæ e$t infra n: erunt inter fin\~e cõtingentiæ & n infinita pũcta: quorũ quodlibet reflectetur: & erit imago cuiuslibet $uper n q: & cu iuslibet line{ae} duct{ae} à puncto i ad quodlibet illorũ punctorũ, erit imago maior linea, cuius fuerit ima go. Igitur accidit in his $peculis imaginem aliquando æqualem rei ui$æ: aliquando maiorem e$$e. Quod erat explanandum. Huius autem rei explanationem nec $criptam legimus, nec aliquem, qui dixi$$et, aut intellexi$$et, audiuimus.

7. Si duo ui$ibilis pũcta à centro $peculi $phærici cõuexi æquabiliter, à ui$u uerò inæquabiliter di$t\~et: imago & finis cõting\~etiæ pũcti lõginquioris à ui$u, erũt lõginquiores à c\~etro $peculi. 4 p 6.

AMplius: in his $peculis lineæ rectæ uidentur curuæ, & in pluribus curuitate quid\~e $peculũ nõ re$piciente, $ed ei aduer$a. Similiter curuæ apparebũt in his $peculis curuæ: & $i curuitas $pe- culum re$pexerit, cõtrario $itu apparebit. Et hoc quid\~e intelligendũ nõ in omnibus, $ed in pluribus. Ad cuius rei explanation\~e nece$$e e$t qu{ae}dam antecedentia præmittere: quorũ unum e$t. Si fuerint duo puncta eiu$d\~e longitudinis à centro $peculi, & inæqualis lõgitudinis à centro ui$us: imago pun cti remotioris à centro ui$us erit remotior à centro $peculi, <004> propinquioris: & finis cõtingenti{ae} re- motioris erit remotior à centro $peculi, <004> finis cõtingenti{ae} propinquioris: $iue puncta illa $int in ea- dem $uperficie cum centro ui$us, $iue in diuer$is. Sintt, d duo puncta æqualiter à g c\~etro $peculi re- mota: e centrũ ui$us: & d propinquius ui$ui <004> t. Superficies cõmunis $ectionis d t g $ecabit $peculũ $uper circulũ [per 1 th. 1 $phæ.] qui $it a b: & $it angulus e g d æqualis angulo t g z: angulus e g t æqua- lis angulo t g h: & $umatur in circulo punctũ, à quo t reflectatur ad z: [per 31. uel 39 n 5] quod $it q. Di co, quòd t non reflectitur ad h ab aliquo puncto b q. Palàm, quòd non à puncto b [quia cũ ea $it per- pendicularis $peculo, reflectetur in $eip$am, nõ ad h per 11 n 4.] Si aũt $umatur punctũ quodcunq; in b q: linea ducta à puncto h ad illud punctũ, $ecabit lineá q z. Igitur ad illud punctũ $ectionis reflecti- tur t ab aliquo puncto, $umpto in b q: & ad id\~e $ectionis punctũ reflectitur à puncto q. Igitur t refle- ctitur ad idem punctum à duobus punctis illius circuli: quod impo$sibile in his $peculis, ut in libro quinto [29 n] patuit. Re$tat ergo, ut t reflectatur ad h ab aliquo puncto q a: $it illud m: & [per 17 p 3] @ puncto m ducatur contingens circulum u$q; ad li d t e @ h s n q b l q m f p a g neam g t: quæ $it m n. Erit n finis contingentiæ t, re$pectu h: [per 17 n 5] & à puncto q ducatur cõtin gens: qu{ae} $it q o: qu{ae} quid\~e nece$$ariò cadet $ub m n: [quòd enim non cadar in punctũ n, inde per$pi cuum e$t: quia ductis $emidiametrιs g q, g m: angu li n q g, n m g per 18 p 3 recti, e$$ent in{ae}quales per 21 p 1 contra 10 ax: Si uerò cadat ultra n: erit per 21 p 1 angulus rectus obtu$o maior cótra 11 p 1] & produ catur z q u$q; dum cadat $uper g t in puncto p. [ca det aũt per 3 uel 16 n 5.] Erit p locus imaginis z. E- rit ergo [per 18 n 5] proportio g t ad p g, $icut t o ad o p: igitur maior erit proportio g t ad t n, quàm g t ad t o [per 8 p 5: quia t o màior e$t t n.] Ergo multò maior g t ad t n, quàm g p ad p n. [Quia enim ra- tio g t ad t n maior e$t, <004> ad t o ex conclu$o: e$t\’q; gt ad to, $icut p g ad p o per 16 p 5. Ratio igitur t g ad tn maior e$t, quàm p g ad p o: $ed ratio p g ad p o maior e$t, quàm ad p n per 8 p 5. Ratio igitur g t ad t n multò maior e$t, quàm p g ad p n.] Sit er- go [per 10 p 6] g t ad t n, $icut g l ad i n. Erit g l ma- ior g p. Et eritl locus imaginis h [per 18 n 5: e$t e- nim per 16 p 5 g t ad g l, $icut t n ad n l.] Sint ergo h g, e g, z g line{ae} æ quales: g f æqualis g p: g s æqualis g o. Cũ igitur angulus e g d $it {ae}qualis angulo t g z [per fabrication\~e] & remotio d à puncto è, $icut z à puncto t: [Quia enim rectæ e g, d g, z g, t g: it\~e an- guli e g d, z g t æquantur per fabrication\~e: ba$es e d, z t {ae}quabuntur per 4 p 1: ideo\’q; puncta d, z {ae}qua biliter di$tabũt à punctis e & t] erit imago d re$pectu e tantùm eleuata in linea g d, quantùm imago t re$pectu z in linea g t: erit igitur imago d in puncto f: & $imiliter finis cõtingenti{ae} d, re$pectu e erit al titudinis eiu$d\~e, cuius e$t finis cõting\~eti{ae} pũcti t, re$pectu z. Quare erit finis cõting\~etiæ d in pũcto s. Verùm quoniá angulus e g t æqualis e$t angulo t g h, & h g æqualis e g: [per fabrication\~e] erit l ima- got, re$pectue, $icut e$t re$pectu puncti h: & n finis cõtingentiæ re$pectu e, $icut e$t re$pectu pũcti h. ALHAZEN Quare imago puncti remotioris ab e remotior e$t à centro, imagine propinquioris: & finis contin- gentiæ remotioris remotior à centro, fine propinquioris. Quod erat propo$itum.

8. Si data recta in duob{us} punct{is} $ecta, $it ad alterũ extremorũ $egmentorũ, ut reliquũ ex- tremum ad intermediũ: & ab altero ip$i{us} termino, $ectionum<006> punct{is} tres rectæ in eod\~e pun cto cõcurrant: recta à reliquo termino $ecãs cõcurrentes, $ecabitur proportionaliter datæ. 123 p 1.

AMplius: propo$ita linea a b, & diui$a in punctis g, d, ut $it proportio a b ad b d, $icut a g ad g d: $i à punctis $ectionũ ducantur tres lineæ concurrentes in punctum unum, $cilicet g e, d e, b e: & à puncto a ducatur linea $ecans illas tres lineas: Dico, quòd linea illa diui$a erit $ecundum prædictam proportion\~e. Ducatur linea a c $ecans tria latera g e, d e, b e in tribus punctis z, h, c. Dico quòd proportio a c ad c h, $icut a z ad z h. Ducatur [per 31 p 1] à puncto h æquidi$tans a b: quæ $it h q. Palàm [è demon$tratis à Theone ad 5 d 6] quòd proportio a b ad b d, con$tat ex proportionibus a b ad h q, & h q ad b d. Sed quoniã q h æquidi$tat a b: erit triangulũ c q h $imile triangulo c a b:] per 29 p 1.4 p. 1 d 6] & erit proportio a b ad q h, $icut a c ad c h. Similiter triangulũ q e h $imile triangulo b e d: igitur erit porportio q h ad b d, $icut h e ad e d. Ergo e c @ h m z b d @ a proportio a b ad b d, cõ$tat ex proportionibus a c ad c h & h e ad e d. Producatur q h, u$q; dum cadat $uper e g in puncto m. [cadet aũt per lemma Procli ad 29 p 1] Proportio igitur a g ad g d, con$tat ex proportioni- bus a g ad h m, & h m ad g d. Sed cum [per 29 p 1] angulus e m h $it æqualis angulo z g d: erit [per 13 p 1] angulus h m zæqualis angulo z g a: & erit triangulũ a z g $imile triangulo h m z [quia enim anguli aduer- ticem z æquantur per 15 p 1: æquabitur per 32 p 1 ter- tius m h z tertio g a z. Quare per 4 p.1 d 6 triangula h m z, a g z $unt $imilia.] Et erit proportio a z ad z h $i- cut a g ad h m. Sed [per 29 p 1.4 p.1 d 6] triangulum h e m $imile e$t triangulo g e d: erit igitur proportio h m ad g d, $icut h e ad e d. Igitur proportio a g ad g d, con$tat ex proportione a z ad z h, & h e ad e d: & ead\~e e$t a g ad g d, quæ a b ad b d [perthe$in.] Igitur illa ea- dem cõ$tat ex proportionibus a z ad z h & h e ad e d. Igitur [$ubducta utrinq; ratione h c ad e d] ead\~e erit proportio a c ad c h, qu{ae} e$t a z ad z h. Et ita e$t propo$itũ. Eadem erit probatio, qu{ae}cunq; linea duca rur à puncto a, $ecans lineas illas tres concurrentes. Et $i ducantur aliæ tres line{ae} à tribus punctis g, d, b, ad aliud punctũ quàm e cõcurrentes, & à puncto a ducatur linea quæcũq;, $ecans eas: diuidetur $ecundum prædictã proportion\~e. Et ita quocunq; modo concurrãt tres line{ae}. Et $i tres line{ae} e g, e d, e b producantur ultra tria puncta b, d, g ex alia parte: & à puncto a ducantur lineæ, $ecantes eas ex il la alia parte: nunquam illæ lineæ diuidentur $ecundum prædictam proportionem.

9. Si duæ rectæ facientes angulum, $imiliter<006> in duob{us} punct{is} ita $ectæ (ut tota $it ad alterũ extremorũ $egmentorũ, $icut reliquum extremum ad intermedium) ba$i infinita cõnect antur: rectæ per pũcta $ectionũ utriu$<005>, cũ ba$i & inter $e cõcurr\~etes, in eod\~e puncto cõcurr\~et. 124 p 1.

AMplius: data linea a b prædicto modo diui$a: $i à puncto a ducatur alia linea, uelut a c, quæ di uidatur iuxta eandem proportion\~e: & à punctis diui$ionũ a b ducantur line{ae} ad puncta diui $ionũ a c, qu{ae} quid\~e nõ $int æquidi$tãtes: Dico quòd e n c @ z @ b d g a illæ tres concurrent in uno & eod\~e puncto. Sit pro- portio ac ad c h, $icut a z ad z h. Et quia b c, d h non $unt æquidi$tantes [ex the$i] igitur concurrent in ali quo puncto: quod $it e. Linea g z aut concurret ad idem punctũ: aut non. Si ad idem: habemus propo$i tum. Si nõ, ducatur linea e g: $ecabit quidem lineã a c in alio puncto quàm z: $it illud punctũ l. Erit ergo proportio a c ad c h, $icut a l ad l h iuxta prior\~e pro- bationem [præcedentis numeri] $ed po$itum e$t a c ad ch, $icut a z ad z h. Et ita impo$sibile [nempe to- tum æquari $uæ parti. Quia enim per præcedentem numerum e$t, ut a l ad l h, $ic a c ad c h, & ex the$i, ut a c ad ch, $ic a z ad z h: erit per 11 p 5, ut a l ad l h, $ic a z ad z h & per 18 p 5, ut a h ad h l, $ic a h ad h z. Quare cum a h ad duas rectas h l, h z eandem habeat ratio- nem, æquabuntur ip$æ inter $e per 9 p 5: & $ic tota h l erit æqualis parti h z.] Similiter, $i ponatur, quòd li nea g z concurrat cum d h ad punctum e: probabitur hoc modo, quòd linea b c concurrat ad idem OPTICAE LIBER VI. Similiter $i ponatur, quòd g z, b c concurrant ad punctum e: probabitur, quòd d h concurret ad idem.

10. Si data recta in duob{us} punct{is} $ecta, $it ad alterum extremorum $egm\~etorum, $icut re- liquum extremum ad intermedium: & ab altero c h z b d g a ip$i{us} termino, $ectionum<006> punct{is} tres rectæ li- neæ $int parallelæ: recta à reliquo termino $ecan s parallel{as}, $ecabitur proportionaliter datæ. 122 p 1.

AMplius: diui$a ab $ecundum hanc proportio- nem: $i fuerint lineæ g z, d h, b c æquidi$tãtes: & ducatur ac diuidens illas: erit ac diui$a $e- cundum hanc proportionem. Cum d h $it æquidi- $tans g z: erit [per 2 p 6] proportio a z ad z h, $icut a g ad g d: & cum b c $it æquidi$tãs d h: erit [per 2 p 6. 18 p 5] a b ad b d, $icut a c ad c h: $ed [ex the$i] a b ad b d, $icut a g ad g d: erit [per 11 p 5] a c ad ch, $icut a z ad z h. Et ita patet propo$itum. His præmi$sis, acceda- mus ad propo$itum.

11. Sirecta linea à ui$u $it perpendicular{is} $u- perficiei incidentiæ: imago perιpheriæ concentricæ peripheriæ circuli (qui e$t commun{is} $ectio $uperficierum reflexion{is} & $peculi $phærici cõuexi) uidebitur curua, & par allela ip$i peripheriæ concentricæ. 46 p 6.

PRimum de arcu declaremus, qnomodo in his $peculis imago b e a d h @ z @ m @ g eius $it curua, curuitate quidem $peculum non re$piciente, $ed centrũ. Verbi gratia: $it ab arcus oppo$itus $peculo: & $it g cen- trum illius arcus, & $imiliter centrum $peculi: d c\~etrum ui$us: & du- cantur lineæ d g, a g, b g: & $umatur e in arcu a b quocunq; modo: & ducatur linea e g. Linea uerò d g non $it in $uperficie a b g. Linea igi- tur d g aut erit orthogonalis $uper $uperfici\~e a b g: aut declinata. Sit orthogonalis: erunt anguli d g a, d g e, d g b æquales [quia per 3 d 11 recti $unt] & [per 15 d 1] latera lateribus. Quare [per 4 p 1] ba$es ba$i- bus. Igitur omnia puncta arcus a b eiu$dem longitudinis erũt à cen- tro ui$us. Quare imagines omniũ punctorũ, eiu$d\~e longitudinis $unt â c\~etro: $int\’q; q, m, l imagines ip$orũ a, e, b. Erit igitur g q {ae}qualis g m, g l. Quare q m l erit arcus: [per 9 p 3] & cõuexitas ip$ius re$pectu cen tri, non re$pectu $peculi, $iue loci reflexionis. Quod e$t propo$itum.

12. Si recta linea à ui$u $it obliqua $uperficiei incidentiæ: ima- go peripheriæ concentricæ peripheriæ circuli (qui e$t commun{is} $e- ctio $uperficierum, reflexion{is} & $peculi $phærici conucxi) uidebi- tur curua, non parallela peripheriæ concentricæ. 47 p 6.

SI uerò linea d g non fuerit perp\~edicularis $uper $uperficiem a b g: ducta perpendiculari à pun- cto d $uper hanc $uperficiem: [per 11 p 11] cum [per 5 n 5] illa perpendicularis $it minor omni- bus lineis ductis à puncto d ad hanc $uperficiem: erit angulus, quem continet hæc perpendi- cularis uer$us g, minor quolibet angulo uer$us punctũ g intellecto, quem continet alia linea à pun- cto d ad hanc $uperficiem ducta [per 16 p 1.] Et linea ducta à puncto d ad hanc $uperficiem, quan- tò remotior erit à perpendiculari, tantò maior erit, & continebit maiorem angulum uer$us g [per 21 p 1.] Si ergo hæc perpendicularis non cadat in arcum a e b, $ed ex parte una: erunt omnes lineæ ductæ à puncto d ad hunc arcum, declinatæ ad partem unam: & remotiores maiores, & maiorem angulum continentes uer$us g. Sit ergo: & $umantur tria puncta in arcu, $cilicet e, c, b: finis contin- gentiæ puncti b $it l: finis conting\~etiæ puncti c, $it m. Quoniam igitur c propinquius d, quam b: erit ιn propinquius g quàm l: [per 7 n] & ita c m maior b l [quia gc, g b {ae}quantur per 15 d 1] q $it imago c: timago b: & ducatur t q: & ducantur lineæ c b, m l: quæ quidem productæ concurrent. Si enim à puncto m duceretur æquidi$tans c b, $ecaret ex g b lineam æqualem c m [e$$et enim per 2 p 6 18 p 5, ut g c ad c m, $ic g b ad rectam, quam $ecat parallela à pũcto m ducta ex g b: itaq, cum g c, g b æquen- tur per 15 d 1: æquaretur c m, $ectæ per parallelam ex g b: $ed c m, ut patuit, maior e$t b l: quare c b, m l productæ concurrent.] Concurrant in puncto o. Et quoniam proportio g c ad c m, $icut g q ad q m [e$t enim per 18 n 5, ut c g ad g q, $ic c m ad m q: ergo per 16 p 5, ut c g ad c m, $ic g q ad q m.] Si- militer g b ad b l, $icut g t ad t l: ergo linea q t concurret cum lineis c b, m l [per 9 n.] Sit con- cur$us in puncto o. Finis contingentiæ puncti e $it n. Quoniam punctum n demi$sius e$t puncto m: [per 7 n] erit e n maior c m: ductis ergo lineis e c, m n, concurrent [ut antea.] Sit concur$us in ALHAZEN puncto p: & ducatur linea q p: & procedat, donec cadat $uper e g in pũcto f: & ducatur linea t q u$q; ad e g: & cadat in pũctum k. Pa- p o b c e l m t n a q k f d g làm, quòd k erit $upra f [<003>a pun- ctum n humilius e$t puncto m.] Verùm cũ proportio g c ad c m, $icut g q ad q m [ut patuit] & à punctis diui$ionũ ducantur tres lineæ concurr\~etes, in aliam par- tem productæ $ecabunt lineam e g $ecundum prædictã propor- tion\~e [per 8 n.] Quare propor- tio g e ad e n, $icut g f ad f n: $ed n e$t finis cõtingentiæ. Quare flo- cus e$t imaginis [per 18 n 5.] Igi- tur linea f q t erit imago arcus e c b: & erit linea curua, non recta: quoniam t q k e$t recta: & curui- tas lineæ non e$t ex parte $pecu- li. Similiter $i perpendicularis à puncto d cadat ex alia parte arcus: $imilis erit probatio. Si uerò cadat perpendicularis in medium arcus a b: lineæ à puncto d ex diuer$is partibus ad arcum ductæ, æqualiter di$tantes à perpendicu- lari: erunt æquales, & æquales angulos continebunt uer$us g: & imagines à g æqualiter di$tabunt: & fines contingentiæ $imiliter. Et licebit probare prædicto modo de utraq; parte arcus per $e, $e- cundum quod diuiditur à perpendiculari: quòd eius imago $it linea curua modo prædicto. Quod e$t propo$itum.

13. Si ui${us} $it extra $uperficiem incidentiæ: imago peripheriæ eccentricæ peripheriæ circuli (qui e$t commun{is} $ectio $uperficierum, reflex ion{is} & $peculi $phærici conuexi) uidebitur mag{is} curua, quàm imago peripheriæ concentricæ. 48 p 6.

AMplius: $umatur circulus, cuius centrum non $it centrum $peculi, ueruntamen $it in eadem $uperficie cum centro $peculi. Dico, quòd $i in hoc circulo b d a e h t z g f exteriore $umatur arcus ex parte c\~etri $peculi, propinquior ei $ecundum medium eius punctum, erit imago eius curua. Dato enim hoc arcu: ducatur linea à centro $peculi ad centrum exterio- ris circuli: & producatur hæc linea u$q; ad arcum datum: linea du- cta à centro $peculi ad hunc arcum, quæ e$t pars diametri maioris circuli, erit breuior omnibus lineis ductis ab eodem centro $pecu- li ad illum arcum [per 7 p 3.] Et à centro $peculi po$$unt duci ad ar- cum datũ duæ lineæ æquales à diuer$is partibus huius breuis [per 7 p 3] quæ quidem maiores erũt illa breui. Et $i $ecundum alteram illarum fiat circulus, cuius centrum $it $peculi centrum: tran$ibit per capita harum duarum linearum arcus excedens arcum datum. Et palàm, quòd imago huius arcus excedentis, erit linea curua $e- cundum prædicta [11.12 n:] Et imagines punctorum huic arcui & arcui dato communium eædem: & medium punctum arcus exce- dentis e$t remotius à centro $peculi, quam punctũ arcus dati, quod ip$um re$picit. Quare eius imago propinquior e$t centro, quã ima- go puncti arcus dati illum re$picientis. Et ita cuiuslibet puncti ar- cus exterioris imago propinquior e$t c\~etro, imagine puncti arcus dati, quod ip$um re$picit. Quare imago arcus dati curuior, quã imago arcus exterioris. Quare ima- go arcus dati curua e$t. Quod e$t propo$itum.

14. Si ui${us} $it extra $uperficiem incidentiæ: imago lineæ rectæ, parallelæ rectæ tang\~eti peri- pheriam circuli (qui e$t commun{is} $ectio $uperficierum, reflexion{is} & $peculi $phærici conuexi) uidebitur curua. 49 p 6.

AMplius: quòd line{ae} rectæ imago in his $peculis $it curua, probatur $ic. Sit a b linea ui$a: g cen trum $peculi: ducantur lineæ a g, b g. Hæ aut $unt æquales: aut non. Si æquales: fiat circulus, cuius g centrum, $ecundum quantitatem illarum: qui $it a e b: cadet quidem linea a b intra circulum. Palàm ex prædictis [11.12 n] quòd imago arcus a e b erit curua. Sit igitur imago eius z t h: imago a $it z: imago b $it h: imago e $it t: & ducatur g e $ecans a b in puncto f. Palàm, quòd e e$t in ea- dem linea cum f, remotior à centro g. Erit ergo eius imago propinquior centro, quàm fimago [per 30 n 5.] Sit ergo m. Palàm ergo, quòd linea z m h e$t imago lineæ a b: [imagines enim punctorum a & b communium eædem permanent] & e$t linea curua. Quod e$t propo$itum.

OPTICAE LIBER VI. 15. Si ui${us} $it extra $uperficiem incid\~etiæ: imago lineæ rectæ infinitæ, nec parallelæ, nec tan- gent{is}, nec $ecant{is} peripheriam cir e b f a d m h t z g q e a b d m h z @ culi (qui e$t commun{is} $ectio $uper- ficierum, reflexion{is} & $peculi $phæ- rici cõuexi) uidebitur curua. 50 p 6.

SI uerò lineæ a g, b g fuerint inæ- quales: linea a b protracta aut $e- cabit $peculũ: aut non. Sit quòd nõ $ecet: & $it a g maior g b: & fiat cir- culus $uper g ad quantitatem a g: qui $it a e q: & producatur a b, quou$q; ca datin circulũ ex parte b: cadat in pun ctum e. Patet ex $uperioribus [11 uel 12 n] quòd imago arcus a e e$t curua. Punctum imaginis a $it z: punctũ ima ginis e $it m: erit z m imago arcus a e. Et quoniam imago pũcti b remotior e$t à c\~etro, quàm imago puncti e: erit imago lineæ a b curua: quod etiã per puncta media arcus a e & lineæ a b fa ciliter poterit probari. Quod e$t propo$itum.

16. Si ui${us} $it extra $uperficiem incidentiæ: imago lineæ rectæ infinitæ, tangent{is} periphe- riam circuli (qui e$t commun{is} $ectio $uperficierum, reflexion{is} & $peculi $phærici conuexi) uidebitur curua. 51 p 6.

SI uerò linea a b tangit $peculum: aut $ecabit: aut continget. Tangat primò: & g $it c\~etrum $pe- culi: & ducantur lineæ a g, b g. Superficies a b g $ecabit $peculum $uper circulum communem [per 1 th. 1 $phær.] qui $it e h z. Palàm, quòd linea a b continget $peculum in hoc circulo [$unt enim peripheria e h z, & recta a b in eodem incidentiæ plano: & a b continuata tangit $peculum ex the$i. Quare tangit in peripheria e h z.] Contingat in puncto e. Protrahatur ergo a b u$q; ad e: d $it centrum ui$us. Superficies, in qua $unt lineæ d g, a g $ecabit $peculum $uper circulum, communem $uperficiei reflexionis & $peculi [per 1 th. 1 $phær.] Sit arcus illius circuli z p: $imiliter linea com- munis $uperficiei reflexionis & $peculi, in qua $unt d g, b g: & arcus illius circuli $it h p. Palam [è 29 n 5] quòd b reflectitur ad d ab aliquo puncto arcus h p. Si à puncto illo ducatur contingens: $ecabit lineam b g, & punctum $ectionis erit finis contingentiæ [per 17 n 5.] Sit punctum illud m. Palàm etiam, quòd $i à puncto m ducatur contingens arcum circuli e h: cadet contingens illa citra e: quo- niam a b contingit in puncto e, & punctũ b e$t altius puncto m. Cadat igitur in punctum f: quæ con tingens producta $ecabit lineam a e: $ecet in puncto t: ex alia parte $ecabit lineam a g: [per 11 ax] $e- cet in puncto c. Fiat [per 23 p 1] angulus b g s æqualis angulo b g d: & producatur g s u$q; ad pun- ctum l ad æqualitatem lineæ d g: erit ergo [per 26 p 3] arcus h s æqualis arcui h p. Et $icut reflecti- tur b ad d, ab aliquo puncto arcus h p: $ic reflectetur l k x s y e t q b a f u r m h o m @ @ z g p d ad l, ab aliquo puncto arcus h s. Et erit reflexio à pun- cto f, $icut in arcu h p e$t reflexio à puncto, à quo du- citur conting\~es ad punctũm. Et illa duo puncta $unt eiu$dem longitudinis à pũcto m. [Si enim duæ rectæ ab eodem puncto peripheriam tangentes, duabus $e- midiametris connectantur: recta à centro ad id\~e pun ctum ducta bifariam $ecabit angulum in centro per 2 con$ectarium 36 p 3.15 d. 8 p 1: & peripheriæ angulis in centro æqualibus $ubten$æ, & rect{ae} ea$dem periphe- rias $ubtendentes æquabuntur per 26. 29 p 3: quare prædicta duo reflexionũ puncta à puncto m æquabi- liter di$tabunt.] Ducantur ergo line{ae} b f, l f. Item a re- flectatur ad d ab aliquo puncto arcus z p [per 29 n 5.] Verùm in triangulo h z p duo arcus h z, h p maiores $unt tertio z p: [ք 5 th. 1 $phæricorũ Menelai] $ed h p e$t æqualis h s [ex cõclu$o.] Igitur z p e$t mi- nor z s. Re$cindatur z s ad æqualitat\~e in pũcto y [id uerò promptè præ$titerís, $i latus anguli ad ter- minũ g rectæ g z, æquati angulo z g p, in peripheriã cõtinuaueris: $ic enim peripheria angulo æqua- to $ubten$a æquabitur peripheriæ z p per 33 p 6] & ducatur linea g y, qu{ae} {pro}ducta ad æqualitat\~e g d, nece$$ariò $ecabit lineã f l [quia $ecat angulũ z g l.] Secet in pũcto x: & $it g x k æqualis g d. Palàm, quòd $icut a reflectitur ad d, ab aliquo puncto arcus z p: $imiliter reflectitur ad k, ab aliquo puncto arcus z y. Dico, quòd non reflectetur ad ip$um, ni$i à pũcto, quod e$t citra f, ex parte z. Si enim dica- tur, quòd po$sit à puncto f, uel alio puncto arcus f y: linea ducta à pũcto a ad punctũ reflexionis, $e- cabit lineam b f: & ad idem punctum $ectionis reflectetur punctum k, & ad id\~e punctum reflectetur ALHAZEN punctum b. Et ita duo puncta in his $peculis reflectentur ad idem punctum ex eadem parte: quod e$t impo$sibile [& contra 29 n 5.] Re$tat, ut punctum a reflectatur ad k, ab aliquo puncto arcus z f. Si ab illo puncto ducatur contingens: $ecabit lineam a z, & cadet inter z & c: quoniam punctum f demi$sius e$t quolibet puncto arcus z f: & ita contingens à puncto f altior alijs, à punctis arcus z f ductis. Cadat ergo contingens illa in punctum n: & ducatur linea m n: qu{ae} quidem linea cum tran- $eat per acumen trianguli b m t, & producta diuidat angulum, nece$$ariò $ecabit b t. Secet in pun- cto q: & ducatur linea g q. Sit autem i imago puncti a: o $it imago puncti b: r $it imago puncti q. Pa- làm, cum b $it propinquius puncto g, quàm a: erit o remotior à puncto g, quàm c [per 7 n.] Ducatur ergo linea i o. Palàm etiam [per 18 n 5.16 p 5] quòd proportio a g ad a n, $icut g i ad i n: & proportio b@g ad b m, $icut g o ad o m. Cum ergo lineæ a g, b g diuidantur $ecundũ hanc proportionem, utraq; in duobus punctis, & à punctis diui$ionum ducantur lineæ, quarum duæ, $cilicet a b, n m concur- rant ad idem punctum, $cilicet q: tertia nece$$ariò concurret ad idem punctum [per 9 n.] Igitur i o {pro}ducta cadet $uper q. Quare i o q e$t recta linea. Igitur i o r nõ erit recta: $ed i o r e$t imago line{ae} a q. Quare imago line{ae} a q erit curua. Po$ito aut\~e puncto b loco pũcti q, & aliquo pũcto lineæ a b po$ito loco pũcti b: erit eod\~e penitus modo probare, quòd imago lineæ a b e$t curua. Et hoc e$t propo$itũ.

17. Si ui${us} $it extra $uperficem incidentiæ: imago lineæ rectæ infinitæ, $ecant{is} inæquabili- ter peripheriam circuli (qui e$t commun{is} $ectio $ k x b a s @ t c q f m @ o h z i g p d $uperficierum, reflexion{is} & $peculi $phærici con- uexi) uidebitur curua. 52 p 6.

SI uerò a b $ecet circulum: $ecet in puncto e: m finis contingentiæ lineæ contingentis circulũ e h z, à puncto f productæ ad lineã b g: b igitur reflectitur ad d ab aliquo pũcto arcus h p. Arcus ab illo puncto reflexionis u$q; ad h, aut e$t æqualis ar- cui h e: aut maior: aut minor. Si æqualis: palàm quòd arcus ille e$t æqualis arcui h f [ut patuit præ- cedente numero.] Sit q punctum circuli, in quod cadit conting\~es ducta à puncto m exparte e. Igitur a e tran$it per punctũ q: & ita m q $ecat a e per pun- ctum e [quia in hoc ca$u q & e coniungũtur, unũ\’q; punctum fiũt.] Si uerò arcus ille minor e$t arcu h e: $ecabit quidem m q lineam a e ultra punctum q: $e- cet in t, ut efficiatur triangulum e q t. Si uerò arcus ille fuerit maior arcu h e: $ecabit quidem linea in q lineam a e citra punctum q. Siue hoc, $iue illud fuerit: iteretur probatio, & eodem penitus modo probabitur, quòd imago lineæ a b e$t curua. Quod e$t propo$itum.

18. Si ui${us} $it in $uperficie incidentiæ, extra rectam lineam infinitam per centrum circuli (qui e$t commun{is} $ectio $uperficierum, reflexion{is} & $peculi $phæ- d a b e h z g riciconuexi) trã$eunt{is}: imago illi{us} lineæ uidebitur recta. 53 p 6.

AMplius: $i in $uperficie, in qua $unt linea ui$a, & c\~etrum $phæ- ræ, fuerit ui$us: ($uperiora enim dicta $unt, non exi$tente ui$u in illa $uperficie) linea ui$a recta, aut concurret cum circulo communi illi $uperficiei & $peculo: aut non concurret. Si concurrat: angulus illarum linearum [quem nimirum efficiunt diameter opti- ca g d & data recta a b continuata per centrum g] cadet $uper centrũ $peculi: quæ quidem linea uidebitur recta. Imago enim cuiuslibet puncti illius lineæ apparet in ip$a linea [per 6 n 5.] Et ita imago il- lius lineæ e$t recta.

19. Si ui${us} $it in $uperficie incid\~etiæ: imago lineæ rectæ, infini- tæ peripheriam circuli (qui e$t commun{is} $ectio $uperficierum, re- flexion{is} & $peculi $phærici conuexi) tangent{is}, & ad partem ui- $ui oppo$itam obliquatæ, uidebitur punctum. 54 p 6.

SI uerò linea {pro}po$ita declinata fuerit: aut erit declinatio ex par- te ui$us: aut ex alia parte. Si ex alia parte: $umatur punctum cir- culi, à quo reflectatur aliquid ui$um: [per 39 n 5] & $umatur li- nea reflexionis aliqua. Aliqua linearum declinatarum cadet for$itan $uper hanc lineam reflexionis: quòd $i fuerit: non uidebitur quidem hæc linea declinata, ni$i $ecun- dum unum punctum [ducta enim a g $ecante peripheriam circuli in puncto z: peripheria inter punctum, à quo b reflectitur, & punctum z, continebit puncta reflexionis totius lineæ a b, ut pa- tuit 16 n.] Protracta igitur à centro ui$us ad centrum $peculi linea: $umatur in arcu circuli citra hanc lineam punctum, à quo reflectatur ad ui$um aliquod punctum lineæ declinatæ: $ed illud punctum reflectitur à puncto prius a$signato, quod e$t terminus lineæ reflexionis, cum li- nea declinata $it $upra lineam reflexionis. Et ita illud punctum lineæ declinatæ reflectitur ad OPTICAE LIBER VI. ui$um à duobus punctis arcus: quod e$t impo$sibile [& contra 29 n 5.] Licet aut\~e reflectatur pun- ctum illud à puncto primùm $umpto: d a b e h z g a d b b g non tamen ũidetur, cum $it in linea re flexionis, quæ occultatur per præce- dentia puncta. Et ita linea adiacens li- neæ reflexionis non uidetur.

20. Si ui${us} $it in $uperficie inci- dentiæ: imago lineæ rectæ infinitæ, peripheriam circuli (qui e$t commu- n{is} $ectio $uperficierũ reflexion{is} & $peculi $phærici conuexi) $iue tangen t{is}, $iue non, & ad ui${us} partemobli- quatæ, nulla uidebitur. 55 p 6.

SI uerò $umatur linea declinata, cuius declinatio $it ex parte ui- $us, iac\~es $ub linea reflexionis, & $ecans ip$am in puncto circuli Dico, quòd nullũ punctum illius lineæ uide bitur. Sumpto enim pũcto: $i dicatur, quòd punctum illud po$sit reflecti ab aliquo puncto arcus, interiacentis lineam reflexionis, & lineam à centro ui$us ad centrum $peculi ductam: & ducatur linea ab illo puncto ad punctũ arcus $umptum: hæc $ecabit lineam reflexionis: & punctum $ectionis reflectetur ad ui$um, à duobus punctis arcus $peculi: quod e$t impo$sibile [& contra 29 n 5.] Si uerò dicatur, quòd punctum $umptum in linea, reflectatur à puncto arcus circuli, qui e$t $ub ip$a linea: erit impo$sibile: quia ille totus arcus occultatur à linea.

21. Si ui${us} $it in $uperficie incidentiæ: ιmago lιneæ rectæ infinitæ; peripheriam circuli (qui e$t commun{is} $ectio $uperficierum, reflexion{is} & $peculi $phærici conuexi) nec tangent{is} nec per centrum $ecant{is}, & ad partem uι$uι oppo$itam obliquatæ, uidebitur curua. 56 p 6.

SI uerò linea $umpta nõ attingat circulum: poterit quidem uideri: $ed modicum e$t. Si uerò $u- matur linea declinata prædicta inter lineam reflexionis, & lineam per punctũ reflexionis pri- mò $umptum tran$euntem ad centrum: poterit quidem uideri hæclinea: & imminuetur cur- uitas imaginis huius lineæ, $ecundum quod magis acce$$erit ad lineã tran$euntem ad centrum, per punctum reflexionis. Si uerò $umantur lineæ inter lineam ad centrũ a d f b $ m e @ c z g tran$euntem per punctum reflexionis: uidebuntur quidem, $iue de- clinatio earum $it ex parte ui$us, $iue non: & modus ui$us earũ, $imi- lis modo ui$us linearum inter lineam reflexionis & lineam ad cen- trum tran$euntem. Et hæc quidem intelligenda $unt de lineis con- currentibus in arcu circuli, qui apparet ui$ui, id e$t, in arcu, qui inter- iacet duas contingentes, ductas à centro ui$us ad circulum. Linearũ autem concurrentium cum circulo in parte circuli occulta ui$ui: ali- qua erit æquidi$tans lineæ reflexionis: & illa quidem non uidebitur. Similiter conterminalis æquidi$tanti, quæ e$t $ub æquidi$tante, oc- cultabitur: $ed conterminalis æquidi$tanti, $upra ip$am exi$tens, po- terit uideri. Si uerò $umatur linea inter æquidi$tantes, nõ contermi- nalis alicui earum: $i fuerit eius declinatio ex parte ui$us, uidebitur: $i ex alia parte, aliquando uidebitur, aliquãdo non Quoniam $i à ter- mino eius ducatur æquidi$tans lineæ reflexionis: $i fuerit linea $ub æquidi$tante: non uidebitur: $i $upra eã, uideri poterit. Si uerò lineæ non concurrant cum circulo, aut $ecabunt lineam ductam à centro ui$us ad c\~etrum $peculi: aut æquidi$tabunt ei. Si $ecet aliqua earum: linea illa aut $ecabit illam ex parte ui$us, id e$t, inter ui$um & $pecu- lum: aut ultra $peculũ. Si ultra: occultabitur linea illa, $ed for$an ap- parebunt eius capita. Si uerò $ecet lineam ui$ualem ex parte ui$us, apparebit quidem $imiliter. Si fuerit æquidι$tans lineæ ui$uali: poterit uideri. Omnium autem harum linearum imagines curuæ. Vι$u autem exi$tente in eadem $uperficie cum centro $peculi & lineis ui$is, diminuta e$t appar\~etia: & quæ $it, quæ manife$tius apparet, e$t illa, quæ declinata e$t maxima declinatione, & illa ui$um re- $piciente. Pari modo arcuum in his $peculis apparentium, & in eadem $uperficie cum c\~etro $pecu- li, & ui$u exi$t\~etium, imagines quid\~e curuæ $unt curuitate $peculũ re$piciente. Hæc aũt intellig\~eda $unt duplici ui$u exi$t\~ete in ead\~e $uperficie cũ c\~etro $peculi, & re ui$a. Si enim alter ui$us modicùm declinetur, quò ad ip$um, alio modo res ui$a comprehendetur. Et ui$u exi$tente extra $uperficiem rei ui$æ & centrum $peculi, certior erit ip$ius rei comprehen$io, quam exi$tente in ea.

22. Si ui${us} $it in $uperficie incidentiæ: imago lineæ rectæ infinitæ, quæ uel non concurrens ALHAZEN cum $uperficie $peculi $phærici cõuexi, parallela e$t rectæ connectenti centra $peculi & ui${us}, uel quæ cum eadem connectente extra $peculum, uer${us} ui$um concurrit: uidebitur curua. 57 p 6.

QVòd aut\~e imago rei ui$æ $it curua, ui$u exi- h e m c u t s k o b z $ q r f g a d $tente in $uperficie c\~etri $peculi & rei ui$æ, probabitur. Sit d centrũ ui$us: g centrũ $pe- culi: h e $it linea ui$a: quæ quid\~e h e non cõcurrat cũ circulo $peculi, $ed $it æquidi$tãs line{ae} d g: uel $ecet eã ex parte d. Superficies incidentiæ $it, in qua $int lineæ d g, h e. Circulus cõmunis huic $uperficiei & $peculo $it a b. Producatur linea h g, & punctum in ip$a z $it imago h: punctũ circuli à quo reflectitur h ad d, $it b. Et [per 17 p 3] à pũcto b ducatur linea cõ- ting\~es, quæ $ecet lineã h g $uper punctũ t: erit t finis conting\~etiæ [ք 17 n 5.] Ducatur linea b g: qu{ae} pro- ducta nece$$ario concurret cũ h e. Si enim h e fuerit æquidi$tãs d g: cõcurret quid\~e: [ք lemma Procli ad 29 p 1] $i uerò d g cõcurrat cũ h e: multò fortius g b cũ ead\~e cõcurret. Cõcur$us ille aut erit in linea h e: aut ultra hãc lineã. Sit ultra: cõcurrat in puncto m: imago pũcti m $it q: finis conting\~etiæ $it s: & duca- tur linea z q, & $imiliter linea t s: & d g $ecet circulũ in a: & [per 17 p 3] ducatur à puncto a cõtingen@ a u. Palàm [è 24 n 4] quòd a b e$t minor quarta circuli: cum d uideat ex circulo minus medietate. Quare angulus a g b e$t acutus: [ք 33 p 6] & [per 18 h e m c u s t b o q z r f g a d p 3] angulus u a g e$t rectus. Igitur a u cõcurret cum b g [per 11 ax.] cõcurrat in puncto u. Dico, quòd pun ctum u cadet $upra punctũ s. Cũ enim m reflectatur à puncto aliquo arcus a b [per 29 n 5] & a $it demi$- $ius illo puncto: erit finis contingentiæ a, altior fine contingentiæ illius puncti: & ita s demi$sius pũcto u. Procedat ergo t s, donec concurrat cum linea a u: [cõcurret aũt per 11 ax] & $it cõcur$us in pũcto k: & ducatur linea g k: qu{ae} producta concurrat cũ h m in pũcto c: [cõcurret aut\~e per lemma Procli ad 29 p 1] Punctũ c reflectitur ad d ab aliquo puncto arcus a b [per 29 n 5.] Sit illud punctũ f: à quo ducatur linea conting\~es u$q; ad g c, qu{ae} quid\~e erit demi$sior linea a k: & erit punctũ o demi$sius pũcto k. Sit o finis cõ- ting\~etiæ. Ducatur linea d f, quou$q; cadat $uper g c: cadat in punctũ r: & producatur z q u$q; ad lineã g c: & cadat in punctum l. Dico quòd l e$t $upra r. Lineæ enim h c, t k, z l aut$unt æquidi$tantes: aut cõcurrunt. Sint æquidi$tantes. Cũ ergo hæ æquidi$tãtes $ecent lineam g c $uper tria pun- i h e m c t z u s b o k q @ r f g a d cta c, k, l, & $ecent utram q; linea- rum m g, h g: & [per 18 n 5. 16 p 5] {pro}portio h g ad h t, $icut g z ad z t: $imiliter m g ad m s, $icut g q ad q s: erit [ք 10 n] {pro}portio ead\~e g c ad c k, $icut l g ad l k. Sed pa- làm [per 3 n 5] quòd r e$t imago c: linea enim d f, linea reflexio- nis, concurrit cum c g in puncto r: & o finis contingentiæ. Quare [per 18 n 5. 16 p 5] proportio g c ad c o, $icut g r ad r o: $ed [per 8 p 5] maior e$t proportio g c ad c k, quàm g c ad c o: & ita maior g l ad l k, quã g r ad r o: ergo maior e$t proportio o r ad r g, quàm l k ad l g: [quia per 26 p Cãpani in quintũ librum elementorum, ratio l k ad g l minor e$t, quã ratio o r ad r g] & ita [per 18 p 5] maior e$t proportio o g ad r g, quàm k g ad l g. Sed [per 9 ax. k g maior e$t o g.] Quare [per 14 p 5] l g ma- ior r g. Igitur r demi$sius e$t puncto l. Sed z q l e$t linea recta: igitur z q r e$t linea curua. Et ita imago lineæ h c e$t curua. Po$ito ergo aliquo puncto lineæ h e loco puncti m, & puncto e loco puncti c: e- rit probare, quòd imago h e e$t curua. Si uerò lineæ h c, t s, z q concurrant: aut erit concur$us ex par OPTICAE LIBER VI. te d: aut ex parte h g. Sit ex parte d: & $it concur$us in puncto c: erit z q t linea recta: quare z q r erit curua. Et ita imago lineæ h e curua. Quod e$t propo$itum.

23. Imago peripheriæ cum ui$u in eodem plano$itæ, intra $peculum $phæricum conuexum $en $iliter ui$a, curua uidetur. 58. 62 p 6.

SI uerò proponatur arcus extra $peculum: erit probare de eo, quòd imago $it curua, $icut proba tum e$t, ui$u non exi$tente in ead\~e $uperficie cũ arcu & centro $peculi. Et hoc e$t propo$itum. Igitur in his $peculis lineæ rectæ apparent curuæ, & $imiliter curuæ appar\~et $imiliter curu{ae}. Si autem proponatur ui$ui in his $peculis corpus curuũ, $ed longũ, modicam habens latitudinem: ap- parebit quidem corporis illius curuitas manife$tè, cũ ip$a di$cerni po$sit per ea, quæ $upra corpus $unt, aut infra. Non enim planè di$cernitur curuitas, ni$i magna, ubi occultæ fuerint extremitates lõ gitudinis & latitudinis. Vnde propo$ito ui$ui corpore conuexitatis modicæ & quantitatis magnæ, nõ planè di$cernitur eius conuexitas, licet imago ip$ius $it cõuexa, cũ non appareant termini cor- poris in longitudine uel latitudine. Amplius: errores in $peculis planis accidentes, omnes accidunt & in his: & præterillos, accidit imagines linearum rectarum e$$e curuas: quod à $peculis planis e$t remotum.

DE ERRORIBVS, QVI ACCIDVNT IN SPECVLIS CO- lumnaribus conuexis. Cap. V. 24. Si à duob{us} ellip$is cylindraceæ punct{is} $int duæ perpendiculares: prima axi, continens cum recta à $ecundo puncto, ad idem ax{is} punctum ducta acutum angulum: $ecunda rectæ el- lip$in in $ecundo puncto tangenti: ultra axem & dictum acutum angulum concurrent. 114 p 1. 44 p 7.

AMplius: in $peculis columnaribus exterioribus errores accidunt ijdem, qui in $peculis $ph{ae}- ricis exterioribus. Lineæ enim rectæ uidentur curuæ, & diminuta apparet rei quantitas: $ed longè fortius in his, quàm in eis. Quoniam in $ph{ae}ricis res magna apparebit quidem minor, $ed non multò minor: $ed in his res etiam maxima uidebitur minima. Similiter linea recta appare- bit curua in $peculis $phæricis, $ed modicæ curuitatis: in columnaribus-maximæ curuitatis. Vnde multiplicantur errores columnaris $peculi $uper errores $phærici. Verùm in columnaribus aliquan do fit reflexio à linea recta, $cilicet à longitudine $peculi: aliquando à circulo: aliquando à $ectione. Quando linea ui$a fuerit æquidi$tans longitudini $peculi, fiet reflexio à linea longitudinis: & linea ui$a apparebit recta, modicæ curuitatis. Et hæc quidem probabuntur: ad quorum probation\~e ne- ce$$e quiddam præmitti: quod huiu$modi e$t. Sumpta columnari $ectione, & $umpto in ea puncto, quod non $it punctum reflexionis: $i ab illo puncto ducatur linea ad perpendicular\~e, quæ e$t à pun- cto reflexionis ad axem, & linea illa faciat angulum acutum cum perpendiculari: $i ducatur à pun- cto $umpto linea, quæ $it orthogonalis $uper contingentem illud punctum: hæc linea concurret cũ perpendiculari $ub axe, & $ub concur$u prioris lineæ cum perpendiculari. Verbi gratia: $it a e b $e- ctio: e punctum datum: n punctum ui$um: b punctum reflexionis: b d perp\~edicularis: e d b angulus acutus: q e l contingens. Super b fiat circulus æquidi$tans ba$i columnæ [ut o$ten$um e$t 47 n 5] $ci licet b t o: & ducatur à puncto e linea longitudinis columnæ [ut eodem numero demon$tratũ e$t] $cilicet e t: ducatur axis d h: & [per 11 p 1] ducatur linea d g perpendicularis $uper lineam b d, in $u- perficie circuli. Palàm, quod $uperficies h d g e$t orthogonalis $uper $uperficiem circuli [per 18 p 11: quia ducitur per axem perpendicularem circulo per 21 d 11.] Superficies uerò contingens columnã in puncto b, erit æquidi$tans huic $uperficiei: quoniam linea longitudinis ducta à puncto b e$t {ae}qui di$tans axi [per 21 d 11.] Et contingens circulum $uper b e$t æquidi$tans d g [per 28 p 1: recti enim $unt anguli g d b per fabricationem, & comprehen$us $ub tangente in puncto b & $emidiametro cir culi d b per 18 p 3.] Igitur $uperficies, in qua $unt lineæ l e, e t non e$t æquidi$tans $uperficiei h d g [quia non e$t parallela $uperficiei tangenti ellip$in in puncto b: cum angulus e d b $it acutus ex the- $i.] Concurretigitur cum ea. Concurrat in linea l g: & ducatur linea t g: quæ quidem erit contin- gens: cum $uperficies l e t $it contingens. Du- n q e $ g t f m o K d h c a s u p z b cta autem linea t d: erit angulus g t d rectus: [per 18 p 3] quoniam t d diameter, [& t g tan- git peripheriam in ip$ius termino t.] Fiat au- tem $uper e circulus æquidi$tans ba$i colu- mnæ [ut demon$tratum e$t 47 n 5] $cilicet e s p: punctum axis in hoc circulo $it k: & du- catur linea k e. Ducatur etiam linea d l: quæ quidem $ecabit $uperficiem circuli e s p: $e- cet in puncto f: ubicunque $it punctum extra circumferentiam uel intra: & ducantur lineæ k f, e f: & [per 11 p 11] à puncto f ducaturper- pendicularis $uper $uperficiem circuli b t o: quæ$it f m: & ducatur linea t m. Palàm, quòd k d æqui- ALHAZEN di$tans e$t & æqualis f m: [Nam cum axis k d & recta f m $int perpendiculares circulo b t o: ille per 21 d 11, hæc per fabricationem: erunt ip$æ inter $e parallelæ per 6 p 11: & æquales per 34 p 1: quia circu li b t o, e s p $unt paralleli] & ita [per 33 p 1] k f æquidi$tans & æqualis d m. Similiter f m æquidi$tans & æqualis e t: [per 30 p 1: quia e t latus cylindraceum parallelum e$t axi k d per 21 d 11] & k e æqualis & æquidi$tans d t: & ita e f erit æquidi$tans & æqualis t m [per 33 p 1.] Verùm $uperficies k d l e$t or- thogonalis $uper $uperficiem $ectionis b e t: [quia per axem ducitur, & angulus g d b in e llip$is pla- no rectus e$t ex the$i] & e$t orthogonalis $uper $uperficiem circuli e s p [per 18 p 11: quia tran$it per axem, perpendicularem circulo per 21 d 11.] Ergo e$t perpendicularis $uper lineam, communem $e- ctioni & circulo [per 19 p 11] quæ e$t e f. Igitur [per 3 d 11] angulus e f k rectus. Similiter angulus t m d rectus [per 10 p 11: $unt enim e f, f k parallelæ ip$is t m, m d, ut patuit, & in circulis parallelis.] Cũ igitur angulus d m t $it rectus: & g t d rectus: [per 18 p 3] multiplicatio d m in m g erit, $icut t m in $e. [Nam quia ab angulo g t d recto ducta e$t t m, perp\~edicularis ba$i g d: erit per 8 p 6, ut d m ad m t, $ic m t ad m g. Ita que per 17 p 6 rectangulum comprehen$um $ub extremis d m, g m æquatur qua- drato mediæ t m.] Sed quoniam f m æquidi$tat g l: [Nam cum g l $it communis $ectio duorum pla- norum, quorum alterum l e t g $peculum tangit, reliquum h d g l per axem $ecat: utrũque uerò per- pendiculare e$t circulo b t o per 21 d. 18 p 11: erit ip$a g l eidem circulo perpendicularis per 19 p 11. Quare per 6 p 11 erit parallela axi: ideoque per 30 p 1 ip$i f m] erit [per 2 p 6] proportio d f ad f l, $i- cut d m ad m g. Sed d f maior d m [per 19 p 1: quia angulus ad m rectus e$t perfabricationem.] Igi- tur fl maior m g [per 14 p 5.] Igitur maior e$t multiplicatio d f in f l, quàm d m in m g: ergo maior <004> t m in $e. Quare cum t m $it æqualis e f [ex conclu$o] erit multiplicatio d f in f l maior ductu lineæ e fin $e. Quare angulus l e d maior recto. Si enim rectus e$$et, cum linea e f $it perpendicularis $uper l d [rectus enim demon$tratus e$t angulus e f k] e$$et ductus d fin fl æqualis quadrato e f [per 8.17 p 6.] Re$tat ergo [per 13 p 1] ut angulus d e q $it acutus. Igitur orthogonalis ducta à puncto e, ortho gonalis, inquam, $uper contingentem q l, cadet $ub linea e d, & concurret cum perpendiculari b d $ub puncto d. [Quòd enim perpendicularis illa & b d concurrant, patet per 11 ax: quia anguli, e d b & comprehen$us ab e d & dicta perpendiculari, $unt acuti: ille per the$in, hic, quia pars e$t recti, cõ- prehen$i à tangente e q & dicta perpendiculari.] Quod e$t propo$itum. His præmi$sis acced\~edum e$t ad propo$itum.

25. Si ui${us}, & linea recta, axi $peculi cylindracei conuexi parallela, fuerint in eodem plana: à toto cylindri latere ad ui$um reflecti pote$t: & imago uidetur linea recta, æqual{is} par alle- læ. 50 p 7.

PRoponatur columna: [ut in $equente numero] linea æquidi$tans axi $it t h. erit quidem æqui- di$tans lineæ longitudinis columnæ [per 21 d 11. 30 p 1.] Si ergo ui$us fuerit in eadem $uperfi- cie cum axe & linea t h: poterit quidem reflecti linea, & erit reflexio à linea longitudinis colu- mnæ, quæ e$t linea communis $uperficiei, in qua $unt ui$us & axis, & $uperficiei column{ae}, $icut o$t\~e $um e$t in libro quinto [43. 89 n.] Sicigitur uidebitur linea t h linea recta. Quoniam quælibet per- pendicularis ducta à puncto lineæ t h, erit in eadem $uperficie cum ui$u & axe. Et probabitur imagi nem lineæ t h e$$e rectam, $icut probatum e$t in $peculis planis de rectis lineis [2 n.]

26. Si ui${us} $it extra planum lineæ rectæ, axi $peculi cylindracei conuexi parallelæ: à latere cy lindri fit reflexio. 30 p 7.

SI autem ui$us $it extra $uperficiem lineæ t h, & axis: & t h æquidi$tet axi: qui axis $it z k: fiat $u- perficies per ui$um tran$iens, $ecans $uperficiem columnæ æquidi$tanter ba$i: [ut o$ten$um e$t 47 n 5] $ecabit quidem $ecundum circulum [per 5 th. Sereni de $ectione cylindri.] Sit circu- lus ille b f. Aliquod igitur punctum lineæ h t reflectitur ad ui$um, ab aliquo puncto huius circuli: $it punctum b: & ui$us $it e: punctum illud lineæ t h, $it q: & ducantur lineæ e b, q b, q e. Et ducatur à pũ cto b linea longitudinis [ut mon$tratum e$t 47 n 5] quæ $it a b g: & ducatur à puncto b perpendicu- laris, cadens $uper axem in puncto l [cadet uerò per l\~ema Procli ad 29 p 1: quia latus cylindraceũ & axis $unt paralleli per 21 d 11] quæ $it m l: & ducatur à puncto e linea æquidi$tans l m: quæ $it e o: & ducatur q b, quou$que concurrat [concurret autem per allegatum Procli lemma] $it concur$us in puncto o. Palàm, quòd angulus q b m e$t æqualis angulo e b m: [anguli enim m b g, m b a recti per fabricationem & 29 p 1, æquantur per 10 ax. item\’que q b g, e b a per 12 n 4: quare reliqui q b m, e b m æquantur.] Sed [per 29 p 1] angulus q b m æqualis e$t angulo b o e: quia l m æquidi$tans o e. Simi liter [per eandem 29] angulus m b e æqualis angulo b e o: quia coalternus. Igitur angulus b o e æ- qualis e$t angulo b e o. Quare [per 6 p 1] latera b o, b e æqualia. Sumaturautem aliud punctum in linea t h: quod $it t: & ducatur linea t o. Palàm, quòd linea t h æquidi$tat lineæ longitudinis, quæ e$t a g [per 30 p 1: quia t h ex the$i parallela e$t axi, cui latus cylindraceum parallelum e$t per 21 d 11.] Ergo $unt in eadem $uperficie: [per 35 d 1] & in illa $uperficie e$t linea q b o [per 7 p 11: quia conne- ctit t h & a g.] Quare in eadem erit linea t q [per 1 p 11.] Secabit igitur lineam a g. Secet in puncto g. Ducatur linea e g. Palàm etiam [per 8 p 11] quòd linea a g e$t perpendicularis $uper $uperficiem circuli b f, $icut axis, cui æquidi$tat, [per 21 d 11.] Et $uperficies illius circuli, e$t pars $uperficiei, e o b f, $ecans $cilicet columnam æquidi$tanter ba$i. Igitur [per 3 d 11] angulus g b o e$t rectus, & an-  OPTICAE LIBER VI. gulus g b e e$t rectus. Ergo [per 47 p 1] quadratum lineæ g o ualet quadratum lineæ b g & qua- dratum lineæ b o. Similiter quadratum g e ua t n q z g m b $ f h r a d e k o let quadrata g b & b e. Et quoniam b e & b o $unt æquales: [per conclu$ionem] & g b com munis: erit g o {ae}qualis g e [quia ip$arum qua- drata æqualia.] Igitur [per 5 p 1] angulus g o e {ae}qualis angulo g e o. Ducta autem perpen- diculari $uper axem z g n: æquidi$tãs erit e o: [per 30 p 1] cum $it æquidi$tans m b l. Igitur [per 29 p 1] angulus t g n æqualis angulo g o e: & angulus n g e æqualis angulo g e o: quare angulus t g n æqualis n g e. Cum autem t g o, n g z $int in eadem $uperficie, in qua g. Ergo puncta o, g, terunt in ead\~e $uperficie: & ita in ead\~e $uperficie $unt line{ae} e g, o g t g [ք 1 p 11.] Igitur t reflectitur ad e à pũcto g. Sumpto aũt in linea th puncto h eiu$dem longitudinis à puncto q, cuius e$t punctũ t, & linea ducta h o: tran$ibit quid\~e per punctũ lineæ a g: tran$eat per punctũ a: ducta\’q; à puncto a $uper ax\~e perpendiculari d a, & linea e a: erit, $icut prius, probare: quòd duo anguli a b o, a b e recti: & duo latera a o, a e æqualia: & duo anguli h a r, e a r æquales: & ita h reflectetur ad e à puncto a. Similiter $umpto quocunq, pun cto line{ae} t h: erit probare, quòd reflectatur ab aliquo puncto line{ae} a g. Quare linea th reflectetur à linea longitudinis, quæ e$t a g.

27. Si ui${us} $it extra planum lineæ rectæ, axi $peculi cylindracei conuexi parallelæ: imago ui- debitur parum curua, & minor ip$aparallela. 51 p 7.

RE$tat probare imaginem line{ae} t h e$$e curuã. Palàm ex prædictis, quòd q reflectitur ad e à pun cto b, quod e$t punctum circuli. Sed cum $ic reflectatur à circulo: $i ducatur linea à puncto q, ad centrum illius circuli: concurret cum perpendiculari ducta à puncto b: [quia perpendicu laris illa tran$it per eiu$dem circuli centrum, ut o$ten$um e$t 16 n 5] & erit cõcur$us in puncto axis. Ducatur ergo q l, concurrens cum m l in puncto axis: quod e$t l: & e$t centrum circuli f b: & produ- catur e b, quou$q; concurrat cum q l. Sit concur$us in puncto c. Erit c imago q: & e$t c in $uperficie, in qua $unt lineæ q h, & axis, & linea longitudinis a g [per 1 p 11.] Palàm etiam [è 31 n 4] quod t refle ctitur ad e, à puncto $ectionis columnaris, $cilicet à puncto g. E$t autem à puncto t unam ducere per pendicularem, $uper lineam contingentem in aliquo puncto $ectionem: quæ quidem concurret cũ perpendiculari ducta à puncto g: quæ e$t n g z, $ub axe, id e$t, $ub puncto z: quod e$t concur$us per- pendicularis n z & axis [per 24 n.] Quoniam ducta linea t z: erit angulus t z n acutus: [quia conti- nuato axe k z ultra z in y: erit angulus n z y rectus per fabrication\~e & 29 p 1.] Producatur n z ultra z in x. Ducatur ergo t x, concurrens cum n z in puncto x: & producatur e g, donec concurrat cum t x in puncto i. Erit i imago puncti t [per 4 n 5.] Similiter ducta à puncto h linea, quæ $it orthogona lis $uper lineam, contingentem $peculum in puncto aliquo $ectionis, à quo h reflectitur ad e: cõcur- ret cum perpendiculari d a r, $ub puncto d, quod e$t punctum axis [per 24 n.] Concurrat in puncto p: & producatur e a, donec concurrat cũ h p in puncto s. Erit imago puncti h punctum s [per 4 n 5.] t i y n q g z x m b c $ f h s r a d p e k o u Ducatur autem linea s t. Palàm, cum linea t i concurrat cum perpendiculari n z, quæ e$t æquidi$tãs line{ae} e o: concurret cum linea e o [per lemma Procli ad 29 p 1.] Sit concur$us in u. Similiter linea h s, quoniam concurrit cum perpendiculari d a r, quæ e$t æquidi$tans e o: cõcurret cum e o. Sed quo- niam $itus t, re$pectu puncti e, idem e$t cum $itu h & eadem longitudo: [quia th parallela e$t axi ex the$i.] Similiter $itus puncti t & puncti h ad punctum q idem [ut præcedente numero patuit] & pũ ctorum i, s, re$pectu o, etiam e$t idem: erit idem $itus linearum t i, h s, re$pectu lineæ e o. Igitur li- ALHAZEN neæ t i, h s cõcurrent $uper idem punctũ lineæ e o. Concurrant in puncto u. Erit ergo t u h triangu- lum, & in $uperficie huius trianguli erit linea i s. Axis autem non e$t in eadem $uperficie: uerùm t h e$t in eadem $uperficie cum axe. [ex the$i.] Igitur $uperficies illa $ecat $uperficiem trianguli, $uper lineam communem: quæ e$t t h, non $uper aliam. Cum ergo punctum c $it in $uperficie lineæ t h & axis, & non $it in linea t h: non e$t in $uperficie trianguli t u h: & duo puncta i, s $unt in $uperficie il- lius trianguli. Quare linea i c s e$t linea curua: & imago lineæ t h erit curua. Quod e$t propo$itum. Sed eius curuitas e$t modica: quia perpendicularis ducta à puncto c ad punctum $ectionis lineæ i s & $uperficiei circuli, e$t ualde parua. Et quantò maior fuerit linea ui$a, æquidi$tans lineæ longitudi nis $peculi: tantò imago eius erit minus curua: & quantò minor, tantò magis.

28. Si ui${us} $it in communi $ectione planorum, lineæ rectæ & ax{is} $peculi cylindracei conuexi, inter $eperpendicularium: fiet reflexio à peripheria circuli, qui e$t f d b g t e h e commun{is} $ectio plani lineæ & $uperficiei $peculi: & imago uidebi- tur curua. 52 p 7.

AMplius: $i linea t h $ecet $uperficiem, in qua $unt centrum ui- $us & axis, & $it orthogonalis $uper eam. Vi$us aut erit in illa $uperficie lineæ t h, $ecante orthogonaliter $uperficiem axis & ui$us: aut extra. Si fuerit in $uperficie illa: aut $upra lineam t h: aut infra. Si $upra, cum illa linea $it corporalis, occultabit ui$ui $peculũ: & ita non reflectetur, $ed for$an capita eius apparebunt & reflecten- tur à circulo columnæ, qui communis e$t $uperficiei lineæ t h, $ecanti columnam, & columnæ. Et erit horum capitum imago, $icut in $phæ ricis exterioribus [21 n.] Similiter $i ui$us fuerit $ub linea t h: occul- tabitur pars eius propter caput, in quo e$t ui$us. Pars aũt lineæ ui$æ reflectitur à circulo, eod\~e penitus modo, quo in exteriorib. $ph{ae}ricis.

29. Si ui${us} æquabiliter di$tans à termin{is} lineæ rectæ, $it extra eiu$dem planum, perpendiculare plano ax{is} $peculi cylindracei cõ- uexi: imago maximè curua uidebitur. 53 p 7.

SI uerò ui$us fuerit extra $uperficiem line{ae} t h, orthogonaliter $e- cantem $uperficiem ui$us & axis: $it e ui$us: & b g x columna: reflectetur h ad e ab aliquo pun- cto columnæ: $it à puncto b: & $it t eiu$dem longitudinis à puncto e, cuius e$t h. Dico, quòd t reflectetur ad e ab aliquo puncto columnæ. Et cum puncta h, t $int eiu$dem $itus & eiu$dem lon- gitudinis à puncto e: erunt $imiliter puncta reflexionum, $cilicet b, g eiu$dem longitudinis & eiu$- dem $itus à puncto e. Igitur duo puncta b, g erunt in circulo. Sit circulus b z g: eius centrum d: & ducantur lineæ h b, b e, t g, g e: & à centro ducantur perpendiculares, $uper contingentes circulum in punctis b, g, $cilicet d b o, d g s: & ducatur linea e d. Cum puncta h, e $int eiu$dem $itus & longitu dinis, re$pectu e, & re$pectu d: & $imiliter puncta b, g, eiu$dem $itus, re$pectu e & re$pectu d: habe- bunt lineæ h b, t g eundem $itum, re$pectu lineæ e d. Et ita concurrent in idem punctum illius li- ne{ae}. Sit concur$us in puncto l. Fiat linea longitudinis columnæ, [ut o$ten$um e$t 47 p 5] in qua punctum z: & $it hæc linea in $uperficie ui$us & axis: quæ $it a z: & ducantur lineæ l z n, d z c: q $it punctum lineæ t h, punctum $cilicet, quod e$t in $uper$icie ui$us & axis: & à puncto q ducatur linea æquidi$tans line{ae} d z c [per 31 p 1] cadet quidem h{ae}c linea $uper axem: [per lemm a Procli ad 29 p 1] & l z n cadet in hanc lineam $upra pũctum q. Cadat in punctum n. Palàm ex prædictis [12 n 4] quòd angulus h b o {ae}qualis e$t o b e: $ed [per 15 p 1] angulus h b o æqualis e$t angulo l b d, per con- trapo$itionem: & [per 32 p 1] angulus o b e æqualis e$t duobus angulis b e d, b d e: quia extrin$e- cus. Ergo angulus l b d {ae}qualis e$t duobus angulis b e d, b d e. Fiat ergo angulus m b d æqualis angulo b d e [per 23 p 1] remanet angulus m b l {ae}qualis angulo b e l. Quare ductus e m in m l æ- qualis quadrato b m [triangula enim m e b, m b l $unt {ae}quiangula: quia angulus m b l {ae}qualis con- clu$us e$t angulo m e b, & communis utriu$que trianguli e$t b m e: reliquus igitur m l b {ae}quatur reliquo l b e per 32 p 1. Quare per 4 p 6 erit, ut e m ad m b, $ic m b ad m l. Ergo per 17 p 6 rectangu- lum comprehen$um $ub extremis e m & m l, {ae}quatur quadrato medi{ae} m b.] Ducatur linea m z. Quoniam igitur angulus b d m maior e$t angulo z d m: [Nam propter $imilem $itum punctorum reflexionis b & g, {ae}quatur angulus s d e angulo o d e: $ed angulus s d e maior e$t angulo z d m per 9 ax. Quare angulus o d e, id e$t, b d m maior e$t angulo z d m] & duo latera z d, d m {ae}qualia duo- bus lateribus b d, d m: [{ae}quantur enim z d, b d per 15 d 1: & d m e$t communis] erit [per 24 p 1] m b maior m z: quare ductus e m in m l maior e$t quadrato z m. Sit ductus e m in m i æqualis quadrato m z: [per 11 p 6, ut demon$tratum e$t 6 n] & ducantur line{ae} i b, i z. Erit ergo angulus m z i {ae}qualis angulo z e i, [e$t enim per proximam fabricationem & 17 p 6, ut e m ad m z, $ic m z ad m i. Sunt igitur duo triangula e m z, i m z lateribus circa communem angulum i m z propor- tionalia: itaque per 6 p 6 $unt {ae}quiangula, & angulus m z i {ae}quatur angulo z e i.] Quare m z l ma- ior angulo z e d. Sed quoniam angulus m b d po$itus e$t {ae}qualis augulo b d m: erit [per 6 p 1] linea m b {ae}qualis line{ae} m d: $ed m b maior m z, [ut patuit.] Quare m d maior m z. Igitur OPTICAE LIBER VI. [per 18 p 1] angulus m z d maior angulo m d z. Igitur d z l maior duobus angulis z d e, z e d. [con$tat enim è duobus angulis m z l & m z d, e c s $ o f i g m b k z d t q p h y n r u a x quorum ille angulo z e d, hic angulo z d e maior e$t conclu$us.] Sed angulus d z l {ae}qualis e$t an- gulo n z c [per 15 p 1] & angulus e z c {ae}qualis duobus angulis z d e, z e d [per 32 p 1.] Quare an gulus n z c maior e$t angulo e z c: $ecetur ad {ae}- qualitatem per lineam f z: qu{ae} quidem concur- ret cum linea n q: [per lemma Procli ad 29 p 1: quia n q, c d $unt parallel{ae} per fabricationem.] Concurrat $uper punctum f. Cum ergo angulus f z c $it {ae}qualis angulo c z e: reflectetur f ad e à puncto z. [per 12 n 4] q uerò reflectetur ad e à puncto line{ae} longitudinis, qu{ae} tran$it per z à pũ cto, quod e$t ultra z. Si enim à puncto citra z, id e$t propinquiore e: linea ducta à puncto q ad punctum illud reflexionis, $ecabit lineam f z: & ita punctum $ectionis reflectetur ad e à duobus punctis: quod e$t impo$sibile [& contra 46 n 5.] Sumatur ergo ultra punctum z pũctum k, à quo reflectatur q ad e: & ducatur linea e k, donec cõ currat cum linea n q, in puncto p [concurret au- tem per lemma Procli ad 29 p 1.] Erit p imago q [per 4 n 5.] Sed h reflectitur ad e à puncto $ectionis column{ae} [$unt enim h & e in diuer$is planis.] Si ergo à puncto h ducatur perpen- dicularis $uper lineam, cõtingentem $ectionem in aliquo puncto: perpendicularis illa concur- ret cum perpendiculari c z d $ub axe [per 24 n.] Concurrat in puncto u. Similiter à puncto l e$t ducere unam perpendicularem $uper $ectio- nem, à cuius puncto reflectatur t ad e. Et quo- niam [ex the$i] puncta h, t $unt eiu$dem $itus, re$pectu lineæ e d, & puncta $ectionis $imiliter, per quæ tran$eunt perpendiculares ab ip$is du- ctæ. Igitur illæ duæ perpendiculares concurrent in idem punctum line{ae} e d. Concurrant ergo in puncto u. Et quia linea e b concurrit cum h u: $it concur$us in puncto r. Similiter e g concurrat cum t u in puncto y: & ducatur linea r y. Palàm [per 4 n 5] quòd r e$t imago h: & y e$t imago t: & habemus triangulum e r y: extra $uperficiem huius trianguli e$t punctum z: & in $uperficie huius trianguli altior e$t linea e p: & ita p e$t extra. Quare linea r p y erit curua: & illa e$t imago lineæ t h. Et e$t quidem h{ae}c imago curuitatis non modicæ. Quod e$t propo$itum. Palàm ergo, quòd in his $peculis, $i linea recta ui$a {ae}quidi$tans fuerit line{ae} longitudinis columnæ: erit imago eius recta, aut accedens ad rectitudinem. Siuerò linea recta ui$a {ae}quidi$tans fuerit columnæ: erit imago eius cur- ua, curuitate non modica. Line{ae} autem inter has duas $it{ae}, qu{ae} magis accedunt ad $itum line{ae} {ae}qui- di$tantis, re$pectu column{ae}, habebunt imagines $uas rectitudini magis uicinas: & imagines earũ, quæ propinquiores $unt $itui {ae}quidi$tantium latitudini, erunt magis curu{ae}: & minuetur, uel augm\~e tabitur curuitas imaginum $ecundum acce$$um uel elongationem linearum ad alterum horum $i- tuum. Et hoc e$t propo$itum.

DE ERRORIBVS, QVI ACCIDVNT IN SPECVLIS pyramidalibus conuexis. Cap. VI. 30. Si duæ rectæ à duob{us} punct{is} ellip$is conicæ, inæquabiliter à uertice di$tantib{us}, $int per- pendiculares duab{us} rect{is}, ellip$in in dict{is} punct{is} tangentib{us}: ultra axem concurrent. Opor tet autem ut perpendicular{is} à puncto propinquiore, & recta à longinquiore ad axem ductæ, acutum angulum comprehendant. 113 p 1. 45 p 7.

AMplius: in $peculis pyramidalibus exterioribus ij dem errores accidunt, qui in $phæricis ex- terioribus eueniunt. Line{ae} enim ui${ae} {ae}quidi$tantes, re$pectu pyramidis, aut rect{ae} uidentur, aut fortè {ae}quidi$tantes latitudini curu{ae}: & intermedi{ae} augmentant uel diminuunt curuita- tem $ecundum propinquitatem earum uel remotionem. Et hoc probabitur. Quiddam tamen pr{ae}- mittendum proponamùs: & e$t. Si $umatur in $uperficie pyramidis, punctum reflexionis: & fiat $e- ctio tran$iens per punctum illud: & in $ectione $umatur punctum remotius à uertice pyramidis, puncto reflexionis: & à puncto $umpto ducatur perpendicularis $uper contingentem $ectionem: CIN EMATH EQUE FRANCAISE BIBLIOTHEQUE MUSEE ALHAZEN hæc perpendicularis concurret cum perpendiculari $uper contin gentem $ectionem ducta à pun- cto reflexionis, $ub axe. Verbi gratia: $it a b g z pyramis erecta $uper ba$im $uam: a uertex pyrami- dis: b f z $ectio: e punctum reflexionis: z punctũ $ectionis remotius à puncto a quàm e. Super pun- ctum z fiat $uperficies $ecans pyramidem æquidi$tanter ba$i [ut o$ten$um e$t 52 n 5.] Secabit qui- dem $uper circulum communem [per 4 th. 1 coni. Apol.] Sit circulus ille g b r z: & ducantur lineæ a z, a e: & producatur a e, donec $it æqualis a z: ueniet quidem ad circulum [per 18 d 11: quia e$t la- tus conicum.] Cadat ergo in punctum eius o: & c $it centrum circuli: & ducatur axis a c: & à pun- cto e ducatur perpendicularis $uper $uperficiem contingentem pyramidem [per 12 p 11.] Concur- ret quidem [per 11 ax.] cum axe citra c\~etrum circuli, quod e$t c: $it in puncto d: & ducatur linea d z, continens angulum acutum cum perpendiculari e d: & à puncto o ducatur perpendicularis $uper lineam a o, concurrens cum axe in puncto k: & ducatur linea k z: & $uper punctum z ducatur con- tingens $ectionem, quæ $it t q: & alia contingens circulum b g z: [per 17 p 3] quæ $it z y: & ducatur linea b c z: & à puncto c ducatur perpendicularis $uper lineam b c z: [per 11 p 1] quæ $it c r. Erit qui- dem perpendicularis $uper axem: [per 3 d 11] cum axis $it perpendicularis $uper $uperficiem circu- li: [per 18 d 11.] Quare [per 4 p 11] c r e$t perpendicularis $uper $uperficiem a c z: & erit æquidi- di$tans z y cõtingenti [per 28 p 1: quia anguli interiores ad c & z $unt recti: ille per fabricationem, hic per 18 p 3.] Quare z y e$t perpendicularis $uper a e t o f z h g d j c p k b q r $uperficiem a c z [per 8 p 11.] Quare t q non e$t per- pendicularis $uper eandem $uperficiem. Verùm quoniam k e$t p olus circuli b r z: [quia e$t in axe co nico per fabricationem] palàm, cum lineæ k o, k z $int æquales [per 5 defin. 1 $phæricorum Theodo- $ij,] & axis a k communis, & a o æqualis a z [per 18 d 11: quia utraque e$t latus conicum] quòd erit an- gulus a o k æqualis angulo a z k [per 8 p 1] & ita an- gulus a z k rectus: [quia a o k illi {ae}qualis, rectus e$t: cum k o $it perpendicularis a o per fabricationem.] Cum ergo linea k z $it perp\~edicularis $uper a z, quæ e$t linea longitudinis: erit perpendicularis $uper $u perficiem, contingentem pyramidem, $uper hanc li neam longitudinis [ut demon$tratum e$t 54 n 5.] Sed t q e$t in $uperficie contingente: quia e$t cõmu- nis $ectio $uperficiei contingenti & $ectioni. Igitur k z e$t perpendicularis $uper t q [per 3 d 11.] Duca- tur autem h z in $uperficie $ectionis perpendicula- ris $uper lineam t q [per 11 p 1.] Cum aut\~e linea k z $it extra $uperficiem $ectionis: $ecabit lineã h z, nec erit una linea [per 1 p 11.] Quare illa $uperficies k z h $ecat $uperficiem $ectionis, $uper lineam h z com- munem: & $ecat lineam t q $uper punctum z: & $uperficies h z k $ecat $uperficiem d z k, $uper lineam communem k z: uerùm d z e$t in $uperficie $e- ctionis, & $ecatur à linea k z in puncto z: & punctum t e$t $upra $uperficiem k z h, punctum q infra: & ita $uperficies k z h $ecabit $uperficiem d z q $uper lineam communem: & illa linea communis e$t perpendicularis $uper lineam t q: quia linea illa e$t in $uperficie h z k, $uper quam e$t perpendicula- ris t q [ut o$ten$um e$t.] Et quoniam $uperficies h z k $ecat $uperficiem d z q: & declinatio $uperfi- ciei h z k à $uperficie $ectionis fit ex parte z c: erit linea communis $ectioni illarum $uperficierũ in- ter lineas q z, d z. Et ita concurret cum perpendiculari $ub axe. Et quòd nece$$ariò concurrat, pro- batum e$t in libro quinto [quia anguli e d z, d z p $unt acuti: ille per the$in, hic, quia pars \~e$t recti t z p.] Et ita e$t propo$itum.

31. Linea recta tota ab uno $peculi conici conuexi latere ad ui$um reflecti po- te$t. 41 p 7.

SIt ergo pyramis: cuius uertex a@axis a h: linea longitudinis a z. Et à puncto z ducatur perpendi- cularis $uper $uperficiem, contingentem pyramidem in linea a z [per 12 p 11] quæ nece$$ariò concurret cum axe [per 11 ax. quia angulus h a z e$t acutus per 17 p 1: cum a d z $it rectus per 18 d 11.] Sit linea t z h. Ducatur à puncto a linea extra pyramidem, ultra $uperficiem contingentem pyramidem in linea a z, faciens angulum acutum cum axe & cum linea longitudinis a z: quæ $it a n. Et in $uperficie a h n à puncto h ducatur linea, cum axe faciens angulum æqualem angulo a h z: quæ linea nece$$ariò concurret cum linea a n: [per 11 ax. quia anguli n a h & a h z ex the$i acuti, $unt mi- nores duobus rectis] quæ $it h o. Et facto $uper punctum z circulo æquidi$tante ba$i: [ut o$ten$um e$t 52 n 5] tran$ibit h o per circulum, $icut h z tran$it per ip$um. Ducatur linea o z: & producatur ad punctum f. Quoniam linea o z $ecat $uperficiem, contingentem pyramidem in linea a z: cum li- nea h z $it perpendicularis $uper illam $uperficiem: [per fabricationem] erit angulus o z h maior recto: quia a z h rectus e$t [per fabrication\~e.] Igitur [per 13 p 1] angulus f z h acutus. À puncto z du OPTICAE LIBER VI. catur contingens circulum [per 17 p 3] quæ $it m z: & à puncto f ducatur perp\~edicularis $upera z, [per 12 p 1] cadens in punctũ eius e: quæ producta cõcurrat cũ a o [per 11 ax.] quoniã angulus o a z e$t acutus [ex the$i.] Concurrat a o u m h z t s n d $ e q f p igitur in puncto n. Et [per 31 p 1] à pũcto e ducatur æquidi$tãs line{ae} t h: & $it q e: & à puncto e ducatur {ae}quidi$tãs m z: qu{ae} $it e l. Palã [ք lemma ad 37 th. opticorum Eucli dis: uel per 42 th 6 libri σ{υν}αγωγῶ@ μαθκματικῶμ Pappi] quòd m z e$t perpendicularis $uper a e: quo- niam a h e$t perpendicularis $u- per circulum, per z tran$euntem, [per 18 d 11] & m z $uper diame- trum illius circuli [per 18 p 3] quia contingit. Igitur l e e$t per- pendicularis $uper a e [per 29 p 1] & producatur q e ultra e: h{ae}c concurret quidem cum axe: [per lemma Procli ad 29 p 1] concur- rat in d. Fiat aut\~e $uperficies l e, d q $ecans pyramidem: erit quidem $ectio pyramidalis: [per 5 th. 1 con. _A_poll. quia l d q planum ob- liquum e$t ad axem.] Cum ergo a e $it perpendicularis $uper f n, & $uper q d, & $uper l e: erit f n in $uperficie illa $ecante pyramidem [per 5 p 11.] Fiat ergo in illa $uperficie p f æquidi$tans q e: erit æ- quidi$tans t z [per 9 p 11] uerùm cum angulus f z h $it acutus: [per conclu$ion\~e] erit angulus t z @ obtu$us [per 13 p 1.] Ducatur à puncto z linea, faciens cum t z angulum, æqualem angulo o z t: qu{ae} quidem linea nece$$ariò $ecabit f p [per lemma Procli ad 29 p 1: quia z t, f p $unt parallelæ.] Secet in puncto p: & ducatur linea p e. Cum ergo p z, o z $int in eadem $uperficie, & angulus o z t {ae}qua- lis angulo t z p [per fabricationem] reflectetur o ad p à puncto $peculi z [per 12 n 4.] Et quia an- gulus o z t æqualis e$t angulo z f p: [per 29 p 1, & t z p æqualis z p f per eandem: quare z f p, & z p f æquantur] erunt latera z p, z f æqualia [per 6 p 1.] Et quia angulus f e z rectus [quia a @ perpendicularis e$t ip$@ f e n] quadratum f z ualet quadrata e z, e f: & quadratum p z ualet quadrata e z, e p [per 47 p 1.] Igitur p e, f e æqualia: [Quia enim z p, z f æquales iam conclu$æ $unt: erunt ip$arum quadrata æqualia: $ubducto igitur communi quadrato z e: relinquentur qua- drata e p, e f æqualia: ideo\’q; ip$orum latera e p, e f] & ita [per 5 p 1] e p f, e f p anguli erunt æquales. Quare anguli n e q, q e p æquales. [nam per 29 p 1 anguli n e q, e f p: item p e q, e p f æquantur: itaq; per 1 ax. n e q, p e q æquantur.] Et cum in eadem $uperficie $int, quæ e$t p en: refle- ctetur n ad p à puncto e [per 12 n 4.] Similiter $i ducatur quæcunq; linea à puncto f a d aliquod pũ- ctum z e, & producatur u$que ad o n: probabitur de puncto lineæ o n, in quod cadit, quòd refle- ctetur ad p à puncto lineæ z e, quod $ecat illa linea. Simili modo & omnium huiu$modi linea- rum probatio $umet initium à perpendiculari, quæ e$t f e, & à parte lineæ e z: quæ erit com- munis omnibus illis triangulis. Et ita quo dlibet punctum line{ae} o n reflectetur ad p ab aliquo pun- cto lineæ e z.

32. Si linea recta obliquè inciderit uertici $peculi conici conuexi: reflectetur à latere coni- co ad ui$um inter dictam lineam & $peculi $uperficiem $itum: eius<006> imago parum curua ui- debitur. 55 p 7.

HOc declarato dicamus. Cum ui$us comprehenderit lineas rectas, tran$euntes per uerti- cem $peculi pyramidalis conuexi recti, obliquas $uper axem $peculi: tunc formæ earum e- runt parùm conuexæ. Sit ergo $peculum pyramidale erectum a b c: cuius uertex $it a: & cuius axis $it a d: & extrahamus in $uperficie eius lineam a z [ut o$ten$um e$t 52 n 5] quocun- que modo $it: in qua $ignetur punctum z, quocunque modo $it. Et tranfeat per z $uperficies æ- quidi$tans ba$i pyramidis: & faciat circulum z u [faciet autem per 4 th 1 con. Apol.] Et extraha- mus ex z perpendicularem z h $uper a z [per 11 p 1.] Hæc ergo linea concurret cum axe pyrami- dis [per 11 ax. ut patuit præcedente numero.] Concurrat ergo in h. Et extrahamus ex z line- am contingentem circulum: [per 17 p 3] & $it z m: & extrahamus ex a lineam continentem cum utraque linea a z, h a angulum acutum: & $it extra $uperficiem, contingentem pyramidem, tran- $euntem per lineam a z. Et hoc e$t po$sibile: [quia angulus h a z e$t acutus per 18 d 11. 32 p 1.] Sit ergo a n: & extrahamus ex puncto h lineam in $uperficie, in qua $unt a n, a h, continentem cum a h angulum æqualem angulo a h z. Hæc ergo linea concurret cum @ o: [per 11 ax.] nam duo anguli ad a, h $unt acuti. Concurrant ergo in o. Linea ergo h o concurret cum cir- cumferentiã circuli z u. Nam angulus a h o e$t æqualis angulo a h z. Concurrat ergo in u: & extrahamus a u rectè: & extrahamus perpendicularem h z ad t: & continuemus o z, & extrahamus rectè ad f: & extrahatur a z ad e. Angulus igitur f z h erit acutus: quia ALHAZEN linea o z $ecat $uperficiem, contingentem pyramidem, trã$euntem per a z: linea ergo a z e$t $ub dif- ferentia communi inter $uperficiem o z h & $uperficiem contingentem. Et hæc differentia conti- net cum linea h z angulum rectum, [per fabricationem.] Angulus ergo e z h obtu$us: ergo angu- lus f z h acutus [per 13 p 1.] Ponatur ergo in z f punctum f: à quo extrahatur perpendicularis f e $u- per a e: & extrahatur rectè. Concurret ergo cum linea a o: [per 11 ax.] nam angulus o a e e$t acutus [per the$in, & ad e rectus e$t.] Concurrat ergo in n. Et extrahatur ex e linea e d æquidi$tans z h li- neæ [per 17 p 3.] Erit ergo [per 8 p 11] e d perpendicularis $uper $uperficiem, contingentem pyra- midem, tran$euntem per a e: & extrahatur ex e linea æquidi$tans lineæ z m: & $it e l. Et extrahatur $uperficies, in qua $unt lineæ l e, e d. Secabit ergo $uperficiem pyramidis, & faciet $ectionem [per 5 th. 1. con. Apoll.] Nam hæc $uperficies e$t obliqua $uper axem a d. Sit ergo $ectio d e c: & m z e$t perp\~edicularis $uper $uperficiem a o u p m h z t x b n y c q s l d g e K f r a z h: & hoc declaratũ e$t in præ- dictis. [præcedente numero, per lemma ad 37 theor. opticor. Eucli dis.] Ergo linea l e e$t perpendi- cularis $uper $uperfici\~e a e d [per 8 p 11.] Ergo angulus a e l e$t re- ctus. Et $imiliter angulus a e d re- ctus e$t [per 29 p 1] & a e n $imili- ter rectus. Ergo [per 5 p 11] lineæ l e, n e, d e $unt in eadem $uperfi- cie. Ergo linea fen e$t in $uperfi- cie $ectionis. Et extrahatur ex f li- nea æquidi$tans lineæ d e: [per 31 p 1] & $it f r. H{ae}c ergo linea æqui- di$tat lineæ h z [per 30 p 1.] Et extrahatur ex z in $uperficie o z h, linea continens cum z t angulum, æqualem angulo o z t. [per 23 p 1.] Hæc ergo linea concurret cum f r [per lemma Procli ad 29 p 1] quia $ecat z h æquidi$tantem f r: & e$t in $uperficie eius: quia z f e$t in $uperficie eius [per 35 d 1.] Concurrat ergo in r. Ergo duo an- guli, qui $unt apud r, f, $unt æquales: $unt enim æquales duobus angulis, qui $unt apud z [nam per 29 p 1 o z t, z f r: item t z r, z r f æquantur.] Duæ ergo lineæ r z, f z $unt æquales [per 6 p 1.] Et de- claratum e$t, quòd linea f e n e$t in $uperficie $ectionis: & linea f r e$t æquidi$tans e d: e$t ergo in $uperficie $ectionis [per 35 d 1.] Et continuemus r e: erit ergo [per 7 p 11] in $uperficie $ectio- nis: & extrahatur d e ad k. Et declaratum e$t, quòd e a e$t perpendicularis $uper $uperficiem $e- ctionis: uterque ergo angulorum a e r, a e f rectus e$t: [per 3 d 11] & duæ lineæ f z, r z $unt {ae}qua- les [per conclu$ionem.] Ergo duæ lineæ r e, f e $unt {ae}quales. [Quia enim anguli a e r, a e f $unt recti: quadrata z e, e f æquantur quadrato z f per 47 p 1: item \’que quadrata z e, e r quadrato z r: at quadrata laterum z f, z r æqualium æquantur: quare ablato communi quadrato z e: quadrata e f, e r, ideo \’que latera e f, e r æquabuntur.] Ergo [per 5 p 1] duo anguli e r f, e f r $unt æqua- les. Ergo forma n reflectetur ad r ex e: [per 12 n 4: quia anguli n e k, r e k æquantur, cum per 29 p 1 æquentur æqualibus ad f & r] & forma o reflectetur ad r ex z. Et omnis linea extracta ex f ad aliquod punctum lineæ o n, $ecabit a e. Et patet, quòd linea illa erit æqualis lineæ extractæ ex r ad idem punctum. Nam a e e$t perpendicularis $uper $uperficiem, in qua $unt lineæ r e, f e: nam hæc $uperficies e$t $uperficies $ectionis: & duæ lineæ r e, f e $unt æquales. Ergo omnes duæ lineæ extractæ ex r, f ad unum aliquod punctum lineæ a e, $unt æquales. Patet ergo, quòd forma puncti, quod e$t in o n, reflectetur ad r exillo puncto, quod $ecatur in z e. Et $imiliter de omni puncto po$ito in a n ultra n, $i copulatum fuerit cum f per lineam rectam, illa linea $ecabit a e ul- tra e. Patet ergo ex hoc, quòd forma lineæ a n, & quicquid continuatur cum ip$a, reflectetur ad r à $uperficie pyramidis a b g ex linea recta. Et $imiliter omnis linea extracta ex a, obliqua $uper axem. Et continuemus n d: $ecabit ergo circumferentiam $ectionis: nam duo puncta d, n $unt in $uperficie $ectionis, & n e$t extra circumferentiam $ectionis: & d e$t intra $ectionem. Secet ergo circũfer\~etiã $ectionis in c. Et quia triangulũ a o h e$t in ead\~e $uperficie [per 2 p 11] erit [per 1 p 11] n d in $uperficie trianguli a o h: c ergo e$t in $uperficie trianguli a o h: & duo puncta a, u $unt in $u- perficie trianguli huius a o h: $ed puncta a, u, c $unt in $uperficie pyramidis. Ergo puncta a, u, c $unt in differentia communi $uperficiei pyramidis, & $uperficiei a u d: $ed hæc differentia e$t linea re- cta [per 18 d 11.] Ergo puncta a, u, c $unt in linea recta. Extrahatur ergo a u rectè ad c: & extra- hatur r z rectè: $ecabit ergo o h [quia $ecat angulum z h o ba$i h o $ubten$um, & utraque z r & h o $unt in uno plano.] Secet ergo in puncto p. E$t ergo p in $uperficie trianguli a o h. Continuetur ergo a p, & tran$eat rectè. Secabit ergo n d in g [quia $ecat angulum d a n.] Et quia f non e$t in $u- perficie pyramid\~e contingente, trã$eunte per lineã a z: [ex conclu$o] erit angulus fe d acutus. [Nã quia per conclu$ionem punctũ f e$t in plano $ectionis $eu ellip$is, obliquo ad a d e planũ axis, per 5 th. 1 con. Apol. & angulus a e frectus e$t cõclu$us: erit angulus f e d acutus: & angulus d e n e$t obtu OPTICAE LIBER VI. $us [per 13 p 1.] Igitur angulus e n d e$t acutus [per 32 p 1.] Et $it linea c x cõtingens $ection\~e in pun cto c. Patet ergo, ut in prædicta figura [30 n] quòd angulus d c x e$t obtu$us: & q<001> perp\~edicularis extracta ex c $uper c x, $ecabit angulũ d c x: & cõcurret cũ e d $ub d. Ergo hæc perpendicularis $ecet e d in s. Perp\~edicularis ergo extracta ex n $uք lineã cõtingent\~e $ection\~e, $ecabit $ection\~e ultra s: $ed remotius à d quã s: nã i$t{ae} perpendiculares cõcurrent ultra circũferentiã $ectionis. Perp\~edicularis ergo extracta ex puncto n $uper lineã contingent\~e $ection\~e, non $ecabit angulũ d c x: erit ergo @e- motior ab n e, quàm $it n d. Ergo hæc perpendicularis $ecat a d $upra d. Sit ergo perp\~edicularis ex- tracta ex n $uper lineam cõtingent\~e $ection\~e, linea n q. Et r e $ecat e n, & $ecat circumfer\~etiã $ectio- nis: & e$t in $uperficie eius: & n q e$t in $uperficie $ectionis. Si ergo r e extrahatur rectè, $ecabit n q [quia cõtinuata $ecat angulũ n e q.] Secet ergo in y: & $uperficies a n d $ecabit $uperfici\~e $ectionis. It\~e quia punctũ e e$t extra $uperfici\~e a n d: (nã $uperficies a n d nõ e$t $uperficies $ectionis [in qua e$t punctũ e] quia punctũ a e$t extra $uperfici\~e $ectionis: & quia a e e$t perp\~edicularis $uper $uperfi ci\~e $ectionis, & e e$t in circumferentia illius) ergo n c d e$t differentia cõmunis $uperficiei a n d & $uperficiei $ectionis: & n q concurrit cũ $ectione ultra c [ut patuit.] Ergo n q e$t ultra $uperficiem a n d: y ergo e$t ultra lineam a p g [quæ nõ e$t in $uperficie a n d.] Si ergo ui$us fuerit in r, & forma alicuius ui$ibilis reflectatur à linea longitudinis: tunc p erit imago o: [per 4 n 5] & y erit imago n: & a uidebitur in $uo loco: quia e$t in uertice pyramidis. Et erit imago lineæ a o n linea tran$iens per pũcta a, p, y: $ed hæc linea e$t cõuexa: quia e$t ultra lineã a p g. Sit ergo linea a p y. Et patuitiã, quòd formæ omniũ punctorũ, quæ $unt in a n, reflectantur ad r ex a e. Lineæ ergo radiales, per quas refle ctuntur illæ formæ, $unt in $uperficie trianguli r a e. Omnes ergo imagines lineæ a n $unt in hac $u- perficie. Ergo linea a p y conuexa e$t in hac $uperficie: & p e$t propinquius r quàm y. Et erit conuexitas imaginis huius ex parte ui$us: & erit conuexitas parua: & diameter huius imaginis e- rit minor ip$a linea, modica quantitate. Imagines ergo linearum rectarum, quæ extrahuntur ex uertice pyramidis obliquè $uper axem: comprehenduntur à ui$u in tali $peculo conuexæ. Et for- m{ae} harum linearum reflectuntur à lineis rectis exten$is in longitudine pyramidis. Et hoc e$t, quod uoluimus declarare.

33. Si recta linea $it parallela latitudini $peculi conici conuexi: & ui${us} $it extra planum di- ctæ lineæ ba$i parallelum: reflectetur ab ellip$i: & imago uidebitur maximè curua. 56 p 7.

FOrmæ uerò linearũ æquidi$tantiũ latitudini $peculi pyramidalis cõuexi, reflectuntur à lineis conuexis in $uperficie $peculi: & conuexitas harum linearum patet, ut in $peculo columnari conuexo [29 n.] Et per illam eandem uiam etiam $imiliter patebit, quòd imagines harum li- nearum erunt nimium cõuexæ & manife$tæ $en$ui. Et erit centrum ui$us extra $uperficies, in qui- bus e$t cõuexitas formarum harum linearum. Et erunt diametri imaginum harum linearum mul- tò minores ip$is lineis.

34. Si recta linea nec uertici $peculi conici conuexi obliquè incidat, nec latitudini ei{us} $it paral lela: imaginem uariæ obliquitat{is} prouario $it u ui$ui offeret. 57 p 7.

DE lineis uerò obliquis exi$tentibus inter hos duos modos, qu{ae} appropinquant in $uo motu lineis exten$is in longitudine pyramidis, habent formas parũ conuexas: qu{ae} uerò appropin quant lineis æquidi$tantibus latitudini pyramidis, habent formas manife$tè conuexas.

35. In $peculo conico conuexo imago conica uidetur. 58 p 7. 40 p 6.

SEd tamen lineæ tortuo$æ, quæ appropinquant uertici pyramidis, habent formas minores, & $trictiores & conuexiores. Quæ uerò appropinquant ba$i pyramidis, habent formas amplio- res, propter illud, quod declaratum fuit in $peculus $phæricis conuexis: $cilicet quòd quantò minus fuerit $peculum, tantò minores erunt circuli, qui cadunt in $uperficiem eius: & $ic ima- gines erunt propinquiores centro: idcirco erunt minores. Et $imiliter $ectiones, quæ cadunt in $peculũ pyramidale, quæ $unt ex parte uerticis pyramidis, $unt $trictiores & minores: & $ic ima- go erit propinquior puncto, in quo cõcurrunt perpendiculares, exeuntes à linea ui$ibili perpendi- culariter $uper lineas contingentes $ectiones, quæ $unt differentiæ communes: & ideo i$t{ae} ima- gines erunt minores. Sectiones uerò, quæ $unt ex parte ba$is pyramidis, è contrario. Vnde ac- cidit, ut forma comprehen$a in $peculo pyramidali conuexo $it pyramidata: quod $cilicet fuerit ex parte uerticis $peculi, erit $trictius, & quod ex parte ba$is, erit amplius: & conuexitas latitudinis formæ erit manife$ta.

36. Imago ui$ibil{is} propinqui $peculo conico conuexo, maior: longinqui, minor uidetur. 59 p 7.

ET accidit etiam in his $peculis, quòd quantò magis res ui$a appropinquauerit $peculo, tantò uidebitur maior: & quantò magis erit remota, tantò uidebitur minor. Fallaciæ ergo, quæ ac- cidunt in his $peculis, $unt $imiles in omnibus di$po$itionibus, illis, quæ accidunt in $pecu- lis columnaribus conuexis, præterquam in pyramidatione formæ.

ALHAZEN 37. Imago figuratur quodammodo à $uo $peculo. 38 p 5.

ET omnino forma rei ui$æ, quæ comprehenditur per reflexion\~e, $emper a$similabitur formæ $uperficiei $peculi, à qua reflectitur forma. Et huius cau$$a e$t, quòd $emper locus imaginis e$t ex forma $uperficiei $peculi & ex loco concur$us perpendicularium. Ideo $emper $uperfi- cies $peculi habet aliquam dignitatem in forma rei ui$æ, quæ comprehenditur in $peculo. Fallaciæ uerò compo$itæ in hoc $peculo, $imiles $unt fallacijs in prædictis $peculis.

DE ERRORIBVS, QVI ACCIDVNT IN SPECVLIS $phæricis concauis. Cap. VII. 38. In $peculo cauo allucinationes frequentiores & maiores accidunt, quàm in plano & con- uexo. Vitell. in proœmio 8 libri.

IN his uerò plures errores accidunt, quã in omnibus $peculis cõuexis & $uperficialibus. Accidũt enim in ijs, qu{ae} in illis accidunt, $cilicet debilitas lucis & coloris: & diuer$itas $itus & remotiõis. Nã cau$$a huius e$t tãtũ reflexio, nõ forma $peculi. Accidit etiã in his $peculis ex diuer$itate quã- titatis, plus erroris, quã in $peculis cõuexis. Nã in cõuexis in maiore parte res cõpreh\~editur minor: in cõcauis uerò quãdoq; cõpreh\~editur maior: quãdoq; minor: quãdoq; $ecũdũ q<001> e$t: & hoc $ecun dũ diuer$itat\~e po$itionũ ex $peculo & ex ui$u, {pro}ut nos declarabimus in hoc capitulo. Accidit etiã in his $peculis, q<001> unũ ui$ibile uidetur duo, & tria, & quatuor: & nõ e$t ita in $peculis $uperficialib. & cõuexis. Vnũ enim ui$ibile nõ cõpreh\~editur in illis, ni$i unũ: in cõcauis uerò nõ. It\~e ordinatio par tiũ rei ui$æ cõpreh\~editur in $peculis cõuexis & $uperficialibus, $ecũdũ q<001> e$t: in $peculis uerò cõca uis in pluribus $itib. alio modo. Et h{ae}c duo: $cilicet cõprehen$io unius ut unũ: & cõpreh\~e$io ordina tionis partiũ, $ecũdũ q<001> e$t, nõ habet aliquã deception\~e in $peculis $phæricis cõuexis. Et cũ in his $peculis $ph{ae}ricis cõcauis accidit deceptio: patet, q<001> nihil cõpreh\~editur in huiu$modi $peculis, ni$i cũ fallacia, aut $emper, aut aliqua hora $ecũdũ diuer$itat\~e po$itiõis. Debilitas uerò lucis & coloris, & diuer$itas po$itionis, & di$tãtia ac cidũt in his $peculis, $icut in alijs $emper, & in omni po$itione. Quãtitas uerò, & forma, & numerus hab\~et deception\~e in his $peculis in aliquib. $itibus, {pro}ut decla- rabimus. De numero uerò declaratũ e$t in capitulo de imagine [66.67.69.70.71.72 n 5] quòd unũ ui$um in $peculis cõcauis habet unã imagin\~e, & duas, & tres, & quatuor: & quòd forma rei ui$æ $em per cõprehenditur in loco imaginis. Verũ unũ ui$um cõprehen$um in $peculis $phæricis concauis etiã fortè cõprehenditur unũ, & fortè duo, & fortè tria, & fortè quatuor: quod nõ actidit in $pecu- lis $phæricis cõuexis & $uperficialibus. De ordinatione uerò partiũ rei ui$æ dictũ e$t in capitulo de imagine [65 n 5] quòd forma unius puncti reflectitur ex circũferentia unius circuli: & quòd ui$i- bilia, quorũ imagines retrò po$t ui$um, & antè, & in c\~etro ui$us, appar\~et dubia nõ certificata: & q<001> e$t huiu$modi, nõ habet ordination\~e partiũ, $icut ip$a res ui$a habet. Et hoc etiã e$t in his $peculis aliter, quã $it in $peculis cõuexis & $uperficialibus. Cau$$æ aũt huius rei declaratæ $unt in capitulo de imagine. Re$tat ergo declarare, quòd illud, quod cõprehenditur in his $peculis, fortè cõprehen- ditur maius: & fortè minus: & fortè {ae}quale: & quòd in quibu$dã po$itionibus cõprehendetur con- uer$um, & in quibu$dã erectũ: & quòd erectũ in huiu$modi $peculis cõprehendetur concauum, & conuexum, & rectum: & quòd conuexũ & concauũ cõpreh\~eduntur etiam aliter quàm $int. Et hæc etiã $unt ex diuer$itate ordinationis partiũ rei ui$æ. Et nos declarabimus hæc hoc modo.

39. Si ui${us} & ui$ibile fuerint intra $peculũ $phæricum cauũ, in recta linea extrem{is} $u{is} à centro æquabiliter di$tante: imago uidebitur ultra $peculũ, maior ui$ibili. 46 p 8.

SIt $peculũ $phæricum concauũ, cuius centrũ a: & $ecetur $uperficie plana, tran$eunte per cen- trũ: & faciat circulũ b g [faciet aũt per 1 th 1 $phær.] Extrahatur ab ip$ius c\~etro linea quocũq; modo $it: & diuidatur in duo æqualia: [per 10 p 1] & ponatur a centrũ, & in di$tantia a o facia- mus circulũ: & $it e z: & ponatur in linea o u punctũ t ca$ualiter, quocũq; modo $it: & ext extrahan- tur lineæ t n, t m, rect{ae} $uper lineã a u: [per 11 p 1] & extrahantur ext lineæ t e, t z tangentes circulũ e z: [per 17 p 1] & continuemus a e, a z, & tran$eant ad b, g: & continuemus t b, b g: & [per 31 p 1] protrahamus b m æquidi$tant\~e ad a u, & g n etiam æquidi$tant\~e a u: & cõtinuemus a n, a m, & extra hantur rectè. Quia ergo a o e$t, $icut o u: erit a e, $icut e b, & a z, $icut z g. [diametri enim circuli b g bifariam $ectæ $unt in punctis e, o, z, per peripheriam e o z.] Et quia t e tangit circulũ e z: erit [per 18 p 3] t e perpendicularis $uper a b: & $imiliter t z perpendicularis $uper a g. Linea ergo b t e$t, $icut t a, & t g, $icut t a: & angulus t b a, $icut angulus t a b, & angulus t g a, $icut angulus t a g. [per 4 p 1: <003>a duo latera a e, e b {ae}quãtur ex cõclu$o, & cõmune e$t e t, anguli\’q; ad e deinceps recti $ũt ք 18 p 3: it\~e\’q; duo latera a z, z g, & commune t z, anguli\’q; ad z recti.] Et quia b m e$t æquidi$tans a u: [è fabrica- tione] erit [per 29 p 1] m b a, $icut angulus b a t. Ergo angulus m b a e$t, $icut angulus a b t: & $imi- liter angulus t g a, $icut angulus a g n. Cum ergo ui$us fuerit in t: & m b fuerit aliquod ui$ibile: tunc forma m exten detur per lineam m b, & reflectetur ad ui$um per lineam b t: & forma n extendetur per lineam n g, & reflectetur per g t. Vi$us ergo t comprehendet puncta m, n ex punctis b, g, & lineã m n ex arcu b g [per 66 n 5.] Et quia m t e$t perpendicularis $uper a t: [per fabrication\~e] erit angu- lus m t b acutus: [per 32 p 1] & quia angulus b m t e$t, $icut angulus m t u. [per 29 p 1: ideo\’q; angu- lus b m t rectus e$t, cũ m t u $it rectus per fabrication\~e.] Ergo [per 19 p 1] t b e$t maior b m, & linea t b e$t æqualis lineæ a t: [per conclu$ion\~e.] ergo linea a t e$t maior linea b m, & $unt æquidi$tãtes. Er- OPTICAE LIBER VI. go t b concurret cum a m. [$i enim ex trapezio a m b t fiat parallelogrammũ (æquato n\~epe latere b m ip$i t a, cum\’que eodem connexo) patebit per lemma Procli ad 29 p 1, a m concurrere cum t b: quia concurrit cum ip$ius parallela.] Concurrant ergo in f: fergo e$t imago m. [per 6 n 5.] Et $ic declarabitur, quòd t g concurret cum a n. Concurrat in q: q f u q b @ @ m t n e o z a ergo erit imago n. Et continuemus f q: quæ e$t diameter i- maginis m b. Et quia t e, t z $unt æquales: [per con$ectariũ Campani ad 36 p 3] erunt anguli t a e, t a z æquales [per 8 p 1: quia a e, a z æquantur per 15 d 1, & a t e$t cõmune latus] & erunt lineæ t b, t g æquales [per 4 p 1: quia a b, a g æquan tur per 15 d 1] & lineæ b m, g n æquales. [Quia enim b a, g a æquantur per 15 d 1, & a t e$t cõmunis, angulus\’q; b a t æqua lis conclu$us e$t angulo g a t: æquabitur per 4 p 1 angulus b t a angulo g t a, ideo\’q; per 13 p 1 angulus u t b angulo u t g. Quare cum anguli a d t deinceps recti $int per fabrication\~e: æquabitur per 3 ax. angulus b t m angulo g t n, & anguli ad m & n recti per 29 p 1, æquantur per 10 ax. Itaq; per 26 p 1 b m æquatur g n: & m tip$i n t] & lineæ a m, a n æquales [per 4 p 1: quia latera m t, n t {ae}qualia conclu$a $unt, & commune e$t a t, anguli\’q; a d t deinceps recti] & proportio a f ad f m, $icut proportio a t ad m b [per 4 p 6: quia triangula a t f, m b f $unt æquiangula per 29. 32 p 1.] Et proportio a q ad q n e$t, $icut proportio a t ad n g. Ergo proportio a fad f m e$t, $icut proportio a q ad q n [per 7 p 5: quia ratio a t ad b m & ad g n eadem e$t, cum b m æqualis o$ten$a $it ip$i g n] & a m e$t $icut a n [per conclu$ionem.] Ergo a f e$t $icut a q. [Quia enim per conclu$ionem e$t, ut a f ad f m, $ic a q ad q n: erit per 16 p 5, ut f a ad a q, $ic f m ad q n: ergo per 19 p 5 ut a m ad a n, $ic a f ad a q: $ed a m æqualis o$ten$a e$t ip$i a n. Quare a f æqualis e$t a q.] Ergo f q æquidi$tat n m [per proxi- mam conclu$ionem & 2 p 6.] Ergo f q e$t maior m n [per 4 p 6: quia a f ad a m, $icut f q ad m n: $ed a f maior e$t a m ք 9 ax: ergo f q maior e$t m n: $ed f q e$t diameter imaginis n m. Ergo $i ui$us fuerit in t, & linea m n fuerit in aliquo ui$ibili: tunc ui$us comprehendet formam maiorem, quàm $it.]

40. Si ui${us} fuerit $ublimior ui$ibili intra $peculum $phæricum cauum extrem{is} $u{is} à cen- tro æquabiliter di$tante: imago uidebitur ultra $peculum, maior ui$ibili. 47 p 8.

ITem: iteremus circulum b g: & lineam a u: & lineas a b, a g, t b, t g: & $uper punctum t $it perpen- dicularis $uper $uperficiem circuli b g [per 12 p 11] & $it t k: continuemus k a, k b, k g. Superfici- es ergo k b a, k g a $ecant $phæram $uper centrum $uum perpendiculariter, & $uperficies tangen tes ip$am [per 18 p 11.] Ex ip$is ergo reflectitur forma: f q b u g m c n K p a & duæ differentiæ cõmunes inter has duas $uperficies & $phærã, $unt circuli magni [per 1 th 1 $ph{ae}r.] à quorũ circũferentia reflectũtur formæ. Et extrah amus b m in $uperficie b k a æquidi$tant\~e a k: & $it minor, quã a k: & cõtinuemus a m, & extrahatur rectè: & extrahatur k b, donec cõcnrrat cum a m in f [cõcurret aũt, ut proximo numero o$t\~e$um e$t: quia b m minor e$t a k per $abrica- tion\~e.] Et extrahatur n g in $uperficie k g a: & $it æqui- di$tãs a k: & ponatur æqualis b m: & cõtinuemus a n, & extrahatur rectè, donec cõcurrat in q: & cõtinuemus m n, f q. Quia ergo b t e$t $icut t a [ut $uperiore numero demon$tratũ e$t] erit b k, $icut k a [per 4 p 1: nã t k com mune latus e$t utriu$q; trianguli b t k, a t k, & anguli ad t recti per 3 d 11] & g k, $icut k a: ergo b k e$t, $icut g k: & [per 5 p 1] angulus k a b e$t, $icut angulus k b a: & $imi- liter angulus k g a e$t, $icut angulus k a g. Ergo angulus a b m e$t, $icut angulus a b k [quia per 29 p 1 angulus a b m æquatur angulo k a b, cui æqualis cõclu$us e$t a b k] & angulus a g n e$t, $icut angulus a g k. [Nã per 29 p 1 angulus a g n æquatur angulo k a g, cui æqualis o$t\~e$us e$t angulus a g k.] Ergo erit angu lus a b m, $icut angulus a g n. [Quia enim g k æqualis conclu$a e$t ip$i b k: & a g, a b æquantur per 15 d 1: & cõmmunis e$t a k: æquabũtur anguli a b k, a g k per 8 p 1: & his {ae}quãtur per proximã cõ clu$ion\~e a b m, a g n. Quare a b m, a g n æquãtur] & linea b m, $icut linea g n: [ex fabricatione] tũc li nea a m erit, $icut linea a n: [ք 4 p 1: quia a b, b m {ae}quãtur ip$is a g, g n, & angulus a b m angulo a g n] tũc du{ae} lineæ f q, m n erũt æquidi$tãtes: [per 2 p 6, ut proximo numero demõ$tratũ e$t] tũc f q erit maior linea m n. Tunc quando ui$us fuerit $uper punctum k, & fuerit linea m n in aliquo ui$ibili in- feriore: tunc forma m extendetur $uper lineam m b, & reflectetur per lineam b k in $uperficie circu li, tran$euntis per puncta b, a, k: & forma puncti n extendetur $uper lineam n g, & re$lectetur $uper lineam g k in $uperficie circuli, tran$euntis per tria puncta g, a, k. Et erit imago puncti f punctum m: [per 6 n 5] & punctum q erit imago puncti n: & erit linea f q diameter imaginis n m. Etiam decla- ALHAZEN rauimus [$uperiore numero] quòd linea f q e$t maior linea m n. T unc quando ui$us fuerit $uper punctum k, & fuerit linea m n in aliquo ui$ibili: tunc ui$us appreh\~edet formam maiorem re ui$a. Et $ic, $i reuoluerimus totam figuram in circuitu lineæ a u, ip$a immobili: tunc punctum k faciet circu lum perpendicularem $uper lineam a u. Et $ic omne punctum illius circuli habebit $itum, re$pectu lineæ comparis m n, $icut e$t $itus k re$pectu m n. Si ergo ui$us fuerit in aliquo puncto circumferen tiæ huius circuli, & linea compar lineæ m n, fuerit in $uperficie alicuius rei ui$æ: tunc ui$us compre hendet formam illius lineæ maiorem. Et $imiliter $i extrahamus t k rectè, & po$uerimus in ip$a ali- quod punctum præter k, & extraxerimus lineas $emper ab illo puncto, quod e$t qua$i punctum k: erit modus eius $icut modus puncti k. Ex his ergo duabus figuris patet, quòd in $phæricis $peculis con cauis & multa & ex multis $itibus comprehenduntur maiora.

41. In $peculo $phærico cauo imago interdum æquatur ui$ibili: & quæ inter ui$um & $pecu- lum, euer$a, quæ pone ui$um, erecta e$t. 48 p 8.

ITem: $it $peculum $phæricum a b circa centrum e: & extrahamus $uperficiem tran$euntem per e: & faciat circulũ a b: & extrahamus ex e lineã e z, quocunq; modo fuerit, u$q; ad g: & ex g extra hamus g d perpendicularem $uper $uperficiem circuli a b: [per 12 p 11] & in ip$a $ignemus pun- ctum d, quocunq; modo fuerit: & continuemus d e: & extrahamus ip$am u$q; ad o: & extrahamus e b ita, ut contineat cum e d angulum obtu$um: & extrahamus e a ita, ut contineat cum e d angulũ, æqualem angulo d e b: & continuemus d a, d b. Sic ergo $uperficies duorum triangulorũ d a e, d b e $ecant $e $uper lineam d e: & duo anguli acuti d b e, d a e erunt æquales. [per 4 p 1: nam $emidiame- tri e a, e b æquantur per 15 d 1, & d e communis e$t: anguli\’q; d e a, d e b æquantur per fabrication\~e.] Extrahamus ergo ex b lineam in $uperficie trianguli d e b, continentem cum e b angulum, æqual\~e angulo d b e. Hæc ergo linea cõcurret cum linea d e: quia angulus b e d e$t obtu$us, & angulus, qui e$t apud b, e$t acutus. [quia enim angulus d e b e$t obtu$us per fabricationem, reliquus b e o e$t a- cutus per 13 p 1, & e b o acutus, quia {ae}quatus e$t d b e acuto. Quare d e, b o cõcurrent per 11 ax.] Con currant in o: & extrahamus etiam ex a lineam in $uperficie trianguli d a e, cõtinent\~e cũ a e angulũ, æqualem angulo d a e. Cõcurret ergo cũ d e in o: quia duo an- d g t K z b e a o $ h guli a e o, b e o $unt æquales [per fabricationem & 13 p 1] & an- guli, qui $unt apud a, b, $unt æquales [itaq; per 26 p 1 b o, a o æ- quantur: ideo\’q; concurruntin eodem puncto cõtinuatæ lineæ d e.] Et extrahamus e t ita, ut cõtineat cum e b angulum rectũ: & extrahamus t e ex parte e, & b o ex parte o: & concurrant in h, [concurrent aut\~e per 11 ax: quia angulus h e b rectus e$t per fabricationem, & e b o acutus per conclu$ionem] & erit e t æ- qualis e h [per 26 p 1: anguli enim ad e deinceps recti æquan- tur: item \’q; ad b per fabricationem: & b e commune latus e$t u- triu$q; triangulι b e t, b e h] & b t æqualis b h. Et $imiliter extra hamus e k ita, ut contineat cum e a angulum rectum: & extra- hamus illã ex parte e: & extrahamus a o, & concurrant in l [con current autem per 11 ax. ut proximè o$ten$um e$t.] Sic ergo k e erit æqualis e l, & k a æqualis a l, & t e æqualis e h [per 26 p 1, ut patuit.] Et continuemus t k, l h. Erũt ergo æquales [duo enim latera e l, e h æqualia conclu$a $unt duobus lateribus e k, e t, & angulus l e h æquatur angulo k e t per 15 p 1. Quare per 4 p 1 l h, k t æquantur.] Si ergo ui$us fuerit in d, & l h fuerit in aliquo ui $ibili: tunc d comprehendet l h in $peculo a b: & erit t imago h: & k imago l [per 6 n 5.] Sic igitur t k erit diameter imaginis l h: & e$t ei {ae}qualis. Si ergo reuoluerimus totam figuram, l h immo bili: tunc d faciet circulum. Et $i ui$us fuerit in aliquo puncto il lius circumferentiæ, poterit comprehendere aliquod ui$ibile, comparline{ae} l h: & erit imago eius æqualis ei. Et $imiliter $i ui- $us fuerit in o, & res ui$a fuerit t k: erit imago æqualis rei ui$æ. Sed tamen cum res ui$a fuerit l h, & ui$us fuerit d, fuerit\’q; imago t k: erit imago conuer$a: $i h fuerit in dextra, erit t in $ini$tra: & $i h fuerit in $ini$tra, erit t in dextra: & $i h fuerit $upra lineam, erit t infra lineam: & $imiliter l. Et $i res ui$a fuerit t k, & ui$us fuerit o, & imago fuerit l h: forma e$t recta. Nam imago l h erit retro ui$um, & comprehendetur ante rem ui$am, $icut declarauimus in capitulo im a ginis quinti tractatus [60 n.] Et ui$us comprehendet h, quod e$t imago t in linea h o, & l, quod e$t imago k, in l o. Patet ergo, quòd in $peculis concauis cõprehendatur res ui$a quãdoq; æqualis $ibi.

42. In $peculo $phærico cauo imago inter ui$um & $peculum aliquando minor e$t ui$ibili & euer$a: pone ui$um aliquando maior e$t, & erecta. 49 p 8.

ITem: extrahamus b h rectè: & in ip$a $ignemus r, & cõtinemus r e. Sic ergo angulus r e b erit ob- tu$us: [quia h e b rectus e$t per fabrication\~e] & extrahamus r e ad n. Sic ergo t b erit maior b n: [Quia enim angulus b e r obtu$us e$t: ergo r e continuata ultra e faciet cum e b angulum acutũ OPTICAE LIBER VI. per 13 p 1, minor\~e recto b e t, & terminabitur in linea b d inter pũcta b & t. Quare b t erit maior b n] er go linea r b e$t maior b n. [$uperiore enim numero t b æqualis cõclu$a e$t ip$i b h, & r b maior e$t b h ք 9 ax: ergo r b maior e$t t b. Quare ead\~e multò maior e$t b n] & [per 3 p 6] proportio r b ad b n e$t, $i- cut proportio r e ad e n. [angulus enim n b r bifariã $ecatur ք d g t k n z u e b a o $ h m r lineã b e, ut patuit {pro}ximo numero.] Quare linea r e e$t maior quàm linea e n. Et extrahamus a l rectè in m: & $it a m æqua- lis b r: & continuemus m e, & tran$eat u$q; ad u. Erit ergo m e maior quàm e u [Quia enim latera e a, m a æquantur duobus lateribus e b, r b per 15 d 1, & proximam fabricationem, & angulus e a m æqualis conclu$us e$t $uperiore numero angu lo e b r: erit per 4 p 1 ba$is m e æqualis ba$i r e, & angulus m e a {ae}qualis angulo r e b, per conclu$ionem obtu$o: ergo m e a e$t obtu$us, & a e u acutus per 13 p 1. Quare cũ angulus a e u $it minor angulo m e a, & u a e {ae}qualis e a m per cõclu$ion\~e: reliquus a u e maior erit reliquo a m e per 32 p 1: ideo\’q; per 19 p 1 in triangulo a u m latus m a maius latere a u: $ed ut m a ad a u, $ic m e ad e u per 3 p 6: quia angulus m a u bifariam $ectus e$t per rectam a e, ut patuit proximo numero. Quare m e ma ior e$t e u.] Et continuemus m r, n u: erit ergo m r maior quã n u [Nam quia anguli e a u, e b n æquales conclu$i $unt, & an- gulus a e u æquatur angulo b e n per 13 p 1: quia anguli m e a, r e b æquales demõ$trati $unt, & a e ip$i e b: {ae}quabitur e u ip$i e n per 26 p 1: & m e æquatur ip$i r e per conclu$ionem, & an- gulus u e n angulo m e r per 13 p 1: erit per 7 p 5 m e ad r e, $i- cut u e ad n e. Quare cum triangula m e r, u e n $int per 6 p 6 æquiangula: erit per 4 p 6, ut m e ad e u, $ic m r ad u n. Itaque cum m e maior $it per conclu$ionem ip$a e u, erit m r maior u n.] Si ergo m r fuerit in aliquo ui$ibili, & ui$us fuerit in d: erit n u diameter imaginis m r: & n u e$t minor quàm m r. Et $i ui$us fuerit in o, & u n fuerit in aliquo ui$ibili: erit m r ima- go n u: & e$t maior quàm n u. Sed cũ m r fuerit ui$ibile, & n u fuerit imago, & d ui$us: erit imago cõ- uer$a. Et $i res ui$a fuerit n u, & ui$us o: imago m r erit recta. Nam imago $i fuerit ultra ui$um, uide- bitur ante. Et omne punctum imaginis uidebitur in linea, in qua e$t de lineis radialibus.

43. In $peculo $phærico cauo imago inter ui$um & $peculum aliquando maior e$t ui$ibili, & euer$a: pone ui$um aliquando minor e$t, & erecta. 50 p 8.

IT \~e: $ignemus in linea o h punctum q: & cõtinuemus q e: & trã$eat ad p: & $it o f æqualis o q: [per 3 p 1] & continuemus e f, & tran$eat ad i. Erunt ergo du{ae} li- d g p i t k b e a o l f q h neæ p e, e i maiores duabus lineis e f, e q: [Quia enim angu lus a e l rectus e$t, ut patuit 4 n: erit a e f acutus. Itaq; f e con- tinuata ultra e, faciet cũ a e angulũ obtu$um per 13 p 1, & cadet ultra e k. Erit igitur a i maior a k: $ed a k æqualis conclu$a e$t ci tato numero ip$i a l: ergo a i maior e$t a l, ideo\’q; multò maior ip$a a f. Et quia angulus i a f bifariã $ectus e$t per rectã a e: erit per 3 p 6 uti a ad a f, $ic i e ad e f: $ed cum i a maior $it a f: erit i e maior e f. Eod\~e argumento p e maior demon$trabiturip$a e q] & erit linea p i maior quàm linea f q [cum enim duobus $upe- rioribus numeris æqualitas tum rectarum e h, e l, tum angulo- rum e h q, e l f demon$trata $it: & l f æquetur h q: quia tota a l æ- qualis e$t toti b h è conclu$o duorũ numerorũ præced\~etium, & pars o f parti o h per the$in: æquabitur reliqua l f reliqu{ae} h q per 19 p 5: & erit per 4 p 1 e f æqualis e q, & angulus l e fangulo h e q. Et quia anguli recti a e l, b e h: it\~e a e o, b e o {ae}quantur: re- liquus l e o æquabitur reliquo h e o, & l e f æqualis o$ten$us e$t ip$i h e q: ergo f e o æquatur q e o, & ք 15 p 1, 1 ax. d e i ip$i d e p, & d e a æquatus e$t d e b, 41 n: reliquus igitur i e a æquatur reli quo p e b, & i a e æqualis conclu$us e$t ip$i p b e, & a e æqualis ip$i b e per 15 d 1. Quare per 26 p 1 i e æquaturip$i p e, & angu- lus i e p angulo f e q per 15 p 1. Ergo ք 7 p 5.6 p 6 triangula i e p, f e q $unt {ae}quiangula, & per 4 p 6, ut i e ad e f, $ic p i ad f q: $ed i e maior e$t e f è cõclu$o: ergo p i maior e$t f q.] Si ergo ui$us fue- rit in o, & p i in aliquo ui$ibili: erit f q imago p i: & f q e$t minor quã p i: & f q uidebitur $uper duas lineas a o, b o. Erit ergo for- ma retro ui$um, & minor <004> res ui$a: & erit recta. Et $i ui$us fue rit in d, & f q fuerit in aliquo ui$ibili: erit p i imago f q: & e$t maior <004> f q: & erit forma ante ui$um con uer$a. Patet ergo, quòd in $peculis cõcauis cõpreh\~editur forma rei ui$æ minor, & maior, & æqualis.

ALHAZEN 44. Si ui${us} $it citra centrum $peculi $phærici caui, ui$ibile ultra: imago tum ui$ibil{is}, tum ui- dentis, euer$a & minor uidebitur. 51 p 8.

ITem: $it $peculum concauum a b: & centrũ g: & habeat $uperficiem planam, tran$euntem per c\~e trum, & faciat circulum a b: & extrahamus lineam g d, quocunque modo $it: & tran$eat ex parte gad e: & $it ui$us in e: & $it t in $uperficie ui$us: & extrahamus t h perpendiculariter $uper lineã e d: [per 11 p 1] & $it z t {ae}qualis t h: & comprehendat e punctum h ex a: & g h producta in p, compre- hendat arcum a p maiorem quarta circuli. Sic ergo erunt duo puncta a, h, à duobus lateribus puncti g. Nam $i in eodem e$$ent: tunc linea, quæ exiret à $peculo ad a, non diuideret angulum, quem conti nent duæ line{ae} radiales, per {ae}qualia [$ic\’q;, ut o$ten$um e$t 66 n 5, reflexio nulla fieret.] Et extraha- mus lineas e a, a h, g a, g h: & tran$eat g h rectè ad k: duo ergo anguli apud a erunt {ae}quales: [per the- $in & 12 n 4] & erit k imago h [per 6 n 5.] Et $it arcus b d {ae}qualis arcui d a: [fiet autem {ae}qualis per 33 p 6, $i per 23 p 1 {ae}quaueris angulum d g b angulo d g a] & continuemus lineas e b, b z, b g: & extra- hamus z g ad l: & $ecet z b diametrum d g in f. Erunt ergo duo anguli apud b {ae}quales: [Quia enim a g, b g {ae}quantur per 15 d 1, & communis e$t g f, angulus\’que a g f {ae}quatus e$t angulo b g f: {ae}quabi- tur ba$is a f, ba$i b f, & angulus f a g angulo f b g per 4 p 1. Eadem de cau$$a e a g, e b g æquãtur, quia angulus b g e {ae}quatur angulo a g e per 13 p 1. Quare cum anguli ad a {ae}quentur, anguli ad b {ae}quabun- tur.] & comprehendetur z à ui$u ex b: [per 12 n 4] & erit punctum l imago z: [per 6 n 5] & cõtinue mus k l: erit ergo k l diameter imaginis z h. Et quia t h e$t perpendicularis $uper d e, & z t e$t {ae}- qualis t h: erunt du{ae} line{ae} e a, a h {ae}quales duabus li- p d h t z f b g a $ e k q neis e b, b z: [Quia enim t h, z t {ae}quantur per fabrica tionem, & t f communis, anguli\’que ad t recti $unt: {ae}- quabitur ba$is h f ba$i z f per 4 p 1: & a fiam antè {ae}- qualis conclu$a e$t ip$i b f: itaque tota a h {ae}quatur to ti b z, & a e, b e {ae}quantur è cõclu$o] & duo anguli a- pud a $unt {ae}quales duobus angulis apud b: erit h e {ae}qualis z e: [per 4 p 1] & linea g h e$t {ae}qualis line{ae} z h [per 4 p 1: quia z t, t h {ae}quantur per fabricatio- nem, & communis e$t t g, anguli\’que ad t recti $unt.] Ergo duæ line{ae} a g, g h $unt {ae}quales duabus lineis b g, g z, & ba$is a h e$t {ae}qualis ba$i b z: ergo [per 8 p 1] angulus a h k e$t {ae}qualis angulo b z l, & angulus h a k e$t {ae}qualis z b l: ergo h k e$t {ae}qualis z l [per 26 p 1: quia z b {ae}qualis conclu$a e$t ip$i h a] & linea h g e$t {ae}qualis z g: [è conclu$o] ergo g k e$t æqualis g l: [per 19 p 5] ergo k l e$t {ae}quidi$tans z h, [per 27 p 1: nam cum anguli ad uerticem g {ae}quentur per 15 p 1: $it\’que per 7 p 5 l g ad g k, $icut g z ad g h: {ae}quabitur per 6 p 6 angulus z l k angulo l z h.] Item angulus h g a e$t obtu$us [ex the$i & 33 p 6] & duo anguli apud a $unt æquales: ergo linea g h e$t maior linea g k: [Nam quia angulus a g h obtu$us: erit per 13 p 1 angulus a g k acutus, & h a g, g a k $unt {ae}quales ex the$i: quia punctum a e$t punctum reflexionis: quare per 32 p 1 angulus a k g maior e$t angulo a h k: & per 19 p 1 in triangulo a h k latus a h maius e$t a k: $ed ut a h ad a k, $ic h g ad g k per 3 p 6: quia angu li ad a æquales. Itaque cum a h maior $it a k: erit h g maior g k] & $imiliter z g e$t maior, quàm g l. Li- nea ergo k l e$t minor, quàm z h [cum enim triangula k g l, h g z $int {ae}quiangula per 15 p 1. 6 p 6: erit ք 4 p 6, ut g k ad g h, $ic k l ad z h: & cum g k $it minor g h, erit k l minor z h.] Sed k l e$t diameterima- ginis z h: ergo z h uidetur minor, quàm $it $ecundum ueritatem: & linea z h e$t $uperficies faciei a- @picientis. Si ergo reuoluerimus circulum a d b, e d immobili: fiet ex duobus punctis a, b circulus in $uperficie $peculi: & erit $itus ui$us e, re$pectu cuiuslibet comparis lineæ z h ex illo circulo, quem $ignant puncta z, h, & ex omni arcu compari arcui a b ex portione $peculi, quam diuidit circulus, quem $ignant duo puncta a, b, $icut e$t $itus, quem ui$us e habet ex linea z h, & ex arcu a b. Et $imili- ter declarabitur, $i po$uerimus lineã z h maiorem, aut minor\~e. Patet ergo ex his omnib. quòd diame ter $uperficiei faciei a$picientis cõprehenditur in $peculo cõcauo minor, <004> $it. Sciendum ergo, quòd $i fuerit ui$us in e: tunc a$piciens compreh\~edet formam $uam minorem, <004> $it. Et quia k e$t imago h, & l e$t imago z: erit imago cõuer$a. Et $ic uifus e cõprehendet $uam formam $ecundum quod e$t de- xtrũ in $ini$tro, & $ur$um deor$um, & è contrario. Similiter $i ui$us fuerit in quolibet puncto, inter quod & $uperfici\~e $peculi fuerit centrũ $peculi: cõprehendet formã $uã conuer$am. Et hoc e$t quod uoluimus. Patet ergo ex his quatuor figuris, quòd in $peculo concauo imago quandoq; compreh\~e- ditur maior: quandoq; minor: quandoq; {ae}qualis: & nunc recta, nunc conuer$a. Et in capitulo de ima gine [72 n 5] diximus, quòd in $peculo cõcauo imago quandoq; erit una: quandoq; du{ae}: quandoq; tres: & quandoq; quatuor: & hoc idem accidit in his pr{ae}dictis. Illud ergo, quod habet imaginem $e maiorem, fortè habebit alias minores & {ae}quales: & quod imaginem habet minorem, fortè habebit alias maiores & minores. Et quod rectum uidebitur, fortè uidebitur $ub alia imagine conuer$um, & è contrario. Re$tat ergo declarare formas eorum, quæ comprehenduntur in his $peculis.

45. In $peculo $phærico cauo imago lineæ rectæ aliquando uidetur recta. Et $iduo lineæ rectæ termini reflectantur à duob{us} punct{is} peripheriæ circuli (qui e$t commun{is} $ectio $uperficie- OPTICAE LIBER VI. rum, reflexion{is} & $peculi $phærici caui) puncta dictæ rectæ intermedia à punct{is} dictæ peri- pheriæ intermed{ij}s reflectentur. 54. 42 p 8.

SIt ergo $peculum $phæricum concauum a b: & extrahamus in ip$o $peculo $uperficiem planã, tran$euntem per centrũ: & faciat circulũ a b circa centrũ e [faciet autem per 1 th. 1 $phær.] & extrahamus in hoc circulo duas diametros $e $ecãtes a e o, b e d: & $peculum nõ excedat arcũ b a d o: & ponamus in b e punctum z, quocunq; modo $it: & ponamus in linea a e punctum k: & $it a k maior quàm k e: & continuemus z k: & tran$eat ad f: & continuemus e f: & $it angulus g f e æqua lis angulo z f e. [per 23 p 1.] Quia igitur [per 7 p 3] f k e$t maior k a, & k a e$t maior quàm k e: [ex the$i] erit f k maior quàm k e: angulus ergo f e k maior e$t angulo e f k: [per 18 p 1] ergo e$t maior angulo e f g. Linea ergo f g concurret cũ linea k e. [$i enim non concurrat: erit ad ip$am parallela: itaq; per 29 p 1 angulus e f g æquabitur angulo f e k, quo minor e$t conclu$us.] Concurrant ergo in g. Duæ ergo lineæ z f, f g reflectuntur propter angu t f h a $ i k d r e z b c m o g los æquales z f e, g f e: [per 12 n 4] k ergo e$t imago g, $i ui$us fuerit in z [per 6 n 5.] Et extrahamus li- neam z l h quocunq; modo $it: & cõtinuemus e h, h g, z g: & extrahamus f e u$q; ad m. Proportio er- go z m ad m g e$t, $icut {pro}portio z f ad f g [per 3 p 6: quia angulus g f z bifariam $ectus e$t per rectã e f] & [per 7 p 3] z h e$t maior quàm z f, & g h e$t mi- nor quàm g f. Ergo proportio z h ad g h e$t maior, quàm proportio z f ad f g: [ut con$tat ex 8 p 5] e$t ergo maior quàm proportio z m ad m g. Ergo [per 3 p 6] linea, qu{ae} diuidit angulũ z h g in duo æqua- lia, $ecat lineã m g: $ecat ergo lineã e g. Secet ergo lineam e g in r: ergo angulus g h e maior e$t angulo z h e: & h z $ecet a e in l. Ergo duæ lineæ z h, h r re- flectũtur propter angulos æquales: [r h e, z h e per 12 n 4] & erit l imago r. Dico ergo, quòd forma cu- iuslibet puncti lineæ g r reflectitur ad ui$um z ex puncto aliquo arcus f h, & non ex alio. Huius rei demon$tratio e$t, quoniam in capitulo de imagi- ne, quinto tractatu in duabus figuris [66 n] dictum e$t, quòd duo arcus a b, d o non po$$unt e$$e ta les, quòd ex illis reflectatur aliquid de linea e o ad z: & arcus e o non e$t de $peculo: [nam ex the$i ab arcu $peculi b a d o fit reflexio, cũ ille tantùm $ub ui$um in diametro d b po$itum cadat] nõ ergo remanet ni$i arcus a d. Sed in trice$ima quinta figura [66 n 5] dictum e$t, quòd forma cuiuslibet pũcti diametri e o reflectitur ab aliquo puncto arcus a d. Et in trice$ima $exta, capitulo de imagine [73 n 5] patuit, quòd nunquã reflectitur forma puncti lineæ g r ad z ex arcu a d, ni$i ex $olo puncto. Forma ergo cuiuslibet puncti lineæ g r reflectitur ad z ex uno $olo puncto arcus a d. Et ponamus in linea g r punctum c. Dico ergo, quòd illud punctũ q h f d u o g c r e a n m z b non erit, ni$i in arcu fh. Sin autem reflectatur forma c ad z ex u, quod e$t in arcu a f: & continuemus lineas z u, e u, g u, c u. Linea ergo g u erit maior g f [per 7 p 3] & z u e$t minor quàm z f. Ergo [ut cõ$tat ex 8 p 5] {pro}- portio g u ad z u e$t maior proportione g f ad f z: ergo maior proportione g m ad m z [quia enim angulus g f z bifariam $ectus e$t per rectam f m: erit per 3 p 6 g f ad f z, $icut g m ad m z.] Linea ergo, \~q diuidit angulũ g u z per æqualia, $ecat lineam z m: $ecat ergo z e: angu lus ergo g u e e$t minor angulo e u z: ergo angulus c u e multò minor e$t angulo e u z. [Itaq; cum anguli inci- dentiæ & reflexionis $int inæquales: nulla à puncto u ad ui$um z fiet reflexio, ut patet per 12 n 4.] Et $imili- ter de quolibet puncto arcus a u. Forma ergo c non re- flectitur ad z, ni$i ex arcu h f. Et dico, quòd non po- te$t reflecti ex arcu h d. Quod $i fuerit po$sibile: refle- ctatur ex q, quod e$t in arcu h d: & continuemus lineas z q, c q, r q, e q, z r: & extrahamus e h ad n. Li- nea ergo z q e$t maior quã z h [per 7 p 3], & linea q r e$t minor quàm h r: ergo proportio z q ad q r e$t maior proportione z h ad h r: [ut patet per 8 p 5] quæ e$t, $icut proportio z n ad n r [per 3 p 6: quia angulus r h z bifariam $ectus e$t per rectam h n.] Linea ergo, quæ diuidit angulum z q r in duo æqualia, $ecat lineam n r: $ecat ergo lineam e r: angulus ergo r q e e$t maior angulo e q z: angulus er go c q e e$t multò maior angulo e q z. Hoc idem $equitur in omni puncto arcus h d. Forma ergo c non reflectitur ad z ex arcu h d: neque ex arcu a f. Sed iam patuit, quòd omnino debet reflecti ex ar- cu a d. Forma ergo c non reflectitur ad z, ni$i ex aliquo puncto arcus f h [nam quòd à punctis h & freflexio nulla fiat, patet per 74. 75 n 5.] Reflectatur ergo ex t: & continuemus lineas c t, & z t. Quia ALHAZEN ergo t e$t inter duo pũcta f, h: erit linea z t inter duas lineas z f, z h. linea ergo z t $ecat lineam k l: $e- cet ergo lineam ip$am in i: i igitur e$t imago t [per 6 n 5] & t nullam habet imaginem ni$i i. [quia ab uno tantùm puncto peripheriæ f h fit reflexio per 73 n 5.] Et $ic declarabitur, quòd imago cuiusli- bet puncti line{ae} g r e$t punctum lineæ k l: k l ergo e$t imago g r: & k l e$t linea recta: quia e$t pars $e- midiametri circuli, a e: & g r e$t linea recta, quia e$t pars $emidiametri circuli, o e. Ergo comprehen dit formam g r rectè in $peculo $phærico a b. Et hoc e$t quod uoluimus.

46. In $peculo $phærico cauo imagines linearum: conuexæ, cauæ, aliquando uidentur cõuexæ, cauæ: eadem<006> obliquitate ui$um, qua ip$æ lineæ $peculum, re$piciunt. 55 p 8.

ET iteremus figurã, & con$tituamus $uper lineam g r à duobus lateribus duos arcus, quomo- docunq; $int, $cilicet g n r, g q r: & $it arcus g n r non $ecans lineam g h: & ponamus in linea g r punctum m, quomodocunq; $it. Forma ergo m reflectitur ad z ex pũcto aliquo arcus f h [per proximum numerum.] reflectatur ergo ex t: & con t f h a p k l i d e z b n r m o g q tinuemus lineas z t, & m t. Duo ergo anguli z t e, e t m $unt æquales [per the$in & 12 n 4.] Linea ergo m t $ecabit arcũ g n r: $ecet ergo in n: & extrahamus lineã t m in parte m: $ecabit ergo g q r: $ecet ergo in pũcto q: & cõtinuemus n e: & extrahatur rectè: $eca bit ergo z t $ub linea k l: $ecet ergo illã in i: & cõtinue mus q e: & extrahamus ip$am rectè: $ecabit ergo z t $upra k l: $ecet ergo ip$am in p. Quia ergo duo angu li ad t $unt æquales: [per the$in & 12 n 4] erit i ima go n: [per 6 n 5] & duo puncta k, l imagines duo- rum punctorum g, r. Imago ergo arcus g n r, e$t linea tran$iens per puncta k, i, l, ut linea k i l. Sed linea k i l e$t conuexa ex parte ui$us z: & arcus g n r e$t con- uexus ex parte $peculi. Ergo ui$us z comprehendet formam lineæ g n r conuexæ, lineam conuexam. Et quia duo anguli apud t $unt æquales [nimirũ p t e, q t e per the$in & 12 n 4] erit p etiam imago q [per 6 n 5] & erit linea l p k ex parte ui$us cõcaua: & e$t imago arcus g q r, cõcaui ex parte $uperficiei $p@ culi. Ergo ui$us z comprehendet formam arcus g q r concaui, lineam concauam. In $peculis ergo concauis ex quibu$dam $itibus comprehenditur linea conuexa, conuexa: & concaua, concaua.

47. In $peculo $phærico cauo lineæ: recta, & curua conuexa parte $peculum re$piciens, habent aliquando imagines curuas: recta quatuor: curua unam: omnes<006> caua parte ui$um re$pi- ciunt. 56 p 8.

ITem: $it $peculum concauum: in quo $it circulus a b d maximus: & centrum g: & extrahamus lineam b g, quomodocunq; $it: & diuidamus ex ip$a lineam g t maiorem medietate: & extraha- mus ext lineam e t z perpendicular\~e $uper b g: & $it utraq; e t, t z æqualis t g [per 3 p 1.] Et cõti- nuemus e g, g z: & de$cribamus circa triangulũ e g z circulũ: [per 5 p 4] $ecabit ergo circulũ a b d in duobus punctis: [per 10 p 3] nam punctũ t e$t centrũ huius circuli [per 9 p 3: æquatæ enim $unt rectæ e t, t z, t g] & t g e$t maior t b. Secet ergo circulus i$te circulum a b d in punctis a, d: & conti- nuemus lineas g a, g d, e a, e b, e d, z a, z b, z d. Quia ergo duæ lineæ e t, t z $unt æquales: erunt duæ lineæ e g, g z æquales: [per 4 p 1: quia t g communis e$t, & anguli ad t per fabricationem recti $unt] & $imiliter e b, b z æquales. Et quia duo arcus e g, g z $unt æquales: [per 28 p 3: quia $ubtenduntur a b æqualibus rectis e g, g z] duæ lineæ e a, a z reflectentur inter $e propter angulos æquales [nam anguli e a g, z a g per 27 p 3 æquantur] & duæ lineæ e b, b z reflectentur inter $e propter angulos [@ b g, z b g] æquales [per 27 p 3.] Et quia g t e$t maior quàm t b: [ex the$i] erit g e maior quàm e b. [Quia enim anguli ad t $unt recti per fabricationem, æquabitur per 47 p 1 quadratum e g quadra- tis g t, e t: item quadratum e b quadratis b t, e t: itaque cum quadratum g t $it maius quadrato t b: quia g t maior e$t t b ex the$i: $ubducto communi e t: erit per 5 ax. quadratum e g maius quadra- to e b: ideo\’que latus e g maius latere e b.] Angulus ergo e b g e$t maior angulo e g b [per 18 p 1] & angulus e g b e$t $emirectus. [Quia enim angulus ad t rectus e$t per fabricationem, & t e g, t g e æ- quales per 5 p 1: quia e t, g t æquales po$itæ $unt: erit eorum quilibet dimidius unius recti per 32 p 1.] Igitur duo anguli e g b, e b g $imul $unt maiores recto: ergo angulus b e g e$t recto minor: [ք 32 p 1] & angulus e g z e$t rectus [ք 31 p 3.] Ergo duæ lineæ e b, g z cõcurr\~et extra circulũ in parte b z [ք 11 ax.] Cõcurrant ergo in l. Et quia e d e$t intra triangulũ l e g: cõcurret cũlinea g m: cõcurrat ergo in m. Et quia g b trã$it per centrũ z e g circuli: erit portio a g minor $emicirculo: ergo [ք 31 p 3] angulus a e g e$t obtu$us, & angulus e g z e$t rectus. Ergo illæ duæ lineæ a e, z g cõcurr\~et in parte e g [erunt enim anguli ad e & g dictis angulis deinceps, minores duobus rectis per 13 p 1. Quare cõcurrent ex parte e g per 11 ax.] Concurrant ergo in f. Si ergo ui$us fuerit in e, & z in aliquo ui$ibili: tunc puncta OPTICAE LIBER VI. m, l, f eruntimagines punctiz. Sic ergo z comprehendetur in tribus locis [quia à tribus punctis a, b, d reflectitur ad ui$um e.] Item extrahamus ex e lineam ad arcum d z, quomodocunque $it: & $it e k: & continuemus g k: & $ecet arcum d z in k: & continuemus lineam k z, Quia ergo arcus e g, g z $unt æquales: [ex conclu$o] erunt [per $ m s q c d r b n @ p t a h e g u i f 27 p 3] duo anguli e k g, g k z æquales. Et conti- nuemus g k in r: & extrahamus e r, z r. Ergo an- gulus e r g e$t maior angulo g r z. [Quia enim anguli e k g, z k g æquales $unt conclu$i: æqua- buntur anguli e k r, z k r per 13 p 1. Po$itis igitur angulis ad r æqualibus: erunt triangula e k r, z k r æquiangula per 32 p 1: & per 4 p 6 r k ad duasre- ctas k e, k z eandem habebit rationem. Quare ip$æ erunt æquales per 9 p 5: ideo\’q; & periphe- riæ e a d k & k z ip$is $ubten$æ per 28 p 3: quod fieri non pote$t. Nam quia rectæ a g, d g æquan- tur per 15 d 1: æquabuntur peripheriæ a g, d g ip$is $ubten$æ per 28 p 3: & e g æqualis conclu- $a e$tip$i z g, reliqua igitur a e æquatur reliquæ d z: ergo e a maior e$t k z per 9 ax: ergo e a d k multò maior e$t k z. Quare angulus e r g non e$t æqualis angulo g r z: nec e$t eo minor: quod eodem argumento o$tendetur. Angulus igitur e r g maior e$t angulo g r z] Sit ergo angulus g r n æqualis angulo e r g [per 23 p 1.] Duæ er- go lineæ e r, r n reflectentur inter $e, propter an- gulos æquales [per 12 n 4] & extrahamus e r ad q: erιt ergo q imago n re$pectu e. Et imaginemur $uperficiem exeuntem à linea m g f, perpendicu- lariter $uper circulum a b d: & extrahamus ex z lineam in hac $uperficie, perpendicularem $uper g z, & tran$eat in utranque partem. Sit ergo c z p: & ponamus g centrum: & in longitudine g n fa- ciamus arcum circuli c n p: $ecabit ergo lineam c z p in duobus punctis: & $int c, p: & continue- mus lineas g c, g p. Erunt ergo in $uperficie per- pendiculari $uper $uperficiem a b d: & extraha- mus g c, g p rectè: & $uper g, & in longitudine g q faciamus arcum circuli: $ecabit ergo duas li- neas g c, g p: $ecet in s, o. Quia ergo $uperficies a b d circuli e$t perpendicularis $uper $uperficiem duarum linearum g c, g p: erunt duo anguli e g s, e g o recti [per 4 d 11] & e g perpendicularis $uper $uperficiem g c p: erit ergo [per 18 p 11] utraque $uperficies e g s, e g o perpendicularis $uper $uperficiem s g o: & utraque i$tarum dua- rum $uperficierum facit in $peculo circulum magnum, [per 1 th. 1 $phær.] comparem circulo a b d. Punctum ergo circuli compar puncto r, e$t, quod facit $uperficies e g s. Ergo concurrunt ex ip$o $ecundum angulos æquales duæ lineæ inter duo puncta e, c: & $imiliter inter duo puncta e, p: & li- neæ g c, g p $unt æquales [per 15 d 1] & lineæ g s, g q, g o $unt æquales: & q e$t imago n: & s ima- go c: & o imago p. Imago ergo arcus c n p conuexi ex parte $peculi, e$t arcus s q o concauus ex parte ui$us: & le$t imago z: & duo puncta s, o $unt imagines c, p. Imago ergo lineæ c z p e$t linea tran$iens per puncta s, l, o: & talis e$t concaua ex parte ui$us. Et $ignemus lineam tran$euntem per puncta s, l, o: & extrahamus lineam e g a d h. Si ergo $peculum non peruenit ad duo puncta b, h, $ed alter $uorum terminorum fuerit inter duo puncta b, h, & reliquus fuerit infra h, & ui$us fue- rit in e: & duæ lineæ p z c, p n c fuerint in aliquo ui$ibili: tunc forma lineæ p z c rectæ, erit conca- ua, $cilicet s l o: & forma arcus p n c conuexi erit etiam linea concaua, $cilicet s q o. Et p z c re- cta habebit unam imaginem: & arcus p n c habebit unam imaginem. Item extrahamus b g ad i: & continuemus lineas e i, i z: i$tæ ergo duæ lineæ reflectuntur $ecundum angulos æquales: [Quia enim e b, z b æquales $unt conclu$æ, & communis e$t b i: anguli\’que e b i, z b i æquales per 27 p 3, ut patuit: æquabuntur per 4 p 1 anguli e i b, z i b] & e i $ecabit f g: $ecet ergo in u: u ergo erit imago z [per 6 n 5.] Puncta ergo m, l, u, f $unt imagines z. Et $i $peculum exce$$erit duo pun- cta a, d, & ui$us fuerit in e, & dor$um a$picientis fuerit ex parte arcus a i, & comprehenderit to- tum arcum i d a: tunc z uidebitur in quatuor locis, $cilicet l, m, u, f: & uidebit duo puncta p, cin duobus punctis s, o: & $ic linea recta p z c habebit quatuor imagines concauas: una tran$ibit per puncta s, m, o, $cilicet linea s m o: $ecunda tran$ibit per puncta s, l, o, $cilicet linea s l o: tertia tran- $ibit per puncta s, u, o, $cilicet linea s u o: quarta tran$ibit per puncta s, f, o, linea $cilicet s f o. Pa- ALHAZEN tet ergo ex hac figura, quòd linea recta in $peculis concauis comprehendatur concaua: & con- uexa comprehendatur concaua: & quòd recta habet plures formas concauas.

48. Si duo ui$ibil{is} puncta à duob{us} $peculi $phærici caui punct{is} adunum ui$um reflexa, in eadem $peculi diametro imagines $u{as} habeant: recta inter centrum $peculi & imaginem longinquiorem, ad rectam inter idem centrum & punctum ui$ibil{is} à $peculi centro lon- ginqui{us}, maiorem rationem habet: quàm recta inter $peculi centrum & imaginem pro- pinquiorem, ad rectam inter idem centrum & punctum ui$ibilis centro $peculi propin- quius. 43 p 8.

ITem: $it $peculum concauum, per cuius centrum tran$eat plana $uperficies: & faciat circu- lum a b g [faciet autem per 1 th. 1 $phær.] & $it centrum d: & extrahamus ex d lineam, quo- cunque modo $it: & $it d g: & tran$eat extra circulum: & extrahamus ex d in $uperficie huius circuli lineam perpendicularem $uper lineam d g [per 11 p 1] & $it d a: & ab$cindamus de angu- lo a d g recto particulam paruam, quomodocunque $it: & $it angulus g d e, ita ut inter angu- lum rectum & angulum a d e $it multiplum anguli e d g: [id quod fieri pote$t continua anguli recti bi$$ectione, donec angulus a d e $it multiplex ad angulum e d g] & diuidamus angulum a d e in duo æqualia, per lineam d b [per 9 p 1] & ab$cindamus de angulo b d a æqualem an- gulo e d g, per lineam z d: & extrahamus ex d lineam continentem cum b d angulum rectum: & $it d x: & extrahamus a d in parte d: & $it d k: & extrahamus ex z lineam continentem cum z d angulum, æqualem angulo k d x: & $it z h. Hæc ergo linea concurret cum d a: [per 11 ax.] Nam duo anguli k d x, a d z $unt minores duobus rectis [ideo\’que a d z, h z d ij$dem $unt minores: quia h z d æquatus e$t angulo k d x.] Concurrant ergo in h. Angulus ergo z h d e$t æqualis angulo z d x. [Quia enim tres anguli z d h, z d x, k d x æquantur duobus rectis per 13 p 1: quibus item æquantur tres anguli trianguli z d h per 32 p 1: tres igitur illi tribus his æquantur. Itaque cum z d h communis æquetur $ibi ip$i, & d z h æquatus $it ip$i k d x: reliquus z h d æquabitur reli- quo z d x.] Et extrahamus ex z lineam conti- q s n p e f o @ x u m l b @ @ z k d h a nentem cum z h angulum, æqualem angulo b d k obtu$o: & $it z l. Duo ergo anguli l z d, b d z $unt minores duobus rectis. [Quia enim angu- li b d k, b d a æquantur duobus rectis per 13 p 1: erunt anguli, b d k, id e$t, per fabricationem, l z h, & b d z minores duobus rectis: ideo\’que l z d, b d z ij$dem multò minores erunt.] Li- nea ergo z l concurret cum d b [per 11 ax.] Concurrant ergo in l: & continuemus l h: & [per 5 p 4] circa triangulum h l d faciamus circu- lum d h l: tran$ibit ergo per z [per conuer$io- nem 22 p 3] quia duo anguli l z h, l d h $unt æ- quales duobus rectis [quia æquantur duobus angulis b d k, l d h æqualibus duobus rectis per 13 p 1.] Anguli ergo l h z, l d z $unt æquales [per 27 p 3] quia ba$is eorum e$t idem arcus: [l z] $ed angulus z h d e$t æqualis angulo z d x: [per conclu$ionem] remanet ergo angulus l h d æqualis angulo l d x: & angulus l d x e$t rectus: [per fabricationem] ergo angulus l h d e$t rectus. Et ab$cindamus exlinea d e lineam d m, æqualem d h [per 3 p 1] & continuemus l m. Angulus ergo l m d e$t rectus. [quia per 4 p 1 æquatur angulo l h d recto conclu$o: duo enim latera h d, l d æquantur duobus lateribus m d, l d, & angulus h d l angulo m d l per fabricatio- nem.] Circulus ergo l h d tran$it per m [per conuer$ionem 31 p 3 demon$tratam à Theone in commentarijs in 3 librum magnæ con$tructio- nis Ptolemæi] & $ecat arcum b e in compari pun cto z. Secet ergo in f: & continuemus d f. An- gulus ergo l d f erit æqualis angulo l d z: [per 27 p 3: quia arcus l m e$t æqualis arcui l h. [Quia enim triangulo l m d circulus circum$criptus e$t, & angulus ad m rectus ex conclu$o: erit l d diameter circuli per con$ectarium 5 p 4, $eu OPTICAE LIBER VI. 31 p 3. Quare $emiperipheria l f d æquatur $emiperipheriæ l z d: & peripheria d m æquatur periphe- riæ d h per 28 p 3, quia d m, d h æquatæ $unt: reliqua igitur l f m æquatur reliqu{ae} l z h] & arcus m f e$t æqualis arcui z h. [Nam propter æqualitatem $emidiametrorum d f, & d z, {ae}quantur periphe riæ d m f, d h z per 28 p 3: & per eandem peripheriæ d m & d h {ae}quales conclu$æ $unt: reliqua igitur m f æquatur reliquæ z h.] Ergo arcus l f e$t {ae}qualis arcui l z [per 3 ax: quare per 27 p 3 anguli l d f, l d z {ae}quabuntur.] Et continuemus lineas h b, h f, f m, b m, f z, f b. Angulus ergo b h d e$t acutus [quia l h d rectus e$t conclu$us] & angulus g d h rectus [per fabricationem.] Ergo linea h b concurret cũ linea d g extra circulum [per 11 ax.] Concurrant ergo in q: h f ergo concurret etiam cum d g extra circulum [eadem de cau$$a.] Concurrant ergo in n. Et extrahamus f b, quou$que $ecet arcum l z: $ecet ergo in r: & continuemus r m: angulus ergo f r m, qui e$t in circumferentia, re$picit arcum f m: & [per 16 p 1] angulus f b m e$t maior angulo f r m: & angulus f b m e$t in circumferentia a b g. Ergo $i b m linea extrahatur ex parte m: ab$cindet de circulo a b g arcum maiorem $imili arcui f m circuli l h d [per 33 p 6] & arcus f m e$t $imilis duplo arcus f e: [angulus enim duplus anguli f d e in periphe ria circuli a b g con$tituti, in$i$tit in peripheriam duplam peripheriæ f e per 33 p 6] & arcus f e e$t æ- qualis arcui a z: [quia enim anguli a d b, e d b {ae}quantur propter angulum a d e per rectam b d bifa- riam $ectum: & z d b, f d b per conclu$ionem: {ae}quabitur reliquus a d z reliquo f d e: ideo\’que peri- pheri{ae} a z peripheri{ae} f e per 26 p 3] & arcus a z e$t {ae}qualis arcui e g [per 26 p 3: quia angulus a d z {ae}quatus e$t angulo e d g.] Ergo arcus f e e$t {ae}qualis arcui e g: ergo arcus g f e$t duplus arcus g e: er go arcus g f e$t $imilis arcui f m. Si ergo b m extrahatur rectè in partem m: ab$cindet de circulo a b g arcum ultra punctum g, maiorem arcu f g. Linea ergo b m $ecabit lineam d g inter duo puncta g, d. Secet ergo in o: & extrahamus lineam f m: & $ecet d o in u: [$ecabit autem: quia $ecat angulum d m o à ba$i d o $ubten$um] & extrahamus b m in parte b: & $ecet arcum l r in c: & continuemus c d. Quia ergo angulus b f z e$t in circumferentia a b g: erit [per 20 p 3] angulus b f z dimidius angu li b d z: $ed angulus b d z e$t multiplus anguli z d a: [è fabricatione] ergo angulus b f z e$t multi- plus anguli z d h: ergo [per 33 p 6] arcus r z e$t multiplus arcus z h: & arcus c z e$t maior arcu r z [per 9 axiom.] ergo arcus c z e$t multiplus arcus z h. Et continuemus c h: angulus ergo c h d cum angulo c m d, e$t æqualis duobus rectis: [per 22 p 3] ergo angulus c h d e$t æqualis angulo b m e. [Nam per 13 p 1 anguli c m d, c m e {ae}quantur duobus rectis, quibus etiam {ae}quantur per proximam conclu$ionem c h d, c m d: communi igitur c m d $ubducto, reliquus c h d æquabitur reliquo c m e $eu b m e.] Sed angulus z h d addit $uper angulum c h d, angulum c h z, qui e$t æqualis angulo c d z: [per 27 p 3: quia uterque in$i$tit in eandem peripheriam c z] & angulus c d z e$t multiplus an- guli z d a, [per 33 p 6: quia peripheria c z multiplex o$ten$a e$t peripheriæ z h.] Ergo angulus c h z e$t multiplus anguli e d g: [quia multiplex e$t ad angulum z d h, æqualem ip$i e d g.] Ergo angu- lus z h d excedit angulum c h d multiplo anguli e d g. Angulus ergo z h d e$t æqualis angulo f m d: quia arcus f m d e$t {ae}qualis arcui z h d [per conclu$ionem. Itaque per 2 ax. peripheria z f d, in quam in$i$tit angulus z h d, {ae}quabitur peripheriæ f z d, in quam in$@$tit angulus f m d: & idcirco z h d æ- quabitur f m d per 27 p 3] & angulus c h d, ut declarauimus, e$t {ae}qualis angulo b m e. Ergo angu- lus f m d excedit angulum b m e multiplo anguli e d g: ergo angulus f m d excedit angulum o m d multiplo anguli e d g: [quia angulus o m d {ae}quatur angulo b m e per 15 p 1] & angulus m o g exce- dit angulum o m d angulo e d g [nam angulus m o g æquatur angulis o m d & e d g per 32 p 1.] Er- go angulus f m d excedit angulum m o g, multiplo anguli e d g: & angulus f m d excedit angulum m u d, angulo e d g $olo: [quia per 32 p 1 æquatur angulis m d u $eu e d g & m u d] ergo angulus m u d e$t maior angulo m o g: ergo angulus m o u e$t maior angulo m u o: [Nam quia anguli ad u dein- ceps {ae}quantur angulis ad o deinceps per 13 p 1: & m u d maior conclu$us m o g: reliquus igitur m o u maior e$t reliquo m u o] ergo [per 19 p 1] linea m u e$t maior linea m o. Et quia arcus z h d e$t {ae}qua lis arcui f m d: erunt duo anguli h f d, m f d æquales [per 27 p 3: quia peripheriæ h d, m d æquales $unt conclu$æ.] Duæ ergo lineæ h f, f u reflectentur æqualiter: & $imiliter h b, b o reflectentur {ae}qua liter [propter conclu$am æqualitatem angulorum h b d, o b d] q ergo e$t imago o: & n imago u [per 6 n 5.] Et extrahamus ex m lineam æquidi$tantem lineæ h q [per 31 p 1] & $it m s: & extrahamus ex m etiam lineam æquidi$tantem lineæ h n: & $it m p. Quia ergo [per 16 p 1] angulus h n d e$t maior angulo h q d: erit angulus m p o maior angulo m s o. [nam per 29 p 1 angulus m s o æ quatur angu- lo ad q, & angulus m p o æquatur angulo ad n] p ergo erit inter duo puncta s, u. Et quia angulus h d n e$t rectus [ex the$i:] erit angulus h n d acutus [per 32 p 1] ergo angulus m p d e$t acutus: ergo [per 13 p 1] angulus m p s e$t obtu$us: ergo [per 19 p 1] linea m s e$t maior, quàm m p: $ed m u e$t ma- ior, quàm m o, ut diximus: ergo proportio s m ad m o e$t maior, quàm proportio p m ad m u: [ut patet per 8 p 5] & [per 29 p 1.4 p 6] proportio s m ad m o e$t, $icut proportio q b ad b o: quia m s e$t æquidi$tans b q: & $imiliter proportio p m ad m u e$t, $icut proportio n f a d f u: ergo [per 11 p 5] pro- portio q b ad b o e$t maior, quàm proportio n f ad f u: & proportio q b ad b o e$t, $icut proportio q d ad d o: & proportio n f ad f u e$t, $icut proportio n d ad d u, ut declarauimus in capitulo de imagine [64 n 5.] Ergo proportio q d ad d o e$t maior, quàm proportio n d ad d u. [E$t autem q, imago pun- cti o, à centro $peculi d longinquior: & o punctum ui$ibilis ab eodem centro e$t lon- ginquius. n uerò, imago puncti u centro $peculi d e$t propinquior: & u alterum ui$ibilis punctum eodem centro d e$t propinquius.] Quare patet propo$itum.

ALHAZEN 49. In $peculo $phærico cauo imago lineæ rectæ aliquando uidetur conuexa. 57 p 8.

HIs præo$ten$is, iteremus circulum, & perficiamus demon$trationem, ne multiplicentur & li- neæ, & dubitentur literæ. Sit ergo circulus in $ecunda figura a b g: & centrum d: & extraha- mus lineam d q: & $it d b æqualis d b in prima figura: & d o æqualis d o in prima figura: & d q $it compar $ibi in prima figura: & $imiliter d u: & extrahamus $uper d q perpendicularem $uper $u- perficiem circuli [per 12 p 11] & $it d h æqualis $ibi in prima figura. Angulus ergo h d q erit rectus: [per 3 d 11] & circulus, quem facit h d q in $peculo, erit ex circulis, ex quibus forma punctorum o, u reflectitur: & erit arcus, quem men$urant lineæ h d, d q, æqualis arcui a g in primo circulo: [per 33 p 6: quia uterque $ubtendit angulum rectum] & ex duobus punctis i$tius arcus, comparibus duobus punctis b, f, reflectentur duo puncta lineæ u p ad duo puncta n, q æqualiter. Erit ergo q imago o, & n imago u. Et extrahamus ex u perpendicularem lineam in $uperficie circuli a b g, $uper lineam d u [per 11 p 1] & $it z u e: & $it d centrum: & in longitudine d o faciamus arcum circuli: $ecabit ergo li- neam z u e in duobus punctis: [quia punctum o k q t $ n $ g b o e u z d h a altius e$t puncto u, ex prima the$i] $ecet ergo in z, e: & $it arcus z o e: & continuemus d z, d e: & extrahamus extra circulum: & à d & in longitu- dine d q faciamus arcum t q: $ecabit ergo duas lineas d z, d e in t, k: & continuemus t k: $ecabit ergo lineam d q in l. Quia ergo h d e$t perpendi- cularis $uper $uperficiem circuli: uterque angu- lus h d t, h d k erit rectus: [per 3 d 11] & utraque $uperficies h d t, h d k faciet in $uperficie $pecu- li circulum [per 1 th. 1 $phær.] & arcus, qui e$t in- ter duas lineas h d, d t erit æqualis arcui, qui e$t inter duas lineas h d, d q: & $imiliter arcus, qui e$t inter duas lineas h d, d k & utraque linea d z, d e e$t æqualis line{ae} d o [per 15 d 1.] Ergo hi duo arcus $unt huiu$modi, quòd ex illis reflectentur $ecundum angulos æquales duo puncta z, e: [ut demon$tratum e$t 66 n 5] & duæ lineæ d t, d k $unt æquales lineæ d q [per 15 d 1.] Ergo pun- ctum t e$t imago z, & k e$t imago e. Et quia li- neæ d t, d q, d k $unt æquales: & lineæ d z, d o, d e $unt æquales: erit [per 7 p 5] proportio d t ad d z, $icut proportio q d ad d o, & $icut proportio k d ad d e. Sed proportio q d ad d o, ut in prima figura [præcedentis numeri] præo$tendimus, e$t maior proportione n d ad d u. Ergo propor- tio d t ad d z e$t maior proportione n d ad d u: & $imiliter k d ad d e. Et quia duæ line{ae} z d, d e $unt æquales, & du{ae} lineæ d t, d k $unt æquales: erit li nea t k æquidi$tans z e [per 2 p 6: e$t enim per 7 p 5 d t ad d z, $icut d k ad d e: & per 17 p 5, ut t z ad z d, $ic k e ad e d.] Ergo [per 2 p 6. 18 p 5] utraq; proportio d t ad d z, & k d ad d e erit, $icut pro- portio l d ad d u. Ergo proportio l d ad d u e$t maior proportione n d ad d u: ergo linea l d e$t maior linea n d [per 10 p 5.] Ergo n e$t inter l, u. Sed n e$t imago u: & duo puncta t, k $unt imagines z, e. Er go imago lineæ z u e rectæ, e$t linea tran$iens per puncta t n k: & linea, quæ tran$it per hæc puncta, e$t conuexa. Ex quibus patet, quòd linea in $peculis concauis quandoque uidetur conuexa in quibu$dam $itibus.

50. In $peculo $phærico cauo imagines linearum: cauæ, conuexæ, aliquando uiden- tur cauæ. 58 p 8.

ITem: ponamus in linea z u punctum m, quocun que modo $it: & circa centrum m, & in longitu- dine m u faciamus arcum r u f. I$te ergo arcus $ecabit arcum u o e in duobus punctis: [per 10 p 3] $ecet in r, f: & continuemus lineas d r, d f: & tran$eant rectè, quou$que concurrant in arcu t q k, in p, i. Superficies ergo duarum linearum h d, d p faciet in $peculo circulum, à cuius circum- ferentia reflectentur line{ae} ad r: & $imiliter $uperficies duarum linearum h d, d i faciet in $peculo cir- culum, à cuius circumferentia reflectentur lineæ ad f. p ergo e$t imago r, & i e$t imago f: & n e$t ima go u. Imago ergo arcus r u f, e$t linea tran$iens per i, p, n. Sed h{ae}c linea erit concaua ex parte ui$us, & arcus r u f e$t concauus ex parte $uperficiei $peculi. Cum ergo ui$us fuerit in h, & unaqu{ae}que li- nearum z u e, z o e, r u f fuerit in aliquo ui$ibili: tunc linea z u e recta comprehendetur conuexa: & OPTICAE LIBER VI. linea z o e conuexa, comprehendetur concaua: & r u f concaua: conuexa. Si ergo unaqu{ae}que linea rum z u e, z o e, r u f habuerit unam imaginem: k q p @ t $ n g b o r f e u m z d h a tunc forma illarum linearum erit eodem modo, quo declarauimus: & $i habuerit alias imagines: fortè erunt $imiles alijs imaginibus, & fortè di- uer$æ. Patet ergo ex i$tis figuris, quòd line{ae} re- ctæ in $peculis concauis quandoque compre- henduntur rectæ: quandoque conuexæ: quan- doque concauæ: & lineæ conuexæ quandoque comprehenduntur conuexæ: quandoque con- cau{ae}: & concau{ae} quandoque comprehendun- tur conuex{ae}: quandoque concau{ae}. Form{ae} ergo $uperficierum ui$ibilium comprehenduntur a- liter, quàm $unt, in huiu$modi $peculis. Nam li- ne{ae} rect{ae} non $unt, ni$i in $uperficiebus rectis: & cum linea recta, qu{ae} exi$tit in $uperficie plana, comprehenditur conuexa aut concaua: tunc $u- perficies, in qua ip$a linea e$t, comprehendetur conuexa aut concaua. Cum ergo ui$us compre- hendat lineas conuexas & concauas, & rectas aliter, quàm $int: comprehendet $uperficies, in quibus $unt, aliter, quàm $int. Patet ergo ex pr{ae} dictis, quòd in omnibus, quæ in $peculis con- cauis comprehenduntur, accidit fallacia: $ed in quibu$dam accidit $emper, & in omni po$itio- ne, in quibu$dam accidit in aliqua po$itione. Fal laci{ae} autem compo$itæ accidunt in his $peculis eo modo, quo incompo$itæ. Et hoc uoluimus declarare.

DE ERRORIBVS, QVI ACCI- dunt in $peculis columnaribus concauis. Cap. VIII.

IN his autem accidunt $imiles eis, qui accidũt in $ph{ae}ricis concauis. Accidunt enim fallaciæ, qu{ae} proueniunt ex reflexione, $cilicet debilitas lucis & coloris: & diuer$itas $itus, & remotionis, qu{ae} accidunt omnibus $peculis. Accidit autem eis ex diuer$itate quantitatis $imile illi, quod accidit in $peculis $ph{ae}ricis concauis. Et uidetur etiam unum ui$ibile, unum: & duo: & tria: & quatuor: & rectum & conuexum $ecundum diuer$os $itus: & planum uidetur concauum & conuexum. O$ten demus ergo qualiter in his $peculis diuer$atur quantitas & numerus rei ui$æ: & qualiter apparet re ctum & conuer$um eo modo, quo in $peculis $ph{ae}ricis concauis declarauimus.

51. Siui${us} $it extra planũ lineærectæ, parallelæ axi $peculi cylindraceicaui: imago aliàs ui- debitur recta & maior ip$a linea: aliâs caua: aliâs cõuexa: aliâs $implex: aliâs multiplex. 25 p 9.

ITeremus ergo primam figuram ex duabus figuris pr{ae}mi$sis in fallacijs $peculorum columnariũ conuexorum, & ij$dem literis. In illa autem figura [qu{ae} e$t 26 n] patuit, quòd line{ae} e g, g t, e b, q b, e a, a h reflectuntur $ecundum angulos æquales: & quòd line{ae} e k, h a, q b, t g coniunguntur in o: & quòd linea a b g e$t linea recta exten$a in longitudine $peculi: & quòd line{ae} g z, b l, a d $unt perp\~e- diculares $uper $uperfici\~e, contingent\~e $uperficiem, quæ trã$it per lineã a b g: & quòd linea a b g e$t perp\~edicularis $uք $uperfici\~e, in qua e$t triãgulũ e b o: & quòd linea t q e$t æqualis q h, & a b {ae}qualis b g: & quòd s c, i $unt imagines h, q, t: & quòd c e$t propinquius puncto e, quàm linea s i: & quòd li- nea s i e$t in $uperficie trianguli u h t: & quòd duæ lineæ u h, u t $unt æquales: & quòd u s & u i $unt æquales: & quòd duæ lineæ e s, e i $unt æquales. Et continuemus c u: & $ecet s i in æ: diuidet ergo i- p$am in duo æqualia: nam h t e$t diui$a in duo æqualia in q: [& linea i s parallela e$t ip$i t h: quia cũ tota t u æqualis conclu$a $it toti h u, & pars i u parti s u: erit reliqua t i æqualis reliquæ h s: e$t igitur per 7 p 5, ut u i ad i t, $ic u s ad s h: ergo per 2 p 6 h t & s i $unt parallelæ. Itaque triangula t u q, i u æ: i- tem q u h, æ u s $unt æquiãgula per 29 p 1: & per 4 p 6, ut t q ad q u, $ic i æ ad æ u: & ut q u ad q h, $ic {ae} u ad {ae} s: ergo per 22 p 5, ut t q ad q h, $ic i æ ad æ s. Quare cũ 26. 27 n, t q {ae}quata $it ip$i q h: {ae}quabitur i æ ip$i {ae} s] & erit c u in $uperficie trianguli q u e, quæ e$t $uperficies circuli b f, {ae}quidi$tantis ba$i $pecu- li: ergo c erit in $uperficie trianguli c u e: & e$t in $uperficie trianguli c e i: ergo c e$t in linea, quæ e$t differentia cõmunis his duabus $uperficieb. $ed h{ae}c differ\~etia e$t linea e b: [ք 3 p 11] ergo c e$t in recti tudine e b: & du{ae} line{ae} h u, t u $unt $ub duob. pũctis d, z: nã du{ae} line{ae} h u, t u $unt perp\~ediculares exe untes ex h, t $uper duas lineas, cõting\~etes duas portiones, in quarũ circufer\~etia $unt puncta a, g. Su- perficies ergo triãguli u h t e$t $ub axe d l z. Sed nullũ pũctũ huius axis, quãuis exeat in infinitũ, erit in $uperficie trianguli u h t. Nam $i e$$et: tunc $i continuaretur cũ aliquo puncto lineæ h t linea re- ALHAZEN cta: tuncilla $uperficies, in qua e$$et illa linea recta & linea h t e$$et $uperficies trianguli u h t: & illa $uperficies e$$et illa, in qua $unt duæ lineæ æquidi$tantes h t, d z: & $ic $uperficies, in qua $unt du{ae} lineæ h t, d z, e$$et $uperficies trianguli h u t: & $ic axis e$$et in $uperficie trianguli h u t: $ed axis e$t æquidi$tans lineæ h t po$itione. Et axis $ecat duas lineas h u, t u: & linea t h e$t in $uperficie trian guli u e h, quæ e$t $uperficies reflexionis: & linea communis huic $uperficiei & $uperficiei column{ae}, e$t aliqua $ectio columnaris. Superficies ergo e u h $ecat axem columnæ in uno puncto, $cilicet in d, ut præo$ten- t i n g y z x q m b c œ @ f h z r a d p e K o @ dimus [27 n.] Et $i axis $e- cet lineá h u: punctum $e- ctionis cum linea h u erit in $uperficie trianguli u e h: $ed in hac $uperficie nõ e$t punctum, per quod a- xis tran$eat, præter d: er- go linea h u iecat axem in d: & iam o$tendimus [24 n] quòd h u $ecat eum in puncto $ub d: quod e$t impo$sibile. Ergo axis d z e$t extra $uperficiem u h t, & propinquior puncto e, quàm $uperficies h u t. Superfi- cies ergo, in qua $unt lineæ h t, d z, e$t propinquior puncto e, quàm $uperficies u h t: & c e$t in $uper- ficie, in qua $unt h t, d z: quia e$t in linea q l: & q l e$t in $uperficie, in qua $unt h t, d z: [per 7 p 11] er- go c e$t propinquius e, quàm s i: $ed c e$t in rectitudine e b [ut patuit.] Si ergo e b exiue- rit in parte b: perueniet ad c: perueniet ergo ad c. His præo$ten$is, dico quòd linea s i, quæ e$t æ- quidi$tans axi $peculi, cum fuerit in aliquo ui$ibili, & ui$us fuerit in o ex parte concauitatis co- lumnæ, & $uperficies $peculata fuerit $uperficies concaua: tunc s i comprehendetur ex o m $peculo concauo a b g à linea a b g: & diuer$abuntur imagines eius $ecundum diuer$itatem di$tãtiæ ab axe, cuius demon$tratio e$t. Quia angulus e b m e$t acutus [quia m b a e$t rectus ex the$i 26 n] ergo [per 15 p 1] l b c e$t acutus: & linea e b c e$t in $uperficie circuli b f: & l b e$t diameter huius circuli [per 34 n 4.] Ergo e b c $ecat circulum: ergo c b e$tintra concauitatem $peculi: & $imiliter o b erit intra cõ- cauitatem $peculi: quia angulus o b l e$t acutus, & duo anguli o b l, c b l $unt æquales duobus angu lis e b m, q b m: [quia per 15 p 1 æquantur angulis e b m, q b m, {ae}qualibus conclu$is 27 n] & l b e$t perpendicularis $uper $uperficiem, contingentem columnam, quæ tran$it per b. Forma ergo c extenditur per c b, & peruenit ad b, & reflectitur per b o, & comprehenditur à ui$u in o [per 7 n 5.] Item in quinto capitulo [27 n] cum fuimus locuti de $peculis columnaribus conuexis, decla- rauimus, quod $uperficies contingens columnam m g, erit $ub e: ergo e g $ecat $uperficiem contin- gentem: $ecat ergo lineam contingentem circum ferentiam $ectionis in g: $ecat ergo $ectionem, & cadit intra ip$am: cadet ergo intra concauitat\~e $peculi: ergo duæ lineæ o g, g i $unt intra concauita- tem $peculi: & z g e$t perpendicularis $uper $uperficiem, contingentcm columnam in g [quia ex the$i perpendicularis e$t a g lateri cylindraceo: & duo anguli o g z, i g z $unt æquales: quia per 15 p 1 æquantur angulis e g n, t g n, æqualibus per 4 p 1.] Ergo forma i extenditur per i g, & peruenit ad g, & reflectitur per g o, & comprehenditur in o per lineam g o. Et $imiliter s extenditur per s a, & peruenit ad a, & reflectitur per a o, & comprehenditur in o. Et iam declarauimus, cum tractaui- mus de fallacijs $peculorum columnarium conuexorum [27 n] quòd duæ lineæ h u, t u $unt per- pendiculares $uper $uperficies, contingentes $ectiones, tran$euntes per duo puncta a, g. Imago er- go s e$t in linea h u, & a o linea radialis, quæ extenditur ex ui$u ad punctum reflexionis: ergo ima- go s e$t in a o: h ergo e$t imago s: [per 7 n 5] & $ic patet, quòd t e$t imago i. Et continuemus c l. Quiaergo c reflectitur ad o ex circumferentiæ puncto b: erit imago c in line a cl: & o b e$t linea ra- dialis, quæ extenditur inter ui$um & punctum reflexionis. Ergo imago c e$t in puncto communi c l & o b [per 7 n 5] nempe in puncto q. Sed in capitulo de imagine, cum tractauimus de imagini- bus $peculorum $phæricorum concauorum [60 n 5] patuit, quòd imago puncti, cuius forma refle- ctitur à concauitate circuli, fortè concurret cum radiali linea, quæ e$t inter ui$um & punctum refle- xionis, ultra $peculum: & fortè inter ui$um & $peculum: & fortè in centro ui$us: & fortè ultra cen- trum ui$us: & fortè c l æquidi$tans erit o b. Et in illo capitulo [86 n 5] patuit, quòd fortè imago erit unum punctum: aut duo: aut tria: aut quatuor. Imago ergo fortè erit in b q: fortè ultra o q: & fortè in b o: & fortè in o: & fortè ultra: & fortè imago t q erit unum punctum: aut duo: aut tria: aut quatuor. Si ergo imago c fuerit q: tũc h q t erit diameter imaginis s i. Si ergo omnes imagines s i fue rint in linea h q t: tunc forma eius erit linea recta: nã mediũ eius e$t in rectitudine duarũ extremita- tũ h t. Si aũt imago c fueritultra q: tunc imago s i erit ferè cõcaua ex parte ui$us. Et $i imago c fuerint plura puncta: tunc imago cerunt plures lineæ, quarum omnium extremitates cõiungentur in duo- OPTICAE LIBER VI. bus punctis h, t: & media earum erunt di$tincta & $eparata: & h t e$t diameter imaginis s i, quocun- que modo fuerit imago: & diameter e$t cõmunis omnibus imaginibus eius, $i plures habuerit ima- gines: & linea h t e$t maior, quàm si, modica quantitate. Patet ergo, quòd cum lineæ rectæ, æquidi- $tantes axi columnaris $peculi concaui fuerint in aliquo ui$ibili: imago earum fortè erit recta aut concaua, & fortè una, aut plures.

52. Si ui${us} à termin{is} lineæ rectæ æquabiliter di$tans, $it extra ip$i{us} planum, perpendicula re plano ax{is} $peculi cylindr acei caui: imago uidebitur maximè caua. 27 p 9.

ITem: iteremus $ecundam figuram de fallacijs $peculorum columnarium conuexorum [29 n.] In hac autem figura dictum e$t: quòd duæ lineæ e b, h b reflectuntur $ecũdum angulos æquales: & quòd duæ lineæ e g, t g reflectuntur $ecundum angulos æquales: & quòd h b, t g perueniunt a d l: & h b continet cum b o angulum acutum. Ergo h b $ecat $uperficiem, contingentem columnam in b: b l ergo e$t $ub concauitate columnæ: & $imiliter g l: & $imiliter duæ lineæ b r, g y: & duo angu- li l b d, d b r $unt æquales [quia per 15 p 1 æquantur angulis e b o, h b o æqualibus] & $imiliter l g d, g d y $unt æquales. Si ergo r y fuerit in aliquo ui$ibili, & ui$us fuerit in l, & $uperficies concaua colu- mnæ fuerit ter$a: tunc forma r extenditur per r b, & peruenit ad b, & reflectitur ք b l: & perueniet ad l, & comprehendetur in l. Et linea h u e$t perpendicularis $uper lineam, contingentem $ectionem, ex cuius circumferentia reflectentur duæ lineæ b r, b l: h ergo e$t imago r [per 7 n 5.] Similiter decla rabitur, quòd forma y extenditur per y g, & reflectitur ք g l: & imago eius e$t t. Et continuemus q u: $ecabit ergo r y in m: m ergo e$t in $uperficie tran$eunte per axem & per l: nam l & q $unt in hac $u- perficie, [ut demon$tratum e$t 29 n.] Ergo q u e$t in hac $uperficie [nam 29 n o$ten $um e$t, quòd planum ductum per ui$um & axem $peculi, in quo e$t linea e l d, $ecat lineam h t in puncto q: e$t\’que punctum u in linea e l d: linea igitur q u e$t in plano per ui$um & axem $peculi ducto per 1 p 11: ideõ- que & punctum m.] Et quia duo puncta m, l $unt in $uperficie tran$eunte per axem columnæ: ideo forma m reflectetur ad l in hac $uperficie. Et quia a z e$t differentia communis inter column{ae} $uper- ficiem, & $uperficiem, tran$euntem per $uum axem, & per l: forma ergo m reflectetur à linea a z. Et continuemus e m, quæ e$t in hac $uperficie: & e l u r h d x b y m $ o n f g i k q z t c c s a e$t in hac $uperficie: & punctum e e$t elongatum à $uperficie contingente $uperficiem columnæ in li- nea a z [ut patuit 29 n.] Ergo $i a z extrahatur re- ctè in parte z: concurret cum duabus lineis e m, e l. Concurrat ergo cum e m in i, & cum e l in n: ergo n e$t inter duo puncta e, l: quia l e$t intra con cauitatem columnæ, & n e$t in $uperficie colu- mnæ: & e e$t elõgatum à columna: & in dem on- $tratione huius figuræ [29 n] patuit, quòd circu- lus b g e$t medius inter lineam h t, & $uperficiem exeuntem ex e, æ quidi$tantem ba$ibus columnæ: & perpendicularis, quæ exit ex e $uper a z, e$t in $u perficie exeunte ex e, æ quidi$tante columnæ. Er- go perpendicularis, quæ exit ex e $uper lineam a z n, cadit extra triangulum e i n, & in parte n: angu lus ergo e i n e$t acutus: [per 32 p 1] ergo [per 15 p 1] angulus m i a e$t acutus: ergo m i n obtu$us [per 13 p 1.] Extrahamus ergo ex m perpendicularem $uper a i [per 12 p 1] & $it m k: k ergo erit ultra i, re$pectu 11. [$i enim caderet inter i & n: e$$ent triã- guli tres anguli maiores duobus rectis contra 32 p 1: quia angulus m i n obtu$us e$t conclu$us.] Et extrahamus m k ex parte k, in s: & diuidamus k s ad æqualitatem k m: ergo s erit extra $uperficiem $peculi, & ultra concauitatem eius, & l erit $ub concauitate eius. Et continuemus l s: $ecabit ergo n k in f: & ex f extrahamus f x ad æquidi$tantiam m k. Cum ergo [per 29 p 1] f x $it perpendicularis $uper a n, & in $uperficie tran$eunte per axem & per l: ergo e$t diameter circuli exeuntis ex f & æ- quidi$tantis ba$i columnæ [per 34 n 4.] Linea ergo f x e$t perpendicularis $uper $uperficiem, con- tingentem columnam, tran$euntem per a z [$icut o$ten$um e$t 54 n 5.] Et continuemus m f: erit ergo æqualis f s: [per 4 p 1: quia k s, k m æquantur per fabricationem, & communis e$t k f, anguli- que ad k recti] & duo anguli qui $unt, apud m, s erunt æquales: [per 5 p 1.] Et quia x f e$t æquidi- $tans m g: erunt [per 29 p 1] duo anguli apud f æquales duobus angulis, qui $unt apud s, m [ideó- que anguli x f m & x f l æquabuntur.] Duæ ergo line{ae} m f, f l reflectuntur $ecundum angu- los æquales: & x f e$t perpendicularis $uper $uperficiem, contingentem $peculum in f. For- ma ergo m extenditur per m f, & reflectitur per f l: & imago eius erit s [per 7 n 5.] Et quia duæ lineæ r y, h t $unt æquidi$tantes, & perpendiculares $uper $uperficiem tran$euntem per axem, & per l: quia h t fuit po$ita talis: [29 n] ideo duæ $uperficies exeuntes à duabus li- ALHAZEN neis h t, r y, erunt æquidi$tantes & perpendiculares [per 18 p 11.] Et quia r y e$t perpendicularis $u- per $uperficiem tran$euntem per axem & per l: ideo [per 18 p 11] $uperficies duarum linearum rm, m s erit perpendicularis $uper $uperficiem, tran$euntem per axem & per l: & erit m s differentia cõ- munis his duabus $uperficiebus. Et quia a k e$t in $uperficie tran$eunte per axem: [per 21 d 11: quia pars e$t lateris cylindracei] & e$t perpendicularis $uper m s [per fabricationem] qu{ae} e$t differentia communis inter $uperficiem, trã$euntem per axem, & inter $uperficiem duarum linearum r m, m s: erit a k n perpendicularis $uper $uperficiem duarum linearum r m, m s: & linea a n e$t æquidi$tans axi columnæ [per 21 d 11:] ergo [per 8 p 11] axis columnæ e$t perpendicularis $uper $uperficiem, in qua $unt r m, m s. Superficies ergo i$ta e$t perpendicularis $uper axem columnæ: s ergo e$t in $uper- ficie exeunte ex linea r y, perpendiculari $uper axem columnæ: $ed linea h t e$t in $uperficie perpen- diculari $uper axem, æquidi$tante $uperficiei ex linea r y: s ergo e$t extra h t, & propinquius l, quàm $int h & t: & duo puncta h, t $unt imagines r, y: & punctum s e$t imago m: imago ergo lineæ r m y e$t linea tran$iens per h, s, t: $ed talis e$t linea arcualis: quia s e$t extra h t. Et tran$eat per puncta h, s, t li- nea h s t arcualis. Et quia h t $ecundum po$itionem [29 n] fuit elongata à conuexo columnæ: erit h t ultra $uperficiem $peculi, re$pectu l: & iam declarauimus, quòd s e$t ultra concauitatem $peculi, re$pectul. Ergo tota linea h s t erit ultra concauitatem $uperficiei $peculi: & e l e$t $ub concauitate $peculi: ergo l e$t extra $uperfici\~e, in qua e$t linea h s t: arcualitas igitur lineæ h s t apparebit ui$uil manife$tè. Et quia f e$t in $uperficie columnæ, & t h ultra columnam, e$t in $uperficie trianguli l h t: erit linea l f s altior quàm $uperficies trianguli l h t. Linea ergo l s erit altior duabus lineis l h, h t, re- $pectu ui$us. Ergo s e$t altius, quàm duo puncta h, t. Linea ergo h s t apparebit ui$uil concaua.

53. Si ui${us} $it in plano lineæ rectæ, obliquo adplanum ax{is} $peculi cylindracei caui: imago uidebitur caua & euer$a. 28 p 9.

ITem: $ecemus columnam per $uperficiem decliuem $uper axem eius: faciet ergo $ectionem co- lumnarem [per 9 th. cylindricorum Sereni.] Sit ergo a b g. Sed in prima figura de columnis con cauis [91 n 5] declaratum e$t, quòd in $uperficie cuiuslibet $ectionis columnæ exit à puncto re- flexionis perpendicularis $uper $uperficiem contingentem, ex cuius extremitatibus reflectuntur formæ. Sit ergo perpendicularis g a: & $it b e k perpendicularis $uper lineam, contingentem circũ- ferentiam $ectionis in b: & $it b prope g. b k ergo $ecabit perpendicularem g a $ub axe, & continebit cum ip$a angulum acutum. [per 24 n: punctum enim b tam propin quum ip$i g $umitur, ut recta à puncto b, & perpendicularis à reflexionis puncto in axe angulum acutum cõprehendant.] Secet ergo in e. Angulus ergo b e g erit acutus [per 32 p 1.] Et extrahamus ex g lineam ad æquidi$tan- tiam lineæ b k: & $it g d. Angulus ergo d g e erit acutus: [quia p b @ o n m d r h c t a K per proximam fabricationem & 29 p 1 æquatur angulo b e g acuto] ergo g d e erit intra concauitatem columnæ. Et pona mus angulum e g l æqualem angulo e g d: [per 23 p 1] g l ergo concurret cum b e in l: [per 11 ax. quia anguli ad g & e acuti, minores $unt duobus rectis] & $ignemus punctum m in li- nea l e: erit ergo m a g acutus: [quia per 16 p 1 minor e$t an- gulo g e m acuto] ergo a m e$t intra $ectionem. Et ponamus angulum g a d æqualem angulo g a m: ergo a d concurret cũ g d: [per 11 ax.] nam duo anguli, qui $unt apud a, g, $unt acuti, Concurrant ergo in d. a d igitur $ecabit b k [per lemma Pro- cli ad 29 p 1.] Secet ergo in t. Cum ergo l k fuerit in aliquo ui $ibili, & ui$us fuerit in d: tunc forma l uidebitur in g: [ut o$t\~e $um e$t 90 n 5] quia forma l reflectetur ad d ex g, & quia d g e$t æquidi$tans perpendiculari b l k: Et forma m uidebitur in t: quia forma m reflectitur ad d ex a: & t imago e$t m. Et tran$eat per d $uperficies æquidi$tans ba$i columnæ: [ut o$ten$um e$t 47 n 5] $eca bit ergo $ectionem a b g, & faciet in $uperficie columnæ circulum p o r [per 5 theor: cylindricorum Sereni.] Superficies ergo huius circuli $ecabit b k: $ecat enim g d, quæ e$t ei æquidi$tans. Ergo $e- cet b k in k: & $it centrum circuli p o r, punctũ h: & continuemus d h, & tran$eat ad r: & cõtinuemus k h, & tran$eat ad p. Forma ergo k reflectitur ad d ex circumferentia arcus r p, ut patuit de imagini- bus $peculorum [73 n 5.] Reflectatur ergo ex o: & cõtinuemus k o, d o, h o. Anguli ergo, qui $unt a- pud o, $unt æquales: [per 12 n 4] & d o $ecabit h p in n. n ergo e$t imago k. Et cõtinuemus k d: k d er go erit differentia communis inter circulum r p & $ectionem a b g. Nam duo puncta k, d $unt in u- traque $uperficie, & nihil de $uperficie $ectionis a b g e$t in $uperficie circuli r p, ni$i linea k d: g ergo e$t extra circulum: & $imiliter b: & $unt in $uperficie $ectionis: & n e$t in $uperficie circuli r p: & for- ma l m k tran$it per puncta g, t, n: & linea, quæ tran$it per hæc puncta, e$t arcualis: $ed $uperficies $ectionis e$t decliuis $uper $uperficiem columnæ: [per 9 th. cylindricorum Sereni] axis ergo $ectio nis non tran$it per totum axem columnæ, neque e$t æquidi$tans ba$i columnæ. Patet ergo ex hac figura & duabus præmi$sis, quòd lineæ rectæ æquidi$tantes axi columnæ, & æquidi$tantes ba$i e- ius: & etiam illæ lineæ, quæ obliquantur $uper $uperficiem eius: fortè uidebuntur arcuales, fortè re ctæ, fortè conuer$æ. Et quia t e$t imago m, & n imago k: erit forma m k conuer$a. Et $i linea etiam fuerit in $uperficie circuli, æquidi$tante ba$ibus columnæ, cuius $uperficies tran$it per centrũ ui$us, OPTICAE LIBER VI. ut dictum e$t de imaginibus $peculorum concauorum in $eptimo capitulo huius tractatus: forma fortè erit æqualis recta: fortè conuer$a. Patet ergo, quòd forma eorum, quæ comprehenduntur in $peculis columnaribus concauis, fortè erit recta, fortè conuer$a.

54. Siui${us} $it in plano lineæ rectæ, perpendiculari plano ax{is} $peculi cylindracei caui: imago uidebitur recta & euer$a: aliâ s maior: aliâs minor: aliâs æqual{is} ip$i lineæ: aliâs $implex: aliâs multiplex. 29 p 9.

ITem: iteremus formã tertiæ figur{ae} de fallacijs $peculorũ cõcauorũ ij$d\~e literis exi$tentibus: [41. 42. 43 n] & $it circulus b z a in $uperficie $peculi columnaris cõcaui: & $it ui$us in d. Erit ergo ex- tra $uperfici\~e circuli: & erunt duæ lineæ e a, e b perpendiculares $uper $uperficies, cõtingentes $u perfici\~e colũn{ae}: & erit $uperficies trianguli d g e perp\~edicularis $uք $uperfici\~e circuli [ք 18 p 11] <003>a g d e$t perp\~edicularis $uper $uperfici\~e circuli [ut o$t\~e$um e$t 41 n.] Superficies ergo trianguli d g e trã$it per totũ ax\~e: & in neutra $uperficie d b o, d a o e$t aliquid de axe colũnæ, ni$i e, q<001> e$t centrũ circuli. Et utraq; $uperficies d b o, d a o facit in $uperficie column{ae} $ectio d g p i t k n u b e a o f q l h m r nem: [per 9 th. cylindricorum Sereni] & formæ reflectuntur ex his $ectionibus à duobus punctis a, b [ut patuit 41 n.] Forma ergo r reflectitur ad d ex b: & forma m reflectitur ex a: & n u erit diame ter imaginis m r: [$unt enim puncta n & u imagines punctorum r & m per 7 n 5] & e$t minor quàm m r: [ut demon$tratum e$t 42 n.] Et $imiliter duo puncta h, l reflectentur ad d ex duobus pun- ctis à, b: & erit t k diameter imaginis l h: & erit e i æqualis [ut pa- tuit 41 n] & erit p i diameter imaginis f q: & e$t maior illa. Et o- mnes i$tæ imagines erunt conuer$æ [ut o$ten$um e$t 43 n.] Et $i ui$us fuerit in o, & lineæ p i, t k, n u fuerint ui$ibiles: erunt è con- trario: tunc enim diameter imaginis p i erit minor ip$a: & diame- ter imaginis n u erit maior ip$a: & diameter t k erit ei æqualis. Et o\~es imagines erũt rectæ. Et omnia i$ta o$t\~e$a $unt in prædicto ca pitulo. Item cum utraq; extremitas alicuius harũ habuerit unam imagin\~e, & aliquod punctũ in medio habuerit plures imagines: tũc illa linea habebit totimagines, quot punctũ mediũ habet. Et $i utraq; extremitas, uel altera habuerit plures imagines, & pun- ctum mediũ habuerit unã: tunc linea tot habebit imagines, quot habet punctũ extremũ. Et $i utraq; extremitas uel altera habue- rit multas imagines, & pũctũ mediũ habuerit multas imagines: tunc linea tot habebit imagines $ecundum maiorem numerum. Et hoc patebit, ut de imaginibus patuit $peculorum $phærico- rum concauorum. In $peculis ergo columnaribus concauis accidit fallacia in omnibus, quæ in eis comprehenduntur, $icut accidit in $peculis $phæricis concauis: $cilicet de formis $pecie- rum ui$ibilium, & de quantitatibus: & de numero $uarum ima- ginum: & de rectitudine, & de cõuer$ione, cum fallacijs, qu{ae} appropriantur reflexioni. Et fallaciæ e- runt inhis, ut in $peculis prædictis. Ethoc e$t, quod uoluimus declarare in hoc capitulo.

DE ERRORIBVS, QVI ACCIDVNT IN SPECVLIS pyramidalibus concauis. Cap. IX.

IN his autem accidunt illæ fallaciæ, quæ accidunt in $peculis columnaribus concauis. Debilitas uerò coloris & lucis: & diuer$itas po$itionis, & remotionis accidunt in his, $icut in omnibus $pe culis: nam cau$$a huius e$t reflexio. Accidit etiam in his $peculis multitudo imaginum, $icut in $peculis columnaribus & $phæricis concauis dictũ in capitulo [$ecũdo libri quinti] de imaginibus.

55. Si lineæ: recta uel curua obliquè incidant uertici $peculi conici caui: reflectentur à latere conico ad ui$um inter ip$as & $peculi $uperficiem po$itum: & imago rectæ uidebitur parum cur- ua: curuæ, recta. 31 p 9.

ACcidit etiam in eis, quod in columnaribus concauis, $cilicet ut rectum uideatur conuexum & concauum. Huius autem demon$tratio e$t: quod rectæ lineæ, quæ extenduntur in longi- tudine $peculi, quæ tran$eunt per uerticem pyramidis, & quæ $unt prope illas, uidentur con uexæ, & fortè rectæ. Et demon$tratio $uper hoc e$t, ut demon$tratio in $peculis columnaribus con- cauis. Nam $i itera uerimus $ecundam figuram de fallacijs $peculorum pyramidalium conuexorum [quæ e$t 32 n] inueniemus diametrum imaginis lineæ rectæ po$itæ in illo $peculo, quæ e$t illic linea a n, intra concauitat\~e $peculi pyramidalis: & inueniemus punctũ, quod e$t $ub $uperficie contingen te pyramid\~e, tran$eunt\~e per lineã longitudinis, à qua reflectitur forma line{ae} rect{ae} ad ui$um: quod il- lic punctum f. Si igitur fuerit punctum illud centrum ui$us: erunt omnia puncta, qu{ae} $unt in diame- ALHAZEN tro imaginis reflexa ad pũctũ f: & a h p u @ m z t x b n @ c q s d g $ @ K f r imagines duarum extremitatum a p y erunt extremitates lineæ rectæ a n: & loca imaginis puncti p, quod e$t in medio a y, diuer$a- buntur. Et hoc declarabitur ead\~e uia, qua proce$simus in demon- $tratione prim{ae} figur{ae} $peculorũ columnarium concauorũ. Patet ergo ex hoc, quòd $i a p y fuerit in aliquo ui$ibili, & ui$us fuerit f: tunc imago fortè uidebitur con- uexa, & fortè cõcaua. Et patet e- tiam in figura $ecũda de fallacijs $peculorum columnarium conca uorum [52 n] quòd lineæ po$itæ in latitudine $peculi apparebunt concauæ concauitate mirabili: & quòd imagines linearũ, quæ $unt in $uperficiebus tran$euntibus per axem & per centrum ui$us, erunt rectæ.

56. Si ui${us} $it in communi $ectione planorum: lineæ rectæ & ax{is} $peculi conici caui, inter $e perpendicularium: imago uidebitur recta & euer$a: aliâs maior: aliâs æqual{is}: aliâs minor ιp$a line a: aliâs $implex: aliâs multiplex. 34 p 9.

ITem: iteremus tertiam figuram de fallacijs $peculorum $phæricorum concauorum ij$dem lite- ris [quæ fuit 41 n.] Si ergo aliquod punctum fuerit in axe pyramidis: & duæ lineæ e a, e b fuerint perpendiculares $uper $uperficies, contingentes pyramidem: & hoc e$t po$sibile: quia $unt æ- quales: po$$unt enim cum axe continere duos angulos acutos d g p i t k n z u b e a $ o q l h m r æquales. Cum ergo hæ du{ae} lineæ fuerint perpendiculares, & fue rit ui$us d: tune $uperficies, in qua $unt g e, e d, tran$ibit per totũ axem, & per centrũ ui$us: & utraq; $uperficies d a o, d b o erit de- cliuis $uper axem pyramidis: & erunt differenti{ae} earũ duæ $ectio nes pyramidis [per 5 th. 1 conicorum A pollonij] & erunt formæ punctorum h, r, q reflex{ae} ad d ex b: & formæ punctorum l, m, f re- flect\~etur ad d ex a. Cum ergo line{ae} m l f, r h q fuerint in aliqua $u- perficie ui$ibili, & ui$us fuerit in d: tunc n u erit imago m r: & t k erit imago l h: & p i erit imago f q [ut o$ten$um e$t 54 n.] Sic ergo imago m r erit minor $e ip$a: & imago f q maior $eip$a: & imago l h æqualis $ibi ip$i. Et omnes imagines erunt conuer$æ. Et $i ui- $us fuerit in o, & n u, t k, p i fuerint in $uperficiebus ui$ibilium: tunc imagines earum erunt m r, l h, f q. Sic ergo erit imago f q $ei- p$a minor: & imago n u maior: & imago t k æqualis. Et i$tæ imagi nes erunt rectæ. Nam i$tæ imagines erunt ultra centrum ui$us, & comprehen duntur ante ui$um $uper lineas radiales. Puncta ergo m, l, f comprehenduntur in linea a o: & puncta r, h, q comprehen- duntur in o b: & $ic forma reflectetur recta. Patet ergo ex his, qu{ae} diximus in hoc capitulo: quòd lineæ rect{ae} quandoq; uidentur in his $peculis conuexæ: quandoq; concauæ: quandoq; rectæ: & quandoq; maiores: & minores: & æquales: & quãdoq; rect{ae}, con uer$æ. Et in capitulo [$ecundo libri quinti] de imagine declara- uimus, quòd omne punctum ui$ibile in huiu$modi $peculis quandoque habet unam imaginem: quandoque duas: & tres: & quatuor. In omnibus ergo, quæ comprehenduntur in his $pecu- lis, accidit fallacia, ut in columnaribus concauis: accidunt\’q; e- tiam in eis fallaciæ compo$itæ, $icut in cæteris $peculis: & exempla, & declaratio eorum $unt, $icut in $peculis planis. Et hoc intendimus declarare in hoc capitulo: nunc autem finiamus $extum tractatum.

ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE LIBER SEPTIMVS.

_S_Eptimi tractat{us} $unt $eptem partes. Prima pars e$t proœmium. Secunda, quòd lux tran$eat diaphana corpora $ecundum uerticationes linearum rectarum, & refrin gatur, cum occurrit corpori, cui{us} diaphanit{as} fuerit diuer$a à diaphanitate corpor{is}, in quo existit. Tertia de qualitate refraction{is} luminum in diaphan{is} corporib{us}. Quarta, quòd quicquid comprehenditur à ui$u ultra diaphana corpora, quorũ diaphanit{as} dif- fert à diaphanitate corpor{is}, in quo ui${us} exi$tit, cum fuerit decliue à perpendicularib{us}, exeuntib{us} $uper $uperficiem eorum, comprehenditur $ecundum refractionem. Quinta de phanta$matib{us}. Sexta, quomodo ui${us} comprehendat ui$ibilia $ecundum refractio- nem. Septima de fallac{ij}s ui${us}, quæ accidunt ex refractione.

PROOEMIVM LIBRI. CAP. I. 1. Vi$io fit trifariam: rectè, reflexè & refractè. In præfat. 1. 10 libr. Idem 1 n 4.

PRædictum e$t in proœmio quarti tractatus huius libri [1 n] quòd ui$us tribus modis comprehendat ui$ibilia, uidelicet $ecundum rectitudinem: $ecundum reflexionem à ter$is corporibus: & $ecundũ refraction\~e ultra diaphana corpora, quæ differunt in diaphanitate à diaphanitate aeris: & quòd ui$us nihil cõpreh\~edit ex ui$ibilibus, ni$i aliquo i$torũ triũ modorũ: & quòd quolibet i$torũ modorum cõprehendit ui$us ui$i bilia & omnes res, quæ $unt in ui$ibilibus, & omnibus modis ui$ionis, quorũ di$tin- ctio declarata e$t in ultima differentia $ecundi tractatus. In præcedentibus autem tractatibus decla ratum e$t, qualiter ui$us comprehendat ui$ibilia $ecundum rectitudinem, & $ecundum reflexion\~e: & o$tendimus diuer$itatem comprehen$ionis ui$us ad ui$ibilia $ecundum utrumq; i$torum modo- rum. Remanet ergo declararare, quomodo ui$us comprehendat ui$ibilia $ecundum refractionem ultra corpora diaphana. Nos autem in i$to tractatu $olummodo de refractione tractabimus: & ma- nife$tabimus formam refractionis: & di$tinguemus eius modos: & diuidemus proprietates eius: & declarabimus, quomodo accidat ui$ui in huiu$modi ui$ione. Et primò proponemus fundamenta, quæ certificant, quicquid dependet ab hac re.

QVÒD LVX PERTRANSEAT PER DIAPHANA CORPORA SECVN dum uerticationes linearũ rectarum, & refringatur, cum occurrit cor- pori, cuius diaphanitas fuerit diuer$a à diaphanitate corporis, in quo exi$tit. Cap. II. 2. Constructio organi refraction{is}. 1 p 2.

QVòd lumen quidem tran$eat in aerem, & extendatur $ecundum lineas rectas, declaratũ e$t in tractatu primo huius operis: [14. 17. 28 n] aer autem e$t unum de corporibus diaphanis: per aquam autem, uitrũ, & diaphanos lapides lumen tran$it, & extenditur $ecundum lineas rectas: hoc autem comprehenditur per experientiam. Si quis ergo experiri uoluerit: accipiat lami- nam ex ære rotundam, cuius diameter nõ $it minor uno cubito: & $it $pi$situdo eius aliquantulum fortis: & habeat oras rotundas, perpendiculares $uper $uperficiem eius: & $it altitudo orarum eius non minor latitudine duorum digitorũ. In medio autem dor$i laminæ $it aliquod corpus paruum, columnare, rotundũ, cuius longitudo non minor latitudine trium digitorum: & $it perpendiculare $uper $uperficiem laminæ. Et ponamus hoc in$trumentũ in tornatorio, in quo tornant tornarij in- $trumenta cupri, & ponamus alterum dentem tornatorij in medio laminæ, & reliquũ in medio ex- tremitatis corporis, quod e$t in dor$o laminæ: & radamus reuoluendo hoc in$trumentum abra$io- ne uera, quou$q; uerificetur rotunditas orarum $uarum intus & extrà, & adæquetur $uperficies inte rior & exterior, & fiant duæ $uperficies æquidi$tantes: & abrademus etiam corpus, quod e$t in dor- $o, donec fiat rotundum. Cum ergo hoc in$trumentum fuerit perfectum per abra$ionem: $ignemus in $uperficie eius interiore duas diametros $ecantes $e perpendiculariter: & $unt tran$eũtes per cen trum eius: deinde $ignemus punctum in ba$i oræ in$trumenti, cuius di$tantia ab extremitate alte- rius duarum diametrorum $ecantium $e, e$t latitudo unius digiti: deinde extrahamus exi$to pun- cto tertiam diametrum tran$euntem per centrum lamin{ae}: qu{ae} quidem diameter extendatur in tota $uperficie eius: deinde extrahamus à duobus extremis huius diametri duas lineas in $uperficie oræ ALHAZEN in$trumenti, perpendiculares $uper $uperficiem laminæ. Deinde diuidemus ex altera i$tarum dua- rum linearum tres lineas paruas, æquales, quarum prima $equitur $uperficiem laminæ: & longitu- dò cuiuslibet harum $it in quantitate medietatis grani hordeacei: fient ergo $uper lineam perpendi cular\~e tria puncta, qu{ae} $unt fines illarũ linearũ. Deinde reducamus hoc in$trum entũ ad tornatoriũ, & $ignemus in ip$o tres circulos æquidi$tãtes, tran$- h n m $ a @ s x t r c e d z b g o p q k euntes per tria puncta, quæ $unt $uper lineam per- pendicularem $uper extremitatem diametri: $ecabi- tur ergo alia perpendicularis, quæ e$t perpendicula- ris $uper aliam extremitat\~e huius diametri, per i$tos tres circulos, & fient in ip$a tria puncta, & fient in u- noquoq; trium circulorũ duo puncta oppo$ita, quæ $unt extrema alicuius diametri ex ip$orũ diametris. Deinde diuidamus medium circulum ex i$tis tribus circulis in 360 partes, & $i po$sibile fuerit, in minuta: deinde perforemus in ora in$trumenti foramen ro- tundum, cuius centrum $it medium punctum trium punctorum, quæ $unt $uper alteram duarum linea- rum, perpendicularium $uper extremitatem diame- tri laminæ: & $it medietas diametri eius in quantita- te di$tantiæ, qu{ae} e$t inter circulos: perueniet ergo cir cumferentia foraminis inter duos circulos æquidi- $tantes, qui $unt in extremitatibus. Po$tea accipia mus laminam $ubtilem quadratam, aliquantulæ $pi$situdinis: cuius longitudo $it in quantitate alti- tudinis oræ in$trumenti: & cuius latitudo $it prope hoc: & adæquetur $uperficies eius, quantùm po te$t: & adæquetur $pi$situdo eius etiam, quæ $equitur alteram extremitatem eius, quou$q; differen- tia communis inter $uperficiem faciei eius, & inter $uperficiem $pi$situdinis eius, $it linea recta: quã lineam diuidemus in duo æqualia: à cuius medio extrahamus lineam rectam in $uperficie faciei e- ius perpendicularem $uper lineam rectam, qu{ae} e$t communis differentia. Deinde diuidamus ex hac linea perpendiculari ex parte extremitatis, quæ e$t $uper communem dif- u g z y x r s t ferentiam, tres lineas, æquales inter $e, & æquales unicuiq; paruarum li- nearum, quæ di$tinctæ $unt $uper perpendicularem lineam in ora laminæ: fient igitur $uper lineam perpendicularem in facie laminæ paruæ tria pun- cta. Deinde perforabimus hanc paruam laminam foramine rotundo, cu- ius centrum $it medium punctum punctorum, qu{ae} di$tinguunt lineas, qu{ae} $unt in ea: & $it medietas diametri eius æqualis alicui uni linearum parua- rum: erit ergo hoc foramen æquale foramini, quod e$t in ora in$trumenti. Deinde $ignabimus $uper diametrũ laminæ, $uper cuius extremitates $unt duæ lineæ perpendiculares: punctum in medio lineæ, quæ e$t inter centrũ laminæ & extremitatem diametri, quæ e$t in parte foraminis: & faciamus tran$ire $uper hoc pun- ctum lineam perpendicularem $uper diametrum: deinde ponamus ba$im lamin{ae} paruæ $uper han c lineam, quou$q; differentia communis, qu{ae} e$t in parua lamina, $uperponatur huic lineæ perpendi culari $uper diametrum: & erit punctum, quod diuidit differentiam communem, qu{ae} e$t in parua la mina, in duo æqualia, po$itum $uper punctum $ignatum in diametro laminæ. Hoc autem facto, ap- plicetur parua lamina cum maiore, completa applicatione & con$olidatione: tunc ergo foramen, quod e$t in parua lamina, erit oppo$itum foramini, quod e$t in ora in$trumenti. Et erit linea intelle- cta, quæ copulat centra duorum foraminum, in $uperficie circuli medij trium circulorum, qui $unt in interiore ora in$trumenti: & erit æquidi$tans diametro laminæ: & erit lamina parua, quæ appli- cabitur puncto, qua$i ora a$trolabij. Hoc autem completo, $ecetur de ora in$trumenti quarta, quæ $equitur quartam, in qua e$t foramen ex quatuor quartis di$tinctis per duas primas diametros, per- pendiculariter $e $ecantes, & adæquetur locus $ectionis, donec fiat unus cum $uperficie laminæ. Deinde accipiamus regulam æris, cuius longitudo non $it minor, $ed maior uno cubito, & quadra- tæ figur{ae}, quam circundent quatuor $uperficies æquales in latitudine duorum digitorum: & adæ- quentur $uperficies eius, in quantum pote$t, donec fiant æquales & habentes angulos rectos. Dein de perforetur in medio alicuius $uperficiei e- ius foramen rotundum, cuius amplitudo $it tãta, ut po$sit recipere corpus, quod e$t in dor- $o in$trumenti, utreuoluatur in ip$o non leui reuolutione, $ed difficili: & $it foramen perpen diculare $uper $uperficiem regulæ, & tran$iens ad aliam partem regulæ: deinde ponamus in$trumentum $uper regulam, & mittamus corpus, quod e$t in in$trumenti dor$o, in foramen, quod e$t in medio regulæ, donec $uperponatur $uperfi- cies in$trumenti $uperficiei regulæ. Hoc autem facto, $ecetur illud, quod $uperfluit ex extremitati- bus regulæ $uper diametrum laminæ: nam regula longior e$t, quàm diameter laminæ, quia $ic po- $uimus eam. Cum ergo $ecuerimus duas $uperfluitates ex duabus extremitatibus regulæ, reduce- OPTICAE LIBER VII. mus has duas $uperfluitates, & ponemus illas $uper duas extremitates regul{ae}, ita ut ponamus duas extremitates $uperfluitatum $uper duas extremitates illius, quod reman$it de regula, & applicabi- mus $uperficiem extremitatum cum $uperficie dor$i in$trumenti: & erit illud, quod ponetur ex u- traq; duarum $uperfluitatum $uper re$iduum regulæ æquale latitudini unius digiti. Hac autem po- $itione con$iderata eminebunt duæ $uperfluitates $uper duas extremitates regul{ae}. Et $i perforatum fuerit illud, quod $uperfluit de corpore in dor$o in$trumenti, & immi$$us fuerit in foramen eius $ti- lus ferreus, qui ip$um prohibeat exire, erit melius. Hoc autem perfecto, perfectum erit in$trumen- tum. Deinde accipiat experimentator regulam cupream paruæ latitudinis, cuius latitudo $it dupla diametri foraminis, quod e$t in ora in$trumenti: & cuius $pi$situdo $it æqualis diametro foraminis, & cuius longitudo non $it minor medietate cubiti: & uerificabitur regula i$ta, donec fiat ualde re- cta & uera: & fiant $uperficies elus æquales & æquidi$tantes. Deinde obliquè $ecabimus altera par te làtitudinem eius, quou$q; finis longitudinis eius contineat cum fine latitudinis eius angulum a- cutum, ut po$sit $ic facilius declinare & mouere eam quocunq; quis uoluerit: & ponet latitudinem eius ex alia extremitate perpendicularem $uper finem longitudinis eius. Deinde diuidemus hanc latitudinem in duo æqualia, & extrahemus ex loco diui$ionis lineam in $uperficie faciei regulæ, quæ extendatur in longitudine eius, & erit perpendicularis $uper latitudinem eius. Cum ergo hæc regula fuerit $uperpo$ita $uperficiei laminæ, erit $uperficies eius $uperior in $uperficie circuli me- dij trium circulorum figuratorum in interiore ora in$trumenti. Nam $pi$situdo huius regulæ e$t æ- qualis diametro foraminis, & diameter foraminis e$t æqualis perpendiculari exeunti è centro fo- raminis, quod e$t in ora in$trumenti ad $uperficiem laminæ: quia diameter foraminis e$t æqua- lis duabus lineis trium linearum paruarum, quæ di$tinctæ $unt de linea perpendiculari in interio- re ora in$trumenti. Cum ergo hæc regula fuerit erecta $uper oram ip$ius, & fuerit $uperficies latitu- dinis eius $uper $uperficiem lamin{ae}: tunc linea de$cripta in medio eius, erit in $uperficie medij cir- culi prædicti: quia perpendicularis, qu{ae} egreditur à quolibet puncto huius line{ae} ad finem longitu- dinis regul{ae}, e$t æqualis perpendiculari, qu{ae} egreditur à centro foraminis ad $uperficiem lamin{ae}: nam utraq; i$tarum perpendicularium e$t æqualis diametro foraminis.

3. Radius medio den$iori perpendicular{is}, irrefract{us} penetrat. 42. p 2. Idem 17 n 1.

CVm ergo experimentator uoluerit experiri tran$itum luminis in aqua per hoc in$trumen- tum: accipiet uas rectarum orarum, ut cadum cupreum, aut ollam figulinam, aut con$imile: & $it altitudo orarum eius non minor medietate cubiti: & $it diameter circumferenti{ae} eius non minor diametro in$trumenti: & adæquentur or{ae} eius, donec $uperficies, qu{ae} tran$it per oras eius, $it $uperficies æqualis: & ponamus in fundo eius corpus diuer$arum partium aut diuer$orum colorum, ut annulum, aut argentum depictum, aut depingatur in fundo eius pictura manife$ta: de- inde infundatur aqua clara in uas, donec impleatur: & expectetur donec motus eius quie$cat. Cum ergo motus eius quieuerit, erigatur a$piciens, aut $edeat erectus, & a$piciat ad uas, & apponat ui- $um $uum corpori, quod e$t in fundo aqu{ae}, aut pictur{ae}, qu{ae} e$t in fundo aqu{ae}, donec linea inter ui- $um & medium illius corporis aut pictur{ae} illius, $it perpendicularis $uper $uperficiem aqu{ae} quò ad $en$um, & a$piciat corpus, quod e$t in fundo, aut picturam: tunc inueniet illam eo modo, quo e$t, & inueniet ordinationem $uarum partium inter $e eo modo, quo ordinarentur, $i a$piceret illud, cum uas e$$et uacuum. Hoc autem declarato, certificatur, quòd illud, quod comprehenditur in fundo a- quæ, cum a$pexerit illud eadem po$itione, qua a$pexit corpus, quòd e$t in fundo aquæ, aut pictu- ram: comprehenditur $ecundum ordinationem $uarum partium. Hoc autem certificato, $i quis uo- luerit experiri tran$itum lucis: eligat locum, $uper quem oritur lux $olis, in quo ponat uas, & ob$er- uet, ut $uperficies circumferenti{ae} ua$is $it æquidi$tans horizonti: hoc autem pote$t ob$eruari hoc modo: ut $it circumferentia $uperficiei aqu{ae} æquidi$tans circumferenti{ae} ua$is: & $i intus in ua$è prope circumferentiam eius fuerit $ignatus circulus, æquidi$tans circumferenti{ae} ua$is, erit melius ad hoc, ut circumferentia $uperficiei aqu{ae} comparetur ad circumferentiam circuli. Deinde expe- rimentator debet imponere in$trumentum rotundum intra hoc uas, ita ut du{ae} regul{ae} paru{ae} po- $itæ $uper duo extrema regulæ maioris, $uperponantur oræ ua$is ex utraque parte: tunc medietas in$trumenti, & regula exten$a in longitudine in$trumenti erunt intra uas: deinde addatur aqua, aut diminuatur de ea, donec fiat $uperficies aqu{ae} una cum centro in$trumenti: & $it aqua clara: deinde reuoluatur in$trumentum in circuitu ua$is, donec obumbretur illud, quod e$t intra aquam ex oris eius: tunc teneatur regula altera manu, & reuoluatur reliqua manu in$trumentum $uper $e in cir- cuitu centri eius, donec foramen, quod e$t in ora in$trumenti, $it oppo$itum corpori $olis, & tran- $eat lumen $olis per foramen oræ in$trumenti, & perueniat ad alterum foramen tabul{ae} paruæ, & tran$eat per illud. Cum ergo pertran$ierit forma lucis per duo foramina, perueniet ad fundum a- quæ: tunc experimentator ob$eruabit, ut $itus lucis in regula de $ecundo foramine, $it $itus æqua- lis: hoc autem $itu præ$eruato, & luce perueniente ad $uperficiem aquæ, auferat experimentator manus $uas ab in$trumento, & $tet uel $edeat erectus, & in$piciat ad fundum aquæ, ex quarta, cu- ius oræ $unt ab$ci$${ae}, & $eruet po$itionem, quam $eruauerat, cum a$pexerat corpus, quod erat in fundo aquæ, ut $it certus, quòd illud, quod uidet, e$t, $ecundum quod e$t: tunc ergo cum intue- bitur illud, quod e$t intra aquam de ora in$trumenti: inueniet lumen pertran$iens ex duobus fo- ALHAZEN raminibus $uper $uperficiem oræ in$trumenti, quæ e$t intra aquam: & inueniet lumen inter duos circulos æquidi$tãtes extremos de tribus circulis $ignatis in interiore parte in$trum\~eti oræ: aut ad- detur $uper di$tantiam, quæ e$t inter circulos, modicùm: & erit additio eius ex duobus lateribus cir culorum æqualis. Sequitur ergo ex po$itione, quòd punctum, quod e$t in medio luminis appa- rentis intra aquam, quod e$t $uper interiorem partem oræ in$trumenti, $it per medium circulum trium circulorum æquidi$tantium, qui $unt in interiore parte oræ in$trumenti. Et hoc lumen, quod e$t intra aquam, erit manife$tum, quòd ora $uperior in$trumenti, quæ circumdat $uperius fora- men, obumbrat interiorem partem oræ in$trumenti, quæ circundat lumen, quod e$t in interiore parte oræ in$trumenti. Et $ic in illo loco non erit ex interiore parte oræ in$trumenti aliquid de lu- mine $olis, ni$i lumen, quod exit ex duobus foraminibus. Deinde experimentator accipiat li- gnum minutum, $iue acum, & applicet eam in exteriore parte $uperioris foraminis, quod e$t in o- ra in$trumenti, & ob$eruet, ut acus tran$eat per medium foraminis: Deinde a$piciat $upra uas, & $eruet po$itionem, quam men$urauit prius: tunc uidebit umbram acus in medio lucis: deinde in- curuet acum attrahendo ip$am, donec extremitas eius $it in medio foraminis, & intueatur lumen, quod e$t intra aquam, & quod e$t in $uperficie aquæ: tunc inueniet umbram extremitatis acus in medio lucis, quæ e$t intra aquam, & in medio lucis, quæ e$t in $uperficie aquæ. Deinde mutet po- $itionem acus, & ponat extremitatem eius etiam apud medium foraminis, & intueatur umbram: tunc inueniet umbram extremitatis acus apud medium lucis: deinde leuet acum: & inueniet lu- cem redeuntem ad $uum $tatum intra aquam, & in $uperficie aquæ. Deinde applicet acum in late- re foraminis, & ponat eam chordam in foramine, non diametrum, & intueatur lumen, quod e$t in- tra aquam, & in $uperficie aquæ: tunc inueniet in utroque illorum umbram, quæ e$t chorda: deìn- de leuet acum: tunc inueniet lumen rediens ad locum $uum: & $i mutauerit $itum acus in lateribus foraminis: inueniet umbram $emper in latere luminis. Declarabitur ergo ex hac experientia, quòd ad punctum, quod e$t in medio lucis, quæ e$t intra aquam, in circumferentia medij circuli, non exi uit lux, ni$i ex puncto, quod e$t medium lucis, quæ e$t in $uperficie aquæ: & quòd ad punctum, quod e$t medium lucis, quæ e$t in $uperficie aquæ, non exiuit lux, ni$i ex puncto, quod e$t centrum foraminis $uperioris, & tran$iuit per centrum foraminis inferioris, quod e$t in oris alijs. Nam $i non tran$i$$et per centrum foraminis inferioris, non manife$taretur medium lucis, quæ e$t in $uper ficie aquæ, cum acus e$$et in medio foraminis inferioris, $ed non manife$taretur de luce, quæ e$t in $uperficie aquæ, ni$i locus alius à centro eius. Lux ergo, quæ peruenit ad punctum, quod e$t cen- trum lucis, quæ e$t in $uperficie aquæ, & lux, quæ extenditur in aere, non extenditur ni$i $ecun- dum lineas rectas. Luxergo, quæ tran$it per centra duorum foraminum, extenditur $ecundum rectitudinem line{ae} tran$euntis per centra duorum foraminum: hæc autem lux e$t illa, qu{ae} peruenit ad medium lucis, quæ e$t in $uperficie aquæ. Punctum ergo, quod e$t in medio lucis, quæ e$t in $u- perficie aquæ, e$t in linea recta tran$eunte per centra duorum foraminum. Et hæc linea e$t in $u- perficie medij circuli de tribus circulis $ignatis in interiore parte oræ in$trumenti: & e$t illius dia- meter, quia hæc linea e$t æquidi$tans diametro circuli, qui e$t in $uperficie laminæ. Cum ergo pun- ctum, quod e$t in medio lucis, quæ e$t in $uperficie aquæ, fuerit $uper hanc lineam: tunc illud punctum e$t in $uperficie circuli medij prædicti: punctum autem, quod e$t in medio lucis, quæ e$t intra aquam, e$t in circumferentia medij circuli: ergo hæc duo puncta $unt in $uperficie medij circu li. Si ergo lux, quæ e$t in $uperficie aquæ, latuerit, & non fuerit bene manife$ta: tunc experimenta- tor mittet illam minorem regulam in aquam, & applicet oram eius in $uperficie laminæ, & ponat $uperficiem, in qua $ignata e$t linea, $equentem $uperficiem aquæ, & moueat eam, donec $uperfi- cies eius fiat cum $uperficie aquæ. Cum ergo $uperficies regulæ fuerit cum $uperficie aquæ, & fue- rit regula erecta $uper oram eius: tunc linea, quæ e$t in $uperficie ip$ius, erit in $uperficie circuli medij, qui tran$it per centra duorum foraminum: hac autem po$itione præ$eruata: apparebit lux, quæ e$t in $uperficie aquæ, $uper $uperficiem regulæ, & inueniet medium lucis $uper lineam, quæ e$t in medio regulæ. Et $i aeus $it po$ita $uper medium $uperioris foraminis: tunc linea, qu{ae} e$t in medio regulæ, obumbrabitur: & $i extremitas acus fuerit po$ita $uper centrum foraminis, ap- parebit umbra extremitatis acus in medio lucis, quæ e$t $uper regulam: & $i acus fuerit ablata, redibit lux, $icut erat. Cum hac ergo regula apparebit lux, quæ e$t in $uperficie aquæ, apparitio- ne manife$ta, & manife$tabitur, quòd e$t $upra lineam tran$euntem per centra duorum forami- num: & iam po$ueramus $uperficiem aquæ apud centrum laminæ. Cum ergo $uperficies regulæ fuerit cum $uperficie aquæ: tran$ibit $uperficies regulæ per centrum laminæ: & tunc erit remo- tio centri lucis à centro laminæ æqualis medietati latitudinis regulæ, quæ e$t æqualis perpendicu- lari cadenti à centro foraminis $uper $uperficiem laminæ: & $ic erit centrum lucis, qu{ae} e$t in $uper- ficie regul{ae}, centrum circuli medij. Deinde oportet experimentatorem auferre regulam $ubtilem, & mittere eam iterum in aquam, & applicare $uperficiem latitudinis eius cum $uperficie lami- næ, & ponere angulum eius acutum apud centrum lucis, quæ e$t intra aquam, $cilicet angulum, qui e$t in $uperficie eius $uperiore: deinde moueat regulam, donec acuitas eius inferior tran$eat per centrum laminæ, & $ic acuitas eius $uperior tran$ibit per centrum circuli medij. Punctum ergo ex linea $uperiore regul{ae}, quod e$t in $uperficie aqu{ae}, e$t centrum circuli medij: e$t ergo cen- trum lucis, quæ e$t in $uperficie aquæ: & erit longitudo eius diametri ex diametris medij circuli. Hac autem ratione præ$eruata, accipiat experimentator acum longam: & mittat eam in aquam: OPTICAE LIBER VII. & ponat caput $uum in punctum ultimitatis regulæ: & intueatur lucem, quæ e$t intra aquam: tunc inueniet umbram acus $ecantem lucem: & inueniet umbram capitis acus apud cornu regu- læ, quod e$t apud medium lucis. Deinde mutet po$itionem acus, & caput eius $it in loco eius ex fine regulæ: tunc mutabitur $itus umbræ ex luce, quæ e$t intra aquam: & erit umbra capitis acus in$eparabilis à medio lucis: deinde auferat acum & redibit lux ad locum $uum. Deinde mittat a- cum in aquam iterum, & ponat caput eius in alio puncto finis regul{ae}, & intueatur umbram, donec inueniat $ecãtem lucem, quæ e$t intra aquam: & inueniet umbram capitis acus in medio lucis. De- inde mutet po$itionem acus $uper multitudinem punctorum ex acuitate regulæ: & inueniet um- bram capitis eius $emper in medio lucis. Declarabitur ergo ex hac experientia declaratione mani- fe$ta, quòd lux, quæ e$t in puncto mediante lucem, quæ e$t intra aquam, qu{ae} e$t $uper circumferen- tiam medij circuli: peruenit ad illud punctum à puncto, quod e$t mediũ lucis, quæ e$t in $uperficie aquæ. Et declarabitur cum hoc, quòd hæc lux extenditur $uper lineam rectam, qu{ae} e$t finis regulæ. Nam experientia eius per extremitatem acus ex diuer$is locis in fine regul{ae} o$tendit illã tran$eun- tem per omne punctum finis regulæ. Hac ergo uia experimentabitur tran$itus lucis per corpus aquæ: ex quo declarabitur, quòd exten$io lucis per corpus aquæ e$t $ecundum uerticationes re- ctarum linearum.

4. Radi{us} medio den$iori obliqu{us}, refringitur ad perpendicularem à refraction{is} puncto excitatam. 43 p 2. Idem 17 n 1.

DEinde oportebit experimentatorem ponere $uper centrum lucis $ignum fixum cũ $culptio- ne: deinde quan do experimentator intuebitur punctum, quod e$t in medio lucis, qu{ae} e$t in- tra aquam: inueniet ip$um nõ æquidi$tans duabus extremitatibus diametri laminæ, $ed ex- tra duas lineas perpendiculares, qu{ae} $unt $uper extremitat\~e diametri laminæ, qu{ae} e$t intra aquam: & inueniet declinationem eius ab i$ta linea ad part\~e, in qua e$t $ol: & inueniet inter punctum, quod e$t centrum mediæ lucis, & punctum; quod e$t communis differentia lineæ perpendiculari $uper extremitatem diametri laminæ, & puncto medio, quod e$t extremitas diametri medij circuli, tran- $euntis per centrum foraminis: inueniet dico, di$tantiam $en$ibilem. Hoc declarato, oportet mitte- re regulam $ubtilem in a quam, & applicare eam cum $uperficie laminæ, & ponere terminum regu- læ $uper centrum lamin{ae}, & mouere regulam, quou$q; acuitas eius $it perpendicularis $uper $uper- ficiem aquæ, quò ad $en$um: tune igitur inueniet centrũ lucis, qu{ae} e$t intra aquam, inter acuitatem regulæ & lineam perpendicularem $uper diametrum laminæ. Declarabitur ergo ex hoc, quòd hæc refractio e$t ad partem perpendicularis, ex\~euntis à loco refractionis perpendicularis $uper $uper- ficiem aquæ. Cum ergo certus fuerit experimentator de hoc: oportebit eum $ignare apud extremi- tatem regulæ, qu{ae} e$t $uper circumferentiam medij circuli, qu{ae} e$t extremitas perpendicularis, ex- euntis à centro medij circuli perpendicularis $uper $uperficiem aquæ, $ignum fixum, ut primum, quod $ignatum e$t apud centrum lucis. Et iam declaratum e$t, quòd lux, qu{ae} peruenit ad punctum, quod e$t centrum lucis, quæ e$t intra aquam, e$t lux exten$a $ecundum rectitudinem lineæ conti- nuantis duo centra foraminum: & hæc linea peruenit ad c\~etrum medij circuli æquidi$tantis $uper- ficiei laminæ: & e$t illius diameter. Si h{ae}c linea fuerit exten$a in imaginatione $ecundum rectitudi- nem intra aquam, donec perueniat ad oram laminæ: tunc igitur erit æquidi$tans diametro laminæ, & perueniet ad lineam perpendicularem in interiore parte oræ laminæ. Et cum centrum lucis, qu{ae} e$t intra aquam, non e$t $uper perpendicularem lineam oræ laminæ: tunc lux, qu{ae} extenditur à me- dio lucis, qu{ae} e$t in $uperficie aquæ, ad medium lucis, quæ e$t intra aquam, non extenditur $ecun- dum rectitudinem lineæ tran$euntis per centra duorum foraminum, $ed refringitur. Declaratum e$t autem, quòd hæc lux ext\~editur rectè à medio lucis, qu{ae} e$t in $uperficie aquæ, ad medium lucis, quæ e$t intra aquam. Ergo refractio huius lucis e$t apud $uperficiem aquæ.

5. Rad{ij} incidentiæ & refraction{is} $unt in uno plano. 46 p 2.

ET iam declaratum e$t, quòd hæc lux tran$it per centra duorum foraminum, & per medium lucis, quæ e$t in $uperficie aquæ, quod e$t centrum circuli medij, æquidi$tantis $uperficiei la- minæ, & per medium lucis, quæ e$t intrà aquam, quod e$t in circumferentia medij circuli. Ex quo patet, quòd lumen perueniens ad centrum lucis, quæ e$t intra aquam, dum extenditur in aere, & po$tquam refringitur intra aquã, e$t in eadem $uperficie æquali, $cilicet in $uperficie circuli me- dij trium circulorũ, qui $unt in interiore parte oræ in$trumenti. Et refractio hæc inuenitur, quando linea tran$iens per centra foraminum fuerit decliuis $uper $uperficiem aquæ, non perpendicularis. Et nunquam erit hæc linea perp\~edicularis $uper $uperficiem aquæ in hora tran$itus lucis $olis, ni$i quando fuerit $ol in uertice capitis: & hoc erit in aliquibus locis, & non in omnibus: & in quibu$- dam temporibus, non in omnibus: neq; tran$it $ol per uerticem capitis habitantium in pluribus lo- cis habitationis: & in quibus tran$it: in i$tis locis di$tinguetur h{ae}c experimentatio in omni tempo- re: illi autem $uper quorum zenit h tran$it $ol, $i uoluerint hoc experiri, cauebũt tempus, in quo $ol tran$it per capita eorum.

6. Radi{us} medio rariori perpendιcular{is}, irrefract{us} penetrat. 44 p 2.

IT\~e accipiat exքim\~etator fru$ta uitri clari, quorũ figuræ $int cubicæ: & $it lõgitudo uniu$cuiu$q; ALHAZEN eorum dupla diametri foraminis, quod e$t in ora in$trumenti: & adæqu\~etur $uperficies eorum ue- hementer per cõfricationem, quou$q; $int æquales & æquidi$tantes, & latera $int recta: deinde po- liantur. Hoc autem completo, $ignetur in medio laminæ linea recta tran$iens per c\~etrum eius: & $it perpendicularis $uper diametrum eius, $uper cuius extrema $unt lineæ duæ perpendiculares in in- teriore \‘parte oræ in$trumenti, & tran$eat in utramq; part\~e: & $ignetur hæc linea ferro, ut de$cendat in corpus laminæ, & remaneat ibi. Deinde ponàt unum uitrorum cubicorum $uper $uperficiem la- minæ, & applicet unum latus $uorum laterum cum hac perpendiculari, & ponat mediũ lateris ui- tri uerè $uper centrum laminæ, & ponat corpus uitri ex parte foraminum. Tran$ibit ergo diameter laminæ, $uper cuius extrema $unt duæ lineæ perpendiculares, per mediũ $uperficiei uitri $uperpo- $itæ laminæ. Hac po$itione præ$eruata, applicetur uitrum applicatione fixa per glutinũ tali modo, ut po$sit euelli: deinde accipiatur alterũ uitrum, & ponatur ultra primum, $cilicet ex parte forami- num, & applicetur aliqua $uperficierũ eius $uperficiei primi uitri: hoc præ$eruato, applicetur $ecun dum uitrum laminæ applicatione fixa: deinde accipiatur tertium uitrum, & applicetur $ecundo ui- tro, & adæquetur $uperficies eius cum duabus $uperficiebus laterum $ecũdi uitri, & applicetur la- minæ: & $ic fiat de pluribus uitris, quou$q; perueniãt uitra ad oram perpendicularium $uper $uper- ficiem in$trum\~eti, aut prope. Cum ergo uitra fuerint applicata $uperficiei laminæ $ecundũ po$itio- nem prædictam: tran$ibit diameter laminæ, $uper cuius extremitates $unt duæ lineæ perp\~edicula- res in extremitate in$trum\~etí, per mediam $uperficiem uitrorum $uperpo$itorum laminæ: altitudo autem i$torum uitrorũ in latitudine e$t dupla diametri foraminis: $ed diameter foraminis e$t æqua lis perpendiculari exeunti à centro foraminis $uper $uperfici\~e laminæ & $uper diametrũ eius: ergo unaquæq; perpendiculariũ exeuntium à centris $uperficierum uitrorũ, $cιlicet $uperficierum per- pendicularium $uper $uperfici\~e laminæ, $ecãtium diametrum oppo$itam duobus foramínibus, e$t æqualís perp\~ediculari exeunti à centro foraminis $uper $uperfici\~e laminæ, & $uper diametrũ lami- næ: & cad\~et perp\~ediculares exeuntes à c\~etris $uperficierũ uitrorũ ad $uperficiũ laminæ, $uper dia- metrum laminæ, $uper cuius extremitates e$t perp\~edicularis, egrediens à centro foraminis. Linea ergo tran$iens per centra dubrũ foraminum, $i extendatur in imaginatione $ecundũ rectitudinem, tran$ibit per c\~etra $uperficierum uitrorum, $cilicet $uperficierum perpendiculariũ $uper $uperfici\~e laminæ oppo$itæ duobus foraminibus. Deinde experim\~etator accipiat regulã $ubtil\~e prædictã: & erigat eam $uper oram ip$ius in $uperficie lamin{ae}: & ponat faci\~e eius, in qua $ignata e$t linea ex par- te primi uitri, quod e$t $uper centrum laminæ, & ponat regulam prope uitrum, & ponat finem lon- gitudinis regulæ $ecantem diametrum laminæ perpendiculariter. Hoc autem præ$eruato, applicet regulam laminæ applicatione fixa, íta ut po$sit euelli: hac aut\~e po$itione præ$eruata in regula: tunc linea, quæ e$t in $uperficie regulæ, erit in $uperficie medij circuli ex tribus circulis, $ignatis in inte- riore parte oræ in$trnmenti: & tran$ibit linea recta per c\~etra duorum foraminum, & per media $u- perficierum uitrorum, $ecans lineam, qu{ae} e$t in regula. Hoc toto completo, ponatur in$trumentum in uas prædictum: $it autem uas uacuum aqua: & ponatur uas in $ole, & moueatur in$trumentum, quou$q; lux $olis tran$eat per duo foramina: & $it lux apud $ecundum foramen æqualis: tunc igitur intueatur experim\~etator $uperficiem regulæ oppo$itam uitro: & inueniet lucem exeuntem à duo- bus foraminibus $uper $uperficiem regulæ: & inueniet illud, quod circundat lucem ex $uperficie regulæ, obumbratum umbra oræ in$trumenti: & inueniet centrum ui$us $uper lineam, quæ e$t in $uperficiè regulæ. Hoc autem declarato, accipiat fe$tucam $ubtilem, uel acum, & ponat illam $uper $uperius foramen, & ponat extremitatem perpendiculariter $uper centrum foraminis, & intueatur lucem, quæ e$t $uper regulam: tunc inueniet umbram extremitatis fe$tucæ $uper centrum lucis, & inueniet illam $uper lineam, qu{ae} e$t in $uperficie regulæ. Tunc ergo accipiat experimentator pen- nam intinctam incau$to, & $ignet $uper extremitat\~e umbr{ae}, qu{ae} e$t in medio lucis, qu{ae} e$t $uper re- gulam, punctum: ergo erit i$tud punctum $uper lineam, qu{ae} e$t in $uperficie regulæ: deinde auferat acum à $uperiore foramine: & ponat ip$am $uper inferius foramen, $cilicet quod e$t in ora: & ponat extremitatem acus $uper centrum foraminis: & intueatur lucem, qu{ae} e$t $uper regulam: tunc inue- niet umbram extremitatis acus $uper punctum, quod e$t in $uperficie regul{ae}: deinde auferat acum, & redibit umbra ad $uum locum. Declarabitur ergo ex hac experimentatione, quòd lux, qu{ae} e$t $u- per punctum, quod e$t in $uperficie regulæ, e$t lux, qu{ae} tran$it per c\~etra duorũ foraminum. Deinde accipiat experimentator calamũ tinctum incau$to, & $ignet punctũ in uero medio $uperficiei uitri ex parte regulæ: $i uerò nõ compreh\~edat mediũ uitri, quò ad $en$um: $ignet in ip$o duas diametros $ecãtes $e, & locus $ectionis e$t medium $uperficiei uitri. Hoc autem facto, intueatur lucem, qu{ae} e$t $uper regulam: & inueniet umbram puncti, quod e$t in medio uitri $uper punctum, quod e$t in $u- perficie regulæ. Declarabitur ergo exhoc, quòd lux, quæ tran$it per duo centra duorũ foraminum, tran$ibit per punctum, quod e$t in medio uitri. Hoc autem declarato oportet experim\~etatorem ui- trum primum euellere, & $ignare in $uperficie $ecundi uitri punctum medium, ut prius, & compo- nere in$trumentum $ecundò, & moueat íp$um, quou$q; luxtran$eat per duo foramina: deinde in- tueatur: & inueniet lucem peruenient\~e ad centrum lucis, qu{ae} e$t in $uperficie regul{ae}: & e$t lux, qu{ae} trã$it per c\~etra duorũ foraminũ. Declarabitur igitur ex hoc, quòd lux, qu{ae} trã$it per c\~etra duorũ fo- raminũ, trã$it etiã ք punctũ, quod e$t in medio $uperficiei $ecũdi uitri: & $itus eius e$t $itus lucis trã- $euntis ք c\~etra duorũ foraminũ de $uքficiebus uitrorũ in prima experim\~etatione: & cũhoc quãdo lux trã$it per punctũ, quod e$t in medio uitri $ecũdi: tũc lux, quæ trã$it per c\~etra duorũ foraminũ in OPTICAE LIBER VII. prima experimentatione, tran$it etiam per punctum, quod e$t in medio uitri $ecũdi. Deinde opor- tet experimentatorem euellere $ecundũ uitrum, & experiri tertium, & $ic de c{ae}teris u$q; ad ultimũ. Patebit ergo experim\~etatione hac, quòd lux quæ tran$it per centra duorum foraminũ, perueniens ad $uperfici\~e regulæ, tran$it per centra $uperficierũ uitrorum omniũ po$itorum $uper $uperfici\~e la- minæ. Manife$tũ e$t ergo, quòd $it in rectitudine lineæ tran$euntis per centra duorũ foraminum: & lux, quæ tran$it per centra duorũ foraminum in experimentatione omniũ uitrorum, extenditur in rectitudine lineæ continuantis centra duorũ foraminum. Manife$tũ e$t ergo, quòd lux, quæ tran$it per lineã rectam, tran$eunt\~e per c\~etra duorũ foraminũ, tran$it etiã per centra $uperficierũ uitrorũ. Ex quo patet, quòd lux tran$it in corpus uitri, in quo extenditur, po$tquã tran$it, $ecundũ lineas re- ctas: & quòd lux, quæ tran$it per centra duorũ foraminum, extenditur etiã in corpus uitri $ecũdum rectitudinem lineæ, per quam extendebatur in aere, antequam pertran$iret uitrum: & illa linea, per quam extenditur lux in aere, e$t perp\~edicularis $uper $uperfici\~e uitri oppo$itã foramini [per 8 p 11.] Nam linea, quæ tran$it per centra duorũ foraminum, e$t æquidi$tans diametro laminæ, qu{ae} e$t per- pendicularis $uper primam $uperficiem $uperficierum uitrorum: quia e$t perp\~edicularis $uper dif- ferentiam communem inter $uperficiem uitri, & $uperficiem laminæ. Item accipiat experim\~etator medietatem $ph{ae}ræ uitreæ mundæ claræ, ut cry$tallinæ, cuius $emidiameter $it minor di$tantia in- ter tabulam & centrum laminæ, & inueniat centrum ba$is eius, $uper quod $ignet lineam $ubtilem cum incau$to: po$tea $eparet ex hac linea ex parte centri ba$is, quod e$t centrũ $phæræ, lineã æqua- lem diametro foraminis, quod e$t in ora in$trum\~eti: erit ergo hæc linea æqualis lineæ, quæ e$t inter centrũ foraminis, quod e$t in ora in$trum\~eti, quæ e$t perp\~edicularis $uper $u- perficiem laminæ. Deinde $tatuamus $uper extremitat\~e lineæ $eparatæ à dia- metro lineã perpendicularem, & extrahamus illam in utramq; part\~e: deinde $ecemus uitrum $uper hác lineam in confrictorio uel in tornatorio, donec lo cus $ectionis fiat $uperficies æqualis, & perpendicularis $uper $uperfici\~e ba$is $emicirculi, & m\~e$uremus angulũ, qui e$t inter duas $uperficies, per angulũ rectum factũ ex cupro, donec uerificetur $uperficies i$ta: & tunc differentia communis huic $uperficiei & $uperficiei ba$is $ph{ae}ræ erit linea recta: & linea copulans centrũ $ph{ae}ræ cum hac linea, erit perp\~edicularis $uper $u- perficiem factã: po$tea $umatur in medio huius lineæ, qu{ae} e$t cõmunis differentia, particula parua, quæ e$t $ignũ medij eius. Hoc completo, poliatur uitrũ uehem\~eti$simè, & ponatur $uper $uperfici\~e laminæ, & gibbo$itas eius $it ex parte foraminũ, & $it pars facta in uitro $uper $uperfici\~e laminæ, & $uperponatur linea recta, quæ e$t cõmunis differentia duabus $uperficiebus æqualibus, qu{ae} $unt in uitro, $uper lineã $cilicet $ignatã in lamina, $ecant\~e diametrũ perpendiculariter, & ponatur medium lineæ $uper centrũ laminæ. Hac ergo po$itione præ$eruata, applicetur uitrum laminæ applicatione fixa: deinde ponamus regulã $ubtilem $uper $uperfici\~e in$trum\~eti, $icut ponebamus in experim\~eta- tione uitrorũ cubicorũ, & ponamus $uperfici\~e regulæ, in qua e$t linea recta latitudinis, $it ex parte uitri, & prope illud: deinde ponatur in$trumentũ in prædictũ uas: & ponatur uas in $ole, uacuũ $ine aqua: & moueatur in$trumentũ, donec lux $olis trã$eat per duo foramina: & $it $itus lucis de $ecun- do foramine $itus mediocris, & intueatur experim\~etator regulã: & inueniet luc\~e tran$eunt\~e ք duo foramina, $uք $uperfici\~e regulæ: deinde applicet $tilũ $uperiori foramini, & ponat extremitat\~e $tili $uք centrũ foraminis, & intueatur luc\~e, qu{ae} e$t in regula: tũc inueniet umbrã extremitatis $tili apud centrũ lucis: dein de auferat $tilũ, & redibit lux ad $uũ locum. Po$tea applicet $tilũ ad $ecundũ fora- men, & ponat extremitat\~e eius apud centrũ $ecundũ, & intueatur luc\~e, qu{ae} e$t in regula: tũc inue- niet umbrá extremitatis $tili apud centrũ lucis. Po$tea ponat extremitat\~e $tili apud centrũ ba$is ui- tri (quod e$t centrũ $ph{ae}ræ) & intueatur luc\~e, qu{ae} e$t $uք regulã: inueniet umbrã extremitatis $tili $uper centrũ lucis. Deinde ponat $tilũ in medio lucis, quæ e$t $uք conuexũ uitri oppo$iti foramini $ecũdo, quod e$t propè illud, & intueatur luc\~e, qu{ae} e$t $uper regulã: & inueniet umbrã extremitatis $tili apud centrũ lucis. Ex quo patet, quòd lux, qu{ae} tran$it per centra duorũ foraminũ, trã$it etiã per centrũ ba$is uitri, & per mediũ $uperficiei lucis, qu{ae} e$t in cõuexo uitri. Manife$tũ e$t igitur q<001> lux, qu{ae} trã$it in corpus uitri, ext\~editur $ecundũ rectitudin\~e line{ae} trã$euntis per c\~etra duorũ foraminũ: h{ae}c aũt linea e$t diameter $ph{ae}ræ uitreæ. Nã perp\~edicularis exiens à c\~etro ba$is uitri ad laminã, e$t æqualis diametro foraminis: diameter aut\~e foraminis e$t æqualis perp\~ediculari exeunti à c\~etro fo- raminis ad $uperfici\~e lamin{ae}: ergo perp\~edicularis à c\~etro foraminis ba$is uitri $uք $uperfici\~e lami- næ, e$t æqualis perp\~ediculari exeũti à c\~etro foraminis ad $uperfici\~e lamin{ae}: & hæ du{ae} perp\~edicula- res cadũt $uper diametrũ lamin{ae}. Linea ergo, qu{ae} trã$it per c\~etra duorũ foraminũ, $i fuerit ext\~e$a in rectitudine, perueniet ad centrũ $ph{ae}ræ uitreæ: erit ergo diameter huius $ph{ae}ræ: e$t ergo perp\~edi- cularis $uք $uperfici\~e huius $ph{ae}ræ [ut demon$tratũ e$t 25 n 4.] Experim\~etatione aũt uitrorũ cu- bicorũ patuit, quòd lux, qu{ae} ext\~editur in corpus uitri, e$t in rectitudine line{ae}, ք quã ext\~edebatur in aere: & linea, ք quã ext\~edebatur in aere, erat illic perp\~edicularis $uք $uperfici\~e uitri. Et oportet ex- perimentator\~e auferre regulã $ubtil\~e, applicatã ad $uperfici\~e lamin{ae}: & cõponat in$trumentũ $ecũ- dò, & moueat ip$um, quou$q; lux trã$eat ք duo foramina, & intueatur orã in$trum\~eti, quæ e$t intra uas: & inueniet luc\~e $uper orã in$trum\~eti, & inueniet centrũ lucis in pũcto, quod e$t differ\~etia com munis inter circumferentiã circuli medij & lineã perp\~edicularem in ora in$trum\~eti, quod e$t extre- mitas diametri circuli medij, trã$euntis per c\~etra duorũ foraminũ: & lux, quæ ext\~editur ք hãc lineã, erit differentia cõmunis perueniens ad centrum $ph{ae}ræ uitre{ae}. Centrum ergo lucis, qu{ae} e$t in ora ALHAZEN in$trumenti, & centrum $phæræ uitreæ, & centrum duorum foraminum $unt in eadem linea recta. Ex quo patet, quòd lux, quæ tran$it in corpus uitri, perueniens ad c\~etrum $phæræ eius, cum extra- hitur in aerem, extenditur in rectitudine lineæ, per quam extendebatur in corpore uitri. Hæc au- tem linea e$t perpendicularis $uper $uperficiem ba$is uitri, quæ e$t æquidi$tans diametro laminæ, quæ e$t perpendicularis $uper $uperficiem ba$is uitri: quia e$t perpendicularis $uper lineã rectam, quæ e$t differentia communis duabus $uperficiebus uitri æqualibus, quarum altera e$t $uperpo$i- ta $uperficiei laminæ, & reliqua erecta $uper $uperficiem laminæ. Linea igitur tran$iens per centra duorum foraminum & per centrum $phæræ uitreæ e$t perpen dicularis $uper $uperficiem uitri: e$t ergo perpendicularis $uper $uperficiem aeris, qui tangit hanc $uperficiem. Et $i experimentator in- fuderit aquam in uas, remanente uitro in $ua po$itione, & po$uerit aquam $upra c\~etrum uitri, & in- $pexerit lucem, quæ e$t in ora in $trumenti: inueniet centrum lucis $uper extremitat\~e diametri me- dij circuli. Et $i euul$erit uitrum, & po$uerit illud in lamina è contrario huic ordinationi, $cilicet, ut $uperficies æqualis $it ex parte foraminum, & conuexitas uitri $it ex parte interiore ua$is: & $uper- po$uerit lineam rectam, quæ e$t in uitro, quæ e$t differentia communis duabus $uis $uperficiebus æqualibus, $uper lineam rectam, quæ e$t in lamina, $ecatem perpendiculariter diametrum laminæ, & po$uerit medium huius lineæ, $cilicet, quæ e$t in uitro, $uper centrũ laminæ, & in$pexerit lucem, $icut fecit in prima po$itione: inueniet lucem cadentem $uper oram in$trumenti, & inueniet cen- trum lucis $uper punctum, quod e$t differentia cõmunis medij circuli, & lineæ $tanti in ora in$tru- menti. Ex quibus declarabitur, quòd lux $olis, quæ tran$it per centra duorum foraminum, tran$it etiam in corpus uirri $ecundum rectitudinem lineæ, per quam extendebatur in aere: & po$tquam egreditur corpus uitri, extenditur etiam in aere $ecundum rectitudinem lineæ, per quam extende- batur in uitro: linea\’q;, quæ tran$it per centra duorum foraminum, e$t in hac po$itione etiã perpen- dicularis $uper $uperficiem uitri, oppo$itam foramini, $eilicet $uperfici\~e, quæ e$t ba$is hemilphærij. Et hæc linea e$t etiam perpendicularis $uper $uperficiem cõuexam: nam in hac po$itione etiam e$t diameter $phæræ: e$t ergo perpendicularis $uper $uperficiem aeris contingentis $uperficiem $phæ- ræ. Et $i experimentator infuderit aquam in uas, & reliquerit uitrum in $ua po$itione, & po$uerit aquam infra centrum uitri, & a$pexerit lucem, qu{ae} e$t in ora in$trumenti: inueniet centrum lucis in extremitate diametri medij circuli. Ex his ergo experimentationibus, quæ fiunt per cubicum & $ph{ae}ricum uitrum, patet, quòd $i lux occurrerit corpori diaphano diuer$æ diaphanitatis à corpore, in quo e$t, & linea, per quam extenditur, fuerit perpendicularis $uper $uperficiem $ecũdi corporis: tunc lax extenditur in $ecundo corpore in rectitudine lineæ, per quam extendebatur in corpore primo: nec differt, $i $ecundum corpus fuerit gro$sius primo aut $ubtilius.

7. Radi<_>9 medio rariori obliqu{us}, refringitur à քp\~ediculari à refractiõ{is} pũcto excitata. 45 p 2.

ITem oportet experimentator\~e euellere uitrũ, & referre illud ad laminã, & ponere mediũ lineæ rectæ, quæ e$t in eo, $uper centrũ laminæ, & ponere $uperfici\~e æqualem ex parte duorũ forami- num, & lineã, quæ e$t in uitro, quæ e$t differ\~etia cõmunis duabus $uis $uperficiebus, obliquã $u- per diametrũ laminæ qualibet obliquatione, & ponere obliquation\~e diametri laminæ $uper hãc li- neam ad illam part\~e, ad quã declinabat apud experimentation\~e aquæ. Nece$$e e$t igitur, ut perpen- dicularis, quæ egreditur à centro uitri, quæ e$t $uper $uperfici\~e uitri perpendicularis, qu{ae} ext\~editur in corpore uitri, obliqua $it a linea tran$eunte per c\~etra duorum foraminũ ad part\~e, in qua $unt duo foramina. Et applicet experimentator uitrũ $ecundũ hunc $itum applicatione fixa, & ponat in$tru- mentũ in uas, & uas in $ole, & moueat in$trumentũ, donec lux trã$eat per duo foramina, & intuea- tur luc\~e, quæ e$t intra uas: tunc inueniet illã in interiore ora in$trum\~eti, & inueniet centrũ lucis in circumferentia medij circuli: $ed extra punctũ, quod e$t differentia cõmunis circumfer\~etiæ circuli medij, & lineæ $tanti in ora in$trumenti: & declinatio eius erit ad partem, in qua e$t $ol: erit ergo ad partem perp\~edicularis, exeuntis à loco refractionis. Et hæc lux extenditur in aere in rectitudine li- neæ, tran$euntis per centra duorũ foraminũ: & h{ae}c linea in hoc $itu perueniet ad centrũ $ph{ae}ræ ui- treæ, & erit obliqua $uper $uperfici\~e æqualem. Huius aut\~e lucis terminatio ext\~e$ionis in uitro e$t à c\~etro uitri: ext\~editur igitur in corpore uitri $ecundũ lineam rectã, exeuntem à centro $phæræ: ergo illius e$t diameter: h{ae}c igitur lux ext\~editur in corpore uitri $ecundũ uertication\~e diametri alicuius eius. Cũ ergo peruenerit ad $ph{ae}ricam $uperfici\~e, erit perpendicularis $uper illã: & cum extrahetur in aerem, erit perpendicularis $uper aerem contingent\~e $uperficiem $ph{ae}ricam. Non ergo refringi- tur in aere, neq; ext\~editur rectè: ergo refringitur, $ed nõ in corpore uitri, neq; in cõuexo eius, neq; in primo aere, neq; in $ecũdo: ergo refringitur apud centrum uitri: & h{ae}c lux e$t obliqua $uper $uper- ficiem {ae}qualem, in qua e$t centrum uitri. Ex quibus patet, quòd, cum lux extenditur in aere & tran- $it in uitrum, & fuerit obliqua $uper $uperficiem uitri: refringetur, & non tran$ibit rectè: & refra- ctio eius erit ad partem, in qua e$t perpendicularis, exiens à loco refractionis: & corpus uitri gro$- $ius e$t corpore aeris. Manife$tum e$t igitur ex hac experimentatione, & prima de refractione lu- cis ab aere ad aquam (luce exi$tente obliqua $uper $uperficiem aqu{ae}) quòd, cum lux fuerit exten$a in corpore $ubtiliore, & occurrerit illi gro$sius corpus: refringetur ab ip$o: & erit refractio eius ad partem, in qua e$t linea exiens à loco refractionis, qu{ae} e$t perpendicularis $uper $uperfici\~e corporis gro$sioris. Item oportet experimentatorem euellere uitrum, & ponere ip$um è contrario: $cilicet ut $uperficies conuexa $it ex parte foraminum, & ponat medium differenti{ae} communis, qu{ae} e$t in uitro $uper centrum lamin{ae}, & ponat d@$$er\~etiam communem obliquã $uper diametrum lamin{ae}, & OPTICAE LIBER VII. applicet uitrum applicatione fixa, & extrahat à centro laminæ lineã in $uperficie perpendicula rem $uper differ\~etiam commun\~e, quæ e$t in uitro: erit hæc linea perpendicularis $uper $up erfici\~e uitri. Nam $uperficies uitri æqualis, e$t perpendicularis $uper $uperfici\~e laminæ. Deinde experim\~etator ponat in$trumentũ in ua$e exi$tente $ine aqua, & moueat in$trumentũ, quou$q; lux trã$eat per duo foramina, & intueatur lucem, quæ e$t intra uas: tune inueniet illam in interiore ora in$trumenti, & inueniet centrum lucis in circumferentia medij circuli, & extra punctum, quod e$t differentia com munis circumferentiæ medij circuli, & lineæ perpendiculari, in ora in$trumenti: quod punctum e$t extremitas diametri medij circuli: & inueniet declinationem eius ad cõtrariam part\~e illi, in qua o$t perpendicularis. Hæc aut\~e lux extenditur in uitro $ecundũ rectitudinem lineæ tran$euntis per cen tra duorum foraminũ: quia hæc linea e$t diameter uitri in hac etiã po$itione, quia tran$it per centrũ uitri. In hac ergo po$itione refractio lucis etiam e$t apud centrum uitri: & h{ae}c lux e$t obliqua $uper $uperficiem uitri æqualem, & $uperficiem aeris contingentem uitrum. Ex quibus patet, quòd, cum lux ext\~editur in uitro, & egreditur ad aerem, & fuerit obliqua $uper $uperficiem aeris: refringetur: & refractio eius erit in $uperficie circuli medij, & ad partem contrariam illi, in qua e$t linea exiens à loco refractionis, quæ e$t perpendicularis $uper $uperficiem aeris. Et $i experimentator infuderit aquam in uas (exi$tente uitro in $ua po$itione) & po$uerit aquam $uper centrum uitri, & a$pexe- rit lucem, quæ e$t intra uas: inueniet lucem in interiore parte oræ in$trumenti, & inueniet centrum lucis in circumferentia medij circuli, & inueniet illud extra extremitatem diametri med ij circuli, obliquum ad partem contrariam illi, $uper quam eadit perpendicularis: & inueniet di$tãtiam cen- tri lucis ab extremitate diametri medij circuli minorem di$tantia centri lucis ab hoc puncto, in ex- perientia egre$$us lucis à c\~etro ad aerem: quia aer e$t $ubtilior aqua, aqua autem e$t $ubtilior uitro. Ex hac autem experimentatione, & prædicta, patet, quòd quando lux extenditur in corpore gro$- $iore, & occurrerit corpori $ubtiliori, & fuerit obliqua $uper $uperficiem corporis $ubtilioris: refrin getur, & non tran$ibit rectè: & refractio eius erit ad partem contrariã illi, in qua e$t perpendicularis exiens à loco refractionis, quæ e$t perpendicularis $uper $uperficiem corporis $ubtilioris: & tantò magis declinabit à perpendiculari, quantò corpus erit $ubtilius. Item oportet experimentatorem euellere uitrum, & ponere etiam ip$um in $uperficie laminæ, & $uperponat lineam rectam, quæ e$t in eo, $uper lineam rectam, quæ e$t in lamina, & ponat $uperficiem eius conuexam ex parte duo- rum foraminum, & lineam rectam, qu{ae} e$t in uitro, extra centrum laminæ, & coniungat uitrum be- ne, & ponat regulam $ubtilem $uper $uperficiem laminæ, & erigat eam $uper oram eius, & ponat $uperficiem eius, in qua $ignatur linea, ex parte uitri, & terminus eius $ecet diametrum laminæ per- pendiculariter, & applicetur hoc modo. Sic ergo linea, quæ tran$it per centra duorum foraminum, non tran$it per centrum $p@æræ, $ed per aliud punctum $uperficiei uitri æqualis: & erit obliqua $u- per $phæricam $uperficiem. Deinde oportet experimentatorem ponere in$trumentum in ua$e, & uas in $ole: & moueat in$trumentum, quou$que lux tran$eat per duo foramina, & intueatur $uper- ficiem regulæ: tunc inueniet lucem $uper $uperficiem regulæ, & centrum eius $uper lineam, quæ e$t in $uperficie regulæ, & centrum lucis extra rectitudinem lineæ, quæ tran$it per centra duorum foraminum: & inueniet declinationem eius ad partem, in qua e$t centrum uitri: & inueniet lineam, quæ tran$it per centra duorum foraminum, perpendicular\~e $uper $uperficiem uitri æqualem [per 8 p 11] e$t enim æquidi$tans diametro, & diameter laminæ e$t perpendicularis $uper $uperficiem uitri æqualem. Et $i lux tran$i$$et per centra duorum foraminum, & extenderetur $ecundum recti- tudinem ad $uperficiem æqualem: tunc extenderetur in rectitudine in aere: $ed cum centrum lu- cis, qu{ae} e$t in regula, non $it in rectitudine huius lineæ: ergo lux nõ extenditur in rectitudine ip$ius ad $uperficiem æqualem: & lux in corpore uitri extenditur rectè: ergo lux, quæ extenditur in cor- pore uitri, non e$t in rectitudine lineæ, quæ tran$it per c\~etra duorum foraminum: ergo e$t refracta: $ed non in aere, neque in corpore uitritergo refringitur apud $phæricam $uperficiem uitri. Et linea, quæ tran$it per centra duorum foraminum, nõ tran$it per centrum uitri: & hæc lux, cum egreditur à $uperficie uitri æquali, refringitur. Sed cum regula $ubtilis fuerit ualde propinqua $uperficiei ui- tri: tunc declinatio centri lucis, quæ e$t in regula, à rectitudine lineæ, qu{ae} extenditur in corpore ui- tri, non latebit in tantùm, ut po$sit occultare refractionem lucis in corpore uitri aut partem eius. Et hæc refractio erit ad partem, in qua e$t centrum uitri: ergo e$t ad perpendicularem exeuntem à loco refractionis, perpendicularem $uper $uperficiem uitri $phæricam: quia linea exiens à centro uitri ad punctũ refractionis, e$t perpendicularis exiens à loco refractionis $uper $uperficiem $phæ- ricam. Deinde oportet experimentatorem euellere uitrum, & ponere è contrario huic po$itioni: $cilicet ut ponat $uperficiem uitri æqualem ex parte duorum foraminũ, & ponat differentiam com munem duabus $uperficiebus æqualibus uitri, $uper lineam $ecantem diametrum lamin{ae} perpen- diculariter, & ponat medium differentiæ cõmunis extra centrũ laminæ. Vitro aut\~e coniuncto hoc- modo: linea, quæ tran$it per centra duorũ foraminum, non tran$it per centrũ uitri, $ed perueniet ad punctum de $uperficie eius æquali, in qua e$t centrũ eius, extra punctũ centri: & erit perpendicula- ris $uper $uperficiem æqual\~e, $icut $upradictũ e$t. Et cũ linea, quæ tran$it per centra duorũ forami- num, ext\~e$a fuerit rectè in imaginatione: perueniet ad punctũ, quod e$t extremitas diametri circuli medij. Et cũ experimentator po$uerit uitrũ hoc modo, ponet in$trum\~etum in ua$e, & uas in $ole, & moueat in$trumentũ, donec lux tran$eat per duo foramina, & intueatur oram in$trum\~eti: & inue- niet lucem in interiore parte oræ in$trumenti, & inueniet centrum lucis in circumferentia circuli ALHAZEN medij, & extra punctum, quod e$t extremitas diametri circuli medij: & declinans ad partem, in qua e$t centrum $phæræ uitreæ. Et linea, quæ egreditur à centro huius $phæræ in imaginatione ad lo- cum refractionis, e$t perpendicularis $uper $uperficiem huius $phæræ: e$t ergo perpendicularis $u- per $uperficiem aeris, qui contingit $uperficiem $phæræ. H{ae}c ergo refractio e$t ad part\~e contrariam illi, in qua e$t perpendicularis, exiens à loco refractionis $uper $uperficiem aeris conting\~etis $uper- ficiem $phæræ. Lux autem, quæ tran$it per centra duorum foraminum, tran$it in corpus uitri rectè: quia e$t perpendicularis $uper $uperficiem uitri æqualem, oppo$itam duobus foraminibus: & per- ueniet ad conuexitatem $phæræ uitreæ: & cum peruenerit ad illam $uperficiem, non erit perpen- dicularis $uper illam: cũ hon $it diameter in $phærà. Et omnis perpendicularis $uper $phæræ $uper- ficiem, e$t diameter illius, aut $ecundum rectitudinem diametri illius [ut cõ$tat è 4 th 1 $phæ.] Sed lux, quæ extenditur in corpore uitri hoc modo, non e$t perpendicularis $uper $uperfici\~e aeris con- tingentis conuexum uitri: & hæc lux inuenitur refracta: ergo refringitur apud conuexum $phæræ. Et $i experimentator infuderit aquam intra uas, (uitro remanente in $uo $itu) & po$uerit aquam infra centrum laminæ, & a$pexerit lucem, quæ e$t in ora in$trumenti: inueniet lucem refractam ad partem, in qua e$t centrum uitri: ergo ad partem contrariam illi, in qua e$t perpendicularis, exiens à loco refractionis, quæ extenditur à corpore uitri in corpore aeris perpendicularis $uper concaui- tatem aeris, contingentis conuexum uitri. Ex omnibus ergo his experimentationibus patet, quòd lux $olis tran$it in omne corpus diaphanum $ecũdum uerticationes linearum rectarum: & cum oc- currit corpori diaphano diuer$æ diaphanitatis à diaphanitate corporis, in quo e$t, lineæ\’que, per quas extenditur in primo corpore, fuerint declinãtes $uper $uperficiem $ecundi corporis: tunc lux refringitur in corpore $ecundo in uerticatione linearũ rectarum aliarum à primis, per quas exten- debatur in primo corpore. Et $i lineæ rectæ, per quas extendebatur in primo corpore, fuerint per- pendiculares $uper $uperficiem $ecundi corporis: tunc lux extenditur in rectitudine eius, & nõ re- fringitur. Et cum lux obliqua fuerit, & exierit à corpore $ubtiliore ad gro$sius, refringetur ad par- tem perpendicularis, exeuntis à loco refractionis perpendicularis $uper $uperficiem $ecundi cor- poris. Cum uerò lux obliqua, fuerit exten$a à gro$siore ad $ubtilius: refringetur ad partem contra- riam perpendicularis exeuntis à loco refractionis $uper $uperficiem $ecundi corporis. Cum ergo lux tran$eat per omnia diaphana $ecundum lineas rectas: ergo omnes luces extendentur in omni- bus corporibus diaphanis: quia declaratum e$t in primo tractatu huius libri [14. 17. 28 n] quòd pro prium lucis e$t extendi $emper $ecundum lineas rectas, $iue lux fuerit e$$entialis, $iue accidentalis, $iue fortis, $iue debilis. Præterea pote$t experimentator experiri luces accidentales in illo prædicto in$trumento, & illis uijs prædictis: $i in aliqua domo, in quam intret lux diei per aliquod foramen alicuius quantitatis, clau$erit ianuam, & po$uerit in$trum\~etum in oppo$itione foraminis, & in$pe- xerit lucem, quæ e$t intra aquam, & ultra uitrum in ora in$trumenti, & proce$$erit per uias præo- $ten$as in experimentatione lucis $olis. Cum ergo experimentator expertus fuerit lucem acciden- talem his prædictis uijs: inueniet lucem accidentalem tran$euntem per corpus aquæ & per corpus uitri, & inueniet exten$ionem eius in uitro $ecũdum uerticationes linearũ rectarum: & refractam, $i fuerit obliqua $uper $uperficiem $ecundi corporis: & rectam, $i fuerit perp\~edicularis $uper $uper- ficiem corporis $ecundi. In primo autem tractatu declaratum e$t, quòd lux omnis $iue e$$entialis, $iue accidentalis, $iue fortis, $iue debilis, $emper extenditur à quolibet puncto cuiuslibet corporis $ecundum lineam rectam. Ex i$tis ergo omnibus, quæ declarauimus experientia & ratione: patet, quòd omnis lux in corpore lucido e$$entialiter aut accidentaliter, fortiter aut debiliter extenditur à quolibet puncto illius per corpus diaphanum, conting\~es illud corpus, per omn\~e lineam rectam, per quam poterit extendi, $iue illud corpus contingens $it aer, aut aqua, aut lapis diaphanus. Et $i luces exten$æ per corpus contingens lucem, quæ e$t principium eius, occurrerint corpori diuer$æ diaphanitatis à diaphanitate corporis, in quo exi$tit, & fuerint in lineis perpendicularibus $uper $uperficiem $ecundi corporis: extendentur rectè in $ecundo corpore: & $i fuerint in obliquis lineis $uper $uperfici\~e $ecundi corporis, refringentur in $ecundo corpore: tum in $ecundo corpore exten- dentur in uerticatione linearum rectarum aliarum à primis. Et $i lux fuerit refracta: tunc linea, per quam extendebatur lux in primo corpore, & linea per quam refringebatur in $ecundo: erunt in ea- dem æquali $uperficie [ut o$ten$um e$t 5 n] & refractio eius, cum egre$$a fuerit à corpore $ubtilio- re ad gro$sius: erit ad partem perpendicularis, exeuntis à loco refractionis $uper $uperficiem gro$- $ioris corporis: & cũ egre$$a fuerit à gro$siore corpore ad $ubtilius: tũc refractio eius erit ad partem cõtrariã illi, in quá e$t perp\~edicularis exi\~es à loco refractionis $uper $uperfici\~e $ubtilioris corporis.

8. Radi{us} medio perp\~edicular{is}, irrefract{us} penetrat, obliqu{us} refringitur: in den$iore qui- dem ad perpendicularem: in rariore uerò à perp\~ediculari è refraction{is} puncto excitata. 47 p 2.

QVare aut\~e refringatur lux, quando occurrit corpori diaphano diuer$æ diaphanitatis, cau$$a hæc e$t: quia tran$itus lucis per corpora diaphana fit per motum ueloci$simum, ut declara- uimus in tractatu $ecundo. Luces ergo, qu{ae} extenduntur per corpora diaphana, extendun- tur motu ueloci, qui non patet $en$ui propter $uam uelocitatem. Præterea motus earum in $ubtili- bus corporibus, $cilicet in illis; quæ ualde $unt diaphana, uelocior e$t motu earum in ijs, quæ $unt gro$siora illis, $cilicet quæ minus $unt diaphana. Omne enim corpus diaphanum, cum lux trã$it in ip$um, re$i$tit luci aliquantulum, $ecũdum quod habet de gro$sitie. Nam in omni corpore naturali OPTICAE LIBER VII. nece$$e e$t, ut $it aliqua gro$sities: nam corpus paruæ diaphanitatis nõ habet finem in imaginatio- ne, quæ e$t imaginatio lucidæ diaphanitatis: & omnia corpora naturalia perueniũt ad finem, quem non po$$unt tran$ire. Corporà ergo naturalia diaphana non po$$unt euadere aliquam gro$sitiem. Luces ergo cum tran$eunt per corpora diaphana, tran$eunt $ecundũ diaphanitatem, quæ e$t in eis, & $ic impediunt lucem $ecundum gro$sitiem, quæ e$t in eis. Cum ergo lux tran$iuerit per corpus diaphanum, & occurrit alij corpori gro$siori primo: tunc corpus gro$sius re$i$tit luci uehem\~etιus, quàm primum re$i$tebat: & omne motum cum mouetur ad aliquam partem e$$entialiter aut acci- dentaliter, $i occurrerit re$i$tenti, nece$$e e$t, ut motus eius tran$mutetur: & $i re$i$tentia fuerit for- tis: tunc motus ille refringetur ad contrariam partem: $i uerò debilis, nõ refringetur ad contrariam partem, nec poterit per illã procedere, per quam incœperat: $ed motus eius mutabitur. Omnium autem motorum naturaliter, quæ rectè mouentur per aliquod corpus pa$sibile: trã$itus $uper per- pendicularem, quæ e$t in $uperficie corporis, in quo e$t trã$itus, erιt facilior. Et hoc uidetur in cor- poribus naturalibus. Si enim aliquis acceperit tabulã $ubtilem, & paxιllauerit illam $uper aliquod foramen amplum, & $teterit in oppo$itione tabulæ, & acceperit pilam ferream, & eiecerit eã $uper tabulam fortiter, & ob$eruauerit, ut motus pilæ $it $uper perpendicularem $uper $uperficiem tabu- læ: tunc tabula cedet pilæ aut frangetur, $i tabula $ubtilis fuerit, & uis, qua $phæra mouetur, fuerit fortis. Et $i $teterit in parte obliqua ab oppo$itione tabul{ae}, & in illa ead\~e di$tantia, in qua prius erat, & eiecerit pilam $uper tabulam illam eandem, in quam prius eiecerat: tunc $phæra labetur de tabu- la, $i tabula non fuerit ualde $ubtilis, nec mouebitur ad illam partem, ad quam primò mouebatur, $ed declinabit ad aliquam partem aliam. Et $imiliter, $i acceperit en$em, & po$uerit corã $e lignum, & percu$$eri t cum en$e, ita ut en$is $it perpendicularis $uper $uperficiem ligni: tunc lignum $ecabi- tur magis: & $i fuerit obliquus, & percu$$erit obliquè lignum: tunc lignum non $ecabitur omnino, $ed fortè $ecabitur in parte, aut fortè en$is errabit deuiando: & quanto magis fuerit en$is obliquus, tantò minus aget in lignum: & alia multa $unt $imilia: ex quibus patet, quòd motus $uper perpen- dicularem e$t fortior & facilior: & quòd de obliquis motibus ille, qui uιcinior e$t perpendiculari, e$t facilior remotiore. Lux ergo, $i occurrit corpori diaphano gro$siori illo corpore, in quo exi$tit: tunc impedietur ab eo, ita quòd non tran$ibit in partem, in quam mouebatur, $ed quia non fortiter re$i$tit, non redibit in partem, ad quam mouebatur. Si ergo motus lucis tran$iuerit $uper perpendi- cularem, tran$ibit rectè propter fortitudinem motus $uper perpendicularem: & $i motus eius fue- rit $uper lineam obliquam: tunc nõ poterit tran$ire propter debilitatem motus: accidit ergo, ut de- clinetur ad partem motus, in quam facilius mouebitur, quàm in partem, in quam mouebatur: $ed facilior motuum e$t $uper perpendicularem: & quod uicinius e$t perpendiculari, e$t facilius remo- tiore. Et motus in corpore, in quod tran$it, $i fuerit obliquus $uper $uperficiem illius corporis, com ponitur ex motu in par@e perpendicuiaris trã$euntis in corpus, in quo e$t motus, & ex motu in par- te lineæ, quæ e$t perpendicularis $uper perpendicularem, quæ tran$it in ip$um. Cum ergo lux fue- rit mota in corpore diaphano gro$$o $uper lineã obliquam: a h e d c b k q l g f tunc trã$itus eius in illo corpore diaphano erit per motum compo$itum ex duobus prædictis motibus. Et quia gro$si- ties corporis re$i$tit ei ad uerticationem, quam int\~edebat, & re$i$tentia eius non e$t ualde fortis: ex quo $equeretur, quòd declinaret ad part\~e, ad quam facilius tran$iret: & mo- tus $uper perpendicularem e$t facilimus motuum: nece$$e e$t ergo, ut lux quæ ext\~editur $uper lineam obliquam, mo- ueatur $uper perpendicularem, exeuntem à puncto, in quo lux occurrit $uperficiei corporis diaphani gro$si. Et quia motus eius e$t compo$itus ex duobus motibus, quorũ al- ter e$t $uper lineam perpendicularem $uper $uperfici\~e cor- poris gro$si, & reliquus $uper lineam perpendicularem $u- per perpendicularem hanc: & motus compo$itus, qui e$t in ip$o, nõ omnino dimittitur, $ed $olummodo impeditur: ne- ce$$e e$t, ut lux declinet ad part\~e faciliorem parte, ad quam prius mouebatur, remanente in ip$o motu compo$ito: $ed pars facilior parte, ad quam mouebatur remanente motu in ip$o, e$t illa pars, qu{ae} e$t uicinor perp\~ediculari. Vnde lux, qu{ae} ext\~editur in corpore diaphano, $i occurrit corpori dia- phano gro$siori corpore, in quo exi$tit: refringetur per li- neam propinquiorem perpendiculari, exeunti à puncto, in quo occurrit corpori gro$siori, quæ extenditur in corpore gro$siore per aliam lineam quàm $it linea, per quam moue- batur. H{ae}c ergo cau$$a e$t refractionis $plendoris in corpo- ribus diaphanis, quæ $unt gro$siora corporibus diaphanis, in quibus exi$tunt: & ideo refractio propriè e$t inu\~eta in lucibus obliquis. Cum ergo lux extendi- tur in corpore diaphano, & occurrerit corpori diaphano diuer$æ diaphanitatis a corpore, in quo exi$tit, & gro$siori, & fuerit obliqua $uper $uperficiem corporis diaphani cui occurrit: refringetur ALHAZEN ad part\~e perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani ext\~e$æ in corpore gro$siore. Cau$$a autem, quæ facit refractionem lucis à corpore gro$siore ad corpus $ubtilius ad partem contrariam parti perp\~edicularis, e$t: quia cum lux mota fuerit in corpore diaphano, repellet eam aliqua repul- $ione, & corpus gro$sius repellet eam maiore repul$ione, $icut lapis, cũ mouetur in aere, mouetur facilius & uelocius, quàm $i moueretur in aqua: eò quòd aqua repellit ip$um maiore repul$ione, quàm aer. Cum ergo lux exierit à corpore gro$siore in $ubtilius: tunc motus eius erit uelocior. Et cum lux fuerit obliqua $uper duas $uperficies corporis diaphani, quod e$t differentia cõmunis am- bobus corporibus: tunc motus eius erit $uper lineam exi$t\~etem inter perpendicularem, exeuntem à principio motus eius, & inter perpendicularem $uper lineam perpendicularem, exeuntem etiam à principio motus. Re$i$tentia ergo corporis gro$sioris erit à parte, ad quam exit $ecunda perpen- dicularis. Cum ergo lux exiuerit à corpore gro$siore, & peruenerit ad corpus $ubtilius: tunc re$i- $tentia corporis $ubtilioris facta luci, quæ e$t in parte, ad quam $ecunda exit perpendicularis, erit minor prima re$i$tentia: & fit motus lucis ad partem, à qua re$i$tebatur, maior. Et $ic e$t de luce in corpore $ubtiliore ad partem contrariam parti perpendicularis.

DE QVALITATE REFRACTIONIS LVCIS IN corporibus diaphanis. Cap. III. 9. Superficies refraction{is} e$t perpendicular{is} $uperficiei refractiui. 2 p 10.

IN prædicto capitulo [5 n] declaratũ e$t, quòd omnis lux, quæ re$ringitur à corpore diaphano ad aliud corpus diaphanum, $emper erit in una $uperficie æquali. Linea ergo recta, per quã ex- tenditur lux in aere, & linea recta, per quam refringitur in aqua, $emper erũt in eadem $uperficie æquali. Hæc autem $uperficies apud ιn$pectionem in$trumenti prædicti, e$t medius circulus ille ex tribus $ignatis in interiore parte oræ in$trum\~eti & ille circulus e$t æquidi$tans $uperficiei interio- ris laminæ: $ed $uperficies interioris laminæ e$t æquidi$tans $uperficiei dor$i, cui $uperponitur $u- perficies regulæ quadratæ: ergo $uperficies circuli medij e$t æquidi$tãs $uperficiei regulæ quadra- tæ: & $uperficies regulæ quadratæ, quæ e$t $uperpo$ita dor$o laminæ, e$t perpendicularis $uper al- teram $uperficiem, $ecantem $uperficiem $uperpo$itam: & hæc $uperficies regulæ $uperponitur $u- perficiei duarum differ\~etiarum $ibi applicatarum in duabus extremitatibus regulæ: $ed $uperficies duarum differentiarum $uperponitur oræ in$trumenti. Ergo $uperficies medij circuli e$t perpen- dicularis $uper $uperficiem tran$euntem $uper oram in$trumenti. Et hæc $uperficies tran$iens per oram in$trumenti, e$t æquidi$tans horizonti apud experim\~etationem. Superficies ergo medij cir- culi e$t perpendicularis $uper $uperficiem horizontis. Cum ergo declaratũ $it [4. 7. 8 n] quòd lux, quæ e$t in aere, & refringitur in aqua, e$t apud experim entationem in circumfer\~etia medij circuli: manife$tum, quòd lux, qu{ae} extenditur in aere, & refringitur in aqua, e$t $emper in eadem $uperficie æquali $uper $uperficiem horizontis. Et etiam imaginemur lineam à a d c g b e f centro medij circuli ad centrum mundi: $ic ergo linea hæc erit per- pendicularis $uper $uperficiem aquæ [ut o$ten$um e$t 25 n 4] quia e$t diameter mundi: $ed h{ae}c linea e$t in $uperficie medij circuli: ergo e$t in $uperficie refractionis. Ergo $uperficies refractionis e$t perpen dicularis $uper $uperficiem aquæ. Et iam declaratũ e$t, quòd cũ lux refringitur ex aere ad aquam: erit inter primam lineã, per quã exten- ditur in aere, quæ e$t inter diametrũ medij circuli, & inter perpendi- cularem, exeunt\~e à c\~etro medij circuli $uper $uperfici\~e aquæ. Et iam declaratum e$t etiã, quòd lux, quæ e$t in puncto, quod e$t centrũ lu- cis, quæ e$t intra aquã, non peruenit ad ip$um, ni$i ex luce, quæ ext\~e ditur à c\~etro medij circuli. Lux ergo, qu{ae} refringitur ex aere ad aquã, refringitur in $uperficie perpendiculari $uper $uperfici\~e aquæ. Et re- fractio eius erit ad part\~e perp\~edicularis exeuntis à loco refractionis $uper $uperfici\~e aquæ & nõ perueniet ad perpendicular\~e. Refractio aut\~e lucis ab aere ad uitrũ hoc modo fit. Declaratũ e$t enim in expe- rimentatione uitri, quòd cũ linea, quæ tran$it per centra duorũ fora- minũ, fuerit obliqua $uper $uperfici\~e uitri æqual\~e, & tran$iuerit per centrũ uitri, & $uperficies uitri æqualis fuerit ex parte foraminum: tunc refringetur apud centrũ uitri: & refractio eius erit in $uperficie circuli medij ad part\~e, in qua e$t perpendicularis, exiens à c\~etro uitri $uper $uperfici\~e uitri æqual\~e. Et declaratũ e$t etiã, quòd cũ linea, qu{ae} tran$it per c\~etra duorũ foraminũ, fuerit obliqua $uper $uperfici\~e ui- tri $phæricã: & $uperficies $phærica fuerit ex parte foraminũ: tũc lux refringetur in corpore uitri, & apud $uperfici\~e uitri $phæricã: & erit refractio eius in $uperficie medij circuli, & ad part\~e perpendicularis, exeuntis à loco refractionis $uper $uperfici\~e uitri $phæricam. Et $u- perficies uitri æqualis, in qua e$t centrũ uitrei circuli, e$t perpendi- cularis $uper $uperficiem laminæ. E$t ergo perpendicularis $uper $u- perficiem medij circuli. Superficies ergo medij circuli e$t perpendicularis $uper $uperficiem uitri OPTICAE LIBER VII. æqualem. Et $uperficies circuli medij tran$it etiã per centrũ $ph{ae}ræ uitreæ in omnibus experimen- tationibus uitri. Ergo e$t perp\~edicularis $uper $uperfici\~e uitri $phæricã. Lux ergo, qu{ae} ext\~editur in aere, & refringitur in corpore uitri apud exten$ion\~e eius in aere, po$tquã iterũ refringitur in uitro, $emper e$t in $uperficie perp\~ediculari $uper $uperfici\~e uitri. Et $emper refractio eius erit ad partem perp\~edicularis, exeũtis à loco refractionis $uper $uperfici\~e uitri, $iue $uperficies uitri fuerit æqualis, $iue $ph{ae}rica. It\~e declaratũ e$t etiã, quòd linea, qu{ae} trã$it per duo c\~etra foraminũ, cũ fuerit perp\~edi- cularis $uք $uperfici\~e uitri, & ext\~e$a fuerit in corpus uitri $ecundũ rectitudin\~e, & $uperficies $phæ- rica fuerit ex parte foraminũ, & fuerit h{ae}c linea, $cilicet qu{ae} trã$it per centra duorũ foraminũ, decli- nãs $uper $uperfici\~e uitri æqual\~e, & trã$iuerit per centrũ uitri, & refracta fuerit in corpore aeris cõ ting\~etis $uperfici\~e uitri æqual\~e, & apud centrũ uitri: tũc refractio eius erit in $uperficie circuli me- dij, & ad contrariã part\~e illi, in qua e$t perp\~edicularis, exi\~es à c\~etro uitri $uper $uperfici\~e uitri æqua- lem. Et declaratũ e$t etiã, quòd linea, qu{ae} trã$it per c\~etra duorũ foraminũ, cũ fuerit perpendicularis $uper $uperfici\~e uitri æqual\~e, & $i fuerit exten$a in corpore uitri $ecundũ rectitudin\~e, & $uperficies æqualis fuerit ex parte foraminũ, & h{ae}c linea, $cilicet qu{ae} trã$it per c\~etra duorũ foraminũ, fuerit ob- liqua $uper $uperfici\~e uitri $ph{ae}ricã, & nõ trã$iens per centrũ eius, & fuerit refracta apud $uperfici\~e uitri $phæricã in corpore aeris conting\~etis $uperfici\~e $ph{ae}ricam: tũc refractio eius erit in $uperficie medij circuli, & ad part\~e contrariã illi, in qua e$t perp\~edicularis, exiens à loco refractionis $uper $u- perficiem $ecũdi corporis. Et in his duobus $itibus $uperficies etiã medij circuli e$t perp\~edicularis $uper $uperfici\~e uitri æqual\~e & $phæricã. Lux ergo, qu{ae} ext\~editur in corpore uitri, & refringitur in aere, dũ ext\~editur in uitro, & refringitur in aere, $emper e$t in $uperficie perp\~ediculari $uper $uper- ficiem aeris: & $emper refractio erit ad part\~e contrariam illi, in qua e$t perp\~edicularis exiens à loco refractionis $uք $uperfici\~e aeris. Ex omnibus ergo i$tis prædeclaratis patet, quòd omnis lux refra- cta à corpore diaphano ad aliud corpus, $emper refringitur in $uperficie perp\~ediculari $uper $uper- ficiem $ecũdi corporis. Et $i $ecundũ corpus fuerit gro$sius primo: tũc refractio eius erit ad partem perp\~edicularis, exeuntis à loco refractionis $uper $uperfici\~e $ecũdi corporis, & nõ peruenit ad per- pendicularem. Et $i $ecundũ corpus fuerit $ubtilius primo: refractio erit ad part\~e contrariam illi, in qua e$t perp\~edicularis, exiens à loco refractionis $uper $uperfici\~e $ecundi corporis, $ecundũ diuer- $itatem figurarũ $uperficierum corporũ diaphanorũ. Et ex his etiã patet, quòd cum lux refringitur à corpore diaphano ad $ecundũ corpus diaphanũ, & de $ecũdo ad tertiũ: refringetur etiã in $uper- ficie tertij, $i diaphanitas tertij differt à diaphanitate $ecũdi: $i uerò tertiũ fuerit gro$sius $ecũdo: tũc refractio lucis erit ad part\~e perp\~edicularis exeuntis à loco refractionis $uper $uperfici\~e tertij: $i aũt tertiũ fuerit $ubtilius $ecũdo: tũc refractio lucis erit ad part\~e cõtrariã illi, in qua e$t perp\~edicularis. Similiter $i lux refracta fuerit ad quartũ corpus, & ad quintum, aut ad plurá. Hoc aũt declarauimus quid\~e in hoc capitulo, qualiter omnes luces refringãtur in corporibus diaphanis diuer$æ diaphani tatis. Quare aũt fiat refractio in $uperficie perp\~ediculari $uper $uperfici\~e corporis diaphani, h{ae}c e$t: quia linea, per quã ext\~editur lux in primo diaphano corpore, refringitur ad part\~e perp\~edicularis in hac $uperficie, $cilicet, in qua e$t perp\~edicularis & prima linea: pars enim perp\~edicularis e$t in hac $uperficie: ideo refractio fit in $uperficie perpendiculari $uper $uperficiem corporis diaphani.

10. Magnitudines angulorũ refractiõ{is} ab aere ad aquãorgano refractiõ{is} explorare. 5 p 10.

QVantitates aut\~e angulorũ refractionis differũt $ecundũ quantitates angulorũ, quos conti- nent prima linea, per quã extenditur lux in primo corpore, & perp\~edicularis exiens à loco refractionis $uper $uperfici\~e $ecũdi corporis, $ecundũ diaphanitatem $ecũdi corporis. Nam quanto magis cre$cit angulus, qu\~e cõtinent prima linea & perp\~edicularis, tantò cre$cit angulus re- fractionis: & quantò magis decre$cit ille angulus, qu\~e contin\~et perp\~edicularis & prima linea, tantò decre$cit angulus refractionis. Sed anguli refractionũ nõ ob$eruãt eand\~e proportion\~e ad angulos, quos cõtinet prima linea cũ perp\~ediculari, $ed differũt hæ {pro}portiones in eod\~e corpore diaphano. Cũ ergo prima linea, per quã lux ext\~editur in primo corpore, cõtinuerit cũ perp\~ediculari duos an- gulos inæquales, in duobus diuer$is t\~eporibus, aut in duobus locis diuer$is: tũc {pro}portio anguli re- fractionis, quæ e$t ab angulo minore ad angulũ minor\~e, minor erit {pro}portione anguli refractionis anguli maioris ad angulũ maior\~e. Cũ ergo experim\~etator uoluerit experiri illos angulos, diuidat à circulo medio, qui e$t in circũferentia in$trum\~eti, ex parte c\~etri foraminis, quod e$t in circũferentia in$trum\~eti, arcum dec\~e partium ex illis partibus, quibus medius circulus diuiditur 360: deinde ex- trahamus à loco differ\~etiæ lineã rectã, perpendicular\~e $uper $uperfici\~e laminæ, & copulemus extre mitatem eius, quæ e$t in lamina, cũ centro laminæ per lineã rectã, & protrahamus ip$am in aliã par- tem: deinde diuidamus in circumfer\~etia medij circuli etiã arcum $equent\~e primum, cuius quãtitas $it 90 partiũ: & $ignemus in extremitate huius arcus $ignũ. Linea ergo, quæ exit à centro medij cir- culi ad hoc $ignũ, erit perp\~edicularis $uper lineã exeuntem à centro medij circuli ad primum $ignũ, quod e$t in circũferentia medij circuli [per 33 p 6: quia hæ duæ lineæ quadrant\~e totius peripheriæ compreh\~edunt] & erit arcus re$iduus, qui e$t inter $ignũ & extremitat\~e diametri medij circuli, qu{ae} tran$it per centra duorũ foraminũ, 80 partiũ. Signemus in extremitate huius diametri etiã $ignum: deinde ponamus in$trumentũ in ua$e, & ob$eruemus ut circumferentia ua$is $it æquidi$tans hori- zonti, & incipiamus experiri ab hora ortus $olis, & infundamus in uas aquam claram, quou$q; per- ueniat ad centrum laminæ, & moueamus in$trum\~etum, donec prima linea $ignata in $uperficie la- minæ, contingat $uperficiem aquæ: in hoc ergo $itu linea, qu{ae} tran$it per centrũ circuli medij, æqui- ALHAZEN di$tans e$t primæ lineæ $ignatæ in $uperficie laminæ, cuius extremitas peruenit ad primũ $ignum, $ignatum in circumferentia medij circuli, & tanget k n m x b l p @ f s u z y t etiam $uperficiem aquæ: locus enim harum duarum linearũ non differt in re$pectu $uperficiei aquæ, quò ad $en$um. Et hæc linea continet cum linea exeunte à centro medij circuli ad $ignum, quod e$t in circum ferentia medij circuli, perpendiculari $uper $uperfi- ciem aquæ, angulum rectum: & diameter medιj cir- culi, quæ tran$it per c\~etra duorum foraminum, con- tinet cum hac perpendiculari exeunte à centro me- dij circuli $uper $uperficiem aquæ, angulum, cuius quantitas erit 80 partium. Hunc enim angulũ chor- dat arcus medij circuli, qui e$t inter $ecundũ & ter- tium $ignum: arcus autem, qui e$t inter centrum fo- raminis & primum $ignum, qui e$t 10 partium, chor- dat angulum declinationis. Deinde oportet experi- mentatorem con$iderare $ol\~e, & mutare in$trumen- tum, doneclux tran$eat per duo foramina: & tunc a$piciat lucem, quæ e$t in ora in$trumenti, quæ e$t intra aquam, & $ignet $uper centrũ lucis $ignum: hoc ergo $ignum erit in circumferentia medij circuli: deinde auferat in$trumentum, & a$picιat ter- tium $ignum, quod e$t inter extremitatem medij circuli, & inter $ecundum $ignum, quod e$t extre- mitas perpendicularis, exeuntis à c\~etro medιj circuli $uper $uperficiem aquæ. Ex hac ergo experi- mentatione patebit, quòd angulus refractionis e$t ille, quem chordat arcus, qui e$t inter centrũ lu- cis & tertium $ignum, quod e$t extremitas lineæ tran$euntis per centra duorum foraminum, per quam extendebatur lux: & ex numero partium huius arcus patebit quantitas anguli refractionis, & quantitas proportionis anguli refractionis ad 80 partes, quæ e$t angulus, qu\~e continet linea, per quam extendebatur lux, cum perpendiculari exeunte à puncto refractionis $uper $uperfici\~e aquæ. Deinde oportet experimentatorem delere $ignum & lineam $ignatam in lamina, & di$tinguere in- ter circumferentiam medij circuli ex parte centri foraminis, quod e$t in ora in$trumenti arcum, cu- ius quãtitas $it 20 partium: & $ignet in extremitate eius $ignum, & extrahat ab hoc $igno perpendi- cularem $uper $uperficiem laminæ, & extrahat ab eιus extremitate lineam ad centrum laminæ: & protrahamus illam in utramq; partem: & diuidamus arcum $equente@ illum (cuius quantitas 20) in partes 90: & $ignemus in ip$o $ignum: & erit arcus, qui e$t inter $ignum $ecundum & extremita- tem lineæ tran$euntis per centra duorum foraminum, 70 partium: & $ignemus in extremitate hu- ius lineæ $ignum. Dein de ponamus in$trumentũ in uas, & reuoluamus illud, quou$q; linea $ignata in lamina tangat $uperficiem aquæ. Linea ergo, quæ exit à centro circuli medιj ad $ecundũ $ignum, erit perpendicularis $uper $uperficiem aquæ, ut prædictum e$t: & linea, quæ tran$it per centra duo- rum foraminum, continet cum hac perpendiculari angulum 70 partium. Deinde experimentator con$ideret $olem, & moueat in$trumentum, quou$q; lux tran$eat per duo foramina, & $ignet $uper centrum lucis $ignum, & auferat in$trumentum, & a$piciat $igna, quæ $unt in circumferentia medij circuli: ex qua experimentatione habebit quãtiratem anguli refractionis, & proportionem eius ad angulum, quem continet linea, per quam extenditur lux, cum perpendiculari exeunte à loco refra- ctionis, qui e$t in hoc $tatu 70 partiũ. Deinde experimentator auferat in$trumentũ, & deleat $igna, & lineam, quæ e$t in lamina, & diuidat arcum ex parte foraminis, cuius quantitas $it 30 partium, & procedat, ut in primis ablationibus: & $ic habebit quãtitatem anguli refractionis & proportionem eius ad angulum, quem continet linea, per quam extendebatur lux cum perpendiculari exeunte à loco refractionis, qui e$t in hoc $itu 60 partium. Deinde diuidamus arcum, cuius quantitas $it 40 partium: deinde arcum, cuius quantitas $it 50 partium: deinde 60: deinde 70: deinde 80: & con$ide ret unumquemq; i$torum arcuum: & $ic habebit quãtitates angulorum refractionis, & angulorum declinationis, quos chordant primi arcus di$tincti ex parte centri foraminis: & habebit proportio- nes angulorum refractionis ad angulos, quos continent primæ lineæ, per quas extendebatur lux, cum perpendiculari, quæ e$t in $uperficie aquæ, qui cre$cunt per dec\~e. Et $i experimentator uolue- rit, ut anguli cre$cant per quinq;, bene poterit facere: & $i uoluerit per minus, quàm per quinque, bene poterit facere prædicto ordine.

11. Magnitudines angulorum refraction{is} ab aere uel aqua ad uitra planum uel conuexum, & contrà, organo refraction{is} inuenire. 6 p 10.

ET cum experimentator uoluerit experiri per uitrum: diuidat arcus, & $ignet prædicta $igna, & $uperponat uitrum prædictum $uperficiei laminæ, & $uperponat differentiam eius cõmu- nem lineæ $ignatæ in lamina, & ponat $uperficiem uitri æqualem ex parte foraminum, & ap- plicet uitrum bene, & ponat in$trumentum in ua$e, & moueat ip$um, quou$q, lux tran$eat per duo foramina, & $ignet $uper centrum lucis $ignum, & auferat in$trumentum, & intueatur arcus, & de- inde deleat $igna, & diuidat alios arcus, & $ignet alia $igna, & in$piciat arcus {pro}ut a$pexit per aquã: & $ic habebit quantitates angulorum refractionis in tran$itu lucis de aere ad uitrum. Et $i uoluerit OPTICAE LIBER VII. experiri refractiones lucis de uitro ad aerem, & ad aquam: applicet uitrum è contrario primi $itus: $cilicet, ut ponat conuexum eius ex parte duorum foraminum, & ponat medium communis diffe- rentiæ, quæ e$t in uitro, $uper centrum laminæ. Tunc ergo lux, quæ tran$it per centra duorum fora- minum, peruenit rectè ad c\~etrum uitri, & refringitur apud illud de uitro ad aerem. Deinde diuidat arcus $ucce$siuè, & mutet po$itionem uitri: & $ic habebit angulos refractionũ particulares, & pro- portiones eorum ad angulos, quos continet prima linea, per quam extenditur lux, cum linea per- pendiculari $uper $uperficiem contingent\~e $uperficiem uitri. Et cum experim\~etator expertus fue- rit hos duos prædictos $itus: uidebit quòd quãtitates angulorum refractionis de aere ad uitrum, & de uitro ad aerem $emper erunt æquales: cum angulus, quem continet linea, per quam extenditur lux ad locum refractionis cum linea perpendiculari, cum refringitur de aere ad uitrum, æqualis $it angulo, quem cõtinet linea, per quam extenditur lux à loco refractionis cum perpendiculari, cum reflectitur à uitro ad aerem. Et $i quis uoluerit experiri quantitates angulorũ refractionis, qui $unt apud conuexum uitri: diuidat de circumferentia medij circuli ex parte c\~etri foraminis, quod e$t in ora in$trumenti, arcum, cuius quantitas $it 10 partium, & extrahat ab extremitate eius perpendicu- larem $uper $uperficiem laminæ in $uperficie oræ in$trumenti, $icut prius fecerat: deinde diuidat ex hac linea incipiens à centro laminæ lineam æqualem $emidiametro uitri, & ab extremitate huius lineæ extrahat perp\~edicularem $uper diametrum laminæ, $uper cuius extremitates $unt duæ lineæ perpendiculares in ora in$trumenti: & protrahat hãc perpendicularem in utramq; partem: deinde $uperponat uitrum $uper $uperfici\~e laminæ, & $uper- k n b l @ o q f g u z ponat differentiam eius cõmunem pr{ae}dictæ perpen- diculari, & ponat medium differ\~etiæ cõmunis $uper punctum, à quo extracta fuerit perpendicularis: & $ic erit centrum uitri in $uperficie medij circuli, & linea, quæ tran$it per centra duorũ foraminum, erit perpen dicularis $uper $uperfici\~e uitri æqual\~e: [per 8 p 11] e$t enim æquidi$tans diametro laminæ, quæ e$t perpen- dicularis $uper illam $uperficiem & differ\~etiam com- munem, qu{ae} e$t in uitro: & centrum circuli medij erit in conuexo uitri. Nam linea, quæ exit à centro circuli medij ad c\~etrum laminæ, e$t æqualis lineæ exeunti à centro uitri ad mediũ differentiæ cõmunis: & utraq; i$tarum linearũ e$t perp\~edicularis $uper $uperficiem laminæ: ergo duæ lineæ $unt æquales & æquidi$tãtes: [per 33 p 1] & linea, qu{ae} copulat centrũ ultri cũ centro circuli medij, e$t æqualis lineæ, qu{ae} copulat centrũ la- minæ, & mediũ differentiæ cõmunis, quæ e$t in uitro: hæc autem linea æqualis po$ita fuit $emidiametro uitri. Centrum ergo medij circuli e$t in conuexo uitri. Linea ergo, qu{ae} tran$it per centra duorum foraminum, quæ tran$it per medij circuli centrum, tenet cum linea, exeunte à centro uitri, angulum æqualem angulo, qui e$t apud centrũ laminæ. Ex- tendantur ergo duæ lineæ in imaginatione rectè in utramq; part\~e, $cilicet diameter prædicta uitri, & linea, quæ tran$it per centra duorum foraminum: peruenient ergo ad circumfer\~etiam medij cir- culi: $unt enim ambæ in $uperficie medij circuli. Ergo du{ae} lineæ diuident à circũferentia medij cir- culi ex utraq; parte arcum, cuius quantitas e$t 10 partium: & extremitates lineæ, qu{ae} tran$it per cen tra duorũ foraminum, $unt notæ: altera enim earũ e$t centrum foraminis, & altera punctũ oppo$i- tum centro foraminis: & altera duarũ extremitatum lineæ, qu{ae} tran$it per centrũ uitri, e$t extremi- tas arcus, qu\~e $eparauerat à circũferentia medij circuli, qui di$tat à c\~etro foraminis 10 partibus: re- liqua ergo extremitas lineæ, qu{ae} tran$it per centrũ uitri, di$tat à linea, qu{ae} tran$it per centra duorũ foraminũ, dec\~e partibus in parte oppo$ita primo $igno. Signemus ergo extremitat\~e huius diame- tri, & extremitat\~e lineæ, qu{ae} tran$it per centra duorũ foraminum, quoniã locus i$te e$t notus: quia e$t $uper lineã perpendicularem in ora in$trumenti: & intueatur experimentator $ignũ: & inueniet illud remotius ab extremitate lineæ, quæ tran$it per centra duorũ foraminum. Hæc ergo refractio e$t ad partem contrariam perpendiculari à loco refractionis: quia perp\~edicularis exiens à loco re- fractionis, e$t linea, quæ tran$it per centrũ uitri: & arcus circumferentiæ medij circuli, qui e$t inter c\~etrum lucis & extremitatem lineæ, qu{ae} tran$it per centra duorũ foraminum, e$t quantitas anguli refractionis: angulus enim refractionis e$t apud centrum medij circuli. Lux enim extenditur $uper lineam tran$euntem per centra duorum foraminum rectè, donec perueniat ad conuexum uitri & $ph{ae}ricum. Angulus ergo refractionis erit apud centrũ circuli medij, qui e$t $uper conuexum uitri: & arcus, qui e$t inter c\~etrum lucis & extremitatem lineæ, qu{ae} tran$it per centra duorũ foraminum, e$t ille, qui chordat angulũ refractionis, qui e$t 10 partium. Deinde oportet experimentator\~e euel- lere uitrum, & diuidere à centro foraminis arcum, qui $it 20 partium, & procedat ut prius: & $ic ha- bebit quantitat\~e anguli refractionis differentem à quantitate anguli, qui e$t 20 partium. Et $ic diui- dat alios arcus $ucce$siuè: & experiatur refractiones eorum $icut in primis: & habebit quantitates angulorum refractionis, qui $unt apud conuexum uitri. Et eædem $unt quantitates angulorum re. fractionis lucis de aere ad uitrum: hoc enim declaratum e$t in prædictis experimentationibus: $ed ALHAZEN refractio de aere ad uitrũ e$t ad part\~e քp\~edicularis: refractio uerò de uitro ad aer\~e e$t ad part\~e cõtra riam perp\~ediculari. Et $i quis uoluerit experiri uitrum & aquã, & à cõuexo uitri & à $uperficie eius æquali, habebit quãtitates angulorũ refractionis de uitro ad aquã: aqua enim ponitur in loco aeris.

12. Magnitudines angulorum refraction{is} ab aere uel aqua ad uitrum cauum, & contrà, organo refraction{is} inue$tigare. 7. 8 p 10.

ET $i quis uoluerit experiri quãtitates angulorũ refractionis apud concauũ uitri: accipiat ui- trum concauum concauitate columnari in quantitate $emicolumn{ae}: & $it figura uniuer$i ui- tri æquidi$tãtium $uperficierũ: & longitudo eius $it maior diametro uitri $phærici uno grano hordei: & latitudo eius $it $imiliter: & $pi$situdo eius $it dupla diametri foraminis, quod e$t in ora in$trum\~eti: & concauitas $it in uno $uorũ laterum: columnaris $cilicet in $uperficie una quadrata: & longitudo columnæ $it in lõgitudine uitri: & $emidiameter ba$is columnæ $it in quãtitate $emidia- metri uitri $ph{ae}rici: & $int fines uitri lineæ rect{ae} ueri$simæ. Hoc aut\~e in$trumentum $ic bene pote$t fieri $uper formam: ita ut forma fiat ead\~e doctrina prædicta, & di$$oluatur uitrũ, & infundatur $uper formam prædictam. Si ergo experimentator uoluerit experiri refractionem hoc in$trum\~eto: diui- dat de circumferentia medij circuli arcum, cuius quãtitas $it illa, quam uult experiri, & extrahat ab extremitate arcus perpendicular\~e $uper $uperfici\~e lamin{ae}, ut pr{ae}dictũ e$t, & copulet extrem t@tem perpendicularis cũ centro laminæ linea recta, quam protrahat in alteram part\~e, & diuidat ex hac li- nea in altera parte, $cilicet in qua $unt duo foramina, lineam æqual\~e $emidiametro ba$is columnæ, & extrahat ab extremitate eius perpendicular\~e $uper diametrũ lamin{ae}, & protrahat illã in utramq; partem. Deinde $uperponat uitrum lamin{ae}, & ponat dor$um cõcauitatis ex parte duorũ foraminũ, & $uperponat duas $uperfluitates, qu{ae} $uperfluunt $uper diametrũ columnæ, huic perpendiculari, ob$eruet\’q;, ut $int di$tantiæ duarũ extremitatum diametri ba$is cõcauitatis à puncto, à quo exiuit perpendicularis, di$tantiæ æquales. Erit ergo centrũ ba$is cõcauitatis columnaris $uper punctum, à quo exiuit perpendicularis, $uper\’q; punctum, cuius di$tantia à centro laminæ, e$t in quantitate $emidiametri ba$is cõcauitatis. Hoc $itu ob$eruato, applicet uitrum fixa applicatione: & erit $uper- ficies medij circuli $ecãs foramen columnæ & æqui k n m b l d p o q f g u @ di$tans ba$i eius: nã ba$is eius in hac dι$po$itione e$t in $uperficie laminæ. Superficies ergo circuli medij facit in $uperficie columnari concaua $emicirculum [per 5 th. cylindricorum Sereni] & e$t diameter hu- ius $emicirculi æquidi$tans diametro ba$is concaui- tatis. Erit ergo linea, quæ egrediturà c\~etro huius $e- micirculi ad centrum ba$is concauitatis, qu{ae} e$t per- pendicularis $uper $uperficiem laminæ, æqualis per- pendiculari exeunti à c\~etro circuli medij perpendi- culari $uper $uperficiem lamin{ae}: & perpendicularis, qu{ae} exit à centro circuli medij ad c\~etrum lamin{ae}, e$t æqualis $emidiametro ba$is colũnæ. Ergo linea, quæ exit à centro circuli medij ad c\~etrum $emicirculi, qui fit in $uperficie columnæ, e$t æqualis $emidiametro huius $emicirculi [per 33 p 1.] Centrum ergo circuli medij e$t in circumferentia $emicirculi facti: e$t ergo in concauo columnæ. Et quia terminus uitri $uper- ponitur line{ae} perp\~ediculari $uper punctũ lamin{ae}: erit diameter lamin{ae} perp\~edicularis $uper $uper- ficiem uitri æqualem. Nã $uperficies uitri æquales, $unt perp\~ediculares inter $e. Erit ergo linea, qu{ae} tran$it per centra duorũ foraminum perp\~edicularis $uper $uperfici\~e uitri æqualem, qu{ae} e$t in parte conuexa uitri [per 8 p 11] quia e$t æquidi$tans diametro lamin{ae}: & h{ae}c $uperficies uitri æqualis, e$t ex parte foraminum. In hoc ergo $itu lux, qu{ae} extenditur $uper lineã, qu{ae} tran$it per c\~etra duorum foraminũ, extenditur in corpore uitri rectè, donec perueniat ad concauum uitri: & tũc refringitur apud concauum uitri: cum non tran$eat per centrum circuli, qui e$t in concauo uitri: neq; e$t per- pendicularis $uper concauum uitri: ergo refringitur in concauo uitri: ergo differ\~etia cõmunis huic lineæ & concauo uitri e$t centrum circuli medij. Ergo lux, qu{ae} extenditur $uper lineam, qu{ae} tran$it per centra duorum foraminũ, refringitur apud centrum medij circuli: ergo arcus, qui e$t inter cen- trum lucis & extremitatem lineæ, qu{ae} tran$it per centra duorum foraminum, chordat angulum re- fractionis. Hac igitur uia po$$et quis experiri quantitates angulorum refractionis, qui fiunt in con- cauo uitri, addendo in arcubus parum. Et hæc refractio e$t à uitro concauo ad aerem: & eruntan- guli acqui$iti hac refractione ijdem illis, qui fiunt ex aere ad uitrum in concauo uitri. Declaratum e$t autem paulò antè, quòd angulus refractionis à uitro ad aerem, & ab aere ad uitrum, e$t idem cum angulo, quem continet prima linea, per quam extenditur lux, & perpendicularis exiens à lo- co refractionis. Hac ergo uia po$$et quis habere quantitates angulorum refractionis de aere ad aquam, & de aere ad uitrum, & de uitro ad aerem, & de uitro ad aquam à $uperficie æquali, & con- caua & conuexa. His ergo angulis experimentatis & proportionibus eorum notis, experim\~etator inueniet duos angulos, quorum utrumq; continet prima linea, per quã extenditur lux, & perp\~edi- OPTICAE LIBER VII. cularis, exiens à loco refractionis $uper $uperficiem corporis diaphani: inueniet dico in ei$dem cor- poribus diaphanis: & erunt duo anguli diuer$i. Nam angulus refractionis ab angulo maiore ex il- lis, erit maior duobus angulis refractionis ab angulo minore: & exce$$us anguli refractionis $uper angulum refractionis, erit minor exce$$u anguli maioris, quem continet prima linea cum perpendi culari $uper angulum minorem, quem continet prima linea cum perpendiculari. Et proportio an- guli refractionis ab angulo maiore ad angulum maiorem, erit maior proportione anguli refractio- nis ab angulo minore ad angulum minorem: Et illud, quod re$tat po$t angulum refractionis de an- gulo maiore, e$t maius illo, quod remanet po$t angulum refractionis de angulo minore. Et remo- tio anguli refractionis, cum lux exiuerit de corpore $ubtiliore ad gro$sius, $emper erit minor an- gulo, quem continet linea, per quam extenditur lux ad locum refractionis cum perpendiculari ex- eunte à loco refractionis. Et $i lux exiuerit à corpore gro$siore ad $ubtilius: tunc angulus refractio- nis erit medietas duorum angulorum coniunctorum. Et $i comparaueris angulos refractionis, qui $unt inter aliquod i$torum corporum diaphanorum, & aliud corpus gro$sius illis, ad angulos refra- ctionis, qui $unt inter illud idem corpus diaphanũ $ubtilius & aliud corpus gro$sius primo gro$$o: inuenies proportiones maiores angulorum refractionis ad angulos, quos continet prima linea & perpendicularis, qui $unt inter corpus $ubtilius & gro$sius, quod magis gro$$um e$t, proportioni- bus angulorum refractionis, quos continet prima linea & perpendicularis, qui $unt inter idem cor- pus $ubtilius & corpus gro$sius, quod minus e$t gro$$um. Quoniam $i fuerint duo anguli æquales, quorum utrumlibet continet prima linea, per quam extenditur lux, & perpendicularis, quæ exit à loco refractionis: quorum alter e$t inter corpus $ubtilius & corpus gro$sius illo, & alter inter illud idem corpus $ubtilius & corpus gro$sius primo gro$$o: tunc angulus refractionis, qui e$t in corpore gro$siore, erit maior angulo refractionis, qui e$t in corpore gro$siore, quod e$t minus gro$$um. Et $i- militer $i refractio fuerit à corpore gro$siore ad $ubtilius, quod e$t magis $ubtile: maior erit angulo refractionis, qui e$t ab illo eod\~e corpore gro$siore ad corpus $ubtilius, quod e$t minus $ubtile. Hæc ergo $unt omnia, quæ pertinent ad qualitatem refractionis lucis à corporibus diaphanis.

QVÒD QVICQVID COMPREHENDITVR VLTRA CORPORA diaphana, quæ differuntin diaphanitate à corpore, in quo e$t ui$us, cum fuerit obliquum à lineis perpendicularibus $uper $uperficiem eorum, comprehenditur $ecundum refractio- nem. Cap. IIII. 13. Vi$ibile medio diuer$o perpendiculare, rectè: obliquum refractè uidetur. 3 p 10.

IN prædicto autem capitulo patuit, quòd lux tran$it de uitro ad aerem, & de aere ad uitrum, & de aere ad aquam. Et cum tran$it de uitro ad aerem & ad aquam: con$tat quòd tran$ibit de aqua ad aerem: aqua enim e$t $ubtilior uitro, cum fuerit clara: & cum tran$it de aere ad uitrum, tran$i- bit de aqua ad uitrum, cum aqua $it gro$sior aere. Præterea patuιt, quòd luces omnes accidentales & e$$entiales, fortes & debiles tran$eunt per hæc corpora diaphana. His ergo modis omne corpus lucidum quacunq; luce, mittit lucem $uam in omne corpus diaphanũ: & $i occurrerit aliud corpus diaphanũ: trã$ibit in alio corpore aut refractè aut rectè. Et in primo libro [14. 18. 19 n] declaratũ e$t, quòd à quolibet puncto cuiuslibet corporis lucidi oritur lux per quamcunq; lineam rectã, quæ po re$t extendi ex illo puncto. Ex quibus patet, quòd à quolibet puncto cuiuslibet corporis diaphani contingentis aliquod corpus lucidum quacunq; luce, oritur lux per omnem lineam rectam, quæ poterit extendi ex illo puncto, & tran$it in corpor@ diaphano tangente illud punctũ. Et $i occurrerit aliud corpus diaphanum diuer$æ diaphanitatis à diaphanitate corporis tangentis illud, tran$ibit e- tiam in ip$um aut refractè aut rectè, $iue primum corpus $it $ubtilius $ecundo, $iue $ecundũ $it $ub- tilius primo. Et etiã primo libro [14. 18. 19. 28 n] declaratũ e$t, quòd ab omni corpore colorato lucido color oritur cumluce, qui e$t mixtus cum luce: & quòd ui$us cum comprehendit lucem, compre- hendit formam coloris mixtam $ibi. Ex quibus patet, quòd corpora colorata, quæ $unt in aqua & ul tra corpora diaphana, quæ differunt in diaphanitate à diaphanιtate aeris, cum in eis fuerit lux e$$en tialis, aut accidentalis fortis aut debilis: tunc lux, qu{ae} e$t in eis, oritur à quolibet puncto cum forma coloris, qui e$t in illo puncto, & tran$it lux mixta cum colore in corpore aquæ, & in omni corpore diaphano contingente ip$um: & extenditur lux in corpore aquæ & in omni corpore diaphano cum forma coloris per lineas rectas, donec perueniat ad $uperficiem aquæ, aut illius corporis diapha- ni. Et cum fuerit aer aut aliud corpus diaphanum tangens aquam: tunc in illud corpus diapha- num tran$ibit lux cum forma mixta $ibi in aere aut in alio corpore diaphano per lineas rectas. Et hæ lineæ $ecundæ in maiore parte $ecabunt primas lineas, per quas extendebatur: & quædam earum erunt in rectitudine primarum linearum. Et omnia corpora, quæ $unt in aqua & ultra dia- phana corpora, quæ differunt à diaphanitate aeris, cum fuerint in loco lucido, $cilicet cum lux orta fuerit $uper aquam, in qua $unt: tunc lux perueniet ad ip$a. Manife$tum e$t enim, quòd omnis lux tran$it in omne corpus in aqua exi$tens aut in alio corpore diaphano, cum $uper a- quam illam aut corpus illud diaphanum ceciderit: & à quolibet puncto ip$ius corporis orietur formalucis, quæ e$tin ip$o cum forma coloris, & extendetur in uniuer$o illius aquæ aut illius cor- poris diaphani per omnem lineam rectam, quæ poterit extendi ab ip$o puncto, donec perue- ALHAZEN niat lux cum forma coloris, qui e$t in illo puncto ad $uperficiem aquæ aut ad $uperficiem illius cor- poris diaphani. Sed non pote$t extrahi ab eodem puncto alicuius $uperficiei ad eandem $uperfici\~e linea perpendicularis ni$i una [per 13 p 11.] Ergo à quolibet puncto cuiuslibet corporis colorati exi- $tentis in corpore diaphano oritur forma lucis cum forma coloris in uniuer$o corporis diaphani, in quo exi$tit, $ecundum lineas rectas: & peruenit forma ad uniuer$um oppo$itum de $uperficie corporis diaphani: & una illarum linearum erit perpendicularis $uper $uperficiem corporis dia- phani uel $uperficiem continuam cum $uperficie corporis diaphani, reliquæ autem lineæ erunt ob- liquæ $uper $uperficiem corporis diaphani. Sed in præcedente capitulo [3. 6. 8. 4. 7 n] declaratum e$t, quòd lux, cum ext\~editur in corpore diaphano, & occurrerit alij corpori diaphano diuer$o à dia phanitate primi corporis, & linea, per quam exten$a e$t lux in primo corpore, fuerit perpendicula- ris $uper $uperficiem $ecundi corporis: tunc lux extendetur in rectitudine eius in $ecundo corpore: & $i linea, per quam extenditur lux, fuerit obliqua $uper $uperficiem $ecundi corporis: tunc lux re- fringetur. Et cuiuslibet puncti cuiuslibet corporis colorati, & lucidi exi$tentis in corpore dia- phano forma lucis & coloris extenditur in uniuer$o corpore diaphano, & peruenit ad oppo$itam $uperficiem corporis diaphani. Et $i fuerit aliud corpus oppo$itum contingens diaphanum, & fue- rit alterius diaphanitatis: tunc forma, quæ peruenit ad $uperficiem illius corporis diaphani, tran$it in corpus ip$um contingens: & omnes erunt refractæ, præterquam forma, quæ e$t in perpendicu- lari: extenditur enim $ecundum rectitudinem in corpore contingente. Et $i fortè perpendicula- ris ceciderit $uper punctum $uperficiei continuæ cum $uperficie corporis, quod non e$t in ip$o cor- pore diaphano: tunc illa forma delebitur, & tunc omnes formæ, quæ tran$eunt in corpus contin- gens, erunt refractæ. Ergo formæ omnium ui$ibilium, quæ $unt in aqua, & in cœlo, & in omni- bus corporibus diaphanis contingentibus aerem, quæ differunt à diaphanitate aeris, extendun- tur in uniuer$o aere oppo$ito $ecundum lineas rectas: & illæ lineæ, quæ fuerint ex i$tis lineis decli- natæ, per quas extenduntur formæ $uper $uperficiem aeris contingentis $uperficiem corporis dia- phani, habebunt formas refractas: & quæ fuerint ex illis perpendiculares $uper $uperficiem ae- ris, contingentis $uperficiem corporis diaphani, habebunt formas exten$as $ecundum rectitudi- nem ip$arum. Et cum iam declaratum $it, quòd à quolibet puncto cuiuslibet corporis colorati & lucidi extenditur forma lucis, & coloris in uniuer$o corpore diaphano, & peruenit ad $uperficiem eius, & refringitur à $uperficie eius: ergo forma, quæ extenditur ab uno puncto ad $uperficiem cor- poris diaphani, erit continua & coniuncta. Et cum forma fuerit continua, & $uperficies corpo- ris diaphani fuerit continua coniuncta, & forma fuerit refracta in alio corpore diaphano: tunc re- fringetur continua. Et cum forma refracta fuerit continua: & occurrerit corpus den$um: tunc for- ma perueniet ad illud corpus diaphanum: & $ic locus corporis diaphani, per quem extenditur for- ma puncti, quod e$t in primo corpore, quæ refringitur à $uperficie primi corporis, ad illum locum, cum fuerit lucidus coloratus, mittet formam lucis & coloris à quolibet puncto ip$ius per omnem lineam rectam, quæ poterit extendi ex illo puncto. Accidit ergo ex hoc, quòd $int lineæ refra- ctæ ad illum locum exlineis, per quas extenditur forma illius loci: & iam extendebatur forma cu- iuslibet puncti illius loci per unam illarum linearum refractarum. Forma ergo illius loci ex cor- pore den$o colorato lucido erit in loco ex $uperficie corporis diaphani, apud quem refringitur for- ma unius puncti exten$i ad illum locum $uperficiei corporis diaphani, quæ refringitur ad eundem locum corporis den$i. Ex quo $equitur, quòd forma loci corporis den$i, quæ extenditur ad illum locum corporis diaphani, refringitur ad ea$dem lineas exten$as ab uno puncto ad illum locum cor poris diaphani. Et cum formaloci corporis diaphani fuerit refracta $uper illas ea$dem lineas: tunc perueniet ad illud idem punctum. Ex quo declaratur, quòd $i imaginatus fuerit aliquis pyramidem exten$am à quolibet puncto aeris $ecundum lineas rectas, & pyramis fuerit coniuncta continua, & peruenerit illa pyramis ad $uperficiem corporis diaphani diuer$æ diaphanitatis ab aere, & ima- ginatus fuerit omnem lineam rectam, quæ po$sit extendi ex illa pyramide, refringi apud $uperfi- ciem corporis diaphani in loco, quem exigit eius declinatio: & $i aliqua fuerit perpendicularis, ex- tendetur rectè: tunc efficitur & hoc corpus continuum refractum in corpore diaphano, quod dif- fert à diaphanitate aeris. Et cum hoc corpus refractum peruenerit ad corpus den$um: tunc illud corpus den$um, $i fuerit coloratum & lucidum, mittet formam lucis & coloris, quæ $unt in ip$o, in hoc corpore refracto imaginato per quamlibet lineam rectam, quæ poterit extendi in hoc corpo- re refracto à linea exten$a in corpore pyramidis à puncto, quod e$t in aere. Nam omne corpus co- loratum lucidum propriè mittit formam $uam à quolibet puncto ip$ius per omnem lineam rectam, quæ poterit extendi ab illo puncto. Erit ergo forma puncti illius loci corporis den$i exten$a per quamlibet linearum refractarum ad illum locum corporis den$i. Perueniet ergo illius forma à cor- pore den$o, colorato, lucido ad locum $uperficiei corporis diaphani, in quem refringuntur illæ lineæ. Et cum peruenerit forma ad illum locum $uperficiei corporis diaphani, nece$$ariò refringe- tur per ea$dem lineas exten$as ad illum locum ab uno puncto, quod e$t in aere: forma autem, quæ e$t forma loci colorati corporis den$i, quod e$t in corpore diaphano, quod differt à diaphanitate aeris (& e$t $uper lineam, quæ e$t de numero illarum linearum, per quas extenditur forma ad cen- trum ui$us) forma, dico, quæ extenditur per illam lineam: peruenit ad centrum ui$us rectè. Formæ autem, quæ extenduntur per omnes alias lineas, quæ con$tituunt pyramidem exten$am à centro ui$us, erunt refractæ, non directæ. Et in primo tractatu [14. 17. 28 n] declaratum e$t, quòd aer re- OPTICAE LIBER VII. cipit formam ui$ibilium, & reddit eam omni corpori oppo$ito: & quòd aer deferens formam cum tetigerit ui$um: tran$ibit forma, quæ e$t in ip$o, in corpus ui$us: & $ic ui$us comprehendit ui$ibilia, quæ aer reddit ui$ui. Ex omnibus ergo i$tis patet, quod forma omnis corporis colorati, lucidi, exi- $tentis in corpore diaphano diuer$æ diaphanitatis à diaphanitate aeris, extenditur in corpore dia- phano, in quo exi$tit, & refringitur in aere, & extenditur in aere $ecundum lineas rectas: & quòd quædam lιnearum rectarum, per quas forma refringitur in aere, coniunguntur apud idem pun- ctum aeris. Et cum centrum ui$us fuerit apud illud punctum: tunc ui$us comprehendit illud ui- $um $ecundum refractionem: & $i aliquid ip$ius comprehenditur rectè: non erit ni$i unum pun- ctum tantùm. Hoc ergo modo comprehendit ui$us res, quæ $unt in aqua, & in cœlo, & omnia ui$i- bilia, quæ $unt ultra corpora diaphana, qu{ae} differunt à diaphanitate aeris.

14. Imago refracti ui$ibil{is} à medio quidem den$iore, inclinat ad perpendicularem à refra- ction{is} puncto excitatam: à rariore uerò ab eadem declinat. 4 p 10.

QVòd autem hoc uerum $it, $ic poterit experimentari. Accipiat ergo experimentator pr{ae}di- ctum in$trumentum, & ponat in ua$e, & ponat uas in loco lucido quacunque luce, ita ut lux perueniat ad interius ua$is, & infundat in uas aquam, quou$que perueniat ad centrum laminæ: deinde diminuat foramina cum cera, ita ut non remaneat de foraminibus, ni$i modicũ in medio eorum, & mittat in duobus foraminibus unum calamum, ita ut $patium, quod e$t inter duo foramina, $it determinatum: deinde moueat in$trumentum, donec diameter laminæ, $uper cu- ius extremitates $unt duæ lineæ perpendiculares in ora in$trumenti, $it perpendicularis $uper $u- perficiem aquæ. Deinde accipiat $tilum $ubtilem album, & mittat eum in uas, & eius extremita- tem ponat in puncto medij circuli, quod e$t differentia communis circumferentiæ medij circuli & lineæ perpendiculari in ora in$trumenti, quod e$t extremitas diametri circuli, qu{ae} tran$it per cen tra duorum foraminum. Deinde ponat experimentator alterum ui$um $uper $uperius foramen, & claudat reliquum, & intueatur oram in$trumenti, quæ e$t intra aquam: tunc enim uidebit extremi- tatem $tili. Declarabitur ergo ex hac experimentatione, quòd comprehen$io eius ad extremita- tem $tili e$t $ecundum rectitudinem perpendicularis, egredientis ab extremitate $tili $uper $uper- ficiem aquæ. Nam linea, quæ tran$it per centra duorum foraminum, in qua e$t centrum ui$us, & ex- tremitas $tili, ex cuius uerticatione comprehendit ui$us extremitatem $tili, $unt perpendiculares $uper $uperficiem aquæ. In primo autem libro [18. 19 n] patuit, quòd ui$us nihil comprehendit, ni- $i $ecundum rectitudinem linearum, quæ extenduntur per centrum ui$us. Vi$us ergo comprehen- dit extremitatem $tili à uerticatione lineæ, quæ tran$it per centra duorum foraminum. Et hæc li- nea extenditur ad extremitatem $tili rectè: & e$t perpendicularis $uper $uperficiem aquæ. Deinde oportet experimentatorem declinare in$trumentum, donec linea, quæ tran$it per centra duorum foraminum, $it obliqua $uper $uperficiem aquæ, & mittat $tilum in aquam, & ponat extremitatem eius $uper primum punctum, $cilicet $uper extremitatem diametri circuli medij, qu{ae} tran$it per cen tra duorum foraminum, & ponat ui$um $uum $uper $uperius foramen, & intueatur oram in$trumen ti, quæ e$t intra aquam: tunc enim non uidebit extremitatem $tili: deinde moueat $tilum ad partem contrariam illi, in qua e$t ui$us: & moueat extremitatem $tili per circumferentiam circuli medij $ua- uiter, & molliter, & intueatur oram in$trum\~eti: tunc enim uidebit extremitatem $tili: tunc figat ex- tremitatem $tili in $uo loco. Deinde pr{ae}cipiat alij, ut mittat in uas lignum aliquod uel acum perpen dicularem, neq; gro$$am, neq; gracilem, & ponat illam k b d o @ f u g z r e a apud $uperficiem aquæ in oppo$itione $ecundi fora- minis, ut $it apud centrum circuli medij, & intueatur experimentator interius ua$is: tunc non uidebit extre mitatem $tili: deinde præcipiat auferre lignum: & tunc uidebit extremitatem $tili: deinde figat extremitatem $tili in $uo loco, & leuet ui$um $uum à foramine, & au- ferat in$trumentũ $uum à ua$e, exi$tente extremitate $tili in $uo loco, & intueatur locum, in quo e$t extremi tas $tili: tunc enim uidebit inter ip$um & diametrum circuli medij di$tantiam $en$ibilem. Et $i mi$erit regu- lam $ubtilem in aquam in hora experimentationis, & acumen eius fecerit tran$ire per centrum lamin{ae}, & $i- gnauerit locum circuli medij, qui e$t apud extremita- tem regulæ, $igno, & ab$tulerit in$trumentum, & a$pe- xerit locum extremitatis $tili: uidebit locum extremi- tatis $tili etiam medium inter locum extremitatis regulæ & diametrum circuli medij. Deinde opor tet eum auferre in$trumentum, & infundere aquam in uas, & applicare uitrum laminæ, & ponere $uperficiem uitri {ae}qualem ex parte foraminum, & ponere differentiam communem, qu{ae} e$t in ip$o, $uper lineam $ecantem diametrum laminæ perpendiculariter. Sic ergo linea, qu{ae} tran$it per centra duorum foraminũ, erit perpendicularis $uper $uperfici\~e uitri æqualem & $uper $uperfici\~e eius con- uexã. Deinde ponat experimentator in$trumentũ in aquã, & mittat $tilũ in uas, & ponat extremita ALHAZEN tem $tili $uper extremitatem diametri circuli medij, & ponat ui$um $uum $uper $uperius foramen, & intueatur oram in$trumenti: tunc uidebit extremitatem $tili. Et $i mouerit extremitatem $tili, & extraxerit illam à puncto, quod e$t extremitas diametri medij circuli, non uidebit extremitatem $tili. Ex quo patet, quòd extremitatem $tili comprehendit rectè. Nam duo centra foraminum, & extremitas diametri circuli medij $unt in eadem linea recta: & experimentator non comprehen- dit extremitatem $tili in hoc $itu, cum extremitas $tili non fuerit $uper extremitatem diametri. Et $i euul$erit uitrum, & po$uerit ip$um è contrario, $cilicet ut ponat conuexum uitri ex parte duo- rum foraminum, & differentiam eius communem $uper primum locum, & expertus fuerit extre- mitatem $tili: etiam uidebit illam, cum fuerit in extremitate diametri circuli medij: ideo in hoc $i- tu etiam linea, quæ tran$it per centra duorum foraminum, ex cuius uerticatione comprehendit ui$us extremitatem $tili: erit perpendicularis $uper $uperficiem uitri æqualem, & $uperficiem eius conuexam. Deinde oportet experimentatorem euellere uitrum, & extrahere à centro laminæ li- neam rectam in $uperficie laminæ, quæ contineat cum diametro laminæ, $uper cuius extremitates $unt duæ lineæ perpendiculares in ora in$trumenti, angulum obtu$um: & extrahat illam, donec perueniat ad oram in$trumenti: deinde extrahat à centro laminæ lineam in $uperficie laminæ, quæ contineat cum prima linea angulum rectum: & protrahat illam in utramque partem: tunc hæc linea continebit cum diametro laminæ angulum acutum: & diameter laminæ erit obliqua $u- per hanc lineam. Deinde $uperponat uitrum laminæ, & ponat differentiam eius communem $u- per lineam, quam ultimò $ignauit in $uperficie laminæ, & ponat $uperficiem uitri æqualem ex par- te duorum foraminum, & ponat medium differentiæ communis $uper centrum laminæ. Sic ergo erit centrum uitri $uper centrum circuli medij, ut prius declaratum e$t: & linea, quæ tran$it per cen tra duorum foraminum, tran$ibit per centrum uitri. Et hæc linea erit obliqua $uper $uperficiem ui- tri æqualem: nam diameter laminæ illi æquidi$tans, e$t obliqua $uper differentiam communem, quæ e$t in uitro. Et hæc linea erit perpendicularis $uper $uperficiem uitri conuexam, [ut o$ten- $um e$t 25 n 4] quia tran$it per centrum eius. Deinde extrahat experimentator ab extremita- te lineæ, quam primò $ignauit in lamina, lineam perpendicularem in ora in$trumenti: & ducat il- lam ad circumferentiam circuli medij: & $int hæ lineæ nigræ. Erit ergo linea cum ab illo puncto extracta fuerit ad centrum circuli medij, quod e$t centrum uitri, perpendicularis $uper $uperficiem uitri æqualem, & $uper $uperficiem uitri $phæricam. Super $uperficiem autem uitri æqualem e$t perpendicularis, [per 8 p 11] quia e$t æquidi$tans primæ lineæ $ignatæ in lamina $uper differen- tiam communem, quæ e$t in uitro: $uper $phæricam uerò [per 25 n 4] quia tran$it per centrum e- ius. Punctum ergo, ad quod peruenit linea extracta in ora in$trumenti, quod e$t $uper circumferen- tiam circuli medij, e$t ca$us, in quem cadit perpendicularis, exiens à centro uitri $uper $uperficiem uitri planam. Deinde oportet experimentatorem ponere in$trumentum in uas, & ponere extremi- tatem $tili in puncto, quod e$t extremitas diametri circuli medij, & ponat experimentator $uum ui $um $uper $uperius foramen, & intueatur oram in$trumenti: tunc non uidebit extremitatem $tili: deinde moueat $tilum ad partem contrariam illi, in qua e$t ca$us perpendicularis: & tunc etiam nõ uidebit extremitatem $tili: deinde moueat $tilum ad partem illam, in qua e$t ca$us perpendicula- ris, & per circumferentiam circuli medij: tunc enim, $i motus fuerit $uauis, uidebit extremitatem $tili in $uo loco, in quo apparuit. Deinde præcipiat alicui cooperire centrum uitri tenui & $ubtili li- gno: & tunc non uidebit extremitatem $tili: & $i ab$tulerit coopertorium, uidebit ip$um. Ex hac ergo experimentatione patet, quòd cum ui$us comprehendit extremitatem $tili, e$t $ecundum re- fractionem: & quòd refractio e$t à centro uitri: & quòd forma refracta e$t in $uperficie circuli me- dij, quæ e$t perpendicularis $uper $uperficiem uitri æqualem, apud quam fit refractio ad perpendi- cularem, ut prius declaratum e$t [5 n.] Et $i experimentator a$pexerit locum extremitatis $tili: in- ueniet ip$um inter ca$um perpendicularis & extremitatem diametri circuli medij, quæ tran$it per centra duorum foraminum. Linea ergo, quæ exit ab extremitate $tili ad centrum uitri, cum exten- $a fuerit rectè in aere: perpendicularis exiens à centro uitri $uper $uperficiem uitri æqualem, erit media inter perpendicularem & lineam, quæ tran$it per centra duorum foraminum. Et forma ex- tremitatis $tili, quæ exten$a e$t ab extremitate $tili ad centrum uitri, exten$a e$t $uper hanc lineam, & exten$a e$t in rectitudine eius ad centrum uitri. Hæc enim linea e$t perpendicularis $uper $uper- ficiem uitri $phæricam, quæ e$t ex parte extremitatis. Deinde cum hæc forma fuerit refracta $uper lineam, quæ tran$it per centra duorum foraminum: lineæ radiales, quæ exeunt in hoc $itu à ui$u, non perueniunt ad uitrum, præter lineam, quæ tran$it per centra duorum foraminum: calamus e- nim, qui extenditur inter duo foramina, $ecat omnem in eam à ui$u exeuntem ad uitrum, præter- quam lineam, qu{ae} tran$it per centra duorum foraminum. Vi$us autem non comprehendit for- mas, ni$i ex uerticationibus harum linearum tantùm: ergo formæ non extenduntur ni$i rectè: er- go ui$us non comprehendit hanc formam, ni$i ex uerticatione huius line{ae} perpendicularis. Er- go qu{ae} extenditur rectè in aere, e$t perpendicularis $uper $uperficiem aeris contingentis $uperfi- ciem uitri {ae}qualem. Ergo h{ae}c refractio erit ad partem contrariam parti perpendicularis, exeuntis à loco refractionis $uper $uperficiem aeris. Nam linea, qu{ae} tran$it per centra duorum foraminum, magis di$tat à perpendiculari, qu{ae} extenditur in aere, quàm linea, qu{ae} exit ab extremitate $ti- li ad centrum uitri, qu{ae} extenditur in aere. Et h{ae}c forma exit à uitro, & refringitur in aere: & aer e$t $ubtilior uitro. Ethoc modo fiet refractio form{ae} de aqua ad aerem. Vi$us enim compre- OPTICAE LIBER VII. hendit extremitatem $tili in aqua ab i$to loco, $cilicet quia comprehendit extremitatem $tili, quan- do fuit inter ca$um perpendicularis & extremitatem diametri circuli medij, quæ tran$it per cen- tra duorum foraminum. Et illa forma etiam exiuit ab aqua, & refracta e$t in aere: & aer e$t $ubti- lior aqua. Deinde oportet experimentatorem euellere uitrum, & ponere ip$um $upra laminam extra huiu$modi $itum, $cilicet, ut ponat conuexum eius ex parte duorum foraminum, & ponat differentiam eius communem $uper lineam æqualem in $uperficie laminæ, in qua po$uerat illam in prædicto $itu, & ponat medium differentiæ communis $uper centrum laminæ: & $ic linea, quæ tran$it per centra duorum foraminum, erit obliqua $uper $uperficiem uitri æqualem, & perpendi- cularis $uper $uperficiem eius conuexam: & applicet uitrum in hoc $itu, & ponat in$trumentum in uas, & ponat extremitatem $tili $uper extremitatem diametri circuli medij, ut prius fecerat, & ponat ui$um $uum $uper $uperius foramen, & intueatur oram in$trumenti: non enim uidebit tunc extremitatem $tili: deinde moueat $tilum ad partem ca$us perpendicularis: & tunc non uidebit ex- tremitatem $tili: deinde moueat eundem ad partem contrariam illi, in qua e$t ca$us perpendicula- ris per circumferentiam medij circuli, & $uauiter: tunc enim uidebit extremitatem $tili. Sic ergo li- nea recta, quæ exit ab extremitate $tili ad centrum uitri, cum fuerit exten$a rectè in corpore uitri, & exten$a fuerit cum ip$a perpendicularis exiens à centro uitri: erit linea, quæ tran$it per centra duorum foraminum, media inter duas lineas. Et forma extremitatis $tili, quæ extenditur $uper hanclineam, cum fuerit exten$a ad centrum uitri: refringetur $uper lineam, quæ tran$it per centra duorum foraminum. Erit ergo refractio i$ta ad partem perpendicularis exeuntis à loco refractio- nis $uper $uperficiem uitri. Et hæc forma exit ab aere, & refringitur in uitro: & uitrum e$t gro$sius aere. Ex omnibus ergo i$tis experimentationibus patet, quòd ui$us comprehendit ui$ibilia, quæ $unt in aqua, & ultra corpora diaphana, quæ differunt à diaphanitate aeris, $ecundum refractio- nem, præterquam illa, quæ $unt $uper lineas perpendiculares $uper $uperficiem corporis diapha- ni, in quo exi$tit: & quòd refractio formarum ip$orum e$t in $uperficiebus perpendicularibus $u- per $uperficies corporum diaphanorum. Omne enim quod experimentatum e$t per prædictum in- $trumentum, inuenitur refringi in $uperficie medij circuli, de quo patuit, [5 n] quòd e$t perpendi- cularis $uper $uperficies corporum diaphanorum, & $uper $uperficies corporum contingentium $uperficies eorum. Ex hac ergo experimentatione declarabitur etiam, quòd formæ, quæ compre- henduntur à ui$u $ecundum refractionem, quæ exeunt à gro$siore corpore diaphano ad $ubtilius, refringuntur ad partem contrariam illi, in qua e$t perpendicularis exiens à loco refractionis $uper $uperficiem corporis diaphani: & quæ exeunt à $ubtiliore ad gro$sius, refringuntur ad partem, in qua e$t perpendicularis prædicta.

15. Stella uidetur refractè. 49 p 10.

STellæ autem comprehenduntur etiam $ecundum refractionem: nam corpus cœli e$t $ubtilius corpore aeris, id e$t maioris diaphanitatis. Hoc autem pote$t experimentari experimentatio- ne, quæ o$tendet, quòd $tellæ comprehendantur $ecundum refractionem: ex quo patebit e- tiam, quòd corpus cœli e$t magis diaphanum corpore aeris. Et cum quis hoc uoluerit experiri, ac- cipiat in$trumentum de armillis, & ponat illud in loco eminente, in quo poterit apparere hori- zon orientalis, & ponat in$trumentum armillarum $uo modo proprio: $cilicet ut ponat armillam, quæ e$t in loco circuli meridionalis, in $uperficie circuli meridiei, & polus eius $it exaltatus à terra $ecundum altitudinem poli mundi $upra horizontem loci, in quo ponitur in$trumentum: & in no- cte ob$eruet aliquam $tellarum fixarum magnarum, quæ tran$it per uerticem capitis illius loci, aut prope, & ob$eruet illam ab ortu $uo in oriente: $tella autem orta, reuoluat armillam, quæ reuo lui- tur in circuitu poli æquinoctialis, donec fiat æquidi$tans $tellæ, & certificetur locus $tellæ exar- milla: & $ic habebit longitudinem $tellæ à polo mundi. Deinde ob$eruet $tellam, quou$que per- uenerit ad circulum meridiei, & reuoluat armillam, quam prius mouerat, donec fiat æquidi$tans $tellæ: & $ic habebit longitudinem $tellæ à polo mundi, cum $tella fuerit in uertice capitis. Hoc au- tem facto, inueniet remotionem $tellæ à polo mundi in a$cen$ione, minorem remotione eius à po- lo mundi in hora exi$tentiæ eius in uertice capitis. Ex quo patet, quòd ui$us comprehendit $tellas refractè, non rectè: Stella enim fixa $emper mouetur per eund\~e circulũ de circulis æquidi$tantibus æquatori, & nunquam exit ab ip$o, ita ut appareat, ni$i in longi$simo tempore. Et $i $tella compre- henderetur rectè: tunc lineæ radiales extenderentur à ui$u rectè ad $tellas, & extenderentur for- mæ $tellarum per lineas radiales rectè, quou$que peruenirent ad ui$um. Et $i forma extendere- tur à $tella recte ad ui$um: tunc ui$us comprehenderet eam in $uo loco: & $ic inueniret di$tantiam $tellæ fixæ à polo mundi in eadem nocte eandem: Sed di$tantia $tellæ mutatur eadem nocte à po- lo mundi: ergo ui$us non rectè comprehendit $tellam. In cœlo autem non e$t corpus den$um ter- $um, nec in aere, à quo po$sint formæ reflecti. Et cum ui$us non comprehendat $tellam rectè, nec $ecundum reflexionem: ergo $ecundum refractionem, cùm his $olis tribus modis compre- hendantur res à ui$u [per 1 n 4. 1 n.] Ex diuer$itate ergo di$tantiæ eiu$dem $tellæ in eadem no- cte à polo mundi, patet procul dubio, quòd ui$us comprehendat $tellas refractè: Ergo corpus, in quo $unt $tellæ fixæ, differt in diaphanitate ab aere. Præterea pote$t experimentari diapha- nitas corporis cœli per experimentationem lunæ. Nam cum æquaueris locum lunæ in aliqua ho- ra prope ortum eius, & pò$t in nocte nota, & in loco noto uerificaueris locum eius à polo mundi, ALHAZEN deinde po$ueris in$trumentum horarum in illa nocte ante ortum lun{ae}, & $ciueris altitudinem lun{ae}, & ob$eruaueris lunam u$q; ad ortum eius, & perueniat tempus in in$trumento ad minutum idem eiu$dem horæ, quod habet luna, & ob$eruaueris altitudinem lunæ, quam habet in illa hora à uerti- ce capitis, & ob$eruaueris, ut in$trumentum eleuationis $it diui$um per minuta, & per minora mi- nutis, $i po$sibile e$t: tunc inuenies di$tantiam lunæ à uertice capitis in illa hora per in$trumen- tum, minorem $patio remotionis à uertice capitis in illa hora per computationem. Ergo lux lunæ non extenditur per duo foramina in$trumenti, per quæ $umpta e$t eleuatio rectè: tunc enim di$tan tia eius à uertice capitis e$$et eadem cum illa, qu{ae} e$t inuenta per computationem: Sed di$tantia in- uenta per computationem, differt à di$tantia per in$trumentum. Ergo lux lunæ non extenditur à cœlo ad aerem per lineas rectas: ergo $ecundum refractionem. Ex his ergo experimentationibus patet, quòd ui$us comprehendit omnes $tellas, quæ $unt in cœlo refractè. Ergo uniuer$um cœlum differt à diaphanitate aeris. Re$tat ergo declarare, quòd corpus cœli differt in $ubtilitate ab aere: & hoc declarabitur per experimentationem prædictam.

16. Cœlum rari{us} e$t aere & igne. 50 p 10.

SIt ergo circulus meridiei in loco experimentationis circulus a b g: & zenith capitis b: & polus mundi d: & centrum mundi e: & continuemus b cum e: & $it locus ui$us z: & circulus æquidi- $tans æquinoctiali (cuius di$tantia à poli mundi e$t illa, in qua inuenitur $tella in hora certifica tionis di$tanti{ae} primæ) circulus h t: & $it locus $tellæ in illa hora h: & $it circulus æquidi$tans æqui noctiali (cuius di$tantia à polo e$t illa, in qua inuenitur $tella in $ecunda hora) circulus k b: i$te ergo circulus erit ille, in quo requie$cet $tella $ecundum uerticationem. Nam cum $tella fuerit in uertice capitis, aut ualde prope: tunc ui$us comprehendet illam rectè: [per 13 n] quia linea recta, quæ tran$it per ui$um & per uerticem capitis, e$t perpendicularis $uper concauum $phæræ cœli & perpendicu laris $uper conuexum aeris: & cum $it perpendicularis $uper utrumq; corpus: ergo ui$us compre- hendit $tellam, quæ e$t $uper lineam hanc rectè, $iue hæc duo corpora cœli & aeris fuerint diuer$æ diaphanitatis, $iue con$imilis. Cum ergo $tella fuerit in uertice capitis, aut prope: ui$us comprehen- dit illam in $uo uero circulo æquidi$tante æquinoctiali, $uper qu\~e mouebatur ab initio noctis, quo- u$q; peruenit ad circulum meridiei. Circulus ergo k b g e$t ille, in quo erat $tella in experimentatio- ne prima: & $it circulus uerticationis, qui tran$it per $tellam in hora experimentationis primæ cir- culus b h k: & $ecet ille circulus circulum k b g in puncto k, & circulum h t in puncto h. Et quia di- $tantia $tell{ae} à polo mundi fuit in prima experimen k h b m z d e a t i g tatione minor, quàm in $ecũda: erit circulus h t pro pinquior polo, circulo k b g: ergo punctũ h e$t pro- pinquius zenith capitis, quàm punctum k: & conti nuemus duas lineas h z, k z. Quia ergo $tella com- prehenditur à ui$u in hora experimentationis pri- m{ae} in puncto h: & tunc erat in $uperficie circuli b h k uerticalis: & $tella erat in illa hora in circumferen tia k b g: ergo $tella erat in illa hora in puncto k: & comprehenditur à ui$u in puncto h, & per rectitudi nem lineæ z h: ui$us enim nihil comprehendit, ni$i per uerticationes linearum radialium, per quas for mæ perueniunt ad ui$um. Vi$us ergo cõprehendit $tellam in puncto h: quia forma peruenit ad illũ in rectitudine lineæ h z. Et cum ui$us cõprehendat illam in rectitudine h z: & linea recta, quæ e$t inter $tellam & ui$um, $it linea k z: manife$tum e$t ergo, quòd ui$us non comprehendit $tellam, quæ e$t in puncto k rectè: ergo refractè. Sit ergo locus refractionis m: & continuemus k m: & protrahamus ab m rectã u$q; ad z. Forma ergo $tellæ, quæ peruenit ad z, ex qua ui$us comprehendit $tellam: extendi tur à $tella perlineam k m, & refringitur per lineam m z: & non refringuntur formæ, ni$i cum occur- rit corpus diuer$æ diaphanitatis à diaphanitate corporis, in quo exi$tit. Ergo corpus, in quo e$t $tel la, $cilicet cœlum, e$t diaphanũ differens in diaphanitate ab aere. Et quia locus refractionis e$t apud $uperficiem, quæ tran$it in duo corpora, quæ differunt in diaphanitate: punctum ergo m e$t pun- ctum in concauitate cœli. Et continuemus lineam inter e, m: & $it diameter $phær{ae} cœli: erit ergo li- nea e m perpendicularis $uper $uperficiem cœli concauam contingentem aerem, & $uper $uperfi- ciem aeris conuexam: [ut demon$tratum e$t 25 n 4.] Et cum forma $tellæ, quæ e$t in puncto k, exten datur per lineam m k, & refringatur in aere per lineam m z: patet, quòd hæc refractio e$t ad lineam, in qua e$t perpendicularis e m, quæ tran$it per punctum refractionis, quæ e$t perpendicularis $u- per $uperficiem aeris. Et cum refractio in aere $it ad partem perpendicularis exeuntis à loco refra- ctionis: ergo corpus aeris e$t gro$sius corpore cœli. Patet ergo, quòd hoc, qùod inuenimus per ex- perimentation\~e $tellarũ, $ignificat demõ$tratiuè, quòd ui$us nõ comprehendit $tellas, ni$i refractè: & quòd corpus aeris e$t gro$sius corpore cœli: & quòd corpus cœli e$t $ubtilius corpore aeris. Ex his ergo omnibus patet, quòd omnia, qu{ae} cõprehendũtur à ui$u ultra corpora diaphana, quorũ dia phanitas differt à diaphanitate aeris ($i ui$us fuerit obliquus à perpendicularibus egredientibus ex ip$is $uper $uperficiem diaphanorum corporum, in quibus con$i$tunt) comprehenduntur refractè.

OPTICAE LIBER VII. DE IMAGINIBVS. CAP. V. 17. Imago (quæ e$t forma refracti ui$ibil{is} à medio diuer$o) extra ui$ibil{is} locum uidetur. in defin. 11 p 10.

IMago e$t forma rei ui$ibilis, quam ui$us comprehendit ultra diaphanum corpus, quod differt in $ua diaphanitate à diaphanitate aeris, cum ui$us fuerit obliquus à perpendicular b. exeuntib. ab illo ui$ibili ad $uperficiem illius corporis diaphani. Nam forma, quam cõprehendit ui$us in cor- pore diaphano de re ui$a, quæ e$t ultra ip$um corpus, non e$t ip$a res ui$a: quoniam ui$us tunc non comprehendit rem ui$am in $uo loco, neque in $ua forma, $ed in alio loco & in alio modo, $cilicet re fracte: & cum hoc comprehendit illam rem in $ua oppo$itione: h{ae}c autem forma dicitur imago. Hoc autem comprehenditur ratione & experientia. Ratione, quoniam ex pr{ae}dicto capitulo patet, quòd ui$um, quod e$t in diaphano corpore diuer${ae} diaphanitatis ab aere, comprehenditur à ui$u refractè, cum ui$us fuerit decliuis à perpendicularib. exeuntibus à re ui$a $uper $uperficiem corporis diapha ni. Et cum ui$us comprehendit huiu$modi ui$um refractè, nec e$t in oppo$itione eius, non cõpreh\~e dit ip$um rectè, nec $entit $e compreh\~edere ip$um refractè: patet, quòd comprehendit ip$um extra $uum locum. Per experientiam uero $ic pote$t cogno$ci. Nam $i aliquis acceperit uas habens oras erectas perpendiculares, in cuius medio po$uerit aliquod ui$um manife$tum, ut obolum aut dena- rium, & $teterit à longè, quou$q; uiderit rem ui$am in profundo ua$is: deinde elongauerit $e à re ui- $a, quou$que non uideat rem paulatim: tunc in initio occultationis $tet in $uo loco, & præcipiat alte ri infundere aquam in uas ip$o exi$tente in $uo loco, nec moueat ui$um, nec mutet $itum: tunc enim cum a$pexerit aquam, quæ e$t in ua$e: uidebit rem ui$am, po$tquam non uiderat eam, & uidebit eã in eius oppo$itione. Ex quo patet, quòd forma, quam uidet in aqua, nõ e$t in loco ui$i. Nam $i forma e$$et in loco ui$i: tunc ui$us compreh\~ederet rem ui$am non exi$tente aqua in ua$e: ui$us enim in $e- cundo $tatu comprehendit rem ui$am in $ua oppo$itione, ip$a non exi$t\~ete in $ua oppo$itione. Hoc ergo modo declarabitur utroque modo, ratione uidelicet & experientia, quòd imago rei ui$æ, quã ui$us comprehendit refractè, non e$t in loco rei ui$æ.

18. Imago uideturin concur$u linearum refraction{is}, & perpendicular{is} incidentiæ. 15 p 10.

DEinde dico, quòd imago cuiuslibet puncti, quod ui$us comprehendit refractè, e$t in puncto, quod e$t differentia communis lineæ, per quam forma peruenit ad ui$um, & perpendicula- ri, exeunti ab illo puncto ui$o $uper $uperficiem diaphani corporis. Hoc autem declarabitur per experientiam hoc modo. Accipiat aliquis circulum ligneum, cuius diam eter non $it minor uno cubito, altitudo duorum ueltrium digitorum, & ad{ae}quet $uperficies eius quantumcunque poterit: & inueniat centrum eius, & extrahat in ip$o diametros $e$e inter$ecantes quomodocunque uolue- rit, & $ignentur ferro, ut appareant, & impleat lineas illas corpore albo, ut ceru$a mixta lacte: & pun ctum centri $it nigrum. Hoc autem perfecto, accipiat uas amplum, ut peluim habens oras eleuatas, & ponat uas in loco lumino$o, & infundat in uas aquam claram, & $it altitudo aquæ minor diame- tro circuli, & maior $emidiam etro eius, & men$uretur hoc ip$o circulo, quou$que aqua tran$eat cen trum circuli aliquot digitis, duabus $cilicet diametris aut pluribus $ignatis in ip$o ua$e, $cilicet, ut $it aqua cooperiens aliquam partem utriu$que diametri, & remaneat altera pars extra aquã, & ex- pectet, donec aqua quie$cat in ua$e, & tunc mittat circulum ligneum in uas, & erigat circulum $u- per oram ip$ius, & ponat $uperficiem ip$ius, in qua $unt lineæ $ignatæ, ex parte ui$us: deinde moue- at circulum, donec aliqua $uarum diametrorum $it perpendicularis $uper $uperficiem aquæ: dein- de dimittat ui$um $uum, & erigat uas, quou$que ui$us $imul appropinquet æquidi$tantiæ $uperfi- ciei aquæ, & extra oram ua$is, & $upra $uperficiem aquæ in tantùm, ut po$sit uidere centrum circu- li: experientia enim $ecundum hunc modum erit manife$tior. Hoc ergo facto, intueatur centrũ cir- culi & diametrum circuli perpendicularem $uper $uperficiem aquæ: tunc enim inueniet centrum circuli in rectitudine diame@ri perpendicularis. Deιnde intueatur diametrum circuli decliuem, cu- ius pars eminet $upra aquam: tunc enim inueniet ip$am incuruatam: cuius incuruatio erit apud $u- perficiem aquæ: & illa pars, quæ e$t intra aquam, continet cum illa, quæ e$t extra aquam, angulum obtu$um: & inueniet angulum ex parte diametri perpendicularis: & inueniet illud, quod e$t intra aquam, rectum & continuum. Ex quo patet, quòd forma puncti, quod e$t centrum circuli, $cilicet forma, quam ui$us comprehendit, non e$t apud centrum circuli. Nam $i e$$et apud centrum circu- li: tunc e$$et in rectitudine diametri decliu@s: nam in rei ueritate talem habet $itum. Cum ergo ui$us comprehendit hoc punctum extra rectitudinem diametri decliuis, & anguli, quem continent par- tes diametri decliuis, $equuntur diametrum perpendicularem: tunc punctum, quod e$t forma cen- tri, e$t eleuatum à centro. Et quia ui$us comprehendit hoc punctum in rectitudine diametri, per- pendicularis $uper $uperficiem aquæ: erit hoc punctum, quod e$t forma puncti, quod e$t in centro, eleuatum à centro: & cum hoc, e$t in rectitudine perpendicularis, exeuntis à centro $uper $uperfi- ciem aquæ. Et declarabitur ex incuruatione diametri decliuis apud $uperficiem aquæ, & rectitu- dine eius, quod e$t ntra aquam ex diametro, & continuatione eius: quòd omne punctum partis, quæ e$t intra aquã ex diametro decliui, e$t eleuatum à $uo loco. Deinde oportet experim\~etatorem reuoluere cιrculum ligneum, quou$que diameter decliuis fiat perpendicularis $uper $uperficiem ALHAZEN aquæ, & diameter, quæ erat perpendicularis, fiat decliuis: deinde dimittat ui$um $uum, & intueatur centrum: & tunc inueniet formam centri in rectitudine diametri, quæ nunc e$t perpendicularis $u- per $uperficiem aqu{ae}, extra cuius rectitudinem erat forma centri, quando erat decliuis: & inueniet formam extra rectitudinem diametri, quæ e$t nunc decliuis, quæ prius erat perpendicularis $uper $uperficiem aquæ: & inueniet diametrum decliuem incuruatam apud $uperficiem aquæ: & angulus incuruationis erit ex parte diametri decliuis. Et $i fuerint in circulo plures diametri, & reuoluerit experimentator circulum, quou$que unaqu{ae}que earum fuerit perpendicularis $uper $uperficiem aquæ $ucce$siuè, & fuerit diameter, quæ $equitur illam diametrum, decliuis, & aliqua pars eius fue- rit extra aquam: tunc inueniet formam puncti, quod e$t centrum circuli, $emper in rectitudine dia- metri perpendicularis, & eleuatam à rectitudine diametri decliuis, & $emper inueniet illud, quod e$t intra aquam, rectum. Ex omnibus ergo i$tis patet, quòd forma cuiuslibet puncti comprehen$i à ui$u in corpore diaphano gro$siore corpore aeris: comprehenditur extra $uum locum & eleuatum à $uo loco, & in rectitudine perpendicularis exeuntis ab illo puncto $uper $uperficiem corporis dia phani: cum linea, quæ continuat centrum ui$us cum illo puncto, non fuerit perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani: omne autem punctum comprehenditur à ui$u in eius oppo$itio- ne, & in rectitudine lineæ rectæ, per quam extenditur forma ad ui$um, [per 19. 21. 38 n 1. 13 n.] Pun- cta ergo, qu{ae} comprehendit ui$us refractè, comprehenduntur in eius oppo$itione, & in rectitudine lineæ rect{ae}, per quam forma peruenit ad ui$um. Hoc autem declarabitur per experimentationem comprehen$ionis rerum ui$ibilium $ecundum refractionem per illud in$trumentum prædictum. Nam $i experimentator clau$erit $ecundum foramen, quod e$t in in$trumento: tunc non compre- hendet rem ui$am, quam comprehendebat $ecundum refractionem: & cum clau$erit $ecundum fo- ramen, nihil aliud facit, ni$i $ecare lineam rectam imaginabilem, quæ exit à centro ui$us ad locum refractionis. Ex quo patet, quòd forma, quæ extenditur à ui$u in corpore diaphano, in quo res ui- $a e$t, & refringitur in corpore diaphano, in quo e$t ui$us: extenditur per lineam rectam, quæ exit à centro ui$us ad locum refractionis: & quod omne punctum, quod comprehenditur à ui$u in corpo re diaphano magis gro$$o, quàm $it corpus aeris ($i centrum ui$us fuerit extra perpendicularem, exeuntem ab illo puncto $uper corpus diaphanum) comprehenditur in puncto, quod e$t differen- tia communis line{ae}, $uper quam peruenit forma ad ui$um, & perpendiculari, exeunti à puncto ui- $o $uper $uperficiem corporis diaphani, quod e$t ex parte ui$us. Si autem experimentator uolue- rit experiri imaginem rei ui$æ, cuius forma refrin- h m k o n q e f p g i gitur à corpore $ubtiliore ad corpus gro$sius: acci- piat fru$tum uitri, cuius $uperficies $int æquatæ & æquidi$tantes, habens in longitudine octo digi- tos, & in altitudine quatuor, & in $pi$situdine qua- tuor: & accipiat circulum ligneum prædictum, & $ignet in dor$o eius chordam in longitudine dec\~e digitorum, & diuidat illam in duo æqualia, & con- tinuet locum diui$ionis cum c\~etro cιrculi linea re cta, quæ tran$eat in utram que partem: hæc ergo li nea erit perp\~edicularis $uper lineam primam [per 3 p 3.] Deinde continuet alteram extremitatem chordæ cum centro circuli linea recta, quæ etiam tran$eat in utramque partem. Et hæ duæ diame- tri $int $ignat{ae} ferro, quarum alteram impleat cor- pore albo, & aliam alterius modi colore. Deinde ponat uitrum longum $uper dor$um in$trumenti circuli lignei, & $uperponat alteram extremitatem longitudinis e@us medietati chordæ, & di$tinguat de uitro tres digitos, ex quibus duo erunt ex par te diametri decliuis extra circulum, & remanebit de longitudine uitri unus digitus: qui erit ultra diametrum perpendicularem $uper chordam: & $it corpus uitri ex parte centri: & applicet uitrum $ecundum hunc $itum circulo ligneo applicatione fixa. Sic ergo diameter perpendicularis $uper chordam, erit perpendicularis $uper extremitates uitri {ae}quidi$tantes, & altera diameter erit decli- uis $uper has duas $uperficies. Deinde oportet, ut experimentator ponat oram circuli, in qua e$t extremitas uitri eminens ex parte $ui ui$us, & ponat alterum ui$um in differentia communi circũ- ferentiæ & extremitati uitri, quæ e$t extremitas diametri decliuis, & appropinquet ui$um $uum ui- tro, quantum poterit, ita, ut non po$sit per illum uidere ex $uperficie aliquid, pr{ae}ter extremitatem diametri decliuis: reliquus autem ui$us $it in parte, in qua e$t uitrum & circulus: deinde cooperiat illud, quod opponitur alteri ui$ui ex $uperficie uitri cum bombace: quam applicet $uper aliquam partem uitri, ita ut comprehendat diametrum decliuem, quæ e$t ultima linea per unum ui$um, qui contingit uitrum: & non uideat ultra hanc lineam, & uideat lineam albam perpendicularem utro- que ui$u. Ip$o autem exi$tente in hoc $itu, intueatur centrum circuli, & inueniet illud in rectitudi- nelineæ albæ, qu{ae} e$t perpendicularis $uper $uperficiem uitri: & intueatur diametrum decliuem, apud cuius extremitatem tenet ui$um $uum: & tunc uidebit eam incuruatam apud $uperficiem ui- tri, quæ e$t ex parte centri, & inueniet angulum incuruationis ex parte circumferentiæ: ui$us au- OPTICAE LIBER VII. tem comprehendet partem huius diametri decliuis, quæ e$t $ub uitro in rectitudine. Et quia ui$us tangit $uperficiem uitri, & diametri perpendicularis una pars e$t $ub uitro, alia extra uitrum ex par te centri, altera extra uitrum ex parte extremitatis diametri: pars igitur, quæ $ub uitro e$t, compre- henditur à ui$u extra uitrum $ecundum refraction em: & pars, quæ e$t parte extremitatis diametri, comprehenditur à ui$u extra uitrum: qui ui$us e$t extra uitrum rectè & $ine refractione: pars au- tem quæ e$t ex parte centri, comprehenditur ab utroque ui$u $ecundum refractionem. Nam line{ae}, quæ exeunt à centro ui$us contingentis uitrum, & extenduntur in corpore uitri, quando perue- niunt ad $uperficiem uitri, quæ e$t ex parte extremitatis centri, omnes erunt decliues $uper $uper- ficiem uitri. Pars ergo, quæ e$t ex parte centri ex diametro perpendicularis, comprehenditur à ui$u contingente uitrum $ecundum refractionem. Lineæ uerò, quæ exeunt à reliquo ui$u ad $uperio- rem $uperficiem uitri, erunt decliues $uper $uperficiem uitri $uperiorem: & cum extenduntur $u- per $uperficiem aliam uitri, quæ e$t ex parte centri, erunt etiam decliues: reliquus ergo ui$us com- prehendit partem diametri perpendicularis, quæ e$t ex parte centri, duabus refractionibus: par- tem autem, quæ e$t $ub uitro, una $ola refractione: & cum hoc toto, ui$us comprehendit hanc dia- metrum rectam. Et $i experimentator cooperuerit alterum ui$um, & a$pexerit per ui$um, qui ex parte uitri: comprehendet perpendicularem rectam. Et $i eleuauerit ui$um $uum à uitro, & intu- ens $uerit diametrum perpendicularem ultra uitrum: comprehendet ip$am rectam, cum hoc, quòd comprehendit ip$am $ecundum refractionem. Cau$$a autem huius e$t, quòd omne punctum dia- metri perpendicularis, quando comprehenditur à ui$u $ecundum refractionem, comprehenditur non in $uo loco, $ed tamen comprehenditur in loco, qui e$t in rectitudine perpendicularis, quæ exit ab illo $uper $uperficiem uitri: & i$ta diameter e$t perpendicularis, quæ exit à quolibet puncto eius ad $uperficiem uitri: & nullum punctum comprehenditur refractè, ni$i $uper ip$am. Cum er- go ui$us comprehendit hanc diametrum rectam, & comprehendit formam centri in rectitudine hu ius diametri: forma centri, quam ui$us comprehendit ultra uitrum, quando ui$us tangit uitrum, e$t in rectitudine perpendicularis exeuntis à centro $uper $uperfici\~e uitri. Et cum cõprehenderit dia- metrũ decliuem incuruatam: cõprehendet partem eius, quæ exit à centro, quæ e$t ex parte centri, non in $uo loco: & punctum centri non comprehenditur à ui$u, ni$i præter fuuum locum. Et cum angulus incuruationis fuerit ex parte circumferentiæ: tunc punctum, quod e$t forma centri, e$t $ub centro. Ex quo patet, quòd imago cuiuslibet puncti comprehen$i à ui$u ultra corpus diapha- num, $ubtilius corpore diaphano, quod e$t in parte ui$us, e$t in rectitudine lineæ, quæ exit ab illo puncto, perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani, quod e$t in parte ui$us: & e$t remo- tior à $uperficie corporis diaphani, quod e$t in parte ui$us, quàm ip$um punctum. Et omne pun- ctum comprehen$um à ui$u, e$t in rectitudine lineæ, per quam forma peruenit ad ui$um. Et imago cuiuslibet puncti comprehen$i à ui$u ultra corpus diaphanum, $ubtilius corpore diaphano, quod e$t ex parte ui$us, e$t in differentia communi lineæ, per quam forma peruenit ad ui$um, & perpen- diculari, quæ exit à puncto ui$o $uper $uperficiem corporis diaphani, quod e$t ex parte ui$us. Ex omnibus ergo i$tis declaratis in hoc capitulo patet, quòd imago cuiuslibet puncti ui$i, comprehen- $i à ui$u ultra corpus diaphanum diuer$æ diaphanitatis à diaphanitate corporis, quod e$t in parte ui$us (cum ui$us fuerit decliuis à perpendicularib exeuntibus ab illa re$uper $uperficiem corporis diaphani, quod e$t in parte ui$us) e$t in differentia communilineæ, per quam forma illius pun- cti peruenit ad ui$um, & perpendiculari, quæ exit ab illo puncto $uper $uperficiem corporis dia- phani, quod e$t in parte ui$us: $iue corpus diaphanum, quod e$t in parte ui$us, $it $ubtilius corpo- re diaphano, quod e$t in parte rei ui$æ: $iue gro$sius. Quare autem ui$us comprehendat rem ui- $am in loco imaginis, & quare imago $it in loco $ectionis inter lineam, per quam forma peruenit ad ui$um, & inter perpendicularem, quæ exit à puncto ui$o ad $uperficiem corporis diaphani, po- $tea dicetur.

19. Imago uidetur tum in linea refraction{is}, tum in perpendiculari incidentiæ. 12. 13. 18 p 10.

QVòd autem ui$us comprehendat formam puncti ui$i, quam compreh\~edit refractè, etiam in rectitudine lineæ, per quam forma peruenit ad ui$um, manife$tum e$t: & cau$$a eius decla- rata e$t in prædictis tractatibus: & e$t: quoniam ui$us nihil comprehendit, ni$i in rectitudi- ne linearum radialium: non enim patitur, ni$i in uerticationibus i$tarum linearum. Quare autem comprehendat formam per perpendiculares, exeuntes à re ui$a $uper $uperficiem corporis diapha- ni: e$t: quia, ut in $ecundo libro declarauimus: quando lux extenditur in corpore diaphano, exten- ditur per motum ueloci$simum: & in quarto capitulo huius tractatus [8 n] declarauimus, quòd motus lucis in corpore diaphano $uper lineam decliuem $uper $uperficiem illius corporis, e$t com- po$itus ex motu $uper perpendicularem, exeuntem à puncto, in quo extenditur lux, $uper $uperfi- ciem illius corporis diaphani, & ex motu $uper lineam, quæ e$t perpendicularis $uper hanc perpen dicularem. Forma autem, quæ extenditur à puncto ui$o refractè ad locum refractionis (quæ e$t for ma lucis exi$tens in puncto ui$o mixta cum forma coloris) $emper extenditur $uper lineam decli- uem $uper $uperficiem corporis diaphani. Hæc igitur forma extenditur ad locum refractionis mo- tu compo$ito ex motu $uper perpendicularem, quæ exit à puncto ui$o $uper $uperficiem corporis diaphani, & ex motu $uper lineam, quæ e$t perpendicularis $uper hanc perpendicularem. E$t ergo ALHAZEN motus formæ, quæ mouetur, aut $uper perpendicularem, quæ e$t $uper $uperficiem corporis dia- phani, & deinde translata e$t ab hac perpendiculari alio motu: aut $uper perpendicularem, quæ exi $tit $uper primam perpendicularem, & translata e$t po$t motum ip$ius $uper primam perpendicu- larem motu compo$ito ex prædictis duobus motibus. Hoc autem punctum comprehenditur à ui- $u in rectitudine lineæ, per quam forma peruenit ad ui$um. Forma ergo exi$tens in loco refractio- nis peruenit ad ip$um per motũ formæ, quæ mouetur $uper lineã perpendicular\~e $uper $uperfici\~e corporis diaphani: deinde translata e$t ab hac perpendiculari per motum in rectitudine lineæ, per quam forma peruenit ad ui$um. Forma autem, quæ e$t $uper perpendicularem exi$tentem $uper $uperficiem corporis diaphani: & deinde mouetur in rectitudine lineæ, per quam forma extendi- tur ad ui$um: e$t forma, quæ extenditur à puncto ui$o $uper $uperficiem corporis diaphani, donec perueniat ad punctum $ectionis inter hanc perpendicularem, & lineam, per quam forma extendi- turad ui$um. Forma igitur puncti, quam ui$us comprehendit refractè ultra corpus diaphanum, e$t per motum formæ, quæ peruenit ad ui$um à loco imaginis. Vi$us autem comprehendit hanc for- mam ex loco imaginis: quia e$t per motum formæ, quam ui$us comprehendit rectè, & $ine refractio ne: & e$t locus, qui di$tat tantùm à ui$u, quantùm punctum imaginis: cuius $itus, in re$pectu ui$us, e$t $itus formæ, qu{ae} e$t in loco imaginis: unde ui$us comprehendit illud punctum $ecundum refra- ctionem in loco imaginis. H{ae}c autem e$t cau$$a, propter quam ui$us comprehendit rem ui$am ultra corpus diaphanum in loco imaginis, & propter quam imago cuiuslibet puncti rei ui$æ comprehen $æ $ecundum refractionem, e$t in loco, in quo linea, per quam forma peruenit ad ui$um, $ecat per- pendicularem, exeuntem à puncto illo $uper $uperficiem corporis diaphani.

20. Vi$ibile refractum à medio (quod $ectum plano, facit communem $ectionem lineam re- ctam aut peripheriam) unam habet imaginem. 29. 30 p 10.

HOc autem declarato: dicamus quòd omne ui$um comprehen$um à ui$u ultra aliquod cor- pus diaphanũ, quod differt in diaphanitate à corpore, quod e$t in parte ui$us ($i corpus fue- rit ex corporibus communibus) non habet, ni$i unam imaginem. Corpora autem diaphana a$$ueta $unt cœlum, & aer, & aqua, & uitrum, & lapides diaphani: & $uperficies cœli, quæ e$t ex par- te ui$us, e$t $phærica & concaua. Vnde omnis $uperficies plana, qu{ae} $ecat eam, facit in ea lineam cir cularem, cuius concauitas e$t ex parte ui$us. Superficies autem aeris, quæ tangit illam, e$t $phærica conuexa. Vnde $i $ecetur à $uperficie æqualι: fiet in ip$a linea circularis, [per 1 th 1 $phær.] cuius con uexum e$t ex parte cœli. Superficies uerò aquæ, quæ e$t ex parte ui$us, e$t $phærica conuexa: & $i $ecetur à $uperficie æquali, fiet in ip$a linea circularis: cuius conuexum e$t ex parte ui$us. Vitro- rum autem & lapidum diaphanorum figuræ a$$uetæ $unt rotundæ, aut planæ. Vnde $i $ecentur à planis $uperficiebus, fient in illis aut circuli, aut lineæ rect{ae}. Et uniuer$aliter dicimus, quòd omne punctum comprehen$um à ui$u ultra quodcunque corpus diaphanum, (cuius $uperficies, quæ op ponitur ui$ui, e$t unica $uperficies, & $i $ecetur à $uքficie {ae}quali, fiat in $uperficie eius linea recta, aut circularis) non habet, ni$i unã imaginem: nec comprehenditur à ui$u, ni$i unum punctum tantùm.

21. Si commun{is} $ectio $uperficierum, refraction{is} & refractiui fuerit linea recta: ui$ibile in perpendiculari $uper refractiuum à ui$u duct a: rectè, & unum uidebitur. 19 p 10.

SIt ergo ui$us a: & punctum ui$ibile b: & corpus diaphanum ul- a k h g p d b c l tra, quod e$t b $it illud, in cuius $uperficie e$t g: & $it diaphani tas huius corporis gro$sior diaphanitate corporis, quod e$t ex parte ui$us: & $it $uperficies eius, quæ e$t ex parte ui$us, æqualis: & [per 11 p 11] extrahamus $uper ip$am à puncto a perpendicularem a g c. Punctum ergo b aut erit $uper lineam a g c: aut extra ip$am. Si ergo punctum b fuerit in linea g c: tunc ui$us a comprehendet b re- ctè & $ine refractione [per 13 n.] Nam forma b, quando extenditur per b g, exit ad corpus, quod e$t in parte a in rectιtudine b g: nam b g e$t perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani, quod e$t exparte ui$us [per the$in.] Vi$us ergo a comprehendit b in$uo lo co, & in rectitudine a g b. Dicimus ergo, quòd punctum b extra hãc lineam nunquam refringetur ad a. Quòd $i $it po$sibile: refringatur forma b a d a ex puncto p: & extrahamus $uperficiem, in qua e$t per- pendicularis a g b & punctum p: faciet ergo [per 3 p 11] in $uperficie corporis diaphani lineam rectam: $it ergo g p d: & [per 11 p 1] extra- hamus à puncto p perpendicularem $uper lineam d p g: & $it k p l: e rit ergo k p l perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani: [per conuer$ionem 4 d 11. Nam a g p refractionis planum e$t ad per- pendiculum plano refractiui per 9 n:] & continuemus b p, & extra- hamus ad h: erit ergo angulus k p h ille, quem continet linea, per quam extenditur forma, & perpen dicularis, exiens à loco refractionis $uper $uperficiem corporis diaphani. Quia ergo corpus, quod e$t ex parte a, e$t $ubtilius illo, quod e$t ex parte b: cum b peruenerit ad p, refringetur ad partem con trariam illi, in qua e$t perpendicularis p k, [per 14 n:] nõ ergo perueniet forma refracta ad lineã a b: $ed [ex hypothe$i] e$t refracta ad punctum a: quod e$t impo$sibile. Non ergo refringetur forma b ad OPTICAE LIBER VII. a ex p, neque ex alio puncto: a ergo non comprehendit b, ni$i in rectitudine lineæ a g b: non ergo cõ prehendit ip$um, ni$i puncto uno tantùm.

22. Si commun{is} $ectio $uperficierum, refraction{is} & refractiui den$ior{is} fuerit linea rect a: ui$ibile extra perpendicularem à ui$u $uper refractiuum ductam, ab uno puncto refringetur, & unam habebit imaginem. 20 p 10.

SIuerò b fuerit extra a g c: extrahamus $uperficiem, in qua e$t a g c linea, & punctum b: ergo [per 18 p 11] erit perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani: & fiat in $uperficie huius cor poris linea g d $ectio communis: ergo [per 3 p 11] g d e$t recta: non ergo refringetur forma b ad a, ni$i in $uperficie, in qua e$t g d [per 5.9 n:] non enim tran$it per duo puncta a, b $uperficies perp\~e- dicularis $uper $uperficiem corporis diaphani, ni$i $uperficies tran$iens per perpendicularem a c: & per punctum b & per pendicularem a c non tran$it $uperficies æqualis, ni$i una $ola tantùm. Forma ergo b non refringitur ad a, ni$i ex linea g d. Refringatur ergo forma b ad a à puncto e: & continue- mus duas lineas b e, e a: & [per 11 p 1] extrahamus ex e perpendicularem $uper lineam g e d: $it ergo h e z: erit ergo h e z perpendicularis $uper duas $uperficies duorum corporum diaphanorum: [per 9 n & conuer$ionem 4 d 11] & extrahamus b e rectè ad p: erit ergo e p inter duas lineas e h, e a: nam corpus diaphanum, quod e$t ex parte a, e$t $ubtilius illo, quod e$t ex parte b, [ex the$i.] Forma ergo b, quæ extenditur per lineam b e, cum peruenerit ad e, refringetur ad partem contrariam parti per- pendicularis z e h [per 14 n] ideo a p h f l g e o k a n m e z q b erit linea e p inter duas lineas e h e a: & [per 12 p 1] extrahamus ex b perpendicularem $uper lineam g d: $cilicet b k: erit ergo b k per- pendicularis $uper $uperfici\~e dia phani corporis, quod e$t ex par- re b: [per 9 n & conuer$ionem 4 d 11:] & extrahamus a e rectè, ut $ecet angulũ b e k: & $ecet lineã b k in m: m ergo erit imago pun- cti b [per 18 n]: & angulus p e a e- rit angulus refractionis. Dico er go, quòd b nõ habebit aliã imagi nem, pr{ae}ter m. Quoniã enim de- mõ$tratum e$t [19 n] quòd b nõ compreh\~editur à ui$u, ni$i $uper perpendicularem b k: Si ergo b aliam habuerit imaginem: erit in linea b k, & inter duo pũcta b, k: corpus enim, quod e$t ex parte b, e$t gro$sius illo, quod e$t ex parte a. Sit ergo illa alia imago, $i po$sibile e$t, punctum n: erit ergo aut inter duo pũcta m, k: aut inter duo puncta m, b: $it inter m, k: & cõtinuemus a n: $ecabit ergo lineam g d in puncto o: & continuemus b o: & trã$eat u$q; ad l: erit ergo o pũctũ refractionis: quia linea b o l e$t illa, per quã extenditur forma, qu{ae} e$t apud b: & erit angulus l o a angulus refractiõis: & [ք 11 p 1] extrahamus ex o perp\~edicularem $uք lineã g d: & $it f o q: erit ergo linea f o q perpendicularis $uper $uperfici\~e corporis diaphani [ք 9 n & conuer$ion\~e 4 d 11] & erit angulus l o f $icùt angulus, qu\~e con tinet perpendicularis, & linea, ք quã extenditur forma ad locũ refractionis [ք 15 p 1.] Si igitur n fue rit inter duo puncta m, k: tũc o erit inter duo pũcta e, k: angulus ergo e b k e$t maior angulo o b k [ք 9 ax.] angulus ergo p e h e$t maior angulo l o f: [Quia. n. h e z, k b & f o q $unt քp\~ediculares ip$i g d ք fabrication\~e: erũt per 28 p 1 paral- a @ f h p g o e k d m n c q z b lel{ae}: & ք 29 p 1 angulus p e h {ae}qua bitur angulo e b k: ead\~e\’q; de cau- $a l o f {ae}quabitur o b k. Quare $um ptis {pro} e b k, o b k: {ae}qualib. p e h, l o f: erit angulus p e h maior angulo l o f] & angulus p e a e$t angulus refractionis ex angulo p e h: & an gulus l o a e$t angulus refractiõis ex angulo l o f: angulus ergo p e a e$t maior angulo l o a, ut declara- tũ e$t in tertio capite huius tracta tus [12 n:] angulus ergo a e h e$t maior angulo a o f: q<001> e$t impo$- $ibile. [Quia. n. anguli h e g, f o g {ae}quantur ք 10 ax: & per 16 p 1 an- gulus a e g maior e$t angulo a o g: reliquus igitur a e h minor e$t re- liquo a o f.] Si aũt n fuerit inter duo puncta m, b: tunc punctũ e erit inter duo puncta o, k: & erit an- ALHAZEN gulus e b k minor angulo o b k [per 9 axio.] erit ergo angulus p e h minor angulo l o f: erit ergo angu lus p e a, qui e$t angulus refractionis, minor angulo l o a, qui e$t angulus refractionis: angulus ergo a e h e$t maior angulo a o f: quod e$t impo$sibile, [ut {pro}ximè o$ten$um e$t.] Ergo impo$sibile e$t, ut punctum n $it imago puncti b: neque aliud punctum e$t præter m. Ergo punctum b, re$pectu ui$us a, nullam habet imaginem, præterquam punctum m: & hoc declarare uoluimus.

23. Si cõmun{is} $ectio $uperficierũ refraction{is} & refractiui rarior{is} fuerit linea recta: ui$ibi- le extra perpendicularem, à ui$u $uper refractiuum ductã: ab uno puncto refringetur: & unam habebit imaginem. 21 p 10.

ET iterũ: $it corpus gro$sius ex parte ui$us, & $ubtilius ex parte rei ui${ae}: & $it differ\~etia cõmunis inter hãc $uperfici\~e & $uperfici\~e corporis diaphani linea g d: & [ք 12 p 1] extrahamus ex b li- neã perp\~edicular\~e $uper lineã g d: & $it b k: erit ergo b k քpendicularis $uք $uperfici\~e corporis diaphani: [per 9 n & cõuer$ion\~e 4 d 11] & refringatur forma b ad a ex e: & cõtinuemus lineas b e, e a: & extrahamus perpendicular\~e h e: & extrahamus b e rectè ad p: erit ergo a e linea media inter duas lineas e p, e h. Nam prima linea, per a f h p l g o e k d b m c q z n quã ext\~editur forma ad locũ refra- ctionis, e$t linea b e p: refractio. n. e$t ad part\~e perp\~edicularis e h: [ք 14 n] nã corpus, quod e$t ex parte a, e$t gro$sius illo, q<001> e$t ex parte b [ex the$i.] Linea ergo a e e$t me- dia inter duas lineas e p, e h: & ex- trahamus a e, directè ad partem e, quou$q; occurrat line{ae} b k: $ecat. n. h e z. [Itaq; $ecabit k b ip$i h e z per 6 p 11 parallelã, per l\~ema Procli ad 29 p 1] occurrat ergo illi in puncto m: m ergo erit imago pũcti b: [per 18 n] nã corpus, q<001> e$t ex parte b, e$t $ubtilius illo, quod e$t ex parte a. Dico igitur, q<001> b nõ habet ima- gin\~e, ni$i m. Habeat enim n: $i po$- $ibile e$t: n ergo erit in perpendiculari b k, [per 19 n] & infra punctũ b: quia corpus, quod e$t in par- te b, e$t $ubtilius illo, quod e$t ex parte a. E$t ergo aut inter duo puncta m, b: aut infra m: & cõtinue- mus a n: $ecabit ergo lineã d g in o: o ergo e$t punctũ refractionis. Et cõtinuemus b o: & trã$eat u$q; a d l: & [ք 11 p 1] extrahamus ex o perp\~edicular\~e f o q. Linea ergo b o e$t linea, ք quã ext\~editur forma ad locũ refractionis: ergo linea o a erit inter duas lineas o l, o f: refractio enim e$t ad part\~e perp\~edicu laris [ք the$in & 14 n.] Si ergo fuerit n inter duo pũcta m, b: tũc punctũ o erit inter duo puncta e, k: er go erit angulus o b k minor angulo e b k: [ք 9 ax.] ergo angulus l o f e$t minor angulo p e h, [ut de- mon$tratũ e$t $uperiore numero] ergo [ք 12 n] angulus l o a qui e$t angulus refractionis) e$t minor angulo p e a, qui e$t angulus refractionis: & angulus a o f, qui remanet po$t angulum refractionis, e$t minor angulo a e h, qui remanet po$t angulũ refractionis [per 12 n] $ed [per 29 p 1] angulus a o f e$t æqualis angulo a n k, & angulus a e h e$t æqualis angulo a m k: ergo angulus a n k e$t minor angulo a m k: quod e$t impo$sibile [& cõtra 16 p 1.] Si aũt n fuerit infra m: tũc erit e inter duo puncta o, k: & erit angulus o b k maior angulo e b a @ f l p g e o k d b n m c z @ k: angulus ergo l o f erit maior an- gulo p e h: [ut patuit proximo nu- mero] ergo angulus l o a e$t maior angulo p e a: & angulus a o f e$t ma ior angulo a e h: [ք 12 n] ergo angu lus a n k e$t maior angulo a m k: q<001> e$t impo$sibile: [& cõtra 16 p 1] n er go non e$t imago b: nec aliud pun- ctũ, præterquã m: b ergo non habet imaginem, ni$i m. Et hoc e$t, quod uoluimus declarare.

24. Si duæ rectæ lineæ circulo in$criptæ inter$ecentur: angul{us} $ection{is} quilibet æquatur angulo in peripheria, in$i$t\~eti in periphe- riam æqual\~e duab{us} peripher{ij}s eidem angulo, & ad uerticem oppo$ito $ubten$is 54 p 1.

AD duas aũt lineas circulares conuexã & cõcauã pr{ae}mittemus h{ae}c. Cũ du{ae} chord{ae} $e$e $ecuerint OPTICAE LIBER VII. in circulo: angulus $ectionis erit æqualis angulo, qui e$t apud circumferentiam, quam chordant duo arcus, quos di$tinguunt illæ duæ chordæ. Et $i duæ hneæ $ecuerint circulum, & $ecuerint $e extra circulum: angulus $ectionis erit æqualis angulo, h a b g e f d e z qui e$t apud circũferentiam, quã chordat exce$$us ma ioris illorum duorũ arcuũ, quos di$tinguunt illæ duæ lineæ, $upra reliquũ. Verbi gratia: in circulo a b c d $e- cent $e duæ chord{ae} a c, b d in e. Dico igitur, quòd angu lus a e b e$t æqualis angulo, qui e$t apud circumferen- r\~etiam, quam re$piciunt duo arcus a b, c d: & quòd an- gulus b e c e$t æqualis angulo in circumfer\~etia, quam re$piciũt duo arcus d g a, b z c. Extrahamus enim ex b lineam b z æquidi$tant\~e lineæ a c [ք 31 p 1] arcus ergo c z e$t æqualis arcui a b [Ducta enim recta a z: æquabi tur angulus c a z angulo a z b ք 29 p 1: ideo\’q; periphe- ria c z peripheri{ae} a b ք 26 p 3:] & arcusc d e$t cõmunis: ergo arcus d z e$t æqualis duobus arcubus, a b, c d: $ed arcus d z re$picit angulũ d b z [ք 8 d 3] ergo d z re$picit arcus æquales duob. arcubus a b, c d: & [ք 29 p 1] an- gulus d b z e$t æqualis angulo a e b: ergo angulus a e b e$t æqualis angulo, qui e$t in circum fer\~etia, quã re$pi- ciunt duo arcus a b, c d. Et hoc e$t quod uoluimus. It\~e continuemus d z: & producamus z b in h: e- rit ergo [per 32 p 1] angulus h b d æqualis duob. angulis b d z, b z d, & [per 8 d 3] duo anguli b z d, b d z re$piciuntur à duobus arcubus b g d, b f z: angu- h a b e d c z lus ergo h b d e$t æqualis angulo, quem re$picit arcus d b z: & arcus a b e$t æqualis arcui z c, [ex cõclu$o:] re go arcus d b z e$t æqualis duobus arcubus d g a, b z c: ergo angulus h b e e$t æqualis angulo, qu\~e re$piciunt duo arcus d g a, b z c: & [per 29 p 1] angulus h b e e$t {ae}- qualis angulo b e c. Ergo angulus b e c e$t æqualis an- gulo, qui e$t in circumfer\~etia, quã re$piciũt duo arcus d g a, b z c. Et hoc e$t, quod uoluimus declarare. Et $i li nea h b z contingat circulum: tunc [per 32 p 3] angu- lus e b z erit æqualis angulo cad\~eti in portion\~e b a d: & $ic arcus b c d re$picit angulum apud circumfer\~etiam, æqualem angulo e b z: & [per 29 p 1] angulus e b z e$t æqualis angulo b e a: ergo angulus b e a e$t æqualis an gulo, qui e$t apud circumferentiam, qu\~e re$picit arcus b c d: & arcus b c e$t æqualis arcui b a: quia diameter, quæ exit ex b, e$t perpendicularis $uper lineã a c: [Nã diameter per punctũ b educta, e$t perp\~edicularis tan- g\~eti per 18 p 3: itaq; per 29 p 1 e$t perp\~edicularis ip$i a c ad tangent\~e parallel{ae}] quare [per 3 p 3] diui ditip$am in duo æqualia: ergo arcus a b æqualis erit arcui b c: [ductis enim rectis a b, b c: erũt ip$æ ք 4 p 1 æquales: ideo\’q; peripheriæ a b, b c ip$is $ubt\~e$æ, per 28 p 3:] arcus ergo b c d e$t {ae}qualis duo- bus arcubus a b, c d: ergo angulus b e a e$t æqualis angulo, <003> e$t apud circũfer\~etiam, qu\~e re$piciunt duo arcus a b, c d. Et $imiliter declarabitur, quòd angulus b e c e$t æqualis angulo, qui e$t apud cir- cumferentiam, quem re$piciunt duo arcus b c, a d. Et hoc e$t quod uoluimus.

25. Si duæ rectæ lineæ circulo in$criptæ, extrà cõtinuatæ cõcurrant: angulus concur${us} æqua- tur angulo in peripheria, in$i$tenti in peripheriã, qua maior peri- e a b d f c pheriarum inter in$cript{as} cõprehen$arũ exuperat minor\~e. 55 p 1.

ITem: $it e extra circulũ a b c d: & extrahamus ex e duas lineas $e- cantes circulũ a b c d: & $int e a d, e b c. Dico ergo, quòd angulus c e d e$t æqualis angulo, <003> e$t apud circũfer\~etiã circuli, qu\~e re$pi- cit arcus exce$$us d c $upera arcũ a b. Extrahamus enim lineã æquidi- $tant\~e lineæ b c [per 31 p 1] erit ergo [ut paulò antè o$t\~e$um e$t] ar- cus f c æqualis arcui a b: erit ergo arcus d f exce$$us arcus d c $upra arcũ a b: $ed [per 8 d 3] arcus d fre$picit angulũ d a f: & [per 29 p 1] angulus d a f e$t æqualis angulo c e d: ergo c e d e$t æqualis angulo, qui e$t apud circumferentiam d f. Et hoc e$t quod uoluimus.

26. Sι cõmun{is} $ectio $uperficierũ refraction{is} & refractiui con uexi fuerit peripheria: ui$ibile in perpendiculari à ui$u $uper re- fractiuum duct a: rectè, & unum uidebitur. 22 p 10.

HIs ergo declaratis, $it ui$us punctũ a: & $it pũctum b in aliquo ui$o: & $it ultra corpus diaphanũ gro$sius corpore, q<001> e$t in ALHAZEN parte ui$us: & $it $uperficies corporis diaphani, quod e$t ex parte b, $uperficies circularis cõuexa ex parte ui$us. Ergo ք duo pũcta, a, b tran$it $uperficies perpendicularis $uper $uperfici\~e corporis dia- phani, [per 9 n: quia $uperficies per a & b educta, e$t $uperficies refractionis:] & non tran$it per illa, $uperficies perpendicularis $uper $uperfici\~e corporis, in qua refringitur forma b ad a, ni$i una tan- tùm. Hãc ergo $uperfici\~e corporis diaphani $ignet circulus c e d: cuius centrum $it z: & continue- mus a c z d: linea ergo c z d erit perp\~edicularis $uper $uperfici\~e corporis diaphani [per 4 th 1 $ph{ae}- ricorum: quia perpendicularis e$t plano tangenti.] Punctum aut\~e b aut erit extra lineam c d: aut in ip$a. Si igitur b fuerit in linea c d: tunc ui$us a comprehendet b rectè, & $ine refractione [per 13 n.] Nam forma, quæ extenditur per lineam c d, extenditur rectè in corpore diaphano, quod e$t ex par- te ui$us: quia linea c d e$t perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani, quod e$t ex parte ui$us. Vi$us ergo a comprehendit b in $uo loco, & rectè. Dico ergo, quòd forma punctib, quod e$t in c d linea, nunquam refringetur ad a. Quoniam punctum b aut a r c p e h b z b d erit in centro: aut extra centrum. Si ergo fuerit in centro: tunc o- mnis linea, per quam extenditur forma b ad circumfer\~etiam c e d, extenditur in rectitudine eius in corpore diaphano, quod e$t ex parte ui$us. Nam omnis linea exiens à centro circuli c e d e$t per- pendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani, [ut o$ten$um e$t 25 n 4:] & non exit à centro circuli c e d ad ui$um a linea recta, ni$i linea z a. Ergo forma puncti b, quod e$t in centro, non refringi- tur ad a ex circumferentia c e d. Ergo forma b nunquam refringe- tur ad a, $i b fuerit in centro. Si uerò fuerit extra centrum: aut erit in linea z c, aut in z d: $it ergo primò in linea z c. Dico, quòd forma b non refringatur ad a. Quod $i fuerit po$sibile: refringatur ex ip$o e: & continuemus b e: & extrahamus illud ad h: & continuemus z e: & extrahamus ip$am ad p: erit ergo linea z e p perpendicu- laris $uper $uperficiem corporis diaphani [per 25 n 4,] quod e$t ex parte ui$us. Forma ergo b, quan do extenditur ad lineam b e, & refringitur in puncto e: tran$it à perpendiculari p e ad partem h contrariam illi, in qua e$t perpendicularis [per 14 n:] forma ergo b non perueniet ad a $ecũdum refractionem, $i b fuerit in linea z c. Item $it b in linea d z. Dico ergo, quòd forma b non refringetur ad a. Quod $i e$t po$sibile: refringatur ex e: & continuemus b e: & extrahamus b e lineam ad r: & co@ tinuemus z e, & extrahamus lineam u$que ad p: & refringatur forma b ad a per lineam e a: Sic ergo angulus r e a erit angulus refractionis: angulus autem r e p erit angulus, quem continet linea, per quam extenditur forma, & perpendicularis exiens à loco refractionis: angulus ergo r e a e$t minor angulo r e p [per 12 n] & linea b z aut e$t minor linea z e, aut æqualis ei: nam b aut e$t inter duo puncta d, z: aut in puncto d: ergo angulus e b z aut e$t maior angulo b e z [per 18 p 1] aut æqualis ei: [per 5 p 1] $ed [per 16 p 1] angulus a e r e$t maior angulo e b z: ergo angulus a e r e$t maior angu lo r e p. [Nam quia a e r maior e$t e b z, qui maior e$t, uel æqualis ip$i b e z: erit etiam maior ip$o b e z: at ip$i b e z æquatur r e p per 15 p 1: quare a e r maior e$t r e p] quo prius erat minor: quod e$t impo$sibile. Ergo forma b non refringetur ad a ex e: nec ex alio puncto circumferentiæ c e d: ne- que ex alia circumferentia circulorum, qui fiunt in $uperficie corporis diaphani, in quo e$t b. Igitur b exi$tente in linea c d: non comprehendetur ip$um à ui$u per refractionem. Quare non compre- henditur, ni$i unum $olum punctum.

27. Si commun{is} $ectio $uperficierum, refraction{is} & refractiui conuexi den$ior{is} fuerit peripheria: ui$ibιle extra perpendicularem à ui$u $uper refractiuum ductam, ab uno puncto re fringetur, unam<006> habebit imaginem, uariè, pro uaria ui${us} uel ui$ibil{is} po$itione, $itam. 23 p 10.

ITem: $it b extra lineam c d: & extrahamus $uperficiem, in qua e$t perp\~edicularis, & punctum b. Hæc ergo $uperficies erit perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani: [per 9 n: quia planum ductum per perpendicular\~e a c d & ui$ibile b, e$t planum refractionis] & punctum b non refringetur ad a, ni$i in hac $uperficie: non enim tran$it per duo puncta a, b $uperficies perpen- dicularis $uper $uperficiem corporis diaphani, ni$i illa, quæ tran$it per lineam a d: & non exit ex linea a d $uperficies, quæ tran$it per b, ni$i una tantùm. Hæc ergo $uperficies $ignet in $uperficie corporis diaphani circulum c e d: forma ergo b non refringetur ad a, ni$i ex circumferentia c e d: refringatur ergo ex e. Dico ergo, quòd nõ refringetur ex alio puncto quàm e. Refringatur enim ($i po$sibile e$t) ex alio puncto: quod, ut dictũ e$t, erit in circũferentia c e d: Sit ergo m: & cõtinuemus lineas b e, e a, b m, m a, z e, z m: & $ec\~et $e lineæ b m, z e in pũcto g: & extrahamus b e u$q; ad h: & b m ad n: & e z ad p: & z m a d l. Erit ergo angulus h e p ille, quem continet linea, per quam extenditur forma, & perpendicularis exiens à loco refractionis: & angulus h e a erit angulus refractionis: & n m l angulus ille, quem continet linea, per quam extenditur $orma, & perpendicularis exiens à loco refractionis: & angulus n m a erit angulus refractionis. Angulus igitur h e p aut erit æqua- lis angulo n m l: aut erit minor: aut maior. Si æqualis: angulus h e a, qui e$t angulus refractionis: OPTICAE LIBER VII. erit æqualis angulo n m a, qui e$t angulus refractionis [per 12 n:] angulus ergo a m b erit æqua- lis angulo a e b [per 13 p 1. 3 ax.] quod e$t impo$sibile. [Ducta enim recta linea a b: erit angulus a m b maior angulo a e b per 21 p 1.] Si minor: erit [per 12 n] angulus h e a minor angulo n m a: angulus ergo a m b erit minor angulo a e b [per 13 p 1] a n r l c x m h e p z g b b f d o k quod e$t impo$sibile [& contra 21 p 1.] Si maior: extra- hamus lineam e b in partem b ad f: & extrahamus m b u$que ad o: angulus ergo e m b erit æqualis angulo, qui e$t apud circumferentiam, quem re$piciunt duo arcus e m, f o [per 24 n.] Et cum [ex hypothe$i] angulus h e p $it maior angulo n m l: erit [per 15 p 1] angulus z e b maior angulo n m l: & cum angulus z e b $it maior angulo n m l: angulus m z p erit maior angulo m b e. [Nam quia in triangulis e b g, m z g, angulus b e g ma- ior e$t angulo z m g per the$in & 15 p 1: & anguli ad g æ- quantur per eandem: erit reliquus m z p maior reliquo m b e per 32 p 1:] & exce$$us anguli m z e $upra angu- lum m b e, erit æqualis exce$$ui anguli z e b $upra an- gulum z m b: nam duo anguli apud g$unt æquales [per 15 p 1. Itaq; cum per 32 p 1 anguli trianguli z m g æquen- tur angulis trianguli b e g: erunt exuperantiæ angulo- rum m z e, z e b $upra angulos m b e, z m b æquales.] Arcus uero, qui re$picit angulum m z e, cũ fuerit apud circumferentiam, erit duplus ad arcum m e. [Quia enim angulus m z e duplus e$t anguli in peripheria, in ean- dem peripheriam m e in$i$tentis per 20 p 3: ergo angulus m z e in peripheria con$titutus, in$i$tet in duplam peri- pheriam m e per 33 p 6.] Si ergo angulus m z e fuerit maior angulo m b e: tunc arcus m e dupli- catus erit maior duobus arcubus m e, f o: & erit exce$$us arcus m e duplicati $upra duos arcus m e, f o, æqualis exce$$ui arcus m e $upra arcum f o [$ubducta enim communi peripheria m e, $u pere$t eadem exuperantia.] Exce$$us ergo anguli m z e $upra angulum m b e e$t i$te, quem re- $picit apud circumferentiam exce$$us arcus m e $upra arcum f o: $ed exce$$us arcus m e $upra ar- cum f o e$t minor duobus arcubus m e, f o [per 9 ax.] Ergo exce$$us anguli m z e $upra angu- lum m b e, e$t minor angulo m b e [per 33 p 6.] Exce$$us igitur anguli z e b $upra angulum z m b e$t minor angulo m b e: ergo [per 15 p 1] exce$$us anguli h e p $upra angulum n m l e$t minor angulo m b e. Ergo [per 12 n] exce$$us anguli h e a, qui e$t angulus refractionis, $upra angulum n m a, qui e$t angulus refractionis, e$t multò minor angulo m b e. Sed exce$$us anguli h e a $u- pra angulum n m a, e$t exce$$us anguli a m b $upra angulum a e b [per 13 p 1.] Ergo exce$$us an- guli a m b $upra angulum a e b e$t minor angulo m b e. Sed exce$$us anguli a m b $upra angu- lum a e b, $unt duo anguli m a e, m b e. [Nam connexa recta a b & continuata e m ultra m in x: æquabitur per 32 p 1 angulus a m x duobus interioribus ad a & e: item\’que b m x duobus interiori- bus ad b & e. Totus igitur a m b exuperat totum a e b duobus angulis m a e, m b e.] Ergo duo an- guli m a e, m b e $unt minores angulo m b e: quod e$t impo$sibile [& cõtra 9 ax.] Forma ergo b non refringetur ad a ex alio puncto, præterquam ex e. Et hoc e$t quod uoluimus. Cum ergo b non re- fringatur ad a, ni$i ex uno puncto: nec habebit, ni$i unam imaginem. Sed locus imaginis diuer$atur $ecundum diuer$itatem loci, in quo e$t b. Continuemus enim b z: linea ergo b z aut concurret cum linea e a: aut erit ei æquidi$tans: & concur$us aut erit in parte e b, ut in k: aut in parte a, ut in r. Et cum b z fuerit æquidi$tans lineæ e a: erit ut linea b z $it media inter duas lineas k b z, b z r. Si uerò concur$us harum duarum linearum fuerit in k: erit imago ante ui$um, & erit forma manife$ta & comprehen$a à ui$u in k [per 18 n.] Si uerò concur$us fuerit in r: erit imago punctum r: & tunc for ma comprehendetur à ui$u in eius oppo$itione: $ed non tam manife$tè, quia comprehenditur à ui- $u extra $uum locum. Hoc autem declaratum e$t in loco, in quo locuti $umus de reflexiõe [61 n 5.] Si linea b z fuerit æquidi$tans lineæ e a: tunc imago erit indeterminata, & forma comprehendetur in loco refractionis. Huius autem cau$$a $imilis e$t illi, quam diximus in loco reflexionis [61 n 5] cum fuerit reflexio per lineam æquidi$tantem perpendiculari. Ex prædictis ergo patet, quòd res, quæ comprehenditur à ui$u ultra corpus diaphanum gro$sius corpore, quod e$t ex parte ui$us: nõ habet, ni$i unam imaginem, neq; comprehenditur, ni$i unum tantùm. Hæc uerò refractio e$t à con- cauitate corporis diaphani ex parte uι$us contingentis conuexum corporis diaphani, quod e$t ex parte rei ui$æ. Et hoc e$t quod uoluimus.

28. Si commun{is} $ectio $uperficierum refraction{is} & refractiui conuexi rarior{is} fuerit peri pherιa: ui$ibile extra perpendicularem à ui$u $uper refractiuum ductam: ab uno puncto refrin getur, unam<006> habebit imaginem, uariè pro uaria ui${us} uelui$ibil{is} po$itione $it am. 24 p 10.

ET $i corpus diaphanum fuerit gro$sius ex parte ui$us, & $ubtilius ex parte rei ui$æ: tunc ALHAZEN ui$us non uidebit ni$i unam $olam imaginem. Nam tunc ui$us erit ut b: & res ui$a ut a. Et cum for- ma a refringetur ad b: refractio erit in $uperficie perpendiculari $uper $uperficiem corporis diapha ni [per 9 n] & erit differentia communis inter illam $uperficiem & $uperficiem corporis diaphani circulus [per 1 th 1 $phæricorum,] ut circulus c e d: & erit punctum refractionis, ut e: & erit linea re fracta, ut a e k. Sequitur ergo, ut forma, qu{ae} extendetur per lineam a e, & refringetur per b e: exten- datur ex b per lineam b e, & refringatur per lineam a e. Si ergo forma a refringitur ad b ex alio pun- cto quàm ex e: $equetur quòd forma b refringetur ad a ex illo puncto. [Quia lineæ incidentiæ & refractionis eædem permanent, nominibus tantùm mutatis.] Sed iam declaratum e$t [$uperiore numero] quòd cum forma exten$a fuerit per lineam b e, & refracta per lineam a e: nunquam refrin getur, ni$i ex puncto uno, nec habebit ni$i unam imaginem. Et $i a fuerit in perpendiculari exeunte ex b ad centrum $phæræ: tunc b comprehendet a in rectitudine perpendicularis [per 13 n] & patet, quòd forma a non refringetur ad b. Ex quo patuit, quòd forma b, cum fuerit in perpendiculari, nõ refringetur ad a. Cum ergo gro$sius corpus fuerit ex parte ui$us, & $ubtilius ex parte rei ui$æ: tunc res ui$a non habebit, ni$i unam imaginem & unam formam tantùm.

29. Si ui${us} $it extra circulum (qui e$t commun{is} $ectio $uperficierum, refraction{is} & re- fractiui $phærici conuexi den$ior{is}) linea recta in definito $itu pote$t à $egmento peripheriæ nõ magnæ refringi: & aliquod ei{us} punctum rectè: è reliqu{is} plura refractè uideri: & locus to- ti{us} imagin{is} est in ip$o ui$u. 25 p 10.

ITem: iteremus figuram ponentes in circumferentia g e d, punctum ex parte g: & $it e: ex quo extrahamus lineam æquidi$tantem lineæ a b [per 31 p 1:] & $it linea e t: & continuemus z e, & extrahamus illam u$que ad h: & $it proportio anguli z e k ad angulum k e t duplicatum maxima proportio, quam angulus, quem continet linea, per quam extenditur forma cum perpendiculari, po$sit habere ad angulum refractionis, quem exigit ille angulus, quò ad $en$um. [Id autem per 10. 11. 12 n præ$tari pote$t, quibus anguli refractionum à medio cra$siore ad $ubtilius & contrà, inuen- ti $unt.] Anguli enim refractionis, qui fuerint inter duo corpora diuer$a in diaphanitate, à luce tran$eunte per illa diuer$antur: quorum diuer$itas, quò ad $en$um, habet finem: quem $i exce$$erit: $en$us non comprehendet quantitatem refractionis: comprehendet enim centrum lucis in rectitu dine lineæ, per quam lux extenditur, cum uidelicet experimentatus fuerit hoc per in$trumentum. Et ponamus angulum d z t æqualem angulo k e t [per 23 p 1] erit ergo angulus z k e duplus ad an- gulum k e t. [Quia enim e t, z b $unt parallelæ per fabricationem: æquatur angulus k b z angulo k e t per 29 p 1: cui iam æquatus e$t k z b: anguli igitur k b z, k z b $unt æquales: quibus cum æque- tur z k e per 32 p 1: erit duplus ad utrumlibet: itaque duplus ad {ae}qua- a l g h e z d k b t l\~e k e t] & $ic proportio anguli z e k ad angulũ z k e erit maxima pro- portio inter angulum, quem continet prima linea & perpendicula- ris, exiens à puncto refractionis, & inter angulum refractionis. Sed linea e k concurret cum linea a d: [per lemma Procli ad 29 p 1] con- currant ergo in b: & extrahamus ex e lineam æquidi$tantem t z: con curret ergo [ut antè] cum z g extra circulum ex parte g: $it concur- $us in a: & extrahamus b e u$q; ad l: erit ergo [per 29 p 1] angulus l e a æqualis angulo z k e: & [per 15 p 1] angulus l e h æqualis angulo z e k. Erit ergo angulus l e a angulus refractionis, qu\~e exigit angulus l e h [angulus enim z e k, qui ք 15 p 1 æquatur angulo l e h, talis e$t ex the$i.] Si ergo b fuerit in aliquo ui$o: & corpus diaphanũ, cuius con uexum e$t ex parte a, fuerit continuatum ex e u$que ad b, & nõ fue- rit di$tinctum apud circum ferentiam g e d ex parte b: tunc forma b extendetur per lineam b e, & refringetur per lineam e a, & compre- hendetur à ui$u a peruerticationem a e. Et quia angulus a e h pote$t diuidi pluribus proportionibus earum, quæ fuerint inter angulos re fractionis, & angulos, quos continent perpendiculares cum primis lincis, quæ fuerint inter duo corpora diaphana: $ic ergo in linea d b erunt plura puncta, quorum formæ extenduntur ad arcum e g, & re- fringuntur ad a: & forma totius lineæ, in qua $unt illa puncta, refrin- getur ad a ex arcu g e. Cum ergo ui$us fuerit in corpore diaphano, & res ui$a fuerit in alio diaphano gro$siore, & fuerit $uperficies dia- phani gro$sioris, quæ e$t ex parte ui$us, $phærica conuexa, & ui$us fuerit extra circulum, cuius conuexum e$t ex parte ui$us, & fuerit il- le circulus remotior à ui$u, quàm punctum remotius ex duobus pun ctis, $ectionis factæ inter perpendicularem & circumferentiam, & corpus diaphanum gro$$um, quod e$t ex parte ui$us, fuerit conti- nuum u$que ad locum, in quo e$t res ui$a, & non fuerit deci$um a- pud circulum, qui e$t ex parte rei ui$æ: tunc ui$us poterit comprehendere illam rem ui$am & re- OPTICAE LIBER VII. fractè & rectè: & huius rei ui$æ imago erit centrum ui$us [per 13 n.] Item $i fixerimus lineam a g b, & reuoluerimus figuram a e b in circuitu a b, & pars $uperficiei corporis diaphani, quod e$t ex parte rei ui$æ, fuerit $phærica: tuncpunctum e $ignabit circumferentiam in $uperficie cir- culari conuexa, quæ e$t ex parte ui$us, ex qua circumferentia refringetur b ad a: $ed imago in to- ta circumferentia refractionis erit una, $cilicet centrum ui$us. Imago ergo rei ui$æ etiam erit u- na. Sed ex hac po$itione accidit, ut ui$us comprehendat formam rei ui$æ apud locum refra- ctionis ea de cau$$a, quam diximus in reflexione ex $peculis, [61 n 5] cum fuerit reflexio à circumferentia in aliqua $phæra, & fuerit imago centrum ui$us. Ergo huius rei ui$æ forma à ui$u circularis comprehenditur apud circulum refractionis: & punctum eius $uperius circa d ui- detur in rectitudine perpendicularis, tran$euntis per ui$um & rem ui$am $imul. Et hoc e$t quod uoluimus.

30. Si commun{is} $ectio $uperficierum, refraction{is} & refractiui caui, den$ior{is} fuerit peri- pheria: ui$ibile in perpendiculari à ui$u $uper refractiuum ducta, re e a g e z b ctè: & unum uidebitur. 26 p 10.

ITem: $it a ui$us: & $it b in aliquo ui$o, & ultra corpus diaphanum gro$sius illo, in quo e$t ui$us: & $it $uperficies corporis, quod e$t ex parte ui$us, circularis concaua: cuius concauitas $it ex parte ui$us. Dico ergo, quòd b unam $olam habebit imaginem, & unam tãtùm for- mam apud a. Et $it centrum concauitatis g: & continuemus a g: & ex- trahamus ip$am rectè u$que ad z. Erit ergo a z perpendicularis $uper $u perficiem concauam: [ut o$ten$um e$t 25 n 4:] & b aut erit in a z, aut extra. Sit ergo primò in linea a z. A ergo comprehendet b in rectitudi- ne a b, cum a b $it perpendicularis $uper $uperficiem concauam, & nun quam refractè [per 13 n.] Quòd $i e$t po$sibile, refringatur forma b ad a ex e, & continuemus b e, g e, & extrahamus b e u$que ad t: angulus er- go t e g e$t ille, quem continet linea, per quam extenditur forma, & per- pendicularis exiens à loco refractionis. Et quia corpus, quod e$t ex par te a, $ubtilius e$t illo, quod e$t ex parte b: erit [per 14 n] refractio ad par tem contrariam illi, in qua e$t e g. Linea ergo e t, quan do refringitur, re- mouetur à linea e g: & non concurret cum linea b a aliquo modo. For- ma ergo b non refringetur ad a: non ergo compreh\~edetur refractè, $ed rectè: ergo non habebit apud ui$um, ni$i unam formam tantùm. Et hoc e$t quod uoluimus.

31. Si commun{is} $ectio $uperficierum, refraction{is} & refractiui caui, den$ior{is} fuerit peripheria: ui$ibile extra perpendicularem à ui $u $uper refractiuum ductam, ab uno puncto refringetur, unam<006> habebit imaginem, uariè pro uaria ui${us} uel ui$ibil{is} po$itione $i- tam. 27 p 10.

ITem: iteremus figurã, & $it b extra lineam a z, & extrahamus $uperficiem, in qua e$t a z b: Hæc ergo $uperficies erit perpendicularis $uper $uperficiem concauam [per 9 n] & non refringetur forma b ad a, ni$i in hac $uperficie. Non enim erigitur perpendicularis $uper $uperficiem con- cauam alia $uperficies æqualis, quæ tran$it per a, ni$i illa, quæ tran$it per a z: $ed per a z & per b non tran$it, ni$i una $ola tantùm. Forma ergo b non refringetur ad a, ni$i in $uperficie tran$eunte per li- neam a z, & per b. Et $it differentia communis inter hanc $uperficiem & $uperficiem concauam ar- cus h d e, & refringatur forma b ad a ex h. Dico ergo, quòd non refringetur ex alio puncto. Quòd $i po$sibile fuerit, refringatur ex m, & continuemus lineas a h, b h, g h, a m, b m, g m, & extrahamus h b rectè u$que ad c, & b m rectè u$que ad n, & g h rectè u$q; ad l, & g m rectè u$que ad p, & perficiamus circumferentiam h e d, & $ecet lineam a g in k. A ergo aut erit in linea k d: aut extrà in parte k, [quia ea pars obiecta e$t cauæ refractiui $uperficiei, à qua refractio fit ad ui$um a.] $i ergo a fuerit in k d, aut erit in g, aut in altera duarum linearumg d, g k. Si ergo fuerit a in g: tunc forma b non refrin- getur a d a [per præcedentem numerum:] lineæ enim, quæ continuant corpus circulare cum g, $unt perpendiculares $uper $uperficiem corporis, [per 25 n 4,] quod e$t ex parte a: Refractio au- tem non fit per ip$am perpendicularem, $ed extra ip$am. Forma ergo b non refringetur ad a, $i a fuerit in g. Et $i a fuerit in g d: tunc linea h c erit inter duas lineas h a, h g: & ideo linea n m erit inter duas lineas m a, m g. Nam refractio e$t ad partem contrariam partι perpendicularis, [per 14 n] nam corpus diaphanum, quod e$t ex parte ui$us, e$t $ubtilius illo, quod e$t ex parte rei ui- $æ. Et $i linea h c fuerit inter duas lineas h a, h g, & a fuerit in linea g d: tunc angulus b h a e- rit ex parte d: & $imiliter angulus b m a erit ex parte d: & erit b ultra lineam g h l, uidelicet ex par- te k, à linea h g l. Et erit angulus c h g ille, quem continet linea, per quam extenditur forma cum ALHAZEN perpendiculari exeunte à loco refractionis: & $imiliter angulus n m g: & erit angulus c h a angulus refractionis: & $imiliter angulus n m a. Angulus autem n m g aut erit æqualis angulo c h g, aut ma- ior, aut minor. Si æqualis: erit [per 12 n] n m a æqualis k o g e c n a d z f h m l p b angulo a h c: ergo [per 13 p 1. 3 ax.] angulus b h a erit æ- qualis angulo b m a: quod e$t impo$sibile. [Ducta enim recta b a: erit angulus b m a maior angulo b h a per 21 p 1.] Si maior: tunc [per 12 n] angulus n m a erit maior angulo a h c: & $ic [per 13 p 1. 3 ax.] angulus b m a erit mi- nor angulo b h a: quod e$t impo$sibile [& contra 21 p 1.] Si minor: tunc [per 12 n] angulus n m a erit minor angu lo a h c: & $ic totus angulus a m g erit minor toto angulo a h g: & erit [per 12 n] diminutio anguli n m a, ab angu- lo a h c minor, quàm diminutio anguli a m g, ab angulo a h g: Sed diminutio anguli a m g ab angulo a h g, e$t æ- qualis diminutioni anguli h g m ab angulo h a m: duo enim anguli, qui $unt in $ectione linearum a h, m g $unt æquales [per 15 p 1: & per 32 p 1 reliquus $imul uterque trianguli h g fæquatur reliquo $imul utrique trianguli m a f. Itaque quantò minor e$t angulus a m g angulo a h g: tãtò minor erit angulus h g m angulo h a m per 32 p 1.] Ergo diminutio anguli n m a ab angulo a h c minor e$t, quàm diminutio anguli h g m ab angulo h a m. Et extra- hamus duas a h, m a ad duo puncta e, o: erit ergo [per 24 n] angulus h a m ille, quem re$piciunt in circumferen- tia duo arcus h m, e o: & angulũ h g m re$picit in circũ- ferentia arcus h m duplicatus [angulus enim h g m du- plus e$t anguli in peripheria con$tituti, & in eand\~e peri- pheriã h m in$i$tentis per 20 p 3. Si igitur angulus, æqua- lis angulo h g m in peripheria con$tituatur: in$i$tet in pe ripheriam duplã peripheriæ h m per 33 p 6.] Et cum angulus h g m $it minor angulo h a m: [angu- lus enim a h g maior e$t conclu$us angulo a m g: & ad uerticem f {ae}quantur per 15 p 1: reliquus igitur h g m minor e$t reliquo h a m per 32 p 1] erit arcus h m duplicatus minor duobus arcubus h m, e o [per 33 p 6:] & erit dimin utio arcus h m duplicati à duobus arcubus h m, e o, $icut diminutio ar- cus h m ab arcu e o [quia h m communis e$t.] Ergo diminutio anguli n m a ab angulo a h c erit mi nor angulo, quem re$picit apud circumferentiam dimi- e o k a c n g d z h m l p b nutio arcus h m ab arcu e o. Sed angulus, qu\~e re$picit a- pud circumfer\~etiam diminutio arcus h m ab arcu e o, e$t minor angulo h a m. E$t ergo diminutio anguli n m a ab angulo a h c minor angulo h a m. Exce$$us ergo anguli b m a $upra angulũ b h a e$t minor, quàm angulus h a m. [Nam per 13 p 1 exuperantia anguli b m a $upra angulum b h a e$t exuperantia anguli a h c $upra angulum n m a, quæ minor e$t conclu$a angulo h a m.] Sed exce$$us an- guli b m a $upra angulum b h a $unt duo anguli h a m, h b m, [ut o$ten$um e$t 27 n.] Ergo i$tí duo anguli $imul $unt minores angulo h a m: quod e$t impo$sibile. Et $i a fuerit in linea g k: tunc linea h c erit inter duas lineas h g, h a: & $imiliter linea m n erit inter duas lineas m g, m a: Erit ergo angulus b h a ex parte k: & $imiliter angu- lus b m a erit ex parte k: & erit b infra lineam g m p, $ci- licet ex parte d, à linea g m p: & uterque angulus c h g. n m g e$t ille, quem continet linea, per quam ext\~editur for- ma, & perpendicularis exiens à loco refractionis: & uter- que angulus c h a, n m a erit angulus refractionis. Si ergo c h g fuerit æqualis n m g: tunc [per 12 n] angulus c h a e- rit æqualis angulo n m a: & $ic [per 13 p 1] angulus b h a erit æqualis angulo b m a: quod e$t impo$sibile [& con- tra 21 p 1, connexa recta b a.] Et $i fuerit maior: tunc [per 12 n] angulus c h a erit maior angulo n m a: & $ic [per 13 p 1] angulus b h a erit minor angulo b m a: quod e$t im- po$sibile. Et $i fuerit minor: tunc [per 12 n] angulus c h a erit minor angulo n m a: & $ic totus angulus g h a erit minor toto angulo g m a: Ergo [ut $uprà o- $ten$um e$t] erit angulus h g m minor angulo h a m. Et erit diminutio anguli h g m ab angulo h a m minor, quàm angulus g m a, ut prius declarauimus. Et diminutio anguli c h a ab angulo n m a e$t OPTICAE LIBER VII. minor, quàm diminutio anguli g h a ab angulo g m a: e$t ergo minor, quàm diminutio anguli h g m ab angulo h a m: ergo diminutio anguli c h a ab angulo a k r q c n g h l m d p z b n m a e$t minor, quàm angulus g m a: Sed diminutio an- guli c h a ab angulo n m a, e$t exce$$us anguli b h a $u- per angulum b m a [per 13 p 1,] qui $unt duo anguli h a m, h b m [ut patuit 27 n.] Ergo i$ti duo anguli $imul $unt mi nores angulo h a m: q<001> e$t impo$sibile. Si uerò a fuerit extra lineã k d ad partem k: & corpus, in quo e$t a, fuerit cõtinuũ u$q; ad a: cõtinuabimus duas lineas a h, a m: & $ecabũt circumferentiã in q & in r. Et $i angulus c h g fue rit æqualis angulo n m g: tunc [per 12 n] angulus b h a erit æqualis angulo b m a: quod e$t impo$sibile [ut $u- prà.] Et $i fuerit maior: tunc angulus c h a erit maior an- gulo n m a: & $ic [per 13 p 1] angulus b h a erit minor angulo b m a: quod e$t impo$sibile. Si uerò fuerit mi- nor: tunc angulus c h a erit minor angulo n m a: & to- tus angulus g h a erit minor toto angulo g m a. Ergo an- gulus h g m erit minor angulo h a m [ut $uprà:] $ed an- gulus h g m e$t ille, quem re$picit apud circumfer\~etiam arcus h m duplicatus: & angulus h a m e$t ille, quem re- $picit in circumferentia exce$$us arcus h m $upra arcum r q [per 25 n.] Ergo arcus h m duplicatus e$t minor exce$$u arcus h m, $upra arcum r q: quod e$t impo$sibi- le [& contra 9 ax.] Ergo $i punctum b fuerit extra lineã a k g: tunc forma eius non refringetur ad a, ni$i ex uno puncto tantùm. Quapropter non habebit, ni$i unami- maginem: quæ imago aut erit ante ui$um, aut retro, aut in loco refractionis, ut in præcedentibus declaraui- mus. Et hoc e$t quod uoluimus declarare.

32. Si commun{is} $ectio $uperficierum, refraction{is} & refractiui cauirarior{is}, fuerit peri- pheria: ui$ibile extra perpendicularem à ui$u $uper refractiuum ductam, ab uno puncto refrin getur, unam<006> habebit imaginem, uariè pro uaria ui${us} uel ui$ibil{is} po$itione $itam. 28 p 10.

SI uerò corpus diaphanum gro$sius fuerit ex parte ui$us, & $ubtilius ex parte rei ui$æ, ij$dem manentibus figuris: tunc etiam res ui$a non habebit ni$i unam imaginem $olam: & hoc decla- rabitur, ut in conuer$a $eptimæ figuræ [quæ fuit 27. 28 n.] Et omnia, quæ declarauimus in re- fractionibus à conuexo & concauo circuli: $equũtur in $uperficiebus $phæricis & columnaribus: præter refractionem circularem, à circumferentia circuli, quæ non fit, ni$i in $uperficiebus $phæri- cis tantùm.

33. Vi$ibile refractum à refractiuo uariæ uel figuræ uel per$picuitat{is}, uel $imul utriu$<005>: uari{as} & mon$trific{as} uar{ij}s in loc{is} imagines habet. 29. 30 p 10.

HÆc autem, quæ diximus, $unt imagines ui$ibilium, quæ comprehenduntur à ui$u ultra corpora diaphana $implicia, quæ $unt unius $ub$tantiæ, & quorum figura, quæ e$t ex par- te ui$us, e$t una figura. Si uerò corpus diaphanum fuerit diuer$um, aut non con$imilis dia- phanitatis: tunc imagines rei ui$æ diuer$antur. Et $i $uperficies corporis diaphani, quæ e$t ex par- te ui$us, fuerit diuer$a: tunc loca etiam imaginum rei ui$æ diuer$antur, cum form{ae} refractionum ex $uperficie corporis diaphani diuer$entur etiam. Et $i aliquis re$pexerit ad paruam $phæram, aut ali quod corpus rotundum paruum, aut columnare uitri aut cry$talli, ultra quod corpus fuerit ali- quod ui$ibile: inueniet imaginem illius alio modo, quàm $it res ui$a in $e: & fortè inueniet rei ui- $æ imaginem aliam: & $ic dubitabitur $uper ea. Sed huiu$modi refractio non e$t una, $ed duæ: for- ma enim rei ui$æ extenditur à re ui$a ad $phæram, aut ad aliud corpus rotundum columnare, & refringitur à conuexo $phæræ aut columnæ ad interius corporis, & extenditur intra corpus, quo- u$que perueniat ad $uperficiem eius: & deinde refringitur à $phæra aut columna apud concaui- tatem aeris contingentis $phæram aut columnam. Et $ic comprehen$io huiu$modi rerum erit dua- bus diuer$is refractionibus. Quapropter imago eius erit diuer$a ab imagine eius, quod compre- henditur una refractione. Nos autem loquemur de hoc parum, quando tracta- bimus de deceptionibus ui$us, quæ fiunt per refractionem.

ALHAZEN QVOMODO VISVS COMPREHENDAT VISIBILIA SE- cundum refractionem. Cap. VI. 34. Si ui${us} & ui$ibile in diuer$is med{ij}s $ua loca inter $e permutent: nomina linearum in cidentiæ & refraction{is} mutantur. 9 p 10.

IN præcedentibus iam declarauimus, quòd, cum forma refringitur ab aliquo corpore diapha- no, ad aliud corpus diuer$æ diaphanitatis: extenditur per lineam rectam, donec perueniat ad $uperficiem corporis diaphani, in quo e$t: deinde refringitur in illo alio corpore diaphano per lineam aliam rectam, quæ continet cum prima linea angulum. Et cum forma extenditur per hanc aliam lineam, $uper quam refringitur forma in $ecundo corpore, alia quæcunque forma $it in $e- cundo corpore u$que ad punctum $ectionis, inter duas lineas rectas, refringetur per primam li- neam rectam. Et e$t manife$tum per experientiam, quòd $i aliquis in$pexerit aliquod corpus dia- phanum, quod differt in $ua diaphanitate à diaphanitate aeris: comprehendet omnia, quæ $unt ul trà de illis, quæ opponuntur ui$ui. Et $i cooperuerit alterum ui$um, & a$pexerit reliquo: compre- hendet etiam, quæcunque $unt ultrà, $iue illud corpus $it aer, $iue aqua, $iue uitrum. Et $imiliter $i homo po$uerit ui$um in aliquo corpore gro$siore aere, ut uitro aut cry$tallo: uidebit omnia, quæ $unt ultrà de illis, quæ $unt in aere. Et $i a$pici\~es mouerit ui$um $uum dextror$um aut $ini$tror$um, & in omnem partem, & non remouerit ip$um multum à $uo primo loco: tunc compreh\~edet etiam omnia, quæ prius compreh\~edebat, $iue motus ui$us fuerit in aere, $iue in uitro. Sed iam declaraui- mus experientia & demon$tratione, quòd ui$us nihil compreh\~edit de illis, quæ $unt ultra corpora diaphana, quæ differunt in diaphanitate ab aere, ni$i $ecundum refractionem, præterquam unum punctum, quod e$t in perpendiculari exeunte à centro ui$us $uper $uperficiem corporis diaphani. Ergo omne punctum comprehen$um à ui$u ultra corpus diaphanum, præter illud punctum præ- dictum, comprehenditur ex forma, quæ extenditur ex illo puncto ad $uperficiem corporis diapha- ni, ultra quod e$t, & refringitur à $uperficie illius corporis ad ui$um. Et cum unus ui$us compre- hendat omnia, quæ $unt ultra corpus diaphanum: forma omnis puncti exi$tentis ultra corpus il- lud diaphanum, extenditur per lineam rectam ad $uperficiem illius corporis diaphani, & refringi- tur ad illum ui$um unum, præterquam illud punctum prædictum. Et cum form{ae} omnium puncto- rum, quæ $unt in omnibus ui$ibilibus exi$tentibus ultra corpus diaphanum, refringantur in eo- dem tempore ad centrum ui$us unius: forma puncti, quod exi$tit apud centrum ui$us illius, cum fuerit in aliquo ui$ibili, refringetur ad omnia puncta, quæ $unt in omnibus ui$ibilibus exi$tentibus ultra corpus diaphanum, oppo$itum ui$ui in eodem tempore & eodem modo. Et $imiliter e$t de omni puncto propinquo puncto, quod e$t apud centrum ui$us. Nam $i ui$us motus fuerit ad omnem partem, & non fuerit remotus à $uo $itu: comprehendet ui$ibilia. Ergo forma cuiusli- bet puncti cuiuslibet ui$i, cum fuerit ultra aliquod corpus diaphanum, extendetur ad $uperficiem corporis diaphani, ultra quod e$t, & refringetur ad uniuer$um eius, quod opponitur ei ex corpo- re aeris. Et non e$t aliquod tempus magis appropriatum huic, quàm aliud: $ed hoc e$t proprium naturæ lucis & coloris, quæ$unt in ui$ibilibus: $cilicet, ut $emper extendãtur à quolibet puncto cu iuslibet corporis lucidi, per lineam rectam, quæ extenditur ab illo puncto, & refringantur in omni corpore diaphano diuer$o, præterquam punctum, quod e$t in perpendiculari. Et omnis forma cuiuslibet puncti ui$ibilis exi$tentis in aliquo corpore diuer$o ab aere: extendetur in illo corpore, in quo exi$tit, & refringetur in uniuer$o corpore aeris $ibi oppo$ito, & illa forma exit ad quodlibet punctum aeris. Quapropter forma totius rei ui$æ coniungitur apud quodlibet punctum aeris: & forma totius cuiuslibet ui$i exi$tentis in aliquo corpore diuer$o ab aere, exi$tit apud unumquod- que punctum aeris oppo$iti illi rei ui$æ: & forma illa extenditur à quolibet puncto rei ui$æ in cor- pore, in quo e$t, & refringitur apud $uperficiem illius corporis, & peruenit ad illud punctum ae- ris. Et ideo $i ui$us a$pexerit aliquod corpus diaphanum diuer$um ab aere, ultra quod fuerit ali- qua res ui$ibilis: ui$us comprehendit illam rem. Nam forma illius exi$tit apud punctum, apud quod exi$tit centrum ui$us. Propter hoc, quòd & $i ui$us comprehenderit aliquam rem ui$ibilem ultra aliquod corpus diaphanum diuer$um ab aere: deinde motus fuerit à loco $uo dextror$um, aut $ini$tror$um: dum in $uo motu fuerit oppo$itus corpori diaphano, & rei ui$æ, quæ e$t ultrà: $emper comprehendet illam r\~e. Vnde etiam plures a$picientes comprehendũt unam rem in cœlo, & in aqua, & in uno & eodem tempore. Et hoc etiam e$t in eodem corpore diaphano: $cilicet, quòd forma ui$i congregatur apud quodlibet punctum corporis, in quo e$t: nam forma puncti cu- iuslibet eius extenditur per lineam rectam: & inter quodlibet punctum corporis, in quo e$t ui- $us, & quo dlibet punctum rei ui$æ, e$t linea recta. Forma ergo cuiuslibet puncti rei ui$æ extendi- tur ad quodlibet punctum corporis diaphani, in quo e$t res ui$a: & forma cuiuslibet rei lucidæ congregatur apud quodlibet punctum cuiuslibet corporis, in quo exi$tit, & congregatur apud quodlibet punctum corporis cuiuslibet diaphani diuer$i à corpore, in quo exi$tit, quando inter rem ui$am, & illud corpus diaphanum diuer$um non interfuerit aliquod impedimentum. Et for- ma rei ui$æ, quæ e$t apud quodlibet punctum corporis diaphani, in quo extenditur, extenditur ad illud punctum rectè: & forma illius apud quodlibet punctum corporis diaphani diuer$i, extendi- tur ad illud punctum refractè: quia inter quodlibet punctum aeris & quamlibet rem ui$ibilem exi- OPTICAE LIBER VII. $tentem in aliquo corpore diaphano diuer$o ab aere: fit pyramis refracta, cuius caput e$t punctum in aere, & ba$is e$t illa res ui$a: & erit refractio eius apud $uperficiem corporis ab aere diuer$i. O- mnis ergo res ui$a in corpore diaphano diuer$o ab aere, quando comprehenditur à ui$u: compre- henditur à forma exten$a in pyramide refracta, adunata apud punctum exi$tens in c\~etro ui$us. Hoc ergo modo comprchendit ui$us ea, quæ refractè comprehendit.

35. Imago ui$ibil{is} refracti a{$s}imilatur figuræ refractiui. 46 p 10.

IN capitulo autem imaginis declarauimus, quòd omne ui$um comprehenditur à ui$u ultra ima- ginem: & locus imaginis e$t punctum, in quo $ecant $e linea radialis, per quam extenditur for- ma ad ui$um, & perp\~edicularis exiens à puncto ui$o. Si ergo imaginati fuerimus, quòd ab uno- quoq; puncto rei ui$æ exit perpendicularis ad $uperficiem corporis diaphani, in quo e$t res ui$a: tunc habebimus quoddam corpus, exiens à ui$u ad $uperficiem corporis diaphani: unde $equitur quòd i$tud corpus $ecet pyramidem refractam, & illa $uperficies, in qua $ecãt $e, e$t imago illius rei ui$æ. Si ergo $uperficies corporis diaphani, in quo e$t res ui$a, fuerit æ qualis: tunc corpus imagina- tum continens omnes perpendiculares, erit æqualis $uperficiei. Quare imago addit parum $uper rem ui$am. Et $i corpus fuerit $phæricum, & conuexum eius ex parte ui$us, & centrum eius fuerit $uper illam rem ui$am: tunc corpus imaginatum erit pyramidale, cuius caput e$t centrum $phæræ: & quantò magis exten ditur à $uperficie corporis $phærici, tantò magis amplificabitur: & $i $ectio fuerit inter rem ui$am & $uperficiem $phæricam: tunc imago erit amplior illa re ui$a: Si aut\~e $ectio fuerit ultra rem ui$am: tunc imago erit $trictior re ui$a. Si uerò res ui$a fuerit ultra $uperficiem $ph{ae} ricam: tunc corpus imaginatum, erunt duæ pyramides oppo$itæ, quarum caput centrum $phæræ. Quare cum loca $ectionis inter corpus imaginatum & pyramidem po$sint e$$e diuer$a: fortè locus $ectionis, in quo e$t imago, erit maior ui$o, fortè minor, fortè æqualis. Si uerò corpus diaphanum fuerit $phæricum, & concauitas eius fuerit ex parte ui$us: tunc corpus imaginatum erit pyramis, cuius caput e$t centrum $phæræ. Quantò ergo magis extenditur hoc corpus in partem $uperficiei $pheræ, tantò magis adunatur & con$tringitur, & quantò magis extenditur in aliam partem, tantò magis amplificatur: $uperficies enim continua parua, erit media inter centrum eius, & $phæram. Si nerò locus $ectionis huius corporis cum pyramide refracta fuerit propinquior centro concauita- tis $phæræ, quàm res ui$a: erit imago minor ip$a re ui$a. Si aũt fuerit remotior à centro cõcauitatis, quàm res ui$a: erit imago maior, quàm res ui$a. Et cum una res ui$a comprehenditur à pluribus ui$i bus in uno momento: omnes imagines, quas illi ui$us comprehendunt, erunt in illo tempore in u- no imaginato, quod e$t perpendiculare $uper $uperficiem corporis diaphani.

36. Vtro<005> ui$u una refracti ui$ibil{is} imago uidetur. 47 p 10.

ET una res ui$ibilis comprehenditur ab uno homine in uno tempore, ultra corpus diaphanũ diuer$um à diaphanitate corporis, in quo e$t ui$us, utro q; ui$u: & tamen comprehendit rem illam unam. Si enim homo comprehenderit aliquid de eis, quæ $unt in cœlo, aut in a qua, aut ultra uitrum, & cooperuerit alterum ui$um: nihilo minus cõprehendet illud reliquo. Ex quo patet, quòd una res ui$a exi$tens ultra corpus diaphanum, diuer$um ab aere, comprehendetur utroq; ui- $u, & altero ui$u. Cau$$a autem huius e$t, ut in tertio libro [9. 14 n] diximus: quoniã in omni pun- cto cuiuslibet ui$i comprehen$ibilis rectè & utroq; ui$u, in quo cõiuncti fuerint duo radij utriu$q; ui$us con$imilis po$itionis, quantùm ad duos axes ui$uum: comprehendetur unum: & $i in ip$o ag- gregati fuerintra dij diuer$æ po$itionis, quantùm ad duos axes ui$uum: comprehendentur duo: & in maiore parte, eorum quæ comprehenduntur, po$itio e$t con$imilis. Hæc autem, quæ $unt diuer- $æ po$itionis, re$pectu utriu$que ui$us, $unt ualderara, ut in tertio diximus tractatu. Et illud, quod comprehenditur refractè, comprehenditur in loco imaginis: forma autem, quæ e$t in loco imagi- nis, compreh\~editur à ui$u rectè, po$itio autem huius formæ, quæ e$t imago re$pectu ui$us: e$t, $icut po$itio alterius rei ui$æ earum, quæ uidentur rectè. Vnde po$itio harum imaginum, re$pectu ui$us, e$t in maiore parte con$imilis: & in omni puncto imaginis congregantur duo radij duorum ui$uũ con$imilis po$itionis. Quare una res ui$a uidetur una utroq; ui$u. Et ut hoc euidentius declaretur: dicamus, quodiam diximus: quòd omne punctum eius, quod comprehenditur refractè: compre- henditur in loco imaginis, qui e$t inter punctum $ectionis ex perpendiculari, exeunte ab illo pun- cto $uper $uperficiem corporis diaphani, in quo e$t res ui$a, & inter lineam radialem, per quã exten ditur forma ad ui$um. Cum ergo a$piciens comprehenderit punctum alicuius rei utroq; ui$u: ima- go illius puncti re$pectu utriu$q; ui$us e$t in perpendiculari, exeunte exillo pũcto, quæ e$t eadem linea. Et cum forma illius puncti peruenerit ad duo puncta $uperficierũ ui$uũ, quorum $itus re$pe- ctu axis ui$us e$t con$imilis: tunc duæ lineæ, per quas form{ae} extendũtur ad utrũq; ui$um: perueni- unt ad duo centra duorum ui$uũ. Sunt ergo axes, aut habentes ex axibus po$itionem con$imilem: & duo axes ui$uũ $emper $unt in eadem $uperficie: & omnes lineæ exeuntes à c\~etro duorum ui$uũ habentes po$itionem con$imilem ab axe communi, erunt in eadem $uperficie: axis enim commu- nis $emper e$t in eadem $uperficie. Nam $i aliquid comprehenditur utroq; ui$u in eodem tempore uera comprehen$ione: tũc axes concurrunt in uno puncto illius rei [per 10. 15 n 3.] Quare $unt in eadem $uperficie. Item po$itio ui$uum naturalis e$t con$imilis, & non exit à naturali po$itione, ni$i per accidens, aut per uiolentiam: quare axes eorum $unt in eadem $uperficie. Principium enim ALHAZEN axium e$t unum punctum, quod e$t in medio concauitatis communis nerui, à quo exit communis axis. Exi$tentibus ergo duobus ui$ibus in $ua naturali po$itione, $emper axes erũt in eadem $uper- ficie, $iue $int moti, $iue quie$centes. Si autem po$itio alterius ui$uũ mutata fuerit, re$pectu reliqui propter aliquod impedimentum: tunc res ui$a uidebitur duplex, ut in primo libro declarauimus. Duo ergo axes in maiore parte $unt in eadem $uperficie. Quare omnes duo radij habentes po$itio- nem $imilem ex duo bus axibus, erunt in eadem $uperficie. Duæ ergo line{ae}, per quas extenduntur form{ae} unius puncti ad duo loca cõ$imilis po$itionis, $untin eadem $uperficie. Sed imagines illius, re$pectu duorum ui$uũ, $unt in illis duabus lineis. Ergo $unt in eadem $uperficie. Sed imagines illi- us puncti $unt in perpendiculari exeunte ex illo puncto. Ergo $unt in loco $ectionis inter $uperfi- ciem, in qua $unt line{ae} radiales, qu{ae} e$t una $uperficies, & inter perpendicularem, qu{ae} e$t una linea. Sectio autem unius $uperficiei cum una linea e$t unum punctum. Ergo imagines unius puncti, re- $pectu duorum ui$uum, quando perueniunt ad duo loca con$imilis po$itionis, $unt punctum unũ. Ex quo patet, quòd imago totius rei ui$æ, re$pectu duorum ui$uũ, erit una: $i po$itio imaginis fuerit con$imilis. Quare res comprehenditur una utroq; ui$u. Si uerò po$itio fuerit parum diuer$a: uide- bitur res una: $ed non uerè, $ed cauillo$è. Si autem diuer$itas po$itionis fuerit multa: tunc forma rei uidebuntur duæ: $ed hoc fit rari$simè. Hæc e$t ergo qualitas comprehen$ionis ui$us de ui$ibilibus $ecundum refractionem.

37. Vi$io di$tincta fit rect{is} line{is} à ui$ibili ad ui$um perpendicularib{us}. Et ui$io omn{is} fit re- fractè. 17. 18 p 3.

HOc autem declarato: dicamus uniuer$aliter, quòd omnia, quæ comprehendũtur à ui$u, com prehenduntur refractè, $iue ui$us & ui$um fuerint in eodem diaphano, $iue in diuer$is, $iue ui$um $it in oppo$itione ui$us, $iue comprehendatur ab ip$o reflexè. Nihil enim comprehen ditur $ine refractione facta apud $uperficiem ui$us. Nam tunicæ ui$us, quæ $unt cornea, albuginea, glacialis, $unt etiam diaphanæ & $pi$siores aere. Et iam declaratum e$t, quòd formæ eorũ, quæ $unt in aere & in alijs corporibus diaphanis, extenduntur in illis corporibus: & $i occurrerint corpori- bus diuer$æ diaphanitatis ab eo, in quo $unt: refringuntur in illo corpore diaphano: forma ergo e- ius, quæ e$t in aere, $emper extenditur in aere. Cum ergo aer tangit $uperficiem alicuius ui$us: tunc illa forma, quæ e$t in aere, refringitur in $uperficie ui$us: & tunc refringitur omni modo in corpore corneæ & albugineæ. Refractio enim propriè e$t de numero formarum: recipere autem formas & refractiones e$t proprium corporibus diaphanis. Form æ ergo eorum, quæ opponuntur ui$ui, $em- per refring untur in tunicis ui$us. Et iam patuit, quòd cum form{ae} extenduntur $uper lineas perpen diculares $uper $ecundum corpus: pertran$eunt rectè in $ecundo corpore. Form{ae} ergo eorum, qu{ae} opponuntur $uperficiei ui$us, refringuntur omnes in tunicis ui$us: & quæ fuerint ex eis in extremi tatibus linearum radialium, perpendicularium $uper $uperficiem ui$us, pertran$eunt rectè, cum re fractione formarum earum in tunicis ui$us. Parti enim $uperficiei ui$us, quæ opponitur foramini uueæ, multa opponuntur ui$ibilia, quorum alia $unt apud extremitates linearum radialium, & a- lia extra. Omnes enim lineæ radiales, qu{ae} $unt perpendi culares $uper $uperficies tunicarum ui$us, continentur in pyramide, cuius caput e$t centrum ui$us, & cuius ba$is e$t circumferentia uueæ fo- raminis. Et quantò magis extenditur hæc pyramis, & remouetur à ui$u, tantò magis amplificatur: & omnes formæ eorum, quæ $unt intra pyramidem, extenduntur in rectitudine linearum radialiũ, & pertran$eunt in tunicis ui$us rectè. Et hæc pyramis dicitur pyramis radialis. Lineæ autem, quæ extenduntur in hac pyramide, quarum extremitates $unt apud centrum ui$us, dicuntur lineæ ra- diales. Formæ uerò eorum, quæ $unt extra hanc pyramidem, nunquam extenduntur per aliquam linearum radialium: tamen extenduntur per lineas rectas, quæ $untinter ip$am $uperficiem ui$us, quæ opponuntur foramini uueæ: & formæ, quæ extenduntur per has lineas, refringuntur à diapha nitate tunicarum ui$us. Et forma cuiuslibet puncti eorum, quæ $unt intra pyramid\~e radial\~e, exten- ditur ad $uperficiem ui$us, quæ opponitur foramini uueæ in pyramide, cuius caput e$t illud pun- ctum, & cuius ba$is e$t $uperficies, quæ opponitur foramini uueæ: & una linea earum, quæ imagi- natur in hac pyramide, e$t linea radialis: c æteræ autem omnes, qu{ae} non $unt in hac pyramide, non $unt radiales: & nulla earum e$t perpendicularis $uper $uperficies tunicarũ ui$us. Et forma cuiusli- bet puncti eorum, quæ $unt intra pyramidem radialem, extenditur $uper lineam omnem, qu{ae} po- te$t cadere in illam pyramidem, cuius caput e$t illud punctum, & cuius ba$is e$t $uperficies rei ui${ae}, qu{ae} opponitur foramini uue{ae}: & per unam i$tarum linearum tran$it forma, qu{ae} extenditur per illã in tunicis ui$us $ecundum rectitudinem: & omnes form{ae} ali{ae} exten${ae} in re$iduo pyramidis, refrin- guntur in tunicis ui$us, & non pertran$eunt rectè. Omnia ergo, qu{ae} opponuntur parti $uperficiei ui$us, qu{ae} opponitur foramini uue{ae}, ex illis qu{ae} $unt in aere, aut in cœlo, aut in aqua, aut in con$imi libus, & ex illis, qu{ae} reflectuntur à ter$is corporibus, quæ perueniunt ad hanc partem $uperficiei ui $us, refringuntur in tunicis ui$us. Et form{ae} eorum, qu{ae} $unt intra pyramidem, pertran$eunt rectè in tunicis ui$us, cum refractione form arum earũ, qu{ae} extenduntur $uper pyramidem, qu{ae} remanent in uniuer$o huius partis $uperficiei ui$us. Re$tat ergo declarare, quòd form{ae}, qu{ae} refringuntur in tunicis ui$us, comprehenduntur à ui$u, & $entiuntur à uirtute $en$ibili. In primo autem tractatu [15. 18. 19 25 n] declarauimus, quòd $i membrum $en$ibile $entiret ex quolibet puncto $u{ae} $uper- ficiei omnem formam ad $e uenientem: tunc $entiret rerum formas mixtas. Vnde membrũ $en$ibi- OPTICAE LIBER VII. le non $entit formas, ni$i ex rectitudine linearum perpendicularium $uper $uperficiem ip$ius tan- tùm. Quare tran$eunt formæ ui$ibilium, nec ad mi$centur apud ip$um. In hoc uerò tractatu mõ$tra- uimus, quòd form æ refract{ae} nunquam comprehenduntur, ni$i in perpendicularibus exeuntibus à ui$ibilibus $uper $uperficies corporum diaphanorũ. Er go formæ refractæ in tunicis ui$us nõ com- prehen duntur à ui$u, ni$i in perpendicularibus exeuntibus à ui$ibilibus $uper $uperficies tunicarũ ui$us: & hæ perpendiculares lineæ $unt exeuntes à centro ui$us. Formæ ergo omnes refract{ae} in tu- nicis ui$us comprehendũtur à ui$u in rectitudine linearum exeuntium à centro ui$us. Formæ ergo omnium ui$ibilium, quæ opponuntur parti $uperficiei ui$us, qu{ae} opponitur foramini uueæ, & exi- $tũt in hac parte $uperficiei ui$us: refringũtur in diaphanitate tunicarũ ui$us, & perueniũt ad mem brũ $en$ibile, quòd e$t humor glacialis, & cõprehenduntur à uirtute $en$ibili per lineas rectas, qu{ae} cõtinuãt centrũ ui$us cũ ip$is ui$ibilibus, $cilicet quòd forma cuiuslibet pũcti cuiuslibet ui$i, oppo $iti $uperficiei ui$us, quæ opponitur foramini uueæ, exi$tit in uniuer$o $uperficiei huius partis, & refringitur à tota $uperficie, & peruenit ad humorem glacialem: & tũc ille humor $entit formam ad $e uenientem: & uirtus $en$ibilis comprehendit omnia, quæ perueniunt ad glacialem ex forma ui- $us pũcti $uper unam lineam continuantem centrũ ui$us cũ illo puncto. Hoc ergo modo compre- h\~edit ui$us omnia ui$ibilia. In hoc autem capitulo diximus, quòd eorũ, quæ opponũtur $uperficiei ui$us, alia $unt intra pyramidem, & alia extra: & cũ dico $uperficiem ui$us: intelligere oportet nunc & ammodo partem oppo$itam $uperficiei uueæ. Vi$ibilia ergo, quæ $unt intra pyramidem radial\~e, comprehendũtur à ui$u ex rectitudine linearũ radialiũ rectè, ex formis eorũ, quæ extendũtur ad ui $um in rectitudine harũ linearũ. Et hæ lineæ $unt perpendiculares, qu{ae} exeunt à pũctis ui$ibilibus, quæ $unt intra pyramidem $uper $uperficies tunicarũ ui$us: illa autem, quæ $unt extra pyramidem radial\~e, cõprehendũtur à ui$u ex formis refractis, & in rectitudine linearũ exeuntiũ à centro ui$us, exi$tentiũ extra pyramid\~e radial\~e. Et hæ lineæ, quæ $unt extra pyramid\~e radial\~e, po$$unt etiam di ci lineæ radiales tran$$umptiuè: a$similantur enim lineis radialibus in eo, quòd exeunt à c\~etro ui- $us. Re$tat ergo declarare per experientiam, quòd ui$us compreh\~edit ea, qu{ae} $unt extra pyramid\~e radialem. Dicimus ergo, quòd manife$tũ e$t, quòd lachrymalia, & ea, quæ contin\~et circulum, $unt extra pyramidem, cuius caput centrũ ui$us e$t, & cuius ba$is e$t circũfer\~etia foraminis uueæ, quod e$t paruũ foram\~e in medio nigredinis oculi. Et $i aliquis $ump $erit acũ $ubtilem gracilem, & po$ue- rit extremitat\~e eius in po$tremo oculi, & inter palpebras, & quieuerit ui$us: tũc uidebit extremita- tem eius: & $imiliter $i po$uerit extremitat\~e acus in lachrymali, & $i mi$erit illã in oculo, & applica- uerit extremitatem in latere nigredinis oculi aut prope, uidebit extremitatem acus. Item omnia, quæ æquidi$tant $uperficiei rei uifæ, ex locis continentibus uifum, $unt extra pyramidem radial\~e. Et cum dico loca contin\~etia ui$um: intelligo illa, à quibus lineæ exeuntes ad mediũ $uperficiei ui- $us, $ecant axem pyramidis radialis. Et $i homo erexeritindicem $uum exparte $uæ faciei & pro- pe palpebram: uidebit indicem. Et $imiliter $i applicauerit indicem cum inferiore palpebra, ita. ut $uperior $uperficies eius indicis $it æquidi$tans $uperficiei ui$us, quantùm ad $en$um: uidebit $uperficiem indicis. Sed omnia i$ta loca $unt extra pyramidem radialem: & hoc patebit. Nam py- ramis radialis, quam continet foram\~e uueæ, e$t ualde $ubtilis, & extenditur rectè, & pyramidalitas eius non e$t ampla: unde nihil ex ip$a peruenit ad loca, quæ circundant oculum, & appropinquant corpori oculi, et æquidi$tant $uperficiei oculi: & inter omnia loca continentia oculum, & æquidi- $tantia $uperficiei ui$us, & inter $uperficiem ui$us, $unt lineæ rectæ, propter refraction\~e earũ à cor- poribus den$is, cum aer, qui e$t inter ip$a & $uperficiem ui$us, fuerit continuus: tunc forma horum ui$ibilium peruenit ad $uperficiem ui$us $uper has lineas, quæ $unt extra pyramidem. Et cum hæc forma perueniat ad ui$um non per lineas radiales, & tamen comprehendatur à ui$u: patet, quòd ui- $us comprehendat illam refractè. Ex hac ergo experientia patet, quòd ui$us comprehendit multa eorum, qu{ae} $unt extra pyramidem radialem, refractè. Inductione autem po$$umus o$tendere, quòd ui$us comprehendit illa, quæ $unt intra pyramidem radialem, refractè, cum hoc, quod comprehen- dit illa rectè, hoc modo. Accipias acum $ubtilem, & $edeas in loco oppo$ito albo parieti, & coope- rias alterum oculorum, & ponas acũ in oppo$itione alterius oculi, & facias acum appropinquare, ita ut applicetur palpebræ, & ponas acum in oppo$itione medij ui$us, & a$picias parietem oppo$i- tum: tunc enim uidebis acum, qua$i corpus diaphanum, in quo e$t aliquantula den$itas: & uidebis quicquid e$t ultra acum ex pariete, & apud acum qua$i corpus latum, cuius latitudo e$t multiplex ad latitudinem acus. Cau$$a autem huius in $ecundo tractatu declarata e$t: $cilicet quòd $i res ui$i- bilis fuerit multùm propinqua ui$ui: uidebitur maior, quàm $it: & quantò magis fuerit propinqua, tantò magis uidebitur maior. Diaphanitas autem eius e$t, quia ui$us comprehendit quicquid e$t ultrà: acus autem e$t corpus den$um cooperiens, quod e$t ultrà: & quia acus e$t ualde propinqua ui$ui: ideo cooperuit de pariete multiplex ad $uam latitudin\~e. Ba$is enim pyramidis (cuius caput e$t centrum ui$us, & ba$is e$t altitudo acus) erit multiplex ad latitudinem acus: & cum hoc, ui$us comprehendit quicquid e$t ultra acum, nec cooperitur à ui$u aliquid de pariete, $ed comprehen- dit quod e$t ultrà, qua$i ultra corpus diaphanum. Et cum acus fuerit oppo$ita medio ui$ui: tunc nõ cooperiet totam $uperficiem ui$us, propter $ubtilitatem eius, $ed aliquam partem, quanta e$t lati- tu do eius: & remanet ex $uperficie ui$us aliquid à lateribus acus: & exit forma cius ad illud, quod e$t à lateribus acus de $uperficie ui$us. Forma autem exiens ad acum, nũquam perueniet ad ui$um, nec comprehendetur ab ip$o: forma autem, quæ peruenit ad latera $uperficiei ui$us, refringitur ad ALHAZEN ui$um, cum non rectè perueniat ad centrum ui$us. Si ergo ui$us non comprehenderet illud, quod opponitur ex pariete acui, ni$i rectè: tunc illud, quod opponitur acui ex pariete, e$$et coopertum à ui$u. Cũ ergo comprehendatur, & non rectè: patet ip$um comprehendi refractè performam, quæ refringitur à lateribus acus ex $uperficie ui$us. Et hoc iam manife$tatur etiam, quòd $i experim\~eta- tor po$uerit loco acus aliquod corpus latũ, cuius latitudo $it maior latitudine foraminis uueæ: tũc enim nihil uidebit omnino de pariete, nec uidebit illud corpus diaphanũ, $ed d\~e$um. Ex hoc ergo, quòd paries comprehenditur ultra acum ex gracilitate eius, & non comprehenditur ultra corpus latũ: $cimus quòd illa compreh\~e$io e$t ex forma, quæ peruenit ad acũ ex $uperficie uilu@, & refrin- gitur in tunicis ui$us. Et quia quic quid à ui$u comprehenditur refractè, comprehenditur in rectitu dine perpendicularium: ideo illud, quod compreh\~edit, compreh\~edit refractè ex forma eius, quod opponitur acui per rectitudinem linearũ, exeuntiũ à c\~etro ui$us, cũ eo, quod opponitur acui ex pa riete: & hæ lineæ $ecantur acu, & ui$us comprehendit illud, quod e$t ultra acũ etiam in rectitudine harũ linearũ, & comprehendit acũ etiam in rectitudine illarũ. Quare totam formam qua$i compre- hendet ultra corpus diaphanũ, in quo e$t aliquãtula den$itas. Et $i experim\~etator $crip$erit in bom- bace $ubtiliter, & applicauerit ip$um parieti, & remotus fuerit à pariete, in quantũ po$sit legere $cri pturam, & po$ueritacũ in oppo$itione medij ui$us, ut primò fecit, & a$pexerit bombacem: tũc po- terit legere $cripturam, $ed tamen uidebit eam qua$i ultra uitrũ aut ultra corpus diaphanũ, in quo e$t aliqua d\~e$itas. Si ergo ui$us non compreh\~edit illud, quod opponitur acui de bom bace $ecũdum refractionem: tũc aliquid lateret de $criptura: acus enim debet cooperire de $criptura multò magis $e in quantitate latitudinis diaphanitatis, quàm tũc comprehendit, propter remotionem bomba- cis à ui$u. Sed quia ui$ui non patet aliquid de $criptura: patet ip$um compreh\~edere illud, quod op- ponitur acui: $ed hoc non pote$t fieri rectè: re$tat ergo, ut fiat refractè. Et $i experim\~etator ab$tule- rit acum, non de$truetur refractio, qu{ae} prius erat: non enim propter acum erat refractio, fed cre$cit refractio, eò quòd refringitur ex loco acus. Et cũ experim\~etator ab$tulerit acum: compreh\~edet il- lud, quod opponitur ui$ui, manife$tius. Nam compreh\~edet illud rectè, quod cooperiebatur acu: cũ hoc, quod compreh\~edit illud refractè, $icut compreh\~edebat cum cooperiebatur: & propter hanc additionem comprehendit illud manife$tius, quàm antequam auferretacum. Ex qua experientia patet, quòd illud quod opponitur ui$ui de illis, quæ $unt intra pyramidem radialem, compreh\~edi- tur refractè & rectè. Ex his ergo omnibus declaratur, quòd omnia, quæ comprehenduntur à ui$u, quorum formæ perueniunt ad ui$um rectè, aut reflexè, aut refractè: comprehenduntur $ecundum refraction\~e factam apud $uperficiem ui$us: & quòd illorũ qu{ae} comprehendũtur $ecũdum refractio nem factam à $uperficie ui$us: quædam compreh\~eduntur refractè & rectè $imul: & ideo illud, q<001> opponitur medio ui$us, e$t manife$tius illo, quod e$t in circuitu medij. Et cum ui$us compreh\~ede- rit aliquid latum, compreh\~edet illud, quod eft in medio, manife$tius illo, quod e$t in lateribus. Hoc aũt declaratũ e$t in $ecũ do tractatu, in quo declarauimus, quo modo hoc po$$et experim\~etari: & di ximus, quòd cau$$a huius e$t propter lineas radiales: & hoc e$t in illis, qu{ae} $unt intra pyramidem ra dial\~e: In alijs aũt, quæ $unt extrà, e$t cau$$a refractio. Cau$$a aũt uniuer$alis in hoc, quòd illud, quod opponitur medio ui$us, e$t manife$tius, quã illud, quod e$t in circuitu: e$t: quoniã illud quòd oppo nitur medio ui$us, compreh\~editur rectè & refractè $imul. Hoc aũt, quòd quicquid compreh\~editur à ui$u, comprehendatur refractè, à nullo antiquorum dictum e$t.

DE FALLACIIS VISVS, QVAE ACCIDVNT ex refractione. Cap. VII. 38. Refractio debilit at lucem & colorem ui$ibil{is}: ita<005> totam imaginem confu$am ui$ui of- fert. 10 p 10.

FAllaciæ, quæ accidunt $ecũdum refractionem: $imiles $unt ijs, quæ accidunt per reflexionem. Quod enim compreh\~editur refractè, compreh\~editur non in $uo loco, cũ comprehendatur in loco imaginis: quapropter po$itio formæ comprehen$æ erit alia à po$itione rei ui$æ. Item re- fractio debilitat formam refractam, $cilicet, formam lucis & coloris, quæ $unt in re ui$a. Et hoc po- te$t intelligi: quoniam $i a$pexeris aliquid exi$tens in aqua, & tu $is obliquus à perpendicularibus, exeuntibus à re ui$a $uper $uperficiem aqu{ae} multa obliquatione, & intuearis illud uerè, deinde mo uearis, & moueas ui$um, donec ponas ip$um in aliqua perp\~ediculari, exeunte à re ui$a $uper $uper- ficiem aquæ, & a$pexeris: tunc uidebis illud manife$tius, quàm cum eras obliquus: & nulla e$t dif- ferentia inter duos $itus, ni$i quia in primo, forma, quæ exit ad ui$um, e$t refracta & multùm obli- qua: in $ecundo autem forma exit rectè, aut quædam pars ip$ius exit rectè, & quædam modicũ obli què aut ferè rectè. Ex hac ergo experimentatione declaratur, quòd refractio debilitat formas refra ctas. Item ea, qu{ae} $unt in aqua, & ultra uitrum & con$imilia, quando refringuntur ad ui$um, deferũt $ecum colorem corporis, in quo exi$tunt. In illis ergo, quæ comprehendũtur refractè ultra corpora diaphana, accidunt propter refractionem fallaciæ, quæ non accidunt in eis, quæ uidentur rectè, $ci licet diuer$itas po$itionis & di$tantiæ, & debilitas lucis & coloris. Præterea accidunt eis i$ta, quæ accidunt illis, quæ rectè uidentur. Formæ enim eorum, quæ comprehenduntur refractè, compre- henduntur in oppo$itione ui$us & in rectitudine linearũ radialiũ. Quicquid ergo accidit eis, quæ uidentur in rectitudine linearũ radialiũ, accidit i$tis. Et in tertio libro declarauimus o\~es illas falla- OPTICAE LIBER VII. cias & cau$$as earum: & qu{ae} $unt etiam cau$$æ i$tarum: $ed in his accidit magis, & citius propter de- bilitatem harum formarum. Particulares autem deceptiones, quæ accidunt propter figuras $uper- ficierum corporum diaphanorum, $unt multimodæ, $ed accidunt rarò ui$ui. Ea enim, qu{ae} compre- henduntur ultra corpora diaphana, diuer$a ab aere, $unt $tellæ, & ea, quæ $unt in aqua: illa autem, quæ $unt ultra ultrum, & lapides diaphanos diuer$arum figurarum rarò comprehenduntur à ui$u: & non e$t ita de i$tis corporibus diaphanis, ut de $peculis: $pecula enim $æpius a$piciuntur ab homi nibus, ut uideant in eis $uas formas, & habentur in domibus. Et $imiliter quando homo in$pexerit in quodlibet corpus ter$um: etiam uidebit formam eorum, quæ $unt in oppo$itione. Et $imiliter $i a$pexerit a quam: uidebit formam $uam in ea, & uidebit, quæ $unt in oppo$itione. Et non e$t ita il- lud, quod uidebit ultra uitrum, & lapides diaphanos: quia homines rarò a$piciunt ad illud, quod e$t ultra uitrum, & lapides diaphanos. Et quia ita e$t, dicamus de deceptionibus refractionis particu- laribus, quæ $emper accidunt & $ine difficultate, $cilicet quæ accidunt in eis, qu{ae} uidentur in cœlo, & in aqua: & dicemus parum de his, quæ uidentur ultra uitrũ, & lapides. Dicamus ergo, quòd $emք ui$us fallitur in eis, quæ comprehen duntur ultra corpus diaphanum, diuer$um ab aere, præ$ertim in po$itione & remotione, in coloribus & lucibus eorum, & in magnitudine eorum & figuris quo- rundam. Ea enim, quæ uidentur in aqua, & ultra uitrum, & lapides diaphanos, uid\~etur maiora: $tel- læ autem, & di$tantiæ inter $tellas, quandoq; uidentur maiores, quandoque minores.

39. Si commun{is} $ectio $uperficierum, refraction{is} & refractiui fuerit linea recta, & ui${us} $it in perpendiculari duct a à medio ui$ibil{is} par alleli communi $ectioni: imago maior uidebitur ui$ibili. 31 p 10.

SIt ergo ui$us a: & $it b c ultra corpus diaphanum, gro$sius aere: Dico, quòd b cuidetur maior, quàm $it. Sit ergo primò $uperficies corporis diaphani plana. A aut e$t in perpendiculari, exe- unte à medio b c $uper $uperficiem corporis: aut extra. Sit ergo in primis, in ip$a: & [per 12 p 1] $it illa perpendicularis a m z: & extrahamus $uperficiem, in qua $unt lineæ a z, b c: & faciet in $uperfi cie corporis diaphani lineam d m e [per 3 p 11:] & [per 9 n] $uperficies, in qua $unt duæ line{ae} a z, b c, crit perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani. Et non tran$it per a & per aliquod pun- ctum lineæ b c $uperficies, quæ $it perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani, ni$i illa, in qua $unt lineæ a z, b c. Non enim tran$it per a $uperficies perpendicularis $uper $uperficiem corpo- ris diaphani, ni$i illa, quæ tran$it per a z: quæ linea e$t perpendicularis $uper $uperficiem corporis: [per 9 n & conuer$ionem 4 d 11] nec exit ex a perpendicularis $uper $uperficiem corporis diapha- ni, ni$i linea a z. Non ergo per a tran$it $uperficies, quæ $it perpendicularis $uper $uperficiem corpo ris diaphani, ni$i illa, quæ tran$it per lineam a z: & non tran$it per aliquod punctum lineæ b c & per lineam a z, ni$i illa $uperficies, in qua $unt duæ lineæ a z, b c. Non ergo tran$it per a & per aliquod punctum lineæ b c $uperficies perpen dicularis $uper $u- ad m @ g p h l k q bn z c perfici\~e corporis diaphani, ni$i illa, in qua $unt lineæ a z, b c. Non ergo refringetur forma alicuius puncti eorum, quæ $unt in b c, ni$i ex linea d e. Et [per 11 p 1] extraha- mus ex b & c duas perpendiculares: cadent ergo in lineã d e in duobus punctis d e, [per lemma Procli ad 29 p 1: quia b c, d e $unt parallelæ ex the$i] $cilicet b d, c e. Et $it b c in primis æ quidi$tans line{ae} d e: & refringatur forma b ad a ex p: & forma c ad a ex h: & cõtinuemus lineas b p, p a, c h, h a: item a b, a c: & extrahamus a p ad l, & a h ad k. [Nam quòd a p, a h concurrant cum b d, c e patet per lem ma Procli ad 29 p 1.] Quia ergo z po$itum fuit in medio lineæ b c, po$itio b ex a erit {ae}qualis po$itioni c exa: & $ic di$tantia p ex a erit $icut di$tantia h ex a. [Quia enim a z bifariam $ecans b c, e$t ad eandem perpendicularis per the$in, ip$a\’q; a z communis, æquatur $ibijp$i: erit per 4 p 1 a b æqualis a c. Itaque cum b c, d e $int parallelæ ex the$i, & puncta b & c à ui$u a æ quabiliter di$tent: ab eodem æ- quabiliter di$tabuntrefractionum puncta p & h, propter æquabilem in eodem & æquabili medio punctorum o- mnium diffu$ionem. Quare a p æquatur ip$i h a:] & $ic [per 5. 15 p 1] angulus d p l erit æqualis angulo e h k, $ed [per 29 p 1] duo anguli d, e $unt recti: & linea d p e$t æqua lis lineæ e h: quia p m e$t {ae}qualis m h. [Nam quia per the $in, fabricationem & 34 p 1 tota m d {ae}quatur toti m e: & an guli ad m deinceps recti per 29 p 1, & ad p & h {ae}quales per conclu$ionem, latus\’q; a m commune: æquabitur per 26 p 1 m p ip$im h. Quare reliqua d p æ quabitur reliquæ e h per 19 p 5] ergo [per 26 p 1] d l e$t æqualis e k: & continuemus l k: erit ergo [per 33 p 1] æqualis lineæ b c: angulus ergo c a b erit minor angu- lo k a l. [Nam recta l k $ecãs latera a b, a c, facit duos angulos exteriores, maiores interioribus oppo ALHAZEN $itis ad l & k per 16 p 1: $ed angulis exterioribus à rectis a b, a c & $ecante k l factis æquantur interio- res ad b & c trianguli a b c per 29 p 1. Anguli igitur ad b & c $unt maiores angulis a d l & k. Quare per 32 p 1 reliquus a b c minor e$t reliquo l a k:] & linea l k e$t diameter imaginis b c. Nam omne punctũ lineæ b c refringitur ab aliquo puncto p h. Nam $i forma b refringitur ex p: punctum, quod e$t inter b & z, refringitur ab aliquo puncto inter p & m: & ponamus $uper lineam b z punctũ n. Si ergo for- ma n refringeretur ab aliquo puncto extra lineam m p exparte d: tunc linea, per quam extenditur forman, $ecaret lineam b p: & $ic forma puncti $ectionis refringeretur ad a ex duobus punctis [p & g,] quod e$t impo$sibile, ut diximus in capitulo quinto huius libri de imagine: [19 n] n ergo non re fringitur ad a, ni$i ex aliquo puncto inter p m. Et $imiliter omne punctum in z c, non refringetur ad a, ni$i ex linea m h. Linea ergo l k e$t diameter imaginis line{ae} b c: [per 18 n] forma ergo b c uidebitur in l k. Item iam declarauimus [numero præcedente] quòd forma refracta e$t debilior recta: ergo for ma b c, qu{ae} comprehenditur refractè, e$t debilior forma eius, qu{ae} comprehenditur rectè: & propter debilitatem formæ rei, ui$us a$similat eam formæ rei, quæ uidetur à maiore remotione: maior enim di$tantia debilitat formam. Et iam declarauimus in $ecundo libro [38 n] quòd ui$us comprehendit imaginem rei ui$æ $ecundum quantitatem anguli, re$pectu remotionis & po$itionis rei ui$æ apud ui$um: & angulus k a l e$t maior angulo c a b [ex conclu$o,] & po$itio l k e$t $icut po$itio c b, & b c ui detur in l k, & l k comprehenditur in maiore qua$i di$tantia, di$tantia b c, propter debilitatem for- mæ. Vi$us ergo comprehendit b c refractè ex comparatione anguli maioris angulo c a b ad di$tan- tiam maiorem di$tantia b c, & ad po$itionem æqualem po$itioni b c. Quapropter b c comprehendi- tur refractè maior: & hoc duabus de cau$sis, $cilicet magnitudine anguli, & debilitate formæ. Cau$- $a autem magnitudinis anguli, e$t propinquitas anguli ad ui$um: & cau$$a propin quitatis anguli e$t refractio. Cau$$a ergo, qua b c comprehenditur maior, e$t refractio.

40. Si commun{is} $ectio $uperficierum, refraction{is} & refractiui fuerit linea recta, & ui${us} $it in perpendiculari duct a à medio ui$ibil{is} obliqui ad communem $ectionem: imago maior ui- debitur ui$ibili. 32 p 10.

ITem: iteremus figurã: & $it b c nõ æquidi$tans line{ae} d e: & extrahamus à remotiore extremitatũ b c lineam æquidi$tant\~e lineæ d e: [per 31 p 1] & $it c q: a d e i f p m h l k b z q o c & extrahamus a z ad o: erit ergo o in medio c q. [Quia enim per fabricationem a z parallela d b, continuata e$t in o, & d b in q: erit ք 2 p 6, ut b z ad z c, $ic q o ad o c: $ed b z {ae}quatur z c ex the$i: ergo q o {ae}quabitur o c: o igitur erit medium punctũ line{ae} q c:] quare z e$t in medio b c: quia b q e$t æ quidi$tans z o: & [per 2 p 6] proportio q o ad o c, $icut b z ad z c. Et refringatur forma q ad a exp: & forma c ad a ex h: & continuemus a p, & pertran$eat u$que ad l: & continuemus a h, & pertran$eat u$que ad k: & conti- nuemus l k: erit ergo l k diameter imaginis q c: erit\’q; an- gulus k a l maior angulo c a q: [ut o$ten$um e$t pr{ae}ceden te numero] a ergo comprehendet imaginem q c maior\~e q c, ut prius diximus. Linea autem q p $ecab it lineam b c in r: r ergo refringetur ad a ex p: ergo b refringetur ad a ex puncto inter duo puncta p, d. Nam $i refrin geretur ex puncto inter p, m: accideret prædictum impo$sibile [nu mero pr{ae}cedente: quod erat, idem punctũ ui$ibilis à duo bus refractiui punctis refringi non po$$e.] Refringatur ergo b ad a ex f, & continuemus a f, & pertran$eat ad i, & cõtinuemus i k: ergo i k erit diameter imaginis b c: & po- $itio i k in re$pectu a, e$t $imilis po$itioni b c, quia i k aut erit {ae}quidi$tans ad b c, aut non erit inter illam & æ quidi- $tantem diuer$itas, quæ mutet po$itionem: non e$t enim inter di$tantiam i k & di$tantiã b c à ui$u grandis diuer$i- tas: quare declinatio i k à linea æquidi$tante b c, qu{ae} exit ex k, erit ualde parua. Ergo angulus i a k e$t maior angu- lo b a c: & po$itio i k e$t $imilis po$itioni b c: & i k comprehenditur qua$i remotior, propter debilita- tem formæ eius. Linea ergo k i uidetur maior, quã b c, utin præcedente figura declarauimus: Sed i k e$t imago b c: ergo b c uidebitur maior, quàm $it: & hoc e$t quod uoluimus.

41. Si commun{is} $ectio $uperficierum, refraction{is} & refractiui fuerit linea recta: & ui${us} $it extra planum perpendicularium à termin{is} ui$ibil{is}, par alleli communi$ectioni $uper refra- ctiuum duct arum: imago uidebitur maior ui$ibili. 33 p 10.

ITem: $it ui$us a: & res ui$a b c: extrahamus perpendiculares b d, c e: & continuemus d e: & $it b c æquidi$tans d e: & $it a extra, $uperficiem b d c e, cum co quod continuatur cum ip$a: & [per 10 p 1] diuidamus b c in duo æqualia in z: & extrahamus perpendicularem a h $uper $uperfi OPTICAE LIBER VII. ciem b c d e: & cõtinuemus a z: & $it a z po$ita perp\~ediculariter $uper b z c. Po$itio ergo b re$pectu a e$t $imilis po$itioni c, re$pectu a: & di$tantia b ex a e$t æqualis di$tantiæ c ex a, [ut 39 n o$t\~e$um e$t.] Et refringatur b ad a ex p: & c ad a ex k. Po$itio ergo p, re$pectu a, e$t $imilis po$itioni k, re$pectu a: & di$tantia p ex a, $icut di$tantia k ex a: & continuemus lineas b p, p a, c k, k a. E$t ergo [per 9 n] $u- perficies, in qua $unt du{ae} lineæ, a p, b p perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani: quia e$t $uperficies refractionis: perpendicularis ergo b d erit a p k d m e l o g h b z c in hac $uperficie: & perpendicularis, quæ exit ex p, erit in illa $uperficie: linea ergo a p $ecabit b d [per lemma Procli ad 29 p 1:] extrahatur ergo a p, & $ecet b d in l: & extrahatur a k, & $ecet c e in o: erit ergo a l, $icut a o: [{pro}- pter $imilem po$itionem punctorum l & o ad punctum a:] & erit b l, $icut c o: & continuemus l o, quæ e$t dia- meter imaginis b c: & [per 33 p 1] erit l o æqualis b c: & continuemus a b, a c. Vtraque ergo $uperficies a l b, a o c e$t perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani [per 9 n:] & tres $uperficies perpendiculares $uper $u perficiem corporis diaphani, quæ tran$eunt per puncta b, z, c, [nempe a l b: a m z: a o c] $ecant $e in perpendicu- lari exeunte ex a $uper $uperfici\~e corporis diaphani [per 19 p 11:] & erit angulus b p l angulus refractionis: & linea b l d perpendicularis e$t $uper $uperficiem corporis: ergo [per 13 p 11] linea a l e$t obliqua $uper ip$am. Linea ergo a p continet cum perpendiculari exeunte ex p $uper $u- perficiem corporis angulum acutum ex parte l: & extra- hamus perpendicularem: & $it p g: ergo [per 6 p 11] erit {ae}- quidi$tans l d: angulus ergo p l d e$t acutus [per 29 p 1:] ergo [per 13 p 1] angulus a l b e$t obtu$us. Linea ergo a l e$t minor, quàm linea a b [per 19 p 1.] Et $imiliter declara tur, quòd a o erit minor a c: $ed lineæ a l, a o $unt æquales, & a b, a c $unt æquales, & linea l o e$t {ae}qualis lineæ c b: er go angulus o a l e$t maior angulo c a b: [ut patuit 39 n] & po$itio l o e$t con$imilis po$itioni b c: quia linea, qu{ae} exit exa ad medium l o, e$t perpendicularis $uper lineam l o, quia [per 29 p 1] l o e$t æquidi$tans b c, & b c e$t perpendicularis $uper $uperficiem, in qua $unt a z, d b:ergo [per 8 p 11] l o e$t perpendicularis $uper eandem $uperficiem. Linea ergo l o e$t perpendicularis $uper $uperficiem, quæ continuat a cum medio l o. Po$itio ergo l o re$pectu a e$t, $icut po$itio b c re$pectu a: Sed l o comprehenditur re- motior, propter debilitatem formæ: ergo l o uidebitur maior quàm b c: $ed l o e$t imago b c. Ergo b c uidebitur maior, quàm $it.

42. Si commun{is} $ectio $uperficierum, refraction{is} et a q p k d m e g l o b z f c refractiui fuerit linea recta: & ui${us} $it extr a planum perpendicularium à termin{is} ui$ibil{is} obliqui ad com- munem $ectionem, $uper refractiuum ductarum: ima- go maior uidebitur ui$ibili. 34 p 10.

ITem iteremus figuram: & $it b c non æquidi$tans d e: & extrahamus c f æquidi$tantem lineæ d e: & conti- nuemus a f: & $it p punctum, ex quo refringatur f ad a: b autem refringatur ad a ex q: & continuemus a q: & {pro}- trahamus illam ad g. Sic ergo erit g altius quàm l: nam b e$t ultra lineam a f:unde linea a g e$t ultra lineam a l: ergo g e$t altius, quàm l: & continuemus g o: erit ergo g o dia- meter imaginis b g: & erit [per 19 p 1] g o maior l o [angu lus enim g l o e$t rectus per fabricationem & 29 p 1:] & a g minor à l [per 19 p 1: quia angulus a g l e$t obtu$us, ut o$t\~e- $um e$t 40 n] & duæ lineæ a g, a o $unt in duabus $uperfi- ciebus $ecantibus $e, $cilicet a g b, a o c: & differentia com munis inter duas has $uperficies tran$it per a: & duæ li- neæ, quæ exeunt ex a perpendiculariter $uper illam $u- perficiem corporis diaphani, $unt extra hãc communem differentiam in his duabus $uperficiebus, & $unt altiores duabus lineis a g, a o: ergo angulus g a o e$t maior angulo b a c: [ut o$ten$um e$t 39 n] & remotiones g o, b c ex a non differũt multũ: quia linea g o aut erit æquidi$tãs b c, ALHAZEN aut non erit ibi differentia $en$ibilis in po$itione. Po$itio ergo g o, re$pectu a e$t, $icut po$itio b c, re- $pectu a: & inter di$tantias g o, b c re$pectu a, non e$t diuer$itas $en$ibilis. Quapropter g o uidebi- tur maior quàm b c: $ed g o e$t imago b c. Ergo b c uidetur maior quàm $it. Et hoc e$t quod uo- luimus.

43. Si tota imago refracti ui$ibil{is} à refractiuo plano, uideatur maior ui$ibili: uidebitur & pars imagin{is} maior parte ui$ibil{is} proportionali. 35 p 10.

ITem: iteremus figuram primam huius capituli: [39 n] & $it perp\~edicularis, $ecans lineam l k, a m o z: erit ergo l o medietas l k: & punctum z uidebitur in o: quia uidetur in perpendiculari z m: er go b c uidebitur in linea l k: & b z e$t medietas b c: & l o e$t medietas l k: & l k uidetur maior quã b c. ergo l o uidebitur maior quàm b z. Cau$$a autem magnitudinis b c e$t refractio: ergo cau$$a ma- gnitudinis b z e$t refractio. a autem e$t in perpendiculari a z, quæ exit ab extremitate b z $uper $u- perficiem corporis diaphani. Et hoc idem $equitur in tribus figuris $equentibus primam, $cilicet in $ecunda, in tertia, & quarta huius capituli: $cilicet quòd a d p m h e $ g o k b n z c ui$us comprehendit medietates ui$ibilium maiores, quàm $int: & ui$us e$t in perpendiculari exeunte ab ex- tremitate medietatis $uper $uperficiem corporis diapha ni, aut $uper $uperficiem tran$euntem per extremitatem medietatis perpendicularis $uper $uperficiem corporis. Nam punctum, quod e$t medium imaginis, e$t in perpen diculari exeunte à medio rei ui$æ, $iue res ui$a $it {ae}quidi- $tans $uperficiei corporis diaphani, $iue non. Item b n $it quædam pars line{ae} b z: & extrahamus perpendicularem n g: imago ergo n erit in linea n g: [per 19 n] $it ergo gi- mago n: g ergo aut erit in linea l g, aut prope illam. Qua- propter l g aut erit æqualis lineæ b n, aut ferè. Sed in pri- ma figura huius capituli [39 n] declarauimus, quòd b c comprehenditur maior, quàm $it. Et cau$$a huius e$t re- fractio: & refractiones formarum, quæ remotiores $unt â perpendiculari, cadente à centro ui$us $uper $uperfi- ciem corporis diaphani, $unt maiores refractionibus for marum, quæ $unt propinquiores perpendiculari: refra- ctio ergo formæ b n ad a e$t maior quàm refractio form{ae} partis z n ad a. Cau$$a ergo, quæ facit imaginem b z ui- deri maiorem, facit, ut b n habeat maiorem proportio- nem ad ip$am, quàm illa, quam habet b z ad b n: ergo l g (quæ e$t imago b n) comprehenditur maior, quàm b n. Item $i a non comprehenderit imaginem b n maiorem, quàm ip$am b n: non comprehendet imagines cætera- rum partium lineæ b n, quæ $unt propinquiores a d z, ma iores ip$is partibus. Nam formæ cæterarum partium $unt minoris refractionis, quàm forma b z: $ed refractio e$t cau$$a magnitudinis imaginis: ergo a non comprehenderet l o maiorem, quàm b z: a ergo comprehendet maiorem b n, quàm $it. Et idem accidit, $i a extra perpendicularem e$t exe- untem ex b z $uper $uperficiem corporis diaphani, & linea, quæ exit ex a ad mediũ b z, non e$t per- pendicularis $uper b z. Et hoc idem $equitur in tribus figuris, in $ecunda $cilicet, tertia & quarta huius capituli: [40. 41. 42 numeris.] Omne ergo, quod comprehenditur à ui$u ultra corpus diaphanum gro$sius aere, cuius $uperficies fuerit plana, comprehenditur maius, quàm $it, $iue $it ui$us in aliqua perpendiculari exeunte exillo ui$u $uper $uperficiem corporis, $iue $it extra: & in- differenter, $iue diameter rei ui$æ fuerit æquidi$tans $uperficiei corporis, $iue non æquidi$tans.

44. Si ui${us} $it in continuat a diametro circuli (qui e$t commun{is} $ectio $uperficierum, re- fraction{is} & refractiui conuexi den$ior{is}) ui$ibile uerò inter ip$i{us} centrum & ui$um, ab eodem centro æquabiliter di$tet: imago uidebitur maior ui$ibili. 36 p 10.

ITem: $it $uperficies corporis $phærica, cuius conuexum $it ex parte ui$us, & gro$sius aere: & $it ui$us a: & res ui$a b c: & $it centrum $phæræ ultra b c, in re$pectu ui$us: & $it centrum d: z me- dium b c: & continuemus d b, d z, d c: & extrahamus has lineas, quou$q; concurrant cũ $uperfi- cie $phæræ a d e, m, n: & extrahamus z m in parte m: & primò $it ui$us in linea z m: erit ergo a m z linea recta: & primò $it b d æqualis c d: Sic ergo [per 8 p 1. 10 d 1] erit a z perp\~edicularis $uper b c. Po $itio ergo b, re$pectu a, erit $imilis po$itioni c re$pectu a. Et extrahamus $uperficiem, in qua $unt de, d n, d m: faciet ergo [per 1 th. 1 $ph{ae}ricorum] in $uperficie $ph{ae}rica arcũ circuli magni: $it ergo arcus e m n: & hæc $uperficies e$t perp\~edicularis $uք $uperficiem $phæricã [per 9 n: quia e$t $uperficies re OPTICAE LIBER VII. fractiõis]nec fit refractio extra hãc $uperfici\~e: nã a z e$t քp\~edicularis $uք $uքfici\~e $phæricã corporis Nõ ergo refringetur forma alicuius partis b c ad a, ni$i ex a h m g e n k z b c $ d circũfer\~etia e m n Refringatur ergo b ad ad a ex h: & c ad a ex g. Po$itio ergo h re$pectu a, & di$tantia eius e$t {ae}qualis po$itiõi & di$tãti{ae} g. Et cõtinuemus b h, h a, c g, g a: & extra hamus a h ad k, & a g ad l: & cõtinuemus k l: erit ergo a k {ae}- qualis a l. [Quia enim anguli ad z recti $unt è cõclu$ione, & b z æqualis c z, & z d communis: erunt anguli b d z, c d z æquales per 4 p 1. Et cum puncta h & g à puncto a {ae}- quabiliter di$tent, propter æquabilem punctorum b & c, à puncto a di$tantiam: æquabiliter etiam à puncto m di- $tabũt, quia m e$t in peripheria e m n, in recta linea a m z: itaq; peripheria h m æquabitur peripheri{ae} g m: & conne- xis rectis d h, d g: æquabitur angulus h d m angulo g d m per 27 p 3: & per 15 d. 4 p 1 angulus d a h angulo d a g. Qua re cum triangula d a k, d a l habeãt duos angulos duobus angulis æquales ad cõmune latus d a: erunt ip$a æquilate ra per 26 p 1: itaque latus a k {ae}quabitur lateri a l, & d k ip$i d l:] & erit l k imago b c: & erit {ae}quidi$tans b c: [Nã quia d k æqualis conclu$a e$t ip$i d l, & d b æqualis d c ex the$i: erit b k {ae}qualis c l: & per 7 p 5 ut d b ad b k, $ic d c ad c l: I- taq; per 2 p 6 l k parallela e$t c b:] erit ergo maior quã b c: [Nam pr opter triangulorum l d k, c d b $imilitudinem è 29. 32 p 1 manife$tã: e$t, ut l d ad c d, $ic l k ad c b: $ed per 9 ax. l d maior e$t c d: ergo l k maior e$t c b:] & cõtinuemus a b, a c: erit ergo [ut patuit 39 n] angulus k a l maior angulo b a c: & erit po$itio k l $imilis po$itioni b c: & inter l k & c b non e$t differentia in di$tantia, ut in præcedentib. diximus: ergo k l uidebitur maior quàm b c: $ed k l e$t imago b c: ergo b c uidebitur maior, quàm $it: quia imago eius e$t maior $e: & hoc e$t, quia for, ma eius e$t debilior, quã ueraforma. Et hoc e$t quod uoluimus.

45. Si ui${us} $it in continuata diametro circuli (quie$t cõmun{is} $ectio $uperficierum refractio- n{is} et refractiui cõuexi d\~e$ior{is}) ui$ibile uerò inter ip$i{us} centrũ & ui$um ab eod\~e c\~etro inæqua- biliter di$tet: a h g m x e n k z l b c d a h g f m r e n k b p q d c $ imago uιdebi tur maior ui$i bili. 37 p 10.

SIuerò b d, b c fuerĩt in{ae} quales: tũc a k a l erũt in{ae}qua les: & $ic b c, k l erunt obliqu{ae} $uք lineã a d: erit ergo k l, ut in $ecũda figu ra huius capi- tis [40 n] dixi mus, maior <004> b c in ui$u.

46. Si cõmu n{is} $ectio $uք- ficierũ refra- ction{is} & re- fractiui cõue- xi d\~e$ior{is} fue rit քipheria: et ui${us} $it extra planum perpendicularium duct arũ à termin{is} ui$ibil{is} inter cen trũ refractiui & ui$um, ab eodem centro $iue æquabiliter $iue in æquabiliter di$tant{is}: imago ui- debitur maior ui$ibili. 38. 39 p 10.

ITem: $i a fuerit extra $up erficiem b z c: & b d, c d fuerint æquales autinæquales, declarabitur, ut ALHAZEN in tertia figura & quarta huius capituli [41. 42 n] quòd k l uidebitur maior quàm b c.

47. Si tota imago refracti ui$ibil{is} à refractiuo conuexo, uideatur maior ui$ibili: uidebitur & pars imagin{is} maior parte ui$ibil{is} proportionali. 41 p 10.

SEd $ecet linea d a f h m g e n k b p q d c l a h m g e r o n k b s z c l d m lineã k lin o: erit ergo k o ima- go b z: & erit angu lus k a o maior an- gulo b a z [ք 9 ax.] & po$itio k o e$t $i- milis po$itiõi b z: & di$tanti{ae} k o, b z re $pectu a nõ dιffe runt multũ. Qua- propter k o uidebi tur maior <004> b z: Et a e$t in perp\~edicu- lari z m exeũte ab extremitate b z $u per $uperfici\~e cor- poris: $it ergo b f pars b z: & $it k r i- mago b f: Ergo, ut in quinta figura hu ius capituli [43 n] diximus: patet q<001> k r uidebitur ma- ior quã b f. Si aũt a e$t extra $uperfi- ci\~e, in qua $unt o\~es perpendiculares exeuntes ex b c $uper $uperficiem corporis diaphani (nã linea, quæ exit ex a ad medium b c perpendiculariter, non e$t idcirco perpendicularis $uper $uperfici\~e li- neæ b c) idem patebit. Nam quia b c, k l $unt erectæ $uper lineam a z d, aut $uper $uperfici\~e, quæ trã- $it per lineam m d: & k o e$t imago b z: & l o e$t imago c, & angulus, quem re$picit k o apud centrum ui$us, e$t maior angulo, qu\~e re$picit b z apud centrum ui$us: & $imiliter angulus, qu\~e re$picit o l, e$t maior angulo, qu\~e re$picit z c: ergo k o uidebitur maior quã c z: & $imiliter k r uidebitur maior quã b f. Et omnia hæc declarantur in quinta figura huius capituli [43 n.] Sed in hac po$itione e$t quæ- dam additio, $cilicet quòd k l, quæ e$t imago b c, e$t maior in ueritate quàm b c, & k r e$t maior b f. In prima aũt po$itione, $cilicet in plana $uperficie [refractiui: qualis fuit 39. 40. 41. 42. 43 n] duæ ima gines $unt æquales duobus ui$ibilib, apparent aũt ui$ui e$$e maiores. Imago uerò kl, & imago ko, in $uքficie $ph{ae}rica, à qua fit refractio, $unt maiores in ui$u ip$is rebus: & $ic $unt in ueritate. Et patet, quòd angulus, quem re$picit k l apud centrum ui$us, e$t maior angulo, quem re$picit b c apud cen- trum ui$us: & angulus, quem re$picit k o apud centrũ ui$us, e$t maior angulo, quem re$picit b z, cũ ui$us fuerit extra $uperficiem, in qua $unt d e, d z, ut in quarta figura huius capituli [42 n] diximus. Ergo $i ui$us comprehenderit aliquid ultra corpus gro$sius aere, cuius $uperficies fuerit $ph{ae}rica, & cuius conuexum fuerit ex parte ui$us, & cuius centrum fuerit ultra rem ui$am, quãtùm ad ui$um: comprehendet illud maius, quàm $it $ecundum ueritatem, & etiam $ecundum appar\~etiam in ui$u: $iue fuerit ui$us in perpendiculari, exeunte à re ui$a $uper $uperficiem $phæricam, $iue extra, $iue li- nea, quæ exit à centro ui$us ad mediũ rei ui$æ, fuerit perpendicularis $uper rem ui$am, $iue obliqua. Et hoc e$t quod uoluimus declarare.

48. Imago refracti ui$ibil{is} ab aqua ad aerem, uidetur maior ui$ibili. 42 p 10.

ET hoc accidit in eis, quæ uidentur in aqua: nam conuexum $uperficiei a quæ $phæricum e$t ex parte ui$us, & centrum $uperficiei aquæ e$t ultra illa, quæ comprehenduntur in a qua, & aqua e$t gro$sior aere: Sed illud, quod uidetur in aqua, $i aqua fuerit clara & pauca, fortè non com- prehenditur à ui$u e$$e maius in aqua, quàm $i e$$et in aere. Non enim differt quantitas eius tunc, quantùm ad $en$um, $cilicet quantitas eius in aqua & aere: tunc enim illa additio in aqua crit par- ua, & ideo $en$us non di$tinguet tunc illam additionem: tamen experientia pote$t comprehendi hoc modo. Accipe corpus columnare, cuius longitudo non $it minor uno cubito: & $it aliquantæ gro$siciei: album: nam albedo in aqua manife$tius di$tinguitur: & $it $uperficies ba$is eius plana, ita ut per $e $tet æqualiter $uper $uperficiem terræ. Hoc ob$eruato, accipe uas amplum, & $it $u- perficies eius plana, & infunde in uas aquam claram in altitudine minore longitudine corpo- ris columnaris: deinde mitte illud corpus columnare in aquam, & pone ip$um $uper $uam ba- $im in medio ua$is: erit ergo aliqua pars huius corporis extra aquam: nam altitudo aquæ e$t mi- OPTICAE LIBER VII. nor longitudine huius corporis. Tunc enim, cum quieuerit aqua, uidebis part\~e corporis, qu{ae} e$t in- tra aquã gro$siorem illa, qu{ae} e$t extra aquam. Patet ergo ex hac experientia, quòd omne ui$um com prehen$um in aqua, cõprehenditur maius, quàm $it in ueritate. Item $it corpus $phæricũ, cuius con- uexum $it ex parte ui$us, & res ui$a $it ultra centrum $uperficiei $phæric{ae}, & $it illud corpus gro$sius aere: Sed in a$$uetis ui$ibilibus non e$t tale ali quid, quod uideatur ultra corpus diaphanũ $phæricũ gro$sius aere, ultra centrũ $phæræ, & res ui$a cum hoc $it intra corpus $phæricũ: hoc enim nõ fit, ni$i corpus $phæricũ fuerit uitreum aut lapideũ, & fuerit totum corpus $phæricum $olidum, & res ui$a fuerit intra ip$um, aut ut corpus $phæricum $it portio $phæræ maior $emi$phæra, & res ui$a $it appli cata cum ba$i eius: $ed hi duo $itus rarò accidunt: huiu$modi ergo res nõ $unt de a$$uetis ui$ibilibus: non ergo debemus occupari circa ea, quæ accidunt huiu$modi ui$ibilibus. Sed $unt quædam a$$ue- ta, quæ uidentur ultra corpus diaphanum $phæricũ gro$sius aere, cuius conuexum erit ex parte ui- $us, cum res ui$a fuerit ultra $phæram cry$tallinam, aut uitream in aere, non intra $phæram. Po$itio- nes aũt huiu$modi ui$ibiliũ $unt multimodæ: Sed hæc rarò cõprehenduntur: & $i cõprehendantur, rarò uidentur. Non e$t ergo cõueniens di$tinguere o\~es illas po$itiones. Simus ergo cõtenti una $ola po$itione, $cilicet ut ui$us & res ui$a $int in ead\~e perpendiculari $uper $uperfici\~e corporis $phærici.

49. Siui${us}, centrum refractiui conuexi den$ior{is} & ui$ibile ultra refractiuum po$itum, fue- rint in e adem recta linea: imago uidebitur corona $eu armilla: & maior ui$ibili. 43 p 10.

SIt ergo ui$us a: & corpus $phæricum b g z d: & centrũ eius $it e: & continuemus a e, & extraha- mus eam rectè: & $ecet $uperficiem $phæræ in duobus punctis b, d: & extrahamus ip$am in par te d u$q; ad h: & extrahamus exlinea h b a $uperficiem æqualem $ecantem $phæram: faciet er- go [per 1 th 1 $phæricorum] in $uperficie $phær{ae} circulum b g z d. Octaua autem figura in capitulo de imagine [29 n] diximus, quòd in linea b d $unt plura puncta, quorum form{ae} refringuntur ad a ex cir cumferentia b g z d: & quòd forma totius illius lineæ refringitur ad a, $i b g z d fuerit continuum & non fractum in parte b. Refringatur ergo h l ad a ex circumferentia b g z d, & refringatur h ad a ex g: & l ad a exp: forma ergo h l refringetur ad a ex arcu g p: & continuemus lineas g m h, g a, l z p, p a: h ergo extenditur per g h, & refringitur per g a: & l extenditur per l p, & refringitur per p a: & cõtinue mus lineas e g, e m, e z: & extrahamus e m ad c: & e z ad f forma ergo, quæ extenditur per a g, refrin- gitur per g h, & peruenit ad h: & forma, quæ extenditur per a p, refrin- a b g p e d z m h o h @ l c gitur per p l, & peruenit ad l: hoc e$t, $i corpus diaphanum fuerit conti nuum u$q; ad g. Si uerò corpus $phæricum fuerit $ignatũ apud $uper ficiem $phæricam: tunc formà, quæ extenditur per a g: refringitur per g m in partem perpendicularis, qu{ae} e$t e h: & cum forma perueniet ad m: refringetur $ecundò in partem contrariam perpendicularis, quæ e$t e m c: refringatur ergo ad k. Et ideo etiam forma, quæ extenditur per a p, refringitur ք p z: & cũ fuerit refracta ad z, refringetur $ecundò ad contrariã part\~e perpendicularis, quæ e$t e z f: $it ergo refractio for- m{ae}, qu{ae} peruenit ad z, per lineã z o. Forma ergo k extenditur per k m, & refringitur ք m g: deinde refringitur $ecũdò per ga. Et $imiliter for ma o extenditur per o z, & refringitur per z p: deinde $ecũdò refringi- tur ք p a. Forma ergo totius k o refringitur ad a ex arcu g p. Et $i linea a k o fuerit fixa, & imaginati fuerimus figurã a g p k circũuolui circa à k o:tunc arcus g p faciet figurã circular\~e, ut armillam, à cuius uniuer- $o refringetur forma k o ad a: & erit imago k o apud centrum ui$us, quod e$t a. Forma ergo k o uidebitur in tota $uperficie circulari, quæ e$t locus refractionis, quæ e$t in rectitudine linearum radialium, quæ e$t figura armillæ. Forma ergo k o uidebitur maior $eip$a: & erit figu- ra formæ diuer$æ à figura k o. Hoc aut\~e pote$t experimentari $ic. Ac- cipe $phæram cry$tallinam aut uitream rotundi$simam, & accipe cor pus paruum: ut granum ciceris uel ceram paruam: nam experientia per corpus paruum erit manife$tior, & tingas ip$am colore nigro, & $it figura ceræ $phærica: deinde ponas ip$am in capite a cus, & ponas $phæram cry$tallinam in oppo$itione alterius oculorum, & claude al terum oculum, & eleua acum ultra $phærã, & a$pice ad medium $phæ ræ, & pone ceram in oppo$itione medij formæ, ita ut $it oppo$ità me- dio $phæræ in una linea recta, quò ad $en$um, & re$pice ad $uperfici\~e $phæræ: tunc enim uidebis in illa $uperficie $phæræ nigredin\~e rotun- dam in figura armillæ. Si uerò non uideas eam: moue ceram antè & pò$t, donec uideas nigredinem rotundam, tunc aufer ceram, & ab$cindetur nigredo: deinde redeat cera ad $uum locum, & iterum uidebis illam nigredinem rotundam. Ex hac ergo experientia pate- bit, quòd $i res ui$a fuerit ultra corpus diaphanum $phæricum gro$sius aere, & ui$us, & res ui$a, & centrum corporis $phærici fuerint in eadem linea recta: tunc ui$us comprehendit illam rem ui$am in figura armillæ.

50. Siui${us}, centrum circuli in refractiuo cylindraceo conuexo den$iore, & ui$ibιle ultra re- ALHAZEN fractiuum po$itum fuerint in eadem recta linea: imago uidebitur duplicata. 44 p 10.

SIuerò b g z d fuerit in corpore columnari, & corpus fuerit gro$sius aere: tunc form a k o uidebi tur apud arcum g p & apud arcum $ibi æqualem, & $ibi re$pondentem exarcu b d: Sed hæc for ma non erit circularis: quia figura a h p g cum fuerit circumuoluta circa a k: nõ tran$ibit per li- neam illam arcus g p per totam $uperficiem columnarem: Sed refringetur fortè forma ex aliquibus portionibus columnaribus, & erit continua in una parte & $imiliter in alia. Nam $uperficies ex l k, quæ etiam tran$it per axem columnæ, facit in $uperficie column{ae}, qu{ae} e$t ex parte a, lineam rectam, quæ tran$it per b, & extenditur in longitudine columnæ: & non refringitur forma k o ex illa linea recta: nam k b erit perpendicularis $uper illam lineam rectam. Non ergo erit forma rotunda, $i fue- rit corpus columnare: $ed erunt duæ formæ, quarum altera refringitur $uper alteram. Videbitur ergo k o e$$e duo, quorum utrumq; erit maius k o: & forma utriu$que erit diuer$a à forma k o: & ta- men illæ duæ formæ erunt apud idem punctum, $cilicet centrum ui$us. In ui$ibilibus autem a$$ue- tis nihil e$t, quod comprehendatur à ui$u ultra diaphanum corpus, $phæricum, gro$sius aere, cu- ius concauum $it ex parte ui$us. Nam $i fuerit ex uitro aut aliquo lapide: oportet, ut $it portio $phæ- ræ concaua, & ut res ui$a $it intra illam $phæram, aut ut $uperficies eius, quæ e$t ultra concauitatem, $it plana, & res ui$a adhæreat illi. Et illi duo $itus non inueniuntur, aut rarò: non ergo $olicitemur circa huiu$modi.

51. Stella in horizonte ut plurimum uidetur maior, quàm in medio cæli. 54 p 10.

ITem: non inuenitur aliquod corpus $ubtilius aere, cuius $uperficies, quæ e$t ex parte ui$us, $it plana aut conuexa. Et nõ inuenitur aliquid $ubtilius aere, ultra quod comprehendatur aliquid, ni$i corpus cœli & ignis. Et non diuiditur à corpore aeris $uperficies, quæ di$tinguit unam par- tem ab alia, $ed quanto magis appropinquat aer cœlo, tantò magis purificatur, donec fiat ignis. Subtilitas ergo eius fit ordinatè $ecundum $ucce$sionem, non in differentia terminata. Form{ae} ergo eorum, quæ $unt in cœlo, quando extenduntur ad ui$um, non refringuntur apud concauitat\~e $phæ- ræignis, cum non $it ibi $uperficies concaua determinata. Nullum ergo inuenitur corpus $ubtilius aere, in quo extendantur formæ ui$ibilium, & refringantur apud $uperficiem eius, ni$i corpus cœle $te: & corpus cœle$te e$t $ph{ae}ricum concauum ex parte ui$us. Ergo omnes $tellæ, quæ $unt in cœlo, extendũtur in corpore cœli, & refringuntur apud cõcauitat\~e cœli, & extenduntur ιn corpore ignis, & in corpore aeris rectè, donec perueniant ad ui$um. Et centrum concauitatis cœli e$t centrum ter- ræ. Dico ergo quòd $tellæ in maiore parte comprehenduntur in $uis locis: & quòd $emper compre- henduntur non in $uis magnitudinibus: & cum hoc diuer$atur magnitudo uniu$cuiu$q; earum, $e- cundum locorum diuer$itatem. Diuer$itas autem locorum e$t propter radiorum refractorum po- $itionem, ut prius diximus. Diuer$itas autem quantitatum e$t propter remotionem: nam propter remotionem comprehenduntur minores, quàm $int in ueritate, ut diximus in tertio tractatu, $cili- cet quòd illa, quæ in maxima remotione $unt, comprehenduntur minora. Diuer$itas autem quanti tatum $ecundum diuer$itatem locorum, accidit propter refractionem, cuius cau$$am hic declaraui- mus: & in quarto capitulo [15 n] declarauimus, quòd formæ $tellarum, quæ comprehenduntur à ui- $u, $unt refractæ. Dico ergo, quòd omnis $tella comprehenditur ex omnibus locis cœli, per quos mouetur, minore quantitate, quàm $it in ueritate, $ecundum quod exigit remotio eius, ($cilicet mi- nor, $i ui$a fuerit rectè) cum nõ fuerit inter illam & ui$um aliqua nubes, aut uapor gro$$us. Et omnis $tella in uertice capitis a$picientis exi$tens uidetur minor, quàm in alio loco cœli: & quantò magis remouetur à uertice capitis, tantò magis apparet maior: ita ut in horizonte appareat maior, quàm in alio loco. Et hoc e$t commune omnibus $tellis remotis & propinquis. Item $i in aere fuerit uapor gro$$us, ultra quem $uerit aliqua $tella: tunc comprehendetur maior, quàm $i e$$et $ine illo uapore: & multoties accidit, ut uapor gro$$us $it in horizonte. Vnde $tellæ in maiore parte uidentur in hori- zonte maiores, quàm in medio cœli. Et hoc apparet in di$tantijs, quæ $unt inter illas, magis, quàm In magnitudinibus ip$arum $tellarum: nam quantitas $tellæ, quò ad ui$um, e$t parua, $ed exce$$us in diuer$itate di$tantiæ inter $tellas, cum fuerint in horizonte, e$t grandis & manife$tus $en$ui, & maxi mè in di$tantijs $patio$is, & maximè, $i in horizonte fuerit uapor gro$$us.

52. Diameter $tellæ uertici propinquæ, & duarum inter $e di$tantia, refractè ui$a, minor: rectè, maior uidetur. 51 p 10.

SIt ergo circulus meridiei in aliquo horizonte, b k: & differentia communis inter hunc circu- lum & concauitatem cœli, circulus m e z: & $it centrum mundi g: & centrum ui$us t: & extra- hamus g t in partem t: & occurrat circulo meridiei in b: & $ecet circulum, qui e$t in concauitate orbis, in e: erit ergo b uertex capitis, quò ad ui$um t. Sit k l diameter alicuius $tellæ, aut di$tantia inter aliquas duas $tellas: & linea t b tran$eat per medium k l, & $ecet illam in c: ergo erit arcus k b æqualis arcui b l: [Nam quia t b bifariam $ecans k l ex the$i $ecat ad angulos rectos per 3 p 3: con- nexæ igitur rectæ k b, b l æquabuntur per 4 p 1. Quare per 28 p 3 peripheria k b æquatur periphe- riæ b l] & continuemus duas lineas t k, t l: erit ergo angulus k t l ille, à quo t comprehendit k l, $i ré- ctè comprehenderet: & refringatur k ad t ex m, & l ad t ex z: & continuemus g m, g z: & pertran$eant ad f, o: & cõtinuemus lineas k m, m t, l z, z t. Forma, aũt qu{ae} extenditur ex k per m k, refringitur ք m t: OPTICAE LIBER VII. & g m e$t perpendicularis, exiens ex m (quod e$t punctum refractionis) $uper $uperficiem corpo- ris, quod e$t in parte t [ut o$ten$um e$t 25 n 4.] Et quia corpus z m e$t $ubtilius corpore g t [per 16 n] erit refractio m t ad partem perpendicularis m g: [per 14 n] m ergo erit inter duas lineas t b, t k. Nam $im e$$et ultra t k: tunc perpendicularis, quæ exit ex g, e$$et ultra t: & forma k cum extendere- tur ad illud punctum: refringeretur ad partem perpendicularis g m, & non perueniret ad perpendi cularem g e: & $ic non perueniret ad t. M ergo e$t inter duas lineas t b, t k. Et $imiliter declarabitur quòd z e$t inter duas lineas t b, t l. Et extrahamus t m ad k q f b o r c l m e z f g q, & t z ad r: erit ergo arcus q k æqualis arcui l r: [Quia enim puncta k & l æquabiliter à ui$u di$tant per the$in: puncta refractionis m & z in refractiuo m e z æquabili- ter à puncto e di$tabunt: ideo\’q; peripheria m e æquabi- tur peripheriæ z e: & per 33 p 6 angulus b t q angulo b t r, & peripheria b q peripheriæ b r (e$t enim ui$us t, ut in a$trologia demon$tratur, tanquam centrum mundi) at tota peripheria b k æqualis conclu$a e$t peripheriæ b l: reliqua igitur q k æquatur reliquæ r l] & angulus q t r e$t ille, per quem t comprehendit k l refractè: & angu- lus k t l e$t ille, per quem t comprehenderet k l, $i rectè cõprehenderet. Sed remotio k l à ui$u e$t maxima: qua- propter quantitas eius non certificatur. Quare t exi$ti- mat remotionem k l, $icut in $ecundo libro diximus [24. 25 n.] Sed æ$timatio eius quando comprehendit refra- ctè, nõ differt ab æ$timatione eius quando comprehen- dit rectè, ni$i quòd putat $e rectè comprehendere cum refractè comprehendat. t ergo comprehendit k l refractè ex angulo minore illo, ex quo comprehen dit illam rectè, & $ecundum comparationem ad illam eandem remotionem, ad quam compararet illam, $i rectè comprehenderet. Sed ui$us comprehendit magnitudinem ex quantitate anguli re$pe ctu remotionis [per 38 n 2.] tergo comprehendit quantitatem k l refractè minorem, quàm $i com- prehenderet illam rectè. Et $i circumuoluamus figuram k t l circa t b immobilem, faciet circulum: & erũt anguli, qui $unt apud t, quos continent duæ lineæ k t, t l, & $ui compares, æquales: t ergo com prehendit k l refractè in omni $itu, in re$pectu circuli meridiei, cum fuerit in uertice capitis, minor\~e, quàm $i cõprehenderet eam rectè. Et $i t b $ecuerit k l in duo æqualia: tunc duo puncta q, r erunt in- ter duo puncta k, l: & erit angulus q t r minor angulo k t l: & erit omnis angulus eius exiens à pun- cto t, $ecans $tellam: & linea, quæ exit ex t in $uperficie illius circuli, $ecabit circulum, & comprehen detur minor, quàm $it: & $ic tota $tella uidebitur minor, quàm $it. Stella ergo in uertice capitis com- prehenditur minor, quàm $i comprehenderetur rectè. Et $imiliter di$tantia inter duas $tellas, cum uertex fuerit inter duas extremitates di$tantiæ, comprehendetur in omnibus po$itionibus minor, quàm $i rectè comprehenderetur. Et hoc e$t, quod uoluimus.

53. Diameter $tellæ, uel duarum $tellarum di$tantia in horizonte, aut inter horizontem & meridianum, ad horizontem parallela, refractè ui$a, minor: rectè, maior uidetur. 52 p 10.

ITem: $it $tella $iue di$tantia in horizonte, aut inter horizonta & uerticem capitis, æquidi$tans ho rizonti: & $it ui$us a: & uertex capitis b: & continuemus a b: & $it diameter $tellæ aut di$tantia d e æquidi$tans horizonti: & $it circulus uerticalis, qui tran$it per alteram extremitatem diametri uel di$tanti{ae}, circulus b d: & ille, qui tran$it per aliam b g f t n d h k z a m e extremitatem, circulus b e: & $int duæ differentiæ communes inter duos circulos & inter concauita- tem orbis duo circuli h g, g z. Forma ergo d refringa- tur ad a ex h: & e ad a ex z: & continuemus lineas a h, h d, a z, z e, a d, a e: & $it centrum mundi m: & conti- nuemus m h, m z, & pertran$eant ad f, n: erit ergo m h perpendicularis, exiens ex h ad $uperficiem corpo ris diaphani: [ut demon$tratum e$t 25 n 4] & erit h a refracta ad partem h m: erit ergo refracta ad partem contrariam illi, in qua e$t [f h: per 14 n] h ergo e$t al- tius, quàm a d. Et $imiliter declarabitur, quòd z e$t al tius quã a e: ergo duo puncta f, n $unt inter duo pun- cta d, e & zenith capitis: & angulus refractionis, qui e$t apud h, e$t æqualis angulo refractionis qui e$t a- pud z: po$itio enim duorum punctorum d, e re$pectu a e$t con$imilis. Tantùm ergo di$tat f à d, quantùm n ab e: & extrahamus a h ad t, & a z ad k. Di$tabit ergo t à d tantùm, quantùm k ab e: & continuemus t k: erit ergo æquidi$tans d e: e$t ergo minor: [quorũ utrumq; demon$tratum e$t à Campano 14 p 12] & line{ae} a t, a k, a f, a e $unt æquales: quia a e$t qua$i ALHAZEN centrum mundi & duorum circulorum b d, b e. Duæ ergo lineæ a t, a k $unt æquales duabus lineis @ d, a e, & ba$is t k e$t minor quàm ba$is d e: ergo [per 25 p 1] angulus t a k e$t minor angulo d a e: & an- gulus t a k e$t ille, quo d e cõprehenditur refractè: & angulus d a e e$t ille, quo d e cõprehenditur re- ctè. Si ergo $tella fuerit in horizonte, aut inter horizonta & circulũ meridiei: & fuerit diameter eius æquidi$tans horizonti: uidebitur minor, quàm $i uideretur rectè. Et hocidem e$t de di$tantia inter duas $tellas, $i di$tantia fuerit æquidi$tans horizonti.

54. Diameter $tellæ, uel duarum $tellarum dι$tantia in circulo altitudin{is} refractè ui$a, mi- nor: rectè, maior uidetur. 53 p 10.

ITem: iteremus figuram: & $it diameter aut di$tantia erecta $cilicet in eodem circulo uerticali: & $it illa diameter aut di$tantia linea d e in circulo uerticali b d e: & $it differentia communis inter hunc circulum & inter concauitatem orbis, circulus g h z: & continuemus a d, a e: & refringatur d ad a ex h, & e ad a ex z. Patet ergo, ut in præcedente figura, quòd h e$t altius quàm a d, & quòd z e$t al@ius quàm a e: & continuemus lineas a h, h d, a z, z b @ d g q h n k z o a p e m e, m h, m z: & extrahamus m h a d t, & m z a d k. Erit ergo angulus a z m ualde paruus. [Nam $emidiame ter terræ ad $emidiametrũ cœli, rationem $en$ilem nullam habet, ut docetur in a$trologia] & angulus refractionis erit pars illius Erit ergo [per 12 n] angu lus e z k acutus: & $imiliter d h t acutus: & [ք 13 p 1] uterq; angulus a h d, a z e obtu$us. z autem aut erit in horizonte, aut altius: $i in horizonte: erit ergo in extremitate perpendicularis exeuntis ex a $uper a b, aut altius illa: & h e$t altius quàm z: ergo angulus a h m erit minor angulo a z m. [Nam con$titutis ad puncta m & a angulis a m p, g a q {ae}qualibus angulis z m a, h a g per 23 p 1, connexιs\’q; rectis a p, h p: erunt anguli m p h, m h p æquales per 15 d. 5 p 1: & a p ma- ior a h: քa per 7 p 3 maior e$t a q: & per 18 p 1 angulus a h p maior angulo a p h. Quare angulus a h m, mi- nor erit angulo ap m, cui {ae}qualis e$t angulus a z m ք 15 d. 4 p 1. Itaq; angulus a h m minor erit angulo a z m] ergo [per 12 n] angulus d h t e$t minor angulo e z k: ergo angulus a h de$t maior angulo a z e [per 12 n. 13 p 1:] & du{ae} line{ae} m t, m k $unt $emidiametri circuli b d e: & du{ae} lineæ m h, m z $unt $emidiametri circuli g h z: ergo [per 15 d 1] m t e$t æqualis m k, & m h e$t æqualis m z: ergo [per 3 ax] h t e$t æqualis z k, & angulus d h t e$t minor angulo e z k: ergo linea d h e$t minor quàm e z. [Nam linea æqualis ip$i d h (qu{ae} cũ k z continet angulũ æqual\~e angulo d h t) minor e$t linea e z per 7 p 3] & duæ lineæ a d, a e $unt æquales, $imiliter duæ a h, a z $unt æqua- les: quia a e$t qua$i centrum circuli b d e, & circuli g h z. Ergo circulus, qui continet triangulum a h d, maior e$t circulo, qui cõtinet trian gulũ a e z, quia angulus a h d e$t maior angulo a z e, & linea h d e$t minor, ut declaratum e$t, quàm z e. Ergo h d di$tinguit de circulo continente triangulum a h d, arcum minorem arcu, $imili arcui, quem diuidit z e ex circulo continente a e z: angulus ergo h a d minor e$t angulo z a e: $it ergo z a d communis: ergo angulus h a z e$t minor angulo d a e: & angu- lus h a z e$t ille, $ub quo a comprehendit refractè d e: & angulus d a e e$t ille, $ub quo comprehendit d e rectè: $i comprehenderet: a ergo comprehendit d e refractè minorem, quàm rectè. Et h{ae}c demon $tratio $equitur, $i circulus b d e fuerit circulus meridiei. Diameter ergo $tellæ cum fuerit directa & recta, & di$tantia inter duas $tellas recta: comprehenditur refractè minor quàm rectè. Et hoc e$t quod uoluimus.

55. Stella uidetur circular{is}: maior in horizonte, quàm in medio cæli: $imiliter<006> duarum $io $itarum inter $e di$tantia. 54 p 10. Idem 51 n.

ET omnis $tella in cœlo comprehenditur rotunda: quia diametri eius comprehenduntur æ- quales. Et cum $it manife$tum, quòd utraq; diameter eius recta & tran$uer$a $ecundum lati- tudinem comprehenditur minor, quàm $i comprehenderetur rectè: ergo utraq; diameter e- ius decliuis comprehenditur æqualiter minor, quàm $i comprehenderetur rectè. Et $imiliter di$tan tiæ inter $tellas comprehenduntur in omnibus locis & in omnιbus $itibus minores, quàm $i com- prehenderentur rectè. Item diximus [51 n] quòd omnis $tella in uertice capitis comprehenditur minor, quàm in omnibus alijs partibus cœli: & quantò fuerit remotior à uertice capitis, tantò com- prehendetur maior: & quàm maxima comprehenditur, quando comprehenditur in horizonte. Re- $tat ergo declarare cau$$am, quare hoc $it. Dico, quòd in $ecundo tractatu huius libri declarauimus, cum tractauimus de magnitudine [38 n:] quòd $i ui$us comprehenderit magnitudines ui$ibilium: comprehendit illas ex quantitatibus angulorum, quos re$piciunt ui$ibilia apud centrum ui$us, & ex quantitatibus remot onum, & ex comparatione angulorum ad remotiones. Et declarauimus, quòd ui$us nun quam comprehendit ui$ibilium quantitates, ni$i remotiones eorum $int in rectitu- dine corporum propinquorum continuorum: &, quòd $i ui$us non certificarit remotiones ui$ibi- lium, non certificabit quantitates ui$ibilium. Et declarauimus illic etiam, quòd ui$us, $i non certifi- OPTICAE LIBER VII. cauerit di$tantiam ui$i, pote$t perpendere di$tantiam eius, & a$similare eam di$tantijs ui$ibilium a$- fuetorũ, quibus tale ui$ibile comprehenditur, in tali forma & in tali figura: dein de cõprehendit ma- gnitudinem illius ex quantate anguli, quem re$picit illud ui$ibile apud centrũ ui$us, re$pectu remo- tionis, quam perpendit: & remotiones $tellarum nõ $unt in rectitudine corporum propinquorum. Quare ui$us nõ comprehendit quantitates earum, neq; certificat di$tantias earum. Vi$us ergo per- pendit di$tantias $tellarum, & a$similat illas di$tantijs eorum, quæ $unt terre$tria, quæ comprehen- duntur ex di$tantia maxima, & perpendit quantitates eorum. Corpus autem cœli non uidetur $en- $ui, quòd $it $phæricum, & concauum eius $it ex parte ui$us, neq; ui$us $entit corporeitat\~e cœli, neq; ui$us $entit de cœlo, ni$i colorem glaucum $olummodo: corporeitas uerò & exten$io $ecundũ tres dimen$iones, & rotunditas & concauitas nullo modo po$$unt cõprehendi. Et $i ui$us non certifica- uerit aliquid: tunc a$similabit ip$um alicui de rebus a$$uetis: unde comprehendit $olem & lunã pla nos, & corpora conuexa & concaua à maxima di$tantia, plana: & arcus quorum conuexum aut con cauum e$t ex parte ui$us, comprehendet lineas rectas. Nam $i non comprehenderit propinquitat\~e medij, & remotion\~e extremitatum in conuexis, & remotion\~e medij & propinquitatem extremita- tum in concauls: tunc a$similabit $uperficies conuexas, & concauas $uperficiebus planis, & a$simi- labit arcus lineis rectis: a$$ueta enim ui$ibilia in maiore parte $unt plana & recta. Nec ui$us, cum for- ma $tell{ae} peruenit ad ip$um, $entit quòd illa forma $it refracta, aut quòd refringatur ex $uperficie cõ- caua, & quòd corpus, in quo $tella e$t, $it $ubtilius corpore, in quo e$t ui$us: $ed forma $tellæ compre henditur, $icut formæ aliarũ rerum, quæ comprehen duntur in aere rectè. Et formæ ui$ibiliũ non re- fringuntur, quando occurrunt corpori diuer$o ab aere, propter ui$um: necui$us $entit refraction\~e eorũ, nec $uperficiem, à qua refringuntur formæ in corporibus diuer$is in diaphanitate, ni$i proprie tate naturali form{ae} lucis & coloris, qu{ae} extenduntur in corporibus diaphanis. Formæ ergo $tellarũ refractarũ perueniunt ad ui$um, $icut perueniũt form{ae} eorũ, qu{ae} $unt in aere, ad ui$um, & non com- prehenduntur, $icut comprehenduntur in aere. Vi$us aũt comprehendit color\~e cœli, nec tamen cer tificat formã eius nudo $en$u. Et cum ui$us comprehenderit color\~e aliqu\~e in longitudine & latitudi ne: $uper hoc, quod cõprehendit figuram & formã: comprehendet ip$um planũ: a$similabit enim i- p$um aliquibus $uperficiebus a$$uetis, ut parieti & alijs. Et hoc modo cõprehendit $uperficies con- uexas & cõcauas in remotione maxima. Vi$us ergo comprehendit planiciem terr{ae} planã omnino, nec $entit conuexitat\~e eius, ni$i fuerint ibi montes & ualles. Vi$us ergo cõprehendit $uperfici\~e cœli planã, & comprehendit $tellas, $icut comprehendit ui$ibilia a$$ueta $eparata, qu{ae} $unt in locis $patio $is. Et cum ui$us comprehenderit aliqua ui$ibilia a$$ueta in loco aliquo $patio$o, & comprehenderit illa angulis æqualibus, & cõprehenderit quantitates di$tantiarũ ui$ibiliũ: tunc illud, quod e$t remo tius, comprehen detur maius. Nam quantitates remotionis magnitudinis cõprehenduntur ex com paratione anguli, qu\~e re$picit illa remotio apud centrũ ui$us, ad di$tantiam remotã: & comprehen- dit ui$us quantitat\~e magnitudinis propin quæ ex cõparatione anguli; qu\~e re$picit illud propin quũ, qui e$t æqualis angulo, quem re$picit di$tantia ad di$tantiã propinquã. Et hoc patet, & e$$e, te$tatur ei: $cilicet: quòd duorũ ui$ibilium, quæ à ui$u comprehenduntur duobus angulis æqualibus, quorũ di$tanti{ae} $unt diuer$æ; $en$ibiliter: remotius uidebitur maius. Nam $i homo oppo$uerit $e $patio$o parieti, deinde eleuauerit manum, donec apponat illam ui$ui, & cooperuerit alterum ui$um; & a$pe xerit reliquo, & po$uerit manũ mediam inter ui$um $uum & illum pariet\~e; tunc manus eius coope- riet portionem & latitudin\~e illius parietis, & comprehendet manum $uam & parietem $imul. Com prehendet ergo manum $uam angulo acuto: & in hoc $tatu comprehendet latitudin\~e parietis maio rem, quã latitudinem manus multiplicem: deinde $i mouerit manũ ita, ut detegatur illud, quod ma- nus cooperuerat de pariete, & a$pexerit ad manũ: uidebit illud, quod detectũ e$t de pariete, maius, quàm $it $ua manus, multipliciter: & ip$e comprehendet manum $uam & parietem duobus angulis æqualibus. Ex quo patet, quòd ui$us comprehendit magnitudin\~e ex comparatione anguli ad remo tionem. Vi$us ergo comprehendit $uperficiem cœli planam, nec $entit concauitat\~e eius, & compre- hendit $tellas $eparatas ιn ip$o. Comprehendit ergo $tellas æquales, $eparatas inæquales: nam com parat angulum, qu\~e re$picit $tella extrema, propinqua horizonti apud centrum ui$us, ad di$tantiam remotã, & comparat angulum, quem re$picit $tella in medio cœli, & propinqua medio, remotionl propinquæ. Et $imiliter comprehendit $tellam, quæ e$t in horizonte aut prope, maiorem ea, quæ e$t in medio cœli aut prope. Comprehendit ergo eandem $tellam & di$tantiã in diuer$is locis cœli, di- uer$æ quantitatis. Sic ergo comprehendit eandem $tellam & di$tantiã in horizante aut prope. Nam cõparat angulum, qu\~e re$picit illa $tella apud centrum ui$us, $tella exi$tente in horizonte, di$tantiæ remotæ: & comparat angulum, qu\~e re$picit illa $tella apud centrum ui$us, exi$tente $tella in medio cœli, di$tantiæ propinqu{ae}. Sed inter angulum, qu\~e re$picit $tella apud centrũ ui$us, $tella exi$tente in medio cœli, & inter angulum, quem re$picit $tella apud centrum ui$us, $tella exi$tente in horizon te, non e$t maxima diuer$itas, $ed duo anguli $unt propinqui, quamuis diuer$it & $imiliter di$tantiæ inter $tellas. Et cum $en$us comparauerit duos angulos propinquos in magnitudine ad duas diuer $as di$tantias in magnitudine: tunc remotior comprehenditur maior. Et quod certificat hanc cau$- $am: e$t: quòd anguli, quos eadem $tella re$picit apud centrũ ui$us ex omnibus partibus cœli (cum lineæ, qu{ae} contin\~et ip$os, fuerint refractæ) $unt qua$i anguli, per quos cõprehenderetur rectè: quo- niam locus ui$us e$t centrum cœli, & refractiones formarum $tellarum nõ diminuuntur ex illis an- gulis diminutione maxima. Et cum i$tæ diminutiones non $int maxim{ae}: tunc diuer$itas inter an- gulos refractos, quibus $tella comprehenditur, & inter remotion\~e inter $tellas à locis diuer$is cœli, ALHAZEN hon erit maxima diuer$itas. Et cum diuer$itas i$torũ angulorum non e$t maxima: tunc magnitudo $tellæ non comprehendetur diuer$a maxima diuer$itate: & quod demon$trat diminutiones angulo rum refractionis ad angulos, quos continent lineæ rectæ, non e$t maximæ magnitudinis. Et quòd $unt ualde paru{ae}: e$t@quòd dictũ e$t in pr{ae}dicta experientia in capitulo refractionis [15 n] in quo de- clarauimus, quòd ui$us cõprehendit $tellã refractè, & uidet $tellã fixam ex polo mundi, & remotio eius e$t ab ip$o in una reuolutione: nam hæc diuer$itas inuenitur parua: ex quo patet, quòd anguli refractionis $unt parui. Vnde per illã diuer$itat\~e, quæ e$t inter ip$os, non diuer$antur anguli, quibus $tella cõprehenditur in locis diuer$is cœli, maxima diuer$itate. Sed magnitudo $tellæ & di$tantiæ $tellarũ differunt multùm, cum $unt in horizonte & in medio cœli. Ergo cau$$a diuer$itatis $tellæ & di$tantiæ in magnitudine, in locis diuer$is cœli, non e$t diuer$itas angulorũ refractionis. Et iam de- clarauimus, quòd ui$us comprehendit magnitudin\~e comparando angulos remotionis ad remotio nes. Ergo $i diuer$itas inter angulos fuerit modica, & inter di$tantias & remotiones multa: tunc res uidebitur ex maiore di$tantia maior. Cau$$a ergo, propter quam uidentur di$tantiæ $tellarũ in hori- zonte maiores quàm in medio cœli aut prope: e$t illud: quòd $en$us {ae}$timat illas di$tare magis in ho rizonte, quàm in medio cœli. Et hoc, quòd ui$us cõprehendit $tellas in diuer$is locis cœli diuer$as in magnitudine: e$t error perpetuus: quia cau$$a e$t perpetua: & e$t: quoniã ui$us comprehendit $u- perficiem cœli planã, nec $entit concauitat\~e eius & æqualitat\~e di$tantiæ à ui$u. Et con$tat in anima, quòd in $uperficie plana, quæ extenditur ad omn\~e partem, differũt di$tanti{ae} eius in ui$u: & id, quod e$t propin quius, e$t illud, quod e$t proximũ capiti. Comprehendit ergo illud, quod e$t in horizonte remotius, quàm illud, quod e$t in medio cœli: & quòd anguli, quos re$picit ead\~e $tella apud centrũ ui$us ex omnibus partibus cœli, non maximè diuer$antur: & quòd ui$us cõprehendit magnitudin\~e rei ex cõparatione anguli, qu\~e res re$picit ad remotion\~e illius rei à ui$u. Comprehendit ergo quanti tatem $tellæ, & quantitat\~e di$tantiæ, quæ e$t inter $tellas, cum fuerint in horizonte aut prope, cõpa- ratione anguli ad di$tantiã remotã: & cum fuerint in medio cœli, aut prope, ex cõparatione anguli æqualis primo aut ferè, ad di$tantiã propinquã: & inter ip$am & inter di$tantiã horizontis uidetur maxima diuer$itas. Hæc e$t igitur cau$$a, propter quã errat ui$us in diuer$itate magnitudinis $tella- rum & di$tantiarũ: & hæc cau$$a fixa e$t & perpetua & immutabilis. Et ui$us coprehendit $tellas par uas propter remotion\~e earum: re$piciunt enim apud centrũ ui$us angulos paruos. Sed & $en$us nõ certificat quantitat\~e remotionis $tellæ, $ed æ$timat & comparat remotiones $tellarũ cum remotio- nibus ui$ibiliũ a$$uetorũ, qu{ae} $unt in terra: ita quòd opinatur, quòd remotio $tellæ e$t, $icut remotio alicuius maximè remoti in terra. Comparat ergo angulũ, qu\~e facit $tella apud ui$um, qui e$t paruus ad remotion\~e, $icut remotio e$t eorũ, quæ $unt in terra. Et $ic cõprehendit $tellam, propter hanc cõ- parationem, paruã. Et $i ui$us e$$et certus de quantitate remotionis $tellæ: tunc cõprehenderet eam magnã. Et $imiliter e$t de omnibus, qu{ae} $unt $uper terrã, maximè remotis, $i cõprehendantur, parua $unt: quia nõ certificatur remotio eorũ. Et iam declarauimus hoc perfectè in tertio tractatu huius li bri [23 n.] Et $icut ui$us errat in quantitate remotionis $tellæ: quia nõ e$t certus de ip$a, & a$similat ip$am remotionibus, qu{ae} $unt $uper terrã: $ic errat in hoc, quòd di$tantiæ earũ in locis diuer$is cœli $int diuer${ae}, cum $int æquales: quia a$similat eas etiã di$tantijs diuer$is, quæ $unt $uper terrã, de qui- bus non e$t dubiũ eas e$$e diuer$as. Et $icut error in remotione & magnitudine $tell{ae} e$t perpetuus: $ic error in diuer$itate di$tantiarũ $tellarum in locis diuer$is cœli & in diuer$itate magnitudinis, e$t perpetuus. Nam formæ earũ di$tantiarum non diuer$antur apud ui$um in diuer$is temporibus, $ed femper $unt eodem modo: & ui$us a$similat eas di$tantijs a$$uetarũ rerum, qu{ae} maximè di$tant à ui $u $uper $uperfici\~e terræ. Accedit etiã eis, quæ $unt in cœlo alia cau$$a, ad hoc, quòd uideantur maio ra in horizonte, in maiore parte: $cilicet uapores gro$si, qui $unt oppo$iti inter ui$um & $tellam. Et cum uapor fuerit in horizonte aut prope, & nõ fuerit cõtinuus u$q; ad mediũ cœli:erit portio $phæ- ræ, cuius centrũ erit centrum mundi, qui cõtinet terrã: & $ic ab$cindetur ex parte medij cœli, & erit $uperficies eius, quæ e$t ex parte ui$us, plana. Quare form{ae} aut di$tanti{ae}, quæ $unt ultra illũ uapor\~e, uidebuntur maiores, quàm $ine illo uapore. In illo enim loco concauitatis cœli, ex quo loco refringi tur forma $tellæ ad ui$um, forma $tell{ae} exi$tit, & ex ip$o extenditur rectè ad ui$um, $i in horizonte nõ fuerit uapor gro$$us. Si uerò fuerit uapor gro$$us: tunc h{ae}c forma extendetur ad $uperfici\~e uaporis, qu{ae} e$t ex parte cœli, & exi$tet in illa $uperficie: & $ic ui$us cõprehendet illã, $icut comprehendit ea, qu{ae} $unt in uapore: $cilicet, quòd illa forma extenditur in uapore gro$$o rectè: deinde refringitur a- pud $uperficiem uaporis ad contrariã partem perpendicularis, exeuntis $uper $uperficiem uaporis, quæ e$t plana. Nam aer, qui e$t ex parte ui$us, e$t $ubtilior illo uapore: ex quo $equitur, quòd forma uidetur maior, quàm $i uideretur rectè, ut in prima figura huius capituli [39 n] diximus: & e$t, cum corpus $ubtilius fuerit ex parte ui$us, & gro$sius ex parte rei ui$æ, erit $uperficies corporis gro$sio- ris plana. Forma ergo, qu{ae} peruenit ad $uperficiem uaporis, qu{ae} e$t ex parte cœli, e$t res ui$a; & cor- pus, in quo extenditur forma, e$t uapor gro$$us, & aer, in quo e$t ui$us, e$t $ubtilior illo. Cau$$a uerò principalis, quare $tell{ae} & di$tanti{ae} $tellarum uideantur in horizonte maiores, quàm in medio cœli, e$t illa prædicta: & e$t fixa & perpetua. Si uerò acciderit, ut $it uapor gro$$us, cre$cit magnitudo ea- rum: $ed hæc cau$a e$t in quibu$dam locis $emper, & in quibu$dam quandoq;. Omnia ergo, qu{ae} dixi mus in hoc capitulo de illis, qu{ae} accidunt ui$ui propter refraction\~e: $unt deceptiones illæ, qu{ae} $em- per accidũt aut in maiore parte: & $ufficiunt in hoc, quo indigemus de deceptionibus, quarũ cau$$e e$t refractio. Nunc autem terminemus hunc tractatum, qui e$t finis libri.

ALHAZEN FILII ALHAYZEN OPTICAE FINIS. ALHAZEN FILII ALHAYZEN DE CREPVSCVLIS ET NVBIVM ASCENSIONIBVS LIBER VNVS. Gerardo Cremonen$i interprete. NVMERI. 1. Crepu$culum matutinum incipit, ac ue$pertinum de$init, $ole ante ortum & po$t occa$um $uum 19 partib{us}, in peripheria circuli per uerticem region{is} $ol{is}<006> locum tran$eunt{is}, $ub horizontem demer$o.

OStendere uolo in hoc tractatu quid $it crepu$culum, & quæ cau$$a nece$$ariò faciens eius apparitionem: inde uerò progrediar ad cogno$cendum ultimum, quod eleuatur à $uperficie terræ, de uaporibus $ubtilibus a$cendentibus ex ea. Dico ergo, quòd cre- pu$culum matutinum & crepu$culum ue$pertinum $unt $imilis figuræ: unum namq; eorum ex acce$sione luminis $olis, & alterũ ex ip$ius rece$sione contingit. Vtrorumq; uerò color\~es diuer$i $unt, propter diuer$itatem horizontum; in quibus $ol e$t apparens. Quoniam $ol quando e$t in horizonte orientali, non multum eleuatus, e$t illic color eius alius à colore ip$ius in ui$ibus, quando e$t $ecundum æqualitatem illius altitudinis in horizonte occidentall. Et $imili- ter radij eius, qui uid\~etur in crepu$culo, & quod uidetur in æthere de luminibus eius. Et ip$e æther coloratus e$t, $equens illud, $ecundum quod e$t $ol in utri$que partibus eius. Nam qui ex illo e$t in oriente color, e$t albedo & claritas: & qui e$t in occid\~ete, ad rubedinem aliquantulùm uergit. Quæ res uerò $it illud illuminans, & qualiter $it apparens illic, & quæ cau$$a nece$$ariò faciat ip$um, ad il- lud præmittemus propo$itiones, exponentes illud, cuius uolumus declarationem. Ex illo quidem e$t, quòd $phæra orbis [è terra & aqua con$tantis] tota $emper e$t $plendida & lumino$a ex lumi- nari maiori (quod e$t $ol) ni$i quantum obtegunt tenebræ conting\~etes ex terra, in figura pyrami- dis, quæ e$t nox. Et ego non $ignifico in hoc libro per illud, quod accidit de huiu$modi receptionè luminis ex $phæris $tellarum, ni$i quòd cum $phæra, propter claritatem aeris & $ubtilitatem æthe- ris, & tenuitatem eius non $u$penditur aliquid de lumine $olis, $icut uidemus ip$um $u$pendi cum corporibus altis (qu{ae} $unt $tellæ) quia illuminantur & deferunt nobis illud, quod recipiunt exlu- mine, & con$equuntur ip$um ui$us no$tri in eis: & quamuis di$$entiant in $tellis, in lumine tamen non di$$entiunt. Vi$us autem no$tri non con$equũtur, quod in eis e$t de luminibus: ni$i quòd ip$æ procul dubio $unt $pi$sioris & uehementioris corporeitatis; quàm æther, in quo $unt. Et hoc patet per $ignificationes, quòd quædam earum tegunt nobis qua$dam, quia eclip$ant eas: aer uerò non tegit nobis aliquid ex eis, quæ $unt po$t ip$um. Et propterea uidemus, quòd tota nox e$t $ecundum habitudinem unam, in qua non illuminatur nobis ex æthere aliquid: quamuis $ciamus $ecundum $cientiam no$tram, quòd quàmplurimum eius ætheris e$t lumino$um, non tectum à $ole. Et uide- mus quòd illud, quod ex eo $oli apparet, & nihil aliud tegit, e$t in ui$ione, $icut illud, quod terra te- git, quod pyramis tenebrarum continet. Et non facit nece$$ariò æqualitatem utriu$q; apud ui$us no$tros, ni$i illud, quod diximus de $ubtilitate aeris, & quòd non perducit illuminationem eius, & perducit nobis tenebro$itatem ip$ius. Tunc autem non ce$$at habitudo umbræ apparere nobis $e- cundum $imilitudinem ip$ius, quou$q; incipiat ab oriente $plendor diluculi & lumen $par$um, cu- ius principium e$t in primis cum $uperficie horizontis: & illius principij non e$t nobis cauffa, ni$i $ol: cum $it cau$$a illuminationũ. Et non e$t nobis principium illud $ol ip$e, nec radius eius tantùm, quoniam iam præmi$imus, quòd radij eius pertran$eunt u$q; ad ætherem totum, quem uidemus, aut ad plurimum eius: & nõ e$t diuer$a eius habitudo in illa hora ab alia habitudine ante illud. Ve- runtamen radij eius $u$penduntur tunc cum aliquo corpore $pi$siore aere: ducit ergo nobis cum $ua $pi$situdine radium, quem induit. Et dico, quòd illud, quo $u$pen$us e$t radius in illa hora, non e$t terra, neq; extremitates plagarum eius di$tinctæ à nobis: quoniam cum uidens e$t $uper æqua- litatem terræ, non peruenit eius ui$us, ni$i qua$i ad 23 milliaria [Italica] ab omni parte. Et $i acci- dit ei, ut $it $uper altiorem montium, qui e$$e pote$t (& ille non pertran$it octo milliaria, $ecundum quod dixerunt $apientes, intendentes hoc) ui$us non pertran$it tunc, ni$i 250 milliaria ferè. Et hoc manife$tum e$t ex eo, quòd noct\~e facit forma terræ: $ed altitudo loci ui$us à $uperficie eius, hoc e$t $patium, quod diximus, ab$condit orb\~e in quarta horæ. Oportet ergo, ut oriatur $ol paululùm po$t crepu$culum matutinum per quartam horæ ad minus: illud ergo, quod e$t inter apparitionem cre- pu$culi & apparition\~e $olis, e$t plus hora multò. Hoc aut\~e, quod diximus, nõ e$t, ni$i propinquitas, propter eũ, qui non e$t exercitatus in geometricis. In ueritate uerò ui$us nõ peruenit ad punctum terr{ae}, quod iã illuminatũ e$t à $ole, ni$i cũ ip$e peruenerit & cõpreh\~ederit cornu ip$ius $olis: quoniã duæ lineæ conting\~etes unũ punctũ circuli à duabus partib. diuer$is cõiunctæ, $unt linea una $ecun- dũ rectitudin\~e [ք 14 p 1: quia $emidiameter circuli ad tactus punctũ ducta, efficiet cũ utraq; angu- los rectos ք 18 p 3.] Quãdo ergo illuminatũ apparet nobis, tũ non e$t illud terra ip$a, {pro}pter id, quod ALHAZEN diximus: nec e$t aer implens totam $ph{ae}ram: quoniam, ut præmi$imus, $uper totum aerem aut plu- rimum eius, $emper cadit radius $olis nocte & die: & nõ apparet illud in ip$o, propter ip$ius $ubtili- tatem. Et $uper terram non e$t corpus $pi$sius aere, ni$i uapores a$cend\~etes, quibus non dee$t $em- per, quin illuminentur à $ole. Tunc uerò, quando pyramis umbræ ab eo remouetur, quod de uapo- rum $phæra terram continente ui$us no$tri con$equuntur, & recipit eos corpus $olis, & cadunt $u- per eos radij eius, $u$penditur cum eo radius, & defert ip$um nobis, & con$equuntur ip$um ui$us no$tri, & uidetur à nobis eius lumen, $icut uidemus ip$um apparere in nubibus ex coloratione hu- miditatum a$cen dentiũ, & $icut colores, qui in roribus uidentur, in forma portionis circuli, & alio- rum modorum. Quãdo ergo uolumus $cire, quanta $it ultima eleuatio illorũ uaporum à $uperficie terræ: tunc ad eam cognitionem præmittũtur quatuor res, quarum nulla excu$atur, & præter ip$as nulla alia re indigemus, ita ut nõ po$sit fieri per minus, nec $it nece$$arium plus. Illa autem quatuor $unt: corpus terræ: corpus $olis: longitudo centri $olis à centro terræ in omni $itu: & quanta $it de- pre$sio $olis ab horizonte, donec appareat crepu$culum matutinum. Corpus autem terræ e$t $icut in$trumentum omnium aliorum: & quantitas circuli magni continentis eam, $ecũdum quod dixe- runt $apientes, & $ignificauerunt illud per propo$itiones certas, e$t 24000 milliaria. Et dixerunt, quòd per quãtitatem, qua medietas diametri terræ e$t pars una, e$t medietas diametri $olis quinq; partes, & medietas partis: & per eam e$t longitudo centri $olis à c\~etro terræ in longitudine media, (non in omni $itu) mille & centum & circiter decem partes: & quòd depre$sio $olis ab horizonte, cum oritur crepu$culum, e$t 18 gradus: & iã inuenitur $uper 19: & $uper hoc fabricabo $upputatio- nem no$tram: quoniã cum narrator rei e$t cũ additione in ea, dignior e$t, ut recipiatur $ermo eius, cum non contradicit ei alius: quandoquidem narrator cũ additione $cit, quod non $cit alius, & con $equitur, quod non con$equitur alius. Nã qui narrat de aliquo, quod uiderit illud, antequam uiderit ip$um alius, dignior e$t, ut con$equatur, quod intendit, quando nõ exi$timatur de eo $u$picio. Præ- mittam igitur ad illud, quod inter manus meas e$t, propo$itiones qua$dam multi iuuaminis.

2. Si $phæricũ lumino$um illuminet opacum æquale: hemi$phæriũ illuminabit. Vitell. 26 p 2.

DIco ergo, quòd omnium duarum $phærarum æqualium, inter g a e h c d b z quas non e$t aliud corpus, quod unam earum alteri ab$condat: illud, quod ex unaquaq; earum uer$a facie re$picit alteram, e$t medietas eius æqualiter. Et $ignifico per uer$am faci\~e unius re$pectu alterius: quòd $i una earum e$t lumino$a, & altera recipi\~es lumen, illu- minatur, & relucet medietas recipientis lumen. Cuius exemplum e$t, ut $int duæ $phæræ a & b æquales: & pono, ut aliqua $uperficies plana tran$eat per centrũ utriu$q;: $ecabit ergo duas $phæras $uper duos cir- culos æquales, & in $uperficie una [per 1th. 1 $phær. Theodo$ij.] Sint ergo illi duo circuli a g h, b d c: & cõtinuabo a cum b: & protrahã duas lineas a g, b d perpendiculares $uper lineam a b: [per 11 p 1] ergo ip$æ $unt æquidi$tantes [per 28 p 1] & continuabo g cum d. Et quoniã duæ lineæ a g, b d $unt {ae}quales [per 15 d 1: quia $unt $emidiametri {ae}qualium circulorum] & æquidi$tantes [è cõclu$o] duæ lineæ a b, g d $imiliter erunt æquales & æquidi$tantes: [per 33 p 1] ergo duo] anguli ad g & d $unt recti: [per $ecundam partem 34 p 1] ergo linea g d e$t contingens duos circulos [per con$ectarium 16 p 3.] Et quando nos protrahemus g a & b d $ecundum rectitudinem, ad duas circumferentias duorũ cir- culorum, u$q; ad duo puncta e & z, deinde cõtinuabimus e cum z: erit recta linea e z contingens duos circulos [ij$dem de cau$sis, quibus d g tangere o$ten$a e$t:] & erit una quæq; duarum portionum g h e, d c z, quarum una e$t uer$a facie ad alterã, medietas circuli [per 17 d 1] quo- niam unam quamq; earum fecat diameter circuli. Et $imiliter cõtingit in omnibus $uperficiebus planis, quæ tran$eunt per duo centra duarũ $phærarum. Iam igitur declaratum e$t, quòd lineæ egredientes ex una duarum $phærarum ad alte- ram, contingunt utra$q; $imul, & comprehendunt ex unaquaque earum medietatem. Et illud e$t, quod declarare uoluimus.

3. Si $phæricum lumino$um illuminet opacum min{us}: pl{us} hemi$phærio illuminabit. Vi- tell. 27 p 2.

QVòd $i una duarum $phærarum e$t maior altera: tũc illud, quod ex minore uer$a facie re$pi- cit maiorem, e$t plus medietate minoris: & quod ex maiore uer$a facie re$picit minorem, e$t minus medietate maioris. Cuius exemplum e$t, ut $int duæ $phæræ a & b: & $phæra a $it maior. Protrahã ergo $uperfici\~e planã, tran$eunt\~e per c\~etra utriu$q;: $ecabit ergo utrãq; earũ in duo media $uք duos circulos a g d, b e z [per 1 the. 1 $ph{ae}r.] & cõtinuabo a cũ b, & protrahã ip$am $ecũdũ rectitudin\~e in part\~e h: & ponã proportion\~e medietatis diametri circuli a g d ad medietat\~e diametri circuli b e z, $icut {pro}portio a h ad b h. Eius uerò acceptio e$t prõpta ex tractatu $exto & <003>nto Eucli- dis [$i enim trib. rectis datis, differ\~etia n\~epe $emidiametrorũ circulorũ a & b: $emidiametro b c mi- noris circuli, & ip$a a b, inueniatur ք 12 p 6 quarta {pro}portionalis b h: erit ք 18 p 5 ut a d $emidiameter DE CREPVSCVLIS LIBER. maioris circuli ad b c $emidiametrum minoris b c: $ic a h ad b h.] Et protraham à puncto h lineam conting\~etem circulũ a g d [per 17 p 3] quæ $it h c d. Dico ergo, quòd ip$a contingit etiã circulũ b e z: quod patet: quia cõtinuabo a cum d per lineam a d: ergo e$t perpendi- d a k g e c b z h cularis $uper lineam h d [per 18 p 3] & protraham à puncto b perpen- dicularem $uper lineam h c d [per 11 p 1] quæ $it b c. Et quoniam duæ lineæ b c, a d $unt perpendiculares $uper lineam h d [è fabricatione & conclu$o] $unt æ quidi$tantes [per 28 p 1.] Et quia linea b c e$t æqui- di$tans ip$i a d, quæ e$t ba$is trianguli: erit ergo proportio a d ad b c, $icut {pro}portio a h ad h b [per 4 p 6: quia triangula a h d, b h c $unt æqui- angula per 29. 32 p 1] & iam po$uimus proportionem a h ad h b, $icut proportionem medietatis diametri circuli a g d, ad medietat\~e diame- tri b e z: ergo linea b c e$t medietas diametri circuli b e z: ergo punctũ c e$t $uper circumfer\~etiam circuli b e z [per 17 d 1] & duos angulos ad d & c po$uimus rectos: ergo linea h c d contingit minorem circulum [per con$ectarium 16 p 3] nos uerò iam protraximus eam contingen- tem maior\~e: ergo ip$a e$t contingens utro$q; $imul. Et protraham $imi liter ex puncto h lineam, contingentem duos circulos $imiliter in par- te z, quæ $it linea h z k. E$t ergo, quòd ex circulo a maiore uer$a facie re$picit circulum b minorem, portio d g k: & e$t minor medietate cir- culi: quoniam angulus h a d e$t minor recto [per 32 p 1] quoniam ip$e e$t in trian gulo uno, & e$t triangulum d a h cum angulo a d h recto. Ergo e$t portio d g minor quarta circuli [per 33 p 6] & $imiliter por- tio g k, æqualis e [quòd autem g k $it æqualis d g, patet, ducta $emidia- metro a k. Quia enim rectæ d h, k h tangentes æquantur per con$ecta- rium 36 p 3 & $emidiametri a d, a k per 15 d 1, e$t\’q; communis a h: {ae}qua- bitur angulus h a d angulo h a k per 8 p 1: quare per 26 p 3 peripheria d g æquabitur peripheriæ g k.] Ergo portio d g k e$t minor medietate circuli. Et quoniam linea b c e$t æquidi$tans lineæ a d [è conclu$o] e$t angulus c b h æqualis an- gulo d a h [per 29 p 1] ergo erit portio c l $imilis portioni d g, & tota portio c l z $imilis portioni d g k [per 33 p 6.] Ergo unaqu{ae}q; earũ e$t minor medietate circuli: remanet ergo portio c e z maior me dietate circuli: & illud e$t, quod ex circulo minore uer$a facie re$picit circulum maiorem. Ergo du{ae} portiones c e z, & d g k $unt ex duobus circulis, qui uer$a facie $e re$piciũt. Et $ignifico quidem per hoc, quòd aliquid portionis unius nõ cooperitur ex circulo altero: & portio c e z e$t maior medie- tate circuli, & portio d g k minor. Etillud e$t, quod uoluimus declarare.

4. Si peripheri{as} duorum circulorum æqualium duæ rectæ lιneæ tangant: punct a $emiperi- pheriarum cõuex{is} partib{us} $e re$picientium $ingula $ingul{is} appa- e d a n b g m q t k z h l rent, reliquarum uerò $emiperipheriarum conuex{is} partib{us} $enon re$picientium latent.

ET dico, quòd quando $unt duo circuli æquales, & protrahuntur duæ lineæ, quarum unaquæq; contingit duos circulos $imul, $e- cundum formam, quam præmi$imus: tunc in unaquaq; duarum portionum, quarum una uer$a facie re$picit alteram, non e$t locus, qui ab$cõdat aliquid ex circulo uno circulo alteri: & quòd in reliquis dua- bus portionibus duorum circulorum, qu{ae} non facie ad faciem $e re$pi- ciunt, non e$t locus, qui appareat circulo alteri. Cuius exemplum e$t, quòd $int duo circuli a b g d e, & z h t k l: & protrahantur du{ae} lineæ b h, & d k contingentes duos circulos $imul: ergo duæ portiones b g d, & h t k $unt, quæ $e facie ad faciem re$piciunt: earum portiones b e d, & h l k $unt, quæ $e non facie ad faciem re$piciunt. Dico ergo, quòd non e$t in portione b g d punctum, quod aliquid ex circulo z h ab$condat cir- culo a b: & quòd non e$t in portione b e d punctum, quod appareat pe- nitus circulo z h: & quòd tota ip$a portio e$t ab$condita circulo z h: & quòd neq; e$t in portione h l k punctũ, quod appareat circulo a b. Cu- ius demon$tratio e$t: quòd ego continuabo a cum z, per lineam a g z, & $ignabo $uper arcum b g d punctum, qualiter uelim, quod $it punctũ m. Si ergo fuerit punctum m à puncto g ad partem b: tunc protraham ex puncto m lineã æquidi$tantem lineæ b h [per 31 p 1] & $i fuerit pun- ctum m à puncto g ad partem d: tunc protraham ex puncto m lineam æquidi$tãtem lineæ d k: $it ergo m t. Dico igitur quòd linea m t tota e$t extra circulũ b m g d e, de qua nõ cadit aliquid in eo. Cuius demõ$tratio e$t: quòd ego cõtinuabo a cũ b, & protrahã lineã m t $ecundũ rectitudin\~e, donec cõcurrat cũ linea b a $uper punctũ n [cõcur- ret aũt per l\~ema Procli ad 29 p1: <003>a m t parallela ducta e$t ip$i b h, qu{ae} cõcurrit cũ a b in b] ergo duo rũ angulorũ ad n unu$qui$q; e$t rectus [<003>a enim angulus n b h rectus e$t ք 18 p 3, & ip$i b h parallela ducta e$t t m n: {ae}quabitur per 29 p 1 angulus t n b angulo n b h, ideo\’q; rectus, & per 13 p 1 an t rectus] ALHAZEN & cõtinuabo m cũ a. Angulus igitur trianguli a n m e$t rectus: & iá protractú e$t latus n m $ecundú rectitudiné u$q; ad t, & prouenit angulus a m t extra triangulũ, qui e$t maior recto [per 16 p 1] $cili- cet angulo n. Et quãdo protrahitur ab extremitate diametri circuli linea, quæ cũ ipla cõtineat plus angulo recto: tũc illa linea nõ $ecat circulũ, nec cadit de ea intra ip$um aliquid: ergo de linea m t nó cadit in circulo a m aliquid. Ergo punctũ m facie ad facié re$picit circulũ z, & nõ ab$condit aliquid ei: quoniã quando nõ ab$condit ei aliquid ex corpore i$tiu$met$phæræ a m: tunc nulla alia res tegit illud: quoniá nos po$uimus, ut inter duas $phæras nõ $it corpus aliud ab eis, quod tegat unam earũ alteri. Et $imiliter o$t\~edetur hoc in omni pũcto $uք arcũ h t k. Et dico iterũ, quòd nõ e$t in arcu b e d punctú, quod appareat circulo z: nec e$t po$sibile, ut continuetur cũ aliquo de circulo z p ք lineá, ni$t & illa linea $ecet circulũ a b, & cadat intra ip$um. Quod $i po$sibile e$t: {pro}trahamus à pũcto e lineam peruenienté ad ali<003> d de circũferentia circuli h t k l: & nó $ecet ali<003>d de circulo a e d: & $i fuerit po$- $ibile, $it linea e q l: & {pro}trahá lineá d k in utra$q; partes duarũ extremitatũ eius: nece$$e e$t ergo, ut occurrat lineæ e q l in duob. locis: quoniá linea d k, quá iá po$uimus contingenté duos circulos, nõ e$t po$sibile, ut $ecet unũ duorũ circulorum, nec cadat inter utro$q; [per 16 p 3:] & quoniã nó cadit inter ip$os, tunc $ecabit lineam e l in duobus locis: ergo iam $unt duæ lineæ rectæ continentes $u- perficiem:illud autem e$t contrarium & impo$sibile [per 12 axioma.]

5. Deperipheria maximi in terra circuli $ol illuminat partes 180, $crupula prima 27, $cru- pula $ecunda 52. Vitell. 59 p 10.

QVod aũt oportet nos facere $ecundũ illud, quod pr{ae}mi$imus, ut inueniamus, quãta $it quã- titas arcus terræ illuminati à $ole: quã iã po$uimus maior\~e e$$e medietate terræ: ponã ergo duos circulos $olis & terræ, $uper quos $ecat utro$q; una $uperficies plana, quales $unt a b c d e, f h g. Circulus ergo a $it terræ, & circulus $olis f: & protrahã duas lineas conting\~etes unũquenq; eorũ, $icut diximus, quæ $int duæ lineæ b h & e g. Igitur portio b c d e exterra, e$t illuminata à $ole, $icut iam o$tendimus [3 n] & illud e$t plus me- f g k h d c e a b dietate circuli. Quando ergo uolumus $cire quantitat\~e eius, tũc nos cõtinuabimus a cum b & cũ f, & f cũ h: ergo b a & h f$unt æquidi$tãtes [per 28 p 1] quoniã utræq; $unt perp\~ediculares $uper lineã b h, contingent\~e duos circulos [per 18 p 3.] Et $ecabo ex linea h f, quod $it æquale li- neæ b a [id uerò fieri pote$t, quia f h ex the$i ma ior e$t a b] & $it linea h k: & continuabo a cũ k: ergo a k e$t perp\~edicularis $uper h f [per 29 p 1] quoniã e$t æquidi$tãs ip$i b h: cũ cõtinuet totũ, quod e$t inter extremitates duarũ linearũ b a, & h k æqualiũ & æquidi$tantiũ: ergo angulus k e$t rectus. Et {pro}pterea quòd linea h f e$t quinq; partes & medιetas partis, ք quãtitat\~e, qua linea b a e$t pars una [ut dictũ e$t 1 n] remanet linea k f quatuor partium & medietatis unius partis ex illa quãtitate: & per eand\~e inuenitur linea a f 1110, in medijs lõgitudinibus [$ole cõ$tituto.] Ergo per quantitat\~e, qua linea a f $ubt\~e$a angu- lo recto, e$t 60 grad. e$t linea k f 14 minuta & tres quintæ unius minuti: ergo angulus k a f e$t 14 min. excepta tertia parte <003>ntæ partis unius minuti, [id e$t 13 minu. & 56 $ec. Nam $ecũdum pr{ae}cepta arithmetices quin cunx $eu <003>nta pars unius minuti $unt 12 $ecunda, quorũ tertia pars per diui$ion\~e inu\~eta, $unt 4 $ecun. quibus $ub- ductis à 14 minutis, rectã 13 minuta & 56 $ecun- da] per quãtitatem, qua angulus rectus e$t 90 grad. & illud e$t quãtitas arcus c d: $ed arcus b c e$t 90 grad. quoniã angulus b a c e$t rectus. Er- go arcus b d e$t 90 grad. 14 min. excepta tertia parte quintæ partis unius minuti: & arcus d e e$t {ae}qualis arcui b d. [Ducta enim à pũcto a pa- rallela i\‘p$i e g: erit angulus à $emidiametro e a & parallela cõprehen$us, rectus per 29 p 1, & æqualis angulo b a c per 10 ax. Et quia ducta parallela $ecat de $emidiametro f g uer$us f æqual\~e ip$i f k ք 15 d. 34 p 1. 1 ax: & angulus à parallela & $emidiametro f g cõpreh\~e$us, rectus e$t per 29 uel 34 p 1: {ae}qua- buntur quadrata parallelæ & $ectæ de $emidiametro f g uer$us f, quadrato f a per 47 p 1, cui per ean- dem æquantur quadrata ip$arũ a k & k f: $ubductis igitur quadratis æqualibus ip$arũ f k & $ectæ d e $emidiametro f g uer$us f, relinqu\~etur quadrata ip$arũ a k & ductæ parallelæ æqualia, ideo\’q; recta a k æqualis erit ductæ parallelæ: & per 8 p 1 angulus d a c æquabitur angulo ab f a & parallela ad c\~e- trum a cõprehen$o. $ed angulo c ab æqualis cõclu$us e$t angulus à $emidiametro e a & parallela cõ- DE CREPVSCVLIS LIBER. prehen$us. Quare $i æqualibus angulis æquales addãtur, æquabitur per 2 axio: totus angulus b a d toti angulo e a d: & per 26 p 3 peripheria b d peripheriæ e d.] Ergo totus arcus b c d e illuminatus à $ole, e$t 180 partes & 27 minuta & quatuorquintæ & tertia quintæ unius minuti cũ propinquitate [id e$t 52 $ecunda: nã ex arithmeticæ regulis {4/5} unius minuti $unt 48 $erupula $ecũda, & quinta pars unius minuti $unt 12 $crupula $ecunda, quorũ tertia pars, 4 $cilicet $crupula $ecunda addιta cum 48 $crupulis $ecundis, efficiunt 52 $crupulà $ecunda.] Et illud e$t, quod uoluimus declarare.

6. Po$it a peripheria maximi in terra circuli 2 4000 milliarium Italicorum: erit $umma ua- porum in nubem coactorum à terra altιtudo 5 2000 pa$$uum. Vitell. 60 p 10.

INcipiamus ergo nũc ex eo, quod int\~edimus de cau$$a apparition is crepu$culi, & formæ appari- tionis eius nobis, & figurationis ip$ius in horizonte ori\~etali. Ponam ergo circulũ $ignatum $u- per $phærã terræ, & $uper quã ab$cindit terrã $uperficies plana, trã$iens per zenιth capitũ & per @ centrũ terræ & $olis circulũ a b, & locũ ui$us a: & faciã trã$ire $uper punctũ a lineam contingent\~e circulũ [per 17 p 3] & prolongabo duas extremitates eius in duas partes, $uper quas $int d, e. Mani- fe$tum e$t igitur, quòd $uper totũ; quod cadit $ub linea d a e ad part\~e b, nõ cadit ui$us, quoniã terra ab$condit illud nobis: quia ext\~e$io ui$us nõ e$t, ni$i $uper lineã rectam [per primã hypothe$in opti- corum Euclidis.] Et Euclιdes quid\~eiam declarauit [16 p 3] quòd nõ egreditur à puncto cõtactus linea inter lineã cõtingent \~e& circulũ. Vi$us ergo nõ cadit $ub linea d a e, $ed cadit $uper illud, quod eleuatur ab ea. Et ponã formã pyramidis tenebrarũ euenientiũ ex umbra terræ, parum ante crepu- $culum, quãdo e$t depre$sio $olis plus 19 gradibus per minutũ unũ, uerbi gratia; aut circiter: $uper quam $int g, e, f, c: totũ enim, quod cadit in hac pyramιde de$ignata (cuius caput e$t f, & ba$is ip$ius terra) e$t rectum $oli, nõ appar\~es ei, neq; illuminatũ ab eo, & e$t in ueritate tenebro$um: & quod ca- dit exterius ab ea, e$t appar\~es $oli, & $uper ip$um cadũt radij eius & lum\~e eius. Veruntam\~e quod ex corporib. e$t $ubtile ualde, nõ perducit ad ui$us no$tros illud, quod h @ d a m e c k z g b ex radιo induit, {pro}pterea quòd æquãtur in ui$ibus no$tris illud, q<001> ex aere $ubtile e$t intra pyramid\~e, & q<001> e$t extra ip$um: & uidetur æther totus in forma luminis & tenebrarum. Et nos quid\~e $cimus, quòd illud, quod cõtinet nos ex aere, & quod e$t propinquũ nobis, e$t tenebro$um, nõ appar\~es $oli: & quod procedιt in ince$$u in altũ, aut dextror$um, aut $ini$tror$um, & anterius & po$terius, e$t lumi- no$um, appar\~es $oli: & $unt ambo cũ illo apud nos æqualiter in tota cõprehen$ione ui$us: & nõ apparet aliquid ui$ibus no$tris ante ortũ $olis, & po$t occa$um $olis, ni$i $it eleuatũ à $uperficie horizontis, & ni$i $it extra pyramid\~e umbræ, & ni$i $it $pi$sius aere $ubtili. Manife- $tum e$t igitur, quòd nõ apparet ui$ibus no$tris aliquid in habitudi- ne $pl\~edoris & illuminationis, ni$i per aggregation\~e triũ conditio- num in eo: quarũ una e$t, ut nõ $it $ub lιnea d a e: quoniã $i e$t $ub ea, prohibet $ph{ae}ra terræ inter ip$um & ui$um: quia nõ compr\~ehendιt ip$um ui$us lumino$um neq; tenebro$um. Et alia e$t, ut nõ $it in py- ramide umbræ: nã $i e$t in ea, e$t tenebro$um, propterea quòd priua tũ e$t facie $olis & illuminatione $ua ab eo. Et alia e$t ut $it $pi$sius aere $ubtili impl\~ete $phæram: quoniã iam $ciuimus, quòd aer altior extra pyramid\~e, cadit $uper lineã d a e: & cũ illo non apparet nobis in eo aliquid luminis, propter tenuitatem & $ubtilitat\~e $uam, & pro pterea quod uidemus in hoc loco, & e$t parum ante crepu$culũ, il- lud, quod compreh\~edimus de $phæra, tectum, nõ illuminatũ, & non diuer$ificatur pars eius à parte. Et $cimus, quòd nõ e$t in eo punctũ neq; locus unus, in quo aggregentur i$tæ cõditiones tres. Sed pun ctum e e$t: ubi occurrit ultιmo $tatui pyramidis linea d a e: & iã po- $uimus in eo duas conditiones: quoniã nõ e$t $ub linea d a e, nec in- tra pyramid\~e: ergo cadit $uper ip$um radius $olis. Nõ ergo facit ne- ce$$ariam tenebro$itat\~e eius in oculis no$tris tũc, ni$i priuatio eius à conditione tertia, qu{ae} e$t $pi$- $itudo. Iam ergo certificatur, quòd aer, ubi e$t punctũ e, in hoc loco e$t $ubtilis, & non perueniũt ad ip$um uapores $pi$si, a$eendentes de terra, qui $unt $pi$siores aere. Deinde po$tquã eleuatur $ol pa- rum, & fit depre$sio eius ab horizonte 19 graduũ tantùm, & fit forma pyramidis & figura eius, $icut illa, $uper quã $unt i, m, h, k, & apparet in horizõte res lumino$a, & nõ fuerat antè illic res lum ino$a: $eimus quòd ille e$t primus locorũ & ho$pitiorũ, in quo aggregãtur cõditiones tres pr{ae}dictæ: quo- niã ante illud parũ per illud, cuι nõ e$t quantitas, nõ fuit illic aliquid de lumine: & primus locorũ, in quo aggregatur, ut non $it $ub linea d a e, nec intret pyramidein tenebrarum, e$t punctum m. Ergo punctũ m e$t primus locorũ, in quo inu\~eta e$t cõditio rertia, & e$t illic $pi$situdo aeris. Ergo pũctũ in e$t ultimus $tatus uaporũ, & $umma a$c\~e$io eorũ: & nõ abbreuiãtur ab eo, neq; pertrã$eũt ip$um. Quoniã $i abbreuiar\~etur ab eo, e$$et punctũ m in aere $ubt li, & nõ appareret nobis in eo aliquid de lumine, $icut nõ apparet in eo, qui e$t po$t ip$um, ad partem e: & $i pertrã$irent ip$um, illuminaretur nobis punctũ e ante hoc: quoniã nõ ponimus in eo, quod e$t inter m & e, in his duobus locis r\~e $en- ALHAZEN OPTIC. LIB. VII. $ibil\~e. Ergo punctũ m e$t ultimus $tatus, ad qu\~e perueniũt uapores a$cendentes in altũ, & occur$us lineæ d a e cõtingentis $phærã terræ cũ linea h i. Quando ergo uolumus $cire longitudin\~e eius à fa- cie terr{ae}, tũc nos de$cribemus altitudinis circulũ, tran$eunt\~e per centrũ $olis, quãdo eius depre$sio ab horizõte e$t 19 graduũ: & illud e$t a pud ortũ crepu$culi, $uper qu\~e $int a, b, c, d: $ecabit ergo@$ph{ae}- ram terræ $uper circulũ e f g h [per 1 the. 1 $phær. Theodo$ij] & linea a e k pertrã$eat per zenith ca- pitum & per centrũ terræ, perp\~edicularis $uper lineam b k d [per 11 p 1] ergo linea b k d $ecat terrã in duo media, [per 17 d 1] appar\~es & occultũ. Appar\~es ergo e$t illud, quod e$t $upra ip$am, ad part\~e a, & occultum, quod e$t ad part\~e g: & nõ dicimus hoc, ni$i dilatãdo & appropinquãdo. Veritas uerò e$t, quòd appar\~es nõ e$t, ni$i illud, quod e$t $uper lineã p e q o protractã, contingentem $phærã $uper punctũ ui$us: ueruntamen nõ e$t apud hũc or- n a d p e q o r f k h g b l c m b\~e terræ magna quãtitas. Et ponã arcum b c 19 graduũ, qui $unt depre$sio $olis apud ortũ cre- pu$culi. Super punctũ ergo c e$t centrum $olis: faciã igitur illic $uper ip$um punctũ, circulũ, cũ lõgitudine quintupli & medietatis eius, quod e$t æquale line{ae} e k: qui $it circulus l m: & $uper ip$um $cilicet punctũ c $ecat $ol\~e orbis a b c d: & continuabo lineã k g: deinde protrahã duas lineas conting\~etes duos circulos $olis & terræ [per 17 p 3] contin\~etes illuminatũ terræ à $ole, quæ $int m h n, l f n, cõting\~etes terrã $uper duo puncta h & f: & $unt termini pyramidis umbr{ae}. Ergo linea m h n occurrit lineæ p o $uper pun- ctum q [per l\~ema Procli ad 29 p 1: quia cõcur- rit cũ b k d parallela ip$i p o per 28 p 1] ergo pũ- ctum q, $ecundũ quod o$t\~edimus in figura, qu{ae} e$t ante hãc, e$t locus lumino$us apud ortũ cre pu$culi: & e$t ultimus $tatus a$cen$ionis uapo- rum. Cum ergo uolumus cogno$cere longitu- dinem eius à $uperficie terræ: tũc continuabi- mus k cũ q per lineã k r q: & continuabo k cum h. Ergo portio h g f e$t illuminata: quia facie ad faci\~e re$picit $olem. Iam ergo o$t\~edimus [præ- cedente numero] quòd ea e$t 180 grad. & 27 min. & 52 $ecũd. & arcus g h e$t medietas eius: [Quia enim l n, m n tangunt peripheriã circuli e f g h in punctis f & h per fabricationem, erunt anguli ad f & h recti per 18 p 3. Si igitur $emidia- metros k l, k m circuli a b c d ductas cogites: æquabuntur quadrata linearũ f l, f k quadrato $emidiametri k l per 47 p 1, per quam etiã qua- drata linearum h m, h k æquabuntur quadrato $emidiametri k m: $ubductis igitur quadratis ip$arũ f k, h k per 5 d 1 æqualibus, à quadratis k l, k m $imiliter per 15 d 1 æqualibus: relinqu\~etur qua- drata ip$arũ f l, h m æqualia, & iccirco rect{ae} f l, h m æquales. Quare cũ triangula f k l, h k m $int æqui- latera, erunt æquiangula, & angulus f k l æqualis angulo h k m per 8 p 1. Rur$us $i $emidiametros l c, m c circuli l m ductas animo concipias: erũt triangula l k c, m k c æquilatera & æquiangula, & angu- lus l k c æqualis angulo m k c. Quamobrem $i angulis f k l, h k m è conclu$o æqualibus addas angu- los l k c, m k c æquales: totus angulus f k g æquabitur toti angulo h k g per 2 axio: & peripheria f g peripheriæ h g per 26 p 3] & e$t grad. 90 & 13 min. & 56 $ecun. & illud e$t quãtitas anguli h k g: & iã fuit angulus b k c 19 grad quoniã e$t depre$sio $olis: ergo remanet angulus h k b 71 grad. 13 min. 56 $ecun. $ed angulus e k b e$t 90: quia rectus exi$tit. Ergo remanet angulus e k h 18 grad. 46 min. 4 $e- cun. Et quia linea k q diuidit eũ in duo media, & illud e$t manife$tũ: [Quia enim e k, h k: item e q, h q æquãtur: illæ per 15 d 1, quia circuli e f g h $unt $emidiametri: hæ per $ecundũ con$ectariũ 36 p 3, quia ab eod\~e puncto q peripheriã e f g h tangunt: & cõmunis e$t k q: æquabitur angulus e k q angulo h k q per 8 p 1. Quare angulus e k h bifariã $ectus e$t per rectã q k] angulus igitur q k e e$t 9 grad. 23. mi. 2 $ecund. ergo angulus k q e e$t cõplementũ recti [per 32 p 1: quia angulus ad e rectus e$t per 18 p 3] & illud e$t 80 grad. 36 min. 58 $ecun. Chorda ergo eius, qu{ae} e$t linea e k, e$t 59 grad. 11 min. 48 $ecun. per quantitat\~e, qua e$t linea k q 60 grad. [ut mon$trat tabula rectarũ $ubten$arũ in circulo.] Verun tamen per quantitat\~e, qua e$t linea k e 60 grad. erit q r k 60 grad. & 48 min. & quinq; $extorũ unius minuti: $ed linea k r ex illis e$t 60 grad. ergo remanet r q 48 min. & 50 $ecun. & e$t illud ex miliari- bus (quibus circumferentia terræ continet 24000) milliaria, 51 & 47 minut. & 34 $ecun. & 6 partes ex 11 partib. $ecundis. Et illud e$t ultimũ, ad quod eleuantur & perueniũt uapores a$cendentes ex terra. Et illud e$t, quod uoluimus.

FINIS. VITELLONIS THV- RINGOPOLONI OPTI- CAE LIBRI DECEM. In$taurati, figuris nouis illu$trati atque aucti: infinitis \’q; erroribus, quibus antea $catebant, expurgati. À FEDERICO RISNERO. BASILEAE. FEDERICI RISNE- RI IN VITELLONIS OPTICAM PRAEFATIO AD ILLVSTRISSIMAM REGINAM CA- tharinam Mediceam, matrem regis Gallia Caroli noni.

ALHAZENVS opticas $uas opes, regina illu$tri$si- ma, no$tris laboribus uigilijs\’q; explicatas tibi nũcupauit: Vitello Alhazenũ ducem, quamuis antea $ibi proignoto tacito\’q; præteritum, atta- men ueluti con$cientia præeuntis in eo uirtutis permotus, con$equitur, $e\’q; Alhazeni di$cipulum e$$e con- fitetur. Etenim cum opticorum longè maximam nobili$si- mam\’q; partem, quam ex Alhazeno de$ump$i$$et, tibi deuo- tam dicatam\’q; cerneret, qua tandem coloris $pecie purpu- ram eandem, aut quo aêris $itu permutatã alijs pro $ua uen- ditaret? Certè ingenua animiliberali\’q; inductione tam pr{ae}- $tantem patronam potius eandem adoptabit, $e\’q; in regiæ maie$tatis tuæ fidem clientelam\’q; conferet. Ergo iam libe- rius exponamus quis $it Vitello, & quid in tanto in$upero- pere contenderit. E@ Sarmatarum gente (qui Poloni hodie nominantur) ille fuit. Ait enim libro 10 theoremate 74, in no$tra terra $cilicet Poloniæ habitabili, &c. Ideo\’q; intitulo optici operis cognominatur filius Polonorum & Thurin- gorum, patre uidelicet Polono & matre Thuringa, aut con- trà procreatus: qualia cognomenta habentarabicæ in$cri- ptiones Alhazenus filius Alhayzeni & $imiles. Regiomon- tanus autem in pr{ae}fatione Alphragani uidetur eum Germa- num efficere, inquit enim, Vitello autem no$ter Thuringus, &c. in\’q; eandem opinionem Gualtherus Regiomontani di $cipulus di$cedit, cum in $uis ob$eruationibus a$tronomi- cis ait, & Vitello no$ter, &c. uterque tamen commune artis $tudium, non patriæ commune $olum hic $pecta$$e potuit. Sed de tempore, quo Vitello floruerit, res magis controuer- $a e$t. Tan$tetterus in epi$tola opticis Vitellonis antea editis præpo$ita opinatur Vitellonem annis abhinc$excentis ui- xi$$e, $ed opinione deceptus e$t. Nam frater Guilielmus de FEDERICI RISNERI Morbeta (cui Vitello opticam $uam nuncupauit) uixit anno Chri$ti 1269, ut ille ip$e de Morbeta te$tificatur in $ua geo- mantia (quam manu$criptam legimus) eodem etiam anno $ectionibus octo collecta, magi$tro\’q; Arnolpho nepoti$uo dedicata: & in hanc quo que temporis ætatem docti$$imi uiri & excellenti$$imi mathematici Era$mus Reinholdus & Ga$parus Peucerus Vitellonem retulerunt. Quapropterlo- cupletioribus te$timonijs cõ$tat Vitellonem incidi$$e in an- num Chri$ti circiter 1270, annis nempe anteactis propemo- dum trecentis. Verùm id de tempore. Locus autem, ubi $tu- dia hæc excoluerit, minimè uidetur Sarmatia fui$$e. Quædã $untin opticis notæ Vitellonem in Italiam ueni$$e, Italiæ\’q; bibliothecis adiutum fui$$e. Etenim Vitello ip$e de $e te$tis e$t libro 10 theoremate 42 $e primùm omniũ in Italia ad Cu- balum (quilocus e$t inter Paduam & Vincentiam) contem- platione aquæ tenui$$imæ ac limpidi$$imæ ad opticas artes incen$um atq; inflammatum e$$e: harum enim form arum intuitu (ait) & mirabili tran$mutatione primum nos am or huius $tudij allexit: & libro 10 theoremate 67, ubi $cribit ex iride, quam in aqua è $copulo Viterbio proximo uehemen- tius præcipitata $æpenumero uidi$$et, plera$que iridis affe- ctiones & proprietates $ibi animaduer$as & ob$eruatas e$$e: illud (inquit) nobis principium cogitationis fuit, ut præ$en ti negotio $tudium applicaremus. At quòd Vitello in Italia, quòd Romæ tum cæteris liberalibus hone$tis\’q; $tudijs, tum uerò opticis operam nauarit, maius forta$$e argumentũ ui- deatur, quòd Guilielmo de Morbeta (quitum romani pon- tificis pœnitentiarum, utappellant, Romæ agebat) $ua$ore & hortatore, utip$e in proœmio te$tatur, optica primũ con- $cribenda $u$ceperit, eidem\’q; ab$oluta po$tea nuncuparit. Verumenimuerò fuerit Vitello Sarmata: uixerit tempore nõ admodum literarũ, præ$ertim tam reconditarum $tudijs de- dito: bibliothecas Itali{ae} puluere ob$itas, & in ijs $epultos o- pticos offenderit: attamen quid & quãtum uiribus ingenij perfecerit, pr{ae}clara eius monimenta $empiterno te$timonio erunt: non $olùm in phy$iologicis, quæ citat libro 5 theore- mate 18, & libro 10 theoremate 80: in libris de ordine entiũ: de elementatis cõclu$ionibus, quinominantur in præfatio- ne & libro 1 theoremate 28: in libris de $cientia motuum cœ PRAEFATIO. le$tiũ, quos allegatlib 10 theor. 53: $ed multò maximè in de- c\~elibris opticis: quos, ut ex Alhazeno inprimis, deinde è gr{ae} corũ authorũ fontibus hau$erit, certè mirandis acce$sioni- bus amplificauit. Alhazeni, Euclidis, Ptolem{ae}i axiomata, hy pothe$es, theoremata omnia collegit: id laboris infiniti fu- it. Sed ex Apollonio, Theodo$io, Menelao, Theone, Pappo, Proclo & alijs firmamenta permultarũ demon$trationũ $in- gulari iudicio repetiuit: $ingulari ordine, maximè naturali, per$ua genera, $pecies\’q; opticã, catoptricã, me$opticã di$po $uit, art\~e\’q; totã mirabiliter ab$oluit. Quid plura? Si artis opi fex atq; author habendus $it, qui arti formã, animã\’q; dedit: Vitello iure optimo opticæ artis author habeatur. Atq; hæc quid\~e de Vitellone, eius\’q; optico opere ita dicta $int: quid uerò ip$e operæ, indu$triæ, ac dilig\~etiæ in eo renouãdo atq; in$taurãdo po$uerim, quantũ\’q; in eo re$tituendo cõforman do\’q; elaborarim, uix quenquã cogitaturũ arbitror, ni$i qui uetus ex\~eplar cum no$tro cõtulerit. Dicã parcè de me & bre uiter. In Vitellone adhuc edito publicato\’q; nullũ omnino theorema fuit, in cuius demõ$tratione literæ nõ fuerint mul tifariã permutatæ, nõ ali{ae} pro alijs repo$it{ae}: in pleri$q; etiam demon$trationibus ε'κθέσ{ει}ς atq; expo$itiones nullæ fuerunt: uerba it\~e multa, im ò uerò integræ etiã clau$ulæ, eæ\’q; cõplu res defuerũt: quæ omnia uetu$tis ex\~eplaribus manu$criptis, quæ P. Ramus undiq; cõ qui$ierat, adiutus re$titui: & in uni- uer$o opere errata in rebus $ent\~etijs\’q; 3645 (tot enim anim- aduertere potui) c{ae}tera\’q; leuiora, quæ innumera fuerũt, cor rexi & emendaui. Sed præter literas in demon$trationibus tran$po$itas; præteruoces plurimas, præter etiã totas $enten tias omi$$as, figuræ, quæ per$e $ine literis, $ine uocibus, $ine $criptis $ententijs rem poterant intellig\~eti demõ$trare, ple- ræq; erãt malè figuratæ, nec demon$trationibus cõgru\~etes, & quod etiam fœdius e$t, nõ $uis, $ed alienis theorematis $æ pius accõmodatæ: in quibu$dam theorematis nullæ omni- no fuerunt. Figuras igitur uniuer$as de integro conforma- ui, $tudio$e\’q; egi, ne qua i$tarum offen$ionum remora po$- $et in reliquum optices $tudio$os remorari: po$tremò locos ueterum geometrarum & opticorum, unde pleraque de- $umpta e$$ent, indicaui: denique neruis omnibus conten- di, ut opticarum rerum fructus, quanticunque $int, qui $anè maximi $unt (ut Alhazeni præfatio iam prius attigit) PRAEFATIO. omnes certè non $olum pleniores atque uberiores, $ed gra- tiores & faciliores e$$ent. Quamobrem, illu$tri$$ima regina, $i laboribus no$tris uota re$ponderint, $pero opticæ artis $tudio$os te $ummis ac $empiternis laudibus in mathema- tico puluere ad cœlum elaturos e$$e: quòd tuis felicibus au- $picijs duos opticos excellenti$simos Alhazenum & Vitellonem uelut ab inferis excitatos, & publicis priuatis\’q; $cholis commu- nicatos habeant.

ERRATA. Primus numerus paginam, $ecundus lineam indicat.

Pagina 4. linea 36 lineæ. 10.44 po$t conuexã tolle comma. Ibidem, ultima, quolibet. Pag: 13.30 po$t angulo tolle b, & repone po$t angulus. Ibidem 45 po$t 17 p 6 adde, Et. 32.39 cen- trum. 35.51 $uarum. Ibidem 55 rotundam. 37.34 po$t conica pone comma, & adde ubi: & po$t $upremo dele comma. 48.8 proportionem. 54.56 Sint enim ut. 64.54 eidem. 65. ult. terreæ. 67.4 po$t ba$is tolle comma, & repone po$t $uperficie. 70.25 puncti. Ibidem 54 ab$cindatur. Pag.74 in figura 37 theorematis ad concur$um lineæ a z cum peripheria h l k pone literam f. Pag.80.40 ductæ. Ibid. 48 $uæ. 82.9 po$t participans adde de. 89.8 con$tantis. 90.12 po$t tran$iens adde per, & po$t huius dele comma. 91.2 po$sint. 92.ulti. pro formæ, forma. Pag. 95.1 pro perunitatem paruitatem. 111.43 uifibilium. 112.7 illarum. 122.10 quantitates. 132.46 diuer$itatis. Pag.141 in ultima figura ducantur lineæ g b & d b. 145.19 quæ. Ibidem 48 po$t po$sibile adde ut. 160.21 huius. 181.15 po$t ui$u adde ex. 195.25 linea. 200.14 patet. 204.43 lineæ. 222.56 po$t punctum adde literam e. 238.6 po$t a b k pone colon. 244.27 alterum fi- gnum parenthe$eos po$t circulum dele, & pone po$t circuli. Ibid. po$t cathetus tolle comma. Pag.264 in figura continuetur recta z q in l. Pag. 266 figuræ 60 & 61 theorematum permu- tatæ $unt. 267.56 quomodocunque. 272.15 æquidi$tante. 282.49 pro 21,1. 290.ult.pro linea repone $uperficie. 295.24 in qua. 306.48 ergo perpendicularis. 312.40 po$t &, adde ducatur. 320.56 linea z h. 327. ulti.pro 2,3. 343.28 angulo b g d. 346.58 quodam arcu, fimili arcui. Pag. 352 in prima figura litera è regione m ob$curior, e$t r. Ibid. ult.linea uerò. 357.20 pro 11, 1. Ibid. in figura litera proximè infra r in linea g r ob$curior, e$t k. 358.43 linea. 326.26 primum. fignũ parenthe$eos ante quia inuer$um corrige. Ibid. ult. lineæ x g ad lineam g s. 370.19 quod e$t c. 374.15 ip$a. 379.43 $it\’que. 380.46 p z k $int. 395.24 tolle literam m. 410.54 $uper. 415.48 po$t forma adde extenditur. 438.36 lineæ a k & a l. 472.42 di$pofitam.

VERITATIS AMA- TORI FRATRI GVILIELMO DE MORBETA, VITELLO FILIVS THVRINGORVM ET Polonorum, æternæ lucis irrefracto mentis radio fælicem intuitum, & intellectum per$picuum $ub$criptorum.

VNIVERSALIVM entium $tudio$us amor te uinctum de- tinens, me tibi, utidem appetentem, $ic coniunxit, ut uoluntas tua mihi $it imperium: me uoluntas quoq; tua arceat ab affe- ctibus tibi di$plicentium pa$sionum. Quia ergo tibi, ut totius entis $edulo $crutatori (dũ ens intelligibile à primis $uis pro- diens principijs, entibus indiuiduis $en$ibilib. per modum cau $æ, actu m\~etis coniungeres, & $ingulorum cau$$as $ingulas in- dagares) occurrit diuinarum uirtutum influentiam inferiori- bus rebus corporalib. per uirtutes corporales $uperiores modo mirabilifieri. Nec enim res corporeæ inferiores in ordine partium uniuer$i, diuinæ uirtutis incorpo- raliter $unt participes, $ed per $uperiora $ui ordinis, contractam uirtutem partici- pant, ut po$$unt: $icut & in alio $ub$tantiarum intellectiuarũ ordine inferiores $ub- $tantias per$uperiorum $ui ordinis illu$trationem à fonte diuinæ bonitatis deriua- tam, prout uniu$cuiu$que natura fert, per modum intelligibilium influentiarũ fie- ri, mentis acumine per$pexi$ti: Sic, ut omnis rerum entitas à diuina profluat entita te, & omnis intelligibilitas ab intelligentia diuina, omnis\’q; uitalitas à diuina uita: quarum influentiarum diuinum lumen per modum intelligibilem e$t principium, medium & finis: ut à quo, & per quod, & ad quod omnia di$ponuntur. Corpora- lium uerò influentiarum lumen $en$ibile, e$t medium, $uperioribus corporib. per- petuis $ecundum $ub$tantiam $olum in potentia ad ubi exi$tentibus, infima corpo ra (quæ $ecundum formas, & ubi uariantur) mirificè a$$imilans & connectens. E$t enim lumen $upremarum formarum corporalium diffu$io per naturam corpora- lis formæ materijs inferiorum corporum $e applicans, & $ecum delatas formas di uinorum & in diui$ibilium artificum per modum diui$ibilem caducis corporibus imprimens, $ui\’q; cum illis incorporatione nouas $emper formas $pecificas aut in- diuiduas producens, in quibus re$ultat per actum luminis diuinum artificium tam motorum orbium quàm mouentium uirtutum. Quia itaque lumen corporalis formæ actum habet: corporalibus dimen$ionib. corporum (quibus influit) $e co{ae} quat, & exten$ione capacium corporum $e extendit: attamen quia fontem (à quo profluit) habet $emper $ecundum $uæ uirtutis exordium: pro$picere dimen$ionem di$tantiæ (quæ e$t linea recta) per accidens a$$umit, $ic\’q; $ibi nomen radij coaptat. Et quoniam linea recta naturalis $emper e$t in aliqua $uperficie naturali: $uperficie rum uerò pa$$io (quæ per terminantes lineas eis accidit) e$t angulus: ideo radio lu mino$o con$ideratio adiacet angularis: & rectis angulis radiorum perpendiculari tas c$t cau$$a. Obliquatio uerò irradiantis corporis $uper irradiatum corpus, acu- tos cau$$at angulos & obtu$os: & $ecundum huiu$ino di luminarium influentiæ ua riantur. Cum itaq; tui $olertis diligentia ingenij, $ecundum hæc, cæle$tium influ\~e- tiarum diuinam uirtutem re$pectu rerum capacium mutari pro$piceret, & non $o- lum $ecundum uirtutes agentes, $ed $ecundum diuer$itatem modi actionis, res a- ctas diuer$ari uideret: placuit tibi in illius rei occulta indagine uer$ari, eius\’q; dilig\~e ti inqui$itioni $tudio$am animam applicare. Libros itaq; ueterum tibi $uper hoc negotio pcrquirenti, occurrit tædium uerbo$itatis arabicæ, implicationis græcæ, paucitas quoq; exarationis latinæ, præ$ertim quia tibi commi$$um officiũ pœnit\~e- tiariæ romanæ eccle$iæ, cuius curæ partem geris, credens plus intellectu practico quàm $peculatiuo, pœnit\~etibus $uccurrere, te cohibuit à multitudine uidendorũ: malui$ti enim languentium animarum diuino antidoto languoribus $uccurrere, quàm ip$orum hominum ignorantias releuare: me\’q; putans uacare otio, $ub amo ris nexu, quo tibi coniungor, uolui$ti con$tringere, ut hoclaboris tibi placiti onus $ubirem, his\’q; materijs mihi nondum cognitis, animum applicarem. Atego, qui cunctis iu$$ionibus tuis obtemperare de$idero, uelle tuum $u$cipiens pro manda- to, maioris negotij, quòd de ordine entium olim con$cribendum $u$ceperam ca- pitulum, in tempus $emoui, præ$entis\’q; operis di$pendium pro meæ po$$ibilitatis uiribus (quibus hic impar, fateor) adij con$crib endum. Attendens quoq;, quia ea- dem uis formæ immittitur in contrarium & in $en$um, & quòd lumen $it primum omnium formarum $en$ibilium, quod\’q; rerum $en$ibilium omniũ cau$$as efficien tes intendamus perquirere, quarum plurimas differ\~etias ui$us nobis o$tendit: pr{ae}- mi$$orum permodum entium ui$ibilium per$crutatio placuit, $icut & eadem uiris, qui ante nos plurimi tractauerunt huius $cientiæ negotiũ, PERSPECTIVORVM nomine nuncupantibus, quorum & ego nominationem (ut placitam) approbo: li cet plus ad naturalium formarum actionis modum occulti$$imum pertractãdum, ut opus præ$ens tuis affectibus re$pondeat, $cribentis intentio $e declinet. Quòd enim in $en$u ui$us plus perceptibiliter agitur, hoc in ip$ius $en$us ab$entia in reb. naturalibus nullatenus euitatur. Sen$us enim præ$entia nihil addit actionibus na- turalium formarum. Omnem itaq; modum ui$ionis mathematica uel naturali de- mon$tratione tran$currendo, ea quæ de naturalibus formarum actionibus permo dum pa$sionum ui$ibilium iuxta triplicem uidendi modum pro me{ae} po$$ibilitatis modulo tractabo. In omnibus enim illis uid\~edi modis, formæ naturales ad ui$um $e diffundunt, radij\’q; ui$uales non exeunt ad cape$$endas formas rerum. Vnde $i præ$entiæ formarum diffu$arum per corpora naturalia ip$arum $u$ceptibilia, ui$us non affuerit, non propter hoc naturalis actio non erit, $ed formæ in $ubiecta corpo ra $ibi di$$imilia, impriment quãtum po$$unt. Tuitaq; uir de$ideriorum omnis $ci- entialis boni, $u$cipe quod fieri manda$ti, in quo $i quid incultum inueneris, per$pi caciori ingenio modereris.

_[_Sequentia de$unt in uetu$to exemplari._]_ TOTIVS OPERIS IN DECEM Libros diui$io, & quid in $ingulis tractetur.

_PRAESENS_ ita<005> negotium decem libris partialibus duximus di$tinguendũ. Volentes enim omne ens ui$ibile, ut$uæ ui$ibilitati pa{$s}io accidit, mathematica demon$tratione concludere, & hac uia eatenus (ut nobis e$t po{$s}ibile) certius am- bulare: librum hunc per $e $tantem effecimus, exceptis his, quæ ex elementis Eu- clidis, & paucis, quæ ex conicis elementis Apollon{ij} Pergæi dependent, quæ $unt $olum duo, quibus in hac $cientia $umus u$i, ut in proce$$u po$tmodum patebit. In primo itaque huius $cientiæ libro axiomata præmittimus, quæ præter elementa Euclidis huic $cientiæ $unt ne ce$$aria: & in hoc ea duo, quæ demon$trata $unt ab Apollonio, declaramus. Plurima tamen & horum, quæ in hoc libro præmittimus, continentur in eo libro, quem de elementatis conclu$ioni bus nominamus, in quo uniuer$aliter omnia con$crip$imus, quæ nobis ui$a $unt, & quæ ad nos peruenerunt à uiris po$terioribus Euclide, pro particularium nece{$s}itate $cientiarum uniuer$a- liter conclu$a. In $ecundo libro, de modo proiectionis radiorum per medium unius diaphani, uelplurium, $uper figuras corporum diuer$as: necnon de proiectione umbrarum & figuratione lucis cadentis per fenestras tractauimus, ut de his, quæ præambula $unt actioni $en$ibili forma rum natur alium, & quæ fiunt non exi$tente $en$u. In tertio uerò libro de organo ui$us, de<006> e$- $entiali modo uidendi $uo modo tract auimus, ut patitur $cientia opticorum. In quarto quoque libro percurrimus deceptiones, quæ accidunt ui$ui $ecundum directum modum uidendi per u- num medium, $iue $int pa{$s}iones mathematicæ, $iue etiam naturales. In quinto aut\~e libro nos ad alium modum uidendi, qui fit per reflexiones à politis corporibus, quæ $pecula dicimus, trà$- ferentes, tract auimus de pa{$s}ionibus communibus omni $peculo, $iue $it planum, $iue $phæricũ; columnare $iue pyramidale, concauum uel conuexum. Hæc enim $unt omnia $pecula, à quibus regularis pote$t fieri reflexio, ut nos declarabimus $uo loco: nectamen intelligimus per hæc $pe- cula $olùm corpor a polita artificio, $ed potius per naturam. Quia dum demon$trationem his $pe culis applicamus, natur alia corpor a eiu$dem figuræ intelligimus. Quòd enim in artificialib.cor poribus exemplariter accidit, in corporibus natur alibus certius accidere nece$$e est. Et dum $ic per figur as $peculorum di$currimus, cæle$tes & omnes natur ales influentias à $ubiectis corpo- ribus $ub quodam reflexionis modo ad alia corpora declaramus. In his enim diuer$it atibus la- tens e$t naturæ operatio: & ab ei$dem agentibus, $ecundum huius diuer$it atis modum, fit diuer $itas formarum, & accidit ui$ibus, $i ad locũ reflexionis deueniant, ut ad ip$os fiat reflexio: quo- niam ui$ibus, ut quodam po$teriori formis natur alibus & corporibus exi$tentibus, ip$orum præ $entia rebus natur alibus nibiladdit. Horum it a<005> $peculorum communes pa{$s}iones, & omnes proprietates $peculorum planorum in quinto libro propo$uimus. In $exto uerò libro demon$tra- uimus pa{$s}iones, quæ accidunt ui$ibus & rebus ex reflexione facta à $peculis $phæricis conuexis. In $eptimo uerò po$uimus pa{$s}iones accidentium à $peculis columnaribus uel pyramidalibus conuexis: & hæc duo $pecula $imul coniunximus propter conformitatem plurium pa{$s}ionum. In octauo, de reflexionibus, quæ fiunt à $peculis $phæricis concauis, prolixius tract auimus. In nono quo<005>, de his, quæ fiunt à $peculis columnaribus uel pyramidalibus concauis: & in eodem de $peculis quibu$dam irregularibus, à quorum tot ali $uperficie fit reflexio lucis & uirtutis ad pun ctum unum (quæ $pecula comburentia dicimus) adiunximus tract atum. In decimo uerò libro huius $cientiæ, egimus de tertio modo uidendi, quie e$t per medium alterius diaphani, ut cum per aerem fit ui$io, $ub aqua, uel $ub uitro. Et de deceptionibus, quæ ex hoc accidunt ui$ui: nam & $i ui$us non fuerit, eædem pa{$s}iones uirtuti accidunt agenti. Et in hoc quo<005> decimo tractatu adie- cimus pa{$s}ionem $oli ui$ui accidentem ex diuer$itate mediorum, ut e$t impre{$s}io arcus dæmonis, qui dicitur iris: quoniam & illius generatio ex hac præ$enti $cientia ortum habet: $ic<006> qua$io- mnium ui$ibilium gener alibus pa{$s}ionibus pertractatis, operi finem damus. Patet it a<005> expræ- mi{$s}is, quòd triplex e$t modus uidendi: quidam per unum medium tantùm, qui e$t ui$io directa: quidam uerò per reflexionem formarum ui$ibilium à corporibus politis: quidam uerò per refra- ctionem formarum ui$ibilium propter diuer$itat\~e mediorum. Hiquo<005> tres modiuidendi, $ignũ $unt triplicis actionis formarum & omnium uirtutum cœle$tium & naturalium. Quædame- nim agunt directè in obiectum $u$ceptibile, & hæc actio e$t fortior, quoniam e$t directè intenta per naturam, & fit $ecũdum lineas rectas. Accidit aũt illi uirtuti corporalis debilitas, propter remotionem maiorem agentis ab ip$o acto: $olenim non adeò calefacit remotiora, $icut propin- quiora calefactibilia, quæ $unt eiu$dem di$po$itionis. Alia uerò natur alis actio fit per reflexio- nem à corporibus al{ij}s, ut rad{ij} $olis à corpore lunæ reflectuntur: quamuis enim propter rarit at\~e lunaris corporis quiddam $olaris tran$eat uirtutis: plurimi tamen radiorum reflectuntur infe- rius, ut à $peculo $phærico conuexo. E$t ergo illi actioni conueniens omne, quod diximus in pa{$s}io nibus $peculorum, a{$s}imilante $e figura corporis (à quo fit reflexio) figuræ $peculari. Tertia uerò maneries natur alium actionum, e$t per plur a media diuer$orum diaphanorum, quæ $imiliter in $uo modo agendi diuer$itatem accipit, quam ui$ibus accidere dicemus. In his it a<005> naturalib. actionibus ui$us $ignum e$t, non cau$a, ni$i fortè deceptio $it per $e proueniens in ui$u: quoniam non exi$tente perceptione ui$iua, {ij}dem modi $unt omnium natur alium actionum. His itaque præmi{$s}is, aggrediamur intentum. Hoctamen legentem latere nolumus, quia dum ex libro ele- mentorum Euclidis arguimus, $ola nominatione numeri libri & theorematis conten- ti $umus: dum uerò aliquid ex hoc no$lro libro adducimus, & nume- rum & theorema huius libri nominamus.

VITELLONIS FI- LII THVRINGORVM ET PO- LONORVM OPTICAE LIBER PRIMVS. DEFINITIONES.

OVAE uerò per modum principiorum huic primo libro præ- mittimus, $unti$ta. 1. Cathetum dicimus lineam perpendi- cular\~e $uper $uperficiem aliquam, erctam. 2. Polum dicimus omnem punctum lineæ $uper $uperficiem circuli à centro or- thogonaliter erectæ. 3. Conuexam lineam uel $uperficiem di- cimus, quæ extrin$ecus aliquam regularem curuitatem habet. 4. Lineam cõcauam uel $uperficiem dicimus, quæ intrin$ecus aliquam regularem curuitatem habet. 5. Lineam $uper $uperficiem conuexam uel concauam perpendicularem dicimus, quæ $uper planam $uperfici\~e in puncto $uæ incidentiæ $uperficiem conuexam uel concauam contingentem e$t erecta. 6. Cir- culi $einuicem $ecantes dicuntur, quorum diametris e$t aliqua linea communis, u- no reliquum non continente. 7. Circulus magnus $ph{ae}ræ dicitur, qui tran$iens cen trum $phæræ, diuiditip$am in duo æqualia. 8. Minor uerò circulus $phæræ dicitur, qui neque tran$it centrum $phæræ, neque diuiditip$am in duo æqualia. 9. Sphæras æquales dicimus, quarum diametri $unt æquales. 10. Sphæras uel circulos $einui- cem continentes, {ae}quidi$tantes dicimus, inter quas à centro maioris ductæ lineæ à conuexo minoris ad concauum maioris $unt æquales. 11. Sphæras $e inuicem cõ tingentes dicimus, quæ $e tangentes extrin$ecus uelintrin$ecus nõ $ecant. 12. Sph{ae} ras $einuicem inter$ecantes dicimus, cùm $ph{ae}ris $e non continentibus, diameter unius per alteram re$ecatur. 13. Sph{ae}ras intrin$ecus $e inter$ecantes dicimus, qua- rum maior pars unius in altera continetur. 14. Superficiem planam $phæram con- tingere dicimus, quæ cum $phæram tangat, ad omnem partem educta, non $ecat. 15. Denominatio proportionis primi ad $ecundum, dicitur quantitas, qu{ae} ducta in minorem producit maiorem: uel quæ maiorem diuidit $ecundum minorem. 16. Proportio dicitur componi ex duabus proportionibus, quando denominatio illius proportionis producitur ex ductu denominationum illarum proportio- num, unius in alteram.

b a c d PETITIONES.

Petimus autem hæc. 1. Aequales angulos $uperidem punctum con$titutos, æqualem continere di$tantiam æ- qualium linearum: ut $i anguli a b c, & c b d $int æquales, & linea a b & b d $int æquales: tantum di$tabit linea a b à li- nea b c, quãtum linea b d di$tat ab eadem linea b c. 2. Item inter quælibet duo puncta lineam, & inter quaslibet duas lineas $uperficiem po$$e extendi. 3. Item, cum duæ planæ $uperficies $e contingunt, unã ex eis fieri $uperficiem. 4. I- tem duas planas $uperficies corpus non includere. 5. Item omnes ea$dem proportiones ex $imilibus proportioni- bus componi, & in $imiles proportiones diuidi, & ea$dem habe- re denominationes.

THEOREMATA@ 1. Omnes lineæ æquidi$t antes in eadem $uperficie plana nece$$ariò con$i$tunt. E' 35 definit. 1 element.

Sint duæ lineæ æquidi$tantes, quæ a b & c d utcunque di$po$itæ: a c b d dico quòd ip$æ $unt in eadem $uperficie plana: copulentur enim per lineam b d. Quoniam ergo lineæ a b & b d angulariter coniungun- tur: palàm quoniam ip$æ $unt in eadem $uperficie per 2 p 11. Simi- liter, quia line{ae} e d & b d angulariter coniunguntur, eruntip$æ in ea- dem $uperficie: Sed linea b d e$t in una tantum $uperficie plana, quo- niam ip$ius partem e$$e in $ublimi, partem in plano, e$t impo$sibile ք 1 p 11. Palàm ergo, quoniam line{ae} a b & c d nece$$ariò con$i$tunt in ea- dem plana $uperficie contenta inter eas & inter lineas, extremitates illarum linearum copulantes: quod e$t propo$itum.

2. Lineam à puncto unius linearum æquidi$tantium in eadem $uperficie protr actam, cum alter a indefinitæ quantitatis concurre re e$t nece$$e. Lemma Procli ad 29 p relement.

Sint duæ lineæ æquidi$tantes, quæ a b & c d: quarum unam, $cilicet a b, $ecet linea b e in puncte b. Dico, quòd linea b e $ecabit etiam lineam c d. Quia enim linea c d c a b d e indefinitæ quantitatis e$$e $upponitur, protrahatur uer$us ip$am li- nea b e: qu{ae} $i concurrit cum c d, habetur propo$itum. Sinon concur- rat: palàm per definitionem æquidi$tantium linearum, quoniam linea b e e$t æquidi$tans lineæ c d: & quia lineæ a b & b e amb{ae} $unt æquidi- $tãtes line{ae} c d: erit per 30 p 1 linea e b {ae}quidi$tans line{ae} a b: $ed palã ex hypothe$i, quoniam concurrunt, ut in puncto b: non ergo {ae}quidi$tat li nea b e line{ae} c d: ergo nece$$ariò cõcurrit linea b e cum linea c d: quod e$t propo$itum.

3. Datis tribus lineis, cuilibet tertiæ $ecundum proportion\~e alia- rum duarum proportionalem inuenire. E' 12 p 6 element.

Sint datæ tres lineæ, qu{ae} $int a b, c d, e f, quarum uni ut a b, $ecun- dum proportionem aliarum duarum, qu{ae} $unt c d & e f, quarta propor tionalis debeat inueniri. Duæ itaque lineæ æquales duabus lineis, quæ $unt c d & e f, ab una linea continua ab$cin dantur, qu{ae} $it a e f per 3 p 1, & illi line{ae} a e fangulariter tertia data $cilicet a b coniungatur in puncto a: & à puncto commu ni di$tingu\~ete duas lineas re$ectas, (quod $it punctum e) ducatur li- a b c d e f nea e b a d extremitatem terti{ae} datarum, qu{ae} e$t a b: & à puncto f du- catur linea {ae}quidi$tans line{ae} e b per 31 p 1, qu{ae} $it f g. Deinde protraha tur linea a b in cõtinuum & directum, quou$que $ecet lineã f g: $eca- a e b f g bit aũt per pr{ae}mi$$am: $it itaq; punctus cõcur$us g. Dico, quod per 2 p 6 eadem e$t proportio line{ae} a b ad lineam b g, qu{ae} e$t line{ae} a e dat{ae} ad lineam e f datam. Similiter quoq; de qualibet aliarum re$pectu re liquarum duarum demon$trari pote$t: patet ergo propo$itum.

4. Cum duabus lineis inæqualibus notæ proportionis, æqualiũ linearum facta fuerit ad a b c d g c d g f ditio: maioris adminor\~e minuitur proportio. Ex 8 p 5 element.

Sint duæ lineæ a b & c d inæquales, notæ propor- tionis: $it\’que linea a b ma- ior quàm linea c d: adda- tur quoq; linea b e ip$i a b, & linea d f ip$i c d: $int\’q; line{ae} b e & d f {ae}quales. Dico, quòd minor e$t proportio line{ae} a e ad lineam c f, quàm line{ae} a b ad lineam c d. Quoniam enim dat{ae} $unt tres line{ae}, qu{ae} $unt a b & c d & b e: inue- niatur per pr{ae}ced\~etem linea proportionalis line{ae} b e, $ecundum proportionem linearum a b & c d, qu{ae} $it d g. Quia ergo linea a b e$t maior quàm linea c d, patet, quia linea b e e$t maior quã linea d g: ergo & linea d f e$t maior quã linea d g. Ab$cindatur ergo per 3 p 1 è linea d f {ae}qualis ip$i d g. Quia er- go e$t proportio line{ae} a b ad lineam c d, $icut line{ae} b e ad lineam d g: erit per 15 p 5 proportio totius line{ae} a e ad totalem lineã c g, $icut line{ae} a b ad lineam c d: $ed per 8 p 5 minor e$t proportio lineæ a e VITELLONIS OPTICAE ad lineam c f maiorem, quàm ad lineam c g minorem: e$t ergo maior proportio lineæ a b ad linea m c d, quàm line{ae} a e ad lineam c f: & hoc e$t propo$itum.

5. Cum fuerit proportio primi ad $ecundum, tanquam tert{ij} ad quartũ: erit è contrario pro- portio $ecundi ad primum, $icut quarti ad tertium. E' 13 def. & con$ectario 4 p 5 element.

Sit enim a primum, & b $ecundum, & ctertium, & d quartum: & $it proportio a ad b, $icut c ad d. Dico, quòd erit è contrario proportio b ad a b c d a, $icut d ad c. Quoniam enim e$t proportio a ad b, $icut c ad d: erit per 16 p 5 permutatim proportio a ad c, $icut b ad d: e$t ergo proportio b ad d, $icut a ad c: ergo iterum per 16 p 5 erit permutatim proportio b ad a, $i- cut d ad c, $ecundi uidelicet ad primum, $icut quarti ad tertium: quod e$t propo$itum.

6. Cum fuerit quatuor quantitatum proportio primæ ad $ecundã maior, quãtertiæ ad quartam: erit è contr ario minor proportio $ecun- dæ ad primam, quàm quartæ ad tertiam. 26 p 5 element. in Campano.

E$to proportio lineæ a ad lineam b maior, quàm lineæ c ad lineam d. Dico, quôd erit è contrario minor proportio lineæ b ad lineam a, quàm lineæ d ad li- a b e c d neam c. Sit enim per 3 huius, ut, quæ e$t proportio lineæ c ad lineam d, eadem $it lineæ e ad lineam b. Quia ergo ma- ior e$t proportio lineæ a ad lineam b, quàm lineæ c ad li- neam d ex hypothe$i: patet, quòd minor e$t proportio li- neæ e ad lineam b, quam line{ae} a ad lineã b: ergo per 10 p 5 linea a e$t maior quã linea e. Et quia e$t proportio lineæ e ad lineam b, $icut line{ae} c ad lineam d, erit per præmi$$am eadem proportio line{ae} b ad lineã e, qu{ae} lineæ d ad lineam c. E$t autem per 8 p 5 minor proportio lineæ b ad lineam a, quàm ad lineam e: e$t ergo minor proportio lineæ b ad lineam a, quàm line{ae} d ad lineam c: quod e$t propo$itum.

7. Si quatuor quantitatum proportion alium prima fuerit maior quã$ecunda, & tertia ma- ior quã quarta: erit euer$im eadem proportio primæ ad augmentum $ui $uper $ecundam, quæ ter tiæ ad augmentum $ui $uper quartam. E' 16 definit. & con$ectario 19 p 5.

Sint quatuor line{ae} proportionales a c prima: b c $ecunda: d ftertia: & e f quarta. Sit\’que linea a b maior quàm linea b c, & linea d f maior, quàm linea e f: ex- a b c d e f cedat quoque linea a c lineam b c, in linea a b, & linea d f lineam e f, in linea d e. Dico, quòd eadem erit proportio line{ae} a c ad lineam a b, qu{ae} line{ae} d f ad lineam d e. Quo- niam enim e$t proportio line{ae} a c ad lineam b c, $icut line{ae} d f ad lineam e f: e$t ergo per 16 p 5 permutatim proportio line{ae} a c ad lineam d f, $icut line{ae} b c ad lineam e f: ergo per 19 p 5 erit proportio line{ae} a b ad lineam d e, $icut line{ae} a c ad lineam d f: ergo per 16 p 5 erit proportio line{ae} a b ad lineam a c. $icut line{ae} d e ad lineam d f. Ergo per 5 huius erit proportio line{ae} a c ad lineam a b, $icut line{ae} d fad lineam d e: quod e$t propo$itum.

8. Si quatuor quantit atum prima fuerit maior $ecunda, & tertia maior quarta: erit maior proportio primæ ad quartam, quàm $ecundæ ad tertiam. Con$ectarium ex 8 p 5 element.

Sint quatuor line{ae} a, b, c, d: & $it a prima maior quàm b $ecũda, & $it c tertia maior, quàm d quar- ta. Dico, quòd maior e$t proportio lineæ a, ad lineam d, quàm a b c d line{ae} b ad lineam c. Quia enim linea c e$t maior quàm linea d ex hypothe$i: patet per 8 p 5: quoniam maior e$t proportio li- ne{ae} a ad lineam d, quàm ad lineam c: minor uero e$t proportio line{ae} b ad lineã c, quàm line{ae} a, ad lineam c per eandem 8 p 5: quoniam ut pr{ae}mi$$um e$t linea a e$t maior quàm linea b. Et quoniam quicquid e$t maius maiore, e$t maius minore: patet, quòd maior e$t proportio line{ae} a ad lineam d, quàm line{ae} b ad lineam c: patet ergo propo$itum.

9. Cum quatuor quantitatum prima fuerit maior quàm tertia, & $ecunda minor quàm quarta: maior erit proportio primæ ad $ecundam, quàm tertiæ ad quartam. Con$ectarium ex 8 p 5 element.

Sint quatuor line{ae} a prima: b $ecũda: c tertia: d quarta: $it\’q; a maior quàm c, & $it b minor quã d. LIBER I. Dico, quòd maior e$t proportio a ad b, quàm c ad d. Quoniã enim linea a e$t maior quàm linea c, pa tet per 8 p 5, quoniã maior e$t {pro}portio line{ae} a ad lineã b quàm line{ae} c ad lineam b: $ed quia exhypo the$i linea b e$t minor quàm linea d: patet per 8 p 5, quo- a b c d niam maior e$t proportio lineæ c ad lineam b, quàm ad li- neam d. E$t ergo maior proportio lineæ a primæ ad lineã b $ecũdã, <004> lineæ c terti{ae} ad d quartã: & hoc e$t propo$itũ.

10. Siquatuor quantitatum fuerit maior propor- tio primæ ad $ecundam, quàm tertiæ ad quartam: erit permutatim maior proportio primæ ad tertiam, quàm $ecundæ ad quartam. E' 12 definit. 16 p 5. 27 p 5 elem. in Campano.

Sint quatuor lineæ a, b, c, d: $it\’q; proportio a ad b maior, quàm c ad d. Dico, quòd erit permuta- tim maior proportio lineæ a ad lineam c, quàm line{ae} b ad a b e c d lineam d. Sit enim per 3 huius proportio lineæ e ad lineã b, $icut lineæ c ad lineam d: erit ergo ex hypothe$i & ex 10 p 5 linea e minor quã linea a: ergo per 8 p 5 maior e$t pro- portio lineæ a ad lineam c, quàm lineæ e ad lineam c. E$t autem ex præmi$sis & per 16 p 5 proportio line{ae} e ad li- neam c, $icut line{ae} b ad lineam d. Palàm ergo, quoniã ma- ior e$t proportio line{ae} a ad lineã c, quàm line{ae} b ad lineã d: quod e$t propo$itum.

11. Cum quatuor quantitatum maior fuerit propor tio primæ ad $ecundam quàm tertiæ ad quartam: erit coniunctim maior proportio primæ & $ecundæ ad $ecũdam, quàm tertiæ & quartæ ad quartã. E' 14 definit. 18 p 5 element. 28 p 5 ele. in Campano.

E$to quatuor linearum a, b, c, d maior proportio a ad b, quàm c ad d. Dico, quòd totius line{ae} a b ad lineã b maior erit proportio, quàm totius line{ae} c d ad a b e c d lineam d. Sit enim per 3 huius proportio line{ae} e ad lineam b, quæ line{ae} c ad lineam d: e$t ergo ex hypothe$i maior {pro}- portio line{ae} a ad lineam b, quàm lineæ e ad lineam b: ergo per 10 p 5 linea a e$t maior quàm lineae. Tota ergo linea a b e$t maior quàm tota linea e b: ergo per 8 p 5 maior e$t proportio totius lineæ a b ad lineã b, quàm totius line{ae} e b ad lineã b: per 18 uerò 5 e$t proportio line{ae} e b ad line- am b, qu{ae} line{ae} c d ad lineam d: e$t enim ex pr{ae}mi$sis pro- portio line{ae} e ad lineam b, $icut line{ae} c ad lineam d. E$t ergo maior proportio line{ae} a b ad lineã b, quàm line{ae} c d ad lineam d: quod e$t propo$itum.

12. Si quatuor quantitatum proportio primæ & $ecundæ ad $ecundam $it maior, quàm ter- tiæ & quartæ ad quartam: erit di$iunctim maior proportio primæ ad $ecundam, quàm tertiæ ad quartam. E' 15 definit. 17 p 5 element. 29 p 5 elem. in Campano.

Sit proportio totius line{ae} a b ad eius partem lineam b maior, quàm totius lineæ c d ad eius par- tem d. Dico, quòd erit di$iunctim proportio line{ae} a ad line- a b c e d a m b maior, quàm line{ae} c ad lineam d. Sit en im per 3 huius proportio line{ae} e b ad lineam b, $icut line{ae} c d ad lineam d: erit ergo ex hypothe$i maior proportio line{ae} a b ad lineam b, quàm line{ae} e b ad eandem lineam b: ergo per 10 p 5 erit linea a b maior quàm linea e b: a blata ergo utrobique linea b communi, relinquitur linea a maior quàm linea e. E$t er- go per 8 p 5 maior proportio line{ae} a ad lineam b, quàm li- ne{ae} e ad eandem lineam b: $ed per pr{ae}mi$$a e$t proportio li ne{ae} e b ad lineam b, $icut line{ae} c d ad lineam d: ergo per 17 p 5 e$t proportio line{ae} e ad lineã b, $icut line{ae} c ad lineam d. Erit ergo maior proportio line{ae} a ad li- neam b. quàm line{ae} c ad lineam d: & hoc e$t propo$itum.

13. Quarumlibet trium quantitatum quocun<005> ordine di$po$itarum, quarum mediæ ad utram<005> extremarum nota $it proportio: erit proportio primæ adtertiam compo$it a ex propor- tione primæ ad $ecũdam, & $ecundæ ad tertiam. Ex quo patet, quòd proportio extremorum ad inuicem componitur $emper ex proportione mediorum ad inuicem & adip$a extrema. E' $cho- VITELLONIS OPTICAE lio Theonis ad 5 definit. 6 element. & commentar{ij}s in 1 librum magnæ cõ$tructionis Ptolemæi. Item è commentar{ij}s Eutoc{ij} in 8 theor. 2 de $phæra & cylindro Archimedis.

Sint extra gradus tres lineæ, quæ a, b, g, quarum prima (quæ e$t a) $it maior quàm media (quæ e$t b) & b $it maior quàm tertia, quæ e$t g: $it \’q; ip$ius b ad ambas extremas proportio nota. Dico, quòd proportio lineæ a ad lineam g tertiam componitur ex proportione lineæ a ad lineam b, & ex proportione lineæ b ad lineam g. Quoniam enim proportio lineæ a ad lineam b e$t nota: $it quanti- tas d denominatio illius proportionis: & $imiliter quia proportio lineæ b ad lineam g e$t nota: $it denominatio illius proportionis quantitas e: & $it quantitas z denominatio proportionis lineæ a ad lineam g. Dico, quòd ex ductu e in d fit z. Quoniam enim per 15 definitionem huius ex ductu z denominationis proportionis lineæ a ad lineam g in ip$am lineam g minorem, quàm $it a, fit linea a: & $imiliter ex ductu d in lineam b fit linea a: a b g d e z ponatur itaq; z primum & d $ecundum, linea b tertiũ & linea g quartũ. Quia itaq; illud, quod fit ex ductu primi in quartum, e$t {ae}quale ei, q<001> fit ex ductu $ecũdi in tertium: patet per 16 p 6 quoniam e$t proportio primi ad $ecundum, $i- cut tertij ad quartum: e$t ergo proportio z ad d, $icut lineæ b ad lineam g: ergo denominatio proportionis z ad d ex 5 $uppo$itione e$t ead\~e cum denominatione proportionis lineæ b ad lineam g: $ed denominatio proportionis lineæ b ad lineam g e$t quantitas e: ergo denominatio {pro}- portionis z ad d e$t id\~e e: ergo ex ductu e in d fit z. Quia ergo denominatio proportionis line{ae} a ad lineam g, quæ e$t z, producitur ex ductu denominationis proportionis lineæ a ad lineam b in de- nominationem proportionis lineæ b ad lineam g: patet per 16 definitionem huius, quoniam pro- portio lineæ a primæ ad lineam g tertiam componitur ex proportione lineæ a primæ ad lineam b $ecundam, & ex proportione lineæ b $ecundæ ad lineam g tertiam: quod e$t propo$itum primum. Eodem quoq; modo pote$t faciliter demon$trari de quotcunq; medijs inter qu{ae}libet duo extrema collocatis: $emper enim proportio extremorum ad inuicem componitur ex omnibus proportioni bus mediorum ad inuicem, & ad ip$a extrema. Similiter demon$trandum uia diui$ionis, $i mediam contingat e$$e maiorem qualibet extremarum: patet ergo propo$itum.

14. Si linea recta $uper duas rect{as} ceciderit, fecerit<006> angulos coalternos inæquales, aut duos intrin$ecos minores duobus rectis, uel extrin$ecum inæqualem intrin$eco: illas duas lineas ad minorum angulorum partem concurrere e$t nece$$e, ad aliam uerò partem impo{$s}ibile: & $i lineæ concurrunt, nece$$e est dictos angulos aliquo propo$itorum modorum $e habere. E' 27.28 p 1 element. Lemma Procli ad 16 p 1 elem.

Sint duæ lineæ a b & c d, quas $ecet linea e f$ecundum quod proponitur. Dico, quoniam lineæ a b & c d concurrent. Si enim nõ concurrant, patet quòd $unt æ quidi$tantes: ergo per 29 p 1 $equi- tur contrarium hypothe. quòd e$t inconueniens: concur e a b c d f runt ergo. Ad partem uerò minorum angulorum cõcur- rere e$t nece$$arium: quoniam $i ad partem maiorum an- gulorum concurrant, $equetur angulum extrin$ecum tri goni contenti fieri minor\~e angulo intrin$eco: & e$t con- tra 16 & 32 p 1. Et quia per præmi$$as probationes ad par- tes minorum angulorum concurrunt: $i ex conce$$o ad partes maiorum angulorum concurrerent, $equeretur duas rectas lineas $uperficiem includere: quod e$t impo$ $ibile. E$t ergo impo$sibile, ut ad partes maiorum angu- lorum concurrant: quod e$t propo$itum primum. Sed & $i detur, quòd illæ lineæ concurrant, nece$$e e$t angulos aliquo propofitorum modorum $e habere per 32 p 1: patet ergo totum, quod proponebatur, $eruata $emper hypothe$i.

15. Cumlineis, $e inter duas line{as} æquidi$tantes, à quarum terminis producuntur, $ecantibus, ex utra<005> a d e c b parte $ectionis partes eiu$d\~e lineæ inter $e fuerint æqua les: nece$$e e$t lineas, inter quas fit $ectio, æquales e$$e.

Verbi gratia: $it, ut duæ lineæ a b & c d inter duas line- as æquidi$tantes, à quarũ terminis producũtur, qu{ae} $int a d & c b, $ecent $e in puncto e, ita, quòd linea a e $it æqualis lineæ e b, & linea c e $it æqualis ip$i e d. Dico, quòd linea a d e$t æqualis lineæ c b. Quoniam enim per 15 p 1 angu- lus a e d e$t æqualis angulo c e b, erit ex hypothe$i & per 4 p 1 linea a d æqualis lineæ c b: quod e$t propo$itum.

LIBER I. 16. Si per terminos duarum linearum æquidi$tantium & inæqualium, rectæproducantur, illas ad partem minor{is} lineæ concurrere est nece$$e.

Sint duæ lineæ a b & c d æquidi$tantes & inæquales: $it\’q; linea c d minor quàm linea a b: producãtur\’q; per terminos ip$arum, line{ae} a c a c f d b e & b d. Dico, quòd illæ lineæ a c & b d concur rent ultra lineam c d. Producatur enim linea c d ultra punctum d ad punctum e, fiat\’q; per 3 p 1 linea c e æqualis line{ae} a b, & ducatur li- nea b e. Hic itaque linea b e per 33 p 1 e$t æqui di$tans line{ae} a c: ergo per 2 huius cum linea b d concurrat cum linea b e in puncto b: pa- tet, quòd ip$a concurret cum linea a c, qu{ae} æ- quidi$tat line{ae} b e: $ed & ad partem line{ae} c d, qu{ae} e$t minor quàm linea a b, concurrere e$t nece$$e per 14 huius, uel per 2 p 6: patet ergo propo$itum: punctus enim concur$us eius, (qui $it f) erit ultra lineam c d.

17. Lineæ rectæ continentes angulos æquales cum linea recta, cui ad unum punctum inci- dunt, $imuliunctæ, $unt breuiores omnibus lineis ab ei$dem terminis $uper eandem lineam adunum punctum alium productis, continentibus cum eadem linea angulos inæquales, $i- muliunctis.

Sit linea recta, qu{ae} a b c f: & $int duo puncta g, & d, â quibus du{ae} line{ae} g b & d b product{ae} $uper lineam a b c f, contineant angulos æquales, g d a h b c f k ita, ut angulus a b g $it æqualis angulo c b d. Dico, quòd $i à pũctis d & g ad aliquod aliud punctum lineæ a b c f (quod $itc) line{ae} du- ct{ae} contineant in{ae}quales angulos, ita, ut an- gulus g c a $it minor angulo f c d: quòd line{ae} g b & b d $imul iunct{ae} $unt minores duabus lineis g c & d c $imul iunctis. Ducatur enim à puncto g $uper lineam a f perpendicularis per 12 p 1, qu{ae} $it g h: & producatur linea g h ultra punctum h: & producatur d b, donec concurrat cum linea g h producta: concur- rent autem per 14 huius: $it ergo punctus concur$us k: & coniungatur linea k c. Et quoniam angu- lus d b c e$t æqualis angulo g b h exhypothe$i, & angulo h b k, ex 15 p 1: palàm, quòd angulus h b k e$t {ae}qualis g b h: $ed anguli g h b & k h b $unt {ae}quales: quia recti: ergo per 32 p 1 trigoni g h b & k h b $unt {ae}quianguli. Ergo per 4 p 6, cum linea h b $it communis & {ae}qualis $ibijp$i, erit linea g b {ae}qualis line{ae} k b, & linea g h {ae}qualis line{ae} h k. Et eadem ratione per 4 p 1 erit linea g c {ae}qualis line{ae} k c. Quia uerò per 20 p 1 linea k d in trigono k d c minor e$t ambabus lineis d c & k c $imuliunctis, & linea g b {ae}qualis e$t line{ae} b k, & linea g c {ae}qualis e$t line{ae} k c: palàm, quia amb{ae} line{ae} g b & d b $imul iunct{ae}, minores $unt ambabus lineis d c & g c $imul iunctis. Simi- liter quoque de quibu$cunque lineis à punctis g & d ad lineam a fproductis e$t demon$trandum: patet ergo propo$itum.

18. Lineæ rectæ continentes angulos æ- g d e a z b f c quales cumlinea conuexa, cui ad unum pun- ctum incidunt, $imuliunctæ, $unt breuiores omnibus lineis ab ei$dem terminis $uper ean- dem lineam adunum punctum alium produ- ctis, continentibus cum eadem linea angulos inæquales, $imuliunctis.

Sit linea curua a b c, $uper cuius conuexum â punctis g & d incidant line{ae} d a & g a, conti- nentes angulos {ae}quales, ita, ut angulus c a g $it {ae}qualis angulo b a d. Dico, quòd $i ducantur ali{ae} line{ae} à punctis g & d $uper lineam a b c, ut g b & d b, continentes angulos in{ae}quales cum linea a b c: quòd amb{ae} line{ae} g a & d a $i- mul iunct{ae}, erunt breuiores duabus lineis g b & d b $imul iũctis, Ducatur enim linea e f, cõting\~es VITELLONIS OPTICAE arcum a b c in puncto a per 17 p 3: anguli ergo contingentiæ, qui $unt e a c & f a b $unt æquales per 16 p 3: $ed anguli g a c & d a b $unt æquales ex hypothe$i: erunt ergo anguli g a e & d a f æqua- les. Et ad punctum, ubi linea g b $ecat lineam e f(quod $it z) ducatur linea d z: ergo per præceden tem ambæ lineæ g a & d a $unt breuiores ambabus lineis g z & d z: cum angulus g z a $it minor an- gulo g a e, & angulus d z f $it maior angulo d a f per 16 p 1. Sed linea g b e$t maior quàm linea g z, ut totum parte, & linea d b e$t maior quàm linea d z per 19 p 1, quoniam angulus d z b e$t maior angulus $ui trigoni. Patet ergo propo$itum in arcu circuli conuexo: & eodem modo demon $trandum in quacunque alia columnali uel pyramidali $ectione $ecũdum ip$ius conuexum: patet ergo propo$itum.

19. Vna linea recta in duabus $uperficiebus planis exi$tente, nece$$e est, ut illæ duæ $uper$i- cies $ecundum illam lineam $e $ecent. E' 3 p 11 element.

Sint duæ $uperficies planæ a b c d & c d e f: in quarum utraque $it linea c d. Dico, quòd illæ duæ $uperficies $ecant $e $uper lineam e d. Si enim illæ duæ $uperfici- a b c d e f es ad lineam c d, ut ad communem terminum per modum unius $u- perficiei continuè copulentur: tunc patet, quòd ip$æ $unt partes uni- us $uperficiei, & non duæ $uperficies: quod e$t contra hypothe$im. Quòd $i ip$æ $uperficies datam lineam c d pertran$eant, nec ad ip$am, ut ad communem terminum copulentur: palàm per 3 p 11, cum ip$æ ad inuicem $e $ecent, quòd ip$is aliqua linea e$t communis. Aut ergo $ecant $e $uper lineam c d: & habetur propo$itum: aut $uper aliam quamcunque datam: & tunc, cum illa $it ambabus propo$itis $uper- ficiebus communis per prænominatam 3 p 11, & ei$dem $it linea c d communis ex hypothe$i: $equetur, ut duæ planæ $uperficies illas du- as lineas interiacentes corpus includãt: quod e$t impo$sibile, & con- tra 4 $uppo$itionem huius: patet ergo propo$itum.

20. Ab uno puncto in aere dato, $uper unamquam<005> $ub$tratã planam uel conuexam $uperficiem, una tantũ perpendicularis du- ci potest. E' 11 & 13 p 11 elem.

Sit data $uperficies plana a b c d, & datus in aere punctus e. Dico, quòd à puncto e ad $ub$tra- tam $uperficiem, unam tantùm perpendicularem duci e$t po$sibi- e a b k l f g h m c d le. Sienim po$sibile, $it ut $uper $uperficiem planam datam, quæ a b c d, ducantur à puncto e duæ perpendiculares, quæ $int e f & e g. Quia itaq; line{ae} e f & e g angulariter cõiunguntur in puncto e, pa tet per 2 p 11, quoniam illæ duæ lineæ $unt in eadem $uperficie: & quoniam lineæ illæ $unt perpendiculares $uper $uperficiem a b c d, erit $uperficies, in qua $unt lineæ illæ, erecta $uper $uperficiem a b c d. Huius itaq; $uperficiei & $uperficiei a b c d communis $ectio e$t linea f g per præmi$$am: in trigono itaque e f g $unt duo angu li recti, $cilicet e f g & e g f per definitionem lineæ erectæ $uper $u perficiem 3 definit. 11: hoc autem e$t impo$sibile, & contra 32 p 1. Hoc autem etiam patet in $uperficiebus conuexis: quia enim, per 5 definitionem huius omnis linea perpendicularis $uper quam cun que $uperficiem conuexam, e$t perpendicularis $uper planam $u- perficiem ip$am conuexam $uperficiem in puncto incidenti{ae} line{ae} illius contingentem: patet, quia in omni $uperficie conuexaidem accidit impo$sibile. Si enim $it $uperficies $phærica cõuexa, in qua $it arcus f g: $it ut ip$am contingat in puncto f$uperficies plana, in qua ducatur linea h f k, & in puncto g $uperficies plana, in qua $it li- nea l g m. Palàm ergo ex pr{ae}mi$sis, quia anguli e f k & e g l $unt re- cti. Producta quoq; chorda f g: palàm quia anguli e f g & e g f $unt maiores duobus rectis, quod e$t impo$sibile. Non e$t ergo po$sibile ab uno puncto dato plus una perpendiculari duci ad $uperfici\~e planam uel conuexam. Patet ergo propo$itum: quoniam in quibu$cunque alijs conuexis $uperfi- ciebus e$t eodem modo demon$trandum.

21. Omnium linearum ab eodem puncto adeandem $uperficiem planamuel conuexam pro- ductarum, minima e$t perpendicularis. Albazen 5 n 5.

E$to $uperficies plana b c d i: & punctum extrà $ignatum a, à quo ducantur plurimæ lineæ ad $u- perficiem datam, ut contingit, $cilicet a e, a f, a g, a h, $ola tamen a e $it perpendicularis. Dico, quòd li nea a e e$t omnium aliarum breui$sima. Ducantur enim lineæ e f, e g, e h, & componantur tri- gona orthogonia. Palàm itaque (cum per 32 p 1 angulus rectus $it maior in qualibet trigono LIBER I. orthogonio) quoniam linea a e per 19 p 1 breuior e$t qualibet linearum a f, a g, a h, & etiam aliarum quarumcunq; $ic productarum: patet ergo propo$itum in planis. Sed & in conuexis patet idem: quoniam $i perpendicularis $uper conuexam a b c e f g h d i $uperficiem $it a e, & $it b c d i $uperficies plana con tingens $uperficiem conuexam $ecundum punctũ e, ducantur\’q; lineæ a f, a g, a h $uper $uperficiem pla nam: erunt omnes ill{ae} maiores perpendiculari: er- go eædem productæ ad $uperficiem conuexã $unt multo maiores: patet ergo propo$itum.

22. Ducta linea à $upremo termino lineæ $u- per $uperficiem erectæ, ad lineam perpendicular\~e cuicun<005> lineæ à puncto incid\~etiæ lineæ erectæ in $ubiecta $uperficie protractæ: nece$$e e$t protractã lineam $uperiacenti perpendicularem e$$e. Lem- ma ad 37 theorema opticorum Euclidis: item 42 theor. 6 libri μαθκματικυεμ συναγωγυεμ Pappi.

Sit punctũ in aere datum, quod $it a, à quo ad $u- perficiem planã $ubiectam, quæ $it b c d, erigatur li- nea per 12 p 11, quæ $it a b, incidens datæ $uperficiei in puncto b: & in $uperficie b c d ducatur linea d c, ut placuerit, & à puncto b ducatur perpendicularis $uper lineam a c b d d c, quæ $it b d: & copuletur linea a d. Dico, quòd a d e$t perpendi- cularis $uper lineã d c. Sumatur enim in linea d c quodcunq; punctũ, ut c, & ducantur lineæ a c, b c. Quia itaq; linea a b e$t erecta $uper $u- perfici\~e b c d, patet ք definition\~e line{ae} erect{ae} 3 defin. 11, quoniã angu- lus a b c e$t rectus: ergo ք 47 p 1, quadratũ line{ae} a c e$t æquale duob. quadratis linearũ a b & b c: $ed & quadratũ line{ae} b c e$t æquale duob. quadratis c d & b d per 47 p 1, quia linea b d e$t perp\~edicularis $uper lineam c d ex hypothe$i. Quadratum itaq; lineæ a c e$t æquale tribus quadratis trium linearum, quæ $unt a b & b d & c d: $ed quadratum li- neæ a d e$t æquale duobus quadratis duarum linearum a b & b d: quadratum ergo lineæ a c e$t æquale duobus quadratis duarum li- nearum a d & d c. Ergo per 48 p 1 angulus a d c e$t rectus. Patet er- go, quòd linea a d e$t perpendicularis $uper lineam d c: quod e$t propo$itum.

23. Duabus planis $uperficiebus æquidi$tantibus, una linea rect a incidente, quæ ad alteram earũ erit perpendicularis, erit quo<005> ad reliquã perpendicularis. Conuer$a 14 p 11 elem.

Sit, ut duabus $uperficiebus planis & æquidi$tantibus incidatun a linea, quæ a b, uni ip$arum in puncto a, & reliquæ in puncto b. Dico, quòd $i linea a b fuerit c d a b perpendicularis $uper unam i$tarum $uperficierum, quòd erit per- pendicularis & $uper reliquam. Nam à puncto a ducatur in altera $u- perficierum illarum linea recta, quæ a c, & in reliqua à puncto b du- catur linea b d. Palàm itaque, quoniam lineæ a c & b d æquidi$tant: in infinitum enim protractæ non concurrent, quia & $uperficies in quibus $unt, non concurrunt. Si itaque alter angulorum, qui b a c uel a b d fueritrectus: palàm $emper per 29 p 1, quoniam & reli- quus ip$orum erit rectus. Et quoniam eodem modo pote$t hoc de- clarari de omnibus lineis in $uperficiebus hinc inde ductis à punctis a & b: patet, quòd linea a b cum $ingulis $ibi conterminalibus lineis in utraque $uperficierum illarum productis angulos rectos facit. Si e$t ergo linea a b perpendicularis $uper alteram $uperficierum, pa- làm, quia erit perpendicularis $uper reliquam ip$arum: & hoc e$t propo$itum.

24. Si duæ $uperficies uni $uperficiei æquidi$tantes fuerint, eædem inter $e erunt æquidi$tan tes: $uperficies quoque concurrens cum una æquidi$tantium $uperficierum & cum reliqua con- curret. E' 30 p 1 & 9 p 11 elementorum.

Sint duæ $uperficies a b c & g h k æquidi$tantes uni $uperficiei, quæ d e f. Dico, quòd illæ duæ $uperficies a b c & g h k nece$$ariò adinuicem æquidi$tabunt. Educatur enim à pun- cto l $uperficiei a b c linea perpendicularis $uper illam $uperficiem per 12 p undecimi, quæ VITELLONIS OPTIC AE $it l m. Palàm itaque per præmi$$$am, quoniã illa linea l m erit perpendicularis $uper $uperfici\~e d e f æquiei$tant\~e $uperficiei a b c. Producta ergo linea l m ultra alterutrũ b c l a e f d h k m g $uorũ terminorũ, erit ip$a ք eand\~e pr{ae}mi$$am քpendicularis $uper $u perfici\~e g h k, æquidi$tãt\~e $uքficiei a b c. Quia itaq; una linea l m $uք duas $uperficies a b c & g h k orthogonaliter in$i$tit, patet per 14 p 11, quòd ill{ae} du{ae} $uperficies, etiam $i in infinitũ protrahantur, nunquã concurrent. Sunt ergo {ae}quidi$tantes: patet ergo propo$itum primũ: & per hoc & per 2 huius patet etiam $ecundum propo$itum.

25. Omnes lineæ perpendiculares inter lineas uel $uperficies æ- quidi$tãtes du k a e i l g b c $ h d ctæ, $unt æqui di$tantes & æ- quales: & $i li- neærectæ line- is uel $uperficie bus æquidi$t an tibus ad angu- los æquales in- cidant, $unt æ- quales.

Sint du{ae} line{ae} a b & c d æquidi$tãtes, inter quas ducãtur line{ae} perp\~ediculares, qu{ae} $int e f & g h. Dico, quòd lineæ e f & g h $unt {ae}quidi$tantes & æquales. Quòd enim $unt {ae}quidi$tãtes, hoc patet ք 28 p 1: quòd etiã $unt {ae}quales, patet per 34 p 1. Et eod\~e modo demon$trãdũ e$t, $i line{ae} a b & c d $int in $uperficiebus {ae}quidi$tantibus $ignat{ae}. Quòd $i line{ae} e f & g h non perpendiculariter, $ed ad angu los {ae}quales incidãt, ductis lineis uel $uperficiebus, ita, ut angulus g h c $it {ae}qualis angulo e f d, erũt etiam line{ae} g h & e f {ae}quales: concurrent enim per 14 huius: $it ergo punctus concur$us k. Quia ita- que angulus k f h e$t {ae}qualis angulo k h f, ex hypothe$i: erit per 6 p 1 trigoni k f h latus k f {ae}quale la- teri k h. Sed per 29 & 26 p 1 erit trigoni k i llatus k i {ae}quale lateri k l: relinquitur ergo linea i f {ae}qualis lineæ l h: quod e$t propo$itum. In $uperficiebus quoq; æquidi$tantibus $ignatis lineis a b & c d ea- dem e$t demon$tratio: patet ergo illud, quod proponebatur.

26. Cuilibet angulo dato ba$im, æqualem datæ lineæ, $ub- d e b f h g l a k c tendere.

E$to angulus datus a b c, & linea data d e: $eparetur itaque à li- nea b c, ex parte puncti b linea b f, non maior medietate lineæ d e per 3 p 1, & in puncto f po$ito pede circini immobili, de$cribatur cir- culus $ecundum quantitatem $emidiametri d e: hic itaq; $ecabit ne- ce$$ariò latus b a per 20 p 1, cum latus b f non $it maius medietate li- neæ d e. Sit ergo, ut $ecet ip$um in puncto g, & ducatur linea g f: h{ae}c itaque nece$$ariò erit æqualis lineæ d e per circuli definitionem 15 defin: 1 elemen: patet ergo propo$itum. Pote$t & idem aliter demon $trari. A' puncto enim b ducatur linea b h angulariter, ut conting it, $uper lineam a b, quæ per 3 p 1 fiat æqualis datæ line{ae} d e: & à puncto h ducatur æquidi$tans line{ae} a b per 31 p 1, quæ per 2 huius nece$$ariò concurret cum linea b c. Sit punctus concur$us k, & à puncto k du- catur linea æquidi$tans lineæ b h, quæ $it k l: erit quo que $uperficies b h k l æquidi$tantium laterum: ergo per 34 p 1, linea l k e$t æqualis lineæ b h: ergo & lineæ datæ, quæ e$t d e: patet ergo propo$itum.

27. Datis duobus angulis inæqualibus, ex maiore b a g c e d f ip$orum æquum minorire$ecare. E' 23 p 1 element.

Sint duo anguli dati a b c, d e f: $it a b c maior & d e f mi nor. Propo$itum e$t, ut ex angulo a b c re$ecetur angulus æqualis angulo d e f: hoc autem fiet per 23 p 1, $i $uper b ter minum lineæ a b intra angulum a b c fiat angulus æqualis angulo d e f, qui $it a b g: & hoc e$t propo$itum.

28. Datum angulum rectum in tres partes æqua- les diuidere.

Nõ indiguimus quò ad præ$ens propo$itum diui$ione aliorum angulorum in partes tres æquales, $ed $olum recto: & ob hoc non proponimus hic, ni$i de LIBER I. recto: in uniuer$aliori $cientia, ut in ea, qu{ae} de elementatis conclu$ionibus, uniuer$aliorem dignã propo$itione exi$timantes. Sit ita que angu- b a h c $ d g e lus rectus a b c, quem in partes tres {ae}quales uo lumus diuidere: a$$umatur ergo linea qu{ae}cun- que, & $it d e: $uper quam con$tituatur trigo nũ {ae}quilaterum per 1 p 1: quòd $it d f e, cuius angu- lus d f e diuidatur per {ae}qualia per 9 p 1 ducta li nea f g: erit ergo angulus d f g tertia pars unius recti, cum ip$e $it $exta pars duorum rectorum per 32 p 1: ergo per pr{ae}cedentem ab angulo re- cto a b c re$ecetur angulus a b h {ae}qualis angu- lo d f g, & diuidatur angulus h b c per {ae}qualia per 9 p 1: patet ergo propo$itum.

29. Linea diuidens angulum alicuius trigoni, producta, ba$im $ubten$am illi angulo nece$$a riò $ecabit: & $i linea $ecans ba$im, ad punctum concur${us} laterum trigoni producatur: illa an- gulum ba$i oppo$itum $ecabit.

Sit, ut linea b d $ecet angulum a b c trigoni a b c. Dico, quòd eadem linea b d producta, nece$$a- riò $ecabit ba$im a c illi angulo $ubten$am. Si enim non $ecabit ba$im a c, concurret tamen cũ pro- ducta a c per 14 huius: ideo quia anguli b a c & a b f $unt b a d c f minores duobus rectis ex hypothe$i & per 32 p 1: $it ergo concur$us in puncto fultra punctum c. E$t ergo trigono- rum a b c & a b f angulus b a c cõmunis, & angulus b c a maior angulo b f c per 16 p 1: erit ergo per 32 p 1 angulus a b f maior angulo a b c: non ergo $ecat linea b f angulum a b c: cadet itaq; nece$$ariò inter puncta a & c: & ita $eca- bit ba$im a c: quia $i etiam caderet in punctũ a, uel in pun- ctum c, non adhuc diuideret angulum a b c: patet ergo {pro}- po$itum primum. Patet etiã & reliquum propo$itorum: quoniam $i linea b d $ecet ba$im trigoni a b c, & applice- tur puncto b, quod e$t punctus concur$us laterum a b & c b: patet, quòd linea b d $ecabit angulum a b c: $it enim per 16 p 1 angulus a d b maior angulo b a c b: $ed angulus a c e$t cõmunis ambobus tri gonis a b c & a b d: ergo per 32 p 1 angulus a b d e$t minor angulo a b c. E$t ergo $ectus angulus a b c per lineam b d: quod e$t $ecundum propo$itorum.

30. Ab angulo dati trigoni linea perpendiculariter ad ba$im producta, $irectangulum $ub partibus ba$is contentum, maius fuerit quadrato perpendicularis: nece$$e est angulum (à quo fit ductio) obtu$um e$$e: $i minus, acutum: $i æquale, rectum.

Sit datus trigonus a b c, à cuius angulo b a c ducatur linea perpendicularis $uper ba$im b c: $e- cet\’q; ip$am in puncto d: & $it a d: $it\’q; illud, quod fit ex ductu b d in d c maius quadrato lineæ a d. Dico, quòd angulus b a c e$t obtu$us. Patet e- a b d c g e a b d c a b d f c nim per 17 p 6, quia non e$t proportio lineæ b d ad lineam a d, quæ lineæ a d ad lineam d c. $it ergo per 12 p 6, ut quæ e$t proportio lineæ b d ad lineam a d, eadem $it lineæ a d ad lineã g e: erit ergo illud, quod fit ex ductu lineæ b d in lineam g e æquale quadrato lineæ a d per 17 p 6: quia illud, quod fit ex ductu line{ae} b d in lineam d c, e$t maius quadrato line{ae} a d: patet, quòd linea g e e$t minor quàm linea d c per 1 p 6. Ab$cindatur ergo à linea d c æqualis line{ae} g e per 3 p 1, & $it d f, ducatur\’q; linea a f. Quia itaq; illud, quod fit ex ductu lineæ b d in lineam d f, e$t æquale quadrato lineæ a d: patet per 17 p 6, quoniam e$t proportio lineæ b d ad lineã a d, $icut lineæ a d ad lineã d f: erit ergo per conuer$am 8 p 6 angulus b a f rectus. Ergo angulus b a c e$t e$t maior recto. Similiter\’q; demon$trandum, quòd $i illud, quòd fit ex ductu b d in d c $it minus quadrato a d, quoniam angulus b a c e$t acutus: nam per eadem fit demonftratio. Pater etiam per eandem conuer$am 8 p 6, quoniam $i illud, quod fit ex du ctu lineæ b d in lineam d c, $it æquale quadrato lineæ a d, quoniam angulus b a c e$t rectus: patet ergo propo$itum.

31. Abangulo i$o$celis ducta perpendicularis $uper ba$im in duos partiales $imiles trigo- nos diuidit i$o$celem. Ex quo patet, quòd linea perpendicularis ad medium punctum ba$is ne- ce$$ariò pertingit.

Sit i$o$celes a b c, cuius latera a b & a c $int æqualia: & ab angulo b a c ducatur $uper ba- VITELLONIS OPTICAE $im b c perpendicularis a d. Dico, quòd propo$itus i$o$celes diui$us e$t in duos trigonos par- tiales $imiles. Quoniam enim per 5 p 1 angulus a b d e$t æqualis angulo a c d, $ed & per definitio- nem perpendicularis 10 defin. 1. elem. anguli a d b & a d c $unt æqua- a b d c les, quia recti: patet per 32 p 1, quòd anguli b a d & c a d $unt æquales. Ergo trigoni a b d & a c d $unt æquianguli: ergo per 4 p 6 latera illo- rum trigonorũ æquos angulos re$picientia, $unt proportionalia: $unt ergo illa trigona partialia, quæ a b d & a c d $imilia per definitionem $imilium trigonorum: patet ergo propo$itum primum. Et quoniam illa trigona a b d & a c d $unt $imilia, & eorum latera a b & a c $unt æ- qualia, & latus a d cõmune: patet, quòd etiam latera c d & b d $unt æ- qualia. Linea ergo քpendicularis, qu{ae} a d, nece$$ariò pertingit ad me- dium punctum lineæ b c: quod e$t propo$itum $ecundum.

32. Linea ducta à quocun<005> puncto unius lateris trigoni produ- cti, ultr a trigonum $ecans latus ab illo puncto remotius, & propin- quius illi nece$$ariò $ecabit.

Sit trigonum a b c, cuius latus a b producatur ultra punctum b ad punctum d: & à puncto d ducatur linea d e $ecans latus trigoni a c in puncto e. Dico, quòd d e ne- ce$$ariò $ecabit latus b c. Si enim non $ecabit latus b c, $ed $olum latus d b a e c f f a c, ducatur linea d c, & producatur in continuum & directum: $ecabit itaq; linea d c in aliquo puncto lineam d e: quoniam cum linea d c exeat â puncto d, à quo exit etiam linea d e, & terminetur ad pũctum c inter- iacens punctum e, nece$$ariò illam $ecabit: $it punctus $ectionis f. Pa- làm itaq;, quoniam duæ rectæ lineæ, quæ $unt d f & d e f includunt $u- perficiem: quod e$t impo$sibile. Idem quoque accidit, $i linea d e duca- tur extra lineam b c ultra punctum a: quod e$t propo$itum.

33. Si à punctis terminalibus unius lateris trianguli duæ rectæ exeuntes, intr a trigonum ad punctum unum conueniant: erit angu lus inferior æqualis $uperiori, & duobus angulis inter lineas duct as ad alia duo later a trigoni contentis.

Sit trigonum a b c, à cuius unius laterum a b punctis terminalibus, quæ $unt a & b, ducantur lineæ taliter, ut intra trigonum a b c concur- rant in puncto d. Dico, quòd angulus a d b e$t æqualis angulo a c b, & in$uper duobus angulis c a d & c b d. Quòd enim angulus a d b $it maior angulo a c b, hoc patet per 21 p 1. Producatur itaq; linea c d ultra punctum d u$q; ad punctum e. c d e a b E$t itaq; per 32 p 1 angulus e d a æqualis duobus angulis d c a & d a c: & $imiliter angulus e d b æqualis e$t duobus angulis d b c & d c b. To- tus ergo angulus a d b {ae}qualis e$t angulo a c b, & angulis d a c & d b c: quod e$t propo$itum.

34. Linea æqualis & æquidi$tans ba$i alicuius trigoni, uicini- or angulo $upremo, maiori angulo nece$$ariò $ubtenditur.

E$to trigonum a b c, cuius ba$i a c: uicinior angulo a b c duca- tur linea æqualis & æquidi$tans, quæ $it d e. Dico, quòd $i à puncto b ducantur lineæ b d & b e, quòd angulus d b e e$t maior angulo a b c. Quia enim linea d e e$t æqualis lineæ a c, palàm, quòd ip$a $ic pro- ducta $ecat lineas a b & b c, argumento 16 huius: quòd etiã patet ex a- lijs. Nam omnis linea cadens intra trigonum $ecans latera eius & æ- quidi$tans, e$t minor ba$i per 29 p 1 & 4 p 6. Secet ergo linea d e latus b a in puncto f, & latus b c in puncto g. Quia ita que per 16 p 1 angulus b g f e$t maior angulo b e g: erit per 29 p 1 angulus b c a maior angulo b e d: & ea- b d f g e a c dem ratione angulus b a c e$t maior angulo b d e: ne- ce$$ariò ergo per 32 p 1 erit angulus d b e cum angulis mi- noribus ualens duos rectos, maior angulo a b c, ualente cum duobus angulis maioribus duos rectos: patet ergo propo$itum.

35. In trigono orthogonio ab uno reliquorum an- gulorum producta linea ad ba$im: erit remotioris an- guli ad propinquiorem recto minor proportio, quàm LIBER I. partis b a$is remotioris ad propinquiorem. 5 p geometriæ Iordani.

Sit trigonum orthogonium a b c, cuius angulus b a c $it rectus: & à puncto b ducatur ad latus a c (quod e$t ba$is anguli a b c) linea recta, quæ $it b d. Dico, quòd minor e$t proportio anguli c b d remotioris ab angulo recto, ad angulum d b a propinquiorem ip$i recto, quàm partis ba$is remotioris ab angulo recto (quæ e$t c d) ad latus d a propinquius ip$i angulo recto. Quoniam enim angulus b a c e$t rectus, patet, quia angulus b d a e$t acutus per c d f e a b 32 p 1: ergo per 13 p 1, angulus b d c e$t obtu$us: ergo per 19 p 1 latus b d e$t maius latere a b, & minus latere b c. A' centro itaque b $e- cundum quantitatem $emidiametri b d de$cribatur arcus circuli $e- cans lineam b c in puncto e: & ad ip$um producatur linea b a, in pun ctum f: facti\’que erunt duo $ectores b d e minor trigono b d c, & b d f maior trigono b d a. Et quoniam e$t proportio $ectoris ad $e- ctorem, $icut arcus f d ad arcum d e, ut patet per modum demon- $trationis 1 p 6: quoniam omnes $ectores eiu$dem circuli, $unt eiu$d\~e altitudinis, & æquemultiplicia arcuum faciunt æquemultiplicia ip$orum $ectorum: proportio uerò arcus d fad arcum d e e$t $icut anguli d b f ad angulum d b e per 33 p 6. Cum itaque trigonum c d b $it maius quàm $ector e d b, & $ector f d b $it maior trigonoa d b: erit per 9 huius trigoni c d b primi ad trigonum d b a $ecũdum maior proportio, quàm $ectoris e b d tertij ad $ectorem d b f quar- tum. E$t autem per 1 p 6 trigoni c b d ad trigonum d b a, $icut ba$is c d ad ba$im d a: $ectoris uerò e d f ad $ectorem d b f, ut patet expræmi$sis, e$t proportio $icut anguli e b d ad angulũ d b f. Patet ergo, quòd maior e$t proportio lineæ c d ad lineam d a, quàm an- guli c b d ad angulum d b a. Ergo minor e$t proportio anguli c b d ad angulum d b a, quàm lateris c d ad latus d a: quod e$t propo$itum.

36. Cuiuslibet trigoni duo latera producta, aliud trigonum e d b a c priori $imile principiant, lateribus po$itione & $itu tran$mutatis.

Sit trigonum a b c, cuius latus a b $it dextrum, & latus b c $ini$trũ, quæ producantur ultra punctum b: & proportionaliter prioribus la- teribus ab$cindantur per 12 p 6, linea $cilicet a b in puncto d, & linea c b in puncto e: & coniungatur linea d e. Erit ita que trigonum d b e $imile trigono a b c: $ed & latus d b erit $ini$trum, & latus e b dextrũ. Sunt ita que latera i$torum trigonorum po$itione, & $itu tran$muta- ta: quod e$t propo$itum.

37. Omnium duorum trigonorum rectangulorum, quorum unius unum laterum rectos angulos continentium fuerit maius altero alterius, reliquum uerò minus reliquo: erit angulus acu- tus unius maius latus re$piciens, maior angulo alterius $uum rela- tiuum latus re$piciente.

Verbi gratia: $int duo trianguli rectanguli a b c & a c d: a f h b e d c g $int\’q; anguli a b c & a d c recti: & $it latus b c trianguli a b c maius latere c d trianguli a c d, & reliquum laterum rectos angulos continentium a b unius $it minus reliquo latere al- terius, quod e$t a d, ut patet in propo$ita figuratione, $i linea a b intelligatur erecta $uper lineam b c & $uperficiem eius, & linea b d intelligatur perpendicularis $uper lineam d c in eadem $uperficie iacentem: tunc enim erit linea a d perpen- dicularis $uper lineam d c per 22 huius: quod etiam patet, $i in $uperficie iacente ducatur linea b e æquidi$tanter lineæ d c per 31 p 1. Et quoniam linea a b e$t perpendicularis $uper $uperficiem iacentem, in qua $unt lineæ b d, d c, b e, palàm per definitionem lineæ erectæ, quoniam angulus a b e e$t rectus: $ed & angulus e b d e$t rectus per 29 p 1, cum angu- lus b d c $it rectus per 22 huius, & lineæ b e & d c æquidi$t\~et: ergo per 4 p 11 linea b e e$t erecta $uper $uperficiem trigoni a b d: ergo per 8 p 11 linea d c e$t perpen dicularis $uper ean- dem $uperficiem trigoni a b d: angulus ergo a d c e$t rectus: $ed & latus a d maius e$t latere a b per 19 p 1: quoniam angulus a b d e$t rectus. Dico ergo, quòd angulus a c d e$t maior angulo a c b. quoniam enim latus a d e$t maius latere b a per 19 p 1, cum an- gulus a b d $it rectus: patet, quòd præ$ens figuratio e$t cõformis hypothe$i. Re$ecetur ergo per 3 p 1 VITELLONIS OPTICAE à latere d a æquale lateri b a, quod $it linea d f. Et quia linea d c e$t minor latere b c per 19 p 1: quo- niã angulus b d c e$t rectus: protrahatur linea d c, & re$ecetur in pũcto g taliter, ut $it linea d g {ae}qua lis lineæ b c. Quia ergo trigoni f d g duo latera f d & d g $unt æqualia duobus lateribus a b & b c tri- goni a b c, & angulus f d g æqualis e$t angulo a b c: quia uterq; rectus: erit per 4 p 1 ba$is f g æqualis ba$i a c, & reliqui anguli reliquis angulis: angulus ergo f g d æqualis erit angulo a c b. Quia uerò puncta a & f$unt in linea a d, & puncta c & g $unt in linea d g: palàm, quia lineæ a c & f g $unt in una $uperficie, quæ e$t a d g per 2 p 11: ergo inter$ecant $e lineæ g f & c a: $it earũ inter$ectio in puncto h. Quia uerò in trigono c h g latus g c protrahitur, palàm ex 16 p 1, quoniã angulus h c d maior e$t an- gulo h g c: ergo & eius æquali, $cilicet angulo a c b: angulus ergo a c d maior e$t angulo a c b: quod e$t propo$itũ. Similiter\’q; demon$trandũ in alijs: $i enim trigona propo$ita fuerint in diuer$is locis con$tituta, palàm, quia ip$is æqualia & æquiangula trigona $ic po$$unt ordinari, ut in figura di$po- nuntur, & demon$tratio facta de ijs $e extendit ad alia. Patet ergo uniuer$aliter propo$itum. Et ex hoc patet, quòd angulus b a c e$t maior angulo d a c per 32 p 1.

38. Omnium duorum trigonorum rectangulorũ, quorũ latus $ubten$um recto angulo unius ad minus latus eiu$dem proportionem habuerit maiorem, quàm latus $ubten$um recto angulo alterius ad minus latus eiu$dem: erit angulus linearum maioris proportionis maior angulo li- nearum minoris proportionis: & econuer$o.

Sint duo trigona rectangula a b c & d e f, quorũ anguli a b c & d e f $int recti: $it\’q; latus b c minus latere a b, & latus e f minus latere d e: $it\’q; maior proportio lineæ a c ad lineam f e. Dico, quòd an- gulus a c b maior e$t angulo d f e. Quia enim maior e$t proportio lineæ a c ad lineã c b, quàm lineæ d f ad lineam f e: $ed per 47 p 1 quadratũ lineæ a k b c d e f h g a c ualet quadrata duarum linearũ a b & c b: & quadratũ lineæ d fualet quadrata duarũ linea rum, quæ $unt d e & f e: & quia per 20 p 6 pro- portio quadratorũ e$t proportio duplicata la- terũ: patet, quòd maior e$t proportio quadra. tia c ad quadratum c b, quàm quadrati d f ad quadratũ f e: e$t ergo per 11 huius maior pro- portio amborũ quadratorũ linearũ a b & b c ad quadra tũ b c, quàm am borũ quadratorũ li- nearũ d e & f e a d quadratũ f e: ergo per 12 hu- ius maior e$t proportio quadrati a b ad qua- dratum b c, quàm quadrati d e ad quadratũ e f: e$t ergo per 22 p 6 maior proportio line{ae} a b ad line- am b c, quàm lineæ d e ad lineã e f. E$to, ut, quæ e$t proportio lineæ d e ad lineã e f, ead\~e $it alicuius lineæ, ut g h ad lineam c b per 3 huius: erit ergo linea g h minor quàm linea a b per 10 p 5. Re$ecetur ergo per 3 p 1 ex linea a b æqualis lineæ g h: & $it b k, & continuetur linea c k: erunt ergo per 6 p 6 trigona d e f & k b c æquiangula: angulus itaq; b c k e$t æqualis angulo e f d: $ed angulus b c a e$t maior angulo b c k, totũ parte. Angulus itaq; a c b maior e$t angulo d f e: & hoc e$t {pro}po$itũ: ex quo etiã patet, quòd eius cõuer$a e$t uera: quoniã in talibus trigonis lineæ maiores angulos continen- tes, maiorem habent ad $einuicem proportionem.

39. A puncto in aere dato ad $ub$tratam planã$uperfici\~e una linea perpendiculariter, alia obliquè incidente, & linea recta inter pũcta incidentiæ in ip$a $u a c e f b d perficie protracta: erit angulus à non perpendiculari cũ iac\~ete li- nea contentus, minimus omnium angulorum $ub illa obliqua & quacun<005> linea in $ub$trata $uper$icie protracta contentorum: & omnis angulus illi propinquior, e$t minor remotiore: & duo ex utra<005> parte æqualiter approximantes, $unt æquales. Lemma ad 37 the. opticorum Euclidis. 43 theor 6 libri συναγωγυζμ μαθκμα- τικυζμ Pappi.

Sit punctus in aere datus a, cui $it $ub $trata $uperficies plana, qu{ae} b c d, fuper quã ab illo puncto ducatur obliquè linea a b, ducatur\’q; perpendiculariter linea a c, & copuletur linea b c. Dico, quòd angu- lus a b c e$t minimus omnium angulorũ contentorũ $ub linea obli- qua a b, & $ub unaquaq; linearũ à puncto b ductarũ in $uperficie b c d: & quòd $emper propinquior ip$i e$t minor quàm remotior: & quòd duo anguli æquales $olũ ex utraq; parte ip$ius cõ$i$tunt. Duca tur enim in data plana $uperficie, utcunq; contingit, linea b d, & à puncto c ducatur in eadem $uperficie linea perpendicularis $uper lineam b d per 11 p 1, quæ $it c d, & copuletur à puncto a linea a d: e$t ita q; per 22 huius linea a d perp\~edicularis $uper lineam b d. Et quoniam angulus a c d e$t rectus, palàm per 19 p 1, quoniam obliqua linea a d maior e$t catheto a c: linea itaq; b a ad lineam a c maior\~e habet proportion\~e quàm ad lineã a d per 8 p 5: & anguli b c a & LIBER I. b d a $unt recti: erit itaq; ք præ ced\~et\~e proximã angulus b a c maior angulo b a d: erit ergo per 32 p 1 angulus a b c minor angulo a b d. Similiter\’q; patet, quoniã angulus a b c minimus e$t omniũ angu- lorũ cõt\~etorũ $ub linea obliquè incid\~ete à pũcto a line{ae} b c, & $ub ip$a linea b c. Propinquior quoq; illi e$t minor remotiore. Ducatur enim à pũcto b in $ub$trata $uperficie linea, ut cõtingit, qu{ae} $it b e, & à pũcto c ducatur in ead\~e $uperficie linea քp\~edicularis $uper lineã b e, \~q $it linea c e, & {pro}ducatur linea a e, qu{ae} ք 22 huius erit perp\~edicularis $uper lineã b e. Et quoniã angulus b d c e$t rectus, & an- gulus c e b rectus, & angulus b c d maior e$t angulo b c e per cõuer$am pr{ae}mi$$æ, quoniã linea e c ad lineã c b maior\~e habet {pro}portion\~e <004> linea d c ad lineã c b. Linea itaq; e c e$t multõ maior <004> linea c d: $ed cathetus a c քpendiculariter incidit lineis c e & c d ք definition\~e line{ae} erectæ: maior ergo e$t li- nea a e <004> linea a d ք 47 p 1: linea enim c e e$t maior <004> linea c d. Linea itaq; b a ad lineã a d maior\~e ha- bet proportion\~e <004> ad lineã e a ք 8 p 5: & anguli a d b & a e b $unt recti: angulus itaq; b a d e$t maior angulo b a e per præcedent\~e: ergo per 32 p 1 angulus a b d minor e$t angulo a b e. Similiter quoque demon$trandũ, quòd $emper angulus propinquior, minor e$t remotiore: $olũ uerò duo ex utraque parte æquales cõ$i$tunt: $uper punctũ enim b terminũ lineæ c b in $ubiecta $uperficie con$tituatur angulus æqualis angulo d b c per 23 p 1, qui $it c b f: & à puncto c ducatur linea c f perpendiculariter $uper lineã b f per 12 p 1, & ducatur linea a f. Quia itaq; angulus c b d e$t æqualis angulo c b f ex hypo the$i, & angulus c d b e$t rectus æqualis angulo c f b recto, & linea c b e$t cõmunis ambobus trigo- nis b c d & b c f: palàm per 26 p 1, quoniam latus b d e$t æquale lateri b f, & latus d c e$t æquale lateri c f: $ed quia linea a c e$t cathetus $uper $uperfici\~e b c d, e$t per pendicularis $uper ambas lineas d c & f c. E$t itaq; linea a d æqualis lineæ a f. Quoniã itaq; æqualis e$t linea d b lineæ b f, & linea b a e$t cõ- munis ambobus trigonis d b a & b a f, & linea d a æqualis lineæ a f, erit angulus a b d æqualis angu- lo a b f per 8 p 1. Similiter quoq; demon$trandũ, quoniã angulo a b d non erit aliquis alius æqualis. E$t ergo angulus a b c minimus, &c. ut proponitur: patet itaq; intentum.

40. Omnium $uperficierum æquidi$tantiũ laterũ diagon{ij} per æqualia $e $ecãt: ex quo patet, quòd pun b f c h e k a g d ctum inter$ectionis diagoniorum e$t medium pun- ctum eiu$dem $uperficiei.

Sit $uperficies æquidi$tantiũ laterũ, $iue $it quadra ta, $iue altera parte longior, quæ a b c d, in qua ducan- tur diagonij, quæ$int a c & b d, $ecantes $e in puncto e. Dico, quòd diagonij $ecant $e adinuicem per {ae}qualia: & quòd punctũ e e$t mediũ punctũ $uperficiei a b c d. Palàm enim, quia trigona b e c & a e d per 15 & 29 p 1 $unt æquiangula: & erit angulus e b c æqualis angulo e d a, <003>a $unt coalterni. Similiter quoq; angulus e c b, e$t æ qualis angulo e a d: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ b e ad lineam e d, $icut lineæ c e ad lineam e a: & $icut lineæ b c ad lineã a d: $ed linea b c e$t æqualis li- neæ a d per 34 p 1. Linea ergo b e e$t æqualis line{ae} e d, & linea c e æqualis line{ae} e a. Ill{ae} ergo diagonij diuidũt $e adinuic\~e per æqualia. Et ք hoc manife$tũ e$t corollariũ: punctũ enim e æqualiter di$tat ab omni- bus extremis: in quo tñ $i aliquod dubiũ fuerit, ducãtur à pũcto e line{ae} æquidi$tantes lateribus $u- perficiei propo$it{ae} per 31 p 1, qu{ae} $int f g & h k: $equetur\’q; propter æqualitatem partiũ ip$arũ diago- niorũ modo prædicto argum\~etãdo, lineã f e æqual\~e fieri line{ae} e g, & lineã h e æqual\~e fieri lineæ e k. Patet itaq;, quoniã $ecundum omnem modum, punctum e æqualiter di$tat à punctis extrem arum linearum: directè igitur oppo$itum e$t: ergo medium inter illa: quod e$t propo$itum.

41. Datæ $uperficiei æquidi$tantium laterũ $imilem $uperfici\~e, a b n l e p m d c cuius latera æquidi$tent datæ $uperficiei laterib{us}, in$cribere.

Data $uperficies {ae}quidi$tãtiũ laterũ, cui altera in$cribi modo pr{ae}- dicto debeat, $it a b c d, in qua ducãtur diagonij a c & b d, $ecãtes $e in puncto e: palam\’q; per proximã pr{ae}cedent\~e, quoniã illæ diagonij per æqualia $e $ecantin puncto e: $ed & ip$æ adinuic\~e $unt æquales: & $i quid\~e data $uperficies fuerit rectangula: tunc patet per 34 & 47 p 1, quoniã ip$arũ diagonij $unt æquales, & ip$arũ medietates æquales. A' puncto itaq; e, à medietatibus diagoniorũ partes æquales ab$cin dantur ք 3 p 1. Et $i data $uperficies nõ fuerit rectangula: tũc erũt dia gonij for$itan in{ae}quales: ab illis ergo partes proportionales refecen tur, $ecundũ 3 huius: utcunq; aut\~e hoc contingat, ab$cindantur illæ partes ex parte puncti e, quæ $int e l, e m, e n, e p, & ducantur lineæ l m, l n, n p, m p. Dico itaq;, quòd $uperficies l m p n e$t datæ $uperfi- ciei $imilis, & quòd latera ip$ius æquidi$tant lateribus dat{ae} $uperfi- ciei. Quoniã enim in trigono b e c re$ecta $unt latera b e & c e in pun ctis l & m, & e$t proportio b l ad l e, $icut c m ad m e: patet ergo per 2 p 6, quoniam linea l m æquidi$tat lineæ b c. Similiter quoq; linea l n VITELLONIS OPTICAE æ quidi$tat lateri a b, & linea n p lateri a d, & linea p m lateri c d. Ergo ք 29 p 1 anguli $uperficiei l m p n $unt æquales angulis datæ $uperficiei a b c d, & latera eorum $unt proportionalia per 4 p 6. Pa- tet ergo, quòd illæ $uperficies $unt $imiles: & hoc proponebatur faciendũ: patet ergo propo$itum.

42. Omnis angulus à diametro & quacun<005> linea $uper circumferentiam circuli cont\~etus, nece$$ariò est acutus. Alhazen 60 n 5.

Sit circulus a b c, cuius diameter a b, & ducatur linea a c, utcunq; contingit. Dico, quòd angulus b a c nece$$ariò e$t acutus. Producatur enim linea b c c a b ad peripheriam in pũctum c. Et quoniã angulus a c b e$t rectus per 31 p 3, patet per 32 p 1, quia angulus b a c e$t acutus: & $imiliter angulus a b c. Patet itaq; propo $itum: & de hoc theoremate nõ $eruimus intellectui, $ed breuitati, quia hanc demon$trationem toties, ut occurrit, repetere, tædium fuit.

43. Omnes angulos æqualium ucl $imilium por- tionum eiu$dem circuli $ub arcu & recta contentos æquales: angulos uerò cuiu$cun<005> minoris portionis minores, & maioris maiores e$$e nece$$e e$t. Ex quo patet, omnes angulos $emicir culorum æquales e$$e.

Sit circulus, cuius centrum a, & diameter g f: & in c o $ignentur arcus æquales, qui $int b c & d e, produ- ctis chordis b c & d e. Dico, quòd anguli g b c, & f d e, $ub arcubus & chordis contenti $unt æquales. Duca- tur enim à puncto b linea contingens circulum per 17 p 3, quæ $it b l, & à puncto d linea d m: & du- cantur à centro line{ae} a b, a c, a d, a e, erunt\’q; per 5 p 1 anguli a b c & a c b æquales: & anguli a d e & a e d æquales: $ed trigona a b c & a d e $unt æquiangula per 4 p 1: angulus enim b a c e$t æqualis an- gulo d a e, per 27 p 3: angulus quoq; a b l e$t æqualis angulo $ q r n g o b c s c a d e f m a d m, quoniam uterq; eorũ e$t rectus per 18 p 3: $ed angulus contingentiæ l b g e$t æqualis angulo contingentiæ m d f: quoniam uterq; ip$orum e$t minimus acutorum per 18 p 3. Relin quitur ergo angulus g b c a b arcu b g, & recta b c con tentus, æqualis angulo f d e, ab arcu f d, & recta d e conten- to: $ed & angulus g c b e$t {ae}qualis angulo g b c eadem ratio- ne: $imiliter quoq; angulus f e d e$t æqualis angulo f d e. O- mnes itaq; hi anguli $unt æquales. Sit quoq; arcus minor ar cu b c, quire$ecetur ab arcu b c, qui $it arcus n o, & ducãtur lineæ a n, a o: ducatur quoq; chorda n o: & ducantur contin g\~etes n q & o r. Quia itaq; trigoni a n o anguli ad ba$im $unt æquales per 5 p 1, & angulus o a n minor angulo c a b, per 33 p 6: erit per 32 p 1 quilibet angulorum a n o & a o n maior quolibet angulorum a b c & a c b. Sit itaq; angulus o n a m a ior angulo c b a: $ed angulus contingenti{ae} q n g e$t {ae}qualis angulo cõtingenti{ae} l b g: relinquitur ergo angulus g n o mi- nor angulo g b c, cum anguli l b a & q n a $int æquales: quia uterq; rectus per 18 p 3. Sit iam arcus maior arcu b c, qui $it s c, & ducatur chorda s c: & quia angulus c a s e$t maior angulo c a b per 33 p 6: patet tũc, quòd angulus a s c e$t minor angulo a b c: & ita con- cludetur, ut prius, quoniã angulus g s c contentus $ub arcu g s, & chorda s c e$t maior angulo g b c: ergo & angulo g n o. Patet & hocidem de $imilibus arcubus quibu$cunq; eorundem circulorum, quoniam per definitionem $imilium arcuũ ip$i angulos $u$cipiunt æquales per 10 defin. 3. Ex quo patet corollarium, quoniam omnes anguli $emicirculorum $unt æquales: omnes enim $emicirculi $unt $imiles: & eiu$dem circuli $imiles & {ae}quales: hoc itaq; proponebatur.

44. Si idem angulus $uper centrum unius æqualium circulorum, & $uper peripheriam alte- rius con$i$tat, arcus re$pondens angulo $uper peripheriã con$tituto, reliquo arcui duplus erit. In circulis uerò inæqualibus illorũ arcuum proportio ad $uas totales peripherias duplicatur.

Sint duo circuli æquales, unus a b c d, cuius centrum g: & alius e f g, cuius centrum b, punctum peripheriæ circuli a b c d: & producantur line{ae} a b & c b, $ecantes circulum e g f in punctis e & f. Pa- làm itaq; quoniam angulus a b c erit $uper peripheriam circuli a b c & $uper centrum circuli e g f. Dico, quòd arcus a d c capiens angulũ a b c $uper circũferentiam $ui circuli, e$t duplus arcui e g f, ca pienti eund\~e angulũ $uper eius centrũ b. Sit enim, ut linea b a $ecet circulũ e g f in puncto e, & linea b cin puncto f: ducatur quoq; linea e f, & ducta linea g h $uper centrũ g, fiat per 23 p 1 angulus æqua lis angulo a b c, qui $it h g l, ductis lineis g h & g l ad circumferentiam circuli a b c d: & ducantur li- ne{ae} b h, b l, h l. Palàm itaq; per 20 p 3, \’quoniam angulus h g l e$t duplus angulo h b l: ergo etiam an- gulus a b c e$t duplus eidem: ergo per 33 p 6 arcus a d c e$t duplus arcui h d l: $ed arcus h d l LIBER PRIMVS. e$t æqualis arcui e g f per 26 p 3: erit ergo arcus a d c duplus arcui e g f: quod e$t propo$itum primũ. Quòd $i circulus a b c d $it minor circulo e g f, & angulus m g n $it æ- h d l a c e g f p q b n d n a c g b qualis angulo a g c, facto angulo p b q $uper centrum b, per 23 p 1 æ- quali angulo a g c, & ductis lineis g p, g q, b p, b q: erit angulus p b q duplus angulo p g q, per 20 p 3. Ergo angulus a g c e$t duplus angulo p g q. Proportio itaq; arcus m f n ad $ui totam circumferentiã dupli- catur re$pectu arcus a c ad totam $ui peripheriam. Quoniã enim an- gulus m g n e$t duplus angulo p g q, erit per 33 p 6 arcus m f n duplus arcui p f q: $ed arcus p f q eiu$dem e$t proportionis ad $ui peripheriã, cuius e$t arcus a d c ad $uam: arcus enim a d c $i fuerit quinq; partiũ re$pectu $uæ circum ferentiæ: erit arcus m f n decem partium re$pe- ctu $uæ peripheriæ: & hoc e$t propo$itum.

45. À terminis lineæ intra circulum collocatæ partib. æqualib. re$ectis, & à punctis $ectionum perpendicularibus $uper illam li- neam ad circumferentiam productis: nece$$e e$t ductas perpen- diculares æquales e$$e. Et $i ductæ perp\~ediculares $unt æquales: ne- ce$$ariũ e$t à terminis illius lineæ partes re$ectas æquales e$$e.

Sit circulus a k d, cuius c\~etrum r: in quo circulo collocata $it linea a d: à cuius terminis a & d re$ecentur lineæ a b & d g æquales: & à prædictis b & g erigantur duæ lineæ perp\~ediculares $uper lineã d a, qu{ae} product{ae} ad circũferentiã, $int g k & b c. Dico, quòd linea g k e$t {ae}qualis line{ae} b c. Ducatur enim â centror linea æquidi$tans lineæ a d per 31 p 1, quæ $it l m diameter: & diuidatur linea d a in duo æ- qualia in puncto e per 10 p 1, & à puncto e, ducatur per- k c d g e b a l n r f m pendicularis $uper l m per 12 p 1: h{ae}c ergo per 1 p 3 tran- $ibit c\~etrum circuli, quod e$t punctũ r: erit\’q; linea e r. Educatur aũt linea k g ultra punctum g ad diametrum l m in punctũ n, & linea c b in punctũ f, & copul\~etur li- ne{ae} k r & c r. Quia ita q; linea d e e$t {ae}qualis lineæ a e, & line{ae} d g & b a ex hypothe$i $unt {ae}quales: remanet ergo linea g e æqualis line{ae} e b: $ed per 34 p 1, linea g e e$t æ- qualis lineæ n r, & linea e b {ae}qualis line{ae} r f: $unt ergo lineæ n r & r f æquales: $ed per 47 p 1, quadratum line{ae} r k ualet duo quadrata linearum k n & r n: quia ex præ- mi$sis angulus k n r e$t rectus: & $imiliter quadratum line{ae} c r ualet duo quadrata linearũ c f & r f: e$t aũt qua dratum line{ae} k r {ae}quale quadrato lineæ c r, quoniã li- nea k r e$t {ae}qualis lineæ c r per definitionem circuli: & quadratũ lineæ n r e$t {ae}quale quadrato lineæ f r. Relin quitur ergo quadratũ lineæ k n {ae}quale quadrato lineæ c f. E $t ergo linea k n æqualis line{ae} c f: $ed per 25 huius linea g n e$t æqualis b f. Relinquitur ergo linea k g {ae}qualis line{ae} c b: quod e$t primũ propo- $itũ. Conuer$a etiã patet, manente totali di$po$itione, ut prius. Quia enim linea g n e$t æqualis lineæ b f per 34 p 1, & linea k g æqualis lineæ c b ex hypothe$i: erit tota linea k n {ae}qualis toti line{ae} c f. Ergo per 47 p 1 erit linea n r {ae}qualis line{ae} r f. Ergo & linea g e ip$i line{ae} e b {ae}qualis erit, & linea d g ip$i li- ne{ae} b a: quod e$t propo$itum $ecundum. Patet ergo, quod proponebatur.

46. In duobus circulis inæqualibus duobus $imilib. arcubus $umptis, productis<006>, præter illos, ad arcus alios $imiles, $emidiametris: $i à punctis extra circulos proportionaliter $emidiametris di$tantibus ab utri$<005> extremitatibus amborum arcuum, per terminos $imilium arcuum, li- neæ ad diametros ducantur: pars diametri interiacens lineas arcus circuli maior{is} e$t maior parte interiacente lineas arcus circuli minoris.

Sint duo circuli inæquales, quorum maior $it a b c, & eius centrum d, & $emidiameter d a: minor uerò $it e f g. cuius centrum h, & $emidiameter h e: $ignentur\’q; in ip$is arcus $imiles, in maiori circu lo arcus b c, & in minori arcus f g: $it\’que arcus a b $imilis arcui e f: $it \’q; punctũ k extra circulũ maio- rem, & punctum l extra circulum minorem, taliter data, utilla puncta $ecundum proportionem $e- midiametri d a, ad $emidiametrum h e di$tent ab utri$que terminis dictorum arcuum: erit ergo pro- portio line{ae} k b ad lineam l f, & lineæ k c ad lineam l g, $icut $emidiametri a d ad h e: & producãtur li ne{ae} ad $emidiametros, k b in punctum m, & k c in punctum n. Similiter quoq; producatur linea l f in punctum o, & l g in punctum p. Dico, quòd linea m n, pars $emidiametri a d, e$t maior quã linea o p, pars $emidiametri e h. Ducantur enim chord{ae} b c & f g: & copulentur à centris lineæ d b, d c, h f, h g: palam\’q; propter inæqualitatem circulorum, quoniam linea d b e$t maior quã linea h f: $ed propter $imilitudinem arcuum angulus b d c e$t {ae}qualis angulo f h g: ergo per 5 p 1 trigona b c d & f g h $unt {ae}quiangula. Ergo per 4 p 6 latera $unt proportionalia: e$t ergo proportio lineæ b c ad li- neam f g, $icut line{ae} b d ad lineam f h: ergo ex hypothe$i & per 11 p 5, $icut k b ad l f, & $icut k c ad l g: VITELLONIS OPTICAE ergo per 5 p 6 angulus b k c e$t {ae}qualis angulo f l g: & angulus k b c æqualis angulo l f g: $ed expr{ae}- @ b c a m n d l f g e o p h mi$sis anguli d b c & h f g $unt {ae}qua les: e$t ergo angulus d b k æqualis angulo h f l. Ducãtur ergo lineæ d k & h l. Quia itaq; in trigonis b d k & f h l anguli {ae}quales (qui d b k & h f l) $unt laterib. {pro}portiõalib. cõt\~eti, pa- tet ք 6 p 6, quoniã illa trigona $unt æquiangula: ergo angulus b k d e$t {ae}qualis angulo fl h, & angulus b d k {ae}qualis angulo f h l: $ed angulus a d b e$t æqualis angulo e h f ex hypo- the$i, propter $imilitudinem arcuũ a b & e f. Totus ergo angulus m d k e$t æqualis toti angulo o h l: ergo ք 32 p 1 trigona d k m & h l o $unt {ae}qui angula, & angulus k m d e$t {ae}qualis angulo l o h: ergo per 4 p 6 erit pro portio line{ae} m k ad lineã o l, $icut line{ae} k d ad lineã l h: ergo ք 11 p 5 $icut line{ae} a d ad lineam e h. Quia itaq; ex pr{ae}mi$sis angulus m k n e$t {ae}qualis angulo o l p, & angulus k m n {ae}qualis angulo l o p: patet per 32 p 1, quoniã trigona k m n & l o p $unt {ae}quiangula: ergo per 4 p 6 e$t proportio line{ae} m n ad li- neam o p, $icut lineæ m k ad lineã o l: ergo per 11 p 5, $icut lineæ a d ad lineã e h. Quia itaq; a d $emidia meter maior e$t $emidiametro e h: erit linea m n maior quã linea o p: patet ergo propo$itum.

47. À quocun<005> puncto diametri circuli producta linea adperipheriam, $i maior, quã illa, fuerit una pars diametri: erit pars illa, maior reli- qua $ui parte: & $iminor, minor. c a d b

E$to circulus a b c, cuius diameter a b: in qua $uma- tur punctũ d, utcunq; cõtingit: & ducatur linea d c ad circũferentiam, ita quòd pars diametri, qu{ae} e$t a d, $it maior <004> linea d c. Dico, quòd linea a d e$t maior quã li nea d b, qu{ae} e$t reliqua pars ip$ius diametri: quod pa- tet, $i copul\~etur line{ae} a c & b c. Quia itaq; linea a d ma ior e$t quã linea d c ex hypothe$i: ergo ք 18 p 1 angulus a c d maior e$t angulo c a d, & angulus a c b e$t rectus per 31 p 3: palã ergo per 32 p 1, quoniã angulus c b d ma ior e$t angulo d c b. Quia enim angulus c b d cũ angu- lo c a b ualet rectũ, & angulus d c b cũ angulo a c d, qui e$t maior angulo c a d, ualet rectũ: patet, quòd angu- lus c b d e$t maior angulo d c b: ergo per 19 p 1 erit la- tus d c maius latere d b: $ed latus a d e$t maius latere d c. Ergo multo maius erit latus a d quã latus d b. Et hoc e$t unum propo$itorum. Eodem quoq; modo demon$trandum, $i pars diametri, quæ e$t a d, $it minor quã linea d c: quoniã erit linea a d minor quã linea d b: & hoc proponebatur.

48. Si à quocun<005> puncto diametri circuli duæ lineæ (quarum $emper una $it maior reliqua) ad circuli peripheriã ducantur: erit pars diametri, cuimaior linea propinquior ducitur, maior reliqua $ui parte. c g f e a h d b

Sit circulus a b e c, cuius diameter $it a b: in qua $u- matur punctus d, ut libuerit: ducantur\’q; à puncto d li- ne{ae}, d c maior & d e minor: $it aũt c $uperior uer$us a, & e inferior uer$us b. Dico, quòd pars diametri, qu{ae} e$t a d, maior e$t quã d b. Ducatur enim linea c e, & $uper lineam c e ducatur à puncto d per 12 p 1 linea perp\~edi- cularis, qu{ae} $it d f. Quia itaq; quadratũ line{ae} d c per 47 p 1 ualet ambo quadrata linearũ d f & f c, & quadratũ d e ualet ambo quadrata duarũ linearũ d f & f e, qua- dratũ uerò line{ae} d c maius e$t quadrato line{ae} d e: i deo, quia linea d c e$t maior <004> linea d e: ablato itaq; quadra to lineæ d f: relinquitur quadratũ lineæ c f, maius qua- drato lineæ f e. Diuidatur itaq; linea c e in partes æqua les in puncto g per 10 p 1, & ab illo puncto g ducatur linea g h ad diametrum æquidi$tanter lineæ d f per 31 p 1: erititaque per 29 p 1 linea h g perpendicu- laris $uper lineam c e: $ecat autem h g ip$am c e in duo {ae}qualia: tran$it ergo linea h g ք centrũ circuli LIBER PRIMVS. per 1 p 3. Et quoniam punctum h cadit in diametrum a b: palàm, quia ip$um punctum h e$t centrum circuli. E$t ergo linea a d, pars diametri a b, maior quàm linea d b: & hoc e$t propo$itum.

49. Si ab angulis duorum trigonorum ad medietates $uarũ ba$iũ æqualiũ una perpendicula riter, alia obliquè æquales lineæ duc antur, $it<006> quælibet duct arum maior medietate $uæ ba$is: erit angulus trigoni, à quo ducitur perpendicularis, maior angulo alterius trigoni, à quo linea ducitur obliqua.

Sint duo trigona a b c & d e f, quorum ba$es b c, & e f, $int æquales: quæ $ecentur per 10 p 1 in par- tes æquales, b c in puncto g, & e f in puncto h: & ducantur ab angulis ad ba$es lineæ a g & d h, quæ $int {ae}quales: $it\’q; linea a g ք- a b $ m g c k d e h f p\~edicularis $uper lineã b c, li- nea uerò d h nõ $it perp\~edicu laris $uք lineã e f. Sit\’q; linea perpendicularis a g maior li- nea b g parte ba$is: item obli- qua d h maior linea e h parte ba$is. Dico, quod angulus b a c e$t maior angulo e d f. Cir- cũ$cribatur enim trigono a b c circulus per 5 p 4, & produ- catur linea a g ad circũferen- tiã in punctũ k: hoc aũt po$si- bile. Quoniã uerò $uppo$itũ e$t lineã a g e$$e maior\~e linea g b, erit per 47 huius linea a g maior <004> linea g k: ergo per 1 p 3 centrũ circuli e$t in linea a g inter pũcta a & g: & erit a k diameter, & per 7 p 3 linea g a e$t lõgi$sima omnium linearũ à puncto g ad circũferentiã productarũ: & linea g k erit omniũ linearũ illarum minima: & qu{ae}libet propinquior line{ae} g a e$t maior remotiore. Fiat itaq; per 23 p 1 $uper punctũ g termini line{ae}, c g angulus {ae}qualis angulo f h d minori angulo d h e, qui $it l g c, producta linea g l u$q; ad peripheriã circuli. Palã itaq; ex 7 p 3, quoniã linea g a e$t maior <004> linea g l: ergo & linea d h, qu{ae} ex hypothe$i e$t {ae}qualis line{ae} a g, e$t maior <004> linea g l. Producatur itaq; li- nea g l, quou$q; $it {ae}qualis line{ae} d h per 3 p 1, & $it linea g m {ae}qualis line{ae} d h: & ducantur line{ae} m b & m c: angulus itaq; b m c e$t {ae}qualis angulo e d f ex hypothe$i per 4. 13 p 1. Sed angulus b a c e$t ma ior angulo b m c. Producantur enim line{ae} b l & c l: palã, quia angulus b l c e$t maior angulo b m c per 21 p 1: $ed angulus b a c e$t æqualis angulo b l c per 21 p 3. Erit ergo angulus b a c maior angulo b m c: ergo & angulo e d f: & hoc proponebatur.

50. Si ab angulis duorum trigonorum ad medietates $uarum ba$ium æqualium una perp\~edi- culariter, alia obliquè, æquales lineæ ducantur, $it<006> quælibet ductarum minor medietate ba$is $uæ: erit angulus trigoni, à quo ducitur perpendicularis, minor angulo alterius trigoni, à quo linea ducitur obliqua.

Remaneat di$po$itio pr{ae}cedentis, ni$i quòd perpendicularis a g $it minor medietate ba$is b g. Di co, q<001> angulus b a c e$t mi- a l n b g c k d c h f nor angulo e d f. Sit enim, ut prius, angulus c g l {ae}qua- lis angulo d h f. Et quoniã li nea a g e$t minor quã linea b g, & linea a k e$t diame- ter: palã per 47 huius, quo- niam c\~etrũ circuli e$t inter puncta g & k: ergo per 7 p 3 linea g a e$t minima omniũ linearũ à puncto gad peri- pheriã circuli productarũ: e$t ergo linea g l maior <004> li- nea g a: ergo & maior quã li nea d h. Fiat itaq; per 3 p 1 li nea g n {ae}qualis lineæ d h: & copul\~etur line{ae} bn & c n: erit itaq;, ut in pr{ae}mi$$a, angulus e d f æqualis angulo b n c: $ed angulus b n e maior e$t angulo b l c per 21 p 1, & angulus b l c æqualis angulo b a c per 21 p 3. Erit ergo angulus b a c minor angulo b n c: ergo & eιus æquali, angulo e d f: & hoc e$t propo$itum.

51. Si ab angulis duorum trigonorum ad medietates $uarum ba$ium æqualium duæ lineæ æ- quales, obliquè incidant ad angulos inæquales, & $i quælibet linearum incidentium maior fue- rit medietate $uæ ba$is: erit angulus $uperior illius trigoni, cuius incidens linea maiorem angu- VITELLONIS OPTICAE lum cum ba$i continet, maior angulo $uperiori alterius: & $i minor, minor.

Sint it\~e duo trianguli a b c & d e f, habentes ba$es b c & e f æquales: diuidatur\’q; ba$is b c ք {ae}qua- lia in puncto g, & ba$is e f in k a n m b g c l d e h f pũcto h: & ducãtur line{ae} a g, d h, qu{ae} $int {ae}quales, & utraq; ip$arum incidat obliquè $uæ ba$i: $it aũt angulus a g c ma- ior angulo d h f. Dico, quòd $i maior $it linea a g, <004> linea g c: erit angulus b a c maior an gulo e d f: & $i linea a g $it mi- nor, <004> linea g c, erit angulus b a c minor angulo e d f. Cir- cum $cribatur enim per 5 p 4 trigono a b c circulus: & duca tur à puncto g perpendicula- ris $uper lineã b c per 11 p 1: quæ producta ad circũferen- tiam, $it g k. Erit itaq; g k per 1 p 3 pars diametri circuli propo$iti, qu{ae} cõpleta, $it k l. Sit itaq;, ut prius, linea a g maior <004> linea g c: e$t aũt linea k g maior, <004> linea g l per 48 huius. In linea ergo g k e$t centrũ circuli: e$t ergo linea k g maior <004> linea a g per 7 p 3: ergo & maior <004> linea d h, qu{ae} e$t {ae}qualis ip$i a g ex hypothe$i. Fiat itaq; per 23 p 1 $uper punctũ g terminũ line{ae} g c, angulus {ae}qualis angulo d h f, qui $it m g c: cadat\’q; pũctũ m in peripheriã circuli. E $t itaq; ք 7 p 3 linea a g maior <004> linea m g: ergo & linea d h e$t maior <004> linea m g. Producatur itaq;, donec linea g m $it {ae}qualis line{ae} d h: & ducãtur line{ae} n c & n b. Erit itaq; angulus b n c {ae}qualis angulo e d f: $ed angulus b m c e$t maior angulo b n c: e$t ergo angulus b a c maior angulo e d f per modum pr{ae}o$t\~e$um. Similiter quoq; demon$trandũ, $i linea a g $it minor <004> linea g c, quòd minor e$t angulus b a c angulo e d f: quod proponebatur demon$trandũ.

52. Siduas lineas rectas $ecantes circulũ, æqua l n m d f e a g c h o k d f e b les arcus interiaceant, illæ nece$$ariò $unt æquidi- $tantes: idem<006> accidit, $i una earum fuerit $ecans & alia contingens.

Sit circulus a b c, cuius centrum $it punctum o: $e- cent\’q; duæ line{ae} a c & d e illum circulum taliter, ut ar cus d a $it {ae}qualis arcui e c. Dico, quòd lineæ a c & d e $unt {ae}quidi$tantes. Autitaq; o centrũ circuli e$t in al- tera illarum linearum, aut in neurra: & tuncuel inter utra$q;, uel extra utra$q;. Si $it in altera ip$arum: e$to quòd $it in linea a c, & à centro o ducatur linea perp\~e dicularis $uper a c per 11 p 1, & producatur ad circũfe rentiã, $it\’q; o b $ecans lineã d e in puncto f: & ducan- tur line{ae} o d, o e, qu{ae} cum $int {ae}quales, erunt per 5 p 1, anguli o d f & o e f æquales: $ed angulus f o a e$t {ae}qua lis angulo f o c, <003> a $unt recti: angulus uerò d o a {ae}qua lis e$t angulo e o c per 27 p 3, cum ex hypothe$i arcus d a $it æqualis arcui e c: erit ergo angulus d o f æqualis angulo e o f: ergo per 32 p 1 erit angulus d f o {ae}qualis angulo e f o: e$t ergo linea of perpendi cularis $uper lineã d e. Erunt ergo per 28 p 1 line{ae} d e, a o c d f e b & a c {ae}quidi$tãtes. Si uerò centrũ o fuerit inter ip$as lineas a c & d e: ductis lineis à centro perp\~edicularib. $uper utranq; illarũ, qu{ae} $int o f, & o g, & ductis lineis ad terminos linearum a c & d e, à c\~etro o, qu{ae} $int o a, o c, o d, o e, & diametro h k: fient ex utraq; parte cen- tri o quatuor anguli {ae}quales duobus rectis ideo quia anguli circa centrum ualent quatuor rectos, quo, ex {ae}quo diuidit quælibet diameter: $ed angulus e o c e$t {ae}qualis angulo d o a per 27 p 3: remanet ergo angulus d o e {ae}qualis angulo a o c: per definition\~e ergo circu- li & per 6 p 6 trianguli d o e & a o c $unt inuic\~e {ae}quiã guli: ergo erit angulus g c o æqualis angulo o d f: $ed angulus o g c e$t {ae}qualis angulo o f d: quia uterq; re- ctus ex pr{ae}mi$sis: ergo per 32 p 1 trigona g o c, d o f $unt æquiangula: ergo per 14 p 1 line{ae} d o & o c con- iunctæ $unt linea una: quia anguli c o h & d o h ex præmi$sis $unt {ae}quales duobus rectis. Ergo per 27 p 1 patet propo$itum. Quòd $i centrum o fuerit extra utra$que: ducatur perpendicu- laris à centro o $uperip$arum alteram: & $it linea o g perpendicularis $uper lineam a c, quæ diuidet LIBER PRIMVS. ip$am a c in duo æqualia per 3 p 3, producatur\’q; linea o g, ut $ecet lineam d e in puncto f: & ductis li- neis o a, o c, o d, o e: palàm per 4 p 1, cum in trigonis a g o & c g o duo latera a g & g c $int æqualia, & latus g o commune, & anguli ad g recti ex hypothe$i: quòd angulus a o g e$t æqualis angulo c o g: $ed angulus a o d æqualis e$t angulo c o e per 27 p 3: relin quitur ergo angulus d o f æqualis angulo f o e: $ed latus d o æquale lateri e o, & latus o f commune: erit ergo per 4 p 1 angulus o f d æqualis an gulo o fe: uterq; ergo e$t rectus. E$t ergo angulus o f d æqualis angulo o g a: ergo per 28 p 1 line{ae} d e & a c $unt æquidi$tantes: quod e$t propo$itum primum. Quòd $i una illarum duarum linearum $e- cet circulum, & alia ip$um contingat: $i $ecans tran$it centrũ, & $it diameter, quæ h k, & linea l m con tingat in puncto n: $it\’q; arcus n h æqualis arcui n k: palàm, quòd illorum arcuum quilibet e$t quar- ta circuli: ducatur ita que linea n o: ergo per 18 p 3 angulus l n o e$t rectus: $ed & angulus n o h e$t re- ctus: ergo per 28 p 1 lineæ l m & h k {ae}quidi$tant: quod e$t $ecundũ propo$itum. Quòd $i linea l m cir- culum contingente in puncto n, linea d e $ecet circulum nõ per centrũ: ducantur line{ae} o d l & o e m, & à centro o ad punctum contactus, quod e$t n, ducatur linea o n $ecãs lineam d e in puncto f. Quia ita que arcus n d e$t æqualis arcui n e: erit per 27 p 3 angulus l o n {ae}qualis angulo m o n: $ed per 18 p 3 angulus o n l e$t æqualis angulo o n m: quia ambo $unt recti. Item per 4 p 1 angulus o f d e$t æqualis angulo o f e: $unt ergo recti. Ergo per 28 p 1 patet propo$itum tertium.

53. Lineas æquidi$t antes trans circuli $uperficiem product{as}, $iue ambæ $ecent, $iue ambæ cõ- tingant, $iue una $ecet & alia contingat, arcus interiacent æquales.

Sit circulus a c b d, cuius centrum e: contingant\’q; ip$um duæ lineæ {ae}quidi$tãtes f g in puncto d, & h q in puncto c: & à puncto contingentiæ, quod e$t d, f m a h k d p e o c l g n b q ducatur linea d e ad centrum e. E$t ergo per 18 p 3 linea d e perpendicularis $uper lineam in illo puncto contin- gentem, quæ f g. Ducatur quoque linea c e à puncto cõ tingentiæ ad centrum e: erit ergo linea c e perpendicu- laris $uper lineam h q contingentem in puncto c. Duca tur quoq; à centro e linea {ae}quidi$tans line{ae} f g per 31 p 1, quæ $it n m: hæc quoq; etiam æquidi$tabit lineæ h q per 30 p 1: ergo per 29 p 1 angulus m e d e$t æqualis angulo m e c: ergo per 14 p 1 lineæ d e & e c cõiunctæ, $unt linea una: e$t ergo linea d c diameter circuli, cum trã$eat per centrum e: arcus itaque d a c e$t $emicirculus æqualis $emicirculo d b c. Sed & $i linea a b $ecet circulum æqui di$tans lineæ h q contingenti in puncto e, erit iterum ar cus a c æqualis arcui c b. Quia enim $emidiameter e c $ecat lineam conting\~etem, quæ h q: palàm per 2 huius, quoniam $ecabit & eius æquidi$tantem, quæ e$t linea a b: $it, ut $ecet ip$am in puncto o. Et quia angulus h c e e$trectus per 18 p 3, palàm per 29 p 1, quoniam angulus b o e e$t rectus: ergo per 3 p 3 linea a b diuiditur per æqualia in puncto o. Ducantur itaq; line{ae} a c & c b: palam\’q; per 4 p 1, quoniã ill{ae} erunt æquales: ergo per 28 p 3 arcus a c e$t æqualis arcui b c. Quòd $i linea æquidi$tans line{ae} b a $ecet circulũ: quæ $it k l: palàm, quoniam $emidiameter e c producta $e- cabit lineam k l per {ae}qualia per 29 p 1. 3 p 3: $ecet ergo ip$am per æqualia & orthogonaliter in puncto p: & ducãtur lineæ p a, p b, k a, l b: erit ergo in trigonis p a c, p b c ք præmi$$a, & 4 p 1 latus p a {ae}quale lateri p b: & angulus p b c æqualis angulo a p c: relin quitur ergo angulus k p a æqualis angulo b p l: $ed linea k p e$t æqualis lineæ p l: erit ergo per 4 p 1 linea k a æqualis lineæ l b. Ergo per 28 p 3 erit ar- cus k a æqualis arcui l b: quod e$t propo$itum.

a h b g e f d c @ 54. Duabus chordis in aliquo circulo $e $ecanti- bus: erit quilibet angulus $ectionis æqualis angulo apud circumferentiam, cadenti in arcum æqua- lem duobus arcubus $cilicet eidem angulo & $uo cõ trapo$ito $ubten$is. Albazen 24 n 7.

Sit circulus a b c d, in quo $ec\~et $e du{ae} chord{ae} a c & b d: & $it pũctũ $ectionis e. Dico, quòd angulus a e b e$t æqualis angulo, qui e$t in circumferentia, quam $ubt\~edunt duo arcus a b & c d: & quòd angulus b e c e$t {ae}qualis angulo in circumfer\~etia, quã $ubtendunt duo arcus d g a & b z c. Ducatur enim à puncto b li- nea b z {ae}quidi$tanter line{ae} a c per 31 p 1. Si ergo linea b z $ecat circulum, palã, quia arcus c z e$t {ae}qualis ar- cui a b per præcedentem: arcus itaq; z d æqualis e$t ambobus arcubus a b & d c: quoniam arcus d c utro- biq; e$t cõmunis: fed arcus d z re$picit angulũ d b z, VITELLONIS OPTICAE qui e$t æqualis angulo a e b per 29 p 1: angulus itaque a e b e$t æqualis angulo in circumferentia, ca denti in arcum æqualem duobus arcubus b a, & c d. Item d ucatur linea d z, & producatur linea z b extra circulum in punctum h: erit ergo angulus h b d ext rin$ecus æqualis duobus angulis intrin$e- cis b d z, & b z d per 32 p 1: $ed duo anguli b z d & b d z re $piciuntur à duobus arcubus b g d, & b f z: angulus ergo h b d e$t æqualis angulo, quem re$piciunt duo arcus b g d & b f z: hic autem e$t arcus d a z: $ed arcus a b e$t æqualis arcui z c: arcus itaque d a z e$t æqualis duobus arcubus d g a & b z c. Cum itaque per 29 p 1 angulus h b e $it æqualis angulo h a b e d z c b e c: patet, quia angulus b e c e$t æqualis angulo, quem in circũferentia re$piciunt duo arcus d g a & b z c. Quòd $i linea h b z contingit circulum, & non $ecat: tunc patet per 32 p 3, quia angulus e b z e$t æqualis angulo cadenti in portionem circuli, qu{ae} e$t b a d, & angulus e b h e$t {ae}- qualis angulo cadenti in portionem circuli b c d: $ed an gulus e b z e$t æqualis angulo b e a per 29 p 1. Angulus itaque b e a e$t æqualis angulo, qui apud circumferen- tiam cadit in arcum b c d: $ed arcus b c e$t æqualis arcui b a per proximam pr{ae}cedentem: arcus ergo b c d e$t æ- qualis duobus arcubus b a & c d. Angulus itaq; b e a e$t æqualis angulo, qui apud circumfer\~etiam re$picit duos arcus a b & c d: quoniam angulus cadens in arcum b c d e$t con$i$tens in portione circuli, quæ e$t b g d. Simi- liter quoque pote$t declarari, quòd angulus b e c e$t æqualis angulo apud circumferentiam, quem re$piciũt duo arcus b c & a d: quoniam angulus b e c e$t æqualis angulo h b d, cuius {ae}qualitas per 32 p 3 cadit in portionem circuli b c d, hoc e$t in arcum b a d: e$t au- tem ex præmi$sis arcus a b æqualis arcui b c: patet itaque propo$itum.

55. Angulus à duabus lineis ab uno puncto extra circulum dato, circulum $ecantibus con- tentus, æqualis e$t angulo $uper circumfer\~etiam cadenti in arcũ, e a b d f c quo maior arcuum inter illas duas lineas comprehen$us, excedit minorem. Alhazen 25 n 7.

E$to circulus a b c d, extra quem $it datum punctum e: & ducan- tur à puncto e du{ae} line{ae} $ecantes circulum, quæ $int e a d & e b c. Di- co itaq;, quòd angulus d e c e$t æqualis angulo, qui e$t apud circum- ferentiam circuli, quem re$picit arcus, in quo arcus d c excedit arcũ a b. À pũcto enim a ducatur per circulum linea a f {ae}quidi$tans line{ae} b c per 31 p 1: erit ergo per 53 huius arcus f c {ae}qualis arcui a b. E$t itaq; arcus d f exce$$us arcus d c $uper arcum a b: $ed angulus d a f apud circumferentiã exi$tens cadit in arcum d f: & angulus d a f e$t æqua- lis angulo d e c per 29 p 1. Ergo angulus d e c e$t æqualis angulo ca- denti $uper circumferentiam in arcum d f: quod e$t propo$itum.

56. In dato $emicirculo ad unum punctũ circumferentiæ, dua- bus line{is}: una à termino diametri, & alia à centro duct{is}: ab ei$- dem punct{is} ad aliud punctum quodcun<005> $emicirculi dati lineas duas prioribus duabus proportionales duci e$t impo{$s}ibile: in diuer$is uerò $emicirculis hoc e$t po{$s}ibile.

E$to datus $emicirculus a d b: cuius diameter a b: centrum uerò c: & $it aliquod punctum circũ- ferentiæ d: & ducatur à puncto a termino dia- g d f a e c h b metri ad punctum d linea a d: & à c\~etro c linea c d. Dico, quòd $i à punctis a & c duæ lineæ ad aliud punctum $emicirculi ducantur: quòd ill{ae} du{ae} duct{ae} line{ae} duabus lineis a d & c d propor tionales non erunt. Sit enim, $i po$sibile e$t, ut à punctis a & c ducantur ad punctum g du{ae} lineæ a g & c g, & qu{ae} e$t proportio line{ae} a d ad lineam c d, eadem $it lineæ a g ad lineam c g, e- rit permutatim per 16 p 5 proportio lineæ a d ad lineam a g, $icut line{ae} c d ad lineam c g: $e d li nea c d e$t æqualis line{ae} c g: quoniã amb{ae} $unt ex c\~etro $emicirculi: ergo linea a d {ae}qualis erit line{ae} a g: hoc aũt e$t impo$sibile ex 7 p 3 & 19 p 1: ma- iori enim angulo $ubt\~editur linea a d <004> linea a g: & e$t uicinior diametro. Patet ergo {pro}po$itũ primũ: quia à quocũq; pũcto alio dato id\~e accidit impo$sibile, & eod\~e modo deduc\~edũ. In diuer$is uerò $e- LIBER PRIMVS. micirculis hoc e$t po$sibile. Si enim $emicirculi æquales fuerint: tunc in centro alterius $emicirculi $uper $emidiametrum con$tituto æquali angulo a c d, per 23 p 1, compleatur propo$itum ex 4 p 1, & 4 p 6. Quòd $i alter $emicirculus minor fuerit dato $emicirculo: in$cribatur æqualis illi $emicirculo ad idem centrum: erit\’q; æquidi$tans primo, & in punctum, ubi linea c d ip$um $ecabit, (quod $it f) ducatur linea à termino $uæ $emidiametri, quæ $it e f: & patet propo$itum per definitionem circuli & 29 p 1, & 4 p 6. Quòd $i dato $emicirculo alter fuerit maior, circum$cribatur æquidi$tãter eidem, & producta linea à centro primi $emicirculi ad datum punctum d, quou$q; tangat peripheriam al- terius $emicirculi, & coniungatur à puncto contactus alia linea ad terminum diametri: & deinde compleatur, ut prius, demon$tratio: & patet propo$itum.

57. À puncto uno ad datum $emicir culum unam tantum lineam contingent\~e po{$s}ibile e$t duci. Ex quo patet, quòd omnis linea ab eod\~e puncto $ub conting\~ete ducta, d a g b f e c $ecat $emicirculũ in uno pũcto $upr a punctũ cõting\~etiæ, & in alio $ub ip$o.

E$to datus $emicirculus a b c, cuius c\~etrum e: & $it extrà datus punctus d: à quo ad $emicirculũ ducatur linea conting\~es, quæ $it d b. Dico, quòd à puncto d ad $emicirculum a b c, aliam conting\~etem; quàm lineam d b duci e$t impo$- $ibile. Si enim hoc $it po$sibile, ducatur: hæc ergo contingens aut cadet ultra punctum b, aut citra: $it primò, ut cadat ultra punctum b, uer$us c in punctũ f, & $it d f: ducantur itaq; à centro e ad puncta contingentiæ, lineæ e f, e b, & pro ducatur diameter c e a u$q; ad punctum d. Palàm ergo per 18 p 3, quoniam an- gulus e b d e$t rectus: $imiliter angulus e f d e$t rectus. Sunt itaq; æquales, & cadunt in trigonum e f d: quod e$t contra 21 p 1. Id\~e quoq; accidit impo$sibile, $i linea conting\~es ducta à puncto d ad $emicirculum a b c, cadat inter puncta b & a: ut linea d g. Palàm ergo corollarium: quoniam enim linea d g non con- tingit $emicirculum: ergo ip$a producta $ecat ip$um: & hoc e$t propo$itum.

58. Quælibet duæ lineæ ab uno puncto productæ circulum conting\~etes, $unt æquales: & arcus interiacens puncta contingentiæ e$t minor $emicir- culo. Linea quo<005> diuidens angulum illarum per æqualia: & arcum inter- iacentem diuidit per æqualia: & linea per æqualia diuidens arcum, hæc producta per æqualia diuidit & angulum à lineis contingentibus conten- tum. Con$ectarium $ecundum Campani ad 36 p 3.

Sit circulus a b c, cuius centrum f: & $it, ut à puncto e ducantur du{ae} lineæ circulum contingen- tes per 17 p 3, quæ $int e a & e c. Dico, quòd lineæ e a, e c $unt æqua- e b a g c f d les: & quòd arcus a b c interiacens puncta contingentiæ e$t mi- nor $emicirculo: & $i producatur à puncto e linea e b, diuid\~es angu- lum a e c per æqualia: dico; quòd linea e b in puncto b diuidet arcum a c per æqualia: & $i linea d e diuidat arcum a c per æqualia, diuidet etiam angulum a e c per æqualia. Ducatur enim primò linea e f diui- dens a e c, quæ producta $ecabit circulũ: $ecet ergo ip$um in punctis b & d. Palàm itaq; per 36 p 3, quoniam illud, quod fit ex ductu lineæ d e in lineam e b, æquale e$t quadrato lineæ a e: & ead\~e ratione qua- drato lineæ e c. Ergo quadratum lineæ a c e$t {ae}quale quadrato lineæ e c. Ergo & linea a e e$t æqualis lineæ c e: & hoc e$t primum propo$i- torũ. Sed quia ductis lineis f a & f c, erunt anguli f c e & f a e recti, per 18 p 3: $unt ergo æquales: ergo per 4 p 1 linea f e diuidit angulum a e c per æqualia. Et quia lineæ c e & a e concurrunt in puncto e: palàm per 32 p 1, quoniã anguli e f c & e f a $unt minores duobus rectis. Ar- cus ergo a b c e$t minor $emicirculo per 33 p 6: quod e$t $ecundum. Ducatur quoq; linea a c $ecans lineam e d in puncto g: & ducantur lineæ a b & a c. Quia ergo linea e g $ecat angulum a e c per æqualia: patet per 4 p 1, cum linea a e $it æqualis lineæ e c, & latus e g $it com- mune, quoniã linea a g e$t æqualis lineæ c g, & angulus e g a e$t æqua lis angulo e g c. Sed & trigonis a b g & c b g latus b g e$t comune: ergo per 4 p 1 erit linea a b æqua- lis lineæ b c: ergo per 28 p 3 arcus a b e$t æqualis arcui b c. Eodem quoq; modo patet, quòd $i linea g e $ecat arcum a c per æqualia in puncto b, quòd ip$a etiam diuidet per æqualia angulũ a e c. Quia enim trigona a e b & c e b $unt æquilatera, ut patet: palam ergo per 8 p 1, quoniam angulus a e b e$t æqualis angulo c e b: & hoc e$t totum quod proponebatur.

59. Arcubus æqualibus, minoribus quolibet, quarta circuli ex utra<005> parte diametri cir- culi re$ectis: à terminis illorũ arcuum ductas contingentes in uno puncto eductæ diametri con- currere e$t nece$$e: & ab uno puncto diametri ductas conting\~etes in terminis æqualiũ arcuum contingere e$t nece$$e. Ex quo patet, quoniam omnem angulum & arcum à lineis contingenti- bus contentum diuidit diameter educta per æqualia. VITELLONIS OPTICAE

E$to circulus a b c, cuius centrum $it d, & eius diameter c e, quæ producatur indefinitè ad pun- ctum f: & ab unaquaq; parte puncti e $int a e & b e arcus æquales: & à punctis a & b ducantur lineæ circulũ contingentes per 17 p 3. Dico, quòd illæ du{ae} lineæ concurr\~et f h g a e b d c in uno puncto eductæ diametri e f. Quod $i dicatur ip$as nõ concur- rere in puncto uno diametri, concurrent tamen ambæ contingentes cũ diametro d f: productis enim lineis d a, d b: erũtanguli ad puncta a & b recti: $ed anguli e d a & e d b $unt acuti per 33 p 6: arcus enim a e, b e $unt minores, quilibet, quarta circuli: ergo per 14 huius linearũ contingentium utraq; concurret cum linea d f. Si itaq; non fit hoc in eodem puncto: $it, ut linea conting\~es ducta à puncto a, concurrat cũ linea d f in puncto g: & contingens ducta à puncto b concurrat cum d fin puncto h, quod $it ultra punctum g: & ducatur linea a h: erit\’q; per 27 p 3, & exhypothe$i angulus h d a æqualis angulo h d b: ergo per 4 p 1 erit angulus h a d æqualis angulo h b a: & per 18 p 3 uterq; ip$orũ e$t rectus. Quia itaq; angulus d a g e$t rectus per 18 p 3: patet, quòd ip$e e$t {ae}qualis angulo d a h recto, & angulus a d g e$t commu- nis: erit ergo per 32 p 1 angulus a g d {ae}qualis angulo a h d, extrin$ecus $cilicet intrin$eco in trigono a h g: quod e$t contra 16 p 1 & impo$si- bile. Patet ergo primum. Sed & $i à puncto diametri h ducantur duæ lineæ circulum contingentes in punctis a & b: erunt arcus a e & b e æquales: trigona enim a h d & h b d $unt æquilatera per præcedent\~e: ergo $unt æquiangula per 8 p 1: e$t ergo angulus a d h æqualis angu- lo b d h. Ergo per 26 p 3 arcus a e e$t æqual s arcui b e: quod e$t propo$itum: & patet corollarium.

60. Si intra duas lineas circulum contιng\~etes ab uno puncto ductas, aliæ duæ lineæ eundem circulam contingentes ducantur: cadent puncta conting\~etiæ interiorum intra puncta contin- gentiæ exteriorum: & $iarcus hinc inde interiacentes puncta contingentiæ, fuerint æquales, erit utrarum<005> concur$us $emper in ead\~e diametro circuli educta: interiores quo<005> ad utram<005> partem productæ cum exterioribus nece$$ariò concurrent.

E$to circulus a b c d e, cuius c\~etrũ k: & eius diameter e h educatur: & $it, ut ab aliquo puncto $uo, quod $it f, lineæ f a & f d contingentes circulũ ducantur: & inter lineas f a & f d ducantur ab aliquo puncto $uperficiei a f d, quod $it g, lineæ g b & g c circulũ contingen- f g g m b p h c a k d b e tes in punctis b & c Dico, quòd puncta b & c cadent intra pũcta a & d. Si enim nõ caduntintra puncta a & d: aut cadũt in illa puncta aut extra: $i in illa, ducãtur lineæ k a & k d à c\~etro k ad puncta contingen tiæ a & d: erit itaq; per 18 p 3 angulus k a frectus: & $imiliter angulus k a g rectus: & $ic rectus maior recto. It\~e inter contingent\~e f a & cir- culum, alia linea capitur, ut g a: hoc aut\~e e$t cõtra 16 p 3. Palàm ergo, quoniã impo$sibile. Si uerò detur, quòd puncta b & c cadant extra pũcta a & d: $it punctũ b ultra a punctũ, $ecabit\’q; linea g b producta lineam f a per 14 huius. Et quoniã e$t conting\~es $olum in puncto b, erit punctus $ectionis extra circulũ: $it ille punctus m. Palàm itaq;, quoniã lineæ m a & m b ab uno pũcto m productæ $emicirculũ con- tingunt: quod e$t contra 57 huius. Non ergo cadit punctum b ultra punctũ a, $ed intra. Similiter\’q; demon$trabitur, quia punctũ c cadit intra punctum d. Cadũt ergo puncta conting\~etiæ interiorum intra puncta conting\~etiæ exteriorũ. Sed & arcubus a b & c d exi$t\~etibus {ae}qualibus, punctũ g nece$$ariò cadit in diametro e h f. Si enim extra illã, ducatur linea k g $ecãs circũferentiã in pũcto p. Quia ergo arcus b p e$t æqualis arcui p c per præcedent\~e: arcus quoq; a b e$t æqualis arcui c d ex hypothe$i: remanet ergo arcus c h æqualis arcui h b: $ed arcus h b e$t maior arcu p b: ergo arcus c h e$t maior arcu c p, pars $uo toto: q<001> e$t impo$sibile. Nõ ergo cadit pũctũ g extra diametrũ e h f. Palàm etiã e$t ք 14 huius, quoniã linea g b {pro}ducta ultra pũ- ctũ b, nece$$ariò cõcurret cũ linea f a, & linea c g {pro}ducta ultra pũctũ c, cõcurret nece$$ariò cũ linea f d: linea enim k c rectũ angulũ cõtin\~es cũ linea a g, cõtinet acutũ cũ linea f d: patet ergo {pro}po$itũ.

61. Si ad mediũ punctũ arcus interiac\~etis punct a conting\~etiæ duarũ linearũ, abuno puncto ad circulũ productarũ, linea cõtingens circulũ ad alias conting\~etes producatur: illa in puncto $uæ contingentiæ per æqualia diuiditur: & ab alys line{is} cõtingentib. partes ab$cindit æquales.

Sit circulus a b c, qu\~e contingãt duæ lineæ d a & d c, à puncto d productæ: producatur ergo dia- meter g b d: & palàm ք 59 huius, quoniã ip$a diuidit angulũ a d c, & arcũ a c per æqualia in pũcto b. À puncto itaq; b producatur linea contingens circulũ per 17 p 3: h æ c itaq; quoniã e$t orthogonalis $uper diametrum g b, ut patet per 18 p 3: palàm per 14 huius, quia ip$a producta $ecabit lineas d a & d c: $it ergo ut $ecet lineam d a in puncto e, & lineam d c in puncto f. Quia itaq; e d b & f d b anguli @unt æquales per 59 huius, & anguli d b e & d b f $unt recti: palàm, quia trigona e b d & f d b $unt LIBER PRIMVS. æquiangula per 32 p 1: ergo per 4 p 6 latera $unt proportionalia: $ed latus d b e$t æquale $ibi: erit er- go linea e b æqualis lineæ b f, & linea d e {ae}qualis a e g b d c f lineæ d f. Quod etiam $ic patere pote$t. Quia e- nim à puncto e ducuntur duæ lineæ contingen- tes circulum, $cilicet e a & e b, patet per 58 huius, quòd ip$æ $unt æquales. Omnes ergo lineæ a e, e b, b f, f c $unt æquales. Ergo lineæ e d & f d $unt æquales: patet ergo propo$itum.

62. A duobus puuctis æqualiter di$tanti- bus ab uno termino eductæ diametri, & à li- nea circulum in termino propiore diametri cõ tingente, duabus lineis ad alium terminũ dia- metri productis: arcus interiac\~etes illarum line arum alter am & diametrum, $unt æquales: il- lis uerò ad alium punctum circumferentiæ produ- g f h k b l a c e m d n ctis, arcus interiacent inæquales.

Sit circulus a b c d, cuius centrum e: diameter\’q; e- ius d b educatur ad punctũ f: $int\’q; duo puncta g & h {ae}qualiter di$tãtia à pũcto f educt{ae} diametri: ducãtúr- que du{ae} line{ae} g d & h d adaliũ terminũ diametri $ecã- tes circulũ: linea g d in pũcto a, & linea h d in pũcto c: & à puncto b ducatur linea cõtingens circulũ, qu{ae} $it k b l, à qua {ae}qualiter di$t\~et pũcta g & h. Dico, quòd ar- cus a b & b c $unt æquales. Ducatur enim linea g f h: erit ergo ex hypothe$i linea g f æqualis line{ae} h f: ideo, quia puncta g & h {ae}qualiter di$tãt à puncto f: & ducã- turline{ae} h l & g k perp\~ediculariter $uper lineã k b l cõ ting\~et\~e, ք 12 p 1: erũt ergo ex hypothe$i & ill{ae} {ae}quales: ergo ք 33 p 1 linea g h {ae}<003>di$tat line{ae} k l. Ergo ք 18 p 3 & 29 p 1 anguli d f h & d f g $unt recti: ergo ք 4 p 1 anguli g d f & h d f $unt {ae}quales. Ergo ք 26 p 3 arcus a b e$t {ae}- qualis arcui b c. Patet quoq; manife$tè, quòd $i à pũctis g & h line{ae} ad aliud pũctũ circũferenti{ae} quã ad pũctũ d {pro}ducãtur, ut ad pũcta m ueln: quòd ill{ae} line{ae} arcus re$ecabũt in{ae}quales: qu{ae}libet enim illarũ, qu{ae} $ecat diametrũ, ab$cindit minor\~e arcum, & alia maior\~e: & hoc e$t, quod proponebatur.

63. Diameter circuli diuidens hexagonum, eid\~e cir- g b c a f d e culo in$criptum, ab oppo$it{is} angulis per æqualia, duob. lateribus med{ij}s hexagoni erit æquidi$tans.

Sit circulus, cuius centrũ $it punctũ a: in$criptus hexa- gonus, qui b c d e f g: & ab oppo$itis angulis illius hexago ni ducatur diameter b a e. Dico, quòd illa diameter æqui- di$tat duobus medijs lateribus hexagoni, quæ $unt c d & g f. Ducantur enim lineæ a c & a d. Quia itaque line{ae} b c & c d, (qu{ae} $unt latera hexagoni) $unt inter $e {ae}qualia, & utrunq; ip$orũ e$t {ae}quale $emidiametro circuli per 15 p 4: patetergo, quòd trigona a b c & a c d $unt {ae}quilatera: er- go per 8 p 1 ip$a $unt {ae}quiangula: erit ergo angulus c a b {ae}- qualis angulo a c d. Ergo per 27 p 1 lineæ a b & c d {ae}quidi $tant. Similiter quoq; pote$t demon$trari de lineis a b & f g. Patet ergo, quoniam diameter b e {ae}quidi$tat medijs la teribus hexagoni: quod e$t propo$itum.

g f c b d a 64. Duobus circulis inæqualibus $e $ecantibus, it a ut minor pertrã- $eat centrum maioris: arcum minor {is} interiacentem peripheriã ma- ior{is} in centro maioris per æqualia diuidi e$t nece$$e.

Sint duo circuli c f d maior, cuius centrũ $it a: & c g d minor, cuius cen trum $it b: $ecent\’q; $e hi circuli in punctis c & d: tran$eat\’q; minor (qui c g d) per centrũ maioris, quod e$t a: erit\’q; arcus c a d minoris circuli con tentus intra peripheriam maioris. Dico, quòd arcus c a d diuiditur per æqualia in puncto a. Ducatur enim linea copulans centra, qu{ae} $it a b: & hec producta compleat diametrũ minoris circuli, quæ $it a b g: & ad pũ- cta $ectionum c & d, ducantur lineæ a d, a c, b d, b c. Quia itaque in trigo- nis a b c & a b d, duo latera a b & b c unius $unt æqualia duobus laterib. a b & b d alterius: quoniam omnes $unt rect{ae} ex puncto b centro circuli VITELLONIS OPTICAE minoris ductæ ad peripheriam, & ba$is a c e$t æqualis ba$i a d: quoniam $unt ex centro circuli maio ris. Ergo per 8 p 1 anguli æquis lateribus contenti $unt {ae}quales: angulus ergo c a b e$t æqualis angu lo d a b: ergo per 26 p 3 arcus c g e$t {ae}qualis arcui d g: reliqui ergo arcus $emicirculorum, qui $unt a c & a d, $unt {ae}quales. Arcus ergo c a d diuiditur per æqualia in puncto a: quod e$t propo$itum.

65. Omnes lineæ rectæ ductæ à polo ad peripheriam $ui circuli e a d b c $unt æquales. 5 def. 1 $phæ. Theodo.

E$to circulus a b c, cuius centrum d: & erigatur perpendiculariter $uper circulum à centro linea d e, ita, ut per definitionem polus cir- culi $it punctũ e: & ducantur lineæ e a, e b, e c. Dico, quòd ip$æ o\~es $unt æquales. Ducantur enim line{ae} a d, b d, c d. Quia itaq; quadratũ line{ae} a e e$t {ae}quale quadrato line{ae} e d & line{ae} d a: quadratum quoq; lineæ b e æquale e$t quadrato lineæ e d & lineæ d b per 47 p 1: qua- dratum uerò lineæ e d e$t æquale $ibijp$i, & quadratũ line{ae} d a {ae}qua- le quadrato lineæ d b per circuli definitionem: palàm quia quadra- tum lineæ a e e$t æquale quadrato line{ae} b e, & $imiliter quadrato li- neæ c e. Palàm ergo, quoniam line{ae} a e, b e, c e, & quæcunq; $imiliter ductæ, $unt æquales: & hoc e$t propo$itum.

66. Omnis linea centrum $phæræ cum centro circuli non magni illius $phæræ continuans e$t perp\~edicular{is} $uper $uperficiem illius circuli. 7 & 23 th. 1 $phæ. Theodo.

Sit centrum $phær{ae} punctum z, $it\’q; punctum e centrum circuli non magni illius $phæræ, qui $it a b g d, & ducatur linea z e. Dico, quòd linea z e e$t perpendicularis $uper $uperficiem circuli a b g d. Ducantur enim line{ae} a e, b e, qu{ae} productæ cõpleant duas b z g a e d diametros circuli, quæ $int a g, & b d: & ducantur line{ae} z a & z b & z d & z g, qu{ae} omnes erunt æquales per definitio- nem $phæræ: $ed & lineæ e a, e b, e d, e g $unt æquales per definitionem circuli: linea itaq; z e exi$tente communi, pa tet quòd trigona z a e, z b e, z d e, z g e omnia $unt {ae}quilate- ra: ergo per 8 p 1 ip$orum anguli {ae}qualibus laterib. conten- ti $unt {ae}quales. O{ae}s ergo anguli z e a, z e g, z e b, z e d $unt {ae}quales: $unt ergo recti. Eodem\’q; modo pote$t demõ$tra. ri de omnibus angulis contentis $ub linea z e & omni $emi diametro circuli a b g d. Linea ergo z e e$t perpendicularis $uper $uperficiem circuli a b g d: & hoc e$t propo$itum.

67. À centro $phæræ ductã perpendicular\~e $uք $uper- fici\~e circuli non magni ip$ius $phæræ, eiu$d\~e circuli c\~etro incidere e$t nece$$e. Cõ$ectariũ $ecundũ 1 th. 1 $phæ. Theo.

Sit, ut in præmi$$a, centrum $ph{ae}ræ punctum z: $it\’q; punctum e centrum circuli non magni illius $ph{ae}r{ae}, qui $it a b g d: & ducatur à puncto z centro $phær{ae} linea perpendiculariter $uper $uperfici\~e circuli a b g d, quæ $it z e. Dico, quòd punctum e e$t centrum circuli a b g d. Ducantur enim lineæ z a, z b, z g, quæ erũt {ae}quales per definition\~e $ph{ae}r{ae}. Quoniã ergo anguli a e z, b e z, d e z, g e z $unt re cti: patet per 47 p 1 quoniam quadratũ line{ae} z a ualet quadrata linearum a e & z e, & quadratum li- ne{ae} z b ualet ambo quadrata linearum b e & z e: & $imiliter quadratũ line{ae} z g ualet ambo quadra- ta linearum g e & z e: line{ae} uerò z a, z b, z g $unt {ae}quales, & quadrata ip$arum {ae}qualia: ablato itaque quadrato line{ae} z e omnib. cõmuni, relinquitur ut quadrata linearum b f c a d g e a e, b e, g e $int {ae}qualia: ergo & ip${ae} line{ae} a e, b e, g e $unt {ae}quales. Ergo per 9 p 3 punctum e e$t centrum circuli a b g d: quod e$t propo$itum.

68. Aequidi$tantium in $phæra circulorum centra in ead\~e dia metro $phæræ con$i$tere e$t nece$$e. Ex quo patet, quòd omnes circu- li in $phæra æquidi$tantes eo$dem habent polos: & $i eo$dem habent polos, $unt æquidi$tantes. 1 & 2 th. 2 $phæ. Theodo.

Sit $ph{ae}ra, cuius centrũ $it punctũ a, & in ip$a $int duo circuli {ae}quidi $tãtes: b c, cuius c\~etrũ $it f: & d e, cuius c\~etrũ g: & ducatur linea a f, qu{ae} {pro}ducta erit diameter $ph{ae}r{ae}, cũ ip$a trã$eat centrũ $ph{ae}r{ae} a: ergo ք 66 huius lineá a f e$t erecta $up $upfici\~e circuli b c: ergo ք 23 huius erit ea d\~e diameter erecta $uք $uքfici\~e circuli d e: ergo ք pmi$$am ip$a trã$it ք centrũ circuli d e. Sunt ergo centra illorũ circulorũ in ead\~e diametro $ph{ae}r{ae}: q<001> e$t {pro}po$itũ. Et exhoc patet, q<001> illi circuli eo$d\~e hab\~et po- LIBER PRIMVS. los per definition\~e poli. Et $i aliqui circuli eo$d\~e habent polos, patet per 14 p 11, quòd ip$i $unt æqui- di$tantes: & hoc proponebatur. Quòd $i etiã reliquus circulorũ æquidi$tantium e$$et circulus ma- gnus, eadem e$$et demon$tratio. Duo uerò circuli magni eiu$dem $ph{ae}ræ $ibi inuicem æquidi$tare non po$$unt: quoniam amborum illorum e$t idem centrum, quod e$t centrum $phæræ.

69. Si plana $uperficies $ecet $phærã, cõmun{is} $ectio erit circulus. Ex quo patet, quoniã à quo- libet puncto in diametro uel $uperficie $phærica dato, e$t po$sibile totali $uperficiei $phæricæ circu- lumcircumduci, al{ij} etiam circulo illius æquidi$tantem. 1 th. 1 $phær. Theodo$y.

Sit $ph{ae}ra, cuius centrũ a, $ecetur\’q; per planam $uperfici\~e. Dico, quòd cõmunis $ectio $uperficiei $ph{ae}ricæ & planæ e$t circulus. Si enim fiat $ectio ք centrũ d f b c e d a: tũc patet, quòd o\~es lineæ ductæ à c\~etro a ad $phæræ $u- perfici\~e, qu{ae} $unt in illa plana $uքficie $ecãte, & terminan- tur ad cõmunem terminũ illorũ, $unt æquales per defini- tion\~e $ph{ae}ræ: ergo per definition\~e circuli, illa cõmunis $e- ctio e$t circulus. Si aũt $uperficies plana $ecet $phærã datã nõ per centrũ a: ducatur per 11 p 11 à centro a perp\~edicula- ris $uper $uperfici\~e $ecant\~e, qu{ae} $it a b, & cõtinu\~etur lineæ a c, a d, a e, a f, & quot quis uoluerit ad illã $ectionem com- munem à c\~etro ip$ius $ph{ae}ræ: ducãtur quoq; line{ae} c b, d b, e b, f b, in ip$a $uperficie $ecãte, ad puncta, quibus incidũt line{ae} ex centro $ph{ae}ræ ductæ. Palàm ergo per 47 p 1, quo- niã quadratũ lineæ a c e$t {ae}quale duobus quadratis linea- rum a b & b c: & $imiliter quadratum line{ae} a d e$t æquale duob. quadratis linearũ a b & b d: $ed quadratũ lineæ a c e$t æquale quadrato lineæ a d: quoniã linea a c e$t æqualis lineæ a d per definition\~e $ph{ae}ræ, & quadratũ lineæ a b e$t {ae}quale $ibijp$i: relinquitur ergo quadratũ lineæ c b æquale quadrato lineæ d b: e$t ergo linea c b æqualis lineæ d b: & $imiliter erit linea d b æqualis lineis e b & f b: ead\~e enim e$t demon$tratio, quotcunq; alijs lineis à c\~etro $phær{ae} a ad illam commun\~e $ectionem productis. Omnes itaq; lineæ à puncto b ad illã communem $ection\~e ductæ, $unt æquales: ergo per 9 p 3 & per definition\~e circuli, ut prius, punctũ b e$t centrũ circuli. Cõmunis ergo $ectio i$tarũ $uperficierũ e$t circulus: & hoc e$t propo$itũ. Patet etiã ex hoc corollariũ: quoniã à pũcto dato per 12 p 1 producta perp\~ediculari $uper diametrũ $ph{ae}ræ, imaginetur $uperficies plana $ecãs $phærã $ecundũ illã perpendicular\~e: & patet propo$itũ per præmi$$a. Quòd $i alicui circulo in $ph{ae}ra $ignato æquidi$tãs duci debeat: à dato pũcto ducatur perp\~edicularis $uper $ph{ae}ræ diametrũ tran$eunt\~e circuli centrũ, cui æquidi$tãs debet duci circulus, & {pro}ducatur in continuũ u$q; ad aliã $ph{ae}ræ $uperfici\~e, & ducatur alia linea à pũcto diametri utcũq; $uք productã, & orthogonaliter $u- per diametrũ $ph{ae}ræ, imaginetur\’q; $uperficies plana trã$iens terminos i$tarũ linearũ in ip$a $uper- ficie $ph{ae}ræ faci\~es $ection\~e: qu{ae} per præmi$$a nece$$ariò erit circulus: quia ք 4 p 11 diameter $ph{ae}r{ae}, $uper quã ducitur linea à pũcto dato, erit perp\~edicularis $uper $uperfici\~e in punctis illis, ut præmit- titur, $phæram $ecantem: unde à centro $phæræ ductis lineis, ut prius, patet quod proponebatur.

70. À dato puncto ad datam $phæram lineam contingentem ducere.

Sit enim datũ punctũ a, & centrũ dat{ae} $ph{ae}- c a d b ræ $it punctũ b: & ducatur linea a b: & à c\~etro $phæræ, quod e$t b, ducatur linea b c, ut cõtin- git, & copuletur linea a c: palam\’q; ք 2 p 11, quo niam trigonũ a b c e$t in una $uperficie plana: h{ae}citaq; per præced\~etem $ecabit $ph{ae}rã $ecũ- dũ circulũ, cui per 17 p 3 à pũcto a ducatur cõ- ting\~es in pũcto d, quæ $it a d: & patet {pro}po$itũ.

71. Omnis $uperficies plana contingens $phæram, $ecundũ unicum punctum e$t con- tingens. 3 th. 1 $phær. Theodo${ij}.

Ducatur in plana $uperficie contingente $phæram, linea recta trans locum cõtactus, & in $uper- ficie $ph{ae}ræ circulus magnus. Si ergo $uperficies plana contingit $phæram $ecundum aliud quàm $ecundum punctum, & linea recta continget circulum $ecundum idem: non ergo $ecundum pun- ctum continget linea recta circulum: quod e$t contra 16 p 3: palàm ergo propo$itum.

72. À dato pũcto $uքficiei $phæricæ $uքfici\~e planã cõtingent\~e ducere. Ex quo patet, <003> omnis linea centrũ $phæræ trã$iens, e$t perp\~edicularis $uք eius $uperfici\~e: & $ie$t perpendicularis $uper $phæricam $uperficiem, nece$$ariò tran$it centrũ $phæræ. È 4 th. 1 $phær. Theodo$y. Alh. 25 n 4.

E$to $ph{ae}ra, cuius centrũ $it a, & circulus eius magnus b d c: ducatur\’q; linea a b à c\~etro ad circũ- ferentiã: & à pũcto b ducatur linea cõting\~es circulũ, qu{ae} $it f b e ք 17 p 3: erũt ergo anguli a b e & a b f recti. Imaginatis quoq; ք 69 huius circulis quotcũq; in $uքficie $ph{ae}r{ae} $ecantib. $e in pũcto b, & du- ctis lineis, cõtingentib. illos circulos in pũcto b: palàm ք 18 p 3, quoniã linea b a cũ omnib. illis lineis cõtinetangulos rectos. Ergo o\~es ill{ae} lineæ $unt in una $uքficie plana ք 2 p 11. Illa itaq; $uքficies con- VITELLONIS OPTICAE tingit $ph{ae}rã ք definition\~e $uքficiei plan{ae} $ph{ae}rã cõting\~etis. Ex hoc itaq; patet, quoniã omnis linea à c\~etro $ph{ae}ræ ducta, $it erecta $uք planã $uքfici\~e, $ph{ae}rã ip$am in pũ- g h e b f d a cto $uæ incid\~eti{ae} cõtingent\~e, & anguli incid\~etiæ $int æquales: quoniã ip$a e$t perp\~edicularis $uք $ph{ae}r{ae} $uperfici\~e, ք definition\~e perp\~edicu- laris: anguli enim $emicirculorũ o\~es $unt æquales ք 43 huius. Et quo- niã linea ab {pro}ducta ad punctũ g, e$t adhuc erecta $uք $uքfici\~e planã, $ph{ae}rã cõtingent\~e in pũcto b: palã, ք a linea g b, & qu{ae}cũq; alia քp\~edi- cularis erigi pote$t $uք $uքfici\~e planã in pũcto b, cõting\~et\~e $ph{ae}rã, trã- $it c\~etrũ $ph{ae}ræ a: <003> a $i à pũcto b po$sit alia linea erigi $uք $uքfici\~e cõ- ting\~et\~e, nõ trã$i\~es cetrũ $phær{ae} a: $it illa h b d, & $it angul<_>9 h b e rectus: $ed angul<_>9 g b e e$t rectus ք 13 p 1, cũ angul<_>9 a b e $it rect<_>9 ex hypothe$i: erit itaq; rectus maior recto: q<001> e$t impo$sibile: patet ergo {pro}po$itũ.

73. Omnium $phærarum, quarum conuexæ $uperficies æquidi- $tant, uel $ecundũ $e tot{as} $e contingunt, nece$$ariò e$t id\~e centrum.

Sint du{ae} $ph{ae}ræ, quarũ cõuexæ $uքficies æquidi$t\~et, $ectæ ք æqua- lia ք unã planã $uքfici\~e: cõmunis ergo $ectio $uperficierũ illarũ $phæ ricarũ & huius planæ erũt circuli: $it\’q; magnus circulus maioris $ph{ae}ræ a b, & centrũ eius e: mino- ris uerò $ph{ae}r{ae} circulus magnus $it c d. Dico, quòd id\~e a c e h d b punctũ e etiã erit c\~etrũ circuli c d. Ducatur enim linea a e b taliter, ut $i e nõ $it c\~etrũ amborũ circulorũ, linea tñ a e b trã$eat ք ambo c\~etra (q<001> pote$t fieri cõtinua- tis c\~etris ք lineã rectã) & {pro}ducta illa ad քipheriã ma- ioris $ph{ae}r{ae}: h{ae}c itaq; erit diameter circuli a b. Et quo- niã circuli a b & c d $unt in ead\~e $uքficie: $it ut diame- ter a b $ecet քipheriã circuli c d in pũctis c & d: erit\’q; recta c d diameter circuli c d. Quia ergo {pro}pter æqui- di$tantiã circulorũ linea a c e$t æqualis lineæ b d, & li- nea a e e$t æqualis lineæ e b: remanet linea c e æqualis line{ae} e d. Et <003> a diameter c d diuiditur ք {ae}qualia in pũ- cto e: patet, quòd pũctus e e$t c\~etrũ circuli c d. Si enim nõ $it pũctus e centrũ circuli c d: $it c\~etrũ eius pũctus h: erit\’q; ք definition\~e circuli linea h d æqualis lineæ a c: erit ergo linea h a æqualis lineæ h b: $ed linea h a e$t maior quàm linea a e: ergo h b e$t maior quã linea e b, pars $uo toto: quod e$t impo$sibile. E$t ergo pũctus e nece$$ariò c\~etrum circuli c d. Et quia circulus c d e$t magnus circulus $u{ae} $ph{ae}ræ, patet quòd æqui- di$tantium $ph{ae}rarum e$t idem c\~etrum: quod e$t propo$itum primum. Et eodem modo de $phæris $ecundum totas $uas $uperficies contingentibus, e$t demon$trandum. Lineæ enim ductæ à centro ad concauum maioris & ad cõuexum minoris, $unt {ae}quales: patet ergo illud quod proponebatur.

74. Si duæ $phæræ fuerint æquidi$tãtes, uel $ecundũ totas $uքficies $e cõting\~etes: quæcũ<005> lineæ $uք unius earũ $uperfici\~e perp\~edicularis fuerit, $uք alterius quo<005> $uperfici\~e perp\~edicularis erit.

I$tud faciliter patet. Quoniã enim ex præmi$$a tales $ph{ae}ræ id\~e centrum habere nece$$ariò com- probantur: ergo per 72 huius linea perpendicularis $uper alteram i$tarum $ph{ae}rarum, centrũ ip$ius tran$it: $ed centrum ip$ius e$t c\~etrum alterius. Ergo per eandem 72 huius $uper alterius etiã $phæ- ræ $uperficiem illa linea perpendicularis erit: & hoc e$t propo$itum.

75. Si duæ $phæræ c\~etra diuer$a habuerint: impo{$s}ibile e$t, ut lineæ քp\~ediculares $uք unius $u- perfici\~e, $int perp\~ediculares $uper alterius $uperfici\~e, ni$i unatantũ, quæ trã$it c\~etra ambarum.

Quocũq; modo $e hab\~etibus adinuic\~e $ph{ae}ris, $iue extrin$ecus $iue intrin$ecus $e cõting\~etibus, uel etiam $e nõ conting\~etibus, uel etiã $e adinuic\~e $ecãtibus, $emper patet ex 72 huius, quoniã linea tran$iens per c\~etra ip$arũ, e$t perp\~edicularis $uper $uperfici\~e utriu$q;;: aliã quoq; lineã $uper utriu$q; $uperfici\~e perpendicular\~e e$$e, e$t impo$sibile. Si enim $it po$sibile: ducatur aliqua alia perp\~edicu- lariter $uper utriu$q; $ph{ae}ræ $uperfici\~e: palam\’q; erit ex ead\~e 72 huius ip$am per utriu$q; centrũ trã- $ire: quod e$t oppo$itũ hypothe$i. Patet ergo, quoniã nullã aliam lineã, præter eã, qu{ae} tran$it centra ambarũ, perp\~ediculariter duci $uք utriu$q; $ph{ae}rarũ $uperficies e$t po$sibile. Et hoc e$t propo$itũ.

76. Si $phæra $phærã intrin$ec<_>9 aut extrin$ec<_>9 cõtingat: in uno tãtũ pũcto cõtingere e$t nece$$e.

Si enim $ph{ae}ræ conting\~etes $e intrin$ecus, nõ in puncto $e contingant: nece$$e e$t circulos $uos maiores a dinuicem applicatos non $e in puncto contingere: quod e$t contra 13 p 3, & impo$sibile. Quòd $i $ph{ae}ræ extrin$ecus $e contingentes, non $e contingant in puncto: etiam hoc e$t contra na- turam circulorum extrin$ecus $e contingentium, & contra eand\~e 13 p 3. Pote$t & hoc aliter demon- $trari. Si enim inter illas $ph{ae}ras, qu{ae} $e extrin$ecus contingunt, imaginata fuerit $uperficies plana: palàm ex 71 huius, quoniam utraq; illarum $ph{ae}rarum illã $uperficiem planam contingit in puncto. Ergo & $einuicem in puncto conting\~et: & propinquior e$t utriq; $phærarum ip$a plana $uperficies interpo$ita, quàm $phæræ inter $e. Et hoc e$t propo$itum.

LIBER PRIMVS. 77. Sphærarum $e contingentium, centra diuer$a e$$e e$t nece$$e.

Signentur enim in utralibet $phærarum à puncto contactus duo circuli maiores per 69 huius, $ecantes eorum $uperficiebus planis $phæras per $ua centra, & per puncta contactuum. Et quia cen tra horum circulorum $unt centra $phærarum $uarum per definitionem circulorum magnorũ: hos autem circulos centra diuer$a habere e$t conclu$io 6 p 3. Patet ergo propo$itum.

78. Centrorum, $phærarum $e extrin$ecus contingentium, di$tantiam $ecundum lineam com po$itam ex ambarum $phærarum $emidiametris. intrin$ecus uerò $e contingentium, $ecundum exce$$um $emidiametri maior{is} ad $emidiametrum minoris e$$e, palàm est.

Hoc patet per 76 huius. Quoniam enim contactus $phærarum fit $ecundum unum tantùm pun- ctum: punctus uerò e$t, cui pars nõ e$t: tunc euid\~es e$t, quòd punctus ille cõmunis in utraq; inter$e ctione nihil adimit de diametrorum quantitate: indiui$ibile enim (cum non $it pars quanti) nec ad- dit nec minuit aliquid de quanto. Et $ic patet propo$itum.

79. Si concauũ alicuius $phæræ, $uperficiem aliquam $ecundum eam totam contingat: nece$$e e$t $uperficiem contactam partem $phæræ minor{is} e$$e.

Sit, ut aliqua $phæra $ecundũ $uum concauũ contingat aliquã $uperficiem $ecundũ o\~es illius par tes, $icut uas $phæricũ $uperficiem aqu{ae} content{ae}. Dico, quòd uerũ e$t quod proponitur. Ducantur enim line{ae} plurim{ae} à centro $phær{ae} ad locum contactus $ui cum illa $uperficie. Et quia omnes line{ae} productæ ad cõcauũ $phær{ae} $unt æquales inter $e ex definitione $phæræ, & $unt æquales productis lineis ad conuexũ $uperficiei cõtact{ae}: patet ex dicta definitiõe, quoniã illa $uքficies e$t pars $phær{ae}: & quælibet intellecta exten di $ecundũ cõcauũ ambientis $phær{ae}, $phærã minor\~e cõplebit. E$t ergo pars minoris $phær{ae}. Linea quoq; in illa $uperficie $ignata, e$t pars circuli ex 9 p 3, idem habens cen trum cum circulo, cui applicatur. Et $ic illa $uperficies e$t pars minoris $phær{ae}. Quod e$t propo$itũ.

80. Si $phæra $phæram inter$ecet, commun{is} $ectio $uperficierum $phæricarum $e inter$ecan- tium erit peripheria circuli.

Quod hic proponitur, patet. Imaginetur enim $uperficies $ecans ambas $phæras $ecundum lineã cõmun\~e $ectionis $phærarũ, quali$cũq; fuerit. Hæc ergo $uperficies propter $imilitudin\~e corporũ $e inter$ecantiũ plana erit: cõmunis ergo $ectio illius $uperficiei & utriu$q; $phærarũ erit circulus per 69 huius. Palàm ergo, quòd cõmunis linea inter$ectionis $uperficierũ $phærarum illarum erit peri- pheria circuli, in qua inclu$a $uperficies, erit circulus communis illi $ectioni: quoniam aliàs corpus, quo utræq; $phær{ae} communicant, e$t corpus cõmune $phærarum inter$ectioni: & e$t corpus irregu lare, duabus $cilicet $uperficiebus $phæricis contentum & diuer$is, $ecundum di$po$ition\~e $e inter- $ecantium $phærarum. Patet ergo propo$itum.

81. Sphærarum $e inter$ecantium, maiores circulos $e inuicem $ecare palàm est. Ex quo patet inter$ecantium $e $phærarum centra diuer$a e$$e.

Primum patet ex definitione $phærarum $e inter$ecantium. Quoniam enim inter$ecantibus $e $phæris, diameter unius per alteram ab$cinditur, & maiorum circulorũ diametri $unt etiam diame- tri $uarum $phærarum (diuidunt enim circuli magni $uas $phæras per æqualia) tunc patet, quòd cir- culis unius $phæræ & alterius $e inter$ecantium aliqua linea e$t cõmunis. Cum ergo unus circulus aliũ non cõtineat, quia nec una $phæra $phæram aliam continet: palàm, quia tales circuli $e inuicem $ecant ex definitione taliũ circulorũ. Quia uerò ex 5 p 3 circulorũ $e inuicem $ecantiũ centra e$$e di uer$a nece$$e e$t, & idem e$t centrũ $phær{ae}, quod e$t centrũ circuli magni in illa $phæra: patet corol- arium, $cilicet, quia inter$ecantium $e $phærarum centra $unt diuer$a. Et hoc proponebatur.

82. Si $phæra $phæram inter$ecet: linea, quæ centra illarum $phærarum tran$it, centrũ circuli peripheriæ cõmunis $ectionis tran$ire, & $uper ip$ius $uperficiem perpendicular\~e e$$e, nece$$e e$t.

Circulus cõmunis $ectiõis $phærarũ aut e$t circulus maior alterius $pherarũ $e inter$ecantiũ, aut minor: $i maior: hoc erit $olũ, cũ maior $phæra minor\~e inter$ecat. Si enim æquales $phær{ae} $ecundũ circulũ maior\~e $e inter$ecar\~et, nõ e$$et $phærarũ inter$ectio, $ed unius $phær{ae} ex duobus hemi$phæ rijs æqualibus cõpo$itio. Si ergo circulus cõis $ectionis $ph{ae}rarũ $it circulus maior, nõ erit ille circu lus maior, ni$i in $phæris inæqualibus $e inter$ecãtibus, circulus $phær{ae} minoris: quoniã ip$um e$$e circulũ maior\~e $phær{ae} maioris e$t impo$sibile: quoniã maior circulus $phær{ae} maioris nõ pote$t ca- dere in $uperfici\~e $ph{ae}r{ae} minoris. Sit itaq; circulus talis a b c: & $it centrũ maioris $phær{ae} d: $phær{ae} uerò minoris e: erit quoq; e centrũ circuli a b c ex hypothe$i. Ducatur ergo linea d e: & patebit pro- po$itum primum. Item ducantur line{ae} d a, b d, d c, & line{ae} a e, b e, c e: erunt\’q; triangulorum d a e & d b e latera æqualia: ideo, quoniam linea d e latus e$t commune, & latus d a æquale e$t lateri d b ex definitione $phær{ae}: latus quoque a e {ae}quale e$t lateri b e ex definitione circuli: ergo per 8 p 1 anguli {ae}quis lateribus contenti, erunt {ae}quales. Angulus ergo d e b {ae}qualis erit angulo d e a: $imiliter an gulus d e c erit {ae}qualis angulo d e b: & uniuer$aliter à quocunq; puncto circuli a b c ducantur line{ae} ad e centrum $phær{ae}, anguli $uper centrum e $emper erunt æquales. Et quia $uper eandem diame- trum oppo$itis punctis $ignatis linea d e æquales angulos con$tituit: patet per definitionem per- pendicularis, quoniam ip$a linea d e $uper omnes diametros perpendicularis erit. Ergo per 4 p 11 linea d e $uper $uperficiem circuli a b c erecta e$t, & $upeream perpendicularis. Si uerò circu- VITELLONIS OPTICAE lus a b c non $it circulus maior alicuius $phærarũ $e inter$ecantiũ, $ed minor: intelligatur in ip$o pro- tracta diameter, quæ $it l f per pũcta l & f, & utraq; $phæra l h g b e c k a d f rum imaginetur $ecta per $uperficiem planam trans cen- trũ, & ք puncta f & l, qu{ae} $unt in $uperficie utriu$q; $phæ r{ae}. Erit ergo per præmi$$a quilibet illorum circulorum circulus maior in utraq; $phærarum $e inter$ecantiũ, $e- cabit\’q; circulum a b c uterq; illorum circulorũ maiorum per æqualia: quoniam arcus f l e$t medietas circumferen ti{ae} circuli a b c: tran$eunt ergo ambo illi circuli maiores per centrũ illius circuli a b c, quod e$t e. Imagin\~etur item duo circuli alιj maiores in ei$dem $phæris, quorum quili- bet $ecet portion\~e circuli maioris $u{ae} $phær{ae} erectã $uper circulum a b c per æqualia: quod fieri poterit ex 30 p 3, di- ui$o arcu f l utriu$q; circuli $phærarum $e inter$ecantium per {ae}qualia, & à puncto $ectionis utriu$q; circuli imagina ta $uperficie plana tran$eunte centrum $phær{ae} utriu$q;. Fiat itaq; $ectio arcus $ph{ae}r{ae} maioris in puncto g: & $e- ctio arcus $phæræ minoris in puncto h: & $iue hi cir- culi maiores cum illis circulis, quos $ecãt, angulos æqua- les $phærales uel inæquales contineant, patet, cum à po- lo circuli a b c per centra $phærarum ambarum tran$eant, quoniam ambo $ecabunt circulum a b c per æqualia. Tran$ibunt ergo per centrum ip$ius, quod e$t e. Linea ergo d g, qu{ae} per definitionem maiorum circulorum, & 3 p 11 e$t communis $ectio duorum circulorum maiorũ in $ph{ae}ra maiori $e $ecantium, tran$it per centrum e: quoniã cum centrum e $it in $uperficie utriu$q; illorũ circulorum, nece$$e e$t, ut $it in linea cõmuni utri$q;. Similiter etiã linea e h (qu{ae} e$t cõmunis $ectio circulorum maiorũ in $phæra minori $e inter$ecantiũ) tran$it per centrũ e. Sed quia line{ae} e h, & line{ae} d g per defi nitionem circulorũ $e $ecantiũ, e$t aliqua linea recta cõmunis, ut e g, erit illa per 1 p 11 in ead\~e $uperfi cie cum illis: ergo erunt linea una. Tota ergo linea d e g h e$t linea una tran$iens per ambo centra $phærarum $e inter$ecantiũ, & per centrum circuli, qui e$t cõmunis $ectio, cuius centrum e$t in peri pheria cõmunis $ectionis $uperficierum $ph{ae}ricarum $e inter$ecantium. Patet ergo propo$itum pri mum. Secundũ uerò patet ex pr{ae}mi$sis. Circuli enim maiores per {ae}qualia diuidentes circulum mi- norem orthogonaliter eum $ecant, & eorum communis $ectio, ut linea d h per 19 p 11 $uper eundem circulum perpendicularis erit. Et hoc e$t propo$itum. Pote$t & idem per 66 & 67 huius facilius de- mon$trari diligentiam adhibenti.

83. Si $phæra $phærã inter$ecet: lineã tran$eunt\~e centrũ circuli peripheriæ cõmunis $ectionis perpendiculariter $uper ip$ius $uperfici\~e in$i$tent\~e, ambarũ $phærarũ centra tran$ire nece$$e e$t.

H{ae}c e$t cõuer$a pr{ae}ced\~etis, nec oportet in ip$ius demon$tratiõe aliter immorari. Si enim $it po$si- bile, ducatur linea per e centrũ circuli cõmunis $ectiõis $ph{ae}rarũ, (qui e$t a b c) perpendiculariter $u per ip$ius $uperfici\~e ad aliũ aliqu\~e punctũ, pr{ae}ter centum ambarũ, uel alterius $ph{ae}rarũ: & $it linea e k: & ducatur item per centra ambarũ $ph{ae}rarũ alia linea, qu{ae} $it d h. Patet aũt per pr{ae}cedent\~e, quo- niam h{ae}c erit tran$iens per centrũ e, & erit perpendicularis $uper $uperfici\~e circuli a b c. Ab eodem ergo pũcto $uperficiei circuli a b c, utpote centro e, du{ae} exeũt perpendiculares $uper eand\~e circuli $uperficiem a b c, qu{ae} $unt e d & e k: quod e$t contra 13 p 11, & impo$sibile. Patet ergo propo$itum.

84. Si $phæra $phærã intrin$ecus inter$ecet: nece$$e e$t centra illarũ $phærarũ, re$pectu $itus $ui contactus $ecundum quantitat\~e peripheriæ circuli, qui e$t cõmu- f c c l a nis $ectio $uarum $uperficierũ plus di$tare: centrum<005> $phæræ con- tinentis plus profundari.

Sphær{ae} dat{ae} inter$ecare $e deb\~etes, $i {ae}quales fuerint, & taliter ad inuic\~e collocentur, ut nõ $e inter$ec\~et: tunc ip$arũ id\~e erit centrũ: fa- cta uerò inter$ectiõe ip$arũ, c\~etra diuer$antur per 81 huius: & $ecun- dũ quod circuli քipheria, qu{ae} e$t cõmunis $ectio illarũ $uperficierũ $ph{ae}ricarũ, fit maior uel minor: $ecũdũ hoc plus uel minus di$tabũt centra. Quòd $i $ph{ae}r{ae} fuerint in{ae}quales, quarũ una alterã intrin$e- cus cõtingere poterit: tunc in $itu $u{ae} cõtingenti{ae} centrorũ $uorũ di $tantia ք 78 huius e$t exce$$us $emidiametri $ph{ae}r{ae} maioris ad $emi diametrum minoris. Demus ergo, quòd centrum maioris $it a, cen- trũ minoris b, punctus cõtactus $it c. Et quia cõtactus fit in puncto per 76 huius, inter$ectio uerò fit $ecundũ circulũ per 80 huius: palã, quia facta inter$ectione $phærarum, ab$cindet $ph{ae}ra a diametrũ b c in puncto alio quàm in termino $uo, qui e$t punctus c. Sit ergo pun- ctus, in quo ip$um ab$cindit, punctus e: ponatur\’q;, ut linea f e $it æ- qualis diametro $ph{ae}r{ae} b. Quoniam itaq; linea a c excedit lineam b c in linea a b: linea uerò f e e$t {ae}qualis $emidiametro b c: quoniam $unt $emidiametri eiu$dem $ph{ae}r{ae}. Linea ergo a c excedit lineam LIBER PRIMVS. f e in linea a b: $ed linea f e e$t maior quàm linea e c: ergo a e, in qua linea a c excedit lineam e c, e$t maior quàm linea a b. Plus ergo di$tant centra $phærarum in inter$ectione, quàm in $itu contactus: & $ecundum quòd peripheria circuli, quæ e$t communis $ectio $uarum $uperficierum, minoratu@, $ecundum hoc di$tantia centrorum augetur: & $ecundum quòd illa peripheria augetur, $ecundum hoc di$tantia centrorum minuitur: & re$pectu partis uniuer$i, ad quam fit inter$ectio, plus profun- datur centrum $phæræ continentis, re$pectu contactus, in tanto, quantò linea a e fit maior quàm li nea a b. Et hoc e$t, quod proponebatur.

85. Si duæ $phæræ intra tertiam $ecundum circulũ æqualem circulo maiori $phæræ, intra quã fit inter$ectio, $e inter$ecent: utra<005> illarum $phærarum $phæram, intra quam fit inter$ectio, in- ter$ecabit: et omniũ illarũ $uperficierũ $phæricarũ cõmunis $ectio erit peripheria circuli unius.

Verbi gratia: $it, ut $phæra, cuius centrum a, inter$ecet $phæram, cuius centrum $it b, intra $phæ- ram, cuius centrum $it c, $ecundum circulũ æqual\~e circulo maiori $ph{ae}- b c a r{ae} c. Dico, quòd $phæra a & $phæra b inter$ecabũt $phæram c: & omniũ $uperficierum $phæricarum illarum $phærarum erit communis $ectio peripheria circuli illius, $ecundum qu\~e $phærarum a & b fiebat inter$e- ctio, hoc e$t cuiu$dam circuli magni $phæræ c. Quoniam enim circulus maior diuidit $phæram per æqualia, quia tran$it per centrũ eius ex defi- nitione: tũc patet, quòd æqualis eid\~e, (undecunq; contingat eũ in $phæ ra produci) diuidet eã per æqualia: & $ic inter$ecabit $ecun dũ illum cir culum utraq; $phærarum, $cilicet a & b $phæram c. Sphæra autem a in- ter$ecante $phæram b, communis $ectio e$t peripheria circuli per 80 hu ius: diuidit autem i$te circulus $phæram c per æqualia: ergo inter$ecat. E$t ergo eius peripheria in $uperficie $phær{ae} c: $ed & eadem peripheria e$t in $uperficiebus $phærarum a & b. In omniũ ergo $phærarum illarũ triũ $uperficieb. e$t illa circuli peripheria. E$t ergo ip$a cõmunis $ectio omnium $uperficierum dictarum $phærarum. Quod e$t propo$itum.

86. Lineam à centro $phæræ per centrum circuli $phæram $ecantis, orthogonaliter ductam@ medio ab$ci$$æ portionis e$t nece$$arium applicari.

Sit $phæra, cuius centrum a, & $it circulus b c d, cuius centrum $it c f b e d a e, ab$cindens portionem $phær{ae}: ducatur\’q; linea a e, & producatur u$q; ad $uperficiem $phæricam, cui incidat in puncto f. Dico, quòd li nea a e nece$$ariò applicatur puncto, qui e$t medium ab$ci$${ae} portio nis $phær{ae} in conuexo uel concauo ip$ius: & quòd hoc e$t punctum f. Ducantur enim lineæ a b, a c & a d, & copulentur line{ae} e b, e c, e d: erunt itaq; trigona a e b, a e c & a e d omnia $ecundum latera {ae}quales angulos re$pici\~etia adinuicem proportionalia: quoniam illa ip$orũ latera $unt adinuic\~e æqualia, ut patet per $ph{ae}r{ae} & circuli definitio- nes, & quia latus a e e$t omnibus commune: anguli itaq; b a e, c a e, d a e omnes $unt æquales per 5 p 6: ergo per 26 p 3 arcus b f, c f, d f $unt æquales. Et quoniam productis quibuslibet lineis à centro $phæræ a ad peripheriam circuli b c d, idem $emper accidit: palàm, quia pun ctus f e$t in medio portiõis ab$ci$${ae} de $ph{ae}ra. Et hoc proponebatur.

87. Proportionem partis $uperficiei $phæricæ ad totalem $uperficiem $uæ $phæræ, $icut anguli $olidi in ip$am à centro $phæræ cadentis, ad octo rectos $olidos nece$$e e$t e$$e. È Nicolao Caba- $illa in 3 librum magnæ con$tructionis Ptolemæi. a b d c

Verbi gratia: $it a b c pars $uperficiei $phæric{ae} ali- cuius $phær{ae}, cuius centum $it d: & ducantur lineæ a d, b d, c d: & in ip$a $uperficie ducantur lineæ a b, b c, a c: fiet\’q; pyramis, cuius uertex e$t punctum d, & ba$is a b c. Palàm quoq;, quoniã angulus circa pun- ctum d e$t $olidus, tribus angulis $uperficialibus cõ- tentus. Dico, quòd qu{ae} e$t proportio illius anguli ad 8 rectos angulos $olidos, qui replent locum $oli- dum circa centrum d, eadem erit proportio $uperfi- ciei $phæricæ, quæ e$t a b c, ad totam $phæricam $u- perficiem $u{ae} $phæræ. Imaginentur enim plurimi circuli magni, tran$euntes per omnia puncta illius $uperficiei, non $ecantes $e $uper illam. Patet itaq;, quoniã aliqui arcus illorum circulorũ determinãtur per lineas terminales illius $uperficiei: omniũ aũt il- lorũ arcuũ partialiũ ad totos $uos circulos e$t {pro}por VITELLONIS OPTICAE tio, $icut angulorum contentorum $ub lineis à centro d ad ip$orum terminos productis ad 4 rectos $uperficiales per 33 p 6. Patet ergo propo$itum. Et etiam pote$t patere ex hoc, quoniam $icut ille an- gulus corre$põdet illi parti $uperficiei $phæricæ: $ic re$iduum 8 $olidorum angulorũ rectorũ totali re$iduo $uperficiei illius $phæræ re$pondet: ergo per 16 p 5 erit permutatim anguli ad angulum, $i- cut $uperficiei ad $uperficiem, & per 18 p 5 coniunctim, & per 5 huius è contrario patet propo$itũ.

88. Si inter duas quartas circulorũ æqualium in $phæræ $uperficie $e $ecantium, ad extremi- tates arcuum æqualium lineæ rectæ ducantur: illæ erũt æquidi$tantes: & remotior à puncto $e- ctionis erit longior. È 14 p 12 ele. in Campano.

Sint arcus magnorum circulorũ in $uperficie alicuius $phæræ $e $ecantiũ, qui a b c & a d e, $ecan- tes $e in puncto a: in quibus $ignentur arcus æquales, ita, ut arcus a b $it æqualis arcui a d, & arcus b c $it æqualis arcui d e, & cõtinuentur lineæ rect{ae}, qu{ae} a b d c e $int b d & c e. Dico, quòd lineæ c e & b d $unt æquidi- $tantes: & quòd linea c e e$t maior <004> linea b d. Quia itaq; arcus a b e$t æqualis arcui a d: palàm ք 29 p 3 & per 65 huius, quoniã punctus a e$t polus circuli trã$- euntis per pũcta d & b: ideo quòd rect{ae} line{ae}, qu{ae} a d & a b, $unt æquales: & $imiliter e$t de circulo trã$eũte per pũcta c & e. Circũducatur ergo $uperficiei $ph{ae}r{ae} per puncta d, b circulus erectus $uper diametrũ $phæ r{ae} per 69 huius, & $imiliter per puncta e & c. Erũt er- go illi circuli æquidi$tãtes per 14 p 11. Erunt ergo li- neæ c e & b d æquidi$tantes per 16 p 11, imaginata $u- perficie plana, in qua $unt puncta b, c, d, e, circulos $e- cundum illas lineas $ecãte. Sed & linea c e e$t maior quàm linea d b. Si enim $it æqualis, cũ $it æquidi$tãs: palàm, quia circuli a b c & a e d æquidi$tantes erunt: quod e$t cõtra hypothe$im: $upponũtur enim $e $eca re in puncto a: aut $equetur circulum tran$eunt\~e per puncta b & d æqualem fieri circulo tran$eunti per puncta c & d, quorum circulorum polus e$t pun ctum a: quod iterum e$t impo$sibile. Et $i linea c e $it minor quàm linea b d, concurrent circuli a b c & a d e ultra lineam c e potius quàm ultra lineam b d. E$t ergo linea b d remotior à puncto $ectiõis. Quod e$t propo$itum hypothe$is.

89. Omnes lineæ longitudinis unius pyramidis rotundæ, $unt æquales: & cum $emidiametris ba$is æquales, $ed acutos angulos continentes. Ex quo patet omnem pũctum uerticis pyramidis e$$e polum circuli $uæ b a $is: omnem<006> lineam longitudinis e$$e in ead\~e $uperficie cum axe: ip$um quo<005> axem centrum circuli ba$is orthogonaliter attingere. È 18 defin. 11 element.

Quoniã enim per principium 11 Euclidis pyramis rotunda fit per trã$itum trianguli rectanguli, alterutro $uorum laterum rectum angulum continentiũ fixo, donec a d b c ad locum $uum, unde in cœpit, redeat, triangulo ip$o circumducto: qui triangulus, $i fuerit duorum laterum æqualium: & unum laterũ æqualium rectum angulum continentium fuerit fixum, cau$$abitur pyramis rectãgula: ideo, quòd angulus duplicati $ui trianguli ad uer ticem pyramidis e$t rectus per 5 & 32 p 1. Et $i fixũ latus fuerit minus latere moto, erit pyramis amblygonia: quoniã per 19 p 1 angulus ad uerticem fit obtu$us. Et $i latus fixum fuerit maius latere moto, erit pyramis oxygonia: quia per eandem 19 p 1 angulus eius ad uerticem remanet acutus, adiuuãte $emper 32 p 1. Sic ergo diuer$antur formæ pyramidum $ecundum diuer$itatem proportionis lateris fixi ad alte rum latus motum rectum angulum cõtinens cum fixo. Et quia latus $ubten$um angulo recto, cau$$at omnes lineas longitudinis in quali bet pyramide: palàm, quòd omnes lineæ longitudinis totius rotun- dæ pyramidis uni lineæ $unt æquales ei, $cilicet \~q in trigono rectan- gulo opponitur angulo recto. Ergo & o\~es inter $e $unt æquales. Si ergo trigonũ orthogoniũ cau$$ans pyramid\~e, $it a b c, cuius angulus a b c $it rectus: erit per 32 p 1 angulus a c b acutus: & e$t a c b angulus, cui omnes anguli cõtenti à lineis lõgitudinis & $emidiametris ba$is, $unt æquales: & hoc proponebatur. Patet etiã ex ijs, quoniã punctus uerticis pyramidis cuiuslibet e$t polus circuli $u{ae} ba$is per 65 huius. Et quoniã linea a c e$t in ead\~e $uperficie trigona cum linea a b, patet, quoniam omnes lineæ longitudinis $untin eadem $uperficie cum axe a b. Et quoniam linea b c motu $uo de$cribit circulum ba$is, patet, quòd axis a b centrum circuli ba$is orthogonaliter attingit per 8 p 1: quia ex circuli definitione & prima parte præ$en- LIBER PRIMVS. tis, axe exi$tente cõmuni, omnes anguli ad centrum b cõ$tituti $unt æquales. Patet ergo propo$itũ.

90. Omn{is} $uperficiei planæ $ecant{is} pyramidem rotundam uel lateratam $ecundum a- x{is} longitudinem & $uperficiei conicæ commun{is} $ectio e$t trigonum duab{us} line{is} longitudi- n{is} pyramid{ιs} & diametro ba$is contentũ. Ex quo patet, quoniam illa $uperficies dιuidit pyra- midem per æqualia: & quòd $uperficies, quæpyramidem $ecundum lineam longitudin{is} per æ- qualia $ecuerit, $ecundum axem nece$$ariò $ecabit. È 18 defin. 11 element. item 3. theor. 1 Co- nicorum Apollon{ij}.

E$to pyramis rotunda a b c, cuius uertex a: & diameter ba$is b c: & $it centrum ba$is d. Et palàm per pr{ae}mi$$am, quoniã linea a d e$t axis illius pyramidis. Superficies a b d c itaq; plana $ecans pyramidem rotundam $ecundum axis longitudi- nem, pertran$it puncta a & d: erit itaq; illa $uperficies plana orthogo- naliter erecta $uper ba$im pyramidis per 18 p 11. Communis itaq; $e- ctio ba$is pyramidis & illιus $uperficiei plan{ae} e$t linea recta per 3 p 11, quæ e$t diameter ba$is: & $it hæc b c. Trigonũ itaq; a b c e$t in $uper- ficie $ecante: $ed & idem trigonum e$t in $uperficie conica pyr mi- dis. Et quoniam trigonum orthogonium b a d e$t illud, ex cuius per- tran$itu de$cribιtur pyramis a b c, & trigonum a b c e$t duplum illi per 1 p 6, patet illud, quod primò proponitur de pyramide rotunda. Patet etiam, quòd illa $uperficies taliter pyramidem $ecans, diuidit ip$am per æqualia: quoniam tran$iens uerticem & conclu$a diame- tro, per æqualia diuidit & ba$im. In laterata uerò pyramide, aut $u- perficies plana $ecans tran$it latus aut angulum: erit\’q; productis li- neis ad terminum axis pyramidis, illa communis $ectio $emper trigo nus maior uel minor. Patet ergo propo$itum: quoniam & conuer$a per $e & ex præmι$sis patet.

91. Omn{is} pyramid{is} rotundæ uel lateratæ lineæ lõgitudin{is} $u per axem in uertice tantùm $e inter$ecant: productæ quo<005> aliam $imilem pyramidem principiant, cui{us} lineæ longitudin{is} $ecun- dum po$itionem & $itum priori pyramidi modo contrario $e habent. È 18 defin. 11 elemen. item 1 defin. 1 Conicorum Apollon{ij}.

Quòd omnes line{ae} longitudinis pyramidis cuiu$cunq; prod ct{ae} $e $uper axem in uertice $ecent, euidens e$t: quonιam concurrunt omnes in illo puncto uerticis. Et quonιam omnes $unt æquales per 89 huius: patet, quia citra uerticem nulla ip$arum aliam inter$e- d e a b c cat. Quòd etiam product æ aliam pyramιdem priori $imilem princi- pient, patet. Secet enιm $uperficies plana pyramidem $ecundũ axis longitudinem: erit ergo per præcedentem communis $ectio i$tius $uperficiei & $uperficiei conic{ae} pyramidis, trigonum æquum duplo trigoni rectanguli pyramidem cau$$antis: $ed palàm per 36 huius, quòd latera cuiuslibet trigoni producta principiant alium trigonũ priori $imile, cuius latera po$itionem & $itum prioris trigoni lateri- bus contrarium habent. Et quoniam tot po$$unt imaginari planæ $u perficies trans axem pyramidem $ecantes, quot $unt lineæ longitu- dinis imaginabiles in medietate pyramidis, pater, quoniam omnes lineæ longitudinis productæ, principiant aliam pyramidem priori $imilem, lineis longitudinis à dextro prioris prodeuntibus in $ini- $trum po$terioris, & à $ini$tro prioris in dextrũ po$terioris, & è con- uer$o. Patet ergo propo$itum.

92. Omnes lineæ longitudin{is} uni{us} columnæ rotundæ $unt æ- quales, rectos angulos cum $emidiametr{is} $uarum ba$ium conti- nentes, & in eadem $uperficie cum axe exi$tentes. Ex quo patet, quoniam ax{is} cui{us}lιbet columnæ rotundæ centr{is} $uaru ba$ium orthogonaliter in$i$tit. È 21 defin. 11 element.

Hoc non indiget demon$tratione alia, ni$i $imili illi, quæ fit in 89 huius. Sicut enim trigonum orthogonium altero laterum rectum angulum continentium fixo, per reuolutionem $uam cau$- $at pyramidem rotundum: $ic quadrilaterum rectangulum altero $uorum laterum fixo manente, alijs tribus, quou$que ad locum $uum redeant, circumductis, cau$$at motu $uo figuram colu- mnarem rotundam. fiet ergo probatio omnium eorum, quæ proponunttur hîc, ut in illa: quia pa- tet totum euidenter.

VITELLONIS OPTICAE 93. Omn{is} $uperficiei planæ $ecant{is} columnam rotundam $ecundum ax{is} longitudinem & $uperficiei columnæ commun{is} $ectio e$t rectangulum $ub duab{us} line{is} longitudin{is} columnæ, & duab{us} diametr{is} ba$ium contentum. Ex quo patet, quoniam illa $uperficies per æqualia diui dit columnam. È 21 defin. 11. element.

Columna rotunda $it, cuius axis e f: $ecet\’q; ip$am per e f $uperfi- g a m e n b h i c p f o d k l cies plana, $it\’q; communis $ectio $ecundum puncta a, b, c, d. Dico, quòd $ectio a b c d e$t quadrangula rectangula $ub lineis longitudi- nis columnæ, & duabus diametris ba$ium contenta. Ducatur enim linea e a in ba$i columnæ & in $uperficie $ecante: hæc e$t ergo $emi- diameter circuli ba$is columnæ. Producatur itaq; taliter, ut linea e g compleat diametrum ba$is columnæ, cadet\’q; linea e g in $uperficie plana columnam $ecante. Si enim linea e g nõ e$t ducta in $uperficie plana columnam $ecante: ducatur linea b e in illa $uperficie $ecante. Lineæ ergo b e & e a $unt linea una: quoniam $unt in una $uperficie productæ ambæ orthogonaliter $uper axem e f cõtinuè: $imiliter\’q; quia linea e g complet diametrum a e, non in $uperficie $ecante, $ed alia: erit ergo lineæ a g pars in plano, pars in $ublimi: quod e$t con- tra 1 p 11. Palàm itaq;, quoniam linea a b e$t diameter ba$is, & quòd punctus g cadit $uper punctum b. Similiter\’q; declarandum de linea c d, quoniam e$t diameter alterius ba$is. Lineæ quoq; a c & b d $unt lineæ longitudinis columnæ. Quod e$t propo$itum. Ex hoc itaq; pa tet, quoniã cum illa $ectio diuidat per æqualia ba$es columnæ, quòd etiam diuidit per æqualia columnam.

94. Superficiei $ecant{is} columnam rotundam æquidistanter $uperficiei per axem $ecanti & $uperficiei columnar{is}, cõmun{is} $ectio e$t rectangulum $ub duab{us} line{is} longitudin{is} columnæ, & duab{us} line{is} minorib{us} diametr{is} ba$ium contentum. È 21 defin. 11 elem.

Sit, ut in præcedenti propo$itione, columna $ecta per planam $uperficiem $ecundum $ectionem, rectangula a b c d: cuius axis $it e f: $it\’q; nunc $uperficies plana columnã $ecans, æquidi$tans $uper- ficiei a b c d, cuius communis $ectio cum $uperficie columnæ $it h i k l: ducantur\’q; à punctis h & i li neæ perpendiculares $uper diametrum a b per 12 p 1, quæ $int h m, i n. Erit itaq; linea m n æqualis li- neæ h i, ut patet per 34 p 1: lineæ enim a b & h i $unt æquidi$tantes ex hypothe$i, & lineæ h m & i n $unt æquidi$tantes per 28 p 1. E$t ergo linea h i minor diametro a b. Similiter quoq; l k minor e$t dia metro c d, ductis perpendicularibus lineis, quæ l o & k p: $ed lineæ h k & i l $unt lineæ longitudinis columnæ. Patet ergo propo$itum.

95. Omn{is} $uperficies plana contingens pyramidem, uel columnam rotundam: $ecundum li- neam longitudin{is} e$t contingens.

Non enim $ecundum punctũ contingit $uperficies plana propo$ita corpora $icut $phæram: quo- niam in ip$is e$t longitudo, quæ non e$t in $phæra: $ed nec contingit ip$a $ecundũ $uperficiem: quo- niam cum in quolibet i$torum corporũ $int infiniti circuli $uis ba$ibus æquidi$tantes & ip$æ ba$es: accideret illos $ecundum lineas in $uperficie plana contingente ductas ad ip$orum contactum, non contingi $ecundum punctũ, $ed $ecari: quod e$t contra 16 p 3, & impo$sibile. Non ergo continget $u- perficies plana propo$ita corpora $ecundũ $uperficiem. Re$tat ergo, a e d c g b ut $ecundũ lineam contingat. Et quia contingit in pyramide uerti- cem & ba$im & in columna ambas ba$es: patet, quòd utrunq; illo- rum $ecundum lineas $uarum longitudinum e$t contingens. Patet ergo propo$itum.

96. Omn{is} linea perpendicular{is} $uper curuam $uperficiem py rami d{is}, uel columnæ rotundæ: nece$$ariò trã$it per ip$arũ axem.

Pyramis rotunda uel columna $it, cuius linea longitudinis $it a b: & eius axis a g: & $it linea d e perpendicularis $uper curuam illius $u perfici\~e. Dico, quòd linea e d tran$it per axem a g. Ducatur enim $e- midiameter ba$is, quæ $it b g. Quia ergo linea e d e$t perpendicula- ris $uper curuam $uperficiem propo$itam: palàm per definitionem, quoniã linea e d e$t perpendiculariter erecta $uper $uperficiem con- tingentem pyramidem $ecundum aliquam lineam $u{ae} longitudinis: $it hoc $ecundum lineam a b. Cadit ergo linea e d $uper lineam a b. Palàm ergo per 2 p 11, quoniam line{ae} d e & a b $unt in eadem $uperfi- cie. Et quia linea d e e$t perpendicularis $uper curuam $uperficiem pyramidis: patet, quòd illa $uperficies erit erecta $uper $uperficiem conicam pyramidis, & in ip$a e$t linea a b. Producta ergo transpyra midem, $ecabit ip$am $ecundũ lineam longitudinis a b per æqualia diuidens pyramidem, & tran$i- LIBER PRIMVS. bit per axem a g per 90 huius. Trigonum ergo a b g cum linea d e e$t in eadem $uperficie. Quia ergo linea e d cum uno latere trigoni b a g, quod e$t a b, continet angulũ rectum, qui e$t d e a: angulus ue- rò e a g e$t acutus: palàm, quia linea d e concurret cum linea a g per 14 huius. Tran$it ergo per axem pyramidis uel columnæ rotund{ae}. Quod e$t propo$itum: quoniã in columna rotunda eodem modo demon$tandũ. In illa enim, quia linea longitudinis a b æquidi$tat axi, & line{ae} d e & a b & axis $unt in eadem $uperficie: patet per 2 huius, quia linea d e concurr\~es cum una linearum æquidi$tantium, ideo cum a b & cum axe nece$$ariò concurret. Et hoc proponebatur.

97. Omn{is} $uperficies plana $uperficiei contingenti pyramidem uel columnam in loco con- tact{us} orthogonaliter in$i$tens, nece$$ariò $ecat pyramidem uel columnam per ip$i{us} axem.

Sit pyramis uel columna rotunda, quam contingat $uperficies plana. Palàm ergo per 95 huius, quoniã continget illam $ecundũ lineã longitudinis. Superficies itaq; huic $uperficiei orthogonali- ter in loco contactus in$i$t\~es, e$t perpendicularis $uper $uperfici\~e curuam pyramidis uel column{ae}: & ip$arũ cõmunis $ectio e$t linea longitudinis, $uper quã in $uperficie erecta ducantur perpendicu- lares. Eæ itaq; lineæ per præmi$$am tran$ibunt axem pyramidis uel columnæ rotundæ. Er go & $u- perficies illa axem tran$iens, $ecabit pyramid\~e uel columnã $ecundum axem. Et hoc proponebatur.

98. Omn{is} $uperficiei planæ $ecant{is} pyramidem rotundam non per uertic\~e, & $uperficiei co- nicæ pyramid{is} communem $ectionem figuram triangularem e$$e impo{$s}ibile.

E$to pyramis, cuius uertex a, diameter ba$is b c, centrũ ba$is d, & axis a d, quã $ecundum axis lon gitudinem $ecet $uperficies plana $ecundum trigonũ a b c per 90 huius: $ecet\’q; ip$am alia $uperfi- cies erecta $uper trigonũ a d f f f g g b h h d c h e e c b c, nõ per uerticem, $ecun- dum $ection\~e, quæ $it e f g, cuius $upremus pũctus $it f, & $it linea e g æquidi$tãs alicui diametro ba$is pyra- midis, cuius medius pun- ctus $it h: & ducatur linea f h à $upremo puncto $ectio- nis ad mediũ $uæ ba$is. Et quia linea e g e$t linea re- cta, qu{ae} e$t æquidi$tãs dia- metro ba$is pyramidis, & punctũ f $ignatum e$t in $u- perficie conica in $upremo, $uperficies e f g $ecat coni- cam $uperfici\~e. Si itaq; $e- ctio e f g $it trigonũ $cilicet rectilineum: patet, quoniã duæ lineæ longitudinis pyramidis, quæ $unt e f & g f, concurrunt in pun- cto f, præter uerticem pyramidis, quod e$t impo$sibile & cõtra 91 huius. Trigonũ quoq; curuilineũ fieri e$t impo$sibile: quoniã $uperficies $ecans $upponitur e$$e plana, & $uperficies illius trigoni e$t curua, ut patet ex definitione. Erit ergo linea e f g linea una. Cum itaq; illa $ectio $it linea una: dica- tur $ectio conica uel pyramidalis. Si ita\’q axis pyramidis, qui e$t a d, $it æqualis $emidiametro ba$is, quæ e$t d b: palàm, quia pyramis a b c e$t orthogonia, quoniam angulus b a c trigoni a b c e$t rectus. Si ergo linea f h, quæ e$t communis $ectio $uperficiei e f g, & trigoni a b c æquidi$tet lineæ a c, quæ e$t latus trigoni, & linea longitudinis pyramidis: palàm per 29 p 1, cum angulus b a c $it rectus, quòd etiam angulus b f h erit rectus: & $imiliter angulus h f a: tunc itaq; $ectio e f g dicetur $ectio rectangu la, uel parabola: & e$t illa, quam Arabes dicunt mukefi. Si uerò lineæ h f & a c non æquidi$tent, $ed concurrant: $i concur$us fiat ad partem puncti a, qui e$t uertex pyramidis: tunc patet per 14 huius, quòd angulus h f a erit obtu$us: & tunc $ectio e f g dicetur amblygonia uel hyperbole uel mukefi addita. Si uerò lineæ h f & a c concurrant uer$us punctum c, qui non e$t uertex pyramidis: tunc per 14 huius erit angulus h f a acutus: & tunc $ectio e f g dicetur oxygonia, uel ellip$is uel mukefi dimi- nuta. Et $ecundum hunc modum i$tæ $ectiones & earum pa$siones ampli$simè uariantur.

99. Omn{is} $uperficiei planæ $ecant{is} pyramidem uel columnam lateratã trans axem æquidi- stanter ba$i & $uperficiei pyramidal{is} uel columnar{is} cõmun{is} $ectio e$t $imil{is} peripheriæ ba$is: & $i illa $ectio peripheriæ ba$is e$t $imil{is}, $uperficies $ecans æquidistat ba$i pyramid{is} uel colũnæ.

Si enim illa $ectio ba$i æquidi$tat, omnes trigoni laterales totius pyramidis & partiales trigoni $unt æquianguli per 29 p 1. Patet ergo per 4 p 6, quòd tota peripheria $ectionis e$t $imilis ba$i pyra- midis, quoniam omnia latera trigonorum totalium & partialium erunt proportionalia. Et $i illa $ectio e$t ba$i $imilis, e$t etiam ba$i æquidi$tans. Quoniam $i nõ e$t æquidi$tans, erit alia $ecundum idem punctum $ecans axem, æquidi$tans ba$i, $imilis peripheriæ ba$is per præmi$$a, Sequitur itaq; ut una $imilis, alia quoq; non $imilis, $ecundum idem punctum $ecent axem pyramidis. Alia uerò VITELLONIS OPTICAE æquidi$tans ba$i fieri poterit per 31 p 1, ducta ab uno puncto primæ $ectiõis linea æquidi$tante alicui linearum ba$is pyramidis, & à terminis illius alijs lineis æquidi$tantibus reliquis lineis ba$is produ ctis.) Ex hoc autem accidit impo$sibile, quoniã $equitur ex hypothe$i angulum extrin$ecum pro- pter trigonorum $imilitudinem æqualem fieri intrin$eco: cum ab uno puncto exeant duæ lineæ æ- quales angulos cõtinentes angulis illis, qui fiunt per lineã aliquã longitudinis & per lineam aliquã peripheri{ae} ba$is. Patet ergo propo$itum in pyramidibus. Et eodem modo demon$trandũ e$t in co- lumnis lateratis, & facilius propter æqualitatem linearum per 34 primi.

100. Omnis $uperficiei planæ $ecantis pyramidem uel columnam rotundam trans axem æ- quidi$tanter ba$i, & curuæ $uperficiei pyramidis uel columnæ communis $ectio e$t circulus: & $i illa $ectio e$t circulus, $uperficies $ecans e$t æquidi$tans ba$i. Ex quo patet, quòd omnis plana $u- perficies æquidi$tanter ba$i $ecans pyramidem uel columnam, nouam pyramidem con$tituit uel columnam. 4 theor. 1 Conicorum Apollon{ij}, & 5 the. Cylindricorum Sereni.

Sit pyramis rotũda a b c, cuius uertex a: diameter ba$is b c, & centrũ ba$is d: $ecet\’q; ip$am $uperfi cies plana æquidi$tanter ba$i: & $it cõmunis $ectio $uperficiei illius & $uperficiei conicæ pyramidis linea e f g. Dico, quòd linea e f g e$t peripheria circuli. Secet enim alia $uperficies plana pyramidem per uerticem & per axem, qui e$t a d. Cõmunis itaq; illius $uperficiei & pyramidis $ectio e$t trigonũ (quod $it a b c) per 90 huius: $ecet\’q; $uperficies e f g axem a d in puncto h: & trigonum a b c $ecet $u- perficiem e f g in linea e h f. Erit ergo linea e h æquidi$tans lineæ b d a e h f g b d c per 16 p 11: e$t ergo per 29 p 1 & 4 p 6 proportio lineæ b a ad e a, $i- cut lineæ c a ad lineam a f: ergo per 7 huius erit euer$im proportio line{ae} b a ad lineam b e, $icut line{ae} c a ad lineam c f: ergo per 16 p 5 erit permutatim proportio line{ae} b a ad lineam c a, $icut line{ae} b e ad lineã c f. Sed linea b a e$t {ae}qualis ip$i c a per 89 huius: ergo erit linea b e æ- qualis line{ae} c f. Ducantur itaq; lineæ d e, d f. Et quoniã per 89 huius, anguli, quos continent line{ae} longitudinis pyramidum cum $emidia metris ba$ium, $unt æquales: palàm per 4 p 1, quia linea d e e$t æqua- lis lineæ d f: & angulus e d b e$t æqualis angulo f d c. Quia uerò an- gulus h d b æqualis angulo h d c: quoniã ambo $unt recti: & angulus e d b æqualis angulo f d c: remanet angulus e d h æqualis angulo f d h: quoniã $unt re$idu{ae} partes rectorũ $upér angulos æquales. Palàm ergo per 4 p 1 quoniã linea e h e$t {ae}quàlis line{ae} h f. Similiter\’q; ductis lineis h g & d g, & cõpleta, prout in præmi$sis, figuratione, declara- bitur, quoniã linea f h e$t æqualis lineæ g h: $unt enim trigona æqui- angula, ut patet intendenti. Ergo per 9 p 3 punctum h e$t centrũ cir- culi. E$t ergo e f g linea circũferentia circuli. Quod e$t propo$itũ. Et $i $ectio e f g e$t circulus, palàm quoniã $uperficies plana $ecundum illum circulum $ecans pyramidem, e$t æquidi$tans ba$i: erit enim e a f pyramis, cuius axis a h, & centrum ba$is h: erit itaq; linea longitudinis, qu{ae} e$t e a, æqualis line{ae} f a per 89 huius: $ed & linea b a æqualis e$t ip$i c a: remanet ergo linea b e æqualis ip$i e f. Erit quoq; li- nea e d æqualis line{ae} f d per 4 p 1. Et quia trigona e h d & f h d $unt æqualia inter $e latera habentia: ergo per 8 p 1 angulus e h d e$t æqualis angulo f h d. Ergo per definitionem lineæ $uper $uperficiem erect{ae} patet, quod linea d h erecta e$t $uper $uperficiem e f g: $ed eadem linea h d e$t erecta $uper ba- $im pyramidis, cuius diameter e$t b c. Ergo per 14 p 11 $uperficies e f g e$t æquidi$tans ba$i dat{ae} pyra midis. Quod e$t propo$itum: quoniam $impliciter $ecundum præmi$$um in pyramidibus modum, in columnis quoq; rotundis pote$t demon$trari, & propter æquidi$tantiam linearum longitudinis column{ae} facilitas accedit demõ$trationi. Fiunt enim line{ae} d f, d g, d e æquales: ergo & line{ae} h e, h g, h f: erit\’q; $ectio e g f circulus per 9 p 3. Et conuer$a $impliciter patet per 14 p 11, ut prius. Et hoc pro- ponebatur. Per hæc itaq; patet manife$tè, quoniam omnis plana $uperficies $ecans quamcunq; py- ramidem {ae}quidi$tanter $u{ae} ba$i, nouã con$tituit pyramidem, cuius in pyramide rotunda, ba$is e$t circulus, & in laterata pyramide $uperficies $imilis ba$i illius $ect{ae} pyramidis, ut patet per 99 huius. Semper tamen uertex illius pyramidis ab$ci$${ae} e$t idem cum uertice prioris, & axis ab$ci$${ae}, pars a- xis ip$ius prioris dat{ae}: ba$is quoq; æquidi$tat ba$i. Similiter quoq; fit in columnis rotundis uel late ratis: $uperficies enim {ae}quidi$tanter ba$ibus $ecans quamcunq; columnam, nouam efficit columnã rotundam uel lateratam: imò duas, $cilicet ab$ci$$am & ip$am re$iduam: quod non accidit in pyrami dibus. Patet ergo totum, quod proponebatur.

101. In qualibet columna uel pyramide à dato in eius $uperficie puncto, lineam longitudinis ducere. 7 theo. Cylindricorum Sereni.

Imaginetur enim $uperficies plana $ecãs pyramidem uel columnã trans illius punctum & trans axem: quod fiet, $i à puncto dato ducatur linea recta $uper ax\~e: illa ergo linea & axis $unt in una $u- perficie per 2 p 11: qu{ae} $uperficies $ecabit pyramidem $ecundum lineam longitudinis per illud pun- ctum tran$euntem per 90 huius: columnam quoq; per 92 huius. Patet ergo propo$itum.

102. À dato puncto, $iue in axe, $iue in $uperficie curua datæ pyramidis rotundæ uel colũnæ, circulum circumducere. LIBER PRIMVS.

E$to pyramis, cuius uertex punctũ a, axis uerò a d: in quo $it datus punctus e, à quo debemus cir culum totali $uperficiei conicæ circunducere. Sit itaq;, ut $uperficies plana $ecet pyramid\~e $ecundũ axem a d trans punctũ e: cõmunis itaq; $ectio illius $uperficiei planæ & $uperficiei conicæ erit trigo num per 90 huius: cuius ba$is $it b c, qu{ae} erit diameter ba$is pyrami- a f e g h b d c dis. In hac itaq; $uperficie per 11 p 1 ducatur à puncto e linea perpendi culariter $uper axem a d, quæ producta ad conicã $uperficiem $it e f: & item ab eod\~e puncto e ducatur linea e g perpendiculariter $uper ax\~e a d: cadat\’q; punctũ g in conica pyramidis $uperficie: & $imiliter ducatur linea e h perpendiculariter $uper axem a d: cadat\’q; punctus h in conica $uperficie. Quia ergo linea a e $uper cõmunem terminum linearũ e f, e g, e h orthogonaliter in$i$tit, palàm per 5 p 11, quoniã illæ line{ae} $unt in una $uperficie: erit\’q; per 4 p 11 linea a e perp\~ediculariter erecta $uper illã $uperfici\~e f g h. Et quoniã linea a d erecta e$t perpen- diculariter $uper ba$im pyramidis per 89 huius, & per definition\~e p y ramidis: patet per 14 p 11, quoniã $uperficies f g h æquidi$tat ba$i pyra midis. E$t ergo per 100 huius f g h circulus. Quòd $i pũctus datus $it in $uperficie conica, $it ille punctus f: & ducatur à puncto f perpendi- cularis $uper axem a d, qu{ae} $it f e, per 12 p 1: educantur\’q; à puncto e li- neæ e g & e h perpendiculares $uper axem a d per 11 p 1: & deinde, ut prius, compleatur demon$tratio. Patet itaq; propo$itum: quoniã $im pliciter eodem modo negotiandum e$t in columnis.

103. Omnis $uperficiei $ecantis pyramidem uel columnã rotun- dam trans axem non æquidi$tanter ba$ibus, & $uperficiei curuæ communem $ectionem circulum e$$e e$t impo{$s}ibile. 5 theo. 1 Conicorum Apollon{ij}. item 9 theor. Cylindricorum Sereni.

Sit pyramis, cuius uertex a, diameter ba$is b c: & centrum ba$is d, & axis a d: $ecet\’q; ip$am $uper- ficies plana trans axem a d in puncto e, nõ æquidi$tanter ba$i: & $it cõmunis $ectio huius $uperficiei planæ & $uperficiei conicæ linea f g h k. Dico quòd hæc $ectio non e$t po$sibile, ut $it circulus. E$to enim, ut circa punctum e in pyramidis conica $uperficie ducatur circulus per præmi$$am: hic itaq; æquidi$tabit ba$i per 100 huius: $it\’q; f g l m: & $ignentur line{ae} longi- a k f l e m h g b d c tudinis pyramidis a f, a g, a l, a m. Eæ itaq; omnes erunt æquales per 89 huius, ideo quòd $uperficies æquidi$tans ba$i pyramidis nouã py ramidem ab$cindit per 100 huius. Et quoniã $ectio f g h k nõ æquidi- $tat ba$i pyramidis, patet quòd non æqualiter di$tat à uertice pyrami dis, qui e$t punctus a: $it itaq; punctus h remotior à uertice a, & cadat in linea a l producta, & punctus k $it propinquior uertici a, & cadat in linea a m. Erit itaq; linea a h maior quàm linea a l, & linea a k mi- nor e$t quàm linea a m: & continuentur line{ae} h e, k e, f e, g e, & lineæ e l, e m. Et quoniã angulus a l e e$t acutus per 89 huius, erit angulus h l e obtu$us per 13 p 1. Ergo per 19 p 1 latus h e trigoni h e l e$t maius latere e l: $ed latus e l e$t æquale lateri e f per definition\~e circuli. Li- nea uerò e f uenit à puncto axis ad punctũ $ectionis: quia e$t cõmu- nis $ectio circuli & $uperficiei obliquè pyramidem $ecantis: inæ qua- les itaq; line{ae} ab hoc puncto e producuntur ad peripheriã $ectionis. Non e$t ergo $ectio illa circulus per circuli definition\~e. Dicemus er- go illam $ection\~e in pyramidibus pyramidalem, & in columnis colu mnalem. E$t tam\~e illa $ectio in pyramidibus in 98 huius prius dicta $ectio oxygonia uel ellip$is. Et quoniam talis $ectio e$t figuræ oblon gæ, patet quòd ip$a habet diametros plurimas omnes inæquales, & per idem punctum axis $ecti corporis tran$euntes, ip$am quoq; $ectionem per æqualia diuidentes: quarum maxima e$t, quæ tran$it longitudinem $ectionis, minima uerò e$t, quæ pertran$it latitudi- nem: & e$t $uper maximam diametrum orthogonaliter erecta. Patet itaq; propo$itum.

104. Omnium duarum planarum $uperficierũ $ecantium pyramidem uel columnam rotun- dam trans idem punctum axis, $i una æquidi$tanter ba$i, & alia nõ æquidi$tanter $ecuerit: com munis $ectio e$t linea recta tran$iens pyramidem uel columnam, orhogonalis $uper axem. Ex quo patet, quòd $iue circulι peripheria, $iue $ectio alia quæcun<005> non in eadem $uperficie, quam- cun<005> $ecuerit $ectionem, in duobus tantùm punctis ip$am inter$ecabit.

Sit, ut pyramis, cuius uertex a: & axis a d $ecetur $ecundum punctum axis e, per@duas planas $u- perficies, quarum una $ecet æquidi$tanter ba$i, ut f g h, alia uerò non æquidi$tanter, ut f g k l. Di- co, quòd communis $ectio i$tarum $uperficierum e$t linea tran$iens pyramidem, orthogonalis $u- per axem, ut e$t linea f e g. Quòd enim illæ $uperficies $e inter$ecent, patet per hoc, quòd aliquæ li- VITELLONIS OPTICAE neæ in ip$is product{ae}, ad unum communem terminum copulantur, a l f e h k g b d c & in illo $e inter$ecant, ut in puncto e. Quòd enim illarum $uperficie rum communis $ectio $it linea recta, patet per 3 p 11: quòd autem illa linea (quæ e$t illarum linearum communis $ectio) $it orthogonalis $uper axem pyramidis, qui e$t a d: patet: quoniam per 14 p 11 axis a d e$t քpendicularis $uper ba$im pyramidis & $uք $uperfici\~e f g h: quo- niam illæ $uperficies $unt ex hypothe$i æquidi$tantes. Ergo per defi nitionem lineæ $uper $uperficiem erectæ, omnis linea ducta à pun- cto axis e in $uperficie f g h e$t perpendicularis $uper axem a d. Li- nea uerò, qu{ae} e$t communis $ectio i$tarum $uperficierũ $ecantium, nece$$ariò cadit in $uperficie f g h: alioquin nõ e$$et cõmunis $ectio. Palàm ergo propo$itum primum: quoniam communis $ectio $uper- ficierum taliter, ut proponitur, pyramidem $ecantium, e$t orthogo- nalis $uper axem pyramidis. Et eodem modo demon$trando, idem patet in columnis rotundis. Ex quo patet & corollarium: quoniam communis $ectio talium $uperficierum e$t linea recta. In duobus au- tem tantùm punctis, qui $unt termini illius lineæ, fiet inter$ectio il- larum $ectionum, quamuis in pluribus punctis hoc $it fieri po$sibi- le, cum $e inter$ecant in ead\~e plana $uperficie. Patet ergo propo$itũ.

105. Ex aliquo puncto ba$is peripheriæ columnæ rotundæ $emicirculo in $uperficie cõuexa uel cõcaua columnari circumducto: nece$$e e$t lineam $emicirculum il- lum per æqualia diuidentem ad $uperficiem ba$is erect am e$$e. d a b c

Sit, ut ex aliquo puncto peripheriæ ba$is colũnæ rotund{ae}, q<001> $it a, circumducatur $emicirculus in $uperficie columnæ concaua uel con uexa, qui $it b c d, & eius centrum erit punctum a: $it\’q; ita, ut linea a d diuidat illum $emicirculum per æqualia in puncto d. Dico, quòd linea a d e$t erecta $uper $uperficiem ba$is column{ae}. Quoniam enim arcus d b e$t æqualis arcui d c: patet, quòd angulus d a b e$t æqualis angulo d a c per 27 p 3. E$t igitur linea a d pars unius linearũ longitudinis co- lũn{ae}. E$t ergo erecta $uper ba$im per 92 huius. Patet ergo propo$itũ.

106. Datæ pyramidirotundæ pyramidem eiu$dem uel diuer$æ al titudinis in$cribere. Ex quo patet in$criptæ angulum ad ba$im, an- gulo circum$cribentis maior\~e e$se: & $i in$cripta pyramis ad aliam ba$im priori ba$i æquidi$tantem producatur, anguli productæ ad ba$im, angulis datæ pyramidis maiores erunt: & quantum- cun<005> anguli ad ba$im augment antur, tantum anguli ad uerti cem minuuntur. a x e i b g d h c k f o l n m p

E$to exempli gratia, ut pyramis, cui alia eiu$dem altitudinis de- bet in$cribi, $it orthogonia, & $it a b, a c, a e, a f lineis $uæ longit udi nis $ignata: & axis eius $it a d: ab$cindatur itaq; $emidiameter ba- $is, quæ e$t d c, ut libuerit, & $it ab$ci$$a in puncto h: producatur\’q; linea a h, & habetur triãgulus a d h, cuius latera a h, d h latere a d fi- xo manente, reuoluantur ad locũ, unde moueri incœperũt, {pro}ue- niet\’q; pyramisa g h i k, cuius axis a d. Et $ic pote$t fieri in$criptio ad quodcũq; punctũ lineæ d c. Et hoc e$t, q<001> {pro}ponebatur primũ. Quod $i diuer${ae} altitudinis pyramid\~e ad ba$im cõmun\~e in$cribere placuerit $imilem priori datæ: $ignato puncto, ubi uolueris, in li- nea axis a d, uel extra: tum intra corpus pyramidis, quod $it x, pro- ducantur lineæ à puncto x ad totam peripheriam, ut x b, x c, x e, x f. Et patet propo$itum. Similiter erit faciendum, $i quis in$cribere uoluerit pyramidem ad ba$im minorem ba$i pyramidis datæ. Pa- tet autem ex præmi$sis, cum omnes anguli cuiu$cunq; pyramidis ad ba$im $int æquales per 89 huius, quoniã ex motu anguli unius trianguli, omnes illi anguli cau$$antur: palàm, quòd quicquid in triangulo cau$$ante maiorem pyramidem re$pectu trianguli cau$- $antis minorem pyramidem proueniet, in omnibus $imilibus & æqualibus triangulis maioris pyramidis ad $imiles triangulos mi noris prouenire nece$$e e$t. Cum ergo in triangulo d h a angulus a h d $it per 16 p 1 maior angulo a c d trianguli d c a: quoniã e$t ex- trin$ecus: patet, quòd omnes anguli pyramidis a g h i k ad ba$im LIBER PRIMVS. $unt maiores omnibus angulis pyramidis a b c e f ad ba$im exi$tentibus. Et eod\~e modo pote$t de- mon$trari in pyramide in$cripta pyramidi a g h i k. Et hoc e$t $ecundum propo$itũ. Quòd $i linea lon gitudinis, quæ e$t a h, protrahatur ad punctum m, & axis a d ad punctum n, fiat\’q; angulus a n m re- ctus, & $ecundum eum compleatur pyramis a l m o p $uper axem a n: patet tertium propo$itũ, quòd anguli productæ pyramidis, qui fiunt ad ba$im, erunt maiores angulis ad ba$im primæ datæ pyrami dis: quoniam ex 29 p 1 angulus n m a {ae}qualis e$t angulo d h a, & angulus d h a maior e$t angulo d c a: ergo angulus n m a maior e$t angulo d c a. Omnes ergo anguli ad ba$im pyramidis a l m o p angulis ad ba$im pyramidis a b c e f $unt maiores, quilibet $cilicet $uo corre$pondenti. Eodem aut\~e modo demon$trari poterit, & $i pyramis in$cripta pyramidi a g h i k, producatur ad ba$im dictæ pyramidis priori ba$i æquidi$tantem: e$t enim idem modus. Patet\’q; ex prædictis ultimum propo$itũ, $cilicet, quia quantùm anguli ad ba$im ampliantur, tantùm anguli ad uerticem eiu$dem pyramidis minuun tur: quilibet enim anguli cuiuslibet trianguli cum $int {ae}quales duobus rectis per 32 p 1: angulo ergo recto in omnibus permanente, reliqui duo ualent unum rectum: quod ergo in uno illorum additur, nece$$e e$t, ut in reliquo minuatur. Et hoc e$t totum quod proponebatur.

107. Si pyramis rotunda pyramidi rotundæ in$cribatur $ic, ut ambarum eadem ba$i exi$tente diuer$i $int axes: centrũ axis, & uertices ambarũ pyramidum in ead\~e linea cõ$i$tere e$t nece$$e.

E$to pyramis data, quæ $it a b c e f: cuius ba$is $it circulus b c e f: & eius centum d: $it\’q; axis pyra- ramidis a d: & $it exempli gratia orthogonia: in$cribatur\’q; ei per præcedentem ad eandem ba$im py ramis breuioris axis taliter, quòd intra illam cõtineatur. Dico, quòd a g g e b d c f centrum circuli ba$is ambarum pyramidum, quod e$t d, & uertex datæ pyramidis, qui e$t a, & uertex in$criptæ pyramidis, qui $it g, o- mnes erunt in eadem linea a d. Et hoc quidem patet de punctis a & d. Quòd autem punctum g in eadem $it linea, probatur. Si enim non e$t in eadem: ergo ad aliquam partem extra illam lineam declinat: $it ergo nunc eius declinatio ad partem dextram uer$us lineam a c in $uperficie trianguli a d c. Producatur linea g d. Quia itaq; per 89 hu- ius omnes lineæ longitudinis eiu$dem pyramidis $unt æquales: patet, quòd latera g b & g c $unt æqualia: $ed & b d e$t æqualis ip$i c d, & axis g d cõmunis: ergo per 8 p 1 angulus g d c e$t æqualis angulo g d b: uterq; ergo e$t rectus. Sicut autem angulus a d c e$t rectus, $ic & angulus g d c erit rectus. Ergo rectus e$t pars recti: hoc autem e$t impo$sibile. Patet ergo, cum ubicunq; extra lineam a d $ignato pun- cto g, $emper idem accidat impo$sibile, quoniam punctus g nece$$a- riò erit in linea a d. Quod e$t propo$itum. Quòd $i à puncto g ad ba- $im pyramidis productus axis dicatur nõ cadere in punctum d, cen- trum circuli ba$is: $equetur aliud impo$sibile contra hypothe$im, $ci licet quòd ad eandem ba$im illa pyramis non $it in$cripta: quod e$t cõtra præmi$$a: uel $equetur, quòd lineæ ductæ à centro ad circum- ferentiam non $int æquales: quod totum e$t impo$sibile. Patet ergo illud quod proponebatur.

108. Duarum pyr amidum rotundarũ uel later at arum æqualium ba$ium & inæqualium alti tudinum, uerticem altioris acutioris anguli e$$e nece$$e e$t.

Duarum pyramidum rotundarum uel lateratarum $it a b c altior, cuius axis a d, & uertex a: & py ramis e f g, cuius uertex f, & axis f h a k b d c f e h g $it ba$sior: $int\’q; ip$arum ba$es b c & e g æquales: & axis f h breuior a- xe a d. Dico, quòd angulus b a c e$t minor angulo e f g. Re$ecetur enim ab axe a d æqualis axi f h: qui $it d k: & ducãtur lineæ b k & c k: erit itaq; pyramis b c k æqualis e f g: $ecet\’q; $uperficies plana ambas pyramides a b c & b k c per axem: erunt\’q; per 90 huius communes ip$arũ $ectio- nes trigoni. Sit ergo ut $ecetur pyra mis a b c $ecundum trigonum b a c, & pyramis b k c $ecundum trigonũ b k c: erit ergo angulus b k c maior angulo b a c, per 33 huius: ductis\’q; alijs $uperficiebus $ecantibus: erũt $emper trigona i$tis æqualia & æ- quiangula. Patet ergo propo$itum.

109. Si à uerticibus duarũ pyramidum rotundarũ uel later atarũ inæqualium altitudinũ & æqualium ba$ium, duæ pyramides æqualis inter $e altitudinis ab$cindantur: nece$$e e$t ba$im py VITELLONIS OPTICAE ramidis ab$ci$$æ ab altiori, ba$i alterius ab$ci$$æ minorem e$$e.

Duarum pyramidũ rotundarum ambarũ, uel lateratarũ ambarum, {ae}qualiũ ba$ium, $it altior a b c, cuius axis $it a d, & uertex a: & ba$sior pyramis $it e f g, cuius axis $it f h, & uertex f: a b $cindatur\’q; a b axe a d linea a k æqualis line{ae} f l ab$ci$$æ ab axe f h. Secetur itaq; pyramis altior per $uperfici\~e planã per axem: erit\’q; per 90 huius $ectio a m k n b d c f o l p p h g cõmunis trigonus, qui $it a b c. Et $i- militer $ecetur altera pyramis per axem: & $it $ectio trigonus e f g: & à puncto k ducatur linea k m æquidi- $tanter ba$i b d. Et $imiliter à puncto l ducatur linea l o æquidi$tanter ba$i e h per 31 p 1: erit\’q; per 29 p 1 & 4 p 6 proportio lineæ b d ad lineam k m, $icut lineæ d a ad lineã a k: & propor tio lineæ e h ad lineam o l, $icut line{ae} h f ad lineam f l: e$t aũt linea a k {ae}qua lis line{ae} f l, & linea d a maior quàm li nea f h ex hypothe$i. Ergo per 8 p 5 maior e$t {pro}portio line{ae} d a ad lineã a k, <004> $it linea h f ad lineã f l: e$t ergo maior proportio line{ae} b d ad lineam m k, <004> lineæ e h ad lineã o l: $ed linea b d e$t æqualis ip$i e h ex hypothe$i. Ergo per 10 p 5 linea o l e$t maior <004> linea k m. Et $imiliter pro- ducta m k ad latus trigoni a c, & linea o l ad latus trigoni f g, $equetur lineã l p e$$e maior\~e, <004> $it linea k n: & tota linea o p erit maior, quàm linea m n. Circũducãtur itaq; per 102 huius pyramidibus datis duo circuli, quorũ unius diameter $it m n, & alterius o p: erit\’q; circulus o p maior circulo m n. Et <003>a circuli illi æquidi$tant ba$ibus pyramidium, patet per 100 huius, quoniã à uerticibus ab$cindunt py ramides, quarũ axes $unt a k & f l, qu{ae} ex pr{ae}mi$sis $unt æquales. I dem\’q; penitus accidit in lateratis pyramidibus a$$umptis trigonis, & ductis lineis æquidi$tantibus ba$ibus trigoni, hoc e$t lateribus ba$is dat{ae} pyramidis & lineis ad axes æquidi$tãtibus, <003>bu$dã lineis {pro}ductis à terminis laterũ ba$iũ ip$arũ pyramidum ad punctum terminant\~e axem $uper ba$im. Patet ergo propo$itũ per 99 huius.

110. Si pyramis rotunda $phæram inter$ecet, nec eius conica $uperficies à $uperficie $phæræ inter$ecetur: communis $ectio $uperficierum $phæræ & pyramidis erit circumferentia circu- li ba$is pyramidis.

Quoniam enim per 69 huius $uperficies plana $ecundum circulum $ecat $phærã, ba$is\’q; pyrami- dis $uperficies plana e$t, quia circulus: palàm, quòd illa ba$is $phæram $ecundum circulum inter$e- cabit: inter$ecat autem pyramis $phæræ $uperficiem $ecundum totam $uam ba$im: quia $uperficies eius cõuexa conica à $uperficie $phæræ non inter$ecatur, ut patet per hypothe$im. Patet itaq;, quòd communis $ectio $uperficierum dictarum erit circumferentia circuli ba$is pyramidis, $uperficies\’q; illa circumferentia contenta (quæ e$t circulus, qui e$t ba$is pyramidis) erit $uperficies communis: quamuis aliàs corpu$culum (quod e$t pars $phæræ) re$ectum à $phæra per illam $uperficiem, $it cor- pus utriq; dictorum corporum commune.

111. Si pyramis $phæram inter$ecet $ic, ut circulus ba$is pyramidis in $phæræ $uperficie circu- lo maiori $phæræ æquidi$tet: diametrum $phæræ $uper illum circulum maiorem erectã, centrum circuli ba$is pyramidis orthogonaliter tran$ire nece$$e e$t. Ex quo manife$tum e$t, diametrum $phæræ & axem pyramidis coniuncta e$$e lineam unam.

Quia enim per præcedentem circulus (qui e$t ba$is pyramidis) communis e$t $phæræ, $icut pyra- midi: tunc per 68 huius patet propo$itum. Quia enim circulus (qui e$t ba$is pyramidis) æquidi$tat circulo magno $phæræ, & ij circuli æquidi$tãtes $unt ambo in $uperficie $phær{ae}: erit diameter $phæ ræ centrũ circuli ba$is pyramidis orthogonaliter tran$iens: tran$it enim orthogonaliter centra am- borum illorum circulorum. Et quoniam à termino alicuius lineæ ductæ à centro communis circuli ad circumferentiam, exeunt duæ lineæ orthogonaliter $uper ip$am in$i$tentes, $cilicet axis pyrami- dis, ut patet per 89 huius, & diameter $phæræ, ut præmi$$um e$t: patet ex 14 p 1, quoniam ill{ae} duæ li- neæ coniunctæ, $unt linea una. Diametrum ergo $phær{ae} & axem pyramidis coniuncta e$$e lineam unam nece$$e e$t. Et hoc e$t quod proponebatur.

112. Omnium linearum perpendicularium $uper peripheriam oxygoniæ $ectionis product a rum trans eius $uperficiem, unιca e$t perpendicularis $uper $ecti corporis axem: & ip$a e$t mini- ma diametrorum $ectionis.

Sicut enim patet per 104 huius, communis $ectio $uperficiei ip$ius $ectionis oxygoniæ & circuli $ecundum idem punctum axem $ecantium, e$t linea orthogonalis $uper axem $ecti corporis: in alijs LIBER PRIMVS. autem omnibus punctis $ectionis perpendiculares $uper $ection\~e productæ obliquè incidunt axi: quoniam $i aliqua ip$arum ip$i axi perp\~ediculariter inciderit: tunc per 4 p 11 axis $uper $uperficiem $ectionis perpendicularis erit: quod e$t contra naturam $ectionis. Patet ergo propo$itum.

113. In $ectione pyramidali tran$eunte punctum datum $uperficiei pyramid{is} rotundæ, à puncto dato perpendicularem in $uperficie $ection{is} ductam $uper $uperficiem pyramid{is}, cum perpendiculari ducta à puncto eiu$dem $ection{is} remotiore à uertice pyramid{is} $uper lineam in illo puncto $ectionem contingentem, $ub axe pyramid{is} concurrere e$t nece$$e: dum tamen linea ducta à puncto inferiori cum perpendiculari ducta à puncto $uperiori $uper axem pyramid{is}, angulum contineat acutum. Alhazen 30 n 6.

E$to pyramis, cuius uertex $it a, & eius axis $it a c k: $it\’q; in $uperficie conica huius pyramidis $ignatus punctus e, quem pertran$eat $ectio pyramidalis, quæ $it e f z, in qua etiam $it punctus z re- motior à puncto a uertice pyramidis, quã $it punctus e: contineat\’q; linea ducta à puncto z ad axem cum perp\~ediculari ducta à puncto e angulum acutum. Dico, quòd $i ducatur à puncto z linea per- pendicularis $uper lineam in illo puncto z ip$am $ectionem oxygoniam contingentem: & alia per- pendicularis $uper $uperficiem contingentem pyramidem in puncto e ducatur à puncto e, quòd illæ duæ perpendiculares concurrent $ub axe a c k. Sit enim, ut $uperficies plana $ecet pyramidem $uper punctum z æquidi$tanter ba$i: & hæc quidem per 100 huius $ecabit eam $ecũdum circulum: $it ille circulus g b r z, cuius c\~etrum $it c: communis\’q; $ectio huius circuli & $ectionis oxygoniæ $it diameter ut chorda circuli, qui e$t g b r z per 104 huius: & à pũcto uerticis pyramidis per 101 huius a e t g o f z h d c p y k b r q ducantur per $ignata in $uperficie pyramidis puncta e & z lineæ longitudinis pyramidis, quæ $int lineæ a z & a e: & producatur linea a e, donecip$a $it æqualis lineæ a z. Veniet quidem ad circulum, eò quòd e$t li- nea longitudinis, & quia punctus e propinquior e$t uertici pyramidis, quàm $it punctus z. Cadat ergo li- nea a e producta in punctum circuli o: & à pũcto da- to (qui e$t e) ducatur linea perp\~edicularis $uper $u- perficiem contingentem pyramidem: hæc quid\~e per 96 huius concurret cum axe pyramidis, qui e$t a c k. Concurrat ergo in puncto d: & $it illa perpendicula. ris e d: copuletur quoq; linea z d, cõtinens angulum acutum cum perp\~ediculari e d, qui $it angulus z d e. Et quoniam linea d z e$t in $uperficie $ectionis per 1 p 11, $icut & puncta d & z: tunc à puncto o lineæ lon- gitudinis a e o ducatur perp\~edicularis $uper lineam a o per 11 p 1, & ducatur à c\~etro circuli g b r z, q<001> e$t c, $emidiameter c o. Quia ergo per 89 huius angulus c o a e$t acutus, patet, quòd perpendicularis $uper lineam a o ducta à puncto o, cadet $ub c\~etro circuli, quod e$t c, in aliud punctum axis. Sit ergo ut cõcur- rat cum axe in puncto k: & erit o k {ae}quidi$tans lineæ e d per 6 p 11: & ducatur linea k z: & ducatur linea cõ- tingens $ectionem in puncto z, qu{ae} $it t q: & ducatur alia contingens circulum b g z in puncto z per 17 p 3, quæ $it z y: & ducatur diameter circuli, qu{ae} $it b c z: & à centro c ducatur $emidiameter perpendicularis $uper diametrum b c z, quæ $it c r. Et quia axis a c k orthogonaliter erigitur $uper centrum circuli b g z per 89 huius, erit linea c r perpendi- cularis $uper axem a c k, quoniam e$t $emidiameter circuli. Ergo per 4 p 11 linea c r e$t perpendicu- laris $uper $uperficiem a c z $ecantem pyramidem per axem: $ed & linea c r e$t æquidi$tans lineæ contingenti circulum in puncto z, quæ e$t y z, per 28 p 1. Ergo per 8 p 11 linea z y e$t perpendicularis $uper $uperficiem a c z. Linea ergo t q contingens $ectionem oxygoniam e f z in puncto z, continet angulum acutum cum linea y z. Et quia linea t q continet angulum acutũ cum y z: patet, quòd linea t q non e$t perp\~edicularis $uper illam $uperfici\~e a c z. Verùm, quia punctus k (qui e$t punctus axis) ut patet per 89 huius & per definition\~e poli factã in principio, e$t polus ad circulũ b r z: palàm per 65 huius, quia lineæ k o & k z $unt æquales, & axis a k cõmunis: $ed & linea a o e$t æqualis lineæ a z per 89 huius, cũ $int lineæ longitudinis, ut patet per præmi$$a. Ergo per 8 p 1 trianguli a o k & a z k $unt {ae}quianguli: erit ergo angulus a o k {ae}qualis angulo a z k. Et quoniã angul<_>9 a o k e$t rectus, ideo quòd linea o k ducta e$t perp\~ediculariter $uper lineã a o, ut patet ք præmi$$a: erit ergo etiã angulus a z k rectus. Cum ergo linea k z $it perp\~e licularis $uք lineã a z, quæ e$t linea lõgitudinis pyramidis: palàm, quia linea k z erit perp\~edicularis $uper $uperfici\~e contingentem pyramid\~e $ecundum lineã a z lineã longitudinis: $ed linea t q e$t in $uperficie illa conting\~ete, quia e$t cõmunis $ectio $uperficiei conting\~etis & $uperficiei $ectionis e f z, quoniã e$t in $uperficie contingente pyramid\~e, ducta con- tingens $ectionem. E$tigitur linea k z perpendicularis $uper lineam t q per definitionem lineæ $u- VITELLONIS OPTICAE per $uperficiem erectæ. Ducatur quoq; à puncto z in ip$a $uperficie $ectionis per 11 p 1 perpendicu- laris $uper lineam t q, quæ $it linea z h. Cum itaq; linea k z $it extra $uperficiem $ectionis cõcurrens cum linea h z in puncto z: palàm, quòd ip$a $ecabit lineam h z, nec erit una linea cum illa per 1 p 11. Sunt itaq; lineæ k z & h z in una $uperficie per 2 p 11. Superficies ergo k z h $ecat $uperficiem $ectio- nis $uper lineam eis ambabus communem, quæ e$t h z, per 19 huius: & $ecat lineam t q in puncto z: & $uperficies h z k $ecat $uperficiem d z h $uper lineam communem ambabus illis $uperficiebus, quæ e$t linea h z p. Verùm linea d z e$t in $uperficie $ectionis, ut $uprà patuit, & $ecatur à linea k z in puncto z: & punctus t e$t $upra $uperfici\~e k z h, & punctus q infra illam: & ita $uperficies k z h $ecat $uperficiem d z q $uper lineam communem, quæ e$t perpendicularis $uper lineam t q: & e$t linea z h: quia linea illa e$t in $uperficie h z k, & $uper eam e$t perpendicularis linea t q, ut patet ex præmi$- $is. Et quoniam $uperficies h z k $ecat $uperficiem d z q, & declinatio $uperficiei h z k à $uperficie $e- ctionis, cuius pars e$t $uperficies d z q, fit ex parte $emidiametri z c: erit linea, quæ e$t cõmunis $e- ctio illarum $uperficierum (& e$t linea h z p) cadens inter lineas q z & d z. Et ita linea z h, quæ e$t à puncto z ducta perpendiculariter $uper lineam $ectionem oxygoniam e f z in illo puncto contin- gentem, concurret cum perpendiculari e d $ub axe a c k. Quoniam perpendicularis e d $ecat axem pyramidis, quæ e$t a c k in puncto d. Quòd autem concurrant, patet per 14 huius. Producatur enim linea h z ultra punctum z intra $ectionem in punctum p. Quia ergo angulus z d e e$t acutus, & an- gulus d z p acutus: palàm, quoniam concurrent lineæ z h & e d $ub puucto d: & $it concur$us pun- ctum p. Patet ergo propo$itum.

114. Ab altero duorum punctorum in $ectione columnari $ignatorum ducta perp\~ediculari $uper axem columnæ in ip$a $uperficie $ection{is}, & à reliquo puncto ducta linea acutum angu- lum cum illa perpendiculari $uper axem columnæ continente: $i ab eodem puncto reliquo duca- tur perpendicular{is} $uper ip$am $ectionem: hæc concurret cum priori perpendiculari $ub axe, & $ub puncto concur$us prior{is} lineæ cum perpendiculari. Alhazen 24 n 6.

Sit $ectio columnaris, quæ a b c e: in qua $ignati $int duo puncti, qui $int b & e: $it\’q; columnæ, in cuius $uperficie cadit illa $ectio, axis linea h d k: & ab altero $ignatorum punctorum, ut à puncto b, ducatur in ip$a $uperficie $ectionis linea b d, perpendiculariter $uper axem incidens puncto d: & ducatur item in $uperficie $ectionis à reliquo datorum punctorum, quod e$t e, linea e d acutum an- gulum continens cũ perpendiculari d b, qui $it e d b: $it\’q; linea cõtingens $ection\~e in puncto e, quæ $it exempli cau$$a, linea l e q. Dico, quòd perpendicularis à puncto e ducta $uper lineam l e q, con- curret cum perpendiculari b d $ub axe h k, & $ub puncto d, qui e$t punctus cõcur$us lineæ e d cum perpendiculari b d. Fiat enim per 102 huius $uper punctũ $ectionis, quod e$t b, circulus {ae}quidi$tans ba$ibus columnæ, qui $it b t o, cuius centrũ $it d: & ducatur à puncto e linea longitudinis columnæ per 101 huius, quæ $it e t: & à puncto d per 11 p 1 ducatur linea d g perpendicularis $uper lineam b d in ip$a circuli $uperficie. Palàm ergo, quòd $uperficies h d g cum per axem tran$eat (qui erectus e$t $uper circuli $uperficiem) perpendicularis e$t $uper eandem circuli $uperficiem per 18 p 11. Super- n q e t o l g f m d K d h c a s u p z b ficies uerò contingens columnam in puncto b, erit æquidi$tãs $uperficiei b d g. Ideo enim, quia linea lõgitudinis columnæ ducta à pun- cto b e$t æquidi$tãs axi h k per 92 huius, & 28 p 1, & linea circulum b t o contingens $uper punctũ b, e$t æquidi$tans lineæ d g per 28 p 1: angulus enim g d b e$t rectus ex pr{ae}mi$sis, & angulus contentus $ub linea d b, & $ub linea contingente in puncto b e$t rectus per 18 p 3. Ergo illæ $uperficies æquidi$tant per 15 p 11. Igitur $uperficies, in qua $unt lineæ l e & et non e$t æquidi$tans $uperficiei b d g per 24 huius: quoniam $uperficies conting\~es $ectionem oxygoniam in puncto b, non e$t æquidi$tans $u- perficiei contingenti eandem $ectionem in puncto e, in qua $unt lineæ, l e q contingens $ectionem, & linea longitudinis, quæ e$t e t: angulus enim e d b e$t acutus ex hypothe$i. Superficies ergo b d g non æquidi$tat $uperficiei l e t. Ergo concurret cum illa. Concurrat ergo in linea l g per 3 p 11: & du- catur linea g t: quæ nece$$ariò erit contingens circulum b t o, cuius $uperficies, in qua ip$a ducitur, columnam fit contingens. Ducta autem linea t d, erit angulus g t d rectus per 18 p 3: quoniam linea t d e$t $emidiameter circuli, & linea g t contingit circulum in puncto t. Fiat quoq;, ut prius, $uper e punctum $ectionis circulus æquidi$tans ba$ibus columnæ, qui $it e s z p, & c\~etrum huius circuli $it punctus axis, qui k: & ducatur linea k e: & ducatur etiam linea d l: quæ quidem $ecabit $uperficiem e s p: $ecet ergo illã in puncto f. Quia itaq; punctũ d e$t in $uperficie $ectionis, ut patet ex præmi$sis & exhypothe$i, & punctũ l, quod e$t punctũ lineæ conting\~etis $ectionem, e$t in ead\~e $uperficie $e- ctionis: ergo per 1 p 11 tota linea d l e$t in $uperficie $ectionis. Punctũ ergo f e$t in $uperficie $ectionis & circuli e s z p: $ed & punctum e e$t in ei$dem ambabus $uperficiebus: ergo per 1 p 11 linea e f pro- ducta erit in ambabus illis $uperficiebus. Ergo per 19 huius $ecundum lineam e f $ecant$e $uper- ficies $ectionis & circuli e s z p. Ducatur itaq; linea k f: & à puncto f ducatur linea perpendicularis LIBER PRIMVS. $uper $uperficiem circuli b t o per 11 p 11, quæ $it f m: cadet\’q; punctus m in linea d g, ut patet ex præ- mi$sis: & ducatur linea t m. Palàm ergo, quoniam linea k d æqualis & æquidi$tans e$t lineæ f m per 25 huius. Sunt enim lineæ k d & f m ambæ perpendiculares $uper $uperficiem circuli b t o & $uper $uperficiem circuli e s z p: quoniam illi circuli æquidi$tant per 24 huius: utraq; enim ip$arum æqui- di$tat ambabus ba$ibus columnæ per 100 huius. Quia itaq; linea f m e$t æqualis & æquidi$tans li- neæ d k, quæ e$t pars axis: ergo per 33 p 1 linea k f æqualis & æquidi$tans e$t lineæ d m. Et $imiliter erit linea f m æqualis & æquidi$tans lineæ longitudinis, quæ e$t e t per 30 p 1: quoniam linea e t e$t æqualis & æquidi$tans axi k d per 92 huius, cũ $it linea longitudinis: & erit, ut prius, linea k e æqua- lis & æquidi$tans lineæ d t, & linea e f æqualis & æquidi$tans lineæ t m per eandem 33 p 1. Verùm etiam $uperficies k d l (quia tran$it axem column{ae}, & angulus g d b e$t rectus) e$t orthogonalis $u- per $uperficiem $ectionis oxygoniæ a e c b, per definitionem $uperficiei erect{ae} $uper $uperficiem: & eadem $uperficies k d l e$t orthogonalis $uper $uperficiem circuli e s p. Quoniam enim illa $uperfi- cies k d l trã$iens per axem, per 18 p 11 erecta e$t $uper ba$es columnæ: ergo & $uper $uperficiem cir- culi e s p æqui di$tantem ba$ibus columnæ, erecta e$t eadem $uperficies k d l. Quia itaq; dicta $uper- ficies k d l e$t erecta $uper $uperficiem $ectionis oxygoniæ & circuli e s p: ergo per 19 p 11 e$t ip$a or- thogonalis $uper lineam communem dictæ $ectioni & circulo, quæ e$t linea e f. Et quia linea e f e$t erecta $uper $uperficiem k d l, in qua ducta e$t linea k f: igitur per definitionem lineæ $uper $uperfi- ciem erectæ, angulus e f k e$t rectus: ergo angulus t m d e$t rectus per 10 p 11: latera enim illos angu- los contin\~etia in æquidi$tantibus circulorum $uperficiebus protracta, æqualia $unt & æquidi$tan- tia, ut patet ex præmi$sis. Cum ergo angulus d m t $it rectus, & angulus g d t $it rectus per 18 p 3: in trigono ergo orthogonio d t g ducta e$t ab angulo ad ba$im perpendicularis, quæ t m: ergo per 8 & 17 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ d m in lineam g m e$t æquale quadrato lineæ m t. Et quoniam linea g t contingit circulum b t o, cum $it in $uperficie contingente ducta ad punctum conting\~etiæ, quod e$t t: palàm, quoniam linea l g e$t æquidi$tans axi k d. Quoniam enim $uperficies $ecũdum li- neam longitudinis columnam conting\~es, quæ e$t l e t g, & $uperficies $ecans columnã trans axem, quæ e$t h d g l, $unt erectæ $uper ba$ium columnæ $uperficies per 92 huius, & per 18 p 11. Ergo per 19 p 11 earum communis $ectio, quæ e$t in propo$ito, linea l g, $uper ea$dem $uperficies ba$ium perpen dicularis erit. Aequidi$tabit ergo axi h k per 6 p 11: ergo etiam æquidi$tat lineæ f m per 30 p 1. Quia ergo in trigono l d g linea f m æquidi$tat ba$i l g, patet per 2 p 6, quòd linea f m $ecat illa latera pro- portionaliter: e$t ergo proportio lineæ d f a d lineam f l, $icut lineæ d m ad lineam m g: ergo permu- tatim per 16 p 5 erit proportio lineæ d f ad lineã d m, $icut lineæ f l ad lineam m g: $ed linea d f maior e$t quàm linea d m per 19 p 1, quoniam in trigono f d m angulus f d m e$t rectus per 8 p 11: ergo & li- nea f l e$t maior quàm linea m g. Ergo illud, quod fit ex ductu lineæ f d in lineam f l, maius e$t illo, quod fit ex ductu lineæ d m in lineã m g. Ergo & quadrato lineæ t m: $ed linea t m e$t æqualis lineæ e f, ut patet ex præmi$sis. Ergo illud, quod fit ex ductu lineæ d f in lineam f l maius e$t quadrato li- neæ e f. E$t ergo in trigono d e l angulus l e d maior recto per 30 huius: quia $i e$$et rectus, cum linea e f $it perpendicularis $uper lineã d l: e$$et per 8 & 17 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ d f in lineam f l æquale quadrato lineæ e f. Re$tat ergo ut linea perpendicularis $uper lineam conting\~etem $ectio- nem a e c b (quæ e$t q l, ducta à puncto e) cadat $ub linea e d, nõ perueniens in punctum d. Sit ergo illa perpendicularis linea e u. Et quia angulus e d b e$t acutus, & angulus d e u e$t acutus: quoniam angulus u e q e$t rectus. Ergo per 14 huius lineæ e u & d b productæ concurrent in puncto aliquo $ub axe h k, & $ub concur$u lineæ e d cum linea d b: quod e$t euidens. Patet ergo propo$itum: per- pendicularis enim $uper lineam $ectionem contingentem, e$t perpendicularis $uper ip$am $ectio- nem columnarem per 5 definition\~e factam in principio huius libri.

e b h a f c l m k d g 115. Omn{is} recta perp\~edicular{is} $uper oxygoniam $ectionem, productataliter diuidet $ectionem, ut in unaqua<005> illarum par- tium unic{us} tantùm $it punct{us}, à quo ducta contingens æquidi- $tet ip$i perpendiculari.

E$to $ectio oxygonia, qu{ae} a b c d: quã perp\~edicularis e b d $ecet in duas partes, quæ $int b c d & b a d. Dico quòd in unaquaq; illarum partium e$t unicus tantùm punctus, à quo ducta contingens æqui- di$tat perpendiculari e b d. Quoniam enim perp\~edicularis e b d di- uidit $ectionem, diuidatur eius pars b d cadens intra $ectionem per æqualia per 10 p 1 in puncto f: & ab illo pũcto f erigatur per 11 p 1 per pendicularis $uper lineam b d: qu{ae} producta ad peripheriam $ectio- nis in punctum c, $it f c: & à puncto c ducatur perpendicularis $uper lineam f c, quæ $it g c h: erit\’q; linea g c h contingens $ectionem: quo- niam ad utranq; part\~e producta non $ecabit illam. Palàm itaq;, quo- niam linea g c n æquidi$tat perpendiculari $uper $ectionem, quæ e$t e b d per 28 p 1. Quòd $i ab alio aliquo puncto partis $ectionis, quæ b c d, ut à puncto k, producatur linea contingens $ectionem, quæ $it k l: patet, quoniam illa concurret cum linea g c h per 14 huíus: quia ducta linea recta c k à puncto contactus c ad illum alium punctum k: fient anguli c k l & k c g minores duobus rectis, ideo quòd angulus f c g e$t rectus, & linea k l cũ aliqua linea $ecante lineam VITELLONIS OPTICAE b d, continet angulum rectum, ut fortè cum linea k m. Quia itaq; anguli c k l & k c g $unt minores duobus rectis: concurret linea k l cum perpendiculari h c g per 14 huius. Ergo per 2 huius illa linea contingens, qu{ae} k l, concurret cum perpendiculari e b d. Similiter quoq; in parte $ectionis, quæ e$t b a d, facta deductione, patet propo$itum.

116. Omnes oxygoniæ pyramidales $ectiones ampliantur exparte ba$is pyramid{is}: quod nõ accidit in column{is}.

Hoc quod proponitur, accidit propter corporis pyramidalis acuitat\~e, & propter columnarum æqualitatem. Si enim $ecundum punctum axis pyramidis, cui incidit linea perpendicularis $uper $ectionem pyramidalem, circumducatur pyramidi circulus per 102 huius, & imaginetur columna, cuius ba$is $it ille circulus: patet, quòd inferior pars pyramidis excedit illam columnam, & colu- mna excedit $uperiorem partem pyramidis: & $ic inferior pars $ectionis pyramidalis continebit inferiorem partem $ectionis columnaris, & $uperior pars $ectionis columnaris cõtinebit $uperio- rem $ectionis partem pyramidalis. Partes autem $ectionis columnaris $unt æquales propter æqua- litatem corporis & angulorum $uper axem per 92 huius. Patet ergo propo$itum.

117. Omn{is} $uperficiei planæ $uper axem fixum reuolutæ, donec ad locũ, unde exiuit, redeat, linea mota de$cribit $uperficiem corpor{is} $ibi $imilem, cui{us} $uperficiei corpor{is} & $uperficiei planæ ip$um corp{us} per axem $ecant{is}, commun{is} $ectio e$t linea $imil{is} motæ lineæ illam $uper- ficiem cau$$anti.

Quod hic proponitur, patet $atis euidenter in lineis rectis motis: quælibet enim illarum linea- rum circa axem aliquem mota de$cribit $uperficiem, cuius omnes lineæ $unt $imiles ip$i lineæ mo- tæ cau$$anti motu $uo illam $uperficiem. Hoc enim patet in $uperficie rectangula, quæ uno latere fixo $uo & alijs tribus motis de$cribit columnam rotundã, cuius $uperficiei & $uperficiei plan{ae} co- lumnam per axem $ecantis, communis $ectio e$t linea $imilis lineæ priori motæ. Et hoc idem patet in triangulo moto, qui motu $uorum duorum laterum, fixo tertio, efficit pyramidem rotundam: &, ut patet per 90 huius, omnis $uperficiei planæ $ecantis ip$am pyramidem per axem & $uperficiei conicæ pyramidis, communis $ectio e$t triangulus continens lineas $imiles prioribus lineis motis & axi. Hoc idem etiã in $emicirculo moto, cuius diametro fixa de$cribitur $phæra, & omnis $uper- ficiei planæ $ecantis $phæram per axem, qui e$t diameter, & $uperficiei $phæricæ communis $ectio e$t circulus, ut patent hæc omnia ex principijs lib. 11. Quòd $i linea mota circa axem fixum (qui $it b d a c e f g a b c d e f fg) fuerit compo$i- ta ex lineis rectis, ut ex a b & b c & c d & d e, contin\~etibus angulos a b c, b c d, c d e: uel $i linea mo ta fuerit compo$ita ex lineis rectis & curuis actu, ut $i a b & c d $int rect{ae}, qua rũ media b c utrãq; rectarum illarũ co- pulans, $it curua, fiat\’q; motus circa ax\~e fixum, qui e f, fiet adhuc $uperficies corporis de$cripti $imi- les hab\~es lineas ip$is lineis cau$$antibus illam rotundam $uperficiem motu $uo. Quòd $i linea mo- ta fuerit compo$ita e$$entialiter ex natura linearum rectarũ & curuarum, ut $unt multæ lineæ, quæ a h b z d @ g fiunt per motũ, uerbi gratia, aliqua $ectio co- nica, ut $i $ectionis parabolæ medietas, quæ mouetur, $it a b g, cuius axis a d, & $it linea g d perp\~edicularis $uper ip$um axem a d, figa- tur\’q; axis a d, & reuoluatur $ectio a b g, do- nec redeat ad locum, à quo exiuit: tũc fiet ex motu illius lineæ $uperficies cõcaua uel con- uexa, cuius ba$is erit circulus proueniens ex motu lineæ rectæ, quæ e$t d g: $it\’q; ille circu- lus g e z, & eius centrum e$t punctum d: quo- niam punctum g motu $uo illius circuli peri- pheriam de$cribit, erit\’q; uertex illius cau$$ati corporis pũctum a. Egrediatur quoq; ex axe illius corporis, qui e$t a d, $uperficies plana, utcũq; id $it po$sibile accidere, & $ecet illius corporis $uperfici\~e. Palàm itaq; per 3 p 11, quoniã illius $uperficiei & $uperficiei corporis cõmunis e$t linea, qu{ae} $it a h e. Dico, quòd linea a h e e$t $ectio pa- rabola {ae}qualis & $imilis $ectioni a b g. Ducatur enim linea d e, & imaginetur moueri $ectio a b g cir- ca ax\~e a d. Cum ergo punctũ g քuenit ad punctũ e, cooperit tota $uքficies a b g d totã $uperfici\~e a h e d, & fi\~et $uքficies una. Et quoniã $ectio a b g d facit euenire $uքfici\~e concauã uel cõuexam: palàm, LIBER PRIMVS. quoniam linea a b g d $emper, ubicunq; reuoluatur $ectio, e$t cõmunis differ\~etia inter $uperficiem $ibi continuam & inter $uperficiem planam $ecantem. Cum itaq; $uperponitur $ectio a b g d $ectio- ni a h e d, erit communis $ectio inter $uperficiem $ecantem & $uperficiem corporis linea a b g d: $ed & eadem cõmunis $ectio e$t linea a h e d. Linea ergo a b g d & linea a h e d $ibi adinuicem $uperpo- $itæ $unt linea una. Linea ergo a h e e$t peripheria $ectionis parabolæ æqualis & $imilis lineæ a b g. Superficies ergo a h e d e$t $ectio parabola. Et id\~e patet in omnibus lineis illius corporis, qu{ae} $unt communes $ectiones $uperficiei planæ $ecãtis corpus per axem a d, & omnis $uperficiei illius cor- poris. Patet ergo propo$itum in illis $ectionibus conicis quibu$cunq; Patet etiam eod\~e modo pro- po$itum de quacunq; linea regulari uel irregulari. Et hoc e$t propo$itum principale.

118. Omn{is} $uperficies conuexa uel concaua regular{is}, aut e$t pars $uperficiei $phæræ: aut co- lumnæ: aut pyramid{is} rotundæ.

Omnis enim linea regularis, qu{ae} uniformis e$t in qualibet $ui parte, aut e$t circulus: aut linea re- cta. Circulus uerò motu $uo facit $phæram: quoniam $phæra e$t tran$itus circumferentiæ dimidij circuli, ut patet ex principio 11. Linea uerò recta una motu $uo non pote$t cau$$are ni$i pyramidem, cum e$t latus trigoni, uel columnam, cum e$t latus quadranguli: quoniam in omnibus alijs figuris motis, uno latere remanente fixo, e$t angulus cau$$ans diuer$itatem formæ in $uperficie figuræ pro ductæ. Non ergo efficit conuexam $uperficiem uel concauam regularem. Patet ergo, quòd omnis $uperficies conuexa uel concaua regularis e$t talis, ut proponitur.

119. Lineã datam $ecundũ quamlibet proportion\~e duarum datarũ diuidere. 10 p 6 element. c d e f a g k h b

Sit linea a b data, quæ debeat diuidi $ecundũ proportionem dua- rum datarum linearum c d & e f. A puncto itaq; a datæ lineæ a b du- catur linea indefinitè angulariter coniuncta cum linea a b: & à pun- cto a incipiendo ab$cindatur æqualis lineæ c d per 3 p 1, qu{ae} $it a g, & à puncto g incipiendo ab$cindatur linea g h æqualis lineæ e f: & du- catur linea b h: & à puncto g ducatur linea æquidi$tanter lineæ b h per 31 p 1: h{ae}c itaq; producta $ecabit lineam a b per 2 huius: $ecet ergo in puncto k. Linea itaq; a b indiui$a propo$ita erit diui$a $ecundum modũ diui$ionis lineæ a h diui$æ: erit enim per 2 p 6 proportio lineæ a k ad lineam k b, $icut lineæ a g ad lineam g h. Ergo $icut lineæ c d ad lineam e f per 7 p 5. Et hoc e$t propo$itum.

120. Ducta à puncto dato linea, aliam lineam $ecũdum datam proportionem partium illarum linearum $ecãte: ab eodem puncto inter ea$dem rectas, quæ pri{us} diui$am ab ei$dem termin{is} $erua- ta denominatione proportion{is}, $ecundum eandem proportionem $ecet, aliam lineam duci e$t impo{$s}ibile.

Verbi gratia: $it, ut linea a b ducta à dato puncto a, $ecet lineam d e in puncto c $ecundum aliquam datam proportionem. Dico, quòd à puncto a non pote$t duci alia linea ad lineam d c, qu{ae} ip$am $ecet $e- cundum eandem datam proportionem, ita, ut denominatio proportionis, $eruetur ab ei$dem ter- minis lineæ d e. Si enim à puncto a lineam aliam duci taliter $it po$sibile, fiat $uper punctum d ter- minum lineæ e d per 23 p 1 angulus maior recto uer$us punctum b terminum lineæ a b: & produca- tur linea b d, fiat\’q; angulus c d b obtu$us: & producatur linea d b in continuum uer$us punctum at e a c k h b i g d f & à puncto a ducatur linea perpendicularis $uper li- neam d b, quæ $it a f: & ducatur linea a g $ecans lineã e d in puncto h $ecundũ proportionem prius datam, qu{ae} e$t lineæ d c ad lineã c e: & ducatur linea h i æqui- di$tans lineæ c b per 31 p 1. Erit itaque linea h i maior quã linea h g per 19 p 1. Angulus enim i g h e$t maior recto b f a per 16 p 1: angulus uerò b f a rectus e$t ma- ior angulo f b a per 32 p 1: $ed angulus g i h e$t per 29 p 1 æqualis angulo f b a: angulus ergo i g h e$t maior angulo g i h. Ergo per 19 p 1 linea i h e$t maior quàm linea h g. Et ducatur à puncto h linea h k æquidi$tans lineæ d b: erit ergo per 34 p 1 linea b k æqualis lineæ i h: $ed linea b c e$t maior quàm linea k b: ergo linea c b e$t maior quàm linea h i: ergo c b e$t maior quã linea h g: $ed & linea h e maior e$t quã linea c e, quoniã totũ maius e$t $ua parte: erit ergo per 9 huius maior pro- portio lineæ b c ad lineam c e, quàm line{ae} g h ad lineã h e. Non e$t ergo ead\~e proportio: quod e$t contra hypothe$im: aut $equetur lineam e c e$$e maiorem quàm $it linea e h per 14 p 5: quod totũ e$t impo$sibile. Faciliter uerò id\~e patet in linea d e, cũ linea d h $it minor quã linea d c, & h e $it maior quã c e: per 9 ergo huius cõcludatur, ut prius. Nõ e$t ergo po$sibile à puncto a duci aliã lineã $ecant\~e lineã d e $ecundũ datã proportion\~e. Quod e$t ppo$itu.

VITELLONIS OPTICAE 121. Lineam datam in duob{us} punct{is} taliter $ecare, ut $ui toti{us} proportio ad unã $uarum extremarum partium $it $imil{is} proportioni alteri{us} extremæ part{is} ad eam part\~e, quæ utra$<005> interiacet $ectiones. E 10 p 6 element.

E$to data linea a b, quam $ecundum modum propo$itum debemus diuidere. Diuidatur itaq; $e- cundum proportionem, quam libuerit: & $it diui$a in puncto c: & $it pars eius a c maior quàm pars a d c b cius c b. Quia itaq; propo$itæ $unt nobis tres lineæ a b, a c, c b: diuidatur ergo per 119 huius linea a c $ecundum portionem lineæ a b ad li- neam c b: fiat\’q; diui$io in puncto d ita, ut $it proportio lineæ a d ad lineam d c, $icut lineæ totius a b ad lineã c b. Palàm ergo, quòd linea a b e$t modo propo$ito diui$a: e$t enim proportio totius lineæ a b ad unam extremarum $uarum partium, quæ e$t c b, $icut reliquæ $uæ partis extrem{ae}, quæ e$t a d, ad partem, qu{ae} utra$q; interiacet $ectiones, qu{ae} e$t d c. Patet ergo factum e$$e, quod proponebatur.

122. Diui$a linea recta taliter, ut $uitoti{us} proportio ad unam $uarum extremarũ partium $it $imil{is} proportioni part{is} alteri{us} extremæ ad eam $ui partem, quæutra$<005> interiacet $ectio- nes: $i fuerint lineæ ductæ abuno termino datæ lineæ, & à punct{is} $ectionum æquidi$t antes in- ter $e: à termino<006> reliquo datæ lineæ producatur linea $ecans illas tres æquidi$tantes: erit linea producta $ecundum eandem proportionem diui$a. Alhazen 10 n 6. c h z b d g d

Sit linea a b diui$a in punctis g & d taliter, ut line{ae} a b ad lineam d b $it proportio, $icut lineæ a g ad li- neam g d: & ab uno termino dat{ae} lineæ, qui e$t b, & à punctis $ectionũ g & d per 31 primi ducantur lineæ ad inuicem æquidi$tantes, quæ $int b c, d h, g z: & ab altero termino datæ lineæ, qu{ae} e$t a, producatur li- nea $ecans illas æquidi$tantes in punctis z, h, c, quæ $it a z h c. Dico, quòd linea a c $ecundũ hanc propor- tionem erit diui$a. Cũ enim linea d h $it æquidi$tans lineæ g z ex hypothe$i, erit ex 2 p 6 proportio lineæ a z ad lineã z h, $icut lineæ a g ad lineam g d. Et cum linea b c $it æquidi$tans lineæ d h, erit per eandem 2 p 6 & 18 p 5 proportio lineæ a b ad lineam b d, $icut lineæ a c ad lineam c h: $ed ex hypothe$i fuit propor- tio lineæ a b ad lineam b d, $icut lineæ a g ad lineam d g. Erit ergo per 11 p 5 proportio lineæ a c ad lineam c h, $icut lineæ a z ad lineam z h. Linea ergo a c, quæ producitur à puncto a termino lineæ datæ, $ecat du- ctas lineas æquidi$tantes b c, d h, g z, & $ecatur per illas $ecundum proportionem partium diui$io- nis lineæ datæ a b. Et hoc e$t propo$itum.

123. Linea in duob{us} punct{is} taliter diui$a, ut $ui toti{us} proportio adunam $uarum extre- marum partium $imil{is} $it proportioni alteri{us} extremæ part{is} ad eam $ui partem, quæ utra$<005> interiacet $ectiones: $i ab uno termino illi{us} lineæ, & à punct{is} $ection{is} ducantur tres lineæ con currentes in punctum unum, & ab alio termino producatur linea $ecans illas tres ductas: erit linea producta $ecundum prædictum modum pro portionaliter diui$a. Alhazen 8 n 6. e c q h m z b d g a

E$to linea propo$ita a b taliter diui$a in punctis g & d, ut $it proportio totius lineæ a b ad lineam b d, $icut lineæ a g ad lineam g d: & à puncto b, & à pun- ctis $ectionũ g & d ducantur tres lineæ concurren- tes in unum punctũ e, qu{ae} $int g e, d e, b e: & à pũcto a ducatur linea, quæ $it a c, $ecãs illas tres lineas, $ci- licet g e in puncto z, & d e in puncto h, & b e in pun- cto c. Dico, quòd erit proportio lineæ a c ad lineam c h, $icut lineæ a z ad lineã z h. Ducatur enim à pun- cto h linea æquidi$tans lineæ a b per 31 p 1, qu{ae} $it q h. Palàm ergo per 13 huius, quoniã @ proportio lineæ a b ad lineam b d, con$tat ex proportionibus lineæ a b ad lineam h q, & lineæ h q ad lineã b d. Sed quo- niam linea q h {ae}quidi$tat line{ae} a b, erit per 29 p 1 an gulus c q h {ae}qualis angulo c b a: $ed angulus c b a e$t communis ambobus trigonis a b c & q h c: ergo per 32 p 1 illa trigona $unt {ae}quiangula. Ergo per 4 p 6 erit proportio line{ae} a b ad lineam q h, $icut line{ae} a cad lineam c h. Similiter quoq; trigona q e h & b e d $unt $imilia. E$t ergo proportio line{ae} q h ad li- neam b d, $icut line{ae} h e ad lineam d e. Proportio ergo line{ae} a b ad lineam b d per 13 huius componi- LIBER PRIMVS. tur ex proportione lineæ a c ad lineam e h, & line{ae} h e ad lineam e d. Producatur itaque in directum linea q h ad lineam ge, quã $ecet in puncto m. Proportio itaq; line{ae} a g ad lineam g d per 13 huius cõ $tat ex proportione lineæ a g ad lineã h m, & lineæ h m ad lineam g d. Sed cũ angulus e m h $it {ae}qua- lis angulo z g d per 29 p 1, erit per 13 & 29 p 1 angulus h m z æqualis angulo z g a: ergo per 15 & 32 p 1 triangulus a g z erit æquiangulus triangulo h z m. Ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ a z ad lineam h z, $icut lineæ a g ad lineam h m: $ed triangulus h e m, ut $uprà patuit, $imilis erit triangulo g e d: erit ergo proportio lineæ h m ad lineam d g, $icut line{ae} h e ad lineam d e. Ergo proportio lineæ a g ad li- neam d g con$tat ex proportione line{ae} a z ad lineam z h, & lineæ h e ad lineam e d: $ed ex hypothe$i eadem e$t proportio lineæ a b ad lineam b d, quæ lineæ a g ad lineam g d. Proportio igitur lineæ a b ad lineam b d con$tat ex proportione lineæ a z ad lineam z h, & lineæ h e ad lineam e d: con$tabat au tem ex proportione lineæ a c ad lineam c h, & lineæ h e ad lineam e d. Ablata ergo utrinque propor tione lineæ h e ad lineam d e: re$tat, ut $it eadem proportio lineæ a c ad lineam c h, quæ lineæ a z ad lineam z h. Et hoc e$t propo$itum. Non tam\~e oportet, quòd line{ae} a b & a c $int eiu$dem $peciei pro- portionis re$pectu $uarum partium: quoniam cum ex præmi$sis lineæ a b ad lineam q h $it propor- tio, quæ lineæ a c ad lineam c h, & linea q h $it minor quã linea b d per 4 p 6: palàm per 8 p 5, quoniã minor e$t proportio lineæ a b ad lineam b d quàm $it line{ae} a c ad lineam c h. Sunt ergo proportiona les $ecundum generalem $imilitudinem proportionis. Eadem quoque demon$tratio e$t, qu{ae}cunq; lineæ ducantur à puncto a, $ecantes illas tres lineas à tribus punctis a, d, g ad quodcunque punctũ productas, ut $upra e, uel $ub e, uel etiam ad aliam partem line{ae} a b: $emper enim linea ducta à pun- cto a $ecans illas tres lineas, $ecabitur modo dicto. Patet ergo propo$itum.

124. Duab{us} line{is} angulariter coniunct{is}, diui$is<006> $ic ambab{us}, ut cui{us}libet ip$arum pro- portio adunam $uarum extremarum partium $it, $icut alteri{us} extremæ part{is} ad illa $ui par- tem, quæutra$<005> interiacet $ectiones: $i producta ba$i à punct{is} diui$ion{is} uni{us} ducantur lineæ ad puncta diui$ion{is} alteri{us}, non æquidi$tantes adinuic\~e, ne<005> ba$i: nece$$e e$t productas lineas ambas concurrere cum ba$i, producta in puncto uno. Alhazen 9 n 6.

Sit data linea a b taliter, ut proponitur, diui$a in punctis d & g $cilicet, ut $it proportio totius li- neæ a b ad lineam b d, $icut line{ae} a g ad lineam g d, a diuncta\’q; $ibi angulariter linea a c eodem modo e n c h z l b d g a diui$a in punctis h, z ita, ut $it proportio lineæ a c ad c h, $icut lineæ a z, ad z h: $i producatur ba$is b c, ut fiat triangulus b c a, & protrahatur b c in directum, & ducantur lineæ à punctis $ectionum unius ad pũ ctum $ectionis alterius, ut d h, g z, protrahantur\’que omnes illæ line{ae} in continuum & directum. Dico, quòd omnes concurrent in puncto uno. Cum enim lineæ b c & d h non $int æquidi$tantes ex hypothe- $i, patet quòd nece$$ariò concurrent: concurrant er go in puncto, quod $it e: linea quoque g z nece$$ariò concurret cum illis: cum non æquidi$tet alicui illa- rum. Aut ergo ad idem punctum e. Et $ic habemus propo$itum. Aut ad alium punctum cum aliqua il- larum concurret: $it illud punctum n, in quo concur rit cum linea d e. Ducatur itaque linea e g: $ecabit ergo linea e g lineam a c in alio pũcto, <004> in puncto z: quoniã in pũcto z $ecat ip$am linea n g: $it illud pũ ctũ l. Erit ergo per pr{ae}mi$$a proportio lineæ a c ad li neã c h, $icut lineæ a l ad lineã l h: fuit aũt ex hypothe$i proportio lineæ a c ad lineam c h, $icut line{ae} a z ad lineã z h: ergo per 11 p 5 erit proportio lineæ a l ad lineam l h, $icut lineæ a z ad lineã z h: ergo ք 18 p 5 erit proportio lineæ a h ad lineã h z, $icut lineæ a h ad lineã h l: erit ergo per 9 p 5 linea h z æqua lis lineæ h l, maior minori: quod e$t impo$sibile. Id\~e etiã patet per 120 huius, quoniã à puncto g {pro}du ctæ $unt duæ line{ae} $ecantes lineã a h. Palàm ergo, quòd linea g z nõ concurret cũ lineis b c, d h in a- lio puncto quã in puncto e. Quod e$t propo$itum. Similiter $i ponatur quòd linea g z concurrat cũ linea d h in puncto e: erit prædicto modo demon$trandum, quòd linea b c concurret cum ambabus illis in puncto e. Et $i lineæ b c & g z concurrant in puncto e, cõcurret linea d h cum ei$dem in eo- dem puncto e. Patet ergo propo$itum.

125. Linea taliter diui$a, ut $ui toti{us} ad alteram $uarum extremarum partiũ $it proportio, $icut alteri{us} $uæ part{is} extremæ ad eam $ui partem, quæutra$<005> interiacet $ectiones: $i à puncto concur${us} linearum à termino, & à duob{us} punct{is} $ection{is} product arum in puncto concur${us} æquales angulos cõtinentium, linea ad alium ei{us} terminũ ducatur: nece$$e e$t ip$am $uper me- diam productarum perpendicularem e$$e.

Sit linea b k in punctis c & d taliter diui$a, ut proponitur: $it\’q; proportio lineæ b k ad lineam k d, $icut line{ae} b c ad lineam c d: producantur\’que à punctis b, c, d line{ae} nõ æquidi$tantes: qu{ae} per proxi- VITELLONIS OPTICAE mam concurrent in puncto uno: $it punctus concur$us z: & lineæ product{ae} $int b z, c z, d z: $it\’que an gulus b z c {ae}qualis angulo c z d: & ducatur linea z k. Dico, quòd angulus c z k e$t rectus. A puncto z b g c d k h enim c ducatur per 31 p 1 linea {ae}quidi$tãs line{ae} z k, quæ $it c h: quæ producta $ecabit lineam z b per 2 huius: $ecet ergo ip$am in puncto g: & producatur linea z d, donec concurrat cum linea g c h (concurret autem per 2 huius) & $it cõcur$us punctus h. Quia igitur ex hypothe$i e$t proportio line{ae} b k ad lineam k d, $icut li- ne{ae} b c ad lineam c d, erit per 16 p 5 permuta- tim proportio line{ae} b k ad lineam b c, $icut li- ne{ae} k d ad lineam d c: $ed per 29 p 1 trigona b z k & b g c $unt {ae}quiangula: ergo per 4 p 6 e$t proportio line{ae} b k ad lineam b c, qu{ae} e$t line{ae} z k ad li- neam g c: ergo per 11 p 5 erit proportio lineæ z k ad lineam g c, $icut lineæ k d ad lineam d c: $ed quæ e$t proportio lineæ k d ad lineam d c, eadem e$t lineæ k z ad lineam c h per 15 & 29 p 1 & per 4 p 6: <003>a trigona k d z & c d h $unt æquiangula. Habet itaque linea z k ad ambas lineas g c & h c eandem pro- portionem: ergo per 9 p 5 linea g c e$t æqualis lineæ c h: $ed per 3 p 6 e$t proportio lineæ g c ad lineã c h, $icut lineæ g z ad lineam z h, cum linea z c diuidat angulum g z h per æqualia. E$t ergo linea g z æqualis line{ae} z h. Et quoniam linea g c e$t æqualis lineæ c h, & linea g z {ae}qualis lineæ z h, & latus c z e$t commune ambobus trigonis g z c & h z c: erit per 8 p 1 angulus z c h æqualis angulo z c g: uter- que ergo ip$orũ e$t rectus. Ergo per 29 p 1 angulus k z c e$t rectus: lineæ enim z k & c h $unt æquidi- $tantes. Patet ergo propo$itum.

126. Diui$a linea per inæqualia: po{$s}ibile est minori$üæ parti lineam adiungi, ita, ut illud, quod fit ex ductu toti{us} lineæ diui$æ cum adiecta in ip$am adiectam, æquale $it quadrato ei{us}, quæ constat ex minore & adiecta.

Sit data linea a b diui$a per in{ae}qualia in puncto c: $it\’q; linea a c maior quã linea b c. Dico, quòd e$t po$sibile inuenire quandam lineam, quæ adiecta ip$i lineæ b c, id efficiat, ut hoc, quod fit ex ductu line{ae} compo$itæ ex linea a b, & ex adiecta in ip$am adiectam $it æquale quadrato lineæ, quæ con$tat ex b c parte minore, & ex adiecta. A$$umatur enim quædam alia linea æqualis, uel minor linea a b, quæ $it d e, & quæ e$t proportio lineæ a c ad lineam b c, eadem $it proportio lineæ d e ad quandam e d f g h a c b i aliam lineã per 3 huius: quæ $it e f: a$$umatúr- que linea d f {ae}- qualis lineæ a b. Et quoniam exlineis d e, e f, d f qu{ae}cun q; du{ae} $imul iun- ctæ maiores $unt tertia, ut patet ex præmi$sis, po$sibile e$t con$titui triangulum per 22 p 1. Con$ti- tuatur ergo, & $it d e f. Super terminum itaque lineæ a b, qui e$t a, con$tituatur angulus æqualis an- gulo e d f per 23 p 1, qui $it g a b: & re$ecetur linea a g ad {ae}qualitatem lineæ d e, & ducatur linea g b. Er go per 4 p 1, cum linea d f $it æqualis lineæ a b, & linea a g æqualis line{ae} d e, & angulus g a b $it {ae}qua- lis angulo e d f: erit linea g b æqualis lineæ e f, & reliqui anguli trigoni a g b æquales erunt reliquis angulis trigoni d e f. Ducatur itaq; linea g c. Et quoniam proportio lineæ d e ad lineã e f, $icut lineæ a c ad lineam c b: erit proportio lineæ a g ad lineam g b, $icut lineæ a c ad lineam c b per 7 p 5: ergo ք 3 p 6 angulus a g b diui$us e$t per æqualia: palã autem, quòd angulus g c b e$t acutus: $ienim $it re- ctus, tunc trianguli a g c & g c b æquianguli per 32 p 1, quoniam ad punctum g duo ip$orum anguli $unt æquales: ergo latera eorum $unt proportionalia per 4 p 6: erit ergo proportio lateris a c ad c b, $icut lateris g c ad $eip$um: æqualis e$t ergo linea a c line{ae} c b: quod e$t contra hypothe$in & impo$- $ibile. Si uerò angulus g c b detur e$$e obtu$us, maior angulo g c a, palã per 32 p 1, quoniam angulus g b c e$t minor angulo g a c. Ergo per 19 p 1 in trigono a g b latus g b maius e$t latere a g. Et quia e$t proportio line{ae} b g ad lineam g a, $icut line{ae} b c ad lineam c a: erit per 5 huius, per proportionem $ci- licet, è contrario latus b c maius quàm latus a c: quod e$t contra hypothe$im. Palàm ergo, quoniam angulus g c b e$t acutus. Ducatur itaque per 31 p 1, à pũcto c linea c h {ae}quidi$tans line{ae} g a, $ecans li- neam g b in puncto h: erit ergo per 29 p 1 angulus g c h æqualis angulo c g a: ergo & angulo c g h: e- rit quoque angulus h c b {ae}qualis angulo g a c. Super punctum itaque g terminum line{ae} b g fiat per 23 p 1 angulus {ae}qualis angulo g a c: ergo & angulo h c b, qui $it b g i. Et quia angulus g c b e$t æqua- lis duobus angulis c g a & c a g, ut patet ex pr{ae}mi$sis, & per 32 p 1: erit angulùs i g c {ae}qualis angulo g c b. Et quoniam angulus g c b e$t acutus: palã ergo per 14 huius, quoniam line{ae} g i & c b concurr\~et: $it punctus concur$us i. Ergo per 6 p 1 erit latus g i {ae}quale lateri c i. Quia itaq; angulus b g i e$t {ae}qua- lis angulo g a i, & angulus g i a communis ambobus trigonis a g i & b g i: erit per 32 p 1 angulus a g i æqualis angulo g b i. Ergo per 4 p 6 erit proportio line{ae} a i ad lineam i g, $icut lineæ i g ad lineam LIBER PRIMVS. b i: $ed linea i c e$t {ae}qualis lineæ g i: ergo per 7 p 5 e$t proportio line{ae} a i ad lineam c i, $icut line{ae} c i ad lineam b i. Ergo per 17 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ a i in lineam b i e$t {ae}quale quadrato line{ae} c i: e$t autem linea b i line{ae} b c adiecta. Palàm ergo propo$itum.

127. Propo$it{is} duab{us} line{is}: po{$s}ibile e$t uni ip$arum lineam aliam adiungere, ita, ut illud, quodfit ex ductu toti{us} lineæ cum adiunctain adiunctam, æquale $it quadrato reliquæ datarũ. E 36 p 3 element.

Verbi gratia, proponantur duæ lineæ q e & a g. Dico, quòd po$sibile e$t uni ip$arum, ut line{ae} q e, h a g f a g q e m q e z adiungere quãdam a- liam lineam cuiu$cũq; $it quãtitatis, ita quòd id, quod fit ex ductu li- ne{ae} q e, cũ adiuncta in ip$am adiunctã, {ae}qua- le $it quadrato lineæ a g. Quadretur ergo li- nea a g per 46 p 1, & $it eius quadratum a h: & linea a g producta re$e cetur in pũcto f ita, ut linea g f $it æqualis lineæ a g: ducatur\’q; linea h f. Palã, quoniam triangulus a h f æqualis e$t quadra- to a h: e$t enim parallelogrammum a h duplum trigoni a h g per 41 p 1, & trigonum a h f e$t duplum eiu$dem trigoni a h g per 1 p 6. Hac ergo triangula $uperficie propo$ita, & linea q e, po$sibile e$t per 29 p 6 $uper datam lineam q e dat{ae} $uperficiei trilater{ae} a h f {ae}quum parallelogrammum con$tituere, quod addat $uper cõpletionem dat{ae} lineæ q e $uperficiem quadratã, dato quadrato a h $imilem. Sit ergo con$tituta, & parallelogrãmum $it q m {ae}quale trigono a h f con$titutum $uper lineã q e, add\~es $uper cõpletionem dat{ae} line{ae} q e quadratũ e m, $imile quadrato a h. Palã ergo, quòd illud, quod fit ex ductu dat{ae} line{ae} q e, cum adiecta e z in ip$am adiectam lineam e z, uel eius {ae}qualem lineam z m, q a a e g b e g q e$t {ae}quale propo$ito trigono a h f. Ergo & eius {ae}quali, $cilicet quadrato a h. Et hoc e$t propo $itum: quoniam linea e z e$t line{ae} q e taliter, ut proponitur, adiuncta. Pote$t & id\~e aliter de- mon$trari. De$cribatur enim circulus, cuius diameter $it q e, & eius c\~etrum b, ducatur\’q; li- nea contingens circulum, ut contingit in pun cto g per 17 p 3: & re$ecetur ad {ae}qualitatem li- ne{ae} a g: & $it g a: & ab eius termino a ducatur li nea per centrũ b $ecans peripheriam circuli in punctis e & q. Quia ergo id, quod fit ex ductu line{ae} q a in lineam a e, e$t æquale quadrato li- ne{ae} a g per 36 p 3: patet, quòd line{ae} q e e$t adiecta linea e a, ut proponebatur.

128. Sumpta circuli diametro, & $umpto in circumferentia puncto æqualiter di$tante à ter- min{is} diametri: po{$s}ibile e$t ab eodem puncto ad diametrũ eductã extra circulum, ducere lineam rectam, quæ à circumferentia cir culi extra circulum u$<005> ad concur$um cum diametro, $it datæ li- neæ æqual{is}. d @ q g h e a z b

E$to data linea q e: $it\’q; g b diameter dati circuli, qui $it a b g: & $it a punctus datus in circuli circũferentia æqualiter di$tans ab extre- mis terminis diametri, qui $unt g & b. Dico, quòd po$sibile e$t ab a pũcto peripheriæ circuli duci lineã u$q; ad eductã diametrũ g b, qu{ae} $it {ae}qualis dat{ae} lineæ q e. Ducantur. n. duæ lineæ a b & a g: illæ ergo nece$$ariò erunt æquales ex hypothe$i, quoniã punctus a {ae}qualiter di$tat à terminis diametri g & b: & adiũgatur lineæ q e linea talis, ut illud, q<001> fit ex ductu totius line{ae} cũ adiuncta in adiunctã, æquale $it quadrato lineæ a g per pr{ae}cedent\~e proximã: & $it adiũcta e z. Cũ er- go id, quod fit ex ductu q z in e z $it æquale ei, q<001> fit ex ductu line{ae} a g in $eip$am: erit linea q z maior <004> linea a g, & linea e z minor illa. Si enim linea e z fuerit maior, uel {ae}qualis line{ae} a g, tũc e$t impo$sibile, utid, q<001> fit ex ductu line{ae} q z in lineã e z, $it {ae}quale quadrato line{ae} a g: quoniã linea q z e$t maior <004> linea e z, ut totũ parte. Si aũt linea e z $it minor <004> linea a g, palã, quoniã linea q z e$t maior <004> linea a g: {pro}du- catur ergo linea a g, donec fiat {ae}qualis line{ae} e q per 3 p 1: & $it a g t. Po$ito ergo pede circini $uք pũctũ a, fiat circulus $ecundũ quantitat\~e lineæ a g t, qui circulus $ecabit diametrũ b g eductam: $ecet ergo VITELLONIS OPTICAE ip$am in puncto d: & ducatur linea a d, quæ nece$$ariò $ecabit circulũ: quoniã concurrit cũ diame- tro: $i enim non $ecet circulum, cõtingens erit & æquidi$tans diametro g b, nunquã cõcurrens cum eadem: quia ex hypothe$i linea a g & a b $unt æquales, & punctum a {ae}qualiter di$tat ab utri$q; termi nis diametri, $cilicet b & g. Secet ergo linea d a circulum a g b in puncto h: & ducatur linea g h. Palã ergo, quòd cum $uperficies a b g h $it quadrangulum intra circulũ de$criptum, quòd duo eius angu li oppo$iti, $cilicet a b g & a h g ualent duos rectos per 22 p 3: $ed a g b angulus æqualis e$t angulo a b g per 5 p 1: angulus ergo a g b cũ angulo a h g ualet duos rectos. Cũ itaq; ք 13 p 1 angulus d g a cũ an- gulo a g b ualeat duos rectos: palã, quia angulus a h g erit {ae}qualis angulo d g a: & angulus h a g cõmu nis e$t totali triangulo a d g, & partiali trigono, qui e$t h a g: re$tat ergo per 32 p 1, ut angulus h d g $it {ae}qualis angulo h g a, & totalis triangulus d g a {ae}quiãgulus triangulo g h a. Ergo per 4 p 6 latera ip$o- rũ æquos angulos re$picientia $unt proportionalia. E$t ergo proportio lateris d a ad latus a g, ficut lateris a g ad latus a h. Illud ergo q<001> fit ex ductu line{ae} d a in lineã a h, e$t {ae}quale quadrato line{ae} a g ք 17 p 6: $ed linea d a e$t {ae}qualis lineæ a t per definitionem circuli. Ergo linea d a e$t {ae}qualis line{ae} q z, quoniã linea t a ex pr{ae}mi$sis e$t {ae}qualis line{ae} q z. Quia uerò illud, quod fit ex ductu line{ae} d a in lineã h a e$t {ae}quale quadrato line{ae} a g, quod ex pr{ae}mi$sis e$t {ae}quale ei, quod fit ex ductu line{ae} q z in lineã e z: patet, q<001> id, q<001> fit ex ductu line{ae} a d in lineã h a, e$t {ae}quale ei, quod fit ex ductu line{ae} q z in lineã e z: & linea d a e$t {ae}quális line{ae} q z: relin quitur ergo, ut linea a h $it æqualis line{ae} e z. Erit ergo linea d h æqualis ip$i line{ae} q e, qu{ae} e$t data linea: e$t autem à dato in peripheria circuli puncto a ad cõcur- $um diametri b g $ic producta. Patet ergo propo$itum.

129. Inter duas rectas angulariter cõiunctas à dato puncto rectãducere, cuius una partium interiacens unã cõiunctarũ, & datũ punctũ, $it cuicun<005> datæ lineæ, & in$uper reliquæ $uæ par ti, datũ punctũ & alterã coniunctarum interiacenti æqual{is}. 4 theor. 2 conicorũ Apollon{ij}.

Ex\~epli cau$a, $it, ut du{ae} line{ae} rect{ae} in puncto uno angulariter coniungantur: qu{ae} $int f k, & t k, cõ- k f t $ c m o currentes in pũcto k, inter quas $it datus pũctus m, & $it data linea m c: proponitur nobis, ut à puncto m ducatur linea recta intra lineas f k & t k, $ecans illas in pũctis o & lita, ut eius pars, qu{ae} e$t l m, $it {ae}qualis dat{ae} lineæ m c, & in$uper reliqu{ae} $u{ae} parti, quæ e$t m o. Ad hoc aũt ք lineas rectas uel circulares demõ$trandũ, lõgus labor & multæ diuer$itatis nobis incidit, & nõ fuit nobis hoc po$sibile cõplere ք huiu$modi lineas ab$q; motu & imaginatione mechanica, ita ut cũ line{ae} f k & t k dat{ae} $int nobis indefi- nit{ae}, linea l o fixa in puncto m, imaginetur moueri, quo- u$q; nobis accidat res qu{ae}$ita. Hoc tñ Apollonius Perg{ae} us in libro $uo de conicis elementis lιbro $ecũdo, {pro}po$i- tione quarta, ք duction\~e $ectionis amblygoni{ae} à dato pũ cto inter duas lineas a$ymptotas, nullã earũ linearũ $ecã tis demon$trauit: cuius nos demon$trationem, ut à mul- tis $ui libri principijs pr{ae}ambulis dependent\~e hic $upponimus, & ip$a utimur $icut demon$trata.

130. Sumpta circuli diametro, & $umpto in circũferer\~etia puncto inæqualiter di$tante à ter- min{is} diametri: po{$s}ibile e$t à $umpto puncto ad eductã diametrũ lineã ducere, \~q, uel cui{us} pars interiac\~es քipheriã et diametrũ $it datæ lineæ æqual{is}. Alha. 30 n 5. q d n g e a b

Di$ponantur omnia, ut in 128 huius, ni$i quòd pũctus datus in cir- cumferentia circuli, qui $it a, in{ae}qualiter di$tet à terminis diametri, <003> $int g & b: erunt\’q; line{ae} a b & a g in{ae}quales: ideo quòd punctũ a inæ- qualiter e$t di$tans à punctis g & b. Protrahatur ergo à pũcto g linea {ae}quidi$tans line{ae} a b per 31 p 1, qu{ae} $it g n, & $umatur linea qu{ae}cunq;, utpote z t, & fiat $uper punctum eius z angulus æqualis angulo a g d per 23 p 1, qui $it angulus t z f, ducta linea z f: & ducatur à puncto t li- nea {ae}quidi$tans line{ae} z f, ut prius, qu{ae} $it t m: & ex angulo t z f, $ecetur angulus {ae}qualis angulo d g n ք 27 huius, qui $it t z m, ducta linea z m, qu{ae} ք z huius nece$$ariò cõcurret cũ linea t m, cũ $it ducta inter {ae}qui- di$tantes: $it ergo punctus concur$us m: re$tat ergo ut angulus m z f $it {ae}qualis angulo a g n. A pũcto itaq; t ducatur linea {ae}quidi$tãs line{ae} z m, qu{ae} $it t o h{ae}c quoq; nece$$ariò cõcurret cũ linea f z ք 2 huius: $it ergo earum cõcur$us in puncto k. Sumatur quoq; ք 3 huius linea, cu- ius proportio ad lineã z t, $it $icut diameter g b ad lineã q e lineã datã: & h{ae}c $it linea i. Deinde à pũcto m dato inter duas lineas k f & k o du catur per pr{ae}mi$$am linea, qu{ae} $it l c m o $ecans lineã l k in pũcto l, & lineã k o in pũcto o, ita, ut eius pars c m $it {ae}qualis datæ line{ae} i, & eius pars l c $it {ae}qualis line{ae} m o: & à puncto t ducatur linea t f {ae}quidi$tãs line{ae} l o per 31 p 1: h{ae}c quoq; per 29 huius $ecabitur à linea z m: $it ergo punctus $ectionis y. Fiat er- go $upra punctum a terminũ line{ae} g a (punctũ $cilicet, qui e$t in circumfer\~etia circuli) angulus d a g LIBER PRIMVS. æqualis angulo z f t per lineam a n d. Palàm autem, quòd h{ae}c linea concurret cum producta diame- tro g d. Cũ enim angulus d a g $it {ae}qualis angulo z f t, & angulus a g n æqualis angulo f z m, & angu- k t o z u y m f c l i lus d g n e$t æqualis angulo t z m, totus\’q; angulus a g d æqualis toti angulo f z t, & cũ line{ae} f t & z t cõcurrãt: ergo & line{ae} a d & g d cõcur r\~et: ergo linea a d aut cõtinget circulũ, aut $ecabit ip$um. Sit ergo li- nea a d primò contingens circulum in puncto a. Cum ergo angulus g a n $it æqualis angulo z f t, & angulus a g n $it {ae}qualis angulo f z y: palàm per 32 p 1, quia angulus a n g erit {ae}qualis angulo z y f: erit\’q; tri angulus a g n {ae}quiangulus triangulo z f y: ergo e$t per 4 p 6 propor- tio line{ae} a n ad lineam a g, $icut line{ae} f y ad lineam f z. Similiter cum angulus a g d $it æqualis angulo f z t, & angulus g a d {ae}qualis angulo z f t: erit per eandem triangulus a g d $imilis triãgulo f z t: ergo ut pri us, quæ e$t proportio lineæ a g ad lineam g d, eadem e$t line{ae} f z ad lineam z t. Si ergo, qu{ae} e$t proportio line{ae} a n ad lineam a g, ead\~e e$t line{ae} f y ad lineam f z, & qu{ae} e$t proportio lineæ a g ad lineam g d, ea dem e$t line{ae} f z ad lineam z t: erit ergo per {ae}quam proportionalita- tem per 22 p 5, ut qu{ae} e$t proportio line{ae} a n ad lineam g d, eadem $it line{ae} f y ad lineam z t. Quia uerò linea t m e$t {ae}quidi$tans line{ae} f l, & linea f t {ae}quidi$tans line{ae} l m: erit $uperficies l f t m {ae}quidi$tantibus contenta lateribus: palã ergo per 34 p 1, quoniam linea f t e$t {ae}qualis line{ae} l m. Quare erit linea f t {ae}qualis line{ae} c o, quoniam linea m o e$t {ae}qualis ip$i l c per pr{ae}mi$$am: linea ergo c m addita utriq;, adhuc e- rũt æquales: erit\’q; linea l m {ae}qualis lineæ c o: $ed linea m o e$t {ae}qualis lineæ y t per 34 p 1, & linea y m e$t æqualis lineæ t o: re$tat ergo, ut linea f y $it {ae}qualis line{ae} c m: $ed linea c m ex præmi$sis e$t {ae}qua- lis lineæ i. Quare f y e$t æqualis i: e$t autem ex præmi$sis & per 5 huius proportio line{ae} i ad lineam z t, $icut diametri b g ad lineam e q: erit ergo per 7 p 5 proportio lineæ f y ad lineam t z, $icut diame- tri b g ad lineã e q. Quia uerò e$t proportio lineæ a n ad lineam g d, $icut lineæ f y ad lineam z t: ergo per 11 p 5 erit proportio lineæ a n ad lineam g d, $icut lineæ g b ad lineam e q. Verùm angulus g a n e$t {ae}qualis angulo g b a per 32 p 3: $ed angulus n g d e$t æqualis angulo g b a per 29 p 1, quia linea n g {ae}quidi$tat line{ae} b a: igitur angulus n g d {ae}qualis e$t angulo n a g: & angulus n d g e$t communis am- bobus trigonis n d g & a d g: ergo per 32 p 1 erit angulus d n g æqualis angulo d g a: $unt ergo dicti trianguli æquianguli: erit ergo per 4 p 6 proportio lineæ a d ad d g, $icut lineæ g d ad n d. Ergo per 17 p 6 erit id, quod fit ex ductu line{ae} a d in d n {ae}quale quadrato g d: $ed id, quod fit ex ductu lineæ b d & d g, per 36 p 3 e$t æquale quadrato d a: quadratum uerò lineæ d a e$t æquale ei, quod fit ex ductu lineæ a d in d n, & a d in n a per 2 p 2: & id, quod fit ex ductu line{ae} b d in d g, e$t {ae}quale quadrato line{ae} d g, & ei quod fit ex ductu b g in d g per 3 p 2. Ablatis ergo æqualibus hinc inde (quæ $unt quadratũ g d & rectangulum a d n) re$tatutid, quod fit ex ductu line{ae} a d in an, $it {ae}quale ei, quod fit ex du- ctu line{ae} b g in d g, erit\’que per 16 p 6 proportio lineæ a n primæ ad lineam g d $ecundam, $i- cut line{ae} b g tertiæ ad lineam a d quartam: o$ten$um e$t autem $uprà, quòd e$t proportio lineæ a n ad lineam g d, $icut lineæ b g ad lineam e q. Erit ergo per 9 p 5 linea e q æqualis lineæ a d. Quod e$t propo$itum: quoniam ip$a linea a d e$t datæ lineæ æqualis: interiacet autem pe- ripheriam circuli & eductam diametrum, eò quòd e$t contingens circulum. Quòd $i linea a d q d n e g h a b non $it contingens, $ed $ecans circulum: aut igitur linea a g e$t maior quàm linea a b: aut è contrario. Sit autem nunc linea a g maior quàm linea b a: palàm, quia linea à puncto a ad diametrum b g extra circulum ducta $ecabit circulum in arcu a g. Sit ergo, ut $e cet ip$um in puncto h: & ducatur linea h g. Palàm itaq;, cũ quadran gulum a b g h $it in$criptum circulo, quia duo anguli a h g & a b g per 22 p 3 $unt {ae}quales duobus rectis. Ducatur quoque linea g n {ae}- quidi$tans line{ae} b a: erit ergo per 29 p 1 angulus n g d {ae}qualis angu lo g b a: ergo angulus n g d, & angulus a h g $unt æquales duobus rectis: $ed per 13 p 1 angulus n h g cũ angulo a h g ualet duos rectos: ergo angulus n g d e$t {ae}qualis angulo n h g: angulus uerò n d g e$t cõmunis ambobus trigonis g d n & h g d: erit ergo tertius angulus, qui e$t d n g, {ae}qualis tertio, qui e$t d g h per 32 p 1. Ergo per 4 p 6 la- tera æquos angulos re$picientia $unt proportionalia: e$t igitur {pro}- portio line{ae} h d ad lineam d g, $icut lineæ d g ad lineam d n. Ergo ք 17 p 6 illud, quod fit ex ductu h d in d n e$t {ae}quale quadrato d g: & illud, quod fit ex ductu a d in d h e$t {ae}quale ei, quod fit ex ductu b d in d g per 36 p 3. Item illud, quod fit ex ductu a d in d h e$t {ae}quale ei, quod fit ex ductu d h in d n, & d h in a n ք 1 p 2: illud uerò quod fit ex ductu b d in d g e$t {ae}quale ei, quod fit ex ductu b g in g d, & quadra to g d ք 3 p 2. A blatis igitur {ae}qualib. ab utri$q; ($cilicet quadrato d g ex una parte, & illo, quod fit ex ductu d h in d n ex altera) re$tat utillud, q<001> fit ex ductu d h in a n, $it {ae}quale ei, quod fit ex ductu b g VITELLONIS OPTICAE in d g: erit ergo per 16 p 6 proportio a n primi ad g d $ecundum, $icut b g tertij ad d h quartũ: $ed pro batum e$t in præcedentibus, quòd proportio lineæ a n ad lineam d g e$t, $icut diameter b g ad lineã e q. Igitur per 9 p 5 linea d h e$t æqualis line{ae} e q. Quod e$t propo$itum. Si uerò linea a g $it minor <004> linea a b, $ecabit linea d a circulum in arcu a b. Sit ergo ut $ecet ip$um in puncto h: & ducatur linea d q n g a e b h g h & linea g n, æquidi$tans line{ae} b a. Palã ergo ք 29 p 1, quoniã an- gulus n g d e$t {ae}qualis angulo a b g: $ed angulus a b g e$t {ae}qualis an- gulo a h g per 27 p 3: quoniã ambo cadunt in arcũ g a, & $unt $uք cir cumferentiã circuli: ergo angulus n g d e$t æqualis angulo a h g: & angulus n d g cõmunis e$t ambobus trigonis, $cilicet n d g & d h g: e$t ergo tertius d n g {ae}qualis tertio, $cilicet d g h ք 32 p 1. Ergo per 4 p 6 erit proportio line{ae} h d ad lineam d g, $icut lineæ d g ad lineam d n: ergo per 17 p 6 illud, quod fit ex ductu h d in d n e$t {ae}quale qua- drato line{ae} g d: $ed illud, q<001> fit ex ductu b d in d g ք 36 p 3, e$t {ae}quale ei quod fit ex ductu h d in d a: illud aũt, quod fit ex ductu h d in d a, e$t ք 1 p 2 {ae}quale ei, q<001> fit ex ductu line{ae} h d in d n, & line{ae} h d in n a: illud uerò quod fit ex ductu line{ae} b d in d g, per 3 p 2 ualet illud, q<001> fit ex ductu lineæ b g in g d & quadratũ g d. Ablatis ergo {ae}qualibus hinc inde, erit illud, quod fit ex ductu h d in n a {ae}quale ei, quod fit ex ductu b g in g d: erit ergo, ut prius, {pro}portio lineæ a n ad lineam d g, $icut line{ae} b g ad lineã h d. Sed iã o$ten$um e$t $uprà, quòd e$t {pro}por tio line{ae} a n ad lineã d g, $icut line{ae} b g ad lineã e q. Igitur linea e q e$t æqualis line{ae} h d per 9 p 5. Quod e$t propo$itum: quoniã à pun- cto a dato ducta e$t linea $ecãs circulũ, cuius pars à pũcto $ectionis u$que ad concur$um cum diametro producta, æqualis e$t datæ li- neæ. Patet ergo quod proponebatur.

131. Inter duas rectas $e $ecantes ex unaparte à puncto dato hyperbol\~e, illas lineas nõ cõting\~e tem ducere, ex alia parte cõmun{is} puncti illarũ linearũ hyperbol\~e priori oppo$it ã de$ignare. Ex quo patet, quòd cũ fuerint duæ $ectiones oppo$itæ inter duas lineas, et producatur linea minima ab una $ectione ad aliã: erit pars illi{us} lineæ interiacens unã $ectionũ, & reliquãlineam æqual{is} $uæ partialiam $ectionem, & reliquam lineam interiacenti. 4. 8 th. 2 conicorum Apollon{ij}.

Quod hic proponitur, demon$tratum e$t ab Apollonio in libro $uo de conicis elementis: dicun- n u l c u x g t c m f q t k p h p z tur aũt $ectiones am blygoni{ae} $iue hyper bolæ oppo$itæ, qñ gibbo$itas unius i- p$arũ $equitur gib- bo$itat\~e alterius, ita utillæ gibbo$itates $e re$piciãt, & amba rum diametri $intin una linea recta. Ver bi gratia: $it, ut duæ lineæ h l & z n $ec\~et $e in puncto x, & ex una parte ip$arum, $cilicet $ub angulo h x z, uel $ub angulo h x n à dato puncto, qui $it t, ducatur $ectio amblygonia, quæ $it t p, & ex altera parte $ub angulo n x l, uel $ub angulo z x l ducatur $ectio illi opp o$ita, quæ $it c u, ita, quòd diametri quarumlibet oppo$itarum ambarum $e- ctionum illarũ $int in una linea, quæ t c, à uertice unius ad uertic\~e alterius producta: qu{ae} nece$$ariò e$t minima omnium linearum inter illas duas $ectiones productarum. Et ex ijs declarauit Apollo- nius illud, quod corollatiuè proponitur, $cilicet, quòd $i linea t c $ecet lineam h l in puncto f, & lineã z n in puncto q, quòd linea t q erit {ae}qualis lineæ c f: & $i linea t c pertrã$eat punctum x, erit linea t x {ae}qualis line{ae} x c: & nos utimur hoc illo, ut per Apollonium demon$trato, & propter conformitat\~e portionis $ectionum re$pectu linearum $e inter$ecantium. Patet ergo propo$itum.

132. In uertice alteri{us} conicarum $ectionum po$ito pede circini immobili, $ecundum quan- titatem lineæ breui{$s}imæ inter illas $ectiones ductæ, de$criptus circulus $ectionem reliquam con- tinget: $ecundum uerò maiorem, in duobus tantùm punct{is} reliquam $ecabit.

Quod hic proponitur, facile e$t, & $ola indiget declaratione. Sint ut enim in præcedenti propo$i tione duæ $ectiones conicæ oppo$itæ adinuic\~e, qu{ae} $int t p & c u, inter quas linea minima uertices, $cilicet ambarum $ectionum continuans, $it linea t c: & po$ito in altero punctorum tuel c pede cir- cini, utpote in puncto t, de$cribatur circulus $ecundum quantitatem diametri t c. Hic ergo cir- culus, quia $ectionem c u non attingit ni$i in puncto c, & omnes ali{ae} lineæ ducibiles interip$as $e- ctiones, $unt maiores quã linea t c: $unt ergo maiores $emidiametro circuli: $ecabuntur ergo o\~es per circulũ, nec attinget circulus alicubi $ectionem ni$i in puncto c. Patet ergo primũ propo$itorũ. Q<001> $i linea t c $emidiameter circuli $it maior <004> linearũ minima, inter oppo$itas $ectiões {pro}ductarũ, LIBER PRIMVS. ut e$t t c: patet, quoniã illa minima linea intra $uperficiem $ectionis producetur ad peripheriam cir culi, ut in punctum m: aliqua ergo $uperficies cõmunis erit circulo & $ectioni: circulus ergo & $e- ctio $e $ecabunt. H{ae}c itaq; $ectio nõ erit ni$i in duobus tantũ punctis g & k: quod per modum 10 p 3 conuinci pote$t. Patet ergo propo$itum.

133. A pũcto dato in circuli circũfer\~etia extra diametrũ: po{$s}ibile e$t ducere lineãք diametrũ ad circũferentiã, ita, ut pars ei{us} interiac\~es diametrũ & reliquãpart\~e circũfer\~etiæ, $it æqual{is} lineæ datæ eid\~e circulo in$criptibili præmi$$o modo: $ed harum linearum æqualium ab eod\~e pun cto dato in eodem circulo producibiles $unt tantùm duæ. Alhazen 34 n 5.

E$to circulus a b g, cuius diameter $it b g: & punctus datus in $ui circũferentia $ita: & $it h z linea data minor diametro b g, pr{ae}mi$$o modo po$sibilis in$cribi circulo. Dico, quòd â pũcto a po$sibile e$t ducere lineã tran$eunt\~e per diametrũ b g, cuius pars interiacens diametrũ b g & circũferentiam $it {ae}qualis line{ae} dat{ae}, qu{ae} h z. Ducantur enim in circulo line{ae} b a & a g: & $uper punctũ h line{ae} dat{ae} h z fiat angulus {ae}qualis angulo a g b: qui $it m h z, ducta linea m h, & $uper id\~e punctũ h fiat angulus æqualis angulo a b g, qui $it l h z, ducta linea h l: & â puncto z ducatur linea æquidi$tans line{ae} h m, qu{ae} $it z n: qu{ae} quid\~e $ecabit lineã h l: $it, ut $ecet ip$am in puncto x: & à pũcto z iterũ ducatur alia li nea æquidi$tans line{ae} h l, qu{ae} $it z t, $ecans lineã h m in puncto t: $ecabit autem per 2 huius: & à pun cto t ducatur $ectio conica, quæ $it t p, $icut præmi$$um e$t in 131 huius. Hæc itaq; $ectio non contin git aliquam linearũ z n & h l, inter quas ip$a iacet. Similiter fiat $ectio alia conica, i$ti oppo$ita, inter a g e b d ea$dem lineas ex parte alia, qu{ae} $it c u: & inter il- las $ectiones omnium linearum ductarum mini- ma ducta à puncto t ad $ectionem c u, $it linea t c. Hæc ergo linea t c $i fuerit æqualis diametro cir- culi b g: circulus factus $ecundum $emidiametrũ t c (po$ito pede circini in puncto t) palàm, quia $ectionem c u cõtinget. Si uerò linea t c fuerit mi- nor diametro b g: circulus factus modo pr{ae}dicto $ecundum quantitatem lineæ b g $ecabit $ection\~e c u in duobus punctis, ut patet per pr{ae}mi$$am. Sit ergo nunc primùm linea t c {ae}qualis diametro b g. Cum ergo linea t c ducatur ad $ectionem conicã, quæ interiacet lineas h l & z n: nece$$ariò $ecabit linea t c illas ambas lineas: quas $i in puncto x (<003> e$t pũctus communis $ectionis illarum linearũ) $ecuerit, erit linea t x æqualis lineæ x c: quòd $i ip$as in alijs punctis $ecuerit: $ecet ergo lineã z n h n t f x q c u p m z f in puncto q, & lineam h l ín puncto f: & du- catur à puncto z per 31 p 1 linea æquidi$tans ip$i lineæ t c: quæ per 2 huius $ecabit lineas h m & h l, $icut etiam $ua {ae}quidi$tans t c: $ecet ergo eas in punctis m & l: & $it ip$a linea m z l. Super diametri ergo g b terminum g per 23 p 1 fiat angulus æqualis angulo h l m, qui $it angulus b g d: & ducantur duæ lineæ a d, d b. Palàm ergo, cum angulus g a b $it rectus per 31 p 3, quòd alij duo anguli trianguli g a b, $cili cet a g b & a b g ualent rectũ per 32 p 1: angu- lus ergo l h m (qui æqualis e$t illis duobus angulis) e$t rectus: ergo æqualis angulo g d b: angulus uerò h l m e$t æqualis angulo d g b: ergo per 32 p 1 angulus tertius unius, trigonorum g b d & h l m erit {ae}qualis angulo tertio alterius, $cilicet angulus h m l, angulo g b d: erit ergo per 4 p 6 proportio lineæ g b ad b d, $icut lineæ l m ad m h. Sit aũt pũctus, in quo linea a d $ecat diametrũ b g, punctus e. Quia ergo ք 27 p 3 angulus a d b e$t æqualis angulo b g a: quia cadũt in eund\~e arcũ (qui a b) & an- gulus b g a æqualis angulo m h z ex \~pmi$sis: erit ergo angulus a d b æqualis angulo m h z: & patuit prius, q<001> angulus d b g e$t æqualis angulo h m z: erit ergo tertius angulus trianguli d e b per 32 p 1 {ae}qualis tertio angulo trigoni m h z, $cilicet angulus d e b angulo m z h. Quia ergo trigona d e b & m z h $unt æquiangula, erit per 4 p 6 proportio line{ae} b d ad d e, $icut line{ae} m h ad h z. O$t\~e$um e$t aũt $uperius, q<001> e$t {pro}portio line{ae} g b ad b d, $icut line{ae} l m ad m h: ergo ք 22 p 5 erit ք {ae}quã {pro}portiona- litat\~e {pro}portio line{ae} b g ad d e, $icut line{ae} l m ad h z: $ed $icut ք 131 huius declaratũ e$t, patet, q<001> linea q t e$t {ae}qualis line{ae} f c: $ed linea t q e$t {ae}qualis line{ae} m z ք 34 p 1, cũ parallelogrãmũ m t q z $it {ae}quidi- $tãtiũ laterũ, ut patet ex pr{ae}mi$sis: e$t igitur linea m z {ae}qualis line{ae} f c: $ed ք 34 p 1 linea z l e$t æqua- lis line{ae} t f. E$t igitur totalis linea m l æqualis totali line{ae} t c: ergo ք 7 p 5 e$t {pro}portio line{ae} t c ad h z, $icut line{ae} l m ad h z. E$t ergo {pro}portio lineæ g b ad lineã d e, $icut line{ae} t c ad h z: & քmutatim. Cũ ergo linea t c $it æqualis line{ae} g b, erit linea e d æqualis ip$i h z dat{ae} line{ae}. Quod e$t propo$itũ. Si au tem linea t c $it minor diametro b g: producatur ultra $ectionem, donec ip$a $it æqualis diametro VITELLONIS OPTICAE b g, & $ecundum quantitatem eius fiat circulus. Palàm per pr{ae}mi$$am, quòd ille $ecabit $ectionem in punctis duobus, qui $int c & u: à quibus lineæ duct{ae} ad punctum t erunt æquales line{ae} b g per definitionem circuli: & tunc à puncto z ducatur linea æquidi$tans alteri illarum, & item alia a qui- di$tans alteri: & tunc erit ducere à puncto a per modum pr{ae}dictum duas lineas e d æquales lineæ dat{ae}: & erit idem penitus probandi modus, qui $uprà. Patet ergo propo$itum.

134. Dato trigono orthogonio, & dato puncto in uno $uorum laterum angulum rectum con- tinentium: po{$s}ibile est ducere à puncto illo ad aliud laterum continentium angulum rectum lineam $ecantem ba$im it a, quòd pars ductæ lineæ interiacens punctum $ection{is}, & latus, in quo non est punctus datus, $e habeat ad partem ba$is, quæ est à $ectione ad latus, in quo e$t pun ctus datus, $icut data linea ad datam lineam. Alhazen 35 n 5.

E$to a b g triangulus datus, cuius angulus a b g $it rectus: & in latere illius b g $it pũctus datus, qui $it d, extra triangulum aut intra: $int\’q; dat{ae} line{ae} du{ae} e & z. Dico, quòd à puncto d po$sibile e$t ducere lineam $ecantem ba$im a g, & concurrentem cum latere a b, ita, quòd pars lineæ $ecãtis in- q $ a e z a h t d m c b d g n teriacens latus a b & ba$im a g, $it eiu$dem proportionis ad partem ba$is a g, qu{ae} e$t ab illa linea u$q; ad punctum g, cuius e$t data linea e ad datam lineam z. Sit enim primò pũctus d in ip$o trigono a b g: & ducatur ab eo linea æquidi$tans line{ae} a b per 31 p 1, qu{ae} $it d m: & fiat circulus per tria puncta g, d, m per 5 p 4: erit\’q; linea g m diame- ter huius circuli per 31 p 3: $ubtenditur enim angulo recto per 29 p 1: & protrahatur linea a d. Et quia per eandem 29 p 1 angulus g m d e$t æqualis angulo g a b: palàm, quia angulus g m d erit maior angulo g a d, cum angulus g a b $it maior angulo g a d: $ecetur ergo ex angu- lo g m d angulus æqualis angulo g a d per 27 huius, ducta linea m n ad peripheriam circuli: $it\’q; angulus d m n: qu{ae} autem e$t proportio line{ae} e ad lineam z, ead\~e $it per 3 huius proportio line{ae} a d ad lineã h: & à puncton, qui e$t punctus in peripheria circuli, ducatur linea ad diametrum g m, qu{ae} $it n l, $ecans circulum in pũcto c, ita, ut eius pars interiacens peripheriam circuli & diametrum, qu{ae} e$t c l, $it æ- qualis line{ae} dat{ae} h per 128 uel per 130 huius: & ducatur linea g c: & à pũcto d ducatur linea ad punctũ c, qu{ae} cũ cadat inter duas lineas {ae}- quidi$tantes, qu{ae} $unt d m & b a, tenens angulum acutũ cum earum altera, ut cũ m d, $i producatur, nece$$ariò concurret cũ reliqua per 2 huius: cõcurrat ergo in puncto q. Quia itaq; per 27 p 3 angulus g m d e$t æqualis angulo g c d, & angulus g m d e$t {ae}qualis angulo g a b per 29 p 1: palàm, quòd angulus g c d e$t {ae}qualis angulo g a b: ergo per 13 p 1 erit angulus g c q {ae}qua- lis angulo b a l: $ed angulus b a l per 15 p 1 e$t {ae}qualis angulo g a q: angulus ergo g c q e$t æqualis an- l d b q a a e z h d l g c e z h @ t g c b q a d m n a m n d gulo g a q. Sit aut\~e t punctus, in quo li nea d q $ecat lineam a g: erit ergo per 15 p 1 angulus g t c æqualis angulo at q. Quia ergo trigonorum a t q & t c g duo anguli $unt {ae}quales, erit & terti- us tertio {ae}qualis: trianguli ergo a t q & t c g $unt æquianguli: ergo ք 4 p 6 erit proportio line{ae} q t ad t g, $icut li- ne{ae} a t ad t c: uerùm angulus n m d ex \~pmi$sis e$t {ae}qualis angulo t a d. Quia enim anguli g m d & t a b $unt {ae}qua- les: & anguli g m n & d a g {ae}quales: re- linquitur n m a {ae}qualis angulo t a d: $ed & angulus n c d ք 27 p 3 e$t {ae}qualis angulo n m d: quare angulus n c d e$t {ae}qualis angulo t a d: ergo ք 15 p 1 angu lus t c l, qui e$t contra po$itus angulo n c d, e$t æqualis angulo t a d. Quia er go angulus t c l e$t cõmunis duobus trigonis, $cilicet trigono t c l & trigo- no t a d, & anguli t c l & t a d $unt {ae}quales: erũt ք 32 p 1 trigoni t c l & t a d {ae}quianguli: ergo ք 4 p 6 e$t {pro}portio line{ae} t a ad lineã t c, $icut lineæ a d ad lineã l c. Fuit aũt o$t\~e $um $uperius, q<001> e$t {pro}portio li- ne{ae} t q ad lineã t g, $icut line{ae} a t ad lineã t c: ergo ք 11 p 5 erit proportio line{ae} a d ad l c, $icut line{ae} q t ad t g: $ed linea l c e$t æqualis line{ae} h, & proportio line{ae} a d, ad lineam h e$t, $icut proportio lineæ e a d z. Ergo ք 7 & 11 p 5 erit {pro}portio lineæ q t ad lineã t g, $icut line{ae} e ad lineã z. Quod e$t {pro}po$itũ. Si uerò d pũctus datus $it in latere trigoni, q<001> e$t b g, extra triangulũ {pro}ducto: ducatur prius à pun cto d linea {ae}quidi$tãs line{ae} a b: & $it d m: & ducatur linea a g, donec cõcurrat cũ linea d m in pũcto LIBER I. m: & fiat, ut prius, circulus trã$iens ք tria pũcta g, d, m: erit ergo, ut prius, m g diameter i$tius circuli: & ducatur linea a d: erit <003> d\~e angulus g a d maior angulo g m d ք 16 p 1: fiat ergo, ut prius, $uք pũctũ m lineæ d m angulus æqualis angulo g a d ք lineã m n, <003> $it angulus d m n: & à puncto n, <003> $it in cir- cũfer\~etia circuli, ducatur, ut prius, ք 128 uel ք 130 huius linea ad eductã diametrũ m g, cõcurrens cũ ip$a in pũcto l, & $ecãs peripheriã circuli in pũcto c, ita, ut linea c l $it {ae}qualis line{ae} h a$$umpt{ae}, ut pri us, $cilicet ut ք 3 huius $it {pro}portio lineæ a d ad ip$am h, $icut line{ae} dat{ae} e ad lineã datã z: & ducatur linea d c fecans lineã a g in pũcto t, & lineã a b in puncto q. Cũ ergo angulus n m d, & angulus n c d per 22 p 3 $int æquales duobus rectis, & angulus n m d $it æqualis angulo t a d ex præmi$sis: palàm ex 13 p 1, quoniam erit angulus t c l æqualis angulo t a d: erunt ergo duo triangulit c l & t a d per 15 & 32 p 1 æquianguli: erit ergo per 4 p 6 proportio lineæ d a ad lineam c l, $icut lineæ t a ad lineã t c. Cum autem per 27 p 3 duo anguli g c d & g m d $int æquales, quoniam cadunt in eundem arcum, qui e$t d g, angulus uerò t a q per 29 p 1 e$t æqualis angulo g m d: erit angulus t a q {ae}qualis angulo t c g: $ed & anguli q t a & g t c $unt {ae}quales ք 15 p 1: erũt ergo trigoni g t c & t a q {ae}quiãguli ք 32 p 1: erit ergo per 4 p 6 proportio lineæ a t ad lineam t c, $icut lineæ q t ad lineam t g. E$t ergo ex præmi$sis & per 11 p 5 proportio line{ae} a d ad lineam c l, qu{ae} e$t æqualis lιneæ h, $icut lineæ q t ad lineam t g. E$t ergo per 11 p 5 proportio lineæ e ad lineam z, $icut line{ae} q t ad lineam t g. Quod e$t propo$itum.

135. Dat{is} duob{us} punct{is}, uno in circulo, alio extra circulum, uelutro<005> extra circulum: po$ $ibile e$t inuenire punctum in circumferentia dati circuli, ita, ut angulum contentum à line{is} à prædict{is} punct{is} ad punctum inuentum duct{is} diuidat per æqualia, linea in illo puncto cir- culum contingens. Alhazen 36 n 5.

Sunto duo pũcti dati, qui e & d, quorũ primò unus, <003> $it e, $it in circulo, & reliquus extra illũ: & $it datus circulus, cuius centrũ $it g. Dico, quòd po$sibile e$t in peripheria circuli g inuenire pũctũ, in quo linea cõtingens circulũ ducta, $ecet angulũ cõtentũ à lineis à pũctis d & e ad illũ punctũ du- ctis per æqualia. Ducatur enim à pũcto e ad c\~etrũ g linea e g: & {pro}ducatur u$q; ad circumferentiã, & $it e g s: deinde ducatur linea d g: erit\’q; ex præmi$sis linea e g minor <004> linea d g. A$$umatur quoq; linea m i, qu{ae} in puncto c taliter diuidatur, ut {pro}portio lineæ i c ad lineã c m $it, $icut line{ae} d g ad li- neã g e ք 119 huius: diuidatur\’q; linea m i ք æqualia in puncto n: à quo $uper lineã m i ducatur per- p\~edicularis ք 11 p 1, \~q $it n o: & $uper punctũ m ք 23 p 1 fiat angulus {ae}qualis medietati anguli d g s di ui$i per 9 p 1 ք æqualia: ducatur\’q; linea m o. Palàm aũt, quòd angulus i m o erit minor recto, quoniã angulus d g s e$t minor duob. rectis: $ed angulus o n m e$t rectus: igitur per 14 huius linea m o con- curret cum linea n o: $it autem punctus concur$us o: à puncto uerò c ducatur linea ad triangulum m n o, qu{ae} $it c k f, ita, ut proportio line{ae} k f ad lineã f m $it, $icut proportio lineæ e g ad lineam g s: quod fieri pote$t per pr{ae}cedent\~e. Ducatur quoq; linea m k: & $uper punctũ g terminũ line{ae} e g ք 23 p 1 fiat angulus {ae}qualis angulo m f k, ք lineã u$q; ad circumferentiã productã: \~q $it a g: & $it angu- lus a g e: & ducantur duælineæ a g & a d. Dico, quòd a e$t qu{ae}$itus punctus. Ducatur enim linea d a h l z s u g e t q o k s i c n m e a. Cum ergo ex pr{ae}mi$sis angulus m f k $it æqualis angulo a g e, & {pro}portio li- ne{ae} k f ad lineã f m, e$t, $icut {pro}portio lineæ e g ad lineã g s: ergo ք 7 p 5 erit {pro}por- tio line{ae} k f ad lineã f m, $i- cut line{ae} e g ad lineam g a, æqualem g s, quia amb{ae} ex c\~etro: erit triangulus a g e $imilis triangulo m f k ք 6 p 6: igitur angulus f m k e$t æqualis angulo e a g, & an- gulus a e g æqualis angulo m k f. Igitur à pũcto a duca tur linea ten\~es cũ linea a e angulũ æqual\~e angulo n m k: & $it linea a z, \~q nece$$ariò cõcurret cũ linea e g: quoniã e$t proportio e g ad g a, $icut k f ad f m, & angulus g a z æqualis e$t angulo f m c: fuit enim prius angulus e a g {ae}qua lis angulo f m k. Sicut ergo linea m o cõcurrit cũlinea k f in pũcto f, $ic cõcurret linea a z cũ linea g e. Sit ergo cõcurfus in pũcto z: & {pro}ducatur linea a z u$q; ad pũctũ q: donec linea a z $e habeat ad lineã q z, $icut linea m c ad c i ք 3 huius: erit ergo {pro}portio line{ae} a z ad lineã q z, $icut lineæ d g ad lineã g e: & ducatur linea e q. Deinde à pũcto a ducatur linea æquidi$tãs line{ae} e q, \~q $it linea a t ք 31 p 1, & erit angulus a q e æqualis angulo q a t ք 29 p 1, quoniã duo anguli z e a & e a t $unt minores duobus re- ctis, ideo, quia ք 29 p 1 anguli q e a & e a t ual\~et duos rectos: cõcurret linea a t nece$$ariò cũ linea e z ք 14 huius. Sit ergo pũctus cõcur$us t. Quia uerò angulus e a z e$t æqualis angulo n m k, ut $uprà pa tuit: ducta à pũcto e linea քp\~ediculari $uք lineã a z ք 12 p 1, \~q $it e l, erũt trigoni a e l & n m k æquiã gu li ք 32 p 1: erit ergo angulus a e l æqualis angulo m k n, & angul<_>9 a l e {ae}qualis angulo m n k, <003>a uterq; e$t rect<_>9: $ed etιã angul<_>9 a e g e$t ex \~pmi$sis {ae}qualis angulo m k f: re$tat ergo ք 13 p 1, ut angul<_>9 l e z $it {ae}qualis angulo n k c, & angul<_>9 e l z rectus e$t {ae}qualis angulo k n c recto: erit ergo ք 32 p 1 angul<_>9 e l z VITELLONIS OPTICAE æqualis angulo k c n. Igitur per 13 p 1 erit angulus e z q æqualis angulo k c i. Palàm ergo ex præmi$sis, quòd triangulus a e g e$t æquiangulus triangulo f m k: & triangulus e a l æquiangulus e$t triangulo k m n: & triangulus e l z æquiangulus triangulo k n c: & triangulus e a z æquiangulus triangulo k m c. E$t igitur per 4 p 6 proportio a z ad e z, $icut m c ad c k: e$t autem propor- tio q z ad z a, $icut proportio i c ad c m, utpatet ex præmi$sis: erit ergo per 22 p 5 proportio q z ad z e, $icut i c ad c k: e$t ergo triangulus q z e per 6 p 6 æquiangulus triangulo i c k. Cum ergo triangu lus e l z $it æquiangulus triangulo k n c: erit totus triangulus q l e æquiangulus toti triangulo i k n: e$t ergo per 4 p 6 proportio e l ad l q, $icut k n ad n i: & $imiliter e$t proportio a l ad l e, $icut m n ad n k: erit ergo per 22 p 5 proportio n m ad n i, $icut a l ad l q: $ed linea n m e$t æqualis n i ex hypo- the$i: ergo linea a l e$t æqualis lineæ l q: ergo per 4 p 1 linea e q erit æqualis lineæ e a: & angulus l q e æqualis angulo l a e: $ed & angulus e q z per 29 p 1 e$t æqualis angulo t a l: angulus ergo e a l e$t æ- qualis angulo t a l: quia angulus e q z e$t æqualis angulo t a l: & angulus e z q e$t æqualis angulo a z t per 15 p 1: igitur tertius tertio: erit\’q; triangulus z e q æquiangulus triangulo z a t. E$t ergo per 4 p 6 proportio q z ad z a, $icut e z ad z t, & $icut e q ad a t: e$t autem ex præmi$sis linea e q æqualis lineæ e a: ergo per 7 p 5 e$t proportio q z ad z a, $icut a e ad a t: $ed q z ad z a e$t ex pr{ae}mi$sis, $icut e g ad g d. Igitur ք 11 p 5 e$t {pro}portio line{ae} a e ad a t, $icut e g ad g d. Fiat aũt $uper pũctũ a angulus {ae}qua- lis angulo g a e: qui $it u a g. {pro} ducta linea a u, $i po$sibile fuerit, u$q; ad lineã g s. Palàm ergo ex pr{ae}- mi$sis, quoniã angulus g a l e$t medietas anguli u a t: cũ enim angulus e a q ex pr{ae}mi$sis & ք 5 p 1, ideo, quia line{ae} a e & e q $unt æquales, $it æqualis angulo a q e, qui per 29 p 1 e$t æqualis angulo q a t: patet, quòd angulus e a l e$t æqualis angulo l a t: $ed angulus g a e e$t {ae}qualis angulo u a g. E$t ergo angulus g a l medietas anguli u a t: $ed angulus g a l cum $it ex pr{ae}mi$sis {ae}qualis angulo f m c, qui con$titutus e$t {ae}qualis medietati anguli d g s, {ae}qualis e$t medietati anguli d g u. Angulus ergo u a t e$t {ae}qualis angulo d g u: $ed anguli t a u & t u a $unt minores duobus rectis argumento 32 p 1, cum line{ae} a t & u t concurrant in puncto t. Quare duo anguli t u a, d g u $unt minores duobus re- ctis. Igitur linea a u concurret cum linea d g per 14 huius. Dico autem, quòd concurrent in puncto d: efficiet enim linea u a producta ad lineam g d cum lineis u g & g d, triangulum $imilem triangulo a u t: quoniam i$ti trigoni habent angulum a u g communem, & angulus t a u e$t æqualis angulo d g u: erit ergo tertius tertio æqualis: ergo per 4 p 6 e$t proportio a u ad a t. $icutu g ad lineam, quã $ecat a u ex g d: & {pro}portio e a ad a u e$t, $icut e g ad g u {pro} 3 p 6: quia angulus u a g e$t {ae}qualis angulo g a e. Cum ergo ex pr{ae}mi$sis eadem $it proportio e a ad a t, qu{ae} e g ad g d: & proportio e a ad a t $it compo$ita ex proportione e a ad a u, & a u ad a t: (quoniam per 13 huius proportio extremorum componitur $emper ex proportione cuiu$cunq; medi{ae} ad ambas extremas) erit proportio e g ad g d cõpo$ita ex ei$d\~e proportionibus. Quare erit cõpo$ita ex proportione e g ad g u, & g u adlineã, quã $ecat u a ex linea g d: $ed e$t cõpo$ita ex proportionibus e g ad g u, & g u ad g d. Igitur linea, quã $ecat a u ex g d, e$t linea g d. Ergo a u $ecat g d in pũcto d. Producatur ergo per 17 p 3 à pũcto a linea cõtingens circulũ, quæ $it a h: erit ergo angulus g a h rectus per 18 p 3: $ed angulus g a l e$t medietas anguli d g u, ut patet ex præmi$sis. Igiturangulus l a h e$t medietas anguli d g e: ideo, quia anguli d g u & d g e ualent duos rectos per 13 p 1, & angulus g a b e$t rectus. Sed cũ angulus t a u $it æqualis angulo d g u, erit angulus t a d æqualis angulo d g e per 13 p 1. Igitur angulus l a h e$t medietas angu li t a d, & angulus e a l e$t medietas anguli e a t. Igitur angulus e a h e$t medietas anguli e a d. Quare patet, quòd linea a h cõtingens circulũ, diuidit angulũ e a d per {ae}qualia: quod e$t propo$itũ. Cũ ue- rò angulus u a g $uper punctũ a terminũ lineæ g a factus, fuerit æqualis angulo g a e: tũc $i linea a u d a u m f t h z q c g s nõ cadit $uper lineã e s extra circulũ uel intra circulum: pa- lã, quia linea a u e$t {ae}quidi$tãs lineæ e s: quia in infinitũ pro- tracta cum illa non concurrit: erit quo- que per 29 p 1 angu- lus u a g æqualis an- gulo a g e: $ed per præmi$$a angulus g a e e$t æqualis angulo u a g: ergo angulus g a e æqualis erit angulo a g e. Ergo per 6 p 1 in trigono a g e latus a e e$t æquale lateri e g. Similiter angulus t a d erit æqualis angulo a t g per 29 p 1: $unt e- nim coalterni linearum æquidi$tantium ex hypothe$i: $ed iam o$ten$um e$t, quod angulus t a d e$t æqualis angulo d g t. Igitur angulus a t g e$t {ae}qualis angulo d g t. Et $imiliter duo anguli a d g & d g t $unt æquales per 29 p 1: ergo duo anguli a d g & a t g $unt æquales. Sequitur ergo exijs, quòd linea, quã $ecat a u ex linea g d, $it æqualis lineæ a t: & iam præo$ten$um e$t, quòd linea e g e$t æqualis ip$i a e, e$t ergo ք 7 p 5 {pro}portio lineæ e g ad lineã, quã $ecat a u ex d g, $icut a e ad a t: $ed o$t\~e$um e$t, q<001> a e ad a t e$t, $icut e g ad g d. Igitur linea, quam $ecat a u ex g d, e$t g d. Et cũ ex pr{ae}mi$sis angulus t a d $it {ae}qualis angulo d g t: erit angulus l a h medietas anguli t a d, ut $uprà patuit: & angulus e a l medie tas anguli e a t. Erit ergo e a h medietas anguli e a d. Quod e$t {pro}po$itũ. Eod\~e\’q; modo demõ$trãdũ, LIBER PRIMVS. $i ambo puncta e & d data $int extra circulum. Patet ergo totum propo$itum.

136. Dato circulo & in eo diametro, puncto<006> extra circulum: po{$s}ibile e$t à dato pũcto ad dia metrum ducere lineam, $ecantem circulum $ic, quòd pars ductæ lineæ interiacens circumferen tiam & diametrum, $it æqual{is} parti diametri interiacenti ip$am & centrũ. Alhazen 37 n 5.

E$to datus circulus, cuius centrum $it g: & in eo data diameter $it x g b: $it quoq; punctus e pun- ctus extra circulum. Dico, quòd po$sibile e$t duci à puncto e ad diametrum x g b lineam $ecantem circulum $ecundum prædictum modum. Ducatur enim à puncto e perpendicularis $uper diame- trum x g b per 12 p 1, quæ $it e c: & $it exempli cau$$a, ut cadat illa perpendicularis $uper $emidiame- trum b g, & ducatur linea e g: & a$$umatur linea q t æqualis line{ae} e c: & fiat per 33 p 3 $uper lineam q t portio circuli talis, ut quilibet angulus cadens in hanc portionem, $it æqualis angulo e g b: & com- pleatur circulus: & à medio puncto l, line{ae} q t, quod $it $uper ip$am q t ducatur perpendicularis per 10 & 11 p 1, & ducatur ex utraq; parte u$q; ád circumferentiam circuli: erit ergo ducta perpendicula ris diameter circuli illius per 1 p 3: & à puncto q ducatur linea ad hanc diametrum, $ecans ip$am in puncto f: & producatur u$q; ad p punctum circumferentiæ, ita, ut eius pars, qu{ae} f p, $it æqualis me- dietati line{ae} g b $emidiametro dati circuli: quod fiet per 133 huius: & ducantur line{ae} p t & t f: & duca tur à puncto p linea p u {ae}quidi$tans diametro, concurrens cum linea t f in puncto u (concurret au- tem per 2 huius) & à puncto u ducatur linea æquidi$tans line{ae} q t, qu{ae} $it u o, $ecans diametrum fl in puncto m, & lineam p q in puncto o: & à puncto t ducatur perpendicularis $uper lineam p q per 12 p 1, qu{ae} $it t n: & à puncto t ducatur linea æquidi$tãs line{ae} p q per 31 p 1, qu{ae} $it t s: & à puncto u du- catur perpendicularis $uper lineam p q, qu{ae} $it u h. Dein de ex angulo b g e $ecetur angulus æqualis angulo q p u per 27 huius, qui $it b g d, ducta linea g d ad peripheriã circuli: & à puncto e ducatur li p n f o m u q l c k b d z e i c g x nea e d z. Dico, quòd linea d z e$t æqualis parti diametri, \~q e$t z g, $icut proponitur. Ducatur enim à pun cto d perpendicularis $uper lineam b g, qu{ae} $it d i: & ducatur à pũ cto d linea contingens circulũ per 17 p 3, qu{ae} $it d k. Palã itaq; (cũ ex præmi$sis diame- ter fi $it perpendicularis $uper lineam q t, & $uper eius æquidi$tantem o u per 29 p 1, linea uerò p u $it æquidi$tans illi diametro) quòd angulus o u p erit rectus per eandem 29 p 1. Et cum linea o u di uidatur per diametrum fl in partes æquales, & orthogonaliter per 29 p 1. 4 p 6 & 22 p 5, eò quòd li- nea q t $ibi {ae}quidi$tans $imiliter e$t diui$a: erũt per 4 p 1 trianguli o f m & u f m {ae}quianguli: ergo per 4 p 6 cum latus f m $it {ae}quale $ibijp$i, erit o m {ae}quale m u, & f o {ae}quale f u. Sed cum duo anguli p o u & o p u ualeantunum rectum per 32 p 1, ideo quòd angulus p u o e$t rectus, ut patet ex pr{ae}mi$sis & 29 p 1, erit angulus f u p {ae}qualis angulo f p u: ideo, quia, ut pr{ae}mi$$um e$t, angulus f o u {ae}qualis e$t angulo f u o: $ed angulus f p u cum angulo f o u ualet unum rectum, ut pr{ae}o$ten$um e$t: ergo angu- lus f p u cum angulo f u o ualet unum rectum: e$t ergo angulus f u p æqualis angulo f p u, quia $i ab {ae}qualibus {ae}qualia demas, qu{ae} relin quuntur, & c. Ergo per 6 p 1 latus f p {ae}quale erit lateri f u: erit er- go f p {ae}quale ip$i f o. Sic ergo erit linea p o {ae}qualis $emidiametro g b, ergo & ip$i g d per definition\~e circuli: & ita erit per 7 p 5 proportio line{ae} e c, qu{ae} e$t {ae}qualis line{ae} q t, ad lineam g d, $icut line{ae} q t ad p o {ae}qualem g d. Sed cum angulus k d g $it rectus per 18 p 3, {ae}qualis e$t ip$i angulo recto g i d, & angulus i g d e$t communis: erit ergo per 32 p 1 triangulus i g d {ae}quiangulus triangulo k g d: erit er- go per 4 p 6 proportio line{ae} g d ad d i, $icut line{ae} g k ad k d: $ed angulus k g d e$t {ae}qualis angulo q p u, & angulus g d k, qui rectus e$t per 18 p 3, e$t {ae}qualis angulo recto o u p: erit ergo per 32 p 1 ter- tius tertio {ae}qualis, & triãgulus k d g {ae}quiangulus triangulo o u p: e$t ergo per 4 p 6 proportio line{ae} g k ad k d, $icut line{ae} o p ad o u. Et quoniã ex pr{ae}mi$sis e$t proportio line{ae} g k ad k d, $icut line{ae} g d ad d i: ergo per 11 p 5 e$t proportio line{ae} g d ad d i, $icut line{ae} o p ad ou: fuit autem ex pr{ae}mi$sis pro- portio line{ae} e c ad g d, $icut line{ae} t q ad p o: ergo per 22 p 5 erit {pro}portio line{ae} e c ad d i, $icut line{ae} q t ad o u: $ed proportio q t ad o u e$t, $icut t f ad f u per 29 p 1, & per 4 p 6, cum triangulus t f q $it æqui- angulus triangulo o f u. Verùm angulus u t s e$t æqualis angulo h f ù per 29 p 1, e$t enim coalternus illi inter lineas {ae}quidi$tantes, qu{ae} $unt h q & s t: $ed & angulus u s t e$t rectus {ae}qualis angulo f h u recto, & angulus f u h æqualis e$t angulo s u t per 15 p 1: erit ergo triangulus u s t æquiangulus triangulo h u f: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ t u ad u f, $icut lineæ s u ad u h: ergo per 18 p 5 erit cõiunctim proportio line{ae} t f ad f u, $icut line{ae} s h ad h u: $ed linea t n {ae}qualis e$t line{ae} s h per 34 p 1: ergo per 7 p 5 erit proportio line{ae} t n ad lineã h u, $icut line{ae} t f ad f u. Sed, $icut patuit ex pr{ae}- mi$sis, qu{ae} e$t proportio line{ae} t f ad f u, eadem e$t line{ae} q t ad o u per 4 p 6. Ergo per 11 p 5 propor- tio line{ae} q t ad o u e$t, $icut line{ae} t n ad h u: ergo & proportio line{ae} e c ad d i e$t, $icut line{ae} t n ad u h. Sed cum angulus g i d $it rectus, e$t {ae}qualis angulo p h u recto, & angulus i g d æqualis angulo h p u VITELLONIS OPTICAE expr{ae}mi$sis: erit ergo tertius tertio {ae}qualis ք 32 p 1: e$t ergo triangulus i g d {ae}quiangulus triangulo h p u: e$t ergo ք 4 p 6 {pro}portio line{ae} i d ad d g, $icut line{ae} h u ad u p: quare erit ք 22 p 5 {pro}portio line{ae} e c ad g d, $icut line{ae} t n ad u p. Sed cũ angulus c g e $it æqualis angulo n p t ex hypothe$i, & angulus g c e rectus, {ae}qualis angulo p n t: erit trigonorũn p t & g c e angulus reliquus reliquo {ae}qualis. Ergo per 4 p 6 erit {pro}portio line{ae} e g ad e c, $icut line{ae} p t ad n t: e$t igitur proportio line{ae} g e ad g d, $icut line{ae} p t ad u p per 22 p 5: $ed & angulus d g e æqualis e$t angulo u p t ex hypothe$i: quia enim angu lus q p t e$t æqualis angulo b g e, & angulus q p u æqualis angulo b g d: remanet angulus u p t æqualis angulo d g e. Igitur triangulus d g e e$t æquian gulus triangulo u p t per 6 p 6: ergo angulus g d e {ae}qualis e$t angulo p u t: re$tat ergo per 13 p 1, ut angulus g d z $it æqualis angulo f u p: $ed in tri gonis g d z & p f u e$t angulus d g z æqualis angulo u p f: quare tertius tertio per 32 p 1: e$t ergo ք 4 p 6 proportio line{ae} d z ad z g, $icut line{ae} u f ad f p: $ed linea u f e$t {ae}qualis ip$i f p ex præmi$sis. Igi- tur linea d z æqualis e$t ip$i z g. Quod e$t propo$itũ. E$t aũtuniuer$alis h{ae}c propo$itio $iue intra cir culũ ad aliquã part\~e diametri fiat ductio, $iue ad ip$am peripheriã circuli, ita, ut line{ae} duct{ae} pars in- tra circulum fiat {ae}qualis $emidiametro: $iue fiat ductio ad aliquem punctum diametri extra circu- lum $ic, quòd linea à puncto, quo tangit circuli peripheriam, $it æqualis parti diametri, quam ab- $cindit. Patet ergo, quoniam h{ae}c omnia eueniunt $ecundum quantitatem anguli k g d. Et hoc e$t propo$itum.

137. Dato trigono orthogonio, dato<006> aliquo puncto in maiore $uorum laterum rectum an- gulum continentium: po{$s}ibile e$t à dato puncto ducere lineam ad ba$im ex alia $ui parte cum reliquo latere concurrentem, quæ $e habeat ad inferiorem partem ab$ci$$am ba$is, $icut linea data ad lineam datam. Alhazen 38 n 5.

Sint dat{ae} du{ae} line{ae}, z minor & e maior: & $it datum trigonum orthogonium a b g, cuius angulus a b g $it rectus, contentus à lineis g b & b a, & dato exempli cau$$a in g b latere maiore illius trigoni puncto d. Dico, quòd po$sibile e$t à puncto d ad ba$im g a ducere lineam $ecant\~e ba$im a g in pun- cto q, & ex alia $ui parte cum linea a b concurrentem in puncto t, $ic ut ip$a totalis linea t q habeat a a n m e z h q l b d g d t c proportionem ad lineam q g illam, quã habet linea e ad lineã z. Ducatur enim à puncto d li nea æquidi$tans lineæ d a per 31 p 1, qu{ae} $it d, m, & fiat circulus tran$iens per tria puncta d, m g per 5 p 4. Et quoniã angulus g d m e$t rectus per 29 p 1, quoniam angulus a b g e$t rectus, erit linea m g diameter circuli per 31 p 3: & ducatur linea d a. Sit quoq; h quædam linea, ad quam $e habeat linea d a, $icut linea e ad z per 3 huius. Et cum per 29 p 1 angulus d, m, g $it æqualis angulo b a g: $ecetur ex an- gulo d m g angulus æqualis angulo d a g per 27 huius: & $it angulus c m d: & ducatur m c, donec $ecet circumferentiam in puncto c: & à pun- cto c ducatur linea ad diametrum m g, & u$que ad circumferentiam, qu{ae} $it linea c n, $ecans diame trum m g in puncto l taliter, quòd linea l n $it æqualis line{ae} h dat{ae} per 133 huius: & ducatur linea n g, & producatur d n linea concurrens cum linea a g in puncto q. Cum igitur angulus d m c $it {ae}qualis angulo d n c per 27 p 3: cadunt enim in eundem arcum, qui e$t d c: palàm, quia erit angulus q n l æ- qualis angulo d a q: & angulus n q l e$t æqualis angulo d q a per 15 p 1: erit ergo per 32 p 1 triangulus n q l {ae}quangulus triangulo d q a: igitur per 4 p 6 erit proportio line{ae} a q ad q n, $icut line{ae} a d ad n l. Sed cum angulus d m g $it æqualis angulo d n g per 27 p 3: quia cadunt in eundem arcum d g: e$t au tem per 29 p 1 angulus d m g {ae}qualis angulo t a g: patet, quia angulus q n g {ae}qualis angulo t a g. Sit itaque t punctus, in quo linea d n concurrit cum a b: erit\’q; per 15 p 1 angulus t q a {ae}qualis angulo n q g: ergo per 32 p 1 erit triangulus t q a {ae}quiangulus triangulo g q n: erit ergo per 4 p 6 proportio li ne{ae} a q ad lineam q n, $icut line{ae} t q ad lineam q g: e$t igitur per 11 p 5 proportio line{ae} t q ad lineam q g, $icut line{ae} a d ad lineam n l: $ed linea n l e$t æqualis h a$$umptæ lineæ, & proportio lineæ a d ad lineam h e$t, $icut line{ae} e ad lineam z. E$t ergo proportio line{ae} t q ad lineã q g, $icut lineæ e ad line- am z. Quod e$t propo$itũ. Et $i contingat quòd à puncto c po$sint duci duæ lineæ $imiles line{ae} c l n: erit po$sibile à puncto d duci duas lineas $imiles lineæ t q, ita $cilicet, ut utriu$que ad partem, quam $ecat ex ba$i a g, $it proportio, $icut line{ae} e ad lineam z: & erit eadem demon$tratio. Plures autem huiu$modi lineas quàm duas nõ e$t po$sibile duci, ut patuit per 133 huius. Patet ergo propo$itum. Et licet hoc, quod hic proponitur, non uideatur penitus uniuer$ale, quantum ad quælibet puncta data, & quaslibet lineas datas, ad quarum proportionem fieri debeat ip$ius ba$is proportio: nos tamen hoc propo$ito theoremate non, ni$i modo conuenienti & po$sibili in $equentibus utemur.

VITELLONIS FI- LII THVRINGORVM ET PO- LONORVM OPTICAE LIBER SECVNDVS.

VNiuer$alib{us} hui{us} $cientiæ axiomatib{us} mathematic{is} præmi{$s}{is}: in hoc $ecundo libro (ut promi$im{us}) uniuer$ali actioni $en$ibilium formarum quædã præambula naturalia præmittentes, de modo proiection{is} lumin{is} per mediũ uni{us} diaphani, uel pluriũ $uper diuer$as figuras corporum, & de proiectione umbrarũ, & de figuratione luc{is} cadent{is} per fenestras aggredimur tra- ctatum, ut de {ij}s, $ine quibus $ermon\~e ui$ibilium formarũ aggredi conueniens non fuit, prout in proce$$u postmodum patebit: quæ uerò præmittim{us}, ut nota $en$ui, $unt i$ta.

DEFINITIONES.

1. Corpus lumino$um, dicitur omne corpus, quod e$t $ui luminis diffu$iuũ. 2. Cor pus diaphanum dιcitur omne corpus, per quod lumini patet tran$itus. 3. Corpus umbro$um dicitur corpus, per quod lumini non patet tran$itus. 4. Lux prima dici- turilla, quæ efficit $ecundã, $icut lux intrans domũ per fene$trã, & illuminãs domũ re$iduã in loco, cui incidit, dicitur prima: in angulis uerò domus dicitur lux $ecun- da. 5. Lux minima dicitur, quæ $i diuidi intelligatur, nõ habebit amplius actũ lucis. 6. Radius dicitur linea lumino$a. 7. Linea radialis dicitur linea, per quam fit diffu$io formarũ. 8. Linea refracta dicitur linea, cuius partes angulũ contin\~et. 9. Pyramis ra- dialis dicitur pyramis, cuius ba$is e$t in $uperficie corporis $uã formã diffundentis, & uertex in puncto alterius corporis cuiu$cunq;. 10. Pyramis illuminatiõis dicitur illa, cuius uertex e$t in pũcto corporis lumino$i, & ba$is in $uperficie rei illuminat{ae}.

PETITIONES.

Petimus aut\~e hæc, ut per $e $en$ui nota: 1. Luc\~e cõpre$$am fortior\~e e$$e luce di$- gregata. 2. Item lucem fortiorem uehementius illuminare, & lõgius $e diffundere. 3. Item in ab$entia luminis umbram fieri. 4. Item in allatione luminis umbram defi cere. 5. Item aliquam umbram in $ui termino acui, & ad punctum terminari. 6. Item luc\~e ad omn\~e po$itionis differentiam {ae}qualiter diffundi. 7. Item luc\~e res coloratas pertrã$eunt\~e illarũ coloribus colorari, ut patet de luce trã$eunte uitreas fene$tras, qu{ae} illorũ uitrorũ colorib. informa\~t, $ecũ formas illorũ colorũ $uper obiecta cor- pora deferendo. 8. It\~e quòd natura nihil fru$tra agit, $icut nec deficit in nece$$arijs.

THEOREMATA 1. Rad{ij} quorumcun<005> luminum & multiplic ationes formarum, $ecundum rectas lineas protenduntur. Alhazen 2 n 7.

HOc quod hic proponitur, non demon$tratione, $ed in$trumentaliter pote$t declarari: diuer$itas tamen antiquorũ ad hoc proban dũ pluribus & diuer$is u$a e$t in$trumentis, nos uerò utimuri$to, quod hic $ub$cribimus, quòd regularius huic {pro}po$ito credimus cõuenire. A$$umaturitaq; uas æneum rotundũ cõuenienter $pi$$um, ad modum matris a$trolabij, cuius fundi latitudo $it unius cubiti, uel maior, & altitudo oræ eius $it æqua- lis latitudini duorũ digitorũ perp\~edicularis $uper ba$im ua$is: & in medio dor$i huius ua$is $it per- pendiculariter erectũ aliquod corpus plurimũ rotundũ columnare, cuius longitudo $it æqualis la titudini trium digitorũ, latitudo uerò eιus $it minor uno digito: & ponatur hoc uas $ecũdũ $ui pun- cta media in tornatorio, & tornetur quou$q; peripheria eius $it intrin$ecus & extrin$ecus ueræ ro- tunditatis, & adæquentur planæ $uperficies ip$ius, & corpus columnare, quod e$t in medio dor$i, fiat rotundũ. Signentur itaq; in interiori $uperficie fundi huius ua$is duæ diametri orthogonaliter $e $ecantes, quæ $int a b & c d: palàm, quoniam ill{ae} diametri tran$eunt per centrum circuli fun- di, quod $it e: deinde $ignetur in ba$i oræ i$tius ua$is, quæ e$t circulus a c b d, in di$tantia extremita- tis alterius diametrorum productarum, ut diametri a b, $ecundum latitudinem unius digiti pun- VITELLONIS OPTICAE ctum, quod $it f: & ex hoc puncto tertia trahatur diameter per centrũ e, qu{ae} $it f g: & à duob. termi- nis i$tius diámetri f g ducãtur du{ae} line{ae} in intrin$eca h n m l @ a x r t s c e d z b g o p q k $uperficie or{ae} ua$is: qu{ae} nece$$ariò erunt perp\~edicu- lares $uper $uperfici\~e fundi lamin{ae}, ideo, q<001> $uperfi- cies or{ae}, in qua perp\~ediculares i$t{ae} {pro}ducuntur, $unt erect{ae} $uper $uperfici\~e fundi, ut patet $uprà. Ill{ae} quo- que perpendiculares $int f h & g k: & in altera i$tarũ linearũ, ut in f h, $ignentur tria puncta æquidi$tantia $ecundũ quãtitat\~e medietatis grani hordei, qu{ae} $int l, m, n, quorũ primũ, q<001> e$t l, $it propinquius ba$i ua- $is & ip$i puncto f, à quo di$tet per quantitat\~e medie tatis grani hordei. Et deinde reducatur uas ad torna torium, & $ign\~etur in ip$o tres circuli æquidi$tãtes, tran$euntes ք illa tria pũcta l, m, n: ք circuli diuident lineã g k i$ti diui${ae} line{ae}, qu{ae} e$t f h, oppo$itã, {pro}por- tionaliter prius diui${ae} per 17 p 11, $int\’q; diui$iones li- ne{ae} g k puncta o, p, q: & fient in in unoquoq; i$torũ triũ circulorũ duo pũcta oppo$ita, \~q $unt extremita- tes alicuius diametri illorũ circulorũ: ut pũcto diui- $ionis line{ae} fh (q<001> e$t punctũ l) opponitur in linea g k punctũ o, & fit linea l o diameter circuli æ- quidi$tantis circulo a c b d: & $imiliter linea m p fit diameter alterius circuli, & linea n q fit diame- ter circulitertij. Diuidatur itaq; medius i$torũ ctrculorũ in 360 partes, & $i po$sibile fuerit, ք minu ta: deinde $uper lineã f h alterã duarũ linearũ perp\~ediculariũ, qu{ae} $unt f h & g k, punctũ mediũ, q<001> e$t m, perforetur foram\~e rotundũ: & $it medietas diametri foraminis $ecundũ quantitat\~e di$tanti{ae} circulorũ, qu{ae} e$t linea m l: attinget ergo foram\~e illud ambos circulos extremos, & medius circulo rũ diuidet circulũ foraminis ք æqualia, quoniã trã$it ք centrũ foraminis. Deinde accipiatur lamina ænea plana aliquantulum $pi$$a, & $it eius $pi$situdo $icut or{ae} ip$ius in$trum\~eti, & eius lõgitudo $it duorũ digitorũ, $icut & ora ua$is, & eius latitudo $it prope hoc, & $it {ae}quidi$tantiũ $uperficierũ: pla netur\’q; adeò, ut cõmunis $ectio $uperficierũ $u{ae} latitudinis & $pi$situdinis $it linea recta, qu{ae} $it r s, diui datur\’q; in duo æqualia ք 10 p 1: & ab eius medio puncto, q<001> $it t, ducatur linea recta perpendi- culariter $uper ip$am lineã r s in $uperficie latitudinis, qu{ae} $it t u: & h{ae}c, ut patet ex pr{ae}mi$sis & per 29 p 1, nece$$ario {ae}quidi$tabit ambabus lineis lõgitudinis, diuidens $uperfici\~e tabul{ae} per {ae}qualia: & in hac linea perpendiculari, qu{ae} e$t t u, à parte line{ae} r s, cui $uper$tat, incipiendo, $ignentur tria pun cta {ae}qualiter di$tantia ab inuic\~e $ecũdũ quãtitat\~e medietatis grani hordei, qu{ae} $int x, y, z, & à medio i$torũ pũctorũ, quod e$t y, pforetur lamina foramine rotũdo: $ic\’q; foraminis peripheria ad alia duo puncta pertinget, erit\’q; hoc foramen {ae}quale foramini l m n prius facto in u g z y x r t s ora ua$is. Deinde in duo {ae}qualia diuidatur $emidiameter ua$is fundi, qu{ae} e$t f e, cuius extremitati in ora ua$is $uper$tat una linearũ perpendiculariũ, qu{ae} e$t f h: $it\’q; punctus diui$ionis t: & ab hoc puncto medio t ducatur li- nea perpen dicularis $uper eand\~e diametrum, qu{ae} $it r t s: deinde ponatur ba$is paru{ae} lamin{ae} $uper hãc lineã, donec linea, qu{ae} e$t differ\~etia cõmunis latitudinis & {pro}funditatis lamin{ae}, qu{ae} e$t r t s, $upponatur line{ae} i$ti perpen diculari duct{ae} $uper diametrũ, qu{ae} $imiliter e$t r t s: $it\’q; punctus diuidens lineã lamin{ae}, qu{ae} e$t cõmunis differentia $uperficierum latitudinis & pro- funditatis, qui e$t punctus t, $uperpo$itus puncto t, $ignato in linea f e $emi diametro ua$is: deinde cõ$olidetur parua lamina fundo ua$is: erit quoq; tũc foram\~e x y z, quod e$t in parua lamina, qu{ae} e$t r u s, directè oppo$itũ foramini l m n, q<001> e$t in ua$is ora: & erit linea recta, qu{ae} e$t m y, copulãs c\~etra i$torũ foraminũ in $uperficie cir culi medij triũ circulorũ prius $ignatorũ, cuius diameter e$t linea m p: erit\’q; linea m y {ae}quidi$tans diametro ua$is, qu{ae} e$t f e. Deinde re$ecetur ex ora ua$is pars interiac\~es duas diametros orthogonaliter $e $ecãtes, qu{ae} $it pars quarta proximè $equ\~es quartã illã, in qua e$t foram\~e, cui foram\~e lamin{ae} opponitur: & e$t in circulo a c b d, corre$põ- dens arcui a d, & planetur locus $ectionis, donec fiat una $uperficies cũ $uperficie fun di ua$is. Et ducta quarta circuli, qu{ae} $it a d, $ecundũ quãtitat\~e circuli or{ae} diuidatur in 90 grad. & diuidantur grad. in minuta: & i$ti ua$i taliter informato & figurato, dein- ceps damus nom\~e in$trum\~eti. Deinde accipiatur regula {ae}nea quadrãgula, cuius lõgi tudo $it unius cubiti, & $int quatuor $uperficies ip$am cõtinentes, latitudinis duorũ digitorũ, & ad{ae}qu\~etur $uperficies eius, donec fiant {ae}quales rectãgul{ae}. Deinde in me- dio pũcto lõgitudinis regul{ae}, & in medio alicuius illarũ $uperficierũ fiat foramen ro- tundũ, cuius amplitudo $it capax corporis, q<001> e$t in dor$o in$trum\~eti: & $it foramen perp\~ediculare $uper $uperfici\~e regul{ae} trã$iens ad aliã part\~e $uperficiei oppo$it{ae}, fiat\’q; taliter, q<001> reuoluatur in ip$o in$trumentũ nõ leui reuolutione, ponatur\’q; in$trumen tũ $uper regulã immi$$o corpore, q<001> e$t in eius dor$o in foram\~e regul{ae}, donec $uperfi cies in$trum\~eti cõiungatur $uքficiei regul{ae}: erit \’q; lõ git udo regul{ae} {ae}qualis diametro LIBER SECVNDVS. in$trumenti: fiant\’q; duæ pinnulæ latitudinis & $pi$situdinis regulæ, $ed lõgitudinis plu$quã unius digiti, qu{ae} cõ$olid\~etur $uper extremitates regul{ae}, ita, quòd ip$orũ præemin\~etia $uper extremitates regulæ $it unius digiti, uel parũ plus, uel minus, & pinnul{ae} illæ cõ$olidat{ae} $int $uper $uperfici\~e regu l{ae} nõ perforatã. Et quia latitudo regul{ae} e$t duorũ digitorũ, altitudo uerò corporis in dor$o in$tru- m\~eti e$t triũ digitorũ, ille tertius digitus, quo corpus pr{ae}eminet regulæ, perforetur, $icut in a$trola- bio, & immittatur cu$pis cõtinens regulã cũ in$trum\~eto. Deinde a$$umatur alia regula ænea, cuius latitudo $it dupla $uæ $pi$s itudini, $pi$situdo uerò $it æqualis diametro foraminis, q<001> e$t in ora in- $trum\~eti, & lõgitudo eius $it æqualis medietati cubiti, fiat\’q; hæc regula recta & uera, & eius $uperfi cies æquales & æquidi$tãtes. Deinde $ecetur illa regula in una $ui parte obliquè, donec finis lõgitu dinis eius cõtineat cũ termino latitudinis angulũ acutũ, ut facilius ualeat moueri. In parte uero al- tera $it finis latitudinis eius perpendicularis $uper fin\~e lõgitudinis. Deinde diuidatur linea eius la- titudinis in duo æqualia, & à puncto $ectionis ducatur linea {ae}quidi$tans lineis lõgitudinis: qu{ae} erit perpen dicularis $uper lineã latitudinis per 29 p 1. Cũ itaq; hæc regula fuerit $uperpo$ita $uperficiei fundi in$trum\~eti taliter, ut eius $pi$situdo $it orthogonaliter erecta $uper fundũ in$trumenti, & $u- perficies latitudinis applicetur $uperficiei fundi ip$ius in$trum\~eti: tũc erit eius $uperior $uperficies in $uperficie circuli medij triũ circulorũ in ora in$trumenti protractorum, cuius diameter e$t linea m p: ideo, quia $pi$situdo regul{ae} e$t æqualis diametro foraminis, & diameter foraminis, qu{ae} e$t n l, e$t æqualis lineæ perp\~ediculari exeunti à c\~etro foraminis $uper $uperfici\~e planã in$trum\~eti, qu{ae} e$t linea m f, cui adiacet linea $pi$situdinis regul{ae}, æqualis ip$i. Cũ itaq; propo$itã conclu$ion\~e experi- mentaliter placuerit declarare, opponatur in$trum\~etum pr{ae}mi$$um corpori $olari, uel alteri corpo ri lumino$o cuicunq;, uel etiá candelæ, & applicetur c\~etrum foraminis in$trum\~eti, q<001> e$t punctum m, oppo$ito corporis lumino$i, $ecundum q<001> melius fuerit po$sibile, tran$ibit\’q; radius lumino$us c\~etra amborũ oppo$itorũ foraminũ unius in ora in$trum\~eti, & alterius in tabella perforata exi$ten- tium, qu{ae} $unt m & y: de$cribetur\’q; circulus lumino$us in parte or{ae} in$trum\~eti oppo$ita foramini l m n directè per diametrũ m p: erit\’q; c\~etrum illius circuli lumino$i in puncto p: quod faciliter patê re pote$t, $i à puncto p ad utranq; part\~e peripheriæ circuli medij illorũ trium circulorũ $ecundũ gra dus & minuta diui$i, partes interiac\~etes lumino$i circuli peripheriã cõputentur: inuenientur enim æquales numeri hinc inde. E$t ergo punctũ p c\~etrum illius circuli lumino$i: linea itaq; m p, $ecun- dum quã incidit radius, trã$i\~es per c\~etrum circuli utriu$q; foraminis, & per centrũ circuli lumino$i, tota e$t in $uperficie plana circuli medij illorũ trium circulorũ, & e$t diameter illius circuli. E$t er- go linea recta. Et $i aliquod corpus forti colore medio coloratũ, ut uiride uel rubeum, ponatur ex- tra foramen oræ in$trumenti, ita, ut lum\~e $olis uel alterius corporis tran$i\~es per illud corpus, po$t- modũ incidat foraminibus in$trumenti, & tran$eat per illa: tunc, ut patuit per 7 pr{ae}mi$$arũ $uppo$i tionũ, circa pũctũ p in ora in$trum\~eti de$cribetur circulus luminis colorati illo colore. Color ergo mixtim cũ lumine diffundit formã $uã $ecũdũ lineas rectas, $icut & ip$ũ lum\~e. Patet ergo, q<001> radij quorũcũq; luminũ & multiplicatiões formarũ $ecũdũ lineas rectas {pro}tendũtur. Et hoc e$t {pro}po$itũ.

2. Lumen non impeditum, per totum $ibi proportionatum medium in in$tantinece$$a a b c d rium e$t deferri.

Sit linea proportionata delationi luminis fortioris, ut e$t in lumine $olis mũdi diameter, qu{ae} $it linea a b c d, & $it corpus fortiter lumino$um in puncto a. Si ergo dicatur, q<001> lum\~e in t\~epore defertur per lineã a b c d, & nõ in in$tãti: ergo in parte illius t\~eporis defertur per lineã a b, & in minimo t\~epore $en$ibili feretur ք minimã part\~e $en$ibil\~e line{ae} a b: quoniã $i in tem- pore $en$ibili ferretur per $patium in$en$ibile, cõtingeret $patium $en$ibile ex in$en$ibilibus cõponi, $icut t\~epus m\~e$uratum po$t illud $patium cõpo$itum ex t\~eporibus $en$ibilib. in $uis partibus: feretur ergo in t\~epore minimo $en$ibili per minimum $patiũ $en$ibile: $ed in eod\~e t\~epore feretur per id\~e $patium forma lumino$i corporis debilioris illo corpore fortiori lumi no$o: quoniã minimo $patio $en$ibili nõ e$t aliquod $patiũ $en$ibile minus: etiã minimo tem pore $en$ibili nõ e$t aliquod $en$ibile t\~epus minus. Æ qualis ergo uirtutis erunt lum\~e fortius & debilius: quod e$t impo$sibile, quoniã implicãtur cõtradictoria. E$t ergo impo$sibile lu- m\~e in t\~epore per proportionatum $ibi medium diffundi: nece$$e e$t ergo, q<001> illa diffu$io fiat in in$tãti. Quod e$t {pro}po$itum. Ad hoc etiã aliqu{ae} de$eruiunt naturales rationes Ari$totelis, quas, qui uoluerit, percurrat, quia $ufficit nobis hoc unum inconueniens $ecutum.

3. Omn{is} linea, qua peruenit lux à corpore lumino$o ad corp{us} oppo$itum, e$t linea na- tural{is} $en$ibil{is}, latitudinem quandam habens, in qua est linea mathematica imagina- biliter a$$umenda. Alhazen 16 n 4.

Lux enim nõ procedit ni$i à corpore, quoniã nõ e$t ni$i in corpore: unde patet, quia in minima lu ce, qu{ae} $umi pote$t, e$t latitudo: quoniã minimã luc\~e dicimus, quæ $i diuidatur, non habet am plius actum lucis, quia nõ erit ui$ibilis, $ed utraq; pars extinguetur, quia neutra pars eius erit lux, neque apparebit $en$ui. E$t ergo in linea radiali, $ecũdum quã fit diffu$io luminis, aliqua latitudo, propter quã ine$t ei $en$ibilitas, & in medio illius lineæ e$t linea mathematica imaginabilis, cui o\~es aliæ li- neæ mathematicæ in illa linea naturali {ae}quidi$tantes erunt. Et quoniã lux minima procedit ad mi- nimã corporis part\~e, quã lux occupare pote$t: nece$$e e$t, quòd proce$$us eius $it $ecundum lineam VITELLONIS OPTICAE mathematicã, qu{ae} e$t in medio line{ae} $en$ibilis, & $ecundum lineas extremas {ae}quidi$tãtes line{ae} me- diæ: neq; cadit lux minima in punctum mathematicum corporis oppo$iti, $ed in punctum $en$ibil\~e corre$pondent\~e omnibus punctis mathematicis indiui$ibilibus, ad quos lineæ mathematicæ ip$i- us lineæ $en$ibilis po$$unt terminari: & ob hoc utemur in demon$trandis pa$sionibus lucis figura- tione linearum mathematicarum in proce$$u.

4. Corpora diaphana $unt apta penetrationi lumin{is} & color{is} $ine e$$entiali $ui tran$muta tione. Alhazen 28 n 1.

H{ae}c enim corpora {pro}prietat\~e hab\~et, ut nõ {pro}hibeant formas lucis & coloris $e penetrare: attam\~e nõ mutantur à lucibus uel coloribus, nec alterantur ab eis alteratione fixa: $ed fit per illa diffu$io lu cis & coloris $ecundum lineas rectas per 1 huius: quarum aliquæ $unt {ae}quidi$tãtes, aliqu{ae} $ecantes $e, & quæ dã diuer$i $itus: & omnium i$tarum linearum di$tinctio fit per di$tinctum $itum corporis lumino$i, à quo fit diffu$io illius lucis uel coloris. Formæ itaq; lucis & coloris ext\~e$æ à corporibus diuer$is in e o d\~e diaphano, extenduntur qu{ae}libet ip$arum $ecundum lineam rectã, & pertran$eunt ad corpora oppo$ita. Corpus uero diaphanũ nõ tingitur per luces uel colores, $ed $olùm penetra- tur: neq; enim talia corpora propter luces & colores perdunt $uas formas, neq; tinguntur per luces & colores tinctura fixa: quia in eis non remanent form{ae} lucis uel coloris po$t rece$$um lucis uel co loris ab ip$orum oppo$itione. Non ergo tran$mutantur illa corpora e$$entiali tran$mutatione per luces & colores. Quod e$t propo$itum.

5. Luces & colores in corporib{us} diaphan{is} non admi$centur adinuicem, $ed penetrant di- $tincti. Alhazen 29 n 1.

Huius rei experim\~etaliter declarãdæ cau$$a, ponãtur in loco aliquo candelæ multæ localiter di- $tinctæ: & $int o\~es oppo$it{ae} uni foramini pertrã$eunti ad locũ ob$curum, & opponatur foramini in loco ob$curo aliquod corpus non diaphanum. Luces itaq; cãdelarum apparent $uper illud corpus di$tinctè $ecundum numerum candelarũ, & quælibet illarum apparet oppo$ita uni candel{ae} $ecun- dum lineã rectã tran$eunt\~e per foram\~e & per medium luminis candelæ: & $i cooperiatur una cãde- la, de$truetur unum lum\~e oppo$itum illi cãdelæ tantùm, & di$cooperta cãdela, reuertitur lum\~e. Pa làm itaq;, q<001> luces in medio foraminis, ubi $e inter$ecãt o\~es uel plures in puncto uno, nõ admi$cen tur in eod\~e puncto, $ed $unt di$tinctæ per $ui ip$arum e$$entias: & ob hoc cum ulterius {pro}t\~eduntur, tunc $ecundum locorum, quibus incidũt, diuer$itat\~e localiter di$tinguuntur. Et quoniã luxres co- loratas pertran$i\~es, illarum coloribus coloratur, ut $uppo$itum e$t: palàm, $i lum\~e penetrat di$tin- ctum, & colores, qui feruntur cum lumine, penetrabunt di$tincti. Patet ergo propo$itum.

6. Proportio uirtut{is} toti{us} corpor{is} lumino$i ad totum corp{us} lumino$um e$t, $icut determi- natæ part{is} uirtut{is} ad partem corpor{is} $ibi proportionalem.

Sit corpus aliquod lumino$um a b. Dico, quòd {pro}portio uirtutis totius corporis a b ad totũ cor pus a b e$t, $icut proportio partis uirtutis, quæ a b g d e$t a, ad part\~e corporis, qu{ae} e$t a. Si enim non e$t i$torum ead\~e {pro}portio: aut ergo maior, aut minor: $it primũ maior: & $it uirtus totius cor poris a b $ignata per lineã g d: $it\’q; g uirtus partis corporis, quæ e$t a, & d $it uirtus partis corporis, quæ e$t b: qu{ae} e$t ergo proportio g ad a, ead\~e e$t {pro}portio d ad b: ergo per 18 p 5 erit cõiunctim g d ad a b, $icut g a d a. Si ergo {pro}portio g ad a e$t maior {pro}portione g d ad a b: erit quoq; maior {pro}portio g d ad a b, <004> g d ad a b: quod e$t impo$sibile: nõ enim poterunt e$$e unius rei ad aliã du{ae} {pro}portiões, quarum una $it maior alia. Id\~e quoq; accidit impo$sibile danti, q<001> minor $it {pro}portio g partis uirtu tis ad part\~e corporis, qu{ae} e$t a, <004> g d uirtutis ad a b corpus. Si enim minor e$t proportio g ad a, <004> g d ad a b: & qu{ae} e$t g ad a, ead\~e e$t d ad b: erit ergo per 18 p 5 cõiunctim proportio totius uirtutis, quæ e$t g d, ad corpus a b, minor proportione g d ad a b: quod e$t impo$sibile. E$t ergo proportio g ad a, $icut g d ad a b. Et hoc e$t propo$itum: & e$t uniuer$ale, ni$i fortè aliquid cõferat unio uirtuti: quo- niam uirtus unita $emper e$t fortior $e ip$a diui$a: unde tenet no$tra demon$tratio, quando partes non diui$æ à toto, agunt in ip$o toto non actualiter di$tinct{ae}: cum enim di$tinctæ $unt à toto, tunc non $unt partes: quia nomen partis, id quod dicit philo$ophus, $ignat potentiam, non actum: & de hoc completus in alijs $ermo fuit.

7. Omn{is} corpor{is} lumino$i intr an$mutabil{is} $ecun dũ formã & $itũ, in corp{us} aliud æquale et homogeneũ a b g c d id\~e immediatè uel per medium uniforme oppo$itũ, e$t $emper actio æqual{is} & uniform{is}.

Sit enim dati alicuius corporis lumino$i uirtus a: & $it corpus æquale & homogeneũ eid\~e oppo$itũ b g: & $it im pre$sio uirtutis a in b g corpus $ignata ք c. Dico, quòd a $emper imprimit in corpus b g impre$sion\~e c, qu{ae} e$t $em per æqualis $ibijp$i & uniformis. Si enim detur, quòd a quãdoq; imprimit in corpus b g impre$sionem, qu{ae} e$t c, quãdoq; uerò nõ imprimit c, $ed aliud maius uel minus ip$o c, ut d: tũc cũ corpus obiectũ $it homo LIBER SECVNDVS. geneum & uniforme: erit diuer$itas impre$sionis nõ à corpore b g patiente, $ed à uirtute a diuer$ifi cata in $e: hoc aũt e$t impo$sibile, cũ corpus lumino$um po$itum $it intran$mutabile $ec undum for mam & $itum. E$t ergo ip$ius actio $emper æqualis & uniformis in corpus eid\~e immediatè uel per medium uniforme oppo$itum. Et hoc e$t propo$itum.

8. Nece$$e e$t terminum longitudin{is} cui{us}libet umbræ radium lumino$um e$$e.

Quod hic {pro}ponitur, $atis patet ք \~pmi$$a principia. Quoniã enim ք 3 $uppo$ition\~e $olũ in ab$en- tia luminis fit umbra, & ք 4 $uppo$ition\~e in allatione luminis umbra deficit: tũc nece$$ariò oportet in tanto $patio umbrã cau$$ari, in quãto lum\~e deficit: & ubi lumen accedit, ibi umbra deficit. T ermi nus ergo lõgitudinis cuiuslibet umbr{ae} cum $it linea: patet, quòd oportet, ut illa linea $it lumino$a. E$t ergo illa linea radius lumino$us per 6 definitionem. Patet ergo propo$itum.

9. À termin{is} æquidi$t ãtiũ altitudinũ corpor{is} lumino$i altior{is}, & corpor{is} umbro$i ba{$s}ior{is} productæ lineæ cõcurr\~etes, $unt $u{is} altitudinib. proportionales. Ex quo patet, quòd ead\~e altitu- do corpor{is} umbro$i ex lumine ba{$s}iori longiorem pro{ij}cit umbram quàm ex lumine altiori.

Sit altitudo corporis umbro$i cuiu$cũq; linea a b: & $it altitudo alia illi æquidi$tãs ip$ius corpo- ris lumino$i, quæ $it d e: $it\’q; linea d e maior quàm li- l h a e b g k nea a b: {pro}ducãtur\’q; lineæ e b & d a, qu{ae} {pro}tractæ con- current ad aliquam part\~e in puncto g per 16 t 1 huius. Dico, quòd erit {pro}portio line{ae} g b ad lineã g e, & line{ae} g a ad lineã g d, $icut lineæ a b ad lineã d e. Quia enim linea b a æquidi$tat lineæ d e ex hypothe$i: palàm er- go ք 29 p 1, quoniã angulus g b a e$t æqualis angulo g e d, & angulus g a b æqualis angulo g d e: angulus quoq; b g a cõmunis e$t ambobus trigonis d g e & a g b: ergo ք 4 p 6 e$t {pro}portio lineæ g b ad lineã g e, $icut lineæ b a ad lineã e d: ergo ք 5 t 1 huius, erit è cõtrario proportio line{ae} g e ad lineã b g, $icut line{ae} e d ad lineã a b. Palàm ergo e$t {pro}po$itũ: quoniã eodem modo de- mon$trari pote$t de lineis g a & g d. Et ex hoc patet, quoniã eadem altitudo corporis umbro$i ex lumine ba$siori lõgior\~e proijcit umbram <004> ex lumine altiori. E$to enim q<001> aliquod corpus lumino$um $it in pun- cto h: cadat\’q; radius h a in punctũ lineæ e g, q<001> $it k: erit\’q; ք pr{ae}mi$$um modũ {pro}portio e k ad b k, $icut h e ad a b: $ed ք 8 p 5 {pro}portio h e ad a b e$t minor <004> d e ad a b: $ed {pro}portio d e ad a b e$t, $icut {pro}portio e g ad b g, ut patuit: ergo ք 11 p 5 {pro}portio e k ad b k e$t minor <004> e g ad b g. Multũ ergo excreuit umbra b k re$pectu umbr{ae} b g, ut patet ք 10 p 5 & per 4 t 1 huius. Et ex hoc accidit, quòd umbræ lunares $emper $unt lõgiores quàm umbr{ae} $olares: & ita e$t de alijs corporibus lumino$is altioribus & ba$sioribus quibu$cunq;. Patet ergo propo$itum.

10. Omnem r adium lumino$um per medium uni{us} diaphani trans uerticem alicui{us} corpo- r{is} umbro$i proten$um, nece$$e est e$$e lineam unam rectam.

Remaneat totalis di$po$itio proximæ præced\~etis, & $it punctus g finis umbr{ae}. Quia itaq;, ut pa- tet ք 8 huius, cuiuslibet umbr{ae} terminus e$t radius d u a u e b g lumino$us: dico, quòd ille radius terminãs umbrã e$t linea recta, ut e$t in propo$ita figura linea d a g. Si enim nõ e$t recta linea d a g, tũc cũ d a linea $it recta ք 1 huius, ideo\’q; nullã habet cau$$am impedim\~eti in {pro}gre$$u, & linea a g $imiliter e$t recta ք id\~e: cõiũgun tur ergo line{ae} d a & a g angulariter in pũcto a: $ubt\~e- datur ergo illi angulo, utcũq; cõtingat, ba$is à pũctis d & g: & $it linea d u g recta: & {pro}trahatur uel ab$cin- datur linea a b: trigonũ itaq; e d b g diuiditur ք lineã b u æquidi$tãt\~e lineæ e d: ergo ք 29 p 1 erũt trigoni e d g & b u g æquianguli: ergo ք 4 p 6 erit {pro}portio li- ne{ae} g e ad lineã g b, $icut lineæ e d ad lineã b u: $ed ք proximã \~pmi$$am e$t {pro}portio lineæ g e ad lineã g b, $icut lineæ d e ad lineã b a. E$t ergo ք 11 p 5 ead\~e pro- portio line{ae} d e ad ambas lineas b u & b a: q<001> e$t cõ- tra 8 p 5 & impo$sibile: ad minor\~e enim maior, & ad maiorem minor e$t proportio: uel $equetur maiorem lineam e$$e æqualem minori per 9 p 5: hoc au tem e$t impo$sibile. Oportet ergo ut radius d a g $it linea una recta. Quod e$t propo$itum.

11. Omnia corpora den$a non diaphana in partem lumino$o corpori aduer$am, umbrã pro{ij}- ciunt u$<005> ad incidentiam rad{ij} per rei den$æ uerticem producti.

Quia enim in corporibus d\~e$is nõ diaphanis natura diaphanitatis & tran$parentiæ e$t impedita ք admixtion\~e corporũ opacorũ terreorũ: $unt enim omnia talia naturæ terre à dño: nece$$o e$t er- VITELLONIS OPTICAE go, ut trã$itũ luminis im pediãt: ergo ք 3 petition\~e in ab$entia luminis umbro$itat\~e efficiũt in ea par te, in qua ք ip$as luminis acce$$us impeditur: hoc aũt d a b c e$t in parte aduer$a corpori lumino$o. Sit aũt aliquod taliũ umbro$orũ corporũ, cuius altitudo ab horizõte $it a b, & eius uertex a: & $it corpus lumino$um altius <004> linea a b, cuius aliquis $upremus punctus $it d: radij itaq; in tota linea a b incid\~etes, impediuntur à trã$itu {pro}pter corporis opacitat\~e: cadat uerò radius d c pro xi mus $upra radiũ d a: hic ergo radius, <003> a nõ impeditur, trã$it ultra corpus a b: in $ua ergo incidentia, \~q $it c, af- fert lumen. Deficit ergo umbra. Et patet propo$itum.

12. Aequalium altitudinum corporum umbro- $orum, quod fuerit corpori lumino$o $e altiori pro- pinqui{us}, breuiorem facit umbram.

Sit $upremus pũctus corporis lumino$i g, q<001> $it al- tius duob. corporibus umbro$is: cuius altitudo à $up- ficie horizontis $it linea a g: $int\’q; duorũ corporũ um bro$orũ æquales altitudines erect{ae} $uper lineã a b, {pro}- ductã in ip$a $uperficie horizõtis, \~q $int d e & z h: qua- g e h a d z t k b rũ d e $it {pro}pinquior corpori lumino$o a g, & z h remo tior: ducatur\’q; ք uertic\~e corporis d e radius g e t, <003> e- rit line a una ք 10 huius: & ք uertic\~e corporis z h duca tur radius g h b: erit itaq; ք \~pmi$$am corporis d e um- bra d e t: & corporis z h umbra z h b. Dico, q<001> umbra d e t e$t minor <004> umbra z h b. Ducatur enim à pũcto h linea æquidi$tãs lineæ e t ք 31 p 1, \~q $it h k: palã\’q; ք 2 t 1 huius, quoniã linea h k cõcurret cum linea a b, cũ qua cõcurrit eius {ae}quidi$tãs, \~q e$t linea e t. Et quoniã line{ae} h b & e t cõcurrũt in pũcto g $upremo pũcto coporis lumino$i: cadet ergo punctũ k ք 2 & 14 t 1 huius inter duo pũcta t & b. Copuletur ergo linea e h, \~q ք 33 p 1 & ex hypothe$i æqualιs & æquidι$tãs erit lineæ d z: $ed per 34 p 1 line{ae} e h & t k $unt æquales: line{ae} ergo t k & d z $unt {ae}quales. Addita ergo linea z t utriq;, erit linea d t æqualis lineæ z k: ergo per 1 p 6 umbra z h k e$t æqualis umbr{ae} d e t: quoniam $unt eiu$dem alti- tudinis ex hypothe$i: $ed umbra z h k e$t minor quàm umbra z h b: quoniam e$t pars eius. Ergo & umbra d e t e$t minor quàm umbra z h b. Patet ergo propo$itum.

13. Vmbra lineæ rectæ perpendiculariter corpori lumino$o oppo$itæ, infixæ $uper$iciei corpo- r{is} den$i nulla e$t: eleuatæ uerò e$t linear{is}: apparet autem punctual{is}.

Si enim ք $uppo$ition\~e 3 in ab$entia luminis fit umbra: tũc patet, q<001> $i lineã mathematicã natu- ralis corporis $uքficiei infixã accidat lumino$o corpori քpendiculariter offerri, nõ impedietur, ni$i unica linea radialis à trã$itu cũ alijs lineis radialibus, \~q trá$eunt ad $uքfici\~e illius corporis: nulla ue- rò aliarũ linearũ radialiũ impeditur {pro}pter obiectũ illιus line{ae}: aliàs enim accideret duas uel plures lineas radiales cũ una linea քpendiculari ip$is obiecta in uno pũcto cõcurrere: q<001> e$t impo$sibile, <003>a indiui$ibilia in nullo $e excedũt. Cũ aũt radius nõ $it aliud <004> linea lumino$a, ut patet ք 6 definiti on\~e: palã, q<001> radius ad modũ line{ae} incidit $uքficiei corporis $ecũdũ pũctũ: ergo & impeditur $ecũ- dũ pũctũ: $ed in allatione luminis umbra deficit ք 4 $uppo$ition\~e. Quia ergo unicus radius e$t im- peditus, & ille incidit $ecũdũ pũctũ: palã, q<001> nõ manet aliqua umbra. Cũ uerò linea eleuatur fuper d\~e$i corporis $uքfici\~e, ubicũq; $ub linea ponatur d\~e$a $uքficies, umbra inuenitur: & $i ք diuer$a pun cta fiat de$c\~e$us, palã <003>a umbra proijcitur linearis, eò q<001> inter quælιbet duo pũcta e$t lineã mediã ducere: apparet aũt $emper punctualis in cõcur$u $ui cum $uperficie corporis den$i: quia ibi $olùm cum umbra den$itatis $uperficiei commi$cetur. Patet ergo illud, quod proponebatur.

14. Vmbra $uperficiei planæ cuiu$cun<005> figuræ perpendicular{is} $uper $uperfici\~e corpor{is} lumi no$i, infixæ corpori den$o nulla e$t: eleuatæ uerò e$t $uperficial{is}: $ed apparet linear{is} recta.

Hoc patet ք \~pced\~et\~e: ad qu\~elibet enim pũctũ line{ae} terminãtis quãcunq; datã $uperfici\~e corpori lumino$o քp\~ediculariter oppo$itã, cõtingit ducere lineã քp\~ediculariter oppo$itã corpori lumino- $o. Vmbra ergo cuius libet illarũ linearũ, $uքficie {pro}po$ita exi$t\~ete infixa corpori den$o, nulla e$t: er- go neq; umbra totius $uքficiei fit aliqua. Eleuata uerò $uperficie oppo$ita ab illo d\~e$o corpore, um- bra cuiuslibet illarum linearũ ք præcedent\~e propo$ition\~e e$t punctualis: aggregata uerò talia pun cta uidentur lineam con$tituere: apparet ergo umbra $uperficiei taliter eleuatæ umbra linearis. Et quoniam $uperficies circulares ex $uis diametris uel alijs perpendiculariter $uper corpus lumino- $um productis, non accipiunt ni$i puncta umbrarum, quæ ad lineam rectam inferius concurrunt, quia impediunt tran$itum rectæ lineæ, fit ip$arum umbra linearis recta: non enim cau$$antur um- LIBER SECVNDVS. bræ à figura quorumlibet obiectorum, ni$i $ecundum quod tran$itus luminis impeditur. Cuiu$- cunque ergo figuræ fuerit propo$ita $uperficies, umbra appar\~es $emper erit $uperficialis: uidebitur autem linearis propter præmi$$as cau$as. Patet ergo propo$itum.

15. Omn{is} corpor{is} den$i, cui{us} æqualis uel amplior e$t ba$is, contrapo$ita $ibi $uperficie per\~e- diculariter corpori lumino$o oppo$iti, infixi corpori den$o umbra nulla e$t: eleuati uerò e$t corpo- ral{is}: uidetur autem $uperficial{is}.

Verbi gratia: $it columna rotunda, uel aliud corpus, cuius ba$is $it æqualis uel amplior $uperficie illius eiu$dem corporis contrapo$ita ip$i ba$i, $i ip$ius corporis $uperficies nõ terminetur ad unum punctum, ut e$t in pyramide, quod infigatur $uperficiei alicuius corporis $olidi, & perpendiculari- ter opponatur corpori lumino$o: dico, quòd uerũ e$t, quod proponitur. Si enim illud corpus $it co- lumna rotunda uel aliud corpus, cuius ba$is $it {ae}qualis $uperficiei contrapo$it{ae} ba$is, & aduer${ae} cor pori lumino$o, patet, quoniam radij lumino$i ex omni parte $ecundum lineas longitudinis perue- niunt ad ba$im: nulla ergo fit umbra. Et idem patet, $i illud corpus $it pyramidale: uel $i ba$is $it ma- ior $ibi contrapo$ita $uperficie aduer$a corpori lumino$o: tunc enim lumen nullatenus impeditur, quod tamen accideret, $i $uperficies aduer$a corpori lumino$o, e$$et amplior ip$a ba$i corporis um- bro$i: tunc enim impedito tran$itu luminis, cau$$aretur umbra. Sed quacunq; figura corporis exi$t\~e te, $i ip$um eleuetur ab alio corpore, cui fuit infixũ, apparebit umbra $uperficialis: $uperficies enim $ecantes corpus, & perpendiculariter $uperficiei corporis lumino$i incidentes, umbram con$tituũt linear\~e per pr{ae}mi$$am. Et quia tota $uperficies corporis oppo$ita lumino$o corpori per tales $uքfi- cies exhauritur, line{ae} uerò tales cõiunct{ae} $uperfici\~e con$tituũt: palã, omnis corporis $ic di$po$iti um bram $uperficialem apparere: erit autem illa umbra nece$$ariò corporalis: quoniam erit dimen$io- nata dimen$ionibus corporis: quod pote$t declarari, ut prius. Patet ergo propo$itum.

16. Longior radi{us} ad $phæramuel circulum columnæ uelpyramid{is} rotundarum perueni\~es, qua$i linea contingens e$t.

Sit circulus magnus $phæræ uel columnæ uel pyramidis rotund{ae}, qui d g: cuius centrum $it pun ctum a, & diameter d g. Et quoniam lumen ad omnem differen g a d b e z tiam po$itionis $e diffundit, $icut patet per 6 $uppo$itionem: $it punctum corporis lumino$i z, cuius lumen $e diffundat $uper circulum d g: ducatur\’q linea z a à pũcto corporis lumino$i ad centrum illuminati circuli: & $ecundum diametrum a z de$cri- batur circulus, $ecans circulum d g in punctis e & b: & copulen tur radij z e, z b. Dico, quòd radij z e & z b $unt contingentes $phæram, uel aliud aliorum corporum: & quòd nulli radij lon- giores illis po$$unt ad illa corpora peruenire. Ducantur enim à centro circuli d g (quod e$t punctum a) ad puncta $ectionum b & e, line{ae} a e & a b. Palàm ergo per 31 p 3, quoniam duo angu- li z e a & z b a $unt recti: ergo per 16 p 3 patet, quòd lineæ z e & z b contingunt circulum d g: productæ ergo non $ecabunt cir- culum d g: $untitaq; lineæ z e & z b longiores line{ae}, qu{ae} à pun- cto z ad illa corpora duci po$$unt. Si enim detur, quòd aliqui longiores radij duci po$sint à puncto z ad illa corpora: patet per 8 p 3, quòd ill{ae} non cadent in arcum e b: ip$æ ergo product{ae} $ecabunt lineas z e & z b prius, quàm perueniant ad arcus e d uel b g: du{ae} itaq; line{ae} rect{ae} includent $uperficiem: quod e$t impo$sibile. Et hoc quidem non $olùm demon$trabile e$t in corporibus illuminandis, $ed etiam per eundem modum demon$trari pote$t de corporibus lumino$is: quia & ab illis longior radius in obiecta corpora incidens, ip$a corpora l@ mino$a e$t contingens. Patet ergo propo$itum.

17. Impo{$s}ibile e$t, ut lumen egrediens à corpore lumino$o, egrediatur tantùm à centro corpo- r{is} lumino$i. Ex quo patet, quòd nece$$e e$t à quolibet puncto $uperficiei corpor{is} lumino$i diffun- di radios lumino$os.

Si enim dicatur, quòd radij lumino$i tantùm u d b @ c h g z e a egrediuntur à centro corporis lumino$i: $it cor pus lumino$um circulus a b: cuius centrum g: $it\’q; corpus illuminatum circulus d e: & à cen- tro g corporis lumino$i egrediantur duo radij longi$simi, qui po$$unt ab illo puncto g corpo- ri illuminando incidere, qui per præmi$$am e- runt duæ lineæ contingentes fines corporis il- luminati, qu{ae} $int g d u, & g e z: & puncta con- tactuũ, quæ $int d & e, copulentur per lineã d e: & ei æquidi$tanter ducatur linea u z per 31 p 1, erit\’que pars corporis illuminati, $uper quam cadit lumen, pars d h e: & pars ob$cura, $uper quam non cadit lumen, quæ d c e. Et quia pars, $upra quam VITELLONIS OPTICAE non cadit radius, non illuminatur: ergo pars contenta $ub terminis u d c e z e$t umbro$a, o b$curans lineas d e & u z {ae}quidi$tantes: $unt itaq; per 29 p 1 trigoni u g z & d g e æquiãguli: quia angulus d g e e$t communis ambobus trigonis. E$t ergo per 4 p 6 proportio lineæ g e ad lineã g z, $icut lineæ d e ad lineam u z: $ed linea z g e$t maior quàm linea e g: ergo linea u z e$t maior quàm linea d e. Vmbra ergo corporum omnium (cuiu$cunq; $int proportionis ip$arum diametri ad diametros corporis lu mino$i) $emper e$t maior corpore umbro$o, & $emper augmentantur $ecundum modum, quo elon gantur ultra corpus umbro$um, cuius contrarium notum e$t $en$ui, Vnde fuit $uppo$itum in princi pio aliquam umbram in $ui termino acui, & ad punctum terminari. Palàm ergo e$t propo$itum. Et cum lumen egrediatur à corpore lumino$o, & non $olùm à centro, ut o$tendimus, manife$tum e$t corollarium: quoniam à quolibet puncto $uperficiei corporis lumino$i nece$$e habet egredi ad cor pora illuminanda: corpus enim lumino$um $ecũdum quodlibet $ui punctum unigeneum e$t: unde qua ratione dabitur ab uno puncto $uæ $uperficiei lumen diffundi, eadem ratione dabitur de quoli bet aliorum punctorum. Patet ergo propo$itum.

18. Impo{$s}ibile e$t, ut à $uperficie corpor{is} lumino$i egrediantur rad{ij} $olùm æquidi$tanter corpori illuminando incidentes.

Si enim hoc dicatur e$$e nece$$arium, tunc $equeretur euidens impo$- a b z z g d u h e $ibile. Sit enim corpus lumino$um, cuius diameter a b: & corpus illumina tum d g: & producantur à corpore lumino$o duo radij longiores, qui per 16 huius erunt du{ae} line{ae} contingentes fines corporis g d: qu{ae} $int a g u & b d e, & $int æquidi$tantes ex hypothe$i: pars quoq; illuminata, $uper quã cadit lumen, $it g z d, & pars $uper quã cadit umbra, $it g h d. Vmbra ergo continetur à duabus lineis e d & u g, qu{ae} $unt æquidi$tantes. Si ergo uni- cuiq; corpori illuminando corre$pondeat æqualis $ibi pars corporis illu- minantis (tunc enim $olum $ecundum lineas æquidi$tantes radij incid\~et per 33 p 1) patet ergo, quòd omnis umbra in omni $ui parte æqualis erit $uæ rei umbro$æ: igitur non augebitur umbra, neq; minuetur, $ed proten detur $emper in infinitum: quod e$t contra $uppo$itionem: habet enim a- liqua umbrarum terminum acutum: e$t ergo hoc impo$sibile: oppo$itum e$t ergo nece$$arium. Et hoc e$t propo$itum.

19. Omn{is} punct{us} corpor{is} lumino$i eam partem corpor{is} umbro$i illuminat, ad quã ab eodem pũcto rect{as} line{as} po{$s}ibile e$t produci. Ex quo patet, quòd un{us} punct{us} lumino$i corpor{is} non illuminat omne umbro$um corp{us}.

Sunt enim corpora lumino$a unigenea in $uis partibus: non ergo diuer$ificatur effectus $uarum partium, neq; e$t po$sibile, ut ab una parte illuminent, & non ab alia: non tamen ab uno puncto cor poris lumino$i ad quodlibet punctum umbro$i corporis po$$unt rectæ lineæ produci: & ob hoc u- nus punctus non illuminat omnia, $ed illuminantur corpora umbro$a à diuer$is punctis corporis lumino$i. Sit enim corpus lumino$um circulus a b: quem contingat linea d g $uper punctum a per 17 p 3: g z a h d t e u b $it\’q; corpus illuminatum concauum arcus e u, & $ecet ip$um linea d g $uper duo pũcta z & h. Dico, quòd po$ $ibile e$t omnem arcum z h illuminari à puncto a cor- poris lumino$i: quoniam, ut patet, po$sibile e$t, ut ab omni puncto arcus z h ducatur linea recta ad punctũ a: $ed ab arcu z e, & ab arcu h u aliquas lineas duci ad punctum a e$t impo$sibile per 16 p 3: quoniam inter li neam g d contin gentem circulum, & inter ip$um circu lum a b aliquam lineam rectam intercipi e$t impo$sibi le. Si ergo aliqua linea ab aliquo punctorum illorũ ar- cuũ ducatur ad punctũ a, illa nece$$ariò $ecabit circu- lum, $icut linea u a $ecat circulum a b in puncto t, pri- u$quã perueniat ad pũctũ a. Et $imiliter e$t de omnib. lineis à quocunq; puncto arcuum u h & z e ad punctũ a productis: o\~es enim $ecant circulũ a b in alio puncto ab ip$o puncto a, priu$quã perueniãt ad punctũ a. Radius itaq; exi\~es à puncto a, nõ illuminat ambos arcus u h & z e, $ed $olũ arcũ h z: $ed illos arcus ab alijs punctis lumino$i corporis circuli a b, à quib. ad eo$dem arcus rect{ae} po$$unt produci line{ae}, nihil prohibet illuminari. Et $imiliter e$t de alijs qui- bu$cunq; corporib illuminatis: quoniã $i corpora cõcaua (de quibus plus uidetur, quòd po$sint ab uno puncto illuminari) nõ illuminantur ab uno puncto corporis lumino$i: ergo multo minus cor- pora recta plures planas $uperficies habentia, uel corpora $phærica, uel alia conuexa, po$$ũnt ab u- no puncto lumino$i corporis illuminari. Patet ergo propo$itum & eius corollarium.

20. À puncto cui{us}libet corpor{is} lumino$i lumen diffunditur $ecundum omnem rectam li- LIBER SECVNDVS. neam, quæ ab illo puncto ad oppo$it am $uperficiem duci pote$t: unicatantùm linea perpendicu- lariter $uperficiei obiecti corpor{is} incidente. Ex quo patet, lucem cui{us}libet puncti corpor{is} lumi no$i $ecundum pyramidem illumination{is} diffundi.

Quòd enim lux cuiuslibet puncti corporis lumino$i diffun datur $ecundum omnem lineã duci- bilem ab illo puncto $uper $uperficiem corporis obiecti, ad omnem po$itionis differentiã, hoc patet per præmi$$am. Quòd autem unica tantũ linearum ab aliquo uno puncto corporis lumino$i produ ctarũ ad $uperfici\~e unam corporis oppo$iti $it perpendicularis, hoc patet ex 20 t 1 huius. Vnica ergo linea perpendiculariter incidit $uperficiei $ibi oppo$itæ: omnes uerò aliæ lineæ ab eodem puncto productæ incidunt obliquè. Patet ergo ex hoc, quòd cuiuslιbet puncti corporis lumino$i lumen $e- cundum pyramidem illuminationis diffunditur, cuius uertex e$t in puncto corporis lumino$i & ba $is in $uperficie corporis obiecti: & hoc quidem in$trum\~etaliter patet per 1 huius. Lumine enim trã $eunte foramen in$trumenti, cuius c\~etrum e$t punctum m, & diffu$o ip$o in partem oppo$itam oræ in$trumenti $ecundum circulum, cuius centrum e$t punctum p: erit circulus p maior circulo m: q<001> $en$ibiliter pote$t uidèri, computatis hinc inde partibus in ora in$trumenti, qu{ae} interiac\~et periphe- rias illorum circulorum & centra. Patet ergo propo$itum.

21. Corpor{is} umbro$ipars, cui à plurib{us} partib{us} corpor{is} lumino$i lumen incidit, pl{us} illu- minatur, quàm pars, cui à pauciorib. Ex quo patet, unumquod<005> umbro$um circa radium $ibi \’perpendiculariter incidentem pl{us} ιlluminari.

Sit corpus lumino$um circulus a b g: cuius centrum $it punctũ d: $it\’q; arcus $ui cõuexitate re$pi- ciens corpus illuminandum (qui a b g) diui$us per æqualia in puncto b: & ducatur linea z c contin- gens circulum in puncto b per 17 p 3: & in puncto g contingat circulum linea i k, & in puncto a linea t h: $it\’que corpus umbro$um arcus k z t i c h: ducatur quoq; linea d b l à centro corporis lumino$i ad corpus umbro$um: erit\’q; h{ae}c perpendicularis $uper lineã c z, t $ @ z b c @ a k h d conting\~etem circulũ in puncto b per 18 p 3: unaqu{ae}q; igitur partium arcus h t illuminatur à puncto a corpo ris lumino$i per 19 huius: punctus ergo lilluminatur à puncto a. Similiter\’q; arcus k i illuminatur à puncto g: ergo & punctus l, totus\’q; arcus z c illuminatur à pũ cto b: ergo & punctus l: punctus itaq; l illuminatur à tribus punctis corporis lumino$i, $cilicet punctis a, b, g, & totus arcus t i e$t communis illuminationi trium punctorum a, b, g: arcus uerò c i e$t cõmunis duabus tãtùm illuminationib. punctorum a & b: arcus quoq; z t e$t $imiliter cõmunis duabus tãtũ illuminationib. punctorum b & g: quoniam e$t cõmunis arcubus z c & k i ab illis duobus punctis illuminatis: arcus uerò h c illuminatur tãtùm ab uno puncto a, & arcus z k ab uno tantũ puncto g. Illuminatio ergo arcus ti triplicatum habet lumen, quod arcus z t & c i habent duplum, & quod arcus c z & z k habent $implũ: magis ergo omnib. alijs arcubus illuminatur arcus ti, qui e$t circa lineam perpendicular\~e, quæ e$t l d: & illuminatio duorum arcuũ z t & c i e$t {ae}qualis: quoniam à totidem punctis corporis lumino$i illuminatur unus ut alius: ip$orũ uerò amborum il- luminatio maior e$t illuminatione duorum arcuum c h & z k: erit\’q; $emper proportio exce$$us illu minationis $ecundum numerum punctorum corporis illuminantis, re$picientis partem corporis illuminati. Patet itaq; exijs, quoniã $emper id, quod e$t propinquius perpendiculari, fortius illumi natur illo, quod e$t remotius ab eadem perpendiculari: $uper ip$um namq; plus luminis cadit, quòd à pluribus lumino$is partibus illuminatur. Quod enim nunc demon$tratum e$t in arcu k h, $imiliter accidit in alio corporum quocunq;: exemplificauimus aũt i$tum in corpore concauo, quoniam il- lud uidetur plus uniformiter debere illuminari. Patet ergo propo$itum.

22. Omne corp{us} umbro$um puncto lumino$o propinqui{us}, illuminatur ab illo puncto forti{us} corpore pl{us} di$tante.

Sit corpus lumino$um in puncto a: & corpus illuminatum $it apud lineã b g: & copulentur line{ae} a b & a g. Virtus itaq; corporis a illuminans corpus b g, illuminat etiã aer\~e mediũ, qui continetur in triangulo a b g: & ducatur linea d e {ae}quidi$tans line{ae} b g per 31 p 1: $it\’q; linea b g propinquior corpo- ri lumino$o in puncto a exi$tenti <004> corpus d e. Dico, quòd corpus b g fortius illuminatur quã cor- pus d e. Sit enim, ut radius a b cadatin punctum d, & radius a g in punctum e: & à puncto b ducatur $uper lineam b e linea perpendicularis, qu{ae} $it b u: & à puncto g perpendicularis, qu{ae} $it g z per 12 p 1. Erit ergo per 34 p 1 linea u z {ae}qualis line{ae} b g, & linea b u {ae}qualis lineæ g z. Ducãtur itaq; lineæ u a & z a: hæ ergo $ecabunt lineam b g per 2 t 1 huius: $ecet ergo ip$am linea u a in puncto h, & linea z a in puncto t. Quia ergo uirtus imprimens lumen in corpus b g e$t diffu$a per totum triangulũ a b g: uirtus autem illuminans corpus u z æquale corpori b g, e$t diffu$a $olùm per trigonum a h t: & VITELLONIS OPTICAE quia per 1 p 6 triangulus a b g e$t maior triãgulo a h t, quoniam ba$is b g e$t maior ba$i h t: plus itaq; luminis diffu$um e$t in trigono a b g, quàm in trigono a h t: in quolibet enim i$torum triangulorum puncto e$t lumen {ae}qualiter diffu$um. Lumen ergo in- a b h t g d u z e cidens corpori exi$tenti in linea u z, illud corpus debi lius illuminat quã corpus b g: quia paucius $ibi lumen incidit: proportio enim uirtutis luminis incidentis li- ne{ae} h t ad impre$sion\~e $uã in corpus u z, e$t minor {pro}- portione uirtutis incidentis line{ae} b g ad impre$sion\~e $uam in corpus u z per 8 p 5: quoniam, ut patet ex pr{ae} mi$sis, lumen incidens line{ae} b g, e$t plus lumine inci- dente line{ae} h t. Proportio uerò uirtutis incid\~etis line{ae} h t ad impre$sion\~e $uam in corpus u z, e$t $icut propor tio uirtutis incidentis lineæ b g ad impre$sion\~e $uam in corpus b g per 6 huius: ergo per 16 p 5 erit permuta tim proportio uirtutis perueni\~etis ad lineã h t, ad uir- tut\~e peruenient\~e ad lineã b g, $icut impre$sionis fact{ae} in corpus u z ad impre$sion\~e factã in corpus b g: $ed ք \~pmi$$a lum\~e քueniens ad lineã h t e$t debilius lumine քueni\~ete ad lineã b g. Ergo impre$sio քueni\~es à linea h t in corpus u z, e$t debilior impre$siõe քueni\~ete à uirtute luminis incid\~etis line{ae} b g in corpus b g. Corp<_>9 itaq; {pro}pin<003>us corpori lumino$o forti<_>9 illuminatur <004> remotius ab eod\~e. Et hoc e$t {pro}po$itũ.

23. Puncto remotiori à corpore lumino$o incidunt rad{ij} à plurib. pun ct{is} corpor{is} lumino$i, quàm puncto propinquiori. g h c e f a b d

Sit corporis lumino$i circulus a b c, cuius centrum d: & ducatur perpen dicularis d g, in qua $ignentur duo puncta g remotior, & h propinquior. Di co, quòd puncto remotiori, qui e$t g, incidunt radij à plurib. punctis corpo ris lumino$i, <004> ip$i puncto h. Ducãtur enim radij longi$simi à corpore lumi no$o ad punctum g. Et $imiliter ducantur radij lõgi$simi à corpore lumino $o ad punctũ h: erunt itaq; per 16 huius illi radij cõtingentes $ph{ae}rã. Contin gant itaq; radij incidentes puncto g in punctis a & b, & radij incidentes pũ cto h, contingant $phæram in punctis e & f: palam\’q; per 60 t 1 huius, quo- niam puncta contingentiæ e & f cadent intra puncta a & b. Quia itaq; pun- ctum h $olum irradiatur à punctis arcus e c f, & non ab alijs: punctũ uerò g irradiatur à punctis arcus a c b, qui e$t maior arcu e c f, patet propo$itũ: quo niam punctũ g illuminabitur à $uperficie corporis lumino$i, quã per {ae}qua- lia diuidit arcus a c b: & punctum h illuminabitur à $uperficie corporis lu- mino$i, quã per {ae}qualia diuidit arcus e c f: tamen propter radiorum fortitu- dinem, quæ con$equitur ip$orum breuitatem, fortius illuminabitur punctũ h à paucioribus radijs, quã punctum g à plurib. multiplicitas enim luminis in puncto remotiori e$t ex concur$u radiorum multorum obliquè inciden- tium & debilium, $ed in puncto propinquiori fortificatur lux ex breuitate radij, $ecundum quam à corpore lumino$o immittitur plus uirtutis.

24. Omne corp{us} lumino$um min{us} $patium, à quo non egreditur, forti{us} illuminat quàm $patium mai{us} illo.

Quod hic proponitur, $atis patet per exemplũ: u- a e h f b d g na enim candela paruam cameram fortius illuminat quã domum uel cameram maiorem: pote$t tamen i- dem figuraliter demon$trari. E$to enim, ut $it pũctus aliquis corporis lumino$i a: à quo per $patiũ magnũ, in quo $it linea b g, diffundantur radij a g, a b, a d: & $it radius a d perpendicularis $uper lineam b g: illumi- natur itaq; $patium totum b g $ecundum has lineas à puncto a $ibi incidentes. Ab$cindatur itaq; à linea a b linea a e, ut placuerit, & â linea a g ab$cindetur li- nea a f æqualis lineæ a e: producta\’q; linea e f $ecet li- neam perp\~edicular\~e, qu{ae} e$t a d, in puncto h. Si ergo in linea e h f terminetur $patium, ne lumen ultrà per- tran$eat, erit illud $patium minus $patio terminato ք lineam b d g per 2 p 6. Omnes autem radij peruenien tes ad lineam b g, perueniunt ad lineam e f: plus ergo aggregantur radij in $patio e f quã in $patio b g: fortiores ergo fiunt, cum $int uirtutis plus unitæ: ma gis ergo agunt quã in $patio b g, in quo $unt diffu$iores. Plus ergo illuminatur $patium minus, cùm ad eius terminos uirtus luminis terminatur, quàm $patium maius illo. Et hoc e$t propo$itum.

LIBER SECVNDVS. 25. Omn{is} ax{is} uel diameter corpor{is} umbro$i non perpendiculariter re$piciens $uperficiem corpor{is} $phærici lumino$i: alicui diametro illi{us} corpor{is} æquidι$tat.

Sit enim axis uel diameter corporis umbro$i linea a b, non perpendiculariter re$piciens $uperfi- ciem corporis lumino$i $ph{ae}rici, cuius centrũ $it punctum c. Dico, quòd linea a b æquidι$tat alicui diametrorũ corporis c. Ducatur enim linea a c à termino line{ae} a b ad centrum corporis lumino$i: & $uper punctum c terminum lineæ a c fiat an- e c d b a a g b e d u f z h gulus æqualis angulo b a c per 23 p 1, qui $it d c a, producta linea d c taliter, ut anguli b a c & a c d fiant coalterni: line{ae} ergo d c & a b {ae}- quidi$tant adinuicem per 27 p 1. Et quoniam linea c d e$t ducta à c\~etro corporis lumino$i: patet, quòd ip$a e$t pars diametri $phærici il- lius corporis. Producta ergo diametro d c e, patet, quòd ip$a æquidi$tat lineæ a b. Et hoc e$t propo$itum.

26. Diametro corpor{is} lumino$i $phæri- ci exi$tente æquali diametro corpor{is} illu- minãdi: tantũ ei{us} mediet{as} illuminatur: & umbra fit æqual{is} rei in infinitum pro= ten$a. Ari$tarch{us} Sami{us} in libro de ma gnitudinib. & interuall{is} $ol{is} & lunæ.

E$to corporis illuminantis diameter a g: cuius pars a$piciens corpus illuminandũ $it a b g: diameter uerò corporis illuminandi $it d u {ae}qualis ex hypothe$i, & per pr{ae}mi$$am {ae}quidi$tãs diametro a g: & $uperficies illuminata $it d e u. Dico, quòd d e u e$t medietas $uperficiei corporis illuminandi. Ducantur enιm radij a d & g u. Quia itaque diameter a g e$t æqualis & {ae}quidi$tans diametro d u ք hypothe$im & per pr{ae}mι$$am: palàm, quòd radij a d & d u $unt æquidi$tantes & æquales per 33 p 1: ergo in infinitum protracti nunquã cõ current: non ergo illuminatur aliqua pars corporis d e u ultra diametrũ d u. Eius ergo corporis tan tùm medietas illuminatur: protenditur enim umbra in infinitum æqualis diametri cum diametro corporis: & e$t exten$a inter lineas d z & u h, & e$t linea z h {ae}qualis lineæ d u. Portio itaque arcus d f u, qu{ae} e$t medietas totius $uperficiei corporis d e u: & linea d z & u h continent umbram æqual\~e rei umbro$æ, quæ protenditur in infinitum. Patet ergo propo$itum.

27. Diametro corpor{is} lumino$i $phærici exist\~ete maiore dia- e d g b a metro corpor{is} $phærici illuminandi: pl{us} medietate corpor{is} il- luminatur: & ba$is umbræ e$t minor magno circulo corpor{is} il- luminati, concurrens ad punctum unũ retro corp{us}. Ari$tar- ch<_>9 Sami{us} in libro de magnitudinib. et interuall{is} $ol{is} et lunæ.

Sit corpus lumino$um contentum circulo a b: & $it corpus um- bro$um illuminandũ contentũ circulo g d: & $it diameter circuli a b maior diametro circuli g d: & $int radij incidentes a g & b d: ij ergo radij nece$$ariò cõcurrent ultra corpus g d. Si enim nõ cõcur rant, tunc {ae}quidi$tabunt: nece$$ariũ ergo erit diametros a b & g d e$$e æquales, quod e$t cõtra hypothe$im: cõcurrant itaq; in pũcto e: patet ergo, quòd radij a g & b d nõ tran$eunt terminos diametri circuli g d: $i enim tran$eãt, palã, cũ illi radij per 16 huius circulum g d contingant, quia anguli e g d & e d g erũt recti per 18 p 3. In triã gulo ergo g d e $unt duo anguli recti, quod e$t impo$sibile & con- tra 32 p 1: palã ergo, quòd radij a e & b e nõ tran$eunt per terminos diametri circuli g d, $ed ultra illos cõtingunt $uperfici\~e corporis il luminãdi: magis ergo medietate corporis illuminatur. Et quia mi nor circulus illius $ph{ae}rici corporis cõtinet umbram, patet, quòd ba$is umbræ minor e$t magno circulo corporis illuminati. Quod e$t propo$itum.

28. Diametro corpor{is} lumino$i $phærici exi$t\~ete minore diame tro corpor{is} illuminãdi $phærici: min{us} medietate illuminatur: & e$t umbra multò maior corpore illuminato in infinitũ {pro}t\~e$a.

Sit corpus lumino$um, cuius maior circulus $it d g: & corpus il- luminãdum, cuius maior circulus $it a b: & $it diameter circuli d g minor diametro circuli a b: concurrent itaque radij g a & b d ultra corpus lumino$um g d perpræ- VITELLONIS OPTICAE mi$$am diametrorum proportionem: concurrant ergo in puncto e ultra diametrum corporis d g: ij ergo radij non contingunt terminos diametri circuli a b: quia $i $ic erunt, ut in pr{ae}mi$$a per 16 & 18 p 3 trigoni a b e duo anguli recti: quod e$t impo$sibile: minus ergo medi@tate corporis a b illumina- tur. Et quoniam magnus circulus corpo- e d g c b a g e f d b c a ris a b cadit intra umbram, & umbra ultra illum proten$a $emper dilatatur, cum per 14 t 1 huius radios g a & g b ad illam par- tem cõcurrere $it impo$sibile: patet, quòd umbra ext\~edetur in infinitum. Et hoc e$t quod proponitur. Et per h{ae}c pr{ae}mi$$a pe- nitus $imiliter in columnis & pyramidib. pote$t demon$trari: idem enim in illis e$t demon$trandi modus.

29. Superficiem planam $uper mediũ umbræ erectam, corp{us} umbro$um & corp{us} lumino$um, per æqualia diuide- re e$t nece$$e.

Sit corpus lumino$um a b, cuius cen- trum c: & corpus umbro$um $it d e, cuius centrum f: $it\’q; punctus in medio umbr{ae}, qui $it g: & copuletur linea f g: cadet itaq; linea f g in mediũ umbr{ae}: $uperficies itaq; erecta $uper medium umbræ, nece$$ariò erit erecta $uք lineam g f: tran$it ergo illa $uperficies cen- trum corporis umbro$i & centrum corporis lumino$i: nece$$ariò ergo diuidet illa corpora per {ae}qua lia per ea, quæ o$ten$a $unt in principio huius. Patet ergo propo$itum.

30. Superficiem planam corp{us} lumino$um & corp{us} umbro$um per æqualia diuidentem, $u per medium umbræ erigi e$t nece$$e. Ex quo patet, tot e$$e umbr{as} eiu$d\~e umbro$i corpor{is}, quot ip$um opponitur corporib{us} lumino$is.

Sit corpus $uper quod cadit lumen, quod cõtinetur à circulo a b, cuius centrũ e$t punctũ g: & $it unum corporũ lumino$orũ contentũ à circulo d e, cu- b d c n @ a b e g k a b @ m q l n ius centrũ e$t u: $it\’q; aliud corpus lumino$um cõt\~etũ à circulo z h, cuius c\~etrũ e$t c: uidebitur itaq; umbra op- po$ita lumino$o corpori d e, contenta à lineis a k, b l, cu ius medius punctus $it m. Cũ ergo aliqua $uperficies di ui$erit corpus lumino$um & corpus umbro$um per {ae}- qualia: illa nece$$ariò trã$ibit ք lineã u g m: $ecabit ergo per {ae}qualia ip$am umbrã: quιa perp\~ediculariter erecta trã$it per ip$ius corporis centrũ, quod e$t punctũ g. Si- militer quoq; $uքficies diuid\~es per {ae}qualia ambo cor- pora z h, & a b tran$it per lineam c g ductã per centra il lorũ corporum: $ed eadem pertran$it centrũ umbr{ae} cõ tent{ae} $ub lineis a n & b s $ecundum punctũ medium i- p$ius, qui $it q. Illa ergo $uperficies diuidens corpora z h & a b in duo media, diuidet etiã umbram per duo {ae}qualia. Et quoniã $uperficies planæ $ecantes corpora umbro$a & lumino$a hinc inde ք æqualia $unt diui$æ: patet quòd $ecundũ ip$as numerantur etiam & umbr{ae}: patet ergo propo$itum. Vniuer$aliter enim tot erunt umbr{ae} eiu$dem umbro$i corporis, quotip$um opponitur corporibus lumino$is.

31. Corpor{is} umbro$i remotior{is} à corpore lumino$o umbra min{us} umbre$cit: propinquior{is} uerò mag{is}.

Quoniam enim, ut patet per 22 huius, omne corpus umbro$um corpori lumino$o propinquius, illuminatur fortius corpore plus di$tãte: patet, quòd umbra corporis propinquioris plus priuat lu- minis: radij quoq; ip$am terminantes $unt fortioris luminis: umbra ergo inter illos radios apparet nigrior, & plus umbre$cit: quoniã radij terminantes illas umbras, $unt plus lumino$i, propter quod etiam plus apparent umbræ in pr{ae}$entia illorũ: Corporis uerò remotioris à corpore lumino$o um- bra minus priuat luminis: radij quoque continentes ip$am umbram $unt debilioris luminis: umbra ergo inter illos radios apparet debilior: minus ergo umbre$cit. Patet ergo propo$itum.

32. Omn{is} umbra multiplicata pl{us} umbre$cit.

E$to enim, ut $it unũ corpus umbro$um obiectũ pluribus corporib. lumino$is: palã ergo per 30 huius, quoniam tot erunt umbræ eiu$dem corporis umbro$i, quot ip$um opponitur corporib. lumi no$is. Si itaq; accidat, ut umbr{ae} $e inter$ecent: dico, quòd umbra multiplicata plus umbre$cit: qu{ae}- libet enim umbrarum aufert aliquod lumen: multiplicata ergo umbra plura auferet lumina, quæ LIBER SECVNDVS. reman\~et in alijs partibus medij, in quibus umbra nõ multiplicatur, $ed remanet $impliciter umbra. Ergo illa $implex քfunditur aliquo lumine, q<001> ad umbrã multiplicatã nõ քtingit. Multiplicata ergo umbra plus umbre$cit: quoniã plurimo lumine priuatur locus illius umbræ. Patet ergo {pro}po$itum.

33. Duo corpora, quorum unum obumbrat reliquum $ecũdum $ui medium, in eadem $uper- ficie erecta $uper corp{us} lumino$um con$i$tere nece$$e e$t: & $i in eadem $uperficie, propinqua adinuicem con$i$tunt: unum reliquum $ecundum $ui medium obumbrabit.

Hoc, quãtùm ad primam partem, patet per 30 huius: quoniam enim $uperficies plana corpus lu- mino$um & corpus umbro$um per æqualia diuidens e$t erecta $uper $uperficiem corporis lumi- no$i, & ip$a erigitur $uper medium umbræ rei umbro$æ: umbra uerò cadit $uper lum\~e corporis ob- umbrati: ergo oportet, quòd illud corpus obumbratum $ecundum $ui medium $it in $uperficie ere- cta $uper $uperficiem corporis lumino$i. Ex hoc etiam patet $ecunda pars præ$entis theorematis: quoniam $i duo corpora propinqua adinuicem $ecundũ $ui partes medias in ead\~e $uperficie erecta $uper $uperficiem lumino$i corporis con$i$tunt, unum reliquum obumbrabit: quoniam remotius à lumine, quando fuerit propinquum illi, quod plus accedit ad lumen, cadet in umbra illius, quod e$t propinquius lumini: ut quando idem radius tran$iens uerticem propinquioris, tran$it etiam uerti- cem remotioris, uel punctum aliquod, quod $it altius illo. Patet ergo propo$itum.

34. Aequidi$tantia linearum radialium uel ip$arum concur${us} non e$t totaliter per $e ex natura radiorum, $ed ex proportione diametri corpor{is} lumino$i ad diametros corporum um- bro$orum. Ex quo patet, quòd lumen diffunditur uniformiter per aerem circum$tantem.

Hoc patet per 17 & 18 huius: & pote$t $ic exemplariter declarari. Sit enim corpus lumino$um cir- culus a b: & una linearum radialium ab ip$a egredientium $it linea a g, & alia linea b g, & cõcurrant illæ in pũcto g: $it item una linea e u, & alia d z: & $int e u & d z æquidi- g @ t b a d e l k z u $tantes, $it\’q; corpus unum (cuius diameter $it minor diametro corpo- ris lumino$i) $uper quod cadit lumen, po$itum inter duas a g & b g $e contingentes, cuius maior circulus $it ti: & contingat ip$um linea b g in puncto i, & linea a g in puncto t: & corpus aliud æquale corpori lu- mino$o, $uper quod cadit lumen, $it po$itum inter duas lineas æquidi- $tantes e u & d z, illud corpus contingentes, cuius diameter $it k l: con- tingatur\’q; à linea e u in puncto k, & à linea d z in puncto l. V mbra itaq; proueniens à corpore t i, minuitur & terminatur, & fit pyramidalis per 27 huius, ideo quia radij contingentes corpus t i, qui $unt a g, b g, con- currunt in puncto g: umbra ergo corporis t i cõtinetur à duabus lineis i g & t g, & $uperficie corporis t i, quæ e$t à parte g. Vmbra ergo finitur apud punctum g. Vmbra uerò corporis k l proten$a inter lineas æqui- di$tantes l z & k u, ut patet per 26 huius, non terminatur ad aliquod punctum: quoniam illæ lineæ continentes umbram in infinitum pro- tractæ non concurrunt. Si uerò corpus ti motum extra lineas a g & b g ponatur intra lineas e u & d z, concurrent lineæ e u & d z, & uariabitur umbra ab ip$is prius contenta $ecundum diuer$itatem proportionis diametrorum corporis t i, & corporis k l ad diametrum corporis lumi- no$i. Et exhoc patet, quòd radij per $e non $unt lineæ neq; regulares, neq; irregulares, neq; æquidi$tantes, neq; concurrentes: $ed accidit eis lineatio per re$pectum ad corpora, quibus incidunt: & æquidi$tantia & concur$us accidunt eis per proportionem diametrorum corporum umbro$orum ad diametros corporis lumino$i. Diffunditur ergo lum\~e uniformiter per totum aerem circum$tantem, ita, ut omnis punctus aeris, à quo po$sibile e$t produci lineam rectam ad aliquod punctum corporis lumino$i, illuminetur à lumine corporis lumino$i, ut patet per 19 huius. Patet ergo propo$itum.

35. Rad{ij} ab uno puncto lumino$i corpor{is} procedentes, $ecũdum linearum longitudinem ad æquidi$tantiam $en$ibilem pl{us} accedunt.

E$to, ut à puncto medio corporis lumino$i (quod $it a) egrediantur radij a b & a g {ae}quales: copu- letur quoq; ba$is b g, & ducatur linea d e $ecans trigonum a b g citra medium $ui lateris a g æquidi- $tanter ba$i b g per 10 & 31 p 1: protrahatur\’q; à puncto a linea a z perpendiculariter $uper ba$im b g per 12 p 1, quæ $ecet lineam d e in puncto u: diuidatur\’q; linea e g in duo æqualia in puncto h per 10 p 1, & linea d b in puncto t: ducatur\’q; linea h t: linea ergo h t erit æquidi$tans ba$i g b per 2 p 6: $eca- bit ergo lineam u z per 2 t 1 huius: $it punctus $ectionis k. Ducãtur item à punctis e, d, h, t lineæ per- pendiculares $uper ba$im b g: quæ $int e l, d m, h n, t s: $ecabit quoq; perpendicularis e l lineam h t: $it punctus $ectionis q, & punctus $ectionis linearum d m & h t $it f: erit ergo linea q f æqualis lineæ e d per 34 p 1: patet ergo, quòd linea h t e$t maior quàm linea e d. Quia itaq; trigona a u e & e h q $unt æquiangula per 29 & 32 p 1: erunt per 4 p 6 latera ip$orum proportionalia. Quia ergo, ut patuit $u- prà, linea a e e$t maior quàm linea e h: erit ergo linea e u maior quàm linea h q: $ed linea h t e$t maior quàm linea e d, ut præo$ten$um e$t: ergo per 9 t 1 huius maior e$t proportio lineæ e u ad lineam e d, VITELLONIS OPTICAE quàm lineæ h q ad lineam h t: e$t enim proportio lineæ e u ad lineam e d, $icut lineæ h k ad lineam @ t per 4 p 6 & per 11 & 16 p 5: $ed linea h q e$t pars li- a e u d h q k f t g n l z m s b neæ h k: ergo per 8 p 5 minor e$t proportio h q ad h t, quàm h k ad h t. Minor e$t ergo proportio line{ae} h q ad h t, quàm e u ad e d. Eodem\’q; modo demon$trãdum, quod lineæ g n ad lineã g b minor e$t proportio, quã lineæ h q ad lineã h t: exce$$us itaq; ba$is g b $uper ba- $im h t e$t minor exce$$u ba$is h t $uper ba$im d e: & quãtò ba$es $unt remotiores à puncto a corporis lu- mino$i, tantò exce$$us remotiorum ba$ium $uper ba- $es uiciniores plus minu\~etur. Palàm ergo, quia in re- motiori di$tantia radij qua$i ad æquidi$tantiam plus procedunt: & cũ quantitas exce$$us ba$ium $it quan- titatis non $en$ibilis: tunc lineæ radiales erunt qua$i æquidi$tãtes. Quoniam enim linea b g $en$ibiliter nõ excedit lineã h t: tunc erunt h g & t b radij qua$i {ae}qui- di$tantes $ecũdum $en$um. Et hoc e$t propo$itum. Et fortè ad i$tud multũ cooperatur proprietas radiorũ, qu{ae} $emper, ut pote$t, approximat $uæ perp\~ediculari: propter quod radij omniũ punctorũ totius corporis lumino$i $emper concurrunt in quolibet puncto cor- poris illuminãdi: & $ic cõ$tituunt pyramid\~e radial\~e.

36. Lumine incidente per fene$tram $uper cor- p{us} oppo$itum $olidũ: erit lumin{is} perimeter am- plior perimetro fene$træ.

E$to corpus lumino$um, cuius centrum a: & circulus magnus d e g: & $it diameter fene$træ b c: $it\’q; linea t z in $uperficie corporis $olidi oppo$ita lumini, cui incidit z t b c f g e a d radius: producantur quoq; lineæ radiales tangentes peripheriã fene- $træ: quæ $int e b & g c: hæ itaq; lineæ $ecabunt $e in aliqua parte me- dij: $it pũctus cõmunis $ectionis f: & hæ lineæ product{ae} incidãt $uper- ficiei corporis oppo$itæ lumini: cadat\’q; linea e b in punctũ z, & linea g c in punctũ t. Quia itaq; in trigono f t z, latus t z e$t maius latere b c: quoniam trigonum f t z maius e$t trigono f c b. Et quoniã per omnem punctum peripheriæ fene$træ $ic incidũt radij $e $ecãtes: ideo quòd à quolibet pũcto corporis lumino$i in totam fene$trã fit mi$sio luminis ք 20 huius: palàm, quoniã perimeter luminis incid\~etis corpori $olido oppo$ito fene$træ, e$t maior perimetro fene$træ. Et hoc {pro}ponebatur.

37. Ad centrũ circular{is} for amin{is} radio à centro corpor{is} lu- mino$i perp\~ediculariter incid\~ete: lumen in $uperficie den$i corpor{is} æquidi$tante $uperficiei for amin{is} e$t uerè circulare.

Sit circulus foraminis a b g d, cuius c\~etrum e: cui $it {ae}quidi$tans $u- perficies $olidi corporis f h k l: & erigatur à centro e linea e z, perpendiculariter $uper $uperficiem a b g d circuli: in quocunq; itaq; puncto lineæ e z $it @ a z d h e b m g k l centrum corporis lumino$i, dico, quòd lumen inci- d\~es $uperficiei f h k l, e$t uerè circulare. Palàm enim per 65 t 1 huius, quoniam omnes line{ae} z a, z b, z g, z d ductæ à polo z ad circumferentiam, $unt æquales, & æquales angulos cõtinent cũ linea e z per 8 p 1. Pro- ducatur itaq; linea z e ultra punctũ e ad $uperficiem æquidι$tãtem circulo foraminis, quæ e$t f h k l: inci- det\’q; perpendiculariter $uper illam per 14 p 11: $it ut incidat in punctum m: producatur\’q; linea z b ad $u- perficiem f h k l in punctum k, & linea z a in punctũ f, & linea z d in punctum h, & linea z g in punctum l: erunt\’q; lineæ a f, b k, d h, g l per 25 t 1 huius æquales propter æquidi$tantiam $uperficierum & æqualita- tom angulorum: tota ergo linea z f erit æqualis toti lineæ z h: & z k æqualis lineæ z l. Ducantur quoq; li- neæ f m, h m, k m, l m. In trigono itaq; f m z ba$is f m erit æqualis ba$i h m trigoni h m z per 4 p 1: eodem\’q; modo erit linea k m {ae}qualis lineæ h m, & linea l m æqualis lineæ k m. Palàm ergo per 9 p 3, quoniam $uperficies f h k l e$t circularis: & ip$a e$t, ad quam terminantur radij luminis incidentis per fene$tram a b g d: quoniam de omnibus alijs lineis eadem e$t demon$tratio. Patet ergo propo$itum.

LIBER SECVNDVS. 38. Per centrũ circular{is} foramin{is} radio lumino$o obliquè incid\~ete $uperficiei den$i corpor{is} $ub$tratæ $uperficiei for amin{is}: lum\~e incid\~es erit figuræ $ection{is} pyramidal{is}, cui{us} maior dia- meter erit in $uperficie erecta $uper $uperficiem fene$træ, & $uper $uperfici\~e corpor{is} $ub$trati.

E$to foramen circulare a b c d, cuius centrum e: cui $it $uperficies æquidi$tans h m k l: & $it f cen- trum corporis lumino$i: $it\’q; primò ut linea f e obliquè cadat $uper $uperficiem circuli a b c d: hæc itaq; producta incidet $uperficiei h m k l $imiliter obliquè propter æquidi$tantiam $uperficierũ, ar- gumento 23 t 1 huius: incidat itaq; in punctum g: & ducatur linea a e b diameter circuli: $it itaq; an- gulus a e f acutus: erit ergo per 13 p 1 angulus b e f obtu$us: ducãtur ergo line{ae} f a, f b. Et quia quadra- tum lineæ f a ualet minus duobus quadratis linearum e f & e a, per 13 p 2, & quadratum lineæ b f e$t maius quadrato lineæ f e, & quadrato lineæ b e per p q m a f c e d h g k b @ 12 p 2: quadratũ uerò lineæ b e æquale e$t quadrato lineæ a e: quia $unt æquales $emidiametri: & quadra tum lineæ f e e$t commune: patet, quòd quadratum lineæ f b e$t maius quadrato lineæ f a: ergo linea f b e$t maior quàm linea f a: productis\’q; lineis f a & f b ad $uperficiem h m k l: $i linea f a incidat ad pũctum m, & linea f b ad punctum l: erit linea f l maior quàm linea f m per eadem, quæ prius: copulatis\’q; lineis l g & m g ad punctum g, cui incidit radius trã$iens cen- trum foraminis fene$træ: erit quoq; per 2 p 6 & per 11 p 5 proportio lineæ l g ad lineam b e, $icut lineæ g m ad lineam e a: quoniã utrarumq; illarum propor- tio e$t adinuic\~e, $icut lineæ g f ad lineam f e: e$t ergo per 16 p 5 proportio lineæ l g ad lineam m g, $icut li- neæ b e ad lineam e a: $ed linea b e e$t æqualis lineæ e a: ergo linea l g e$t {ae}qualis lineæ g m. Ducatur tunc c d diameter $uper a b diametrum orthogonaliter, & continuentur lineæ f c, f d: producantur\’q; ad $uperficiem h m k l in puncta h & k: & ducatur linea h g k. Et quoniam $uperficies, in qua $unt lineæ f e & a b, $ola e$t erecta $uper circulum fene$træ, quoniam omnes ali{ae} $uperficies, in quibus e$t linea f e, incidunt illi $uperficiei obliquè ($ic enim accipimus lineam a b) erit ergo $uperficies a f b erecta $uper $uperfici\~e circuli fene$træ. Palàm ergo, quia angulus f e d e$t æqualis angulo f e c: e$t ergo per 4 p 1 linea f d æqualis lineæ f c: ergo, ut prius, erit linea h g æqualis k g, & linea f h æqualis lineæ f k, & f g e$t communis: & quia linea h k e$t perpendicularis $uper lineam m l, & $uper lineam f g: palàm per 4 p 11, quòd linea h g e$t perpendicularis $uper $uperficiem, in qua $unt lineæ f g & m g: ergo per 18 p 11 erit $uperficies h m k l erecta $uper $uperficiem f m g: ergo & $uperficies f m g e$t erecta $uper $uperficiem h m k l. Imaginetur ergo à puncto g termino axis, qui e$t f g, circumduci pyramidi illu- minationis circulus per 102 t 1 huius: erit ergo per 100 & 89 t 1 huius axis f g erectus $uper illum cir- culum, & ip$e e$t obliquus $uper $uperfici\~e h m k l: erit ergo per 103 t 1 huius linea h m k l $ectio py- ramidalis, cuius maior diameter erit in $uperficie f m l erecta $uper $uperficiem h m k l. Patet ergo propo$itum. Et $i $uperficies fene$træ circularis $it ba$is pyramidis illuminationis, ita quòd c\~etrum corporis lumino$i $it polus circuli fene$træ, & axis erectus $it $uper $uperfici\~e fene$træ, $uperficies uerò $olidi corporis excipientis radios luminis, non fuerit æquidi$tans $uperficiei fene$træ: adhuc erit figura luminis $ectio pyramidalis: quod e$t præmi$$o modo demon$trandũ: ducta enim per 102 t 1 huius à pũcto l termino longioris radij, qui e$t f l, $uperficie æquidi$tante $uperficiei fene$træ: pa- tet per 100 t 1 huius, quòd illa $uperficies $ecabit pyramid\~e illuminationis $ecundũ circulum, qui $it 1 p q. Ergo $uperficies h m k l $ecat ip$am $ecundũ pyramidalem $ectionem. Patet ergo propo$itum.

39. Omne lumen per foramina angularia incidens rotundatur.

Quod hic proponitur, patet per 35 huius. Quoniam enim omnes radij ab uno puncto lumino$i corporis procedentes $ecundum linearum longitudinem ad æquidi$tantiam $en$ibilem plus acce- dunt: patet, quòd radij $ecundum foraminum angularium di$po$itionem ip$is angulis incid\~etes, $e applicant æquidi$tantiæ radij perp\~ediculariter uel circa $uperficiei foraminis incidentis: retrahunt ergo $e ab angularitate, & $ic lumen $uperficiei foramini obiectæ incid\~es incipit rotundari. Et quo- niam, ut patet per 20 huius, à puncto cuiuslibet corporis lumino$i lumen diffunditur $ecundum o- mnem lineam, quæ ab illo pũcto ad oppo$itam $uperfici\~e duci pote$t: omnes enim illi radij in quo- libet puncto medij concurrunt: patet, quòd ip$i in quolibet puncto $e inter$ecent, & radij inferio- rum punctorum ip$ius corporis lumino$i in punctis linearũ fene$tr{ae} alios radios $uperiorum pun- ctorum $ecant, & ultrà protenduntur: & $ic lumen huiu$modi fene$tras pertran$iens rotundatur: quod non adeò accideret, $i $olùm ab uno puncto lumino$i corporis egrederentur radij fene$tram penetrantes. Patet ergo propo$itum.

40. Radio lumino$o medio puncto foramin{is} quadrati perpendiculariter incidente: lumen $uperficiei corpor{is} æquidi$tant{is} $uperficiei for amin{is} incidens, e$t quadr atum ad circulaxit a- tem aliquam accedens.

Sit centrum corporis lumino$i e: & foram\~e quadratum $it a b c d: cuius puncto medio (qui $it f) VITELLONIS OPTICAE incidat perpendiculariter radius e f: $it\’q; $uperficies corporis den$i æquidi$tans $uperficiei forami- nis, quæ e$t g h k l. Dico, quòd lum\~e incidens illi $u- g h a b f e d c c k perficiei, erit figuræ quadratæ: fiunt enim duæ pyra mides unum uerticem habentes punctum e, quarũ maioris ba$is e$t g h k l, minoris uerò ba$is e$t a b c d, & earum ba$es $unt {ae}quidi$tantes: $unt ergo $imi- les per 99 t 1 huius. Quia ergo ba$is a b c d ex hypo- the$i e$t quadrata, patet, quòd & ba$is g h k l e$t qua drata. Et e$t hoc propo$itum primum. Quoniã uerò per 35 huius radij longiores ad aliquam {ae}quidi$tan- tiam accedunt: accedit & h{ae}c figura ad aliquam cir- cularitatem, propter compre$sionem radiorum, uel propter ip$orum inter$ectionem in punctis linearũ terminãtium fene$tras, ut diximus in præmi$$a. Pa- tet ergo propo$itum.

41. Per medium quadr ati foramin{is} radio ob- liquè incidente $uperficiei den$i corpor{is} $ub$tratæ $uperficiei for amin{is}: lumen incidens erit figura altera parte longior $u{is} angul{is} æqualiter arcuat{is}.

E$to, ut in pr{ae}mi$$a, centrũ corporis lumino$i punctũ e: & peripheria quadrati foraminis a b c d, cuius medio puncto, qui $it e, obliquè incidat radius e f: $it\’q; $uքficies corporis d\~e$i $ub$trati illi fo- ramini, quæ g h k l, cui $imiliter obliquè incidat radius. Dico, quòd figura luminis in $ub$trata $uք- ficie erit altera parte longior. Quoniam enim illæ $uperficies non $unt ba$es pyramidum illumina- tionis, $ed $olùm $ecantes illas pyramides obliquè, patet per 99 t 1 huius, quoniam ambæ figuræ a b c d & g h k l ($iue earum $uperficies æquidi$tent, $iue non æquidi$tent) $unt figuræ altera parte longiores: quoniam illæ figuræ, qu{ae} $ecundum illa puncta, quibus axis e f propo$itis $uperficiebus obliquè incidit, pyramides terminant, $unt ambæ quadratæ: reliquæ uerò obliquè $ecundum illa pũcta axi incid\~etes, $unt ambæ altera parte lõgiores. Patet ergo {pro}po$itũ primũ. Et quoniã, ut patet per 35 huius, radij longiores qua$i ad aliquã æquidi$tantiam accedũt, patet, quòd anguli illius figu- ræ luminis aliqualiter arcuantur, $icut & in duabus pr{ae}mi$sis declaratũ e$t. Et hoc e$t propo$itũ.

42. Per medium $ecũdi diaphani den$ior{is} primo radi{us} perpendicular{is} duct{us} à c\~etro cor- por{is} lumino$i $uper $uperfici\~e obiecti corpor{is} $emper penetrat irrefract{us}. Alhazen 3 n 7.

Huius propo$itionis probatio plus experientiæ in$trum\~etorum innititur, quàm alteri demon- $trationum. Cum ergo quis experiri uoluerit modum fractionis radiorum lumino$orum in medio $ecũdι diaphani den$ioris primo, ut in aqua, quæ e$t den$ior aere: a$$umat uas rectarũ orarum qua- li$cunq; uoluerit materiæ uel figuræ, dum tam\~e $it altitudo orarum maior medietate cubiti, & dia- meter latitudinis eius $it non minor diametro in$trumenti, quod faciendum præmi$imus in prima huius: & plan\~etur oræ illius ua$is, donec $uperficies per eius oras tran$iens $it æqualis plana: & po- natur in fundo ua$is aliquod corpu$culum coloratum ui$ibile, ut aliquod numi$ma uel res picta di- uer$i coloris: deinde impleatur uas aqua clara. Cùm ergo quieuerit motus aquæ, $i a$piciens ui$um perpendiculariter proiecerit $uper medium numi$matis, uel picturæ: inueniet figuram & colorem & ip$orum $itum & partium ordinationem eo modo, quo $unt $ecundũ $e ordinata, $i in aere uide- rentur. Cõ$ideret ergo experimentator illũ $ui corporis $itum, $iue $it $tans $iue $ed\~es, & $ui di$tan- tiam à ua$e, & $itum ip$ius ua$is, & omnia circum$tãtia illam ui$ionem. Ponatur itaq; uas i$tud ple- num aqua clara in loco, in quo $plendet $ol, & $i$tatur uas taliter, ut $uperficies circumfer\~etiæ ua$is $it æquidi$tãs horizonti: hoc aut\~e pote$t perp\~edi ex hoc, $i $uperficies aqu{ae} $it æquidi$tãs periphe- riæ ua$is. Deinde imponatur in$trumentũ in hoc uas, ita quòd pinnulæ $uper extre mitates regulæ exi$t\~etes $uperponãtur oræ ua$is ex utraq; parte: tũc ergo medietas in$trumenti cũ tota regula erit intra uas: deinde auferatur aqua, donec $uperficies aquæ $ecet c\~etrum in$trum\~eti: & reuoluatur in- $trum\~etum in circuitu ua$is, donec oræ $uper aquã obumbrent alias $ub aqua: & tunc ret\~eta regula cum altera manuum, reuoluatur in$trum\~etum cum reliqua manu in circuitu $ui centri, donec lum\~e $olis pertran$eat foram\~e l m n, quod e$t in ora in$trum\~eti, & foram\~e laminæ quadratæ, & perueniat ad $uperfici\~e aquæ, quia lum\~e pertran$iens foramen rotundũ ampliatur $emper per 36 huius. Si$ta- tur quoq; taliter in$trumentum, utlumen cadens $uper laminam $ecundi foraminis, quod e$t x y z, $itum habeat æqual\~e: & tunc experim\~etator reductis manibus ab in$trumento, $ecundum omnem $itum & modum, quo prius a$pexit numi$ma, in$piciat ad fundũ aquæ ex parte quartæ in$trum\~eti, cuius ora e$t ab$ci$$a, quæ e$t a d: inueniet\’q; lum\~e pertran$i\~es ex duobus foraminibus $uper $uper- ficiem oræ alterius, quæ e$t intra aquam, & lumen inter duos circulos extremos trium circulorum æquidi$tanter $ignatorum, aut addens $uper di$tantiam illorum circulorum modicùm: & erit addi- tio æqualis ex duobus lateribus circulorum. Ex quo patet, quòd medium punctum huius luminis cadit in aliquod punctum circumfer\~etiæ medij circuli illorum trium circulorum, ut in punctum p. Deinde acus ferrea uel lignũ minutum in interiori parte foraminis oræ in$trumenti applicata per- tran$eat medium foraminis diametraliter, & tunc in$pici\~eti, ut prius, uidebitur umbra acus in me- LIBER SECVNDVS. dio lucis oppo$itæ, per 11 huius, diuidens eum per æqualia. Deinde retrahatur acus, donec acumen eius $it in medio foraminis, & erit umbra extremitatιs acus in medio lucis, quæ e$t in $uքficie aqu{ae}, & eius, quæ e$t intra aquam: & uniuer$aliter $ecundum quam proportionem acus peripheriam fo- raminis ut chorda ab$ciderit, $ecundum eandem proportionem umbra acus peripheriam lucis in $uperficie aquæ & $ub aqua exi$tentis ab$cindet: acu uerò penitus remota, lum\~e reuertetur. Palàm ergo ex his, quòd punctus, qui e$t in medio lucis intra aquam exi$t\~etis, exit à@puncto medio lucis in $uperficie aquæ exi$tentis: & quòd punctus medius huius lucis exit à luce, quæ e$t in centro fora- minis $uperioris. Lux ergo, quæ peruenit ad c\~etrum lucis in $uperficie aquæ exi$tentis, extenditur $ecundum rectitudinem lineæ rectæ per duo puncta m & y, qu{ae} $unt centra amborum foraminum, tran$euntis: & h{ae}c linea e$t in $uperficie medij circuli trium circulorũ: & e$t pars diametri illius cir- culi, quæ e$t m p, cũ $it æquidi$tans diametro circuli in ba$i in$trumenti exi$t\~etis, quæ e$t f e g. Pun- ctus ergo, qui e$t in medio lucis, quæ e$t in $uperficie aquæ, e$t in $uperficie huius medij circuli: $ed & punctus in medio lucis intra aquam exi$tentis, e$t in circumferentia medij circuli: hæc ergo duo puncta erũt in $uperficie medij circuli: ergo & tota illa linea erit in $uperficie medij circuli per 1 p 11. Quòd $i lux, qu{ae} e$t in $uperficie aquæ, non fuerit manife$ta: mittatur regula minor in aquam, & $u- perficies eius, in qua $ignata e$t linea, diuidens $uperficiem eius latitudinis per æqualia, applicetur $uperficiei aquæ, ut fiat una $uperficies cum illa, & alia eius $uperficies applicetur $uperficiei ba$is in$trum\~eti. Palàm ergo ex præmi$sis in 1 huius, quia linea, quæ e$t in $uperficie regulæ, e$t in $uper- ficie medij circul@ per m & y centra duorum foraminum tran$euntis: apparebit\’q; lux, quæ e$t in $u- perficie aquæ, $uper $uperficiem regulæ, & mediũ illius lucis $uper lineam, quæ e$t in medio regu- læ. Et $i acus fuerit po$ita $uper medium foraminis $uperioris, obumbrabitur linea, quæ e$t in me- dio regulæ: & $i acumen acus ponatur $uper c\~etrum foraminis, cadet umbra acuminis acus in me- dio lucis, quæ e$t $uper regulam, & ablata acu redibit lumen. Sic ergo apparebit lum\~e cadens $uper $uperficiem aquæ, apparitione manife$ta: & patebit, quòd lux incidens c\~etro foraminis $uperioris, ip$a e$t $uper lineam tran$euntem per centra duorum foraminum. Et quoniã $uperficies aqu{ae} tran- $it centrum in$trumenti, & $uperficies regulæ e$t una cum $uperficie aquæ: $uperficies itaq; regulæ tran$ibit centrum in$trumenti. Erit ergo remotio centri lucis à centro in$trumenti, æqualis medie- tati latitudinis regulæ, quæ e$t æqualis perpendiculari, cadenti à centro foraminis $uper $uperfici\~e ba$is in$trumenti: erit ergo centrum lucis, quæ e$t in $uperficie regulæ uel aquæ, c\~etrum medij cir- culi. Reuoluatur ergo regula, donec angulus ip$ius acutus tran$eat per centrũ in$trumenti, & pars inferior lineæ diuidentis angulũ eius per æqualia, $it in centro luminis, quod e$t intra aquam: acui- tas ergo $uperior regulæ tran$ibit centrum circuli medij: punctus ergo lineæ $uperficiei $uperioris regulæ, qui e$t in $uperficie aquæ, e$t centrũ medij circuli, & lucis, quæ e$t in $uperficie aquæ: & erit illa linea $emidiameter circuli medij. Immittatur ergo acus longa in aquam ita, ut acumen ip$ius $it in puncto anguli regulæ, $ecabit\’q; umbra acus lucem, quæ e$t intra aquam, erit\’q; umbra acuminis acus ad finem regulæ, quæ e$t in medio lucis. Et $i fixo acumine acus, moueatur acus: umbra acus mutabit $itum ad diuer$as partes lucis: umbra tamen acuminis non mutata à medio lucis: ablata uerò totaliter acu, redibit lux totalis. Idem quoq; accidit, in quocunq; puncto lineæ, quæ e$t in $u- perficie regulæ, po$itum fuerit acumen acus. Ex quo patet, quòd lux exi$tens in aliquo puncto lu- cis intra aquã, procedit à puncto $ibi $imili in luce, quæ e$t in $uperficie aquæ, & quòd à medio pun- cto lucis, quæ $uper aquam ad medium punctum lucis intra aquam protenditur radius $ecundũ li- neam rectam, quæ e$t medium regulæ. Ex quo patet, quòd tran$itus lucis per corpus aquæ e$t $e- cundum lineas rectas per 1 p 11. Et hoc e$t, quod circa propo$itam propo$itionem experimentaliter intendimus declarare.

43. In medio $ecũdi diaphani, quod e$t den$i{us} primo diaphano, fit refr actio radiorum obli- quorum ab anteriori $uperficie diaphani $ecundi ad perpendicularem, exeuntem à puncto re- fraction{is} $uper $uperficiem corpor{is} $ecundi. Alhazen 4 n 7.

Experimentaliter etiã & hoc propo$itũ theorema pote$t declarari. Oppo$ito enim foramine $u- perioris in$trumenti obliquè ip$i corpori $olari, ita, ut radius obliquè incidat ad oram in$trumenti oppo$itã foramini, & per$crutato per modũ, quo in præmi$$a, centro lucis, qu{ae} e$t intra aquã: $igne- tur illud per puncturam ferri duri in $uperficie ip$a in$trum\~eti, & inuenietur illud centrũ non in li@ nea g k perpendiculariter erecta $uper g terminũ diametri oppo$ita lineæ f h, in qua e$t foram\~e oræ in$trumenti, $ed declinabit ab illa linea ad partem, in qua e$t $ol: erit\’q; inter hoc centrũ lucis & pũ- ctum p, (quod e$t communis differentia lineæ g k, perpendicularis $uper terminũ diametri in$tru- menti, & circũferentiæ circuli medij tran$eũtis per m & y c\~etra foraminũ) di$tantia $en$ibilis. Mit- tatur itaq; regula in aquam, & applicetur $uperficiei laminæ, ita, quòd terminus latior regulæ $it $u- pra centrũ laminæ: & moueatur regula, quou$q; acuitas eius $it perpendicularis $uper $uperficiem aquæ, quo ad $en$um: erit itaq; centrum lucis, quod e$t intra aquam, inter acum\~e regulæ, & lineam g k perpendicularem $uper f g diametrũ ba$is in$trumenti. Patet ergo ex hoc, quòd h{ae}c refractio e$t ad part\~e perpendicularis, exeuntis à loco refractionis perp\~ediculariter $uper $uperfici\~e aquæ. Hoc ita inuento $ignetur in circũferentia circuli medij trium $ignatorum circulorũ $uper punctũ extre- mum perpendicularis, exeuntis à centro eiu$dem circuli perpendiculariter $uper $uperfici\~e aquæ, $ignum fixũ per ferri duri puncturam. Et quia patuit per præmi$$am, quòd in$trumento directè $oli VITELLONIS OPTICAE oppo$ito, & radio $olis $ibi perpendiculariter incidente, lux, quæ peruenit ad c\~etrum lucis, quæ e@ intra aquam, e$t lux exten$a $ecundũ rectitudinem lineæ continuantis duo centra foraminum, qu{ae} linea peruenit ad centrum medij circuli æquidi$tantis $uperficiei ba$is in$trumenti, & e$t diameter illius: $i hæc linea fuerit imaginata extendi $ecundum rectitudinem intra aquam, donec perueniat ad oram in$trumenti: tunc erit totaliter æquidi$tans diametro in$trumenti, & perueniet ad lineam g k perpendicularem $uper diametrum f g, in interiore parte oræ in$trumenti ductam. Et quando centrum lucis, quæ nunc e$t intra aquam, nõ e$t $uper illam lineam perpendicularem in ora in$tru- menti productam: tũc patet, quòd lux exten$a à medio lucis, quæ e$t in $uperficie aquæ, non exten- ditur ad medium lucis, quæ e$t intra aquam, $ecundum rectitudinem lineæ tran$euntis per centra duorum foraminum, $ed refringitur ab illa: declaratum e$t autem per 1 huius, quòd hæc lux exten- ditur rectè à medio lucis, quæ e$t in $uperficie aquæ, ad mediũ lucis, quæ e$t intra aquam. E$t ergo huius lucis refractio apud $uperficiem aquæ. Quod e$t propo$itum.

44. Per medium $ecundi diaphani rarior{is} primo, radi{us} perp\~ediculariter incidens, à cen- tro corpor{is} lumino$i $uper $uperficiem corpor{is} obiecti penetrat irrefr act{us}. Alhazen 6 n 7.

In$trumentali $imiliter experi\~etia propo$itum theorema pote$t declarari. A$$umatur enim uitri clari uel cry$talli fru$tum figuræ cubicæ, longitudinis duplæ diametri foraminis oræ in$trumenti: & fiant plan{ae} $uperficies eorum æquales & æquidi$tantes, & latera ip$orum $int recta, & multũ po- liantur: deinde $ignetur per $culpturam ferri duri in medio ba$is in$trumenti linea recta, tran$iens per centrum ip$ius, quod e$t e, perpendiculariter $uper ip$ius diametrũ, quæ e$t f g, $uper cuius ex- tremitates $unt in ora in$trumenti productæ du{ae} perpendiculares f h & g k: & producatur illa linea in utranq; partem $uperficiei circuli ba$is, & $it z e x. Ponatur itaq; unum uitrorum i$torũ $uper $a- perficiem ba$is in$trumenti, & applicetur unum laterum $uorum perpendiculariter ductæ, quæ e$t z e x, taliter, ut medium lateris uitri $it uerè $uper punctum e centrum in$trum\~eti: & $it totum cor- pus uitri ex parte foraminum, $cilicet inter foramina oræ & tabulæ, & inter centrum in$trumenti, quod e$t e. Tran$it ergo dicta diameter in$trum\~eti (quæ e$t f g) per medium $uperficiei uitri $uper- po$itæ ba$i in$trumenti. Applicetur itaq; uitrum ba$i in$trum\~eti forti applicatione per bitumen fir- mum, taliter tamen, quòd po$sit auferri, quando placuerit: deinde ponatur alterũ uitrum ultra pri- mũ $cilicet, ex ead\~e parte foraminũ: & applicetur aliqua $uperficierũ eius $uperficiei primi uitri, & applicetur ba$i in$trumenti applicatione fixa: deinde tertiũ uitrum applicetur $ecundo, & adæque- tur $uperficies eius cum duabus $uperficiebus laterum $ecundi uitri, & applicetur ba$i in$trum\~eti, & $ic fiat de pluribus uitris, quou$q; perueniant uitra ad aliam perpendicularem $uper $uperficiem ba$is in$trumenti aut propè, $cilicet uer$us punctum t. Cum itaq; uitra fuerint applicata $uperficiei ba$is in$trumenti $ecundum prædictum modum: palàm quoniam præmi$$a diameter in$trumenti (quæ e$t f g) tran$ibit per medium omniũ $uperficierum uitrorum $uperpo$itorũ ba$i in$trumenti: & altitudo omnium uitrorum e$t dupla diametro foraminis: diameter uerò foraminis e$t æqualis perpendiculari m f exeunti à centro foraminis $uper $uperficiem ba$is in$trumenti, & $uper diame- trum eius f g: unaquæq; ergo perpendicularium, exeuntium à centris $uperficierum uitrorum per- pendicularium $uper diametrũ ba$is in$trumenti, e$t æqualis lineæ m f, $cilicet perpendiculari exe- unti à centro foraminis $uper $uperficiem ba$is in$trumenti. Linea ergo, quæ tran$it centra ambo- rum foraminum, tran$ibit centra $uperficierum uitrorum perpendicularium $uper $uperficiem ba- $is in$trumenti. Accipiatur ergo regula $ubtilis, cuius formam præmi$imus: & erigatur $uper oram in$trumenti in $uperficie ba$is in$trum\~eti: & ponatur $uperficies regulæ, in qua $ignata e$t linea ex parte primi uitri, quod e$t $upra e c\~etrum ba$is in$trumenti: & ponatur regula prope uitrum, & ap- plicetur taliter ut linea, qu{ae} e$t in $uperficie regulæ, $it in $uperficie medij circuli, $ecabit\’q; linea re- cta, tran$iens per centra amborum foraminum, & per centra $uperficierum uitrorum lineam latitu- dinis regulæ perpendiculariter, & tran$ibit ad punctum g. Tunc itaq; ponatur in$trumentũ in uas prædictum uacuum aqua, & ponatur uas in $ole directè oppo$itum centro $olis, ut accipiat radium perp\~edicular\~e: hoc aũt pteo$t fieri, $i moueatur in$trumentũ, quou$q; lux $olis trã$eat per ambo fo- ramina, & fiat apud $ecundũ foram\~e lux æqualis: & a$piciatur $uperficies regulæ oppo$ita uitro, & uidebitur lux exiens à duobus foraminibus ip$ius in$trum\~eti, exten$a $uper $uperfici\~e ip$ius regu- læ: & illud umbro$um, quod circumdat luc\~e in $uperficie regulæ, obumbrabitur per umbrã oræ in- $trum\~eti: erit\’q; centrũ ui$us ip$ius a$pici\~etis $uք lineã, quæ e$t in $uքficie regulæ. Deinde acus $ub- tilis ponatur $uք $uperius foram\~e, ita quòd extremitas acus $it perp\~edicularis $uper centrũ forami- nis: cadet\’q; tũc umbra extremitatis acus $uք centrũ lucis in linea, quæ e$t in $uperficie regulæ. Tũc itaq; $ignetur pũctus illius umbræ cũ incau$to $ubtiliter: & auferatur acus à $uperiori foramine: & eius extremitas ponatur $uper centrũ inferioris foraminis: cadet\’q; iterũ umbra extremitatis acus $uper punctũ $ignatum in $uperficie regulæ: ablata quoq; acu lux reuertitur. Ex quo patet, quoniã lux, quæ e$t $uք punctũ, quod e$t in $uperficie regulæ, tran$it per c\~etra amborũ foraminum. Deinde cũ incau$to $ignetur nota nigra in pũcto medio $uperficiei uitri ex parte regulæ (pote$t aũt ille pũ- ctus inueniri per 40 t 1 huius, quoniã ille pũctus e$t cõmunis $ectio duarũ diametrorũ $uքficiei ui- tri) & tũc intuens luc\~e, quæ e$t $uper regulã, inueniet umbrã puncti, qui e$t in medio uitri $uք pun- ctum, quod e$t in $uperficie regulæ. Patet ergo ex hoc, quoniã lux, quæ trã$it per centra duorũ fora- minum, tran$it per punctum, quod e$t in medio uitri. Deinde euellatur uitrum primum, quod e$t LIBER SECVNDVS. $uper centrũ in$trumenti, punctũ e: & in $uperficie $ecundi uitri $ignetur punctũ medium, ut prius factum e$t in $uperficie uitri primi: & componatur in$trumentũ $ecundò, & moueatur, quou$q; lux tran$eat per duo foramina, perueniet\’q; lux tran$iens per centra duorum foraminũ ad centrũ lucis, quod e$t in $uperficie regul{ae}. Patet itaq; ex hoc, quòd lux pertran$i\~es centra duorũ foraminũ, tran- $it per punctum, quod e$t in medio $uperficiei $ecundi uitri: & quòd lux, qu{ae} tran$it per centra duo- rum foraminũ in prima experimentatione, tran$it etiã per punctũ, quod e$t in medio $ecundi uitri. Extrahatur itaq; $ecũdũ uitrum, & opponatur tertiũ, & $ic de c{ae}teris u$q; ad ultimũ. Et patet uniuer $aliter, quòd lux tran$i\~es per centra duorũ foraminũ, perueniens ad $uperficiem regulæ, tran$it etiã per centra $uperficierũ uitrorũ omniũ, po$itorũ $uper $uperfici\~e lamin{ae}: & $unt omnia centra $uper- ficierum uitrorũ omniũ in una linea recta cõtinuante centra duorũ foraminũ. Lux itaq; pertran$i\~es centra foraminũ tam in corpore uitri <004> extra corpus in aere, extenditur $ecundũ lineam rectã conti nuant\~e centra duorũ foraminũ: & e$t illa linea m p, perpendicularis $uper $uperficies omniũ uitro- rum oppo$itas foramini ք 14 p 11: illa enim linea m p e$t æquidi$tans line{ae} f g, diametro laminæ, quæ e$t perpendicularis $uper $uperfici\~e uitrorũ, cum $it perpendicularis $uper differentiã cõmunem $u perficiei uitri, & $uperficiei lamin{ae}. Et $i omnibus uitris uel ip$orũ aliquo præmi$$o modo $uper fun dum in$trum\~eti di$po$ito, infundatur aqua ua$i u$q; ad concauũ $uperficiei uitri: accidet tamen id\~e quod prius, quoniã radius perp\~edicularis $emper penetrat irrefractus. It\~e ne putet aliquis, quòd re- ctitudo radiorũ perpendiculariũ adiuuetur per cubicã figurã uitri: accipiatur medietas $phær{ae} ui- treæ clar{ae} uel cry$tallinæ, cuius $emidiameter $it minor di$tantia, qu{ae} e$t inter punctũ c & centrum lamin{ae}, q<001> e$t punctũ e: & inueniatur c\~etrũ ba$is eius, $uper q<001> $ignetur linea $ubtilis cũ incau$to. Deinde ex hac linea ex parte centri $phær{ae} $eparetur linea æqualis l n diame- metro foraminis or{ae} in$trum\~eti: erit ergo hæc linea æqualis line{ae} m f, qu{ae} e$t inter m centrũ foraminis, q<001> e$t in ora in$trum\~eti, & $uperfici\~e lamin{ae}: deinde $uք extremitat\~e huius line{ae} $eparat{ae} à diametro {pro}ducatur perp\~edicularis ad utramq; part\~e $uperfici@i $phæric{ae}, q<001> pote$t fieri per 11 p 1: & $ecetur $phæra uitrea $ecundũ illã lineã, planetur\’q; $uperficies uitri $ecti, donec $it penitus æqualis, fiat\’q; perpendi culariter erecta $uper $uperficiem planã hemi$ph{ae}rij (quod per angulũ rectum corporeum poterit men$urari) erit ergo tunc cõmunis differentia i$tius $uperficiei erect{ae}, & $uperficiei ba$is $phær{ae} li- nea recta, $uper quã erit perpendicularis linea prius à centro $phær{ae} producta: ergo etiã erit perpen dicularis $uper $uperficiem erectã. Deinde in medio illius lineæ, quæ e$t cõmunis $ectio, fiat $ignum cum incau$to: deinde uitrũ illud politũ optimè $uper hanc $uperficiem $ectã, ponatur $uper $uperfi- ciem lamin{ae} in$trumenti, ita quòd gibbo$itas eius re$piciat foramina, & mediũ line{ae}, qu{ae} e$t cõmu- nis $ectio duarum $uperficierum planarum uitri, applicetur centro laminæ, & figatur uitrum $uper laminã, ne cadat. Deinde ponatur regula $ubtilis $uper $uperficiem lamin{ae} in$trumenti, $icut in ex- perimentatione uitrorũ cubicorum, ita quòd $uperficies regulæ, in qua e$t linea recta latitudinis $it ex parte uitri, & prope illud. Deinde imponatur in$trumentũ in uas prædictũ, & ponatur uas in $ole uacuum aqua, & moueatur in$trumentũ, donec lux $olis tran$eat ambo foramina: cadet\’q; lux $uper $uperficiem regul{ae}. Deinde ponatur extremitas acus uel $tili ferrei $uper centrum $uperioris fora- minis: cadet\’q; umbra extremitatis acus $uper centrum lucis: ablato quoq; $tilo, reuertetur lum\~e ad locum $uũ. Idem quoq; accidit ponenti extremitat\~e acus $uper centrum foraminis $ecundi. Deinde ponatur extremitas acus $uper centrũ $phær{ae} uitre{ae}: cadet\’q; umbra extremitatis acus $uper centrũ lucis. Ex quo patet, quia lux tran$iens per centra duorũ foraminũ, tran$it etiã per centrũ $phær{ae} ui- tre{ae}, & per mediũ $uperficiei lucis, qu{ae} e$t in cõuexo uitri. Patet etiã ex his, q<001> lux tran$iens in cor- pus uitri, extenditur $ecundũ rectitudin\~e line{ae} tran$euntis per centra duorũ foraminũ: & e$t illa li- nea $emidiameter $phær{ae}. Nam perpendicularis, exiens à centro ba$is uitri ad laminam, e$t æqualis diametro foraminis & line{ae} exeunti à centro foraminis perpendiculariter ad $uperficiem lamin{ae}: & quoniam h{ae} du{ae} perpendiculares cadunt $uper diametrum lamin{ae}: palàm, quòd linea tran$iens per centra duorũ foraminũ, cum extenditur in rectitudin\~e, peruenit ad centrum $phær{ae} uitre{ae}: e$t ergo in illa linea diameter huius $phær{ae} uitre{ae}: e$t ergo perp\~edicularis $uper $uperfici\~e huius $ph{ae}r{ae} ք 72 t 1 huius: quoniã enim trã$it centrũ $ph{ae}r{ae}, patet quòd ip$a e$t perp\~edicularis $uper conuexã $uper- ficι\~e $phær{ae}, $icut $uperius patuit in uitris cubicis. Auferatur itaq; regula $ubtilis applicata ad $uper ficiem laminæ, & ponatur in$trumentũ $ecundò in uas, ut prius, & moueatur quou$q; lux tran$eat per duo foramina: inuenietur\’q; lux $uper oram in$trumenti, & inuenietur centrũ lucis in puncto p, quod e$t differentia cõmunis inter circumferentiã circuli medij, & lineam g k, perpendicular\~e in o- ra in$trum\~eti: hoc e$t in extremitate diametri circulι medij, quæ e$t m p, tran$euntis per centra duo- rum foraminum m & y. Ex quo patet, quoniã lux tran$iens in corpus uitri, & perueniens ad centrũ eius, prodiens\’q; in corpus aeris, extenditur $ecundũ lineã, qu{ae} extendebatur in corpore uitri. Cum enim linea recta tran$iens centra amborũ foraminũ, perpendicularis $it $uper $uperfici\~e uitri: patet quòd ip$a nece$$ariò e$t perpendicularis $uper $uperfici\~e aeris tangentis uitri $uperfici\~e. Itaq; $i ua$i infundatur aqua, remanente uitro in $ua po$itione, donec aqua $uperfluat centro uitri: adhuc inue- nietur centrũ lucis $uper extremitat\~e diametri circuli medij: & $i $phæra uitrea tran$uertatur, ita ut cõuexũ eius $ituetur ad $ecundũ foram\~e, & plana $uperficies ad centrũ in$trum\~eti, $cilicet punctũ e, $iue aqua $uperfundatur, $iue nõ, adhuc omnia alia accid\~et, qu{ae} in priori $itu accidebãt: quoniã $emք radius trã$iens per c\~etra amborũ foraminũ, tran$ibit etiã per centrũ $phær{ae}. Ex his omnibus ք uitra VITELLONIS OPTICAE cubica & $phærica patet, quòd $iue medium $ecundi diaphani fuerit den$ius uel rarius, dum tamen linea, per quam extenditur radius, fuerit perpendicularis $uper $uperficiem $ecũdi corporis, quòd lux extenditur in $ecundo corpore $ecundum rectitudin\~e lineæ, per quam extendebatur in corpo- re primo. Patet ergo propo$itum: corpus enim uitri e$t den$ioris diaphanitatis, quàm corpus aeris, & etiam quàm corpus aquæ.

45. In medio $ecundi diaphani rarior{is} primo diaphano, fit refractio radiorum obliquè inci- dentium à po$teriore $uperficie $ecundi diaphani, à perpendiculari exeunte à puncto refractio- n{is} $uper $uperficiem corpor{is} $ecundi. Alhazen 7 n 7.

Hoc quod nunc hic proponitur, e$t cõformiter prioribus per in$trumental\~e experientiã declaran dum. A$$umatur enim illud uitrũ $phæricũ, quo iam in præcedenti {pro}ximo theoremate u$i $umus, & ponatur $uper laminã in$trum\~eti, ita q<001> $uperficies plana ip$ius re$piciat foramina, & quòd mediũ lineæ rect{ae}, quæ e$t in ip$o, $it $uper centrũ lamin{ae}, & linea, quæ e$t cõmunis $ectio $uperficierũ pla- narũ uitri, cadat obliquè $uper diametrũ laminæ quacũq; obliquatiõe. Palàm ergo, quòd linea tran- $iens centra duorũ foraminũ, obliqua e$t $uper $uperfici\~e planã uitri. Cõiungatur itaq; uitrũ lamin{ae} in$trum\~eti $ecundũ hunc $itũ firmiter: & ponatur in$trumentũ in uas, & uas in $ole, moueatur\’q; in- $trumentũ, donec lux tran$eat per duo foramina: cadet\’q; lux in interiori ora in$trumenti: & centrũ lucis erit in circunfer\~etia medij circuli, $ed extra illũ punctũ p, qui e$t cõmunis differ\~etia circũferen ti{ae} medij circuli, & line{ae} $tanti in ora in$trumenti, qu{ae} e$t g k: & erit declinatio eius ad part\~e, in qua e$t $ol: erit ergo ad part\~e perpendicularis exeuntis à loco refractiõis $uper $uperfici\~e $phæricã uitri. Et quoniã hæc lux extenditur in aere $ecundũ rectitudin\~e line{ae} tran$euntis per centra duorũ fora- minũ, ut patet per 1 huius: & hæc linea in hoc $itu քuenit ad centrũ $phær{ae} uitre{ae}: & e$t obliqua $uք $uperfici\~e $phær{ae} planã: palã ergo, quia terminatio exten$iõis illius lucis e$t in centro uitri. Extendi tur ergo lux in corpus uitri $ecundũ lineã rectã, exeunt\~e à c\~etro $phær{ae} ad circunferentiã, qu{ae} linea cũ $it dιameter, palàm per 72 t 1 huius, quoniã ip$a e$t perp\~edicularis $uper $ph{ae}ricã $uperfici\~e uitri: ergo & $uper concauã $uperfici\~e aeris continentis $phærã uitri: nõ ergo refringitur in aere $ecundo, $icutneq; in primo, $ed neq; refringitur in corpore uitri, nec in cõuexo ip$ius: refringitur ergo apud centrum uitri, quia fuit obliqua $uper $uperficiem eius planã, in qua e$t centrũ uitri. Palàm itaq; ex his experimentationibus illud, quod e$t etiã $uperius declaratũ, $cilicet quoniã lux, $i fuerit exten- $a in corpore $ubtiliori obliquè incidens $uperficiei corporis gro$sioris, refringetur ab ip$o: & erit eius refractio ad part\~e perpendicularis $uper $uperfici\~e $phæricã corporis gro$sioris, $icut ք 43 hu- ius patuit: ut $i fiat refractio ex aere ad aquã, erit illa refractio ad part\~e perp\~edicularis exeũtis à loco refractionis $uper $uperfici\~e aquæ, & nõ peruenit refractio ad perpendicular\~e. Quòd $i uitrũ è con- uer$o $ituetur, $cilicet ut $uperficies eius $ph{ae}rica conuexa re$piciat $uperius foram\~e, & punctũ me- diũ line{ae} (qu{ae} e$t cõmunis differentia $uperficierũ planarũ) quod e$t centrũ $phær{ae} uitre{ae}, $it $uper centrũ in$trumenti, cadat\’q; hæc linea obliquè $uper diametrũ laminæ: ducatur\’q; in ip$a $uperficie laminæ à centro laminæ linea perpendicularis $uper lineã, quæ e$t cõmunis $ectio illarum planarũ $uperficierũ, qu{ae} nece$$ariò erit perpendicularis $uper $uperficiem planam uitri erectã $uper $uper- ficiem laminæ: ponatur\’q; in$trumentũ in ua$e $ine aqua, & moueatur, quou$q; lux pertran$eat duo foramina: cadet centrum lucis in circunferentia medij circuli extra punctum p, quod e$t differentia cõmunis medij circuli, & lineæ g k perpendicularis $uper $uperfici\~e laminæ ducta in ora in$trumen ti, quod punctum p e$t extremitas diametri medij circuli, quæ e$t m p: erit\’q; declinatio lucis ad par- tem contrariam illi, in qua e$t perpendicularis educta à loco refractionis $uper planam $uperficiem uitri. Hæc aut\~e lux extenditur in uitro $ecundum rectitudin\~e lineæ tran$euntis per centra duorum foraminum: quoniã illa linea cum per centrum $phæræ uitreæ tran$eat, e$t illa diameter $phæræ ui- treæ: fit itaq; refractio lucis apud centrum $phæræ uitreæ: quoniam lux tran$iens centra amborum foraminum fit obliqua $uper $uperficiem planam uitri, & $uper $uperficiem aeris contingentis ui- trum. Et $i aqua infundatur ua$i, quou$q; $uperemineat centro in$trumenti: cadet adhuc centrũ lu- cis in circumferentia medij circuli extra extremitatem $ui diametri obliquè ad partem contrariam illi parti, $uper quam cadit perpendicularis. Et quoniã aer e$t $ubtilior quàm aqua, & aqua $ubtilior uitro: maior fiet di$tantia centri lucis ab extremitate diametri medij circuli in aere, quàm in aqua. Quòd $i uitrum ponatur aliter in $uperficie laminæ, $cilicet ut linea, quæ e$t communis differentia duarum $uperficierũ planarum ip$ius uitri, $it $uper lineam perpendiculariter diametrum laminæ $ecantem, non tamen $it eius medius punctus (qui e$t centrum $phæræ uitreæ) $uper centrum lami- næ, & uertatur conuexum uitri ad foramina, & figatur regula $ubtilis $uper $uperficiem lamin{ae} ere- cta $uper oram eius, $it\’q; $uperficies eius, in qua e$t linea, ex parte uitri: & terminus regulæ $ecet dia metrum laminæ perpendiculariter: palàm, quia linea tran$iens per centra foraminum duorum, non tran$it per centrũ $phæræ, $ed per aliud punctum $uperficiei planæ ip$ius uitri: & erit obliqua $uper $phæricam $uperficiem per 72 t 1 huius. Ponatur itaq; in$trumentum in ua$e, & uas in $ole, & mo- ueatur in$trumentum, quou$q; lux tran$eat per centra duorum foraminum: & non cadet lux di- rectè $uper $uperficiem regulæ, neq; centrum lucis cadet in linea, quæ e$t in $uperficie regulæ, $ed declinabit obliquè extra lineam, quæ tran$it per centra duorum foraminum ad partem, in qua e$t centrum uitri, hoc e$t ad partem contrariam perpendicularis, exeuntis à loco refractionis per- pendiculariter $uper $uperficiem uitri $phæricam: erit\’q; linea pertran$iens centra duorum fo- LIBER SECVNDVS. raminum perpendicularis $uper $uperficiem ultri planã per 8 p 11: quoniã illa linea e$t æquidi$tans lineæ f g diametro laminæ, quæ ex hypothe$i e$t perpendicularis $uper $uperficiem planam uitri. Si ergo lux tran$iret per centra duorum foraminũ, & extenderetur $ecundũ rectitudinem ad planã ui- tri $uperficiem: palàm, quòd tunc extenderetur $ecundũ rectitudinem in aere: $ed centrũ lucis, quæ e$t in regula, cum nõ cadat in rectitudin\~e huius line{ae}: patet, quòd lux nõ extenditur in eius rectitu- dine ad $uperficiem planã uitri: e$t ergo lux refracta, $ed nõ refringitur in aere, neq; in corpore uitri. Refringitur itaq; apud $phæricã $uperficiem uitri: incidit enim obliquè $uper $phæricã $uperficiem, quoniã linea tran$iens centra duorũ foraminũ, nõ tran$it per centrũ uitri: & hæc lux egredi\~es à pla- na $uperficie uitri, quoniã obliquè aeri incidit, plus refringitur. Quòd $i uitrũ è cõtrario di$ponatur, ut eius $uperficies plana opponatur foramini primò $ic, quòd cõmunis differentia $it $uper lineam $ecant\~e diametrum laminæ perpendiculariter, & medius punctus illius lineæ $it extra centrum la- minæ: tunc ergo linea pertran$iens centra duorũ foraminum non tran$it per centrum uitri, $ed per alium punctũ illius plan{ae} $uperficiei, & e$t perpendicularis $uper illam $uperficiem. Moueatur itaq; in$trumentũ in $ole, donec lux tran$eat per ambo foramina: cadet\’q; centrum lucis, qu{ae} cadit in inte riore parte oræ ip$ius in$trumenti in peripheria medij circuli, extra punctũ p, quod e$t extremitas diametri medij circuli, quæ e$t linea m p, $ed declinabit ad part\~e, in qua e$t centrũ uitreæ $phær{ae}: & linea, qu{ae} egreditur à centro huius $phær{ae} in imaginatione ad locum refractionis, e$t perpendicula ris $uper $uperficiem huius $phær{ae}: e$t ergo perpendicularis $uper $uperficiem aeris contingentis $uperficiem $phær{ae} uitreæ. Hæc itaq; refractio e$t ad partem contrariã illi, in qua e$t perpendicula- ris, exiens à loco refractionis $uper $uperficiem aeris cõtingentis $phæram. Lux uerò tran$iens cen tra@duorum foraminũ, pertran$it corpus uitri rectè, cũ $it perp\~edicularis $uper $uperficiem planam uitri: $ed non e$t perpendicularis $uper $uperfici\~e conuexam, cum non pertran$eat centrũ $phæræ: ergo etiam non e$t hæc lux perpendicularis $uper $uperficiem aeris contingentis conuexũ uitri: & quia hæc lux refracta inuenitur: refringitur ergo apud cõuexam $uperficiem $phæræ uitreæ. Quòd $i a qua tunc infundatur ua$i infra centrum laminæ: inuenietur etiam lux refracta ad partem, in qua e$t centrum uitri: hoc autem e$t ad part\~e contrariam illi, in quam cadit perpendicularis, exi\~es à loco refractionis, quæ extenditur in corpore aeris, perpendicularis $uper concauam ip$ius aeris $uperfi- ciem conuexam uitri contingentem. Et hoc e$t propo$itum.

46. Omnem radium incidentem & refractum in eadem plana $uperficie con$i$tere e$t nece$$e. Alhazen 5 n 7.

Sed & id, quod nunc proponitur, pote$t experim\~etaliter declarari. Quoniã enim omnibus di$po $itis, ut in 43 huius, lux incidens centro lucis, qu{ae} e$t in $uperficie aquæ, & à centro lucis exi$tentis $uper $uperficiem aquæ, quod e$t centrum medij circuli, incidens centro lucis intra aquam exi$ten- tis, quod e$t in circumferentia circuli medij, tran$it per centra amborũ foraminũ, quæ $imiliter $unt in $uperficie medij circuli: palàm, quoniã linea, $ecundũ quã lum\~e incidit $uperficiei aqu{ae} per mediũ aer\~e, & $ecundũ quã refringitur in aqu{ae} medio, $unt in eadem $uperficie: quoniã utraq; ip$arũ e$t in $uperficie medij circuli trium a$signatorũ circulorum. Inuenitur aut\~e hæc refractio in radio $olari, quando radius $olaris tran$iens per centra foraminum, fuerit obliquus $uper aquæ $uperficiem, nõ quãdo fuerit perpendicularis: & propter obliquitat\~e $itus in$trumenti à centro $phær{ae} aquæ, nun<004> fiet hæc linea radialis perpendicularis $uper $uperfici\~e aquæ, ni$i $ol fuerit perpendiculariter $uper zenith capitis: $ole uerò ultra uel citra zenith capitum exi$tente, $atis euidens e$t hæc experimenta tio omni t\~epore. Patet ergo id, quod proponebatur. Et hanc $uperfici\~e dicimus $uperfici\~e refractio- nis. Patet itaq; exijs omnibus quinq; præmi$sis propo$itionibus, quoniã omnis lux pertrã$it quæ- cunq; corpora diaphana $ecundũ lineas rectas: & quãdiu line{ae} $unt քpendiculares $uք $uperficies corporũ, quantũcunq; etiã diuer${ae} $int diaphanitatis, $emper ext\~editur $ecundũ rectitudin\~e eiu$d\~e line{ae}, & nõ refringitur. In corpore uerò diuer${ae} diaphanitatis omnis lux $uperficiei $ecũdi corporis obliquè incid\~es, refringitur $ecundũ lineas rectas alias ab illis, $ecundũ quas incidebat primo cor- pori: qu{ae} tam\~e line{ae} $emper erũt in ead\~e $uperficie plana, imaginat{ae} $ecare utrunq; illorũ corporũ: & hæc $uperficies in in$pectiõe in$trum\~eti e$t medius circulus triũ circulorũ $ignatorũ in interiore parte or{ae} in$trum\~eti, cuius diameter e$t linea m p. Cũ uerò lux obliqua exiuerit à corpore $ubtiliori ad gro$sius: refringetur ad part\~e քpendicularis exeũtis à loco refractionis, qu{ae} e$t քp\~edicularis $u- per $uperfici\~e gro$sioris $ecũdi corporis: & cũ lux obliqua exiuit à corpore gro$siori ad $ubtilius, re fringetur ad part\~e cõtrariã pr{ae}dicto modo duct{ae} $uք $uperfici\~e corporis $ecundi, $cilicet $ubtilioris.

47. Radio perpendiculari omne corp{us} diaphanũ penetrante, radi{us} obliquè incidens in me- dio $ecũdi diaphani den$ior{is} refringitur ad perp\~edicular\~e ductã à pũcto incid\~etiæ $uper $ecundi diaphani $uperfici\~e: & in medio $ecundi diaphani rarior{is} refringitur ab ead\~e. Alhazen 8 n 7.

Illud, quod particularibus experientijs hactenus in$trumentaliter probatũ e$t, naturali demon- $tratiõe intendimus adiuuare. Omnes enim motus naturales, qui fiunt $ecundũ lineas perpendicu- lares, $unt fortiores, quoniã coadiuuãtur uirtute uniuer$ali cœle$ti $ecundũ lineã rectã breui$simã, omni $ubiecto corpori influ\~ete. Impul$iones {pro}iectationũ factarũ perpendiculariter, $unt fortiores eis, qu{ae} fiunt obliquè: & $imiliter percu$siones, qu{ae} fiunt perpendiculariter, $unt omnibus obliquis percu$sionib. fortiores: & inter o\~es obliquas, fortiores $unt ill{ae}, quæ plus accedũt ad perp\~ediculari- tat\~e. Quia itaq; omnis corporis d\~e$itas impedit tran$itũ luminis, nece$$e e$t lum\~e imaginari repelli à VITELLONIS OPTICAE tran$itu per re$i$tentiã corporis den$i, & plus per re$i$tentiã corporis den$ioris: & per hanc re$i$ten- tiam qualitatis pa$siuæ, quæ e$t den$itas ad qualitat\~e actiuam, quæ e$t lumen, intelligimus quendã modũ motionis luminis per medium corporũ re$i$tentiũ, quæ $ecundũ plus & minus capacia $unt impre$sionis luminaris, nõ quòd in tran$mutatione locali ip$ius luminis $it aliquis motus, ut patet per 2 huius: $ed quia lumen in eod\~e in$tanti $ecundũ diuer$itat\~e mediorũ $e plus comprimit uel dif- fundit: & hoc uocamus hic motũ ip$ius lucis. Omnis itaq; lux pertrã$i\~es corpus diaphanũ, motu ue loci$simo & in$en$ibili pertrã$it: $ic tam\~e, quòd per magis diaphana uelocior fit motus <004> per minus diaphana. Omne enim corpus diaphanũ plus & minus re$i$tit penetrationi lucis, $ecundũ quod e$t participans diaphanitate plus uel minus: gro$sities enim corporũ re$i$tens e$t $emper luminis pene trationi. Cũ ergo lux pertran$iuerit corpus aliquod diaphanũ obliquè, & occurrerit corpori alij dia- phano gro$siori: tũc corpus gro$sius re$i$tit luci uehementius, <004> prius corpus rarius re$i$tebat: ne- ce$$e e$t ergo, quòd {pro}pter re$i$tentiã illius corporis den$ioris motus lucis trã$mutetur: & $i re$i$ten tia fuerit fortis, tunc motus ille ad part\~e contrariã refringetur: quia uerò nõ re$i$tit fortiter, ideo lu- men nõ redibit in part\~e, ad quã mouebatur. Si uerò re$i$tentia fuerit debilis {pro}pter maior\~e raritat\~e corporis plus diaphani: tũc lux incidens nõ refringetur ad contrariã part\~e, nec poterit per illã lineã {pro}cedere, per quã inceperat, $ed mutabitur in $itu: cũ uerò քpendiculariter inciderit quibuslibet cor poribus diaphanis & quantũcunq; diuer$æ diaphanitatis, nõ mutabitur, $ed directè omnia penetra bit: quoniã perpendicularis fortior e$t omnibus, & obliqui uiciniores perp\~ediculari, $unt fortiores omnibus remotioribus. Cũ itaq; corpori diaphano gro$siori lux incidit obliquè, extenditur $ecun- dum lineã rectam approximant\~e ad perpendicular\~e, exeunt\~e à puncto, in quo lux occurrit $uperfi- ciei corporis diaphani gro$si, productã $uper $uperfici\~e corporis gro$sioris, ideo, quia facilimus mo tuũ e$t $ecundũ lineam perpendicular\~e. Si ergo radius lucis inciderit $uper lineã perpendicular\~e, tran$ibit rectè {pro}pter fortitudin\~e motus $uper perpendicular\~e: & $i radius inciderit obliquè, tunc nõ poterit tran$ire {pro}pter debilitat\~e motus $uper lineas obliquas. Accidit ergo ut declinet ad part\~e ali- quã, per quã facilior $it tran$itus, <004> per illam part\~e, ad quã per lineam incidenti{ae} mouebatur: facilior aũt motuũ, & plus adiutus cœle$ti influentia e$t $upèr lineã perpendicular\~e: quod enim uicinius e$t perpendiculari, facilioris e$t tran$itus, <004> remotius ab illa. Sit itaq; ut à puncto a corporis lumino$i incidant radij quàm plures per mediũ a b $uper $uperficiem alterius diaphani corporis, in qua $it li- nea b c d e: & $it b f linea profunditatis illius corporis: & $it a h e d c b k q l g f linea a b perpendicularis $uper illam $uperfici\~e. Palàm itaq; $ecundũ ration\~e præmi$$am fortitudinis perpendiculariũ, & per experientias in$trum\~etales ք 42 & 44 huius, quoniã radius incid\~es $ecundũ lineã a b perp\~ediculariter, penetrat totũ corpus b e f. Radius uerò incidens $ecundũ lineã a c, $i directè trã$eat corpus b e f: tunc nõ erit diuer$itas in diapha nitate corporũ a b e & b e f: q<001> e$t cõtra hypothe$im: linea itaq; a c {pro}pter diuer$itat\~e re$i$tentiæ nõ erit linea cõtinua. Sed $i per corpus minus re$i$t\~es mouebatur liberè per lineã a c, nõ pote$t in corpore plus uel minus re$i$t\~ete per eand\~e lineã moueri. Si ergo corpus b e f $it den$ius corpore a b e, patet ex præmi$sis, quòd difficilior e$t trã$itus per illud. Si itaq; linea a c refringitur à linea perp\~ediculari, ducta à pun- cto c $uper $uperfici\~e corporis b c d e, qu{ae} $it c g, debilitabi- tur, nec ad aliquid perueniet effectus eius: fru$tra ergo inci debat: natura aũt fru$tra nihil agit, $icut in principio $uppo- $itũ e$t: linea ergo a c (ut etiã o$ten$um e$t experimentaliter ք 43 huius) refringitur nece$$ariò ad part\~e perpendicularis c g, ut fortificetur actio eius: $imiliter quoq; e$t de radijs in- cidentib. $ecundũ lineas a d & a e. Q<001> $i corpus, in cuius $u perficie e$t linea b c d e, fuerit diaphanitatis rarioris, <004> $it corpus a b e, adhuc {pro}pter fortitudin\~e actionis, radius per- pendicularis, <003> e$t a b, penetrat irrefractus, radius uerò $e- cundũ lineã a c tran$iens corpus den$ius, & in puncto c inci dens $uperficiei corporis rarioris, nõ inuenit re$i$tentiã quã prius. Et quia formarũ propriũ e$t $emք $e diffundere $ecundũ amplitudin\~e omnis capacis materi{ae}: patet, quòd radius a c nõ {pro}cedit $ecundũ lineã a c: quia $ic di$po$itio diaphanorũ corporũ $ecundũ re$i$tentiã ad reception\~e luminis e$$et uniformis, q<001> e$t contra hypothe$im: refringitur ergo radius a c, $ed nõ ad perpendicular\~e c g: quoniã illa refractio nõ fit propter re$i$tentiã materi{ae}, $ed {pro}pter ui ctoriã formæ agentis $uper materiã plus di$po$itã <004> prius: unde forma diffundit $e uirtute {pro}pria ab incepto {pro}gre$$u $ecundũ lineã a c, & ad part\~e cõtrariã ip$ius perpendicularis c g, & eius æquidi$tan tis, qu{ae} b f: & $imiliter e$t de omnib. alijs obliquis radijs ut a d & a e. Motus itaq; radij incidentis ob- liquè $ecũdũ lineã a c in corpore $ecũdi diaphani den$ioris, q<001> e$t b e f, cõponitur ex motu in part\~e քpendicularis a b, trã$euntis per corpus b e f, in quo e$t motus, & ex motu facto $uper lineã c b, quæ e$t perp\~edicularis $uper lineã c g. Quoniã enim trã$itus perp\~edicularis e$t forti$simus & facillimus motuũ, & den$itas corporis re$i$tit termino motus, ad qu\~e int\~edebat, linea a c nece$$ariò mouebitur LIBER SECVNDVS. ad perpendicularem c g, exeuntem à puncto c, in quo radius a c occurrit $uperficiei corporis den- $ioris. Et quoniã illi motui re$i$titur propter gro$siciem medij, & etiam propter naturã alterius m o- tus, qui e$t $uper lineam c b, qui propter re$i$tentiã medij non omnino dimittitur, $ed tantùm impe- ditur: declinabit ergo lumen uer$us punctum b, $emper approximans perpendiculari a b f: fit itaq; in medio $ecund{ae} diaphanitatis gro$siore medio primo, refractio radij a c $ecundũ lineam c l, pro- pinquior\~e perpendiculari c g, exeũti à puncto c, in quo occurrit corpori den$iori, quàm linea a c, per quam incidebat $uperficiei illius corporis, producta ultra punctum c a d punctũ h, propinqua fuerit eidem perpendiculari eductæ ultra punctũ c ad punctum h, ita, ut angulus a c h $it maior angulo l c g: non concurret tamen cum perpendiculari b f uer$us punctum f, $ed uer$us punctum a per 2 t 1 hu ius, quoniã concurrit cũ eius æquidi$tante linea c g in puncto c. Cum uerò radius a c exiuerit à cor- pore gro$siore ad $ubtilius: tunc quia minus habet re$i$tentiæ, erit motus eius uelociter & ma gis $ui diffu$iuus. Et quoniam re$i$tentia medij den$ioris impellit $emper lucem obliquam, ut coadune tur ad perpendicular\~e lineam à puncto incidentiæ $uper $uperficiem illius corporis productã, quæ e$t c g: patet, quòd in medio rarioris diaphani illa re$i$tentia erit minor quàm prima: fit ergo motus lucis ad partem, à qua per re$i$tentiã repellebatur motus maior. Mouetur ergo lux in corpore dia- phano rariore plus ad partem contrariã parti perpendicularis, ita, quòd angulus g c k $it maior an- gulo a c h: fit tam\~e $emper motus lucis a c in refractione à corpore $ecundo rarioris diaphani quàm primum, inter lineas c g & c e: quoniam @um angulus g c e $it rectus, angulus g @k nunquam pote$t fieri rectus. Patet ergo propo$itum.

48. À $uperficie plana corpor{is} diaphani omnium radiorum illi $uperficiei incidentiũ, non e$t po{$s}ibile fieri refractionem ad aliquod punctum unum.

Quoniã enim, ut patet per præmi$$as, in omni corpore diaphano $emper fit refractio uel ad ip$as perpendiculares ductas à punctis incidenti{ae} radij $uper $uperficiem corporis diaphani, à qua fit re- fractio: uel ab illis perpendicularibus (quomodocunq; autem hoc contingat) patet, cum ill{ae} perpen diculares $uper planam $uperficiem $int æquidi$tantes per 6 p 11, quoniam $iue ad ip$as perpendicu lares, $iue ab ip$is fiat refractio: non e$t po$sibile, ut omnium radiorum illi planæ $uperficiei inciden tium refractio fiat ad punctum unum Patet ergo propo$itum.

49. Nulla refractio tran$mutat $itũ partiũ formæ refractæ, $ed$olũ auget uel minuit figurã.

Quoniam enim, ut patet per 47 huius, omnis refractio fit in medio $ecundi diaphani, & in rario- ri à perpendiculari, in den$iori uerò ad perpendicular\~e: palàm, quòd $emper dexter radius remanet dexter, & $ini$ter $ini$ter: & $imiliter de alijs differentijs po$itionis. Situs ergo partium formæ refra ctæ non mutantur, $ed $emper perman\~et: modo aũt $uo: cum à perpendiculari fit refractio, augetur forma $ecundum dilatationem: & cum ad perpendicularem fit refractio, minuitur: quoniam anguli ip$am continentes, angu$tantur. Patet ergo propo$itum.

50. In omni $imili $uperficie eiu$dem diaphani, rad{ij} $ecundum æquales angulos incidentes, $ecundũ æquales angulos refringuntur: & $i maiores $unt anguli incidentiæ, maiores $unt angu li refractionum, & $i minores, minores.

Siue enim refractionis modus attendatur à parte f h r q x b c d z a e p g k $uperficierum corporũ, in quibus fit refractio: quo- niam alia fit refractio à $uperficie $phærica, & alia à plana: $iue à parte di$po$itionis diaphanorum: quo- niam alia fit refractio à rariori diaphano, alia à den- $iori, ut patet per plures propo$itiones libri huius: $iue attendatur à parte angulorum incidentiæ, patet $emper quòd angulis incidentiæ exi$tentibus æqua libus, $ecundum modum propo$itum nulla $ube$t cau$$a diuer$itatis modi refractionis. Fiet ergo $em- per refractio $ecundum angulos æquales. Et hoc e$t propo$itũ primum. Et e$t huius exemplum, ut $it corpus $phæricum diaphanum den$ius ip$o aere, in cuius $uperficie $it circulus a b c d e: cuius centrũ $it p: & à puncto f corporis lumino$i incidant lineæ radiales, quæ $int a f, b f, c f, d f, e f: incidat\’q; radius f c perp\~ediculariter, & alij obliquè: patet, quòd omnes radij incidentes obliquè in $uperficie illius corporis diaphani, refringentur per 47 huius. Sit ergo exem- pli cau$$a & breuitatis figuratiõis & denominatiõis linearũ, ut o\~es illi radij refracti cõcurrãt in puncto g: & ducãtur քpendiculariter $uք $uperfici\~e corporis li ne{ae}, qu{ae} $int p d q & p b r & p a x & p e z. Dico, quòd $i angulus incid\~eti{ae} (qui e$t f d q) $it {ae}qualis angulo f b r, quòd angulus g d p erit æqualis angulo g b p, ք pr{ae}mi$$a, {pro}pter uniformitat\~e omniũ pr{ae}dictarũ VITELLONIS OPTICAE conditionum. Similiter quoq; dico, quòd $i angulus f d q $it maior angulo f a x, quòd angulus p d g erit maior angulo p a g. Fiat enim $uper punctũ a terminũ line{ae} x a angulus æ qualis angulo f d q per 23 p 1, qui $it angulus h a x: refringatur\’q; radius h a in puncto a: concurrat\’q; cum linea f g in puncto k: erit\’q; per primam partem huius, angulus p a k æqualis angulo p d g: e$t aut\~e angulus p a k maior angulo p a g: non enim e$t æqualis, quoniam tunc ex præmilsis $equeretur angulos incidentiæ e$$e æquales, quod e$t contra hypothe$im, $unt enim $uppo$iti e$$e in{ae}quales: $ed neq; minor: quoniã $ic fieret refractio irregularis: quod e$t cõtra 43 & 45 huius: e$t ergo maior: ergo & angulus p d g e$t ma ior p a g. Id\~e quoq; pote$t demõ$trari facilius, ut $i angulus f e z fiat æqualis angulo f a x per 8 p 3, ut- pote $i arcus a c & c e a$$umantur æquales: tũc enim anguli p a g & p e g erunt per præmi$$a {ae}quales: angulus uerò p d g minor e$t angulo p e g: quod patet etiã, $i anguli refractiõis ponantur e$$e æqua- les. De hac autem materia hic $ummariè loquimur, quoniã ip$am in 10 huius libro, ubilocum pro- prium habet, perfectius per$equemur. Patet ergo propo$itum.

a @ b z d 51. Datam altitudinem per umbram quanta $it cogno$cere $o- le apparente Euclides 18 theo. opticorum.

Sit data altitudo a b, quam proponimus, quanta $it cogno$cere $o- le appar\~ete: & $i illa altitudo e$t erecta $uper $uperficiem horizontis, ducatur in illa $uperficie linea b d perpendicularis $uper terminum altitudinis a b, qui $it b: & incidat radius $olaris per uerticem a b (qui $it a) ip$i pũcto d: & $it a d: ergo per 11 huius, erit linea b d umbra altitu dinis ip$ius a b: erigatur\’q; nota linea e z inter umbrã b d & radiũ a d æquidi$tanter altitudini a b, ut $i z e $it baculus notæ quantitatis. Erit ergo trigonus d z e per 29 p 1 æquiangulus trigono a b d: ergo per 4 p 6, uel per 9 huius, erit proportio d z ad z e, $icut d b ad b a: $ed d z ad z e proportio e$t nota: quoniam cum z e $it a$$umpta nota, po- te$t & linea umbræ $uæ, quæ e$t z d, modica men$uratione fieri nota: ergo d b ad b a proportio e$t nota: $ed d b pote$t men$urando fieri no ta. Ergo & a b erit nota. Quod e$t propo$itum, ut $i linea a b $it alti- tudo alicuius turris uel parietis, qui ualeat adiri ad men$uranda $pa- tia umbrarum.

VITELLONIS FILII THVRINGORVM ET PO- LONORVM OPTICAE LIBER TERTIVS.

IN præmi{$s}{is} libr{is} mathematicalia & naturalia principia præmi$im{us}, per quæ, prout nostra po{$s}ibilit{as} fert, no$tri propo$iti con$equentia intendim{us} declarare. Volentes autem formarum naturalium actiones $ub triplici ui- dendi modo pro$equi, $cilicet illo, quι fit per $implicem ui$ionem, & eo, qui per reflexionem, & illo, qui per refraction\~e: in hoc tertio libro pro$equimur modum $im plic{is} ui$ion{is}, & di$po$itionem propriam organi ui$iui. Supponim{us} autem hæc, quæ $equuntur, in loc{is} al{ij}s declarata, uel ut per $e ip$a nota.

PETITIONES.

1. Vi$ionem non compleri, ni$i apud peruentum formæ ui$ibilis ad animam. 2 Item quòd per $e ui$ibilia $unt tantùm duo, $cilιcet lux & color: quoniam lux ex $e ip$a uidetur: & ip$a e$t hypo$ta$is colorum: alia uerò per accidens ui$ibilia $unt, utpote remotio, magnitudo, $itus, corporeitas, figura, continuitas, $epara- tio uel diui$io, numerus, motus, quies, a$peritas, lenitas, diaphanitas, den$itas, um- bra, ob$curitas, pulchritudo, deformitas, cõ$imilitudo & diuer$itas. Hæc enim non $olùm ui$u, $ed alijs $en$ibus comprehenduntur. 3. Item petimus lucem fortem lædere ui$um diutius intuentem. 4. Item rem maioris quantitatis, quàm $it o- culus, oculo uideri. 5. Item rem ui$am $ecundum $itum, figuram & ordin\~e $ua- rum partium uideri. 6. Item ui$um $imul diuer$a ui$ibilia uidere. 7. Item ab ambobus ui$ibus $imul unam rem uideri. 8 It\~e quòd colornõ e$t motiuus ui- $us, ni$i $ecundũ actũ lucidi. 9. It\~e $ine contactu ui$ion\~e nõ fieri, $icut nec aliquã action\~e natural\~e. 10. Item uirtut\~e ui$iuam finitã e$$e, & non extendi in infinitũ.

LIBER TERTIVS. THEOREMATA. 1. Vi$ibili lucem actu non participante: ip$um impo{$s}ibile e$t uideri. Alhazen 39 n 1.

Quæ enim, ut $uppo$itum e$t, per $e $unt ui$ibilia: $unt lux & color: lux aut\~e non e$t ui$ibilis, præ- terquam ex $eip$a: & etiam lux cum $it hypo$ta$is colorum, non e$t po$sibile colores uideri $ine lu- ce: forma enim coloris e$t forma debilior, quàm $it forma lucis: cum color $it quædam lux incorpo- rata corporibus mixtis. Vi$us ergo nõ recipit formam coloris rei ui$æ, ni$i ex luce admixta cum for- ma coloris: & propter hoc alterantur colores multarum rerum apud ui$um per alterationem lucis orientis $uper ip$as: & $i color, qui e$t per $e ui$ibilis, non e$t motiuus ip$ius ui$us, ni$i $ecundum a- ctum lucidi: patet, quòd omni ui$ibili actu lucem non participante ip$um impo$sibile e$t uideri. Pa- tet ergo propo$itum.

2. Inter quodlibet punctum $uperficiei rei ui$ibil{is}, & aliquod punctũ $uperficiei ui${us} pro- duci po$$e rect{as} line{as} e$t nece$$e, ut res actu uideatur. Ex quo patet, $olùm in oppo$itione rei ui- $æ ad ui$um fieri ui$ionem. Alhazen 21 n 1.

Vi$io enim $iue fiat ex eo, quòd radij egrediuntur à ui$u $uper puncta rei ui$æ, $iue ex hoc, quòd form{ae} punctorum rei ui${ae} per lineas radiales perueniunt ad $uperfici\~e organi ui$iui: $emper nece$$e e$t inter quodlibet punctum $uperficiei rei ui$ibilis, & aliquod punctum $uperficiei ui$us produci po$$e lineas rectas, ut res uideantur actu. Vnde cum hæ line{ae} $ecundũ quemcunq; propo$itũ modũ produci po$$unt, fit ui$io: ni$i fortè propter alterius impedimenti re$i$tentiã ui$us fuerit impeditus. Cum itaq; ui$us fuerit oppo$itus rei ui$æ, uidebit ip$am: & cũ aufertur ab eius oppo$itione, non $en tiet ip$am, & cũ reuertetur ad oppo$ition\~e, reuertetur $en$us: quoniã ab alijs partibus <004> ab oppo$itis directè non pote$t linea produci à punctis ui$ibiliũ ad puncta $uperficiei ui$us. Patet ergo {pro}po$itũ.

3. Organum uirtut{is} ui$iuæ nece$$e e$t $phæricum e$$e. Alhazen 35 n 1.

Si enim non $it $phæricum: dico, quòd non impeditur ui$io, utpote $i $it $uperficiei planæ: tunc e- nim nõ uidebit uno a$pectu, ni$i $ibi {ae}quale. Siue enim radij egrediantur à ui$u $uper rem ui$am, $iue formæ punctorum rei ui$æ per lineas radiales perueniant ad $uperficiem organi ui$iui: patet, quòd $emper perpendiculares $unt breuiores per 21 t 1 huius: unde res magis approximat ui$ui $ecundum illas, quoniam res ui$a directè $ecundum ip$as perpendiculares uidetur, nõ per aliquas lineas obli- quas, quæ refringantur: quia ut patet per 48 t 2 huius, in corporibus planis nõ pote$t fieri refractio formarum ad aliquod punctum unum: eò quòd in talibus nullus punctus e$t omnibus communis. Sola ergo illa ab organo ui$iuo $uperficiei planæ uideri po$$unt, quæ $ine refractione directè perue- niunt ad ip$um: hæc aut\~e $unt $ecundum perpendiculares lineas peruenientia ad ui$um. Sit itaq; $u perficies plana ui$us, in qua $it linea a b: & $it in $uperficie plana alicuius rei ui${ae} æquidi$tantis ui$ui, & lineæ a b, linea recta, qu{ae} c d e: & à pũcto c du a b c d e catur perp\~edicularis $uper $uperfici\~e ui$us per 11 p 11, quæ incidat in punctũ a, & $it c a: & à pun cto d ducatur $imiliter $uք $uperfici\~e ui$us per- pendicularis, quæ $it d b. Cum itaq; lineæ a c & b d $int æquidi$tãtes & {ae}quales per 25 t 1 huius: ergo per 33 p 1 linea a b æqualis erit lineæ c d. Et quoniã linea a b æqualis e$t lineæ c d, $ed linea c d e e$t maior quàm linea c d: ergo nõ uidetur $imul tota linea c d e: <003> a in hac di$po$itione non pote$t res ui$a excedere quantitat\~e $uperficiei ui$us. Et quoniã hoc e$t fal$um & contra $uppo- $itionem, quæ patet $en$ui: quoniam po$sibile e$t rem maiorem ip$o oculo uideri: palàm, quia non e$t po$sibile, ut $uperficies organi ui$iui $it plana: $ed neq; alterius figuræ quàm $phæricæ: quia $em per accident impo$sibilia inæqualitatis ui$ionis. Nece$$ariò ergo erit $phærica $uperficies organi ui $iui, in cuius centro fiat cõcur$us linearum radialium ex longè maiori magnitudine quàm $it ip$um organum ui$iuum. Patet ergo propo$itum.

4. Ocul{us} e$t organum uirtut{is} ui$iuæ $phæricum, ex trib{us} humorib{us} & quatuor tunic{is} à $ubstantia cerebri prodeuntib{us} $phæricè $e inter$ecantib{us} compo$itum. Alhazen 4 n 1.

Quomodo $it oculus uirtutis ui$iu{ae} organum, negotio alterius partis philo$ophiæ relinquimus: quòd aũt $it $phæricus, nece$$ariũ e$t per præcedent\~e propo$ition\~e: & etiã ex eo, quòd e$t natur{ae} a- queæ, cuius proprietas e$t $emper rotundari, ut alibi e$t declaratũ. Quòd aũt $it oculus ex tribus hu moribus & quatuor tunicis cõpo$itus, diligens anatomizantiũ cura edocuit. Primus itaq; humorũ i$torũ dicitur cry$tallinus uel glacialis, qui propriè e$t organũ uirtutis ui$iuæ, & e$t in medio oculi $itus: e$t\’q; $phæra parua, alba, humida, humiditatis receptibilis formarũ ui$ibiliũ, in qua e$t diapha- nitas nõ inten$a ualde, cũ $it in ea aliqua $pi$situdo: unde diaphanitas eius a$similatur diaphanitati cry$talli uel glaciei: & ob hoc dicitur humor cry$tallinus uel glacialis. Quia uerò eius humoris dia- phanitas mutatur in $ui parte po$teriori uer$us cerebrũ, à qua parte totus oculus recipit nutrim\~etũ, quod ante<004> perfectè uniatur humori cry$tallino (qui principaliter intenditur nutriri) nondũ plenè in formis $ub$tantialibus & accidentalibus eid\~e a$similatũ, nece$$ariò e$t alterius diaphanitatis ab VITELLONIS OPTICAE illo: & ob hoc dicitur alter humor: & uocatur uitreus: quia a$similatur uitro qua$@ fru$tato. Et quia in omni, q<001> nutritur, $emper purũ ab impuro $eparatur: illud, q<001> ab humore cry$tallino nutrito, ut $u{ae} puritati incõueni\~es, $eparatur ad part\~e oppo$itã parti nutrim\~etali, hoc e$t, ad anterius cry$tallini humoris {pro}fluit: & quia e$t diaphanũ, quoquo modo a$similatũ humori cry$tallino, nondũ tam\~e $uæ perfect{ae} cõ$i$tenti{ae} in den$itate, eò quòd e$t $uperfluũ nutrim\~eti corporis den$ioris: patet, quòd ne- ce$$ariò e$t diaphanũ liquidũ: unde uocatus e$t humor albugineus, <003>a $imile e$t albumini oui in te- nuitate & albedine & diaphanitate: e$t enim humor albus, clarus, tenuis, diaphanus: & hunc humo rem ad part\~e anterior\~e, $icut uitreũ humor\~e ad part\~e po$terior\~e pro cu$todia humoris cry$tallini, ne ab extrin$ecis occa$ionib. uel intrin$ecis citius patiatur, & cadat ab officio organi ui$iui, natur{ae} $aga citas deputauit. Cõtinet aũt primos duos humores, $cilicet cry$tallinũ & uitreũ tela ualde tenuis & $ubtilis, $eparãs eos ab albugineo, & circundãs ambos eos, cuius etiã tel{ae} aliqua pars de$cend\~es per mediũ $eparat cry$tallinũ à uitreo: & h{ae}c tela {pro}pter $ui $ubtilitat\~e tela aranea nominatur. Cũ aũt hu mor albugineus $it liquidus, per $e nõ con$i$tens, nece$$ariũ fuit ip$um per aliquod $olidũ pro oculi cu$todia retineri: circũde dit ergo ip$um natura pelle ui$co$a $olida forti, nõ multũ diaphana, qu{ae} $ui den$itate melius retineat, & $ui caliditate humor\~e albugineũ temperet, ne cry$tallinus cõgeletur, & fiat inhabilis receptioni ui$ibiliũ formarũ. Et <003>a {pro}pter eius tunic{ae} den$itat\~e & ui$co$itat\~e form{ae} ui$i biles ad humor\~e cry$tallinũ undiq; tali tunica circundatũ nõ perueni$$ent: ideo in anteriori parte o- culi, ubi e$t locus receptionis formarũ ui$ibiliũ, natura hanc tunicã intercîdit, factum\’q; e$t foramen rotundum, cuius diameter e$t qua$i æqualis lateri cubi in$criptibilis intra illã $phærã, uel lateri qua drati in$criptibilis circulo magno illius $phær{ae}: & e$t hoc foramen ideo rotundũ, ut $it magis aptum $u$ceptioni omniũ formarũ pertran$i\~es u$q; ad eiu$d\~e tunic{ae} concauũ: & ob hoc h{ae}c tunica dicta e$t uuea, quia a$similatur uuæ in a$pectu: & e$t hæc tunica plurimũ nigra, $æpe tam\~e uiridis, & quãdoq; glauca: & corpus illius tunic{ae} e$t tenue den$um nõ rarũ. Ne uerò humor albugineus effluat ex fora- mine uue{ae}, & ut nõ impediatur operatio uirtutis ui$iu{ae}, nece$$ariũ fuit natur{ae} foramini uueæ $uppo nere uelam\~e diaphanũ $olidũ ad modũ cornu albi clari: dicta\’q; e$t hæc tunica cornea. Vbi uerò con iungitur h{ae}c tunica alijs partibus corporis circũpo$itis oculo, ibi ce$$at diaphanitas, fit\’q; alterius di $po$itiõis tunica $olidior <004> cornea nõ diaphana, cũ ip$a tam\~e cornea cõpl\~es $phærã unã, qu{ae} e$t $phæ ra totius oculi, & illius $phær{ae} po$terior pars nõ diaphana, $ed carno$a fit alia tunica: & hæc dicitur cõiunctiua uel con$olidatiua, quoniã cõiungit oculũ & cõ$olidat ip$um cũ partibus corporis uicini. Erit ergo tunica cornea humor albugineus & humor glacialis & humor uitreus $e ad inuic\~e con$e- quentes: & omnia i$ta $unt diaphana propter melior\~e formarũ ui$ibiliũ reception\~e. À $ub$tantia ce rebri prodeũt humores & tunic{ae} oculi, quoniã ex anteriori parte cerebri à duabus partibus ip$ius cre$cũt duo nerui optici, id e$t cõcaui cõ$imiles habentes duas tunicas ortas à duab telis cerebri, & procedunt ij nerui ad mediũ anterioris partis cerebri, ubi efficitur neruus unus opticus, qui in pro- ce$$u iterũ diuiditur in duos neruos opticos cõ$imiles & æquales, <003> tran$mutatis $uis $itibus, ita, ut dexter fiat $ini$ter, & $ini$ter dexter, $unt proced\~etes ad cõuexa duorũ o$siũ concauorũ cõtinentiũ oculos, quoniã in medijs i$torũ duorũ o$siũ cõcauorũ $unt duo foramina æqualiter perforata, quæ dicuntur foramina gyrationis neruorũ cõcauorũ: & quoniã illa duo foramina $unt rotunda, pũctus medius cuiuslibet illorũ foraminũ dicitur centrũ illius foraminis. Illi ergo nerui intrãt i$ta duo fora mina, & exeũt ad cõcauitat\~e duorũ o$siũ prædictorũ, & illic dilatãtur & ampliãtur, & efficitur extre mitas cuiu$q; ip$orũ qua$i in$trumentũ ponendi uinũ in dolijs, hoc e$t ad modũ pyramidis rotund{ae} cõcauæ: & <003>libet oculorũ cõponitur $uք unã extremitat\~e i$tius nerui, & cõ$olidatur cũ ip$o. Cõ$imi liter & à tunicis i$torũ neruorũ oriuntur tunic{ae} oculorũ: nã tunica cornea oritur ex tunica extrin$e ca duarũ tunicarũ i$tius nerui: & tunica uuea oritur ex tunica intrin$eca duarũ tunicarũ duorũ ner- uorũ: intra i$tã tunicã uueã ordinatur humor cry$tallinus $uք extremitat\~e cõcauitatis nerui median te uitreo humore, <003> ambo ex medullari $ub$tãtia cerebri oriuntur: & inter humores i$tos & tunicã uueã ex $ubtili$simis filis tunic{ae} uue{ae} cõtexitur tela aranea, quã alij uocãt tunicã retiuã, <003>a e$t cõte- xta ad modũ retis. Sph{ae}ricè $e inter$ecãt humores & tunic{ae} oculi: quia enim tunica uuea nõ քuenit intra oculũ ad cõplem\~etũ $ph{ae}r{ae}, cũ, $icut pr{ae}mi$sũ e$t, in anteriori $ui parte $it foram\~e rotundũ, q<001> tegitur à cornea tunica: $phæra ergo tunic{ae} corne{ae} nece$$ariò inter$ecat $phærã uueæ: & cõis $ectio $uarũ $uperficierũ $ph{ae}ricarũ e$t circũfer\~etia illius foraminis: & e$t linea circularis ք 80 t 1 huius. In anteriori quoq; humoris cry$tallini {pro}pter melior\~e formarũ reception\~e e$t cõpre$sio $uքficialis par ua minoris curuitatis, <004> $it $uքficies cornea cõtin\~es illã: $ph{ae}ricitas. n. $uքficiei humoris cry$tallini a$similatur cõpre$siõi $uքficiei lenticul{ae}, ut patet cõ$iderãtib. anatomiã oculi. Superficies ergo ante rior ip$ius e$t portio $uperficiei maioris $ph{ae}r{ae}, <004> $it $ph{ae}ra uuea contin\~es ip$am: & h{ae}c cõpre$sio {ae}- qualiter deflectitur ad oppo$ition\~e foraminis, q<001> e$t in anteriori parte uue{ae}: quia $itus eius ab eo e$t cõ$imilis. Sicut aũt foram\~e rotundũ, quod e$t in anteriori parte uue{ae}, e$t directè oppo$itũ extremi- tati cõcauitatis nerui, $uք qu\~e collocatur oculus: $ic etiã in parte po$teriore cõcauitatis uue{ae} e$t fo- ramen rotundũ, quod e$t $uper extremitat\~e cõcauitatis nerui: & foram\~e, quod e$t in anteriori uue{ae}, e$t oppo$itũ foramini concauitat@s nerui: quoniã neruus opticus inter$ecat tunicã coniunctiuã & uueam, & penetrat omnes tunicas oculi u$q; ad $phærã cry$tallinã, quæ pyramid\~e nerui inter$ecat, $icut & humer uitreus, qui in nerui optici pyramidali cõcauo collocatur: itaq; cõmunis $ectio pyra midis nerui optici, & $phær{ae} cry$tallinæ, e$t circulus per 110 t 1 huius: $phæra itaq; glacialis e$t com- po$ita in extremitate cõcauitatis nerui optici, & in foramine po$teriori uueæ rotundo. Extremitas LIBER TERTIVS. ergo nerui continet medium $phær{ae} glacialis: & e$t neruus ille concauus deferens in $e $piritum ui $ibilem à cerebro ad oculum, & per eius uenas paruas peruenit nutrimentũ ad oculum, & diffundi- tur in illo per uias nutrimenti: & e$t in inter$e- VERA OCVLI DESCRIPTIO _atq; effigies è recentiorib{us} anatomic{is}_ _libr{is} de$umpta_. ctiõe huius nerui in anteriori parte cerebri uir tus ui$iua $enti\~es & dijudicãs omne ui$ibile: & con$olidatur uuea cum glaciali in circulo conti nente foramen rotundum in po$teriori uueæ. Inter$ecãt quoq; $e $phæræ i$tæ duæ, $cilicet gla cialis & uitrea nece$$ariò: cum cõuexum unius obuiet cõuexo alterius: $icut enim $unt diuer${ae} natur{ae} & diaphanitatis, $ic $unt portiões diuer- $arum $phærarum $e $ecantium: cõmunis itaq; $ectio illarum $phærarum e$t circulus per 80 t 1 huius. Idem ergo circulus e$t ba$is pyramidis nerui optici, & inter$ectionis eiu$dem pyrami- dis, & $phær{ae} cry$tallinæ, & con$olidationis u- ueæ $phæræ cum $phæra cry$tallina, & fortè in- ter$ectionis earund\~e $phærarũ. Corpus uerò con$olidatiu{ae} continet part\~e pyramidalem ner ui, qu{ae} e$t intra foramen o$sis, per quod tran$it neruus, & intra circumferentiam $phær{ae} glacia lis: & continet $phærã uueam. Ex his itaq; pa- tet humor\~e glacialem propriè e$$e organũ uir- tutis ui$iu{ae}: nam huius $olius diaphanitas e$t r\~e ceptibilis formarum ui$ibiliũ: & e$t in medio o- mnium & humorũ & tunicarũ collocatus: & $i alij cuicũq; tunic{ae} uel humori accidat læ$io, $al uo glaciali humore, $emper auxilio medicin{ae} re cipit oculus curationem, & $anatur ac re$titui- tur ui$us: ip$a uerò corrupta, corrumpitur ui$us totus $ine $pe re$titutiõis per auxiliũ cur{ae} medi cinalis. E$t itaq; humor cry$tallinus uel glacia- lis principaliter uirtutis ui$iu{ae} organũ: propter quod e$t diligentius con$eruatũ. Et cõ$tituit na tura duos oculos propter perfection\~e bonita- tis ui$ionis, & complementũ eius. Sic ergo pa- tet, quòd humores & tunic{ae} oculi $phæricè $e inter$ecant: & patet declaratio definitionis pro po$itæ oculi $ecundũ omniũ eorũ experientiã qui de ip$ius anatomia hactenus $crip$erũt. Hæc aũt omnia, quæ $cilicet de cõpo$itione oculi in hac quarta propo$itione huius tertij librι no$træ per$pectiuæ $unt præmi$$a: nunc $ummatim in figura mathematica adiecta $pectanda proponimus.

5. Impo{$s}ιbile est ui$um reb{us} ui$is applicari per radios ab ocul{is} egre$$os. Alhazen 23 n 1. item 23 n 2.

Si enim aliqui radij egrediuntur ab oculis, per quos uirtus ui$iua rebus extra cõiungitur: aut illi radij $unt corporei; uel incorporei. Si corporei, tũc cum ui$us uiderit $tellas & cœlum: nece$$arium e$t, ut à ui$u corporeũ exi\~es impleat totũ $pacium uniuer$i, quod e$t inter ui$um & part\~e cœli ui$am præter diminution\~e ip$ius oculi: quod & impo$sibile e$t fieri, & etiã tam citò fieri ($ub$tãtia & quan titate oculi manente $alua.) Si uerò detur, quòd radij $int incorporei, cum $en$us nõ $it ni$i in re cor porali: tunc ip$i radij nõ $entirent rem ui$am: ergo nec oculus corporeus mediante hoc incorporeo non $entiente poterit $entire: nec enim talia incorporea red dunt aliquid ui$ui, quõ ui$us po$$et com prehendere rem ui$am, cum ui$us non fiat, ni$i per contactũ ui$us cum forma ui$a: quia $ine cõtactu nõ fit actio. Radij ergo procedentes ab oculo $i nihil reddunt ui$ui: tunc non fiet per ip$os ui$io: $i ue rò aliquid reddunt ui$ui, hæc erunt luces uel colores, qu{ae} per $e uidentur, & quæ inter radios multi- plicantur ad ui$um. Radij ergo nõ $unt cau$$a applicationis ui$us cum rebus ui$is, $ed aliquid aliud, quod $e multiplicat ad ui$um, e$t per $e cau$$a ui$iõis. Impo$sibile e$t ergo radios per $e e$$e cau$$am ui$ionis, ni$i fortè radij dicantur lineæ de$cript{ae} per puncta formarũ multiplicata à $uperficiebus re rum ui$arum ad ui$um: quoniam, ut patet per 2 huius, inter quodlibet punctum $uperficiei rei ui$ibi lis, & aliquod punctum $uperficiei ui$us nece$$e e$t po$$e produci lineas rectas, ut res actu uideatur: tales uerò radij ab oculis non egrediuntur. Patet ergo propo$itum.

6. Vi$io fit ex actione formæ ui$ibil{is} in ui$um, & ex pa{$s}ione ui${us} ab hac forma. Alhazen 1. 2. 3. 14 n 1.

Formas ui$ibiles agere in ui$um ex 2 & 3 $uppo$itione patet: l{ae}ditur enim ui$us ex forti luce, ut in VITELLONIS OPTICAE a$pectu corporis $olaris uel alterius lucis fortis, utlucis reflexæ ad oculum à corpore polito, uel ab alio corpore ualde albo. In his enim debilitatur ui$us taliter, ut à $ua cadat operatione, quou$q; per uirtutem intrin$ecam naturalem fuerit re$titutus. Sed & ui$us patitur à $en$ibilibus formis:retinet enim quandoq; in $e fortes earũ impre$siones. Vi$us enim po$tquã diu in$pexerit fortem lucem uel color\~e, $i po$tea a$piciat locũ ob$curũ uel locũ debilis lucis: inueniet fortè illod ui$ibile, quod prius in$pexerat in $e ip$o cũluce, colore, & figura $ua: & quandoq; color fortis impre$$us ui$ui permi$ce- bitur coloribus rerũ ui$arũ in ob$curo, & uidebuntur resillæ alio colore mixto colorat{ae}, ut fortè ui ride ui$um facit res albas po$tea ui$as in loco ob$curiori mixtim uirides apparere: & $i claudatur o- culus, nihilominus occurret uι$ui forma prius ui$a. Formæ ergo ui$ibiles agunt in ui$um, & ni$os pa titur ab illis. Et quia ui$ibilia per $e $unt lux & color, & lux e$t hypo$ta$is colorũ: lux aũt $emper $ph{ae} ricè diffunditur ad omn\~e po$itionis differentiã: palàm ergo, $ic etiã colores diffundi. Cũ itaq; ui$us opponitur alicui rei illuminat{ae} uel colorat{ae}, tunc multiplicatur lum\~e uel per $e, uel cũ illo colore rei oppo$itæ ui$ui, & perueni\~es ad ui$us $uperficiem & agit in ui$um, & ui$us patitur ab illo. Cum itaq; lüx & color ueniunt $imul ad $uperficiem ui$us, & agunt in illũ, & ui$us patitur ab illis, & uirtus ani- mæ propter union\~e formarum ui$ibilium cum $uo organo fit cogno$c\~es: tunc fit ui$io propter præ- $entiam ui$ibilium formarũ agentium in ui$um: & fit hæc actio & pa$sio modo aliarum actionũ na- turalium: quoniã totum agens agit in quodlibet pa$si punctũ, etiá in indiui$ibile, & totũ pa$$um pa- titur à quolibet puncto ag\~etis. Forma ergo lucis & coloris, qu{ae} $unt in aliquo punctorũ rei ui$ibilis, perueniunt ad totã $uperficiem oculi: & form{ae} omniũ punctorũ $uperficiei rei ui$ibilis perueniunt ad punctum unum $uperficiei oculi: & $ic fit actio & pa$sio inter i$ta. Non fit aũt actio formarum ui- $ibilium in ui$um, ni$i forma ui$ibilis $it potens ad agendũ & completæ hypo$ta$is ex luminis præ- $entia, & ni$i mediũ extrin$ecũ oculo & rei ui$ibili fit lucidum actu, & ni$i organũ ui$us fit receptiuũ formarũ pertunicas medias, & humores diaphanos $uæ propriæ diaphanitatis. Pars enim tunicæ corneæ $uperpo$ita foramini uue{ae}, qu{ae} primò aeri extrin$eco cõiungitur, & humor albugineus im- plens foram\~e uueæ, $i à propria ceciderit diaphanitate, utpote mutata qualitate $ibi propria uel im- pedimento alio occurrente, uel etiã ip$e humor glacialis $i per nimiam congelation\~e, uel alio modo à formarũ receptione fuerit impeditus, nõ fit ui$io: quia forma $en$ibilis organo ui$iuo imprimi nõ pote$t. Forma itaq; ui$ibilis ueniens à re ui$a per medium lucidũ u$q; ad $uperfici\~e ui$us, tran$it per diaphanitat\~e tumcarũ ui$us, & peruenit ad uirtut\~e ui$iuam ex foramine, quod e$t in anteriori uue{ae}, & peruenit ad glacialem, & pertran$it in eo $ecundũ modum $uæ diaphanitatis: & ob hoc natura o- mnes tunicas oculi diaphanas ordinauit, ut à formis $en$ibilibus actũ lucidi habentιbus patiantur. Vi$us uerò licet patiatur à formis ui$ibilibus: nõ tamen tingitur à forma lucis ucl coloris po$t rece$- $um præ$enti{ae} corporis lucidi uel colorati, $icut uniuer$aliter o$tendimus hanc pa$sion\~e conuenire omnicorpori diaphano per 4 t 2 huius: & licet quandoq; propter fortitudin\~e lucis & coloris fiat ali qua impre$sio in ul$um, & alteratio $ecundum illas luces & colores: nõ tamen ill{ae} remanent in ui$u, nι$i tempore modico: nõ e$t ergo talis alteratio fixa. Vi$us itaq; non tingitur & coloribus & formis lucis tinctura fixa, formis $en$ibilibus agentibus in ui$um. Patet ergo propo$itum.

7. Centrum $phærætoti{us} oculi: & centrũ glacial{is}: & centrum $uperficierum extrin$ecæ & intrin$ecæ corneæ: & centrũ conuexæ $uperficιei humor{is} albuginei nece$$e e$t id\~e e$$e. Ex quo pa tet, quonia $uperficies intrin$ecæ corneæ $uperficiei $uæ extrin$ecæ æquidi$tat. Alhazen 12 n 1.

Re$umpta figura oculi, quam pr{ae}mi$imus in 4 huius: dico, quod uerum e$t, quòd hic proponitur, quoniã punctũ a e$t cõmune centrum propo$itarũ $phærarũ. Si enim detur, quod centrũ $phær{ae} to- tius oculi (quod e$t punctũ a) non $it centrum $phær{ae} glacialis, palàm per 75 t 1 huius, quoniã lineæ rect{ae} perpendiculares $uper $uperficiem $phær{ae} oculi, non $unt perpendiculares $uper $uperficiem $phær{ae} glacialis, ni$i $olùm illa, quæ tran$it per ambarum centra: cæter{ae} uero omnes, qu{ae} erunt per- pendiculares $uper $uperfici\~e ui$us, erunt declinantes $uper $uperficiem glacialis. Si ergo glacialis comprehendat formas rerũ ui$arum $ecundũ incidentiã i$tarum linearũ, qu{ae} $unt perpendiculares $uper $uperficiem oculi, & obliquantur declinantes $uper $uperficiem glacialis: tunc nece$$ariò gla- cialis comprehendit o\~es formas rerum ui$ibiliũ obliquatas, & declinantes à $uo $itu & figura, quam habent extrà in $uperficiebus rerũ ui$ibiliũ, quod e$t contra 5 $uppo$ition\~e præmi$$am in principio huius libri. Et quoniã form{ae} incidentes medio $ecundi diaphani den$ioris $ecundũ lineas non per- pendiculares refringuntur ad perpendicular\~e, ut patet per 47 t 2 huius: $ub$tantia uerò humorũ & tunicarũ oculi den$ior e$t aere circũ$tante, & $ub$tanti{ae} diuer${ae} diaphanitatis inter $e, ut patet per 4 huius: palàm, quòd in ip$a $uperficie glacialis fiet refractio alia quàm in $uperficie corneæ: nõ di$tin guet ergo glacialis aliquid in rebus ui$is propter refraction\~e formarũ in $ua $uperficie factarũ: mani $e$tum e$t enim, quòd lineæ obliquè incidentes $uperficiei ui$us, magis obliquãtur in $uperficie gla cialis: cum glacialis $it alterius diaphanitatis à cornea uel albugineo humore: e$t enim in glaciali ali qua diaphanitas, propter quã recipit formas, & aliqua $pi$situdo prohibens tran$itũ formarũ: & ob hoc figuntur form{ae} in eius $uperficie & corpore. Nullam ergo formarũ ui$ibilium cõprehendit gla- cialis $ecundum eius $itum, & figurã, quam habuit extra ui$um: hoc aut\~e e$t impo$sibile: quoniã pa- tet manife$tè per 5 $uppo$ition\~e, quòd glacialis cõprehendit formas rerũ ui$ibilium $ecundũ $itum & figurã, qu{ae} habent in rebus extrà. E$t ergo nece$$ariũ, quòd line{ae}, qu{ae} $unt perpendiculares $uper $uperficiem oculi, $int perpendiculares $uper $uperfici\~e glacialis: erunt ergo $uperficies oculi, & gla LIBER TERTIVS. cialis $uperficies $phærarum contentarum habentes idem centrum, & extremitates omnium linea- rum imaginatarũ produci à quolibet puncto $uperficiei rei ui$æ perpendiculariter $uper $uperfici\~e oculi, cõcurrunt in hoc centro per 72 t 1 huius: & $unt perpendiculares $uper $uperficiem glacialis per 72 t 1 huius. Et quoniã $uperficies corneæ anterius cõplet oculi $uperficiem $phæricã, & fit cum illa una $uperficies $phærica: patet, quoniã centrum oculi e$t centrũ corneæ per definition\~e $phær{ae}. Patetitaq;, quoniã centrum oculi, & centrum glacialis, & centrum corne{ae} $unt idem centrum. Quia ergo centrum oculi (quod e$t centrum $uperficiei exterioris ip$ius corneæ, & centrum $phær{ae} gla- cialis) $unt unum cum centro totius oculi ex omnibus $uis humoribus & telis cõ$tante: conuenien tius naturæ e$t, ut centrũ glacialis $it ip$um centrum $uperficiei interioris corneæ, ita quòd centra omnium $uperficierũ oppo$itarũ foramini uueæ $it unum punctum cõmune, & $uperficies concaua corneæ $phæræ fiat æquidi$tãs eius $uperficiei conuexæ: $ic enim per 72 & 74 t 1 huius erunt omnes lineæ exeuntes à centro ad $uperficiem oculi perpendiculares $uper omnes $uperficies oppo$itas foramini, & augebitur bonitas ui$ionis: & erit totus oculus rotundus propter unitat\~e centri corne{ae} cum toto oculo. Et quoniã per 73 t 1 huius $uperficies intrin$eca corneæ æquidi$tans e$t $uperficiei extrin$ec{ae} ip$ius, cum ip$arum ambarum $it idem centrum: humor uerò albugineus $ecundum eius conuexum contingit concauum corneæ, ut præmi$$um e$t per experientiam anatomizantium in 4 huius: ergo per 79 t 1 huius $uperficies conuexa humoris albuginei erit pars $uperficiei $phæricæ $ecundum eius conuexum $uperficiem concauam $phær{ae} corneæ contingentis. Patet ergo per 73 t 1 huius, quoniam conuexæ $uperficiei humoris albuginei & concau{ae} $uperficiei corne{ae} e$t idem cen trum. Et hoc e$t propo$itum. Et patet corollarium.

8. Sphæram uueam nece$$e e$t toti oculo eccentricã e$$e, centrum<006> ei{us} ad anteri{us} oculi pl{us} acceder e: centrum uerò oculi ampli{us} profundari. Ex quo patet, centrum uueæ centr{is} omnium tunicarum & humorum anterior{is} part{is} oculi ampli{us} eleuari. Alhazen 8 n 1.

Cum enim (ut patet per 4 huius, & per præcedentem) $ph{ae}ra cornea $ecundum eius $uperficiem manife$tam $it continua cum $uperficie totius oculi, & pars $phæræ ip$ius, & totus oculus $it $phæ- ra maior quàm $phæra uuea: quoniam intra $e cõtinet maximũ circulum $phær{ae} uueæ: patet per de- finitionem $phærarũ $e intrin$ecus inter$ecantiũ, quòd $uperficies $phær{ae} corne{ae} e$t maior $uperfi- cie $phæræ uueæ: palàm itaq; ex definitione $phær{ae} maioris, quoniam $emidiameter corneæ e$t ma ior $emidiametro uueæ. Et quia $uperficies intrin$eca corneæ $uperpo$ita foramini uue{ae}, e$t $uper- ficies concaua $phærica æquidi$tans $uperficiel manife$tæ ip$ius corneæ, eò quòd tota cornea e$t æqualis $pi$situdinis, ut o$ten$um e$t in præcedenti, ideo quòd centrum $uperficiei intrin$ecæ cor- neæ idem e$t cum centro $uperficiei manife$tæ conuexæ eiu$dem corne{ae}: $ed $uperficies concaua corneæ $ecat $uperficiem $phær{ae} uueæ $uper circumferentiam foraminis, quod e$t in anteriori par- te uue{ae}, ut præmi$$um e$t in 4 huius, & declaratum per 80 t 1 huius: ergo per 84 t 1 huius centrum $phær{ae} corneæ continentis $phæram uueam nece$$e e$t remotius e$$e in profundo quàm centrum $phær{ae} uue{ae}. Patet ergo, quoniã $phæram uueam nece$$e e$t toti oculo eccentricam e$$e, centrum\’q; eius ad anterius oculi plus accedere, centrum uerò oculi amplius profundari: quod e$t principale propo$itũ. Et ex hoc etiam patet corollarium, quia cum $phæra uue{ae} non $it in medio cõ$olidatiu{ae}, $ed anterius ad part\~e $uperficiei manife$t{ae} oculi, & cũ $uperficies manife$ta ip$ius oculi $it pars $ph{ae} ræ maioris: palàm, ut præmi$$um e$t, quia centrum eius erit remotius in profundo centro uueæ. Ma nife$tum uerò oculi e$t $uperficies ip$ius corneæ extrin$eca cõuexa, cui æquidi$tat eiu$dem $uper- ficies intrin$eca concaua. Centrum ergo tam $uperficiei concauæ quàm $uperficiei conuexæ i- p$ius corneæ plus pro$undatur in oculo quàm centrum uueæ. Et quia $uperficies concaua corneæ contingit $uperficiem humoris albuginei, qui e$t in anteriori foraminis uueæ, & $uperponitur ei: patet ex præmi$$a, & per 79 t 1 huius, quoniam $uperficies conuexa humoris albuginei e$t $u- perficies $phærica, cuius centrum e$t centrum $uperficiei $ibi $uperpo$itæ. Superficies ergo conue- xa corneæ, & $uperficies concaua ip$ius, & $uperficies conuexa humoris albuginei, attingens con- cauum corne{ae}, cum $int $uperficies $phæric{ae} æquidi$tantium $phærarũ, palàm per 73 t 1 huius, quia centrum ip$arum omnium e$t unus punctus, qui amplius profundatur centro uue{ae}. Et quia $uperfi cies anterioris glacialis e$t $phærica concentrica totali oculo per præcedent\~e: & etiam quia $uperfi cies $phær{ae} glacialis cõuexa $ecat $uperficiem $phær{ae} uueæ intrin$ecus: patet per 84 t 1 huius, cum $uperficies glacialis $it portio $phær{ae} maioris, quàm $uperficies $phær{ae} uue{ae}, quod amplius profun datur centrum glacialis quàm centrum uueæ. Centrum itaq; uueæ centris omnium tunicarum & humorum oculi, qui $unt anterioris partis oculi ad partem aeris extrin$ecam re$picientes, amplius eleuatur. Quod e$t totum propo$itum.

9. Inter centrum oculi & centrum uueæ product a linea recta centrum circuli $ection{is} uueæ, & medium concauit at{is} nerui optici nece$$ariò penetrabit. Alhazen 7 n 1.

O$ten $um e$t per 7 huius, idem e$$e centrum totius oculi & centrum corneæ: $ed linea, quæ con- tinuat duo centra corne{ae} & uue{ae} (quæ in præmi$$a figura oculi in 4 huius e$t linea a f) hæc produ- cta peruenit ad centrum circuli communis earũ $ectionis per 82 t 1 huius, ut in punctum f, centrum circuli foraminis uue{ae}, $ecundum cuius peripheriã illæ $phær{ae} $e inter$ecant: $uperficies enim con- caua corneæ, & $uperficies conuexa uue{ae} $unt du{ae} $uperficies $phæric{ae} $ecantes $e $ecundum peri- VITELLONIS OPTICAE pheriam foraminis uueæ, ut patet per 4 huius: palàm quoq; per 86 t 1 huius, quòd eadem linea pro- ducta peruenit ad duo media duarum $uperficierum corneæ inter $e æquidi$tantium $uperpo$itarũ illi foramini uueæ, cuius foraminis peripheria e$t circumferentia circuli $ectionis. Et quoniam fo- ramen, quod e$t in anteriori uueæ, e$t directè oppo$itum foramini, quod e$t in po$teriori uueæ, quod e$t extremitas concauitatis nerui: palàm per 111 t 1 huius, quoniam eadem linea producta me- dium concauitatis nerui optici nece$$ariò penetrabit: & hoc e$t centrum circuli ba$is pyramidis ner ui optici concaui. Patet ergo propo$itum.

10. Inter centra a $phær arum glacial{is} & uueæ linea recta producta ad centrum circuli con$oli dation{is} $phær arum glacial{is} & uitreæ cum uuea nece$$ario pertinget: & $uper illi{us} circuli $u- perficiem erecta erit. Alhazen 9 n 1.

Patuit ex præmi$sis in 4 huius, quoniã $phæra glacialis inter$ecat intrin$ecus $phæram uueam: linea ergo per centra i$tarum $phærarum tran$iens 82 t 1 huius, erit perpendicularis $uper centrum circuli cõmunis $ectionis ip$arũ. I$te uerò circulus $ectionis, aut e$t circulus di$tinguens finem con $olidationis harum $phærarũ ad inui\~ec, aut æquidi$tans ei: $uperficies enim, quæ e$t in nateriori par te glacialis, oppo$ita e$t foramini, quod e$t in anteriori parte uueæ, & $itus eius ab eo e$t $itus con$i- milis, ut patuit in 4 huius: terminus ergo i$tius $uperficiei, qui e$t circulus $ectiõis inter duas $uper- ficies $phær{ae} glacialis & uitreæ, aut e$t ip$e circulus con$olidationis i$tarũ $phærarũ cum uuea, aut æquidi$tãs ei. Si ergo circulus $ectionis inter duas $uperficies, glacialis $cilicet $phæræ & uitreæ fue rit ip$e circulus cõ$olidationis ip$arũ cum uuea: i$te ergo circulus, e$t circulus $ectionis inter $uper- fici\~e glaclalis & uue{ae}: & tũc, ut prius, per 82 t 1 huius patet, {pro}po$itũ. Quòd $i circulus $ectionis inter $uperfici\~e $phær{ae} glacialis & $uperfici\~e $phær{ae} uitreæ nõ fuerit ip$e circulus cõ$olidationis $phæra- rum cry$tallinæ & uitre{ae} cũ $phæra uuea, $ed fuerit æquidi$tãs circulo cõ$olidationis earũ cũ uuea: tunc $uperficies $phær{ae} glacialis $i imaginetur extendi intellectu mathematico, $uper id, quod for- ma naturalis $uæ $phær{ae} extenditur, $ecabit $phæram uue{ae} $uper circulum æquidi$tant\~e i$ti circulo $ectionis $phær{ae} glacialis & uitre{ae}: quoniã i$te circulus æqualem habet $itum à circunferentia $phæ ræ uueæ: & quia i$te circulus e$t æquidi$tans circulo con$olidationis: erit nece$$ario circulus $ectio nis inter $uperficiem glacialis & $uperfici\~e uueæ, aut ip$e circulus con$olidationis, aut æquidi$tans ei. Quòd $i circulus i$te fuerit ip$e circulus con$olidationis, palàm per 82 t 1 huius, quia linea tran- $iens per centrum glacialis, & per centrum uueæ, tran$ibit perpendiculariter per centrum i$tius cir culi, eò quòd i$te circulus e$t circulus $ectiõis inter duas illas $uperficies $phæricas. Sed $i i$te circu lus fuerit æquidi$tans circulo con$olidationis, & e$t æquidi$tans circulo $ectionis inter $uperficiem glacialis & $uperficiem uue{ae}: e$t ergo cum circulo $ectionis inter $uperficiem glacialis & uitreæ, in $uperficie una $phærica, quæ e$t $uperficies glacialis, & e$t æquidi$tans circulo dict{ae} $ectionis. Sed $i in aliqua $phæra duo circuli fuerint æquidi$tantes, linea tran$iens perpendiculariter centrum u- nius, nece$$ariò trã$ibit perp\~ediculariter centrũ alterius, ut patet per 68 & 66 t 1 huius. Linea igitur quæ tran$ibit per@centrũ uue{ae} & per centrũ glacialis tran$it per centrũ circuli con$olidationis $phæ rarum glacialis & uitre{ae} cum uuea $ecun dum omnes di$po$itiones $phærarũ & illorum circulorũ: e$t ergo illa linea erecta $uper $uperficiem illius circuli per 66 t 1 huius. Quod e$t propo$itum. Sunt tamen nece$$ariò hi tres circuli circulus unus, quamuis etiam $i fuerint diuer$i circuli, & æquidi$tan tes, eadem propo$ita omnibus occurrunt: $ecundum eundem enim circulum $ecant $e glacialis & uitrea, & amb{ae} ill{ae} $ecant uueam, & con$olidantur $ecundũ eundem circulum cum illa: & e$t ille cir culus ba$is concauitatis nerui optici: & $ic ille unus circulus obtinet officium quatuor circulorum.

11. Sphæram uitream nece$$e e$t $phæræ glaciali eccentricã e$$e: centrum<006> uitreæ ad anteri{us} oculi pl{us} accedere. Alhazen 10 n 1.

Quia enim $uperficies $phær{ae} glacialis, & $uperficies $phær{ae} uitreæ $unt duæ $uperficies $phæri- cæ $ecantes $e: centrum ergo $uperficiei anterioris re$pectu manife$ti oculi, e$t remotius in profun- do, quàm centrum $uperficiei po$terioris per 84 t 1 huius, po$terior uerò harum duarum e$t $uperfi- cies ip$ius uitreæ, ut præo$ten$um e$t in 4 huius. Patet ergo propo$itum.

12. Lineam tran$euntem centrum glacial{is} & uueæ, centrũ quo<005> uitreæ, & medium concau@ tat{is} nerui optici nece$$arium e$t tran$ire. Alhazen 11 n 1.

Quia linea recta tran$iens centrum $phæræ glacialis & uue{ae}, producta $uper centrum circuli con $olidationis glacialis cum uuea, perpendicularis e$t $uper $uperficiem circuli con$olidationis $phæ rarum glacialis & uitreæ cum uuea, ut patet per 10 huius. Huic autem circulo aut idem e$t circulus inter$ectionis glacialis cum uitrea, aut æquidi$tans ei: quocunq; uerò i$torũ modorũ exi$tente, $em per erit prædicta linea perpendicularis $uper circulũ $ectionis $phæræ glacialis cum uitrea: palàm ergo per 83 t 1 huius, quoniam ip$a tran$it per centrum $phæræ uitreæ. Quia ergo linea i$ta tran$it per centrum uitreæ, patet per 82 t 1 huius, quòd ip$a nece$$ariò centrum circuli cõ$olidationis per- pendiculariter tran$ibit. Extenditur ergo in medio cõcauitatis nerui optici, $uper qu\~e componitur oculus: quoniã circulus con$olidationis e$t ba$is, & extremitas cõcauitatis nerui optici, ut patet ex 4 huius. Quia uerò o$ten$um e$t $uprà per 9 huius, quòd inter centrum oculi & centrum uueæ pro- ducta linea centrum circuli $ectionis uueæ, & medium concauitatis nerui optici nece$$ariò pe- LIBER TERTIVS. netrat, cum ab eodem puncto, ut à medio nerui optici $uper eandem $uperfieiem plures perpendi- culares non po$$unt produci, ut patet per 20 t1 huius: palàm quoniam linea eadem per cétrum cir- culi $ectionis $phæræ uueæ & glacialis, & centrum uueæ & centrum oculi, & $ph{ae}ræ glacialis & ui- treæ, & per centrum circuli con$olidationis e$t tran$iens. Patet itaq; ex præmi$sis, quòd una & ea- dem linea tran$it per inedium cócauitatis nerui optici & per duo media omnium tunicarum oppo- $itarum $oramini uueæ: & e$t ip$a per 74 t 1 huius, perpendicularis $uper $uperficies omnium tuni- carum oppo$itarum foramini uueæ: & e$t perpendicularis $uper $uperficiem foraminis uue{ae}: & e$t perpendicularis $uper $uperficiem circuli có $olidationis: & extenditur in medio concauitatis ner- ui optici, $uper qu\~e componitur oculus: & ip$a e$t axis totius oculi: qui in propo$ita $uperius figu- ratione e$t in rectitudine literarum f a, exten$a per medium concauitatis nerui optici.

13. Vi$us non coprehendit res ui$as ni$icorpore medio diaphano exi$t\~ete. Alhaz. 22.41 n 1.

Quia enim, ut patet per 6 huius, ui$io non e$t ni$i ex a ctione form{ae} uifibilis uenientis àre ui$a ad ui$um: formæ uerò non extenduntur ni$i in corporibus diaphanis con$imilis diaphanitatis, in qui- bus fit lucis & formarum exten$io fecundum lineas rectas, ut patet per 1 t 2 huius. Cum ergo lineas productas à rebus ui$ibilibus ad ui$um nõ ab$cindit aliquod corpus medium non diaphanum: túc perueniunt formæ ad ui$um, & ui$io completur: quòd $i aliquod corpus non diaphanum interue- nerit, impeditur multiplicatio formæ ad ui$um. Patet ergo propo$itum.

14. Non fit ui$io corpore ui$ibiliexi$t\~ete $imilis diaphanitatis cum medio. Alhazen 42 n 1.

Si enim corpus ui$ibile $it diaphanum: tunc non e$t coloratum, nec e$t habens formam lucis, $ed $olum lucidi: ergo non uidetur, quoniam ut patet per 4 t 2 huius, luxnon figitur in corporibus dia- phanis taliter, utip$a tingat, uel quòd eis præ$tet actum ui$ibilitatis. Cum ergo diaphanitas corpo- ris ui$ibilis fuerit $imilis diaphanitati aerisιtune erit eius di$po$itio $icut di$po$itio aeris, & non ap- prehenditur à ui$u, $icut nec aer. Et $imiliter e$t de alio medio quocunq,: nullum enim talium uide- tur, cum diaphanitas rei ui$æ non fuerit $pi$sior corporis medij diaphanitate. Si uerò corpus ui$um fuerit diaphanum, $ed minus quàm medium: $icuti cry$tallus re$pectu aeris: tunc res ui$a, quoniam habet aliquem colorem re$pectu $uæ $pi$situdinis, uidebitur per mediũ aerem ueluti res colorata: quoniam cum lux oritur $uper ip$um, $igetur in ip$o aliqua $ixione, $cilicet $ecundum id, quod e$t in ip$a de $pi$situdine, & pertran$ibit in eo $ecundũ $uam diaphanitatem: & erit in eo forma in aere $ecundum colorem & lucem, qu{ae} $untin $ua $uper$icie, & illa forma cum peruenerit ad ui$um, ope- rabitur in ui$um, & $entiet ui$us rem ui$am. Patet ergo propo$itum.

15. Inter ui$ibile & oculi $uper$ici\~e di$tantiam mediam nece$$ariũ e$t e$$e. Alhazen 37 n 1.

Non enim apprehendit ui$us rem ui$ibilem, ni$i quádo fuerit in ea aliqua lux media perιhuius: hoc autem non e$t ni$i per mediam di$tantiam. Quando ergo ui$ibile fuerit $uperpo$itum ui$ui $ine medio, tunc ip$um non uidetum: res enim per $e lumino$æ non po$$unt immediatè $uperficiei ui$us applicari: talia enim $unt, ut $tellæ & ignis, quæ ui$ui immediatè non po$$unt applicari: quoniam ex eorum applicatione $equeretur corruptio uidentis. Reliqua uerò corpora nõ lumino$a $i ui$ui ap- plicentur, illa $ine lumine non uidebuntur requiritur ergo media di$tãtia inter illa corpora, & inter $uperficiem ip$ius ui$us, in qua $e diffundant corporum illorum formæ mediante luce. Et etiã cor- poribus ui$ibilibus ip$i ui$ui immediatè applicatis: tunc corpus oculi $ecundum $itum $uum pro- hibetur à ui$uali operatione. Quia enim ui$io non fit, ni$i ex parte oppo$ita foramini uueæ, ut patet per 4 huius: $i ergo ui$us comprehendat rem ui$ibilem per immediatam applicationem: non com- prehendetillam ni$i $ecundum partem applicatam foramini uueæ, & nõ comprehendet re$iduum rei ui$æ: & $i imaginetur res ui$a moueri $uper oculi $uper$iciem quou$q; ui$us totã illam rem con- tingat, non propter hoc erit iudicium per ui$um, $ed potius per tactum: nec enim $ic aget in ui$um forma ui$ibilis, qu{ae} e$t forma multiplicata extra rem $en$ibilem, $ed res ip$a. Non ergo erit ui$io, ni$i inter ui$ibile & oculi $uperficiem $it aliqua media di$tantia. Et hoc proponebatur.

16. Vi$io non $it $ine dolore & pa{$s}ione à $ub$tãtia oculi ab{ij}ciente, Ex quo patet, ui$um opor- tere conuenientis di$po$itionis in $anitate e$$e ad hoc, ut completè exerceat ui$ionem. Alhazen 26. item 1.2 n 1.

Quoniam enim glacialis recipit formam lucis & coloris: & lux & color operantur in glacialem: erit nece$$ariò illa operatio non $ine dolore, quáuis quandoq; non $entiatur ille dolor, ut cum non e$t ualde fortis. Luces uerò fortes angu$tiant ui$um, & læduntip$um manife$tè, ut patet in luce $o- lis, uel in luce reflexa à corporibus politis ad ui$um. Et quia operatio omnis lucis in ui$um e$t ex uno genere, non diuer$ificata ni$i $ecundum magis & minus: & maior operatio cuiuslibet lucis in ui$um e$t ex genere doloris, & non diuer$ificatur in hoc ni$i $ecundum magis & minus, $ic etiam quòd quandoq; latet dolorip$um $en$um: $emper tamen illa pa$sio quantumcũq; in$en$ibilis abij- cit à $ub$tantia oculi. Exhoc ergo patet, quòd oportet ui$um conuenientis di$po$itionis in $anitare e$$e ad hoc, ut completè exerceat ui$ionem: quoniam $emper compreh\~e$io ui$ibilium à ui$u e$t $e- cundum $ortitudinem ui$us: quia $en$us ui$us oculorum diuer$ificatur $ecundum uigorem & de- bilitatem ip$orum: humidi enim oculi citius læduntur à lucibus & coloribus, & $icci minus. Et hæc uoluimus declarare.

VITELLONIS OPTICAE 17. Vi$io di$tinctafit $olùm $ecũdum perpendiculares lineas à punctis reiui$a ad oculi $uper- ficiem productas. Ex quo patet, omnem formam ui$am $ic ordinari in oculi $uper$icie, $icui e$t ordinatain $uperficierei ui$æ. Alhazen 15.18 n 1.

Licetenim, uto$ten$um e$t in 6 huius, tota forma rei ui$ibilis agat in ui$um, & in quodlibet pun- ctum $uperficiei ui$us: quia tamen per 20 t1 huius forma tantùm unius puncti totius $uperficiei rei ui$æ oppo$itæ ui$ui perpendiculariter incidit uni puncto $uperficiei ui$us, & $ormæ omnium pun- ctorum re$iduorum $uperficiei rei ui$æ ueniunt ad illud idem punctũ $uperficiei ui$us $uper lineas declinantes per 13 p 11, & in quoliber puncto $uperficiei ui$us tran$euntin eodem tempore formæ omnium punctorum, quæ $unt in $uperficiebus omnium ui$ibilium oppo$itorum ui$ui in illo tem- pore: quoniá $uppo$itum e$t in principio huius 6 $uppo$itione, ui$um $imul diuer$a ui$ibilia uidere: $ola uerò forma puncti, quæ perpendiculariter incidit illi puncto $uperficiei ui$us, per 47 t1 huius tran$it rectè per diaphanitatem omnium tunicarum oculi: formæ uerò omnium aliorum punctorũ refringuntur, & tran$eunt per diaphanitatem tunicarum ui$us $ecundum lineas declinantes $uper fuperficiem ui$us: & etiam ex quolibet puncto $uperficiei glacialis erit una tantùm perpendicula- ris $uper $uperficiem ui$us: quoniam cũ $phæræ glacialis & totius oculi $itidem centrũ, utpatet per 7 huius: qu{ae}cunq; linea fuerit perpendicularis $uper $uperfici\~e unius, & $uper alterius $uperficiem, perpendicularis erit per 74 t1 huius: $icut autem ex eodem puncto $uperficiei $phæræ glacialis $e- cundum ponentes radios egredi à ui$u, exeũt lineæ infinitæ ad $uperfici\~e ui$us, quæ $unt declinan tes $uper $uperficiem ui$us: $ic à puncto aliquo $uperficiei glacialis, ex quo exit perpendicularis $u- per $uperficiem ui$us, & pertran$it foramen uueæ, exeũt lineæ aliæ infinit{ae} tran$euntes in foramen uueæ, & peruenientes ad $uperfici\~e ui$us declinantes. Et $icut radij imaginati egredi à ui$ibus quá- do fuerint imaginati refringi $ecundũ modũ differ\~etiæ diaphanitatis corneæ à diaphanitate aeris, per 47 t 2 huius perueniunt ad diuer$a loca & ad puncta diuer$a in $uperficiebus rerum ui$ibilium oppo$itarũ ui$ui in uno tempore, & nulla i$tarum linearũ occurrit puncto, quod e$t apud extremi- tatem perpendicularis. Sic etiam $ecundũ nos ponentes radios non egredi, $ed formas diffundi ad ui$um, formæ punctorũ ui$ibilium, quæ $unt apud extremitates harum linearum, extenduntur $e- cundum rectitudinem harum linearũ, & perueniũt ad $uperficiem ui$us, & per 47 t 2 huius refrin- guntur ad idem punctũ $uperficiei glacialis: $olus autem punctus, qui e$t apud extremitatem per- pendicularis, non refrin gitur, $ed $emper extenditur $ecundú rectitudinem perp\~edicularis, & per- tran$it ad illum punctũ glacialis. Si itaq; glacialis $ecundũ lineas non perpendiculares $entiat: tunc puncti, qui $unt in $uperficiebus ui$ibilium, nunquá ordinabuntur in $en$u $ecundũ modum ordi- nis $ui in $uperficie rei ui$æ: quoniam in eodem puncto occurrũt formæ admixtæ ex multis formis diuer$is, & ex coloribus diuer$is, & nõ di$tinguetur aliquid in illis: $ed $i glacialis $ecundum lineas perpendiculares tantùm $entiet: tunc di$tin guentur in eo puncti, qui $unt in $uperficiebus ui$ibi- lium, nec erit differ\~etia $itus & ordinationis formarum ui$ibilium in $uperficie glacialis & in rebus ui$ibilibus, quæ $unt extrà. Quoniam autem $ecũdum 5 $uppo$itionem no$tram formæ ui$ibilium perueniunt ad ui$um $ub figuris, quas hab\~et in rebus extrà: patet quòd $ecundũ $olas perpendicu- lares lineas fit ui$io: tunc enim $olùm forma ui$a $ic ordinatur in oculi $uperficie, $icut e$t ordinata in $uperficie rei ui$æ. Patet ergo propo$itum. Omnes itaq; lineæ diffu$ionis quarumcunq; ui$arum formarũ, quæ $unt perpendiculares $uper $uperficies tunicarũ ui$us, contin\~etur in pyramide, cuius uertex e$t centrũ ui$us, & cuius ba$is e$t circulus foraminis uueæ, uel pars $uperficiei illius circuli: & quantò magis exten ditur bæc pyramis, & remouetur à ui$u, tantò magis amplificatur: & omnes formæ rerum cadentiũ intra illam pyramidem, extendũtur in rectitudinem linearũ radialiũ, & per- tran$eunt tunicas oculorũ refractæ: & hác pyramidem dicimus pyramidem radialem. Formæ uerò rerum ui$ibiliũ, quæ $unt extra hanc pyramidem, nun quam incidũt per aliquam illarũ linearũ per- pendiculariũ, $ed fortè accidit ip$as ext\~edi per lineas rectas, quæ $unt inter ip$as & $uperfici\~e ui$us oppo$itam foramini uueæ, & illæ form{ae} refringũtur à diaphanitate tunicarũ ui$us, & nó perueniũt ordinatè ad uirtutem ui$iuam: unde non fit di$tincta ui$io $ecundũ illas: ueruntam\~e illas $ormas re- fractas aliqualiter accidit uideri, $ed indi$tinctè, in cócur$u $cilicet ip$arum cũ lineis perpendicula- ribus à c\~etro oculi extra pyramidem radialem productis. Dicimus autem nũc $uperficiem ui$us illá partem $uperficiei oculi, quæ e$t oppo$ita $uperficiei foraminis uueæ. Quòd autem ui$us compre- hendat quádoq; illa, quæ $unt extra pyramid\~e radialem, patet experimentaliter. Extremitas enim acus uel $tipulæ $ubtilis po$itæ in po$tremo oculi, utinter palpebras uel in parte lachrimali quie- $cente ui$u, uidebitur, cũ tamen illa extremitas $it extra pyramidem radial\~e. Similiter quoq; in ei$- dem locis circa oculũ erecto indice uel alio digito extra pyramid\~e radialem, quæ ualde $ubtilis e$t, quoniam pyramidalitas eius nó e$t ampla: unde nihil $ui peruenit ad loca, quæ circũdant oculũ, ui- debitur tamen $uperficies ip$ius indicis uel alterius digiti. Forma itaq; i$torũ ui$ibiliũ peruenit ad $uperfici\~e ui$us per lineas obliquas, quæ $unt extra pyramid\~e radial\~e. Patet ergo, quòd formæ rerũ taliter $ituatarũ re$pectu pyramidis radialis, perueniũt ad $uperfici\~e ui$us ք refraction\~e factã in $u- perficie ui$us ab aere, <003> e$t rarioris diaphani, quá $int tunicæ ip$ius ui$us. Quòd aũt refractio fiat in $uքficie ip$i{us} ui$us formarũ obliquè ui$ui incid\~etiũ, patet etiá in illis, quorũ formæ ni$i {pro}hiber\~etur, cader\~et intra pyramid\~e radial\~e. Si enim acus uel alia res $ubtilis minuta directè oppo$ita foramini uueæ interponatur ui$ui & parieti albo: uidebitur tñ forma toti{us} parietis, cũ $ecũdũ ueritat\~e formæ LIBER TERTIVS. partis parietis directè oppo$itæ acui & ui$ui, directè nõ perueniat ad $uperficiem ip$ius ui$us, per- uenit autem, ut patet, quoniam uidetur. Palàm ergo, quoniam peruenit per refractionem factam in $uperficie ip$ius ui$us: omnia autem hæc uid\~etur indi$tinctè: unde reductis ip$is intra pyramidem radialem, & ablato quolibet corpore interpo$ito, uidebuntur illarum formæ di$tinctè & per$ectius quàm prius. Fit ergo ui$io di$tincta $olùm $ecundum perpendiculares lineas à punctis rei ui$æ ad oculi $uperficiem productas: indi$tincta uerò ui$io fit per lineas non perpendiculares, & ita ui$io indi$tincta coadiuuat di$tinctam.

18. Omnium formarum ui$ibilium di$tincta ui$io fit $ecundum pyramidem, cuius uertex e$t in centro oculi, ba$is uerò in $uperficie rei ui$æ. Ex quo patet, omne quod uidetur, $ub angulo ui- deri. Euclides 2 hypotbe.opt. Alhazen 19 n 1.

Cum per 6 huius omnis ui$io fiat ex actione form{ae} ui$ibilis in ui$um: & quælibet pars formæ ui- $ibilis & pũctus $e multiplicet per medium extrin$ecum ad oculi $uperficiem totam: & tota $uper- ficies rei ui$æ ad unum punctũ oculi: quia tamen oculorũ tunicæ $unt alterius diaphanitatis quàm aer extrin$ecus: $olæ illæ lineæ formarum à $uperficie rei ui$ibilis ad $uperfici\~e oculi productæ, qu{ae} protractæ centrum oculi penetrant, cum $int perpendiculares $uper $uperficiem oculi, non refrin- guntur in medio diaphani ip$ius corneæ, ut patet per 72 t 1 huius, & 47 t 2 huius, & per præ mi$$am: aliæ uerò lineæ omnes refringuntur, quia incidunt obliquè: unde nõ fit ui$io $ecundum illas. Quo- niam autem $olus glacialis propriè e$t organum ui$us, & non $uperficies oculi, quæ e$t pars $ph{ae}ræ corneæ: oportet nece$$ariò ut lineæ, per quas debet fieri ui$io, perueniát ad glacialem. Et quia non e$t po$sibile, ut ui$us comprehendat rem ui$am $ecundum $uum e$$e, ni$i quando apprehendit for- mam unius puncti rei ui$æ ex uno tantùm puncto $uæ $uperficiei: quoniam, ut in præmi$$a o$t\~e$um e$t, omnis forma rei ui$æ $ic ordinatur in oculi $uperficie, $icut e$t ordinata in $uperficie rei ui$æ. Nõ e$t ergo po$sibile, ut glacialis comprehendat rem ui$am $ecundum $uum e$$e, ni$i quando compre- hendit colorem uel $ormam unius puncti rei ui$æ ex uno tantùm puncto $uperficiei ui$us uenien- tem ad $e. Et cum centrum oculi & centrum $phæræ glacialis, $icut patet per 7 huius, $it idem pun- ctum: nece$$e e$t, quòd omnes lineæ perpendiculariter productæ à punctis ui$ibilium $uper $uper- ficiem oculi diaphanam concurrant in centro glacialis: erunt\’q; quid\~e diametri in $uperficiebus tu- nicarum oculi perpendiculares $uper ip$as tunicas oculi: erit\’q quælibet perpendicularis occurr\~es $uperficiei corneæ in puncto uno, & occurrens $uperficiei glacialis in puncto uno: & una tantùm perpendicularis tran$it per punctum aliquod glacialis à centro corneæ per ip$am $uperficiem cor- neæ $uperpo$itam illi puncto glacialis, quæ $it perpendicularis $uperficiem rei ui$æ: quoniam per 20 t 1 huius ab aliquo puncto $uper $uperficiem unam una tantùm perpendicularis duci pote$t. Vnde cum $uperficies rei ui$æ fuerit æ quidi$tãs $uperficiei ip$ius ui$us, erit per 23 t 1 huius illa linea perpendicularis $uper $uperficiem ui$us & $uper $uperficiem rei ui$æ: aliæ uerò lineæ omnes $unt obliquæ $uper $uperficiem rei ui$æ, quamuis productæ ad centrum ui$us, fiant perpendiculares $u- per $uperficiem ui$us, & $uper $uperficiem ip$ius glacialis. Forma ergo cuiuslibet puncti $uperficiei rei ui$ibilis mota ad ui$um $ecundum lineam unam perpendicularem productam ab eo ad $uperfi- ciem ui$us, occurrit $uperficiei ui$us $uper unum punctum, $uper quem non occurrit ei aliqua for- marum punctorum aliorum rei ui$ibilis. Productis ergo a quolibet pũcto $uperficiei rei ui$ibilis ad c\~etrum oculi lineis: palàm, quoniam i$tæ lineæ productæ in diuer$is punctis oculi, $uperfici\~e $phæ- ricam oculi $ecabunt, & omnes in centrum oculi concurrent: quia omnes lineæ i$tæ continentur qua$i in uno corpore continuo, quia à punctis qua$i continuis unius $uperficiei rei ui$æ ad unum punctum, qui e$t centrum oculi, terminantur. Palàm ergo, quoniam omnes i$tæ lineæ imaginandæ $untin quadam pyramide uerticem habente in c\~etro oculi & ba$im in $uperficie rei ui$æ: erit enim forma cuiu$cunq; puncti $uperficiei rei ui$æ exten$a $ecundum rectitudinem lineæ, quæ e$t inter illud punctum & uerticem pyramidis, qui e$t centrum ui$us: & omnes tunicarũ oculi & humorum $uperficies $ecant hanc pyramidem, quoniam formæ penetrant per illas: & ob hoc, quia $uperficies glacialis conuexa $ecat hác pyramidem qua$i æ quidi$tanter ba$i, figuratur in illa $uperficie glacia- lis qua$i noua pyramis, cuius ba$is e$t in ip$a $uperficie glacialis & uertex, ubi prius, & ba$es illarũ pyramidum fiunt qua$i $imiles, ut patet per 99 & 100 t 1 huius. Et ex hoc patet, omne quod uidetur, $ub angulo uideri, quem continent lineæ radiales concurrentes in centro ui$us. Patet ergo propo- $itum. Linea itaq; recta tran$iens per omnia centra tunicarum ui$us ad locum gyrationis concaui nerui, $uper quem componitur oculus, quia illa, ut patet ex præmi$sis & 12 huius, tran$it per centrũ ui$us & per centrum foraminis, quod e$t in anteriori uueæ, & per centrum ip$ius uueæ exten ditur in medio pyramidis radialis, dicatur axis pyramidis radialis: aliæ uerò lineæ huius pyramidis di- cantur lineæ radiales.

19. Corpus ui$ibile oportet ut $it alicuius quãtitatis re$pectu $uperficiei ui$us, ad hoc, ut actu uideatur. Alhazen 40 n 1.

Iam enim o$ten$um e$t, quoniã ui$io $emper fit per pyramid\~e, cuius conus e$t in centro oculi, & ba$is in $up erficie rei ui$æ per præmi$$am: & quòd i$ta pyramis di$tinguit ex $uperficie m\~ebri $en- tientis paruã part\~e, in qua ordinatur forma rei ui$æ, ut patet per 17 huius. In rebus ergo ualde par- uis erit pyramis parua, & pars di$tincta per ip$am ex $uperficie conuexa glacialis, quæ e$t primum membrum $entiens, erit qua$i punctus uel ualde parua: $ed membrũ $entiens non $entιt formã, ni$i VITELLONIS OPTICAE quando pars $uæ $uperficiei, ad quam peruenit forma, fuerit quantitatis $en$ibilis, ro$pectu totius oculi, quoniã uirtutes $en$us $unt finitæ, & nõ extenduntur in infinitum: unde $unt $ecundũ unum aliqu\~e terminum, ad qu\~e peruenire pote$t uirtus $en$itiua. Cum ergo pars membri $enti\~etis, ad quá peruenit forma, nõ e$t quantitatis $en$ibilis apud totum membrũ $entiens: tunc nõ $entit membrũ actionem, quá agit $orma rei ui$ibilis in illa parte {pro} pter paruitat\~e ip$ius: quare nõ cõprehendit for- mam rei tam paru{ae}. Solæ itaq; res $unt $en$ibiles actu, quarũ pyramides inter ui$um & centrũ ui$us di$tinguunt ex $uperficie glacialis part\~e aliquã $en$ibilis quátitatis, re$pectu totius $uperficiei gla- cialis: illæ ergo res oportet ut $int alicuius quátitatis re$pectu $uperficiei ui$us. Et hoc e$t {pro}po$itũ.

20. Vi$io non completur, ni$icum ordinatio formærecepta in $uperficie glacialis, ad neruum peruenerit communem. Alhazen 25 n 1.

Quoniam enim, ut patet in 4 huius, in concur$u amborũ neruorum opticorum in anteriori par- te cerebri con$tituta e$t uirtus ui$iua $entiens & dijudicans omne ui$ibile, propter quod in uno ui- dente e$t unitas $en$us ui$us, ob cuius unitatem ambobus ui$ibus unam & eand\~e rem $imul accidit uideri: patet quòd ui$io nõ cõplebitur ni$i cũ forma ui$ibilis unietur uirtuti $enti\~eti, qu{ae} e$t in cõca- uo cõmunis nerui: oportet enim cogno$cibile $emper uniri ip$i cogno$c\~eti. Quia uerò per 17 huius formarum ui$ibiliũ fit ordinatio in ip$ius oculi $uperficie, $icut ordinatæ $unt in $uperficie rei ui$æ, & ex 5 $uppo$itione huius res ui$a $ecundum $itum, figuram & or din\~e $uarum partium uidetur: ne- ce$$e e$t ergo fieri ordinationem formæ in ip$o neruo communi $ecundum modum ordinationis, quo e$trecepta in $uperficie glacialis, & aliter non complebitur ui$io. Patet ergo propo$itum.

21. Humorem uitreum alterius diaphanitatis à glaciali nece$$arium e$t e$$e. Alhaz. 2 n 2.

Si enim diaphanitas i$torum duorum, corporum glacialis $cilicet humoris & uitrei, $it con$imi- lis: tunc (ut patet per 1 t 2 huius, & per 17 huius & per 72 t 1 huius) form{ae} ui$ibiles receptæ in $uper- ficie glacialis non refractæ $ecundum líneas radiales concurrent in c\~etro oculi propter con$imili- tudinem diaphanitatis, & ibi $e inter$ecãtes ulterius $e diffundent. Quia uerò, ut patet per præmi$- $am, ui$io non completur, ni$i po$tquam ordinatio formæ, quæ recipitur in $uperficie glacialis, per- uenit ad neruum communem: $itus autem partium formæ $ecũdum $uum e$$e in $uperficie glacia- lis non pote$t peruenire ad neruum communem, ni$i per exten$ionem eius in cõcauo nerui; $uper quem componitur $phæra glacialis, quia aliter e$t ip$um impo$sibile peruenire: forma uerò nõ po- te$t extendi à $uperficie glacialis ad concauum nerui communis $ecundum exten$ionem linearum rectarum, & cõ$eruare $itus $uarum partium $ecundum $uum e$$e, ni$i natura alterius diaphani cla- rioris $ibi occurrat, ante quá perueniat ad c\~etrum oculi: quoniá $i non $it medium alterius diaphani cõmunis, i$tæ lineæ cõcurrent apud c\~etrum oculi, & efficietur qua$i unũ punctum. Et quia hoc c\~e- trum oculi e$t ante locum unionis neruorum opticorum, patet per 91 t 1 huius, quòd $i ill{ae} lineæ ul- tra c\~etrum oculi debeát ext\~edi, nece$$ariò erit linearum illarum inter$ectio in c\~etro, & po$t c\~etrum creabitur noua pyramis, cuius lineæ longitudinis $ecundum po$itionem & $itum priori pyramidi modo contrario $e habebunt. Cõuertetur ergo totus $itus figuræ rei ui$æ, quem habet in $uperficie rei ui$æ & in $uperficie glacialis, taliter, ut illud, quod e$t in $uperficie glaciali dextrú, fiat $ini$trum apud $en$um, & econtrariò, & $uperius fiat inferius, & econtrariò: nec perueniet aliquid formæ di- rectè ad neruum communem, ni$i $olum unum punctum, quod e$t in extremitate axis pyramidis. Omnes ergo res $ecundum modum $uo naturali $itui contrarium uidentur: quod e$t contra 5 $up- po$itionem, & manife$tè contra id, quod accidit in $en$u. Patet ergo quod nece$$arium e$t, quod i$ti humores $int diuer$æ diaphanitatis. Quod e$t propo$itum.

22. Superficiem communis $ectionis $phæræ glacialis & uitreæ ad anterius c\~etro oculi $itam e$$e: humorem<006> uitreum & $piritum ui$ibilem eiu$d\~e qua$i diaphanitatis, & utra<005>plus dia- phana humore glaciali nece$$e e$t e$$e. Alhazen 30 n 1. Item 4.5.6 n 2.

Quoniam, ut patet per 20 huius, omnis forma rei ui$æ $ecundum $itum, figuram & ordinem $ua. rum partium peruenit ad neruum communem: palàm $icut in præmi$$a o$t\~e$um e$t, quòd nece$$a- rium e$t, quòd fiat aliqua refractio ante peruentum form{ae} ad centrum oculi: quia etiam $i fiat refra- ctio po$t centri tran$itum, erunt nece$$ariò formæ cõuer$æ: quoniá & tunc per 91 t 1 huius erit mu- tatus $itus partium form{ae}. Refractio uerò cum $olum fiat ad perpendicular\~e, uel à perp\~ediculari, ut patet per 47 t 2 huius: palàm, quia non tran$mutat $itum partium, $ed $olum auget uel minuit figu- ram per 49 t 2 huius. Quia uerò glacialis, ad quem perueniunt formæ $ecundum rectitudin\~e, totus e$t unius diaphani: refractio uero nõ fit ni$i medio alterius diaphani: palàm, quia nõ pote$t fieri re- fractio formarum ni$i apud humorem uitreum, cuius corpus, ut in præced\~eti o$ten$um e$t, diuer$æ e$t diaphanitatis à corpore glacialis. Hic ergo humor nece$$ario antecedit c\~etrum oculi, ideo ut re- fringantur formæ apud ip$um, priu$quã perueniãt ad ip$um c\~etrum oculi, quod e$t id\~e c\~etrum hu- moris glacialis per 7 huius: quia aliàs enim in centro illo fieret cõcur$us omnium linearum radia- liú per 72 t 1 huius: quia illæ lineæ $unt omnes perp\~ediculares $uper $uperfici\~e glacialis: accideret quoq; illis formis ulterius progredi\~etibus tran$mutatio $ecundum $itum per 91 t 1 huius, ut pr{ae}mi$- $um e$t: & <003>a hoc e$t impo$sibile, patet ergo, quòd hum or uitreus antecedit c\~etrum glacialis. Quã- uis itaq; glacialis, in quo e$t principiũ $en$us, indigeat lineis radialib. ext\~e$is $ecũdũ rectitudin\~e, eò quòd impo$sibile e$t, ut forma rei ui${ae} $it ordinata in $uքficie ui$us {pro}pter magnitudiné rei ui${ae}, & ք LIBER TERTIVS. unitatem $uperficiei corporis ui$us ni$i per i$tas lineas, per quas completur comprehen$io rei ui$æ $ecundum $uum e$$e: peruentus tamen formarum ad ultimum $entiens non indiget tantùm exten- $ione formarum $ecũdum rectitudinem i$tarum linearum: quoniã receptio formarum in membro $entiente non e$t omnino $unilis receptioni formarum in corpore diaphano: membrum enim $en- tiens recipit i$tas formas propter $uam diaphanitatem, & $entit eas propter eius uirtutem $en$ibi- lem: & $ic recipit formas $ecundũ receptionem $en$us, cum alia corpora diaphana recipiãt formas tantùm ad reprę$entandũ ip$as ui$ui, non aũt ad $entiendum. Qualitas ergo receptionis formarum in humore uitreo $ecundum lineas refractas, e$t propter diuer$itatem $uæ diaphanitatis à corpore glacialis, & propter qualitat\~e receptionis $en$ibilis, quæ non e$t completa in humore glaciali. Sed & corpus $ubtile, quod e$t in concauitate nerui inter humor\~e uitreum & neruum cõmunem, quod corpus nominatur $piritus ui$ibilis, quoniam in ip$o primò di$currunt $piritus ui$ibiles, nece$$e e$t diaphanum e$$e: quoniã $ormæ rerum ui$ibilium quando perueniunt in corpus humoris uitrei, ex- tenditur $en$us ab illo in corpus $entiens exten$um in concauo nerui continuati inter ui$um & an- terius cerebri, & $ecundum exten$ionem $en$us extendũtur formæ ordinatæ $ecundũ $uam di$po- $itionem Patet ergo, quòd ordinatio partium corporis $entientis $ormas, & ordinatio uirtutis $en- tientis æ qualiter e$t nece$$ariò in corpore uitreo, & in omni corpore $ubtili exten$o in cõcauo ner- ui. Cum enim $orma peruenit ad aliquod punctum $uperficiei uitreæ, extenditur directè, & non al- teratur eius $itus in concauitate nerui, in quo extenditur corpus $entiens, & erunt formæ omnium punctorum con$imilis ordinationis adinuicem. Corpus itaq; $entiens, quod e$t in concauo nerui, erit nece$$ariò diaphanum propter receptionem formarũ ui$ibilium: erit\’q; diaphanitas eius qua$i eadem cum diaphanitate humoris uitrei, ut nó obliquentur uel $iant mon$truo $æ formæ apud per- uentum earum ad ultimam $uperficiem uitrei ulcinantem corpori, quod e$t in concauo nerui. Per- tran$eunt ergo $ormæ in i$to corpore $ubtili ratione diaphanitatis, & apparent uirtuti $en$itiuæ ra- tione $pi$situdinis eiu$dem corporis. Sentiens itaq; ultimum, quod e$t in neruo cómuni, compre- henditlucem ex illuminatione corporis huius & colorem ex eius coloratione, quoniá horum $or- mæ tran$eunt & figuntur in ip$o. Fit aut\~e refractio formarum apud humor\~e uitreum tam propter diuer$itat\~e qualitatis receptionis $en$us, quàm propter diuer$itat\~e diaphanitatis humoris glacialis & uitrei. Et $i diaphanitas $uorũ corporum e$$et cõ$imilis: e$$et forma exten$a in corpore uitreo $e- cundum rectitudinem linearũ radialiũ propter con$imilitudin\~e diaphanitatis, & e$$et refracta pro- pter diuer$itat\~e qualitatis $en$us inter hęc duo corpora: & $ic fieret $orma aut mó$truo$a, aut e$$ent duæ formæ. Quádo uerò propter diaphanitatis diuer$itat\~e fit refractio, & diuer$itas qualitatis $en- $us affirmat illá refraction\~e aut obliquation\~e: tunc erit forma po$t obliquation\~e refractionis, forma una ordinata $ecũdum $uarũ partium $itum, figurá, & ordin\~e, qua haber $orma in re extrà, & uirtus $en$itiua $entit formam rei ui$æ ex toto corpore $entiente exten$o à $uperficie ui$us primò $enti\~etis & $en$ibiles formas recipi\~etis u$q; ad cõcauũ nerui cõmunis, quod e$t ultimũ corpus $enti\~es: quo- niam in ip$o cõ$tituta e$t uirtus $en$itiua. Sunt itaq; humor uitreus & corpus, quod e$t in cõcauita- te nerui, eiu$d\~e qua$i diaphanitatis: quia inter ip$a nó fit refractio aliqua $en$ibilis diuer$a, $ed regu- lariter per unitat\~e uirtutis $en$itiuę ad unitat\~e $implicis ext\~e$ionis formę po$t refraction\~e in $uper- ficie uitreæ. Et quoniá in ijs ambobus corporib. $it {pro} gre$sio formarũ ultra centrũ oculi: patet, quòd illa refractio facta e$t à քp\~ediculari erecta à pũcto refractionis $uք $uperfici\~e glacialis: utrũq; ergo illorũ corporũ e$t plus diaphanũ corpore ip$ius glacialis ք 45 uel 47 t 2 huius. Patet ergo {pro}po$itũ.

23. Superficiem communis $ectionis $phæræ glacialis & uitreænece{$s}e e$t planã e$$e: aut par- tem $phæræ maioris, quàm $it $phæra glacialis, & eccentricam $uperficiei oculi. Alhazen 3 n 2.

I$tarum $phærarum glacialis $cilicet & uitreæ cõmunis $ectionis $uperficies e$t nece$$ariò plana, aut talis, qualis proponitur: quoniá oportet $uperfici\~e huius $ectionis e$$e $imilis ordinationis, ita quòd eius extremitates ordin\~etur in cõ$imili & ead\~e di$tantia à c\~etro oculi, ut nõ appareãt formæ mon$truo$æ po$t refraction\~e. Superficies cõ$imilis ordinationis, aut e$t plana, aut e$t $phærica: hæc aut\~e $uperficies nõ pote$t e$$e ex $phæra cõcentrica oculo: tũc enim e$$ent lineæ radiales, quæ $unt perp\~ediculares $uք $uperfici\~e glacialis: perp\~ediculares etiá $uper ip$am ex 74 t 1 huius: & nõ fieret refractio $ormarũ, $ed cõcurrerent in c\~etro, & fierent formæ mon$truo$æ, $icut per præmi$$am o$t\~e- $um e$t. E$t ergo illa $uperficies, $i $uerit pars $phæræ, nece$$ariò eccentrica oculo: ergo non pote$t e$$e ex $phæra minore quàm $it $phæra ecc\~etrica oculo: quoniã ratione diuer$itatis c\~etri formæ cõ- currer\~et ante peruentũ $uum ad centrũ oculi: minoris enim $phæræ min or e$t diameter quantũ e$t de natura $phæricitatis, & propter maior\~e diaphanitat\~e $phæræ uitreæ $uper glacial\~e, qu{ae} o$t\~e$a e$t in præmi$$a, refringer\~etur formæ ab ip$a perpendiculari per 47 t 2 huius, ratione rarioris diaphani, cui incidũt: ratione uerò $phæræ minoris in $uperficie cõmunis $ectionis franger\~etur ad perpendi- cular\~e. Sic ergo e$$icer\~etur formæ mon$truo$æ, quoniá proceder\~et ad perpendicular\~e ratione $uæ perp\~edicularis $uper $uperfici\~e $phæricá, quæ perp\~ediculares $emper tran$eũt per centrũ per 72 t 1 huius, & refringer\~etur à perp\~ediculari. I$ta ergo $uperficies e$t aut plana aut $phærica, utpote pars $phæræ alicuius bonæ quátitatis, ita quòd $phæricitas eius cõueniat ordinationi $ecundũ propor- tion\~e refractionis à perp\~ediculari, quæ fit {pro}pter naturã alterius diaphanitatis. Omnes ergo formæ perueni\~etes in $uperfici\~e glacialis, extendũtur per corpus glacialis $ecundũ rectitudin\~e linearũ ra- dialiũ, quou$q; peruenerint ad i$tá $uperfici\~e: tunc refringũtur apud ip$am $ecundũ lineas cõ$imilis ordinationis $ecátes lineas radiales. Forma itaq; perueni\~es in ali quod pũctum $uperficiei glacialis, VITELLONIS OPTICAE $emper extenditur $uper ean dem incidentiam lineæ ad idem punctum $uperficiei ui$us, & ad idem punctum loci nerui communis: à quibuslibet ergo duobus punctis cõ$imilis $itus in re$pectu duo- rum neruorum extenduntur duæ formæ ad idem punctum in neruo communi, donec fiat perfecta unitas formarum.

24. Inter omnes lineas pyramidis radialis nece$$e e$t $olum axem tran$euntem per centrum for aminis uueæ $uper $uperficiem communem glacialis & uitreæ, & $uper po$teriorem $uper- ficiem uitreæ perpendicularem e$$e. Alhazen 7 n 2.

Axis enim hic, $i non fuerit perpendicularis, $ed declinás $uper aliquam i$tarum $uperficierum. accidet diuer$ificatio ordinationis formarum peruenientium ad illam $uperficiem, & mutabuntur di$po$itiones illarum formarum propter declinationem axis: $olùm enim tũc, cum axis fuerit per- pendicularis $uper $uperficiem glacialis, perueniet forma rei ui$æ in $uperficiem glacialis ordinata $ecũdum ordinem partium $uperficiei rei ui$æ, & perueniet forma puncti, quod e$t apud extremi- tatem axis in $uperficie rei ui$æ, ad punctũ, quod e$t $uper axem in $uperficie glacialis, ut patet per 17 huius. Et quia axis radialis e$t perpendicularis $uper $uperficiem glacialis, palàm ex 18 p 11, quo- niam omnes $uperficies planæ exeuntes ab axe, & $ecantes $uperficiem glacialis, erunt perp\~edicu- lares $uper i$tam $uperficiem. Et quia $uperficies humoris uitrei re$piciens ip$am $uperficiem gla- cialis, quæ e$t cómunis $ectio $phæræ glacialis & uitreæ, ut patet per præmi$$am, aut e$t $uperficies plana, aut $phærica, & centrum eius non e$t centrum ui$us: $i ergo axis radialis e$t declinans $uper i$tam $uperficiem, & non e$t perpendicularis $uper ip$am, non exibit ab axe $uperficies plana per- pendicularis $uper i$tam $uperficiem, ni$i una tantũ $uperficies, illa $cilicet, qu{ae} tran$it per inæ qua- litatem maximam angulorum, quæ patet per 30 t 1 huius: & omnes $uperficies re$iduæ exeuntes ab axe, erunt declinantes $uper ip$am $uperficiem uitreæ. Si enim du{ae} $uperficies uel plaures exeuntes ab axe, $unt perpendiculares $uper dictam $uperficiem, cum illæ $uperficies de nece$sitate $e inter- $ecent, & $ua communis differentia $it axis pyramidis radialis: erit per 19 p 11 axis perpendicularis $uper eandem $uperficiem: datum autem fuit, quòd e$$et declinans. Sit itaq; centrum oculi punctũ c: in $uperficie quoq; oculi $iue in ip$a $uperficie glaciali, quæ per 7 huius & per 73 t 1 huius æ qui- di$tat $uperficiei ip$ius oculi, $it linea b a d: & a b d h g e f i c in $uperficie humoris uitrei recipiente humo rem glacialem $it linea e g f: $it\’q; axis pyrami- dis radialis linea a c. Imaginemur ergo $uper- ficiem a b c d exeũtem ab axe, & erectam $u- per $uperficiem glacialis tran$eunt\~e per cen- trum oculi, quod e$tc: & hæc $uperficies ere- cta $it etiá $uper $uperficiem humoris uitrei, quæ e$t e g f: $it\’q; communis $ectio huius $u- perficiei erect{ae} a b c d cum ip$a $uperficie gla- cialis linea b a d: & $int puncta b & d æ quali- ter di$tantia à pũcto a, quòd $it terminus axis pyramidis ui$ualis: & $it cõmunis $ectio eius cum $uperficie humoris uitrei linea e f: exeant quoq; duæ lineæ à centro c, quæ $int c b & c d: erunt ergo i$tæ du{ae} lineæ c b & c d cum axe c a in $uperficie communi perpendiculari $uper $uper ficiem e g f per 1 p 11: quoniam omnia puncta c b d $unt in illa $uperficie: erunt\’q ex hypothe$i duo anguli a c d & a c d {ae}quales: quod patet per 8 p 1, $i illis arcubus b a & a d $ubtendátur chordæ b a & d a: $int quoq; lineæ c b & c d $ecantes lineam e f, quæ e$t com- munis $ectio dictæ $uperficiei erect{ae} & $uperficiei uitreæ $uper duo pũcta f & e: $ecet\’q; axis c a ean- dem lineam e f $uper punctum g. Si ergo $uperficies, quæ e$t communis $ectio $phæræ glacialis & uitreæ, e$t plana: erit differ\~etia communis, quæ e$t e g f, linea recta: & $i axis a c fuerit declinans $u- per $uperficiem uitreæ, & ip$a e$t in $uperficie a b c d erecta $uper $uperficiem e g f: tunc nece$$ariò erit axis c a declinans $uper lineam e f: erunt ergo anguli e g c & f g c inæquales: quoniam linea à puncto g perpendiculariter producta $uper lineam e g f e x 11 p 1 faciet angulos æquales cum linea e f. Cum itaq; anguli e g c & f g c $int in{ae}quales: angulus quoq; c g f $it exempli cau$$a, minor angulo c g e, & duo anguli a c b & a c d $int æ quales: erunt per 24 p 1, duæ lineæ e c & e f in{ae}quales: e$t enim linea e f breuior quàm linea e c: $i enim illæ lineæ $int æquales, cum anguli e c g & f c g $int æquales, & linea g c communis ambobus triangulis: erũt per 4 p 1 anguli e g c & f g c æ quales, quod e$t con- tra datum: cum axis a c $it declinans $uper lineam e f. Sit ergo linea c g æ qualis lineæ c e, & ducatur linea h g, quæ per 4 p 1 & ex præmi$sis eritæqualis lineæ e g: & à puncto g ducatur perpendicularis g i $uper lineam c h per 12 p 1. Ex penultima ergo primi latus g h oppo$itũ angulo recto in triangulo. h i g, e$t maius latere g i: ergo per 19 p 1 erit linea g h maior quàm linea g f: cum enim angulus g f h $it extrin$ecus angulo g i f recto: palàm, quòd an gulus g f h e$t obtu$us: e$tergo maior an gulorum tri- goni f g h: ergo linea e g, quæ e$t æ qualis lineæ g h, maior e$t quàm linea g f: erunt ergo duo puncta e & f diuer$æ di$tantiæ à puncto g: & i$ta duo puncta e & f $unt illa, ad quæ perueniunt formæ duo- rum punctorum $uperficiei glacialis, $cilicet b & d, quæ $unt æqualiter di$tantia ab axe. puncta itaq; æqualiter di$tantia ab axe in $uperficie glacialis, inæqualiter di$tant à puncto axis incid\~etis $uper- ficiei uitreæ: quod cum ita $it, palàm, quia cum forma peruenerit â $uperficie glacialis ad $uperfici\~e LIBER TERTIVS. humorĩs uitrei, erit ordinatio formæ non $ecundum e$$e, quod habet in $uperficie glacialis, nec $e- cundum $uum e$$e in $uperficie rei ui$æ. Quando ergo axis fuerit declinãs $uper $uperfici\~e planam, qu{ae} e$t cõmunis $ectio $uperficiei glacialis & uitreæ: erit linea, qu{ae} e$t differentia cõmunis cuiusli- bet $uperficiei, exeuntis ab axe, erectæ $uper $uperfici\~e, & $uperficiei ip$ius uitre{ae}, cõgitin\~es cũ axe duos angulos in æquales, pr{ae}terquã in una tantùm $uperficie, quæ $ecat $ecundum angulos re- ctos $uperficiem tran$euntem per decliuitatem axis: quoniam huius tantũ $uperficiei cõmunis dif- ferentia continebit cum axe angulos rectos. Et cum duo anguli prædicti fuperint inæ quales, & angu li apud centrum glacialis {ae}quales: erunt du{ae} partes differenti{ae} cõmunis, qu{ae} e$t in $uperficie uitrei, in{ae}quales. Form{ae} ergo $ecundum i$ta puncta, quæ $unt in extremitatib. i$tarum differentiarũ perue nientes ad $uperficiem uitre{ae}, erunt diuer$æ di$tantiæ à puncto axis, quod e$t in i$ta $uperficie: $ed quia puncta i$tarum linearum in $uperficie glacialis æ qualiter di$tant à puncto axis: in ead\~e $uperfi cie uidebuntur formæ non $ecundum $uam ordinationem in $uperficie glacialis & in rei ui$æ $uքfi cie. Similiter quoq; demon$trandum, $i $uperficies uitre{ae} fuerit $phærica, & fuerit axis declinans $u per ip$am: tunc enim axis non tran$ibit per centrum uitre{ae}, & tamen tran$ibit per centrum glacia- lis: line{ae} ergo qu{ae} exeunt à centro glacialis ad puncta, quorum di$tantia à puncto axis in $uperficie glacialis e$t æqualis, continent cũ axe apud centrum glacialis angulos {ae}qualies: & quia centrũ gla- cialis non e$t centrũ uitre{ae}, ut patet per 11 huius, di$tingu\~et i$tæ line{ae} ex $uperficie uitreæ arcus in{ae}- quales. Cum enim linea e c, ut pr{ae}dictum e$t, $it a b d b g e f i c maior <004> linea c f: $it linea c h {ae} qualis line{ae} c e: & protrahatur linea g h, $uper quá de$cripta por- tio circuli e g f, quæ $it g h, erit {ae}qualis portioni e g ք 24 p 3: ideo <003>a chorda e g e$t æqualis chor- d{ae} g h per 4 p 1: producta ergo perpendiculari g i, erit, ut prius, chorda g h maior <004> chorda g f: ergo arcus g h erit maior arcu g f per 28 p 3: er- go & linea recta, qu{ae} e$t e g {ae}qualis line{ae} g h, e- rit maior quàm linea g f recta: arcus ergo e g e$t in {ae}qualis arcui g f per 28 p 3: null{ae} ergo line{ae} cõ tinentes cum axe angulos rectos & exi$tentes cum linea a c in eadem $uperficie, di$tinguunt ex $u- perficie uitre{ae} duos arcus {ae}quales, ni$i du{ae} tantùm line{ae}, quæ $unt in $uperficie $ecante orthogona- liter $uperficiem erectam $uper $uperfici\~e uitreæ. Cũ ergo axis fuerit declinans $uper $uperfici\~e ui- tre{ae}, formæ peruenientes ad $uperfici\~e uitre{ae}, erunt diuer$æ ordinationis, $iue $it $uperficies uitre{ae} plana, $iue $phærica. Cũ uerò axis fuerit perpendicularis $uper $uperficiem uitrei, erit perpen dicula ris $uper omnes differentias quarumcunq; $uperficierum planarum ductarum per lineá a c, & $uքfi ciei ip$ius uitre{ae}: & erunt qu{ae}libet du{ae} line{ae}, exeuntes à c\~etro glacialis, quod e$t unus pũctus axis, continentes cũ axe angulos {ae}quales, & di$tinguentes ex differentia cõmuni, qu{ae} e$t in $uperficie ui tre{ae}, duas partes æquales, $iue $it $uperficies illa plana, $iue $ph{ae}rica: & comprehenduntur formæ à $en$u $ecundũ $uam ordinationem in $uperficie glacialis & in $uperficie rei ui$æ. Et quia talis e$t cõ- prehen$io formarum, ut patet ex 5 $uppo$itione: palã, quia $emper axis pyramidis ui$ualis e$t perp\~e dicularis $uper $uperficiem humoris uitrei anteriorem & po$teriorem: quoniam ead\~e e$t cau$$a & eodem modo demon$trandum. Omnes uerò ali{ae} line{ae} erunt declinãtes $uper has $uperficies, quo- niam procedunt, a c $i $ecare po$sint axem $uper centrum glacialis, & nulla ip$arum tran$it per cen- trum uitre{ae}, $i fuerit $ph{ae}rica, ni$i axis tãtùm per 72 t 1 huius: quoniam $olusille e$t perpendicularis $uperip$am. Patet ergo propo$itum.

25. Motuoculi $ecundum $e totum exi$tente po{$s}ibili: non e$t po{$s}ibile $itum $uarum partium mutart. Alhazen 5. 13 n 1.

O$ten$um e$t in 4 huius, foram\~e e$$e in concauo o$sis, per quod tran$it neruus opticus: $ed inter hoc foramen o$sis & inter circũferentiam glacialis cõiumctam cũ uuea, e$t $patium aliquantuiũ, & neruus opticus extenditur in illo $patio exfine foraminis u$q; ad circũferentiã glacialis $ecundum pyramidalitatem, & amplificatur quor$q; perueniat ad circumferentiam $phær{ae} glacialis, cum qua con$olidatur. Cum ergo i$te neruus declinatur, erit eius declinatio apud foramen cõcauitatis ip$i- us o$sis. Et quoniam cõcauitas o$sis continet totum oculum, declinato $ic neruo, etiam oculus mo uebitur $ecundum $e totũ in i$ta cõcauitate: con$olidatiua enim, qu{ae} con$olidatur cũ eo, quod e$t in an teriori oculi ex neruo & ex tunicis re$iduis $emper e$t cu$todiens $itum eius: declinatio ergo ner ui apud motum oculi non e$t ni$i à po$teriore totius oculi: non e$t ergo po$sibile $itum partiũ oculi mutari, quoniam ut per 7 huius patuit, centrum $uperficierũ tunicarum ui$us oppo$itarum forami- ni uue{ae} & corne{ae}, e$t id\~e cũ centro oculi. Sicut ergo cum mouebitur oculus, non mutabitur centrũ oculi, quoniam $pn{ae}ra aliqua aliqualiter mota, nõ propter hoc mutatur fitus centri: $ic nec centrum $uperficierũ tunicarum oppo$itarũ formamini uue{ae} mutatur: ergo neq; $itus tunicarū oculi mutatur. Quia enim linea tran$iens per centra omniũ tunicarũ & humorũ oculi, tran$it per medium cõcaui- tatis nerui orthogonaliter erecta $uք ba$im pyramidis nerui, ut patet per 9 huius, & linea, qu{ae} trã$it orthogonaliter per centrũ circuli ba$is alicuius pyramidis, nece$$ariò attingit uertic\~e pyramidis ք 89 t 1 huius: in pyramide uerò concaua nerui opticiuertex pyramidis moto oculo nõ mutatur: ne- VITELLONIS OPTICAE ce$$e e$t moto oculo $ecun dum $e totũ, partes eius nullo modo mutari: quoniã linea, quæ trã$it per centra illarum partium, tran$it per mediũ concauitatis nerui optici per 9 huius. Ex quo patet, quòd partes oculi nullo modo mutantur. Declinatio enim partis pyramidalis nerui $uք $uperfici\~e circuli cõ$olidationis e$t $emք declinatio cõ$imilis: partes ergo oculi $ecundũ $uum $itũ non mutantur. Et hoc e$t propo$itum. Et quoniã oculi ambo $unt cõ$imilis di$po$itionis in $uis tunicis & partib, & in figuris $uarũ tunicarũ, & in $itu cuiuslibet bunicarum re$pectu totius oculi: patet, quòd nõ e$t diuer $itas inter illos, quò ad hoc, quod proponitur de $uarũ partium $itus mutatione, ip$is oculis motis: $itus enim linearum ambarum tran$euntium per centra tunicarũ ui$us in utroq; oculorũ e$t $emper $itus con$imilis in omnibus di$po$itionibus oculorum. Patet itaq; illud, quod proponebatur.

26. Vno oculo moto, nece$$e e$t alium eidem conformiter mooueri.

Quoniam enim $itus partium oculinon mutatur in utroq; oculorum, & motus unius oculi fit ք. motum nerui optici in centro foraminis o$sis, motus uerò nerui partialis procedit à puncto nerui communis: quoniam $emper illud, quod mouetur in partib. aliarum, mouetur circa aliquod fixum: motus itaq; nerui partialis incipit in puncto nerui cõmunis ambobus neruis opticis amborum ocu lorum, in quo e$t uirtus animæ $entientis & mouentis. Et quoniam illa uirtus e$t in diui$ibilis & u- niformis & principium, quo primo mouet, e$t corpus naturale $ecundum $ui formam natural\~e indi ui$ibilem: palàm, quòd mouendo unum oculum mouet & alterum: nec enim e$t maior ratio, qua u- num oculum moueat, <004> qua alterum: uno itaq; oculo moto, ambo oculi mouentur, & unus confor- miter alteri mouetur: ut $icut ab eodem principio motus amborum incipit, $ic ad eundem terminũ terminentur ambo ιnotus, & $icut ab uno indiui$ibili incipiũt, $ic ad unum diui$ibile terminentur. Palàm e$t ergo illud, quod proponebatur.

27. Duobus ui$ibus uno ui$ibili directè oppo$itis: nece$$e ect duas figur ari pyramides, quarum communis ba$is e$t $uperficies reiui$æ, & axis cuiuslibet tran$itper centrum for aminis uueæ, et per centrum $ui ui$us.

Quoniã enim, ut patet per 17 huius, $itus partiũ $uperficiei rei ui$æ peruenit ad $uperfici\~e utriu$q; uifus, & in illa figuratur $ecundum lineas perpendiculares ab omnib punctis fuperficiei rei ui$æ ad oculi illius $uperfici\~e productas, quarũ omnium cõcur$us $ecundũ puncta $uarũ incidentiarũ re$pi cit centrũ oculi, cuius $uperficiei incidit, & demũ po$t refraction\~e quælibet illarũ figurarũ peruenit ad mediũ punctum nerui communis: ambarũ itaq; illarum formarũ concur$us fit in puncto medio nerui communis, cui incidunt. Quia itaq; centra duorũ ui$uum $unt duo, palã, quia in ui$ione eiu$- dem rei à duobus oculis duæ pyramides ui$uales modo propo$ito figur antur. Superficies enim rei ui$æ $emper erit ba$is utriu$q; pyramidis ab utroq; oculorũ prodeuntis, propter multiplicationem formæ cuiuslibet puncti $uperficiei rei ui$æ æqualiter ad ui$um, & axis cuiuslibet earum tran$it per centra foraminis uueæ ad centrum $ui ui$us. Sicut enim ui$ibile directè; opponitur uni ui$ui, $ic di- rectè opponitur & alteri, ex pypothe$i: & quoniam ambo ui$us æqualiter mouentur ad aliquid ui- dendum, per pr{ae}mi$$am, patet, quòd $emper in ui$ione unius rei medium punctum $uperficiei ui$us oculi opponitur medio puncto $uperficiei rei ui$æ, uel propinquo illi: medium autem punctũ $uper ficiei ui$us uel oculi e$t centrum foraminis uue{ae} per 4 huius. Forma ergo illius puncti medij $uperfi ciei rei ui${ae} uel puncti propin qui illi, per centrum foraminis uue{ae} peruenit ad centrum $ui ui$us. Et hoc e$t propo$itum.

28. Duobus exi$tentibus oculis, unius rei unam tantùm formam accidit. uideri. Alhazen 27 n 1. Item 9 n 3.

Quoniam enim, ut prius pluries dictum e$t, forma recepta in $uperficie glacialis, pertran$it cor- pus glacialis, deinde extenditur per corpus $ubtile, quod e$t in neruo optico, & uenit ad anterius ce rebri, in quo e$t $entiens ultimum, quod e$t uirtus $en$itiua, comprehendens $en$ibilia, cuius uirtu- tis oculus e$t in$trum entum, recipiens formas rerũ, & reddens eas ultimo $entienti, $ic quòd apud neruũ communem ambobus oculis, cuius nerui $itus à duobus oculis e$t $itus con$imilis, demum completur ui$io: licet ergo du{ae} formæ perueniant in duobus oculis ab una re ui$a; illæ tamen form{ae} amb{ae} qũ perueniunt ad neruũ communem, con currunt & fiunt una forma, & per unionem harum formarum comprehen dit ultimum $entiens formam rei ui$æ, & $ic unius rei tantùm unam formam accidit uideri: ni$i fortè per aliquam occa$ionem interuenientem accidat formas duobus oculis ac ceptas non uniri, eò quòd non concurrunt in unionem amborum neruorũ opticorum: tunc enim duas formas accidit uideri, ut cum a$pici\~es mutauerit $itum unius oculi ad anterius, & alius oculus fuerit immotus. Quando uerò $itus duorum oculorum fuerit naturalis, tunc quia $itus ip$orũ ab u- na re ui$a e$t $itus con$imilis, peruenit forma ab una re ui$a in duo loca con$imilis $itus, & cũ $itus u- nius oculorum fuerit declinans, tunc diuer$atur $itus oculorum ab illa re ui$a, & $ic perueniunt du{ae} form{ae} illius rei ui$æ diuer$i $itus: $ed hoc non ine$t ui$ui naturaliter, $ed $olũ per uiolentiam, quã fa- cit uoluntas uel naturalis debilitas con$uetudini naturæ. Quando itaq; $itus oculorum $uerit natu- ralis, tunc $emper ambobus ui$ibus unius rei unam formam accidit uideri. Quod e$t propo$itum. Duæ ergo formæ ui$i puncti infiguntur in duobus medijs duarum $uperficierum amborum ui$uũ, & quilibet punctus alius formæ ui$æ infigetur in duobus locis con$imilis po$itionis in duobus ui- LIBER TERTIVS. fibus: deinde formæ ui$æ perueniunt ad concauitatem communis nerui, & perueniũt duæ form{ae}, qu{ae} $unt in puncto, quod e$t in duobus axibus illarũ duarum pyramidum ra dialiũ, $ecundum quas fit ui$io, ad punctum, quod e$t in communi axe, & efficiuntur una forma: & qu{ae}libet du{ae} form{ae} qu{ae} $unt in duobus punctis con$imilis po$itionis à duobus ui$ib. peruenient ad idem punctum puncto- rum circum$tantium punctum, qui e$t in axe communi. Sic ergo duæ form{ae} totius rei ui${ae} $uperpo nuntur $ibi, & efficiuntur una forma: & $ic ui$um comprehenditur unum.

29. Omnem punctum formæ incidentem $uperficiebus ui$uum per axes radiales, ad centrum foraminis gyrationis nerui concaui pertingere e$t nece$$e.

Quoniam enim quilibet axium tran$it per centrũ foraminis uue{ae} ad centrum ui$us, ut patet per 27 huius: ergo & pertran$it centrũ ip$ius $ph{ae}r{ae} uue{ae} per 8 huius: omnis uerò linea recta producta inter centrum oculi & uue{ae}, centũ circuli $ectionis uue{ae} & medium punctum concauitatis nerui nece$$ariò penetrabit per 9 huius: palá ergo, cũ perp\~edicularis $emքmaneat irrefracta per 47 t 2 hu ius, quòd omnem punctum form{ae} incidentem $uperficieb, ui$uum per axes radiales ad centrum gy rationis nerui communis pertingere e$t nece$$e: ab hoc autem puncto diffun ditur forma ad me- dium punctum nerui communis: & quoniam medius punctus nerui communis e$t tantùm unus: palàm, quia axes amborum ui$uum in uno puncto nerui communis $emper concurrunt. Patet er- go propo$itum.

30. Si à terminis lineæ inter duo centra for aminum gyrationis neruorum concauorum pro- ductæ duæ rectæ lineæ ad medium communis nerui producantur: nece{$s}e e$t in con$tituto trian- gulo angulos ad ba$im æquales e$$e. Ex quo patet, quòd lineæ illæ productæ $unt æquales. Al- hazen 6 n 3.

Sint duo c\~etra foraminum gyrationis neruorum concauorũr & t, inter qu{ae} producatur linea r t: $it\’q; medius punctus nerui communis a: & cõ$titua- a r t tur trian gulus r a t: dico, quòd angulus a r t e$t æqua lis angulo a t r. Cum enim po$itio duorum neruorũ in re$pectu concauitatis nerui communis $it po$itio con$imilis: quia concauitas nerui unius e$t omnino $imilis concauitati alterius per 4 huius: ergo & me- dium concauitatis unius e$t $imile medio concaui- tatis alterius: unde axis nerui unius æqualis e$t axi nerui alterius: $ed per eandem 4 huius po$itio duo- rum neruorum in re$pectu duorum foraminium, e$t po$itio con$imilis, in quorum neruorum medio fe- rũtur line{ae} r a & t a, ut axes. Palàm ergo, quoniam po $itio duarum linearum r a & t a apud lineã r t e$t po- $itio con$imilis: hoc autem e$t impo$sibile, ni$i angu li a r t & a t r $int æquales: quoniam ad inæqualita- tem i$torum angulorum $equitur inæqualitas po$i- tionis medij axis ip$orum neruorum concauorum: & ex con$equenti ip$orum neruorum. Sunt ergo illi anguli ad ba$im æquales: ergo per 6 p 1 line{ae} illæ product{ae} $unt {ae}quales, $cilicet linea a r lineæ a t. Pa tet ergo propo$itum.

31. Vnopunctorei ui$æ, $uperficiebus amborum ui$uum perpen a r t b diculariter incidente: nece$$e e$t axes radiales in centr is for ami- num gyrationis neruorum concauorum angulariter refringi.

Quoniam enim, ut patet per 27 huius, quilibet illorũ axium per- tran$it centrum foraminis uueæ & centrum oculi: motus autem cu- iuslibet oculorum fit in centro foraminis gyrationis nerui optici: patet, quoniam $ecundum motum oculorum uariantur axes illi ra- diales, in quibus $unt $emper eædem $emidiametri oculorum, quæ $cilicet ab ip$orum centris ad centra foraminum uueæ protendun- tur: partes autem $uperiores illorum axium, quibus à centris fora- minum gyrationis neruorum concauorum formæ perueniunt ad punctum medium nerui communis, $emper manent $ecundum mo- dum unum. Cum itaque aliæ partes illorum axium $emper $intim, mobiles, & ali{ae} $emper mobiles, cum per ipfas unus punctus uide- tur: patet per 1 p 11, quoniam ill{ae} line{ae} nõ $unt linea una: utpote $i for ma puncti b uideatur $ecundum ambos axes b r & b t, & $icut factũ e$t in præmi$$a, ducantur lineæ r a & t a ad medium punctum nerui communis, qui $it a, patet per 1 p 11, quoniam line{ae} b r & r a, non $unt VITELLONIS OPTICAE linea una: eius enim partem in $ublimi, part\~e in plano accideret e$$e: quod e$t impo$sibile. Pater er- go, quoniam angulariter coniunguntur: quod e$t propo$itum. Et licet axes præmi$$o modo refrin- gantur: formatio tamen pyramidum ui$ualium fit, ac $i axes integri ad uerticem peruenir\~et, neque accidit ui$ui aliqua diuer$itas exillo.

32. Nece$$e e$t axes pyramidum ui$ualium amborum ui$uum tran$euntes per centra fora- minum uueæ, $emper coniungi in uno puncto $uperficiei rei ui$æ, etiam motis ui$ibus per $uper- ficiem reiui$æ. Alhazen 2 n 3.

Cum enim uidens intuebitur aliquam rem ui$am: tunc uterque ui$us erit in oppo$itione illius rei ui$æ per 2 huius, & utraque pupillarum dirigetur ad illum ui$um directione æquali, propter ui- $uum æqualitatem per 4 huius. Sint ergo duo centra duorum ui$uum e & g: & $it medius punctus nerui communis punctus a: & $it $uperficies rei ui$æ b c d f, qu{ae} $it exempi cau$$a {ae}quidi$tans line{ae}, centra ui$uum connectenti, quæ $it e g. Palàm ergo, quoniá à centris a e g b f z q x c u d ui$uum perpendiculares $uper ip$am $uperficiem b c d f productæ, $unt {ae}quidi$tantes per 6 p 11, quæ $int e q & g x. In hac itaq; $uperficie b c d f $ignetur punctus, qui $it u: dico, quòd propter {ae}qualitatem am borum oculorum in omnibus $uis di$po$itionib. $i alter ui$us $uerit motus ad uiden dum pũctum u, $tatim etiam reliquus mouebitur ad uidendum idem punctum u: ita quòd axes ambarum pyramidum ui- $ualium tran$euntes per centra foraminũ uue{ae} coniungentur in pun cto u, uno ip$orum ibi pertingente. Si enim uno illorum axium in ci- dente in puncto u, alius incidit in alio puncto: $it illud punctum z: e- rũt\’q; duo axes e u & g z, inter quorũ terminos linea z u producatur. Et quoniam axes $ic proten$i à duobus ui$ibus non concurrunt in a- liquo punctorũ line{ae} z u, $icut neq; concurrũt $i $olũ $ecundum per- pendiculares lineas, quæ $unt e q & g x, fiat ui$io: palàm, quòd nullũ punctorum line{ae} z u uidebitur ambobus ui$ibus, $ed tantùm uno: al ter ergo oculorum uidetur $uperfluere, cum unus oculorũ $ecundũ $ui axem omnia puncta lineæ z u, po$sit imperceptibiliter tran$cur- rere: con$tituit aũt natura duos oculos propter perfectionem boni- tatis ui$ionis & complementum eius, ut ip$orum uirtus unita $it for tior, ut patet per 4 huius. Si ergo axes ui$uales non concurrant in ali quod pũctum unum line{ae} z u, $equitur uel naturam $uperfluere, uel ip$am modo debiliori, quo pote$t, operari: quorum utrum q; e$t im- po$sibile. Natura enim nihil agit fru$tra, nec deficit in nece$$arijs, ut patet per 8 $uppo$ition\~e 2 huius: accidit aũt hoc impo$sibile, $i axes $olum incidant diuer$is punctis $uperficiei ui$ibilis: impo$sibile aũt nunquam accideret, $i incidant in idem punctum. Palàm itaq;, quo- niã in idem punctum incidere axes pyramidum amborum ui$uum $emper e$t nece$$e: quoniam operatio amborum ui$uum e$t unifor- mis. Cũ igitur ui$us fuerit motus $uper rem ui$am: tunc uterq; ui$us mouebitur $uper illam, & axes congre gati in uno puncto $uperficiei rei ui$æ, moto ui$u ambo mo- uebuntur $imul ad aliquod unum punctum $uper $uperficiem illius rei ui$æ: ambo enim oculi $unt {ae}quales in omnib. $uis di$po$itionibus: & e$t ambobus oculis unus neruus communis. Et quoniam motus oculorum procedit ab una uirtute, nece$$e e$t uirtutem motam per unitatem nerui procede re: hæc ergo moto uno oculo ambos oculos mouebit, ut patet per 26 huius. Actio itaq; & pa$sio o- culorum $emper e$t {ae}qualis & con$imilis: & $i alter ui$uum motus fuerit ad aliquid uidendũ, $tatim alter mouebitur ad hoc idem uidendum illo eodem motu: & $i alter ui$uum quie$cat, reliquus qui- e$cet. Impo$sibile e$t enim alterum ui$uũ moueri, & alterum quie$cere, ni$i alter fuerit impeditus, ut patet per 26 huius: & $icut etiam declaratum e$t per 18 huius, $uperficies rei ui$æ $emper erit ba$is utriu$q; pyramidis ab utroq; oculorum prodeuntis: quoniam tunc po$itio pũcti, in quo ambo axes $unt cõiuncti, e$t po$itio con$imilis: quia e$t oppo$itio duobus medijs amborum ui$uum. Palàm er- go propo$itũ: dicemus\’q; punctũ cõcur$us amborũ axiũ in $uperficie rei ui$æ punctũ cõiunctionis.

33. Si à puncto medio nerui communis ad medium lineæ connect entis centra for aminum gy rationis neruorum concauorum linea recta producatur: nece$$e e$t product ã $uper diui$am per- pendicularem e$$e: & eam, puncto ui$o cum axibus incidente, trigonum ab axibus & diui$a li- nea contentum per æqualia diuidere. Alhazen 7 n 3.

Quod hic proponitur, patet per præmi$$am & per 31 primi huius: ut autem particularius demon- $tretur, $int omnia di$po$ita ut in 30 huius: & $it linea r t, diui$a per {ae}qualia in puncto s: $it\’q; ui$ibile aliquod oppo$itum ambobus ui$ibus, quod $it d c, in cuius puncto medio, quod $it b, concurrant ք pr{ae}cedentem ip$i axes radiales, qui $int r b & t b: & producatur à puncto a, quod e$t medius pũctus concauitatis nerui, ad punctũ s linea a s. Dico, quòd linea a s e$t քpendicularis $uper lineá r t. Quo- niá enim angulus a r t e$t {ae}qualis angulo a t r, ք 30 huius, & linea a r e$t & qualis line{ae} a t: $ed linea a s LIBER TERTIVS. e$t æqualis $ibi ip$i: ergo per 8 p 1 trigona ars & ats, $unt {ae}quiangula: angulus ergo a s t e$t æqualis angulo a s r: ergo per definitionem perp\~edicularis, linea a s e$t per- pendicularis $uper lineam r t. Producatur item linea a s u$q; ad pun a r s t d b c ctum coniunctionis amborum axium, quod $it punctum b: dico, q<001> linea s b, diuidit per {ae}qualia trigonum r b t: hoc autem patet ex præ- mi$sis & ex 4 p 1: erιt enim trigonum partiale s r b æquale trigono partiali s b t. Patet ergo propo$itum. Et ex hoc patet, quoniam tota linea a b cuicunq; puncto ui$o incidit, utcunq; tran$mutatis axibus, non mutatur, $ed $emper in medio eorum cõ$i$tit: po$$umus ergo il- lam nominare axem communem, quia $emper ducitur {ae}qualiter ad punctum coniunctionis amborum axium in $uperficie rei ui${ae} à pũ cto, qui e$t in medio concauitatis nerui, in quo duæ line{ae} exten${ae} in duobus medijs concauitatum neruorum duorum $e inter$ecãt: hic uerò punctus $emper e$t unus, non tran$mutabilis: & pũctus etiam s $emper e$t unus, non tran$mutabilis, per quem $emper tran$it h{ae}c linea a b. E$t ergo & ip$a $emper intrã$mutabilis, licet alij axes trã$- mutentur quandoq; ab ip$o communi axe.

34. Axe communi cum axibus radialibus puncto rei ui$æ in- cidente: lineam copulantem centra for aminum gyrationis neruo rum concauorum, & lineas ab his centris duct as ad nerui com- munis medium & axem communem, ambos<006> axes radiales in ead\~e $uperficie con$i$tere e$t ne- ce$$e. Alhazen 8 n 3.

Sit di$po$itio, quæ in proxima: dico, quòd lineam r t, & duas lineas r a & t a, & axem communem, qui e$t a b, & duos axes radiales, $cilicet r b & t b in eadem $emper $uperficie cõ$i$tere oportet. Duo enim axes t b & r b tran$eunt per centra r & t, per 29 huius: tran$eunt enim per centra foraminum gyrationis duorum neruorum concauorum: & quia in pun cto coniunctionis concurrunt cum axe communi ex hypothe$i: nece$$ariò erunt cum axe communi in eadem $uperficie per 2 p 11: $ed & li- nea r t connectens centra foraminum gyrationis neruorum, $ecat hos duos axes radiales in punctis r & t, & axem communem in puncto s: line{ae} quoq; r a & t a $ecant lineas r t & a b in punctis, in qui- bus cum ip$is concurrunt: & quia omnes hæ line{ae} $unt rect{ae}, palàm per 1 p 11, quoniam quælibeti- p$arum e$t in una $uperficie. Patet ergo per 2 p 11, quoniam omnes $unt in eadem $uperficie. Et hoc e$t propo$itum.

35. Nece$$e e$t axes radiales cum axe communi concurr\~etes a r s t o p n q b in puncto, cuius di$tantia à ui$u $it multiplex lineæ connectenti centra oculorum: $ecundum $ui partes interiacentes punctum coniunctionis, & $uperficies ip$orum ui$uum, æquales e$$e, $u- perficiebus<006> amborum ui$uum, nec non $uperficiei anteriori i- p$ius uitreæ æqualiter incidere, & $ecundum angulos æquales. Alhazen 2 n 3.

Sintitem, ut in 30 huius, duo centra duorum foraminũ gyratio nis neruorum concauorum r & t. Quoniam ergo oculus mouetur $ecundum totum nõ $ecundũ partem per 25 huius: palàm, quoniã puncta r & t $unt po$teriora oculo: figurentur ergo duo oculi qua- $i contingentes puncta r & t, circa centra o & p: & ab aliquo pun- cto $uperficiei rei ui$æ, quod $it b, procedant axes ad centra ui$uũ: & producantur ultrà ad puncta r & t. Palàm ita que, quoniam axes r b & t b, tran$ibunt totum ui$um: tran$eat ergo axis r b $uperfici\~e anteriorem $ui ui$us in puncto n: & axis t b, tran$eat anteriorem $uperficiem $ui ui$us in puncto q: & producatur linea n q: $unt er- go puncta q & n, puncta illa $uperficierum ui$us, quibus infigitur forma puncti coniunctionis axium, quod e$t b. Et quoniam axes r b & t b $unt æquales per præmi$$am: dico, quòd partes axium, quæ $unt b n & b q, $unt æquales: & quòd incidunt ui$ui $ecun- dum angulos æquales. Cum enim line{ae} r n & t q $int {ae}quales, quia funt diametri æqualium oculorum {ae}qualiter à punctis r & t di$tan tium, nece$$e e$t, $i illæ ab æqualibus axibus ab$cindantur, quòd re$iduuum $it æquale: erit ergo linea b n æqualis lineæ b q. Et quo- niam linea n q æ quidi$tat line{ae} r t per 2 p 6: ideo quoniam latera t b & r b, proportionaliter diuiduntur per lineã n q: ergo per 29 p 1 erit angulus b n q {ae}qualis angulo b q n: angulus aũt b r t {ae}qualis e$t angulo b t r, quoniã linea b s diui VITELLONIS OPTICAE dit trigonum r t b per æqualia & ba$im eius r t, ut patet per præmi$$am. Patet ergo, quoniam axes ra diales $uperficiebus ui$uum {ae}qualiter incidunt & $ecundum angulos {ae}quales. Et $i incidant $uperfi ciebus ui$uum taliter, ut per centra ui$uũ tran$eant: palàm ergo, quoniam orthogonales $unt $uper $uperficies contingentes in punctis n & q: incidunt ergo $uperficiebus ui$uum {ae}qualiter $ecundum rectos angulos incidentes. Et propter hoc in omnium oculorum ordinatione, motu, uel quiete $em per duo axes eius $unt æquales, aut non e$t in eis diuer$itas $en$ibilis, qu{ae} cau$$et aliquam diuer$ita tem ui$ionis, maximè cũ res ui$a non fuerit ualde propinqua ui$ui, $ed cũ di$tantia eius à ui$u fuerit mediocris: cum enim res ui$a ualde ui$ui approximauerit, ita ut linea, qu{ae} e$t inter duo centra ocu- lorum, qu{ae} $unt o & p, proportionem {ae}qualitatis uel exce$$us uel paru{ae} diminutionis habuerit ad axem radialem: tunc erunt axes $en$ibiliter in{ae}quales, & facient angulos in{ae}quales: aliàs uerò $em- per $en$ibiliter {ae}quales erunt: & con$tituent angulos $en$ibiliter {ae}quales: quia propter unitatem ui $uum, & uniformem receptionem formarum quodlibet punctum multiplicatur uniformiter ad u- trunq; oculum: propter quod etiã omnes line{ae} {ae}qualiter di$tantes ab axibus faciunt angulos {ae}qua les, & ip${ae} omnes $en$ibiliter $unt {ae}quales. Eod\~e quoq; modo demon$trari pote$t, quòd anguli, qui per axes fiunt in ip$a $uperficie uitre{ae}, in qua fit refractio, $unt {ae}quales. Patet ergo propo$itum.

36. Omnium linearum pyramidis radιalis obliquarum, plus uicinarum axirefractio fit $ecũ dum angulos minores: remotiorum uerò $ecundum angulos maiores: æqualiter uerò di$tantium $ecundum angulos œquales. Alhazen 9 n 2.

Sit pyramis radialis, cuius uertex a: & diameter ba$is, quæ per 18 huius, e$t $uperficies rei ui$æ, $it b c d e f: axis uerò d a: & $int line{ae} c a & e a line{ae} radiales obliqu{ae}, uicin{ae} magis axi d a: & $int b a & f a remotiores. Dico, quòd line{ae} c a & e a $ecundũ mi a g h i k l h i k b c d e f norem angulũ refringentur, & line{ae} b a & f a, $ecundũ angulum maiorem. Intelligantur enim omnes i$t{ae} li- ne{ae} concurrere in puncto a, quod e$t uertex pyrami- dis: & $it in $uperficie uitre{ae} linea, cui incidũnt illæ li- ne{ae}, g h i k l: h{ae}c ergo linea erit recta uel curua circula ris per 23 huius: $it primũ recta: & incidat linea b ailli line{ae} in puncto g: & linea c a in puncto h: & linea d a axis in puncto i: & linea e a in puncto k: & linea f a in puncto l. Quia ergo angulus g i a e$t rectus per pr{ae}ce- dent\~e: palá per 32 p 1, quòd angulus g h a e$t obtu$us: ergo per 19 p 1, linea a g e$t maior quàm linea a h. Et quia à puncto a exeunt du{ae} line{ae} a c & a b, qu{ae} $unt ad ba$im triãguli a g i, qu{ae} e$t g h i: angulus ergo a h i ma- ior e$t angulo a g i per 16 p 1. Quia ergo angulus a h i cũ angulo c h i ualet duos rectos per 13 p 1: & $imiliter angulus b g h cũ angulo a g h ualet duos rectos: palá, quia angulus c h i minor e$t angulo b g i: ergo per 50 t 2 huius, angulus refractionis line{ae} c h e$t minor angu lo refractionis line{ae} b g. Patet ergo, quòd linea c h re- fringetur $ecundum minorem angulum, quàm linea g b: & $imiliter e$t de lineis e k & f l. Et quia lineæ æ- qualiter di$tantes ab axe a d, ut $unt exempli cau$$a li ne{ae} a c & a e, $ecundum modum præmi$$um æquales angulos faciunt in $uperficie uitre{ae}, qui $unt c h i, & e k i: patet per 50 t 2 huius, quoniam anguli refra ctionis $unt æquales. Patet ergo propo$itum: quoniam quando linea g h i k l fuerit linea circularis: erit eodem modo dem on$trandum per 50 t 2 huius.

37. Omnes formæ punctorum æqualiter circum$tantium puncta, quæ $uperficiebus ui$uum incidunt $ecundum axes radiales: ad punct a æqualiter circum$tantia medium punctum ner- ui communis con$imiliter pertingunt.

Di$ponantur omnia alia, ut in 35 huius: $ignentur\’q; in $uperficie oculi, cuius centrum e$t punctũ o, ex utraq; parte punctin duo puncta u & x: & in $uperficie oculi, cuius centrum e$t punctum p, $i- gnentur ex utraq; parte puncti q duo puncta y & z: $it\’q $uperficies rei ui${ae} oppo$ita ui$ibus, in qua $it linea recta, quæ g b c, cuius punctus medius $it b, & extremi puncti g & c: incidant\’q; axes radia- les, qui $unt r b & t b, cum axe communi, qui $it a b, ip$i puncto b, qui $it punctus coniunctionis o- mnium trium axium: protrahantur\’q; à punctis u & x $uperficiei ui$us, cuius centrum e$to, ad pun- cta g & c, $uperficiei rei ui${ae}, duæ line{ae} rectæ, quæ $int u g & x c: & à punctis y & z $uperficiei ui- $us, cuius centrum e$t p, protrahantur lineæ y g & z c. Dico, quòd formæ punctorum $u- perficiei rei ui$æ, quæ $unt g & c, quæ in $uperficie oculi o incidunt in punctis u & x, & in $u- perficie oculi p in punctisy & z, non perueniunt ad medium punctum nerui communis, quod e$t a, $ed circun$tant ip$um punctum a, $imilis di$po$itionis, ut puncta c & g difpo$ita $unt ad punctum b, in ip$a $uperficie rei ui$æ taliter, ut punctus, qui e$t dexter ad punctum b, qui e$t LIBER TERTIVS. punctus coniunctionis axiũ in $uperficie rei ui${ae}, $it dexter perting\~es ad pũctũ a, & $ini$ter ip$i pun cto b, fiat $ini$ter ip$i pũcto a: & $ic de alijs differ\~etijs po$itionũ, ut quod e$t $ur$um ad pũctũ b, $it $ur $um ad pũctũ a, & quod e$t deor$um ad pũctum b, deor$um fiat ad punctũ a. Producatur enim in utroq; oculorum linea im, recta uel k a d h r f s l t e i o m i p m x y u n q z g b c curua, di$tingu\~es $uperfici\~e uitre{ae} à $uperficie glacialis: & h{ae}c li- nea $iue recta fuerit $iue curua, quorũ alterũ e$t nece$$ariũ per 23 huius: $emper tam\~e anguli incid\~eti{ae} erũt {ae}quales ք 35 huius, quo- niã & ead\~e de illis e$t demõ$tratio: $ed & anguli refractionis fiunt {ae}quales per pr{ae}mi$$am, & ideo, quia propter conformitat\~e ui$uũ & {ae}qual\~e di$tantiã pũctorũ g & c à pũcto b ex hypothe$i, $equitur trigona y g u & x c z e$$e {ae}quiangula: anguli ergo g y u & c x z, $unt æquales: $ed & figur{ae} oculorũ $unt penitus $imiles, & diaphanitas e$t cõformis: fiet ergo linearum c x & g y in $uperficie refractionis cõformis refractio: & fimiliter linearum g u & c z fiet cõformis re- fractio & $ecundũ angulos æquales: quælibet ergo ip$arum refrin getur æqualiter à perp\~ediculari: $it ergo ut linea c x refringatur ad punctum f, & linea g u ad punctũ h, qu{ae} $unt puncta foraminis gy- rationis nerui circa punctũ r: linea uero g y refringatur ad punctũ l: & linea c z a d e punctum alterius foraminis, quod e$t circa pun- ctum t. Et quoniam omnia puncta formarũ $ecundũ lineas rectas breui$simas refringũtur à perp\~ediculari n r: palàm, quia non con- currũt cum illa, $ed directè diffund\~etes $e ad pũcta nerui cõmunis $imil\~e $itũ & di$po$ition\~e recipiunt eis, qu{ae} hab\~et in $uperficie rei ui$æ, qu{ae} e$t ba$is pyramidis ui$ionis. Linea ergo x f, quæ uenit à puncto c rei ui$æ, refringitur ad aliquod pũctũ nerui aliud à pũcto a, quod $it d: & linea u h, qu{ae} uenit à pũcto g rei ui$æ, refringitur ad punctũ aliud à pũcto a, quod $it k. Et quoniam unius di$po$itionis $unt ambo ui$us, & oculorũ di$tantia e$t res modica, ut patet per 4 huius: & line{ae} ad talia pũcta product{ae} à ui$ibus ambobus $unt æ- quales: & anguli incid\~eti{ae} $unt {ae}quales per 35 huius, anguli quoq; refractionis $unt æ quales ք pr{ae}mi$$am: palàm, quia linea y l, quæ e$t forma pũcti g, refringetur ad punctũ k, in quo cecidit forma eiu$d\~e pũcti g, ueniens per lineam u h: linea quoq; z e, quæ e$t forma puncti c, refringetur ad pũctum d, in quo cadit ead\~e forma pũcti c, ueniens per lineam x f. Similiter quoq; demõ$trandũ de quibuslibet duobus pũctis $uperficiei rei ui${ae}, æqualiter di$tantibus à pun- cto coniunctionis, quod e$t b. Omnes ergo form{ae} pũctorum rei ui${ae} æqualiter circũ$tantium pun- cta, qu{ae} $uperficiebus ui$uum incidũt $ecũdum axes radiales, ad pũcta æqualiter circũ$tantia me- dium pũctum nerui communis con$imiliter peringũt & $eruatur figura & di$po$itio totius $uper- ficiei rei ui${ae} in partibus $uis, & in remotione à pũcto, quod e$t in axe, $ecũdum modũ di$tantiæ & declinationis pũctorum, quorum form{ae} illic recipiuntur à pũcto coniũctionis in $uperficie rei ui- $æ $ecũdum di$po$itionem angulorum refractionis in $uperficie uitreæ: & duæ form{ae}, qu{ae} infigun- tur in duobus pũctis con$imilis po$itionis a pud $uperficies duorũ ui$uum, perueniũt ad illũ eund\~e pũctum concauitatis nerui communis, & $uperponũtur $ibi in illo pũcto, & erũt una forma: lineæ quoq; obliquè $uperficiebus ui$uum incid\~etes, qu{ae} in $uperficie ip$ius ui$us refringũtur, ad eand\~e ordinationem form{ae} po$$unt peruenire. Patet ergo propo$itum.

38. Nece$$e e$t ambos axes radiales cum axe communi concur- a e g b f c rentes in $uperficie rei ui$æ, cum linea æquidi$tante line æ cõnecten ti centra oculorum, uelcum totali $uperficie æquales hinc & inde angulos continere.

Sunt enim ambo oculi {ae}qualis di$po$itionis per 4 huius: patet e- tiam $en$ui, quò d $unt di$tanti{ae} modic{ae} ab inuicem, & axis $emper in quolibet oculo una tantũ linea tran$iens per c\~etrũ foraminis uue{ae} & centra omniũ tunicarũ, ad c\~etrũ foraminis gyrationis nerui concaui perting\~es, ut patet ք 29 huius. Sit ergo, ut linea b f c {ae}quidi$tet line{ae} e g, cõnect\~eti c\~etra oculorũ e & g: $it\’q; medius pũct{us} nerui cõmunis, <003> a: & $it ut forma pũcti $uքficiei rei ui${ae}, q<001> $it f, ք axes f e & f g քue- niat ad c\~etra oculorũ, qu{ae} $unt e, g, connexa per lineã e g: pertingãt\’q; ad punctum a, quod $it punctus medius nerui communis: & $it axis communis, qui a f, incid\~es $uperficiei rei ui${ae} in puncto f $ecundũ an- gulos rectos: quoniam $uperficies, in qua $unt omnes a$signat{ae} line{ae} axium & pũcta per 34 huius, erecta e$t $uper $uperfici\~e rei ui${ae}, & axis cõmunis incidit directè ք 33 huius, & ք 29 p 1: quoniã linea cõnect\~es centra oculorũ, line{ae} r t connect\~eti c\~etra foraminũ gyrationis nerui concaui e$t {ae}quidi$tans: ergo & line{ae} uel $uperficiei illi {ae}quidi$tanti VITELLONIS OPTICAE per 30 p 1. Quia ergo per 33 huius angulus a f e e$t æqualis angulo a f g: erit ergo re$iduũ duorũ re- ctorum contentorum ab axe & linea b c, qu{ae} e$t communis $ectio $uperficiei rei ui$æ, & $uperficiei axium inter $e, hinc inde æquale. Axes ergo radiales incidunt $uperficiei rei ui$æ $ecundum angu- los {ae}quales. Et hoc e$t propo$itum: quoniam angulus e f b fit æqualis angulo g f c.

39. A‘ puncto coniunctionis lineam æquidi$tantem lineæ connectenticentra oculorum in $u perficie rei ui$æ illi æquidi$tante protrahere.

Sint centra duorum oculorũ puncta e & g: & ducatur linea e g: $it\’q; $uperficies rei ui$æ b c d f, à cuius puncto dato, quod $it a, linea æquidi$tans line{ae} e g debeat produci. Diuidatur itaq; linea e g per {ae}qua c r g b f z a y c d lia in puncto r per 10 p 1: & à puncto a ad punctum r ducatur linea a r: & ducantur line{ae} e a & g a, qu{ae} $int axes ui$uales, concurrentes in puncto a $uperficiei rei ui${ae}: patet ergo, quoniã axis e a {ae}qualis e$t axi g a per 35 huius: & linea e r e$t {ae}qualis line{ae} g r, & linea r a cõ- munis: erit ergo per 8 p 1 angulus e r a {ae}qualis angulo g r a, & ambo recti: erit ergo linea a r perpendicularis $uper lineam e g per definitionem line{ae} perpendicu- laris: & à centris ui$uum e & g ducantur æquidi$tan- tes line{ae} r a, per 31 p 1, quæ $int line{ae} e z & g y: h{ae} ergo inter $e $unt æquales & æquidi$tantes per 25 t 1 huius, & $unt in eadem $uperficie per 1 t 1 huius. Et quia com munis $ectio huius $uperficiei & $uperficiei rei ui$æ tran$it per pũctum a: & e$t per 33 p 1 æquidi$tans line{ae} e g: palàm, quòd ip$a linea z a y e$t linea, qu{ae} qu{ae}ritur. E$t ergo factum id, quod proponebatur.

40. Omnes lineæ productæ ab ambobus ui$ibus adidem punctum lineæ cum ambobus axibus pyramidumidum radialium angulos rectos facientis, nece$$ariò $unt æquales. Alhazen 3 n 3.

Verbi gratia: $int, ut $uprà in proxima pr{ae}cedente, centra duorum ui$uũ puncta e & g: & $uperfi- cies rei ui${ae} $it b c d f: in cuius puncto a concurrant axes e a & g a: & à puncto a ad utranq; partem producatur linea una, quæ $it z a u, rectos angulos continens cum utroq; axium: producantur\’q; à centris ui$uum lineæ e u, g u, e z, g z. Dico, quòd line{ae} e u & g u $unt æ quales inter $e, & line{ae} e z & g z {ae}quales inter $e. Quoniam enim axes ui$uum æquales $unt per 35 huius, palàm quòd axis e a e$t {ae}qualis axi g a, & angulus e a u {ae}qualis angulo g a u: quoniam uterq; ip$orum e$t rectus ex hypothe $i: $ed linea a u e$t communis in triangulis e a u & g a u: erit ergo per 4 p 1 ba$is e u æqualis ba$i g u: & $imiliter erit ba$is e z æqualis ba$i g z: & eod\~e mo do in punctis omnibus line{ae} z u accidit. Palàm ergo e r g b z f k m a n l c u d e$t quod proponitur. Pote$t & hoc aliter demon$tra ri: ducatur enim à pũcto a $uperficiei rei ui${ae}, in quo concurrunt axes, linea æquidi$tans line{ae} e g, qu{ae} e$t inter duo centra oculorum, per pr{ae}cedentem: quæ $it linea k l: erit\’q illa linea k l in $uperficie rei ui${ae}: ducatur quoq; linea z a perpendicularis $uper lineã k l per 12 p 1. Item ducatur à puncto a linea orthogo- naliter $uper lineam e g, qu{ae} $it linea a r: diuidet\’q; li- nea a r lineam e g per æqualia in pũcto r, per 31 t 1 hu ius, & ex 35 huius, & ex 5 p 1: quoniam enim axes e a & g a $unt æquales, erunt anguli ad ba$im {ae}quales, & linea r a cõmunis ambobus trigonis e a r, & g a r, anguli\’q; ad punctũ r $unt {ae}quales, quia recti: erit er- go per 32 p 1, & per 4 p 6 linea e r {ae}qualis line{ae} r g: {pro}- ducatur\’q; linea r z: erit ergo per 29 p 1 linear a per- pendicularis $uper lineam k a l. Et quoniã per 34 hu- ius line{ae} e a, g a & r a $unt in eadem $uperficie, & linea z a e$t perpendicularis $uper lineas e a & g a, ut patet ex hypothe$i: ergo per 4 p 11 linea z a e$t perpendiculariter erecta $uper illam $uperfici\~e, in qua $unt line{ae} e a, g a: ergo & $uper lineam r a. It\~e per 4 p 11 linea k a erit perp\~edicularis $uper $uper- ficiem r z a: erit ergo per 8 p 11 linea e r perp\~edicularis $uper eand\~e $uperficiem r z a: ex definitione ergo line{ae} erect{ae} $uper $uperficiem, erit linea e r perpendicularis $uper lineam r z. Quia ergo duorũ triangulorũ e r z & g r z duo anguli e r z, & g r z $unt {ae}quales, quia recti, & linea e r {ae}qualis e$t line{ae} r g, & latus r z commune: erit per 4 p 1 linea e z {ae}qualis line{ae} g z. Et eod\~e modo de quolibet aliorum punctorum line{ae} z u demon$trandum. Patet ergo prop o$itum.

41. Omnes lineæ productæ ab ambobus ui$ibus adidem punctum lineæ cum ambobus axibus angulos obliquos $acientis, nece$$ariò $unt inæquales. Alhazen 4 n 3.

Sit omnimoda di$po$itio, ut $uprà in pr{ae}cedente. Dico, quòd o\~es line{ae} ab ambobus ui$ibus ad LIBER TERTIVS idem punctum extra lineam u z, qu{ae} $ola cũ ambobus axibus facitrectos, $emper $unt inæquales. Signentur enim in linea k l, utcunq; $ecante lineam u z duo puncta à puncto a, prout placuerit, di- $tantia, qu{ae} $int m & n: & ducantur line{ae} e m & e n. Dico, quod lineæ e m & g m $unt in æquales, & li neæ e n & g n in{ae}quales. Ducatur enim à puncto r ad pũctum m linea, quæ $it r m. Quoniam ergo angulus e r a e$t rectus, ut patuit in præmi$$a: palàm, quia angulus e r m e$t minor recto: angulus er- go g r m e$t maior recto per 13 p 1. In triangulis ergo g r m & e r m latus r m e$t commune, & linea e r æqualis e$t line{ae} g r, & angulus g r m maior angulo e r m: ergo per 24 p 1 erit latus g m longius late- re e m: & $imiliter e$t de omnibus alijs punctis extra lineam u z argumentandum. Patet ergo pro- po$itum. I$ta tamen inæ qualitas illarum linearum minus e$t $en$ibilis, cum puncta declinationis fuerint propinqua puncto coniunctionis.

42. Omnes lineæ ad puncta æquidi$tantia à puncto coniunctionis axium in linea cum ambo bus axibus angulos obliquos faciente, ab alternis ui$ibus productæ, nece$$ariò $unt æquales, & æquales cum illis lineis angulos continentes. Alhazen 3 n 3.

Sit omnis di$po$itio ut $uprà in duabus pr{ae}mi$sis, & fint m & n puncta in linea k l, angulos obli- quos faciente cũ ambobus axibus, æqualiter diftan tia à pũcto a, quod fit pũctum coniũctionis axium, e r g b f k m a n l c d ita quòd linea m a $it æqualis a n. Dico, quòd protra ctæ line{ae} ab alternis ui$ibus ut e n & g m, & e m & g n $unt æquales. Quoniã enim axis e a e$t æqualis axi g a per 35 huius, & angulus incidentiæ axis e a, <003> e$t angulus e a m, æqualis e$t angulo incidenti{ae} axis g a, qui e$t angulus g a n: ideo quia anguli r a m & r a n $untrecti: anguli quoq; r a e & r a g $unt {ae}quales, ut hæc patent ex pr{ae}demõ$tratis in præmi$sis duabus propo$itionibus: reman\~et ergo anguli e a m & g a n æquales: $ed & axes e a & g a $unt æquales, & linea m a æqualis e$t lineæ n a ex hypothe$i: erit ergo li- nea g n æqualis line{ae} e m per 4 p 1: & angulus g n a {ae}qualis angulo e m a. Ergo in triangulis quoq; e m n & g n m per 4 p 1 ba$is e m æqualis e$t ba$i g n. Et $i- militer demon$trari pote$t in omnibus alijs pũctis $imilibus: lineæ enim g b & e f, g f & e b, & g k & e l, g l & e k, g c & e d, g d & e c, omnes, ut $ic nomi- nantur, & ut ab alternis ui$ibus ad puncta æqualiter à pũcto a di$tantia producũtur, nece$$ariò $unt {ae}quales. Patet ergo propo$itum, quotcunq; etiam alijs lineis modo $imili productis.

43. Secundum omnes lineas pyramidis radialis formarum fit certa comprehen$io à ui$u: magis autem $ecundum lineas axi uiciniores: & maximè per axem centrum for aminis uueæ tran$euntem. Alhazen 8 n 2.

Solus enim axis extenditur $ecundum rectitudinem, quou$que perueniat ad locum gyratio- nis concaui nerui, & omnes aliæ lineæ obliquantur, ut patet per 24 huius: forma ergo rei ui$æ op- po$itæ medio $uperficiei ui$us, perueniet ad glacialem & uitreum $ecundum exten$ionem u$q; ad locum gyrationis nerui concaui: form{ae} uerò, quæ ueniunt $ecundũ lineas alias, obliquantur. Et <003>a di$po$itio formarũ obliquatarũ non e$t $icut di$po$itio formarũ exten$arũ rectè: quoniam obliqua tio nece$$ariò ip$as alterat aliqua alteratione in certitudine comprehen$ionis: punctus ergo formæ perueniens ad locũ gyrationis concaui nerui, qui extenditur $ecundũ rectitudinem axis, e$t magis uerificatus omnibus punctis formarum. Et quia obliquatio linearũ uicinarum axi e$t minor, & re- motiorum maior, eò quòd anguli, qui fiunt ex lineis, $uper quas ueniunt formæ, & ex perpendicu- laribus $uper axem productis in $uperficie obliquationis, linearũ uicinarũ axi $unt acutiores, & re- motiorũ minus acuti, ut patet per 36 huius: form{ae} uerò, quarũ obliquatio e$t minor, magis manife- $tantur, quàm form{ae}, quarũ obliquatio e$t maior: punctus ergo, qui e$t $uper axem, perueniens ad locũ gyrationis nerui concaui, e$t manife$tior omnibus alijs pũctis, & certioris comprehen$ionis: & qui e$t propinquior illi, e$t manife$tior remotiore ab illo: & $imiliter e$t de forma perueniente in neruũ communem, ex quo comprehendit uirtus $en$itiua formas rerũ. Patet ergo propo$itum.

44. Puncto coniunctionis in axe communi exi$tente, certι{$s}ima fit ui$io: propinquè uerò illi axi adhuc certa: remotius uerò minus certa. Alhazen 10 n 3.

Sit linea connectens centra foraminũ uue{ae}, qu{ae} a b: & $it linea c e axis communis: pũctus quoq; coniũctionis in ip$a linea c e $it d, in quo concurrant axes a d & b d: & $it medius pũctus concauita tis nerui cõmunis punctũ h. Dico, quòd pũcto d exi$tente in linea c e, tũc certi$sima fit ui$io. Form{ae} enim ui${ae} perueni\~etes ad $uperficie\~e ui$us $unt tũc magis cõ$imiles, eò q<001> axibus cad\~etibus in cen- tra foraminũ uue{ae}, qu{ae} $unt $ignata per puncta a & b, form{ae} punctorũ circum$tantium punctum d, di$tinctè & con$imiliter incidunt circa illa centra. Et quoniam axis communis, qui e$t e c, diuidit lineam a b per æqualia in puncto c per 33 huius, & per 29 p 1, ideo quia linea connectens centra VITELLONIS OPTICAE foraminum uueæ e$t æquidi$tans lineæ r t, cónectenti centra foraminum gyrationis neruorũ con- cauorum, ut patet ex pr{ae}mi$sis, & per 4 huius: unde per 31 t 1 huius h r s t a c b e g f d f y patet, quòd linea h c per æqualia diuiditlineam a b, & e$t perpendi cularis $uper illam: e$t ergo palàm per 4 p 1, quoniam axis a d e$t {ae}- qualis axi b d, & angulus d a c æqualis angulo d b c: $ed & per 30 huius anguli h a c & h b c $unt æquales: & quoniam axis cõmunis, qui e$t e c, pertingit ad h punctum mediũ concauitatis nerui com- munis, ad quod formæ à punctis a & b diffunduntur: palàm per 26 p 1, quoniam anguli c h a & c h b $unt æquales. Idem quoq; accidit in omnibus punctis, quibus incidunt lineæ radiales ip$is axibus a d & b d propinquè, quæ $unt æquales qua$i ad $en$um, ut patet per 40 huius: hæ enim lineæ radiales qua$i {ae}qualiter incidũt pun- ctis æqualibus $uperficiei nerui communis per 37 huius. Formæ i- taq; pũctorum taliter ui$orum $unt magis con$imiles: unde $it tũc ui$io certior. Sed cum punctus coniunctionis fuerit modicũ extra communem axem, ut in puncto f, $iue remotio illa fit ad partem $i- ni$tram uel dextram, $ur$um uel deor$um, $iue ad alias utcunq;: tũc adhuc duæ formæ, qu{ae} infiguntur duobus ui$ibus, non multũ ha- bent diuer$itatis: unde puncto formæ, cui duo axes infigũtur, ip$i puncto h medio, $cilicet puncto concauitatis nerui incidente, re$i- dui puncti formæ rei ui$æ per lineas radiales uicinas axibus, 1 p$is ui$ibus incidentes, in concauitate nerui communis circa pũctum h uniuntur, non tamen $ecũdum perfectionem prioris dí$po$itio- nis: uidetur itaq; & tũc res certa ui$ione, non tamen in gradu cer- titudinis prioris. Cum uerò coniunctionis punctus fuerit remo- tus extra communem axem, qui e$t c e, ut in puncto g, ad quamcun que differentiam po$itionis hoc contingat: tũc adhuc punctus rei ui$æ, in quo duo axes concurrunt, infigetur ip$i puncto h: $ed for- mæ re$iduorum punctorum illius rei ui$æ infixæ in circuitu pun- cti h, non recipient di$po$itionem priorib. duabus $imil\~e, neq; erit illorum punctorum ui$io bene uerificata, $ed remanet minus certa. Patet ergo propo$itum.

45. Omne ui$um in puncto coniunctionis duorum axium ui$ualium certius uidetur eo, quod per radios axibus propinquos: & $ecundum remotionem ab axibus gradus certitudinis de- cre$cit. Ex quo patet, quòd puncta $uperficiei rei ui$æ æqualiter di$t antia à puncto cõiunctionis, $imiliter uirtuti ui$iuæ offerentur. Alhazen 15 n 3.

Quoniam enim, ut patet ք 43 huius, $ecũdũ o\~es lineas cuiuslibet pyramidis radialis fit certa com preh\~e$io form{ae} ui$ibilis à ui$u: magis aũt $ecũ lineas axi uiciniores, & maximè ք axem centrũ fo raminis uueæ tran$eunt\~e: in pũcto aũt coniũctionis concurrũt duo axes ք 32 huius. Palàm ergo, cũ uirtus duplicata $it fortior $ui medietate, quòd in pũcto coniũctionis certior fit ui$io $ecũdũ totam $uperfici\~e rei ui${ae}, qu{ae} e$t ba$is ambarũ pyramidũ ui$ionis, & $ecũdũ proportion\~e dupliad duplũ, qu{ae} e$t $impli ad $implũ. Secũdũ lineas uerò radiales, quæ $unt propinquæ axibus, fit minus certa ui$io quàm per axes: quoniam form{ae} punctorũ peruenientes ad uirtutem $en$itiuam, nõ perueni- unt directè ad mediũ cõmunis nerui: unde non fit adeò per$ectũ de illis iudiciũ, ut de formis perue nientibus per ip$os axes. Secũdũ remotionem uerò illarũ linearũ ab axibus gradus certitudinis ui $ionis decre$cit: quia cũ partes $uperficiei rei ui$æ, quibus axes in cidũt, & partes illis proximæ ma- nife$tius uideantur per 43 huius: $ecũdũ partes remotiores illius $uperficiei, quibus incidũt extre- mæ lineæ longitudinis pyramidis radialis, e$t debili$sima certitudo ui$ionis: & $ecũdũ alias partes medias fit media di$po$itio certitudinis, $ecũdũ quod plus accedũt axibus, uel $ecũdũ quod ab illis plus remouentur. Palàm ergo propo$itũ. Et per hoc patet corollariũ, quoniam in pũctis $uperficiei rei ui$æ æqualiter à pũcto coniũctionis di$tátibus ead\~e e$t ratio certitudinis ui$ionis hinc & inde: quoniam illarũ formæ æqualiter in $uperficie ip$ius ui$us, & ex con$equ\~eti in $uperficie nerui com munis $emper figurantur. Patet ergo totum, quod proponebatur.

46. Omne ui$um, in quo concurrunt duo axes ui$uales uel radij illis propinqui, uidetur $em per unum. Alhazen 14 n 3.

Quoniam enim form{ae} per axes radiales peruenientes ad ui$um, æqualiter incidunt ui$ibus am- bobus per 35 huius, & per 30 huius æqualiter perueniunt ad medium pũctum concauitatis nerui: concurrunt ergo ambæ illæ formæ ad punctum unum, & una ip$arũ $upponitur alteri, & fiunt for- mauna. Et quoniam omnia ui$a nobis a$$ueta $emper $unt oppo$ita ambobus ui$ibus, & ambo ui- $us a$piciunt ad quodlibet illorum ui$ibilium, propter quod duo axes duorũ ui$uum $emper con- currunt in uno puncto illorum ui$ibilium per 32 huius: & po$itio radiorum re$iduorũ, qui circum- incidunt communi pũcto ip$orũ, e$t po$itio con$imilis per 37 huius: maximè quando non differũt in remotione à duobus axibus maxima differ\~etia: propter hoc ergo quodlibet ui$orũ a$$uetorũ ui- detur ambobus ui$ib. unũ. Et quia, ut pr{ae}mi$$um e$t, patet per 37 huius, quoniá o\~es form{ae} pũctorũ LIBER TERTIVS. æqualiter circum$tantium puncta, quæ $uperficiebus ui$uum incidunt $ecundum axes radiales, ad puncta æqualiter circum $tantia medium punctum nerui cõmunis con$imiliter pertingunt. Lineæ uerò radiales propinquæ axibus ui$ualibus, quia nõ multum obliquè incidũt ui$ibus, ideo nõ mul- tum obliquè refringuntur, quoniam ip$arum refractio e$t $ecundum angulos minores per 36 hu- ius: directius ergo perueniunt ad cõcauitat\~e nerui: cõtingunt ergo $e circa mediũ punctum cócaui tatis nerui, & $upponuntur $ibi adiouicem, $iunt\’q; forma una. Ethocproponebatur.

47. Omne ui$um, in quo concurrit axis communis, & unus axium ui$ualium, comprehen- ditur $emper unum.

Axis enim cõmunis adiuuat certitudinem cõprehen$ionis, & axis ui$ualis unicus unam tantùm formam regulariter di$po$itam imprimit medio puncto nerui communis: uidetur ergo una tãtùm forma, quia tunc nõ fit refractio alterius formæ ad aliquam partem nerui di$tinctam $ecundum par tem uel $ecundum remotionem. Patet ergo propo$itum.

48. Nullum ui$orum $imultotum æqualiter uidetur. Euclides in præfatione & 1 the. opti- corum. Alhazen 16 n 3.

Quoniam enim, $iue aliquod uifum exi$tat in axe communi, $iue extraillum, $emper punctum e- ius, cui incidunt axes ui$uales, certius uidetur, quàm puncta, quibus incidunt radij propinqui: & il la puncta certius uidentur, quàm puncta, quibus incidunt radij remoti per 45 huius: pater, quòd nullum ui$um totum $imul æqualiter uidecur. Cum enim omnia puncta ip$ius communiter per o- mnes tres axes, uel $altem per duos uifuales motn oculi tran$cur$a fuerint: tũc $olùm æqualiter e$t totum ui$um: quoniam tunc forma cuiuslibet $ui puncti infigetur puncto medio concauitatis ner- ui, & erit $emper noua di$po$itio totius form æ circa punctum illud: magis ergo æqualiter perpen- detur tunc partium æqualitas adinuicem in omnibus di$po$itionibus $uis: tunc ergo totares {ae}qua liter uidebitur: nullus autem motus e$t in in$tanti, $ed $olùm in tempore: palàm ergo, quòd nullũ ui$orum $imul totum æqualiter uidebitur: $ed bene e$t po$sibile ip$um totum $imul uideri inæ qua liter: quoniam omnia puncta formæ oppo$itæ uifui, à quibus line æ rectæ po$$unt produciad ui- $um, $imùl multiplicantur ad ui$um, quamuis $ecundum diuer$itatem angulorum diuer$imodè $e- cundum diuer$as partes uideantur: parua tamen corpora & propinquarum diametrorum æquali- us uidentur, quàm corpora diametrorum maiorum: remotiores enim partes à puncto coniunctio- nis non adeò bene certificantur, ut propinqua per 45 huius: & $i ui$um fuerit unius coloris unifor- me, minus accidic in eo in æqualιtatis, quàm $i ruerit plurium colorum, aut$i fuerit in ip$o lineatio, aut pictura, aut aliæ $ubtiles intentiones: tunc enim forma extremorum erit magis dubitabilis, & non bene certificata: hæ enim comprehenduntur per lineas radiales remotas ab axe. Patet ergo propo$itum.

49. Impo{$s}ibile ect plura $imul æqualiter uideri.

Quamuis enim ui$us quãdoq; eodem tempore opponitur multis ui$ibilibus diuer$i coloris, in- ter quorum quodlibet & ui$um produci po$$untline æ rectæ in aere cõtinuato medio inter ea & ui $um, perueniant\’q; formæ lucis & coloris, qu{ae} $unt in rebus ui$is, ad $uperficiem ui$us in eod\~e tem- pore, & forma cuιuslibet ip$arum ad quamlibet partem $uperficiei ui$us, propter earum directam oppo$itionem: & licet uidens uideat in eodem tempore ui$ibilia diuer$i coloris oppo$ita ui$ui, & $ic in tota $uperficie ui$us $int multa lumina diuer$a & multi colores diuer$i, quorum quilibetim- plet $uperficiem ui$us $ibi oppo$itam, proutincidit perpendiculariter uel obliquè: tamen, ut patet per 17 huius, non fit di$tincta ui$io, ni$i $olùm $ecundum perpendiculares lineas à punctis rei ui$æ ad oculi $uperficiem productas: & $ecundum bæc di$tinguuntur form æ $ecundum di$tinctionem partium $uperficiei ui$us, in quas $olùm incidunt perpendiculares: & licet$ic perueniant ad $uper- ficiem ui$us form æ admixtæ luminibus & coloribus diuer$is, ui$us tamen comprehendit omnes form as $ecundum ip$arum proprietatem: non e$t ergo impo$sibile plura $imul uidere, $ed in æqua- liter & indi$tin ctè. Nam licet, ut patet per 17 huius, humor glacialis $entiat formam unius rei fecun dum $uum e$$e, & figuram ordinatam in $ui $uperficie $ecundum ordinem, quem habet in $uperfi- cie rei ui$æ: extrà tamen poterit etiam $entire in illa di$po$itione formas aliarum rerum ui$arũ, pr{ae} ter illam rem ui$am ex pyramidibus di$ting uentibus ex $ua $uperficie alias huius rei partes: & pote rit $entire formam cu: uslibet illarum rerum ui$arum $ecũdum $uum e$$e, & $entire $itus earum ad- inuicem, non tamen æqualiter: $ed perfectius illud, quod uidet $ecundum pyramidem, cuius axis incidit per centrum circuli uue æ ip$i centro ui$us, minus uerò per$ectè alia, quorum pyramidum axes incidunt $ecundum alia puncta $uperficiei dicti circuli, ut patet per 43 huius: illorum enim o- mnium axes $unt longiores, etiam$i ab eadem di$tantia procedant. A$piciens itaque quando fuerit oppo$itus multis rebus ui$ibilibus, & ui$us eius fuerit quietus: inueniet rem oppo$itam medio $ui ui$us manife$tiorem illis, quæ $unt à parte laterum illius medij, & quod e$t propin quius medio, e- rit manife$tius, & quod e$t remotius, erit minus manife$tum, ut hæc omnia patent per 43 huius. E $t ergo impo$sibile, plura $imul æqualiter uideri: quoniam impo$sibile e$t axem pyramidis radialis tran$euntem per centrum uueæ $imul pluribus punctis, ne dum $uperficiebus, incidere per 2011 huius. Patet ergo propo$itum.

VITELLONIS OPTICAE 50. Interpo$itis $ibi diuer$is ui$ibilibus, remotiorum quando<005> $ecundum aliquìd ui$io impe- ditur. Alhazen 5 n 3.

Exempli cau$a, $int duo puncta n & m centra duorũ ui$uũ, & $itr punctũ cuiu$dam rei ui${ae}, quæ $it l o, remotior ab ambobus ui$ibus quàm $it res ui$a, quæ $it b k c: n m a b k c e d f g p h q l r o in cuius puncto k concurrát ambo axes ui$uales, qui $int m k & n k: $it\’q; punctum r taliter po$itũ, utip$um protractis axibus n k ad pun ctum q, & m k ad punctũ h, intercipiatur inter axes, nihil\’q; eius ca- piatur per interpo$itionem rei ui$æ, qu{ae} e$t b c: $it aũt ui$ibile e d re- motius quàm $it ip$um b c, & propinquius pũcto r, inter duos axes taliter di$po$itum: ita quòd lineæ n b & m c protractæ, & cõcurren- tes in ip$o p, aliquã part\~e eius intercipiát, quæ $it f g: lineæ uerò m p & n p inter$ecantes $e in pucto p protractæ cõtingant peripheriã corporis, in quo e$t punctum r, in punctis l & o: $it uerò a quoddam ui$um proximum ui$ui, cadens inter axes m k & n k. Dico, quando ui$us cõprehendit in eadem hora in $imul formas ui$ibilium, quæ funt b c & e d & r, quòd quandoq; impeditur $ecũdum aliquid ui$io ip$ius e d: quoniã impeditur $ecundũ $ui partem, quæ e$t fg, qu{ae} cũ $it obumbrata ui$ui per interpo$ition\~e ui$ibilis, quod e$t b c: patet, quòd forma illius partis nõ perueniet ad ui$um, neq; $eruabitur in neruo cómuni: forma uerò ui$ibilis remotioris, quod e$t l o, in quo e$t punctũ r, quoniá ip$um cadit inter lineas n b & m c, $ecantes $e in puncto p, quæ product{ae} ultra punctum p, $uis terminis l & o inci dunt: patet quòd perueniet ad ui$um, nõ impediente ui$ibili b c: <003>a tamen in nullo eius puncto cõcurrunt axes ui$uales, forma eius ui- debitur inordinata $ecundũ $itũ earund\~e partium ip$ius form{ae}, qu{ae} $i bi directè nõ $uperponentur, ut o$ten$um fuit in 37 huius: ergo e- runt inordinatæ $ecundũ remotion\~e à puncto medio nerui cõmu- nis, quæ remotio erit hinc inde in æqualis, propter diuer$itatem in- cidentiæ ip $arũ linearũ, per quas adueniunt ead\~e puncta formarũ, ut $unt lineæ m l & n l, re$pectu form{ae} puncti l, & lineæ m o & n o, re$pectu form æ puncti o: pars tamen uniuer$i, qu æ att\~editur $ecun- dum dextrã uel $ini$trã, $ur$um uel deor$um partium ip$ius form æ nõ mutatur. Vi$um enim b c cũ $it minus ui$o l o, in quo e$t punctũ r, quando in puncto k rei ui$æ b c cõiunguntur duo axes m k & n k: tũc forma ui$i b c fit in duobus locis duorum ui$uum con$imilis po$itionis, & forma ui$i, quòd e$t l o, diuer$ificabitur $ecundum $itum partiũ $uæ form{ae}, & $ecundum remotion\~e in æqual\~e à pun- cto medio nerui cõmunis: quoniã e$t magna diuer$itas in angulis refractionis $uarum partialium formarum, $icut & in angulis incidentiæ earund\~e, ut hoc patere pote$t per 36 huius: nõ tamen erit errorin parte uniuer$i: quia form æ partiũ $uo ordine di$pon\~etur, ut $untin re, & res uidebitur una: quòd nõ accidit in forma ui$i, $cilicetip$ius a, quod {pro}pinquius e$t ui$ui, $i ip$um paru{ae} fuerit quan- titatis, & nõ $it in illorum corporũ po$itione differ\~etia $en$ibilis, ita quòd corpus a cadat inter axes m k & n k. Quando itaq; ambo ui$us ambas res ui$as, in quibus $unt r & d e, cõprehendunt, & quan do duo axes fixi $unt in ui$o b c, $ecundũ loca nõ obumbrata in$tituuntur illarũ rerum ui$arũ d e & l o formæ in duobus locis duorum ui$uũ, & fiunt cõ$imilis po$itionis in parte uniuer$i, & nõ in re- motione à puncto ιnedio nerui cõmunis, aut nõ o\~es partes earum erunt cõfimilis po$itionis in re- motione à duobus axibus, nec forma earum erit certificata. De ui$o uerò a, quod e$t proximum ui$ibus, quoniã ip$um cadit inter axes m k & n k, & e$t propinquius ui$ui, quia non figuntur in ip$o axes, pote$t fieri po$itio eius, in re$pectu amborũ ui$uum, diuer$a in parte ip$ius uniuer$i, ita, ut nec uideatur ad $ini$trã nec ad dextrã, quoniã forma ip$ius quantum e$t de $e, ad nullã partium uniuer$i $ecundum re$pectum puncti medij ip$ius nerui concaui, cui axes ui$uales incidunt, ordinatur. Sic ergo ui$u exi$tente fixo, interpo$itis $ibi diuer$is ui$ibilibus, remotiorum quandoq; $ecundum ali- quid ui$io impeditur, ut patet. Cum autem ui$us fuerint moti, & axes fuerint coniuncti in unoquo- que ui$ibiliũ cõprehen$orũ in $imul: tunc formæ omniũ ui$ibiliũ cõpreh\~edentur $imul in ambobus ui$ibus cõ$imiles in parte & remotione, & cõprehendentur $ecundum modũ $u{ae} certitu dinis for- mæ uniu$cuiu$q; ui$ibiliũ. Huius aũtrei totius ratio e$t hæc, quia certitudo ui$ionis fit $ecundum axes, & ui$io fit per mulriplication\~e formæ ui$ibilis in ui$um, qu{ae} nonnunquã tunc per corpus ιn- terpo$itum im peditur, cũ linea multiplicationis formæ aliã $uperficiem corporis medij oppo$itam ui$ui ali qualiter attingit. Et hoc e$t quod uolebamus.

51. Omnis ui$io fit uelper a$pectum $implic\~e, uelper intuition\~e diligent\~e. Alhazen 64 n 2.

A$pectum primũ $implic\~e dicimus illũ actum, quo primò $impliciter recipitur in oculi $uperficio forma rei ui${ae}: intuition\~e uerò dicimus illũ actum, quo ui$us uerã cõprehen$ionem form{ae} rei dili- genter per$picien do perquirit, nõ cõtentus $im plici receptione, $ed profunda indagine. Vi$us itaq; per a$pectum $implic\~e comprehendit intentiones manife$tas, qu{ae} $untin rebus, nec certificat illas: LIBER TERTIVS. per intuitionem uerò con$iderat o\~es int\~etiones partium form{ae} ui$æ occultas a$pectui, & certificat omnes di$po$itiones illius form{ae} ui${ae}. Et quia a$pectus $implex pote$t e$$e $ine intuitione, quamuis intuitio non po$sit e$$e $ine $implicia$pectu: patet, quòd omnis ui$io aut fit per unum i$torum mo- dorum, aut per alium. Et hoc e$t propo$itum.

52. A$pectu $implici $ecundum totam pyramidem ui$ualem exi$tente po{$s}ibili: intuitio fit $olùm $ecundum incidentiam axis pyr amidis ui$ualis. Alhazen 65 n 2.

Quoniam enim, ut patet per pr{ae}mi$$am, a$pectus $implex e$t folũ receptio form{ae} $en$ibilis in $u- perficie ui$us: palàm, quòd ip$a fit $ecũdum totam pyramid\~e ui$ual\~e: qu{ae}libet enim perp\~ediculariũ $iue linearũ radialium illam pyramid\~e con$tituentium per 17 huius adducit aliquam formam pun- cti $uperficiei rei ui$ibilis, quã tũc a$picit ui$us: quia uerò intuitio certificat ueritat\~e formarũ com- preh\~e$arum: certificatio uerò omnium formarum ui$ibilium plus fit per axes pyramidum ui$ualiũ, quàm per aliquã aliarum linearum illius pyramidis per 43 huius: patet, quòdintuitio fit $olùm per incidentiam illius axis. Cũ ergo ui$us fuerit fixus oppo$itus alicui rei ui$æ, qu{ae} fuerit alicuius quan titatis: & illus, quod opponitur medio ui$us ex illa re ui$a, fuerit per axem ui$ual\~e aut propeillum: tunc erit ip$um, quod e$t in axe, uel quod approximat axi, manife$tius re$iduis partibus rei ui$æ. Si itaq; uidens uoluerit certificari de forma totali rei ui$æ, mouebit ambos ui$us, donec medium eius opponatur cuilibet partium, uel punctorum $uperficiei rei ui${ae} $ibi oppo$it{ae}: & tunc, quia ambo axes radiales per 32 huius incid\~et unicuiq; punctorum, fiet hoc modo intuitio completa totins for mæ. Quando enim ui$us fuerit oppo$itus rei ui${ae}, tunc $entiens compreh\~edet totam formam com- preh\~e$ione qualicunq; per 43 huius, & part\~e, qu{ae} e$t apud extremum axis, compreh\~edet uera com- preh\~e$ione: deinde mutatis axibus ad aliud punctum, tunc id\~e punctum uerius compreh\~edetur, & tunc cum hoc tota forma prius compreh\~e$a compreh\~edetur $ecundò, & etiam ille punctus, in quo prius fixi fuerũt axes, & cum axes mutabũtur ad pũctum tertium, fiet tertiò cõpreh\~e$io totius for- m{ae}, & etiã illorum pũctorum, quibus prius axes incidebãt, & ita $ecũdum numerũ pũctorum, qui- bus incidũt axes, numeratur compreh\~e$io totius form{ae}: $emper tam\~e punctus, cui axes incidunt, certius alijs punctis compreh\~edetur. Sic ergo intuens per motum axium cõpreh\~edit certitudinem cuiuslibet puncti rei ui${ae}, & in$uper reiterat frequ\~etation\~e compreh\~e$ionis totius formæ $ecũdum numerum punctorum, quibus incidunt ip $i axes. Apparet ergo ui$ui tunc omne id, quod po$sibile e$t apparere in forma illius rei ui${ae}, & nõ certificabitur forma rei ui${ae}, ni$i po$t motus ui$us $ecundũ $uos axes radiales $uper o\~es partes uel puncta $uperficiei rei ui${ae}: nec enim int\~etiones $ubtiles, qu{ae} $unt in re ui$a, appar\~et ui$ui ni$i per motum ui$us, & per tran$itum axis, aut radialium linearũ, quæ $unt prope ip$um, $uper quamlibet partium rei ui${ae}. Et etiam $ires fuerit in fine paruitatis, & fuerit oppo$ita ui$ui: non intuebitur illã ui$us intuitione perfecta, ni$i donec moto ui$u axis radialis tran $iuerit per o\~es particulas uel puncta illius rei. Sic ergo fit $olùm intuitio $ecundum axis pyramidis radialis incid\~etiam, quamuis a$pectus $implex fiat $ecundum omnes lineas radiales totius pyrami- dis ui$ualis. Patet ergo propo$itum.

53. Axis radialis in toto motu ip$ius oculi $emper manet fixus in $uo $itu: quoniam ille mo- tus oculi e$t in $en$ibilis uelocitatis. Alhazen 42 n 2.

Motus enim axis $uper partes rei ui$æ nõ e$t ք gyration\~e axis à loco c\~etri ip$ius ui$us, $ed ք mo- tum eius ք $e $uper partes rei ui$æ: patet enim ք 25 & 32 huius, quòd linea axis ext\~editur rectè u$q; ad locum gyrationis nerui, $uper qu\~e componitur oculus: & quòd $itus eius à ui$un nõ mutatur, $ed cum totus oculus mouetur in oppo$itione rei ui$æ, & medium oculi, in quo e$t $en$us ui$us, oppo- nitur cuilibet partium rei ui$æ, tunc axis trã$it ք quamlibet partium rei ui${ae}: & $ecundum i$tum mo dum tota forma cuiuslibet partis rei ui$æ ext\~editur ad ui$um $emper $ecundum rectitudin\~e axis: & erit gyratio axis immutabilis à loco $uo, re$pectu omnium partium & tunicarum oculi: $ed circum gyrabitur axis in concauo o$sis cũ motu totius oculi. Et cũ ui$us uoluerit intueri r\~e ui$am, & incœ perit intueri in extremitat\~e rei ui$æ: erit tunc extremũ axis $uper extremitat\~e rei ui$æ, erit\’q; in di$- po$itione maior pars totius rei ui$æ in parte $uperficiei ui$us declinante aut obliqua ab axe ad aliã part\~e, pr{ae}ter part\~e, $uper quam e$t axis: quoniã forma eius erit in medio ui$us & in loco axis, erit\’q; re$iduum formæ obliquum ad aliam part\~e ab axe: & cũ ui$us po$t illam di$po$ition\~e mouebitur$u- per aliquã diametrum rei ui$æ, trãsferetur axis ad part\~e $equ\~et\~e illã part\~e rei ui$æ, & erit forma pri- mæ partis declinans ad locum alium oppo$itũ loco, ad qu\~e mouetur axis, & nõ ce$$abit forma de- clinare, quamdiu mouetur axis $uperillam diametrum, quou$q; axis perueniat ad ultimũ illius dia metri rei ui$æ, qu{ae} e$t pars alterius rei ui$æ: & fic erit forma totius rei ui$æ in i$ta di$po$itione obli- qua ui$ui & puncto oppo$ito ip$i axi, etiam cui prius fuit obliqua, axe radiali in alijs punctis diuer- $is incid\~ete, pr{ae}ter quam ultima pars & extrema ip$ius rei ui$æ, qu{ae} remanebit$uper axem & in me- dio ui$us: & axis in i$to toto motu erit fixus in $uo $itu, quantum ad pertran$itum uniform\~e omni- um tunicarum oculi. Patet ergo illud, quod proponebatur.

54. Axis in motu intuitionis nunquam fit ba$is anguli, quem re$picit $uperficies rei ui$æ, ne<005> $emper $ecat angulum, quem re$picit aliqua diametrorum rei ui$æ. Alhazen 43 n 2.

Quia enim iam o$t\~e$um e$t in præ ced\~ete theoremate, quòd axis in toto motu oculi ad intuendũ VITELLONIS OPTICAE $emper manet fixus: $i ergo axis fieret ba$is anguli, qu\~e re$picit $uperficies rei ui${ae}: oporteret im mo tas remanere lineas illũ angulũ cõtin\~etes, & moueri axem: hoc aut\~e nõ e$$et po$sibile, ni$i quando axis moueretur per $e, toto oculo quie$c\~ete: & quia hoc e$t impo$sibile per præced\~et\~e, totus enim oculus mouetur apud intuition\~e, & axis mouetur ք motũ eius, & moto axe, mou\~etur o\~es lineæ cõ- tin\~etes angulum pyramidis, & tota pyramis uariato axe uariatur. Incid\~ete enim axe radiali diuer$is punctis $uperficiei rei ui${ae}, licetid\~e remaneat uertex pyramidis, & etiam ead\~e ba$is $it: uariato ta- m\~e axe, cau$$atur $emper noua pyramis, quamuis uideatur $emper una: ideo quia motus oculi e$t in$en$ibilis uelocitatis. Per hunc itaq; motum comprehendit ui$us quodlibet punctum $uperficiei rei ui$æ ui$ui medio oppo$itum, in puncto $cilicet axis, & per hunc motum mouetur forma rei ui$æ ad ip$am $uperfici\~e ui$us, & mutatur pars $uperficiei ui$us, in qua prius fuit forma: quoniam forma rei ui$æ apud motum axis erit in una parte $uperficiei ui$us po$t aliam part\~e $uperficiei ui$us. Quo- tiens enim com preh\~ederit uirtus $entiens part\~e rei ui$æ, quæ e$t apud extremum axis, totiens com preh\~edet cum hoc totam $uperfici\~e rei ui${ae}, & comprehendettotam illam part\~e $uperficiei ui$us, in qua peruenit forma totius rei ui$æ, qu{ae} $emper e$t alia & alia: quãdiu itaq; axis caditin aliquod pun ctorum diametri rei ui$æ, non terminantium ip$am diametrum, tunc axis diuidit angulum, cui in c\~etro ui$us $ubt\~editur illa diameter: $ed cum incidit ip$i termino diam etri, tunc ip$e axis fit una li- nearum cõtin\~etium illum angulum. Non ergo $ecat $emper illum angulum. Quod e$t propo$itum.

55. Nece$$e e$t omnem ui$ionem, quæ fit a$pectu $implici, fieri in $tanti.

Si enim fiat a$pectus fimplex in tempore, quantumcunq; paruum $it illud t\~epus: erit ip$um pars magni temporis: & quoniam non datur ui$io fieri in tempore, ni$i per di$tantiam ui$ibilis ab ip$o ui $u: palàm tunc, quòd $ecundum $patium di$tantiæ ui$ibilis à ui$u multiplicabitur & tempus. a b c d Producatur itaq; linea a b c d, & $it ui$us ad punctum a, & aliquod ui$ibile $it apud punctũ b. Cumitaq;, ut dictum & declaratum e$t in 6 huius, forma puncti b multiplicatur ad ui$um, $i hoc fiat in tempore quocunq;, etiam fortè imperceptibili: $it aliud ui$ibile in puncto c: & $it $patium a c multiplex $patio a b: erit ergo tempus, in quo forma punctic multiplicatur ad ui $um a, multiplex tempori, in quo $orma puncti b multiplicatur ad ui$um a: & $ihoc tempus nondũ $it $en$ibile, $it in ulteriori puncto ui$ibile d remotius à ui$u a, quàm e$t ip$um c: $it\’q; $patium d a multiplex $patij c a: ergo erit ip$um magis multiplex $patij b a. Forma itaq; pun- cti d multiplicabitur ad ui$um a in tempore multiplici tempori, in quo peruenit ad ui$um a forma puncti c: $ed in pertran$itu formæ puncti d per ip$um $patiũ a d non requiritur in ip$a operatione ui$iua plus temporis, quàm in $patio a b: apertis enim oculis æquè citò uidentur remota & propinqua: neq; enim e$t $en$ibilis differ\~etia temporis, quo uidetur res proxima, aut aliqua $tellarum $ixarum, cuius ferè di$tantia e$t $ecundum mundi $emidiametrum, quæ e$t maxima linearum naturalium entium. Impo$sibile e$t ergo ui$ion\~e, quæ fit a$pectu $im- plici, fieri in tempore: $ed nece$$e e$t omn\~e huiu$modi ui$ionem, quantum ad a$pectum $im- plic\~e, fieri in in$tãti & $ubitò: eius itaq; principiũ nõ differt ab eius fine. Ethoc e$t {pro}po$itũ.

56. Omnem intuitionem in tempore fieri e$t nece$$e: tempus<006> intuitionis intentio- num ui$ibilium diuer$atur $ecundum diuer$itatem intentionum formarum intuitarũ. Alhazen 70. 74 n 2.

Cum enim, ut patuit in 51 huius, intuitio $it actus uirtutis ui$iuæ, quo ui$us ueram comprehen- $ionem formæ rei ui$æ diligenter per$piciendo perquirit, & $emper in ip$a intuitione axes radiales per omnia puncta $uperficiei rei ui$æ moueantur, ut declaratum e$t per 52 huius. Cum ergo omnis motus $en$ibilis fiat in tempore $en$ibili ideo, quia, ut alibi declarauimus, tempus e$t proportiona- le motui: palàm, quia omnem intuition\~e in tempore $en$ibili fieri e$t nece$$e. Tempus quoq; intui- tionis diuer$atur $ecundum diuer$as intentiones formarum ui$ibilium eorum, quæ quis intuetur, cuius exemplum e$t: ut $i ui$us comprehendat animallongũ multorũ paruorũ pedũ, quod mouea- tur: tunc primò per modicam intuition\~e compreh\~e dit motũ eius, & per motũ compreh\~edit ip$um e$$e animal: dein de per modicã intuition\~e in pedibus compreh\~edet ip$um e$$e multorum pedũ ex compreh\~e$ione di$tantiæ inter pedes, non tam\~e cogno$cet numerũ ip$orum pedũ: & deinde dili- g\~etius intu\~es cogno$cet numerum pedum pluri intuitione & maioris t\~eporis conatu. Compreh\~e- $io ergo animalitatis eius erit in paruo t\~epore, & comprehen$io multitudinis pedum erit in t\~epore maiore illo tempore priori, in quo cognitũ e$t ip$um e$$e animal: numerus aũt pedũ erit adhuc in t\~epore maiori aliquo illorũ t\~eporum: oportet enim ui$um intueri qu\~elibetillorũ pedum, & nume- rare illos: erit aũt quantitas t\~eporis intuitionis pedũ $ecundum numerũ multitudinis uel paucita- tis pedum: & hoc etiã patet per diuer$itat\~e aliarum ui$ibilium int\~etionum. T\~epus itaq; intuitionis intentionum ui$ibilium $ormarũ, quarum una e$t numerus, diuer$atur $ecundum diuer$itatem in- tentionum formarum intuitarum. Patet ergo propo$itum.

57. Vi$us non pote$t comprehendere ueram form am rei ui$æ primo a$pectu $implici, $edpoct diligentem intuitionem. Alhazen 76 n 2.

Cum enim formæ ui$ibilium $int cõpo$itæ ex multis intentionibus particularibus, quibu$dam LIBER TERTIVS. illarum exi$tentibus gro$sis, primo a$pectui $e offerentibus, quibu$dam uero $ubtilibus ualde, ut $unt lineationes minutæ & colores minutatim di$per$i, & $imilia, qu{ae} primo a$pectui, qui e$t in$tan tiuus per 55 huius, $tatim $e offerre non po$$unt: unde indig\~et t\~epore ut uideantur: po$t dilig\~etem ergo intuitum uidebuntur, & non prius. Vi$us enim non comprehendit ueram formam rei ui${ae}, ni- $i per comprehen$ionem omnium intentionum particularium, quæ $unt in illa forma. Patet ergo, quòd forma rei ui$æ, in qua $ubtiles $unt intentiones, non comprehenditur à ui$u $ecundum ueri- tatem $ui e$$e primo a$pectu, $ed po$t intuitionem diligentem. Et quoniam etiam in formis, in qui- bus non $unt $ubtiles intentiones, ui$us illarum carentiam à primo a$pectu dijudicare non pote$t: ideo etiam tunc e$t opus intuitione: nec enim pote$t certificare ueritat\~e formæ, ni$i po$t diligent\~e intuition\~e cuiuslibet partis illius form{ae} rei ui$æ. Palàm itaq;, quia ui$us nũ quá pote$t cõpreh\~edere uerã formã rei ui$æ in primo a$pectu, $ed $olùm po$t diligent\~e intuition\~e. Et hoc proponebatur.

58. Intuitus repetiti plus figunt & certificant formas $en$ibiles in anima remanentes. Alhazen 66 n 2.

Cum enim ui$us comprehendit aliquam rem ui$am, & fuerit certificata forma eius apud $entien tem: tunc forma illius rei ui$æ remanet in anima, & figitur in imaginatione ip$ius uidentis, utin na- turalibus animæ pa$sionibus declaratum e$t: & $i iterabitur comprehen$io rei ui$æ: tunc erit for- ma eius magis fixa in anima quàm forma rei $emel ui$æ: quia ui$us rarò compreh\~edit perfectè rem $emel ui$am, $ed $emper exiteratione ui$ionis peruenit forma denuò ad animam, & renouatur for- ma prius ui$a apud animam: & $i aliquid ex int\~etionibus illius formæ obliuioni traditum e$t, re$tau ratur, & $i prius ui$um non e$t, recuperatur. Anima autem per formam $ecundam rememoratur for mæprimæ, & cum pluries iteratur euentus eiu$d\~e int\~etionis $uper animam, erit anima magis re- memorans illam intention\~e: & $ic erit illa forma magis fixa in anima: $ed & magis certificata: quia in prima ui$ione, in qua forma rei ui$æ uenit ad animam, fortè anima non compreh\~edet omnes in- tentiones, quæ $unt in illa forma, neq; certificabitip$as: & cum forma redierit $ecundò, comprehen det anima ex ea aliud, quod in prima uice non comprehendit: & quantò magis forma iterabitur $u- per animam, tantò magis manife$tabitur ex ea, quod prius non apparebat: & cum anima compre- henderit intentiones $ubtiliores formarum, magis certificabitur $ibi e$$e totius formæ, Patet ergo ex his, quia intuitus repetiti erunt certiores, ut proponitur.

59. Nullum ui$ibilium comprehenditur $olo $en$u ui$us, ni$i $olùm luces & colores. Al- hazen 18 n 2.

Sola enim h{ae}c cum $int per $e ui$ibilia, $icut in $uppo $itionibus huius libri præmi$$um e$t: patet, quòd ip$a $unt priora omnibus alijs ui$ibilibus: unde ip$a $ine alijs offeruntur ui$ui, ut $ine $itu, figu ra, & magnitudine, & $imilibus: alia uerò non offeruntur ui$ui $ine illis, ui$ibili enim actu lucem nõ participiante impo$sibile e$t illud uideri, ut patet per 1 huius: circa lucem ergo & colorem nõ fit a- li qua alia operatio animæ ni$i $ola $en$atio ui$ionis. Lux enim, quæ e$t in corpore illuminato, com- prehenditur à ui$u $ecundum $uum e$$e & per $e exip$o $en$u: lux uerò & color, quæ $untin corpo- re colorato & illuminato, comprehenduntur à ui$u in $imul & admixta: comprehenditur autem u- trunq; illorum $olo $en$u ui$us: lux enim prima comprehenditur à ui$u exilluminatione corporis $entientis, quod e$t de $ub$tantia oculi, & color ex alteratione $ormæ eiu$dem corporis $entientis & eius coloratione cum admixtione lucis, quæ e$t hypo$ta$is coloris. Sicutenim $entiens compre- hendit in peruentu formæ lucis primæ $olam lucem: $ic in peruentu formæ coloris comprehendit lucem coloratam. Ergo hæc duo comprehenduntur $olo $en$u ui$us $ine alijs animæ potentijs & operationibus, quod non accidit in aliquo aliorum inui$ibilium: quoniam illa qua$i plura à pluri- bus $en$ibus $entiuntur: & $i aliqua ip$orum $olo $en$u ui$us $entiantur, & non alijs $en$ibus parti- cularibus: hoc accidit uel ex i$torum aliqua participatione, uel i$torum priuatione, $icut e$t in dia- phanitate & opacitate, tenebris & umbra, in quibus nece$$aria e$t ratio conferens hincinde, quæ non e$t nece$$aria in comprehen$ione lucis & coloris, Patet ergo propo$itum.

60. Omne ui$ibile aut comprehenditur à ui$u $olo $impliciter: aut cum ratione & di$tin- ctione. Alhazen 10 n 2.

Vtenim patet per præ ce dentem, lucem & colorem per $e $impliciter comprehendit $olus ui$us: $unt tamen plura aliorum, quæ de numero ui$ibilium $unt $uppo$ita, qu{ae} ui$us quid\~e comprehen- dit, non tamen $impliciter per $eip$um, $ed alijs actionibus anιm{ae} accedentibus: & $unt plura talia ui$ibilia, quorum compreh\~e$io non e$t puro $en$u ui$us: quoniam ui$us quando compreh\~edit duo in diuidua eiu$dem $peciei & form{ae} eodem tempore: tunc comprehendet in diuidua, & compreh\~e- det quòd $unt $imilia: $ed $imilitudo duarum $ormarum non e$t ip$æ formæ amb{ae}, neq; una ip$arũ, $ed neq; forma tertia propria con$imilitudini, $ed e$t conuenientia illarum duarum formarum in aliquo. Non ergo compreh\~edetur duarum formarum $imilitudo, ni$i ex comparatione unius ip$a- rum ad alteram: Non fit ergo $imilitudinis comprehen$io per $olum ui$um, $ed ex potentia animæ, quam dicimus rationem per actum ratiocinationis diuer$as formas ui$as ad inuicem comparant\~e. Et etiam quando ui$us uidet duos colores albos, quorum unus e$t albior alio, comprehendet am- VITELLONIS OPTICAE borum albedinem, & quod alterum e$t fortioris albedinis: comprehendet ergo $imilitudinem illo rum duorum alborum in albedine, & diuer$itatem illorum in fortitudine & debilitate: di$tinctio uerò inter illas duas albedines non e$t ip$e $en$us albedinis: quoniam $en$us albedinis e$t ex deal- batione $uperficiei ui$us, qu{ae} fit ab utraq; albedine: di$tinctio autem illarum albedinum fit propter diuer$itatem actionis illarum duarum albedinum in ip$um. Non e$t ergo illa di$tinctio à $o- lo $en$u, $ed e$t ab alia uirtute animæ, quam dicimus di$tinctiuam. Et $imiliter e$t de comparatione & di$tinctione aliarum $en$ibilium formarum: nihil enim illorum accipitur $olo ui$u, $ed ratione & uirtute di$tinctiua coadiuuantibus: ui$us enim per $e non habet uirtutem di$tinguendi, $ed uirtus di$tinctiua animæ di$tinguit omnia illa mediante ui$u. Patet ergo propo$itum.

61. Ex intentionibus formarum indiuidualium $æpius intuitarum, remanet in anima fixio & certificatio formæ uniuer $alis, exi$tens ui$ui principium cogno$cendi omnia indiuidua eiu$dem $peciei. Alhazen 14. 67 n 2.

Quia enim quodlibet ui$ibilium indiuidualium habet formam & figuram, in quibus cõueniunt omnia indiuidua illius $peciei, quæ diuer$antur $olùm in intentionibus particularibus, compreh\~e- $is per $en$um ui$us, & fortè erit in omnibus illis indiuiduis color unius modi, ut qua$i uniuer$ali- ter in indiuiduis auium, ut cygno, coruo, pica, & graculo, & $imilibus, in quibus e$t uni$ormitas co- loris, conueniens toti $peciei, uelut in pluribus, quia iam uidimus coruum album & ur$um album. Si itaq; forma & figura & color & omnes intentiones, ex quibus componitur forma cuiuslibetin- diuidui $peciei, e$t forma uniuer$alis totius $peciei: & ui$us compreh\~edit illam figuram & formam & colorem & omnium illorum intentiones, qu{ae} conueniunt illi $peciei: tunc anima iudicabit illud particulare ui$um e$$e indiuiduum illius $peciei: non tamen propter hoc cogno$cet unum in diui- duum ab alio indiuiduo eiu$dem $peciei di$tinctum: donec comprehenderit etiam int\~etiones par- ticulares, per quas diuer$antur indiuidua, & donec illæ quieuerint in anima & in ip$a uirtute imagi natiua: tunc enim aliquo prius ui$orum indiuiduorum ip$i ui$ui occurrente, per intentionem in di- uiduorum illius $peciei, cuius forma e$t apud animam, iterabitur à ui$u intentio illius formæ uni- uer$alis, quæ e$t illius $peciei, cum diuer$itate formarum particularium illorum indiuiduorum: & cum illa forma uniuer$alis per int\~etionem alterius indiuidui eiu$dem $peciei comparabitur in ani- ma: tũc figetur in anima, & quie$cet. Ex diuer$itate itaq; formarum particularium uenientiũ ad ui- $um cum formis uniuer$alibus, apud intuitionem compreh\~edet anima diuer$item indiuiduorũ eiu$d\~e $peciei, & per cõuenientiam accidentium ui$ibilium in diuer$is indiuiduis, comprehendet quòd forma, in qua conueniunt omnia indiuidua illius $peciei, e$t forma uniuer$alis illorũ omniũ. Sic ergo remanet in anima forma uniuer$alis, & in eius uirtute imaginatiua: & e$t illa forma ui$ui principium cogno$cendi omnia indiuidua eiu$dem $peciei, quantum ad illud, quod e$t in ip$is ex intentionibus uniuer$alibus indiuiduatum, & de intentionibus particularibus $en$ibilibus qui- bu$cunque. Patet ergo propo$itum.

62. Omnis uera comprehen$io formarum ui$ibilium, aut est per $olam intuitionem, aut per intuitionem cum $cientia præcedente. Alhazen 69 n 2.

Comprehen$io ui$ibilium $ola intuitione fit, quando comprehenduntur ui$ibilia extranea, ut quando ui$us compreh\~edit rem ui$am, quam antea non percepit nec in $e nec in $ua $pecie: per in- tuitionem uerò diligent\~e acquirit omnes di$po$itiones & formam eius ueram: non tam\~e cogno$cit formam eius, quia ip$am antea non percepit, uel non recolit: $ic ergo comprehendetur illa forma uera comprehen$ione per $olam intuitionem. Comprehen$io autem uera formarum ui$ibilium a- lia ab alia, quæ fit per $olam intuitionem, quandoq; fit per intuitionem cum $cientia præcedente, ut quando ui$us comprehendit formã alicuius rei ui$æ, quã cõpreh\~edit etiam antè, & cuius form{ae} intentio e$t apud animam auttota, aut aliqua pars illius: tũc enim ui$us $tatim in a$pectu illius rei cõprehendet eius formã: & deinde modica intuitione comprehendet totam formam eius, qu{ae} e$t $cientia uniuer$alis $uæ $peciei, & cogno$cet formam uniuer$alem, quam comprehendet in illa re ui$a apud comprehen$ion\~e formæ in anima per rememorationem illius rei ui$æ $pecialiter: & dein de intuens int\~etiones re$iduas, quæ $unt in illa re ui$a, certificabit particularem $ormam illius, ip$i ui$o indiuiduo appropriatam: & $i fuerit rememorans illius form{ae} particulairs, ut prius per ui$um comprehen${ae}, tunc cogno$cet illam formam indiuidualem. Et quia nulla res ui$a comprehenditur uera comprehen$ione, ni$i aliquo i$torum modorum. Patet ergo propo$itum.

63. Comprehen$io ui$ualis per cognitionem $emper fit per aliquem modum rationis confe- rentis. Alhazen 11 n 2.

E$t enim cognitio comprehen$io con$imilitudinis duarũ formarũ, $cilicet formæ, quam compre hendit ui$us apud cognitionem, quando $entit $e cogno$cere rem, quam uidet, & formæ quie$cen- tis in anima, prius cõprehen$æ: unde non fit ui$ualis cognitio, ni$i per rememorationem: quoniam $i nulla forma talis fuerit quie$cens apud animã & pr{ae}$ens memoriæ, non cogno$cet ui$us rem ui- $am. Semper itaq; fit cognitio ex a$similatione formæ quie$centis in anima ad formá po$tea ui$am extrâ, $iue forma quie$cens $it forma $peciei uel indiuidui cogno$cendi. Vi$us itaq; comprehendit LIBER TERTIVS multas res ք cognitionem: cogno$cit enim hominem e$$e hominem, & equũ e$$e equũ, & Socrat\~e e$$e Socratem: & cogno$cit animalia $ibi a$$ueta, & arbores, & plantas, & lapides, qu{ae} prius uidit, & cogn o$cit illis $imilιa, & omnes intentiones $ibi a$$uetas in rebus ui$ibilibus, & quantitates omniũ rerum $ibi con$uetarũ, qu{ae} non cogno$cuntur $olo ui$u per 59 huius: nec tamen cogno$cit ui$us o- mne, quod uidit prius, ni$i quando fuerit remem orans formæ prius ui$æ. Non e$t ergo cognitio ui- $ualis comprehen$io $olo $en$u, $ed per ration\~e formam pr{ae}$entis rei ui$æ form{ae} prius ui$æ & apud $e quie$centi conferentem: nun quam enim pote$t fieri cognitio, ni$i per comparation\~e formæ qui- e$centis in anima ad formã ui$am extra. Sic ergo patet, quoniá compreh\~e$io ui$ualis per cognitio- nem $emper $it per aliquem modum rationis conferentis. Patet ergo propo$itum.

64. Omnem comprehen$ionem ui$ualem cogno$citiuam in tempore fieriest nece$$e: $edin mi nori, quàm $it tempus comprehen$ionis per $olam intuitionem. Alhazen 13. 71 n 2.

Quoniam enim, $icut in præce dente propo$itione pr{ae}mi$$um e$t, omnis cognitio fit per intuitionem & formam in anima quie$centem rememoratam & applicatam formæ nunc per dili- gentem intuitum per$pect{ae}: & quoniam omnis intuitio fit in tempore per 56 huius, & omnis reme moratio form{ae} prius ui$æ fit plurimũ in t\~epore, quoniam fit per di$cur$um anim{ae} per formas, quas apud $e habet in imaginatione, quæ $i qu{ae}renti animæ $tatim occurreret, nõ e$$et rememoratio, $ed continuata memoria. Quia itaq; ambo h{ae}c, $cilicet intuitio & rememoratio, uel ip$orum alterũ fit in tempore: patet etiam, quòd omnis compreh\~e$io ui$ualis cogno$citiua fit nece$$ariò in tempore: $ed in minori, quàm $it tempus comprehen$ionis per $olam intuitionem: quoniam int\~etiones exi- $tentes in anima pr{ae}$entis memoriæ non indigent, ut cogno$cantur omnes intentiones, qu{ae} $unt in formis rerum cognitarum, ex quibus componuntur in rei ueritate, $ed $ufficit in comprehen$io- ne eorum comprehen$io alicuius int\~etionis propri{ae} illis. Cum ergo uirtus di$tinctiua comprehen- derit in forma ueniente ad ip$am aliquam intentionem propriam illi formæ, erit rememorans pri- mæ formæ, & cogno$cet omnes formas uenientes ad ip$am, quoniam omnis intentio appropriata alicui formæ, e$t $ignans $uper illas formas: ut quando ui$us intuens Socratem, comprehendit li- neationem manus humanæ, $tatim comprehendit quòd $it homo, & antequam comprehendat li- neationem $uæ faciei uel partium aliarum. Ex comprehen$ione ergo quarundam intentionũ, quæ appropriantur $ormæ hominis, comprehendit quòd idem ui$ibile $it homo $ine in digentia cópre- hen$ionis partium aliarum, quas comprehendit $olùm per cognitionem pr{ae}cedentem ex formis re$identibus in anima, & per comprehen$ionem alicuius intentionis propriæ illi indiuiduo, ut per glaucitatem oculorum uel oris gro$siciem aut arcuitat\~e $uperciliorum, aut $imilibus comprehen- dit totalis illius indiuidui intentiones: & $imiliter cogno$cet equum per aliquam maculam in fron te aut alibi in corpore: & $criptor ex quarun dam comprehen$ione literarum cogno$cit omnes par tes dictionis uel orationis, quam frequenter & continuè uidet. Et quoniam comprehen$io, qu{ae} ac- quiritur tantùm per intuitionem, fit per con$iderationem omnium partium rei ui$æ, & omniũ in- tentionum, quæ $unt in ea: comprehen$io uerò per cognitionem fit per con$iderationem $olũ qua- rundam intentionum, quæ $unt in illa forma: palàm, quòd ui$io, qu{ae} e$t per cognitionem, e$t in mi- nori tem pore, quàm $it ui$io per $olam intuitionem: & propter hoc ui$us compreh\~edit ui$ibilia a$- $ueta uelociter in paruo t\~epore qua$i latente $en$um, & maximè illa, qu{ae} $ui primordio cogno$ce- re cõ$ueuit, uel cum quibus multo t\~eore per$euerauit. Patet ergo illud, quod proponebatur.

65. Vi$io per cognitionem præcedentem per modicam intuitionem non efficit certam formæ rei comprehen$ionem. Alhazen 75 n 2.

Quoniam enim ui$io per cognitionem pr{ae}cedentem non e$t ni$i circa totalitatem & uniuer$ita- tem rei ui$æ $uperficialiter & in gro$$o & per quæ dam exteriora $igna illius rei ui$æ: & uirtus di$tin ctiua comprehen dit intentiones particulares, quæ $unt in illa re ui$a, $ecun dum modum, quo co- gnouit res ui$as ex prima forma illius rei ui$æ in anima exi$tente: $ed omnes particulares intentio- nes ui$ibilium, quæ $untin rebus corruptibilibus, mutantur temporis mutatione: ui$us autem non comprehendit mutationem intentionum rei ui$æ per formam prius habitam, cum mutatio fuerit non manife$ta nec comprehen$ibilis à ui$u primo a$pectu. Cognitio ergo præ cedens non efficit ue ram rei cognitionem: utpote $i in homine mundæ faciei prius cognito accidat po$tmodum macu- la uel cicatrix in facie, quæ non $it manife$ta: tum enim po$tea longo tempore ui$o illo homine, nõ cogno$cet ip$um uidens $ecundum formam $ui, quam prius mem oriter $eruauerat, nec tum com- prehen det maculam uel cicatricem illam in facie illius, ni$i po$t intuitionem diligentem factam in illam maculam uel cicatricem: & tunc comprehendet formam eius $ecun dum $uum e$$e. Et $imili- ter e$t $i macula $emper in facie ip$ius cogniti fuerit, non tamen fuerit ui$ui multum mani$e$ta: tũc enim licet habeat uidens apud $e formam illius non maculatam, non tamen applicabit ip$am illius faciei maculatæ, & non cogno$cet ip$um ni$i po$t multam aliarũ intentionũ particularium intuitio nem. Et $imiliter e$t in alijs indiuiduis ui$ibilium & intentionibus diuer$is ip$orum. In omnibus e- nim ip$is ui$io per cognitionem præ cedentem per modicam intuitionem non efficit certam formæ rei comprehen$ionem. Patet ergo propo$itum.

VITELLONIS OPTICAE 66. Nullius entium quiddit as per $e e$t ui$ibilis, $ed per accidens, mediantibus intentionibus $en$ibilibus, quæ per $e uidentur. Alhazen 68 n 2.

Quoniam enim, ut $uppo$itum e$t in principio libri huius, ui$io nõ completur ni$i apud peruen- tum formarum ui$ibilium ad animam, qu{ae} omnes $unt de genere accid\~etis, ut patet in ip$arum $in- gulari enumeratione: palàm (cum nullius $ub$tátiæ quidditas $it de genere accid\~etis) quòd nul- la ip$arum per $e e$t ui$ibilis: per accidens autem quid ditas $ub $tantiarum corporalium percipitur à ui$u, $cilicet per compreh\~e$ionem $uarum int\~etionum ui$ibiliũ, qu{ae} per $e uid\~etur. Sic ergo quid- ditas $ub$tantiæ non $it ni$i per cognitionem intrin $ecam animæ, quæ fit ex comparatione formæ unius po$terius compreh\~e$æ, ad formam aliam prius compreh\~e$am quie$c\~etem in imaginatione. Comprehen$io ergo quid ditatis $ub$tantiæ ui$æ, ut hominis uel canis uel alicuius alterius $ub$tan tiæ, non e$t ni$i ex compreh\~e$ione a$similationis formæ rei ui$æ ad aliquam formarum uniuer$aliũ quie$c\~etium in anima & fixarum in imaginatione, quam ui$us antè compreh\~ederat. Et quia uirtus di$tin ctiua, qu{ae} e$t in anima, per quam anima rerum differ\~etias dijudicat, ut hominem non e$$e ca- nem & ecóuer$o, naturaliter a$similat ip$as formas ui$ibilium nouiter $cilicet ui$as, ui$ibilibus for- mis fixis in imaginatione. Cum ergo ui$us compreh\~ederit ali quam rem ui$am, $tatim uirtus di$tin ctiua quærit eius $imilem in formis exi$tentibus in imaginatione, & illa inuenta cogno$cit per illá, rem ui$am, & compreh\~edit quidditat\~e eius: & $i non inuenerit ex $ormis quie$c\~etibus in anima for mam $imilem form{ae} illius rei ui${ae}, nõ cogno$cet illam r\~e ui$am, neq; compreh\~edet quid ditat\~e eius. Sic ergo nulla quid ditas alicuius $ub$tanti{ae} compreh\~editur per $e à ui$u, $ed peraccid\~es, ut propo- nitur. Si enim aliqua talium quidditatum per $e comprehenderetur à ui$u: ergo & omnis quiddi- tas cuiuslibet ui$ibilis $ub$tantiæ e$$et compreh\~e$ibilιs à ui$u, $icut patetin lucibus & colorιbus, & $ub $tanti{ae} quantum ad $en$um & $en$ibilem operation\~e exi$tentes indiui$ibiles per $uas quiddita- tes uider\~etur, quod nõ e$t uerum: oportet enim ut corpus ui$ibile $it alicuius quantitatis re$pectu $uperficiei ui$us, ad hoc ut ip$um a ctu uideatur, ut patet per 19 huius. Similiter quoq; patet de o- mnibus alijs quorumcunque entium quid ditatibus: $emper enim quidditas cuiuslibet compo$iti compo$ita e$t, & eius compo$itionem ui$us per $e comprehendere non pote$t: & $i ui$us aliquam quid ditatem, ut e$t quidditas, cogno$ceret: tunc ui$us omnem quidditatem cogno$ceret, quarum multæ tamen $unt inui$ibiles, cum omnes ip$æ $int per $e intelligibiles: & cum hoc $it impo$sibi- le: patet ergo propo$itum.

67. Primum quod comprehendit uirtus di$tinctiua ex intentionibus appropriatis formæ ui $ibili, est quidditas lucis & coloris. Alhazen 17 n 2.

Quamuis enim lux & color $int per $e ip$a & primò ui$ibilia, ip$orũ tam\~e quidditates & differen tiæ e$$entiales $olo $en$u ui$us compreh\~edi non po$$unt: quid ditas enim lucis nõ comprehenditur $olùm per ui$um, ni$i cooperante uirtute animæ, qu{ae} e$t cogno$citiua, quoniam ui$us cogno$cit lu m\~e$olis, & di$tinguit inter ip$um & lum\~e lunæ & lum\~e ignis per cognitionem prius factam & per formam in anima re$eruatam: $imiliter etiam quid ditas coloris non comprehen ditur à uirtute di- $tinctiua ni$i per cognitionem, quando color rei ui${ae} fuerit ex colorbus a$$uetis. Illa autem cogni- tio di$tinctiua fit ex comparatione formæ coloris nunc ui$i ad formas illi colori prius com- prehen$as: non enim pote$t ui$us comprehendere color\~e rubeum & quòd $it rubeus, ni$i quia co- gno$cit ip$um, quia in ip$a anima uidentis perman$it forma eius, ut prius ui$a. Si enim ui$us nun- quam colorem rubeum antea uidi$$et, nũc ip$um ui$um cogno$cere nõ po$$et, $ed ip$um coloribus illi propm quis $ibi cognitis a$similaret, ut quotidie facit in noua permixtione quorũlibet colorũ. Cum itaq; uirtus di$tinctiua comprehen dit diuer$itatem lucis à colorum quidditate, quamuis forma, quã ris. comprehen dit etiam diuer$itatem quid ditatis lucis à colorum quidditate, quamuis forma, quã comprehendit ui$us, $it a dmixta ex forma lucis & coloris, quæ $unt in re ui$a. Et quoniam lux & co lor $unt prima ui$ibilia, quorũ participatione & auxilio omnia alia uidentur: ideo nece$$e e$t ut pri mum, quod comprehendit uirtus di$tinctiua ex intentionibus appropriatis $orm{ae} ui$ibili, $it quid- ditas lucis & coloris, ut $icut illis primò & per $e debetur ui$iua comprehen$io, $ic & illorũ quiddi- tatibus debeatur per $e & primò operatio uirtutis di$tinctiuæ, ut illis, quorum præ$entia prius re- lucetin organis ui$iuis, quæ omnia $ecundum plus & minus accedunt ad diaphanitatem. Patet er- go propo$itum.

68. Comprehen$io coloris, in eo, quod e$t color, e$t prior comprehen$ione quidditatis coloris. Ex quo patet, quòd prior e$t comprehen$io omnium ui$ibilium in eo, quòd in $uo genere ui$ibilia $unt, quàm $uarum $pecialium quiddit atum. Alhazen 19 n 2.

Vi$us enim compreh\~edit colorem, & $entit quòd e$t color, prius quàm $entiat cuiu$modi$it ille color, ut patet in coloribus fortibus po$itis in loco non multum lumino$o. Ibi enim comprehendit quidem ui$us colores indi$tinctè tantùm: di$tinguuntur aut\~e per aduentum maioris lucis aut per longam intuitionem. Primum ergo, quod comprehendit ui$us ex forma coloris, e$t mutatio mem- brilentientis & coloratio eius: quoniam apud peruentum formæ in ui$um coloratur ui$us, qui $en tiens $e coloratum $tatim $entit colorem: & deinde ex di$tinctione & comparatione ip$ius ad colo- res notos ui$ui, comprehendit quidditatem coloris. Comprehen$io ergo coloris in eo, quod e$t color, e$t ante comprehen$ion\~e quidditatis ip$ius coloris, qu{ae} fit non per $olũ $en$um ui$us, $ed per LIBER TERTIVS. cognitionem, quando idem color prius fuit à ui$u comprehen$us, & forma eius e$t in memoria ani- mæ con$eruata. Et $i ui$us comprehendat colorem extraneum, quem nunquam uidit, tunc com- prehendet quòd e$t color, & tamen ne$ciet cuiu$modi $it coloris, $ed comparando ip$um coloribus alijs, a$similabit propinquiori colori $imili $ibi, & fortè plures uidentes illum colorem $imul in eo- dem lumine, a$similabunt ip$um colorib. diuer$is, ut accidit in colore confecto ex di$$olutione cor- poris commixti ex cupro & argento. Illum enim aliquis a$similabit uiriditati, quæ e$t ex cupro, & aliquis lazulio colori, qui fit ex argento. Patet ergo per has experimentationes, quòd comprehen- $io coloris in eo, quòd e$t color, e$t prior comprehen$ione quid ditatis coloris. Et quoniam color e$t primũ ui$ibile po$t lucem, patet, quòd prior e$t comprehen$io omnium ui$ibilium in eo, quòd ui$i- bilia $unt, quàm $uarum $pecialium quidditatum: prius enim comprehenditur in $en$u ui$us in ge- nere ip$e $itus, quàm aliqua $pecies $itus, & prius figura in genere, quàm aliqua $pecialis figura: & $i contingat in ui$u ab$olui $pecialem, remanet tamen generalis, uel illa, qu{ae} e$t primi generis, uel illa, quæ e$t generis $ecundi. Et hoc proponebatur.

69. Diuer$arum intentio num ui$ibilium per rationem & di$tinctionem fit comprehen$io $i- mul in in$tanti: $imilium uerò in tempore. Alhazen 13. 15. 71 n 2.

Figura enim & magnitudo, & diaphanitas, & plura $imilia, quando comprehenduntur primo a- $pectu, qui $emper fit in in$tanti temporis per 55 huius, $tatim ut$e ui$ui præ$entant, per rationem & di$tinctionem, propter uelocitatem rationis in eodem in$tanti comprehenduntur, & omnes in- tentiones, quæ $unt in illis. Virtus enim di$tinctius non arguit per compo$itionem & ordination\~e propo$itionum ad formam $yllogi$ticam. Sicut ergo in intellectu, qui e$t habitus principiorum, in actuali intelligentia propo$itionum uniuer$alium & per $e manife$tarum non indiget aliquanto t\~e- pore, nec etiam indiget aliquanto t\~epore in apprehend\~edo conclu$iones particulares ex illis, quo- niam cum intellectu propo$itionis uniuer$alis $imul accipit conclu$ionem, quæ immediatè $equi- tur exilla: ideo quia anima humana apta nata e$t ad arguen dum $ine difficultate & labore: unde e- tiam non percipit homo, quòd comprehen$io, quæ fit per rationem & di$tinctionem, fiat per argu- mentum, $icut puerulus ex duobus pulchris di$tinguens & eligens pulchrius, non percipit quòd id fiat per uiam argumentationis & con$iderationis eligendorum. Hoc itaque modo $imili & confor- mi, quatenus e$t po$sibile, fit omnium int\~etionum ui$ibilium per rationem & di$tinctionem in in- $tanti comprehen$io. Di$tin ctio enim & argumentatio uirtutis di$tinctiuæ fit $tatim uenientibus formis intra medium nerui communis: quoniam totum corpus exten$um à $uperficie primi oculi recipiente formas u$que ad medium nerui communis, e$t $entiens & diaphanum, & fit per ip$um tran$itus intentionis formarum in in$tanti, cum $tatim ultra oculi $ub$tantiam $it $piritus ui$ibilis diaphanus, per quem uirtus $en$itiua defertur ad totum diaphanum omnium humorum & tunica- rum amborum oculorum: omnia enim diaphana illa illuminãtur à luce, & colorantur à colore uno uel diuer$is $ecundum diuer$itatem colorum corporis $en$ati: & corpus, quod e$t in cõcauitate ner ui communis, e$t ultimum corpus, ad quod perueniunt lux & color. Cum ergo extenditur forma â $uperficie prima membri $entientis u$que ad medium nerui communis, quæ libet pars corporis $entientis $entiet formam: & cum peruenerit in concauum nerui communis, tunc comprehendi- tur ab ultimo $entiente: & tunc fit di$tinctio formarum: non tamen inter a ctum di$tinctionis & a- ctum primi a$pectus e$t differentia temporalis: quoniam $icut lumen in uno in$tanti $e multiplicat per mundi diametrum propter corporis medij diaphanitatem: $ic etiam formæ $en$ibiles, ut o$ten- $um e$t per 55 huius, in in$tanti pertingunt trans medium quodcun que corpus diaphanum ad me- dium nerui communis, ubi per uirtutem animæ $entiuntur, comprehenduntur. & di$tinguuntur. Et quoniam uirtus animæ e$t indiui$ibilis, fit hoc totum $imul in unico in$tanti. Quando uerò inten- tiones ui$ibilium $unt $imiles ualde, ut e$t uiriditas rutæ uiriditati ment{ae}: tunc non fit ip$orum di- $tinctio in in$tanti illo, quo utraq; illarum uiriditatum compreh\~editur à ui$u, $ed po$t comparatio- nem unius ad alteram factam: fit ergo in alio in$tanti, & $ic inter in$tans primi a$pectus $implicis & in$tans di$tinctionis ex comparatione, nece$$arium e$t tempus medium a$$umi. Patet ergo illud, quod proponebatur.

70. Comprehen$ionem quidditatis coloris in tempore fieri e$t nece$$e. Ex quo patet, quòd com- prehen$io quidditatis omniũ $imilium ui$ibilium non fit ni$i in tempore. Alhazen 20 n 2.

Fit enim comprehen$io quidditatis coloris po$t comprehen$ionem coloris in eo, quòd e$t co- lor, ut patet per 68 huius. Et quoniam color in eo, quòd e$t color, non pote$t comprehendi per a- $pectum $implicem ni$i in in$tanti per 55 huius: cum ergo comprehen$io quidditatis alicuius co- loris $it com po$ita ex comprehen$ione coloris in eo, quòd e$t color, & in$uper ex alia di$tinctiua comparatione con$equente, per quam quid ditas unius coloris di$tinguitur à quidditate alterius coloris: ideo quòd omnes colores mixti habent e$$entialem conuenientiam in actu & hypo$ta$i lu- cis, & in$uper habent plures ip$orum adinuicem maximam conuenientiam in proximitate mixtio- nis: palàm, quia illa di$tinctio quidditatis ip$orum colorum completur in alio in$tanti temporis, quàm comprehendatur à ui$u, $ed inter quæ libet duo di$tantia e$t tempus medium. Quia ita que cõprehen$io quidditatis coloris fit per di$tin ction\~e unius coloris ab alio, palã per præmi$$am, quo- VITELLONIS OPTICAE niam illa di$tinctio completur in tempore: ergo & comprehen$io quidditatis nece$$ariò fit in tem- pore. Vi$us quoque non comprehendit quidditatem coloris, ni$i per intuitionem: quoniam $i co- lor non fuerit in aliqua $uperficie, ita ut $ibi po$sint infigi axes ui$uales in tempore $en$ibili, non cõ- prehendit ui$us quidditatem colorum: unde in rebus uelociter motis nó di$tinguitur quidditas co loris: $ed $i plures in re uelociter mota $int colores, uidebuntur omnes indi$tinctè unus permixtus color, ut patet in pila diuer$i coloris uelociter mota per iactum fortem. Patet ergo, comprehen$io- nem quidditatis ip$ius coloris in tempore fieri e$t nece$$e: & ex hoc patet, quòd cóprehen$io quan- titatis omuium formarum ui$ibiliũ non fit, ni$i in tempore. Si enim ui$us non comprehendit quid- ditatem coloris, qui compreh\~editur $olo $en$u ui$us, ni$i in tempore: palàm, quòd plus indiget tem pore in intentionibus aliorum ui$ibilium, quæ comprehenduntur plurimum di$tinctione & cogni tione, Omnium itaque intentionum ui$ibilium quidditatum comprehen$io fit in tempore, licet il- lud tempus quandoque $it ualde paruum. Et hoc proponebatur.

71. Vi$us in formis indiuidualibus minoritempore comprehendit intentiones $peciales quàm indiuiduales. Alhazen 72 n 2.

Quando enim ui$us comprehendit aliquod indiuiduum hominis, comprehendit ip$um e$$e ho- minem prius, quàm comprehendit formam eius particularem: & $ortè per intentiones formæ ho- minis, uel per aliqua conuenientia propria formæ hominis comprehendit ip$um e$$e hominem, quamuis non comprehendat lineationem $uæ faciei, utpote ex rectitudine corporis & ordinatione membrorum corporis. Indiuidualitas autem rei ui$æ non comprehendetur ni$i ex comprehen$io- neintentionum particularium illi indiuiduo propriarum omnium aut quarundam: & hæc com- prehendi non po$$unt ni$i po$t comprehen$ionem uniuer$alium intentionum, quæ $unt ex gene- re uel $pecie illius indiuidui, omnium aut quarundam: $ed comprehen$io formæ partialis e$t in minori tempore quàm formæ totius. Et quoniam indiuidualitas addit aliquid $uper $peciali- tatem, patet, quòd in diuidualitas e$t qua$i quædam totalitas re$pectu $pecialitatis. Compre- hen$io ergo $pecialitatis rei ui$æ e$t in minori tempore quàm comprehen$io indiuidualitatis. Et hoc proponebatur.

72. Intentiones $peciales & indiuiduales quorundam ui$ibilium a$$uetorum minoritempore alijs intentionibus $pecialibus & indiuidualibus comprehenduntur. Alhazen 73 n 2.

Quædam enim $pecierum ui$ibilium a$$uetorum non a$similantur alijs $peciebus, ut $pecies ho- minis, quæ propter corporis rectitudinem nulli aliorum animalium a$similatur: & quædam a$simi lantur alijs $peciebus, ut $pecies equi, quæ a$similatur multis animalibus in tota forma. Tempus er go, in quo ui$us comprehendit $peciem indiuidui hominis, & comprehendit ip$um e$$e hominem, e$t minus tempore, in quo comprehendit equum e$$e equum, & maximè quando comprehendit utrunque i$torum in magna remotione: quoniam ui$us comprehendens indiuiduum hominis mo- tum localiter, $tatim comprehendet ip$um e$$e animal: ex motu & ex corporis erectione compre- hendetip$um e$$e hominem: $ed licet per motum etiam po$sit comprehendere, quòd indiuiduum equi $it animal, & per numerum quatuor pedum comprehendatip$um e$$e be$tiam, non tam\~e pro- pter hoc comprehendet ip$um e$$e equum: quoniam intentiones equin{ae}, quæ $unt à $patio remoto ui$u perceptibiles, $unt in pluribus quadrupedum, quæ a$similantur equo in pluribus e$$entiali- bus & accidentalibus intentionibus, ut in mulo & alijs. Si itaque ui$us non comprehendit aliquam intentionum propriarum equo, non comprehendet illum e$$e equum. Quia itaque tempus, in quo comprehendit ui$us erectionem corporis hominis, non e$t $icut tempus, in quo comprehendit for- mam equi cum intentionibus particularibus, per quas di$tinguitur equus ab alijs be$tijs, ut e$t li- neatio $uæ faciei, & exten$io colli, & uelocitas motus, & pa$$uum amplitudo: comprehen$io igitur $peciei hominis e$t in minori tempore quàm comprehen$io $peciei equi: quamuis enim illa duo tempora $unt parua, tamen unum ip$orum $ecundum omnes di$po$itiones eius e$tmaius altero: & $imiliter quia ro${ae} horten$i nullus alius flos a$similatur in forma $uæ $peciei, uel etiam in inten- tione $uæ rubedinis, ideo ui$us in minori tempore comprehendit eius $peciem per rubedinem ro- $eaceum, quàm $peciem rutæ per eius uiriditatem, cui multæ herbarum a$similantur. Et uniuer- $aliter quidditates omnium $pecierum, quæ po$$unt a$similari alijs, non adeò citò comprehen- dunturà ui$u, $icut quidditates omnium $pecierum, quæ paucis uel nullis a$similantur. Et $imi- liter etiam e$t de indiuiduis: quoniam indiuiduum nulli alij a$similatum comprehenditur per mo- dicam intuitionem & per $igna: illud autem indiuiduum, quod a$similatur alij indiuiduo, opor- tet quòd comprehendatur per multam intuitionem. Patet ergo illud, quod proponebatur.

73. Virtus $en$itiua comprehendit quantit atem anguli, quem in centro ui$us re$picit $uper- ficies rei ui$æ $olùm ex comprehen$ione partis $uperficiei ui$us, in qua figuratur forma rei ui$æ. Alhazen 44 n 2.

Quamuis enim ordo puræ mathe$is $it in hoc, ut per quantitatem angulorum $ciatur quantitas partium $uperficierum $phæricarum illis angulis $ubten$arum, eò quòd $icut centrum e$t princi- pium con$titutionis totius $phæræ: $ic partes angulorũ 8 $olidorũ, qui $unt circa centrũ $phæræ, ut LIBER QVARTVS. circa quodlibet uniuer$i pun ctum $int principium di$tin ctiuũ omnis partis $uperficiei $phæræ per 87 t 1 huius: tamen in hac $cientiæ $en$ibilis experientia, qu{ae} naturalium rerũ conditione permi$ce tur, uirtus $en$itiua ex cõprehen$ione partis $uperficiei ui$us, in qua figuratur forma rei ui$æ, cõpre- hendit à po$teriori uia $en$ib, competente quantitatem anguli, quem ιn centro ui$us re$picic $uper- ficies pr{ae}fata. Sen$us enim ui$us naturaliter comprehendit illam $uperficiem, in qua figuratur $or- ma rei ui$æ per di$tin ctionem lucis & coloris, qui per le accidũt in illa parte ab alijs $uperficieb. ui- $us di$tincta: & quando comprehendit quantitatem illius partis, tũc imaginatur angulos, quos re- $piciũt ill{ae} partes, & comprehendit quantitates eorũ apud centrũ ui$us $ecũdũ quantitatem partiũ $uper$iciei ui$us illis angulis $ubten$arũ: anguli autem tũc non certificantur, ni$i per motum ui$us re$picientis $uper diametros rei ui${ae}, aut $uper $patiũ, cuius ui$us magnitudinem uult $cιre. Patet er go propo$itũ. Et licet line{ae} radiales in centro ui$us non concurrant, quoniam peruenit inter$ectio axium ui$ualiũ ad mediũ punctum nerui cõm unis, ut in pr{ae}cedentium theorem atum pluribus pa- tuit: partes tamen $uperficiei ip$ius ui$us informantur $ecundum modũ, quo line{ae} radiales concur rerent in centro ip$ius ui$us, ni$i ip$os refractio in medio $ecundi diaphani præueniret, ut patet per 22 huius: & hoc e$t notatu dignũ, quoniam nos in $equentib. utemur centro ui$us, ac $i line{ae} radia- les in ip$o angulariter con currant: quia $ecundum hoc omnis ui$io informatur.

VITELLONIS FI- LII THVRINGORVM ET PO- LONORVM OPTICAE LIBER QVARTVS.

_TRACTAVIMVS_ in præmi$$o tertio libro deproprietatibus organi ui $iui, & de e$$entialibus modis uidendi: nunc aũt restat, ut in hoc quarto li bro pro$equamur proprietates omnium ui$ibiliũ, quæ, ut in principio tertij diximus, $unt uigintiduo, quorum tantũ duo, $cilicet lux & color $unt per $e ui$ibilia: alia uerò uidentur per accidens: uel quia pluribus alijs $en$ibus percipiuntur: uel quia non uιdentur, ni$i propter luces & colores, ut patet in $ingulis ip$orũ. Et quoniã in præmi$$o tertio libro de ui$ione lucis & coloris $atis præmi$imus: ideo nũc alia 20 ui$i bilia re$tant pertractãda. Hæc ita{que} omnia, pa{$s}iones quo{que} et deceptiones, quæ accidunt ui$ib. & potentijs intrin$ecis animæ circa illa naturaliter uel mathematicè, prout natu- rarei et po{$s}ibilitas no$tra fert, $ub modo demõ$tratiõis $uo ordine per curremus, unicui<005> ip$orũ $uæ u@$is modũ, et in $e et in $uis partib. præmittentes: deceptiones quo{que}, quæ in ip$o uel tantũ uirtuti ui$iuæ, uel etiam potent{ij}s animæ intrin$ecis, ut quæ uirtuti di$tin- ctiuæ & ratiocinatiuæ accidũt, cũ $tudio $ubiungemus: quæ aũt præmittimus, $unt i$ta.

DEFINITIONES.

1. Forma dicitur directè ui$ibus incidere, à qua producta linea recta $uper $uper- ficiem ui$us e$t perpendicularis, incidens ip$i centro foraminis uueæ. 2. Obliquè uerò incidere dicitur, à qua producta recta dicto modo, nõ e$t perp\~edicularis. 3. Li nea directè ui$ui oppo$ita dicitur illa, cuiaxis radialis perpendiculariter incidit $e- cundum aliquod eius punctum. 4. Linea obliquata ad ui$um dicitur, cui axis ra- dialis ad nullum $ui punctum perpendiculariter pote$t incidere. 5. Superficies di- rectè oppo$ita dicitur, quando axis radialis perpendiculariter erigitur $uper illam. 6. Superficies uerò obliquata ad ui$um dicitur, quando axis radιalis punctis illius $uperficiei incidit obliquè. 7. Complementũ directionis in oppo$itione ui$us e$t, cum axis perpēdicularis incidit medio $uperficiei, uel lineæ oppo$itæ ui$ui: & quã- tò magis punctus, cui incidit axis perpendiculariter, fuerit medio $uperficiei aut li- neæ propinquior, tantò erit $uperficies uel linea maioris directionis in oppo$i- tione. 8. Vera comprehen$io per ui$um, diciturilla, inter quã & ueritatem rei ui$æ non e$t diuer$itas $en$ibilis omnino, re$pectu totius rei ui$æ. 9. Remo- tio unius rei ab altera, e$t priuatio contactus interilla. 10. Conus dicitur pyra- VITELLONIS OPTICAE mis rotunda, uel uertex pyramidis cuiu$cunque rotundæ uellateratæ.

PETITIONES.

Petimus autem hæc. J. Sub eleuatioribus radijs ui$a eleuatiora apparere, $ub de- cliuioribus uerò decliuiora: & $imiliter $ub dexterioribus radijs ui$a dexteriora ap parere, $ub $ini$terioribus uerò $ini$teriora. 2. Item $ub pluribus angulis ui$a per- $picatius uideri. 3. Item omnes ui$us æqualis di$po$itionis æquè ueloces e$$e. 4. Item omne to tum uideri maius $ua parte.

THE OREMATA 1. Ex intemperata proportione circum$tantiarum formarum ui$ibilium ad ui$um fit dece- ptio in ui$u, non $olùm $ecundũ $e, $ed $ecundum uirtut\~e animæ di$tinctiuam. Alhazen 1 n 3.

Exhis, quæ declarata $unt in libro tertio, patet octo e$$e nece$$aria ad perfectam operationem ui$us, quæ $unt: lux per 1 th 3 huius. Item di$tantia ui$ibilis à ui$u per 15 th 3 huius. Item $itus oppo$i- tionis ip$ius ui$us per 2 th 3 huius: uel $itus re$pectu axis cõmunis per 44 th 3 huius. Item magni- tudo corporis per 19 th 3 huius. Item $oliditas corporis uidendi per 14 th 3 huius. Item diaphani- tas aeris per 13 th 3 huius. Item tempus conueniens intuitioni faciend{ae} per 56 th 3 huius. Item fa- nitas ui$us per 16 th 3 huius. Quodlιbet autem i$torum latitudinem habet proportionatam ad rem ui$am. Lux enim habet latitudinem, quoniam lux maxima impedit ui$um, & lux debilis non edu- cit ui$ibilia in actum agendi in ui$um: unde corpora minuta uel intentiones ui$ibiles minutæ non uidentur in luce debili: $ed e$t etiam latitudo in ea luce, quæ e$t magnitudini corporis proportiona ta. Di$tantia quoq; ui$ibilis à ui$u $iue ip$ius remotio latitudinem habet: corpus enim aliquod ab aliqua di$tantia plenè comprehenditur, & ab alia non plenè: & inter illas di$tantias e$t latitudo ma- gna, in qua fit plena comprehen$io corporis illius, & $ecundum quod maius fuerit corpus, maior e- rit latitudo di$tantiæ $patij, $ecundum quam ip$um poterit uideri. Similiter cum magna fuerit de- clinatio alicuius corporis à directione oppo$itionis ip$ius ui$us, non comprehenduntur particulæ uel notæ paruæ, quæ $unt in ip$o, qu{ae} in parua declinatione corporis uiderentur: & e$t etiam inter illas declinationes latitudo. Similiter corpus paruum $itum extra axem communem uidebitur mul tum elongatum & occultatum, & idem corpus $itum circa axem communem uidebitur apertè: pa- làm autem, quòd $itus re$pectu axis communis habet latitudinem, quoniã habet habitudin\~e pro- portionatam ad corporis magnitudinem & minutias ip$ius. Magnitudo etiam corporis habet la- titudinem: $i enim partes rei ui$æ non fuerint proportionales totali magnitudini ui$æ, occultabun tur ui$ui: & $i fuerint proportionales totali ui${ae} magnitudini, $it tamen corpus totale modicum, ad- huc non uidebuntur. unde in picturis modicis aliquas particulas non $tatim percipimus ui$u, licet proportionales $int $uis totis: latιtudo ergo magnitudinis rei ui$æ proportionata debet e$$e ad to- tale corpus, cuius fuerit pars illa ui$a magnitudo. Soliditas quoque habet latitudinem proportio- natam ad rem ui$am. Sienim in corpore aliquo color ualde acutus fuerit, licet ip$um $it paucæ $o- liditatis: illud tamen corpus uideri poterit, quod non accideret maiori $oliditate in illo corpore exi$tente, quoniam fortè color propter reflexionem uehementem luminis impediret ui$um, quæ reflexio fieret propter magnam corporis $oliditatem: & $i color fuerit ob$curus, tunc fortè accidet minus $olidum debilius uideri colore eius ob$curo exi$tente. Diaphanitas etiam aeris habet lati- tudinem: quia per flammas & per $umos non fit ui$io rerum minutarum, $ed $ortè gro$$arum, $icut $i per ip$a uideretur charta, non $criptura. Tempus etiam conueniens intuitioni facien dæ latitudi- nem habet: quia corpus $ubitò ui$um pertran$iens, non comprehenditur à ui$u, & quandoque mo- tus trochi non uidetur, quia e$t ueloci$simus in tempore ualde paruo. Sanitas etiam ui$us latitu- dinem habet: in quibu$dam enim infirmitatibus minutiæ corporis, ni$i ab$condantur, in minori $pa tio percipiuntur, & ui$us debiliores non uident illa, quæ occurrunt ui$ibus fortioribus. Vniuer- $aliter ergo quilibet i$torum modorum, in quo non uerificatur forma rei ui$æ, $icut e$t in rei uerita- te, e$t egre$$us à temperantia ad rem illam uidendam proportionata: & h{ae}c omnia $e alterutrum re- $piciunt $ecundum conuenientes adinuicem proportiones: & quodlibet ip$orum ad alia octo con uenientem oportet quòd habeat di$po$itionem, quorum pertractationem relin quimus con$idera- tioni animæ res propinquius intuentis.

2. Impo{$s}ibile e$t ui$um unam intentionum ui$ibilium per $e $olam comprehendere. Alha- zen 63 n 2.

Vi$us enim per$e comprehendit formas ui$ibilium, quæ $unt corporales: omnes autem formæ corporales $unt compo$it{ae} ex multis intentionibus ui$ibilibus particularib. prædictis: $icut magni tudo nõ e$t $ine figura, & figura nõ e$t $ine $itu: & hæc omnia nõ $unt $ine colore, & color nõ e$t $ine luce, & luxnon diffunditur ni$i in corpore. Vi$us itaq; non comprehendit aliquam i$tarum particu lariũ intentionũ, ni$i ex cõprehen$ione formarũ ui$ibiliũ cõpo$itarũ ex plurib. intentionibus parti- cularibus, quarũ quãlibet $imul cõprehendit ui$us. Et quoniã nulla intentionũ per $e $ola cõplet ali LIBER QVARTVS. quá formarum corporalium $en$ibiliũ: palá, quòd impo$sibile e$t ui$um cóprehendere aliquã illarũ intentionum $olam per $e, $ed $emper $unt plures illarum intentionum $imul in forma $en$ibili con- gregatæ. Vi$us ergo cõprehendit $imul $emper multas intentiones particulares, qu{ae} $olũ di$tinguũ tur anxilio uirtutιs diftinctiuæ per imagination\~e: & $ic demum ui$us comprehendit intentionem particularium quamlibet di$tinctam. Quod e$t propo$itum.

3. Non $ub quocun<005> angulo res $en$ibiles uidentur.

Quod omne quod uidetur, $ub angulo uideatur, patet per corollarium 18 t 3 huius: & etiam cum per 19 th 3 huius, corpus ui$ibile, oportet, ut $it alicuius quantitatis re$pectu ui$us, ad hoc ut actu ui- deatur: palàm ergo, quòd $ub angulo contingentiæ, qui e$t indiui$ibilis per 16 p 3, non erit po$sibile aliquam rem uideri. Omnis enim angulus, $ub quo pote$t fieri ui$io, e$t diui$ibilis per axem pyrami dis radialis $uperficiei ip$ius ui$us perpendiculariter incidentem: eò quòd omnis ui$io fit per pyra- midem ui$ualem, cuius ba$is $uperficies rei ui${ae} per 18 t 3 huius: uel ad minus ille angulus eft $ub illo axe, & $ub alia linea longitudinis radialis pyramidis contentus, ut declaratum e$t in 54 th 3 huius: e$t ergo rectilineus: e$t ergo diui$ibilis per 9 p 1. Et quoniam maximus angulorum, $ub quo fit ui$io, e$t qua$i rectus, ideo, quòd diameter foraminis uueæ, quæ $ubtenditur illi angulo in centro ui$us, e$t qua$i æ qualis lateri cubi in$criptibilis $phæræ uue{ae}, uel lateri quadrati in$criptibilis circulo ma- gno illius $phæræ, ut o$ten dim us in 4 t 3 huius: illi autem lateri $emper $ubtenditur angulus rectus per 33 p 6: quoniam eius chorda e$t quarta circuli. Si ergo ui$io fieret ac $i lineæ radiales in centro uue{ae} concurrerent: tunc maximus angulus, $ecun dum quem fit ui$io, e$$et qua$i angulus rectus $o- lidus, ita quòd pyramis uifualis maxima fieret rectangula, & $emidiameter ba$is illius pyramidis fie ret æqualis axi: fit autem ui$io ac $i line{ae} concurrant in centro ui$us, ut patet per 73 th 3 huius: cen- trum uerò ui$us e$t remotius in profundo, quàm centrum uue{ae} per 8 th 3 huius. Maior ergo angu- lus, $ecundum quem fit ui$io, e$t minor recto, $ed non multùm minor, quia illorum centrorum, $ph{ae} ræ $cilicet uue{ae} & oculi, non e$t magna di$tantia: & fit axis maximæ pyramidis ui$ualis maior $emi- diametro ba$is eius, $ed non multò maior. Et hoc patet etiam experimento: quoniam $i aliquis $tet in campo plano erectus, & aperiat oculum, ut amplius pote$t, tunc uidebit qua$i quartá circuli ma- ioris $phær{ae} cœle$tis per Zenith capitis tran$euntis: & per anguli huius diui$ionem fit ui$io partiũ illius, & omnium rerum illis angulis $ubten$arum, quou$q; perueniatur ad angulum minimum, qui $i diuideretur, non fieret ui$io $ecundum illum. Licet enim omnis angulus rectilineus mathemati- cus $it in in$initum diui$ibilis: in angulis tamen naturalib. $ecundum quorum di$po$itionem fit pa$- $io operationis $en$ibilis, oportet ut $it $tatus in diui$ione, quãdo minus $en$ibile illo non erit: neq; ergo erit ui$io $en$ibilis $ecundũ illũ: $ed omnis ui$io e$t $en$ibilis, cũ $it actio $en$itiua: nulla ergo ui $io erit $ecũdum angulum minorem illo. Non ergo $ub quocunq; angulo res $en$ibiles uidentur: & hoc intelligendũ e$t $ecun dum lineas radiales perpendiculariter $uperficiebus ui$uũ incidentes, nõ obliquè, $ecundum quas obliquas fit incerta ui$io, & confu$io formarum rerum ui$ibilium in ui- $u, ut o$tendimus in 17 th 3 huius. Patet ergo propo$itum.

4. Forma lineæ perpendiculariter $uperficiei ui$us oppo$itæ non uidetur: quoniam per ip$am $olùm fit distinctio punctualis: oppo$itæ uerò ui$ui $ecundum longitudinem, $ecundum $ui for- mam propriam uidetur.

E$to, ut ui$ui, cuius centrum $it d, perpendiculariter incidat linea a b, quæ $it linea $en$ibilis, utpo te corpus longum in$en$ibilem habens latitudinem, ut pilus, qui, licet $it columna rotunda, uellaterata, ba d a b a d b c $is tamen eius à ui$u percipi non pote$t: dico, quòd ta le corpus taliter di$po$itum non uidetur: e$t enim an gulus in centro ui$us, cui $ubtenditur ba$is eius dia- metri penitus in$en$ibilis, $ecundum qu\~e non pote$t fieri ui$io per præmi$$am. In formis tamen alijs ui$is fiet per incidentiam formæ huiu$modi corporis ali qua di$tinctio pũctualis in$en$ibilis: quoniam forma puncti illius perpendiculariter incidentis $e formis punctorum circum$tantium aliarum formarum im- mi$cebit: & cum non $it de genere illorum, nece$$ariò aliquam faciet di$tinctionem, ita, ut illorum corporũ formæ actu, licet non multum $en$ibiliter di$tinguan tur, nec ad naturam continuitatis unius lineæ pertin- gant. Oppo$ita uerò linea ui$ui $ecundum longitudi- nem, $iue $it po$itio directa uel obliqua, $emper ip$a $ecundũ $ui formã propriam uidebitur: quoniã tota eius lõgitudo $ub angulo uno, & partes eius $ub angulis $en$ibilib. perueni\~et ad ui$um: ut $i linea a b c opponatur ui$ui d $ecũ dũ $uilõ gitudin\~e, & $it di$tãtia cõueniens: tũc ip$a tota uidebitur $ub angu lo a d c: & pars eius a b $ub angulo a d b, & pars eius b c $ub angulo b d c: & $iue $it recta uel curua, uel irregularis, $emք aliqua lõgitudo $ecũdũ latitudin\~e de$cribetur in oculi $uքficie, $ecundũ q<001> e$t in VITELLONIS OPTICAE ip$a linea, & per longitudinem $en$ibilem & latitudinem non $en$atam uirtus di$tin ctiua formá li- ne{ae} iudicabit, ut accidit in lineis naturalιbus, qu{ae} $unt, ut quidam pili. Patet ergo propo$itum.

5. Superficiei oppo$itæ ui$ui taliter, ut imaginata protrahi $ecet oculum per eius c\~etrum, una tantum linea: oppo$itæ uerò ui$ui $ecundum latitudinem forma propria uidetur.

Oppo$ita enim ui$ui $uperficie quacunq; per modum, quo proponitur, formæ omnium puncto- rum perpendiculariter incident $uper$iciei ui$us, & concurrent in centro. Et quoniã $orma cuiusli bet illorum punctorũ facit aliquam di$tinctionem in ui$u per pr{ae}cedentem: & omnia illa puncta $e- cundum longitudinem incidentia coniuncta cadunt in quadam linea: patet, quòd illius $uperficiei $ic di$po$it{ae} una tantùm linea uidetur. Oppo$ita uerò illa $uperficie $ecundum $ui longitudinem ui $ui, forma cuiuslibet $u{ae} line{ae} uidetur $ecundum $ui formam propriam linearis per pr{ae}cedent\~e. To- ta ergo $uperficies $ecundum $ui formam propriam uidetur, quoniam $emper uidebitur longitudo & latitudo aliqua, $iue illa $uperficies $it plana, $iue concaua, uel conuexa: quia non e$t differentia in illis, quantum ad propo$itam pa$sionem. Patet ergo propo$itum.

6. Corporum ui$ibus oppo$itorum $olæ $uperficies à $olo ui$u comprehenduntur.

Quia enim à $olo ui$u corpora uidentur, $ecũdum quòd form{ae} ip$orum ui$ui $e offerũt, & in eius $uperficie depinguntur, ut patet per 17 t 3 huius: form{ae} uerò profunditatis corporum ui$ib. non offe runtur, $ed $olùm ea, quibus $ecundum longum & latum line{ae} duct{ae} à centro ui$us incidunt, ut pa- tet per 2 t 3 huius: h{ae}c aũt e$t di$po$itio $uperficialis. Corporum ergo ui$ibus oppo$itorũ $ol{ae} $uper- ficies à $olo ui$u comprehenduntur: & $i una $it corporis $uperficies, $iue $it illud corpus $phæricũ cócauum uel conuexum, una tantũ uidebitur $uperficies: & $i plures $int corporis unius $uperfici- es, utin corporibus omnium planarum $uperficierum & columnarum rotundarum, & pyramidum & portionum $ph{ae}ricarum quarumcunq;, $emper non ni$i plures $uperficies uidebuntur, ac $i non e$$et corpus, $ed qu{ae}dam $uperficies $ic exten$a, $ine corporis medij inclu$ione, Patet ergo propo$i tum. Quia itaq; pa$sio in lineis ui$ui accidens, de$cendit in $uperficierum ui$ionem, & pa$sio in $u- perficiebus ui$ui accidens de$cendit in corporũ ui$ionem, $ola uerò corpora per $e uideantur, quia $olùm corpora per $e $unt entia naturalia $en$ibilia, & $uperficies & line{ae} in illis $unt imaginabilia: parcendum nobis e$t, $i ui$uales pa$siones corporum proponimus per modũ pa$sionum ui$ualium $uperficierum uel linearum: quia quòd ui$ibus in lineis accidit, corporum longitudini $olùm uel la- titudini $olùm æ$timamus accidere, & quod $uperficiebus accidit, corporum longitudini $imul cũ latitudine nece$$arium e$t euenire: unde $ecundum i$torum conueni\~etiam $uperficiebus uel lineis nos po$terius utemur.

7. Omnium æqualium ui$ibilium quod à propinquiori uidetur, $ub maiori angulo uidetur: quod uerò à remotiori, $ub minori. Euclides 5 th. opticorum.

Sint du{ae} magnitudines {ae}quales b c & d e: $it\’q; centrum ui$us a: $it\’q; b c propinquior ui$ui a, quá ip$a d e. Dico, quòd b c uidetur $ub maiori angulo quã d e d b c a d e. Ducantur enim line{ae} a b & a c: & quoniam h{ae} line{ae} concurrunt in puncto a, palàm quòd non {ae}quidi$tant per definitionem {ae}quidi$tantium llnearum: $ed neque concurrent in aliquo alio puncto quá in a: quia $ic du{ae} rect{ae} line{ae} $uperficiem includerent, quod e$t impo$si- bile. Nunquam ergo concurrent alibi quã in puncto a: protract{ae} uerò ultra puncta b & c, $emper ibunt in di- $tantiam: ergo nunquã tangent lineam d e, nec erit ui- $io aliquorum punctorũ line{ae} d e $ecundum illas per 2 th: 3 huius. Si ergo extrema puncta line{ae} d e uideri de- bent, hoc erit $ecũdum lineas cadentes intra lineas b a & c a, qu{ae} $int line{ae} a d & a e. Siue ergo magnitudines b c & d e {ae}quidi$tent, $iue non, ducta à puncto d {ae}quidi $tante & {ae}quali ip$i b c per 31 p 1, patet per 34 t 1 huius, quoniam angulus b a c erit maior angulo d a e: lineæ ergo a d & a e $unt angulum b a c diuidentes. Quia ue rò angulus partialis d a e e$t minor totali angulo b a c, patetid, quod proponebatur. Et $imiliter demon$trandũ e$t, $i linearũ b c & c d {ae}qualiũ $it idem ter minus, qui e$t c: uel $i $int adinuicem declinãtes: tũc enim idem accidit, quod prius. Totum tamen, quod hic proponitur per 108 th: 1 huius, perfectius patet: remotioris enim ui$i axis pyramidis radia lis, e$t lógior axe pyramidis radialis propinquioris ui$i: unde anguli $olidi in uerticibus illarum py- ramidum diuer$antur. Patet ergo propo$itum.

8. Vnumquod<005> ui$orũ longitudinem habet $patij, ultra quod non uidetur. Eucli. 3 th. optico.

Sit centrũ oculi b: res aut\~e d g $it ui$a $ub minimo angulo ui$ui determinato. Dico, quòd illa res, qu{ae} e$t d g, in ulteriori $patio nõ uidebitur. Sit enim po$itũ g d in $patio ulteriori, in quo $it pũctus k: LIBER QVARTVS. $i igitur g d uideturin pũctok, nece$$e e$t per præmi$$am ip$am $ub minori angulo uideri quàm $ub illo minimo, qui e$t ui$ui determinatus. Non aut\~e $ub minori angulo k d g b ui$ibile potuit ad ui$um multiplicari: angulus enim multiplicationis formarũ ad ui$um tam diu pote$t diminui, donec formæ punctorum extremitatis rei uniantur, & fiant pũctus unus, nec res uidebitur ni$i punctualis, uel nullo modo uidebitur. Patet ergo propo$itum.

9. Remotio rei ui$æ ab ip$o ui$u non e$t compreben$ibilis à $olo $en$u ui$us, $ed auxilio uirtutis animæ cogno$citiue & di$tinctiuæ. Alhazen 24 n 2.

Intentio enim remotionis inter duo corpora e$t priuatio cótactus propter aliquod $patium inter illa duo corpora exi$tens:nó compre- henditur ergo remotio per $e à ui$u, $ed auxilio uirtutis cogno$citiuæ & di$tinctiuæ cogno$centis utrumq; extremorũ corporum & di$tin- guentis inter illa: fit tam\~e talis comprehen$io non in tempore, $ed in in$tanti: quie$cunt enim in anima int\~etiones $en$ibiles, per quas com prehenditur remotio. Et quia illæ intentiones requieuerũt in anima per tempora longiora, ideo propter nimiam frequentationem & ite- rationem formarum illarum pluries in ui$u factam, nõ indiget uirtus di$tinctiua nouis collationibus temporalibus apud comprehen$ion\~e illarum intentionũ, $ed $tatim comprehendit remotionem $imul cum rei comprehen$ione propter cognitionem antecedentem. Quia enim oculis apertis res oppo$ita ui$ui $tatim uidetur, & $tatim clau$is oculis uelre ablata ab oppo$itione res non uidetur: concludit ratio, quòdillud, quod accidit e$$e in ui$u apud aliquem certum $itum, & non manet po$t eius abla- tionem, non e$t fixum intra ui$um. Et quoniam forma ip$ius, per quam uidetur, nó e$t intra ui$um: e$t ergo ab extrin$eco, à corpore $cilicet exi$tente extra ui$um, non contingente ui$um: e$t ergo in- ter ui$um & illam rem ui$am remotio. Fit autem hæc argumentatio nô in tempore, $ed $tatim $imul cum $implici a$pectu uι$ionis: quoniam ex frequ\~etia ui$ionis cum hac argumentatione quie$cit in anima uniuer$alis propo$itio, quam etiam anima non percipit apud $e quie$centem: & e$t, quòd o- mnia ui$ibilia $unt extra ui$um, & quòd inter quamlibet rem ui$am & ip$um ui$um e$t remotio. Pa- tet ergo propo$itum.

10. Quantitas remotionis comprehenditur à ui$u auxilio uirtutis di$tinctiuæ, cum remotio re$picit corpora ordinatæ & continuata. Alhazen 24 n 2.

Quantitas remotionis diuer$a e$t ab int\~etione remotionis in eo, quòd e$t remotio: quoniam in- tentio remotionis facit priuationem contactus aliquorum duorum corporum propter $patium in- ter illa duo corpora exi$t\~es: $ed quantitas remotionis e$t quantitas $patij inter illa duo corpora re- mota exi$tentis. Nulla itaq; quantitas remotionis omnium ui$ibilium comprehenditur per $olum $en$um ui$us etiam cum auxilιo uirtutis di$tinctiuæ, ni$i quantitas remotionis illorum ui$ibilium, quorum remotio re$picit corpora ordinata & continuata, & quorum remotio e$t mediocris: tunc enim cum ui$us compreh\~edit corpora ordinata & continuata, re$picientia remotiones aliquorum corporum, & certificat men$uras illorũ corporum: con$equenter quoq; certificat remotionis men $uram per men$uras illorum corporum & per quantitates $patiorum, quæ $unt inter extremitates corum: $patium enim, quod e$t inter duas extremitates ui$us & corporis, re$picit rem otionem, qu{ae} e$tinter ui$um & rem illam ui$am. Vnde cum ui$us comprehenderit men$uram illius $patij, com- prehendet etiam men$uram remotionis rei ui$æ: & hoc fit certitudinaliter per corpora ordinata & continuata in illo $patio exi$tentia & uerè comprehen$a, & cum remotio e$t mediocris. Dicimus uerò corpora ordinata & continuata, quæ $unt in aliqua linea qua$i recta di$po$ita, in æquali qua$i ab inuicem di$tátia, ut $unt arbores, uel montes, uel altæ turres, & $imilia: per i$torum enim nume- rationem cum ip$orum di$tantia ab inuicem aliqualiter fuerit nota, & innote$cit quantitas remo- tionis eius, quòd $ecundum illam lineam à ui$ibus e$t remotum. Mediocris uerò remotio e$t illa, in qua non latet omnino quantitas rei $en$ibilis re$pectu quantitatis totius remotionis. Solum itaq; illorum corporum remotio à ui$u comprehenditur uera comprehen$ione, quorum remotio re$pi- cit corpora ordinata & continuata; quorum corporum & $patiorum ip$a interiacentium quantitas & men$ura à ui$u pote$t comprehendi uera comprehen$ione, & cum remotio e$t mediocris. Vnde $iue deficiat comprehen$io corporum cõtinuatorum & ordinatorum, $iue deficiat mediocritas re- motionis, nunquam comprehendetur remotio illorum corporum uera compreh\~e$ione, $ed $olùm $ecundum æ$timationem. Vnde uidens nubes in loco non montuo$o, æ$timabit nubes ualde pro- pinquas cœlo: $i autem nubes uideantur $uper cacumina montiũ, uel $ub illis, tunc $ciet ui$us, quia nubes $unt propinquæ terræ. Cum ergo ui$us comprehendit ui$ibilia, quorum remotionum quan- titates non certificantur à ui$u: tunc uirtus di$tinctiua cogno$cit men$uras rem otionis eorum $e- cundum æ$timationem, non $ecundum certitudinem, & comparat remotionem earum ad remo- tionem $ibi $im lium ex ui$ibilibus prius comprehen$is à ui$u. Quando itaq; ui$us comprehendit aliquam rem ui$am remotam, $tatim uirtus di$tinctiua comprehendit remotionem eius & men$u- ram remotionis eius $ecundum quod poterit comprehendere, aut per certitudinem, aut per æ$ti- VITELLONIS OPTICAE mationem, & $tatim remotio illius rei habebit in anima men$uram imaginatam. Corpora ucrò or- dinata & continuata re$picientia remotiones ui$ibilium, $unt utplurim um partes terræ & ui$ibiliæ affueta, quæ $emper uel frequentius comprehenduntur à ui$u, ut quæ $unt $uper terræ $uperficiem, & corpus terr{ae} interiacet illa corpora, $icut etiam interiacetilla & corpus hominis a$picientis: cor- pus autem terræ in teriacens illa corpora, men$uratur à ui$u per numerum pedum, quoniam pes e$t minima men$ura con$ueta hominibus ad men$urandum partes terræ propιnquas, per quas partes terræ propin quas m\~e$urantur partes terræ remotæ per uim di$tinctiuam animæ, propter frequen- tationem comprehen$ionis $imilium partium illi parti terræ, quarum partium men$ura quie$cit in anima, ita, quòd etiam anima non percipit illarum partium quietem apud $e ip$am. Peruenit autem hæc men$ura ad animam, quoniam quantitas $patiorum, quæ $unt apud pedes hominum, compre- henduntur à ui$u: men$urátur enim etiam $ine intentione per pedes hominum, quando frequen- ter ambulant fuper illa $patia, $icut etiam men$urantur per extê$iones brachiorum, & uirtus di$tin- ctiua comprehen dit i$tam ueram men$urationem, & certificat ex ea quátitates partium terræ con- tinuatarum cum corpore hominis uidentis: & hoc quie$cens in anima e$t principium men$uratio- nis omnium remotionum $ecundum æ$timationem. Cum enim ui$us comprehen dit $emper quan titatem partium terræ $ibi uicinarum, remanet apud animam etiam quantitas linearum proten$a- rum ab extremitatibus illarum partium terr{ae} ad ui$um, & quantitas partis $uperficiei membri $en- cientis, ad quam peruenit forma illarom partium terræ & per con$equens quantitates angulorum peruenientium in centro ui$us, quos re$piciunt illæ partes $uperficierum ui$us per 73 th. 3 huius: unde $i homo erectus a$pexerit terram, quæ e$t ante pedes eius, tũclongitudo linearum radialium erit quantitas lineæ erectionis, & $uperducta $uperiori palpebra ui$ui, erit qua$i indiui$ibilis ($icut angulus contingentiæ) ille angulus, $ecũdum quem fit ui$io: & cum pro$pexerit ulterius, augmen- tabuntur lineæ radiales per 47 p 1, & eleuata $uperiori palpebra, augebitur angulus, ita, ut cũ quan titas $patij ui$i ad quantitatem $emidiametri mundi acce$$erit, etiá quantitas anguli peruenit qua$i ad rectum angulum, quoniam illi angulo $ubtendetur quarta circuli magniip$ius $phæræ cœle$tis ui$æ. Cum itaq; hæ intentiones linearum & angulorum in anima quieuerint, fiunt principia com- prehen$ionis quantitatum remotionum quarumcunq;: quoniam æ quales lineæ radiales & anguli æ$timantur partibus æqualibus corre$pondere, & utitur ijs uidens præteríntentionem compara- tionis, & coadiuuatin hoc quantιtas angulorum & augm\~etatio ip$orum in longiori quantitate re- $pectu breuioris: & $imiliter e$t in proportione longitudinis linearũ radialium, quam per $e $entit ui$us auxilio uirtutis di$tin ctiuæ, perpend\~es quòd omne totum e$t maius $ua parte. Hoc itaq; mo- do comprehendit ui$us auxilio uirtutis di$tinctiu{ae} quantitatem remotionis rerum ui$arum $ecun- dum lineas di$tantiarum $uarum abinuicem & à ui$u, $icut etiam ui$us quandoq; per uirtutem di- $tinctiuam comprehendit quantitates altitudinum alιquorum corporum eleuatorum $uper $uper- ficiem terr{ae}, $icut turrium, parietum & montium, maximè cum remotio fuerit mediocris, uel etiam altitudo, Cum autem remotio uel altitudo fuerit maxima: tunc partes paruæ, quæ $unt in ultimo $patij, non comprehenduntur à ui$u, nec dι$tιnguuntur per uirtutem di$tinctiuam, quoniam parua quantitas in rem otione maxima latet ui$um: non enim facit angulum $en$ibilem apud centrum ui- $us, propter quod quantitas illorum nó certificatur per 3 huius. Nihil itaq; ex quantitatibus remo- tionum ui$ibilium certificatur, ni$i per corpora ordinata & cõtinuata mediocris di$tantiæ ab inui- cem & æqualis. Nulla quoq; remotio pote$t certificari, ni$i cum ui$us a$similatrem otion\~e rei ui$æ remotioni $ibi $imili ex remotionibus a$$uetis & notis: remotio uerò mediocris, cuius quantitas certificatur à ui$u, e$t rem otio, apud cuius ultimum non latet ui$um pars hab\~es proportionem $en- $ibilem ad totam rem otionem: & cum uidens $cit quantitatem anguli, $ecũdum quam uidetremo- tionem certam cognitam $ibi: tunc $ecun dũ exce$$um uel diminutionem, uel æqualitat\~e, ad illum angulum notum uirtus di$tinctiua iudicat remotiones ignotas, accipiendo $ecũdum quantitatem anguli, quantitatem ip$ius remotionis. Et etiã certificatur remotio per motum ui$us $uper corpus re piciens remotiones extremorũ alicuius $uperficiei aut $patij. Generaliter autem forma rei ui$æ & forma remotionis rei ui$æ, cuius remotio e$t mediocris, & re$piciens corpora ordinata & conti- nuata, perueniunt communiter in imaginatione $imul apud intuitionem rei ui$æ, & uirtus di$tin- ctiua illam dijudicat modo dicto. Pater ergo propo$itum.

11. Aequalibus quantitatibus ex inæquali di$tantia ui$is: maior e$t proportio di$tantiæ ma- ioris ad minorem, quàm maioris anguli, $ub quo fit ui$io, ad minorem. Euclides 8 th opt.

Sint, exempli cau$$a, datæ æquales & æquidi$tantes magnitudines, quæ a b & g d: $it\’q; cen- trum ui$us punctum e: & $it g d propinquior ui$ui, a b uerò remotior: $it\’q; illarum magnitudinum una remota ab altera, & utraq; ip$arum ab ip$o centro ui$us $en$ibili remotione: $tatuantur\’q; tali- ter, ut puncta b & d, quæ $unt extremitates illarum duarum magnitudinum, $int in uno axe pyra- midis ui$ualis: & $ecundum illum axem formæ illorum punctorum perueniát ad ui$um. Cum itaq; puncta b & d $ecundum eandem lineam ad ui$um $e multiplicent: palam quòd oportet puncta a & g $ecundum diuer$as lineas, qu{ae} a e & g e, ad ui$um peruenire. Et quoniã, ut patet per 7 huius, ma- gnitudo a b, qu{ae} e$t remotior à ui$u, $ub minori angulo uidetur, patet quòd linea e a $ecat angulum g e d: ergo per 29 th. 1 huius ip$a $ecabit ba$im g d: $it\’q; punctus, in quo linea a e inter$ecat lineam g d, punctus z: & centro exi$tente puncto e fiat arcus circuli ad quantitatem $emidiametri e z: quine- LIBER QVARTVS. ce$$ariò $ecabit lineas e g & e b, cum linea e z, quæ e$t $emidiameter, $it minor illis ambabus lineis, linea $cilicet e b ex hypothe$i, & linea e g per 21 p 1: a g i z b t d e $ecet ergo lineam e gin pũcto i, & lineã e b in pun- cto t: $it\’q; ille arcus i z t. Quia itaq; trigonum e g z e$t maius $ectore e z i, & trigonũ e z d minus $ecto- re e z t: ergo per 9 th. 1 huius trigonum e g z maior\~e habet proportionem ad trigonũ e z d, quàm $ector e ziad $ector\~e e z t: ergo per 11 th. 1 huius erit con- iunctim maior proportio trigonie g d ad trigonum e z d, quàm $ectoris eit ad $ector\~e e zt: $ed propor- tio e g d trigoni ad e z d trigonum per 1 p 6 e$t, $icut proportio lineæ g d ad lineam z d: $ed linea d g e$t æqualis line{ae} a b ex hypothe$i: ergo per 7 p 5 linea- rum g d & a b ad lineam d z e$t ead\~e proportio. Et quoniam per 29 p 1 & ex hypothe$i trigona a e b & e z d $unt æquiangula, quia ambobus ip$is angulus a e b e$t communis: e$t ergo per 4 p 6 proportio li- neæ a b ad lineam d z, $icut lineæ b e ad lineam e d: ergo per 11 p 5 erit proportio lineæ b e a d lineam d e maior quàm proportio $ectoris e i t ad $ectorem e z t: $ed $icut $e habet $ector e i t a d $ectorem e z t, ita $e habet arcus it ad arcum z t: quod patet per 1 p 6, & nos hoc declarauimus in 35 th. 1 huius: e$t autem proportio arcus i t ad arcum z t, $icut anguli i e t ad angulum z e t per 33 p 6. E$t ergo ma- ior proportio line{ae} b e ad lineam d e, quàm anguli i e t ad angulum z e t. Palàm ergo, quòd maior e$t proportio di$tantiæ maioris ad di$tantiam minorem, quàm anguli maioris, $ub quo fit ui$io, ad an- gulum minorem. Et hoc proponebatur. Illud enim, quod in æquidi$tantibus magnitudinibus de- claratum e$t, in non æquidi$tantibus amplius patet: quoniam tunc ui$ionis anguli minuuntur, ut o$ten dimus in 7 huius. Patet ergo propo$itum.

12. Aequalitas remotionis extremorum lineæ uel $uperficiei rei ui$æ à centro ui$us, dire- ctionis comprehen$inis ui$iuæ e$t cau$$a, $icut inæqualitas eadem corundem e$t cau$$a obliqua- tionis. Alhazen 45 n 2.

Aequalitas enim rem otionis extremorum lineæ uel $uperficiei rei ui$æ cau$$at æqualitatem an- d n a b c c gulorum ip$orum axium radialium illi lineæ uel $uperficiei incid\~etium $ecundum media ip$orum puncta. Vt $i lineæ a b c extrema, quæ $unt a & c, æqualiter di$tent à centro ui$us, quod e$t d: & ducatur axis radialis, qui d b : & lineæ ra- diales, quæ d a & d c: tunc patet ex hypothe$i, & per 8 p 1, quoniã an- guli d b a & d b c $unt æquales. Siuero extrema puncta, quæ $unt a & c, inæqualiter di$tent à centro d: tũc lineæ d a & d c fiuntinæquales: & $imiliter anguli d b a & d b c fiunt inæquales, & fit ui$io obliqua. Si itaq; linea uel $uperficies rei ui${ae} fuerit directè oppo$ita ui$ui: $entiet ui$us directionem eius ex $en$u æqualitatis remotionum $uarũ par- tium ab axe ui$uali perpendiculariter illi lineæ uel $uperficiei inci- dente: quoniam tunc per definitionem lineæ uel $uperficiei directè ui$ibus oppo$itæ, & per 38th 3 huius patet, quoniam ambo axes ra- diales cõtinent hinc & inde angulos æquales. Et $i $uperficies rei ui- $æ fuerit obliqua: tũc $entiet ui$us obliquationem eius ex $en$u inæ- qualitatis quantitatum remotionum extremorum eius, & etiam an- gulorum eius: & $ic incipit latere quantitas magnitudinis eius uirtu tem di$tinctiuam. Quoniam uirtus di$tinctiua compreh\~edit ex in æ- qualitate remotionum diametrorum extrem orũ illius obliqui $pa- tij, obliquationem pyramidis continentis ip$um. Quare $entit dimi- nutionem magnitudinis ba$is eius propter obliquationem: & non conuenit $ecundum a$similationem quãtitas magnitudinis obliquè ui$ui oppo$itæ quantitati magnicudinis directè uι$ui oppo$itæ ni$i tunc, quando comparatio fue- rit ad angulum $olum: $ed $i fiat comparatio ad angulum & ad longitudines linearum radialium in- teriacentium ui$um & extrema rei ui$æ: tunc nullum erit dubium in diuer$itate quantitatum ma- gnitudinis hinc inde: rem oti$sima enim remotionũ mediocrium, re$pectu rei ui$æ per obliquatio. nem, e$t minor remoti$sima remotionum mediocrium, re$pectu illius eiu$d\~e rei ui$æ per directio- nem. Rem otio uerò mediocris, re$pectu rei ui$æ, e$t, in qua nõ latet ui$um pars rei ui$æ proportio- nem hab\~es $en$ibil\~e ad totá rem ui$am. Tota itaq; res obliquata ui$ui latet in remotione minori illa remotiõe, in qua latet illa res ui$a in directiõe, & diminuitur quátitas eius in remotione minori illa remotione, in qua minuitur quãtitas eius, quádo fuerit directè ui$ui oppo$ita.Patet ergo {pro}po$itũ.

13. Horizon uidetur qua$iperipheriæ terræcohærere: di$tantiæ tam\~e maioris apparet, quàm zenith capitis uidentis.

Quia enim inter horizontem (qui e$t circulus terminator ui$us ad cœli concauam $uperficiem) VITELLONIS OPTICAE & inter extremã terræ peripheriam, quæ e$t ultima pars terr{ae} ui$ibilis, non compreh\~editur aliquod $patium $en$ibile per ui$um, non pote$t ui$us illorũ certam rem otion\~e ad inuicem di$cernere: quo- niam, ut patet per 10 huius, quantitas remotionis tũc $olùm comprehenditur à ui$u auxilio uirtutis di$tin ctiuæ, cum remotio re$picit corpora cõtinuata & ordinata: & quia inter peripheriam terræ & concauum cœli non $unt huiu$modi corpora: uidetur ergo horizon qua$i peripheriæ terræ cohæ- rere. Di$tantia uerò peripheriæ horizontis à $uo c\~etro (quod e$t centrũ ui$us) apparet $en$ibiliter maior quàm di$tãtia zenith capitis uid\~etis, quod e$t polus horizõtis. Quia licet $ecundũ ueritatem. illa quantitas di$tantiæ aut ead\~e $it, aut in$en$ibiliter maior (propter quod qua$i in omnibus a$tro- nomicis cõ$iderationibus, quæ per ui$um fiunt, centrũ ui$us ponitur centrũ mundi) apparet tam\~e $en$ibiliter maior ui$ui uirtute etiã di$tin ctiua $ic iudicãte: quod accidit propter latitudin\~e $patij $u- perficiei terræ, quod $entitur inter ui$um & horizõta, cũ inter zenith capitis & terrá nihil percipia- tur. Quia enim ex corporũ mediorũ $en$ibili di$tantia quãtitas remotionis cogno$citur ք 10 huius, nece$$e e$t, ubi maior $\~e$ibilis quãtitas interiacere uidetur, maior di$tãtia iudicetur: multò ergo ma- ior uidetur di$tãtia peripheri{ae} horizõtis <004> di$tãtia zenith capitis uid\~etis: & $imiliter e$t de qualibet parte alia cœli ui$a: {pro}pter hoc, q<001> ui$us in medio terræ latitudin\~e cõpreh\~edit. Patet ergo {pro}po$itũ.

14. Locus rei ui$æ comprehenditur à ui$u ex remotione, & ex parte uniuer$i, & ex quanti- tate remotionis, auxilio uirtutis di$tinctiuæ. Alhazen 22 n 2.

Quia enim intentio remotionis non e$t ip$a quantitas remotionis: intentio enim remotionis e$t priuatio contactus duorum corporum, & ex con$equenti comprehen$io cuiu$dam $itus rerum ab inuicem remotarum: comprehen$io uerò quantitatis rem otionis e$t comprehen$io quantitatis uel magnitudinis $patij illa corpora interiacentis: palàm ergo, quòd comprehen$io loci rei ui$æ non e$t comprehen$io remotionis cius. Con$i$tit autem comprehen$io loci rei ui$æ ex compreh\~e$ione lu- cis & coloris rei & remotionis rei, & partis uniuer$i, in qua e$t res illa ui$a, re$pectu uidentis, & ex comprehen$ione quantitatis remotionis, quando hæc omnia $imul comprehenduntur per uiam cognitionis: & etiam quia, ut patet per 17 th. 3 huius, ui$io di$tincta fit ex peru\~etu formarum $ecun- dum lineas perpendiculares $uper $uperficiem oculi incidentium ad ip$um ui$um. Cum ergo ui$us $en$erit formam $ic a duenientem, æ$timabit uirtus di$tinctiua rem ui$am e$$e apud extremitatem illius lineæ, & $ecundum directionem illius lineæ comprehendet locum rei ui$æ. Locus ergo rei ui$æ comprehenditur à $entiente ex compreh\~e$ione $itus rei ui$æ apud ui$ionem per directionem lineæ radialis ab illo loco ad ui$um. Cum itaq; forma rei ui$æ peruenit ad ui$um: tunc $entiet ui$us partem membri $entientis, ad quam peruenit illa $orma, & uirtus di$tinctiua comprehendet $tatim locum rei ui$æ per directiònem lineæ radialis ab illo loco: & quoniam int\~etio remotionis e$t quie- $cens in anima ip$a: ergo comprehendet locum & remotionem in $imulin comprehen$ione formæ ab ip$o ui$u. Patet ergo propo$itum.

15. Aequalium ui$ibilium inæqualiter à ui$u di$tantium æquali intuitu ui$orum, propin- quioris certior e$t ui$io. Euclides 2 the. opt. Alhazen 40 n 2.

Sit centrum ui$us b: $int\’q; duo ui$ibilia g d & k linæ qualiter di$tantia à centro ui$us b, quæ nunc exempli cau$$a, ponantur æ quidi$tantia inter $e (quoniam $i $int $e contingentia uel $ecantia, patet quòd ip$ain puncto contactus uel $ectionis æqualiter di$tant à puncto b: de alijs uerò ip$orũ pun- ctis eadem e$t demon$tratio, quæ de ip$is æquidi$tantibus, ip$orum partibus uariatis $ecũdum ap- proximationem uel remotionem à ui$u, quantum ad modum certitudinis ui$ionis.) Ponãtur itaq; g d & k l æ quidi$tare: & $it g d propin quius ui$ui: per- c k d g b ueniant\’q; ad ui$um formæ punctorum terminalium per lineas d b, g b, k b, l b: fient\’q; trigoni b g d & b k l: ducantur\’q; lineæ l d & k g, quæ per 33 p 1 erunt æqui- di$tantes & æquales. Forma itaq; punctil multiplicás $e ad ui$um b, nõ tran$ibit punctũd, neq; forma pun- cti k punctum g: quoniam $i $ic, e$$et linea k g b linea una, & linea l d b linea una: ergo lineæ k g & l d con- current in puncto b, quæ $unt æquidi$tantes: hoc au- tem impo$sibile. Sed neq; fient formarum punctorũ k & l multiplicationes ad ui$um b, extra aliquod pũ- ctum lineæ g d: quia tunc, cum in trigono l k b cadat linea d g æquidi$tanter lineæ k l, palàm per 2 p 6, quo- niam erit linea g d minor quàm linea k l: po$ita aut\~e e$t {ae}qualis illi: palàm ergo, quoniã lineæ k b & l b per- tran$eunt aliqua pũcta lineæ g d: erit ergo aliqua pars lineæ g d intra pyramid\~e ui$ionis, quæ b k l. Sub quo- cunq; ergo angulo uidetur k l, $ub eod\~e uidetur & aliquid ip$ius g d, & nõ econuer$o: quoniá ut pa- tet per 34 th. 1 huius, uel ք 7 huius, angulus g d b e$t maior angulo k b l. Quicquid ergo uirtutis ui- fiuæ applicatur ip$i k l, applicatur etiam ip$i g d, & non econuer$o: fortius autem patet illud per 108 th. 1 huius. Sub plurib. ergo ui$ibus & angulis uidetur g d quàm k l: ergo per$picatius uidetur per 5 $uppo$ition\~e præmi$$am in principio libri huius. Ip$ius ergo certior e$t ui$io. Et hoc e$t propo$itũ.

LIBER QVARTVS. 16.Vi$ioni uirtutis di$tinctiuæ error accidit in remotionis ui$ione ex int\~eperata di$po$itio- ne octo circum$tantiarum cuiuslibet rei ui$æ. Alhazen 23. 34. 45. 52. 58. 64. 66. 69 n 3.

Accidit enim uirtuti di$tinctiuæ in ui$ione remotionis ex intemperata lucis di$po$itione error in remotione rerum ui$arum. Exi$t\~ete enim remotione temperata, non multum certa & debili lu- ce, $i fiat hominum uel alιarum rerum talis di$po$itio, ut unus po$t alium $it po$itus: tunc de nocte uel in crepu$culis, & maximè uno ui$o adhibito, uidebuntur illi homines uel res aliæ $ibi qua$i co- hærere, quia propter lucis debilitatem non comprehenditur di$tantia inter illa: & $i illi homines ad eandem partem moueantur æquali motu, $emper $imul moueri putabuntur, & non perpende- tur di$tantia inter illa, $ed uidebuntur qua$i res una. Similiter etiam ex nimia di$tantia uirtuti di- $tin ctiuæ accidit error in rerum ui$arum remotione ab inuicem. Cum enim quis arbores ualde re- motas in$pexerit, licet illæ plurimum di$tent inter $e, uidebuntur tamen qua$i coniunctæ uel qua$i propinquæ ad inuicem: & ita $tellæ cœli aliquæ reputantur qua$i coniunctæ, licet plurimum à $e di$tent in ueritate: propter egre$$um etiam di$tantiæ à temperãtia $tellæ uagantes æ$timantur fer- ri in eadem $uperficie cum $tellis fixis, licet plurimum di$tent ab illis. Ex intemperata etiam di$po- $itione $itus in oppo$itione rei ui$ibilis ad ui$um error accidit in remotionis ui$ione: ut $i uideantur duo corpora, quorum unum $it retro alterum, ita quòd anterius cooperiat part\~e po$terioris, & alia pars emιneat, nec inter ea fuerint aliqua corpora ui$a, & $it remotio temperata non multum certa: tunc non plenè æ$timabitur men$ura longitudinis unius ad alterum, & fortè iudicabit ui$us ip$a e$$e $ibi ualde propinqua: & e$t hic error ex $ola $itus oppo$itionis intemperãtia, quoniam $i unum non occultaret partem alterius, $ed utrunq; totum exponeretur ui$ui, ita ut e$$et $en$ibilis diuer$i- tas inter illa, tunc di$cerneretur di$tãtia unius ab alio: & ita patet, quòd ille error e$t propter intem- perantiam $itus, quoniam $olo $itu ad temperantiam reducto non accideret error talis. Ex intem- perantia etiam di po$itionis quãtitatis error accidit in ui$ione remotionis: unde $i $int duo corpo- ra æqualiter à ui$u di$tantia $ecũdum temperatam remotionem non multum certam, quorũ unum $it lòngè maius alio, æ$tιmabitur maius propιn quius ui$ui, quia certius uidebitur: & $ic propter quantitatem erit deceptio in rem otione, quoniam æ què rem otorum unum uidetur remotius alte- ro. Ex intemperata quoq; $oliditate corporũ accidit error ui$ui in remotionis ui$ione: $i enim cor- pus fuerit ualde rarum minimæ $oliditatis, $icut e$t cry$tallus pura, & $it retro ip$um corpus ualde coloratum lucidum: tunc non plenè comprehenditur cry$tallus, $ed qua$i non e$$et intermedia, comprehendetur corpus per ip$am: & accidit error in comprehen$ione cry$talli propter remotio- nem cry$talli à ui$u. Exintemperãtia etiam diaphanitatis error accidit ui$ui in remotionis ui$ione: $i enim $uerit aer nubilo$us, $icut accidit plerunq; in crepu$culis: tunc res aliqua, ut turris oppo$ita ui$ui in longitudine temperata, æ$timabitur à ui$u plus elongata quàm $it $ecundũ ueritatem: quia tunc propter den$itatem aeris non comprehenditur quantitas terræ interiacens ui$um & rem ui- $am, per quam accipitur men$ura elongationis turris: fit\’q; erroris cau$a ex ip$a intemperantia dia- phanitatis aeris. Ex intemperantia etiã temporis fit error ui$ui in remotione: $i enim intueatur quis aliquod remotum à turri a ta, quod $tatim ui$ui $urripiatur: tũc uirtus di$tinctiua non poterit ple- nè di$cernere inter remotionem illius à turri, & iudica bit fortè aut minus remotum à turri, aut ma- gis, quàm fuerit in rei ueritate: quoniam in tam modico tempore non percipitur à uidente quanti- tas terræ interiacens turrim & aliam rem ui$am, $ecundum quam per 10 huius perpenditur men$u- ra remotionis illorum ab inuicem: nec enim in tam breui tempore potuit axis ui$ualis quãtitatem terræ intermediam per diligentem intuitum tran$currere: unde illam non plenè comprehendit: & $ic ex breuitate tem poris fit error in rem otione. Exintem perantia etiam debilitatis ui$us error ac- cidit ui$ui in remotione: $i enim opponantur ui$ui duo corpora, quorum unum, quod e$t remotius à ui$u, $it coloris fortis, & alterum, quod e$t propinquius, $it coloris debilis: tunc debilitas ui$us in- certam faciet collationem: & quia apud fortes ui$us expertum e$t, & patet per præcedentem, quòd corpus ui$ui propinquius e$t maioris certitudinis: æ$timabit ui$us debilis illud, quod e$t certius, e$$e propinquius: & $ic quia fortior color à ui$u debili melius percipitur, iudicabit ui$ibile fortiori colore coloratum propinquius $ibi, licet $it remotius $ecundum ueritatem: & fit error in remotio- ne ex ui$us debilitate. Et etiam quia ab oculis gro$$a humiditate infectis fit reflexio formarú, $icut ctiam à $peculis, cum ab uno ui$uum facta reflexio peruenit ad alterum propter gro$situdinem ae- ris extrin$ecam, uidebit ui$us debilis formam $ibi propinquam, quæ e$t forma rei remotæ $cilicet. Sic ergo ui$ioni uirtutis di$tinctiuæ error accidit in remotione ex intéperata di$po$itione circum- $tantiarum quarumlibet rei ui$æ, quæ $unt tantum octo, ut patuit per 1 th. huius, quarum euentum percurrimus his exemplis & experimentationibus per $enotis. Patet itaq; propo$itum.

17. Magnitudo rei ui$æ comprehenditur à ui$u $ecundum magnitudιnem partis $uperficiei ui$us, ad quam peruenit forma rei, & anguli $olidi, qui fit in centro ui$us. Alhazen 37 n 2.

Pars enim $uperficiei ui$us, ad quam peruenit forma rei ui$æ, per angulum uerticis pyramidis radiàlis, $ecundum quam per 18th. 3 huius fit rei obiectæ ui$io, qui e$t apud centrum ui$us, $emper men$uratur. Quamuis enim uirtus $en$itiua comprehendat quantitatem illius anguli ex compre- hen$ione partis $uperficiei ui$us, in qua figuratur forma rei ui$æ, ut patet per 73 th. 3 huius: propriè tamen angulus e$t per $e cau$$a men$urationis illius $uperficiei: e$t enim $emper proportio illius VITELLONIS OPTICAE partis $uperficiei oculi ad totam $ph{ae}ricam $uperficiem oculi, $icut illius anguli ad octo angulos re- ctos $olidos per 87 th. 1 huius. Cú enim pyramidis radialis ba$is $emper $it in $uperficie rei ui$æ per 18 th. 3 huius, $ecatur tamen ip$a pyramis qua$i æquidi$tanter $uæ ba$i per $uperficiem ip$ius ui$us, & $ic unus angulus fit ambabus pyramidibus communis, radiali uidelicet totali & eius parti re- $ectæ per ip$am $uperficiem oculi: magnitudo itaq; partis $uperficiei ui$us, ad quam peruenit for- ma rei, & angulus, quem continet pyramis radialis, continens illam partem $uperficiei ui$us, $unt ambo radix comprehen$ionis magnitudinis rei ui$æ. Quamuis autem & hic angulus & hæc pars $uperficiei ui$us diuer$ificentur $ecundum diuer$itatem remotionis: quantò enim magis elonga- tur res, tantò magis ille angulus minorabitur per 106 th. 1 huius, quia pyramis radialis fit ftrictior, & qua$i una pyramidum radialium, quæ e$t rei ui$æ remotioris, infcribitur pyramidi radiali, qu{ae} e$t rei ui$æ propin quioris: angulus ergo in c\~etro ui$us fit acutior, & pars $uperficiei ui$us corre$pon- dens illi angulo fit minor, & quantò plus approximat res ui$ui, tantò plus ampliatur magnitudo. Semper tamen magnitudo rei ui$æ comprehenditur à ui$u $ecundum magnitudinem partis præ- mi$$æ $uperficiei ui$us, & anguli illius $olidi, qui fit in centro ui$us. Patet ergo propo$itum.

18. Magnitudines omnes comprehen$æ à ui$u $ecundum oppo$itionem, $unt quantitates $u- perficierum ui$ibilium & partium illarum $uperficierum: nec non $uorum terminorum & $pa- tiorum inter ui$ibilia di$tinctorum. Alhazen 41 n 2.

Quantitas enim totius corporis rei ui$æ non comprehenditur à ui$u: quoniam ui$us non com- prehendit totam $uperficiem corporis, $ed $olum illud, quod $ibi opponitur ex $uperficie corporis aut ex $uperficiebus eius, quamuis corpus $it paruum: utpote illud, inter quod & aliquam partem $uperficiei ui$us duci po$sint line{ae} rectæ per 2 th. 3 huius. Sic ergo ui$us comprehendit $olam rei $u- perficiem: & $i ui$us comprehenderit corporeitatem corporis: non propter hoc cõprehendet quan titatem eius, $ed tantùm figuram corporeitatis: quòd $i forta$$e corpus fuerit motum aut ui$us mo- tus, ita quòd ui$us comprehendet totam corporis $uperficiem: tunc uirtus di$tinctiua comprehen- det quantitates corporeitatis eius alia operatione quàm ui$a $it apud ui$ionem: & $imiliter e$t de partibus corporis. Quantitates ergo, quas ui$us comprehendit per oppo$itionem, non $unt, nifi quantitates $uperficierum & linearum terminantium illas $uperficies uel ip$as men$urantium $e- cundum longum uel $ecundum latum. Et quoniam comprehen$is diuer$orum corporum $uperfi- ciebus diuer$is & ip$arum terminis, nece$$ariò cõprehenditur di$tantia inter illa corpora per com- prehen$iones partium $uperficiei ui$us nó coloratarum colore ui$orum corporum, $ed interiacen- tium partes $uperficiei ui$us coloratas coloribus illorum corporũ, nec $unt plures magnitudines, quæ ui$u comprehendantur: patet ergo propo$itum.

19. Omnia ui$a $ub eodem angulo, quorum di$tantia ab inuicem non perpenditur, æqualia uidentur. Euclides 7 hypothe$i opticorum.

Sit ui$us centrum punctum a: & $it res ui$a linea b g: $int\’q; lineæ, $ecundum quas puncta g & b perueniunt ad ui$um, g a & b a: uidetur itaq; linea b g $ub angulo g a b: $it\’q; alia res, quæ e$t d e, ca- dens inter ea$dem lineas g a & b a, ita ut ip$a uideatur b d g e a $ub eodem angulo g a b: dico, quòd lineæ g b & d e ui- debuntur æquales, $i lineæ d b & e g non perpendan tur à ui$u. Quia enim ui$us a comprehendit duo pun- cta d & b $uper unam lineam, quæ e$t a b, & duo pun- cta e & g $uper unam lineam, quæ e$t a g: non ergo ui- det aliquem terminum alicuius duarum quantitatum b g & d e egredi ab alia, $ed uidet fines extremitatum æquales. Et quia nó perpendit quantitatem linearum d b & e g e$$e aliquam, apparet ui$ui punctus d $uper punctum b, & punctus e $uper punctum g: eorum ue- rò, quorum alterum alteri $uperpo$itum non excedit reliquum, nec exceditur ab illo, illa $unt ad inuicem æqualia: duæ ergo lineæ d e & b g uidentur æquales: quoniam $ecundum iudicium ui$us una ip$arũ aliam cooperit, neq; extremitates unius $uperant alterius extremitates. Et per hũc modum in noctibus aliqua- liter lucidis, ut cum luna lucet de $ub nubibus, uel in horis crepu$cularibus, $i accidat homin\~e uel aliud aliquid cum alta arbore uel turri $ub eodem an- gulo uideri: iudicabitur homo uel res alia fortè altitudinis ip$ius arboris uel turris: & fit propter hoc multa deceptio in ui$u. Patet itaq; propo$itum.

20. Omne quod $ub maiori angulo uidetur, maius uidetur, & quod $ub minori minus: ex quo patet idem $ub maiori angulo ui$um apparere maius $e ip$o $ub minori angulo ui$o: & uniuer- $aliter $ecundum proportioncm anguli fit proportio quantitatis rei directè uel $ub eadem obli- quitate ui$æ. Euclides 5 & 6 hypothe$i opt. LIBER QVARTVS.

E$to centrum ui$us in puncto a: & $it res, qu{ae} f e, ui$a $ub angulo f a e: productis quoq; lineis a f & a e, producatur inter ip$as linea g b æ quidi$tanter lineæ f e: uidebitur ergo linea g b $ub angulo f a e, quam fortè accidet uideri e$$e æqualem lineæ f e per præmi$$am, ut $i lineas g f & b e non contingat uideri, $ed ui$is lineis g f & b e, uidetur minor, quia e$t $ecundum ueritatem per 4 p 6 linea g b mi- nor, quàm $it linea f e, cum linea a g $it minor quàm linea a f ex hypothe$i. Ducatur itaq; à puncto e linea æquidi$tans lineæ a g per 31 p 1, quæ $ecet protractam lineam g b in puncto d: erit ergo per 34 p 1 linea g d æqualis lineæ f e: ducatur\’q; linea a d, $ecans protractam lineam e f in puncto h: e rit\’q; linea h f maior quàm linea e f: & angulus f a h f g k e b a h d e$t maior angulo f a e per 29 th. 1 huius. Et quoniam angulus f a e e$t pars anguli f a h, linea uerò f h uide- tur maior quàm linea e f, & linea d g uidetur maior quàm linea b g: quia ui$us partem à toto dijudicat: quod ergo $ub minori angulo uidetur, minus uide- tur: $ed & quandoq; f e per præcedentem uidetur æ- qualis lineæ g b: ergo pote$t uideri linea e f minor quàm linea g d, quæ e$t æqualis lineæ f e, ut patet ex pr{ae}mi$sis: quod ergo $ub maiori angulo uidetur, ma- ius uidetur, & quod uidetur $ub minori, uidetur mi- nus. Conus itaq; pyramidis ui$ualis, quæ e$t f a e, $e- cundum quam uidetur res remotior, quæ e$t f e, mi- nor & acutior e$t quàm conus pyramidis g a d. Et quoniam $uperficies oculi $ecat ambas i$tas pyrami- des, cum ip$arum ambarum conus $it qua$i in centro oculi per 18 th. 3 huius, nece$$e e$t ergo ba$im pyrami dis ab$ci$$æ à pyramide f a e minorem e$$e ba$i pyramidis ab$ci$$æ à totali pyramide g a d per 109 th. 1 huius, cum illæ duæ a b$ci$$æ pyramides æ qualis $int altitudinis: quoniam linea producta à cen tro foraminis gyrationis nerui concaui ad $uperficiem oculi extrin$ecam e$t axis ambarum illa- rum pyramidum ab$ci$$arum. Pars ergo $uperficiei ui$us ibi figurata per formam rei ui$æ, quæ e$t g d, e$t maior quàm pars eiu$dem $uperficiei figurata per formam rei ui$æ, quæ e$t f e: uidetur ergo linea g d maior quàm linea fe. Et quoniam $ecundum quantitatem illarum partium $uperfi- ciei ip$ius ui$us uirtus $en$itiua comprehendit angulum, quem lineæ radiales continentin centro per 73 th. 3 huius: patet quòd rei, quæ uidetur maior, corre$pondet angulus maior, & rei, quæ uide- tur minor, corre$pondet angulus minor: quoniam $ecundum quod forma rei ui$æ recipitur in $u- perficie organi ui$iui, $ecundum hoc accipitur quantitas anguli, $ub quo fit ui$io, & $ecundum hoc idem etiam fit iudicium quantitatis rei ui$æ. Omnis ergo res $ub maiori angulo ui$a maior uidetur $e ip$a ui$a $ub angulo minori. Et uniuer$aliter in rebus directè ui$is $ecundum excrem entum angu li fit excrementum quantitatis rei ui$æ: unde $ub duplo angulo ui$um duplum uidetur, & $ub triplo triplum, & $ic $ecundum proportionem angulorum. In obliquè tamen ui$is, uel in his, quorum u- num uidetur directè, & aliud obliquè, non $ic. Si enim trigonum a e f fit orthogonium, ita ut eius angulus a e f $it rectus, diuidatur\’q; angulus f a e per æ qualia, producta linea a k, $ecante lineam f e in puncto k: non propter hoc diuidetur linea e f per æqualia in puncto k: quoniã, ut patet per 35 th. 1 huius, minor e$t proportio anguli f a k ad angulũ k a e, quàm lineæ f k ad lineam k e: & $ic $ecun- dum proportionem anguli ad angulum, non $emper fit proportio quantitatis ui$æ ad quantitatem ui$am: neq; enim talia ui$a $ecundum eandem uidentur di$po$itionem & $itum re$pectu ip$ius ui- $us. In conformibus autem ui$ibilibus $ecundum di$tantiam & $itum & alia accidentia, quæ requi- runtur ad conditionem & circun$tantiam uidendi, quæ patent per 1 the. huius, $emper $ecundum proportionem anguli uidetur proportionaliter quantitas rei ui$æ: unde etiam illud, quod $ub mi- nimo angulo uidetur, minimum uidetur, & quod $ub nullo uel in$en$ibili angulo peruenit ad ui$us $uperficiem, nullo modo uldetur, ut patet per 19 th. 3 huius. Patet ergo propo$itum.

21. Parallelæ lineæ $ecundum remotiores à ui$u partes qua$i concurrere uidentur: nunquam tamen uidebuntur concurrentes. Euclides 6 the. opt.

Vniuer$ale e$t quod proponitur, ui$u quocunq; modo $e habente ad illas lineas parallelas: $iue enim ui$us $it in illarum $uperficie, $iue $upra illam, $iue $ub illa, $emper eadem pa$sio ui$ui accidit. Sit ergo primò ui$us in illarum $uperficie, & $int duæ parallelæ lineæ a b & g d: hæ ergo per 1 th. 1 huius nece$$ariò erunt in eadem $uperficie: $it ergo in ip$arum $uperficie ui$us, qui $it e, uel prope illam. Dico, quòd $uperficiei interiacentis lineas a b & g d, in æqualis apparebit latitudo: & quòd pars $ui propinquior ui$ui apparebit latior, quàm pars eius à ui$u remotior, & ita lineæ a b & g d qua$i concurrere uidebuntur. Signentur enim puncta æquidi$tanter & $imiliter in lineis a b & g d, quæ $int in linea a b puncta z & t, & in linea d g pucta l & k: & coniungantur illa puncta, & pun- cta terminalia ductis lineis b d, z l, t k, a g: quæ omnes erunt æ quidi$tantes ex hypothe$i & per 33 p 1: & producantur lineæ e b, e z, e t, e a: e d, e l, e k, e g. Et quoniam angulus b e d maior e$t angulo z e l. $icut totum parte (quod patet per 34 theo. 1 huius) palàm per præmi$$am quia maior uidebitur VITELLONIS OPTICAE linea b d quàm linea z l: & eodem modo maior uidebitur linea z l quàm linea t k, maior\’q; uidebitur linea t k quàm linea a g. Et quia $ic diminuuntur in ui$u lineæ latitu- dinis: palàm; quòd $uperficies interiacens lineas minor uidebitur: li- g a h c l z d b e neæ ergo a b & g d qua$i concurrere uidebuntur: nunquam tamen ui debuntur concurrentes, quia $emper lineæ latitudinis $ub aliquo an- gulo uidentur, cui in termino ui$ionis $ubtenditur ba$is cuiu$cunq; ruerit paruitatis: nunquam ergo uidebuntur concurrentes. Si uerò ui$ui, qui $it a, parallelæ $ubiaceant, quæ $int lineæ l g & x e, ità quòd ui$us $it erectus $uper $uperficiem horizontis, & lineæ illæ $int in $u- perficie ip$ius horizontis, adhuc illæ lineæ $ecundum remotiores à ui$u partes qua$i concurrere uidebuntur. Dimittatur enim à ui$u a perpendicularis $uper $uperficiem horizontis per 11 p 11, quæ $it a b: $int\’q;, ut prius, lineæ l x, k n, t m parallelæ. Dico, quoniam adhuc inæ- qualis latitudinis apparet $uperficies interiacens lineas l g & x e: & partes linearum remotiores à ui$u qua$i concurrere uidentur. Duca- rur enim linea à puncto b perpendiculariter $uper lineam l x, qu{ae} $it b r: erunt\’q, lineæ b r & l x in eadem $uperficie per 2 p 11: & produca- tur linea b r $uper lineam g e in punctum f: $ecet\’q; lineam k n in pun- cto p, & lineam t m in puncto c: & ducantur lineæ l a, k a, t a, x a, n a, m a: $imiliter etiá ducantur lineæ a r, a p, a c. Quoniã itaq; angulus a b r e$t rectus, palàm quòd $uperficies a b c erecta e$t $uper $uperfici\~e l x e g, & earum communis $ectio e$t linea b f per 19 th. 1 huius: quoniam illa lineà b f e$t in ambabus illis $uperficiebus. Quia ergo linea a r producta e$t in $uperficie a b c, g f e t c m k p n l r x b a & $imiliter lineæ a p & a f: palàm per definitionem, quoniam anguli a r x & a p n & a c m $unt recti: & ita illi trigoni, qui $unt a b r, & a b p, & a b c $unt orthogonij: $ed linèà p n e$t æ qualis lineæ r x ex hypothe- $i, & per 34 p 1. Quia uerò angulus a b r e$t rectus, erit angulus a r b acutus per 32 p 1: ergo per 13 p 1 angulus a r p e$t obtu$us: li- nea ergo a p maior e$t quàm linea a r per 19 p 1: angulus ergo r a x per 34 the. 1 huius maior e$t angulo p a n: maior ergo uidebitur linea r x quàm linea p n, per præmi$$am: $imiliter\’q; maior uidebitur linea lr quàm linea k p: quoniam eadem e$t demon$tratio: e$t enim linea lr æqualis line{ae} k p per principium: $i ab {ae}qualibus, &c. Tota ergo linea l x uidebitur maior quàm tota linea k n: eodem\’q; modo tota linea k n uidebitur maior quàm tota linea t m. Superficiei ergo l x g e partes remotiores ui$ui uidebuntur $trictiores: lineæ ergo l g & x e uidebun tur qua$i concurrere: nó tamen uidebuntur unquam concurrentes, quia $emper $ub angulo aliquo uidebuntur. Et eodem penitus modo demon$trandum, $i lineæ parallelæ ui$æ $int ui$u $uperiores, ut $i ui$u inferius exi$tente lineæ ip$æ paralellæ $int in aliqua $uperficie $uper ui$um, ut accidit in tectis domuum, & $imilibus, ui$u exi$tente infe- rius. Patet ergo propo$itum.

22. Lineis pluribus æqualiter ab inuicem æquidi$tantibus, obiectis ui$ui: di$tantia remotiorũ minor ui$ui apparet. Euclides 4 theo. opt.

E$to, utin præmi$$a, ui$us, cuius centrum $it a, erectus in aere $e- g f e t c m k p n l r x b a cundum erectionem uidentis: in $uperficie quoq; horizontis $ubia- ceant ui$ui lineæ æquales & æquidi$tantes, & $ecundum æqualem di $tantiam ab inuicem di$tantes, quæ $int l x, k n, t m, g e, hoc ordine po $itæ ut linea l x $it ui$ui propinquior, aliæ uerò $uæ nominationis or- dine $int remotiores à ui$u. Dico, quòd linearum k n & t m di$tantia minor uidebitur quàm linearum l x & k n. Cum enim i$tæ lineæ $int æquales & æquidi$tantes, quæ $unt l x, k n, & t m: copulatis ip$arũ ter minis per lineas l g & x e: erit per 30 & 33 p 1, linea l g æqualis lineæ x e: & ducatur, ut in proxima præcedente, linea a b perpendicularis $u per $uperfici\~e l x g e: & facta demon$tratione, ut in illa, $equetur angu lum r a p e$$e maior\~e angulo p a c. Facilius tamen patet hoc per 35 th. 1 huius: quoniã in trigono orthogonio a b f partes æquales fũt ab$ci$${ae} ab uno laterũ rectũ angulũ cõtinentiũ, qu{ae} r p, & p c, & c f: e$t ergo an gulus r a p maior angulo p a c ք 10 p 5: linea ergo r p ք 20 huius uide- bitur maior <004> linea p c, & linea \’p c maior <004> linea c f. Remotior ergo i$tarũ di$tantiarũ, qu{ae}$unt r p, & p c, & c f, minor apparet ui$ui per 20 huius. Et hoc e$t propo$itũ. Et uniuer$aliter in omni ui$us di$po$itióe ad datàs parallelas pote$t hocidem, ut in præcedenti, demon$trari.

LIBER QVARTVS. 23. Aequalium partium eiu$dem ui$ibilis lineæ connectenti centra for aminum gyrationis neruo rum concauorum æquidi$tantis, remotior à ui$u minor uidetur. Euclides 4 theor. opt.

Sit linea r t connectens centra foraminum gyrationis neruorum concauorum: $int\’q; æquales partes eiu$dem ui$ibilis $uper lineam æquidi$tantem lineæ r t collocatæ: quæ $int a b, b g, g d, d f: tra- hatur\’q; perpendicularis a e, in qua $it centrum oculi e. Dico, quòd maior apparebit pars a b quàm b g, & b g quàm g d, & g d quàm d f. Cum enim perp\~edi- f r d g b a z z z e c cularis e a $it breuior omnibus lineis ducibilibus à puncto e ad lineam a d, ut omnibus lineis e b, e g, e d, quod per 47 p 1 palàm e$t: manife$tum e$t ergo, quo- niam pars a b e$t propinquior ui$ui omnibus illis par- tibus, quæ $unt b g & g d & d f. Ducantur enim lineæ, per quas accedunt formæ punctorum ad ui$um, quæ $int b e, g e, d e, f e: & ducatur per 31 p 1 linea b z æquidi $tans lineæ g e. Quia igitur in trigono a e g linea b z æ- quidi$tat lateri e g: palàm per 2 p 6, quoniam e$t pro- portio lineæ a z ad lineã z e, $icut lineæ a b ad lineam b g: $ed linea a b æqualis e$t lineæ b g ex hypothe$i: er- go linea a z e$t æqualis lineæ z e: $ed per 47 p 1 linea z b e$t maior quàm linea z a: ergo linea b z e$t maior quàm linea z e: angulus ergo z e b per 18 p 1 maior e$t angulo z b e: $ed angulus z b e per 29 p 1 æqualis e$t angulo b e g, quia $unt coalterni inter lineas æquidi- $tantes, quæ $unt z b & e g: ergo angulus a e b maior e$t angulo b e g. Ergo per 20 huius maius uidebitur a b quam b g: $ub maiori enim angulo uidebi- tur. Similiter quoq; ducta à puncto g linea æquidi$tante lineæ e d, eadem e$t demon$tratio. Idem quoq; accidit, $i lineæ e a, e b, e g, e d, e f non $unt in una linea naturali, dum tam\~e linea mathematica inter ip$as imaginata æquidi$tet lineæ g e. Et hoc e$t propo$itum.

24. Aequalium diuer$orum ui$ibilium $ecundum eandem rectam lineam æquidi$tantem li neæ connectenti centra for aminum gyrationis neruorum concauorum ui$uiobiectorum, quod propinquius est ui$ui, apparet maius. Euclides 7 theo. opt.

Sint duo ui$ibilia di$continuata diuer$a, $ed æqualia a b & g d, oppo$ita ui$ui $ecundum lineam a d: quæ $it æquidi$tans lineæ r t, connectenti centra foraminum gyrationis neruorum concauo- rum: & $int in æqualiter di$tantes à centro ui$us, quod $it e: ducantur\’q; lineæ à terminis ui$ibilium ad centrum ui$us, quæ $int e d & e a: & $it linea e a maior quâm linea d e. Dico, quòd g d apparebit ui$ui maius quàm a b. Producantur enim lineæ e g & e b: & circa trigonum a e d de$cribatur circulus per 5 p 4: & producatur linea e g ad circumferentiã in pun ctum l, & linea e b in punctum z: & à puncto g duca tur perpendicularis $uper a d per 11 p 1, qu{ae} protracta a z c b l k g d e f ad circumferentiam $it g k: & à puncto b ducàtur li- nea b c æquidi$tans lineæ g k: erit ergo per 29 p 1 li- nea b c perpendicularis $uper lineam a d: $ecet\’q; pe- ripheriam circuli in puncto c. Quia itaq; à terminis lineæ a d intra circulum collocatæ æquales partes $unt re$ectæ, quæ $unt a b & g d, quoniam illæ $unt æ- quales ex hypothe$i: & à punctis $ectionum $unt du{ae} lineæ perpendiculares $uper lineam d a productæ ad peripheriam illius circuli, quæ $unt g k & b c: e- rit ergo per 45 th. 1 huius linea b c æqualis lineæ g k: $ed & linea a b e$t æqualis lineæ g d ex hypothe$i, & angulus a b c æqualis e$t angulo k g d, quia uterq; rectus: ergo chorda k d æqualis e$t chordæ c a per 4 p 1: ergo per 28 p 3 arcus d k æqualis e$t arcui c a: $ed arcus c a e$t maior arcu z a: ergo & arcus k d ma ior e$t arcu z a: arcus uerò l d maior e$t arcu k d: ergo multò maior e$t arcus l d arcu z a: $ed in arcum z a cadit angulus a e z, & in arcũ l d cadit angulus l e d: ergo per 33 p 6 angulus l e d maior e$t angulo z e a: $ed $ub angulo a e z uidetur linea a b, & $ub angulo l e d uidetur linea g d: maior ergo apparet ui$ui linea g d, quàm linea a b per 20 huius. Quod e$t propo$itum.

25. Aequalium & æquidistantium magnitudinum inæqualiter à ui$u distantium pro- pinquior $emper maior uidetur: non tamen proportionaliter $uis distantijs uidetur. Euclides 5 theo. opticorum. VITELLONIS OPTICAE

Sint duæ magnitudines ui$æ a b & g d inæqualiter di$tantes ab oculo: cuius centrum $it e, $it\’q; ui $ui propinquior g d quàm a b. Dico, quòd maior apparebit g d quàm a b. Producantur enim lineæ e a, e b, e d, e g: uidebitur\’q; g d $ub angulo g e d, qui e$t maior angulo a e b, ut parte $ua per 34 th. 1 huius. Patet ergo per 20 huius, quia linea g d uidebitur maior quàm b a d g e linea a b. Et hoc eodem modo demon$trandum, $iue centrum ui$us & res ui$æ $int in eadem altitudine, $iue in diuer$is: ut $i ui$us $it al- tior rebus ui$is, uel etiam econtrà. Non tamen uidentur hæc propor tionaliter $uis di$tantijs, uidelicet ut proportio g d maioris $ecundũ apparentiam ad a b minorem $ecundum apparentiam $it, $icut b e di $tantiæ maioris ad d e di$tantiam minorem: quoniam, ut patet per 11 huius, maior e$t proportio b e di$tantiæ maioris ad d e di$tantiam mi norem, quàm anguli g e d maioris ad angulum a e b minorem. Sed quantùm angulus g e d e$t maior angulo a e b, tantò linea g d uide- tur maior quàm linea a b, ut diximus in 20 huius, quoniam illa ui$i- bilia conformiter ordinantur ad ui$um. Non uidentur ergo lineæ g d & a b proportinaliter $uis di$tantijs: quoniam di$tantiarum maior e$t proportio. Ethoc e$t propo$itum.

26. Omne ui$ibile obliquatum à ui$u, minus uidetur $e ip$o, $e- cundum proximum $ui terminum directè ui$ui oppo$ito.

Sit enim linea connectens centra oculorum r t: $it\’q; centrum ui- $us a: & $it ui$ibile obliquatum à ui$u, b c: ducantur\’q; lineæ a b & a c: & à puncto c, qui $it terminus rei ui$æ proximus ui$ui, ducatur li- nea c d, æqualis lineæ c b, & æquidi$tans lineæ r t, connectenti centra oculorum, quod fieri pote$t per 39 th. 3 huius: illa ergo dιrectè ui$ui opponetur per 1 definitionem huius: ducatur quoq; linea a d. Et quo- niam per 7 huius linea c d $ub maiori angulo uidetur b d r c a t quàm linea c b: patet per 20 huius, quoniam minor ui- detur linea c b obliquata quàm $ua æqualis, quæ e$t li- nea c d, directè ui$ui oppo$ita $ecundum proximum terminum ip$ius lineæ c b, quo ui$ui plus appropin- quat, qui e$t punctus c. Et hoc e$t propo$itum.

27. Vera rerum quantitas non comprehendi- tur à ui$u, ni$i auxilio uirtutis di$tinctiuæ. Alha- zen 36. 38 n 2.

Quoniam enim, ut patet ex præmi$sis, anguli, qui formantur in centro ui$us, & partes $uperficierum ui- $us, $ecundum quas fit comprehen$io magnitudinis rei ui$æ, $emper diuer$antur $ecundum approximatio nem & remotion\~e eiu$dem rei, & $ecundum eandem directionem uel obliquationem $e habentis ad ui$um & ad axes radiales: uirtus ergo di$tinctiua di$tinguens quantita\~e ueram rei ui$æ, non con$iderabit $olum angulum uel $olam remotion\~e: quoniam neutrum illorum per $e $ufficit, $ed con$iderabit an- gulum & remotion\~e $imul. Quantitates ergo ueræ ip$orum ui$ibilium non comprehendentur ni$i per di$tinctionem & comparationem: hæc autem comparatio erit $imul: & erit ip$ius ba$is pyrami- dis radialis (quæ per 18 th. 3 huius e$t $uperficies rei ui$æ) ad angulum pyramidis, & ad quantitatem longitudinis axis pyramidis, quæ e$t linea remotionis rei ui$æ à ui$u. Con$ideratio uerò uirtutis di- $tinctiu{ae} ip$ius $uperficiei e$t $emper in parte colorata $uperficiei ui$us, angulo dicto corre$ponden ti, cum con$ideratione rem otionis ip$ius rei ui$æ à $uperficie ui$us: quoniam quantitas illius par- tis coloratæ $uperficiei ui$us $emper e$t $ecundum quantitat\~e illius anguli per 73 th 3 huius. Nó e$t autem in illa con$ideratione uirtutis di$tinctiuæ inter remotionem rei ui$æ à $uperficie ui$us & re- motion\~e eius à centro ui$us diuer$itas $en$ibilis. Cum itaq; ui$us comprehendit lineas pyramidis radialis perpendiculariter $ibi incidentes: tunc uirtus di$tinctiua imaginabitur quantitatem exten $ionis, $ecundum quantitat\~e exten$ionis i$tarum linearum à centro ui$us u$q; ad terminos rei ui$æ: & quando cũ hoc comprehenderit quantitat\~e remotionis rei ui$æ per 10 huius: tunc imaginabitur quantitat\~e longitudinũ i$tarum linearũ & quantitat\~e $patiorũ, quæ $unt inter ip$arũ extremitates, quæ $patia $unt diametri ip$ius rei ui$æ. Quando ergo uirtus di$tinctiua imaginabitur quantitat\~e anguli, & quantitat\~e partis $uperficiei ui$us, corre$pondentis illi angulo, & quantitat\~e longitudinis linearum radialium, & quantitatem $itus ip$arum adinuicem, & quantitatem $patiorum, quæ $unt inter extremitates earum: tunc ip$a comprehendet quantitatem rei ui$æ $ecundum $uum e$$e: quo- niam tunc nihil eorum, quibus comprehenditur magnitudo rei ui$æ, remanet incomprehen$um. Hæc e$t ita que qualitas comprehen$ionis magnitudinis rerum ui$arum, & fit plurimum propter LIBER QVARTVS. affuetudinem ui$us in di$tinctione remotionum ui$ibilium: qui quando $en$erit formam & remo- tionem rei ui$æ, $tatim imaginabitur quantitatem loci & quantitatem remotionis, & ex ijs compre- hendet magnitudinem rei ui$æ. Patet ergo illud, quod proponebatur.

28. In magnitudinis ui$ione uirtuti di$tinctiua error accidit ex intemperata di$po$itione o- cto circun$tantiarum cuiuslibet reiui$a Alhazen 26. 37. 47. 54. 59. 64. 66. 69 n 3.

Exintemperata enim lucis di$po$itione, ut de nocte uel in crepu$culis cum lux e$t dubia, in$pe- cto homine & ui$o nemore aut pariete remotis ab illo homine, cum latuerit hominem uidentem di $tantia inter hominem & nemus aut parietem ui$um, quamuis illa di$tantia $ecundum ueritatem $it plurima: tunc uidebitur propinquitas hominis ad nemus uel ad parietem: & $i accidit, utidem ra- dius pertingens ad caputhominis perueniat ad cacumen nemoris: tunc per 19 huius uidebuntur homo & nemus aut paries eιu$dem altitudinis: quooiá $ub eodem angulo uidentur: & for$itan ho- mo uidebitur maioris altitudinis ip$o nemore: ut $i radius tran$iens caput hominis ad nemoris uel parietis altitudinem non pertingat. Et huius $imile accidit iuxta ciuitatem Vratislauiæ apud ne- mus uillæ Boret: ui$t $unt enim homines ibi in crepu$culis altiores nemore illo alto: & ui$us e$t lu- pus iuxta lignum & ca$trum Poloniæ æqualis altitudinis ip$i nemori: $ed hoc accidit in horis cre- pu$cularibus: cum lux e$t dubia: & æ$timata $unt illa ui$a fui$$e phanta$mata à uidentibus. Non ac- cideret autem aliquid talium, luce exi$tente in temperamento, quoniam tunc di$tantia hominis à nemore di$ceroeretur, & altitudo uniu$cuiu$q; $ecundum terminum ιp$ius apparentem men$ura- retur. Similιter etiam ex coloris debιlitate accidit error in ui$ione magnitudinis: quoniam $i in a- liquo loco $tatuatur aliquod corpus fortis coloris, non latebit ui$um: quòd $i in eodem loco pona- tur eorpus æquale priorι, $ed coloris debilis, non uidebitur illud corpus. Sic etiam accidιt error i$te ex colorum identitate in corpore medio & in re ui$a. Vnde corpus album in loco aliquo po$itum effu$a aliqua albedine in $uperficie terræ interiacentis ui$um & r\~e ui$am, nõ uidebitur: remota uerò albedine $patij interiac\~etis: $tatim forma illius albi corporιs cóprehendetut. Fit ergo tũc occultatio ex conuenientia colorum: quoniam $i loco illius albi corporis ponatur corpus æquale $ibi alterius coloris, bene uidebitur ip$um trans medium dealbatum. Exintemperara etiam longitudinis di- $tantia fit error in magnitudinis ui$ione: quoniam tunc uidebitur res multò minor quàm $it in ue- ritate per 24 th. huius: tunc enim etiam partes eiu$dem rei improportionales $uo tori ab$condun- tur ui$ui, quia non po$$unt in tanta di$tantia uideri per 23 th. huius: & fit minor totalis rei apparen- tia: quoniam plura in$en$ibiliter ab$condita faciuntrei $en$ibilem ablationem, quæ non fieret in di- $tantia temperata. Intemperata etiam approximatio errorem inducit in ui$ione magnitudinis: quoniam corpus approximatum oculo, uidetur maioris quantitatis quàm $it reuera: quoniã pro- pter magnitudinem anguli corpus uidetur maius, ut prius propter paruitat\~e anguli corpus ui$um e$t minus: & patent hæc per 20 th. huius: $ecundum quantitatem enim ampliorem anguli pyramidà lis amplior $uperficies ui$us informatur, ut patet per 87 th 1 huius: unde $ecũdum quantitat\~e illius anguli & elongationem corporis fit æ$timatio quantitatιs rei ui$æ, ut præ mi$$um e$t in præcedente propo$itione: nec enim longitudo dι$tantiæ rei ad interiora uidentis penetrat; cum pars capitis in- terior non $it capax totius quantitatis radialium linearú, nec pote$t certitudinaliter men$urari: & propter hoc rei quantitas refertur ad anguli capacitatem & notam longitudinem. Vera autem re- inotio corporis atten ditur $ecundum lineam à centro u $us ad $uper$iciem rei procedentem, re$pe- ctu cuius lineæ $emidiameter oculi incipit e$$e in$en$ibilis: unde non facit aliquem $en$ibilem erro- rem in longitudinis illius æ$timatione: $ed corpore approximato ui$ui ultra illam di$tantiam, tune fit $emidiameter oculi proportionalis di$tantιæ corporis proportione $en$ibili: erit enim aliquan- do maior, aliquando æ qualis, aliquan do minor proportione modica, ut fortè $ubdupla uel $ubtri- pla, uel huiu$modi: unde in tali propinquitate rei ui$æ, magnitudo angul pytamid pytamidalis, & $en$ibilis minoricas longitudinis æ$timatæ, re$pectu ueræ inducunt $en$ibilem apparentiam maioritatis in corpore. Exinordinata etiam $itus oppo$itione fit error in magnitudinis ui$ione: cum enim ali- quis in alto exi$tens uidet $ub illa altitudine aliqua exi$tentia inter $e æqualia, quorum e$t unum po$t aliud in ordine di$po$itum: tunc enim per 25 huius iudicabitur po$tremum, quod e$t uidenti propin quius, altius omnibus alijs uel maius: ut uigil $tans in turris alicuius eminentia, uidens ho- mines uel arbores æquales, inæ qualiter à $e di$tantes, propinquiorem $ibi æ$timat altiorem. Ex intemperata etiam quantitatis rei ui$æ di$po$itione accidit error in magnitudinis ui$ione: propo$i- tis enim ui$ui duobus corporibus, quorum unum $it modicum maius alio, aut in $ola longitudine, aut in latitudine, aut in utraq; ip$arum: for$itan illa indicabuntur æqualia in omni dimen$ione, quoniam paruitas ill us exce$$us non $entitur propter $ui paruitatem: non enim excedit fines tem- perantiæ re$pectu ip$ius ui$us. Exintemperata etiam $oliditate fit error in ui$ione magnitudinis: in cry$tallo enim angulata, extrema angulorum, quia parum $olida $unt, quandoq; non uidentur, cum corporis $olidi anguli uideri po$$ent. Exintemperantia etiam raritatis in ui$ione magnitu- dinis error accidit: quoniam in aere nubilo$o ob$curo, ut in horis crepu$cularibus plurimum acci- dit, quòd corpus ui$um maius apparet quàm in aere temperato, ut nos infrà declarabimus, cum tra ctatum de ijs, quæ uidentur per medium $ecundi diaphani faciemus. Ex intemperantia eriam temporis fit error in uι$ione quantiatis: cum enim ardens titio $æpius per aliquod $patium ue- lociter mouetur, apparet totum $patium ignitum: quia non perpenditur quantitas temporis, VITELLONIS OPTICAE propter uelocitatem motus titionis: & $ic ignis paruus æ$timatur maior propter $ui motus tempe- ris breuitatem. Exintemperantia & ui$us debilitate in magnitudinis ui$ione error accidit: quia e- tiam res fortè parua nullo modo uidetur: ut patet in $enibus, qui non po$$unt di$cernore literam mi nutam. Patet ergo propo$itum.

29. Vi$io comprehendit omnem $itum per comprehen$ionem debitæ remotionis in ip$is rebus $ituatis. Alhazen 26 n 2.

Siue enim nomen $itus dicat totius rei ui${ae}, $iue partium eius oppo$itionem ad ui$um $ecundum directionem uel obliquationem: $iue dicat ordinationem $uperficierum rei ui$æ, uel partium eius apud $uperficiem ip$ius ui$us, ut cum res ui$a e$t multarũ $uperficierum apparentium ui$ui: $iue no men $itus dicat $ituationem linearum, quæ $untip$arum $uperficierum ui$ibilium: $iue dicat $itum. $patiorũ, quæ $unt inter quælibet duo ui$ibilia $imul comprehen$a à ui$u: $emper accepto $itu $ecun dum quemcunq; i$torum modorum, hæc omnia & $ingula comprehendit ui$us, ut hæc $unt di$p o$i- ta in corporibus lucidis uel coloratis, ut in per $e ui$ibilibus & in illis $undata: & $emper cóprehen- dit quemlibet modũ $itus, cóprehen$a remotione à ui$u uel inter $e, quæ debentur ip$is totis uel par tibus $ituatis. Pater ergo propo$itũ: quoniá hos modos particulariter in $equentibus pro$equemur.

30. Situs oppo$itionis rei ui$a & partium eius ad ui$um, comprehenditur à $en$u ui$us auxi lio uirtutis di$tinctiua. Alhazen 27 n 2.

Cum enim $itus cuiuslibet habentis $itum ad aliud, componatur ex remotione illorum duorum ad inuicem: palàm, quòd oppo$itio rei ui$æ ad ui$um, quæ quidem $itus e$t, componitur ex remotio ne rei ui$æ à ui$u, & ex parte uniuer$i, in qua e$t res ui$a re$pectu ui$us. Comprehen$io autem remo- tionis rei ui$æe$t ab ip$a uirtute di$tinctiua per intentionem quie$centem in anima, ut o$ten$um e$t per 9 & 10 the. huius. Cum ergo uirtus di$tinctiua comprehendet locum rei ui$æ & $uam remotio- nem: tunc in $imul cum illis comprehendet rei oppo$itionem: uerus autem locus rei ui$æ compre- henditur ex $itu ip$ius ui$us, & ex $itu ip$ius rei ui$æ apud ui$ionem, quoniam ui$us nõ comprehen dit rem ui$am ni$i ex oppo$itione. Di$tιnguet ergo uirtus di$tinctiua inter locum obliquum ui$ui, & locum propinquum ei: uirtus enim di$tinctiua comprehendit omnia loca rerum locatarũ per com- prehen$ionem remotionis & partis uniuer$i, ad quam e$t illa remotio, ut patuit per 14 huius: unde etiam comprehendet locum oppo$itum ui$ui apud comprehen$ion\~e rei ui$æ. Et quoniam ui$u abla to ab illa re ui$a, de$truitur ui$io illius rei, tunc uirtus di$tinctiua comprehendit, quòd res ui$a non e$t, ni$i in parte oppo$ita ui$ui apud ui$ionem illius rei ui$æ: & $ecundum hunc modum di$tinguun- turloca ui$ibilium, quoniam ui$ibilia di$tincta non di$tinguuntur à ui$u ni$i ex di$tinctione loco- rum di$tinctorum in $uperficie membri $entientis, ad quod perueniunt formæ ui$ibilium di$tincto- rum. Sicutitaq; loca uocum & $onorum comprehenduntur à $en$u auditus: & deinde mediante au ditu à uirtute di$tinctiua: ita loca ui$ibilium comprehenduntur mediante ui$u à uirtute di$tinctiua. Cum enim forma rei ui${ae} peruenerit in $uper$iciem ui$us, $entiet uirtus uidens locum membri $en- tientis, ad quem peruenit illa forma, & ex rectitudine lineæ perpendiculariter incidentis illi loco comprehendet uirtus di$tinctiua locum rei ui$æ: & quia intentio remotionis e$t quie$cenns apudi- p$am animam, ip$a ergo comprehendet locum rei ui$æ, & remotionem eius in $imul apud compre- hen$ionem formæ à ui$u $entiente. In peruentu ergo formæ ui${ae} ad ui$um comprehendit ui$us lu cem & colorem rei ui$æ, & partem $uperficiei ui$us, quæ illuminatur & coloratur ab i$ta forma, & uirtus di$tinctiua comprehendit locum & remotionem rei ui$æ, & per con$equens oppo$itionem ip$ius totius rei ui$æ & omnium partium eius adinuicem in $uo toto, & omnnium i$torum compre- hen$io $it $imul. Situs ergo oppo$itionis rei ui$æ & partium eius ad ui$um comprehenditur à $en$u ui$us auxilio uirtutis di$tinctiuæ. Quod e$t propo$itum.

31. Vi$us comprehendit directionem & obliquationem line arum, $uper$icierum, & $patio- rum ex comprehen$ione diuer$itate remotionum $uarum extremit atum, auxilio uirtutis di$tin ctiua. Alhazen 28 n 2.

Cum enim axes radiales $ecant lineas, uel $uper$icies, uel $patia, ut $uper illa perpendiculariter e- recti: tunc ui$us comprehendit $uper$iciem rei ui$æ, & remotiones extremitatum eius æ quales ex utraq; parte axis erecti: & tunc comprehendit illam $uper$iciem e$$e directè ui$ui oppo$itam, & iu- dicabit uirtus di$tinctiua $uperficiem illam directè oppo$itam ui$ui. Cum autem ui$us comprehen- derit remotionem extremitatum $uper$iciei ui$æ diuer$am, & à puncto coniunctionis axium extra lineam, in quam incidunt axes perpendiculariter, non inuenit in tota $uper$icie $ibi oppo$ita duo puncta æ qualis remotionis à $uperficie ui$us: tunc comprehendet illam $uper$iciem obliquatam in eius oppo$itione, & uirtus di$tinctiua iudicabitip$am obliquatam. Et $imiliter e$t de $uibus linea- rum & $patiorum cadentium inter res plures ui$as $imul: ip$orum enim directionem & obliquatio- nem iudicabit ui$us auxilio uirtutis di$tinctiuæ. Et i$ta æqualitas directionis & diuer$itas obliqua- tionis multotiens comprehenditur à $entiente per $olam æ$timationem & per $igna: in maxima e- nim di$tantia uel remotione comprehendetur $uper$icies uel linea uel $patium, quod e$t obliqua- tum, qua$i $it directum, quando $cilicet non perfectè comprehenditur diuer$itas, quæ e$t inter remotiones extremitatũ eius: unde ad hoc, quòd ui$us bene hoc comprehendat, oportet ut talium LIBER QVARTVS. ui$ibilium $it di$tantia mediocris: quia etiam in magna di$tantia parum obliquata uidentur, ut peni tus directa. Et licet $ecundum modum pr{ae}dictum $uperficies aliqua, uel linea, uel $patium ui$ui $int directè oppo$ita: nulla tamen pars illius $uperficiei, lineæ, uel $patij per $e directè opponitur ui$ui: quoniam axes radiales ubicunq; extra unum punctum perpendicularitatis incidant, $emper inci- dunt obliquè, & $ecundum angulos in æ quales per 20 th. 1 huius. Si autem $uperficies, line{ae}, uel $pa- tia æquidi$tent axibus ui$ualibus, nec $ecentur ab illis, opponantur autem ui$ui: tunc etiam $itus i- p$orum in directione & obliquatione comprehenditur à ui$u per remotionem $uarum extremita- tum: & pote$t fieri proportio i$torum ad $uperficies, lineas, uel $patia, quæ $ecant axes radiales, qui- bus axibus ip$a æquidi$tant. Patet itaq; illud, quod proponebatur.

32. Situs partium & $itus terminorum $uperficiei rei ui$a aut $itus $uperficierum eius adin uicem: & $itus plurium ui$ibilium $imul ui$orum ex compreben$ione diuer$itatis in remotione & ordinatione formarum peruenientium ad ui$um, comprehenditur à ui$u auxilio uirtutis di ctinctiua. Alhazen 30 n 2.

Quoniam enim forma cuiuslibet partis $uperficiei rei ui$æ peruenit ad aliquam partem $uperfi- ciei ui$us, ad quam peruenit forma totius rei ui$æ: unde cum $uperficies rei ui$æ fuerit diuer$orum colorum di$tinctorum: tunc erit forma perueniens in ui$um, diuer$orum colorum, & erunt partes eius di$tinctæ $ecundum di$tinctionem partium $uperficiei rei ui$æ. Tunc itaq; ui$us $entiet quam- libet partem formæ ui$æ ex$en$u colorum illarum partium & lucis, quæ e$t in eis, & $entit loca for- marum partium in $uperficie ui$us ex $en$u colorum partium illarum & lucis earũ: & uirtus di$tin- ctiua cõprehendit ordination\~e illorum colorum ex cõprehen$ione diuer$itatis partiũ form{ae}, & ex comprehen$ione differentiarũ ip$arũ partiũ: & $ic cõprehendit aliquid cõtiguũ & aliquid $eparatũ. Similiter etiã e$t de ip$is ui$ibilibus contiguis uel di$iunctis. Situs uerò partium rei ui$æ adinuic\~e $ecundũ acce$sionem & remotion\~e, uel $ecundũ præeminentiá unius ip$arũ $uper alterá, & profun dation\~e unius ip$arũ $ub altera, cõprehenditur à ui$u ex cõprehen$ione quantitatis remotionis par tium $ecundũ magis & minus. Termini aũt $uperficiei rei ui$æ aut $uperficierũ eius, qu{ae} $unt lineæ ip$as $uperficies terminantes, & ordinatio ip$orũ, cõprehenditur à ui$u per comprehen$ion\~e partis $uperficiei eius, in quã peruenit color ip$ius $uperficiei rei ui${ae} per illos terminos uel lineas termina tæ, & lux eius, & per comprehen$ionem terminorum illius partis & ordinationis illius partis, auxi- lio uirtutis di$tin ctiuæ. Et quoniam omnia propo$ita $ecundum hunc modum comprehenduntur: patetergo illud, quod proponebatur.

33. Omnis linea uel $uperficies reì ui$a directè ui$ibus uelui$ui oppo$ita, perfectius uidetur quàm obliquata: & $ecundũ quantitat\~e obliquationis fit imperfectio ui$ionis. Alhazen 17 n 3.

E$to centrum ui$us a: & $it, exempli gratia, $uperficies plana rei ui$æ directè ui$ibus oppo$itæ, in qua $it linea b c d e f: & $int b c, c d, d e, e f partes illius lineæ æquales uel inæquales: $it\’q; $uperficies obliquata ui$ibus, in qua $it linea f g f g e h m d a i n c k o b h i k: & $it taliter, ut obliquatio illius $uperficiei incipiat à puncto f: $it\’q; li nea a d perpendicularis $uper lineã b f: ducantur\’q; à centro ui$us lineæ a f, a e, a d, a c, a b: quæ omnes produ- cantur ad $uperficiem obliquatam: incidat\’q; linea a e in punctum g, & li nea a d in punctum h, & linea a c in punctum i, & linea a b in punctum k. Et quia per 13 p 1 angulus h d f e$t re- ctus, quia angulus a d f e$t rectus ex hypothe$i: palàm ergo ք 47 p 1, quo- niam linea f h e$t maior quàm linea f d. Et $i à puncto g ducatur linea {ae}qui di$tans line{ae} f d per 31 p 1, qu{ae} $it g in: erit per 29 p 1, & 4 p 6, & 47 p 1, linea g h maior quàm linea e d: & $imiliter fiet de omnibus punctis inter punctaf & h datis. Item à puncto h ducatur linea æ quidi$tans line{ae} d c: quæ $it h n. Et quoniam per 32 p 1 angulus a c d e$t acutus, erit per 13 p 1 angulus i c d obtu$us: er- go per 29 p 1 angulus in h e$t obtu$us: ergo per 19 p 1 & per 4 p 6 linea h i e$t maior quàm d c. Eod\~e inodo fit de omnibus punctis lineæ h k. Patet ergo, quòd eidem angulo, qui fit in centro ui$us, $em per $ubten duntur maiores partes lineæ obliquatæ, quàm lineæ directè oppo$itæ ui$ui. Partes itaq; $uperficiei rei ui$æ directè ui$ui uel ui$ibus oppo$it{ae}, æqualiter di$tantes à puncto axis, uel à puncto coniunctionis, $imiliter uirtuti ui$iu{ae} offeruntur per 45 th. 3 huius, propter quod perfectius tota illa $uperficies uidetur, & o\~es $ubtiles intentiones, qu{ae} $unt in ip$a: $uperficies uerò obliquata ui$ibus acquirit formam dubitabilem, $iue per unũ ui$um uideatur, $iue per ambos: & $iue illa forma per a- xes perueniat ad ui$um, $iue extra axes: & etiã $i di$tantia $it mediocris ip$ius $uperficiei obliquatæ VITELLONIS OPTICAE à ui$u: partes enim $uperficiei illius æquales partibus $uperficiei directè ui$ui oppofitæ, ut patet ex prædemon$tratis, $ub minori angulo uidentur, quàm $i e$$ent directè ui$ibus oppo$itæ: quia lineæ $uarum extremitatum à centro ui$us productæ, minoribus angulis $ubtenduntur. Sic ergo totales illæ $uperficies in$tituuntur in $uperficiebus ui$us, qua$i congregatæ propter $uam obliquationem: angulus enim, quem $ubtendit $uperficies ip$ius ui$us, quæ e$t informata forma $uperficiei obliqua tæ, e$t paruus & $en$ibιliter minor eo, quem faceret eadem $uperficies ui$ibus oppo$ita directè, uel $uperficies aliqua alia æqualis $uperficiei obliquatæ. Quia ergo ip$a $uperficies ui$us informata ex illa obliquata $uperficie e$t minor, & partes paruæ illius $uperficiei obliquatæ incidunt angulis qua$i in$en$ibilibus, propter maximam obliquationem: ideo de nece$sitate illa $uperficies obliqua- ta uidetur minus perfectè. Cum enim parua $uperficies fuerit multũ obliquata: tunc duæ lineæ ex- euntes à centro ui$us ad extrema illius partis, fient qua$i linea una: quapropter $entiens non com prehendet angulum contentum interillas, neq; partem, quam di$tinguunt ex $uperficie ui$us. To ta ergo $uperficies obliquata ui$ui multũ amittit $en$ibilitatis: quia $i ιn ip$a fuerint $ubtiles aliqu{ae} intentiones, non comprehendentur à ui$u, propter latitantiã $uarum partium paruarum. Et quoniã $uperficiebus plus obliquatis plus accidit propo$itæ pa$sionis: ideo $ecundum quantitat\~e obliqua- tionis fit imperfectio ui$ionis. Patet ergo illud, quod proponebatur.

34. Exce$$u remotionis nimio exi$tente: res à ui$ibus obliquata quando<005> uidetur directè op- po$ita. Alhazen 29 n 2.

Quoniam enim, ut patet per 10 huius, quantitas remotionis attenditur $ecundum quantitatem diametrorum rei ui$æ: ideo & nimietas exce$$us remotionis attenditur $ecundum quantitatem dia metrorum rei ui$æ. Quæ enim magno ui$ibili non e$t nimia di$tantia à ui$u, hæc minori ui$ibili e$t nimia: c c b a quoniam nõ eodem modo in eadem di$tantia maius & minus percipiuntur à ui$u, ut patet per 7 & 20 hu- ius. Sititaq; centrũ ui$us a: & res ui$a obliquata, quæ b c: cuius alter terminorum, qui $it b, propinquior $it ui$ui: $it\’q; illa res ui$a $ub angulo b a c: erit ergo argu mento 26 & 20 huius angulus b a c minor, quàm $i i- p$a res ui$a (quæ b c) à proximo $ui termino ad ui$um (qui e$t a) directè uideretur: $ed per 11 huius in omni bus ui$is maior e$t proportio di$tantiæ maioris ad di $tantiam minoris, quàm $it anguli maioris ad angulũ minorem: in nimia aũt remotione di$tantiarum pro- portio di$tantiæ maioris unius extremorum rei ui${ae}, utin propo$ito ip$ius c ad di$tantiã minor\~e alterius extremorũ, ut ip$ius b, e$t differentia in$en$ibilis, ut lineæ a c longioris ad lineã a b breuior\~e: ergo multò magis in$en$ibilis e$t differentia ip$orum angulorũ. Videbitur ergo b c in maxima remotione qua$i directè ui$ibus oppo$ita, cum $it obliquata. Ethoe e$t propo$itum.

35. Omne ui$um exi$tens extra communem axem, in uno tantùm axe ui$uali: uelper radios propinquos axi: uel etiam per propinquos ambobus axibus ui$ualibus compreben$um, uidetur axi communi approximare plus eius $itu uero.

Axis enim radialis, ut patet ք 37 th. 3 huius, $emper defert punctũ, cui incidit ad punctũ medium nerui cõmunis, cui $emper in hæret terminus axis cõmunis. Cum ergo ui$us comprehendit rem ui- $am $ecundũ quod e$t, & in$tituitur forma in concauitate cõmunis nerui in uno loco, & continua $i- bi adinuicem $ecundum continuation\~e rei ui$æ, & punctus rei ui$æ, qui e$t $uper radialem axem, li- cet non fuerit $uper axem cõmunem, uidetur tamen in loco propinquiori axi communi, quàm $it in $uo uero loco: tunc puncta re$idua etiam uidentur in loco propinquiori axi communi, quàm $int in $uo uero loco: quia $unt continuata cum parte, qu{ae} e$t apud extremum axis: & $i axes amborum ui- $uum concurrerintin aliqua re ui$a extra axem communem: uidebitur tunc illa res in loco propin- quiori communi axi, quàm $it in $uo loco uero. Hoc tamen rarò accidit, quia cum axes ui$uales con currerint in aliquo ui$o: tunc ut plurimũ axis communis tran$ibit per illud ui$um: quia rarò axes amborum ui$uum concurrunt in aliquo ui$o extra axem communem, ni$i per laborem aut impedi- mentum cogens ui$um ad hoc: unde hæc di$po$itio non e$t ui$ibus a$$ueta, quia $i e$$et talis di$po$i- tio ui$ibus multum a$$ueta: tunc ip$a accideret in omni ui$ione uel in pluribus: quod tamen non e$t uerum. Patet itaq; propo$itum.

36. Omnium ui$ibilium $ecundum $ui longitudinem ante oculos exten$orum: quæ $unt à de- xtris in $ini$tram, & quæ in $ini$tris, ad dextr am educi uidentur partem Euclides 12. th opt.

Sint duo ui$ibilia $ecundũ $ui longitudin\~e ante oculos exten$a, quæ ex\~epli cau$$a $int {ae}quidi$tan- tia: & $int a b & d g: $it\’q; centrũ ui$us e: ducãtur\’q; lineæ ad puncta illorũ ui$ibi$iũ: in dexteriore qui- d\~e parte, qu{ae} $it a b, ducãtur line{ae} e b, e c, e k, e a: & in $ini$teriore, qu{ae} $it g d, ducãtur lineæ e d, e z, e i, LIBER QVARTVS. e g. Dico, quòd line{ae} e z, e i, e g uidentur qua$i in part\~e $ini$trã productæ, & lineæ e c, e k, e a uidentur qua$i protractæ in part\~e dextrã. Sit enim linea e d perpendicularis $uper lineã d g, & linea e b per- pendicularis $uper lineam b a: erit ergo per 19 p 1 linea e d breuior omnibus lineis e z, e i, e g: & linea e b breuior omnibus lineis e c, e k, e a. Lineæ ergo e d & e b minimam à ui$u denotabunt di$tantiam linearũ g d & a b: $ecundum illas ergo g a i k z c d e b lineas per$ectior $it ui$io partiũ rerum ui$arum, quibus incidunt per 23 huius: linea ergo e d apparebit dexterior omnibus lineis $uo ui$i- bili incidentibus, & linea e b $ini$terior omnibus lineis $uo ui$i- incidentibus: illis quoq; lineis propin quis incidentes mutabunt $i- tus di$po$itionem $ecundum rece$$um ab illis lineis: erit\’q; linea e z dexterior quàm linea e i, & linea e i dexterior quàm linea e g. Palàm ergo, quoniam linea e g uidetur in $ini$tra à linea e i, & linea e i $imi- liter uidetur in $ini$tra à linea e z. Eodem quoq; modo uidebitur li- nea e a in dextram educi à linea e k, & linea e k uidetur in dextram e- duci à linea e c: punctum ergo z plus approximat ad $ini$tram quàm punctum d, & punctum i plus quàm punctum z, & punctum g plus quàm punctum i. Tota ergo linea d g uidetur $ini$trari, & tota linea b a uidetur dextrari: quoniam puncto b exi$tente $ini$tro, punctum c uidetur plus dextrum illo, & item punctum k plus dextrum puncto c, & punctum a plus dextrum puncto k. Patet ergo propo$itum: quo- niam $imiliter e$t in quibuslibet alijs punctis demon$trandum: quæ enim $ub dexterioribus radijs uidentur, dexteriora apparent, & quæ $ub $ini$terioribus $ini$teriora, ut patet per 1 $uppo$itionem hu- ius. Hæc autem omnia ideo accidunt, quia lineæ parallelæ $ecundum remotiores $ui â ui$u partes concurrere uidentur per 21 huius. Et hoc e$t propo$itum.

37. Super$icierum $ub oculo iacentium, remotiores à ui$u, altiores uidentur. Euclides 10 theo. opticorum.

Sit centrum ui$us a in altiori $itu collocatum, quàm $uper$icies rei ui$æ, in qua $int lineæ b e, e d, d g: ducantur\’q; line{ae} a b, a e, a d, a g: $it\’q; cau$$a exempli $itus talis, ut linea a b $it perpendicularis $u per lineam b g, in qua collocantur lineæ b e, e d, d g: quoniã in alijs $itibus maior e$t diuer$itas. Dico quòd linea d g altior uidetur quàm linea d e, & linea a i t k b z e d g d e altior quàm linea b e. Sumatur enim in linea b e, punctus z, à quo ducatur per 11 p 1 linea z i perpendi- cularis $uper lineam b e. Quoniam ergo punctorum formæ g, d, e procedentes ad ui$um, primò pertran- $eunt lineam z i, quàm perueniant ad punctum a cen trũ ui$us: $it, ut linea g a $ecet lineam z i in puncto i, & linea d a in puncto t, & & linea e a in pũcto k. Quia ergo punctus i eleuatior e$t puncto t, & punctus t puncto k: ideo quòd linea a t maior e$t quàm linea a i, & linea a k maior <004> linea a t per 19 p 1: & in linea, in qua e$t punctum i, e$t etiam punctum g, & in linea, in qua e$t punctum t, e$t etiam punctũ d, & in linea, in qua e$t punctum k, e$t etiam punctum e: per com- prehen$ionem uerò punctorum d & g uidetur linea d g: & per puncta e & d uidetur linea e d: palàm, quo niam linea g d eleuatior apparebit quàm linea d e: & $imiliter d e apparebit eleuatior quàm linea b e. Cuius enim pũcti forma multiplicando $e ad ui$um magis eleuatur, hoc altius apparet ui$ui per 1 $uppo$ition\~e huius, quia in altiori $itu offertur ui$ui, & $ecundum illum modũ $iguratur in $uper$icie ui$us. Patet ergo propo$itũ. Et patet ex hoc, quòd multum exaltato ui$u $uperficies planæ iacentes longè à ui$u concauæ uidebuntur: tendunt enim formæ talium punctorum ad ui$um per modum circumferentiæ circa centrũ ui$us propter æquali- tat\~e uirtutis ui$iu{ae}. Patet ergo propo$itũ.

38. Super$icierum ui$ui $uperiacentium remotiores à ui$u decliuiores uidentur. Euclides 11 theo. opticorum.

Sit centrum ui$us punctus a in inferiori $itu collocatum, quàm $uperficies rei ui$æ, in qua $int li- neæ b e, e d, d g: & ducantur, $icut in præcedenti, lineæ a b, a e, a d, a g: quarum a b $it perpendicularis $uper $uper$iciem $uppo$itam ui$ui. Dico, quòd linea g d apparebit decliuior quàm linea d e, & li- nea d e decliuior quàm linea b e. Ducatur enim, utin præcedente, linea z i æquidi$tans lineæ a b, $ecans lineam g a in puncto i, & lineam d a in puncto c, & lineam e a in puncto k: ergo per ea, quæ in præcedenti diximus, forma puncti g decliuior uidebitur quàm forma puncti d, & forma puncti d VITELLONIS OPTICAE decliuior quàm forma punctie, & forma puncti e de- cliuior quàm forma puncti b: $ed per formas puncto- rum g & d forma lineæ g d occurrit ui$ui, & per for- b z e d g k c i a mas punctorum d & e uidebitur forma lineæ d e, & per formas punctorum e & b uidebitur forma lineæ e b. Quoniam itaq;, ut o$tendimus in præmi$$a, linea a c e$t maior quàm linea a i, & linea a k maior quàm li- nea a c: & $ecundum harum linearum di$po$itionem fit formarum illorum punctorum ui$io. Palàm ergo, quoniá centro ui$us & ip$o ui$ibili $ic di$po$itis, remo tiora à ui$u, decliuiora ui$ui occurrunt, quàm propin- quiora. Et hoc e$t propo$itum.

39. Aequalium magnitudinum $ub eodem ui$u erect arum, remotiores altiores apparent. Euclides 13 tbeo. opticorum.

Sit centrum ui$us punctum i: & $int ui$æ æquales magnitudines, quæ $ub ip$o ui$u $int erectæ, quæ $int a b, g d, e z: $it\’q; a b remotior à ui$u, & deinde g d, & deinde e z: & $it centrum oculi punctum i eleuatius exi$t\~es illis magnitudinibus: ducantur\’q; lineæ i a, i g, i e. Dico, quòd magnitudinum illarum a b ap- paret altiour quàm g d, & g d altior quàm e z. Quoniã enim linea i a e$t eleuation quàm linea i g, & linea i g eleuatior quàm linea i e, & in linea, cui incidunt li- neæ i a, i g, i e $unt pũcta a, g, e, & per 37 huius uid\~etur puncta remotiora ui$ui altiora: pũcta uerò a, g, e $unt i a g e b d z in magnitudinibus a b, g d, e z: ergo magnitudo a b apparet eleuatior quàm ip$a magnitudo g d, & ma- gnitudo g d apparet altior quàm ip$a e z. Quod e$t propo$itũ. Et quia de qualibet magnitudine longio- ri pote$t ab$cindi æ qualis breuiori: ideo in omnibus magnitudinibus $ubiacentibus ui$ui præ$ens tenet demon$tratio: quoniam $emper remotiores uiden- tur altiores, quàm $int $ecundum ueritatem.

40. Aequalium magnitudinum ui$ui $uperere ctarum remotiores decliuiores apparent. Euclides 14 theo. opt.

E$to, $icut in præcedenti, centrum ui$us punctum i: & $int æquales magnitudines, quæ a b, g d, e z, erectæ $uper$tantes ui$ui: $it\’q; a b remotior ui$ui quàm aliæ, & e z propinquior. Dico, quòd magnitudo a b apparet decliuior quàm g d, & ma- a g e b d z i gnitudo g d decliuior quàm e z. Ducantur enim, ut in præmi$$a, line{ae} i b, i d, i z. Quoniam ergo, $icut pa- tet per 38 huius, forma ueni\~es per lineam i b, e$t de- cliuiori modo ui$ui incidens, quàm forma ueniens per lineam id, & forma ui$ui adueniens per lineam i d, decliuiori modo incidit, quàm forma ueni\~es per lineam i z: $ed in linea, cui incidunt lineæ i z, i d, i b, $unt puncta z, d, b, qu{ae} puncta $unt in magnitudini- bus a b, g d, e z. Palàm ergo, quoniam i$tarũ magni- tudinũ illa, qu{ae} e$t a b, decliuior apparet quàm g d, & g d quàm e z. Et hoc e$t propo$itũ. E$t autem uni uer$ale illo modo, quo diximus in præcedenti.

41. Altioris magnitudinis ui$ibilis per uerti cem inferioris a$pectæ, accedente & recedente ui- $u $ecundum lineam uertici inferioris perpendi- culariter incidentem: $emper idem erit exce$$us, non uidebitur autem idem. Euclides 17 th. opt.

Sint duæ ui$æ magnitudines inæquales a b maior, & g d minot: quarum uertices $int a & g: & $it centrum ui$us punctum e: ducatur\’q; linea g e perpendicularis $uper lineam g d, $ecans lineam a b in puncto z. Dico, quòd oculo accedente & recedente $ecundum lineam g e, $emperidem uidebi- tur exce$$us lineæ a b $uper lineam g d, qui exce$$us e$t linea z a. Accedat enim ui$us ad punctum i, propinquius puncto g quàm punctum e, uel remoueatur ad aliud punctum f, remotius quàm pun- ctum e: $emper autem perpendiculariter non incidet forma alicuius punctorum lineæ g d ip$i ui$ui, LIBER QVARTVS. ni$i $ola forma puncti z, in quam cadit perpendiculariter e z: quoniam per 20 th. 1 huius duas lineas eidem $uperficiei ab eodem puncto ductas perpen- a z g i e f b d diculariter in$i$tere e$t impo$sibile: palàm ergo pro po$itum. Videbitur tamen linea a z minui uel augu- mentari $ecun dum diuer$itat\~e angulorum, $ub qui- bus fiet ui$io per 20 huius. Et e$t, ut patet ex pr{ae}mi$- $is, & per 21 p 1, angulus a i z maior angulo a e z, & angulus a e z maior angulo a f z: $ecundum hoc au- tem diuer$ificatur in ui$u quãtitas lineæ a z: $emper tamen illius lineæ a z eadem e$t quantitas in $eip$a. Et hoc e$t propo$itum.

42. Altioris ui$ibilis per uerticem inferioris a$pecti, accedente ui$u $ecundum lineam exce$$ui altioris perpendiculariter incident\~e: maior pars altioris uidetur, recedente uerò ui$u $ecundũ ean- dem lineam minor pars altioris uidetur: $ecundũ aliam uerò lineam accedente uel recedente ui$u, accidit econuer$o. Euclides 16 the. opt.

Sint, ut in præmi$$a, duæ in æquales magnitudines, quæ a b & g d, quarum maior $it a b: & $it cen- trum ui$us in puncto e po$itũ in linea e a, perpendiculariter incidente puncto a, qui $it altior termi- nus line{ae} a b: amb{ae} ergo magnitudines tam a b quàm g d $ubiacebunt ui$ui, cum uertex altioris (qui e$t a) $it in perpen diculari ducta à centro ui$us ad magnitudinem altiorem: $int enim magnitudines a b & g d taliter erectæ, ut punctum a $it altius, quàm punctum g, per- ueniat\’q; forma alicuius punctorũ lineæ a b, quod $it z, per uerticem a i e f i e z g z t i b d line{ae} d g, qui $it g, ad ui$um e: & $it linea, $ecundũ quã aduenit illa for- ma, linea z e. Sub linea itaq; z e uidetur linea z a, pars magnitudinis a b, & tota magnitudo d g, remanet\’q; pars lineæ a b, quæ non uidetur per uerticem g: & h{ae}c e$t linea z b. Accedat autem ui$us propinquius ad punctum a, ut fiat in eadem linea in puncto i. Palàm quoq;, quia in hoc $itu aliquis punctus lineæ a b inferior puncto z peruenit ad ui- $um, qui $it punctus t: & ducatur linea ti per uerticem g ad ui$um: $ub linea ergo it uidetur pars magnitudinis a b, quæ e$t t a, & tota magni tudo g d, remanet\’q; pars lineæ a b, quæ e$t a t, ui$a, Et quoniam linea a te$t maior quàm linea z a, quæ uidebatur ui$u exi$tente remotiore: nece$$arium autem e$t lineamt a fieri maior\~e quàm $it linea z a: ideo quòd angulus ait e$t maior angulo a e z per 16 p 1: illud ergo, quod ui detur $ub angulo ait, e$t maius illo, quod uidetur $ub angulo a e z ք 20 huius: linea ergo a t maior uidebitur: & per 19 p 1 maior e$t quàm linea a z. Et quando linea, in qua e centrum ui$us, perpendiculariter incidit cuicunq; puncto exce$$us lineæ a b $uper lineam g d, eadem e$t demon$tratio. Palàm ergo, quòd accedente ui$u $uperapparens pars lineæ a b $emper fit maior, recedente uerò ui$u fit minor. Et hoc e$t propo$itum primum. Secundum aliam uerò lineam, quæ $it perpendicularis $uper lineam a b, a t z g s i e b d non tamen incidat in punctum a, uel in aliquod punctum exce$$us, $ed in aliquod aliud punctum lineæ a b, ba$sius toto exce$$u lineæ a b $uper lineam g d, ut in punctum f: ui$u accedente uel recedente ac- cidit ecóuer$o. Nam accedente ui$u, totius magnitudinis a b minus uidetur per uerticem g, & recedente ui$u, magis: exi$tente enim ui$u in pũcto e, multiplicabitur ad ui$um forma line{ae} z a, accedente uerò ui$u in punctumi, & ductis lineis e g z & i g t, patet, quòd illæ lineæ $ecabunt $e in puncto g, & non perueniet ad ui$um forma alicuius punctorum lineæ z t, $ed $olùm forma lineæ t a, qu{ae} e$t nece$$ariò mi nor quàm linea z a. Patet ergo propo$itum.

43. Inæqualium ui$ibilium uerticibus in eadem linea æquidi- ctante horiz onti existentibus: pars inferior longioris ui$a per ba- $im breuioris accedente ui$u $ecundum lineã exce$$ui longiouis per pendiculariter in cidentem, maior pars longioris unidebitur: rece- dente uerò ui$u $ecũdũ eand\~e lineã minor pars altioris uidebitur: $ecundũ aliam uerò lineam accidit econuer$o. Euclides 15 th. opt.

Hæc non differt in hypothe$i à præmi$$a, ni$i quòd in illa ui$ibilia $unt $ubiac\~etia ui$ui, in hac uerò $unt $uper$tantia. Sint ergo inæqua les quantitates a b & g d: quarũ maior fit a b: $int\’q; uertices illarum VITELLONIS OPTICAE quantitatum b & d: & fit linea b d æ quidi$tans horizonti: $it\’q; centrum ui$us in puncto e: multipli- cetur\’q; forma alicuius puncti lineæ a b, ut z, per ba$im g ad ui$um e: $iat\’q; linea z g e: $ub linea ergo z e continentur z a & g d: & b z non apparet ui$ui, propter interpo$i- b d f i e t z g f z i r t a tionem ip$ius g d: inferior uerò ip$ius pars decliuior apparet per 40 huius, remanet\’q; a z pars lineæ a b apparens ui$ui ultra lineam g d. Accedat ergo ui$us, & $it in puncto i propin quiori ad punctum a, in ead\~elinea perpen diculari $uper lineã a b, quæ $it e f: hæc enim æ qui- di$tat uerticibus ip$orum ui$orum, qui $unt b & d: multiplicabitur\’q; forma alicuius puncti lineæ a b per punctum g ad ui$um exi$tentem in puncto i: $it ille punctus t: & ducatur linea t g i: $ub linea ergo t g i cótinentur magnitudines g d & t a: $ub linea uerò e z cõtinentur ma- gnitudines z a & g d. Et quoniam linea t z a maior e$t quàm linea z a, cum angulus tifper 16 p 1 $it maior angulo z e $iergo per 20 huius li- neat fui$a $ub angulo tif maior e$t quàm linea z f, ui$a $ub angulo z e f. Et non $olùm apparebit ui$ui maior: imò & erit maior. Quia itaq; ambabus lineis t f & z f communis e$t linea f a: pater, quòd tota linea t a erit maior quàm linea z a. Et hoc e$t primum propo$itorum. Siue rò ui$us accedat non $ecundum lineam e f, $ed fiat in punctoi, extra illam lineam e f, in alia linea e f perpendiculariter incidente lineæ a b, non in aliquod punctorum exce$$us a b $uper d g: dico, quòd acci det econuer$o: erit enim linea t a minor quàm linea z a. Ducantur e- nim lineæ t g i, & a i, & i z: palàm quoq; per 32 p 1 quoniam angulus a i t eft minor angulo a i z: ideo quia angulus a z i minor e$t angulo a t i per 21 p 1, & angulus t a i communis: ui$um ergo à puncto i $ub angulo a i t e$t minus ui$o $ub angulo aiz: linea ergo z a e$t maior quàm linea t a: & uidetur maior. Et hoc accidit, cum centrum ui$us col- locatur $upra lineam primã e f, & altius quàm illa: $i uerò ip$um collocetur inferius, quàm linea pri- ma e f: tunc accidit econuer$o. Patet ergo propo$itum.

44. In $itus ui$ione uirtutidi$tinctiuæ error accidit ex intemper ata di$po$itione octo circun- $tantiarum cuiuslibet rei ui$æ. Alhazen 24. 35. 46 53. 58. 64. 66. 69 n 3.

Exintemperantia enim lucis uirtuti di$tinctiuæ error accidit in ui$ione $itus: ut $i in nocte non ob$cura aliquid modicè declinet à ui$u: tunc æ$timabitur in eo $itus rectitudo propter debilitatem lucis egre$$am à temperamento. Nimia etiam remotio in ui$ione $itus error\~e inducit: unde res ui- $ibilis ualde remota à ui$u & obliquata ui$ui, uidebitur directè oppo$ita per 34 huius. Intemperátia etiam $itus error\~e facit in $itus ui$ione: cadente enim axe ui$uali in corpus $ecundum temperatã di- $tantiã ui$ui oppo$itũ, & $um pto alio corpore multũ elongato ab axe, & declinato modicũ $uper li- neam imaginatã, $uper quã cadit axis radialis perpendiculariter: tunc ui$us non cõprehendit corpo ris illius declinati on\~e propter $itum à temperamento egre$$um: quoniã non fit plena cõprehen$io corporũ longè ab axe po$itorũ per 45 th. 3 huius: & ita propter hunc error\~e res obliquè ui$ibus op- po$ita, iudicabitur oppo$ita directè. Intemperãtia etiã magnitudinis in ui$ione $itus e$$icit error\~e: quoniã granũ $inapis $i fuerit ab oculis declinatũ, uidetur tam\~e ac $i e$$et directè oppo$itũ: quia eius declinatio propter paruitat\~e corporis non pote$t compreh\~edi: nec enim e$t $en$ibilis declinatio hu ius grani ab axe cõmuni orthogonaliter $uper ui$ibilia cadente, $ecundũ quã di$cernitur obliquatio rerum ui$arũ re$pectu ui$us: quoniã nõ plenè di$cernitur diftãtia inter hunc axem & extremitates grani, quæ e$t qua$i minima linea omniũ linearũ $en$ibiliũ. Ex int\~eperata etiã $oliditate error acci- dit ui$ui in $itu: quoniã $i corporis rari $itus, re$pectu ui$us, fuerit declinatus, occultabitur eius decli natio, & $i fortè uidebitur directè opponi: una enim extremitatũ illius corporis eiu$d\~e di$tantiæ re- putabitur cũ alia, cũ tamen $int diuer$æ: & accidit hoc propter nimiã raritat\~e non terminant\~e certi- tudinaliter ui$ibil\~e operation\~e, & inducent\~e incertitudin\~e in quãtitate anguli, $ub quo fit ui$io. In- temperata etiã diaphanitas ef$icit error\~e ui$ui in $itu: $i enim corpus ui$um $ub parua obliquatione obijciatur ui$ui in aere den$o ob$curo, $icut accidit in horis cre pu$cularibus, occultabitur declina- tio, qu{ae} pateret in aere lucido claro: fit ergo error in $itu oppo$itiõis corporis ad ui$um. Exint\~epera ta etiã quantitate t\~eporis fit error ui$ui in $itu: ut cũ aliquid occurrit ui$ui $ubitò, q<001> $tatim recedit: hoc enim fortè directè ui$ui oppo$itũ reputabitur obliquatũ, uel ecõuer$o, $i fuerit obliquatũ ui$ui, fortè reputabitur rectũ. Ex di$po$itiõe etiã ui$us in $anitate fit error ui$ui in $itu: ut $i ab aliquãta di $tãtia licet t\~eperata corpus aliq<001> in oppo$itiõe ui$us modicũ obliquetur: tũc enim ui$u exi$t\~ete de- bili, nõ $entietur obliquatio, cũ tam\~e $it obliquatio $ecũdũ uerũ. Sic ergo in $itus ui$iõe uirtuti di$tin ctiu{ae} error accidit ex int\~eperata di$po$itiõe octo circũ$tantiarũ cuiuslibet rei ui$æ, ut {pro}ponebatur.

45. Figura circularis $uper$icieirei ui$æ cõprehenditur à ui$u ex circularitate formæ in $uper- ficie oculi de$criptæ. Alhazen 32 n 2.

Quoniã enim form{ae} rerũ de$cribuntur in oculi $uperficie, $icut $unt in rebus extrà per 17 th. 3 hu- ius, & formæ $ecundũ figurã, qua de$cribuntur in oculi $uperficie, $ic perueniũt ad neruũ cõmun\~e, & circa eius punctũ mediũ figurantur, prout patet ք 37 th. 3 huius, & ibi cõprehenduntur ab anima $ecundũ $ui di$po$ition\~e: tũ c patet, quòd forma circularis $uperficiei rei ui$æ cõprehenditur à ui$u LIBER QVARTVS. ex circularitate form{ae} in $uperficie oculi de$criptæ: & $imiliter comprehen ditur circularitas cuiu$- libet partium $uperficiei reι ui$æ. Certificatur autem hæc ui$io, cum uidens mouerit axes radiales ambos uel $altem unum per totam circum ferentiam rei ui$æ aut partis eius: $ic enim ex certifica- tione $ituum terminorum formæ comprehen det figuram $uperficiei circularem ex con$imilitudi- ne uel di$similitu dine partium, & ex compreh\~e$ione æqualιtatis uel in æqualitatis remotionis par- tium rei ui$æ ab inuicem, uel æ qualitatis uel linæ qualitatis eleuationum, partium rei ui$æ ad inui- cem. Patet ergo propo$itum.

46. Figura rectilinea comprehenditur à ui$u ex $uorum terminorum comprehen$ione.

Quoniam enim figura e$t, quæ termino uel terminis continetur: termini autem figurarum $unt lineæ, quæ comprehenduntur ui$u non decepto $ecũdum ip$arum $ituationem in $uperficie oculi, ficut e$t ip$arum $ituatio in $uperficie rei ui$æ. Palàm ergo, quoniam ip$arum comprehen$io à ui$u e$t comprehen$io figuræ in ip$is contentæ, cuius $unt termini illi. Et hoc e$t propo$itum. Sed in his omnibus ui$us requirit di$tantiam mediocrem & alias circum$tantias ui$ui debitas, ne fortè fiat deceptio in ip$o ui$u.

47. Planicies $uper$iciei $ecũdum mediocrem di$tantiam directè ui$ui oppo$itæ comprehen- ditur ex comprehen$ione æqualitatis remotionis partium, & con$imilitudinis ordinationis ip$arum. Alhazen 35 n z.

Sit $uperficies plana a b c d: & $it centrum ui$us e: à quo ducatur $uper datam $uperfici\~e perpen. e a b f c d dicularis e f. Et quoniam $up erficies illa e$t directè ui$ui oppo$ita, $ic quòd perpendicularis incidat in medium punctum illius $uper- ficiei: producantur quoq; ad puncta æqualiter à puncto f di$tantia, qu æ $unt a, b, c, d lineæ e a, e b, e c, e d: & continuentur lineæ f a, f b, f c, f d: quæ omnes erunt æquales propter æqualem ip$arum di$tan- tiam à puncto f. Cum ergo omnes illæ lineæ f a, f b, f c, f d per defini- tionem lineæ $uper $uperficiem erectæ fint perpendiculares $uper lineam e f: patet per 4 p 1, quoniam lineæ e a, e b, e c, e d $unt æqua- les: $up erficies itaq; a b c d $ecun dum illos eius terminos æ qualiter di$tat à ui$u. Sed & alijs lineis ad puncta alia æqualiter di$tantia à puncto f, à centro ui$us productis, illarum omnium ad inuicem ex præmi$sis concluditur æqualitas. Tota ergo $uperficies $ecundum omnes $ui partes æ qualiter di$tantes ex omni parte à puncto f con- fimiliter peruenit ad ui$um. Tota itaq; $uperficies uidebitur plana ex comprehen$ione æqualitatis remotionis partium & con$imili- tudinis ordinationis ip$arum. Et hoc e$t propo$itum. Sed & $i axes radiales non incidant ad medium, nihilominus per eadem demon- $trandum: $emp er enim termini cuiuslibet partiũ $uperficiei erunt lineæ rectæ. Superficies ergo e$t plana.

48. Conuexitas $uperficiei comprehenditur à ui$u ex propin- quit ate partium mediarum, & æquali remotione partium extremarum. Alhazen 33 n 2.

Cum enim $uperficies conuexa directè ui$ui opponitur $ecundum mediocrem di$tantiam: tunc cum omnis regularis $up erficies conuexa $it pars alicuius $phæræ uel columnæ rotundæ uel pyra- midis rotundæ per 118th. 1 huius: $i $uperficies illa oppo$ita ui$ui $it pars $phæricæ $uperficiei, & fi à centro ui$us ad centrum $phæræ linea recta ducatur, aliæ\’q; præter centrum lineæ plurimæ produ- cantur, patet per 72 th. 1 huius, quòd $ola illa, quæ centrum tran$it, e$t perpendicularis $uper $ph{ae}ræ $uperficiem: aliæ uerò omnes lineæ à centro ui$us ad illam $phæricam $uperficiem productæ, $unt $uper illam $uperfici\~e incidentes obliquè. Erit ergo per 8 p 3 pars perpendicularis interiacens cen- trum ui$us & $up erficiem $phæricam omnium aliarum linearum breui$sima: ergo $ecundum illam fit maxima approximatio ad ui$um, & omnes circuli $ecundum punctum, cui incidit illa perpendi- cularis, in $up erficie $phæræ de$cripti, erunt ui$ui proximiores $ecundum illa puncta, & $ecun dum alias lineas obliquè incid\~etes, erunt ui$ui remotiores: quia omnes lineæ perpendiculari lineæ pro- pinquiores modo dicto, $unt minores remotioribus: quoniam per prænominatam 8 p 3 omnes li- neæ à centro ui$us ad peripherias maiorum circulorũ productæ $unt longiores lineis propinquio- ribus ip$i perpendiculari. Ex comprehen$ione ergo propin quitatis partium mediarum in illa $u- perficie, & remotione aliarum partium, quæ $unt in terminis, apparet maior eleuatio partium me- diarum quàm extremarum: & ex inæqualitate eleuationis partium $up erficiei uidetur gibbofitas; quæ e$t cau$$a conuexitatis. Et quoniam in omnl puncto $uperficiei $phæricæ $ecant $e circuli ma- gni tran$euntes per centrum illius $phæræ, & omnes lineæ, qu{ae} lineæ breui$simæ utrinq; æquè ap- propinquant, $unt æquales: ideo $ecundum æ qualem di$tantiam à perpendiculari fit æqualitas o- mnium linearum ad $phæræ $uperficiem à centro ui$us productarũ, & apparet deflexio gibbofita- tis æqualis $ecundũ omnem differentiam po$itionis in $phæricis $uperficiebus, maximè cũ directè ui$ibus opponũtur. Si uerò $up erficies cõuexa oppo$ita ui$ui fuerit pars $uperficiei columnaris aut pyramidalis rotundarum: tunc fit ead\~e dem onftratio productis lineis perpendicularibus à centro VITELLONIS OPTICAE ui$us ad centrum circuli ba$is, & omnium circulorum æquidi$tantium ba$i: alijs quoq; lineis pluri- bus ab eodem c\~etro ui$us non perpendiculariter per eo$dem circulos productis, complebitur de- mon$tratio ut prius. Et $i illæ $uperficies quomodocunq; obliquatæ $int ad ui$um, nihilominus per eadem e$t demon$trandum: $iue enim gibbo$itas $it inferius, $iue $uperius, $iue à dextris, $iue à $ini- $tris, $emper partium in æqualis di$tantia propo$itum cõcludet: & de irregularibus conuexitatibus per eadem fit comprehen$io in ui$u. Patet ergo propo$itum. Vniuer$aliter enim conuexitas com- prehenditur à ui$u ex propin quitate partiũ mediarum, & æquali remotione partium extremarum. Patet ergo quod proponebatur.

49. Concauit as $uperficiei compreh\~editur à ui$u ex remotione partium mediarũ, & æquali appropinquatione partium extremarum. Alhazen 34 n 2.

Per eadem, quæ in præcedenti, demon$trandum, & $imiliter per omnem $uperficiem tran$cur- rendum. Semper enim per 8 p 3 linea à centro ui$us ad centrum $phæræ uel circuli producta, quia continet diametrum, e$t omnium longi$sima, & $ibi propinquiores $unt cæteris remotioribus ma- iores, & omnes æqualiter ab illa di$tantes $unt æquales. Ergo termini illius $uperficiei uidebuntur arcuales, & tota $uperficies uidebitur concaua. Et $i illæ $uperficies fint obliquatæ ui$ibus, $iue ar- cualitas terminorum $it $uperius, $iue inferius, $iue à dextris, $iue à $ini$tris, $emper per eandem de- mon$trandum. Patet ergo propo$itum.

50. Centro for aminis uueæ & circumferentia circuli in ead\~e $uperficie exi$t\~etibus: circum- ferentia ad aliquam rectitudinem accedere uidetur. Euclides in præfat. & 22 the. opt.

E$to foraminis uueæ centrum a, in eadem exi$tens $uperficie cum circumferentia circuli ui$i: ita k g c i z e d b a quòd plana $uperficies circuli imaginata produci $ecet $phærã oculi trans centrum: illius quoq; circumferentia circuli $it g b: & eius cen- trum k: & à punctis illius circumferentiæ ducantur lineæ plurimæ ad ui$um a: quæ $int b a, d a, e a, z a, i a, c a, g a: $ecũdum quas lineas formæ illorum punctorum accedunt ad ui$um. Dico, quoniam arcus b g ap- paret ui$ui linea recta. Ducãtur enim à centro illius circuli lineæ k b, k d, k e, k z, k i, k c, k g. Quoniam ergo linea k b uidetur $ub angulo k a b, & linea k d $ub angulo k a d, qui minor e$t angulo k a b, quoniam pars eius e$t: ergo per 20 huius palàm e$t, quia maior uidebitur linea k b quàm k d, quoniam $ub maiori angulo uidetur: & $imiliter uide- bitur linea k d maior quàm k e, & k e maior quàm k z: & eodem modo uidebitur k g maior quàm k e, & k c maior quàm k i, & k i maior quàm k z. Punctus quoq; z inter omnes datos punctos, quoniã cadit in per- pendiculari a k, propinquior uidebitur centro k quàm punctus e, & punctus e propinquior quàm punctus d, & punctus d propinquior quàm punctus b. In apparentia ergo ui$ui aliquid tollitur de curui- tate arcus z b. Et $imiliter e$t de arcu z g. Accedere ergo uidetur ad rectitudinem arcus g b. Cum enim per 8 p 3 linea a z fit omnium bre- ui$sima, & linea a e breuior $it quàm linea a d, & a d breuior quàm a b: patet quòd in ui$u aliquid remanet curuitatis appreh\~e$æ & $ic non uidebitur tota peripheria linea recta, $ed ad rectitudinem aliqualiter accedens. Patet ergo propo$i- b e c d a tum. Ethoc id\~e accidet cõuexis & concauis partibus peripheriæ cir- culi ui$ui oppo$itis. Quia $i à puncto z ducatur aliqua perpendicula- ris $uper lineam a z: tunc non e$t differentia magna ui$ui inter arcum & lineam contingentem, cum per maius $patium ui$io fit, propè uerò exi$tente ui$u, maior percipitur conuexitas uel concauitas: & magis apparet. Quòd $i centrum oculi & circulus non $int in eadem $uper- ficie: tunc circum ferentia circuli uidebitur curua: quoniam tũc $itus partiũ line{ae} circularis $ecundũ $uũ $itũ & e$$e propriũ peruenit ad ui- $um, & depingitur $ecundũ $uã curuitat\~e in $uperficie illius, licet quã- doq; forma $phærica illius curuitatis $ecundũ aliquid $ui uarietur.

51. Circulo centro<006> for aminis uueæ in eadem $uperficie exi$ten- tibus: minus $emicirculo uidetur.

Sit centrum foraminis uueæ, quod $it punctum a: & circulus b c d, cuius diameter b e, in eadem $uperficie plana exi$tentia: uideatur\’q; arcus b c d: dico, quòd minus $emicirculo uidebitur. Si enim arcus b c d, qui uidetur, $it $emicirculus, nece$$e e$t lineas a b & a e $uper ter- minos diametri b e incidere: aliter enim $emicirculus non uidebitur: quia $ola diameter e$t, quæ diuidit circulũ per æqualia per 17 defin. 1. Ergo lineæ a b & a e $emper contingent circulum, quoniam à termi- nis diametri producuntur. Palàm ergo per 18 p 3, quoniam utraq; cum diametro b e angulũ rectum contin ebit: triangulus itaq; a b e habebit duos angulos rectos, & tertium angulum: quod e$t cõtra 32 p 1, & impo$sibile. Patet ergo propo$itum.

LIBER QVARTVS. 52. Centro foraminis uueæ exi$tente in circumferentia uel in centro circuli: totalis circu- lus uidetur.

E$to centrum $oraminis uueæ punctum a in circumferentia circuli d b: dico, quòd totus circulus d b uidebitur. Nec enim e$t punctus in b a a d toto circulo, à quo ad quemlibet punctum datum in circumferentia duci linea recta non po$sit. Et quia, ut o$ten$um e$t per 2 th. 3 huius, po$sibilile e$t$olum illud uideri, inter cuius quodlibet pũctum & ali quod punctum $uperficiei ui$us produci lineas rectas e$t po$sibile: formæ ergo omnium punctorum circuli pertingere po$$unt ad ui$um nullo extrin$eco corpore impediente. Totalis ergo circulus $ecundũ omnia $ua puncta uideri poterit c\~etro foraminis uueæ in illius circuli circumferentia collocata. Et quoniam centro foraminis uueæ in cen- tro circuli exi$tente, adhuc omnes lineæ ducibiles à punctis circum- ferentiæ ad centrum, ad ip$um ui$um perueniunt: patet, quia fiet ui$io $ecundum lineas, quæ à punctis circum ferentiæ ducũtur ad centrum ui$us per 17 th. 3 huius. Ethoc e$t propo$itum.

53. Exi$tente c\~etro oculi in linea à centro circuli $uper $uperficiem circuli erecta, aut in ter- mino lineæ obliquè $uperficiei circuli in$i$t\~etis æqualis $emidiametro: omnes diametri in eodem circulo productæ æquales ui$ui apparebunt. Euclides 35. 36 th. 0pt.

E$to circulus d e g: cuius centrum $it punctus a: erigatur\’q linea a b perpendiculariter $uper cir- culi $uperficiem: & ducãtur diametri e z & d g: ponatur\’q centrũ oculi in linea a b in puncto b. Di- co, quòd omnes diametri ductæ trãs $uperficiem circuli, ut e z & d g, æ quales adinuicem uidebun- tur. Ducantur enim à centro ui$us line æ b e, b z, b d, b g. Quoniam ergo linea z a æqualis e$t lineæ a b e d a g f k h v g, & linea b a cõmunis ambobus trigonis a b g & a b z, anguli quoq; ad centrum a $unt æ quales, quia recti: palàm per 4 p 1, quoniam linea b g e$t æ qualis lineæ b z, & angulus a b z e$t æqualis angulo a b: g: & eodem modo erit angulus a b d æqualis angulo a b e, & omnes an- guliad centrum ui$us inter $e $unt æquales. Ergo per 19 uel 20 huius omnes $emidiametri æquales apparent: imò & ip$i diametri: $ub æ- qualibus enim angulis omnia uid\~etur, & totales diametri & partes. Sed & omnes lineæ æquidi$tantes alteri diametrorum, uidentur mi- nores diametris, & remotiores minores propinquioribus: quod pa- tet ducta linea $h æquidi$tante diametro d g, cuius medio pũcto, qui $it k, incidat linea b k: & copulentur lineæ b f, & b h, & a k: erit\’q linea a k per 3 p 3 per p\~edicularis $uper lineam fh, quoniam ueniens à cen- tro diuidit ip$am per æqualia in puncto k. Quia itaq; in trigonis b a g & b k h anguli b a g & b k h $unt recti, ut b a g ex hypothe$i, & b k h per 22 th. 1 huius: linea uerò b k e$t maior quàm linea b a, & linea a g e$t maior quàm linea k h: ergo per 37 th. 1 huius angulus b h k e$t ma- ior angulo b g a: $imiliter quoq; angulus b f h erit maior angulo b d a. In trigonis ergo d b g & f b h erit per 32 p 1 angulus d b g maior angu- lo f b h: diameter ergo d g uidebitur maior, quàm linea fh per 20 hu- ius. Similiter quoq; e$t de omnibus alijs lineis æquidi$tantibus dia metro, re$pectu ip$ius diametri, & ad inuicem demon$trãdum. Quælibet ergo minor uidebitur mi- b g e a z d nor: & ita totus circulus uidebitur propriæ $uæ figur{ae}. Et hoc e$t pro- po$itum primum. Si uerò linea a b non $it erecta $uper circuli $uperfi- ciem, $ed obliquè in$i$tens, $it tamen æqualis $emidiametro circuli, ad huc diametri d g & z e uidebuntur æquales, centro ui$us in puncto b exi$tente. Gum enim ex hypothe$i z a $emidiameter $it æqualis lineæ a b, & $emidiameter a e æqualis $it eidem: palàm quoniam lineæ a b, a e, a z $unt æquales. Si ergo $uper punctum a ad quantitatem $emidia- metri e a circulus de$cribatur in $uperficie, in qua $unt lineæ a e, a z, a b: palàm quia tran$ibit per punctum b: ergo per 31 p 3 angulus e b z e$t rectus: $imiliter quoq; o$tendetur angulum g b d e$$e rectum. Et quia omnes anguli recti $unt æquales, & $ub æqualibus angulis ui$a æqua- lia appar\~et ք 19 uel 20 huius: palàm quia omnes diametri illius circu- li quotcũq; ducãtur, {ae}quales apparebũt, $icut diameter e z ip$i diame- tro g d: q<001> e$t {pro}po$itũ $ecundũ. Patet ergo totũ, quod {pro}ponebatur.

54. Centro oculi exi$tente in termino lineæ maioris uel minoris $emidiametro circuli (cuius $uper$iciei in centro obliquè e$t in$i$tens) æquales angulos cum diuer$is $emidiametris continen- tis: illæ diametri eiu$dem circuli æquales apparebunt. Euclides $ecunda parte 30 & 38 th. opt.

Sit circulus b g d e, cuius centrũ a: & $it centrũ ui$us z: $it\’q linea a z nõ erecta, $ed obliquè incid\~es VITELLONIS OPTICAE $uperficiei circuli maior uel minor $emidiametro d a: $it tam\~e angulus d a z æqualis angulo g a z, & angulus e a z æqualis angulo b a z. Dico, quòd adhuc diametri d b & e g uidebuntur æquales: quo- e z b a d g z niam enim linea d a e$t {ae}qualis a g, & linea z a communis duobus trigo- nis z a g, & z a d: e$t quoq; ex hypothe$i angulus d a z æqualis angulo g a z: erit per 4 p 1 linea z d æqualis lineæ z g, & angulus d z a æqualis an- gulo g z a: ergo per 19 uel 20 huius ba$is d a uidebitur æqualis g a ba$i. Similiter quoq; per eadem demon$trabitur angulus e z a æqualis angu- lo b z a: & per pr{ae}mi$$a uidebitur linea e a {ae}qualis lineæ b a, & angulus a z g æqualis e$t angulo a z d, & angulus e z a æqualis angulo a z g: ideo accidit ut totalis angulus d z b totali angulo e z g $it æqualis. Videbitur ergo, ut $uprà patuit, diameter d b æqualis diametro e g. Quod e$t pro- po$itum. Po$sibile e$t autem hoc in quibu$dam diametris accidere, non autem in omnibus diametris circuli taliter ui$ui oppo$iti: nõ ergo opor- tet quòd omnes diametri illius circuli uideantur æquales: non enim illæ diametri uidebuntur æquales, cum quibus linea z a facit angulos in æquales.

55. Sirect a linea à centro circuli centro oculi incidens, non eri- gatur $uper $uperficiem circuli, ne<005> æquales angulos contineat cum diametris, $it<006> maior $emidiametro: diametri illius circuliinæqua- les apparebunt: totus<006> circulus uidebitur $ectio columnaris: cuius maxima e$t diameter illa, cui perpendiculariter incidit linea radia- lis. Euclides 37. 39 th. opt.

E$to circulus a g b d: cuius centrum z: & ducantur diametri a b & g d, $e ad inuicem orthogona liter $ecantes: $it\’q; centrum oculi e: à quo ducatur linea e z ad centrum circuli, diametro quidem d g $ecundum angulum rectum perpendiculariter incidens, diametro uerò a b obliquè, ut acciderit: non erit ergo linea e z erecta $uper $uperficiem circuli: $it\’q linea e z maior $emidiametro circuli. Dico, quòd diametri a b & g d uidebuntur in æquales: & g d maxima quidem, a b uerò minima: & quòd totus circulus uidebitur altera parte longior, ueluti $ectio columnaris: & quòd omnis dia- meter circuli, quæ ceciderit propior minimæ, uidebitur minor remotiore ab illa: & duæ tãtùm dia- metri apparebunt æquales, ut illæ, quæ æqualiter di$tant ab utraq; parte à minima diametro, quæ e$t a b. Quoniam enim diameter g d e$t perpendicularis $uper diametrum a b, & $uper lineam z e, palàm per 4 p 11 quoniam linea g z e$t perpendicularis $uper $uperficiem, in qua $unt lineæ e z & a z, uel a b: ergo per 18 p 11 erit circulus propo$itus orthogonalis $uper $uperficiem e a z: ergo & e a z $uperficies erecta erit $uper circulum. Ducatur ergo à puncto e $uper $uperficiem circuli a b g d k e a i p g z d s b t perpendicularis per 11 p 11: hæc itaque per præmi$$a ne- ce$$ariò cadet in communem $ectionem illarum $uper- ficierum, quæ e$t a b: cadat ergo, & $it e k: & ducantur li- neæ e a, e b, e d, e g: producatur\’q diameter circuli alia, quæ $it s z p, con$tituens cum diametro g z d angulum p z d æqualem angulo g z s per 15 p 1: ducatur quoque alia diameter, quæ $it i z t: ita ut anguli g z s & i z g $int æquales. Quia itaque à puncto e in aere dato $uper $ub- $tratam planam $uperficiem circuli, qui e$t a b g d, du- cuntur duæ lineæ, una perpendiculariter, quæ e$t e k, & alia obliquè, quæ e$t e z, & inter puncta incidentiæ, quæ $unt k & z, copulatur linea z k in ip$a $uper$icie: patet per 39 th. 1 huius, quoniam angulus e z k minimus e$t o- mnium angulorum $ub linea e z obliquè incidente, & $emidiametro z i uel z p, uel quacunq; alia diametro con tentorum: & omnis angulus i$torum angulorum pro- pinquior angulo e z k e$t minor remotiore: duo quo que anguli ex utraque parte æqualiter angulo e z k appro- ximantes, ut $unt anguli i z k, & p z k inter $e $unt æqua- les. Copulentur quoq; lineæ e i, e s, e p, e t. Quia itaq; ab angulis duorũ trigonorũ d e g & t e i, ad medietates $ua- rũ ba$iũ æqualiũ in trigono d e g linea e z perp\~edicula- riter incidit, & in trigono tei obliquè, e$t\’q; linea e z ma ior medietate utriu$q; illarũ ba$ium g d, & i t, ut patet ex hypothe$i: ergo ք 49 th. 1 huius erit angulus d e g maior angulo t e i: ergo ք 20 huius diameter d g uidebitur ma- ior diametro i t. Et quoniã, ut o$t\~e$um e$t ք 39 th. 1 huius, angulus e z i e$t maior angulo e z a, ambabus uerò ba$ib. trigonorũ t e i & a e b, quæ $unt i t & a b, ad LIBER QVARTVS. medium punctum, quod e$t z, linea e z incidit obliquè: erit per 51 th. 1 huius angulus t e i maior an- gulo a e b: ergo per 20 huius diameter it uidebitur maior diametro a b. Et $ic per præmi$$a de quali- bet aliarum diametrorum, re$pectu diametri a b, e$t demon$trandum. Omnium itaq; diametrorum circuli propo$iti g d uidetur maxima, & a b minima: & propinquiores diametro g d uid\~etur maio- res, & propinquiores diametro a b uidentur minores: duæ quoq; diametri æqualiter hinc inde di- $tantes, uidentur æquales, ut $untit & s p per præmi$$am: quoniam propter æqualitatem angulo- rum aliquorum, qui $unt e z i & e z p per 39 th. 1 huius, anguli t e i & s e p fiunt æquales per 4 p 1 To- tus ergo circulus uidetur altera parte longior, ueluti $ectιo colũnaris. Sed & $uppo$itis ijs, quæ per 39 th 1 huius declarata $unt, pote$t reliquum aliter demon$trari. Extra hanc enim figuram protra- hatur lineal m æqualis diametro d g per 3 p 1, & diuidatur linea l m per æqualia in puncto n per 10 p 1: & à puncto n ducatur linea n x perpendiculariter $uper lineam l m per 11 p 1, & re$ecetur linea n x ad æqualitatem lineæ z e, quæ e$t ex hypoth e$i maior quàm linea n m, æqualis $emidiametro z g, ut patet ex præmi$sis: ductis\’q lineis l x & m x, compleatur trigonum l m x: & per 5 p 4 circum$crιba- p r o q x l n m tur ei portio circuli, qu{ae} $it l m x: e$t itaq; illa portio circuli l m x maior $emιcirculo, ideo quia linea n x e$t maior utraq; linearum n m & n l. Et quoniã tri- gonorum g z e & l n x latus g z e$t æquale lateri n l, & latus z e æquale lateri n x, & angulus g z e æqua- lis angulo l n x, quoniã, ut patet ex pr{ae}mi$sis, uterq; ip$orũ e$t rectus: erit per 4 p 1 ba$is ge æqualis ba$i l x: & $imiliter iterata demon$tratione in trigonis d z e & n x m: erit linea d e æqualis lineæ m x: & erit totus angulus l x m æqualis totali angulo g e d. Fiat quoq; $uper punctum n terminũ lineæ l n per 23 p 1 angulus æqualis angulo i z e: & $it angulus l n o: fiat\’q per 3 p 1 linea n o æqualis lineæ e z: & ducãtur lineæ l o & m o: de$cribatur\’q;, ut $uprà, circa trigo num l o m portio circuli, quæ $it l o m: erit quoq; $e- cundum præmi$$um probandi modum angulus lo m æqualis angulo i e t. Item, ut prius, per 23 p 1 con- $tituatur $uper punctum n terminum lineæ l n angulus l n p æqualis angulo a z e: & fiat linea n p æqualis lineæ e z: & ducantur lineæ l p & p m: & cιrca trigonum l p m delcrιbatur portio circuli, ut prius, quæ $it l p m: erit quoq; modo præmi$$o angulus l p m æqualis angulo a e b: ducatur\’q linea à puncto lad punctum $ectionis, ubi linea m o $ecat circumferentiã portionis circuli, quæ l x m, quæ linea $it l q. Et quia per 27 p 3 angulus l q m æqualis e$t angulo l x m, cadũt enim in eundem arcum, quem chordat linea l m: angulus uerò l q m maior e$t angulo l o m per 16 p 1, patet quia angulus l x m maior e$t angulo l o m: angulus uerò l x m æqualis e$t angulo g e d, & angulus l o m æqualis e$t angulo i e t: palàm ergo, quoniá angulus g e d maior e$t angulo l e t. Similiter quoq; ducta linea l r ad punctum $ectionis, in quo linea m p $ecat arcum l o m: palàm ut prius, quoniã angulus l o m ma- ior e$t angulo l p m: & quoniá angulus l p m e$t æqualis angulo a e b: erit angulus i e t maior. angulo a e b: ergo per 20 huius maior apparebιt ui$ui in puncto e po$ito diameter g d, quàm diameterit, & diameter i t maior diametro a b. Et quoniam de omnibus diametris cadentibus in arcum i a eadem e$t demon$tratio, re$pectu diametri a b: patet quòd omnibus illis maior uidebitur diameter g d, & minor uidebitur diameter a b. Omnium itaq; diametrorum cõcurrentium cum linea e z in puncto z diameter a b uidetur minima, & g d maxima: diameter uerò media diuid\~es angulũ a z g per {ae}qua- lia, modo medio uidebitur inter diametros g d & a b. Et quia per præmi$$a angulus i e t æqualis e$t angulo s e p, palàm quia diametri i t & s p {ae}quales uidebuntur, quoniam $unt à diametris g d & a b æqualiter di$tantes, ut pater per præmi$$am & per 15 p 1. Hoc ergo e$t propo$itum.

56. Silinea recta à centro circuli centro ui$us incidens, non erigatur $uper $uperficiem cir- culi, ne<005> æquales angulos contineat cum diametris, $it<006> minor diametro: diametri illius circu- li inæquales appærebunt: totus<006> circulus uidebitur $ectio columnaris, cuius maxιma diameter e$t illa, cui oblιquè incidιt linea radialis. Euclides 37. 39 th. opt.

E$to circulus a b g d: cuius centrum e: & ducantur duæ dιametri a g & b d $e inuicem ad rectos angulos $ecantes in centro e: & ducatur linea e z, quæ neque $it erecta $uper $uperficiem circuli da- ti, nec angulos æquales continens cum diametris a g & b d: & $it minor $emidiametro continens angulos rectos cum diametro ga, & in æquales cum diametro d b. Dico, quòd diametri propo$iti circuli apparebuntin æquales;: & quòd totus circulus uidebitur $ectio columnaris, cuius dιame- ter g a apparebit omnium minima, & diameter d b maxima: dιametri uerò æqualiter ab i$tis am- babus diametris di$tantes, æquales apparebunt oculo in puncto z exi$tente, ut $unt diametri h p & s r. Quia enim angulus z e g e$t rectus: ducantur lineæ z g, z d, z a, z b: & ducantur ad diametrum h p lineæ z h, z p: & ad diametrum s r lineæ z s & z r, & omnibus alijs, ut in præ- mi$$a, di$po$itis, $cilicet ducta linea z k $uper diametrum g a, cui perpendiculariter incidit li- nea z e. Per 39 itaque th. 1 huius patet, quòd angulus z e k e$t minimus omnium angulorum VITELLONIS OPTICAE illorum: & omnis angulus illi propinquior e$t minor remotiore. Quia uerò ab angulo trigoni g z a d s z p g k e d h b r de$cendit linea z e ad medium ba$is, quæ e$t a g, per- pendiculariter, & ab angulo trigonih z p de$c\~edit ea- dem linea z e obliquè ad medium ba$is h p: e$t\’q linea z e minor medietate utriu$q; illarum ba$ium æqualiũ, ut patet ex hypothe$i: palàm per 50 th. 1 huius, quoniã angulus g z a e$t minor angulo h z p: item per 51 th. 1 huius angulus h z p e$t minor angulo d z b. Similiter quoq; de quibu$cunq; diametris medijs demon$tran- dum. Patet ergo per 20 huius, quoniam omnium illa- rum diametrorum a guidetur minima, & d b maxima, & mediæ medio modo $e habentes, $ecundum quod plus approximant hinc & inde. Duæ quoq; diametri æqualiter di$tantes ab extremis, uidentur {ae}quales per 54 huius. Patet ergo propo$itum. Sed & $uppo$itis ijs, quæ per 39 th. 1 huius declarata $unt, pote$t reliquum aliter demon$trari: A$$umatur, ut in præmi$$a, linea k l æqualis diametro g d: & diuidatur in duo æqualia in puncto m: & producatur à puncto m perpendiculari- ter linea m o æqualis lineæ e z: erit ergo linea m o ex hypothe$i minor $emidiametro g e, & minor o x k q m l linea k m: & ducãtur line{ae} k o & l o. Trigono quoq; k o l circum$cribatur circuli portio per 5 p 4, qu{ae} $it k o l: e$t autem illa portio minor $emicirculo: quia linea m o e$t minor $emidiametro: erit\’q per 4 & 8 pιangulus k o l æqualis angulo g z a. Sititem per 23 p 1 angulo p e z æqualis angulus k m x: & $it linea x m æqualis lineæ e z: ductis\’q lineis k x & l x, cir- cum$cribatur trigono k x l portio circuli k x l: & erit modo præmi$$o angulus k x l æqualis angulo h z p. Item $it angulus k m q æqualis angulo a e z: & $it linea m q æqualis e z: ductis\’q lineis k q & l q, ut prius, de$cribatur portio circuli k q l: & êrit angulus k q l æqualis angulo d z b. Et quia ut in præ- mi$$a patuit, erit angulus k o l minor angulo k x l, & angulus k x l minor angulo k q l: erit angulus g z a minorangulo h z p, & angulus h z p minor angulo d z b. Apparebit ergo diameter d b maior quàm diameter h p, & h p maior quàm g d. Diameter uerò h p & e i æqualiter condi$tans (quæ s r) à diametro g a, æquales apparebunt per 54 huius. Et hoc e$t propo$itum.

57. Centro ui$us exi$tente in linea erecta $uper $uperficiem quadrati in pũcto inter$ectionis duorũ diagoniorũ: latera quadrati æqualia apparent, & diametri æquales. Euclides 59 th. opt.

Sittetragonus a b g d: & protrahátur in ip$o diagonij a g, b d: & earum inter$ectio $it e: erigatur e z $uper $uperficiem tetragoni per 12 p 11: ponatu\‘r\’q oculus in aliquo z a b e g d puncto lineæ e z, ut in z: & ducátur lineæ z a, z b, z d, z g. Quia itaq; per 40 th. 1 huius medietates diagoniorum inter $e $unt æquales, ut d e & g e, & linea e z e$t communis duobus trigonis d z e & g z e, & anguli circa e $unt recti per definitionem lineæ $uper $uperficiem erectæ: erit per 4 p 1 ba$is z g æ qualis ba$i z d, & angulus e z g {ae}qualis angulo e z d: uidebitur ita q; linea d e æ qualis line æ g e per 20 huius. Et $imiliter per eadem, quia angulus a z e e$t {ae}qualis angulo b z e, uidebitur ergo linea a e æ qualis line æ b e: tota quoq; linea d b apparebit æ qualis toti lineæ a g. Et quoniá linea g z e$t æ qualis lineæ b z, & linea a z æqualis lineæ d z, & linea a b e$t æ qualis ip$i g d: quoniam $untlatera eiu$dem qua- drati, & $ic tria latera unius trigoni $unt æ qualia tribus lateribus alte- rius: ergo per 8 p 1 anguli æ qualibus lateribus contenti $unt æ quales: omnia itaq; latera ip$ius quadrati hoc modo æ qualia apparebunt. Et hoc e$t propo$itum: quoniam in omni puncto lineæ e z eadem e$t de- mon$tratio, concludendo $em per per 20 huius.

58. Sirect a linea maior uel minor medietate diagon{ij} quadrati, à medio puncto centro ui$us incidens, obliquata $uper eius $uperfi- ciem, æquales angulos contineat cum diuer$is medietatibus diago- niorum: diagon{ij} illius quadrati apparebunt æquales.

Sit quadratum a b c d: cuius medius punctus inueniatur per 40 th. 1 huius, quod $it e: & ducãtur diagonija e b & c e d: $it\’q; c\~etrum ui$us f: & linea fe $it maior quàm linea e a medietate diagonij, uel minor illa: $it quoq; linea f e obliquata $uper $uperficiem quadrati, $it tamen angulus f e a æqualis angulo f e c. Dico, quòd adhuc diagonij ip$ius quadrati {ae}quales apparebunt. Circa pũctuιn enim e de$cribatur circulus ad quantitatem $emidiametri e a: palàm ergo (cum omnes medietates diago- LIBER QVARTVS. niorum $int {ae}quales per 40 th. 1 huius) quoniam per 9 p 3 circulus i$te circũ$cribetur totali quadra- a f c e d d b f to, omnes terminos diagoniorũ attingens: erunt er- go diagonij quadrati diametri de$cripti circuli. Sed manife$tum e$t per 54 huius, quoniam diametri cir- culorum in hac di$po$itione omnes uid\~etur {ae}quales: ergo & diagonij quadrati, cum $int e{ae}dem cũ illis. Et hoc e$t propo$itum. Idem quoq; accidit in omnibus figuris polygonijs cuiu$c unq; formæ: & per ead\~e ue $imilia demon$trandum.

59. Linea recta ad punctum medium $uperficie i quadratæ obliquè à centro ui$us incidente, & in æ- quales angulos cum diagon{ij}s continente, $iue ma- ior $iue minor $emidiagonio fuerit: $emper diago- n{ij} quadrati inæquales apparebunt. Euclides 61 th. opticorum.

Remaneat di$po$itio proxim{ae} pre{ae}cedentis: conti neat\’q; linea $e in{ae}quales angulos cum diagonijs, ita quòd angulus $e a $it in{ae}qualis angulo f e c: & circunducatur circulus quadrato circa centrum e, ut prius: & $i linea fe fuerit maior $emidiagonio a e, concludetur per 55 huius diametros circuli (qui $unt diagonij propo$iti quadrati) in{ae}quales uideri. Quòd $i linea fe fuerit minor $emidiagonio a e: tunc $imiliter per 56 huius cõuincetur diagonios quadrati in{ae}quales uideri. Diuer$itas tam\~e i$tarũ in{ae}qualitatum fit $ecundum modum illic in circulis propo$itum, $ecundum diuerfitatem angulorũ incidenti{ae} hinc inde. Patet ergo propo$itum. Et eodem modo pote$t de alijs figuris, ut de quadran- gulo altera parte longiore, & de hexagonis, octogonis, & uniuer$aliter de omnibus polygonijs pa- rium angulorum faciliter demon$trari, quòd ip$orum diagonij quandoq; {ae}quales uidentur, & quan doq; inæquales: nec in talibus duximus immorandum, quia quilibet huius $cientiæ per$crutator hoc faciliter comprehendet.

60. Centro for aminis uueæ in puncto medio $uperficiei cuiu$cun<005> figuræ recti lineæ exi$tente, $emper figur a $ecundum $ui formam propriam ui$ui occurret.

Verbi gratia $it figura data, exempli cau$$a, quadrata: & inueniatur pũctus medius per 40 th. 1 hu ius, in quo ponatur centrum foraminis uue{ae}: & hoc e$t, ut $uperponatur oculus illi puncto. Et quo- niam ab illo puncto ad omnem punctum laterum & angulorum po$$unt duci line{ae} {ae}quales uel pro- portionales ijs, qu{ae} in ip$a $uperficie: patet, quòd forma cuius libetillorum punctorum uidebitur: & propter {ae}qualitatem linearũ radialium ad eas, qu{ae} in $uperficie, lineas, figurabitur figura in oculi $u perficie, $icut e$t extrà in $uperficie rei ui${ae}. Patet ergo, quòd totalis forma & figura illius $uperficiei uidebitur, $icut e$t propria illi figuratio, cuiu$cunq; $it figur{ae}. Et hoc e$t propo$itum.

61. Figura quadr at a uno $olo latere directè ui$ui oppo$ito, è di- e b a d c $tantia ui$a alter a parte longior uidetur.

Sit enim figura quadrata a b c d: & centrum ui$us e: & latus qua- drati, quod $it a b, opponatur ui$ui directè: palàm ergo, quoniam alia ui$ui opponentur obliquè: fed per 26 huius quantitas obliquè ui$ui oppo$ita uidetur minor, quoniam $ub minori angulo uidetur: dire- ctè uerò ui$ui oppo$ita uidetur $u{ae} propri{ae} quãtitatis, quàm obliquè ui$a: $ub maiori enim angulo uidentur omnia directè ui$ibus oppo$i ta, <004> $ibi æqualia, quæ opponuntur ui$ibus obliquè. Tota ergo figura quadrata uidebitur altera parte longior. Superficies uerò quadrata è di$tantia ui$a altera parte longior uidetur, ut proponitur: $ed & e$t po$sibile, altera parte longior appareat ui$ui e$$e quadrata, ut $i latus eius breuius directè opponatur ui$ui & lõgius obliquè: tũc enim po te$t fieri propter di$po$ition\~e obliquitatis, ut longius latus appareat æquale breuiori. Multa quoq; $imilia accidunt ex hac radice, utpote irregularitas in quibuslibet polygonijs figuris æquilateris & {ae}quian gulis. In alijs quoq; accidit $u{ae} form{ae} diuer$itas in ui$iõe, qu{ae} omnia relinquimus diligenti{ae} particulariter perquirentis: $ufficit enim no- bis hoc uniuer$aliter propo$itum in radice.

62. Si quadr atum, cuius latus non $it excedens di$tantiam oculorum, ui$ibus propius appo- natur: uidebitur alter a parte longius: & latera ui$ibus obuiantia ex parte ui$uum concurre- re uidebuntur.

Sit quadratum a b c d, utin præmi$$a, cuius latus a b non $it excedens quantitatem lineæ conne- ctentis centra oculorum, hoc e$t di$tantiam oculorum: & applicetur ui$ibus, ut propius pote$t, $e- VITELLONIS OPTICAE cundum latus $uũ a b: dico, quòd uidebitur altera parte longius. Latera enim eius duo, $cilicet a c & b d directè $ubij ciuntur ui$ui, quoniam quo dlibet illorum laterum imaginatum extendi $ecundum $uum continuum & directum, penetrat centrum ui$us, cui directè $ubijcitur: & $ic forma eius dire- ctè depingitur in $uperficie ip$ius ui$us, & latus c d directè opp onitur ui$ui: uidebũtur ergo illa $uæ propri{ae} quantitatis per 26 huius: latus uerò a b uidetur obliquè, quoniam cadit intra axes ui$uales, nec $uper ip$um erigitur aliquis axium ui$ualium: uidetur ergo minus per eandem 26 huius. Totũ ergo quadratum a b c d uidetur altera parte longius, & lineæ c a & d b, qu{ae} $unt latera illius quadra- ti ui$ibus obuiantia, uidebuntur plus di$tare $ecundum lineam c d, quã $ecundum lineam a b: uiden tur ergo concurrere uer$us partem ui$us. Quod e$t propo$itum. Et eadem pa$sio accidit figur{ae} qua- drangulæ altera parte longiori, nec e$t differentia quò ad illam: quod etiam per eadem pote$t demõ $trari. Patet ergo propo$itum. Et quoniam figura corporalis quæ dam figura e$t, licet ui$io corporei- tatis $it alia â ui$ione figur{ae}, quomodo uirtuti di$tinctiuæ error in ui$ione figuræ accidat, duximus in po$terius differendum.

63. Corporeitas comprehenditur à ui$u, in quibu$dam corporibus per $e, & in quibu$dã auxi- lio uirtutis iudicatiuæ. Alhazen 31 n 2.

Cum enim corporeitas $it exten$io corporis $ecundum trinã dim\~e$ionem: dico, quòd ip$a quan- doq; comprehenditur in quibu$dam corporibus à ui$u per $e: quæ dam enim corpora continentur à $uperficiebus planis $ecantibus $e rectè uel obliquè adinuicem: & quædam à $uperficieb. cõcauis & conuexis: & quædam à $uperficie bus cõuexis & planis: & qu{ae}dã à $uperficieb. concauis & pla- nis: & qu{ae}dam à diuer$is $uperficiebus conuexis, cocauis & planis $e inter$ecantibus: & quæ dã cõ- tinentur ab una $ola $uperficie rotunda. Corpus itaq; contentum à $uperficiebus $ecantib. $e, cuius una $uperficies e$t plana: quando $uperficies eius fuerit oppo$ita ui$ui $ecundum directã oppo$itio nem $iue obliquatam, ita tamen, quòd cõmunis $ectio duarum $uperficierum uideatur, & quòd am- b{ae} $uperficies $e $ecantes occurrant $imul ui$ui: tunc exten$io corporis $ecundum longitudinem & latitudinem, & $ecundum pro$unditat\~e à ui$u comprehendetur. Sic ergo corporeitas comprehen- detur. Corpora quoq;, quorum $uperficies e$t conuexa, $iue $it una, $iue multæ, cum opponuntur ui $ui $ecundum directionem uel obliquationem, erunt remotiores partiũ eius à ui$u inæ quales, & e- rit mediũ cõuexi eius propin quius extremitatibus ui$us per 8 p 3: reliqu{ae} uerò partes eius erunt à ui$u remotiores, qua comprehen$ione $entiet ui$us corporeitatem: quoniam cõprehendet profun- ditatem partium plus remotarum à $e re$pectu partium propinquiorum $ibi: & cum hoc compreh\~e det longitudinem & latitudinem dimen$ionum illorum corporum. Corporis quoq; concaui conca uitas percipi pote$t à ui$u $ecun dum mediocrem di$tantiam: tunc enim, quia medium eius maxime elõgatur à ui$u per 8 p 3, ut prius: profunditas illius corporis cõpreh\~editur à ui$u propter maiorem di$tantiam unius partis re$pectu aliarum: $ed ex con$equenti lõgitudo & latitudo patent. Quòd $i plures $unt in ip$o $uperficies $e $ecãtes, quarũ communes $ectiones $e ad ui$um offerant, corporei- tas ip$orum cõprehenditur à ui$u cum $entitur obliquitas illarum $uperficierum. In ijs aũt omnib. attendenda e$t mediocritas di$tanti{ae}, quoniam in maximis remotionib. e$t $ecus: tunc enim per ui- $um nudum non comprehenditur corpus propter ui$ionem $uperficiei, $ed auxilio uirtutis animæ $uperioris: e$t enim principium quie$cens in anima ex con$uetudine ui$ionum: & e$t tale, quòd ni- hil uidetur ni$i corpus. Vnde quando ui$us uidet aliquam ui$ibilem $uperficiem, $tatim uirtus iudi- catiua animæ dicet, quòd uidens uidet corpus, quamuis non comprehendat ui$us exten$ionem e- ius in profundum. Nam latitudinem & longitudinem per $e comprehendet ui$us per comprehen- $ionem $uperficiei cuiu$cunque per 17 th. 3 huius: non autem comprehendet $emper corporum profunditatem, qu{ae} e$t tertia dimen$io ip$orum, ni$i auxilio uirtutis $uperioris ip$ius anim{ae}. Patet ergo propo$itum.

64. Longior linea ab aliquo puncto $uperficiei conuexæ g a d e b z $phæricæ ad ui$um accedens, e$t linea contingens cir culum magnum illius $phæræ.

E$to data $phæra d g: cuius centrum $it a: circulus eius ma gnus d g e b: qu{ae} $ph{ae}ra $it ui$a ab oculo, cuius centrũ $it pũ- ctum z: & $uper lineam di$tantiæ centri $ph{ae}r{ae}, quod e$t a, & centri oculi, quod e$t z, po$itam pro diametro, quæ $it a z, fi- guretur circulus a b e z: & ducantur ad $ectiones circulorũ i$torum line{ae} z b & z e. Dico, quòd h{ae} line{ae} cõtingunt circu- lum d g e b, qui e$t circulus magnus {pro}po$it{ae} $ph{ae}r{ae}: & quòd ip$æ $unt lõgiores omnibus alijs lineis ducibilib. à quibu$- cunq; punctis $uperficiei $phær{ae} ad centrum ui$us. Ducan- tur enim à centro $phær{ae}, quod e$ta, du{ae} line{ae} ad terminos linearum z e & z b, qu{ae} facient cum eis angulos rectos: fient enim anguli a e z & a b z recti per 31 p 3, quia uterq; illorum cadit in $emicirculo: ergo per 16 p 3 illæ du{ae} line{ae} z e & z b $unt contingentes circulum d g e b: protractæ ergo circulũ LIBER QVARTVS. non $ecabunt. Si uerò dicatur, quòd ill{ae} cõtingentes nõ $unt longi$sim{ae}, qu{ae} perueniunt à punctis $uperficiei $phær{ae} ui${ae} ad centrum ui$us z: $int ali{ae} longiores. Et quia, ut patet ex præmi$sis, $i linea z b protrahatur, ip$a non $ecabit circulum, quem contingit per 16 p 3: ergo $i à pũcto z centro ui$us in $uperficie, in qua $unt line{ae} z e & z b, protrahatur linea longior quã $it linea z b u$q; ad circulum: palàm ergo, quia i$ta recta cum linea z b $up erficiem includet: quod e$t impo$sibile. Illæ ergo duæ line{ae} contingentes circulum, $unt omnibus alijs lineis longiores. Quod e$t propo$itum.

65. Sphæræ à remoti$simo ui$æ $uperficies cõuexa uel cõcaua uidetur plana. Euclides 25 th. opt.

Sit $phæra, cuius centrum $it a: & in ea circulus magnus b c d: & $it centrum ui$us e: ducantur\’q; li ne{ae} e a, e b, e c, e d: palam\’q; per 50 huius, quoniam forma arcus b c d ip$i e c d b a ui$ui e à remotiori incidentiæ arcus b c d, accedit ad rectitudinem: & i- dem e$t de alijs arcubus quibu$cunq; ui$us incidit in tota data $phæra. Totalis ergo portio conuexæ $uperficiei $ph{ae}r{ae}, cui ui$us incidit, uide- tur plana: & $icut arcus circulorum in $uperficie ip$ius de$criptibilium accedunt ad rectitudin\~e linearum, $ic totalis $phær{ae} $uperficies ad pla- niciem accedit. Et per eadem pote$t fieri dem on$tratio de concaua $u- perficie ip$ius $phær{ae}. Cum enim nulla partium rei ui${ae} plus altera di- $tare uidetur, nece$$e e$t unius di$po$itionis apparere totam $uperfici\~e rei ui$æ. Cum itaque totum conuexum corpus uel concauum in remo tione maxima $uerit à ui$u: tunc ui$us non comprehend det concauitat\~e uel conuexitatem, $ed comprehendet ip$um qua$i planũ: quia $itus par tium $uperficiei $u{ae} adinuicem nõ compreh\~eduntur à ui$u in aliqua di- uer$itate, $ed $ecundum continuitatem {ae}qualem perueniunt ad ui$um, & in ip$ius ui$us $uperficie $ecundum diuer$itat\~e $itus figurantur: unde plana iudicantur, & plana uidebitur totalis $uperficies rei ui$æ. Et o b hoc figuræ $uperficierum $olis & lun{ae} uidentur planæ: $emidiametri e- nim ip$orum ad lineam $uæ di$tanti{ae}, qu{ae} à centro ui$us ad ip$orum $o- lis & lun{ae} centra ducitur, non habet aliquã $en$ibilem proportion\~e: un de nihil aufert à quantitate line{ae} à centro ui$us product{ae} contingente $phæras illas per præmi$$am. Longior enim linea ab aliquo puncto $uperficiei conuex{ae} ip$ius $ph{ae} r{ae} ad ui$um accedens, e$t linea circulum magnum illius $ph{ae}r{ae} contingens: & illæ line{ae} omnes $unt {ae}quales inter $e per 58 th. 1 huius. Et quoniam $en$ibiliter non excedunt lineam à centro ui$us $uper $uperficies illaram $ph{ae}rarum productas: ideo omnes illæ line{ae} uidentur qua$i {ae}quales ip$is perp\~e- dicularibus, qu{ae} tran$eunt centra illorum corporum à centro ui$us product{ae}, & arcus interiacentes rectitudini accedunt: unde totales $uperficies uid\~etur plan{ae}. Et hoc idem propter eandem cau$$am accidit in omnibus alijs $tellis, qu{ae} propter remotionem maximã qua$i qu{ae}dam $uperficies paruo- rum circulorum uidentur. Patet ergo propo$itum.

66. Sphæricæ $uperficiei conuxæ illuminatæ uno oculo ui$æ, $emper minus hemi$phærio appa ret: & pars eius ui$a circulo continetur. Euclides 23 th. opt.

Sit $phær{ae} ui${ae} centrũ a: & $it centrum ui$us b: producatur\’q; linea a b: $it\’q;, ut $uperficies plana tran$iens punctum b, $ecet $ph{ae}ram: erit ergo per 69 th. 1 huius communis $ectio illius $uperficiei & $phær{ae} circulus: $it ille cir- i a t g k d b culus g d: & $uper diametrum a b, quæ interiacet centrum ui$us & centrum $phær{ae} ui$æ, de$cribatur circulus, qui $it a g d b: & producãtur lineæ g b, d b, a g, a d. Quia ergo arcus a g b e$t $emi- circulus, palàm per 31 p 3, quia angulus a g b e$t rectus: $imiliter autem & angulus a d b e$t rectus: ergo lineæ b g & b d $unt con- tingentes cιrculum per 16 p 3. Copuletur itaq; linea g d ducta ք puncta contactuum, quã $ecabit linea b a per æ qualia per 58 th. 1 huius: $it ergo punctus $ectionis k: erunt\’q; per 4 p 1 trigona g k b & d k b æquiangula: patet & hoc per 3 p 3. Ducatur quoque per centrum a linea it æquidi$tanter lineæ g d per 31 p 1: erit er- go per 29 p 1 linea a b perpendicularis $uper lineam it, cum ip$a $it perpendicularis $uper lineam g d {ae}quidi$tantem line{ae} it: er go per 16 p 3 erit linea i a contingens circulum a g b d: & ip$a e$t diameter circuli d g: arcus ergo d g, qui uidetur, minor e$t $emi- circulo, prout etiam patet per 51 huius. Trigonus itaq; b g k, ma nente fixo latere b k, intelligatur circũduci, quou$q; redeat ad locum unde cœpit: & palàm, quoniam linea b g contingens circulum d g, unumquodq; punctũ $u- perficiei $ph{ae}r{ae}, cui ip$a circũducitur, continget, & linea k g motu $uo faciet circuli $ectionem, fiet\’q; pyramis, cuius uertex erit punctum b, quod e$t centrum ui$us, ba$is\’q; eius erit circulus per motum line{ae} k g factus: pars ergo ui$a $ub circulo continetur. Palàm quo que, quoniam uidetur minus hemi $phærio: e$t enim, ut præmi$$um e$t, $phæræ ui$æ diameterit, & linea g d illi {ae}quidi$tans minor dia- VITELLONIS OPTICAE metro: e$t autem linea g d diameter ba$is pyramidis ui$ionis: minus ergo hemi$phærio uidetur. Quod e$t prop o$itum.

67. Vi$u $phæræ illuminatæ conuexæ approximante, minus $uperficiei $phæræ uidetur: appa- ret autem qua$i magis uideatur. Euclides 24 th. opt.

E$to, ut in præ mi$$a, $phæra, cuius centrum a: $it quoq; centrum ui$us b: & ducatur linea a b: & cir ca diam etrum a b de$cribatur circulus g b d: & ducatur à pũcto e a z g k l d c b a linea e a z perpendiculariter $uper lineam a b per 11 p 1. Et quia lineæ a b & e z $unt in una $uperficie per 2 p 11: intelligatur hæc $u perficies plana $ecare $phæram: ip$a autem per 69 th. 1 huius $e- cabit $phæram $ecundum circulum, qui $it g e z d: erunt\’q; puncta $ectionis duorum propo$itorum circulorum, qu{ae} g & d: & ducan tur lineæ g a, d a, b g, b d: & patet per modum proximæ præced\~e, tis, quoniam line{ae} b g & b d contingunt $phæram, & uidetur ab oculo exi$tente in puncto b pars $phæræ g d. Sit ergo, ut appro- pinquet oculus $ph{ae}r{ae}, & fiat in pũcto c: ducatur\’q; c a, circa quã, ut diametrum, de$cribatur circulus a k c l: ducantur\’q; lineæ c k, c l, a k, a l: ergo ք pr{ae}mi$$am uidebitur ab oculo exi$t\~ete in pũcto c, pars $phær{ae}, qu{ae} e$t k l, quæ minor e$t parte $phær{ae} g d ui$æ ab oculo exi$tente in puncto b: quoniã arcus cad\~es inter puncta cõ tingenti{ae} linearum c k & c l, qu{ae} per 64 huius contingunt $ph{ae}. ram, minor e$t arcu g d, qui cadit inter puncta contingentiæ li- nearũ b g & b d: quod patet per 60 th. 1 huius. Palàm ergo quo- niam appropinquante oculo ip$i $ph{ae}r{ae}, minus $uperficiei $ph{ae} ric{ae} uidetur. Quia uerò, ut patet per 60 th. 1 huius, line{ae} g b & c k concurrunt, $i producantur uer$us punctum g: palàm per 16 p 1, quoniam angulus k c a maior e$t angulo g b a: $imiliter angulus a clma ior e$t angulo a b d: totus ergo angulus k c l e$t maior toto angulo g b d. Pars ergo $ph{ae}r{ae}, in qua e$t arcus k l, $ub maiori angulo uidebitur, quã pars $ph{ae}r{ae}, in qua e$t arcus g d. Apparet ergo per 20 hu- ius maior ui$ui pars $ph{ae}r{ae}, qu{ae} e$t k l, quàm pars eius, quæ e$t g d. Et hoc e$t propo$itum.

68. Diametro $phæræ illuminatæ conuexæ, lineæ connectentic entra amborum oculorumæ- quali exi$tente: hemi$phærium e$t, quod ambobus ui$ibus uidetur. Euclides 26 th. opt. g a b e z d

Sphæræ dat{ae} $it centrum a: $it\’q; circulus eius maior, cuius diame ter $ti b g: qu{ae} ex hypothe$i $it {ae}qualis di$tantiæ oculorum, hoc e$t line{ae} connectenti centra ui$uum amborum, qui $int e & d. Ducan- tur quoq; à punctis b & g perpendiculares b d & g e, qu{ae} fiant {ae}qua- les per 3 p 1: & copuletur linea d e: quæ per 33 p 1 & ex hypothe$i erit æqualis & {ae}quidι$tans lineæ g b. Ducatur quo que perpendicularis à puncto a centro $ph{ae}r{ae} $uper lineam g b per 11 p 1: qu{ae} producta ad lineam d e $ecet ip$am in puncto z. Palàm ergo per 29 p 1, quoniam linea a z e$t per pendicularis $uper lineam e d, & per 28 p 1 erit linea a z {ae}quidi$tãs line{ae} g e: ergo per 33 p 1 patet, quòd linea e d diuiditur per æqualia in puncto z, quia, ut patet ex hypothe$i, oculi $unt in punctis d & e: dico, quòd hemi$ph{ae}rium e$t quod uidetur. Manen- te enim fixa linea a z, circumuoluatur parallelogrãmum a b z d, do- nec redeat ad locum, unde incœpit: linea ergo a b mota de$cribet cir culum {ae}qualem circulo g b, cuius ip$a e$t $emidiam eter: e$t aut\~e cir- culus magnus $ph{ae}r{ae} datæ circulus g d: ergo per motũ line{ae} a b de- $cribitur circulus magnus: hic autem $ph{ae}ram diuidit in duo {ae}qua- lia. Patet ergo propo$itum.

69. Linea connectens centra amborum oculorum, $imaior diametro $phæræ illuminatæ con- uexæ fuerit: plus hemi$phærio e$t, quod ambo- u e f c a h d b g bus ui$ibus uidetur. Euclides 27 th. opt.

Sit $phæra data, cuius centrum a: & eius circu lus magnus $it e c d i: $int\’q; centra amborum o- culorum b & g: $it\’q; linea b g producta maior dia metro dat{ae} $ph{ae}ræ & eius circuli magni. Dico, quòd ambobus ui$ibus maius hemi$ph{ae}rio ui- debitur. Ducantur enim à centris oculorum li- neæ b e & g d contingentes circulum e d ci per 17 p 3: contingant\’q; in punctis e & d: & ducatur à puncto a diameter $ph{ae}r{ae} {ae}quidi$tãs line{ae} b g LIBER QVARTVS per 31 p 1. Et quia diameter $ph{ae}r{ae} ex hypothe$i e$t minor quàm linea b g, palàm quoniam lineæ b e & g d ultra diametrum fh concurrent per 16 th. 1 huius concurrant ergo in puncto z. Quia ergo ab uno puncto z ducuntur du{ae} line{ae} contingentes circulum, $cilicet e z & z d: palàm, quia portio cir- culi, quæ e$t e c d e$t minor $emicirculo per 58 th. 1 huius: ergo portio eiu$dem circuli reliqua, quæ e$t e i d e$t m aior $emicirculo: h{ae}c autem portio e$t illa, qu{ae} uidetur. Et quia idem e$t de omnib. cir- culis magnis in tota $ph{ae}ra $ignatis: palàm, quia maius hemi$ph{ae}rio e$t, q<001> de $uperficie $ph{ae}rica, hypothe$i tali exi$tente, uidetur. Et hoc e$t propo$itum.

70. Linea connectens centra amborum ui$uum, $i diametro $phæ f a h b y i d e z ræ conuexæ minor fuerit: minus hemi$phærio e$t, quod uidetur. Eu- clides 28 th. opt.

Sit $ph{ae}ra data, cuius centrum a: & circuli eius magni diameter $it f h: $int\’q; centra oculorum d & e: & producatur linea d e, connectens centra oculorum minor exi$tens diametro $ h: ducantur\’q; lineæ illũ circulum cõtingentes, qu{ae} $int d b & e g. Dico, quòd minus hemi$ph{ae} rio e$t illud, quod uidetur. Protrahantur enim line{ae} b d & g e. Et quo- niam linea d e, e$t minor diametro f h, palàm per 16 th. 1 huius, quoniã lineæ b d & g e, concurrent ultra ambos ui$us: $it ergo concur$us pun ctus z Palàm per 58 th. 1 huius, quoniam cum à puncto z ducãtur du{ae} lineæ unum circulum contingentes, quæ $unt z b & z g, quòd arcus b i g e$t minor $emicirculo: minus ergo $emicirculo b g uidetur $ub ocu lis d & e. Ergo, ut prius, minus hemi$phærio uidebitur $ub oculis d & e. Et hoc e$t, quod proponebatur.

71. Centro for aminis uueæ in $uperficie $phæræ concauæ illumina tæ exi$tente, tota $phæræ intrin$eca $uperficies uidetur. Alha- zen 44 n 4.

E$to centrum $oraminis uueæ punctus a: & $it $phæra data, cuius maior circulus $it b a g tran$i\~es per centrum a. Patet ergo per 52 huius, quoniam $ic ui$u di$po$ito to- tus circulus b a g poterit uideri. Et quia plurimi circuli magni $ph{ae}ræ a b g $e $ecant $uper polos $ph{ae}r{ae}, quilibet autem punctus $ph{ae}ræ e$t polus $phæræ: palàm, quia omnes circuli magni $phær{ae} dat{ae}, qui per omnia puncta $uperficiei $ph{ae}r{ae} imagin ari po$$unt, tran$euntes $e inter$eca- bunt $uper punctum a: erit ergo punctum a, quod e$t centrum $orami nis ip$ius uueæ in quolibet illorum magnorum circulorũ: omnes aũt illi circuli magni $phæræ totam $phæræ $uperficiem euacuant: quia non e$t dare punctum in $phær{ae} $uperficie, quem aliquis circulus ma- gnus non tran$eat. Vi$u ergo taliter di$po$ito, tota concaua $phær{ae} $u perficies uidebitur. Et hoc e$t propo$itum.

72. Centro for aminis uueæ intra $phæræ concauæ illuminatæ $uperficiem, uel extra illam exi $tente, portio circularis $phæræ uidebitur, cui incidunt æquales lineæ à centro ui$us ductæ: erit<006> ui$um quando<005> hemi$phærium: quando<005> mairo portio: quando<005> minor. Alhazen 44 n 4.

E$to centrum foraminis uue{ae} punctum a, & $it $ph{ae}ra concaua, cuius circulus magnus $it b c d: & centrum $phær{ae} $it punctum e. Si ergo centrum ui$us $uerit in puncto e centro $phæræ, quod e$t e- tiam centrum circuli magni, qui e$t b c d, per definitionem circuli magni: tunc manife$tum e$t per 52 huius, quòd totus circulus b c d uidebitur: $ed & per eand\~e 52 hu- ius, omnes alij circuli $ubiecti hemi$phærij æquidi$tantes circulo b b c a e d c d uidebuntur, quoniam omnium illorum polus erit centrum uι$us: omnes quoq; line{ae} rectæ duct{ae} à polo ad peripheriam $ui cir- culi $unt æquales per 65 th. 1 huius: & quoniam hi omnes circu- li totum hemi$ph{ae}rium exhauriunt: patet, quòd in hoc $itu exi$ten- te ui$u, totum hemi$ph{ae}rium uidebitur. Quòd $i punctum a, cen- trum foraminis uueæ $it $ub centro $phæræ, quod e$t punctum e, tunc per eadem minus hemi$ph{ae}rio uidebitur: $i $it $upra centrum e, $iue $it intra $ph{ae}ram, $iue extra: tũc $imiliter per 2 th. 3 huius, omnes circuli, ad quorum circum ferentias po$$unt produci line{ae} rect{ae}, ui- debuntur: maius ergo hemi$ph{ae}rio uidebitur. Et $i linea à centro ui- $us ad $uperficem $phæræ ducta, obliquè incidat $uperficiei ip$ius $ph{ae}r{ae}: tunc palàm, quòd etiam $uperficiebus multorum circulorũ obliquè incidet: & pote$t acci- dere, quòd tota figura $phær{ae} uidebitur in{ae}qualis, $uorum circulorum peripherijs quibu$dam ten dentibus ad figuram $ectionis columnaris per 55 & 56 huius. Patet ergo propo$itum.

VITELLONIS OPTICAE 73. Vi$u hemi$phærio concauo appropinquante, minus $uperficiei $phæræ uidebitur: apparet autem plus uideri.

H{ae}c pote$t demon$trari, $icut & 67 huius, de $phæra cõuexa e$t demon$trata: e$t enim per omnia idem hinc inde demon$trandi modus. Vnde hic $phæra concaua figuretur, ut illic conuexa, & $ub ei$dem literis con$ignetur figuratio totalis, & per eadem concludetur. Et hæc quidem de ui$ione $phærarum dicta $unt, $uperficie bus ip$arum oppo$itis ui$ui totaliter exi$tentibus lumino$is per $e, uel illuminatis aliun de: quoniam hoc non exi$tente, licet in $phærarum $uperficiebus permaneat dictorum modorum ui$ibilitas, non tam en actu uidebuntur, ni$i luminis interuentu, ut patet per 1 th. 3 huius, & $ecundum diuer$itatem lumin o$itatis in partibus $uperficiei $phærarum, quæ uiden- tur, nouæ pa$siones ui$ibus generantur, quales $unt hæ, quas nunc intendimus explicare.

74. Diametro $phæræ ui$æ illuminatæ maiore di$tantia oculorum exi$tente, & diametro $phæ ræ illuminantis eidem æquali uel maiore, circulo<006> ba$is pyr amidis ui$ionis æquidi$tante circulo ba$is pyr amidis illuminationis uel ip$um intrin$ecus contingente: tota $uperficies ba$is pyrami- dis ui$ionis illuminata ui$ibus occurrit: uidetur autem in maiori di$tantia qua$i plana.

Patet enim per 26 uel 27 th. 2 huius, quoniam tanta exi$tente quantitate diametrorum i$torum corporum, ut proponitur: tunc ba$is pyramidis illuminationis aut e$t circulus magnus $phæræ illu minatæ, aut æquidi$tans ei. Circulus autem, qui e$t ba$is pyramidis ui$ionis, ut patet per 70 huius, $emper e$t minor circulo magno $ph{ae}r{ae} ui${ae}, quoniam, ut patet ex hypothe$i, diameter $ph{ae}ræ ui$æ e$t maior quàm di$tantia oculorum. Si ergo circũferentia circuli minoris $it {ae}quidi$tans circum- ferentiæ circuli maioris: tunc per 68 th. 1 huius, centra duorum illorum circulorum in eadem $phæ- r{ae} diametro con$i$tunt, & tota ba$is pyramidis ui$ionis occurrit ui$ibus, quia tota e$t illuminata: ui- detur autem $uperficies plana per 65 huius. Et hoc proponebatur. Sed etiam $i centra i$torum circu lorum u$q; ad punctum contactus circumferentiarum mutentur, quandiu unus circulus alium non $ecat, $emper tota ba$is pyramidis ui$ionis uidetur illuminata: & lumen in $phæræ ui${ae} $uperficie ui detur $emper circulare, & tota ba$is pyramidis illuminata: plus tamen tenebre$cit ba$is pyramidis ui$ionis ad illam partem, ubi fit contactus illorum circulorum per 21 th 3 huius. Patet ergo propo- $itum. Et quod hic de duobus oculis o$ten$um e$t, euidentius patet, $i ui$io tantùm uno fiat ocu- lo, per 66 huius.

75. Si diametro $phæræ ui$æ illuminatæ maiore di$tantia oculorũ exi$tente, diametro<006> $phæ- ræ illuminantis eidem æquali uel maiore, ba$is pyramidis ui$ionis inter $ecet ba$im pyramidis il- luminationis, it a ut ambo centra ba$ium $int $ub $uperficie communis $ectionis: erit illa commu- nis $ectio pars $uperficiei $phæricæ irregularis: uidebitur<006> $uperficies plana gibbero$a, ut duabus curuis lineis inæqualis quantitatis & curuit atis contenta.

Imaginentur enim centra ba$ium (qu{ae} per pr{ae}cedentem in eadem diametro $ph{ae}r{ae} ui${ae} fore di$- ponuntur) tantùm ab inuicem elongari, ut circuli ba$ium $e $ecent quantumcunq;, dum tamen c\~e- tra ambarum ba$ium $ub $uperficie, quæ e$t communis ambabus illis ba$ibus, remaneant: tunc illa communis $ectio erit pars $uperficiei $ph{ae}ricæ figur{ae} irregularis: quoniam, ut patet per 26 uel per 27 th. 2 huius, & ex 70 huius, & ut o$ten$um e$t in præmi$$a proxima, arcus circuli ba$is pyramidis illuminationis e$t maior arcu circuli ba$is pyramidis ui$ionis: & $i illius $uperficiei acciperetur pun ctus medius, lineæ ab illo puncto ad peripherias arcuum duct{ae}, e$$ent in{ae}quales. Videtur autem $u- perficies illa e$$e plana per 65 huius: & erit gibbero$a, ut duabus præmi$sis curuis lineis in æqualis quantitatis & curuitatis contenta: quoniã arcus circuli pyramidis ui$ionis e$t curuior & maior por tio $u{ae} circumferenti{ae}, quàm arcus circuli ba$is pyramidis ιlluminationis $it portio $u{ae} circumfer\~e- ti{ae}. Quod accidit propter in{ae}qualitatem circulorum. Patet ergo propo$itum.

76. Ba$i pyramidis ui$ionis $phæræ inter$ecante ba$im pyramidis illuminationis, ita quòd ip$orum axes angulum rectum contineant: communis earum $ectio est quarta $uperficiei $phæricæ: uidetur autem in maiori diftantia plana $uperficies una recta linea & $emicircu- lo contenta.

Quòd illuminatio cuiuslibet $phæræ fiat $ecundum pyramidem, cuius ba$is in $uperficie $phær{ae} illuminat{ae} e$t circulus, hoc patet per 26 & 27 & 28 th. 2 huius: quòd etiam ba$is pyramidis ui$ionis omnis $ph{ae}r{ae} $it circulus, patet per 66 & 68 & 69 & & 70 huius. Et quoniam axes i$tarum pyramidũ ex hypothe$i producti ad inuicem angulũ rectũ continent: tunc patet per 33 p 6, quòd ab illorũ axiũ cõcur$us puncto $ecũdũquantitat\~e $emidiametri $phæræ ui${ae} circũducto circulo, interiacebit quar ta circuli inter axes. Et quoniã uterq; axiũ e$t per pendicularis $uper $uperfici\~e $phæræ illuminatæ ui$æ, palã per 111 th. 1 huius, quòd uterq; axiũ tran$ibit per centrum illius $ph{ae}r{ae}: punctus itaq; inter- $ectionis axium e$t in c\~etro illius $phæræ: & $olũ ille punctus, qui e$t centrũ $phær{ae}, ambobus axib. erit cõmunis. Axibus itaq; interiacet quarta magni circuli $phæræ {ae}qualiter di$tãtis à duobus pun- ctis duarũ inter$ectionũ circulorũ ba$is pyramidis illuminationis & ba$is pyramidis ui$ionis: cõmu LIBER QVARTVS. nis ita\’q; $ectio i$tarum duarum ba$iũ e$t quarta $uperficiei $ph{ae};. Et quoniá tota $uperficies $ph{ae}; rica in maiori di$tantia uidetur plana $uperficies per 65 huius: palàm & hãc $uperficiem $ph{ae}ricam planá à maiori di$tantia uideri: axis enim pyramidis ui$ionis caditin $uperficie circuli ba$is pyrami dis illuminationis, propter erectionem $ui $uper axem illius pyramidis, quod patetper 4 p 11. Pa- làm ergo cum centrũ ui$us $it in uertice axis pyramidis ui$ionis, quoniam circulus ba$is pyramidis illuminationies e$t in eadem $uperficie cũ centro ui$us: palà ergo per 50 huius quoniá ip$e uide- tur linea recta. Semicirculus uerò ba$is illuminationis, quia non e$t in eadé $uperficie cũ centro ui- $us, uidetur circularis. Sic ergo illa $uperficies communis $ectionis uidetur $uperficies plana, una li nea recta & alia curua contenta. Quod e$t propo$itum.

77. Ba$i pyramidis ui$ionis $phæræ inter$ecante ba$im pyramidis illuminationis, earum communis $ectio, cui neutrius axis incidit, ect portio minor quarta parte $uperficiei $phæ- ricæ: uidetur autem plana $uperficies duobus qua$iæqualibus circunferentiarum ba$ium ar- cubus contenta.

Quia enim, ut in proxima præ mi$$um e$t, omnis illuminatio $phær{ae} fit $ecundũ pyramid\~e, cuíus ba$is e$t circulus, ut patet per plures propo$itiones $ecũdi huius, & $imiliter ba$is pyramidis ui$io- nis e$t circulus per 66 huius: palàm $i i$ti circuli, qui $unt ba$es pyramidũ, $e non $ecent, ut quia ip$i $iti $untin oppo$itis qua$i partibus $uperficiei $phær{ae}, cuius una pars e$t illuminata uel aliàs ui$a, nec incidentia luminis, quæ $ic $uperficiei $phær{ae} incidit, aliqualiter à ui$u perpen detur, utpote $i globum ligneum uel cereum, cuius diameter $it maior di$tantia oculorum, oculis & lumini directè interponas, reuoluto aũt globo ita ut lum\~e $uperficiei $ph{ae}riæ ip$ius globi in cidens aliqualiter ap pareat, tunc uidebitur ip$ius $uperficiei globi illuminata pars, quã recipit circũ$erentiam ba$is pyra- midis ui$ionis. Et quoniam illa pars ui$a, ut illuminata e$t, terminatur per circũ$erentiam ba$is py- ramidis illuminationis: patet quòdilla ui$a portio $phær{ae} e$t minor quarta parte $uperficiei $phæ- r{ae}. Cum enim neutrius pyramidũ axis incidat $uperficiei cómunis $ectionis, ut patet ex hypothe$i: palàm per 33 p 6, quia arcus diuid\~es illã $uperfici\~e,æ qualiter di$tãs à duobus punctis inter$ectionũ circulorũ dictarũ ba$ium, diuidens totã $ph{ae} & illã cõmunem $ectionis $uperfici\~e per æ qualia, e$t minor quarta circuli. Quoniam enim angulus ei $ubten$us e$t minor recto, patet quòd arcus ille e$t minor quarta circuli: & ip$a ui$a $uperficies uidetur plana per 65 huius. Et quia nullus illorũ circu- lorum uel arcuũ directè ui$ibus opponitur: quiblibet illorũ in $ua uidetur curuitate, quoniam forma punctorum cuiuslibet illorum arcuum $ecundũ $itũ $uum peruenit ad ui$um. Illa ergo portio com- munis $ectionis ba$ium dictarum pyramidum uidetur qua$i duo bus æ qualibus arcubus contenta propter in$en$ibilitatem in æ qualitatis, maximè cũ à remotiori $patio fitui$io per 50 huius. Certũ tam\~e e$t per 27 th. 2 huius, & per 70 huius, quia arcus ba$is pyramidis illuminationis e$t pars maio tis circuli, quàm arcus ba$is pyramidis ui$ionis: quoniã diameter $phær{ae} corporis illuminantis e$t maior diametro $ph{ae}r{ae} illuminatæ, & di$tantia oculorũ minor illa. Pater ergo propo$itum. Ex his itaq; quatuor theorematibus patet, quare forma lunæ $it in rece$$u à coniunctioe nouacularis. In tempore enim coniunctionis luna non uidetur, in$i fiat eclip$is $olis, ita quòd radij $olis penetran- tes diaphanitatem corporis lunæ propter differentiã den$itatis corporis lunaris ad diaphanitatem partium $uæ $ph{ae}ræ uicinarum, & peruenientes ad ui$um faciant corpus $phæricum lun{ae} ui$ibile: tunc enim uidetur luna $ecundum $ui figuram di$tinctè: $ed proprio lumine priuata. In alijs autem coniunctionibus quia radij perpendiculariter incidentes corporilun{ae}, aut ualde obliquè aut nul- lo modo peruenient ad ui$um: tunc corpus lun{ae} non uidetur, eò quòd ba$is pyramidis uifionis in- ciditin partem oppo$itam ba$i pyramidis illuminationis, nec $ecat una illarum ba$ium aliam. Cum autem luna recedente à $ole, i$t{ae} ba$es $e incipiuntinter$ecare: tũcip$orum communis $ectio (qu{ae} e$t portio $uperficiei $phærici corporis lun{ae}) uidetur, & propter magnitudinem di$tanti{ae} uidetur illa portio $ph{ae}r{ae} qua$i plana $uperficies duabus curuis lineis $ecundunm eius conuexum & conca- uum contenta, qu{ae} uidentur æ quales propter remotionem: non $unt autem æ quales, $ed $emperil la, qu{ae} e$t in conuexo, quia e$t arcus circuli ba$is pyramidis illuminationis, e$t pars maioris circuli, quàm illa, qu{ae} e$t in concauo, qu{ae} e$t arcus circul ba$is pyramidis ui$ionis. Et quoniam axis pyra- midis illuminationis $emper e$t perpendicularis $uper corpus $olis, ut patet per 111 th. 1 huius: ideo $emper conuexum lunæ e$t auer$um $oli, & cornua uidentur $emper re$picere ad $olem. Vnde illo- rum $itus $emper uariatur $ecundum $itum $olis, & $ecundum latitudin\~e motus lunæ. Et durat $em per in luna hæc figura. quou$q; axes pyramidum $ecant $e ad angulos rectos per 76 huius: tunce- nim luna uidebitur in quadratura, quoniam quarta part $u{ae} $ph{ae}r{ae} interiacens peripherias dicta- rum ba$ium uidebitur: & in prima quadratura & in $ecun da $emper arcus illluminationis, quia directè ui$ibus opponitur, uidebitur linearecta, & arcus pyramidis illuminationis $emper curuus. Mutato autem hoc $itu, tunc centra ba$ium ambarum pyramidum $unt in $uperficie communis $e- ctionis: uidebitur ergo luna gibbero$a & plan{ae} $uperficiei per 65 huius: & hoc durabit, quou$que circuli ba$ium intrin$ecus $e contingant, tunc enim luna uidetur plena. Et quando centra circulo- rum dictarum ba$ium $ibi ad inuicem $uperponentur, ita ut ambo fiant in linea una, ut quando illi circuli ba$iunt {ae}quidi$tantes in eadem $uperficie $ph{ae}r{ae} lun{ae}, ut patet per 68 th. 1 huius: tunc erit ue- ra lun{ae} impletio, & limen ex omni parte circun$ertur {ae}auale: & deinde luna mota u$que ad con- cauum circulorum ip$arum ba$ium, uidetur $emper plena, tamen aliquantum obfu$catur lumen VITELLONIS OPTICAE approximans tenebro$itati: & $ic procedit luna in figuris eidem di$tantiæ competentibus ab oppo $itione ad coniunctionem, $icut à coniumctione ad oppo$itionem. Ethoc quidem in luna propter eius propinquitat\~e ad ui$us no$tros euidentius apparet: in alijs tamen ominibus $tellis $uum lum\~e & actualitatem $uiluminis à $ole uel ab alijs $tellis accipientibus, nece$$e e$t ea$dem figuras expr{ae}- mi$sis tribus theorematibus prouenire. Et $ecundum hoc cœle$tium influentiarum a$pectus & mo di diuer$ificantur: non apparet aũt hoc ui$ibiliter in $tellis alijs à luna, propter ip$arum magnam re motionem à ui$u, ratione cuius accidit error ui$ui, ut patet per 16 huius. Videntur itaq; omnes aliæ $tellæ, præter lunam $emper rotundæ propter $ui remotionem à ui$ibus, propter quod etiam ignis remotus à ui$ibus uidetur rotundus. Videntur aũt $tellæ eædem maximè plenæ quádoq; maiores quandoq; minores, quodnos eidé cau$$æ paucitati $cilicent $uæ illuminationis uel multitudini cre- dimus expræmi$sis ad$cribendum. De his tamen $uo loco $ermo erit, ad præ$ens uerò nobis $uffi- ciat ex pr{ae}mi$sis propo$itionibus demon$trationem præ$entibus attuli$le: $iue enim $tellarum dia metri $int omnes ad inuicem æ quales, $iue una ip$arum $it maior altera: $emper tamen pater, quòd omnis diameter cuiu$cunq; $teli{ae} e$t maior quàm $it di$tantia oculorum cuiu$cũq; uidentis: & $ic hãc pa$sionem ui$ibus in ip$arum illuminatione accidere e$t nece$$e, quamuis illam di$tinctè non comprehendat ui$us. Et hoc quidem & ante nos dixit arabs Me$$ahala, $ed $uper hoc nullam at- tulit demon$trationem.

78. Columnærotundæ uel cylindri conuexi $ub uno oculo ui$i, minus medietate curuæ $uper- ficiei uidetur. Euclides 29 th. opt.

E$to columna rotunda, cuius una ba$is $it circulus gb: & eius diameter f h: & centrum a: $it\’q in $uperficie illius circuli centrũ oculi punctũd: & producatur linea d a, copulans centrũ ui$us cũ cen tro circuli ba$is column{ae}: & ducantur lineæ d b & d g: qu{ae} contingant circulũg b per17 p 3: & pro- ducantur à punctis g & b du{ae} lineæ longitudinis colum d b g h a f e z h f n{ae} per 101th. 1 huius, qu{ae} $int b e & g z: & erunt ill{ae} line{ae} orthogonaliter $uper ba$im g b erect{ae} per 92th. 1 huius: $it\’q, ut per lineas b e & b d unatran$eat $uperficies pla- na, & per lineas g d & g z alia $uperficies plana. Neutra ergo i$tarum $uperficierum $ecat columnam: quoniam line{ae} d b & d g $unt contingentes circulũ ba$is, & lineæ b e & g z $unt line{ae}; longitudinis in $uperficie columnæ non $ecantes illá: $unt ergo ill{ae} $uperficies ip$am colum nam contingentes. I$tarum quoq; $uperficierum contin gentium columnã (quia ambæ tran$eunt centra ui$us, ut patet expr{ae}mi$sis, & ip$arum communis $ectio e$t li- nea recta per 3 p 11) inter$ectio fit in quadá linea tran$e- unte centrum ui$us æquidi$tanter axi column{ae}: & hoc, quod inter ip$as de $uperficie colũn{ae} intercipitur, hoc $olũ uidetur. Quia uerò line{ae} longitudinis b e & g z $unt æ quidi$tantes per 6 p 11, palâm per 33 p 1, quoniam chor d{ae} arcuum ba$ium inter ip$as cadentes, qu{ae} $unt g b & z e, $unt{ae}quales: ergo per 28 p 3, arcus illis chordis cor- re$pondentes erunt{ae}quales. Portiones itaq; circulorũ ip$arum ba$ium intercept{ae} inter has lineas lógitudinis colũn{ae} b e & g z, & omniũ circulorum {ae}quidi$tantiũ ba $ibus, $unt {ae} quales portioni circuli g b: e$t aut\~e h{ae}c mi- nor $emicirculo per 51 huius: ergo & o\~es portiões alio- rũ circulorũ $unt minores $uis $emicirculis. Videbitur ergo minus medietate colũn{ae}. Quod e$t propo$itũ. Id\~e quoq; accideret in columnis lateratis, ni$i quòd anguli quandoq; impediunt, quòdoq; iuuant ui$ionis quátita- té, quorũ ui$ionis modũ propter infinitatem numerorũ omittimus: quia radice pr{ae}$enti $uppo$ita diligens inue$tigator multa particularia concludet.

79. Linea connectens centra amborum ui$uum $iæqualis diametro ba$is cylindrifuerit, $e- micylindri conuexum uidebitur: $i maior, mainus: $i minor, minus.

E$to circulus ba$is cylindri, cuius centrum $it punctum a: punctus uerò extrà $ignatus $it z: & ducatur linea a z: & producatur à puncto a diameter g d orthogonaliter $uper lineam z a per 11 p 1: & de$cribatur $uper lineam a z, ut $uper diametrum, circulus a b z e: & producan- tur line{ae} a b, b z, a e, e z: du{ae} itaque line{ae}, qu{ae} z e & z b, contingunt circulum b e d g per 31 & 16 p 3. Producantur ergo à punctis b & e per 101 th. 1 huius du{ae} line{ae} longitudinis: qu{ae} erunt perpendiculares $uper lineas a e, a b per 92 th. 1 huius: ideo quòd $unt erect{ae} $uper ba- fim. Superficies quoque duct{ae} $upper lineas z e & z b, & per lineas longitudinum $ibi conter- LIBER QVARTVS. minales $ecabunt $e in linea per centrum commune amborum ui$uum, quod e$t in medio puncto nter$ectionis nerui concaui, ducta æquidi$tanter axi column{ae}, quando linea connectens cétraam borũ ui$uũ fuerit minor diametro ba$is colũn{ae}: qu{ae} $i maior fuerit, g a d h e z illæ diametri cócurrét ad part\~e oppo$itã in aliqua linea $uperficiei ductæ per lineam ductam per centrum cómun æquidi$tanter axi, & per ip$um axem. Si uerò fuerint diametri ba$is columnæ ui$æ & linea cónectenscentra oculorum æquales: tunc line{ae} longitudinis ductæ cadunt $uper terminos diametri æquidi$tantis centris ocu- lorum, & $uperficies productæ nunauã concurrent. Superficies au t\~e columnæ inter has $uperficies columnã cótingentes intercepta e$t portio $uperficiei column{ae}, qu{ae} uidetur: $unt aũt omnes portio nes circulorũ interceptæ inter eas, æquales portioni ba$is interce- ptæ. Si ergo illa $uerit $emicirculus, medietas cylindri uidebitur: $i minor $emicirculo, ut e$t in propo$ito arcus b e: tũc minus $emicy- lindro uidebitur: $i maior, maius: horum autem omnium deducti o e$t euidens expræmi$sis pluries repetitis. Patet ergo propo$itu m.

80. Vi$u appropinquante cylindro conuexo, minus curuæ $u- perficiei uidebitur: apparet autem ac $i magis uideatur. Eucli- des 30th. opt.

Sit cylindri ba$is circulus b g: cuius centrũ $it a: & diameter f h: oculi uerò c\~etrum $it in puncto e: & ducatur linea e a inter illa cen- tra: & ducantur line æ e b & e g circulũ cõtingentes per 17 p 3:& du cantur à punctis b & g per 101 th. 1 huius lineæ longitudinis cylin- dri, quæ $int b i & g z. Videtur itaq; per modũ pr{ae}mi$$arũ $ub oculo exi$tente in puncto e, $uperficies cylindri i b g z: quæ minor e$t $e- micylindro per 78 huius. Appropinquet ergo ui$us columnæ: & $it in puncto t:& ducantur lineæ cótingentes ba$im columnæ, quæ $int t k & t l: & à punctis k & l ducantur line{ae} longitu dinis cylindri, qu{ae} $intl n & k m. Videbitur ergo $ub ui$u exi$tente in puncto t, $u perficies cylindri, qu{ae} e$t l n k m, qu{ae} minor e$t $uքficie i b g z ui$a in puncto e: cuius declaratio e$t $imilis declarartioni fact{ae} in 67 hu- f a h b l k g t i n m z e ius. Appropinquante ergo ui$u ad cylin drum, minus ip$ius $uperfr ciei uidetur:apparet aũt ac $i magis uideatur: quoniam per 60 th. 1 huius, & per 21 p 1 angulus l t k maior e$t angulo b e g: concurrunt enim lineæ t k & e g uer$us pũctũ g. Pater ergo {pro}po$itũ ք 20 huius.

81. Axe unius tantũ ui$us c\~etro ba$is colũnæ rotundæ uelia teratæ cuiu$cun<005> incidente: uel$i di$tantia oculorũ æqualis, uel minor fuerit diametro ba$is cylindri obiexctæ directè ui$ui: $ola ba$is uidetur: quæ $i maior ba$i $uerit, totus uidebitur cylindrus, ba$iremotiore duntaxat excepta.

Cum enim uno oculo fiat ui$io, & axis incidat centro circuli ba. $is column{ae} rotund{ae} uel laterat{ae}: tunc quia o\~es line{ae} longito dinis $unt perpendiculares $uper ba$im, ut patet per 92 th. 1 huius, nõ ui- debitur forma puncti alicuius illarũ lin earũ, ni$i $olus pũctus com- munis line{ae} longitudinis & peripheri{ae} $uperficiei ba$is: uidebitur ergo $ola ba$is. Etidem e$t $i ui$io fiat ambobus ui$ibus, $i tam\~e di- $tantia oculorum, que{ae} e$t linea connectens c\~etra oculorum, fuerit æqualis uel minor diametro ba$is: tunc enim, ut pater per 4 huius, nullalinearum longitudinis column{ae} perueniet ad ambos ui$us, ni$i $olùm, ut prius o$ten$um e$t, punctus, qui e$t communis $ectio alicuius illarũlinearũ & peripheri{ae} ip$us ba$is. Siuerò maior fue- rit di$tantia oculorum ip$a diametro ba$is: tunc omnes lone{ae} longi tudinis column{ae} perueni\~et ad ambos ui$us:& uidebitur tota con uexitas ui${ae} column{ae}, & ba$is $uperior uicinior ui$ibus: in ferior ue rò ba$is nõ uidetur: quia nullus eius punctus peruenit ad ui$um, ni $i peripheri{ae} $u{ae} cũ lineis longitud nis column{ae}, qu{ae} ad illam peri pheriam terminãtur. Quòd $i uno tantũ oculo ui$ione $acta. axis ceciderit extra centrum ba$is: ui- debitur aliqua pars linearum longitudinis totius columnæ: quoniã tunc peripheria ba$is $ecat py- ramidem ui$ionis. Patet ergo illud, quod proponebatur. E$t aut\~e po$sibile, ut ui$u obliquè ba$i co- lumn{ae} incidente, tota columna, & $i regularis $it, uideatur eius ba$is altera parte longior, & tota co lumna figuræ irregolaris per 55 uel 56 hui us. Et hoc e$i nota tu dignum.

VITELLONIS OPTICAE 82. Vnius tantùm ui$us axe, centro columnaris $ectionis (quæ e$t ba$is ab$idis columnaris ro tundæ) incidente: totailla ba$is & parts linearum longitudinis ab$idis uidentur.

Sit enim aliqua columna rotun da taliter ab$ci$$a, ut axis non $it perpendicularis erectus $uper ba$im: palàm ergo per 103 th. 1 huius, quòd ba$is hæc e$t $ectio, qu{ae} dicitur colũnaris uel $ectio oxy- gonia: & ip$a pars columnæ ab$ci$$a dicitur ab$is. Dico, quòd $i axis ui$ualis incidat centro illius ba $is, quòd pars linearum longitudinis ab$idis, illa $cilicet, quæ in decliuiori parte approximat, uide- bitur uno etiam ui$u. Huius aut\~e cau$$a e$t obliquatio ba$is, quæ $ub minoria angulo uidetur per 26 huius: propter quod etiam uidentur formæ punctorum linearum longitudinis illius obliquitatis remotiori parti adiacentium, cum re$idui anguli perueniunt ad ui$um: quod nõ accideret, $i illa ba- $is po$$et directè ui$ui opponi:hoc autem impo$sibile $ine linearum longitudinis ab$idis ui$ione. Patet ergo propo$itum.

83. Centro for aminis uueæ in $uperficie illuminata concaua columnæ cuiu$cunæ exi$tente: $emper columnæ tota concauit as uidetur: in al{ij}s autem partinum columnarum concauarum ui $ionibus idem accidit, quod $phærarum concauitati.

Di$po$ito enim ui$u $ecũdũ propo$itũ modũ, re$pectu cuiuslibet colũn{ae};cócauæ, formæ omniũ punctorũ linearũ lõgitudinis, quas $ecat $uperficies $oraminis uueæ, tũ o\~es perueniunt ad ui$um: ideo quòd ad centrũ illius foraminis $ecundũ lineas rectas pertingunt: & $uperfici\~e o culi cõtingit tantùm una in illo centro: aliæ ueròip$am contingunt in punctis diuer$is circuli foraminis. Vide- buntur ergo o\~es per 2 th. 3 huius. Et quoniã formæ omuiũ aliarũ linearũ longitudinũ, & o\~es puncti ba$ium directè uel obliquè perueniunt ad ui$um: palã, quia tota colũn{ae} cócauitas uidetur $ecundũ omnia puncta $uæ $uperficiei. Sed fortè accidet figuræ ui$æ irregularitas propter aliquarũ $uarum partiũ obliquarion\~e ad ui$um per 55 uel 56 huius. In alijs quoq; ui$ionibus partiũ columnarũ con- cauarũ id\~e accidit, quod in $ph{ae}ris cõcauis: quoniã ui$u po$ito in pũcto medio quadranguli termi- nantis $emicylindrum, ille totaliter uidebuitur per 60 huius. Sed & quodilbet punctorũ $uperficiei concauæ & ba$ium ui$ibus occurrit. Etrecedente ui$u ab illo puncto, $emper uidebitur portio co- lumnæ minor uel maior $emicylindro. Pater ergo propo$itum.

84. Pyramidis rotundæ ba$i in eadem $uperficie cum centro unius oculorum exi$tente: minus medietate $uperficiei conuexæ pyramidis uidetur. Euchlides 31th. opt.

Sit pyramis rotunda, cuius ba$is $it circulus, qui b g: cuius diameter fh: centrum k: uertex uerò illius pyramidis $it punctũa: & $it centrũ ui$us d: & ducantur lineæ a f k h b g d d b & d g contingentes circulũ b g per 17 p 3: e$t ergo per 58 th. 1 hu ius arcus b g minor $emicirculo. Ducátur quoq: à uertice a pyrami dis per101th. 1 huius lineæ longitudinis, quæ$int a b & a g. Palàm itaq; ad modũ eorũ. quæ demon$trauimus in columinis, auoniã $u- perficies intercepta lineis a b & a g, $ola uidetur. Et quoniam hæ li- neæ ex omnibus circulis {ae}quidi$tátibus ba$i pyramidis partes $imi les re$ecant, & intra $e illas cõtin\~et, & cũ per 58 th. 1 huius arcus b g $it minor $emicirculo: erunt nece$$ariò arcus omnium aliorũ lorũ minores $emicirculis $uis: ergo portio ui$a minor erit hemico nio:quoniam $icut tota conuexa $uperficies pyramidis toti ba$ire- $pondet: $ic pars proportionalis ad totá conuexam $uperfici\~e parti proportionali ba$is ad totã ba$im: quoniam lineæ lõgitudinis pro- ductæ à uertice ad peripheriã ba$is, $icut diuidũ conicã $uperfici\~e: $ic lineæ à terminis illarũ linearũ ad centrũ ba$is pyramidis produ ctæ diuiduntip$am. Et pote$t hoc conuinci argum\~eto 5 p 12 Eucli dis. Patet ergo propo$itum.

85. C\~etris amborũ ui$uũ in ead\~e $uperficie cũ ba$iconiexi$ten tibus, $ilinea cõnectens c\~etra ui$uũ æqualis fucrit diametro ba- $is, hemiconium uidebitur: $i maior, maius: $i minor, minus.

Di$po$itione ordinata ad conũ, quæ in 79 huius ad columnam, hoc $olo adiecto, quòd centra ui$uũ $int $olũ in ead\~e $uperficie cũ ba$i pyramidis, & non eleuentur $ecundũ lineam axi coni æquidi $tantem, $icut pote$t fieri in columna: $i enim ui$us in lineaæ quidi- $tante axi columnæ eleuetur, idem accidit, quod eo in ba$i exi$ten- te: quia in columna $ufficit, etiá $i $int in $uperficie ba$i æ quidi$tan- ti. Patet ergo, quod hic proponitur, & e$t idem demon$trandi mo- dus. Vnde fru$tra e$t membranas denuò occupare.

86. Appropinquãte centro ui$us in $uperficie ba$is coni: minus conicæ $uperficieiuidebitur: apparet autem plus uideri. Euclides 32 th. opt.

Sit circulus a b ba$is coni: cuius c\~etrum l:& $it uertex coni punctum g: c\~etrum quoq; oculi$it d: LIBER QVARTVS. ducatur linea d lad centrum ui$us à centro ba$is pyramidis: & ducanturlineæ d b & d a contingen tes circulũ, qui e$t ba$is coni, in pũctis b & a: & ducãtur à uertice pyra g l a z i b e d midis lineæ lõgitudinis coni, quæ $int g a & g b: ergo \‘per ea, quæ pri- us in pr{ae}ced\~etibus dicta $unt, $uperficies g a b uidetur $ub oculo d: & e$t minorhemiconio. Appropinquet aũt oculus, & fiat in pũcto e: du cantur\’q; lineæ e z, e i cõtingentes circulũ, qui e$t ba$is coni: & à uerti ce coni cõtinu\~etur lineæ g z & g i. Videbitur itaq; ab uno oculo exi- $tente in puncto e portio $uperficiei conicæ, quæ e$t g z i minor por- tione g a b. Videtur aut\~e apparere maior portiõe g a b propter maio- ritat\~e anguli z e i $upra angulum a d b. Ethoc e$t propo$itum.

87. Lineis à centro ui$us ad ba$im coni cõtingenter ductis, & à punctis contactuum ductis lineis logitudinis coni: $i in cõmuni $e- ctione $uperficierum per ea$dem line as & per c\~etrum oculi produ- ctarum ui$us cono appropin quet: ead\~e portio $uperficiei conicæ ui- debitur, quæ prius, & eiu$dem quantitatis apparebit. Eucli-des 33th. opt.

E$to conus, cuius ba$is $it circulus b z g: & uertex eius punctũ a: axis quoq; $it a h: centrum\’q; oculi $it d: & ducantur per 17 p 3 lineæ à centro uilus d contingentes circulũ b z g, quæ $int d z & d g. Et quo- niam hoc fit ex hypothe$i: tũc patet per 16 p 3 & 2 p 11, quoniã centrũ ui$us e$t in $uperficie ba$is coni ui$i. Et ducátur à punctis contactuũ z & g duæ lineæ longitudinis per coni uertic\~e punctũ a, quæ $int z a & g a: quod fiet per 101 th. 1 huius: & à centro ui$us puncto d ad uerti- cem coni punctũ a ducatur linea d a: & ducátur duæ $uperficies, una per lineas d g & g a, alia uerò per lineas d z & z a. Et quoniá e{ae} $uper- ficies cõcurrũtin centro ui$us d & in uertice conia: erit ip$arũ com- munis $ectio linea a d per 1 p 11 & per 19 th. 1 huius. Dico, quòd $i ocu. lus appropinquet cono $ecundum lineam d a: non uidebitur maior conicæ $uperficiei portio nũc quàm prius, oculo in puncto d exi$tente. Sit enim, ut approximando ip$rcono perueniat in punctum e lineæ d a: & ducantur à puncto e line{ae} æquidi$tantes lineis d g & d z a d $uperfici\~e coni ui$am: h{ae} eruntergo nece$$ariò cõting\~etes aliqu\~e circulũ coni {ae}quidi$tát\~e ba$i b z g: a e c d z h b g ergo nece$$ariò cadent in aliqua puncta linearum a z & a g: ideo quòd illæ $ecant proportionaliter ba$im coni, & o\~es circulos ei æ quidi$tátes: quoniá $ecundũ lineas illas terminatur ui$us, & $ecundũ illas $uperfi cies conting\~etes terminatur ui$io circulorũ. Si enim dicatur, quòd illæ line{ae} contingentes aliqu\~e dictorũ circulorũ ductæ à puncto e, cadant extra lineas a z & a g, cũ lineæ à pũcto e in lineas a z & a g ductæ termi- nentui$um, & $imiliter illæ cõtingentes termin\~et ui- $um: $equetur uel lineas radiales e$$e refractas in me- dio unius diaphani: quod e$t cõtra ea, quæ demõ$tra ta $untper 44 & $equ\~etes $ecũdi huius: uel $equetur lineas radiales e$$e curuas: quod e$t cõtra 1 th. 2 hu- ius: uel $equetur duas rectas lineas $uperfici\~e inclu- dere: quod e$t impo$sibile. Cadent ergo dict{ae} lineæ pertingentes ad $uperfici\~e conicã ductæ à puncto e ιn lineas a z & a g: cadant ita q; in ip$arũ duo puncta, qu{ae} $inti & c, & $int line{ae} e i & e c. Quia ergo angulus c e ι e$t æ qualis angulo g d z per 10 p 11, $icut & anguli cõtenti $ub lineis c i & g z, quoniã o\~es illi anguli con- tinentur $ub lineis æquidi$tantibus angulariter con- runctis, patet per 20 huius uerum e$$e quod proponi tur. Et quia ubicunq; ui$us in linea d a ponitur, $emper anguli ad ui$um $unt æ quales per 10 p 11, pa- làm ergo e$t propo$itum. Et hocidem $uo modo in ambobus pote$t ui$ibus demon$trari.

88. Eleuato ui$u, re$pectu $uperficiei conicæ: maius erit, quod uidetur, uidebitur autem mi- nus uideri: depre$$o uerò ui$u, minus erit quod uidebitur, $ed apparebit maius prius ui$o. Eu- clides 34th. optico.

E$to conus, cuius ba$is circulus b g: & uertex punctus a: & ducantur lineæ longitudinis, quæ VITELLONIS OPTICAE fint a b & a g: & ducatur linea b g: & producatur u$q; ad punctum l: & à puncto t, quod $itinferius puncto a uertice coni, ducatur linea æquidi$tãs line{ae} a t k g h b p l i a b per 31 p 1, quæ producta uer$us lineam b l, $ecetil- lam in pũcto p: & $it aliquis pũctus eius in$erior pun cto t pũctus k: & $it illa linea t k p. Dico, quòd oculo po$ito $uper pũctum t, qui e$t eleuatior pũcto k: pars $uperficiei conic{ae} ui$a, maior quidem erit, minor aũt uidebitur, quàm uideatur oculo exi$t\~ete in pũcto k. Ducátur enim lineæ a k & a t: & producatur linea a t, donec cõcurrat cum linea b l: cõcurrent aũt per con- uer$am 2 p 6. Quoniã enim linea t p e$t minor quàm linea a b, ut patet ex præmi$sis, & illæ lineæ æquidi- $tant, patet quòd lineæ a t & b l cõcurr\~et: $it ergo pun ctus cócur$us i: & $imiliter lineæ a k & b l concurr\~et: $it\’q; pũctus concur$us l. Palàm itaq; quia magis ui- debitur de cono $uper punctũ i, quàm $uper pũctum l per 86 huius: {pro}pinquior enim e$t ip$i cono pũctus l, quàm pũctus i. Quod aut\~e de $uperficie conica ui- detur, oculo exi$tente in pũcto i, idem per præceden tem proximam uidetur c\~etro ui$us exi$t\~ete per totã lineam i a, utpote in pũcto t: & illud, quod uidetur ui $u exi$t\~ete in pũcto l, uidetur in quolibet pũcto line{ae} l a exi$t\~ete ui$u: ergo & in pũcto k. Sed quod uidetur â pũcto i maius e$t eo, quod uidetur à puncto l, & mi nus e$$e uidetur per 86 huius: ergo illud, quod uide- tur à pũcto t maius e$t illo, quod uidetur à pũcto k, & minus uidetur e$$e. Ethoc e$t quod proponi tur. Ethocid\~e etiam $uo modo de ambobus ui$ibus pote$t demon$trari. Patet ergo propo$itum.

89. Linea à centro ui$us ad uerticem coni duct a perpendiculari exist\~ete $uper axem: $uper- ficiei conicæ medietas uidetur. Alhazen 36 n 4.

Verbi gratia $it pyramis a c n: cuius axis a d, & uertex a: palàm ergo per 89 th. 1 huius, quòd pun ctum d e$t centrũ circuli ba$is ip$ius coni: $it\‘q; centrũ ui$us b: & ducatur linea b a faciens angulum b a d rectũ. Dico, quòd conicæ $uperficiei a c n medietas uidebitur. b a f j g e k y n d c Secet enim aliqua $uperficies conum a c n æquidi$táter ba$i c n: hæc ergo per 100 th. 1 huius $ecabit ip$am $ecũdum circulũ, qui $it f g: & eius c\~etrum, quod $it pũctum l, erit in aliquo puncto axis a d: $ecet\’q: $uperficies plana pyramid\~e per axem a d, & per c\~etrũ ui$us d: illa er- go $uperficies $ecabit circulum f g: linea quoq; cõmunis huic $uper- ficiei & circulo f g erit orthogonalis $uper axem: quoniã axis e$t ere- ctus $uper $uperfici\~e circuli, & trá$ibit c\~etrũ circuli. Sit quoq; illa li- nea k l: qu{ae} erit ք 28 p 1 æquidi$tás lineæ b a, & e$t cũilla in ead\~e $u- perficie. Ducatur quoq; ք c\~etrum circuli diameter f l g orthogona- lis $uper lineá k l ք 11 p 1: & à terminis huius diametri protrahantur du{ae} lineæ cótingentes circulũ per 17 p 3, qu{ae} $int f e & g h: & ab ei$d\~e pũctis g & h ducãtur du{ae} lineæ lógitudinis ad uertic\~e coni ք 101 th. 1 huius, qu{ae} $int f a & g a: du{ae} ergo $uperficies plan{ae}, in quarũ una $unt line{ae} f e & f a, & in quarũ altera $unt lineæ g h & g a, palàm quoniam cõting\~et pyramid\~e $ecũdũ lineas lõgitudinis, qu{ae} $unt f a & g a ք 95 th. 1 huius. Et quoniã linea k l æquidi$tat lineæ b a, & lineis cotingen tibus circulũ, qu{ae} $unt f e & g h, ut patet per 16 p 3, & per 28 p 1: erunt per 9 p 11 lineæ f e & g h æquidi$tãtes lineæ b a: qu{ae}libet ergo ip$arũ e$t in ead\~e $uperficie cũ illa per 1 th. 1 huius. Ill{ae} ergo duæ $uperficies nece$$ariò $ecabũt $e $uper lineã b a per 19 th. 1 huius: utraq; ergo $uperficierũ pyramid\~e propo$itã in terminis diametri unius $uorũ circulorũ cótigentiũ trã$it per c\~etrum ui$us. Quod ergo $uperfi- ciei conic{ae} inter illas $uperficies cadit, apparet ui$ui: e$t aũt hæc medietas pyramidis, quoniá illas li neas contingentes interiacet medietas circuli. In hoc ergo $itu medietas $uperficiei conicæ uide- tur. Quod e$t propo$itum.

90. Linea à centro ui$us ad uerticem coni duct a angulũ obtu$um cũ axetenente, nec tamen cum aliqua line arum longitudinis coni unita: uidetur $nperficiei conicæ pars maior medietate. Alhazen 37 n 4.

Sit pyramis b i m: cuius axis b d: uertex b: palam\’q; per 89 th. 1 huius, quòd c\~etrũ circuli ba$is e$t punctũ d: $it\’q; punctũ a centrũ ui$us: & ducta linea a b, fiat angulus a b d obtu$us, ita tam\~e, ut linea a b nõ fiat una linea cũ aliqua linearũ lõgitudinis coni, $ed $ecet eas utcũq; po$sibile e$t productas o\~es: erit\’q; tũc ui$us altior uertice pyramidis: $it\’q;, ut in pr{ae}ced\~ete, circulus e h æquidi$tás ba$ipy- LIBER QVARTVS. ramidis, quæ e$t i m: & linea communis huic $uperficiei & circulo, (in quo e$t centrũ ui$us punctũ a, & axis coni, qui e$t b d) $it linea e h: erit\’q; linea e h perpendicula- ris $uper axem b d: & producatur linea e h extra pyramidem, donec a g e c f h g r i d m concurrat cum linea b a, producta ultra punctum b: cócurret autem ք 14 th. 1 huius: ideo, quia angulus a b d e$t obtu$us ex hypothe$i, & angulus d b h e$t acutus per 32 p 1, & linea e h e$t perpendicularis $u- per axem b d. Sit ergo concur$us punctus g: & â puncto g producan- tur duæ line{ae} g f & g r circulũ e h cõtingentes per 17 p 3: contingãt\’q; circulũ in duobus punctis f & r: & ab ijs punctis per 101 th. 1 huius {pro}- ducantur lineæ longitudinis ad uerticem coni punctũ b, qu{ae} $int f b & r b: $uperficies ergo illæ, in quibus $unt lineæ g f & f b, & lineæ g r & r b cõtingunt pyramidem, & in utraq; i$tarum $uperficierum erit uertex pyramidis punctus b, & punctus g, in quo concurrit linea a b cum linea e h: ergo linea a b g per 1 p 11 & 19 th. 1 huius e$t in utraq; il- larum $uperficierum: ergo utraq; $uperficies tran $it per punctũ a cen trum ui$us. Et quoniam per 58 th. 1 huius duæ lineæ g f & g r inclu- dunt minorem partem circuli: quoniam arcus circuli interiac\~es pun cta contingenti{ae} duarum linearum ab eodem puncto productarum, e$t minor $emicirculo: tunc patet quòd illæ du{ae} $uperficies includũt minorem part\~e $uperficiei conic{ae} quàm $it medietas: re$iduũ ergo il lius $uperficiei e$t maius medietate: hoc aut\~e uidetur à ui$u taliter, ut proponitur, collocato. Pars ergo $uperficiei conicæ maior medietate taliter uidetur. Ethoc e$t propo$itum. Ambobus uero ui$ibus adhuc uidetur magis.

91. Cum linea longitudinis coni producta ultra uerticem cum centro ui$us concurrerit, nihil ui$um totius $uperficiei conicæ latebit: ni$i linea longitudinis illa $ola. Alhazen 38 n 4.

Sit pyramis, cuius uertex $it punctũ b: & linea longitudinis $it\’q; centrum ui$us punctũ a: & linea c b producta ultra punctũ b concurrat cũ c\~etro ui$us puncto a. Dico, quòd non latebit ui- $um totius huius $uperficiei conicæ pars aliqua, præter quandã lineam intellectual\~e, quæ e$t ip$a li nealongitudinis b c. Omnis enim $uperficies, in qua e$t linea à centro ui$us ad aliquem punctum axis ducta, $ecabit pyramid\~e, excepta tantũ illa $uperficie, in qua e$t linea a b c: hæc enim contingit pyramidem $ecundum lineam b c per 95 th. 1 huius. Et quoniam illud, quod $ub $uperficie contin- gente pyramidem & tran$eunte centrum ui$us continetur, occurrit ui$ui per 17 th. 3 huius: $ormæ enim omnium punctorũ $uperficiei illius conicæ in $uperficie ui$us de- pinguntur: palàm ergo quoniã tota $uperficies conica uidetur, excepta a b h c $ola linea intellectuali, quæ e$t b c. Dato enim quocunq; puncto $uperfi- ciei pyramidalis extra lineam b c: dico, quòd illud uidebitur. Sit enim il- lud punctũ h: & ducatur ad ip$um à centro ui$us a linea a h: & ab illo eo- d\~e per 101 th. 1 huius ducatur linea longitudinis, quæ $it h b: fiet\’q; trian- gulus h b a, qui nece$$ariò eritin aliqua $uperficie pyramid\~e $ecãte, per tran$eunte centrũ ui$us a: ex lineis aũt illius $uperficiei non cadunt, ni$i duæ in $uperfici\~e conicã pyramidis, $cilicet linea lõgitudinis b h, & linea oppo$ita lineæ b h in alia parte pyramidis: quoniã, ut patet ք 90 th. 1 hu- ius, plan{ae} $uperficiei $ecantis conũ trans axem & $uperficiei conicæ cõ- munis $ection e$t trigonũ duabus lineis longitudinis pyramidis & diame tro ba$is contentũ: linea uerò a h $ecat lineam b h in pũcto h, & linea c b $ecat eandem b h in puncto b per 91 th. 1 huius: lineæ ergo a h nulla linea cõcurret à uertice pyramidis ni$i in puncto a: nec enim ad aliquod pun- ctũ mediũ line{ae} a h à uertice b ductæ line{ae} incident: nõ occultabitur er- go pũctus h ab alìquo alio pũcto, quò minus perueniat ad centrũ ui$us a. Occurrit ergo punctus h ui$ui, cũ inter ip$um & ui$um nõ accidat $oli- dicorporis interpo$itio. Ead\~e quoq; e$t probatio de quolibet alio dato puncto $uperficiei pyramidis: in linea uerò b c, qu{ae} perpendicularis e$t $uper $uperfici\~e ui$us per 72 th. 1 huius, folũ tantũ punctũ po$sibile e$t uideri, ut o$t\~e$um e$t in 4 hu ius: omnia uerò alia puncta lineæ b c nece$$ariò occultãtur. Patet ergo propo$itũ. Patet itaq; ex ijs, quoniã in hoc $itu nulla $uperficierũ pyramidũ conting\~etiũ peruenit ad c\~etrũ ui$us, pr{ae}ter illã, qu{ae} in linea b c longitudinis centrũ ui$us tran$euntis pyramid\~e cõtingit: & o\~es $uperficies aliæ conum contingentes $ecant lineam productã à centro ad ip$am pyramid\~e inter uertic\~e coni & c\~etrũ ui$us.

92. Axe pyramidis cum centro ui$us uer$us uerticem concurrente: tota conica $uperficies uno oculo uidetur. Alhazen 39 n 4.

E$to data pyramis, cuius axis b c: uertex quoq; punctus b: & $it ui$us centrũ pũctũ a: $it\’q;, ut axis b c {pro}ductus currat in punctũ a. Dico, quòd in hoc $itu oculi tota conica $uperficies pyramidis oc- currit uni ui$ui: nullus enim punctus $uperficiei conicæ totins pyramidis ui$ui occultatur. Dato e- nim quocũq; puncto, $it ille l: & ducatur ad ip$um à c\~etro ui$us a linea a l: & ab ip$o pũcto l ducatur VITELLONIS OPTICAE per 101 th. 1 huius linea longitudinis pyramidis, quæ $it l b: fiet\’q; trigonũ l b a, quod nece$$ariõ erit in $uperficie pyramid\~e $ecante, ideo quòd linea a e ducta à c\~etro ui$us in- tratin ip$am pyramid\~e, $ecãs ip$am, & ip$a e$t in dicta $uperficie per 1 p 11, a d b k j c quoniã linea a b e$t in illa $uperficie: linea uerò a l $ecat lineá b l in puncto l: ex lineis uerò $uperficiei, in qua $unt duæ lineæ a l & b l, nó $unt, ni$i du{ae} tantũ lineæ in $uperficie pyramidis, $cilicet linea lõgitudinis, quæ e$t b l, & linea alia longitudinis illi oppo$ita, quæ $it b k, ut patet per 90 th. 1 hu- ius: h{ae}c ergo linea b k producta ultra punctũ b, cũ $it in ead\~e $uperficie cũ lineis a b & b l, nece$$ariò $ecabit angulũ a b l: ergo per 29 th. 1 huius ip$a $ecabit & ba$im a l: $it ergo ut $ecet illã in puncto d. Et quia linea a l $ecat duas lineas k b & l b, quæ $olæ ex lineis $uperficiei pyramid\~e $ecãtis $unt in pyramidis $uperficie, $ecat enim linea a l lineá k b extra pyramidem in pũcto d, & lineam l b in $uperficie pyramidis, in pũcto l: producta ergo li- nea a k in infinitũ, nõ concurret cũ aliqua illarũ linearũ: nõ interponetur ergo $olidũ punctũ, quod e$t k inter ui$um & pũctũ l: $ed nec aliquod alio rũ punctorũ ip$ius pyramidis: quoniã nullũ ip$orũ caditin illa $uperficie. Nõ occultabitur ergo tũc ui$ui exi$t\~eti in pũcto a datũ punctũ l: cũinter ip$um & c\~etrũ ui$us nõ accidat aliqua $olidi corporis interpo$itio. Et ea- d\~e e$t demon$tratio de quolibet dato pũcto in tota $uperficie pyramidis. Patet ergo propo$itũ. Palàm itaq; ex his, quoniã in hoc $itu nulla $uperfi cierũ cõtingentiũ pyramid\~e tran$it per centrũ ui$us, $ed quælibetip$arũ $ecabit lineam à centro ui$us per uerticem conum intrantem inter centrum ui$us & pyramidem, $cilicet in uertice ip$ius axis, ut patetintuenti.

93. Omnes lineæ uel $uperficies, inter lineas uel $uperficies cõtingentes colũnã uel pyramid\~e rotũdã$uքfici\~e ui$am terminãtes àc\~etro ui$us {pro}ductæ, colũnã uel pyramid\~e nece$$ariò $ecabũt.

Verbi gratia, $int duæ lineæ lõgitudinis column{ae} uel pyramidis terminantes ui$am $uperficiem, qu{ae} $int a b & c d. Dico, quòd $i à centro ui$us (quod e$te) ducatur linea e finter lineas illas a b & c d, quo c k a f y g e d g niam linea e f $ecabit propo$itã columnã uel pyramic d\~e. Tran$eat enim $uperficies plana columnã uel py- ramid\~e $ecans ip$am in puncto f æquidi$tanter ba$i: erit\’q; per 100 th. 1 huius cõmunis $ectio circulus, qui $it g f h: qui $ecet lineas lõgitudinis colũn{ae} uel pyra- midis, eam $cilicet, qu{ae} a b, in pũcto g, & eam, qu{ae} e$t c d, in puncto h: & ducantur à pũcto e per 17 p 3 duæ line{ae} cõting\~etes illũ circulũ, qu{ae} $int e g & e h: palàm aũt per 57 th. 1 huius quoniá linea e fin ead\~e $uperfi- cie cũlineis illis exift\~es, $ecat circulũ g fh: ergo $eca bit columná uel pyramid\~e, quæ per eund\~e circulum $ecatur. Id\~e quoq; accidit $i per $ectionem lineæ lon gitudinis hoc placuerit demon$trari, & in idem re- dit. Patet ergo propo$itum.

94. Pluribus planis $uperficiebus centrum ui$us tran$euntibus $ecundũ lineas longitudinis partis $uperficiei ui$æ columnã uel pyramid\~e conuexam $ecantibus: $olã $uperfici\~e axem columnæ pertran- $eunt\~e, $uperfici\~e colũnar\~e uel pyramidal\~e ui$am per æqualia diuidere: & econuer$o $uperfici\~e per æ- qualia illam ui$am $uperficiem diuidentem, axem tran$ire e$t nece$$e.

Sit colũna cõuexa, cuius $uperficies ui$a $it e d f g: & axis eius $it h i: & $it centrũ ui$us punctũ a: $int\’q; line{ae} longitudinis colũnæ, contin\~etes ui$am $uperfici\~e, quæ e d & f g. Imagin\~etur quoq; mul- t{ae} planæ $uperficies tran$euntes centrũ ui$us a, & $ecantes e d f g ui$am $uperfici\~e columnæ. Dico, quòd $ola illa, quæ pertrã$it axem h i, ip$am ui$am $uperfici\~e ք {ae}qualia diuidit, & nulla aliarũ: $ola e- nim hæc erecta e$t $uper cõuexam $uperfici\~e colũn æ: quoniã cõmunis $ectio illius $uperficiei $ecan tis, & $uperficiei colũnæ e$t rectangulũ $ub duabus lineis lõgitudinis colũnæ & duabus diametris ba$ium cõtentũ, ut patet ք 93 th. 1 huius: ergo cõmunis $ectio illius $uperficiei & ui${ae} $uperficiei con uexæ ip$ius colũnæ $it linea lõgitudinis colũnæ, quæ m o: & imaginetur $uperficies plana cõting\~es columnã $ecũdũ lineã longitudinis m o ք 95 th. 1 huius: erũt ergo illa cõting\~es $uperficies & $uper- ficies $ecás per axem erectæ ad inuic\~e per 97 th. 1 huius. Si itaq; in linea m o $ignetur punctũ p: & in $uperficie cótingente ducatur linea t p s: tunc palàm quòd linea t p s cõtinget qu\~edã circulũ $uper- ficiei colũnæ æ quidi$tant\~e ba$ibus. qui $it b q: & eius centrũ $it u: ducãtur\’q; per 17 p 3 line{ae} a b & a q LIBER QVARTVS à centro ui$us circulũ b q cõtingentes: erũt ergo illæ lineæ æquales per 58 th. 1 huius: $ecent\’q; lineã illã circulũ contingent\~e, quæ e$t t p s, in punctis t & s: & ducatur linea a p: quæ producta, ut patet ք 18 p 3 pertinget ad axem in pũctũ u centrũ circuli: & ducãtur intra columnã lineæ b u & q u $emidiametri o a g i e s p t b u q m d f h circuli b q. Trigona ita q; a b u & a q u $unt {ae}quilate- ra: ergo per 8 p 1 $unt {ae}quiangula: angulus ergo u a b e$t æqualis angulo u a q: $ed in trigono at p angulus a p t e$t æqualis angulo a p s trigoni a p s per defini- tion\~e line{ae} $uper $uperfici\~e erect{ae}: ergo per 32 p 1 an- gulus a t p e$t æqualis angulo a s p: ergo per 6 p 1 e$t linea a t æqualis lineæ a s. Et quia line{ae} a b & a q $unt {ae}quales, ut $uprà patuit: ablatis ergo hinc inde lineis a t & a s, remanebit linea t q æqualis lineæ s b: $ed li- nea t q e$t æqualis lineæ t p per 58 t 1 huius: quoniã à puncto t ductæ $unt duæ line{ae} circulũ conting\~etes, quæ $unt line{ae} t q & t p: $imiliter quoq; fit linea s b {ae}- qualis lineæ s p. Cũ ergo per 13 p 1 anguli b s p & q t p $int æquales, erit per 4 p 1 chorda p b {ae}qualis chord{ae} p q: ergo per 28 p 3 erit arcus p b æqualis arcui p q. Et quoniam id\~e accidit in ba$ibus column{ae}, & in quoli- bet aliorũ circulorũ æquidi$tãte ba$ibus: patet ergo propo$itũ primũ, $cilicet quòd $uperficies plana $e cans columná per axem & tran$iens c\~etrũ ui$us, $e- cat $uperfici\~e ui$am per æqualia. Et quoniã o\~es aliæ $uperficies declinantes ab axe obliquè incidunt $u- perficiei contingenti columnã in media linea $uperficiei ui$æ ip$ius columnæ, quæ e$t linea m o, pa tet quòd nulla ip$arũ illã $uperfici\~e ui$am per æqualia $ecat. Sed etiã $uperficies, qu{ae} ui$am partem $uperficiei column{ae} per {ae}qualia $ecat, nece$$ariò tran$it per axem. Sit enim di$po$itio, quæ prius, & ducantur o\~es lineæ priores: erit ergo linea m o, cui illa $up erficies incidit, diuid\~es $uperfici\~e ui$am per æqualia: & ip$a e$t cõmunis $ectio $uperficierũ $ecantis & cõtingentis: erit itaq; per 61 th. 1 hu ius linea p t {ae}qualis line{ae} p s: $ed linea p t e$t {ae}qualis lineæ t q per 58 th. 1 huius: & $imiliter linea p s æqualis ip$i line{ae} s b: relinquitur ergo linea a t æqualis e$$e line{ae} a s. Et quoniã in illis trigonis a p s & a p t linea a p e$t cõmunis ambobus ip$is: erit ergo per 8 p 1 angulus a p t æqualis angulo a p s: u- terq; ergo illorũ angulorũ e$t rectus, & linea a p e$t perp\~edicularis $uper lineã t p s: linea ergo a p cũ æquales angulos cõtineat cũ linea m o: palã per definition\~e quoniã ip$a e$t erecta $uper $uperfici\~e contingent\~e columnã in linea m o: ergo per 18 p 11 $uperficies, in qua e$t linea a p $ecans columnam, erecta e$t $uper $uperficiem ip$am contingentem columnam $ecundũ lineam m o. Ergo per 97 th. 1 huius patet quòd ip$a tran$it per illius column{ae} axem. Et penitus eodem modo e$t in rotundis py- ramidibus demon$trandum. Et hoc proponebatur.

95. Rect angulæ magnitudines à maiori di$tantia ui$æ circulares appar\~et. Euclides 9 th. opt.

Sit magnitudo rectangula ui$a ex magna di$tantia, quæ $it b g d z. Quoniã ergo unumquodq; ui- $orum habet longitudin\~e di$tanti{ae}, qua facta non fiet ui$io, ut patet g z d g per 8 huius: corpus uerò angulare circa angulum e$t minus, quàm circa alìas $ui partes: e$t ergo nece$$e prius deficere ui$ui corpus circa angulũ g quàm circa puncta remotiora, quæ $unt d, z: & $imi- liter accidet in unoquoq; aliorum angulorum. Tota ergo periphe- ria corporis quãtũ ad prominentiã angulorũ propter $ui di$tantiã à ui$u nõ apparebit. Videtur itaq; ui$ui corpus rectangulũ e$$e $igu- ræ circularis: ut turris quadrata uidebitur rotunda. Quando ita q; ui$us comprehendit quadratum aut polygonium à remoto, cõpre hendet illud rotundũ, $i $uerit æqualium diametrorũ: aut compre hendet ip$um oblongũ figur{ae} teretis, $i fueritin{ae}qualiũ diametro- rum, ut e$t figura altera parte longior: ut plurimũ $unt quadrangu- læ turres, quæ cũ à remoto uidentur, apparent teretis figuræ: nec enim exce$$us radiorũ ab angulis $uperficiei quadratæ prodeuntium ad ui$um $uper longitudinem radiorum prodeuntium à lateri- bus planis e$t proportionalis re$pectu di$tanti{ae} totius corporis à ui$u aliqua proportione $en$ibili: unde propter in$en$ibilitat\~e exce$$us o\~es radij æ$timantur e$$e æquales: magis aũt hoc $olet accide re in alijs polygonis figuris: oxygona enim corpora plurimũ ex aliqua magna di$tãtia ui$a uid\~etur rotunda: & e$t hoc qua$i per eadem pr{ae}mi$sis demon$trandum. Et hoc e$t propo$itum.

96. Curruum rotæ uel lapidum molarium figuræ quando<005> circulares, quando<005> oblongæ ap- parent. Euclides 40 th. opt.

Quod $uprà per 55 & 56 huius cõclu$um e$t de figuris $uperficialibus: hic proponimus $imiliter VITELLONIS OPTICAE decorporalibus figuris, pa$siones proprias ip$arum $uperficierũ illis corporibus, quorũ $unt lp$æ $uperficies, applicãtes. Sit itaq; rota a b g d: cuius diametri $int b a & g d $ecantes $e orthogonaliter $uper c\~etrũ e: $it\’q; oculus in $uperficie b g c d a circuli uel circa. Si ergo linea, qu{ae} cadit à centro oculi $uper centrum rotæ (quod e$t punctum e) obliquè incidat $uperficiei ip$ius rotæ, ita ut non $it perpendicularis $uper rotæ $uperficiem, nec æqualis $e- midiametro: dico quòd diametri rot{ae} inæquales apparebunt, & una quidem maxima, alia uerò minima: aliæ uerò omnes, qu{ae} $unt mediæ inter maximã & minimã, propinquiores minim{ae} $unt minores remo tioribus ab illa: quælibet aũt du{ae} æqualiter di$tantes ab altera diame trorum, æquales apparebunt. Rotæ ergo oblong{ae}, ut $ectio columna ris uel conica oxygonia uidentur. Etid\~e accidit in figuris lapidũ mo lariũ, & omnibus alijs quibu$cũq; figuris. Et hoc e$t propo$itum.

97. In figuræ ui$ione uirtuti di$tinctiuæ error accidit ex intemper at a di$po$itione octo circum $tantiarum cuiuslibet rei ui$æ. Alhazen 25. 36. 47. 54. 59. 64. 66. 69 n 3.

Ex intemperata enim lucis di$po$itione figura polygonia æquilatera uidebitur de nocte circula ris uel $phærica: quoniam lux nimis debilis occultat angulos: & etiã $ph{ae}ra $ub luce ualde debili ui $a, æ$timatur $uperficiei plan{ae}, quia propter lucis debilitat\~e occultatur ui$ui partiũ pr{ae}emin\~etia in $uperficie ip$ius $phær{ae}. Exint\~eperata etiã longitudine di$tantiæ figura quadrata quandoq; uide- tur rotunda $ph{ae}rica: & etiã figura quadrata quandoq; apparet ui$ui altera parte longior, ut patet ք 59 huiu: squãdo etiã propter remotion\~e nimiam obliquatio alterius lateris quadrati nõ $entitur. tunc propter ip$am remotion\~e quadratũ altera parte lõgius uidetur, ut patet per 62 huius. Accidit etiã error ui$ioni figuræ ex longitudinis immoderatione: figura enim multorũ laterũ æqualiũ op- po$ita ui$ui directè, in magna di$tantia uidetur circularis rotunda, quia anguli eius $unt ui$ui imper ceptibiles, quod patet per 95 huius: & linea curua æ$timatur recta per 50 huius: & figura $phærica uidetur plana per 65 huius. Ex inordinatione etiã $itus error accidit in figur{ae} ui$ione. Si enim cor- pus circulare, ut $cutella, ab axe elongetur, & modicũ $uper lineam, cui axis perpendiculariter inci dit, obliquetur, uidebuntur eius diametri inæquales per 96 huius: & figura circularis per 55 & 56 huius uidebitur $ectionis oxygoni{ae} uel columnaris figur{ae}: & $imiliter propter æqualitat\~e oppo$i- tionis unius laterum ad ui$um figura quadrata æ$timabitur altera parte lõgior per 61 huius. Ex in- temperantia etiã quantitatis uel magnitudinis accidit error ui$ioni figurarum. Cum enim $uperfi- cies ui$a fuerit multũm parua, $i $uerint in ea anguli, occultabuntur ui$ui: unde fortè forma eius an- gularis æ$timabitur rotunda, $ph{ae}rica, aut columnaris. Et $i fuerint in eius $uperficie aliqu{ae} pr{ae}emi nenti{ae}, latebunt ui$um, & æ$timabitur eorũ $uperficies plana, ut h{ae}c patere po$$unt in atomis $olis. quarum certa figura nõ compreh\~editur, quoniã anguli ip$arum ui$ui à minori di$tãtia occultãtur. ut patet per 8 huius. Ex int\~eperata etiã $oliditate accidit error ui$ioni figurarũ. Si enim corpus $ue ritminus $olidum, in quo fuerint anguli, illi fortè occultabuntur uidenti, & angularis forma puta- bitur $ph{ae}rica, $ortè & $ph{ae}ricitas illorũ corporum uidebitur plana. Intemperata quoq; diaphani- tas in un$ione figurarum errorem in ducit: quoniã exi$tente aere nubilo$o, ob$curo, ut in crepu$cu- lis, $i in corpore illo fuerint anguli, fortè apparebit $ph{ae}ricitas: & $i in ip$o fuerit $ph{ae}ricitas, appare bit $orrè planities: quoniã medium nõ e$t taliter di$p o$itum, ut per ip$um po$sit fieri cõpleta ui$io, ad quã requiritur lumen, ut patet per 1 th. 2 huius. Breuitas etiã temporis error\~e ui$ibus in ui$ione figurarum adducit: modica enim gibbo$itas in re $ubitò ui$a latet ui$um, & æ$timatur planities: & $i fuerint res figur{ae} angularis $ubitò ui$æ, $ortè $phæric{ae} apparebunt. Vi$us quoq; debilitas error\~e cau$$at in figurarum ui$ione: modicus enim gibbus, & multiplex angulus debilem latent ui$um: & uidentur res $ph{ae} planæ, & angulares $pheric{ae}: $ic ergo patet propo$itum in omnibus circum- $tantijs ui$ibilium. Et hoc proponebatur.

98. In ui$ione corporeitatis erroures accidentes uirtuti di$tinctiuæ ex intemperata di$po$i- tione octo circum$tantiarum cuiuslibet rei ui$æ, $unt {ij}dem illis, qui in $itus & figuræ accidune ui$ione. Alhazen 25 n 3.

Corporeitas enim, ut patet in 63 huius, à ui$u comprehenditur ex comprehen$ione figurarum, quas faciunt $uperficies corpus continentes: e$t ergo eadem hinc inde erroris cau$$a: & omnis er- ror, qui pote$t accidere ui$ui in non comprehen$ione uer{ae} corporeitatis, uel in erronea cõprehen- fione, accidit ex errore proueniente circa $pecies figurarum: ut $i $uperficies $ph{ae}rica conuexa uel concaua {ae}$timetur plana per 65 huius: quia in corporibus maxim{ae} remotionis à ui$u non compre- hendit ui$us corporeitatem, quando non comprehendit obliquationem $uperficierum. Et hoc to- tum accidit propter deceptionem circa figuras factam: non enim cõprehendit tunc ui$us $itus par- tium illarum $uperficierum ad inuicem, qui $itus e$$icit figuram: unde cum certitudinaliter cõpre- henditur figura, certitudinaliter comprehenditur corporeitas: & cum comprehenditur figura in- di$cinctè, comprehenditur etiam corporeitas indi$tinctè. Et hoc accidit in omnibus modis, quibus error accidit in ui$ionibus figurarum, Et quia $itus e$t cau$$a figurarum, ideo etiam errores acciden LIBER QVARTVS. tes $itui, accidunt & corporeitati: quia enim corporeitas includitur $ub figura & $itu, ideo errorem corporeitatis gerit error in $e $itus & figuræ.

99. Diftinctio ui$ibilium comprehenditur à ui$u ex di$tinctione formarum ip$arum ui$ibili- um in diuer$is $uper$iciei ui$us partibus impre$$arum. Alhazen 46 n 2.

Di$tinctio, qu{ae} e$t inter qu{ae}libet duo corpora, aut e$t exluce: aut ex colore actum lucidi haben- te: aut ex ob$curιtate: h{ae}c enim $unt princιpium di$tinctionis formarum in $uperficie ui$us: quo- niam hæc per $e perueniunt in partem $uperficiei ui$us. Quandoq; autem lux & coloruel ob$curi- tas $unt in ιp$is formis, qu{ae} di$tinguuntur: quandoq; uerò lux & color uel ob$curitas di$tinguentia formas in ip$a $uperficie ui$us, $unt in corporibus medijs $ecundum $ιtum di$tinguentibus corpo- ra, quorum form{ae} di$tinguuntur in ui$u: & tunc $i ui$us non $en $erit quòd lux, color aut ob$curitas, qu{ae} e$t in loco di$tinctionis, non e$t in corpore continuato cum utroq; corporum, qu{ae} $unt in eius lateribus: tunc non $entiet di$tinctionem duorum corporum. Et etiam quandoq; fit di$tinctio ui$i- bilium ex hoc, quia non e$t po$sibile plura ui$ιbilia æ qualiter uideri per 49 th.3 huius. Aut enim $u perficies cuiuslibet illorum corporum e$t obliqua ad $uperficiem ui$us in loco di$tin ctionis, & e$t in æ qualis obliquitatis: aut unius ip$orum forma e$t ui$ui obliquè, alterius uerò forma e$t ui$ui dire- ctè oppo$ita, mani$e$tior ui$ui quàm alia, quæ e$t ui$ui obliquè oppo$ita, uel qu{ae} $ibi opponitur plus obliquè: & $ecundum hoc comprehendet ui$us di$tinctionem ui$ibilium formarum: $iue ip$o- rum di$tinctio $ecundum $patium interiacens $it ampla $iue $tricta, dum tamen $it $en$ibilis, re$pe- ctu remotionis corporum ui$orum & re$pectu quantitatis corporũ di$tinctorum: quia fortè quan- doque di$tinctio formarum e$t quantitatis unius capilli: & illud diminutum non affert di$tantiam $en$ibilem in ui$u. Patet ergo propo$itum.

100. Continuitas ui$ibilium comprehenditur à ui$u ex di$tantiæ priuatione. Alha- zen 47 n 2.

Cum enim ui$us non $en$eritin corpore aliquam di$tantiam, comprehendet ip$um e$$e conti- nuum: & $i in corpore fuerit di$tantia occulta non comprehen$a à ui$u: comprehendet ui$us illud corpus e$$e continuum, & di$cernet inter continuationem & continuationem ex com prehen$ione aggregationis duorum terminorum duorum corporum. Si ergo $enti\~es non $en$erit, quòd utrũq; duorum corporum contiguorum e$t diuer$um ab altero & di$tinctum ab eo: tunc non $entiet con- tiguationem, $ed indicabit e$$e inter illa ui$a perfectam continuationem & totius $uperficiei ui$æ per$ectam unitatem, quæ e$t continuitas. Patet ergo propo$itum.

101. Numerus comprehenditur à ui$u per hoc, quòd unum ui$ibilium comprehenditur ab al terodi$tinctum. Alhazen 48 n 2.

Quando enim ui$us comprehendit in una hora multa ui$ibilia in $imul di$tincta, & illorum di- $tinctionem, comprehendet quòd quodlibet ip$orum e$t ab altero diui$um. Comprehendit ergo multitudinem: & tunc uirtus di$tinctiua comprehendet numerum ex multitudine ill orum, & $i e$t par uel impar, & medietatem paris numeri & quamlibet ip$orũ unitatem: & per hũc modũ omniũ rerum ui$arum numerum comprehendit & mathematicum & naturalem. Patet ergo propo$itum.

102. Omnis forma ui$ibus obliquè incidens $emper apparet ultra locum formæ directè inci- dentis. Ex quo patet quòdformæ ambobus ui$ibus $ecundum æqualitatem angulorum obliqui- us incidentes plurimum à $e di$tant.

Quod hic proponitur, $atis patet. Quando enim linea radialis $uperficiei ui$us obliquè incidit: tunc ip$a per 47 th. 2 huius refringitur à $uperficie oculi, & ad concauum nerui peruenit plus obli- què: quoniam tunc $ecundum angulum incidentiæ formatur quantitas anguli refractionis per 36 th. 3 huius. Palàm ergo quoniam illa linea obliquè $uperficiei ip$ius ui$us incidens, propter $uæ in- cidentiæ obliquitatem & anguli acuitatem facit angulum $uæ refractionis acutum: unde tunc li- nea refractionis inter$ecat lineam directè incidentem, & à $uperficie oculi æ qualiter refractam: & $ic forma obliqua uidetur ultra formam rectè ui$am. Et $i amb{ae} form{ae} obliquè incidant $ecundum eundem $u{ae} obliquitatis modum, ita, ut utrobique $it {ae}qualitas angulorum incidenti{ae} & refractio- nis: tunc forma oculo dextro incidens, $ecans lineam, per quam directè incidens ad medium pun- ctum concauitatis nerui perueni$$et, $it $ini$tra ab illa, & $orma oculo $ini$tro obliquè incidens, re- $pectu illius medij puncti concauitatis nerui, fit dextra: & $ic quandoq; acciditillas formas à $e plu rimum di$tare. Et quoniam qu{ae}libet ip$arum offertur uirtuti $en$itiuæ, quoniam $ecundum luces & colores, qu{ae} $unt in ip$a forma, qu{ae} e$t extra, depingitur ip$a forma in $uperficie organi membri $entientis in duobus locis $ecundum numerum oculorum, quibus incidit, & à quorum $uperficie refringitur: forma uerò directè in cidens ad unum $ecundum omnes eius partes ordinatur locum con$imiliter, ut patet per 37 th. 3 huius. Forma ergo obliquè incidens $emper apparet ultra locum formæ dirctè incidentis. Patet ergo propo$itum, & eius corollarium.

VITELLONIS OPTICAE 103. Omne ui$um, quod directè opponitur medio unius ui$us, & in re$pectu ad reliquum ni- $um e$t obliquum: $emper uidetur duo. Alhazen 13 n 3.

Nam formapuncti, quæ directè incidit medio alterius ui$uum, per uenit ad punctum mediũ coa cauitatis nerui, ur patet per 29 th. 3 huius, quoniam forma illius puncti incidit ui$ui $ecundũ axem pyramidis radialis: $orma uerò puncti obliquè inciden- tis in medio $uperficiei alterius ui$us uenit ad punctum e f a b aliud quàm ad medium punctũ concauitatis ip$ius ner- ui, $ecundau obliquationem puncti $uperficiei ui$us: & $ic non concurrunt ill{ae} form{ae} in eod\~e pũcto medio con cauitatis nerui. Verbi gratia, $int centra duorum ui$uum a & b: $it linea e f quoddam ui$um directè oppo$itũ cen- tro ui$us a: $it autem ip$a linea e f obliquè oppo$ita ui$ui, cuius centrum e$t punctum b. Quia ergo forma lineæ e f directè peruenit ad medium cõcauitatis nerui commu- nis per 29 th. 3 huius: palàm quòd forma eius circa illum punctum medium concauitatis nerui $ecũdum omnes $itus $uarum partium ordinatur per 37 th. 3 huius. Quia uerò forma eiu$dem line{ae} e f tota obliquè in cidit $uper$iciei ui$us b: palàm per ea, quæ declarata $unt in 37 th. 3 huius. quòd forma eius non peruenit ad punctũ medium concauitatis ner- ui, $ed ad aliquod ip$ius punctum aliud: non $uperponetur ergo priori form{ae}, $ed remanebit di$tin- cta ab illa. Apparebunt ergo du{ae} form{ae}, quoniam in duobus locis ip$ius membri $entientis offertur forma ip$ius ui$ibilis ip$i uirtuti $enti\~eti: & $ic iudicat illas e$$e duas, & nõ unã. Patet ergo {pro}po$itũ.

104. Omnis forma rei ui$æ intra axes radiales con$titutæ, obliquè ambobus ui$ibus occurrit: unde $emper uidetur duo. Alhazen 11 n 3.

Verbi gratia, $int centra duorũ ui$uũ a & b: & concurrant axes ui$uales in puncto c: $it\’q; axis cõ- munis d c: & $it res intra axes ui$a, qu{ae} e. Dico, quòd forma rei ui${ae}, qu{ae} e$te, $emper obliquè occur- rit ambobus ui$ibus: unde $em per uidebitur e$$e du{ae}. Quòd aut\~e ob- liquè $emper incidat ambobus ui$ibus, patet: cũ enim à puncto c du- c e e e a d b cta $it linea c a perpendiculariter $uper centrum foraminis uueæ o cu- li, cuius centrum e$t punctum a, ut patet per 24 th. 3 huius, & cũ linea c b ducta $it perpendiculariter $uper centrum foraminis uueæ o culi, suius centrũ e$t punctum b: palàm per 13 p 11 quoniam ab aliquo pun- cto $uperficiei rei ui${ae}, qu{ae} e$t e, a d dicta centra foraminum peropendi- culares aliæ duci non po$$unt: omnes ergo lineæ à $uperficie corpo- ris e ad $up erficiem ui$uum product{ae}, $unt obliqu{ae} per 24 th. 3 huius: non ergo propter re$ractionem concurrent in puncto medio conca- uitatis nerui, $ed ultra, & plurimùm à $e di$tabũt per 102 huius. Vide- buntur ergo $emper dua per pr{ae}cedentem. Cum itaq; axes duarum pyramidum ui$ualium concurrant in aliquo puncto rei ui${ae}, & duo a- lij radij obliqui comperehendand aliud ui$um propin quius duobus ui $ibus aut remotius intra axes: tunc po$itio eius apud duos ui$us erit diuer$a in parte: nam illud ui$um erit dextrũ uni axium ui$ualiũ, & $i- ni$trum alteri ip$orũ: radij quoq; exeuntes ab ip$a re taliter ui$a ad al- terũ ui$um, erũt dexcri ab axe, & ad reliquũ ui$um exeuntes, erũt $ini$tri ab illius axe: & $ic po$itio eius apud duos ui$us erit diuer$a in parte: & forma unius ui$i incidit duobus ui$ibus in duobus lo- cis diuer$è po$itis, & peruenit ad loca diuer$a concauitatis communis nerui à duobus lateribus $ui puncti medij, & partes illius form{ae} non $uperponuntur $ibi: erunt ergo duæ formæ. Et ita $emper forma rei taliter ad ui$um di$po$it{ae} uidentur du{ae} formæ, & res ip$a ui$a uidetur $emper duo. Quod e$t propo$itum.

105. Lineæ rectæ uicinæ ui$ibus in $uperficie axis communis erectæ $uper trigonum axiũ ra- dialium puncto coniunctionis incidente, $olum illud punctum uidebitur unum: omnia uerò alia dictæ lineæ punct a uidebuntur duo, & æqualiter à puncto coniunctionis declinantia, ac $i duæ lineæ $einter$ecent in puncto coniunctionis.

Sit centrum ui$us $ini$tri punctum a, dextri uerò punctum b: & $it linea recta h z: quæ $ecundum medium pũctum na$i ambobus ui$ibus interpo$ita extendatur taliter, ut in aliquo pũcto $uo $igna- to, quod $it q, concurrant axes ui$uales: erit ergo q punctum coniũctionis amborum axium ui$ua- lium. Et quoniam ip$um punctum e$t in linea h z, qu{ae} $ic extenditur inter ambos axes radiales: tunc palàm e$t, quòd ip$a e$t in $uperficie, in qua e$t axis communis, erecta $uper ba$im trigoni b q a per 33 th. 3 huius. Dico ergo, quòd ubicunque punctus coniunctionis, qui e$t q lineæ h z, obli- què incidit ui$ibus, hoc e$t ambobus axibus b q, & a q, uel eorum alteri, angulosrectos non conti- nentibus cum linea h z, $olus punctus q uidebitur unus, ut e$t: quoniam forma eius $olius peram- bos axes radiales peruenit ad medium punctum concauitatis nerui: & $ic forma una uidetur rei LIBER QVARTVS. unius, ut hoc patere pote$t per 46 & 47 th. 3 huius: reliqua uerò puncta omnia lineæ h z uidentur{ae}- qualiter à puncto coniunctionis declinantia, ac $i duæ lineæ $e inter$ecent in puncto cõiunctionis quod e$t q: quia radij diuer$i ab illis punctis perueni. c c z d d q q a h b entes ad ambos ui$us & $ini$trantur & dextrantur. Omnes enim radij exeuntes ab alijs pũctis lineæ h q ad ui$um dextrum ex parte axis h q, fiunt $ini$tri ab axe a q, & peruenientes ad $ini$trum ui$um ex parte axis h q, fiunt dextri ab axe b q: perueniunt enim ad $uperficiem ui$us ex una parte $emidiametri $orami- nis, quæ à centro uueæ re$picit axem communem: & radij peruenientes à punctis lineæ q z, ad ui$um de- xtrum, fiunt item $ini$tri ab axe aq, & peruenientes ad ui$um $ini$trum, fiunt dextri: perueniunt enim u- trique radij ad $uperficiem ui$us ex parte $emidiame tri cum priori $emidiametro, diametrum totam illius foraminis uueæ complente. Et quoniam ambo ocu- li $unt in omnibus di$po$itionibus {ae}quales per 4 th. 3 huius: palàm, quòd anguli utriu$q; axium & i$tarum $emidiametrorum $unt æ quales circa centrum utri- u$que circuli foraminis. Anguli quoq; c q z, & d q z, propter eadem $unt æ quales. Ducta itaq; linea à puncto z æ quidi$tante lineæ a b per 31 p 1, quæ $it c z d: producatur linea a q in punctum d, & linea b q in punctum c: patet, quòd $ecundum illas lineas fit ui$io illarum formarum. Quoniam enim anguli, $ecundum quos fit obliquatio ui$ionis, qui $unt c q z, & d q z $unt æ quales: ergo ք 13. 15. & 14 p 1 lineæ ui$uales, qu{ae}, ex\~epli cau$$a, $int line{ae} b q, & q c, cõiunctæ $unt linea una: & $imiliter e$t de lineis a q, & q d. videtur aũt linea una radialis duæ line{ae} propter diuer$itatem incidentiæ form{ae} illius puncti ambobus ui$ibus, quæ obliquatio fit qua$i per modum duarum linearum $e$ecantium circa punctum q: forma enim $ecundum axes radiales ui$t- bus incidens ad medium punctum concauitatis nerui pertingit, & formæ obliquè incidentes, circa ip$um $e $ecantes figurátur. Remotiones enim duarum quarumlibet linearum radialium ab aliquo puncto lineæ h z ad ambos axes peruenientium, $emper erunt in duabus partibus diuer$is: quapro pter duæ formæ cuiuslibet puncti eius incident duobus punctis concauitatis nerui communis à duobus lateribus pũcti medij, ut o$t\~edimus in præmi$sis. Pater ergo propo$itum. Patet etiam quòd mutato pũcto coniunctionis, linearum inter$ectarum quantitas mutatur: $empertamen ex utraq: parte $ectionis partes linearum $untæ quales: & $ecundum approxiamationem ad ui$us anguli me- dij, ut $unt a q b, & c q d fiunt maiores, & $ecundum elongationem à ui$u fiunt minores, quou$q; cir ca axes radiales pyramides de$cribuntur, quarum ba$is e$t tota $uperficies reiui$æ: & horum pro- batio experimentalis accidit, $i ui$ibus modo dicto di$po$itis unusip$orum claudatur, alter\’que a- pertus re$eruerur, $ic uices mutando quantùm placet.

106. Si à puncto coniunctionis linea inter duas perpendiculares productas à terminis lineæ connectentis centra ui$uum, eidem æ qualis & æ quidi$tans fuerit producta: forma cuiuslibet punctiproductæ lineæ aut rei $uper ip$am exi$tentis, & formarei exi$tentis $uper alteram per- pendicularium in puncto propinquo prædictæ lineæ, uidebitur tant ùm una: exi$tentis autem in eadem perpendiculari remotæ à producta linea uidebitur $em- per duæ. d c f r t q k b a

Sint centra duotum ui$uũ a & b: linea ergo connectens centra e$t a b: & ab illius terminis erigantur perpendiculares a c & b d per 11 p 1: & $it punctus coniunctionis q: erunt ergo axes ui$uales a q & b q: à punctus. uerò q per 31 p 1 ducatur linea k q t æ quidi$itás lineæ a b. Di co, quòd forma cuiuslibet puncti lineæ k t, aut rei $uper ip$am exi- $tentis, $emper uidebitur una: & $i in aliqua perpendicularium a c & b d, in puncto propinquo lineæ k t, utin puncto r, $it res ui$a: adhuc uidebitur eius $orma una. Quod $i fuerit in puncto ualde remoto, ut in puncto f, tunc uidebitur una res ibi exi$tens e$$e duæ. Ducan- tur enim à puncto b lineæ b k, b r, b f. Palàm ergo per 47 & 19 p 1, quoniam linea b k e$t maior quàm linea b t: $ed linea k q e$t æ qualis lineæ q t ex hypothe$i: ergo per 35 th. 1 huius angulus t b q e$t ma- iorangulo q b k: e$t enim in trigono orthogonio, quod e$t t b k pro- ducta linea b q ab angulo t b k: ergo proportio anguli q b k ad an- gulũ t b q minor, quã partis ba$is, quæ e$t q k, ad p artem ba$is, quæ e$t q t: $ed partes ill{ae} ba$is ad inuic\~e $unt {ae}quales: ergo angulus t b q e$t maior angulo q b k per 10 p 5: $ed ք 4 p 1 angulus t b q e$t {ae}qualιs angulo k a q:angulus ergo k a q e$t maior angulo k b q: ergo ք argumentũ 1 petitionis fact{ae} in prin- VITELLONIS OPTICAE cipijs primi libri huius remotio lineæ a k ab axe a q e$t maior quá remotio lineæ b k ab axe b q. Dif- ferentia tamen inter has duas remotiones e$t modica: quoniam differ\~etia inter duos augulos k a q, & k b q e$t modica. Forma ergo puncti k non multum obliquabitur ab axibus ui$ualibus, qui $unt b q, & a q. Non ergo uidebitur illius puncti k forma ni$i una, quoniam forma eius non multùm elon gatur à puncto medio cócauitatis nerui. Et quoniá corpore aliquo exi$tente in pũctor, patet, quòd radij exeuntes ad ip$um, $unt b r & a r: & quia etiam duo anguli r a q & r b q nõ multũ differunt, quo niam angulus k b r, qui e$t illorum angulorum differentia, ut patet, non habet $en$ibil\~e quantitat\~e, quando punctus r fuerit ual de propinquus puncto k: forma ergo puncti r adhuc non uidebitur ni$i una, Siuerò corpus aliquod, cuius $orma $e offert ui$ui, exi$tat in aliquo puncto line{ae} perpendicu- laris $uper $uperficiem ui$us, quæ e$ta c, remoto ualde à puncto k, ut e$t punctum $: tunc quia angu- li f b q & f a q $unt diuer$i maxiama diuer$itate, ideo, quòd angulus f b k, qui e$t illorum angulorum differentia, e$t $en$ibilis quantitatis: tunc corpus, quod e$t apud punctum f, uidebitur duo, quando duo axes concurrunt in puncto q: forma enim puncti fobliquè incidit $uperficiei ui$us b: unde nõ peruenit ad medium punctum concauitatis nerui, ut patet per 102 huius, $ed apparet ultra illud: $ic ergo numeratur forma illius punctif. Exhocitaq; patet, quòd ui$um, in quo concurrunt duo axes, $emper uidetur unum, $icut etiam patuit per 46 th. 3 huius, & quòd unumquodq; ui$orum, in quo concurrunt radij con$imilis po$itionis, inter quos non e$t magna di$tantia ab ambobus axibus, ui- detur etiam unum: illud uerò ui$um, in quo concurrunt radij multùm di$tantes ab axibus, uidetur duo: propterea quòd ip$um uni ui$uũ incidit directè & alteri ualde obliquè:uel $i ambobus ui$ibus incidit obliquè, & una illarum obliquitatum e$t $en$ibiliter maior quá altera. Videtur ergo talis res duæ per 104 huius. Patet ergo propo$itum.

107. Puncto coniunctionis cadente in angulũ trigoni, cui $ubten$a ba$is $it æqualis line æ con- nectenti centra oculorum, $ecundum terminos $uæ ba$is applicati centris amborum ui$num: quodlibet duorum laterum trigoni duas formas ui$uirepræ$entat.

Sint centra amborum ui$uum a & b: $it\’q; trigonum a b q applicatum ui$ibus taliter ut proponi- tur: uel $it ita, ut trigoni a b q ba$is a b $it ba$sior centris oculorum, in- q b h a cidant\’q; axes ui$uales in punctum q, qui $it punctus coniunctionis: & axis communis $it h q. Dico quòd laterum trigoni, quæ $unt a q & b q, unumquodq; duas formas uidenti præ$entabit. Quoniam enim utra- que formarum linearum a q & b q, utriq; ui$ui $e offert directè & obli què, ut linea dextra, quæ e$t a q, dextro ui$ui (qui e$t a) $e offert dire- ctè, quoniam omnes radij à quolibet $uorum punctorũ exeuntes inci- duntin c\~etrum foraminis uueæ per 24 th. 3 huius: & linea $ini$tra, qu{ae} e$t b q, incidit obliquè ui$ui dextro, qui e$t a: & ecõuer$o linea b q $ini- $tro ui$ui (qui e$t b) directè incidit, & linea a q eidem ui$ui $ini$tro, qui e$t b, incidit obliquè, ut h{ae}c omnia patent per 24 th. 3 huius. Forma i- taque obliquè incidens dextro ui$ui declinat ultra latus $ini$trum, cu- ius ip$a e$t forma, & fit $ini$tra ab axe: & forma obliquè incidens $ini- $tro ui$ui, declinat ad latus dextrum, cuius ip$a e$t forma, & $it dextra ab axe: erunt\’q; laterum trigoni omnia puncta in apparentia ui$uum duplicata: præter $olum punctum q, qui e$t punctus coniunctionis: & e$t ratio huius apparitionis ead\~e illi in præcedenti theoremate declarata. Patet ergo propo$itum.

108. Vnam rem nonnunquam uideri duas experiment aliter declaratur. Alhazen 12 n 3.

A$$umatur tabula lignea planarum $uperficierum, cuius lineæ longitudinis æ quidi$tantes & æ- quales $int a c, & b d: & $int unius cubiti: latitudinis uerò ip$ius lineæ æ quales & {ae}quidiftãtes: $int\’q: a b, & c d: & $int quatuor digitorum, orthogonaliter $uper lineas longitudinis erect{ae}: ducantur\’que duæ diagonij, quæ $int a d, & b c, $ecantes $e in puncto q: & à puncto q, quod per 40 th. 1 huius e$t medius punctus $uperficiei totius tabulæ a b c d, ducatur ad utrum que latus longitudinis linea {ae}- quidi$tans lineis latitudinis per 31 p 1, quæ $it k q t: & ab eodem puncto q ducatur linea h q z æ quidi- $tans lineis longitudinis a c, & b d: & intingantur omnes i$t{ae} line{ae} b c, a d, t k, h z tincturis lucidis di uer$orum colorum, ut bene appareant: $ed ramen du{ae} diagonij, quæ $unt a d, & b c, $int unius colo- ris: & $uper punctum h interiorem terminum lineæ z h in medio latitudinis ip$ius tabulæ cauetur tabula qua$i pyramidaliter, ut ibi po$sit intrare cornu na$i: ita ut cum tabula $uperponitur $uperio- ri parti ip$ius na$i, tangant duo anguli tabulæ ferè duo media $uperficierum duorum ui$uum: & $it hæc concauitas m h n. Fiant itaque de cera tria corpu$cula columnaria, & $int diuer$orum colorum: quæ $int e, g, p: & erigantur i$tæ columnæ $uper $uperficiem tabulæ in linea k q t, ita, quòd corpus g $it $uք punctũ q, & corpus p $uper punctũ k, & corpus e $uper punctũ t: & applic\~etur illa corpora fir miter ip$i tabul{ae}, ita quòd nõ cadãt, & tũc applicetur tabula ui$ib. ut $uprà pr{ae}mi$sũ e$t. Deinde ex- perim\~etator in$piciat forti intuitu corp{us} g, q<001> e$t in pũcto q medio pũcto tabul{ae}: tũc ergo duo axes amborũ ui$uũ cõcurrent in aliquo pũcto $uք$iciei corporis g, & $uքponentur dua bus diagonijs ta- bul{ae}, qu{ae} $unt b q, & a q, aut erunt æ quidi$tátes illis, & axis cõmunis $uperponetur lineæ h q. Et $i in LIBER QVARTVS. hac di$po$itione intueantur ambo ui$us omnia, quæ $unt in $uperficie tabulæ & corpora & lineas- inuenietur forma uniu$cuiu$q; corporũ, qu{ae} $unt e, g, p, forma una, & tota forma lineæ k q t erit una: d z e s f r f q k e g p l h b n m x linea uerò h z exten$a in longitudine tabulæ appa- rebit lineæ duæ, $ecantes $e $uper punctum q, uel $u per quodcunq; aliud punctũ cõcurrant radij ui$ua les: & etiam quælibet duarũ diagoniorũ, qu{ae} $unt b c & a d, apparebit duplicata, ita ut uideátur qua- tuor diagonij: angulus uerò a q b apparebit am- plior quá $it $ecundum ueritatem. Et $i alter ui$uũ claudatur, uidebũtur du{ae} tantũ diagnoij: & diago- nius remota à medio $equetur ui$um coopertum. Ex quo patet, quòd duæ diagonij, qu{ae} uidentur re motæ, $unt ill{ae}, quarũ utraq; uidetur ui$u obliquo: & propter hoc cõprehenditur per radios remotos ab axe dextros & $ini$tros: unde in$tituũtur in cõ- cauitate nerui cõmunis ab inuic\~e remotæ: infigun tur enim in duabus partib, contrarijs re$pectu pun cti medij nerui cõmunis, & in partib. remotis ab il lo pũcto: unde illæ du{ae} diagonij habent duas for- mas propinquas $ibi, & duas remotas à $einuic\~e. Deinde experimentator figat axes ui$uales $uper aliquod corporum, qu{ae} $unt e & p, qu{ae} $unt $uper pũcta t & k extrema line{ae} t q k: tunc enim appare- bũt omnia numero, quo prius. Quòd $i corpora e & p au$erantur à locis $uis, & ponátur in linea h z {ae}quidi$tanter à pũcto q:& $it corpus e uicinius ui$ibus in puncto l circa pũctum q: & corpus p $itre- motius à ui$u in pũcto s, ultra punctum q, & applicata tabula ip$is ui$ibus, $igantur axes ui$uales $u- per corpus g, quod e$t in puncto q medio: tunc unũquodq; corporum e & p apparebit duo, & appa rebũt ambo illa corpora, quatuor corpora obliquè à medio corpore g, duo $cilicet in dextro, & duo in $ini$tro: & uidebuntur $uper duas lineas, quãuis $ecũdum ueritatem $int $uper lineã unam, & ap- parebũt qu{ae}libet duo illorum quatuor eorporum $uper alterã ill arum duarum linearum. Id\~e quoq: accidit $i corpora e & p ponantur $uper alterá duarũ diagoniorũ $ecundũ omnem modum, quo po $ita fuerint $uper lineá h z: taliter ut æ quidi$tent corporig, & unũ $it propin quius ui$ui quã alterũ: quia tunc utraq; diagoniorum apparebit du{ae}: unde $uper utramq; linearũ, qu{ae} $unt unius diagonij, duo apparebunt corpora, unũ in parte ip$ius ui$us, & aliud ultra corpus g po$itũ in medio illorum duorũ corporũ. Et $imiliter $i corpora e & p ponantur $uper ambas diagonios, unũ $uper unam, & aliud $uper aliã, & ambo in parte ui$us: tũc enιm apparebũt quatuor corpora, duo {pro}pinqua, & duo remota. Deinde auferantur duo corpora e & p à tabula, & ponatur alterũ ip$orum $uper marginem tabulæ in linea a c ultra punctum k, & tam\~e ualde uicinè illi pũcto k, & $it $uper punctũr: & tunc ap- plicata tabula ui$ibus, ditigantur adhuc axes ad corpus g po$itũ in medio: & tunc apparebit forma punctie tan tũ una. Quòd $i corpus ein eadem linea a c ponatur $uper punctũ f remotius à pũcro k, quàm $it punctum 1: $it\’q; puncti $ à puncto k di$tátia $en$ibilis: & $ic directis axib. ui$ualibus ad cor pus g medium, apparebit forma corporis e duplicata. Id\~e quoq; accidit, $i ambo axes ui$uales $ecun dũ i$tá di$po$itionem dirigantur ad quodcunq; punctũ line{ae} t k: $em per enim tũc corpus e po$itum in pũcto $uidebitur e$$e duo. H{ae}c uerò, qu{ae} præmi$$a $unt, omnia per 105 huius & propo$itiones $e- qu\~etes declarantur, ut patet intu\~eti. Quòd $i experimentator direxerit axes ui$uales ad punctũ ali- quem tabulæ extra lineam k t: tunc ip$um corpus g, po$itũ in medio $uperficiei tabulæ in puncto q, uidebitur duo: & $i corpus eponatur in pũcto t, & corpus p in pũcto k: tunc trun q; ip $orũ uidebi- tur duo. Sed redeuntib. axibus ui$ualibus $uper punctũ q, aut $uper aliquod punctũ line{ae} t k: tũc re uertetur prior di$po$itio. Deinde accipiat experim\~etator tres $chedulas pergameni patuas & {ae}qua les, & in$ctibat o\~es ip$as una $cripturptura mani$e$ta {ae}qualis quãtitatis: & ponat unã ip$arũ in medio \~p. mi$$æ tabulæ in puncto q, & alteram ip$arũ $uper punctũ k, $igendo cũ cera, ut $tent erectè, & appli- cata tabula ip$is ui$ibus, ut prius, intueatur $chedulã po$itã $uper punctũ q, & cõprehendet eius $cri pturá certa cóprehen$ione: & $imiliter $criptureã $chedul{ae} po$it{ae} in pun cto k cõprehendet: $ed nõ ita per$ectè ut $cripturã $chedul{ae} po$it{ae} in puncto q, licet $int ill{ae} $eripturæ có$imiles in figura, forma & quãtitate. Deinde a$$umatur tertia $chedula, & ponatur qua$ι in medio pũcto line{ae} e z, & manu ք- tracta $ecundũ rectitudinem line{ae} k c, teneatur ultra tabulá in $itu & po$itione duarũ aliarum $che- dularũ: tunc enim fixis ambobus axibus ui$uum in $chedula po$ita in pũcto q, & tũc ui$a tertia $che dula, uidebitur forma $cripturæ $u{ae} dubitabilis & in di$tincta: & $i $chedula pũcti k depo$ita $chedu- latertia ponatur penes primã, qu{ae} e$t in puncto q:tũc amb{ae} $chedul{ae} cõprehendentur in $uis $cri- pturis {ae} qualiter di$po$it{ae}, n e c erit differentia $en$ibilis inter illas: & $i tertia $chedula moueatur pla. nè $uք lineã q k, axibus ill orũ ui$uũ cadentib. in pũctũ q: uidebitur tũc diminui di$tinctio $cripturæ $chedul{ae} mot{ae} $ecundum di$tantiam, qu{ae} $it per motum, donec perueniat ad punctum k: & tune VITELLONIS OPTICAE paulatim à puncto k extra rabulam moueatur $ecundum lineam latitudinis a k protè$am: tunc $em- per minuetur $cripturæ di$tinctio, ita quòd tandem nulla erit di$cretio ip$ius. Peractis\’q; circa lin eá c d ei$dem, quæcum his $chedulis facta $untcirca lineam k t, eadem tuncui$ibus apparent, qu{ae}p ri- us, $eruata di$tantiæ proportione: & etiam $i elongenturultra longitudinem tabulæ. Quæ itaq ue ex his pa$sionibus ambobus ui$ibus accidunt, plus accident uni ui$uum, $i alter fuerit coopert us. Deinde a$$umatur $chedula quatuor digitorum quadrata, in qua punctus medius $ignetur per 40 th. 1 huius, & alia $chedula $cribatur $criptura aliqua di$tincta, & erigatur h{ae}c $chedula $uper line am k t, & dirigatur ui$us ad medium illius $chedulæ: tunc enim uidebitur $criptura bene di$tin cta, $ed $criptura, quæ e$t circa medium $chedulæ, uidebitur di$tinctior, quàm quæ in extremis. Dein de parum obliquetur $chedula $uper lineam t k, in puncto q: & tunc axibus ui$uum cadentibus $uper medium punctum $chedulæ, inuenietur $chedula minus di$tincta quàm prius, cum $chedula fuerit fuper lineam k t: & $i $chedula plus obliquabitur, indi$tinctior uidebitur $criptura, & quantò ma- gis obliquabitur $chedula, tantò magis latebit utrun que ui$um uel alterum ip$a $criptura. Et $i $che dula $ecundum alterum $uorum extremorum ponatur in puncto q, & erigatur $uper $uperficiem tabulæ $ecundum lineam k q: tunc patet, quòd medietas $chedulæ cadet extra tabulam. Vi$u ita- que cadente in pun ctum q, tunc uidebitur $criptura circa punctum q diftinctior, minus autem $e- cundum partes remotiores abillo: & $iobliquetur $chedula $uper lineam q k, apparebit latentior $criptura $ecundum quantitatem obliquationis & di$tanti{ae} à puncto q: & $i $chedula ponatur $uper lineam c d, tunc uifibus directis ad medium punctum $chedulæ, erit litera legibiliter di$tincta: & $i obliquetur $chcdula $uper punctũ z: tunc erit $criptura latentior quàm prius. Et uniuer$aliter pera- cto circa lineam c d, quod prius actum e$t circa lineam t k, idem accidet in di$tinctione $cripturæ proportionaliterilli $patio di$tantiæ: & etiam $i elongetur $chedula ultra longitudinem tabulæ. Quod autem accidit ambobus ui$ibus in hac experimentatione, etiam accidit uni ui$uum, altero cooperto. Patet ergo ex his experimentationibus exemplum eorum, qu{ae} per plura theoremata proponuntur: & patet manife$tè, quòd pluribus modis accidit unam rem uideri duas. patetergo propo$itum.

109. In ui$ione diui$ionis, continuationis & numeri error accidit uirtuti di$tinctiuæ ex in- temperata di$po$itioneocto circum$tantiarum cuiuslibet rei ui$e. Alhazen 27. 38. 48. 55. 59. 64. 67. 69 n 3.

Exlucis enim debilitate error accidit in præmi$$orum ui$ione: quia $i de nocte uideatur tabula, in qua $int linearum ob$curarum protractiones, uidens illas putabit fortè diui$iones e$$e uel $ci$$u- ras: & ita continuum etiam putabitur diui$um, & partes eiu$dem continui plura putabuntur ut di- ui$a, cum ta men tabula $it continua & tantùm una. Similiter exi$tente ui$u in $orti luce reflexa, $i ip$i ui$ui adhibeantur corpora modicùm di$tantia, apparebunt continua & unum, propter rexflexio nem lucis factæ ab illis corporibus, qu{ae} non permittit eorum di$tantiam di$cerni. Ex intemperatata etiam diftantia fit error in præmi$$orum ui$ione. Pariete enim aliquo à longè ui$o, $i in parte eius fuerit color tenebro$us: $ortè putabitur facta e$$e diuifio illius parietis $ecundum $patium illius co- loris. Similiter etiá $i propc parieté illum cre$cat altitudo herbarum, ut có$ueuitin talibus cre$cere hedera: uidebitur fortè paries $ecundum hederæ$patium diui$us. Et fimiliter luce $olis $uper ui$um album partietem $plendente, $i $ortis umbra aliqua lu cem parietis diui$erit, æ$timabitur paries diui- $us: & ita his modis omnibus & etiam pluribus alijs hoc pote$t accidere, ut continuum æ$timetur diui$um: & ex con$equenti unum plura. Sed & quandoq; ip$a $ecundum ueritatem diuifa æ$timan- tur continua, & plura {ae}$timantur unum. Corpora enim à longè ui$a in colore $imilia, & adinuicem propinqua, creuntur continua, & propter hoc tabul{ae} parietis uel $camni apparent quandoq; con- tinu{ae}, cũ modica diui$ione ab inuicem $unt diui$æ: & $ic diui$a æ$timantur propter remotion\~e à ui- $u e$$e continua, & plura {ae}$timantur unũ. Exinordinato etiam $itu oppo$itionis oritur error in pr{ae}- mi$$orum ui$ione: $i enim alicuius corporis magna fuerit à ui$u obliquatio, in quo $uerint pũcta $en $ibilia nigra uel ualde tenebro$a: illa quædá diui$iones putabuntur, & inter partes illis punctis con $ines, iudicabitur diui$io & pluralitas, licet in eis $it cótinuitatis unio: & $i in hoc corpore $uerint li ne{ae} tenebro${ae} $en$ibiles, iudicabũtur partes eius cótinuales diui${ae}, cũ $int cótinu{ae}, & plures, cũ $int unum. Similiter e$t ex obliquatione $itus plurium parietum ad ui$um, quorum unus e$t ordinatè po$talium modicùm di$tans ab illo, ita quòd uno a$pectu uideri ualeant, fortè occultabitur ui- denti $patium, quod e$t inter illos parieters, & putabuntur continui & unus, cum $int diuer$i & plu- res. Qualiter autem propter $itum eius erret in numero, $atis patet per propo$itionem præmi$$am. Ex intemperata etiam magnitudine error accidit in ui$ione pr{ae}mi$$orum: adhærente enim capillo ua$i uitreo, apparebit uitrum $i$$um: quod ideo accidit, quia capilli paruitas non $entitur e$$e cor- pus. Si enim iaceret $uper uas uitreum calamus aut corpus aliud $en$ibile, non propter hoc $en- tiretur uitrum e$$e $i$$um. Similiter etiam accidit error in continutiata: $i enim $olia pergameni te- nuis æqualis altitudinis, ita quòd in eadem plana $uper$icie con$titutam, & bene compre$$a $int, & ui dens ignoret e$$e folia, iudicabit ip$a e$$e continua, & unam $uperficiem ip$orum: huius autem er- roris cau$$a e$t paruitas quantitatis $patij & aeris, $ecundum quod $e illa folia contingunt, & $ic etiá numerus inducit errorem. Exintemperantia quoq; $oliditatis $it error in præmi$$orum ui$ione: in corpore enim magn{ae} raritatis, utin cry$tallo pura, $i in aliqua parte $upficiei $u{ae} fuerit linea nigra, LIBER QVARTVS. apparebit totum corpus $i$$um $ecundũ locum, in quem cadit illa linea, & ita æ$timatur uitrũ di$có- tinuum & plura: & hoc accidit propter per$picuitatem, quæ accidit ex de$ectu $oliditatis. Et $i duo corpora talia fuerint modicùm à $e di$tantia, reputabuntur continua & unum. Ex intemperantia e- tiam raritatis accidit error in præmi$$orum ui$ione idem, qui ex defectu $oliditatis, augmentatus ta men propter exce$$um raritatis. Expaucitate etiam temporis accidit error in præmifforum ui$io- ne. Si enim corpus, in quo $it linea nigra, fubitò à ui$u diuertatur, putabitur illa linea e$$e partium di ui$io: & $i corpora contigua aut ualde propin qua $ubitò uideantur, æ$timabuntur cõtinua, $icut ac- cidit in tabulis $camnorum $ubitò in$pectis, & $it error in continuitate & numero. Ex intemperan- tia etiam debilitatis ui$us error accidit in ui$ione præmi$$orum, & $ecundum modos temporis bre- uitate accidentes: quod enim $ano ui$ui accidit in temporis breuitate, debili accidit in maiori tem- pore, & $ortè $emper durante ui$us debilitate: & etiam $trabo uel debilis in uno oculo unum quan- doq; iudicat duo: tunc enim res ui$a habet diuer $itatem $itus re$pectu talium duorũ oculorum, qu{ae} diuer$itas facit ut unum uideatur duo, etiam per duos oculos $anos & æqualis ordinationis, ut$a- tis demon$tratum e$t ex præmi$sis. Patet ergo propo$itum.

110. Motus comprehenditur à ui$u ex comprehen$ione rei mote $ecundum diuer$os $ui $itus in in$tantibus diuer$is, inter quæ $en$ibile cadit tempus. Alhazen 49 n 2.

Quoniam enim moueri e$t aliter $e habere nunc, quàm prius: palàm quòd facilitas huius com- prehen$ionis motus $it ex comparatione rei motæ ui$æ ad aliud ui$ibile quie$cens non motũ. Quã- do enim comprehenditure $itus unius rei mobilis, re$pectu alterius rei ui$ibilis, tunc etiam compre- henditur diuer$itas $itus eius re$pectu illius ui$ibilis, & tune comprehenditur motus. Semperitaq; motus comprehenditur à ui$u aut ex comprehen$ione diuer$itatis & mutationis $itus rei ui$æ mo- tæ, re$pectu alterius ui$ibilis, quod e$t remotius aut propinquius ui$ui, ip$o tamen ui$u in parte alte ra exi$tente in $uo loco: aut comprehenditur motus experimentatione $itus alicuius partis, uel par tium rei ui${ae} motæ, re$pe ctuillius ui$ibilis non $ecun dum $e totum modti: & hoc modo comprehen- dit ui$us motum circularem. Similiter etiam accidit motum à ui$u comprehendi, $i res ui$a mota ad multa immota ui$ibilia comparetur. Cum enim ui$us fuerit quietus, & res ui$a mota ad ip$um ui $um uel à ui$u: tunc ui$us $entiens diuer$am locationem corporis moti, $entiet motum: aut enim mobile tunc elongabitur aut appropinquabit ui$ui per motum, Et quia, ut patet per 9 huius, elon- gatio aut appropin quatio à ui$u $entitur, palàm quia motus tunc $entitur. Quòd $i mobile mouetur tantùm circa ui$um circulariter, tunc cum $uper$icies ui$iua oculinon $ittota $phærica, ut patet per 4th. 3 huius, quoniam $ola $uperficies foraminis uueæ e$t ui$iua, & non aliæ partes $uper$iciei ocu- li: aliqua itaque re mota circa ui$um, nece$$ariò mutabitur $itus partis oppo$itæ ui$ui, & cum illa pars rei ui${ae} motæ $uerit mutata, $entiet ui$us mutationem eius: & $ic ui$u exi$tente in $uo loco $en- tiet ui$us motum rei ui$æ. Et $i ip$e ui$us moueatur, comprehendet tam\~e motum $ecundum quem- libet i$torum modorum, ut cum ui$us $entit diuer$itatem $itus rei ui$æ motæ, $enti\~edo quòd illa di- uer$itas non e$t propter motum ip$ius ui$us: $ed tamen quando ip$e ui$us & etiá res ui$a ambo mo- uentur, adhuc di$cernit ui$us motum: quoniam di$tinguit inter diuer$itatem ui$us, quæ accidit rei ui$æ mot{ae} propter motum ip$ius rei, uel propter motum ip$ius ui$us, quoniam moto ui$u $entiun- tur etiam formæ corporum exi$tentium non motæ, nec $emper iudicat ui$us rem ui$am moueri propter $ui ip$ius motum, ni$i fortè perueniat in ui$um forma rei ui$æ motæ. Et quoniam motus omnis e$t in tempore, non comprehendit ui$us motum ni$i in tempore: diuer$itas enim $itus par- tium rei ui${ae} non pote$t comprehendi in$i ad minus in duobus in$tantibus: & quia inter quælibet duo in$tantia cadit tempus medium: palàm quòd inter illa duo in$tantia cadit tempus medium: & quoniam uirtus ui$iua e$t uirtus $en$itiua, oportet tempus ab ip$a comprehen$um e$$e $en $ibile. Et hoc proponebatur.

111. Zualit as motus comprehenditur à ui$u ex comprehen$ione $pat{ij}, $uper quod mouetur res ip$aui$a. Alhazen 50 n 2.

Siue enim motus $it $ur$um uel deor$um, uel etiam $uperip$am $uperficiem horizontis uel æqui- di$tantem illi, $iue etiam nó $it motus rectus, $ed $it tortuo $us uel circularis: $emper qualitas motus comprehenditur à ui$u ex comprehen$ione $patij, $uper quod mouetur res ip$a ui$a. Qualitas enim motus recti comprehenditur ex comprehen$ione $patij, $uper quod mouetur res ui$a $ecundum $e totam motu recto, & tunc ui$us certi$icat qualitat\~e motus per certificationem figuræ $patij directi, $uper quod fit motus in $uperficie horizontis, autin $uperficie æquidi$tante ei, aut in linea perpen diculari uel obliqua $uper $uperficiem horizontis. Similiter quoque qualitas aliorum motuum us tortuo$i & circularis comprehenditur à ui$u ex comprehen$ione $patij tortuo$i uel etiam circula- ris, in $uperficie horizontis, aut æ quidi$tante ip$i, aut erecta $uper ip$am: motum enim compo$i- tum excirculari & recto ui$us comprehendet ex comprehen$ione $patij tortuo$i, $uper quod fit mo tus. Comprehendit etiam ui$us diuer$itatem & æqualitatem motuum $ecundum uelocitatem & tarditatem ex comprehen$ione $patiorum, $uper quæ mouentur ui$ibilia mota, & cognitione tem- poris, in quo $iunt illi motus. Cum enim ui$us $entit quòd unum $patium pertran$itum ab uno mobili in aliquo tempore, e$t maius alio $patio pertran$ito ab alio mobli in eodem tempore: uel cum ui$us $en$erit æqualitatem duorum $patiorum cum inæ qualitate temporum duorum motnũ: VITELLONIS OPTICAE tunc enim $tatim auxilio uirtutis animæ di$tinctiu{ae} & cogno$citiu{ae} $entiet uelocitat\~e unius mobi- lis $uper alterum & duorum motuũ in{ae} qualitatem. Patet ergo propo$itum.

112. Zuies comprehenditur à ui$u ex comprehen$ione rei ui$æ in eodem loco & $itu tempore $en$ibili permanente. Alhazen 52 n 2.

Cum enim ui$us compreh enderit rem ui$am in eodem loco, & $ecundum eundem $itum in duo- bus in$tantibus diuer$is, inter quæ cadit medium tempus $en$ibile: tunc comprehendet rem in illo tempore non fui$$e motam per 110 huius: quoniam $i illa res in illo tempore fuit mota mutatus e$t $itus eius: compreh\~edet ergo illam rem quie$centem. Comprehenditur aũt $itus rei ui$æ quie$c\~etis non mutatus re$pectu alterius rei uel aliarum rerum ui$arum, & etiam re$pectu ip$ius ui$us. Secun- dum hunc ergo modum $it comprehen$io quietis ui$orum corporum à ui$u. Et hoc proponebatur.

113. E$t locus, in quo oculo manente & tran$po$ita re ui$a, res $emper æqualis apparet. Eucli- des 44 the. opt.

Sit res ui$a b g: & $it centrum ui$us in puncto a: & accedant form{ae} punctorum b & g ad ui$um a $ecundum lineas b a & g a: fiat\’q; trigonum a b g, Dico, quòd e$t locus, in quo non mutato centro ui- b s a d $us à puncto a, & tran$po$ita magnitudine b g, $emper eiu$d\~e quantitatis uidebitur magnitudo b g. Trigono enim a b g cir- cun$cribatur circulus per 5 p 4: & $uper punctum g terminum line{ae} a g cõ$tiotuatur angulus æqualis angulo a g b ք 23 p 1, qui $it a g d. & producta linea g d ad peripheriá circuli copulentur lineæ a b & a d: erit \’q; per 26 p 3 arcus ad {ae}qualis arcui b a: ergo per 29 p 3 e$t chorda a b {ae}qualis chord{ae} a d: & arcus g d, qui e$t. re$iduus $emicirculi, e$t {ae}qualis arcui b g: chorda quo q; g d e- rit {ae}qualis chordæ b g per 29 p 3: ergo per 8 p 1, uel per 27 p 3 e- rit angulus b a g æqualis angulo d a g, quoniam illi anguli ca- dunt in æquales arcus, qui $unt d g & b g. Quia itaq; lineæ b g & d g {ae}quales $ub æ qualibus angulis, qui $unt d a g & b a g, hinc & inde uidentur: palàm quoniam illæ line{ae} {ae}quales ui$ui apparent per 20 huius. Patet ergo propo$itum. Id\~e quo q; contingeret, $i cen tro oculi in centro circuli manente $ixo, res ui$a $uք circuli peripheriã moueatur: tunc enim ui$ibili tran$mutato res ui$a $emper uidebitur {ae}qualis ui$ui nó tran$inutato: quoniam $ub eod\~e $emper an- gulo uidebitur, ut pote$t patere $ecundum præmi$$um modum. Patet ergo propo$itum.

114. E$t locus, in quo oculo trã$mutato re ui$a non mota, $em per res ui$a æqualis apparet. Euclides 45 th. opt. z d e b g

Sitres ui$a b g: & $it oculus in puncto z dato in aere, ut contin- git: & ducantur à terminis rei ui$æ lineæ b z & g z: & cirum$cri- batur trigono b z g, circulus per 5 p 4, ut in præmi$$a: $it\’q; ille cir- culus z d g b: & mutetur centrum oculi à puncto z in punctum d: & ducantur line{ae} b d & g d: erit\’q; per 27 p 3 angulus b z g {ae}qualis angulo b d g: ergo per 20 huius in utroq; $itu magnitudo b g $em- per uidebitur æqualis. Idem quoq; accidit ui$ui per omnia pũcta arcus b z g tran$mutato. Ethoc e$t propo$itum.

115. Zuantitas erecta $uper aliquam planam $uperficiem, in qua $it centrum ui$us, mota $e- a e b g cundum circuli peripheriam pro centro habentis centrum oculi, $emper æqualis uidetur. Idem<006> accidit $ecundum lineam à centro circulirerectam centrooculi $uper circuli $uperficiem eleuato. Eucli des 41. 42 th. opt.

E$to a b aliqua magnitudo ui$a erecta $uper quamcunq; $uperfici\~e planam datam: in qua $it centrum ui$us, quod $it g: & ducatur ab alte ro terminorum rei ui$æ ad centrum ui$us linea g b: & $ecundũ quan- titatem line{ae} g b, centro exi$tente in puncto g, de$cribatur circulus. Dico, quòd $i $uper illius circuli peripheriam moueatur magnitudo erecta, qu{ae} e$t a b, quòd $emper uidebitur {ae}qualis oculo ip$o in pun- cto g exi$tente. Quia enim linea a b e$t erecta $uper $uperficiem, palá per definition\~e, quia $emper facit angulum a b g rectũ, & $emper an- gulũ {ae}qualem cũ linea g b, utcunque contingit, ducta linea a b: $ed & linea g b $emper e$tæqualis $ibijp$i, cum $it diameter circuli, & li- nea a b $emper e$t æqualis $ib jp$i: ducatur itaque linea a g: pa- lam\’que quòd per totam circuli peripheriam angulus a g b e$t æ- qualis $ibijp$i: ergo per 20 huius magnitudo a b $emper uidebi- tur æqualis: quod e$t primum propo$itorum. Ducatur itaque li- nea g e à centro oculi erecta $uper $uperficiem circuli: erit ergo LIBER QVARTVS. linea g e æquidi$tans line æ a b per 6 p 11, & centrum ui$us eleuetur $uper $uperficiem circuli $ecun- dum aliquod punctum lineæ g e, quod $it e, in quo figatur ui$us. Dico, quòd adhuc magnitudo a b mota $uper circuli peripheriam æquidi$tanter lineæ g e, $emper uidebitur æ qualis. Productis enim lineis a e & b e: patet per 4 p 1 quoniam angulus a e b $emper e$t æqualis $ibijp$i. Cum enim an gu- lus b g e $it $emper æqualis $ibiip$i, erit ba$is b e $ibijp$i $emper æqualis, & angulus e b g æqualis $ibijp$i: ergo etiá angulus a e b e$t $emper æqualis $ibijp$i: ergo & ba$is a e, & angulus a e b erit $em- per æqualis $ibijp$i: ergo per 20 huius linea a b $emper uidebitur æqualis $ibijp$i: patet ergo $ecun- dum propo$itorum. Et hoc e$t totum, quod proponebatur.

116. Zuantitas obliquè incidens $uperficiei planæ, in qua e$t centrum ui$us, uniformiter mota $ecundum circuli peripheriam, cuius centrum e$t centrum ui$us, $emper æqualis uidebi- tur: ip$a uerò exi$tente æquali $emidiametro illius circuli, mota quo<005> $ecundum $ui $itus æqui- di$tantiam per illius circuli peripheriam quando<005> æqualis, quando<005> minor, quando<005> maior ui$ui apparebit. Euclides 43 th. opt.

Sit circulus a d: cuius centrum $it punctum e: & in eius peripheria $umatur punctum d: $it quoq; linea d z obliquè incidens $uper$iciei circuli: & $it centrum oculi in puncto e centro circuli. Dico, quò d $i linea d z in circuli peripheria tran$ponatur uni$ormiter, ita ut cum $emidiametris illius cir- culi $emper æqualem contineat angulum, quòd ip$a $emper æqualis apparet: hoc aut\~e pote$t euin- ci per 4 p 1, ut in præcedente: e$t enim angulus d e z $emper æqualis $ibijp$i: ergo & res $emper ui- d etur æqualis per 20 huius. Et hoc e$t propo$itum primum. Rur$um $it centrum ui$us in puncto e centro circuli a d, cuius $uper$iciei obliquè incidat linea d z, quæ $it æqualis $emidiametro d e: mo- ueatur\’q; per circuli illius peripheriam $ecundũ $ui primi $itus æquidi$tantiam, $it\’q; exempli cau$$a z b g z a i e d angulus z d e acutus. Dico, quòd aliquando appare- bitlinea mota, quæ d z, æqualis $uæ propriæ quanti- tati, utpote $emidiamtro circuli, aliquãdo maior, ali- quando minor. Ducatur enim à centro circuli e linea e g æquidi$tans lineæ d z per 31 p 1, quæ fiat æqualis eidem per 3 p 1: ducatur quoq; à puncto g perpendi- cularis $uper circuli $uperficiem per 11 p 11, quæ $it g i: & ducatur à centro circuli linea e i: quæ producatur ad peripheriam circuli in pũctum a: & à puncto a du- catur linea æquidi$tans lineæ e g per 31 p 1, qu{ae} $it a b: quæ re$ectur per 3 p 1 æqualis lineæ d z: erit\’q; linea a b æquidi$tans etiá lineæ d z per 30 p 1 uel per 9 p 11. Et quoniam linea g e, ut patet exhypothe$i, e$t obli- qua $uper $uperficiem circuli a d, & à pũcto g in aere dato ad $ub$tratam planam $uperficiem incidit linea g i perpendiculariter, & linea g e obliquè: tunc patet per 39 th. 1 huius, quòniam angulus g ea minimus e$t omnium angulorũ $ub illa linea obliqua g e, & qua- cunq; linea in $ub$trata $uperficie circuli a d protracta contento: & omnis angulus illi propin quior e$t minor remotiore: & duo anguli ex utra q; parte illi æqualiter approximantes $unt inter $e æqua les. Dico itaq;, quoniam linea a b omnium linearum æqualium lineæ d z tran$po$itarum $ecundum peripheriam circuli minima apparebit. Ducantur enim lineæ g z, g b, e b, e z, e d. Quia itaq; linea g e e$t æ quidi$tás lineæ a b & æqualis ut patet per 34 p 1, quoniã linea g b e$t æqualis lineæ e a & æqui- di$tans eidem: $unt ergo duæ $uperficies parallelogrammæ, quæ e g b a & e d z g. Quia uerò angu- lus g e a e$t acutus, ut pateter ex præmi$sis, propter obliquationem lineæ g e $uper $uperfici\~e circuli a d: erit ergo angulus g e d obtu$us per 13 p 1: quoniam enim, ut patet per 39 th. 1 huius, angulus g e a e$t minimus omnium angulorum contentorum $ub quacunq; linea in $uperficie circuli ducta ad punctum e, & $ub linea g e: e$t ergo angulus g e a minor quàm angulus g e d: $ed cũ linea e z $it dia- gonius parallelogrammi e d z g: palàm quòd angulus d e z e$t medietas g e d anguli ք 4 p 1: & $imi- liter angulus b e a e$t medietas anguli g e a: angulus itaq; d e z e$t maior angulo b e a. Ergo per 20 huius quantitás lineæ b a ininor uidebitur quàm quantitas lineæ z d. Et per præmi$$a cum angulus g e a $it minimus omnium angulorum, qui cõtinentur $ub linea g e & aliqua linea in $uperficie cir- culi a d producta: palàm quia medietas anguli g e a erit minor medietate cuiuslibet aliorum angu- lorum. Quantitas ergo lineæ a b uidebitur omnium aliarum $ibi æqualium quantitate minima. Et quoniam angulus z e d e$t maximus omnium illorum aliorum angulorum: uidebitur ergo quanti- tas z d maxima: mediæ uerò modo medio uidebuntur, & quantitates in circuli peripheria æ quali- ter di$tantes ab utraq; quantitatũ, quæ a b & d z, ad inuicé uidebũtur {ae}quales. Et hoc e$t propo$itũ.

117. Re ui$a $uper $uper$iciem planam erecta $ixta manente, & centro oculi $ecundum circuli peripheriam moto circa punctum, in quo resui$a $uper$iciei coniungitur: res $emper æqualis ui- $ui apparebit: quod non accidit centro ui$us moto $uper peripheriam oxygonie $ectionis. VITELLONIS OPTICAE

Sit a b magnitudo erecta $uper $uperficiem planam, tangens ip$am in puncto b:$it \’q, centrũ ocu a g b d li in puncto g in eadem $uperficie: & centro quidem exi$tente pun- cto b, $ecundum $patium b g lineæ de$cirbatur circulus, qui $it g d. Dico, quòd $i tran$ponatur centrum oculi à puncto g, $uper totam circuli g d peripheriá: apparebit ui$ui linea a b $emper {ae}qualis. Quo- niam enim angulus a b g e$t $emper rectus per definitionem lineæ $uper $uperfici\~e erectæ: palàm quia omnes anguli a g b per 4 p 1 $unt ubiq; æquales: ergo per 20 huius res ui$a, quæ a b, $emper uidebitur æqualis. Ethoc e$t propo$itum primum. Non accidit autem hoc cen tro ui$us moto $uper peripheriam oxygoniæ $ectionis: quoniá tunc quantitas rei apparet inæ qualis, qu{ae} $uper ip$ius $ectionis punctum medium e$t erecta: quoniam $ectio oxygonia habet $emidiametros in æquales, & omnes lineæ à centro u$q; ad circum$erentiam ductæ $unt inæquales: appropinquantes enim $emidiametro maiori $unt maiores, & approximátes $emidiametro minori $unt minores: con- trarium ergo nece$$ariò accidit ei, quod oculo moto $ecundum cir- culi peripheriam accidebat: quod patet per 7 & per 20 huius. Patet ergo totum, quod proponebatur.

118. Re ui$a $ix a manente, oculo uerò moto $ecundum lineam rectam obliquè incident\~e quantitatirei ui$æ: illa quãtitas quan- do<005> æqualis, quando<005> inæqualis ui$ui apparet. Euclides 46 th. opt.

Sitres ui$a, quæ a b: & $it centrum ui$us punctum e: incidat\’q; linea e g obliquè lineæ a b: produ- catur enim linea a b in punctum g, donec concurrat cum linea e g: & item producatur linea e g in continuum & directum ultra punctum e ad punctũ d: $itilla linea inde$inita d e g. Dico, quòd ocu- lo tran$mutato $ecũdum lineam d g, quandoq; linea a b uidetur minor: quandoq; maior: quandoq; æ qualis. Sumatur enim per 13 p 6 inter duas lineas b g & a g linea medio loco propotionalis, quæ $it, exempli cau$$a, linea e g: hoc autem e$t po$ibile per re$ectionem lineæ d g per 3 p 1: ponatur\’q; c\~etrum oculi in puncto eiproudcatur\’q; linea e b. & producatur in $uperficie trigoni b e g à puncto b linea perpendicularis $uper lineam b a, quæ $it b d: quæ per 14 th. 1 huius concurret cum linea e g: ideo quòd angulus e g b e$t acutus, & angulus g b d rectus: cõcurrantitaq; in puncto d. Dico, quod moto ui$u pertotam lineam e d, $emper ui$um b a inæ quale apparet. Ducantur enim lineæ a e, a d: & de$cribatur per 5 p 4 circa a e b trigonum porcio circuli, quæ $imiliter $it a e b. Et quoniam illud, d e t z b a g quod $it ex ductu lineæ b g in lineam a g, ut patet per 17 p 6 & ex præmi$sis, e$t æ quale qua- drato lineæ e g: pater per 37 p 3 quoniam linea g è e$t contin- gens circulum b e a in puncto e. Et à termino quo q; a lineæ g a ducaturlinea a z per 23 p 1 ita, ut fiat angulus g a z {ae}qualis an- gulo g d b: cadet\’q; punctum z inlineam d g inter puncta e & g per 29th. 1 huius: erit\’q; b a z d quadrilaterum in$criptibile cir culo per 22 p 3: quilibet enim eius duo anguli ex aduer$o collocati ualét duos rectos: angulus enim d z a per 32 p 1 ualet angulum z g a, & angulum z a g: $ed angulus z a g, ut patet ex præmi$sis, e$t æ qualis an gulo g d b: $ed angulus d b g rectus cum angulis b d g & d g b ualet duos rectos per 32 p 1: angulus itaq; d z a cum angulo d b g ualet duos rectos: $ed omnes anguli quadranguli cuiu$cunq; ual\~et quatuor rectos: quia quod- libetillorum e$t diui$ibile in duos triangulos, quorum cuiuslibet anguli ualent duos rectos: ergo anguli z d b & z a b ual\~et duos rectos: e$t ergo quadrilaterum z d b a circulo in$criptibile. Circum- $cribatur ergo ei circulus per 22 p 3 & per 9 p 4: & $it circum$cripta portio circuli, quæ $it b d z a: du- catur\’q; linea b z $ecans arcum e a in punctot: $ecabit enim ip$um ideo, quia, ut patet ex præmi$sis, punctum z cadit inter puncta e & g: & ducatur linea t a: erit\’q; per 16 p 1 angulus a t b extrin$ecus maior angulo a z b intrin$eco: $ed angulus a t b e$t æ qualis angulo a e b per 27 p 3, quoniam cadunt in eundem arcum, qui e$t b a, portionis circuli minoris, qui b e a: angulus itaq; a e b maior e$t angu- lo a z b: angulus uerò a z b æqualis e$t angulo a d b per eandem 27 p 3: quoniam ambo illi anguli ca- dunt in eundem arcum, qui e$t a b circuli maioris, qui e$t b d z a: angulus itaq; a e b maior e$t angu- lo a d b. Centro uerò ui$us exi$tente in puncto d, uidetur linea a b $ub angulo a d b: ip$o autem exi- $tente in puncto e uidetur $ub angulo a e b: maior itaq; uidebitur in puncto e, quàm in puncto d per 20 huius. Mutato ergo oculo $ecundum puncta lineæ e d, $emper in æ qualis uidebitur magnitudo b a: quoniam $emper minor $e ip$a: & quantò plus accedit ad punctum d, tantò uidebitur minor: & LIBER QVARTVS. quantò plus appropinquat puncto e, tantò apparet maior: eodem\’q; modo ui$u mutato $uper pun- cta lineæ e g, in æqualis uidebitur linea a b, & minor quàm $uper pũctum e: quoniam linearum du- ctarum per punctum aliquod lineæ e g à terminis lineæ a b, $emper angulus erit minor angulo b e a: quoniam angulus à lineis ad circumferentiam arcus e a ductis per 21 p 1 maior erit illo con$tituto $uper aliquod punctorum lineæ e g, per lineam trans idem punctum arcus ab altero terminorum lineæ a b productam, & per lineam à reliquo eius termino copulatam. Quilibet autem angulorum cõ$titutorum $uper aliquod punctorũ arcus e a, per lineas à terminis lineæ a b productas e$t æqua- lis angulo b e a per 27 p 3: ergo per 20 huius linea a b maior uidebitur centro ui$us exi$tente in pun- cto e quàm ip$o exi$tente in aliquo punctorum lineæ e g. Semper quoq; minor apparebit $ecundũ quod plus appropinquat puncto g: ita quòd centro ui$us exi$tente in puncto g, non uidebitur ni$i unicus eius punctus, qui e$t a, ut patet per 4 huius. Maior autem $emper apparebit $ecũdum quod appropinquat ad punctum e: ad punctum uerò z apparebit $icut ad punctum d, æqualis $ibi: ideo quòd anguli b d a & b z a per 27 p 3, ut $uprà patuit, $unt æquales. Et quoniam, utiam o$tendimus, ui$u exi$tente in puncto g, non uidebitur linea a b, imò tota linea g b, ni$i punctus: palàm quòd in- ter puncta g & z modica fit additio. Semper ergo uidebitur linea a b inæ qualis: in {ae}quidi$tantia ue- rò à punctis d & z, uidebitur etiam æqualitas propter æqualitatem angulorum proueni\~etium hinc & inde. Quòd $i linea e g non ex parte puncti a, $ed ex parte puncti b cõcurrat cum linea a b, eadem e$t demó$tratio. Sit enim, ut fiat d e z a b g cócur$us, $icut prius, in puncto g: & $it linea g e medio loco pro portionalis inter lineas a g & g b: & copulatis lineis e a & e b, trigono a e b circũ$cribatur por- tio circuli, quæ fit, ut prius, b e a: & ducantur lineæ d b & d a: $it\’q; c\~etrum oculi $uper punctum d: & ad punctum, in quo linea a d inter$ecat circumferentiam cir- culi b e a, qui $it z, ducatur linea b z. Et quia a\‘ngulus b z a e$t maior angulo b d a per 16 p 1, & angulus b e a æ qualis e$t angulo b z a per 27 p 3, quoniam cadunt in eundem arcum a b: palàm quia angulus b e a maior e$t angulo b d a. Vi$us itaq; centro exi$t\~ete $uper punctum e maior apparebit linea b a per 20 huius quàm ip$o exi- $tente in puncto d: in punctis uerò d & z apparebit linea a b æ qualis: & omnia alia accidũt, ut prius declaratum e$t. Patet ergo propo$itum.

119. Re ui$a fixa manente, ui$u autem moto $ecundum lineam æquidi$tantem rei ui$æ: eius quantit as quando<005> æqualis, quando<005> inæqualis uidetur. Euclides 47 th. opt.

E$to ui$a magnitudo, quæ fixa & immota permanens $it a b: diuidatur\’q; per æqualia in puncto e: & erigatur $uper ip$am perpendiculariter linea e z per 11 p 1: $it\’q; centrum oculi in puncto z: ducan- tur\’q; lineæ z a & z b, ita ut compleatur trigonũ a z b: & de$cribatur circa a z b trigonum portio cir- culi a z b per 5 p 4: ducatur\’q, linea z d parallela lineæ b a per 31 p 1: moueatur\’q; centrũ oculi in pun- ctum d: & ducantur lineæ d a & d b; & ad punctum, in quo linea d b $ecat circulum, quod $it l, duca- tur linea a l. Palàm ergo per 16 p 1 quoniam angulus a l b maior e$t angulo a d b: $ed per 27 p 3 angu- lus a z b e$t {ae}qualis a l b: e$t ergo angulus a z b maior angulo a d b: maior ergo uidebitur magnitudo a b, centro oculi exi$t\~ete in puncto z quàm in puncto d, ut patet per 20 huius. Et $i linea z g $it {ae}qua- lis lineæ z d, æqualis uidebitur linea a b in punctis d & g: hoc enim cõcluditur per 34 & 4 p 1, ductis lineis g b & g a: angulus enim b g a æqualis e$t angulo b d a: & $imiliter patethoc in alijs punctis æqualiter di$tantibus à punctis d & g: ergo per 20 huius in talibus punctis uidebitur linea b a $em- d z y g x p l o q b e a per $ibijp$i æ qualis. Si uerò li- nea z h $it minor quàm linea z d: tunc ducátur lineæ b h & a h: & {pro}ducatur linea a b ultra pũ- ctum b ad punctum q. Quoniá itaq; angulus z e b e$t rectus, pa tet per 32 p 1 quoniam angulus z b e e$t acutus: erit ergo per 13 p 1 angulus q b z obtu$us: ergo per 29 p 1 angulus h z b e$t ob- tu$us: ergo per 16 p 1 angulus g h b e$t obtu$us: linea ergo b g e$t maior quàm linea b h per 19 p 1. Quia uerò ք 4 p 1 & ex hy- pothe$i patet quòd angul{us} z b a e$t æ qualis angulo z a b: angulus ergo b a h e$t maior angulo h b a: ergo per 19 p 1 linea b h e$t ma- ior quàm linea a h: ergo & linea b g e$t maior quàm linea a h. Et quoniam lineæ b g & a h $e inter$e- VITELLONIS OPTICAE cant, $it punctus $ectionis p. Et quoniam per 37 p 1 trigonum b g a e$t, ablato ab ambobus communi trigono b p a: remanebit trigonum b h p æ quale trigono a p g: $ed per 15 p 1 angulus a p g e$t æ qualis angulo b p h: ergo per 15 p 6 & 16 p 5 erit proportio line æ a p ad lineam b p, $icut lineæ h p ad lineam g p: ergo per 15 p 5 erit proportio totius lineæ a h ad totam lineam b g, $icut lineæ a p ad lineam b p: $ed linea a h e$t minor quàm lineam b g, a p e$t minor quàm linea b p: linea ergo b p e$t maior quàm linea a p. Quæ e$t ergo proportio lineæ b p ad lineam a p, eadem $it lineæ a p ad lineam p o per 3th. 1 huius: erit ergo ex præmi$sis linea p o minor quàm linea p b: ab$cindatur ergo linea p o à linea p b per 3 p 1, & ducatur linea h o. Quia itaq; per 11 p 5 & ex præmi$sis e$t proportio lineæ a p ad lineam p o, $icut lineæ h p ad lineam p g, & an- gulus h p o e$t æqualis angulo a p g per 15 p 1, palàm per 6 p 6 quoniam trigona h p o & g p a $unt ad inuicem æ quiangula: e$t ergo angulus o h p æ qualis angulo a g p. Et quoniam linea h o diuidit ba- $im b p trigoni b h p, pater per 29 th. 1 huius quoniam ip$a linea h o diuidit etiam angulum b h p: e$t ergo angulus b h a maior angulo o h p: ergo & eius æ quali, $cilicet angulo b g a. Quantitas ergo li- neæ b a per 20 huius maior uidebitur, centro ui$us exi$tente in puncto h quàm in puncto g: minor autem quàm in puncto z. Sit enim punctus, in quo linea b h $ecat circulum b z a, punctus x: & duca- tur linea a x: patet quoq; per 16 p 1 & per 27 p 3 quoniá angulus b z a e$t maior angulo b h a. Et quo- niam quibu$cunq; punctis lineæ d z uellineæ z g datis, $iue linea d z $it maior quàm linea z g, $iue minor: $emper eodem modo pote$t demõ$trari: patet ergo propo$itum. Angulus enim b z a fit ma- ximus omniũ illorũ angulorũ: & ei propinquiores fiunt remotioribus maiores: & æ qualiter ab illo di$tãtes fiũt æ quales: & $ecundũ illorũ angulorũ quãtitates per 20 huius mutatur quátitas rei ui$æ.

120. Sunt loca, in quibus oculo trã$po$ito, æquales magnitudines communiter loca quædam directè occupantes, quando<005> æquales, quando<005> inæquales apparent.

Cõmuniter dicuntur magnitudines occupare loca $ua, quãdo una applicatur alteri taliter, quòd nihil cadit medium inter ip$as, neq; $ecundum rectam lineam æ qualiter utriq; magnitudinũ con- iunctam, neq; $ecundum lineam alteri illarum magnitudinum angulariter incid\~etem. Sit itaq; cen- trum oculi in puncto d: & $int ui$æ magnitudines æ quales, quæ a b & b g, communiter occupantes locum b: & à puncto b $uper ambas illas magnitudines ducatur linea perpendicularis, quæ $it b z: $it\’q; oculus di$po$itus in tali $itu, ut linea z b protracta ultra punctum b, concurrat cum puncto, in quo e$t centrum ui$us. Et quoniam in quocunq; puncto lineæ d z po$ito centro ui$us, erunt $emper d e e a b g a b g z i i per 4 p 1 anguli b d g & b d a in centro ui$us æ quales: manife$tũ ergo per 20 huius quoniã $ecundũ quem- cunq; punctum lineæ d z po$ito centro ui$us d, $em- per magnitudines b g & a b æ quales apparebũt. Trã$ ponatur autem oculus: & $it extra lineam d z in pun- cto e: dico quoniam magnitudines a b & b g in æqua- les appar\~et: {pro}ducátur enim lineæ e a, e b, e g: & de$cri- batur circa a e g trigonum circulus, qui $it a e d g, per 5 p 4, & adijciatur line æ e b linea recta b i, attingens in parte oppo$ita puncto e circumferentiá. Quia itaq; arcus a z e$t æ qualis arcui z g per 33 p 6 propter recti- tudinem angulorum ad punctum b, $iue punctum $it c\~etrum de$cripti circuli, $iue non: $emper enim ex hy. pothe$i, & per 3 p 3 & 4 p 1 & per 28 p 3 erit arcus a i maior arcu i g. Palàm ergo item per 33 p 6, quoniam angulus a e i maior e$t angulo i e g: $ed $ub angulo a e i uidetur magnitudo a b ab oculo exi$t\~ete centraliter in puncto e, & $ub angulo i e g uidetur magnitudo b g: apparet ergo a b maior quâm b g, oculo tali- ter di$p o$ito, ut patet per 20 huius. Palàm etiam per 118 huius quòd $i oculus tran$mutetur $ecun- dum lineam e i illis magnitudinibus obliquè incidentem, $emper ui$æ magnitudines a b & b g ap- parent in æquales: & quantò propinquius ad punctum b, tantò appar\~et maiores per 16 p 1 & per 20 huius: quoniã $emper angulus extrin$ecus maior fit angulo intrin$eco $ibi oppo$ito. Si ergo $uper circuli circumferentiam centrum ui$us moueri intelligatur: $emper in æquales apparent magnitu- dines a b & b g: & $i oculus extra circulum ponatur nõ exi$tens in directo lineæ d z, a d huc in æqua les apparent magnitudines a b & b g. Quod e$t propo$itum.

121. Sunt loca, in quibus po$ito ui$u, æquales magnitudines communiter loca quædam obli- què occupantes, quando<005> æquales, quando<005> inæquales apparent.

E$to c\~etrum ui$us in puncto z: & $int du æ magnitudines æ quales ui$æ: quæ g d & g b, quæ com. muniter locum unum occupent nullo medio corpore interpo$ito: obliquè tamen coniungãtur $e- cundum angulum, qui $it d g b: hunc ergo angulũ per æqualia diuidat linea g z per 9 p 1 Dico quòd in quocunq; puncto line æ z g cadat oculus, $emper æquales uidebuntur magnitudines b g & g d. Pote$t autem hoc conuinci per 4 p 1 & per 20 huius: $emper enim angulus g z b e$t æ qualis angulo g z d. Idem quoq; accidit, $i $uper utranq; illarum linearum b g & g d $emicirculus de$cribatur: & à puncto $ectionis illorum $emicirculorum, qui $it z, ducantur lineæ z b & z d, z g: tunc enim, quia LIBER QVARTVS. uterq; angulorum b z g & d z g eritrectus per 31 p 3: pater ergo per 20 huius propo$itum. Id\~e quoq; z z d b g z d z b g accidit $i ultra pun- ctum $ectionis $emi- circulorum linea g z {pro}ducatur: & in eius pũcto z centrũ oculi ponatur. Sed e$t etiá locus, in quo ill{ae} ma- gnitudines datæ æ- quales, quæ $unt b g & g d, ui$ui in æqua- les appar\~et: ad quem inuenlendum, circa lineam g b $emicirculus de$cribatur, qui $it b z g, & circa lineam g d portio maior $emicirculo, quæ z d b g $it g z d. Po$sibile quoque e$t hoc $uper g d de$cribere portionem circuli capientem angulum dato acuto an- gulo æqual\~e per 33 p 3: $ed illa portio maior e$t $emicir- culo per 31 p 3: $it ergo de$cripta, & $it g z d: & ducantur lineæ b z & g z & d z: angulus itaq; b z g e$t rectus per 31 p 3, & angulus g z d acutus per eandem 31: $ed $ub maio- ri angulo ui$a maiora apparent per 20 huius. E$titaque locus, in quo magnitudines æquales inæquales appa- rent: ut punctus $ectionis portionis maioris $emicircu- lo con$titutæ $uper unam magnitudinum, & $emicirculi $uper alteram con$tituti. Et hoc e$t, quod proponitur.

122. E$t locus, in quo inæquales magnitudines communiter loca quædam obliquè occupan- tes, quando<005> inæquales, quando<005> æquales apparent. Euclides 49 th opt.

Sit, ut in præcedente, centrum ui$us in puncto z: & $int duæ magnitudines quarum maior b g, minor uerò g d, coniunctæ $ecundum angulum d g b: qui diuidatur per 9 p 1 per æ qualia, ducta li- z z b g z z d b g nea g z. Dico, quòd oculo exi$tente $uper quodcunq; pũctum li- neæ z g, $emper magni tudines b g & g d uide buntur inæquales: & b g maior, Ductis e- nim lineis b z & d z, an guli ad pũctum z fiunt in æquales, & maior, cui maior ba$is $ubten ditur per 25 p 1. Quoniá $i detur quod illi anguli $int {ae}quales: erũt trigoni b z g & g z d {ae}quianguli & æquilateri, quod e$t cõ- tra hypothe$im: palàm ergo quòd illi anguli erunt inæquales: uidebũtur itaq; per 20 huius illæ ma- gnitudines in æquales: & maior uidebitur ip$a g b, quoniam $ub maiori angulo uidebitur. Sed & quandoq; illæ magnitudines uidentur æ quales. De$cribatur enim, $icut in præmi$$a, circa lineam b g maiorem ip$arum portio maior $emicirculo, quæ $it b z g: & ducantur lineæ b z & z g: & circum- $cribatur lineæ g d minori portio $imilis portioni b z g, hoc e$t angulum æ qualem angulo b z g ca- piens: $it quoq; communis punctus i$tarum $ectionum punctus z: & ducantur lineæ z b, & z g, z d. Quia ita q; angulus d z g e$t æ qualis angulo b z g, quoniã in $imiles cadunt portiones. Oculi itaq; centro po$ito in puncto z, qui e$t punctus communis $ectionis illarum portionum, magnitudines b g & g d æ quales apparent. Quod e$t propo$itum.

123. Sunt loca, in quibus centro ui$us po$ito, æquales magnitudines erectæ $uper $ubiac\~etem planam $uper$iciem, quando<005> æquales, quando<005> inæquales apparent. Euclides 48 th. opt.

Sint duæ magnitudines a b, & g d æ quales & erectæ $uper $ubiac\~etem ip$is planam $uperficiem: dico quòd e$t locus ubi po$ito c\~etro ui$us, magnitudines a b & g d appar\~et æquales. Ducatur enim inter ip$as in $ubiecta plana $uper$icie linea recta, quæ $it b d: quæ diuidatur in duo æ qualia in pun- cto e per 10 p 1: & à puncto e protrahatur perpendiculariter linea e z $uper lineam b d in eadem $u- perficie per 11 p 1. Dico quòd $uper lineam è z perpendicularem $uper lineam d b exi$tente centro ui$us, $emper magnitudines a b, & g d æ quales apparebunt. Sit enim o culus in puncto z: & ducan- tur lineæ z a, z b, z g, z d. Quoniã ergo trigonorũ b e z, & d e z latus b e e$t æ quale lateri d e, & latus e z e$t commune, anguli uerò z e b, & z e d $unt æ quales, quia recti: palàm per 4 p 1 quoniam linea z b e$t æ qualis lineæ z d: $ed & linea a b e$t {ae}qualis lineæ g d per hypothe$im, & anguli g d z & a b z $unt recti per de$initionem lineæ $uper $uperficiem erectæ erit ergo per 4 p 1 linea z a æ qualis lineæ z g, VITELLONIS OPTICAE & reliqui anguli reliquis angulis. Angulus ergo a z b æ qualis e$t angulo g z d: ergo per 20 huius æ. a g b e d t z a quales apparent magnitudines a b, & g d. Dico etiam quòd quandoq; inæquales apparent ip$æ magnitudi- nes a b, & g d. Reman\~ete enim præmi$$a di$po$itione in eadem $ub$trata $uper$icie tran$mutetur centrum ocu- li extra lineam e z: & fiat in puncto i: & ducatur linea i e ad medium punctum line æ b d: & ducantur line{ae} i a, i b, i g, i d: erit\’q; per 24 p 1 linea i b maior quã linea i d: ideo quòd angulus b e i e$t maior angulo d e i, æquis inter $e lateribus contento: ab$cin datur ergo à linea i b æ qualis lineæ i d per 3 p 1: $it\’q; linea b t æ qualis lineæ i d, & du- catur linea a t. Quia itaq; per definitionem lineæ $uper $uperficiem erectæ anguli i b a & i d g $unt {ae}quales, quia recti: erit ergo per 4 p 1 angulus b t a æqualis angulo g i d: $ed angulus b t a per 16 p 1 e$t maior angulo b i a, quia e$t extrin$ecus trigono a t i: angulus ergo g i d maior e$t angulo b i a: ergo per 20 huius ui$u exi$tente in puncto i, maior apparet linea d g quàm linea a b: & eod\~e modo de quolibet puncto extra lineã z e dato e$t demon$tran dum. Variantur autem magnitudines in ui$u $ecũdum approximationem uel elongationem ab altero ui$ibi- lium. Patet ergo propo$itum.

124. Sunt loca, in quibus centro ui$us po$ito, in ea- dem $uperficie æqualia latera rectanguli quandoque æqualia, quando<005> inæqualia uidentur.

Sit rectangulũ a b g d, cuius duo latera a b & g d $int æ qualia. Dico quòd $unt loca, in quibus c\~etro ui$us po- $ito, illa duo latera uidebũtur æqualia. Circum$cirbatur enim illi rectangulo per 40th. 1 huius, & per 9 p 3 circulus, in cuius alterius arcuum (qui $unt b d & a g) quocunq; puncto ponatur cétrum ui$us: $it aut\~e, exempli cau$$a, po$itus in pũcto inedio arcus b d, qui $it o: & copulentur lineæ, quæ o a, o g, o b, o d. Quia itaq; latera a b & d g $unt æ qualia: erunt per 28 p 3 arcus a b, & d g æ quales: ergo per 27 p 3 erũt anguli a o b & g o d æ quales: ergo per 20 hu- ius latera a b & d g uidentur æqualia ui$u exi$tente in puncto o. Similiter quoq; demon$trandũ e$t de quolibet puncto amborum arcuum b d, & a g: $emperenim centro ui$us in quorumcunq; illorũ punctorũ exi$tente, uid\~etur a b & g d magnitudines æ quales. Similiter quoq; fi linea b d diui datur a g q b f d t o r p z c per æqualia in puncto $per 10 p 1: & in puncto f ponatur centrũ ui$us: tuncitem per 4 p 1 & 20 huius lineæ a b & g d uidebuntur æquales. Et $i à pũcto f ducatur per 11 p 1 linea perpendicularis $uper lineam b d, qu{ae} $it f z, $ecans peripheriam circuli in puncto o: tunc a dhuc $ecun dum præmi$$a, in quocũq; pũcto lineæ f z ponatur centrũ ui- $us, $emper per 4 p 1 & 20 huius dict{ae} lineæ a b & g d ap- parebunt {ae}quales. Quòd $i centrũ oculi $it extra circulũ a b g d, ut in pũcto e, quod $it, ex\~epli cau$$a, propinquius lineæ d g, quá ip$i b a: dico quòd uidebitur linea a b ma- ior quàm linea g d. Protrahantur enim lineæ e a, e g, e b, e d: $ecet\’q; linea e a peripheriá circuli in pũcto t, & linea e g in puncto r: & copulentur lineæ b t & d r. Et quoniã, ut $uprà patuit, lineæ a b & g d $unt æquales ex hypo- the$i: ergo per 28 p 3 erit arcus a b æquales arcui g d: erũt ergo per 27 p 3 anguli a t b & g r d æquales propter duo- rum arcuũ æqualitat\~e: ergo per 13 p 1 anguli b t e & d r e $unt æquales. Quia uerò arcus b t e$t maior arcu d r, pro pter maior\~e propinquitat\~e puncti e ad lineá d g: erit er- go per 29 p 3 latus b t maius latere r d: linea uerò e t e$t minor quàm linea r e: quod patet ex 17 p 6 & 36 p 3 pro- tracta prius à pũcto e per 17 p 3 linea e q circulũ contin- gente in pũcto q. Tunc ergo, cũlinea a e $it maior quàm linea e g ex hypothe$i: patet etiã per 8 & 10 p 5 lineam er e$$e maior\~e linea e t. Quia ergo linea b t e$t maior quàm linea r d, & linea e t e$t minor quàm linea e r: fiat per 3 th. 1 huius, ut quæ e$t proportio lineæ b t ad lineam t e, ead\~e $it lineæ r d ad aliquã lineam quartam: quæ nece$$ario, ut patet ex præmi$sis, erit minor quá linea r e. Ab$cindatur ergo ք 3 p 1 æ qualis illi à linea r e, qu{ae} $it r p: copuletur quoq; linea p d. Ergo per 6 p 6 trigona b t e & r d p æ quiangula erũt, LIBER QVARTVS. erit\’q; angulus r p d æqualis angulo b e t: $ed per 16 p 1 angulus r p d maior e$t angulo p e d: angu- lus ergo a e b e$t maior angulo g e d: ergo per 20 huius uidebitur linea a b maior quàm linea g d. Si autem centrum oculi con$i$tat intra circulum: tunc immutetur figura, $it\’q;, ut prius, circulus à b d g d circum$criptus rectangulo a b g d, cuius latus b d diuidatur per æqualia in puncto f: & ducatur à puncto f ad peripheriam circuli perpendicularis $u- a i g e b f d o z q s per lineam b d: qu{ae} $it z f: con$i$tat\’q; centrum ui$us in- tra portionem z f d, ut in puncto o: dico quòd linea g d apparebit maior quàm linea a b. Sit enim centrum il- lius circuli punctũ e: ducantur\’q; lineæ o a, o b, o g, o d: producatur\’q; linea a o u$q; in punctum circumferen- tiæ, quod $it s, & linea g o u$ q; in punctum q, & linea e o u$q; in punctum i: & copulentur lineæ q d & g b. Cum itaq; linea a s $it maior quàm linea g q per 7 p 3: propter hoc quòd punctus o, in quo e$t centrum ui- $us, datus e$t in portione z f d propinquior lineæ d g quàm lineæ a b, & propinquior puncto g <004> puncto a: li nea quoq; a s e$t propinquior centro e quàm linea g q: e$t ergo portio circuli & arcus a s maior portione cir- culi & arcu q g: $ed, ut patet ex præmi$sis, arcus a b æ- qualis e$t arcui g d per 28 p 3 & ex hypothe$i: ablatis er go hinc & inde arcubus æqualibus, remanebit arcus b s maior arcu q d: ergo per 29 p 3 erit chorda b s maior quàm chorda q d: $ed per 7 p 3 linea o s e$t minor quàm linea o q, cum linea o s $it propinquior diametro e i quàm linea o q, ut patet ex præmi$sis. Quoniam ergo anguli b s a & g q d per 27 p 3 $unt æquales, quoniam cadunt in arcus æquales: in trigonis quo q; b o s & d o q latus b s e$t maius latere q d, & latus q o maius latere s o, ut patet ex præmi$sis: & h æ c latera hinc & inde continent angulos æ quales: tunc per modum, quo in præmi$sis $uperius u$i $umus, patet quòd angulus b o s maior e$t angulo q o d: ergo per 13 p 1 angulus b o a e$t minor angulo g o d: ergo per 20 huius uidebitur linea g d maior quàm linea a b, centro oculi exi$tente in puncto o. Quod e$t propo$itum. Similiter quoq; $i centrum ui$us fuerit portione z f b, uidebitur linea a b maior quàm linea d g. Hæc ergo latera rectanguli quandoq; uidentur æqualia, quandoq; in æqualia in diuer$is locis centro ui$us po$ito. Quod e$t propo$itum.

125. Sunt loca, in quibus oculo po$ito, inæquales magnitudines in idem compo$itæ, æquales u- tri<005> inæqualium apparent. Euclides 50 th. opt.

Sit duarum magnitudinum datarum b g maior, & d g minor: & circa utranq; $emicirculus de$cri batur, ut circa lineam d g $emicirculus d z g, & circa lineam b g $emicirculus g k b: & tertius $emicir- a k z b g d culus de$cribatur circa totam lineam d b, qui $it d a b. Ductis itaq; lineis d a & b a, palàm quia productæ line{ae} $ecant minores $emicirculos: $ecet ergo linea a b $emi- circulum g k b in puncto k, & linea d a $em: circulum d z g in puncto z: & ducátur lineæ z g & k g. Palàm itaq; per 31 p 3, quoniam anguli d z g & g k b & d a b omnes $unt æquales: quia recti. Oculi itaq; centro $ecundum puncta k, a, z tran$mutato, uidebitur linea b g æqualies lineæ g d, & linea d b æqualis alteri datarum, & linea d g æqualies a mbabus lineis d g & b g. Et idem accidit cen tro oculi $ecundum quæcunq; puncta form arum $emicirculorũ tran$mutato. Patet ergo propo$itũ.

126. Po{$s}ibile e$t inueniri loca, à quibus æqualis magnitudo apparet medietas, uelquarta pars: & uniuer$aliter in eaproportione, $ecundum quampropo$itus angulus diuidetur. Eucli- des 51 theo. opt. e k h a f b g

Sint duæ magnitudines a b & g b æquales: & circa a b de$cribatur $emicirculus, qui $it a k b: qui per 30 p 3 diuidatur per æqualia in pũcto k, ductis lineis a k & b k: palã\’q; ք 31 p 3 quoniã angulus a k b e$t rectus: diuidatur\’q; angulus a k b per æqualia per 9 p 1 ducta linea k $: qu{ae} per 33 p 6 nece$$ariò e- rit perpendicularis $uper diametrũ a b, & incidet centro $emicirculi: ideo quia arcus $emicirculi di- ui$us e$t per {ae}qualia in puncto k: & per 33 p 3 $upra lineam b g de$cribatur portio circuli capiens an- gulũ æqual\~e angulo a k f. Et quoniã angulus a k f e$t acutus. angulus enim a k b, <003> e$t rectus, e$t du- VITELLONIS OPTICAE plus angulo a k f: erit ergo illa de$cripta portio maior $emicirculo per 31 p 3, quæ $it b e g: erit\’q angu lus a k b duplus angulo b e g: cadat\’q; punctus e in medio arcus b e g. Quia itaq; lineæ a b & b g ui- dentur directè ui$ui oppo$itæ, cum ui$us centrum e$t in punctis k & e: uidebitur ergo per 20 huius linea b a in puncto k dupla lineæ b g ui$æ in puncto e. Et quoniam omnes anguli in una portione circuli $uper arcum con$i$tentes $unt æquales per 21 p 3, palàm quòd accidit $imiliter $uper omnia puncta illorum arcuum $emicirculi $cilicet præmi$si, qui a k b, & portionis b e g, à quibus ductæ li- neæ continent æquales angulos cũ diametro, ita ut obliquitas ui$ionis hincinde $it $emper ead\~e. Vi $u ita q; exi$tente in puncto communis $ectionis ip$arum, qui $it punctus h: tunc eodem intuitu uidebitur linea a b qua$i dupla lineæ b g. Et eodem modo diuer$ificatur rerum æqualium apparen- tia, diui$o angulo per alium numerum quemcunq;. Generale enim e$t hoc, data magnitudine & an- gulo diuidere angulum $ecundum aliquam proportion\~e per 27 th. 1 huius, & circa magnitudinem de$cribere portionem circuli capientem angulum alicui diuidentium æqualem: & $emper po$ito centro ui$us ad illum angulum uidebitur apparentia magnitudinis uariari $ecundum illum. Hoc e$t ergo propo$itum. In hoc tamen non modicum effectum habet longitudo di$tantiæ $ecundum rectam lineam proten$æ à puncto concur$us linearum illum angulum continentium: quoniam in omnibus ui$is ex inæquali di$tantia, maior e$tproportio di$tanti{ae} maioris ad minor\~e, quàm anguli ad angulum, ut patet per 11 huius. Idem quoq; accidit, $i angulus a k b $ecundum aliam proportion\~e fuerit diui$us, & ei æqualis in portione circuli $uper lineam b g con$tituatur angulus: & eadem e$t demon$tratio. Patet itaq; propo$itum.

127. Sunt loca, in quibus po$ito ui$u, ead\~e magnitudo quandog totius $uæ quantitatis, quan- do<005> medietatis, quando<005> quartæ, uel $ecundum datam proportionem uidetur. e d c g a b

E$to a b magnitudo ui$a: dico quòd ip$a (tran$mutato centro ui- $us ad diuer$a puncta) quandoque apparet $uæ propriæ quantita- tis, quandoq; in alia quacunq; proportione. De$cribatur enim cir- ca lineam a b circulus a e b, ita quòd linea a b non $it diameter il- lius circuli: quod pote$t fieri $umpta pro diametro circuli aliqua li nea maiore quàm $it linea a b. Sit itaque centrum illius circuli pun- ctum g: & ducantur lineæ a g, b g, a e, b e. Palàm ergo per 20 p 3 quoniam angulus a g b duplus e$t angulo a e b. Oculi itaque cen- tro exi$tente in centro circuli g, linea a b apparebit duplo maior quàm appareat centro oculi exi$tente in arcu a e b per 20 huius: quoniam omnes anguli contenti $ub lineis ab i$tis punctis ad pun- cta a, b ductis $unt æquales per 21 p 3: & cuilibet illorum duplus e$t angulus, quiad centrum g, per 20 p 3. Patet ergo propo$itum.

128. Oculo, ei, quod uidetur, propius accedente: uidebitur rei ui$æ quantitas augmentari. Eu- clides 55. theo. opt. g b d z

Sit linea ui$a b g: & $it oculus in puncto z: ducantur\’q; lineæ z b & z g: & accedat oculus propius lineæ b g: & $it $uper d punctum: intel- ligimus autem hic acce$sionem $ecundum lineam rectam perpendi- cularem $uper magnitudinem ui$am. Ducantur ergo lineæ b d & g d. Et quia per 21 p 1 angulus b d g e$t maior angulo b z g: res autem $ub maiori angulo ui$a maior uidetur per 20 huius. Videbitur er- go augmentata quantitas lineæ b g, oculo $uper d exi$tente, re$pe- ctu eius, quod fuit, exi$tente centro ui$us in puncto z. Et hoc e$t propo$itum.

129. Augmentatæ magnitudines uidebuntur oculo appropin- quare. Euclides 58 th. opt.

Sit magnitudo a b, quæ uidetur: & centrum oculi $it in puncto g: & d a b g ducantur lineæ g a & g b: & augmentetur b a magnitu- do ita, ut fiat magnitudo b d maior quàm b a: & ducatur linea d g. Quia ergo angulus b g d maior e$t angulo b g a, ut patet per 29 th. 1 huius, quia e$t maior, $icuttotũ $ua parte: palàm per 20 huius quoniá maior apparet ma gnitudo b d quàm b a: maiora uerò $e ip$is prius ui$is ui dentur omnia po$tmodũ aucta: in eo uerò quòd maio- ra $unt, $ub maiori angulo uid\~etur. Et quoniá tale ui$um uidetur id\~e ei, q<001> prius ui$ú e$t, & {ae}$timatur {ae}quale $ibi ip$i: omnium aũt æqualiũ, q<001> à {pro}pinquiori uidetur, $ub maiori angulo uidetur, ut patet per 7 huius: uirtus ergo LIBER QVARTVS. di$tinctiua animæ $entiens angulum, $ub quo fit ui$io, augmentari, & {ae}$timans rem eadem, iudicat $e illam à propinquiori uidere. Omnes ergo auctæ magnitudines uidentur oculo appropinquare. Et hoc e$t propo$itum.

130. Omnes magnitudines in eadem $uperficie iacentes, extremis $uis non in directo $uo me- dio existentibus, totalem $uam figuram quando<005> concauã, quando<005> ueròfaciunt conuexam: Euclides 59. theo. opticorum. b g d k g d b k

Verbi gratia uideatur magnitudo g b d iacens in aliqua $uperficie: & eius punctum medium, quod e$t b, non $it in directo $uorum extre- morum, $ed extra illa: $it\’q; oculus in puncto k: & ducantur lineæ k g & k b & k d. Videbitur itaq; tota figura g b d concaua, $i eius medius punctus $it remotior à ui$u. Accedat uerò medius punctus rei ui$æ, quod e$t b, àd ui$um: & fiat propinquior oculo: dico quòd uidebitur tota magnitudo conuexa: uidet enim ui$us $imul puncta media & ex- trema, quorum formæ $ecundum ip$orum $itum & di$tantiam de- $cribuntur in $uperficie ui$us: & accidit ui$ui pa$sio, quæ accidit ex $uper$iciebus concauis & conuexis. Apparent ergo illa concaua & conuexa $ecundum diuer$itatem $itus $ui puncti medij. Et hoc e$t propo$itum.

131. Omnium mobilium æqueuelocium $ecundum eandem lineã motorũ, ultra punctum cõiunctionis axium ui$ualium proximum ui$ui exi$tentium, remotior a uidentur tardius moueri.

Sint duo mobilia b & c, quæ moueantur æque uelociter: & $it centrum ui$us a: & $it, ut mobilia b & c $int $uper lineam a g: & $it b remotius à ui$u quàm c. Quia ergo linea a b e$t maior quàm linea d g b b c c a a c: palàm per 7 huius quoniam $ecund ũlineam a b $ub minori angu- lo fit ui$io quàm $ecundum lineam a c. Vi$io ergo, quæ fit in puncto b, minus erit certa, quàm quæ fit in puncto c: & $imiliter per eandem 7 huius $ub minori angulo uidetur $patium, quod in aliquo tempo- re pertran$it mobile b, quàm illud $patium, quod in eodem tempo- re pertran$it mobile c. Motus ergo mobilis b non comprehenditut tam perfectè, ut motus mobilis c: uidebitur ergo b tardius moueri, quia $ub minore angulo uidetur mobile b, quàm mobile c. Et $imili- ter $patium, quod pertran$it mobile b, $ub minori angulo uidebitur quàm $patium, per quod in eodem tempore tran$it mobile c. Minus ergo uidebitur $patium, per quod motum e$t mobile b, $patio, quod pertran$it mobile c per 20 huius. Et $i h æc mobilia ambo $int in linea obliqua ad ui$um extra axem, ut linea a d: tunc ambo minus uidebun tur moueri $uis ueris motibus: minus autem adhuc uidebitur moue- ri b, quod e$t remotius à ui$u, quàm ip$um c. Quòd $i ambobus ip$is exi$tentibus in uno axe ui$uali, & aliquod ip$orum fuerit intra con cur$um axium propinqui$simum ui$ui, illud propinquius penitus obliquè uidebitur, ut per mul- tas præcedentium patuit: unde æ$timabitur tardius moueri, licetip$um $it propin quius ui$ui. Patec ergo propo$itum.

132. Omnium mobilium æqueuelocium $uper lineas æquidistan- a d b e z tes non proximas ui$ui motorum, remotior a uidentur tardius mo ueri. Euclides 56 theo. opt.

Sint duo mobilia a & b æqueuelociter mota $uper duas lineas æ- quidi$tantes & æquales, quæ$int a d & b e, quarum remotior à ui$u $it a d: $it\’q; centrum ui$us punctum z: à quo ducantur lineæ z a, z b, z d, z e. Dico quòd mobile a, quod e$t ui$ui remotius, uidebitur fieri tardius quàm mobile b, quod e$t propinquius: quia per 7 & 20 hu- ius linea a d uidebitur minor quàm linea b c, cum tamen $int æqua- les. Mobile ergo a, quod in æquali tempore æquales partes lineæ a d ab$cindit, uidetur tardius moueri quàm mobile b, quod in eo- dem tempore proportionaliter diui$ioni lineæ a d, maiores partes li- neæ b e ab$cindere uidetur, quamuis, ut patet ex hypothe$i, illæ par- tes hinc & inde $int æquales. Apparet ergo uelocius moueri mobi- le b, quàm mobile a remotius ui$ui. Quando enim mobile b perue- nit ad punctum e: tunc mobile a peruenit ad punctum d, qui uide- tur e$$e retro punctum e: & ita uidetur mobile a præpo$teratum mobili b: quia linea b e uidetur VITELLONIS OPTICAE maior quàm linea a d. Mobile ergo a {ae}$timatur tardius moueri quàm mobile b. Quod e$t propo$itũ.

133. Oculo fixo exi$tente, & axe ui$uali æqualiter tran$mutato, remotior a ui$orum æqualiter di$tantium à priori $itu axis, po$teriorari uidentur. Euclides 57. theo. opt.

Sint duo ui$ibilia a & g exi$tentia in duabus lineis æqualibus, qu{ae}$int a b & g d: $it\’q; centrum ui- b a d g e $us e: & $it, ut axis ui$ualis tran$eat ex puncto d ad punctum b: erit er- go punctum b remotius à ui$u, quàm $it punctum d. Palàm itaq; per 7 huius quoniam linea a b remotior à ui$u $ub minori angulo uidetur, quàm $ua æ qualis, quæ e$t g d, propinquior ui$ui. Angulus ergo d e g e$t maior angulo b e a: ergo ք 20 huius linea g d uidetur maior quàm linea a b. Manente itaq; oculo fixo in pũcto e, & axe ui$uali moto per $patium totum, in quo $unt ui$ibilia a & g, pertran$it axis propter mi- noritatem anguli b e a, re$pectu anguli d e g, citius ui$ibile a, quàm ui- $ibile g. Videtur ergo ui$ibile a fieri po$terius ui$ibili g: quoniam ui$o g uidebitur a retrò illud. Quod e$t propo$itum.

134. Mobilium $ecundũ lineam, cui perpendiculariter in$i$tunt, æquidistantem lineæ ab oculo ductæ, æqualiter ad ductam ab oculo lineam motorum: illud, quod remotius à centro ui$us e$t, antecede- dere, propinquius uerò $equi uidetur: tran$itu uerò facto ad aliam partem lineæ ab oculo ductæ, remotius quid\~e $ub$equi, propinquius uerò antecedere uidetur. Euclides 52 th. opt.

Sint æquali uelocitate mota tria mobilia, $cilicet b g, d z, k a $uper lineam, quæ $it g a, cui orthogo naliter in$i$tant $ecundũ puncta g, z, a: $it\’q; mobile b g remotius à centro ui$us, quod $it punctũ m: b g l n x d z e p r k a f s t q q m & $it mobile a k ui$ui {pro}pinquius: ducatur\’q; à ui$u à pun cto $cilicet m per 31 p 1 linea parallela line{ae} g a, quæ $it m l: & ducantur lineæ m g, m z, m a: producantur\’q; lineæ k a, d z, b g ad lineá m l: incidat\’q; linea k a lineæ m l in pun ctum f, & linea d z in punctũ e, & linea b g in punctũ l. Et quoniam lineæ g a & m l $unt parallelæ: palàm per 21 hu- ius quoniá ad part\~e l concurrere uidentur: propinquior igitur uidebitur g ad punctũ l, quàm z ad punctũ e, uel a ad punctũ f. Videtur igitur præcedens b g, $ub$equés ue rò d z, & ultimũ ip$orum k a. Protrahatur itaq; linea g a ultra punctum a ad punctum q, & copuletur linea q m. Quia ergo per 16 p 1 angulus m a q e$t maior angulo m z a, & angulus m z a e$t maior angulo m g z, palàm quòd li nea m g magis approximare uidetur ad punctũ g, quàm linea m z ad punctum z, uel linea m a ad punctũ a: quo- niá anguli extrin$eci maiores $unt intrin$ecis. Itaq; mo- bile b g, quod e$t remotius, uidebitur præcedere mobi- lia d z & k a (accedentibus $ecundum lineam rectá, qu{ae} e$t g a, ad lineam m l æqueuelociter ip$is mobilibus k a, d z, b g) mobile uerò k a, quod e$t po$tremum, uidetur $ub$equi: quia magis uidetur à linea m l elongari. Ethoc durabit, quou$q; linea g a $uperponatur lineæ m l: tunc $ecun dum lineam rectam m l mobile k a propinquius ui $ui uidetur quàm alia, & maius per 7 & 20 huius. Facto autem tran$itu ultra lineam m l, ita ut mobilia, quæ fue- runt prius dextra ui$ui, fiant $ini$tra, uel econtrariò: tunc mobile remotius ui$ui uidebitur $equi, & propinquius præcedere propter eandem cau$$am, quam præmi$imus. Et ut hoc exemplariter pateat, $it ut mobile b g, quod e$t remotius à centro ui$us m, pertran$ita linea m l, perueniat ad locum lineæ n x, & mobile d z ad locum lineæ p r, & mobile k a, quod e$t propinquius ui$ui, perueniat ad locum lineæ s t. Ducantur quoq; à centro ui$us ad puncta n, p, s line{ae} m n, m p, m s. Videbitur ergo mobile n x $ub$equi duo alia mobilia, ideo, quòd, $icut præ- mi$$um e$t, linea n x magis approximat ad punctum l, quàm linea p r ad punctum e, uel quàm linea s t ad punctũ f. Igitur mobile b g, quod fuerat prius præcedens, cum peruenerit ad lineam n x, uide- bitur $equi: & linea a k, quæ fuerat prius $ub$equ\~es, $uper lineam s t uidebitur præcedere. Et $ic i$to- rum mobilium mutato $itu, motus uidebitur diuer$us. Quod e$t propo$itum.

135. Pluribus mobilibus non æquè uelociter ad eandem partem motis, ad quam mouetur & ui$us, æqueuelocia ui$ui, quie$cere: tardior a uerò cõtrà moueri: & celeriora antecedere uidebun- cur. Euclides 53 th. opt. LIBER QVARTVS.

Sint tria mobilia b, c, d: & $it centrum oculi punctũ a: $it autem inter hæc mobilia, b tardi$simum, & c æqueuelox ui$ui, d uerò $it uelocius quàm c: & omnia moueantur ad eandem partem uniuer$i: d c b a à centro quoq; ui$us a ducantur lineæ a b, a c, a d. Cum itaq; motus fuerit oculus a: tunc mobile c, quod e$t æqueuelox oculo, æqualiter motum e$t cum oculo: non ergo mutat $itum re$pectu oculi: ergo per 112 huius ip$um quie$cere uidebitur. Mobile uerò b, quia e$t tardi$simum, patet quòd mo to ui$u ip$um e$t pertran$itum per motum uelocior\~e ip$ius ui$us: & quia mobile c uidetur quie$cere, & mobile b $emper magis & magis remoue- tur à mobili c, propter exce$$um uelocitatis mobilis c $uper mobile b: ui- detur ergo mobile b ad partem contrariam moueri. Mobile uerò d, quia ueloci$simum e$t, præcedit mobile c, & ip$um ui$um: & $emper fit plus di $tans à ui$u. Videtur ergo præcedere. Patet itaq; propo$itum.

136. Si aliquibus mobilibus æqueuelociter motis ui$is apparet ali- quid immotum: illud uidebitur adpartem contrariam al{ij}s mobilibus moueri. Euclides 54 theo. opt.

Sint enim duo mobilia b & d, qu{ae}moueantur æqueuelociter ad unam partem quamcunq,: & $it c aliquid non motum: $it\’q; centrum ui$us a: & ducantur à centro ui$us li- neæ a b, a c, a d. Quia itaq; mobile b mouetur ad aliquem terminum: palàm quoniam ip$um fit pro- c d b a pinquius ad illum quàm corpus c, quod non mouetur: $ed & mobile d æqueuelociter motum e$t mobili b: uidentur ergo mobilia b & d nõ mutare $itum adinuicem: corpus uerò c mutat $itum re$pectu illorum amborum mobilium: uidetur ergo c ad partem illis contrariam moue ri, quod patet ք 110 huius. Et hoc e$t {pro}po$itũ. Et ex hoc apparet, qua- re motis uelociter nubibus luna ui$a uidetur ad partem contrariam moueri. Quia enim partes nubium æqueuelociter mouentur, ut b & d: lunæ uerò motus proprius à ui$u propter remotion\~e in paruo tem- pore non percipitur, ideo uidetur luna, ut mobile c, ad partem con- triam moueri.

137 Puncta $ignata in re circulariter mota, uidentur circuli: & lineæ $uperficies rotundæ.

Cum enim talia mobilia $ic $ignata mouentur circulariter, quodli- bet $uorum punctorum motu $uo de$cribit circulum: quoniã quodli- bet punctum non figitur in eodem loco tempore $en$ibili, $ed in par- uo tempore circumgyrat totam circumferentiam, $uper quam uolui- tur: peruenit ergo tunc forma puncti $ignati in $uperficiem ui$us per modum circumferentiæ circu li. Quoniam enim motus circularis e$t totus unus, non diuidens tempus: non pote$t ui$us compre- hendere formam puncti $ignati ni$i $ecundum circum$erentiam circuli: in minimo enim tempore comprehendit colorem illius puncti circumgyratũ: & $i plura $unt puncta $ecun dũ ordinem unius $ub altero $ignata, plures uidebuntur circuli $ubalternatim & ordinatè cõtenti. Ethic e$t ludus pue rorum in trochis $uper planas $uperficies circulariter exagitatis: quoniã quando trochus fuerit cir- cumgyratus motu forti, & a$pexerit quis ip$um, $i unus e$t punctus in ip$o $ignatus, uidebitur circu lus: & $i plura $unt pũcta ab inuic\~e di$tãtia, uidebuntur plures circuli {ae}quidi$tantes, & circa id\~e cen trum: & uidebit ui$us differentiã colorum cuiuslibet illorũ circulorũ. Et $i plura puncta diuer$orũ colorũ $ibi ad inuic\~e approximantur, cópreh\~edet ui$us o\~es illorum punctorũ colores qua$i unũ co- lor\~e, diuer$um ab omnibus coloribus, qui $unt in illis punctis, qua$i $it color cõpo$itus ex omnibus coloribus illorũ punctorũ, & no cõprehendet lineation\~e neq; diuer$itat\~e colorũ. Et $i motus fuerit ualde $ortis, cõprehendet ui$us illud corpus motũ, qua$i quie$c\~es & circulariter figuratũ: ideo quòd nullũ illius corporis pũctũ figitur in loco t\~epore $en$ibili, $ed in minimo t\~epore gyratur tota circũfe rentia, $up qua reuoluitur. Et $imiliter mota linea uidebitur $ecũdũ line{ae} lõgitudin\~e latitudo cuiu$- dam $uք$iciei rotund{ae} de$cripta in $uperfic e ip$ius ui$us: & $i linea illa fuerit colorata: tunc propter motus uelocitat\~e, motus facit totã $uperfici\~e rotundá apparere coloratam. Et hoc e$t propo$itum.

138. In motus & quietis ui$ione error accidit uirtuti di$tinctiue ex intemperata di$po$itione octo circum$tantiarum cuiuslibet rei ui$æ. Alhazen 28. 39. 49. 55. 60. 65. 67. 70 n 3.

Ex intemperata enim luce accidit error in ui$ione motus & quietis. Si enim de nocte cõprehen- derit ui$us homin\~e ante aliquod nemus, fortè occultabitur ei di$tantia hominis ad nemus. Si itaq; uidens moueatur uer$us homin\~e ui$um, quantò magis ad illũ acce$$erit, tantò di$tantiá illam cer- tius uidebit: unde cum prius $imul unà eũ nemore appareret ei homo ui$us, & quantò ad eum plus accedit, tantò plus uidetur à nemore remotus: & certũ e$t ei nemus immotũ remanere: æ$timabit ergo homin\~e ad partem contrariã nemoris incedere, licet ueritas $it ip$um hominem ui$um immo- tum & quietũ e$$e. Et etiá $i homo de nocte ui$us non plenè cõprehenditur, qui modicũ moueatur, nõ di$cernetur motus eius, & uidebitur quie$cens: hi aũt errores non acciderent in temperata luce. VITELLONIS OPTICAE Exintemperata etiam remotione error accidit in ui$ione motus & quietis. Si quis enim ad part\~e, in qua lunam aut $olem aut $tellã aliquã uiderit, moueatur, cum po$t plurimũ motum lunã ante $e uide rit elongatã nõ minus <004> in principio $ui motus, æ$timat ip$am lunã ad eandem part\~e $ecum moueri, & ab eo recedere, & ob hoc elongatiões durare: & euenit hoc etiã in luna ad part\~e contrariã prope- rante. Accidit\’q hic errorideo, quia notũ e$t homini quòd in his naturis inferioribus exi$tentibus duobus corporibus, quorũ unum moueatur in partem aliquã, $i tunc perman$erit identitas $itus re- $pectu alterius corporis, tunc nece$$e e$t etiã aliud corpus in eand\~e part\~e æ quali motu fui$$e motũ: hoc tamen non oporter $ic æ$timari in luna uel $tellis, quoniã magnitudo uiæ, quã peragit quis mo- tu $uo, non e$t proportionalis magnitudini corporis lunæ uel alterius $tellæ: ergo neq; exce$$us po $trem{ae} propin quitatis ad $tellam $uper primã propinquitat\~e e$t $en$ibilis, re$pectu totalis remotio- nis. Idem etiã error accidit in motu nubium: creditur enim ueloci$simus e$$e motus lunæ, quia par- tes nubiũ, per quas uidetur luna, $ubitò mutantur, & luna nunc cũ his partibus nubiũ, nunc cum il- lis uidetur e$$e $ita: & quia luna e$t corpus lumino$um ui$ibilius quàm nubes, æ$timatur luna moue ri motu, quo $ecundũ ueritat\~e nõ mouetur. Similiter etiá accidit error in quiete: aliquis enim à lon- gè ui$us non ueloci motu motus, quie$cere uidetur:& propter hoc planetas credimus immotos, li- cet uelociter moueãtur. Vi{ae} enim, quas incedunt in t\~epore paruo, nõ $unt perceptibiles ui$ui à tãta remotione: unde durante $itu ip$orum, re$pectu uidentis identitate quie$cere putãtur. Similiter e- tiam accidit hic error, $i in eadem linea ui$uali uel axe corpus aliquod ui$um uel à ui$u moueatur. Tunc enim ni$i motus eius fuerit ualde fortis, putabitur immotũ: quia non percipitur an partes uel ip$um totũ $e aliter habeat nũc <004> prius: uia enim, qua incedit, e$t imperceptibilis à tanta remotione. Exintemperata etiã $itus oppo$itionis obliquitate accidit error uirtuti di$tin ctiu{ae} in pr{ae}mi$$orũ ui $ione: unde aliquo uelociter nauigáte in flumine, & obliquè in$pici\~ete arbores in ripa fluminis: tũc arbores ab axe ui$uali multum elongatas æ$timabit moueri, illæ uerò arbores, quibus axis ui$ualis incidet, quie$cere uidebuntur. Similiter rota aliqua mota, ut molendini obliquè ui$a uidetur quie- $cere. E$t autem hic error propter $olam obliquationem $itus rei ad ui$um, quoniá talis rota direcè intuita moueri uidetur. Exintemperata etiá magnitudine accidit error in ui$ione præmi$$orum. Si enim moueantur duo, quorum unum $it paululũ uelocius alio, putabit uidens e$$e æ qualem ip$orũ motum, cum in$en$ibile $it unius motus $uper alium excrementum, & $imiliter quantitas ex- ce$$us uiæ, quam tran$it alius, imperceptibilis e$t ui$ui: unde iudicatur æ qualitas motuũ & uiarum: & $imiliter res parua mota fortè æ$timabitur non moueri, etiam $i di$tantia à ui$u fuerit t\~eperata. Ex intemperata etiam raritate accidit error in præmi$sis. Si enim in aere nubilo$o ob$curo duo corpo- ra moueantur, quorũ unum alio paululum uelocius moueatur: iudica buntur for$itan æ quales ip$o- rum motus, cum propter intemperiem diaphanitatis aeris di$cerni nõ po$sit motus unius ad motũ alterius exce$$us: nec enim tunc percipitur à ui$u exce$$us uiæ pertran$itæ ab uno, à uia pertran$itæ ab alio. Similiter etiam in tali aere à longitudine media, non tamen parua, $i quis uideat aquã fluen- tem, aut iudicabit eam immotá, aut $i fuerit fortis eius fluxus, æ$timabitur minus mota quàm mo- neatur. Exintemperata etiam temporis di$po$itione $it maximus error in ui$ione motus & quietis, quæ per$e tempore men$urátur. Cum enim duorũ mobilium unũ paulò uelocius alio mouebitur: tunc motus in t\~epore modico cõprehen$i æ quales iudicabuntur: quia nõ e$t tam $ubitò cóprehen$i bilis ip$orũ exce$$us: & $i aliquid tardè moueatur, hoc in t\~epore modico in$pectũ nõ uidebitur mo- ueri: quoniá uia, per quá mouetur in modico t\~epore, e$t imperceptibilis ui$ui propter $ui paruitat\~e: $ed & ueloci$simè motum circulariter & in eodem loco manens, ut trochus, non æ$timatur moue- ri: locus enim trochi non mutatur, & partes ueloci$simè redeunt ad priorem $itum. Ex intemperan tia etiam di$po$itionis ui$us accidit error ui$ioni præmi$$orum. Cum enim quis $æpius in circuitu fuerit reuolutus, & pò$t quie$cit: tunc putat quòd uicini parietes moueantur: ideo quia $piritus ui$i biles interius moti di$currunt ex motu corporis ip$ius facto, nec $tatim quie$cente corpore exterio ri $piritus intrin$ecus moti quie$cunt, eò quòd leuiores corpore gro$$o, $untillo mobiliores, & mi nor uirtus animæ mouet illos, illi autem moti formas motas uirtuti di$tinctiuæ repr{ae}$entant: uiden tur ergo omnia moueri, quorum formæ motis $piritibus uirtuti animæ offeruntur etiam po$t quie- tem ip$ius uidentis. Ethuius $imile e$t etiam in alijs motis: trochus enim diu po$t quietem manus motricis mouetur, & non quie$cit, quou$q; uirtus influxa $ibi de$init mouere. E$t etiam quædam corporis & oculorum infirmitas, in qua uidentur omnia circumuolui. Si etiam corpus $imilium partiũ uoluatur tardè, ut accidit in quibu$dam rotis horologiorũ: tunc ui$us debilis non percipiet motũ eius, neq; etiam $anus ui$us percipiet motum parui temporis. Si uerò $it corpus di$similium partium, ut in rotis molendini: tunc fortè etiam ui$us debilis comprehendet motũ, ni$i ualde fe$ti- na fuerit rotæ reuolutio: quia propter uelocitatem motus fortè di$similitudo partium rotæ non po terit comprehendi. Patet itaq; illud, quod proponebatur.

139. Alperitas comprehenditur à ui$u ex cõprehen$ione lucis $uperficiei corporis a$peri inci- dentis, per quã comprehenditur diuer$itas $ituũ partium $uperficiei corporis. Alhazen 53 n 2.

Cum a$peritas $it diuer$itas $itus partiũ $uperficiei corporis, palàm per 11 th. 2 huius, quòd partes præeminentes umbram faciunt, quando luxinciderit $uperficiei illius corporis: partes ergo præe- minentes erunt manife$tæ luci & di$coopertæ, & in partes profundas perueniũt umbræ, permi$cen tes lucem illis partibus incidentem. Diuer$ificabitur ergo forma lucis in $uperficie illius corporis, LIBER QVARTVS. quod non accidit in $uperficie plana: eius enim partes $unt con$imilis $itus, & fit forma lucis in o- mnibus $uis partibus con$imilis. Vi$us itaq; cogno$cit formam lucis in $uperficiebus a$peris & pla- nis diuer$am, propter frequentationem ui$ionis $uperficierum a$perarum & planarum: & $ecun- dum hoc dijudicat a$peritatem $uperficierum uel planitiem in corporibus a$peris quibu$cũq;. Sed $i $uperficiei a$peræ partes fuerint ualde præeminentes, pote$t etiam ui$us comprehendere præ e- minentiam illarum partium ex comprehen$ione di$tantiæ, qu{ae} e$t inter partes: & $ic ex comprehen $ione diuer$itatis $itus partium $uperficiei corporis a$peri comprehendet etiam a$peritatem illius: & erit etiam lux in illa a$peritate maxim{ae} diuer$itatis, quoniam maioribus umbris di$tinctè permi- $cetur, & ex diuer$itate formæ lucis uidebitur di$tantia partium, & diuer$itas $itus earum: & ex hoc uidebitur corporis a$peritas. Quòd $i præeminentiæ partium $uperficiei rei ui$æ fuerint paruæ ual- de, non comprehendet ui$us illam a$peritat\~e corporis, ni$i cum multa appropinquatione intuitus. Sic ergo per diuer$itatem lucis $uperficiebus corporum a$perorum incidentis, & ex cõ$equenti per eomprehen$ionem diuer$itatis $ituum partium $uperficiei corporis, a$peritas comprehenditur à ui $u. Pater ergo propo$itum.

140. Lenitas $iue planities comprehenditur à ui$u comprehen$ione lucis $uperficiei lenis cor- poris incidentis, tum etiam per $uarum partium omnimodam æqualitatem. Alhazen 54 n 2.

Quia enim lenitas e$t æ qualitas $itus partium $uperficiei, patet quòd partes corporis lenis $unt con$imilis $itus: lux ergo illis corporibus incidens fit con$imilis & nullis umbris permixta: unde e- tiam corporis ter$itudo $iue politio, quæ e$t quædam lenitas uel planities, comprehenditur à uifu ex $cintillatione lucis in $uperficie illius corporis, & ex $itu, $ecundum qu\~e reflectitur lux ad ui$um, uel ad aliud corpus obiectum. Comprehendit etiam ui$us quandoq; planitiem per intuitum dili- gentem, per quem comprehendit partium $uperficiei ui$æ æqualitatem: quandoq; etiam compre- hendit ip$am planitiem $uperpo$ito ui$u in una parte illius $uperficiei ui$æ: & cum formæ partium extremarũ illius $uperficiei, quæ $unt remotiores à ui$u, $ecundum lineas rectas perueniunt ad ui- $um in ip$a $uperficie productas: tunc ui$us $ic ip$ius $uperficiei planitiem comprehendit. Patet ergo propo$itum.

141. In a$peritatis & lenitatis ui$ione error accidit uirtuti di$tinctiuæ ex intemperata di$po $itione octo circun$tantiarum cuiuslibet rei ui$æ. Alhazen 29. 40. 50. 56. 61. 65. 68. 71. n 3.

Ex debilitate enim lucis error accidit uni$ionia$peritatis & lenitatis: quia de nocte ui$a a$peritas fortè iudicabitur lenitas aut econuer$o, $ecundum qualitatem rei ui$æ. Et etiam cum à capillis ni- gris lotis fit lucis reflexio, æ$timantur illi capilli $ummè plani, cum $int $ecundum ueritatem a$pe- ri, eò quòd e$t in eis diuer$itas & di$tantia innumero$a. Superflua etiam longitudo di$tantiæ erro- rem in gerit ui$ioni a$peritatis & lenitatis: unde in pictis capillis uel pilis alicuius pictæ imaginis propter longitudinem di$tantiæ æ$timatur a$peritas: ideo quia $en$us con$ueuit accipere a$perita- tem in capillis ueris: & idem accidit in rugis ue$tium depictarum, quæ propter di$tantiam uiden- tur replicatæ, cum $int in una $uperficie con$titutæ. Similiter etiam $i à magna di$tantia opponatur ui$ui corpus, in quo e$t modica a$peritas, putabitur lenitas: quia à tali di$tantia non pote$t di$cerni diuer$itas partium aut proiectio umbr{ae} partium eminentium $uper depre$$as: unde iudicatur in eo lenitas. Exintemperantia etiam $itus fit error in ui$ione a$peritatis & lenitatis. Si enim à capillis depictis alicuius pictæ imaginis fiat obliqua reflexio lucis, utpote ui$u non exi$tente in loco refle- xionis, fiet comprehen$io a$peritatis capillorum, cum non $it ni$i lenitas in illis:hoc autem non ac- cideret ui$ui directè lucem reflexam excipienti: quia tunc uera lenitas appareret. Cum etiam cor- pus aliquod, in quo e$t modica a$peritas, obliquatũ fuerit ab axe ui$uali: tunc apparebit lene: quod $i directè ui$ui opponeretur, $ua a$peritas ui$ui $e offerret. Ex intemperantia etiam magnitudinis error accidit ui$ioni præ mi$$orum: cum enim occurrerit ui$ui res multum parua, uidebitur fortè le- nitas, ubi e$t a$peritas, aut econuer$o: non enim comprehenditur præeminentia partium aliarum $uper alias propter nimiam corporis paruitatem. Ex $oliditatis etiam intemperantia error acci- dit ui$ioni præmi$$orũ. Si enim in corpore multũ raro fuerit a$peritas nõ magna, putabitur fortè le- nitas: & $i totum fuerit lene, & trans ip$um uideatur corpus a$perum aut diuer$orum colorum: æ$ti- mabitur hoc corpus, quod e$t rarum & lene, e$$e a$perum: & erit error in a$peritate & lenitate. Ex intemperantia etiam raritatis error accidit ui$ioni præ mi$$orum: quia in aere nubilo$o ob$curo ui- debitur corpus a$perum e$$e lene, propter latentes a$peritatis cau$$as, & ui$a re polita, cum non di- $cernitur reflexio ab ea, æ$timabitur fortè a$pera. Ex paruitate etiam temporis fit error in ui$ione præmi$$orum: cum enim $ubitò uidetur aliquod a$perum, æ$timabitur lene, & $i lene ui$um fuerit $u bitò, non poterit di$cernilenitas aut a$peritas: unde $ub dubio fit error. Ex ui$us etiam debilitate fit error in ui$ione præmi$$orũ: quia ui$us debilis reputabit corpus modicè a$perũ fortè lene, uel econ- uer$o, $i in formis corporis a$peri & lenis fuerit di$similitudo. Patet ergo propo$itum.

142. Diaphanitas cõprehenditur à ui$u ex comprehen$ione formæ cõrporis ultra corpus dia- phanum exi$tentis. Alhazen 55 n 2.

Quòd diaphanitas comprehendatur modo propo$ito, $atis patet: dicimus enim, ut in principio 2 VITELLONIS OPTICAE huius præmi$imus, illa corpora diaphana, quæ $unt peruia ui$ui ad alia corpora uideneda. Corpus itaq; diaphanum per$e non uidetur, ut patet per 14 t 3 huius, ni$i in ip$o $it aliqua $pi$itudo, re$pe- ctu diaphanitatis aeris interiacentis ui$um, ut e$t cry$tallus & beryllus, & $imilia denfa diaphana: $ed etiam illorum diaphanitas à ui$u non comprehenditur, ni$i ex comprehen$ione formæ corpo- ris exi$tentis ultra illa uel in circuitu ip$orum, quorum luxuel color per media illa diaphana perue- nit ad ui$um. Cum ergo ui$us comprehendit, quòd forma lucis uel coloris comprehen$i à $e e$t $o- lùm corporis ultra corpus diaphanum exi$tentis: tunc $entiet diaphanitatem corporis diaphani. Quòd $i corpus diaphanum fuerit debilis diaphanitatis, utpote maioris $pi$situdinis quàm alia dia phana, & corpora ultra ip$um exi$tentia fuerint debilis lucis uel coloris: tunc diaphanitas eius uix comprehenditur à ui$u, ni$i apponatur forti luci: tunc enim pote$t eius diaphanitas melius compre hendi: propter applicationem autem proximam corporum ualde $pi$$orum talibus corporibus dia phanis, ip$orum comprehen$io à ui$u, quantùm ad partem applicationis, penitus impeditur, ut pa- tet de hya$pide in auro. Patet ergo propo$itum.

143. Spi{$s}itudo $iue den$itas comprehenditur à ui$uex priuatione diaphanitatis. Alha- zen 56 n 2.

Cum enim ui$us comprehendit corpus aliquod, & non $entiet in ip$o aliquam diaphanitatem, $tatim arguet ip$ius $pi$situdinem: quia cum $tatim ad illud corpus terminatur operatio ui$iua, nec aliquid penetrat per illud, nec ui$us exercetur ad uidendum ultra ip$um formas aliorũ corporum: tunc iudicat ui$us ip$um e$$e $pi$$um $iue den$um & partium compactarum: & $ic comprehenditur $pi$situdo uel den$itas à ui$u ex priuatione diaphanitatis. Quod proponebatur.

144. In raritatis & $olidit atis ui$ione error accidit uirtuti di$tinctiuæ ex intemper at a di$po- $itione octo circun$tantiarum cuiuslibet rei ui$æ. Alhazen 30. 41. 50. 56. 61. 65. 68. 71 n 3.

Ex lucis enim debilitate, ut de nocte, uidebitur corporis multum rari minor e$$e raritas: quia cum trans ip$um non plena fiat comprehen$io formæ corporis $olidi, æ$timabitur remi$sio rarita- tis uiam tran$itus formarum prohibere, & corpus modicè rarum etiam tunc iudicabitur $olidum. Exintemperantia etiam remotionis fit error in ui$ione præmi$$orum: cum enim circa oculum eri- gitur acus, aut aliquid aliud multum $ubtile, licet illud appareat ui$ui maius, quàm $it, tamen nihil occultatur ei de oppo$ito pariete aut alio corpore: unde quia raritas non perpenditur, ni$i quòd retro corpora rara alia corpora uidentur, ut patet per 142 huius: æ$timabitur diaphanitas e$$e in a- cu, aut in alio corpore, cum retro ip$um totus paries uideatur, quod tamen accidit ideo, quia remo- tio tam modica, re$pectu occultationis acus e$t immoderata. Similiter etiam $i quis à longè intuea- tur corpus rarum, retro quod non $it aliquod corpus coloratum aut tenebro$um, non reputabitur illud corpus rarum, $ed $olidum: quia retro ip$um non percipitur aliud corpus: quæ e$t proprietas corporum rarorum. Exintemperata etiam $itus di$po$itione accidit error in prædictorũ ui$ione. Si enim de$c\~ederit lux declinata in uitrum plenum uino, & lateat ui$um tran$itus lucis per uitrum, & $it magna declinatio lucis illius à radijs incidentibus, lateat quoq; uidentem uinum e$$e in ua$e uitreo: tunc æ$timabitur à uidente uinum e$$e corpus $olidum, $cilicet uinum cum ua$e uitreo: & non accideret hic error in tran$itu lucis per uas uitreum directè oppo$itum. Ex intemperata e- tiam magnitudine accidit error in ui$ione præmi$$orum. Si quis enim intueatur corpus ualde par- uum politum, ut ab eo lux po$sit reflecti, & $it $imile margaritæ: iudicabit ip$um ui$us e$$e rarum cum $it den$um: $imiliter ui$o corpore raro multum paruo, quia po$t ip$um non fit corporis $oli- di comprehen$io, a$similabitur $olido. Exintemperata etiam $oliditate fit error in ui$ione præ- mi$$orum. Si enim retro corpus ualde rarum $it aliquod corpus non multum rarum & colore forti coloratum: tunc apparebit primum non multum rarum, $ed a$similabitur eius raritas po$terioris corporis raritati: ut uitrum alij uitro $uperpo$itum non apparet ita rarum, $icut apparet adhibito ui$u $ibi $oli: unde fit error in raritate. Si autem po$t corpus rarum ponatur ualde propin què cor- pus $olidum: tunc primum iudicabitur $olidum: & fit error in $oliditate. Si etiam uas uitreum ual de rarum contineat uinum, cum po$t illud non percipiatur lux aut corpus aliud: iudicabitur $ortè uinum ip$um cum ua$e uitreo e$$e unũ corpus $olidum. Idem etiã accidit error in ui$ione præmi$- $orum ex paucitate raritatis. In aere enim nubilo$o ob$curo corpus rarum apparebit minus rarum, & fortè putabitur $olidum: & ita fit error in $oliditate & raritate. Ex paruitate etiam temporis fic error in ui$ione præ mi$$orum: luce enim declinata $uper corpus remi$$è rarum, ip$o quoq; de$cen- dente $ubitò per ui$um, cum non percipiatur declinatio lucis, putabitur for$itan, quod illud $it rarú in fine raritatis, cui $i in tempore maiori fiat intuitus, percipietur ab ip$o ui$u declinationem lucis e$$e cau$$am apparentiæ maioris raritatis in corpore remi$$è rarò. Si quis etiam in$tanter intueatur corpus rarum, & po$t ip$um non di$cernat lucis tran$itum, putabitip$um e$$e $olidum. Debilitas etiam ui$us errorem inuehit ui$ioni præ mi$$orum: cum enim fuerit in corpore raro $oliditas pauca, æ$timabitur à ui$u debili illa $oliditas maior quàm uera: & cum fuerit in corpore raro color fortis, aut po$t ip$um, aut raritas modica, putabitur illud corpus ui$ui debili e$$e $olidum. Patet ergo uni- uer$aliter in omnibus illud, quod proponebatur.

145. Vmbra comprehenditur à ui$u ex priuatione alicuius lucis luce altera præ$ente. Al- hazen 57 n 2. LIBER QVARTVS.

E$tenim umbra priuatio cuiu$dam lucis, exi$tente actu præ$entia lucis alterius in loco umbro- $o. Cum itaq; $en$erit ui$us corpus uicinum umbræ maioris illuminationis, & fortioris quàm cor- pus exi$tensin loco umbro$o:tunc $entiet obumbrationem illius loci & priuationem lucis inciden tis corporibus uicinis ip$i. Cum itaq; ui$us $en$erit aliquam lucem in aliquo loco, qui careat luce $o- lis prima, quæ proijcitur $ecundum directionem radiorum, percipiet tamen $ecundam, quæ fit ex diffu$ione lucis primæ: ut cum in domum unicam habentem fene$tram radius $olis incidit, totam domum $ui diffu$ione illuminantis: tunc ui$us extra locum radij exi$tens $entiet obumbrationem loci, & priuationem à prima luce $olis, quæ e$t in radio, uel ab alia luce forti: & fortè ui$us quando- que $tatim $entiet corpus umbro$um, quandoq; non ni$i per diligentem intuitionem, & quandoq; uidebit umbram multiplicatam $ecundum diuer$arum lucium priuationem, $emper aliqua luce re- manente, ex cuius actualitate ui$us po$sit $uam actionem ad alia exercere. Vniuer$aliter itaq; $ecun dum omnes modos umbrarum, quos præmi$imus, po$$unt uideri umbræ. Et hoc e$t propo$itum.

146. Ob$curitas comprehenditur à ui$u ex omnimoda priuatione lucis. Alhazen 58 n 2.

Cum ui$us comprehendit aliquem locum & nullam lucem in illo: tunc $entiet eius ob$curitat\~e, licet fortè illa ob$curitas ab umbris cau$$etur, ut in carcere tetro de die propter umbras den$orum parietum uidetur ob$curitas: & nox ob$cura e$t ex umbra terræ. E$t ergo ob$curitas umbra magna, cuius terminus ad aliquid lucidum pertingere non $entitur: $icut etiam umbra e$t ob$curitas parua habens aliquem actum lucis, & ad aliquod lucidum terminata. Patet ergo propo$itum.

147. In umbræ & ob$curitatis ui$ione error accidit uirtuti di$tinctiuæ ex intemper at a di$po $itione octo circum$tantiarum cuiuslibet rei ui$æ. Alhazen 31. 42. 50. 56. 62. 65. 68. 71 n 3.

Ex intemperata lucis di$po$itione error accidit in ui$ione umbræ & ob$curitatis. Si enim in pa- riete albo fuerint partes ob$curæ, & cadat $uper parietem album lux candelæ:pote$t accidere quòd uidens illam ob$curitatem, iudicabit ip$am e$$e umbram, & for$an uidebitur quod procedat appa- rens umbra à pariete uicino. Et $i fuerit in parte parietis nigredo multùm inten$a, æ$timabitur for- tè uacuitas foraminis præbens iter egredientibus tenebris: & $i tota $uperficies parietis $it deni- grata inten$a nigredine, for$an totus paries æ$timabitur quædam ob$curitas tenebrarum, $icut ac- cidit in pariete cooperto fuligine fumorum ui$o $ub debili luce. Ex $uperfluitate etiam remotio- nis error accidit in ui$ione umbræ & ob$curitatis. Si enima à maxima di$tantia opponatur ui$ui cor- pus album, in quo $it aliqua pars tenebro$a, luce $olis $uper corpus illud de$cendente: apparebit umbra in parte corporis tenebro$a: & $i tunc uideatur corpus aliud iuxta illud primum: æ$timabi- tur quòd umbra apparens proijciatur ab illo alio corpore $uper primum. Sic ergo propter exce$- $um di$tantiæ fit error in ui$ione umbræ. Si etiam à longè uideatur corpus album, in quo $int mul- tæ partes nigræ, æ$timabuntur forta$sis in parte illa tenebræ credetur enim aliquod corpus album $ecundum $ui partes nigras perforatum, per quæ fiat egre$sio tenebrarum exi$tentium retro cor- pus album: hoc autem non accideret in temperata remotione. Exinordinatione etiam $itus oppo- $itionis accidit error in ui$ione præmi$$orum, $icut & ex intemperata remotione: corpore enim a- liquo elongato, $i fuerit in eo pars tenebro$a, putabitur forta$sis umbra: & $i corpus aliquod fuerit circa illud primum po$itum, æ$timabitur umbra proijci ab illo $ecundo corpore $uper primum: & $i in corpore illo fuerit pars multum nigra, æ$timabitur fortè in loco illo cuiu$dam foraminis per- foratio, per quam egrediantur tenebræ exi$tentes retro corpus album: hoc autem non accideret in corpore approximante directioni oppo$itionis. Ex paruitate etiam quantitatis rei ui$æ accidit er- ror in ui$ione præmi$$orum. Si enim in pariete albo ui$ui oppo$ito fuerit punctorum non ualde ni- grorum di$tinctio, adhibita luce $olis directè in parietem cadente uel propè: æ$timabuntur à uiden te $ingula puncta illa $ingula e$$e foramina, in quibus fit umbra, cum lux non penetret ea, $icut $olet accidere luce $uper $uperficiem foraminum multorum cadente: & fit error umbræ ex $ola puncto- rum paruitate: quòd $i illa puncta $unt maxim{ae} nigritudinis, tunc æ$timabuntur e$$e foramina par- ua, per quæ tran$eant tenebræ: & $ic etiam $ola illorum punctorum paruitas e$t cau$$a apparitionis tenebrarum. Ex intemperata etiam $oliditate, utpote propter defectum $oliditatis fit error in umbræ & ob$curitatis ui$ione. Luce enim $olis in domum per foramen aliquod de$cendente, & $u- per fene$tram uitream cadente, $i domus illa fuerit umbro$a: apparebit $uper fene$tram illam um- bra, licet in ueritate lux $uper ip$am inciderit, quæ quidem lux comprehenderetur, $i $olidum e$$et fene$tr{ae} corpus: quoniam tunc lux non penetraret, & ita $uper $olidum corpus lux apparet: fit ergo error in umbra propter defectum $oliditatis. Similiter etiam fit error in ui$ione tenebrarum $iue ob$curitatis ex indi$po$itione $oliditatis: quia luce $olis in aquam fluminis directè non de$cen- dente aut in mare, $icut accidit in hora matuatina & ue$pertina, $i fuerit magna claritas in a qua, ap- parebit tenebro$a, & quantò fuerit clarior, tantò apparebit tenebro$ior: & accidit hoc, quoniá pars aquæ $uperior umbram proijcit $uper proximam partem aqu{ae} inferiorem, & illa proxima $uper a- liam proximam inferiorem, & ita per $ingulas partes $emper $uperior proijcit umbram $uper in- feriorem u$q; ad fundum aquæ: & licet $ingularum partium umbra in $e $it modica, plures tamen umbræ coniunctæ unam faciunt maximam umbram, $icut palàm e$t in colore uini accidere. In mo- dica enim quantitate uini color e$t debilis, & in multa quantitate uini licet totum uinum $it homo- VITELLONIS OPTICAE geneum in $ub$tantia & colore, fit fortior idem color. Cau$$a autem, quare in mari umbra $uis partibus $uperioribus $uper inferiores iacentibus, uideantur e$$e tenebræ in maris claritate, hæc e$t: quoniam inten$a ip$ius clarltas e$t $ignum inten$æ raritatis, quæ formis ui$ibilibus maiorem concedit penetrationem:unde fit maior diffu$io formarum plurium maris partium umbram facien tium, quarum umbrarum aggre gatarum perceptio inducit $imilitudinem tenebrarum. Si uerò ma- re fuerit turbulentum, propter diminutam raritatem penetrabunt formæ partium paucæ perue- nientes ad ui$um, & comprehendetur modica aquæ pars, qu{ae} licet faciat umbrã, tamen cum ip$a $it modica, erit umbra remi$$a, & uincet color illius partis umbram. In turbida enim aqua aliquis co- lor partium aquæ apparet, & in clara nullus: unde & propter apparentiorem turbidum colorem, & propter umbræ partis apparentis remi$sionem non comprehenduntur in aqua tenebræ: & in- de cum fuerit turbida, apparebit colorata, & cum e$t clara, apparebit tenebro$a. Solis autem radio cadente directè $uper maris $uperficiem, cum ei propter raritatem eius pateat tran$itus, abijciuntur omnes tenebr{ae} & umbræ apparentia. Ex defectu itaq; $oliditatis cau$$antur & umbra & tenebræ: quia per corpus perfectè $olidum non fit tran$itus luminis, & per corpus perfectæ raritatis fiet tran $itus luminis $ine umbra. Ex intemperantia etiam raritatis accidit error in ui$ione præ mi$$orum. Si ultra aerem nubilo$um uel tenebro$um, utin crepu$culis, uideatur corpus album, in quo $int par ticulæ rotund{ae} nigræ: tunc luce ignis in corpus illud cadente, ita ut non mutetur tota di$po$itio ae- ris illius, apparebit in locis illis umbra, aut fortè reputabuntur foramina præ$tantia uiam tene- bris, quæ $unt retro illud corpus ad ui$um pertingentes: $ic ergo propter corporis intemperatam raritatem accidet error in ui$ione umbr{ae} & ob$curitatis. Ex paruitate etiã temporis accidit error in ui$ione præmi$$orum. Si enim in albo pariete $int partes $ubnigræ, de$cendente $uper ip$um parie- tem luce ignis: illæ partes nigræ $ubitò ui$æ putabuntur e$$e umbræ. Si uerò nigredo illarum par- tium fuerit inten$a, tunc æ$timabuntur foramina tenebris plena. Ex ui$us etiam debilitate error ac- cidit ui$ioni præmi$$orum. In pariete enim albo maculæ $ubnigr{ae}, de$cendente luce $uper ip$as, ap- parent debili ui$ui e$$e umbræ: & $i fuerint multum nigræ, apparebunt e$$e foramina, per quæ tene- bræ exlocis, quæ $unt retro illum album parietem, perueniant ad ui$um. In omnibus ergo præmi$- $is octo ui$ibilium circum$tantijs patet quod proponebatur.

148. Pulchritudo comprehenditur à ui$u ex comprehen$ione $implici formarum ui$ibilium placentium animæ, uel coniunctione plurium ui$ibilium intentionum, habentium ad inuicem proportionem debitam formæ ui$æ. Alhazen 59 n 2.

Fit enim placentia animæ, quæ pulchritudo dicitur, quandoq; ex comprehen$ione $implici ui$i- bilium formarum, ut patet per omnes $pecies ui$ibilium di$currendo: ut enim exemplariter dica- mus, & alia per hoc accipiantur: lux, quæ e$t primum ui$ibile, facit pulchritudinem: unde uidentur pulchra $ol & luna & $tellæ propter lucem $olam. Color etiam facit pulchritudinem, $icut color ui- ridis & ro$eus, & alij colores $cintillantes formam $ibi appropiati luminis ui$ui diffundentes. Re- motio quoq; & approximatio faciunt pulchritudinem in ui$u: ιn quibu$dam enim formis pulchris $unt maculæ turpes paruæ & rugo$æ, di$plicentes animæ uidenti, quæ propter remotionem latent ui$um, & forma placita animæ ex illa remotione peruenit ad ui$um. In multis quoq; formis pul- chris $unt intentiones paruæ $ubtiles cooperantes pulchritudini formarum, $icut e$t lineatio de- cens & ordinatio partium uenu$ta, quæ tantùm in propinquitate ad ui$um apparent, & faciunt for- mam ui$ui pulchram apparere. Magnitudo etiam facit pulchritudinem in ui$u: & propter hoc lu- na apparet pulchrior alijs $tellis, quia uidetur maior, & $tellæ maiores pulchriores mínoribus, ut maximè patet in illis $tellis, quæ $unt magnitudinis primæ uel $ecundæ. Situs quoq; facit pulchri- tudinem in ui$u: quoniam plures intentiones pulchræ non uidentur pulchræ, ni$i per ordinatio- nem partium & $ituum: unde $criptura & pictura, omnes\’q; intentiones ui$ibiles ordinatæ & per- mutatæ non apparent pulchræ ni$i percompetentem $ibi $itum: quamuis enim figuræ literarum $int omnes per $e bene di$po$itæ & pulchræ, $i tamen una ip$arum e$t magna & alia parua, non iudicabit ui$us pulchras $cripturas, quæ $unt ex illis. Figura etiam facit pulcritudinem: unde ar- tificiata bene figurata uidentur pulchra, magis autem opera naturæ: unde oculi hominis cum $int figuræ amygdalaris & oblongæ, uidentur pulchri, rotundi uerò oculi uidentur penitus defor- mes. Corporeitas etiam facit pulchritudinem in ui$u: unde uidetur pulchrum corpus $phæra & co- lumna rotunda & bene quadratum corpus. Continuatio quoq; facit pulchritudinem in ui$u: un- de $patia uiridia continua placent ui$ui, & plantæ $pi$$æ uirides: quia quæ accedunt continuitati, $unt pulchriores ei$dem di$per$is. Diui$io etiam facit pulchritudinem in ui$u: unde $tellæ $epa- ratæ & di$tinctæ $unt pulchriores $tellis approximatis nimis ad inuicem, ut $tellæ galaxiæ & cande læ di$tinctæ $unt pulchriores magno adunato igne. Numerus etiam facit pulchritudinem in ui- $u: & propter hoc loca cœli multarum $tellarum di$tinctarum $unt pulchriora locis paucarum $tel- larum, & plures candelæ $unt pulchriores paucis. Motus quoq; & quies faciunt in ui$u pulchritu- dinem: motus enim hominis in $ermone & $eparatione eius facit pulchritudinem: & propter hoc apparet pulchra grauitas in loquendo & taciturnitas di$tinguens ordinatè uerba. A$peritas etiam facit pulchritudinem: uillo$itas enim pannorum catenatorum & aliorum placet ui$ui. Planities quoq; ui$ui pulchritudinem facit: quia planities pannorum $ericorum & $i etiam ad politionem LIBER QVARTVS. $iue ter$ionem accedant, placet animæ & e$t pulchrum ui$ui. Diaphanitas etiam facit pulchritudi- nem apparere: quia per ip$am uidentur de nocte res micantes, ut patet de aere $ereno, per quem in nocte uidentur $tellæ, quod non accidit in aere conden$ato propter uapores. Spi$situdo etiam fa- cit pulchritudinem: quoniam lux & color & figura & lineatio & omne pulchrum uι$ibile compre- henduntur à ui$u propter terminationem corporum, quibus in$unt, quæ terminatio à $pifsitudine cau$$atur. Et umbra facit apparere pulchritudinem: quoniam in multis formis ui$ibilium $unt ma- culæ $ubtiles reddentes ip$as turpes cum fuerint in luce, quæ in umbra uel luce debili ui$um $unt latentes. Tortuo$itas quoq;, quæ e$t in plumis auium, ut pauonum & aliarum, quia facit umbras, facit apparere pulchritudin\~e ui$ui propter umbram, quæ in $ui admixtione cum lumine cau$$at ua- rios colores, qui tamen non apparent in umbra uel in luce debili. Ob$curitas etiam facit pulchri- tudinem apparere ui$ui: quoniam $tellæ non uidentur ni$i in ob$curo. Similitudo etiam pulchritu- dinem facit: quoniam membra eiu$dem animalis, ut Socratis, non apparent pulchra, ni$i quando fuerint con$imilia: unde oculi, quorum unus e$t rotundus & alter oblongus, non $unt pulchri, uel $i unus maior fuerit altero, uel unus niger & alter uiridis, uel $i una gena fuerit profunda & altera pro- minens: erit enim tota facies non pulchra, quando eius partes congeneæ non fuerint con$imiles. Diuer$itas etiam facit pulchritudinem: quoniam diuer$æ partes uniuer$i ornant & pulchrum fa- ciunt uniuer$um, & diuer$æ partes animalium animalia: eandem quoq; manum ornat diuer$itas digitorum, omnis enim pulchritudo membrorum e$t ex diuer$itate figurarum partium ip$arum. Sic ergo pulchritudo comprehenditur à ui$u ex comprehen$ione $implici formarum ui$ibilium pla centium animæ: quæ libet tamen i$tarum ui$ibilium intentionum non facit pulchritudinem in qua- libet forma, in qua uenit illa intentio ad ui$um: quælibet enim figura non facit pulchritudinem in qualibet formarum, & $imiliter de alijs omnibus intentionibus particularibus ui$ibilium quorum- cunq;. Exconiunctione quoq; plurium ιntentionum formarum uifibilium adinuicem, & non $o- lum ex ip$is intentionibus ui$ibilium fit pulchritudo in ui$u, ut colores $cintillantes & pictura $imi- liter proportionati $unt pulchriores coloribus & picturis carentibus ordinatione con$imili: & $imi- liter e$t in uultu humano: rotunditas enim faciei cum tenuitate & $ubtilitate coloris e$t pulchrior quàm unum $ine altero, & mediocris paruitas oris cum gracilitate labiorum proportionali e$t pul- chrior paruitate oris cum gro$situdine labiorum. In multis itaq; formis ui$ibilium coniunctio, quæ e$t in formis diuer$is, facit modum pulchritudinis, quem non facit una illarum intentionum per $e. Facit autem proportionalitas partium debita alicui formæ naturali uel artificiali in coniunctione intentionum $en$ibilium pulchritudinem magis, quàm aliqua intentionum particularium: omnes enim pulchritudines, quas faciunt intentiones $en$ibiles ex ip$arũ coniunctione adinuicem, con$i- $tunt in proportionalitate debita formis, quas perficiunt $ub modo illius coniunctionis. Cum itaq; ui$us comprehendit aliquam rem ui$am, in qua e$t aliqua intentio particularis, faciens per $e pul- chritudinem: tunc peruenit forma ill us intentionis po$t intuitum ad uirtutem $entientem, & com- prehendet uirtus di$tinctiua pulchritudinem rei ui$æ, in qua e$t illa intentio: & $ic coniunctio di- uer$arum intentionum fit cau$$ans pulchritudinem, cum peruenerit illa coniunctio ad $entientem: tunc uirtus di$tinctiua comparabit illas intentiones ad inuicem, & tunc comprehendet pulchritu- dinem rei ui$æ compo$itæ exillarum intentionum coniunctione, quæ $unt in ea. Et hi $unt modi, pe nes quos accipitur à ui$u omnium formarum $en$ibilium pulchritudo: in pluribus tamen i$torum con$uetudo facit pulchritudinem: unde unaquæq; gens hominum approbat $uæ con$uetudinis for mam, $icutillud, quod per $e æ$timat pulchrum in fine pulchritudinis: alios enim colores & propor tiones partium corporis humani & picturarũ approbat Maurus, & alios Danus, & inter hæc extre- ma & ip$is proxima Germanus approbat medios colores & corporis proceritates & mores: & $icut unicuiq; $uus proprius mos e$t, $ic & propria æ$timatio pulchritudinis accidit unicuiq;. De his er- go topicè & figuraliter $it dictum. Et patet quod proponebatur.

149. Turpitudo comprehenditur à ui$u, cum intentiones $en$ibiles ne<005> per $e, ne<005> ex coniun ctione ip$arum adinuicem aliquam pulchritudinem $unt cau$$antes. Alhazen 60 n 2.

Turpitudo formarum e$t priuatio pulchritudinis in eis: iam autem præmi$$um e$t, quò inten- tiones non faciunt pulchritudinem in omnibus formis, $ed in quibu$dam tantum. Formæ itaq;, in quibus non faciunt intentiones particulares aliquam pulchritudin\~e neq; per $e neq; per $uam con- iunctionem, ut illa, in quibus non e$t aliqua con$ueta proportionalitas inter ip$orum partes, carent omni pulchritudine: & $ic $unt turpes: & $i quandoq; accidat in eadem forma congregari intentio- nes pulchras & turpes: tunc ui$us comprehendit pulchritudinem ex pulchro, & turpitudinem ex turpi, auxilio uirtutis di$tinctiuæ, quando fuerit intuens intentiones, quæ $unt in illa forma. Patet ergo quomodo à ui$u comprehenditur turpitudo: $ed etiam in hoc plurimum coadiuuat con$uetu- do, propter quam nonnunquam accidit uni uideri turpe, quod uidetur alteri perpulchrum.

150 In pulchritudinis & deformitatis ui$ione uirtuti di$tinctiuæ error accidit ex intempera- ta di$po$itione octo circumstantiarũ cuiuslibet reiui$æ. Alhazen 32. 43. 51. 57. 63. 65. 68. 71 n 3.

Ex paruitate enim lucis error accidit ui$ioni pulchritudinis & deformitatis: de nocte enim ui- detur facies formo$a, licet in ea $int maculæ, $icut lentigines uel $icut cicatrices pu$tularum. Et VITELLONIS OPTICAE $i fuerintin reui$a picturæ $ubtiles rem perfectius decorantes, cum illæ in nocte ui$um lateant, ui- detur res deformis. Remotio etiam excedens modum, e$t cau$$a erroris ui$ionis præmi$$orum. Cum enim à longè re$picitur res aliqua, $i fuerint in ea maculæ paruæ ip$am deformantes, illas ex di$tantia accidit occultari, & iudicabitur res formo$a: & $i à magna di$tantia uideatur res, in qua $unt picturæ minutæ, in quibus con$iftit pulchritudo illius rei, illa res iudicabitur deformis: quo- niam uirtus di$tinctiua iudicat res $ecundum quod apparent. Exinordinatione etiam $itus oppo- $itionis accidit error ui$ioni pr{ae}mi$$orum. Cum enim corpus aliquod remotum fuerit ab axe ui$ua- li, in quo $unt maculæ minutæ deformantes rem: tunc nonnunquam maculæ illæ occultabuntur propter obliquationem re$pectu axis ui$ualis: & ob hoc facies lentigino$a obliquè ui$a uidetur pul- chra: unde etiam accidit, quòd cum luna obliquè a$picitur, latent umbro$æ maculæ ip$ius, & tunc pulchrior uidetur: $i autem in corpore aliquo ui$o fuerint picturæ $ubtiles rem decorantes, illæ pi- cturæ obliquatæ ad ui$um, latebunt ip$um, & adiudicabitur pulchritudo deformitati. Ex paruitate ctiam magnitudinis accidit error ui$ioni præmi$$orum in exemplis præmi$sis: com propter $olam fui paruitatem aliqua minuta ip$as res ui$ibiles deformantia uel decorantia non uidentur. Exde- fectu etiam $oliditatis fit error in ui$ione præ mi$$orum. Sienim in uafe uitreo multùm raro $int ali- quæ paruæ particulæ uel men$urationes ip$i decorem inferentes, & imponatur ua$i illi uinum tur- bidum & turpe uel feculentum: tunc occultabuntur illæ decoris cau$$æ, & iudicabitur uas defor- me: & $i uas tale deformant aliquæ particulæ, & imponatur ei uinum clarum lucidum coloris for- mo$i, placidi, occultabuntur illæ cau$$æ turpitudinis, & apparebit uas pulchrum. Ex intemperantia etiam raritatis error accidit ui$ioni præmi$$orum, cum propter aerem ob$curum nubilo$um cau$$æ pulchritudinis uel deformitatis non uidentur. Extemporis quoq; breuitate error accidit ui$ioni præmi$$orum: quoniam in paruo tempore non $unt comprehen$ibiles minutæ cau$$æ pulchritudi- nis uel deformitatis: $icut accidit cum aliquis in$piciens per foramen uiderit aliquam faciem:tunc enim aliquando deformem iudicat e$$e pulchram, & aliquando econuer$o: & idem accidit mota re ui$a $ubitò, remanente oculo non moto. Ex ui$us etiam debilitate error accidit ui$ioni præmi$$orũ: minuta enim, quæ $unt cau$$a pulchritudinis uel deformitatis, ui$us debilis non uidet: unde modo contrario iudicat unum quodq; i$torum. Patet ergo propo$itum.

151. Con$imilitudo comprehenditur à ui$u ex conuenientia formarum comprehen$arũ ad in- uicem. Alhazen 61 n 2.

E$t enim con$imilitudo æqualitas duarum formarum aut duarum intentionum in re, in qua $unt con$imiles. Cum itaq; ui$us comprehenderit duas formas aut duas intentiones con$imiles in $imul, comprehendet con$imilitudinem illarum ex comprehen$ione cuiuslibet illarũ duarum for- marum & $uarum intentionum ex comparatione alterius illarum ad alteram. Vi$us itaq; compre- hendet con$imilitudinem in formis & intentionibus con$imilibus ex comprehen$ione cuiuslibet formarum intentionum $ecundum $uum e$$e, & ex comprehen$ione illarum ad inuicem.

152. Diuer$itas comprehenditur à ui$uex priuatione con$imilitudinis in formis $en$ibilibus comprehen$is. Alhazen 62 n 2.

Cum enim diuer$itas, ut hic accipitur, non $it aliud, quàm differentia form arũ $en$ibilium com- prehen$arum à ui$u, hæc diuer$itas comprehenditur à ui$u in formis diuer$is ex comprehen$ione cuiuslibet illarum formarum diuer$arum, & ex comparatione alterius illarum ad alterã, & ex com- prehen$ione priuationis con$imilitudinis in eis. Diuer$itas ergo comprehenditur per $en$um ui$us ex comprehen$ione cuiuslibet formarum & intentionum per $e, & ex comparatione ip$arum adin- uicem, & ex $en$u priuationis con$imilitudinis ab ip$o $entiente.

153. In $imilitudinis & diuer$itatis ui$ione error accidit uirtuti di$tinctiuæ ex intempera- ta di$po$itione octo circum$tantiarum cuiuslibet rei ui$æ. Alhazen 33. 44. 51. 57. 63. 65. 68. 71. n 3.

Ex paucitate enim lucis error accidit in ui$ione $imilitudinis & diuer$itatis corporum eiu$dem coloris $ecundum $peciem, uel eiu$dem figuræ $ecundum $peciem, in quibus partialis diuer$i- tas per latentia $igna di$tincta e$t:tunc enim illa in luce debili non uidentur: & ob hoc inter illa cor pora omnimoda iudicabitur $imilitudo. Et $i aliqua corpora $olùm propter aliqua minuta $ignai- p$is communia participent $imilitudine: tunc propter lucis debilitatem illis cau$sis con$imilitudi- nis non perceptis, iudicabitur diuer$itas totalis, quod non accideret in luce temperata. Ex $uper- flua etiam elongatione accidit error in præmi$$orum ui$ione, ut patet in præmi$sis exemplis. Minu tæ enim cau$$æ $imilitudinis uel di$similitudinis à magna remotione non uidentur per 8 huius. Et $imiliter etià ei$dem error accidit ex $itus nimia obliquatione, quæ res paruas non $init comprehen di à ui$u per 26 huius. Accidit etiam error in præmi$$orũ ui$ione, propter cau$$arũ $imilitudinis uel di$similitudinis paruitat\~e, propter quã, cæteris exi$tentibus cõuenienter ui$ui di$po$itis, huiu$mo- dinõ uidentur. Ex defectu etiã $oliditatis error accidit ui$ioni præmi$$orũ. Sienim duo ua$a multũ rara cõueniãt in $pecie, figura & raritate, $ed di$crep\~et in aliqua $uarũ partiũ di$po$itiõe: tũc uino e- iu$d\~e coloris & claritatis ambob. repletis latebũt cau$${ae} diuer$itatis, & reputabũtur omnino $imilia. LIBER QVARTVS. Et $i differant $pecie, figura & raritate, $ed $olùm in aliquibus partialibus formulis cõueniant: tunc uino $imili plena putabuntur omnino $imilia: qui error accidit propter defectum ip$orum $olidita- tis: quia cũ $int peruia, ideo res per ip$a ui$a $imilitudinis uel di$similitudinis aufert cau$$as. Exin- temperantia etiam raritatis accidit error in ui$ione præmi$$orum:in aere enim nubilo$o & ob$curo minutæ cau$$æ $imilitudinis uel di$similitudinis non uid\~etur. Ex temporis etiã breuitate præmi$- $orum ui$ioni error accidit: quoniam particulares $imilitudinis uel di$similitudinis cau$$æ parui$- $imo tempore in$pectæ latent ui$um. Debilitas etiam ui$us errorem illorum ui$ioni adducit, quia minutas ip$orum $cilicet $imilitudinis uel di$similitudinis cau$$as ui$us debilis per$picere non po- te$t. Patet ergo propo$itum.

154. Virtuti di$tinctiuæ error quando<005> accidit ex cau$$arum plurium aggregatione, qua- rum nulla per $e ad errorem $ufficit cau$$andum. Alhazen 72 n 3.

Quandoq; enim duæ intemperantiæ circum$tantiarum octo omnium ui$ibilium concurrunt in uno ui$ibili, & faciũt errorem in ui$u, licet neutra ip$arum per $e $ufficeret ad cau$$andum errorem. Si enim moueatur aliquid à magna di$tantia motu tardo, illud $ubitò ui$um uidebitur nõ motum, & motus ille po$$et percipi in di$tantia temperata etiam $ubito ui$u, uel etiam po$$et percipi in illa remota di$tantia per intuitum diligentem tempore conuenienti. Sed illis duabus cau$sis erroris concurrentibus, tunc errabit uirtus di$tinctiua, & uidebitur res immota. Sed etiam quandoq; con- currunt intemperantiæ plures ad unum errorem cau$$andum, quam nulla illarum per $e cau$$aret. Si enim à magna di$tantia $ub debili luce in tempore modico opponatur ui$ui debili corpus diuer- $orum colorum motum tardo motu:tũc fortè uidebitur quie$cere:$ed motus eius qualibet illarum cau$$arum aliqua deficiente percipi fortè po$$et: & fortè quandoq; intemperátiæ omnium circum- $tantiarum corporum ui$ibilium cõcurruntad unum errorem cau$$andum, uel quandoq; plurium illarum, & $ecundum diuer$as combinationes, quæ plus experientiam quàm rationem re$piciunt $ecundum omnem $ui diuer$itatem: unde de his $ic e$$e $ufficit exemplatum.

155. Error accidit ui$uiuia $cientiæ per inconueni\~etem applicationem formæ, quæ e$t in ani- ma alicuirei ui$æ, in intemperantia cuiuslibet octo circum$tantiaru reiui$æ. Alhazen 21 n 3.

Cum enim res alia aut alterius $peciei ui$ui apparet quàm $it in rei ueritate: tunc fit error uia $cientiæ in ui$u: quoniam forma quie$cens in anima inconuenienter alteri rei applicatur, cui non conuenit: & hoc accidit propter intemperantiam cuiuslibet octo circum$tantiarum rerum ui$ibi- lium. Propter defectum enim lucis fit plurimus error in rerum cognitione, ut hoc euidenter per $e patet. Debilitas enim lucis nimia errorem infert formæ ui$æ: unde accidit error in crepu$culis in omnibus ui$is: unde etiam noctiluca uid\~etur lucere in tenebris, quorum forma non e$t lumen, nec etiam $cintillans color: quæ omnia non acciderent in luce temperata. Etpropter di$tantiam etiam nimiam ui$ibilis à ui$u accidit hominem notum quandoq; pro extraneo reputari, & econtrario, uel etiam notum unum pro alio noto, ut Socratem pro Platone, aut econtrario: & quandoq; aliquis uidens equum, putat $e uidere a$inum. Et uniuer$aliter fit error $cientiæ, uel à $pecie ad $peciem, uel ab indiuiduo ad indiuiduum eiu$dem $peciei: uel ab indiuiduo $peciei unius ad indiuiduũ $peciei alterius, ut cum equus Petri æ$timatur mulus Martini. Et quandoq; quis uidens ignem remotum longè in aere, putat $e $tellam uidere: hæc enim omnia $i propè e$$ent, uiderentur $ine errore. Situs etiam oppo$itionis error\~e inducit: quandoq; enim Petrus remotus ab axe ui$uali, putabitur Mar- tinus, & quandoq; equus ui$us putabitur e$$e a$inus, quæ $i directè ui$ui opponãtur, error penitùs ce$$abit. Quantitas etiam extra temperantiam exi$tens errorem facit ui$ui & $cientiæ, ut cum gra- num $inapis creditur e$$e granum na$turtij. Soliditas etiã e$t cau$$a huius erroris: unde cry$tallus, quia parum e$t $olida, creditur color eius e$$e color rubini, $uppo$ito $ibi tali colore & ui$u in op- po$ito exi$tente. Diaphanitas etiam nimis diminuta huius erroris e$t cau$$a: uitro enim colorato ui$ui & rei ui$æ coloratæ interpo$ito, æ$timabitur color corporis oppo$iti mixtus ex colore pro- prio & colore uitri: & $i oculis & rebus ui$is interponatur pannus multùm rarus, apparebit color corporis mixtus, non quòd $ecũdum ueritatem partes coloris rei per foramina pannitran$entes cum coloribus filorum mi$ceantur, $ed quia pũcta coloris rei ui$æ & filorum $ine di$tantia $en$ibili propè adinuicem in ui$us $uperficie $ituantur: unde illi colores diuer$i uidentur punctualiter ad- inuicem coniumcti, propter quod apparet ui$ui unus color ex illis ambobus coloribus mixtus: un- de $i magna $int panni foramina, di$cernentur colores & panni & rei ui$æ $ine aliqua mixtura. Et ex hoc accidit quòd ui$o colore alicuius corporis per pannum laneũ, uidebitur mixtura colorum plurimùm con$onans colori filorum: quia foramina panni lanei $unt $tricta, quæ pilis multis colo- ratis conteguntur: & etiam cum ioculatores faciunt $ub pannis $e circumdantibus imagines li- gneas pictas moueri: tunc $imilitudines illarum imaginum in$picienti per pannum lineum $ubti- lem, $icut $olet fieri, apparebunt aues uel alia animalia illis formis conuenientia: & hoc propter de- fectum diaphanitatis medij, quia in aere præter pannum aliud uidetur. Temporis etiam intem- perantia huius erroris e$t cau$$a. Si quis enim per foramen re$piciat aliquod corpus tran$iens ue- loci motu, & non plenè acquirat formam corporis, uel $i quis $ubitò aliquid uideat, quod $tatim à ui$u recedat, errabit in indruiduo illius formæ: unde for$an e$t error in $pecie uel in indiuiduo uel in utroque: for$an enim æ$timabit equum fui$$e mulum, uel Petrum Martinum, uel equum VITELLONIS OPTICAE Petri fui$$e múlum Martini. Debilitas quoq; ui$us huius erroris e$t cau$$a:læ$us enim ui$us à colo- re forti, cui incidit lumen forte, iudicat omnem colorem ui$um illius coloris, uel alterius coloris ex illis duobus mixti: & etiam propter oculorum ægritudin\~e aliquando equus apparet a$inus, & So- crates uidetur Plato. Et $imiliter in alijs ui$ibilibus errabit ui$us propter $olam intemperãtiam $uæ æqualis di$po$itionis nullo alio impedimento accedente. Sic ergo errores $cientiæ accidunt ui$ui $ecundum $ingulas intemperãtias 8 circum$tantiarum rei ui$æ, ut patet. His autem & eorum $imi- libus non duximus multum in$i$tendum, quia hæc, quæ diximus, $ufficiunt pro talium omnium radice. Et hoc e$t propo$itum.

156. In $olo ui$u error quando<005> accidit propter intemperãtiam cuiuslibet octo circum$tan- tiarum rerum per ip$um propriè ui$arum. Alhazen 20 n 3.

Quia enim, ut patet per principium 3 huius, lux & color $unt per $e obiectum ui$us, palàm quòd ei$oli non pote$t error accidere ni$i in luce & colore. Accidit autem ui$ui in illis error propter ip$o- rum intemperantiam in fortitudine, ut lux fortis non permittit alia ui$ibilia uideri, & color fortis facit res alias qua$cunq; in colore $ibi $imiles uideri, cum tamen illorum color $it diuer$us. Et $imi- liter e$t in lucis & coloris debilitate. Si enim corpus, in quo $it multa colorum diuer$itas, occurrat ui$ui $ub luce multùm debili, ut ue$tis diuer$i coloris, apparebit unius coloris. Et $i color $it ualde debilis, etiam in luce temperata non uidebitur, & $ic lux extra temperantiam facit ui$ui deceptio- nem $ecundum utrunq; extremorum. Di$tantia etiã ui$ibilium errorem inducit ui$ui: quia propter improportionatam di$tantiam res colorum diuer$orum minuratim ip$is a$per$a, uidebitur unius coloris. Situs etiam oppo$itionis $en$um errare facit: quia cum corpus ui$um fuerit multùm obli- quatum, occultabuntur propter $ui obliquationem ip$i ui$ui minutæ eius particulæ: & $i fuerit in partibus minutis colorum diuer$itas, apparebit in totali corpore: & $i corpus redieritad directam oppo$itionem, illorum colorum diuer$itas apparebit, ni$it fortè elongatio partium colorati corpo- ris ab axe ui$uali fuerit nimis magna. Magnitudo etiam ui$ui errorem inducit: quia etiam luce & di$tantia, & $itu ui$ioni conuenientibus, colores paruarum partium corporis, diuer$i coloris eua- dunt ui$um, & uidetur res unius coloris: quod non fieret, $i paruitas partium temperamentum non exiret. Soliditas etiam e$t cau$$a deceptionis ui$us, $i nimis remi$$a fuerit: unde cry$tallus uidetur colorata colore rei $ibi $uppo$itæ propter $uæ $oliditatis paruitatem: quod non accideret, $i cry$tal- lus plus $olida e$$et. Ex diaphanitate etiam error accidit ui$ui: quia propter interp o$itionem flam- mæ inter ui$um & rem ui$am, etiam $i illa res ui$a fortis $it coloris, uidebitur illud corpus tenebro- fum propter $olam carentiam diaphanitatis in medio. Tempus etiam e$t cau$$a erroris: quia $i $ubi- tò $uper corpus diuer$orum colorum fiat ui$us directio, apparebit illud corpus coloris unius, do- nec per diligentem intuitum di$cernatur. Debilitas etiam ui$us errorem prætendit in ui$ione præ- mi$$orum: luce enim forti in ui$um ag\~ete, læditur ui$us $tatim, & ad colorem alicuius corporis con- uer$us ip$um colorem tenebro$um recipit, donec po$t aliquod tempus læ$io rece$$erit. Similiter etiam cum ade$t oculis infirmitas, occulta bitur ui$ui colorum uarietas: & $ic fit error in talibus ex $ola ui$us qualitate à temperamento recedente. Patet ergo quòd $ecundum omnes circum$tantias rerum ui$ibilium in $olo ui$u fieri deceptionem e$t po$sibile. Et hoc proponebatur.

157. Fulgidum mixtum nigro, $iue per nigrum medium, ui$ui colorem præ$entat puniceum.

Huius declaratio e$t ex $en$ibilιbus naturalibus experientijs: uidemus enim quòd in $peculis benè ter$is fulgidis res fulgida ui$ui præ$entatur in $ui fulgore: quòd $i $peculum fulgidum nõ fue- rit, tunc forma fulgidi permixta nigro colore $peculi præ$entatur ui$ui, non intentione $ui fulgoris, $ed qua$i aliquantulum denigrata, & ita rubea $iue punicea apparet. Vniuer$ale enim e$t, ut in prin- cipio 2 huius $uppo$itum e$t, quòd rerum ualde coloratarum colores lumen\’que ip$ius medij co- lori permixta ferátur ad ui$um, ut $i per uitrum coloratum aliqua res uideatur, quòd color rei ui- $æ ex colore proprio & colore uitri permixtus ui$ui præ$entetur: & horum multas experientias planè poterit quis uidere. Euenit etiam humidos oculos habentibus, quòd forma albi fulgidi per infectos humores & tunicas oculi ad centrum oculi perueniens, in medium colorem ui$us iudicio permutatur, & apparet oculo coloris punicei phanta$ia. Et etiam uidemus uiridium lignorũ flam- mam rubeam appropinquare puniceo colori: quia ignis fulgidus & albus exi$tens per fumum ni- grum propter gro$sitiem materiæ, & humiditatem aqueam, qu{ae} illi fumo mi$cetur, puniceus uide- tur. Per caliginem quoq; & fumum nigrum uidetur $ol non fulgidus $ed puniceus, quando talem fumum uel caliginem $oli & ui$ibus accidit interponi: & hoc idem in alijs $tellis poterit perpendi. Item circuli, qui circa candelas uidentur, propter gro$sitiem aeris & nigredinem purpurei uiden- tur: quoniam aer ingro$$atus à natura lucidi aliqualiter impeditur, & propter admixtion\~e umbræ nigredine permi$ceri uidetur, uel alio medio colore $ecundum di$po$itionem luminis & admixtæ umbræ. Et ad hoc etiam plenius declarandum dilig\~es inqui$itor plures experientias poterit appli- care. Patet ergo propo$itum.

158. Vi$um proten$um longè debiliorem fieri patens e$t.

Non enim ui$us uidet $imiliter de longè po$ita, quemadmodum propè exi$t\~etia. Si enim uidea- tur de longè corpus foramino$um, cuius $int parua foramina, totũ uidetur continuum: unde $i ali- LIBER QVINTVS. quis uaporem roridum de longè uideat, totum ip$um fore unum corpus continuum ui$us indica- bit: quin etiam ui$us recta curua, rotunda quadrata ex remotione iudicat, $icut e$t in præmi$sis hu- ius libritheorematibus declaratum. Et $i ui$us pannum coloratum, in quo e$t minuta colorum di- uer$orum con$per$io, ad quos proportionata partium elongatio $it intemperata ip$i ui$ui, diutius etiam a$pexerit: apparebit pannus ille unius coloris tantùm, quoniam extra temperantiam e$t lon- gitudo, re$pectu partialium colorum, licet omnia alia conueniantin debita temperantia, re$pectu ui$us. Quia ergo ui$ibilem rei circum $tantiam ui$us proten$us nõ per$picit, palàm quia debilitatur ex proten$ione $ui ad ui$ibile, $iue ex remotione ui$ibilis ab ip$o. Et hoc e$t, quod proponebatur.

159. Nigredinis in re non nigra apparitio ex ui$us prouenit defectione.

Experientia $imiliter comprobatur, quod hic proponitur, auxilio pr{ae}cedentis. Quia enim ui$um proten$um longè debiliorem fieri patens e$t, ut præmi$$um e$t: ideo accιdit quòd ea, quæ longè ui- dentur, propter ui$us debilitationem omnia nigriora apparent, $icut etiã corpora remotiora & mi- nora & planiora quàm $int, ui$ibus apparent: quoniam eminentiæ $uarum partium a$peritates & tumores in ip$is facientes non uidentur. Similiter etiam, quæ in $peculis uidentur, quia propter re- flexionem ip$orum di$tantia augetur, ideo propter remotionem, quæ accidit ui$ui, talia nigriora uidentur experimentanti. Quantò enim magis ex remotione etiã rei albæ immoto $peculo di$tan- tia à $uperficie $peculi augm\~etatur, tantò magis color ille albus ui$ui ad nigre dinem accedit: unde etiam nubes apparentes in aqua nigriores uidentur quàm in loco $uo, ui$u in eodem loco exi$t\~ete, quoniam reflexio facta in aqua auget di$tantiam: nihil autem differt aliquid multum di$tans ui$ui apparere, aut ui$um per multam di$tantiam ui$ionem rei complere: $emper enim fit iudicium uir- tutis ui$iuæ, $ecundum quod forma e$t in ui$us organo recepta. Neq; latebit hic experimentantem, quia quando clara nubes fuerit uicina $oli, tunc alicui a$picienti ad nubem, nubes nõ uidebitur ni$i alba: $ed $i reflectatur ab aqua, & eam ui$us in aqua uideat: tunc illa nubes alba aliquem colorem ex medijs coloribus ui$ui præ$entabit, ut puniceum, purpureum, uirid\~e, & lazulium: unde $icut ui$us colorem nigrum per reflexionem uidet e$$e nigriorem, $ic & colorem album uidet minus album propter reflexionem. Nubem itaq; albam exi$tentem uidet ui$us propter di$tantiã ampliorem, qu{ae} fit per reflexionem, in $uo colore nigram, & $imilem priuationi & negationi propter ui$us proten$i debilitatem. Et quoniam coloratio nubis fit ex impre$sione luminis ab aliquo corpore lumino$o, pote$t concludi ex præmi$sis, quòd in omni corpore, cui lumen uel color ex corpore lumino$o im- primitur, eandem cau$$am & effectum participem habebit. Ethoc e$t, quod proponebatur.

VITELLONIS FI- LII THVRINGORVM ET PO- LONORVM OPTICAE LIBER QVINTVS.

_EXPEDITIS_ aliqualiter his, quæ $implici & directæ ui$ioni nece$$aria exi$tere, & eius deceptionibus accidere ui$a $unt re$tatnũc ut conuenien- ter eum modum ui$ionis, qui fit per reflexionem à politis corporibus, quæ $pecula dicimus, pro$equ\~etes, de omni reflexionis modo à quibu$cun<005> $pe- culis ex qui$itius pertractemus. Primò ita<005> in præ$enti quinto huius $ci\~etiæ libro præmit- temus quælibet illorum, quæ æ$timamus cõmunia omnibus $peculis: & deinde adiun- gemus pa{$s}iones, quæ accidunt rebus & ui$ui à $olis fpeculis planis, quorum $peculorum forma $implicior e$t formis omniũ aliorum $peculorum: propter quod & $peculorũ pla- norum pa{$s}iones quibu$dam al{ij}s $peculis $unt cõmunes, ut patebit in libris $equentibus, quibus aliorum $peculorum pa{$s}iones proprias re$eruamus. Veruntamen $icut in princi- pio huius $cientiæ diximus, non intelligimus in hoctractatu per $pecula corpora tantùm formata & polita per artificiüm, $ed etiam ip$a corpora naturalia, à quorũ $uperficie- bus fit eadem reflexio, quæ & à corporum artificialium $uperficiebus accidit. Nec in- telligimus, quòd $olum hæc reflexio fiat ad ui$us animalium, $ed etiam ip$is ui$ibus non præ$entibus fit reflexio formarũ, & accidit ui$ibus, $i inlocis reflexarũ formarum di$- ponantur, quòd fiat reflexio ad ip$os: quod manife$tè patet per hæc, quia non in omni loco fit reflexio ad quemcunq; ui$um à $peculo quocu<005>;. E$t tam\~e in receptione harum formarũ reflexarũ in ui$ibus aliqua proprietas, & maximè in illis reflexionũ modis, in VITELLONIS OPTICAE quibus fit aliqua deceptio in ui$u. Quamuis autem, ut in proæmio buius $cientiæ dixi- mus, idem immittatur in contrarium & in $en$um: quoniam unius rei una & eadem forma $emper diffunditur per medium, propter quod eadem forma reflectitur à $uper- ficiebus $peculorum, quæ etiam in modo $implicis ui$ionis directè ui$ibus occurrit: non pote$t tamen in reflexione facta à $uperficiebus $peculorum quorumcun<005> comprehendi ueritas formæ, $icut comprehenditur in ui$ione $implici directa. In reflexionibus enim à quibu$cun<005> $peculis factis apparet forma rei ut plurimum præ oculis, ip$is ui$ibus qua$i oppo$ita, cum tamen $ecundum ueritatem illis non opponatur. Lux quo<005> & color cor- poris ui$i $emper mi$centur cum colore $peculi, à quo fit reflexio, quam mixturam in re- flexionibus ui$us percipit, & nõ ueram lucem uel uerum rei ui$æ colorem. Omnis quo<005> reflexio, ut nos inferius perfectius declarabimus, debilitat luces & colores: unde in o- mnireflexione latet ui$um ueritas lucis & coloris, plus quàm in directa $implici ui$io- ne. Quæ uerò ad hunc ui$ionis modum, quæ fit per reflexionem à quibu$cun<005>, & à pla- nis maximè $peculis, præmittimus, $unt i$ta.

DEFINITIONES.

1. Politio corporum e$t cõtinuitas partium $uperficiei politi corporis $ine $en- $ibilitate pororum uel diui$ionis. 2. Speculum dicitur omne corpus politũ ope- re artis uelnaturæ. 3. Linea incidentiæ diciturilla, $ecundum quam forma rei in- cidit $uperficiei $peculi. 4. Linea reflexionis diciturilla, $ecundum quam forma reuerberata, propter $oliditatem $peculi, quam penetrare nõ pote$t, reflectitur ad ui$um. 5. Punctus incidentiæ dicitur ille punctus, in quo linea incidentiæ incidit $uperficiei $peculi: & idem e$t punctus reflexionis, quoniam formarum reflexio ad ui$um $emper fit à puncto incidentiæ. 6. Perpendicularis $uper $uperficiem $pe- culi, à quo fit reflexio, dicitur linea orthonogaliter erecta à puncto incidentiæ $u- per $uperfici\~e $peculi illius, à quo $it reflexio, $i illa $uperficies $it plana: quòd $i illa $uperficies $it conuexa uel concaua: tunc dicitur perpendicularis $uperip$am, quæ e$t perpendicularis $uper $uperficiem planam, illam $uperfici\~e conuexam uel con- cauam in puncto incidentiæ conting\~etem. 7. Superficies reflexionis dicitur $u- perficies continens lineam incidentiæ & reflexionis, & perp\~edicularem à puncto contingentiæ productam $uperip$am $peculi $uperficiem, uel $uper $uperficiem ip$am contingentem. 8. Cathetus incid\~etiæ dicitur linea perpendiculariter ere- cta $uper $uperficiem planam $peculi, aut $uper lineam rectam conting\~etem com- munem $ectionem $uperficiei reflexionis, & $uperficiei $peculi conuexi uel conca- ui, ducta à puncto, à quo incipit incidentia, ut à c\~etro ui$us, uel ab alio pũcto quo- cunq;, cuius forma à $peculo reflectitur ad ui$um. 9. Cathetus reflexionis dicitur linea erecta $uper illam eandem $uperficiem uel lineam à puncto, ad quem termi- natur ip$a linea reflexionis, ut à centro ui$us uel ab alio puncto, ad quem reflexio terminatur. 10. Superficies incidentiæ dicitur $uperficies contenta à linea rei ui- $æ, & à cathetis incidentiæ terminorum illius lineæ. 11. Angulus incidentiæ dici- tur angulus, quem in $uperficie reflexionis continet linea incidentiæ, cū linea, qu{ae} e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis, & $uperficiei ip$ius $peculi, uel $uperfi- ciei $peculum in puncto reflexionis contingentis. 12. Angulus reflexionis dici- tur angulus, quem in $uperficie reflexionis continet linea reflexionis cum dicta communi $ectione. 13. Imago dicitur forma in $peculo cõprehen$a. 14. Locus imaginis dicitur locus ui$ionis illius formæ, $cilicetlocus, in quo uidetur forma.

PETITIONES.

Supponimus autem hæc. 1. Rei elongatæ & approximatæ $peculo, extrema quandoq; uideri. 2. Item quòd uniformis $ituatio puncti rei ui$æ re$pectu $uper- ficiei cuiu$cunq; $peculi, à qua eius forma reflectitur, fit $olum $ecundum cathe- tum $uæ incidentiæ.

LIBER QVINTVS. THE OREMATA 1. Corporum ter$orum politorum, cuiu$cun<005> figuræ $int, $uperficies à quolibet $uorum pun- ctorum luces, colores, & formas rerum oppo$itarum reflectunt $ecundum rectitudinem linea- rum. Euclides 2 hypothe. catoptr. Ptolemæus 1 & 3 the. 1 catoptr. Alhazen 2 n 4.

Quoniam enim, ut patuit per 1 th. 2 huius, forma lucis à corpore lumino$o $emper $ecundum lineam rectam diffunditur in omne corpus ei oppo$itum, & $imiliter forma colorata habentis actum luminis. Cum itaq; hæc incidunt alicui corpori ter$o polito: quia in tali corpore non patet tran$itus lumini uel colori propter talis corporis den$itatem & priuationem diaphanitatis, cũ $int planarum $uperficierũ, in quibus nulla e$t a$peritas, $emper ab illis fit luminis & coloris & forma- rum reflexio: & ob hoc oppofito $peculo lumini forti obliquè incidenti, manife$tè fit ad parietem uicinum luminis reflexio & coloris, $i color fuerit coniumctus lumini, & uidebitur lumen reflexum incidens parieti cum colore: & moto $peculo radius reflexus mouebitur mutans locum, & ablato $peculo lumen reflexum aufertur: & $i à loco, cui incidit radius lumino$us, manus uel aliud corpus mundum uel politum $ecundum lineam rectam ducatur ad $uperficiem corporis, à qua fit reflexio: patens erit quoniam $ecundum rectitudinem linearum reflexio e$t facta, quoniam ip$i experimen- tanti $ecundum lineam rectam ad corpus, à quo fit reflexio, redeunti, $emper reflexionem luminis accidit uideri. In omni itaq; polita $uperficie cuiu$cunq; $it figuræ, à quolibet $uorum pũctorum fit reflexio $ecundum rectitudinem linearum: caditenim in quo dlibet puctum corporis politi lux à quolibet puncto corporis lumino$i. Vnde $icut o$ten$um e$t in 20 th. 2 huius $uper quodlibet pun- ctum corporis politi fit pyramis, cuius uertex e$t in pũcto corporis politi, & ba$is in $uperficie cor- poris lumino$i: & à quolibet puncto lumino$i corporis procedit pyramis, cuius uertex e$t in pun- cto corporis lumino$i, & ba$is in $uperficie corporis politi. Et $i à corpore lumino$o procedit lux ad corpus politum $ecundum lineas æquidi$tantes, illæ lineæ qua$i columnam continentes termi- nantur ad ba$es pyramidum præmi$$arum. Per qua$cunq; autem lineas lumen corpori polito inci- dit, $ecundum illarum proprietatem reflectitur, $iue $int perpendiculares $iue obliquæ: patet ergo propo$itum. Fit aut\~e à corporibus politis reflexio lucis, non autem à corporibus non politis, a$pe- ris: quoniam in illis $unt pori & foueæ, quas $ubintrat lumen, & redit in $e permixtum cum umbra illorum corporum:unde non fit reflexio $en$ibilis ab illis.

2. Ab omni corpore colorato præ$ente luce, color ad corpus oppo$itum politum mixtim cum lumine mittitur: & quando<005> totaliter, quando<005> partialiter reflectitur ab illo, $icut & ip$um lumen. Ptolemæus 3 th. 1 catoptr. Alhazen 3 n 4.

Quòd hic proponitur, experim\~etaliter declaratur. Sit enim, ut intra domum unius tantùm fene- $træ de$cendat lux $olis $uper corpus multum coloratũ forti colore: & ponatur in oppo$itione con- tra ip$um $peculum argenteum, & iterum cõtra $peculum ponatur uas concauum ad modum $cy- phi, quod $it interius album, uel in quo ponatur corpus album, & aptetur taliter ut lux reflexa inci- dat $uper illud corpus album. Apparebit itaq, $uper faciem albi corporis color illius corporis, in quod primò fit de$cen$us lucis. Color itaq; mixtim cum luce reflectitur: ergo etiam mixtim cũlu- mine incidit corpori polito: quod corpus politum $i den$um & durum fuerit, color cum luce tota- liter ab ip$o reflectitur, ita ut non coloret corpus politum. Si uerò corpus politum $it rarum & luci- dum actu, $icut $unt aqua & uitrum, & $imilia: tunc refle ctũtur ab illo colores & luces, & penetrant in illud: quod patet per hoc, quòd forma reflexionis ab his corporibus e$t debilioris lucis & colo- ris, quàm ab alijs corporibus den$ioribus, quàm $int illa: & etiam circa aliquod punctum $ub i$tis corporibus, uel in i$tis uidentur formæ lucis & coloris incid\~etes $uperiori $uperficiei i$torum cor- porum. Patet ergo illud, quod proponebatur.

3. Omnis reflexio debilitat luces & colores: & uniuer$aliter omnes formas. Alhaz\~e 4 n 4.

Quoniam enim lux continua fortior e$t luce di$gregata per 1 petitionem 2 huius, & quantò lux ab ortu $uo plus elongatur, tantò plus debilitatur per 22 th. 2 huius: patet quòd cum $ecundum ali- quem punctum corporis lumino$i procedit lux ad $uperficiem corporis politi in modum pyrami- dis, quòd quantò magis elongatur à puncto illo, tantò maior e$t eius debilitatio, & propter elonga- tionem ab ortu lucis, & propter di$gregation\~e. Lux uerò reflexa ab aliquo polito corpore plus de- bilitatur, tum propter elongationem à loco reflexionis & di$gregation\~e, tum propter ip$am refle- xionem. Luces quoq; $ecundum lineas æquidi$tantes politis corporibus incid\~etes, $unt debiliores quàm luces obliquè incidentes, quoniã minus aggregantur. Colorum quoq; reflexio quamuis fiat ab omni corpore polito, $icut & lucis, ut patet per 1 huius: non tamen e$t multum $en$ibilis, propter debilitationem, qu{ae} fit ex reflexione, & propter admixtion\~e coloris ip$ius $peculi conformis colo- rum reflexorum, ni$i fortè à $peculo arg\~eteo fiat reflexio. In ferreo enim $peculo color apparet de- bilior, quoniam color ferri mixtus cum luce reflexa, & ip$o colore reflexo debilitat ip$um colorem reflexum. Omnes itaq; reflexiones colorum optimè experiri po$$unt in domo unici foraminis, cui foramini albus paries opponitur. Tunc enim in radio $olis po$ito $peculo argenteo, & ip$i $peculo & parieti interpo$ita re aliqua colorata: erit reflexio coloris ad pariet\~e album $en$ibilis. Idem quoq: VITELLONIS OPTICAE accidit $i in radio incidentiæ ip$ius $peculi ponatur corpus diaphanum coloratum, per quod tran- $eat radius, incidens ip$i $peculo, utpote $i ante fene$tram ponatur uitrum coloratum, uel $i modo $imili, ut experimentanti uidebitur, di$ponatur. Cad\~ete itaq; luce forti $uper $peculum argenteum & ip$a reflexa $uper parietem album, notabiliter uidebitur lux parietis debilior quàm $peculi. Re- flexio ergo lucem debilitat. Et eod\~e modo color reflexus e$t debilior colore, à quo fit reflexio. Pa- làm ergo quòd reflexio debilitat luces & colores, $ed colores magis quàm luces. Colores enim de- biliori modo incidunt quàm luces: unde etiam in reflexione facilius debilitantur. Color enim de- bilis cum ad $peculũ peruenerit, mi$cetur colori $peculi & immutatur propter illius admixtionem: quare color reflexus apparet debilis & tenebro$us: & uniuer$aliter formæ reflexæ $unt debiliores quàm $int in loco, à quo reflectuntur. Sic ergo patet quòd omnis reflexio e$t cau$$a debilitatis. Nam & hoc patet $en$ibiliter in luce: licet enim lux directa & lux reflexa {ae}qualiter di$tent ab ortu $uo, ta- men debilior e$t lux reflexa. Opponatur enim in aere radio $olis intrãti per fene$tram domum ali- quam, in qua unica e$t fene$tra, $peculum minus foramine, ita ut lux re$idua foraminis, qu{ae} non in- cidit in $peculo, cadat in terram $uper corpus album: & lux à $peculo reflexa cadat $imiliter $uper corpus album eleuatum à terra, hoc ob$eruato, ut $it eadem di$tantia corporis eleuati & iacentis à centro foraminis fene$træ: uidebitur itaq; $uper corpus album eleuatum, ad quod fit reflexio, lux minor, quàm $uper corpus iacens: cuius minoritatis $ola reflexio e$t cau$$a. Etidem pote$t in colo- rum reflexione faciliter demon$trari, & eodem modo. Patet ergo propo$itum.

4. Omnis lux reflexa, et$i debilior $it luce prima, e$t tamen fortior quàm lux $ecunda, æqua- liter ab origine di$tantibus ambabus: & idem e$t in colore. Alhazen 5 n 4.

Luce enim reflexa cadente in aliquod corpus, $i aliud $imile corpus ponatur extra locum refle- xionis, & $it cum illo eiu$dem elongationis à $peculo: uidebitur $uper ip$um corpus $ecunda lux minor, quàm in illo, quod e$t po$itum in loco reflexionis. Sit enim, quòd in directo foraminis, per quod radiusdomum aliquam ingreditur, ponatur $peculum in terra, $u$cipiens totam lucem radij incidentis per illam fene$tram, quam lucem $uperius in principio 2 libri huius $cientiæ diximus lu- cem primam: tunc enim fiet palàm, quòd erit lux fortior $uper corpus in loco reflexionis po$itum, quàm $uper aliud corpus $imile po$itum extra illum locum tantundem à $peculo elongatum. Et idem accidit $i $uperficies $peculi non $u$cipiat radium directè, $ed obliquè. Idem etiam patet in co- loribus: quoniam facta reflexione coloris à $peculo argenteo, corpus album po$itum in loco refle- xionis plurimum recipit coloris: aliud uerò corpus æquè album exi$tens extra locum reflexionis, & in eadem di$tantia à $peculo, apparet quidem coloratum, $ed debilius ualde quàm corpus po$i- tum in loco reflexionis: & $i ferreum fuerit $peculum fortè in corpore, quod e$t in loco reflexionis, modicus uidebitur color, extra uerò locum reflexionis in corpore æquè albo, qua$i nullus appare- bit color. Patet ergo propo$itum.

5. Natura agit in omnibus $ecundum lineas breuiores. Euclides in præfatione opticorum. Ptolemæus 1 th. 1 catoptr.

Hoc uniuer$aliter patet in omnibus operibus naturæ. Omnes enim motus naturales $ic fiũt: de- $cendunt enim grauia perpendiculariter $uper $uperficiem horizontis. Sagittæ etiam emi$$æ uio- lenter ab arcubus $eruntur linea breuiori $ecundum angulum $uæ emi$sionis: per breuiorem enim lineam ab eodem termino in eundem terminum uelociter e$t motus. Et quia, ut in principio 2 libri huius $cientiæ $uppo$itum e$t, natura nihil agit fru$tra, neq; deficit in nece$$arijs: palàm quòd ne- ce$$ariò agit $ecundum lineas breuiores. Si enim po$sit operatio nem intentam complere per mo- tum uel actionem per lineam a b, & agat per lineam a b c: omnis actio, quam facit in linea b c e$t fru$tra, quoniam cõ$ecuta e$t finem in a b c puncto b: non ergo agit $ecundum aliquod punctum lineæ b c. Et hoc idem per multa naturalia exempla patere pote$t. Vnde & animalia, quorum motrix e$t anima, $ecundum breuiorem lineam mouentur ad terminũ, ut patet in rectitudine filorum aranearum, ex quibus texunt telas $uas, quæ telæ et$i nonnunquã inueniantur circulares, $unt tamen ex rectis filis & in $tamine, & in $ubtelari contextæ propter lineæ breuitatem. Id\~e quoq; patet in canibus, qui omi$sis duobus lateribus tri- goni currunt per tertium, ac $i naturaliter informati nouerint, quod duo latera trigoni maiora $int tertio, quòd homines geometres edocet 20 p 1. Patet itaq; propo$itum, prout po$sibile nobis fuit.

6. Omnis reflexio luminis & coloris fit $ecundum lineas $en$ibiles latitudinem habentes. Alhazen 16 n 4.

Secundum enim tales lineas fit lucis incid\~etia, etiam lucis minimæ $uper corpus politum, ut pa- tet per 3 th. 2 huius. Latitudo itaq; lineæ reflexionis e$t æqualis latitudini lineæ incidentiæ: & linea mathematica, qu{ae} e$t linea media totius lineæ reflexionis, eundem habet $itum in loco reflexionis, quem habet linea mathematica, quæ e$t linea media lineæ incidentiæ $en$ibilis in loco incidentiæ: & $imiliter quæliber aliarum linearum mathematicarum in linea $en$ibili reflexionis eundem reti- net $itum, quem $ua compar in linea incid\~etiæ $en$ibili: & ob hoc lineis mathematicis pro ip$is $en- $ibilibus non inconueniens e$t uti in tractatibus reflexionum. Patet ergo propo$itum.

LIBER QVINTVS. 7. In reflexionibus factis à quibu$cun<005> $peculis, fit deceptio propter intem perantiãlucis: uel propter diuer$itatem $itus:uel propter remotionem puncti, cuius forma reflect itur:uel etiãcen- tri ip$ius ui$us à $uperficie cuiuslibet $peculorum. Alhazen 3 n 6.

Vniuer$aliter enim quibu$cunq; modis contingit decipi ui$um circa intentiones ui$ibilium per $i mplicem ui$ionem ui$orum: ei$dem etiam modis contingit ui$um decipi in ui$ione, quæ fit per re- flexionem: quoniam & hæc ui$io e$t quædam ui$io, in qua forma lucis & colorum & aliarum inten- tionum ui$ibilium ip$i uirtuti di$tinctiuæ præ$entantur. Et hoc, ut patuit per 1 th. 4 huius, & multis illius theorematibus, accidit octo modis. Plurimum tamen & manife$tius fit hoc in $peculis: uel propter debilitatem lucis: uel propter diuer$itatem $itus, propter quam lineas reflexionũ remoueri accidit ab axibus ui$ualibus:uel propter remotionem puncti rei ui$æ, cuius forma reflectitur à $u- perficie ip$ius $peculi:uel etiam propter remotionem ip$ius centri ui$us, ad quod remota fit refle- xio à $uperficie ip$ius $peculi. In alijs uerò quinq; modis licet $imiliter cau$$etur error in ui$ione for marum reflexarum à quibu$cunq; $penculis ad ui$um, non e$t tam\~e ille error tam $en$ibilis, ut in i$tis modis propo$itis: nec tamen fit totalis excu$atio ab illis. Patet ergo propo$itum.

8. Specula, à quibus regularis fit reflexio, $unt tantùm $eptem.

Quoniam enim regularis reflexio non pote$t fieri ni$i à corporibus regularibus: corpora uerò re gularia non po$$unt e$$e ni$i corpora ut plurimum planarum $uperficierum uel unius $uperficiei cõ cauæ uel conuexæ. Sicut autem patet $en$ui, licet corporum planorum $pecies $ecundum figuras & numerum angulorum uarientur: quantùm tamen ad naturam reflexionis, in omnibus illis e$t iden titas $uperficiei planæ: nec enim in ip$is, quo ad hæc, uariatio inuenitur: ut autem patet per 138 th. 1 huius, omnis $uperficies conuexa uel concaua regularis aut e$t pars $uperficiei $phæræ, aut colu- mnæ, aut pyramidis rotundæ. Sic ergo habentur in uniuer$o $eptem $pecula: quorum unũ e$t pla- num cuiu$cunq; figuræ: & tria $unt conuexa, $phærica, columnaria & pyramidalia: & tria $unt con- caua, $ph{ae}rica, columnaria & pyramidalia: nec e$t po$sibile plura e$$e $pecula, à quibus regularis fiat reflexio. Patet ergo propo$itum.

9. In$trumentum con$tituimus, in quo modi omnium reflexionum à quibu$cun<005> regularib. $peculis in$trumentaliter declarantur. Alhazen 7 n 4.

A$$umatur $emicirculus æneus cõuenientis $pi$situdinis, utpote medietatis grani hordei uel cir ca illud, & conuenientis quantitatis: qui $it a b c, cuius diameter $it a c, & eius centrum d: b a p n m l h i k q c f t e u g r o s d producatur\’q; linea d b perpendiculariter $u- per diametrum a c per 11 p 1: e$t ergo d b $emi- diameter circuli diuidens $emicirculum per æqualia per 33 p 6. Ab$cin datur itaq; ex linea d b $uperius $exta pars ip$ius per 9 p 6, qu{ae} $it b e: & $ecundum quantitatem lineæ e d à cen tro d fiat $emicirculus, qui $it f e g. Arcus ita- que b c diuidatur in partes, quot libuerit, $e- cundum puncta h, i, k: & arcus b a in totidem partes diuidatur $ecundum puncta l, m, n: ita quòd arcus l b fiat {ae}qualis arcui b h, & arcus m l arcui h i, & arcus n m arcui i k, per 23 p 1 & 26 p 3, {pro}- ductis lineis d h, d i, d k, d l, d m, d n. Deinde iterũ à $emidiametro b d inferius ab$cindatur $exta pars ip$ius, quæ $it d o: & à pũcto o ducatur linea {ae}quidi$tans diametro $emicirculi, quæ e$t a c, per 31 p 1: qu{ae} $it p o q: hanc itaq; inter$e cabũt omnes lineæ ad partes diui$ionis à centro d product{ae}. Punctus ergo, in quo linea d n ip$am interfecat, $it r, & in quo linea d k ip$am inter$ecat, $it s: & pũcta, in quib. ip$am $ecat $emicirculus f e g, $int t & u. Deinde à totali $emicirculo ab$cindatur pars d a p r exuna parte, & ex alia pars d c q s: & planentur optimè $uperficies: & acuatur d centrum a$$umpti $emicir- culi qua$i punctus, ita ut ip$um punctũ d maneat in ead\~e $uperficie $emicirculi cũ lineis productis. Nos aũt quantitat\~e lineæ b e, qu{ae} e$t $exta pars $emidiametri d b, deinceps digitum appellamus: e$t ergo diameter a c duodecim digitorũ. Deinde a$$umatur tabula lignea quadrata plana, cuius latus fit 14 præmi$$orum digitorum, excedens diametrum a c duobus digitis: & $pi$situdo eius $it 7 digi- torum: & in hac tabula $ignetur punctus medius ք 40 th. 1 huius: & $uper ip$um fiat circulus $ecun- dum quantitatem lateris tabul{ae}: hic ergo excedet circulum a b c quãtitate unius digiti ex omni par te: quoniam eius diameter in duobus digitis excedit diametrum a c. Fiat iterum $uperidem centrũ tabulæ ligneæ circulus {ae}qualis circulo f e g: diuidatur\’q; circulus tabul{ae} ligne{ae} proportionaliter $e- micirculo æneo, qui e$t a b c, ita ut prima pars circuli lignei re$pondeat primæ, & $ecunda $ecundæ, & $ic deinceps: & à centro tabulæ ligneæ ducantur ad puncta diui$ionis line{ae} rect{ae}: & rotũdetur ta- bula lignea extrin$ecus $ecundum circulum maiorem: & excidatur pars interior tabulæ minori cir- culo contenta: remanebit\’q; qu{ae}dam armilla lignea, cuius latitudo e$t duorum digitorũ, diameter exterioris circuli 14: interioris circuli 10: & totius armillæ profunditas uel altitudo erit 7 digitorũ: cuius $uperficies curu{ae} optimè planentur ad modum columnæ rotundæ: remanebunt\’q; in $uperfi- VITELLONIS OPTICAE cie plana illius armillæ, lineæ diuidentes circulum $ecundum diui$ionem $emicirculi a b c. A‘capi- tibus itaque illarum linearum producantur line{ae} in $uperficie conuexa altitudinis armillæ, perpen diculares $uper n m l b h i k planam $uperfi ciem latitudinis ip$ius. Ponatur enim pes circini $uper terminum line{ae} diuidentis circulum: & fiat $emicirculus in $uperficie cõue- xa armillæ, qui diuidatur per {ae} qualia per 30 p 3: & producatur a puncto ad pun ctũ linea: palã\’q; ք 105 th. 1 huius quoniam illa li- nea e$t perp\~edi- cularis $uper $u- perficiem latitu dinis, quæ pars e$t ba$is colũn{ae}: & eodem modo à terminis illarũ diuidentiũ pro- ducantur perp\~e diculares in $u- perficie armillæ concaua. In qua etiam $uperficie ex parte planæ $uperficiei non drui$æ $um atur altitudo duorum digitorum: & in perpedicularibus lineis omnibus in illa $uperficie productis fiant $igna: & $ecundum $igna illa fiat circulus {ae}quidi$tãs plan{ae} $uperficiei armillæ, immi$$a tabella acuta, quantitatis circulif e g, uel alio modo, prout conue nientius po$sit fieri: & $ecundum quantitatem medietatis grani hordei fiant item alia $igna intra il- los duos digitos: & circũducatur circulus æ quidi$tans priori circulo $ecundum quantitat\~e pr{ae}mi$- $am medietatis grani hordei: & $ub hoc $ecundo circulo intra altitudinem duorũ illorum digitorũ, $ecundum profunditatem $emicirculi ænei a b c $ignentur alia puncta in prædictis perpendicula- ribus, & iterum fiat circulus $ecundum illa puncta: & excepto per aliqua in$trum\~eta illo corpore li- gneo inter hos duos $ecũdos circulos exi$t\~ete, fiat concauitas unius digiti profunda: & coaptetur huic cõcauitati ænea $emicirculi portio, qu{ae} e$t p b q, quæ intrabit concauitatem u$q; ad portionem minoris circuli, qu{ae} e$t t e u:ideo quòd di$tantia i$torum duorum arcuum e$t unius digiti, & eadem e$t profunditas concauitatis factæ in tabula lignea. Flat autem taliter, ut $uperficies circuli f e g diui $a per lineam à centro d ad circumferentiam producta, $it ad partem $uperficiei armillæ diui$æ. Li- ne{ae} itaq; perp\~ediculares ductæ in concaua $uperficie armillæ tangent lineas diui$ionis circuli f e g, & cadent perpendiculariter $uper $uperficiem circuli f e g. Item in cõuexa $uperficie armillæ ex par te $up erficiei non diui$æ $ignetur punctus in qualibet perpendicularium productarum $ecundum di$tantiam duorũ digitorum ab ip$a plana $uperficie non diui$a: & po$ito pede circini $uper quodli- bet punctorum $ignatorum, fiant circuli, quorũ cuiuslibet diameter $it {ae}qualis quantitati grani hor dei: & $ecundum illorum circulorum quantitatem fiant foramina columnaria rotunda: & in aliquo ip$orũ coaptetur baculus ligneus, qui cum tran$ierit ad interiorem concauitatem armillæ, tãget $e- micirculi f e g $uperficiem: quoniam, ut patet ex præmi$sis, centrum cuiuslibet illorum circulorum paruorum erit in circũferentia circuli prius $ignati in $uperficie concaua armill{ae}, à quo di$tat $uper ficies circuli {ae}nei, qui e$t f e g, $ecundum quantitatem medietatis grani hordei. Deinde $umatur alia tabula lignea quadrata, cuius diameter $it æqualis diametro armillæ ligneæ: & perqui$ito puncto medio ip$ius per 40 th. 1 huius, ab illo puncto medio circunducatur circulus ad quantitatem $emi- diametri d e: & hic circulus erit {ae}qualis circulo f e g & ba$i concauitatis armill{ae}. Item $uper centrum huius circuli fiat quadratum, cuius latera $int quatuor digitorum lateribus $uis æqualiter di$tanti- bus à lateribus huius tabulæ ligne{ae}: quod pote$t fieri per 41 th. 1 huius: & fodiatur hoc quadratum ad profunditatem unius digiti: & planentur omnes $uperficies concauitatis $uæ, ut fiant rectangu- læ, & fundus eius fiat planus. Deinde huic tabulæ coaptetur immobiliter ba$is armillæ, ita ut circu- lus minor huius tabul{ae} applicetur concauitati armillæ. Deinde fiat columna ferrea concaua aliquã LIBER QVINTVS tulum $pi$$a, cuius ba$is diameter $it æqualis quantitati grani hordei, $icut diametri foraminum: & ponatur illa columna in prius factis foraminib. qu{ae}, cũ peruenerit ad concauum armillæ, continget lineas in circulo f e g productas. Fiat aũt in capite columnæ quodcunq; artificium, non permittens columnam intrare, ni$i ad locum determιnatum: & ut firmius $tare po$sit, modicum cer{ae} $ibi circũ- ponatur: & $it tantæ longitudinis columna, ut procedens $uper $uperficiem circuli f e g, contingere po$sitlatus quadrati concaui in tabula lignea, quod e$t {ae}quidi$tans line{ae} r s, duct{ae} in $uperficie cir- culi ænei. Deinde fiant $eptem regulæ ligne{ae} plan{ae} {ae}quidi$tantium $uperficierũ orthogonalium, æ- quales & penitus $imiles, quarum longitudo $it digitorum $ex: latitudo quatuor: & $pi$situdo con- ueniens, ut inferius nece$sitas ip$ius finis edocebit: & una ip$arum ada- ptetur quadrato cõcauo, ita ut orthogonaliter cadat $uper fundum qua- p k c z q x y b drati concaui, & ut faciliter intret $ine compre$sione: ducatur\’q taliter ut punctus d centrum $cilicet circuli a b c contingat unam $uperficierum la titudinis regulæ: & in puncto contactus fiat $ignum in regula, quod $it x: & à puncto $ignato x producatur in extremitates regul{ae} linea {ae}quidi$tãs longioribus lateribus regul{ae}, qu{ae} $it b x p. Et palàm quoniam illa erit li nea longitudinis regul{ae}. Deinde in longiori parte illius line{ae} à puncto x $ignato $umatur altitudo medij grani hordei: & fiat ibi punctum z: erit i taq; z medius punctus longitudinis regulæ, centris\’q foraminum oppo- $itus directè: centra enim foraminum altiora $unt $uperficie circuli a b c in quantitate medij grani hordei, & di$tant à ba$i armill{ae} per duos digi- tos: punctus ergo z di$tat ab ead\~e ba$i per duos digitos, & regula in qua- drato concauo per digitum unum. Et quia ab extremitate regul{ae} u$q; ad punctum z $unt digiti tres, longitudo quoq; regul{ae} e$t tantùm $ex digito rum: patet, quòd punctum z e$t medium longitudinis regul{ae}. Ducaturi- taq; per punctum z line{ae} {ae}quidi$tans lineis extremitatum latitudinis re- gulæ, qu{ae} $it c q: e$t itaque linea longitudinis regulæ, qu{ae} e$t b p, diui$a ք {ae}qualia in puncto z: cuius item medietates, qu{ae} $unt b z & z p, diuidãtur per {ae}qualia in punctis k & y, $emper ductis lineιs latitudinis à pũctis $e- ctionis k & y perpendiculariter $uper lineam longitudinis b p & {ae}quidi$tanter lineæ c q. Sic ergo e- rit linea b p, & con$equenter tota regula diui$a in quatuor partes {ae}quales. Et hoc modo omnes aliæ $ex regulæ diuidantur, & $ignentur: & $ic factum e$t, quod proponebatur.

10. In $peculis planis rad{ij} obliquè incidentis fit ad aliam partem reflexio: $emper<006> angulum incidentiæ æqualem e{$s}e angulo reflexionis experimentaliter comprobatur. Euclides 1 the. ca- toptr. Ptolemæus 4 th. 1 catoptricorum. Alhazen 10 n 4.

Fiat itaq; ex ferro mundo $peculum planum circularis figur{ae}: cuius diameter modo præmi$$o $it trium digitorum: & concauetur regula præmi$$a $ecundum centrum z, qui e$t medιus punctus regu læ circulariter ad quantitatem diametri $peculi: & profundetur $ecundum $pi$situdinem ip$ius $pe culi, aptetur\’q; taliter, ut una fiat $uperficies $peculi & regul{ae}: & ut centrum circuli rotunditatis $pe- culi directè $uperponatur puncto z. Linea itaq; c q diuidens latiorem $uperficiem regulæ per duo æqualia, diuidet etiam $uperficiem $peculi per duo {ae}qualia: & in hoc experimentantis diligentia cõ $i$tat. Immittatur itaq; ligne{ae} armillæ h{ae}c regula, donec centrum d, quod e$t acumen tabul{ae} æneæ, cadat $uper $peculũ: & tunc illa regula $it cũ $peculo in figura quadrato concauo per aliquod artifi- cium appodiata, ne uacillet, $ed $tet firma. Deinde bene obturentur omnia foramina in$trumenti, pr{ae}ter unum, quod obliquè $uper regul{ae} $uperficiem declinet: & $it exempli cau$$a, foramen corre- $põdens line{ae}d l in circulo a b c {ae}neo: & hoc foramen apertum adhibeatur radιo $olis, & melius e$t- radio $olis per $ene$tram domus intrãti. Radius itaq; $peculo plano incid\~es uidebitur reflecti ad fo ramen aliud corre$pondens line{ae} d h in circulo a b c {ae}neo: & $i foramen illud puncti h aperiatur, & foramen prius opertum, quod fuit punctil, ob$truatur, reflectitur it\~e radius in illud foram\~e cooper- tum. Angulus autem b d l e$t {ae}qualis angulo b d h, ut patet ex hypothe$i in pr{ae}mi$$a: ergo angulus l d a e$t {ae}qualis angulo h d c: quoniã totus angulus b d a e$t {ae}qualis toti angulo b d c: quia uterq; e$t rectus. Si etiam imponatur foramini aperto columna ferrea concaua, de qua pr{ae}mi$imus: de$c\~edet lux per column{ae} cõcauitat\~e ad $peculũ, & reflectetur in foramine re$piciens {ae}qualem angulum, ut prius. Et $i ad $ecundum foramen columna transferatur, reflectetur radius ad primũ: $emper tñ erit debilior lux per columnã de$cendens, quã $ine columna per ip$um foramen de$c\~edens. Et idem e$t experimentandi modus, $i aliquod foraminum cum cera ob$truatur, & circa centrũ eius cum $tilo ferreo fiat modicum foram\~e: tunc enim lumen reflectetur in $imile $patiũ paruũ circa centrũ forami nis alterius, illud primũ in anguli æqualitate re$picientis. Et $i concauitas column{ae} ferre{ae} concaua obturata fuerit, facto foramine primo $ecundum centrum $uæ ba$is, de$cendet lux per ax\~e colũnæ, & ad centrum alterius foraminis reflectetur, $emper, {ae}qualitate angulorum in omnibus ob$erua- ta. Et $i aptetur in$trumentũ taliter, ut lux intret per duo foramina, reflectetur $imiliter ք alia duo il lis $imilia: $emք enim declinatio linearũ reflexionis e$t {ae}qualis declinationi linearum incid\~etiæ. Et quoniã linea b x p(qu{ae} e$t linea media lõgitudinis regul{ae}) e$t orthogonalis $uք lineã latitudinis re gul{ae} inferior\~e {ae}quidi$tant\~e line{ae} c q: quoniá illa e$t cõmunis $ectio $uperficiei regul{ae} & $uքficiei fun VITELLONIS OPTICAE di quadrati concaui æ quidi$tãtis $uperficiei a b c circuli ænei: & linea media $uperficiei fundi {ae}qui- di$tatlineæ d b (qu{ae} e$t media diameter circuli) & quia linea, qu{ae} e$t cõmunis $ectio $emicirculi a b c & $uperficiei regule, in qua e$t linea latitudinis regul{ae}, e$t $quidi$tans cõmuni $ectioni $uperficiei fundi & regul{ae} per 28 p 1, quoniam linea b x p cadit perpendiculariter $uper ambasillas lineas lati- tudinis regul{ae}: & quoniã linea b x p e$t erecta $uper $uperficiem fundi: palã per 23 th. 1 huius quoniã linea b x p e$t perpendicularis $uper $uperficiem circuli a b c {ae}quidi$tant\~e fuperficiei fundi tabulæ. Ergo per definitionem line{ae} $uper $uperfici\~e erect{ae}, diameter d b e$t perp\~edicularis $uք lineã b x p, cum $ecent $e in puncto d: e$tergo linea d b erecta $uper $upficiem $peculi plani, & $uper eius circu- li diametrum: quia $uperficies circuli a b c e$t {ae}quidi$tãs $uperficiei circuli trã$euntis per c\~etra fora minum: quoniã diftantia omnium centrorũ foraminum à $uperficie circuli a b c e$t eadem, $cilicet medietas quantitatis granihordei. Superficies uerò tran$iens centra omniũ $oraminum $ecat co- lumnã ferreã per axem: e$t ergo axis colũn{ae} in illa $uperficie, Et quia columna $errea in $uo de$c\~e$u tangit aliquã linearum in $uperficie circuli a b c, à c\~etro d a d circumferentiã productarum, utpote li neã d b, uellineã d m, uel aliquã aliã illarum linearum: palã per præmi$$a, quia axis columnæ {ae}quidi $tatilli line{ae}, qu{ae} tangitur per lineã lõgitudinis column{ae}. Et quoniã per quodcunq; foraminũ colu- mna de$endente, $emք axis eius caditin linea b x p & in punctũ z: linea uerò z b $emper e$t perpen dicularis $uper $uperfici\~e a b c: linea quoq; à puncto z ip$ius regul{ae} protracta ad centrũ foraminis. quod e$t contingens punctum n, eft {ae}quidi$tans line{ae} d n, & $imiliter de alijs centris foraminũ & pũ ctis m, l, h, i, k $ignatis in circumferentia a b c: o\~es enim $emidiametri foraminũ $unt {ae}quales & {ae}qui di$tãtes line{ae} z b ք 25 th. 1 huius: $unt enim o\~es $emidiametri foraminum perp\~ediculares $uք $uperfi ci\~e circuli a b c: quoniã $unt partes linee{ae} lõgitudinis armillæ. Line{ae} itaq; l d & d h $unt {ae}quidi$tantes duabus lineis imaginatis duci à puncto regul{ae}, quod e$tz, ad centrum duorũ foraminum cõtingen tium puncta l & h per 33 p 1: ergo per 10 p 11 anguli ab illis lineis in $uperficiebus {ae}quidi$tantibus cõ tenti $unt æquales. Et $i à puncto z ducatur linea ad centrum medij foraminis, eritip$a per præmi$$a {ae}quidi$tans line{ae} d b, diuidens angulum linearum $ecum cõcurrentium per æqualia, $icut linea d b diuidit angulum l d h per æqualia. Patet ergo propo$itum.

11. In $peculis planis radium perpendiculariter incidentem refle\~cti in $e ip$um in$trument æ- liter declar atur. Euclides 2 the. catoptr. Alhazen 11 n 4.

Remanente enim omni di$po$itione in$trumenti, ut prius: & regula, in qua $itum e$t $peculũ pla- num, erecta $uper fundum quadrati concaui, quod e$t in tabula lignea, quæ e$t ba$is in$trum\~eti, ob- turentur omnia $oramina, præter medium, cui re$pondet $emidiameter d b circuli a b c: & fiat bacu lus columnaris ad quantitatem foraminis, cuius extremitas acuaturita, ut remaneat $olus punctus, qui e$t terminus axis eius, qui immittatur per foram\~e ad $peculum: $ignetur\’q; in cau$to punctus, in qu\~e ceciderit. Deinde extracto baculo opponaturforamen apertum radio: cadet\’q radius $uper pũ ctum $ignatum, & circa ip$um efficiet circulum. Signeturitaq; in fine huius lucis circularis punctũ, & $ecundum quantitatem line{ae} interiacentis puncta $ignata fiat circulus, qui erit maior circulo fo, raminis per 36 th. 2 huius: quoniam $emper proce$$us lucis per foramen ingredientis e$t in modum pyramidis: in nullo aũt aliorum foraminum neq; in aliqua parte cõcauitatis armillæ uidebitur lux reflexa. Palàm ergo quòd lux de$cendens per ax\~e, reflectitur per eundem, & $ecundum illius refle- xionem ordinatur totaliter reflexio luminis incidentis. Quãuis aũt uideatur lux circularis circa ba fim interior\~e foraminis maior luce incidente uel radio, & quãuis illa lux uideatur major ip$ius lucis interioris circulo, palã\’q $it illã luc\~e apparere per reflexion\~e: non tñ accidit hoc ք reflexion\~e rad j ք- pendiculariter incidentis, qui e$t axis illius pyramidis lumino$æ: $ed accidithoc propter reflexion\~e aliorum radiorũ pyramidis obliquè $peculo incidentiũ, qui etiã $ecundum modũ $uæ obliquitatis ad partes oppo$itas, & nõ in $e refle ctuntur: quod pater, $i obturetur ք cerã utraq; ba$is foraminis, fa cto modico foramine $ecundũ ax\~e: tunc enim radio $olis ք uiã tantũ axis de$cend\~ete, nõ apparebit lux reflexa circularis circa interior\~e ba$im foraminis. Patet ergo quòd non procedebat illa lux cir- cularis ex reflexa luce axis, $ed ex reflexione lucis obliquè incidentis ip$i $peculo. Quòd $i regula, in qua $itum e$t dictum $peculum planum, aliquãtum retror$um inclinetur: tunc palã e$t quòd radius per medium foramen incidens non cadit perpendiculariter $uper $uperficiem $peculi, uidebitur\’q; lux reflexa à medio foramine remota $ecundum modum declinationis $peculi: $emper tñ centrum lucis cadet $uper lineã ductam in cõcaua $uperficie armill{ae} perpendicular\~e $uper $uperfici\~e a b c cir culi {ae}nei, & de$cendent\~e per centrum ba$is foraminis medij: hoc enim $ecat $emper luc\~e circular\~e reflexã, & diuidit circulum eius per medium. Et $i regula ad latus dextrũ uel $ini$trum declinetur, $emper radius $ecundũ hoc obliquabitur: regula uerò ad rectitudin\~e redeunte, reuertetur lucis re- flexio ad interior\~e ba$im foraminis, ut prius. Patet ergo propo$itum: $emper enim in $peculis planis radius perpendiculariter incidens reflectitur in $e ip$um: $ed in radijs obliquè incidentib. angulus incidentiæ fit æqualis angulo reflexionis, ut patet per præmi$$am.

12. In $phæricis conuexis $peculis radio incidente & reflexo, $emper angulus incidentiæ e$t æ- qualis angulo reflexionis. Ex quo patet quia radius perpendicularis reflectitur in $e ip$um. Eu- clides I the. catoptr. Ptolemæus 5 th. 1 catoptr. Alhazen 12 n 4.

Fiat ex $erro mundo $peculum $phæricum cõuexum hoc modo. De$cribatur circulus maximus LIBER QVINTVS. $phæræ, cuius diameter $it $ex digitorum a$$umptorum prius: & in$cribatur ei linea æqualis $emi- diametro per 1 p 4: itaq; erit chorda trium digitorum. Ducatur quoq; à centro $phær{ae} $emidiameter perpendiculariter $uper illam chordam per 12 p 1: & producatur ad arcum, cadet\’q; in medium arcus punctum per 4 p 1, & per 28 p 3: erit\’q; $inus uer$us minor medio digito. Ab$cindaturitaq; illa minor portio circuli, & $ecundum illius quantitat\~e & cõcauitat\~e fabricetur $peculum, quod limetur & po liatur plani$simè extrin$ecus: a$$umatur\’q regula lignea $imilis penitus prius $umpt{ae} in omni linea tione & creatione: & facta cõcauitate in linea ad modum $peculi, applicetur $peculum regul{ae}ita, ut medium punctũ conuexi $peculi cadat $uք z medium punctum regul{ae}: & $it in $uperficie ip$ius re- gul{ae}, quod pote$t $ciri per application\~e alterius regul{ae} uel amu$sis, ut placuerit. Erigatur quoq; re- gula cum $peculo orthogonaliter $uper fundum quadrati, ut in $peculis planis, & operatione priori repetita, & luce per foramen obliquum uel medium defcendente fiat reflexio, ut prius. Et $imiliter fiet, $iregula declinetur. Semper enim luces per diuer$as lineas obliquas $peculo $ph{ae}rico cõuexo incid\~etes, per diuer$as lineas obliquas reflectuntur: & qu{ae} fecun dum perpendiculares lineas $pe- culo luces incidunt, reflectuntur in $e ip$as, & $emper angulus incidentiæqualis angulo refle- xionis. Quod proponebatur.

13. In $phæricis concauis $peculis radio incidente & reflexo, $emper angulus incidentiæ e$t æ- qualis angulo reflexionis. Euclides 1 the. catoptr. Alhazen 12 n 4.

Fiat $peculum $ph{ae}ricũ ut fuprà: & $ecundum conuexã portion\~e illius circuli limetur & poliatur plani$simè intrinfecus: & a$$umatur alia regula lignea $imilis priori, & coaptetur ei $peculũ taliter, ut circulus ba$is $peculi fit in $uperficie regulæ: & centrũ illius circuli cadat in punctum z: & linea c q, quæ diuidit $uperficiem regulæ per {ae}qualia, continuetur diametro ba$is $peculi, & fiat iftorũ di- ligens in qui$itio per artificium, quod indu$triæ experimentantis cõmittimus. Immittatur\’q; regula cũ $peculo ip$i in$trumento, ut prius, & fiat operatio $imilis omnino priori, $ic tamen ut femper pũ- ctus d, qui e$t centrũ $emicirculi {ae}nei, cadat $uper medium punctum $peculi: hoc enim e$t $em per in omnib. $peculis cõuexis & cõcauis ob$eruandũ: declarabitur\’q; angulorũ incidenti{ae} & reflexionis {ae}qualitas, ut prius, tã in radijs obliquè incid\~etib. <004> in ip$o radio perp\~ediculari. Patet ergo {pro}po$itũ.

14. In columnaribus conuexis $peculis radio incidente & re$lexo, $emper angulus in cidentiæ e$t æqualis angulo reflexionis. Euclides 1 th. catoptr. Alhazen 12 n 4.

Sumatur enim columna rotunda, quæ $it altitudinis trium digitorum: & cuius ba$is circuli dia- meter $it $ex digitorum: & re$ecetur portio circuli ba$is illius columnæ, ut prius in $peculis $phæri- cis: fiat\’q; ex ferro mundo portio column{ae}, cuius ba$is $it illa portio ciculi, & altitudo ip$ius trium digitorum: & $ecundum concauitatem illius formetur cõuexitas illius portionis: fiant\’q; omnes li- ne{ae} lõgitudinis eius perpendiculares $uper utra$q; ba$es: erit\’q; $inus uerfus bafis minor medietate unius digiti. Hoc itaq; $peculum optimè politum $ui conuexo applicetur uni regularum $imili prio ribus, ita ut medius punctus eius cadat $uper medium punctũ regulæ, quie$tz, & ita ut linea longi- tudinis diuidens ip$ius conuexam $uperfici\~e per {ae}qualia, $it in $uperficie regulæ: & applicetur ei $e- cundum lineã longitudinis eius, qu{ae} e$t b p: & hoc fieri poterit, $iutriu$q; ba$is arcus per {ae}qualia di uidatur, & puncta media $ignata line{ae} b p applic\~etur. Immittaturitaq; regula cũ $peculo ip$i in$tru- mento, ut prius, & fiat operatio $imilis priori: demõ$trabitur\’q; angulorũ incidenti{ae} & reflexionis {ae}- qualitas, ut $uprà: nec e$t in aliquo à pa$siõe $peculorũ planorũ in his $peculis diuerfitas, ni$i in hoc: quòd $i radio per foramen medium incidente, regula hæc obliquetur $ecundum part\~e dextram uel finiftram: apparebit inde lux reflecti $uper idem medium foramen & medium lucis $uper medium foraminis, qu{ae} lux in $peculis alijs obliquatur. Quoniã enim in $peculis columnarib. radins perpen diculariter incidens uni lineæ longitudinis, perpendiculariter unicuiq; aliarum $ibi oppofitarũ in- cidit: propter hoc in omnibus ip$is accidit uniformitas reflexionis: & $emperradius perpendicula- ris reflectitur in $eip$um. Patet ergo propo$itum.

15. In pyramidalibus conuexis $peculis radio incidente & reflexo, $emper angulus incidetiæ e$t æqualis angulo reflexionis. Euclides 1 the. catoptr. Alhazen 12 n 4.

Fiat ex ferro puro $peculum pyramidale, cuius ba$is $it {ae}qualis ba$i $peculi columnaris: erit ergo chorda illius ba$is trium digitorum: & $inus uer$us minor medietate unius digiti. Sit aũt linea lõgi- tudinis $peculi quatuor digitorum & dimidij, & hoc optimè exterius politum applicetur uni $imi- lium regularum taliter concauatæ, ut medius punctus eius $it $uper punctum z medium punctũ re- gulæ: & ut acumen eius $it in termino line{ae} b p: & linea diuidens portionem pyramidal\~e per {ae}qua lia, qu{ae} $cilicet â uertice pyramidis ad mediũ punctũ arcus ba$is producitur, $it in $uperficie regul{ae}. Immi$$a quoq; regula cũ $peculo in in$trumentũ, fiat operatio, ut prius: & accidũt omnia, qu{ae}in $pe culis columnarib. conuexis accidebãt, E$t ergo & in ip$is angulus incidenti{ae} æqualis angulo refle- xionis: & radius քp\~edicularis $emք reflectitur in $eip$um, ut patuit in \~pmi$sis. Pater ergo {pro}po$itũ.

16. In columnaribus concauis $peculis radio incidente & reflexo, $emper angulus incidentiæ e$t æqualis angulo reflexionis. Euclides 1 the. catoptr. Alhazen 12 n 4.

Fiat ferreum $peculũ columnare cõcauum, cuius concauitas $it omnino æqualis prioris colũna- VITELLONIS OPTICAE ris $peculi conuexitati: $it\’q; optimè $ecundum concauitat\~e arcus portionis ba$is interius politũ: & hoc applicetur uniregularum $imilium concauatæ, ut prius, taliter, ut chordæ arcus utriu$q; ba$is cum extremis lineis lõgitudinis $int in $uperficie regul{ae}: & fiat operatio, ut prius: accident\’q; omnia, quæ in $peculis columnaribus conuexis accidebant. Et per hoc patet propo$itum.

17. In pyramidalibus concauis $peculis radio incidente & reflexo, $emper angulus incidentiæ e$t æqualis angulo reflexianis. Euclides 1 the. catoptr. Alhazen 12 n 4.

Fiat $peculum ferreum pyramidale concauum, cuius concauitas $it omnino æqualis præmi$si cõ uexi pyramidalis $peculi conuexitati: & poliatur interius: applicetur\’q; uni regularum $imilium ta- liter, ut medius punctus eius $it $uper punctum z, & ut acum\~e eius $it directè in linea b p, & ut chor- da arcus ip$ius ba$is $it in $uperficie regulæ, Cum aũt linea longitudinis portionis pyramidalis $pe- culi $it quatuor digitorum & dimidij, re$tat ex longitudine regulæ digitus & dimidius tam in $pecu lo concauo quàm in conuexo. Immi$$a quoq; regula cum $peculo in in$trumentum, fiat operatio, ut prius: accident\’q; omnia, qu{ae} in $peculis pyramidalibus conuexis accidebantin reflexioneradio rum obliquè incidentiũ ad an gulos {ae}quales: & in reflexione radiorum perpendiculariũ in $e ip$os. Patet ergo propo$itũ. Palã itaq; ex præmi$sis, quoniã in omni reflexione à quibu$cunq; $peculis po litis regularibus (ut $unt hæc $eptem $pecula) $emperradius $ecundum lineam rectam perpendicu lariter incidens $ecundum eandem rectam perpendicularem reflectitur: & quòd radius $ecundum lineã rectã obliquè incidens, $ecundũ aliã lineã obliquã reflectitur, ita tam\~e quòdangulus inciden- tiæ e$t $emper {ae}qualis angulo reflexionis: unde hoc per rationabil\~e $en$us experi\~etiã inu\~eto, $em ք utuniuer$aliprincipio, deinceps in omnib. his $peculis utemur: & licet hoc, ut quid\~e huius $cientiæ principium, $it experimentaliter declaratum: pote$ttamen etiam per aliqu\~e demon$trationis mo- dum ad ip$ius $ci\~etiam perueniri: unde nos ip$um, prout diligentius poterimus, tentabimus demõ- $trare: propter quod duo $equentia theorem ata duximus præmittenda.

18. Omnis res ui$a per $peculum quodcun<005>, $ub breui$simis lineis comprehenditur à ui$u. Pto lemaus 4 th. 1 catoptr.

Sit $peculum, in cuius $uperficie $it linea recta uel curua, quæ $it a c b: rei quoq; ui$æ punctus $it d: & centrum oculi $it f: & punctus d uideatur reflexus à puncto $peculi c. Dico quòd line{ae} f c & d c, $unt breuiores omnibus lineis protractis à punctis d & fad quælibet alia puncta $peculi. Ducantur f d a c e b enim à puncto alio $uperficiei $peculi (quod $it e) lineæ e d & e f, quæ non $int breuiores quàm lineæ c d & c f, neque æquales illis, $ed longiores. Quia ergo, ut patet ք 5 huius, natura in omnibus agit $ecundũ lineas breuio- res: multiplicatio uerò formarum ad $uperficies $pecu lorum eft naturalis: quoniam fit opere naturæ, $icut & omnis alia diffu$io formarum, ut in philo$ophia natura licapitulo de naturali a ctione o$tendimus: & $imiliter reflexio formarum à $uperficieb. $peculorum ad ui$um e$t purè naturalis, quoniam $it ab opere naturæ, & com- pletur per actionem animæ, $icut & omnis alia ui$io, ut patet per totum quartum huius no$træ $cientiæ librum: e$t autem anima tanquam natura anima- lium. Patet ergo quòd hæc diffu$io formæ & reflexio & comprehenfio, quæ fit $ecundum ip$am, e$t uerè naturalis: fiet ergo $ecundum lineas breuiores: quod e$t propo$itum: fru$tra enim fieret $ecun dum lineas longiores, cum po$sit melius & certius fieri $ecundum lineas breuiores.

19. Lineæ incidentiæ & reflexionis, continentes angulos æquales cum perp\~ediculari à puncto $ui concur$us $uper $uperficiem $peculi plani uel cõuexiextracta, $unt breuiores omnib. lineis ab ei$dem termin is $uper eandem $uperficiem $peculi productis, continentιb. angulos inæquales cũ perpendicularibus à punctis $ui concur$us extractis.

Quod hic proponitur, faciliter per 17 & 18 th. 1 huius pote$t demõ$trari: $ed quia aliter e$tid\~e de- mon$trabile, $it res ui$a qu{ae}cunq;, in qua $it punctus c: & $it $peculum planum, in cuius fuperficie $it linea h d e: $it autem nunc, exempli cau$$a, $peculum datum planum: erit ergo linea h d e linea recta: lineæ quoq; continentes angulos {ae}quales cum linea h d e, fint c d & d f. Aut ergo centrum oculi erit in eadem linea æquidi$tante lineæ h d e, in qua e$t c punctus rei ui$æ, aut n on. Si $it: e$to itaq; pun- ctum oculi f: & protrahatur linea c f: & extrahatur à puncto d perpendicularis $uper $peculi $uperfi- ciem per 12 p 11, quæ protracta, quia $ecat angulum c d f, patet per 29 th. huius, quoniã ip$a $ecabit li neã c f: e$t enim in ead\~e $uքficie cũ illa: h{ae}c ergo perp\~edicularis {pro}ducta ad lineã c f, $it d g: erit ergo li nea d g perp\~edicularis $uper lineã c f {ae}quidiftant\~e lineæ d e per 29 p 1. Quia ergo c d h angulus e$t {ae}- qualis f d e angulo, d\~eptis illis angulis {ae}qualib. à duobus rectis, qui $unt g d h & g d e, erũt anguli re$i dui {ae}quales: e$t ergo angulus c d g {ae}qualis angulo g d f. Et quoniã trigonorũ c d g & f d g ambo angu li, qui $unt ad pũctũ g, $unt recti: palam ք 32 p 1, quoniã anguli d c g & d f g $unt {ae}quales. Sunt itaq; tri goni c d g & f d g {ae}quiãguli: latera ergo {ae}quos angulos re$pici\~etia $unt {pro}portionalia ք 4 p 6: & quo- niam latus d g {ae}quale e$t $ibijp$i, erit latus f d æquale lateri c d: ductis\’q; lineis f e & c e $uper pun- LIBER QVINTVS. ctum e punctum lineæ d e, quæ ut patet ex pr{ae}mi$sis, e$t æ quidi$tans lineæ e f, patet quòd linea a k b c g f b d e l m c e e$t maior quàm linea f e per 19 p 1: e$t enim angulus c f e ma- ior angulo g f d, & angulus f c e e$t minor angulo g c d: re$tat ergo ut angulus c f e $it maior angulo f c e, & quòd linea c e fit maior quàm linea f e, Et quia $uper eandem ba$im, quæ c f, & inter lineas æquidi$tantes, quæ $unt d e & c f, collocatur trigo- num c f d, cuius latera c d & d f $unt æqualia, & trigonum c f e, cuius latera c e & f e $unt inæ- qualia, ut patet ex præmi$sis: di- co quòd latera c d & d f ambo $imul $umpta $unt minora ambo bus lateribus c e & f e $imul $umptis. Producatur enim linea c d ultra punctum d in continuum & directum ad punctum l, ita ut linea d l $it æ qualis, lineæ d f: $ed & linea c e, quæ e$t longius latus trigoni c f e, producatur ultra punctum e ad punctum m. donec linea e m fiat æqualis lineæ e f: & copuletur linea l m & linea e l. Et quia angulus f d e e$t æqualis angulo d f c per 29 p 1, & angulus d f c e$t æqualis angulo d c f, ut patet ex pr{ae}mi$sis: angulus uerò e d l æqualis e$t angulo f c d per 29 p 1: erit ergo angulus f d e {ae}qualis angulo e d l: $ed linea d l e$t æqualis line{ae} d f, & linea d e e$t ambobus trigonis (qu{ae} $unt f d e & e d l) com- munis: ergo per 4 p 1, e$t linea f e æqualis lineæ l e: ergo & lineæ e m: ergo per 5 p 1 anguli e l m & e m l $unt æquales: totalis ergo angulus c l m e$t maior angulo c m l: ergo per 19 p 1 linea c m e$t maior quàm linea c l. Duo ergo latera c e & e f pariter accepta maiora $unt duobus lateribus c d & d f pariter acceptis. Quod e$t propo$itum. Si autem ui$us & res ui$a non $int in eadem li- nea æquidi$tante line{ae} h e: $it punctus reiui$æ, ut prius, c: & centrum ui$us $it b: & ducatur linea b a æ quidi$tans line{ae} h d e, qu{ae} e$t in $peculi $uperficie: & producatur linea d c ad punctum a: & protrahantur line{ae} c d, b d, c e, a e, e b: & $int line{ae} continentes æquales angulos cum linea d e, quæ c d & d b: in {ae}quales uerò angulos contineant c e & b e: erunt ergo, ut $uprà, line{ae} a d & b d {ae}qua- les, producta perpendiculari d k à puncto d. Comparato ergo trigono a d b ad trigonum a e b: erũt line{ae} a d & d b minores quàm line{ae} a e & e b, ut patet $ecundum pr{ae}mi$$a, Cum enim line{ae} a d & d b $int æquales per 2 p 6, 18 p 5 & corollarium 4 p 5: ideo quia line{ae} c d & d f $unt æquales: line{ae} uerò a e & b e $untin{ae}quales: erũt duo latera a e & b e $imul iuncta maiora duobus lateribus a d & d b $i- mul iunctis: ergo cum a c & c e duo latera trigoni a c e per 20 p 1 $intlongiora latere a e: erunti$t{ae} tres line{ae} a c, c e, e b longiores duabus lineis, qu{ae} $unt a d & d b: ergo dempta hincinde ip$a a c com muni, remanèbunt line{ae} c e & e b maiores quàm line{ae} c d & d b. Quod e$t propo$itum. Eteod\~e mo- do pote$t demon$trari in quibu$cunq; alijs $peculis conuexis. Sit ergo $peculum non planum, cu- iu$cunq; figur{ae} conuex{ae} placuerit, & $it nunc, exemplicau$$a, $ph{ae}ricum conuexum, quia idem ac- d g f o a b h ciditin alijs: & $it h a b: $it\’q; centrum ui$us g: & pun- ctum ui$um d; & line{ae} g a & d a {ae}quales angulos con- tineant cum linea circulum contingente in puncto a, qu{ae} $it e f, ita ut angulus e a g $it {ae}qualis angulo f a d: incidant\’q; line{ae} g b & d b in punctum alium $peculi, qui $it b, ita ut in{ae}quales angulos contineant cum li- nea contingente $peculum in puncto b. Dico, quòd li ne{ae} g a & a d $unt minores lineis g b & d b. Quoniam enim angulus conting\~eti{ae}, qui e$t h a e {ae}qualis e$t an- gulo b a f, uterq; enim e$t minimus acutorum per 16 p 3: angulus uerò e a g e$t {ae}qualis angulo f a d: $it pun ctus, in quo linea g b $ecat lineam contingentem, qu{ae} e$t e f, punctus z: & ducatur linea d z: palàm per 16 p 1, quoniam angulus e a g e$t maior angulo e z g: ergo angulus d a z e$t maior angulo g z a: $ed angulus d z f e$t maior angulo d a z: ergo angulus f z d e$t maior angulo g z a: ergo per 17 th. 1 huius du{ae} line{ae} g a & d a $unt minores duabus lineis g z & d z: $ed line{ae} g z & d z $unt minores lineis g b & d b: quoniã linea g b e$t maior quàm linea g z, ut totum parte: linea uerò d b e$t maior quàm linea d z per 8 p 3. Patet ergo propo$itum uniuer$aliter in $uperficiebus quorumlibet $peculorum c\=ouexorum. Hoc aũt id\~e ut pr{ae}diximus, pote$t per 17 uel per 18 th. 1 huius facilius dem\=o$trari: quoniã in illis o$t\~edimus, q<001> line{ae} rect{ae} continentes angulos {ae}quales cum linea, cui ad unum punctum incidũt, $unt breuiores VITELLONIS OPTICAE omnibus lineis ab ei$dem terminis $uper eandem lineam ad unũ punctum alium productis, Ethoc propo$uimus per 17 th. 1 huius in lineis rectis, per 18 eiu$d\~e primi in lineis conuexis.

20. In omnireflexione à quibu$cun<005> $peculis facta, $emper angulus incid\~etiæ e$t aqualis an- gulo reflexionis: ex quo patet, quòd linearum inæqualit as natur am reflexionis non immutat. Euclides 1 th. catoptr. Ptolemæus 4. 5 th. 1 catoptr. Alhazen. 10. 18 n 4.

Quoniam enim, ut patet per 18 huius, omnis res ui$a per quodcunq; $peculũ planũ uel cõuexum uel concauũ, $ub breui$simis lineis compreh\~editur: line{ae} uerò ab ei$d\~e punctis, utpote â pũcto rei ui${ae}, & c\~etro ui$us ad $uperfici\~e cuiu$cũq; $peculi product{ae} breui$sim{ae} $unt, qu{ae} contin\~et angulos æquales, & cũ lineis conting\~etibus $uperficies $peculorũ, & cũ perp\~edicularibus à pũctis fui cõcur $us productis $uper $uperficies $peculorũ, ut patet ք pr{ae}mi$$am: angulus uerò, qu\~e facit linea â pun cto rei ui${ae} producta, e$t angulus incidenti{ae}, & angulus, qu\~e facit linea ab illo pũcto ad centrũ ui$us producta, e$t angulus reflexionis: patet ergo quòd angulus incid\~eti{ae} e d f b g h k a c $emper e$t æqualis angulo reflexionis, à quocunq; $peculo plano uel cõuexo fiat reflexio. Sed & id\~e pat\~et in cõcauis $peculis quibu$cunq;. Sit enim aliquod $peculũ cõuexũ, in quo $it circulus e b d: qu\~e in pun cto b cõtingat extrin$ecus circulus a b c: & ducatur à pũcto b linea f b g ambos circulos cõting\~es in pũcto b: & $it pũctus rei ui${ae}h, cuius for- ma à pũcto b $peculi cõuexi reflectatur ad ui$um exi$tent\~e in pũcto k: erit\’q; ք \~pmi$$angulus h b f æqualis angulo k b g: $ed & angulus a b f e$t {ae}qualis angulo c b g per 16 p 3, quoniã $unt anguli cõting\~eti{ae}: relin quitur ergo angulus h b a, qui e$t angulus incid\~eti{ae} in $peculo cõcauo a b c, æ qualis angulo k b c, qui e$t angulus reflexionis. Patet ergo pro- po$itũ. Vniuer$aliter enim in omnibus $peculis cõcauis h{ae}c demõ$tra tio pote$t coaptari. E$t aũt etiã hoc rationabile. Si enim linea inciden- ti{ae}, qu{ae} $it, exempli cau$$a, a b, lineã rectã c b d protractã in $uperficie plani $peculi, uel contingent\~e $uperfici\~e conuexam uel concauã alicu ius $peculi $ine reflexione penetraret in puncto b u$q; ad punctũ e: pa làm per 15 p 1, quòd angulus incid\~eti{ae} a b c fieret {ae}qualis angulo e b d. Si ergo fiat reflexio $ecũdum lineam b f: conuenientius a f c b d e e$t, utfiat $ecũdum angulum {ae}qualem illi contrapofito quàm $ecũdum aliquem aliũ angulũ, ita utangulus f b d fiat {ae}qualis angulo e b d, & angulo a b c. Si enim pun- ctis c & d exi$t\~etibus immotis, linea c d imaginetur re- uolui: tũc enim linea e b propter {ae}qualitatem angulorũ e b d & d b f cadet $uper lineã b f: & hocuidetur impor- tare nom\~e reflexionis. Patet ergo propo$itũ. Patet etiã ex hoc corollariũ: linearũ enim in{ae}qualitas, quia nõ im- mutat angulorũ quantitatem: ergo neq; naturã reflexio nis. Vnde pũcta eiu$dem line{ae} remotiora à pũcto refle- xionis, po$$unt reflecti ad ui$um, $icut pũcta eiu$dem line{ae} propinquiora puncto reflexionis. Vni- uer$aliter enim omnia puncta eiu$dem line{ae} $ecundum {ae}qualem angulum reflecti po$$unt. Ethoc proponebatur.

21. Omnis formæ $ecundum lineam perpendicularem $uper $uperficiem cuiu$cũ<005> $peculi in- cidentis, reflexio fit $ecundum lineam eandem. Euclides 2 th. catoptr. Alhazen 11 n 4. e a b d c

Verbi gratia, e$to, ut forma pũctia $uperficiei $peculi b d cincidat $ecundum lineam a d perpendicularem $uper $uperficiem b d c: dico quòd reflexio form{ae} puncti a erit $ecundum eandem lineam d a. Da- to enim quòd $ecundum aliam lineam fiat reflexio: tunc, cum an- gulus incidentiæ $emper $it {ae}qualis angulo reflexionis, ut patet per præmi$$am: & in propo$ito angulus incidentiæ $it rectus: infiniti quoque fint anguli recti ordinatim $uper punctum d, nec $it de- clinatio form{ae} plus ad unum punctum $uperficiei b c, quàm ad ali- ud: {ae}qualiter enim $e habet linea a d, qu{ae} e$t linea incidenti{ae}, ad pun- ctum b, & ad punctum c, & ad omnia alia puncta $uperficiei b c, Sic ergo erunt infinit{ae} reflexiones ad infinita puncta $uperficiei b c: quia qua ratione ad unam differentiam po$itionis fieret reflexio: eadem ratione fieret ad aliam & ad om nem: quod e$t inconueniens. Dabi- tur ergo nece$$ariò quòd fiat reflexio $uper unam & eand\~e lineã a d, $ecundũ quã incidentia fiebat. Perp\~ediculares ergo uel nõ reflectun- tur, uel redeunt in $e ip$as, & fortificatur actio talium formarũ. Si tam\~e dicatur q<001> perp\~edicularis LIBER QVINTVS. incidens per aliam lineam reflectitur: $it, ut reflectatur per lineam d e: tunc ergo cum angulus inci- dentiæ, ut patuit per præmi$$am, $emper $it æ qualis angulo reflexionis, erit angulus a d c æ qualis angulo a d e: $ed angulus a d c æqualis e$t angulo a d b per hypothe$im: erit ergo angulus a d e {ae}qua lis angulo a d b, pars $uo toti: quod e$t impo$sibile. Patet ergo propo$itum.

22. Inter punct a formæ $uperficiei cuiu$cun<005> $peculi incidentis & $peculi oppo$iti $uperfici- em, nece$$e e$t infinitas pyramides figurari, conos & ba$es binc inde mutuas babentes. Alha- zen 14 n 4.

Declaratum e$t enim per 1 huius, quoniam à quolibet pũcto corporis oppo$iti procedit lux uel color ad quodlibet punctum $peculi: o\~es enim lineæ ductæ à quolibet puncto corporis recidunt in unum punctum $peculi: & forma unius puncti corporis incidit omnibus punctis $uperficiei to- tius $peculi: eò quò ad omn\~e po$itionis differ\~etiam fit diffu$io formarum. Tota ergo forma corpo ris erit in unoquoq; puncto $peculi: & forma cuiuslibet puncti corporis in tota $peculi fuperficie. Quot ergo $unt puncta in $uperficie $peculi, tot $unt pyramides ad totam $uperfici\~e formæ corpo- ris terminatæ, qu{ae} $uperficies $it ba$is omnium illarum pyramidum: & quot $unt puncta in totali $u perficie corporis, cuius forma incidit $peculo, tot $iunt pyramides ad totam $uperfici\~e $peculi ter- minatæ, qu{ae} fit ba$is omniũ illarũ pyramidũ. Et $unt o\~es i$tæ pyramides cõtinu{ae} propter continui- tat\~e punctorum in dictis $uperficiebus exi$tentium pot\~etia, nó actu: erit\’q; axis cuiuslibet harũ py- ramidũ punctus, $ecũdum qu\~e $peculo incidit, pũctus medius totius form{ae} $peculo incid\~etis: quo- niam ab illo incidunt $ecundum æ qualem di$tantiam omnes punctialij circum$tantes æqualiter medium punctum formæ. Patet ergo propo$itum.

23. Impo{$s}ibile est uideri imagines in quibu$cun<005> $peculis propter reflexionem radiorum ui- $ualium à $peculis ad res ui$as: $ed $olùm propter reflexionem formarum à $peculis ad ui$um- Alhazen 20 n 4.

Sienim radij ui$uales refle cter\~etur à $peculo ad res, quarũ ui$us accipit imagines, referr\~et\’q; ip$as formas à $peculis ad ui$um:tũc quælibet imago uideretur in loco $uæ rei, cuius e$t imago: quod e$t contra $en$um Et quia, ut præo$t\~e$um e$t per 2 huius, ab omni corpore colorato præ$ente luce co- lor ad corpus oppo$itũ politũ mittitur mixtim cũ lumine, & quãdoq; totaliter, quãdoq; partialiter reflectitur ab illo: tũc $i radij ui$uales incid\~etes $peculis reflecter\~etur ab illis ad res ip$as, & deferr\~et $ecum formas: accideret quòd duæ uider\~etur imagines uniu$cuiu$q; rei, quarũ unam offerret ui$ui ip$e ui$ualis radius reflexus, & aliá ip$e radius $ormæ rei incid\~es $peculo, in quo formæ rerũ impri- muntur, & reflexus à $peculo ad ui$um: quod totũ e$t impo$sibile $en$ui. Sed ad huius oppo$itum quidá antiquorũ demon$tration\~e attulit, quã & nos utindiffer\~et\~e uigoratá fortius præ$enti {pro}po$i to applicamus. Sit itaq;, exempli cau$$a, $peculũ planũ erectũ $uper $uperfici\~e horizontis orthogo- naliter: in quo $it linea diuid\~es $uperfici\~e $peculi ք æqualia, qu{ae} $it a b: & $it c\~etrũ ui$us g: à quo du- catur linea g t perp\~edicularis $uper $uperfici\~e $peculi ք 11 p 11. Sit itaq;, ut linea g t cadat $uper lineã a b in pũctũ t: erit ergo linea g t perp\~edicularis $uper lineã a b. Et ducantur à pũcto g lineæ g a & g b d r u q n o a h t x i b f g e l z m p {ae}quales: erunt ergo per 5 p 1 anguli g a b & g b a æ quales: & anguli ad pũctum t $unt recti: ergo per 26 p 1, & per hypothe$im erit linea at æ- qualis lineæ b t. Producãtur itaq; li neæ g a & g b ultra $peculũ ad pun- cta d & e: ιta ut lineæ g a d & g b e fint {ae}quales: & cóiũgatur linea d e: producatur\’q; linea g tad lineá d e: & incidat illi in pũcto h. Erit ergo ք præmi$$a & 26 p 1 linea d h æ qualis lineæ h e: ergo ք 8 p 1, & per defini- tion\~e perp\~edicularis, anguli ad pũ- ctũ h $untrecti: ergo ք 28 p 1 line æ d h & a t $unt æquidi$tátes, & line{ae} h e & t b æquidiltátes: {pro}ducatur\’q; linea t g ultra ui$um g, donec linea ti $it æqualis line æ t h: & ducãtur à pũcto i line{ae} i u & i z æ quidi$táter lineæ a b: & $it linea u z {ae}qua- lis line æ d e: & ducátur line{ae} u a & z b. Quia ergo linea t i e$t æqualis ip$i line{ae} t h, & linea u z æ qua- lis line{ae} d e, & linea a b {ae}qualis e$t $ibi ip$i, erit $uperficies a b z u {ae}qualis $uperficiei a b d e. Superpo fita enim nec excedetnec excedetur. Linea ergo u a e$t {ae}qualis line{ae} a d, & z b e$t {ae}qualis ip$i lineæ b e: & angulus a u z {ae}qualis e$t angulo a d e, & angulus u z b e$t æqualis angulo d e b: & angulus d a b {ae}qualis angulo u a b: radius ergo g a per 20 huius reflectetur ad pũctum u. Si enim producatur li nea a b ultra pũctũ a ad pũctũr, & ultra pũctũ b ad pũctũ l palã ex pr{ae}mi$sis & ք 13 p 1 quia linea a r diuidet angulũ u a d ք duo {ae}qualia: erit ergo angulus r a u {ae}qualis angulo r a d: & $imiliter erit angu- lus z b l {ae}qualis angulo e b l: $ed angulus r a d e$t {ae}qualis angulo g a b, & angulus l b e {ae}qualis angu- VITELLONIS OPTICAE lo g b a ք 15 p 1: ergo angulus r a u e$t {ae}qualis angulo g a b, & angulus l b z {ae}qualis angulo g b a: ergo ք 20 huι{us} duo radij g a & g b reflect\~etur à duob. pũctis a & b ad duo pũcta u & z. Si itaq; cêtrũ ui$us, quod e$t g, appropinquet $uperficiei $peculi, & lineæ a b, ut $i perueniat in punctũ f: tũc quia angu- lus incid\~eti{ae}, qui e$t f a t minor e$t angulo incid\~etiæ, <003> e$t g a t, erit per 20 huius angulus reflexiõis, qui $it q a r, minor angulo prioris reflexionis, qui e$t u a r: & erit angulus q a r maior angulo u a g, & linea q i maior linea u i. Approximante ergo ui$u $uperficiei $peculi, non uidebuntur extremitates rei prius ui$æ, quæ $unt u & z, $ecundum extremitates $peculi, quæ $unt a & b. Sed & ui$u per$i$ten tein puncto g, & linea u z approximante $peculo u$q; ad punctum x (quod $it punctum line æ i h) non uidebuntur extremitates lineæ u z, quæ $unt u & z, $ed $olùm aliqua pũcta ipfius, in quibus ra- dius g a ui$ualis reflexus à $uperficie $peculi $ecat u z, quæ $int pũcta m & n: erit enim linean m mi- nor quàm linea u z: quod patet per 34 p 1, ductis lineis æquidi$tantibus & perpendicularibus, quæ $int n o & m p. Et $i linea u z elongata fuerit à $uperficie $peculi, nullum eius punctum uidebitur $e- cũdum radios a u & b z: quia alij radij ui$uales à punctis extremis ip$ius $peculi, qui $unt a & b, non reflectuntur ad aliquod punctum lineæ u z, $ed ultra illa: quod patet per 34 p 1, copulatis lineis æ- quidi$tantibus, qu{ae} $int u u & zz. Non uidebitur ergo in tali di$po$itione re$pectu $peculi aliquis punctorum lineæ u z: quod e$t contra experientiam & $en$um. Acciditenim extrema rei approxi- matæ & elongatæ in $peculo quandoque uideri, ut $uppo$itum e$t in huius libri principio. Et fi- cut hoc patet in $peculis planis: $ic etiam patet in alijs $peculis quibu$cunque: quoniam de omni- bus ead\~e e$t demó$tratio. Patet ergo {pro}po$itũ, aut ad minus ex his nõ cõcluditur oppo$itum ip$ius.

24. Comprehen$ionem formarum ui$ibilium in $peculo $ola efficit reflexio, qua ad ui$um: un- de $ecundum di$po$itionem linearũ reflexionis ui$us nece$$ariò informatur. Alhazen 21 n 4.

Quòd enim radij ab oculo non exeant, qui redeuntes ad ui$um referant $ecum formas ui$ibili- um, hoc o$ten$um e$t per pr{ae}mi$$am: quòd autem forma $en$ibilis non informet ip$um $peculum, $icut forma naturalis $uam materiam, hoc patet ex hoc: quòd non in omni differentia po$itionis ui- dentur formæ in $peculis quibu$cunq;. Intuens enim aliquis accedens ad $peculum fixum, uidet formam, quam prius non uidit, & recedens à loco ui$ionis formæ prius in $peculo fixo ui$æ, non amplius uidet illam: & ui$a parte $peculi, non propter hocuidetur pars formarum in $peculo ap- parétium, $ed in eod\~e pũcto $peculi diuer$i a$pici\~etes uidere po$$unt formas diuer$as & di$tinctas, qu{ae} tam\~e, ut quidam actus completiui, eand\~e partem $peculinon po$$unt $imul informare. Vide- tur etiam in $peculis forma rei, quæ $ecũdum lineam rectam non pote$t multiplicari ad uifum: mul ta quoq; alia accidũt, quorum ratio po$terior e$t, magnam tam\~e impo$sibilitatem demon$trat. Pa- làm itaq; formas à $peculo non procedere, ut in $peculo exi$t\~etes & multiplicantes $e ad ui$um, $ed ut incid\~etes ip $is $peculis à rebus $ormatis & à $peculis ad ui$um reflecti. Secũdum di$po$itionem ergo linearum reflexionis ui$us nece$$ariò in$ormatur: quando quid\~e ui$us uerè rem aliam non ui- det, ni$i cuius formam compreh\~edit à $peculo reflexam. Patet ergo propo$itum.

25. In omni reflexione à quocun <005> $peculo facta, $uperficiem reflexionis $uper illius $peculi $u- perficiem, uel $uper $uperficiem illud $peculum in puncto reflexionis contingentem, erectam e$$e e$t nece$$e. Alhazen 13 n 4.

Quoniam enim $i lux uel forma alicui $peculo $ecũdum perp\~edicularem lineam incidit, illa $e- cundum eandem reflectitur per 21 huius: palàm quòd tũc $it incidentia & reflexio $ecundum ean- dem lineam: & $uper$iciem reflexionis nece$$e e$t e$$e erectam $uper $uperficiem ip$ius $peculi per 18 p 11. Si uerò lux uel forma $ecũdum lineas obliquas incidit $uperficiei $peculi cuiu$cũq;, tũc angu lus incid\~etiæ, qu\~e facit linea incidenti{ae} cum perp\~ediculari, $emper e$t æ qualis angulo reflexionis, quem continet linea reflexionis cum ead\~e perp\~ediculari, ut patet per 20 huius: utraq; ergo ip$arũ e$t in ead\~e $uperficie cú linea perp\~ediculari per 2 p 11: ergo & ip$æ amb{ae} $untin ead\~e $uperficie, qu{ae} e$t, ut patet per definition\~e, $uperficies reflexiõis. Eft ergo per 18 p 11 illa $uperficies erecta $uper $u- perfici\~e $peculi, uel $uper $uperfici\~e $peculum conting\~etem in puncto reflexionis. Ethoc exempla riter patet in $uperficie circuli $ecantis armillam in$trum\~eti in 9 huius pr{ae}mi$si æquidi$tanter ba$i- bus $uis per omnia cétra foraminum, & æ quidi$tantis $uperficiei circuli ænei, qui e$t a b c. Radio e- nim per foram\~e medium incid\~ete & $peculo declinato $ecundum regulam ead\~e e$t demon$tratio, qu{ae} in radijs obliquè incid\~etibus: reflectitur enim tunc $emper radius ad lineam longitudinis ar- millæ, quæ tunc non æquidi$tat line æ b z p, qu{ae} e$t linea longitudinis regulæ. Et quoniam fit tunc reflexio à puncto z, cui incidit axis columnæ rotund{ae}, uel radij perp\~ediculariter $uper lineam c q, quæ e$t communis $ectio $uper$iciei regulæ & $uper$iciei circuli tran$euntis per c\~etra foraminum, & huic axi æ quidi$tat linea d b $emidiameter circuli a b c: $unt ergo in ead\~e $uperficie per 1 th. 1 hu- ius. Sed linea d b e$t perp\~edicularis $uper lineam latitudinis regulæ, quæ e$t communis $ectio $u- perficiei regulæ & circuli a b c: ergo per definition \~e $uperficiei $uper $uperfici\~e erectæ, $uperficies, in qua $unt axis columnæ ferreæ uel radij incid\~etis & linea b d, e$t erecta $uper $uperficiem regulæ uel $peculi: & in hac $uperficie e$t linea perpédicularis, quæ e$t linea altitudinis armillæ, tran$iens per punctum b, & per c\~etrum foraminis medij, in quá lineam fit reflexio lucis axis pyramidis ra- dialis. Patet ergo propo$itum etiam in unoquoq; $peculorum: quoniam ad omne $peculum h æ c demon$tratio $e extendit, ut patuit ex pr{ae}mi$sis.

LIBER QVINTVS. 26. In omni reflexione à cuiu$cun<005> $peculi $uperficie, linea recta per aqualia diuidens angu- lum contentum $ub lineis incidentiæ & reflexionis, $uper lineam, quæ e$t cõmunis $ectio $u- perficiei reflexionis & $peculi, uel $uperficiei in puncto incidentiæ $peculum contingentis, nece$- $ariò perpendicularis exi$tit: ex quo patet illam lineam erectã e$$e $uper $uperficiem in illo pun- cto $peculum contingentem.

Sit enim, ut forma puncti a incidat $uperficiei alicuius $peculi $ecundũ punctũ b: & refle ctatur in punctum c: e$t itaq; linea incid\~etiæ linea a b, & linea reflexionis linea b c, qu{ae} $unt in una $uperficie erecta $uք $uperfici\~e $peculi ք præmi$$am: $it\’q; aliqua $uperficies plana cõtingens $peculũ $ecundũ a f c g b h d e punctũ b: cõmunis aút $ectio huius $uperficiei & $uperficiei reflexio nis $it linea d b e: angulũ uerò a b c diuidatlinea b f per {ae}qualia. Dico, quòd linea f b e$t nece$$arò perpendicularis $uper lineã d b e. Quia e- nim angulus d b a e$t {ae}qualis angulo e b c per 20 huius: angulus enim incidentiæ d b a e$t æqualis angulo reflexionis, qui e$t e b c: & quia angulus a b f e$t æqualis angulo f b c e x hypothe$i: palàm quòd totus angulus f b d e$t æqualis toti angulo f b e: e$t ergo linea f b perpendi- cularis $uper lineam d e per de$initionem line æ perpendicularis: & hoc $i linea d b e $it linea recta: qu{ae} $i fuerit curua, $it, ut g h linea recta ip$am contingatin puncto b per 17 p 3. Et quia anguli contingentiæ g b d & h b e $unt æquales: relinquitur quòd angulι f b g & f b h $int {ae}- quales, & erit item linea f b perp\~edicularis $uper lineam g h, & $uper lineam d e. Cum itaq; linea f b $it ducta in $uperficie reflexionis, quæ ex pr{ae}mi$$a e$t arecta $uper $uperfici\~e $peculi, uel $uper $uperficiem, $peculũ in puncto incid\~etiæ contingent\~e, & cũip$a $it $uper ip$arum commun\~e $ection\~e perp\~edicularis: patet quòd linea fb e$t erecta $uper $uperfici\~e $peculum in illo pũcto contingent\~e continet enim cũ omnibus lineis in illa $uperficie productis angulos æquales. Et quoniam eodem modo pote$t fieri declaratio in $ectionibus: patet ergo propo$itum.

27. In omni $uperficie reflexionis à $peculis quibu$cun<005>, centrum ui$us: & punctũ forma ui- $æ: & punctum reflexionis: & terminum perpendicularis & cathetiutriu$<005>, con$i$tere e$t nece$ $e: ex quo patet lineam perpendicularem à puncto reflexionis ductam, omnibus $uperficiebus re flexionis illi puncto incidentibus communem e$$e. Alhazen 23 n 4.

O$ten$um e$t per 25 huius quoniam in omni reflexione à quocunq; $peculo facta, $emper $uper- ficies reflexionis (in qua $unt lineæ reflexionis, incid\~etiæ & perp\~edicularis $uper $uperficiem $pe- culi ducta à puncto reflexionis) erecta e$t $uper $uperfici\~e $peculi, à quo fit reflexio. Cum aũt linea incidentiæ incipiat à puncto formæ compreh\~e$æ, & terminetur in pũctum reflexionis, & linea re- flexionis incipiat à pũcto reflexionis, & terminetur ad c\~etrũ: palàm quò hæ tria pũcta $unt in ead\~e $uperficie. Sed cũ perp\~edicularis $it erecta $uper $uperficiem $peculi, $uper quá per 25 huius & $uperficies reflexionis e$t erecta, quoniá & in illa $uperficie e$t tota perp\~edicularis: cũ enim ip$a perp\~edicularis in pũcto reflexionis $ecet lineas incid\~eti{ae} & reflexionis, cũ quibus ip$a ex definitio- ne e$t in ead\~e $uperficie: ergo per 1 p 11 terminus perpendicularis $uperior nece$$ariò erit in eadem $uperficie cum punctis prædictis. Si enim illa perpendicularis ad punctũ aliũ extra $uperficiem re- flexionis terminetur: patet quòd illa per p\~edicularis in alia erit $uperficie, q<001> e$t contra definitio- e d f a c b nem $uperficiei reflexionis: & etiam, $i ip$a in alia fuerit $uperficie, e- rit rectus minor recto, quod e$t impo$sibile. Linea enim à puncto re flexionis producta in ipfa $uperficie reflexionis erecta $uper $uperfi- ciem $peculi, cum linea in $uperficie $peculi ab eodem puncto pro- ducta continet angulum rectum, & perpendicularis $imiliter. Si er- go illæ duæ line{ae} ad diuer$a puncta terminantur, fit rectus maior re- cto. Sed per eundem modum patet id, quod proponitur de cathe- tis. Et quoniam omnes fuperficies reflexionis, qu{ae} tran$eunt eun- dem punctum reflexionis, & aliquem punctum formæ comprehen- fum, licet ad diuer$a centra ui$uum terminentur, $emper tran$eunt eundem terminum perpendicularis, quoniam omnes $unt erectæ $u per $uperficiem $peculi, uel $uper $uperficiem $peculum in pũcto re- flexionis conting\~etem: palàm quoniam omnes $ecant $ein perpen- diculari. E$t ergo perp\~edicularis eis omnibus cõmunis. Sed & hoc figuraliter e$t declarandum. Sit enim $uperficies $peculi cuiu$cunq; a c b: in cuius punctum c incidat radius à puncto rei ui$æ, quod $it f, per lineam f c: & reflectatur ad centrum ui$us, quod $it e, per lineam c e: extrahatur quoq; քp\~edicularis $uper $uքfici\~e $peculi, qu{ae} e$t b c a, à púcto c, qu{ae} $it c d. ք 12 p 11. Intelligatur quoq; à púcto e perp\~edicularis protrahi $uper $uperfici\~e b c a, aut ei cõtinuã per 11 p 11, qu{ae} $it e a: erit\’q; linea e a æ quidi$tans line{ae} d c per 6 p 11, quoniam ambæ $unt orthogonales $uper VITELLONIS OPTICAE eandem $uperficiem $peculi, qu{ae} e$t b a. Et quoniam lineæ d c & e a $unt æquidi$tantes: palàm per 1 th. 1 huius quia $unt in ead\~e plana $uperficie: & linea recta a b cũ utraq; illarũ linearum, $cilicet d c & e a continebit angulum rectú, & erit in ead\~e $uperficie cũ utraq; ip$arú per 2 p 11: & linea e c tene- bit cũ his ambabus lineis, quæ $unt e a & d c, angulos acutos propter diui$ion\~e angulorũ rectorũ. Et quoniá linea incidentiæ & reflexionis cũ perp\~e diculari d c $unt in ead\~e $uperficie, & linea e c re- cta copulat extremitates linearũ e a & d c, erit ip$a per 2 p 11 in ead\~e $uperficie cũ dictis perpendicu laribus. Omnes ergo lineæ, quæ $unt e a, e c, d c, f c $unt in una & ead\~e $uperficie. Quatuor ergo pr{ae}- miffa puncta $unt in ead\~e $uperficie reflexionis. Et hoc proponebatur: quoniam in$pecto quocũq; alio puncto corporis ui$i uel $peculi, $emper accidit id\~e $itus linearũ radialium cũ ip$is perpendicu laribus. Et $imiliter patet de utri$q; cathetis & incidentiæ & reflexionis per 1 p 11. Patete ergo propo- $itum. Et ex hoc patet conclu$io corollaria $atis manife$tè.

28. Omnem pun ctum reflexionis formæ puncti obliquè $peculo incidentis, inter cathetũ in- cidentia & reflexionis in $uperficie $peculi con$i$tere e$t nece$$e.

Sit $uperficies cuiu$cunq; $peculi, in quo cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei $pe culi $it linea a b c, recta uel curua: & $it punctus rei ui$æ, qui d: & centrũ ui$us púctũ e: $it\’q; cathetus incidentiæ, qu{ae} d a, & cathetus reflexionis, quæ e b. Dico quòd omnem púctum reflexionis formæ puncti d ad centrum ui$us e, inter pũcta $uperficiei $peculi a & b con$i$tere e$t nece$$e. Si enim de- d e h f g a b l h f a b g c tur quòd in ip$is pun ctis a uel b fiat refle- xio form{ae} púcti d ad ui$um e: $it ergo, ut fi at à puncto $peculi, q<001> e$t a: & ducatur linea a e: tunc cum li- nea d a $it perp\~edicu laris, & linea a e non fit perp\~edicularis, & per 20 huius angu- lus incid\~etiæ $it {ae}qua lis angulo reflexiõis: erit ergo angulus e a b rectus, $ed & angu- lus e b a e$t rectus: tri goni ergo e a b duo anguli $unt recti: q<001> e$t impo$sibile. Similiter\’q; deducendum $i detur reflexion\~e fieri à puncto b, quoniã idé accidit impo$sibile. Nó fit ergo reflexio ab aliquo pũctorũ a uel b, quibus incidũt catheti. Sed neq; ab aliquo punctorũ lineæ a b c, extra puncta a & b: $it enim, ut forma puncti d reflectatur ad ui$um e à puncto $peculi c: ductis ergo lineis d c & c e, diuidatur angulus d c e per æ qualia per 9 p 1: & ducatur linea c f $ecás lineam b e in pũcto f: erit ergo ք pr{ae}mi$$am linea c f perp\~edicularis $uper lineam a c: trigo- ni ergo b f c duo anguli $unt recti: quod e$t impo$sibile, ut prius. Et eod\~emodo deduc\~edũ, $i detur fieri reflexio ab aliquo puncto linea a b c, ultra punctũ a, ut à pũcto g, ducta linea g h angulum d g e per æqualia diuid\~ete. Patet ergo quòd $olùm inter pũcta a & b fiet reflexio ab aliquo pũctorum li- neæ a b, uidelicet inter cathetũ incidétiæ & cathetum reflexionis. Quod e$t propo$itum in $pecu- lis planis: & patet uniuer$aliter in omnibus reflexionibus à $peculis quibu$cunq;: quia danti op- po$itum eadem impo$sibilia $equentur, ducta chorda arcus interiacentis data puncta reflexionum & cathetorum productarum, & ductis lineis contingentibus in illis punctis ip$as $uperficies $pe- culorum, uel lineas, qu{ae} $unt communes $ectiones ip$orum $peculorum & $uperficierum reflexio- nis. Patet ergo propo$itum.

29. Impo{$s}ibile e$t $imul duo puncta eiu$dem rei ui$æ ab eodem puncto cuiu$cun<005>. $peculi re- flectiadidem centrum ui$us: uel à duob. punctis $peculorum planorũ uel conuexorum formam unius puncti. Alhazen 51 n 4.

Quòd enim puncto a licuius form{ae} perpendiculariter $uperficiei $peculi incid\~ete, aliam lineam ab alio puncto rei eiu$d\~e, uel alterius perp\~ediculariter duci $uper eandem $uperficiem ad id\~e pun- ctum fit impo$sibile, patet per 13 p 11: quòd autem perpendicularis reflectatur in $e ip$am patet per 21 huius: impo$sibile e$t ergo duo puncta eiu$dem formæ ui$æ ab eodem puncto $peculi ad id\~e cen trum ui$us reflecti perp\~ediculariter. Sed neq; e$t hoc po$sibile fieri, linea incid\~etiæ obliqua exi$ten te. Omnis enim punctus cuiuslibet form{ae} incidit $peculo, & reflectitur ad ui$um $ecũdũ lineas bre uiores per 18 huius: & omnis talis reflexio ad ui$um & ip$arũ formarũ cõpreh\~e$io fit $ecũ di$po- fitionem linearũ reflexarũ per 24 huius: illæ ergo du{ae} form{ae} $i ad unũ pũctũ, quod e$t centrũ oculi. LIBER QVINTVS. incidunt, & ab uno puncto reflectuntur: tuncilla duo puncta, à quibus $uarum formarum fit inci, dentia, quia non perueniunt ad ui$um ni$i $e cundum lineas incidentiæ, quæ a b uno puncto reflex{ae} perueniút ad ui$um, uidebũtur unus pũctus: & $ic erit confu$io formarú in ui$u. Si enim lineæ inci- dentiæ formarum diuer$orum pũctorum non diuer$ificant pũcta reflexionis, $ed incidũt eid\~e pun- cto: palàm quòd aut aliqua forma tota, aut plura pũcta illius form{ae} po$unt uni pũcto incidere, & in unum pũctum reflecti, qui e$t c\~e trum ui$us: & uidebitur tota forma unus pũctus. Item $i detur li- neas incidétiæ & reflexionis propter angulorũ $uorum diuer$itatem $omper diuer$as e$$e: $icut er- go $unt du{ae} line{ae} incid\~etiæ, qu{ae} à diuer$is pũctis formæ incidũt eidem pũcto $peculi: $ic fient duæ lineæ reflexionis, qu{ae} ad idem c\~etrum ui$us terminantur: ut $i à duobus pũctis form{ae} incid\~etis $pe a b d c a b e c d v culo, quæ $unt a & b, incidant eid\~e pun cto $peculi, qui $it c, qu{ae} lineæ a c & b c: & ab illo reflectantur ad id\~e cétrum ui- $us, quod $it d: $equetur adhuc $i ab uno pũcto reflexionis c, diuer${ae} form{ae} pun- ctorum a & b ad centrũ ui$us d perue- niant, duas lineas rectas, qu{ae} $unt c d, fuperficiem includere: quod e$t impo$- $ibile. Patet ergo propo$itũ. Sed neq; à duobus punctis alicuius $peculi plani uel cõuexi ad id\~e c\~etrũ ui$us $imul po$- $ibile e$tid\~e pũctum form{ae} reflecti. Sit enim, $i po$sibile e$t, ut forma puncti a reflectatur ad c\~etrum ui$us b à duobus pũctis $peculi plani uel conuexi cuiu$- cũq;, qui $int c & d, $ignati $uper lineá, qu{ae} e$t communis $ectio $uperficiei re- flexionis & $peculi uel $uperficiei contingentis $peculum conuexum, qu{ae} $it e f. Cum ergo per 24 huius $ecundum di$po$itionem linearum reflexionis, ui$us $emper informetur: tũc forma pũctia, qu{ae} e$t indiuifibilis, occurret ui$ui, ut forma lineæ c d, qu{ae} e$t diui$ibilis linea. Nó ergo occurret ui- fui, ni$i tantũ unus pũctus form{ae} reflex{ae} ab uno pũcto $peculi: neq; unũ punctum form{ae} à duobus punctis $peculi plani uel conuexi po$sibile e$t reflecti. Quod e$t propo$itum.

30. Abuno puncto $uperficiei $peculi cuiu$cun<005> formam unius punctireiui$æ ad duos ui$us non e$t po{$s}ibile reflecti. Alhazen 51 n 4.

Linea enim reflexionis ad unum uifum procedens quia cum perpendiculari erecta à puncto re- flexionis $uper $uperficiem $peculi angulũ tenet {ae}qual\~e angulo, qu\~etenet linea incid\~eti{ae} cum eadé perp\~ediculari, ut patet per 20 huius: palàm quòd non pote$t in ead\~e $uperficie alia linea $umi, quæ æqual\~e angulũ efficiat cũ ducta perp\~ediculari: unde ab hoc pũcto nõreflectetur forma eiu$d\~e pun- cti ad ui$um aliũ. Oportet igitur, ut à diuer$is pũctis $peculi cuiu$cunq; fiat ad ui$us diuer$os refle- xio. Et quoniam duo tãtùm $unt ui$us, oportet ad minus, ut à duobus pũctis $uperficiei $peculi cu- in$cũq; fiat reflexio form{ae} unius punctirei uifæ ad ambos ui$us. Patet ergo propo$itum.

31. Ab uno puncto reflexionis cuiu$un<005> $peculi ad diuer$os ui$us po{$s}ibile e$t formas pun- ctorum plurium reflecti: & à diuer$is unam. Alhazen 51 n 4.

Quamuis enim, ut patet per 29 huius, $olùm form{ae} unius pũcti incid\~etis ab uno tantùm puncto $peculi reflexio fimul $it po$sibilis ad unum centrum ui$us: e$t tam\~e po$sibile fieri $imul ad diuer- $os ui$us ab uno puncto $peculi diuer$orum pũctorũ form{ae} incid\~etis reflexion\~e: quoniã illa pũcta $ecundum angulos diuer$os incidũt, & $ecundũ diuer$os reflectũtur: ergo ad pũcta diuer$a termi- nantur line{ae} reflex{ae}, in quibus diuer$i ui$us cad\~etes pũcta diuer$arũ formarũ compreh\~ed\~et ab uno puncto $peculi ad diuer$os ui$us reflexa. Et $i unus ui$us motus fuerit, & $itum uariauerit, $peculo exift\~ete immoto: tũc etiam $ecũdum $itus $ui diuer$itatem ab eod\~e pũcto $peculi ad ip$um pũcta di uer$erũ formarũ reflectentur, $emper tamen complebitur pyramis reliquarũ formarũ. Sed & unus ui$us motus, uel diuer$i ui$us eand\~e formã uidebũt à diuer$is pũctis $peculi reflexam: quia quilibet pũctus form{ae} incid\~etis totali $uperficiei $peculi incidens ad aliquá partem oppo$itã reflectitur, & $ecũdum modum, quo in 22 & 24 huius proponitur, patet quòd formarú pyramides diuer$antur. Et quia diuer$is ui$ibus diuer$i axes pyramidum incidunt, qui $unt eiu$d\~e formæ, accidit ut à diuer $is ui$ibus una forma à diuerfis punctis $uperficiei $peculi reflexa uideatur. Etidem accidit etiam eidem ui$ui moto, quando $peculum permanet immotum. Patet ergo propo$itum.

32. A‘ centro oculi duct a perpendiculari $uper $uperficiem cuiu$cun<005> $peculi plani uel con- uexi, non e$t po{$s}ibile aliquem punctum ductæ line æ reflecti ad ui$um, ni$ieum $olùm, in quo du- ct a perpendicularis $uperficiem oculi inter$ecat: & ab eo $olo puncto, in quo duct a perpendicula ris incidit ip$ius $peculi $uperficiei. Alhazen 13 n 5.

Sit centrũ ui$us punctũ a: & $it linea, quæ e$t cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei VITELLONIS OPTICAE $peculi cuiu$cunq; plani uel conuexi, & $it nũc, exempli cau$$a, $peculi plani dati linea b g: $it\’q; per- pendicularis ducta à pũcto a $uper lineam b g linea a g: $it quo q;, ut linea a g $ecet $uperficiem $ph{ae}- ricá cóuexam oculi in puncto d. Dico quòd in tota perpendicularia g quantumcũq; protracta non e$t punctus, qui reflectatur ab hoc $peculo ad centrũ ui$us a, ni$i $olus punctus d. Si enim alius pun ctus dict{ae} perp\~edicularis ad ui$um reflectitur pr{ae}ter punctũ d: aut ille pũctus e$t ultra centrũ ui$us a: aut $ub ui$u. Si ultra ui$um, $it ille pũctus h: palã ergo quòd non perueniet forma eius ad $peculũ $uper perp\~edicular\~e h a, propter $olidi corporis in, erpo$ition\~e, q<001> e$t ultra ui$um in capite uiden- tis. Nó reflectetur ergo forma pũcti h $uper քpen- h t a d l y g k j e dicular\~e h g. Si uerò dicatur q<001> ab alio pũcto $pe- culi pr{ae}ter pũctum g, pote$t reflecti forma pũcti h a d ui$um a: $it illud pũctum b: & $it linea incid\~etiæ h b: & linea reflexionis h a: diuidatur\’q; angulus h b a ք æqualia ք lineã b t ductã ad perpendicular\~e h g auxilio 9 p 1: erit ergo ք 26 huius linea b t per- p\~edicularis $uper lineã b g: $ed linea t g e$t perpen dicularis $uper eand\~e lineá h g. Ab eod\~e ergo pun cto t e$t ducere duas perp\~ediculares $uper lineam b g, & $uper ip$am $uperfici\~e $peculi: q <001> e$t impo$ $ibile. Sequetur enim trigoni a b g duos angulos e$$erectos, $cilicet angulos t g b & t b g: & ab eod\~e pũcto plures ducer\~etur քp\~ediculares lineæ $uper eand\~e $uperfici\~e, q<001> e$t cõtra 20 th. 1 huius. Nulla ergo forma pũctorũ line{ae} h d pote$t reflecti ad ui- $um, ni$i $olum pũctũ d: quoniã de omnibus alijs punctis eod\~e modo e$t demó$trandũ. Neq; enim pote$t dici quòd aliqua forma alicuius pũcti $um- pti inter pũcta a & d reflectatur ad ui$um, ni$i per lineá քpendicular\~e d a: quoniã pũcti inter centrũ ui$us & $uperfici\~e eius po$iti $unt ualde rari: unde nõ mittitur alicuius ip$orũ forma in ui$um, neque ab aliquo $peculo refle ctitur, ut $entiatur. Sed ne- que forma alicuius pũctorum lineæ d g pote$t re- flecti ad ui$um a à pũcto $peculi g, ut forma pũcti f: quoniá $i illud pũctũ d $olidi corporis fuerit, pa- tet quòd ip$um impediet reflexion\~e ad ui$um ք lineã d g: quia propter $oliditat\~e ip$ius forma pun- cti fnõ poterit tran$ire & ad ui$um քuenire: & $i fueritrarũ, adhuc forma reflexa à $peculo mi$cebi- tur ei, & adh{ae}rebit $ibi, neq; քueniet ad ui$um. Sed neq; pote$t forma alicuius illorũ pũctorũ refle- cti à pũcto alio $peculi <004> à pũcto k: quoniã ductis lineis f k & a k, & diui$o angulo a k f ք {ae}qualia ք lineã k l, $equeturid\~e impo$sibile, q<001> prius, $cilicet lineas l k & l g perp\~ediculares e$$e $u per $uperfici\~e $peculi, uel $uper $uքfici\~e $peculũ cõtingent\~e: q<001> e$t cótra 20 th. 1 huius. Omniũ ita q; pũctorũ lineæ h g n õ reflectitur aliquis ad ui$um a ni$i $olũ pũctũ d. Et quoniã quodlibet pũctũ to- tius ui$ibilis, in quo e$t linea h g, pr{ae}ter pũctum d, in $uperficie ui$us impre$$um opponitur $peculo nõ ad angulũ rectũ: quoniã omnia pũcta circũ$tátia pũctũ d cócurrũt in c\~etro ui$us a, & faciunt co- nũ pyramidis, cuius ba$is e$t in $uperficie $peculi circa ax\~e a g: uidebútur formæ omniú illorũ pun- ctorú $uper perpédiculares ab eis ad $uperfici\~e $peculi ductas. Patet ergo {pro}po$itũ: quoniá in $pecu lis cóuexis linea h g e$t $emper perp\~edicularis $uper $uperfici\~e $peculi, nec ab aliquo $uorũ puncto- rũ $uper $peculi $uperfici\~e alia perpendicularis duci pote$t ք 20 th. 1 huius: ita tam\~e quòd hæc, quæ pr{ae}mi$$a $unt, in uno tantũ ui$u intelligátur in omnib. $peculis planis & quibu$cũq; conuexis, $icut {pro}po$itio proponit: quoniã forma eiu$d\~e pũcti rei ui$æ ad ambos ui$us reflexa, $i uni ui$uũ perpen- diculariter incidat, pote$t alij ui$ui obliquè incidere $ecundũ lineã reflexionis obliquè à $uperficie $peculi ad cétrum ui$us procedétem: & uidebitur id\~e pũctus rei ui${ae} à duobus ui$ibus $ecũdum di- uer$um modum $uæ reflexionis: in $peculis uerò concauis quibu$cunq; e$t $ecus.

e c a d b 33. Impo{$s}ibile e$t formã obliquè $peculo incident\~e $ecundum li- neam $uæ incidentiæ adui$um re$lecti, uelex parte $ui anguli mi- noris. Euclides 3 th. catoptr.

E$to ut $peculo a d b incidat forma pũcti c obliquè in puncto d, ita ut angulus c d b $it maior angulo c d a. Dico quòd forma pũcti c $ecun dum lineam c d non reflectetur in $e ip$am propter in{ae}qualitatem an- gulorum: cum $emper angulus incidentiæ $it æ qualis angulo reflexio nis per 20 huius: $ed neq; ex parte $ui anguli minoris, qui e$t c d a. Fiat enim, utreflectatur $ecundum lineam d e diuidentem angulum c d a: erit ergo angulus c d b æ qualis angulo e d a: $ed angulus c d b maior e$t angulo d a c per hypothe$in: erit ergo angulus e d a maior angulo c d a, pars $uo toto: quod e$t impo$sibile. Semper ergo $ecũdũ angulũ maior\~e, <003> in {pro}po$ito e$t angulus c d b fiet reflexio, Et hoc e$t {pro}po$itũ.

LIBER QVINTVS. 34. Inomni $peculo formarum punctorum mediorũ cuiuslibet rei ui$æ reflexio fit inter pun- cta reflexionum formarum punctorum extremorum eiu$dem rei ui$æ.

Sit res ui$a per reflexion\~e à quocunq; $peculo, quæ a b c: cuius extrema puncta $int a & c: aliquis uerò mediorum punctorum lineæ a b c $it punctus b: & $it $uperficies illius $peculi, $iue plana, $iue conuexa, uel concaua fuerit, in qua $it communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi linea d e f: & $it centrum ui$us punctum g: reflectatur\’q; forma puncti a ad ui$um g â puncto $peculi, a b c h h g e d e f e quod $it d: & forma puncti c à puncto $pecu- li, quod $it f: & forma puncti b, qui $it aliquis mediorum punctorum lineæ a b c, reflecta- tur ad ui$um à puncto $peculi e. Dico, quòd punctus e nece$$ariò cadit inter puncta d & f, quæ $unt puncta reflexionum formarũ p un- ctorum extremorũ a & c. Si enim cadat pun- ctum e extra puncta d & f: linea ergo b e, quæ e$t linea incidentiæ formæ puncti b, $ecabit aliquam linearum, quæ $unt a d & c f: quam- cunq; uerò illa $ecuerit, $it punctum $ectionis h. Palàm itaq; quòd forma puncti h reflectetur ad ui- $um g à duobus punctis $peculi, quæ $unt e & f, uel e & d: quod in $peculis planis & conuexis patet e$$e impo$sibile per 29 huius. In $peculis quoq; concauis duplicabuntur puncti reflexionum illis $peculis cõuenientium: nulla quo q; forma in aliquo $peculorum $ecũdum $itum & ordinationem propriam $uarum partium uidebitur: quod totum e$t impo$sibile. Patet ergo propo$itum.

35. Figura $uperficiei corporis incidentis & $peculi, $itu<006> $imilibus exi$tentibus, erit in omni $peculo complementum formæ corporis & figuræ. Alhazen 22 n 4.

Cum enim figura $peculi & corporis e$t eadem & $itus idem: ut $i utraq; illarum figurarũ $it pla- na & æquidi$tent: tũc forma puncti primi $uperficiei ui$i corporis incidit puncto primo $peculi, & forma puncti $ecundi puncto $ecundo, & $ic de omnibus alijs punctis $e re$picientibus. Sic ergo in $uperficie $peculi fit totalis figura $uperficiei corporis ui$i: quod non accidit in $peculo alterius fi- guræ. Similiter quoq; $umpta quacunq; $peculi parte, cuius figura $it $imilis figuræ corporis, & $i- tus æquidi$tans: erit $emper complementũ figuræ corporis in ea. Et cum infinitæ $int tales $peculi partes, palàm quòd infinitæ erũt formæ corporis $peculo incidentes, qu{ae} $emper ad diuer$a pũcta reflectuntur, ex quibus formam corporis ui$us diuer$i in eod\~e $peculo comprehendunt. Hocitaq; accidit in omnibus $peculis: $ed maximè euidens e$t in planis. Cum enim quolibet puncto $uperfi- ciei planæ $uperficiei $peculi plani incidente, figura partium circũ$tantium $it $imilis ordinationis & $itus, accidit ex omnibus pũctis $imilis reflexio & $imul & in eodem modo: & $ic fit complemen- tum in $peculo formæ corporis & figuræ. Et hoc proponebatur.

36. In $peculis quibu$cun<005> unumquod<005> punctorum con$pecto- rũ in catheto $uæ incidentiæ uidetur. Euclides 16.17.18.th. catoptr. Alhazen 9 n 5. a b g d

Sit $peculum quodcũq;: & $it nunc, exempli cau$$a, planum: quod $it g d, punctus\’q; ui$us $it a: & centrum oculi $it b: & ducatur à pũcto rei ui$æ, quod e$t a, cathetus incidentiæ, quæ $it a g. Dico, quòd ima- go puncti a $emper uidetur in linea a g: $uppo$itum enim e$t in prin- cipio huius libri 2 $uppo$itione quòd uniformis $ituatio puncti rei ui$æ re$pectu $uperficiei cuiu $cunq; $peculi, à qua eius forma reflecti tur, fit $olùm $ecundum cathetum $uæ incidentiæ: forma autem, quæ in $peculo uidetur, e$t imago rei ui$æ, ut patet per definitionem: ne- ce$$e e$t ergo imaginem illam uideri $ecundum $ituationem unifor- mem ip$ius puncti rei ui$æ ad $peculum: quoniam aliàs non uidere- tur illa forma per modũ imaginis. Videbitur ergo nece$$ariò in ip$a catheto incidentiæ $uæ. Quod e$t propo$itum: in alijs enim $peculis e$t eodem modo declarandum.

37. Locum imaginis rei ui$æ in $peculis quibu$cun<005> in puncto concur$us lineæ reflexionis cũ catheto incidentiæ nece$$e e$t e$$e. Alhazen 2.4.6.7.8 n 5.

Huius exemplum e$t: $i pyramis orthogonia erigatur perpendiculariter $uper $uperficiem $pecu li cuiu$cunq;: tunc enim apparebit ui$ui alia pyramis continua, tenens $e cum pyramide extrin$eca qua$i ad modũ rhombi: & uidebuntur harũ pyramidũ uertices qua$i uniformiter di$tantes à $uper- ficie $peculi. Et $i linea recta imaginetur duci à uertice unius pyramidis ad uertic\~e alterius: palàm quoniam ip$a erit perp\~edicularis $uper ba$im ui$æ pyramidis, & ita $uper $uperficiem $peculi, cum eadem $it $uperficies $peculi & ba$is ui$æ pyramidis, ut in $peculis planis, uel ba$is ui$æ pyramidis VITELLONIS OPTICAE æ quidi$tet $uperficiei $peculum contingenti, ut in $peculis conuexis, quorum $peculorum $uperfi- cies ip$a ba$is ui$æ pyramidis e$t contingens, uel æ quidi$tans $uperficiei contingenti $uperfici\~e $pe culi, ut in $peculis concauis, in quibus ba$is pyramidis erectæ $uper $peculum æquidi$tat $uperfi- siei planæ $peculum contingenti: uertex itaq; pyramidis $emper uidebitur in linea perpendicula- ri ab eo educta ad $peculum. Similiter quoq; à quocunq; puncto pyramidis ducatur linea æ quidi- $tanter axi, $emper incidet ad punctũ $imile $ibi re$piciens ip$um in alia pyramide: & erit linea pro- ducta per 8 p 11 $emper orthogonalis $uper ba$es dictarum pyramidum, & $uper $uperfici\~e $peculi, uel $uper $uperfici\~e $peculũ contingent\~e. Imago ergo cuiuslibet pũctorũ pyramidis $ic $peculo op po$itæ cadit in perp\~ediculari intellecta duci à puncto illo $uper $uperficiem $peculi. Sed quicunq; punctus corporis opponatur $peculo, nece$$e e$t imaginari pyramidem orthogonalem $uper $u- perficiem $peculi aut ei continuam, uel $uper $uperficiem ip$um $peculum conting\~etem, uel $uper- ficiei contingenti æ quidi$tantem, ut patet per 22 huius, cuius pyramidis uertex e$t punctus ille ui $us, & ba$is eius $uperficies $peculi aut $uperficies eicontinua. Et conuenit ut imaginetur alia pyra mis oppo$ita illi, cum illa qua$i complens rhombum, quarum utriu$q; e$t ba$is uel eadem, uel una ba$ium e$t alteri æquidi$tans, & perpendicularis à uertice unius ad uertic\~e alterius ducta erit per- pendicularis $uper $peculi $uperficiem. Et quia imago cuiuslibet puncti $peculo oppo$iti cadit in li neam perpendicularem ductam ab illo puncto ad $peculi $uperfici\~e aut ei continuam: patet quòd locus imaginis e$t in linea illa perpendiculari, ut etiam patuit per præmi$$am. Sed quia in $peculis quibu$cunq; non accidit comprehen$io formarum ni$i perlineas reflexionum, ut pater per 24 hu- ius: palàm etiá quia imago cuiuslibet ui$i puncti cadit in lineam reflexionis: & quia quælibet taliũ linearum e$t recta: imago ergo cuiuslibet puncti formæ reflexæ cadit in punctum $ectionis perpen dicularis & lineæ reflexionis. Videtur ergo quandoq; citra $uperficiem $peculi, ut cum talium linea. rum inter$ectio uidelicet lineæ reflexionis & catheti incidentiæ non pote$t fieri ni$i $ub $uperficie $peculi. Concurrit autem linea reflexionis protracta cum catheto incidentiæ. Quia enim linea re- flexionis concurrit cum linea perpendiculari educta à puncto reflexionis $uper ip$am $peculi $u- perficiem, ut patet ex pr{ae}mi$sis: $ed in $peculis planis illa perpendicularis æ quidi$tat catheto inci- dentiæ per 6 p 11: $unt enim ambæ $uper $peculi $uperfici\~e perp\~ediculares: manife$tũ ergo per 2 th. 1 huius, quia in illis $peculis linea reflexionis concurrit cum catheto incidentiæ. In alijs aut\~e $pecu- lis e$t hoc magis manife$tùm, quoniá in pluribus illis cathetus incidentiæ concurrit cũ perpendi- culari ducta à puncto reflexionis $uper $uperfici\~e $peculi: de $ingulis tamen $peculis hoc in $equen- tibus demon$tratur: & in i$tarum linearum concur$u uidetur imago. E$t ergo ibi locus imaginis, ut proponebatur. Hoc aũt e$t nece$$e ideo, quia cum medium di$tantiæ inter punctũ ui$u comprehen. $um & $peculi $uperficiem non $it uacuum, fit reflexio formæ corporis med jad ui$um, $icut & pun. cti corporis, ad quod intendit ui$us: nec e$t differentia reflexionis form{ae} corporis medij à reflexio ne formæ puncti intenti, ni$i $icut alicuius formæ unius totius corporis continui, cuius $olùm pars modica intenditur uideri: ut $i foramen acus intendatur uideri in $peculo & form a illius multipl ì- cetur ad ui$um: nihilominus ordinaturin $peculo tota form a acus. Et quoniam formæ cadentes in ui$ibus & $peculis quibu$cunq; regularibus, retin\~et e$$entialem ordin\~e $uarũ partiũ & figuartũ, ut patet per 34 huius: ideo nece$$e e$t puncta formarũ incidentiũ $peculis quãdoq; in quadam di$tan- tia uideri, ut quando di$tant pũcta rei extrà, & quando linea reflexionis & cathetus concuty ũt $ub $peculi $uperficie uel inter ui$um & $peculũ, & nõ in ip$a $uperficie $peculi uel retro ui$um, in qui- bus omnibus e$t ead\~e uniuer$alis cau$$a, quæ præmi$$a e$t, differens $olùm $ecundũ uarios modos reflexionum. Accidit enim rebus $ecundum quod form{ae} ip$arũ diffund duntur per mediú ad $uper- ficiem $peculi, in formis $uis $pecificis differre, cũ $en$ibiliter non ferantur ad $peculum, ni$i lux & color & figura & $imilia, qu{ae} non faciunt differ\~etiam $pecificá in rebus, ut in ligno & lapide. quam- uis uirtus di$tin ctiua per accid\~etium cognition\~e $pecificam accipiat differ\~etiam, $cilicet per appli- cation\~e illorũ accidentiũ ad propria $ubiecta, qu{ae} ui$ibus directè uidentibus $ub talibus accidenti- bus occurrunt. Sicut ergo unius corporis naturalis continui partium formæ feruntur ad $peculi $u perficiem, & $eruata forma totali & figura, accidit nece$$ariò partes remotiores à $pecul$i $uperficie remotiores uideri, ne forma & figura rerum ui$arũ confundantur: $ic accidit nece$$ariò de rebus ui $is per mediũ aerem, ut pr{ae}ordinata forma aeris in $itu $uo, re$pectu form{ae} rei per mediũ aerem ui- $æ, omnium $uorũ pũctorũ form{ae} uideantur: aliàs enim figura & forma rerũ multi plicatarũ ad $pe- culi $uperfici\~e confunderentur. Et hæc mihi ui$a e$t e$$e cau$$a rei per alios multis ambagibus per- qui$it{ae}. Videtur itaq; res nece$$ariò in perpendiculari, quoniam, ut patet per 21 th. 1 huius, hæc e$t breui$sima eius di$tantia à $uperficie $peculi, à qua fit reflexio ad ui$um, aut à $uperficie ei cõtimua: & $ecũdum hanc $it rei ui$æ, re$pectu $peculi, uniformis di$po$itio: & ex hoc forma rei nomen acci- pit imaginis, ut diximus in præ mi$$a. Licet ergo forma rei $ecũdum aliam lineam reflectatur ad ui- $um: iudiciũ tamen uirtutis ui$iu{ae} fit $ecũdum lineam breui$simam, $ecũdum quam incidit forma ui$a $uperficiei ip$ius $peculi aut ei continuæ, propter conuenient\~e ordination\~e formarũ in $pecu- li $uper$icie & in ui$u, & propter certiorem cognitionem $uæ propri{ae} quantitatis. Cum enim nece$ $e $it imagin\~e e$$e in linea reflexionis, $i uideretur citra cathetum propinquior ad ui$um, uideretur major: $i ultra cathetum, uideretur minor, ut à remotiori ui$a: in catheto uerò quantũ permittit figu ra $peculi & ui$us di$tantia, $ecundum $ui propriam quantitatem uidetur. E$t ergo nece$$ariũ ip$am uideri in puncto concur$us lineæ reflexionis cũ catheto incidentiæ. Vi$us enim cũ per reflexion\~e LIBER QVINTVS. formas comprehendit, non animaaduertit quòd h{ae}c comprehen$io fiat per reflexion\~e: quoniam re- flexio, ut $uprà in proœmio huius $cientiæ diximus, non accidit ex proprietate ui$us: ui$u enim re- moto, nihilominus fit reflexio à $peculis, quoniam forma corporalis non minus incidit $uperficie- bus $peculorum: $ed quoniam inuenit tran$eundi re$i$tentiam ex $oliditate corporis $pecularis, re- flectitur ab illis: & $i contingat ui$um e$$e in loco, in quo fit linearum reflexarum aggregatio, com- prehendet ui$us, illas formas in capitibus illarũ: & e$t quælibet formarum reflexarũ à quo- cunq; $peculo in illo $peculo tanquam non adueniens; $ed ac $i naturalis e$$et forma $peculi: cum tamen non $it aliquid e$$entiæ ip$ius $peculi. Patet ergo propo$itum.

38. Formam omnis rei ui$e comprehen$e per reflexionem à $uperficie alicuius $peculi: figuræ $uperficiei illius $peculi e$t nece$$arium aliqualiter a{$s}imilari. Alhazen 37 n 6.

Quoniam enim, ut patet per præmi$$am, locus imaginis cuiu$cunq; puncti form{ae} ui$æ e$t in con cur$u lineæ reflexionis cum catheto incidenti{ae}: harum aũt linearũ concur$us diuer$ificatur $ecũdũ figurã $uperficierũ $peculorũ, à quibus fit reflexio: quoniã $ecũdũ illius figur{ae} di$po$ition\~e fit diuer $itas concur$us catheti incid\~etiæ & perp\~edicularis ductæ à pũcto form{ae} incid\~etis $uper $uperfici\~e $peculi, uel $uper $uperfici\~e contingent\~e $peculũ in pũcto reflexionis $uperficiei $peculi, à qua fit re flexio ad ui$um: quarũ perpendiculariũ cõcur$us diuer$ificat concur$um linearũ reflexionis cũ ca- theto incid\~etiæ, in quo cõcur$u e$t locus imaginũ, ut declaratũ e$t in præmi$$a. Habet itaq; $uperfi- cies $peculi, à qua fit reflexio, aliquã dignitat\~e in formatione imaginũ ui$arũ, qu{ae} ab ip$is reflectun- tur: non tamen fit $emper h{ae}c a$similatio $ecũdũ totã di$po$ition\~e formarũ, ni$i cũ loca imaginũ ca dũt in ip$is $uperficiebus $peculorũ non intra $pecula uel extra ip$a: $ed & tũc $ecũdũ aliquid a$si- milantiur formæ ui$æ ip$is formis uel figuris $peculorũ: quoniã in $peculis pyramidalibus appar\~et formæ aliqualiter pyramidales: & $ic aliqualiter accidit in alijs $peculis. Patet ergo propo$itum.

39. Diui$a cuiu$cun<005> $peculi $uperficie, accidit formam unius puncti rei ui$æ numero illarũ partium numer ari.

Hoc, quòd hic proponitur, uerum e$t, quando per diui$ion\~e $uperficiei alicuius $peculi $en$ibilis accidit diuer$itas ordinis & $itus partialium $uperficierũ & in $e, & re$pectu ip$ius ui$us: ut plurimũ accidit in $peculis uitreis plumbatis, qu{ae} per diui$ion\~e ab unitate $uperficiei defacili recedũt: quod non accidit in alijs $peculis tam faciliter. Quãdo itaq; aliorũ $peculorũ $uperficies propter diui$io- n\~e in ip$is factam ab unitate $uperficiei $ecũdum $itũ & ordin\~e pr{ae}mi$$o modo recedũt: accidit for- má unius pũcti rei ui${ae} numero illarũ partium numerari. Tũc enim diuer${ae} fiunt catheti incidenti{ae} formæ eiu$dem pũcti rei ui$æ, re$pectu illarũ diuer$arum partialiũ $uperficierũ, & $imiliter diuer$a fiunt pũcta reflexionũ & diuer$æ reflexionũ lineæ ad centrũ eiu$d\~e ui$us. Et quia locus cuiuslibet imaginis $emper fit in pũcto cócur$us lineæ reflexionis cum catheto incidentiæ, ut patet per 37 hu ius: ideo patet quòd $ecundum numerum i$tarum linearum, & $ui concur$us formæ eiu$dem pun- cti imagines numerantur. Patet ergo propo$itum.

40. In omnis $peculi $uperficie fit formarum reflexio in longitudine & latitudine $ecundum modum polituræ.

Quod hic proponitur, exemplariter patet in $peculis quibu$cunq; artificio politis. Si enim for- biantur in longũ, ut accidit in $uperficiebus en$ium: tũc facies intuentis uidebitur oblong a re$pe- ctu $uæ propri{ae} di$po$itionis: & $i forbiantur aliqu{ae} $uperficies $ecũdũ ip$arũ latitudin\~e: tũc imago faciei illa intuentis uidebitur latior quàm $it eius proprietas uera $ecundũ illam di$po$itionem: & quandoq; uidebitur imago tran$uer$alis propter tran$uer$alitat\~e forbitionis. In omnibus uerò his cau$$a e$t unitio maior $uperficierũ ip$arũ corporũ politorũ, à quib. & â quarũ partibus cófluitre- flexio ad union\~e formarũ reflexarũ, quæ $ecundum illud perueniunt ad ui$um. Etenim, ut in prin- cipijs huius libri: 1. definitióe diximus, politio e$t cõtinuitas partium $uperficiei politi corporis $i- ne $en$ibilitate pororũ uel diui$ionis: unde cũ ad aliquã differentiá po$itionis illi pori complanan- tur:nece$$e e$t $ecundũ illá differentiá formas pluribus punctis illis incidentes in unitatem formæ cõfluere & uniri, & $ecũdum illũ modũ formam ui$am $ecũdum reflexion\~e augm\~etari & uideri ma iorem: $ecũdum alias uerò po$itionũ differentias nece$$e e$t ip$am uideri $u{ae} di$po$itionis propri{ae}, uel circa illá.Et $ic accidit quædá mon$truo$itas in imaginibus formarũ taliter ui$arũ: quia ip$arum reflexio e$t inæqualis hinc inde: & fit irregularis $ecũdum illud. Vt itaq; à corporibus arte politis re flexio fiat regularis & conueniens di$po$itioni formarũ reflexarũ: nece$$e e$t ip$orũ $uperficies for biari $ecundum modum circular\~e non in longum nec in latum uel tran$uer$um, ne $ecundum illos modos formarum propria di$po$itio difformetur. Patet ergo propo$itum.

41. In omni $peculo accidit eandem imaginem à duobus ui$ibus quando<005> uideriduas.

Huius rei euétus accidit ui$ui in unius imaginis ui$ione à quocũq; $peculorũ reflexæ, $icut & id\~e error $ibi accidit in $implici rerũ ui$ione, cũ e æd\~e cau$${ae} concurrũt uel illarũ aliqua, quas declaraui mus in 103,104,105,106 & 107 th.4 huius: utpote cũ eiu$d\~e rei forma ab e o d\~e $peculo reflexa uni ui fuũ offertur directè, & alteri obliquè: uel cũ forma reflexa cõ$tituta intra axes radiales ambob. ui$i- bus occurrit obliquè. Quibu$cunq; enim modis accidit formam eiu$dem rei uideri duas, ei$dé mo dis po$sibile e$t imaginem illius formæ uideri duas, $i $ecundum modum $uæ ui$ionis ad ui$um ab VITELLONIS OPTICAE aliquo $peculo reflectatur. Et propterea talibus nõ oportet aliter immorari, quàm ut in $impliciui- $ione dictum e$t: non enim accidit illud propter diuer$itatem punctorum reflexionis formæ eiu$d\~e puncti ad ambos ui$us: quoniã illa diuer$itas aut nulla e$t, aut non e$t $en$ibilis: unde nullum $en$i- bilem inducit ui$ibus errorem, $ed ambo ui$us $ecundum illum bene perueniunt ad ui$ionem uni- tatis eiu$dem form{ae}, ut po$terius declarabitur: patet ergo propo$itum.

42. Imago rei ui$æ motæ in omni $peculo moueri uidetur.

Huius cau$$a non e$t alia, ni$i uniformitas reflexionis à quolibet puncto $peculi, $uper quod fit motus. Et quia omnia puncta rei ui$æ à diuer$is, quàm prius, punctis reflectũtur, efficitur noua ima go totius rei ui$æ, $ecundum quod per eius motum puncta, à quibus facta e$t reflexio, permutátur. Videtur itaq; forma moueri, licet $ecũdum ueritat\~e nõ moueatur, $ed potius noua imago mutato $itu rei ui$æ generetur. Hoc aũt accidit propter continuitatem punctorum reflexionis in $uperficie $peculorum. Patet ergo propo$itum. His itaq; communibus omnium $peculorum pa$sionibus pr{ae}- mi$sis: re$tat ut ad planorum $peculorum pa$siones proprias calamum conuertamus.

43. In omni reflexione à $peculis planis facta, lineæ incidentiæ & reflexionis proportionales $unt cathetis à punctis $uorum terminorum demi{$s}is, & ip$is ba$ibus in $peculorũ $uperficie in- teriectis. Euclides 3 hypothe$i catoptr.

Sit $peculum planũ, in cuius $uperficie $it linea d c e: a b d c e & $it linea incidentiæ a c: reflexionis uerò c b: & ducan tur catheti a d incid\~etiæ & reflexionis b e. Dico quòd quæ e$t proportio a d ad b e, ead\~e e$t a c ad b c & d c ad c e. Quoniá enim in trigono a d c angulus rectus, quia d c, e$t æ qualis angulo, qui b e c, recto: & angulus a c d, qui e$t angulus incidentiæ, e$t per 20 huius {ae}qualis an- gulo b c e, qui e$t angulus reflexiõis: erit nece$$ariò an- gulus d a c trigoni a d c æ qualis angulo c b e trigoni b e c per 32 p 1: ergo per 4 p 6 latera i$torũ trigonorũ {ae}qua- les angulos re$picientia $unt proportionalia: quæ e$t ergo proportio lineæ a d ad lineam b e, ead\~e e$t proportio line{ae} d c ad e c. Et quo- niam $emper manet eadem proportio re$ultans ex æqualitate angulorum: patet ergo propo$itum.

44. Forma punctirei ui$æ $uper$iciei plani $peculi incidente: lo a f b d e cum, in quo ui$u con$tituto, ad ip$um fiat reflexio, inuenire.

E$to punctus, cuius forma $peculo plano incidat a: & $it linea b c d communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi ducta in $uperficie $peculi: incidat\’q; punctus a $peculo $ecundum punctum c: & duca- tur linea incidentiæ, quæ a c: & à puncto a ducatur linea a b perpen- dicularis $uper lineam b c d per 12 p 1: & producatur u$que ad pun- ctum e, donec per 3 p 1 linea b e fiat æ qualis ip$i a b: & continuetur li- nea e c: quæ {pro}dacatur ultra c ad punctum f. Dico quòd ui$u exi$t\~ete in quocũq; puncto lineæ c f, $emper fiet reflexio ad ip$um, & uidebit formá pũctia. Copuletur enim linea a c: erit\’que angulus a b c æqua lis angulo c b e, quia, ut patet ex pr{ae}mi$sis, ambo illi anguli $unt recti. Quoniam ergo per 4 p 1 cũ ex hypothe$i linea b e $it æ qualis ip$i a b, & latus b c cómune, trigona a b c & c b e $int æquiangula: erit angu- lus a c b æ qualis angulo b c e: $ed per 15 p 1 angulus f c d e$t æqualis angulo b c e: ergo angulus f c d e$t æqualis angulo a c b: ergo per 20 huius, cum linea a c $it linea incidentiæ, erit c f linea reflexionis. Vifu ergo in illa po$ito, fiet reflexio ad ui$um. Quod e$t propo$itum.

45. Forma puncti à $peculo plano non reflectitur ad eundem ui- $um, ni$i ab uno puncto tantùm. Alhazen 14 n 5.

E$to centrum ui$us a: & punctum ui$um b: & $it z h $uperficies $peculi plani. Dico quòd ab uno tantùm puncto $uperficiei z h reflectitur forma puncti b ad ui$um a. Si enim à duobus pũctis $it po$ $ibile illá reflecti, $int illa duo pũcta d & e: & ducatur linea à centro ui$us puncto a ad punctũ ui$um b: qu{ae} $it a b.Linea itaq; a b {pro}tracta ultra alterũ punctorũ, qu{ae} $unt b uel a, aut concurrit cũ $uperfi- cie $peculi, aut æquidi$tat. Si cõcurrit $iue $it քp\~edicularis $uper $uperfici\~e $peculi, à quo fit reflexio, $iue non, $emper ip$a erit nece$$ariò in una $ola $uperficie reflexionis. Si enim ip$a $it perpendicula- ris $uper $uperfici\~e $peculi: tunc patet quòd ip$a e$t in una $uperficie reflexionis per 27 huius: quo- niam ip$a reflectitur in $e ip$am per 21 huius. Si uerò linea a b $uper $uperfici\~e $peculi non $it perpen dicularis, cum $it linea recta exten$a inter duo puncta extrema, qu{ae} am bo per 25 huius nece$$ariò $unt in una $uperficie reflexionis erecta $uper $uperfici\~e $peculi, erit etiam linea a b in una $ola tali $uperficie: quoniam $i in duabus talibus $uperficiebus fuerit, tunc ip$a erit communis $ectio dua- bus illis $uperficiebus orthogonalibus $uper $uperficiem $peculi per 19 th. 1 huius: unde $umpto in LIBER QVINTVS. ea puncto & ducta ab illo puncto linea in altera $uperficierum $uper lineam cómmunem huic $uperfi ciei & $uperficiei $peculi, erit h{ae}c linea erecta $uper $uperficiem $peculi per definitionem $uperficiei $uper $uperficiem erectæ: & $imiliter ab eodem pun- cto ducatur linea in alia $uperficie $uper lineam com a b h e d z munem ei & $uperficiei $peculi, & erit iterum hæc li- nea orthogonalis $uper $uperficiem $peculi. Ab eo- dem ergo puncto contingeret ducere duas perpen diculares $uper eãdem $uperficiem $peculi: q uod e$t impo$sibile & contra 20 th. 1 huius. Ergo li nea b a e- ritin una $ola $uperficie reflexionis, erecta $uper $u- perficiem $peculi plani: erunt\’q; tria puncta a, e, b in eadem $uperficie reflexion is per 1 p 11: & erunt line{ae} a e & e d & e b per 25 huius in illa $uperficie reflex io nis, in qua e$t linea a b: & $imiliter line{ae} e d & d b & d a. Quare line{ae} e a & e b erunt in eadem $uperficie cum lineis d a & d b per 2 p 11. Sed angulus a e h e$t maior angulo a d e per 16 p 1, extrin$ecus enim e$t- maior intrin$eco: $ed per 20 huius angulus inciden- tiæ, qui e$t a e h, e$t æ qualis angulo reflexionis, qui e$t b e d: & angulus a d e e$t æ qualis angulo b d z: an gulus ergo d e b maior e$t angulo a d e: ergo & ip$ius {ae}quali, $cilicet angulo b d z, quod e$t contra 16 p 1, extrin$ecus enim, qui e$t b d z, maior e$t intrιn$eco, qui e$t b e d: ergo & angulus a d h maior e$t angulo b e d: & $ic idem angulus eodem angulo erit maior & minor, quod e$t impo$sibile. A $olo er go puncto $peculi plani fit reflexio formæ puncti b ad ui$um a. Si uero linea a b $it perpendicularis $uper $uperficiem $peculi plani, patet per 32 huius, quòd unus tantùm punctus reflectitur $ecundú ip$am ad ui$um, & ab uno $olo $peculi puncto. Quòd $i linea a b non concurrat cum aliqua linearũ protractarum in $uperficie $peculi, $ed $it {ae}quidiftans alicui illarum: ergo per 9 p 11 ip$a erit {ae}quidi- $tans cuilibet æquidi$tanti illi line{ae} in $peculi $uperficie product{ae}. Sit ergo {ae}quidi$tans line{ae} h z: e- runt quoq; per 1 th. 1 huius line{ae} a b & h z in eadem $uperficie: fiat ergo deductio, ut prius, quoniam intrin$ecus angulus erit maior extrin$eco: quod e$t impo$sibile. Ergo & illud, ex quo $equebatur. Patert ergo, quod proponebatur.

46. In $peculis planis dati puncti ui$i ad c\~etrum ui$us datum, punctum re$lexionis inuenire. Alhazen 12 n 5.

Sit $peculum planum, in cuius $uperficie $it linea a g: & $it centrum ui$us b: punctus\’q; rei ui$æ $it d: & ducantur catheti a d & g b perpendiculariter $uper $uperficiem $peculi per 11 p 11: diuidatur\’q; linea a g in pũ d b a h s cto h, ita ut $it proportio lineæ a h ad lineam h g, $icut li- neæ a d ad lineam g b per 119 th. I huius. Dico itaq; quòd forma puncti d reflectetur ad ui$um b à pũcto $peculi h. Ducãtur enim line{ae} d h & b h. Palã itaq; p 6 p 6 & ex hy- pothe$i quoniam triangulus d h a e$t æ quiangulus trian gulo h g b: angulus enim h a d e$t æqualis angulo h g b, quia $unt amborecti, & e$t proportio line{ae} a d ad lineá g b, $icut line{ae} a h ad lineam h g:angulus itaque a h d e$t æqualis angulo g h b. A puncto itaq; $peculi, quod e$t h, refle ctetur forma puncti d ad ui$um b per 20 huius: angulus enim incidentiæ e$t æqualis angulo reflexionis, Si autem punctus h ob$truatur per alιquod $uperpo$itum, utpote per ceram uel per pi- cem aut $imile: nulla uidebitur imago puncti d, centro ip$ius ui$us, quod e$t b, di$po$ito $ecundum præmi$$um modum: quoniam à puncto alio impo$sibile e$t fieri reflexionem per præmi$$am: acci- dit enim à puncto alio uariari proportionem, & angulos incidentiæ & reflexionis fieriinæ quales. Patet ergo propo$itum.

47. Lineæ reflexionis formæ eiu$àem puncti à diuer$is punctis $peculi plani non $unt æquidi- $tantes: attamen in centro unius ui$us non concurrunt. Ex quo patet quòd unus ui$us uidere nõ pote$t idolum eiu$dem formæ à diuer$is punctis eiu$dem plani $peculi reflexum. Euclides 4 the. catoptr. Ptolemæus 7 th. 1 catoptr.

E$to $peculum planum, in cuius $uperficie $it linea a b c d: cuius duobus punctis b & c à puncto rei ui$æ, quod $ite, incidant line{ae} e b & e c: & $it centrum ui$us g: & reflectatur linea e b $ecundum li neam b f, & linea e c $ecundum lineam c g. Dico quòd lineæ c g & b $ non $unt æ quidi$tantes, nec tñ concurrent in centro unius ui$us, quãuis etiã $int in ead\~e $uperficie: angulus enim incidéti{ae}, qui e$t e c d, e$t {ae}qualis angulo reflexiõis, qui e$t g c a: & angulus c b d e$t æqualis angulo f b a, utpater per 20 huius, Quia ergo trigoni e b c latus b c protrahitur ad punctum d: erit per 16 p 1 angulus e c d ex- trin$ecus maior angulo intrin$eco, qui e$t e b d: palá ergo per 20 huius quia & angulus g c a maior VITELLONIS OPTICAE e$t angulo f b a: ergo per 14th. 1 huius lineæ g c & b f non $unt æquidi$tantes: angulus enim extrin- $ecus maior e$t intrin$eco cadente linea a d $uper ambas lineas g c & b f: $ed neq; concurrentin centro unius ui- $us. Dato enim quòd concurrant in centro ui$us, quod f g e a b c d $it f, & linea e c reflectatur ad ui$um $ $ecundum lineam c f: tunc quia per 20 huius angulus incidenti{ae}, qui e$t f b a, æqualis e$t angulo reflexionis, qui e$t e b d, & angulus e c d æ qualis angulo b c f: $ed angulus fb a maior e$t an- gulo f c b per 16 p 1: ergo & angulus e b c intrin$ecus ma- ior e$t angulo e c d extrin$eco: quod e$t contra ean- dem 16 p 1, & impo$sibile. Patet ergo propo$itum. Et ex hoc patet planè totum corollarium. Si enim lineæ refle- xionis formæ eiu$dem puncti non po$$unt in centro unius ui$us concurrere: tunc e$t manife$tum, quòd unus ui$us non pote$tidolum eiu$dem formæ uidere reflexum à diuer$is punctis $uperficiei eiu$dem $peculi plani, Quod e$t totum propo$itum.

48. In $peculis planis forma puncti adcentrum ui$us reflexa, locum imagin is inuenire.

E$to $peculum planum, in cuius $uperficie $it linea a b c: $it quoq;, ut form a puncti rei ui$æ, quod e d c b a f $it d, reflectatur ad centrum ui$us, quod $it e, à puncto $pe- culi b: & ducatur linea incidentiæ, quæ $it d b, & lineare- flexionis, qu{ae} $it b e. Dico quòd e$t po$sibile inueniri locũ imaginis, in quo uidetur forma puncti d. Quoniam enim per 27 huius puncta d, b, e $unt in eadem $uperficie: patet per 1 & 2 p 11 quoniam linea a b c e$t cum lineis d b & b e in ead\~e $uperficie. Imaginetur ergo extendi linea a b c in continuum, quou$q; a puncto e $uper ip$am producatur per 12 p 1 linea perpendicularis, quæ $it e c, & ei {ae}quidi$tás a puncto d, quæ $it d a, per 31 p 1. Quia ita que linea e b con- currit cum linea e c in puncto e, palá per 2th. I huius quo- niam ip$a concurret cum linea d a producta: $it concur$us punctus f. Dico per 37 huius quoniá pun ctus f e$t locus imaginis formæ puncti d. Pater ergo propo$itum.

49. Eadem e$t di$tantia loci imaginis à $uperficie $peculi plani $ub $peculo, quæ e$t punctiui$i ab eadem $uperficie $upra $peculum planũ exi$tentis. Euclides 19th. catoptr. Alhazen 11 n 5.

Sit punctus rei ui$æ a: & $it centrum ui$us b: & $it c d e linea communis $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi plani: $it\’q; d punctus reflexionis: & à puncto d ducatur linea d f perpendiculari- ter $uper lineam c d e per 11 p 1, uel $uper totam $uperficiem $peculi plani per 12 p 11: & à puncto a du catur perp\~edicularis $uper $uperficiem $peculi per 11 p 11, quæ $it a c, quæ producatur ultra $peculum: & ducatur linea incidentiæ, quæ a f b c d e g $it a d, & linea reflexionis, qu{ae} $it b d. Pater ergo per 27 huius quo- niam line{ae} a d, f d, b d $untin $uperficie reflexionis. Et cum linea f d $it {ae}quidi$tans line{ae} a cper 28 p 1, uel per 6 p 11, & linea b d cócurrat cum linea f d in puncto d, patet per 2 th. 1 huius quia linea b d protra cta concurret cum linea a c protracta: concurrat ergo in puncto g. Dico quòd linea g c e$t æqualis lineæ a c. Quoniam enim angulus b d e e$t æqualis angulo a d c per 20 huius, $unt enim anguli incid\~e- tiæ & reflexionis: $ed angulus b d e e$t æqualis angulo c d g per 15 p 1, quoniam $unt anguli contra $e po$iti: angulus ergo a d c e$t {ae}qua- lis angulo c d g: angulus uerò a c d e$t {ae}qualis angulo d c g, quon iá uterque e$t rectus: erit ergo per 32 p 1 angulus c a d trigoni c a d æ- qualis angulo c g d trigoni c g d: erunt ergo per 4 p 6 latera æ qu o s angulos continentia proportionalia: $ed latus c d æ quale e$t $ibi i- p$i: erunt ergo cætera latera æquos angulos re$picientia inter $e æ- qualia, ut a c ip$i c g, & a d ip$i a g. Quia ergo in puncto g e$t locus i- maginis per 37 huius, & linea c g e$t {ae}qualis ip$i a c: pater ergo pro- po$itum. Si ergo è perpendiculari ultra $uperficiem $peculi imagi- netur linea c g æ qualis lineæ a c re$ecari: $emper erit in puncto g lo- cus imaginis tantùm di$tans à $uperficie $peculi plani $ub $peculo, quantùm punctus rei ui$æ, cuius forma uidetur in $peculo, di$tat ab eadem $uperficie $peculi $upra $peculum. Patet ergo propo$itum.

50. In omni reflexione à $peculis planis facta, linea à centro ui$us ad locum imaginis produ- cta, æqualis e$t lineæ incidentiæ & reflexionis $imuliunctis.

E$to in $peculo plano linea a b c: & $it centrum ui$us d: & punctus rei ui$æ $it e: fiat\’q; reflexio for- LIBER QVINTVS. mæ puncti e ad ui$um d à puncto $peculi plani, quod $it b: erit ergo linea incidentiæ, quæ e b, & li- d e a b f c g nea reflexionis, qu{ae} b d: $it\’q; locus imaginis punctus g: hic ergo per 37 huius eritin concur$u lineæ reflexionis d b cum catheto incid\~etiæ. Sit ergo, ut cathetus e g pro- ducta $ecet lineam a c in pũcto f. Quia itaq; angulus inci denti{ae}, qui e$t e b f, e$t {ae}qualis angulo reflexiois, qui e$t a b d, per 20 huius: & angulus g b f æqualis a b d per 15 p 1: e$t ergo angulus g b f æ qualis angulo e b f: $ed & angu lus e f b æ qualis e$t angulo g f b, quia amborecti: ergo per 32 p 1 trigoni b g f & b e f $unt æ quianguli: ergo per 4 p 6 latera illorum æ quos angulos continentia $unt proportionalia: $ed latus b f e$t æquale $ibi ip$i: ergo g b e$t æquale ip$i b e. Ergo linea d g à centro ui$us ad locum imaginis g producta, e$t {ae}qualis ambabus lineis d b & b e $imul acceptis. Quod e$t propo$itum.

51. In $peculo plano ab utro<005> ui$u uno puncto comprehen$o, idem erit imaginis locus ui$ib. am bobus: ex quo patet quòd una $ola imago utri<005> ui$uioccurrit. Alhazen 15 n 5.

Sint duo ui$us b & g: & $it a punctus rei ui$æ: & $it q d z e linea in $uperficie $peculi plani ducta: $it\’q; linea a d perpendicularis ducta à puncto a $uper $uperficiem $peculi, Et quia per 30 huius a b u- no puncto $peculi propo$iti ad ambos ui$us non pote$t fieri reflexio, $ed ad minus à duobus: $int i- taq; illa duo puncta t & z: & ducátur lineæ b t, a t, a z, z g Palàm ergo per 25 huius quia linea b t & a t & a d $unt in ead\~e $uperficie reflexionis, erecta $uper $uperficiem $peculi: & $imiliter line{ae} a d, a z, z g $unt b g a q t d z e h in eadem $uperficie: & linea d t e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis, quæ e$t a d t b, & $uperficiei i- p$ius $peculi: & linea d z e$t communis $ectio $uperfi ciei reflexionis, quæ e$t a d z g, & $uper$iciei $peculi per 19 th. 1 huius. Si ergo ambæ line{ae} reflexionis, qu{ae} $unt b t & g z, fuerint in eadem $uperficie erecta $u- per $uperficiem $peculi: palàm quia linea t d z erit li- nea una recta: ideo quia communis $ectio $uperfi- ciei $peculi, & $uperficiei cuiu$cunque $uper ip$am erectæ e$t linea una recta per 3 p 11: tunc ergo & per- pendicularis a d, quæ e$t inter duas lineas illas refle- xionis, qu{ae} t b & g z, aut erit in eadem $uperficie cum illis, aut extra illas in alia $uperficie: quodcunq; i$to- rum fuerit, $emper linea reflexionis, qu{ae} b t, protra- cta $ecabit ex perpendiculari, qu{ae} e$t a d, ultra $pecu lum protracta partem æ qual\~e ip$i a d per 49 huius, qu{ae} $it d h: quoniá $emper lineæ b t & a d $unt in aliqua eadem $uperficie per 27 huius, ut præmi$$um e$t. Et $imiliter per 49 huius linea g z protracta a g b e d z t q h b a g t z d h ultra $peculum $eca- bit ex protracta ca- theto ad lineá {ae}qua- lem ip$i line{ae} a d: $e- cabit ergo ip$am in puncto h. Imago er- go puncti a in eodé puncto perpendicu laris, quod e$t h, քci pietur ab utroq; ui- $u, & idem erit ima- ginis locus. Vna er- go tátũ erit imago, & in uno eod\~e\’q; lo- co uidebitur ab am- bobus ui$ib. in quo puncto uno tantùm ui$u perciperetur. Si uerò puncta t & znon fuerint in eadem $uperficie reflexionis, ad- huc ead\~e facta deductione una tantũ imago uidebitur, & unus tantũ erit imaginis locus, ut prius. S\~eper. n. utraq; linea reflexiõis $ecabit ex քp\~ediculari {pro}tracta part\~e æ- qual\~e ip$i a d: erit\’q; $ectio ambarũ linearũ reflexionis cũ illa <003>p\~ediculari in eod\~e puncto h, <003> per 37 huius, erit $emք imaginis locus. Et hoc e$t {pro}po$itũ: quoniã $i c\~etra amborũ ui$uũ, qu{ae} $unt b & g, fue rint ex ead\~e parte rei ui${ae}, qu{ae} e$t a, $emper eod\~e modo e$t demon$trandũ: cõcurrent enim line{ae} re- VITELLONIS OPTICAE flexionum cum catheto in eodem puncto: & erit id\~e imaginis locus, & eadem imago ui$ib occuret

52. In $peculis planis figurarei ui$æ & $itus partium $ecundum quantitatem longitudini & latitudinis non mutatur. Ex quo patet, quòdimago cuius libet rei ui$æ in $peculo plano æqualis e$t formæ rei extrà. Euclides 19 th. catoptr. Alhazen 2 n 6.

Sit $peculum planum, in quo $ectio communis $uperficiei illius $peculi & $uperficiei reflexionis $it linea a b: & duo puncta extrema alicuius rei ui$æ $int f & l:erigatur\’q; cathetus perpendiculariter f l e a z b h d g $uper $uperficiem $peculi à puncto l, quæ $it l h: & à pun- cto f cathetus, qu{ae} $it f z: & erunt z & h duo puncta in $u perficie reflexionis per 27 huius: producantur\’q; taliter $ub $peculum, ut linea h g $it æ qualis ip$i l h, & linea z d æqualis ip$i f z: $it quoq, centrum ui$us e: ducatur\’q; per 11 p 11 à puncto e cathetus $uper $peculũ, quæ $it e b. Palã itaq; ex 28 huius quoniam forma puncti l reflectitur ad ui$um e ab aliquo puncto $peculi lineæ h b: & locus ima ginis $uæ per 49 huius e$t punctum g, tantũ di$tans à $u- perficie $peculi ultra $peculum, quátum punctus l $upra $peculum. Similiter forma puncti freflectitur ad ui$um e ab aliquo puncto lineæ z b: & locus imaginis e$t punctũ d. Ducta quoq; linea f l, & linea d g: palá quia quodcũq; punctum lineæ f l reflectitur ad ui$um e, $imiliter locus imaginis $u{ae} e$t tantùm di$tans à $uperficie $peculi ultra $peculum, quantùm ille punctus e$t $upra $peculũ. Qui- libet ergo punctus lineæ f l tantùm uidetur di$tare $ub $peculo, quantùm ip $e punctus a $uperficie $peculi $upra $peculum. Si ergo linea f l fuerit recta, erit linea d grecta: $i linea f l fuerit arcus circuli, erit quo q; li- nead g arcus circuli, & $emper eiu$dem curuitatis & di$po$itionis. Linea ergo f l $emper apparebit eiu$dem quan titatis & figuræ, cuius e$t extra $peculum. Et hoc e$t propo$itum. Supponendum ta- men e$t, ut tale $peculum planum $it æ qualiter politum: quoniam $i ad longitudinem uellatitudi- nem nimis declinet politio, declinabit & forma $ecundum idem per 40 huius: neceritin longitudi ne & latitudine debitus ordo formæ.

53. Altitudines & profunditates à planis $peculis reuer$æuidentur, cum $peculorum $uperfi ciebus perpendiculariter in$i$tunt. Euclides 7th. catoptr.

E$to altitudo ui$a, quæ a b c e: $it\’q; centrum uerò communis $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi plani $it e f g h i: incidat\’q; forma pun a d b c d f g h i k l m m c k i h g f e b c d a cti a $ecundum lineam a h, & reflectatur $ecundum lineá h d: & forma pũcti b incidat $ecundum lineã b g, & refle- ctatur $ecundum lineá g d: & forma puncti c incidat $e- cundum lineam c f, & refle- ctatur $ecundum lineam f d. Dico, quòd altitudo e a uide bitur reuer$a. Protracta e- nim linea e a, qu{ae} perpendi- cularis e$t $uper lineam e i, $ub $peculum, & protractis omnib. lineis reflexionis ad concur$um eum protracta linea a e ultra punctũ e: incidat linea d h in punctum m: & linea d g in pũ ctum l: & linea d f in punctum k. Palàm per pr{ae}mi$$am quoniam linea k e {ae}qualis e$t ip$i line{ae} e c, & leip$i e b, & m e {ae}qualis ip$i e a. Pũcta ergo altitudinis e a propinquiora $uperficiei $peculi $uperius exi$tentia, propin quiora uidebuntur eidem $ub $peculo inferius, & puncta remotiora $uperficiei $peculi $uperius, remotiora uidebuntur $ub $peculo inferius. Videbitur ergo altitudo reuer$a $ub $peculo: quod enim e$t $uperius in altitudine, uidebitur inferius, quoniá $ub maiori di$tantia à ui$u uidetur: & quod e$t inferius in altitudine, uidebitur $uperius, quoniá propinquius ui$ui uidetur. Et eodem modo demon$trandũ, $i linea a b c $it linea profunditatis alicuius rei. Patet ergo propo$itũ.

54. Obliquæ longitudines à planis $peculis uidentur, quemadmodum $e habent. Euclides @ the. catoptr.

Sit d e longitudo obliquè di$tans à $uperficie plani $peculi, ita ut punctum eius, quod e$t e, $it re- motius ab ip$a $uperficie $peculi: cõmunis quoq; $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi LIBER QVINTVS $it linea k q a g: c\~etrum\’q; ui$us $it punctus b: & incidat forma puncti d ip$i $peculo $ecundum lineá d e b k q a g m l d a, & reflectatur $ecundum lineá a b ad centrũ ui- $us: & incidat forma puncti e $ecũdum lineam eg, & reflectatur ad ui$um $ecundum lineam g b: pro- trahatur\’q; cathetus d k perpendiculariter, & linea reflexionis, qu{ae} e$t b a, donec concurrantin pun- cto m: & protrahatur cathetus e q perpendiculari- ter, donec concurrat cũ linea b g in puncto l: erit\’q; per 49 huius linea d k æqualis lineæ k m, & linea e q æ qualis line{ae} q l. Et quoniam lógitudo d e obli què $e habet ad $uperficiem $peculi, (etenim pun ctum e remotius e$t à $peculo <004> punctum d) erit li nea e q longior quã linea d k: ergo & linea q l lon- gior quá linea k m. Punctũ ergo illius obliqu{ae} ma- gnitudinis, quod e$t remotius $uper $uperfici\~e $pe culi, hoc $imiliter $ub $uperfιcie $peculi à remotio- ri uidetur: & quòd $uperius propin quius e$t $pe- culo, hoc $ub $peculo etiá uidetur e$$e in loco pro- pinquiori. Videntur ergo tales magnitudines qu\~eadmodũ $e hab\~et. Et hoc e$t, quod {pro}ponebatur.

55. In $peculis planis dextra apparent $ini$tra, & $ini$tra dextra. Euclides 19 th. catoptr.

E$to $peculum planum g s t: & ui$a res $it d b: $int quoq; lineæ incidenti{ae} d g & b s: & $it centrum ui$us p:lineæ quoq; reflexionis $int p g & p s: & $it, ut linea reflexionis, quæ e$t p g, concurrat cũ ca- theto incidentiæ, quæ d h in puncto f: & linea reflexio b d p t h s g e f nis, qu{ae} e$t p s, concurrat cum catheto b tin puncto e: producatur\’q; linea fe, quæ e$t per 52 huius imago rei ui$æ, quæ d b: apparebunt ergo dextra $ini$tra, & $ini- $tra dextra. Quoniam enim per 33 huius $emper ad an gulum maiorem angulo incidentiæ $it reflexio, & it a ad partem oppo$itam parti incidétiæ: patet quòd de- xtrum rei ui$æ $emper uidebitur $ub linea reflexionis magis $ini$tra, & $ini$trum $ub linea reflexionis magis dextra: illa enim linea reflexionis, qu{ae} plus e$t dextra, cadet $uper dextram parté imaginis, & $ini$tra cadet $uper $ini$tram. Sic ergo dextrum rei apparet $ub $ini- $tro imaginis, & econuer$o: quoniam imago rei uide- tur $e habere ad rem, $icut homo $tans erecta facie con tra aliquem alium: tunc enim pars $ini$tra opponitur dextræ, & dextra $ini$træ: quia $emper cum aliquis ho mo alij opponitur, contrarius e$t eis oppo$itis adinui cem $itus:ad eandem enim po$itionis differentiam e$t dextrũ unius $ini$trum alterius, & econuer$o: & $ic quod e$t rei ui${ae} dextrũ, fit $u{ae} imaginis $ini$trũ: & quod e$t rei ui$æ $ini$trum, in imagine dextrum erit $ecundum ui$um. Patet ergo propo$itum.

56. Po$sibile e$t $peculum planum taliter $i$ti, ut intuens propria imagine non ui$a, uideat i- maginem rei alterius non ui$æ, Ptolemæus 9 th. 2 catoptr.

Sit a b lignũ horizonti perp\~ediculariter infixũ, uel $uperficiei $ibi {ae}quidi$tanti, uel aliter quomo- docun q; di$po$it{ae}, quæ $it b g: $it\’q; $peculum planũ, in quo $it linea d b: & $it quadratum. Et quia li- gnum a b e$t perpendiculariter erectum $uper g b $uperficiem, ducatur linea g b, ut cótingit; palàm ergo quòd angulus a b g e$t rectus: diuidatur ergo ille angulus rectus in tres partes æquales per 28 th. 1 huius: inclinetur\’q;$peculum d b taliter à ligno a b, ut angulus d b a $it tertia pars unius recti, <003> e$t a b g: erit ergo angulus d b g du{ae} tertiæ partes unius recti. In hoc autem con$i$tit bonitas opera tionis mechanicæ & utilior effectus: qu{ae}cunq; tamen alia pars recti anguli ab$cindatur, ad idé per- uenit demon$tratio, ut patet. Sit itaq; angulus a d b tertia pars unius recti: & producatur linea $pe- culi, qu{ae} e$t b d, ultra punctum d in continuum & directum u$q; ad punctum, quod $it e. Et quoniá linea g b e$t perpendicularis $uper lineam a b, cum linea quoq; $peculi, quæ e$t d b, continet angulũ acutum: tunc à puncto g, quod $it in $uperficie orthogonaliter erecta $uper $peculi $uperficiem, du- catur linea perpendicularis $uper lineam b e per 12 p 1, qu{ae} $it g e: angulus igitur b e g erit rectus. Sit itaque locus ip$ius ui$us punctũ g, à quo ad pun ctum d protrahatur linea g d: à puncto quoq; d {pro}- ducatur linea cadens $u<003> lineam b g, qu{ae} in cidat in punctum z, ita ut angulus z d g $it æqualis angu lo e g d con$tituto $uper terminum line{ae} g d per 23 p 1: erit ergo linea z d {ae}quidi$tans line{ae} g e per 27 p 1: ergo ք 8 p 11: erit linea z d erecta perp\~ediculariter $uper $uperfici\~e $peculi, & perpendicularis $u- per cõmunem $ection\~e $uper$iciei reflexionis & $peculi, qu{ae} e$t b d: angulus ergo z d b e$t rectus æ- qualis angulo g e d ex præmi$sis, & etiam per 29 p 1. A puncto quoque z ducatur linea z h per- pendicularis $uper $uperficiem g b per 11 p. 11: & $uper punctum d terminum lineæ z d con$ti- VITELLONIS OPTICAE tuatur angulus æ qualis angulo g d z, qui $it angulus z d i. Et quoniã ք 2 th. 1 huius cõcurret linea di cũ linea zh: ideo quia linea d i pro ducta ultra punctũ d, cõcurret cũ linea a b, ut patet expræmi$sis, & per 14 th. 1 huius: $it ergo linea- e a d f g k z b i h q t rũ di & z h concur$us in puncto i: & à puncto i ducatur linea {ae}quidi $tans line{ae} b d per 31 p 1, qu{ae} $it li- neait: & à puncto b extrahatur ք- pendicularis $uper $uperfici\~e $pe- culi per 12 p 11, qu{ae} fit b q: erit\’q; ք- 28 p 1 linea b q æquidi$tans lineæ g e: ergo per 8 p 11 linea b q, $icut & linea g e, erecta e$t perpendiculari ter $uք $uperfici\~e $peculi, quæ e$t d b. Super punctũ ergo b terminũ line{ae} q b con$tituatur angulus æ- qualis angulo g b q, qui $it q b t: cõ curret ergo linea b t cum linea æ- quidi$tanter ducta line{ae} d b à pun ctoi, quæ e$t linea it, per 2 th. 1 hu- ius: $it concur$us punctus t: & cõ- pleatur tabula i t. Depingatur ita- quein tabula, in qua e$t linea it, i- mago quæcunq; placuerit: & ponatur tabula depictæ imaginis in loco line{ae}it, $ecundum medium lineæ tabulæ corre$pondens lineæ zi: & perforetur $uperficies g b $ecundum lineam z b, ita ut for- ma picturæ po$sit uenire ad $peculum d b. Cũ itaq; centrum ui$us fuerit in puncto g, uidebit intu\~es formam imaginis depict{ae} in tabula it, propriam uerò non uidebit imagin\~e: cuius h{ae}c e$t demõ$tra- tio. Quia enim angulus g e b e$trectus, patet per 16 p 1 quoniã angulus g d b e$t obtu$us: & $imiliter omniũ punctorũ formæ uel faciei ip$ius uidentis incidentium $peculo d b, anguli $unt obtu$i ք eã- dem 16. Quia uerò anguli incidentiæ $emper $unt æquales angulis reflexionis per 20 huius: palã ք 13 p 1 quoniã nun<004> erit reflexio formæ ip$ius uidentis ad centrum ui$us, $ed $emper ad puncta, quæ $unt $ub ui$u, quod patet per 33 huius. Nũquã ergo uidebit quis exi$tens $ecundũ centrũ ui$us in pũ cto g propriam imagin\~e in $peculo plano taliter ordinato $ecundũ $itum. Et $i ui$us elongetur à fpe culo $ecundũ quodcunq; punctũ ultra punctũ g, utpote ad punctum f: palàm quoniã angulus f e b e$t maior recto: $ed & angulus f d b e$t maior angulo f e b per 16 p 1: nunquá ergo fiet reflexio ad pũ- ctum f, $ed $emper ad alium punctum $ub linea. Similiter quoq; accedente ui$u ad $peculũ $ecundũ- quodcun q; punctum line{ae} g z, pr{ae}ter<004> $ecundum ip$um punctúz, nun<004> uidebit uidens $ui ip$ius i- maginem: $ola enim perpendicularis, quæ e$t linea z d, ut patet expræmi$sis, per 21 huius reflectitur in $e ip$am: & ita in puncto z con$tituto centro ui$us uidebit intuens formá $ui ip$ius oculi à $pecu- lo plano taliter di$po$ito reflexá, non aũt aliã partem faciei: quoniá $ola perpendicularis, quæ e$t li- nea unica, reflectitur in $e ip$am: & ita $olius illius puncti fit reflexio, non aũt punctorũ aliorũ. Si er- go ui$us à puncto g appropinquet $peculo $ecundũ punctũ k cadent\~e inter puncta g & z: $i à pũcto k ducatur linea ad punctũ d, qu{ae} $it k d: palã per 14 th 1 huius, & ex pr{ae}mi$sis quòd line{ae} d k & e g cõ currãt ultra lineã g k: $ola enim linea d z æ quidi$tat lineæ e g: angulus uerò g e d e$trectus, & angu- lus z d b rectus: ergo angulus k d b e$t obtu$us: fiet ergo reflexio ad alium pũctũ $ub pũcto k. A pũ- cto uerò z, ut prædictũ e$t, fiet reflexio in ip$um punctum z: ideo quia linea z d {ae}quidi$tãs lineæ g e, e$t perp\~edicularis $uք lineam d b per 29 p 1, & ex hypothe$i. Similiter quoq; po$ito ui$u in quocũ q; puncto line{ae} z b (quoniá à quolibet punctorũ illorũ e$t ducere perpendicular\~e $uper $uperfici\~e $pe- culi, uel $uper lineá d b) reflectitur illarum quælibetin $e ip$am ք 21 huius. Palã itaq; quoniã cõ$titu to ui$u in linea g z, non uidebit intuens imagin\~e $ui ip$ius: quia, ut dictum e$t, $ola perpendicularis $ecundum unicum punctũ reflectitur ad ui$um, non aũt alia puncta formæ. Quia uerò angulus i d z e$t æ qualis angulo z d g, & linea z d e$t perpendicularis $uper $uperfici\~e $peculi d b: ergo per 20 hu- ius forma puncti i à puncto $peculi d reflectitur ad ui$um in puncto g exi$tentem. Et quia angulus t b q e$t æ qualis angulo g b q, ut patet expræmi$sis, & linea b q perpendicularis e$t $uper $uperfici\~e $peculi: palàm per 20 huius quoniam forma puncti t à puncto $peculi b reflectitur ad ui$um in pun cto g: ergo per 34 huius forma totius lineæ i t reflectitur à $peculo d b ad ui$um in puncto g. Non ui debitur autem ip$a tabula depicta i t, quoniã e$t $ub $uperficie, cui $uper$tat $peculũ & ui$us. Pote$t aũt $ic fieri ut $ecundum longitudin\~e lineæ z b $it factus murus $uper terram ad altitudinem uiden- tium, qui interius $it concauus, $uperius uer$us $peculum apertus: & in illo muro deponatur tabu- la picta, quæ e$t i t, {ae}quidi$tanter $peculo b d, & $it ui$us in di$tantia à $peculo $ecundum $itum pun- cti g, & $it prohibitus per aliquod inedium, ne po$sit propius accedere: tunc enim omnes formæ pũ ctorũ depictæ imaginis incid\~et ui$ui. Di$ponatur ergo taliter ք ingeniũ, ut tabula depicta nullo mo do uideatur: & $it $peculũ $itũ uer$us lumen, ita utaer circa ip$um $it lumino$us: $it\’q; tabula depicta $imiliter lum\~e habens: quia aliter in tenebris latens non po$$et uideri: mediãte enim lumine formã fuã multiplicat ք medium, & peruenit ad $peculum, & reflectitur ad ui$um. Palã ergo propo$itum.

LIBER QVINTVS. 57. Po{$s}ibile est $peculum unum planum in camera propriataliter $i$ti, ut in ip$o uideantur ea, quæ geruntur in domo alia uel in uicis & plateis. Ptolemæus 7 th. 2 catoptr.

Sit in camera uidentis locus aliquis, in quo exi$tente ui$u placet uidere per $peculum planum o- mne illud, quod alibiagitur: quilocus cameræ, in quo $i$titur centrũ ui$us, $it $ignatus puncto a: & $it locus, in quo e$t uoluntas aliquid uidendi, quod in illo loco agitur, $ignaturs puncto b: $it\’q; rima $iue fene a f h e d g b $tra in camera uidentis oppo$ita loco b, qu{ae} $it g: & du catur linea b g: & producatur in continuũ & directũ intra cameram ad aliquem punctum, qui $it d: quod to tum pote$t fieri per a$trolabium $iue quadrant\~e uel a- liud in$trumentum certificationis ui$uum: ui$o enim puncto b, reuoluatur ui$us fixo in$trumento, & cadat ui$us per ea$dem pinnulas immotas in punctũ came- ræ d. Ducantur ergo line{ae} d a & g a: & diuidatur linea g a per 119 th. 1 huius in puncto e, ita ut $it proportio li neæ a e ad lineã e g, $icut lineæ a d ad lineam d g: quæ amb{ae} per in$trum\~eti acception\~e $unt notæ: ducatur\’q; linea e d: diuidet ergo per 3 p 6 linea d e angulum a d g per æ qualia. Ponatur itaq; $peculũ perp\~ediculariter erectũ $uper lineã d e in puncto d per cõuer$am 11 p 11, in quo $peculo $it linea f h. A puncto itaq; $peculi d re flectetur forma puncti g ad ui$um a per 20 huius: ergo & forma puncti b per eand\~e 20 huius: di$tantia enim $ecundũ eandem lineam naturã reflexionis nó immutat. Videbit itaq; ui$us $ecundũ eius centrũ in puncto cameræ, quod e$ta, exi$tens, omne, q<001> erit, & quod agetur in loco b, $iue $it domus alia $iue uicus $iue platea. Et hoc e$t, quod {pro} ponebatur.

58. Po{$s}ibile e$t $peculum ex $peculis planis compo$itum con$trui, in quo uideantur $olius a$pi- cientis plures imagines ad modum chorearum. Ptolemæus 6 th. 2 catoptr.

A$$umatur arcus circuli a z, cuius centrum $it h: & quoniam arcus a z indefinitus a$$umitur, e$to, ut ip$e exempli cau$$a, diui$us $it in quinq; partes æ quales, uel quotcũq; quis uoluerit, partes, ita ut arcui a b $int æ quales arcus b g, g d, d e, e z: & ducantur chord{ae} a b, b g, g d, d e, e z, quæ omnes erunt æquales per 29 p 3: & à centro h ducantur line{ae} h a, h b, h g, h d, h e, h z: & ablatis arcubus $uper chor das a b & b g & alijs, erigantur $pecula plana quadrangula parallelogramma, ita ut eorum latera a i b k, g l, d m, e n, z x $int {ae}quidi$tátia: & $int $pecula con tinua ad inuicem taliter, ut latera eorũ, quæ $unt b k, g l, d m, e n $int cõmunia: $int aũt $pecula adinuicem i k j m n x b g d e a y i taliter cóp o$ita, ut anguli contenti à lineis a i & i k: b k, & k l: g l, & l m: d m, & m n: e n, & n x $int æ quales an gulis contentis à lineis h a & a b: h b & b g: h g & g d: h e & e z: $int\’q $uperficies in$i$tétes lineis a b, b g, g d, d e, e z uer${ae} inferius, & $uppo$itæ $uperficiebus alijs $u perius eleuatis, in quibus $unt lineæ i k, k l, l m, m n, n x: & $int $uperficies $uperiores inferioribus æquidi- $tantes: h{ae}c enim omnia $pecula taliter di$po$ita a$pe ctum uniform\~e habebunt ad ui$um exi$tenté in cen- tro h. Quonιam enim lineæ h a, h b, h g, h d, h e, h z du- cuntur à centro h ad puncta c\=omunia chordis & arcu bus, patet per 18 p 3 quoniá omnes $unt perpendicu- lares $uper lineas circulum a z in illis purctis contin- gentes: ergo per 21 huius omnes illæ lineæ reflectun- tur in $e ip$as: erit ergo di$tin ctio imaginũ $ecundum illas: $ed & perpendiculares, quæ à puncto h ducuntur $uper $uperficies $peculorum planorũ, quæ per 20 th. 1 huius $olùm numerantur numero $uperficierum $peculorũ: & circa omnes illas fit uni- formis reflexio ad ui$um: numerabuntur ergo imagines numero $peculorum, quorum numero & loca imaginum numerantur: ideo quia à puncto h productæ perpendiculares non concurrunt ul- tra $pecula, cum omnes in puncto h concurrant: e$t autem locus cuiu$q; imaginis in concur$u ca- theti cum linea reflexionis per 37 huius. Et cum hæc $pecula uniformiter re$piciant ui$um in pun cto h: patet quòd qua ratione reflexio fit ab uno ip$orum ad ui$um, eadem ratione fit reflexio à quo- libet aliorum: & $ic reflexionum lineæ numerantur numero cathetorum. Plures ergo uidebuntur imagines di$p o$it{ae} adinuicem numero & ordine $peculorum. Quia uerò $pecula re$piciunt ui$um, ut $ui centrum, ad modũ arcus circuli, & imagines ip$ius uidentis re$picient uidentem ad modum chorearũ. Quod e$t propo$itũ. Po$$unt & per hoc $peculũ uariato $itu plures elici imaginum $itua- tiones, quod experimentantis indu$triæ cen$uimus relinquendũ, ut $i $peculũ a b $ecundũ ba$im ai fituetur æquidi$tãs $uperficiei horizontis, uel $ecundũ alios modos diuer$os, ut libuerit, diuer$etur.

VITELLONIS OPTICAE 59. Po{$s}bile e$t $peculum ex $peculis planis compo$itum con$trui, in quo a$piciens $uam uideat imaginem uolantem. Ptolemæus 6 th. 2. catoptr.

A$$umatur trigonum i$o$celes rectangulum, quod $it b a g: & $it angulus eius, qui b a g, rectus: & linea b g $ecetur in duo æqualia in puncto c: & ducatur linea a c: & $uper lineam a g ponatur $pecu- lum planum, quod $it z h: & $uper lineam b a ponatur aliud $peculum planũ, quod lit d e: & $it ui$us intuentis in linea a c, re$pici\~es in quodcunq; a N d y e g c b illorum $peculorum uoluerit, ut in z h: & alte rum $peculum, quod e$t e d, iaceatin plana $u perficie, $uper quod $tat intu\~es: & accedat & recedat intu\~es, donec calcanei $ui forma per ueniat ad $peculum e d: dico quòd reuerbera bitur in aliud $peculum, quod e$t z h, in quo a$piciens putabit propriam imaginem uola- re: quoniam uidebit ip$am eleuatam $ecun- dum $e totam in aere, cum tamen ip$e a$pi- ciens $tet $uper $uperficiem terr{ae} uel alterius rei, in qua e$t $peculum e d: quoniam forma calcanei incidens inferiori $peculo, quod e$t e d, reflectetur ad $uperius $peculum, & in illo figura- bitur tota forma intuentis. Et $i intuens mouerit $e aliqualiter, ita tamen, ut nó muterur $itus re$pe- ctu reflexionũ, quæ fiunt à $peculo: moueri uidebitur imago in aere per 42 huius: & $ic uidebit a$pi- ciens $uam imaginem uolant\~e. Quod proponitur. Et circa hoc plura alia diligentia artificis perqui- ret. Vt aũt idem propo$itũ & aliter melius pateat figuraliter demon$tratũ: $it orthogonium trigonũ a b c, cuius angulus b a c $it rectus: & in cuius latere a b $ituetur $peculum planũ, cuius media linea $it d e: cuius punctus d $it propinquior puncto b, quàm punctus e: & $it trigonũ a b c $ecundũ eius la rus a b po$itum in $uperficie horizontis uel alia quacunq; $uperficie, $uper quã eleuata $it $tatura in- tuentis, cuius plantæ pedis $tent in puncto g aliqualiter eleuato $uper lineam a b: & ducatur linea g d: & $uper punctũ d terminũ lineæ b d fiat per 23 p 1 angulus æqualis angulo g d b, qui $it h d a, pro- ducta linea d h ad lineam a c: & $uper punctum h terminum lineæ c h fiatangulus d h k æqualis an- gulo d h a, producta linea h k ad lineam b c: po$ito\’q; centro ui$us in puncto k: pater ex præmi$sis & per 20 huius, quoniam forma puncti g à puncto h refle- n o a e l y d y c m g k ctetur ad ui$um, $i punctum h $uerit punctum $pecu li alicuius: inuento\’q; per 46 huius in $peculo d e puncto reflexionis formæ puncti m, quod $it in uer- tice uid\~etis: $it formæ puncti illius punctus reflexio nis e: & ducatur linea m e: & angulo m e d $uper pun ctum e terminum line{ae} m e per 23 p 1 fiat æqualis an- gulus, qui $it a e l; producta linea el ad lineam a c: & inter puncta a & h $ituertur $peculum, quod $it l h, ita quòd puncta l & h $int in $uperficie illius $peculi, & $imiliter punctum a. Et quoniam forma puncti m à puncto $peculi d e (quod e$t e) reflectitur ad totam $uperficiem $peculi 1 h per 22 huius, & ab illo puncto $peculi 1 h, in quo anguli e l a, & h l k $unt æquales, (quodcunq; enim $uerit illud punctú, $emper ip$um dicatur punctuml) fiet reflexio ad ui$um k. Quoniá enim, ut patet per 26 huius, anguli k l c, & k h c $unt acuti, patet per 14 th. 1 huius quoniam illæ line{ae} con current, $it\’q; punctus concur$us k. Palàm ergo per 34 huius quòd tota imago a$picientis, quæ e$t linea g m, à $uperficie $peculi e d reflectitur ad $peculum l h, & à $uperficie $peculi l h reflectitur ad ui$um exi- $tentem in puncto k. Et quoniam, ut pater per 37 huius, locus imaginis formæ uniu$cuiu$q; puncti e$t in concur$u catheti $uæ incidentiæ cum linea $uæ reflexionis: producatur itaq; à puncto $peculi d e, à quo fit reflexio formæ puncti g, quod e$t d, per 11 p 11 linea perpendicularis $uper $peculi a h $u perficiem: & patet, cum exhypothe$i angulus d a h $it rectus, quòd illa perpendicularis e$t linea d a. Similiter quoq; perpendicularis à puncto reflexionis formæ punctim, quod e$t $peculi de punctũ e, ducta $uper $uperficiem $peculi a h, e$t eadem linea, quæ e a: hæc itaq; linea e$t cathetus inciden- tiæ formarum punctorum g & m reflexorum à punctis d & e ad $peculum l h. Et quoniam, ut præ- mi$$um e$t, patet per 26 huius, quòd anguli k h c & k l c $unt acuti, quoniá linea angulum d h k uel e l k per æ qualia diuidens, e$t perpendicularis $uper lineam l h: angulus uerò d a h e$t rectus: ergo per 14 th. 1 huius linea d e a concurret cum ambabus lineis k l & k h: $it ergo, ut punctus concur$us linearum d a & k h $it n: & punctus concur$us linearũ e a & k l $it o. Erit ergo linea o n imago formæ LIBER QVINTVS. totius lineæ m g: erit\’q; punctum, quod e$t imago formæ puncti g, plantarum $cilicet ip$ius intuen- tis altius in aere quàm punctum o, quod e$t imago formæ puncti m, uerticis ip$ius uidentis. Vide- bit ergo ex puncto k intuens $peculum l h, $uam imaginem in aere uolantem: quoniam uidebit pe- des altius in aere quàm ip$um caput, collocatos. Per eadem quoq; demon$trandum, $i trigonum a b c fuerit oxygonium, ni$i quòd imago intuentis aliam recipit $itus di$po$itionem: catheti enim incidentiæ aliter $uperficiei $peculi incidunt quàm a n o e j d y g c m g k prius: $emper tamen trigono a b c exi$tente orthogo nio uel oxygonio uidebitur imago intuentis uolans $ub $peculo. Quòd $i trigonum a b c fuerit ambly- gonium, po$sibile e$t fieri, ut imago $it uolans in aere retro ui$um: quoniã ut patet per 14 th. 1 huius, catheti incidentiæ & lineæ reflexionum concurrent retro centrum ui$us. Non uidebitur aut\~e talis imago, quo- niam $emper fugiet ab$cõ$a ab ip$o ui$u, ni$i fortè ab a e j d y g c k m n o g alio $peculo tertio ad ui$um po$$et fieri reflexio. Patet ergo illud, quod proponebatur: & hoc: ui$u $olùm re$piciente in $peculum a h, non in $peculũ d e. Et hæc quidem demon$trata $unt, ac $i à pun- ctis primarum reflexionum, quæ $unt d & e, ducantur catheti incidentiæ: quæ $i imaginentur à lo- cis primarum imaginum duci, multò fortius $ecundæ imagines, quæ uidentur in $peculo a h, uide- buntur e$$e di$po$itæ, ut uolantes.

60. Per duo ueltria $pecula plana orthogonaliter ad inuic\~e di$po$ita, po$sibile e$t eiu$dem pun cti imaginem uideri. Euclides 13 th. catoptr.

Sit ui$ibile aliquod, in quo $it punctum a: & $it centrum ui$us punctũ b: & $int tria $pecula plana g d, d e & e z orthogonaliter ad inuic\~e di$po$ita: ducatur quoq; à puncto a linea a z perpendiculari ter $uper $uperficiem $peculi e z per 11 p 11: & producatur linea a z in continuũ: ab$cindatur\’q; in pun cto c taliter per 3 p 1, ut linea z c $it l k e m d r f c z a b g s æqualis line{ae} a z: & à puncto b, q<001> e$t centrum ui$us, ducatur linea b g perpendiculariter $uper $peculũ d g: & producatur taliter, ut linea g s $it æ qualis lineæ b g. A puncto quoq; c ducatur perpendicularis $uper $uperficiem $peculi d e, quæ $it c k: & producatur ultra punctũ k a d punctũ l, quou$q; linea c k $it æ qualis lineæ k l: & à puncto l du- catur linea ad punctũ s, $ecans $pe- culum d e in puncto m, & $peculũ d g in puncto f: & à puncto m duca tur ad punctum c linea m c $ecans $peculum e z in puncto r: & ducan tur lineæ a r & b f. Quia ergo linea b g e$t æ qualis line{ae} g s, & linea g f c\=omunis ambobus trigonis s g f & g f b, & angulus b g f æqualis e$t angulo s g f, quia ambo illi an- guli $unt recti: erit per 4 p 1 linea b f æ qualis lineæ s f, & angulus g f b æ qualis angulo g f s, & angu- lus f b g æqualis angulo f s g: $ed angulus s f g e$t æ qualis angulo d f m per 15 p 1: ergo angulus d f m æ qualis e$t angulo g f b. Pote$t ergo ք 20 huius forma puncti m reflecti ad ui$um b. Quia uerò linea c k e$t æqualis lineæ k l, & linea k m cõmunis e$t ambob. trigonis c k m & l m k: angulus quoq; l k m æqualis e$t angulo m k c, quia ambo recti: erit per 4 p 1 linea l m æ qualis lineæ m c, & angulus l m k VITELLONIS OPTICAE æ qualis angulo k m c: ergo angulus d m f e$t æ qualis angulo k m c: quoniam per 15 p 1 ip$e e$t æ qua lis angulo l m k: ergo per 20 huius forma puncti r pote$t reflecti à puncto m ad punctũ f: & à puncto f ad punctum b centrum ui$us. Per duo ergo $pecula, quæ $unt d e & d g, uidetur forma puncti r re- flexa ad idem centrum ui$us, quod e$t b. Et quia linea a z e$t æ qualis line{ae} z c, & linea z r communis e$t ambobus trigonis a r z & z r c: angulus quoq; a z r e$t æqualis angulo r z c, quia ambo recti $unt: erit angulus a r z per 4 p 1 æ qualis angulo z r c: ergo per 15 p 1 angulus m r e e$t æ qualis angulo a r z. Forma ergo puncti a reflectitur à puncto r $peculi z e ad punctum m $peculi d e, & à puncto m ad punctum f $peculi d g, & à puncto f ad centrum ui$us b. A tribus ergo $peculis uidetur forma & imago eiu$dem puncti a. Quod e$t propo$itũ: & hoc accidit ui$u $olùm re$piciente in $peculum d g.

61. Po{$s}ibile e$t per quotcun<005> quis uoluerit plana $pecula $ecundum di$po$itionem polygon{ij} æquilateri & æquianguli ad inuicem di$po$ita, eiu$dem puncti imaginem uideri. Euclides 14 th. catoptr. Ptolemæus 8 th. 2 catoptr.

Sit centrum ui$us punctum a: & punctum rei ui$æ $it b: & ducatur linea a b: & $ecundum quanti- tatem lineæ a b de$cribatur polygonium æ quilaterum & æ quiangulũ, quotcunq; laterũ ui$um fue- rit ordinari. Sit autem nunc, exempli cau$$a, polygonium a e d g b pentagonũ: cui circun$cribatur circulus per 14 p 4: & ducantur lineæ ad centrum circuli, quod $it c, ab angul: s polygonij, quæ $int a c, e c, d c, g c, b c: palàm itaq; quoniam omnes illæ li- p y e g c f a b neæ $unt æquales per definitionem circuli: anguli er go ad ba$es o\~es $unt æ quales per 5 & 8 p 1: & in con- cur$u quorumliber dictorum laterum ponatur $pecu lum planum, præter quàm in punctis a & b, ut ad pun cta e, d, g: uel $i fuerit polygoniũ plurium laterum, po nantur plura: & erigantur omnia orthogonaliter $u- per lineas ad centrum circuli productas, ut $unt hæ li neæ d c & g c: quod fier per 11 p 11: ita ut $peculum f h $uper lineam g c $it perpendiculariter in $i$tens: ad u- num uerò angulum $it punctum rei ui$æ, & ad alium $ibi proximum $it centrum ui$us, ut $unt hic puncta a & b. Quia itaq; angulus c g f e$t æ qualis angulo h g c; quia ambo $unt recti per 18 p 3: $ed & angulus c g b e$t {ae}qualis angulo c g d, ut patet per pr{ae}mi$$a & per 8 p 1: angulus ergo b g r æ qualis e$t angulo d g h. Ergo forma puncti b à puncto g $peculi f h reflectitur ad punctum $peculi proximi, quod e$t ad punctũ d: per æ quales enim angulos fit omnis reflexio, ut pa tet per 20 huius. Et quoniã omnes anguli illi præmi$sis duobus angulis $imiles inter $e, $unt æ qua- les: palàm quia fit reflexio à puncto d ad punctũ e, & à puncto e ad punctũ a, quod e$t centrũ ui$us. Vi$us itaq; exi$tens in puncto a, & intuens $olum $peculum, cuius e$t punctũ e, uidebit formam b, quæ immediatè nõ reflecteretur ad ip$um à puncto $peculi e, reflexam mediantibus $peculis g & d. Quod e$t propo$itum. Quòd $i centrum ui$us $it in puncto c, quod e$t centrũ circuli, cuius periphe riam contingunt omnia $pecula in angulis polygoniorũ con$tituta: palàm quòd forma puncti c ab omnibus pũctis reflectitur in $e ip$am: quoniã omnes line{ae}, quæ $unt c a, c b, c g, c d, c e $unt perpen- diculares $uper $peculo rũ $uperficies: reflectuntur ergo in $e ip$as ad punctũ c per 21 huius. Palàm ergo e$t propo$itũ. Et $i plurima ordinantur hoc modo $pecula, de omnibus e$t ead\~e demon$tratio & idem modus circum $cribendi circulũ alteri polygonio, qui & pentagono. Per h{ae}c itaq; duo theo remata patet quòd rei, qu{ae} nõ uidetur, imago pote$t in $peculo uideri: ut $i res taliter di$ponatur ad primũ $peculum, quòd ad ip$um ui$us pertingere non po$sit: hoc autem faciliter accidit cogitanti.

62. A‘ pluribus $peculis planis po{$s}ibile e$t formã rei per $e ui$æ, uelrei non ui$æ reflecti ad ui $um, it a ut di$tantia imaginis à centro ui$us $it æqualis omnibus lineis incidentiæ & ip$i lineæ reflexionis.

Sit centrũ ui$us in puncto a: & punctus rei ui${ae} b: & inter illos punctos, $i placet, exempli cau$$a, $it aliqua magnitudo tegens unũ illorum punctorum ab altero, ut paries uel aliud aliquid, quod $it p g: & à punctis a & b ad oppo$ita ip$is loca ducantur lineæ æquidi$tantes per 31 p 1, quæ $int a d & b e: & copuletur linea d e: $int\’q;, exempli cau$$a, lineæ b e & a d perpendiculares $uper lineam e d: & diuidatur angulus a d e per æ qualia per 9 p 1 ducta linéa d z: & $imiliter diuidatur angulus b e d per æqualia per lineã e h: & $uper punctũ d terminũ lineæ z d erigatur perpendiculariter linea k d c per 11 p 1: & $imiliter $uper punctũ e terminũ lineæ h e erigatur perpendiculariter linea l e m: & his dua- bus lineis k d c & l e m imaginentur $uperponi duo plana $pecula. Forma itaq; puncti b incidet $pe- culo plano, quod e$t m e l, in puncto e, & reflectetur in punctũ d per 20 huius: quia anguli b e m & d e l $unt æ quales: anguli enim h e l & h e m $unt æquales, quia recti: $ed & anguli h e d & h e b $unt æ- quales ex præmi$sis. Item forma incidens $peculo k d c ab eius puncto d reflectetur ad punctum a, quod e$t centrũ ui$us per 20 huius: quoniã, ut $uprà patuit, anguli e d z & z d a $unt æ quales. Vide- bitur ergo $orma puncti b per ui$um exi$tent\~e in puncto a, cum tamen res, in qua e$t punctũ b, non $it ui$ibilis per $e ip$am. Linea quoq; reflexionis ad ui$um, quæ e$t d a, e$t $emper una, quãuis lineæ LIBER QVINTVS. incidentiarũ $ecundum numerum talium $peculorum numerentur. Et $i à puncto rei ui${ae}, quod e$t b, ducatur per 11 p 11 linea perpendicularis $uper $uperficiem $peculi, qu{ae} $it b m, $ecans lineam e l m in puncto m: erit angulus b m c rectus: ergo per 32 p 1 erit an- c s d a z p g k l h e b m n gulus e b m acutus. Cum ergo angulus b e d $it rectus: palàm per 14 th. 1 huius quia lineæ b m & d e concurrent: $it concur $us ip$arum in puncto n. Quia itaq; linea m e l cadens $uper li neas e h & b n facit angulum e m b intrin$ecũ æ qualem angu lo l e h extrin$eco: patet per 28 p 1 quoniá lineæ b n & e h $unt {ae}quidi$tantes. Ergo angulus d e h extrin$ecus e$t æqualis an- gulo e n b intrin$eco per 29 p 1, & angulus e b n e$t æqualis angulo b e h: quia $unt coalter ni: $ed angulus b e h e$t æqualis angulo h e d, utpatet ex præmi$sis, diui$us e$t enim angulus b e d per æqualia per lineam h e: erit ergo angulus e b n æqualis angulo e n b: ergo per 6 p 1 line{ae} n e & b c $unt æ quales: e$t aũt per 37 huius punctũn locus imaginis form{ae} puncti b reflexi ad ui$um exi$ten- tem in puncto d à $peculi m e l puncto e. Item à puncto n ducatur linea perpendicularis $uper lineá c d k per 12 p 1: qu{ae} $it n k. Patet ergo, ut prius, per 32 p 1 quòd angulus d n k e$t acutus: $ed angulus n d a e$t rectus: ergo per 14 th. 1 huius line{ae} n k & a d productæ concurrent: $it punctus concur$us s. Quia itaq; linea d k cadens $uper lineas z d & n s facit angulũ z d c extrin$ecũ æ qualem angulo n k d intrin$eco, uterq; enim illorũ angulorũ e$t rectus: patet ergo per 28 p 1 quòd line{ae} n s & z d æqui- di$tant: ergo per 29 p 1 e$t angulus z d a extrin$ecus æqualis angulo n s d intrin$eco: $ed & anguli s n d & n d z $unt æquales, quia coalterni: & anguli n d z & z d a $unt æquales, ut patet ex præmi$sis: angulus enim n d a diuiditur per æqualia per lineã z d: angulus ergo d n s e$t æ qualis angulo d s n: ergo per 6 p 1 du{ae} line{ae} d s & d n $unt æquales. Quia itaq; linea e n e$t æqualis line{ae} e b: erit linea d n æqualis duabus lineis d e & e b: ergo linea d s e$t æqualis illis ei$d\~e duabus lineis d e & e b. Et <003>a per 37 huius punctũ s e$t locus imaginis form{ae} puncti n reflex{ae} à puncto $peculi k d c, quod e$t d, ad ui$um exi$tent\~e in puncto a: patet quòd linea a s, qu{ae} e$t di$tantia imaginis à centro ui$us e$t æqua lis duabus lineis incid\~eti{ae}, qu{ae} $unt b e & e d, & in$uper line{ae} reflexionis, qu{ae} e$t d a. Et hoc e$t pro- po$itum: quoniam $i à pluribus $peculis fiat reflexio, eodem penitus modo erit demon$trandum.

63. Reflexione à pluribus $peculis planis ad eund\~e ui$um facta, ab imparibus quid\~e dextra appar\~et $ini$tra, & $ini$tra dextra: à paribus uerò dextra apparent dextra, & $ini$tra $ini$tra: & di$tantia imaginis à ui$u con$tabit ex quantitate omnium linearum incidentiæ & lineæ re- flexionis. Ptolemæus 3 th. 2 cattoptr.

Sιt centrũ ui$us a: & linea rei ui${ae} $it b g: & $i placet, $it inter centrũ ui$us & rem ui$am aliq<001> cor- pus den$um $implic\~e prohibens ui$ion\~e, ut paries uel aliquid $imile, quod $it d: fiat\’q reflexio ex tri bus $peculis, qu{ae} $unt e z & h c & k l: reflectatur\’q; forma line{ae} b g per hæc tria $pecula ad ui$um exi $tent\~e in puncto a: $it\’q;, ut punctus b line{ae} b g incidat $peculo k l in pũcto k, & $peculo h cin puncto h, & $peculo e z in puncto e: reflectatur\’q; ad ui$um a $ecundũ lineam e a. Et fimiliter forma puncti g incidat $peculo k lin pũcto l, & $peculo h cin pũcto c, & $peculo e z in puncto z: & reflectatur ad ui- $um $ecundũ lineá z a. Et ducantur h{ae} line{ae} incidenti{ae} & reflexionis, qu{ae} erunt b k, k h, h e, e a: & g l, l c, c z, z a: $it\’q; locus imaginis form{ae} puncti b in primo $peculo, q<001> e$t k l, punctũ t: & locus imagi- nis form{ae} puncti g in pri- s b g o k h t q l c d m e a n z mo $peculo $it pũctũ q: & ducatur linea t q: qu{ae} per 49 huius erit æqualis li- ne{ae} b g. In $ecundo uerò $peculo, q<001> e$t h c, linea i- maginis $it s o. In tertio ue rò $peculo, q<001> e$t e z, linea imaginis $it m n. Pater ita- que quoniam in quolibet i$torum $peculorum táta e$t di$tantia imaginis $ub $peculo à $uperficie $pecu li, quanta e$t di$tantia for- m{ae}, qu{ae} reflectitur à $peculo, à $uperficie ip$ius $peculi per 49 huius: linea ergo k b, qu{ae} e$t di$tantia VITELLONIS OPTICAE puncti rei ui${ae} à $uperficie $peculi extra $peculum, e$t æqualis line{ae} k t, qu{ae} e$t di$tantia imaginis à $peculo $ub illo: & linea g l e$t æqualis line{ae} l q: it\~e linea t h, qu{ae} e$t di$tantia formæ ui$æ à $uperficie $peculι h c, e$t æqualis lineæ h s, qu{ae} e$t di$tátia loci imaginis $ub eod\~e $peculo: & linea q c e$t æ qua lis line{ae} c o: linea quoq; s e, quæ e$t di$tãtia formæ reflex{ae} à $peculo z e e$t æ qualis line{ae} e m, qu{ae} e$t di$tantia formæ ab eod\~e $peculo $ub illo: & $imiliter linea o z e$t æ qualis lineæ z n. Et quoniá, ut pa tet per 37 huius, locus imaginis uniu$cuiu$q; formæ puncti ui$i e$t in puncto concur$us catheti $uæ incidentiæ cũ linea reflexióis: & in $peculis planis imago $emper e$t æqualis rei ui$æ ք 52 huius: pa tet quòd ui$us exi$tens in puncto a, cõprehendet imagin\~e formæ line{ae} b g in loco line{ae} m n æqualé ip$i rei ui$æ: & eius di$tantia à ui$u, qu{ae} e$t $ecundũ lineas a m & a n, e$t æ qualis omnibus lineis inci denti{ae}: quoniá linea a m e$t æqualis lineæ reflexionis, qu{ae} e$t e a, & line{ae} m e, quæ e$t æqualis lineæ e s, qu{ae} $ecundũ præmi$$a e$t æqualis lineæ incidenti{ae}, quæ e$t e h, & line{ae} h s, æquali line{ae} t h, quæ e$t æqualis line{ae} k h, & line{ae} t k, qu{ae} linea t k e$t æ qualis line{ae} k b. Et $imiliter linea a n e$t æqualis li ne{ae} reflexiõis, quæ e$t a z, & omnibus lineis incidenti{ae}, ut iam patuit. Et quoniã, ut patet per 55 hu- ius in $peculis planis dextra apparent $ini$tra & $ini$tra dextra: palàm quòd in $peculo prιmo re$pe ctu rei ui$ibilis, quod e$t $peculũ l k, fit imago form{ae} rei b g ui${ae}, qu{ae} e$t imago t q, tra$mutata modo dicto: $ed & eadem imago reflexa à $ecundo $peculo, quod e$t h c, mutat dextrum in $ini$trũ & $ini- $trum in dextrum. Redιt ergo in $peculo numeri paris di$po$itio partiũ imaginis ad di$po$itionem partiũ ip$ius rei ui$æ. Et quia in $peculo tertio, quod e$t e z, imago $ecunda, qu{ae} e$t s o, mutat $itum partiũ $uarum: patet quòd imaginis m n $itus e$t alius à di$po$itione form{ae} rei, qu{ae} e$t b g. In fpecu- lis itaq; numeri paris fit imago $imilis rei $ecundum dextrum & $ini$trum, & in $peculis imparibus tran$mutaturr. Et $ic uniuer$aliter quotcunq; $peculis paribus uel imparibus pofitis, fecundum hæc imaginum di$po$itio uariatur $ecundum dextrum & $ini$trum. Patet ergo propo$itum.

64. Duo $pecula plana rectangula & æqualia po{$s}ibile e$t $ic $i$ti, ut intuens in uno $peculorũ $uam imaginem uideat uenientem, & in altero recedentem. Ptolemæus 4 th. 2 catoptr.

Sint duo $pecula plana rectangula & æqualia, cuiu$cũq; placuerit quantitatis $uorũ laterũ, dum tamen latera unius $int æqualia lateribus alterius: & $int latera eiu$d\~e $peculi inter $e proportiona- lia, ita ut longitudo $it dupla latitudini eiu$dé $peculi: a$$umatur\’q, linea, cuius longitudo $it multò maior uno latere illorũ $peculorũ: & $it, exempli cau$$a, quatuor cubitorũ, quæ $it a b: & $ecetur ex ea portio æqualis quartæ parti unius lateris longitudιnιs $peculi per 3 p 1, qu{ae} $it a g: & diuidatur li- nea g b in duo æ qualia in puncto d: & à pũcto d ducatur linea perpendiculariter $uper lineá a b per 11 p 1: producatur\’q; in continuũ & directum: & ab$cindatur ab ip$a linea æ qualis altitudini $peculi, qu{ae} $it linea d z: & à puncto b ducatur linea æqualis & æquidi$tans line{ae} d z, qu{ae} $it b c: & produca- tur linea c z orthogonaliter $uper lineam b c, qu{ae} erit {ae}qualis line{ae} b d per 33 p 1: & producatur linea c z in continuũ & directũ: ducatur\’q; à puncto g linea g e æquidi$tans & æqualis line{ae} d z: erit ergo linea g e per 30 p 1 æ- n e i z c m l r a g d c qualis & {ae}quidι$tans lineæ b c. Et $uք pun ctum e centrum exi- $tens de$cribatur por tio circuli $ecundum modum quantitatis placit{ae}, qu{ae} $it r i: di- uidatur\’q; arcus r i ք æ qualia per 30 p 3 in puncto l: & ducatur linea l e: & à puncto e ducatur una linea perpendicularis $uper lineá l e, qu{ae} $it e m: & it\~e alia, qu{ae} $it e n, qu{ae} tamen lineæ adinoicem coniunct{ae} $unt linea una per 14 p 1: & $it linea m e æqualis line{ae} n e: & tota linea m n $it æqualis longitudini $peculi. Si ergo duoru $peculorũ planorum rectangulorũ & {ae}qualiũ angularis coniunctio fiat $uper lineam m n. tunc diuident line{ae} m e & n e $uperficies illorũ coniunctorũ $pe- culorum per æ qualia: patet\’q; quòd illa $pecula non erunt in una plana $uperficie di$po$ita: perpen diculares ergo à centro ui$us $uper illa $pecula ductæ, quæ $unt catheti incidenti{ae} formæ ip$ius ui- dentis, $unt diuer$æ Po$ito ergo centro u $us in pũcto d, & motis $peculis $uper lineam l e fixam: ui debit homo $eip$um $uper unũ duorum $peculorum uenienté & in altero recedent\~e: e$t enim lon- gitudo amborum illorũ $peculorú, qu{ae} e$t linea m n, qua$i dupla latitudinis unius ip$otũ: & $ic pun ctum e$t qua$i mediũ $uperficiei amborũ illorum $peculorũ: unde circa ip$um æqualior fit motus. Et $i hæc $pecula fuerint taliter ordinata, ut claudantur & aperiantur, & angulos inter $e exiftentes uarient, cum reuoluentur: multa deformitas efficitur imagιnũ unius etiam rei: anguli tamen taliter $int di$po$iti, ut ab uno $peculo in aliud fieri po$sit reflexio: nec æ$timamus hæc demon$tratione alia <004> in his, quæ præmi$${ae} $unt in $implicibus planis $peculis, indigere: & hæc practic{ae} artificũ du- cimus cõmittenda: quia & hæc, quæ præmi$imus, plus habilitatem operιs mechanici re$piciunt, <004> firmitudin\~e demon$trationis: fuit enim i$tud diligens inuentio antiquorũ, cui pote$t addere & de- mere ille, qui diligenter per$pexerit ea, qu{ae} demon$trationis nece$sitate cõ$crip$imus in hoc libro.

LIBER SEXTVS. 65. Abuno $peculo plano $oli oppo$ito ignem e$t impo{$s}ibile acc\~edi: à pluribus uerò po$sibile.

Hoc enim euidens e$t: quia ignis non accenditur ni$i per aggregationem plurium radiorum: li- neæ uerò reflexionis à $peculorum planorum diuer$is punctis productæ nõ concurrunt, ut per 47 huius demon$tratum e$t: in nullo ergo puncto conueniunt illi radij reflexi ad generationem ignis po$sibilis in materia combu$tibili quacunq; Patet ergo primum propo$itorum. Iam aut\~e dixit An- themius ne$cio qua ductus experientia, quòd $olùm uiginti quatuor reflexi radij concurrentes in uno puncto materiæ inflammabilis, ignem in illa accendant: & coniunxit $eptem $pecula plana he- xagona colligatione $tabili fixa, $cilicet $ex extrema circa unum, quod $tatuit in medio illorum, & uniebantur illa $pecula in quibuslibet angulis hexagoni: ideo quia figuræ hexagonæ replent locũ $uperficial\~e: ualent enim tres anguli hexagoni quatuor rectos. Et dixit Anthemius quòd ad quam- cunq; di$tantiam $ic ignis potuit accendi: quæ $i ad complendá unam planam $uperficiem coniun- xerat, non poterat, ut ex præmi$sis patére pote$t, intentionem $uam aliter con$equi, quàm $icut ex uno $peculo plano: quoniam, ut prædictum e$t, tres $uperficies hexagonæ replent punctum unum: quia angulus quilibet hexagoni ualet duas tertias duorum rectorum, & tres anguli hexagoni ual\~et quatuor rectos: concurrentes ergo tales tres anguli nullum uacuum dimittunt: nihil e$t ergo quod punctum $ui concur$us di$tinguat à natura plan{ae} $uperficiei & unius. Quòd $i ijdem hexagoni tali- ter adinuicem inclinentur, ut ab una $phæra fiant circum$criptibiles: tunc ad centrum illius $phæ- ræ fiet reflexio omniũ radiorum perpendiculariter ab uno puncto illis $uperficiebus incidentium; & augebitur uigor caliditatis: unde tale $peculum melius po$$et ex trigonis quàm hexagonis com- poni: quoniam numero $uperficierum numerabuntur radij, & uirtus augebitur caloris: h{ae}c tamen; quia facilia $unt, non duximus pro$equenda ip$a, relinquentes artificis indu$trij animæ.

VITELLONIS FI- LII THVRINGORVM ET PO- LONORVM OPTICAE LIBER SEXTVS.

_LATIVS_, quoad potuimus, $peculorũ planorũ pa{$s}ionibus percur$is: $uper- e$t nũc ut ad aliorum $peculorum pa{$s}iones proprias diuertamus. Et quia $pecula conuexa $unt $impliciora concauis: quoniã quædam pa{$s}ionũ $pe- culorum conuexorum de$cendunt in concaua, ut in illa, quorum pa{$s}iones propriè diuer$imodè uariantur: cõuenit ut prιmò tractatum $peculorum conuexorum alijs præmittamus. Sed quia inter $pecula conuexa (quorum quædam $unt $phærica, quædam columnaria, quædã pyramidalia) ip$a $pecula $phærιca $unt alijs $impliciora: pa{$s}iones enim & cau$$æ reflexionum $peculorũ $phæricorum conuexorum de$cendunt in $pecula columnaria & pyramidalia cõuexa, cum in illis ab aliquibus punctis $uorũ circulorum accidit fieri reflexionem, 4icut & pa{$s}iones $peculorũ planorum de$cendunt in eadem $pecula columnaria & pyramidalia, quãdo ab aliquo puncto alicuius linea- rum longitudinis illorum $peculorum ad ui$um fit reflexio; po$t tractatum ergo plano- rum $peculorũ de $peculis $phæricis conuexis, ut de $implicιoribus omnιbus aijs, & con- cauis $peculιs pro$equi dignum ui$um e$t. Quæ itaq; ad $peculorũ $phæricorum proprias pa{$s}iones pro$equendas præmittimus, $unt i$ta.

DEFINITIONES.

1. Maius $peculum $ph{ae}ricum conuexũ uel concauũ dicimus, cuius $ph{ae}ræ dia- meter e$t maior: & minus, cuius minor. 2. Diametrum $peculi $phærici dicimus diametrum $phæræ, cuius portio e$t $peculũ. 3. Centrũ $peculi dicimus centrum $phæræ, cuius portio e$t $peculũ 4. Diametrum ui$ual\~e dicimus lineam à centro ui$us per centrũ $peculi $phærici tran$eunt\~e: & ead\~e dicitur cathetus reflexionis. 5. Lineã rectā æquidi$tare $peculo $phærico conuexo dicimus, quæ $ecundū eius punctũ mediū æquidi$tat lineæ aliquem arcū circuli magni illius $peculi $ecũdum mediũ eius punctũ contingenti. 6. Finis contingentiæ dicitur punctus ubi altera cathetorũ $ecat lineam in puncto reflexionis $peculum contin g\~etem. 7. Metam locorum imaginũ dicimus punctũ uel lineam, ultra quam imagines nõ uidentur.

VITELLONIS OPTICAE THEOREMATA 1. Communem $ectionem $uper$iciei reflexionis & $uperficiei $peculi $phærici conuexinece$$e e$t circulum magnum uel arcum circuli magni $phæræ e$$e: ex quo patet quòdomnis $uperficies reflexionis diuidit $phæram $peculi per æqualia.

Quoniam enim, ut patet in principio 5 huius, 7 definitione, $uperficies reflexionis dicitur $uper- ficies continens lineam incidentiæ & lineam reflexionis & perpendicularem à puncto contingen- tiæ productam $uper $uperficiem $phæricum $peculum in puncto incidentiæ contingentem, quæ omnes lineæ rectæ $unt: patet quòd $uperficies reflexionis e$t $uperficies plana. Omne autem $pe- culum $phæricum conuexum, aut $phæra e$t, aut pars $phæræ, ut patet per 8 th. 5 huius: ergo per 69 th. 1 huius $i $uperficies reflexionis $ecet $peculum, ip$orum communis $ectio nece$$ariò erit circu- lus uel pars circuli. Et quoniam perpendiculares $uper $uperficies $phæras contingentes, nece$$a- riò tran$eunt per centrum $phæræ, ut o$t\~edi pote$t per 72 th. 1 huius, & per definitionem lineæ per- pendicularis $uper $uperficiem $phæræ po$itam in principio huius: patet quòd omnis $uperficies reflexionis tran$it centrum $peculi: e$t ergo illa communis $ectio circulus magnus uel arcus circuli magni $phæræ illius $peculi per definitionem circuli magni. Et hoc e$t propo$itum. Patet etiam co- rollarium: quia cum omnis $uper$icies reflexionis tran$eat per centrũ $peculi: patet manife$tè quo- niam ip$a diuidit $phæram $peculi per æqualia. Ethoc proponebatur.

2. A centro ui$us ad $uperficiem $peculi $phærici conuexi ducta conting\~es, circa fixam ui- $ualem diametrum æqualiter mota portionem $uperficiei $peculi determinat, à cuius pũctis fiet formarum reflexio ad ui$um. Alhazen 25 n 4.

Sit centrum ui$us punctus a: & cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei $pecúli $phæ- rici conuexi $it circulus b c d k: cuius centrum $it e: & à puncto a ducatur per 17 p 3 linea conting\~es circulum in puncto d, quæ $it a d: ducatur & diameter ui$ualis, quæ $it a e, $ecãs peripheriam circuli b c d in puncto c. Dico, quòd fi diametro a e manente fixa linea contingens, quæ e$t a d, imaginetur æqualiter moueri $uper peripheriam $peculi, $eruans $emper æqualitatem anguli e a d, quou$q; re- deat ad locum, unde exiuit: quòd ip$a motu $uo $ecundum punctum d de$cribet circulum determi- nantem portionem $peculi $phærici conuexi, à qua fit reflexio omniũ formarum ad ui$um exi$ten- tem in puncto a, ab illa parte alia $uperficiei $peculi, à qua non fit reflexio. Producatur enim linea a d ultra punctum contingentiæ d ad punctum f: & duca- a b c d l g e m h k f tur linea e d: qu{ae} producatur extra $peculum ultra pun- ctum d u$q; ad punctum g. Erunt ergo per 18 p 3 anguli omnes ad punctum d recti: omnes ergo puncti in linea d f conftituti uidebuntur directè: ideo quia linea a f ma- nens una non reflectitur à puncto d. Quia tamen eadem linea contingit $peculum, incipiunt puncta lineæ d f ali- quid participare naturæ reflexionis: unde uidebuntur à puncto d reflecti $ecũ dum lineam d a ad ui$um a per 20 th. 5 huius: quoniam angulus incidentiæ, qui e$t f d g, e$t æqualis angulo reflexionis, qui e$t g d a. Dico etiá quòd à nullo puncto arcus d k b pote$t fieri reflexio ad ui$um a. Si enim $it hoc po$sibile, e$to quòd à puncto h arcus d k b fiat reflexio formæ alicuius puncti ad ui$um exi$ten- tem in puncto a: & ducatur linea reflexionis ad ui$um a, quæ $it h a: h æc ergo non pote$t tran$ire $olidum corpus $peculi, $cilicet arcum circuli b c d $ecádo: tran$ibit ergo extra circulum. Quia itaq; angulus contingenti{ae}, qui e$t h d f e$t indiui$ibilis per 16 p 3, patet quòd illa linea refle- xionis, qu{ae} e$t h a, non tran$ibit punctum d: $ecabit ergo lineam d g: $it, ut $ecet ip$am in púcto l. Et quia linea re- flexionis, quæ e$t h a, nó $ecat angulum h d f: palàm, cum non $ecet arcum h d, quòd $ecat lineam d f: $it, ut $ecet ip$am in puncto m. Si ergo linea h m à puncto m perue- niat ad punctum a: patet quòd duæ rectæ, quæ $unt m l a & m d a includũt $uperficiem, quod e$t impo$sibile. Vel deducatur $ic: trigoni d l m angulus m d l e$t rectus: ergo angulus d l m per 32 p 1 e$t acutus: ergo per 13 p 1 angulus a l d e$t obtu$us: $ed angulus a d l e$t rectus, quia angulus a d e e$t rectus: ergo per 14 th. 1 huius, cum linea e g cadat $uper ambas lineas a d & h a, & faciat angulos pr{ae}dicto modo di$po- $itos: patet quòd lineæ h l a & d a ad illam partem concurrent, ad quam $unt anguli minores. Non ergo reflectetur forma aliqua à puncto h ad punctum a, quod e$t oppo$itum dati. Patet ergo propo- $itum: quoniam quocunq; puncto arcus d k b dato, eodem modo pote$t fieri deductio.

LIBER SEXTVS. 3. Oppo$ito ui$ui $peculo $phærico conuexo, it a ut ui$us non $it in $uperficie illius $peculi aut $uperficie ei continua: erit communis $ectio ba$is pyramidis ui$ionis & $uperficiei $peculi circu- lus minor magno circulo $phæram $peculi per æqualia $ecante. Alhazen 24 n 4.

Opponatur ui$ui $peculum $ph{ae}ricum taliter ut ui$us non $it in $uperficie illius $peculi aut in $u- perficie ei continua: dico quòd pars $peculi à ui$u comprehen$a erit pars $phæræ circulo inclu$a, quem efficit motu $uo radius contingens $uperficiem $ph{ae}ræ. Quia enim, ut patet per 16 th. 2 huius, longior radius ad $phæræ $uperficiem pertingens, qua$i linea $peculum conting\~es e$t: $i ille radius imaginetur per gyrum moueri attingendo $phæram, donec redeat ad pũctum primum, à quo $um- p$it motus principium: palàm per præmi$$am quia punctus contingentiæ in $phæræ $uperficie cir- culum de$cribet. Hic uerò circulus minor erit circulo magno illius $phæræ. Quoniam $i intelligan- tur $uperficies $ecantes $e $uper diametrum $phæræ tran$euntes polos prædicti circuli & $phæram per æqualia $ecantes: patet quòd omnes illi circuli contingentes lineas habent illas, qu{ae} $unt lineæ longitudinis pyramidis ui$ionis: ergo per 58 th. 1 huius quilibet arcuum interiacentium ip$i $uper- ficiei $phæræ, & his $uperficiebus planis $ecantibus $ph{ae}ram, erit minor $emicirculo circuli magni. Verbi gratia, $it per 69 th. 1 huius circulus, qui e$t communis $ectio $uperficiei $phæræ & $uperficiei planæ tran$euntis per ui$um a extra $phæram exi$tent\~e, & per cen- trum $phæræ, quod $it b, circulus c s d: cuius centrum $it b: $it\’q; po- a s d b c lus circuli intellecti, $ecundum quem ba$is pyramidis ui$ionis $ecat $uperficiem $peculi pũctus s: producatur\’q; b s $emidiameter ad ui- $um a: & $it linea b s a: & à puncto a centro ui$us ducatur linea con- tingens circulum, quæ $it a c: & à puncto contingétiæ, qui e$t c, du- catur ad centrum b linea c b. Dico quòd arcus c s e$t minor quàm quarta circuli magni. Angulus enim b c a e$t rectus per 18 p 3: angu- lus ergo c b a e$t acutus: quia non po$$unt e$$e duo recti in eodem trigono a b c per 32 p 1: hunc autem angulum in centro exi$tentem re$picit arcus c s: palàm ergo per 33 p 6 quoniã ip$e minor e$t quàm quarta circuli. Et quia idem accidit in omnibus pũctis imaginato- rum circulorum, manife$tum quoniá quilibet arcuum illorum cir- culorũ e$t minor quàm quarta circuli magni. Ergo circulus termi- nans ui$um e$t minor circulo magno $phæræ propo$itæ. Et hoc e$t quod proponebatur. Tenet aut\~e hæc demõ$tratio in uno ui$u tan- tùm, uel in ambobus ui$ibus, dum modò diameter $peculi $phærici $it maior quàm di$tantia oculorum: quoniã i$tis exi$t\~etibus æqua- libus circulus maior $phæræ erit circulus propo$itæ $ectionis, & medietas $phæræ uidebitur. Si uerò di$tantia oculorum $it maior diametro $peculi, plus medietate $phæræ uidebitur: & erit communis $ectio circulus minor, ut hæe $unt demon$trata in 4 huius.

4. In $peculis $phæricis conuexis $ecundũ acce$$um ui$uum ad $pecula, circulorum ui$um terminantium quantitas mi- nuitur, ad rece$$um uerò augetur. f g h c b e d k a

E$to enim $peculum $phæricum conuexum, cuius centrum b: & $it centrum ui$us a: $it\’q; circulus terminás ui$um in $uper- ficie $peculi, quic g h e. Dico quòd $ecũdum acce$$um & rece$- $um ui$uum à $peculis, illorum circulorum quantitas mutatur: diminuitur enim $ecundum acce$$um, & augetur $ecũdum re- ce$$um. Sit enim cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $pe- culi circulus c d e f: cuius arcus c d e $it erectus $uper circulum c g h e, ui$am partem $peculi continentem: $it\’q ip$ius arcus c d e medius pũctus d: & ducátur line{ae} a c, a d b, c b, a e: erit\’q; per 18 p 3 angulus a c b rectus: accedat ergo ui$us $ecundũ lineá a b ad punctum k. Si ergo ui$us terminatur ad eundem circulum c g h e, ut prius: ducatur linea k c. Et quoniam per 16 th. 2 huius lon- gior radius à ui$u ad $phærá pertingens qua$i linea contingens e$t: patet per 18 p 3 quoniam angulus k c b e$t rectus: $ed & an- gulus a c b fuit rectus: e$t ergo rectus minor recto: quod e$t im- po$sibile. Exi$t\~ete ergo ui$u in puncto k, non terminabitur ui- $io ad circulum c g h e, $ed ad aliquem circulum ip$o circulo c g h e minorem. Quia enim inter duas lineas contingentes circu- lum, quæ $unt a c & a e, ab uno puncto a ductas, à puncto k du- cuntur aliæ duæ lineæ eundem circulum contingentes: palàm ergo per 60 th. 1 huius quòd puncta contingentiæ interiorum cadent intra puncta contingentiæ exteriorum. Minorem ergo arcum circuli comprehendent lineæ propinquiores quàm remotiores. Patet ergo prop$itum.

VITELLONIS OPTICAE 5. A quolibet puncto $uperficiei $peculi $phærici conuexi oppo$itæ ui$ui pote$t fieri reflexie adui$um. Alhazen 25 n 4.

E$to di$po$itio eadem, quæ in 3 huius: dico quòd à quolibet puncto portionis oppo$itæ ui$ui, ut à quolibet puncto arcus c s, & omnium $ibi $imilium arcuum pote$t fieri reflexio ad ui$um. Signe- tur enim aliquis punctus arcus c s, qui $it d: & ducatur $emidiameter d b. Palàm per 72 th 1 huius quoniam linea d b e$t perpendicularis $uper $uperficiem planam contingentem $peculum in pun- cto d. Cum itaq; forma puncti rei ui$æ puncto d inciderit, palàm per 27 th. 5 huius quia linea refle- xionis erit in eadem $uperficie cum $emidiametro d b & cum catheto a b ortho gonaliter cadente $uper $uperficiem $peculi, eò quòd tran$eat per centrum eius b. Et ducatur à puncto d linea contin- gens circulum c d s per 17 p 3, quæ $it linea h d k: erit ergo per 18 p 3 angulus b d krectus: erit ergo trigoni d b a angulus a d b o btu- a k f s d m b g c h $us. Si ergo producatur linea b d extra $phæram a d punctũ f: erit per 13 p 1 angulus fd a acutus: ideo quòd angulus b d a $it obtu- $us, ut patet ex præmi$sis per 13 p 1: & etiã ex hoc, quia cum linea a d cadatintra lineam a c$peculum contingentem: palàm per 57 th. 1 huius quia linea a d producta $ecabit $phæram $peculi: & $u- perficies contingens $phæram in puncto d, in qua $int lineæ h k, d g, decliuior erit quàm linea a d, $ecabit\’q; lineam a b. Et quia $e- midiameter b d e$t perp\~edicularis $uper $uperficiem h k d g $pe- culum in puncto d contingentem, erunt anguli f d k & f d h recti: ergo etiam erit angulus b d k rectus: angulus quoq; b d a maior recto, & angulus f d a minor recto. Refecato ergo ab angulo re- cto, quie$t f d h, angulum acutum æqual\~e angulo f d a per 27 th. 1 huius, qui $it m d f: erunt\’q; lineæ continentes hos angulos in ea- dem $uperficie. Punctus ergo rei ui$æ exi$tens in linea m d, & $u- perficiei $pecul incidens ad punctum d, reflectetur ad ui$um per lineam d a per 11 uel 20 th. 5 huius: continent enim lineæ m d & a dangulos æquales cum perpendiculari b f: & lineæ illæ inciden- tiæ & reflexionis, ut o$ten$um fuit per 25 th. 5 huius, erunt in ea- dem $uperficie, quæ erit $uperficies reflexionis erecta $uper $u- perficiem $ph{ae}ram $peculi in puncto d contingentem. Et eodem modo demon$trabitur de quolibetpũcto arcus c s, & cuiusslibet arcus $ui $imilis: hoc e$t de tota portione $peculi ui$ui oppo$ita: quoniam de quolibet dato puncto pote$teodem modo demon- $trari. Patet ergo quoniam à quolibet puncto $uperficiei $peculi $phærici conuexi oppo$itæ ui$ui pote$t fieri reflexio ad ui$um, $icut proponebatur.

6. In omni $uperficie reflexionis à $peculis $phæricis conuexis, centrum ui$us: & centrum $pe- culi: punctum reflexionis: & punctum reflexum cõ$i$tere e$t nece$$e: ex quo patet lineam à cen- tro ui$us ad centrum $peculi productam omnibus $uperficiebus $ectionum $ecundũ diuer$a pun- cta $pecula huiu$modi $ecantium communem e$$e. Alhazen 23. 25 n 4.

Hoc patet per 25 th. 5 huius. In omni enim $uperficie reflexionis nece$$ariò $unt linea incidentiæ & linea reflexionis: hæ autem lineæ continent tria puncta: punctum reflexum, & punctum refle- xionis, & centrum ui$us. Et quia quælibet illarum $uperficierum e$t erecta $uper $uperficiem $pe- culi, à quo fit reflexio: erunt lineæ in ip$a productæ, quæ $unt erectæ $uper $uperficiem $peculi, cen- trum $peculi tran$euntes per 72 th. 1 huius: manife$tum ergo quia quælibet illarum $uperficierum tran$it centrum $phæræ. In qualibet ergo $uperficierũ reflexionis $unt præn ominata quatuor pun- cta: centrum ui$us: c\~etrum $peculi: punctum reflexionis: punctum reflexum. Ex his patet, quia cum $uperficierum planarum $e inter$ecátium communis $ectio $it linea recta, ut patet per 3 p 11, i$tarum $uperficierum nece$$ariò communis $ectio erit linea à c\~etro ui$us ad centrũ $peculi producta: quo- niam alijs duobus punctis uariatis $ecundũ numerum $uperficierum reflexionis, hæc duo puncta $cilicet centrũ ui$us & c\~etrum $peculi in talibus $uperficiebus $emper man\~et. Patet ergo propo$itũ.

7. Omnis linea reflexionis (præter lineas conting\~etes) $ecat circulum (qui e$t communis $e- ctio $uperficiei reflexionis, & $uperficiei $peculi $phærici conuexi) in duobus tantùm punctis: in puncto uidelicet reflexionis & in puncto alio portionis $uperficiei $peculinon apparentis.

Sit communis $ectio $uperficiei $peculi $phærici conuexi & $uperficiei reflexionis circulus a b c d: cuius centrum $it punctum g: & $it centrum ui$us e: à quo ducantur lineæ conting\~etes illum cir- culum, quæ $int e a & e c. Palàm ergo per 2 huius quoniam à toto arcu a b c fit reflexio ad ui$um. Sitergo ut à puncto b, quod e$t inter puncta a & c, fiat reflexio ad ui$um e: & $it linea refle- xionis b e. Dico quòd linea e b producta ultra punctum b $ecabit circulum a b c in aliquo puncto arcus $peculi non apparentis, quod $it d. Ducatur enim diameter ui$ualis e fg h diuidens circulum per æqualia in duos $emicirculos, qui $unt f c h, & f a h: o$ten$um e$t autem per 57 th. 1 huius LIBER SEXTVS. quoniam ab uno puncto ad datum $emicirculum tantùm unam lineam contingentem duci e$t po$- $ibile: & coo$ten$um ibie$t quòd omnis linea ab eodem puncto $ub linea contingente ducta, $ecat $emicirculum in puncto uno $upra d h g c a b f e punctum contingentiæ & in alio $ub ip$o. Patet ergo, cum à puncto e ducatur linea e c circulum contingens, & ab eodem puncto e du- catur $ub linea contingente linea e b, quoniam linea e b $ecat $emi- circulum f c h in uno puncto $upra illum punctum conting\~etiæ, qui $it d, & in alío puncto b $ub illo puncto c, qui e$t terminus portionis arcus apparehtis ui$ui. Punctus ergo d cadit in portione c d a non apparente ui$ui. Quod e$t propo$itũ. Eod\~e ergo modo de quolibet puncto arcus a f pote$t demõ$trari. Patet ergo, quod proponebatur.

8. In omni reflexione à $peculis $phæricis couexis, linea à cen- tro $peculi ad punctũ reflexionis ducta, diuidit angulum à lineis incid\~etiæ & reflexionis cõtentũ per duo æqualia. Alhaz. 13 n 4.

Sit centrum ui$us a: & punctus rei ui$æ per reflexionem à $pecu- lo propo$ito $it b: $it\’q cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $pe- culi circulus c d e: cuius c\~etrum $it f: & reflectatur forma puncti b ad ui$um a à pũcto $peculi d: & ducatur linea d f. Dico quòd linea f d {pro} ducta extra circulum ad punctum g, diuidit angulũ a d b per æqua- lia: ita ut angulus a d g $it æ qualis angulo g d b. Ducatur enim linea contingens circulum c d e in puncto d per 17 p 3, quæ $it h k: erunt ergo per 18 p 3 anguli f d k & f d h recti: ergo per 13 p 1 anguli g d k & g d h $unt recti & æquales: $ed an- b g a k d h e f c gulus b d k cũ $it angulus incid\~etiæ, e$t per 20 th. 5 huius æqualis an gulo a d h, qui e$t angulus reflexionis: remanet ergo angulus a d g {ae}qualis angulo g d b Linea ergo f d producta à c\~etro $peculi ad pun- ctum reflexionis, quod e$t d, diuidit angulum a d b per æqualia. Pa- tet ergo propo$itum.

9. In conuexis $peculis $phæricis omnem lineam reflexionis cum catheto incidentiæ ab eodem puncto ad centrũ $peculi productam, concurrere e$t nece$$e. Alhazen 8 n 5.

E$to communis $ectio $uperficiei reflexionis & conuexi $peculí $phærici circulus g d: cuius centrum $it z: & $it centrum ui$us pun- ctum b: punctus\’q; rei ui$æ $it a: reflectatur\’q forma puncti a ad cen- trũ ui$us b à puncto $peculi d: & $it linea reflexionís d b: linea quoq; incidentiæ $it a d, Ducatur itaq; linea à puncto dato a ad centrũ $pe- culiz, quæ $it cathetus a z, $ecans $uperficiem $peculi in puncto g: & copuletur linea d z: & producatur b d intra $peculum, donec cõcurrat cum linea a z (concurret au- tem per 29 th. 1 huius: quoniã enim linea b d producta $ecat angulum a d z, ut patet per præcedentem & per 15 p 1: ergo $ecabit & ba$im a z) b a d g e z $ititaq; punctus concur$us e: e$t autem linea a z cathetus incidentiæ punctia, ut patet per definitionem catheti, & per 72 th. 1 huius. Patet ergo propo$itum, quoniam linea reflexionis concurrit cum catheto incidentiæ. Quod autem hic de concur$u lineæ incidentiæ cum ca- theto incidentiæ demon$trauimus, hoc adiunximus propter 37 th. 5 huius: $ecũdum enim utramq; illarum linearum e$t nece$$arium fieri ui$ionem: quoniam $ecũdum lineam reflexionis forma reflectitur ad ui$um, & $ecundum cathetum incid\~etiæ re$picit res ip$um $peculum, à cuius $uper$icie $orma rei ui$æ reflectitur ad ui$um.

10. Centro ui$us po$ito in catheto incid\~etiæ $uper $peculum $phæ- ricum conuexum incidente: ab uno tantùm puncto $peculi fiet re- $lexio: & uidebitur imago in $uperficie $peculi in ip$o $cilicet puncto reflexionis: ni$i fortè propter continuitatem $ui cum punctis al{ij}s formæ ui$æ ad alium locum imaginis pertrahatur. Alhazen 19 n 5.

Often $um e$t per 32 th. 5 huius quòd omnis perpendicularis reflectitur in $eip$am: nunc autem o$ten demus, quod hic proponitur. Sit ergo g centrum ui$us: & d centrum $peculi propo$iti: $it\’q g k z d cathetus in cid\~etíæ, ducta à centro ui$us ad $peculum, $ecans $uperficiem oculi in puncto k, & incidens $uperficiei $peculi in puncto z. Dico quod $olius puncti k forma reflectitur ad ui$um: quo- niam de alijs punctis lineæ d g quibu$cunq; datis, quantùm ad ip $orum reflexionem, eodem modo demon$trandum, ut in 32 th. 5 huius. Sed neq; aliquod punctum huius line{ae} reflectitur ab alio pun- cto $peculi. Dato enim quòd ab alio puncto fiat reflexio: $it illud aliud punctum a: & ducatur li- nea g a, quæ $it linea reflexionis: ducatur quoque linea incidentiæ ad punctum a ab aliquo puncto VITELLONIS OPTICAE lineæ g d, cuius forma à puncto a reflectitur, qui $it x: hæc ergo linea x a cõtinebit angulum cum li- nea g a, qui $it x a g: & ducatur diameter d a: h{ae}c ergo extra circulum x e g k z a d producta nece$$ariò diuidet angulum x a g per æqualia per 8 huius: eò quod ueniens à c\~etro $peculi & ad i$tum punctum reflexionis e$t- perpendicularis $uper lp$um: concurret ergo diameter d a cum per- pendiculari g d inter punctum x reflexum & punctum g c\~etrum ui- fus. Sic ergo duæ lineæ rectæ, quæ $unt x d & d a, in duobus punctis concurrent, & $uperficiem continebunt: quod e$t impo$sibile. Patet ergo propo$itum: quoniam ab uno tantùm puncto $peculi reflexio- nem fieri e$tnece$$e: ergo & una tãtùm uidebitur imago. Et quia lo- cum ip$ius nulla linearũ inter$ectio determinat, ut patet per 37 th. 5 huius, palàm quòd illa imago uidetur in proprio loco $uo: hoc aut\~e e$t in $uperficie ip$ius $peculi in puncto $cilicetreflexionis: ni$i fortè propter cotinuitatem $ui cum punctis alijs formæ naturalis ui$æ ad locum alium imaginis pertrahatur. Pater ergo propo$itum.

11. Locum imaginis ui$æ in $peculis $phæricis conuexis in con- cur$u lineæ reflexionis cum catheto inctdentiæ nece$$e eft e$$e: ex quo patet, quòd in omnireflexione ab his $peculis facta, $emper imago totius rei ui$æ continetur in aliqua linea inter loca imagi- num $uorum extremorum punctorum producta: patet etiã quòd in his $peculis po{$s}ibile e$t locum imaginis inueniri. Euclides 17 th. catoptr. Alhazen 3. 16 n 5.

Quòd linea reflexionis concurrat cum catheto incidentiæ, patet per 9 huius: pote$t & idem de- mon$trari aliter. Sit enim punctus rei ui$æ a: c\~etrum oculi b: punctus reflexionis g: centrum $peculi n. Palàm itaq; per 25. th. 5 huius quòd a g linea incidentiæ, g b linea reflexionis $unt in eadem $uper- ficie erecta $uper $uperficiem $peculum in puncto g contingentem. Linea itaq; communis $uperfi- ciei reflexionis & $uperficiei $peculi $it circulus z g q: & linea cõmunis $uperficiei contingenti $pe- culum in puncto g & $uperficiei reflexionis $it linea e g p: ducatur\’q; linea h g perpendicularis $uper lineam e g p per 11 p 1. Et patet per 19 p 3 quòd linea h g producta per- a h b e g p d z n q tinget ad centrum circuli z g q: qui cum $it circulus magnus, ut patet per 1 huius: palàm quòd centrũ eius e$t c\~etrum ip$ius $peculi. Tran- $it ergo linea h g producta ultra punctum g per c\~etrum $peculi, quod e$t n: aliter enim linea à centro $peculi ad pũctum g ducta erit etiam perpendicularis $uper lineam p g e, & linea h g producta e$t perpen- dicularis $uper eandem: ab eodem ergo puncto ad eũdem punctum lineæ rectæ continget ducere duas perpendiculares $uper unam li- neam: quod e$t impo$sibile. Pertinget ergo linea h g ad punctum n. Ducatur ergo linea a n à puncto ui$o ad centrum $peculi: erit\’q; linea a n per 72 th. 1 huius perpendicularis $uper $uperficiem $peculi: ergo & $uper $uperficiem contingent\~e $peculum in puncto illo, per quem tran$it. Et quia inter duas lineas h g & p g angulum rectum cõtinen- tes cadit linea b g: palàm quia ip$a non contingit circulum z g q: ip$a ergo producta $ecat circulum: concurret ergo cũ linea a n: $it, ut con- currat in puncto d. Cum itaq;, ut patet per 6 huius, punctum a, cuius forma à puncto $peculi g reflectitur, & centrum $peculi, quod e$t n, nece$$ario $int in eadem $uperficie: erit ergo per 1 p 11 linea a n in ea- dem $uperficie cum linea b g. Palàm ergo per 37 th. 5 huius quia pun- ctus d erit locus imaginis: quoniam ip$e e$t pũctus communis lineæ reflexionis, in qua nece$$ariò e$t forma, & lineæ a n, quæ e$t cathetus incidentiæ formæ puncti a, $e- cundum quam, ut $ecun dum lineam breuiorem, nece$$ariò uidetur forma. Patet ergo principaliter propo$itũ per 37 th. 5 huius. Et per hoc patet corollarium, quòd in omni reflexione à $peculis $ph{ae}- ricis conuexis facta, $emper imago totius rei ui$æ continetur in aliqua linea inter loca imaginum $uorum extremorum punctorum producta: quoniam catheti incid\~etiæ punctorum mediorum ca- dunt $emper inter cathetos incidentiæ punctorum extremorũ: nec enim catheti incidentiæ ab ali- quo illorum punctorum extremorum productæ ad centrum $peculi, $ecare po$$unt aliquam cathe- tum incidentiæ punctorum mediorum. Patet etiam quòd in his $peculis cuiu$cunq; puncti rei ui$æ po$sibile e$t locum imaginis inueniri: producta enim linea recta à puncto quocunq; ui$o per refle- xionem ad centrum $peculi, & producta linea reflexionis ad cõcur$um cum illa: erit punctus com munis $ectionis illarum linearum $emper locus imaginis. Et hoc proponebatur.

12. Cathetum incidentiæ linea reflexionis à circulo (qui e$t communis $ectio $uperficiei refle- xionis & $peculi $phærici conuexi) $ecante, & à puncto reflexionis duct a recta illum circulum contingente, quæ $ecet cathetum: erit totius catheti proportio ad inferiorem part\~e $ui re$ectam LIBER SEXTVS. uer$us centrum $icut partis extrin$ecus re$ectæ per contingentem ad eam partem, quæ utra$<005> interiacet $ectiones. Alhazen 18 n 5.

Maneat di$po$itio figuræ præcedentis: dico quòd proportio totius lineæ a n ad lineam n d e$t, $icut proportio lineæ a e ad e d. Quia enim angulus b g h æ qualis e$t angulo h g a per 8 huius: angu- lus uerò b g h æ qualis e$t angulo d g n per 15 p 1, quia $unt anguli cõ- y g a e g p d z n q tra $e po$iti: patet quòd angulus h g à æ qualis e$t angulo d g n. Et quia anguli n gle & h g e $unt recti per 18 p 3: ideo quod linea e g e$t perpendicularis $uper lineam h g n: patet quòd æ qualibus angulis ab his hinc inde demptis, erunt anguli a g e & d g e æquales. E t quia in trigono a g d linea g e angulum a g d per æ qualia $ecat: palà m ex 3 p 6 quia proportio lineæ a e ad lineã e d e$t; $icut lineæ a g ad lineam d g. Protrahatur itaq; à puncto a linea æ quidi$tans lineæ d g p er 31 p 1 concurrens cum linea h n in puncto h: quæ $it h a (cõcurrent autem illæ lineæ per 2 th. 1 huius) erit ergo per 29 p 1 angulus n g d æ qualis angulo g h a: $ed ex præmi$sis patet quòd angulus n g d æqualis e$t angulo a g h: e$t ergo angulus a g h æ qualis angulo a h g: ergo per 6 p 1 erit latus a g æquale lateri a h: ergo per 7 p 5 erit proportio lineæ a g ad g d, $icut lineæ a h ad g d: $ed proportio line{ae} a h ad g d e$t $icut proportio lineæ a n ad d n per 29 p 1 & per 4 p 6: quia ergo quæ, e$t proportio lineæ a h ad d g, eadem e$t lineæ a n ad d n: proportio ue- rò lineæ a h uel a g ad d g, ut patet ex pr{ae}mi$sis, e$t, $icut proportio li- neæ a e ad e d: ergo per 11 p 5 e$t proportio lineæ a n ad n d, $icut li- neæ a e ad e d. Quod e$t propo$itum: quoniam linea e d utra$q; in- teriacet $ectiones.

13. In omni $peculo $phærico conuexo linea recta interiacens centrum $peculi; & locum imæ. ginis, maior e$t rect a interiacente locum imaginis & punctum reflexionis. Alhazen 17 n 5.

Sit di$po$itio quemadmodum in præced\~ete: dico quòd linea n d e$t maior quàm linea d g. Secet enim linea p g e lineam a n in puncto e: palàm quòd punctum e di- a h b e g p f d z n q citur $inis contingentiæ, ut patet ex principijs libri huius 6 defini tione. Et quia per pr{ae}cedentem e$t proportio lineæ a n ad lineam n d, $icut lineæ a e ad lineam e d: proportio uerò lineæ a e ad e d per 3 p 6, e$t $icut proportio line{ae} a g ad g d: quoniá, ut præo$t\~e$um e$t, li- nea e g diuidit angulum a g d per æ qualia: e$t ergo proportio lineæ a n ad n d, $icut lineæ a g ad lineam g d per 11 p 5: ergo per 16 p 5 erit permutatim proportio lineæ a n ad a g $icut line{ae} d n ad d g: $ed per 19 p 1 linea a n e$t maior quàm a g: ideo quòd angulus a g n e$t obtu- $us, cum $it maior angulo n g e recto: ergo linea n d e$t maior quàm linea d g. Et quia per 11 huius punctus d e$t locus imaginis: patet quòd linea n d interiacens centrum $peculi & locum imaginis e$t maior linea d g interiacente locum imaginis & punctum reflexio- nis, quod e$t g. Patet ergo propo$itum.

14. Ducta catheto incidentiæ ad centrum circuli, qui e$t com- munis $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi $phærici conuexi: ducta quo<005> & linea in puncto reflexionis eundem cir- culum contingente: pars catheti interiacens finem contingentiæ & circumferetiam circuli $emidiametro eiu$dem circuli e$t mi- nor. Alhazen 18 n 5.

Remaneat omnino di$po$itio, quæ $uprà. Et quia punctus e e$t finis contingentiæ: inter$ecet li- nea a n circumfer\~etiam circuli in puncto f. Dιco quòd linea e f e$t minor $emidiametro circuli, quæ e$t f n. Quoniam enimm, ut patet ex pr{ae}mi$sis in proximo theoremate, proportio lineæ a g ad g d e$t, $icut proportlo lineæ a e ad e d: & proportio lineæ a n ad d n e$t, $icut lineæ a d ad d g: igitur per 11 p 5 erit proportio lineæ a n ad d n, $icut lineæ a e ad e d: ergo per 16 p 5 erit perinutatim proportio li- neæ a n ad a e, $icut d n ad d e: $ed linea a n e$t maior quàm linea a e, quoniam totum e$t maius $ua parte: ergo linea d n e$t maior quàm linea d e: erit ergo linea d n multò maior quàm linea f e, qu{ae} e$t pars ip$ius d e: multò magis ergo linea n f erit maior quàm linea f e. Quod e$t propo$itum.

15. Lineæ reflexionis formæ eiu$dem punctià diuer$is punctis $peculi $phærici conuexi non $unt æquidi$tantes: attamen in centro unius ui$us non concurrunt. Ex quo patet quòd unus ui- $us non pote$t uidere idolum eiu$dem formæ reflexum à diuer$is punctis eiu$dem $peculi $phæri- ci conuexi. Euclides 4 th. catoptr. Ptolemæus 8 th. 1 catoptr. VITELLONIS OPTICAE

E$to centrum ui$us b: & punctus rei ui$æ $it e: $it\’q; cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $pe- culi $phærici conuexi circulus a g: incidat\’q; punctus e diuer$is punctis $peculi in circulo a g:quæ $int a & g. Dico quòd duæ lineæ reflexionis b a & b g non $untæquidi$tante s: attamen in unius centro ui- b e n a f g $us non concurrent. Dato enim quòd concurrant in puncto b: ducatur intra circulum chorda arcus a g: quæ $it recta a g: & producatur extra circulum u$q; ad punctũ f e x parte a, & ex parte g u$q; ad punctum n. Et quia per 20 th. 5 huius angulus e g n e$t æqualis angulo b g a: $ed angulus e g n maior e$t angulo e a g per 16 p 1: ergo angulus b g a maior e$t angulo e a g: $ed angulus b a f maior e$t angulo b g a per 16 p 1: er- go angulus b a f e$t maior angulo e a g. Non ergo re- flectitur form a puncti e ad ui$um exi$t\~etem in pun- cto b à puncto $peculi a per 20 th. 5 huius. Et tamen quia angulus b a f non e$t æqualis angulo b g a, $ed minor: ideo quia per 16 p 1 angulus e g n e$t maior angulo e a g: ergo per 20 th. 5 huius, & ex hypothe$i erit angulus b g a maior angulo b a f Palàm ergo per 14 th. 1 huius quia duæ lineæ b a & b g non $unt æquidi$tantes: $ed ut patet ex præmi$sis, ip$æ nun- quam concurrent in puncto b, in quo e$t centrum ui$us. Patet ergo propo$itum. Et per hoc patet quòd unus ui$us non pote$t uidere idolum eiu$dem formæ à diuer$is punctis talium $peculorum reflexum. Quod proponebatur.

16. A $uperficie $peculi $phærici conuexi non pote$t forma alicuius puncti ad ui$um unum, ni$i à $olo puncto reflecti: & una $ola imago ui$ui occurrit. Alhazen 29 n 5.

Quoniam enim per 10 huius patet quòd forma perpendiculariter huiu$modi $peculo incidens, centro ui$us in illa perpendiculari exi$tente, ab uno tantùm puncto reflectitur ad ui$um: non opor- tet nos nunc propo$itũ ni$i de lineis obliquè his $peculis $phæricis conuexis incidentibus demon- $trare. Sit ergo punctum ui$um b: & centrum ui$us à: & non $it punctum a in perpendiculari ducta à re ui$a a d centrum $peculi, quod $it n. Dico quòd $orma puncti b reflectitur ad a centrum ui$us ab uno $olo puncto $peculi: & una $ola imago ui$ui occurrit. Palàm enim per 5 huius quòd ui$ibili, in quo e$t punctum b, modo conuenienti oppo$ito ip$i $peculo, ab aliquo puncto $uperficiei $peculi pote$t reflecti forma puncti b ad ui$um a. Sit illud punctum reflexionis g: & ducantur lineæ b g & a g: & ducatur cathetus incidentiæ, qu{ae} $it b n, $ecans $uperficiem $peculi in puncto l: & $it a n diame- ter ui$ualis, $ecans $uperficiem $peculi in puncto r. Sint quoq; pũcta d & e termini portionis $uper- ficiei $peculi ui$ui oppo$itæ: producatur\’q; linea reflexionis a g: quæ producta ultra punctum g $e- cabit per 9 huius perp\~edicularem b n: $ecet ergo illam in puncto q, qui punctus q, ut patet per 11 hu- ius, e$t locus imaginis. Palàm itaque per 6 huius quia puncta a, n, b $unt in eadem $uperficie ortho- b k a p f m j z s t r e o q h n d gonali $uper $uperficiem $peculi. Et quia $uperfi- cierum erectarum $uper $phæram $peculi, in qui- bus $unt puncta b & n, nulla ext\~edi pote$t ad pun- ctum a, quod e$t centrũ ui$us, ni$i una tantùm: quo niam punctus a e$t in diui$ibilis, qui ad $uperficies $e circa ip$um uel lineam, in qua e$t, non $ecantes communis e$$e non pote$t: tũc palàm quia puncti a & b $unt tantùm in una $uperficie erecta $uper $phæram $peculi, & non in pluribus. Non ergo fiet reflexio pũcti b ad ui$um a, ni$i in circulo $phæræ, qui e$t cõmunis $ectio $uperficiei $peculi & $uper- ficiei a n b. Sit ergo hic circulus d g e. Dico quòd à nullo puncto huius circuli d g e, præterquam à $o- lo punctò, quod propo$itum e$t e$$e g, $iet reflexio formæ puncti b ad a c\~etrum ui$us. Si enim $it po$- $ibile fieri reflexionem ab alio puncto circuli d g e, quàm à puncto g: $it ille datus punctus l, in quo ca- thetus incid\~etiæ, qu{ae} e$t b n, $ecat $uperficiem $pe- culi. Cum itaq; linea b n $it perpendicularis $uper $uperficiem $peculi, & linea a l nõ $it perpendicu- laris $uper illam, quia non tran$it centrum $peculi, quod e$t n: & forma $ecundum lineam perpendi- cularem ueniens, nece$$ariò $ecundum perpendi- cularem reflectatur quoniam $emper angulus incid\~etiæ e$t æqualis angulo reflexionis: palàm quia non reflectitur forma puncti b ad ui$um a à pũcto l. Palàm etiã quòd non reflectetur ab aliquo pun- LIBER SEXTVS. cto arcus le: hocenim e$t impo$sibile: quia ad quodcunq; punctũ illius arcus ducatur linea à pun- ctob, tenebit cum linea conting\~ete circulum ín puncto illo, angulũ obtu$um expartee. Ideo enim quòd angulus contentus $ub diametro circuli, & linea in illo puncto circulum contingente e$t re- ctus per 18 p 3, & illa $emidiameter educta non peruenit ad punctum b, quoniam ibi peruenit $emi- diameter n l: erit ergo angulus contentus $ub linea ducta à puncto b, & $ub illa linea contingente exparte punctib, nece$$ariò obtu$us: & linea ducta à puncto a tenebit cum illa linea contingente in puncto dato angulum acutum uer$us l: linea enim à centro $peculi ad punctum illum cõtingen- tiæ perueniens tenebit cum linea contingente circulum in illo puncto angulum rectum per 18 p 3: â puncto uerò a linea ueniens cum eadem contingente tenebit angulum minorem recto ex parte puncti k h{ae}c enim contingen\‘s à puncto a ducinon pote$t, quod patet per 57 th. 1 huius, quoniam li- nea a e $uperficiem $peculi e$t contingens exhypothe$i: propter hoc, quia lineæ a e & b d continent arcum circuli d g e ui$ui apparentem, qui per 2 huius à $uperficie $peculi non apparente ui$ui per li- neas contingentes determinatur, Quare $i ab illo puncto $ieret reflexio, tunc per 20 th. 5 huius ac- cideret, quòd e$$et angulus acutus æ qualis obtu$o: quod e$t impo$sibile. Non ergo fiet reflexio ab aliquo puncto arcus l e. Sed etiam à nullo puncto arcus gl pote$t in hac di$po$itione fieri reflexio. Sit enim, $i po$sibile e$t, ut fiat à puncto z: & ducatur linea a z o, $ecans cathetum incid\~etiæ, quæ e$t b n, in puncto o: & ducatur linea contingens circulum in puncto z: hæc ergo contingens nece$$ariò cadet inter lineas b g & b l, quoniam punctus z e$t inter punct a g & l. Sit ergo illa contingens linea z m: & $it g flinea contingens circulum in puncto g: $ecet\’q; linea z m cathetum incidentiæ in pun- cto m: & linea g fin puncto f. Palàm ergo per 12 huius quòd proportio lineæ b n ad lineam n q e$t. $icut lineæ b f ad lineam $ q: & $imiliter erit proportio lineæ b n ad n o, $icut proportio lineæ b m ad m o: $ed quia linea o n maior e$t quàm linea q n, quoniam totum maius e$t $ua parte: erit per 8 p 5 li- neæ b n ad n q maior proportio quàm ad lineam n o: maior ergo proportio e$t lineæ b f ad $ q quàm lineæ b m ad m o: quod e$t impo$sibile, & contra 9 th. 1 huius, cum linea b f $it minor quàm linea b m, & f q $it maior quàm m o: re$tat ergo ut à puncto z non fiat reflexio. Sed neq; ab aliquo alio pun- cto arcus g l: quoniam dato quocunq; puncto alio à puncto z, pote$t fieri deductio præmi$$o modo. Similiter quoq; nec ab aliquo puncto arcus g d fiet reflexio. Si enim fiat ab aliquo, $it i$tud t: & du- catur linea b t, & linea a th $ecans cathetum b n in puncto h: & ducatur contingens circulũ in pun- cto t, quæ $it t p, $ecans cathetum b n in puncto p. Erit ergo per 12 huius proportio lineæ b n ad n h. $icut lineæ b p ad p h, & lineæ b n ad n q e$t $icut lineæ b f ad $ q: $ed maior e$t proportio lineæ b n ad n h, quàm lineæ b n ad n q per 8 p 5: maior e$t ergo proportio lineæ b p ad p h, quàm lineæ b f ad f q: quod e$t impo$sibile, & contra 9 th. 1 huius: maioris enim ad minorem maior e$t proportio, quàm minoris ad maiorem per eandem 9 th. 1 huius: e$t enim linea b f maior quàm b p, & p h maior quàm f q. Palàm ergò quòd à nullo pũcto arcus g d fiet reflexio formæ pũcti b ad ui$um a. Quodlibet ergo punctũ formæ ui$æ ab uno $olo puncto $peculi conuexi $phærici ad ui$um reflectitur: una $ola ergo erit linea reflexionis cuiuslibet puncti ui$i: $ed e$t etiam unica cathetus incid\~etiæ per 20 th. 1 huius: unicus ergo punctus e$t, in quo illæ lineæ rectæ $e $ecant, qui e$t locus imaginis, ut patet per 11 hu- ius. Vnius ergo puncti eius e$t unica imago. Et hoc e$t propo$itum.

17. In una catheto incid\~etiæ $uperficiei $peculi $phærici conuexi $umptis duobus punctis, que rum formæ à $uperficie $peculi $int reflexibiles ad unum ui$um: erit punctus reflexionis puncti b k u a p e l g t q n d propinquioris centro $peculi remotior à centro ui$us, quàm puncti remotioris ab eodem centro $peculi $it ab ip$o centro ui$us. Alhazen 30 n 5.

Reman\~ete di$po$itione, quæ in pr{ae}cedente, $int in catheto incid\~etiæ, quæ e$t n b, duo pũcti $igna- ti, qui $int p & b: $it\’q; punctus p propinquior cen- tro $peculi puncto $cilicent n, c\~etro circuli d g e, qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $u- perficiei $peculi dati: & $it punctus b remotior ab eodem centro: & $it a c\~etrum ui$us: & $it locus re- flexionis puncti b punctus g. Dico quòd punctus reflexionis form{ae} punctip remotior e$t à c\~etro ui- $us, qui e$t punctus à, quàm g, qui e$t punctus re- flexionis formæ puncti b. Ducantur enim à pun- cto a du{ae} lineæ contingentes circulum, & portio- nem circuli oppo$itam ui$ui contin\~ees per 2 hu- ius, quæ $int a e & a d: & $it punctus, in quo cathe- tus b n $ecat circulum propo$itum, punctusl. Pa- làm ergo quòd forma puncti p non reflectitur à puncto l ad punctum a: quoniam $ola perpendicularis ui$ualis reflectitur in $eip$am per 10 huius: neq; reflectitur forma puncti p à puncto g: quoniam ab illo reflectitur forma puncti b, ut patet per VITELLONIS OPTICAE præmi$$am: $ed nece$$e e$t ut refle ctatur ab aliquo puncto arcus g l inter puncta g & l. Sienim de- tur quòd ab aliquo puncto arcus g d fiat reflexio formæ puncti p ad ui$um: $it illud punctum t: $it\’q; p tlinea incidentiæ formæ puncti p: ducatur itaq; ad punctum t perpendiculàris n t u: hæc ergo per 8 huius nece$$ariò diuidit angulum p t a per æqualia. Ducatur quoq; ad punctum g perpendicula- ris n g k: palàm ergo per 21 p 1 quòd angulus n t a maior e$t angulo n g a: angulus ergo u t a (qui per 13 p 1 e$t re$iduum duorum rectorum $uper angulum n t a) e$t minor angulo k g a, qui e$t re$iduum duorum rectorum $uper angulum n g a: $ed angulus k g a per 8 huius æ qualis e$t angulo b g k: an- gulus ergo u t a e$t minor angulo b g k: angulus ergo p t u (qui per 8 huius e$t æqualis angulouta) minor e$t angulo b g k: $ed angulus p t u ualet angulum p n t, & angulum t p n per 32 p 1, & angulus b g k ualet angulum g b n, & angulum g n b per eandem 32 p 1: erũt ergo duo angulitnp & t p n mi- nores duobus angulis g b n & g n b: quod e$t impo$sibile: cum angulus pnt contineat angulum b n g, tanquam partem $ui, & angulus t p n $it maior angulo g b n per 16 p 1. Palàm ergo quòd punctus p non reflectitur ni$i ab aliquo puncto arcus g linteriacente puncta g & l Et quoniam inter puncta g & l punctus g e$t propinquior puncto a, qui e$t centrum ui$us: patet quòd omne punctum arcus g l aliud à puncto g, e$t remotius à centro ui$us a, quàm punctumg, quod e$t punctum reflexionis formæ puncti b. Punctum ergo reflexionis formæ puncti propinquioris centro $peculi, e$t remo- tius à centro ui$us, quàm punctus reflexionis formæ puncti remotioris à centro $peculi. Quod e$t propo$itum.

18. Formæ omnium punctorum æqualiter di$tantium à centro $peculi $phærici conuexi, $e- cundum æquales angulos $ub cathet is incidentiæ & diametris ui$ualibus in centro $peculi con- tentos reflectuntur ad ui$us.

Sit communis $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi $phærici conuexi circulus a b c: cuius centrum $it d: patet\’q; per 1 huius quoniam punctum d e$t centrum $peculi: $int\’q; duo puncta e & f æqualiter di$tantia à centro $peculi, quod e$t d: erunt ergo lineæ e d & f d æ quales. Dico quòd nece$- $arium e$t formas illorum punctorum reflecti ad ui- k g e f a m h l c g d $um $ecundum angulos æ quales: ut $i forma puncti e reflectatur ad ui$um exi$tentem in puncto g à puncto $peculi h: & forma punctif, quæ per præmi$$am non pote$t reflecti ad ui$um g à pũcto h, reflectatur ad ui- $um exi$tentem in puncto k à puncto l: & ducantur li- neæ g d & k d: dico quòd angulus e d g e$t æ qualis an- gulo f d k. Sit enim, ut cathetus incid\~etiæ, quæ e$t e d, $ecet circulum in pũcto a: & cathetus f d in puncto b: & diameter ui$ualis g d $ecet circulum in puncto c, & diameter k d in puncto m. Quia itaque lineæ e d & f d $unt æ quales, patet per præmi$$am, quoniam puncta reflexionis, qu{ae} $unt h & l, æ qualiter di$tant à ui$ibus, ad quos reflectuntur, ut quantùm di$tat h punctus re- flexionis à puncto c, in quo diameter ui$ualis g d $ecat circulum, tantùm di$tat punctus reflexionis, qui e$t l, à puncto m, in quo diameter ui$ualis, quæ e$t k d, $ecat circulum: quoniam punctus reflexionis formæ puncti minus di$tantis à centro $peculi fit per præ mi$$am remotior à centro ui$us, & plus di$tantis propinquior. Ergo in illis, quæ æqualiter di$tant, erit æ qualitas di$tantiæ à ui$ibus, ad quos reflectuntur. Nec e$t in hoc diuer$itas, $iue aliqua puncta $int in diuer$is cathetis incidentiæ, uel in una: $emper enim punctorũ æ qualiter di$tantium à centro eiu$dem $peculi, eadem e$t habitudo & ratio reflexionis: arcus ergo h c e$t æ qualis arcui l m: & eadem ratione e$t arcus a h æ qualis arcui b l. Quoniã ergo per 33 p 6 peripheria circuli ($icut & per 87 th. 1 huius tota $uperficies $peculi) æ qualiter $e habet ad centrum: & puncta e & f æ quali- ter di$tant ab eodem centro: totus ergo arcus a c e$t æ qualis toti arcui b m: ergo per 27 p 3 angulus e d g e$t æ qualis angulo f d k. Quod e$t propo$itum.

19. Impo$sibile e$t duo puncta æqualis di$tantiæ à centro $peculi $phærici conuexi, ex eadem parte diametri ui$ualis exi$tentia, ab arcu (qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $u- perficiei $peculi) adeundem ui$um reflecti.

Sit communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $phærici conuexi circulus a b c, cuius cen- trum $it punctum d: & $int duo puncta æ qualiter di$tantia à centro $peculi, quæ $inte & f: $it\’q; cen- trum ui$us in puncto g, in eadem $uperficie cum punctis e & f, & exuna parte ip$orum: $it\’q; pun- ctum e remotius à puncto g quàm puuctum f. Dico quòd illa duo puncta e & fnon e$t po$sibile re- flecti ad unum ui$um exi$tentem in puncto g. Ducantur enim lineæ e d, f d, g d: pater itaq; ex hypo- the$i quòd angulus e d g e$t maior angulo f d g, $icut totum $ua parte: fiat itaq; $uper punctum d ter- minum lineæ f d angulus æ qualis angulo e d g per 23 p 1, qui $it f d h. Palàm ergo per præcedentem, LIBER SEXTVS. quoniam forma puncti frefle ctetur ad punctum h, quod erit ultra punctum g: nõ ergo ad punctum g per 15 huius. Patet ergo propo$itum. Si enim detur, ut reflectatur ad pũctum g, erit per præ- mi$$am angulus partialis, qui f d g, æqualis an- gulo e d g: quod e$t impo$sibile.

y a e p g c f g 20. Puncto rei ui$æ & centro ui$us æqua- liter à $uperficie $peculi $phærici conuexi di- $tantibus, punctum reflexionis inuenire. Alhazen 31 n 5.

E$to b pũctus rei ui$æ: & $it a c\~etrum ui$us: $it quoq; dati $peculi conuexi $phærici c\~etrum c: & $it circulus (qui e$t cõmunis $ectio $uper- ficierum reflexionis & $peculi) quie f g: & du- cantur catheti b c & a c, $ecantes circulum in punctis f & g. Quia ergo propter æ qualitatem altitu- dinis puncti rei ui$æ cum centro ui$us, i$tæ duæ lineæ b c & a c $unt g d a f e g c æ quales, cum manife$tum $it per ea, quæ patuerũt in demon$tratio- ne 17 huius, quoniam ab aliquo puncto arcus f g interiacentis cathe- tos incidenti{ae} & reflexionis nece$$ariò fiet reflexio: $ecetur itaq; per 9 p 1 angulus a c b per æ qualia per lineam c d, $ecantem arcum f g in puncto e. Patet quoq; per 26 p 3 quoniam arcus f e e$t æ qualis arcui e g: erit\’q; linea c d per pendicularis $uper lineam circulũ contingen- tem in pũcto e per 18 p 3. Ducantur ergo ad punctũ e duæ lineæ a e & b e: erũt\’q; duo trianguli a e c & b e c per 4 p 1 & ex hypothe$i {ae}quian- guli & æ quilateri: angulus ergo a e d æqualis erit angulo d e b: erit ergo per 8 huius punctus e, qui e$t medius pũctus arcus f g, punctus reflexionis form{ae} pũcti b ad ui$um a. Ethoce$t propo$itũ. Si uerò li- neæ b c & a c fuerint inæ quales, fiat in ip$is æ qualitas longioris, ut $i linea b c $it lõgior quàm a c, cũ f c $it {ae}qualis c g; quia $unt $emidiame- tri eiu$d\~e circuli: re$ecetur linea b f ad æ qualitat\~e lineæ a g in pũcto h: $it\’q; f h æ qualis ip$i a g: palàm ergo per pr{ae}mi$$a quoniã forma pũ- cti h reflectitur ad ui$um a à puncto e. Puncta uerò uiciniora centro c, quia per 17 huius $unt in puncto $uæ reflexionis magis di$tantia à puncto, quod e$t centrum ui$us, nec po$$unt cadere in punctum e: palàm quia reflectunturà punctis arcus e f, & $ecundum elongatio- nem $ui à centro circuli c, erit punctorum ip$orum reflexionis approximatio ad centrum ui$us $e: b d m h a f e g c cundum puncta $uæ reflexionis. Remotiora uerò pũcta, ut illa, quæ $unt $upra punctum h, $cilicet puncta m & b, erunt $ecundum pun- cta $u{ae} reflexionis propinquiora centro ui$us quàm punctum e: ca- dent ergo in arcum e g, & $ecundum approximationem $ui ad cen- trum circuli c, erit punctorum reflexionis maior elongatio à centro ui$us b. Hoc autem licet $ic in gro$$o $cientiam afferat: e$t tamen $e- cundum $ingulorum punctorum reflexionis à punctis $ingulis $u- perficiei $peculi diligentius per$crutandum.

21. Si angulus contentus $ub linea incidentiæ à puncto rei ui$æ obliquè duct a ad pũctum aliquem $uperficiei $peculi $phærici con- uexi, & linea à centro $peculi ad eundem punctum duct a nõ fue- rit maior recto, impo{$s}ibile e$t fieri reflexionem perfectam ad ali- quem ui$um $ecundum illum punctum. Alhazen 40 n 5.

E$to a centrum ui$us: & b punctus rei ui$æ: $it quoq; punctum g centrum $peculi $phærici conuexi: $it\’q; communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi circulus, cuius centrum erit punctũ g per 1 hu- ius: $it quoq; d punctus aliquis reflexionis: & ducantur lineæ g d, b d & a d, quæ nece$$ariòt erũt in $uper$icie reflexionis per 6 huius, uel per 27 th. 5 huius. Dico quòd $i à puncto d debet fieri reflexio, nece$- $e e$t angulum b d g e$$e maiorem recto: quia $i non $it maior recto, nunquam fiet ab illo puncto re- flexio. Sienim angulus b d g non e$t maior recto: aut ergo e$t rectus, aut minor recto. Si dicatur quòd ip$e $it rectus: ergo per 16 p 3 linea b d contingit circulum in puncto d: $ed per 20 th. 5 huius angulus incidentiæ e$t æ qualis angulo reflexionis: ergo & angulus a d g erit rectus & contingens circulum in puncto d: ergo per 14 p 1 du{ae} lineæ b d & d a coniunctæ in puncto d $unt linea una. Non ergo fit reflexio $ecundum perfectam naturá reflexionis formæ puncti b à púcto $peculi d ad ui$um exi$tentem in puncto a, $ed fit $impliciter ui$io $ecũdum lineam a d b, quod e$t contra hypothe$im: quoniam pũctum d e$t po$itum e$$e punctum reflexionis. Si uerò angulus b d g dicature e$$e minor recto: tunc â puncto d ducatur linea circulum contingens in puncto d per 17 p 3; quæ producatur VITELLONIS OPTICAE ad partem lineæ d b, & $it d e: erit ergo per 18 p 3 angulus g d e rectus. Et quoniam angulus b d g e$t datus minor recto: e$t ergo angulus b d g minor angu- lo e d g. Et quoniam lineam b d, quæ e$t linea inciden- a b d a e b b g tiæ formæ puncti b, extra $peculum cadere e$t nece$$e: erit ergo nece$$arium perip$am diuidi angulũ contin- gentiæ lineæ d e: quod e$t impo$sibile, & contra 16 p 3. Non e$t ergo po$sibile angulum b d g e$$e minorem re- cto, $ed neq; æqualem: nece$$arium ergo e$t ip$um e$$e maiorem recto, & hoc proponebatur.

22. Puncto rei ui$æ dato plus di$tante à c\~etro $p\~e culi $phærici conuexi quàm centrum õculi: po{$s}ibile e$t in $uper$icie $peculi inuenire certum pũctum refle- xionis formæ dati puncti ad datum centrum ui$us. Alhazen 39 n. 5.

E$to punctum a centrum ui$us: & $it b datus punctus rei ui$æ: $it\’que g centrum $peculi $phærici conuexi: ducantur\’que lineæ a g & b g: $it\’que exempli cau$$a, linea b g maior quàm linea a g, ideo ut punctus b plus di$tet à centro $peculi g quàm centrum ui$us a. Et quoniam lineæ a g & b g $unt in $uperficie reflexionis per 25 th. 5 huius, $it communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi cir- culus, cuius centrumg. Dico quòd in hoc circulo po$sibile e$t inuenire punctum reflexionis, à quo refle ctitur forma puncti b ad ui$um a. Diuidatur enim angulus b g a per æ qualia per 9 p 1, ducta li- nea e g $ecante peripheriam circuli in punctou. Sumatur quoque alia linea, quæ $it m k: & diuida- tur in puncto ftaliter, ut eius pars f m $e habeat ad fk, $icut linea b g ad lineam g a per 119 th. 1 huius: & diuidatur linea m k per æ qualia in puncto o per 10 p 1: & à puncto o educatur perpendicularis indefinita $uper lineam m k per 11 p 1, quæ $it o c: & ducatur à puncto k linea ad lineam co, tenens cum ip$a linea c o angulum æ qualem angulo e g b, quæ $it k c: e$t autem po$sibile hoc fieri. Cum enim linea o c fuerit accepta indefinita, & linea g e indefinita, ducatur per 12 p 1 à puncto b perpen- dicularis $uper lineam g e, quæ $it b e: erit\’que angulus b e g æ qualis angulo c o k, quia uterque re- ctus: $uper punctum ergo kterminum lineæ o k $iat per 23 p 1 angulus o k c æ qualis angulo e b g, producta linea k c, quæ per 14 th. 1 huius nece$$ariò concurret cum linea o c: quoniam cum angu- lus k o c $it rectus, patet quòd angulus o k c, qui e$t æ qualis angulo e b d, e$t acutus: palàm per 32 p 1 quoniam angulus o c k e$t æ qualis angulo b g e. Quia ergo trigonum k o c e$t orthogonium, in cu- ius latere o k e$t datus punctus f, tunc per 137 th. 1 huius à dato puncto f ducatur linea ad ba$im tri- gonick, quæ $it fp: & concurrat cum producto latere c o in punctos, ita ut proportio lineæ s p ad p k $it, $icut lineæ b g ad $emidiametrum circuli, cuius centrum e$t punctum g: quæ $it g u. Ex angu- lo quoq; b g a $ecetur angulus æ qualis angulo f p k per 27 th. 1 huius, qui $it b g d: hoc autem e$t po$- $ibile propter hoc, quia angulus p c s e$t æ qualis medietati anguli b g a: e$t autem angulus p c s ma- ior angulo c s p per 18 p 1: quoniam $ic oportet duci lineam s p, ut linea s p fiat maior quàm linea c p, ad quæ$itum propo$itum inueniendum: aliàs enim non po$$et per lineam m k punctus quæren- dæ reflexionis inueniri, $ed oporteret aliam lineam a$$umi: e$t ergo angulus f p k minor angulo b g a per 32 p 1: & ducantur li- neæ k s & b d. Quia ergo c p r m o f k y s b f e m h a d a c z q t i g j proportio lineæ s p ad p k e$t, $icut lineæ b g ad $emi- diametrum g d, & anguli his lineis proportionalibus con tenti $unt {ae}quales: erunt per 6 p 6 trianguli s p k & b g d æquianguli: erit\’q; angulus s k p æ qualis angulo b d g. Sed fortè $ecundũ quod pro ponitur in 133 th. 1 huius, & declaraturin 137 th. 1 huius, po$sibile e$t à puncto f duci lineam aliam ad lineam c k $imilem lineæ s p: ut $i duca- tur hoc modo linea y fr, $e cans lineam c s in puncto y, & lineam ck in puncto r talîter, ut proponitur, $cilicet ut $it eius pro- portio ad r k partem lineæ, quam $ecabit ex linea c k, $icut lineæ s p ad p k: & tunc à puncto k ad lineam o s ducatur linea k y alia quàm linea s k, alium\’que cum linea c k angulum continens maiorem uel minorem angulo c k s, qui $it angulus c k y. Si ergo maior angulus ex his non fuerit maior recto, non erit inuenire punctum reflexionis, ut patet per præmi$$am: quoniam & tunc angulus contentus $ub linea reflexionis & $emidiametro $peculi non erit maior recto. Si LIBER SEXTVS. uerò aliquis illorum angulorum fuerit maior recto, erit po$sibile fieri reflexionem, & purictum eius inueniri. Sit igitur primò angulus c k s maior recto, erit\’q; po$sibile inueniri punctum re- flexionis. Palàm enim $i angulus c k s e$t maior recto, quòd eius æ qualis b d g e$t maior recto: ducatur itaq; à puncto d linea contingens circulum per 17 p 3, quæ $it n d y: cuius punctus n cadat in lineam b g per 14 th. 1 huius. Et cum angulus p k o $it minor recto per 32 p 1, ideo quia angulus c o k e$t rectus, ut patet ex præmi$sis: $ecetur ergo ex angulo b d g æ qualis angulo p k o per 27 th. 1 huius, qui $it angulus q d g, ducta linea d q $ecante lineam b g in puncto q. Cum igitur angu- lus s p k $it æ qualis angulo d g q, & angulus p k $ æ qualis angulo q d g, erit per 32 p 1 triangulus f p k æ quianguuls triangulo q g d: erit ergo angulus p f k æ qualis angulo d q g: ergo per 13 p 1 erit an gulus d q b æ qualis angulo k f s. Et quia angulus b d q e$t æ qualis angulo f k s: ideo quia cum totus angulus b d g $it æ qualis toti angulo c k s, & angulus q d g $it æ qualis angulo p k f: re$tat ut angu- lus b d q æ qualis $it angulo f k s: ergo per 32 p 1 angulorum duorum illorum trigonorum b d q & f k s erit tertius tertio æ qualis, $cilicetangulus d b q angulo k s f: trianguli ergo b d q & f k s $unt per 4 p 6 $imiles. Producatur autem linea q d extra circulum: & à puncto b ducatur perpendicula- ris $uperip$am: quæ $it b z: erit ergo angulus b q z per 13 p 1 æ qualis angulo s f o, & angulus b z q rectus æ qualis e$t angulo s o f recto: erit ergo per præmi$$a triangulus b q z $imilis triangulo s f o. Producatur ergo linea d z ultra punctum z u$q; ad punctum i, ita quòd linea z i $it æ qualis lineæ z d per 3 p 1: palàm ergo ex $imilitudine triangulorum quoniam proportio line{ae} z q ad q b e$t, $icut li- neæ of ad f s: & proportio lineæ b q ad q d e$t $icut lineæ fs ad f k: erit ergo per 22 p 5, proportio lineæ z q ad q d, $icut o f ad f k: ergo per 18 p 5 erit coniunctim proportio lineæ z d ad q d, $icut lineæ o k ad f k: ergo per 15 p 5 erit proportio lineæ i d ad lineam q d, $icut m k ad f k: e$t enim linea i d dupla ad lineam d z, $icut linea m k dupla ad lineam o k: ergo per 17 p 5 erit diui- $im proportio i q ad q d, $icut m f ad f k: e$t autem ex præmi$sis proportio m f ad f k, $icut g b ad g a: ergo per 11 p 5 erit proportio i q ad q d, $icut b g ad g a: quoniam accepta e$t proportio m $ ad f k, $icut b g ad g a. Ducatur itaque linea b i: cui à puncto d ducatur æ quidi$tans d l per 31 p 1: & producatur linea b g donec concurrat cum linea d l in puncto l: concurrent autem illæ li- neæ per 2 th. 1 huius: erit\’q; per 15 & per 29 p 1, & 4 p 6 triangulus l d q $imilis trian gulo b q i: & e- rit proportio q i ad q d, $icut bi ad d l. Et cum linea i z $itæ qualis lineæ z d, & linea b z perpendicu- laris $it $uper lineá d i, ut patet ex pr{ae}ini$sis: erit per 4 p 1 linea b d æ qualis b i: erit ergo proportio li neæ b d ad d l per 7 p 5 $icut lineæ b i ad d l: e$t ergo proportio lineæ b d ad d l, $icut lineæ i q ad q d: ergo per 11 p 5, $icut lineæ b g ad g a. Ducatur autem à puncto d linea, quæ $it d h, æ qualem te- nens angulum cum linea d l angulo b g a per 23 p 1: qui $it angulus h d l: cadat\’q; punctus h in linea b g. Cum ergo lineæ h l & d l concurrantin puncto l: erunt duo anguli l h d & l d h minores duobus rectis per 32 p 1 uel per 14 th. 1 huius: ergo duo anguli a g h & d h g, qui $unt æ quales i$tis, ut patet ex præ mi$sis, $unt minores duobus rectis: quare linea h d cõcurret cũ linea g a per 14 th. 1 huius. Di co quòd concurret in puncto a. Palàm enim quòd angulus g d n e$trectus per 18 p 3: $ed per 32 p 1 cũ trigoni o k c angulus c o k $it rectus, & duo anguli o c k & c k o $int & qualestecto: e$t angulus g d n æ qualis illis duobus angulis o k c & o c k, & angulus o k e, ut patet expræmi$sis, æqualis e$t an- gulo g d q: re$tat ergo, ut angulus q d n $it æqualis angulo o c k, qui, ut pater ex præ mi$sis, æqua. lis e$t angulo b g e, $cilicet medietati anguli b g a: e$t ergo angulus q d n medietas anguli b g a, & ita medietas anguli h d l: $ed angulus q d b e$t medietas anguli b d l per 3 p 6: quoniam e$t pro- portio lineæ b q ad q l, $icut lineæ b d ad d l: cum, $icut $uprà o$ten$um e$t, triangulus d q l $imilis $it triangulo b q i, & linea b d æqualis $it lineæ b i, ut patet ex præ mi$sis: re$tat igitur ut angulus b d n $it medietas anguli h d b: & ita angulus b d n eritæ qualis angulo n d h. Cum enim angulus b d q $it æ qualis angulo q d l, patet quòd angulus b d h excedit angulum h d l in duplo anguli q d h: e$t ergo angulus b d n æ qualis angulo n d h. Producatur itaq; linea g d ultra punctum d ad pun- ctum f. Et quia anguli f d n & g d n $unt recti: re$tat ut angulus b d f $it æ qualis angulo h d g: duca- tur ergo per 31 p 1 linea h t æquidi$tans lineæ b d, cuius punctus t cadat in lineam d g. Palàm ergo per 29 p 1 quòd angulus b d f e$t æ qualis angulo h t d: $ed & angulus b d f æ qualis e$t angu- lo h d g: ergo per 6 p 1 linea h t e$t æ qualis line{ae} h d: $ed e$t proportio lineæ b d ad h t $icut lineæ b g ad g h per 29 p 1 & per 4 p 6: cum line{ae} b d & h t $untæquidi$tantes: e$t ergo per 7 p 5 proportio lineæ b d ad d h, $icut lineæ b g ad g h: $ed ex præmi$sis patet quòd linea h d producta ultra pun- ctum d concurret cum linea g a, & fiet per 32 p 1 triangulus $imilis triangulo h d l, cum habeant angulum l h d communem, & angulus h d l $it ex præmi$sis æqualis angulo h g a: igitur per 4 p 6 e$t proportio line{ae} h d ad lineam d l, $icut line{ae} h g ad lineam, quam $ecat linea h d exlinea a g: & proportio line{ae} b d ad d l per 13 th. 1 huius con$tat exproportione line{ae} b d ad d h, & line{ae} d h ad l d: igitur, ut patet ex præmi$sis, proportio line{ae} b d ad lineam d l con$tat ex proportione line{ae} b g ad g h, & line{ae} g h ad lineã, quã h d $ecat ex g a: $ed proportio b d ad d l, ut patuit $uperius, e$t $icut b g a d g a: ergo proportio b g ad g a cõ$tat ex proportionibus b g ad g h, & ip$ius g h ad lineá, quá $ecat h dex g a: cõ$tat aũt proportio line{ae} b g ad lineã g a per 13 th. 1 huius ex proportiõe line{ae} b g ad g h, & line{ae} g h ad g a: igitur g a e$t linea, quã $ecat h d ex linea a g: & ita linea h d concurrit cum a g in pun- cto a. Quia itaq;, ut patet ex præmi$sis, angulus b d f e$t æqualis angulo h d g, & angulus h d g æ qua lis e$t angulo f d a $ibi contrapo$ito per 15 p 1: patet quòd angulus b d f {ae}qualis e$t angulo f da. Il- lud ergo punctum d e$t punctus reflexionis per 8 huius: quoniam in ip$o angulus incidenti{ae} fic VITELLONIS OPTICAE æqualis angulo reflexionis. Quod e$t propo$itum, quando angulus cks e$t maior recto. Quòd $i neuter angulorũ, qui $unt c k s & c k y fuerit maior recto: dico quòd non fiet reflexio ab aliquo pun cto $peculi ad ui$um. Sienim dicatur quòd hoc $it po$sibile: $it ergo punctus reflexionis d, ductis lineis a d, b d, a g, b g, d g. Et quia fit reflexio à puncto $peculid, pater per præmi$$am, quòd oportet angulum b d g e$$e maiorem recto: non ergo fiet reflexio ab his $peculis $ecundum di$po$itionem talem figuræ, ut angulorum c k s & c k y quilibet $it maior recto. Sed & idem aliter demon$tran- dum. Producaturitaq; linea a dintra circulum u$q; ad h pun ctum lineæ g b: & producatur linea d l intra circulum taliter, ut fiat angulus l d h æqualis angulo a g b per 23 p 1: protracta quoq; linea b g, quou$q; cócurrat cum linea d l in puncto l: concurret aũt per 14 th. 1 huius: quoniam angulus g d l e$t minor recto per 42 th. 1 huius, & angulus d g b, ut patet ք 3 huius, & ք 33 p 6, e$t etiá ininor recto: c p p s p s b e n h d a k z q t j g x & ducatur linea cótingés circulum in puncto d, qu{ae} $it n d y: & à puncto d pro tracta linea d q fecante li- neam g b in puncto q, fiat angulus q d n {ae}qualis me- dietati anguli a g b ք 9 & 23 p 1: palã ergo quòd trian gulus h d l æquiangulus c$t triangulo h g a. Quia e- nim angulus h d l æqualis e$t angulo h g a, & angulus a h g e$t cõmunis, erit per 32 p 1 tertius tertio æqua- lis: ergo per 4 p 6 erit pro- portio lineæ h d ad d l, $i- cut lineæ h g ad g a. Duca- tur itaq; à puncto h per 31 p 1 linea æquidi$tans lineæ b d, quæ $it h t: erit ergo per 29 p 1 & per 4 p 6 proportio line{ae} b d ad th, $icut lineæ b g ad g h. Quia uero ex hypothe$i forma puncti b reflectitur ad ui$um a à puncto $peculi d, ducatur linea g d extra circulum ad punctum e: erit quoq; per 8 hu- ius angulus e d b æqualis angulo e d a: ergo per 15 & 29 p 1 erit angulus d t h æqualis angulo h d t: ergo per 6 p 1 erit linea d h æqualis lineæ h t. Quia ergo, ut patet per 4 p 6, cum linea t h $it æquidi- $tans lineæ d b, erit proportio b g ad g h, $icut b d ad h t: $ed linea t h æqualis e$t ip$i d h: e$t ergo per 7 p 5 proportio b d ad d h, $icut b g ad g h: fuit autem proportio h d ad d l, $icut h g ad g a: ergo per 22 p 5 erit proportio b d ad d l, $icut b g ad g a: $ed cũ angulus b d e $it æ qualis angulo h d g per præ- mi$$a, & angulus n d e æqualis angulo n d g, quia uterq; rectus: relinquitur angulus b d n æqualis angulo n d h: e$t ergo angulus h d n medietas anguli b d h: $ed angulus n d q e$t medietas anguli a g b ex præmi$sis: ergo & e$t medietas anguli h d l, qui e$t æqualis angulo a g b: igitur angulus b d q e$t medietas anguli b d l: e$t ergo angulus b d q æqualis angulo q d l: ergo per 3 p 6 in trigono b d l erit {pro}portio b q ad q l, $icut b d ad d l. Ducatur quoq; à puncto b per 31 p 1 linea æquidi$tãs line{ae} d l, quæ $it b i: & concurrat linea d q cum linea b i in puncto i: concurret autem per 2 th. 1 huius: & diui- datur linea d i per æqualia in puncto z per 10 p 1: & ducatur linea b z. Palàm itaq; per 15 & 29 & 32 p 1 quoniam trigona b q i & q d l $unt æquiangula: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ b q ad q l, $icut lineæ b i ad d l: fuit autem ex præmi$sis proportio b q ad q l, $icut b d ad d l: ergo per 11 p 5 e$t proportio b i ad d l, $icuti b d ad d l: ergo per 9 p 5 lineæ b i & b d $unt æquales: ergo per 31 th. 1 hu ius linea b z e$t perpendicularis $uper lineam d i: e$t aut\~e, $icut ex præmi$sis patet, proportio i q ad q d, $icut m f ad $ k: ergo per 18 p 5 erit cóiunctim proportio i d ad d q, $icut m k ad $ k: & erit per 15 p 5 proportio d z ad q d, $icut o kad f k: ergo per 17 p 5 erit proportio z q ad q d, $icut o f ad f k. Produ- catur quoq; linea b z intra $peculum, donec concurrat cum linea e g: concurret autem per 14 th. 1 huius: cum angulus d z b $it rectus, ut præo$ten$um e$t, & angulus z d g $it minor recto, qui e$t angulus n d g: $it ergo punctum concur$us x. Palàm àutem ex præmi$sis, quoniam e$t propor- tio lineæ b g ad g d, $icut lineæ s p ad p k. Cum ergo angulus c k s dicatur non e$$e maior recto: fiat $uper punctum k lineæ c k angulus maior recto: hoc autem e$t po$sibile fieri: quia cum $icut pa- tet ex præmi$sis, angulus q d n $it æqualis medietati anguli a g b, & eidem æqualis con$titutus $it angulus k c o, nece$$e e$t quòd angulus q d n $it æqualιs angulo k c o: erit ergo, ut patet ex præ- mi$sis, angulus q d g æqualis angulo c k o, quod patet ut prius. Cum enim trigonum c k o $it or- thogonium, palàm quòd duo anguli k c o & c k o ualent unum rectum per 32 p 1: $unt ergo æ- quales angulo n d g. Et quia angulus k c o e$t æquàlis angulo n d q: relinquitur angulus c k o æ- qualis angulo q d g. Fiat ergo $uper punctum k lineæ f k angulus æqualis angulo b d q: & pona- tur quòd linea tenens hunc angulum, concurrat cum linea c o in puncto s: & ducatur linea s p tran$iens per punctum f, quæ $it alia à priori linea s $ p. Dico quòd i$tius lineæ s p ad lineam p k partem lineæ c k erit proportio, $icut lineæ b g ad g d. Cum enim angulus b z d $it re- ctus, æqualis angulo s o k: erit triangulus b z d ex præmi$sis $imilis triangulo s o k: e$t ergo proportio lineæ b z ad b d, $icut lineæ o s ad lineam s k, & lineæ b z ad z d, $icut lineæ s o ad LIBER SEXTVS. o k: fuit autem o$ten$um prius, quia e$t proportio lineæ z q ad q d, $icut lineæ o f ad f k: ergo per 5 th. 1 huius erit econtrario proportio lineæ q d ad z q, $icut $ kad o f: ergo per 18 p 5 e$t proportio totius lineæ z d ad z q, $icut totius lineæ o k ad o f: ergo per 22 p 5 erit z b ad z q, $icut s o ad of: er- go per 6 p 6 trigona z q b & of s $unt æquiangula: angulus ergo z b q e$t æqualis angulo o s f: re- manet ergo angulus q b d æqualis angulo f s k: $ed & angulus f k s factus fuit æqualis angulo b d q, & angulus p k f æqualis e$t angulo q d g: totus ergo angulus s k p æqualis e$t angulo b d g: ergo per 32 p 1, & ex 4 p 6 erit triangulus b d g $imilis triangulo s p k: & totus triangulus b d x $imilis totali triangulo c k s: e$tigitur proportio lineæ s p ad p k, $icut b g ad g d. Con$tituto ergo $uper centrum g angulo, æquali angulo i$ti s p k, & ducta $emidiametro circuli, quæ $it g u, patet $ecundum præ- mi$$um modum, quoniam punctum u erit punctum reflexionis. Et quia, ut patet per 16 p 1, & ex præmi$sis, prior angulus s p k e$t maior præ$enti angulo s p k, quoniam e$t extrin$ecus: palàm quòd à duobus punctis $peculi, quæ $unt d & u, fiet reflexio: quod e$t contra 16 huius. Non ergo po te$t angulus s p k unquam e$$e non maior recto, $i $ecundum ip$um debeat fieri puncti reflexionis inuentio: quia $ecundum talem di$po$itionem collocatis puncto rei ui$æ & centro ui$us, non e$t po$sibile fieri reflexionem. Item impo$sibile e$t quòd duo anguli con$tituti $uper lineam m o $int uterq; maior recto. Si enim uterq; talium maior fuerit recto, cum $uper g centrum circuli propo$iti fiat angulus æqualis angulo s k m, $iet $uper idem centrum angulus alius diuer$us ab i$to: quem ef- ficiet $uper k m alia linea $imilis priori lineæ s k: & ita â puncto d & ab alio puncto illius circuli fiet reflexio formæ eiu$dem puncti ad ui$um eundem: quod e$t contra 16 huius. Oportet ergo ut tan- tùm unus illorum angulorum $it maior recto, non ambo maiores uel ambo minores recto. Patet ergo propo$itum.

23. Super unam cathetum incidentiæ $uper ficiei $peculi $phærici conuexi, uel$uper diuer$as adui$um, ad quem fit reflexio, con$imiliter $e habentes, datis duobus punctis, quorum formæ à $uperficie $peculi $int reflexibiles ad ui$um: erit locus imaginis puncti centro $peculi propinquio ris remotior à centro $peculi, & remotioris propinquior.

Sit circulus (qui e$t cómunis $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi $phærici cóuexi,) a b c: cuius centrum d: $it\’q; centrum ui$us e: & cathetus incidentiæ $it d f g: in qua $int duo puncta f & g, quorum formæ $int reflexibiles ad ui$um: & $it punctum f propinquius centro $peculi, & pun ctum g remotius: $ecet\’q; eadem cathetus circulum a b cin puncto c. Dico quòd locus imaginis for mæ puncti f remotior e$t à centro $peculi, quod e$t d, quàm locus imaginis formæ puncti g. Quo- niam enim, ut patet per hypothe$im, quælibet for- e g a b f c k h d marum i$torum punctorum ab aliquo puncto $pe- culi reflectitur ad ui$um: patet cum illa puncta $int in eadem catheto incidentiæ con$i$tentia, quòd centrum ui$us e e$t cum ambobus illis punctis in eadem $uperficie reflexionis per 6 huius: fiet ergo reflexio cuiuslibetillorum punctorum ad ui$um e ab aliquo puncto circuli a b c. Sit ergo, ut forma puncti g reflectatur à puncto a, & forma puncti f à puncto b: erit ergo per 17 huius punctus b remo- tior à centro ui$us e quàm punctus a. Ducatur itaq; diameter ui$ualis, quæ e d: & ducantur lineæ inci- dentiæ, quæ $int g a & f b: & lineæ reflexionis, quæ $int a e & b e: quæ productæ intra circulum $eca- bunt cathetum d f g ք 9 huius. Et quoniam concur runt cum diametro ui$uali, quæ e$t e d: $it ergo, ut linea e a $ecet cathetum g d in puncto h, & linea e b in puncto k. Erit ergo punctum h locus imaginis formæ puncti g, & punctum k locus imaginis formæ puncti f per 11 huius. Quoniam uerò pun- ctum h e$t propinquius centro d quàm punctum k per 29 th. 1 huius: quia enim linea h e $ecat an- gulum d e k, palàm quia ip$a $ecabit ba$im illi $ubten$am, quæ e$t d k: e$t ergo punctum h propin- quius centro $peculi, quod e$t d, quàm punctum k. Et quoniam, ut patet $ecundum hunc modum, omnes lineæ ductæ à centro ui$us, quod e$t e, per quæcunq; puncta arcus a c, intermedia puncto- rum a & c ad cathetum d g, cadunt in puncta $emidiametri d c à centro remotiora quàm punctum h, patet propo$itum. Et ex hoc etiam patet quòd quantò puncta lineæ c g $unt propinquiora cen- tro d, tantò loca $uarum imaginum $unt magis elongata à centro $peculi, quod e$t d. Et quoniam omnes catheti incidentiæ concurrunt in centro $peculi: palàm quòd de punctis diuer$arum cathe- torum ad ui$um, ad quem fit reflexio, con$imiliter $e habentium, eadem e$t demon$tratio, quæ de punctis eiu$dem catheti: quoniá unicuiq; punctorũ in una $imili catheto $ignatorũ, pũctus $imilis, qui $it eiu$dem di$tanti{ae} à centro $peculi, in catheto alia re$pondet: & illorũ quorumcunq; puncto- rum (quia con$imiliter re$piciunt ui$um) loca imaginum re$pectu centri $peculi confimiliter ordi- nantur. Patet ergo propo$itum.

VITELLONIS OPTICAE 24. Si ab aliquo puncto $peculi $phærici conuexi linea reflexionis producta circulum (qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi) taliter $ecuerit, quòd lineæ productæ pars, quæ e$t intra circulum, $it æqualis $emidiametro circuli: locus ui$æ imaginis $emper erit intra conue- xuæ $peculi. Alhazen 20 n 5.

E$to centrũ ui$us g: & centrũ $peculi $phærici conuexi $it punctú d: $it\’q: cómunis $ectio $uperfi- ciei reflexionis & $peculi circulus a b k à centro quoq; ui$us puncto g ducantur per 17 p 3 duæ line{ae} contingentes circulũ a b k, qu{ae} $int g a & g b: erit\’q ք 2 huius circuli a b k portio a b appar\~es ui$ui: & centrũ eius $it punctũ d. Quoniá aũt ui$us & $pecula mu g m h z p b d a k tantlocum: $it talis facta di$po$itio ui$us ad $peculum, ut à puncto g centro ui$us ductæ lineæ $ecantis circulum a b k, pars intra circulum, quæ e$t chorda arcus circuli, qui h k, $it æqualis $emidiametro illius circuli: & $it illa linea g h k, cuius pars h k intra circulum $it {ae}qualis $emidiame tro d k. Hoc aũt po$sibile e$t fieri, $i ք 1 p 4 in$cribatur cir culo a b k linea h k æqualis$emidiam etro illius circuli: & in illa linea k h producta extra circulum ponatur centrú ui$us. Dico quòd locus imaginis reflex{ae} à puncto h $em per e$t intra conuexam $uperficiem $peculi. Producatur enim à puncto h $uք lineã cõtingent\~e circulũ in pũcto h քpendicularis, qu{ae} $it h m: hæc ergo producta in circulũ tran$it per centrum d per 19 p 3. Dico quòd cum forma a- licuius rei ui$æ reflectatur à puncto h, locus imaginis $u{ae} erit $emperintra conuexũ $peculi. Ducaturenim à pun- cto h linea con$tituens $uper punctum h terminum li- neæ h m angulum æqualem angulo g h m per 23 p 1, qui $it p h m, producta linea h p: reflect\~eturergo per 20 th. 5 puncta huius line{ae} h p ad ui$um g à puncto $peculi h: nec alterius lineæ puncta à puncto h ad ui$um poterunt re- flecti. Sumatur ergo alιquod eius punctum, quod $it p: & ducatur linea ab ip$o ad centrum $peculi, quæ $it p d: erit quoq, per 1 huius, & per 72 th 1 huius linea p d perpendi cularis $uper $uperficiem contingent\~e $peculum in pun- cto, quo ip$a linea p d $ecat circum $erentiam circuli a b k: copuletur quoq; linea d k. Et quia angulus p h m inci- dentiæ e$t æqualis angulo m h g reflexionis, ut pater ex præmi$sis, angulus u erò g h m per 15 p 1 æ- qualis e$t angulo k h d: angulus igitur p h m e$t æqualis angulo k h d: $ed angulus k h d æqualιs e$t angulo h d k per 5 p 1, ideo quia latus h k ex hypothe$i æquale e$t $emidiametro d k: angulus ergo p h m e$t æqualis angulo h d k. Quia ergo linea m d cadens $uper lineas h p & d k facit angulum extrin$ecum, qui e$t m h p, æqualem angulo intrin$eco, qui e$t m d k: linea ergo h p per 28 p 1 æqui- di$tat lineæ d k: lineæ ergo h p & d k in infinitum protractæ nunquam concurrent. Et linea p d, quæ e$t cathetus incidentiæ $ormæ puncti p, uel quæcunq; alia linea ducta à quocunq; puncto lineæ h p ad centrum d, $emper inter puncta h & k inter$ecabit lineam h k interiacentem lineas æquidi$tan tes, quæ $unt k d & h p, ut patet per 29 th. 1 huius: diuidunt enim omnes illæ catheti angulum h d k: ergo & $ecabunt ba$im h k: quælibet enim illarum cathetorum incidentiæ $emper ducitur ad cen- trum $peculi, ut ad punctum d. Quodcunq; ergo punctum $umatur in linea p h: $emper linea ducta ab illo puncto ad punctum d $ecabit lineam reflexionis, quæ e$t g h k intra cõuexum $peculi: quo- niam $emper cathetus incidentiæ producta ad centrum $peculi perpendicularis e$t $uper $uperfi- ciem $peculi, $icut nunc e$t p d. Imago ergo cuiu$cũq; puncti lineæ p h per 11 huius apparebit intra conuexum $peculi. Ethoc proponebatur.

25. A‘ quocun<006> puncto arcus circuli (quie$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $pe- culi $phærici conuexi) interiacentis puncta, in quibus caιhetus reflexionis & linea reflexionis, (cuius pars intra circulum est æqualis $emidiametro circuli) $ecant circulu, fiat reflexio: locus ui$æ imagin is $emper erit intra $peculum. Alhazen 21 n 5.

Sit di$po$itio, quæ in præmi$$a, ita ut linea reflexionis, quæ g h k $ecet circulũ a b k, taliter ut eius pars intra circulum, qu{ae} e$t h k, $it æqualis $emidiametro circuli: ducatur\’q; cathetus reflexionis à ui$u ad centrũ $peculi: quæ $it g d, $ecans circulum a b k in puncto z Dico quòd à quocunq; puncto arcus h z fiat reflexio, $emper erit locus imaginis intra $peculum. Sit enim ita, ut à puncto illius ar- cus h z (quod $it i) fiat reflexio: ducatur\’q; à puncto g centro ui$us ad punctũ i linea $ecans circulũ $uper punctũ i, qu{ae} $it g i s: & & ducatur $uper $uper$iciem $peculi linea perpendicularis à puncto i: quod fiet per 72 th. 1 huius, $i à centro $peculi puncto d producatur linea, quæ $it d i t: $uper cuius LIBER SEXTVS. punctum i fiat angulus æqualis angulo ti g per 23 p 1, qui $it p it. Palàm ergo quòd $olùm puncta li- neæ p i reflectuntur à puncto i ad ui$um g per 20 th. 5 huius. Palàm etiam per 15 p 3 quòd linea i s maior e$t quàm linea h k: ergo linea is e$t maior $emi- t g p b h i z a d k s diametro s d. In trigono ergo s i d angulus s d i e$t ma- ior angulo s i d per 18 p 1: ergo per 15 p 1 angulus s d i e$t maior angulo ti g: e$t ergo angulus s d i maior angulo t i p, <003> ex præmi$sis e$t æqualis angulo ti g: ergo ք 14 th. 1 huius lineæ p i & d s non $unt æquidi$tantes: in infini- tum tamen protractæ ex parte $uorum punctorum p & s nunquam concurrent, $ed ex $uis partibus i & d pro- tractæ concurrent. A quocunq; ergo puncto lineæ p i ad centrum d ducatur cathetus incidentiæ, illa $ecabit lineam g i s, quæ e$t linea reflexionis, intra conuexum $peculi: & omnis linea ducta à quocunq; puncto lineæ p i ad punctum d, erit perpendicularis $uper $peculi $u- perficiem per 72 th. 1 huius: ergo ip$a e$t cathetus inci- dentiæ, $icut nunc e$t linea p d. Et cum locus imaginis $it in concur$u catheti incidentiæ, & lineæ reflexionis per 11 huius: palàm quia locus imaginis cuiu$cunq; pun cti line{ae} p i $emper erit intra conuexum $peculi. Et quo- niam dato quocunq; puncto arcus h z, $emper eadem e$t demon$tratio: mani$e$tum ergo quòd omnium ima ginũ arcus h z proprius locus erit intra $peculũ. Quod e$t propo$itum.

26. A‘ quocũ<005> pũcto arcus circuli (qui e$t cõmu- nis $ectio $uperficiei reflexiõis & $peculi $phærici cõue- xi) interiacentis punctũ, in quo linea reflexionis, cu- ius pars intra circulũ e$t æqualis $emidiametro circu li, $ecat circulum, & punctum proximũ, in quo linea ducta à centro ui$us contingit circulũ, fiat reflexio: locus ui$æ imaginis quandog erit intra $pe- culum: quando<005> in $uperficie conuex a $peculi: & quando<005> extra $peculum. Alhazen 22 n 5.

Remaneat totalis di$po$itio figuræ, quæ in præcedente & in 24 huius, in hoc $cilicet ut linea re- flexionis, quæ g h k, $ecet circulum a b k, cuius centrum e$t punctum d, taliter, ut eius pars intra cir culum, qu{ae} e$t h k, $it æqualis $emidiametro d z: g a z h n d b c q k f e r & lineæ g a & g b $int contin gentes circulum a b k in punct s a & b: & $it pũctus b propin quior puncto h. Dico quòd à quocunq; puncto arcus h b fiat reflexio: erit locus ui$æ imaginis quan- doq; intra $peculum: quandoq; in $uperficie $pe culi: quandoq; extra $peculam. Sumatur enim aliquod punctũ arcus h b, à quo fiat reflexio ad ui$um g: & illud punctum reflexionis $it n: & du catur linea reflexionis $ecás circulum, quæ du- cta trans circulum, $it g n q: & ducatur à centro d $emidiameter d q: & ad punctum reflexionis ducatur perpendicularis d n f: & producatur, ut in præmi$sis, linea n e continens cum catheto d n fangulum æqualem angulo fn g: qui $it angu- lus fne. Et quòniam linea n q per 15 p 3 minor e$t <004> linea h k: palàm quia linea n q e$t minor $e- midiametro q d. Quoniam enim linea h k e$t æ- qualis ip$i q d ex hypothe$i: erit ergo linea q n minor <004> linea q d: angulus ergo q d n trigoni q d n e$t minorangulo d n q ք 18 p 1: ergo ք 15 p eiu$ d\~e angulus q d n minor e$t angulo g n f: ergo & $uo æquali, qui e$t e n f. Igitur line{ae} d q & n e con current ad partem minorum angulorum per 14 th. 1 huius: $it ergo concur$us earum in puncto e. Palàm autem, ut in præmi$sis, quia linea e q d e$t perpendicularis $uper $uperfici\~e $peculi per 72 th. 1 huius: e$t ergo linea e d cathetus incidentiæ form{ae} puncti è: & $ecat lineam g n q, quæ e$t linea reflexionis in puncto q, qui e$t punctus $uperficiei $peculi. Imago ergo puncti e, quando fuerit refle xio facta à puncto arcus h b (quod e$t n) uidebitur in puncto q, quod e$t in $uperficie conuexa $peculi. Et quoniam linea reflexionis, quæ e$t g q, peripheriam arcus b k in unico tantùm pun- VITELLONIS OPTICAE cto inter$ecat, ut patet per 7 huius: palàm quia non accidit uideri imaginem formæ alicuius punctorum lineæ n e in ip$a $uperficie $peculi, ni$i $olùm in illo uno puncto, in quo ad ip$um ducta cathetus $ecat lineam reflexionis in ip$a $uperficie $peculi, ut e$t in propo$ito cathetus puncti e. Si uerò in linea e n $umatur punctum ultra e, quod $it punctum r: $it\’q; cathetus incidentiæ ducta ab il lo puncto r ad centrum $peculi, quæ $itr d, $ecans lineam reflexionis, quæ e$t g n q productam ultra punctum q, in puncto l: tunc erit $ectio extra $uperficiem $peculi. Quare imago puncti cuiuslibet lineæ n e ultra punctum e $umpti uidebitur extra $uperficiem $peculi $ecundum di$tantiam puncti incidentis, & $emper, ut pater per 11 huius, erit locus imaginis in puncto $ectionis linearum catheti & reflexiõis: ut formæ puncti r locus imaginis e$t nuncin puncto l, qui e$t cómunis $ectio præmi$- $arum linearum. Si uero in linea e n inter puncta n & e $umatur aliquod punctum, ut c, cathetus ab eo ducta ad $peculi cèntrũ, $ecabit lineam reflexionis, qu{ae} g n q, intra $peculum: $ecabit enim ip$am in puncto aliquo èorum, qu{ae} $unt inter puncta n & q. Imago ergo cuiuslibet puncti lineæ e n inter puncta e & n $umpti uidebitur intra $peculum. Et $imiliter in quolibet alio puncto arcus b h pote- ritidem & eodem modo de diuer$is punctis linearũ incidenti{ae} demon$trari, & hoc e$t propo$itum. Sicutitaq; in arcu z b dèmon$trauimus in præmi$sis tribus theorematibus: $ic etiá figuratione ad- hibita in arcu z a poterit dem on$trari: quoniá e$t omnimoda $imilitudo hinc in de: & idem e$t de o- mnibus circulis $pèculi $phærici conuexi, circulo a b k $imilibus. Si enim perpendiculari g z d ma- nente fixa, linea g h $ecundũ æqualitatem anguli d g h imàginetur moueri quou$q; redeat ad locũ $uum, unde moueri incepit: tunc linea g h mota $ecabit ex tota $peculi cõuexa $uperficie motu $uo portion\~e $uperficiei: & imago formæ cuiuslibet puncti reflexi ab aliquo punctorũ huius portionis uidebitur $emper intra $peculũ. Si uerò fixa manente diametro g z d, linea cõtingens circulum a b k, qu{ae} e$t g b, moueatur, quou$q; ad locum, unde exiuit, redeat, $ecabit ex $phæra portionem ma- ior\~e: & facta reflexione formæ cuiuslibet puncti à quibu$cũq; punctis $uperficiei $peculi de$criptæ per arcũ h b, uel à punctis arcuũ illi $imilium: tunc catheto incidentiæ $ecante lineam reflexionis in ip$a $uperficie $peculi, $emper locus imaginis formæ puncti illius erit in ip$a $uperficie $peculi: $ed aliorum punctorũ in illa eadem linea exi$tentiũ quorundam locus imaginis e$t intrà $peculú, quo- rundam extra $peculũ, $ecundum quod catheti ab illis punctis ad cèntrũ $peculi productæ $ecant li neas $uarum reflexionũ. Et quoniá $itus centri ui$us, uel $uperficiei $peculi, uel etiam ip$ius rei ui$æ pote$t multipliciter uariàri: hoc experimèntanti relin quimus, ut $peculorũ $phæricorum conuexo rum, quorũ u$us ut plurimũ apud homines no$tr{ae} habitabilis e$t cõmunis (quoniá uitra, qu{ae} $pecu lantur, modo $phærico diffundente $e, artificũ $piritu exufflantur) quamcũq; portion\~e quis taliter collocet, ut quandoq; imago puncti ui$i appareat intra $peculũ, hoc e$t ultra $uperfici\~e ip$ius, quan doq; in ip$a $uperficie $peculi: & quandoq; extra $uperficiem $peculi, ita quòd $uperficies $peculi non $it media inter imaginem, quæ uidetur, & oculum uidentis, $ed ad latus extrà uideatur: & hoc iam pluries experimentantibus euenit. Vndè & peri$ta pater, quòd $peculum $phæricum conue- xum centrumq; ui$us, & res ui$a $ic $i$ti po$$ent, ut imago extra $peculum in aere àppareat: quod re linquimus artificio perquirentis.

27. Omnis diameter $peculi $phærici conuexi, in quam locus imaginis cadit, in ip$a $uperficie $peculi aut extra $peculum: portioni $phær æ $peculi nõ apparenti ui$uinece$$ariò applicatur. Ex quo patet, quòd ip$a e$t demi{$s}ior qualibet linearum contingentium à centro ui$us ad $peculi $u- perficiem productarum.

Quod hic proponitur, patet per præmi$$as, re$umpta figuratione præcedétis. Et quia, ut patet, à quolibet puncto arcus a b pote$t fieri reflexio: omnis quoq; linea reflexionis, quoniã à centro ui$us $ub linea à centro ui$us producta circulum contingente, ducitur, patet per 57 th. 1 huius quoniam ip$a $ecat circulum. Et quandocunq; locus imaginis fuerit in ip$a $peculi $uperficie uel extra, patet quòd hoc non pote$t accidere in diametris $peculi applicatis arcui a b: non enim pote$t in illis dia- metris locus imaginis e$$e in ip$a $peculi $uperficie: quoniam catheti incidenti{ae} & lineæ reflexio- num illorum punctorum in illis punctis concurrere non po$$unt. Sed neq; extra $peculorũ $uperfi- cies pote$t in illis diametris e$$e locus reflexionis: quoniam lineæ reflexionum ad partem illam ex- tra $peculũ non cócurrent. Omnes ergo diametros $peculi cuiu$cunq; $phærici conuexi, in quibus loca imaginũ $unt in ip$a $uperficie $peculi, uel extra $peculum, nece$$ariò applicantur portioni $pe culi non apparenti ui$ui. Et quoniã portio $peculi apparens & non apparens per lineas contingen tes à centro ui$us ad $peculi $uperficiem ductas determinatur, ut patet per 2 huius: ideo manife$tũ e$t propo$itũ corollarium. Quælibet enim diametrorũ, in qua e$t locus imaginis in ip$a $uperflcie $peculi aut extra $peculum, oportet ut $it demi$sior qualibet linearũ cõtingentiũ à centro ui$us ad $peculi $uperficiem productarum. Et hoc proponebatur. Pote$t aũt diameter, in qua apparet locus imaginis intra $peculum, e$$e uel altior uel demi$sior illa contingente, ut patet ex his, quæ $unt in præmi$sis demon$trata. Re$tar autem, ut nos deinceps loca imaginum certius determinemus.

28. Ad diametrum $peculi $phærici conuexi ducta linea reflexionis $ecante $peculum, ita ut pars ductæ lineæ interiac\~es $uperficiem $peculi & diametrũ, $it æqualis parti diametri interia- centi punctum $ectionis & centrum $peculi: in illa parte diametri non e$t locus alicuius imagi- nis, $ed e$t imaginum met a, $icut & in illo puncto $ectionis. Alhazen 23 n 5.

E$to circulus communis $ectionis $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi $phærici cõuexi, LIBER SEXTVS. qui a b $ e g: & $it punctum h centrum ui$us, punctum quoq; d centrum $peculi: & $it d e $emidiame ter $peculi, qu{ae} nece$$ariò e$t perpendicularis $uper $uperficiem $peculi per 72 th. 1 huius: & $it linea z h linea reflexionis, $ecans $uperficiem conuexam $peculi $uper punctum f: & concurrens cum e d $emidiametro $peculi $uper punctum z. Sit quoq; linea z f{ae}qualis line{ae} z d: quod pote$t fieri per 136 th. 1 huius. Dico quòd in linea z d non e$t locus alicuius imaginis. Neque enim pũctus z pote$t e$$e locus alicuius imaginis, ni$i $olũ alicuius punctorum line{ae} e d protract{ae}: quia ut patet per 11 huius, locus imaginis formæ cuiu$que puncti $emper e$t $uper cathetum $u{ae} incidentiæ: & h{ae}c e$t in $pe- culis $ph{ae}ricis conuexis in linea ab illo puncto ad centrum $phæræ ducta. Quòd uerò punctus z nó $it locus alicuius imaginis punctorum line{ae} e d, patet. Ducatur enim m t n q h b f e z p d a g perpendicularis à centro d $uper punctum f, qu{ae} producta extra cir- culum $it d f n: & $uper ductam perpendicularem fiat in puncto fan- gulus {ae}qualis angulo n f h per 23 p 1, qui $it q f n: e$t ergo per 15 p 1 an- gulus q f n {ae}qualis angulo z f d: $ed cum z d & z f line{ae} ex hypothe$i $int æquales: erit per 5 p 1 angulus z d f æqualis angulo z f d: ergo & angulus q f n æqualis e$t angulo z d f: ergo per 28 p 1 line{ae} z d & q f $unt adinuicem æ quidi$tantes: in infinitum ergo protract{ae} nunquá concurrent. Nullius ergo puncti lineæ e d quantumcunq; protract{ae} forma mouebitur ad punctum f per lineam incidenti{ae} q f: $ed nõ po- re$t e$$e locus alicuius imaginis in pũcto z, ni$i moueatur ad punctũ f forma per lineam q f: aliàs enim linea f h non fieret linea reflexio- nis, in cuius inter$ectione cum diametro d e e$t pũctus z. Non e$t er- go punctus z locus alicuius imaginis punctorum line{ae} e d: ergo nec alicuius alterius imaginis form{ae} cuiu$cunq; puncti extra lineam d e. Et eadem erit demon$tratio quantacunq; $umpta diametro e d. Sed & nullus alius punctus lineæ z d præter z, pote$t e$$e locus alicuius imaginis. Dato enim quòd punctus p po$sit e$$e locus alicuius ima- ginis; ducatur linea h p $ecans conuexam $uperficiem $peculi in pun cto b: & ducatur perpendicularis d b m: & ut $uprà, angulo m b h fiat æqualis angulus $uper punctũ b, quit b m. Palàm ergo, ut prius, quòd angulus t b m e$t æqualis an- gulo p b d: $ed angulus d p b per 16 p 1 e$t maior angulo p z h, cum $it ei extrin$ecus in trigono p z h: igitur duo alij anguli trigoni p d b lunt minores duobus alijs angulis trigoni d z f: $ed angulus p d b e$t maior angulo z d f, eo quò d totum maius e$t $ua parte: & etiam patet hoc per 29 th. 1 huius. Se- quitur ergo ut angulus d b p $it minor angulo d f z: angulus uerò d f z e$t æqualis angulo z d f, ut pri us patuit: angulus ergo d b p minor e$t angulo z d f: multò ergo minor e$t angulus d b p angulo p d b: angulus itaq; t b m minor e$t angulo p d b: line{ae} igiturt b & e d per 14 th. 1 huius nunquá concur- rentad partem, à qua po$$et fieri reflexio. Nulla ergo forma incidens puncto b reflectetur ad ui$um h, ita ut locus imaginis fiat in puncto p. Similiter neque imago alicuius alterius puncti $e offeret ui- $ui $uper aliquem punctum line{ae} z d. Tota ergo linea z d erit $emper uacua imaginibus: nec un quá erit locus imaginum in ip$a. Et $imiliter pote$t de qualibet alia diametro propo$iti $peculi demon- $trari hypothe$i $eruata. Patet etiam ex præmi$sis quoniam linea z d e$t meta imaginum. Quoniam $i linea f z fuerit maior quá linea z d, nulla unquá apparebit imago: quoniá angulus z d f per 18 p 1 e- rit maior angulo d f z: ergo & angulo n f h per 15 p 1: ergo & angulo q f n per 8 huius. Line{ae} ergo e d & q f per 14 th. 1 huius non conncurrent ad partem punctorum e & q, $ed ad part\~e punctorum d & f: non ergo aliqua poterit apparere imago in puncto z: ergo nec in aliquo punctorum line{ae} z d. Quòd $i linea $ z $it minor quã linea z d: tunc $ecundũ pr{ae}mi$$um modũ erit angulus z d f minor angulo q f n: ergo per 14 th. 1 huius line{ae} e d & q f concurrent ad part\~e punctorũ e & q: & ab illo pũcto pote$t alicuius punctorum line{ae} e d fieri reflexio ad ui$um: & locus imaginis erit per 11 huius in puncto z: & erit linea z d locus imaginis $ecundum omn\~e $uum punctũ, quou$q; linea incidenti{ae} re$pectu dia metri recipiat propo$itam diui$ionem. Patet ergo quòd cum linea z d e$t {ae}qualis lineæ z f, quòd li- nea z d e$t meta imaginum ultra quã nulla, & citra quã omnis uidetur imago. Et $imiliter punctus z e$t meta imaginum: quoniam, ut patet ex pr{ae}mi$sis, omnis linea incidenti{ae} à quocunq; puncto $pe culi ad ui$um h inter puncta z & d ducta, e$t maior quá linea, qu{ae} perillã re$ecatur exlinea z d: quo- niam i$ta e$t maior quá linea z f, per 15 p 3: e$t ergo etiam maior quá linea z d exhypothe$i, ut patet de linea b p, quæ e$t maior quá linea p d, uel linea z d: omnis\‘q; linea inter pũcta z & e ad ui$um h du cta interiacens peripheriam circuli & diametrum, e$t minor quã linea f z: ergo & minor quã linea z d: ergo e$t etiam minor quã linea, quã ip$a re$ecat ex $emidiametro d e. Sunt ergo, ut patet ք præ- mi$$a, in linea z e loca imaginum, præter quá in puncto z: in linea uerò z d non $unt aliqua loca ima- ginum. Et $ic patet quòd punctus z e$t meta imaginum: nec e$t differentia an punctus z cadat intra circulum: an extra: an in ip$a $uperficie $peculi: quia $emper ubicun que acciderit lineam z d {ae}qua- lem fieri parti line{ae} reflexionis interiacenti punctum reflexionis & punctum z: erit $emper in pun- cto z meta imaginum: & $imiliter e$t de tota linea z d. Patet ergo propo$itum.

29. A{$s}ignata meta imaginum in quacunque diametro inter line as contingentes à ui$u ad $peculum $phæricum conuexum ductas, præter ui$ualem diametrum: in punctis tantùm datæ VITELLONIS OPTICAE diametri, inter $uperficiem $phæræ & punctum, quie$t imaginum meta, exi$tentibus $unt loca imaginum illius diametri. Alhazen 24 n 5.

Sit b centrum ui$us: & $int b z & b e lineæ $peculum $ph{ae}ricum conuexum contingentes in pun ctis z & e: & $it a centrũ $peculi: & b h a diameter ui$ualis: & $it a g d diameter alia, in qua meta ima- ginum a$signata $itin puncto t per præcedentem, & per 136 th. 1 hu- b l z h f p d g q t e a ius: $ecet\’q; linea a d $uperficiem $peculi in puncto g. Dico quòd $o- lùm in punctis lineæ t g, quæ $unt inter puncta g & t, $untloca imagi num diametri d g a. Quòd enim imagines illæ non cadant in punctũ g, qui e$t in $uperficie $peculi: uel quòd non cadant extra $uperfici\~e $peculi, palàm per 27 huius: oportet enim $emper diametrum, in qua locus imaginis e$t in $uperficie $peculi aut extra, demi$siorem e$$e puncto contingentiæ: diameter uerò a d e$t inter lineas contingen- tes: nec ergo in $uperficie $peculi, nec extra $phæram ip$ius appare- bit imago $ecundum illam diametrum. Sed quòd quilibet punctus inter puncta g & t $umptus $it locus imaginis, patet. Detur enim ali- quod punctum lineæ g t: quod $it q: & ducatur linea à ui$u ad illum punctum, quæ $it b q, $ecans $uperficiem $peculi in puncto p: & duca tur perpend: cularis a p l: & $ecundum $æpius præmi$$a angulo l p b fiat per 23 p 1 angulus æqualis, qui $it d p l: & ducatur linea b t $ecans $uperficiem $peculi in puncto f. Ducatur quoq; perpendicularis a f. Triangulus itaque a p b continet triangulum a f b: angulus ergo a f b maior e$t angulo a p b per 21 p 1: $ed angulus a ft cum angulo a f b ua let duos rectos, & angulus a p q cum angulo a p b ualet duos rectos per 13 p 1. Palàm ergo quia angulus a ft minor e$t angulo a p q: $ed an gulus a f t e$t {ae}qualis angulo f a t per 5 p 1, quoniam latus ft e$t {ae}qua- lelateri t a per 136 th. 1 huius, & exhypothe$i: angulus ergo a p q maior e$t angulo $ a t: quare etiam erit maior angulo p a q, qui e$t pars anguli f a t. Et quia anguli a p q & l p b $unt {ae}quales ք 15 p 1 $unt enim contra $e po$iti: erit angulus l p b maior angulo p a q: e$t ergo per 8 huius angulus d p l maior angulo p a q. Patet igitur quod line{ae} p d & a q concurrent per 14 th. 1 huius: $it ergo d punctus con- cur$us ip$arum. Forma igitur puncti d reflectetur ad ui$um in punctum b à puncto $uperficiei $pecu li, quod e$t p, perlineam p b: & locus imaginis $u{ae} e$t punctum q per 11 huius. Eadem quoq; e$t de- mon$tratio $umpto quocunq; puncto inter g & t. In diametro uerò b h a (qu{ae} e$t diameter ui$ualis) non e$t aliquis locus imaginis, ni$i ut proponit 10 huius. Patet ergo propo$itum.

30. Linea reflexionis, circulum (qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $phæ rici conuexi) taliter $ecante, quòd pars lineæ productæ intra circulum $it æqualis $emidiametro $peculi: pars diametri in termino huius lineæ $ecantis $peculum, interiacens punctum $ectionis $peculi, & punctum $ectionis $ui cum linea contingenter à ui$u ductæ ad $peculum, e$t locus ima- ginum punctorum illius diametri: & nullus punctus alius diametri eiu$dem: erit<006> locus ima- ginis $emper extra $peculum. Alhazen 25 n 5.

Sint a c & a g line{ae} contingentes circulum, qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $u- perficiei $peculi $ph{ae}rici conuexi, cuius centrum $it punctum b: $it quoq; in puncto a c\~etrum ui$us: $it\’q; linea a d b z diameter ui$ualis, $ecãs a c d b m q n x g p o k t f z h $uperficiem $peculi in punctis d & z: pro- trahatur\’q; à centro $peculi b ad punctum conting\~eti{ae} g linea b g. Palàm ergo per 59 th. 1 huius quòd arcus d g e$t minor quarta circuli: arcus ergo g z e$t maior quarta cir culi: ergo per 33 p 6 patet quòd angulus z b g e$t maior recto. Hoc etiã patet $ic. Cũ enim in triãgulo b a g angulus a g b $it re- ctus per 18 p 3, erit angulus g b a minor re- cto: palàm ergo per 13 p 1 quòd angulus z b g e$t maior recto. Ab$cindatur ergo ab i- p$o angulus h b g rectus per 23 p 1: erit per 28 p 1 linea h b {ae}quidi$tans line{ae} conting\~e ti circulum, quæ e$t a g. Palàm ergo quo- niam lineæ b h & a g productæ nunquam concurrent: & quælibet diameter cadens in arcum h g inter puncta h & g, cõcurret cum linea a g producta per 2 uel 14 th. 1 hu ius, quoniam angulum acutum continebit cum linea b h. Ducatur ergo à puncto a linea $ecans $pe- culum, quæ $it a m o, ita quòd chorda m o $it æqualis $emidiametro $peculi, quæ $it b o: hoc autem LIBER SEXTVS. po$sibile e$t fieri per 136 th. 1 huius: eritq; linea b o, & punctum o meta imaginum per 28 huius: con currat\’q; diameter b o cum linea a g in puncto t. Dico quòd in quolibet puncto lineæ t o e$t locus i- maginis: & quòd in nullo alio puncto diametri t b e$t locus alicuius imaginis: & $unt puncta o & t metæ locorũ imaginũ, punctum o in $uperficie $peculi, & punctũ t extra $peculum: $olũ enim in his duobus punctis concurret diameter b o cũ lineis reflexionis, quæ $unt a m & a g. Sumatur enim ali quod punctũ line{ae} t o, quod $it k: & ducatur linea a n k, $ecans cõuexam $uperfici\~e $peculi in puncto n: & ducatur քp\~edicularis b n x: & angulo a n x fiat {ae}qualis angulus $uք punctũ n, utin alijs \~pmi$sis: & producatur linea n f taliter, ut angulus x n f $it æqualis angulo a n x per 23 p 1: protrahatur\’q; per- pendicularis b t ad lineam n f in punctum f: punctum enim concur$us, quicunq; fuerit, uocabimus f: palàm uerò per 14 th. 1 huius quoniã concurrent. Linea itaq; n fnõ cadet inter puncta circuli, quæ $unt h & g: non enim $ecat $peculum: neq; $ecat lineam ip$um $peculum contingentem in puncto g, qu{ae} e$t a g t, ni$i in uno puncto, quod e$t extra $uperficiem $peculi $upra punctum g. Siaũt daretur quòd linea n f caderet inter puncta h & g: oporteret ut uel $ecaret $uperficiem $peculi uel lineam a g in duobus punctis: in uno infra punctum g, & in alio $upra punctum g, ubi fit reflexio ad ui$um exi- $tentem in puncto a: & $ic duæ line{ae} rect{ae} $uperficiem includerent: quod e$t impo$sibile. Forma er go puncti f mouebitur per lineam f n ad punctum n, & reflectetur ad a per lineam a n: apparebit\’q; i- mago eius in puncto k, in concur$u catheti incidentiæ, quæ e$t f b, cum linea reflexionis, qu{ae} e$t a k extra $peculi $uperficiem. Et eodem modo de omnibus punctis line{ae} o t e$t demon$trãdum: & ima- gines omnium uidentur extra $peculum. Et quoniam à puncto m nulla pote$t fieri reflexio formæ alicuius punctorũ lineæ b f: quoniam omnes line{ae} reflexionum à puncto m ad punctum a factarum {ae}quidi$tat diametro b f: quod patet, $i ducatur քpendicularis b m, qu{ae} producatur u$que ad punctũ q: & fiat angulus p m q æqualis angulo q m a. Tunc enim, quia anguli b m o & m b o $unt {ae}quales ex hypothe$i, & per 5 p 1: erunt, $icut o$t\~edimus in 28 huius, anguli p m q & m b o {ae}quales: ergo per 28 p 1 line{ae} m p & b f {ae}quidi$tant: non ergo concurrunt: nec unquam fiet reflexio formæ alicuius puncti diametri b f à puncto $peculi m: punctum ergo o non erit locus alicuius imaginis punctorũ diame- tri b f. Omnia ergo illa loca $unt extra $peculũ in linea t o: ita quòd puncta t & o $unt loca imaginũ. Patet ergo propo$itum: ita tamen ut punctum t accipiatur ut $impliciter ui$um, & ut reflexum, pro- ut diximus in 2 huius: quoniam ip$um cadit in linea contingente.

31. Catheto incidentiæ $ecante quemcun<005> punctum arcus circuli (qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $phærici conuexi) interiacentis punctum contingentiæ lineæ à centro ui$us ductæ, & punctum, quo linea reflexionis (cuius pars intra circulum e$t æqualis $emidiametro circuli) $ecat arcum circuli non apparentem ui$ui: erũt locorum imaginum plu- raintra $peculi conuexam $uperficiem: unum tantũ in ip$a $uperficie, & plurima extra ip$am. Alhazen 26 n 5.

Di$ponantur omnia, ut in præhabita demõ$tratione: $ecet\’q; linea a m o circulum taliter, ut linea a d k u m r h b g i l e f o z t y m o $it æqualis $emidiametro $peculi: & linea a g t contingat $peculum in puncto g. Dico quòd in ar- cu g o erunt loca imaginum, ut proponitur. Suma tur ergo punctus illius arcus g o, qui $itl: & protra hatur à c\~etro $peculi diameter b l, u$quequò $ecet lineam contingentem circulum in puncto g, quæ e$t a t: $ecabit aũt per 14 th. 1 huius, & ք ea, quæ de- clarata $unt in proxima præcedente. Sit ergo pun- ctus $ectionis e: & producatur linea a l $ecá s appa- rentem $uperficiem $peculi in pũcto r: & palàm ex 15 p 3 quoniã linea l r minor e$t quã linea m o. Cũ ergo exhypothe$i linea m o $it {ae}qualis $emidiame tro b l, patet quòd linea r l minor e$t $emidiametro b l. Si ergo per 136 th. 1 huius à puncto a ducatur li nea ad diametrum b l, cuius pars interiac\~es circu- lum & diametrum $it {ae}qualis parti diametri inter- iacenti punctum huius $ectionis & centrum circu li b: hæc linea reflexionis cadet inter puncta b & l. Quia $i detur, quòd cadat inter punctal & e: erit li near l maior quá linea l b: omnis enim linea inter- iacens centrum circuli, & illam partem line{ae} refle xionis illi parti diametri æqualem, erit maior illa parte diametri, $icut in commento 28 huius per 15 p 3 o$t\~edimus de linea b p, qu{ae} e$t maior quã linea f z, æ quali parti diametri z d, ut ibi patet: e$t aũt li- near l minor quàm linea b l: quoniam per 15 p 3 linear l e$t minor quã linea m o, qu{ae} ex hypothe$i e$t æqualis ip$il b. Non ergo cadit illa linea inter puncta l & e, $ed neque in punctum l, propter eandem VITELLONIS OPTICAE cau$$am: cadit ergo inter puncta b & l. Sit ergo punctus, in quem cadit illa linea, punctus i: & duca- tur linea a i $ecans portionem apparent\~e $peculi in puncto u: cuius pars u i $it æqualis parti diame- tri, quæ e$t b i. Dico ergo quòd in quolibet pũcto inter e & i $umpto e$t locus imaginis: & $unt pun cta e & i metæ imaginum. Sumatur enim aliquod punctum line{ae} l e, quod $it f: & ducatur linea f a $e- cans apparentem portionem $peculi in puncto h: & ducatur à centro $peculi perpendicularis, quæ $it b h k: fiat\’q; per 23 p 1 $uper punctum h terminum lineæ k h angulus {ae}qualis angulo a h k, qui $it k h y: palam\’q; ex præmi$sis in præcedente, quoniam line{ae} b e & h y productæ concurrent per 14 th. 1 huius: $it punctus concur$us y. Et quoniam linea h y cadit extra $peculum: forma ergo puncti y mo uebitur per lineam y h a d $peculum: reflectetur quoq; à puncto $peculi, quod e$t h, ad ui$um exi$ten tem in puncto a: apparebit\’q; imago eius in puncto f, in concur$u catheti incidenti{ae}, quæ e$t b f, cum linea reflexionis, quæ e$t a h, extra $peculi $uperficiem. Et eodem modo e$t de omnib. punctis lineæ l e demon$trandum. Imagines enim formarum omnium illorum punctorum uidentur extra $pecu- lum, excepto $olo l, in quo diameter b l $ecat $peculi $uperficiem: quoniam in illo puncto locus ima ginis e$t in $uperficie $peculi: ideo quòd in $uperficie eius $e inter$ecat linea reflexionis, quæ e$t a l, cum catheto incidentiæ, quæ e$t b y: erit\’q; punctum, cuius formæ imago uidetur in pũcto l, reflexa à punctor, con$i$tens in diametro b y producta ultra punctum l, ut patet per 27 huius: $ed, ut patet ք 30 huius, omnes form{ae} punctorum cadentium in diametro b y, ultra punctum reflexum à punctor. reflectuntur ab aliquo puncto arcus r u, & loca imaginum omnium illorũ punctorum $untin linea il: ideo, quia, ut patet ex præmi$sis, punctum i e$t meta imaginum, ultra quod punctum nunquá ap- paret aliqua imaginum ui$u exi$tente in puncto a, & $peculo $ic di$po$ito, ut patet ex hypothe$i. Pa- làm ergo quòd in quolibet puncto line{ae} e i $umpto inter puncta e & i, e$t locus imaginis formæ ali- cuius punctorum diametri b e eductæ ultra punctũ e. Qu{ae}dá ergo imagines in diametro e b $ortiun tur loca intra $peculũ, qu{ae}dá extra $peculum, & una $ola in $uperficie $peculi, $cilicet in puncto l. Et eodem modo in quolibet puncto arcus o g poterit demon$trari diametris data puncta arcus o g trá $euntibus & $uperficiem $peculi $ecantibus, prout demon$trationum nece$sitas requirit.

32. In quemcun<005> punctum arcus circuli (quie$t cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $pe- culi $phærici conuexi) interiacentis punctũ, in quo linea reflexionis (cuius pars intra circulũ) e$t æqualis $emidiametro circuli, in portione nõ apparente $ecat circulum, & punctum di$tant\~e à puncto contingentiæ per quartam eiu$dem circuli cathetus, incidenιiæ ceciderit: locus imagi nis $emper erit extra $peculum. Alhazen 27 n 5.

Di$ponantur omnia, ut in pr{ae}cedentib ita ut linea a m o $ic $ecet circulum $peculi, ut linea m o $it æqualis $emidiametro $peculi: & $it, utin 30 huius, angulus h b g rectus: & linea a g p contingat $pe- culum in puncto g. Dico quòd arcui o h cathetis incidentiæ occurrentib. locusimaginis erit $emp extra $peculum. Ducatur enim per aliquod punctorum arcus o h dia a d u m b s o t q z h s x meter b q: quæ concurrat cum contingente a g p in puncto p: & duca tur à centro ui$us linea a u q, $ecans $uperius in portione ui$ui appa- rente $peculum in puncto u. Et quia, ut prius patuit, linea m o e$t æ- qualis line{ae} b q, & linea u q e$t maior quã linea m o per 15 p 3: ergo li- neau q e$t maior quàm linea q b. Linea quoq; ducta à circum ferentia ad diametrum b p, quæ e$t æqualis parti diametri p b, interiacenti i- p$am & centrum $peculi, non cadetinter puncta q & b. Si en m hoc $it po$sibile, tunc, ut prius, erit linea u q minor quàm linea q b: quo- niam $i linea illa caderet in punctum q, e$$et eius pars intra circumfe rentiam maior quá linea u q per 15 p 3: re$tat ergo ut linea æqualis ca dat inter p & q. Quòd enim non cadatin punctum p, palàm per hoc, quia angulusp g b e$t rectus: e$t ergo per 19 p 1 in trigono p b g latus p b maius latere p g. Cadat itaque linea taliter ducta citra p: & $it pũ ctus, in quem cadit, s: erit ergo per 28 huius punctus s meta loco- rum imaginum: & quilibet punctus inter pũcta p & s erit locus ima- ginum: & e$t eadem demon$tratio, quæ in $uperioribus $cilicet 30 & 31 huius: in quolibet quoque puncto arcus h o e$t eadem demon$tra tio. Ex his ergo præmi$sis propo$itionibus palàm e$t, quia imagi- nes diametrorum arcus h o omnes $unt extra $uperficiem $peculi: i- maginũ uerò diametri f y, ut in 31 huius, una $ola e$t in $uperficie $pe- culi, ut illa, qu{ae} e$t in puncto l: aliæ uerò $unt intra $uperficiem $pecu li, ut quæ cadunt in parte diametri, quæ e$t i l: ali{ae} uerò omnes $unt extra $peculum, ut qu{ae} cadunt in linea l e. Omnium quo que imaginum diametrorum arcus o g qu{ae}dam $unt intra $uperficiem $pe culi: quædam extra ip$am: qu{ae}dam in ip$a $uperficie $peculi conuexa, ut ibidem in præmi$$a conclu $um e$t. Patetitaq;, quod proponebatur.

33. In arcum circuli (communis $ectionis $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi $phæri- ci conuexi) interiacentem punctum, ubi diameter ui$ualis & punctum di$tans à puncto contin LIBER SEXTVS. gentiæ per quartam circuli inferius $ecant circulum, non pote$t cadere cathetus incide ntiæ, in qua aliquis locus imaginis occurrat. Alhazen 28 n 5.

Omnibus alijs di$p o$itis, ut in proxima $uperiori figura: dico quòd in arcum h z non pote$t cade re aliqua diameter, in qua $it locus alicuius imaginis. Quoniam enim linea conting\~es, quæ e$t a g p, {ae}quidi$tat diametro b h per 28 p 1: tunc patet quòd uer$us punctũ p a d c u m b g o t q p n z h nulla diameter cadens in arcum z h, concurrit cum linea contingen te, quæ e$t a p: & à quocunq; puncto talium diametrorũ ducatur li- nea ad $uperficiem $peculi conuexam, cadit in portionem nõ ap pa- rentem ip$ius $peculi, utpote in portionem circuli, quæ e$t g z c: & nulla ip$arum cadit in portionem circuli g d c ui$ui oppo$itam, ni$i $ecando $phæram $peculi. Nulla ergo forma puncti alicuius talium diametrorum ueniet ad portionem ui$ui apparentem uel ad ui$um. Omnia aũt i$ta, quæ in $emicirculo d g z, & in eius arcubus in præ- mi$sis $ex theorematib. declarata $unt, in arcubus quoq; $emicircu- li d c z $imiliter po$$unt demon$trari, ut in arcubus $emicirculi d g z. Similibus enim acceptis utrinq; di$po$itionib. arcuum, & $imilibus factis protractionibus linearũ, eædem in omnibus occurr\~et pa$sio- nes: & idem e$t demon$trandi modus. Et $imiliter etiam quod nunc declaratur in circulo c d g z, pote$t in unoquoq; circulorũ, qui $unt communes $ectiones $uperficierum reflexionis & $uperficierũ con uexi $peculi $phærici declarari. Vnde omnes pa$siones probat{ae} $e- cundum quo$cunq; punctos circuli d g z c, in completis circulis ac- cidunt per totam $peculi $uperficiem: $icut $i punctus g, uel alius pũ ctus $ignatus moueatur per $phær{ae} $uperficiem, & circulum de$cri bat. Pa$siones uerò arcuum circuli d g z c perueniuntin quadam lata $uperficie contenta $ub ter- minis æquidi$tantium circulorum per totam $phæram $peculi: $icut $i arcus aliquis æquidi$tans po lo, motus $peculi aliquam $uperficiem di$tinguat, ut patet intu\~eti. Si itaq; linea b h moueatur, eod\~e manente angulo h b z: $ignabit ip$a motu $uo $ecundum punctum z portion\~e $phæræ: in cuius dia- metris nullus erit imaginis locus. Et $i linea b h immota exi$tente, moueatur arcus o h, de$cribetur portio $phæræ, cuius omnes imagines in diametro b o, uel alia protracta exi$tentes, $unt extra $pe- culum: moto uerò arcu o g, fiet portio $peculi, cuius diametrorum quædam imagines $untin $uper- ficie $peculi: quædam extra: & quædam intra $peculum. Verùm ui$us non $emper comprehendit, quæ imagines $int in $uperficie $peculi, uel quæ $int extra: nec certificatur in i$torum cõprehen$io- ne, ni$i in tantum, quia $entit, quòd $unt ultra portionem $phæræ apparentem. Sic ergo expræmi$- $is $extheorematib. patet in propo$itis $peculis loca imaginum e$$e determinata, $ecundum quod imagines horum $peculorum uni tantùm ui$ui offeruntur.

34. Ambobus ui$ibus à duobus punctis reflexionis $uperficiei $peculi $phærici conuexiforma unius punctioccurr\~ete: unicus imaginis e$t locus: & imago tantũ unica uidetur. Alha. 41 n 5.

Sint centra duorum ui$uum a & b: & punctus ui$us $it c: $it\’q; d centrum circuli magni, qui e$t $e- cans ambos circulos, qui $unt communes $ectiones $uperficierum ambarũ reflexionis & $peculi, à cuius punctis fit reflexio, & cuius portio apparens ui$ui $it e f: $it\’que a b c p q l m g h o i k d e f punctus reflexionis formæ puncti c ad ui$um a, punctus g: & pũctus reflexionis form{ae} puncti c ad ui$um b $it punctus h: & ducatur cathe tus incidentiæ à puncto c ad centrum $peculi, quæ $it c d, $ecans cir- culum in puncto o: $ecet\’q; linea reflexionis, quæ e$t a g, producta i- p$am cathetum c d in puncto k, & linea b h in puncto i: $int\’q; primò ui$us ambo æqualiter di$tantes à centro $peculi d: & à puncto rei ui- ${ae}, quod e$t c. Dico quòd ambobus ui$ibus a & b, form{ae} puncti ui$i c, licet duo $int reflexionum puncta, quæ g & h, una tantùm imago ui- detur: quia unicus e$t imaginis locus. Ducantur enim lineæ a d & b d à centris amborum ui$uum ad centrum $phæræ $ecantes $pecu- lum in punctis l & m. Et palàm quoniam illæ lineæ $unt {ae}quales, ocu lis enim æqualiter di$tantib. à centro $peculi, quod e$t d, palàm quòd linea a b continuans centra oculorum cum ambabus lineis a d & b d continet angulos {ae}quales argumento 30 th. 3 huius: ergo per 6 p 1 li- ne{ae} a d & b d $unt æquales. Si ergo $itus puncti c re$pectu utriu$que ui$us a & b $it idem, ita ut linea a c $it æqualis line{ae} b c: tunc patet per 8 p 1 quòd utraq; diametrorum ui$ualium $cilicet a d & b d cum ca- theto c d continet angulos {ae}quales: ergo per 26 p 3 arcus $peculi l o & m o $unt æquales. Quia enim a d & b d diametri ui$uales $ecantex circulis communibus $uperficiebus $peculi & reflexionis arcus, & continent angulos æquales cú catheto c d in c\~etro d: palã per 26 p 3 quia illi arcus lineas c d & b d ex una parte, & ex alia lineas c d VITELLONIS OPTICAE & a d interiacentes duo puncta reflexionis, quæ $unt h & g, & punctum o, $unt æ quales per 26 p 3: quoniam perpendiculares ductæ à centro ad puncta reflexionum, quæ $unt d g p & d h q, cum linea c d continent angulos æquales. Et quia arcus h o & g o $unt {ae}quales, & $emidiametri d h & d g {ae}qua les: erunt etiam lineæ reflexionum, qu{ae} $unt h b & g a, {ae}quales per 4 p 1: quoniam ad ui$us {ae}qualiter di$tantes à centro $peculi $ecundum æ quales angulos $unt incidentes: erunt\’q; $imiliter lineæ g c & h c æquales: lineæ uerò b h & a g nece$$ariò $e $ecant: quoniam cum anguli $int minores duobus re- ctis, palàm per 14 th. 1 huius quia lineæ b h & a g in aliquo puncto nece$$e habent cõcurrere. Et quia anguli reflexionis ad ambos ui$us propter æqualem di$tantiam amborum ui$uum à puncto rei ui- ${ae}, & à centro $peculi, $unt {ae}quales: erunt & anguli c g a & c h b inter $e {ae}quales: palã ergo per 13 & 32 p 1 quia trigonum g c k e$t {ae}quiangulum trigono h c i, & linea c h e$t {ae}qualis ip$i line{ae} c g: erit ergo per 4 p 6 linea h i {ae}qualis lineæ g k, & linea c k æqualis ip$i line{ae} ci: puncta ergo k & i $unt punctus unus. Superidem ergo punctum catheti c d erit $ectio ambarum linearum reflexionis, qu{ae} $unt a g & b h, cum catheto incidentiæ qu{ae} e$t c d: & in hoc puncto utriq; ui$ui apparebit imago. Videbitur ergo una $ola imago: quia unus & id\~e imaginis locus erit. Quòd $i ui$us non æqualiter di$tent à $pe- culo uel à re ui$a: adhuc tamen unica uidebitur imago. Licet enim imago puncti ui$i cadat in diuer $is punctis perpendicularis: hoc tamen e$t imperceptibile, quia di$tantia illorum punctorum e$t im perceptibilis. Imago ergo cuiu$cunq; puncti à quocunq; uideatur oculo, $emper $eruat identitatem partis: & ob hoc apparet unitas imaginis. Remotio enim puncti ui$i ab uno ui$u modicò e$t maior <004> ab alio: & ob hocloca imaginum $unt imperceptibiliter remota: & ob hoc apparent $imul: quoniã ex illis fit una imago compacta: quia loca imaginis non totaliter à $e di$tant, licet partialiter aliquã- tulnm di$tent. Patet ergo propo$itum. Pote$t tamen quandoq; & hoc accidere, ut $i forma reflexa ualde obliquè incidat alteri ui$uũ: quòd {pro}pter obliquitat\~e una forma uideatur du{ae}: ut cũ in una $u- per$icie reflexionis $unt centra amborũ ui$uũ: tũc enim præmi$si anguli in c\~etro $peculi fiuntinæ- quales, & accidit uideri duas $ormas, $icut & nos in $implici modo uid\~edi dixim{us} in quarto libro hu ius, capitulis de ui$iõe numerali: $ed hoc euenit ut rarò, & nos de hoc aliquid dixim{us} in 7 th. 5 hui{us}.

35. In $peculo $phærico conuexo e$t ordinatio punctorum imaginum in ambobus ui$ibus, $icut ordinatio punctorum rei ui$æ. Alhazen 42 n 5. Item 4 n 6.

Ducantur à terminis line{ae}, qu{ae} e$t in reui$a, du{ae} catheti ad c\~etrum $peculi. Palàm ergo quòd tũc erit triangulus, in quo continebuntur omnes imagines omniũ punctorum illius line{ae}: & $i in illa li- nea $it punctus non eiu$dem $itus re$pectu amborum ui$uũ: imago puncti remotioris ab illo erit in diametro remotiori ab eius diametro, & propinquioris in propin quiori: quoniã $emper imago cu- iuslibet puncti rei ui$æ uidebitur in cóncur$u lineæ reflexionis cum catheto incidenti{ae} ducta ab il- lo puncto ad c\~etrum $peculi, ut patet per 11 huius. Sic ergo ob$eruabitur $itus partium in imaginib. $icut fuerit $itus in pũctis ui$is. Sumpta uerò linea, in qua e$t punctũ eiu$d\~e $itus, quodlibet punctũ illius line{ae} eiu$dem erit $itus re$pectu oculorũ. Si aũt $umatur linea, qu{ae} angulũ, qu\~e continent du{ae} line{ae} à centris oculorum ad punctum ui$um product{ae}, diuidit per æqualia: $itus cuiuslibet puncti illius line{ae} quantumcunq; product{ae} e$t $itus cõ$imilis utriq; ui$ui $icut uni. Patet ergo propo$itum.

36. In quibu$dam $itibus po{$s}ibile e$t à $peculis $phæricis conuexis, plurib. ui$ibus rem apparere unicam unam<006> imaginem habentem. c e p g a o b h k d f q

Sit cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $pe- culi $ph{ae}rici conuexi circulus a b: cuius centrũ $it d: & $it punctum c punctum rei ui${ae}: ducatur\’q; li- nea c d à puncto ui$o in centrũ d, $ecans $peculi pe- ripheriam in puncto o: $it\’q; arcus a o {ae}qualis arcui o b: & ducãtur line{ae} c a & c b, qu{ae} per 8 p 3 & ex hy- pothe$i erũt {ae}quales. Et à puncto a ducatur linea f a e contingens circulum per 17 p 3, & à puncto b li- nea p b q: & ducaturlinea a b. Patet ergo per 5 p 1 quoniam anguli c a b & c b a $unt {ae}quales: $ed & an guli o a b & o b a linea curua & recta contenti $unt æquales per 43 th. 1 huius: $ed & anguli contingen ti{ae} o a e & o b p per 16 p 3 $unt æquales: relinquitur ergo angulus c a e æqualis angulo c b p. Itaq; $uper punctũ a terminum line{ae} c a con$tituatur angulus æqualis angulo c a e per 23 p 1, qui $it g a c, & $uper b terminũ line{ae} c b con$tituatur angulus æqualis angulo p b c, qui $it h b c: erit\’q; angulus h b c {ae}qua lis angulo g a c. Po$itis itaq; ui$ib. in pũctis g & h: palã per 20 th. 1 huius quoniam forma puncti c re- flectitur ad ambos ui$us exi$tentes in punctis g & h: ad punctũ quidem g à puncto a, ad punctũ quoq; h à puncto b. Producatur quoq; ultra punctũ a linea g a ad lineã c d, qu{ae} cõcurret cũ illa ք 14 th. 1 huius, ideo quia anguli g a c & a c d $unt minores LIBER SEXTVS. duobus rectis: cõcurrãtitaq; in pũcto k: & {pro}ducatur linea h b ad lineã c d: qu{ae} $imiliter cõcurret ք pr{ae}miffa, & in eod\~e pũcto k. Quia enim, ut patet ex pr{ae}mi$sis, linea a c e$t æqualis lineæ c b, & a d æ- qualis ip$i b d, quia $emidiametri, & linea c d cõmunis e$t ambobus trigonis a c d & b c d: erũt angu li a c d & d c b æquales per 8 p 1, & angulus g a c, ut patet expr{ae}mi$sis, e$t {ae}qualis angulo h b c: $ed & angulus p b c o$t\~e$us fuit æqualis e$$e angulo e a c: e$t ergo angulus h b q æqualis angulo g a f per 13 p 1: $ed angulus e a k e$t æqualis angulo g a f, & angulus p b k æqualis angulo h b q ք 15 p 1: ergo an- gulus e a k æqualis e$t angulo p b k: erit ergo totalis angulus c a k æqualis totali angulo c b k: ergo per 32 p 1 trianguli c a k & c b k $unt æquianguli: ergo per 4 p 6 cũ a c fit æqualis ip$i b c, erit latus a k æquale lateri b k: cõcurrent ergo in uno puncto k: quoniã latus c k e$t in ambobus trigonis æquale $ibijp$i. Sed pũctus k e$t locus imaginis pũcti c: erit ergo ambobus ui$ibus id\~e locus imaginis. Siue ergo propriã faci\~e a$picientes uideant, $iue res alias à loco pũcti c à pũctis a & b reflexas ad ui$us in pũctis g & h exi$tentes, id\~e accidit utrobiq;. Idem quoq; accidit in toto circulo tran$eunte pũcta b & a: quoniã in quolibet pũcto illius circuli modo prædicto di$po$itis ui$ibus eadem e$t demon$tra. tio. Palàm ergo propo$itũ. Si aũt anguli reflexionũ $int diuer$i: tũc res una diuer$is ui$ibus in locis uidebitur diuer$is, & plura idola obtinebit. Et hoc e$t notandũ, & $atis patuit ք pr{ae}mi$$a: quia illæ reflexionũ line{ae} in diuer$is pũctis diametri $peculi concurrunt: & ob hoc loca imaginũ con$tituũt diuer$a, ut patet per 11 huius. Patet ergo propo$itum.

37. In $peculis $phæricis conuexis minor e$t di$tantia imaginis à $peculi $uperficie, quàm ip$ius rei extra. Euclides 20 th. catoptr.

E$to circulus (qui e$t cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $ph{ae}rici cõuexi) q h k r: cu ius c\~etrũ z: & linea ui$a obliquè incid\~es $peculo $it e f: $it\’q; centrũ ui$us b: & reflectatur pũctus e à pũcto $peculi h ad ui$um b, & f à pũcto q: ducãtur\’q; line{ae} e h, h b, f q, q b: & ducãtur քpendiculariter $uper $uperfici\~e $peculi catheti e z, f z: $ecet\’q; linea e z circulũ $peculi in pũcto r: & f z in pũcto k: & b h producta intra $peculũ, $ecet e z in pũcto a: & b q f b e d t m n k h q r a g z $ecet f z in pũcto g: & producatur linea a g: qu{ae} per 11 huius erit imago lineæ e f: ducatur\’q; à pũcto h linea circulũ cõtingens ք 17 p 3, qu{ae} $it h t: & hæc {pro}ducta $ecet lineã e z in pũcto t: erit\’q; punctus t finis cõtin- genti{ae} line{ae} h t: $ecet\’q; linea t h {pro}ducta ultra h, lineã b g in pũcto l: & à pũcto t ducatur perp\~edicularis $u per lineã e z ք 11 p 1, qu{ae} producta $ecet e h lineam in pũcto d, & $it t d. Quia itaq; angulus b h l e$t æqualis angulo e h t ք 20 th. 5 huius: $ed & angulus t h a {ae}qua lis e$t angulo b h l ք 15 p 1: ergo angulus e h t e$t {ae}qua lis angulo t h a: ergo ք 3 p 6 erit proportio lineæ e h ad h a, $icut line{ae} e t ad lineã t a: $ed linea e h e$t ma- ior <004> linea h a: ergo & linea e t e$t maior <004> t a. Quòd aũt linea e h $it maior <004> linea h a, patet. Cũ enim an- gulus e t d $it rectus: erit angulus e t h maior recto: e$t ergo ք 13 p 1 angulus e t h maior angulo a t h: $ed & angulus e t h maior e$t angulo e h t per 32 p 1: $ed angulus e h t e$t æqualis angulo a h t, ut patet ex pr{ae}mi$sis. Quia itaq; anguli trigoni e t h o\~es $imul $umpti, $unt æquales angulis trigoni a t h omni- bus $imul $umptis ք 32 p 1: relin quitur ergo angulus t a h trigoni t h a maior angulo t e h trigoni h e t. In trigono itaq; a e h angulus e a h maior e$t angulo a e h: ergo in trigono e a h latus e h maius e$t la tere h a ք 19 p 1: maior e$t ergo linea e t <004> linea t a: multò magis ergo linea e r e$t maior <004> linea r a: $ed linea r a e$t di$tãtia imaginis pũcti a à $uperficie $peculi intra $peculũ: & linea e r e$t di$tãtia pũcti ui $i, <003> e$t e, à $uքficie $peculi extra $peculũ. Et $i à pũcto q ducatur linea cõting\~es eirculũ, \~q {pro}ducta ad cathetũ f z $ecet ip$am in pũcto m: & à pũcto m ducatur ք pendicularis $uper f z, \~q producta ad f q $it m n: patebit $imiliter quoniá linea f k e$t maior <004> linea k g. Hoc e$t ergo propo$itũ: quoniã $i à me- dijs pũctis line{ae} e f ducantur line{ae}, $icut ab extremis, patebit id\~e in omnibus imaginibus ipforum, qu{ae} per 11 huius cadunt omnes in lineam a g. Patet ergo hoc, quod proponebatur.

38. Re con$pecta à tali longitudine, quòd eius certa quantitas ui$u comprehendi non po{$s}ιt: nonnunquã uidebitur imago reiui$æ in $peculo $phærico cõuexo æqualis: quando<005> maior quàm forma per $e ui$ui occurrens. Alhazen 6 n 6.

Sit a centrum $peculi $ph{ae}rici conuexi: & circulus (qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexio nis & $uperficiei $peculi) $it e d b: & $it e d diameter illius circuli: & educatur dιameter e d ultra d u$que a d z taliter, ut illud, quod fit ex ductu e z in z d $it {ae}quale quadrato a d $emidiametri per 127 th. 1 huius: ac $i e d & a d $int du{ae} line{ae} dat{ae}. Diuidatur\’q; linea z d per {ae}qualia in puncto h per 10 p 1: eritigitur a h medietas line{ae} e z: ergo per 1 p 6 illud, quod fit ex ductu a h in d z, e$t {ae}quale medie- tati quadrati line{ae} a d. Ergo per eandem 1 p 6 illud, quod fit ex ductu a h in h d {ae}quale e$t quart{ae} parti quadrati a d. Et quia illud, quod fit ex ductu a h in h d maius e$t quadrato h d per 3 p 2: $it il- lud, quod fit ex ductu a h in t h {ae}quale quadrato h d: erit ergo h t minor quàm h d. Fiat ergo cir- culus $ecundum quantitatem line{ae} a h: qui nece$$ariò {ae}quidi$tabit circulo priori: quoniam ip$o- VITELLONIS OPTICAE rum e$t idem centrum punctum a, & ip$orum $emidiametri $unt in{ae}quales: & à puncto h ducatur chorda {ae}qualis medietati line{ae} h d per 1 p 4, qu{ae} fit h q: & producantur line{ae} q a, q t: & $uper pun- tum q line{ae} h q fiat angulus {ae}qualis angulo q a h per 23 p 1, qui $it h q n, ducta linea q n $uper lineam a h. Et quoniam trianguli h q a angulus q a h {ae}qualis e$t angulo h q n trigoni h q n, & angulus a h q utrique communis, erit tertius tertio {ae}qualis per 32 p 1, $cilicet angulus a q h angulo h n q: er- go per 4 p 6 erit proportio h a ad q h, $icut q h ad h n: ergo per 17 p 6 illud, quod fit ex ductu a h in h n {ae}quale erit quadrato h q: $ed quadratum h q e$t quarta pars quadrati h d per 4 p 2: e$t enim h q medietas line{ae} h d: ductus ergo a h in h n e$t {ae}qualis quart{ae} parti quadrati d h: ergo & quart{ae} par- ti ductus a h in h t: e$t ergo linea h n {ae}qualis quart{ae} parti line{ae} h t per 1 p 6: cadit ergo punctum n inter puncta h & t: remanet\’q; linea t n tres quart{ae} line{ae} h t: re$tat ergo, ut ductus h t in t n $it tres quart{ae} quadrati h t per 2 p 2: $ed & per 1 p 6 erit ductus line{ae} a h o z i l h m n q t d a b e in t n tres quart{ae} quadrati h d. Quoniam autem angulus a q h e$t acutus per 42 th. 1 huius, & ip$e e$t {ae}qualis angulo q h a per 5 p 1, quoniam latera a h & a q $unt {ae}qualia: patet ergo quia angu- lus q h a e$t {ae}qualis angulo h n q in minori triangulo: ergo per 6 p 1 latus n q e$t {ae}quale lateri h q: & angulus h n q e$t acutus: ergo per 13 p 1 angulus q n t e$t obtu$us: ergo quadratum line{ae} t q amplius e$t quadrato line{ae} q n, & quadrato line{ae} t n, in illo, quod fit ex ductu t n in n h per 12 p 2. Si enim à puncto q du- catur perpendicularis $uper h n: palàm per 31 th 1 huius, cum la- tera q h & q n $int {ae}qualia, quòd ip$a cadet in medio puncto li- ne{ae} h n: ex prima uerò 2 ductus n t in h n {ae}quipollet illi, quod fit ex ductu t n in medietatem h n bis: $ed ductus t n in n h cum quadrato n t {ae}qualis e$t ductui h t in t n per 3 p 2: igitur ductus h t in t n e$t exce$$us quadrati line{ae} t q $upra quadratum line{ae} n q: ergo & upra quadratum h q, cum h q $it æqualis ip$i n q. Quia uerò quadratũ t q e$t maius quadrato h q, & linea t q erit maior linea h q: $it ergo per 3 th. 1 huius {pro}portio a i ad a h, $icut t q ad q h. Quia ergo linea q t e$t ma ior <004> linea q h, erit linea a i maior <004> linea a h: erit quoq; ք 20 p 6 {pro}portio quadrati line{ae} a i ad quadra tũ line{ae} a h, $icut quadrati line{ae} t q ad quadratũ line{ae} h q: quoniã $icut $impli ad $implũ, $ic dupli ad duplum: proportio uerò quadratorum dupla e$t proportioni laterũ ex 20 p 6: erit ergo per 17 p 5 exce$$us quadrati a i $upra quadratum a h ad quadratum a h, $icut ductus h t in t n ad quadratum q h. Et quoniam ex 4 p 2 & ex pr{ae}mi$sis quadratum lineæ q h quater $umptum efficit quadratum lineæ h d, & ductus h t in n t quater $umptus efficit triplum quadrati h t: ideo quòd ductus h t in tn e$t tres quart{ae} quadrati h t ut præmi$$um e$t, quater uerò tria $unt 12, in quibus tria integra conti- nentur: erit ergo per 15 p 5 ductus h t in t n ad quadratum q h, $icut tripli quadrati h t ad quadra- tum h d. Sit autem h o linea tripla ad lineam h t: erit ergo per 1 p 6 ductus o h in t h triplus quadrati h t: $ed quoniam ductus a h in h t e$t æqualis quadrato h d, erit per 17 p 6 proportio h a ad h d, $icut h d ad h t: erit ergo h t ad h a, $icut quadrati h t ad quadratum h d ex corollarij; 20 p 6 & 4 p 5. Ve- rùm proportio lineæ o h ad lineam h a e$t, $icut ductus o h in h t ad ductũ a h in h t ex 1 p 6: & ita per 11 p 5 e$t proportio lineæ o h ad lineam h a, $icut tripli quadrati h t ad quadratum h d: $ed hæc erat proportio exce$$us quadrati lineæ a i $upra quadratum lineæ a h ad quadratum a h: e$t ergo con- iunctim per 18 p 5 proportio lineæ o a ad lineam h a, $icut quadrati lineæ a i, ad quadratum a h: ex- ce$$us enim quadrati a i $upra quadratum a h cum quadrato h a efficit quadratum a i: igitur ex 20 p 6 erit linea i a medio loco proportionalis inter lineas o a & h a: e$t enim ut in corollario 20 p 6 proponitur, trium linearum continuè proportionalium proportio primæ ad tertiam, $icut quadra- ti con$tituti $uper primam ad quadratum con$titutum $uper $ecundam: igitur proportio lineæ o a ad i a e$t ficut lineæ i a ad h a: erit ergo per 19 p 5 eadem proportio re$idui ad re$iduum, $cilicet o i ad i h. Cum itaque i a $it maior quàm a h: erit o i maior quàm i h: ergo linea i h e$t minor medie- tate lineæ o h. Item, ut prius o$ten$um e$t, ductus lineæ a h in lineam h d e$t æqualis quartæ parti quadrati lineæ a d: $ed linea a d e$t minor quàm a h: ductus ergo a d in h d e$t minor quarta parte quadrati lineæ a d: linea ergo h d e$t minor quarta parte lineæ a d. Quoniam $i e$$et linea h d æqua- lis quartæ parti lineæ a d: tunc per 1 p 6 ductus a d in h d e$$et æqualis quartæ parti quadrati lineæ a d, cum ambo $int altitudinis lineæ a d: e$t ergo linea h d minor quinta parte lineæ a h. Cum itaq; linea a h $it maior quàm quintupla lineæ h d: ductus uerò lineæ a h in lineam h t $it æqualis qua- drato lineæ h d, ut pater ex pr{ae}mi$sis: erit per 17 p 6 linea h d maior quàm quintupla lineæ h t: quo- niam quæ e$t proportio lineæ a h ad lineam h d, eadem e$t proportio lineæ h d ad lineam h t: e$t ergo h t minor quinta parte lineæ h d, & h d e$t minor quinta parte lineæ a h: ergo h t e$t minor 25 parte lineæ a h. E$t autem ex præmi$sis proportio lineæ o i ad lineam i h, $icut lineæ i a ad h a: ergo per 18 p 5 erit coniunctim proportio lineæ o h ad lineam i h, $icut line{ae} i a cum linea a h ad lineã a h: ergo per 15 p 5 erit proportio tertiæ partis prim{ae} line{ae} ad $ecundam, $icut tertiæ partis ip$ius ter- tiæ lineæ ad quartam. Quia uerò linea h o affumpta e$t tripla lineæ h t: patet quòd linea h t e$t ter- tia pars line{ae} o h: e$t ergo proportio lineæ h t ad lineam i h, $icut tertiæ partis lineæ i a cum tertia parte line{ae} a h ad lineam a h. E$t igitur proportio line{ae} h t ad i a, $icut duarum tertiarum lineæ a h LIBER SEXTVS. cum una tertia line{ae} i h ad lineam a h. Quia enim linea a h bis accipitur, $emel per $eip$am & $emel in linea i h: ergo & eius tertia bis accipitur: linea uerò i h accipitur $emel in linea a i: unde & eius tertia e$t tantùm $emel accipienda. Quia uerò linea o i e$t maior quàm linea i h, ut $uprà patuit, & linea i h e$t minor medietate lineæ o h: ergo tertia pars line{ae} i h erit minor $exta parte lineæ o h per 15 p 5. Sed cum linea h t $it tertia pars lineæ o h: ergo medietas line{ae} h t e$t æqualis $extæ parti lineæ o h: e$t ergo tertia pars line{ae} i h minor medietate lineæ h t: ergo du{ae} terti{ae} line{ae} a h cum mi- nore parte line{ae} quàm $it medietas line{ae} h t, habent proportionem ad lineam a h illam, quam ha- bet linea h t ad lineam i h: ergo econtrario per 5 th. 1 huius erit proportio line{ae} i h ad lineam h t, $i- cut line{ae} a h ad duas $ui tertias, cum linea minore medietate line{ae} h t: e$t autem linea h t, ut patet per præmi$$a, minor 25 parte lineæ a h, & eius medietas minor e$t medietate 25 partis lineæ a h: $ed linea a h in 25 partes diui$a, duæ eius tertiæ cum medietate 25 partis non efficiunt 18 partes ip$ius: quoniam du{ae} terti{ae} de 24 $unt 16, & remanet unum, cuius du{ae} terti{ae} cum illo, quod e$t minus di- midio, fortè e$t plus quàm unum integrum, minus autem quàm duo integra. Igitur proportio line{ae} i h ad lineam h t e$t maior quàm 25 ad 18 per 8 p 5. Item cum linea h t $it minor 25 parte lineæ a h: e- rit linea a t maior 24 partibus illarum partium, quarum linea a h e$t 25. Sed linea i h e$t minor me- dietate line{ae} o h: e$t autem o h tripla ip$i h t: ergo linea o h e$t minor una & dimidia partium ex par tibus, quarum a h e$t 25: ergo multò magis linea i h e$t minor una parte & dimidia illarum 25 parti- um line{ae} a h: e$t ergo proportio lineæ a i ad lineam a t, $icut lineæ minoris quàm 26 partes & dimi- di{ae} ad lineam maiorem quàm 24 partes partium earundem. E$t ergo proportio line{ae} a i ad lineam a t minor proportione 26 & dimidi{ae} ad 24 ք 8 p 5. Proportio uerò line{ae} i h ad lineam h t e$t maior quàm 24 partium ad 18: quoniam ex pr{ae}mi$sis ip$a e$t maior quàm 25 partium ad 18. Igitur propor tio line{ae} i h ad lineam h t e$t maior, quàm proportio line{ae} i a ad lineam a t: quoniam minor e$t pro- portio 26 & dimidi{ae} ad 24, quàm 24 ad 18, quæ e$t $e$quitertia. Sit quoq; per 3 th. 1 huius proportio lineæ i m ad lineam m t, $icut lineæ i a ad lineam a t. E$t ergo maior proportio lineæ i h ad lineã h t, quàm line{ae} i m ad lineam m t: cadit ergo punctus m inter puncta i & h: linea ergo m t e$t maior quá h m: ergo per 8 p 5 maior e$t porportio i m ad h m, quàm ad m t: ergo maior e$t proportio i m ad m h, quàm lineæ i a ad a t: ergo maior proportio i m ad m h, quàm i a ad a h: quoniam per 8 p 5 ma- ior e$t proportio i a ad a t, quàm ad a h, cum a t $it minor quàm a h. Sit ergo per 3 th. 1 huius propor- tio lineæ i l ad l h, $icut line{ae} i a ad a h: cadet ergo, ut prius, punctus l inter duo puncta m & i: quod pote$t o$tendi, $icut prius. Et his $ic pr{ae}mi$sis innouabimus figuram. Fiat itaque omnimoda di$- po$itio, ut in pr{ae}mi$$a figuratione, & in demon$tratione ulterius procedatur. A punctis itaq; l & m ducantur du{ae} lineæ contingentes circulum d b e per 17 p 3, qu{ae} $int l b & m g: & copulentur line{ae} i b, h b, i g, t g, a b, a g: & educantur lineæ a b, a g ad circulum exteriorem, quælibet in punctum z. Quia itaque ex pr{ae}mi$sis e$t proportio line{ae} i l ad lineam l h, $icut catheti i a ad $ui partem a h: pa- tet per 12 huius quoniam punctus h e$t locus imagi- nisform{ae} puncti i reflex{ae} à puncto $peculi, quod e$t b: o z i l s m h n q t d z a @ k c g y @ f r s b z u a d x x e quia danti oppo$itum accidit contrarium proportio- nis pr{ae}demon$trat{ae} line{ae} i a ad lineam a h: erit enim tunc proportio lineæ i a ad lineam ductam ad locum imaginis à puncto a, $icut line{ae} i l ad lineam ductam à puncto l ad locũ imaginis. Et quia, ut pr{ae}o$t\~e$um e$t, {pro}portio line{ae} i l ad lineã h l e$t, $icut line{ae} i a ad lineá h a: erit ergo pũctus h locus imaginis: erit quoq; angul{us} i b z cõt\~etus $ub linea incid\~eti{ae} i b, & $ub քpendicula- ri a b z ducta à c\~etro $peculi ad pũctũ reflexionis, {ae}qua lis angulo h b a, qu\~e cõtinet linea reflexionis cũ ead\~e քp\~ediculari a b z: quoniã, ut patet ք 9 huius, illa linea reflexionis cõcurrit cũ catheto incid\~eti{ae}, qu{ae} e$t a i: u- terq; enim illorũ angulorũ e$t æ qualis cuidã angulo reflexiõis, <003>, exempli cau$$a, $it z b x, ita ut c\~etrũ ui$us $it in pũcto x, uel in aliquo puncto illius line{ae}: angulo itaq; z b x æquatur angulus i b z ք 20 th. 5 huius, ք q<001> o$t\~editur q<001> angulus incid\~eti{ae} e$t æqualis angulo re- flexiõis: & angulus h b a {ae}quatur angulo x b z ք 15 p 1. Et $imiliter cũ punctus h $it locus imaginis, & linea l b $it cõting\~es circulũ in pũcto b: erũt anguli l b z & a b l recti per 18 p 3: $ed angulus i b z e$t æqualis angulo h b a: relinquitur ergo angulus i b l {ae}qualis angulo l b h. Similiter quoq; erit angulus i g z æqualis angulo t g a. Et cũ linea m g $it cõtingens circulũ in pun- cto g, & perpendicularis $uper $emidiametrum a g: erit $ecundum pr{ae}mi$$a angulus i g m æqualis angulo m g t: e$t enim $ecundum pr{ae}mi$$a pũctus t locus imaginis form{ae} pũcti i reflex{ae} à pũcto $pe culi, quod e$t g. Item ducatur à puncto h ad lineam a b per 31 p 1 linea æquidi$tans line{ae} i b, quæ $it h p: & â puncto t ducatur $uper lineam a g {ae}quidi$tans line{ae} i g, qu{ae} $it t r: erit ergo per 29 p 1 an- gulus i b z {ae}qualis angulo h p b: $ed angulus i b z ex pr{ae}mi$sis e$t {ae}qualis angulo h b a: VITELLONIS OPTICAE duo ergo anguli h b a & h p b $unt {ae}quales: ergo per 6 p 1 duo latera h b & h p $unt {ae}qualia: & $i- militer $equitur, quòd duo latera t g & t r $unt æqualia. Quia itaque in trigono h p b duo anguli h p b & h b p $unt æquales: patet per 32 p 1 quoniam uterque ip$orum e$t acutus: angulus s ergo h p a e$t obtu$us: ergo per 19 p 1 in trigono h a p latus a h e$t maius latere h p: ergo & linea a h e$t maior quàm linea h b: & $imiliter erit linea a t maior quàm linea t g. Amplius quoniam linea h p e$t æ- quidi$tãs lineæ i b: erit per 29 p 1 & per 4 p 6 proportio lineæ a i ad lineã a h, $icut lineæ a b ad lineã a p. Et $imiliter cũ linea t r $it æquidi$tans lineæ i g: erit proportio line{ae} a i ad lineã a t, $icut line{ae} a g ad lineá a r: ergo erit econtrario per 5 th. 1 huius proportio line{ae} a h ad lineã a i, $icut lineæ a p ad li- neã a b: $ed linea a g e$t æqualis lineæ a b per definition\~e circuli: ergo per 7 p 5 ea d\~e e$t proportio li nearum a g & a b ad lineam a r: e$t ergo proportio lineæ a i ad lineam a t, $icut a b ad a r. Ablatis er- go hinc inde ei$dem medijs, quæ $unt a i & a b, erit per 22 p 5 proportio lineæ a h ad lineam a t, $icut lineæ a p ad lineam a r. Verùm cum angulus h p a $it obtu$us: palàm per 12 p 2 quia quadratum li- neæ a h excedet ambo quadrata linearum h p & a p in eo, quod fit bis ex ductu lineæ a p in lineam ductam à puncto p u$que ad locum perpendicularis duct{ae} à puncto h $uper lineam a p: $ed perpen- dicularis ducta à puncto h $uper lineam a p productam, nece$$ariò cadet in medio line{ae} p b per 31 th. 1 huius: quoniam lineæ h b & h p $unt æquales: ergo per 1 p 2 quadratum line{ae} a h excedit am- bo quadrata linearum h p & a p in eo, quod fit ex ductu lineæ a p in lineam p b: $ed per 3 p 2 il- lud, quod fit ex ductu line{ae} a b in lineam a p, e$t æquale ei, quod fit ex ductu lineæ a p in lineam p b & quadrato lineæ a p. Quadratum ergo line{ae} a h excedit quadratum line{ae} h p in eo, quod fit ex ductu lineæ a b in lineam a p. Eodem quoque modo demon$trandum, quòd quadratum li- ne{ae} a t excedit quadratum line{ae} t r in eo, quod fit ex ductu unius linearum a g uel a b in a r: cum li- nea a g $it æqualis ip$i a b. Ducatur ergo linea a b in ambas lineas a p & a r, & prouenient duo pr{ae}- mi$si exce$$us, quorum alterius ad alterum proportio per 1 p 6 e$t $icut line{ae} a p ad lineam a r, cum ip$orum $it eadem altitudo, qu{ae} e$t line{ae} a b. E$t autem ex pr{ae}mi$sis proportio line{ae} a p ad line- am a r, $icut line{ae} a h ad lineam a t: erit ergo proportio exce$$us quadrati a h $upra quadratum h p ad exce$$um quadrati a t $upra quadratum t r, $icut lineæ a h ad lineam a t. Et cum h p $it æqualis ip$i h b, & t r $it æqualis ip$i t g: erit proportio exce$$us quadrati a h $upra quadratum h b ad exce$$um quadrati a t $upra quadratum t g, $icut line{ae} a h ad lineam a t. Quia uerò per 36 p 3 illud, quod fit ex ductu lineæ e h in h d, e$t æquale quadrato line{ae} contingentis, duct{ae} à puncto h ad circulum d b e, qu{ae} per 60 th. 1 huius, & per 8 p 5 erit minor quàm linea h b: illud er- go, quod fit ex ductu line{ae} e h in lineam h d e$t minus quadrato line{ae} h b: patet ergo quòd il- lud, quod fit ex ductu a h in b d, minus e$t quadrato h b. Fiat ergo per 127 th. 1 huius ut illud, quod fit ex ductu a h in h u maiorem linea h d, {ae}quale $it quadrato line{ae} h b. Et quoniam linea a h e$t maior quàm linea h b, erit quoque a h maior quàm h u: ab$cindatur ergo h u à linea a h per 3 p 1 in puncto u: patetitaque per 2 p 2 quia quadratum lineæ a h e$t æquale ei, quod fit ex ductu li- neæ a h in h u, & in a u: illud ergo, quod fit ex ductu a h in a u, e$t exce$$us quadrati a h $upra quadratum h b. E$t ergo proportio lineæ a h ad lineam a t, $icut eius, quod fit ex ductu a h in a u ad exce$$um quadrati a t $upra quadratum t g. Si itaque duæ lineæ a h & a t ducantur in li- neam a u: erit per 1 p 6 proportio eius, quod fit ex ductu a h in a u ad illud, quod fit ex ductu a t in a u, $icut lineæ a h ad lineam a t: ergo per 9 p 5 illud, quod fit ex ductu lineæ a t in a u, e$t æquale exce$$ui quadrati a t $upra quadratum t g: $ed per 2 p 2 quadratum lineæ a t e$t æquale ei, quod fit ex ductu a t in a u, & a t in t u: e$t ergo illud, quod fit ex ductu a t in t u æquale quadrato t g. Palàm ergo quoniam ductus lineæ a h in h u e$t æqualis quadrato h b, & ductus a t in t u e$t æqualis quadrato t g. Item arcus b g diuidatur per æqualia in puncto o per 30 p 3: ducatur\’q; linea a o: & à punctis b & o & g ducantur tres perpendiculares $uper lineam a h per 12 p 1 $cilicet b f, o y, g k: & à puncto g ducatur linea æquidi$tans lineæ a h per 31 p 1, quæ $it g s: & à puncto b ducatur perpendicularis $uper lineam a g, quæ $it b c: & hæc quidem b c $i pro- duceretur ad peripheriam circuli, diuideret ip$am linea a g in duo æqualia per 3 p 3: & $imiliter diuideret arcum, cuius chorda e$$et producta b c, per æqualia in puncto g: & ita $ecaretur alius arcus æqualis arcui b g: quoniam in illum arcum caderet angulus c b g: & ita angulus c b g e$t medietas anguli, qui $uper centrum a caderet in illum arcum per 20 p 3: $ed ille angulus per 27 p 3 e$t æqualis angulo g a b: quoniam cadunt in arcus æquales $uper centrum a: igitur angulus c b g e$t medietas anguli g a b: e$t ergo per 27 p 3 angulus c b g æqualis angulo o a g. Duo autem an- guli b s g & b c g $unt recti: ergo per 31 p 3 $i imaginetur circulus, cuius diameter $it b g, tran$i- ens per punctum s: ille nece$$ariò tran$ibit per punctum c: & fiet arcus c s, in quem cadent duo anguli c b s & c g s: ergo hi duo anguli per 27 p 3 $unt æquales: $ed angulus g a y æqualis e$t an- gulo c g s per 29 p 1, quoniam line{ae} g s & a y {ae}quidi$tant: e$t ergo angulus g a y æqualis an- gulo c b s: ut autem prius o$ten$um e$t, angulus c b g e$t {ae}qualis angulo o a g: ergo totalis an- gulus o a y {ae}qualis totali angulo g b s: $ed anguli a y o & g s b $unt recti: e$t ergo trigonum y a o {ae}quiangulum trigono g b s: ergo per quartam pr. $exti e$t proportio line{ae} g b ad lineam b s, ficut line{ae} o a ad lineam a y, & proportio g b ad g s, $icut a o ad o y. It\~e quia angulus a h b e$t acutus per quadrage$imum$ecundum th. primi huius, palàm per decimamtertiam pr. $ecundi, quia qua- dratum line{ae} a b minus e$t ambobus quadratis linearum a h & h b in eo, quod fit ex ductu line{ae} a h in lineam h f bis: igitur quadratum line{ae} a h cum quadrato line{ae} h b, maius e$t quadrato line{ae} a b, LIBER SEXTVS. uel quadrato eius æqualis, qu{ae} e$t a d, in eo, quod fit ex ductu line{ae} a h in lineam h f bis: $ed il- lud, quod fit ex ductu a h in h f bis e$t per 1 p 2 {ae}quale ei, quod $it ex ductu a h in h d bis, & ex du- ctu a h in d f bis: illud autem, quod fit ex ductu a h in h d bis, cum quadrato line{ae} a d, e$t {ae}quale quadrato lineæ a h cum quadrato line{ae} h d per 7 p 2: quadratũ ergo line{ae} a d cũ eo, quod fit ex du- ctu a h in h d bis, quia e$t commune utrobiq;, au$eratur: remanet ergo quadratũ line{ae} d h, quod cũ eo, quod fit ex ductu line{ae} a h in f d bis, æquale quadrato line{ae} h b. Sed ex præmi$sis patet, quò il- lud, quod fit ex ductu a h in h t, e$t æquale quadrato h d, & illud quod fit ex ductu a h in h u e$t æqua le quadrato h b:erit ergo ductus a h in h u æqualis ductui a h in h t $emel & bis in d f: ablato ergo du ctu a h in h t, qui communis ponitur utrobiq;:relinquitur, ut illud, quod fit ex ductu a h in tu $emel $it æquale ei, quod fit ex ductu a h in d f bis. Ergo per 1 p 6 erit linea tu dupla lineæ d f. Item cú an- gulus a t g $it acutus, erit $ecundum pr{ae}dictum modum quadratum line{ae} a t cum quadrato line{ae} t g æquale quadrato line{ae} a d, & ei quod fit ex ductu a t in t k bis, & ita ei, quod fit ex ductu a t in d t bis & in d k bis:remanebit\’q; ut prius, quadratum line{ae} t g æquale quadrato lineæ t d, & ei, quod fit ex ductu a t in d k bis. Sit autem per 10 p 6 ut qu{ae} e$t proportio a t ad t d, eadem $it ip$ius t d ad t æ: er- go per 17 p 6 illud, quod fit ex ductu a t in t æ e$t æ quale quadrato t d: $ed ex pr{ae}mi$sis illud, quod fit ex ductu a t in tu, e$t æquale quadrato t g: ablato ergo utrobiq; eo, quod fit ex ductu a t in t æ, re- $tat, ut illud, quod fit ex ductu a t in æ u $emel, $it æquale ei, quod fit ex ductu a t in d k bis:igitur per 1 p 6 linea æ u e$t dupla line{ae} d k: $ed iam o$ten $um e$t quòd t u e$t dupla ip$i d f: re$tat ergo ut linea æ t $it dupla line{ae} k f. Item quia ex pr{ae}mi$sis illud, quod fit ex ductu a h in h t e$t æquale quadrato h d: ergo per 17 p 6 erit proportio a h ad h d, $icuth d ad h t:e$t ergo proportio line{ae} a h ad h t propor- tio duplicata lineæ a h ad h d: & $imiliter per eandem rationem proportio at ad t æ e$t duplicata proportio a t ad t d:$ed maior e$t proportio a t ad t d, quàm a h ad h d per 4 th. 1 huius, quoniam e- iu$dem line{ae}, qu{ae} t h, prioribus antecedenti & con$equenti $it additio:ergo maior e$t proportio li- neæ a t ad line{ae} t æ, quàm line{ae} a h ad lineam at: ergo per 10 th. 1 huius erit permutatim maior pro- portio line{ae} a t ad lineam a h, quâm line{ae} t æ ad lineam h t: $ed a h e$t maior quàm a t, quoniam to- tum e$t maius parte: ergo h t e$t maior quàm t æ: $ed t æ e$t dupla ad f k, ut patuit $uperius: ergo h t e$t magis quàm dupla ad f k. Item, ut $uprà demon$tratum e$t, proportio b g ad g s e$t, $icut o a ad o y: ergo permutatim per 16 p 5 erit proportio b g ad o a, $icut g s ad o y: $ed o a e$t æqualis ip$i b a per circuli definitionem, & g s e$t æqualis ip$i f k per 34 p 1: erit ergo per 7 p 5 proportio b g ad b a, ficut f k ad o y. Item quia, ut prius qua$i in principio patuit, linea i h e$t minor medietate line{ae} o h, & linea o h e$t tripla line{ae} h t: erit ergo linea i h minor quàm linea h t, & quàm ip$ius medie- tas: $ed linea h t e$t minor quinta parte line{ae} h d, ut prius declaratum e$t, ergo linea i h e$t mi- nor quàm linea t d: $ed linea n d e$t maior quam t d: ergo i h e$t multò minor quàm n d: e$t au- tem m i minor quàm i h: ergo m i e$t multo minor quàm n d: & quoniam z h e$t æqualis ip$i h d, ut pr{ae}mi$$um e$t: patet quòd punctum i cadet inter duo puncta h & z: ergo & punctum m cadit in- ter duo puncta h & z. Item illud, quod fit ex ductu e z in z d $uppo$itum e$t æquale e$$e quadrato $emidiametri a d: igitur illud, quod fit ex ductu e m in m d e$t minus quadrato a d: e$t autem id, quod fit ex ductu e m in m d, æquale quadraro line{ae} contingentis circulum, qu{ae} m g, per 36 p 3: quadratum ergo line{ae} m g e$t minus quadrato line{ae} a d: ergo linea a d e$t maior quàm linea m g- Igitur linea m g e$t minor quàm linea a g, qu{ae} e$t æqualis ip$i line{ae} a d, cum $int $emidiametri eiu$- dem circuli. Et quia duo trigonia g m & m g k habent unum angulum a m g communem: $ed & angulus a g m e$t rectus per 18 p 3, & angulus m k g e$t rectus per definitionem perpendicularis: ergo per 32 p 1 illi trigoni $unt æquianguli: ergo per 4 p 6 e$t proportio m k ad k g, $icut m g ad g a: $ed m g e$t minor quàm a g, utiam patuit: ergo m k e$t minor quàm k g: $ed k g e$t minor quàm o y per 15 p 3: & h d e$t minor quàm m k: erit ergo h d minor quàm k g: erit ergo h d minor quàm o y. Et quia per pr{ae}mi$$a & per 17 p 6 e$t proportio a h ad h d, $icut h d ad ht: cum ita- que linea h q $it medietas line{ae} h d: erit per 15 p 5 proportio line{ae} a h ad lineam h q, ficut li- ne{ae} h d ad medietatem line{ae} h t: patuit autem $uprà quòd linea h t e$t magis quàm dupla line{ae} k f: & linea h d e$t minor quàm linea o y: e$t ergo maior proportio medietatis line{ae} h t ad line- am h d, quàm line{ae} f k ad lineam o y per 9 th. 1 huius: e$t ergo per 11 p 5, & per 5 th. 1 huius pro- portio q h ad a h maior quàm f k ad o y. Item linea a q $ecat circulum e b d: $it punctus $ectionis œ: & ducatur chorda d œ, qu{ae} propter æquidi$tantiam arcuum h q, d œ, erit æquidi$tans chord{ae} h q per 43 th. 1 huius, & per 28 p 1: erit\’q; per 29 p 1, & per 4 p 6 proportio h q ad a h, $icut d œ ad a d: $ed proportio h q ad h a e$t maior quàm f k ad o y: erit ergo proportio d œ ad d a, maior quàm fk ad o y: e$t autem ex pr{ae}mi$sis f k ad o y, $icut g b ad a b: e$t ergo maior proportio œ d ad d a, quàm b g ad b a: $ed d a e$t æqualis ip$i b a, quia $emidiametri: ergo per 10 p 5 chorda œ d e$t maior quàm chorda b g: ergo per 28 p 3 erit arcus d œ maior arcu b g. Producatur item linea a q extra circu- lum ad punctum s, donec per 3 p 1 fiat a s æ qualis lineæ a i: & copuletur lineæ s i, quæ per 7 p 5, & per 2 p 6 erit æquidi$tans lineæ h q: ergo per 29 p 1 & per 4 p 6 erit proportio s i ad h q, $icut i a ad a h: e$t autem præo$ten$um quòd e$t proportio i a ad a h, $icut t q ad q h: ergo per 9 p 5 linea s i e$t æqualis lineæ t q: cum ip$arum ambarum ad lineam q h eadem $it proportio, qu{ae} li- ne{ae} i a ad lineam a b. Quia uerò numerus a$$umendarum linearum excedit multipliciter nume- rum literarum latinarum, ne fortè fiat intricatio in omnibus ip$arum linearum, mutetur figu- ra. Et quoniam linea nouiter a$$umpta, qu{ae} e$t a s, po$ita e$t {ae}qualis line{ae} a i, fiat circulus $uper VITELLONIS OPTICAE centrum a $ecundum ip$arum quantitat\~e, & loco s ponatur litera n: $it\’q; circulus d g b $imilis prio- ri circulo, qui d b e, & producátur lineæ a b & a g u$q; ad circulũ exterior\~e in puncta c & r: & $int li- neæ a b c & a g r, permut\~etur\’q; lineæ a i & a s, ita ut linea a d i $it loco line{ae} a œ s, & loco line{ae} a d i $it linea a f n: ponatur\’q; loco liter{ae} s litera n, & loco liter{ae} œ ponatur f: erit\’q; ut pr{ae}o$ten$um e$t, arcus d f maior arcu g b. Sit ergo arcus b m æqualis arcui d f, quod fiet per 33 p 6, $i prius per 23 p 1 $uper a terminum line{ae} a b fiat angulus æ qualis angulo d a f, qui $it b a m: producatur quoque linea a m ad exteriorem perιpheriam in pũctum u: & $it a m u: ducantur etiã line{ae} i b, i g, i m, n m, q m: quæ pro- ducatur u$q; ad exterior\~e circulũ: & cadat in pũctum z: & ducantur line{ae} z a, z g. Cũ itaq; arcus b m $it æqualis arcui d f, addito cõmuni arcu d m, erit arcus m f{ae}qualis arcui d b: ergo per 27 p 3 erit an- gulus n a m æqualis angulo i a b. Quia itaq; trigonorum n a m, i a b duo latera unius $unt æqualia duobus lateribus alterius, & angulus angulo: ergo per 4 p 1 erit linea n m æ qualis lineæ i b, & angu u r c z i h n m g b q f a lus n m a æqualis angulo i b a: remanet ergo ք 13 p 1 angulus n m u æ qualis an- gulo i b c. Et cũ in pr{ae}mi$$a proxima fi- guratione linea a h fuerit po$ita æqualis ip$i lineæ a q: erunt trigonorum q a m & a h b duo latera a q & a m æqualia duo- bus lateribus a h & a b, & angulus q a m e$t æqualis angulo h a b: erit ergo per 4 p 1 linea q m æqualis line{ae} h b: & angu- lus q m a æqualis angulo h b a: remanet ergo angulus q m n {ae}qualis angulo h b i: & angulus q m u æ qualis angulo h b c per 13 p 1. Et quia lineæ a n & ai $unt æ- quales ք definition\~e circuli, & linea a q e$t æqualis ip$i a h ex hypothe$i: rema- netlinea n q æqualis line{ae} i h. Quia itaq; angulus n m u e$t {ae}qualis angulo i b c, & angulus i b c, ut præo$t\~e$um e$t, {ae}qua lis e$t angulo h b a: angulus uerò h b a e$t æqualis angulo q m a: erit angulus n m u æqualis angulo q m a. Patet etiam quòd linea m z tota e$t extra circulum: quia cum linea contingens circulum ducta à puncto b cadat inter puncta i & h, ut pr{ae}o$tendimus: & quia e$t ead\~e remotio puncti b à puncto h, qu{ae} puncti m à puncto q: quoniam o$ten$um e$t, quod linea b h e$t {ae}qualis line{ae} q m, & linea i h e$t æqualis line{ae} n q: patet quod cõtin- gens ducta à puncto m cadet inter puncta n & q. Igitur cũ linea q m cadat $ub linea cõtingente, pa- tet per 16 p 3 quoniã ip$a $ecat circulũ: e$t ergo tota linea m z extra circulũ: quoniã linea q m z po$i ta e$t e$$e linea una recta: propter q<001> etiã erit per 15 p 1 angulus q m a æqualιs angulo u m z: $ed an- gulus n m u o$ten$us e$t e$$e æqualis angulo q m a: erit ergo angulus n m u æqualis angulo u m z: ergo per 8 huius forma puncti n reflectitur à puncto $peculi m ad uι$um exi$tentem in puncto z: & erit per 11 huius locus imaginis punctus q. It\~e quia angulus n m u e$t æqualis angulo u m z:erũt per $uppo$ition\~e 1 huius line{ae} n m, z m {ae}qualiter di$tãtes à diametro a u: ergo per 7 p 3 ip${ae} $unt æqua- les. Ducantur itaq; line{ae} n u & z u, qu{ae} per 4 p 1 perunt æquales, cõmuni exi$tente linea m u ambo- bus trigonis n m u, & z m u:ergo ք 28 p 3 arcus n u e$t {ae}qualis arcui u z: ergo per 27 p 3 angulus n a u e$t æqualis angulo u a z. Sed ex pr{ae}mi$sis patet q<001> angulus n a u e$t æqualis angulo i a c: erit ergo angulus i a c {ae}qualis angulo u a z. Angulus uerò b a g aut erit {ae}qualis angulo g a m, aut minor, aut maior: $it primò {ae}qualis. Siigitur ab angulo i a b $ubtrahatur angulus b a g, & ab angulo z a u angu- lus g a m, remanebit angulus i a g {ae}qualis angulo z a g: & quia duo latera i a & a g $unt {ae}qualia duo- bus lateribus z a & ag: ergo per 4 p 1 erit linea i g {ae}qualis line{ae} z g, & angulus i g a {ae}qualis angulo z g a: ergo per 13 p 1 angulus i g r e$t {ae}qualis angulo z g r. Fiat itaq; $uper g terminum line{ae} a g angu- lus {ae}qualis angulo i g r per 23 p 1, qui $it angulus t g a, ducta linea g t $uper lineam i a:erit ergo angu- lus t g a {ae}qualis angulo z g r. Si igitur linea t g producatur ad peripheriam circuli: palàm per 15 p 1 quoniam ip$a perueniet ad punctum z: line{ae} enim z g & t g coniunct{ae} in puncto g fiunt linea una per 14 p 1: e$t ergo t g z linea una recta. Forma ergo puncti i reflectitur à puncto $peculi g ad ui$um exi$tentem in puncto z: & locus imaginis eius e$t punctum t. Palàm itaq; quoniã ad ui$um exi$ten- tem in puncto z reflectuntur form{ae} duorum punctorum n & i à duobus pũctis $peculi $ph{ae}rici con uexi, qu{ae} $unt m & g: & loca imaginum $unt puncta t & q. Igitur per 11 huius linea t q erit imago to- tius line{ae} in: probatum e$t autem $uprà quòd linea t q e$t {ae}qualis line{ae} n i: palàm ergo quoniam ac- cidit in his $peculis imaginem e$$e {ae}qualem rei ui${ae}. Quod e$t unum propo$itorum. quòd $i angu- lus b a g fuerit maior angulo g a m: ab$trahatur b a g ab angulo i ab, & angulus g a m ab angulo z a u {ae}qualis angulo i a b: remanebit ergo angulus z a g maior angulo i a g. Sit ergo angulus k a g {ae}qualis angulo i a g per 23 p 1, ducta linea à centro ad circumferentiam in pũctum k, & copuletur linea k g: erit quoque angulus k a g minor angulo z a g: punctum ergo k erit altius puncto z, & punctũ m e$t altius puncto g: linea ergo k g $ecabit lineam z m. Sit, ut $ecet ip$am in puncto l: & producatur k g $u per lineam i a in punctum t: fiat quo q; deductio, ut $tatim in proxima linea t g. Palàm ergo quod ui- LIBER SEXTVS. $u exi$tente in puncto l, reflectetur ad ip$um forma puncti n à puncto m: & locus imaginis erit q: & i u r k c z l n d t m g b q f a $imiliter ad ip$um reflectetur forma puncti i à puncto g, & locus imaginis erit t $ecundum priorem probation\~e: erit quoque linea t q imago lineæ n i, quæ e$t {ae}qualis ip$i, ut $upra o$ten$um e$t: & $ic $equitur idem propo$itũ q<001> prius. Si uerò angulus b a g fuerit mi- nor angulo g a m, erit, ut $upra, angu- lus z a g minor angulo i a g. Sit ergo angulus o a g ducta linea a o ad peri- pheriam circuli æqualis angulo i a g: erit ergo angulus o a g maior angulo z a g: e$t ergo punctũ o inferius pũcto z: & producatur linea o g, qu{ae} incidat lineæ i a in puncto t. Palàm itaq; quòd forma pũcti i reflectitur ad ui$um exi- $tent\~e in puncto o à puncto $peculi g. Linea itaq; o g aut $ecabit lineã z m q extra circulũ $peculi, aut non: $i $it po$sibile, $ecet ip$am extra circulũ. Si in puncto $ectionis fuerit ui$us, reflectentur ad ip$um duæ form{ae} punctorũ n & i à pũctis $peculi m & g, & loca imaginũ erũt puncta q & t: & tota linea q t imago totius lineæ n i, & erit per præmi$$a æqualis ei: patet itaq; hoc quod prius: quoniã imago rei uidebitur in hoc $itu æqualis ip$i rei. Si forte linea o g $ecet lineam z m q intra circulum $peculi: tunc nõ pote$t accedere probatio pr{ae}mi$$a, $ed extra total\~e hanc $uper- ficiem e$t po$sibile inueniri punctũ, in quo po$ito ui$u reflectantur ad ip$um form{ae} duorũ puncto- rũ n & i à duobus punctis $peculi, & ip$orũ imagines erunt puncta q & t. Quoniã enim, ut patet ex prius pr{ae}o$ten$is, angulus n a z e$t duplus angulo i a b: quoniã e$t duplus angulo n a u æquali angu lo i a b, ut patet ex pr{ae}mi$sis: & angulus i a o e$t duplus angulo i a g: e$t aũt angulus i a b maior angu lo i a gin angulo g a b. Et quia angulus g a b e$t ex hypothe$i minor angulo m a g: patet quòd angu- lus g a b e$t minor medietate anguli m a b: totus uero angulus m a b e$t per 33 p 6 æqualis angulo n a i, quoniã arcus d f e$t æqualis arcui m b: ergo angulus g a b e$t minor medietate anguli n a i: angu- lus ergo n a z excedens angulũ i a o in duplo anguli g a b, nõ excedet ip$um in angulo maiori quàm $it angulus n a i: duo ergo anguli n a i & n a z $unt maiores tertio, qui e$t i a o: & duo anguli n a z & i a o $unt maiores tertio, qui e$t n a i: & duo anguli i a o & n a i $unt maiores tertio, qui e$t n a z: $unt ergo i$ti tres anguli n a i, n a z, & i a o, quorũ quilibet duo $unt maiores tertio, o\~es aũt tres $imul 4 rectis $unt minores:quoniã angulos, qui $uper centrũ a 4 rectis $unt æquales, ip$os impo$sibile e$t r c u z i o n k q t d b m g b p g f a x e s æ euacuare, ut patet. Igitur per 23 p 11 p o$sibi le e$t ex illis fieri unũ angulũ $olidũ: fiat er go ille $uper centrũ a ք eand\~e 23 p 11: & $it li nea s a eleuata $uper $uperficiem circuli in puncto a taliter, ut angulus i a s $it æqualis angulo i a o, & angulus n a s $it æqualis an- gulo n a z, angulus uerò n a i maneat, ut e$t in $uperficie circuli immotus. Fiat itaq; li- nea a s æqualis a licui linearũ a n, uel a i, uel a o, quæ o\~es $unt æquales, quia $unt $emi- diametri eiu$d\~e circuli: & {pro}ducátur lineæ t s, q s. Quia itaq; angulus tas e$t æqualis angulo t a o, ut patet ex pr{ae}mi$sis, & duo latera t a & a o $unt æ qualia duobus lateri- bus t a & a s, & angulus ta o e$t {ae}qualis an- gulo t a s, ut patet ex pr{ae}mi$sis: erit ք 4 p 1 ba$is t s æ qualis ba$i t o, & totus triangu- 19 toti triãgulo: erit ergo angulus o t a uel g t a {ae}qualis angulo s t a. Similiter quoque angulus q a s e$t æqualis angulo q a z, & duo latera duob. laterib. erit ergo, ut prius, angulus z q a <003> e$t m q a, {ae}qualis angulo s q a. Diuidatur itaq; angulus t a s ք æ qualia ք lineã a y ex 9 p 1: & $it y pun ct{us}, in quo linea diuid\~es angulũ, $ecat lineã t s: palã cũ angulus i a g $it medietas anguli i a o, ut patet ex \~pmi$sis, erit angulus t a g {ae}qualis angulo t a y: $ed & angulus g t a o$t\~e$us e$t {ae}qualis angulo y t a. Et <003>a duob. trigonis y t a & g t a latus t a e$t cõmune, erit ք 26 p 1 trigonus y t a {ae}qualis trigono g t a: quoniã latus t y erit æquale lateri t g, & latus a y æquale lateri a g:erit ergo pũctus y in $uperficie $pe culi, $icut & punctũ g: cũ ambo æqualiter di$t\~et à c\~etro $peculi, q <001> e$t a. Et quia angulus t a g e$t æ- qualis angulo t a y, erit angulus i a g æqualis angulo i a y, & latera lateribus $unt æqualia: quoniã i a e$t commune, & a y e$t æquale ip$i a g: ergo ք 4 p 1 erit angulus a g i æqualis angulo a y i, & linea i y VITELLONIS OPTICAE producta erit æqualis lineæ i g. Et producatur a y extra $peculũ u$q; ad punctũ p: re$tat ergo angu- lus i g r {ae}qualis angulo i y p. Verùm cũ linea t s $it {ae}qualis lineæ t o, ut $uprà patuit, & t y {ae}qualis ip$i- t g: re$tat linea g o æ qualis lineæ y s: duo ergo latera a y & y s funt æqualia duobus lateribus a g, & g o, & ba$is a s e$t æqualis ba$i a o: ergo per 8 p 1 trigonorũ a y s, a g o anguli æquis lateribus conten ti $unt æquales: angulus ergo a y s e$t æqualis angulo a g o: re$tat ergo per 13 p 1 angulus s y p æqua lis angulo o g r:igitur duo anguhi g r & o g r æquales $unt duobus angulis i y p, s y p. Verùm linea a s $ecat $uperfici\~e cõuexã $peculi: $it pũctus $ectiõis e: tria ergo pũcta, qu{ae}$unte, y, d $unt in $uperfi cie cõuexa $peculi: lineæ ergo a centro $peculi, quod e$t a, ad illa tria puncta productæ $unt æqua- les. Quia uerò trigonũ t a s e$t per 2 p 11 totũ in ead\~e $uperficie: patet quòd i$ta tria pũcta d, y, e, qu{ae} $unt in lateribus illius trigoni, $unt in ead\~e $uperficie: ergo linea e y d e$t per 9 p 3 arcus circuli ma- gni $phæræ $peculi, cuius centrũ e$t a centrũ $peculi:e$t aũt in $uperficie reflexionis cõmunis $ectio $uքpficiei $peculi & reflexionis t s p ք 1 huius: ergo forma pũcti i reflectitur ad ui$um exi$t\~et\~e in pun cto s à pũcto $peculi y: & locus imaginis e$t pũctũ t. Similιter diui$o angulo n a s per {ae}qualia ք lineã a x ductã $uper q s in punctũ x, & productã extra $peculi $uperfici\~e in punctũ œ, demõ$trabitur pr{ae} dicto modo, quia linea q x erιt æqualis lineæ q m, & linea a x æqualis lineæ a m, & linea x s æqualis lineæ m z: & duo anguli n x œ, & s x œ erunt æquales duob. angulis n m u, & z m u: & ita forma pun cti n reflectetur ad ui$um exi$tent\~e in pũcto s à pũcto $peculi x: & locus imaginis e$t punctũ q: & ita ut prius, formæ duorũ punctorũ n & ireflectuntur à duobus pũctis $peculi x & y ad ui$um exi$ten- t\~e in puncto s: & erit linea t q imago lineæ i n: e$t aũt linea t q æqualis lineæ in. Patet ergo propo$i- tũ, ut prius. It\~e $i à pũcto i ducatur perpendicularis $uper lineã n a, illa cadet inter puncta n & q, nõ extra punctũ n:quia cũ per 42 th. 1 huius angulus in a $it acutus, $i caderet extra puncũ n, fieret acu tus extrin$ecus recto, & ita maior per 16 p 1: quod e$t impo$sibile: cadet ergo illa perp\~edicularis ci- tra punctũ n: faciet ergo illa perpendicularis angulũ rectũ $uper lineã n q, qu\~e re$piciet linea in: er- go ք 19 p 1 erit linea in maior illa perp\~ediculari: ergo illa perp\~edicularis erit minor quàm linea t q, qu{ae} e$t æqualis line{ae} in. Pũctus itaq; line{ae} n q, in qu\~ecadit illa perpendicularis, qui fit k, refle ctitur ad ui$um in puncto s exi$tent\~e ab aliquo puncto $peculi: & locus imaginis $uæ erit in linea n a per 11 huius: erit aũt remotior à c\~etro $peculi, quod e$t a, ultra punctũ q, quàm $it ip$um punctũ q, ut pa- tet per 17 huius. Quantò enim remotiora $unt puncta, quorũ form{ae} reflectuntur à $peculis $phæri- cis cõuexis, tantò locaimaginũ magis accedunt ad centrũ $peculi: $ed punctus i illius perpendicu- laris refle ctitur ad ui$um à pũcto $peculi y:& locus $u{ae} imaginis e$t punctũ t. Quæcunq; uerò linea ducitur à pũcto t ad aliquod punctũ lineæ n q ultra q, propius ad punctũ n, ut linea t k, illa cũ oppo natur angulo obtu$o, ut patet, erit per 19 p 1 maior quàm linea t q: ergo etiam erit maior quàm linea in, quæ e$t maior illa perpendiculari, cuius imago ui$ui occurrit. Patet ergo quòd imago illius per- pendicularis erit maior ip$a perpendiculari. Et id\~e accidit, quæcunq; linea ducatur à puncto i ad li neam n q, inter illã perpendicular\~e i k & lineã in: erit enim $emperlinea in maior illa linea per 47 uel 19 p 1: & imago illius line{ae} $emper erit maior quàm linea q t: & ita $emper eritimago ip$ius ma- ior quàm ip$a. Quod e$t propo$itũ. Po$$unt aũt h{ae}c clarius patefieri. Quia enim forma puncti n re- flectitur ad ui$um exi$tent\~e in pũcto z à puncto $peculi m: & locus imaginis e$t punctũ q: patet q<001> linea reflexionis, qu{ae} e$t z m q, $ecat circulũ: $it punctũ $ectionis z: patet ergo quòd contingens du cta à puncto z ad circulũ, qui e$t cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi, non pote$t cadere in punctũm: quia per 21 huius angulus a m z oportet quò $it maior recto, quod e$$et contra 18 p 3, $i linea z m e$$et circulũ contingens: neq; pote$t cadere in punctũ z, quia ibi $ecat & non contingit: cadet ergo in aliquod punctũ arcus m e, & {pro}ducta ad lineã n a, cadet altius quàm punctũ q: quoniã punctus, in qu\~e cadit, dicitur finis cõting\~etiæ, qui $it n: & e$t meta imaginũ, ut patet ք 7 definition\~e: huius & puncta $ub illo pũcto, <003> e$t meta imaginũ exi$tentia, non poterunt reflecti ad ui$um, $upe- riora uero illo poterunt reflecti. Igitur perpendicularis ducta à puncto i $uper lineam n q, $i cecide- rit altius puncto n, qui e$t meta imaginũ, pote$t reflecti ad ui$um pũctus ille lineæ n q, in qu\~e ip$a ք- pendicularis cadit: & erit, ut pr{ae}mi$$um e$t, imago perpendicularis maior ip$a perp\~ediculari. Si ue- rò perp\~edicularis cadatin ip$um punctum n, qui e$t meta imaginum, uel inferius illo: tunc forma pũcti, in qu\~e cadit perp\~edicularis, nõ reflectetur:quare nulla erit imago ip$ius քp\~edicularis: uerun tam\~e quando n finis cõtingentiæ e$t inferior quàm linea i n, & plus ad centrũ: erunt inter pũctum, qui e$t finis contingentiæ, & punctũ n infinita pũcta, quorũ quodlibet reflectitur ad ui$um: & ima- go cuiuslibet erit $uper lineã n q: & cuiuslibet lineæ duct{ae} à pũcto i ad quodlibet illorũ, erit imago maior illa linea, cuius e$t imago. Patet ergo propo$itũ longis ambagibus certius per qui$itum.

39. In omni di$tãtia, qua certa quãtitasrei à ui$u potect cõpreh\~edi, imago cuiuslibet rei ui$æ in $peculo $phærico cõuexo minor uidetur <004> forma rei extra. Eucl. 21 th. catoptr. Alhazen 5 n 6.

Sit a b linea ui$a: & $it z x arcus circuli, qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis $peculi $phærici conuexi, cuius centrum d: $it\’q; e centrum ui$us: & reflectatur forma puncti a ad ui$um e à puncto reflexionis h arcus z x: & forma puncti b à puncto n: intelligatur\’q; linea a b produci intra $peculum. Aut er go ip$a tran$it centrum $peculi: aut non. Sit autem primò, quòd tran$eat: & duca- tur linea a b d: ducatur quoq; à puncto n linea contingens circulũ, quæ $it n l: & à puncto h ducatur contingens, quæ h m: & ducantur lineæ incidenti{ae} & reflexionis, qu{ae} $int b n, e n, a h, e h: producan LIBER SEXTVS. tur\’q; lineæ reflexionis e h & e n, donec cadan t in perpendicularem a d: & incidat linea e h in pun- a f b m k q n e t h d v z ctum t, & linea e n in punctum q. Palàm ergo per 11 huius quoniam t e$t locus imaginis formæ puncti a: & q e$t locus imaginis form{ae} pun cti b. Dico quòd linea a b e$t maior quàm linea q t. Patet enim ex12 huius quia proportio a d ad d t e$t, $icut a m ad m t. Similiter per ean- dem proportio b d ad d q e$t $icut proportio b l ad l q: $ed a d e$t ma- ior quàm b d, & d t e$t minor quàm d q:ergo per 9 th. 1 huius maior e- rit proportio a d ad dt, quàm b d ad d q: ergo per 11 p 5 maior erit {pro}- portio a m ad m t, quàm b l ad q l. Secetur ergo linea a m, in puncto f per 3 th. 1 huius, ita ut proportio f m ad m t $it $icut b l ad l q: & ita cum m t $it maior quàm l q: erit per 14 p 5 f m maior quàm b l: ergo ք 8 p 5 erit f m ad t m maior proportio quàm b l ad t m: erit ergo minor pro- portio b l ad m t, quàm b l ad l q: & multò magis erit minor propor- tio b m ad m t, quam b l ad q l. Secetur ergo m t in puncto k taliter, ut proportio b m ad m k $it $icut b l ad l q. Palàm ergo pernaturam pro- portionis, & per 8 p 5 quoniam punctus k nece$lariò cadetinter pun cta m & q: linea enim l q minor e$t quàm m q, & linea b l e$t maior <004> linea b m. Cum igitur $it proportio f m ad m t, $icut b l ad l q, & $icut b m ad m k: erit per 19 p 5 proportio f b ad k t, $icut b l ad l q: $ed b l e$t maior quàm l q: ergo f b e$t maior quàm k t: $ed f b e$t minor quàm a b, & k t e$t maior quàm q t. Si ergo f b e$t maior quàm k t: ergo mul- tò fortius a b e$t maior quàm q t. Et hoc e$t propo $itum. Si uerò linea a b producta nó perueniat ad b a e p g d a b h z h p g e d c\~etrum d: ducatur à puncto a li nea ad cen trũ d, quæ $it a d: & à pũcto b du catur b d: & locus i- maginis a $it pũctus g: locus i- maginis b $it pũctus p: & duca- tur linea p g: erit ergo linea p g i- magoline{ae} a b. Dico quia a b e$t maior <004> p g. Aut enim p g e$t æqui di$tãs lineæ a b: aut nõ. Si fuerit æquidi$tãs, palàm quia p g e$t minor <004> a g per 29 p 1 & per 4 p 6: cũ $it proportio a b ad p g, $icut a d ad d g, & a d $it maior quàm d g, erit a b maior quàm p g. Si uerò linea p g non $it æquidi$tãs ip $i a b, producatur u$q; quo concurrat cum a b: & $it punctus concur$us z: & à puncto p ducatur æquidi$tans a b, quæ $it p h: angulus ergo p g h $i $it rectus uel maior recto, erit per 19 p 1 latus p h maius latere p g: $ed p h e$t minus quàm a b per 29 p 1. 4 p 6: ergo p g e$t minus quàm a b. Si angulus p g h fuerit acutus, ma- ior tamen angulo p h g, adhuc $equitur idem quod prius. Quòd autem angulus p g h $it minor an- gulo p h g, hoc non pote$t accidere, ni$i cum tanta fuerit rei à $peculo di$tantia, quòd illa di$tantia ip $i etiam ui$ui uideretur minor quàm $it $ecundum ueritatem: tunc aũt pote$t imago uideri maior quàm forma per $e ui$ui occurrens, ut patet per pr{ae}mi$$am. Patet ergo propo$itum.

40. In minorib. $peculis $phæricis couexis eiu$d\~e rei appar\~etidola minora. Eucl. 22 th. catoptr.

Sint duo $pecula $phærica conuexa $uper idem centrum t collocata, exempli cau$$a, quorum ma ioris circulus communis $ibi & $uperficiei reflexionis $it a g, minoris uero $it e i: fiat quoq; reflexio formæ alicuius ui$ibilis, ut ip$ius h d, ab utroq; illorũ $peculorũ, ita ut forma puncti d reflectatur à puncto g circuli $peculi maioris, $cilicet ip$ius a g, ad ui$um, qui $it b. Si itaq; idem ui$ibile d reflecta tur ad ui$um b ab aliquo puncto circuli e i $peculi minoris, ut à puncto o:nõ e$t po$sibile ut linea re flexionis, qu{ae} $it o b, cadat in punctũ g $peculi circuli maioris. Detur enim, ut cadat in punctũg, & reflectatur ad ui$um b: & ducatur linea d g, ut prius. Manife$tũ itaq; ք 8 huius quoniã linea à centro $peculι t ad punctũ g producta diuidit angulũ d g b ք duo æqualia: qu{ae} producta $it t g q. Et quoniã forma puncti d incidit pũcto $peculi minoris, quod e$t o: ducatur linea t o à c\~etro $peculi: hæc ergo diuidet angulum d o b per æqualia: & producta fit t o p. Quia itaq; angulus d g b extrin$ecus e$t ex hypothe$i angulo d o b in trιgono d o g: palàm per 16 p 1 quoniam ip$e e$t maior illo: ergo medietas anguli d g b e$t maior medietate anguli d o b: & ita angul{us} q g b maior e$t angulo p o g: $ed angul{us} o VITELLONIS OPTICAE gte$t {ae}qualis angulo q g b ք 15 p 1: ergo angul{us} p o g extrin$ecus erit {ae}qualis angulo o g tintrin$eco a h m p u q b a r g f e o i t in trigono t o g: quod e$t contra 16 p 1 & impo$sibile: non ergo tran$i- bit linea reflexionis o b punctũ g. Sed neq; ultra pũctũ g uer$us pun- ctum a ad aliquod aliud punctũ $pe culi maioris incidere pote$t. Si e- nim hoc $it po$sibile: $it, ut ad pun- ctũ r incidens reflectatur linea d o ad b:palã aut\~e per 17 huius (cum a punctus lineæ d a cadat in $uperfi- cie $peculi, & reflectatur ab illo pũ- cto, cui incidit, & punctum d refle- ctatur à puncto g) quia quodlibet punctorũ line{ae} d a reflectitur ab ali quo punctorũ arcus a g & fiũt pro- pinquiora centro $peculi, quod e$t t:quia reflectuntur à puncto remo- tiori à centro ui$us, quod e$t b. Ali- quod ergo pũctorũ lineæ d a refle ctetur à pũcto rad b:$it illud m: & accidet id\~e impo$sibile, q <001> pri us, ductis lineis m r, r b, t r. Vel $i forma pũcti d reflectitur à puncto $peculi maioris, q <001> e$t g: & ité ք reflexion\~e à pũcto $peculi minoris, q <001> e$t o, incidit pũcto $peculi maioris, q <001> e$t r: à duob. ergo pu- ctis maioris $peculi, quæ $unt g & r, reflectitur forma unius pũcti ad ui$um b:coincidũt ergo radij à duob. pũctis huius $peculi reflexi, q <001> e$t contra 15 huius, & impo$sibile. Nõ cadet ergo radius refle xionis à pũcto o $peculi minoris in aliq<001> pũctũ arcus a g $peculi maioris, à quo fit reflexio formarũ pũctorũ lineæ a d, $ed directè քuenit ad ui$um in pũctũ b, trãs aliqu\~e pũctorũ. arcus circuli $peculi maioris, citra pũctũ g. Similiter\’q; $it, ut pũctus h lineæ d h ex alia parte ui$us b, <004> $it pũctũ d, reflecta tur ad ui$um b ab aliquo puncto $peculi maioris, q<001> $it f: erit\’q; f per 17 huius ex alia parte puncti g: reflectatur\’q; forma pũcti h à pũcto i minoris $peculi ad pũctũ b: fiet quoq; reflexio à pũcto i ad b $i- militer, ut prius. Quia ergo angulus g b f, $ub quo apparetidolũ in maiori $peculo, e$t maior <004> angu lus o b i, patet ք 20 th. 4 huius quoniá in maiori $peculo maius apparetidolũ <004> in minori: formæ e- nim magis coanguftátur circa c\~etra minorũ $peculorũ, <004> circa c\~etra maiorũ: unde fiunt $emper ma- iores in $peculis maiorib. Vniuer$aliter aũt in omni $itu {pro} portionato rerũ ad $pecula pote$t patere propo$itũ per 46 th. 1 huius: quoniá partes diametri circuli maioris $unt maiores & minoris mino- res: & fiunt ex có$equenti imagines maiores & minores, ut patet per 11 huius. Patet ergo propo$itũ.

41. In eodem $peculo $phærico conuexo, centro ui$us immoto exi$tente: imago rei approxima- tæ $uperficiei $peculi uidetur maior, & $ecundum eandem lineam elong at æ minor.

Quoniam enim, ut patet per 11 huius2 imagines punctorum rei ui$æ uidentur in cathetis $uæ inci dentiæ, & imagines rerum ui$arum inter cathetos incidenti{ae} $uorum terminorum: catheti uerò punctorũ terminalium rei à $peculi $uperficie elõgatæ continentangulum minor\~e, & approxima- tæ maiorem per 34 th. 1 huius: linea enim æ qualis & æ quidi$tans ba$i trigoni uicinior angulo $upre mo, maiori angulo $ubtenditur. Et quoniam mutata re $ecun dum locum, mutatur ip$ius imago in omni $peculo, ut patet per 42 th. 5 huius: patet quòd imago rei elongat{ae} fit minor: unde & uide- tur minor: & approximatæ $uperficiei $peculi fit maior: unde & uidetur maior: quoniam $ecun- dum pr{ae}mi$$a in proxima pr{ae}cedente uidetur $ub maior: angulo contento in centro ui$us $ub li- neis reflexionum ip$orum punctorum terminalium illius rei, ut patere pote$t per 34 th, 1 huius, & per 23 huius. Patet ergo propo$itum. Et per hæc & per præmi$$am pote$t patere, quoniam $i $it pro- portio elongationis rei ui$æ à $uperficie $peculi maioris ad elongation\~e à $uperficie $peculi mino- ris, $icut exce$$us imaginum, quæ proueniunt in illis $peculis excedentes $e $ecundum proportio- n\~e diametrorum $peculorum: po$sibile e$t in $peculo maiori plus elongato à re ui$a, & in $peculo minori plus approximato eid\~e rei, {ae}qualé imaginem uideri eiu$dem rei, quæ aliàs in $peculo maio- ri appareret maior, & in $peculo minori minor, ut patet per pr{ae}mi$$am. Et hoc e$t notatu dignum.

42. In $peculo cõue xo $phærico dextr a rei ui$æ appar\~et $ini$tra, et $ini$tra dextra. Euc. 20 th. catop.

Hæc non requirit aliam dem on$trationem ab illa, quæ $imilem pa$sionem declarat in $peculis planis:un de eodem modo demon$trandum:nec aliter oportet immorari.

43. Altitudines & profunditates perpendiculariter incidentes $peculis $phæricis conuexis, reuer$æ apparent. Euclides 8 th. catoptr.

E$to $peculum $phæricum cõuexum a d g:cuius centrũ m: incidat\’q; $uperficiei $peculi perpen- diculariter altitudo, quæ $it e a, cuius altius punctum $it e: & $it centrum ui$us b: reflectatur\’q; pun- ctus a à puncto $peculi, qui $it a: & $it linea reflexionis, quæ a b: refle ctatur quoq; forma puncti alti- tudinis e à puncto $peculi g: $it\’q; linea reflexionis g b: & alter punctus lineæ e a (qui $it t) inferior pũcto e, reflectatur ad ui$um b à puncto $peculi d: & $it linea reflexionis d b. Producatur ita q; linea altitudinis e a ultra punctum a: palam \’q; ex hypothe$i, & per 72 th. 1 huius quoniá ip$a tran$ibit cen LIBER SEXTVS. trũ m: & {pro}ducatur linea reflexionis b g intra $peculũ. Et <003>a lineæ e a & b g $untin ead\~e $uքficie re e b t d g a f h m m h s g d a t b e flexiõis ք 27 th. 5 huius: palá cũ nõ $int {ae}quidi$tátes, ut pa tet per 9 huius, quia concur- rent: cócurrant itaq; in pun- cto h: $ed & b d linea reflexio nis cócurrat cũ linea e a pro- ducta, in puncto f. Et quoniã per 11 huius pũcta h & f $unt loca imaginũ pũctorũ e & t: palá quòd linea h f e$t imago lineæ e t: $imiliter quoq; de alijs punctis lineæ e a demon $trádũ. Erit\’q; imago line{ae} e a linea a h: reuer$a ergo uide- tur altitudo: quod enim $u- premũ e$t, uidetur infimũ, & ecõuer$o Patet enim ք 23 huius quoniá $uper uná cathetũ incid\~eti{ae} $ignatis duob. pũctis, eritlocus imaginis pũcti à c\~etro $peculi {pro}pinquioris, remotior à c\~etro $peculi, & remotioris propin quior: re motior itaq; uidebitur à c\~etro m imago pũcti t, \~q e$t f, <004> imago pũcti e, \~q e$t h. Palã itaq; e$t {pro}po$itũ primũ. Et eod\~e modo e$t de {pro}funditatib. demõ$trãdũ:infimũ.n.pũctũ reflectitur ad pũctũ imaginis $upremũ, & ecõuer$o. Media quoq; pũcta modo medio reuer$è di$ponũtur. Propo$itũ aũt e$t hoc.

44. Obliquarum longitudinum idola à conuexis $peculis reflexa apparent $uæpropriæ di$po- $itionis. Euclides 10 th. catoptr.

E$to longitudo d e obliquè incidens $peculo $phærico conuexo, quod $it a g: & eius centrũ f: & d b e g a k h f $it altius pũctũ d quàm e pũctũ à $uperficie $peculi da ti: $it\’q; centrũ oculi b: & reflectatur punctus d ad ui- $um b à pũcto $peculi a, & pũctus e à pũcto g. Et à pun cto d ducatur perpendicularis $uper $uperfici\~e $pecu- li, quæ per 72 th. 1 huius nece$$ariò tran$ibit centrum $peculi, quod e$t f: quæ $it d f: & $imiliter ducatur ca- thetus e f: ducantur\’q; lineæ reflexionum b a & b g: & producãtur intra $peculũ: cõcurrat\’q; b a cũ d fin pun cto h, & b g cũ e fin pũcto k: & ducatur linea h k, erit\’q; ք 11 huius linea h k imago lineæ d e: e$t aut\~e linea k h obliquè $e hab\~es ad ui$um b, $icut linea d e ad $peculũ. Quoniã ք 23 hui{us} pũcti e, q<001> e$t {pro}pinquius c\~etro $pe- culi, imago, \~q e$t k, remotior fit à c\~etro $peculi f: & pun ctũ h, q <001> e$t imago pũcti d remotioris à c\~etro $peculi, fit {pro}pinquius c\~etro $peculi: q <001> patet ք hoc: quoniã ali cuius pũcti catheti d f tãtũ di$tantis à pũcto f, quantũ pũctũ e: locus imaginis e$t remotior à c\~etro f, <004> locus imaginis pũcti d ք 23 huius: e$t itaq; h remotius à con uexa $uքficie $peculi appar\~es, & pũctũ k propinquius eid\~e $uperficiei. Sic aũt & pũctus d fuit remo tior à $uperficie $peculi, & pũctus e {pro}pinquior. Patet ergo {pro}po$itũ, quoniá obliqu{ae} lõgitudines ap par\~et illius di$tantiæ à $uperficie $peculi, cuius $unt $ecundum ueritat\~e in $ua propria di$po$itione.

45. Duobus punctis rei ui$æ æqualiter di$tantibus à centro $peculi $phæriciconuexi, & inæ- qualiter à centro ui$us in ead\~e $uperficie uel diuer$is:erunt imago & finis cõtingentiæ punctire motioris à centro ui$us remotiora à centro $peculi, quàm imago & finis cõtingentiæ puncti pro- pinquioris:ex quo patet quòd punctorũ æqualiter di$tantiũ à centro $peculi & à centro ui$us, imagines à centro $peculi æqualiter di$tabunt. Alhazen 7 n 6.

Sintt & d duo pũcta æ qualiter à puncto g c\~etro $peculi remota: & $it e c\~etrũ ui$us: & $it cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $phærici conuexi circulus a b: cuius c\~etrũ erit pũctũ g ք 1 hu ius. Sit\’q; pũctũ d {pro}pinquius ui$ui, <003> e$t e, <004> pũctũ t: & ducãtur duæ catheti incid\~etiæ à pũctis t & d ad c\~etrũ circuli g, \~q $int t g & d g: $ecet\’q; cathetust g $uքfici\~e $peculi in pũcto b: fiat\’q; angulo e g d $u per lineã t g {ae}qualis angulus, ք $it t g z: & angulo e g t {ae}qualis angulus, <003> $it t g h ք 23 p 1: lecet\’q; linea h g circulũ in pũcto a: & $umatur ք 20 uel 22 huius in circulo pũctũ, à quo forma pũcti t reflectatur ad pũctũ z: q<001> $it pũctũ q. Palã e rgo q<001> forma pũctitnõ reflectitur ad pũctũ h ab aliquo pũcto arc{us} b q: nõ.n.à pũcto b:quoniã cũille $it in catheto incid\~eti{ae}, palã ք 10 huius <003>a reflectitur in $eip$um & nõ ad pũctũ h. Sed neq; à pũcto q: quoniá ab illo forma pũcti t refle ctitur ad pũctũ z. Quocũq; uerò pũcto $umpto in arcu b q, linea à pũcto h ad illud pũctũ ducta $ecabit lineá q z: igitur ad illud pũctũ $ectιõis reflectitur form a pũcti t à pũcto aliquo arcus b q, & ad id\~e pũct{us} $ectiõis reflectitur à pũcto q:ergo forma puncti treflectitur à duob. punctis $uքficiei $peculi ad unũ punctũ: q<001> e$t impo$sibi- VITELLONIS OPTICAE le, & contra 16 huius. Re$tat ergo ut form a puncti treflectatur ad punctũ h ab aliquo puncto arcus d t e z h s n o b l q m a f p g q a Sit i$lud pũctũ m: & à puncto m ducat ur linea cõting\~es circulũ ք 17 p 3: & {pro}ducatur u$q; ad ca thetũ g t: & $it m n:erit\’q; pũctus n finis cõting\~eti{ae} puncti t re$pectu puncti h: & à puncto q ducatur linea cõting\~es circulũ, qu{ae} {pro}ducta ad cathetũ t g, $it q o: h{ae}c ergo nece$$ariò cadet $ub linea n m per 60 th. 1 huius: & {pro}ducatur linea z q donec cadat $uper cathetũ g t in pũcto p (cadet aũt ք 9 huius) & erit ք 11 huius punctus p locus imaginis form æ puncti t: erit quo q; ք 12 huius {pro}portio g t ad p g, $icut t o ad o p: ergo ք 16 p 5 erit permutatim {pro}- portio g t a d t o, $icut g p ad p o: $ed maior e$t pro- portio g t ad t n, quã ad t o ք 8 p 5: cũ t n $it minor <004> t o, ut patet ex pr{ae}mi$sis: maior ergo erit {pro}por- tio g t ad t n, <004> g p ad p o: e$t aut\~e ք 8 p 5 maior {pro}- portio g p ad p o, <004> ad p n: ergo multò maior e$t {pro}portio t g ad t n, <004> g p ad p n: quoniã p o minor e$t <004> p n. Diuidatur ergo ք 119 th. 1 huius linea g n in puncto 1 taliter, ut $it {pro}portio t g ad t n, $icut g l ad l n: erit\’q; g l maior <004> g p, nõ {ae}qualis n eq; minor ք 8 p 5: erit\’q; ք 16 p 5 {pro}portio t g ad g l, $icutt n ad l n: ergo ք cõuer$am 12 huius erit punctũ llocus i- maginis puncti h. Sint ergo line{ae} h g, e g, z g æ qua les inter $e: & g f $it æqualis g p, & g s æqualis lineæ g o. Cũigitur angulus e g d $it æ qualis angulo t g z: erit ք 1 $uppo$. 1 huius remotio pũcti d à puncto e, $icut remotio puncti z à puncto t. Quoniá cũ pũcta d & t $int eiu$d\~e di$tãtiæ à c\~etro $peculi, q<001> e$t g: erũt lineæ d g & t g æ quales:erit ergo per 23 huius imago form{ae} pũcti d re$pectu ui$us e tãtũ eleuata in catheto g d, quãtũ imago pũcti t eleuata e$t, re$pectu pũcti z in catheto g t:erit ergo locus imaginis form{ae} pũcti d in pũcto f, $icut locus ima- ginis formæ pũcti t e$t in pũcto p: cũ lineæ g f & g p $int æ quales. Et $imiliter finis cõting\~eti{ae} pũcti d, re$pectu pũcti e erit eiu$d\~e altitudinis, cuius e$t finis cõting\~eti{ae} pũcti t, re$pectu pũcti z: erit ergo $ecũdũ \~pmi$$a finis cõting\~etiæ pũcti d in pũcto s. Verũ <003> a angulus e g t æ qualis e$t angulo t g h, & li nea h g æ qualis e$t line{ae} e g. erit ք 33 p 6 {pro}pter æ qualitat\~e angulorũ, æ qualitas arcuũ interiac\~etium cathetũ t g & lineas h g & e g:erit ergo ք \~pmi$$a pũctus llocus imaginis puncti t, re$pectu e, $icut e$t re$pectu h: & erit pũct{us} n finis cõting\~eti{ae}, re$pectu pũctie, $icut e$t re$pectu pũcti h. Imago ergo pun cti remotioris ab e c\~etro ui$us remotior e$t à c\~etro $peculi <004> imago pũcti {pro}pincuioris: & finis cõtin gétiæ pũcti remotioris remotior e$t ab eod\~e c\~etro <004> finis cótingétiæ {pro}pιnquioris. Et hoc e$t {pro}po$i tũ. Ex quo patet q<001> $i pũcta ui$ain $peculo $phærico cóuexo {ae}qualiter di$t\~et à c\~etro $peculi, & à c\~e- tro ui$us, q<001> imagines ip$orũ à c\~etro $peculι æ qualiter di$tabũt:nec enim, ut patet ex \~pmi$sis, fit di uer$itas in locis imaginũ, cũ fines cõting\~etiarũ $emper $int æ qualiter à c\~etro $peculi di$tãtes, $ecun- dum quos accidit di$tantia imaginum à centro $peculi, quod e$t g. Patet ergo, quod {pro}ponebatur.

46. Imago arcus concentrici $peculo $phærico conuexo (diametro ui$uali erecta $uper $uperfi- ciem incidentiæ) uidetur curua, & $emper æquidi$tans arcui, cuius e$t imago. Alhaz. 11 n 6. b e a d h t z l m q g

E$to a b arcus oppo$itus $peculo $ph{ae}rico cóuexo: in quo cómunis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $it circulus h t z: & $it g c\~etrũ illius arcus a b, & $imiliter centrũ $peculi: quoniã ex hypothe$i arcus ui$us & $peculũ $unt cõc\~etrica: $it\’q; d c\~etrũ ui$us: & ducátur line{ae} d g a g, b g: & $umatur in arcu a b pũctus e quocũq; modo, & ducatur linea e g: erit ita q; $uքficies a g b $uperficies incid\~etiæ, in qua erit li- nea e g: & linea d g e$t diameter ui$ualis, \~q ex hypothe$i e$t erecta $u- per $uքfici\~e a g b: erũt ergo ք definition\~e line{ae} $uք $uքfici\~e erect{ae} an guli d g a, d g b, d g e recti & o\~es æ quales:$ed & latera laterib. {ae}qualia $unt, quoniã d g e$t {ae}quale $ibijp$i, & alia latera $unt æ qualia ք defini tion\~e circuli: ergo ք 4 p 1 ba$es illorũ triangulorũ $unt æ quales. O\~es ergo pũcti arcus a b eiu$d\~e di$tãtiæ $unt à c\~etro ui$us: quare imagi- nes omniũ illorũ pũctorũ eiu$d\~e di$tãti{ae} erũt à c\~etro $peculi ք corol lariũ \~pmi$${ae} Sit\’q; q m limago arcus a e b: erit igitur linea g q {ae}qualis lineis g m & g l: quare ք 9 p 3 linea q m l erit arcus circuli, cuius c\~etrũ erit pũctũ g: erit ergo cõuexitas ip$ius re$pectu c\~etri g, nõ re$pectu $u քficiei cõuexæ $peculi $iue loci reflexiõis. Et quoniã curuitas arcus a b re$picit cõuexitat\~e $uքficiei $peculi, ut cõc\~etrica ip$i ex hypothe$i, patet q<001> id\~e arcus e$t cõcen- tricus $u{ae} imagini: ergo per 73 th. 1 huius patet q <001> imago {ae}quidi$tat arcui ui$o: quoniam e$t $emper in $uperficie incidentiæ: e$t enim $emperimago cuiuslibet puncti in catheto $uæ in cidentiæ per 11 huius: omnes autem catheti illæ $unt in $uperficie in cid\~etiæ. Patet ergo propo$itum.

LIBER SEXTVS. 47. Imago arcus concentrici $peculo $phærico conuexo (diametro ui$uali $uperficiei inciden- tiæ obli q u è incidente) uidetur curua, non æquidi$tans arcui, cuius e$t imago, ni$iperpendicula- riduct a à ui$u $uper aliquem punctum ui$i arcus incidente. Alhazen 12 n 6.

Di$ponãtur omnia, ut in \~pced\~ere theoremate, ni$i q<001> diameter ui$ualis, \~q e$t d g, nõ $it erecta, $ed obliquè incid\~es $uքficiei a b g. Dico q<001> imago arcus a b uidetur curua. Ducatur enim ք pendicula- ris à pũcto d $uք hac $uքfici\~e ք 11 p 11. Cũ itaq; illa քpendicularis $it minor omnib l neis ductis à pũ- cto d a d hác $uքfici\~e ք 21 t. 1 huius, erit angulus rectus, qu cõtinet h{ae}c ք p\~edicularis uer$us pũctũ g, minor quolibet angulo uer$us punctũ g imaginato, qu\~e cótinet alia linea à pũcto d ad $uperfici\~e illã ducta ք 16 p 1: & linea à pũcto d ad $uքfici\~e illá ducta, quãtò remotior erit à քp\~ediculari, tátò maior erit & maior\~e angulũ cõtinebit uer$us g: <003> a minor\~e cõtinet uer$us ք p\~edicular\~e ք 21 p 1. Si ergo h{ae}c քpendicularis nõ cadat in arcũ a e b, $ed ultra ip$um: tũc erũt o\~es line æ duct{ae} à pũcto d ad hũc arcũ declinatæ in part\~e unã, & remotiores maiores & maior\~e angulum cõtinentes uer$us pũctũ g, <004> {pro}- pinquiores ք pendiculari. Si ergo $umãtur tria pũcta in arcu a b, \~q $int e, c, b: & finis cõtig\~etiæ pũcti b $it l: & finis cõting\~etiæ pũcti c $it m: palã ք 45 huius, <003>a ex eo, q<001> pũctũ c e$t {pro}pinquius ur$ui d <004> pũctus b:erit pũctus m {pro}pinquior c\~etro g <004> pũctus l:$unt aũt lineæ g b & g c {ae}quales exhypothe$i, & ք definition\~e circuli:e$t ergo linea c m maior <004> b l. Sit aũt q imago pũcti c, & $it timago pũcti b: & ducatur linea q t: & ducãtur lineæ c b & m l:\~q <003> d\~e {pro}duct{ae} cõcurr\~et. Quia $i à pũcto m ducatur linea {ae}quidi$tans lineæ c b illa $ecabit exlinea g b lineam {ae}qualem ip$im c per 2 p 6:e$t autem c m maior quàm b l:concurrant ergo lineæ c b & m lin puncto o. Et quoniam per 12 huius proportio e$t lineæ p o b c e l m t n a q k f d g g c ad g q, $icut lineæ c m ad m q: erit ք 16 p 5 permutatim propor- tio g c ad c m, $icut g q ad q m: & $imiliter erit g b ad b l, $icut g t ad t l:ergo per 124 th. 1 huius, cumli neæ g c & g b angulariter cõiun- ctæ $int proportionaliter diui$æ, & à punctis $ectionum ducantur lineæ cõcurr\~etes, quæ c o & m o: palàm quòd linea q t concurret cum lineis c b, m l: & erit ip$arum concur$us in puncto o. Finis ue- rò conting\~etiæ puncti e $it n. Et quoniam pũctus n per 45 huius demi$sior e$t puncto m: erit, ut prius, e n lιnea maior quã linea c m. Productis ergo lineis e c & n m, patet, ut prius, quòd concur rent: $it ergo punctus concur$us p: & ducatur linea q p, & procedat donec $ecet lineam e g in pun- cto f: & producatur linea o q u$q; ad lineam e g, quã $ecet in puncto k. Palã quoq; propter hoc, quòd punctus n e$t demi$sior puncto m, quia punctum k erit $uperius quã punctum f, & linea g k maior erit quá g f: patet aut\~e per 123 th. 1 huius quoniam proportio lineæ g e ad e n e$t $icut lineæ g f ad fn: $ed finis contingentiæ e$t punctus n:locus ergo imaginis erit punctus f per 12 huius. Igitur linea f q t erit imago arcus circuli e c b: & erit linea curua, nõ recta, utpote arcus illis tribus punctis per 5 p 4 circũ$criptus. Nõ erit aũt ille arcus æ <003> di$tans arcui $peculi neq; arcui ui$o:quoniã, ut patet, line{ae} t b & q c & f e $unt inæ quales, propter q <001> reman\~et line{ae} g t, g q & g fin{ae}quales. Similiter quoq; demõ- $trãdũ $i perp\~edicularis ducta à puncto d, cadat ex alia parte arcus a b citra ip$um: tunc enim $imilis erit probatio. Patet ergo propo$itum primum. Si uerò perpendicularis ducta à puncto d $uper $uքfi ciem incidenti{ae} cadat in medio arcus a b:line{ae} à puncto d ex diuer$is partibus ad arcum duct{ae} {ae}qua liter di$tantes à perpendiculari, erunt æ quales, & {ae}quales angulos continentes uer$us punctum g: & imagines ip$arum æ qualiter di$tabunt à centro g: & fines contingentiarum $imiliter. Imago itaq; æ quidi$tabit arcui a b, & arcui $peculi: quoniam imago figurabitur $uper centrum $peculi, quod e$t g: & erit illi conc\~etrica per 73 th. 1 huius. Pote$t quoq; probari predicto modo de utraq; parte arcus per $e, $ecundum quod diuiditur à perpen diculari: quòd eius imago $it linea curua modo prædicto æ quidi$tans arcui ui$o propter æ qualitatem linearum à centro $peculi & arcus ui$i ad loca imagi- nũ productarũ. Quod e$t propo$itũ: de imagine enim arcus a e pote$t $ecũdũ præmi$$a idem patere.

48. Imago arcus eccentrici circulo (qui e$t cõmunis $ectio $uperficiei incid\~etiæ & $peculi $phæ rici conuexi) $ecundũ mediũ eius punctum propinquior is c\~etro $peculi (ui$u exi$t\~ete extra $uքfi ci\~e incidentiæ) uidetur rnaιoris curuit at is qua arcus etd\~e circulo $peculi æքdi$tãtis. Alha. 3 n 6.

E$to arcus ui$us b e a:circulus \’q; communis $uperficiei reflexionis & $peculi $it h z: cuius centrũ $it g:$it\’q; arcus b e a eccentricus arcui h z: $int tam\~e i$ti arcus in ead\~e $uperficie: & $it e medius pun- ctus arcus b e a {pro}pinquior c\~etro g: $it\’q; ui$us extra $uperfici\~e incid\~etiæ. Dico quòd imago arcus b a erit curua, & maioris curuitatis <004> imago alterius arcus cõcentrici ip$i $peculo. Ducatur enim linea à cetro $peculi, q <001> e$t g, ad c\~etrũ arcus b e a, q <001> $it f: {pro} ducta\’q linea g e, palã ք 7 p 3 quoniã ip$a e$t bre- VITELLONIS OPTICAE uior omnibus lineis à c\~etro g ad arcũ a e b productis. Et quoniã arcus b e e$t æ qualis arcui e a, palã b d e a h l z g f per 7 p 3 quoniam linea g a {ae}qualis e$t line{ae} g b: ductis \’q; lineis g a, g b, $ecũdum ip$arũ quantitatem de$cribatur arcus â centro g: pa- lam\’q; per pr{ae}mi$$a, quoniam arcus de$criptus $ecundum $ui pun- ctum medium magis di$tabit ab arcu h z, quàm arcus b e a, Sit ergo de$criptus arcus b d a: & ducatur linea g d ad medium punctum il- lius arcus, qu{ae} erit {ae}qualis g b:excedit ergo arcus b d a arcum b e a. Manife$tum aũt ex præcedentib. quia imago arcus b d a e$t curua ui$u qualitercunq; $e habente ad $uperficiem reflexionis. Puncta er go cõmunia i$tis duobus arcubus, qu{ae} $unt a & b, habebunt imagi- nes $uas $itas uniformiter priorib. $ed cum punctũ d $it remotius à centro g quã punctum e:eius imago erit propinquior centro $pecu li quá imago puncti e per 23 th. huius: & ita cuiuslibet pũcti arcus b d a imago e$t propinquior centro imagine puncti $ibi corre$pon dentis in arcu b e a. Quare uidebitur imago arcus a e b curuior ima gine arcus a d b. Et hoc e$t propo$itum. Et $ecundum hunc modũ in alijs $itibus arcuũ & $peculorũ pote$t fieri demon$tratio, quando ui$us non fuerit in $uperficie incidentiæ, $ed extra illam.

49. In $peculis $phæricis cõexis, ui$u nõ exi$t\~ete in $uperficie li neæ rectæ æ<003>di$tãtis $peculo, imago uidetur curua. Alha. 14 n 6.

Sit linea recta ui$a a b: & $it $peculi $phærici conuexi centrum g: erit ergo $uperficies incidentiæ b e a f d h m t z g a g b: extra quã $it centrum ui$us, quod $it d: $it\’q; linea a b æ quidi$tãs $peculo: hoc e$t lineæ contingenti arcum eirculi (qui e$t communis $ectio $uperficiei incidentiæ & $uperficiei $peculi) $ecundum mediũ punctum illius arcus. Dico quò d imago lineæ rectæ a b curua uide- bitur. Ducantur enim line{ae} rect{ae}:d g à centro ui$us ad centrum $pecu li, & g b, g a à centro $peculi ad terminos lineæ a b. Hæ autem lineæ a g & b g, cum linea a b æ quidi$tet $peculo, palàm quò d $unt {ae}quales. Fiat ergo circulus concentricus $peculo $ecundum quantitatem illa- rum linearum, qui $it a e b: cadet ergo linea a b intra illum circulum: erit\’q; per 46 uel 47 huius imago arcus a e b curua. Sit ergo imago ar cus a e b arcus z th, ita quòd imago pũcti a $it z, & imago pũcti e $it t, & imago puncti b $it h: & ducatur linea g e $ecans rectá a b in pũcto f. Palá ergo quòd punctus e e$t in ead\~e linea cũ puncto f, $ed remotior à centro g:erit ergo per 23 huius imago puncti e propinquior centro $peculi, quàm imago puncti f: communiũ uerò punctorũ, quæ $unt a & b, imagines $unt e ædem. Sit itaq; punctus m imago puncti f: erit ergo z m h imago a b lineæ rectæ. Patet autem quòd linea z m h e$t li- nea curua, cum linea z t h $it recta: & omnium punctorum lineæ re- ct{ae}, quæ a f, loca imaginum ordinentur $ecundum conuenientem $i- bi proportion\~e inter puncta z & m, re$pectu arcus z m, & omniũ pun ctorũ line{ae} b floca imaginũ ordinentur $ecundũ conuenient\~e $ibi proportion\~e inter puncta h & m re$pectu arcus h m. Patet ergo propo$itũ: re$e ctis\’que lineis a f & b f {ae}qualiter, ead\~e e$t demõ$tratio.

q e b a d h m z g 50. Lineæ rectæ non æquidi$tantis $peculo, quæ producta non cõ- tingeret, uel $ecaret $uքfici\~e $peculi $phærici cõuexi (ui$u nõ exi$ten te in $uperficie incidentiæ) imago uidetur curua. Alhaz. 15 n 6.

Di$ponantur omnia, ut in præcedente, ni$i quòd linea a b non æ- quidi$tet $peculo, nec contingat, nec $ecet $peculum, $ed tantùm ob- liquetur $uper ip$um. Palàm ergo quòd line{ae} g b & g a product{ae} $unt inæquales. Sit ergo a g maior quàm g b: & fiat circulus $uper centrũ g ad quantitatem line{ae} a g maioris, qui $it a e q: & ducatur g b ultra b, u$quequò cadat in circulum, in punctũ e. Patet autem ex 46 uel 47 huius quoniá imago arcus a e e$t curua: punctus aũt imaginis a $it z. pũctus uerò imaginis e $it m: erit\’q; z m imago arcus a e. Et quoniã i- mago pũcti b e$t remotior à c\~etro imagine pũcti e per 23 huius: patet quòd erit imago line{ae} a b curua: q<001> etiã per pũcta media arcus a e & line{ae} a b faciliter poterit o$tendi. Patet ergo propo$itũ: re$ecta\’que li- nea a b ex quacũq; $ui parte $emper ead\~e e$t demõ$tratio, quæ prius.

51. Imago lineæ rectæ, quæ product a contingeret $peculum $phæ ricum conuexum (ui$u non exi$tente in $uperficie incid\~etiæ) $em per uidetur curua. Alhazen 16 n 6.

Sit di$pofitio, quæ prius, ita tamen ut linea a b producta, contingat $peculum in puncto e: & du- cantur à centro $peculi, quod $it g, lineæ g b & g a:$it\’q, ut$uperficies incidentiæ, quæ $it a b g $ecet LIBER SEXTVS. $peculum in arcu e h z: & $it d c\~etrũ ui$us: $it\’q $ectio communis $uperficiei reflexionis (in qua $unt lineæ g a & g d) & $uper$iciei $peculi, arcus z p. Communis uerò $ectio $uperficiei reflexionis (in qua $unt lineæ g h & g d) & $uperficiei $peculi, $it arcus h p. Palàm ergo per ea, quæ demõ$trata $unt in 16 huius, quòd forma pũcti b reflectitur ad ui$um d ab aliquo pũcto arcus h p. Si ergo à pũcto illo du- catur linea cõting\~es arcũ h p, illa $ecabit lineã b g: & finis cõting\~etiæ erit pũctus illius $ectionis. Sit pũctus ille m. Palã etiã quòd $ià pũcto m ducatur linea cõting\~es arcũ e h. q<001>illa cadet citra punctũ e ք 60 th. 1 huius: quoniã linea a b producta e$t cõtingens circulũ in pũctus b e$t altior pũ cto m. Cadat ergo conting\~es à pũcto m ducta in pũctũ f: & h{ae}c cõting\~es producta in cotinuũ & dire ctum per 60 th. 1 huius $ecabit lineam a e: ergo $ecet in pũcto t: & ex alia parte $ecabιt lineam g a per 14 th. 1 huius, cum illæ omnes line{ae} $int in una $uperficie: $ecet ergo ip$am in puncto c. Fiat quoque l k x s y e t q b a f r g o h m u i z n c p d $uper g terminum line{ae} b g angulus æqualis angulo b g d per 23 p 1, qui $it angulus b g s, cadente puncto s in peripheriam circuli: & producatur linea g s ad æ- qualitatem lineæ g d, quæ $it g l. Erit ergo per 26 p 3 arcus s h æ qualis arcui h p. sicut ergo reflectitur $or- ma puncti b ad ui$um in puncto d ab aliquo puncto arcus h p: $icreflectetur ad punctum l ab aliquo pun- cto arcus h s: & erit reflexio à puncto f, $icut in arcu h p fit reflexio à puncto, à quo ducitur contingens ad punctum m: quoniam illi arcus nece$$ariò $unt {ae}qua- les, ut patet per 58 th. 1 huius. Et quoniam à puncto m uenit utraque illarum linearum contingentium: palã quòd ip$æ ambæ $unt æ quales per 58 th. 1 huius. Du cantur ergo line{ae} b f & l f. Similiter quo q; forma pun cti a reflectitur per 16 huius ad ui$um d ab aliquo pun cto arcus z p. Verùm in triangulo curuilineo h z p duo arcus h z & h p $unt maiores tertio per 28 p 3 & per 20 p 1: $ed arcus h p e$t æqualis arcui h s: igitur arcus z p e$t minor arcu z s. Re$cindatur ergo arcus z s ad æ qualitatem arcus z p (quod pote$t fieri auxilio 34 p 3) $it ergo factum in puncto y: & ducatur linea g y: quæ producta ad æqualitatem lineæ g s, $ecabit nece$$ario lineam f l: ideo quia linea g d e$t æqualis lineæ g l. Quia itaque linea illa $ecat angulum l g z: ergo $ecabit etiam ba$im ei $ubten$am per 29 th. 1 huius. Secet ergo in puncto x: & $it linea g y k {ae}qualis lineæ g d. Palam ergo quoniam $icut $orma puncti a reflectitur ad ui$um d ab aliquo puncto arcus z p: $imiliter eadem for ma puncti a refle ctitur ad k ab aliquo puncto arcus. z y. Sed non reflectetur a ad k, ni$i ab aliquo pun cto. quod e$t citra punctum fex parte puncti z. Si enim dicatur quòd a puncto f uel ab alio puncto arcus f y reflectitur forma puncti a ad punctum k: $it, ut fiat illa reflexio à puncto f: palàm ergo quòd tunclinea ducta à puncto a ad punctum reflexionis f, $ecabit in aliquo puncto lineam b f: quia linea contingens circulum in puncto e tran$it per punctum b. Ad illud ergo punctum communis $ectio- nis illarum linearum a f & b f reflectetur punctus k, & ad idem punctum à puncto freflectetur pun- ctus l: & ita duo puncta in his $peculis reflectentur ad idem punctum ab eodem puncto f & exea- dem parte diametri ui$ualis, quod e$t contra 16 huius. Sed neque ab alio puncto arcus f y: quoniã tunc, ut prius, linea ducta à puncto a ad punctũ reflexionis, $ecabit lineã b f: $it punctũ $ectionis u. Ad illud ergo punctũ $ectionis u reflectetur $orma pũcti k & forma puncti l: & ita duo pũcta eiu$d\~e di$tãti{ae} à centro propo$iti $peculi, quod e$t pũctũ g (quoniã ambæ l g, k g $unt {ae}quales ip$i g d exhy pothe$i) reflectentur ad idem centrum ui$us ex eadem parte diametri ui$ualis, quæ a b illo puncto $ectionis line{ae} b f, quod e$tu, e$t ducibilis ad punctum g centrũ $peculi, Erit ergo per 18 huius angu lus l g u æqualis angulo k g u, totum $uæ parti: quod e$t impo$sibile. Non ergo refle ctitur forma pun cti a ad punctum k ab aliquo puncto arcus f y: re$tat ergo, ut punctus a refle ctatur ad punctum k ab aliquo puncto arcus z f alio, quàm $it punctum f. Si igitur ab illo puncto ducatur linea contingens circulum, illa producta nece$$ariò $ecabit lineã a z: & cadetinter puncta z & cper 60 th. 1 huius: i- deo quòd punctus $ re$pectu diametri g a demi$sior e$t quolibet puncto arcus z f: & ita linea con- tingens à puncto f, quæe$t f c, altior e$t alijs contingentibus à punctis arcus z f ductis. Cadat ergo contingens illa in punctum n: & ducatur linea m n: quæ quid\~e linea cum tran$eat per acumen trian guli b m t, & producta diuidat angulum b m t per 15 p 1. quoniã & ip$a diuidit angulũ g m c, ut patet expræmi$sis. Quia ergo diuidit b m t, ergo nece$$ariò $ecabit ba$im b t per 29 th. 1 huius. Secet ergo ip$am in puncto q: & ducatur linea g q: $it aut\~e i imago puncti a: & $it o imago puncti b: & r $it imago puncti q. Palàm autem ex 45 huius, cum punctum b $it propinquius puncto g centro $peculi quàm punctum a, quod erit imago puncti b remotior a puncto g quã i imago puncti a. Ducatur ergo linea o i, quæ per 11 huius erit imago lineæ a b. Palàm etiam per 12 huius & per 16 p 5 quòd proportio a g ad a n e$t, $icut g i ad i n, & proportio b g ad b m per eadem e$t $icut g o ad o m. Cum ergo line{ae} a g & b g diuidantur $ecundum proportionem $imilem, utraq: ip$arum in duobus punctis, & à punctis di ui$ionum ducantur lineæ, quarum duæ $cilicet g q & m n concurrant ad id\~e punctum q, tertia (qu{ae} e$t i o) nece$$ariò concurret ad idem punctum per 124 th. 1 huius. Linea ergo i o producta cadet $u- per punctum q: e$t ergo linea io q linea recta. Igitur linea i o r non erit recta: $ed linea i o r e$t imago lineæ a q. Quare palã quòd imago line{ae} a q erit curua. Po$ito aũt b loco pũcti q, & alio pũcto lineæ a VITELLONIS OPTICAE b po$ito loco pũctib, eod\~e modo penitus {pro}batur, q<001> imago lineæ a b e$t curua. Et hoc e$t {pro}po$itũ.

52. Imago lineæ rectæ, quæ producta $ecaret circulum (qui e$t communis $ectio $uperficiei inci dentiæ, & $uper$iciei $peculi $phærici conuexi) non tamen per centrum, ui$u non exi$tente in $u- per$icie incidentiæ, uidetur curua, Alhazen 17 n 6.

Manente priori di$po$itione, $it, ut linea a b producta, circulũ e h z (qui e$t cõmunis $ectio $uperfi ciei incidentiæ & $peculi) $ecet in pũcto e: & punctus reflexionis formæ puncti b ad punctum l $it punctum f: & $it m finis contingentiæ line{ae} contingentis circulum e h z in pũcto f productæ ad li- l k x b a s y g p d neam b g. Reflectetur itaque b ad a ab aliquo pũcto arcus h p, $icut in præcedente propo$itione pr{ae}mi$- $um e$t. Arcus quoq; ab illo puncto reflexionis u$q; ad pũctum h, aut e$t æ qualis arcui h e, aut maior, aut minor. Si {ae}qualis, cum per præmi$$a in pr{ae}cedente arcus ille $it {ae}qualis arcui h f: ideo quia à puncto m product{ae} lineæ contingentes pertingunt ad arcus æquales per 59 th, 1 huius. Sit ergo q punctus ip$ius circuli, in quem cadet contingens ducta à puncto m ex parte e. Igitur linea a e tran$it per punctum q: & ita linea m q $ecat lineam a e trãs punctũ e: quo- niam utrunq; punctorum e & q e$t in peripheria cir culi, & e$t punctum unum. Si uero arcus ille $it mi- nor arcu h e: $ecabit linea q m lineam e a ultra pun- ctũ q: $it, ut $ecet ip$am in puncto t, ut e$$iciatur triã gulus ducta linea e q. Si uerò arcus ille fuerit maior arcu h e: $ecabit linea m q lineam a e citra punctum q: quodcunque i$torum acciderit: iteretur probatio præmi$${ae}: & eodem modo penitus probabitur. quòd imago line{ae} a b e$t curua. Quod e$t propo$itum.

d e g h a b z d e g h b a z 53. Imago lineæ rectæ, quæ producta tran$iret centrum circuli (quie$t cõmunis $ectio $uperficiei incidentiæ & $peculi $phærici con- uexi) centro ui$us exi$tente in eadem $uperficie, uel extra illam, nõ tamen in illa linea, $emper uidetur recta, Alhazen 18 n 6.

Di$ponãtur omnia, utin pr{ae}cedentib. ni$i quòd hactenus locuti $u mus de pa$sionibus harum linearum, ui$u non exi$tente in $uperficie incidenti{ae}, & nunc ui$um $upponimus quandoq; e$$e in $uperficie in cidenti{ae}, qui $it, ut prius, in pũcto d: & ducatur linea g d: concurrat\’q linea a b protracta cum circulo e h z, tran$iens ip$ius centrum g. Palá ergo quòd angulus illarum linearũ a g, & d g cadet $uper g centrũ $pe culi: uidebitur\’q; imago line{ae} a b una linea recta. Imago enim cuiusli bet puncti illius line{ae} a b, cum ip$a $it in catheto $uæ incidenti{ae} di$po $ita, apparebit in ip$a linea a b producta ad centrum g per 11 huius: e- rit ergo imago illius totius line{ae} recta, $icut & ip$alinea a b producta, e$t linea recta. Patet ergo propo$itum.

54. Lineæ rectæ declinatæ à centro circuli (quie$t communis $e- ctio $uperficiei incidentiæ & $peculi $phærici conuexi) centro ui$us exi$tente in eadem $uperficie incidentiæ, ita quòd declinatio lineæ $it adpartem aliam à ui$u, & $it tangens $uperficiem $peculi, tan- tùm imago unius puncti uidetur. Alhazen 19 n 6.

Ordinentur omnia, ut prius in 51 huius: & $it linea a b declinata $u- per circulũ e h z, ita q<001> nõ attingat centrũ eius: $it\’q ui$us d in $uperfi cie incid\~eti{ae}: & $it declinatio line{ae} ad part\~e aliã ab illa, in qua e$t ui$us: ut $i ui$us $it in parte dextra, declinet pũctũ a ad $ini$trã, uel ecõtrario: & linea pertingat ad $uperfici\~e $peculi: dico quòd tantũ unius pũcti line{ae} a b imago uidebitur. Sumatur enim per auxiliũ 16 huius pũctus circuli, à quo reflecti po$sit aliquid ad ui$um, <003> $it h: & $umatur aliqua linea re$lexionis punctorũ a b lineæ declinatæ, ut pũcti b: & illa cadet for$itan $uper hanclineã reflexionis d h: quod $i fuerit, nõ uidebitur quid\~e imago lineæ huius declinatæ, qe{ae} a b, ni$i $ecundũ $olũ illũ pun ctũ b: quod patet ducta catheto incidentiæ à pũcto a, qui $it a g: tunc enim arcus interiacens punctũ h, à quo reflectitur forma puncti b, & punctum $ectionis circuli e h z per cathetũ a g (quod $it z) continet omnia puncta reflexionis formarũ punctorum lineæ a b, ut o$ten$um e$t in propo$itione 50 huius. Producta ergo à c\~etro ui$us ad cen- trum $peculi linea, quæ $it d g, $ecans circulum e h z in puncto e: $i $umatur in arcu circuli LIBER SEXTVS. quieh, eitra hanc lineam d h punctus, à quo reflectitur ad ui$um aliquis punctus line{ae} declinat{ae} a b: $ed ille punctus reflectitur à puncto alιquo arcus h z prius a$signati, qui e$t terminus lineæ $uæ refle xiõis: cum linea $u{ae} reflexionis $it ultra lineam reflexionis formæ puncti b: & ita illæ punctus lineæ declinatæ reflectitur ad eundem ui$um à duobus punctis arcus $peculi: quod e$t impo$sibile, & cõ tra 16 huius. Non ergo reflectitur ad ui$um ab aliquo puncto arcus e h interiacentis lineam d g, & cõ punctum reflexionis formæ puncti b, quiarcus non impeditur per lineam interpo$itam ui$ui & $pe culo. Item $i aliquis punctorum lineæ a b, præter punctum b, reflecteretur ad ui$um ab aliquo pun- cto arcus e h interiacentis lineam d g & punctum reflexionis formæ pũcti b, cum illa puncta omnia $int in eadem $uper$icie incidenti{ae}, $icut & centrum ui$us: tunc patet per 1 p 11 quòd omnes lineæ re flexionum $unt in eadem $uperficie: linea ergo incidentiæ illius puncti $ecaret lιneam incidentiæ formæ puncti b. Forma ergo puncti illius $ectionis reflecteretur ad eundem ui$um d à duobus pun- ctis, $cilicet à puncto h puncto reflexionis formæ puncti b, & ab alio puncto dato: quod totũ e$t im- po$sibile, & contra 16 huius. Non ergo reflectitur aliquis punctorum line{ae} a b, pr{ae}ter punctũ b, ad ui$um d ab aliquo puncto arcus e h di$cooperti. Licet autem reflectatur quilibet punctus line{ae} a b ab aliquo puncto arcus h z prius $umpti, non tamen uidebitur, cũ $it in linea reflexionis, quæ occul- tatur ui$ui per pr{ae}cedentia puncta line{ae} $olid{ae}: & ita linea adiacens line{ae} reflexionis formæ pun cti b non uidetur, ui$u $ic di$po$ito, ut pr{ae}mi$$um e$t. Patet ergo propo$itum.

55. Lineæ rectæ declinatæ à c\~etro circuli (quie$t cõmunis $ectio $uperficiei incid\~etiæ & $peculi $phærici cõuexi) c\~etro ui$us exi$t\~ete in ead\~e $uperficie incidentiæ, it a <003> declinatio lineæ $it ad par t\~e ui$us, $iue $it tangens $uperfici\~e $peculι $iue non, nullius puncti imago uidetur. Alhaz. 20 n 6.

Sit di$po$itio, qu{ae} $uprà: & $umatur a b linea declinata, ut proponitur: & eius declinatio $it ex par a d b b g te ui$us d: dico quòd nullus punctus illius line{ae} uidebitur. Deture- nim, quòd aliquis punctorũ illius line{ae} po$sit reflecti ab aliquo pun cto arcus interiacentis lineam reflexionis, non impeditam per cor- pus line{ae} interiacentis ui$um & $peculum & lineam d g, à centro ui- $us ductam ad centrũ $peculi: & ducatur linea ab illo puncto ad pun ctum arcus $umptum: h{ae}citaque $ecabit lineam reflexionis: & pun ctus $ectionis reflectitur ad ui$um à duobus punctis $peculi: quod e$t impo$sibile. Si uerò dicatur quòd punctus $umptus in linea a b reflectitur à puncto arcus circuli, qui e$t $ub illa linea a b, hoc erit im po$sibile: quia totus ille arcus occultatur per lineam interpo$itam ui$ui & $peculo, ab$cindentem omnes lineas reflexionum $uorum punctorũ. Et præterea $ecundũ hanc di$po$ition\~e ui$us e$t ex parte anguli minoris line{ae} obliquè $peculo incidentis: reflexio uero $olũ fit ex parte anguli maioris, ut patet per 33 th. 5 huius. Non e$t ergo po$sibile aliquod punctorũ illius line{ae} reflecti ad ui$um$ic $ituatum. Nullius ergo pũcti illius line{ae} a b imago uidetur. Quod e$t {pro}po$itũ

56. Lineæ rectæ obliquæ, non tangentis $uperficiem $peculi $phæ rici conuexi ui$u exi$tente in $uperficie incidentiæ, ita quòd obli- quatio lineæ $it ad partem aliam à ui$u: modicùm imaginis uide- tur: & erit imago $emper curua. Alhazen 21 n 6.

Di$ponantur omnia, utin præcedentibus: $it\’q; linea a b obliquata $uper $uperficiem $peculi: ita a d f b l m e h c z g quòd producta centrum eius non tran$eat nec tangat $uper$iciem $peculi: $ed di$tet punctus b aliqualiter ab illa in aere exi$tens: $it\’que ui$us d in $uper$icie incidentiæ illius lineæ a b. Dico quòd modicùm imaginis lineæ a b ui$ui occurret. Ducatur enim linea d b $uper $u- perficiem $peculi, incidens in punctum c circuli e h z, (qui e$t com- munis $ectio $uper$iciei incidenti{ae} & $uper$iciei $peculi:) A‘puncto quoque c ducatur linea contingens circulum per 17 p 3, quæ $it l c m: & $uper c terminum lineæ m c fiat angulus æ qualis angulo d c l, per lineam c f $ecantem lineam a b in puncto f: & à puncto f ducatur ca- thetus f g ad centrum $peculi: & ducatur cathetus b g. Palàm itaque quòd $orma puncti freflectitur ad ui$um d à puncto c per 20 th. 5 hu- ius: erit\’que locus imaginis in linea f g: $imiliter\’que $orma puncti b, cum non habeat aliquod ob$taculum, reflectetur ad ui$um ab aliquo puncto $peculi: & locus imaginis erit in linea b g per 11 huius. Et quia propter interpo$itionem lineæ $olidæ, quæ f b, alia puncta li- neæ a b non po$$unt reflecti ad ui$um, ni$i puncta lineæ b f, quo- rum omnium imago cadit in linea ducta à punctis $ectionum linea- rum reflexionum punctorum b & f, & cathetorum b g & f g: (quæ e$t res modica) patet quòd imaginis lineæ a b pars modica uide. tur. Quod e$t propo$itum. Augetur tamen illa quantitas imaginis $ecundum quod centrum VITELLONIS OPTICAE ui$us in eadem $uperficie declinat plus ad $uperficiem $peculi. Vnde $i ui$us perueniat inter $uperfi ciem $peculi & punctum b: totius line{ae} a b uidebitur imago. Tunc enim cadit hæc linea a b inter li- neam reflexionis formæ punctia, & inter productam cathetum puncti a ultra lineam a g. Et$i tali- ter $ituetur h{ae}clinea a b, ut cadat inter lineam reflexionis d c & inter lineam per punctum reflexio- nis puncti b tran$euntem ad centrum $peculi, poterit uideri imago totius lineæ. Videbitur autem imago totius line{ae} a b uel partis eius $emper curua: quod pote$t o$tendi per modum 50 huius: & mi nuitur curuitas imaginis huius line{ae}, $ecundum quod magis acce$$erit ad lineam tran$euntem ad centrum per punctum reflexionis formæ puncti b. Vniuer$aliter uerò quicquid interpo$itum ui$ui & $peculo impedit peruentum formarum punctorum $peculi ad ui$um: illius imago non uidebitur in his $peculis. Hæc autem, qu& hic propo$ita $unt, intelligenda $unt de lineis occurrentibus ui$ui in arcu circuli, qui apparet ui$ui, utpote in arcu, qui interiacet duas contingentes ductas à centro ui $us ad $peculum: quoniam ille $olum opponitur ui$ui per 5 huius: linearum uerò concurrentium cum $peculo in parte circuli occulta ui$ui, aliqua pote$t e$$e æquidi$tans line{ae} contingenti, & illa nõ uidebitur: $imiliter & cõterminalis illi æquidi$tanti, quæ cadit $ub æ quidi$tante, penitus occultabi- tur ui$ui: $ed linea conterminalis {ae}quidi$tanti cadens $uper ip$am ex parte illa, poterit uideri. Et h{ae}c experimentantium indu$triæ ex præhabitis principijs relinquimus demon$tranda: erunt tam\~e hoc modo ui$arum linearum rectarum imagines $emper curu{ae}.

57. Vi$u exi$tente in$uperficie incidentiæ lineæ rectæ, non concurrentis cum $uperficie $peculi $phærici conuexi, $ed æquidi$tantis lineæ interiacenti centrum $peculi & ui$us, uel concurrentis cum illa extra $peculum ex parte ui$us: imago uidebitur curua. Alhazen 22 n 6.

Sit d centrum ui$us: & g centrum $peculi: & h e $it linea ui$a: qu{ae} quidem linea non concurrat cũ circulo, qui e$t communis $ectio $uperficiei incidentiæ & $peculi, $ed $it æ quidi$tans lineæ d g, uel $ecet eam ex parte d. Sit quoque a b circulus, qui e$t communis $ectio $uperficiei incidentiæ uel re- flexionis, in qua $untline{ae} d g & h e, & $uperficiei $peculi propo$iti: & producatur linea h g, in qua $it punctus z imago puncti h. Punctus quoq; circuli, à quo reflectitur forma puncti h ad ui$um d, $it b: ducatur\’que à puncto b linea circulum contingens, quæ $ecet lineam h g $uper punctum t: erit\’q punctus t finis contingentie. Ducatur etiam linea g b, quæ producta nece$$ariò cõcurret cum linea h e. Sienim h e fuerit {ae}quidi$tans d g, concurret quidem per 2 th. 1 huius: $i uerò d g concurrat cum h e, multò fortius g b concurret cum eadem per 29 th. 1 huius. Concur$us quoque ille aut erit in li- nea h e, aut ultra hanc lineam: $i ultra, concurrat in puncto m. Ducatur quoque linea m g: quæ erit cathetus incidenti{ae} puncti m: & imago puncti m $it q. Imaginata quo que linea à pũcto reflexionis formæ puncti m ad lineam g m producta: finis contingentiæ $it punctus s: & ducatur linea z q copu lanslocaimaginum: $imiliter ducatur lineat s cupulans fines cõtingentiarum. Sit quoque, ut linea d g $ecet circulum a b in puncto a: & producatur à puncto a linea contingens circulum, quæ $it a u. Palàm itaque quoniam arcus a b e$t minor quarta circuli, cum ui$us d uideat ex circulo minus me- dietate per 3 huius: quare angulus a g b e$t acutus per 33 p 6, & angulus u a g e$t rectus per 18 p 3: igi- tur linea a u concurret cumlinea g b per 14 th. 1 huius: concurrat ergo in puncto u. Dico quia pun- h e m c c u s k b c z q l r f g a d ctus u cadet ultra punctũ s. Quia cumper 16 huius punctus m re$lectatur ab aliquo puncto arcus a b: & punctus a $it demi$sior illo puncto reflexionis form{ae} puncti m: erit finis contingentiæ lineæ du- ctæ à puncto a contingentis circulum, altior fine contingentiæ illius puncti per 60 th. 1 huius: & ita erit punctus s demi$sior puncto u. Protrahatur er go linea t s, donec concurrat cumlinea u a: cõcur ret autem per 14 th. 1 huius: & $it concur$us in pun cto k: & ducatur linea g k: quæ producta concur- ret cum h m per 2 uelper 29 th. 1 huius: $it concur- $us in puncto c. Punctus itaque c reflectitur ad ui $um d ab aliquo puncto arcus a b: quòd patet per e a, quæ demon$trata $untin 16 huius: $it ille pun- ctus $: à quo ducatur linea contingens $peculum u$que ad cathetum g c: quæ quidem erit demi$- $ior quàm linea a k: & $it fo, $ecans lineam g c in puncto o: qui $it finis contingentiæ: ergo per 60 th. 1 huius erit punctus o demi$sior puncto k: $unt enim puncta k & o fines contingentiarum. Producatur quoque linea d f, u$quequò cadat $uper g e cathetum: cadet aũtper 9 huius: $it ergo, ut cadat in punctũ r: & producatur linea z q u$q; ad lineam g c: & cadat in punctum 1. Dico quoniam punctum l e$t altius quã punctũ r. Line{ae} enim h c & t k, & z l aut $unt {ae}quidi$tãtes aut cõcurrũt. Sint primò {ae}quidi$tãtes: cũ ergo hæ line{ae} {ae}quidi$tãtes $ecent lineam c g, $uper tria puncta c, k, l, & $ecent utranque linearum m g & h g: & cum $it proportio line{ae} h g ad h t, $icut lineæ g z ad z t per 12 huius, & per 16 p 5: & $imiliter cum $it proportio lineæ m g LIBER SEXTVS. ad m s, $icut g q ad s: erit ead\~e proportio g c ad c k, quæ g l ad l k per 122 th. 1 huius: $ed palàm per 11 huius quoniam r e$t imago puncti c: linea enim d $ e$t linea reflexionis, concurrens cum catheto c g in puncto r: & o e$t finis contingenti{ae}: e$t ergo per 12 huius, & per 16 p 5 proportio g c ad c o, h e m c s t z q b o r f d g a i h e m o c u z s b o k q l r f d o g a $icut g r ad r o: led maior e$t proportio g c ad c k, quàm g c ad co per 8 p 5: & ita erit maior proportio g l ad l k, quàm g r ad r o: ergo econtrario conuerfim per 6 th. 1 huius erit mi- nor proportio l kad g l, quàm r o ad g r: e$t ergo maior proportio o r ad g r, quàm k l ad g l: ergo coniunctim per 11 th. 1 huius maior proportio e$t o g ad r g, quàm k g ad l g: $ed k g e$t maior quàm o g: ergo per 14 p 5 l g e$t maior quàm r g. E$t ergo punctus r demi$sior puncto l: $ed z q l e$t linea recta: ergo linea z q r e$t linea curua: ergo imago line{ae} h c e$t curua. Po$ito er- go alio puncto lineæ h e loco puncti m, & pun- cto e loco puncti c: erit probare quod imago li- neæ h e rect{ae} $it curua. Si uerò lineæ h m, t s, & z q non $unt æ quidi$tantes, concurrant ergo: & erit cõcur$us aut ex parte d, aut ex parte h: $it ex parte d, & concurrant in pun- cto c: erit ergo per 53 huius z q l linea recta: quare z q r erit linea curua: e$t ergo imago lineæ h e rectæ curua, demon$tratione completa, ut prius. Hoc ergo e$t pro po$itum.

58. Omnis arcus circuli, in cuius $uper$icie incidentiæ fue rit centrum ui$us, imago $en- $ibiliter apparens intra $pecu- lum $phæricum conuexum ui- detur $emper curua. Alha- zen 23 n 6.

Sit arcus ui$us a b: & $it cen- trum $peculi punctum g: & cen trum ui$us punctum d: $iu\’q; hoc centrum ui$us in $uperficie incidentiæ, quæ e$t a b g Dico quòd imago arcus a b uidetur $emper curua, quando $en$ibιlιter intra $peculum uidetur. Ducatur enim a b d g chorda a b: palam\’q; ex præmι$sis propo$itιonιbus, quoniam ima- go chordæ a b $ecundum omnem $ui $itum, re$pectu $peculi uide- tur $emper curua: ni$i $olùm tunc, quando ip$a $it in catheto inci- dentiæ unius $uæ extremitatis: ut cum ip$a e$t perpendicularis $u per $peculi $uperficiem pertran$iens eius centrú: tunc enim ip$ius imago uidetur recta, ut patet per 53 huius. Arcum uero a b e$$e in catheto incidentiæ $uarum extremitatũ e$t impo$sibile: cum qui- libet $uorum punctorum diuer$am habeat incidentiæ cathetum. Ergo nunquam uidebitur imago arcus taliter di$po$iti in linea re- cta: quoniam $emper loca imaginum diuer$orum punctorum in diuer$is $unt cathetis. Curuitas uerò imaginum pote$t faciliter concludi $ecundum modum, quo in præcedentibus in lineis re- ctis u$i $umus: & coadiuuabit ad hæc 45 huius. Patet ergo pro- po$itum.

59. Conuexitas imaginum quorumlibet arcuum, cum locus ip$arũ e$t intra $peculum $phæricum cõue xum uelextra ip$um, conuexit ati arcuum fit contraria $ecundum $itum.

E$to quòd arcus a b re$piciat $ecundum $ui concauum uel conuexum centrum $peculi $phærici conuexi, quod $it punctum g. Dico quòd conuexitas ip$ius imaginis erit cõtraria $ecundum $itum conuexitati ip$ius $peculi, quando imagoto taliter e$t intra $peculũ, ueltotaliter extra, uel$ecun- VITELLONIS OPTICAE dum partem intra, $ecundum partem extra, & $ecundum partem in ip$a $uperficie $peculi Loca e- nim imaginum punctorum remotiorum à $uperficie $peculi fiunt a b g propinquiora centro $peculi, & loca punctorum propinquiorum $uperficiei $peculi fiunt remotiora à centro $peculi, ut patet per 23 huius. Et quia imagines accipiunt continuitatem $itus $uarum par- tium à continuitate rerum, quarum ip${ae} $untimagines: patet quòd conuexitas ip$arum imaginum conuexitati ip$orũ ui$orum arcuum fit contraria $ecundum $itum, prout etiam o$tendimus in 46 huius. Patet ergo propo$itum.

60. Imaginum curuarum eiu$dem arcus ui$i remotioris à cen- tro $peculi $phærici conuexi curuior uidetur.

Sit a b arcus ui$us, cuius punctus medius $it e: & cuius arcus ima- go $it curua: & eius chorda $it a b linea recta: $it\’q; centrum $peculi g. Dico quòd accedente linea a b ad $peculum, imago eius fit mino- ris curuitatis, & recedente ip$a fit maioris. Ducantur enim catheti a g & b g, in quibus erunt loca imaginum punctorum a & b per 11 hu ius. Quia itaq; accedente linea recta a b ad $uperficiem $peculi, angulus a g b fit maior, & receden- te ip$a angulus a g b fit minor per 34 th. 1 huius: imago uerò pũcti b i d B t k e a c z g e plus elongati à centro $peculi fit propinquior centro $peculi, & imago eiu$dem approximantis $peculo fit remotior à centro per 23 th. huius: extrema uerò puncta illius imaginis $emper $unt in cathetis a g & a b: patet ergo quòd imago arcus a b remotioris à centró $peculi plus coangu$tatur, & approximati plus amplia- tur: & $ecundũ hoc ip$ius curuitatis modus uariatur modo propo fito. Quoniam ip$ius remotioris à centro $peculi imago fit cur- uior, & propinquioris fit minus curua: quoniam ip$a $emper fit pars circuli maioris in acce$$u ad centrũ $peculi, & fit pars circuli minoris in rece$$u à c\~etro: & $ecundũ quantitat\~e acce$$us illius & rece$$us uariatur quãtitas dictarũ imaginũ. Patet ergo propo$itũ.

61. Omnis imago in $uperficie $peculi $phærici conuexi ui$ui occurrens, $emper apparet conuexa. Euclides 23. th. catoptr.

E$to $peculum $phæricum conuexum a g: & $it centrum ui$us e: & $it linea recta uel curua ui$a, quæ d k: in qua $ignentur puncta b & i, $it\’q; utloca imaginum i$torum punctorum $int in $uperficie ip$ius $peculi, lineis incidentiæ exi$tentibus ip$is, quæ d a, b c, i z, & k g: lineis quoq; reflexionis exi$t\~etibus a e, c e, z e, & g e. Si itaq; aliqua illarũ linearũ reflexionis $it perp\~edicularis $uper $uperfici\~e $peculi: palàm per 72 th. 1 huius quoniã ip$a trã$ibit centrũ $peculi: ergo ք 8 p 3 uel per 21 th. 1 huius illa erit breui$sima omniũ linearũ illarũ reflexio nis, & illi propinquiores $unt remotioribus breuiores. Patet ergo quoniã e a b a e b g illa imago uidetur curua: quoniam aliqua pars ip$ius propinquior e$t ui- $ui, & aliqua remotior. Idem quoq; accidit, $i nulla illarum linearum refle- xionis $it perpendicularis $uper $peculi $uperficiem: quoniam ducta per- pendiculari linea à puncto e $uper $uperficiem $peculi per 11 p 11: palàm quòd omnes lineæ reflexionis illi perpendiculari propinquiores remo- tioribus $unt breuiores: & $ic item imago lineæ rectæ uel curuæ, quæ e$t d k, occurrens ui$ui in $uperficie $peculi, uidetur $emper curua. Et quoniã eodem modo e$t demon$trandum de qualibet imagine apparente in $u- perficie $peculi: patet ergo propo$itum.

62. Imago lineæ curuæ $ecundũ eius concauit at\~e re$pici\~etis $uperfici\~e $peculi $phærici conuexi, nonnunquã uidetur recta. Alhazen 23 n 6.

Sit linea curua a b c, oppo$ita $peculo $phærico cõuexo $ecundũ $ui par tem concauã. Dico q<001> nõnun<004> imago ip$ius pote$t uideri li- a b c nea recta. Ducatur enim eius chorda recta linea, qu{ae} $it a c: pa lam\’q; per plures præmi$$arũ propo$itionum huius, quoniá in aliquo $itu imago ip$ius line{ae} rectæ uidetur curua curua curuitate re$pici\~ete centrũ $peculi. Quia ergo extremitates line{ae} curu{ae} a b c, qu{ae} $unt a & c, uid\~etur in extremitatib. imaginis line{ae} re ct{ae} a c: imaginetur ip$i curu{ae} imagini line{ae} rect{ae} a c $ubtendi chorda intra $peculũ. Si itaq; hoc acciderit, quòd e$t po$sibi- le, ut curuitas ip$ius arcus (<003> e$t a b) $it $imilis curuitati imagi- nis ip$ius chordæ, ita q<001> eius $inus uer$i hinc inde $int $imi- LIBER SEXTVS. les: palá ք 23 & ք 45 huius quòd imago line{ae} curu{ae}, qu{ae} a b c, erit linea recta, $ubt\~e$a per modũ chor d æ ip$i imagini curuatæ. Videbitur ergo linea recta imago ip$ius curuæ line{ae} a b c. Quod e$t propo $itũ. Patet hoc etiá aliter. Quia enim, ut in pr{ae}mi$$a proxima dictũ e$t, omnis imago in $uperficie $pe culi $phærici cõuexi ui$ui occurr\~es, $emper uidetur cũuexa, centrũ $peculi re$piciens $ecundũ eius concauitat\~e, & eiu$dem arcus imago cadens intra $peculum re$picit centrum $peculi $ecundum $ui concauum. Cum ergo non eatur ab extremo in extremũ $ine medio in huiu$modi reflexionibus & $uperficiebus partium eiu$dem imaginis: palàm quòd illa imago in aliquo $itu habeat di$po$ition\~e rectitudinis. Et quia omnia loca imaginũ punctorum illius arcus cadunt in unam lineam rectam, quem $itum tamen & ui$us & rei ui$æ & $peculi perquirere e$$et longum & inutile: patebit tamen $impliciter expræmi$sis uia illud perquirere uolenti. Per hunc itaq; modum accidit circulum quan doq; uideri ad modũ $emicirculi & diametri, & ex portione circuli fit portio reuer$a, ita quòd ima- go rectæ lineæ fit curua, & curuæ line{ae} fit recta: & quandoq; ambæ uidentur curuæ ad eandem par tem, $i curuitas arcus ui$i $it minor curuitate imaginis $u{ae} chordæ: & quandoq; ad partes diuer$as, $icut inter$ectione duorum circulorũ inæqualium $uperficies inclu$a: & harum imaginum e$t mul- ta diuer$itas, quá ex præmi$sis principijs diligenti $olertiæ relinquimus exquirendam. In his itaq; $peculis imago line{ae} rect{ae} apparet curua, & line{ae} curu{ae} imago $emper uidetur curua: & quandoq; apparet ui$ui recta. Et quod o$tendimus de lineis, accidit etiam in ip$is $uperficiebus planis conca- uis & conuexis per lineas, quæ in$unt illis $uperficiebus: & idem penitus e$t in lineis longitudinis & latitudinis ip$arum. Si autem proponatur ui$ui in his $peculis corpus curuũ longum, modicum habens latitudinis: apparebit illius corporis curuitas manife$tè, cũ ip$a di$cerni po$sit per ea, quæ $unt $upra corpus, aut circa illud aut infra: non enim bene di$cernitur curuitas non magna, quando occultæ fuerint extremitates longitudinis & latitudinis: unde in corpore conuexitatis modic{ae}, & quantitatis magnæ non bene di$cernitur eius conuexitas, licet imago ip$ius $it conuexa, cum non appareant termini corporis in longitudine uellatitudine, qui termini coadiuuantnõ modicè com- prehen$ionem conuexitatis.

63. A $uperficie $peculi $phærici conuexi ex diuer$is $uperficiebus $phærarum compo$ita, for m æ reflexæ mon$truo$æ imaginis uidentur.

Quia enim diuer$arum $phæricarum $uperficierũ diuer$a $unt centra, & locus imaginis cuiu$q; puncti in $peculis $phæricis cóuexis per 11 huius e$t in catheto $uæ incidenti{ae}, ducta à puncto ui$o ad centrum $peculi: hæc aũt centra diuer$ificantur in huiu$modi $peculis irregularibus: patet ergo quòd form{ae} diuer$orum punctorum in partes diuer$as protrahuntur. Et quoniam à toata $uperficie fit reflexio, & puncta reflexa $ecundum loca diuer$ificantur, non $ecundum eundem $itum: patet quòd imago tota, quæ ex locis talium punctorum aggregatur & unitur, $uarum partiũ recipit inor- dinatũ $itum. Videtur ergo imago in talibus $peculis mon$truo$a: & $it exten$io uniformis aliqua- rum $uarum partium $ecundum uniformem exten$ionem illarum $uperficierũ, & aliarum partium fit deformitas ab alijs. Vnde quædá imaginis partes trahuntur in longũ, quædam in latum, quædã in tran$uer$um, $ecundum quod partes aliqu{ae} $uperficiei $peculi re$piciunt diuer$a centra diuer$a- rum $phærarum. Patet ergo propo$itum.

64. Po{$s}ibile e$t per plura, quotcun<005> quis uoluerit, conuexa $phærica $pecula eiu$dem puncti imaginem uideri. Euclides 15 th. catoptr.

Fiat hic di$po$itio, quæ in 61 th. 5 huius de $peculis planis dicta e$t: $it\’q; a centrum ui$us: & pun- ctus ui$us b: & de$cribatur, exempli cau$$a, polygonium æ quilaterũ e d j g k a b & æ quiangulũ, quod $it a b g d e: & ad puncta g, d, e $int $pecula $phæ rica conuexa contingentia puncta angulorũ {ae}qualium: & imaginen tur line{ae} contingentes $pecula in ei$dem punctis, ut in puncto g, li- nea l k. Et quoniam angulus b g k e$t æqualis angulo d g l: palàm per 20 th. 5 huius quoniam forma puncti b reflectetur à puncto g ad pun ctum d: & eadem ratione à puncto d ad punctum e, & à puncto e ad punctum a. Hoc autem e$t, quod proponebatur.

65. A‘ $uperficie unius $peculi $phærici conuexiignem impo{$s}i- bile e$t accendi: ex plurium tamen compo$itione po{$s}ibile.

Quoniam enim, ut o$ten$um e$t in 15 huius, line{ae} reflexionis for- mæ eiu$dem puncti à diuer$is punctis eiu$dem $peculi $phærici conuexi non $unt æquidi$tantes, attamen in centro unius ui$us non concurrunt: ergo neq; radij $olares uel alij, $uperficiei huius $pe culi incidentes in aliquo unquam puncto po$$unt cócurrere, $ed di$perguntur in ip$o medio. Non ergo illi radij aggregati unquá corpus aliquo modo quodcunq; etiá ip$um $it combu$tibile, po$$unt incendere, ut reflectuntur à $uperficie $perculi unius: ex plurium tamen $peculorum compo$itione po$$et aliquid huiu$modi effici, ita ut à quolibet illorum $peculorũ uno puncto reflecteretur unus radius ad unum punctum, cum aliorum $peculorum radijs concurrens: & $ic $ortificaretur actio ra diorum in illo puncto, & $ecundum numerum $peculorum $ieret numerus radiorum, & unio uel aggregatio uirtutis. Hæc autem $peculorum compo$itio plus e$$et difficilis quàm utilis: unde tali operi nos non dignum credimus in$i$ti. Patet itaq; propo$itum.

VITELLONIS FILII THVRINGORVM ET PO- LONORVM OPTICAE LIBER SEPTIMVS.

O Rdinis realis $eries nos admonet, ut qui planorũ $peculorũ & $phæricorum conuexorũ pa{$s}iones proprias, prout potuimus, trã$currimus: nunc ad $pecu lorũ columnariũ & pyramιdaliũ proprietates diuertamus. Sunt enim $pe culorũ i$torũ aliquæ pa{$s}iones ex pa{$s}ionibus præmi$$orũ $peculorũ conξtan tes uel cõpo$itæ, $icut & figuræ i$torum $peculorũ ex figuris illorum præmi$$orũ $peculo- rum aliqualiter cõponuntur. Speculũ enim columnare cum $it pars columnæ rotundæ ($icut in 8, 14 & 15 th. 5 huius declarauimus.) palàm ex præmi{$s}is in primo libro hu- ius $cientiæ, & in principijs 11 Euclidis quoniam fit ex tran$itu quadrilateri rectangu- li, quod uno $uorum laterum fixo, motis alijs, circumducitur, quou$<005> redeat ad locũ, un de motus accepit principiũ. Speculũ quo<005> pyramidale cau$$atur ex motu trigoni rectan guli, cuius unũ laterũ rectum angulum continentiũ figitur, & alia duo modo præmi$$o, quou$q; ad locũ, unde moueri cæperunt, circumducuntur. Vtrumq; ergo i$torum $pecu- lorum, quia ex motu linearũ rectarum ortũ habet, palàm quia rectarũ linearũ pa{$s}io- nes proprias non euadit. In quantum uerò illæ lineæ cau$$ant circulorũ figuras, cũ circu- lariter circumferuntur: in tantũ bæc $pecula pa{$s}iones circulares, hoc e$t $phæricas, qua- rum origo e$t circulus, cõmuniter con$equuntur: & hoc maximè in $peculis columnari- bus euidentius apparet, prout manife$tabimus in proce$$u. Propriè uerò istorũ $peculorũ pa{$s}iones, ut illæ, quæ $ecundum oxygonias $ectiones accidunt, quæ$olis his $peculis, $iue $int conuexa, $iue concaua, conueniunt, ex quadam cõmuni naura linearum rectarum & motus accidunt in illis: hæc ergo $pecula posterior\~e ordinem recipiunt ad plana $pe- cula & $phærica conuexa. Prius uerò de his $peculis columnaribus & pyramidalibus conuexis pro$equemur, quàm de quibu$cun<005> concauis & $phæricis, propter $implicita- tem pa{$s}ionum $peculorum conuexorum re$pectu concauorum, ut illarum, quæ in alias de$cendunt, Quæ uerò præmittimus, $unt i$ta.

DEFINITIONES.

1. Maius $peculum columnare uel pyramidale conuexum uel concauũ dicimus, quod e$t pars maioris columnæ uel pyramidis: & minus, quod e$t pars minoris. 2. Axem $peculi columnaris uel pyramidalis dicimus axem illius columnæ uel pyra- midis, cuius pars $peculum exi$tit. 3. Ba$es $peculorũ propo$itorũ dìcimus ba$cs $uarum columnarum uel pyramidum quarumcunq;. 4. Diametrũ ui$ualem dici mus lineam à centro ui$us perpendicularem $uper $uperficiem $peculi & ad axem productam: & ead\~e dicitur cathetus reflexionis. 5. Cathetus incidenti{ae} dicitur, ut prius, linea pep endicularis ducta à puncto rei ui$æ $uper lineam, quæ e$t cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi: utpote $uper lineam rectã, quæ e$t linea lon gitudinis $peculi, uel $uper circulũ, uel $uper oxygoniã $ection\~e, $ecundum quod ab aliqua i$tarum linearum reflexio procedít. 6. Finis contingentiæ dicitur pun- ctus, in quo altera cathetorum $ecat lineam in puncto reflexionis $peculum $ecun dum circulum uel $eɔtionem oxygoniam contingentem. 7. Metam locorum di- cimus, ut in $peculis $ph{ae}ricis, punctũ uel lineam, ultra quã imagines nõ uidentur.

THEOREMATA 1. Oppo$ito ui$ui $peculo colũnari uel pyramidali conuexo orthogonaliter erecto, ita ut ui$us non $it in $uperficie $peculi, aut ei continua: linea recta à centrc ui$us ducta, cum axe $peculi in LIBER SEPTIMVS. uertice acutum angulum tenente: à parte $uperficiei $peculi interiacente $uperficies contingen- tes ductas à centro ui$us ad $peculi $uper$iciem $olùm fit reflexio ad ui$um. Alhazen 35 n 4.

Hoc, quod hic proponitur, uniuer$aliter cõuenit $peculo columnari conuexo, $iue $ecundũ an- gulum rectũ $iue $ecundũ acutum $ibi incidat linea ui$ualis: $emper enim $icut per 78 th. 4 huius o- $ten$um e$t, minus medietate $uperficiei columnaris ui$ui occurrit, & abilla $olùm fit reflexio ad ui $um. Hæc aũt $uper$icies $peculi columnaris contenta e$t duabus $u a b f g c d n per$iciebus à c\~etro ui$us productis, $ecundũ lineã lõgitudinis cõtin- gentibus columnã. Et quoniã huius pa$sionis id\~e e$t demon $trandi modus in utroq: {pro}po$itorũ $peculorũ: difficilius uerò in pyramida- libus, $ufficit, ex\~epli cau$$a, propo$itũ in $peculis pyramidalibus de- mon$trari. Sit itaq; $peculum pyramidale conuexum, cuius axis $it a d: & uertex a: diameter ba$is c n: centrũ ba$is d: & $it hæc pyramis e- recta $uper $uperficiem horizontis, ita quòd non inclinetur $uper il- lam: & $it centrũ ui$us b: cõcurrat\’q; linea b a à ui$us centro ad uerti- cem $peculi producta cum axe datæ pyramidis, continens cum ip$o angulum acutũ, qui e$t d a b. Dico quòd $olùm à parte $uperficiei co- nicæ huius pyramidis, quæ interiacet $uperficies contingentes du- ctas à centro ui$us ad eand\~e $uperficiem, fit reflexio ad ui$um. Imagi nemur enim $uperfici\~e à centro ui$us prodeunt\~e, quæ $ecet pyrami- dem orthogonaliter per axem: & palàm per 100 th. 1 huius quoniam cõmunis $ectio illius $uperficiei, & $uperficiei pyramidis erit circu- lus æquidi$tans ba$i pyramidis. Sit ergo ille circulus f g: & à centro ui$us ducantur duæ lineæ b f & b g illum circulum contingentes per 17 p 3: & per 101 th. 1 huius ducantur à punctis f & g du{ae} line{ae} longitu dinis pyramidis, qu{ae} $int c f a, & n g a. Palàm itaq; quoniã $uperficies, in qua $unt line{ae} c f a & linea b f continget pyramidem. Si enim dicatur quòd $ecet illam, & nó con tingit: palàm quoniá linea b f, quæ e$t in illa $uperficie, $ecabit circulũ f g, & non cõtinget: ducta au- tem e$t ad contingentiam: $ecare igitur e$t impo$sibile. Superficies ergo illa pyramidem cõtinget. Et $imiliter o$tendendum e$t de $uperficie, in qua $unt line{ae} n g a & b g, quòd & illa pyramidem con tingat. Superficies ergo pyramidis interiac\~es has duas $uperficies contingentes, ui$ui occurret, & $olùm ab hac fiet reflexio ad ui$um: quia, ut per 16 th. 2 huius o$t\~e$um e$t, longior radius ad circulũ columnæ uel pyramidis rotundarũ perueniens, qua$i linea contingens e$t. Patet ergo propo$itum: quoniam in $peculo columnari e$t $imiliter demon$trandum.

2. Si à centro oculi ad lineas, quæ $unt termini $uperficierũ $pe- culorum columnarium uel pyramidalium conuexorum apparen- lium ui$ui, duæ $uperficies reflexionis producantur: nece$$e e$t per ip$as ambas $peculum contingi. Alhazen 26 n 4.

Verbi gratia, $int conuexo $peculo columnari, quod $it d f e g, duæ a e g c b d h f lineæ longitudinis, quæ $int d e & f g: $int\’q; illæ lineæ termini $uperfi ciei columnæ $peculi apparentis ui$ui, ut patet ex præmi$$a & per 78 th. 4 huius: & $it centrũ ui$us a: productisq; lineis a d, a f, a g, a e: erunt $uperficies trigon{ae} a d e, & a f g. Drco quòd illæ $uperficies conting\~et columná. Si enim dicatur q<001> altera ip$arũ $ecat columná, ut $uperfi- cies a d e, planũ e$t quòd illa $ectio erit $uper lineá longitudinis d e, in quá cadit illa $uperficies: & $imiliter erit procedendú $i $uperficies a f g $ecet columná: & $it $ectio $uper lineã f g. Sit ergo, ut $uperficies plana pertran$i\~es centrũ ui$us, $ecet columná {ae}quidi$tanter ba$ibus: erit\’q; per 100 th. 1 huius $ectio cõmunis illi $uperficiei & $peculi cir- culus, qui $it b c: hic ergo tran$it per duas lineas longitudinis d e, & f g: ducantur ergo lineæ a b & a c ad hunc circulum. Hæ ergo cum $int in illis $uperficiebus $ecantibus $uperficiem column{ae}, $ecabunt cir- culum b c: minus ergo uidebitur de arcu b c, quàm $it illud, quod $ub lineis circulũ b c contingentibus à centro ui$us puncto $cilicet a du- ctis continetur, quod e$t contra ea, quæ declarata $unt in 51 th. 4 hu- ius: & $imiliter de ba$ibus columnæ declarandum. Non erunt ergo il Iæ $uperficies productæ ad terminos $uperficiei columnæ a pparen- tis ui$ui, $ed citra illas: quod e$t contra hypothe$im. Eodem modo quoq; e$t de $peculis pyramidalibus demon$trandũ: & $equitur id\~e impo$sibile, quod prius, per 84 th. 4 huius: quod e$t contra hypothe $im. Patet ergo propo$itum.

3. Cõmunis $ectio omnium $uperficierum à ui$u productarũ, contingentiũ $peculũ columna- re cõuexum, e$t linea tran$iens centrum ui$us æquidi$tanter axi illius $peculi. Alhazen 26 n 4. VITELLONIS OPTICAE

Quod hic proponitur, patet. E$to enim axis $peculi columnaris conuexi h k i: & ba$is $uperior c@ lumnæ circulus f d: cuius centrum $it h: & interior ba$is circulus g e: cuius centrum i: & communis $ectio alicuius $uperficiei reflexiõis & $uperficiei $peculi columna- m f h d b k j p q g i e a ris $it circulus b l: cuius centrum k. Cum itaq; axis h i, qui orthogo nalis e$t $uper ba$es, ut patet per 92 th. 1 huius, $it etiam orthogona lis $uper circulũ b l per 100 & per 23 th. 1 huius: & per eadem $int li- neæ longitudinis columnæ d e & f g orthogonales $uper circulum b l. Superficies ergo contingentes columnã $ecundum illas lineas d e & f g, erectæ erunt $uper circulum b l per 18 p 11: ergo & $uper $u perficiem reflexionis, $ecant\~e columná $ecundũ illum circulum b l: ergo per 19 p 11 cõmunis $ectio illarũ $uperficierum contingentiũ columnã orthogonalis erit $uper illam $uperfici\~e reflexionis. Ergo per 6 p 11 illarũ $uperficierũ cõmunis $ectio æquidi$tans erit axi co lumnæ, qui $uper eandem $uperficiem e$t orthogonaliter erectus. Secant aũt illæ $uperficies $e in centro ui$us: quoniam centrum ui $us in omnibus illis exi$tit, ut patet ex hypothe$i de $uperficiebus planis $peculum propo$itum contingentibus, & de $uperficie refle xionis ex 27 th. 5 huius. Patet ergo propo$itum.

4. Ad quodcũ<005> punctũ $ignatũ in $ugnatũ in $uperficie appar\~ete $pecu li colũnaris uel pyramidalis cõuexi à centro ui$us ducatur linea rect a: illa product a nece$$ariò $peculũ $ecabit. Alhazen 27 h 4.

Sit di$po$itio omnimoda præmi$$æ: $ignetur\’q; in appar\~ete ui$ui portione $peculi, qu{ae} e$t e d f g, punctus q: & producatur linea a q. Dico quò d linea a q {pro}ducta neceffariò $peculũ $ecabit. Produca- tur enim à puncto q linea longitudinis columnæ, quæ fit q m, ք 101 th. 1 huius: hæc itaq; linea erit æquidi$tans ambabus lineis longi- tudinis d e & f g per 92 th. 1 huius, 6 p 11 & 30 p 1. Sit quoq; ut fuper- ficies aliqua reflexionis $ecet columná ultra punctũ q $ecundũ cir- culum b l per 100 th. 1 huius. Linea ergo q m nece$$ariò trá$ibit per circulũ $ectionis, qui e$t b l, $ecás ip$um in pũcto: $it ergo illud pun ctũ p: ducatur\’q linea a p. Hæc ergo, quia caditinter lineas à centro ui$us a ad circulũ b l {pro}ductas il lum cõtingentes, quæ $unt a b & a l, palã quia $ecabit circulum. Ergo etiã $uperficies à centro ui$us ad $peculi $uperficiem proten$a, in qua $unt line{ae} a p & a q, $ecabit $peculũ: quia illa $uperficies $eca bit $uperfici\~e columnaris $peculi $ecundũ lineam longitudinis, quæ e$t m q. Palàm ergo quoniam linea a q {pro}ducta $ecabit $peculũ: eod\~e\’q; modo patet de quolibet a- m f y d z b j s n p t r o g i e a lio dato puncto. In $peculis quoq; pyramidalibus cõuexis eodem modo demon$trandũ, ducta linea à uertice pyramidis ad punctum qu\~ecunq; in illius $peculi $uperficie datũ. Palàm e$t ergo {pro}po$itũ.

5. Omnis $uperficies plana in aliqua linea lõgitudinis $uperfi- ciei apparentis ui$ui $peculi colũnaris uel pyramidalis conuexi, contingens $peculũ, $ecat $uperficies à ui$u productas, quæ cõtin- gunt portionis apparentis extremitates: omnes<006> illæ $uperficies inter ui$um & $peculi $uperfici\~e extenduntur. Alhazen 27 n 4.

Maneat $uperior di$po$itio: cõtingat\’q; aliqua $uքficies plana $u- perfici\~e apparent\~e $peculi $ecundũ lineã lõgitudinis, qu{ae} e$t m o, ք 95 th. 1 huius: ducatur\’q; $uքficies reflexiõis, qu{ae} $it a b l: & in ea {pro} ducatur linea cõting\~es circulũ b l in pũcto p, qu{ae} $it s p t. Palã ergo q <001> linea s p t $ecabit lineas a b & a l. Ducatur enim linea p l. Quia ergo linea s p t $ecat angulũ a p l, patet ք 29 th. 1 huius quoniá ip$a fecabit lineã a l. Similiter ducta linea p b, patet q <001> linea s p $ecabit lineã a b: palá ergo quoniá line{ae} a l & p t cõcurrent. Sed linea p t e$t in $uքficie cõting\~ete columná $ecundũ lineã lõgitudinis m o: linea uerò a l e$t in $uքficie cõting\~ete columnã $ecũdũ lineá lõgitudinis d e, qu{ae} e$t extremitas portionis appar\~etis. Patet ergo {pro}po$itũ pri mum. Sed & o\~es tales $uքficies, qualis e$t $uքficies, in qua e$t linea s t, inter ui$um & $peculi $uքfici\~e extenduntur. Et de $peculi quid\~e $uperficie patet, cũ $int ill{ae} $uperficies cõtingentes ip$am $peculi $u perfici\~e, & nõ $ecantés illá: $ed & patet de cetro ui$us. Sit enim pun ctum n proximũ punctũ $ignabile $ub puncto b, in arcu l b: & ima- ginetur aliqua $uperficies cõtingens $uքfici\~e colũn{ae} in linea lõgitu dinis, in qua $it punctus n: hæc ergo nece$$ariò $ecabit $uքfici\~e refle xionis, qu{ae} e$t a b l: quoniá e$t orthogonalis $uper illã per 18 p 11. Sit itaq; $uperficiei reflexióis, qu{ae} a b l, & dict{ae} $uperficiei cómunis $ectio linea recta, qu{ae} $it n r. Palàm ergo ք pr{ae}mi$$a quoniá linea n r cõtingit circulũ b n in pũcto n: $ed punctũ n demi$sius e$t pũcto b: LIBER SEPTIMVS. ergo cõting\~es linea, qu{ae} n r, erit demi$sior linea cõting\~ete, qu{ae} e$t a b, ք 60 th. 1 huius. Nõ ergo per- tinget linea n r ad punctũ a centrũ ui$us. Eod\~e modo demõ$trandũ in alijs <003> bu$cũq; $uperficiebus taliter cõtingentibus $uperficiem apparentem $peculi columnaris. Similiter quoq; dem on$trandũ e$t de $uperficiebus contingentibus $pecula pyramidalia quæcunq;. Patet ergo propo$itum.

6. Omnis $uperficies reflexionis, in qua $unt linea contingens ba$im $peculi columnaris uel pyramidalis conuexi & linea longitudinis eiu$dem $peculi: idem $peculum $ecũdum lineam $uæ longitudinis nece$$ariò e$t contingens.

Hoc patet per modum 2 huius: quoniam eadem huius & illius e$t demõ$tratio. Sit enim, re$um- pta figura præ cedenti, $uperficies reflexionis g a f, in qua $it linea z f contingens columnam uel py- ramidem in puncto f, & linea longitudinis columnæ uel pyramidis, qu{ae} $it g f. Dico quòd illa $uper- ficies reflexionis continget columnam uel pyramidem. Si enim de- y f d y g i e c tur quòd illa $uperficies columnam uel pyramid\~e $peculi $ecet: tunc & linea z f b a $im illius $peculi $ecabit: quod e$t contra hypothe$im. Palàm ergo propo$itum.

7. Oppo$ito ui$ui $peculo columnari uel pyramidali cõuexo, ita ut centrum ui$us non $it in $uperficie columnæ uel pyramidis, & punctus rei ui$æ $it cum ui$u in eadem $uperficie $peculum $ecun- dum axem $ecante: communis $ectio $uperficiei reflexionis & $u- perficiei apparentis $peculi erit linea longitudinis $peculi: & $i illa communis $ectio $it linea longitudinis, $uperficies reflexion is $ecat $peculum per axem. Alhazen 29 n 4.

Sit $peculum columnare cõuexum, cuius axis $it h i: cuius $uper- ficies apparens ui$ui $it e d f g: $it\’q; a c\~etrum ui$us, & b punctum ui- $um: $ecet\’q; $uperficies reflexionis (in qua per 27 th. 5 huius nece$ $ariò $unt puncta a & b) ip$um $peculum $ecundum axem h i. Dico quod communis $ectio illius $uperficiei reflexionis & $uperficiei e d f g, e$t linea longitudinis $peculi. Quoniam enim per 93 th. 1 huius cõmunis $ectio illius $uperficiei plan{ae} & $uperficiei totius column æ $peculi e$t quadrangulum rectangulum $ub duabus lineis longitu- dinis & duabus diametris ba$ium column{ae} contentum, cum $uper- ficies reflexionis tran$eat per centrum ui$us, cui directè in $peculo opponitur $uperficies apparens ui$ui, per 1 huius: patet quòd com- munis $ectio illarum duarum $uperficierum erit linea una longitu- dinis, quæ e$t unum latus illius rectanguli, quod e$t communis $ectio illius $uperficiei planæ & $u- perficiei totius columnæ. Similiter quoq; patet per 90 th. 1 huius de $peculo pyramidali: quoniam communis $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei conicæ $pecu- m f y d o g i c a li ui$ui apparentis, e$t unum latus illius trigoni (qui e$t communis $ectio huius planæ $uperficiei & totius $uperficiei ip$ius pyramidis $peculi) quod e$t una linearum longitudinis pyramidis. Patet ergo propo$itum.

8. Omnium $uperficierum planarum $uperficiem $peculi colu- mnaris uel pyramidalis conuexi contingentium unica $uper $u- perficiem reftexionis $peculum $ecundũ axem $ecãtem e$t erecta, ut quæ $ecundum communem $ectionem illius $uperficiei & $pecu- li, lineam $cilicet longitudinis, $uperficiem appar\~etem $peculi per æqualia diuidentem, $peculum e$t contingens.

Sit $peculum columnare conuexum, cuius apparens ui$ui $uper- ficies $it e d f g: & axis h i: $it\’q; centrum ui$us punctum a: & commu- nis $ectio $uperficiei reflexionis $peculum $ecundũ axem $ecantis & $peculi $it linea longitudinis, quæ m o, per æqualia diuidens $uper- ficiem e d f g: cõtingant\’q; $uperfici\~e $peculi $uperficies planæ quot- cunq; Dico quòd unica illa, quæ $ecũdum lineam longitudinis m o $peculum contingit, erecta e$t $uper illam $uperficiem reflexionis: & quòd omnes aliæ $uper ip$am $unt obliquatæ. Vtenim patet per 92 th. 1 huius linea m o rectos e$t angulos cõtinens cum $emidiametris ba$ium columnæ, & $imiliter cum $emidiametris omnium circulo- rum ba$ibus illis æ quidi$tantium, $ecantium columnam, ut patet per 100 & per 23 th. 1 huius: palàm quoq; per 96 th. 1 huius quoniam omnes perpendiculares, quæ intra columnam ducibiles $unt $u- per ip$am $uperficiem contingentem $peculum, nece$$ariò tran$- cunt per axem $peculi: omnes uerò illæ perpendiculares cadunt in VITELLONIS OPTICAE $uperficie $peculum $ecundum axem $ecante, Ergo per definitionem illa $uperficies conting\~es e$t erecta$uper $uperfici\~e illam reflexionis. Omnes ergo aliæ $uperficies dictã $uperfici\~e $peculi $ecun- dum alias lineas longitudinum conting\~etes, $uper illam $uperficiem reflexionis $unt obliquæ. Ali- ter enim cum illæ $uperficies conting\~etes $e nece$$ariò inter$ecent: $i ab aliquo puncto lineæ (quæ per 3 p 11 e$t communis $ectio illarum $uperficierum) duæ lineæ in illis $uperfi ciebus contin genti- bus ad $uperficiem reflexionis perducantur, qũarum extremitates in ip$a $upe r$icie reflexionis per lineam tertiam coniungantur: erũt procreati illius trigoni duo an- f y d z c g i e a g guli recti: quod e$t impo$sibile. Non e$t ergo aliqua aliarum $uper- ficierum $peculum conting\~etium $uper illam $uperficiem reflexio- nis erecta: ni$i unica in illa communi $ectione $peculum conting\~es. Et eod\~e modo in $peculis pyramidalibus pote$t demon$tratio for- mari. Patet ergo propo$itum.

9. Oppo$ito ui$ui $peculo columnari conuexo, ita ut ui$us non $it in ip$a $uperficie columnæ, & punctus rei ui$æ $it cum ui$u in eadem $uperficie æquidi$tanti ba$ibus columnæ: communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi erit circulus equidi$tans ba$ibus columnæ. Alhazen 30 n 4.

E$to columnare $peculum cõuexum, cuius axis $it h i: & ba$is $u- perior circulus f d: inferior ba$is circulus g e: & $it centrũ ui$us pũ- ctum a: & punctum rei ui$æ $it b: $it\’q; $peculum directè ui$ui oppo- $itum, ut proponitur. Dico quòd $uperficies reflexionis (quæ $it a b c z) $ecabit $uperficiem propo$iti $peculi taliter, quòd communis $ectio, qu{ae} $it c z, erit circulus æquidi$tãs ba$ibus $peculi. Hoc enim patet ex hypothe$i, & per 100 th. 1 huius: uel etiam hoc modo. Du- cantur enim duæ lineæ productæ à ui$u contingentes $peculũ, quæ $int a z & a c: $int\’q; z & c puncta contingentiæ oppo$ita adinuicem in eadem $uperficie: & ab utroq; illorum pũctorum ducantur lineæ $ecundum longitudinem columnæ, quæ $int d c e & f z g. Et quoniã linea d c e$t æ qualis lineæ f z, & linea c e æ qualis lineæ z g ex hypo- the$i & per 25 th. 1 huius, propter æ quidi$tantiam ba$ium $peculi & $uperficiei reflexionis: palàm quia linea z c (quæ e$t communis $e- ctio $uperficiei reflexionis & $uperficiei & $peculi) {ae}quidi$tabit ar- cubus ba$ium, qui $unt d f & g e. Ductis enim rectis lineis d f, c z, g e, erunt illæ lineæ rectæ æquidi$tantes per 33 p 1: ergo & hæ curuæ, quæ in ei$d\~e $unt $uperficiebus, erunt æquidi$tantes: & $unt circulares: quoniam $unt æ quidi$tantes in ead\~e $uperficie columnari. Patet ergo propo$itum.

10. Oppo$ito ui$ui $peculo columnari uel pyramidali conuexo, it a ut ui$us non $it in $uperficie colũnæ uel pyramidis, $uperficie reflexionis obliquè axi $peculi incidente: communis $ectio $uper- ficiei reflexionis & $peculi erit oxygonia $ectio. Alhazen 31 n 4. f h d g i e b a

E$to, ut in præmi$sis, $peculum columnare uel pyramidale con- uexum, cuius axis $it linea h i: & $uperficies eius apparens ui$ui $it e d f g: $it\’q; centrum ui$us punctum a: & punctus rei ui$æ b: $ecet\’q; $uperficies reflexionis $peculum obliquè trans axem, $cilicet non æ quidi$tanter ba$ibus columnæ. Dico quòd communis $ectio $u- perficiei reflexionis & $uperficiei $peculi ui$ui apparentis e$t pars oxygoniæ $ectionis. Quoniam enim per 103 th. 1 huius patet quòd omnis $uperficiei $ecantis columnam uel pyramidem trans axem non æquidi$tãter ba$ibus & $uperficiei totius pyramidis uel colu- m n æ communem $ectionem circulũ e$$e e$t impo$sibile, uel etiam lineam longitudinis per 7 huius, cum talis $uperficies plana nõ $e- cet pyramidem uel columnam $ecundum axis longitudinem: pa- tet quòd communis $ectio $uperficiei reflexionis (quæ plana e$t) & partis $uperficiei $peculi pyramidalis uel columnaris oppo$itæ ui$ui non poterit e$$e arcus circuli, neq; linea longitudinis. Erit er- go pars $ectionis oxygoni{ae}: quia totam talem $ectionem totius $u- perficiei pyramidalis uel columnaris, & $uperficiei p lanæ $ecantis pyramidem uel columnam diximus oxygoniam $ectionem in 98 th. 1 huius. Patet ergo propo$itum.

11. Communi $ectione $uperficiei reflexionis & $peculi colu- mnaris circulo exi$tente: omnes $uperficies planæ $peculum con- tingentes, $uper $uperficiem reflexionis $unt erectæ. LIBER SEPTIMVS.

Remaneat di$po$itio, quæ præce$sit in 9 huius. Et quia per 95 th. 1 huius omnes planæ $uperfi- cies columnam contingentes, $ecundum lineam longitudinis contingunt, patet per 92 th. 1 huius, cum omnes lineæ longitudinis rectos angulos cum $emidiametris ba$ium contineant, quoniam omnes $uper illas ba$es $unt erectæ. Ergo per 100 & 23 th. 1 huius illæ lineæ omnes $unt erectæ $u- per circulum æquidi$tantem ba$ibus columnæ. Hic autem e$t circulus (qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi per 9 huius.) Ergo per definitionem $uperficierum erectarum $u- per $uperficies, omnes illæ $uperficies contingentes columnam, $uper præfatam $uperficiem refle- xionis eriguntur. Quod e$t propo$itum.

12. Communem $ectionem $uperficiei reflexionis & $peculi pyramidalis conuexi circulum impo{$s}ibile e$t e$$e. Alhazen 41 n 4. Item 50 n 5.

Sit pyramidale $peculum conuexum a b c: cuius uertex a: diameter ba$is b c: $it\’q; axis $peculi li- nea a d: e$t ergo per 89 th. 1 huius punctum d centrum ba$is: $it\’q; centrum ui$us e: & punctus rei ui- $æ $it f. Dico quod forma puncti f non pote$t reflecti ad ui$um e ab aliquo puncto $peculi propo$iti, ita ut communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $it circulus. a f m h k g n e b d e Si enim hoc $it po$sibile: e$to quòd reflectatur forma puncti f ad ui- $um e à puncto $peculi g: $it\’q; circulus g h communis $ectio $uper- ficiei reflexionis & $peculi: cuius centrum $it k: erit\’q; per 100 th. 1 huius circulus g h æ quidi$tans ba$i b c. Producatur ergo à puncto g extra $peculum linea g m perpendiculariter $uper $uperficiem con- tingentem pyramidem in puncto g per 12 p 11. Quia uerò $uperficies ba$is non e$t orthogonalis $uper $uperficiem contingentem pyra- midem in puncto g: ideo quòd omnis $uperficies contingens pyra- midem $ecundum lineam longitudinis e$t contingens, ut patet per 95 th. 1 huius, & linea longitudinis obliquè $uper$tat $uperficiei ba- $is: palàm quòd $uperficies circuli h g {ae} quidi$tantis ba$i, non e$t or- thogonalis $uper $uperficiem $peculum contingentem in puncto g. Producta ergo linea perpendiculari, quæ e$t g m, intra pyramidem: palàm quòd ip$a non pertinget ad centrum circuli, quod e$t k, $ed cadet $ub illo in alio puncto axis, qui $it punctus n: & continebit li- nea m g n acutum angulum cum axe uer$us punctum uerticis, $cili- cet angulum g n a, qui nece$$ariò e$t acutus per 32 p 1, ideo quò d an- gulus g k n e$t rectus per 29 p 1: cum angulus a d c $it rectus. Et quo- niam, ut patet per 27 th. 5 huius, punctum m, qui e$t terminus lineæ perpendicularis $uper $uperficiem $peculi (quæ perpendicularis e$t linea n g m) in $uperficie refle- xionis con$i$tere e$t nece$$e: linea ergo h k g non e$t in illa $uperficie. Palàm ergo quòd form{ae} pun- cti f ad ui$um e non fiet reflexio à puncto $peculi g, ut à puncto circuli. Si enim fieret reflexio à pun- cto g, ut à puncto circuli g h: oporteret nece$$ariò $uperficiem circuli g h perpendicularem e$$e $u- per $uperficiem planam contingentem $peculum in puncto g, & perpendicularem m g produci ad centrum circuli k: quod e$t impo$sibile per præmi$$a. Patet ergo propo$itum.

13. Oppo$ito ui$ui $peculo pyramidali conuexo, it a ut ui$us non $it in $uperficie pyramidis aut ei continua, punctus<006> rei ui$æ $it cum centro ui$us in eadem $uperficie æquidi$tante ba$i pyra- midis: impo{$s}ibile e$t reflexionem fieri ad ui$um.

Exi$tente enim tali di$po$itione centri ui$us & puncti rei ui$æ, re$pectu $peculi pyramidalis con- uexi, ut proponitur: palàm per 100 th. 1 huius, cum $uperficies reflexionis $it $uperficies plana, quia communis $ectio $ui & $uperficiei conicæ $peculi e$t circulus. Patet ergo propo$itum per præmi$- $am. E$t enim in illa o$ten$um impo$sibile e$$e, ut communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi pyramidalis conuexi $it circulus. Quia $i $ectio illa communis e$$et circulus, e$$et ip$a per 100 th. 1 huius æquidi$tãs ba$i $peculi, & e$$et $uperficies illius circuli in $uperficie reflexionis. Et quia axis a d e$t perpendicularis $uper illum circulum per 23 th. 1 huius: erunt lineæ longitudinis pyramidis declinatæ $uper illum circulum angulos acutos continentes cum diametris ba$is: & ita e$$ent illæ lineæ obliquæ $uper $uperficiem reflexionis. Ergo in illa $uperficie non po$$et duci perpendicula- ris $uper lineam longitudinis: $ed per 27 th. 5 huius perpendicularis ducta $uper $uperficiem con- tingentem $peculum $ecundum punctum reflexionis, e$t in $uperficie reflexionis & perpendicula- ris $uper lineam longitudinis: cum quælibet $uperficies conting\~es pyramidem, contingat illam $e- cundum lineam longitudinis. Ergo nunquam fiet reflexio ad ui$um in h o c $itu $ormæ alicuius pũ- ctorum rei ui$æ, $uperficie reflexionis $peculum pyramidale, ut pyramidale, contingente. Si uerò $uperficies, in qua e$t linea contingens $peculi circulum, $ecundum aliquod punctum illius circuli $ecet $uperficiem $peculi: tunc e$t po$sibile ab his $peculis, & ab illo puncto circuli reflexionem fie- ri, non ut à $peculis pyramidalibus, $ed in quantum ip$orum cõuexa $uperficies communicat cum $peculis $phæricis uel columnaribus conuexis, quorum pa$siones declarauimus in præmi$sis: nec tunc hæc pa$sio ad proprietatem $peculorum pyramidalium accedit. Patet ergo propo$itum.

VITELLONIS OPTICAE 14. Superficierum reflexionis (quarum communis $ectio cum $uperficie $peculi pyramidalis e$t linea recta) $ecundum diuer$as ui$us $ituationes quando<005> $olùm unam, quando<005> plurimas ad eundem ui$um po{$s}ibile e$t applicari.

Quocunq; enim modo ui$u taliter di$po$ito, ut minus medietate $uperficiei conicæ pyramidis uideatur per 84 th. 4 huius: tunc $olùm unica $uperficies reflexionis tran$it perui$um, cuius com- munis $ectio cũ $uperficie pyramidis $it linea longitudinis: quoniam unica tunc tran$ibit per axem pyramidis. O$ten$um e$t enim per 7 huius quoniam in omni $uperficie reflexionis factæ à $peculis pyramidalibus (quãdo communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $uerit linea longitudinis $peculi) nece$$e e$t e$$e axem $peculi. Taliter uerò di$po$ito ui$u, ut tota pyramis uideatur per 92 th. 4 huius, nõ $olùm plures, $ed etiam in$initæ $uperficies reflexionum (quarum communis $ectio e$t linea longitudinis) ut proponitur, po$$unt ad oculum applicari: quoniam tunc centrum ui$us omnibus lineis longitudinis totius $peculi e$t commune: & omnes $e æ qualiter habent ad ui$um. Cum enim radius ui$ualis continuus fuerit axi pyramidis: tota pyramis uidetur per 92 th. 4 huius. In qualibet ergo $uperficie reflexionis $it totus axis & linea perpendicularis $uper $peculi $uperfi- ciem, a d axem tran$iens à puncto reflexionis: erit\’q; cuiuslibet $uperficiei reflexionis, & $uperficiei pyramidalis $peculi $ectio linea longitudinis in hoc $itu: quoniam quælibet $uperficies, in qua e$t totus axis, communem habet lineam longitudinis illius pyramidis cum $uperficie pyramidis per 90 th. 1 huius. Patet ergo propo$itum.

15. Omnis $uperficies reflexionis (cuius communis $ectio & $uper$iciei $peculi columnaris uel pyramidalis conuexi e$t linea longitudinis $peculi) per æqualiæ diuidit $uperficiem $peculi apparentem. p y d m g x j s p t g i e o a

E$to $peculum columnare conuexũ, cuius apparens $uperficies ui$ui $it e d f g: & axis h i: & $it c\~etrum ui$us a, ut prius in præmi$sis. Patet itaq; per 7 huius quoniã $uperficies reflexionis taliter $ecans $peculum columnare uel pyramidale, $ecat ip$um $ecundum axis h i longitudinem. Sit autem linea longitudinis, $ecundum quam illa $uperficies reflexionis $ecat $peculum, linea m o. Dico quòd linea m o per æqualia diuidit $uperficiem $peculi e d f g ui$ui appar\~etem. Patet enim per 25 th. 5 huius quòd illa $uperficies reflexionis e$t orthogonalis $uper $uperficiem contingentem columnam in linea m o. Si ergo in linea m o $ignetur punctum p: & ducatur linea a p: & â puncto p ducàtur linea t p s in $uperficie $peculum contingente, taliter ut linea s p t contingat quendam circulum columnæ æqui- di$tantem ba$ibus, qui $it b l: erit linea a p perpendicularis $uper li- neam t p s: quoniam ducitur in $uperficie $uper illam $uperficiem erecta: ergo per 19 p 3 linea a p producta tran$it centrum circuli b l, quod $it x. Ducantur\’q; lineæ a b & a l, quæ $unt æ quales per 58 th. 1 huius: copulentur quoq; $emidiametri x b & x l. Erunt ergo trigoni a b x & a l x æ quianguli per 8 p 1: & erit angulus p a l æ qualis angu- l o p a b: ergo per 58 th. 1 huius linea a p diuiditarcũ l p b per æ qua- lia in puncto p: $ed arcus l p b e$t æ quidi$tans ba$ibus columnæ. Li- n e æ quoq; rectæ terminantes $uperficiem $peculi ui$ui appar\~etem æ quidi$tant line{ae} m o: quod patet per 92 th. 1 huius, & per 28 p 1. Li- nea ita q; m o diuidet per æ qualia ba$es columnæ: e$t autem linea m o in $uperficie reflexionis. Palàm ergo quòd illa $uperficies refle- xionis diuidit $uperficiem $peculi apparentem ui$ui per æqualia. Et quoniam in $peculo pyramidali $iue unica $ine plurimæ $int illæ $uperficies reflexionis, ut patet per præmi$$am, $emper ead\~e e$t demõ$tratio. Patet ergo propo$itũ.

16. Omnium $uperficierum reflexionum ab eodem $peculo columnari cõuexo ad eundem ui- g y f l r k h p a c l d $um factarum unicà e$t, cuius cõmunis $e- ctio & $uperficiei $pe- culie$t linea lõgitudi- nis illius $peculi. Al- hazen 29 n 4.

Sit di$po$itio figuræ eadem, quæ in præce- dente. Et quia nunquã cõmunis $ectio $uper- ficiei reflexionis & $pe culi propo$iti e$t linea longitudinis $peculi, ni$i $olùm $uperficie reflexionis columnam per axem $ecante per 7 huius: in hoc autem $itu $uperficies reflexionis (quæ e$t a h i) $ecat $uperficiem e d f g LIBER SEPTIMVS. apparentem ui$ui per duo æqualia, ut patet per præmi$$am huius, & $uperficies tran$iens per axem hi, e$t unica: patet quòd huius $olius & $uperficiei $peculi communis $ectio e$t linea longitudinis $peculi. Si autem dicatur quòd & alia $uperficies reflexionis e$t, cuius communis $ectio & $uperfi- ciei $peculi e$t linea longitudinis $peculi: ergo per 7 huius illa $uperficies $ecat $peculum $ecũdum axem h i. Ducatur ergo in illa $uperficie linea à centro ui$us ad axem h i, quæ $it a r k: & ducatur in propo$ita $uperficie reflexionis $uperfici\~e apparent\~e $peculi per æ qualia $ecante, linea a p k. Palàm ergo quòd i$tæ du{ae} rectæ includ\~et $uperfici\~e: quod e$t impo$sibile. Patet ergo {pro}po$itũ. Vnica enim pote$t imaginari $uperficies, in qua $intaxis colũnæ & centrũ ui$us & pũctus rei ui$æ, & nõ plures.

17. Omnium $uper$icierum reflexionum ab eodem $perculo columnari cõuexo ad eundem ui- $um factarum unica e$t, cuius communis $ectio & $uperficiei $peculi e$t circulus æquidi$tans ba- $ibus columnæ. Alhazen 30 n 4.

Sit di$po$itio, quæ $uprà, ita ut cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi columnaris con- uexi $it circulus. Quia ergo in omni tali $uperficie reflexionis linea f y d b k t p x r z y g i e a perpendiculariter erecta $uper $uperficiem conting\~etem $peculum in puncto reflexionis, e$t diameter circuli ba$ibus column{ae} æquidi- $tantis: & non pote$t e$$e in $uperficie columnæ, ni$i unus circulus æ quidi$tans ba$ibus columnæ, qui cum centro ui$us $it in ead\~e $u perficie: palàm quia omnium $uperficierum reflexionum ab eodem $peculo columnari cõuexo ad eund\~e ui$um factarũ unica e$t, cuius communis $ectio & $uperficiei $peculi e$t circulus æquidi$tãs ba$i- bus column{ae}. Si enim dicatur quòd $int plures: $it communis $ectio unius illarum $uperficierũ & $uperficiei $peculi linea circularis, qu{ae} $it b p t: alterius uerò x y z: puncta quoq;, in quibus axi column{ae} in cidunt centra illorum circulorum $int k & r: & producantur lineæ a k & a r à c\~etro ui$us ad illa puncta. Palàm ergo propter æ quidi$tan- tiam ba$ium ad i$tas, quoniã in trigono a k r duo anguli ad ba$im k r $unt recti: linea enim k r, cũ $it pars lineæ h i axis columnæ, $icut e$t e recta $uper ba$es colũnæ per 92 th. 1 huius: ita & $uper $uperficies circulorum illis ba$ibus æquidi$tãtium per 23 th. 1 huius. Ergo & $u- per diametros illorũ circulorum e$t perpendicularis: $unt aut\~e illæ diametri in lineis a k & a r. Lineà ergo k r e$t perpendicularis $uper ambas lineas a k & a r: quod e$t impo$sibile. Patet ergo propo$itũ.

18. Superficierum reflexionis (quarum communis $ectio cum $uperficie $peculi colũnaris uel pyramidalis conuexi e$t $ectio oxy- gonia) plures ab eadem portione appar\~ete $peculi ad eundem ui- $um e$t po$sibile applicari. Alhazen 31. n 4.

Fiat ordinatio figuræ, quæ $uprà in 15 huius: $it\’q; cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis tran$euntis per axem h i, linea m o: & cõmu- nis $ectio $uperficiei reflexionis æ quidi$tantis axibus column{ae} cir- culus b p l. Palàm ex præhabitis, quon am ab omnibus punctis $uperficiei columnaris m p b & m p l pote$t fieri reflexio ad ui$um a $ecundũ partes $ectionis columnaris. Quia enim ad quodlibet illo- rum punctorum pote$t aliquis punctus rerum ui$arum incidere: patet quòd à quolibet illorũ pun- ctorum fieri pote$t reflexio ad ui$um per 1 th. huius. Manife$tum e$t ergo quòd partes illarũ $ectio- num columnarium uel pyramidalium po$$unt e$$e infinitæ, quarum quælibet $ecundum eandem lineam perpendicularem $uper axem $ecat columnam uel pyramidem $peculi, ut patet per 104 th. 1 huius. Patet ergo propo$itum.

19. Linea longitudinis exi$tente cõmuni $ectione $uperficiei reflexionis & $peculi columna- d q f l y o m e d ris uel pyramidalis cõ- uexi: à quocun<005> pun- ctorum illius lineæ fiat reflexio ad ui$um, $em- per fit in ead\~e $uperfi- cie. Alhaz 32. 42 n 4.

Signata, ut in pr{ae}mi$- $a 15 huius, $uperficie re flexionis tali, ut propo- nitur, quæ $ecet $uper- ficiem $peculi $ecũdum lineam m o. Dico quòd à quocunq; puncto illius lineæ fiat reflexio ad ui$um: $emper omnes lineæ reflexionis erunt in eadem $uperficie a m o. Quoniam enim in $uperficie a m o e$t per 7 huius axis h i: & unica $uperficies contingens $peculum in illa linea m o, erecta e$t $uper $uperficiem VITELLONIS OPTICAE reflexionis, ut patet per 8 huius: palàm quia quocunq; pũcto in illa linea m o $umpto, perpendicu- laris ab eo ad axem h i ducta, $emper erit in ead\~e $uperficie cũ axe h i: & erit illa linea orthogonalis $uper $uperficiem conting\~etem $uperficiem columnæ $ecundũ illam lineam m o: quia per 18 p 3 illa linea à puncto contactus ad centrũ circuli ducta e$t perpendicularis $uper lineã, contingentem cir- culum ductã in $uperficie columnã contingente. Superficies ergo m o h i e$t erecta $uper $uperfici\~e in linea m o $peculum contin gentem: $ed centrũ ui$us e$t in $uperficie orthogonali $uper eand\~e $u- perficiem: quoniã in $uperficie una e$t c\~etrum ui$us & linea m o & f h d m b k t p g i e o a axis $peculi h i, ut patet per præmi$$a: una $ola autem $uperficies e$t orthogonalis $uper illam $uperficiem contingentem $ecundum li- neam m o: quoniam dato oppo$ito, contingeret duas lineas $uper pũctum unum ad $uperficiem unam orthogonaliter in$i$tere, quod e$t impo$sibile per 13 p 11. Omnes ergo reflexiones à punctis lineæ m o factæ $unt in una & eadem $uperficie. Quod e$t propo$itum.

20. Sectione communi $uperficiei reflexionis & $peculi colu- mnaris conuexi, exi$t\~ete circulo: à quocun<005> puncto illius circuli fiat reflexio, $emper fit in eadem $uperficie. Alhazen 32 n 4.

Fiat figuratio utin 17 huius: & $ignetur quodcũq; punctum pla- cuerit in circulo b p t: palàm quoniam $emper $emidiameter illius circuli ducta à puncto k centro illius circuli b p t erit perp\~edicula- ris $uper $uperficiem contingentem $peculum in illo puncto refle- xionis dato: erit ergo quælibet talium perpendicularium producta extrà $uper $uperficiem contingentem columnam in eadem $uper- ficie con$i$tens tota per 1 p 11: e$t autem illa $uperficies educta extra colum nam $uperficies reflexionis. Quia ergo quæ libet talium per- pendicularium e$t in $uperficie illius circuli, & pũctum ui$us, quod e$t a, $imiliter e$t in ead em $uperficie. In hac ergo $ola $uperficie erit reflexio cuiu$cunq; puncti rei ui$æ facta à quolibet punctorum to- tius illius circuli uel portionis $uæ ui$æ. Quod e$t propo$itum.

21. Omnis perpendicularis à puncto reflexionis $uper $peculi columnaris conuexam $uperficiem erecta, producta intra $pecu- lum e$t diameter cir culi æquidi$tantis ba$ibus columnæ: & econ- uer$o. Alhazen 34 n 4.

Sit di$po$itio figuræ, ut prius: $it\’q; punctum reflexionis p, $iue communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $it linea longitudinis uel circulus uel $ectio colu- mnaris: & à puncto p ducatur linea perpendicularis $uper $uperfi- f h d m u b k l s p t g i e o q z ciem contin gentem $peculum in eodem puncto p: quæ $it p q. Dico $i linea p q intelligatur produci intra $peculum, quòd ip$a cadet in punctum k, quod e$t centrum circuli b p l: & erit diameter illius cir- culi. Quia $i detur, quòd non: cum con$tet per 18 p 3 diametrum k p perpendicularem e$$e $uper lineam s t contingentem circulum b p l in puncto p, & ex con$equen ti $uper $uperficiem in illo puncto con- tingentem columnam, in qua per 6 huius e$t linea s t: cum etiam li- nea q p $it perpendicularis $uper eandem lineam & $uperficiem in eodem puncto $peculum contingentem: palàm quòd erunt hæ duæ perpendiculares q p & k p coniunctæ in puncto p linea una per 14 p 1: ambæ enim illæ lineæ exeunt ab uno puncto p lineæ s p, & con- tinet qu{ae}libet ip$arum angulum rectum cum eadem: & danti oppo- $itum etiam accidit ex eodem puncto p $uperficiei conting\~etis duas erigi perpendiculares $uper illam $uperficiem, quod e$t contra 13 p 11. Producta enim diametro k p extra $peculum, $i ip$a non pertin- gat ad punctum q: $it, ut ip$a pertingat ad pũctum z extra $peculum $uper $uperficiem contingentem: accidet ergo ip$am p z & perpen dicularem q p $uper eandem $uperficiem ad idem punctum p pro- ductas perpendiculares e$$e: quod e$t impo{$s}sibile. Patet ergo pro- po$itum primum. Conuer$a quoq; patet per eundem modum.

22. Superficiei reflexionis & $peculi columnaris conuexi com- muni $ectione quacun<005> linea exi$tente: formæ eiu$dem puncti rei ui$æ non fit reflexio ad ui$um eundem, ni$i ab uno tantùm illius $ectionis puncto. Alhazen 33 n 4.

Communi enim $ectione $uperficiei reflexionis & $peculorum propo$itorum exi$tente linea recta per 7 huius: tunc non fiet refle- LIBER SEPTIMVS. xio, ni$i ab uno tantùm puncto illius lineæ, $icut de $peculis planis o$ten$um e$t per 45 th. 5 huius. Si uerò communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi columnaris fuerit circulus, ut patet per 9 huius: tunc ab uno tantùm puncto illius circulifiet reflexio, quemadmo dum in $peculis $phæricis conuexis o$ten$um e$t per 16 th. 6 huius. Si uerò illa communis $ectio fuerit oxygonia, ut patet per 10 huius: tunc e$t hoc propo$itum in $peculis propo$itis $pecialiter demon$trandum. Fiat ergo di$- po$itio figuræ, ut in præmi$$a proxima: $it\’q; pars colũnaris $ectionis linea, quæ e$t p u. Dico quòd ab uno tantùm puncto lineæ p u fiet reflexio ad ui$um in illa $uperficie. Dato enim quocumq; pun- cto alio, palàm quoniam perpendicularis ab illo puncto reflexionis erecta $uper $uperficiem colu- mnæ, orthogonalis e$t $uper lineam longitudinis columnæ perillum punctum tran$euntis: quare & $uper axem perpendicularis erit per 29 p 1: & erit illa perpendicularis, diameter circuli æquidi- $tantis ba$ibus $peculi per præmi$$am. Et $uperficies reflexionis & circulus ille $ecant $e, & linea eis communis e$t diameter illius circuli per 104 th. 1 huius: & diameter illa e$t perpendicularis $uper $uperficiem $peculum in illo puncto contingentem: & $uperficies reflexionis e$t $ecãs illam lineam longitudinis columnæ, $uper quam fit contingentia: & e$t declinata $uper eam: ergo & $uper axem erit illa $uperficies reflexionis declinata. Sed in $uperficie plana $uper aliquã lineam declinata (ut $pecualiter patet de $ectione oxygonia per 112 th. 1 huius) non pote$t intelligi ni$i una linea ortho- gonaliter cadens in ip$am lineam uelin ip$um axem: quoniam linea terminans illam $uperficiem, in uno tantùm puncto $ecat illam lineam, $uper quam $uperficies declinatur: ab uno itaq; puncto tantùm illius $ectionis fiet reflexio. Si enim à duobus punctis illius $ectionis daretur fieri reflexio ad eundem ui$um: $equeretur quòd in eadem $uperficie illius reflexionis e$$ent du{ae} lineæ illius $u- perficiei orthogonales $uper axem columnæ: quod e$$e non pote$t, cum illa $uperficies $it declina- ta $uper ip$um axem. Perpendicularis enlm ducta à puncto reflexionis, cadit in circulum æquidi- $tantem ba$ibus columnæ in punctum axis: & e$t communis $ectio $uperficiei circuli & huius $u- perficiei reflexionis per 104 th. 1 huius. Si itaq; fieret reflexio etiam ab alio puncto: tunc it\~e perpen- dicularis ducta à puncto illo reflexionis, e$$et per proximam propo$itionem diameter alterius cir- culi illi primo circulo æquidi$tantis, & caderet in punctum axis, in quod nõ cadit $uperficies refle- xionis. In omnibus ergo his reflexionum $uperficiebus ab uno tantum puncto lineæ communis fit reflexio in eadem $uperficie, re$pectu eiu$dem ui$us: quamuis re$pectu duorum ui$uum po$sit fieri reflexio à duobus púctis $uperficiei $peculi, ut à duobus diametri circuli terminis, quæ e$t perpen- dicularis $uper ip$am $ectionem: ita tamen $i diameter illa $it æqualis diftantiæ oculorum, uel mi- nor, non aliter: ad unum uerò ui$um hæc fieri non pote$t: quoniã ab illo $emper uidetur minus me- dietate columnæ $peculi per 78 th. 4 huius. Patet ergo propo$itum: quod nos demũ particularius pro$equemur, o$tend\~etes quòd in his $peculis quacunq; linea communi $ectione $uperficiei refle- xionis & $peculi exiftentc, ab uno tantum puncto totius $peculi fiet reflexio ad ui$um.

23. Linea ui$a non exi$tente in eadem $uperficie, in qua e$t centrum ui$us & axis $peculi co- lumnaris uel pyramidalis cõuexi, $i linea ui$a re$pectu ba$is $peculi $uerit altior uel ba{$s}ior cen- tro ui$us, $iue reflexio fiat à linea longitudinis $peculi $iue à circulo: $emper fiet $ecundum oxy- gonias $ectiones $uperficiem $peculi $ecundum pun- ct a illarum linearum continua $ecantes. a d s f h f h b e g c b c

Sit linea ui$a $iue $it recta $iue curua, quæ b c: & $it centrum ui$us a: $it\’q; axis $peculi columnaris uel py- ramidalis cóuexi d e: ducantur\’q; lineæ a d & a e con- tinentes cum axe d e trigonum a d e, in cuius $uperfi- cie non $it linea b c, $ed extra illã; $iue $ecet trigonum a d e, $iue non. Secet ip$um: fiat\’q; lineæ b c reflexio ad ui$um a à $uperficie $peculi propo$iti. Palàm autem quòd ab uno puncto $peculi tota linea b c ad ui$um a reflecti non pote$t per 29 th. 5 huius. Dico quòd $i li- nea b c reflectatur ad ui$um a à linea lõgitudinis $pe- culi, quæ $it s g (ut $i linea b c æquidi$tet axi d e, & $u- perficies, in qua e$t linea b c, $ecet $peculum trans axem orthogonaliter $uper ba$im $peculi: $ecet\’q; $u- perficiem, in qua $unt centrũ ui$us & axis $peculi, qui e$t d e, ita quòd communis $ectio illarum $uperficie- rum $it axis d e) fiet tamen reflexiò ad ui$um $ecun- dum oxygonias $ectiones, quamuis fiat à linea lon- gitudinis $peculi, quæ e$t s g. Palàm enim per 27 th. 5 huius quoniam in omni $uperficie reflexionis opor- tet ut $it c\~etrum ui$us, & punctus, cuius forma refle- ctitur ad ui$um, & punctus $peculi, qui e$t punctus reflexionis. Sit ergo, ut punctus b reflectatur ad ui$um a à puncto $peculi f: & punctus c à puncto h. Et ducantur lineæ a f, b f, a h, c h. Quià itaq; punctus b lineæ b c non e$t in $uperficie a d e ex hypo- the$i: patet quòd $uperficies $uæ reflexionis, quæ e$t a f b, $ecat $uperficiem a d e $uper punctum a, VITELLONIS OPTICAE & $uper punctum $peculi f: $ecat ergo ip$am $ecundum lineam a f: & $ecat $peculum trans axem d e. non autem æquidi$tat ba$i ex hypothe$i: quoniam illa linea ui$a, quæ b c, non e$t in $uperficie a d e, $ed extra illam. Superficies ergo b f a, quæ e$t $uperficies reflexionis, tran$uer$aliter $ecat axem d e: quoniam linea ui$a e$t altior uel ba$sior centro ui$us ex hypothe$i. Communis ergo $ection $uperfi- ciei reflexionis & $peculi per 10 huius e$t oxygonia $ectio. Similiter\’q; e$t de puncto c, & quolibet medio puncto lineæ b c. Licet itaq; omnia puncta lineæ b c reflectantur ad centrum ui$us a à linea longitudinis $peculi: cuiuslibet tamen puncti reflexio ad ui$um fiet $ecundum oxygoniam $ectio- nem. Similiter\’q; demon$trandum, $i $uperficies incid\~etiæ lineæ b c orthogonaliter $ecet axem $pe- culi, & $uperficiem a d e: tunc enim communis $ectio $uperficiei incidentiæ lineæ b c & $uperficiei $peculi fiet circulus æquidi$tans ba$i $peculi per 100 th. 1 huius. Vnde $i fiat reflexio ad ui$um, fiet ab arcu circuli æquidi$tantis ba$i $peculi: quælibet tamen $uperficies reflexionis tran$iens centrum ui$us $ecabit obliquè axem $peculi $ecũdum aliquod punctum illius arcus. Licet itaq; omnia pun- cta lineæ b c reflectantur ad ui$um a ab arcu circuli $peculi: fit tamen cniuslibet puncti illius lineæ reflexio $ecundum oxygoniam $ectionem. Si tam\~e aliquis punctorum lineæ b c $uerit cum centro ui$us in eadem $uperficie æquidi$tanter ba$i $peculum $ecante: illius $olius reflexio fiet $ecundum circulum, aliorum uerò omnium punctorum reflexio fiet $ecundũ oxygonias $ectiones: & $ic pun- cta illius lineæ diuer$as afferent ui$ui pa$siones. Patet ergo propo$itum.

24. In omni $uperficie re$lexionis à $peculis columnaribus uel pyramidalibus conuexis, cen- trum ui$us: punctum ui$um: punctum reflexionis: punctum axis, in quem cadit perpendicula- ris ducta à puncto reflexionis $uper $uperficiem $peculi, con$i$tere e$t nece$$e. Alhaz. 23. 34 n 4.

Quòd centrum ui$us: & punctum reflexionis: & punctum reflexum $intin $uperficie reflexionis patet per 27 th. 5 huius. In omni enim $uperficie reflexionis nece$$ariò $unt linea incidentiæ & re- flexionis, quæ continent tria puncta prædicta. Et $i $uper$icies reflexionis $ecet $peculum $ecũdum lineam $uæ longitudinis: palàm per 7 huius quòd totus axis & punctum, in quod cadit perpendi- cularis à puncto reflexionis ducta, $unt in hac $uperficie. Si uero communis $ectio $uperficiei refle- xionis & $peculi $it circulus: palàm quia centrum illius circuli, qui e$t punctus axis, ad quem per 21 huius omnes perpendiculares à puncto reflexionis totius circuli productæ concurrunt, e$t in $u- perficie reflexionis: quoniam tunc totus circulus e$t in $uperficie reflexionis. Siautem communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $it $ectio oxygonia: palàm per 10 huius quia hæc $ectio de- clinis e$t $uper axem columnæ, inter$ecans axem in puncto, cui incidit perpendicularis producta à puncto reflexionis $uper $uperficiem contingentem columnam in pũcto $ectionis. Patet ergo pro- po$itum $ecundum omnem diuer$itatem dictarum $ectionum.

25. In $uperficie apparente $peculi columnaris conuexi $iue communis $ectio $uperficiei refle- xionis & $peculi $it linea longitudinis $peculi, $iue circulus, $iue oxygonia $ectio: à quolibet pun- cto pote$t fieri reflexio adui$um. Alhazen 28 n 4.

Signentur termini appar\~etis portionis colũnæ, ut prius: & $it illa portio d e f g: & $it p punctus datus in $uperficie illa appar\~ete: $it\’q: x punctus rei ui$æ. Dico quòd à puncto p pote$t fieri reflexio formæ puncti x ad centrum ui$us, quod $it a. Sit enim primò, ut $uperficies reflexionis (in qua $unt punctus ui$us, qui e$t x, & centrum ui$us a, & punctus, à quo $it reflexio, qui e$t p) $ecet columnam $peculi $ecũdum axem h k i: erit ergo per 7 huius communis $ectio illius $uperficiei & $peculi linea longitudinis columnæ, quæ $it m p n. Ducatur itaq; linea x p: & à puncto p erigatur linea perpendi- cularis $uper lineam m n per 11 p 1, quæ $it p z: & $uper punctum p terminum lineæ z p $iat angulus æqualis angulo x p z, qui $it z p q. Si itaq; centrum ui$us, quod e$t a, $uerit in linea p q, palàm per 20 th. 5 huius, cum angulus incidentiæ $it æqualis angulo reflexionis, quoniam à puncto p fiet reflexio formæ puncti x ad ui$um a exi$tentem in linea p q. Quòd $i $uper$icies reflexionis $ecet columnam $peculi æquidiftanter ba$ibus: palàm quia communis $ectio erit circulus per 9 huius; fiet\’q; iterum à puncto p reflexio ad ui$um. Ducatur enim per 102 th. 1 huius circulus æquidi$tans ba$ibus colu- mnæ, tran$iens per punctum p, qui $it b p l: cuius centrum $it k: in cuius $uperficie exten$a extra $pe- culum $i fuerit punctum ui$um, & ducatur linea x p, quæ producta $i tran$eat centrum circuli k: pa- làm, cum axis columnæ h k i $it orthogonalis $uper $uperficiem Illius circuli, $icut & $uper ba$es co- lumnæ per 100 & 23 th. 1 huius, quoniam & ip$e axis h k i orthogonalis erit $uper lineam x p: ergo & linea longitudinis columnæ (quæ e$t m p) erit orthogonalis $uper lineam x p per 29 p 1. Reflectetur ergo per 21 th. 5 huius linea x p in $eip$am, & in ea exi$tente ui$u $orma pũcti x ui$ui occurret. Si ue- rò linea x p producta non tran$eat centrum circuli k, $ed obliquetur ab illo: tunc copuletur $emi- diameter, quæ k p, quæ, ut patet ex pr{ae}mi$sis, erit orthogonalis $uper ax\~e h i: erit ergo linea k p per- pendicularis $uper lineam longitudinis, quæ e$t m p per 29 p 1: erit ergo k p perpendicularis $uper $uperficiem contingentem columnam $ecundũ lineam longitudinis m p: in qua ducatur linea con- tingens circulum b p line puncto p, quæ $it s p t: educatur\’q; linea k p perpendiculariter $uper illam $uperfioiem in punctum u: $it\’q;, ut prius, centrum ui$us, quod e$t a, in linea q p in eadem $uperficie eirculi. Et quoniam in illa $uperficie circulum contingente e$t linea s t, erit angulus k p t rectus: ergo & angulus s p u e$t rectus per 15 p 1. Palàm ergo quia angulus a p s e$t minor recto: ergo e$t LIBER SEPTIMVS. acutus: ergo per 13 p 1 angulus a p t e$t obtu$us: re$cindatur ergo ab angulo u p t recto angulus æqualis angulo a p u per 27 th. 1 huius. Si ergo linea x x f h d m b k l t z s p u g i e n a q p illum angulum contineat: palàm per 20 th. 5 huius quoniam à pũcto p reflectetur forma pũcti x ad pun- ctum a centrum ui$us. Quòd $i linea x p illum angulũ non contineat: tunc, ut prius, $uper punctum p termi- num line{ae} u p fiat angulus {ae}qualis angulo x p u per 23 p 1. In linea quoq; illum angulum continente po$ito centro ui$us a, patet propo$itum, ut prius. Et quoniã perpendicularis k p u e$t cum puncto a in eadem $u- perficie per præmi$$am, erit linea a p in eadem $uper- ficie cum linea x p: & erit hæc $uperficies ip$a $uperfi- cies reflexionis & orthogonalis $uper $uperfici\~e $pe- culum contingentem $ecundũ lineam m n: quoniam perp\~edicularis p u (quæ e$t in $uperficie reflexionis) erecta e$t $uper $uperficiem $ecundũ lineam m n $pe- culum contingentem: & e$t in ea circulus b p l æqui- di$tans ba$ibus columnæ. Et $imiliter pote$t demon- $trari de alijs punctis datis in dicta $uperficie $peculi. Idem quoq; patet$i cõmunis $ectio $uperficiei refle- xionis & $peculi colũnaris $uerit $ectio oxygonia per 10 huius: quoniam, ut o$tendimus in 21 huius, patet quò d $emper perp\~edicularis ducta à pũcto reflexio- nis cadit in aliquod punctum axis, & e$t $emidiame- ter circuli cuiu$dam $ecãtis $uperficiem $peculi {ae}qui- di$tanter ba$ibus columnæ: ducta\’q; linea in puncto dato $peculum $ecundum oxygoniam $ectio- nem contingente, & producta illa perpendiculari, $i punctus rei ui$æ & centrũ ui$us cadant in ean- dem perpendicularem, uel in lineas in eadem $uperficie cum perpendiculari exi$tentes, & æquales angulos cum ip$a continentes: fiet $ecundum præmi$$a reflexio ad ui$um. Patet ergo uniuer$aliter propo$itum in omni $ectione communi $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi columnaris.

26. Superficiei reflexionis & $peculi columnaris conuexi communi $ectione linea longitudi- nis $peculi exi$tente: formæ eiu$dem punctirei ui$æ ab uno tantùm puncto totius $uperficiei $pe- culi ad unum ui$um fit reflexio. Alhazen 46 n 5.

E$to $peculum columnare conuexum, cuius axis $it c d: $it\~q; $uperficies reflexionis a b g, ita ut forma puncti b reflectatur ad a c\~etrum circuli à puncto g $uperficiei $peculi: & $it communis $ectio $uperficierum i$tarum linea f g n, quæ e$t linea longitudinis $peculi. Dico quòd forma puncti b non pote$t reflecti ad centrum ui$us a ab alio pun- cto $peculi quàm à puncto g. Ducatur enim à a q k b f g l n c e i d h puncto g perpendicularis $uper $uperficiem contingentem columnam $ecundum lineam f g n per 12 p 11: quæ $it linea g q, $ecans lineam a b productam inter punctum ui$um & cen- trũ ui$us in puncto q. Palàm per 21 huius quo- niam hæc linea g q producta intra $peculum $ecat ip$um trans axem c d: $ecet ergo in pun- cto e. Et quia linea longitudinis, qu{ae} e$t f n, e$t in $uperficie reflexionis: palàm quoniam axis c d erit in eadem per 7 huius: ergo & pũctum e erit in illa $uperficie. Cum itaq; una $ola $uperficies po$sit intelligi, in qua $unt $imul omnia pũcta a, b, g & e, & lineæ f n & c d: palàm quòd à $uperficie totius $peculi non pote$t reflecti forma puncti b ad a centrum ui$us, ni$i à linea longitudinis f n: $ed per 45 th. 5 huius o$ten$um e$t quòd in $pecu- lis planis ab uno $olo puncto fit unius puncti reflexio ad ui$um: ergo & in his $peculis non pote$t fieri reflexio ab alio pũcto quàm a b uno $olo puncto $cilicet lineæ f n. Forma ergo puncti b reflecti- tur ad ui$um a ab uno $olo puncto $uperficiei totius $peculi. Quod e$t propo$itum.

27. Superficiei reflexionis & $peculi columnaris conuexi communi $ectione exi$tente circu- lo ba$ibus $peculi æquidi$tante: ab uno $olo puncto $uperficieitotius $peculi formæ eiu$dem puncte reiui$æ fit reflexio adui$um. Alhazen 46 n 5.

Sit di$po$itio, quæ in præcedente, palam\’q; per 17 huius quoniam hác hypothe$i exi$t\~ete, $uper- ficies reflexionis a b g erit æquidi$tans ba$ibus columnæ: circulus quoq;, qui e$t communis $ectio $uperficiei a b g & columnæ, cuius axis e$t c d, qui e$t æquidi$tans ba$ibus columnæ, $it g h: cuius centrum $it punctum e. Dico quòd à circulo g h (qui e$t communis $ectio $uperficiei a b g & $uper- ficiei $peculi) non pote$t fieri reflexio formæ b ad a ui$uin, ni$i ab uno tantùm pũcto g. Patuit enim per 16 th. 6 huius quia in $peculis $phæricis conuexis à circulo, $uper quem fit reflexio, non pote$t VITELLONIS OPTICAE fieri reflexio, ni$i ab uno tantùm puncto: ergo nec in i$tis $peculis columnaribus fiet reflexio $ormæ unius puncti rei ui$æ and ui$um, ni$i ab uno tantùm puncto, quod $it g. Siuerò detur, quòd ab alio puncto $peculi huius (ut à pũctol) $imiliter fiat reflexio, $icut à puncto g: producatur à puncto da- to linea l k per 12 p 11 perpendicularis $uper $uperficiem columnæ: hæc ergo producta cadet or- thogonaliter $uper axem c d per 21 huius: cadat in punctum axis, quod $iti. Similiter quoq; linea l k, ut patet ex præmi$sis, $ecabit lineam a b productam inter punctum rei ui$æ & centrum ui$us: $e- cet\’q; ip$am in puncto k: quod $iue $uerit idem cum puncto q, $iue aliud à puncto q, ducatur $em- per linea k e ad centrum circuli g h: erit\’q; linea k e orthogonalis $uper axem c d: quoniam e$t in $uperficie reflexionis orthogonaliter axem c d $ecante. Duæ ergo lineæ k e & k i cum linea e i, par- te axis continent triangulum, cuius duo anguli $unt recti: quod e$t impo$sibile. Palàm ergo quòd in tali di$po$itione non reflectitur forma p uncti b ad ui$um a, ab aliquo puncto $uperficiei totius $peculi alio, quàm à puncto g. Ethoc e$t propo$itum.

28. Superficiei reflexionis & $peculi columnaris conuexi communi $ectione exi$tente oxy- gonia: formæ eiu$dem puncti rei ui$æ ab uno $olo puncto totius $uperficiei $peculifit reflexio ad ui$um. Alhazen 47 n 5.

Sit $uperficies reflexionis a b g: cuius communis $ectio cum $uperficie $peculi columnaris $it o- xygonia $ectio, tran$iens in $uperficie $peculi punctum g: & $it b punctus rei ui$æ: & a centrum ui- $us: & g punctus reflexionis. Dico quoniam forma puncti b non reflectitur ad centrum ui$us a ab aliquo puncto totius $uperficiei $peculi, ni$i à puncto g. Ducatur enim à puncto a $uperficies æqui- di$tans ba$ibus columnæ, $ecans $peculum $ecundum circulum, qui $it e z i: quod $ic fiet. Producta enim à puncto a linea perpendiculari $uper axem column{ae} per 12 p 1: erit h{ae}c linea perpendicularis erecta $uper $uperficiem columnæ: quia erit perpendicularis $uper lineam longitudinis columnæ, cui ip$a incidit per 29 p 1. Ducatur item ab eod\~e puncto axis, quod $it q, alia linea rectum continens angulum cum axe, quæ $it linea q e. Ergo per 18 p 11 patet quoniam $uperficies plana lineas illas a q & q e imaginata pertran$ire, $uper $uperficiem $peculi erit orthogonaliter erecta. Et quoniam per 4 p 11 axis $peculi erectus e$t $uper illã $uperficiem, patet per 14 p 11 & per 92 th. 1 huius quoniam illa $uperficies æquidi$tat ba$ibus $peculi: ergo per 100 th. 1 huius, cum ip$a $ecet $uperficiem columnæ æquidi$tanter ba$ibus: patet quòd ip$a $ecat $ecundum circulũ, qui $it e zi, cuius centrum erit pun- ctum q. Et eodem modo à puncto g ducatur $uperficies æquidi$tans ba$ibus $peculi, quæ $ecet $pe- culum $ecundum circulum s g p: cuius centrum $it t: & in illo circulo ducatur ab axe linea ad pun- ctum g, quæ $it t g: & hæc per 21 huius erit perpendicularis $uper $uperficiem contingentem colu- mnam in linea lõgitudinis, a l f k b h d z g n q e o t s m i p in qua e$t punctus g. Linea quoq; t g producta concur- rat cum linea a b in puncto k: cõcurret autem per 29 th. 1 huius: ideo <003>a diuidit an- gulum a g b, & puncta g, a, b $unt in eadem $uperficie re- flexionis per 24 huius. Du- catur etiam à pũcto g linea longitudinis $peculi per 101 th. 1 huius, quæ $it g z, cad\~es inter duas $ectiones æqui- di$tãtes ba$ibus $peculi nũc ductas: & erit per 25 th. 1 huius pars axis æqualis li- neæ g z, linea t q: & à puncto b rei ui$æ ducatur linea perpendicularis $uper $uperficiem, $ecantem $peculum $ecundum circulum e zi per 11 p 11: quæ $it b h: & ducãtur duæ lineæ a z & h z: & ducatur à puncto z in $uperficie illa ad ax\~e $peculi linea z q: erit\’q; hæc linea z q perpendicularis $uper axem q t per 21 huius, $icut & $uperficies e z i, in qua protrahitur: & erit per eandem 21 huius linea z q per- pendicularis $uper $uperficiem conting\~etem $peculum in puncto z. Quia ergo linea q z educta ex- tra $peculi $uperficiem nece$$ariò diuidit angulum h z a, eò quò d â concur$u linearum h z & a z or- thogonaliter producitur $uper $uperficiem conting\~etem, cui $uperficiei lineæ a z & h z obliquè in- cidunt: palàm per 29 th. 1 huius quia producta linea z q concurret cum linea a k, quæ $ubtenditur angulo a z h: concurrat ergo in puncto l. Dico quoniã forma puncti h lineæ b h reflectitur ad ui$um a à puncto $peculi z. Ducatur enim à puncto a linea æquidi$tans k g lineæ, qu{ae} $it a m: hæc utiq; per 2 th. 1 huius concurret cum linea b g, cum qua $ua æquidi$tans concurrit: $unt enim lineæ a b, b g, k g omnes in eadem $uperficie reflexionis: $it ergo punctus cõcur$us linearum b g & a m punctus m. Palàm quoq; per 6 p 11 quoniam linea g z æ quidi$tat lineæ b h, cum utraq; ip$arum $it orthogonalis $uper $uperficiem e z i æquidi$tantem ba$ibus columnæ: e$t ergo per 7 p 11 linea b g m in eadem $u- perficie, cum $ecet illas duas lineas æquidi$tãtes. In $uperficie ergo reflexionis (quæ e$t a b g) $unt LIBER SEPTIMVS. tria punctam, z, h. It\~e quia linea a m e$t æ quidi$tans lineæ k g, $ed & linea z l e$t æquidi$tans line æ k g per 33 p 1: $unt enim lineæ g z & t q æ quales & æ quidi$tãtes, ut patert ex præmi$sis, & linea t g pro- ducitur in punctum k: & linea q z in punctũ l: erit ergo per 30 p 1 linea l z æ quidi$tãs lineæ a m. Sunt ergo per 2 th. 1 huius lineæ l z & am in ead\~e $uper$icie: & in eadem e$t linea h a per 7 p 11. Igitur tria puncta m, z, h $unt in eadem $uperficie, in qua $unt lineæ l z & a m & h a, quæ e$t $uperficies h l z m. Sed iam patuit $uprà quòd $unt in $uperficie m b h: igitur $untin linea cõmuni illis duabus $uper- ficiebus: ergo per 3 p 11 linea h z m e$t linea recta. Cum itaq; punctus g $it punctus re$lexionis exhy- pothe$i: erit per 20 th. 5 huius angulus a g k æqualis angulo k g b: $ed angulus k g b per 29 p 1 e$t æqualis angulo a m g, cum $it extrin$ecus ad illum, & linea k g æquidi$tet lineæ a m: $ed & angulus a g k e$t æ qualis angulo m a g per eandem 29 p 1, quia e$t illi-coalternus: ergo anguli a m g & m a g $unt æ quales: ergo per 6 p 1 duæ lineæ a g & m g $unt æquales, quia uerò linea g z e$t erecta $uper $uperficiem a h z, ut patet ex præmifsis: erit linea g z ortho gonalis $uper quamlibet lineam $uper- ficiei a h z, ductam à puncto z: ergo erit perp\~edicularis $uper lineam z m: angulus ergo m z g erit re- ctus: erit quoq; per 47 p 1 quadratum lineæ m g æ quale quadratis duobus linearũ m g & g z: & $imi liter quadratum lineæ a g e$t æquale quadratis linearum a z & g z: $ed-quadratum lineæ m g æ qua- le e$t quadrato lineæ a g: quoniá lineæ m g & a g $unt æ quales: ablato ergo utrobiq; quadrato com- muni, quod e$t quadratum lineæ g z: relinquitur quadratum lineæ m z æquale quadrato lineæ a z: e$t igitur linea m z æ qualis lineæ a z: ergo per 5 p 1 angulus a m z e$t {ae}qualis angulo z a m: $ed per 29 p 1 angulus l z h extrin$ecus æqualis e$t angulo a m zintrin$eco, & angulus a m z e$t æ qualis angu- 10 l z a per eandem 29 p 1, quia illi anguli $unt coalterni: ergo angulus a z l e$t æqualis angulo l z h. Forma ergo puncti h incidens $peculo in puncto z reflectitur ad a centrum ui$us à puncto $peculi, quod e$t z, ut patet per 20th. 5 huius. Siuerò dicatur quòd ab alio puncto quàm à puncto g pote$t forma puncti b reflecti ad ui$um a illud aliud punctum aut erit in linea longitudinis, qu{ae} e$t g z, aut in alia. Si e$t in linea g z, ducatur à dato puncto lineæ g z, quod $it d, linea perpendicularis $uperli- neam g z: quæ a d utramq; partem producta $it linea o d f: & copulentur lineæ a d & b d. Linea itaq; o d f per 29 th. 1 huius nece$$ariò $ecabit lineam a b: & erit & quidi$tans lineæ a m per 28 p 1: & linea ducta à puncto b a d illud punctum d, nece$$ariò cõcurret cum linea a m per 2th. 1 huius: & erit pun- ctus d & punctus m in eadem $uperficie: quoniam lineæ d f & a m, cum $int æ quidi$tantes, $unt in eadem $uperficie per 1 th. 1 huius. Linea ergo b d aut cad et $uper punctum m, aut $uper aliud pun- ctum lineæ a m. Si cadat $uper punctum m, erit ducere à puncto b ad pũctum m duas rectas lineas, ut lineam b g m, & lineam b d m: quod e$t impo$sibile: quoniam tunc duæ rectæ lineæ $uperficiem includerent. Si uerò ad aliud punctum lineæ a m, quàm ad punctũ m, incidat linea b d: $it illud pun- ctum n: & ducatur à puncto n linea n z a d punctum z: & pote$t probari, quòd hæc linea n z cum li- nea h z facit lineam rectam, $icut prius probatum e$t de linea m z. Quoniam enim puncta n, z, h $unt in duabus planis $uperficiebus: ergo $unt in illarum communi $ectione: ergo per 3 p 11 erit linea h z n linea recta: & ita à puncto h erit ducere duas lineas rectas per punctum z tran$euntes, & in diuer- $a puncta line æ a m cadentes: quod e$t impo$sibile per 1 p 11. Palàm ergo quòd à nullo puncto lineæ g z pote$t forma puncti b reflecti ad ui$um a, ni$i à $olo puncto g. Si dicatur quòd extra hanc lineam $umpto puncto in $uperficie $peculi ab illo po$sit re$le cti forma puncti b ad a ui$um: ducatur $uper illud punctum $peculi linea longitudinis $peculi per 101 th. 1 huius: & à puncto circuli e z i, in quem cadit hæc linea, probabitur forma puncti h reflecti ad ui$um a $ecundum prædictam probationem: $ed iam probatum e$t quòd forma puncti h à puncto $peculi z reflectitur ad ui$um a: & ita formæ eiu$dem puncti h a d eundem ui$um a à punctis duobus unius circuli fiet reflexio, quod e$t contra 16 th. 6 huius, & impo$sibile. Supere$t ergo, ut à $olo pũcto $peculi propo$iti reflectatur forma pun- cti b ad ui$um a. Palàm enim, quia $i communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi columnaris fuerit oxygonia $ectio, quia tunc nõ fiet reflexio, ni$i ab uno tantùm puncto: quoniam, ut patet per 24 huius in omni $uperficie reflexionis factæ a b his $peculis de nece$sitate oportet, ut $it punctus axis, in quem cadit perpen dicularis ducta à puncto reflexionis, quæ orthogonalis e$t $uper lineam longitudinis $peculi per punctum illũ tran$euntem: ergo & $uper axem $peculi per 28 p 1: quoniam linea longitudinis columnæ & axis $emper æ quidi$tant per 92 th. 1 huius. E$t autem illa perpendi- cularis communi $ectioni oxygoniæ, à cuius pũcto fiet reflexio, & cuidam circulo æ quidiftanti ba- $ibus $peculi per 104 th. 1 huius: e$t ergo $emidiameter illius circuli. Superficies itaq; reflexionis, & ille circulus $ecant $e in illa perpendiculari $emidiametro circuli $uper peripheriam circuli per 21 huius: & $upèrficies reflexionis, in qua e$t illa $ectio oxygonia, e$t declinata $uper $uperficiem cir- culi, & $uper illam $emidiametrum, quæ e$t perpendicularis à puncto reflexionis ducta: $uper ali- quam uerò $uperficiem declinatam $uper axem column{ae} non pote$t intelligi, ni$i una tantùm linea perpendiculariter cadens $uper axem per 112 th. 1 huius. Si uerò ab eadem oxygonia $ectione $ieret a duobus punctis reflexio: e$$et nece$$arium, ut in illa $ectio nis $uper$icie po$$ent duci du{ae} perpen diculares $uper axem $peculi: quod e$t impo$sibile: cum unus ui$us $emper uideat minus medieta- te columnæ. Et $imiliter patet per 79th. 4 huius quòd duo ui$us uid\~e minus medietate column{ae}, quando diameter ba$is columnæ maior e$t quàm di$tantia oculorum: hoc autem planius declara- tum e$t in 22 huius. Patert itaq; propo$itum.

29. Oxygonia $ectione exi$tente communi $uper$iciei reflexionis & $peculi columnaris con- VITELLONIS OPTICAE uexi: dati punctiui$i ad datum centrum ui$us punctum reflexionis inuenire. Alhazen 48 n 9.

Communi $ectione $uperficiei reflexionis & $peculi propo$iti exi$tente linea longitudinis $pe- culi, punctus reflexionis poterit faciliter inueniri, $icut in $peculis planis per 46 th. 5 huius o$ten- $um e$t. Siuerò illa communis $ectio fuerit circulus: tunc punctus reflexionis poterit faciliter in- ueniri, $icut in $peculis $phæricis conuexis o$ten$um e$t per 20 uel 22 th. 6 huius. Si autem illa com- munis $ectio $it oxygonia $ectio, qualis proponitur: $it rei ui$æ datus punctus b, qui reflectatur ab aliquo puncto $ectionis oxygoniæ ad a centrum ui$us. Dico quòd po$sibile e$t inueniri punctum reflexionis. Ducatur enim à puncto a, utin præcedente propo$itione, $uperficies æquidiftans ba$i- bus columnæ: quæ $ecabit columnam $uper circulum, qui $it e zi: & ducatur à puncto b perpendi- cularis $uper hanc $uperficiem per 11 p 11, qu æ $it b h, & per 20 uel 22 t 6 huius, $icut in $peculis $ph{ae}- ricis conuexis o$ten$um e$t, inueniatur in hac $uperficie punctus, àquo reflectitur forma puncti h ad ui$um a, qui $it pũctus z: & à puncto z per 101 th. 1 huius ducatur linea longitudinis, quæ $it z g: & ducatur linea h a: & à pũ cto z ducatur perpendicularis $uper lineam h a per 12 p 1, quæ $it z l: & huic ducatur æquidi$tans à puncto a per 31 p 1, qu æ $it a m: & linea h z producatur u$que quò concurrat cum linea a m: & $it cõcur$us in puncto m: & à puncto m ducatur linea ad punctum b, quæ nece$$a- riò $ecabit lineam z g, cum $it in eadem $uperficie cum illa: quoniam cum linea b h $it æquidi$tans lineæ g z per 6 p 11, eò quòd amb æ lineæ b h & g z $unt perpendiculares $uper eandem $uperficiem e zi æ quidi$tantem ba$ibus column æ erit ergo linea h m in $uperficie illarum per 7 p 11: & ita linea m b erit in eadem $uperficie: quæ $i $ecuerit lineam z g in puncto g: palàm ex his, qu{ae} in præced\~ete propo$itione præmi$$a $unt, quòd punctus g erit punctus reflexionis formæ puncti b ad a ui$um. Hæc omnia plura\’q; alia patent per ea, quæ dicta $unt in præcedente demõ$tratione. Et hoc e$t pro- po$itum: quoniam $ecundum hunc modum cuiuslibet dati punctiad datum ui$um punctus refle- xionis poterit inueniri.

30. Linea rectæ æquidi$t antis axi $peculi columnaris conuexi, ui$u non exi$tente in eadem $uperficie, reflexio fit à linea longitudinis $peculi ad ui$um. Alhazen 26 n 6.

E$to axis $peculi columnaris conuexi linea 3 k: & $it linea ui$a axi æquidi$tans, quæ t h: $it\’q; cen- trum ui$us e extra $uper$iciem t h z k. Dico quòd formà lineæ t h reflectitur ad ui$um e à linea lon- gitudinis $peculi, quæ e$t communis fectio $uperficiei t h z k, & $uperficiel $peculi. Et quia ui$us e non e$t in $uperficie t h z k: $it $uperficies per ip$um ui$um tran$iens, $ecas columnam $peculi æqui- di$tanter ba$ibus: erit\’q, hæc $uperficies $ecans columnam $ecundum circulum per 100 th 1 huius: qui circulus $it b f. Palàm ergo cum linea h t ex hypothe$i æquidi$tet axi z k, quòd aliquis eius pun- ctus reflectitur ad ui$um e ab aliquo puncto circuli b f: $it ergo hoc à pũcto b. Punctus quoq; lineæ th, qui reflectitur ad ui$um e à puncto $peculi b, $it q: & ducantur lineæ q b, e b, q e: & ducatur per 101th. 1 huius à puncto b linea longitudinis columnæ quæ $it a b g: & ducatur à puncto b perpen- dicularis cadens $uper axem z k in punctum 1: quæ producta ad lineam q e, $ecabit ip$am per 2 th. 1 huius: quoniam illæ duæ lineæ æquidi$tant, ut patet ex præmi$sis. Et quoniam $uper$icies e q b e$t $uperficies reflexionis: patet quòd punctum b cum linea e q e$t in eadem $uperficie. Secet ergo li- nea b l producta ip$am lineam q e in puncto m: & $it lineam l: ducatur\’q; à puncto e linea æquidi- $tans lineæ m l per 31 p 1, quæ$it e o: & produ- t n q g z m b l f h r a d e k o catur linea q b ultra punctũ b: quæ quia corl- currit cũ linea m l: palàm per 2th. 1 huius quià ip$a cõcurret cum eius æquidi$tante, quæ e$t lineà e o: $it ergo punctus cõcur$us o. Palàm aũt per 20 th. 5 huius quoniam angulus inci- dentiæ, qui e$t q b g, e$t æ qualis angulo refle- xionis, qui e$t e b atanguli uerò m b g & m b a funt æquales, quia recti: relin quitur ergo an- gulus q b mæ qualis angulo reliquo, qui e$t e b m: $ed per 29 p 21 angulus q b m e$t æ qualis angulo b o e: quoniam extrin$ecus intrin$e- co e$t æ qualis: $ed & angulus m b e æqualis e$t angulo b e o: quia coalternus e$t: ergo an- gulus b o e æ qualis angulo b e o: ergo per 6 p 1 in trigono b e o latus b e e$t æ quale lateri b o. Sumatur aut\~e & alius pũctus in linea th, qui $it pun- ctus t: & ducatur linea t o. Quia ergo linea th æquidi$tat lineæ longitudinis $peculi, quæ e$t a g per 30 p 1: ideòd quòd utraq; illarum e$t æquidi$tans axi z k: palàm ergo per 1 th. 1 huius quòd lineæ th & a g $unt in eadem $uperficie, cum etiam linea t h & z k axis $int in eadem $uperficie. Ergo per 7 p 11 linea q b o $ecans illas lineas æ quidi$tantes, qu{ae} $unt t h & a g, e$t cum illis in eadem $uperficie: & fimiliter linea t o e$t in eadem $uperficie cum illis per 1 p 11: $unt enim puncta t & o in dicta $uper- ficie: $ecabit ergo linea t o lineam a g: $it punctus $ectionis g: & ducantur lineæ e g & e t. Quia itaq: a g, qu{ae} e$t linea longitudinis $peculis, e$t perpendicularis $uper $uperficiem circuli b f per 8 p 11: ideo quòd axis z k, cui æquidi$tat linea a g, perpendicularis e$t $uper eandem circuli $uper- ficiem per 23 th. 1 huius, cum ip$a $it perpendicularis $uper ba$im columnæ per 92 th: 1 huius. LIBER SEPTIMVS. Superficies añt circuli b f e$t pars $uքficiei e o b f: hæc enim $uperficies $ecat columnã æ quidi$táter ba$i, ut patet ex præmi$sis: ergo per definition\~e lineæ $uper $uքfici\~e erect{ae} angulus g b o e$t rectus, & angulus g b e rectus: ergo per 47 p 1 quadratũ lineæ g o ualet ambo quadrata linearũ g b & b o: & quadratũ line{ae} g e ualet ambo quadrata linearũ g b & b e. Et quoniá o$ten $um e$t quòd lineæ b e & b o $unt æquales, erunt etiá ip$aruin quadrata æqualia, & quadratũ b g utriq; e$t commune: erit er- go quadra ũ lineæ g e æquale quadrato line{ae} g o: erit igitur per 6 p 1 in trigono e g o linea g e æ qua lis lineæ g o: ergo per 5 p 1 erit angulus g e o æ qualis angulo g o e. A puncto itaq: g ducatur perpen dicularis $uper axem $peculi, qui e$t z k, per 12 p 1, quæ $it linea g z: & h æc produæa ultra punctum g ad lineam t e, $it z g n: erit\’q; linea z n æ quidi$tans line{ae} l m per 28 p 1: quoniam lineæ n z & m lamb{ae} $unt perpendiculares $uper axem z k: $ed & linea e o æ quidi$tat lineæ m l, ut patet ex præmi$is. Li- nea ergo z n æ quidi$tat lineæ e o per 30 p 1. Erit ergo per 29 p 1 angulus t g n exi$tens extrin$ecus, æ- qualis angulo g o e intrin$eco: & angulus n g e æ qualis. angulo g e o, quia $unt coalterni: $ed angu- lus g e o o$ten$us e$t e$$e æ qualis angulo g o e: ergo angulus t g n e$t æqualis angulo n g e. Cum er- go linea t g o & linea n g z $int in in eadem $uperficie, in qua e$t punctus g: puncta ergo o, g, t erunt in eadem $uperficie: ergo in eadem $uperficie $unt lineæ e g, o g, t g per 1 p 11. Forma ergo puncti t re flectitur ad ui$um e à puncto $peculi g, ut patet per 20 th. 5 huius, propter æ qualitatem angulorum r g n & n g e. Sumpto autem in linea t h puncto h eiu$dem di$tantiæ à puncto q, & à céntro ui$us e, cuius e$t punctus t: & ducta linea h o, tran$ibit hæc per lineam longitudinis $peculi, quæ e$t a g: $it punctum tran$itus a: & ducta à puncto a linea perpendiculari $uper axem z k, quæ $it a d, & quæ producta ad lineam h e, $it d r, & ducta linea e a, patebit, $icut prius, quia duo anguli a b e & a b o $untrecti, & latera a e & a o $unt æ qualia: $iunt\’q, ut prius, duo anguli h a r & e a r æ quales Forma ergo punctih, ut$uprà patuit, reflectitur ad ui$um e à puncto $peculi a. Similiter quoque $umpto quocũq; uncto lineæ t h, erit probare, quòd ille punctus reflectitur ad e ab aliquo puncto longitu- dinis $peculi, qu{ae} e$t a g. T ota ergo linea t h reflectitur ab una linea longitudinis $peculi, qu{ae} e$t a g, ad ui$um e: quod e$t propo$itum. E$t tamen notandum, quòd in hac di$po$itione figuræ punctum q lineæ th e$t medius punctus illius lineæ & e$t in eadem $uperficie cum centro ui$us e: propter quod puncta t & h æqualiter di$tant à ui$u: & $imiliter puncta reflexionum, quæ $unt g & a: pro- pter quod pater, quod lineæ g b & b a $unt æquales: & tota di$po$itio figuræ fit $ecundum illa. Quòd $i ui$us $it inferior tota linea th: notandum quòd fit reflexio à linea a g, prout $ecat plurimas oxygonias $ectiones, ut patet per 23 huius: aliàs uerò quandoq; ab aliquo puncto circuli nece$$e e$t fieri reflexionem.

31. Linea longitudinis exi$tente communi $ectione $uperficiei reflexionis & $peculi pyr amida lis conuexi: à quolibet puncto $uperficiei $peculi apparent is ui$ui pote$t fieri reflexio ad ui$um. Alhazen 40 n 4.

E$to $peculum pyramidale conuexũ b x p: cuius uertex $it b: & diameter ba$is x p: $it\’q; centrũ ba$is q: erit ergo linea b q axis ip$ius $peculi. Sit quoq; quicunq; datus punctus in ip$ius $uperficie apparente, punctus g: & $it centrũ ui$us a: & punctus rei ui$æ $it n. Dico quòd forma puncti n refle- cti pote$t à puncto g ad ui$um a, $i $uerit in $itu cõuenienti reflexioni, Circunducatur enim per 102 th. 1 huius à puncto g circulus pyramidi $peculi æ quidi$tans ba$i x p: cuius centrũ $it d, & cuius dia- meter $it g c: $emidiameter g d, qu{ae} nece$$ariò erit perpendicularis $uper ax\~e b q per 29 p 1: eò quòd x q $emidiameter ba$is $peculi e$t perpendicularis $uper eundem axem b q, $icut & alia $emidiame- ter ba$is in ead\~e $uperficie exi$tés cũ diametro g c æ quidi$tat illi: e$t b l a u f d c h n g r k s x q p enim axis b q perpendicularis $uper $uperficies amborum circulorũ x p & g e per 23 th. 1 huius: & producatur linea g b à dato puncto g ad uerticé pyramidis b. Palàm ergo per 32 p 1 quoniã angulus g b d e$t a cutus: cũ angulus b d g $it rectus. In $uperficie quoq; trigoni g b d $it linea reflexionis, quæ e$t a g per 7 huius, & ex hypothe$i erunt li- neæ reflexionis a g & longitudinis b g & axis b d q in eadem $uperfi cie. Et quoniam angulus b g d e$t acutus, fiat per 23 p 1 angulus b g r rectus, producta linea g rad axem: erit\’q r g linea perpendicularis $u per lineam longitudinis, quæ e$t b x: erit\’q g r linea in eadem $uperfi cie cum alijs lateribus trigoni b g r per 2 p 11. A puncto quoq; g duca catur linea contingens circulũ per 17 p 3, quæ $it linea l g s: erit\’q per 18 p 3 linea l g s perpendicularis $uper diametrũ g c: ducatur\’q; alia diameter circuli g c perpen dicularis $uper diametrũ g c: quæ extra- hatur à pũ cto d per 11 p 1: & $it f k: erit\’q;, $icut prius, diameter f k per- pendicularis $uper axem b q: erit ergo per 4 p 11 diameter f k perpen dicularis $uper $uperficiem, in qua $unt lineæ g c & b q: erit\’q; diame ter f k æquidi$tans line{ae} contingenti circulum, qu{ae} e$t l g s, per 18 p 3 & per 28 p 1: ergo per 8 p 11 linea contingens circulũ g c, quæ e$t s g l, perpédicularis e$t $uք $uperfici\~e, in qua $unt diameter g c & axis b q: ergo ք definition \~e line{ae} erect{ae} angulus l g r e$t rectus. Si ergo imaginemur $uperfici\~e contingent\~e pyramid\~e, in qua $it linea l g s cõtingens circulũ b c: palã quoniã linea r g erecta e$t $uper illã $uper- VITELLONIS OPTICAE ficiem Si ergo linea reflexionis, quæ e$t a g, tran$iens pyramidem, fiat una linea cũ linea g r, erit ipfa orthogonalis $uper $uperficiem contingent\~e $peculũ in puncto g: fiet ergo per 21 th. 5 huius formæ fecundũ illam lineã $uperficiei $peculi incidentis reflexio per eand\~e. Et $i punctus n $it in illa linea, poterit forma eius reflecti ad ui$um a à puncto $peculi g per lineã a g. Siuerò linea a g non fiat una linea cum linea g r: palàm per cõuer$am 14 p 1 quod angulus a g l e$t minorrecto uel maior: quoniã $i erit rectus, tunc line{ae} a g & g r ambæ coniunctæ $unt linea una per eand\~e 14 p 1. Sit ergo angulus a g l acutus: & productatur linea r g in continuũ & directũ u$q; ad punctũ u: erit\’q; linea u g perpen- dicularis $uper $uperficiem contingenté $peculum in puncto g: & erit angulus u g l rectus per 15 p 1: erit ergo angulus u g a acutus. Ducatur ergo in ead\~e $uperficie linea g h æ q u al\~e contin\~es angulum cum lineá ù g angulo u g a per 23 p 1. Si ergo punctus rei ui${ae}, qui po$itus e$t e$$e n, fuerit in linea h g: palàm per 20 th. 5 huius quoniã po$sibile e$t à puncto g fieri reflexion\~e ad ui$um a: erit\’q; linea inci- dentiæ, qu{ae} e$t n g cũ linea reflexiõis, qu{ae} e$t g a, in ead\~e $uperficie orthogonali $uper $uperfici\~e, cõ- tingent\~e pyramidem in puncto reflexionis, quod e$t g: reflectetur\’q; forma puncti rei ui$æ $ecundũ punctum n a d ui$um, qui e$t in puncto a, à puncto $peculi, quod e$t g. Et eodem modo de quolibet alio dato puncto $uperficiei $peculi demon$trandum. Patet ergo propo$itum.

32. Dato puncto $peculi pyramidalis couexi, à quo fiat reflexio dati puncti rei ui$æ ad datum centrum ui$us à puncto oxygoniæ $ectionis, uel à linea longitudinis $peculi: po{$s}ibile e$t loca inue niri, in quibus centro ui$us & puncto reiui$æ collocatis, $iat reflexio ad ui$um ab eod\~e dato pun cto $peculi, prout e$t punctus circuli æquidi$tantis ba$i. Alhazen 52 n 5.

Sit a centrum ui$us: b punctus rei ui$æ: & $it g punctus reflexionis $uperficiei $peculi pyramida- lis conuexi, cuius uertex $it e. Dico quòd po$sibile e$t inueniri id, quod proponitur. Ducatur enim, prout docuimus in 28 huius, $uper punctpum g $uperficies æ quidi$tans ba$i, $ecans pyramidem $u- per circulum ba$i æ quidi$tantem per 100 th. 1 huius, quæ $it p g: cuius centrum $it 1: & ducantur li- ne{ae} a g, b g, a b: & à puncto g ducatur ad centrum circuli linea g t: & à uertice pyramidis, qui e$t pun ctus e, ducatur axis e t. Et quoniam $uperficies reflexionis $emper e$t erecta $uper $upe. ficiem $per- culum in puncto reflexionis cõtingentem, ut patet per 8 huius, uel per 25 th. 5 huius: ducatur in $u- perficie reflexionis linea perpendicularis $uper $uperficiem, contingentem $peculum in puncto re flexionis, quod e$t g, quæ $it h g: & palàm per 26 th. 5 huius quoniam hæc diuidit an gulum a g b per æqualia: ip$a ergo producta $ecabit lineam a b per 29 th. 1 huius: $it ergo, ut $ecet eam in puncto z. Ducatur quoq; à puncto e uertice pyramidis linea longi l d a e p t m f k h i g a q o n b tudinis $peculi, quæ $it e g: & huic line{ae} e g ducatur æqui di$tans à puncto á centro ui$us, qu{ae} nece$$ariò $ecabit $u perficiem circuli p g: $ecet ergo ip$am in puncto n: & $it a n. Et $imiliter à puncto b ducàtur linea æ quidi$tans ei- dem lineæ e g, quæ $it b m, $ecans $uperficiem circuli g p in puncto m. Quia itaq; ambæ lineæ a n & b m æ quidi- $tant eidem lineæ longitudinis $peculi, quæ e$t e g: patet per 30 p 1 quia ip$æ adinuic\~e æ quidi$tãt, $cilicet lineæ a n & b m. A puncto ergo n ducatur per 31 p 1 linea æ quidi- $tans $emidiametro circuli, quæ e$t g t, $it\’ql illa æ quidi- ftans linea n f: & ducantur line{ae} n g, m g, n m. palàm itaq; per 29 th. 1 huius quia linea t g producta $ecabit lineam n m: ideo, quia $ecat angulum m g n: e$t enim trã$uer$im ducta in eadem $uperficie: & etiam lineæ n f & g t $unt æ- quidi$tantes: $ed linea n m $ecat lineam n f: ergo & ip$a $ecabit per 2 th. 1 huius lineam g t: $ecet ergo in puncto q. Palàm etiam per 2 th. 1 huius quòd linea m g producta $ecabit lineam n f, cum $ecet lineam g t æ quidi$tantem ip$i n f: $it\’q; punctus $ectionis f: à puncto a ducatur li- nea æ quidi$tans line{ae} perpendiculari $uper $uperficiem, contingentem $peculum in puncto g, quæ e$t linea h z: & $it illa æ quidi$tans linea al. Palàm ergo per 2 th. 1 huius quòd linea b g concurret cum linea a l: quia $ecat eius æ- quidi$tantem lineam h z: $it ergo punctus concur$us l. Ducatur quoq; linea, quæ e$t $ectio communis $uperfi- ciei contingenti $peculum in puncto g, & $uperficiei cir- culi p g, quæ $it linea g o. Palàm quòd linea g o erit orthogonalis $uper $emidiametrum circuli, quæ e$t g t per 18 p 3: ideo quia linea g o e$t contingens circulum p g: quoniam ip$a ducta e$t in $uperfi- cie plana contingente $peculum in puncto g. Et quoniam lineæ n f & g t æquidi$tant: erit per 29 p 1 linea g o orthogonalis $uper lineam n f æquidiftantem lineæ g t. Sumatur etiam linea, quæ e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei contingentis $peculum in pun- cto g, quæ $it linea g d: quæ quidem, cumfecet lineam g h in puncto g, palàm per 2 th. 1 huius quia LIBER SEPTIMVS. ip$a $ecabit lineam a l æ quidiftantem lineæ g h: $it ergo punctus $ectionis d: & erit linea g d perpen dicularis $uper lineam a l per 29 p 1: e$t enim linea g d perpendicularis $uper lineam g h. Quia cũ li- nea h g $it perpendicularis $uper $uperficiem cõtingent\~e circulum in puncto g: erit nece$$ariò per- peridicularis $uper lineã g d productã ab eod\~e puncto in illa $uperficie per definition\~e lineæ $uper $uperficiem erectæ. Palàm aũt ex prædictis, quoniá linea n f e$t; æ quidiftans $emidiametro circuli p g, qu{ae} e$t g t: $imiliter quoq; linea a l e$t {ae}quidi$tans line{ae} g h: igitur per 15 p 11 $uperficies, in qua $unt line{ae} n & al(qu{ae} {pro}duct{ae} ultra pũcta l & f, nece$$ariòcócurret ք 14 th. 1 huius: quonã anguli f n a & l a f, tet, $unt minores duobus rectis) e$t æquidi$tás $uperficiei g t h: $ed & linea e g æ quidi$tat line{ae} b in, ut patet ex præmi$sis: ergo per 1 th. 1 huius ip$æ $unt in ead\~e $uperficie $ecante prædictas duas $uperficies æ quidi$tantes: unã ip$arum $uper lineam e g: aliã uerò $uper lineã fl. Ergo per 16 p 11 cõmunes ip$arum $ectiones erunt æ quidi$tantes: erit ergo linea f l æ quidi$tãs line{ae} e g: $ed linea a n e$t æ quidi$tãs lineæ e g, ut patet ex præmi$sis; ergo per 30 p 1 erit linea f l æ quidi$tans lineæ a n. Verũ $uperficies contingens $peculũ in puncto g $ecat ea$d\~e $uperficies æ quidi$tantes, qu{ae} $unt g t h & n f a l: uná earum $uper lineã e g, $ecundum quá ip$a e$t $peculũ contingens: & aliam ip$arũ $uք lineam o d: ergo per 16 p 11 linea o d æ quidi$tat lineæ e g: igitur per 30 p 1 erit linea o d æ quidi$tãs li- neis a n, & l f æ quidi$tantibus lineæ e g. Et quia line{ae} n f & al, inter quas ducuntur lineæ n a, o d, f l, $unt in ead\~e $uperficie per 2 p 11: patet quòd line{ae} a n, o d, f l $unt in ead\~e $uperficie, Ducatur itaq; à puncto f linea æquidi$tans line{ae} l a per 31 p 1 $ecans lineã o d in puncto k, & lineam a n in puncto i: erit\’q; linea f i æ qualis line{ae} l a per 34 p 1: & $imiliter erit linea f k æ qualis lineæ l d, & k i æ qualis ip$i d a. E$taũt per 2 p 6 proportio i k ad k f, $icut n o ad o f: ergo per 7 p 5 erit proportio lineæ a d ad li- neam d l, $icut lineæ n o ad lineã o f. Et quoniã ex præmi$sis angulus b g z e$t æqualis angulo a g z: quoniá linea g z diuidit angulũ a g b per æqualia per 26 th. 5 huius. $ed angulus b g z e$t æqualis an- gulo g l a por 29 p 1, extrin$ecus enim intrin$eco e$tæ qualis: & lineæ h z & a l $unt æquidi$tantes: $i- militer angulus z g z per eand\~e 29 p 1 æqualis e$t angulo g a l, quia coalternus: angulus ergo g l ã æ- qualis e$t angulo g a l: ergo per 6 p 1 lineæ g a & g l $unt æ qualies: & linea g d e$t perpendicularis $u- perlineã al, ut patet ex præmi$isis: trigonũ ergo a g l diui$um e$t in duos trigonos æquiangulos & $imiles ք 31 th. 1 huius: e$t ergo {pro}portio line{ae} a d ad lineã d l, $icut line{ae} g a ad lineá g l: $ed linea a g, ut patet ex præmi$sis, e$t æ qualis line{ae} g l: e$t ergo linea a d æ qualis line{ae} d l: ergo & linea n o e$t æqua lis line{ae} o f: & linea g o e$t per 29 p 1 perpendicularis $uper lineán f: quoniá linea g o e$t perpendicu laris $uper lineã g t, ut patet ex præmi$sis per 18 p 3, & lineæ g t & n f æ quidi$tant, ut præmi$$um e$t. Quia itaq; angulus g o f e$t æ qualis angulo g o n, & linea o f æ qualis lineæ o n, & linea g o cõmounis: erit ergo per 4 p 1 angulus o f g æqualis angulo o n g: $ed angulus q g m æ qualis e$t angulo o f g per 29 p 1; cum $it ei extrin$ecus, & angulus q g n æ qualis e$t angulo o n g, cum $it ei conalternus, & line{ae} t q & n f æ quidi$tent, ut patet ex præmi$sis: erit ergo q g m angulus æ qualis angulo q g n: ergo per 20 th. 5 huius à puncto g circuli p g pote$t $orma punctim reflecti ad ui$um exi$tent\~e in puncto n: non tamen quòd $ecundũ circulum $iat reflexio ab his $peculis pyramidalibus conuexis, $ed $ic $ei- licet quòd punctus g cõmunicat circulo, qui e$t $ectio $phær{ae} uel columnæ intra $peculũ pyramida le imaginatæ: quoniã $uperficies contingens circulum p g e$t erecta $uper $uperficiem reflexionis: propter quod nece$$e habet pyramidem $peculi in $ui parte ampliore, ut in ea, qu{ae} e$t uer$us ba$im, $ecare $ecundù æquidi$tantiã axis pyramidis $peculi: & $ic $uperficies reflexionis (in qua $unt cen- trum ui$us, & punctus rei, & circulus p g) erecta e$t $uper illam $uperficiem contingent\~e: & puncta n & m $e re$piciunt in $uperficie illius circulis $ecundũ angulos æquales contentos cum diametro ip$ius. Collocato ergo centro ui$us in puncto n & puncto rei ui$æ in puncto m uel econtuer$o: refle ctetur $emper forma ad centrum ui$us corpore $peculi pyramidalis nõ præ$tante impedimentum: ut $i fortè lineæ a n & b m cadant in ip$o circulo ba$is, & propter corpus pyramidis $peculi non ua- leat à puncto g ad ui$um aliquid reflecti. Et hoc e$t propo$itum.

33. Communi $ectione $uperficieireflexionis & $peculipyramidalis conuexi exi$tente linea longitudinis $peculi, ab uno tantùm puncto $uperficiei $peculi fit formæ unius punctirei ui$æ re- flexio ad ui$um. Alhazen 53 n 5.

Sit omnino di$po$itio, quæ e$t in proxima præcedente: & reflectatur forma puncti b ad ui$um exi$tent\~e in puncto a, à puncto $peculi pyramidalis cõuexi, quod $it g: ita quòd cõmunis $ectio $u- perficiel reflexiõis & $peculi $it linea lõgitudinis $peculi, quæ e$t e g. dico quòd forma pũcti b refle ctitur ad ui$um a à $olo puncto $uperficiei $peculi, q<001> e$t; g. Si enim dicatur quòd pote$t reflecti ab alio puncto $uperficiei $peculi: tunc illud punctũ aliud aut erit in linea longitudinis $peculi, qu{ae} e$t e g, aut n õ. Si $it in linea longitudinis $peculi, quæ e$t e g: $it e g: $it illud punctũ x: & ab eo ducatur perpen dicularis $uք $uperfici\~e cõtingenté $peculũ in illo pũcto ք 12 p 11: h{ae}c ergo քp\~edicularis $it x z: erit\’q; linea x z per 6 p 11 æ quidi$tans lineæ z g, quæ prius ducta e$t perpendicularis $uper eandem $uper- ficiem: cum punctũ g & x $int in eadem linea longitudinis, $ecundum quã $uperficies illa pyramid\~e contingit. Et quia lìnea h z & a l $unt æquidi$tantes, ut patet per illa, quæ dicta $unt in præmi$$a: e- rit ergo per 30 p 1 illa perpendicularis x z æquidi$tans lineæ a l. Et quia linea x z $icut & linea z h, e$t in $perficier reflexionis, qu{ae} per 8 huius uel 25 th. 5 huius e$t erecta $uper $uperficiem cõtingen- tem $peculum in linea e g: erit ergo per 1 th. 1 huius linea a l in $uperficie reflexionis huius lineæ perpendicularis, qu{ae} e$t x z & erit $imiliter in $uperficie reflexionis line{ae} perpendicularis, qu{ae} e$t z g. Igitur illæ duæ $uperficies reflexionis $ecát $e $uper lineá al per 19 th. 1 huius: $ed $ecant $e etiã $u- VITELLONIS OPTICAE per punctũ b: quoniá illud e$t, quod reflectitur per utranq;: hoc aũt e$t impo$sibile: quoniá punctú b nó e$t in linea al. O$ten $um e$t enim prius lineam fl {ae}quidiftant\~e e$$e line{ae} b m: qu{ae} du{ae} line{ae} uel concurrer\~et $i punctú b e$$et in linea a l: uel $equeretur puncta m & n cadere ex una parte lineæ g q- Non ergo fieret reflexio punctorũ m & n adinuicé à puncto g, quod e$t cótra demon$trata in præ- mi$$a. Re$tat ergo, ut à nullo puncto line{ae} longitudinis, qu{ae} e g, præterquá à puncto g, forma puncti b po$sit reflecti ad centrũ ui$us exi$tens in puncto a. Si l d a e f z x y t u p r k o h y x m n q m i b c aũt po$sibile e$t, ut reflectatur forma puncti b ad ui$um a ab aliquo puncto $peculi extra lineá longitudinis g e, fit ille punctus u: & per 101 th. 1 huius ducatur linea lon- gitudinis $peculi, quæ $it linea e u c: quæ in puncto c $e- cet peripheriá circuli g p. Et $umatur $uper$icies {ae}quidi $tans ba$i tran$iens per punctũ u: palàm ergo per 8 p 11 quoniá linea a n $ecat hanc $uperficiem: ideo, quia linea e g, cui æquidi$tat linea a n, $ecat eand\~e $uperfici\~e: $unt aút per 1 th. 1 huius line{ae} a n & e g in ead\~e $uperficie, cũ $int æ quidiftantes: $it ergout linea a n $ecet illá $uperfi- ciem in puncto y. Similiter quoq; linea b m æ quidi$tás lineæ e g, $ecabit eand\~e $uperfici\~e: $it quoq; punctus $e- ctionis k: & ducátur line{ae} k u, y u, a k. Et cum illa $uperfi cies per 100 th. 1 huius $ecet pyramid\~e $ecundũ circulũ, tran$eunt\~e per punctũ u, ducatur à pũcto u linea ad cen trum huius circuli, qu{ae} $it r u: & producatur extra $pecu lum: & $it item u r: & à uertice pyramidis $peculi pũcto $cilicet e ducantur lineæ e k, e y, quæ nece$$ariò $ecabũt $uperficié circuli p g: & $int puncta $ectionũ i & s: & du- cantur line{ae} i c & s c. Sicut ergo per præcedentem pro- batum e$t de forma puncti m, quod non impediente pyramide pote$t reflecti ad ui$um exi$tentem in pun- cto n à puncto $peculi g: eod\~e modo probari pote$t de puncto k, quod reflectetur ad ui$um exi$tent\~e in pũcto y à puncto $peculi u: angulus ergo r u y erit æqualis an- gulo r u k. Et quoniã linea b h æquidi$tat line{ae} e g, & li- nea cõmunis $uperficiei b g e k & $uperficiei circuli p g e$t linea m g per 19 th. 1 huius: quoniá linea m g e$t in utraq; illarũ $uperficierũ: patet quòd linea e k, cum $it in hac $uperficie b g e k, & $ecet $u- perficié circuli p g, cadet $uper lineam commun\~e, qu{ae} e$t m g: cadit aũt in punctũ illius $uperficiei, quod e$t s, ut per{ae}mi$$um e$t: quoniã linea e k s e$t linea una: erit igitur linea s m g linea recta. Eod\~e modo cũ $uperficies n y e g $ecet $uperfici\~e circuli p g $uper lineá n g, linea e y cõcurret cũ linea n g in puncto i per modũ præmi$$um: ergo linea i n g e$t una linea recta. Palàm etiá quòd $uperficies i c e $ecabit $uperficiem circuli p g $uper lineã i c: $ecat aũt $uperfici\~e huic $uperficiei {ae}quidiftant\~e, qu{ae} tran$it per punctũ u $uper lineam y u: ergo per 16 p 11 linea i c æquidi$tat lineæ y u. Similiter $uperfi cies s c e $ecat $uperficies illas æ quidi$tantes, $cilicet $uperficies g p & u y $uper duas lineas s c & k u: ergo per eand\~e 16 p 11 lineæ s c & k u $unt æquidi$tátes. Similiter $i $umatur $uperficies $ecans $pe culũ $uper lineá longitudinis, qu{ae} e$t e c, in qua $uperficie $unt puncta r & u: $unt enim puncta r, u, c, Min ead\~e $uperficie: cũ puncta r, u, t, & aliquis punctus line{ae} s g $int in ead\~e $uperficie: quia ead\~e e$t demon$tratio dato alio quocunq; puncto line{ae} c M: $emper enim $uperficies hoc modo $ecans $peculũ $ecundũ lineá e c, $ecabit illas $uperficies æquidi$tantes $uper duas lineas M c & r u: igitur, ut prius per 16 p 11 ill{ae} du{ae} M c & r u $unt æ quidiftantes: igitur per 10 p 11 angulus s c M æqua- lis e$t angulo k u r: & angulus M c i æqualis angulo r u y: $ed iam patuit quòd angulus k u r æqualis e$t angulo r u y: ergo angulus s c M æqualis e$t angulo M c i. Quare forma pũcti s pote$t reflecti a d ui$um exi$tent\~e in puncto i à puncto $peculic, nó impediente corpore pyramidis $peculi. Sed iam probatũ e$t per præmi$$a, quòd forma puncti m refle cti pote$t ad ui$um exi$tent\~e in puncto i à pun cto g circuli p g: quoniá pote$t reflecti ad punctũ n: & puncta n & i $unt in ead\~e linea recta cõ$i$ten- tia, ut præ often$um e$t. Poterit ergo forma. puncti m à pũcto $peculi g reflecti ad ui$um exi$tent\~e in puncto i: & ita punctũ s, q<001> e$t in linea s m g, pote$t reflecti ad ui$um exi$tent\~e in puncto i à puncto g. Igitur forma pũcti s reflectitur ad ui$um in pũcto i à duobus punctis circuli p g, q<001> e$t impo$sibi- le, & cõtra 16 p 6 huius, & contra 27 huius. Re$tat ergo, ut primũ $it impo$sibile: $cilicet quòd forma puncti b reflecti po$sit ad ui$um exi$tent\~e in puncto a ab aliquo alio puncto $peculi, quàm à puncto g. Ab uno $olo ergo puncto fiet reflexio formæ eiu$d\~e puncti cómuni $ectione $uperficiei reflexio- nis & $peculi pyramidalis conuexi exi$tente linea longitudinis $peculi. Quod e$t propo$itum.

34. Cõmuni $ectione $uperficiei reflexionis & $peculi pyramidalis conuexiexi$tente oxygo- nia $ectione: à quolibet puncto $uperficiei $peculi apparentis ui$uipote$t reflexio adui$um: & ab uno uel à duobus punctis tantùm. Alhazen 43 n 4.

Efto $peculum pyramidale conuexum f k s: cuius uertex f: diameter ba$is k s: centrum\’q; ba$is n: LIBER SEPTIMVS. erit ergo axis $peculi linea f n: $it\’q; centrum ui$us punctus a. Dico quòd cómuni $ectione $uperfi- ciei reflexionis & $peculi exi$tente $ectione oxygonia, quæ $it b i: po$sibile e$t à quolibet puncto $peculi propo$iti fieri reflexion\~e alicuius puncti ui$i ad punctum a, quod e$t centrũ ui$us. Sit enim punctus b datus in $uperficie $peculi, de quo dubitatur utrũ ab eo po$sit fierl reflexio formæ alicu- ius puncti rei ui$æ ad centrum ui$us, quod e$t a. Ducatur ergo à puncto b linea longitudinis pyra- midis $peculi per 101 th. 1 huius, quæ $it b f: ducatur\’q; à puncto b perpendicularis $uper illá lineam longitu dinis extra $peculum, quæ $it b g: & $uper punctum b terminum lineæ b g fiat per 23 p 1 an- gulus æqualis angulo a b g, qui $it g b p, ducta linea b p in eadem $uperficie re$lexionis: patet\’q; per 20 th 5 huius quia omnis punctus rei ui$æ exi$tens in linea b p reflectetur ad ui$um in punctum a: $ed & à $olo puncto b uel duobus tantùm fiet reflexio ad ui$um exi$tent\~e in puncto a. Palám enim per 96 th 1 huius quòd $i perpendicularis g b producatur intra pyramidem: quoniá concurret cum axe f n: $it\’q; punctus concur$us c. Palàm ergo quoniam angulus g c f cum $it in $uperficie $ectionis, uer$us uerticem pyramidis e$t acutus per 32 p 1, quoniá in trigono b c f angulus c b f e$t rectus. Cir- cunducatur ergo per 102 th. 1 huius à puncto reflexionis, quod e$t f a d e r c b y i h p s l n f q b, circulus $peculo pyramidali: cuius diameter $it b d: & eius cen- trum e, $ecás axem f n in puncto e. Et quia ille circulus per 100 th. 1 huius e$t æquidi$tans ba$$ $peculi, palàm quia perpendicularis g c acutum angulum tenens cum axe fn, declinata erit $uper circuli il- lius $uperficiem: quia linea æquidi$tans lineæ g c $i produceretur à puncto n centro ba$is $peculi, patet quòd declinata e$t $uper ba$im pyramidis, ut $it linea n q. Producta ergo linea c d à puncto axis c ad circuli peripherlam, cum angulus b e c $it æ qualis angulo d e c, quoniam uterq; ip$orum e$t rectus: omnes enim anguli contenti $ub $emidiametris circuli & axe f e $unt æ quales, & lineæ à centro ad circumferentiam æ quales, e c uerò linea e$t communis: palàm per 4 p 1 quoniam latus b c æquale e$t lateric d: & omnes anguli fa ctorum trigonorum $unt æquales: quia idem e$t de omnibus lineis à puncto c ad circuli b d circumferentiam prdoductis per 65 th. 1 hu ius: quoniam punctus c e$t polus circuli b d. Fiet ergo noua pyra- mis, cuius ba$is e$t circulus b d, uertex c, & axis c e. Superficies er- go reflexionis $ecans $peculum $ecundum oxygoniam $ectionem: aut continget hanc pyramidem c b d: aut $ecabit. Si contingat, di- co quòd à $olo puncto b, quod e$t punctus reflexionis, tantùm fiet reflexio $ecundum illam $uperficiem eandem. Palàm enim quòd $uperficies reflexionis contingat pyramidem $uper lineam longitudinis illius pyramidis per 95 th. 1 huius: hæc autem erit linea b c, in qua e$t punctũ b, à quo ducitur linea b c perpédicularis $uper $uperfici\~e $peculi, & linea reflexio- nis b a. A puncto quoq, f, quod e$t uertex pyramidis $peculi, ducátur lineæ plures ad $ection\~e oxy- goniã, quæ e$t cõmunis $ection $uperficiei reflexióis & pyramidis $peculi, quæ e$t f k s. Omnes itaq; illæ line{ae} prius cadent in $uperfici\~e circuli b d, qu{ae} e$t ba$is pyramidis intellectæ, <004> cadant in ip$am $ection\~e, præter uná $olam, qu{ae} cadetin punctũ reflexiõis b, qu{ae} e$t linea f b. A folo itaq; puncto b fiet reflexio a d ui$um. Si enim detur quod ab alio puncto dict{ae} $ectiõis oxygoni{ae}, ut à puncto i, fiat ad ui$um a reflexio: tunc linea ab illo punctio i ad punctũ c, quod e$t uertex pyramidis intellet{ae}, du cta, qu{ae} $it i c: erit, ut prius, perpendicularis $uper $uperficiem $peculi per 96 th. 1 huius. Cum enim illa perpen dicularis nece$$ariò $it in $uperficie reflexióis, in qua e$t $ectio: oportet quòd ip$a cadat in punctũ c. Ergo erit perpendicularis $uper lineam lógitudinis pyramidis $peculi per illud punctũ i tran$eunt\~e, quæ $it fil. Sit quoq; punctus, in quo linea f i $ecat circulũ d b, pun ctus r. Patet aũt per præmi$$a & per 96 th. 1 huius quoniã linea c rà uertice pyramidis intellect{ae} ducta ad illá lineá lon- gitudinis nec$$ariò e$t perpendicularis $uper illá, $icut linea c b e$t perpendicularis $uper lineá lon gitudinis $peculi, quæ e$t f b: quoniã, ut patet per 89 th. 1 huius anguli omniũ linearũ longitudinis cum $emidiametro ba$is & cũ axe ad uertic\~e $unt æ quales: erunt ergo in triangulo cir duo anguli recti: quod e$t impo$sibile & cótra 32 p 1. Non ergo fiet reflexio a b alio puncto $ect. onis oxygoniæ, qu{ae} e$t b i, <004> à puncto b, $uperficie reflexionis pyramidem c b d contingente. Quòd fi $uperficies re flexionis $ecet pyramid\~e c b d, palàm per 104 th. 1 huius quoniã $ecabit circulũ b d, <003> e$t ba$is eiu$d\~e pyramidis, in duobus tantùm punctis. Dico ergo quòd in his $olis duobus punctis pote$t fieri refle xio ad ui$um à tota data oxygonia $ectione. Quoniá enim a b utroq; i$torũ punctorũ linea ducta ad punctũ c, q<001> e$t uertex pyramidis c b d, e$t perpendicularis $uper lineá longitudinis $peculi tran$ eunt\~e per illum punctũ, ut patet ex præmi$sis: ab illis ergo duobus punctis pote$t fieri reflexio ad ui$um a, prout modo præmi$$o demon$trari pote$t. Quòd $i dentur puncta alia illius $ectionis oxy- goniæ, à quibus dicatur po$$e fieri reflexio: tunc $emper linea à dato puncto, quod $it h, ducta ad punctum c uerticem imaginatæ pyramidis, tenebit angulum rectum cum linea longitudinis $pe- culi per illum dictum punctum tran$euntem: & fiet angulus extrin$ecus æqualis intrin$eco $i- bi oppo$ito, quod e$t contra 16 p 1: aut duo anguli trianguli fient recti, quod e$t contra 32 p 1, ut prius. Linea enim à puncto c ad communem $ectionem eiu$dem lineæ longitudinis & circuli VITELLONIS OPTICAE b d ducta tenebit cum linea longitudinis angulum rectum. Si uerò angulus f h c $it acutus, ideo quòd angulus c r h $it rectus: palàm per 13 p 1 quòd angulus c h l e$t obtu$us. Omnes enim lineæ du ct{ae} à puncto c, quod e$t uertex pyramidis intellectæ, quæ e$t c b d, ad f a d e r c b g h p l s n k puncta $ectionis, qu{ae} interiacent uerticem $peculi & peripheriam cir- culi b d, facient angulos obtu$os cum lineis longitudinis uer$us uerti- cem pyramidis, qui e$t f: & omnes lineæ, qu{ae} ducuntur à puncto c ad puncta interiacentia circulum b d & ba$im $peculi k s, facient cum li- neis longitudinis angulos acutos uer$us uerticem $peculi, qui e$t f, & obtu$os ex parte ba$is. A nullo ergo omnium illorum punctorum fiet reflexio, $ed à $olis punctis circuli b d: $ed neq; ab illis pote$t fieri reflexio per 25 huius, ni$i in $ectione oxygonia ceciderint: hoc autem non e$t po$sibile, ut præmi$$um e$t, ni$i in uno tantùm puncto $ectione oxygonia imaginatam pyramidem contingente, uel tantùm in duobus punctis dicta $ectione ba$im pyramidis imaginatæ $ecante: nec enim po$$unt hæc per modos alios uariari. Patet ergo propo$itum.

35. Dato $peculo pyramidali conuexo, centro<006> ui$us & puncto rei ui$e exi$tentibus inter $uperficiem æquidi$tanter ba$i $peculum in uertice contingentem & inter ip$am ba$im: po{$s}ile e$t inueni- ri punctum reflexionis. Alhazen 54 n 5.

E$to datum $peculum pyramidale, cuius uertex $it punctus g: & fiat $uper ip$um uerticem $uperficies æquidi$tans ba$i pyramidis, qu{ae} $it m n g: quod fiet ductis à pun- cto g uertice $peculi tribus lineis perpendicularibus $uper axem $peculi per 11 p 1, & imaginata pla na $uperficie inter illas lineas exten$a: $it\’q; a punctus rei ui$æ & b centrũ ui$us: quæ $int ambo $ub illa $uperficie m n g, inter ip$am $cilicet & ba$im $peculi: $it\’q; exempli cau$$a, punctũ b propinquius uertici $peculi g quàm punctum a: quoniam $i po$itum fuerit e$$e econuer$o, $emper eadem e$t de- mon$tratio. Dico quòd e$t po$sibile punctum reflexionis inueniri. Ducatur enim à puncto a, qui e$t punctus rei ui$æ, $uperficies $ecans pyramidem æ quidi$tanter ba$i, ut prius: & ducatur à uertice $peculi, qui e$t punctum g, linea ad punctum b, quod e$t centrum ui$us, quæ $it g b. Hæc itaq; linea producta cadet in $uperficiem à puncto a rei ui$æ ductam æquidi$tanter ba$i pyramidis: cum illa li- nea g b $it inter $uperficies æ quidi$tantes ducta à uertice axis ambas illas $uperficies tran$euntis: punctus ergo, in quem cadit hæc linea g b, $it punctus h. Ergo per modum demon$trandi, quo u$i $umus in 32 huius, demon$trari pote$t quoniam forma puncti a reflectetur ad ui$um exi$tentem in puncto h ab aliquo puncto circuli, quem efficit $uperficies $ecans pyramidem, ducta à punctis a & h: cuius circuli centrum $it punctum axis $peculi, quod g m n b f q k l t s e p o h r a e$t t: & $it punctus reflexionis inuentus in illo circulo punctus e: & ducatur inter a punctum rei ui$æ & cen- trum ui$us b linea a b: & linea longitudinis $peculi, qu{ae} fit g e: & axis pyramidis $peculi $it g t: & ducatur à pun- cto e linea ad centrum $ui circuli, quæ $it e t: hæc enim ca det $uper ax\~e g t perpendiculariter per 100 & per 89 th. 1 huius, uel per 21 huius: & etiam ideo quòd axis g t cum $it perpendicularis $uper ba$im pyramidis $peculi & etiã erectus $uper $uperficiem circuli æquidiftantis illi ba$i per 23 th. 1 huius: e$t ergo per definitionem line{ae} $uper $u perficiem erectæ axis g t perpendicularis $uper $emidia- metrum e t, & erit linea e t erecta $uper lineam contin- gentem illum circulũ in puncto e per 18 p 3: & hæc linea t e producta extra circulum ductis lineis h e & a e, $eca- bit angulum a b eis contentum per æ qualia, $cilicet angu lum h e a per 26 th. 5 huius: ergo per 29 th. 1 huius eadem linea t e producta lineam h a ductá $ecabit: cum $it cum illa in ead\~e $uperficie reflexionis, ut patet per 24 huius: $it ergo linearum t e & h a punctus $ectionis r. Et quia li- neæ g e & e t efficiunt $uperficiem $ecantem lineam a b: $it punctus $ectionis $: & ab illo puncto f ducatur per 12 p 1 linea perpendicularis $uper lineá longitudinis g e, quæ fit f q: erit\’q; linea f q per definitionem lineæ $uper $uper- ficiem erectæ, perpendicularis $uper $uperficiem contin gentem pyramidem $uper lineam g e. Deinde à puncto a ducatur linea æ quidi$tás lineæ f q, quæ fit linea a l: pro- ducatur\’q; linea f q, donec concurrat cum axe g t in puncto k. Ducatur item à puncto a linea æquidi $tans line æ r t, quæ $it a s: & ducatur à puncto e linea, quæ $it communis $ectio $uperficiei reflexio- LIBER SEPTIMVS. nis, quæ e$t a e h, & $uperficiei contingentis pyramidem $peculi in linea longitudinis, quæ e$t g e: & fit hæc linea e o: quæ cum $it perpendicularis $uper $emidiametrum circuli, quæ e$t e t, ut pater per 18 p 3: contingit enim linea e o circulum, cuius e$t centrum punctum t: palàm quòd ip$a e$t perpen- dicularis $uper lineam e r: ergo per 29 p 1 erit linea e o perpendicularis $uper lineam a s: quoniam li nea a s æquidi$tat lineæ t r, ut patet ex præmi$sis. Ducatur quoque linea b q, quæ producta nece$$a- riò concurret cum linea a l per 2 th. 1 huius: quia concurrit cum eius æ quidi$tante, $cilicet linea f q: fit punctus concur$us l: & ducatur à puncto q linea, quæ e$t communis $ectio $uperficiei contingen tis $peculum $ecundum lineam longitudinis g e & $uperficiei a b l: quæ fit q p: quæ per 2 th. 1 huius $ecabit lineã a l: quia $ecat eius æ quidi$tãt\~e, qu{ae} e$t f k: $it pũctus $ectionis p: producatur\’q; linea h e, donec concurrat cum linea a s: concurret autem per 2 th. 1 huius: $it punctus concur$us s: & ducan- tur du{ae} line{ae}l s & p o. Quia itaq; linea r t e$t perpendicularis $uper axem g t, & linea f k acutum an- gulum continet cum axe g t, angulus enim f k g per 32 p 1 e$t acutus: ideo quia angulus f q g, ut patet ex pr{ae}mi$sis, e$t rectus: ergo per 14 th. 1 huius lineæ r t & f k concurrent in a liquo puncto ultra ax\~e g t: $ed & illarũ {ae}quidi$tãtes line{ae}, quæ $unt a l & a s cõcurrunt in pũcto a: $unt\’q; in alia $uperficie, <004> line{ae} r t & f k, qu{ae} $unt in $uքficie g e k ք 1 p 11: palá ergo quoniá $uքficies a l s e$t {ae} quidiftás $uքficiel g e kք 15 p 11. Line{ae} quoq; q e & p o $unt in $uքficie cótingt\~ete $peculũ in linea lõgitudinis g e, & $ecá te illas duas $uperficies {ae}quidi$tantes $uք duas lineas, qu{ae} $unt q e & p o: igitur linea q e æ quidiftat line{ae} p o per 16 p 11. Et quia linea h e producta concurrit cum linea a s in puncto s: erit ergo linea e s in $uperficie h e g per 1 p 11, & in eadem $uperficie e$t linea b l: & hæc $uperficies $ecat prædictas fu- perficies {ae}quidi$tantes, quæ $unta l g & g e k, in duabus lineis e q & l s: igitur per 16 p 11 linea e q e$t æquidi$tans lineæ l s: ergo per 30 p 1 linea p o, quæ e$t æquidi$tans lineæ q s, ut $uprà patuit, erit æ- quidi$tans ip$i line{ae} l s. Erit ergo per 2 p 6 proportio line{ae} a o ad lineam o s, $icut line {ae} a p ad lineá p l: $ed quoniam per 20 th. 5 huius angulus h e r e$t æqualis angulo r e a, & angulus h e r æ qualis an- gulo e s a per 29 p 1: quoniam extrin$ecus intrin$eco e$t æ qualis: & angulus e a s æ qualis e$t angulo r e a, quia coalternus: palàm quia angulus e s a e$t {ae}qualis angulo e a s: ergo per 6 p 1 erit linea e a {ae}qualis line{ae} e s, quia linea e o e$t perpendicularis $uper lineam a s, erũt per 31 th. 1 huius trigonia e o & s e o $imiles: ergo per 1 definit. 6 ip$orum latera æquos angulos re$picientia $unt proportio- nalia. Sed expræmi$sis patet quòd latus a e e$t æ quale lateri e s: ergo & latus a o erit æ quale lateri o s: ergo & linea a p e$t {ae}qualis ip$i line{ae} p l: & linea p q e$t per 29 p 1 perpendicularis $uper lineam a l: cum ip$a $it perpendicularis $uper lineam f k {ae}quidi$tantem line{ae} a l. in trigonis ergo q p a & q p l anguli ad p $unt æquales, quia recti, & latus l p e$t æ quale lateri p a, latus\’q; p q ambobus trigonis q p l & q p a e$t commune: ergo per 4 p 1 erit linea a q {ae}qualis line{ae} q l, & angulus q l a æqualis e$t an gulo q a l: $ed angulus q l a {ae}qualis e$t angulo b q f per 29 p 1, cum $it ei extrin$ecus: & angulus q a l {ae}qualis e$t angulo a q f, cum $it ei coalternus: erit ergo angulus b q f æqualis angulo a q f. Igitur per 20 th. 5 huius forma puncti a reflectitur ad ui$um b à puncto $peculi q. Quod e$t propo$itum.

36. Dato $peculo pyramidali cõuexo, centro<006> ui$us g m q n t e b r a & puncto rei ui$æ exi$tentibus in $uperficie $peculum æquidi$tanter ba$i in uertice contingente: po{$s}ibile ect inueniri punctum reflexionis. Alhazen 55 n 5.

Fiat di$po$itio ut proxim{ae} pr{ae}ced\~etis: $it\’que uertex $peculi pyramidalis punctus g: in quo ip$um contin- gat $uperficies plana, qu{ae} $it m n g, {ae}quidi$tans ba$i ip$i- us: & $int centrum ui$us & punctus rei ui${ae} in $uperficie m n g, ita quòd unum $it in puncto m, aliud in puncto n. Dico quòd po$sibile e$t punctum reflexionis inueniri. Ducantur enim line{ae} m g, n g, m n: & diuidatur angulus m g n per {ae}qualia per lineam q g. Palàm ergo per 20 th. 5 huius quoniam forma puncti n à puncto fpeculi g re- flectitur ad ui$um m. Palàm etiá quòd linea m g & axis pyramidis $peculi, qui $it g t, $unt in $uperficie $ecante pyramidem $uper lineam longitudinis pyramidis, quæ fit g e. Et à puncto q duncatur perpendicularis $uper hanclineam longitudinis, qu{ae} e$t g e, per 12 p 1, qu{ae} $it q e: & $uper punctum e ducatur $uperficies æquidiftans ba$i $peculi: qu{ae} $ecabit pyramidem $ecundum circulũ, per 100 th. 1 huius. Linea uerò communis $uperficiei q e g & huic circulo $it linea e t. Palàm ergo quoniam h{ae}c linea cadet $uper axem $peculi in centro circuli, quod fit t. Deinde à puncto m centro ui$us ducatur linea æ- quidi$tans line{ae} longitudinis $peculi, quæ e$t e g per 31 p 1: qu{ae} producta in $uperficiem illius circuli, ca- dat in punctum b: & $imiliter à puncto n, qui e$t punctu s rei ui$æ, ducaturlinea {ae}quidiftás line{ae} g e, VITELLONIS OPTICAE quæ producta in dictam $uperficiem, cadatin punctum a: & ducatur linea b a in $uperficie plana $e- cante $peculum $ecundum prædictum circulum: & producatur linea te extra $peculum, quæ $eca- bit nece$$ariò lineam b a per 29 th. 1 huius: cum illæ ambæ lineæ in eadem $int $uperficie circuli: $e- cet ergo ip$am in punctor. Quia uerò linea m b æ quidi$tat line{ae} e g: palàm per 1 th. 1 huius quia e$t cum ip$a in eadem $uperficie: qu{ae} $uperficies $ecat $uperficiem m n g, & $uperficiem b e a $uper duas lineas m g & b e: $uperficies uerò m g n & b e a $unt æquidiftantes per 24 th. 1 huius: quoniam ip$æ ambæ æquidi$tant ba$i $peculi: ergo per 16 11 linea m g e$t æquidi$tans lineæ b e. Similiter quoq; line{ae} a n & g e $unt in $uperficie $ecante illas æquidi$tantes $uperficies $uper lineas n g & e a: igitur per 16 p 11 linea n g æqui$tat lineæ a e. Similiter $uperficies q g e $ecat ea$dem $uperficies {ae}quidi$tan tes $ecundum duas lineas r e & q g: igitur, ut prius, line{ae} r e & q g æ quidiftant. Igitur duæ lineæ q g & m g æ quidi$tant duabus lineis b e & r e: ergo per 10 p 11 angulus m g q e$t æ qualis angulo b e r: & angulus q g n ead\~e ratione e$t {ae}qualis an gulo r e a. Ergo per 20 th. 5 huius forma puncti a pote$t re- flecti ad ui$um b à puncto $peculi e. Si ergo à puncto a ducatur linea {ae} quidi$tãs duct{ae} line{ae} q e, & a- lia {ae}quidi$tans line{ae} r e: & copulentur line{ae} m e & n e, & producatur linea m e, donec concurrat cũ linea {ae} quidi$tante line{ae} q e ducta à puncto a, & ducantur line{ae} communes, ut in proxima pr{ae}ceden te, & iteretur probatio, ut in illa: patebit quoniam forma punctin pote$t reflecti ad ui$um m à pun- cto $peculie. Igitur punctus e erit punctus reflexionis. Quod e$t propo$itum.

37. Dato $peculo pyramidali conuexo, & centro ui$us & puncto rei ui$æ exi$tentibus ultra $uperficiem æquidi$tanter ba$i $peculum in uertice contingentem: po{$s}ibile e$t punctum reflexio- nis inueniri. Alhazen 56 n 5.

Sit di$po$itio, qu{ae} prius: & $it b centrum ui$us: & a punctus rei ui$æ ultra $uperficiem m g n $pecu lum in puncto g uertice pyramidis contin gentem. Dico quòd e$t po$sibile inueniri punctum refle- xionis. Fiat enim pyramis huic oppo$ita: & e$t hoc per 91th. 1 huius po$sibile, lineis omnibus lon- gitudinis pyramidis $peculi imaginatis protrahi ultra ip$arum cómunem $ectionem, qu{ae} fit in uer- tice g: erit\’que ba$is huius pyramidis {ae}quidi$tans ba$i pyramidis primæ. Ducatur itaque à puncto a (qui e$t punctus rei ui$æ) $uperficies $ecans hanc $ecundam pyramidem æquidi$tanter ba$ibus uni us & alterius pyramidum. Et quoniam illæ ba$es ad inuicem æquidi$tant: palàm per 23 & 24 th. 1 huius quoniam illa $uperficies {ae}quidi$tat ambabus ba$ibus pyramidum: palàm autem per 100 th. 1 huius quoniam illa $uperficies $ecabit pyramidem illam $ecundam $ecundum circulum, qui $it y z. Centrum ita que ui$us (quod e$t b) aut erit in hac $uperficie pyramidem $ecante, autnon. Si fuerit in illa $uperficie, fiat ductio linearum ab ip$o puncto b, & compleatur demon$tratio $icut in 35 hu- ius, quantùm ad hoc quòd fiat reflexio form{ae} puncti a ad centrum ui$us b ab aliquo puncto $ecun- d{ae} pyramidis, quod $it z: quo habito, compleatur demon$tratio, ut infrà $tatim patebit. Quòd $i pun ctus b (qui e$t centrum ui$us) non fuerit in illa $uper- z y v p d q b m n g t e f r h ficie: ducatur à puncto g uertice ip$ius $peculi ad cen- trum ui$us, quod e$t b. linea g b: qu{ae} producatur u$que- quò concurrat cum hac $uperficie circuli y z: & $it con- cur$us in puncto d. Palàm itaque quòd forma puncti a reflectitur ad ui$um exi$tent\~e in puncto d ab aliquo pun cto circuli y z arcus $ui interioris, ut patuit per 32 huius. Sit ergo ille punctus z: & ducantur lineæ a z, d z, a d: an- gulum quoque a z d diuidat linea p z per æqualia: ca- det\’que punctus p in linea a d: & ducatur linea a b: & à puncto z ducatur linea z g per 101th. 1 huius, quæ $it li- nea lõgitudinis $ecundæ pyramidis. Palàm quoque per 91 th. 1 huius quoniam eadem linea producta trans uer- ticem pyramidis $peculi, erit linea longitudinis primæ pyramidis ip$ius $peculi: quæ $it linea z g e. Palàm ergo quoniam $uperficies p z e $ecabit lineam a b: $ecet ergo ip$am in puncto q: & à puncto q per 12 p 1 ducatur linea perpendicularis $uper lineam g e: & cadat in punctum e: & erit linea q e perpendicularis $uper $uperficiem cõ- tingentem pyramidem $ecundum lineam g e: quoniam linea q e e$t perpendicularis $uper curuam $uperficiem pyramidis, ut patet. Super punctum quoque e fiat per 102 th. 1 huius $uperficies {ae}quidi$tans ba$i, qu{ae} $it f e h, & ducatur à puncto b centro ui$us linea æquidi$tans li- ne{ae} z e longitudinis $peculi: quæ $it b h, concurrens cũ $uperficie illa f e h in puncto h: & eidem lineæ z e du- catur à puncto a rei ui${ae} linea {ae} quidi$tans, qu{ae} $it a f, $e- cans $uperficiem f e h in puncto, qui e$t $. Palàm itaque per 1 th. 1 huius, cum linea b h $it æquidi- $tans line{ae} z e, quoniam ill{ae} line{ae} $unt in eadem $uperficie: $ed & puncta b & d $unt in eadem linea: LIBER SEPTIMVS. quia per 1 p 11 line{ae} d z & h e $unt in eadem $uperficie, qu{ae} $ecat $uperficies illas {ae}quidi$tãtes, $cilicet y z & f e h $uք duas lineas d z & h e. Igitur ք 16 p 11 illæ du{ae} line{ae} d z & h e $unt {ae}quidi$tãtes. Et $imi liter quoniam $uperficies ducta per punctum a $ecat pyramidem $ecundam {ae}quidi$tãter ambabus ba$ibus præmi$$arum pyramidum, $peculi $cilicet, & pyramidis imaginat{ae} $ecundum circulum y z, & $uperficies ducta per lineam f e, quæ e$t $uperficies f e h, $ecat pyramidem $peculi $ecundum cir- culum æquidi$tantem ba$i $peculi: patet quòd $uperficies, in qua $unt line{ae} a z & f e, $unt {ae}quidi$tan tes per 24 th. 1 huius: line{ae} ergo a z & f e $unt {ae}quidi$tantes. Patet ergo quòd du{ae} line{ae} d z & a z æ- quidi$tant duabus lineis h e & f e: ergo per 10 p 11 angulus d z a e$t {ae}qualis angulo h e $. Copuletur quoque linea h f. Et quoniam linea p z e$t diuidens per {ae}qualia angulum d z a: erit ip$a per 26 th. 5 huius perpendicularis $uper lineam, circulum y z contingentem in pũcto z: ergo per 19 p 3 linea p z producta tran$ibit centrum circuli y z. Superficies ergo p z e $ecat $peculum trans axem: $ecat ergo circulum ductum per punctum e tran$euntem. Sit ergo communis $ectio $uperficiei p z e & illius circuli linea r e. Sicut ergo linea s p z tran$it centrum circuli y z: $imiliter linea r e diuidens angulũ h e f tran$ibit centrum alterius circuli, $uper quem $uperficies f e h $ecat pyramidem $peculi {ae}qui- di$tanter ba$i. Et quia $uperficies, in qua $unt du{ae} line{ae} p z & e r, $ecat illas duas $uperficies {ae}quidi- $tantes $uper duas lineas p z & r e: igitur per 16 p 11 line{ae} p z & r e $unt æquidi$tantes. Du{ae} ergo li- ne{ae} a z & z p $unt {ae}quidi$tantes duabus lineis f e & e r: ergo per 10 p 11 angulus a z p {ae}qualis e$t an- gulo f e r. Similiter & angulus d z p e$t {ae}qualis angulo r e i: quoniam $icut totus angulus d z a e$t {ae}- qualis toti h e f, $ic medietas medietati: ergo angulus f e r {ae}qualis e$t angulo h e r. Patet ergo per 20 th. 5 huius quoniam forma puncti $ reflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto h à puncto $peculi e. Ergo $i à puncto f protrahatur linea {ae}quidi$tans line{ae} q e, & alia linea {ae}quidi$tans line{ae} r e, & line{ae} aliæ communes, ut in 35 huius, reiterata demon$tratione illius: patebit quoniam forma puncti a re- flectitur ad ui$um b à puncto $peculi e. Quod e$t propo$itum. Quòd $i à puncto q non po$sit duci li nea perpendicularis $uper lineam g e, nulla $iet reflexio formæ puncti a ad ui$um b in tali di$po$itio ne con$titutum: aliàs autem $emper fiet reflexio, ut præ o$ten$um e$t: & patet per 14 huius, & per 90 th. 4 huius.

38. Dato $peculo pyramidali conuexo, puncto<006> rei ui$æ exi$tente $ub $uperficie $peculũ æqui- di$tanter ba$i in uertice contingente, & centro ui$us in eadem $uperficie: po{$s}ibile est punctum reflexionis inueniri. Alhazen 57 n 5.

Permaneat prior di$po$itio pr{ae}mi$$arum: & $it a punctus rei ui${ae}, qui $it $ub $uperficie m n g con- tingente pyramidem $peculi in uertice g {ae}quidi$tanter ba$i: & $it centrum ui$us in illa $uperficie. Di co quòd adhuc po$sibile e$t inueniri punctum reflexionis. Sit enim centrum ui$us in puncto m $u- perficiei m g n, qu{ae} po$ita e$t $uperficies contingens $peculũ in puncto uerticis g {ae}quidi$tanter ba$i $peculi: & à puncto a rei ui${ae} ducatur $uperficies {ae}quidi$tans ba$i pyramidis: qu{ae} per 100 th. 1 huius $ecabit pyramidem $uper circulum, qui $it d e k: cuius centrum $it punctum t, & ducatur axis $pecu li, qui $it g t: & à puncto m centro ui$us ducatur ad a punctum rei ui${ae} linea m a: & linea perpendicu laris $uper dictam $uperficiem circuli, qu{ae} $it m h: & à puncto had c\~e trum circuli ducatur linea h t: & à puncto rei ui${ae} (quι e$t a) ducatur m n g f p i b a h e q t d k ad lineam h t linea a e q intra circulum, $ecãs peripheriam circuli in puncto e, & producta taliter ut pars duct{ae} line{ae} intra circulũ, qu{ae} e$t e q, $it æqualis line{ae} q t $cilicet parti diametri interiacenti punctum $ectionis & centrum: quod pote$t fieri per 136 th. 1 huius: & ducatur linea t e i: & à puncto h ducatur in eadem $uperficie $peculum $ecan te $ecundũ circulũ d e k, linea {ae}quidi$tans & æqualis line{ae} t e, quæ $it h b: & ducãtur line{ae} m b, & b e, & g e: erit\’q; g e linea lõgitudinis $pe- culi. Palàm quoniã $uperficies g t e $ecans $peculum trans ax\~e, $ecat etiam lineam a m: $it ergo punctus $ectionis f: & ducatur à puncto f perpendicularis $uper lineá longitudinis $peculi, quæ e$t g e, cadens in punctum o: & producatur ad axem g t: & $it f o p $ecans axem g t in puncto p: & ducantur lineæ m o & a o. Dico quoniam punctus o, (qui e$t punctus $uperficiei $peculi: cum $it in linea $u{ae} longitudinis, quæ e$t g e) e$t punctus reflexionis formæ punctia, ad centrum ui- $us punctum m. Palàm enim ex pr{ae}mi$sis, quoniam linea h b e$t æ- qualis & æquidi$tans line{ae} t e: igitur per 33 p 1 erit linea h t {ae}qualis & {ae}quidi$tans line{ae} b e: $ed linea m h e$t {ae}qualis & {ae}quidi$tans axi g t per 25 th. 1 huius: eò quòd ip${ae} $unt lineæ {ae}quidi$tantes inter $uper- ficies {ae}quidi$tantes productæ: ergo per 33 p 1 linea h t æquidi$tat line{ae} m g: ergo per 30 p 1 linea m g {ae}quidi$tat line{ae} b e: & e$t {ae}qualis illi. Palàm etiam quòd angulus q t e e$t {ae}qualis angulo q e t per 5 p 1: ideo quia lineæ e q & q t, ut patet ex præmi$sis, $unt æquales: $ed angulus q e t æqualis e$t angu lo a e i per 15 p 1: angulus ergo q t e e$t æqualis angulo a e i: $ed angulus q t e per 29 p 1 e$t {ae}qualis an- gulo i e b: propter hoc quòd line{ae} e b & t h æquidi$tant: ergo angulus j e b e$t {ae}qualis angulo i e a. Patet ergo per 20 th. 5 huius quoniam forma puncti a reflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto b à puncto $peculi e. Et cum linea b m {ae}quidi$tans $it line{ae} g e, $i à puncto a ducatur linea {ae}quidi$tans VITELLONIS OPTICAE lineæ f o p, & linea æquidi$tans line{ae} it: & iteretur figura $uperà dicta 35 huius, & probatio eiu$dem: palàm quia $orma punctι a reflectetur ad c\~etrum ui$us exi$tens in puncto m à puncto $peculi o. Q<001> e$t propo$itum: nec refert quemadmodum demon$traui hoc in $equenti proxιma: $iue punctum rei ui$æ, $iue centrum ui$us $ιt in $uperficie m g n: quoniam idem e$t modus & ratio reflexionis hinc & inde.

39. Dato $peculo pyramidali conuexo, puncto<006> rei ui$æ exi$ten y z m q p a n y t e f r h te ultra $uperficiem $peculum æquidι$t anter ba$ι ιn uertice contin gentem, & centro uι$us in eadem $uperficie: po{$s}ibile est punctum reflexionis ιnueniri. Alhazen 58 n 5.

Remanente di$po$itione figuræ pr{ae}cedentis: $it centrum ui$us in puncto m $uperficιei m g n: & $it a punctus rei ui${ae} ultra illam $uper- ficiem: fiat\’que pyramiś alia huic oppo$ita: & fiat $uper punctum a $uperficies {ae}quidi$tans ba$i huius pyramidis: & per proximam pr{ae}- cedentem inueniatur in circulo huius $uperficiei punctus reflexιo- nis ex punctis interioribus: & ducatur à puncto ιllo lιnea ad pun- ctum g: & producatur taliter in $uperficie ip$ius, ut ip$a fiat linea lõ- gitudιnis pyramidis ip$ius $peculι: inuenιetur\’q; punctus reflexio- nis $ecundum ea, qu{ae} præmi$imus in 37 huius: eius\’q; ιdem proban- di modus penitus, quι prius in eadem 37. Et hoc e$t prop o$itum.

40. Dato $peculo pyramidali conuexo, puncto<006> rei ui$æ exi$ten te $ub $uperficie pyramidem æquidi$t anter ba$i in uertice contin- gente, & centro ui$us $uper eandem, uel econuer$o: po{$s}ibile est punctum reflexionis inueniri. Alhazen 59 n 5.

Di$po$itione priori remanente: $it punctus a rei ui$æ $ub $uperficie m n g: & punctus b centrum ui$us ultra eandem $uperficiem $peculum in uertice g contingentem: uel econuer$o a punctus rei ui$æ $it ultra $uperficιem m n g, & b centrum ui$us $ub $uperficie m n g. Dico quòd adhuc po$sibile e$t punctum reflexionis inueniri. Sit enim, exempli gratia, punctum a $ub $uperficie m n g, & b ul- tra ιllam: ducatur\’que à puncto a $uperficies {ae}quidi$tãs ba$i $peculi $ecans per 100 th. 1 huius pyramidem $pecu a s t d k e h i o p u g m n b li $uper circulum, qui $it d e: cuius centrum $it t: & duca tur axis $peculi, qui $it g t: & ducatur linea b g à puncto ulteriori, in quo e$t centrum ui$us, ad uerticem pyrami dis: quæ producta concurret nece$$ariò cum $uperficie a e d: quoniam concurrit cum axe $uper ip$am erecto. Sit concur$us punctus k: & in circulo d e inueniatur per 135 th. 1 huius pũctus, qui $it e, ita ut linea circulum contingens à puncto e ducta, qu{ae} $it e s, dιuidat per æ- qualia angulum, quem continent ductæ line{ae} k e & a e: copulentur\’q; line{ae} longitudinis, quæ $int g e & g d: & à puncto b ducatur linea æquidi$tans line{ae} g e: qu{ae} ne- ce$$ariò concurret cum linea k e concurrente cum eius æquidi$tante quæ e$t g e, per 2 th. 1 huius: $it concur$us in puncto h. Palàm itaque per 1 p 11 quia punctus b e$t in $uperficie g e k: quoniam e$t in linea k g b, qu{ae} ducta e$t in illa $uperficιe, & linea b h e$t in eadem $uperficie per 1 th. 1 huius: quoniam ip$a linea b h e$t {ae}quidi$tans line{ae} g e: & ducatur linea t e i à centro circuli t per pun- ctum contactus e. Palàm itaque quoniam $uperficies g t e $ecans $peculum trans axem g t, $ecat etiam lineam b a. Secet ergo ip$am in puncto u: & à puncto u duca- tur perp\~edicularis $uper $uperfici\~e contingent\~e $pecu- lũ $ecundum lineã longitudinis $peculi, qu{ae} e$t g e: h{ae}c enim $uperficies continget circulum d e in puncto e, quæ linea $it o p u, $ecans $uperficiem $peculi in pun- cto o, & axem g t in pũcto p: & ducãtur lineæ a o & b o. Cum itaque, ut patet ex præmi$sis, angulus a e s $it {ae}qualis angulo s e k, & cum angulus i e s $it re- ctus per 18 p 3, & angulus s e t rectus: palàm quòd angulus i e a e$t æqualis angulo t e k: $ed & angu- lus t e k {ae}qualis e$t angulo i e h ք 15 p 1: ergo angulus a e i e$t {ae}qualis angulo i e h. Pote$t ergo forma pũcti a reflecti ad ui$um exi$tent\~e in pũcto h à puncto $peculi, q<001> e$t e, ք 20 th. 5 huius. Si ergo à pun cto a ducatur linea æquidi$tans lineæ u p, & linea æquidi$tãs lineæ i t. & iteretur probatio 35 huius: LIBER SEPTIMVS. palàm quoniam forma puncti a reflectetur à puncto $peculi, quod e$to, punctum line{ae} g e, ad ui$um exi$tentem in puncto b. Quod e$t propo$itum. Et quoniam $emper e$t eodem modeo demon$tran- dum quodcunque punctorum a uel b fuerit ex quacũ que altera parte $uperficiei m n g: patet illud, quod proponebatur. Et imaginandum e$t ita, quòd in figura $olida punctum b cadat in lineam e g, quod in plano non potuimus taliter figurare. Palàm itaque ex præmi$sis $ex theorematibus, cũ nõ $it po$sibile alio modo $e habere punctum rei ui$æ $ecundum $itum reflexibilitatis à $peculis pyra- midalibus conuexis ad centra ui$us, ni$i modis propo$itis: quoniam aut ambo erunt $ub $uperficie m n g: aut ambo ultra illam: aut ambo in illa: aut unum in illa, aliud $ub illa uel ultra illam: aut unum $ub illa, aliud ultra illam: & omnibus his modis reflexionis punctum e$t inuentum. Vniuer $aliter er go in tota $uperficie $peculi pyramidalis conuexi quocunq; modo $e habente rei ui$ibilis pũcto ad centrum ui$us, punctum reflexionis e$t po$sibile inueniri: quod principaliter quærebatur.

41. Speculo pyramidali conuexo $uper ip$ius ba$im erecto: po{$s}ibile e$t rectam lineam rei ui$æ & centrum ui$us $ic $i$ti, ut ab una linea longitudinis $peculi fiat formarum omnium puncto- rum illius lineæ reflexio ad ui$um. Alhazen 31 n 6.

Sit $peculum pyramidale conuexum, cuius uertex $it a: axis uerò a h: linea longitudinis a z: & à puncto z ducatur linea perpendicularis $uper $uperficiem contingentem $peculum in linea longi- tudinis: quæ producta nece$$ariò concurret cum axe a h per 96 th. 1 huius: $it\’q; linea h z t $ecans ax\~e a h in puncto h: & eius punctus t $it extra $uperficiem $peculi: & erit angulus a z h rectus: ergo per 32 p 1 angulus a h z e$t acutus. Ducatur quo que à puncto a uertice $peculi linea extra pyramidem ultra $uperficiem contingentem pyramidem in linea a z, continens angulum acutum cum $peculi axe, qui e$t a h, & cũ linea lõgitudinis a z, quæ $it a n: line{ae} quoq; a h, a z, a n non $int in eadem $uperfi cie, $ed in diuer$is: & in $uperficie h a n à puncto h ducatur linea, cum axe continens angulum æqua lem angulo a h z: quæ linea concurret cum linea a n per 14 th. 1 huius: cum anguli h a n & a h z $int a- cuti, ut patet ex præmi$sis: concurrant ergo in puncto o: & $it linea h o: & facto $uper punctum z cir culo æquidi$tante ba$it per 102 th. 1 huius: palàm quoniam linea h o tran$ibit $uperficiem illius circu li: $icut etiam linea h z t tran$it per $uperficiem eiu$dem circuli. Fit enim punctus h polus illius cir- culi: ideo quòd $emidiameter illius circuli cum axe a h continet angulum rectum, & anguli a h z & a h o $unt acuti, ut patet ex præmi$sis. Secet itaq; linea h z t $uperficiem illius circuli in puncto z: & li- nea h o in puncto u: ducatur\’q; linea longitudinis $peculi, quæ $it a u s: ducatur quoq; linea o z: quæ producatur u$que ad punctum f. Et quoniam linea o z e$t ultra $uperficiem contingentem pyrami- dem in linea a z, cum linea h z $it perpendicularis $uper illam $u- a o u m h z t s b c n d l e q f p perficiem: palàm quia angulus o z h erit maior recto, cum angulus a z h $it rectus: igitur per 13 p 1 an- gulus f z h e$t minor recto. A puncto ergo z ducatur linea con- tingens circulum per 17 p 3, quæ $it z m: cadet\’q; linea z m in $uper- ficie contingente $peculum $ecũ- dum lineam longitudinis, qu{ae} e$t a z: e$t ergo linea h z perpendicu laris $uper lineam m z: & à pun- cto f ducatur linea perpendιcula ris $uper lineam a z per 12 p 1, qu{ae} $it linea f e, concurrens cum linea a z producta in puncto e: qu{ae} li- nea f e producta concurret cum linea a n per 14 th. 1 huius: quia cum angulus a e f $it rectus, angulus e a n e$t acutus: concurrant ergo in puncto n: & à puncto e du- catur linea {ae}quidi$tans lineæ t h: quæ $it e q, per 31 p 1: item \’que ab eodem puncto e ducatur linea æ- quidi$tans line{ae} m z, quæ $it e l. Palàm autem quod linea m z e$t perpendicularis $uper lineam a e per 22 th. 1 huius, quoniam ip$a e$t perp\~edicularis $uper lineam t h, ut $uper diametrum circuli, qu\~e ip$a e$t contingens in puncto z. Igitur linea l e, cum ip$a $it æquidi$tans lineæ m z, e$t per 29 p 1 per- pendicularis $uper lineam a e. Sunt quoque lineæ m z & l e in eadem $uperficie per 1 th. 1 huius, cum ip$æ $int æquidi$tantes: producatur\’q; linea q e ultra punctum e: & hæc per 2 th. 1 huius $ecabit ax\~e a h, cum ip$a $it in eadem $uperficie cum linea h t per 1 th. 1 huius: $ecet ergo axem in puncto d: erit\’q; angulus h d q acutus æqualis angulo a h t per 29 p 1. Fiat quoque $uperficies l e d q $ecans pyrami- dem: erit ergo illius $uperficiei & $uperficiei pyramidis communis $ectio oxygonia per 103 th. 1 hu- ius. Cum ergo linea a e $it perpendicularιs $uper lineam f n, & $uper lineam d q, & $uper lineam l e: patet per definitionem lineæ erect{ae} $uper $uperficiem, quoniam linea longitudinis pyramidis, quæ e$t a e, erecta e$t $uper $uperficiem illius $ectionis oxygoniæ, quæ e$t l e d q. Et quia linea a e e$t per- pendicularis $uper lineam f e n: erit ergo linea f n in $uperficie illa $ecante pyramidem $ecundũ illã VITELLONIS OPTICAE $ectionem: fiat ergo, ut in illa $uperficie $ectionis à puncto f ducatur linea f p per 31 p 1 æquidi$tãs li- ne{ae} e q: ergo per 9 p 11 erit linea f p æquidi$tans lineæ z t. Verùm cum angulus o z t $it acutus: ideo quod angulus o z h e$t obtu$us: erit per 13 p 1 angulus t z f obtu$us. Ducatur ita que à puncto z linea faciens cum linea t z angulum æqualem angulo o z t: qu{ae} quidem linea producta nece$$ariò $ecabit lineam f p per 2 th. 1 huius: cum linea f p $it æquidi$tans line{ae} z t. Secet ergo ip$am in puncto p: & du catur linea p e: quæ per 1 p 11 erit in $uperficie l e d q: erit ergo angulus a e p rectus, ut patet ex præ- mi$sis & per definitionem lineæ $uper $uperficiem erectæ. Cum ergo lineæ p z & o z, ut patet ex præ mi$sis, in eadem $int $uperficie pyramidem $ecante, & angulus o z t æqualis $it angulo t z p: palàm per 20 th. 5 huius quia forma puncti o reflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto p à puncto $peculi z. Verùm quia angulus o z t per 29 p 1 e$t æqualis angulo z f p, quia e$t extrin$ecus illi: & angulus h z f æqualis e$t angulo o z t per 15 p 1: $ed angulus z p f æqualis e$t angulo p z t per 29 p 1, quia e$t co- alternus: palàm quia angulus z f p {ae}qualis e$t angulo z p f: ergo per 6 p 1 latus z f {ae}quale e$t lateri z p. Et quia angulus f e z e$t rectus: ideo quia linea a e e$t perpendicularis $uper lineã f n: palàm per 47 p 1 quia quadratum lineæ f z ualet ambo quadrata linearum e f & e z: $ed eadem ratione quadratũ line{ae} z p ualet ambo quadrata linearum e z & e p: quoniam, ut patet ex præmi$sis, angulus p e z e$t rectus: quadratum uerò line{ae} p z e$t {ae}quale quadrato line{ae} z f: quoniam, ut patet ex præmi$sis, line{ae} z f & z p $unt {ae}quales: illa ergo duo quadrata hinc inde $unt {ae}qualia: ergo ablato communi quadra- to lineæ z e, remanet quadratum line{ae} e p æquale quadrato line{ae} e f: igitur latus f e æquale e$t lateri p e: ergo per 5 p 1 angulus e p f e$t æqualis angulo e f p. Sed angulus n e q e$t æqualis angulo e f p ք 29 p 1, quoniam extrin$ecus e$t illi: & angulus q e p æqualis angulo e p f, quia coalternus e$t illi: an- gulus ergo n e q & q e p $unt æquales: qui cum $int in eadem $uperficie, quæ e$t p e n: palàm per 20 th. 5 huius quoniam forma puncti n reflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto p à puncto $peculi, quod e$t e. Similiter $i ducatur à puncto f quæcunq; linea ad aliquod punctum line{ae} z e, & produca tur u$que ad lineam o n: $emper probabitur de puncto line{ae} o n, in quem cadit producta linea, quòd ip$e reflectetur ad punctum p à puncto aliquo line{ae} z e, quem $ecat illa linea. Simili modo & omniũ huiu$modi linearum probatio $umet initium à linea per pendiculari, quæ e$t f e, & à parte lineæ e z, quæ erit communis omnib. illis triangulis: & ita quo dlibet punctũ line{ae} a o n reflectitur ad ui$um exi$tent\~e in puncto p ab aliquo pũcto line{ae} z e: quia de omnib. e$t eadem demõ$tratio: quod etiam patet per 34 th. 5 huius. Si itaq; qu{ae}cunq; linea recta cuiu$cũq; rei ui$æ ponatur in loco line{ae} a o n, & centrũ ui$us $i$tatur in puncto p: $emper fiet reflexio ad ui$um ab aliquo punctorum line{ae} a z e, qu{ae} e$t linea lõgitudinis $peculi: & hoc proponebatur faciendum. Patet ergo propo$itum.

42. Cum $uperficiei reflexionis & $peculi columnaris uel pyramidalis conuexi communis $e- ctio $uerit linea longitudinis: erunt loca imaginum & di$tantia ip$arum à ui$ibus, quæ & in $pe culis planis. Alhazen 43. 49 n 5.

Quando cau$$a in diuer$is $ubiectis uniuocatur, & pa$sio uniuocabitur: ob hoc non repetimus illa hic, quæ in $peculis planis dicta $unt in quinto libro huius $cientiæ. Quia enim utrobiq; in pla- nis $cilicet, & propo$itis $peculis line{ae} incidentiæ & reflexionis incidunt & reflectuntur à lineis re- ctis: erit utrobiq; locus imaginis in perpendiculari à puncto ui$o ducta $uper $uperficiem $peculi, tá tùm di$tans à $uperficie $peculi, quantùm punctus rei ui$æ di$tat ab eadem $peculi $uperficie: ideo quia $emper imago rei ui$æ uidetur in cõcur$u line{ae} reflexionis cum catheto incid\~etiæ in omnibus his $peculis, ut patet per 37 th. 5 huius. Patet ergo propo$itum.

43. Cum $uperficiei reflexionis & $peculi columnaris conuexi cõmunis $ectio fuerit circulus: erunt punct a reflexionũ & loca imaginũ, quæ & in $peculis $phæricis conuexis. Alha. 43 n 5.

Erit enim aliquando locus imaginis intra $peculum columnare conuexum: aliquando in $uperfi cie $peculi: aliquando extra $peculũ, $ecundum modum quo cathetus incidentiæ & linea reflexio- nis in diuer$is punctis concurrunt: cuius qui cau$$am & demõ$trationem quæ$ierit, recurrat ad ea, quæ in $exto huius $cientiæ libro de $peculis $phæricis conuexis demon$trata $unt: nam eadem pe- nitus e$t ratio hincinde: quia & fines contingentiarum & metæ imaginum & loca, & eædem pro- portiones linearum $unt in illis $peculis & in i$tis. Patet itaq; per illa propo$itum: nec ui$um e$t no- bis dignum in his amplius immorari.

44. A puncto $ectionis columnaris, cui incidit cathetus incidentiæ ad perpendicular\~e du- ctam à puncto reflexionis $uper $uperficiem $peculi columnaris conuexi, ducta recta ad axem cõ tinente angulum acutum cum eadem: erit concur$us catheti incidentiæ cum illa perpendιcula- ri $ub axe. Alhazen 24 n 6.

Hoc, quòd hic proponitur demon$trandum, patet per 114 th. 1 huius: ut autem huic no$tro propo $ito conclu$io mathematica $en$ibiliter applicetur, eand\~e demon$tration\~e duximus iterandam. Sit ergo a e b c columnaris $ectio: & $it e datus punctus, cui incidat cathetus incidentiæ formæ puncti n: qui $it punctus rei ui$æ: & b $it punctus reflexionis, à quo ducta $it linea b d perpendicularis $uք axem $peculi, qui $it h k: $ecet\’q; cathetus incidenti{ae} ducta à puncto n, qui e$t punctus rei ui$æ, ip$um $peculũ $ecundũ punctũ propo$itæ $ectionis, qui e$t e: dico uerum e$$e, quod proponitur. Ducatur LIBER SEPTIMVS. enim linea e d: $it\’q; ita, ut fiat e d b angulus acutus: $it ergo q e l linea contingens $ectionem in puncto e: & $uper punctum $ectιonis b fiat circulus æquidι$tans ba$ibus $peculi per 102 th. 1 huius, qui $it b t o: cuius centrũ $it d: & ducatur à pũcto e linea longitudinis $peculi per 101 th. 1 huius, quæ $it e t. A puncto quoq; d per 11 p 1 ducatur linea d g per pendicularis $uper lineam b d in ip$a circu- li $uperficie. Palàm ergo quod $uperficies h d g (cum per axem h k tran$eat, qui per 92 th. 1 huius e$t erectus $uper circuli $uperficiem) perpendicularis e$t $uper eandem circuli $uperficiem per 18 p 11. Superficies uerò contingens $peculum in puncto b, erit æquidi$tans $uperficiei h d g $pecu- lum $ecanti. Ideo enim quia linea longitudinis $peculi ducta à puncto b e$t æquidi$tans axi h k, & li nea cιrculum b t o contιngens $uper punctum b, e$t æquidi$tans lineæ g d per 29 p 1: angulus enim g d b e$t rectus, ut patet ex pr{ae}mi$sis, & angulus contentus $ub linea d b & $ub linea contingente cιrculum in pũcto b e$t rectus per 18 p 3: ergo n q t e l g o f m k d h c a s u b p z illæ $uperficies æquidi$tant per 14 p 11. Igitur $uperficies, in qua $unt lineæ l e & e t, non e$t æquidι$tans $uperficiei h d g: quod patet per 24 th. 1 huius: quoniam $uperficies contin- gens $ectionem oxygoniam in puncto b non e$t æquidi$tans $uperficiei contingenti ean- dem $ectionem in puncto e, in quo $unt linea l e q contingens $ectionem, & linea longitu- dinis, quæ e$t e t. Angulus enim e d b, ut pa- tet ex hypothe$i, e$t acutus: $uperficies ergo h d g non æquidi$tat $uperficiei l e t: ergo con curret cum illa: concurrat ergo in linea l g & ducatur linea g t: quæ nece$$ariò erit contingens circulum b t o: cum $uperficies, in quá ducitur linea g t, ip$um $peculum $it contingens. Ducta autem linea t d, erit angulus g t d rectus per 18 p 3: quoniam linea t d e$t diameter circuli & li- nea g t contingit ιllum cιrculum in puncto t. Fiat quo que, ut prius, $uper e punctum $ectionis circulus æquidi$tans ba$ibus $peculi, qui $it e s z p: & centrum huius circuli $it punctus axιs, qui k: & ducatur linea k e: & ducatur etιam linea d l: quæ quidem $ecabit $uperficιem circuli e s p: $ecet ergo illam in puncto f Quia ιtaque punctum d e$t in $uperficie $ectιonis per 24 huius: cum ip$a $ectionis $uperficies $it $uperficies reflexionis, & punctum l, quod e$t punctum lineæ contin- gentιs $ectιonem, e$tιn eadem $uperficie $ectionis: ergo per 1 p 11 tota linea d l e$t in $uperficie $e- ctionis: punctum ergo f e$t in $uperficie $ectionis: $ed ip$um e$t in $uperficie circuli e z p: e$t er- goin communi $ectione illarum $uperficierũ, circuli $cilicet & $ectionis: $ed & punctum e e$t in am babus eι$dem $uperficιebus: ergo item per 1 p 11 linea e f ducta erit in ambabus illis $uperficiebus: ergo per 19 th. 1 huius $ecundum lineam e f $ecant $e $uperficies $ectionis & circuli e z p. Duca- tur ιtaque lιnea k f: & a puncto f ducatur perpendicularιs $uper $uperficiem circuli b t o per 11 p 11, quæ $it f m: cadet\’q; punctus m in linea d g, ut patet: & ducatur linea t m. Palàm quoniam linea k d æquidι$tans & æqualis e$t lineæ f m per 25 th. 1 huius: $unt enim lineæ k d & f m am- bæ perpendιculares $uper $uperficiem circuli b t o: quia illi circuli æquidι$tant per 24 th. 1 huius: utraque enιm ip$arum æquidι$tat ba$ibus columnæ per 100 th. 1 huius. Quoniam ergo linea f m e$t æqualιs & æquidi$tans lineæ d k, quæ e$t pars axis: ergo per 33 p 1 linea k f æqualis & æ- quιdi$tans e$t lineæ d m: & $imiliter erit linea f m æqualis & æquidi$tans lineæ longitudinis, qu{ae} e$t e t, per 33 p 1: quoniam linea e t e$t æqualis & æquidi$tans axi k d per 92 th. 1 huius, cum $ιt lιnea longitudinis $peculi: & erit, ut prius, linea k e æqualιs & æquidi$tans lineæ d t, & linea e f æqualis e$t & æquidi$tans lineæ t m per eandem 33 p 1. Verùm etiam $uperficies k d l g (quιa tran$it axem columnæ, & angulus g d b e$t rectus) orthogonalis e$t $uper $uperficiem $e- ctionis oxygoniæ, qu{ae} e$t a e b c per definitionem $uperficiei erect{ae}: & eadem $uperficies k d l g orthogonalιs e$t $uper $uperficiem circuli e s p: quoniam illa $uperficies k d l tran$iens per axem, per 18 p 11 erecta e$t $uper ba$es columnæ: ergo & $uper $uperficiem circuli e s p, æquιdi$tantis ba$ibus erecta e$t eadem $uperficies k d l. Quia itaque dicta $uperficies k d l e$t erecta $uper $u- perficiem $ectionis oxygoni{ae} & circuli e s p: e$t ergo orthogonalιs $uper lineam communem di- ct{ae} $ectιonιs & circuli (qu{ae} e$t linea e f) per 19 p 11 Et quia linea e f e$t erecta $uper $uperficiem k d l, in qua ducta e$t lιnea k f: igitur per definitionem line{ae} $uper $uperficiem erect{ae} angulus e f k e$t rectus: ergo & angulus t m d e$t rectus per 10 p 11: latera enim illos angulos continen- tia in æquιdι$tantιbus circulorum $uperficiebus protracta æqualia $unt & æquidi$tantia, ut pa- tet ex pr{ae}mi$sis. Cum ergo angulus d m t $it rectus, & angulus g t d $it rectus per 18 p 3: in trigono ergo orthogonιo d t g ducta e$t ab angulo ad ba$im perpendicularis t m: ergo per 8 & 17 p 6 illud, quod $it ex ductu lιneæ d m in g m e$t æquale quadrato lineæ m t. Et quoniam linea g t contingit cιrculum b t o, cum $it in $uperficιe contingente ducta ad punctum contingenti{ae}, quod e$t t: palàm quòd linea l g e$t {ae}quidi$tans axi k d. Quoniam enim $uperficies lecun- dum lineam longιtudinis $peculum contingentes $unt erect{ae} $uper ba$ium column{ae} $uperfi- cιes: ergo per 19 p 11 earum communis $ectio, qu{ae} in propo$ito e$t linea l g, $uper ea$dem $u- perficιes ba$ium perpendιcularis erιt: {ae}quidi$tabit ergo axi h k per 6 p 11: ergo etiam {ae}quidi- $tabιt lineæ f m per 30 p 1. Quia ergo in trigono l g d linea f m æquidi$tat ba$i l g: patet per 2 p 6 VITELLONIS OPTICAE quoniam $ecat alia latera illius trigoni proportionaliter. E$t ergo proportio lineæ d f ad f l, $i- cut lineæ d m ad m g: ergo permutatim per 16 p 5 erit proportio lineæ d f ad d m, $icut lineæ f l ad m g: $ed linea d f maior e$t quàm linea d m per 19 p 1: quoniam in trigono f d m angulus f m d e$t rectus per præmi$$a uel 8 p 11: ergo & linea f l e$t maior quàm linea m g: ergo illud, quod fit ex ductu lineæ f d in fl maius e$t illo, quod fit ex ductu lineæ d m in m g: ergo & quadrato lineæ t m: $ed linea t m e$t æqualis lineæ e f, ut patet ex præmi$sis: ergo illud, quod fit ex ductu line{ae} d fin l f maius e$t quadrato lineæ e f. E$t ergo in trigono d e l angulus l e d maior recto per 30 th. 1 huius. Quia $i e$$et rectus, tunc cum linea e f $it perpendicularis $uper lineam d l: e$$et per 8 & per 17 p 6 il- lud, quod fit ex ductu lineæ d f in f l, æquale quadrato lineæ e f. Reftat ergo ut linea perpendicularis $uper lineam contingentem $ectionem a e b c, quæ e$t linea q l, ducta à puncto e, cadat $ub linea e d, non perueniens in punctum d. Sit ergo illa perpendicularis linea e u. Et quia angulus e d b e$t acu- tus, & angulus d e u acutus: quoniam angulus u e q e$t rectus: ergo per 14 th. 1 huius lineæ e u & b d productæ concurrent in puncto aliquo $ub axe h k: & $ub concur$u lineæ e d cum linea b d: quod e$t euidens. Patet ergo propo$itum.

45. Perpendicular\~e duct ã à puncto reflexionis $ectionis pyramidalis $uper $uperfici\~e $peculi pyramidalis cõuexi, cũ catheto incidentiæ puncto remotiori à uertice $peculi, quàm $it punctus reflexionis, incidente, $ub axe $peculi cõcurrere e$t nece$$e: dũ tam\~e linea à pũcto catheti inciden tiæ duct a ad perpendicular\~e, $uper axem angulum contine at acutũ. Alhaz. 30 n 6.

Hæc quoq; propo$itio patet per 113 th. 1 huius: ut autem iam facilius pyramidalibus $peculis ap- plicetur: $it $peculum pyramidale conuexum a b g: cuius uertex $it a: & axis a k: cadat\’q; ιn ip$um $e- ctio oxygonia: à cuius circumferentia form{ae} pũctorum line{ae} ui$æ reflectátur ad ui$um, qu{ae} $it e f z: punctum quoq; reflexionis $it e: & $it linea e d exiens à puncto e (quod e$t punctum reflexionis) perpendicularis $uper $uperfici\~e contingent\~e $peculũ: quæ producta in $uperficie $ectionis concur ret quid\~e cũ axe a k per 14 th. 1 huius: angulus enim e a k e$t acutus, & angulus a e d e$t rectus: cõcur rat ergo in puncto d: $it\’q; cathetus incidentiæ formæ puncti alicuius reflexi à pũcto $peculi e z: qu{ae} $it h z. Dico quòd cathetus h z concurret cum perpendiculari e d ultra punctum d $ub axe $pecu- li. Ducatur enim linea t z q, quæ contingat $ectionem e f z in puncto z, dum tam\~e $it punctũ z remo- tius à puncto a uertice $peculi, quàm $it punctũ e: ducta quoq; linea z d angulũ acutũ cõtineat cum perpendiculari e d $uper ip$um axem $peculi, in qu\~e cadit punctum d. Trã$eat quoq; $uper punctũ z $uperficies æquidi$tans ba$i $peculi, quæ $ecando $peculum faciat circulũ r z g per 100 th. 1 huius: i$te ergo circulus $ecat $ection\~e e f z in duobus tantũ locis per 104 th. 1 huius: quoniã circulus e$t ք- pendicularis $uper axem a d, & $ectio e$t obliqua $uper eundem axem: & ducantur lineæ a z & a e. Linea quoq; a e, quæ ex hypothe$i e$t breuior quàm linea a z (ideo quòd punctum z remotius e$t à uertice pyramidis quàm punctum e, protrahatur ultra punctum e) donec cõcurrat cum circumfe- rentia circuli r z g: & $it concur$us punctus o: ergo punctus o e$t remotior à puncto a uertice $pecu- li, quàm $it pũctus e: erit\’q; linea a o æqualis line{ae} a z ք a e t b o f z h d g y k p b q 89 th. 1 huius: ideo quia ambæ à uertice pyramidis du cuntur ad circuli circum ferentiam. Cum ergo exierit â puncto o perpendicularis $uper $uperficiem contin gentem $peculum $ecundum lineam a o: concurret il- la linea cum axe a k ultra punctum d (cui prius data e$t incidere perpendicularis e d) per 2 th. 1 huius: erit enim linea illa æquidi$tans line{ae} e d per 6 p 11: $it ergo punctus cõcur$us k: ducantur ergo lineæ k z & d z. Et quia linea k z e$t {ae}qualis line{ae} k o per 65 th. 1 huius: e$t enim k polus circuli: $ed & linea a o e$t æqualis lineæ a z per 89 th. 1 huius: cum $int lineæ lõgitudinis unius pyramidis, & linea a k cõmunis e$t ambobus illis tri- gonis: erũt ergo ք 8 p 1 trianguli a o k & a z k æ quian- guli: $ed angulus a o k e$t rectus: ergo & angulus a z k e$t rectus: e$t ergo linea k z perp\~edicularis $uper lineã lõgitudinis $peculi a z, \~q e$t in $uքficie cõting\~ete $pe- culũ: e$t ergo linea k z erecta $uper $uperfici\~e contin- gent\~e $peculũ $ecũ dũ lineã a z: ergo ք 18 p 11 & $uper- ficies z k o e$t erecta $uper illã $uperfici\~e contingent\~e. Et quia à puncto z ducta e$t linea cõting\~es $ection\~e, \~q e$t t z q: cũ ergo, ut patet, linea k z $it erecta $uper $uք- fici\~e $peculum contingent\~e $ecundum lineam a z, & cõmunis $ectio $uperficiei $ectionis & illius $uperficiei $peculũ contingentis $it linea t z q cõting\~es $ection\~e: erit linea k z քp\~edicularis $uper lineã t z q: erit ergo angulus k z q rect{us} ք definition\~e lineæ $uք $uքfici\~e cõting\~et\~e erect{ae}. Et <003>a, ut patet ex \~pmi$sis, angul{us} k z q e$t rectus: trigonũ quoq; a z k erectũ e$t $uper $uperfici\~e $peculũ $ecũdũ lineã a z cõting\~et\~e: & linea k z e$t $imiliter perp\~edicularis LIBER SEPTIMVS. $uper hanc $uperfici\~e cõtingent\~e. Extrahamus ergo à puncto z cõmun\~e $ection\~e $uperficiei circuli r z g & $uperficiei pyramid\~e $ecũdum lineã a z contingentis: h{ae}c aũt per 3 p 11 e$t linea recta: $it ergo hæc linea z y: & palàm per pr{ae}mi$$a, quòd linea z y cõtingit circulũ r z g: $it quoq; c\~etrum huius cir- culi c: & producatur linea c z: angulus ergo c z y e$t rectus per 18 p 3: & ducatur à puncto c, quod e$t centrũ circuli r z g, linea cõtinens cũ linea z c angulũ rectũ per 11 p 1: & $it linea c r: linea ergo c r e$t æ quidi$tans line{ae} z y per 28 p 1: linea uerò c r e$t perpendicularis $uper $uperficiem a z c per 4 p 11: ideo quia angulus z c r e$t rectus expr{ae}mi$sis, & angulus z c a e$t rectus: ideo quia axis a c e$t per- pendicularis $uper $uperficiem circuli r z g per 89 th. 1 huius: & quia etiam axis e$t per pendicularis $uper ba$im pyramidis, cui circulus æquidi$tat: ergo & axis erit erectus $uper circulum per 23 th. 1 huius: linea ergo z y æ quidi$tans lineæ c r, e$t perpendicularis $uper $uperfici\~e a z c per 8 p 11: er- go linea z q contingens $ectionem e$t obliqua $uper $uperficiem a z c: ergo & $uper lineam c z. Pro- ducatur ergo à puncto z in $ectionis $uperficie extra ip$am $ectionis peripheriam linea recta conti- nens cum linea t q angulum rectum per 11 p 1: quæ $it z h. Et quia punctus d per 24 huius e$t in $u- perficie $ectionis in aliquo puncto axis: palàm quòd ip$um aliud e$t à pũcto k, qui e$t punctus axis inferior puncto d extra $uperfici\~e $ectionis: $ed pũctus z e$t in ip$ius $uperficie: patet ergo quoniã linea k z e$t extra $uperfici\~e $ectionis. Linea ergo k z $ecat lineã z h, nec cõtinuatur cũ ip$a: quoniã linea z h e$t in ip$a $uperficie $ectiõis, & linea k z e$t extra illã. Et quoniã lineæ k z & h z $ecant $e in pũcto z: patet quòd ip${ae} $unt in aliqua $uperficie una per 2 p 11: $int ergo line{ae} z k & z h in alia $uper ficie pr{ae}ter $uperfici\~e $ectionis, qu{ae} $ecet $uperfici\~e $ectiõis $uper lineã p z h in ambabus i$tis $uper ficiebus exi$tent\~e per 19 th. 1 huius: & $it z p ead\~e linea cũ z h, qu{ae} e$t producta in $uperficie $ectio- nis. Linea uerò d z, qu{ae} e$t in $uperficie $ectionis, e$t extra $uperficiem, in qua $unt lineæ k z & z h: $ed linea z k continet cum linea z q angulum rectum: ideo quia, ut prædictũ e$t, linea k z e$t perpen dicularis $uper $uperficiem contingentem pyramidem, qu{ae} tran$it lineas a z & z q: & $uperficies k z h $ecat $uperficiem d z h $uper lineam illis duabus $uperficiebus communem per 19 th. 1 huius, quæ e$t h z. Verùm linea d z e$t in $uperficie $ectionis, ut $uprà patuit, & $ecatur à linea k z in pun- cto z, & pũcta t & q $unt à lateribus $uperficiei k z p h: ergo $uperficies h z k $ecat $uperficiem d z q: differentia ergo communis $uperficierum h z k & d z q e$t in $uperficie h z k: e$t quoq; illa commu- nis $ectio linea recta per 3 p 11: continet ergo illa linea cum linea z q angulum rectum. Nam linea z q cum $it perpendicularis $uper lineam z h, & $uper lineam z k: patet per 4 p 11 quoniam ip$a e$t ere- cta $uper $uperfici\~e h z k: ergo & $uper lineam z p. Et quoniam $uperficies h z k $ecat $uperficiem d z q, & declinatio $uperficiei h z k à $uperficie $ectiõis, cuius pars e$t $uperficies d z q, fit ex parte $e- midiametri z c, erit linea (qu{ae} e$t differentia communis his duabus $uperficiebus) media inter duas lineas q z & z d: ergo angulus q z d e$t obtu$us: & linea h z e$t in $uperficie, in qua $unt lineæ d z & z q, qu{ae} e$t $uperficies $ectionis, & continet cum linea z q angulum rectum: linea ergo z h {pro}- ducta intra $ectionem ultra punctum z, $ecabit angulum d z q: & linea h z concurret cum linea e d $ub pũcto d puncto axis per 14 th. 1 huius. Angulus enim z d e e$t acutus ex hypothe$i, & angulus d z p acutus. Cathetus itaq; incidenti{ae}, qu{ae} e$t h z, cum perpendiculari e d, qu{ae} ducitur à puncto re- flexionis $uper $uperficiem $peculum contingentem, concurret $ub axe: & $ub puncto ip$ius axis, qui e$t d: $it itaq; punctum concur$us p. Ethoc e$t propo$itum.

a h l z x m o k e q d y p f b g 46. Perpendicularem ductam à puncto re- flexionis $ectionis pyramidalis $uper $uperficiem $peculi pyramidalis conuexi, cum catheto inci- dentιæ pũcto propinquiori uertici $peculi, quàm $it punctus reflexionis incidente, $ub axe $pecu- li concurrere e$t nece$$e: altioris quoque puncti cathetus cum eadem porpendiculari concur- ret remotius $ub axe: dum tamen linea à pun- cto $uperiori cum perpendiculari ducta à pun- cto inferiori $uper axem angulum contine at a- cutum.

Sit, ut in præmi$$a, $peculum pyramidale conuexum a b g: cuius uertex $it a: & axis a d: $it\’q; in ip$o $ectio pyramidalis, quæ e f z: pun- ctum quoque reflexionis $it e: $it\’q; linea e d per- pendicularis $uper $uperficiem $peculi, concur- rens cum axe a k in puncto d in $uperficie $ectio- nis: $it\’q; cathetus incidentiæ formæ puncti ali- cuius reflexi à puncto e, quæ $it h z: cuius pun- ctum z $it propinquius uertici $peculi quàm pun- ctum e: ita tamen quòd linea z d cum linea e d in puncto d contineat angulum acutum. Dico quòd uerũ e$t, quod proponitur. Circũducatur enim à VITELLONIS OPTICAE puncto zip$i $peculo circulus per 102 th. 1 huius, qui $it z m l: & ducantur line{ae} a z & a e. Linea quoq; a e ex hypothe$i e$t longior quàm linea a z: patet ergo per 100 & 89 th. 1 huius quoniã ab$cinditur per $uperficiem circuli z m l: ideo quia punctũ z propinquius e$t uertici pyramidis, qui e$t a, <004> pun- ctum e. Sit ergo, ut ab$cindatur in puncto o: e$t ergo punctum o propinquius uertici ip$ius $peculi, quàm e punctũ: erit\’q; linea a o æqualis lineæ a z per 89 th. 1 huius. Cum ergo exierit à pũcto o per- pendicularis $uper lineam a o, quæ $it o k, $ecans axem a d in puncto k: erit per 28 p 1 linea o k æ qui- di$tans lineæ e d. Ducantur ergo lineæ k z & d z. Et quia linea k z e$t æqualis lineæ k o per 65 th. 1 huius: e$t enim pũctus k polus circuli z m l: $ed & linea a o e$t æqualis lineæ a z ք 89 th. 1 huius, & linea a k e$t cõmunis ambobus illis trigonis: erunt ergo per 8 p 1 trigoni a o k & a z k {ae}quianguli: $ed angulus a o k e$t rectus, quia o k perpendicularis ducta e$t $uper lineam a o: uel etiã per 29 p 1: ideo quia angulus a e d e$t rectus, & lineæ e d & o k æquidi$tant: ergo & angulus a z k e$t rectus: e$t ergo linea k z perpendicularis $uper lineã lõgitudinis $peculi a z, quæ e$t in $uperficie contingente $peculũ: e$t ergo linea k z erecta $uper $uperfici\~e cõtingent\~e $peculũ $ecundũ lineã a z. Ducta quoq; â puncto z linea cõtingente $ection\~e in puncto z, quæ $it t z q, perficiatur demon$tratio, ut in proxi- ma præmi$$a: patet\’q; propo$itũ nunc, ut prius. Cadet enim punctus p, qui $it cõmunis $ectio cathe- ti incid\~etiæ ductæ à pũcto z cũ քpendiculari e d, $ub axe a d & $ub pũcto d. Et $i in peripheria ip$ius $ectionis $ignetur pũctus propinquior uertici, <004> $it punctũ z, qui $it punctus x: ab eo quoq; ducatur cathetus incidentiæ, quæ $it x y: quæ eod\~e modo, $i angulus x d e fuerit acutus, demõ$trabitur con- currere cum perpendiculari e d $ub axe a d: $it concur$us in puncto y. Dico quòd punctus y remo- tior erit $ub axe a d quàm punctũ p: non enim $ecabit linea x y angulũ a z p, neq; lineam z p: quoniã cathetus ducta à puncto altiori ulterius protenditur $ub axem: & cathetus angulum rectum conti- nens cum perpendiculari e d concurret cum illa in puncto axis d. Reliquæ uerò catheti harum me- diæ, à quarum punctis incidentiæ ductæ lineæ ad punctum d, angulos continent acutos cum per- pendiculari e d, non $ecabunt lineam d p Patet ergo propo$itum.

47. Cathetum incidentiæ linea reflexionis intra $ectionem oxygoniam $ecante, & à puncto reflexionis duct a contingente, quæ $ecet cathetum: erit totius catheti proportio ad part\~e $ui re- $ectam intra $ectionem oxygoniam, $icut partis extrin$ecus re$ectæ adeam, quæutra$<005> interia cet $ectiones. Alhazen 44 n 5.

E$to a b c $ection oxygonia: cuius punctus b $it punctus reflexionis: & $it e punctus rei ui$æ: d cen trum ui$us: à puncto quoque reflexionis, quod e$t b, ducatur linea perpendicularis $uper $uperfici- em contingentem $peculum in puncto b, quæ $it g b q, ducta intra $peculum propo$itum in punctũ q: & ducatur à puncto e linea e k perpendicularis $uper ip$am $ection\~e, aut $uper lineã $ection\~e con tingentem, ut fuerit po$sibile: ducatur quoque linea contingens $peculũ in puncto b, quæ $it t b u, & alia contingens $ectionem in puncto k. Duæ ita que perpendiculares, quæ $unt g b q & e k con- current intra $ectionem $ub axe $peculi per tres præcedentes: $it ergo punctus concur$us illarum perpendicularium punctum q. Sed & hoc in propo$ito aliter declarandum. Ducantur enim lineæ e b, d b, k b: palàm per 29 th. 1 huius, & ex præmi$sis quoniam linea k m cadet intra $uperficiem e k b, & linea b t cader intra eandem $uperficiem: igitur linea b t $ecabit lineam e k: $it, ut $ecet ip$am in puncto t: & linea k m $ecabit lineam b e: & $it, ut $ecet ip$am in puncto m. Cum ergo angulus e k m $it rectus, ut patet ex præmi$sis: palàm quòd angulus e k b maior e$t recto: & $imiliter quia an- gulus g b t e$t rectus, erit angulus g b k maior recto: e g d t m b u k h f q a c palàm ergo per 14 th. 1 huius quoniam duæ perpen- diculares g b & e k concurrent in aliquo puncto $uperficiei $ectionis, cũ $int in eadem $uperficie: $it, ut prius, earum concur$us in pũcto q: $imiliter quo- que angulus d b k e$t maior angulo recto, qui e$t g b t, ut patet ex præmi$sis: ergo per 14 th. 1 hu- ius lineæ d b & e k concurrent: $it ip$arum con- cur$us punctus h: igitur per 37 th. 1 huius punctus h e$t locus imaginis formæ puncti e. Dico itaq; quòd erit proportio lineæ e q, quæ e$t cathetus inciden- tiæ formæ puncti e, ad lineam q h, $icut lineæ e t ad lineam t h. Quia enim lineæ e k & b e concurrunt in puncto e: ducatur à puncto h linea h f æ quidi$tans lineæ e b per 31 p 1. Et quoniam angulus e b t e$t per 20 th. 5 huius æqualis angulo d b u, & per 15 p 1 an- gulus d b u e$t æqualis angulo t b h: palàm quòd angulus e b t erit æqualis angulo t b h. Re$tater- go, ut angulus e b g $it æqualis angulo h b q: ideo quia anguli t b q & t b g $unt recti & æquales. Cum igitur linea t b diuidat angulum e b h per æqualia: erit per 3 p 6 proportio lineæ e t ad t h, $icut lineæ e b a d b h: $ed per 29 p 1 angulus e b g e$t æqualis angulo h f b: angulus ergo h f b e$t æ- qualis angulo h b f, quoniã ut præo$ten$um e$t, angulus e b g e$t æqualis angulo h b f: ergo per 6 p 1 LIBER SEPTIMVS. linea h b e$t æqualis lineæ h f: ergo per 7 p 5 proportio lineæ e b ad lineã h f e$t, $icut ad lineã h b: e$t aũt proportio lineæ e b ad h f, $icut lineæ e q ad q h ք 4 p 6: quia per 29 p 1 trigona e q b & h q f $unt æquiangula: erit ergo proportio lineæ e b ad h b, $icut lineæ e q ad q h. Erit ergo per 11 p 5 proportio lineæ e q ad lineam q h, $icut lineæ e t ad lineam th. Quod e$t propo$itum.

48. In omni $peculo columnari uel pyramidali uel pyramidali conuexo, communi $ectione $uperficiei reflexio nis & $peculi oxygonia exi$tente: linea rect a interiacens punctum concur$us duarum præmi$$a rum perpendicularium & locum imaginis, maior e$t linea rect a interiacente locum imaginis & punctum reflexionis. Alhazen 44 n 5.

Sit omnimoda di$po$itio & probatio, ut in præcedente proxima. Et quia e$t proportio lineæ e q ad lineam q h, $icut lineæ e b ad lineam h f per 4 p 6 & 29 p 1: & proportio lineæ e b ad h f e$t, $icut li neæ e b ad lineam h b per 6 p 1 & 7 p 5: erit proportio lineæ e b ad lineam b h, $icut lineæ e q ad lineã q h per 11 p 5: ergo permutatim per 16 p 5 & corollarium 4 p 5 erit proportio lineæ e q ad e b, $icut q h ad h b: $ed linea e q maior e$t quàm linea e b per 19 p 1, eò quòd angulus e b q maior e$t recto, ut patet ex pr{ae}mi$sis, quia angulus t b q e$t rectus: ergo linea q h e$t maior <004> linea h b. Quod e$t {pro}po- $itum: e$t enim punctus q ille punctus, in quo cõcurrunt du{ae} perp\~ediculares g b q & e k, qu{ae} e$t ca- thetus incidentiæ: & punctus h e$t locus imaginis formæ puncti e: & punctus b e$t pũctus reflexio nis formæ puncti e ad centrum ui$us exi$tentis in puncto d.

49. Communi $ectione $uperficiei reflexionis & $peculi columnaris uel pyramidalis conuexi exi$tente oxygonia, forma<006> rei ui$æ obliquè $peculo incidente: locus imaginum formarum ui$o- rum punctorum quando<005> erit in $uperficie $peculi: quando<005> intra $peculum: & quãdo<005> extra ip$um. Alhazen 45. 51 n 5.

Quod hic proponitur, locum habet, cum punctus rei ui$æ non fuerit in diametro ui$uali perpen diculari $uper $uperficiem $peculi: tunc enim unius $olius forma puncti $uper lineam perpendicu- larem accedit ad $peculum, & $ecundum eandem lineam refle ctetur ad ui$um, utpote punctus ip$i- us perp\~edicularis lineæ, qui e$t in $uperficie oculi uidentis. Punctus enim ultra $uperficiem oculi $umptus non pote$t reflecti $uper hanc perpendicularem: quia non pote$t accedere ad $peculum $u per lineam perpendicularem, propter rationem a$signatam in 32 th. 5 & 10 th. 6 huius. Et $imiliter non pote$t reflecti forma illius puncti ad ui$um ab alio puncto $peculi, quàm à puncto illo, cui inci- dit ip$a perpendicularis. Si enim daretur hoc po$$e fieri: tunc accideret duas perpendiculares du- ctas à $uperficie $peculi concurrere in centro eiu$d\~e ui$us, quod e$$et contra 6 p 11 & contra 20 th. 1 huius: & duo anguli trianguli fierent recti: quod e$$et contra 32 p 1, & impo$sibile. In tali ergo $itu perpendicularis reflectitur tantũ in $eip$am. Sit au s f n h q x r p l z u t m a b o g e k d tem nunc, ut forma rei ui$æ incidat $uperficiei $pe- culi non perpendiculariter, $ed obliquè: & e$to, ut $uperficies reflexionis $ecet $peculum columnare conuexum, & communis eorum $ectio $it oxygo- nia $ectio, quæ a b g: ad cuius punctum a $umatur li nea contingens $ectionem, quæ $it e a t: & ducatur perpendicularis à puncto a per 11 p 1 $uper lineam e t intra $ectionem, quæ $it a d: cadat\’q; punctus d intra $ection\~e. Palàm ergo per 115 th. 1 huius quòd linea d a diuidit $ectionem in duas partes, in qua- rum utraq; e$t punctus unicus, in quo pũcto linea $ectionem contingens, erit æ quidi$tans lineæ d a: $it ergo citra unum illorum punctorum alius, qui $it punctus g, cuius puncti contingens concurrat cum linea d a in puncto h extra $ectionem: & duca tur linea perpendicularis $uper hanc lineam cõtin gent\~e (qu{ae} e$t g h) per 11 p 1, qu{ae} perpendicularis $it g q, $ecãs lineã aliã cõting\~et\~e, qu{ae} e$t e a t, in pũcto t: erit ergo punctũ t finis cõting\~eti{ae} per 6 de- finition\~e 6 huius: & hæc quidem perpendicularis (quæ g q) nece$$ariò concurret cum linea h d ք 14 th. 1 huius: ideo q<001> angulus q g h e$t rectus, & angulus g h d acutus: $it ergo in pũcto d ip$arũ cõcur$us: & ducatur linea g a: quæ producatur extra $ection\~e u$q; ad punctũ p: & ducatur linea q a. Igitur angulus q a h aut e$t æqualis angulo h a p: aut maior: aut minor. Si $it æqualis: incidet ergo forma puncti q $peculo in pũcto a, & reflectetur ad c\~etrũ ui$us exi$t\~es in pũcto p per 20 th. 5 huius: & locus imaginis erit pũctus g, <003> e$t pũctus $ectionis oxygoniæ & $uքficiei colũn{ae} $peculi ք 37 th. 5 huius: quoniã in illo pũcto cõcurrit cathetus incid\~etiæ ducta à pũcto rei ui$æ, qu{ae} e$t q, $uper lineã cõtingent\~e $ection\~e in pũcto g, cũ linea reflexionis, qu{ae} e$t p a. Et quia pũctus g e$t in $uperficie $pe culi: patet q<001> tũc uidebitur imago formæ pũcti q in $uքficie $peculi. Si uerò in linea g q $upra pun- ctũ q $umatur alius pũctus, ut f, & ducatur linea f a: erit quid\~e angulus f a h minor angulo h a p: e$t enim angulus f a h minor angulo q a h, <003> e$t æqualis angulo h a p: fiat ergo angulo f a h $uper a termi nũ line{ae} h a æqualis angulus, <003> $it h a n ք 23 p 1: & {pro}ducatur linea n a intra $ection\~e: cõcurret\’q; cum VITELLONIS OPTICAE catheto f q g d: & $it pũctus cõcur$us k. Palàm ergo per 20 th. 5 huius quòd forma pũcti f reflectitur à pũcto $peculi, q<001> e$t a, ad ui$um exi$tent\~e in pũcto n: & locus imaginis formæ pũcti f erit in pun- cto k: & imagines omniũ punctorũ lineæ q f, quæ $unt ultra punctũ q, erunt intra columnã $peculi, ut patet ք 34 th. 5 huius, & ex pr{ae}mi$sis. Si uerò inter punctũ q & pũctũ t (qui e$t finis cõting\~etiæ) ponatur punctus aliquis, utr: erit angulus r a h maior angulo q a h, ergo & angulo h a p: fiat ergo ei æqualis angulus, qui $it h a m. Palàm quò d linea m a producta cadet $uper lineam g q extra $ectio- n\~e. Ideo enim, quia linea p a continens cum linea a h angulum p a h æqualem angulo q a h, cadit in ip$am $ection\~e in punctum g: patet quia linea m a $ecabit lineam g q extra $ection\~e: $it \’q;, ut cadat in punctum o: erit ergo per 37 th. 5 huius imago formæ puncti r in puncto o: & omnium punctorum li neæ r q, excepto puncto q, imagines erunt extra $peculum, inter puncta o & g. Si autem angulus q a h fuerit minor angulo h a p: $ecetur ex angulo h a p angulus h a n æqualis angulo q a h per 27 th. 1 huius. Palàm ergo, ut prius, quòd formæ puncti q imago erit in puncto k: & omniũ $uperiorũ pun- ctorum lineæ q fimagines erunt intra $ectionem. Si uerò punctus r $umatur inferior puncto q, ita ut angulus r a h $it æqualis angulo h a p: tunc erit imago form{ae} puncti r in $ectionis puncto g, quod e$t in $uperficie $peculi: & omnium punctorum inter r & q imagines erũt intra $peculum: & omniũ punctorum inter puncta r & t imagines erunt extra $peculi $uperficiem. Si uerò angulus q a h fuerit maior angulo h a p: fiat angulus h a m æqualis angulo q a h: palam \’q; quòd linea m a producta $eca- bit $ectionem: linea enim e a t e$t contingens $ectionem in puncto a, propter quod linea m a produ cta nece$$ariò $ectionem $ecabit: $ecet ergo in puncto b: & ducatur linea contingens $ectionem in puncto b, quæ concurrat cum linea d h in puncto l: cõcurret autem per 14 th. 1 huius: angulus enim d b l e$t rectus, & angulus l d b acutus, ducta linea d b: erit\’q; angulus d l b acutus per 32 p 1: cum an- gulus d b l $it rectus: e$t ergo per 13 p 1 angulus h l b obtu$us: linea ergo l b concurret cum linea h d, ut patet per 60 th. 1 huius, ex parte punctorum b & g: quia quantùm ad hoc eadem ratio e$t in circu lis & in $ectionibus: faciet\’q; cum ip$a angulum acutum. Ducatur ergo perpendicularis $uper line- am l b à puncto b per 11 p 1, quæ $it b s: h{ae}c ergo cõiuncta cum linea d b fiet linea una per 14 p 1: quo- niam utraq; ip$arum cum linea l b in eodem puncto, qui e$t b, continet angulum rectum: & linea b s $ecabit lineam h g: $it, ut $ecet ip$am in puncto x. Et quoniam linea l b protracta concurrit cum li- nea h d, & angulus s b l e$t rectus: patet quòd linea b s cum linea h g ex parte puncti h continet an- gulum acutum per 14 th. 1 huius: erit\’q; angulus s x h acutus: ergo & angulus g x b illi contrapo$itus $imiliter e$t acutus per 15 p 1. Quia uerò linea h g $ecat lineam q a, $it pũctus $ectionis u. Et quoniã angulus h g d e$t rectus, & linea q a concurrit cum linea d g in puncto q: quoniam omnes hæ lineæ $unt in una $uperficie: palàm per 14 th. 1 huius quòd linea h g cum linea q a continet angulum acu- tum $uper punctum u, qui e$t angulus h u a. Quia ergo angulus s x h e$t acutus, & angulus q u g con trapo$itus angulo h u a per 15 p 1 e$t acutus: patet per 14 th. 1 huius quòd lineæ s b & q u cõcurrunt: $it ergo concur$us ip$arum in puncto z. Forma itaque puncti z mouebitur ad $peculum per lineam z a, & reflectetur per lineam a m ad ui$um exi$tentem in puncto m: & locus imaginis erit punctus b: & loca omnium imaginum punctorum lineæ z s ultra punctum z erũt intra $ectionem: & omniũ punctorum lineæ z b, quæ $unt citra z, loca imaginum erunt extra $ectionem. Quod e$t propo$itũ.

50. Lineæ rectæ æquidi$tantis axi $peculi columnaris conuexi, centro<006> ui$us exi$tente inea- dem $uperficie, reflexionem po$sibile e$t fieri à tota linea longitudinis $peculi ad ui$um: imago<006> eius uidebitur recta, æqualis rei ui$æ. Alhazen 25 n 6.

E$to $peculum columnare, ut in 30 huius: cuius axi z k æquidi$tet linea recta, quæ $it t h: erit ergo per 30 p 1 & per 92 th. 1 huius linea t h æquidi t n q g z m b f f h r a d e k o $tans line{ae} longitudinis $peculi columnaris, quæ exi$tens in eadem $uperficie t h z k, $it li- nea a g. Dico quòd $i ui$us (cuius centrum $it e) fuerit in eadem $uperficie t h z k cum linea t h, & cum axe z k: po$sibile e$t ut o- mnia puncta lineæ t h reflectantur ad ui- $um e: quoniam per 30 huius po$sibile e$t, ut puncta reflexionis omnium punctorum lineæ t h $int in linea longitudinis colu- mn{ae}, quæ e$t g a: quia illa linea $uperficiei re- flexionis, in qua $unt ui$us e, & axis z k, & linea t h, & $uperficiei columnæ e$t com- munis, ut patet per 93 th. 1 huius. Videbitur ergo imago formæ lineæ t h recta: ideo quia quælibet perpendicularis ducta à puncto lineæ t h, erit in eadem $uperficie cum ui$u & axe: & pro- babuntur loca imaginum punctorum lineæ t h e$$e $ecundum lineam rectam di$po$ita, $icut in $peculis planis per 52 th. 5 huius extitit probatum de lineis rectis ui$is. Patet ergo propo$itum.

LIBER SEPTIMVS. 51. Lineærectæ æquidi$tantes axi $peculi columnaris conuexi, ui$u non exi$tente in ead\~e $u- perficie, imago curua uidetur modicæ curuitatis, & minor re ui$a. Alhazen 27 n 6.

Sit di$po$itio, quæ prius in 30 huius: reflectatur\’q; forma lineæ t h à linea longitudinis $peculi, qu{ae} $it a g. Dico quòd imago lineæ th uidebitur aliquando curua: forma enim puncti eius, quod e$t q, ut $uprà patuit in 30 huius, reflectitur ad ui$um e à puncto $peculi b, qui e$t punctus circuli b f: linea ergo à puncto q ducta ad centrũ circuli b f, quod e$t l, quæ erit q l, ip$a e$t cathetus incidentiæ formæ puncti q: quoniam, ut patet per 18 p 3, linea q l e$t perpendicularis $uper lineam contingent\~e circulum b f, cuius peripheria e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi: hæc quoq; ca- thetus q l, ut patet, concurret cum perp\~ediculari producta à puncto b, quod e$t punctum reflexio- nis, $uper ip$am $uperficiem $peculi $uper ax\~e z k: & erit concur$us in puncto axis l, $cilicet in c\~etro circuli b f per 96 th. 1 huius. Cõcurrat ergo linea q l cũ linea m lin puncto axis l: producatur quoq; linea reflexionis, quæ e$t e b, quou$q; cõcurrat cum catheto q l: & $it punctus concur$us c: uidebi- tur ergo per 37th. 5 huius imago form{ae} puncti q in puncto c: & e$t punctus c per 1 p 11 in $uperficie, in qua $unt linea q h, & axis z k, & linea longitudinis a g. It\~e forma puncti t line{ae} t h reflectitur à pun cto $peculi g, qui per 10 huius e$t punctus $ectionis oxygoni{ae}, cum punctus t $it altior centro ui$us, quod e$t e, nec ip$i $int in ead\~e $uperficie. E$t aut\~e à puncto t, unam tantũ ducere perp\~edicular\~e $u- perip$am oxygoniam $ection\~e, quæ e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi, uel $uper lineam conting\~et\~e $peculum in puncto aliquo oxygoniæ $ectionis: per 12 p 1 $it ducta: hæc ergo per 114 th. 1 huius uel per 44 huius concurret cũ perp\~ediculari ducta à puncto eiu$d\~e $ectiõis, quod e$t t i y n g z x q m b c l f h s a d p e k o u g, $uper ax\~e z k, quæ e$t linea n g z: erit\’q; concur- fus $ub axe, hoc e$t $ub pũcto z, <003> e$t cõ- cur$us ք pendicu laris n z, & axis z k: quo- niam du cta linea t z, erit angulus t z n acutus: ideo quòd angulus n z y e$t rectus, axe k z producto ultra pun ctum z ad punctũ y. Producatur itaq; linea n z ultra pũctum z ad pũctum x: & ducatur à pũcto t li- nea concurrens cum linea n z producta ultra pũctum z in pũcto x: concurret autem per 14 th. 1 hu- ius: ideo quia angulus x n t e$t rectus, uel acutus, & angulus x t n acutus: $ecet\’q; linea t x ax\~e k z in pũcto y: & producatur linea e g ultra pũctum g, donec concurrat cum linea t x: concurr\~et aut\~e per 29 th. 1 huius: linea enim e g producta $ecat angulum t g x: ergo & ba$im t x: quoniam ill{ae} line{ae} $unt in eadem $uperficie, ut patet: $it ip$arum $ectio in pũcto i: erit ergo punctus i locus imaginis formæ puncti t per 37 th. 5 huius. Similiter ducta à puncto h line{ae} th, linea, qu{ae} $it orthogonalis $uper lineã contingentem $peculum in aliquo pũcto $ectionis oxygoni{ae}, à qua reflectitur forma pũcti h ad ui- $um e per 10 huius, illa concurret cum perpendiculari d a r $ub pũcto d, qui e$t pũctus axis per 114 th. 1 huius uel per 44 huius: concurrat ergo in pũcto p: & ducatur linea e a ultra punctum a, donec concurrat cum linea h p: & $it $ecũdum pr{ae}mi$$os modos punctus concur$us s: erit quoq;, ut prius, punctus s imago puncti h. Ducatur quoq; linea s i: palàm ergo cum linea t i concurrat in puncto x cum perpendiculari n z, qu{ae} e$t æquidi$tans lineæ e o, quòd eadem concurret cum linea e o per 2 th. 1 huius: concurrat ergo in puncto u: $imiliter linea h s cum concurrat cum perp\~ediculari d r, qu{ae} e$t æquidi$tans line{ae} e o, concurret cum linea e o per 2 th. 1 huius. Sed quoniam $itus puncti t lineæ th re$pectu pũctie, quod e$t centrum ui$us, idem e$t cum $itu puncti h, & eadem di$tantia à ui$u: quoniam linea t h æquidi$tat axi z k, & $imiliter puncta t & h æqualiter di$tant à pũcto q, &, ut patet ex pr{ae}mi$sis in 30 huius, $itus puncti t & puncti h ad punctum o e$t idem, & punctorum i & s, re$pe- ctu puncti o e$t etiam idem $itus, ut patet ex pr{ae}mi$sis in pr{ae}$ente demon$tratione: ergo per 1 p 11 e- rit linearum ti & h s re$pectu lineæ e o idem $itus. Line{ae} ergo t i & h s concurrent $uper idem pun- ctum line{ae} e o: concurrant ergo in pũcto u: erit ergo t u h triangulus, & in $uperficie huius triangu- li erit linea i s: axis autem $peculi, qui e$t z k, nõ e$t in hac $uperficie: uerùm linea t h e$t in eadem $u- perficie cum axe, ut patet ex hypothe$i & per 1 th. 1 huius: ergo $uperficies illa $ecat $uper$iciem tri- anguli t u h $uper lineam communem, quæ e$t e h, nõ $uper aliam. Cum ergo punctus t $it in $uper- ficie line{ae} t h, & $imiliter axis z k $it in eadem $uperficie, & punctus c non $it in linea t h: ergo non e$t in $uperficie trianguli t u h: & duo puncta i & s $untin $uperficie illius triaguli: linea ergo i c s erit VITELLONIS OPTICAE curua per 1 p 11. Et quia ip$a e$t imago lineæ t h: palàm quòd imago lineæ rectæ, quæ e$t t h, e$t cur- ua: quod e$t primum propo$itum. Sed eius curuitas modica e$t: quia perpendicularis ducta à pun- cto c a d lineam i s, ad punctum $cilicet $ectionis lineæ i s, & $uperficiei cirucli e$t ualde parua: $ed quantò maior $uerit linea ui$a, qu{ae} e$t t h æquidi$tans lineæ longitudinis $peculi, tantò imago eius. erit minus curua: & quantò minor fuerit linea th, tantò curuitas erit maior. Et quoniam linea i c mi nor e$t quàm linea t q, & linea s c minor quàm linea h q: quoniam linea i s, à quo modicùm declinat linea i c s, cadit inter lineas t u & h u concurrentes in puncto u, & e$t qua$i æquidi$tans lineæ t h, $i- cut & axi k z: patet ergo quòd linea imaginis (quæ e$t i c s) minor e$t reui$a, in qua e$t linea t h: & hoc e$t $ecundum propo$itum. Patet ergo totum, quod proponebatur.

52. Superficie lineæ rectæui$æ $uperficiem, in quaest axis $peculi columnaris conuexi, ortho- gonaliter $ecante, centro<006> ui$us exi$tente in utra<005> $uperficie: à circumferentia circuli (quiest communis $ectio dict arum $uper$icierum & $peculi) fiet reflexio: lineæ<006> rectæ ui$æ imago erit curua. Alhazen 28 n 6.

E$to linea th in $uperficie plana orthogonaliter $ecante $uperficiem, in qua $unt centrum ui$us e, & axis dati $peculi columnaris, qui $it d $: $it\’q; punctum e in ead\~e f d b g t e h e $uperficie cum linea t h: erit ergo punctum e in linea, in qua illæ duæ $uperficies $e inter$ecant: quod nece$$e e$t e$$e per 19 th. 1 huius, & per 1 p 11. Dico quòd formæ totius lineæ t h à circum$erentia circuli (qui e$t communis $ectio $uperficiei t h e, & $uperficiei colũnæ ip$i- us $peculi) quæ $it g b, fiet reflexio ad ui$um. Aut enim centrum ui- $us (quod e$te) erit retro lineam t h: & tunc, cúm illa linea $it corpo ralis, & non diaphana, eius den$itas occultabit ui$ui $peculum, & nõ fiet reflexio, ni$i fortè $olæ $ormæ capitum line{ae}, qu{ae} $unt t & h, ap- pareant & re$lectantur ad ui$um à circulo $peculi, qui e$t b g: & erit formarum horum capitum imago tendens ad curuitatem, $icut per 56 th. 6 huius patuit de $peculis $phæricis conuexis. Siuerò fuerit li nea th diaphana gro$$æ diaphanitatis, ut cry$tallus: de hoc $ermo al- ter erit in decimo libro huius $cientiæ. Sed $i linea t h $iue exi$tente diaphana $iue non, $uerit ui$us $ub illa inter ip$am $cilicet & $pecu- lum: tunc occultabitur pars lineæ t h propter interpo$itionem capi- tis, in quo e$t ui$us: pars autem illa lineæ t h, qu{ae} uideri pote$t, non ob$tante capitis impedim\~eto, reflectetur à circulo b g ad ui$um, eo- dem penitus modo, quem de $peculis $phæricis conuexis o$tendi- mus $uo loco. E$t ergo imago lineæ rectæ t h taliter ui${ae} $emper cur- ua. Quòd $i centrum ui$us e fuerit extra terminos line{ae} th in eadem $uperficie, ut prius, & fiat reflexio formæ line{ae} t h ad ui$um: uidebitur imago line{ae} t h tota curua, ut patet $ecundum præmi$$a. Et hoc e$t propo$itum.

53. Lineæ recæ ui$æ $uper$icie orthogonaliter axem $peculi columnaris conuexi $ecante, cen- tro<006> ui$us non exi$tente in eadem $uperficie, facta<006> reflexione adui$um æqualiter di$tãtem ab extremis illius lineæ: eius imago uidetur maximæ curuitatis. Alhazen 29 n 6.

Sit $uperficies plana, in qua e$t linea t h, orthogonaliter $ecans $uperficiem, in qua $unt centrum ui$us e, & axis $peculi columnaris conuexi, quod $it b k g: $it\’q; c\~etrum ui$us e non in eadem $uper- ficie cum linea t h: cuius extrema t & h, $icut proponitur, æqualiter di$tent à centro ui$us e: palam\’q; per 10 huius quoniam communes $ectiones omnium $uperficierum reflexionis & $peculi, erũt oxy goniæ. Et quoniam ex hypothe$i forma puncti h reflectitur a d ui$um e ab aliquo puncto $peculi {pro}- po$iti: $it ergo, ut hoc fiat à puncto b per 29 huius. Et quia punctus t eiu$dem e$t di$tantiæ à puncto e (quod e$t centrum ui$us) cuius e$t punctum h: patet quòd form a puncti t reflectitur ad ui$um c ab aliquo puncto $peculi: $it illud punctum g. Et cum extrem a puncta line{ae} h t $int eiu$dem $itus & longitudinis à centro ui$us e: erunt etiam puncta reflexionum $ormarum illarum punctorum (qu{ae} $unt b & g) eiu$dem di$tantiæ & $itus à puncto e centro ui$us. Igitur duo puncta b & g erunt in cir- culo æquidi$tante ba$ibus $peculi, qui cadet $emper inter lineam h t & inter $uperficiem tran$eun- tem centrum ui$us e, & $ecãtem $peculum æquidi$tanter ba$ibus ip$ius $peculi: quod ideo accidit, quia puncta reflexionum, qu{ae} $unt b & g, plus declinant ad centrum ui$us, ad quod fit reflexio, quàm ip$a puncta h & t, quorum form{ae} reflectuntur. Sit ergo ille ciruclus b z g, cuius centrum $it d: ducantur itaq; lineæ incidentiæ, qu{ae} $unt h b & t g: & lineæ reflexionum, quæ $unt b e & g e: & à centro d ducantur perpendiculares $uper lineas circulum b z g contingentes in punctis b & g, quæ $int d g & d b o. Palam\’q; per 21 huius, quoniam illarum perpendicularium partes, quæ $unt g d & d b $unt $emidiametri circuli b z g: & ducatur linea à puncto d centro circuli ad centrum ui$us, qu{ae} $it e d: & producantur lineæ incidenti{ae}, qu{ae} $unt h b & t g, donec concurrant cum linea e d. Cũ aũt puncta h & t $int eiu$d\~e $itus & di$tantiæ, re$pectu pũcti e, & re$pectu centri d: palã quòd lineæ h b LIBER SEPTIMVS. & t g habebunt eundem $itum, re$pectu lineæ e d: concurrent ergo in idem punctum illius lineæ e t: e$to quòd concurrant in punctum l: ducatur\’q; linea longitudinis columnæ $peculi, in qua $it pũ- c c s o l i g m k z b d t q h p n y r u a x ctus z: & $it h{ae}c linea in $uper$icie plana, in qua e$t centrum ui$us & axis $peculi: $it\’q; linea a z: & du- cantur line{ae} l z n & d z c. Et quoniam $uperficies, in qua $unt centrum ui$us & axis $peculi, inter$e- cat $uperficiem, in qua e$t linea t h, $it punctus li- neæ t h, in quo fit h æ c $ectio, punctus q: & a pun- cto q ducatur linea æquidi$tans lineæ d z c: cadet quidem h æc linea per 2 th. 1 huius $uper axem $pe culi exuna parte, & $uper lineam l z n exalia: ca- dat ergo in punctum n lineæ l z n. Palàm autem per 20 th. 5 huius quoniam angulus h b o (qui e$t angulus incidentiæ formæ puncti h) e$t {ae}qua- lis angulo o b e, qui e$t angulus reflexionis: $ed angulus h b o per 15 p 1 e$t æqualis angulo l b d, quoniam e$t ei contrapo$itus : & angulus o b e æ- qualis e$t duobus angulis b e d, & b d e per 32 p 1: cum in triangulo e b d ip$e $it extrin$ecus: angu- lus ergo l b d æqualis e$t ei$dem ducobus angulis, $cilicet b e d, & b d e. Seceturitaq, exangulo l b d angulus, qui $it m b d, æqualis angulo b d e per 27 th. 1 huius: remanet ergo angulus m b l æqua- lis angulo b e d. Quia ergo in triangulo e b m an- gulus b e m e$t æqualis angulo m b l trianguli b m l, & angulus b m e communis utriq; illorum tri gonorum: erit per 32 p 1 angulus m b e trigoni maioris æqualis angulo m l b trigoni minoris: e$t ergo per 4 p 6 proportio lineæ e m ad b m, $icut lineæ b m ad m l:ergo per 17 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ e m in m l æquale e$t quadrato line{ae} b m. Ducatur quoq; linea m z. Et quoniam an- gulus b d m maior e$t angulo z d m (quia enim angulus s d e e$t æqualis angulo o d e propter identitatem $itus punctorum reflexionum, quæ $unt b & g à centro ui$us e, quæ cau$$atur, ut præo$ten$um e$t, exidentitate $itus punctorum ui$orum, qui $unt h & t, re$pectu ui$us e: angu- lus uerò s d e maior angulo z d m, ut totum $ua parte: ergo & angulus b d m e$t maior angulo z d m) $ed & duo latera z d & d m $unt æqualia duobus lateribus b d & d m: quoniam d b & z d $unt ex centro ad circumferentiam, & latus d m e$t commune: erit ergo per 24 p 1 latus m b maius latere m z: illud ergo, quod fit ex ductu lineæ e m in l m, maius e$t quadrato line{ae} z m: $it ergo ductus line{ae} e m in lineam m i, (qu{ae} minor e$t quàm $it linea m l) æqualis quadrato lineæ m z: & ducantur lineæ i b, i z, e z. Et quia trianguli e z m, & z i m (quorũ cõmunis angulus e$t z m i) per 6 p 6 $unt æquianguli, propter laterum $uorum proportionalitatem ex 17 p 6, qu{ae} continent illum communem angulum: erit ergo angulus m z i æqualis angulo z e i: e$t ergo angulus m z l (qui e$t maior angulo m z i) maior angulo z e d: $ed quoniam angulus m b d con$titutus e$t æqua- lis angulo b d m: eritlinea m d æqualis lineæ m b per 6 p 1: $ed linea m b e$t maior quàm linea m z, ut patet expr{ae}mi$sis: ergo linea m d e$t maior quàm linea m z: ergo per 18 p 1 erit angulus m z d ma ior angulo m d z: igitur angulus d z l maior e$t duobus angulis e d z, & z e d. Angulus enim d z l continet angulum m z l maiorem angulo z e d: quoniam angulus m zi qui e$t pars anguli m zl, æ- qualis e$t angulo z e d, ut$uprà patuit. Item pr{ae}ter angulum m z l, continet angulus d z l & angulũ d z m maiorem angulo m d z: angulus uerò n z c e$t æqualis anguolo d z l per 15 p 1, & angulus e z c per 32 p 1 æqualis e$t duobus angulis z d e & z e d: e$t ergo angulus n z c maior angulo e z c. Sece- tur ergo ex angulo n z c per 27th. 1 huius angulus æqualis angulo e z c, qui $it f z c, ducta linea z f: qu{ae} quidem concurret cum linea n q per 2 th. 1 huius: quoniam concurrit in puncto z cum linea e d æ quidi$tante line{ae} n q: concurrat ergo $uper punctum f. Cum ergo angulus f z c $it æqualis an- gulo e z c: palàm per 20 th. 5 huius quoniam reflectetur forma puncti fad ui$um e à puncto $pecu- li z: $ed forma puncti q reflectitur ad ui$um ab aliquo puncto line{ae} longitudinis $peculi tran$eun- tis per punctum z: reflectitur ergo à puncto, quod e$t ultra punctum z. Quia $i detur, utrefle ctatur à puncto, quod $it citra punctum z, propinquius puncto e, quàm $it punctum z: tunc linea ducta à puncto q ad illum punctum reflexionis $ecabit lineam f z: ille ergo punctus $ectionis reflectetur ad ui$um e à duobus punctis line{ae} longitudinis $peculi, quæ e$t z a, $cilicet à puncto z, & ab alio pun- cto dato: quod e$t impo$sibile per 26 huius. Sumatur ergo punctus reflexionis form{ae} puncti q ultra punctum z: & $it punctus k: à quo reflectatur forma puncti q ad ui$um e: & ducatur linea in- VITELLONIS OPTICAE cidenti{ae}, qu{ae} $it q k, & linea reflexionis, qu{ae} e k: & producatur linea e k, donec concurrat cum linea n q: concurret autem linea e k cum linea n q per 2 th. 1 huius: quia concurrit cum linea d c æquidi- $tante lineæ n q: h{ae}c enim in eadem $uper$icie e$t inter puncta e & k: concurrunt itaque line{ae} e k & n q: & $it punctus concur$us p: erit ergo per 37 th. 5 huius pũctus p locus imaginis formæ puncti q: $ed punctus h reflectitur ad ui$um e à puncto $ectionis oxygoni{ae}, cum non $it in eadem $uperficie cum ui$u e. Si ergo à puncto h ducatur cathetus incidentiæ formæ punctih, quæ erit linea perpen- dicularis $uper lineam rectam conting\~etem $ectionem oxygoniam in aliquo puncto ip$ius $ectio- nis: palàm quia cathetus illa concurret cum perpendiculari o b d $ub axe per 44 huius: concurrat ergo in puncto aliquo. Similiter à puncto t e$t ducere unam cathetum incidentiæ, lineam $cilicet perpendicularem $uper $ectionem oxygoniam, à cuius $ectionis puncto reflectitur $orma punctit ad ui$um e, quæ, $icut prius, concurret cum perpendiculari s g d $ub axe. Et quoniam $emidiametri b d & g d non po$$unt e$$e linea una, ut patet per 78th. 4 huius: palàm per 112 th. 1 huius quoniam re flexio formarum punctorum h & t fit ex hypothe$i, & per 23 nuius à duobus punctis duarum $ectio num columnarium $ecundum lineam c d productam trans $peculum $e inter$ecantium per 24 hu- ius, & per 1 p 11, & 19 th. 1 huius. Et quoniam puncta h & t lineæ h t $unt eiu$dem $itus, re$pectu lineæ e d: ideo enim quòd illa pũcta h & t $unt eiu$dem $itus, re$pectu ui$us e ex hypothe$i, linea uerò e d, quæ diameter ui$ualis, e$t in eadem $uperficie cum axe $peculi & centro ui$us: habentergo puncta h & t eundem $itum, re$pectu lineæ e d, & puncta $ectionis $imiliter, per quæ tran$eunt catheti inci dentiæ ductæ à punctis h & t: & hæc omnia accidunt propter identitatem $itus punctorum h & t, re$pectu ui$us e, & re$pectu line{ae} e d. Palàm ergo quòd illæ du{ae} catheti à punctis h & t ductæ $uper illas $ectiones, quarum, ut patet ex pr{ae}mi$sis, quælibet concurrit cum linea e d, ambæ cõcurrent in eodem puncto lineæ e d: concurrantergo in puncto u. Et quia linea e b producta concurret cum li- nea h u: $it punctus concur$us r: concurrat\’q; linea e g cum linea t u in puncto y: & ducatur linea r y. Palàm ergo per 37 th. 5 huius quia pũctum r e$t imago form{ae} punctih, & punctum y e$t imago for- mæ punctit. Habemus quoq; triangulum e r y, & extra $uperficiem huius trianguli e$t pũctum z: $u perficies ergo huius trianguli altior e$t quàm linea e p, $i c\~etrum ui$us fuerit altius quàm linea h t, & e$t ba$sior, $i c\~etrum ui$us fuerit ba$sius quàm linea h t: e$t ergo pũctus p $emper extra illã $uper- ficiem. Linea ergo r p y e$t $emper curua per 1 p 11, $ed ip$a e$t imago line{ae} th, ut patet per 37 th. 5. E$t ergo imago line{ae} h t modo propo$ito $ituatæ, re$pectu centri ui$us & $peculi columnaris conuexi, $emper curusa curuitate non modica. Quod e$t propo$itum.

54. Lineæ rectæ ui$æ non æquidi$t antis axi $peculi columnaris conuexi, cuius $uperficies obli- què $ecat axem: imago uidctur curua diuer$æ curuitatis $ecundum diuer$itatem $ui$itus.

Quia enim per 51 huius patet quòd linea recta æquidi$tãs axi $peculi columnaris conuexi imagi n\~e habet nõ rectam $ed curuam, licet modic{ae} curuitatis: line{ae} uerò (cuius $uperficies orthogona- liter $ecat axem $peculi, ui$u non exi$t\~ete in eadem $uperficie cũ linea ui$a) imago $emper uidetur curua per proximam pr{ae}mi$$am: palàm per eand\~e quoniã line{ae}inter has duas $it{ae}, qu{ae} magis acce- dunt ad $itũ lineæ æquidi$tantis lineæ lõgitudinis colũn{ae}, habebũt imagines plus acced\~etes recti- tudini: line{ae} uerò, quæ plus appropinquãt lineis, quarũ $uperficies orthogonaliter $ecãt axem, plus accedunt in $uis imaginibus ad curuitatem: & augm\~etatur uel minuitur curuitas imaginum $ecun dum acce$$um uel rece$$um linearum ad alterum i$torum $ituum. Et hoc e$t propo$itum.

55. Forma omnis lineæ rectæ incidentis uertici $peculi pyramidalis cõuexi obliquè $uper ax\~e, reflectitur ad centrum ui$us intra illam & $uperficiem $peculi con$titutum à linea longitudinis $peculi: imago<006> ip$ius uidetur curua modicæ curuitatis, cuius conuexitas est ad ui$um. Alha- zen 32 n 6.

Sit $peculum pyramidale conuexum a b c, cuius uertex $it a, & cuius axis $it a d: $ignetur\’q; in $u- perficie conica eius linea longitudinis, utcũq;; cõtingit, qu{ae} $it a z, per 101 th. 1 huius: ducatur\’q; per punctum z $uperficies æ quidi$tans ba$i pyramidis: h{ae}c ergo per 100 th. 1 huius $ecabit pyramidem $peculi $ecũdum circulum, qui $it z u: & ducatur per 11 p 1 à pũcto z perp\~edicularis $uper lineam lon gitudinis z a: qu{ae} producta ad axem $peculi, qui e$t a d, cadat in pũctum h: cõcurret autem cum axe per 96 th. 1 huius, uel per 14 th. 1 huius: ideo quia angulus d a z e$t acutus. E t à pũcto z ducatur linea contingens circulum z u per 17 p 3, qu{ae} $it z m: & ducatur à pũcto a linea cõtinens cum utraq; linea- rum a z & a h, angulum acutum: qu{ae} $it extra $uperfici\~e conting\~etem pyramidem $uper lineam a z: hoc enim e$t po$sibile, cũ angulus h a z $it acutus. Sit ergo illa linea a n: & in $uperficie, in qua $unt line{ae} a n & a h, ducatur à puncto h linea continens cum linea a h angulum æqualem angulo z h a per 23 p 1: h{ae}c ergo linea concurret cum linea a n per 14 th. 1 huius: ideo quòd, ut patet ex pr{ae}mi$sis, duo anguli n a h & a h z $unt acuti. Sit ergo pũctus concur$us o: linea itaq; h o $ecabit circũferentiã circuli z u: ideo enim quod angulus a h o e$t æqualis angulo a h z, oportet quòd lineæ z h & o h $int in eadem $uperficie. Secet ergo linea h o peripheriam circuli in puncto u: & ducatur linea lon- gitudinis $peculi, qu{ae} a u: & extrahatur linea perpendicularis h z extra $peculum ad punctum t: & ducatur linea o z: & producatur in continuum & directum: & $it o z f: & producatur linea a z ad punctum e. Angulus ergo f z h erit acutus per 15 p 1: quia linea o z cum linea t z continet angulum LIBER SEPTIMVS. acutum: e$t enim angulus a z trectus. Et quia linea o z $ecat $uperficiem contingentem $peculũ $u- per lineam a z, $uper quam erecta e$t linea h z, ut patet ex pr{ae}mi$sis: angulo itaq; a z h exi$tente re- cto, angulus o z a e$t acutus: ergo per 15 p 1 relin quitur ut angulus e z f $it acutus. A puncto ergo f ducatur perpendicularis $uper lineam a e per 12 p 1: & producatur in continuum & directũ, donec concurrat cum linea a o in puncto n: concurret autem linea f e cum linea a o per 14 th. 1 huius: ideo quia angulus e a o e$t acutus, & angulus a e n rectus: & ducatur a o u m h z t b s n c l d q e f p à puncto e linea e d æquidi$tans line{ae} z h: erit ergo ք 8 p 11 linea e d perp \~e dicularis $uper $uper- ficiem cõting\~etem pyramid\~e $e- cundũ lineam a e: cũ linea z h $it perp\~edicularis $uper eandem $u perfici\~e: & ducatur à pũcto e li- nea e l æquidi$tãs lineæ z m: & i- maginetur $uքficies, in qua $int line{ae} e l & e d, $ecare pyramid\~e: erit quo q; cõmunis $ectio huius $uperficiei & $uperficiei conicæ ip$ius $peculi $ectio oxygonia ք 103 th. 1 huius: quoniã illa $uperfi cies l e d e$t obliqua $uper axem a d. Sit ergo illa $ectio d e c. Li- nea uerò m z, qu{ae} e$t cõtingens circulũ z u, e$t perp\~e dicularis $uper lineã a e per 22 th. 1 huius: ideo quia axis a h erectus e$t $uper $u perfici\~e illius circuli per 89 th. 1 huius, & linea z m e$t perp\~edicularis $uper illius circuli $emidiame trũ per 18 p 3: e$t ergo linea z merecta $uper $uperfici\~e a z h, ut patuit in 41 huius: quoniã $uperficies circuli, & $uperficies a z h $unt a dinuic\~e rect{ae}: ergo linea l e æquidi$tãs line{ae} z m, per 8 p 11 e$t per- p\~edicularis $uper $uperficiem a d e: ergo angulus a e l e$trectus: quod tam\~e facilius patet per 29 p 1. Quia enim angulus a z m e$t rectus, erit & angulus a e l rectus: $ed & angulus a e n e$t rectus: & $imi liter angulus a e d e$t rectus ք 29 p 1: ideo quia angulus a z h e$t rectus, & linea e d {ae}quidi$tat line{ae} z h: ergo per 5 p 11 lineæ n e, l e, d e $unt in ead\~e $uperficie $ectionis: & linea a e e$t erecta $uper $uper- fici\~e illius $ectionis: cũ o\~es ill{ae} line{ae} cũ linea a e cõcurrant ad angulos æquales & rectos: ergo linea fn e$t in $uperficie $ectionis. Protrahatur itaq; linea d e in continuũ& directũ u$q; ad pũctum q: & extrahatur à pũcto flinea æ quidi$tãs lineæ d e q, qu{ae} $it f p: h{ae}c ergo linea æ quidi$tabit line{ae} h z per 30 p 1: & producatur à pũcto z in $uperficie o z h linea recta contin\~es cũ linea z t angulũ æqual\~e an- gulo o z t, qui e$t acutus per 13 p 1: ideo quia, ut $uprà patuit, angulus o z h e$t obtu$us: hæc ergo li- nea cõcurret cũ linea f p per 2 th. 1 huius: quia $ecabit lineã z h æ quidi$tãt\~e line{ae} f p, & e$t in $uperfi- cie eius: <003> a linea z f e$t in $uperficie eius: o\~es aũt line{ae} æquidi$tãtes $unt in ead\~e $uperficie per 1 th. 1 huius: cõcurrat ergo in pũcto p: & $it angulus p z t æqualis angulo o z t. Et quia angulus o z t e$t æ- qualis angulo z f p per 29 p 1, quia e$t extrin$ecus illi, & angulus t z p æqualis e$t angulo $ibi coalter no, qui e$t angulus z p f: palã quòd angulus z f p e$t æ qualis angulo z p f: ergo per 6 p 1 lineæ z f & z p $unt æquales. Et quia linea f e n e$t in $uperficie $ectionis, & linea fp e$t æquidi$tãs lineæ e d, quæ e$t in $uperficie $ectionis: e$t ergo per 2 th. 1 huius & per 7 p 11 linea f p in $uperficie illius $ectionis. Producatur quoq; linea p e: erit ergo linea p e $imiliter in $uperficie $ectionis per 7 p 11. Et quoniã $uperius declaratũ e$t quòd linea lõgitudinis $peculi, qu{ae} e$t e a, e$t perp\~edicularis $uper $uperfici\~e $ectionis: uterq; ergo angulus a e p & a e f e$t rectus ք definition\~e line{ae} $uper $uperfici\~e erect{ae}: qua- dratũ ergo line{ae} f z ualet duo quadrata linearũ z e & f e ք 4 7 p 1: $imiliter quadratũ lineæ z p ualet duo quadrata linearũ z e & e p: $ed quadratũ line{ae} z f e$t æquale quadrato line{ae} z p: quia & linea li- ne{ae} e$t æqualis ex pr{ae}mi$sis: e$t aũt amborũ cõmune quadratũ line{ae} z e: relinquitur ergo quadra- tũ line{ae} f e æquale quadrato line{ae} e p: erit ergo linea f e æqualis line{ae} p e: ergo per 5 p 1 duo anguli e p f & e f p $unt {ae}quales. Sed angulus n e q e$t {ae}qualis angulo e f p per 29 p 1: quia e$t ei extrin$ecus, & angul{us} q e p e$t {ae}qualis angulo e p f: quia e$t ei coalternus: $unt ergo angulin e q & q e p {ae}quales. Ergo ք 20 th. 5 huius form a pũctin reflectetur a d ui$um exi$t\~et\~e in pũcto p à pũcto $peculi e: & for- ma pũcti o reflectetur ad ui$um exi$t\~et\~e in pũcto p à pũcto $peculi z. Et omnis linea producta à pũ- cto f ad aliquod pũctũ line{ae} o n, $ecabit lineã z e. Patet quoq; $ecũdũ pr{ae}mi$$a quòd illa linea erit {ae}- qualis line{ae} {pro} duct{ae} à pũcto p ad illud id\~e pũctum: quia linea a e e$t perp\~edicularis $uper $uperfici\~e, in qua $unt line{ae} p e & f e, qu{ae} e$t $uperficies $ectionis: & du{ae} line{ae} f e & p e $unt æquales: o\~es ergo line{ae} extract{ae} à pũctis f & p ad aliquod unũ pũctum line{ae} z e, $unt {ae}quales, iterãdo modũ {pro}bandi, quo u$i $umus prius. Patet ergo quòd forma omnis pũcti, qui e$t in linea o n, reflectetur ad ui$um exi$tent\~e in pũcto p exillo pũcto $peculi, quod $ecatur in linea z e. Omnis quoq; linea extracta ex uertice pyramidis, qui e$t a, cadens\’q; obliquè $uper axem pyramidis $peculi, qui e$t a d, itaut angu los acutos contineat cũ axe a d, & cũ linea longitudinis, qu{ae} e$t a z, uel alia quacũq;;, pr{ae}mi$$o mo- do demon$trari pote$t, quia aliqua parsip$ius reflectitur ad ui$um tunc di$po$itum, re$pectu illius VITELLONIS OPTICAE ui$ibilis, ut nunc e$t di$po$itus punctus p, re$pectu lineæ o n. Similiter\’q; patet, quòd in hac di$po$i- tione formæ punctorum totius lineæ a o n reflectentur ad ui$um in puncto p exi$tentem. Et $i pun- ctus fulterius producatur in maiori di$tantia à puncto z: augmentabitur quantitas lineæ a o n $e- cundum illud. Et huius quidem $imile demon$tratum e$t per 41 huius: nunc uerò hoc præmi$imus in hoc propo$ito theoremate, ut $tudio$us in dagator ea, quæ $equuntur, facilius acceptet. Omni- bus itaq; his $uo modo di$po$itis cõtinuetur linea n d: $ecabit ergo linea n d circumferentiã $ectio- nis: nam duo puncta d & n $unt in eadem $uperficie $ectionis, & punctum n e$t extra circumferen- tiam $ectionis, d uerò e$t intra illam: $ecet ergo linea n d circumferentiam $ectionis in puncto c: & quia triangulus a h o e$t totus in eadem $uperficie per 2 p 11: palàm quoniam linea n d erit in $uperfi cie trianguli a o h per 1 p 11: puncta enim d & n $unt in lineis a o & a h: ergo & linea n d e$t in $uperfi- cie eadem cum illis: erit ergo pun ctus c in $uperficie trianguli a o h. a o l u p m h z t x b q y c n s d g c k f r Similiter etiam duo puncta a & u $unt in $uperficie huιus trianguli a o h, ut patet ex præmi$sis: quo- niam linea h o $ecabat peripheriá circuli z u in pũcto u: $ic enim uo- cauimus pũctum illud. Tria ergo puncta, qu{ae} $unt a & u & c $unt in $uperficie huius trianguli a o h: $ed puncta a, b, c $unt omnia in $u perficie $peculi: ergo tria pũcta a, u, c $unt in linea communi $uper- ficiei $peculi & $uperficiei a n d: $ed hæc linea communis e$t linea recta per 90 th. 1 huius: fit enim $ectio $ecũdum ax\~e $peculi: ergo puncta a, u, c $unt in linea recta. Protrahatur ergo linea a u rectè ad punctum c: & producatur linea r z ultra punctum z: quæ $ecabit lineã o h per 29 th. 1 huius: ideo quia lineæ r z & h o $unt in eadem $uperficie, & linea r z, quæ $ecat angulum f z t, $ecat angulum eius contrapo$itum, qui e$t h z o: ergo & ba$im illi $ubten$am, quæ e$t h d, nece$$ariò $ecabit: $ecet ergo ip$am in puncto p. E$t ergo punctus p in $uperficie trianguli a o h. Producatur quoq; linea a p: & protrahatur ultra p: $ecabit ergo lineá d n per 29 th. 1 huius: quoniã $ecat angulũ d a n: $ecet quoq; ip$um in puncto g. Et quia punctus f nõ e$t in $uperficie contingête pyramidem $peculi tran$eunte per lineá a z e, $ed obliquè incidit eid\~e, ut patet ex pr{ae}mi$sis: e$t aũt in $uperficie $ectiõis: & quoniã $uperficies $ectionis nõ e$t erecta $uper $uperfici\~e a d e per 103 th. 1 huius: patet per 4 p 11 quia nece$ $ariò erit angulus f e d acutus, quoniã angulus a e f e$t rectus: angulus ergo d e n per 13 p 1 e$t obtu- $us: ergo angulus e d n e$t acutus per 32 p 1: cadit ergo in triangulo amblygonio, qui e$t d e n. Et $it li nea c x contingens $ectionem in puncto c. Per e a ergo, quæ pr{ae}mi$$a $unt in demõ$tratione 45 th. 5 huius, & etiã ex eo quoniã angulus d c x e$t obtu$us: palã quòd per p\~edicularis extracta ex pũcto c $uper lineã c x cõtingét\~e $ection\~e, $ecat angulũ d c x: & q<001> cõcurret cũ linea e d $ub pũcto d: h{ae}c er go perp\~edicularis $ecet lineã e d producta m ultra pũctum d in pũcto s: perp\~edicularis ergo extra- cta ex pũcto n $uper lineã cõting\~etem $ection\~e, $ecabit lineã e d ultra pũctum s remotius à pũcto d, quàm $it pũctus s: $iue i$tæ perp\~ediculares cũ linea e d cõcurrant ultra circũ$erentiam $ectionis, uel intra illã. Perp\~edicularis enim extracta à pũcto n $uper lineã cõun gent\~e $ection\~e nó $ecabit angulũ d c x, $icut linea perp\~edicularis ducta à pũcto c $ecat angulũ illũ. Vt enim patet per 46 huius, & per 113 th. 1 erit illa perpendicularis remotior à linea n e, <004> $it linea n d: h{ae}c ergo perpendiculariter $ecat ax\~e $peculi, qui e$t a d, in pũcto altiori <004> $it pũctum d: $it ergo per p\~edicularis extracta à pũcto n $u- per lineam conting\~etem $ectionem in puncto $uæ incidentiæ linea n q: & linea r e $ecat lineam n e in puncto e, qui e$t pũctus circũferentiæ $ectionis, & e$t in ip$ius $uperficie: & $imiliter linea n q e$t in $uperficie $ectionis. Si ergo linea r e, quæ e$t linea reflexionis, extrahatur in cõtinuum & directũ: palàm quòd ip$a $ecabit lineã n q per 29 th. 1 huius: quoniã ip$a protracta $ecat angulũ q e n: $ecabit ergo ba$im q n in trigono n e q: $it ergo, ut $ecet ip$am in pũcto y. It\~e quia pũctũ e (q<001> e$t in $uper- ficie $ectionis) e$t extra $uperfici\~e trigonia n d, patet q<001> trigonũ a n d $ecabit $uքfici\~e $ectiõis: quia $uperficies a n d nó e$t $uperficies $ectionis: cũ, $icut patet ex pr{ae}mi$sis, pũctus a $it extra $uperfici\~e $ectionis, & linea a e $it perp\~edicularis $uper $uperfici\~e $ectiõis, & pũctus e e$t in circũfer\~etia ip$ius $ectionis: e$t aũt linea n c d cõmunis ambabus illis $uperficiebus, trigoni $cilicet a n d & $ectionis. er go ք 19 th. 1 huius linea n c d e$t cõmunis $ectio illarũ $uperficierũ, $cilicet trigoni a n d & $ectióis, & linea n q cõ currit cũ ip$a $ectiõe ultra pũctũ c, ut $uprà declaratũ e$t: ergo linea n q e$t ultra $uperfi- ci\~e trigoni a n d: $ed linea a p g e$t in ip$a $uperficie trigoni a n d: pũctus ergo y (qui ք 37 th. 5 huius e$t locus imaginis formæ pũctin, cũ ip$e $it cõmunis $ectio lineæ reflexionis, \~q e$t r e, & catheti inci d\~etiæ form{ae} pũcti n, \~q e$t linea n q) erit ultra lineã a p g. Vi$u itaq; exi$t\~ete in pũct o r, & forma alicu ius rei ui${ae} reflexa a d c\~etrũ ui$us in pũcto r à linea lõgitudinis $peculi, quæ e$t z e (ut nũc in præce- LIBER SEPTIMVS. dentibus o$ten$um e$t, quòd forma pũcti o reflectitur ad ui$um exi$tentem in punctor à pũcto $pe- culi z: & forma puncti n à puncto $peculi e) tunc punctus p erit locus imaginis formæ puncti o per 37 th. 5 huius: quoniam ip$e punctus p e$t cõmunis $ectio line æ reflexionis, quæ e$t z r, & catheti in- cidentiæ formæ puncti o, qui e$t lιnea o h: & punctus y e$t locus imaginis formæ punctin: forma ue rò puncti a uidebitur in $uo loco proprio: quia e$t in uertice pyramidis: & erit imago lineæ a o n li- nea tran$iens per puncta a, p, y. Sed hæc linea e$t conuexa, quia punctum y e$t ultra lineam a p g: $it ergo illa linea imaginis curua, quæ e$t linea a p y. Iam autem patuit quòd formæ omnium punctorũ lineæ a n reflectantur ad ui$um exi$tentem in puncto r à linea lõgitudinis $peculi, quæ e$t a e. Line{ae} ergo reflexionum, per quas reflectuntur illæ formæ, $unt omnes in $uperficie trianguli r a e: omnes ergo imagines punctorum line{ae} a n $unt in hac $uperficie: ergo linea a p y, quæ e$t cõuexa, e$t in hac $uperficie: & punctus p, qui e$t locus imaginis formæ puncti o, e$t propior centro ui$us, qui e$t pun- ctus r, quã $it punctus y, qui e$t locus imaginis form{ae} puncti n: propter quod erit conuexitas huius imaginis re$piciens centrum ui$us: erit\’q; conuexitas parua. Et diameter huius imaginis (quæ dia- meter e$t linea a y) erit minor, quã $it linea a n, cuius imaginis e$t ip$a diameter: erit aũt illius diuer- $itatis exce$$us in modica quantitate. Imagines ergo linearum, quæ extrahuntur ex uerticib. pyra- midaliũ $peculorum conuexorũ obliquè $uper axem $peculi, cõprehendũtur à ui$u in talib. $peculis $ecundum lineam longitudinis $uæ reflex{ae}: & apparent conuex{ae}. Et hoc e$t propo$itum.

56. Omnis forma lineæ rectæ æquidi$t antis latitudini $peculi pyramidalis conuexi, ui$u exi- $tente extra eius $uperficiem $peculum æquidi$t anter ba$i $ecantem, reflectitur ad ui$um $ecun- dum oxygonias $ectiones, imago<006> ip$ius uidetur curua maximæ curuit atis, cuius cõuexit as e$t ad ui$um. Alhazen 33 n 6.

E$to $peculum pyramidale conuexum: cuius uertex $it a: diameter ba$is b c: e$t ergo ip$ius latitu do trigonũ a b c: $it\’q; centrum ui$us d, & linea recta ui$a $it e f æqui- di$tans $uperficiei trigoni a b c, $it\’q; centrum ui$us d extra $uperfi- a e f d b c ciem, in qua linea e f exiftente per ip$am $ecaretur $peculum {ae}quidi $tanter $uæ ba$i. Dico quòd forma line{ae} e freflectitur ad ui$um d $e- cundum oxygonias $ectiones $peculi $uperficiem $ecantes. Non e- nim pote$t reflecti $ecundum lineam longitudinis $peculi: quoniã tunc oporteret, ut cõcurreret cum axe $peculi uer$us uerticem per 41 huius, & quòd obliquè incideret eidem, cuius oppo$itũ dicit hy- pothe$is: à $uperficie uerò i$torum $peculorum $ecũdum circulum non fit reflexio per 12 huius. Oportet ergo de nece$sitate, ut harum linearum reflexio cũ fit ad ui$um, $iat $ecundũ oxygonias $ectiones. Et quoniam catheti incidenti{ae}, quæ $unt perpendiculares $uper il- las oxygonias $ectiones, (quoniã $unt perp\~ediculares $uper lineas illas $ectiones conting\~etes) cũ lineis reflexionum concurrunt non in ead\~e linea {ae}quidi$tante line{ae} ui$æ, $ed in lineis diuer$is: ideo ima- gines talium linearum $ic di$po$itarum re$pectu $uperficierum i$to- rum $peculorum uid\~etur curæ: $icut de $peculis columnarib. o$t\~e- dimus in 53 huius. Sunt aũt imagines harũ linearum multũ curuæ, ita ut ip$arum curuitas $it mani$e$ta $en$ui: fit\’q; centrum illarũ ima- ginum extra $uperficies, in quibus e$t conuexitas formarum harum linearum: fiunt\’q; diametriima ginum harum linearum multò minores ip$is lineis: quod accidit propter augmentum $u{ae} curuita- tis. Patet ergo propo$itum.

57. Linearum rectarum $uperficiebus $peculorum pyr amidalium conuexorum non $ecundũ concur$um cum uertice axis, ne<005> æquιdi$t anter latitudini $peculi, $ed inter hæc obliquè inciden tium imagines $unt curuæ, diuer$æ curuit atis $ecundum modum, quo plus participant $itib. ex- tremis. Alhazen 34 n 6.

Quod hic proponitur, $atis euident\~e habet cau$$am. Line{ae} enim rect{ae} applicatæ his $peculis neq; $econdum lineam longitudinis, ut in 41 & 55 huius, neq; {ae}quidi$tanter latitudini $peculi, ut in præ- mi$$a: medio modo, $ecundum quod plus approximant uni $itui uel alteri, participant modos curui tatis. Vnde illæ, qu{ae} plus approximant in $uo $itu lineis exi$tentibus in longitudine $peculi, habent formas minus conuexas, qu{ae} uerò plus approximant lineis {ae}quidi$tantibus latitudini $peculorum, habent formas magis manife$tè conuexas: $ed tortuosè tamen: quia, qu{ae} appropinquant plus uerti ci $peculi, habent formas $trictiores & conuexiores, qu{ae} uerò appropin quant plus ba$i $peculi, ha- bent $ormas ampliores: ueruntamen omnium illarum imaginum conuexitas erit manife$ta. Patet ergo propo$itum.

58. Omnis forma rei ui$æ in $peculis pyramidalib. conuexis uidetur pyramidalis, $imilis $pecu lipyramidalitati. Alhazen 35 n 6.

Quod hic proponitur, patet per 40 th. 6 huius: quoniam ibidem mon$tratum e$t in $peculis $ph{ae} ricis conuexis, quòd quantò minus fuerit illud $peculum, tantò minores erunt circuli cadentes in $uperficie ip$ιus: & $ic imagines erunt propinquiores centro, & ideo erũt minores. Similiter quoq; VITELLONIS OPTICAE $ectiones cadentes in aliquo $peculo pyramidali: ill{ae}, quæ $unt propinquiores uertici, $unt minores & $trictiores: & $ic locus imaginis erit propin quior puncto, in quo cum axe $peculi cõcurrunt per- pendiculares ductæ $uper $uperficies, contingentes ip$a $pecula in punctis reflexionum oxygonia- rum $ectionum, à quarum punctis fit reflexio ad ui$um: erunt ergo illæ imagines minores. Sectio- nes uerò oxygoniæ, quæ $unt propinquiores ba$i, habent contrariam di$po$itionem alijs $uperiori bus, quoniam ip$æ $unt ampliores, ut patet per 116 th. 1 huius: unde loca imaginum fiunt remotiora à puncto, in quo concurrunt prædictæ perpendiculares, ductæ $uper $uperficies contingentes ip$a $pecula in punctis reflexionũ: fiunt ergo imagines maiores. Et propter hoc accidit, quòd imagines formarum ui$arum in $peculis pyramidalib. conuexis fiunt pyramidales, $imiles pyramidalitati $pe culorum. Quod enim ex formis fuerit propinquius uertici $peculi, erit $trictius: & quod fuerit pro- pinquius ba$i, erit latius. Omnino enim forma rei ui$æ, quæ comprehenditur per re$lexionem ab aliquo $peculorum facta, a$similabitur $uperficiei $peculi, à qua reflectitur illa forma, ut patet per 38 th. 5 huius. Reliquæ uerò omnes fallaciæ, quæ accidunt ui$ui ex $peculis columnarib. conuexis, accidunt etiam ex i$tis $peculis pyramidalib. conuexis: unde non e$t hic reiterationi talium immo- randum. Econuer$o etiam quæcunq; fallaci{ae} accidunt in $peculis his pyramidalibus, accidunt etiã in ip$is columnaribus, excepta pyramidatione imaginum: quoniã oxygoni{ae} $ectiones columnariũ $peculorũ, qu{ae} $unt eiu$dem decliuitatis $uper ax\~e colũn{ae}, o\~es $unt {ae}quales: & pars omnis talis $e- ctionis cacumen $peculi re$picientis e$t $imilis parti $ibi {ae}qualι in eod\~e $itu re$picienti ba$im $pecu li, quod non e$t in $ectionib. oxygonijs pyramidum, qu{ae}, ut o$ten$um e$t ք 116 th. 1 huius, omnes ad partem ba$is pyramidum dilatantur, $ecundum quod circuli ip$as æquidi$tanter ba$ibus $ecantes $unt maiores, qui circuli omnes in columnis $unt æquales. Patet itaq; propo$itum.

59. In $peculis columnaribus uel pyramidalιbus conuexis maioribus maior a uidentur idola: rei<006> ui$æ propιnquioris imago uidetur maior. Alhazen 36 n 6.

Propo$itæ pa$siones aliæ\’q; quá plures cõmunes $unt his $peculis columnaribus & pyramidalib. & $peculis $phæricis conuexis: unde i$tarum pa$sionum, $icut & aliarum communium, idem hinc inde demon$trandi e$t modus. Verùm $i in propo$itis his $peculis fiat communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $ectio oxygonia, quæ non accidit in $peculis $phæricis, cum in illis $olùm $int circuli: tunc ex his, quæ in hoc no$tro lιbro præmi$imus, hic erit in ip$is $ectionibus, utillic in circu lis, demon$trandum: patebit\’q; propo$itum ingenio diligenti.

60. Po{$s}bile e$t $peculum columnare uel pyramidale cõuexum taliter $i$ti, ut intuens uideat in aere extra $peculum imaginem rei alterius non ui$æ.

Sit $peculum columnare cõuexum: cuius linea longitudinis $it a b c: quod erigatur $uք ba$im $uá in loco aliquo domus conuenienter amplæ, ita ut linea a c, cuius medius punctus $it b, $it erecta $u- per pauimentum domus: ducatur\’q; linea contingens $peculum in puncto b perpendiculariter $uք lineam a b: quæ $it d b e, quæ $ecundum puncta d & e tangat parietes domus: & illa puncta $ignen- tur in ip$is domus parietibus. Superficies itaq; in qua e$t linea d b e (qu{ae} e$t orthogonalis $uք ax\~e $peculi) palã quoniã $ecat $peculũ $ecundum circulũ ք 100 th. 1 huius. Super punctũ itaq; d parietis domus $ignato puncto f, ut propinquius cõuenienter po$sit fieri: ducatur à pũcto f linea {ae} quidiftãs line{ae} $peculi, qu{ae} e$t a b c, cuiu$cũq; quãtitatis placuerit: qu{ae} $it g f h: & eius medius punctus $it f: co puletur\’q; linea f b: qu{ae} producatur ultra punctũ f trãs murum in punctũ k: & perforetur paries $e- cũdum li p l e g a k f m b o n q h c d neã g f h, ita quòd ex alia parte $u- perficiei muri ma ior fiat exci$io ri m{ae} parie tis <004> uer $us $pe- culũ, $i- cut con- $ueuit fie ri in fene $tris do morũ: fi- at\’q; totalis illa exci$io rim{ae} $ecũdũ ext\~e$ion\~e line{ae} b f k: $it\’q; illa rima f k l. Et à pũcto $peculi, q<001> e$t b, ducatur linea erecta $uք $uperfici\~e $peculi: qu{ae} erit քp\~edicularis $uք lineã d b e: qu{ae} educta extra $peculũ $it b m. Angulo quo q; k b m fiat $uք punctũ b terminũ line{ae} m b angulus {ae}qualis, <003> $it m b n, ducta linea b n. A pũctis quoq; g & h (qu{ae} $unt extrema pũcta line{ae} g f h) ducãtur line{ae} ad $peculũ, qu{ae} $int g a & h c: qu{ae} product{ae} cócurrant in puncto o $uքficiei circuli $ecantis $peculũ in puncto b: LIBER OCTAVVS. ducatur\’q; linea b o: $acta quo que talire$ectione lineæ b n per 3 p 1 ut ip$a fiat æqualis lineæ b o. Di- so quòd $i in puncto n ponatur centrum ui$us, quòd ad ip$um reflectetur forma lιneæ g f h à linea longitudinis $peculi, quæ a b c. Hoc autem patet per 30 huius. forma quoq; totius lineæ g f h uide- bitur extra $peculum $cilicet inter $peculum & inter lineam g f h, $cilicet citra punctum d lineæ d e contingentis $peculum in puncto b, ut patet per 49 huius. Si itaq; line{ae} o g & o h producantur trãs murum in puncta p & q, & copuletur linea una, quæ $it p k q, in quam tabula alιqua depicta ordme- tur ultra murum, ita ut media linea $ormæ in illa tabula depictæ $ituetur $uper lineam p k q, taliter\’q; di$ponatur, quòd per ui$um exi$tentem in puncto n, uel citra illum uιderi non po$sit forma depιcta in tabula: uidebitur tam\~e ui$u $ic dι$po$ito imago illius formæ in aere reflexa à $peculi $uperficie co lumnaris. Simili quoq; modo dιligens intuitor pote$t $i$tere $peculum pyramidale conuexũ & cen trum ui$us per 41 & 49 huius. A‘ $peculis uerò $ph{ae}ricis conuexis adeò regularis reflexio non fiet, ut à propo$itis $peculis: patet ergo propo$itum. Secundũ huncitaq; modum $tudio$us percontator inuigilet: quoniam hoc, quod hιc pr{ae}mi$imus in pr{ae}$enti theoremate, exempli cau$$a fecimus, ut ex huius librι 7 dιffu$ione, uia perqui$itionis diuer$i artificij pateat anim{ae} diligenti.

VITELLONIS FI- LII THVRINGORVM ET PO- LONORVM OPTICAE LIBER OCTAVVS.

_NOTIFICATIS_ aliqualiter pa{$s}ionibus $peculorum planorum & cõ- uexorum regularium, ut $phæricorum, columnarium & pyramidalium: $uper$t nunc, ut de $peculorum concauorum proprietatib. aliqua con$cri- bamus, $icut de illis, in quibus plus re$ultat reflexionum diuer$itas & mi- rabilis diffu$io naturalium formarum, ui$uum que a$picientium deceptio multiformis. Specula uerò concaua regularia (prout in 5 huius $cientiæ libro th. 8 declar auimus) $unt tantùm tria, $cilicet $phæricum, columnare & pyramidale: inter quæ primò de $phæri- cis concauis in præ$entis libro tractabimus, utpote de illis, quorum pa{$s}iones ueluti $impli ciores alijs, in reliqua concaua $pecula de$cendunt. Et quoniam principia communia his $peculis $phæricis concauis & $phæricis conuexis, in principio 6 libri $ci\~etiæ huius præmi- $imus: ideo ip$a, ut ex præmi{$s}s $uppo$ita, hic non reiter amus: ea tamen, quæ propria $unt his $peculis, duximus explicanda.

DEFINITIO.

Imaginem conuer$am dicimus, quæ totalem $itum rei ui$æ uariat: ut $i caput intuentis, quod e$t $ur$um, uideatur deor$um: & $ecũdum hoctotus $itus partium imaginis, re$pectu $itus partium rei ui$æ uarietur.

THEOREMATA 1. Oppo$ito ui$ui $peculo $phærico concauo: communis $ectio ba$is pyramidis ui$ionis & $uperfi ciei concauæ $peculi erit circulus $phæræ, quando<005> magnus, quando<005> minor illo.

Quandoq; enim tota $phæræ concauæ $uperficies uidetur, quandoque pars eius maior, quãdo- que minor, ut patet per 72 th. 4 huius. Secundum hoc ergo illa communis $ectio ba$is pyramidis ui $ionis & $uperficiei $peculi uariatur. Cum autem $uperficies ba$is pyramidis $it $uperficies plana, & $uperficies concauorum $peculorum $it $phærica: patet per 110 th. 1 huius quod ip$orum communis $ectio $emper e$t circulus. Hic ergo quando que e$t circulus magnus, ut quando tran$it c\~etrum $pe- culi: quando que minor circulo magno, ut cum non tran$it centrum $peculi, $ed cadit extra illud. Pa tet ergo propo$itum.

2. Communem $ectionem $uperficiei reflexionis & $uperficici $peculi $phærici concauinece$$e e$t circulum magnum uel arcum circuli magni $uæ $phæræ e$$e: ex quo patet, quòd omnis $uperfi- cies reflexionis $ecat $phæram $peculi concaui per æqualia.

Huius propo$iti theorematis non e$t alia demon$tratio, quàm quæ $acta e$t $uprà in 1 th. 6 huius: VITELLONIS OPTICAE ubi idem proponitur de $peculis $ph{ae}ricis conuexis. Et quia $phæræ concauitas $ic re$picit centrũ, $icut & ip$ius conuexitas, & $uperficies reflexionis e$t $emper $uքfi cies plana erecta $uper $uperficiem $peculi per 25 th. 5 huius: patet f b a d c g e propo$itum: quoniam idem erit modus demon$trandi hic, qui $u- prà. E$to enim $peculum $phæricum concauum a b c: cuius centrũ d: & $it centrum ui$us g: reflectatur\’que forma puncti e ad ui$um g à puncto $peculi b. Dico quòd $uperficiei reflexionis, qu{ae} e $t e b g, & $uperficiei $peculi communis $ectio e$t circulus a b c. Sit enim $u- per$icies plana contingens $ph {ae}ram in puncto b, à quo puncto eri- gatur linea f b $uper $uperficiem $peculum in illo puncto b contin- gentem per 12 p 11: hæc ergo cadet nece$$ariò in ip$am $uperficiem reflexionis per 27 th. 5 huius, & eadem linea f b producta ultra pun ctũ b nece$$ariò tran$ibit centrũ $phæræ per 72 th. 1 huius, q<001> e$t d: {pro}ducta quoq; fit diameter $phær{ae}: ergo & circuli magni illius $ph{ae} r{ae}. Et quoniam h{ae}c diameter communis e$t 4uperficiei reflexionis & ip$i $phær{ae}: palàm ergo propo$itum.

3. In omni $uperficie reflexionis à $peculis $phæricis concauis, centrum ui$us: centrum $peculi: punctum reflexionis: punctum ui$um: terminum<006> diametri ui$ualis à centro ui$us per c\~etrum $phæræ ductæ ad $phæræ $uperficiem, con$istere e$t nece$$e. Alha- zen 23. 45 n 4.

Cum $uperficies reflexionis contineat lineam incidentiæ & reflexionis: palàm quoniam conti- net punctum rei ui$æ, cuius forma reflectitur, & punctum reflexionis, à quo reflectitur, & centrum ui$us, ad quod reflectitur. Et quoniam communis $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi $ph{ae}rici concaui e$t circulus magnus per æqualia diuidens $ph{ae}ram per pr{ae}mi$$am: palàm quia in qualibet $uperficie reflexionis e$t centrum $peculi: quia quælibet ip$arũ tran$it c\~etrum $phær{ae} ip$i- us $peculi, cum qu{ae}libet illarum $uperficierum $it erecta $uper $uperficiem planam $peculum in pũ- cto reflexionis contingentem per 25 th. 5 huius: $ed per 1 p 11 producta diametro ui$uali per centrũ ui$us & centrum $ph{ae}r{ae}, terminus illius diametri nece$$ariò erit in eadem $uperficie cum alijs duo- bus $uis punctis. Parædicta ergo quinq; puncta nece$$ariò $unt in omni $uperficie reflexionis, qu{ae} $it à propo$itis $peculis. Et hoc e$t propo$itum.

4. Centro ui$us uel puncto rei ui$æ in centro $peculi $phærici concaui exi$tente: à quolibet pun cto fiet reflexio in $e ip$um. Ex quo patet quòd in hoc $itu ui$us non comprehendet ni$i $etantùm: & quòd punctus rei ui$æ exi$tens in centro $peculi nõ reflectitur aliqualiter ad ui$um. Euclides 24 th. catoptr. Ptolemæus 1 th. 2 catoptr. Alhazen 44 n 4. Item 62 n 5.

E$to $peculum $phæricum concauum, cuius centrum $it a: & $ignetur in ip$o aliquis $uorum ma- gnorum circulorum, qui b c d e: & centrũ ui$us $it in centro $peculi, quod e$t punctum a. Dico quòd à quocunque puncto $iet reflexio ad ui$um: $emper oportet ut reflectatur radius in $eip$um. Dato enim quòd à puncto b fiat reflexio ad centrum $peculi a, in quo e$t c\~etrum ui$us: palàm ergo per 72 th. 1 huius quoniam linea b a, qu{ae} e$t linea reflexionis, e$t per pendicularis $uper $uperficiem cõtin- gentem $peculum in puncto b: $ed omnis perpen- dicularis in $e ip$am $em per reflectitur per 21 th. 5 b c a e d huius. Si ergo linea b a e$t per p\~edicularis $uper $u perficiem $peculi: palàm quia linea incidens fuit perpendicularis, & eadem cũ linea b a. Dato enim oppo$ito, $equitur angulũ incidenti{ae} in{ae} qual\~e e$$e angulo reflexionis: quod e$t contra 20 th. 5 huius, & impo$sibile. Linea itaq; a b reflectitur in $eip$ã, ut ip$a e$t $acta linea b a. Et quo niam in hoc $itu ui $us, omnes line{ae} incid\~etes $uperficiei $peculi, $unt $emidiametri ip$ius: palàm quoniam omnes angu li incid\~eti{ae} $unt inter $e {ae}quales per 43 th. 1 huius: quia $unt anguli $emicirculorum. Reflectuntur er- go nece$$ariò in $eip$os: uidebitur\’q; in tota $uper- ficie $peculi forma a$picientis oculi una forma, & apud $uperficiem $peculi apparebit: & nulla alia forma tunc uidebitur reflecti ad ui$um. Et ex hoc patet, cũ ui$us $uerit in centro a, quòd ip$e uidebit $e à quolibet pũcto $peculi dati քp\~ediculariter: & q<001> nihil aluid uidebit ք reflexion\~e à $uքficie $pe- ouli: quoniã ab uno pũcto $peculi ad c\~etrum plures perpendiculares duci nõ e$t po$sibile, ut patet per 20 th. 1 huius. Similiter neq; punctus rei ui${ae} exi$tens in centro ui$us reflectitur ad ui$um, $ed $o- lùm in $e ip$um: quoniã omnes line{ae} incidenti{ae} $unt perpendiculares $uper $uperfici\~e $peculi: unde LIBER OCTAVVS. non reflectentur ni$iin $eip$as. Et hoc e$t propo$itum. Ethæc quidem dicta $unt, non præ$tante im pedimentum ui$ui capitis den$itate. Siergo centrum ui$us hominis uidentis con$titutum fueritin diametro $phæræ $peculi concaui, & in centro eius (cum qu{ae}libet linea à ui$u ad $uperficiem $pecu li ducta $it perpendιcularis $uperip$am) tunc, ut prius demon$tratum e$t, comprehendetui$us $e ip$um, & non comprehendetur forma alιcuius puncti $peculi, ni$i puncti portionis circuli interia- centis lineas longitudinis pyramidis ui$ualis, qu{ae} à centro $peculi intelligitur protendi: quoniam forma cuiuslibet alterius puncti cadetin $peculum $uper lineam à ui$u declinatam, & nece$$ariò re fle ctetur $uper illam lineam declinatam. Quare linea reflexionis non tran$ibit per centrum $peculi: & ita non pertinget ad centrum ui$us. Patet ergo propo$itum.

5. Centro ui$us exi$tente in aliqua $emidiametro $peculi $phærici concaui extra centrum $pe- culi: impo{$s}ibile e$t ad ui$um reflecti formam alicuius punctorũ illius $emidiametriobliquè $pe- culo incidentem: reliquæ uerò $emidiametri e$t po{$s}ibile. Alhazen 63 n 5.

Hoc, quod hic proponitur, euidenter declaratur. Sienim c\~etrum ui$us fueritin in $emidiametro a- liqua propo$iti $peculi, $ed non in centro: non comprehendet ui$us formá alicuius puncti $emidia- metri, in qua e$t, obliquè $peculo incidentem: quoniam angulus, quem efficient du{ae} lineæ, quarum una ducitur à puncto $umpto in illa $emidiametro, & alia à centro ui$us in idem $peculi punctũ, nó poterit diuidi per lineam perpendicularem ab illo puncto $peculi ductam: cum illa perpendicularis t\~edat ad centrũ $peculi, formam uerò alicuius puncti alterius $emidiametri coniunctæ $emidiame- tro, in qua e$t centrum ui$us, ad complendam diametrum $peculi, in qua con$titutus e$t ui$us, obli- què $peculo incidentem percipere pote$t ui$us: utpote formam illius puncti, à quo ducta linea in- cidenti{ae} ad aliquod punctum $peculi, ab eodem puncto $peculi ducta linea reflexionis ad uifum, an gulus ab illis lineis contentus diuiditur per æ qualia per lineam ab illo puncto reflexionis ad cen- trum $peculi productam. Hæc enim e$t proprietas reflexionis in omnibus $peculis, ut angulum à li- nea incidenti{ae} & linea reflexionis contentum diuidat perpendicularis à puncto reflexionis ducta per æqualia per 26th. 5 huius. Ille ergo punctus poteritin $peculo uideri: & non e$t ni$i unicus talis punctus in quibu$cunq; diametris $peculi con$i$tens, qui ab uno circulo $peculi ad ui$um reflecti po$sit. Quoniam centro $peculi, ad quod terminatur perpendicularis ducta à puncto reflexionis, & centro oculi exi$tentibus fixis, erit punctus ab uno circulo $peculi reflexus $emper unus: à diuer $is uerò circulis $peculi diuer$a puncta diametri po$sibile e$t reflecti. Patet ergo propo$itum.

6. Po$ito ui$u extra centrum $peculi$phærici concauι: à quolibet puncto $peculi pote$t fierifor- mæ alterius reflexio ad ui$um, ni$i$olùm ab illo puncto, cuiincidit diameter ui$ualis. Alha- zen 45 n 4.

E$to per 2 huius communis $ectio $uperficiei reflexionis, & $uperficiei $peculi $phærici concaui circulus magnus, qui fit g d c: cuius centrum $it b: & centrum ui$us $it a: & ducatur à c\~etro ui$us per b centrum $peculi diameter ui$ualis: qu{ae} $it a b d, incidens $uperficiei $peculi in puncto d. Dico quòd à quolibet puncto $peculi dati pote$t fieri reflexio form{ae} puncti alterius rei ui$ibilis ad ui$um a, ni$i à $olo puncto d. Sit enim datus alius punctus, qui $it g: ducatur\’qe ad ip$um $emidiameter b g: & continuetur linea reflexionis, quæ $it g a: & ducatur linea f g l contingens circulum magnum $peculi tran$euntem pũcta g, d, c. Palàm per 18 p 3 quia anguli b g f & b g l $unt recti. Patet etiam per f g l c a b d h 42 th. 1 huius quoniam angulus b g a erit acutus: ca- dit enim linea a g inter diametrum & lineam contin gentem f g l, quæ e$t extra $peculum, ubicunq; pona tur e$$e c\~etrum ui$us, $iue intra $iue extra circulum g c d. Con$tituatur quoque per 23 p 1 in eiu$dem cir- culi $uperficie $uper lineam l g ad punctum g angu- lus æ qualis angulo f g a: qui $it h g l: erit ergo angu- lus h g b æ qualis angulo b g a. Et quoniam angulus contingentiæ e$t minimus angulorum per 16 p 3: pa làm quòd ab angulo b g l recto ab$ci$$o quocunque angulo acuto rectilineo, $emper linea illum acutum angulum contin\~es cadetintra circulum g c d: quo- niam $olus angulus contingentiæ cadit extra circu lum. Po$ito itaque quocunque puncto ui$ibili in li- nea h g: $emper fiet reflexio formæ alicuius $ui pun- cti ad ui$um a. Et eodem modo de quolibet alio $pe- culi puncto extra punctum d dato dem on$trãdum. Sed & à puncto d fit reflexio. Cum enim linea a d $it perpendicularis $uper $uperficiem contingentem $peculum in puncto d: palàm quia linea a d reflectitur in $eip$am per 21 th. 5 huius. Siergo aliquid interponatur non diaphanum inter centrum ui$us, quod e$t a, & punctum $peculi d, nulla fiet refle- xio ad ui$um impedi\~ete medio: $i uerò nullum tale interponatur, $olius puncti $uperficiei oculi for- ma uidebitur ab eodem oculo, nihil\’q; aliud, Et hoc e$t propo$itum.

VITELLONIS OPTICAE 7. In $peculis $phæricis concauis $i $upraperipheriam uelextra ponatur centrum ui$us: oculus non uidetur, ni$i per diametrum $peculireflectatur. Euclides 25 th catoptr.

Sit $peculi concaui $ph{ae}rici circulus magnus a b g: $it\’que centrum ui$us in puncto b $uper $pecu li peripheriam: & ducantur line{ae} b a & b g non per centrum. Et quoniam angulus maioris portio- b a g c a b g c nis, ut patet per 43th. 1 huius, e$t maior: angulus uerò reflexionis $em- per debet e$$e æ qualis angulo incidentiæ, ut patet per 20 th. 5 huius: palàm quia non fiet reflexιo $ecundum lineam a b, $ed fiet ad partem maioris anguli: & $imiliter e$t de puncto g: quoniam non fiet reflexio $ecundum lineam b g, $ed ad partem anguli maioris per 33 th. 5 huius. Si enim forma puncti b à punctis a & g reflecteretur in $eip$am: tunc anguli portιonum ad punctum a & ad punctũ g e$$ent æquales: quod e$t impo$sibile, & contra 43 th. 1 huius: per diametrum tamen cuiu$- cunq; circuli magni totius $peculi $phærici concaui pote$t ui$us inci- dens reflectι in $eip$um: quoniam omnium $emicirculorũ eiu$dem cir culi anguli $unt æ quales per idem 43 th. 1 huius: $ed tunc non fiet reflexio ni$i unius puncti $uperficiei $peculi diametraliter incidentιs, ut $ecundum lineam b c: qui non percipιtur, quia indiui$ibilis e$t: & omne, quod uidetur, diui$ibile e$t, quia $ub angulo uidetur per 18th. 3 huius: alιj uerò puncti incιd\~etes obliquè reflectuntur ad part\~e anguli maioris, & non perueniunt ad ui$um, ni$i illi, quorum reflexionis li- ne{ae} incidunt $uperficiei uifus, & figuranturin illo partium rei ui$æ $i- tibus permutatis: quod autem non $ic reflectitur, non uidetur. In his itaq; $peculis $phæricis concauis, $i$upra peripheriam $peculi pona- tur centrum ui$us, non uidetur oculus, ni$i per diametrum $peculire- flectatur. Idem enim accidit, $i extra peripheriam $peculi propo$iti o- culus ponarur: & eodem modo dem on$trandum: quoniam linearum inæqualitas naturam reflexio nis non immutat per 20 th. 5 huius. Patet ergo propo$itum.

8. Ab alter a parte productæ diametri extra circulum $peculi $phærici concaui ui$u po$ito, $i- ue in tran$uer$ali diametro, $iue extraillam, $iue citr a illam: nihilrerum in illa parte di$po$it a- rum po{$s}ibile e$t uideri. Euclides 26th. catoptr.

E$to communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $phærici concaui circulus a g d: cuius cen trum $it z: & producatur $emidιameter z g extra peculum ad punctum h ducatur\’q; à centro z per 11 p 1 alia diameter perpendiculariter $uper lincam h g, quæ a z d: & $it centrum ui$us in puncto b ab altera parte diametri h g: & à puncto b ducatur linea {ae}quidi$tans lineæ h g per 31 p 1, qu{ae} $it linea b e, incidens $uper$iciei $peculi m puncto e. Dico quòd nulla rerum ui$ibilium po$itarum ab illa par te diametri h g, & line{ae} b e, in qua $cilicet e$t ui$us, pote$t uideri, Detur enim, $i $it po$sibile, ut pun- o p o p o p d n f m t z a q q q b h r ctus q ab illa parte po$itus ad ui$um exi$tentem in pũ- cto b reflexus ualeat uideri: incidat\’q forma puncti q ad punctum $peculi, quod e$t e, producta linea inci- dentiæ, quæ $it q e: & à puncto e contingens circulum per 17 p 3: quæ $it p e o: & ducatur linea e z. Si ergo for ma puncti q à pũcto $peculi e reflectatur ad ui$um exi- $tentem in puncto b: palàm per 20 th. 5 huius quoni- am angulus q e o erit æqualis angulo b e p: $ed angu lus b e p e$t maior angulo recto: quia per 18 p 3 e$t an- gulus z e p rectus: ergo & angulus q e o e$t maior re- cto: quod e$t contra 13 p 1. Palàm ergo quòd forma pũ- cti q non reflectitur à puncto e ad ui$um b. Sed neque ab aliquo alio puncto arcus e d: quoniam idem accidit impo$sibile. Sed $uper terminum lineæ z e per 23 p 1 con$tituto angulo æquali angulo b e z, po$sibile erit punctorum line{ae} productæ, quæ $it r e, formas à pun- cto e reflecti ad ui$um exi$tentem in puncto b. Idem quoque patet ui$u po$ito in puncto t citra diametrum a d, producta linea t k: uel po$ito ip$o in puncto m diametri a d, ducta linea m n: copulatis quoque lineis z k, z n, & facta deductione ut prius. Patet ergo propo$itum.

9. In concauis $peculιs $phæricis $i inter centrum $peculi & peripheriam fuerit punctũ reiui- $æ: po{$s}ibile e$t, ut quando<005> in centro unιus ui$us à diuer$is punctιs $peculi lineæ reflexionis con- currant. Euclides 6 th. catoptr.

Sit$peculum $phæricum concauum, cuius maior circulus $it a g: centrum quoq: $it punctus d: & LIBER OCTAVVS. $it punctus rei ui$æ b con$titutus inter centrum d & peripheriam circuli a g: fiat\’q; reflexio formæ puncti b à puncto $peculi, quod $it a ι & à puncto $peculi, quod e$t g. Dico quòd lineæ inciden- tiæ, quæ $unt b a & b g, po$$unt reflecti ad centrum unius ui$us in puncto uno exi$tentis. Sit enim primo, ut linea b g reflectatur ad ui$um exi$tentem in puncto p: producantur quoq; lineæ inciden- tiæ à punctis a & g ad aliam partem peripheriæ, quæ $int lineæ a c & g h. Hæ ergo lineæ aut $unt æquales, aut inæquales. Sint primò æquales: erit ergo arcus a g c per 28 p 3 æqualis arcui g c h: erit ergo per 43 th. 1 huius angulus portionis (qui e$t c a g) æqualis angulo portionis, qui e$t b g c: $ed & angulus h g c e$t æqualis angulo p g a per hypothe$im & per 20 th. 5 huius, quoniam angulus incidentiæ e$t æqualis angulo reflexionis: & angulus c a g $it æqualis angulo l a i: relinquitur ergo æqualibus angulis hinc & inde ablatis, ut angulus h g p $it æqualis angulo c a l. Sit autem punctus, g a r b c i l p d h a g l r p d b i c h in quo linea p g $ecat lineam c a, punctus r: angulus ergo p r c per 16 p 1 maior e$t an- gulo p g h: ergo & angulo l a c. Quia ergo angulus p r a cũ angulo p r c e$t {ae}qualis duo- bus rectis per 13 p 1: patet quòd angulus p r a cum an- gulo r a l minor e$t duobus rectis: ergo per 14 th. 1 huius lineæ g p & a l concurrent: $it concur$us punctus p. Si itaq; in pũcto p ponatur cen trum ui$us: palàm quòd ip$e uidebitformã puncti b reflexam à duobus punctis $peculi, quæ $unt a & g: $imiliter\’q demon$trandum $i lineæ a c & g h fuerint in æquales: ut $i linea a c $it maior quàm li- nea g h: tũc enim per 43 th. 1 huius angulus portionis, qui e$t c a g, erit maior angulo portionis, qui e$t h g c: remanet\’q; per modum, quo proce$simus prius, angulus h g p maior angulo c a l: fiet\’q an- gulus p r b maior angulo h g p & maior angulo l a r: ergo, ut prius, lineæ g p & a l concurrent: $it\’q; cõcur$us punctus p: & e$t idem, quod prius. Quòd $i linea a c fuerit minor quàm linea g h: tunc per modum, quo u$i $umus prius, erit angulus l a c maior angulo p g h: $ed & angulus p r b maior e$t an- gulo p g h. Si itaq; angulus l a c $it minor angulo p r b, concur$us fiet, ut prius, linearum a l & g p ad punctum p per 14 th. 1 huius. Si uerò angulus l a c $it maior angulo p r b: fiet idem per 14 th. 1 huius concur$us illarum linearum ultra arcum a g, qui impeditur per corpulentiam $peculi: unde tunc non fiet reflexio ad ui$um. Similiter quoq; $i angulus l a c fuerit æqualis angulo p r b: tunc per 28 p 1 line{ae} a l & g p æquidi$tabunt. In nullo ergo puncto concurrent. Nunquam ergo fiet formæ unius puncti, quod e$t b, reflexio ad unum centrum ui$us à duobus punctis $peculi $phærici concaui. Pa- tet ergo propo$itum.

10. Lineæ reflexionis à $peculis $phæricis concauis (puncto rei ui$æ exi$tente in peripheria $pe- culi uel extr a illam) nõnunquam in uno centro ui$us à diuer$is punctis $peculi concurrunt. Eu- clides 5 th. catoptr. Ptolemæus 2 th. 2 catoptr.

Sit $peculum $phæricũ concauum g a b s: $it\’q; punctũ rei ui$æ g: quod $it con$titutũ in aliquo cir cunferentiæ puncto, quod $it etiá punctũ g: $it \’q; ut g punctum rei ui${ae} refle ctatur à duobus punctis arcus g a b, quæ $int puncta a & b: fiat\’q reflexio formæ puncti g à puncto $peculi b ad punctũ e: & à pun cto a ad punctũ l. Dico quod lineas reflexionũ, quæ $unt b e & a l, po$sibile e$t concurrere. Du- cantur itaq; lineæ contingentes $peculum in punctis a & b: contingat\’q; ip$um linea k a p in puncto a: & linea k b f in puncto b: & ducantur lineæ e b & b g & l a & a g. Sit quoq;, ut lineæ a l & g b $ecent p a k g h b l e f s $e in puncto h. Quia itaq; omnes anguli con$tituti $uper punctũ b $unt æ quales omnibus angulis con- $titutis $uper punctum a per 13 p 1, & per 20 th. 5 hu- ius angulus e b f e$t æ qualis angulo k b g, & angu- lus l a k æ qualis e$t angulo p a g, & anguli cõtingen- tiæ omnes $unt æ quales per 16 p 3: angulus uerò g a b maioris portionis circuli, maior e$t angulo g b s minoris portionis per 43 th. 1 huius: ergo angulus k b h maior e$t angulo p a g: ergo angulus e b f maior e$t angulo k a h propter æqualitatem angulorum hincinde per 20 th. 5 huius: palàm ergo quia angu- lus e b g minor e$t angulo l a g: $ed angulus l a g e$t minor angulo g h l per 16 p 1: angulus ergo g h l e$t maior angulo g b e: $ed angulus l h g cum angulo b h l ualet duos rectos per 13 p 1: ergo anguli g b e & b h l $unt minores duobus rectis: ergo per 14 th. 1 huius lineæ a l & b e concurrent: $it concur$us punctus e. Si itaq; centrum ui$us fuerit in puncto e: patet quòd à duobus punctis $peculi fiet ad ip$um formæ puncti g reflexio. Quòd $i extra periphe- VITELLONIS OPTICAE riam ponatur punctus g, accidet hocidem: & eadem e$t demon$tratio. Non e$t tamen hoc uniuer- $ale: quia po$sibile e$t non concurrere: ut$i anguli g b e & g h l $int æquales uel maiores duobus re- ctis: tunc enim lineæ b e & a l non concurrent: uel $i concurrant hoc erit retro $peculum, ubi ui$us con$titutus retro $peculum formas reflexas non poterit uidere. Patet ergo propo$itum.

11. Locus imaginum formarum à $peculis $phæricis concauis reflexarum quando<005> e$t in ip$o puncto reflexionis: quando<005> e$t ultr a $peculum: quando<005> inter ui$um & $peculum: quando<005> in $uperficie ip$ius ui$us: quando<005> retro ui$um. Alhazen 60 n 5.

Quando enim forma puncti rei ui$æ uidetur $ecundũ cathetum $uæ incidentiæ: tunc nece$$ariò imago uidetur in ip$a $uperficie $peculi, in puncto $cilicet $uæ reflexionis: quando uero formæ obli què incidunt $uperficiebus propo$itorũ $peculorum: tunc diuer$ificantur loca imaginũ, ut propo- nitur. Ad quod declarandum $it a centrum ui$us: & punctus d centrum $peculi $phærici concaui: & ducatur $uperficies plana per hæc duo puncta, quæ erit $uperficies reflexionis: quoniã ip$a e$t or- thogonalis $uper quamlibet $uperficiem, contingentem $peculum $ecundum punctũ illum $uperfi ciei $peculi, cui incidit diameter ui$ualis. Secabit ergo $uperficiem $peculi dati: & erit communis $ectio illarum $uperficierum circulus magnus per 2 th. huius. Sit ergo ille circulus h b f g: & duca- tur linea à centro ui$us ad centrum $peculi: qu{ae} $it a d: & à puncto a ducatur ad circuli peripheriam linea maior quàm linea a d, quæ $it a e: & à puncto d ducatur ad circulum linea æ quidi$tans lineæ a e: quæ $it d h: & producatur linea a d ex utraq; parte $ui ad circumferentiam in puncta i & b, taliter ut compleatur diameter i a d b: & ducatur linea d e. Quia itaq; linea a e e$t maior quàm linea a d: pa làm per 18 p 1 quoniam angulus a e d e$t minor angulo a d e: e$t ergo per 32 p 1 angulus a e d minor angulo recto, $iue angulus a d e fuerit rectus uel obtu$us, uel acutus: $ed per 29 p 1 angulus e d h e$t æ qualis angulo a e d: quia $unt coalterni: e$t ergo angulus e d h minor recto. Super punctum quoq; e lineæ d e fiat per 23 p 1 angulus æ qualis angulo a e d, qui $it d e t. Palàm itaq; quoniam linea e t ca- l g e n h m t q u i a d z b s k y f p o dit intra circulum. Quoniam $i caderet extra circulum, fieret ille angulus aut rectus, $i linea producta circulum cõtingeret, aut ob- tu$us, $i $ecaret: quod totũ patet ducta linea contingente circulum in puncto e per 17 p 3: & quia hoc e$t impo$sibile, ut patet ex præ- mi$sis: palàm quia linea t e cadet intra circulum, $ecabit\’q; lineam d h: $it\’q; punctus $ectiõis t: & erit linea e t {ae}qualis line{ae} d t per 6 p 1: $unt enim anguli e d t & d e t æ quales. Et quoniã angulus a d e ma- ior e$t angulo a e d per 18 p 1: palàm quia angulus a d e maior e$t an gulo d e t: ergo per 14 th. 1 huius linea e t non æquidi$tat lineæ a b: concurrent ergo: $it\’q; punctus concur$us z. Deinde à puncto a du catur ad arcum e h linea an: quæ cum concurrat cum linea a e in puncto a, & inter ip$am lineam d h $ibi {ae}quidi$tantem producatur, palàm per 2 th. 1 huius quia concurret cum linea d h. Sit ergo pun- ctus concur$us l: & ducatur linea d n: & $uper punctum n lineæ d n fiat angulus æ qualis angulo d n a per lineam m n, qui $it m n d. Et quia angulus d n a e$t acutus per 42 th. 1 huius, erit etiam angulus d n m acutus. Ideo enim, quia angulus in $emicirculo e$t rectus per 31 p 3, omnis angulus cõtentus à quacũq; linea & termino diametri palàm quòd e$t acutus: cõcurret ergo linea n m cũ linea d h: $it con cur$us in puncto m. Ducatur etiam à puncto a linea ad arcum e i f, quæ $it a g: & ducatur linea d g fiat\’q; angulus q g d æqualis angulo d g a. Et quoniam, ut prius, angulus d g a e$t acutus per 42 th. 1 hu- ius, erit etiã angulus q g d acutus: cõcurret ergo linea g q cũ linea d h: $it concur$us in puncto q. Palàm quoq;, cum linea g a concur- rat cum linea a e, quoniam per 2 th. 1 huius concurret cum linea d h illius æ quidi$tante: $it concur$us punctus o ex parte puncti f: angu lus enim g a d e$t maior angulo e a d: ergo per 14 th. 1 huius ad par- tem minorum angulorum fiet concur$us: $ecet\’q; linea g o periphe riam circuli in puncto y: $it\’q; arcus g y maior arcu g h. Quòd autem linea g q cadat inter puncta d & h, palàm $atis e$t ex præmi$sis: $ed & idem patere pote$t ex hoc. Quia cum arcus, qu\~e $ecat linea g o ex circulo h b f g, (qui e$t arcus g y) $it maior arcu g h: producatur linea g d ad peripheriam cir- culi in punctum p: erit\’q; arcus h p maior arcu y p: ergo per 33 p 6 erit angulus h g d maior angulo a g d: $ed angulus q g d e$t æ qualis angulo a g d, ut patet ex præmi$sis: ergo angulus h g d e$t maior angulo q g d: linea ergo g q diuidit angulum h g d: ergo per 29 th. 1 huius diuidit & ba$im d h: cadet ergo punctum q inter puncta d & h. Item à puncto a ducatur ad arcum f b linea a k $ecans lineam d f in puncto s, ita ut$it linea k s maior quàm pars diametri, quæ e$t s d. Hoc autem facile per 7 p 3: ut $i linea d f diuidatur per æ qualia in puncto aliquo, & linea a k ducatur per illum punctum, aut per punctum alium uer$us punctũ d. Hac itaq; linea a k $ic ducta, ducatur linea d k. Palàm ergo per 42 th. 1 huius quòd angulus d k a e$t acutus. Fiat ergo $uper punctum k terminũ lineæ d k angulo d k a LIBER OCTAVVS. angulus æ qualis, qui $it d k u. Cum itaq; per 18 p 1 angulus k d s $it maior angulo d k s: ideo quia li- nea s k e$t maior quàm linea d s: erit ergo angulus k d s maior angulo d k u: palàm ergo per 14 th. 1 huius, quia linea u k concurret cũ linea d h: $it ergo concur$us in puncto u. Palàm itaq; per 20 th. 5 huius & $ecundum prædicta, quòd forma puncti t à puncto $peculi e reflectitur ad ui$um, qui e$t in puncto a: cathetus quoq; incidentiæ formæ puncti t e$t linea t d, quæ per 72 th. 1 huius e$t perpendi cularis $uper $uperficiem contingentem $peculum, cum $it tran$iens per eius centrum, & ip$a e$t æquidi$tans lineæ reflexionis, quæ e$t a e: nunquam ergo concurret cum illa. Apparebit ergo ima- go formæ puncti t in ip$o puncto refle xionis, quod e$t e. Forma uerò puncti z reflectitur $imiliter à puncto e ad ui$um exi$tentem in puncto a: cathetus quoq; $uæ incidentiæ, qu{ae} e$t b z d ducta à pun cto z per centrum $peculi concurrit cum linea refle xionis, quæ e$t a e in puncto a: locus itaq; ima- ginis formæ puncti z per 37 th. 5 huius erit centrum ui$us, quod e$t a. Forma uerò puncti m à pun- cto $peculi, quod e$tn, reflectitur ad ui$um a: & perpendicularis ducta à puncto m, quæ e$t cathe- tus incidentiæ, quæ m d, concurrit cum a n linea reflexionis in puncto 1, quod e$t ultra $peculum: & forma puncti m habet locum imaginis in puncto l $ub $peculo. Forma uerò puncti q peruenit ad punctum $peculi, quod e$t g, & ex puncto g reflectitur ad ui$um a: & locus imaginis $uæ e$t in pun- cto o, quod e$t ultra ui$um. Et forma puncti u peruenit ad punctum $peculi, quod e$t k, & reflecti- tur ad ui$um in puncto a: & cathetus $uæ incidentiæ, quæ e$t perpendicularis ab eo ducta trans centrum $peculi d, e$t linea u d, concurrens cum linea a k linea reflexionis in puncto s: locus itaq; imaginis $uæ e$t punctum s, quod e$t inter ui$um & $peculũ. Palàm itaq; ex prædictis quòdimagi- num à $peculis $phæricis concauis reflexarum quædam uidentur in $uperficie ip$ius $peculi, ut in ip$o puncto reflexionis: quædam uidentur ultra $peculum: quædam inter ui$um & $peculum: quædam in $uperficie ip$ius ui$us: quædam citra ui$um. Quod e$t propo$itum. Et $i centrum ui$us $it extra circulum $peculi uel in circumferentia ip$ius, idem accidit, & eodem modo e$t dem on- $trandum: quoniam $emper linea a e $it maior quàm linea a d: & accidunt omnia, ut prius. Patet er- go, quod proponebatur.

12. Imaginum reflexarum à $peculis $phæricis concauis diuer$afit à ui$u comprehen$io, $ecun dum $uorum locorum propr iam diuer$it atem. Alhazen 61 n 5.

Remaneat di$po$itio præcedentis in tota forma figurationis. Cum itaq; locus imaginis fuerit ul- tra $peculum, ut in puncto l: aut inter ui$um & $peculum, utin puncto s: tunc, quia formas $ibi op- po$itas $emper perfectius acquirit ui$us, comprehenditur ueritas illius imaginis. Cum uerò locus imaginis fuerit in puncto reflexionis: ut cum perpendicularis ducta à puncto rei ui${ae} quidi$tat li- neæ reflexionis: tunc enim locus imaginis e$t in puncto e: quia cum punctus e per 3 th. 2 huius $it punctus naturalis diui$ibilis, $en$ibilis, utpote capax imaginis form{ae} rei $en$ibilis, quæ e$t diui$ibi- lis, cum $it naturalis ($umpto in $ui medio puncto intellectuali) erit imago cuiu$cunq; illius pun- cti $en$ibilis pars, quæ fuerit ultra medium punctum $umptum, apparens ultra $peculum, & ima- go partis alterius, quæ fuerit citra punctum medium, apparebit inter ui$um & $peculum. Et cum totalis forma $ecundum partes $ui ulteriores $uperficie $peculi & citeriores uer$us ui$um $em- per uideatur una & continua, nece$$ariò forma illius puncti $en$ibilis pro ximi puncto intellectuali uidebitur in ip$ius $peculi $uperficie, in puncto $cilicet reflexionis: aliæ quoq; partes formæ $en$ibi lis circumiacentis illud punctum uidebuntur ab illo puncto declinare modo dicto: quæ dam ad ui- $um & intra $peculum: quædam ultra $peculum. Verùm in imaginibus, quarum locus e$t punctus a, quod e$t centrum ui$us, ueritas ip$arum non comprehenditur: unde $æpius accidit error ui$ui in formis $ic ui$is. Ad huius autem maiorem euidentiam, ut non $olùm demon$tratio, $ed etiam expe- rientia doceat, quod præmi$imus: erigatur $uper $uperficiem $peculi $phærici cõcaui $tipes ligneus uel ferreus perpendiculariter, qui $it minor medietate $emidiametri $peculi: & circa caput huius $ti pitis ponatur centrum ui$us: & dirigatur ui$ualis radius ad punctum $peculi, cuius di$tantia à $tipi te $it maior quàm di$tantia centri ui$us à diametro per $tipitem tran$euntem: apparebit quoq; ima- go illius $tipitis ultra ui$um: nec erit certa comprehen$io formæ ip$ius: imò apparebit qua$i curua, cum tamen $tipes $it formæ lineæ rectæ. Ex quo patet quòd in his $peculis non comprehenditur ue ritas imaginis, ni$i cuius locus fuerit ultra $peculum, aut inter ui$um & $peculum, ut hæc patere po$$unt per experientiá $itum $tipitis & ui$us uariè diuer$ificanti: & accidit eidem, quòd, cum cen- trum ui$us fueritin perpendiculari per lignum tran$eunte, nó plenè comprehendet formam illius ligni. Patet ergo propo$itum.

13. In $peculo $phærico concauo e$t proportio catheti incidentiæ ad rectam à centro $peculi ad locum imaginis productam, $icut lineæ à puncto rei ui$æ ad finem cõtingentiæ ductæ, adline am à fine contingentiæ ad locum imaginis productam. Alhazen 64 n 5.

E$to $peculum $phæricum concauum, cuius centrum $ite: & $it b punctus rei ui$æ: & $it a cen- trum ui$us: & $it g punctus reflexionis: & contingat linea z g circulũ, qui e$t cõmunis $ectio $uperfi ciei reflexionis & $peculi, in puncto g: ducatur\’q; linea e g à puncto reflexionis ad centrũ $peculi, & linea incidentiæ, qu{ae} b g, & cathetus incidentiæ: quæ $it linea e b, quæ producta concurrat cum li- nea z g in puncto t: concurr\~et autem per 14 th. 1 huius, cum $intin eadem $uperficie reflexionis per 3 huius & per 1 p 11, & cum per 18 p 3 angulus e g z $it rectus, angulus uerò g e b $it acutus. Sit ergo VITELLONIS OPTICAE punctus t finis contingentiæ, ut patet è 6 defin. 6 huius. Educatur quoq; extra circulum linea refle xionis, quæ $it a g. Cathetus itaq; e b concurret cum a g linea reflexionis extra punctum g, qui e$t punctus reflexionis: & hoc ideo, quia lineæ e b & a g $unt duæ lineæ rect{ae}, quarum a g $ecat lineam z g in puncto g, & fit angulus a g t obtu$us, quoniam angulus e g t e$t rectus: linea uerò e b $ecat li- neam z g in puncto t, & fit angulus e t g acutus per 32 p 1. Non ergo concurrũt lineæ e b & a g in pun cto g. Autigitur lineæ a g & e b (cum non $unt æ quidi$tantes, ut patet ex hypothe$i) concurrent ul- tra punctum g: autinter puncta g & a. Sit ergo, ut l h z g c q a b e concurrant ultra punctum g: & $it concurfus in puncto h, qui erit locus imaginis per 37 th. 5 hu- ius. Dico quòd e$t ead\~e proportio catheti e b ad lineam e h (interiacentem centrũ $peculi, & pun ctum concur$us lineæ reflexionis & catheti inci- dentiæ, qui e$t locus imaginis) qu{ae} e$t proportio lineæ b t (interiacentis punctũ rei ui$æ, & finem contingentiæ) ad lineam t h, quæ interiacet fin\~e contingentiæ, & punctum concur$us lineæ refle xionis cum incidentiæ catheto, qui eft locus ima ginis form{ae} puncti b, qui e$t pũctus rei ui$æ. Pro- ducatur enim perpendicularis, quæ e g, ultra $pe culum: & à puncto h, qui e$t locus imaginis for- mæ puncti b, ducatur linea æ quidi$tãs line{ae} inci dentiæ, quæ b g, per 31 p 1: qu{ae} nece$$ariò per 2 th. 1 huius concurret cum producta linea e g: cum $ua æ quidi$tans, qu{ae} b g, concurrat cum ead\~e. Sit punctus concur$us l: & à puncto b ducatur linea æquidi$tans lineæ g h, quæ, ut prius, nece$$ariò concurret cum linea z t per 2 th. 1 huius, cum linea g h cõcurrat cum eadem: $it cõcur$us punctus q. Et quoniam angulus b g e e$t æqualis angulo a g e per 20 th. 5 huius: $ed angulus b g e e$t æqualis angulo g l h per 29 p 1, & angulus a g e æqualis e$t angulo l g h per 15 p 1: erit ergo angulus g l h æqua lis angulo h g l: ergo per 6 p 1 erit linea l h æqualis lineæ g h. Similiter quoq; angulus b g q æ qualis e$t angulo a g z: quia cũ anguli e g z & e g q $int æquales, quia recti, & angulib g e & e g a $int æ qua- les: remanent anguli re$idui æquales: $ed & angulus a g z æ qualis e$t angulo b q g per 29 p 1: angu- lus ergo b g q æ qualis e$t angulo b q g: ergo per 6 p 1 linea b g e$t æ qualis lineæ b q. Proportio itaq; lineæ b g ad lineam h l e$t, $icut line{ae} b q ad lineam h g per 7 p 5: $unt enim antecedentia æ qualia in- ter $e & con$equentia æ qualia inter $e. Quia uerò angulus g h t æqualis e$t angulo t b q per 29 p 1: $unt enim illi anguli coalterni inter lineas æquidi$tantes: & angulus q t b æ qualis e$t angulo h t g per 15 p 1: $ed & angulus h g t æ qualis e$t angulo t q b per 29 p 1: ergo triangulit q b & g t h $unt æ qui anguli: ergo per 4 p 6 e$t proportio line{ae} q b ad lineam h g, $icu lineæ b t ad lineam t h: $ed linea b q æ qualis e$t lineæ b g: ergo per 7 p 5 e$t proportio lineæ b g ad lineam h g, $icut lineæ b t ad lineã th: ergo per 11 p 5 e$t proportio lineæ b t ad lineã t h, $icut lineæ b g ad lineã h l. Quia uerò ք 29 p 1 trianguli h e l & b e g $unt æ quianguli: erit per q $ g c a e b b a $ e h q g t z l t b e a q g z 4 p 6 proportio line{ae} e b ad lineam e h, $icut li- neæ b g ad lineam h l: ergo, ut prius, erit proportio line{ae} e b ad lineã e h, $icut lineæ b t ad lineam t h: quod e$t propo$itũ. Eadem quoq; e$t demon$tratio, $i locus imaginis fuerit inter a centrum ui$us, & g punctum reflexionis: aut $i fuerit in puncto a: aut ultra illũ. Si uerò linea in puncto reflexionis $peculũ contingens, quæ e$t z g, non cõcurrat cum catheto incidentiæ, quæ e$t b e h, $ed $it ei æ qui- LIBER OCTAVVS. di$tans: ducatur à puncto contingentiæ, quod e$t g, linea perpendicularis, quæ $it g e, $uper lineam b h per 12 p 1: erit\’q; per 29 p 1 linea e g perpendicularis $uper lineam z g. Quia itaq; angulus b e g e$t æ qualis angulo h e g: qula uterq; e$t rectus: & angulus b g e æ qualis e$t angulo h g e per 20 th. 5 hu- ius: palàm per 32 p 1 quoniã triangulus b g e æ quiangulus e$t triangulo h g e: ergo per 4 p 6 e$t pro- portio line{ae} b e ad lineã e h, $icut lineæ b g ad lineam g h: quod e$t propo$itũ, ut prius. Non enim ta- li facta di$po$itione e$t alius punctus finis contingentiæ quàm punctus g, qui e$t punctus contin- genti{ae}. Similiter\’q; demon$trandum, $i locus imaginis fuerit in ip$o centro ui$us: tunc e- z g q h e b nim punctum h, qui e$t concur$us lineæ re- flexionis & catheti incidentiæ, & e$t locus imaginis, fit id\~e cum puncto a: qui e$t centrũ ui$us: nec oportet in illius demon$tratione aliud adijci, ni$i quia per 3 p 6 e$t proportio catheti b e ad lineam e a ductã à centro $pe- culi a d locum imaginis, $icut lineæ b g ad li- neam g a: quoniam linea g e diuidit angulum a g b per {ae}qualia per 20 th. 5 huius. Erit ergo, ut prius, proportio lineæ b t a d lineam t a, $icut lineæ b e ad lineam e a: quod e$t propo$itum. Et hoc e$t uni- uer$ale ad omnes modos imaginum ubicunq; ui$ui occurrentium. Pater ergo propo$itum.

14. In $peculis $phæricis concauis po{$s}ibile e$t quando<005> reflexionem fieri $ecundum totam pe- ripheriam unius circuli. Alhazen 65 n 5.

Sit circulus magnus $peculi $phærici concaui, qui a b g d: cuius diameter e$t b e d, & centrũ e: $i- gnentur\’q; $uper diametrũ b e d duo puncta exutraq; parte centri e: quæ $int h & z æ qualiter di$tan tia à centro e: erunt ergo lineæ h e & z e æ quales. Ducatur quoq; à centro per 11 p 1 diameter g e a perpen diculariter $uper diametrum b d: & copulentur b z a e g h d lineæ h a & z a. Quia itaq; in trigonis h e a & z e a duo la tera h e & z e $unt æ qualia exhypothe$i, & linea e a com munis, & utriu$q; trigonorum anguli h e a & z e a $unt æ quales, quia recti: palàm per 4 p 1 quoniam angulus h a e e$t æ qualis angulo z a e: ergo per 20 th. 5 huius pun- cta h & z ad $einuic\~e mutuò reflectuntur à puncto $pe- culi, quod e$t a. Idem quoq; patet ductis lineis h g & z g: quoniam i$torũ punctorũ mutua reflexio fiet à puncto g. Si itaq; fixa diametro b d, imaginemur reuolui trigo- num a h z circa diametrũ b d, linea trigoni (quæ e$t h z) manente fixa: tũc punctum a motũ peruenit in punctũ g, & exinde reuertetur ad locum $uum primum, motu\’q; $uo de$cribet in concauitate $peculi circulum, à quo to- tali fiet formarũ punctorum h & z ad $einuicem mutua reflexio: quoniã ad quemcunq; punctum illius circuli ducantur lineæ à punctis h & z, $emper ducta $emidia- metro à centro ad illud punctum, anguli ad punctum illius circuli erunt æ quales: & ita ab illo pun- cto fiet reflexio per 20 th. 5 huius. Si ergo centrũ ui$us fuerit in puncto h, reflectetur adip$um forma puncti z à tota peripheria illius circuli. Si tamen puncta h & zinæqualiter di$tent à centro e, non fiet reflexio à circulo illo, $ed fortè fiet ab alio circulo, quem de$cribit motu $uo punctus refl exio- nis. Patet ergo propo$itum.

15. Duobus pũctis in una diametrorũ $peculi $phæ- b p q h a e g t k z d rici concaui $e orthogonaliter $ecantiũ exi$tentibus, $ub inæquali di$tantia à centro: impo{$s}ibile e$t ab ali- quo punctorũ peripheriæ $emicirculi, in quo e$t pun- ctus à centro remotior illorum punctorũ adinuicem fieri reflexionem: à reliqui uerò $emicirculi duobus punctis e$t po{$s}ibile.

Sit $peculi $phærici concaui circulus magnus, qui a b g d: cuius centrũ e: $ecent\’q; $e in ip$o du{ae} diametri or thogonaliter, quæ $int a g & b d: in quarũ una, quæ b d, $int duo pũcta h & z inæ qualiter di$tãtia à c\~etro e: $it\’q; h {pro}pinquius centro e, & z remotius: $it\’q; punctus h in $emicirculo a b g, & pũctus z in $emicirculo a d g. Dico q<001> ab aliquo punctorũ $emicirculi a d g non pote$t fie ri i$torũ punctorũ adinuicem reflexio. Sit enim, $i po$si bile e$t, ut fiat à puncto a: & ducatur linea h a: ab$cinda tur\’q; à linea e z linea æ qualis lineæ h e ք 3 p 1, quæ $it e t: & ducatur linea t a. Palá ergo per 4 p 1 quia VITELLONIS OPTICAE angulus h a e e$t {ae}qualis angulo t a e: $ed angulus e a t ք 29 th. 1 huius e$t minor angulo e a z: angulus ergo h a e e$t minor angulo z a e. Non ergo fiet punctorũ h & z mutua reflexio à pũcto $peculi a per 20 th. 5 huius. Sed neq; ab aliquo alio puncto arcus a d g. Sit enim, $i po$sibile e$t, ut fiat i$torũ pun- ctorũ reflexio à puncto k peripheriæ $emicirculi, qui a d g: & ducátur line{ae} h k, e k, & z k. Eruntitaq- ք 20 th. 5 huius anguli h k e, & z k e {ae} quales: linea ergo k e diuidit angulũ h k e ք {ae} qualia: ergo ք 3 p 6 erit {pro}portio lineæ h k ad lineã k z, $icut line{ae} h e ad lineã e z: $ed linea e h e$t minor <004> linea e z, ut pa tet ex hypothe$i: ergo linea h k e$t minor <004> linea h z: e$t aũt linea h k maior <004> linea k z: quoniam e$t maior <004> linea e k per 19 p 1. ut enim patet, angulus h e k e$t obtu$us maior angulo h e a recto: $ed li- nea e k e$t æ qualis line{ae} e a, qu{ae} e$t maior <004> linea k z, ut patet. E$t ergo linea h k maior <004> linea z k: & $equitur ex datis ip$am e$$e minorem: quod e$t impo$sibile. Non ergo fiet reflexio form æ puncti had punctũ z, uel econuer$o ab aliquo punctorũ arcus a k g. Ab aliquibus uerò punctis peripheriæ $emicirculi a b g mutuam reflexionem i$torum punctorum fieri e$t po$sibile: quoniam e$t po$sibile e$$e aliquod punctum arcus a b, utpote p, ad quod ductis lineis h p, e p, z p, fiat proportio lineæ z p ad lineam h p, $icut lineæ z e ad lineam e h: ergo per 3 p 6 angulus h p z diuidetur per æ qualia per li neam e p: & $imiliter pote$t fieri in arcu b g. Patet itaq; quod proponebatur: quoniã ab aliquo pun- cto arcus b g, ut à puncto q, $imiliter pote$t fieri reflexio ductis lineis h q, e q, z q.

16. Duobus punctis in una diametro $peculi $phærici $uperficiei concaui exi$tentibus, $ub inæ- quali di$t antia à centro $peculi, $i exce$$us di$tantiarũ ad minor\~e di$t antiã proportion\~e habeat, quã pars diametri interiac\~etis ambo puncta, ad part\~e interiacent\~e punctũ c\~etro propinquius & $peculum: impo{$s}ibile e$t à circulo illius diametriillorum punctorũ fieri mutuã reflexionem.

Sit $peculi $phærici concaui magnus circulus a b g d: cuius centrũ e: & diameter b d: $int\’q; duo puncta z & h con$tituta $uper illam diametrum b d: quorum remotior â centro e $it punctus z, & propinquior punctus h: erit ergo linea z e maior quàm linea h e: $it\’q; ip$arũ exce$$us linea z t. Dico quòd $i proportio line{ae} z t ad lineã t e, uel ad lineã h e fuerit, $icut lineæ z h ad lineã h b, q<001> impo$si bile e$t reflexion\~e fieri ab aliquo punctorũ circuli a b g d. Patet enim per præmi$$am quod non po- te$t fierl reflexio ab aliquo pũctorũ $emicirculi a d g: $ed neq; ab aliquo punctorũ $emicirculi a b g. Detur enim, $i $it po$sibile, ut fiat à puncto l arcus a b: & ducatur linea l b, & ip$i æ quidi$tãs ducatur à centro $peculi per 31 p 1, qu{ae} $it linea m e n: & ducan tur lineæ l z, l e, & l h: $ecabit itaq; per 2 th. 1 huius li- a l m b h e t z d n g nea l z lineam n m: $it punctus $ectionis m. Produca- tur quoq; linea l h ultra punctũ h, quæ $imiliter per 2 th. 1 huius $ecabit lineam m n: $it punctus $ectionis n. Quia itaq; ex hypothe$i e$t proportio lineæ z t ad li- neam t e, $icut lineæ z h ad lineam b h: erit ergo per 18 p 5 coniunctim proportio lineæ z e ad lineam t e, uel per 7 p 5 ad lineam h e, $icut lineæ z b ad linea b h: er- go per 16 p 5 erit permutatim proportio lineæ z e ad lineam z b, $icut lineæ h e ad lineam b h. Quia uerò li- neæ b l & n e æ quidi$tant: patet per 15 & 29 p 1 quia trigona b l h & n h e $unt æ quiangula: ergo per 4 p 6 e$t proportio line{ae} e n ad lineã b l, $icut lineæ e h ad li neam b h. Similiter quoq; trigona b l z & e m z $unt æ quian gula per 29 p 1, quia lineæ b l & e m æ quidi- $tant: erit ergo proportio line{ae} e m ad lineam b l, $icut lineæ z e ad lineam z b: $ed ead\~e e$t proportio lineæ e h ad lineam h b, quæ lineæ z e ad lineam z b: eadem ergo e$t proportio lineæ e n ad lineam b l, qu{ae} li neæ e m ad eandem lineam b l. Quia ergo linearũ n e & m e ad lineam b l eadem e$t proportio: ergo per 9 p 5 line{ae} n e & m e $unt {ae}quales. Quia itaq; angulus n l m diuiditur per {ae}qualia per lineã le, ut patet per 20 th. 5 huius: (fit enim reflexio punctoru h & z à puncto l) erit per 3 p 6 proportio lineæ l n ad lineam l m, $icut lineæ n e ad lineã e m: e$t ergo linea l n æ qualis lineæ l m: linea uerò l e e$t com munis ambobus trigonis l e n & l e m: ergo per 8 p 1 anguli l e m & $unt æ quales: $unt ergo recti per definitionem angulorum rectorũ: ergo per 29 p 1 angulus b l e erit rectus: linea ergo blcontin- git circulũ, & oadit extra circulum per 16 p 3: quod e$t impo$sibile: e$t enim ducta $ecás circulũ per 2 p 3. Non ergo fiet reflexio à puncto l. Sequitur autem magis impo$sibile, $i $it proportio lineæ zt ad lineam t e, $icut lineæ z h ad aliquam lineam minorem linea h b. Patet ergo propo$itum: quoniã de quolibet dato puncto e$t penitus eodem modo deducendum.

17. Centro ui$us & puncto rei ui$æ exi$tentibus in una diametro $peculi $phærici concaui, & inæqualiter di$tantibus à centro, $i exce$$us di$t antiarum ad minorem di$t antiam proportion\~e habeat, quam pars diametri interiacentis puncta data adlineam maiorem parte diametri in- teriacente punctum centro propinquius & peripheriam, fiet reflexio: po{$s}ibile<006> e$t punctum re flexionis inueniri.

Sit $peculi $ph{ae}rici concaui maior circulus a b g d: cuius centrum e: & diameter $it b d: in qua $it LIBER OCTAVVS. centrum ui$us, quod $it z: & punctus rei ui${ae}, qui $ith: di$tet\’q centrum ui$us z plus à centro $peculi, quod e$t e, quàm punctus rei ui$æ, qui e$t h: $it\’q; proportio exce$$us di$tantiæ maioris, quæ e$t z e, ad minorem, qu{ae} e$t h e, $icut partis diametri inter puncta data cadentis, quæ e$t z h, ad lineam ma- iorem parte diametri, quæ e$t inter pũctum h & peripheriam, qu{ae} e$t h b. Dico quòd in hoc $itu fiet reflexio: & quòd e$t po$sibile punctum reflexionis inueniri. Ducatur enim diameter a g orthogo- naliter $uper diametrum b d. Et quia linea z e e$t maior quàm linea h e: $it linea e t æqualis lineæ h e per 3 p 1: erit ergo linea z t exce$$us lineæ z e $uper lineam h e: quæ ergo e$t proportio lineæ z t ad li- neam he, eadem $it per 3 th. 1 huius pro l a m k b h e t z d n g portio lineæ z h ad aliam lineam, quæ $it h k: erit\’q; ex hypothe$i linea h k ma- ior quàm linea h b: cader ergo pũctum k extra peripheriam circuli. A puncto itaq; k ducatur linea contingens circu- lum a b g d per 17 p 3, quæ $it k l, contin- gens circulum in puncto l: & copulen- tur line{ae} lz, & l h, & l e: & à puncto e per 31 p 1 ducatur linea æ quidi$tans lineæ k l: quæ $it n e m $ecans lineam l zin pun- cto m: & linea l h producatur: hæc ergo per 2 th. 1 huius concurret cum linea m e n: quia concurrit cũ eius æ quidi$tan- te, qu{ae} e$t linea l k: $it punctus concur- $us n. Quia itaq; e$t proportio lineæ z h ad lineam h k, $icut lineæ z t ad lineam e h, uel ad eius æqualem lineam, $cilicette per 7 p 5: erit per 18 p 5 coniunctim proportio lineæ z k ad lineam h k, $icut lineæ z e ad lineam t e: erit\’q; permutatim per 16 p 5 proportion lineæ z k ad lineam z e, $icut line{ae} h k ad lineam t e, uel ad eius æ qualem lineam h e. E$t autem proportio line{ae} k h ad lineam e h, $icut lineæ k l ad lineam e n per 4 p 6: quoniam tri- gona h l k & h n e $unt æ quiangula per 29 p 1: ideo quia lineæ k l & n e $unt æ quidi$tantes. Propor- tio uerò line{ae} k z ad lineam e z, e$t $icut proportio lineæ k l ad lineam e m per 4 p 6: quoniam trigo- na k l z & e m z $untæ quiangula per 29 p 1, quia linea e m æ quidi$tat line{ae} k l. Lineæ itaq; n e & m e ad lineam k l ean dem habent proportion\~e: quoniam ex hypothe$i e$t proportio line{ae} k z ad lineam z e, $icut lineæ k h ad lineam h e: ergo per 9 p 5 line{ae} en & e m $unt æ quales: linea ueròl e e$t cõmu- nis duobus trigonis l e n & l e m, & anguli l e n & l e m $unt æ quales, quia $unt recti per 29 p 1, angu- lus enim k l e e$t rectus per 18 p 3: ergo per 4 p 1 duo anguli z l e & e l h $unt {ae}quales. Ergo per 20 th. 5 huius forma puncti h reflectitur ad punctum z, uel econuer$o, à puncto $peculi, quod e$tl. Pater er- go propo$itum. O$ten$um e$t enim quia fit reflexio mutua datorum punctorũ in hoc $itu: & inuen- tus e$t punctus reflexionis: quód proponebatur. Ex his itaq; manife$tum e$t, quòd $i linea e z fuerit maior quàm linea e h, & $it proportio lineæ k z ad li- k b f l n h s p a e g q m z d neam z e, $icut lineæ k h ad lineã e h; quòdin omnibus $peculis $ph{ae}ricis concauis con$titutis $uper centrum e, quorum $emidiameter fuerit maior quàm linea e h, & minor quàm linea e k, fiet mutua reflexio punctorũ h & z adinuicem à duobus punctis cõmunis $ectionis circuli $peculi & circuli, cuius diameter e$t linea e k. Sit enim in linea k h punctus, qui $it b: & $uper c\~etrum e de$cribatur circulus ad quantitatem $emidiametri e b, qui $it a b g d: $it\’q; in $peculo $phærico concauo: & diuidatur linea e k per æqualia in puncto f per 10 p 1: fiat\’q; $uper centrum $circulus, cuius diameter $it e k: hic ergo $ecabit circulum a b g d in duobus pũctis per 10 p 3, qu{ae} $int puncta l & p. Dico quòd punctorum h & z mutua reflexio fiet à punctis l & p. Ducátur enim line{ae} k l, k p, el, e p: erit ergo angulus k l e rectus per 31 p 3: ergo per 16 p 3 linea k l contingit circulum a b g d, cum $it perpen dicularis $uper $emidiametrum ip$ius, quæ e$t e l. Ducta itaq; à puncto e linea n e m {ae}quidi- $tanter line{ae} k l, dem on$trabitur ut prius, quoniá pun- cta h & z mutuò reflectentur adinuicem à puncto l. Similiter quoque ductis lineis z p & h p, & linea q e s {ae}quidi$tante line{ae} k p: nam ead\~e e$t demõ$tratio hinc inde. Semper enim anguli incidenti{ae} & reflexionis ad puncta l & p fiunt {ae}quales. Patet etiam expr{ae}mi$sis quòd $i linea in cidenti{ae} uel reflexionis, qu{ae} e$t hl, $it perpen dicularis $uper lineam e k, quoniá lineá z l nece$$ariò circulum cõtingit, cuius diame- ter e$t linea e k: efficitur\’q; tunc angulus z l h maximus illorũ angulorum, $ecundũ quos in hoc $itu VITELLONIS OPTICAE pote$t fieri reflexio. Ducatur enim à puncto f, quod e$t centrum circuli k l e p, linea fl: erit per 5 p 1 angulus fle {ae}qualis angulo fel: $ed angulus fel e$t {ae}qua- k f b l n h s p a e g q m z d lis duobus angulis e z l, & e l z per 32 p 1, cũ $it illis extrin- $ecus in trigono z e l: angulus ergo fl e e$t æ qualis duo- bus angulis e z l, & e l z: $ed angulus e l z e$t {ae}qualis angu lo e l h ex præmi$sis: remanet ergo angulus fl h æqualis angulo e z l. Sit quoq; angulus h l z communiter additus utrobiq;: erit ergo angulus flz {ae}qualis duobus angulis e z l & h l z: $ed quia angulus l h z ex hypothe$i e$t rectus: patet per 32 p 1 quòd illi duo anguli (qui $unth l z & h zl) $unt æ quales uni recto. Angulus ergo flz e$t rectus. Li- nea ergo l z contingit circulum k l e p per 16 p 3. Sequitur ergo idem, quod prius. Et hoc e$t notandum, quòd in hac di$po$itione c\~etri ui$us & ip$orum ui$ibilium $emper lo- cus imaginis e$t in centro ui$us per 37 th. 5 huius: quo- niam, ut patet, ibi concurrit cathetus incidentiæ cum li- nea reflexionis: patet\’q; ex præmi$sis, quomodo in hac di$po$itione de facili inuenitur punctus reflexionis: imò puncta duo, quæ $untinter $ectiones duorum circulorũ. Pater ergo propo$itum.

18. Duorum punctorum in eadem diametro $peculi $phærici concaui exi$tentium formis ex aliquo puncto $peculi adinuicem reflexis: ea$dem ab aliquo pũcto alio eiu$dem quartæ illius circuli impo{$s}ibile e$t reflecti.

Sit di$po$itio, quæ in figuris proximis: reflectatur\’q; forma puncti h ad punctum z à puncto $pe culi l. Dico quòd impo$sibile e$t, ut formarum illorum punctorum reflexio fiat ad inuicem ab ali. b l s h a e g z d quo alio puncto illius eiu$dem quartæ circuli, quæ e$t b a, quàm à puncto l. Sit enim, $i po$sibile e$t, ut fiat à puncto s eiu$dem quartæ: & ducantur lineæ z l, h l, z s, h s, e l, e s. Quia itaq; angulus z l h diui$us e$t peræ qualia per lineá e l: pater per 3 p 6 quia e$t pro- portio lineæ z l ad lineá l h, $icut lineæ z e ad lineam e h. Similiter quia angulus z s h diui$us e$t peræ qua lia per lineam e s: erit per 3 p 6 proportio lineæ z s ad lineam s h, $icut lineæ z e ad lineam e h: ergo per 11 p 5 erit proportio lineæ z s ad lineam s h, $icut li- neæ z l ad lineam l h: ergo per 16 p 5 erit permutatim proportio lineæ z s ad lineam z l, $icut lineæ s h ad lineam l h: $ed linea z s e$t minor quàm linea z l per 7 p 3: ergo linea s h e$t minor quàm linea h l: quod e$t contra eandem 7 p 3: quoniam e$t linea s h pro- pinquior centro $peculi, quod e$t e, quàm linea h l. Et quoniam de quolibet puncto arcus a b pote$t ea- dem fieri deductio: patet ergo quòd nõ pote$t fieri reflexio ab aliquo puncto quartæ circuli ab alio quàm à puncto l. Similiter quoq; demon$trandum e$t in quarta circuli, qu{ae} e$t b g. $i ab illius aliquo puncto fiat reflexio. Patet ergo propo$itum.

19. Centro $peculi $phærici concaui exi$t\~ete extra lineam connectentem c\~etrum ui$us, & punctum rei h e k z a d g x b ui$æ in diametris diuer$is exi$tentia, & æqualiter di- $tantia à centro $peculi: ab uno tantùm puncto $emi- circuli, in cuius $emidiametris illa puncta non con$i- $tunt, fit reflexio ad ui$um.

Sit $peculi $phærici concaui circulus a b g: cuius cen trum $it d: diameter a g: & $emidiameter d b orthogona liter erigatur $uper diametrum a g: $it\’q; centrum ui$us punctum z: & punctus rei ui$æ $it h: & ducatur linea z u $ecans productã $emidiametrũ d b in pũcto e, ita quòd centrũ $peculi d $it inter lineã z h & $uperfici\~e $peculi, à qua fit reflexio: di$tent\’q; pũcta z & h æ qualiter à pũcto d, q<001> e$t centrũ $peculi: {pro}pter q<001> erit linea bd e քpen- dicularis $uք lineã z h ք 8 p & 10 defi. 1. Dico quòd forma pũcti h reflectitur ad ui$ũ z ab uno tãtùm LIBER OCTAVVS. puncto $emicirculi a b g, quod e$t b. Ducantur enim lineæ d z, d h, z b, & b h. Et quia per 3 p 3 lineæ b d e diuidit lineam h z per æqualia: patet quòd duo latera b e & e h $unt æqualia duobus lateri- bus b e & z e, & anguli b e h & b e z $unt æquales, quia recti: ergo per 4 p 1 patet quoniam an- goli z b e & h b e $unt æquales. Fit ergo per 20 th. 5 huius reflexio form æ puncti h à puncto $pe- culi b ad centrum ui$us, quod e$t z. Dico itaque quòd non pote$t ab aliquo alio puncto $peculi fie- ri hæc reflexio. Si enim detur, quòd fiat à puncto t: ducantur lineæ z t & t h: & à centro d du- catur ad punctum refle xionis t linea d t: quæ producta ad lineam z h $ecet ip$am in puncto k. Quia ita que per 20 th. 5 huius linea k t diuidit angulum z t h per æqualia: patet per 3 p 6 quo- niam e$t proportio lineæ z t ad lineam t h, $icut lineæ z k ad lineam k h: $ed linea z k e$t minor quàm linea z e: ergo & minor quàm linea k h. Erit ergo linea z t minor quàm linea t h: $ed per 7 p 3 linea z t e$t maior quàm linea z b, & linea h b maior quàm linea h t: erit ergo z b mi- nor quàm linea h b, quod e$t contra præmi$$a & contra 4 p 1. Non ergo reflectetur forma puncti h ad centrum ui$us exi$tens in puncto z à puncto $peculi t. Similiter quoque demon$trandum e$t de quolibet puncto $emicirculi a b g. Patet ergo propo$itum.

20. Centro ni$us & puncto reiui$æ exi$tentibus in diametris diuer$is circuli magni $peculi $phærici cõcaui: po{$s}ibile e$t reflexionem fieri ab aliquo pũcto arcuũ interiacentiũ diametros cir culitran$euntes per illa puncta: non autem ab aliquo puncto arcuum aliorũ. Alhaz. 66 n 5.

Circulus (qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $phærici cõcaui) $it d g t q: & $it a centrum ui$us intra $peculum $phæricum concauum: & $it e centrum $peculi: & $it b pũctus rei ui$æ: & ducatur diameter d a g per centrum ui$us a: & ducatur diameter t q, ut contingit. Dico quòd $i fuerit b punctus rei ui$æ in $emidiametro e t, pote$t fieri reflexio formæ eius ad ui$um a ab aliquo puncto $emicirculi d t g, & ab aliquo pũcto $emicirculi $ibi oppo$iti, qui e$t d q g. Ducatur e- nim à puncto b rei ui$æ ad aliqu\~e punctum $emicirculi g t d arcus quartæ t d, qui $it pũctus m, linea incidentiæ, quæ $it b m: & ducantur lineæ b a & m a: & ducatur $emidiameter e m, quæ quia diuidit b a$im a b trigonia m b, diuidit ergo angulum b m a ք 29 th. 1 huius. Producatur ergo $emidiameter m e ad part\~e circũferentiæ, quæ opponitur puncto m, in c k m b f d a o e g c q h punctũ, qui $it punctus h, arcus g q: & ducátur line{ae} b h & a h: $ecabit quoq; linea a h diametrũ t q. Sit. ut $ecet ip$am in pũcto c: & linea h b $ecabit eand\~e dia- metrũ t q in pũcto b. Sunt quoq; pũcta b & c ex di- uer$is partibus c\~etri e: linea ergo e h diuidet angulũ a h b per 29 th. 1 huius, quoniá diuidit ba$im ei $ub- ten$am, quæ e$t b c. Dico itaq; quòd forma puncti b pore$t reflecti ad ui$um a ab aliquo pũcto arcus in- teriacentis $emidiametros et & e d, in quibus $unt puncta a & b, qui e$t arcus t d: & $imiliter ab aliquo puncto arcus illi arcui oppo$iti, interiacentis alias $emidiametros illis conterminales, quæ $unt e g & e q, utpote ab aliquo puncto arcus, qui e$t q g: & q<001> non pote$t reflecti ab aliquo puncto arcus g t. Si enim hoc dicatur e$$e po$sibile: $umatur tunc ali- quis pũctus arcus g t, qui $it k, propinquior pũcto t: & ducãtur lineæ a k & k b: & producatur linea a m d z h t b t l e q q g k b, donec cadat $uք diametrũ d g in punctũ o: cadet autem per 14 th. 1 huius: ideo quia angulus b e d e$t rectus, & angulus k b t e$t acutus: & o\~es ill{ae} line{ae} $unt in ead\~e $uperficie. Quoniam ergo puncta o & a $unt in ead\~e parte centri circuli, q<001> e$t e, patet quòd perpendicularis ducta à puncto k ad centrũ e, nõ di uidit angulũ o k a: & ita forma pũcti b nõ pote$t re- flecti ad ui$um a à puncto $peculi, quod e$t k. Simili- ter $umpto alio puncto, quod $it f, ita ut linea b f $it {ae}quidi$t ans diametro d g, uel quòd angulus f b t fiat obtu$us. Semper enim tunc patebit quoniam per- pendicularis e f non diuidet angulum b f a per 29 th. 1 huius: quoniam cadet extra a b ba$im tri- goni a b f. Non ergo pote$t reflecti forma puncti b ad ui$um a à pũcto $peculi f: ergo neq; ab aliquo pũ- cto arcus oppo$iti arcui g t, qui e$t arcus d q. Eodem quoq; modo demon$trandum, $i b punctus rei ui$æ fuerit in $uperficie $peculi aut extra $peculum: dum tamen punctum a, quod e$t centrum ui$us, $it intra $peculum: & idem erit modus probãdi. Similiter quoq; $i punctus a centrum ui$us fueritin $uper- VITELLONIS OPTICAE ficie $peculi, & punctus b fuerit interius uel exterius, idem e$t probandi modus. Si etiam centrnm ui$us a $uerit extra $peculum, & punctus b rei ui$æ fuerit intra $peculum: patet idem, quod propo$i- tum e$t. Ducantur enim à puncto a centro ui$us lineæ conting\~etes circulum g t d per 17 p 3, quæ $int lineæ a h & a z: & ducantur duæ diametri, una ui$ualis, quæ $it a e g, & alia, quæ $it t e q: & $it b pun- ctus rei ui$æ in diametro t e q. Palàm ita q; ex præmi$sis, quia reflectitur forma puncti b ad ui$um a ab aliquo puncto arcus t d. Igitur ab aliquo puncto arcus t z: quia impo$sibile e$t, utreflectatur ab aliquo puncto arcus z d: quoniam ille arcus cadit $ub puncto contingentiæ, & etιam propter inæ- qualitatem angulorum: quoniam per 18 p 3 angulus e z a e$t rectus, & angulus b z e per 42 th. 1 hu- ius e$t minorrecto, cui fiunt inæquales omnes anguli con$tituti $uper lineam z a. Similiter quoq; ab aliquo puncto arcus q g (qui e$t oppo$itus arcui t d) pote$t fieri reflexio formæ puncti b ad ui- $um exi$tentem in puncto a $ed ab arcu t g uel d q nulla fiet reflexio propter $upradicta: $imiliter\’q; permutato puncto b in aliam diametrum, qu{ae} $it eadem diameter t q, idem accidet, quod prius. Pa- tet ergo propo$itum.

21. Centro ui$us & puncto rei ui$æ exi$tentibus in diuer$is diametris circuli magni $peculi $phærici concaui, $i à centro ui$us ducatur linea æquidi$tans diametro, in qua e$t punctum rei ui$æ $ecans circulum: erũt omnia loca imaginum punctorum reflexorum ab arcu $peculi inter- iacente terminum diametri rei uι$æ & illam æquidi$tant\~e, extra $peculum: & loca imaginum refle xarum à reliquo arcus interiacente diametros, erunt ultra ui$um: oppo$iti uerò arcus loca imaginum erunt inter centrum ui$us & $peculum. Alhazen 67 n 5. l p m t n b d a e g x s q u

Sit di$po$itio, quæ prius: & ducatur à puncto a linea æquidi$tans $emidiametro t e, quæ $it a p. Dico quòd loca imaginum reflexarum à punctis arcus t p erunt extra $peculum: loca uerò imaginum ar- cus p d erunt ultra centrum ui$us, quod e$t a: loca uerò imaginum arcus q g erunt inter centrum ui$us & $peculi $uperficiem. Dato enim quòd form a puncti b exi$tens in $emidiametro t e, reflectatur ad ui$um a exi$tentem in $emidiametro d e ab aliquo puncto arcus p t, qui$it m: palàm per 14 th. 1 huius quòd lineæ a m & b e concur- rentultra puncta m & b extra $peculum. Sit quoque punctus con- cur$usl, qui per 37 th. 5 huius erit locus imaginis formæ puncti b. Quòd $i à puncto n arcus d p fiat reflexio: patet per eandem 14 th. 1 huius quoniam lineæ a n & b e concurrent ultra puncta a & e: $it concur$us in puncto s: erit\’que punctum s locus imaginis formæ puncti b retro ui$um. Si uerò forma puncti b reflectatur ad ui$um a ab aliquo puncto arcus q g: quoniam in præmi$$a o$ten$um e$t hoc e$$e po$sibile: $it, ut illa reflexio fiat à puncto arcus q g, quod $it u. Palàm itaque quoniam linea b e producta diuidit angulum a e u: ergo per 29 th. 1 huius patet quòdip$a $ecat ba$im a u: $it, ut $ecet ip$am in puncto x. Linea itaque a u, quæ e$t linea reflexionis, & ca- thetus incidentiæ $ormæ puncti b, quæ e$t b e, $ecant $e in puncto x: e$t ergo per 37 th. 5 huius punctum x locus imaginis formæ puncti b: & ip$e e$tinter ui$um & $peculum. Secundum hæc itaq; loca imaginum diuer$antur, ut etiam declaratum e$t in 11 huius. Nunquam autem e$t po$sibile locum imaginis e$$e in centro ui$us, ni$i cum punctus rei ui$æ & centrum ui$us in eadem $unt dia- metro. Tunc enim facta reflexione, utcunq; $it po$sibile, $emper patet quòd linea reflexionis & ca- thetus incidentiæ concurrunt in centro ui$us: quoniam $olus ille punctus ambabus illis lineis e$t communis. Patet itaq;, quod proponebatur. Semper enim eodem modo e$t demon$trandum pro- po$itum, $iue punctum a centrum ui$us $it intra $peculum: $iue in $uperficie ip$ius $peculi: $iue extra $peculum: dum tamen linea à puncto a ducta æ quidi$tanter diametro, in qua e$t punctus rei ui$æ, $ecet circulum $peculi, & non contingat ip$um. Forma uerò reflexa à puncto p $ecundum lineam p a ($i punctus, cuius forma reflectitur, fuerit in $emidiametro t e, cui æquidi$tat linea a p) pote$t ui- deri in ip$a $peculi $uperficie, ut o$tendimus in 11 & 12 th. huius.

22. Quilibet punctus diametri circuli magni$peculi $phærici concaui pote$t e$$e locus imagi- num, quantumcun<005> producatur. Alhazen 68 n 5.

Sit a g diameter circuli $peculi $phærici concaui, qui $it a t m g: cuius circuli c\~etrum $it d: produ- catur\’q; extra circulum: & $ignetur in ip$a punctum z: $it\’q; punctus e centrum ui$us intra circulum in $emidiametro m d. Dico quòd punctus z pote$t e$$e locus imaginis. Ducatur enim linea e t z per t punctum circumferentiæ circuli: & ducatur linea d t: erit\’que angulus e t d acutus per 42 th. 1 huius. Fiat itaque angulus d t l $uper terminum lineæ d t æqualis angulo e t d per 23 p 1: $ecet\’q; linea tl diametrum d a in puncto l. Palàm itaque per 20 th. 5 huius quoniam forma puncti l reflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto e à puncto $peculi quod e$t t: & eius ima- ginis locus e$t in puncto z per 37 th. 5 huius: quoniam in illo puncto concurrit cathetus LIBER OCTAVVS. incidentiæ, qui e$t d l z, cum linea reflexionis, quæ e$t c e. Et $i $umatur punctus diametri a gintra circulum, qui debet o$tendi po$$e e$$e locus imaginis, ut$i ille punctus $it l: palàm quia & ip$e erit locus imaginis alicuius formæ. Dueatur enim linea e l, & produca- tur u$que ad punctum circumferentiæ, quod $it b, & ducatur linea z t a l m e d b p g d b: erit\’q; angulus d b e acutus per 42 th. 1 huius. Fiat ergo æqualis $ibi, qui $it d b p. Palàm itaque per 20 th. 5 huius quoniam reflecti- tur forma puncti p ad ui$um e à puncto $peculi b: & locus imaginis formæ puncti p e$t punctus l per 37 th. 5 huius. Sumpto quoq; quoli- bet puncto alio eadem e$t probatio. Patet ergo propo$itum.

23. Centro ui$us & puncto rei ui$æ in ead\~e circuli magni dia- metro exι$tentibus: punctorũ reflexorum à $peculis $phæricis con- cauis, quibus e$t locus imaginis centrum ui$us, po{$s}ibile e$t, ut ab uno tantùm $emicirculi puncto fiat reflexio ad ui$um: uel tantùm à quolibet unius alterius circuli determinati puncto. Alha- zen 69 n 5.

E$to circulus $peculi $phærici concaui g z b a: cuius centrum $it d: & inter$ecent $e in ip$o duæ diametri z a & g b orthogonaliter: & $it in diametro z a punctus e: qui $it centrum ui$us: & h, qui $it punctus rei ui$æ, $it in eadem diametro z a: quoniam ubicunque fuerint cen- trũ ui$us & pũctus rei ui${ae} in una illius circuli diametro, $emper po$- $unt dictæ diametri taliter produci, ut $e orthogonaliter inter$ecent, diametro z a per puncta e & h tran$eunte. Aut ergo linea e d interiacens c\~etra ui- $us & $peculi e$t æqualis lineæ d h: aut non. Si $it g c z e d h a b æqualis, ita quòd illa pũcta æqualiter di$tent à cen- tro $peculi: ducantur lineæ h g, h b, e g, e b. Palàm itaq; per 4 p 1 quoniam triangulus h g d e$t æqualis triangulo g d e, & æqualis triangulo h d b & trian- gulo e d b, & ip$orum anguli re$picientes æqualia latera $unt æquales. Et quoniam angulus h g d e$t {ae}qualis angulo d g e: palàm quía angulus h g e diui- ditur per æqualia per lineam g d: pote$t ergo per 20 th. 5 huius forma pũcti h à puncto $peculi g reflecti ad ui$um in punctum e: & erit per 37 th. 5 huius lo- cus imaginis punctus e, qui e$t c\~etrum ui$us. Simi- liter\’q; pote$t forma puncti h à puncto $peculi b re- flecti ad ui$um in punctum e: & erit iterum locus imaginis punctum e per eadem, quæ prius. Si itaq; diametro z a manente immobili, $emicirculus z g a imaginetur moueri per $phæram $peculi, aut etiam $olus triangulus h g e moueatur fixo manente latere e h: palàm quia punctus g motu $uo de$cribit circulum, & à quolibet puncto illius circuli reflecti pote$t forma puncti h ad ui$um e: & locus ima- ginis erit $emper punctus e, quod e$t centrum ui$us. Quòd autem ab alio puncto $peculi quàm ab aliquo puncto illius circuli non po$sit forma puncti h reflecti ad ui$um e, manife$tum e$t. Si enim reflecteretur ab alio circulo quàm ab illo, quem motu $uo cau$$at punctum g uel punctum b: tunc reflecteretur ab alio puncto illius $emicirculi a g z. Sit ergo, ut reflectatur à puncto illius, qui $it c: & hoc erit extra illum circulum imaginatum in $uperficie $peculi. Ducantur quoque lineæ h c & e c: erit\’q; linea e c maior quàm linea e g per 7 p 3, & erit linea h c minor quàm h g per eandem 7 p 3: non ergo erit proportio lineæ e c ad lineam h c, $icut lineæ e dad lineam b d, quæ $unt æquales: ergo per 3 p 6 angulus e ch non diuiditur in duo æqualia per lineam d c. Non ergo reflectitur forma puncti h ad ui$um e à puncto $peculi c. Et eadem e$t deductio, $i $umatur punctus c inter puncta g & z in arcu z g. Palàm itaque quoniam centro ui$us, quod e$t e, & puncto rei ui$æ, qui e$t h, exi- $tentibus in eadem diametro, & æqualiter diftantibus à centro $peculi, $emper fit reflexio for- mæ puncti ui$i ad ui$um modo propo$ito. Quòd $i puncta dicta in eadem diametro exi$tentia inæ- qualiter di$tent à centro $peculi, puncto d, utpote $i linea e d fuerit maior quàm linea d h, addatur lineæ d h linea h q per 126 th. 1 huius, taliter, utillud, quod fit ex ductu lineæ e q in q h $it æqua- le quadrato lineæ d q: erit ergo per 17 p 6 proportio lineæ e q ad lineam d q, $icut lineæ d q ad li- neam h q. Fiat ergo circulus ad quantitatem $emidiametri d q, cuius centrum fit q. Et quoniam ille circulus inter$ecat circulum g z b a in duobus locis per 10 p 3: $int illa loca $ectionis puncta g & b: & ducantur lineæ e g, e b, q g, q b, d g, d b, h g, h b. Et quia linea q g e$t æqualis lineæ q d per definitionem circuli: palàm per 7 p 5 quoniam eadem e$t proportio lineæ e q ad lineam q g & ad lineam q d: e$t ergo proportio lineæ e q ad lineam q g, $icut lineæ g q ad lineam q h: an- gulus uerò g q h communis e$t utrique triangulorum, qui $unt e q g & h q g: ergo per 6 p 6 illi duo VITELLONIS OPTICAE trianguli $unt æquianguli: erunt quoq; eorum latera proportionalia per 4 p 6: erit ergo proportio lineæ e q ad lineam q g, $icut li- g c f q a h d e z b neæ e g ad lineam g h: erit quoq; per 19 p 5 proportio lineæ e d ad lineam d h, $icut lineæ e q ad li- neam d q: ergo per 11 p 5 erit pro portio lineæ e d ad lineam d h, $icut lineæ e g ad lineam g h: er- go per 3 p 6 linea d g diuidit an- gulum h g e per æqualia. Igitur per 20 th. 5 huius forma puncti h à pũcto $peculi g reflectitur ad punctum e, qui e$t centrum ui- $us: & e$t punctus e locus ima- ginis $uæ. Et $imiliter forma pũ- cti h à puncto $peculi b reflecti- tur ad punctum e, qui e$t centrũ ui$us: & e$t punctũ e locus ima- ginis $uæ. Si ergo imaginetur moueri triangulus e g h trans $phæram $peculi (linea h e remanente immota) tunc punctus g de- $cribet circulum in $uperficie concaua $peculi, à cuius quolibet puncto reflectetur forma puncti h ad ui$um exi$tentem in puncto e: & $emper erit locus imaginis punctus e. Quòd uerò ab alio pun- cto quàm ab aliquo punctorum illius circuli, non po$sit forma puncti h reflecti ad ui$um e, patet, ut prius. Si enim $umatur punctus c inter puncta g & a: erit per 7 p 3 linea e c maior quàm linea e g, & linea h c minor quàm linea h g: non erit igitur proportio lineæ e c ad c h, $icut e d ad d h per 8 p 5: ergo per 3 p 6 linea c d non diuidit angulum e c h per æqualia. Non ergo reflectetur forma puncti h ad ui$um e à pũcto $peculic. Similiter quoq; $i punctus c, à quo debeat fieri reflexio, cadat in arcum g z, idem $equitur impo$sibile. Patet ergo propo$itum. Sicut autem hæc de punctis & circulis ma- thematicis demon$trata $unt: $ic de punctis medijs naturalium imaginum reflexarum intelligenda $unt. Forma enim puncti h continua uidetur formis aliorum punctorum: & e$t media intelligenda in tota imagine naturali reflexa: & punctus medius totius illius formæ erit in puncto e, quod e$t centrum ui$us, & reflectetur tota forma à loco circulari $peculi hab\~ete $en$ibilem latitudinem, cu- ius medium mathematicum e$t circulus prædictus: & $unt puncta e & h poli illius circuli. Cum au- tem linea e d fuerit maior quàm linea d h, in tantum poterit e$$e maior, quòd non reflectetur forma puncti h ad ui$um e à puncto $peculi g, prout o$tendimus per 17 huius: ni$i enim fuerit proportio exce$$us lineæ e d $upra lineam d h ad lineam h d maior quàm lineæ e h ad lineam a h, non poterit forma pũcti h reflecti ad ui$um e per 16 huius: erit\’q; proportio lineæ e a ad lineam a h, maior quàm lineæ e d ad lineam d h: aliàs enim non poterit reflecti forma puncti h ad ui$um in punctum e. Quia $i detur, quòd po$sit reflecti: $it, ut reflectatur à pũcto g. Dico itaq; quòd nece$$ariò $equitur, ut ma- ior $it proportio lineæ e a ad lineam h a, quàm lineæ e d ad lineam d h: erit enim ex 42 th. 1 huius an- gulus h d g acutus: erit quoq; perid\~e 42 th. 1 huius angulus d g h minor recto. Ducatur itaq; à pun- cto g linea contingens circulum a g z b, quæ $it g f: hæc ergo nece$$ariò concurret cum linea e h per 14 th. 1 huius: cum angulus h d g $it a cutus, & angulus d g f rectus per 18 p 3: $it concur$us punctus f: erit ergo per 13 huius proportio catheti incidentiæ, quæ e$t h d, ad lineam d e ductam à centro $pe- culi ad locum imaginis, $icut lineæ h f ductæ à puncto rei ui$æ ad finem contingentiæ, ad lineam f e ducta m à fine contingentiæ ad locum imaginis. Ergo per 5 th. 1 huius erit econuer$o proportio li- neæ e f ad lineam fh, $icut lineæ e d ad lineam d h: $ed maior e$t proportio lineæ e a ad lineam a h, quàm $it lineæ e f ad lineam fh per 4 th. 1 huius: quoniam æquali linea (qu{ae} e$t f a) addita utrobiq;, ininuitur proportio: igitur maior e$t proportio lineæ e a ad lineam h a, quàm $it lineæ e d ad lineam d h. Si itaq; forma puncti h reflectitur ad ui$um e: nece$$arium e$t, ut proportio lineæ e a ad lineam h a $it maior quàm lineæ e d ad lineam d h. Hoc itaque cum fuerit, erit in hac di$po$itione centri ui- $us & puncti rei ui$æ, $icut prius, demon$trandum. Palàm ergo $unt omnia, quæ propo$ita $unt; cum centrum ui$us & punctus rei ui$æ $uerint in eadem diametro circuli propo$iti $peculi. Patet ergo propo$itum.

24. Puncto rei ui$æ & centro ui$us exi$tentibus extra $peculum $phæricum concauum non in eadem diametro circuli (qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi) non e$t po$- $ibile, ut fiat ad ui$um reflexio ni$i ab uno tantùm puncto: & unicus tantùm imaginis erit lo- cus. Alhazen 70 n 5.

E$to t punctus rei ui$æ: & h centrum ui$us: & $it d centrum $peculi: & ducantur lineæ h d, t d, h t: $uperficies itaq; reflexionis, quæ per 3 huius e$t $uperficies h d t, $ecat $uperficiem $peculi per 2 hu- ius $uper circulum, qui $it e b q g. Palàm itaq; quòd forma puncti t non reflectitur ad ui$um h, ni$i ab aliquo puncto huius circuli: non enim fit aliqua reflexio extra $uperficiem reflexionis. Producatur LIBER OCTAVVS. itaq; linea h d ultra centrum d, donec $ecet circum $er\~etiam circuli: & $it punctus $ectionis a: & pro- ducatur linea t d ultra punctum d, $ecans circulum in puncto q: incidat\’q; linea h d circul o in pũcto g, & linea t d in puncto b. Palàm ergo (cum per 20 huius $olùm $it po$sibilis reflexio ab arcubus in- teriacentibus dιametros, in quibus $unt centrum ui$us, & pũctus rei ui$æ) quòd forma puncti t ad ui$um exi$tentem in puncto h non reflectitur ab aliquo puncto arcus q g uel arcus b a: refle ctitur itaq; aut ab aliquo puncto arcus g b, aut ab aliquo puncto arcus q a. Diuidatur itaq; angulus t d h per æqualia per 9 p 1: diuidat\’q; ip$um linea d e l, $ecans circuli peripheriam in puncto e, & lineá h t in pun- cto l: & à puncto e ducatur linea contingens circulum per 17 p 3: quæ $it k e f. Si itaq; puncti t & h fuerint $uper illam lineam contingen- tem, ubicunq; con$i$tant: palàm quòd non e$t po$sibile reflecti for- mam puncti t ad ui$um h ab aliquo puncto arcus b g. Si enim à pun- cto t ducatur linea ad aliquem interiorem punctum huius arcus, li- nea à puncto h ad idem punctum ducta cadet $uper eundem arcum exterius & nó interius, cum punctum $it extra $peculum: & ita non erit re$lexio à parte interiori concauitatis $cilicet $peculi, ip$o cor- pore $peculi impediente. Ab arcu uerò a q po$sibile e$t ut fiat refle- xio: quoniam lineas ductas à puncto t & à puncto h, concauitati il- lius arcus po$sibile e$t incidere. Producatur itaq; linea l d donec $e- cet arcum a q: & $it punctus $ectionis z. Dico quòd à puncto z refle- ctetur forma puncti t ad h centrum ui$us. Ducantur enim lineæ t z, h z: $ecet\’q; linea h z cathetum incidentiæ, quæ e$t t d q, in puncto p. Cum itaq; angulus t d h $it diui$us per æqualia: patet quòd angulus t d z e$t æqualis angulo h d z per 13 p 1. Lineæ itaq; t d & h d aut $unt æquales, aut non. Si $unt æquales, & linea d z e$t communis: erit per 4 p 1 triangulus t z d æqualis triangulo h z d: & angulus t z h e$t diui$us per æqualia per lineam d z: ergo per 20 th. 5 huius forma puncti t reflectetur ad ui$um in pũctum h à puncto $peculi z. Sed neq; e$t po$sibile à puncto alio arcus a q reflecti formam puncti t ad h. Sit enim, $i e$t po$sibile, quòd re- flectatur à puncto o, & ducantur lineæ t o & h o: linea quoq; o d m ducta per centrum $peculi diui- dat angulum t o h per æqualia: $ecet\’q; lineam h t in puncto m. Palàm ergo per 8 p 3 quoniam linea t z e$t minor quàm linea t o, & linea h o e$t minor quàm linea h z: e$t autem per 3 p 6 (cum angulus t z h $it diui$us per {ae}qualia) proportio lineæ t z ad lineam h z, $icut line{ae} tl ad lineam h l: proportio ue- rò lineæ t o ad lineam h o per eandem 3 p 6 e$t, $icut line{ae} t m ad lineam m h: $ed per 9 th. 1 huius ma- ior e$t proportio lineæ h z ad lineam t z, quàm lineæ h o ad lineam t o: ergo per 11 p 5 maior e$t pro- portio lineæ h l ad lineam l t, quàm lineæ h m maioris, quàm $it linea h l, ad lineam m t minorem, quàm $it linea l t: quod e$t impo$sibile. Semper enim e$t minor proportio quantitatis minoris ad maiorem quàm maioris ad minorem: quod faciliter patet per 9 th. 1 huius. Non ergo fiet reflexio form æ puncti t ad ui$um h à puncto $peculi o. Similiter etiam demon$trandum quod à nullo alio ni$i à $olo puncto z: quod e$t propo$itum. Quòd $i lineæ t d & h d $int inæquales, fiat re$ectio maio- ris ad æqualitatem minoris per 3 p 1: & ordinetur demon$tratio, ut prius. Et quoniam forma puncti cuiu$cunq; rei ui$æ in eadem linea exi$tentis $emper reflectitur ab eodem puncto cuiu$cunq; $pe- culi ad ui$um in quocunq; puncto eiu$dem lineæ exi$tentis (quoniam linearum inæqualitas natu- ram reflexionis non immutat, ut patet per 20 th. 5 huius: $emper enim angulus incid\~etiæ e$t æqua- lis angulo reflexionis) patet quòd quæcunq; i$tarum linearum fuerit maior quàm alia, quòd non impedietur propter hæc reflexio: & quòd tantùm ab uno puncto $peculi fiet reflexio: & hoc per di- ligentiam perquirentis $ecundum modum præmi$$um poterit declarari. Et quia in tali di$po$itio- ne centri ui$us & puncti rei ui$æ ab uno tantùm puncto $peculi fit reflexio ad ui$um: patet quòd unica e$t linea reflexionis, quæ h z: unicus e$t ergo locus imaginis, $cilicet pũctus p, in quo linea re- flexionis (quæ e$t h z) $ecat cathetum incidentiæ, quæ e$t t d q. Patet ergo propo$itum.

25. Si angulum à duabus diametris circuli magni $peculi $phærici concaui contentum diui- dat tertia diameter per æqualia, & à puncto $ectionis circumferentiæ & diametri medio du- cantur perpendiculares $uper alias duas diametros: punct a diametrorum, in quæ cadunt per- pendiculares, ad $e inuicem reflectuntur tantùm ab illo puncto circumfer\~etiæ, & à puncto $ibi oppo$ito: & quodlibet punctum diametri interiacens illa puncta, & centrum $peculi reflectitur ad punctum alterius diametri æqualiter ei condi$tans à centro, ab ei$dem duobus punct is: & loca imaginum erunt tantùm duo. Alhazen 71 n 5.

Sint circuli (qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $phærici concaui) cuius centrum d, duæ diametri a g & b q: & diameter e d z diuidat angulum b d g per æqualia per 9 p 1: & à puncto $peculi, cuì incidit diameter z d e, ducantur duæ perpendiculares $uper duas $emidiame- tros b d & d g per 12 p 1, quæ $int e t & e h. Palàm ergo per 26 p 1 quòd trianguli e t d & e h d $unt æquales & æquianguli. Quoniam enim angulus b d g diui$us e$t per æqualia per lineam d e, & an- guli e t d & e h d $unt recti, & linea e d e$t ambobus illis trigonis communis: patet ergo quòd an- VITELLONIS OPTICAE gulus t e d e$t æ qualis angulo d e h: ergo per 20 th. 5 huius forma puncti t refle ctitur ad ui$um exi- ftentem in puncto h à puncto $peculi, quod e$t e: & eodem modo forma puncti h reflectitur ad ui- $um exi$tentem in puncto t à puncto $peculi e. Similiter\’q; fiet reflexio à puncto z ductis lineis t z & h z. Cum enim ex præmi$sis lineæ t d & h d $int æ quales, & per 13 p 1 anguli h d z & t d z $int æqua les: erunt per 4 p 1 anguli t z d & d z h æquales: fiet ergo mutua reflexio pũctorum t & h ad inuicem à puncto $peculi, quod e$t z. Patet autem per 20 huius quòd nõ reflectetur forma puncti t ad ui$um exi$tentem in puncto h ab aliquo puncto arcus a b, uel ab aliquo puncto arcus g q: nec ab aliquo puncto arcus a q, ni$i à puncto z per 19 huius, & quòd idem accidet impo$sibile contra 9 th. 1 huius, quod in proxima pr{ae}mi$$a, ducta prius linea th. Quòd uerò ab aliquo puncto arcus b g alio quàm à puncto e, non po$sit fieri reflexio formæ puncti t a d ui$um h, $ic patebit. Detur enim quòd illa refle- xio po$sit fieri à puncto o: & ducanturline æ t o & h o, d o: fiat\’q; circulus $ecundum quantitatem diametri d e. Palàm ergo cũ anguli e t d & e h d $int recti, quoniá ille circulus tran$ibit per quatuor pun- e o p l g b h n d m t q a z cta, quæ $unt t, d, h, e per 31 p 3. Cum itaq; pũctus e $it communis utriq; illorum circulorũ, & $it $uper ean- dem diametrum e d, continget circulus maior mino rem tantùm in puncto e per 13 p 3, & non in alio. Cir- culus ita que minor, qui e$t e t d h, $ecabit lineam d o productam in maiori circulo. Quoniam $i non $eca- ret, tunc contingeret in pũcto o circulum maiorem, & $ic ip$um cótingeret in duobus punctis, quod e$t impo$sibile. Sit, ut $ecet ip$am in puncto l: & ducan- tur lineæ t l & h l. Quia uerò, ut patet ex præmi$sis, linea t d e$t æqualis lineæ d h: erit arcus d h circuli minoris æqualis arcui d t per 28 p 3: ergo per 27 p 3 angulus tl d e$t æqualis angulo d l h: ergo per 13 p 1 angulus t l o e$t æqualis angulo h l o: $ed angulus l o t e$t æqualis angulo l o h per 20 th. 5 huius, & ex hy- pothe$i, & latus o l e$t cómune ambobus trigonis t o l & h o l: ergo per 26 p 1 illi trigoni $unt æqua- les & æquianguli: erit ergo linea t o æqualis lineæ h o, quod e$t impo$sibile: quoniam per 7 p 3 li- nea h o e$t maior quàm linea h e, & linea t o e$t minor quàm linea t e per eãdem 7 p 3: linea uero t e, ut præmi$$um e$t, æqualis e$t lineæ h e: e$t ergo linea h o maior quàm linea t o. Non ergo reflecte- tur forma puncti t ad ui$um exi$tentem in puncto h à puncto $peculi o: $ed neq; ab aliquo alio pun- cto arcus e b. Similiter\’q; e$t de ducendum, $i punctus o, à quo $upponitur fieri reflexio, cadat in ali- quem punctum arcus e g inter puncta e & g. Re$tat ergo, ut forma puncti t non reflectatur ad ui$um h ab aliquo puncto arcus b g, ni$i à $olo puncto e: nec ab aliquo puncto arcus a q, ni$i à $olo puncto z. Item à puncto e ducatur, ut contingit, linea e m $uper partem diametri b q, quæ e$t t d: & $ecetur â linea h d pars æqualis lineæ d m per 3 p 1: quæ $it d n: & ducatur linea e n. Palàm per 16 p 1 quòd angulus e m d e$t obtu$us, cum angulus e t d $it rectus. Ab angulo itaq; e m d per 27 th 1 huius re$e- cetur angulus rectus, qui $it d m p: & ducatur linea m p. Hæc ergo erit æquidi$tans lineæ e t per 28 p 1: concurret ergo linea m p per 2 th. 1 huius cum linea e d; cum qua concurrit $ua æ quidi$tans, quæ e$t e t: $it concur$us punctus p: & ducatur linea n p: & fiat circulus $ecundum quantitatem diametri d p: erit\’q; per 31 p 3 ille circulus tran$iens per quatuor puncta m, d, n, p. Quia cum angulus p m d $it rectus, & angulus m d p æ qualis angulo p d n, & latus p d commune, erit per 4 p 1 angulus p n d re- ctus. Cum itaq; arcus d n $it æqualis arcui d m per 28 p 3, erit angulus d p n æqualis angulo d p m per 27 p 3, e o g a z l y p f h n m t d x erunt\’q; trianguli d m p & d n p æquianguli per 32 p 1. Et quia linea n d e$t æqualis lineæ d m: erit per 4 p 6 linea m p æqualis lineæ n p. Et quia angulus m p d e$t æqualis angulo n p d: erit ergo per 13 p 1 angulus m p e æqualis angulo n p e: ergo per 4 p 1 linea e p exi$tente communi triangulo n e p, & triangulo m e p, erit an- gulus n e p æqualis angulo m e p. Palàm ergo quòd forma puncti m reflectitur ad ui$um exi$tenté in pun- cto n à pũcto $peculi, quod e$t e: & eorum adinuicem fiet mutua reflexio: $imiliter à puncto z: & non ab ali- quo puncto arcus b a, uel arcus g q per 20 huius: neq; ab alio puncto arcus b g, quàm à puncto e: nec ab alio puncto arcus q a, quàm à puncto z. In his enim e$t ea- dem deductio, quæ prius. Palàm itaq; $ecundum mo- dum prædictum: quia $umpto puncto lineæ m d, & ductis lineis ad punctum illud à punctis t d h, & $um- pto puncto ultimo, in quo circulus minor $ecabit diametrum, & à puncto $ectionis ductis lineis ad punctat & h: $emper formæ illius puncti erit reflexio ad punctum $ibi $imile lineæ d n, tantundem LIBER OCTAVVS. di$tans à centro $peculi, quod e$t d: fiet\’q; illa reflexio à puncto $pecûli e, & à pũcto illi oppo$ito dia- metraliter, qui e$t punctus z: erunt\’q; loca imaginum tantùm duo, in quibus duæ lineæ reflexionis, quæ $unt e h & z h, concurruot cum catheto incid\~etiæ, quæ t d. Patet ergo propo$itum. Hoc tamen e$t magis euidens, $i diametri b q & a g $ecent $e ad angulos non rectos: quoniam tunc loca imagi- num cadunt aut retro ui$um; aut inter ui$um & $peculum. Si uerò illæ diametri $ecuerint $e ad an- gulos rectos: tunc a d huc loca imaginum erunt tantùm duo: quoniam tunc, ut patet per 28 p 1; linea reflexionis, quæ e h, e$t æquidi$tans catheto incidentiæ, quæ e$t t d: & uidebitur una imago formæ puncti tin pũcto reflexionis, quod e$t e, per 11 huius: reliqua uerò uidebitur in pũcto x, qui $it com- munis $ectio lineæ reflexionis, quæ e$t z h, & catheti incid\~etiæ, quæ e$t td. Et $ic loca imaginum di- uer$antur $ecundum quantitates angulorum à diametris contentorum. Patet ergo propo$itum.

26. Si angulum à duabus diametris magni circuli $peculi $phærici concaui contentum diui- dat tertia diameter per æqualia, & à puncto $ectionis cir cumferentiæ & diametri medio du- cantur perpendiculares $uper alias duas diametros: quilibet punctus unius diametrorum $e- ctarum interiacens perpendiculares & circumfer\~etiam, reflectitur ad punctum alterius dia- metri æqualiter ei condi$tans à centro, à quatuor tantùm circumferentiæ punctis: & $ecũdum hæc loca imaginum numer antur. Alhazen 72 n 5.

Sint, ut in proxima, circuli (qui e$t communis $ectio $peculi $phærici cócaui, & $uperficiei refle- xionis) duæ diametri b q & a g $ecantes $e $uper punctum d centrum $peculi $phærici concaui: & diameter e z diuidat an gulum b d g ab eis in centro contentum per æ qualia: & $umatur in $emidia- metro b d punctus t $upra punctum, in quem cadit perp\~e dicularis ducta à puncto e $uper $emidia- metrum b d: & in linea d g $umatur eius pars (quæ $it d h) æqualis lineæ d t per 3 p 1, & ducantur li- neæ t e & h e. Dico quòd forma punctit refle ctitur ad ui$um exi$tentem in puncto h à puncto $pe- culi, quod e$te, & à puncto z $ibi diametraliter oppo$ito: non autem reflectitur ab aliquo puncto arcus b a, uel arcus g q. E$t autem nece$$arium formam puncti t refle cti ad ui$um exi$tétem in pun- cto h ab aliquo puncto arcus e g, & ab aliquo puncto arcus e b. Extrahatur enim à puncto t perpen- dicularis $uper lineam t d per 11 p 1, quæ $it t o. Et quia linea t o e$t æquidi$tans perpendiculari du- ctæ à puncto e $uper $emidiametrum d b per 28 p 1: palàm quia linea t o producta cadet extra circu- lum $peculi, non $ecans punctum e. Producatur er- o e k m f l g h b t d q a z go linea d e ultra punctum e. Et quia angulus b de e$t acutus: ideo quia $emidiameter d e diuidit an- gulum b d g per æqualia: propter quod uterq; ip$o- rũ e$t minor recto: palàm quòd linea t o per 14 th. 1 huius concurret cum linea d e: concurrant ergo in puncto o: & ducatur linea h o. Palàm itaq; per 4 p 1 cum angulus d t o $it rectus, quòd etiam angulus d h o e$t rectus. Fiat ita q; per 5 p 4 circulus tran$iens per tria puncta t, d, h, qui per 31 p 1 nece$$ariò tran$i- bit per punctum o: & erit linea d o diameter eius: & ducarur per 17 p 3 linea contingens circulum b a z g in puncto e, quæ $it k e. Et quoniam circulus t d h o $ecat circulũ b a z g: nece$$e e$t ip$um $ecari in duo- bus punctis per 10 p 3: $int illa duo puncta l & m: & ducantur lineæ t l, h l, d l, t m, h m, d m. Cum itaq; li- nea recta, quæ e$t t d, $it æqualis lineæ h d, ut patet expræmi$sis, erit arcus t d æqualis arcui d h per 28 p 3 erit ergo per 27 p 3 angulus t l d æqualis angulo d l h: & ita forma puncti treflectitur ad ui$um h à puncto l. Et $imiliter angulus t m d e$t æqualis angulo d m h per 27 p 3: ergo forma puncti trefle- ctitur ad ui$um h à puncto m. Palàm igitur quòd forma punctit reflectitur ad ui$um h à quatuor punctis e, z, l, m. Et quoniam lineæ reflexionis $unt quatuor, $cilicet h e, h l, h m, h z: patet quòd in communi $ectione uniu$cuiu$cunq; ip$arum & catheti incidentiæ, quæ e$t t d, $it locus imaginis. Et $i aliqua illarum linearum fuerit æquidi$tans catheto t d: erit locus imaginis in puncto reflexio- nis per 11 & 12 huius. Loca ergo imaginum $unt quatuor, $ecũdum numerum locorum reflexionis. Non pote$t autem forma puncti treflecti ad ui$um hab alijs punctis præter h{ae}c. Detur enim, $i po$- $ibile e$t, ut fiat reflexio formæ puncti t ad ui$um h à puncto alio $peculi præter hæc quatuor, quod $it punctum f: & ducantur lineæ t f, h f, d f: & producatur d f, quou$q; concurrat cum linea contin- gente circulum b a z q in puncto e: & $it, exempli cau$$a, punctus concur$us k, qui $it communis $e- ctio lineæ e k, & peripheriæ circuli t d h o: concurrent autem lineæ d f & e k per 14 th. 1 huius: & du- cantur lineæ t k & h k: erit itaq; ex hypothe$i, & per 20 th 5 huius angulus t f d æqualis angulo d fh: ergo per 13 p 1 erit angulus t f k æqualis angulo h f k: $ed angulus t k f e$t æqualis angulo f k h per 27 p 3: arcus enim in quos ad peripheriam cadunt illi anguli, $cilicet arcus citculi t d h o (qui $unt d h & d t) $unt æquales, & linea f k e$t communis: erunt ergo per 26 p 1 trianguli t k f & h k f æquian- guli: e$t ergo per 4 p 6 linea t k æqualis lineæ h k: quod e$t impo$sibile: quoniam, ut patet per 7 p 2, VITELLONIS OPTICAE linea h k e$t maior quàm linea h o, & linea t k minor e$t quàm linea t o: linea uerò t o e$t æqualis li- neæ h o, per præmi$$a, Et eodem modo deducendũ, $i in arcu m g $it datus pũctus f: quoniam idem $equitur im- po$sibile dato puncto fin arcu g b ubicunq; extra tria o e k s m p f l g b h d t q a z puncta m, e, l. Quia $i punctus k, qui e$t pũctus line{ae} con tingentis, cadat extra peripheriam circuli m d t o, copu- latis lineis à punctis $ectionis lineæ e k ad peripheriam circuli minoris, præmi$$o modo erit deducendum. Pa- làm ergo quòd non reflectitur forma puncti t ad ui$um h ab aliquo alio puncto quàm ab his quatuor punctis. Sienim circulus fiat hab\~es centrum in linea d z ad mo- dum circuli t d h o habentis centrum in linea d o: palàm per modum 24 huius, ducta linea t h, quoniam lineæ à punctis t & h ad punctum z terminum diametri d z du- ctæ, $i ad partem aliam ultra puncta t & h fuerint pro- ductæ: arcus interiac\~etes earum alteram & diametrum e d z, qui $unt p e & s e æquales re$ecant: ergo æquales angulos cum diametro in puncto z con$tituunt: & e$t po$sibilis reflexio, quæ fit à puncto z. Ad alia uerò pun cta arcuum uicinorum productæ à punctis t & h lineæ $emper arcus inæ quales re$ecant: & ob hoc inæquales angulos có$tituunt $uper circumferentiam circuli ma- ioris: & per modum, quo u$i $umus in 24 huius, $equi- tur impo$sibile contra 9 th. 1 huius, ut manife$tũ e$t per ea, qu{ae} præmi$$a $unt. Patet ergo propo$itum: quoniam tantùm à quatuor punctis fit reflexio tali exi$tente di$po$itione: & tantùm $unt quatuor loca ima- ginum. Quod e$t propo$itum.

27. Puncto reiui$æ & centro ui$us in eadem $uperficie circuli magni $peculi $phærici cocaui, diuer$is tamen diametris, & $ub inæquali di$tantia à centro $peculi exi$tentibus, in arcu illius circuli interiacente reliquas $emidiametros, in quibus illa puncta non con$i$tunt, punctum re- flexionis inuenire: ex quo patet, quòd ab unot antùm puncto illius arcus fit reflexio in hoc $itu. Alhazen 73 n 5.

Sit, ut prius, circulus (qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi $phæ- rici concaui) a b g q, cuius centrum d: & ducantur duæ diametri a d g & b d q: & diameter e d z di- uidat angulum ab alijs duabus diametris contentum per æqualia: $itq; t punctus rei ui$æ po$itus in $emidiametro b d propinquior centro $peculid, quàm $it punctus h, qui $it centrum ui$us pofitus in $emidiametro g d. Dico quòd in hac di$po$itione punctorum t & h, po$sibile e$t in arcu a q pun- ctum reflexionis inueniri: & quòd in illo arcu unicus huius reflexionis e$t punctus. Sumatur enim extra circulum linea l y: & diuidatur per 119 th. 1 huius in pũcto m taliter, ut $it proportio lineæ y m ad lineam m l, $icut lineæ h d ad lineam d t: & diuidatur item linea y l per æqualia in puncto n per 10 p 1: & à puncto n educatur perpendicularis n k $uper lineam y m per 11 p 1: & $uper punctum l termi- num lineæ y l fiat per 23 p 1 angulus æqualis medietati anguli a d t per lineam fl: erit itaq; angulus f l y acutus, $iue angulus a d t fuerit acutus $iue rectus, uel etiam obtu$us: $ed an gulus f n l e$t rectus: ergo per 14 th. 1 huius linea f l concurret cum linea n k: concurrant ergo in puncto f: & per 134 th. 1 huius à puncto m ducatur linea ad ba$im fl, concurrens cum latere n k in puncto k: $ecet\’q; lineam l fin puncto c taliter, ut $it proportio lineæ k c ad lineam c l, $icut line{ae} h d ad lineam b d. Deinde $u- per punctum d terminum lineæ a d fiat angulus æqualis angulo l c m, qui $it i d a: $it\’q; punctus cir- cumferentiæ, qui e$t a, $upra punctum z, uel infra illum: & $uper punctum i terminum lineæ d i fiat angulus æqualis angulo c l m, qui $it o i d, ducta linea o i $ecante lineam d a in puncto o: quæ pro- ducatur ultra punctum o: & $uper lineam o i ducatur perpendicularis à puncto h per 12 p 1, quæ $it h r: & producatur linea r x, quou$q; ip$a æqualis $it lineæ r i: & ducantur lineæ h x & h i. Palàm au- tem per 120 th. 1 huius quoniam à puncto m impo$sibile e$t duci aliam lineam $uper lineam fl, diui- dentem eam $ecũdum proportion\~e, qua diui$it ip$am linea m c k. Cum itaq; angulus o d i $it æqua- lis angulo l c m, & angulus o i d æ qualis angulo c l m: erit per 32 p 1 angulus i o d æqualis angulo l m c: erit ergo per 13 p 1 angulus r o h æqualis angulo k m n: & angulus h r o e$t æqualis angulo k n m: quia uterq; e$t rectus: ergo per 32 p 1 angulus n k m e$t æqualis angulo r h o. Trigona itaq; n k m & r h o $unt æquiangula: ergo per 4 p 6 latera ip$orum æquos angulos re$picientia $unt proportiona- lia. Producatur itaq; linea i d ultra punctum d, donec concurrat cum linea h r: concurret autem per 14 th. 1 huius: angulus enim h r i e$t rectus, & angulus r i d e$t acutus: concur$us autem punctum $it s: erit\’q; angulus s d h æqualis angulo k c f per 15 p 1. Erunt ergo trigona f c k & s d h æquiangula per 32 p 1: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ s d ad lineam d h, $icut lineæ f c ad lineam k c: $ed lineæ h d ad lineam d i per 7 p 5 e$t proportio $icut lineæ h d ad lineam d b: quoniam per definitionem circuli LIBER OCTAVVS. lineæ d i & d b $unt æquales: e$t ergo proportio lineæ h d ad lineam d i, $icut lineæ k c ad lineam c l. Ex pr{ae}mi$sis enim e$t pro- b u i a x r o i m t p c e d z k p q o f n s h g q y portio lineæ k c ad lineam c l, $icut line{ae} h d ad lineam b d: e$t ergo per 22 p 5 per æquam $cilicet proportio- nem proportio line{ae} s d ad lineam d i, $icut line{ae} f c ad lineã c l: ergo per 18 p 5 erit cõiunctim proportio line{ae} si ad lineam d i, $icut line{ae} flad lineá l c. Sed cũ trian- gulus d i o $it æquiangulus triãgulo cl m, ut $uprà pa- tuit: palàm per 4 p 6 quo- niam e$t proportio lineæ d i ad lineam i o, $icut lineæ c l ad lineam l m: e$t igitur per 22 p 5 proportio lineæ s i ad lineam i o, $icut lineæ fl ad lineá l m: ergo per 5th. 1. huius erit econtrariò proportio lineæ i o ad lineam s i, $icut lineæ l m ad lineam fl: $ed e$t proportio lineæ s i ad lineam i r, $icut lineæ fl ad lineam l n per 4 p 6: quoniam triangulus ris e$t $imilis triangulo fl n per 32 p 1. Cum enim anguli s r i & f n l $int æquales, quia recti, & anguli r i s & n l f $unt æquales ex præmi$sis: erit angulus r s i æqualis angulon fl: igitur per 22 p 5 erit proportio lineæ i o ad lineam i r, $icut lineæ l m ad lineam l n: erit ergo econtrariò per 5th. 1 huius proportio lineæ i r ad lineam i o, $icut lineæ l n ad lineam l m. Et quoniam linea x i e$t dupla lineæ i r, & line y l e$t dupla lineæ l n: erit per 15 p 5 eadem proportio lineæ x i ad lineam i o, $icut lineæ y l ad lineam l m: ergo per 17 p 5 erit diui$im proportio lineæ y m ad lineam m l, $icut lineæ x o ad lineam i o. Du- catur itaq; à puncto i linea æquidi$tans lineæ h x per 31 p 1, quæ $it iu. Producatur quoq; linea da, donec concurrat cum linea i u: concurret autem per 2th. 1 huius: quia concurrit cum eius æquidi- $tante, quæ e$t h x: $it itaq; concur$us punctus u: erit\’q; triangulus o u i per 15 & 29 p 1 æquiangulus triangulo h o x: ergo per 4 p 6 e$t proportio lineæ h o ad lineam o u, $icut lineæ x o ad lineam o i: e$t autem, ut patuit ex præmi$sis, proportio lineæ x o ad lineam o i, $icut lineæ y m ad lineam m l: ergo per 11 p 5 erit proportio lineæ h o ad lineam o u, $icut lineæ y m ad lineam l m: e$t ergo per eandem 11 p 5 proportio lineæ h o ad lineam o u, $icut lineæ h d ad lineam d t. Sed quoniam triangulus h r i æquiangulus e$t triangulo h r x per 4 p 1, quoniam ex hypothe$i linea x r e$t æqualis lineæ r i, & li- nea h r e$t perpendicularis $uper lineam x i: palàm quia angulus h x r e$t æqualis angulo r i h: ergo angulus r i h e$t æqualis angulo u i o: quia per 29 p 1 anguli h x i & u i o $unt æquales: cum $int coal- terni inter lineas x h & u i æquidi$tantes: ergo per 3 p 6 erit proportio lineæ h o ad lineam o u, $icut lineæ h i ad lineam i u: e$t ergo proportio lineæ h i ad lineam iuper 11 p 5 $icut lineæ h d ad lineam d t. Verùm angulus u i d, ut patet per præmi$$a, maior e$t angulo d i h: $ecetur ergo ab angulo u i d angulus æqualis d i h angulo per 27 th. 1 huius: & $it angulus p i d: $it\’q; punctus p in diametro d a: & ducatur linea p t. Palàm itaq; per 13 th. 1 huius quòd proportio line{ae} h i ad lineam iu con$tat ex pro- portione lineæ h i ad lineam p i, & ex proportione lineæ p i ad lineam i u: $ed per 3 p 6 proportio e$t lineæ h i ad lineam i p, $icut lineæ h d ad lineam d p: quoniam angulus p i h diui$us e$t per æqualia per lineam d i: igitur proportio lineæ h i ad lineam i u, quæ e$t proportio lineæ h d ad lineam d t, con$tat ex proportione lineæ h d ad d p, & lineæ p i ad i u: & proportio lineæ h d ad d t con$tat ex proportione line{ae} h d ad lineam d p, & exproportione lineæ d p ad lineam d t: e$t igitur per 13 th. 1 huius proportio lineæ d p ad lineam d t, $icut lineæ p i ad lineam ui. Verùm, ut $uprà patuit, angu- lus ri u e$t medietas anguli u i h: quoniam angulus uir e$t æqualis angulo h xi per 29 p 1, & angu- lus h x i e$t æqualis r i h per 4 p 1: e$t ergo angulus r i h medietas anguli u i h: & angulus d i h e$t me- dietas anguli p i h: re$tat ergo, ut angulus d i o $it medietas anguli p i u: $ed angulus d i o, cũ $it æqua lis angulo fly, e$t medietas anguli p d t: igitur angulus p i u e$t æqualis angulo p d t. E$t autem, ut patet per præmi$$a, proportio lineæ d p ad lineam d t, $icut lineæ p i ad lineam i u: igitur per 6 p 6 trianguli p i u & d p t $unt{ae} quianguli: igitur per 4 p 6 illi trigoni $unt $imiles: & angulus u p i {ae}qua lis e$t angulo d p t: ergo per 14 p 1 linea t p i e$t linea una recta: cum angulo enim o p t uterq; illorum angulorum æqualium, qui $unt u p i & t p d, ualet duos angulos rectos per 13 p 1. Quoniam ergo li- neat p i e$t linea una recta: erit ip$a linea incidentiæ form{ae} puncti t: & anguli ti d & d i h $unt {ae}qua- les, ut patet ex præmi$sis. Palàm ergo per 20 th. 5 huius quòd forma pũcti treflectitur ad ui$um exi- $tentem in puncto h à puncto $peculi, quod e$ti: $em per\’q; eadem e$t probatio, $iue punctus rei ui- $æ, qui e$t t, $it extra circulum $peculi, $iue intra: $imiliter $iue punctum, quod e$t centrum ui$us, $it extra circulum $peculi, $iue intra: dum tamen di$tent in{ae}qualiter à centro $peculi. Patet ergo pro po$itum. Fit enim reflexio ab uno tantùm puncto arcus a q interiacéte illas $emidiametros, in qui- bus puncta h & t non con$i$tunt. Et quoniam à puncto m impo$sibile e$t duci aliam lineam $uper lineam fl, diuidentem ip$am $ecũdum proportionem, qua diui$it ip$am linea m c k, ut patet per 120 VITELLONIS OPTICAE th 1 huius: manife$tum e$t quia non e$t po$sibile in propo$ito arcu inueniri aliud punctum pr{ae}mi$- $æ reflexionis. Patet ergo, quod proponebatur.

28. Si angulum à duabus diametris circuli magni $peculi $phærici concaui contentum diui- dat alia diameter per æqualia: ab omni puncto arcus interiacentis $emidiametros primas, in quibus punct a reflexanõ con$i$tunt (præter punctum, cui incidit diameter angulum diuidens) infinit a punctorum paria inæqualiter à centro circuli di$tantiũ reflectuntur. Alhaz. 74 n 5.

Sit di$po$itio figuræ præ cedentis: $ecent\’q; circulum (qui e$t communis $ectio $uperficiei refle- xionis & $uperficiei $peculi $phærici concaui) duæ diametri, quæ $int b q & a g, $uper centrum d: diuidat\’q; diameter e d z angulum b d g per æqualia. Dico quòd quicunq; punctus $umatur in arcu a q, pr{ae}ter punctum z, ab illo po$$unt reflecti infinita paria punctorum inæqualiter à centro di$tan- tium. Sumatur enim in arcu a q punctus h: & $umatur in $emidiametro d g punctus l: & à $emidia- metro b d $ecetur linea m d æqualis lineæ l d: & ducantur lineæ l m, l h, m h, d h: $ecabit\’q; diameter e z lineam m l per 29 th. 1 huius, quia $ecat angulum b d g, cui $ubtenditur linea l m: $it ergo punctus $ectionis f: erit\’q; per 4 p 1 & ex hypothe$i linea m f æqualis lineæ fl. Producatur quoq; linea h d, quou$q; cadat $uper lineam m l: cadet autem per 29 th. 1 huius: $it\’q; punctus $ectionis n: erit\’q; linea l n minor quàm linea n m: ideo, quia linea d n $ecat angulum f d l: quia angulus h d z (qui per 15 p 1 e$t æqualis angulo n d f) minor e$t angulo a d z. Ve- b a m h t e f d z p n l g q rùm eum angulus f d m $it æqualis angulo $ d l ex hy- pothe$i, & angulo q d z per 15 p 1, & angulus m d a $it æqualis angulo l d q: & angulus a d h æqualis angulo n d l: angulus uerò m d n e$t maior angulo n d l, & angulus h d q e$t maior angulo a d h: ergo totus an- gulus l d h e$t maior toto angulo m d h: igitur per 24 p 1 linea l h e$t maior quàm linea h m, cum linea m d $it æqualis lineæ d l, & linea d h communis ambobus trigonis m d h & l d h. Erit ergo angulus d h l minor angulo d h m. Quoniã $i detur, quòd $it æqualis: tunc erit proportio lineæ l h ad lineam m h, $icut lineæ l n ad lineam n m per 3 p 6: quod e$t impo$sibile per 8 p 5. Si uerò detur quòd angulus d h l $it maior angulo d h m: ergo per 27 th. 1 huius $ecetur ex angulo d h l angulus æqualis angulo d h m: & $equetur impo$si- bile, ut prius, producta illa linea $ecante, ad lineam l n per 29 th. 1 huius. E$t igitur angulus d h l minor an- gulo d h m. Secetur igitur ab angulo m h d angulus æqualis angulo d h l, qui $it angulus t h d. Ergo forma puncti t per 20 th. 5 huius refle ctetur ad ui$um exi$tentem in puncto l à puncto $peculi, quod e$t h: & linea t d e$t minor quàm linea l d: quoniam e$t minor quàm linea d m. Similiter $i $umantur in $emidiam etris b g & g d alia pũcta quàm l & m, æqualiter di$tantia à punctis l & m: $imiliter pro- babitur quòd à puncto h fit reflexio punctorum in æqualiter di$tantium à centro adinuicem: & ita de infinitis punctis in his diametris $umptis $emper $imilis erit probatio: & à quocunq; puncto ar- cus a q, præter quàm à puncto z, eadem e$t demon$tratio. A puncto uero z non e$t po$sibilis refle- xio propter angulorum t z d & d z linæqualitatem: quæ patet per 4 p 1, re$ecta per 3 p 1 linea l d in puncto p ad æqualitatem lineæ d t, & copulata linea p z. Patet ergo propo$itum.

29. Puncto rei ui$æ & c\~etro ui$us intra $peculum in diuer$is diametris circuli magni $peculi $phærici concaui exi$t\~etibus, inæqualiter<006> dι$tan- tibus à centro: $i ab aliquo puncto $peculi arcus $ci- b a t h e p d z n l k g q licet interiacentis $emidiametros, in quibus illa punct a non con$i$tunt, fiat reflexio formarũ eiu$- dem puncti ad eundem ui$um: ab alio puncto eiu$- dem arcus e$t impo{$s}ibile reflecti. Alhaz. 75 n 5.

Remaneat omnimoda di$po$itio theorematis pr{ae}- cedentis: & $it, ut pũctus rei ui$æ, (qui e$t t) in $emi- diametro circuli d b à puncto arcus a q, (quod $it h) refle ctatur ad ui$um exi$tent\~e in pũcto l $emidiame- tri d g plus di$tant\~e à c\~etro $peculi, q<001> e$t d, quã pũ- ctus rei ui$æ, qui e$t t: $int\’q; puncta t & l ambo intra $peculũ. Dico quòd formá pũcti t ad ui$um limpo$- $ibile e$t reflecti ab alio pũcto arc{us} a q, quàm à pũcto h. Si enim $it ip$um po$sibile ab alio puncto reflecti ad ui$um l: $it illud punctũ k: & ducátur lineæ t k, l k, d k, l t, t h, l h: & linea n d h: & producatur linea k d, quou$q; cadatin lineá l t in punctũ p: cadet aut\~e per 29 th. 1 huius, ut in præmi$$a o$tendimus. Quia LIBER OCTAVVS. itaq;, ut patet ex hypothe$i, forma puncti t refle ctitur ad ui$um exi$tentem in puncto l à puncto $pe culi h: palàm per 20 th. 1 huius quoniam angulus th l diuiditur per æ qualia per lineam n d h. Ergo per 3 p 6 patet quoniam e$t proportio lineæ l h ad lineam t h, $icut lineæ l n ad lineam n t. Et $imili- ter cum angulus t k p $it æqualis angulo l k p ex hypothe$i: erit per eandem 3 p 6 proportio lineæ l k ad lineam t k, $icut lineæ l p ad p t: $ed linea lh e$t maior quàm linea l k per 7 p 3, & linea t h e$t minor quàm linea t k: igitur per 9 th. 1 huius maior e$t proportio lineæ l h ad lineam t h, quàm li- neæ l k ad lineam t k: maior ergo erit proportio lineæ l n ad lineam n t, quàm lineæ l p ad lineam p t: quod e$t impo$sibile, & contra idem 9 th. 1 huius. Quocunq; uerò alio puncto dicti arcus h q dato, idem accidit impo$sibile. Palàm ergo quoniam ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h, e$t impo$sibile formam puncti t ad l centrum ui$us reflecti. Ergo nec aliquem punctorum æqualiter di$tantiũ à puncto t, & à puncto l, po$sibile e$t ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h reflecti. Et hoc e$t {pro}po$itũ. Ex his itaq; duob. theorematibus patet uniuer$alis pa$sio, qu{ae} accidit ui$ibilibus, & ui$ui $ic di$po$ito, re$pectu centri $peculi ab omnibus punctis arcus a q: quoniam à nullo puncto aliorum arcuũ e$t po$sibilis reflexio punctorũ taliter di$po$itorũ, ut etiam hoc patet per 27 huius.

30. Centro ui$us intra circulum (qui e$t cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $phæ rici concaui) in eius diametro existente: à quolibet puncto illius $emicirculi reflectuntur ad ui- $um formæ punctorum æqualis uelinæqualis di$tantiæ à centro $peculi cum ip$o centro ui$us. Alhazen 76 n 5.

Sit a centrum ui$us: centrum uerò $peculi $phærici concaui $it b: & $it a intra $peculum: duca- tur\’q; una diameter, quæ $it d a b g: & imaginetur $uperficies plana, in qua$unt puncta a & b quo- cunq; modo exten$a: hæc ergo per 69 th. 1 huius $ecabit $phæram $peculi $ecundum circulum, qui $it d l g. Dico quòd à quolibet puncto alterius i$to- rum $emicirculorum reflectuntur ad ui$um a for- l e p d a b g mæ punctorum inæ qualiter di$tantiũ à centro $pe- culi cũ ip$o puncto a. Sumatur enim in alicuius $e- micirculorum illorum peripheria punctus e: & du- cantur lineæ e a & e b. Palàm itaq; quoniam angu- lus a e b erit acutus per 42 th. 1 huius, & quia cadit in minorem arcum $emicirculo. Super punctum itaq; e terminum lineæ b e fiat per 23 p 1 angulus æ- qualis angulo a e b, qui $it p e b: & producatur linea p e quántum placet. Palàm itaq; per 20 th. 5 huius quoniam quodlibet punctum illius lineæ reflecti- tur ad ui$um a à puncto $peculi, quod e$t e. Ducta quoq; à centro $peculi, quod e$t b, ad lineá p e per- pendiculari per 12 p 1: aut illa perpendicularis erit æqualis lineæ b a, $ecundum quam di$tat centrum ui$us à centro $peculi: aut maior: aut minor. Si fue- rit æ qualis: tunc, cum omnes lineæ ductæ à centro b ad lineam p e, præter illam perpendicular\~e, $int maiores illa perpendiculari per 19 p 1, quoniam opponuntur angulo recto in illo triangulo: palàm quòd omnes lineæ erunt maiores quàm linea b a: & ita quodlibet punctum lineæ p e, excepto puncto unico, in quod cadit perpendicularis ducta à centro b $uper lineæ p e, inæ qualiter di$tabit à centro b cum puncto a centro ui$us. Siuerò per- pendicularis fuerit maior quàm linea b a: tũc pa- tet $ecundũ præmi$$a, quòd omnia puncta lineæ p e plus di$tabunt à centro b, quàm punctus a. Si aũt illa perpendicularis fuerit minor quàm linea b a: tũc po$sibile e$t duci à puncto b duas lineas ex diuer$is partibus perpendicularis æ quales li- neæ b a: quod fiet $ubten$is illis angulis, rectis ex utraq; parte lineis, æ qualibus line{ae} a b per 26 th. 1 huius: & omnes line{ae} aliæ ductæ à centro b ad lineã p e aut $unt minores, aut maiores, quàm li- nea b a. Palàm itaq; per 28 huius quoniã à pun- cto e reflectũtur omnia pũcta line{ae} p e ad a c\~etrũ ui$us, quorũ di$tantia à centro $peculi in æqualis e$t di$tantiæ centri ui$us, quod e$t a, ab eod\~e cen tro $peculi. Sed, ut patet ex præmi$sis, inter hæc $unt puncta æqualiter di$tantia à centro $peculi cũ puncto a. Sumpto quoq; quocũq; puncto in toto $emicirculo illo, in quo $umptũ e$t punctum e, $emper e$t eodem modo demon$tran dum. Eodem quoq; modo pote$t in alio $emicirculo circuli d l g demon$tratio fermari. Patet ergo propo$itum.

VITELLONIS OPTICAE 31. Centro ui$us extra circulũ (qui ect cõmunis $ectio $uperficiei reflexiõis & $peculi $phærici concaui) exi$tente, $i à ui$u ducantur duæ lineæ circulum contingentes, & diameter circuli: à quolibet puncto arcus interiacentis terminum ultιmum diametri & punctum contingentiæ (præter quàm ab illis punctis) pote$t fieri reflexio ad ui$um punctorum inæqualiter di$tantium à centro circuli cum centro ui$us. Alhazen 77 n 5. h d t b q g

Huius demon$tratio euidens e$t per præmi$$a. Sit enim centrum ui$us h extra circulum d t g q, cuius centrum e$t b: & ducatur dia- meter h d b g: patet\’q; per 6 huius quòd à puncto g non fit aliqua reflexio ad ui$um: ducantur\’q; à puncto h (quod e$t centrum ui$us) duæ lineæ contingentes circulum d t g q per 17 p 3 quæ $int lineæ h t & h q: palam\’q; e$t per ea, quæ dicta $unt in 24 huius, quoniam ab arcu q d t nulla fit reflexio ad ui$um exi$tentem in puncto h: $ed nec ab aliquo punctorum contingentiæ, quæ $unt q & t, pote$t fieri refle xio ad ui$um exi$tentem in puncto h: quoniam angulus contingen- tiæ e$t indiui$ibilis: & lineæ q h & t h $unt circulum contingentes, & ut patet per 42 th. 1 huius omnis angulus contentus $ub termino chord{ae} & diametri e$t acutus: angulus uerò b q h e$t rectus. Non er- go fiet ab illis punctis reflexio alicuius formæ ad ui$um in punctum h: à reliquis uerò punctis arcus q g t, excepto puncto g, pote$t fieri reflexio, demon$tratione 6 & 24 huius repetita. Patet ergo propo$i- tum, $eruata hypothe$i præmi$$a.

32. Centro ui$us intra circulum (qui e$t cõmunis $ectio $uperfi- cieireflexionis & $peculi $phærici concaum) exi$tente, facta<006> refle- xione ab aliquo puncto circumferentiæ formæ alιcuius punctorum inæqualiter di$tantiũ à cen tro $peculi cum centro ui$us: diameter circuli, in qua e$t punctus reflexus, cum diametro, in qua e$t centrum ui$us facit angulum extrin$ecum angulo reflexionis quando<005> maior\~e: quando<005> minorem angulo conctante ex angulis incidentiæ & reflexionis. Alhazen 78 n 5.

Stante priori di$po$itione 30 huius, ducatur à centro $peculi, quod e$t b, linea b f perpendicula- ris $uper lineam e p. Aut ergo linea b a e$t perpendicularis $uper lineam e a: aut non. Sit primò perpendicularis: & erũt duo anguli f b a & f e a æquales duobus rectis per 32 p 1, ideo quòd in qua- drilatero f b a e alij duo anguli $untrecti ex hypothe$i. Ducatur itaq; linea b o $uper lineam e f: & erunt duo anguli o b a & o e a minores duobus rectis: ideo quòd angulus b o e e$t obtu$us, & angu lus b a e rectus: erit ergo angulus o b g (qui per 13 p 1 e o f n p d a b g cũ angulo o b a ualet duos rectos) maior angulo o e a, qui e$t angulus cõ$tans exangulo reflexionis & incidentiæ. Et cum triangulus e b f $it æ qualis trian gulo e b a: quia cum angulus b f e $it æ qualis angu- lo b a e (quoniam uterq; rectus) & angulus b e f e$t æ qualis angulo b e a per 20 th. 5 huius: erit per 26 p 1 angulus e b a æ qualis angulo e b f: e$t enim b e la tus utriq; illorum trigonorum cõmune: erit\’q; per 4 p 6 latus f b æ quale lateri b a: quoniam ip$a re$pi ciunt angulos æ quales. Sed latus o b per 19 p 1 e$t maius latere b f: ergo & ip$um e$t maius latere b a. Ducta uerò linea b n $uper aliquod punctum lineæ f p: erũt per præmi$$a duo anguli n b a & n e a maio- res duobus rectis: $ed per 13 p 1 duo anguli n b a & n b g ualent duos rectos: ergo angulus n b g min or e$t angulo n e a: & linea n b cũ $it per 19 p 1 maior <004> linea b f, erit ip$a maior quàm linea b a. Itaq; forma puncti n reflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto a, à puncto $peculi, quod e$t e: & in æ qualiter di- $tat à centro $peculi, quod e$t b, cum centro ui$us, quod e$t a: & diameter b n, in qua e$t punctus rei ui$æ, quod e$t n, cum diametro a b g, in qua e$t centrum ui$us, quod e$t a, facit angulum n b g mino- rem angulo n e a, qui e$t angulus con$tans ex angulis incidentiæ & reflexionis: diameter uerò o b cum diametro a b g continet angulum o b g maiorem angulo o e a. Patet ergo propo$itum. Siuerò linea b a non fuerit perpendicularis $uper lineam e a: tunc per 12 p 1 à puncto b $uper productam li- neam e a ducatur perpendicularis, qu{ae} $it b k: qu{ae} quid\~e $iue cadatultra lineam a b, uel citra uer$us punctũ e, $emper ead\~e probatio. Sit enim linea b f perpendicularis $uper lineã e p: & $it linea f t æ- qualis line{ae} a k: & ducatur linea t b. Palãitaq; quoniã in trigonok e b angulus e k b e$t rectus æqua- LIBER OCTAVVS. lis angulo f b e trigoni fe b: & angulus k e b per 20 th. 5 huius e$t æqualis angulo f e b, linea uerò e b e$t latus commune: ergo per 26 p 1 illa trigona f b e & k b e $unt æ qualia: & erit linea b f æ qualis lineæ k b: $ed linea a k æ qualis e$t lineæ f t ex hypothe$i: ergo per 4 p 1 in trigonis b t f & b k a erit linea b t æ qualis lineæ b a: & angulus a b k æqualis angulo f b t: addito ergo utrobiq; communi an- gulo f b a, erit angulus k b f æ qualis angulo a b t: $ed duo anguli k b f & fe a ualent duos rectos per 32 p 1, quia in quadrilatero k b $ e alij duo anguli (qui $unt b f e & b k e) $unt recti: ergo duo angulit b a & t e a ualent duos rectos: $ed per 13 p 1 angulus t b g cum angulo t b a ualet duos rectos: ergo angulus t b g æqualis e$t angulo t e a, quie$t angulus con$tans ex angulo incidentiæ & angulo refle xionis. Si igitur à centro $peculi, quod e$t b, ad lineam t e ducatur linea ultra punctum t, faciet an- e o f t p d a b g k e o f l p k d a b g gulum cum diametro b g ex parte puncti g minorem angulo t e a: quoniam faciet minorem angulo t b g, qui e$t æ qualis angulo t e a: & erit illa linea maior quàm linea a b: quia erit per 19 p 1 maior quàm linea b t, quæ e$t æ qualis lineæ a b. Quælibet uerò linea ducta ab aliquo puncto lineæ t e ad centrum $peculi, quod e$t b, faciet angulum cum diametro b g maiorem angulo t b g: ergo & maio- rem angulo t e a: & erit quælibet illarum linearum minor quàm linea b t: ergo erit minor quàm li- nea b a. Patet ergo propo$itum.

33. Centro ui$us & puncto rei ui$æ in diuer$is diametris circuli (qui e$t communis $ectio $u- perficiei reflexionis & $peculi $phærici concaui) exi$tentibus, & inæqualiter di$tantibus à cen- tro $peculi: $i ab aliquo puncto circumferentiæ circuli fiat reflexio, impo{$s}ibile e$t diametrum, in qua e$t punctus rei ui$æ cumdiametro, in qua e$t centrum ui$us, angulum extrin$ecum æqua- lem con$tituere angulo con$tanti ex angulis incidentiæ & reflexionis. Alhazen 79 n 5.

Sit b centrum ui$us: & centrum $peculi $phærici concaui $it g: & ducatur diameter per pun- cta b & g: quæ $it z d: $it\’q; a punctus rei ui$æ: & e$to, ut aliqua $uperficies plana $ecet $phæram $pecu li $uper circulum z e d per 69 th. 1 huius. Dico ($i forma puncti a exi$tentis in diametro h g e reflecti tur ad ui$um exi$tentem in puncto b ab aliquo puncto cir- culi z e d: & $i in- t z e b a g h d t z c b a g h d æqualis e$t di- $tantia puncto- rum a & b à cen tro $peculi, q<001> e$t g) quòd dia meter a g cũ dia metro b g d ex parte pũcti d fa- eiet angulum a g d, quem im- po$sibile e$t e$$e æqualem angu- lo con$tanti ex angulis inciden tiæ & reflexiõis. Si uerò hoc $it po$sibile, ponatur e$$e: & $it punctus reflexionis t: $it \’q; linea à g inæqualis lineæ b g: & ducantur lineæ t a, t b, t g, b a: & fiat circulus tran$iens pertria puncta a g b trigoni a b g per 5 p 4: trã$ibit ergo VITELLONIS OPTICAE ille circulus nece$$ariò per punctum t. Si enim trã$eat extra punctum t: tunc ductis lineis à punctis a & b ad aliquod punctum unum illius circuli extra punctum t, & ducta linea b a: erit angulus con- tentus per lineas ductas ad illud punctum circumferenti{ae} minoris circuli per 21 p 1 minor angulo a t b, $ed accidit ip$um e$$e æ qualem angulo a t b. Palàm enim per 22 p 3 quoniã ille angulus cum an- gulo a g b ualet duos rectos: quoniam omnes duo anguli quadrilateri in$cripti circulo ex aduer$o collocati ualent duos rectos: $ed angulus a g b cum angulo a g d per 13 p 1 ualet duos rectos: angu- lus uerò a g d æqualis e$t angulo a t b ex hypothe$i: ergo angulus a g b cum angulo a t b ualet duos rectos: erit ergo ille angulus con$titutus $uper arcum minoris circuli æqualis angulo a t b, quod e$t contra 21 p 1. Similiter quoq; accidit idem impo$sibile, $i circulus ille tran$iens puncta illa tria, quæ $unt a, g, b, non ceciderit in punctum t, $ed citra illud, & erit eadem deductio, qu{ae}prius. Re$tat ergo ut circulus tran$iens per puncta a, g, b tran$eat etiam per punctum t. Cum itaq; angulus a t g $it per 20 th. 5 huius æ qualis angulo b t g: erit arcus a g æqualis arcui b g per 26 p 3: ergo per 29 p 3 erit li- nea b g æqualis lineæ g a: po$ita autem e$t e$$e mæqualis: hoc ergo e$t impo$sibile. Patet itaq; pro- po$itum, quoniã angulus a t b con$tans ex angulis incidentiæ & reflexionis formæ puncti a ad cen trũ ui$us exi$t\~es in puncto b, $emper e$t inæ qualis angulo cõtento à diametris, in quibus $unt pun ctus rei ui$æ, & centrũ ui$us, extrin$eco ad illũ angulũ incidentiæ & reflexionis. Quod e$t {pro}po$itũ.

34. Centro ui$us & puncto rei ui$æ in diuer$is diametris circuli (qui e$t communis $ectio $u- perficiei reflexionis & $peculi $phærici cõcaui) exi$tentibus, & inæqualiter di$tantibus à centro $peculi: $i à duobus punctis arcus interiacentis diametrum, in qua e$t centrum ui$us, & aliam, in qua e$t punctus rei ui$æ, fiat reflexio: non erit uter<005> angulus con$tãs ex angulo incidentiæ & reflexionis minor angulo, extrin$eco ad angulum cadentem in eundem arcum, à dictis diame- tris contento. Alhazen 80 n 5.

Sit, ut in præmi$$a proxima, centrum ui$us b: & punctus rei ui$æ a: centrum $peculi $phærici con caui $it g: & ducatur diameter per puncta b & g, quæ $it z d: $ecet\’q; $uperficies plana $peculũ $ecun- dum diametrum z d: erit\’q; per 69 th. 1 huius $ectio communis circulus, qui $it e d h z: ducatur\’q; dia meter e h, in qua $it punctus rei ui$æ, qui e$t a: $it\’q; linea b g, quæ e$t di$tantia centri ui$us à centro $peculi, maior quàm linea a g. Dico quòd $i forma puncti a reflectitur ad ui$um exi$tentem in pun- cto b à duobus punctis arcus e z, non erit uterq; angulus con$tans ex angulis incidentiæ & refle- xionis minor angulo a g d. Sint enim duo puncta, à quibus fit reflexio formæ puncti a ad ui$um exi $tentem in puncto b, quæ $unt puncta t & q: & ducantur line æ b t, g t, a t, b q, g q, a q. Si itaq; angulus b t a cõ$tans ex angulo incidentiæ, qui e$t a t g, & exangulo reflexionis, qui e$t g t b, $it minorangu lo a g d, qui e$t angulus extrin$ecus angulo cadenti in arcum e z: & e$t ip$e angulus a g d cadens in arcum e d. Dico quò d angulus a q b, qui con$tat n q t p z b k f a l m g h d exangulo incidentiæ a q g, & angulo reflexionis g q b, non erit minorangulo a g d. Dato enim quòd $it minor: ducatur linea g n diuidens angulum e g z per æ qualia per 9 p 1: & ducatur linea a b conti- nuans punctum rei ui$æ, quod e$t a, cum centro ui $us, quod e$t b. Palàm itaq; per 29 th. 1 huius, cum linea g n $ecet angulum b g a, cui $ubtenditur linea a b, quòd linea g n etiã $ecabit lineã a b: $it punctus $ectiõis f: erit ergo per 3 p 6 proportio lineæ b g a d lineam g a, $icut lineæ b f ad lineam f a: $ed linea b g ex hypothe$i e$t maior quàm linea g a: e$t ergo li- nea b f maior quàm linea f a. Diuidatur itaq; linea a b per æ qualia in puncto k per 10 p 1: & fiat per 5 p 4 circulus tran$iens per tria puncta, qu{ae} $unt a, b, t: qui circulus non tran$ibit per punctum g, $ed citra illud uer$us puncta a & b. Dato enim quòd circu- lus ille tran$eat centrum g, $equeretur per 22 p 3 an gulum a g b cum angulo a t b {ae}qual\~e e$$e duobus rectis: quoniã illi duo anguli erunt ex aduer$o col locati in quadrilatero in$cripto illi minori circulo: $untaut\~e illi duo anguli minores duobus rectis, quod patet ex hypothe$i, cum angulus b t a $it minor angulo a g d, qui per 13 p 1 cum angulo a g b ua let duos rectos. Igitur ille minor circulus non tran$ibit per centrũ maioris circuli, quod e$t g. Simi- liter quoq; dico quòd non tran$ibit ille circulus minor punctũ reflexionis $ecundũ, quod e$t q. Da to enim quòd tran$eat punctũ q, cũ non tran$eat centrum g: $it punctus, in quo linea g q $ecat peri- pheriã illius circuli, punctus m. Quia itaq; anguli a q m & m q b $unt {ae}quales per 20 th 5 huius, quo- niã angulus incidentiæ e$t æqualis angulo reflexionis: & $unt cõ$tituti $uper illius circuli circum- ferentiam: palàm per 26 p 3 quoniã arcus a m æ qualis erit arcui m b: quod e$t impo$sibile. Sitenim punctus in quo linea g t $ecat circulũ, punctus o: erit\’q; palàm ք 20 th. 5 huius & 26 p 3 quoniã arcus a o e$t {ae}qualis arcui o b: e$t aũt arcus a o maior arcu a m: fiet ergo arcus o b maior arcu m b, pars $uo toto: q<001> e$t impo$sibile. Nõ ergo trã$ibit ille circulus per punctũ q: re$tat ergo, ut ille circulus tran- LIBER OCTAVVS. $eat ultra punctum q: $i enim citra punctum q tran$eat, eadem penitus erit improbatio, qu{ae}prius. Ducatur item linea à puncto o ad punctum k, qu{ae} $it o k: hæc ergo diuidit chordam b a per æ qualia, & $imiliter arcum b a, ut patet ex præmi$sis. Ductis ergo chordis b o & a o, quæ erunt æquales per 29 p 3, patet per 8 p 1 quod linea o k perpendicularis erit $uper lineam b a. Sed per 18 p 1 angulus b a g maior e$t angulo a b g: e$t enim linea b g maior quàm linea g a ex hypothe$i, & per 32 p 1 angulus b f g ualet duos angulos f a g & f g a, & per eandem 32 p 1 angulus a f g ualet duos angulos f b g & f g b: $ed ex præ mi$sis angulus a g f e$t æ qualis angulo t g b, & angulus f a g maior e$t angulo f b g: er- go angulus a f g minor e$t angulo g f b: e$t ergo angulus g f a acutus, & angulus g f b obtu$us per 13 p 1: ergo angulus n f k e$t acutus per eandem 13 p 1: $ed angulus o k b e$t rectus, ut patet ex præmi$- $is: ergo per 14 th. 1 huius linea o k producta concurret cum linea g n ultra lineam b f, non autem $ub illa: ideo, quia $i concurreret cum linea g f in puncto k: fierent per 1 p 6 trigona a g k & b g k æ- qualia: cum ip$a $int eiu$dem altitudinis, & eorum ba$es, quæ $unt b k & a k, $int æ quales: $ed & eo- rum anguli, qui $unt b g k & a g k $unt æ quales: angulus enim a g b diui$us e$t per æqualia per li- neam g f, in quam cadit punctum k: ergo per 15 p 6 $equitur latus b g fieri {ae}quale lateri a g: quod e$t contra hypothe$im: uel $equitur per 3 p 6 lineam b k fieri maiorem quàm fuit linea a k: quod item e$t contra præmi$$a. Idem quoq; accidit impo$sibile, $i punctus f cadat inter puncta b & k: fiet enim linea b k maior quàm linea b f: e$t aũt linea b f per 3 p 6 maior quàm linea f a: & ita e$t linea b f maior quàm linea k a: quod totum e$t impo$sibile: cadet ergo punctus f inter puncta k & a. Fiet ergo li- nearum o k & g n concur$us ultra lineam b f. Facto item circulo tran$eunte per tria puncta, quæ $unt a, q, b: tran$ibit ille circulus citra punctum g: quoniam, ut prius o$ten$um e$t, $i tran$iret per punctum g, fieret per 22 p 3 angulus a q b æ qualis angulo a g d per 13 p 1, quod e$t contra pr{ae}mi$$am proximam: tran$i n q t z e b k f a g h d bit ergo ille circulus citra punctum g, & per 20 th. 5 huius & per 26 p 3 linea g q diuidet arcum illius circuli, qui e$t a b, per æqualia in puncto, qui $it o: quoniam ip$a diuidit angulum b q a per æqualia. Ducatur quoq; linea k o, quæ, ut patet ex pr{ae}mi$sis, diuidit chordam b a per æqualia: er- go linea k o concurret cum linea g n infra lineam f b, & ul- tra punctum o Quia enim, ut $uprà o$ten$um e$t, linea o k e$t perpendicularis $uper lineam b a, punctum\’q; o cadit in peripheriam cireuli minoris, qui e$t a q b: à punctis er- go a & b copulentur, ut prius, chordæ b o & a o, patet\’q; per 4 p 1 quoniam chordæ b o & a o $unt & quales: ergo per 28 p 3 arcus a o e$t æ qualis arcui b o: arcus enim b a di ui$us e$t per æ qualia in puncto o per lineam g q: lineæ er- go o k & g n concurrunt in puncto aliquo citra lineam b f, & ultra punctum o: quoniam linea g n diuidens per æ qualia angulum a g b, caditinter puncta k & o, ut $uprà patuit. Linea ergo k o cõcurrens cum linea b a, de nece$sitate prius concurret cum linea g n: concurret ergo cum linea g n $ub linea b f: cuius contrarium iam patuit in præmi$sis: o$ten$um enim fuit, quia concurrebat cum linea g n ultra li- neam b f: & ita $equeretur duas rectas lineas includere $uperficiem: quod e$t manife$tum impo$si- bile. Re$tat ergo ut angulus a q b non $it minor angulo a g d: aut quòd forma puncti a non reflecta- tur ad ui$um in punctum b à puncto q: quod e$t contra hypothe$im & impo$sibile. E$t ergo angu- lus a q b non minor angulo a g d: ex quo $equitur propo$itum, quòd in hac di$po$itione non erit u- terq; angulorum con$tantium ex angulis incidenti{ae} & reflexionis minor angulo extrin$eco, ad an- gulum cadentem in arcum contentum à duabus diametris circuli, in quarum una e$t centrũ ui$us, & in altera punctus rei ui${ae}. Patet ergo propo$itum: quoniã $emper $imilis erit improbatio, $umpto quocunq; alio puncto arcus e n. Sed neq; ab aliquo puncto arcus z n po$sibile e$t fieri reflexionem formæ puncti a rei ui$æ ad ui$um exi$tent\~e in puncto b, ita ut angulus con$tans ex angulis inciden- tiæ & refle xionis factæ à puncto t, & ab illo alio puncto arcus n z $it uterq; minor angulo a g d. Re- manente enim di$po$itione figuræ prioris, $it, ut à puncto arcus n z fiat reflexio formæ puncti a ad ui$um b. Sit itaq; quòd angulus con$tans ex angulo incidenti{ae} & reflexionis, qui $it $uper punctum p, $it minor angulo a g d, $icut & angulus con$tans ex angulo incidentiæ & reflexionis, qui e$t $upra punctum t, minor e$t eodem angulo a g d. Ducanturitaq; lineæ a p, b p, g p: $ecabit ergo linea g p li- neam k o: quoniam, ut præmi$$um e$t, linea g t diuidit arcum a b minoris circuli per æ qualia in pun cto o per 26 p 3: e$t enim per 20 th. 5 huius angulus a t g æ qualis angulo g t b, & eundem arcum diui dit linea k o per æ qualia. Et quoniã, ut præo$ten$um e$t, patet quod linea k o concurrit cum linea g n, linea g p $ecat angulũ n g t, cui $ubtenditur linea k o, concurrens cum linea n g ultra lineam b f: ergo per 29 th. 1 huius linea g p $ecabit lineam k o. Sit itaq; punctus $ectionis linearum g p & k o punctus l: & ducatur linea t p. Cum itaq; duæ lineæ g t & g p $int æquales: quia $unt $emidia- metri eiu$d m citculi: erit per 5 p 1 angulus g t p æqualis angulo g p t, & uterq; acutus per 32 p 1. Ducta ergo linea perpendiculari à puncto t $uper lineam g t, erit illa perpendicularis per 16 p 3 contingens $peculi circulum, qui e$t e d h z: & producta cadet $uper terminum diametri mi- noris circuli per 31 p 3: cum angulus, quem efficit illa perpendicularis cum linea t g, re$piciat VITELLONIS OPTICAE $emicirculũ minoris: linea enim t o cadit $uper lineã k o, fit\’q; angulus t o k minor recto per 42 th. 1 huius: linea enim o k e$t pars diametri circuli minoris, propter hoc quòd angulus o k b e$t rectus: & linea k o producta $ecat circulum minor\~e, tran$iens per eius centrũ per 1 p 3: ideo quòd ip$a $ecãs lineam b a orthogonaliter, & per æqualia $ecat ip$am nece$$ariò: ergo illa perpendicularis produ- cta concurret cum linea k o per 14 th. 1 huius: erit\’q; punctus concur$us in puncto termini diametri circuli minoris per 31 p 3: cum ille angulus in $emicirculo $it rectus, qui fit $uper punctum t terminũ lineæ g t: $ed linea t p e$t inferior illa perpendiculari ex parte puncti n. Igitur quæcunq; linea duca- tur à puncto g centro $peculi ad lineam t p, $ecans diametrum o k: illa cadet nece$$ariò in aliquod punctum lineæ t p citra perpendicularem. Cum igitur linea g p cadat in punctum p, & $ecet lineam o k: erit punctus p citra illam perpendicularem, & infra arcum minoris circuli, cui $ubtenditur illa perpendicularis. Facto igitur circulo trã$eunte per tria puncta, qu{ae} $unt a, b, p, tran$ibit quidem ille circulus per punctum l: quoniam linea p l $ecabit illum circulum, $icuti priorem circulum a b t $eca bat linea t o. Circulus itaq; a b p $ecabit circulum a b t in duobus punctis a & b: & cum exeat à pun- cto b, & iterum redeat in punctum p inferiorem puncto t (cum $it citra illum circulum uer$us pun- ctum t) nece$$ariò $ecabit illum circulum in tertio puncto, quod e$t contra 10 p 3 & impo$sibile. Re $tat igitur, ut forma puncti rei ui$æ, qui e$t a, non reflectatur ad ui$um exi$tent\~e in puncto b à duo- bus punctis arcus z n: ita ut quilibet angulorum illorum $it minor angulo a g d. Palàm ergo, quòd impo$sibile e$t, ut forma puncti a reflectatur ad ui$um b à duobus punctis arcus interiacentis eo- rum diametros, qui e$t e z, ita ut uter q; angulorum con$tantium ex angulis incidentiæ & reflexio- nis $it minor angulo a g d. Quod e$t propo$itum.

35. In $peculis $phæricis cõcauis duos pũctos, qui in diuer$is diametris, & inæqualis di$tantiæ à centro $peculi exi$tentes à duobus punctis $peculi arcus $cilicet interiacentis $emidiametros, in quibus illi puncti con$i$tunt, ad $e mutuò reflectantur, po{$s}ibile e$t inueniri. Alhazen 81 n 5.

Sit circulus (qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis, & $uperficiei $peculi $phærici con- caui) cuius centrum d: & $umantur in ip$o duæ diametri, quæ $int g a & b h, $ecantes $e in centro d: dico quòd po$sibile e$t fieri, quod proponitur. Diuidatur enim angulus g d b per æqualia per $emi diametrum d e: & in $emidiametro b d $umatur punctus m ultra punctũ, in quem cadit perpendicu laris ducta à puncto e $uper diametrũ b d: & $umatur linea n d in diametro d g æqualis lineæ m d: & fiat per 5 p 4 circulus tran$iens per tria puncta m, d, n: hic ergo nece$$ariò tran$ibit ultra punctum e. Si enim detur, quòd ille circulus tran$eat punctum e, ducantur lineæ m e & n e: fiet\’q; quadrangulũ d m e n intra circulũ: ergo per 22 p 3 duo anguli i$tius quadranguli ex aduer$o collocati, ut qui $unt ad punctos m & n, $unt æquales duobus rectis: quod e$t impo$sibile: quoniam duo anguli e m d & e n d ambo $unt acuti, minores duobus rectis: ideo quòd lineæ e m & e n cadunt ultra perpendicu- lares ductas à pũcto e $uper $emidiametros b d & g d. Similis quoq; fiet deductio, $i circulus trã$eat citra punctum e: tunc enim anguli illius quadranguli cadentes $uper punctum m & n, erũt iterum minores duobus rectis. Tran$it igitur circulus d m n extra punctum e: $ecabit ergo circulum pro- po$itum ip$ius $peculi in duo bus punctis per 10 p 3: $int illa duo puncta t & l: & ducantur lineæ n t, m t, n l, d l, m l: & ducatur linea m n $ecans lineã t d in puncto f, & lineam e d in puncto p. Cum itaq;, ut patet ex præmi$sis, linea m d $it æqualis lineæ n d, & li- k e l t r o z i g x b n p f m q d s n a nea p d cómunis ambobus trigonis p d m & p d n, & an- gulus p d m æqualis angulo p d n: palàm per 4 p 1 quoniã triangulus p m d æqualis e$t triangulo p n d: erit quoq; an gulus f p d æqualis angulo n p d, & uterq; rectus: angulus itaq; p f d e$t acutus per 32 p 1. Ducatur ergo à puncto $ li- nea perpendicularis $uper lineam d t per 11 p 1, quæ produ cta ad circunferentiam minoris circuli $it linea f k. Hæc itaq; $ecabit lineam l n: uel non $ecabit. Si non $ecet: erit quilibet punctus line{ae} l n propinquior puncto n, quàm punctus k. Si $ecet: palàm itaq; quoniam aliquis punctus lineæ l n erit in$erior puncto k, plus approximans ad pun ctum n quàm punctũ k: $it ille punctus z: & ducatur linea t z: quæ producatur u$q; ad circunferentiam circuli mino ris, cadat\’q; in punctum o. Arcus itaq; n o aut e$t minor ar cu t l: aut non. si non fuerit minor, ab$cindatur ex eo ar- cus minor arcul t, & ducatur ad terminum illius arcus li- nea à puncto t, & erit idem, $icuti $i arcus n o $it min or ar- cu l t. Sit ergo arcus n o minor quàm $it arcus t l: ergo per 33 p 6 angulus t n l e$t maior angulo o t n. Secetur ergo ex angulo t n l angulus æqualis angulo o t n, qui $it i n z: cadet\’q; punctum i in lineam t z per 29 th. 1 huius: & $uper punctum t lineæ m t per 23 p 1 fiat angulus æqualis angulo o t n, qui $it angulus q t m. Cum itaq; angulus t m l $it maior angulo m t q: quia arcus t l e$t maior arcu n o, ut pa- tet ex præmi$sis: arcus uerò n o determinat quantitatem anguli m t q, qui e$t æqualis angulo o t n: palàm ergo per 14 th. 1 huius quoniá concurret linea t q cum linea l m: $it itaq; concur$us in puncto LIBER OCTAVVS. q. Cum igitur angulus l m t $it {ae}qualis duobus angulis m q t & m t q per 32 p 1, & angulus l n t $it æ- qualis angulo l m t per 27 p 3, $unt enim con$tituti $uper eundem arcum: qui e$t l t: & cum angulus i n z ex præmi$sis $it {ae}qualis angulo m t q: erit angulus i n t, {ae}qualis angulo m q t: e$t ergo per 32 p 1 triangulus m t q æquiangulus triangulo i n t, cum angulus o t n $it {ae}qualis angulo m t q: & $imiliter triangulus i n z e$t per 32 p 1 æquiangulus triangulo t n z, cum angulus t z n amb obus illis triangu- lis $it cõmunis, & angulus i n t $it {ae}qualis angulo o t n. E$t ergo per 4 p 6 proportio line{ae} n t ad lineã t q, $icut line{ae} n i ad lineá m q: & $imiliter e$t proportio line{ae} t n ad lineá t z, $icut line{ae} n i ad lineá n z: $ed linea t z e$t maior quàm linea t q: quod patet per hoc. Sit enim r punctus, in quo linea t z $ecat li- neam k f: angulus itaque t f r e$t rectus, cum linea f k $it perpen dicularis $uper lineam t d: ergo per 32 p 1 angulus f t r e$t acutus. Quia uerò linea d m, ut patet ex præmi$sis, e$t {ae}qualis lineæ d n: erit per 28 p 3 arcus d m æqualis arcuid n: ergo per 27 p 3 angulus m t d e$t {ae}qualis angulo d t n: $ed angulus q t m e$t æqualis angulo o t n ex præmi$sis: fit ergo angulus q t f æqualis angulo f t r: quia ex æquali bus angulis con$tat: angulus ergo q t f e$t acutus, & linea k f e$t perpendicularis $uper lineam t d: an gulus quo quet f k e$t rectus: ergo per 14 th. 1 huius linea k f producta concurret cum linea t q: $it pũ ctum concur$us s: & linea producta à puncto t u$que ad punctum s, quod e$t punctum concur$us, cuius pars e$t linea t q, e$t {ae}qualis lineæ t r. Quoniam enim illorum trigonorum anguli ad punctum f fiunt recti, & ad punctum t ex præmi$sis $unt {ae}quales: patet per 32 p 1 quoniam illi trigoni t f s & t f r $unt æquian guli, & linea t f communis: reliqua ergo latera, quæ $unt t s & t r $unt æqualia per 26 p 1: $ed linea t s e$t maior quàm linea t q, & linea t z e$t maior quã linea t r: linea ergo t q e$t minor quàm linea t z. E$t ergo per 8 p 5 maior proportio lineæ n t ad lineam t q, quàm lineæ n t ad lineam t z: igi- tur maior e$t proportio lineæ i n ad m q, quàm line{ae} i n ad lineã n z: quare per 10 p 5 linea m q e$t mi- nor quàm linea n z. Secetur ergo ex linea n z linea æqualis line{ae} m q, qu{ae} $it n x: & ducatur linea d x. Et quoniam per 22 p 3 angulus l n d cum angulo l m d ualet duos rectos, & angulus q m d cum angu lo l m d per 13 p 1 ualet duos rectos: erit angulus l n d {ae}qualis angulo q m d: ergo per 4 p 1 triangulus x n d e$t {ae}qualis triangulo d m q: & linea d x {ae}qualis lineæ d q: & angulus x d n e$t {ae}qualis angulo q d m: & angulus d x n æqualis angulo d q m. Sed angulus d x z e$t maior recto, cum $it maior angulo d n x per 16 p 1: & angulus d n x e$t maior recto per 31 p 3: quoniam cadit in portionem minorem $e- micirculo, qu{ae} e$t d n l: & etiam patet hoc per 22 p 3. Quoniam enim angulus l m d e$t acutus: quia angulus e m d e$t acutus ex præmi$sis: patet quod angulus d n l e$t obtu$us: ergo per 19 p 1 linea d z e$t maior quàm linea d x: ergo linea z d e$t maior quàm linea q d. Forma ergo pũcti q pote$t reflecti ad punctum z à duobus punctis $peculi, qu{ae} $unt t & l: & puncta q & z $unt in{ae}qualis di$tanti{ae} à cen tro & in diuer$is diametris: quod patetideo quòd angulus x d n e$t {ae}qualis angulo q d m: addito er go cõmuniangulo x d m, erit angulus n d m æqualis angulo q d x: $ed angulus n d m e$t minor duo- bus rectis: ergo & angulus q d x: ergo magis angulus q d z e$t minor duobus rectis. Ergo duo pun- cta q & z non $unt in eadem diametro, $ed in diuer$is. Et hoc e$t propo$itum.

36. A $peculis $phæricis concauis duobus punctis inæqualiter di$tantib. à centro & in diuer $is diametris exi$tentibus, ad $e inuicem reflexis à duobus punctis arcus interiacentis illas $emi- diametros, in quibus illa puncta con$i$tunt: impo{$s}ibile e$t ip$a à puncto alio illius arcus ad $e in- uicem reflecti. Alhazen 82. n t.

Sit circulus $peculi $phærici concaui a g b, cuius centrum $it d: & $int duo pũcta k & o ad $e inui- cem reflexa à duobus punctis arcus b g: $it\’q; punctum k remotius à c\~etro $peculi, quod e$t d, quàm punctus o: & $int lineæ g d a & b d m du{ae} diametri, in quibus $unt puncta illa k & o: $it\’q; punctum k in $emidiametro g d, & punctus o in $emιdiametro b d: reflectantur\’que formæ i$torum punctorum ad inuicem à duobus punctis arcus g b, ut o$tenditur per præcedentem: & $it t unus punctus arcus b g, à quo fit reflexio. Palàm ergo ex 34 huius quòd non uterque duorum angulorum con$tantium exangulis incidenti{ae} & reflexionis erit minor angulo o d a: neque e$t aliquis illorum angulorum {ae}- qualis angulo o d a, ut patet per ea, quæ declarata $unt in 33 huius: alter ergo illorum erit maior an- gulo o d a: $it itaque angulus, qui e$t $uper punctum t, maior angulo o d a: & ducantur line{ae} o t, d t, k t: & ex angulo o t k $ecetur per 27 th. 1 huius angulus æqualis angulo o d a, qui $it o t f, ducta linea t f $uper diametrum g d: & diuidatur angulus f t k per æqualia per 9 p 1, ducta linea t e $uper lineam k f: & à puncto k ducatur linea {ae}quidi$tans lineæ t f per 31 p 1: quæ $it k z. Et quoniam linea t f {ae}qui- di$tans line{ae} k z, concurrit cum linea t e in puncto t: patet quòd linea k z concurret cum linea t e {pro}- ducta per 2 th. 1 huius: $it ergo linea k z concurrens cum linea t e in puncto z: & ducatur linea o k: & per 9 p 1 diuidatur angulus o d k per æqualia per lineam d u $ecantem lineam k o in puncto p. Cum ergo $it linea k d maior quàm linea o d, ut patet ex hypothe$i: & quia per 3 p 6 e$t proportio lineæ k d ad lineam d o, $icut lineæ k p ad lineam p o: erit linea k p maior quàm linea p o. Item $it, ut linea d t $ecet lineam k o in puncto n: palàm quòd linea d p u cadet inter duo puncta k & n: non autem inter duo puncta n & o. Quia enim angulus k p d ualet duos angulos p o d & p d o, & angulus o p d ualet duos angulos p d k & p k d per 32 p 1: $ed angulus p d o e$t æqualis angulo p d k: & angulus k o d maior e$t angulo o k d per 19 p 1: ergo angulus k p d maior e$t angulo o p d: e$t ergo angulus k p d maior recto per 13 p 1: & angulus o p d e$t acutus. Sed & angulus k n d e$t acutus: quod patet: $i fiat circulus tran$iens per tria puncta o, t, k per 5 p 4: hic enim tran$ibit infra punctum d, quod e$t cen- VITELLONIS OPTICAE trum circuli maioris. Quoniam cum angulus o t k $it maior angulo o d a ex hypothe$i: erunt duo an guli o d k & o t k maiores duobus rectis: quod e$$et b k o u n p g k e f d a q z m impo$sibile per 22 p 3, $i circulus ille tran$iret punctũ d: uel $upra punctum d: quoniam eadem e$t demon- $tratio. Linea uerò n d diuidet k o arcum illius circu- li per æqualia per 26 p 3: quoniam diuidit angulum o t k per æqualia ex hypothe$i: fiet autem illa diui$io ar cus k o infra punctum d. Si uerò ab illo puncto diui- $ionis arcus o k ducatur linea ad medium punctũ li- ne{ae} o k (qu{ae} e$t chorda illius arcus o k) erit linea illa perpendicularis $uper lineam o k per 8 p 1, & cadet il- la perpendicularis inter puncta p & k, cũ linea k p $it maior quàm linea p o ex præmi$sis: & angulus $uper punctum n ex parte illius perp\~edicularis erit acutus: ergo & ex parte p erit acutus: & angulus $uper pũctũ p ex parte o erit acutus: hoc enim o$ten$um e$t $upe- rius. Si ergo detur quòd punctus p cadat inter duo puncta n & o: impo$sibile erit perp\~edicularem illam cadere inter puncta n & p: quia tunc $ecaret lineam d p: & fieret triangulus: cuius unus angulus e$$et rectus, & alius obtu$us: quod cum $it impo$sibile, nece$$e e$t angulum k n d e$$e acutum: ergo per 13 p 1 angulus o n d e$t obtu$us: punctum ergo p nõ cadet inter puncta n & o. Quoniam cum angulus o n d $it obtu$us, & ut patet ex pr{ae}mi$sis, angulus d p k e$t obtu$us: $equeretur ergo in trigono d n p duos e$$e angulos obtu$os: quod cum $it impo$si bile per 32 p 1: palàm quia punctus p non cadet inter puncta n & o: nea cadit etiam in punctum n, ut e$t euid\~es. Cadet ergo inter puncta k & n. Quia ergo, ut patet ex præmi$sis, angulus k t d e$t medie- tas anguli k t o: $ed & angulus k t e e$t medietas anguli k t f: angulus uerò k t o maior e$t angulo f t o, in angulo k t f: re$tat ergo ut angulus e t d $it medietas anguli f t o: $ed angulus f t o e$t æqualis angu lo o d a: igitur angulus e t d e$t medietas anguli o d a: $ed angulus o d a cum angulo o d f ualet duos rectos per 13 p 1, & tres anguli trianguli e t d ualent duos rectos per 32 p 1: tres ergo anguli trigoni e t d $unt æqualis duobus angulis o d a & o d f: ablato ergo angulo e d t hinc inde illis angulis comma ni, & ablato angulo e t d, qui e$t medietas anguli o d a: re$tat ut angulus t e d æqualis $it medietati anguli o d a, & toti angulo o d n: $ed angulus o d p, qui e$t medietas anguli o d k cum medietate an- guli o d a e$t rectus: e$t autem angulus o d p maior angulo o d n, quod patet per 29 th. 1 huius: cum, ficut patet ex præmi$sis, punctum n lineæ d n cadat inter puncta p & o: e$t ergo angulus o d p cum medietate anguli o d a maior angulo t e d cum medietate anguli o d a. Patet ergo cum angulus o d k cum medietate anguli o d a $it rectus, quoniam angulus t e d e$t acutus: quare per 15 p 1 ei contrà po $itus, qui e$t angulus k e z, e$t acutus. Igitur $i per 12 p 1 à puncto k ducatur perpendicularis $uper li- neam t z, illa cadetinter puncta e & z: quia, ut patet ex præmi$sis, linea k e non e$t perpen dicularis $uper lineam t e z. Si uerò dicatur quòd illa perpendicularis cadat ultra pũctum e $uper lineam t e: tunc cum angulus t e k per pr{ae}mi$$a & 13 p 1 $it obtu$us: accidet triãgulum habere duos angulos u- num rectum & alium obtu$um: quod e$t impo$sibile per 32 p 1. Cadet itaque perpendicularis illa inter puncta e & z: quæ $it linea k q. Hoc autem $eruato, nunc quidem nece$$arium interponimus: $cilicet quòd linea k t $e habet ad lineam t f, $icut linea k d ad lineam d o. E$t enim linea t o aut æqui- di$tans line{ae} k d, aut concurrens cum illa. Sit primũ {ae}quidi$tans: erit ergo per 29 p 1, angulus o d a {ae}- qualis angulo t o d: e$t ergo angulus t o d {ae}qualis angulo o t f, quoniam, ut patet ex pr{ae}mi$sis, angu b t o u p n g k e f d a q z m b t o u p n g k e f d a q v m li o t f & o d a $unt æquales. Similiter quoq; lineæ o d & t faut {ae}quidi$tabunt, aut concurrent. Si æ- quidi$tent, cum illæ cadant inter lineas k d & t o æquidi$tantes: palàm per 34 p 1 quoniam ipf{ae} erũt LIBER OCTAVVS. æquales. Si uerò lineæ o d & t f concurrunt, facient triangulum, cuius duo latera erunt æqualia per 6 p 1: quoniam duo eius anguli, qui $unt f t o & d o t, $unt {ae}quales. Linea uerò f d $ecat illa duo latera æqualia æquidi$tanter ba$i d o: erit ergo per 2 p 6 & 18 p 5 proportio unius illorum laterum ad lineá d o, $icut alterius ad lineam f t: e$t ergo linea t f {ae}qualis lineæ o d per 9 p 5. Fit autem h{ae}c deductio cum line{ae} illæ concurrunt $ub linea k d. Quòd $i cõcurrãt $ub linea t o, erit ead\~e probatio: quia fiet triãgulus, cuius unũ latus e$t linea t o, & alia duo latera æqualia ք 6 p 1, ut prius: <003> a linea t o e$t {ae}qui di$tãs lineæ d f, erit per 2 p 6 & 18 p 5 proportio unius illorũ duorũ laterũ ad lineã t o, $icut alterius ad lineã t f, erunt\’q; ut prius, per 9 p 5, line{ae} t f & d o {ae}quales. It\~e patet quòd angulus t d k e$t æqualis angulo d t o per 29 p 1: ideo quòd linea t o data e$t æquidi$tans e$$e lineæ k d: ergo angulus t d f e$t æqualis angulo d t k, cum anguli d t o & d t k $int æquales ex hypothe$i & per 20 th. 5 huius: ergo per 6 p 1 line{ae} d k & t k $unt æquales: e$t ergo per 7 p 5 proportio line{ae} t k ad lineam t f, $icut lineæ k d ad lineam d o: ideo quòd antecedentia & con$equentia $unt hinc & inde æqualia. Si uerò linea t o non {ae}quidi$tat, $ed cõcurrit cũ linea k d: aut hoc e$t ad par u t b o n p g k f d l a q m z t\~e pũcti a: aut ad part\~e pũcti g diametri a g. Si fiat cõ cur$us ex parte a: $it hoc in pũcto l. Manife$tũ ergo ք 13 th. 1 huius quoniã {pro}portio line{ae} t k ad lineã t f cõpo nitur ex proportione line{ae} t k ad lineã t l, & ex pro- portione line{ae} t l ad lineam t f: $ed proportio line{ae} k t ad lineam t l e$t, $icut proportio line{ae} k d ad lineá d l per 3 p 6: linea enim d t diuidit angulum k t o per æ- qualia ex hypothe$i. Quia uerò angulus o d l per pr{ae}- mi$$a e$t æqualis angulo l t f, & angulus ad punctum l communis e$t am bobus trigonis t l f & o d l: patet ք 32 p 1 quòd tertius angulus e$t tertio {ae}qualis: erit er- go per 4 p 6 proportio line{ae} t l ad lineá t f, $icut lineæ d l ad lineam d o. Proportio itaque line{ae} t k ad lineá @f con$tat ex proportione line{ae} k d ad lineam d l, & li ne{ae} d l ad lineam d o: $ed proportio line{ae} k d ad lineá d o có$tat ex ei$dem proportionibus, po$ita linea d l media per 13 th. 1 hurus: ergo proportio line{ae} k t ad li- neam t f e$t, $icut proportio line{ae} k d ad lineam d o. Siautem linea t o cócurrat cum linea k d ex par te g: $it concur$us in puncto s: & à puncto d ducatur linea {ae}quidi$tans line{ae} k t, quæ $it d r, concur- rens cum linea t o producta ultra punctum o in pũcto r: igitur angulus k t d æqualis e$t angulo t d r per 29 p 1: s g t z k e f d o b r a $ed & angulus k t d ex hypothe$i æqualis e$t angulo d t o: ergo anguli d t r & d r t $unt æquales: ergo per 6 p 1 linea d r e$t æqualis lineæ t r. Sed quoniam triangu- lus s t k æquiangulus e$t triangulo s r d per 29 p 1, & {pro}pter angulũ a s d cõmun\~e: erit ergo per 4 p 6 propor- tio lineæ d r ad lineã s r, $icut line{ae} k t ad lineã t s: $ed li- nea d r e$t {ae}qualis line{ae} r t: e$t ergo ք 7 p 5 proportio li- ne{ae} r t ad lineã r s, $icut lineæ k t ad lineã t s: $ed propor- tio line{ae} r t ad lineam r s e$t, $icut proportio lineæ d k ad lineam d s per 2 p 6 & per 18 p 5: igitur per 11 p 5 e$t proportio lineæ k t ad lineam t s, $icut lineæ k d ad d s. Sed quoniam angulus f t o æqualis e$t angulo o d a: e- rit angulus o d s æqualis angulo f t s per 13 p 1, & angu- lus ad punctum s e$t communis: erit ergo triangulus o d s æquiangulus triangulo f t s per 32 p 1: ergo per 4 p 6 e$t proportio lineæ t s ad lineam t f, $icut lineæ d s ad li- neam d o: e$t autem proportio lineæ k t ad lineam t s, ficut lineæ k d ad lineam d s: ergo per 22 p 5 erit pro- portio lineæ k t ad lineam t f, $icut line{ae} k d ad lineam d o. Quia uerò linea k z æquidi$tat lineæ t f, ut patet ex præmi$sis, erit per 29 p 1 angulus k z e æqualis angulo e t f: $ed angulus k e z e$t æqualis angulo t e f per 15 p 1: ergo trigoni k z e & e t f $unt æquianguli per 32 p 1: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ k e ad lineam e f, $icut lineæ k z ad lineam t f: $ed proportio line{ae} k e ad li neam e f e$t, $icut line{ae} k t ad lineam t f per 3 p 6: quia angulus k e f diui$us e$t per æqualia per lineam t e: li- neæ ergo k z & k t ad eandem lineam t f eandem habent proportionem: ergo per 9 p 5 lineam k z e$t æqualis line{ae} k t: $ed ex pr{ae}mi$sis patet, quòd e$t proportio lineæ z k ad lineam t f, $icut lineæ z e ad lineam e t: e$t ergo per 11 p 5 proportio line{ae} z e ad lineam e t, $icut lineæ k d ad lineam VITELLONIS OPTICAE d o: $ed linea k d ex hypothe$i e$t maior quàm linea d o: linea ergo z e e$t maior quàm linea e t: & hoc quidem pro alijs re$eruantes nunc ad propo$itum redeamus. Quia uerò, (ut $uprà patuit) linea k q e$t perpendicularis $uper lineam e z: erunt omnes anguli circa punctum q recti: $ed angu lus e t d e$t acutus, quoniam e$t medietas anguli f t o, ut $uperius o$ten$um e$t: ergo per 14 th. 1 huius linea k q concurret cum linea t d: $it punctus concur$us h: & ducatur linea e h: & à puncto e ducatur linea {ae}quidi$tans line{ae} k h producta u$q; ad lineã d h, qu{ae} $it e x, $ecans h d lineã in pun- cto x: fiat\’que per 5 p 4 circulus tran$iens per tria puncta, qu{ae} $unt e, t, x: & immutetur figura ($i placet) propter diuer$am intricationem linearum. Quia itaque angulus t q h e$t rectus, ut patet ex præmi$sis: erit per 29 p 1 angulus t e x rectus: er t f k e d m z q x h go per 31 p 3 linea x t erit diameter illius circuli, qui e$t e t x: & producatur linea k e pertriangulum or thogonium t e x, & trans circulum, cadens in pun- ctum m circumferentiæ circuli t e x: & ducatur li- nea m t: & erit angulus t m e æqualis angulo t x e per 27 p 3: cadunt enim ambo illi anguli in eundem arcum, qui e$t e t: $ed angulus t x e æqualis e$t an- gulo t h k per 29 p 1: quoniam lineæ e x & k h du- ctæ $unt æquidi$tantes: erit ergo angulus t m e æ- qualis angulo t h k: $ed angulus t h k maior e$t an gulo d h e: quod patet per 29 th. 1 huius: $ecat enim linea h e ba$im k d: ergo angulus t m e maior e$t eodem angulo d h e. Re$ecetur ergo ab angulo t m e angulus æqualis angulo d h e ք 27 th. 1 huius, qui $it angulus f m d ducta linea f m: & punctus, in quo linea f m $ecat lineam t x, $it i. Palàm ergo, cum ex præmi$sis angulus i m d $it æqualis angu- lo d h e, & per 15 p 1 angulus i d m $it æqualis angu- lo e d h: quoniam per 32 p 1 triangulus i m d e$t æquiangulus triangulo d h e: ergo per 4 p 6 e$t proportio line{ae} h d ad lineam d m, $icut line{ae} e h ad lineam i m. Et $imiliter triangulus t m d fit $i- milis triangulo k h d: cum, $icut patet ex præmi$sis, angulus d h k $it æqualis angulo t m d, & per 15 p 1 angulus t d m $it æqualis angulo k d b, & tertius tertio per 32 p 1: erit ergo proportio line{ae} k d ad lineam d t, $icut line{ae} h d ad lineam d m: e$t autem proportio lineæ h d ad lineam d m, $icut line{ae} e h ad lineam i m: e$t ergo per 11 p 5 proportio line{ae} k d ad lineam d t, $icut line{ae} e h ad lineam i m: $ed proportio lineæ k d ad lineam d t e$t nota: quoniam $emper una & eadem permanet, quicunque pũ ctus reflexionis $it t in arcu b g: quia $emper linea d t, quæ e$t $emidiameter, e$t una, & linea k d $i- militer e$t $emper una: quoniam ip$a e$t di$tantia alterius punctorum reflexorum à centro $peculi. Linea etiam e h una permanet in quacun que reflexione, & non mutatur eius quantitas: quoniam non mutatur quantitas anguli e d h, qui e$t medietas anguli o d a, qui non mutatur. Quare linea i m $emper erit una & æ qualis: erit ergo punctus circumferentiæ, in quem cadit linea i m producta ul tra punctum i, qui e$t punctus f, $emper notus & determinatus. Si ergo à tribus punctis arcus b g po$sit fieri reflexio: continget ducere à puncto f ad circulum t x e tres lineas, quarum cuiuslibet pars interiacens diametrum t x & peripheriã circuli $it æqualis lineæ i m per 9 p 5: quia $emper erit proportio line{ae} k d ad lineam d t, $icut line{ae} e h ad quamlibet illarum linearum: patet aut\~e hoc e$$e impo$sibile per 133 th. 1 huius, quòd ab eodem puncto dato in circũ$erentia circuli extra diametrũ per ip$am diametrum ad circumferentiam (ita ut pars lineæ interiacentis diametrum ad reliquam partem circunferentiæ $it æqualis datæ lineæ) non ni$i duæ line{ae} {ae}quales duci po$$unt. Quare à duobus tantùm punctis illius propo$iti arcus fiet reflexio. Quod e$t propo$itum.

37. Secundum modũ datæ lineæ à dato puncto $peculi $phærici concaui ductæ: po{$s}ibile ect duo punct a reperiri, quæ in diuer$is diametris inæqualiter à centro $peculi di$tantia, ab eodem dato puncto $peculi, & uno tantùm alio eiu$dem arcus interiacentis $emidiametros, in quibus illa pũ cta con$i$tunt, ad $e mutuò reflectantur. Alhazen 83 n 5.

Remaneat di$po$itio proximæ: $it\’que datus quicunque punctus $peculi: qui $it t: proponitur no bis, ut inueniãtur duo puncta, quæ in diuer$is diametris $peculi exi$tentia ab illo dato puncto $u- perficiei $peculi, & uno tantùm alio propo$iti arcus puncto ad $e mutuò reflectantur. Sit enim, ut, quantacunque placuerit, $umatur linea z t: quæ per 119 th. 1 huius diuidatur taliter in puncto e, ut $it proportio line{ae} z e ad lineam e t, $icut in præced\~ete propo$itione prima $cilicet eius figuratione, e$t proportio line{ae} k d ad lineam d o. Et quoniam ex hypothe$i illius linea k d e$t maior quàm linea d o: erit linea z e maior quàm linea e t: diuidatur\’que linea z t per æqualia in puncto q per 10 p 1: & à puncto q ducatur perpendicularis $uper lineam z t per 11 p 1: & fiat angulus e t d æqualis medietati anguli o d a per 23 p 1: erit quidem ille angulus e t d acutus: ergo per 14 th. 1 huius linea t d concur- ret cum perpendiculari ducta à puncto q $uper lineam z t: $it concur$us in puncto h. Completum e$t ergo trigonum orthogonium, quod e$t t q h, in cuius altero laterum rectum angulum t q h con- LIBER OCTAVVS. tinentium, quod e$t t q, datus e$t punctus e: po$s ibile e$t ergo à puncto e per 137 th. 1 huius duci li- c t k e d b q h k d o z neam ad ba$im trigoni t q h, qu{ae} e$t t h, ex alia $ui parte concurrentem cum altero laterum rectum angulum continentium, quod e$t q h, producto ul tra punctum q, ita ut tota producta linea $e habe- at ad partem ab$ci$$am ba$is, $icut linea data ad li- neam datam. Sit à puncto e taliter producta linea d e k, ita ut $it proportio totius lineæ k d ad lineam d t, $icut lineæ k d ad $emidiametrum $phæræ $pe- culi: ergo per 9 p 5 linea d t erit æqualis $emidia- metro. Punctum ergo d e$t centrum $peculi. Et an gulo k t d fiat per 23 p 1 $uper punctum t terminum line{ae} d t æqualis angulus, qui$it o t d. Dico quo- niam punctus $peculi (qui e$t t) e$t punctus refle- xionis formæ puncti o ad ui$um exi$tentem in pũ cto k: uel econuer$o formæ puncti k ad punctum o: & quòd ab illo dato puncto t & ab uno tantùm alio propo$iti arcus puncto fit illorum pũctorum mutua reflexio. Et h{ae}c omnia faciliter patent repe tita priori demon$tratione theorematis præcedentis, prout huic propo$ito e$t nece$$e. Patet er- go propo$itum.

38. Duobus punctis in diuer$is diametris circuli $peculi $phærici concaui exi$tentibus, ambo- bus extra circulum, uel uno intra circulum, & alio extra illum, & inæqualiter dictantibus à centro, re$picientibus arcum $peculi, à quo fit reflexio: $ireflectantur ab aliquo puncto arcus op- po$iti illis diametris, non e$t ea po{$s}ibile reflecti ab alio puncto eiu$dem arcus. Alhazen 84 n 5.

Sint duo puncta a & b in diuer$is diametris extra circulum (qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $phærici concaui) cuius centrum fit g: $int\’que ill{ae} diametri a e & b d: & fit pũ a b n m p k l q g d h c e ctus reflexionis t: & ducantur line{ae} b t, a t, g t. Linea itaque b t $ecabit arcum circuli: $it punctus $ectionis q: $ed & linea a t $ecabit periphe- riam eiu$dem circuli: $it punctus $ectionis m. Et quoniam angulus b t g æqualis e$t angulo a t g: palàm per 26 p 3 quoniam cadunt in ar- cus æquales. Producatur ergo diameter t g ad aliam partem periphe riæ in punctum p: & erit arcus q p arcui m p æqualis. Si igitur for- ma puncti b reflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto a ab aliquo alio puncto $peculi arcus eiu$dem: $it illud aliud punctum h: & du- cantur line{ae} a h, b h, g h: & $ecet linea b h circulum in pũcto l, & linea a h in puncto n: producatur\’q; $emidiameter h g in punctum circum- ferentiæ, qui $it k. Secundum prædicta itaque erit arcus l k æqualis arcui n k: $ed habitum e$t prius, quòd arcus q p e$t æqualis p m: $ed arcus q p maior e$t arcu l k, & arcus k n maior arcu m p: accidit igitur impo$sibile, $cilicet minus e$$e maiori æquale. Quocunque uero alio pũcto illius arcus d t e dato, idem accidit impo$sibile. Re$tat ergo ut forma puncti b non reflectatur ad ui$um a à puncto h, uel ab alio pun cto arcus d t e, oppo$iti diametris, in quibus $unt puncta a & b, præ- terquàm à puncto t. Idem quoque accidit impo$sibile, & eodem mo do deducendum, $i unum dato rum punctorũ $it in circulo, reliquum uerò extra circulum. Patet ergo propo$itum.

39. Duobus punctis in diuer$is diametris circuli $peculi $phærici concaui exi$tentibus ambo- bus extra circulum: $i linea continuans illa punct a conting at illum circulum, aut tota $it extra circulum: non e$t po{$s}ibile unum illorum punctorum ad alterum reflecti, ni$i ab uno tantùm il- lius $peculi puncto. Alhazen 85 n 5.

Sint, ut in pr{ae}cedente theoremate, duo puncta a & b in diuer$is diametris extra circulum (qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $phærici concaui) cuius centrum $it g: $int\’que il- læ diametri l d & m n: $it\’que punctus a in $emidiametro l g, & punctus b in $emidiametro m g: & du catur linea continuans puncta a & b, quæ $it a b: & hæc contingat circulum illum, à quo per 2 hu- ius pote$t fieri reflexio: $it\’que ille contactus in arcu circuli, qui $it arcus l m: aut $i linea illa $it tota extra $peculum: dico quò d à nullo puncto arcus l m interiacentis diametros, in quibus $unt illa puncta, fit reflexio formæ unius punctorum a uel b ad punctum reliquum. Sumpto enim quocun- que puncto in arculm, ut puncto t, ductis\’que lineis a t & b t, $i linea a t cadat intra $peculum, li- nea b t nece$$ariò cadet extra $peculum: quoniam hoc requirit talis $itus $peculi: & econuer$o $i li- VITELLONIS OPTICAE nea b t cadat in $peculo, linea a t cadet extra: $emper enim altera linearum ab illis duobus punctis b a b a m t l g d n a & b ad illud punctum $peculi ductarum tota e rit extra $peculum: & $ic item neuter illorum pun ctorum ad alterum reflectetur ab aliquo puncto illius arcus l m. Similiter quoque patet idem, $ili nea tota $it extra $peculũ, non contingens ip$um, re$piciat tamen arcum l m: quia neque tunc am- bæ line{ae} at & b t cadent intra $peculum: $ed $i u- na erit intra $peculum, reliqua erit tota extra $pe- culum: unde non $iet reflexio $ecundum illam: ab aliquo tamen puncto arcus d n pote$t fieri re- flexio per 27 huius: & ab uno tantùm puncto illi- us arcus, ut patet per præcedentem: & ita forma- rum illorum punctorum reflexio ad inuicem non fiet ni$i ab uno $olo puncto $peculi. Quod e$t propo$itum.

40. Exi$t\~etib. duobus pũctis in diuer$is diame tris circuli $peculi $phærici concaui, inæqualiter dictantibus à centro: $i linea continuans illa puncta product a $ecet circulum, unum illorum punctorum ad alterum ab uno tantùm puncto $peculi, uel à duobus, aut à tribus, aut à quatuor po{$s}ible e$t reflecti: & $ecundum hæc locaima- ginum numer antur. Alhazen 86 n 5.

Sint, ut $uprà, duo puncta a & b in diuer$is diametris circuli $peculi $phærici concaui, ita ut pun- ctus a $it in diametro l d, & pũctus b in diametro m n: m t h l b f p a g d n $int\’que illa puncta inæ qualiter di$tantia à centro $pe culi, quod e$t g: & linea a b ducta ab uno illorũ pun- ctorum ad alterum producta $ecet circulum: dico quòd uerum e$t, quod proponitur. Fiat enim circu- lus pertran$iens per centrum $peculi, quod e$t g, & per illa duo puncta a & b per 5 p 4: circulus itaque il- le a b g aut totus erit intra circulum $peculi: aut con- tinget ip$um intrin $ecus: aut $ecabit ip$um. Sitotus circulus a b g fuerit intra $peculi circulum, palàm per 6 huius quòd unum illorum punctorum reflectetur ad alterum ab aliquo puncto $peculi & propo$iti cir- culi, ut patet per 2 huius, & per 20 th. 5 huius. Sit ergo punctus reflexionis t: palam\’q; per 20 huius quòd pũ ctus t e$t in arcu interiacente diametros, in quibus funt puncta a & b: qui $it arcus l m: & ducantur lineæ at, bt, gt: erit quoque angulus a t b minor angulo b g d. Sit enim, ut $emidiameter g t $ecet circulum a b g in puncto $: & ducantur lineæ a f & b f: fient\’que duo trigona a t b & a f b $uper unam ba$im, quæ e$t a b: palàm ergo per 21 p 1 quoniam angulus a f b e$t maior angulo a t b: $ed per 22 p 3 angulus a f b cũ m t h l b a g d n angulo a g b ualet duos rectos: ergo per 13 p 1 angu- lus a f b e$t {ae}qualis angulo b g d: angulusergo a t b e$t minor angulo b g d. Quilibet quoq; angulus $ic fa- ctus $uper arcum l m, ut $uper punctũ h, erit minor angulo b g d. Ab arcu itaq; $peculi, qui e$t l m, nõ fiet reflexio ni$i ab uno tantũ pũcto $peculi: quoniã iam o$ten$um e$t per 34 huius, quia non e$t in huiu$modi pũctorũ reflexorũ di$po$itione po$sibile reflexion\~e fieri à duobus punctis $peculi, ita ut uterq; angulorũ con$tans ex angulo incidentiæ & reflexionis, $it mi- nor angulo b g d. In hac ergo di$po$itione ab uno tã- tùm puncto $peculi fiet reflexio: quod e$t unũ pro- po$itorũ. Siuerò circulus a b g $it intrin$ecus contin gens circulũ $peculi: $it punctũ contactus h: & ducã tur line{ae} a h, b h, g h. Quia itaq; angulus a h b ք 22 p 3 cum angulo a g b ualet duos rectos: patet per 13 p 1 quòd angulus a h b e$t æqualis angulo b g d. Quare ab illo puncto contactus non fiet reflexio per 33 hu- ius. Angulus quoque factus $uper quodcun que aliud punctum arcus circuli $peculi, erit minor illo LIBER OCTAVVS. angulo per modum, quoiam $uperius præo$ten$um e$t. Quare à duobus punctis illius arcus non fiet reflexio per 34 huius, $ed $olùm ab uno puncto. Si uerò circulus a b g $ecet circulum $peculi: pa- tet quòd tantùm in duobus punctis $ecare nece$$e e$t per 10 p 3: & illa duo puncta a & b aut ambo erunt extra circulum $peculi: aut ambo intra: aut unum extra circulum, aliud intra illum: aut unum illorum punctorum in circumferentia circuli, & aliud extra illum uel intra illum. Si fuerint ambo a b l m l t a b m g n d n d extra circulum $peculi: tunc patet quòd linea a b non $ecabit circulũ $peculi: fiet\’q reflexio ab uno tantũ $peculi puncto, ut patet per præ- cedentem. Tunc enim manife$tè patet, quòd circulus a b g non $eca- bit circulum $peculi $ecundum arcum l m: quoniam ille arcus inter- iacet lineas a g & b g, & arcus b g a cadit extra illas lineas in alia pun cta peripheriæ circuli ip$ius $peculi, cum ambo puncta a & b $unt extra circulum $peculi. Si uerò punctus b $it in peripheria circuli $pe culi uel intra, puncto a con$tituto extra: patet tunc quòd arcus l m in duobus punctis non $ecabitur, $ed arcus b g tran$ibit punctum ali quod arcus l m, quod $it t: ergo angulus factus $uper arcũ l m erit ma ior angulo b g d: quoniam ductis lineis l t, b t & a t, patet $ecundum præmi$$a per 22 p 3 quoniam angulus l t b e$t æqualis angulo b g d: angulus uerò a t b e$t maior illo. Patet ergo per 24 huius quoniam in hac di$po$itione ab unico puncto, uel à duobus pũctis arcus l m fiet formarum illorum punctorum adinuicem reflexio. Si uerò duo pun cta a & b fuerint intra circulum $peculi, & circulus a b g $ecet circulũ $peculi: tunc patet quòd circulus a b g $ecabit arcum l m in duobus punctis: quoniam duæ $emidiametri circuli maioris, quæ $unt g l & g m, $ecant circulũ a b g in pun- g e t h h o l m l a g n d ctis a & b, & tran$euntes re$ecant ex circulo $peculi arcum l m: $ecet ergo circulus a b g arcum l m in duobus punctis, qu{ae} $int t & h: & re- $tabũt ex ip$o arcu l m duo arcus in diuer$is partibus ip$ius, qui $unt arcus l t & h m: omnis\’q; angulus con$titutus $uper arcũ circuli $pe- culi, qui e$t th, erit maior angulo b d: quod patet, $i $uper peripheriã $peculi fiat angulus a e b: ille enim e$t maior angulo b g d. Produ- cta enim linea b e ad peripheriam circuli a b g in punctum f, $i co- puletur linea a f, erit per 22 p 3 & per 13 p 1 angulus a f b æqualis an gulo b g d: $ed per 21 uel per 16 p 1 angulus a e b e$t maior angulo a f b: ergo & angulo b g d. Et $imiliter erit de quolibet alio puncto arcus t e h demon$trandum. Ab hoc itaque arcu t e h, ut patet per 34 huius, poterit fieri reflexio, for$an a b uno tantùm puncto, & for- $an à duobus. Quòd $i fiat reflexio à duobus arcubus l t & h m, qui re$tant $uper arcum t e h exarcu l m & ex diuer$is partibus ip$ius circuli a b g: tunc $ecundum præmi$$a omnes anguli $uper illos ar- cus con$i$tentes contenti $ub lineis à punctis a & b productis, e runt minores angulo b g d. Fiat enim angulus b k a $uper punctum arcus l t. Et quoniã arcus at circuli a b g e$t intra circulũ $peculi $ub arcult, $ecet linea b karcũ a t in puncto o: & ducatur linea a o: patet ergo per 22 p 3 & per 13 p 1 quòd angulus a o b e$t æqualis angulo b g d: $ed angulus a o b e$t maior angulo a k b per 16 p 1: patet ergo quòd angulus a k b e$t minor angulo b g d. Et $imiliter de quo- libet puncto arcuum l t & h m e$t demon$trandum. Ergo per 34 huius ab uno tantùm illorum ar- cuum puncto fiet reflexio. In hoc itaque $itu fiet reflexio à duobus punctis arcus l m interiacentis f e b m a f l d g n diametros, aut for$an à tribus: palàm uerò per 27 & 29 huius quòd ab uno tantùm puncto arcus n d fiet reflexio: & ita in hoc $itu ali- quando à tribus punctis $peculi, aliquando uerò à quatuor pun- ctis fiet reflexio. Si uerò unus punctorum a uel b fuerit in peri- pheria circuli, alius uerò intra circulum, & circulus a b g $ecet circulum $peculi: tunc $ecabit arcum l m in uno tantùm pun- cto, qui $it t: quoniam in loco alterius punctorum l uel m erit punctum a uel b: exi$tens enim in altera diametrorum n m uel l d, & in ip$a circuli peripheria, erit in puncto, quod e$t commu nis $ectio illarum: & $ic puncto b exi$tente in puncto m, & pun- cto a intra $peculum: re$tabιt unicus tantùm arcus totius arcus l m: qui $itlt. Patet itaque $ecundum præmi$$a ductis, ut prius, lineis a f & b f $uper arcum circuli a b g, & lineis a e & b e $uper ali- quod punctum arcus l m, quod $it e: quoniam per 21 p 1 omnes anguli con$i$tentes $uper arcum t b $unt maiores angulo b g d: er- go per 34 huius pote$t fieri reflexio à duobus punctis illius ar- cus, uel ab uno. Omnes uerò anguli arcus l t erunt minores angulo b g d, ut præo$ten$um e$t prius: & ita per 34 huius ab uno tantùm puncto arcus l t VITELLONIS OPTICAE fiet reflexio: $ed & per 27 uel 29 huius ab uno tantũ puncto arcus n d fiet reflexio. Fiet itaq: in hoc $itu reflexio quádoq; à tribus punctis: quandoq; à quatuor, & non â pluribus. Quòd $i pun cto b exi$tente in peripheria circuli $peculi, punctus a $it extra illum circulum: tunc patet quòd circulus a b g nunquam $ecabit circulum $peculi $ecundum arcum l m: quoniam $emidiameter g m, & peri- pheriæ circuli communis $ectio e$t punctus m, in quo e$t punctus b: $emidiameter uerò glproce- dens ad punctum a extra circulum $ecat arcum t b. Omnes itaq; anguli arcus l m $unt maiores an- gulo b g d, ut patet ex præmi$sis: ergo per 34 huius ab uno tantùm pũcto uel for$an â duobus pun- ctis arcus l m pote$t fieri reflexio punctorum a & b adinuicem: & $imiliter ab uno pũcto arcus n d. Fiet itaq; in hoc $itu reflexio à duob. aut à tribus pũctis $peculi, & nõ à pluribus. Palàm ergo quòd puncta inæqualiter di$tantia à centro $peculi aliquando ab uno tantùm puncto $peculi: aliquan- do à duobus: aliquando à tribus: aliquando à quatuor: nunquam à pluribus reflectuntur: $ecun- dum h{ae}c quoq; loca imaginum numerantur, quemadmodum patuit iam pluries in præmi$sis. Et hoc e$t, quod {pro}ponebatur declarandum.

41. Exi$tentibus duobus punctis in diuer$is diametris circuli $peculi $phærici concaui, & æqualiter di$tantibus à centro, $i linea coutinuans illa puncta $ecet circulum: po{$s}ibile e$t unũ illorum punctorum ad alterum reflecti ab uno tantumpuncto $peculi: uelà duobus: aut à quatuor: $ed impo{$s}ibile ect à tribus: & $ecundum hæc loca imaginum numerantur. Alha- zen 87 n 5.

Sint, ut in præmi$$a, duo puncta a & b in diuer$is diametris circuli $peculi $phærici concaui, quæ $intl d & m n, ita ut pũctus a $it in diametro l d, & pũctus b in diametro m n: $int\’q; pũcta a & b æqua liter di$tantia à centro $peculi, & linea a b $it ducta ab uno illorũ pũctorũ ad alterũ $ecundũ circulũ (qui e$t cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi) cuius centrũ $it g: dico quòd uerũ e$t q<001> l m a b g n d proponitur. Quòd enim ab uno tantũ puncto $pecu- li quandoq; fiat illorũ pũctorum adinuic\~e mutua re- flexio, patet per 19 huius: & etiã id\~e o$t\~edi pote$t per modũ 24 huius: linearũ enim inæ qualitas in illo $itu naturã reflexionis nõ immutat, ut declaratum e$t in 20 th. 5 huius. Quãdoq; uerò fit mutua reflexio i$to- rum pũctorum a & b à duobus tantũ pũctis $peculi, ut patet per 25 huius. Quandoq; uerò fit reflexio mu tua propo$itorũ pũctorum, qu{ae} $unt a & b, à quatuor pũctis circũferentiæ ip$ius $peculi, ut patet per 26 hu ius. A tribus uerò tantũ pũctis i$torum $peculorum formas pũctorum æqualiter di$tantium à centro $pe culi ad $e mutuò reflecti e$t impo$sibile. Si enim ab aliquibus duobus pũctis unius arcus fiat i$ta mutua reflexio, diui$o arcu interiacente illa pũcta per æqua lia, & ductis ad illud pũctum lineis, patet per 27 p 3 & propter {ae}qualitatem laterum g a & g b, quoniam an- guli con$tituti $uper illud punctum fiunt æquales: ab illo ergo pũcto fiet reflexio per 20 th. 5 huius: $ed & fiet ab aliquo pũcto arcus oppo$iti illi arcui. Palã ergo quòd à quatuor pũctis $peculi fiet reflexio, & non à tribus. Et quoniam, ut patet per præmi$$am & ex plur bus propo$itionibus huius libri, nunquam fit à tribus punctis $peculi reflexio aliquorum duorum punctorum adinuicem, ni$i fiat à duobus punctis unius arcus, & ab aliquo puncto arcus oppo$iti interiacente illas diametros: patet ergo quòd in hac di$po$itione reflexio fiet $emper à quatuor punctis $peculi propo$iti, & nunquam à tribus. Et hoc proponebatur. Et quoniam h{ae}c duo præmi$$a theoremata di$po$uimus $ecundum modum epilogi plurimorum præmi$$orum theorematum, {ae}$timamus ip$a memori{ae} cõmendanda.

42. Siab uno puncto arcus circuli $peculi $phærici concaui formæ unius termini lineæ totali- ter ui$æ, ab alio quo<005> puncto eiu$dem arcus formæ alterius termini eiu$dem lineæ fiat reflexio: nece$$e e$t omnia punct a media lineæ ui$æ abillius arcus punctis med{ij}s reflecti: ex quo patet quòd loca imaginum punct orum mediorum cadunt inter imagines punctorum extremorum. Alhazen 45 n 6.

Quod hic proponitur $pecialiter, quantùm ad primam $ui partem, uniuer$aliter e$t pr{ae}mi$$um in 24 th. 5 huius. E$to ergo arcus circuli $peculi $phærici concaui a f h: cuius centrum e: & $it z centrũ ui$us: $it\’q; g r linea ui$a: cuius unus terminus (quig) reflectatur à puncto $peculi, qui $it f: & ille $it aliquis punctus arcus dati, qui e$t a f h: & alter terminus line{ae} (qui e$t r) reflectatur à puncto h ar- cus a f h. Dico quòd omnia puncta media lineæ g r reflectentur à punctis medijs arcus h f. Coapte- tur enim linea g r (exempli cau$$a) diametro $peculi, \~q $it o a cadat\’q; in $emidiametrũ o e: $it\’q; pũct{us} z, <003> e$t c\~etrũ ui$us, in alia diametro eiu$d\~e circuli, quæ $it d b, cad\~es in $emidiametrũ e b: & ducãtur LIBER OCTAVVS. lineæ g f, e f, z f, r h, e h, z h: & copuletur linea g z: producatur\’q; linea $e ultra punctum e ad lineam g z in in punctum m: & $ignetur in linea grpunctus c. Dico quòd forma puncti c reflectetur ab aliquo puncto arcus fh. Quòd enim reflectatur forma puncti c ad ui$um exi$tentem in puncto z palàm, cũ extrema lineæ, quæ $unt g & r, reflectantur ad ui$um exi$tentem in puncto z: fiet ergo reflexio ab a- liquo puncto arcus a d, & non ab alio. O$ten$um enim e$t per 20 huius quòd in hoc $itu à duobus arcubus a b & d o nõ pote$t fieri reflexio formæ pũcti c ad ui$um exi$tent\~e in pũcto z: oportet ergo quòd fiat reflexio ab aliquo pũcto arcus a d: quoniam patet $olùm offerri ui$ui arcũ $peculi b a d o o d q h f u a b y c r e n m z per 72 th. 4 huius: ideo quòd c\~etrum ui$us e$t in pun- cto z diametri d b. O$ten$um etiam e$t per eandem 20 huius quòd forma cuiu$cunq; pũcti $emidiametri e o reflectitur ab aliquo pũcto arcus a d: fit autem per 27 huius form{ae} cuiuslibet puncti lineæ g r reflexio ad ui $um ab uno tantùm pũcto arcus a d cadente inter $e- midiametros, in quibus non con$i$tut puncta reflexa & ip$um centrum ui$us. Forma ergo pũcti c reflecte- tur ab uno tantùm puncto arcus a d ad ui$um exi$ten tem in puncto z. Si ergo illud punctum $it in arcu f h: habemus propo$itum. Si nõ: e$to primò quòd ip$um $it in aliquo puncto arcus a f: $it\’q; punctum u: & du- cantur lineæ z u, c u, e u, g u: e$t ergo per 7 p 3 linea g u maior quàm linea g f: $ed per eand\~e 7 p 3 linea z u e$t minor quàm linea z f: ergo per 9 th. 1 huius proportio lineæ gu ad lineam z u e$t maior proportione lineæ g f ad lιneam f z: $ed per 3 p 6 & ex hypothe$i propor- tio lineæ g f ad lineã f z e$t, $icut proportio lineæ g m ad lineam m z: proportio ergo lineæ g u ad lineam z u e$t maior quàm proportio lineæ g m ad linea m z: linea ergo, quæ diuidit angulum g u z per æqualia, $ecat lineam z m: $ecat ergo lineam z e per 32 th. 1 huius: angulus ergo g u e e$t minor angulo e u z: ergo angulus c u e e$t multò minor angulo e u z. Non ergo fiet reflexio form{ae} puncti c ad ui$um z à puncto $peculiu, ut patet per 20 th. 5 huius. Similiter quoq; pote$t fieri deductio de quolibet puncto arcus a f. Forma ergo puncti c non reflecti tur ad ui$um exi$tentem in puncto z ab aliquo puncto arcus a f. Sed neque ab aliquo puncto arcus h d. Sit enim, $i po$sibile e$t, ut reflectatur ab aliquo puncto arcus h d, & reflectatur à puncto eius, quod $it q: & ducantur lineæ z q, e q, c q, r q, z r: & producatur linea e h ultra punctũ e ad lineam r z: incidat\’q; in punctũ n: ergo per 7 p 3 linea z q e$t maior quàm linea z h, & linea q r e$t minor <004> linea rh: e$t ergo per 9 th. 1 huius proportio lineæ z q ad lineam q r maior proportione lineæ z h ad line- am hr: $ed per 3 p 6 & ex hypothe$i, quæ e$t proportio lineæ z h ad lineam h r, eadem e$t line{ae} z n ad lineam n r: e$t ergo proportio line{ae} z q ad lineam q r maior proportione lineæ z n ad lineam n r: li- nea ergo diuidens angulum z q r per æqualia, $ecat lineam n r: ergo per 32 th. 1 huius $ecat lineã r e: angulus ergo r q e e$t maior angulo e q z: angulus ergo c q e e$t multo maior angulo e q z. Non ergo fiet reflexio form{ae} puncti c ad ui$um in punctum z à puncto $peculi, quod e$t q, arcus h d. Eodem\’q; modo deducendum quocunq; puncto arcus h d dato. Forma ergo puncti c nõ reflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto z ex arcu h d: $ed neq; ex arcu a f, neq; ab aliquo punctorum h uel f, ut per 29 th. 5 huius. Omnia ergo puncta media lineæ g r reflectuntur à punctis medijs arcus h f: nec po$$unt à punctis alijs reflecti, ni$i fortè ab alio arcu reflectantur puncta g & r. Etex hoc patet quia tã lineæ reflexionum punctorum mediorum, quàm catheti $uarum incidentiarum concurrunt inter locai- maginum punctorum extremorum. Et quia illarum linearum communis $ectio e$t locus imaginis per 37 th. 5 huius: patet ergo quòd loca imaginum punctorum mediorum cadunt inter loca imagi- num pũctorum extrem orum. Et hoc e$t propo$itum. Idem enim accidit, etiam$i res ui$a uel centrũ ui$us extra illas $peculi diametros collocentur: quoniam $emper trans illa puncta diam etri aliæ du cipo$$unt. Patet ergo propo$itum.

43. Siduorum punctorum in $peculo $phærico concauo à duobus punctis ad unum ui$um fiat reflexio, $ic quòd loca imaginum $int in eadem $peculi diametro: maior erit proportio lineæ in- teriacentis centrum $peculi & locum imaginis remotiorem, ad lineam interiacentem idem cen trum & punctum reflexum à centro $peculi remotiorem, quàm lineæ interiac\~etis idem centrũ & locum imaginis propinquiorem, ad lineam ductam à centro ad punctum reflexum centro $peculi propinquiorem. Alhaz. 48 n 6.

Sit $peculum $phæricum concauum, per cuius centrum tran$eat $uperficies plana: $ecabit ergo il la $uperficιem $peculi $ecundũ circulum magnum illius $phær{ae} per 69 th. 1 huius, qui a b g: & eius centrũ $it d: & extrahatur à centro d linea quocunq; modo placuerit, qu{ae} $it d g: & tran$eat à centro ad circũferentiã in pũctũ g: & ducatur à c\~etro d in $uperficie illius circuli linea perpendicularis $u- per lineã d g, \~q $it d a: & ab$cindatur ab angulo a d g recto parua particula quocũq; modo cõtingat: & $it angulus g d e, ita q<001> inter angulũ rectũ, qui e$t a d g, & inter angulũ a d e $it proportio multi- VITELLONIS OPTICAE plicitatis relat{ae} and angulũ e d g. Hoc autem pote$t fieri, $i angulus rectus, qui e$t a d g, diuidatur per æqualia, & item eius medietas per æqualia, & $ic deinceps quou$q; fiat angulus a d e multiplex an- guli e d g: ut $i angulus a d e $it $eptuplus angulo e d g, erit rectus a d g $e$qui$eptuplus angulo a d e: & diuidatur angulus a d e in duo æqualia per lineam d b per 9 p 1. A puncto quoq; d centro $pecu- li extrahatur linea continens cum linea b d angulum rectum per 23 p 1, qui $it angulus b d x: & extra hatur linea a d ultra punctum d ad peripheriam, ut compleat diametrum: & $it linea d k: & à puncto d ducatur linea d z continens cum linea a d angulum æqualem angulo e d g, qui $it angulus a d z: & à puncto z ducatur linea $uper lineam d z con$tituens angulum æqualem angulo k d x: qui $it h z d ducta linea z h ad diametrum h d k: hoc autem e$t po$sibile. Quia enim anguli k d x & a d z $unt mi- nores duobus rectis: erũt quoq; anguli a d z & h z d {ae}quales k d x, minores duobus rectis: ergo con curr\~et illæ lineæ, quæ $unt a d & z h per 14 th. 1 hu- q n p e f o g x u m l b c r z k d h a ius: $it concur$us punctus h. Et quia anguli trian- guli ualent duos rectos per 32 p 1, & anguli a d z & z d x & x d k ualent duos rectos per 13 p 1: angulus uerò h z d e$t æqualis angulo x d k, & angulus a d z communis: relinquitur angulus z h d {ae}qua- lis angulo z d x. Et extrahatur à puncto z linea zl, per 23 p 1 continens cum linea z h angulum {ae}qua- lem angulo b d k obtu$o, qui $it angulus h z l. Duo ergo anguli l z d & b d z $unt minores duobus re- ctis: deficiunt enim à duob. rectis in angulo z d a: linea ergo z l per 14 th. 1 huius cõcurret cum linea d b: $it concur$us punctus l: & ducatur linea lh: & triangulo h ld circum$cribatur circulus per 5 p 4, qui $it circulus d h l. Trã$ibit ergo ille circulus per punctum z per 22 p 3: quia duo anguli l z h & l d h $unt æquales duobus rectis: $unt autem illi anguli in quadrilatero d h z l: e$t ergo illud quadrilaterũ in circulo. Anguli ergo l h z & l d z $unt æquales ք 27 p 3, cadunt enim in arcum eundem circuli d h l, qui e$t arcus z l: $ed, ut $uprà o$tendimus, angulus z h d e$t æqualis angulo z d x: æqualibus ergo an- gulis, qui $unt l h z & l d z hinc inde ablatis, rema- net angulus l h d æqualis angulo l d x: $ed angulus l d x e$t rectus: angulus ergo l h d e$t rectus. Ab- $cindatur quoq; ex linea d e linea d m æqualis li- neæ d h: & ducatur linea l m. Angulus ergo l m d e$t rectus. Quia enim angulus b d e e$t {ae}qualis an- gulo b d h: quoniam angulus a d e diui$us fuit per æqualia per lineam d b: linea quoq; d m e$t æqua- lis lineæ d h: $ed latus l d e$t commune ambobus trigonis l h d & l m d: ergo per 4 p 1 linea h l e$t æ- qualis lineæ l m: & angulus l m d e$t {ae}qualis angu- lo l h d: $ed angulus l h d o$ten$us e$t rectus e$$e: er go angulus l m d e$t rectus. Ergo per 22 p 3 circu- lus l h d tran $it per punctum m: & $ecat arcum b e circuli a b g in puncto compari puncto z: qui $it punctus f: erit\’q; linea l d diameter circuli l h d per 31 p 3: & ducatur linea d f. Quia itaq; circuli l h d arcus d m e$t {ae}qualis arcui d h per 28 p 3. quoniam lineæ d m & d h $unt æquales: $ed & arcus d f e$t æqualis arcui d z per 64 th. 1 huius: relin quitur ergo arcus m f æqualis arcui h z: & arcus l z {ae}qualis arcui l f: ergo per 27 p 3 angulus l d ferit æqualis angulo l d z. Ducantur ergo lineæ h b, h f, z f, m f, b m, b f. Et quia angulus l h d e$t rectus: patet quòd angulus b h d e$t a cutus: & angulus g d h e$t re ctus: ergo per 14 th. 1 huius linea h b concurret cum linea d g extra circulũ a b g: concurrant ergo in pũcto q. Similiter quoq; per 14 th. 1 huius linea h f concurret cum linea d g extra circulum: $it con- cur$us punctus n: & producatur linea f b ultra punctum b, quou$q; $ecet arcũ l z: $ecet ergo ip$um in puncto r: & ducatur linea r m. Angulus ergo f r m (qui e$t in circumferentia) re$picit ar- cum f m, & angulus f b m e$t maior angulo f r m per 16 p 1: e$t enim extrin$ecus in triangulo r b m: & angulus f b m e$t in circumferentia circuli a b g: ergo $i linea b m protrahatur ex parte puncti m, ab $cindet de circulo a b g arcũ maior\~e quodã arcui, $imili arcu f m circuli l h d ք 33 p 6: $ed arcus f m in $uo circulo l h d e$t $imilis duplo arcus f e in circulo a b g: quoniã duplũ arcus f e corre$põdet du- plo anguli f d e $uper peripheriã $ui circuli con$tituti per 33 p 6, & per 20 p 3: e$t aũt arcus fe æqualis arcui e g per 26 p 3: ideo quò d angulus e d g e$t æqualis angulo f d e: cũ uterq; ip$orũ $it æqualis an- gulo a d z, ut patet ex pr{ae}mi$sis: arcus ergo g f e$t duplus arcui f e: e$t ergo arcus f g in circulo a b g $imilis arcui f m in circulo l h d. Si ergo linea b m extrahatur rectè in partem m, ab$cindet de circulo a b g arcum ultra punctum g maiorem arcu f g. Si enim caderet in punctum g, fieret angulus f b g LIBER OCTAVVS. æqualis angulo f r g, extrin$ecus intrin$eco: quod e$t impo$sibile. Linea ergo b m non cadetin pun ctum g, $ed $ecabit lineam d g inter duo puncta g & d: $ecet ergo in puncto o. Producatur quoq; li- nea f m ultra punctum m: hæc ergo, quia $ecat angulum d m o, patet per 29 th. 1 huius quia $ecabit li neam d o: $ecet illã in pũcto u: & producatur linea m b ultra punctũ b: $ecabit\’q arcũ l r: $ecet ip$um in puncto c: & ducatur linea c d à puncto c ad centrũ $peculi. Quia ergo angulus b f z e$t in circum- ferentia circuli a b g, erit angulus b f z medietas anguli b d z ք zo p 3: $ed angulus b d z e$t multiplus anguli z d a: ergo angulus b f z multiplus angulo z d h: ergo & angulus r f z e$t multiplus eid\~e: ergo per 33 p 6 arcus r z e$t multiplus arcui z h: arcus uerò c z e$t maior arcu r z, ut totũ $ua parte: ergo ar- cus c z e$t multiplus arcus z h, uel maior multiplo. Ducatur itaq; linea c h: angulus ergo c h d & an- gulus c m d $unt æquales duobus rectis per 22 p 3: $ed angulus b m d cũ angulo b m e ualet duos re- ctos per 13 p 1: relin quitur ergo ut angulus c h d $it æqualis angulo b m e: $ed angulus z h d addit $u- per angulum c h d angulũ c h z, qui e$t per 27 p 3 æqualis angulo c d z: & angulus c d z e$t multiplus anguli z d a per 33 p 6: quoniã, ut $uprà patuit, arcus c z e$t multiplus arcui z h: ergo angulus c h z e$t multiplus anguli e d g: angulus ergo d h z excedit angulum c h d in multiplo anguli e d g. Et quia ar cus f m d e$t æqualis arcuι z h d per 64 th. 1 huius, remanet arcus f z d æqualis arcui z f d: ergo erit per 27 p 3 angulus f m d æqualis angulo z h d: $ed angulus c h d e$t æqualis b m e: ergo angulus f m d excedit angulum b m e in multiplo anguli e g d: $ed angulus o m d e$t æqualis angulo b m e per 15 p 1: ergo angulus f m d excedit angulum o m d in multiplo anguli e d g. Et quia angulus g o m ualet angulum o m d, & angulũ o d m per 32 p 1: palàm quia angulus f m d excedit angulum m o g in mul- tiplo anguli e d g: $ed angulus f m d per 32 p 1 excedit angulum m u d in $olo angulo e d g: e$t ergo angulus m u d maior angulo m o g: ergo angulus m o u e$t maior angulo m u o per 13 p 1 bιs $umptá: ergo per 19 p 1 linea m u e$t maior quàm linea m o. Et quia arcus h d e$t æqualis arcuι m d per præ- mi$$a, erũt duo anguli h f d & m f d æquales per 27 p 3. Formæ ergo punctorum duarum linearum h f & f u ad $einuicem reflectuntur: & $imiliter formæ punctorum linearum h b & b o ad $e inuic\~e re- flectuntur: quoniã per præmi$$a angulus d b h e$t æqualis angulo d b m per 4 p 1 & per hypothe$es præmi$$as. Duo ergo puncta, quæ $unt o & u ad ui$um exi$tentem in puncto h reflectũtur à duobus punctis $peculi, quæ $unt b & f. E$t ergo per 37 th. 5 huius punctus q imago puncti o, & punctus n imago puncti u. Ducatur ergo expũcto m linea æquidi$tans lineæ h q per 31 p 1: quæ $it linea m s: & linea {ae}quidi$tans line{ae} h n, qu{ae} $it m p. Quia ergo angulus h n d e$t maior angulo h q d per 16 p 1, erit angulus m p o, qui per 29 p 1 e$t æqualis angulo h n d, maior angulo m s o, qui per 29 p 1 e$t æqualis h q d: erit ergo punctum p inter duo puncta s & u per conuer$am 21 p 1. Et quia angulus h d n e$t re- ctus: erit per 32 p 1 angulus h n d acutus: ergo angulus m p d e$t acutus: angulus ergo m p s e$t obtu- $us per 13 p 1: ergo linea m s e$t maior quàm linea m p per 19 p 1. Sed ex pr{ae}mi$sis linea m u e$t maior quàm linea m o: ergo per 9 th. 1 huius maior e$t proportio lineæ m s ad lineam m o quàm lineæ m p ad lineam m u: $ed proportio lineæ s m ad lineam m o e$t, $icut proportio lineæ q b ad b o per 4 p 6: trigoni enim q b o & s m o $unt æquianguli per 29 p 1: cum lineam s $it æquidi$tans lineæ q b, & an- gulus q o b $it communis illis ambobus trigonis. Et $imiliter proportio lineæ p m ad lineã m u e$t, $icut proportio lineæ n f ad lineam f u: per eadem ergo, quæ prius, & per 11 p 5 erit proportio lineæ q b ad lineam b o maior proportione lineæ n f ad lineam f u: $ed proportio lineæ q b ad lineam b o e$t, $icut lineæ q d ad lineam d o: & proportio lineæ n f ad f u e$t, $icut lineæ n d ad d u per ea, quæ $unt o$ten$a in 13 huius, quorum declarationem, cum manife$ta $it, hic omittimus propter figuratio nis multitudinem. Palàm ergo quòd proportio line{ae} q d ad lineam d o e$t maior proportione line{ae} n d ad lineam d u. Et hoc e$t propo$itum.

44. In $peculis $phæricis concauis imagine retro $pecu- lum occurrente: maior erit di$tantia imaginis à $peculo quàm reiui$æ. n t l m s h s b k d e z a

E$to $peculi $phærici concaui circulus, qui a b g d: cuius c\~etrum $it e: $it\’q; centrum ui$us z: & punctus rei ui$æ h: fiat\’q; reflexio for mæ puncti h ad ui$um z à puncto $peculi b, appareat\’q; imago retro $peculum: dico quòd maior erit di$tantia imaginis à $peculi $uperfi cie quàm ip$ius rei ui$æ. Ducantur enim lineæ h b incidenti{ae}, & z b reflexionis: & ducatur cathetus incidentiæ, quæ $it e h g t: produ- catur quoque linea reflexionis, quæ z b, donec lineæ e h & z b concurrant in puncto t: erit ergo per 37 th. 5 huius punctum t lo- cus imaginis. Dico quòd linea t b (quæ e$t di$tantia imaginis à $peculo) e$t maior quàm linea b h, quæ e$t di$tantia rei ui$æ à pun- cto reflexionis. Et $imiliter linea h g e$t minor quàm linea g t. Du- catur enim linea e b: & à puncto b ducatur linea contingens cir- culum in puncto b per 17 p 3: quæ $it l b k. Quia itaque anguli cõtingentiæ, qui $unt a b k & g b l, $unt æquales per 16 p 3: & anguli z b a & h b g æquales per 20 th. 5 huius: fit ergo angulus k b z æqualis angulo l b h: $ed angulus t b l VITELLONIS OPTICAE e$t æqualis angulo k b z per 15 p 1: angulus ergo t b l e$t æqualis angulo l b h: $ed angulus l b h e$t a- cutus: quoniã angulus l b e e$t rectus: ergo & angulus t b l e$t acutus. Sed angulus e l b e$t acutus: quoniã in trigono e b l angulus e b l e$t rectus: ergo per 13 p 1 angulus b l t e$t obtu$us: angulus itaq; t b l e$t minor angulo b l t. Re$ecetur quoq; ab angulo b l t angulus æqualis angulo b l h per 27 th. 1 huius, qui $it b l m. Quia itaq; angulus m b l e$t {ae}qualis angulo l b h, & angul{us} b l m {ae}qualis angulo b l h: erũt per 32 p 1 trigona l b m & l b h æquiãgula: ergo ք 4 p 6 latera ip$orũ $unt proportionalia: $ed latus l b (cũ $it commune ambobus) e$t æquale $ibijp$i: ergo latus m b e$t æquale lateri b h: $ed li- nea m b e$t mιnor quàm linea b t: ergo linea h b e$t minor quàm linea b t. Et <003>a linea l b diuidit an- gulum t b h per æqualia: patet per 3 p 6 quoniã e$t proportio lineæ h l ad lineam l t, $icut lineæ b h ad lineam b t: $ed linea b h e$t minor quàm linea b t, ut patet ex præmi$sis: ergo & linea h l e$t minor <004> linea l t: linea ergo g h e$t multò minor <004> linea g t. Patet ergo propo$itũ. Et ex his patet quòd rerũ, quarum di$tãtia ab eodem ui$u maior e$t, uel augetur: etiã di$tantia imaginũ retro $peculũ retro $peculũ ui$arum maior e$t uel augetur. Si enim protrahatur linea b h ultra punctum h ad punctum s, & producatur cathetus e s, quou$q; concurrat cum linea reflexionis z b in puncto n:erit punctum n locus imagi- nis formæ puncti s: & erit linea b n maior quàm linea b s, ut prius patuit: & erunt lineæ b s & b n maiores quàm lineæ b h & b t.

45. In concauis $peculis $phæricis inter ui$um & $peculum imagine occurrente: nonnunquã minor erit di$tantia imaginis à ui$u, quàm $it ip$ius rei ui$æ: à $uperficie uerò $perculi quando<005> erit minor: quando<005> maior: quando<005> æqualis.

E$to in $peculo $phærico concauo circulus magnus a b g: cuius centrũ $it d: & $it $emidiameter d b: $it\’q; centrum ui$us in puncto e: & linea rei ui${ae} $it z t m: quæ reflectatur ad ui$um à pũcto $pecu li b: $itq; linea incidentiæ z b, & linea reflexionis b e. Dico quòd uerum e$t, quod proponitur. Duca tur enim per centrum d ad lineam reflexionis e b linea, quæ $it t d h: & e$to ut ip$a $it perpendicula- ris $uper $emidiametrũ d b. Ducatur quoq; $imiliter à pũcto rei ui$æ, q<001> e$t z, linea z d: qu{ae} {pro}ducta ultra punctum d ad lineam reflexionis, quæ e$t e b, $ecet ip$am in puncto k: & $imiliter à puncto ui- $o, quod e$t m, ducatur linea m d: quæ producta ad lineã reflexionis, quæ e$t e b, $ecet ip$am in pun cto l. E$t ergo per 37 th. 5 huius punctus k locus imaginis formæ puncti z: & punctus h locus ima- ginis punctι t: & pũctus l locus imaginis pũcti m. Et palàm quia puncta k & h cadunt inter puncta e & b: palam\’q; cum loca imaginũ approxim\~et ui$ui, qui b m k t d h g l a z e e$t in pũcto e, <003> a multò minor erit di$tantia ip$arũima ginum à ui$u, quàm $it ip$ius rei ui$æ. Quoniam enim linea d b $emper diuidit angulũ omnis reflexionis per æqualia: patet quòd centrum ui$us & punctum rei ui${ae} $emper collocantur ex diuer$is partib. centri. Ducatur quoq; linea e z: erit\’q; in trigono k e z angulus e k z nõ- nun quam maior angulo k z e: ergo per 19 p 1 erit tunc linea e z (quæ e$t di$tantia rei ui$æ à centro ui$us) ma ior quàm linea e k, quæ e$t di$tantia imaginis k à c\~etro ui$us: minus aũt di$tant à ui$u loca imaginũ, quæ $unt h & l. Quia uerò in trigonis b d t & b d h duo anguli, <003> $unt b d t & b d h $unt {ae}quales: quia recti ex hypothe$i: & duo anguli h b d & t b d $unt æquales per 20 th. 5 hu ius, cum $int anguli incidentiæ & reflexionis: erũt per 32 p 1 illi trigoni æquianguli: ergo per 4 p 6 cum linea b d $it æqualis $ibijp$i, erit linea b t æqualis lineæ b h. Æqualiter ergo di$tabũtimago & res ui$a à $uperficie $peculi. Sed linea b k e$t minor quàm linea b h & linea b z e$t maior <004> linea b k: erit ergo tũc locus imaginis & imago {pro} pinquior $uperficiei $peculi <004> res ui$a, cuius illa e$t imago. Et quia linea b m e$t minor <004> linea b l: e$t aũt pũctus l locus imaginis pũcti m: pater quòd res ui$a propinquior e$t $peculo <004> eius imago. Patet itaq; {pro}po$itũ. Et ex his patet, quoniã rerũ \~q magis elõgat{ae} $unt à $peculis, & quarũ for m{ae} reflectũtur ad ui$um, ita quò loca imaginũ $int inter ui$um & $peculi $uperfici\~e;, fiunt imagines ip$arũ propin quiores $uperficiei $peculi, & elongatæ plus à c\~etro ui$us. Rerũ quo<005> \~q $unt propin- quiores $peculis, & quarũ form{ae} reflectũtur ad ui$um, & loca imaginũ $unt inter $peculũ & ui$um, imagines plus elongantur à $uperficie $peculi, & fiunt propinquiores ad ui$um.

46. Centro ui$us & re ui$a exi$tentibus intra $peculum $phæricum cõcauum, in eadem linea recta æqualiter à centro $peculi $ecundum $ui extrema di$tante: imago rei ui$æ uidebitur ultra $peculum, maior re ui$a. Alhazen 39 n 6.

Sit $peculũ $phæricũ concauũ, cuius centrũ $it a: dico q<001> $i centrũ ui$us fuerit intra $peculũ, & $i- militer linea ui$a: $it\’q; illorũ di$p o$itio modo quo proponitur, uerũ e$$e q<001> proponitur. Secetur e- nim $peculũ ք $uperfici\~e planã tran$eunt\~e ք c\~etrũ $peculi: erit ergo ք 69 th. 1 huius cõmunis $ectio illius $uքficiei planæ & $uperficiei $peculi circulus, qui $it b g: & ducatur in hoc circulo linea à cen- LIBER OCTAVVS. tro $peculi ad circumferentiã, quocunq; modo contingat: & $it linea a u, quæ diuidatur per æqualia in puncto o: & à centro a $ecundum quãtitatem lineæ a o de$cribatur circulus, qui $it e z: & in linea o u $ignetur pũctus t, utcunq; contingat: & à puncto t ducantur line{ae} t n & t m perp\~ediculariter $u- per lineã a u per 11 p 1: & ducãtur à pũcto t lineæ t e & t z contingentes circulum e z per 17 p 3: & $int pũcta contactuũ e & z. Ducãtur quoq; à c\~etro $peculi pũcto a ad pũcta cõtactuũ lineæ a e & a z: qu{ae} product{ae} $ecent $peculũ in punctis b & g. Copulentur quoq; line{ae} t b & t g à pũcto t, & ducatur li- nea b m æquidi$tans lineæ a u per 31 p 1: & linea g n ducatur æquidi$tãs ei$d\~e lineis a u & b m: & du- cantur à centro $peculi ad puncta m & n lineæ a m & a n: quæ producantur ulterius extra circulum f u q b s m l n c o z q g b. Quia itaq; linea a o e$t æqualis line{ae} o u: palàm quo- niam linea a e e$t æqualis lineæ e b, & linea a z æqualis li- neæ z g: o\~es enim diametri circuli e z $unt medietates dia- metrorũ circuli b g: ergo linea, qu{ae} interiacet circulos exi- ens à c\~etro a, e$t æqualis $emidiametro circuli e z. Et quia linea t e cõtingit circulũ minor\~e, qui e$t e z: erit per 18 p 3 li nea t e perp\~edicularis $uper lineã b a: & $imiliter erit linea t z per p\~edicularis $uper lineã g a: ergo per 4 p 1 linea t e exi $tente cõmuni ambobus trigonis b e t & t e a, erit linea b t æqualis lineæ t a: & $imiliter erit linea g t æqualis lineæ t a: ergo per 5 p 1 in trigono t b a erit angulus t a b æqualis an- gulo t b a: & in trigono t g a erit angulus t g a æqualis angu lo t a g. Et quia linea b m e$t æquidi$tans lineæ a t: erit ք 29 p 1 angulus m b a æqualis angulo t a b: quoniã $unt coalter ni: angulus ergo m b a æqualis e$t angulo a b t: & $imiliter angulus n g a æqualis e$t angulo a g t. Cũ ergo ui$us fuerit in pũcto t, & in linea m b fuerit aliquod ui$ibile (ut pũctũm) tunc forma pũcti m à pũcto $peculi, quod e$t b, reflectetur ad ui$um exi$tent\~e in pũcto t: & forma pũcti n reflectetur à pũcto $peculi g ad ui$um exi$tent\~e in pũcto t. Vi$us itaq; exi $t\~es in pũcto t cõpreh\~edet formas pũctorum n & m reflexas ad $e à pũctis $peculi g & b. Cõprehen- det ergo ead\~e ratione & totã lineã n m reflexam ad $e extoto arcu g b, ut patet per 42 huius. Et<003>a linea m t e$t perpendicularis $uper lineã a t: erit angulus m t b acutus. Quia enim angulus m t u e$t rectus: ergo per 29 p 1 angulus b m t e$t rectus: ergo angulus m t b e$t acutus ք 32 p 1: ergo per 19 p 1 erit linea t b maior <004> linea b m. Sed, ut pr{ae}mi$$um e$t, linea t b e$t æqualis lineæ at: ergo linea at e$t maior <004> linea b m: $ed lineæ a t & b m $unt {ae}quidi$tantes: ergo per 16 th. 1 huius linea t b cõcurret cũ linea a m: concurrant ergo in puncto f: e$t itaq; ք 37 th. 5 huius pũctus flocus imaginis formæ pun- ctim. Eod\~e quoq; modo linea t g cõcurret cũ linea a n in pũcto, qui $it q: & erit punctus q locus ima ginis formæ pũcti n: quoniã cathetus incidentiæ formæ pũcti m e$t linea a m, & cathetus inciden- ti{ae} form{ae} pũcti n e$t linea a n: lineæ quoq; reflexionis $unt line{ae} t b & t g. Cõtinu\~etur itaq; pũcta f & q per lineã f q: & erit linea f q diameter imaginis form{ae} totius line{ae} n m. Et quia lineæ t e & t z $unt æquales per 58 th. 1 huius: erũt anguli t a e & t a z æquales. Anguli enim t z a & t e a $untrecti per 18 p 3, & lineæ z a & e a $unt æquales, quia $emidiametri eiu$d\~e circuli: linea quoq; t a e$t cõmunis am- bobus trigonis t z a & t e a: ergo ք 8 p 1 anguli z t a & e t a $unt æquales: & $imiliter anguli t a e & t a z. $unt æquales: ergo & angulus t a b æqualis angulo t a g: ergo ք 4 p 1 erũt lineæ t b & t g æquales. Et quia angulus e t a e$t æqualis angulo z t a: erit angulus u t b æqualis angulo u t g: relin quitur ergo angulus b t m æqualis angulo g t n: quoniã anguli u t m & u t n $unt æquales, quia recti: $ed & angu li b m t & g n t $unt recti: ergo trigona g t n & b t m $unt ք 32 p 1 æquiangula. Ergo ք 4 p 6 cũ linea t g $it æqualis lineæ t b: erũt line{ae} b m & g n æquales, & linea t m æqualis line{ae} t n:ergo ք 4 p 1 cũ angu lin t a & m t a $int recti & æquales, erũt lineæ a m & a n æquales: & $ic pũcta m & n {ae}qualiter di$ta- bunt à c\~etro $peculi, q<001> e$t a: erit\’q; ք 29 p 1 & 4 p 6 {pro}portio line{ae} a f ad lineã f m, $icut line{ae} a t ad li- neã b m: & erit {pro}portio lineæ a q ad lineã q n, $icut line{ae} a t ad lineã g n: $ed ք 7 p 5 ead\~e e$t {pro}portio lineæ a t ad lineam b m, & ad lineam g n: quoniã ill{ae} du{ae} $unt æquales: ead\~e ergo e$t proportio line{ae} a f ad lineã f m, qu{ae} e$t line{ae} a q ad lineã q n: ergo ք 7 th. 1 huius erit euer$im ead\~e proportio lineæ a f ad lineam a m, quæ e$t line{ae} a q ad lineã a n: ergo ք 16 p & corollariũ 4 p 5 erit permutatim {pro}portio lineæ a q ad lineã a f, $icut line{ae} a n ad lineã a m: $ed linea a m e$t æqualis line{ae} a n: ergo linea a f e$t {ae}- qualis lineæ a q. Linea itaq; f q æquidi$tat line{ae} n m ք 2 p 6. Ergo linea f q e$t maior quàm linea n m. Si itaq; centrũ ui$us fuerit in puncto t, & in linea n m fuerit aliquod ui$ibile: tũc ui$us cõprehendet imagin\~e illius ui$ibilis maior\~e <004> $it $ecũdum ueritat\~e. Et hoc e$t propo$itũ. Et $i arcus cuiu$cũq; cir- culi copulentur ad has chordas n m & q f: patet idem de arcubus, quod de lineis rectis.

47. Centro ui$us & re ui$a oppo$itis $peculo $phærico concauo taliter, ut ui$us $it altior re ui$a $ecundum $ui extrema æqualiter di$tante à centro $peculi: imago lineæ ui$æ uidebitur ultra $pe- culum, maior re ui$a. Alhazen 40 n 6.

Sit circulus $peculi $phærici cõcaui, $icut in pr{ae}mi$$a, qui e$t b g: cuius centrũ a: & ducantur line{ae} à centro circuli a ad peripheriã, qu{ae} $int a b, a g, a u: $it\’q; linea a u diuidens per {ae}qualia arcũ g b: qu{ae} diuidatur, ut in pr{ae}ced\~ete, $ecũdũ punctũ tultra $ui mediũ uer$us circũfer\~etiã g b: & ducãtur lineæ VITELLONIS OPTICAE g t & t b: & erigatur à puncto t linea perp\~ediculairs $uper $uperfici\~e circuli ք 12 p 11, quæ $it linea t k: & ducantur lineæ a k, b k & g k. Superficies itaq; trigonorum k b a, k g a $unt $ecantes $phærã $pecu- li $uper c\~etrum a: & $unt erectæ $uper $uperfici\~e circuli b g per 18 p 11 & $uper o\~es $uperficies cõtin- gentes $phærã in punctis b & g, uel quibu$cũq; pũctis alijs circulorũ, qui $unt cõmunis $ectio illarũ $uperficierũ & $peculi ք 2 huius. Quoniã enim cõmunes $ectiones circuli b g & $uperficierũ illorũ trigonorũ $unt $emidiametri a b & a g, qui $unt erecti $uperficies in illis pũctis b & g $peculũ cõting\~etes: patet quòd illæ $uperficies per 18 p 11 $unt erectæ $uper $uperficies in illis punctis cõtin gentes. Et $imiliter patet hoc de alijs $uperficiebus $ecũdum puncta illorum circulorum contingen tibus. In illis itaq; $uperficiebus fit reflexio à punctis circũferentiæ circulorũ cõmunium eis & $pe- culo. Ducatur itaq; linea b m in $uperficie b k a æquidi$tanter line{ae} a k: $it\’q; linea b m minor <004> linea a k: fiat\’q; taliter, ut linea b m tota penetret $uperfici\~e circuli b g ad part\~e aliã, <004> linea t k, ita ut lineæ t k & b m $int in diuer$is partibus $peculi re$ectis ք $uperficiem circuli b g. Ducatur itaq; linea a m: & extrahantur line{ae} b k & a m, donec cõcurrant in puncto f: cõcurrent aũt per 16 th. 1 huius: cum li- nea b m $it minor <004> $ua æquidi$tãs linea a k: & in $uperficie g k a ducatur linea g n æquidi$tans line{ae} a k: $it\’q; linea g n æqualis lineæ b m, & ad eand\~e part\~e $uperficiei circuli producta: & ducatur linea a n: producantur\’q; lineæ a n & k g, donec per 16 th. 1 huius concurrant in puncto q: ducatur\’q; li- nea f q, & linea m n. Quia ergo (ut in pr{ae}cedente proxi- f q b u g m l n k p a ma o$t\~edimus) linea b t e$t æqualis lineæ t a, & linea t k e$t communis duobus trigonis b k t & a k t, & anguli ad pũctũ t $unt recti per definition\~e line{ae} $uper $uperfici\~e erectæ: palàm ք 4 p 1 quia linea b k e$t æqualis lineæ k a: & ք eadem erit linea g k æqualis line{ae} a k: ergo per 5 p 1 anguli k a b & k b a $unt æqules: & $imiliter $unt anguli k a g & k g a æqualis. It\~e quia linea g k e$t æqualis lineæ a k: igitur linea g k {ae}qualis e$t line{ae} b k: $ed & linea a g e$t æqualis line{ae} a b: quia $unt $emidiametri eiu$dem circu li: & linea a k e$t cõmunis: trigona itaq; a k b & a k g $unt æquilatera: ergo per 8 p 1 angulus k b a e$t æqualis angu l o k g a, & angulus k a b {ae}qualis angulo k a g. Et quoniã per 29 p 1 angulus a b m e$t æqualis angulo k a b: ergo & angulo k b a: quia lineæ a k & b m æquidi$tant, & i$ti an- guli$unt coalterni. Et $imiliter angulus a g n e$t propter eadem {ae}qualis angulo k a g: quoniã etiã line{ae} a k & g n æquidi$tant: ergo & angulo k g a. Et quonιam anguli k a g & k a b $unt æquales, ut pr{ae}o$ten$um e$t: erit ergo angulus a b m æqualis angulo a g n, & linea b m ex hypothe$i e$t æqualis line{ae} g n: ergo per 4 p 1 linea a m e$t æqualis lineæ a n: ergo, utin præ- mi$$a, linea a f erit æqualis lineæ a q: ergo per 2 p 6 linea q f æquidi$tat line{ae} m n: & linea f q e$t ma- ior quàm linea m n. Cum itaque ui$us fuerit in puncto k uel $uper punctum k in linea t k: & fuerit li nea m n in aliquo ui$ibili inferiore ip$o ui$u: tunc forma puncti m incidet $peculo $ecũdum lineam m b, & reflectetur à puncto $peculi b ad ui$um $ecundum lineam b k in $uperficie circuli tran$eun- tis per puncta b, a, k: & forma puncti n incidet $peculo $ecũdum lineam n g, & à puncto $peculi g re- flectetur ad ui$um $ecundum lineam g k in$uperficie circuli tran$euntis per puncta g, a, k: & erit per 37 th. 5 huius imago puncti m punctum f: & imago puncti n punctum q: & erit linea q f diameter imaginis lineæ n m: & linea f q erit maior quàm linea m n. Imago itaque rei ui$æ apparebit maior ip$a re ui$a, & ultra $peculum. In hoc ergo $itu ui$us & ui$ibilis patet propo$itum. Si itaq; reuolua- tur tota figura in circuitu line{ae} a u, ip$a linea a u permanente immobili: tunc punctum k de$cribet motu $uo quendam circulum, $uper quem erecta e$t linea a u tran$iens ad utramq; partem $uperfi- ciei illius circuli: & omne punctum illius circuli habebit $itum re$pectu lineæ comparis lineæ m n. Si itaque ui$us fuerit in aliquo puncto circumferenti{ae} huius circuli, & linea compar line{ae} m n fue- ritin $uperficie alicuius rei ui${ae}, re$picientis centrum ui$us $ecundum illum $itum, ut res ui$a (in qua e$t linea m n) re$piciebat ui$um exi$tentem in puncto k: tunc ui$us comprehendet formam il- lius line{ae} maiorem $ua propria quantitate. Et $imiliter $i extrahatur linea t k in continuum & dire- ctum: & $ignetur in ea punctum aliud pr{ae}ter punctum k, ut punctum p: & ducantur line{ae} ad illud punctum p, $icut ad punctum k $unt prius duct{ae}: erit idem eueniens, quod prius accidit in puncto k. Pluries itaq;, ut patet per pr{ae}$ens theorema, & per proximè præmi$$um, in $peculis $phæricis con cauis uidetur imago rei ui${ae} maior ip$a re ui$a: quod e$t notandum.

48. In $peculis $phæricis conauis quando<005> comprehendituringago æqualis ip$irei ui$æ: quæ occurrens inter ui$um & $peculum, conuer$um: retro ui$um uerò conformem habet $itum rei ui$æ. Alhazen 41 n 6.

Sit $peculum $ph{ae}ricum concauũ a b: cuius centrũ $it e: $ecet\’q; ip$um $uperficies plana tran$iens centrũ e, cuius cõmunis $ectio & $uperficiei $peculi erit circulus per 69 th. 1 huius: <003> $it a b: & duca- tur à centro linea e z, utcũq; contingit, nõ in ip$a $uperficie circuli a b, $ed obliquè $uper illam, $icut LIBER OCTAVVS. placet: qu{ae} producatur ultra circuli peripheriã ad pũctum g: & à pũcto g extrahatur linea perpen di cularis $uper $uperfici\~e circuli a b per 12 p 11: & in illa perpendiculari $ignetur pũctum d: & ducatur linea d e: qu{ae} protrahatur ultra centrũ e ad pũctum o: & ducatur linea e b cõtinens cũ linea d e an- gulũ obtu$um: & ducatur linea e a cõtinens cũ linea e d angulũ obtu$um æqual\~e angulo d e b per 23 p 1: & ducãtur line{ae} d a, d b: erũt\’q; per 4 p 1 trigona d e a & d e b æ quiangula. Superficies itaq; duo- rũ trigonorũ d e a & d e b $ecãt $e $uper lineam d e: & duo anguli d b e & d a e $unt acuti & æ quales per 4 p 1: linea enim e b e$t {ae}qualis line{ae} e a, & linea d e e$t cõmunis ambobus trigonis d e a & d e b: & anguli d e b & d e a $unt æquales. A pũcto quoq; b in $uperfi d g t k z b e a l h cie trianguli d e b ducatur per 23 p 1 linea continens cũ linea e b angulũ æqualem angulo d b e: qu{ae} $it linea b o: hæc igitur linea cõcurret cũ linea d e per 14 th. 1 huius: ideo quòd angulus b e d e$t obtu$us, & angulus e b o, qui e$t apud pũctum b, e$t acutus, nõ ual\~es cũ angulo d e b duos rectos: cũ angulus o b e $it æqua- lis angulo d b e, qui cũ angulo b e d & angulo b d e ualet duos rectos ք 32 p 1. Sit itaq; linearũ d e & b o cõcur$us in pũcto o: & à pũcto a ducatur linea in $uperficie trianguli d e a cõtinens cũ linea a e angulũ {ae}qual\~e angulo d a e: cõcurret ergo illa, ut prius, cũ linea e o in pũcto o: quoniá anguli a e o & b e o ք 13 p 1 & ex pr{ae}mi$sis $unt {ae}quales: & anguli e b o & e a o ex pr{ae}mi$sis inter $e $unt æquales: ergo ք 32 p 1 anguli reliqui, <003> $unt e o b & e o a, $unt æquales: ergo per 4 p 6 latera ip$orũ $unt proportionalia: $ed linea e a e$t æqualis lineæ e b: ergo linea e o e$t æqualis $ibi- ip$i: cadũt ergo line{ae} b o & a o in unũ punctũ line{ae} d e {pro}ductæ, qui e$t o. Ducatur etiam linea e t a d lineá b d, ita quòd cõtineat cũ linea e b angulũ rectũ per 11 p 1: & protrahatur linea t e ultra pũctum e, & linea b o ultra pũctum o: cõcurr\~et\’q; lineæ t e & b o per 14 th. 1 huius: quia cũ angulus b e t $it rectus, angulus e b o e$t acutus: $it ergo cõcur$us pũctus h: erit\’q; linea t e æqualis li- neæ e h, & linea t b æqualis line{ae} b h ք 4 p 6: trigona enim t e b & b e h per 26 p 1 & ex pr{ae}mi$sis $unt æquiangula, quibus latus e b e$t cõmune. Et $imiliter producatur linea e k ad lineã a d, ita quòd cõtineat cũlinea e a angulũ rectũ per 11 p 1, & producatur ultra pũctum e: & producatur linea a o ultra pũctum o: concur rent\’q; line{ae} k e & a o ք 14 th. 1 huius: quia cũ angulus k e a $it rectus, angulus e a o e$t acutus: $it con- cur$us punctus l: & erit linea k e æqualis lineæ e l: quia cũ angulus k e a $it rectus, erit angulus e a l rectus: $ed & angulus e a l e$t æqualis angulo k a e, ut patet ex pr{ae}mi$sis: ergo per 32 p 1 triguona k e a & e a l $unt æquiangula: ergo per 4 p 6 cũ linea e a $it ambobus illis trigonis cómunis, erit linea k a æqualis line{ae} a l, & linea k e æqualis line{ae} e l. Et hoc etiam prte$t concludi per 3 p 6. Et per eundem modũ o$ten$æ $unt lineæ t e & e h adinuic\~e, & lineæ t b & b h adinuic\~e æquales. Ducátur ergo li- neæ t k & l h. Quia itaq; duo latera t e & k e $unt æqualia duobus lateribus e h & e l, & per 15 p 1 an- gulus t e k e$t æqualis angulo l e h: patet per 4 p 1 quoniam line{ae} t k & l h erunt æquales inter $e. Si ergo ui$us fuerit in pũcto d, & linea l h fuerit in aliquo ui$ibili: tũc ui$us exi$tens in puncto d cõpre- hendet formá pũcti h in $peculo a b reflexam à pũcto b: & erit form{ae} pũcti h imago pũctum t per 37 th. 5 huius: quoniã cathetus $u{ae} incid\~eti{ae}, qu{ae} e$t linea h e, cõcurrit cũ linea reflexionis, qu{ae} e$t d b. in pũcto t: $imiliter\’q; forma pũcti l reflectetur ad ui$um in punctum d à pũcto $peculi, quod e$t a: & quia cathetus $u{ae} incidentiæ, que e$t l e, concurrit cũ linea reflexionis, quæ e$t d a, in puncto k: erit per 37 th. 5 huius pũctum k imago form{ae} pũcti l: & erit linea t k diameter imaginis line{ae} l h: & erit ei æqualis. Si ergo reuoluatur tota figura $peculi, & linearũ productarũ, linea h l immobili exi$tente: tunc pũctus d de$cribet circulũ, in cuius circũfer\~eti{ae} pũcto aliquo c\~etro ui$us exi$t\~ete poterit com prehendere aliquod ui$ibile cõparem habens $itũ ad ui$um, $icut nũc habet linea l h ad ui$um d: & erit imago illius ui$ibilis æqualis ei. Et $imiliter $i ui$us fuerit intra circulũ $peculi in pũcto o, & res ui$a fuerit di$po$ita $ecũdum lineam t k: erit imago lineæ t k linea l h, æqualis rei ui$æ. Sed tamen re ui$a exi$tente in linea l h, & ui$u exi$t\~ete in pũcto d, cũ imago rei ui${ae} fuerit linea t k: erit forma ima ginis cõuer$a re$pectu $itus rei. Si enim pũctus h fuerit in dextra, erit punctus t in $ini$tra: & $i pun- ctus h fuerit $upra lineá aliquá eleuatus, erit punctus t infra illã lineã depre$$us & inclinatus: & $imi liter e$t de pũcto l re$pectu pũcti k. Sed cũ res ui$a fuerit in linea t k, & ui$us fuerit in pũcto o, & ima go line{ae} t k fuerit linea l h: erit forma nõ cõuer$a $ed directa. Ná imago, qu{ae} e$t linea l h, erit retro ui $um, ut o$t\~e$um e$t in 11 hui{us}: & ui$us cõpreh\~edet pũctũ h, q <001> e$t imago pũcti t, retro $e in linea h o, & pũctum l, quod e$t imago pũcti k, in linea l o retro $e: & pars form{ae} ui$ibilis, quæ reflectitur ad ui $um, erit re$piciens ui$um in ip$a imagine, $icut & in ip$a $uperficie rei ui${ae}. Patet ergo propo$itum.

49. In $peculis $phæricis concauis imago quando<005> cõprehenditur minor re ui$a: quæ occurr\~es inter ui$um & $peculum conuer$um habet $itum rei ui$æ: quando<005> uerò uidetur maior re ui$a: quæ occurrens retro ui$um conformem habet $itum rei ui$æ. Alhazen 42 n 6.

Sit di$po$itio totius figur{ae} omnino eadem, qu{ae} in pr{ae}cedente theoremate: & producatur linea VITELLONIS OPTICAE b h in continuum & directũ: & in ip$a $ignetur punctus r: & ducatur linea r e ad centrũ $peculi. Et quoniá angulus t e b e$t rectus, patet per 13 p 1 quòd angulus h e b e$t rectus: palàm ergo quia angu lus r e b erit obtu$us: producatur\’q; linea r e ultra punctum e ad lineã b d: incidat\’q; in pũctum n: ca- d et\’q; punctũ n inter pũcta t & b. Cum enim angulus b e r $it obtu$us: patet per 13 p 1 quòd angulus b e n e$t a cutus: linea itaq; e n diuidit angulũ t e b, qui e$t rectus: ergo per 29 th. 1 huius ip$a $ecabit ba$im t b: erit ergo linea n b minor <004> linea t b: $ed linea t b, ut patuit in pr{ae}ced\~ete, e$t æqualis lineæ b h, & linea b r e$t maior quàm linea b h: erit ergo linea r b maior <004> linea b n. Et quia, ut patet ex pr{ae} mi$sis in proxima pr{ae}cedente, angulus n b e e$t æqualis angulo e b r: palàm quod linea e b diuidit angulum n b r per æqualia. Erit ergo per 3 p 6 proportio lineæ r b ad lineam b n, $icut proportio li- neæ r e ad lineam e n: $ed linea r b e$t maior quàm linea b n: ergo linea r e e$t maior quàm linea e n. Producatur quoq; $imiliter linea a l in continuum & directum, donec $it linea a m {ae}qualis line{ae} b r: & ducatur linea m e, qu{ae} producta concurrat cũ linea d a in puncto u: cõcurret autem, ut prius de- mon$tratũ e$t per 29 th. 1 huius. Et quia duo anguli e a m & o b r $unt æquales, ut patet in cõmento pr{ae}mi$$æ propo$itionis, & duo latera e a & a m trigoni e a m d g t z k n u b e a f o h m v $unt æqualia duobus laterib. trigoni b e r, qu{ae} $unt b e & b r: erit per 4 p 1 linea m e æ qualis lineæ r e: & angulus m e æ- qualis angulo r e b: $ed angulus r e b maior e$t angulo recto & obtu$us: erit ergo angulus m e a obtu$us: ergo ք 13 p 1 angu lus u e a e$t acutus. Quia ergo in trigono a e u angulus u a e e$t æqualis angulo e a m trigoni m e a, & angulus u e a e$t mi nor angulo m e a: erit angulus e u a maior angulo a m e ք 32 p 1: ergo in trigono m a u latus m a e$t maius latere u a: $ed li- nea a e diuidit angulũ u a m ք æqualia. Ergo ք 3 p 6 linea m e e$t maior <004> linea e u: & $imiliter e$t linea r e maior <004> linea e n. Ducátur itaq; line{ae} n u & m r. Et quia per 26 p 1 linea n e e$t æqualis line{ae} e u: quoniam ex pr{ae}mi$sis angulus u a e e$t æ- qualis angulo n b e, & angulus a e u e$t æqualis angulo b e n, cũ uterq; ip$orũ $uper angulũ æqual\~e obtu$um $it cõplemen tum duorũ rectorũ per 13 p 1, & latus a e e$t æquale lateri b e. Sunt igitur per 15 p 1 & per 7 p 5 & per 6 p 6 trigoni m e r & n e u æquianguli: ergo per 4 p 6 erit {pro}portio line{ae} m e ad li- neã e u, $icut line{ae} m r ad lineã n u: $ed, ut patet ex pr{ae}mi$sis, linea m e e$t maior <004> linea e u: ergo linea m r e$t maior <004> li- nea n u. Si ergo linea m r fuerit in aliquo ui$ibili, & ui$us fue rit in puncto d: erit linea n u diameter imaginis line{ae} m r: & e$t minor <004> linea r m. Et $i ui$us fuerit in pũcto o, & linea n u fuerit in aliquo ui$ibili: erit linea m r imago line{ae} n u: & e$t maior <004> linea n u. Sed cũm in linea m r fuerit aliquod ui$ibile, & ui$us in pũcto d: imago n u eritinter ui$um & $peculũ: & uidebitur imago reuer$a, habens $itũ alium <004> res ui$a, prout declarauimus in the oremate pr{ae}cedente. Cum uerò res ui$a fuerit in linea n u, & ui$us in pũcto o: imago m r uidebitur retro ui$um, & erit eius forma conformis $itui rei ui${ae}, ut in pr{ae}mi$$a patuit. Nã imago $i fuerit ultra ui$um uidebitur anterius ip$ius, & omne punctum imaginis uidebitur in li nea $u{ae} reflexionis. Patet ergo manife$tè totum, quod proponebatur.

50. In $peculis $ph æricis concauis imago quando<005> comprehenditur maior re ui$a, & conuer- $a $ecundum $itum formæ rei ui$æ, ip$a imagine inter ui$um & $peculũ occurrente: retro ui$um non uidetur minor, $edhabens $itum conformem rei ui$æ. Alhazen 43 n 6.

Remaneat di$po$itio, qu{ae} prius in 48 huius: & $ignetur in linea o h punctum q: & ducatur linea e q: & producta ultra c\~etrũ y b f j a q t k p l d g e tran$eat ad punctum p li- ne{ae} d b: $it\’q;, ut à linea o l ab$cindatur linea o f æ qua- lis line{ae} o q per 3 p 1: & duca turlinea f e: qu{ae} produca- tur ultra punctũ e ad lineá d a in punctũ i: erunt itaq; $ecundum pr{ae}dictũ in pr{ae}- mi$sis proban di modũ du{ae} line{ae} p e & i e maiores dua- bus lineis e f & e q. Quia e- nim linea l e e$t maior <004> li- nea f e, ut patet ex pr{ae}mi$- $is duobus theorematibus, & linea e h e$t maior quàm linea e q: lianea uerò p e e$t maior <004> linea t e, LIBER OCTAVVS. & linea i e maior quàm linea e k: linea uerò l e e$t æqualis line{ae} k e, & linea h e e$t æqualis line{ae} e t: patet quòd du{ae} line{ae} e p & e i $unt maiores duabus lineis f e & e q. Et quia ex præmi$sis in pr{ae}ce- dentibus duobus theorematibus anguli e h q & e l f $unt æquales, & line{ae} e h & e l æquales: nũc au- tem line{ae} h q & l f accept{ae} $unt {ae}quales: ergo per 4 p 1 line{ae} f e & q e $unt æquales: & angulus f e o {ae}- qualis angulo q e o: ergo per 15 p 1 angulus p e d e$t {ae}qualis angulo d e i: relinquitur ergo ex pr{ae}mi$ $is angulus p e b æqualis angulo i e a: ergo per 32 p 1 trigona p e b & i e a $unt {ae}quiangula: ergo per 4 p 6 cum linea e b $it æ qualis line{ae} e a: erit linea p e æqualis line{ae} e i. Ducantur ergo line{ae} p i & f q: e- rit per 15 p 1 & per 7 p 5 & per 6 & 4 p 6 linea p i maior quàm linea f q. Si ergo ui$us fuerit in puncto o, & linea p i $it in aliquo ui$ibili: erit linea f q imago line{ae} p i: & e$t linea f q minor quàm linea p i: & imago f q uidebitur $uper duas lineas reflexionis, quæ $unt a o & b o: erit ergo forma imaginis re- tro ui$um minor quàm res ui$a: & erit directa habens $itum conformem $itui rei ui${ae}. Si uerò ui$us fuerit in puncto d, & linea f q fuerit in aliquo ui$ibili: tunc erit linea p i imago line{ae} f q, & erit maio- ris quantitatis quàm linea f q: & erit forma ante ui$um, conuer$um & contrarium habens $itum, re- $pectu $itus form{ae} rei ui${ae}. Et hoc e$t propo$itum.

51. Centro ui$us exi$t\~ete in aliquo pũcto, inter quod & $uperfici\~e $peculi $phærici cõcaui fuerit c\~etrũ $peculi: formæ ui$æ exi$t\~etis ultr a c\~etrũ $peculi imago cõuer$a uidetur, & minor forma rei ui$æ. In hoc quo<005> $itu ui$us cõprehendet propriãimagin\~e minor\~e & cõuer$am. Alhaz. 44 n 6.

Sit $peculum $ph{ae}ricum concauũ a b d: cuius c\~etrum g: $ecet\’q; ip$um $uperficies plana per cen- trum g: erit ergo per 69 th. 1 huius cõmunis $ectio circulus: qui $it a b d: & ducatur linea g d, utcũq; contingit: & producatur linea g d ultra punctũ g ad pũctum e: in quo $it c\~etrum ui$us in $uperficie circuli a b d: $it\’q; pũctus t in ead\~e linea e d ultra c\~etrum $peculi, quod e$t pũctum g: & ducatur linea t h per 11 p 1 perp\~ediculariter $uper lineá e d: & producatur linea h t ultra púctum t ad púctum z, do nec $it linea z t æqualis line{ae} t h: compreh\~edat\’q; ui$us exi$t\~es in pũcto e formã pũcti h ք reflexion\~e factá à puncto $peculi, quod $it a. Erũt itaq; duo pũcta a & h à duobus lateribus pũcti g: $it\’q; ita, ut $i linea g h producatur ad peripheriam circuli in punctum p, fiat arcus a p maior quarta circuli: & erit angulus a g p obtu$us per 33 p 6. Non e$t aut\~e po$sibile, ut pũcta a & h con$i$tãt in eod\~e latere pũcti g, inter diametros g d & g q, producta $emidiametro g p in pũctum q. Nõ enim po$$et fieri reflexio, ut patet per 20 huius, ni$i linea producta à pũcto g c\~etro $peculi ad pũctum a diuideret angulũ h a e per {ae}qualia. Ducantur itaq; line{ae} e a & a h: & producta linea h g ad lineã a e, incidat ip$a in pũctũ k. Angulus itaq; h a g e$t {ae}qualis angulo g a e per 20 th. 1 huius: & e$t punctus k locus imaginis pũcti h per 37 th. 5 huius. Sit quoq; arcus b d æqualis arcui d a: quod fiet ք 26 p 3: $i angulus d g b fiat {ae}qua- lis angulo d g a: & ducátur line{ae} e b, z b, g b: & producatur linea z g ad lineá b e, incidat\’q; in pũctũ l: $ecet\’q; linea z b $emidiametrũ d g in pũcto f. Et quia, ut patet ex pr{ae}mi$sis, du{ae} line{ae} z t & t h $unt {ae}quales, & pũcta z & h {ae}qual\~e hab\~et di$po$ition\~e, re$pectu c\~etri, & re$pectu peripheri{ae} circuli: patet quòd line{ae} h a & z b inter$ecabũt $emidiametrũ d g in eod\~e pũcto f. Quia itaq; in trigonis t z f & h t f duo latera h t & t z $unt {ae}qualia, & latus t f e$t cõmune, & anguli a d t recti: palàm ք 4 p 1 quoniã li- nea z f e$t {ae}qualis line{ae} h f. Sed & in trigonis a g f & b g f accidet ք cand\~e 4 p 1 angulũ f a g æqualem e$$e angulo f b g, & lineá a f æqual\~e fieri line{ae} f b. E$t enim ex pr{ae}mi$sis angulus a f g {ae}qualis angulo b g f, & line{ae} a g & b g $unt $emidiametri, cõmunis uerò ambobus trigonis a f g & b f g e$t linea f g: ergo ք 4 p 1 angulus f a g {ae}qualis e$t angulo f b g: $imiliter\’q; per 13 p 1 & ք eand\~e 4 p 1 linea e a {ae}qua- lis fit line{ae} e b, & angulus g b e {ae}qualis angulo g a e: $ed anguli f a g & g a e $unt {ae}quales: ergo & an- guli f b g & g b e $unt {ae}quales: ergo angulus z b g {ae}qualis e$t angulo e b g. Ergo per 20 th. 5 huius for ma pũcti z reflectetur à pũcto $peculi, quod e$t b, ad ui$um exi$t\~etem in puncto e: & erit pũctus l lo- cus imaginis form{ae} pũcti z. Ducatur quo q; linea k l: p d h t z f b g a l e k q qu{ae} erit diameter imaginis line{ae} z h. Et <003>a linea z h e$t perp\~edicularis $uք lineã d e, & linea z t e$t {ae}qua- lis line{ae} t h ex hypothe$i, & quia, ut patet ex pr{ae}mi$- $is, du{ae} line{ae} z f & h f $unt {ae}quales, & du{ae} line{ae} a f & b f $unt {ae}quales: tota ergo linea z b e$t {ae}qualis toti li ne{ae} h a: $ed & du{ae} line{ae} a e & e b $unt {ae}quales: ducan tur quoq; line{ae} e h & e z. In trigonis itaq; e a h & e z b duo latera unius, qu{ae} $unt e a & h a, $unt æqualia duobus alterius lateribus, \~q $unt e b & b z: & angu- lus h a e e$t {ae}qualis angulo z b e: ergo ք 4 p 1 ba$is z e e$t {ae}qualis ba$i h e: $imiliter\’q; in trigonis z t g & h t g duo anguli ad pũctum t $unt recti, & latus z t {ae}quale lateri h t, latus quoq; t g e$t cõmune: ergo per 4 p 1 li nea g h e$t æqualis line{ae} z g: line{ae} uerò a g & g b $unt $emidiametri circuli a b d & {ae}quales: ergo du{ae} line{ae} a g & g h $unt æquales duabus lineis b g & g z, & ba- $is a h e$t æqualis ba$i b z: ergo per 8 p 1 erit angulus a h k æqualis angulo b z l, & angulus h a k æqualis angulo z b l: erit ergo ք 32 p 1 angulus h k´a æqua lis angulo z l b. Trigona itaq; h a k & z b l $unt {ae}quiangula: ergo ք 4 p 6 erit proportio line e h k ad VITELLONIS OPTICAE lineam z l, $icut lineæ z b ad lineã h a: $ed linea z b e$t æqualis lineæ h a, ut patet ex pr{ae}mi$sis: ergo li nea h k e$t æqualis lineæ z l: $ed & linea h g e$t æqualis lineæ z g, ut $uprà patuit: erit ergo reliquum æquale reliquo: ergo linea g k e$t æqualis lineæ g l. Quia itaq; duæ lineæ z g & h g inter $e $unt {ae}qua les, & duæ lineæ g k & k l inter $e $unt æquales: patet ք 7 p 5 quoniá e$t proportio lineæ z g ad lineã g l, $icut lineæ h g ad lineá g k: $ed angulus z g h & k g l $unt {ae}quales ք 15 p 1: ergo ք 6 p 6 erũt trigona z g h & k g h æquiangula: angulus ergo z h k e$t æ qualis angulo l k h: ergo ք 27 p 1 line{ae} z h & k l $unt æquidi$tátes: quod etiá patere pote$t ք 14 th. 1 huius It\~e angulus h g a, ut patet ex \~pmi$sis, e$t obtu- $us: ergo ք 13 p 1 angulus a g k e$t acutus: duo uerò anguli h a g & g a k $unt æquales: relin quitur er- go ք 32 p 1 angulus a k g maior angulo a h g: ergo per 19 p 1 in trigono a h k latus a h e$t maius latere a k, & duo anguli apud a $unt æquales: ergo per 3 p 6 linea h g e$t maior <004> linea g k: & $imiliter linea z g e$t maior <004> linea g l. Ergo linea z h e$t maior <004> linea k l per 4 p 6: $ed linea k l e$t diameter imagi- nιs lineæ z h: linea ergo z h uidebitur minor <004> $it $ecũdũ ueritat\~e. Si ergo reuoluerim{us} circulũ a b d, linea e d immobili exi$t\~ete: ex duob. pũctis a & b de$cribetur circulus in $uperficie $peculi: & $icut $e habet ui$us exi$tens in pũcto e ad r\~e ui$am, in qua e$t linea z h: $ic $e habebit re$pectu cuiuslibet cõparis lineæ cad\~etis intra illũ circulũ, qu\~e $ignant pũcta z & h reflexa ex arcu cõpari arcui a b, ex protione $peculi, quam diuidit circulus, qu\~e $ignát duo pũcta a & b. Et $imiliter pote$t declarari, $i linea z h ponatur maior uel minor, <004> nũc e$t po$ita. Vniuer$aliter enim in hoc $itu diameter imagi- nis uel faciei a$pιcientis cõprehenditur in $peculo $phærico concauo minor <004> $it: $ed etiã imago ui- detur conuer$a. Si enim ui$us $uerit in pũcto e: tũc a$piciens cõprehendet formá $uá in tali $peculo minor\~e <004> $it. Et <003> a pũctus k e$t imago pũcti h, & pũctus l e$t imago pũcti z: erit imago cõuer$a: quo- niá pars dextra uidebitur $ini$tra, & $ini$tra dextra: & $imiliter $uperior uidebitur inferior, & infe- rior $uperior. Et $imiliter etiá ui$us cõprehendet $uá formá: quia illud, quod e$t in dextro, cõprehen det in $ini$tro, & econuer$o: & quod deor$um e$t, cõprehendet $ur$um, & ecõuer$o. Similiter quoq; $i ui$us fuerit in quolibet qũcto, ιnter quod & $uperficié $peculi fuerit centrũ $peculi: $emper cópre hendet $uá formã cóuer$am. Et hoc e$t propo$itũ. Ex his itaq; pr{ae}mi$sis quatuor theorematibus pa tet, quòd in $peculis $phæricis concauis imago rei ui$æ cõprehenditur à ui$æ quãdoq; maior: quan- doq; minor: quãdoq; æ qualis rei ui$æ: & nũc conform\~e habens $itum ip$i rei ui$æ, & nũc cõuer$um- Et quoniam, $icut o$ten dimus per 40 huius, quan doq; unius rei una uidetur imago: quãdoq; duæ: quandoq; tres: & quandoq; quatuor: illud ergo, quod habet unã imagin\~e maior\~e $e, for$an habebit alias minores uel æqualies: & quod habet unam imaginem $e minor\~e, for$an habebit alias maiores uel æquales: & quod habet unã æqual\~e, for$an habebit alias maiores uel minores: & quod habet u- nam, cuius $itus e$t directus compar rei ui$æ, for$an uidebitur $ub alijs imaginibus habentibus con uer$um $itum in contrarium rei ui$æ. Et h{ae}c omnia ex diuer$itate $itus rei ui$æ, & ip$ius ui$us, re$pe ctu punctorum reflexionis patere po$$unt ex pr{ae}mi$sis. Patet ergo propo$itum.

52. Lineis incidentiæ $e inter$ecantibus in $peculis $phæricis concauis: altitudines & pro$un- ditates erect æ $uper $uperficiem $peculi citra punctum $ectionis exi$t\~etes: reuer$æ: quæ uerò $unt in ei$dem lineis ultra $ectionem, quemadmodum $unt, $ic apparent. Eucl. 11 th. catoptr.

E$to $peculũ $ph{ae}ricũ concauũ a g: cuius centrũ q: $int\’q; duæ altitudines d e & h n erect{ae} $uper $uperfici\~e $peculi: $it\’q; cõmunis $ectio $uperficiei re- b q a h z d n g e l p e i c flexionis & $peculi circulus a g: reflectatur\’q; forma puncti e ad ui$um (cuius centrũ $it b) à pũcto $pecu li, quod $it a: & forma pũcti d à pũcto g: inter$ec\~et\’q; $e line{ae} incidenti{ae} d g & e a in pũcto z: citra qu\~e pun ctũ $ectionis $it altitudo h n: cuius pũctum h $it in li- nea e a, & eius punctũn $it in linea d g. Cum ergo o- mnia puncta lineæ e a reflectantur ad ui$um b à pun cto $peculi a: & omnia puncta lineæ d g à puncto $pe culi g: palàm quòd forma puncti h reflectetur à pun- cto $peculi a: & forma puncti n à puncto $peculi g. Quia uerò lineæ h n & d e $unt erectæ $uper $uperfi- ciem $peculi: patet per 72 th. 1 huius quoniam qu{ae}li- bet ip$arum tran$it punctum q c\~etrum $peculi. Pro- ducatur ergo à centro $peculi (quod e$t q) per li- neam h n linea q n h: producatur\’q; ab eodem cen- tro q per lineam e d, linea, quæ producatur extra $pe culum. Et quia linea q e d e$t perpendicularis $uper $uperficiem $peculi, & linea b g obliqua: patet per 14 th. 1 huius quòd lineæ e d & b g concurrent ultra $peculum: $it concur$us punctus i. Palàm etiam per eandem 14 th. 1 huius quoniam linea q n h produ- cta concurret cum linea b g i: $it concur$us pun- ctus p: & linea b a concurrat cum linea q h in puncto l: & cum linea q i in puncto c. Manife$tum LIBER OCTAVVS. autem per 37 th. 5 huius quoniam locus imaginis formæ puncti h erit in puncto l: & locus imaginig formæ puncti n erit in puncto p. Erit ergo linea l p imago totius lineæ h n. Habet autem imago l p $i- tum reuer$um, re$pectu $itus line{ae} h n: quoniam pun- i c d l p e h a z n g q b ctus h e$t altior puncto n, & punctus l, qui e$t imago puncti h, e$t ba$sior puncto p, qui e$t imago puncti n. Punctus uerò i e$t locus imaginis puncti d: & punctus c e$t locus imaginis puncti e. Et quia punctus i e$t al- tior puncto c, $icut punctus d e$t altior ip$o puncto e: palàm quoniam imago line{ae} d e (quæ e$t linea i c) con formem $ituationem habet ip$i lineæ d e, cuius ip$a e$t imago: quoniam imago $ituata apparet, $icut $e habet ip$a res ui$a. Et hoc e$t propo$itũ de altitudinibus. De profunditatibus uerò idem patet: ut $i lineæ h n & d e qu{ae}dam profunditates ponantur e$$e: tunc enim ead\~e e$t demõ$tratio. Apparet enim profunditas h n reuer- $a, & profunditas d e quemadmodum e$t di$po$ita, $ic apparet. Hoc itaq; e$t propo$itum. Si uerò amb{ae} line{ae} d e & h n e$$ent ex una quacunq; parte $ectionis linea rum incidentiæ, fieret $uarum imaginum conformis $ituatio: ut patet per præmi$$a.

53. Lineis incidentiæ $e inter$ecantib. in $peculis $phæricis concauis: obliquæ longitudinis citr a pun- ctum $ectionis exi$tentes, quem admodum $unt, $ic apparent: earum uerò, quæ $unt ultra $ectionem in ei$dem lineis, uidentur imagines reuer$æ. Euclides 12 th. catoptr.

Sit $peculum $phæricum concauum a g: cuius centrum m: & $it centrum ui$us b: & $it linea d e obliqua $uper $uperficiem $peculi: cuius puncti d forma reflectatur ad ui$um b à puncto $peculi, quod e$t a: forma\’q; puncti e à puncto g: & lineæ incidentiæ (quæ $unt d a & e g) inter$ec\~et $e in pũ- cto i: $it\’q; citra punctum i linea obliquè incid\~es $uperficiei d e b m z l n c k a g f s $peculi, qu{ae}$it k c, cuius punctus k reflectatur à puncto $pe culi g, & punctus c à puncto $peculi a. Ducatur itaq; linea d m à puncto d ad centrum $peculi, qu{ae} (propter obliqui tat\~e line{ae} b a $uper $uperfici\~e $peculi, cũ linea d m $it perp\~e dicularis $uper eandem $peculi $uperficiem per 72 th. 1 hu- ius: ideo quia tran$it centrum $peculi, quod e$t m) concur ret cum linea b a obliquè $uperficiei $peculi incidente, ut patere pote$t per 14 th. 1 huius: $it concur$us in puncto l. Similiter quoq; linea e m concurret cum linea b g: $it pun ctum concur$us n. Palàm ergo per 37 th. 5 huius quoniam in puncto l e$t imago formæ puncti d, & in puncto n ima- go formæ puncti e: ducatur\’q; linea n l: quæ erit imago to- tius lineæ d e. Habet quoque imago n l reuer$è $e ad $itum line{ae} d e: quoniã punctus n, qui e$t imago puncti e ba$sio- ris, e$t altior puncto l, qui e$t imago puncti d altioris. Pro- ducatur quo que linea m k donec concurrat cum linea b g producta: concurret autem propter obliquitat\~e lineæ b g $uper $uperficiem $peculi, & propter perpendicularitat\~e li ne{ae} m k: $it concur$us punctus f: & producatur linea m c donec cõcurrat cũ linea b a producta: & $it punctus cõcur $us s: copuletur\’q; linea f s: erit ergo linea f s imago lineæ k c: & $icut punctũ k e$t altius puncto c, $ic erit punctũ f al- tius puncto s. E$t ita q; imago f s cõform\~e habens $itũ ip$i rei ui$æ, qu{ae} e$t k c, occurrens $peculo citra punctum $e- ctionis linearũ incidenti{ae}, qui e$t i. Patet ergo propo$itũ.

54. In $peculis $phæricis concauis ui$us in quibu$dam $itibus cõprehendit lineæ rect æ ui$æ ima ginem plenè rectam. Alhaz. 45 n 6.

Sit $peculũ $ph{ae}ricũ concauũ a b: cuius c\~etrũ e: $ecetru\’q; ք $uperfici\~e planã ք centrũ: erit ergo ք. 69 th. 1 huius cõmunis $ectio circulus magnus, qui $it a b: & eius centrũ e: ducantur\’q; du{ae} diametri huius circuli, qu{ae} $unt a e o & b e d: & $peculũ non excedat arcũ b a d o: a$$umatur\’q; in $emidiame- tro b e, quicũq; pũctus placuerit: & $it z: in quo ponatur c\~etrũ ui$us: & $umatur in $emidiametro a e punctus k, taliter, ut linea a k $it maior <004> linea k e: & ducatur linea z k: & {pro}trahatur ad circũferentiã, incidat\’q; in punctũ f: & ducatur linea e f: & $uք f terminũ line{ae} e f con$tituatur angulus æ qualis an- VITELLONIS OPTICAE gulo z f e ք 23 p 1, qui $it angulus g f e, ducta linea g f: cuius pũctus g cadetin $emidiametrũ o e. Quia enim linea f k e$t maior <004> linea k a per 7 p 3, & linea k a e$t maior <004> k e exhypothe$i: erit linea f k ma- ior <004> linea k e: ergo per 18 p 1 angulus f e k maior e$t angulo e f k: e$t ergo angulus f e k maior angulo e f g: linea ergo f g per 14 th. 1 huius concurret cũ linea g e: cõcurrat ergo in puncto g. Duarum ergo linearũ z $ & $ g puncta reflectuntur ad $e inuicem à puncto $peculi, quod e$t f, propter angulorũ æ- qualitatem per 20 th. 5 huius. E$t ergo punctus k imago puncti g centro ui$us exi$tente in puncto z. Ducatur itaq; linea z h $ecans diametrũ o a in pun- h t f d l i k a r e z b c m o g cto l, & peripheriã circuli in pũcto h, utcunq; cõtin git: ducátur\’q; line{ae} e h, h g, z g: & protrahatur linea f e $uք lineã z g: incidat\’q; in punctũ m: ergo ք 3 p 6 erit proportio line{ae} z m ad lineã m g, $icut line{ae} z f ad lineã f g: $ed ք 7 p 3 linea z h e$t maior <004> linea z f, & linea g h e$t min or <004> linea g $ per eand\~e 7 p 3: er- go per 9 th. 1 huius maior e$t proportio line{ae} z h ad lineam g h, quã lineæ z f ad f g: e$t ergo {pro}portio li- neæ z h ad lineã g h maior quã line{ae} z m ad lineam m g. Ergo ք 3 p 6 linea, quæ diuidit angulum z h g per {ae}qualia, $ecat lineam m g: $ecat ergo prius lineã e g per 32 th. 1 huius: quoniã linea e g e$t uicinior ad punctũ h quã linea m g: maior erit ergo angulus g h e angulo e h z, argum\~eto 29 th. 1 huius, & ex præ- mi$sis. Ponamus ergo angulũ e h r {ae}qual\~e angulo e h z: linea ergo h r $ecat lineá g f, & $ecat lineã g e ք 29 th. 1 huius: $ecet ergo g e in pũcto r: & $ecet linea h z $emidiametrũ e a in puncto l. Pũcta ergo duarũ linearũ z h & h r refle ctũtur adinuic\~e propter {ae}- qualitat\~e angulorũ r h e, e h z: fiet\’q; reflexio à puncto $peculi, quod e$t h, ք 20 th. 5 huius: & erit l pũ- ctus imago puncti r. Palã uerò quoniã forma cuiuslibet puncti line{ae} g r reflectitur ad ui$um in pun- ctum z, ex aliquo puncto arcus f h, & nõ ex alio ք 42 huius. Sumatur itaq; ali<003>s punctus line{ae} g r, <003> $it c, & hic refle ctatur ab aliquo puncto arcus f h, qui $it t: & ducãtur line{ae} c t & z t. Quia ergo pũctus t e$t inter duo puncta f & h arcus f h: palã quia linea z t cadet inter duas lineas z f & z h: linea ergo z t ք 29 th. 1 huius $ecat lineã k l: $ecet ergo in puncto i. E$t ergo per 37 th. 5 huius punctus i imago for- mæ puncti c: & pũctus c nõ habet aliã imagin\~e ni$i punctũ i, quoniã tãtũ ab uno puncto arcus f h fit reflexio form{ae} pũcti c ad ui$um exi$tent\~e in pũcto z, ut patet ք 19 uel ք 27 huius. Imago itaq; cuiusli bet puncti line{ae} gr erit in aliquo puncto line{ae} k l: e$t ergo tota linea k l imago form{ae} totius line{ae} g r: & e$t recta: quia e$t pars $emidiametri circuli a e. Vi$us ergo exi$t\~es in puncto z cõpreh\~edit formã li ne{ae} rect{ae}, qu{ae} e$t g r, imagin\~e l k rectã exi$tent\~e in $peculo $ph{ae}rico cõcauo a b. Et hoc e$t propo$itũ.

55. In $peculis $phœricis cõcauis cõprebendet ui$us ex quibu$dã $itib. imagin\~e lineœ cõuexœ cõue- xam, & cõcauœ concauã: erit<006> lineæ, cuius cõuexitas re$picit $peculũ, imago cõuexa re$pici\~es ui- $um: & lineœ, cuius cõcauit as re$picit $peculũ, imago concauare$pici\~es ui$um. Alhazen 46 n 6.

Sit di$po$itio, quæ in proxima præcedente: con$tituantur\’q; $uper lineam g r à duobus $uis late- ribus duo arcus, utcun q; contigerit: qui $int g n r & g q r: & $it arcus g n r non $ecás lineam g h: & po natur in linea recta g r punctũ m, quomodocunq; $it o d h t f a b p k l z e r n m g q illud. Forma itaq; puncti m reflectitur ad ui$um z ex aliquo puncto arcus f h per 42 huius: $it itaq;, ut refle ctatur ex puncto t & ducantur line{ae} z t, e t, m t: duo itaq; anguli z t e & e t m $unt {ae}quales per 20 th. 5 hu ius. Linea ergo m t $ecabit arcum g n r: $it, ut $eceti- p$um in puncto n: & producatur linea t m uer$us ar- cũ g q r: $ecet\’q; illũ in puncto q: & ducatur linea n e: producatur\’q; ultra punctũ e: $ecabit ergo lineam z t $ub linea k l ք 29 th. 1 huius: quoniam $ecat angulum k e z, cui $ubt\~editur pars line{ae} t z: $ecet ergo illam in puncto i. Quia ergo duo anguli z t e & n t e $unt æ- quales: patet per 20 th. 5 huius quòd forma puncti n reflectitur ad ui$um z à puncto $peculi t. E$t ergo pa- làm per 37 th. 5 huius quoniam punctus i e$t locusi- maginis form{ae} puncti n: & duo puncta k & l $unt imagines duorũ punctorũ g & r, ut patuit per præ mi$$am. Imago ergo arcus g n r e$t linea tran$iens per puncta k i l: $ed linea k i l e$t conuexa ex parte ui$us z: & arcus g n r e$t conuexus ex parte $peculi. Vi$us itaque exi$tens in puncto z comprehen- det formam line{ae} g n r conuexæ conuexam lineam. Ducatur quoque linea q e: & producatur ul- tra punctum e: $ecabit quoque lineam z t ultra lineam l k per 29 th. 1 huius: quoniam $ecat angulum t e k: $ecet ergo in puncto p. Et quia anguli p t e & q t e $unt æ quales: patet per 20 th. 5 huius quoniã à puncto $peculi, quod e$t t, reflectetur $orma puncti q ad ui$um z: & locus imaginis formæ puncti q e$t punctus p: & erit, ut $uperà, linea l p q ex parte ui$us concaua: & ip$a e$t imago arcus g q r LIBER OCTAVVS. concaui ex parte $peculi. Comprehendet ergo ui$us in puncto z exi$tens formam arcus g q r conca ui lineam concauam. Et hoc e$t propo$itum.

56. In $peculis $phœricis concauis comprehendet ui$us ex quibu$dam $itibus lineœ rectœ imagi- nes quatuor curuas: lineœ<006> curuœ, cuius conuexitas ect ad $peculum, imaginem comprehendit curuam: omnium<006> harum imaginum concauit as re$piciens e$t ad ui$um. Alhazen 47 n 6.

Sit $peculum $ph{ae}ricum concauum, in quo $it circulus maximus, qui a b d: cuius centrum g: & extrahatur à centro g $emidiameter g b, utcunq; contingit: qu{ae} diuidatur per in{ae}qualia in puncto t taliter, ut linea g t $it maior medietate line{ae} b g: & à puncto t ducatur linea t z perpendiculariter $uք lineam g b per 11 p 1: & producatur linea z t ultra pũctũ t ad punctũ e: fiant\’q; line{ae} z t & e t utr{ae}q; æ- quales line{ae} t g per 3 p 1: & ducantur lineæ g e & g z: & trigono e g z circum$cribatur circulus per 5 p 4: erit\’q; centrum illius circuli punctus t per 9 p 3. Et quia linea t g maior e$t quã linea t b: palàm quoniam ille circulus $ecabit circulum a b d: in duobus ergo pũctis illum $ecabit per 10 p 3: $int itaq; illa duo puncta a & d. Ducantur quoque lineæ g a, g d, e a, e b, e d, z a, z b, z d. Quia ergo duæ lineæ e t & t z $unt æ quales, & anguli ad punctum t $unt recti, & linea t g communis: erunt per 4 p 1 du{ae} li- ne{ae} e g & z g æ quales: & $imiliter per eandem 4 p 1 duæ lineæ e b & z b $unt æ quales: ergo per 28 p 3 duo arcus e g & g z $unt æ quales: ergo per 27 p 3 angulus e a g e$t æ qualis angulo g a z: & angulus e d g æqualis e$t angulo g d z: & angulus e b g æqualis angulo g b z: quoniam omnes illi anguli ca- duntin eo$dem arcus. Forma ergo puncti z reflectitur ad punctum e à punctis $peculi a & d & b, uel econuer$o per 20 th. 5 huius. Et quia linea g t e$t maior quàm linea t b: duæ uerò lineæ e b & z e ad inuicem, & du{ae} line{ae} e g & z g adinuicem $unt æquales per 4 p 11: palàm per 47 p 1 quoniam linea g e e$t maior quàm linea b e. Quadratum enim lineæ g e ualet ambo quadrata linearum g t & t e, & quadratum lineæ e b ualet ambo quadrata linearum e t & t b: ablato ergo quadrato lineæ t e com- muni, relinquitur quadratum line{ae} g e maius quadrato lineæ e b: quoniam linea g t e$t maior quàm linea t b. Ergo linea g e e$t maior quàm linea e b in trigono g e b, &, ut patet per 18 p 1, angulus g b e e$t maior angulo e g b: $ed angulus e g b e$t medietas unius recti per 5 & per 32 p 1: duo ergo an- guli, qui b g e & e b g, $imul $um pti $unt maiores recto: ergo angulus b e g e$t minor recto per 32 p 1: $ed angulus e g z e$t rectus per 31 p 3: & ideo quoniam anguli e g t & t g z $unt du{ae} medietates unius recti: ergo per 14 th. 1 huius duæ lineæ e b & g z l m s q o d r b n p t h c g u l f product{ae} concurrent extra circulum: $it earũ con cur$us pũctus l. Et quia linea e d e$t intra triangu lum l e g: palàm quoniam i p$a producta concur- ret cum linea g l per 29 th. 1 huius: concurrant er- go in puncto m. Et quia linea g b tran$it per pun- ctum t, quod e$t centrum circuli e g z: linea uerò a g ducitur extra illam à centro ad peripheriã: pa- lã quia portio a e g e$t minor $emicirculo: ergo ք 31 p 3 angulus a e g e$t obtu$us, & angulus e g z e$t rectus: ergo per 14 th. 1 huius illæ du{ae} lineæ a e & z g concurrent in partem lineæ e g: concurrant er go in puncto f. Si itaq; ui$us fuerit in puncto e, & punctus z in aliquo ui$ibili: tunc tria puncta m, l, f erunt imagines puncti z. Sic ergo punctus z com prehenditur in tribus locis: quoniam à tribus pũ- ctis $peculi, quæ $unt a, b, d fit reflexio formæ pun cti ip$ius z ad ui$um e. Item protrahatur à pũcto e linea $uper arcum d z, utcunq; contingat, quæ $it linea e k: & ducatur linea g k, quæ $ecet arcum d z in puncto k: & ducatur linea z k. Quia ergo arcus e g & g z $unt æ quales: erunt duo anguli e k g & g k z æ quales per 27 p 3: producatur\’q; linea g k ad circumferentiam circuli a b d: incidat\’q; in punctũ r: & ducantur line{ae} er & z r. Et quoniam angulus e k g e$t æ qualis angulo g k z, erit angulus e k r æ- qualis angulo z k r per 13 p 1: erit ergo angulus e r k maior angulo k r z. Si enim $it æ qualis: tunc per 32 p 1 & 4 p 6 $equitur lineam e k æ qualem e$$e li- neæ z k, & arcũ z k {ae}qual\~e e$$e arcui e a k: quod e$t contra præmi$$a: e$t enim arcus ea {ae}qualis arcui d z. Quòd $i angulus e r k $it minor angulo z r k: e- rit ergo ex pr{ae}mi$sis angulus r e k maior angulo k z r: re$ecetur ergo angulus r e k ad {ae}qualitat\~e an- guli r z k ք 27 th. 1 huius: & $equetur id\~e impo$sibile q<001> prius, {pro}ducta illa linea ad lineã r k: re$tat er go ut angulus e r g $it maior angulo g r z. Fiat ergo ք 23 p 1 $uք pũctũ r terminũ line{ae} g r angulus g r n VITELLONIS OPTICAE æqualis angulo e r g: cadet\’q; punctus n in lineam z m per 29 th. 1 huius: duæ ergo line{ae} e r & r n à pũ cto $peculi (quod e$tr) reflectentur ad $e inuicem per 20 th. 5 huius, propter æqualitatem angulorũ ad punctum r. Producatur quoq; linea e r ad lineam g m: concurret autem cum illa per 14 th. 1 hu- ius: $it\’q; punctus concur$us q: erit ergo punctus q imago formæ puncti n, re$pectu ui$us e. Imagine- mur ergo $uperficiem exeuntem à linea m g f, quæ $it perpendiculariter erecta $uper $uperficiem cir culi a b d: & extrahatur à puncto z linea in hac $uperficie, quæ $it perpendicularis $uper lineam g z: & tran$eat in utranque partem $uperficiei circuli a b d: $it\’q; linea c z p. Po$ito itaque puncto g cen- tro circuli fiat arcus circuli $ecundum quantitatem lineæ g n, qui $it c n p: $ecans lineam c z p in duo bus punctis c & p: & producantur line{ae} g c & g p: erunt ergo i$t{ae} lineæ in $uperficie perpendicula- ri $uper $uperficiem a b d per 2 p 11. Producantur item line{ae} g c & g p ultra puncta c & p extra $pecu- lum: & $uper centrum g $ecundum longitudinem line{ae} g q in $uperficie tran$eunte lineam m g f, $e- cante circulum, in qua $unt lineæ g c & g p, fiat arcus circuli. Hic ergo iterum $ecabit duas lineas g c & g p productas: $ecet ergo lineam g c in puncto s, & lineam g p in puncto o. Quia ergo $uperficies circuli a b d e$t perpendiculariter erecta $uper $uperficiem duarum linearũ g c & g p: palàm per defi nitionem quoniam duo anguli e g s & e g o erunt recti: linea ergo e g erit erecta $uper $uperfici\~e g c p: ergo per 18 p 11 erit utraq; $uperficierum, quæ $unt e g s & e g o, perpendicularis $uper $uperfici\~e s g o, & utra que i$tarum $uperficierum facit in $peculo circulum magnum comparem circulo a b d per 69 th. 1 huius: punctum ergo circuli, quem facit $uperficies e g s, quod e$t compar puncto circu- li a b d $cilicet puncto r, eundem habet $itum re$pectu centri ip$ius $peculi, quod e$t g, & re$pectu ui $us, qui e$t in puncto e, quem habet punctum r. Concurrunt ergo exip$o $ecundum angulos {ae}qua- les du{ae} line{ae} inter duo puncta e & c: & $imiliter accidit inter duo pũcta e & p: & lineæ g c & g p $unt æ quales per definitionem circuli: & $imiliter lineæ g s, g q, g o $unt æ quales per definitionem cir- culi: & punctus q e$t imago puncti n: & punctus s e$t imago puncti c: & punctus o e$t imago puncti p. Imago ergo arcus c n p conuexi ex parte $peculi e$t arcus s q o concauus ex parte ui$us: & pun- ctus l e$t imago formæ puncti z: & duo puncta s & o $unt imagines formarum duorum punctorum c & p: imago ergo line{ae} rectæ, qu{ae} e$t c z p, e$t linea curua, tran$iens pertria puncta s, l, o: h{ae}c autem linea s l o e$t concaua ex parte ui$us. Ducatur itaque linea tran$iens per puncta s, l, o: & extrahatur linea e g ad circumferentiam circuli a b d in punctum h. Si ergo $peculum non peruenit ad duo pun cta b & h, $ed alter duorum $uorum terminorum fueritinter duo puncta b & d, & reliquus fuerit in- fra punctum h, & ui$us fuerit in puncto e, & du{ae} line{ae} p z crecta, & p n c conuexa ex parte $penculi, fuerint in aliquo ui$ibili: tunc forma lineæ p z c rect{ae} apparebit concaua, $cilicet s l o: & forma line{ae} p n c conuexæ re$pectu $peculi erit concaua ui$ui occurr\~es, $cilicet s q o. Et forma line{ae} p z c unã tan tũ habebit imagin\~e: & arcus p n c tantũ unã. Item producatur linea b g ultra punctũ g ad aliã part\~e peripheri{ae} circuli ad punctũ i: & producantur line{ae} e i & e z: erit ergo ex pr{ae}mi$sis, & per 4 p 1 angu lus b i e {ae}qualis angulo b i z: ergo ք 20 th. 5 huius reflectetur forma pũcti z ad ui$um in punctum e à puncto $peculi, quod e$t i; & linea e i $ecabit lineã f g: $ecet ergo in puncto u: erit\’q; punctus u imago form{ae} pũcti z reflexæ à pũcto $peculi, quod e$t i. Pũcta ergo quatuor, qu{ae} $unt m, l, u, f $unt loca ima ginũ formæ puncti z. Et $i $peculũ exce$$erit duo puncta a & d, & ui$us fuerit in pũcto e, & dor$um a$picientis $uerit ex parte arcus a i, & ui$us cõprehenderit totum arcũ i d a: tunc punctũ z uidebitur in quatuor locis, $cilicet in punctis m, l, u, f: & uidebuntur duo puncta line{ae} rectæ p z c uel arcus p c in duobus punctis s & o: & $iclinea recta p z c habebit quatuor imagines concauas: & una tran$it ք puncta s, m, o: & $ecunda pertran$it puncta s, l, o: tertia pertrã$it pũcta s, u, o: & quarta pertrã$it pun- cta s, f, o $cilicet lineam s f o. In his tamen omnib. imaginibus $emper cõcauitas imaginis re$picit ui $um. Patet ergo propo$itum. Patet quoq; quòd imagines eiu$dem line{ae} rect{ae}, ut patet nunc in linea p z c, fiunt diuer${ae} curuitatis maioris & minoris: & fit principium formæ mon$truo$æ.

57. In $peculis $phœricis concauis ui$us in quibu$dam $itibus comprehendet lineœ rectœ imagi- nem conuexam, conuexitate ui$um re$piciente. Alhazen 49 n 6.

Sit circulus magnus $peculi $phærici concaui, qui a b g: cuius centrum d: & ducatur $emidiame- ter d g, ut contingit: in qua $ituetur linea recta, quæ $it o u: & $it punctum o remotius à centro $pecu li d, & u propinquius illi: & $uper hanc $emidiametrum d g ducatur perpen diculariter linea, quæ $it d h: in cuius puncto h $it centrũ ui$us: & $it linea h d erecta $uper $uperficiem circuli a b g: $it\’q; linea h d minor $emidiametro $peculi $ecun dũ di$po$ition\~e line{ae} h d, qu{ae} a$$umpta fuit in 43 huius, ad cu ius modum & c{ae}tera referuntur: reflectatur\’q; forma puncti o, quod e$t rem otius à c\~etro $peculi, ad ui$um in punctũ h à puncto $peculi b: $it\’q; locus imaginis pũctus q: & producatur $emidiameter d g in punctum q, ut $it linea d q: refle ctatur\’q; forma puncti u ad ui$um exi$tent\~e in puncto h à puncto $peculi, quod e$t f: & locus imaginis eius $it punctum n. Et quia puncta o & u $unt in $emidiametro d g: erũt loca imaginũ, qu{ae} $int puncta q & n, in eadem $emidiametro producta, quæ erit linea d u o n q: $it\’q; quantitas linearũ d q, d u, d n, d o illis omnino {ae}qualis, qu{ae} $unt a$$umpt{ae} in 43 huius: & erit linea h d perpendicularis $uper lineam d q, ut patet ex præmi$sis: e$t enim ip$a perpendicularis $u- per $uperficiem circuli: e$t\’q; linea d h æqualis illi lineæ d h, quæ in figura 43 huius. Angulus ergo h d q e$t rectus: erit\’q; communis $ectio $uperficiei planæ, in qua $unt line{ae} h d & d q, & $uperficiei $pe culi circulus, cuius arcus interiacens lineas d h & d q per 20 huius e$t arcus, ex quo fit reflexio for- marum, quarum imagines $unt in punctis q & n: & erit arcus ille æ qualis arcui a g a$$umpto in 43 LIBER OCTAVVS. huius: & ex duobus punctis illius arcus $imilibus duobus punctis b & f in 43 huius fit ab hoc arcu illa reflexio $ormarum duorum punctorum, quæ $unt u & o: erit ergo q imago puncti o, & n imago puncti u. Ducatur ergo à puncto u in $uperficie cir k q t l n f g b o l u z d h a culi a b g recta perpendicularis $uper lineam d u: quæ $it z u e: & à centro d $ecundum longitudin\~e $emidiametri d o fiat circulus: hic ergo circulus $e cabit lineã z u e in duobus pũctis per 2 p 3: $ecet er go in punctis z & e: fiat\’q; arcus circuli $ecundum quantitatem lineæ d q à centro d: & ducantur à c\~e tro $peculi d lineæ d z, d e: & producãtur extra $pe culum ad arcum circuli de$cripti à centro d $ecun dum quantitatem $emidiametri d q: & $int d t, d k: & ducatur linea t k: $ecet\’q; lineam d q in puncto l. Quia ergo linea h d e$t perpendicularis $uper $u- perficiem circuli, palàm per definitionem lineæ e- rectæ quoniam uterque angulus h d t, h d k e$t re- ctus: & utraq; $uperficies h d t & h d k in $uperficie $peculi continet arcũ interiacent\~e lineas h d & d t, & lineas h d & d k per 69 th. 1 huius: quorũ arcuũ quilibet e$t {ae}qualis arcui, qui e$t inter duas lineas h d & d q: & utraq; linearum d z & d e e$t {ae}qualis lineæ d o: quoniã omnes $unt $emidiametri eiu$d\~e circuli. Illi ergo duo arcus $unt huiu$modi, quòd exillis po$sibile e$t fieri reflexion\~e formarũ duo- rum punctorum, quæ $unt z & e, ab aliquibus pun ctis illorum arcuum, ut patet per 20 huius. Interia cent enim illi arcus $emidiametros $peculi, in qui- bus con$i$tunt centrum ui$us, quod e$t in puncto h, & puncta, quorum formæ reflectũtur, quæ $unt e & z: incident\’q; formæ eorum illis punctis illorũ arcuum, & reflectentur ad ui$um in punctum h $e- cundum angulos {ae}quales à duobus punctis $pecu li: & du{ae} lineæ d t & d k $unt æ quales line{ae} d q: er- go punctum t e$t locus imaginis puncti z, & pun- ctum k e$t locus imaginis puncti e. Et quia lineæ d t, d q, d k $unt æ quales, & line{ae} d z, d o, d e æ quales, erit per 7 p 5 proportio lineæ d t ad lineã d z, $icut lineæ d q ad lineam d o, & $icut lineæ k d ad lineam d e: $ed per 43 huius proportio line{ae} d q a d lineam d o e$t maior proportione line{ae} d n ad lineam d u: ergo $imiliter proportio line{ae} k d ad lineã d e e$t maior proportione line{ae} n d ad lineã d u: & $imiliter proportio line{ae} d t ad lineam d z e$t ma- ior proportione lineæ d n a d lineam d u. Et quia du{ae} line{ae} d e & z d $unt æ quales, & duæ lineæ d t & d k $unt æquales: erit per 7 p 5 proportio line{ae} d t a d lineã d z, $icut line{ae} d k ad lineã d e: ergo per 17 p 5 erit proportio lineæ t z ad lineam z d, $icut lineæ k e ad lineam d e: ergo per 2 p 6 linea t k e$t {ae}- quidi$tans line{ae} ez: erit ergo per eandem 2 p 6 & per 18 p 5 proportio line{ae} l d ad lineam d u, $icut li- ne{ae} d k ad lineam d e, & $icut line{ae} d t ad lineam d z: proportio ergo line{ae} l d ad line\~e d u e$t maior proportione line{ae} n d ad lineam d u: ergo per 10 p 5 linea l d e$t maior quàm linea n d: ergo punctus n e$t inter puncta l & u: $ed punctus n e$t imago puncti u: & duo puncta t & k $unt imagines duorũ punctorũ z & e: ergo imago line{ae} z u e rectæ e$t linea tran$iens per tria puncta t, n, k: linea uerò per- tran$iens hæc puncta e$t conuexa. Patet ergo quòd imago line{ae} z e rect{ae} uidebitur in hoc $itu con- uexa. Et hoc e$t propo$itum.

58. In quibu$dam $itibus reflexione facta à $peculis $phœricis concauis, ui$us comprehendet i- maginem concauam reflexam ex linea concaua uel conuexa. Alhazen 50 n 6.

Sit di$po$itio omnino, qu{ae} in pr{ae}cedente. Quia itaq;, ut patet in præmi$$a, imago formæ puncti o e$t punctum q, & imago form{ae} puncti z e$t punctum t, & imago $ormæ puncti e e$t punctũ k: erit er- go linea concaua re$pectu ui$us, quæ e$t t q k, imago line{ae} curu{ae} re$pectu ui$us, conuex{ae} tamen re- $pectu $peculi, quæ e$t linea z o e. Similiter quoq;, $i in linea z u $ignetur punctum m, qualitercunq; hoc contingat: & circa centrum m $ecundum longitudin\~e $emidiametri m u de$cribatur arcus par- ui circuli, qui $it r u $: hic ergo arcus $ecabit circulum z o e in duobus punctis per 10 p 3: $int illa duo puncta f & r: & ducantur lineæ d r & d f: qu{ae} protrahantur u$que ad arcum t q k eductum: incidat\’q; linea d f in punctum i, & linea d r in punctum p. Superficies ergo duarum linearũ h d & d p $ecabit $peculum $ecundum circulum, à cuius circum $erenti{ae} puncto aliquo duci poterunt $ecundũ angu- los {ae}quales & {ae}qualiter $e habentes line{ae} ad punctum h, in quo e$t centrũ ui$us, & a d punctũ r, qui e$t punctus line{ae} ui$æ. Et $imiliter $uperficies duarum linearum h d & d i $aciet in $peculo circulũ, à cuius circum$erentia reflectetur ad ui$um $orma puncti $arcus r u f. E$t ergo punctus p imago for- VITELLONIS OPTICAE mæ puncti r: & punctus i imago formæ puncti f: & punctus n e$t imago formæ puncti u. Imago ita- que arcus r u f e$t linea tran$iens per puncta i p n: k q p i t l n g b e o r f u m z d h a $ed hæc linea i p n e$t concaua re$pectu ui$us, & ar cus r u f e$t concauus ex parte $uperficiei $peculi, & cõuexus ex parte ui$us. Cum ergo ui$us fuerit in puncto h, & linea r u f conuexa cum fuerit in ali quo ui$ibili: cõprehendetur imago eius concaua: & linea z o e cõuexa cõprehenditur $imiliter ima- ginis cõcau{ae}. Si ergo unaqu{ae}q; duarum linearũ, qu{ae} $unt z o e & r u f, habuerit unã imaginem: erit forma illarum imaginum $ecundũ modũ declara- tum. Et $i aliqua ip$arum plures habuerit imagi- nes: fortè accidet diuer$itas $itus in illis imaginib. ut $uprà diximus. Patet ergo propo$itum. Palàm itaq; ex his præmi$sis quinq; theorematib. quòd lineæ rect{ae} imago in $peculis $ph{ae}ricis concauis quandoq; cõprehenditur recta: quãdoq; cõuexa: & quandoq; cõcaua: & imago lineæ cõuex{ae} quan doq; uidetur cõuexa: quãdoq; concaua: & lineæ concauæ imago quandoq; uidetur cõuexa: quan- doq; cõcaua. Form{ae} ergo $uperficierum ui$ibiliũ cõprehenduntur aliter <004> $int in his $peculis: nam line{ae} rect{ae} non $unt, ni$i in $uperficieb. planis. Cũ ergo lineæ rectæ cõprehen duntur cõuex{ae} uel cõ- cau{ae}: tunc $uperficies plana cõpreh\~editur cõuexa uel concaua. Cũ ita q; ui$us cõprehen dit lineas re ctas cõuexas uel cõcauas aliter, <004> $int: cõprehen- dit $uperficies, in quibus $unt ill{ae} line{ae} aliter, quã $int: & $imiliter e$t de lineis cõuexis & cõcauis re- $pectu illarum $uperficierum. Et per hoc patet ra- tio & cau$$a aliorum multorum errorũ, qui ex mo dis talium ui$ibilium accidunt in ui$u.

59. In concauis $phœricis $peculis à duobus ui- dentibus $ecundum aliquem $itum res una ui$a unum habebit idolum, $ecundum alium ue- rò plura.

Sit $peculum $phæricum concauum: cuius cõmunis $ectio cum $uperficie reflexionis $it circulus e b h: cuius diameter $it e h: centrum uerò p: & ducatur linea a b perpendiculariter $uper $uperfici\~e $peculi. Palàm ergo per 72 th. 1 huius quoniam ip$a tran$it per centrum $peculi, quod e$t punctum p: & producatur ultra $peculum: $it\’q; a b l, $ecans diametrum e h perpendiculariter in centro p: & in diametro e h $ignentur duo puncta æqualiter di$tantia à c\~etro p: quæ $intg & f: erit ergo linea g p æqualis lineæ p f. Et à punctis g & f ducãtur du{ae} line{ae} l r b d k t q m e g p f h a ad circumferentiam æquales, qu{ae} angulos acutos cõ tineant cum diametro e h, re$pectu centri p, & lineæ a p b: quod fiet auxilio 33 p 3, $i ex utraq; parte pũcti b arcus æ quales a b $cindantur parui, quorũ chord{ae} $int minores quàm lineæ g p & p f, qui $int arcus d b, t b: & ad puncta t & d ducantur line{ae}, qu{ae} $int g d & ft. Et quia arcus b t & b d $unt æquales, & arcus b h & b e {ae}quales, remanent arcus t h & d e {ae}quales: erunt\’q; an guli portionis, qui $unt g d e & f t h, inter $e æquales per 43 th. 1 huius. Et à puncto d ducatur linea contin- gens circulum per 17 p 3, quæ $it d q: & $imiliter à pun cto t ducatur linea circulum contingens, quæ $it t m: producantur\’q; ill{ae} line{ae} contingentes ad diametrum a l, & concurrent in puncto uno per 59 th. 1 huius: $it concur$us punctus r. Et quoniam per 16 p 3 anguli contingentiæ, qui $unt q d e & m t h $unt æquales, & anguli portionis, qui $unt g d e & f t h, $unt æquales: erit totus angulus q d g æqualis toti angulo m t f. Su- per punctum itaq; d terminum line{ae} r d con$tituatur angulus æqualis angulo q d g per 23 p 1, qui $it r d k: linea quoque d k producta concurret cum linea a b per 14 th. 1 huius: $it concur$us punctus k: & $uper punctum t terminum lineæ r t con$tituatur an- LIBER OCTAVVS. gulus æqualis angulo r d k, qui $it r t k: concurrent enim illæ lineæ ambæ in uno puncto diametri, quod e$t k: quia cum angulus r t k $it æqualis angulo r d k per præmi$$a, & angulus k r t $it æqualis angulo k r d per 59 th. 1 huius. trigoni ergo d k r & t k r $unt æquianguli per 32 p 1: ergo per 4 p 6 late ra illorum trigonorum $unt proportionalia. Sed linea r t æqualis e$t lineæ d r per 58 th. 1 huius: erit ergo linea k r æqualis $ibijp$i: concurrent ergo lineæ d k & t k in puncto uno diametri b p, quod e$t k. Po$itis itaq; duobus oculis diuer$orũ uιdentiũ in punctis g & f, & puncto rei ui${ae} in puncto k: tũc forma pũcti k uidebitur ab utroq; ui$uũ reflexa à duobus pũctis $peculi d & t. Sed & idolũ eius uιdebitur unũ & in eod\~eloco. Producátur enim line{ae} g d & f t extra circulũ: cõcurr\~et itaq; amb{ae} cũ diametro a b {pro}ducta ք 14 th. 1 huius: quonia anguli g p b & f p b $unt recti, & anguli p g d & p $ tacu ti, ut patet expr{ae}mi$sis: cõcurrat ergo linea g d cũ linea a b in puncto l. Dico quod linea ft cócurret cũ eadem lιnea a b in eod\~e puncto l. Cum enim angulus q d g $it æqualis angulo f t m, ut $uprà pa- tuit, & angulus r d l $it æqualis angulo g d q per 15 p 1, & angulus r t l æqualis angulo f t m: erit angu- lus r d l æqualis angulo r t l: $ed & angulus t r b e$t æqualis angulo b r d per 59 th. 1 huius: ergo per 13 p 1 angulus t r l e$t æqualis angulo d r l: ergo per 32 p 1 trigoni t r l & d r l $unt æquianguli. Ergo cũ linea tr $it æqualis lineæ r d per 58th. 1 huius: erit per 4 p 6 linea r l æqualis $ibijp$i, & lιnea t l æqua lis lineæ d l. In uno ergo puncto diametri a b l concurrent lineæ t l & d l: & hoc e$t punctum l. Patet ergo cum per 37 th. 5 huius punctus l $it locus imagιnis formæ puncti rei ui$æ, qui e$t k, quòd am bo bus ui$ibus uni exi$tenti in puncto g, & alij in puncto f unica tantùm occurrit imago: ui$ibus uerò permutatis ab hoc $itu, plures occurrunt imagines. Et hoc e$t propo$itum. Quandocunq; tamen aliquid in his $peculis percipitur duplici ui$u, $i linea reflexionis æquidiftãs fuerit catheto inciden tiæ: erit locus imaginis ip$e punctus reflexionis per 11 huius: & cum di$tant à $e puncta reflexionis, re$pectu amborũ ui$uum: apparebunt ui$ibus duæ imagines eiu$dem puncti, & locus cuiu$q; ima- ginis e$t in ip$o puncto $uæ reflexionis. Si uerò linea reflexionis non $it æquidi$tãs catheto inciden tiæ, & punctus rei ui$æ tantùm di$tet ab uno ui$u, quantùm ab altero: uel $it modica differentia di- $tantιæ, $i locus imaginis fuerit in ip$a $uperficie ui$us: duæ adhuc imagines uidebuntur: aliàs aut\~e ut plurimùm locus imaginis re$pectu utriu$q; ui$us eritidem, aut modicùm di$tans: unde aut tan- tùm una uidebitur imago, aut penè una.

60. In una diametro $peculi $phærici concaui po$itis ambobus oculis æqualiter à centro $peculi di$tantibus, neuter uidebitur oculorum. Euclides 27th. catoptr.

Sit $peculum concauum $phæricum a t g d: cuius centrum z: & diameter a d: $int\’q; duo oculi b & e con$tituti in diametro a d, æqualiter di$tantes à centro z. Dico quòd neuter oculorum uidebi- tur. Ducatur enim $emidiameter z g perpendiculariter $uper diametrum a d: & ducantur lineæ b g g t d b z e a & e g. Quia ergo in trigonis e z g & b z g la- tus e z e$t {ae}quale lateri z b ex hypothe$i, & la tus z g commune: anguli quoq; e z g & b z g $unt æquales, quia $unt ambo recti: erit per 4 p 1 angulus b g z æqualis angulo e g z. For- ma ergo puncti b reflectitur ad punctum e à puncto g $peculi, & econuer$o per 20 th. 5 huius. Sed neq; po$sibile e$t ab alio puncto $peculi $ormam puncti b ad punctum e refle cti. Sit enim, ut fuerit id datũ e$$e po$sibile, ut $orma puncti b reflectatur ad punctum e â puncto alio $peculi, quod $it t: & ducantur lineæ b t, t e, t z: linea ergo t z diuidit angulum b t e per duo æqualia per 20 th. 5 huius: erit ergo per 3 p 6 proportio lineæ b t ad lineam t e, $icut lineæ b z ad lineam e z: $ed linea b t e$t maior quàm linea b g per 7 p 3: linea uero b g e$t æqualis lineæ e g, ut patuit $uperius: linea uerò e g e$t maior quàm linea t e per 7 p 3: erit ergo linea b t maior quàm linea e t: ergo linea b z maior erit quàm linea e z: quod e$t contra hypothe$im & impo$sibile. Et eodem modo de quolibet puncto $emicirculi a g d pote$t demon$trari. Non ergo reflectitur forma puncti b ad punctum e ab alio $peculi puncto quàm à puncto g. Non ergo uidebit oculus b oculum e: ideo quia linea reflexionis, quæ e$t b g, non concurrit cum catheto e z ducta à puncto e per centrum $peculi z, ni$i in puncto b: & linea re- flexionis, quæ e$t e g, non concurrit cum catheto b z, ni$i in puncto e. Locus itaq; imaginis e e$t punctus b: $ed b e$t $imile ip$i e in forma, & e ip$i b. Non ergo cóprehenditur aliqua di$tantia, quæ $it cau$$a diuer$itatis inter illos ui$us. Non ergo unus ui$us percipiet formam alterius in $eip$o exi- $tentis, $ed æ$timabit formam propriam $e uidere. Non ergo unus oculus taliter di$po$itus ui$ibus alium oculum uidebit: & hoc e$t propo$itum. Aliæ tamen partes corporis circum$tantes centrum ui$us poterunt uideri: quarum catheti incidentiæ cum lineis $uarum reflexionum concurrunt: $iue ille concur$us $it in $uperficie ui$us uel in alijs punctis quibu$cunq;: & circa hæc multa diuer$i- tas ui$ibus occurrit.

61. Si in linea à puncto medio $emidiametri $uper diametrũ $peculi $phærici concaui perpen- diculariter erectæ duct a æquidi$tanter diametro ambo ponantur oculi, æqualiter di$tates à cen tro $peculi: imago una tantùm oculi apparebit in puncto reflexionis. Euclides 28 th catoptr. VITELLONIS OPTICAE

Sit $peculum $phæricum concauum a g d: cuius centrum k: & diameter a d: dueatur\’q; $emidia- meter k g perpendiculariter $uper diametrum a d: & à medio puncto $emidiametri k g ducatur li- n e a æquidi$tans diametro a d: & in hac po$iti $int ui$us ambo æqualiter di$tantes à centro k. Dico quòd amborum oculorũ una tantùm imago, in uno $cilicet puncto reflexionis uidebitur. Sit enim ut à puncto p (quod $it medius punctus line{ae} k g per 10 p 1) ducatur linea æ quidi$tans diametro a d per 31 p 1, quæ $it e z: & $int in illa perp\~ediculari e z po$iti ambo oculi, qui$int b & t, æ qualiter di$tan- tes à centro k, & à linea k g: erunt ergo lineæ b p & t p æquales: ducantur\’q; lineæ b g, t g, b k, t k: er- g z t p b e d k a go per 4 p 1 linea p g exi$tente communiam bobus trigonis b p g & t p g, cum anguli b p g & t p g $int recti: erit angulus b g p {ae}qualis angulo t g p. Reflectetur ergo forma puncti b ad punctũ t à puncto $peculi g: & econuer- $o. Et quia linea k p e$t {ae}qualis line{ae} p g, quo niam punctus p e$t medius punctus lineæ k g, & lineæ b p & t p $unt æquales: angulus quoq; k p t e$t æqualis angulo b p g per 15 p 1: ergo per 4 p 1 angulus t k p e$t æqualis an- gulo b g p: ergo per 27 p 1 linea t k æquidi$tat lineæ b g: $ed linea t k e$t cathetus puncti t, & linea b g e$t linea reflexionis: nunquam ergo concurrent: ergo per 11 huius non uidebitur forma puncti t, qui e$t unus oculorum ab alio oculo, qui e$t b: neq; econuer$o per eandem rationem, ni$i in puncto g, qui e$t punctus reflexionis. Linea enim b g, quæ e$t linea reflexionis form{ae} puncti t ad ui$um b, non concurrit cum catheto incidentiæ form{ae} puncti t, qu{ae} e$t linea t k. Quilibet ergo ocu- lorum uidebit alterum in uno tantùm puncto reflexionis. Imago ergo amborum oculorũ erit tan- tùm una: & $ic unus tantùm oculus apparebit. Et quoniam reliqua pars faciei uidentis offertur am bobus ui$ibus retro ui$us) quia ad illam partem catheti incidenti{ae} cum lineis reflexionum concur- runt, ut patet intuenti. Si enim line{ae} b k & t g caderent inter lineas concurrentes: tunc & ip$æ con- currerent: quod e$t impo$sibile: cum $int æ quidi$tantes: concurrent ergo retro ambos ui$us ill{ae} li- ne{ae}) ergo per 37 th. 5 huius apparebit tunc facies uidentis monocula ad modum pictur{ae} cyclopis, erit\’q; oculus ultra faciem prominens: quoniam nõ uidetur, ni$i in puncto reflexionis per 11 huius. Patet ergo propo$itum.

62. Si à puncto propinquiori diametro $peculi $phærici concaui quàm medius punctus $emi- diametri $uper illam diametrum orthogonaliter productæ linea æquidi$tãs diametro producd- tur: in illa ui$us, in æquidi$tantia à centro $peculi po$itiretro $e apparebũt: dextra pars dextra, & $ini$tra $ini$tra: idolum maius facie: & imago plus di$tabit à ui$u quàm facies uidentis à $u- perficie $peculi. Euclides 29 th. catoptr.

Sit communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $phærici concaui circulus a g d: cuius dia- meter $it a d: & ducatur $emidiameter k g perpendiculariter $uper diametrũ a d: cuius femidiame- tri k g medius punctus $it p: $int\’q; centra amborum ui$uum puncta b & t. Si ergo ab aliquo puncto line{ae} p k (qui $it n) ducatur linea æquidi$tanter diametro a d: qu{ae} $it l m: & ui$us b & t po$iti in li- neal m, æqualiter di$tent à puncto n, uel à centro $peculi, quod e$t k: dico quod accidet, ut proponi tur. Ducantur enim line{ae} b g, t g, b k, t k: erunt\’q; ex hypothe$i & per 4 p 1 anguli b g n & t g n æqua- les: ergo à puncto g reflectentur ui$us adinuicem mutuò per 20 th. 5 huius: $ed linea n g e$t maior quàm linea n k: re$ecetur ergo per 3 p 1 linea n g ad æqualitatem line{ae} n k in puncto q: & ducatur li- g q p l b n t m a k d s u a nea b q: erit ergo per 15 & 4 p 1 angulus b q n æqua- lis angulo t k n: $ed angulus b q n e$t maior angulo b g q per 16 p 1: ergo angulus t k n e$t maior angulo b g q: ergo per 14 th. 1 huius line{ae} t k & g b concur- rentretro ui$um b: cõcurrant ergo in puncto s. E$t aũt linea t k cathetus puncti t, & linea g b linea re- flexionis. Videbitur ergo forma puncti g retro ui- fum b. Et $imiliter per eadem penitus uidebitur for ma puncti b retro ui$um t: quia lineæ b k & g t con- current, ut præ o$ten$um e$t per 14 th. 1 huius: $it, ut concurrant in puncto x: & ducatur linea s x. Et quoniam linea s x e$t maior quàm linea b t: ideo quòd in triangulo s g t angulus s t g, ut patet ex præmi$sis, e$t æqualis angulo x b g trigoni x g b, & angulus s g x cõmunis: erunt ergo per 32 p 1 triangu li illi s t g & x b g {ae}quiáguli: e$t ergo ք 4 p 6 propor tío line{ae} x g e ad lineá g s, $icutlineæ b g ad lineã g t: $ed linea b g e$t æqualis line{ae} g t: ergo linea x g LIBER OCTAVVS. e$t æqualis lineæ g s, & linea x b æqualis lineæ s t: ergo per 7 p 5 erit proportio lineæ x g ad lineam g t, $icut lineæ s g ad lineam g b: ergo per 17 p 5 erit proportio lineæ x t ad lineam t g, $icut lineæ s b ad lineam b g. In trigono ergo s g x per 2 p 6 linea b t æquidi$tat lineæ s x: e$t igitur per 4 p 6 pro- portio lineæ s x ad lineam b t, $icut lineæ x g ad lineam g t: $ed linea x g maior e$t quàm linea g t: er- go linea s x maior e$t quàm linea b c. Imago ergo erit facie maior: quoniam linea s x e$t diameter imaginis, & linea b t pars diametri faciei: $cilicet linea continenes di$tantiam oculorum. Item linea g k producta $ecat lineam s x per 29 th. 1 huius: $ecat enim angulum s g x: $ecet ergo in puncto u. Quia itaq; in trigono s u g linea b n æquidi$tat ba$i s u: patet per 4 p 6 & 17 p 5 quia e$t propor- tio lineæ u n ad lineam n g, $icut lineæ s u ad lineam b n: $ed linea s u e$t maior quàm linea b n per 4 p 6: quoniam linea u g e$t maior quàm linea n g: erit ergo linea u n maior quàm linea n g: $ed li- nea u n e$t di$tantia imaginis à ui$u, & linea n g e$t di$tantia ui$us à $peculi $uperficie. Patet er- go propo$itum.

63. Si à puncto remotiori à diametro $peculi $phærici concaui quàm medius punctus $emidia metri orthogonaliter $uper illam $emidiametrum productæ, linea æquidi$tans diametro produ catur, ui$ibus æquidi$tanter à centro $peculi in linea illa po$itis, dextra apparent $inictra, & $i- ni$tra dextra: & imago uidentis maior facie: maior<006> erit di$tantia imaginis à $peculo quàm fa ciei uidentis. Euclides alter a parte 28 th. catoptr.

E$to $peculum $phæricum concauum, cuius $uperficiei & $uperficiei reflexionis communis $e- ctio $it circulus a k f: cuius centrum z: & diameter a f: & à centro z ducatur perpendicularis $uper diametrum a f, $emidiameter z k: quæ diuidatur per æqualia in puncto e: & à puncto e ducatur æ- quidi$tans diametro a f, linea c d: diuidatur quoq; linea e k per æqualia in puncto n: & à puncto n li neæ e k ducatur linea æquidi$tans lineæ a f, quæ $it l m: in hac itaq; linea l m ponantur ui$us æqua- liter di$tantes à centro z: dico quòd uerum e$t, quod proponitur. Sint enim ui$us b & g di$po$iti in linea l m, ut proponitur: erunt ergo, ut in præmi$$a propo$itione, anguli b k n & g k n æquales per 4 p 1: reflectentur ergo ui$us b & g ad $e inuicem mutuò à puncto k. Ducantur quoq; lineæ b e & g e: & erit per 4 p 1 angulus b e n æqualis angulo b k n: $ed angulus b e n per 16 p 1 e$t maior angulo b z e: ergo angulus b k z maior e$t angulo b z k: ergo & maior e$t angulo k z g: ergo per 14 th. 1 huius lineæ b k & z g concurrent: $it concur$us punctus q: $ed & per eandem lineæ g k & z b concurrent: $it concur$us punctus p. Cum itaq; linea g k $it linea reflexionis formæ puncti b à puncto $peculi k, p o q k l b n g m c e d a z f & linea z b $it cathetus incidentiæ: erit ergo per 37 th. 5 huius punctus p imago formæ puncti b: & $imi- liter erit punctus q imago formæ puncti g. Ducatur ergo linea p q: & hæc erit imago lineæ b g. Videbi- tur ergo dextrum $ini$trum, & $ini$trum dextrum, propter inter$ection\~e linearũ reflexionis b q & g p, ut patet per 53 huius. It\~e per 4 p 1 linea z b e$t æqua- lis lineæ z g: ergo per 5 p 1 angulus z b n e$t æqualis angulo z g n, & angulus p b g e$t æqualis angulo q g b: $ed angulus n b k æqualis e$t angulo n g k: relin- quitur ergo angulus k b p æqualis angulo k g q: $ed angulus b k p e$t æqualis angulo g k q per 15 p 1: er- go per 32 p 1 trigoni b k p & g k q $unt æquianguli: $unt ergo anguli b p k & g q k æquales. Et quia angu li p b g & q g b; ut patet ex præmi$sis, $unt æquales, ergo per 32 p 1 trigona p b g & q g b $unt æquiangula: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ b p ad li- neam g q, $icut lineæ b g ad $eip$am: erit ergo linea b p æqualis lineæ g q: erit ergo linea z p æqualis lineæ z q: quæ e$t ergo proportio lineæ p z ad lineam z b, eadem e$t lineæ q z ad lineam z g: ergo per 17 p 5 & per 2 p 6 linea b g æquidi$tat lineæ p q: ergo per 29 p 1 trigoni p z q & b z g $unt æquian guli: erit ergo per 4 p 6 proportio lineæ p z ad lineam z b, $icut lineæ p q ad lineam b g: $ed linea p z e$t maior quàm linea b z: ergo linea p q e$t maior quàm linea b g: e$t ergo idolum maius re ui$a. Item linea z k producta $ecat lineam p q per 29 th. 1 huius: $ecat enim angulum p z q: $ecet ergo i- p$um in puncto o: erit ergo per præmi$$a; & per 29 p 1 angulus p o k trigoni k p o æqualis angulo g n k trigoni k g n: $ed & angulus p k o æqualis e$t angulo g k n per 15 p 1: ergo per 32 p 1 trigona p k o & g n k $unt æquiangula: ergo per 4 p 6 quæ e$t proportio line{ae} p o ad lineam g n, eadem e$t lineæ o k ad lineam k n: e$t autem, ut patet ex præmi$sis, linea b n æqualis line{ae} g n: $ed linea p o e$t maior quàm linea b n: ideo quòd tota linea p q e$t maior quàm tota linea b g: & p o e$t medietas li- ne{ae} p q, $icut linea b n medietas lineæ b g. Cum enim line{ae} b q & g p $int {ae}quales, & line{ae} b k & g k {ae}quales: erit linea k q {ae}qualis line{ae} k p, & anguli p k o & q k o $unt equales per 15 p 1, & per præmi$- $a: erit ergo linea p o {ae}qualis line{ae} q o. Si ergo linea p o e$t maior quàm linea b n: patet quod linea o k e$t maior quàm linea k n: & linea o k e$t di$tantia imaginis $ub $peculo, & linea n k e$t di$tantia rei reflex{ae} à $uperficie $peculi. Palàm ergo propo$itum.

64. Circa diametrum $peculi $phærici concaui extr a $peculum product æ ambobus po$itis ocu- VITELLONIS OPTICAE lis $ecundum æqualem di$tantiam à diametro, & centro $peculi: dextra apparent $ini$tra, & $i- ni$tra dextra: & imago minor facie apparet inter ui$us & $uperficiem $peculi.

Sit communis $ectio $uperficiei reflexionis, & $uperficiei $peculi $phærici concaui circulus d b kιcuius centrum o: & diameter d k: & orthogonaliter $uper diametrum d k producatur diameter b o a extra $peculum: $int\’q; duo oculi in punctis e & c lineæ c e perpendicularis $uper lineam b a: & $int ambo oculi æqualiter di$tantes ab ip$a diametro b a, & à puncto a: erit ergo linea e a æqualis li neæ a c: & ducantur lineæ e b & c b: erit ergo per 4 p 1 angulus e b a æqualis angulo a b c: ergo per 20 th. 1 huius ui$us ambo e & c ad $e inuicem reflectuntur à puncto b. Producatur itaq; linea à pun- cto e ad centrum o: hæc ergo producta concurret cum linea c b per 29 th. 1 huius: $it concur$us pun b g f d o l e a c ctus $: & $imiliter à puncto c ducatur linea per cen- trum o concurrens cumlinea e b in puncto g. Appa- ret ergo per 37 th. 5 huius imago formæ puncti e in puncto f: & imago formæ puncti c in puncto g: appa- r\~et ergo dextra $ini$tra, & $ini$tra dextra. Sed & per 5 p 1 angulus b e c e$t æqualis angulo b c e: quoniam li- neæ b e & b c $unt æquales. Sed cum trigonorum e a o & c a o duo latera e a & c a $int æqualia, & latus a o commune, anguli\’q; c a o & e a o $int æquales, quia re- cti: erit per 4 p 1 angulus f e a æqualis angulo g c a: tri- anguli ergo e f c & c e g $unt æquianguli per præmi$- fa & 32 p 1: ergo per 4 p 6 e$t proportio lineæ e g ad lineam c f, & lineæ e f ad lineam c g, $icut lineæ e c ad $eip$am: $unt ergo lineæ e g & c f æquales, & lineæ e f & c g æquales. Sed totalis linea b e e$t æqualis totali lineæ b c: ergo relinquitur linea b g æqualis lineæ b f: ergo per 5 p 1 angulus b g f {ae}qualis e$t angulo b f g: $ed illi anguli cũ angulo g b $ ual\~et duos rectos per 32 p 1: $unt ergo illi duo anguli æquales duobus angulis b e c, b c e: illi ergo trigoni e b c & g b f $unt æquianguli: ergo per 4 p 6 quæ e$t proportio line{ae} b g ad lineam b e, eadem e$t proportio lineæ g f ad lineam e c: $ed linea b g e$t minor quàm linea b e: ergo linea g f e$t minor quàm linea e c. Imago ergo faciei uidentis e$t minor facie con$pecta. Apparet au- tem inter oculos & $peculi $uperficiem: quoniam linea g f (quæ e$t diameter imaginis) cadit inter lineam e c, in qua $unt ambo ui$us, & inter $uperficiem $peculi. Palàm ergo propo$itum.

65. Imagines rerum retro $pecula $phærica concaua apparentes, motis rebus, quarũ $unt ima gines, ad eandem partem moueri uidentur.

Sit in $peculo $phærico concauo circulus a g b: cuius centrum $it d: & $it centrum ui$us pun- ctum e: $int\’q; duo puncta rei ui$æ ex utraq; parte puncti e: quæ $int z & h: ducantur\’q; duæ catheti incidentiæ, quæ $int d z c & d h k: reflectatur\’q; forma puncti z ad ui$um e à puncto $peculi a: & for- ma puncti h à puncto $peculi b: & ducantur reflexionum lineæ, qu{ae} $int a e & b e: concurrat\’q; linea k m c b g a h l e z d a e cum catheto d z in puncto c, & linea e b cum ca- theto d h in puncto k: erunt ergo per 37 th. 5 huius pũcta c & k loca imaginũ ultra $peculum: ita quòd punctum c $it locus imaginis formæ puncti z, & punctum k locus imaginis form{ae} puncti h: & erunt loca imaginum in partibus illis, in quibus $entiun- tur & res, quarum $unt ill{ae} imagines. Transferatur itaq; punctus rei ui$æ, qui e$t h ad punctum l: & re- flectatur ad ui$um e à puncto g: & ducatur cathe- tus d l concurrens cum linea reflexionis, quæ e$t e g in puncto m: erit\’q; locus imaginis $orm{ae} pun- cti h in puncto m translata ad ip$um à puncto k, quilocus m erit in illa parte, ad quam translata e$t ip$a res, cuius in puncto m e$t imago. Quòd $i pun- cta rei ui${ae} fuerint h & l, & $int $upra ui$um: erunt loca imaginum, quæ $unt k & m, $upra ui$um: & ap- parebunt $upra res, quarum $unt formæ. Et $i pun- cta h & l $uerint à dextris ip$ius ui$us: & loca i- maginum $uarum, qu{ae} $unt k & m, erunt à dextris: $ed non putabuntur e$$e dextra, ut patuit $uprà per 51 huius: quoniam propter reuerberationem dextra apparent $ini$tra, & $ini$tra dextra. Patet itaq; propo$itum.

LIBER OCTAVVS. 66. Imagines rerum inter $pecula $phærica concaua & ui$us apparentes, motis rebus, uiden- tur ad partem contrariam moueri.

Sit $peculi $phærici concaui circulus a b g: cuius centrum $it punctus d: $it\’q; centrum ui$us e ci- tra centrũ $peculi, quod e$t d: & ex lateribus a$picientis $int duo puncta rei ui$æ: qu{ae} $int z & h: quæ a b g l c d k m h c z reflectantur ad ui$um à duobus punctis a & b: $int\’q; li neæ reflexionum e a puncti z, & e b puncti h: ducan- tur\’q; catheti incidentiæ z d c & h d k $ecantes lineas reflexionum in punctis c & k: erunt ergo per 37 th. 5 huius puncta c & k loca imaginũ: c puncti z, & k pun- cti h. Videbuntur itaq; formæ illorum punctorum in diuer$is partibus alijs, quàm $int res ip$æ per 49 hu- ius. Quòd $i punctus h rei ui$æ transferatur ad pun- ctum l: & reflectatur à puncto $peculi g ad ui$um e: du catur\’q; linea reflexionis, qu{ae} $it e g: & cathetus l d m, $ecans lineam reflexionis, quæ e$t e g, in puncto m: erit per 37 th. 5 huius punctus m locus imaginis for- mæ puncti l. Imago itaq; puncti h, qu{ae} e$t k, erit tran$- lata ad partem diuer$am illi, ad quam res uera tran$- lata e$t. Et $i puncta h & l fuerint $ur$um mota $upra ui$um: tunc imagines ip$orum, quæ $unt k & m, uide- buntur moueri deor$um. Et $i puncta h & l $uerint mo ta ad dextram partem ui$us: formæ imaginum uide- buntur moueri ad $ini$tram: & ita $emper mouentur imagines ad partem contrariam rebus. Patet ergo propo$itum.

67. Per $pecula $phærica concaua, quot libuerit, po{$s}ibile e$t formæ eiu$dem puncti imaginem uideri. Euclides 15 th. catoptr. Ptolemæus 8 th. 2 catoptr.

Fiat di$po$itio, quæ in planis & conuexis $phæricis $peculis: & $it centrum ui$us a: & punctus rei ui$æ $it b: & $ecundum di$tantiam centri ui$us (quod e$t a) à puncto rei ui$æ, (quod e$t b) de$cri batur polygonium æquilaterum & æquiangulum, quotcunq; angulorum placuerit: $it\’q;, exempli d l c e g z k a b cau$$a, pentagonum: quod $it a b g d e: fiat\’q; circu- lus circum$cribens illud polygoniũ pentagonum per 12 p 4: & $uper illius pentagoni angulos ortho gonaliter $uper lineas à centro circuli circum$cri- bentis polygoniũ productas ad circumferentiam $ecundum ip$orum puncta media $tatuantur $pe- cula $phærica concaua, quæ $int partes eiu$dem $phæræ & æquales portiones. Patet itaq; quoniam $uperficies plana pentagoni a b g d e $ecabit quod- libet $peculorum $ecundum circulum per 69 th. 1 huius. Vnus itaq; arcus unius illorum circulorum $it z g c: ducantur\’q; lineæ contingentes quemlibet illorum arcuum in punctis g, d, e: contingat\’q; ar- cum z g c in puncto g linea l k. Quia itaq; per 43 th. 1 huius angulus portionis, qui e$t b g z, e$t æqualis angulo d g c: anguli quoq; contingentiæ, qui $unt k g z & l g c $unt æquales: palàm ergo per 20 th. 5 huius quoniam fit reflexio formæ puncti b à puncto $peculi g ad punctũ $peculi alterius, quod e$t d. Et $imiliter per eandem demon$trationem fiet reflexio à puncto d ad punctum $peculi alterius, quod e$t e, & à puncto e ad centrum ui$us, quod e$t a. Palàm ergo propo$itum. Et $ic quotcunq; fue rint anguli polygonij, tot a$$umantur $pecula, & $emper accidet illud, quod præmi$$um e$t.

68. A $peculis $phæricis concauis $oli oppo$itis ignem po{$s}ibile est accendi. Euclides 31 th. catoptr.

E$to $peculum $phæricum concauum $oli oppo$itum: in quo $ignetur circulus k a b g x, cuius centrum $it c: $it\’q;, ut $uperficies plana $ecans $peculum $ecundum hunc circulum $ecet etiam cor- pus $olis trans centrum: ergo per 69 th. 1 huius communis $ectio illius $uperficiei planæ & $olis e- rit circulus magnus, qui $it d e z: & ab aliquo puncto illius circuli $olaris, ut à puncto d, ducatur li- nea, $ecundum quam procedens radius ad centrum $peculi, quod e$t c, incidat in punctum $peculi, quod $it g: & à puncto circuli $olis, quod $it e, procedens radius ad centrum $peculi, quod e$t c, inci- dat in punctum $peculi b: & à puncto $olis, quod $it z, incidens radius per centrum $peculi c, cadat in punctum $peculi a. Quia ergo omnes radij tran$euntes per centrum c $unt perpendiculares $u- VITELLONIS OPTICAE per $uperficiem $peculi a b g per 72 th. 1 huius: patet per 21 th 5 huius quoniam omnes reflectuntur in $eip$os: concurrent ergo tam incidentes quàm reflexi omnes in puncto c, quod e$t centrum $pe- culi: omnes enim illi radij $unt diametri ip$ius $peculi, & omnes d z l e o y p x k c h f q a b g s anguli $emicirculi $unt æquales per 43 th. 1 huius: reflexio autem omnis fit $ecundum angulos æquales, ut patet per 20 th. 5 huius. Quicunq; itaq; radiorum $olarium pertran$ierint per centrum $peculi, quod e$t c, & peruenerint ad qu{ae}cunq; puncta $uperficiei $peculi: illi omnes reflectentur in $eip$os, & concurrent in centro ip$ius: radij uerò æquidi$tantes illis radijs non concurrunt. Sit e nim radius perp\~edicularis $uper $uperfici\~e $peculi, qui e$t e b: hic ergo, ut præmi$$um e$t, tran$ibit centrum $peculi, quod e$t c: & reflectetur in $eip$um. Huic ergo ducatur per 31 p 1 aliquis radius æquidi$tans: qui $it l n: & alius, qui o s: $it\’q; arcus n b inæqualis arcui b s: $ecet\’q; linea l n circulum a b g in puncto y: & in arcu y n $ignetur punctum k: & ducatur linea c n. Quia itaq, angulus l n k e$t minor angulo c n k, ut pars $uo toto: patet quòd angulus l n k e$t minor angulo c n b: quoniam anguli c n b & c n k $unt æqua- les per 43 th. 1 huius. Patet ergo per 20 th. 5 huius quòd radius l n non reflectetur in punctum c. Fiat itaq; angulus b n f æqualis l n k: cadet\’q; punctum f citra punctum c in punctum aliquod $e- midiametri c b: & in corpore $olari continuetur linea e l. Si itaq; quadrangulum n f e l, (fixo perman\~ete $uo latere e f) imaginetur moueri, quou$q; linea l n incidat ad locum, unde exiuit: tunc pun ctus n motu $uo de$cribet quendam circulum in $uperficie $pe- culi: & in tota peripheria illius circuli angulus l n f remanet æ- qualis: ergo angulus l n k e$t æqualis angulo b n f. Fiet ergo per 20 th. 5 huius à tota peripheria illius circuli reflexio omnium ra- diorum incidentium ad punctum f. Similiter quoq; $i à puncto $o lis, quod e$t o, ducatur per 31 p 1 radius æquidi$tans radio perpen diculari, qui e$t e b: & $it ille radius æquidi$tans o s, $ecans circu- lum a b g in puncto x: & in arcu x s $ignetur punctum q in linea n f producta, $it\’q;, ut perpendicularis e b $ecet circulum a b g in puncto p: & $it arcus b s mioor arcu n b: ergo & arcus x p (qui e$t æqualis arcui b s per 53 th. 1 huius) minor e$t arcu p y æquali b n: ergo arcus x q s remanet maior arcu y k n: ergo per 43 th. 1 huius an- gulus x s q e$t maior angulo y n k. Radius ergo o s non reflectitur ad punctum f, $ed ad aliquod pun ctum lineæ f c, quod $it h. Portio enim circuli y k n, quæ e$t æqualis portioni n b q, e$t minor por- tione x-q s, quæ e$t æqualis portioni s b k: copuletur quoq; linea o e. Si itaq; fixo latere e h, quadran gulum o e h s intelligatur moueri, quou$q; linea o s redeat ad locum, unde exiuit: tunc punctum s motu $uo de$cribet in $uperficie $peculi circulum, à cuius totali peripheria fiet reflexio ad pun- ctum diametri $peculi, qui e$t h. Et $imiliter e$t de quibu$cunq; alijs radijs incidentibus $uperficiei $peculi æquidi$tanter radio e b. Semper enim fiet reflexio omnium $ibi $imilium radiorum à peri- pheria unius circuli totius $peculi ad unum punctum diametri ip$ius $peculi: & lineæ radiales pro- phinquiores diametro, reflectuntur ad punctum propinquius centro c: & lineæ radiales remotiores à diametro, & æquidi$tantes illi, reflectuntur ad punctum remotius à centro, quod e$t c. In quo- cunq; autem illorum punctorum ponatur aliquod corpus combu$tibile, per radios reflexos in- cendetur. Sed quia radij $unt pauci & debiles, oportet ut combu$tile diutius in puncto collectio- nis radiorum moram trahat. Patet ergo propo$itum. Et hoc $peculum, quantùm ad a ctum combu- $tionis, efficacius e$t $peculo compo$ito explanis $peculis, de quo locuti $umus in fine quinti li- bri huius $cientiæ. Po$$et quoq; per diligentiam artificis aliquod $peculum ex pluribus hu- iu$modi $peculis componi, quod e$$et maioris efficaci{ae} ad comburendum: hoc autem relinquimus indu$triæ perquirentis: quia $ufficit nobis ut propo$itum $it hoc modo demon. $tratum.

VITELLONIS FI- LII THVRINGORVM ET PO- LONORVM OPTICAE LIBER NONVS.

_I_N præmi$$o libro pa{$s}iones $peculorum $phæricorum cõcauorum pro no$tro po$$e pertractauimus: $upere$t nũc, ut $peculorum columnarium & pyra- midalium concauorũ proprietates aliquas demon$tremus. In his enim $pe- culis qua$i omnium præmi$$orum $peculorum proprietutes concurrunt: pla- norum quidem, cum in illis à linea longitudinis $peculi fit reflexio. Columnarium quo <005> & pyramidalium conuexorum plurimæ pa{$s}iones in hæc concaua $pecula de$c\~edunt: quoniam i$torum & illorum cõformis e$t generatio $ecundũ figur as, à quibus in utri$<005> prouenit quædam conformitas pa{$s}ionum: ni$i quòd hinc & inde $ecundum naturam conuexi & concaui illæ pa{$s}iones quodammodo $ecundũ $itum contrariè di$ponuntur. Ex quo accidit, ut quandoq; lιneæ reflexæ in cõuexis $peculis fiat locus imaginis in con- cauis, & econuer$o: & ob hæc eadem principia in his $peculis & in illis $unt (præmi{$s}is figuris) conformiter a$$umenda. Sic ita<005> omnium $peculorum regularium pro no$tra- rum uirium & experientiæ po{$s}ibilitate pa{$s}ionibus aliqualiter pertractatis, ad aliqua $pecula figurarum irregularium & compo$itarum mentem conuertimus: uidentes\’q; quòd antiquorum geometrarum diligentia & $olicitudo circa $pecula comburentia, (à quorum totali $uperficie ad unum punctum natur alem uel mathematicum fit re- flexio luminis & formarum incidentium) plurimum e$t uer$ata: ut circa rem $cientiæ geometriæ plurimam $ubtilitatem rebus naturalibus applicantem: actionem quoq; na- turalium formarum accelerantem in productione effectuum mirandorum: huic nego- tio curam con$equenter in hoc libro dedimus, ut rei, ad quam, $icut ad finem nobili{$s}i- mum, omne, quod de natura quorumlibet $peculorum præmi$imus, aliqualιter ordina- tur. Ex præmi{$s}is uerò libris $atis patet, quòd figur a talium $peculorum comburentium in una $uperficierum planarum, ut patet per 65 th. 5 huius, non e$t po{$s}ibilis: $icut nec ab aliqua una $uperficierum conuexarum quacunque, $iue illa couexa $uperficies fuerit $phærica, ut patet per 65 th. 6 huius, $iue fuerit columnaris uelpyramidalis, ut patet per 59 th. 7 huius, po{$s}ibile e$t radios aliquos aggregari ad punctum unum mathema- ticum uel etiam naturalem. A‘ concauis quo<005>$peculis $phæricis non fit ad unum axis punctum mathematicum reflexio, ni$i à peripheria unius tantùm circuli, & à tota $u- perficie unius hemi$phær{ij} ad totam $emidiametrum $iue axem $peculi, ut o$ten$um e$t per 68 th. 8 huius. Non fit autem omnium radiorum, æquidi$tanter axi $peculi $uperfi- ciei talis $peculi incidentium reflexio ad punctum unum. Sed ne<005> ab aliqua $uperficie- rum $peculorum columnariũ uelpyramidalium concauorũ e$t hoc po{$s}ibile fieri: prout infrà in præ$enti libro demon$trabimus. Re$tat ergo, ut $uperficies alias huic no$tro propo$ito competentes cum demon$trationis diligentia perquiramus: quoniam illud, quod ex plurium $peculorum regularium compo$itione ad hũc effectum po{$s}ibile prius fore diximus, unius $uperficiei (à qua totali ad unum punctum fiat reflexio) certitu- dinem non attingit: ne<005> ad illorum peruenit commoditatem: ne<005> in illis adeò relucet humani bonitas ingen{ij} & utilitas figurarum. In his ita<005> columnaribus & pyrami- dalibus, & al{ij}s irregularibus quibu$cunque $peculis, & etiam in ιp$is comburentibus VITELLONIS OPTICAE $peculis $upponimus principia, quæ in libris præcedentibus $unt præmi$$a, ut patet in 5. 6 & præcipuè 7 & 8 libris huius $cientiæ: quæ uerò ex præ$uppo$itis princip{ij}s & cõclu- $ionibus demon$tranda de his $peculis prænominatis uidimus, $unt i$ta.

THEOREMATA 1. In $peculis column aribus concauis communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi quan- do<005> e$t linea longitudιnis $peculi: quando<005> circulus: quando<006> oxygonia $ectio. Alhaz. 89 n 5.

Quod hic proponitur, patet ex præmi$sis in libro 7 huius de $peculis columnaribus conuexis- Et quia $peculum columnare concauum non minus participat formam & proprietatem columnæ quàm conuexum: patet quòd propo$ita pa$sio eodem penitùs modo demon$tráda e$t de $peculis. columnaribus concauis, ut de columnaribus conuexis. Patet ergo propo$itum: nec enim nece$$a- rium talibus amplius immorari. Et quando fuerit communis illa $ectio linea longitudinis $peculi: erunt modi reflexionum & loca imaginum $icut in $peculis planis: quãdo uerò illa $ectio commu- nis fuerit circulus: erunt modi reflexionis & loca reflexionum, $icut in $peculis $phæricis cõcauis. Erunt\’q; loca imaginum quandoq; ultra $peculum: quãdoq; in ip$a $uperficie $peculi: quandoq; in- ter ui$um & $peculum: quandoq; in ip$a $uperficie ui$us: & omnium i$torum idem e$t demon$tran- di modus, qui in illis $phærieis concauis $peculis patuit per 11 th. 8 huius.

2. In $peculis pyramidalibus concauis communem $ectionem $uperficiei reflexionis & $pecu- li lineam longitudinis $peculi aut $ectionem oxygoniam po{$s}ibile e$t e$$e: circulum uerò impo{$s}i- bile. Alhazen 97 n 5.

Pa$siones propo$itæ de præ$entibus $peculis eodem penitùs modo demon$trabiles $unt, quo & de $peculis pyramidalibus cõuexis $unt o$t\~e$æ per diuerias propo$itiones 7 huius. Patet ergo pro- po$itum. Et quando cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi fuerit linea longitudinis: erũt modi reflexionum & loca imaginum, quæ & in $peculis planis o$ten$a $unt per 49 th. 5 huius.

3. In omni $uperficie reflexionis à $peculis columnaribus uel pyramidalibus concauis, centrũ ui$us: & punctum rei ui$æ: punctum reflexionis: & punctum axis, (in quem cadit perpendicu- laris duct a à puncto reflexionis $uper $uperficiem $peculum in puncto reflexionis conting\~etem) con$i$tere e$t nece$$e. Alhazen 46 n 4.

Sit $peculum columnare concauum: cuius axis $it a b: $it\’q; centrum ui$us t: & punctum rei ui$æ d: reflectatur\’q; forma puncti rei ui$æ, quod e$t d, ad ui$um t à puncto $peculi e: & in puncto e con- tingat $uperficiem $peculi $uperficies plana: $uper quam $uperficiem à puncto e ducatur linea per- pendicularis per 12 p 11: quæ $ecetlineã a b axem $peculi in puncto f: & $it linea e f. Dico quòd pun- cta t, d, e, f nece$$ariò erunt $emper in ea d\~e $uperficie reflexionis. Aut enim hæc $uperficies reflexio- nis æ quidi$ta bit ba$ibus columnæ, aut nõ. Si $ic: patet per 100 th. 1 huius quòd cominunis $ectio $u- perficiei reflexionis & $uperficiei $peculi erit circulus æquidi$tans ba$ibus column{ae}: & linea ducta à puncto reflexionis, quod e$t e, tran$iens per centrũ illius circuli, e$t perpendicularis $uper $uper- ficiem columnæ, ut patet per 96 & per 100 th. 1 huius. Et $i centrum ui$us, quod e$t t, & punctum rei ui$æ quod e$t d, fuerint in illa linea: fiet reflexio formarum punctorum ui$orum tantùm $ecundum illam lineam per 21 th. 5 huius: erunt\’q; ιlla quatuor puncta, (quæ $unt t, d, e, f) omnia in $uperficie reflexionis. Quòd $i centrum ui$us uel pun- ctum rei ui$æ non fuerit in hac linea perpendiculari: $em per tam\~e linea e f perp\~ediculariter à puncto e ducta, cadet in axem a b per 96 th. 1 hu- ius, & linea reflexionis continebit cum illa perpendiculari angulum acutum: quoniam cadet inter perpendicularem e f, & inter lineam, cir- culum (qui e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi) in puncto e contingentem. Et quoniam hæc linea reflexionis cadit $em- perintra $peculum: quia $ecundum $ui partem, qua incidit $peculo, ne- ce$$ariò cadet inter $uperficies planas per c\~etrum ui$us ductas, portio- nem apparent\~e $peculi conting\~etes: & quoniam per 20 th. 5 huius $em- per angulus incidentiæ e$t æqualis angulo reflexionis: patet quòd $i unus illorum punctorum e$t in $uperficie reflexionis, quod & reliquus. Quia enim angulus d e f erit æqualis angulo $ e t, cadent hi anguli ex di- uer$is partibus perpendicularis lineæ, quæ e$t e f, intra $peculũ. In ead\~e itaq; $uperficie cadent omnia puncta t, d, e, f. Et eodem modo demon- $trandũ e$t, à quocunq; pũcto circuli, (qui e$t cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi) fiat reflexio: $em per enim illa quatuor pũcta erũt in $uperficie reflexionis. Quòd $i cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi $it linea lõgitudinis $peculi: tũc iterũ à quocũq; pũcto illius lineæ flat reflexio: LIBER NONVS. $em per propo$ita quatuor puncta erũt in $uperficie reflexionis, ut patet per 27 th. 5 huius. Similiter quoq; patet idem, $i cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & horum $peculorum fuerit $ectio oxy- gonia: quoniam illa $ectio $ecabit $peculũ trans axem per 103 th. 1 huius: & linea à puncto reflexio- nis perpendiculariter ducta $uper$uperficiem, $peculum in puncto reflexionis conting\~etem, $em- per cadet in axe, ut hæc in $peculis columnaribus & pyramidalibus conuexis $unt amplius decla- rata. Et ille modus demon$trãdi e$t uniuocus & i$tis $peculis. Quòd $i $peculum propo$itum fuerit pyramidale concauum: tunc (ut $uprà o$ten$um e$t per præmi$$am) impo$sibile e$t communem $ectionem $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi circulum e$$e: qu{ae} $ectio $i fuerit linea longi- tudinis uel $ectio oxygonia: tunc eadem erit declaratio quòd quatuor prædicta puncta t, d, e, f con- $i$tunt in $uperficie reflexionis, quæ prius in $peculis columnaribus concauis. Patet ergo illud, quod proponebatur.

4. Centro ui$us exi$tente intra $peculum columnare uel pyramidale concauum: à quolibet puncto $peculi fiet reflexio ad ui$um. Alhazen 49 n 4.

Sit $peculum columnare concauum: cuius axis $it a b: & $it centrum ui$us t, $it\’q; punctum t intra $peculum: dico quòd ab omni puncto $uperficiei $peculi fiet reflexio ad ui$um. Siue enim cõmunis $ectio $u perficiei reflexionis & huius $peculi $uerit linea longitudinis columnæ $peculi: ut cum $u- per$icies reflexionis $ecat $uperficiem $peculi $ecũdum axis longitudinem, ut patet per 93 th. 1 hu- ius: $iue fuerit circulus æquidi$tans ba$ibus colũnæ ip$ius $peculi: $iue fuerit $ectio oxygonia: $em- per patet per præmi$$am quòd punctus reflexionis & centrum circuli $iue punctus axis, in quem cadit perpendicularis ducta à puncto reflexionis $uper $uperficiem $peculi, $unt in ead\~e $uperficie. E$t ergo $emper po$sibile, ut ab illo puncto flat reflexio ad ui$um: quoniam in concauitate talium $peculorum non e$t corpus aliquod den$um re$i$tens multiplicationi formarum per medium. A quolibet ergo puncto $uperficiei talium $peculorum fiet formarum reflexio ad ui$um. Idem quoq; patet in $peculis pyramidalibus concauis. Quoniam enim centrum ui$us $emper e$t intra talia $pe- cula, non refert à quocunq; puncto $uperficiei $peculi flat reflexio: quoniam $emper po$sibile erit formam ad ui$um peruenire, ni$i fortè den$itas occipitis in quibu$dã $itibus impediat reflexion\~e- Patet ergo propo$itum, re$umpta figuratione pr{ae}mi$$æ, po$ito\’q; puncto tintra $uperfici\~e $peculi in linea t e. Quicunq; enim punctus in utroq; $peculorũ fuerit datus: $it ille punctus e: & ab eo extra- hatur perpendicularis $uper $uperficiem planam in illo puncto $peculum contingentem per 12 p 11. Et quoniam illa cadet in axem $peculi per 96 th. 1 huius: $it, ut cadat in punctum f: & $uper pũctum e terminũ lineæ e f flat per 23 p 1 angulus æ qualis angulo t e f, qui f e d. Palàm ergo quòd forma pun- cti d reflectetur ad ui$um in puncto t exi$tentem per 20 th. 5 huius. Et hoc proponebatur.

5. Centro ui$us exi$tente extra $peculũ columnare uelpyramidale concauum nõ integrum, à maiore parte $uperficiei $peculi fiet reflexio ad ui$um. Alhazen 49 n 4.

E$to $peculum columnare uel pyramidale concauum: cuius axis $it a b: & $it centrum ui$us pun- ctum t: $it\’q; extra $peculum: dico quòd à maiore parte $uperficiei concauæ $peculi flet reflexio ad ui$um. Imaginentur enim $uperficies contin gentes columnam uel pyramidem à ui$u productæ ad $peculum: palam\’q; per 1 p 7 huius quoniam $olùm pars $uperficiei $peculi interiacens illas $uperfi- cies contingentes e$t illa, à qua, $peculo exi$tente conuexo, fit reflexio ad ui$um. E$t autem illa pars minor pars $uperficiei $peculi, ut patet de $peculis columnaribus per 78 th. 4 huius, & de pyrami- dalibus per 84 th. 4 huius: ablata itaq; illa parte remanet maior pars $uperficiei $peculi. Fit autem à tota illa $uperficie reflexio ad ui$um: quoniam omnis linea ducta $ub lineis contingentibus $pe- culum in aliqua illarum $uperficierum, producta $ecat $uperficiem $peculi per 4 th. 7 huius: $ecun- dum illam ergo pote$t fieri reflexio ad ui$um. Patet ergo propo$itũ.

a d e f b c 6. Speculo pyramidali concauo integro exi$t\~ete, oppo$ito<006> ip$o ui$ui ex parte $uæ ba$is exi$tenti: nullius puncti forma uidebi- tur, ni$i intra $peculum exi$tentis. Alhazen 50 n 4.

E$to $peculum pyramidale concauum: cuius axis $it a b: $it\’q; eius conica $uperficies tota integra: ba$is uerò eius, quæ e$t $uperficies plana, $it $ubmota ab ip$o $peculo: $it\’q; centrum ui$us c ex parte ba- $is $ubmotæ: dico quòd ui$us non percipiet formam alicuius puncti rei ui$æ, ni$i illius, qu{ae} fuerit intra ip$um $peculum. Si enim centrum ui$us c in aliqua cõ$i$tat linea longitudinis $peculi, fiat\’q; reflexio ab illa linea longitudinis ad ui$um: tunc patet quia punctum rei ui$æ oportebit con$i$tere intra $peculum: quoniam ex hypothe$i cen- trum ui$us e$t ex parte ba$is $peculi: oportebit\’que punctum rei ui- $æ in eadem linea longitudinis exi$tere: aliàs enim non fieret re- flexio propter in æqualitatem angulorum. Quòd $i centrum ui$us c $it $ub aliqua linearum longitudinis $peculi: tunc adhuc patet propo$itum. Quoniam enim omnis perpendicularis ducta à quo- cunque puncto reflexionis, quæ fieri po$sit ad ui$um c in hoc $itu, VITELLONIS OPTICAE tenet angulum acutum cum linea reflexionis: patet per 33 th. 5 huius cũ $emper fiat reflexio ex par- te anguli maioris, quòd $em per fiet reflexio ex parte acuminis pyramidis $peculi. Oportet ergo de nece$sitate, ut puncta rei ui$æ, quorum formæ reflectuntur ad ui$um à quibu$cunq; punctis $uper- ficiei totius $peculi, $emper $int intra ip$um $peculum. Patet ergo propo$itum. Si uerò auferatur à $peculo tali portio aliqua $ecundum longitudinem $peculi: tunc poterunt comprehendi exteriora, quæ $unt extra $peculum: quoniam patebunt liberi introitus lineis incidentiæ formarum extrin$e- carum, qu{ae} reflectentur ad ui$um. Similiter quoq; accidit, $i $ecetur pyramis $peculi ad modum an- nuli $ecundum aliquem circulum æquidi$tantem ba$i, uel etiam $ecundum oxygoniam $ectionem, taliter, ut auferatur uertex pyramidis $peculi: tunc enim lineæ incidentiæ liberum habebũt ingre$- $um: plures tamen formæ reflectentur ad ui$um $i centrum ui$us fuerit ex parte $uperficiei conca- uitatis $peculi, quàm $i fuerit ex parte $uæ ba$is: quia tunc lineis incidentibus latior uia patet.

7. A quocun<005> puncto $peculi columnaris uelpyramidalis concaui non e$t po{$s}ibile ni$ifor- mam unius puncti ad eundem ui$um reflecti. Alhazen 51 n 4.

E$to, ut in præmi$$a, $peculum columnare uel pyramidale concauũ, cuius axis a b: ab eius quoq, puncto e reflectatur ad ui$um c forma pũcti d: dico quòd ab eod\~e puncto e formam alterius puncti, quàm d, ad ui$um exi$tentem in puncto c impo$sibile e$t reflecti. Ducatur enim à puncto reflexio- nis, qui e$t e, linea perpendicularis $uper $uperficiem $peculum in puncto e contingentem: quæ $e- cabit axem $peculi per 96 th. 1 huius: $ecet ergo in puncto f. Palàm itaq; per 3 huius quoniam pun- cta c, d, e, f $unt in eadem $uperficie. Et quoniam una $ola linea recta à centro ui$us, quod e$t e, duci- bilis e$t ad punctum reflexionis, quod e$t e: patet quòd angulus c e f non pote$t uariari: ergo nec angulus d e f, qui per 20 th. 5 huius e$t æqualis angulo c e f. Linea ergo e d e$t tãtùm unica linea, cu- ius alicuius puncti forma pote$t reflecti ad ui$um c: $ed ex hypothe$i forma puncti d reflectitur ad ui$um: nullius ergo alterius puncti forma ad ip$um reflectetur. Cum enim aliqua linea incidentiæ peruenit ad aliquod punctum corporis: non pote$t forma alterius puncti per illam lineam incidere $peculo: quoniam punctus altior occultat po$teriorem, nec præ$tat tran$itum formæ illius. Patet ergo propo$itum: quoniam in his $peculis à quocunq; puncto facta reflexione form{ae} unius puncti, non pote$t ab eodem puncto $peculi forma alterius puncti reflecti ad eundem ui$um. Sed à duo- bus ui$ibus po$$unt in eodem puncto $peculi duorum punctorum formæ compreh\~edi, $icut à plu- ribus ui$ibus plures formæ diuer$orum punctorum: quoniam, ut patet per 18 th. 7 huius, infinitæ po$$unt $umi $uperficies $uper perpendicularem e f $e $ecantes, in quarum qualibet ex utraq; parte perpendicularis e f $umi po$$unt duo ariguli acuti æquales. Licet autem illud, quod hic proponi- tur, $atis patuerit per 29 th. 5 huius: hic tamen idem declarauimus: ideo quia oppo$itum in his $pe- culis plus ueri$imile uidebatur.

8. Linea longitudinis $peculi columnaris uelpyramidalis concaui exi$tente communi $ectio- ne $uperficiei reflexιonis & $peculi: unus e$t tantùm punctus reflexionis, & unius punctirei ui- $æ ad unius ui$us centrum: & uidetur unica imago.

Non oportet huic propo$itioni declaran dæ aliter in$i$ti, ni$i $icut idem o$ten$um e$t in $peculis planis, quòd ab uno tantùm puncto fit reflexio, & una tantùm occurrit ui$ui imago, ut patet per 46 & 48 th. 5 huius. Linea enim recta e$t communis $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei $peculi hinc inde: unicus ergo tãtùm e$t punctus reflexionis: unica tátùm ergo uidebitur imago $ub $uper- ficie $peculi $emper apparens, ut in planis $peculis: erit\’q; per 49 th. 5 huius di$tantia imaginis $ub $peculo æqualis di$tantiæ rei ui$æ $upra $peculum. Patet ergo propo$itum.

9. Communi $ectione $uperficiei reflexionis & $peculi columnaris uel pyramidalis concaui oxygonia exi$tente: à pluribus punctis illius $ectionis pote$t fieri reflexio formæ eiu$dem puncti reiui$æ adidem centrum ui$us. Alhazen 48 n 4. Item 93 n 5.

Sit $peculum columnare uel pyramidale concauum, cuius axis a b: $it\’q; centrũ ui$us c: & punctũ rei ui$æ $it d, ut patet in figura 6 huius. Si itaq; cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi fue- rit $ectio oxygonia: dico quòd forma puncti d ad centrum ui$us c à pluribus punctis illius $ectionis reflecti pote$t. Iam enim o$tendimus $uprà per 22 th. 7 huius quòd à $peculis columnaribus conue- xis ab uno tantùm pũcto $ectionis oxygoniæ fit formæ eiu$dem puncti reflexio ad ui$um eundem: & diximus quòd $i diameter column æ fuerit æqualis di$tantiæ oculorum, quòd à duobus punctis $ectionis oxygoniæ pote$t fieri reflexio ad ui$um: aliàs enim latebunt ui$um puncta reflexionis $e re$picientia, $cilicet illa, per quæ tran$it circulus columnæ, ductus per punctum reflexionis æ qui- di$tanter ba$ibus: unde ui$o uno illorum punctorum alius pũctus latebit propter minoris portio- nis columnæ ip$ius apparentiam. In his uerò $peculis columnaribus concauis apparet ui$ui maior- portio columnæ, ut patet per 5 huius: unde ab unico ui$u po$$unt percipl ambo puncta, quæ $unt extremitates diametri circuli æquidi$tãtis ba$ibus columnæ. Et eodem modo penitùs de $peculis pyramidalibus cõcauis declaran dũ eius enim $uperficiei plus medietate uni ui$ui occurrit: & duo pũcta per diametrũ circuli æ quidi$tãtis ba$i pyramidis oppo$ita uideri po$sũt. Patet ergo {pro}po$itũ.

LIBER NONVS. 10. Communi $ectione $uperficiei reflexionis & $peculi columnaris uelpyramidalis concaui oxygonia exi$tente: erit locus imaginis quando<005> ultra $peculum: quando<005> citra ui$um: quan- doque in centro ui$us: quandoque in $uperficie $peculi: quandoque inter ui$um & $peculum. Alhazen 90 n 5.

E$to $peculum columnare concauum: cuius pars axis $it d k: & eius $uperficiei columnaris & $u- perficiei reflexionis communis $ectio $it oxygonia: quæ a b g: dico quòd po$sibile e$t totum; quod hic proponitur. Ducatur enim in hac $ectione perpendicularis $uper $uperficiem $peculum cõtin- gentem in pũcto reflexionis, quæ $it d g: hæc itaq; per 112 & per 104 th. 1 huius erit $emidiameter cu- iu$dam circuli $ecundum illum punctum $ecantιs columnam $peculi æquidi$tanter ba$ibus: $eca- bit\’q; ax\~e $peculi, qui e$t k d: $it\’q;, ut $ecet ip$um in puncto d: erit\’q; illa perpendicularis tantùm una: cum à nullo alio puncto $ectionis a b g po$sit duci linea perpendicularis $uper $uperficiem contin- gentem $peculum in puncto reflexionis quàm ab uno puncto reflexionis: cum omnes aliæ lineæ à quibu$cunq; punctis $ectionis a b g ductæ ad axem d h, $int obliquæ $uper $uperficiem illam $pecu- lum contingentem, ut patet per pr{ae}nominatas propo$itiones 1 huius. Sumatur item alιus punctus $ectionis a b g, qui $it b: & ducatur ab illo puncto b linea e b g c q l m d z o a f n t h k perpendicularis $uper lineam rectam conting\~etem $ectio- nem a b g in puncto b: & hæc quidem linea per 114 th. 1 hu- ius nece$$ariò concurret cum perpendiculari g d. Sit ergo, exempli cau$$a, cócur$us in puncto d: quoniam $i concur- rant $ub puncto d, eadem e$t demon$tratio: $it\’q; punctus b taliter $umptus in $ectione a b g circa punctum g, ut an- gulus b d g $it acutus. Deinde à puncto g ducatur in $uper- ficie $ectionis a b g linea æquidi$tás lineæ b d per 31 p 1: qu{ae} $it g h: & hæc linea cadet intra pyramidal\~e $ectionem: ideo quia cum angulus g d b $it acutus ex hypothe$i, erit $uus coalternus (qui e$t angulus h g d) $imiliter acutus per 29 p 1: cum lineæ b g & g h adinuicem æquidi$tent. Item inter puncta d & h ducatur à puncto g linea in $uperficie $ectio- nis, quæ per 2 th. 1 huius nece$$ariò concurret cum linea b d: quoniam ip$a cõcurrit cum linea h g æquidi$tante lineæ b d: $it ergo punctus concur$us n: cadet itaq; linea g n inter lineas g h & b n. In hacitaq; linea g n $umatur pũctus qui- cunq;, qui $it o, inter duo puncta g & n, & ultra punctum n $umatur punctus tin linea g n. Item à puncto g ducatur extra ambas lineas g h & b d, alia linea intra $ectionem a b g, quæ $it g z. Hæc itaq; linea g z, quia concurrit cum linea h g in puncto g, nece$$ariò concurret cum linea d b produ- cta ultra punctum b per 2 th. 1 huius: $it concur$us in pun- cto e: & $uper g terminum lineæ g d fiat angulus æqualis angulo z g d per 23 p 1, qui $it angulus d g q: cadat\’q; punctũ q in linea b d. Similiter quoq; fiat angulus l g d æqualis angulo h g d: & fiat angulus m g d æqualis angulo n g d: $int\’q; omnia puncta q, l, & m in linea b d. Palàm itaq; per 20 th. 5 huius, quòd $i centrũ ui$us fuerit in puncto z, reflectetur ad ip$um forma puncti q à pũcto $peculi g: & erit per 37 th. 5 hu- ius locus imaginis punctum e: & $i fuerit centrũ ui$us in puncto h, reflectetur ad ip$um forma pun- cti l à puncto $peculi g. Et quoniá cathetus incidentiæ, quæ e$t l d, æ quidi$tat lineæ reflexionis, quæ e$t g h: palàm quòd lineæ l d & g h nunquam concurrent. Erit ergo locus imaginis in puncto $uper- ficiei $peculi, à quo fit reflexio (quod e$t punctum g) qui locus e$t primus & proprius ip$ius imagi- nis propter continuitatem totius formæ reflexæ, prout diximus in 12 th. 8 huius. Si uerò centrum ui$us fuerit in puncto o, reflectetur ad ip$um forma puncti m à puncto $peculi, quod e$t g: & locus imaginis erit punctum n. Si uerò centrum ui$us fuerit in puncto n: erit locus imaginis formæ pun- cti m in ip$o centro ui$us, quod e$t in puncto n. Quòd $i c\~etrum ui$us fuerit in puncto t: erit iterum locus imaginis formæ puncti m in puncto n, quod erit tunc inter ui$um & $uperficiem $peculi. Pa- tet ergo propo$itum: quoniã in $peculis pyramidalibus concauis poterit $ecundum præmi$$a, coo- perante 113 huius, demon$tratio faciliter coaptari. Hoc itaq; proponebatur.

11. Centro ui$us & puncto rei ui$œ exi$tentibus in eadem linea perpendiculari $uper $uperfi- ciem $peculi columnaris uel pyramidalis concaui: quando<005> ab unopuncto $peculi: quando<005> à duobus fit reflexio: & locus imaginis $emper erit centrum ui$us. Alhazen 91 n 5.

Sit $peculum columnare concauum: cuius a xis $it a b: $it\’q; centrum ui$us c: & punctum rei ui$æ d: $int\’q; puncta c & d in una linea perpendiculari $uper $uperfici\~e $peculi, quæ $it e f, uel in alia linea perpendiculari $uper lineá e f: quæ $it h p, ita quòd punctus e $it pũctus $uperficiei $peculi, & pũctus f $it pũctus axis a b: & producatur linea e f ad aliá partem $peculi in punctũ g. Dico quòd quandoq; ab uno puncto $peculi, ut à puncto e: quandoq; à duobus, ut à punctis e & g, pote$t forma puncti d VITELLONIS OPTICAE reflecti ad ui$um c. Palàm enim per 21 th. 5 huius quòd linea c e, in qua e$t punctus rei ui$æ, qui e$t d, reflectitur in $eip$am: tunc enim infinitæ po$$unt intelligi $uperficies $ecantes $e $uper lineam e f, quarum quælibet e$t erecta $uper $uperficiem conting\~etem $peculum per 18 p 11: cum linea e f, quæ e$t communis $ectio illarum $uperficierum, $it erecta $uper $uperficiem $peculum in puncto e con- tingentem. Quádo ergo quarundam illarum $uperficierum & $uperficiei ip$ius $peculi communis $ectio e$t linea recta, qu{ae} e$t linea longitudinis $peculi æquidi$tans axi a b: tunc, $icut per 21 th. 5 hu- ius in $peculis quibu$cunq; o$tendimus, non $iet reflexio, ni$i $uper eandem lineam perpendicula- rem, quæ e$t e c: & (ut patet per 32 & 36. th. 5 huius) locus imaginis e$t centrum ui$us, qui e$t pun- ctus c: nec uidebitur aliquis pũctus rei ui$æ, ni$i $olus ille, qui fuerit in $uperficie ip$ius ui$us. Quã- do uerò aliqua illarum $uperficierum perpendicu- a g c p c f d h d e b larium $uper $uperficiem $peculum in puncto e con tingentem, $ecat $uperficiem concauam ip$ius $pe- culi, ita quòd communis $ectio illarum $uperficierũ e$t circulus æquidi$tans ba$ibus colũnæ, cuius cen- trum e$t f punctum axis: & tunc $i punctum f fuerit in diametro p h inter punctum c, quod e$t centrum ui$us, & punctum d, quod e$t punctum rei ui$æ, ita quòd æqualiter di$tet ab utroq;: $it\’q; linea c f æqua- lis lineæ f d: poterit forma puncti d ad ui$um c refle- cti à duobus punctis $peculi, quæ $unt e & g: & $unt puncta terminantia diametrũ illius circuli. A quo- libet enim illorũ punctorum fit reflexio form{ae} pun- cti d ad ui$um c: ideo quòd angulus d e f e$t æqualis angulo f e c: & $imilιter angulus d g f æqualis angu- lo f g c per 4 p 1. Duorum enim trigonorum d f e & f e c duo latera d f & f c $unt æqualia ex hypothe$i, & latus f e e$t commune, angulus\’q; d f e e$t æqualis angulo c f e: quia uterq; e$t rectus: & $imiliter e$t in trigonis d f g & c f e. Angulum itaq; d e c per æqualia diuidit perpendicularis e f: & angulum d g c per æqualia diuidit perpendicularis f g ducta à puncto reflexionis ad centrũ illius circuli. Et quo- niam cathetus incidentiæ, quæ e$t d f, cum linea reflexionis e c uel g c non concurrit ni$i in centro ui$us, quod e$t c: patet per 37 th. 5 huius quoniam centrum ui$us e$t locus imaginis formæ puncti d. Alia uerò puncta lineæ perpendicularis, quæ e$t c d h, non reflectuntur ad ui$um c à puncto $pe- culi h, ni$i $olus ille punctus, qui e$t in $uperficie ip$ius ui$us, ut $uprà patuit: ideo quòd nõ reflecti- tur ni$i per eandem perpendicularem. Cum uerò alicuius illarum $uperficierum perp\~edicularium $uper $uperficiem $peculum propo$itum in puncto e conting\~etem & $uperficiei $peculi fuerit oxy- gonia $ectio: non poterunt puncta lineæ reflexionis reflecti ad ui$um ab aliquibus alijs punctis $e- ctionis: cũ ($icut patet per 112 th. 1 huius) duæ lineæ perpendiculares $uper $uperfici\~e $peculi in $u- perficie $ectionis $e inter$ecare nó po$sint, $icut in $uperficie circuli æquidi$tantis ba$ibus $peculi $e tales duæ diametri $ecant $upercentrum f, ut iam patuit, qu{ae} $unt p h & e g. Non enim e$t diame- ter $ectionis (quæ e$t p h) perpendicularis $uper $uperficiem conting\~etem $peculum in puncto h, $ed obliquè incidit $uper illam, quando diameter e g perpendicularis e$t $uper $uperficiem $peculi: & hoc accidit propter obliquationem $ectionis oxygoniæ $uper axem columnæ $peculi. Non ergo reflectetur forma puncti d ad ui$um c per lineam c d h. Sed $i puncta d & c æqualiter di$tent à pun- cto f, ita ut linea d f $it æqualis lineæ f c: tunc à punctis $peculi e & g, quæ $unt termini line{ae} perpen- dicularis $uper $uperficiem $peculi, quæ e$t linea e f g, pote$t fieri reflexio formæ puncti d ad ui$um c per 20 th. 5 huius, & per 4 p 1, ut $uprà patuit: quoniam anguli d e f, & f e c $unt æquales: & it\~e an- guli d g f & f g c $unt æquales, & punctum rei ui$æ, quod e$t d, & c\~etrum ui$us, quod e$t c, $unt cum ambobus punctis reflexionis, qui $unt e & g, & cum pũcto axis f, cui incidit linea e f g, quæ e$t per- pendicularis $uper $uperficies contingentes $peculum in punctis e & g in eadem $uperficie ip$ius $ectionis. Patet ergo quòd fiet ab illis duobus pũctis reflexio formæ puncti d ad ui$um c: & erit l o- cus imaginis in utri$q; centrum ui$us, quod e$t c. Sed $i puncta d & c fuerint in perpendiculari e f: tunc non fiet reflexio ab aliquo puncto $ectionis oxygoniæ, ni$i $olùm à puncto e: quoniam forma incidens $uperficiei $peculi $ecundum lineam perpendicularem, reflectitur $ecũdum eandem per- pendicularem: & in $ectione oxygonia e$t unica linea perpendicularis $uper $uperficiem $peculum contingentem. Quare, ut prius dictum e$t, per illam $olam fit reflexio $olius puncti lineæ perpendi- cularis, qui e$t in $uperficie ui$us: & $icut prius, erit locus imaginis in centro ui$us. Eodem quoque modo deducendo, patet idem propo$itũ in $peculis pyramidalibus concauis. Ducta enim à centro ui$us ad $uperficiem conting\~etem $peculum pyramidale linea recta perpendiculari $uper illam $u- perficiem: $i in illa perp\~ediculari $umatur punctus corporeus inter ui$um & $peculum: patet quòd non reflectetur $orma eius ad ui$um $ecundum illam perpendicularem: quoniam punctus ille oc- cultabit terminum perpendicularis, & non reflectetur ab ip$o. Si autem nullus punctus corporeus fuerit in illa perpendiculari: reflectetur ad ui$um $ecundum hác perpendicular\~e forma $olius pun- cti $uperficiei ui$us, quod punctum ex illa $uperficie ui$us $ecat ip$a perpendicularis. Si communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi fuerit linea longitudinis $peculi: ab uno tantùm puncto $pe- LIBER NONVS. culi $it reflexio, $icut & in alio $peculo columnari præ o$ten$um e$t. Quòd $i $ectio fuerit oxygonia, quandoq; ab uno puncto: quandoq; à duobus pote$t fieri reflexio $ecundũ diuer$itatem $itus pun- cti rei ui$æ & centri ui$us: quoniam punctis c & d exi$tentibus in linea f p, fiet reflexio à puncto h: & $i puncto c exi$tente in linea f g, punctus d $it in linea f e: fiet reflexio $ortè à punctis h & p: & $em- per locus imaginis e$t centrum ui$us. Vniuer$aliter enim tam in $peculis pyramidalibus quàm co- lumnaribus concauis, exi$t\~ete axe $peculi inter ui$um & $peculum, non fiet reflexio per lineam ad ui$um perpendicularem, ni$i ab uno tantùm puncto $peculi, qu\~e $ecat illa perp\~edicularis: & $olùm illius puncti $uperficiei ui$us, quem $ecatilla perpendicularis ducta à c\~etro ui$us. Hoc quoq; quod præmi$imus, tunc demum uerùm e$t, $i linea f h $uerit perpendicularis $uper lineam longitudinis $peculi: quod e$t po$sibile fieri in $peculis pyramidalibus, non aut\~e in $peculis columnaribus: quia tunc $emper $ectio e$t obliqua $uper $uperficiem $peculi: & $imiliter e$t de linea f p. Patet ergo pro- po$itum: quoniam $ectionem pyramidalem po$sibile e$t $ic di$poni, ut linea p h $it perpendicularis $uper $peculi $uperficiem, & ut ordinetur reflexio $ecun dum illud.

12. Centro ui$us exi$tente in centro ba$is $peculi columnaris cõcaui, aut circuli æquidi$tantis ba$i: fiet reflexio formæ ip$ius oculi ab arcu cir- a b b culi $peculi $imili arcui circuli magni, qui e$t in $uperficie oculi: erit<006> locus imaginis centrum ui$us. Alhazen 92 n 5.

Sit $peculum columnare concauum: cuius axis $it a b: $it\’q; centrum ui- $us in puncto b: quod per 92 th. 1 huius e$t c\~etrum circuli, qui e$t ba$is $pe- culi: dico quòd forma ip$ius oculi uidentis reflectetur ad ip$um ui$um ab arcu circuli ba$is $peculi, $imili arcui circuli magni, qui e$t totius $phæræ oculi, tran$iens per centrum foraminis uueæ & per centrum oculi: hoc e$t arcui, qui interiacet extremas perpendiculares, quæ à centro ui$us $ecan- tes peripheriam foraminis uueæ duci po$$unt ad peripheriam circuli $pe- culi. Imaginentur enim illæ lineæ à centro oculi per centrum foraminis uueæ & per totam peripheriam cuiu$dã arcus circuli magni $ph{ae}ræ ip$ius oculi, $ecantis portionem $phæræ oculi, cui corre$pondet foramen uueæ, per æqualia. Illæ ergo lineæ omnes erunt perpendiculares $uper $uperfi- ciem $phæræ oculi per 72 th. 1 huius: quoniam ducuntur à centro: $ed eæ- dem lineæ ad peripheriam circulι ba$is $peculi productæ $unt perpendi- culares $uper $uperficiem $peculi per eandem rationem: quoniam exeunt à centro illius circuli, quod e$t b. I$tæ ergo lineæ $unt perpendiculares $u- per utra$q; i$tas $uperficies: ergo per 21 th. 5 huius ip$æ reflectuntur in $eip$as. Formæ ergo puncto- rum $uperficiei oculi in illis perpendicularibus cadentes, reflectũtur ad ui$um per ea$dem. Et quo- niam circulus $phæræ oculi & circulus ba$is $peculi (cum id\~e centrum habeant) $unt circuli æqui- di$tantes: patet per defin ition\~e $imilium arcuum, quòd arcus qua$q; duas ip$arum $emidiametros interiacentes $unt $imiles. Arcus itaque circuli $peculi, à d z b t m q l i p h k f g e a quo $it reflexio, e$t $imilis arcui oculi, qui reflectitur. Et fortè ille arcus hinc inde e$t quadrans circuli: quia $icut in 4 th. 3 huius diximus, latus rectum $ubten$um arcui circuli magni, & $phæræ ip$ius oculi tran$eunti per cen- trum uueæ & trans totum foram\~e uueæ, e$t qua$i æqua- le lateri quadrati in$criptibilis ip$i $phæræ oculi: illi au- t\~e corre$pondet in centro angulus rectus, & in $uperficie ip$ius $phæræ quadrans circuli per 33 p 6. Locus autem imaginis omnium pũctorum $uperficiei oculi taliter re- flexorum e$t in centro ip$ius ui$us, ut patet per præmi$- $am. Et quoniã de quocunq; circulo $peculi æquidi$tan- te ba$i e$t eadem demon$tratio: patet ergo propo$itum.

13. In $peculis columnaribus concauis $umptis duo- bus punct is in axe $peculi: po{$s}ibile e$t unum reflecti ad alterum à toto uno circulo $peculi: locus<006> imaginis erit quidã circulus extra $uperfici\~e $peculi. Alhaz. 94 n 5.

E$to $peculum columnare concauum: cuius axis $it e z, $int\’q; t & h duo pũcta $ignata in axe: dico quòd e$t po$- $ibile unum illorum punctorum reflecti ad alterum, ut proponitur. Sint enim circuli a g & b d ba$es $peculi: & diuidatur linea th per æqualia in puncto q per 10 p 1: & $uper c\~etrum q de$cribatur circulus in $uperficie $peculi æquidi$tás ba$ibus $peculi per 102 th. 1 huius: cuius dia- meter $it linea l q m: ducantur quoq; lineæ longitudinis $peculi per 101 th. 1 huius: quæ $int b l a, & d m g: fiat quoq; circa centrum h circulus: cuius diameter VITELLONIS OPTICAE $it linea k h p: & ducantur lineæ t l, t m, h l, h m. Et quia axis $peculi, qui e$t e z, per 92 th. 1 huius ere- ctus e$t $uք $uperfici\~e circuli l m: patet quia anguli t q l & t q m & h q l & h q m $unt recti: $ed & lιnea t q e$t æqualis lineæ q h exhypothe$i: & lineæ q m & q l $unt æquales per definitionem circuli: ergo per 4 p 1 trigona quatuor, quæ $unt t q m & h q m & t q l & h q l $unt æquiangula: angulus itaq; t l q e$t æqualis angulo q l h: & angulus t m q æqualis angulo q m h. Si itaq; centrum ui$us fuerit in pun- cto t, & alicuius rei ui$æ punctus fuerith: reflectetur forma puncti h ad ui$um exi$t\~etem in puncto t, à puncto $peculi, quod e$t l: & $imiliter à puncto m. Si itaq; triangulus t l h, fixo manente latere t h, quod e$t pars axis $peculi, imaginetur moueri quou$q; redeat ad locum, unde $ump$it motus prin- cipium: tunc punctus l motu $uo de$cribet circulum: & $emper duo anguli t l q & q l h manebunt æquales: & $emper in hoc motu reflectetur $orma puncti h ad ui$um exi$tentem in puncto t. Quia uerò diameter p h k e$t perpendicularis $uper $uperficiem $peculi: palàm quia ip$e e$t cathetus in- cidentiæ formæ puncti h. Producatur itaq; eadem cathetus p h k ultra pũctum k extra $uperficiem $peculi, donec concurrat cum linea reflexionis, quæ t l, producta: cõcurret autem per 14 th. 1 huius: quoniam cũ angulus t h k $it rectus, angulus h t l e$t acutus: $it punctus concur$us f. Similiter quoq; producta catheto h p ultra punctum p: cõcurret ip$e cum linea reflexionis, quæ e$t t m: $it punctus concur$us r: erunt\’q; per 37 th. 5 huius puncta f & r loca imaginũ $ormæ puncti h: moto\’q; triangulo t l h, mouebitur $imul cum illo triangulus t f h: & in hoc motu punctus f de$cribet circulum extra columnam $peculi: totus\’q; ille circulus erit locus imaginis. Et idem erit probandi modus $umptis quibu$cunq; duobus pũctis in axe $peculi. Oportebit taméhoc modo ui$um taliter $i$ti, ut centrũ eius $it directè in axe $peculi, & punctus rei ui$æ $it in aliquo c\~etro circuli $peculi, aut circuli ba$is, aut æquidi$tantis ei: aliàs enim locus imaginis nó occurret ui$ui extra $peculũ. Patet ergo {pro}po$itũ.

14. Communi $ectione $uperficiei reflexionis & $peculi columnaris concaui exi$t\~ete circulo: quando<005> unum: quando<005> duo: quando<005> tria: quando<005> quatuor erunt puncta reflexionis & non plura: & $ecũdum hæc loca ima- a d e g b h e f ginum numer antur. Alhazen 95 n 5.

E$to $peculum columnare concauum, cuius axis a b: $it\’q; com- munis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi circulus, quic d e f: cu- ius centrum $it b: $it\’q; centrum ui$us g: & punctũ rei ui$æ h: quæ $int intra illum circulum æqualiter uel inæqualiter di$tantia à centro b: $int\’q; ambo ab una parte centri b. Dico quòd uerum, quod propo- nitur. Ducantur enim diametri g b & h b: quæ producantur ad peri pheriam circuli: patet\’q; per 40 th. 8 huius quoniá po$sibile e$t quá- doq; formam puncti h reflecti ad ui$um exi$tentem in puncto g ab uno tantùm puncto circuli c d e f: quandoq; à duobus: quandoque uerò a tribus: quandoq; uerò à quatuor: non autem à pluribus. Et quoniam in propo$ito, cum reflexio fiat à circulo $peculi, nõ e$t ali- qua differentia quo ad illud: patet ergo primum propo$itum. Patet etiã, prout o$ten$um e$t in 11 th. 8 huius, $iue catheti incidentiæ con- currant cum lineis reflexionis $iue æquidi$tent, quòd $ecũdum nu- merum linearum reflexionis imagines numerantur. Et hoc e$t to- tum, quod proponebatur.

15. In columnaribus cõcauis $peculis communi $ectione $uperficiei reflexionis & $peculi exi- $tente oxygònia: formarum punctorum rei ui$œ quarundam fit ab uno tantùm puncto $peculi reflexio ad ui$um: quarundam à duobus: quarundam à tribus: quarundam à quatuor: non au- tem à pluribus: & $ecundum hœc loca imaginum numer antur. Alhazen 95 n 5.

E$to $peculum columnare concauum: cuius axis $it linea x h: $it\’q; punctus rei ui$æ obliquè in- cidens $peculo, ita quòd non $it in aliqua linearum perp\~edicularium $uper $uperficiem $peculi: qui $it punctus a: taliter ut communis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $it $ectio oxygonia. Dico quòd po$sibile e$t, ut ab uno puncto, uel à duobus, uel à tribus, uel à quatuor punctis alicuius oxy- goniæ $ectionis fiat reflexio ad ui$um: & quandoq; unica appareat imago, quãdoq; duæ, quandoq; tres, quandoq; quatuor & non plures imagines: quoniam totidem $unt puncta reflexionis tantùm po$sibilia. Imaginetur itaq; $uperficies plana tran$iens per punctum a æquidi$tans ba$ibus $peculi propo$iti: erit\’q; cómunis $ectio huius $uperficiei & $uperficiei $peculi circulus per 100 th. 1 huius, cuius circuli centrum $it h: $umatur\’q; in $uperficie illius circuli aliud punctum, quod $it b, inæqua- liter di$tans à centro h cum puncto a: & ducantur à punctis a & b ad centrum circuli h lineæ a h & b h: & compleantur diametri illius circuli ei$d\~e lineis ad peripheriam circuli hinc inde productis. Palàm ergo per ea, quæ dicta $unt in theoremate pr{ae}cedente, & in 40 th. 8 huius, quòd ab uno pun- cto arcus interiacentis duas $emidiametros a h & b h pote$t forma puncti a reflecti ad ui$um exi- $tentem in puncto b: uel for$itan à duobus uel à tribus: $ed nõ à pluribus: ab arcu uerò oppo$ito i$ti arcui (utpote ab illo arcu, qui cadit inter ea$dem $emidiametros productas ad aliam partem peri- pheriæ circuli) non pote$t fieri reflexio formæ pũcti a ad ui$um b, ni$i ab uno tantùm puncto. E$to itaq; quòd forma pũcti a re$lectatur ad ui$um b à tribus pũctis $peculi propo$iti arcus, $cilicet unius LIBER NONVS. inter iacentis $emidiametros a h & b h: quæ $int puncta g, d, e: & ducantur lineæ a g, h g, b g, a d, h d, b d, a e, h e, b e: & à puncto a rei ui$æ ducantur in eadem $uperficie tres lineæ æquidi$tantes tribus $emidiametris, quæ $unt h g, h d, h e: quæ lineæ æquidi$tantes $int a k, a f, an: ita quòd linea a k $it æquidi$tás $emidiametro h g: & linea a f $emidiametro h d: & linea a n $emidiametro h e. Cum itaq; linea a k $it æquidi$tãs $emidiametro h g, & linea s z o r x a h k g m b d e i t f q p f n b g concurrat cum eadem $emidi a metro in pũcto g: palàm per 2 th. 1 huius quoniá linea b g concur- ret cum linea a k: $it ergo punctus cócur$us k. Si- militer quoq; per eandem ration em linea b d con curret cum linea a f: $it concur$us punctus f: $imi- liter quoque linea b e concurret cum linea a n: $it punctus cõcur$us n. Deinde à puncto b erigatur perpendicularis $uper $uperficiem circuli, cuius centrum h, per 12 p 11: quæ$it b t: & quoniam axis x h e$t perp\~edicularis $uper $uperficiem illius cir- culi: erit per 6 p 11 linea b t æquidi$tãs axi x h. Su- matur quoq; in linea b t punctũ quodcũq;, quod $it t: & ab illo ducantur tres line{ae} ad tria puncta k, f, n, quæ $int lineæ t k, t f, t n: & à tribus punctis g, d, e erigantur per 12 p 11 tres perp\~ediculares $uper $uperficiem circuli, cuius c\~etrum h: quæ $int g m, d l, e q: erunt ergo per 6 p 11 lineæ b t & e q æ qui- di$tantes. Et quoniam, ut patet per 1 th. 1 huius, o- mnes line{ae} æquidi$tantes $unt in ead\~e $uperficie: palàm per 1 p 11 quoniã lineæ b t & e q $unt in $u- perficie trianguli b t n: igitur linea e q $ecabit li- neam t n: $it ut $ecet ip$am in puncto q: & penitus per eundem modum $it, ut linea d l $ecet lineam t fin puncto l: & linea g m $ecet lineam t k in pũcto m: erunt\’q; per 92th. 1 huius hæ tres lineæ $cilicet e q & d l & g m partes linearum longitudinis $pe- culi: cum $int in $uperficie columnæ $peculi per- pendiculariter productæ $uper $uper fici\~e circuli, cuius centrum h: & per con$equ\~es $int erectæ $u- per ba$es $peculi per 23 th. 1 huius. Et à puncto q ducatur per 31 p 1 linea æ quidi$tans lineæ n a: quæ $it linea q u: h{ae}c itaq; per 30 p 1 erit æquidi$tans li- neæ h e: quoniam ip$a h e æquidi$tat lineæ a n, ut patet ex præmi$sis. Quia itaq; axis x h concurrit cum linea h e in puncto h: palàm per 2 th. 1 huius quoniam ip$e axis cõcurret cum eius æquidi$tan- te ducta à puncto q: $it cõcur$us in puncto u: & $it illa æquidi$tans linea q u: & ducatur linea t a: hæc itaq; $ecabit lineam q u: quoniã linea q u ducitur à latere trianguli t b n, & à termino line{ae} e q æqui- di$tantis ba$i t b, & omnes illæ lineæ $unt in eadem $uperficie, linea\’q; t a producta e$t inter lineam t u æquidi$tantem axi h u, & inter ip$um axem: patet quòd linea t a $ecabit lineã q u: $unt enim am- bæ in eadem $uperficie: $it itaq; linearum t a & q u pũctus $ectionis i: & ducatur linea q a. Quia itaq; lineæ h e & a n $unt æquidi$tátes, ut $uprà patuit: palàm per 29 p 1 quia angulus b e h extrin$ecus e$t æqualis angulo e n a intrin$eco, & anguli h e a & e a n $unt æquales, quia coalterni: $ed & angulus reflexionis, qui e$t h e b, e$t æqualis angulo incidentiæ, qui e$t a e h, per 20 th. 5 huius. Erit ergo an- gulus e a n æqualis angulo a n e: ergo per 6 p 1 in trigono e a n duo latera e a & e n $unt æqualia: $ed linea e q e$t perpendicularis $uper $uperficiem trigoni a e n: quia & $uper $uperficiem circuli, cuius c\~etrum e$t h, e$t erecta, ut $uprà patuit. Cum itaq; linea q e $it communis duobus trigonis q e a & q e n: patet per 4 p 1 quoniam illa trigona $unt æqualia: erit\’q; linea q n æqualis line{ae} q a: ergo per 5 p 1 quia trigoni q a n duo latera q a & q n $unt æqualia, erit angulus q a n æqualis angulo q n a. Quia itaq; linea q i æquidi$tat lineæ a n: patet per 29 p 1 quoniam angulus t q i extrin$ecus {ae}qualis e$t an- gulo t n a intrin$eco: & angulus i q a æqualis e$t angulo q a n, quia $unt coalterni: erit ergo angulus i q t æqualis angulo i q a. Forma itaq; puncti a per 20 th. 5 huius reflectetur ad ui$um exi$tentem in puncto t à puncto $peculi, quod e$t q. Et eodem modo demon$trandum quòd forma puncti a refle- ctitur ad ui$um exi$tentem in puncto t ab alijs duobus punctis $peculi $imilibus puncto q, qu{ae} $unt puncta l & m. Sic ergo formæ puncti a ad ui$um in punctum t fiet reflexio à tribus punctis $peculi columnaris concaui, qu{ae} $unt q, l, m, & ex eadem parte colũnæ $peculi: nec e$t po$sibile, ut fiat eiu$- modi reflexio à pluribus punctis $peculi exilla parte. Si enim detur quodcunq; pũctum $uperficiei $peculi columnaris concaui aliud ab i$tis tribus, à quo dicatur po$$e fieri reflexio form{ae} puncti a ad ui$um in punctum t: ducatur ab illo puncto dato linea longitudinis $peculi $uper circulum, cuius centrum h: & o$ten detur modo præmi$$o, quòd à puncto peripheriæ illius circuli, cui incidit illa li- nea longitudinis, pote$t forma puncti a reflecti ad ui$um exi$tent\~e in pũcto b: & $ic à quatuor pun- VITELLONIS OPTICAE ctis arcus interiacentis diametros circuli, in quibus $unt centrum ui$us & punctum rei ui$æ, fiet re- flexio ad ui$um, $cilicet à tribus punctis g, d, e, & à quarto dato: quod e$t contra 40 th. 8 huius, & im- po$sibile. Non ergo $iet reflexio formæ puncti a ad ui$um exi$tent\~e in puncto t, ni$i à tribus punctis $peculi columnaris concaui: qu{ae} $unt, q, l, m ex una parte ip$ius $peculi. Si itaq; alia pars columnaris $peculi ab$ci$$a fuerit: patet quòd tantùm fiet reflexio à tribus pũctis $peculi: quò d $i totum $pecu- lum integrũ fuerit, po$sibile e$t fieri reflexion\~e à pũctis quatuor. Iam enim patuit per 27 th. 8 huius, quòd ex arcu circuli, cuius centrũ h, oppo$ito arcui g d e, pote$t forma pũcti a reflecti ad ui$um exi- ftentem in puncto b ab uno tantùm puncto. Sit ergo illud punctũ z: & ducatur $emidiameter h z: & à puncto a per 31 p 1 ducatur linea ei æ quidi$tans: quæ $it a s: & ducatur linea reflexionis, quæ $it b z concurrens cum linea a s in puncto s: concurret aut\~e per 2 th. 1 huius: quoniã concurrit cum linea h z æ quidi$tante ip$i a s: & à puncto z erigatur $uper $uperfici\~e circuli, cuius centrũ h, linea z o perp\~e- diculariter per 12 p 11: hæc ergo per 6 p 11 æ quidi$tabit lineæ b t. Ducatur itaq; linea t s, quæ, $icut prius in alijs declarauimus, $eca bit lineã z o: quoniá $unt in ead\~e $uperficie: $it ergo punctus $ectio- nis o: patebit\’q $ecundũ pr{ae}mi$$o prius modos, quoniã forma punctis s reflectitur ad ui$um exi$t\~e- tem in puncto t à puncto $peculi, quod e$t o: nec erit po$sibilis reflexio ab aliquo puncto $uperficiei $peculi ex illa parte, præter quàm à puncto o. Si enim detur, quòd ab aliquo alio pũcto hoc $it po$- fibile: $equetur, ut prius deduximus, quòd $imiliter ab alio puncto illius arcus circuli, cuius centrũ h, quàm à puncto z, po$sit forma puncti a reflecti ad ui$um exi$tent\~e in puncto b, quod e$t impo$si- bile, & contra 29 th. 8 huius. Si itaq; forma puncti a ab uno pũcto circuli, cuius centrũ h, reflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto b: reflectetur ead\~e forma puncti a ex ead\~e parte $peculi columnaris concaui ad ui$um exi$tent\~e in puncto t ab uno tantùm $peculi puncto: & $i à duobus pũctis $peculi fiat reflexio formæ puncti a ad b: & à duobus punctis $peculi reflectetur a ad t. Si uerò una harum reflexionum à tribus fiat punctis: $iet etiá refliqua à tribus: & ab illa parte circuli uel $peculi non e$t po$sibile fieri plures reflexiones. Sicut aut\~e ab uno tantùm puncto arcus oppo$iti in circulo fit re- flexio formæ puncti a ad punctum b: $ic etiá ex illa parte $peculi ab uno tantum puncto fit reflexio form{ae} puncti a ad ui$um exi$tent\~e in puncto t. Item linea t b æ quidi$tat axi x h: $unt ergo in ead\~e $u- perficie per 1 th. 1 huius, qu{ae} e$t $uperficies t b h u: nec enim pote$t alia $umi plana $uperficies, in qua fint illæ lineæ t b & h x per 1 p 11. It\~e n ec pote$t $umi aliqua plana $uper$icies, in qua $it punctus a, & axis x h, pr{ae}ter $uperfici\~e a u h, qu{ae} per 18 p 11 e$t electa perp\~ediculariter $uper $uper fici\~e circuli, cu- ius centrũ e$t punctũ h: cum per 92 th. 1 huius axis h u $it perp\~e dicularis $uperip$am. Punctus ergo tnó e$t in ead\~e $uperficie cũ pũcto a erecta $uper $uperfici\~e dicti circuli: $ed neq; illa pũcta t & a $unt in eod\~e circulo: $ed neq; $unt in axe $peculi: quoniá linea b t e$t æ quidi$tans axi $peculi, qui e$t x h. Superficies ergo, in qua forma pũcti a refle ctitur ad ui$um exi$tent\~e in pũcto t, e$t oxygonia $ectio. Verùm {pro}ducta linea t a ex utraq; parte ultra pũcta t & a, ut fiat linea p r: cũ quatuor $int $uperficies reflexionis: quia à quatuor pũctis fit reflexio, qu æ $unt q, l, m, o, & in qualibetillarũ quatuor $uper- ficierum nece$$e e$t e$$e duo puncta, quæ $unt a & t: patet quòd linea p re$t communis illis quatuor $uperficiebus per 1 p 11: quoniam in linea p r $unt c\~etrum ui$us, quod e$t punctum t: & punctum rei ui$æ, quod e$t punctum a: quæ nece$$e e$t e$$e in omni $uperficie refle xionis $actæ ab his $peculis, ut patet per 3 huius. Quælibet autem illarum $upet$icierum $ecat $peculum $uper $uperficiem contin- gentem $peculum in puncto $uæ reflexionis: & cuilibet i$tarum $uperficierum reflexionis & $uper- ficiei in illo puncto $peculum contingentis communis $ectio e$t linea recta per 3 p 11. Et $icut pũcta reflexionis non $unt eadem: $ic neq; lineæ communes illarum $ectionum $unt eæ dem: linea itaq; p re$t perpendicularis $uper unam tantùm illarum quatuor communium linearum, non $uper duas. Quoniam $i e$$et perpendicularis $uper duas illarum linearum: e$$et perp\~edicularis $uper duas $u- per$icies $peculum $ecun dum puncta illarum linearum cõtingentes: linea itaq; prnece$$ariò tran- $iret axem: cum tam en o$ten $um $it prius, quòd linea t a, (quæ e$t pars lineæ t p r) cadat citra axem $peculi, qui e$t x h. Nece$$ariò ergo oportet duci quatuor diuer$as lineas perpendiculares ad illas quatuor lineas communes à puncto rei ui$æ, quod e$t a: quæ erunt quatuor catheti incidentiæ per- pendiculares $uper oxygonias $ectiones, cõmunes illis $uper$iciebus reflexionũ & $peculi. Quæ- libet itaq; i$tanrũ perpendiculariũ aut erit æ quidi$tans lineæ refle xionis: aut cõcurret cũ illa $iue in- tra $peculũ $iue extra. Si fuerit æ quidi$tans: erit locus imaginis ip$e pũctus reflexionis, ut $uperà pa- tuit in 11 huius. Et cũ quatuor $int huiu$modi քp\~ediculares: erũt quatuor loca imaginũ, & quatuor imagines: ideo quòd quatuor $unt loca reflexionũ. Si uerò o\~es ill{ae} quatuor perp\~ediculares cõcur- runt cũ lin eis $uarũ reflexionũ: erũt it\~e quatuor imagines: quia quatuor $unt cócur$us illarũ linea- rum. Sic ergo loca imaginũ num erátur $ecundũ num erũ punctorũ reflexionis. Et hoc e$t {pro}po$itũ.

16. In $peculis columnaribus concauis dato centro ui$us & pũcto rei ui$æ, punctum reflexio- nis inuenire. Alhazen 96 n 5.

Sit $peculum columnare concauum, cuius axis $it x h: $it\’q; punctum rei ui$æ a: & centrum ui$us b: quæ $int in locis datis. Dico quòd e$t po$sibile punctum reflexionis inueniri. Si enim pũctum rei ui$æ (quod e$t a) & centrum ui$us (quod e$t b) fuerint in un a plana $uperficie $peculũ trans axem $ecante: tũc patet per 93 th. 1 huius, quia communis $ection $uperficiei reflexionis & $pecnli e$t linea longitudinis. Pote$t itaq; inueniri punctum reflexionis, $icut in $peculis planis per 46 th. 5 huius. Quod $i puncta a & b non $uerint in tali $uperficie: imaginetur $uper$icies tran$iens per punctum a, $ecans $peculum æ quidiftanter bafibus: erit ergo per 100 th. 1 communis $ectio $uperficiti illius & LIBER NONVS. $uperficiei $peculi circulus. Centrum itaq; ui$us, quod e$t punctum b, aut e$t in $uper$icie illius cir- culi, aut non. Si $ic: pote$t reflexionis punctum inuenlri in peripheria illius circuli, $icut $uprà in 27 th. 8. huius d dcuimus in $peculis $phæricis cõcuais. Si uerò centrum ui$us b non $uerit in $uperficie illius circuli: tũc cũ punctũ rei ui$æ, & centrũ ui$us $emper $int in $uperficie reflexionis per; 3 huius. pater quòd cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi in hoc $itu e$t $ectio oxygonia. Duca- tur ergo à puncto b c\~etro ui$us perp\~edicularis $uper $uperfici\~e illius circuli per 11 p 11: & replicetur tota {pro}batio proximæ præ ced\~eced\~etis: & palàm, quia inuenietur pũctus reflexionis. Quod e$t {pro}po$itũ.

17. Centro ui$us exi$tente in puncto, qui e$t communis $ectio axis & lineæ perpendicularis $uper $uperficiem, contingentem $peculum pyramidale concauum: fiet reflexio formæ ip$ius ocu- li ab una totali peripheria circuli $peculi æquidi$tantis ba$i: & $olùm per line as perp\~ediculares: locus<006> imaginis erit in centro ui$us. Alhazen 98 n 5.

E$to $peculum pyramidale concauum, cuius axis $it a h: & ducatur à puncto h linea perpendicu- laris $uper $upeficiem, contingentem $peculum in puncto b: erit itaq; punctus h communis $ectio a b h axis a h & lineæ perpendicularis, quæ e$t h b. Dico quòd $i centrum ui$us po$itum fuerit in puncto h: fiet reflexio formæ oculi uidentis a tota peripheria unius circuli $peculi æquidiftantis ba$i, cuius polus erit punctus h. Sit enlm punctus a uertex $peculi: & ducatur linea a b: ut ergo pater per 95 th. 1 huius, erit linea a b pars lineæ lõgitudinis $peculi: erit\’q; trigonum h b a orth ogonium: quoniam angulus a b h erit rectus propter perpendicularitatem lineæ h b $uper lineam a b. Imagin\~etur ergo à pun- cto h plurimæ duci perpendiculares $uper lineas longitudinis $peculi, $icut e$t linea h b perpendicularis $uper lineam longitu dinis, quæ e$t a b: uel remanente fixo a h latere trignoi a b h, & circum ducto trigono, quo- u$q; ad locum, unde exiuit, redeat: de$cribet punctũ b circulum in con- cauitate $peculi, à cuius quolibet peripheriæ pũcto fiet reflexio ad ui$um exi$tentem in puncto h $ecundum lineas perpendiculares, $imiles lineæ h b: hoc e$t $ecun dum lineas, quas motu $uo determinabit linea h b. Fiet autem reflexio $olùm $uperficiei ip$ius ui$us per 21 th. 5 huius: & $olùm partis $uperficiei ui$us, quam $ecant du{ae} lineæ perpendiculares à centro oculi exeuntes, & maiorem angulum, qui e$t ibi po$sibilis, continentes. Erit autem in omnibus his reflexionibus $emper locus imaginis in cen- tro ui$us: quoniam non $it reflexio ni$i $ecundum lineas perp\~ediculares. Patet itaq; propo$itum: ita tamen quòd inter centrum ui$us & $peculi $uperficiem non $it aliquod corpus $olidum, quod ob$i$tat.

18. Exi$tentibus centro ui$us puncto<006> rei ui$æ in axe $peculi pyramidalis concaui: po{$s}ibile e$t reflexionem fieri à toto uno circulo $uperficiei reflexionis $peculi: locus<006> imaginis erit quidũ circulus extra $peculum. Alhazen 99 n 5.

E$to $peculum pyramidale concauum: cuius axis $it linea a h: & uertex a: $it\’q; centrum ui$us in a j t q s d b h puncto h: & $it punctus rei ui$æ in puncto axis: qui $it t: ima- ginetur\’q $uperficies plana $ecans pyramidem $peculi $ecũ- dum axis longitudinem, quæ $it a b h g. Et quoniam linea a h e$t axis $peculi: erunt lineæ a b & a g lineæ longitudinis $pe- culi per 90 th. 1 huius. Ducatur itaq; â puncto rei ui$æ (quod e$t t) linea perp\~edicularis $uper lineam a b: qu{ae} $it t q: & pro- ducatur ultra punctum q extra $peculum ad pũctum l, donec linea q l $it æ qualis lineæ t q: & à puncto h ducatut linea ad punctum l, quæ $it h l. H{ae}c itaq: nece$$ariò $ecabit lineam a b: quoniam e$t cũ illa in ead\~e $uper$icie: $it ergo, ut $ecet ip$am in puncto b: & à puncto b ducatur linea æ quidi$tans lineæ t q per 31 p 1: quæ producta ad axem $peculi, $it linea b d, $ecans axem a h in puncto d: & copuletur linea t b. Palàm itaq;, cum linea t q $it perpendicularis $uper lineam a b, & æ qualis line{ae} q l: erit per 4 p 1 triangulus t b q {ae}qualis triangulo q b l: & an- gulus q l b æqualis angulo q t b: $ed angulus q t b æqualis e$t angulo t b d per 29 p 1 quia $unt coalterni: & angulus d b h extrin$ecus e$t æqualis angulo q l bintrin$eco. E$t ergo angulus t b d {ae}qualis angulo d b h: ergo per 20 th. 5 huius forma punctit reflectitur à puncto $peculi, quod e$t b, ad centrum ui$us exi$tens in puncto h. Et quoniam linea t q e$t perp\~edicularis $uper $uperficiem $peculi: pater per definitionem quoniam ip$a e$t cathetus incidentiæ form{ae} puncti t: concurrit autem cathetus t q cum linea refle- xionis, quæ e$t h b, in puncto l: e$t ergo punctus l locus imaginis formæ puncti t per 37 th. 5 huius. Si itaq; fixo latere t h imaginetur trigonus t l h moueri, quou$q; redeat ad locum, unde incepit: tũc VITELLONIS OPTICAE punctus b motu $uo de$cribet circulum in $uperficie cõcaua $peculi: & à quolibet puncto periphe- riæ illius circuli reflectetur forma puncti t ad ui$um exi$tentem in puncto h. Similiter quoq; l motu $uo de$cribet circulum extra $pdculum, in cuius totali peripheria erit locus imaginis formæ puncti t: quoniam in tota illius circuli peripheria catheti incidentiæ formæ puncti t, & lineæ reflexionum formæ puncti t ad ui$um h, concurrent. Patet itaq; propo$itum.

19. In pyramidalibus concauis $peculis cõmuni $ectione $uperficiei reflexionis & $peculi oxy- gonia exi$tente, & centro ui$us, puncto<006> rei ui$æ exi$tentibus in eadem $uperficie ba$is $peculi, aut ei æquidi$tantis, ne<005> $it ip$orum aliquod in axe $peculi: formarum punctorum rei ui$æ qua- rundam fit ab uno tantùm pũcto $peculi reflexio: quarundã à quarundã à tribus: qua- rundã à quatuor: nõ aũt à pluribus: & $ecundũ hæc loca imaginũ numerãtur. Alhaz. 100 n 5.

E$to $peculum pyramidale concauum a g u: cuius axis $it a d & uertex a: $it\’q punctus e centrum uifus: & $it z punctus rei ui$æ obliquè incidens $peculo: ita quòd nõ $it in aliqua linearum perpen- dicularium $uper $uperficiem ui$us: neq; $it in axe $peculi, qui e$t a d: neq; fiat reflexio ab aliqual li- nearum longitudinis $peculi: fiat tam\~e reflexio formæ puncti z ad ui$um e ab aliquo puncto $uper- ficiei propo$iti $peculi. Erit ergo nece$$ariò cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $peculi $ectio oxygonia per 2 th. huius: & $int puncta e & z in ead\~e $uperficie circuli ba$is $peculi, aut æ quidi$tan- tis ei. Dico quòd e$t po$sibile, ut ab uno tantùm pũcto $peculi: uel duobus: uel tribus: uel quatuor: & non à pluribus fiat reflexio ad ui$um: & quandoq; unica apparebit imago: quandoq; duæ: quan- doq; tres: quandoque quatuor: nec e$t po$sibile uideri plures imagines: quoniam totidem tantùm $unt puncta reflexionis po$sibilia. Imaginetur itaq; $uperficies plana tran$iens per pũctum z æqui- di$tans ba$i $peculi: hæc itaq; $uperficies per 100 th. 1 huius $ecabit $peculum $ecundum circulum: centrum itaq; ui$us (quod e$t punctum e, ut patet ex hypothe$i) erit in $uperficie illius circuli, cu- ius c\~etrum $it t: & ducatur linea e z, quæ producta $ecet illum circulum. Palàm ergo per ea, quæ de- mon$trata $unt in $peculis $phæricis cõcauis per 40 th. 8 huius, quoniam in tali di$po$itione forma puncti z reflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto e à peripheria illius circuli ex una parte, $cilicet ab arcu interiacente $emidiametros, in quibus puncta z & e con$i$tunt, aut ab uno puncto $peculi: aut à duobus: aut à tribus: & ex alia parte ab arcu $cilicet interiac\~ete illas $emidiametros reliquas, in quibus puncta z & e non con$i$tunt, ab uno tantùm puncto. Sumatur itaq; aliquis punctus cir- culi, à quo fiat hæc reflexio, quod $it h: & ducantur lineæ z h & e h: & $emidiameter th. Pater itaq; per 18 p 3 quoniam linea th e$t perpendicularis $uper lineam circulum in puncto h contingentem: & per 20 th. 5 huius palàm e$t quoniam linea t h diuidit angulum z h e per æqualia: ergo per 29 th. 1 a g e u t m q d o n z h p f huius linea th $eca bit lineam e z: $it ergo punctus $ectionis q: du- catur<006> per 101 th. 1 huius linea longitudinis $peculi: quæ $it a h: & â puncto q ducatur linea cadens perpendiculariter $uper lineam a h per 12 p 1: quæ $it q m, $ecans lineam a h in puncto m: & produ- cta ultra punctum q fecet a xem $peculi, qui e$t a d, in puncto d: & ducantur lineæ z m & e m: & à puncto z, quod e$t pũctum rei ui- fæ ducatur in $uperficle illius circuli linea æquidi$tans lineæ q h: quæ $it z l. Quia itaq; linea e h concurrit cum linea q h in puncto h: patet per 2 th. 1 huius quoniã linea e h producta ultra punctum h concutret cum linea z l: $it concur$us punctus l: & à puncto h ducatur linea perpendicularis $uper lineam l z, quæ $it h p: dein- de in $uperficie e m z ducatur à puncto z linea æ quidi$tans lineæ q m: quæ $it linea z o. Quia itaq; linea e m concurrit eum linea m q: patet per 2 th. 1 huius quòd ip$a concurret cum linea z o ip$ius æ quidi$tante: $it ergo concur$us in puncto o: & ducatur linea lo: & à puncto p ducatur linea æ quidi$tãs lineæ l o; quæ $it linea p n, $ecans lineam z o in puncto n: & ducatur linea m n. Palàm itaq; ex præ mi$sis, & per 20 th. 5 huius quòd angulus e h q e$t æqualis angulo q h z: $ed quia lineæ th & l z æquidi$tant: pater per 29 p 1 quòd anguli q h z & h z l $unt æqualies: quia conalterni: $ed & an- gulus q h e extrin$ecus e$t æ qualis angulo h l z intrin$eco: anguli ergo h l z & h z l $unt æ qualies: ergo per 6 p 1 latera h l & h z $unt æ qualia: $ed lineæ h p e$t perp\~edicularis $uper lineã l z ba$im i$o- $celis h l z: erũt ergo per 31 th. 1 huius trigona h l p & h p z $imilia: ergo per 4 p 6, cum linea h p $it ambobus illis trigonis cõmunis: erit linea l p æqualis lineæ p z: $ed in trigono l o z linea p n e$t æquidi$tans lineæ l o: ergo per 2 p 6 erit proportio lineæ z n ad lineam on, $icut lineæ z p ad lineam p l. E$t ergo linea z n æ qualis lineæ n o. Item cum, $icut patet ex præmi$isi, linea o z $it æ quidi$tans lineæ q m & linea h q $it æ quidi$tans lineæ l z: ergo p 15 p 11 erit $uperficies z l o æ quidi$tans $uper- ficiei q m h: & $uperficies e o l $ecat illas duas $uperficies: $uperfici\~e quid\~e q h m $ecundũ lineã h m, & $uperfici\~e l o z $ecundũ lineã l o: ergo per 16 p 11 cõmunes $ectiones $uperficiei e ol cum illis dua- bus $uperficiebus æ quidi$tantibus $unt æ quidi$tantes. linea ergo h m æ quidi$tabit lineæ l o: $ed LIBER NONVS. linea p n æ quidi$tat lineæ l o: ergo per 30 p 1 lineæ h m & p n æ quidi$tant. Quia itaq; linea h p cadit inter lineas h t & l z æ quidi$tantes: patet per 29 p 1 quia anguli h p l & p h t $unt æ qualies: quia coal- terni: $ed angulus h ple$t rectus: ergo angulus p h t e$t rectus: ergo per 16 p 3 linea p h contingit circulum: igitur $uperficies a h p e$t contingens pyramidem $peculi: ergo per 95 th. 1 huius contin- git illam $ecun dum lineam longitudinis, quæ e$t a h: & in hac $uperficie erunt ambæ lineæ p n & n m: linea quidem m h, quoniam e$t part lineæ longitudinis, quæ e$t a h: linea uerò p n per 1 th. 1 hu- ius: omnes enim line{ae} æquidi$tantes nece$$ariò $unt in eadem $uperficie, & linea p n & h m æquidi $tant: linea uerò n m e$t in eadem $uperficie per 1 p 11, quoniam puncta n & m $unt in illa $uperficie: e$t autem linea d m perpendicularis $uper $uperficiem a h p $peculum contingentem: ergo linea d m e$t perpendicularis $uper lineam n m per definitionem line{ae} perpendicularis $uper $uperficiem. Sed lineæ d m & o z æ quidi$tant, ut prius patuit: ergo per 29 p 1 linean m, quæ e$t perpendicularis $uper lineam d m, erit perpendicularis $uper eius æquidi$tantem, quæ e$t z o: $ed linea o n e$t æ qua lis z n: ergo per 4 p 1 erit linea m o æqualis m z: ergo per 7 p 5 erit proportio lineæ e m ad lineam m o, $icut eiu$dem ad lineam m z: e$t autem proportio lineæ e m ad lineam m o, $icut lineæ e q ad li- neam q z per 2 p 6: cum lineæ m q & o z $int æ quidi$tantes in trigono o z e: uel $ic: e$t autem pro- portio lineæ e m ad lineam m o, $icut lineæ e h ad lineam h l: $ed lineæ l h & h z $unt æqualies per præmi$$a: ergo per 7 p 5 e$t proportio lineæ e h ad lineam h z, $icut ad lineam h l: e$t autem per 3 p 6 cum linea h q diuidat angulum e h z per æqualia, proportio lineæ e h ad h z, $icut e q ad q z. E$t er- go per 11 p 5 proportio lineæ e m ad lineam m z, $icut lineæ e q ad lineam q z: ergo linea m q diuidit angulum e m z per æqualia per 3 p 6. E$t ergo angulus e m q æqualis angulo q m z: ergo per 20 th. 5 huius forma puncti z reflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto e à puncto $peculi, quod e$t m. Sicut itaq; forma puncti z reflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto e à $olo puncto circuli, quod e$t h: ita $imiliter reflectetur eadem forma puncti z ad ui$um e à $olo puncto $peculi, quod e$t m. Quòd $i fiat in hoc $itu reflexio à duobus punctis circuli: erit etiam reflexio à duobus punctis $pe- culi: & per eadem demon$trandum: & $i à tribus punctis circuli fiat reflexio: fiet etiam à tribus pun ctis $peculi: & $i fiat à quatuor punctis unius, fiet etiam à quatuor punctis alterius: & $icut ab alia parte círculi fiet reflexio ab uno pũcto circuli, ita fiet etiam ab uno puncto $peculi ex eadem parte. Patet ergo propo$itum.

20. In $peculis pyramidalibus concauis, communi $ectione $uperficiei reflexionis & $peculio- xygonia exi$tente, & centro ui$us, puncto<006> rei ui$æ exi$tentibus intra $peculum, non in axe, nec in eadem $uperficie ba$is $peculi, aut ei æquidi$t ante: formarum punctorum rei ui$æ quarun dam reflexio fit ab uno tantùm puncto $peculi: quarundam à duobus: quarundam à tribus: quarundam à quatuor: non autem à pluribus: & $ecundum hæc loca imaginum numerantur. Alhazen 101 n 5.

Sit, ut in propo$itione præcedente, $peculi pyramidalis concaui (quod $it a g u) uertex a: & axis a d: $it\’q punctus rei ui$æ z: & centrum ui$us e: ducta\’q per punctum z $perficie $ecante $peculum æquidi$tanter ba$i $peculi, non $it punctúm e in illa $uperficie, $ed $ub illa, uel $upera illam. Sit autem nunc, exempli cau$$a, $upera illam: quia $i ponatur e$$e $ub illa, eadem erit demon$tratio: dico itaq; quòd uerum e$t id, quod proponitur. Quia enim, ut patet per 100 th. 1 huius, cõmunis $ectio illius $uperficiei & $peculi e$t circulus: ducatur à ueritice $peculi, quod e$t a, linea per centrum ui$us e, $e- cans $uperficiem præmi$si circuli extra ip$ius centrum in puncto h, qu{ae} $it a e h: hoc autem e$t po$- $ibile: ideo quia centrum ui$us, quod e$t punctum e, ut patet ex hypothe$i, e$t intra $peculum, non in axe: $i\’qt; centrum illius circuli punctum q. Palàm itaq; per 20 th. 8 huius quia forma puncti z po- te$t reflecti ad ui$um exi$tentem in puncto h ab aliquo puncto circuli: $it illud punctum t: & ducan- tur lineæ h t & z t & h z, & $emidiameter q t: quæcum $it perpendicularis $uperlineam contingen- tem circulum in puncto t per 18 p 3, ergo per 26 th. 5 huius palàm quòd linea q t diuidit angulum h t z per æqualia: ergo per 29 th. 1 huius pater quòd linea q t $ecabit lineã h z: $it punctus $ectionis n: & ducatur linea z e à puncto rei ui$æ ad centrum ui$us in punctum e, & linea longitudinis $peculi: quæ $it a t. Palàm itaq; ex præmi$sis, cum punctus z $it ex illa parte diametri q t, & ex una parte e- iu$dem $it punctum e, quod e$t centrum ui$us, quoniam punctum h, quod e$t in linea a e, e$t in ea- dem parte $emidiametri q t, in qua e$t & punctume. Pater ergo quòd linea e z $ecabit $uperficiem a q t: $it, ut $ecet ip$am in puncto o: & ab illo puncto o per 12 p 1 ducatur perpendicularis $uper lineam at, $cilicet lineam longitudinis $peculi: quæ perpendicularis $it o p: hæc itaq; producta ul- tra punctum o nece$$ariò cadet $uper axem $peculi, qui e$t a d, ut patet per 96 th. 1 huius: $it, ut ca- dat in punctum d: & ducantur lineæ e p & z p. Dico quòd forma puncti z reflectitur ad ui$um exi- ftentem in puncto e à puncto $peculi, quod e$t p. Ducatur enim à puncto z linea æ quidi$tans $emi- diametro q t per 31 p 1, quæ $it z f. Et quoniam linea h t concurrit cum linea q t in puncto t: palàm per 2 th. 1 huius quoniam ip$a concurret cum eius æquidi$tante, $cilicet cum linea z f: $it pun- ctus concur$us f. Item à puncto z ducatur linea æquidi$tans lineæ o p: quæ $it z k. Et quoniam linea e p concurrit cum linea o p: patet quòd ip$a producta ultra punctum p concurret cum il- la z k: $it punctus concur$us k: & ducantur lineæ k f & k h. Et quia, ut patet ex præmi$sis, angu- lus o pt e$t rectus, angulus uerò p t q minor recto per 89 th. 1 huius: quoniam ip$e e$t angulus, VITELLONIS OPTICAE quem continet linea longitudinis cum $emidiam etro ba$is: patet ergo per 14 th. 1 huius quoniam lineæ o p & q t concurrunt in aliquo puncto productæ ultra puncta d & q. Cum ita linea z f $it æquidi$tans lineæ q t, & linea z k æ quidi$tãs lineæ o p, & lineæ z f & z k concurrãtin puncto z: line{ae} quoq; d p & q t $imiliter concurrant in aliquo puncto, ut præ o$ten$um e$t: patet quod $uperficies f k z, & $uperficies o p q t, quæ e$t $uperficies a q t, $unt æ quidi$tantes per 15 p 11. Quod qutem $uper- ficies o p q t $it pars $uperficiei a q t, patet ex his. Quoniam enim linea p o producta cadit in pun- ctum axis, quod e$t d, patet per 1 p 11 quòd linea p o e$t in $uperficie a q t: $ed & linea q t e$t in illa $u- a u e g d o p h q n z i k t s f per$icie: tota ergo $uperficies o p q t e$t pars $uperficiei a q k. Et quia $uperficies h k f $ecat duas $uperficies z k f & a q t $uք duas lineast p & k f: patet quòd illæ duæ lineæ t p & k f $unt {ae}quidi$tantes per 16 p 11. Ducatur itaq; à pũcto t linea perpén dicularis $uք lineã z f per 12 p 1: quæ $it linea t s: erit ergo angu lus t s frectus: ergo ք29 p 1 angulus s t q e$t rectus: quoniã li- neæ z f & t q æ quidi$tãt: ergo ք16 p 3 linea t s cõtingit in pun- cto t circuliũ, cuius centrum e$t punctũ q. Superficies itaq; a t s e$t contingens pyramidem $peculi: continget ergo illam per 95 th. 1 huius $ecundum lineam longitudinis, quæ e$t a t. Sed linea o p e$t perpendicularis $uper lineam a t: e$t ergo li- nea o p eracta $uper $uperficiem a t s contingentem pyrami- dem: quoniam linea o p e$t in $uperficie a q t, tran$eunte per axem a d, & perlineam longitudinis a t: talis autem $uperfi- cies, ut patet per 97 th. 1 huius erecta e$t $uper $uperficiem contingentem $peculum in linea longitudinis, quæ e$t a t. Quia ergo $uperficies a t s $ecat duas $uperficies o p q t & z k f, quæ $unt æ quidi$tantes: patet per 16 p 11 quoniam duæ li- neæ, quæ $unt illarum $uperficierum communes $ectiones, $unt æ quidi$tantes: quarum linearum una e$t linea p t, & alte- ra $it linea si $ecans lineam z k in puncto i. Patet quoq; quia punctus i cadit inter puncta k & z: lineæ itaq; p t & siæqui- di$tant: $ed lineæ p t & f k æquidiftant ad inuicem: quoniam $unt in $uperficiebus æ quidi$tantibus: ergo per 30 p 1 lineæ si & f k $unt æ quidi$tantes. Et quoniam lineæ q t & z f æquidi- $tant: patet per 29 p 1 quòd angulus n t z e$t æqualis angulo t z f: quia $unt coalterni: & angulus h t n extrin$ecus e$t æqua lis angulo t f z intrin$eco: $ed anguli h t n & n t z $unt æquales: ergo anguli t f z & t z f $unt æquales: ergo per 6 p 1 lineæ t f & t z $unt æquales: & linea t s e$t perpendicularis $uper ba$im i$o$celis t f z: trigona itaq; partialia (quæ $unt t s f & t s z) $unt $imilia per 31 th. 1 huius: ergo per 4 p 6 cum linea ts ambobus illis trigonis $it communis: erit linea s f æ qualis lineæ s z. Sed cum linea s i æ quidi$tet lineæ f k in trigono f k z: erit per 2 p 6 proportio lineæ f s ad lineam s z, $icut lineæ ki ad lineam i z: erit ergo linea k i æ qualis lineæ i z: ducatur\’q linea p i. Cum ergo $uperficies a t s i, in qua ducta e$t linea p i, $it erecta $uper $uperficiem z k f, in qua cadit linea z k: erit per definitionem $uperficiei $u- per $uperficiem erectæ linea p i erecta $uper lineam z k: ergo per 4 p 1 cum linea ki $it æqualis li- neæ i z, linea\’q p i $it communis, & anguli ad punctum i $int æ qualies, quia recti: erit angulus p k z æqualis angulo p z k: $ed per 29 p 1 angulus e p o extrin$ecus æqualis e$t angulo p k z intrin$eco: quoniam lineæ o p & z k æquidi$tant: & angulus o p z e$t æqualis angulo p z k: quia $unt coaleterni: anguli ergo e p d & d p z $unt æquales: cum anguli p k z & p z k $unt æ qualies. Ergo per 20 th. 5 hu- ius forma puncti z reflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto e à puncto $uperficieie $peculi, quod e$t p: quod e$t unũ propo$itorũ. si aũt $umatur aliud punctũ in circulo, cuius centrum e$t punctum q, à quo forma puncti z reflectatur ad ui$um exi$tent\~e in puncto h: præ mi$$o modo pote$t declarari quòd ab alio puncto $peculi reflectetur forma puncti z ad ui$um exi$tent\~e in puncto e ab alio pũcto <004> à puncto p. similiter quoq; $i forma puncti z reflectatur ad ui$um exi$tent\~e in puncto h à tribus punctis circuli: reflectetur forma puncti z ad ui$um e à tribus punctis $peculi: & $i à quatuor pun- ctis reflexio fiat in circulo: & à quatuor punctis reflexio erit in $peculo: & $ecundũ hæc loca ima- ginum numerantur. Patet ergo propo$itum. Quòd $i dicatur quòd à pluribus punctis $peculi quàm à quatuor po$sit fieri reflexio formæ puncti z ad ui$um exi$tentem in puncto e: ducta ab illo puncto linea longitudinis $uper peripheriam circuli, cuius centrum e$t punctum q: poterit per con uer$ionem præmi$$æ demon$tratioris o$tendi, quòd forma puncti z reflectetur ad ui$um exi$ten- tem in puncto h à pluribus punctis circuli quàm à quatuor: quod e$t impo$sibile, & contra 40 th. 8 huius. Semper enim; ut patuit ex præmi$sis, à quotcunq; punctis circuli reflectitur forma puncti z ad punctum h: à totidem punctis $peculi reflectetur eadem forma puncti z ad punctum e: & econ uer$o: & dicenti contrarium accidit impo$sibile modo prædicto. Pater itaq; quòd punctorum rei ui$æ in his $peculis quædam habent unicam imagin\~e quæ dam duas: quæ dam tres: quæ dam qua- tuor: & quòd nõ e$t po$sibile cau$$ari plures imagines in $peculis colũnaribus uel pyramidalibus concauis: $icut neq; in $phæricis concauis: quod e$t notandum.

LIBER NONVS. 21. Dato centro ui$us & puncto rei ui$æ in $peculis pyramidalibus concauis, punctum refle- xionis inuenire. Alhazen 102 n 5.

Sit $peculum pyramidale concauum, cuius axis $it linea a d: $it\’q; punctus rei ui$æ z: & centrum ui$us $it punctum e, quæ $int in locis datis: dico quòd e$t po$sibile punctum reflexionis inueniri. Si enim punctum rei ui${ae}, quod e$t z, & centrum ui$us, quod e$t e, fuerint in una plana $uperficie $pe culum trans axem $ecante: tunc patet per 90 th. 1 huius quia communis $ectio $uperficiei reflexio- nis & $peculi e$t linea longitudinis pyramidis $peculi: pote$t itaq; punctum reflexionis inueniri $i- cuti in $peculis planis per 46 th. 5 huius. Quòd $i puncta z & b non fuerint in illa totali $uperficie: imaginetur $uperficies tran $iens per punctum z, $ecans $peculum æquidi$tanter $uæ ba$i: erit ergo per 100 th. 1 huius communis $ectio illius $uperficiei & $peculi circulus. Centrum itaq; ui$us, quod e$t punctum e, aut erit in illa $uperficie circuli, aut non. Quomodocunq; autem $it: qura, ut pater per 12 th 7 huius impo$sibile e$t communem $ectionem $uperficiei reflexionis & huius $peculi cir- culum e$$e: ergo erit $emper tunc illa cõmunis $ectio oxygonia: replicata ergo demon$tratione 19 huius, uel proximæ præmi$$æ: patebit $aciliter inuentio puncti reflexionis. Forma enim puncti z re flectetur ad ui$um exi$tentem in puncto h ab aliquo puncto circumferentiæ circuli, cuius centrum e$t q: uel fortè à duobus: uel à tribus: uel à quatuor: "cunq; fuerint, $emper modo præmi$$o inuenietur punctum reflexionis illi puncto circuli corre$pondens, inuento puncto reflexionis il- lorum punctorum in peripheria circuli, per ea, quæ declarauimus in diuer$is propo$itionibus octa ui huius. Patet ergo propo$itum.

22. Ambobus ui$ibus à $peculis columnaribus uel pyramidalibus concanis qua$i unica oc- currit imago.

In his enim $peculis puncta reflexionis formæ eiu$d\~epunctirei ui$æ, ad diuer$os ui$us ein$dem uidentis non habent multam diuer$itatem di$tantiæ, propter ui$uum approximationem ad $e inui cem. Vnde et$i puncti unius formæ imago $it aliqualiter ambobus ui$ibus occurr\~es duplicata: $unt tamen illæ imagines contiguæ & admixtæ: unde uidebuntur qua$i unica imago. Diuer$itas enim locorum illarum imaginum propter $ui imperceptibilitatem non inducit aliquam di$tantiam in ui $u, nec aliqu\~e efficit errorem. Videtur ergo imago qu$i una. Et $imiliter per modum, quo in 59 th. 8 huius o$tendimus, po$sibile e$t quòd diuer$orum uidentium ui$ibus di$tantibus & diuer$is, uni- ca quandoq; in his $peculis, $icut & in alijs, occurrat imago: cui propter identitatem illius $itus hic non duxim us immorandum. Patet ergo propo$itum.

23. Lineæ rectæ æquidi$tantis axi $peculi columnaris cõcaui (centro ui$us exi$tente in eadem $uperficie uel in alia) reflexio fit à linea longitudinis $peculis ad ui$um.

E$to axis $peculi columnaris concaui linea, quæ z k: $it\’q; linea ui$a axi $peculi æquidi$tans t q h, $it\’q; centrum ui$us punctum e: dico quòd forma lineæ t q h reflectitur ad ui$um e à linea longitudi- dinis $peculi a b g, quæ e$t communis $ectio $uperficiei t h z k, & $uperficiei $peculi: & hoc quidem $i centrum ui$us (quod e$t e) non $uerit in $u t n q g z m b l f h r a d c e o perficie t h z k, demon$trari pote$t omnimo- dè $icut in 30 th. 7 huius. Si uerò centrum ui- $us fuerit in eadem $uperficie, demon$trabi- tur idem propo$itum, $icut in 51 th. 7 huius: reflectetur\’q; forma puncti t à puncto $pecu- li g: & forma puncti q à puncto $peculi b: & forma puncti h à puncto $peculi a. Erit itaq; angulus t g n æqualis angulo n g e: & angu- lus q b m æ qualis angulo m b e: & angulus h a r æ qualis angulo r a e. Patet etiam per 30 th. 7 huius quòd lineæ e k, h a, q b, t g concur runt in puncto o. Patet etiam ibidem quòd li nea a b g e$t linea recta exten$a in longitudi- n e $peculi: & quòd lineæ g z, b l & a d $unt perpendiculares $uper $uperficiem, contingentem $pecualum, quà cõtingit ip$um $ecundũ lineam a b g: & quòd linea a b g e$t perpendicularis $uper $uperfici\~e, in qua e$t triangulus e b o: & quòd li- nea t q e$t æ qualis lineæ q h: & linea a b æ qualis lineæ b g. Palàm itaq;, cum in his & in illis $peculis hinc inde eadem $it demon$tratio: quoniam forma lineæ t q h reflectitur a b his $peculis à linea lon- gitudinis ip$orum. Patet ergo propo$itum: quoniam $iue linea longitudinis, quæ e$t a b g, $it in con uexo uel in concauo ip$ius $peculi, quantùm ad hoc, nulla e$t diuer$it as in propo$ito.

24. Imago lineæ æquidi$tantis axi $peculi columnaris concaui (centro ui$us exi$tente in ea- dem $uperficie) uidebitur recta, æqualis & conformis rei ui$æ.

Sit enim di$po$itio, qu{ae} in pr{ae}cedente: reflectatur\’q; forma line{ae} t q h à $uperficie $peculi $ecundũ lineã lõgitudinis, qu{ae} e$t a g: & $it centrũ ui$us e in ip$a $upficie t h z k. Dico quòd imago line{ae} t q h VITELLONIS OPTICAE uidebitur recta, æqualis ip$i lineæ t q h. Quælibet enim perpendicularis ducta ab aliquo punctorũ line{ae}t q h erit $emper in eadem $uperficie cũ centro ui$us & axe: & probabuntur loca imaginũ pun ctorum line{ae} t q h $ituari $ecundum lineam rectam, $icut in $peculis planis per 52 th. 5 huius o$ten- $um e$t de lineis rectis ui$is. Vt $i aliqua linea recta rei ui${ae} imaginetur in his $peculis collocari in lo co imaginis, & ui$us $ituetur proportionaliter ad illam, $icut nunc $ituatus e$t ad lineam t h: erit lo- cus imaginis illius lineæ linea t h, & apparebit recta & æ qualis rei ui$æ. Similiter quoq; illud, quod e$t in linea rei ui$æ $uperius, erit in imagine $uperius: & quod in re ui$a e$t inferius, erit in imagine inferius. Erit itaq; imago conformis rei ui$æ. Latitudo uerò talium ui$orum erit maior quàm latitu do $uarum imaginum: quoniam imagines $ecundum latitudinem con$tringuntur propter puncta reflexionum, quæ angu$tantur, & puncta latitudinis diuer$antur: quoniam $ini$trũ rei $it dextrum imaginis, & dextrum rei fit imaginis $ini$trum. Patet ergo propo$itum.

25. Lineæ rectæ æquidi$t antis axi $peculi columnaris concaui (centro ui$us non exi$tente in eadem $uperficie) imago quando<005> uidebitur recta maior re ui$a: quando<005> concaua: quando<005> conuexa: quando<005> unica: quando<005> plures. Alhazen 51 n 6.

Remaneat di$po$itio præcedentis, ni$i quòd centrum ui$us (quod e$t e) non $it in $uperfioie t h z k: dico quòd erit, ut proponitur. Repetita enim demon$tratione 51 th. 7 huius, patebit quòd in $pe culis columnari bus cõuexis locus imaginis formæ puncti h line{ae} t q h e$t in puncto s: & locus ima- ginis formæ q e$t in puncto c: & locus imaginis formæ puncti t e$t in puncto i. Sic ergo in linea s c i $unt imagines formarum omnium punctorum lineæ h q t: & patet quòd punctus c e$t propinquior centro ui$us quod e$t e, quàm linea recta s i: & quòd linea s i e$t in $uperficie trigoni u h t: & quòd duæ lineæ u h & u t $unt æquales: & quòd duæ lineæ u s & u i $unt æquales: relin quitur ergo, ut du{ae} lineæ t i & h s $int æquales: e$t ergo proportio line{ae} t i ad lineam i u, $icut lineæ h s ad lineã s u: ergo per 2 p 6 linea s i æquidi$tat lineæ t h. Patet etiam ex eodem 51 th. 7 quia duæ s e & e i $unt æ- quales. Ducatur ergo linea q u, qu{ae} $ecet lineã s i in puncto æ: diuidet ergo ip$am per æqualia: nam linea t h diui$a e$t in duo æqualia in puncto q: & erit linea c u in $uperficie trigoni q u e: quæ e$t $u- perficies circuli b f æ quidi$tãs ba$ibus $peculi. Punctus itaq; c erit in $uperficie trigoni c u e: & fimi liter erit punctũ t in $uperficie trigoni c e i: e$t ergo punctũ c in linea, qu{ae} e$t cõmunis $ectio illarum duarũ $uperficierũ, $cilicet trigonorũ q u e & c e i: $ed hæc cõmunis $ectio e$t linea e b per 19 th. 1 hu- ius. Punctus ergo c cadit in rectitudin\~e lineæ e b: linea ergo q c $ecat lineã e b in rectitudine ip$ius: & duæ line{ae} h u & t u $unt $ub duobus punctis d & z: nam duæ line{ae} h u & t u $unt duæ catheti inci denti{ae}, $cilicet du{ae} line{ae} perpendiculares exeuntes à duobus terminis line{ae} t h $uper duas lineas, cõtingentes duas portiones duarũ $ectionum columnariũ $peculi, in quarũ circũferentia $unt duo puncta a & g, à quibus $it reflexio punctorũt & h a d ui$um in punctũ e. Superficies ergo trianguliu h t e$t $ub axe $peculi, qui e$t z k. Sed nullũ punctũ ip$ius axis, et$i {pro}trahaturin infinitũ, erit unquã in $uperficie trianguli u h t. Nam $i hoc e$$et po$sibile: tunc $i axis k z continuaretur cũ aliquo pun- cto lineæ h t $ecundũ lineam rectã: tunc illa $uperficies, in qua e$$et illa linea recta, & linea u h t e$$et $uperficies trianguli u h t: & illa $uperficies e$$et illa, in qua $unt duæ lineæ æ quidi$tantes, qu{ae} $unt h t, & axis z k: & $ic $uperficies, in qua $unt duæ lineæ h t & k z, e$$et $uperficies trianguli h u t: & $ic totus axis z k erit in $uperficie trianguli h u t: $ed ex hypothe$i axis e$t æ quidi$tãs lineæ h t: & $ic dum i$tum modũ accideret quòd axis k z $ecaret duas lineas h u & t u. Sed & linea t h $ecundũ eius punctũ h e$t in $uperficie trianguli u e h, quæ e$t $uperficies reflexionis: & $ectio cõmmunis huic $u- perficiei & $uperficiei colũnaris $peculi e$t $ectio oxygonia: $uperficies ergo e u h $ecat ax\~e colũna- ris $peculi in uno puncto, $cilicet in puncto d, ut to tũ præ o$ten$um e$t in cõmento 51 th. 7 huius. Si ergo axis k z t n g i l z x y m b c a l f h r a c d p e k o u $ecet lineã h u: pũctus $e- ctionis cũ li- nea h u erit in $uperficie tri- anguli u e h: $ed in hac $u- perficie non e$t punctũ, ք q<001> axis trá$- eat, ni$i pun- ctũ d: $ecabit ergo axis k z lineam h u in puncto d: $ed per 114 th. 1 huius, uel per 44 th. 7 huius o$ten$um e$t, quòd linea h u $ecat axem $ub puncto d: in duobus ergo punctis $ecabit linea h u axem k z: quod e$t impo$sibile. Axis ergo k z totus e$t extra $uperficiem h u t: & propin quior ui$ui exi$tenti in pũcto e, quàm $uperficies h u t. Superficies ergo, in qua $unt line{ae} h t, & axis k z, propinquior e$t centro ui$us puncto e <004> $uperficies u h t: & punctũ c e$t in $uperficie, in qua $unt linea h t, & axis k z: quia punctus c e$t in linea q l: & q l ք 7 p 11 e$t in ead\~e LIBER NONVS. $uperficic cum lineis æ quidi$tantibus, quas copulat, quæ $unt h t & z k. Punctum ergo c e$t propin quius puncto e centro ui$us; quàm $it linea s i: $ed punctum c cum $it communis $ectio linearum e b & q l, ut in 51 th. 7 huius præ o$tendimus: palàm quòd e$t in rectitudine lineæ e b. Si ergo linea e b educatur ultra punctum b, in$a perueniet ad punctum c: $upponatur itaq; perueni$$e ad punctũ c. His itaq; $ic præ mi$sis, patet quòd $i linea s i (qu{ae} o$ten$a e$t per 51 th. 7 huius in $peculis columna. ribus conuexis e$$e imago lineæ t h, & e$$e æ quidi$tans lineæ t h, & axi z k) $it in aliquo corpore ui$ibili, & ui$us fuerit in puncto o ex parte concauitatis $peculi columnarisitunc forma lineæ s i re- fle ctetur a d ui$um in puncto o à linea longitu dinis $peculi, qu{ae} e$t a b g: & diuer$abuntur imagines eius $ecundum diuer$itat\~e di$tantiæ $uæ a b axe $peculi, qui e$t z k. Quia enim angulus e b m e$t acu tus: ergo per 15 p 1 angulus l b c e$t acutus: & linea e b c e$t in $uperficie circuli b f: & linea l b e$t $e- mιdιameter illius circuli per 21 th. 7 huius: linea ergo e b c $ecat circulum, & eius pars, quæ e$t b c, e$t intra circulum & intra concauitatem $peculi. Et $imiliter e$t de linea o b, quoniam ip$a cadit intra concauitatem $peculi: ideo quòd angulus o b l e$t acutus: & duo anguli o b l & c b l $unt æqua les: quonia n ip$i per 15 p 1 $unt æquales duobus angulis q b m & m b e æ qualibus: & $emidiameter l b e$t per pendicularis $uper $perficiem contingentem columnam $peculi $ecundum lineam lon- gitudιnis $peculi, tran$euntem per punctum b. forma itaq; puncti c incidit $peculo per lineam c b: & à puncto $peculi b reflectitur per lineam b o, & comprehen ditur à ui$u exi$tente in puncto o. Item patet per 51 th. 7 huius, & ibι declaratum e$t, quòd $uperficies contingens $peculum colu- mnare in puncto g, e$t $ub puncto e centro ui$us: linea ergo e g $ecat illam $uperficiem contingen- tem. Secat ergo in puncto g (qui e$t punctus reflexionis) lineam in eodem puncto g contingen- tem peripheriam $ectionis columnaris; quæ e$t communis $ectio $uperficiei reflexi onis form{ae} pun cti t lineæ t h, & $peculi columnaris conuexi. Et quia $ecat illam lineam contin gentem in puncto i- p$ius $peculi, quod e$t g: $ecat ergo $ectionem oxygoniam, & cadit intra ip$am: cadit ergo intra con cauitate in $peculi: & e$t linea g i: duæ ergo lineæ o g & g i cadunt intra concauitatem $peculi: & li- nea z g e$t perpendicularis $uper $uperficiem contingentem columnam $peculi per 96 th. 1 huius: quoniam ducitur ab axe perpendiculariter $uper lineam longitudinis $peculi, tran$euntem per punctum g: & duo anguli o g z & z g i $unt æ quales per 15 p 1 ut prius. Forma ergo puncti i incidit $uperficιei concauæ ip$ius $peculi $ecundum lineam i g: & à puncto $peculi greflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto o $ecundum lineam reflexionis, quæ e$t g o. Et eodem modo patet quòd for- mæ puncti sincidit $peculo $ecundum lineam s a, & reflexctitur à puncto $peculi a ad ui$um exi$ten- tem in puncto o $ecundũ lineã reflexionis, qu{ae} e$t a o. Et etiã patuit in cõmento 51 th. 7 huius quo- niam duæ lineæ h u & tu $unt perpendiculares $uper duas lineas contingentes $ectiones oxygo- nias, tran$euntes per duo puncta a & g. Imago ergo formæ puncti s e$t in linea h u per 36 th. 5 hu- ius: $ed linea a o e$t linea reflexionis formæ punctis s: quoniam à puncto reflexionis, quod e$t a, pro- ducitur ad ui$um exi$tentem in puncto o. Imago itaq; form{ae} puncti s e$t in linea s o, per 37 th. 5 hu- ius: punctum ergo h, quod e$t communis $ectio linearum h u & o a, e$t locus imaginis formæ pun- cti s. Similiter quoq; patet quòd punctum t e$t locus imaginis formæ puncti i. Ducatur quoq; li- nea c l à puncto c ad punctum, centrum circuli b: erit\’q; linea c l producta ultra punctum c perpen. dicularis $uper lineam contingentem circulum per 18 p 3: e$t ergo linea c l cathetus incidentiæ for- mæ puncti c per definitionem illius catheti. Quia ergo forma puncti c reflectitur a d ui$um in pun- ctũ o à puncto $peculi b: erit imago formæ puncti c in linea q c l, quæ e$t cathetus $uæ incidentiæ: $ed & in linea reflexionis, quæ e$t b o, nece$$e e$t e$$e eandem imaginem per 37 th. 5 huius. Im ago itaq; formæ puncti c nece$$ariò erit in puncto, quod e$t communis $ectio linearum l c q & o b: hoc autem pote$t e$$e in partibus diuer$is. Patuit enim per 11 th. 8 huius quòd imago formæ puncti, qu{ae} reflectitur à cõcauitate circuli $peculi, quandoq; occurrit ui$ui inter ui$um & $peculum: quan- doq; ultra $peculum: quand oq; in centro ui$us: quandoq; ultra ui$um: quandoq; in ip$a $uperficie $peculi: & (ut patet per 40 th. 8 huius) quãdoq; apparet una imago: quandoq; duæ: quandoq; tres: quand oq; quatuor. Imago ergo puncti c, cum formæ ip$ius reflexio fiat à puncto peripheriæ circu- li æquidi$tantis ba$ibus $peculi, erit $orte in linea h q ultra $peculum: & $ortè erit ultra lineam b q: & fortè ultra lineam b o retro ui$um: & fortè erit in linea b o inter ui$um & $peculum: & fortè erit in puncto o, $cilicet in ip$o centro ui$us: & fortè erit unica imago, forté duæ: fortè tres: fortè qua- tuor. Si itaq; locus imaginis formæ puncti c, uel alicuius puncti formæ lineæ s i (utpote illius, $e- cundum quem b c producta ultra punctum c $ecat lineam i s: quia & illud punctum reflectitur à puncto $peculi columnaris coricaui, quod e$t b, ad ui$um exi$tentem in puncto o per 20 th. 5 hu- ius) $uerit punctum q: tunc linea h q t erit diameter imaginis formæ lineæ i s. Si ergo omnes imagi nes omnium punctorum lineæ s i fuerint in linea h q t: tunc imago eius erit linea recta: nam mediũ eius punctum, quod e$t punctum q, e$t in rectitudine duarum $uarum extremitatum, quæ $unth & t. Quòd $i locus imaginis formæ puncti c fuerit ultra punctum q: tunc imago lineæ rectæ, quæ e$t s i, erit concaua: eius\’q; concauitas re$piciet ui$um. Et $i imago formæ puncti c fuerit in linea b o: uel in puncto o centro ui$us: aut inter $peculum & ui$um: tunc uidebitur imago lineæ s i conue- xa, cuius conuexitas re$piciet ui$um. Et $i fuerit imago formæ puncti c in linea b o retro ui- $um: tunc iterum uidebitur imago concaua, in cuius concauitate $ituabitur centrum ui$us. Quòd $i punctum c plures habuerit imagines: tunc linea s i plures habebit imagines: quarum omnium extremitates cõiungchtur in punctis h & t, & media ip$orũ erunt di$tincta & $eparata: & VITELLONIS OPTICAE linea h terit communis diameter omnium illiarum imaginum, quotcunq; $uerint imagines: & $or- tè linea h t, quæ e$t diameter imaginis, erit maior quàm linea rei ui$æ, quæ s i, in modica quantita- te. Patet ergo propo$itum.

26. Super$icie lineæ rect æ uel curuæ cureæ ui$æ $uperficiem (in qua e$t axis $peculi columnaris conca ui) or thogonaliter $ecante, centro<006> ui$us exi$tente in utra<005> $uperficie: à circumferentia circuli (qui e$t communis $ectio dictæ $uperficiei & $peculi) fiet re$lexio: f b d g t e h e imago<006> lineæ ui$æ quando<005> erit rect a: uel aliquando conuexa.

E$to, $icut in 52 th. 7 huius proponitur, linea t h in $uperficie pla na orthogonaliter $ecarite $uperficiem, in qua $unt centrum ui$us e, & axis dati $peculi columnaris, qui $it d f: $it\’q; centrũ ui$us (quod $it e) in eadem $uperficie lineæ t h. Facta quoq; figuratione 52 th 7 huius, compleatur demon$tratio, ut in illa propo$itione: erit\’q; ima go lineæ rectæ, quæ e$t t h, curua. Si itaq; $peculum idem, quod ibi conuexum accipitur, a$$umatur concauum: & in locum imaginis collocata intelligatur linea curua, $ecundum cuius terminos extre mos ducatur etiam linea recta, quæ $it in $uperficie rei ui$æ: & cen- trum ui$us di$ponatur proportionaliter circa illam lineam in ea- dem $uperficie: tunc locus imaginis lineæ curuæ uel rectæ ui$æ e- rit linea t h recta. Patet ergo propo$itum: & fortè linea imaginis e- rit æqualis recta uel fortè conuexa: $icut o$ten$um e$t in 57 th. 8 hu ius: & hic eodem modo e$t deducendum.

27. Superficie lineæ rect æ ui$æ, orthogonaliter axem $peculi co lumnaris concaui $ecante, centro ui$us nõ exi$tente in eadem $u- perficie, reflexione<006> facta adui$um æqualiter di$tant\~e ab ex- tremis illius lineæ: eius imago uideditur cõcauitatis magnæui$um re$pici\~etis. Alhazen 52 n 6.

Fiat omnimoda di$po$itio figuræ, quæ in 53 th. 7 huius: dico quòd uerum e$t, quod proponi- tur. Patet enim per ea, quæ in commento illius dicta $unt, quòd puncta t & h (quia æ qualiter di- $tant à centro ui$us, puncto $cilicet e) reflectuntur ad ui$um à duobus punctis oxygoniarum $ectio num, cadentibus tamen in quodam circulo æ quidi$tante ba$ibus $peculi, qui circulus erit medius inter lineam h t, & inter $uperficiem tran$euntem centrum ui$us e, $ecantem $peculum æ quidi$tan ter ba$ibus ip$ius $peculi. Sit ergo, ut forma puncti h reflectatur in punctum e à puncto $peculi b, qui e$t punctus peripheriæ cuiu$dam $ectionis oxygoniæ (quæ e$t communis $uperficiei reflexio- nis & $uperficiei $peculi) cadens in circulo b g: lineæ ergo h b & b e contin\~et angulos æquales cum linea contingente illum circulũ in puncto b. Et $imiliter forma punctit reflectitur ad ui$um e à pun cto $peculi g: & lineæ t g & g e continent angulos æ quales cum linea contingente circulum $peeuli in puncto g. Lineæ quoq; h b & t g concurrunt in puncto l: & linea h b continet cum linea perpen- diculari, quæ e$t b o, angulum acutum: linea ergo h b $ecat $uperficiem contingentem $uperficiem columnæ in linea longitudinis, in qua e$t punctum b: linea itaq; b l cadit intra concauitatem colu- mnæ: & $imiliter linea g l. Similiter quoq; duæ lineæ l f & g y cadũt intra concauitat\~e colũu{ae}: & per 15 p 1 duo anguli l b d & b b r $unt æ quales: cum ip$orũ contrapo$iti, qui $unt e b o & o b h $int æ qua les per 20 th. 5 huius. Similiter quoq; duo anguli l g d & d g y $unt æquales. Si itaq; linea r y (quæ in $peculo columnari conuexo e$t imago line{ae} t h) $uerit nuncin aliquo ui$ibili oppo$ita $peculo co- lumnari concauo, & centrum ui$us fuerit in puncto l: tunc form a puncti r incider in $peculo $ecun- dum lineam r b, & reflectetur ad ui$um in punctum l à puncto $peculi b: & linea h u e$t perpendicu- laris $uper lineam contingentem $ectionem, in cuius peripheria e$t punctum b, à quo $it reflexio: imago ergo formæ puncti r erit in cathero r h per 36 th. 5 huius: $ed & eadem imago nece$$ario e$t in linea reflexionis, quæ e$t b l. Erit ergo in communi illarum $ectione in puncto h. eft ergo pun- ctum h imago punctir, ut hæc omnia patent per 37 th. 5 huius. Similiter quoq; declarabitur, quòd forma puncti y incidet $peculo per lineam y g: & reflectetur per lineam g l à puncto $peculi g: & e- ius imago uidebitur in puncto t. Et ducatur linea q u: hæc ergo $ecabit lineam r y: quoniam punctũ ue$t ultra lineamillam r y, quæ e$t inter duo puncta q & u: puncta quoq; h, q, t, u $unt omnia in $u- perficie circuli b g, ut patet ex præ mi$sis: $ecet ergo linea q u lineam r y in punctom: punctum itaq; m erit in $uperficie tran$eunte per axem $peculi, & per centrum ui$us punctum l. Nam, ut in com- mento præa$$umptæ 53 propo$itionis 7 huius patuit, punctal & q $untin illa $uperficie: nam, ut ibi acceptum e$t, patet quòd in illa $uperficie, in qua erat centrum ui$us e, & axis $peculi, in eadem erat linea e l d: $ed & illa $uperficies $ecabat lineam h t in puncto q, & in linea e d cadebat punctum u: ergo per 1 p 11 linea q u e$t in illa $uperficie: ergo & punctum m. Et quia duo puncta m & l $unt in $u- perficie tran$eunte per axem columnæ: ideo forma puncti m pote$t reflecti ad ui$um in pun- ctum l in illa $uperficie, & linea a z e$t communis $ectio $uperficiei columnæ $peculi & $uperficiei tran$eunti per $uum axem; & per punctum l, quod e$t centrum di$us. forma ergo puncti m reflecte- tur ad ui$um in punctum l (quod e$t centrum ui$us) ab aliquo puncoto $peculi lineæ a z. Et ducatur LIBER NONVS. linea e m, quæ erit in illa $uperficie: & linea e l etiam erit in illa $uperficie: & punctum e, ut $uperà pa- tuit, e$t elongatum à $uperficie contingente columnam $peculi in linea a z, ut patet per 53 th. 7 hu- ius, Si ergo linea a z ducatur in continuum & dire u r h d x b y m l o n g f y k q z t c c s a ctum ultra punctum z, concurret cum duabus li- neis e m & e l, qu{ae} $unt in una $uperficie cum linea a z: concurrat ergo cum linea e m in puncto i, & cum linea e l in puncto n. Punctum itaque n cadet inter duo puncta e & l: quia punctum l e$t intra cõ cauitatem column{ae}, & pũctum n e$t extra, in ip$i- us conuexitate in $uperficie columnæ: quoniam e$t in linea longitudinis columnæ, quæ e$t a z: pun ctum uerò e, quod in $peculis columnaribus con- uexis $uppo$itum fuit e$$e centrum ui$us, e$t elon- gatum à $uperficie columnaris $peculi. Patuit quo que in demon$tratione 53 th. 7 huius quòd circu- lus b g e$t medius inter lineam h t, & inter $uperfi ciem exeuntem à puncto e {ae}quidi$tantem ba$ibus columnæ $peculi: & linea perpendicularis exiens â puncto e $uper lineam a z, e$t in $uperficie tran- $eunte punctum e, & $ecante $peculum {ae}quidi$tan ter ba$ibus columnæ: ergo linea perpendicularis exiens à puncto e $uper lineam a z n cadit extra triangulum e i n, & uer$us partem puncti n: quo- niam linea e n l d u e$t communis $ectio $uperfi- cierum reflexionis, $ecundum quas reflect untur formæ punctorum h & t: quæ cum $int oxyg oniæ $ectiones, patet per 103 th. 1 huius quoniam i p $æ $unt obliquè $ecantes axem $peculi: ergo & ip$arũ communis $ectio obliquè incidit illi axi $peculi: ergo per 32 p 1 angulus e in e$t acutus: ergo per 15 p 1 angulus m i a e$t acutus: & angulus m in erit obtu$us per 13 p 1. Educatur ergo per 12 p 1 à puncto m linea perpendicularis $uper lineam ai: quæ $it m k, $ecans lineam a i in puncto k: punctum ergo k erit inter puncta i & a. Quoniã $i caderet inter pũcta i & n, fieret unius trigoni unus angulus rectus & alter obtu$us, qui e$t m i n: q <001> e$t impo$sibile: cadet ergo punctũ k inter pũcta i & a. Producatur itaq; linea m k ultra punctũ k ad punctũ s, donec linea k s fiat æ qualis lineæ m k: erit ergo punctus s extra $uperficiem $pecul, & ultra concauitatem eius: & punctus l, in quo e$t centrum ui$us, erit in- tra ip$ius $peculi concauitatem. ducatur itaque linea s l, quæ $ecabit lineam n k. Quoniam cum li- nea n k $it pars lineæ longitudinis $peculi: patet quòd ip$a e$t cadens inter puncta s & l: $ecet ergo ip$am in puncto f: & à puncto f ducatur per 31 p 1 linea {ae}quidi$tans line{ae} k m, quæ producta ad axem $peculi $ecet ip$um in puncto x: $it\’q; linea f x. Erit ergo per 29 p 1 linea f x perpendicularis $uper li- neam longitudinis $peculi, quæ e$t a n: quoniam linea m k æ quidi$tans lineæ f x, e$t perpendicula- ris $uper ip$am a n: erit\’que linea f x in $uperficie tran$eunte per axem $peculi, & per punctum l. E$t ergo linea f x $emidiameter circuli tran$euntis per punctum f æ quidi$tanter ba$ibus column{ae} per 21 th. 7 huius: linea ergo f x e$t perpendicularis $uper $uperficiem contingentem columnam $peculi $ecundum lineam longitudinis, quæ e$t a z. Ducatur itaq; linea m f. Quia ergo duorum trigonorum m k f & f k s duo latera m k & k s $unt æ qualia ex hypothe$i, & latus k f commune ambobus illis tri- gonis, anguli\’que ad punctum k $unt recti: ergo per 4 p 1 latus m f e$t æ quale lateri f s: ergo per 5 p 1 angulus f m s æqualis erit angulo f s m: linea uerò f x æquidi$tat lineæ s m: ergo per 29 p 1 angulus x f l extrin$ecus æ qualis e$t angulo f s m intrin $eco, &anguli x f m & f m s $unt æ quales, quia coal- terni: angulus ergo x f m e$t æ qualis angulo x f l. Forma ergo puncti m incidens $peculo $ecundum lineam m f, $ecun dum lineam reflexionis, quæ e$t f l, reflectitur ad ui$um exi$t\~etem in puncto l à pũ- cto $peculi f, per 20 th. 5 huius: & linea x f e$t perpendicularis $uper $uperficiem contingentem $pe- culum in puncto f. Et quoniam linea m k e$t perp\~edicularis $uper $uperficiem $peculi: quia e$t per- pendicularis $uper lineam longitudinis, quæ e$t a z: patet quòd linea m k e$t cathetus incidentiæ formæ puncti m: in ip$a ergo erit locus imaginis form{ae} puncti m per 36 th. 5 huius: $ed & idem locus e$t in linea reflexionis, quæ e$t l f. In illarum ergo linearum communi $ectione, quæ e$t punctus s, e$t locus imaginis formæ puncti m per 37 th. 5 huius. Et quia duæ line{ae} r y & h t $unt æquidi$tantes & perpendiculares $uper $uperficiem tran$euntem per axem $peculi & per centrum ui$us, quod e$t nunc punctũ l: quoniam linea h t taliter fuit di$po$ita in 53 th. 7 huius: du{ae} igitur $uperficies unifor- miter exeuntes à duabus lineis h t & r y erunt æ quidi$tantes & perpendiculares $uper $uperficiem tran$euntem per axem per 18 p 11. Et quia linea r y e$t perpendicularis $uper $uperficiem tran$eunt\~e per axem & per punctum l: ideo per 18 p 11 $uperficies duarum linearum, quæ $untr my & m s, erit perpendicularis $uper $uperficiem tran$euntem per axem, & per punctum l: & erit per 19 th. 1 huius linea m s communis $ectio illarum duarum $uperficierum. Et quia linea a k, cum $it pars line{ae} longi tudinis $peculi, quæ e$t a z, e$t in $uperficie tran$eunte per axem: quia omnis $uperficies $ecans co- VITELLONIS OPTICAE lumnam $ecundum lineam longitudinis per {ae}qualia, trãfit per axem illius column{ae}, ut patet per 93 th. 1 huius. Sed & linea a k e$t perpendicularis $uper lineam m s, quæ e$t communis $ectio inter $uքfi ciem tran$euntem per axem, & inter $uperficiem duarum linearum, quæ $untrm & m s: ergo linea a k n e$t erecta $uper $uperficiem r m s: & linea a n e$t æquidi$tans axi $peculi:ergo per 8 p 11 erit axis $peculi perpendicularis $uper $uperficiem, in qua $unt duæ lineæ r m & m s. Illa ergo $uperficies e$t perpendicularis $uper axem columnæ. Punctum itaque s e$t in $uperficie exeunte ex linea r y per- pendiculariter $uper axem columnæ $peculi:$ed linea h t e$t in $uperficie perpendiculari $uper ax\~e $peculi, æquidi$tanti $uperficiei exeunti exlinea r y: punctum ergo s e$t extra lineam h t, & propin quius puncto l centro ui$us, quàm $int duo puncta h & t: & duo puncta h & t $unt imagines forma- rum duorum punctorum r & y: & punctum s e$t imago formæ punctim. Palàm ergo quia imago for mæ line{ae} r m y e$t linea tran$iens per puncta h, s, t: $ed talis linea e$t arcualis: quia punctum s e$t ex- tra rectitudinem line{ae} h t. Tran$eat itaque per puncta h, s, tlinea arcualis, quæ $it h s t. Et quia linea h t $ecundum hypothe$im 53 th. 7 huius fuit elongata à conuexo columnæ: erit linea h t ultra $uper- ficiem $peculi, re$pectu punctil, quod e$t nunc centrum ui$us. Etiam $uprà o$ten$um e$t quòd pun- ctum s e$t extra concauitatem $peculi, re$pectu punctil, & punctum l e$t intra concauitatem $pecu- li: punctum ergo l, quod e$t centrum ui$us, e$t extra $uperficiem, in qua e$t linea h s t: arcualitas er- go lineæ h s tapparebit ui$ui manife$tè. Et quia punctum f e$t in $uperficie columnæ $peculi extra $uperficiem circuli b g, & linea t h e$t ultra $peculum in $uperficie circuli b g: quoniam e$t in $uperfi- cie trigonil h t: erit linea l f s altior quàm $uperficies trigoni l h t: linea ergo l s erit altior duabus li- neis l h & l t, re$pectu ui$us l: punctum ergo s e$t altius quàm duo puncta h & t. Linea ergo h s t ap- parebit ui$ui exi$tenti in puncto l concaua, concauitate ui$um re$piciente. Quod e$t propo$itum.

28. Superficie incidentiæ lineærectæui$æ, obliquè $ecantis axem $peculi columnaris concaui, centro ui$us exi$tente in eadem $uperficie: imago uidetur concaua re$pectu ui$us & conuer$a $e- cundum $itum. Alhazen 53 n 6.

E$to $peculum columnare concauum, quod $ecetur per $uperficiem obliquã $uper axem: erit er- go communis $ectio illius $uperficiei & $uperficiei $peculi $ectio oxygonia per 103 th. 1 huius: $it illa fectio a b g: $ed in 11 huius o$ten$um e$t, quòd quandoque in $uperficie oxygoni{ae} $ectionis à puncto reflexionis erit linea perpendicularis $uper $uperficiem contingentem $peculum columnare, ex cu ius duobus terminis $cilicet ex duabus communibus $ectionibus $ui & $uperficiei ip$ius $peculi fit reflexio formarum ad ui$um. Sit ergo in $ectione a b g huiu$modi perpendicularis, quæ $it g a: & $it linea b e k perpendicularis $uper lineam contingentem peripheriam $ectionis in puncto b: & $it pũ- ctum b prope punctum g, ita quòd linea ducta à puncto b cum linea perpendiculari ducta $uper $u- perficiem $peculi à puncto reflexionis (qui $it g) contineat $uper axem $peculiangulum acutum. Pa tet ergo per 44th. 7 huius quoniam linea b e k $ecabit lineam perpendicularem, quæ e$t g a, $ub axe $peculi, & continebit cum ip$a angulum acutum: fiat ergo illarum linearum $ectio in puncto e. An- gulus ergo b e g erit acutus per 32 p 1, ut patet: cadat\’q; punctum k in peripheriam $ectionis: & à pun cto g ducatur per 31 p 1 linea æquidi$tans line {ae} b k: qu{ae} $it linea g d: erit ergo angulus d g e per 29 p 1 æqualis angulo b e g: ergo uterque e$t acutus: linea ergo g d erit intra concauitatem $peculi: quoniã linea à puncto g termino perpendicularis, quæ e$t a g, extra $ectionem ducta continget $ectionem, & continebit angulum rectum cum linea a g: aut non continget, & continebit angulum obtu$um- p b g o n m d r h e t a k Fiatitaque per 23 p 1 $uper punctum g terminum lineæ e g an- gulus {ae}qualis angulo e g d: qui$it e g l linea ergo g l concurret cum linea b e k per 14 th. 1 huius: ideo quòd anguli g e l & lge ambo $unt acuti: $it concur$us in puncto l: qui $it punctus li- neæ b k: & in linea le, ut contigerit, $ignetur punctũ m: & du- catur linea a m: erit ergo angulus m a g acutus ք 32 p 1: ideo, ut prius o$tendimus, quia angulus m e g, qui e$t maior angu- lo m a g, cum $it ei extrin$ecus, e$t acutus, ut patet ex pr{ae}mi$ $is: linea ergo m a cadit intra $ection\~e. Fiat quoque $uper pũ- ctum a terminũ lineæ a g angulus æqualis angulo g a m, qui $it angulus g a d: linea enim a d concurret cum linea g d per 14th. 1 huius: ideo quia anguli d g a & d a g $unt acuti: $it er- go concur$us in puncto d. Linea itaque a d $ecabit lineam b k, concurrens cum ip$a per 2th. 1 huius: quoniam concur- rit cum eius {ae}quidi$tante, quæ e$t d g: $ecet ergo ip$am b k in puncto t. Cum itaq; linealk fuerit in aliquo corpore ui$ibili, & centrum ui$us fuerit in puncto d:tunc forma puncti l uidebitur in puncto $peculi g, quod e$t punctum reflexionis: & hoc accidit per 10 huius: ideo quia forma punctil reflecti tur ad ui$um exi$tentem in puncto d à puncto $peculig, & linea k l b, quæ e$t cathetus incidenti{ae} for mæ punctil, æquidi$tat lineæ g d, quæ e$t linea reflexionis. Nunquam ergo concurrent: & $ic locus imaginis formæ punctil erit in puncto reflexionis, quod e$t g. Similiter quoque forma puncti m re- flectitur ad ui$um exi$tentem in puncto d à puncto $peculi, quod e$t a: & cathetus incidentiæ, quæ e$t linea b m k, $ecat lineam reflexionis, quæ e$t a d, in puncto t: ergo punctũ t e$t locus imaginis for LIBER NONVS. mæ punctim per 37 th. 5 huius. Tran$eatitaque per punctum d, quod e$t centrum ui$us, $uperficies plana æ quidi$tans ba$ibus columnæ: hæc ergo $uperficies $ecabit columnam $peculi $ecundum cir culum per 100 th. 1 huius: qui circulus $it p o r. Et quoniam centrum ui$us de$t in $uperficie $ectio- nis a b g: palàm quòd ille circulus p o r $ecabιt $ection\~e oxygoniam a b g in duobus punctis per 104 th.1 huιus: $uperficies ergo illius circuli $ecabit lineam b k: quoniam $ecat lineam g d æquidi$tant\~e line{ae} b k: ducitur enim per punctum d:$it ergo, ut $ecet lineam b k in puncto k: $it\’q; centrum circuli p o r punctum h: & ducatur linea k h, quæ ducta per circulum $ecet ip$ius peripheriam in puncto p: & ducatur linea d h: quæ producta ad peripheriam circuli incidat ip$i in punctor. Forma ergo pun cti k reflectitur ad ui$um exi$tentem in puncto d ab aliquo puncto arcusr p, ut patet per 27 th. 8 hu- ius, ubi hoc o$ten$um e$t de reflexione formæ ui$ibilis ad ui$um $ecundum talem $itum ab aliquo puncto peripheriæ circuli. Sit ergo ut fiat illa reflexio àpuncto $peculi $cilicetarcus p r, quod $it pũ ctum o: & ducantur line{ae} k o, d o, h o: ergo angulus k o h e$t æqualis angulo h o d per 20 th. 5 huius. Et quoniam linea reflexionis, qu{ae} e$t d o, $ecat $emidiametrum h p: ideo quia linea d h r tran$it per centrum circuli, citra quam re$pectu puncti o ducitur linea d o: h{ae}c ergo $ecat $emidiametrum h p: $it, ut $ecetip$am in puncto n. E$t aũt linea k h p cathetus incidenti{ae} form{ae} puncti k: ergo per 37 th. 5 huius punctum n e$t locus imaginis formæ puncti k. Ducatur itaq; linea k d: quæ per 19 th. 1 huius erit cõmunis $ectio $uperficiei circuli p o r & $ectiõis a b g, uel pars illius cõmunis $ectionis: nã duo puncta k & d $unt in utraq; illarũ $uperficierũ, & nihil de$uքficie $ectionis oxygoniæ (qu{ae} e$t a b g) e$t in $uperficie circuli r p, ni$i linea k d, uellinea, cuius pars e$t linea k d: punctũ ergo g e$t extra cir- culũ & $imiliter pũctũ b: & $unt in $uperficie $ectionis: & punctũn e$t in $uperficie circuli r o: & for- ma imaginis line{ae} l m k tran$it per puncta g, t, n: linea uerò pertran$iens h{ae}c puncta e$t arcualis: quia $uper$icies $ectionis e$t decliuis $uper $uperficiem column{ae} per 103 th. 1 huius: lõgior ergo diameter ip$ius $ectionis non tran$it per totum axem colũnæ, neq; e$t $uperficies $ectionis æ quidi$tans ba$i columnæ: linea ergo t n g, quæ e$t imago lineæ rect{ae} k m l, cuius $uperficies $ecat axem $peculi obli què, e$t curua maximæ curuitatis: & eius concauitas re$p cit ui$um exi$t\~etem in puncto d. Et quia punctum t e$t imago formæ punctim: & punctum n imago form{ae} puncti k: & punctum g e$t imago form{ae} punctil: patet quòd imago lineæ l m k e$t cõuer$a, ita quòd $uperior punctus imaginis, re$pe- ctu ui$us, quie$t g, corre$pondet infimo puncto lineæui${ae}, quie$t l, & infimus punctus imaginis, qui e$t n, corre$pondet $upremo puncto lineæ ui$æ, qui e$t k. Sic ergo $itus partium imaginis non e$t cõ formis $itui partium rei ui$æ, $ed conuer$us & difformis. Patet ergo propo$itum. Patet itaq; exhac propo$itione & duabus præmi$sis, quòd line{ae} rect{ae} {ae}quidi$tátes axi $peculi columnaris concaui, & {ae}quidi$tantes ba$i eius, & etiá illæ, qu{ae}. $unt obliqu{ae} $uper $uperficiem eius, quandoq; uidebũtur ar cuales: quandoq; rect{ae}: quandoq; cõuer${ae}. Forma ergo eorũ, qu{ae} cõprehenduntur in $peculis colũ- narib, concauis, quandoq; erit directa, cõformis in $uo $itu $itui partiũ rei ui$æ: & quandoq; erit dif- formis, cõuer$um hab\~es $itũ $uarum partiũ, re$pectu ui$us partiũ rei ui$æ, & in re$pectu ad ui$um.

d s p i t k n u b e a f q l h m r 29. Imago lineæ rectæ exicttentis in $uperficie $peculum co- lumnare concauumtrans axem orthogonaliter $ecante, cen- tro<006> ui$us exi$tente in eadem $uperficie, uidebitur recta: quan do<005> maior: quando<005> æqualis: quando<005> minor reui$a: $ed $em- per conuer$um habens $itum: & quando<005> una: quando<005> plu- res imagines ui$ui occurrent. Alhazen 54 n 6.

Sit $ecundum di$po$itionem 48th. 8 huius circulus a b z in $u perficie $peculi columnaris concaui æquidi$tans ba$ibus $pecu- li:cuius centrum e: & $it centrum ui$us in puncto d: erit ergo li- nea d g, ut in prædicta 48 præmi$$um e$t, perpendiculariter ere- cta $uper $uperficiem circuli: & $int duæ line{ae} e a & e b perpendi culares $uper $uperficies cõtingentes $uperficiem column{ae} $pe culi: & erit $uքficies triangulι d e g քpendiculariter erecta $uper $uperfici\~e circuli a b z per 18 p 11: quia linea g d e$t perpendicula- ris $uper $uperficiem circuli: hoc e$t $uper eam $uperficiem, cu- ius $ectio efficit circulum a b z. Superficies ergo trigoni d e g, ut patet per 19 p 11 & per 92 th. 1 huius, tran$it per totum axem $pe- culi, & per centrum ui$us, quod e$t punctum d: & neutra $uper- ficies earum, quæ$unt d b o & d a o, quæ $ecant $e in linea d o, ut patet per 19 th. 1 huius, tran$it per totum ax\~e: & in neutra illarũ $uperficierum e$t aliquid de axe, ni$ipunctum e, quod e$t cen- trum circuli a b z. Vtraque ergo $uperficies, qu{ae}$unt d b o & d a o, $ecat $uperficiem columnarem $peculi $ecũdum oxygoniam $ectionem: & fit reflexio formarum ad ui$um à duobus punctis illarum $ectionũ quæ $unt a & b, ut patet per præmi$$a in 48 th. 8 huius. Forma ergo puncti r reflectur ad ui$um exi$tentem in puncto d à puncto $peculi, quod eft b: & forma puncti m reflectetur ad ui$um in punctum d à puncto $peculi, quod e$t a. Et quoniam VITELLONIS OPTICAE cathetus incidentiæ formæ puncti r e$t linear e n, $ecans lineam b d, quæ e$t linea reflexionis, in pũ cto n: & cathetus incidentiæ form{ae} puncti m e$t linea m e u, $ecans lineam reflexionis, quæ e$t a d in puncto u: patet quòd puncta n & u $unt loca imaginum formarum pũctorum r & m: & erit linea n u diameter imaginis formæ line{ae} m r: & e$t minor quá linea m r, ut patuit in 49 th. 8 huius. Et $imiliter form{ae} duorum punctorum h & l reflectentur ad ui$um in punctum d à duobus punctis $peculi, quæ $unt a & b: & erit per modum prius dictum, linea t k diameter imaginis form{ae} line{ae} l h: & $ecundum. pr{ae}mi$$a in 48th. 8 huius erit diameter imaginis t k æqualis diametro rei ui$æ, qu{ae} e$t linea l h. Simi liter quoque linea p i erit diameter imaginis form{ae} line{ae} f q: & e$t maior quã diameter rei ui$æ, quæ e$t linea f q: & omnes i$tæ imaginies erunt cóuer${ae}, ut o$t\~e$um e$t in 50 th. 8 huius. Siuerò centrũ ui- $us fuerit in puncto o, & formæ linearum, quæ $unt p i, t k & n u, reflectantur ad ui$um in puncto o à punctis $peculi, quæ $unt a & b: tunc erit ecõuer$o. Erit enim diameter imaginis line{ae} p i, qu{ae} e$t li- nea f q, minor diametro t k rei ui$æ & erit linea l h diameter imaginis line{ae} t k, & {ae}qualis ei: & erit li- nea m r diameter imaginis lineæ n u, & maior quáilla: omnes\’q; imagines linearum i$tarum recta- rũ erunt rectæ $ed conuer${ae} $ecundum $itum & ordinem partiũ, quem habent ip$æres. Nam dextrũ rei fit $ini$trum imaginis, & $ini$trum reifit dextrum imaginis: & fimiliter e$t de partib. qu{ae} $unt $ur $um & deor$um. Item cũ utraq; extremitatum harum linearum unicã habuerit imagin\~e, & aliquod aliud punctũ in medio plures habuerit imagines: tunc forma illius line{ae} tot habebit imagines, quot punctum medium ip$ius: & omnes i$t{ae} imagines copulabuntur ad puncta extrema illius imaginis: & erit illa linea unica diameter omnium illarum imaginum. Et $i utraq; extremitas illius line{ae} uel altera ip$arum plures habuerit imagines, punctum uerò medium habuerit tantùm unam: iterũ tota illa linea tot habebit imagines, quot eius puncta extrema ambo, uel $altem alterũ $uum punctũ ex- tremum. Et $iutraq; extremitas uel altera plures habuerit imaginies, & $imiliter punctum medium multas habuerit imaginies: tunc tota linea habebit imagines $ecundum numerum maiorem: & hoc patebit, $icut patuit $uprà de imaginibus $peculorum $phæricorum concauorum. In $peculis enim columnaribus concauis accidit fallacia in omnibus, quæ in eis comprehenduntur, $icut accidit in $peculis $phæricis concauis: $cilicet de formis $pecierum ui$ibilium: & de quantitatib, & de numero $uarum imaginum: & de conformitate ip$arum ad res, quarum ip${ae} $unt imagines: & de difformita- te $itus ip$arum $ecundum cõuer$ionem formarum partialium, cum omnib. fallacijs, qu{ae} appropriã tur conuer$ioni: & omnes fallaciæ $unt in his, ut in $peculis pr{ae}dictis $ph{ae}ricis concauis. Patet ergo illud, quod proponebatur.

30. Line æ rectæui$æ, non æquidi$tantis axi $peculi columnaris concaui, cuius $uper$icies inci- dentiæ $ecat axem obliquè, centro ui$us non exi$tente in eadem $uperficie, uidetur imago curua, diuer$æ curuitatis $ecundum diuer $itatem $ui $itus: & conuer$a.

Fiat in i$to propo$ito theoremate di$po$itio totalis, quæ in 28 huius: apparebit\’q; totum, quodibi proponitur in his $peculis columnaribus concauis. Po$ito itaq;, ut aliqua linea recta non {ae}quidi$tet axi $peculi columnaris concaui, cuius $uperficies incidentiæ obliquè $ecat illum axem, $icentrũ ui- $us fuerit in illa $uperficie: tũc patet per 28 huius quòd imago illius line{ae} uidetur curua, re$pectu ui $us, & conuer$a $ecundum $itum ip$ius rei ui$æ. Quòd $i centrum ui$us fuerit extra illam $uperfici\~e in linea erecta $uper illam $uperficiem à puncto d, in quo e$t illic centrum ui$us: tunc $i à pũctis a, g, o(à quibus fit ibi reflexio) erigãtur lineæ longitudinis $peculiper 101th. 1 huius, & inueniantur pũ cta reflexionum formarũ punctorũ m, b, k: patebit $ecundũ modũ plurium præmi$$arum, quòd for- m{ae} punctorum k, m, b reflectentur ad ui$um $ecundum di$po$ition\~e $uo $itui diuer$am: & $ecundũ hoc di$ponetur curuitas imaginũ & conuer$io figuræ. Quòd $i centrum ui$us nõ fuerit in linea per- pendiculariter erecta $uper illã $uperfici\~e à pũcto d: tũc à centro ui$us ducatur perpendicularis $u- per illam $uperficiem per 11 p 11, & inuentis punctis reflexionum formarum punctorum b, m, k: pate bit propo$itum ut prius. Ethoc proponebatur.

31. Forma alicuius line æ curuæ incid\~etis uertici $peculi pyramidalis cõcaui obliquè $uper ax\~e, reflectitur ad centrũ ui$us inter illãlineã & $uperfici\~e $peculi con$titutũ, à linea logitudinis $pe- culi: imago<006> ip$ius uidetur recta: & $i illa linea incid\~es fuerit rect a: eius imago uidebitur cur- ua, modicæ curuitatis, cuius conuexitas uel concauitas e$t ad ui$um. Alhazen 55 n 6.

Fiat di$po$itio omnimoda, qu{ae} in 55 th. 7 huius: inuenietur\’q; in $peculis pyramidalib. conuexis li ne{ae}rect{ae}, qu{ae} e$t a n, propo$ito modo illud $peculum re$picientis, imago curua intra concauitatem $peculi, qu{ae} e$t a p y. Punctum quoq;, quod e$t $ub $uperficie $peculum cótingente $ecundum lineá lógitudinis $peculi, qu{ae} e$t a e, à qua fit reflexio form{ae} line{ae} rect{ae} ui${ae}, qu{ae} e$t a n, ad ui$um exi$tent\~e in puncto r, erat illic punctum f: in quo puncto f $i fuerit centrum ui$us, erunt omnia pũcta, qu{ae}$unt in illa curua imagine, uel qu{ae} $unt in linea recta, $cilicet in diametro imaginis, reflexa ad punctũ f: & imago line{ae} curuæ, quæ a p y, erit linea recta, quæ e$t a n:uel imagines duarum extremitatum line{ae} a p y erunt in linea a n, & in extremitatibus illius: & loca imaginis punctip, quod e$t in medio line{ae} a y, diuer$abuntur. Et hoc pote$t eodem modo declarari, $icut $ibi $imile declaratum e$t in 55 th. 7 huius. Quoniam enim, ut ibi declaratum e$t, angulus z r f e$t {ae}qualis angulo z f r per 29 p 1: fed per eandem 29 p 1 angulus h z f e$t {ae}qualis angulo z f r: e$t ergo angulus p z h æqualis angulo h z f. Palàm ergo LIBER NONVS. per 20 th. 5 huius quoniam fiet reflexio form{ae} puncti p ad ui$um exi$tentem in puncto f à pũcto $pe culi pyramidalis concaui, quod e$t z. Et quoniam linea h p o e$t cathetus incidentiæ formæ puncti a l h p u o z m t x b g c n q s d g e l k f r p: & linea f z o e$t linea $u{ae} reflexio nis ad ui$um exi$t\~etem in puncto f: patet per 37 th. 5 huius quoniam punctum o e$t locus imaginis for- mæ puncti p. Similiter quoq; an- gulus y e d e$t {ae}qualis angulo k e r per 15 p 1, qui per 29 p 1 e$t {ae}qualis angulo er $: & per eandem 29 p 1 angulus d e f e$t æqualis angulo e fr: $ed, ut in commento 55th. 7 hu ius often$um e$t, angulus e f r e$t æqualis angulo e r f: e$tigitur an- gulus y e d æqualis angulo d e f: ergo per 20 th. 5 huius forma pun cti y reflectitur ad ui$um exi$tent\~e in puncto f à puncto $peculi con- caui, quod e$t e. Et quoniam linea y n e$t cathetus incidenti{ae} formæ puncti y: & linea f e n e$t linea $u{ae} reflexionis: patet per 37 th. 5 huius quòd locus imaginis form{ae} puncti y e$t pũctũ n: & pũctũ a, $icut reflectitur à uertice $peculi, $ic locus imaginis $u{ae} e$t ibidem per ea, quæ dicta $unt in 11 & 12 th. 8 hu ius, & in 10 huius. Erit ergo imago totius lineæ a p y curuæ linea a o n recta: quoniá de alijs punctis e$t eodem modo demon$trandum. Quòd $i aliquod ui$ibile $tatuatur in loco lineæ rectæ a y, qu{ae} e$t diameter illius curuæ imaginis line{ae} a p y: tunc duæ extremitates line{ae} a y (quæ $unt a & y) habe- bunt, ut prius, loca $uarum imaginum in punctis a & n. Loca uerò imaginis puncti medij corre$pon dentis puncto p, qui cadit in producta linea z p, & aliorum punctorum mediorum diuer$abuntur: & $ecundum diuer$itatem concur$us cathetorum in cidentiæ formarum illorum punctorum cum lineis $uarum reflexionum, $ecundum quas à punctis line{ae} longitudinis, qu{ae} e$t a z e, $peculi propo $iti concaui reflectuntur ad ui$um exi$tentem in puncto f, uel ultra lineam a o n uel citra illam loca imaginum illorum punctorum diuer$abuntur, quandoque ad concauitatem: quandoq; ad conuexi tatem, re$picientem centrum ui$us. Erit tamen illa curuitas modica: quoniam pr{ae}dictorum locorũ imaginum (re$pectu lineæ a o n) modicus e$t exce$$us. Palàm itaque ex pr{ae}mi$sis quòd $i linea re- cta, quæ e$t diameter imaginis curuæ, quæ e$t a p y, fuerit in aliquo ui$ibili, & centrum ui$us fuerit in puncto f: tunc imago line{ae} rect{ae} pr{ae}mi$$o modo di$po$it{ae} fortè uidebitur cõuexa, & fortè uidebi tur concaua. Quod e$t propo$itum.

32. Lineæ rectæ ui$æ $uperficie incidentiæ ax\~e $peculi pyramidalis concaui orthogonaliter $ecã u r h d b o y m x l n f i g t q k z e c s a te, centro<006> ui$us non exi$tente in eadem $uperfi- cie, imago uidebitur concaua, mir abilis concaui tatis, ui$um re$picientis.

Sit, ut in 27 huius libri, centrum ui$us punctum l: & linea ui$a r m y: cuius extrema puncta, quæ $unt r & y, æ qualiter di$tent à centro ui$us l: $it\’que centrum ui$us extra $uperficiem line{ae} r y: qu{ae} pro ducta $ecat $peculum pyramidale cõcauum æ qui- di$tanter ba$i $ecundũ circulum, qui $it b g: cuius centrũ $it d: reflectatur\~q; forma puncti r ad ui$um l à puncto $peculi b, & forma pũcti y refle ctatur ad ui$um l à puncto $peculi g: erũt\’q; pũcta b & g, quã- uis $int in circulo, ut tñ $unt puncta reflexionum, erunt in duabus oxygonijs $ectionib. $ecantib. $e $ecundum lineam d l:ut patent hæc per 7 th. 7 hu- ius, & per 19 th. 1 huius. Et quoniam quantùm ad propo$itum demon$trandũ non e$t aliqua diuer$i tas inter $pecula columnaria & pyramidalia con- caua: tunc patet quòd reiterata demõ$tratione 27 huius, erit locus imaginis form{ae} pũcti r in pũcto h: & locus imaginis form{ae} pũcti y erit in puncto t: locus uerò imaginis formæ pũcti m erit punctũ s, quod e$t extra rectitudin\~e line{ae} t h. Imago itaque line{ae} r m y e$t in quadã linea trã$eũte ք pũcta h, s, t: $ed talis linea e$t curua, E$t ergo line{ae} rect{ae}, quæ VITELLONIS OPTICAE e$t r m y, imago curua. Et quoniam punctum s e$t ultra concauitatem $peculi, re$pectu punctil centri ui$us, & punctum l e$t intra illam cõcauitatem: palàm quòd punctum l e$t extra $uperficiem, in qua e$t linea h s t: curuitas ergo line{ae} h s t apparebit ui$ui mani$e$tè. Et quia punctũ f cadit in ip$a $uperficie $peculi pyramidalis concaui extra $uperficiem circuli b g, & linea t h e$t ultra $peculum in $uperficie circuli b g: erit linea l f s altior quàm $uperficies trigoni l h t: linea ergo l s erit altior dua- bus lineis l h & h t: punctũ ergo s, re$pectu ui$us l, e$t altius <004> duo puncta h & t. Linea ergo h s t appa rebit ui$ui exi$t\~eti in pũcto l cõcaua maxima cõcauitate ui$um re$piciente. Et hoc e$t propo$itum.

33. Line æ rect æ ui$æ non æquidi$tantis axi $peculi pyramidalis concaui, cuius $uperficies inci- dentiæ $ecat axem $peculi obliquè, imago uidetur curua, diuer$æ curuitatis $ecundum diuer $ita- tem $ui$itus.

Quoniam enim, ut in 31 huius o$ten$um e$t, forma lineæ rectæ incidentis uertici huius $peculi propo$iti obliquè $uper axem, imaginiem curuam ui$ui, ad quem fit reflexio, repræ$entat: & per præ mi$$am proximam patet, quòd linea recta, cuius $uperficies incidentiæ $ecat axem $peculi orthogo naliter, uidetur mirabilis concauitatis ui$um re$picientis. Si ergo inter has di$po$itiones $ituetur li- nea recta, cuius $uperficies incidentiæ, ut hic proponitur, obliquè $ecet axem $peculi: patet quòdi- mago illius line{ae} diuer$ificabitur $ecundum modos diuer$æ curuitatis: qui accidunt hinc & inde lineis $ecundum ambos præmi$$os modos $ituatis, cuius conformis e$t demon$tratio cum præmi$- $is. Patet ergo propo$itum: nec enim dignum uidimus talibus immorandum, qu{ae} ex prædemon- $tratis conclu$tionibus $uæ certitudinis $ub$i$tentiam lucidè accipiunt: unde talia relinquimus ani- mæ perquirenti.

34. Imago line æ; rectæ exi$tentis in $uperficie $peculũ pyramidale trãs axem $ecante, centro<006> ui$us existente in communi $ectione eiu$dem $uperficiei, & $uperficiei $peculum $ecũdum axem $ecantis, uidebitur rect a: quando<005> maior: quando<005> æqualis: quando<005> minor reui$a: $ed $emper conuer$um habens $itum: & quando<005> una: quandoque plures imagines ui$ui occurrent. Al- hazen 56 n 6.

Fiatitem (utin 29 huius) eadem di$po$itio figuræ, quæ facta e$t in 48 th. 8 huius. Siergo aliquod punctum commune ambabus $uperficiebus d a o & d b o, fuerit in axe pyramidis, ut punctum o: & d g p i t k n z u b e a m l f o q h r $i duæ lineæ a e & b e fuerint perpendiculares $uper $uperficies contingentes pyramidem $peculi: hoc autem e$t po$sibile, quia li ne{ae} a e & b e $unt æquales: po$$unt enim cum axe continere duos angulos acutos æquales. Cum ergo hæ duæ line{ae} fuerint perpen diculares $uper illas $uperficies, & ui$us fuerit in puncto d: tune $uperficies trigoni d e g, in qua $unt lineæ g e & d e, tran$ibit per totum axem & per centrum ui$us: & utraque $uperficies d a o & d b o erit decliuis $uper axem $peculi: & communes ip$arum $e- ctiones cum $uperficie conica $peculi erunt du{ae} $ectiones oxygo niæ & formæ trium punctorum, quæ $unt r, h, q, reflectentur ad ui$um exi$tentem in pũcto d à puncto $peculi, quod e$t b. Form{ae} quoque trium punctorum, quæ $unt m, l, f, refle ctentur ad ui$um in punctum d à puncto $peculi a. Cum ergo lineæ m l f & r h q fue rint in aliqua $uperficie corporis ui$ibilis, & ui$us fuerit in pun- cto d: tunc, ut $uprà in 29 huius patuit, linea n u erit imago lineæ m r: & linea t k erit imago line{ae} l h: & linea p i erit imago lineæ f q: erit itaque imago line{ae} m r, quæ e$t linea n u, minor quàm linea m r: & imago line{ae} f q, quæ e$t p i, erit maior quàm linea f q: & imago line{ae} l h, qu{ae} e$t t k, erit æqualis ip$ilineæ l h. Omnes quoque i$t{ae} imagines conuer$um habebunt $itum, re$pectu rerũ, quarum ip$æ $unt imagines, ui$u exi$tente in puncto d. Quòd $i ui$us fuerit in puncto o, & line{ae} n u, t k, & p i, quæ $unt imagines linearum m r, l h & f q, ui$u exi$tente in puncto o, fuerint in $u- perficiebus corporum ui$ibilium: tunc per eandem præmi$$am rationem in 29 huius imagines illarum linearum n u, t k, & p i erunt lineæ m r, l h & f q: erit\’que imago lineæ p i, quæ e$t li- nea f q, minor quàm linea p i: & imago lineæ t k, quæ e$t linea l h, erit æqualis $uæ: & imago lineæ n u, quæ e$t linea m r, erit maior ip$a linea n u: & i$tæ imagines omnes erunt lineæ rectæ: & apparebunt ultra centrum ui$us, quod e$t in puncto o. Et $i imaginentur continuari capita illarum linearum per lineas n t p & u k i: eruntloca imaginum illarum linearum lineæ m l f & r h q. Puncta itaque i$tarum imagi- num, quæ $unt m, l, f, comprehenduntur $uper eandem lineam reflexionis, qu{ae} e$t a o: & puncta r, h, q comprehenduntur $uper eandem lineam reflexionis, qu{ae} e$t b o: & imago puncti remotio- ris à ui$u, erit propinquior ui$ui, & imago puncti propinquioris ui$ui, erit remotior à ui$u. Con- LIBER NONVS. uer$um ltaq; habebunt $itum omnes i$tæ imagines. Quod e$t propo$itũ. Patet itaq; exhis quatuor propo$itionibus, quòd lineæ rectæ quandoq; in his $peculis pyramidalibus concauis uid\~etur con- uexæ: quandoq; concauæ: quandoq; rectæ: & quandoq; maiores: & quandoq; minores: & quãdo- que æquales rebus ui$is: & $unt omnes rectæ imagines difformem $itum habentes, re$pectu $itus rerum, quarũ $unt imagines. Et accidit in his $peculis, $icut in alijs $peculis, numerari imagines $e- cundum numerum punctorum reflexionis: & fortè imagines eiu$dem rei diuer$arum erunt forma rum $ecundum diuer$um $itum $uarum partium: quæ omnia ex pr{ae}mi$sis principijs po$$unt facili- ter declarari. Hæc itaq; de regularibus $peculis $ufficiant ad præ$ens. Deinceps uerò in $equ\~etibus huius libri ad tractatum quorũdam irregularium $peculorum & cõburentiũ ingeniũ cõuertemus.

35. Po{$s}ibile e$t $peculum ex conuexo & concauo compo$itum fieri, in quo dextra apparent dextra, & $ini$tra $ini$tra, & multa diuer$itas imagιnum occurrit. Euclides 30 th. catoptr. Pto lemæus 3 th. 2 catoptr.

A$$umatur in illa magnitudine, qua quis con$truere uoluerit tale $peculum, circulus, qui $it a b g: & in$cribatur ei latus pentagoni in$criptibilis eidem circulo per 11 p 4: quod $it a b: & $imiliter in- b e z a g z m h t f k l x o p a b g $cribatur eid\~e circulo latus hexagoni per 15 p 4, quod $it b g: erit\’q; per eádem 15 p 4 linea b g {ae}- qualis $emidiametro circuli. Et ab$cindatur ab illo circulo portio a e b, cuius arcus a b ք 28 p 3 e$t æqualis quintæ parti peripheriæ circuli. Et $imiliter ab$cindatur ab eodem circulo portio g z b, cuius arcus b g e$t æqualis $extæ parti circuli. Fiant quoq; formæ regulares ad quanti- tatem illarum duarum portionum: quarum una fiat $ecundum quantitatem portionis a e b, quæ $it concaua, ut e$t figura, quam de$crip$imus, z h t f k m l: altera uerò facta ad quantitatem portionis, qu{ae} e$t g z b, $it conuexa, ut e$t fi- gura x o p. Et a$$umatur petia uel pars ferri re- ctangula, cuius longitudo $it maior quàm am- b{ae} chord{ae} a b, & b g, latitudo quoque $it maior quàm chorda b g: & incuruetur ferrũ taliter, ut eius longitudo $it conuexitatis portionis a e b, ita ut $uperficies cõcaua, quæ e$t k f t, $ibi extrin $ecus applicetur: & eius latitudo $it in parte lon gitudinis re$iduæ concauitatis portionis g z b, ita ut cóuexitas $uperficiei x o p $ibi intrin$ecus applicetur. Taliter uerò fiat, ne forma cóuexita tis impedimentum accipiat ex forma concaui- tatis, $ed in eadem $uperficie $peculi ip$arũ qu{ae}- libet imprimatur: poliatur\’q; $peculum ex parti- bus ambabus: propter quod oportet ut lamina $peculanda $it conuenienter $pi$$a, ut ex utra- que parte $alua di$po$itione reliqua ualeat poli- ri. Hoc itaque $peculum $i $uper $edem uolubi- lem ad hoc præparatam componatur, & $uper ip$am uoluatur, ita quòd nunc conuexa, nunc concaua $uperficies ui$ui $e offerat: tunc appa- rebunt dextra dextra, & $ini$tra $ini$tra: & di- $tanti qua$i duobus cubitis apparet imago commen$urata & $imilis ueræ form{ae}: magis uerò di$tan ti protenditur imago in anterius: propius uerò accedenti ad conuexam $uperficiem $peculi, fit i- mago penitus informis: & magis accedenti informitas plus augetur, & contraria ei, quod uidetur, fit imago, magis\’q; acced\~eti prolixior apparet, & fit facies uidentis cõ$imilis formæ equi: & $emper magis inclinato $peculo, imago apparet plus inclinata. Permutato quoque $peculo, imago quan- doque habet caput $ur$um & pedes deor$um: & quandoque pedes $ur$um & caput deor$um: & plus experientia, quàm $criptura, docebit imaginum diuer$itates: quia $i connectantur duo $pe- cula $phærica, quorum unum $it concauum, reliquum conuexum, non moto etiam $peculo, ua- riatur di$po$itio imaginum. Propter reuerberationem enim formæ reflexæ ab uno $peculo in al- terum, dextra apparebunt dextra, & $ini$tra $ini$tra: & in parte conuexa non mutabitur $itus i- maginis $ecundum $ur$um & deor$um: $ed in parte concaua uidebitur imago $upercapitalis, ue- lut antipodes. Cau$$a uerò omnium horum in $implicibus $peculis dicta e$t per præmi$$a: mo- do quoq; tali in præmi$$o $peculo permi$centur imaginies. Et $i in eadem continuitate $it $peculum planum ip$is $peculis $ph{ae}ricis conuexis & cõcauis interpo$itum: uaria bitur imaginum quátitas: VITELLONIS OPTICAE quia in planis e$t imago æqualis rei ui${ae} ք 52 th. 5 huius: in cõuexis uerò e$t minor ք 39 th. 6 huius: in cõcauis uerò quádoq; æqualis: quádoq; maior: & quádoq; minor, ut patet ք 45. 47. 49 th. 8 hu- ius: & tale $peculũ pote$t taliter cõponi. Sit $uperficies aliqua plana, qu{ae} a b: & fiant in ip$a $pecula cõuexa, qu{ae} $int a c g & t r k: & $imiliter fiant in ip$a $pecula cõcaua, quæ $int g d e & z i t: & fiant $pe- cula plana, qu{ae} $int e z & k b: ponatur\’q; res ui$a in puncto m, quæ à $peculis illis ad ui$um reflecta- tur. A planis itaq; $peculis apparent æqualia idola & æqualiter di$tãtia: & à cõuexis minora & mi- b k t i z e d g a r m nus di$tátia: à cócauis uerò diuer$a & diuer$i modè ui$ui occurren- tia, $icut in alijs pr{ae}de- mon$tratũ e$t. Ingeniũ uerò modernorû & fu turorũ addat, quod li- buerit: quia $uffici\~eter dedimus cogitantibus principia multarum talium adinuentionum: & nos, quætalia digna memoria inuenerimus, pe- $terius con$cribemus.

36. A $peculis columnaribus uel pyramidalibus concauis ignem difficile e$t accendi.

Si enim in $peculis colũnaribus cõcauis $uperficiei reflexionis & $peculi cõmunis $ectio $it linea longitudinis, nó e$t nece$$ariũ ign\~e ab ip$is acc\~edi, $icut neq; à $peculis planis, etiã $i $uperficies re- flexιonis o\~es $e in axe colũn{ae} inter$ec\~et: radij enim æquidi$táter $uperficiei $peculi incid\~etes, æqui di$táter utiq; reflect\~etur: perp\~ediculares quid\~e in $e ip$os ad diuer$a pũcta $peculi colũnaris $ecun- dum qu{ae}, cũ ip$i $peculo incidebãt, ax\~e $ecabãt & ita nunquã in pũcto concurrent, $ed in tota linea axis di$tend\~etur: nõ perp\~ediculares uerò radij, obliquè $cilicet $uperficiei $peculi incidentes, quo- niã $ecundũ angulos, quos faciũt cũ perpendiculari ducta ab axe ad lineã lõgitudinis, qu{ae} e$t com- munis $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei cõtingentis columnã, ad part\~e aliã in ead\~e $uper- ficie à dicta perpendiculari reflectuntur. Patet ergo quia $ecundũ quod {ae}quidi$tantes ad inuic\~e in- cidunt, $ic qua$i æquidi$tãtes ad inuic\~e reflectuntur, & nõ in puncto, $ed in linea cõcurrent ք 29 p 1. Quòd $i dicatur, quòd aliquæ $uperficies reflexionis $e in axe colũn{ae} nõ inter$ecent, $ed $int æqui- di$tantes (quod e$t impo$sibile, ut patet per 7 th. 7 huius) palàm tam\~e e$t quòd in eis reflexi radij nunquã cõcurr\~et. Siuerò $ectio cõmunis $uperficiei reflexionis & $uperficiei column{ae} $it circulus: tunc patet quòd ք eius centrũ tran$euntes radij (quoniá o\~es $unt perpendiculares $uper $uperfi- cies cõtingentes ιn punctis $uæ incidentiæ, ut per 21 th. 7 huius o$ten$um e$t) o\~es reflectuntur in $eip$os, & cõcurrentin centro circuli illius $iue $it ba$is columnæ $peculi, $iue $it circulus ba$i æqui di$tans. Hoc aũt centrũ erit $emper in axe: & $unt tot c\~etra talium circulorũ in axe, quot $unt circu- li in columna: ad unũ ergo punctũ non reflectuntur radij totius $uperficiei $peculi columnaris, $ed ad totã axis lineam. Quod $i radij reflexi $ecundũ circulum nõ tran$eunt centrũ circuli: tunc $ecun- dũ angulorũ incidentiæ diuer$itat\~e fiet diuer$itas reflexionis ad $emidiametrũ circuli: nec fiet con- cur$us in centro circuli radiorũ, $ed in tota $emidiametro: & $ic ignis difficiliter accendi poterit, $i- cut etiã prius dictum e$t in $peculo $phærico concauo, ut patet per 68 th. 8 huius. Quòd $i cõmunis $ectio dictarũ duarum $uperficierũ $it $ectio columnaris: tunc radij pauci$simi cõcurrent. Patet er- go quòd nõ e$t po$sibile o\~es radios $uperficiei $peculi columnaris concaui in unũ locũ uel etiá in unã lineam aggregari: & ob hoc pauci antiquorum tali $peculo pro cõbu$tionibus $unt u$i. Ex $pe- culis etiá pyramidalibus lumen aggregatũ ign\~e accendere non e$t nece$$ariũ, quáuis ad hæc multa rum acclinetur imaginatio: cuius cau$$a e$t, quia in talibus $peculis communis $ectio $uperficiei re- flexionis & $uperficiei $peculi non pote$t e$$e circulus aliquis nec ba$is, nec æquidi$tans ba$i: pro- pter hoc, quod prius dictum e$t, & petet per 2 th. huius. In nullo ergo euentu po$$unt radij à peri- pheria circuli in centro concurrere: $icut aliqualiter accidit in $peculo colũnari. Quòd $i $ectio com munis $uper$icierum dictarũ $it linea lõgitudinis $peculi: tũc, quoniã $uperficies $peculũ conting\~es contingit in linea longitudinis, accidet in his $peculis, $icut prius dictũ e$t in planis & colũnaribus $peculis. Radij enim incidentes quo$cunq; angulos fecerint cũlinea longitudinis, eo$d\~e facient cũ ead\~e reflexi: & $ic radij incid\~etes {ae}quidi$tát, & {ae}quidi$táter reflectũtur. Nõ ergo cõ curr\~et, etiá $i $int in ead\~e $uperficie reflexionis: & $i in diuer$is $int $uperficiebus, patet q<001> nó cõcurrent ni$i in axe: quia $uքficies reflexionis $e $uper ax\~e pyramidis inter$ecát: & tũc cõcur$us radiorũ fiet in linea, nõ in pũcto. Si cõmunis $ectio $uperficierũ dictarũ $it $ectio pyramidalis: nec adhuc o\~es uel plures ra- dij eiu$d\~e $uperficiei uel diuer$arũ aliqualiter concurr\~et. Nullo ergo modo radij incidentes pyra- mιdali $peculo omnes, uel plures ip$orum, uel etiam pauci in puncto uno po$$unt concurrere, ut a- liquid ignitioni re$i$tens ualeant ignire: nec etiam pluralitas coniun ctorum $peculorũ aliquid ua- lidum re$pectu laboris $uperadditi apportabit. Patet ergo illud, quod prop onebatur.

37. Ex plurium $peculorum $phæricorum concaurum inter$ectione $peculum comburens con$titui e$t po{$s}ibile.

Verbi gratia, $it circulus alicuius $peculi $ph{ae}rici concaui, qui a b c d: & eius centrum $it e: inter- LIBER NONVS. $ecent\’q; fe in ip$o du{ae} diametri a c & b d orthogonaliter: incidant\’q; radij $olares illi circulo: palàm itaq; per ea, quæ in 68 th. 8 huius dicta $unt, quoniam radius incidens circulo $ecundum aliquá dia metrorum (uerbi gratia, $ecundum diametrum a c) reflectitur in $eip$um trans centrum: radiorũ uerò æ quidi$tantium illi diametro a c, is, qui contingit circulum, palàm quia incidit in punctum b per 29 p 1: angulus enim, quem linea contingens cõtinet cũ diametro, e$t rectus per 18 p 3, & an- gulus b e a e$t rectus ex hypothe$i. Ille ergo radιus contingens circulum non reflectitur: quia nihil inuenit re$i$tens: procedit ergo in continuum & directum. Alius uerò radιus æquidi$tãs diametro a c cum linea in puncto $uæ incidenti{ae} $peculum contingente continet angulum rectilineum acu- b f a e c d ti$simum, & modicam ab$cin dit portionem circuli in- cidens, & modicùm $e reflect\~es, $ed æqualiter. Sic itaq; omnes radij æquidi$tantes diametro a c incidentes cir culo $peculi æquales ab$cindũt circuli portiones: $em- per enim angulus reflexionis e$t æqualis angulo inci- denti{ae}: illi autem anguli æquales $emper æquales ab- $cindunt portiones per 43 th. 1 huius: $olus autem radi- us incidens circulo {ae}quidi$tanter diametro a c, ab$cin- dens portionem, cuius arcus e$t $exta pars peripheri{ae} circuli, & cuius chorda e$t æqualis lateri hexagoni in- $criptibilis eidem circulo, reflectitur ad punctum c ter- minum diametri c a: e$t enim diameter a c æquidi$tans medio lateri hexagoni $uo circulo in$cripti, qu\~e hexa- gonũ diuidit illa diameter per æqualia, ut patet per 63 th. 1 huius: $it\’q;, ut talis radius incidat circulo ιn pũcto f. O \~es quoq; rad j {ae} quidi$tantes $emidiametro a c, inci- dentes reliquo arcui quart{ae} circuli, cuius chorda e$t æ- qualιs re$iduo lateri hexagoni, & e$t arcus f c, reflectũ- tur ad illá partem cιrculi portiones æquales ab$cιdentes: & omnes illi radij tran$eunt per aliquod punctum $emidιametri c e: & quodcunq; punctum reflexionis imaginetur moueri circa axem a c, quou$q; redeat ad locũ à quo exiuit: ιllud pũctũ motu $uo de$crιbet circulũ, cuius polus erit pun- ctũ c: & à tota illius circuli peripheria fiet reflexio ad id\~e punctum $emιdiametri $peculi, qu{ae} e$t c e: fiet\’q; in illis punctιs diametri combu$tio, oppo$ita alιqua materia cõbu$tibili, $ed debιlis & cũ mo- ra t\~eporis. Quòd $i fieri po$sit, ut loca plura cóbu$tionis uel omnia in unũ punctũ congreg\~etur, fiet fortior cóbuιtio: hoc aũt ui$um e$t po$sibile fierι ք inter$ection\~e $ph{ae}ricã plurium $peculorũ $ph{ae}ri corũ cõcauorũ: nõ aũt in{ae}qualiũ: quia in illis nõ cõueni\~eter uniformis pote$t inueniri {pro}portio. Re a c a c e c f g lin<003>tur er- go quòd {ae}- qualiũ $pe culorum $ph{ae}rico- rũ $it illa in ter$ectio: ita, ut illud q<001> uariat in locis cõ bu$tionũ diuer$itas di$tátiæ ra diorũ {ae}qui di$tãtium axi $pecu- li, & ad i- p$um ax\~e reflexorũ, cõformet diuer$ifica tio centro rũ: ut$i c\~e- tra $ph{ae}ra- rũ $peculo rũ $e inter $ecantium $ecundum omnia puncta unius $emidiametri $phæræ uarientur: tunc enim puncta combu$tionis aut omnia, aut plurima in unũ pũctũ collig\~etur: & fortificabitur cóbu$tio $ecũdum illud. Huius aũt rei mechanicũ artificiũ trad\~edũ cogitauimus illis, <003>ք manual\~e fabricã int\~edere uoluerint \~pmi$sis, VITELLONIS OPTICAE cuius forma talis e$t. A$$umatur regula lignea uel ænea quadrágula planarũ $uperficierũ, quáta pla cet: & $it eius latitudo tripla $uæ $pi$situdini uel circa illud: deinde in medio $uæ latitudinis caue- tur $ecundũ lineã rectã, & planetur $oram\~e, & or dinetur taliter, ut intra ip$am decurrere po$sit na- uicula ad modũ artificij tornatorũ, in qua nauicula uncus ferreus in figatur. & h{ae}c regula $ic cõcaua ta & di$po$ita, taliter $ituetur, ut eius cauata $uperficies $it erecta $uper $uperficiem horizontis, & li neæ profunditatis $uæ concauitatis $int perpendiculares $uper $uperficiem horizontis: $it\’q; linea, quá motu $uo de$cribet uncus motæ nauicul{ae}, æqualis $emidiametro propo$iti circuli, quæ e$t e d, ita quòd pũctũ e cadat in intrin$eca $uperficie ip$ius unci ferrei, qui motu nauiculæ, cui infixus e$t, mouetur. Deinde a$$umatur alia regula lignea uel ænea $imiliter quadrangula, ut prima, & planarũ $uperficierũ: & hæc $imiliter in $ui $uperficie latiori cauetur $ubtiliter $ecũdum lineas rectas, & pla- nentur $uperficies cócauitatis, ita ut $ine impedim\~eto ք illã cõcauitat\~e po$sit alia $ubtilis regula uel funiculus moueri: $it\’q; cõcauitas illius regulæ duplalιneæ e d, hoc e$t ut $it æqualis diametro circu li, quæ e$t a c: & hæc regula cũ priori regula taliter adaptetur, ut eius $uperficies nõ cõcauata æquι- di$tet horizonti, & eius $uperficies cauata re$piciat cauaturã regulæ prioris: & ordinetur orthogo- naliter $uper illá, ita ut angulus d e c $it rectus: & $it medius pũctus lógitudinis $uæ cócauitatis cor- re$pondens puncto e, qui e$t punctus unci ip$ius nauiculæ: & $int omnia hæc in ead\~e $uperficie æ- quidi$tante $uperficiei horizontis. Fiat quoq; tertia regula {ae}nea longa quadrangularũ $uperficierú planarú & rectarũ linearũ, qu{ae} $it e f g: $it \’q; eius pars e f æqualis $emidiametro circuli, quæ e$t e c: $it\’q; taliter di$po$ita, ut per aliquã armillã uel foram\~e applicetur unco nauicul{ae} $ecundum pũctum e, & ut ip$a moueri po$sit per cócauitaté lineæ a c: $it \’q; in puncto f nodus, cuius diameter $it maior diametro concauitatis regulæ a c: fiat quoq; reliqua pars lineæ e f g, qu{ae} e$t f g, longitudinis placitæ cuiu$cunq;: & in puncto g adhibeatur clauus acutus in fine acuitatis, qui $it illius quátitatis, ut mo- ta linea e f g, attingere po$sit pauimentum uel illi aliam $uperficiem $ub$tratam. His itaq; omnibus $ic di$po$itis immittatur regula e f g $ecundum foramen puncti e in uncum nauicul{ae}, & trahatur na uicula planè per cochleam uel modo alio, ut uidebitur, plano tamen & æquali tractu: & $equetur re gula e f g tractum nauicul{ae}, decurret\’q; punctus f in $uperficie regul{ae} a c: & $emper mutabιtur cen- trum circuli, cuius diameter e$t linea e f. Cum itaq; punctus e peruenerit in punctũ d: tũc punctus f erit in medio puncto lineæ a c, quod e$t centrum circuli præmi$si: omnium\’q punctorum reflexio- nis luminis uel quarum cunq; formarum à quarta circuli, quæ e$t c b, concur$us radiorum uel diffu $æ uirtutis erit in centro circuli, quod e$t e: quoniã omnia puncta combu$tionum concurrentia in axe e b, reducta $unt ad punctum e, quod e$t centrum circuli, utpote omnium radiorum incidentiũ circulo $peculi æquidi$táter diametro a c. Similiter quoq;, $i placet, fiat in alia quarta circuli de$cen dente planè ip$a nauicula, reducendo punctum f ad pũctum a: tunc enim punctum g line{ae} f g motu $uo de$cribet quandam lineam, qu{ae} per clauum $ibi affixum in pauimento figurabitur: & hác lineá dicimus lineam eccentralem: quoniam e$t inter$ectio infinitorum circulorum. Quilibet enim pun ctus illius lineæ (exceptis punctis extremis corre$pondentibus punctis a & c, ip$ius diametri a c, & quibuslibet duobus punctis æqualiter di$tantibus à puncto medio totius lineæ eccentralis) di- uer$o corre$pondet centro, $icut & qu{ae}libet duo puncta æqualiter di$tantia à puncto $ui medio, re- $piciunt idem centrum: & $unt puncta unius circuli alterum circulum $ecantis. Hac ergo linea ad con$titutionem propo$iti $peculi utemur $ecundum ip$am aliquam $pecularem $uperficiem conca uantes, $icut per modum demon$trationis & artificij in$erius dicetur. Patet ergo propo$itum.

38. Ex inter$ectione plurium $peculorum pyramidalium concauorum ignem est po{$s}ibi- le accendi.

Quod hic proponimus, primum fuit, quod nobis harum rerum $cientiam perquirentibus occur rit, & in cuius rei inuentione primò animus no$ter conquieuit. Quia et$i non ad unum punctum mathematicum, ad unum tamen punctum naturalem modicam & qua$i in$en$ibilem latitudinem habentem radij unius totalis $uperficiei po$$unt faciliter aggregari: qu{ae} nobis uerò po$tea occur- rerunt, ualidiora $unt. Nihil tamen i$torum duximus pr{ae}termittendum, ut po$teriorum animi in al tius excre$cát. Pr{ae}$enti itaq; demõ$trationi opus ip$um mechanicũ duximus aliqualiter immi$cen dũ, nihil tam\~e de demõ$trationis $ub$tantia omittentes. A$$umatur ergo quæcũq; pyramis, quæ $it a b c d: cuius uertex $it punctũ a: $int\’q; line{ae} lõgitudinis illius pyramidis a b & a c: & $it axis ip$ius li nea a d: quæ $it, exempli cau$$a, partes 18, $ecundũ quod diameter circuli $u{ae} ba$is, qu{ae} e$t f b e c, e$t partes 6: erit\’q; per 89 th. 1 huius punctũ d c\~etrũ circuli, qui e$t ba$is ip$ius pyramidis: in$cribatur\’q; circulo ba$is linea æqualis $emidiametro ip$ius per 1 p 4: qu{ae} $it f e: $it\’q; aliqua diameter in circulo æquidi$tans in$criptæ lineæ: quoniã diui$a linea f e per æqualia ex 10 p 1, {pro}ducatur à pũcto diui$io nis (<003> $it g) perpendicularis $uper illam lineam ex 11 p 1: h{ae}c quoq; tran$ibit per centrũ circuli per 1 p 3: producatur\’q; linea illa ad utranq; part\~e circũferentiæ: & $it b c: extrahatur ergo perp\~edicula- ris à centro circulι ba$is, quod e$t d, $uper diametrum b c: quæ $it d h: & producatur ad partem aliã circuli: fiet\’q; diameter, qu{ae} $it h k, æquidi$tans lineæ e f per 28 p 1: producantur\’q; à punctis h & k du{ae} lineæ longitudinis pyramidis ad uerticem, qu{ae} $int h a & k a. Producatur quoq; à puncto e li- nea æquidi$tans line{ae} k a, & à puncto f æquidi$tans linea h a ex 31 p 1: & concurrant product{ae} lineæ in puncto x: concurrent autem ideo, quia ip$arum æquidi$tantes, qu{ae} $unt k a & h a, concurrunt in puncto a. Inter duas ergo lineas e x & f x continuata plana $uperficies & terminata ad lineam f e LIBER NONVS. (quæ $it trigonum f e x) palàm quoniam inter$ecabit pyramidem: erit\’q; triangulus x f e propter æquidi$tantiam laterum {ae}quidi$tans triangulo magno in pyramide, qui e$t a h k: & $icut triangulus x a j b g f h d e k c a h k diuidit pyramidem per æqualia, eò quòd $it duabus lineis lon gitudinis & diametro ba$is contentus: $ic etiam triangulus x f e ali quam pyramidis re$ecat portionem. Ab$cindatur ergo hæc portio â tota pyramide, quæ $it l f b e g: ducantur\’q; line{ae} rectæ, quæ $int l e & l f: erunt\’q; line{ae} l f & l e per 89 th. 1 huius partes æquales unius $ectióis conicæ, qu{ae} e$t e l f, diui$a per æqualia in $ui $upremo pun- cto, qui e$t l. Linea uerò l b, qu{ae} e$t pars lineæ longitudinis pyrami dis, erit minoris quantitatis qualibet linearum l e & l f: erit\’q; linea b g linea pro$un ditatis huius portionis: linea uerò f e linea latitu- dinis: & linea l g latus portionis erectum, æquidi$tans lineæ d a, qu{ae} e$t axis pyramidis. Expedit ergo ut operi mechanico con$u- lentes notitiam harum linearum omniũ per quiramus, $upponen- tes ea, qu{ae} in chordis & arcubus $unt probata. Palàm aut\~e ex præ- mi$sis quoniã linea f e, quæ in$cripta circulo, quia e$t æqualis eius $emidiametro, e$t partes 60, $ecũdũ quod diameter circuli e$t 120: arcus ergo f e $imiliter e$t 60: $ecũdũ q<001> circulus e$t 360. Ducátur quoq; line{ae} b f & b e. Et quoniã diameter b c diuidit chordá f e per æqualia & orthogona liter: patet quoniã line ærect{ae} f b & b e {ae}qua- les $unt ք 4 p 1: ergo arcus f b & b e $unt {ae}quales per 28 p 3: arcus itaq; f e diui$us e$t per æqualia in pũcto b: ergo arcus f b e$t partes 30: chorda ergo f b e$t 31 partes, 3 minuta, & 30 $ecunda: $ed quoniá m linea f g e$t medietas line{ae} f e, qu{ae} fuit 60: patet q<001> linea f g e$t 30: quadrentur ergo ex 46 p 1 linea f b, & $imiliter linea f g. Et quia quadratũ lineæ f b in triangulo f b g $ubtenditur angulo recto: palá ex 47 p 1 quia quadratũ lineæ f b ualet ambo quadrata linearũ f b & b g: ablato ergo ex quadrato f b quadrato f g, remanet quadratũ b g. Extrahatur ergo radix quadrata illius re$idui, & ip$a e$t quanti tas lineæ b g: & $ecundũ quod linea f g e$t 30 partes, erit ip$a 8 par- tes, 2 minuta, 29 $ecunda: $ecundũ uerò quòd diameter b c e$t par- tes 6, & $emidiameter f e partes 3, & linea f g partes 8 & 30 minuta: erit linea b g 24 minuta & 6 $ecunda, prout ex tribus notis quartũ ignotum perquirens auxilio 19 p 7 diligens inqui$itor facile pote- ritinuenire. Quoniam uerò linea g l erecta {ae}quidi$tans e$t axi py- ramidis, qu{ae} e$t d a, patet ex 29 p 1 quoniam trianguli d a b & g l b $unt {ae}quianguli: ergo per 4 p 6 erit proportio line{ae} d a ad lineam g l, $icut line{ae} d b ad lineam g b: ergo per 16 p 5 erit per- mutatim proportio line{ae} d a ad lineam d b, $icut line{ae} l g ad lineam g b: $ed linea d a $extupla e$t ad lineam d b ex hypothe$i: erit ergo linea l g $extupla line{ae} b g: patet ergo quoniam linea l g e- rit 2 partes, 24 minuta, 36 $ecunda, $ecundum quod linea d a e$t partes 18. Sed quia in triangulo l b g angulus l g b e$t rectus: quia latus g l, quemadmodum linea d a, orthogonaliter erectum e$t $uper $uperficiem circuli ba$is pyramidis per 89 th. 1 huius, & per 8 p 11: patet ergo quia quadratum line{ae} l b ualet quadrata ambarum linearum l g & b g ex 47 p 1: componantur ergo quadrata, & aggregati radix quadrata extrahatur, & ip$a e$t quantitas line{ae} l b: qu{ae} $ecundum propo$itum nu- merum quo $emidiameter ba$is e$t 3 partes, erit 2 partes, 26 minuta, 35 $ecunda. Et quia li- nea l g erecta e$t $uper $uperficiem ba$is pyramidis: palàm ex definitione line{ae} erect{ae} $uper $u- perficiem, quoniam ip$a cum lineis g f & g e angulos rectos facit, $icut etiam cum omnibus li- neis in dicta $uperficie productis. Quadratum ergo line{ae} e l rect{ae}, qu{ae} in triangulo rectilineo (qui e$t e g l) angulo recto opponitur, ualet quadratum lineæ l g & lineæ g e: coniunctis ergo il- lis quadratis, ip$ius aggregati extrahatur radix: & patet quòd linea recta, quæ e$t l e, e$t 2 partes, 50 minuta, 19 $ecunda. Et quia per eadem quadratum lineæ rectæ, qu{ae} e$t fl, ualet quadratũ lineæ f g, quæ e$t æqualis lineæ g e, & quadratum lineæ l g: patet quia linea l f e$t æqualis lineæ e l: erit ergo li nea f l 2 partes, 50 minuta, 19 $ecunda. Habetur itaq; notitia omnium linearũ portionis pyramidis a$$umptæ, nece$$ariæ operi præ$enti. Cum aut\~e difficile $it a$$umi pyramid\~e propo$ito cõpet\~etem, (quoniã oporteret, ut ip$a tota e$$et concaua $olidi corporis d\~e$i & polibilis pro factura $peculi, ut prius dictum e$t, & ab illa difficilis fieret ab$ci$io) $ufficiat ip$am habere mathematicam in imagi- natione. Cum ergo ad opus $peculi libeat procedere: fiat de corpore polibili albo, utpote argenteo uel ferreo bono portio pyramidis concaua, $ic ut ba$is illius $ectionis $it portio circuli, qui e$t ba$is imaginatæ pyramidis, cuius chorda $it medietas diametri imaginati circuli, & e$t linea f e: erit\’q; par tes 3: $inus uerò uer$us, qui g b, $it $ecundum illam quantitat\~e 24 minuta, 6 $ecunda, qu{ae} e$t linea {pro}- funditatis acceptæ $ectionis: & fortè, quádo protrahitur, a$similatur $agittæ, $ecundum quod ill{ae} li neæ chordæ & arcui a$similátur: & erunt lineæ e l & f l rectæ æquales: & ip$arum qu{ae}libet e$t 2 par- tes, 50 minuta, 19 $ecunda: & erit linea l b 2 partes, 26 minuta, 35 $ecunda, $ecundum dictã quantita- t\~e: qu{ae} omnia $i bene men$urata $uerint: patet q<001> habetur portio pyramidis, cuius circuli ba$is dia VITELLONIS OPTICAE meter e$t partes 6, & axis pyramidis partes 18: erit\’q; tale $peculũ latius <004> $it lõgum, & in breue $pa- tium radios plurimos cõgregabit. Quòd $i ax\~e pyramidis imaginatus $ueris 24 partes, $ecun dũ q<001> diameter e$t partes 6: tunc erit linea l g 4 partes, & longius radij protendentur: erunt\’q exharum li nearum notitia, & ex notitia linearũ e g & g f (quarum notitia $upponitur, eò quòd $unt medietas $emidiametri) o\~es aliæ lineæ not{ae} cõponenti quadrata linearũ notarum, & radic\~e lateris oppo$iti recto angulo extrahenti: & numerorũ taliũ e$t infinitas, eò quòd $ecun dum omn\~e numerum axem pyramidis accipi e$t po$sibile, diametro tam\~e circuli ba$is nõ mutata $ecundũ numerũ, & $i mute- tur $ecundum quãtitat\~e partium numeratarum. Certitudo ergo numerorum operationi indagato ris $oliciti relin quatur: $inus enim uer$us & medietas $emidiametri, circulo in $criptæ, $ecundũ quã fit ba$is portionis ab$ci$sio, nõ poterũt uariari: ex quorum notitia ad aliarum linearum notitiã po- terit procedi. Quòd $i radios ad longã di$tantiã aggregari placuerit (ex quo tam\~e uirtut\~e ip$orum debilitari patulum e$t, ni$i quãtitas aggregationis quãtitat\~e uincat di$tãtiæ) illud erit in exce$$u la teris erecti ip$ius $cilicet axis pyramidis, re$pectu $emidiametri ba$is, & $emidiametri ba$is, re$pe- ctu $inus uer$i. Pote$t ergo, $iplacet, circulo ba$is in$cribi medietas $emidiametri: hæc aũt cũ $it par- tes 30 $ecundum quod tota diameter e$t partes 120, $i ex notis notum extrahatur: inuenietur arcus $ibi corre$pódens in circulo 28 partium, 57 minutorum, 21 $ecundorum, qui ex 30 p 3 $i per æqualia diuidatur, erit medietas ip$ius 14 partes, 28 minuta, 40 $ecunda, 30 tertia, $ecundum quod circulus e$t 360, cuius arcus chordá operás inueniet 15 partes, 7 minuta, 13 $ecunda, 20 tertia, $ecundum q<001> diameter e$t 120: $emidiameter quoq; partes 60. Sed $ecundũ quod $emidiameter e$t partes 3: erit prædicta chorda 45 minuta 21 $ecunda, 40 tertia: $it\’q; latus f b. Sed linea f e in$cripta circulo {ae}qua- lis medietati $emidiametri, per diametrum orthogonaliter $uper$tátem ei, ex 3 p 3 diuiditur per æ- qualia in puncto g: ergo linea f g e$t medietas lineæ f e (qu{ae} e$t pars & 30 minuta) linea ergo f g e$t 45 minuta. Quadratum itaq; f g auferatur ex quadrato f b, & re$idui extrahatur radix quadrata, & erit linea g b (qu{ae} e$t $inus uer$us ip$ius arcus f e) 5 minuta, 42 $ecunda, 44 tertia: cuius immutabi li hic po$ita quãtitate numerali, axe pyramidis quomodocunq; in numero & quátitate uariato, dia metro ba$is 6 partium cuiu$cunq; quãtitatis exi$t\~ete, oés lineæ ab$ci$$æ $ectionis, ut prius, operãti po$$unt faciliter inueniri. Fabricata itaq; $ectione pyramidis, $i placet, ex ferro cõpet\~etis $pi$situdi nis, men$uratione\’q; facta linearum pr{ae}mi$$arum in illa, $ecundum proportion\~e axis imagιnatæ py ramidis, & $ecundum diuer$itat\~e lineæ ba$i in$criptæ, quá fieri po$$e diximus $ecundũ quátitatem $emidiametri uel medietat\~e ip$ius, ut $ecundum h{ae}c quátitas $inus uer$i & tota proportio uarietur, planetur $peculum intrin$ecus ne partes partibus multum pr{ae}mineant, quátùm e$t po$sibile. Quia uerò, & $i hoc $peculum $ecũdū ultimum po$sibilitatis poliretur: tam\~e quia e$t pars pyramidis, o\~es radios ip$ius uel plures ad unum punctũ aggregari e$$et impo$sibile, ut patet per 36 huius: oportet ergo ante polition\~e completã aliã $ibi adhibere medelã, $cilicet, ut in eo fiant diuer$arũ inter$ectio- nes pyramidum: q<001> ք tale artificium poterit cõpleri. Quoniam enim in a$$umpta pyramidis por- tione, triangulus l b g, qui continetur à lineis intra $ectionem a$$umptis, e$t notorum laterũ: æqua- lis ei triangulus in aliquo plano de$cribatur, qui $it item l b g: qui $i duplatus fuerit, protracto late- relg, quou$q; linea g m $it æqualis lineæ g l, & compleatur triangulus l b m: palàm quòd $iue $it or- l p g b m thogonius, $iue amblygonius, $iue oxygonius, quia ex doctrina 5 p 4 circulus $ibi pote$t circũ$cri- bi: circũ$cribatur ergo: quod ut facilius fiat, a$$umatur prior di$po$itio, $cilicet, ut linea b g $it 24 mi nutorũ, 6 $ecun dorũ, & linea l g 2 partiũ, 24 minutorũ, 36 $ecũ dorũ: erit\’q; l g $extupla line{ae} b g. Pro- ducatur ergo linea b g in continuum & directum ad punctum p, donec linea g p $it $extupla lineæ l g: erit ergo proportio lineæ p g ad lineam g l, $icut lineæ g l ad lineam g b: ergo per 17 p 6 illud, q<001> fit ex ductu lineæ g p in lineá b g, erit æquale quadrato lineæ g l: $ed quadratum lineæ g l æquale e$t ei, quod fit ex ductu lineæ g l in lineam g m, quia linea l g e$t æqualis lineæ g m. Illud ergo, quod fit ex ductu line{ae} p g in lineam g b, e$t æquale ei, quod fit ex ductu line{ae} l g in lineá g m: ergo lineæ p g & l m in circulo aliquo $einter$ecant ex conuer$a 35 p 3: $ed linea p b $ecat lineam l m per æqualia, & orthogonaliter ei $uper$tat exprius datis: trá$it ergo linea b p per c\~etrũ circuli ex 1 p 3: qu{ae} diuida- tur per 10 p 1 per {ae}qualia, & erit in puncto diui$ionis centrum circuli circum$criptibilis triangulo l g b: & erit diameter circuli, qu{ae} e$t linea b p, 14 partes, 51 minuta, 42 $ecunda: cuius medietas e$t 7 partes, 25 minuta, 51 $ecunda: & e$t punctus ille po$t completam fabricam locus aggregationis LIBER NONVS. radiorum $peculi $ecundum dictam di$po$itionis quantitatem, præter quàm modicum, quod per- ditur in limando. Quòd $i ba$i eiu$dem pyramidis in$cribatur medietas $emidiametri axe pyrami- dis exi$tente 18: erit linea b g 5 minuta, 42 $ecunda, 44 tertia, cuius $extuplum e$t latus l g, quod e- rit 34 minuta, 16 $ecunda, 24 tertia: cuius item $extuplum erit linea g p: & ip$a erit 3 partes, 25 minu- ta, 38 $ecunda, 24 tertia: adiecta ergo linea b g, erit linea b p 3 partes, 31 minuta, 21 $ecunda, 8 tertia: cuius medietas e$t pars una 45 minuta, 40 $ecunda, 34 tertia: & e$t punctus ille locus aggregatio- nis radiorũ $peculi $ecundũ tal\~e quátitat\~e di$po$iti, pr{ae}ter illud, q<001> deperditur in limádo. Similiter etiã e$t in reliquis formis $peculorũ $ecúdũ quátitates uarias acceptorũ & $emper $ecũdũ {pro}portio n\~e axis pyramidis, re$pectu diametri ba$is, & $emidiametri, re$pectu $inus uer$i, fit diuer$itas elóga tionis pũcti aggregationis radiorũ à $peculo, qui $ecundũ eundem modum e$t in omnibus perqui- rendus. A$$umatur ergo pars circuli circum $cribentis triangulum l m b, & re$ecetur $ecundum li- neam b p, quæ e$t diameter: & deinde ducatur à centro illius circuli (quod $it q) linea q l: & re- s u l s n f s m e s k d s h t q g b $ecetur circulus $ecundum illam, remaneat\’q; q l b $ector: in quo po$tea fiant inter$ectiones trian- gulorum diuer$arum pyramidum hoc modo. Quoniam enim angulus l b g e$t angulus $emicircu- li: patet ex 16 p 3 quoniam ip$e e$t maximus omnium angulorum acutorum: ergo e$t maior quo- libet angulo trianguli cuiuslibet pyramidis. Re$ecetur ergo ab ip$o angulo alicuius trianguli, cu- ius latus tertium à centro circuli puncto q productum rectum angulum contineat cum linea b q, quæ e$t $emidiameter circuli: producatur\’q; à puncto b linea $ecans arcum b l, prout uicinius po$sit puncto b: & $it arcus re$ectus b t. Deinde adhuc à puncto b ducantur latera aliorum tri- angulorum inter$ecantia arcum b l: & $int loca inter$ectionum t, d, e, f, l: erunt\’q; lineæ productæ, quoniam angulum acutum continent cum linea b q, omnes concurrentes cum linea à puncto q orthogonaliter imaginata erigi, quæ $it q s, ut patet per 14 th. 1 huius: facient\’q; triangulos inclu- dentes $emper altiores ip$is triangulis inclu$is ex 21 p 1: $int\’q; omnium illorum trigonorum $upe- riora puncta $ignata per notam s: quorum triangulorum quilibet $i moueatur, latere erecto fixo manente, de$cribet pyramidem rotun- dam: & pars motus partem pyramidis efficiet axi copulatam, & pars a e c f d b triangulι re$ecta cau$$abit partem pyramidis habentem proportio- nem ad totam pyramidem, $icut pars trianguli ad totum triangulum, & $icut partialis motus ad totum motum. Quoniam uerò patet per 2 huius quòd in $peculo pyramidali concauo $ecundum lιneas longi- tudinis pyramidis fit reflexio, ita quòd angulus, quem facit radius incidens cum linea longitudinis $peculi, e$t æqualis angulo reflexio- nis, $cilicet ei, quem facit radius reflexus cum eadem linea longitu- dinis $peculi (ut $i $uper lineam longitudinis pyramidis alicuius $pe- culi, quæ $it a b, reflectatur radius e c, æquidi$tanter $emidiametro ba$i incidens, quæ $it b d: patet quia angulus e c a æqualis e$t angu- lo d c b: quoniam, ut patet per 20 th. 5 huιus, quo$cunque angulos facit radius incidens cum perpendiculari erecta $uper $uperficiem contingentem $peculum in puncto incidentiæ, eo$dem facit radius reflexus cum eadem perpendiculari: uniuer$aliter enim angulus in- cidentiæ e$t æqualis angulo reflexionis.) Re$umatur ergo q l b $e- ctor, & eius trianguli: quia quod demon$tratum e$t in pyramidibus, uerum etiam e$t in triangulis cau$$antibus pyramides. Incidat ergo ip$i $ectori in puncto e radius VITELLONIS OPTICAE æquidi$tans lineæ q b, qui $$t h t. Erit ergo angulus incidentiæ, qui e$t h t s, {ae}qualis angulo reflexio- nis: $ed angulus h t s æqualis e$t angulo q b t per 29 p 1, & angulus q b t e$t per 5 p 1 æqualis angulo q t b: ideo quòd latera q b & q t $unt æqualia per definitionem circuli: erit ergo angulus refle- xionis æqualis angulo q b t: ergo linea reflexionis æqualis erit lineæ q b per 6 p 1: $ecundum li- neam ergo q t fit reflexio. Incidens ergo radius in punctum b, & reflexus à puncto t, concurrunt in puncto q: quia à puncto t aliam lineam æqualem lineæ q b, continentem cum linea b t angu- lum æqualem angulo q b t duci e$t impo$sibile. Similiter etiam angulus incidentiæ, qui e$t k d s, æqualis e$t angulo reflexionis: $ed & idem e$t æqualis angulo q b d $ecundum præmi$$um mo- dum deducendo ex 29 p 1: ergo angulus q b d & angulus reflexionis radij k d incidentis $unt æ- quales: ergo $ecundum lineam q d fit reflexio. Similiter etiam e$t & in alijs demonftrandum. Pa- tet ergo quòd omnes radij incidentes in puncta $ectionum factarum per latera triangulorum pro- ductorum à puncto b uer$us axem q s reflectuntur ad punctum unum, qui e$t centrum accepti circuli. Et quia $ectiones illæ fieri po$$unt qua$i infinitæ ab una linea $ic ordinata in $ectore, ad u- num punctum mathematicum fiunt aggregationes radiorum qua$i infinitæ. Hoc ergo demon$tra- to patet quòd omnes radij incidentes punctis b, t, d, e, f, l reflectuntur ad unum punctum, qui e$t q. Et $i portiunculæ præeminentes auferantur, regulabunt termini t d & e f interiacentes lineas, ita quòd reflexio ab illis facta, non multùm di$tabιt à puncto reflexionis, qui e$t q: erit\’q; aggrega- tio omnium radiorum totali lineæ b l incidentium ad unum punctum $en$ibilem naturalem, in circuitu puncti q. Hæc ergo linea b l motu $uo $uperficiem $ectionis præa$$umptæ $uperius pyra- midis limando & cauando producet: à qua tota fiet reflexio ad punctum unum naturalem, ut in- ferius docebitur. Patet ergo propo$itum: faciunt enim i$ti trianguli motu $uo pyramides $e in- ter$ecantes.

39. Si$ectionem parabolam linea recta contingat, & à puncto contactus ducatur recta perpendiculariter $uper diametrum $ectionis productam ad concur$um cum contingente: erit pars diametri interiacens perpendicularem & peripheriam $ectionis æqualis parti interiacen ti$ectionem & contingentem.

Sit $ectio parabola, cuius nomen prius libro primo in commento propo$itionis 98 expo$uimus: quæ $it l a g, cuius latus rectum $it l g: & dia meter a d: contingat\’q; hác $ection\~e in pun cto b linea recta: quæ $it h b k: concur- rat\’q; diamcter: quæ $it d a, producta ex- tra $ectionem cum linea contingente, quæ e$t h b k, in puncto h: & à puncto contin- h o b z k g d l gentiæ, quod e$t b, ducatur per 12 p 1 linea perpendicularis $uper diametrum a d, $e- cans ip$am in puncto z: & $it b z. Dico quòd linea z a pars diametri interiacens punctum $ectionis perpendicularis b z, & peripheriam $ectionis, quæ e$t l a g, e$t æqualis lineæ a h, parti eductæ diametri, quæ interiacet punctum h, quod e$t pun- ctum concur$us diametri cum linea con- tingente, quæ e$t h b k, & pũctum a, quod e$t terminus diametri, cadens in ip$am pe- ripheriam $ectionis. Et hoc uniuer$ale e$t: etiam $i linea recta $ectionem contingat in puncto g. Hoc autem demon$tratum e$t ab Apollonio Pergæo in libro de Conicis elementis: & hic utemur ip$o, ut demon$trato.

40. Omne quadr atum lineæ perpendicularis ductæ ab aliquo puncto $ectionis parabolæ $u- per diametrum $ectionis, est æquale rectangulo contento $ub parte diametri interiacente illam perpendicularem & peripheriam $ectionis, & $ub latere recto ip$ius $ectionis.

Verbi gratia: $it, ut in præmi$$a, $ectio parabola, quæ$it l a g: cuius latus rectum $it l g, & eius diameter $it a d: & à puncto aliquo $ectionis, quod $it b, ducatur $uper diametrum $ectionis, quæ e$t a d, perpendicularis b z. Dico quòd quadratum lineæ perpendicularis, quæ b z, e$t æquale ei rectangulo, quod fit ex ductu lineæ z a, quæ e$t pars diametri a d, interiacens ip$am perpen di- cularem b z, & peripheriam $ectionis, in lineam l g, quæ e$t latus rectum ip$ius $ectionis. E$t er- go per 17 p 6 proportio lineæ l g ad lineam z b, $icut ip$ius z b ad lineam z a. Hoc autem $imili- ter demon$tratum e$t ab Apollonio Pergæo in libro de Conicis elementis: & nos ip$outemur, ut demõ$trato. Hæc uerò duo theoremata cum alijs Apollonij theorematibus in principio librinon connumerauimus: quia $olùm illis indigemus ad theorema $ub$equens explicandum, & in nul- lo aliorum theorematum totius huius libri.

LIBER NONVS. 41. Si in $ectione parabola ab extremitate diametri ex parte peripheriæ $ectionis re$ece- tur æquale quartæ parti lateris recti ip$ius $ectionis: omnis linea æquidi$t anter diametro inci- dens alicui puncto $ectionis, & linea ab eodem puncto $ectionis ad punctum ab$ci{$s}ionis dia- metri producta, cum linea contingente $ectionem $uper illud punctum, continent angu- los æquales.

Sit, ut $uperius, $ectio parabola, quæ l a b g: cuius diameter $it a d: & eius latus rectum $it l g: ab extremitate quoque diametri a d ex parte peripheriæ $ectionis, hoc e$t à parte puncti a re$ecetur per 3 p 1 linea a e æqualis quartæ parti lateris recti ip$ius $ectionis, quod e$t l g: incidat\’q; linea t b puncto $ectionis, quod e$t b, æquidi$tanter diametro a d: & continuetur linea à puncto b ad pun- ctum e, quod $eparat à diametro a d lineam a e æqualem quartæ parti lineæ l g: & ducatur à puncto b linea contingens $ectionem: quæ $it h b k. Dico quòd duælineæ t b & b e cum linea $ectionem contingente, quæ e$t h b k, in puncto b continent angulos æquales: ita quòd angulus h a b z e k g d l t t b k e$t æqualis angulo e b h. Angulus enim b e h non pote$t euadere unam tri- um conditionum. Aut enim erit acutus: aut rectus: aut obtu$us. Sit primò acutus: & à puncto b ducatur per 12 p 1 $uper dia- metrum a d perpendicularis b z: cadet\’q; per 32 p 1 punctum z inter duo puncta a & e: & producatur diameter a d ultra pun ctum a, donec per 2 th. 1 huius concurrat cum linea contingente $ectionem, qu{ae} e$t k b h: $it\’q; concur$us in puncto h: erit\’q; angulus a h b acutus: cadet ergo perpen- dicularis b z inter puncta h & e, & erit per 39 huius linea a z æqualis lineæ a h. Quia itaque linea a e e$t diui$a in pun- cto z, & ei e$t æqualis uni parti diuiden- tium adiecta, quæ e$t a h: erit ergo per 8 p 2 quadratum lineæ e h æquale ei, quod fit ex ductu lineæ e a in lineam h a, uel in lineam a z quater, & quadrato lineæ z e: $ed linea e a e$t quarta pars lineæ l g ex hypothe$i: ergo per 1 p 2 uel per 1 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ a z in lineam a e quater, e$t æquale ei, quod fit ex ductu lineæ a z in lineam l g $emel. Il- lud ergo, quod fit ex ductu lineæ a z in lineam l g cum quadrato lineæ z e e$t æquale quadrato li- neæ e h: $ed per præmi$$am patet, quòd illud, quod fit ex ductu lineæ a z in lineam l g, e$t æquale quadrato lineæ b z: quoniam linea b z e$t perpendicularis $uper diametrum a d: duo uerò quadra ta b z & z e $unt per 47 p 1 æqualia quadrato lineæ b e: quadrata ergo linearum e h & e b $unt æqualia: ergo linea e b e$t æqualis lineæ e h: ergo per 5 p 1 in trigono e b h angulus e h b e$t æ- qualis angulo e b h: $ed linea t b & d a $unt æquidi$tantes: ergo per 29 p 1 angulus t b k extrin- $ecus e$t {ae}qualis d h b intrin$eco: angulus ergo e b h e$t æqualis angulo t b k. Eodem quo- que modo dem on$trandum de qualibet linea æquidi$tante diametro a d & b e linea copula- ta ad punctum e, quando illa linea $uper pun- ctum e cum diametro a d angulum continet h a b e k g d l t acutum. Patet ergo propo$itum $ecundum hunc modum. Quòd $i angulus b e h fuerit re- ctus, adhuc patet propo$itum, Quòd angulus t b k e$t æqualis angulo e b h. Quoniam enim an- gulus b e h e$t rectus: patet quòd linea b e e$t perpendicularis $uper diametrum a d: ergo li- nea e a per 39 huius e$t æqualis line{ae} a h: $ed li- nea e a ex hypothe$i e$t quarta pars lineæ l g: ergo linea h e, quæ e$t dupla lineæ a e, e$t me- dietas lineæ l g: ergo per 4 p 2 quadratum line{ae} e h e$t quarta pars quadrati lineæ l g. Id quoq;, quod fit ex ductu lineæ e a in lineam l g e$t æ- quale quartæ parti quadrati lineæ l g per 1 p 6: quoniam linea e a e$t ex hypothe$i quarta pars lineæ l g. Illud ergo, quod fit ex ductu lineæ e a in lineam l g e$t æquale quadrato lineæ e h: $ed id, quod fit ex ductu lineæ e a in lineam l g, e$t æquale quadrato lineæ e b per præmi$$am: quoniam linea e b e$t perpendicularis $uper diametrum a d: quadratum ergo lineæ e h e$t æquale VITELLONIS OPTICAE quadrato lineæ e b: ergo linea e h e$t æqualis lineæ b e: ergo, ut prius per 5 p 1 anguli e b h & e h b $unt æquales. Et quoniam linea t b æquidi$tat lineæ a d: patet per 29 p 1 quoniam angulus t b k e$t æqualis angulo e b h. Et $imiliter demon$trandum de omni linea incidente ip$i $ectioni, cum angulus b e h e$t rectus: & illud e$t, quod proponebatur. Siuerò angulus b e h $it obtu$us: dico quod adhuc angulus t b k e$t æqualis angu- h m a b e z k g d l t lo e b h. Ducatur enim linea perpendicula- ris, quæ $it b z à puncto b ip$ius $ectionis, cui incidit linea æquidi$tans diametro a d, quæ e$t t b: illa quoque perpendicularis $uper dia metrum a d $it b z: cadet\’q; hæc perpendicu- laris b z inter puncta diametri, quæ $unt d & e: aliàs enim duo anguli unius trigoni b e z fierent maiores duobus rectis: quoniam uno exi$tente recto, qui b z e, angulus b e z e$$et obtu$us: quod e$t impo$sibile: cadit ergo pun ctum zinter puncta e & d: linea ergo a z e$t maior quàm linea a e. Et quoniam linea h b k contingit $ectionem, & linea b z e$t perpen- dicularis $uper diametrum a d: erit per 39 hu ius linea a z æqualis lineæ a h: ergo linea h a e$t maior quàm linea a e: $iat per 3 p 1 linea a m æqualis lineæ a e: remanet ergo linea h m æ- qualis line{ae} z e: linea ergo e m addita utrobi- que, erit linea z m æqualis lineæ h e: quadra- tum ergo line{ae} z m e$t æquale quadrato line{ae} e h. Quia itaque linea z a e$t diui$a in puncto e, & ei e$t adiecta æqualis uni diuidentium, qu{ae} e$t m a, æqualis ip$i a e: patet per 8 p 2 quòd illud, quod fit ex ductu line{ae} z a in lineam a m, uel in eius æqualem lineam a e quater, cum quadrato li- neæ z e, e$t æquale quadrato line{ae} z m, uel line{ae} e h, qu{ae} $unt æquales: $ed illud, quod fit ex ductu line{ae} z a in lineam a e quater, ut patet ex pr{ae}mi$sis, e$t æquale ei, quod fit ex ductu line{ae} a z in li- neam l g per 1 p 2 uel per 1 p 6: quoniam linea a e e$t æqualis quart{ae} parti line{ae} l g ex hypothe$i. Il- lud ergo, quod fit ex ductu line{ae} a z in lineam l g, cum quadrato line{ae} z e, e$t æquale quadrato li- ne{ae} e h: $ed illud, quod fit ex ductu line{ae} z a in lineam l g e$t æquale quadrato line{ae} b z per præ- cedentem: quoniam linea b z e$t perpendicularis $uper diametrum a d: quadratum uerò line{ae} b e per 47 p 1 e$t {ae}quale quadratis ambarum linearum b z & e z. Patet ergo quòd quadratum line{ae} b e e$t {ae}quale quadrato line{ae} e h: ergo linea e b e$t {ae}qualis lineæ e h: ergo per 5 p 1 anguli e b h & a h b $unt {ae}quales: $ed, ut prius, line{ae} t b & d h $unt æquidi$tantes: angulus ergo t b k per 29 p 1 e$t æqua- lis angulo d h b: ergo & angulus e b h. Et $imiliter demon$trandum in omnilinea incidente $ectio- ni æquidi$tanter diametro a d, cum angulus b e h e$t obtu$us. Patet itaq; generaliter propo$itum. Nam omnis linea incidens peripheri{ae} $ectionis {ae}quidi$tanter diametro, & alia linea, qu{ae} ab illo eo- dem puncto ducitur ad punctum ab$cindens à diametro ex parte peripheri{ae} $ectionis part\~e, æqua- lem quartæ partilateris recti ip$ius $ectionis, cum linea $ectionem in illo puncto contingente con- tinent angulos {ae}quales. Ethoc proponebatur.

42. In omni $uperficie concaua conca- l a b h k e g t d z uitatis $ectionis parabolæ, $iab extremi- tate axis contingentis $ectionem ab$cin- datur pars æqualis quartæ lateris recti ip$ius parabolæ: omnis linea æquidi$tan- ter axi incidens illi $uperficiei, & linea à puncto incidentiæ ad punctum $ignatũ in axe producta, cũ linea in illo pũcto $u- քfici\~e cõting\~ete cõtin\~et angulos æquales.

Sit $uperficies concaua concauitate $e- ctionis parabol{ae}, cuius uertex $it pũctũ a: & h{ae}c e$t $uperficies illa, quã motu $uo cir- ca ax\~e fixũ efficit ip$a parabola per 117 th. 1 huius. Et quoniã, utibid\~e patuit, huius $u- perficiei ba$is e$t circulus, qu\~e circa pũctũ d motu $uo de$cribit linea g d: $it ille circu- lus g e z: & $it huius $uքficiei concau{ae} axis linea a d, qu{ae} fuit prius diameter $ectionis parabol{ae}: & ab extremitate axis à puncto $cilicet a ab$cin datur ab axe linea a h {ae}qualis quart{ae} partl LIBER NONVS. lateris recti ip$ius $e ctionis, qu{ae} $it linea g z, cuius quart{ae} parti {ae}qualis $it linea a h: & ducatur à pun cto $uperficiei b linea b t {ae}quidi$tanter axi a d per 31 p 1: & ducatur linea b h. Dico quòd du{ae} line{ae} t b & h b continent cum linea continegnte $uperfici\~e concauam propo$itam in pũcto b duos angulos æ quales. Quoniam enim linea a d & b t $unt {ae}quidi$tantes: patet quòd ip${ae} $unt in eadé $uperficie per 1 th. 1 huius: $ed linea b h cadit inter illas: ergo per 7 p 11 ip$a e$t in ead\~e $uperficie cum illis: line{ae} ergo t b & b h & a d $unt in una $uperficie. Sit itaq;, ut aliqua $uperficies plana contingat $uperfici\~e propo$itam $uper punctum b: $uperficies itaq; b t d a $ecabit $uperficiem concauã: & erit per 19 th. 1 huius communis $ectio ip$arum parabola: qu{ae} $it a b g: cuius diameter erit linea a d: & erit commu- nis $ectio $uperficiei b t d a & $uperficiei plan{ae} contingentis i$tam $uperficiem concauam linea con tingens $ectionem a b g in puncto b: qu{ae} $it linea l b k. Quia itaq; linea l b k contingit $ection\~e a b g in puncto b, & linea a h e$t quarta pars lateris recti, & linea t b {ae}quidi$tat line{ae} a d: patet per pr{ae}mi$- $am, quoniam du{ae} line{ae} t b & b h continent angulos æquales cum linea l b k contingente $ection\~e in puncto b: & quòd imaginata moueri $uperficie b t d a circa axem fixũ, qui e$t a d: patet quòd pun ctum b motu $uo e$ficit circulum in $uperficie cõcaua, à cuius totali peripheria line{ae} duct{ae} ad pun- ctum h continent angulos {ae}quales. Et idem accidit in quacunque parte $ectionis parabol{ae}, qu{ae} e$t a b g, cadat punctus b: $iue angulus b h a fiat acutus, rectus uel obtu$us. Patet itaq; quòd omnis li- nea {ae}quidi$tans axi a d & incidens $uperficiei concau{ae} propo$it{ae}, & linea ab illo puncto ad punctũ h ducta continent angulos {ae}quales cum linea in illo pũcto $uperfici\~e cõting\~ete. Et hoc e$t {pro}po$itũ.

43. Speculo concauo concauitatis $ectionis parabolæ $oli oppo$ito, ita ut axis ip$ius $it in di- recto corporis $olaris: omnes radij incidentes $peculo æquidi$tanter axi, reflectuntur ad punctũ unum axis, distantem à $uperficie $peculi $ecundum quart am lateris recti ip$ius $ectionis para- bole, $peculi $uperficiem cau$$antis. Ex quo patet quòd à $uperficie talium $peculorum ignem est po{$s}ibile accendi.

Sit $peculũ concauum concauitate $ectionis parabolæ: cuius uertex $it pũctum a: & ba$is ip$ius $it circulus q e z: & eius axis a d: & di$tantia puncti axis (quod $ith) à puncto uerticis $peculi (q<001> e$t a) $it æ qualis quartæ parti line{ae} q z, $cilicet lateris recti $ectionis parabolæ a g q, cau$$antis mo- tu $uo $uper axem a d $uperficiem ip$ius $peculi concaui: quod $oli opponatur $ecundum eius ax\~e ad. Sit enim corporis $olaris centrum k: $ituetur\’q; $peculũ taliter, ut eius axis a d $ic productus per ueniat ad centrum $olis in punctum k. Dico quòd k t q d z e h y a omnes radij $olares æquidi$tanter radio k a $uperfi- ciei $peculi propo$i ti incidétes, reflectuntur ad pun ctum h line{ae} a d, qu{ae} e$t axis $peculi. Quoniá enim omnes radij egredientes â quocunq; puncto corpo ris $olaris $uper aliquod punctum $uperficiei $pecu li, egrediuntur $ecundum lineas rectas, ut patet per 1 th. 2 huius: tunc palàm e$t quia linea k a e$t linea re cta. Sit itaq; $uper peripheriam alicuius $ectionis pa rabolæ ip$ius $peculi (qu{ae} $it g a z q) pũctũ g $igna tum, utcunq; contingit: & à puncto $peculi g per 31 p 1 ad aliquod punctum corporis $olaris (quod $it t) ducatur linea g t æquidi$tans radio a k, qui inci- dit $uperficiei $peculi $ecũdum axem a d. E$t autem nece$$arium omnem lineam à quocunq; puncto $pe culi æquidi$tanter radio a k productam ad $uperfi- ciem corporis $olis incidere: quoniá $uperficiei $pe- culi ad $uperfici\~e $olaris corporis aut nulla, aut mo- dica e$t proportio: $it ergo punctum t, quod e$t ter- minus lineæ g t, in ip$a $uperficie corporis $olaris. Omnes itaque lineæ, quæ po$$unt duci à $uperficie ip$ius $peculi {ae}quidi$tanter $uo axi a d, incidunt cor pori $olari, & $ecũdum illas lineas fit incidentia $u- perficiei $peculi, re$pectu radij, qui incidit $ecũdum axem omnium æquidi$tantium axi radiorum: hoc autem e$t omnium radiorum cuicunque puncto $u- perficiei totius $peculi incid\~etium: quoniam per 31 p 1 à quolibet pũcto propè uel remotè dato $cimus cuilibet datæ lineæ, utin propo$ito e$t axis a d, duce re lineam æquidi$tantem. Dico itaq; quòd omnes illi radij reflectuntur à totali $uperficie $peculi ad u- num punctum axis $peculi, quod e$t punctum h. O- mnes enim illi radij cum $int lineæ rectæ: patet per præmi$$am, quòd cum lineis ab omnibus pũctis $uarum incidentiarũ ad punctũ h ductis continent VITELLONIS OPTICAE angulos æquales: ergo per 20 th. 5 huius omnes illi radij reflectuntur $ecundum illas lineas tran$e- untes punctum h. Et ex hoc pater, quòd omnes radij incidentes peripheriæ $ectionis æquidi$tan- ter radio incidenti $ecundum lineam, qu{ae} e$t diameter ip$ius $ectionis, reflectuntur ad punctũ dia- metri, qui ab$cindit ex capite diametri à parte peripheri{ae} $ectionis partem æ qualem quarι{ae} parti la teris recti ip$ius $ectionis g a z q: quoniam omnis reflexio à quolibet corporum politorum regula- rium fit $ecundum æ qualitatem angulorum, quos continent linea incidens & reflexa cum linea in illo puncto $uperficiem $peculi, à qua fit reflexio, contingente. Et quoniam omnes ill{ae} line{ae} $ecant $e in puncto h: patet quòd in puncto h e$t concur$us omnium illorũ radiorum. In illo ergo puncto aggregatur omnis uirtus omnium radiorum totali $uperficiei $peculi incidentium. Et quoniã qui- libet radiolus defert $ecũ aliquid uirtutis actiu{ae} corporis $olaris: patet quòd in illo puncto tota uir tus e$t concurr\~es, omnium $cilicet radiorũ $uperficiei $peculi {ae}quidi$tanter ip$i axi a d incidentιũ. Ex quo patet quòd in illo puncto h po$ito aliquo combu$tibili ignem e$t po$sibile accendi. Et hæc e$t melior & fortior figura omniũ figurarũ radios $olares ad unũ pũctũ aggregãtiũ: quoniá à tota e- ius $uքficie, & à quolibet pũcto ip$ius radij $olares in unũ pũctũ aggregãtur. Patet ergo {pro}po$itum.

44. Speculum $ecundũ formã $ectionis parabolæ, uel lineæ eccentr alis, uel inter$ectionis pyra midalis, uel cuiu$cun<005> alterius regularis uel irregularis datæ lineæ artificialiter con$tituere.

Lineam, quá dicimus peripheriá $ectionis, inueniat indu$tria operantis: qu{ae} & apud nos multis conatibus artificialiter e$t inuenta: faciliter tamen e$t imaginabilis: quoniam, ut in 98 th. 1 huius di- ximus, ip$a e$t linea, qu{ae} e$t cõmunis $ectio $uperficiei conic{ae} cuiu$cunq; pyramidis, maximè uerò rectangul{ae} & $uperficiei pyramidem per diametrum ba$is $ecanti æquidi$tanter alicui line{ae} longi- tudinis illius pyramidis: utpote ei, cuius & axis pyramidis cõmunis $uperficies e$t erecta $uper pla nam $uperficιem dicto modo pyramid\~e $ecantem. Talis itaq; $ectio parabola $ic artificialiter inuen ta $it a e g: & a$$umatur lamina ferri boni uel chalybis, men$uræ & quantitatis cuius placuerit: qu{ae} $it a b g d: & protrahatur in ip$a $ectio parabola, qu{ae} a g b e d $it æqualis & $imilis $ectioni a e g: & ab$cindatur la- mina $ecũdũ illam $ection\~e a e g, uel $ecundũ aliquá partem ip$ius: $iue placeat à parte uerticis, qui e$t a: $iue ex parte unius $ui capitis, quod e$t g: $iue ex par te alterius $ui capitis, quod e$t in latere eius recto op po$itum puncto g: fit enim magna diuer$itas proie- ctionis radiorum $ecũdum illá partium $ectionis di- uer$itatem. Re$ecta itaq; lamina a b d g $ecundũ for- mam & figurá $ectionis a e g: acuatur extremitas la- min{ae}, qu{ae} e$t $ecũdum formam $ectionis, acuitione bona, $cilicet ut radere ualeat totum illud, $uper q<001> mouetur. Et a$$umatur item alia lamina de chalybe forti alicuius competentis $pi$situdinis: qu{ae} incida- tur iterum $ecundũ formá pr{ae}a$$umpt{ae} partis illius $ectionis: & illa $uperficies $imilis parabol{ae} $ecetur cótiguè multis $ectionibus ad modum lim{ae}, ita ut ք ip$am po$sit limari ferrũ. Deinde fiat corpus ferreũ cõueniens illi figur{ae}, cuius $uperfici\~e $ecundũ formã intentã {pro}ponimus cõcauare & polire ad modũ $pe- culi: $iue illud $it $ecundũ $ormã partis $ectionis ad- iacent\~e uertici $ectionis parabol{ae}, $iue capitis. In his enim e$t multa diuer$itas form{ae} uel figur{ae} $peculi. Forma enim figur{ae} $peculi cõcauati $ecundũ partes adiac\~etes uertici $ectionis, {ae}qualiter hinc inde di$tá- tes à pũcto uerticis, e$t figur{ae} qua$i annularis: & for ma $peculi cõcauati $ecundũ partes adiacentes capi tibus $ectionis, e$t figur{ae} qua$i oualis, hoc e$t ad mo- dũ longitudinis oui. Limeturitaq; $peculũ cuiu$cun que figur{ae} fieri debuerit per limam $ibi $imil\~e in figu ra, taliter ut $uperficies lim{ae}, qu{ae} e$t $ecta ad limádũ, occurrat toti $uperficiei ip$ius $peculi. Si ergo $pecu lum limatũ fuerit $ecundũ figurã oual\~e: tunc ordine tur in loco fixo, ita ut eius cõcaua $uperficies, quãtũ ad lineã peripheri{ae} $u{ae} ba$is, $it in peripheria il lius circuli ba$is: uel $i fuerit figur{ae} annularis, ad peripheriá circuli {ae}quidi$tátis ba$i: & in loco axis figatur lamina lim{ae} $uperfici\~e radendã planãtis, moueatur\’q; ad cõcauandũ $peculũ: & tornetur, $i- cut tornantur alia in$trum\~eta, donec peripheria acut{ae} lamin{ae} occurrat toti $uperficiei $peculi, & e- uacuetur omnis a$peritas ip$ius: planetur quoq;, quãtũ e$t po$sibile: erit\’q; tũc $uperficies illius $pe culi $ecundũ $e totá habens figurá $ectionis parabol{ae}: & fiet ab omnibus punctis $u{ae} $uperficiei re- flexio in punctũ unũ. Simili modo faciat ingenio$us artifex in alijs lineis quibu$cunq;, utin illis li- LIBER DECIMVS. neis, quas per 37 & 38 huius docuimus inuenire: quoniam in omnibus his idem e$t operan- di modus: ut $ecundum fixam diametrum a c in 37 huius: uel $ecundum fixum punctum q in 38 hu- ius fiat dictarum linearũ reuolutio $uper $ubiectas $ibi proportionales corporis ferrei $uperficies: proueni\~et\’q; figuræ $imiles illis lineis, à quarum $uperficiebus reflexi radij omnes ad unum punctũ naturalem uel mathematicum concurrent. Patet itaque propo$ιtum.

VITELLONIS FI- LII THVRINGORVM ET PO- LONORVM OPTICAE LIBER DECIMVS.

_SVPERIVS_ duos modos ui$ionis, $cilicet eum, qui fit directè per unum medium diaphanum: & eum, qui fit per reflexionem à politis corporibus, tractauimus: $upere$t nunc, ut tertium uidendi modum, qui fit per refra- ctionem, factamà pluribus diaphanis corporibus medijs inter ui$um & rem ui$am pro$equamur: quoniam & $ecundum hunc modum diuer$imodè uariatur actio naturalium formarum & modus actionis. Virtutes enim formarum natura- lium aggregatæ per refractionem fortius agunt, & plus actionis formæ corporibus $u$ce- ptibilibus imprimunt: unde etiam accenditur ignis ex radijs $olis $ub corpore $phærico diaphano den$iore aere uelaqua, ut $ub glacie uel cry$tallo. Vniuer$aliter uerò aggrega- tio uirtutis radiorum $tellarum uel aliarum formarum in eodem puncto naturali uel circa illud fit fortioris actionis: di$per$io uerò uirtutum naturalium formarum debili- tat actiones naturales: di$gregata enim uirtus debilius & minus agit. In his autem o- mnibus, $icut & in alijs modis uidendi $uperius diximus, ui$iua cognitio $ignum e$t, nõ cau$$a. Non enim, quia ui$us $ic uidet, ideo $ic accidit in formis rerum agentium: $ed quia $ic agunt formæ naturales, ideo ip$as $ic agentes uidet ui$us, ni$i fortè in quibu$dam deceptionibus, quæ ui$ui accidunt per $eip$um. Omnis autem pa{$s}io $ecundum modos cu iu$cunque refractionis naturæ accidens uel ui$ui, fit $emper propter diuer$itatem diapha nitatis mediorum corporum inter agens & pa$$um, uel inter ui$um & rem ui$am. Cor pora uerò diaphana nobis a$$ueta, $unt aer, qui ect rarioris diaphanitatis omnibus alijs diaphanis corporibus, (excepto corpore cœli) quod e$t rarius aere, ut po$tmodum demõ $trabimus in progre$$u. Hic autem & in toto $equente tractatu nomine aeris & ignem accipimus: quia licet inter hæc $it differentia $pecifica formalis & dιuer$a raritas in di$- po$itionibus materiæ: non tamen ex hac diuer$itate aliqua accidit diuer$itas $en$ibilis in formarum refractione: quoniam ignis, qui apud nos e$t hic inferius, e$t in materia gro$$a terrea uel aquea uel aerea, & $ecundum hoc $equitur pa{$s}iones corporum alio- rum: ignis uerò in $phæra $ua e$t $ecundum $ui formalem di$tinctionem aeri contiguus, & $ecundum naturam diaphanitatis continuus, non habens di$tinctam $uperficiem ab aere, in qua $it po{$s}ibile refractionem $en$ibilem fieri. Aer enim quantò propinquior e$t cœlo, tantò fit rarioris diaphanitatis: $imiliter & ignis, ita quòd infimum ignis & $upremum aeris e$t diaphanitas qua$i una, in qua refractio $en$ibilis fieri non pote$t: & ita quòd $uperficies concaua ignis non e$t diuer$æ diaphanitatis & $en$ibiliter determi- natæ à $uperficie conuexa aeris: ideo non fit refractio inter illa: & $ic ignem in hoc tra- ctatu $ub nomine aeris implicamus. Ect tamen aliqualis refractionum diuer$itas in aere den$iori & rariori, quando illa diuer$itas den$itatis fit $en$ibilis: $icut plurimum VITELLONIS OPTICAE accidit in aere conden$ato prope terram: & maximè in crepu$culis $erotinis & matu- tinis. Diaphanum uerò aliud diuer$um ab i$tis e$t aqua continens etiam in $e diuer$ita- tem refractionis $ecundum rarius & den$ius, quod e$t in illo $uo genere: uno tamen no- mine nuncupatur. Sunt enim aquæ calidæ $ulphureæ & aquæ $al$æ, ut maris, gro{$s}ioris diaphanitatis, quàm aliæ aquæ frigidæ, claræ, dulces. Alia uerò corpora diaphana no- bis a$$ueta $unt quidam lapides, ut crystallus, beryllus, & $imiles, ut $unt uitra. Dicitur etiam de quibu$dã corporib. animatis, quòd $int diaphana, ut de istis, quæ colorantur co loribus corporum, quibus $uper$tant: quorum animatorum corporum pa{$s}iones nõ pro- $equimur, quia $unt figuræ irregularis. Superficies itaque cœli, quæ occurrit ui$ui, e$t $phærica concaua: quæ $i $ecetur ab aliqua plana $uperficie: erit communis $ectio illa- rum $uperficierum linea circularis, cuius concauũ e$t ex parte ui$us, ut patet per 69 th. 1 huius: & $uperficies aeris, quæ tangit illam, e$t $phærica conuexa: quæ $i$ecetur à pla- na $uperficie: communis $ectio erit linea circularis: cuius conuexum e$t ex parte cœli. Superficies uerò aquæ ex parte ui$us $uperctantis aquæ e$t $phærica conuexa: quæ $i $e- cetur à plana $uperficie: erit communis $ectio linea cιrcularis: cuius cõuexum e$t ex par- te illius ui$us. Vitrorum uerò & lapidum diaphanorum figuræ $unt rotũdæ: aut planæ: aut irregulares: unde $i $ecentur à planis $uperficiebus, fient in illis communes $ectiones aut circuli: aut lineæ rectæ: aut irregulares, $ecundum quarum linearum & $uperficie- rum diuer$itatem uariatur diuer$itas pa{$s}ionum, quæ ui$ibus occurrunt.

DEFINITIONES.

1. Linea incidentiæ dicitur linea, $ecundum quam forma directè diffun ditur per medium unius diaphani. Et eadem dicitur linea exten$ionis formæ. 2. Refractio dicitur incuruatio eiu$dem lineæ ad angulum cõtinendum: ut cum lineæ, per quas una forma rei ui$æ peruenit ad ui$um, non rectè prodeunt, $ed franguntur in $uper- ficie alterius corporis diaphani. 3. Punctus refractionis e$t punctus $uperficiei corporis diaphani, à quo fit lineæ incidentiæ uel lineæ ext\~e$ionis formæ refractio ad ui$um. 4. Linea refractionis dicitur linea à puncto refractionis ad centrum ui$us exten$a. 5. Linea perpendicularis hic nunc dicitur linea, quæ à puncto re- fractionis erigitur $uper $uperficiem corporis, à qua fit refractio. 6. Cathetus incidentiæ dicitur linea à puncto rei ui$æ $uper $uperficiem corporis, in quo e$t res ui$a, & à qua fit refractio, perpendiculariter producta. 7. Superficies refractio- nis dicitur $uperficies, in qua contin entur lineæ incidentiæ & refractionis. 8. An- gulus incidentiæ dicitur minor angulus, quem continet linea in cidentiæ cum li- nea perpendiculari, ducta à puncto refractionis $uper $uperficiem corporis, à qua fit illa refractio. 9. Angulus refractus dicitur angulus minor, quem continet li- nea refracta cum dicta perpendiculari. 10. Angulus refractionis dicitur angu- lus, quem continet linea refractionis cum linea incidētiæ trans corpus diaphanũ, à cuius $uperficie fit refractio, in continuum protracta. 11. Directè uideri dicitur, $icut & $uperius 1 defin. 4 huius definitum e$t, quando forma rei ui$æ $ine refractio ne peruenit ad ui$um. 12. Obliquè dicitur uideri, cum forma rei ui$æ ad ui$um peruenit refractè. 13. Imago refracta dicitur forma rei ui$æ obliquè perueni- ens ad ui$um. 14. Locus imaginis refractæ, dicitur locus, in quo imago refra- cta ui$ibus occurrit.

PETITIONES.

Supponimus autem hæc. 1. Lumen Solis aliqualiter in matutinis & $erotinis crepu$culis uideri. 2. Item iridem $ecundum $iguram rotundam & colores uarios uideri.

LIBER DECIMVS. THEOREMATA 1. In omni $uperficie refractionis nece$$ariò $unt punctum, cuius forma refringitur: & pun- ctum refractionis: & centrum ip$ius ui$us: & perpendicularis ducta à puncto refractionis $u- per $uperficiem, à qua fit refractio. Ex quo patet quòd unius refractionis unica tantùm e$t $uperficies.

Sit $uperficies $ecundi diaphani den$ioris uel rarioris primo diaphano, in qua $it linea a b c: & $it punctũ, cuius forma refringitur, punctum d: $it\’que centrum ui$us e: fiat\’que refractio in puncto $u- perficiei $ecundi diaphani, quod e$t b: & à puncto b $uper $uperficiem a b c ducatur perpendicula- ris b f. Dico quòd puncta d, e, b, & linea b f $unt $emper in eadem $uperficie refractionis. Quoniam eni m, ut patet per definitionem præmi$$am in principijs libri huius, & per 46 th. 2 huius linea radia lis incidens (quæ e$t d b) & refracta (quæ e$t b e) $unt in eadem $uperficie refractionis: punctum er go d, cuius forma incidit & refringitur, & punctum refractionis, $cilicet pũctum, à quo fit refra ctio, (quod e$t b) & centrum ui$us (quod e$t e) $unt in eadem $uperficie per 1 p 11: $ed & per 2 p 11 linea b f, quæ e$t perpendicularis $uper $uperficiem a b c, e$t in eadem $uperficie cum linea b c: ergo & cum e g f a b c d lineis d b & b e: quoniam linea b f e$t perpendi- cularis $uper lineam a b c, & cum illa in eadem $u- perficie. Similiter protracta linea d b ultra punctum b ad punctum g, e$t in eadem $uperficie. Puncta ita- que d, b, e & linea b f $unt in eadem $uperficie per 1 & 2 p 11. Omnis enim refractio aut fit ad ip$am per- pendicularem b f, aut ab ip$a: & $emper in eadem $uperficie, in qua fiebat incidentia form{ae} refringen dæ. Quoniam enim omnis refractio fit ad omnem differentiam po$itionis (quia qua ratione fit ad u- nam partem, eadem ratiõe fit ad quamlibet aliam) determinatio ergo refractionis ad certam differen tiam po$itionis fit tantùm per ui$um: quia in qua- cunque $uperficie centrum ui$us fuerit, in illa tan- tùm percipitur fieri refractio. Patet ergo propo$i- tum. Et ex hoc patet, cum i$ta puncta refractionis omnia $cilicet d, e, b & linea b f $uperficiem refra- ctionis con$tituant, quòd horum aliquo deficiente non e$t $uperficies refractionis: & quòd unius refractionis unica tantùm e$t $uperficies refractionis: quoniam hæc omnia puncta in unica tantùm $uperficie $imili concurrere e$t po$sibile, & non in pluribus. Et hoc e$t, quod proponebatur.

2. Nece$$e e$t omnem $uperficiem refractionis $uper $uperficiem corporis, à qua fit refractio ($iue illa $uperficies $it plana conuexa uel concaua) erectam e$$e. Alhazen 9 n 7.

Hoc, quod hic proponitur, patet per præmi$$am. Quoniam enim in omni $uperficie refractionis nece$$ariò $unt: punctum, cuius forma refringitur: & punctum $uperficiei corporis, à quo fit refra- ctio: & centrum ui$us & perpendicularis ducta à puncto refractionis $uper $uperficiem corporis il lius, à qua fit refractio: ergo per 18 p 11 patet quòd omnis $uperficies refractionis e$t perpendicula- ris $uper $uperficiem corporis, à qua fit refractio. Si enim illa $uperficies fuerit plana: tunc euiden- ter patet propo$itum per 18 p 11, ut præ mi$$um e$t. Si uerò fuerit illa $uperficies conuexa uel con- caua $phærica: tunc patet per 72 th. 1 huius quoniam perpendicularis ducta à puncto refractionis $u per ip$am $uperficiem corporis, à qua fit refractio, $emper tran$it centrũ illius corporis: & e$t perp\~e- dicularis $uper $uperficiem illud corpus in puncto refractionis contingentem: ergo it\~e per 18 p 11 $uperficies refractionis e$t erecta $uper illã $uperfici\~e contingent\~e: ergo & $uper ip$am corporis $u- perficiem. Similiter quoq; demon$trandum, $iue figura corporis, à qua fit refractio, fuerit columna ris $iue pyramidalis $iue alterius figuræ cuiu$cunq;: $emper enim $uperficies refractionis erit erecta $uper $uperficiem corporis, à qua fit refractio. Et $i accidat, ut illa $uperficies corporis, à qua fit refra ctio, fuerit æquidi$tans horizonti: tunc perpendicularis ducta à puncto refractionis $uper $uperfi- ciem corporis, à qua fit re$ractio, e$t ctiam perpendicularis $uper $uperficiem horizontis per 23 th. 1 huius: ergo & per 18 p 11 $uperficies refractionis e$t perpendicularis, & erecta $uper $uperficiem ho- rizontis. Sed & hoc patet per declarationem, quæ fit in in$trumento, quod in 1 th. 2 huius præmi$i- mus. Quoniam enim linea radialis incidens & refracta ab aliqua $uperficie unius corporis diapha- ni ad aliud corpus diaphanum, ut patet per 46 th. 2 huius, $emper $unt in una plana $uperficie, quæ e$t medius circulus illorũ triũ circulorũ $ignatorũ in interiori parte oræ in$trumenti, æquidi$tans $uperficiei interioris laminæ in$trum\~eti: $ed illa $uperficies laminæ æ quidi$tat $uքficiei dor$i in$tru m\~eti, cui extrin$ecus $uքponitur $uperficies regulæ cubitalis tenentis in$trumentũ. Suքficies itaq; medij circuli {ae}quidi$tat $uքficiei regul{ae} lóg{ae} quadrãgul{ae} $uքpo$it{ae} dor$o lamin{ae} ք 24. th. 1 huius: $ed illa $uքficies քp\~edicularis e$t $uք $uքficies laterũ lógitudinis regul{ae} erectas $uք oras in$trum\~eti. Su perficies itaq; medij circuli e$t ք cõuer$am 14 p 11 քpendicularis $uper $uքficies lõgitudinis regulæ VITELLONIS OPTICAE erectas $uք oras in$truméti: $ed ill{ae} du{ae} $uperficies regul{ae} $unt {ae}quidi$tátes horizonti t\~epore expe- rim\~etationis ք in$trumentũ po$itum in ua$e, ut cõ$ueuit. Superficies itaq; medij circuli e$t perpédi- cularis $uք $uperfici\~e horizótis. Et quia $uperficies medij circuli e$t $uքficies refractιõis, patet pro- po$itũ. Idem quoq; pote$t o$t\~edi producta per imagination\~e linea à centro medij circuli ad centrú mundi. Hæc enim linea, cum $it $emidiameter mundi, perpendicularis e$t $uper $uperficiem aquæ, qu{ae} e$t in ua$e: e$t autem illa linea in $uperficie medij circuli, quæ e$t $uperficies refractionis. E$t er- go per 18 p 11 illa $uperficies perpendicularis $uper $uperficiem horizontis. cum enim lux refringi- tur ab aere ad aquam: erit refractionis linea cadens inter primam lineam, per quá extenditur in ae- re, quæ e$t linea in cidentiæ $u{ae}, & inter perpendicularem exeuntem à centro medij circuli $uper $u perficiem aquæ: & centrum lucis intra aquam $emper procedit à centro medij circuli. Palàm ergo quòd lux, quæ refringitur ab aere ad aquam, re$ringitur in $uperficie perpendiculari $uper $uperfi- ciem aquæ: ergo & $uper $uperficiem horizontis. Idem quoq; accidit cum ab aere ad uitrum fit refra ctio. Patet ergo $iue $uperficies corporis, à qua fit refractio, $it plana conuexa uel, cócaua, quòd $em- per $uperficies refractionis e$t erecta $uper illam. Et hoc e$t propo$itum.

3. Centro ui$us exi$tente ultra medium $ecundi diaphani: omnes formæ obliquè incid\~etes $u- perficiei $ecundi diaphani, re$pectu ui$us, refractè ui$uioccurrunt: perpendiculariter uerò inci- dentes uidentur directè. Alhazen 13 n 7.

Quoniam enim lux pertran$it corpora diaphana, quibus incidit, aut directè, ut cũ radius incidés e$t perpendicularis $uper $uperficiem corporis $ibi oppo$iti: aut obliquè, ut cum radius incidit ob- liquè: & ab uno puncto corporis lumino$i $ecundum omnem lineam ab illo puncto ducibilem fit lu minis diffu$io, ut patet per 20 th. 2 huius: & quia forma coloris $emper diffundit $e cum lumine: pa- tet quòd cuiuslibet puncti cuiu$cun que corporis lumino$i colorati uel lucidi exi$tentis in aliquo corpore diaphano, forma lucis & coloris extenditur in uniuer$o corpore diaphano $ibi proximo, & peruenit ad $uperficiem corporis diaphani $ibi oppo$iti. Et $i fuerit aliud corpus diaphanum cótin- gens illud $ecundum corpus diaphanum, quod $it alterius diaphanitatis ab illo: tunc forma diffu$a penetrat illud, & omnes lineæ radiales, $ecundum quas illis corporib diaphanis obliquè lumen uel color incidit, refringentur, præter quàm linea incidens perpendiculariter: $ola enim illa extenditur $ecundum rectitudinem in corpore diaphano proximo $ibi, & in corpore alio diaphano proximum corpus diaphanum contingente: dum tamen perpendiculariter incidat utriq;. Et $i fortè aliqua li- nearum radialium perpendiculariter inciderit puncto $uperficiei continuæ cum $uperficie corpo- ris diaphani proximi: nec $it illius $uperficiei $ecundæ corpus diaphanum: uel $i fuerit diaphanum, non $it tamen eius $uperficies prioris diaphani $uperficiei {ae}quidi$tans: tunc à puncto incidentiæ li- neæ radialis $uper $uperficiem $ecundi corporis alia perpendicularis duci pote$t: ergo tunc illa for ma, qu{ae} $uperficiei prioris corporis $ecundum perpendicularem incidebat, delebitur: quoniam ab uno puncto ad unam $uperfici\~e duas lineas perpendiculares duci e$t impo$sibile per 13 p 11. Omnes ergo formæ illius puncti tran$euntes in corpus diaphanum contingens proximum illi pũcto aliud corpus diaphanum, erunt re$ractæ. Et quoniam à quolibet pũcto cuiuslibet corporis lumino$i uel colorati extenditur lumen & color penetrans totum corpus diaphanum obiectum, & refringitur à $uperficie alterius corporis diuer$æ diaphanitatis illi $uccedentis per 47 th. 2 huius: patet quòd $or ma lucis & coloris erit una forma continua, coniuncta: & refringitur tota continua & coniuncta, $u perficie corporis diaphani exi$tente continua, & cum forma refracta fuerit continua. Si ergo cor- pus den$ioris diaphanitatis quàm $it primum diaphanum, illi form{ae} occurrerit: tunc forma conti- nua magis aggregata & unita perueniet ad illud corpus: & occurrente item corpore diaphano ra- riore: tunc quilibet punctus corporis diaphani, per quod extenditur forma puncti, quod e$t in pri- mo corpore lumino$o uel colorato, tran$mittet formam lucis & coloris ad quodlibet punctũ ip$ius $ecundi uel tertij corporis diaphani per omnem lineam rectam, quæ pote$t extendi ab illo puncto. Si itaq; aliquis fuerit imaginatus pyramides rectilineas, exeuntes à quolibet puncto aeris ad $uper- ficiem corporis diaphanitatis alterius pertingentes: & $i in $uperficie huius $ecundi corporis dia- phani line{ae} obliquè in cidentes refringi imaginentur (perpendiculari linea, qu{ae} e$t axis illius pyra- midis imaginatæ, $ine refractione tran$eunte) tunc adhuc fit unum corpus continuum in refractio ne, $icut & una e$t forma corporis incidens $uperficiei illius $ecundi corporis diaphani. Si ergo in loco imaginatæ pyramidis $i$tatur $ecundum ueritatem in aere pyramis $en$ibilis, cuius corpus $it coloratũ uel lumino$um d\~e$um: mi$cebitur lux uel color illius pyramidis cum luce uel colore cor- poris, à quo fit refractio: & fiet ip$orum multiplicatio per omnem lineam rectam, quæ poterit ex- tendi ab illo puncto, cui incidit: & forma puncti incidens alicui puncto corporis den$i, extendetur per quamlibet linearum refractarum ad illum punctum corporis, in quo fit refractio, $ibi corre$pon dentem. Et $i ui$us fuerit ex parte altera illius diaphani: tunc illæ formæ perueniunt ad ui$um: $ed perpendicularis (quia non re$ringitur) peruenit perp\~ediculariter ad centrum ui$us: & form{ae} per li neas obliquas incidentes, refractè & obliquè perueniunt ad ui$um. Cum itaq; line{ae}, $ecundũ quas forma refringitur, $e in aere per omne corpus medium diffundant, quando coniunguntur apud u- num punctum aeris: ideo quòd ip$arum multa fit inter$ectio propter æqualitat\~e diffu$ionis forma- rum illarum ad omnem differentiam po$itionis: tunc $i centrum ui$us po$itũ $it in illo puncto, com prehendet ui$us illud ui$um $ecundũ refractionem (excepto unico puncto perpendiculariter inci- LIBER DECIMVS. dente) quoniam ille non refringitur, ut in 47 th. 2 huius o$ten$um e$t. Patet ergo propo$itum.

4. Omnis formæ per refractionem ui$æ $i fiat refractio à medio $ecundi diaphani den$ioris pri mo ad ui$um, uidetur fieri ad partem perpendicularis, ductæ à puncto refractionis $uper $uperfi ciem, à qua fit refractio. Si uerò fiat à diaphano rariori, uidetur fieri ad partem contrariam il- lius perpendicularis. Alhazen 14 n 7.

Quod hic proponitur, pote$t in$trumentaliter demon$trari, ita ut demon$tratio auxilio in$tru- menti $en$ibiliter exprimatur. Accipiatur itaq; prædictum in$trumentum, quo in præcedentib. u$i $umus: cuius diametrũ, quã ibi $ignauimus per literas f, g, nunc dicimus b q g, ita ut punctũ q $it c\~e- trum laminæ ba$is in$trumenti. Hoc itaque in$trumentum ponatur in ua$e æquidi$táter $uperficiei horizontis $ituato, & infundatur aqua u$que ad centrum laminæ, quod e$t q: oppilentur quoq; fora mina in$trumenti cum cera uel alio modo, ita quòd modicùm remaneat de foraminibus circa me- dium ip$orum, quod in ambobus foraminibus $it æquale: & hoc pote$t æquali colum na illis forami nibus immi$$a men$urari. Dein de moueatur in$trumentum, donec diameter b q g $it perpendicula ris $uper $uperficiem aquæ. Immittatur quoque $tilus albus $ubtilis in ip$um uas, ita quòd eius ex- tremitas cadat in punctum z, quod e$t extremitas diametri circuli medij, quæ $it k f z: ponatur\’q; u- nus ui$uum $uper $uperius foramen in punctum k, & claudatur reliquus: tunc enim uidebitur extre mitas $tili $ecundum rectitudinem perpendicularis exeuntis ab extremitate $tili $uper $uperficiem aquæ: nam centrum ui$us & extremitas $tili tunc $unt in linea k f z perpendiculari $uper $uperfici\~e aqu{ae}, $ecundum quam fit ui$io. E$t enim linea k f z perpendicularis $uper $uperfici\~e aquæ per 8 p 11: ideo quòd ip$a æquidi$tat lineæ b q g, quæ ex hypothe $i e$t perpendicularis $uper eandem $uperficiem aqu{ae}. k b d o f q u g z r e a Deinde declinetur in$trum entum, donec linea b q g obliquetur $uper $uperficiem aquæ: ponatur\’que ui$us $uper $uperius foramen: & non uidebitur ex- tremitas $tili. Moueatur itaque extremitas $tili in circumferentia medij circuli paulatim ad partem op- po$itam ui$ui, donec uideatur illa extremitas, & figa- tur in illo pũcto circuli medij, in quo apparet. Si itaq; tunc ponatur aliquod corpu$culum den$um in $uper- ficie aquæ in centro medij circuli, quod e$t f: tunc nó uidebitur illa extremitas $tili: ablato uerò illo corpu- $culo, uidebitur illa extremitas $tili. Quòd $i có$idere- tur in numero graduũ medij circuli di$tátia extremita tis $tili à pũcto z: inuenietur di$tantia $en$ibilis. Pote$t aũt punctus z, qui e$t extremitas diametri medij cir- culi, tran$euntis per centrum duorum foraminum $ic inueniri: $cilicet ut regulæ $ubtilis latior extremitas ponatur $uper centrum laminæ, & media linea ip$ius protendatur $ecundum diametrum laminæ: tunc enim acumen regulæ cadit $uper punctũ z, ut præmi$$um e$t prius in propo$itionibus 2 huius. Quòd $i a$$umpto uitro, quod $it pars alicuius $phæræ, ut in illis propo$itionibus aliquib. a$$umptũ e$t, cuius uitri $uperficies aliqua $it plana & ali qua cõuexa $ph{ae}rica: & illud uitrũ applicetur lamin{ae}, ita ut eius plana $uperficies $it ex parte $orami num, linea\’q; (qu{ae} e$t $uarũ $uperficierum planarũ cõmunis differentia) $it $uper lineam o d, $ecant\~e b q $emidiametrum laminæ perpendiculariter: $ic ergo erit diameter k f z perp\~edicularis $uper pla- ná $uperficiem uitri & $uper conuexá. Deinde ponatur in$trumentũ in aqua, ponatur\’q; extremitas $tili $uper punctum z, & centrũ ui$us $uper $uperius foramen: uidebitur\’q; extremitas $tili, quæ in a- lio puncto circuli medij non poterat uideri. Ex quo patet quoniam extremitas $tili, quando e$t in li nea perpendiculari $uper $uperficiem corporis, à qua fit refractio, (ut nunc e$t linea k f z perp\~edicu- laris $uper $uperficiem uitri) forma ip$ius uidetur non per refraction\~e, $ed rectè. Ex quo patet quò d forma perpendiculariter incidens non refringitur. Quòd $i conuexum uitri ponatur ex parte $ecũ- da foraminum, & differentia communis duarum $uperficierum planarum uitri ponatur $uper pri- mum locum, $cilicet line{ae} o d: quoniam & tunc linea k f z e$t perpendicularis $uper utra$que $uperfi cies uitri: uidebitur ergo tunc, ut prius, extremitas $tili in puncto z. Quòd $i à $uperficie lamin{ae} in- $trumenti euul$o uitro à centro laminæ, quod e$t q, in $uperficie lamin{ae} ducatur $emidiameter q r, continens cum $emidiametro b q angulum obtu$um: deinde ducatur $emidiameter q u, continens cũ linea q r angulũ rectum: & protrahatur ad aliã oram in$trumenti: erit ergo angulus b q u acutus, & erit $emidiameter b q obliqua $uք lineã q u. Deinde linea, qu{ae} e$t cómunis differ\~etia $uperficierũ planarum uitri, ponatur $uper lineá q u, & $it plana uitri $uperficies ex parte foraminum, & $it me- dium differentiæ communis planarũ $uperficierum ip$ius uitri $uper centrum q. Erit itaq; tunc cen trum uitri $uper centrum medij circuli, ut pr{ae}o$ten$um e$t in alijs, & linea k f tran$it per centrũ uitri & e$t obliqua $uք $uperficiem ip$ius planá: quoniã diameter b q {ae}quidi$tans illi line{ae}, qu{ae} e$t k f, ob- liquè cadit $uper lineam q u: & quoniã linea k f tran$it per centrũ uitri: palàm quoniam ip$a e$t per- pendicularis $uper conuexam $uperficiem uitri. Deinde à puncto r $uper lineam q r ducatur per- VITELLONIS OPTICAE pendicularis in ora in$trumenti u$q; ad circú$erentiam medij circuli, qu{ae} $it r e: & fiat nigra utraque illarum linearum q r & r e, ut melius per ui$um ualeant notari: & imaginetur duci linea e f: h{ae}c itaq; per 72 th. 1 huius erit perpendicularis $uper conuexam $uperficiem uitri: quoniam tran$it per eius centrum: & e$t perpendicularis $uper planam uitri $uperficiem: quoniam e$t æquidi$tans line{ae} q r perpendiculari $uper lineam q u, cui $uperpo$ita e$t illa communis $ectio planarum $uperficierum ip$ius uitri. Punctus ita que e e$t punctus medij circuli, in quem cadit perpen dicularis, exiens à cen tro uitri $uper planam $uperficiem ip$ius. Ponatur itaque in$trumentum $ie di$po$itum in uas, & po natur extremitas $tili albi, ut prius, in puncto z: & ponatur ui$us $uper foramen $uperius in puncto k: tunc non uidebitur extremitas $tili. Moueatur itaq; $tilus in circum ferentia medij circuli ad par- tem contrariam puncto e, nec tunc uidebitur extremitas $tili: moueatur autem ad partem puncti e paulatim, & uidebitur extremitas $tili. Quòd $i tunc punctum f, quod e$t centrum medij circuli, co- operiatur aliquo corpu$culo: non uidebitur extremitas $tili, $ed illo corpu$culo remoto, iterum ui- debitur illa extremitas $tili. Ex hoc itaq; patet, quòd formæ illius extremitatis $tili comprehen$io, quæ $it a, e$t $ecundum re$ractionem factam à centro uitri: & quòd forma refracta e$t in $uperficie circuli medij, quæ e$t perpendicularis $uper $uperficiem planam uitri: & inuenietur locus formæ extremitatis $tili, quæ e$t a, inter puncta e & z. Et quoniam re$ractio fit à centro uitri, linea ducta à centro uitri ad extremitatem uitri, quæ media e$t inter lineas f z & f e, & $it a f: palàm quia e$t perpé- dicularis $uper conuexam $uperficiem uitri, & peruenit eius forma ad ui$um per lineam k f, per cen tra amborum foraminum tran$euntem, quæ magis di$tat à linea perpendiculari $uper $uperficiem planam uitri, quæ e$t linea f e æquidi$tans line{ae} q r, quàm linea, per quam incidit ip$i uitro forma pũ ctia. cum itaque forma puncti a inciderit uitro per lineam a f, & tran$iuerit per totum corpus uitri perpendiculariter: quoniam ip$a linea q f, cum tran$eat centrum uitri, e$t perpendicularis $uper $u- perficiem uitri: cum\’que pertran$ito corpore uitri peruenit ad aerem, cuius corpus e$t rarioris dia- phanitatis, quàm $it corpus uitri, & peruenit ad centrum ui$us: patet quòd e$t refracta à $uo primo progre$$u lineæ a f, & peruenit ad progre$$um line{ae} z f k. Et quoniam linea z f e$t remotior à perp\~e- diculari, ducta à puncto refractionis $uper planam $uperficiem uitri, quæ e$t linea e f, quàm $it linea a f: quoniam punctum a cadit in $uperficie medij circuli inter puncta e & z: patet quòd h{ae}c refractio erit ad partem contrariam perpendicularis e f, ductæ à puncto refractionis $uper $uperficiem aeris contingentis planam $uperficiem uitri. Nam linea f z pertran$iens centra amborum $oraminum, magis di$tat ab illa perpendiculari e f, quàm linea exiens ab extremitate $tili ad centrum uitri, quæ e$t a f, qu{ae} producta in continuum & directum caderetinter perpendicularem e f productam & in- ter lineam $ k. Quia itaque peruenit ad punctum k, quoniam in illo uidetur: palàm quia fit refractio ad partem contrariam ip$ius perpendicularis, quæ e$t e f. Et quoniam hæc forma refringitur ex ui- tro ad aerem, qui $ubtilior e$t uitro: patet quòd $imili modo fit refractio ab aqua ad aerem: quoniá etiam aer e$t $ubtilior quàm aqua. Quòd $i conuexum uitri ponatur ex parte $ecunda foraminum: & communis differentia $uarum planarum $uperficierum ponatur $uper lineam q u: $it\’q; medium punctum illius communis differentiæ $uper centrum laminæ, quod e$t q: palàm quia linea k f erit obliqua $uper planam uitri $uperficiem, & perpendicularis $uper eius $uperficiem conuexam: e- rit\’q; linea r q perpendicularis $uper planam $uperficiem uitri: quoniam e$t perpendicularis $uper lineam u q: & erit linea e f perpendicularis $uper conuexam $uperficiem uitri per 72 th. 1 huius, & $uper eius planam $uperficiem per 8 p 11: quoniam lineæ e f & r q æquidi$tant. Ponatur quoque ex- tremitas $tili albi, quæ $it a, $uper punctum z, ut prius: $tatuatur\’que ui$us $uper $uperius foram\~e in- $trumenti in puncto k: & tunc non uidebitur extremitas $tili, quæ e$t a. Moueatur itaque $tilus ad partem puncti e per circumferentiam medij circuli: & tunc etiá non uidebitur extremitas $tili. De- inde moueatur ad partem contrariam puncti e: & tunc uidebitur extremitas $tili: cadet\’q; linea f z inter lineam a f rectam, exeuntem ab extremitate $tili ad centrum uitri, $ecundum quam ext\~editur illa forma puncti a, & inter perpendicularem f e: re$ringetur\’que forma puncti a extremitatis $tili à centro uitri ad ui$um per lineam f k tran$euntem centra amborum foraminum: propterea quòd li- nea a f obliquè incidit $uperficiei uitri planæ, à qua fit refractio. Erit quoq; illa refractio ad partem perpendicularis line{ae}, $cilicet f e exeuntis à loco refractionis $uper planam $uperficiem uitri: & h{ae}c forma exit ab aere, & refringitur in uitro, quod e$t gro$sius aere. Form{ae} itaque, quæ refringuntur à gro$siori corpore ad $ubtilius, declinant ad partem contrariam illi parti, in qua e$t perpendicularis, exiens à loco refractionis $uper $uperficiem corporis diaphani, à qua fit refractio: & form{ae} reflexæ à corpore $ubtiliore ad gro$sius, declinant ad partem, in qua e$t perpendicularis producta. Et hoc e$t propo$itum.

5. Quantitates angulorum refractionis ex aere ad aquam experim\~etaliter declarare. Al- hazen 10 n 7.

Differentia angulorum refractionis e$t $ecundum quantitates angulorum incidentiæ contento rum $ub linea incidentiæ uel exten$ionis radij in primo corpore, & $ub perpendiculari exeunte à puncto refractionis $uper $uperficiem corporis $ecundi. Anguli enim refractionũ cre$cũt & decre- $cunt $ecundum di$po$itiones illorũ angulorũ incid\~etiæ in corporib. & $itib. diuer$is. Et quia à cor pore $ubtilioris diaphani ad corpus gro$sius fit refractio ad perpendicular\~e productá à pũcto re fra ctionis $uper $uperfici\~e $ecũdi corporis: & à corpore gro$sioris diaphani ad $ubtilius fit refractio ad LIBER DECIMVS. partem contrariam perpendicularis $ic ductæ, ut patuit per præmi$$am: tunc patet quia differunt etiam illi anguli $ecundum diuer$itat\~e diaphanitatis $ecundi corporis. Et ut hæc differentia angu- lorũ experimentaliter probetur: diuidatur à circulo medio, qui e$t in peripheria in$trumenti ex par te centri foraminis, quod e$t in circumferentia in$trumenti circa punctum k, arcus 10. partiũ ex illis partibus, quibus tota peripheria medij circuli diui$a e$t in 360 partes: quì arcus $it k n: & à puncto n ducatur in ora in$trumenti linea perpendicularis $uper $uperficiem laminæ: qu{ae} $it n l: cadat\’q; pun ctus l in $uperficie laminæ: ducatur quoq; ab hoc pũcto l ad centrum laminæ in$trumenti, quod e$t q, linea l q: & à centro medij circuli, quod e$t f, ducatur linea ad punctum n: quæ $it f n, $it\’q; diame- ter medij circuli ducta à puncto k per centrum f linea k f z, tran$iens per centra amborum forami- num, quæ $unt k & y, & per centrum medij circuli. Deinde in circumferentia medij circuli à puncto n $eparetur arcus 90 partium, $equens arcum k n: qui $it arcus n s: & à centro medij circuli, quod e$t f, x m n k b l p s t f h z u ad punctum s ducatur linea, quæ $it f s: quæ erit per- pendicularis $uper lineam f n per 33 p 6: ideo quia il- læ duæ lineæ continent quartam partem circuli: re- manebit\’q; arcus re$iduus ex medio circulo, qui e$t s z partes 80. Deinde ponatur in$trumentum in ua- $e: & $ituetur uas æquidi$tanter horizonti: & infun- datur aqua clara u$q; ad punctum q centrum lami- næ: & in ortu $olis in mane moueatur in$trumentũ, donec linea l q contingat $uperficiem aquæ. In hoc ergo $itu diameter medij circuli, quæ e$t æquidi$tás lineæ l q, $ignatæ in $uperficie laminæ $imiliter con- tinget $uperficiem aquæ: locus enim i$tarum dua- rum linearum non differt in re$pectu $uperficiei a- quæ, quo ad $en$um: & linea n f continet cum linea f s angulum rectum, ut $uprà patuit: e$t ergo linea f s perpendicularis $uper $uperfici\~e aquæ: & $emidia- meter f z continet cum linea f s angulum, cuius quantitas per 33 p 6 e$t 80 partium: quoniá illi an- gulo $ubtenditur arcus partium 80: qui e$t arcus s z: arcus uerò interiacens puncta k & n, $ub- tendit angulum declinationis puncti k à puncto n, & à $uperficie ip$ius aquæ. Deinde mutetur in- $trumentum in præmi$$o modo di$po$itum cum toto ua$e, donec eleuato $ole $uper horizonta $e- cundum altitudinem arcus k n, lux tran$eat per duo foramina: & $ignetur centrum lucis in ora in- $trumenti, quæ e$t intra aquam: fiat\’q; $uper centrum lucis $ignum aliquod per aliquam puncturá: erit\’q; $ignum illud, quod $it h, in circumferentia medij circuli. Auferatur itaq; in$trumentum, & re- $piciatur punctum h: cadet\’q; ip$um inter punctum z, quod e$t extremitas diametri medij circuli, tran$euntis per centra duorum foraminum, & inter punctum s, quod e$t extremitas perpendicula- ris, exeuntis à centro medij circuli erectæ $uper $uperficiem aqu{ae}, ut patet per præmi$$am. Patet er- go tunc quod angulus refractionis e$t ille, quem $ubtendit arcus z h interiac\~es punctum h, & pun- ctũ z: & ex numero partiũ huius arcus patebit quátitas anguli refracti & anguli refractionis: & pro- portio anguli refractionis ad 80 partes, quæ $unt tunc quantitas anguli incidentiæ. Deinde $igne- tur in circumferentia medij circuli arcus k m, pertran$iens punctum n: qui $it partium 20: & duca- tur linea m p in ora in$trumenti perpendiculariter $uper $uperficiem lamin{ae}: & ducatur linea p q in $uperficie laminæ ad centrum q: & ab arcu m z re$ecetur arcus m t partium 90: & ducatur linea t f à puncto t ad centrum circuli medij, quod e$t f: relinquetur ergo arcus t z partium 70. Deinde pona tur in$trum\~etum in uas, & reuoluatur quou$q; linea p q tangat $uperficiem aquæ: erit ergo linea t q perpendicularis $uper $uperficiem aquæ: & linea k f z tran$iens per centra amborum foraminum continet cum linea t f angulum 70 partium. Deinde con$ideretur altitudo $olis, & moueatur in$tru mentum, quou$q; lux tran$eat per ambo foramina: & $ignetur $uper centrum lucis cadentis intra a- quam $ignum u. Deinde con$ideretur arcus u z. Et quia ip$e $ubtenditur angulo refractionis: patet quantitas illius anguli per computationem partium arcus: erit\’q; nota proportio anguli z f u ad an- gulum incidenti{ae}, qui e$t z f t, quem continet diameter tran$iens per centra amborum $oraminum, cum perpendiculari f t: qui angulus incidentiæ e$t partium 70. Similiter\’q; procedatur $ignando ar cum k x, qui $it partium 30: & e$t eadem experimentatio. Deinde $umatur arcus partium 40: dein- de 50: deinde 60: deinde 70: deinde 80: & $emper per computationem partium arcus circuli medij interiacentis punctum z, & centrum lucis, erunt anguli refractionis noti: & ip$orum proportio ad angulos incidentiæ contentos $ub perpendicularibus & diametris tran$euntibus centra foraminũ $emper erit nota. Non $olùm autem per 10, $ed etiam per alios quo$cunq; numeros integros uel fra ctos præmi$$a arcuũ diui$io pote$t procedere: quia $emper e$t idem modus declarandi. Et, ut $um- mariè horum angulorum quátitates & proportiones per$tringamus. Quandocunq; alicuius radij tran$euntis per corpus aeris $uæ debit{ae} di$po$itionis exi$tens fuerit in $uperficie aquæ facta refra- ctio: fuerit\’q; aqua $uæ propriæ di$po$itionis in diaphanitate cópetenti form{ae} aqu{ae}, $i angulus inci- denti{ae} cótentus in centro f $ub $emidiametro k f, & linea radij incidentis fuerit 10 partiũ: erit angu lus cótentus in centro f $ub $emidiametro f z & $ub linea radiali refracta qua$i 2 partiũ & 5 minuto- VITELLONIS OPTICAE rum: & $ic con$equ\~eter $ecundũ formã tabulæ, quam inferius $ubiungemus. Patet ergo propo$itũ.

6. Quantitates angulorum refractionis ex aere uel aqua ad uιtrum planum uel cõuexum, & econuer$o experimentaliter declarare. Alhazen 11 n 7.

Diuidatur arcus medij circuli in$trumenti modo illo, ut in præmi$$a: $it\’q; arcus k n 10 partium: & ducatur linea n l perpendicularis $uper $uperfici\~e laminæ: copuletur quoq; linea l q: & $uperpo- natur uitrum formatum cubicè $uperficiei ip$ius tabulæ, ita ut cómunis $ectio duarum $uperficie- rum planarum, quæ e$t linea recta (ut patet per 3 p 11) $uperponatur lineæ l q, taliter ut $ecundum $ui punctum medium $uperponatur lineæ $ignatæ in $uperficie tabulæ perp\~ediculari $uper lineam l q, quæ e$t æ quidi$tans lineæ s f ductæ in $uperficie medij circuli: $it\’q; medium pũctum illius lineæ uitri $uper punctum q centrum laminæ: ponatur\’q; $uperficies uitri plana ex parte foraminum: & applicetur benè uitrum laminæ: & in$trum\~etum po$itum in ua$e moueatur, donec lux tran$eat per ambo $oramina: $ignetur\’q; $uper centrum lucis $ignum: & con$iderentur quantitates angulorum refractionis ex aere ad uitrum per quantitates arcuum, ut in præcedente. Quòd $i aliquis per$cru- tari uoluerit angulos refractionis ex uitro ad aerem uel aquam: accipiat uitrum, quod e$t pars $phæræ, ut k n m b l d p o q f g u z ip$i $uperius u$i $umus in propo$itionibus 2 libri hu- ius $cientiæ, & in 4 th. huius: & ponatur conuexum uitri ex parte centrorum duorum foraminum: pona- tur\’q; medium lineæ, quæ e$t differentia communis $uperficierum planarum, $uper centrum laminæ, ita quòd illa communis differentia $it $uper lineam l q. Tunc ergo lux, quæ tran$it centra duorum $orami- num, peruenit rectè ad centrum uitri, & reflectitur apud illud de uitro ad aerem: diuidantur\’q; po$tmo- dum arcus $ucce$siuè, ut in præmi$$a, & mutetur ui- tri po$itio, ita ut illa communis planarum $uperficie- rum ip$ius uitri $ectio $it $uper lineã p q: $it\’q; iterum medius punctus illius lineæ uitri $uper punctum q centrum laminæ: & $ic factis ulterioribus diui$ioni- bus circuli medij, ductis\’q; lineis, ut prius, & mutato uitro $ecundum illas: habebuntur anguli refractio- num particulares, & ip$orum proportio ad angulum incidentiæ, quem continet diameter pertran- $iens centra foraminum cum perp\~ediculari producta à loco refractionis $uper $uperficiem planam ip$am $uperficiem uitri conuexam contingentem. In his enim di$po$itionibus uitri, re$pectu lami- næ in$trumenti, $emper erit cêtrum uitreæ $phæræ in puncto f: erit\’q; per 72 th. 1 huius linea s f $imi- lis illi, perpendicularis $uper $uperficiem conuexam uitri, & $uper $uperficiem planam ip$ius, à cu- ius punctorum aliquo $it refractio: quoniam quælibet illarum linearum e$t perpendicularis $uper lineas æquidi$tátes lineis l q & p q, & $imilibus illis quibu$cunq;. Scietur\’q;, ut prius, reiterata ope- ratione cum extremitate $tipitis totius refractionis modus, & anguli refractionis à uitro ad centrú ui$us exi$tens in puncto k centro foraminis $uperioris. Et in his duobus $itibus, cum refractio fit ab aere ad uitrum, uel à uitro ad aerem, $emper inuenientur quantitates angulorũ refractionis de aere ad uitrum, & de uitro ad aerem æquales: quando angulus contentus à linea, per quam extenditur lux ad locum re$ractionis, & à linea perpendiculari ducta à puncto refractionis, cum fit refractio de aere ad uitrum, æqualis fuerit angulo contento à linea, per quam extenditur lux, & à perpendicu- lari ducta à loco refractionis, cum refringitur de uitro ad aerem, ut patet in$trumentaliter operan- ti. Si uerò uoluerit aliquis experiri quantitates angulorum refractionis à conuexo uitri ad aerem: diuidat, ut prius, de circumferentia medij circuli ex parte puncti k centri $oraminis, quod e$t in ora in$trumenti, arcum 10 partium, qui $it k n: & ducantur, ut prius, linea n l, & linea l q: & à linea l q, qu{ae} e$t $emidiameter laminæ ex parte centri q, ab$cindatur linea æqualis $emidiametro $phæræ ip$ius uitri, quæ $it q o: & à puncto o ducatur perpendicularis $uper diametrum laminæ b q g: quæ pro- tracta ultra diametrum $it o d, $ecans diametrum b q g in puncto d. Deinde $uperponatur com mu- nis $ectio planarum $uperficierum uitri huic perpendiculari o d: ita quòd punctum medium illius $ectionis $it $uper punctum o. Erit itaq; centrum uitri in $uperficie medij circuli: & eiu$dem circuli diameter, quæ e$t k f z, erit perpendicularis uper $uperficiem uitri planam per 8 p 11: quoniam e$t æquidiftans diametro laminæ b q g, quæ e$t perpendicularis $uper illam $uperficiem, & $uper illam differentiam communem illarum duarum planarum $uperficierum uitri. Erit quoq; centrũ circuli medij in $uperficie cóuexa uitri: ideo quia linea f q exiens à centro medij circuli, quod e$t f, ad cen- trum laminæ, quod e$t q, e$t æqualis lineæ productæ à centro uitri ad medium lineæ, quæ e$t diffe- rentia communis $uperficierum planarum uitri, ut patet ex his, quæ præmi$$a $unt in figuratione huius figuræ uitreæ in 45 th. 2 huius: & utraq; i$tarum linearum e$t perpendicularis $uper $uperfi- ciem laminæ: ergo per 25 th. 1 huius, illæ duæ lineæ $unt æquales & æquidi$tantes: ergo per 33 p 1 li- nea copulans centrum uitri, quod e$t in aliquo puncto planæ $uperficiei ip$ius uitri, cum centro medij circuli, e$t æqualis lineæ q o copulanti centrum laminæ, quod e$t q, cum medio puncto dif- LIBER DECIMVS. ferentiæ cõmunis duarum planarũ $uperficierum ip$ius uitri, quod e$t punctum o: $ed linea q o po- $ita e$t æ qualis $emidiametro uitri: ergo & linea æ quidi$tans ei e$t æqualis $emidiametro uitri. Cen trum ergo medij circuli e$t in conuexo uitri: linea ergo k f, quæ e$t $emidiameter medij circuli, cum nõ tran$eat centrũ $phæræ uitreæ: patet quia e$t obliquè incidens $uper eius conuexã $uperficiem: ergo per 47 th. 2 huius, cum ead\~e diameter obliquè incidat $uperficiei aeris contingentis, refringe- tur ip$a à perpendiculari ducta à puncto refractiõ is $uper ip$am $uperficiem aeris. Imaginetur itaq; $emidiameter uitri produci ex utraq; parte ad circum$ferentiã circuli medij, qu{ae} fiat linea n f u, $e- cans diamctrũ circuli medij, quæ e$t k f z in puncto f. Erit itaq; per 15 p 1 angulus k f n æ qualis an- gulo z f u: & erit per 26 p 3 arcus u z æ qualis arcui k n, qui e$t po$itus e$$e 10 partium. E$t ergo arcus u z 10 partium notus: ergo & angulus u f z e$t notus. Intueatur itaq; aliquis centrum lucis refractæ: & inuenietur remotius à puncto z, quod e$t extremitas lineæ tran$euntis per centra duorum fora- minum, quàm $it punctum u, quod e$t extremitas lineæ tran$euntis per centrum uitri ab eodem puncto z, qui e$t extremitas diametri circuli medij. Hæc ergo refractio $acta e$t ad partem contra- riam diametri productæ à loco refractionis, quæ tran$it centrum uitri: & arcus medij circuli interia cens punctum z & centrum lucis $ignatum, e$t quantitas anguli refractionis: angulus enim refra- ctionis e$t apud centrũ circuli medij: quoniam, ut patuit per 44 th. 2 huius lux extenditur $uper li- neam tran$euntem per centra duorum foraminum rectè, donec perueniat ad conuexum uitri. Et cum e$t angulus incidentiæ 10 partium, fit angulus re$ractus qua$i 13 partium, & angulus refractio- nis qua$i partiũ triũ: factis\’q;, ut in præcedentibus, diui$ionibus arcuũ à puncto k: inuenietur diuer $itas angulorum refractionis per in$trumentum. Et $i infundatur aqua ua$i: tunc erit aqua loco ae- ris: & præmi$$o modoinuenietur diuer$itas angulorum refractionis à uitro ad aquam: & differen- tia $ecundum quod illi refractioni e$t propria: & quantitas angulorum refractorum & angulorum refractionis, re$pectu eorum, qui $unt in aere. Quòd $i à puncto z ducere placuerit extremitatem $ti li, ut prius: tunc $ecundum illud facta di$po$itione $itus uitri, occurret eadem quantitas angulorũ, quæ prius. Patet ergo propo$itum.

7. Zuantitates angulorum refractionis ex aere uel aqua ad uitrum concauum, uel econuer- $o experimentaliter inuenire. Alhazen 12 n 7.

Accipiatur uitrum clarum mundum, æquidi$tantium $uperficierum omnium: cuius longitudo $it maior in uno grano hordei, quàm diameter uitri $phærici conuexi, quo $uperius u$i $umus: $it\’q; latitudo eius æqualis longitudini: $it\’q; $pi$situdo eius dupla diametro foraminis, quod e$t in ora in$trumenti: & fiat in uno $uorum laterum quadratorum concauitas rotunda $emicolumnaris : ita quòd $emidiameter ba$is columnæ cõcau{ae} $it in quantitate $emidiametri uitri $phærici: & $int com inunes $ectiones planarum $uperficierum huius uitri lineæ recti$simæ. Pote$t autem hæc forma ui tri $ic fieri per artificium, ita quòd fiat talis forma ex ære uel lapide, & uitrum liquefactum $undatur $uper ip$am, & poliatur. Diuidatur itaq; à centro foraminis oræ in$trumenti, quod e$t k, in circum ferentia medij circuli arcus, cuius quantitas $it illa, $ecundum quam quis uult experiri quantitates angulorum, qui $it arcus k n: & à puncto n ducatur in ora in$trum\~eti linea n l perpendiculariter $uper k n l b o e q f g u z $uperficiem laminæ: & ducatur linea l q in $u- perficie laminæ ad centrum eius, quod e$t q: & à $emidiametro l q re$ecetur ex parte centri q linea q o, æ qualis $emidiametro ba$is concauitatis co- lumn{ae}: & à puncto o extrahatur per 12 p 1 perpen- dicularis $uper diametrum laminæ b q, & protra- hatur in utramq; partem: & $it o e, $ecans diame- trum b q g in puncto e: & $uperponatur uitrum la- minæ, ita quòd dor$um concauitatis, hoc e$t $u- perficies plana cõcauitati $uperpo$ita $it ex parte duorum $oraminum: & quòd concauitate re$pi- ciente foramina, du{ae} $uperfluitates rectiline{ae}, qu{ae} $uperfluunt $uper diametrum columnæ, $int dire- ctæ & fixè $uperpo$itæ i$ti lineæ perpendiculari o e: & præ $eruetur hoc, ut di$tantiæ duarum extre- mitatum diametri ba$is concauitatis columnaris di$tent æ qualiter à puncto o, à quo exeunt directè perpendiculares. Erit ergo tunc centrum ba$is concauitatis columnaris $uper punctum o, à quo exiuit lines o e perpendicularis $uper lineam q b, & $uper punctum, cuius di$tantia à centro lamin{ae}, quod e$t q, e$t æqualis $emidiametro concauita- tis columnaris. Secundum hanc ergo di$po$itionem applicetur uitrum firmiter $uperficiei lamin{ae}: & erit $uperficies medij circuli $ecans concauitatem columnarem & æquidi$tans ba$i eius: quoniá ba$is eius in hac di$po$itione e$t in $uperficie laminæ in$trumenti. Superficies ergo medij circuli per 100 th. 1 huius $ecat $uperficiem columnarem concauam $ecundum circulum, cuius $emidiame ter æquidi$tat $emidiametro ba$is concauitatis ip$ius columnæ: & linea continuans centra i$torũ duorũ $emicirculorũ, $cilicet ba$is, & alterius $ibi æquidi$tantis erit perpendicularis $uper $uperfi- ciem lamin{ae} incid\~es ad punctũ o: quoniã ip$a per 25 th. 1 huius e$t æ qualis lineæ perpendiculari f q VITELLONIS OPTICAE cexunti à centro medij circuli, quod e$t f, $uper centrũ laminæ, quod e$t q: $ed & linea o q e$t æqua lis $emidiametro ba$is columnæ ex hypothe$i: ergo per 33 p 1 linea, quæ. exità centro medij circuli (quod e$t f) ad centrum $emicirculi, qui fit in $uperficie columnæ concauæ æquidi$tans ba$i, e$t æ- qualis $emidiametro ba$is concauitatis concauæ columnæ. Centrum itaq; medij circuli, quod e$t f, e$t in circum$erentia $emicirculi in columna uitrea facti. E$t ergo centrum f in concaua $uperficie columnæ. Et quia terminus planus uitri $uperp onitur lineæ perpendiculari, productæ à puncto o $uper b q diametrum laminæ: palàm quia diameter laminæ, quæ e$t q b, e$t perpendicularis $uper planam uitri $uperficiem: quia etiã planæ $uperficies $unt $uper $e inuicem perpendiculariter ere- ctæ. Erit ergo linea k f z pertran$i\~es centra amborum foraminũ, perpendicularis $uper $uperficiem planam, quæ e$t in parte conuexa uitri per 8 p 11: quia illa linea k f z e$t æ quidi$tans diametro lami- næ b q g: quæ e$t perpendicularis $uper illam $uperficiem, ut patet ex præmi$sis: & hæc $uperficies plana uitri e$t ex parte foraminum. In hoc ergo $itu lux, quæ extenditur per lineam tran$eunt\~e cen tra duorum foraminum, extenditur in corpore uitri rectè, donec perueniat ad concauum uitri: & tunc reflectitur apud concauam $uperficiem uitri. Cum enim nõ tran$eat per centrũ circuli, qui e$t in concaua $uperficie uitri: patet per 72 th. 1 huius quoniã ip$a non e$t perpendicularis $uper cõ ca- uam $uperficiem uitri: refringetur ergo in concaua $uperficie uitri: & cõmunis $ectio illius lineæ & concauitatis uitri e$t centrum circuli medij: & in hoc puncto fit refractio ex aere ad uitrum. Arcus itaq; cadens inter centrum lucis & punctũ z, qui e$t terminus diametri, tran$euntis per centra am- borum foraminum, $ubtenditur angulo refractionis. Similiter quoq; patet in cuiuslibet aliorũ ar- cuum refractione à puncto k: & pote$t o$tendi quantitas omnium angulorum refractionis à con- caua uitri $uperficie. Quòd $i uitrum $ic di$ponatur, ut communi $ectione $uarum planarum $uper- ficierum po$ita $uper lineam o e, conuexitas uitri re$piciat centra foraminum: tunc quia linea k f z pertran$iens uitrũ, peruenit ad concauũ uitri irre$racta, cum $it perpendicularis $uper planam $u- perficiem ip$ius, obliqua uerò $uper concauã eius $uperficiem: ergo & $uper cõuexam $uperficiem aeris contingentis uitrum: refringetur ergo àconcaua uitri $uperficie: & hæc refractio e$t à conca- uo uitri ad aerem: & anguli, qui $iunt ex aere ad uitrum in concauo uitri, $unt ijdem i$tis: quoniam $emper anguli refractionis à uitro ad aerem, & ab aere ad uitrum $unt ijdem: cum angulus, qu\~e con tinet linea, per quam primò extenditur lux, & perpendicularis exiens à loco refractionis, $it idem angulus. Et eodem modo po$$unt $ciri anguli refractionis de aqua ad uitrum & de uitro ad aquam in $uperficie uitri cõcaua, uel in $uperficie alia quacunq;. Quòd $i extremitas $tili ducatur à puncto z in peripheria medij circuli, ut prius: tunc facta di$po$itione $itus uitri $ecundũ exigentiã illius re fractionis, occurret notitia angulorũ huius refractiõ is ad ui$um, $icut prius. Patet ergo propo$itũ.

8. Anguli omnium refractionum per tabulas declar antur. Alhazen 12 n 7.

Acceptis in$trum\~etaliter, prout potuimus propinquius, angulis omnium refractionũ à quibu$- cunq; diaphanis notis adinuicem (ut ab aere ad aquam & uitrum, & ab aqua ad uitrum: & econuer $o ab aqua & uitro ad aerem, & à uitro ad aquam) inuenimus quòd $emper ijdem $unt anguli refra- ctionum à quocunq; raro diaphano ad diaphanum den$ius illo, & ab eodem den$o ad idem rarum: $ecundum hoc $ecimus has tabulas, quarum hæc e$t forma. Et præmittimus angulos incidentiæ _Tabula quãtitatis angu \\ lorũ incidentiæ omnibus \\ $equentibus communis. # ## Anguli refra- \\ cti ab aere ad \\ aquam. # ## Anguli refra- \\ ctionis eiu$- \\ dem. # ## Anguli refra- \\ cti ab aere ad \\ uitrum. # ## Anguli refra- \\ ctionis eiu$- \\ dem. # ## Anguli refra- \\ cti ab aqua ad \\ uitrum. # ## Anguli refra- \\ ctionis eiu$- \\ dem._ # _par. # minut. # par. # minut. # par. # minut. # par. # minut. # par. # mιnut. # par. # minuta._ 10 # 7 # 45 # 2 # 5 # 7 # 0 # 3 # 0 # 9 # 30 # 0 # 30 20 # 15 # 30 # 4 # 30 # 13 # 30 # 6 # 30 # 18 # 30 # 1 # 30 30 # 22 # 30 # 7 # 30 # 19 # 30 # 10 # 30 # 27 # 0 # 3 # 0 40 # 29 # 0 # 11 # 0 # 25 # 0 # 15 # 0 # 35 # 0 # 5 # 0 50 # 35 # 0 # 15 # 0 # 30 # 0 # 20 # 0 # 42 # 30 # 7 # 30 60 # 40 # 30 # 19 # 30 # 34 # 30 # 25 # 30 # 49 # 30 # 10 # 30 70 # 45 # 30 # 24 # 30 # 38 # 30 # 31 # 30 # 56 # 0 # 14 # 0 80 # 50 # 0 # 30 # 0 # 42 # 0 # 38 # 0 # 62 # 0 # 18 # 0 _Tabula quantιtatis angu \\ lorũ incidentiæ omnibus \\ $equentibus communis. # ## Anguli refra- \\ cti ab aqua \\ ad aerem. # ## Anguli refra- \\ ctionis eiu$- \\ dem. # ## Anguli refra- \\ cti à uitro ad \\ aerem. # ## Anguli refra- \\ ctionis eiu$- \\ dem. # ## Anguli refra- \\ cti à uitro ad \\ aquam. # ## Anguli refra- \\ ctionis eiu$- \\ dem._ # _par. # minut. # par. # mιnut. # par. # minut. # par. # mιnut. # par. # minut. # par. # minut._ 10 # 12 # 5 # 2 # 5 # 13 # 0 # 3 # 0 # 10 # 30 # 0 # 30 20 # 24 # 30 # 4 # 30 # 26 # 30 # 6 # 30 # 21 # 30 # 1 # 30 30 # 37 # 30 # 7 # 30 # 40 # 30 # 10 # 30 # 33 # 0 # 3 # 0 40 # 51 # 0 # 11 # 0 # 55 # 0 # 15 # 0 # 45 # 0 # 5 # 0 50 # 65 # 0 # 15 # 0 # 70 # 0 # 20 # 0 # 57 # 30 # 7 # 30 60 # 79 # 30 # 19 # 30 # 85 # 30 # 25 # 30 # 70 # 30 # 10 # 30 70 # 94 # 30 # 24 # 30 # 101 # 30 # 31 # 30 # 84 # 0 # 14 # 0 80 # 110 # 0 # 30 # 0 # 118 # 0 # 38 # 0 # 98 # 0 # 18 # 0 LIBER DECIMVS. in primis: deinde alios angulos $ubiungimus $ecundum modos $uorum circulorũ, quos præmitti- mus in capitibus $uarum linearum. Pote$t itaq; $ecundum has tabulas experimentaliter inuen- tas per in$trumentum præmi$$um, diligens inqui$itor $cire omnes angulos refractionum à medijs diuer$æ diaphanitatis quibu$cunq;. Et patet ex eis quoniam anguli incidenti{ae} formæ eiu$dem pun cti propinquiores radio, à puncto rei ui$æ $uperficiei corporis diaphani (à qua fit refractio) perpen diculariter incidenti, $unt minores: & remotiores ab illo $unt maiores: Ablato enim angulo maio- re à $uo recto, qui relinquitur, fit minor alio angulo, quando à recto aufertur angulus minor: erit\’q; in eodem diaphano den$iore primo angulus refractionis ab angulo incidentiæ maiore, maior an- gulo refractionis ab angulo incidentiæ minore: exce$$us quoq; anguli refractionis maioris $upra angulum refractionis minorem, erit minor exce$$u anguli incidentiæ maioris $upra minorem: & proportio anguli refractionis ab angulo incidentiæ maiore ad illum angulum maiorem, erit ma- ior proportione anguli refractionis ab angulo incidentiæ minore ad illum minorem: & angulus re fractus, $cilicet ille, quem addit angulus incidentiæ maior $upra angulum $uæ refractionis, e$t maior angulo refracto, quem addit angulus incidenti{ae} minor $upra angulum $uæ refractionis. Sem per itaq; in medio $ecundi diaphani den$iore primo erit angulus refractus minor angulo inciden- tiæ: & proportio i$torum angulorum refractorum ad æquales angulos incidenti{ae} diuer$i$icatur $e- cundum diuer$itatem den$itatis ip$orum mediorum. Cum enim per aerem eundem & $ecundum æ qualitatem anguli incidentiæ fit refractio in aqua & uitro, acutiores fiunt anguli refracti in uitro quàm in aqua: & $ic $ecundum diuer$itatem diaphanitatis anguli uariantur. Si uerò medium $ecun di diaphani fuerit rarius: tunc $emper angulus re$ractus erit maior angulo incidentiæ: erit\’q; i$torũ angulorum habitudo ad alios angulos reuer$è $e habens angulis præ mi$sis, ac $i præmi$$æ tabulæ modo reuer$o ordinentur. Et i$torũ angulorum refractorũ & refractionis $ecundũ maior\~e & mino rem raritat\~e diaphanitatis $ecundi medij ad eund\~e angulum incidentiæ proportio uariatur. Quan do enim à uitro ad aquam uel ad aerem fit refractio: tunc anguli, qui $iunt in aere, $unt maiores an- gulis, qui fiunt in aqua: & $ecundum hoc angulorum re$ractionis ad angulos incidentiæ proportio uariatur. Hæc itaq; $unt, quæ accidũt lucibus & coloribus, & uniuer$aliter omnibus formis in diffu $ione $ui in corporibus diaphanis, & in refractione, quæ accidit in illis omnibus tam $ecundum $e quàm in re$pectu ad ui$us. Patet itaq; quod quærebatur.

9. Centro ui$us & puncto reiper refractionem ui$æ in diuer$is diaphanis loca propria permu tantibus, eædem lineæ incidentie & refractionis nomina permutant. Alhazen 34 n 7.

Satis iam patuit ex præmi$sis huius 10 tractatus propo$itionibus, quòd form{ae} ui$æ per refractio nem extenduntur directè per lineam rectã, donec perueniant ad $uperficiem alterius corporis dia- phani, in quo e$t ui$us: deinde refringuntur in illo alio corpore diaphano per aliã lineam rectã, quæ continet cum linea incidentiæ angulum. Sit itaq; centrum ui$us a: & punctũ rei ui$æ b. Sit\~q; $uper- ficies corporis, in quo e$t punctũ b, $uperficies c d e, & refringatur forma puncti b ad ui$um exi$ten tem in puncto a à $uperficie corporis c d e, puncto d: $it\’q; linea incid\~eti{ae}, quæ b d: & linea refractionis, a c d o l qu{ae} d a. Dico quòd $i centrũ ui$us & punctũ rei ui${ae} permutent loca, ita ut centrum ui$us po$itum $it in puncto b, & punctum rei ui$æ in puncto a: tunc ad- huc fiet refractio ab eodem puncto corporis, qui e$t d: & linea a d erit linea incidentiæ, & linea d b erit li nea refractionis: & $ic tantùm linearũ nomina per- mutantur, manentibus ei$dem lineis & eodem ari- gulo. Hoc autem patet per experientiã. Cum enim aliquis exi$tens in aere in$pexerit aliquod corpus contentum $ub alio corpore, quod e$t diapha- num, differens in $ua diaphanitate ab aeris dia- phanitate: tunc ui$us comprehendet omnia, quæ $unt ultra illud corpus, quæcunque opponuntur ui$ui: & $i cooperuerit alterum ui$uum, & a$pexe- rit cum reliquo: uidebit illa eadem, qu{ae} prius, $iue illud medium $it aer uel aqua uel uitrum uel cry$tallus: Quòd $i ui$us ponatur intra aquam aut $ub uitro uel cry$tallo: uidebit omnia corpora ui$ibilia, qu{ae} $unt ultra illud aliud corpus diaphanum in ip$o aere. Siue ergo ui$us $uerit in aere uel in uitro, $emper comprehendet omnia eade, qu{ae} prius. Patuit aũt per 4 huius quòd ui$us per mediũ diaphani diuer$i non cõprehenditres, qu{ae} non $unt in perp\~ediculari ducta à centro ui$us $uper $uperfici\~e diaphani corporis, ni$i per refraction\~e: omne ergo punctum comprehen $um à ui$u, præter illud punctum, quod e$t in prædicta perpendiculari, comprehenditur per refractionem. Et quoniam formæ omnium punctorum, quæ $unt in omnibus ui$ibilibus exi$tentibus ultra corpus diaphanum, refringuntur in eodem tempore ad centrum u- nius ui$us: patet quòd $i alicuius rei ui$æ punctum e$$et in puncto, in quo tunc e$t centrum ui$us, refringeretur forma illius puncti ad omnia puncta, quæ $unt in omnibus ui$ibilibus exi$tentibus VITELLONIS OPTICAE ultra illud corpus diaphanum, oppo$itum ui$ui in illo tempore: fieret\’q; illa refractio eodem modo. Et $imiliter e$t de quolibet puncto propinquo illi puncto, in quo e$t centrum ui$us: quoniam $i cen tro ui$us in eodem puncto remanente moueatur oculus ad omnem differentiam po$itionis, com- prehendet omnia illa ui$ibilia. Forma itaq; cuiuslibet puncti cuiu$cunq; rei ui$æ cum fuerit ultra aliquod corpus diaphanum, extend tur ad $uperficiem corporis diaphani, ultra quod e$t, & re- fringitur ad uniuer$um eius, quod opponitur ei ex corpore a eris uel alterius diaphani: & illa forma erit apud quodlibet punctum illius $ecundi corporis diaphani: & ob hoc forma totius rei ui$æ coniungitur apud quodlibet punctum aeris uel alterius corporis diaphani: forma enim cuiuslibet punctorum rei ui$æ diffundit $e per lineam rectam ad unum quodq; punctum corporis diaphani. Vnde $i tot fuerint centra ui$uum in aere, quot $unt puncta aeris: quilibet illorum ui$uum uidebit totalem formam rei ui$ibilis, quæ e$t $ub altero diaphano. Nam $emper forma rei ui$æ tunc erit apud punctum, apud quem erit & centrum ui$us: unde etiam ui$us motus de loco ad locum $uper idem diaphanum, $emper eandem uidet $ormam, quamdiu forma illa $ecundum lineas rectas po- te$t pertingere ad ui$um. Et $imiliter plures a$picientes comprehendunt unam rem in cœlo & in aqua uno & eodem tempore. Forma itaq; cuiuslibet puncti rei ui$æ extenditur ad quodlibet pun- ctum corporis diaphani, in quo e$t illa res ui$a: & formæ omnium punctorum rei ui$æ congregan- tur apud quodlibet punctum cuiuslibet corporis diaphani, in quo exi$tit, & apud quodlibet pun- ctum corporis diaphani diuer$i ab illo corpore diaphano, in quo exi$tit res ui$a. Inter quodlibet e- nim punctum aeris, & quamlibet rem ui$ibilem exi$tentem in aliquo corpore diaphano, diuer$o ab aere fit pyramis, cuius uertex e$t in aliquo puncto aeris, & ba$is in $uperficie rei ui$æ: fiunt\’q; tot pyramides, quot $unt puncta aeris, uel alterius corporis diaphani, in quo fit diffu$io formarum. Quia itaque totum medium e$t plenum formis rerum: anguli uerò refractionis, qui fiunt ab ae- re ad aquam, $unt ijdem cum angulis refractionum, qui fiunt ab aqua ad aerem, ut patet per præ- mi$$am in tabulis: ijdem uerò anguli $emper per ea$dem lineas continentur. Patet ergo quia locus centri ui$us & punctum rei ui$æ de uno diaphano ad alterum permutatis, $emper quidem fit for. marum uniuer$alis diffu$io: non tamen percipitur quælibet forma à quolibet ui$u in quolibet pun cto, $ed $olùm in illo, à quo fit directio refractæ lineæ ad illum ui$um. Patet itaque quia illæ lineæ manent eædem $ecundum $ub$tantiam, nominibus tantùm hinc inde permutatis: ut quæ prius fuit linea incidentiæ uel exten$ionis ip$ius formæ, po$tea fiat linea refractionis, & econuer$o. Patet ergo propo$itum.

10. Omnis refractio formam lucis & coloris, que $unt in re ui$a, debilius ui$ui repræ$entat. Alhazen 38 n 7.

Hoc patet per experientiam. Cum enim aliquid ui$um e$t in medio $ecundi diaphani, utpote per aerem in aqua, & ui$us fuerit ualde obliquus à perpendicularibus exeuntibus à punctis rei ui- $æ $uper $uperficiem a quæ: & deinde ui$us moueatur, donec fiat po$itus in perpendiculari aliqua, exeunte à re ui$a $uper $uperficiem aquæ: tunc lux & color rei ui$æ fiunt manife$tiora quàm e$$ent, cum a $piciebantur obliquè. Tunc enim figura exiens ad ui$um $ecundum lineas obliquas e$t re$ra cta, & multùm obliqua: in perpendiculari uerò forma tota exit rectè: & quædam partes eius obli- què aut ferè rectè, $ecundum quod plus uel minus di$tant à perpendiculari. Patet ergo ex hoc, quoniam refractio debilitat in formis refractis luces & colores, quas formæ rerum ui$arum per quodcunq; corpus diaphanum $ecum deferunt ad ui$um: nec enim e$t aliqua alia differentia illa- rum formarum in e$$e $uo: ergo nec quo ad ui$um, ni$i $ola obliquitas inducens refractionem, & perpendicularitas adiuuans directioné ui$ionis: & $ecundum illa ui$us iudicat formas lucis & co- loris debiles uel fortes. Accidit itaq; in corporibus ui$is per medium $ecundi diaphani propter re- fractionem fallacia, quæ non accideret in illis, $i uiderentur rectè: quia etiam, ut patet per 33 th. 4 hu ius, omnis linea uel $uperficies rei ui$æ directè ui$ibus oppo$ita perfectius uidetur quàm obliqua- ta: & $ecundum quantitatem obliquationis fit imperfectio ui$ionis. Patet ergo propo$itum.

11. Imago refracta rei ui$ibilis nunquam occurrit ui$ui in loco rei ui$æ, $ed $emper extra $uum locum. Euclides 7 hypothe$icatoptr. Alhazen 17 n 7.

Quod hic proponitur, patet ratione & experientia. Ratio autem e$t hæc. Nam forma compre- hen$a à ui$u in corpore diaphano alio ab aere, non e$t ip$a res ui$a: quoniam ui$us non compre- hendit rem tunc in $ua forma uel in figura, $ed in alijs di$po$itionibus & alio modo: comprehendit enim imaginem refractam in $ua oppo$itione: cum tamen res non $it directè ui$ui oppo$ita. Et quia comprehendit rem refractè: ideo quia ui$us e$t decliuis à perpendicularibus exeuntibus à re ui$a $uper $uperficiem corporis diaphani: comprehendit ergo ip$am ut extra $uum locum, non in $uo loco. Per experientiá quoq; idem patet. A$$umatur uas hab\~es oras erectas $uper ba$im eius: & in medio fundi ua$is ponatur denarius argenteus: & elonget $e experimentans, quou$q; uideat illũ denariũ in fundo ua$is: deinde elonget $e paulatim ulterius, quou$q; nõ uideat ip$um, & in prin cipio occultatiõ is $tet in $uo loco, ui$u immoto: & præcipiat in$undi aquã in uas, ita ut denarius nõ mutet locum: & tunc uidebit denarium in eius oppo$itione ip$o nõ exi$tente in eius oppo$itione. Ex quo patet quòd forma, quam experimentans uidet in aqua, non e$t in loco rei ui$æ. Nam $i for- LIBER DECIMVS. ma e$$et in loco rei ui$æ: tunc etiam res ui$a comprehendi po$$et $ine in$u$ione aquæ in uas: quod non accidit in tanta di$tantia, ut patuit. Imago itaq; rei ui$æ per refractionem non uidetur in loco ip$ius rei. Quod e$t propo$itum.

12. Omnis forma punctiper refractionem ui$i comprehenditur in rectitudine linea, per quam à puncto refractionis forma extenditur ad ui$um. Alhazen 19 n 7.

Sit enim punctus per refractionem ui$us, qui e$t a: cuius forma refringatur ad ui$um ab aliquo puncto $uperficiei corporis laterius diaphani, qui $it b: & $it centrũ ui$us d: dico quòd $orma puncti a comprehen- d b a ditur à ui$u $ecundum rectitudinem lineæ d b. Hoc au- tem in$trumentaliter declarandum. Accipiatur itaq; in- $trumentum primum, & ponatur in ua$e impleto aqua, ut prius: & $ignetur aliquod uidendum per refractionem in ora in $trumenti in oppo$itione ui$us: & intueatur ex- perimentans per ambo foramina, ita ut uideat illud per refractionem: deinde claudatur $ecundum foramen in- $trumenti: & tunc non compreh\~edetur res ui$a: & $i clau- datur primum foramen, $imiliter nihil uidebitur: quoniã ab$ci$$a e$t linea recta imaginabiliter exiens à c\~etro ui$us ad locum refractionis. Forma enim pun- cti ui$i per refractionem ext\~editur in corpore diaphano, in quo e$t res ui$a, & refringitur in corpo- re diaphano, quod e$t inter ip$um & centrum ui$us, peruenit\’q; ad ui$um per lineam rectam, exeun- tem à centro ui$us ad punctum refractionis: & ui$us non comprehendit aliquid, ni$i in rectitudine linearum radialium, per quas forma ui$ibilis mouetur ad ui$um. Et $i fiat operatio per interpo$itio- nem alicuius uitri ui$ui & rei ui$æ, ut $uprà: eodem modo penitùs operando, partebit idem. Et hoc e$t propo$itum. Vi$us enim nihil comprehendit ni$i in rectitudine linearum radialium: non enim patitur ni$i in progr$sione i$tarum linearum à punctis rerum ui$ibilium ad ui$um: quoniam non uidet ni$i res $ibi oppo$itas, quarum form{ae} $ecundum lineas rectas multiplicant $e ad ui$um, ut pa- tuit per 2 th. 3 huius, & per multa $imilia. Patet ergo, quod proponebatur.

13. Omnis forma ui$a per refractionem comprehenditur in linea perpendiculari, ducta à puncto rei ui$æ $uper $uperficiem corporis, à qua fit refractio. Alhazen 19 n 7.

Quod hic proponitur, patet ideo: quia lux extenditur in corpore diaphano trã$itu ueloci$simo, intelligendo illam uelocitatem modo prius expo$ito: & iam patuit ex his, quæ dicta $unt in 47 th. 2 huius, quia trã$itus lucis in corpore diaphano $uper lineam decliuem $uper $uperficiem illius cor- poris, e$t compo$itus ex motu $uper lineam perpendicularem, exeuntem à puncto, à quo extendi- tur lux $uper $uperficiem illius corporis diaphani, & ex motu $uper lineam, quæ e$t perpendicula- ris $uper hanc lineam perpendicularem. Forma uerò, qu{ae} extenditur à puncto rei per refractionem ui$æ ad ip$um punctum refractionis, quæ e$t forma lucis exi$tentis in puncto rei ui$æ mixta cum forma coloris, $emper extenditur $uper lineam decliuem $uper $uperficiem corporis diaphani. H{ae}c ergo forma extenditur ad locũ $uæ refractionis motu compo$ito ex motu $uper perpendicularem, exeuntem à puncto ip$o ui$o $uper $uperficiem corporis diaphani, & ex motu $uper lineam, qu{ae} e$t perpendicularis $uper hanc perpendicularem. E$t ergo motus formæ, quæ mouetur ad ui$um, aut $uper perpendicularem ductam ab ip$o pũcto, cuius ip$a e$t $orma, $uper $uperficíem corporis dia- phani: quamuis po$tmodum translata $it ab hac perpendiculari alio motu: aut motus eius e$t $uper perpendicularem, ductam $uper illam priorem perpendicularem, & translata e$t po$t motum eius $uper primam perpendicularem, ductam à puncto rei formæ mot{ae} $uper $uperficiem corporis dia- phani: fit\’q; h{ae}c translatio propter compo$ition\~e ex prædictis duobus motibus. Forma ergo exiens à loco refractionis peruenit ad ip$um ui$um per motum formæ, quæ mouetur $uper lineã perpen- dicularem ductam à puncto rei ui$æ $uper $uperficiem corporis diaphani: deinde translata e$t ab hac perpendiculari per motum in rectitudine lineæ, per quam forma ad ui$um. Palàm e$t etiã quod proponitur per hoc. Quia $i punctum $uperficiei corporis diaphani, cui incidit perp\~edicularis du- cta à puncto rei ui$æ, contingat ab$condi à ui$u, utpote propter interpo$itionem alicuius corporis opaci: non fiet ui$io illius puncti rei ui$æ. Forma ergo rei ui$æ comprehenditur in perpendiculari ducta à puncto rei ui$æ $uper $uperficiem corporis, à qua fit refractio. Patet ergo propo$itum, quod & mani$e$tius po$tmodum in$trumentaliter $tudebimus declarare.

14. Omnium formarum punctorum rei ui$æ plus di$tantium à linea perpendiculari, ducta à centro ui$us $uper $uperficiem corporis diaphani, à qua fit refractio, maior e$t refractio quàm punctorum minus di$tantium ab illa.

E$to centrum ui$us a: & linea ui$a per refractionem $it b c d e: $it\’q; communis $ectio $uperficiei refractionis & corporis, à cuius $uperficie fit refractio, linea f g h i: $it\’q; perp\~edicularis ducta à cen- tro ui$us $uper $uperficiem illius corporis linea a f: quæ incidat in punctum b rei ui$æ: & $it a f b: VITELLONIS OPTICAE di$tet\’q; à puncto b & à perpendiculari a f b plus punctum d quàm punctum c, & plus punctum e quàm punctum d. Dico quòd maior erit refractio puncti e quàm puncti d: & maior puncti d quàm puncti c. Forma enim puncti a cum $it in ip$a linea perpendiculari: patet per 3 th. huius quia non re- fringitur. Formæ uerò aliorum punctorum, quæ $unt c, d, e, patet quòd refringuntur per 4 huius. Et quoniam, ut patet per 49 th. 2 huius, nulla refractio tran$mutat $itum partium formæ refractæ, $ed $olùm auget uel minuit figuram: patet quòd de nece$sitate diuer$itas formarum pũctorum rei ui$æ refringitur à diuer$is punctis $uperficiei ip$ius rei ui$æ: ita quòd forma puncti remotioris à ui- $u refringitur à puncto $uperficiei remotiori à centro ui$us: aliàs enim fieret tran$mutatio forma- rum ui$arum per refraction\~e. a o l j p m q n f g y i b c d e Sit ergo, ut forma puncti c re- fringatur à puncto g: & for- ma puncti d à pũcto h: & for- ma puncti e à pũcto i: & edu- cantur à puncto g linea gl: & â pũcto h linea h m: & à pun- cto i linea i n perpendicula- res $uper $uperficiem corpo- ris diaphani per 12 p 11: & pro- ducantur line{ae} incid\~etiæ for- marum ultra $uperfici\~e cor- poris, linea c g in punctum o: & linea d h in punctum q: & co- linea e i in punctum q: & co- pul\~etur lineæ refractæ à pun- ctis g, h, i ad ui$um, quæ $unt g a, h a, i a. Quia itaq; in trigono a fi ductæ $unt lineæ a g & a h: patet per 21 p 1 quoniam angulus a g f e$t maior angulo a h f. Quia ergo anguli l g f & m h f $unt recti & æquales: relinquitur angulus a g l minor angulo a h m: $ed angulus o g l & p h m $unt æquales: quæ- libet enim linea incidentiæ cum $ua perpendiculari continet angulos æquales propter æqualem di$tantiam punctorum b, c, d, e ab inuicem, & à $uperficie diaphani, à qua fit refractio. E$t ergo an- gulus p h a maior angulo o g a: & angulus q i a maior angulo p h a: e$t autem eadem di$po$itio me- dij, in quo $it refractio formarum punctorum c & d à punctis g & h. Patet ergo quòd maior fit refra- ctio à pũcto h remotiore à ui$u a, quàm à puncto g propinquiore ui$ui illo pũcto h. Similiter quoq. patet per eundem modum de puncto i, re$pectu puncti h: fit enim $ecundum pr{ae}mi$$a angulus a i q maior angulo a h p: e$t ergo maior refractio puncti i quàm puncti h: ergo & maior quàm puncti g. Patet ergo uniuer$aliter, quod proponebatur. In omnibus enim punctis & $uperficiebus, à quibus fit refractio, e$t eadem demon$tratio.

15. Locus imaginis refract æ cuiuslibet punctirei per refr actionem ui$æ e$t in cõmuni $ectio- ne lineæ refractionis, per quam peruenit forma ad ui$um, & catheti incid\~etiæ, exeuntis ab illo puncto rei ui$æ $uper $uperficiem corporis diaphani ui$um contingentis. Ex quo patet quòd lo- cus imaginis formæ punctirei ui$æ exi$tentis in medio $ecundi diaphani den$ioris primo appro- ximat ui$ui: in rariore uerò elongatur. Alhazen 18 n 7.

Verbi gratia: $it punctus rei ui$æ per medium $ecundi diaphania: & $uperficies $ecundi diapha. ni $it, in qua e$t linea b c: & $it b punctus refractionis: & centrum ui- e d d c b r a z $us $it d: perueniat\’q; forma punctia ad ui$um d $ecundum lineam refractionis: quæ $it b d. Ducatur itaq; à puncto a perpendicularis $uper $uperficiem b c: quæ $it a e. Dico quod in puncto, qui e$t com- munis $ectio lineæ perp\~edicularis a e. & product{ae} d b e$t locus ima- ginis refractæ. Hoc autem patet. Quoniá enim per 12 huius forma refracta occurrit ui$ui in linea d b, & per 13 huius occurrit in linea perpendiculari: quæ e$t a e: occurrit ergo in communi ip$arum $e- ctione, quæ $it punctum x. Hoc autem fortius in$trumentaliter de- mon$trandum. Accipiatur columna rotunda lignea, cuius ba$is dia- meter $it unius cubiti, & altitudo modica, utpote duorum uel trium digitorum: & planentur $uperficies ba$ium eius: & in una ba$ium $uarum in uento per 1 p 3 c\~etro (quod $ite) ducantur diametri quæ- cunq; placuerint: & $int duæ, quæ g h & i k, obliquè $e fecantes: quæ profundentur ferro, ut appareãt ui$ui: & impleantur profunditates ip$arum ceru$a di$temperata cum lacte uel cũ alio albo liquore aut albo alio colore quocunq;. punctum uerò centri, quod e$te, $it ni- grum. Deinde accipiatur uas magnum profundum hab\~es oras ere- ctas, & ponatur in loco lumino$o: infundatur\’q in uas aqua tanta, quòd cum immiffa fuerit columna in a quam erecta taliter, ut eius $uperficies planæ perpendicula- LIBER DECIMVS. res $int $uper fundum ua$is: tuncip$a aqua excedat punctum e centrum circuli bafis columnæ ad aliquot digitos: expectetur\’q; donec aqua quie$cat in ip$o ua$e. Moueaturitaq; columna, donec g h diameter ba$is $it perpendicularis $uper $uperficiem aquæ: declinetur quoq; ui$us extra oras uafis, quou$q; appropinquet æquidi$tantiæ $uperficiei aquæ in tantùm, ut po$sit uideri punctum e cen- trum circuli & diameter g h: & inuenietur centrum circuli e in rectitudine illius diametri. Deinde intueatur ui$us diametrum i k decliuem $uper $uperficiem aquæ: & inuenietur incuruari & frangi apud $uperficiem aquæ: erit\’q; pars eius intra aquam cum parte eius extra aquam continens angu- lum obtu$um re$pectu ui$us: cum tamen diameter g h extra aquam & intra aquam remaneat linea una recta $ine refractione uel continentia anguli. Ex quo patet quòd forma puncti centralis, quod e$t e, quam ui$us comprehendit, non e$t apud centrum circuli ba$is: quia tunc e$$et etiam in recti- tudine diametri decliuis, quæ e$t i k: quia $ecundũ ueritatem ille e$t eius $itus. Cũ ergo ui$us com- preh\~edit illud punctũ extra rectitudinem diame- h m k o n q e j p i g tri decliuis, quæ e$ti k, & angulus, quem contin\~et partes diametri decliuis i k, $equũtur perpendicu- larem g h: patet quòd punctus, in quo uidetur for- ma centri e, e$t eleuatus à centro ba$is columnæ. Et quia ui$us hoc punctum compreh\~edit in recti- tudine diametri g h: patet quòd forma centri e e$t eleuata à uero loco c\~etri $ecundũ rectitudin\~e dia- metri perpendicularis, quæ e$t g h. Patet etiam ex diametri decliuis i k incuruatione apud $uperfici\~e aquæ, & ex rectitudine & continuitate partis $uæ intra aquam, quòd omne pũctum partis diametri i k, quod e$t intra aquam, e$t eleuatum à $uo loco. Deinde reuoluatur circulus ba$is columnæ, quo- u$q; diameter i k fiat perpendicularis $uper $uper- ficiem aquæ: erit ergo tunc g h diameter decliuis $uper $uperficiem aquæ: & tunc uidebitur forma centri e in rectitudine diametri i k, & extra rectitudinem diametri g h: quoniá illa uidebitur frangi & incuruari $uper $uperficiem aquæ: & angulus incuruationis obtu$us erit re$piciens ui$um & dia- metrum i k perpendicular\~e $uper aquæ $uperficiem. Id\~e quoq; accidet $i plures $int diametri $igna- tæ in $uperficie ba$is colũnæ: $emper enim forma c\~etri e uidebitur in rectitudine diametri perpen- dicularis: & diameter decliuis uidebitur incuruari apud $uperfici\~e aquæ, & cõtinere angulũ obtu- $um cũ parte $ui, quæ e$t intra aquã: quæ pars intra aquã $emper uidebitur cõtinua & recta. Exhoc itaq; patet quòd forma pũcti a ui$i in corpore diaphanitatis gro$sioris, quàm $it a eris diaphanitas, uidetur extra locũ $uũ eleuata in rectitudine perp\~edicularis, exeuntis ab illo pũcto $uperficiei cor- poris diaphani: cũ linea d b cõtinuans d centrũ ui$us cũ puncto refractionis b, nõ fuerit perp\~edicu- laris; $uper $uperfici\~e corporis diaphani. Et quia ($icut in$trumentaliter & per ration\~e o$ten$um e$t per 11 huius) omne punctum compreh\~editur ã ui$u in ip$ius ui$us oppo$itione & in rectitudine li- neæ, per quam extenditur forma ad ui$um: puncta ergo, quæ ui$us compreh\~edit per refractionem, quia $unt in oppo$itione ui$us $ecundũ lineam rectam, in cõmuni $ectione perp\~edicularis a e & li- neæ d a productæ ad perpendicular\~e nece$$ariõ uid\~etur. E$t ergo punctus ille, in quo ill{ae} lineæ duæ $ecant $e, locus imaginis refractæ. Quòd $i fiat refractio formæ puncti ui$i à corpore diaphano $ub- tiliori ad gro$sius, adhuc id\~e accidit quod in præmi$sis: quoniã adhuc locus imaginis refractæ erit in cómuni $ectione lineæ refractionis, per quam forma peruenit ad ui$um, & lineæ perp\~edicularis, ductæ à puncto rei ui$æ $uper $uperfici\~e corporis, à qua fit refractio. A$$umatur enim uitrum $uper- ficierum planarum & æ quidi$tantium, cuius longitudo $it octo digitorum, latitudo & $pi$situdo $it æqualis: quælibet quatuor digitorũ. Deinde ba$i columnæ ligneæ pr{ae}dictæ prius in$cribatur linea decem digitorũ per 1 p 4: quæ $it l m: erit\’q; medietas lineæ l m quinq; digitorũ: diuidatur\’q; in duo {ae}qualia in pũcto n: & à c\~etro ba$is, quod e$t e, ducatur linea e n: & {pro}ducatur illa linea ex utraq; par- te ad peripheriá ut fiat diameter o n e p. Erit itaq; per 3 p 3 linea e n perpendicularis $uper lineã l m: & ducatur linea e l: & compleatur diameter l q: hæitaq; duæ diametri o p & l q profund\~etur cultro: & impleatur diametri p o concauitas colore albo, & diametri l q cõcauitas colore alio. Deinde po- natur uitrum $uper ba$im columnæ, taliter, ut altera extremitas longitudinis $uperponatur medie- tati lineæ l m, quæ e$t n l. Et quia uitrum e$t in longitudine octo digitorũ, & linea l n quinq; digito- rum: patet quòd longitudo uitri excedit quantitat\~e lineæ l n in tribus digitis: & di$tinguátur deui- tro tres digiti, de quibus duo erũt ex parte diametri l q decliuis extra circulũ: & remanebit de lon- gitudine uitri unus digitus ultra diametrũ p o perpendicular\~e $uper lineã l m: $it\’q; corpus uitri ex parte centri e, $cilicet inter lineã l m & centrũ e: & $ic applicetur uitrum tabulæ per glutinum: erit itaq; perpendicularis p o erecta $uper extremitates uitri, quæ $unt $uperficies duæ æ quidiftantes: & diameter l q erit obliqua $uper illas duas $uperficies. Ponatur itaq; peripheria circuli, cui $upere- minet extremitas uitri, ex parte ui$us experimentantis: & ponatur alter ui$uũ in differ\~etia cõmuni circumferentiæ ba$is & extremitatis uitri: hoc e$t in pũcto l, quod e$t extremitas diametri decliuis, qu{ae} e$t l q: & applicetur taliter uitro, ita q<001> nihil uideatur cũillo oculo, ni$i $olus pũctus l: reliquus VITELLONIS OPTICAE uerò ui$us $it in parte, in qua e$t uitrũ & circulus: & cooperiatur illud, quod opponitur ei ex$uper- ficie uitri cum panno linteo uel bombace, applicata taliter $uperficiei columnæ, utnon uideatur, ni$i $ola diameter decliuis l q per unum ui$um contingentem uitrum: diameter uerò p o perpendi- cularis alba uideatur utroq; ui$u. Sic itaq; di$po$ito ui$u & in$trumento: centrum circuli e inuenie- tur in rectitudine diametri p o albæ, quæ e$t erecta $uper $uper$iciem uitri: & inuenietur diameter decliuis, quæ e$t l q, incuruata in $uperficie uitri, quæ e$t ex parte centri e: cadet\’q; angulus incurua. tionis ex parte circumferentiæ: $ed ui$us comprehendet partem diametri l q, quæ e$t $ub uitro, in rectitudine. Et quoniam ui$us tangit $uperfici\~e uitri, & diametri perpendicularis (quæ e$t p o) ali- qua pars e$t $ub uitro, & alia extra uitrum ex parte c\~etri e, & alia extra uitrum ex parte extremitatis diametri, ut e$t eius pars, quæ o n: pars illa, qu{ae} e$t $ub uitro, comprehen ditur à ui$u exi$tente extra uitrum $ecundũ refractionem: & parson, quæ e$t ex parte extremitatis diametri, comprehenditur à ui$u extra uitrum exi$tente rectè & $ine refractione: pars autem, quæ e$t ex parte centri, compre- henditur ab utroq; ui$u per refractionem. Nam lineæ exeuntes à centro ui$us conting\~etis uitrum, & exten$æ in corpore uitri peruenientes ad $uperficiem uitri, quæ e$t ex parte centri, omnes fiunt decliues $uper $uperficiem uitri. Pars ergo perpendicularis diametri p o, illa, quæ e$t ex parte c\~etri, comprehenditur à ui$u contingente uitrum per refractionem: lineæ uerò exeuntes à reliquo ui$u ad $uperiorem uitri $uperficiem erunt decliues $uper $uperiorem uitri $uperficiem. Cum ergo ex- tenduntur ad $uperficiem uitri reliquam, qu{ae} e$t ex parte centrie, erunt etiam decliues $uper illam, ut patet per 23 th. 1 huius: illæ enim $uperficies uitri $unt æ quidi$tantes ex hypothe$i. Vi$us itaq; ille comprehendet etiam partem diametri p o, quæ e$t uer$us c\~etrum e, duabus refractionibus: partem uerò, quæ e$t $ub uitro, una $ola refractione: partem uerò $uperiorem, quæ e$t p o, comprehendet ab$q; refractione: uterq, tamen ui$uum comprehendit hãc diametrum p o rectam. Et $i experimen- tator cooperto altero ui$u a$piciat $olum per ui$um, qui po$itus e$t $uper uitrum: comprehendet perp\~edicularem p o rectam: & $i eleuauerit ui$um à $uperficie uitri, & intueatur diametrum p o ul- tra uitrum: comprehendet tamen ip$am lineam rectam, quamuis comprehendat ip$am $ecundum refractionem: quoniam quilibet punctus diametri p o, & $i non comprehendatur à ui$u in $uo loco, comprehenditur tamen in rectitudine perpendicularis, quæ exità puncto illo $uper $uperficiem uitri: hæc autem e$t $ola ip$a linea p o per 20 th. 1 huius: quoniam ab uno puncto $uper quam cunq; $uperficiem unam tantùm perpendicularem duci e$t po$sibile: hæc autem linea, quæ e$t p o, à quo- libet $ui puncto procedit perpendiculariter $uper $uperficiem uitri. Omnis ergo refractio $uorum punctorum fit $uper ip$am eandem. Forma itaq; centri e, quando ui$us tangit uitrum, comprehen- ditur in rectitudine diametri p o, exeuntis perpendiculariter à centro e $uper $uperficiem uitri: & diametri decliuis l q pars extra uitrum exi$tens uer$us centrum e compreh\~editur non in $uo loco: ideo quia punctus centri e non comprehenditur à ui$u, ni$i præter $uum locum: & cum angulus in- curuationis $uerit ex parte circumferentiæ: tunc forma centri e uidetur $ub centro ba$is columnæ. Quia ergo forma cuiuslibet puncti comprehen$i à ui$u in $ecũdo medio rarioris diaphani illo dia- phano, in quo e$t ui$us, e$t in rectitudine perpendicularis, productæ ab illo puncto $uper $uperfici\~e corporis diaphani, quod e$t contingens ui$um, & e$t remotior à $uperficie eiu$dem diaphani quàm ip$um punctum, cuius uidetur forma: & quoniam omne punctum comprehen$um à ui$u per 12 hu- ius e$t in rectitudine lineæ, per quam forma peruenit ad ui$um: patet quòd forma cuiuslibet pun- cti in quibu$cunq; diaphanis taliter $ituatis comprehenditur in puncto, qui e$t communis $ectio li- neæ, per quam forma peruenit ad ui$um, & lineæ perpendicularis, exeuntis à puncto rei ui$æ $uper $uperficiem corporis diaphani, quod e$t contingens ui$um. Et patet ex præmi$sis corollarium. Lo- cus enim formæ puncti rei ui$æ per refractionem, quãdo fit illa refractio in medio $ecundi diapha- ni den$iore primo: tunc locus imaginis approximatip$i ui$ui, ut patet in experimentatione prima de centro e, cum ip$um uidetur $ub aqua: cum uerò fit re$ractio à $uperficie alterius diaphani rario- ris primo diaphano contingente ui$um: tunc locus imaginis elongatur à ui$u, ut patet in experi- mentatione $ecunda de centro e ui$o $ub uitro approximato ui$ibus, cuius forma per medium ra- rius uitro, quod e$t aer, diffunditur ad uitri $uperfici\~e, & per uitrum refringitur ad ui$um: ut etiam exemplariter patet in prima figura præ$entis propo$itionis: punctum enim x propinquius e$t ui$ui exi$tenti in puncto d, quàm punctum z. Patet itaq; propo$itum.

16. Formæ puncti rei ui$æ per refr actionem, exi$tentis in medio $ecundi diaphani, locus ima- ginis quando<005> e$t in ip$o $ecundo corpore diaphano: quando<005> in eius $uperficie ut in ip$o puncto refractionis: quando<005> e$t inter ui$um & illud corpus diaphanum: quando<005> retro ui$um: quan- do<005> in ip$a $uperficie ui$us.

Quia enim o$ten$um e$t per præmi$$am, quòd locus imaginis refractæ cuiuslibet puncti rei per refractionem ui$æ e$t in communi $ectione lineæ, per quam forma peruenit ad ui$um, & lineæ per- pendicularis, exeuntis ab illo puncto rei ui$æ $uper $uperficiem corporis diaphani ui$um contin- gentis: cum itaq; illæ lineæ nece$$ariò concurrant: aut æ quidi$tent: patet quòd $i concurrunt, ubi- cunq; illæ lineæ $e inter$ecuerint, $iue hoc $it intra corpus diaphanũ, in quo e$t pũctus rei ui$æ: $iue fuerit extra illud corpus inter ui$um & $uperfici\~e illius corporis: $iue hoc fuerit in centro ui$us, $iue retro ui$um: ibi $emper erit locus imaginis form{ae} puncti rei ui$æ. Si uerò illa linea, per quam forma peruenit ad ui$um, fuerit æquidi$tans illi perp\~ediculari: tuncnon erit aliqua certitudo propria loci LIBER DECIMVS. illius imaginis, ni$i $olum ip$um punctum refractionis. In illo ergo uidebitur imago illius formæ $icut etiam acciditid\~e, quando linea refractionis & dicta perpen dicularis in ip$o puncto refractio- nis $e inter$ecant: nec indigent hæc alia demon$tratione, ni$i illa quam in 11 th. 8 huius in $peculis $phæricis cõcauis po$uimus: hæc enim refractio, ut patet per 7 huius, quandoq; fit à $uperficie con- caua corporis diaphani, quod corpus e$t ex parte ui$us contingens conuexum corporis diaphani, quod e$t ex parte rei ui$æ: unde e$t omnimoda demon$trationis $imilitudo faciendæ hinc & inde. Patet ergo propo$itum: diuer$antur enim illæ perpendiculares $ecundum diuer$itatem $uperficie- rum corporum, à quibus fit refractio.

17. In refractione formarum à $uperficiebus corporũ alterius diaphanitatis ad ui$um, $em- per fit deceptio in $itu.

Quoniam enim $ecundum omnes lineas, per quas forma extenditur ad ui$um, $emper fit refra- ctio in $uperficie corporis alterius diaphanitatis, ut linea, per quam forma extenditur in medio unius diaphani, angulum contineat cum linea illa, per quam in $ecundo diàphano forma peruenit ad ui$um: $ola uero perpendicularis ducta à puncto ui$o $uper $uperficiem corporis diaphani non refringitur: & omnis imaginis refractæ locus e$t in communi $ectione lineæ $ecũdæ, per quam for- ma refracta extenditur ad ui$um, & lineæ perpendicularis, exeuntis à puncto rei ui$æ $uper $uperfi- ciem corporis diaphani ui$um contingentis per 15 th. huius: hæc autem $ectio $emper e$t extra lo- cum uerum puncti ui$i: quoniam $ola linea incidentiæ concurrit cũ illa perpendiculari in ip$o pun- cto rei ui$æ, à quo ambæ illæ lineæ producũtur. Palàm ergo quia ui$us nunquam uidet formam rel ui$æ per refractionem ni$i in alio loco & $itu, quàm $it ip$a res ui$a: erit ltaq; po$itio formæ compre- hen$æ à ui$u alia à po$itione rei ui$æ. Et $imiliter e$t de remotione: hæc autem $unt quidam $itus. Punctus enim communis $ectionis dictarum linearum faciens locum imaginis, in refractione ex diaphano den$iore ad $ubtilius $e eleuat approximando ui$ui, & in refractione ex diaphano rariori ad den$ius $e deprimit, remouendo $e à centro ui$us, ut patuit per corollarium 15 huius. Patet itaq; quòd locus imaginis $emper $e uariat: & $ecundum hoc decipitur ui$us $ecundum $itum imaginis; alium locum rei ui$æ & $ituationem aliam accipiens $ecundum illud. Pater ergo propo$itum.

18. Omnis forma rei ui$æ per refractionem comprehenditur, ac$i res illius formæ $it in loco imaginis con$tituta. Alhazen 19 n 7.

Sicut enim in 13 th. huius dictum e$t, forma exi$tens in puncto refractionis peruenit ad ip$um ui- $um per motum formæ, quæ mouetur $uper lmeam perpendicularem $uper $uperficiem corporis diaphani, ductam à puncto rei ui$æ: deinde transfertur ab hac perpendiculari per motum in recti- tudine lineæ, per quam forma peruenit ad ui$um. Forma itaq;, quæ e$t $uper lineam perpendicula- riter incidentem $uperficiei corporis diaphani, & deinde mouetur in rectitudine lineæ, per quam forma extenditur ad ui$um, e$t forma, qu{ae} extenditur à pũcto ui$o in rectitudine perpendicularis, exeuntis exip$o $uper $uperficiem corporis diaphani, donec perueniat ad punctum $ectionis inter hanc perpendicularem & lineam, per quam forma extenditur ad ui$um. Forma itaq;, quam ui$us comprehendit refractam ultra corpus diaphanum, e$t per motum formæ, quæ peruenit ad ui$um a loco imaginis: comprehendit autem ui$us hanc formam in loco imaginis $icut alia, quæ in $uo loco comprehendit $ine refractione per medium unius diaphani & directè. Videturitaq; res di$tãs tan- tùm à centro ui$us, quantùm punctus imaginis di$tat ab eodem centro ui$us: quoniam $itus loci imaginis in re$pectu ui$us, e$t $itus formæ, quæ e$t in loco imaginis: unde propter refraction\~e for- marei ui$æ comprehenditur in loco imaginis. Patet ergo propo$itum.

19. Communi $ectione $uperficieirefr actionis & $uperficiei corporis diaphani, à qua fit re- fractio, exi$tente linea recta, puncto<006> rei ui$æ exi$tente in perpendiculari ducta à centro ui$us $uper $uperficiem corporis diaphani quali$cun<005>: à nullo puncto illius $uperficiei fiet refractio: & una tantùm imago ui$ui occurret. Alhazen 21 n 7.

E$to centrum ui$us punctus a: & punctus rei ui$æ b: $it\’q; g aliquod punctum $uperficiei corpo- ris, à qua fit refractio, quod $it gro$sioris uel rarioris diaphanitatis quàm corpus, quod e$t contin- gens ui$um: ducatur\’q; à puncto a c\~etro ui$us linea a g c: quæ $it perpendicularis $uper $uperficiem corporis $ecundi diaphani per 11 p 11: $it\’q; punctus rei ui$æ, qui e$t b, in linea g c. Palàm ergo per 3 th. huius quoniam ui$us a comprehendet $ormam puncti b rectè $ine omni refractione. Quia enim forma puncti b in rectitudine extenditur per lineam b g ad $uperficiem corporis diaphani, quod e$t contingens ui$um in puncto a: & quia linea b g e$t perpendicularis $uper $uperficiem corporis dia- phani contingentis ui$um: comprehendet ergo ui$us a punctum b in $uo loco $ecundum recti- tudinem lineæ a g b. Non e$t itaque po$sibile, ut punctum b extra lineam b g a refringatur ad ui- $um a. Siautem detur hoc e$$e po$sibile: $it $uper$iciei illius diaphani, in qua e$t punctus refractio- nis g, alter punctus refractionis, qui $it p, extra lineam a g b: & refringatur forma puncti b ad a centrum ui$us à puncto p. Imaginemur itaque $uperficiem refractionis, in qua fit linea perpen- dicularis, quæ a g b, tran$ire perpunctum p: & $it communis $ectio huius $uperficiei & $uper- ficiei corporis diaphani, in qua fit refractio, linea recta, quæ e$t g p d per 3 p 11: & à puncto p ex- trahatur perpendicularis $uper lineam g d per 11 p 1: quæ $it k p l: & $it linea k p l producta VITELLONIS OPTICAE $ecans ip$um corpus diaphanum, à cuius $uperficie fit refractio formæ pũcti b ad ui$um a. E$t erge linea k p l perpendicularis $uper $uper $uperficiem illius corporis diapha- a k h g d p b c j ni: ducatur itaq; linea b p, & producatur ultra corpus diaphanũ u$q; ad punctũ h. Erit ergo angulus k p h contentus â linea p h, per quam extenditur forma, & à linea k p perpendiculari, exeunte à puncto re- fractionis, quod e$t p, $uper $uperfici\~e corporis diaphani. Quia itaq; corpus diaphanum, quod e$t ex parte ui$us a, e$t $ubtilius illo, quod e$t ex parte ip$ius b puncti rei ui$æ: tunc, cum forma puncti b per- uenerit ad p punctum refractionis: palàm per 4 huius quia refringe- tur ad partem cótrariam illi parti, in qua e$t perpendicularis k l: non ergo perueniet forma refracta ad lineam a b: ergo neq; ad punctum a, quod e$t centrum ui$us: $ed datum e$t ip$um refringi à puncto p ad punctum a: accidit igitur impo$sibile cõtra hypothe$im: & quocũq; alio puncto dato idem accidit impo$sibile. Non ergo refringitur for- ma puncti b ad ui$um a ex aliquo puncto $uperficiei illius corporis diaphani dato extra lineam a g b: $ed $olùm forma illa pũcti b $ecun- dum rectitudinem peruenit ad ui$um a. Quòd $i corpus diaphanum conting\~es $uperficiem ui$us $it den$ius illo corpore diaphano, quod e$t continens punctum rei ui$æ: tunc eadem linea p h refringetur ad partem perpendicularis p k; propter den$itatem diaphani $ecundi: nec tamen concurret unquam cum perpendiculari p k: ergo neque cum linea a b æ quidi$tante ip$i p k per 6 p 11: quoniam am b æ lineæ a b & k l $unt erect{ae} $uper $uper- ficiem corporis diaphani, in qua e$t linea g p d. Qualecunq; ergo fuerit diaphanum $ecundum, $ci- licet rarius uel den$ius primo diaphano, $emper puncto rei ui$æ $ic di$po$ito, à nullo puncto illius $uperficiei diaphani fiet refractio ad ui$um: $ed uidebitur res in ip$a linea perpendiculari ducta à centro ui$us ad punctum rei ui$æ, $ecante $uperficiem corporis $ecundi diaphani in uno tantùm puncto g. Forma ergo illius puncti non compreh\~editur ni$i ex uno tantùm puncto $uper$iciei illius corporis diaphani: habet ergo tantùm unicam imaginem non refractam. Quod e$t propo$itum.

20. Comuni $ectione $uperficieirefractionis & $uperficiei corporis diaphani, à qua fit refra- ctio, exi$tente linea recta, puncto<006> ui$o exi$tente extr a perpendicularem duct am à centro ui- $us $uper $uperficiem corporis diaphani den$ioris diaphano ui$um contingente: ab uno tantùm puncto fiet refractio: & uidebitur unica imago. Alhazen 22 n 7.

Remaneat di$po$itio, quæ in proxima præcedente: & $it punctus b extra lineam perpendicula- rem ductam à centro ui$us a $uper $uperficiem $ecundi diaphani, quæ e$t a g c. Educatur quoq; $u- perficies plana per lineam a g c & per punctum b: hæc itaq; erit perpendicularis $uper $uperficiem $ecundi corporis diaphani per 18 p 11: & $ecabit $uperficiem corporis diaphani $ecũdum lineam re- ctam per 3 p 11: quæ $it g d. Non ergo refringetur per 2 th. huius forma pũcti b ad ui$um a, ni$i a b ali- quo puncto $uperficiei, in qua e$t linea g d: non enim tran$it per duo puncta a & b $uperficies per- pendicularis $uper $uper$iciem $ecundi corporis diaphani, ni$i $olùm $uperficies tran$iens per per- pendicularem a c: $ed per perpendicularem a c, & per punctũ b non tran$it aliqua $uperficies plana ni$i una $ola tantûm. Forma ergo puncti b re$ringitur a d punctum a centrum ui$us ab aliquo pun- cto lineæ g d: qui $it e: ducantur\’q; duæ lineæ b e & e a: & extrahatur à puncto e linea perpendicula- ris $uper $uperficiem g e d per 12 p 11: quæ $it h e z: quæ per 1 th. huius erit in illa $uperficie refractio- a p h j f g e o k d n c z q g m nis: erit ergo linea h e z perpen- dicularis $uper duas $uperficies illorum duorum corporum dia- phanorum: quia ducta e$t perp\~e- diculariter in $uper$icie erecta $uper illas ambas $uքficies. Pro- ducatur itaque linea b e in con- tinuum & directum: & $it linea b e p: erit ergo linea e p cadens in- ter duas lineas e h & e a per 41 th. huius. Nam corpus diaphanum, quod e$t ex parte a centri ui$us, e$t $ubtilius corpore diaphano, quod e$t ex parte b: ergo perid\~e 4 th. huius forma puncti b, quæ extenditur per lineam b e, cum perueniet ad e punctum datum refractionis, refringetur ad par- tem contrariam parti perpendicularis, quæ eft z e h: erit ergo linea e p inter duas lineas e h & e a. LIBER DECIMVS. Ducaturitaq; à puncto ui$o b linea perpendicularis $uper lineam g d per 12 p 1: quæ $it b k: erit ergo linea b k perpendicularis $uper $uper$iciem corporis diaphani, quod e$t ex parte b per conuer$am 4 definitionis 11: quia ducta e$t perpendiculariter in $uperficie a b g erecta $uper illã. Educatur itaq; linea a e in continuum: h{ae}c itaq; re$ecabit ab angulo b e k angulum æqualem angulo p e a per 15 p 1: $ecabit ergo per 29 th. 1 huius & lineam b k illi angulo $ubten$am. Secetip$aitaq; lineam b k in pun- ctom. Palàm itaq; per 15 th. huius quoniam punctus me$t locus imaginis formæ puncti b: & angu- lus p e a e$t angulus re$ractionis. Dico itaq; quòd punctus b non habebit aliam imaginem præter quàm illam, quæ e$t in punctom: nec forma eius refringetur ad ui$um in punctum a ab alio puncto $uperficiei corporis diaphani, quàm à puncto e. Necenim pote$t forma puncti b comprehendi à ui- $u, ni$i $ecundum perpendicularem b k per 13 th. huius. Si itaq; puncaus b aliam habuerit imaginem quàm in puncto m: erit ille punctus in linea b k, & inter duo puncta b & k per 15 th. huius: quia cor- pus, quod e$t ex parte b puncti ui$i, e$t gro$sioris diaphanitatis illo corpore, quod e$t ex parte ui$us a. Sit ita q; $i po$sibile e$t illa alia imago formæ puncti b in puncto lineæ b k, quod $it n. Erit itaque punctus n aut inter duo puncta m, k: aut inter duo puncta m. b. Ducatur quoq; linea a n à centro ui- $us ad punctum n: hæc itaq; $ecabit lineam g d: $unt enim puncta a, b, kin eadem $uperficie cum li- nea g d, ut patet ex præmi$sis, Secet ergo linea a n lineam g d in puncto o: ducaturá; linea b o : quæ producta ultra puncturm o $ignetur ad punctum 1: erit itaq; pũctum o punctum refractionis formæ puncti b ad ui$um in punctum a: quia b o l e$t linea, per qua m extenditur forma: & e$t angulus l o a angulus refractionis. Ducatur itaq; à puncto o linea perp\~edicularis $uper lineam g d per 11 p 1, quæ $it linea f o q: erit itaq; linea f o q perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani per 28 p 1 & per 8 p 11: & erit angulus l o f æqualis angulo o b k contento à perpendiculari k b & à linea b o, per quam extenditur forma ad locum refractionis per 29 p 1: quoniam, ut patet per 6 p 11, lineæ b k & f o q $unt æ quidi$tantes. Si itaq; punctus n fuerit inter duo puncta m & k: tũc punctus o erit inter duo puncta e & k, $ecans lineam e k per 32 th. 1 huius: erit ita q; angulus e b k maior angulo o b k per 29 th. 1 huius: quia omne totum e$t maius $ua parte. Et quia angulus p e h e$t æ qualis angulo e b k per 29 p 1, & angulus l o f æ qualis angulo l b k per eandem 29 p 1: quoniam lineæ h z & f q & b k $untin- ter $e æ quidi$tátes: erit ergo angulus p e h maior angulo l o f: & angulus p e a e$t angulus refractio- nis ex angulo incidentiæ, qui e$t p e h: & angulus l o a e$t angulus refractionis ex angulo inciden- tiæ, qui e$t l o f: angulus ergo p e a e$t maior angulo l o a per 8 huius. O$ten$um e$t enium in corolla- rio, quod $equitur, tabulas ibi po$itas, cuius ueritas patet ex præcedente experimentatione: quo- niam anguli refractionum in medio $ecundi dia phani gro$sioris, quibus differunt anguli inciden- tiæ ab angulis refractis contentis $ub linea per\~ediculari, ducta à puncto refractionis $uper $uper- ficiem diaphani, & à lineis refractis ad ui$um, in maioribus angulis incidentiæ $unt maiores, & in minoribus $unt minores: ergo angulus a e h e$t minor angulo a o f: quod e$t impo$sibile. Quoniam enim per 21 p 1 angulus a e g e$t maior angulo a o g, & anguli h e g & f o g $unt æ quales per 29 p 1, & quia $unt recti: patet ergo quoniam angulus a o f e$t maior angulo a e h. Cum ergo $equatur impo$- $ibile ex datis: patet quòd punctum n non cadit inter puncta m & k. Similiter quoque $equitur ex illis datis, ut angulus a e b $it minor angulo a o b: quod e$t impo$sibile, & contra 21 p 1 producta li- nea a b, quæ ambobus illis angulis $ubtenditur, & à cuius punctis terminalibus illæ lineæ produ- cuntur. Si enim angulus p e a $it maior angulo l o a: ergo per 13 p 1 angulus a e b e$t maior angulo a o b: e$t enim uterq; illorum $uper angulum $uæ refractionis re$iduum duorum rectorum. Quòd $i punctus n, qui datus e$t e$$e locus $ecundæ imaginis formæ puncti b, fuerit inter duo puncta m & b lineæ b k: tunc punctus e erit a l f h p g o e k d m n c q z b inter duo puncta o & k per 32 th. 1 huius: quod pote$t o$tendi, ut purius: & erit angulus e b k minor angulo o b k: erit ergo, ut prius, angulus p e h minor angulo l o f: & erit angulus p e a, qui e$t an- gulus refractionis, minor angulo l o a, qui e$t etiam angulus refra- ctionis: angulus ergo a e b e$t maior angulo a o b: quod e$tim- po$sibile, ut prius per 21 p 1 ducta linea a b. Impo$sibile e$t ergo quòd punctus n $it locus imagi- nis formæ puncti b: ergo neque aliquod aliud punctum lineæ b k, præter punctum m. Punctus itaq; b exi$tens in propo$ito $itu non habebit alium locum imaginis, re$pectu ui$us a, ni$i $olum punctum m: nec refringetur ab alio puncto $uperficiei corporis diaphani ad ui$um a, ni$i à $olo puncto e. Quod e$t propo$itum.

21. Communi $ectione $uperficiei refractionis & $uperficiei corporis diapbani, à quo fit re- VITELLONIS OPTICAE fractio, exi$tente linearecta, puncto<006> ui$o exi$tente extra perpendicularem ductam à centro ui$as $uper $uperficiem corporis diaphani rarioris corpore diapbano ui$um contingente: ab uno tantùm puncto fiet refr actio: & unica uidebitur imago. Alhazen 23 n 7.

Remaneat omnis di$pofιtio, ut in præcedentibus, ni$i quòd corpus diaphanum, in cuius $uper- ficie e$t linea g d & perpendicularis g c, quod e$t ex parte ui$us a, $it gro$ioris diaphanitatis illo corpore, quod e$t ex parte b puncti rei ui$æ: & illud, quod e$t ex parte puncti b $it rarius: & $it linea b k ducta à puncto rei ui$æ per 11 p 11 perpendicularis $uper $uperficiem corporis diapliani: fiat\’q refractio formæ puncti b ad ui$iam a ex puncto $uperficiei illius corporis, quod $it e: & ducantur li- neæ b e & e a: protrahatur\’q; linea b e u$q; ad punctum p ultra $uperficiem corporis, in qua e$t linea g d, & à puncto refractionis, quod e$te, ducatur linea h e z perpendiculariter $uper lineam g k: ca- det ergo linea a e media inter duas lineas e p & e h. Nam prima linea, per quam extenditur forma ad locum refractionis, e$t linea b e p: fit autem refractio ad partem perpendicularis e h per 4 huius: nam corpus, quod e$t ex parte ui$us a, e$t gro$sioris diaphanitatis corpore, quod e$t ad partem rei ui$æ b, ut patet ex hypothe$i. Protrahatur itaque linea a e ultra punctum e, quoufq; concurrat cum linea k b: concurret autem cum illa per 2 th 1 huius: $ecat enim eius æquidi$tantem h e z: $ecet ergo lineam k b in puncto m. E$titaque per 15 th. huius punctus m locus imaginis formæ puncti b: & profundabitur $ub puncto b ultra $itum rei ui$æ, cuius ip$um habet formam. Nam corpus. quod e$t ex parte b, e$t $ubtilius il- a h f p e o k d n m g z q lo corpore, quod e$t ex parte ui$us a. Dico itaque quòd forma puncti b non refringitur ad ui$um a, ni$i à $olo puncto e: & quod non habet imaginem, ni$i in $olo puncto m. Si enim hoc $it po$sibile. ut plu- res habeat imagines quàm illam, quæ e$t in puncto m: $it, ut habeat imaginem in puncto alio, quod $it n: erit itaque punctus n in linea per pendiculari b k per 13 huius: & in- fra punctum b per 15 th. huius: pro pter corporum diaphanorum me- diorum propo$itam diuer$itatem. Autigitur erit punctus ninter duo punctam & b: aut $ub puncto m. Sit primò inter duo puncta b & m: ducatur\’q, linea a n: quæ $ecabit lineam e k per 32 th. 1 huius: quia ip$a producta à puncto lateris m e $ecatlatus k m trigoni e k m remotius à puncto a, quàm e$t latus k e: & etiam ideo, quia puncta a & b $unt in eadem $uperficie, & linea e d e$t iacens inter illa puncta. Secet ergo ip$am in puncto o: e$t itaque o punctus refractionis: & ducatur linea b o: quæ tran$eat u$q; ad punctuml: & ex pun- cto o extrahatur linea f o q perpendiculariter $uper lineam g o d per 11 p 1. Linea ita que b o e$t illa linea, per quam forma puncti b extenditur ad punctum refractionis, quod e$to. Linea quoque o a eritinter duas lineas o 1 & o f: quoniam in tali di$po$itione mediorum diaphanorum $emper fit re- fractio ad perpendicularem per 4 th. huius. Si itaque punctus n fuerit inter duo punxta m & b: erit per 32 th. 1 huius punctum o inter duo puncta e & k: ergo, ut in præmi$$a per 29 th. 1 huius, an- gulus o b k erit minor angulo e b a f h p l g o a k d b k: quoniam pars e$t minor $uo to- to: $ed per 29 p 1 angulus 1 o f e$t æ qualis angulo o b k, & angulus p e h e$t æ qualis angulo e b k: ideo quòd lineæ h e & f o & k b $unt æ quidi$tantes: e$t ergo angulus 1 o f minor angulo p e h: angulus itaque l o a, qui e$t angulus refra- ctionis, per corollarium 8 huius e$t minor angulo p e a, qui e$t etiá angulus refractionis: ergo angu- lus a o f, qui remanet de angulo 1 o f $uper angulum refractionis, qui e$t l o a, e$t minor angulo a e h, qui remanet de angulo p e h $uper angulum refractionis, qui e$t p e a per eandem 8 huius: $ed angulus a o f e$t æqualis angulo a n k per 29 p 1: & angulus a e h e$t æ qualis an gulo a m k per eandem 29 p 1: LIBER DECIMVS. angulus itaque a n k e$t minor angulo a m k: quod e$t impo$sibile, & contra 16 p 1. Si autem pun- ctus n fuerit infra punctum m: tunc, ut prius in proxima huius, deductione facta punctus e cadet inter puncta o & k: & erit angulus o b k maior angulo e b k per 29 th. 1 huius, & quia totum e$t ma- ius parte: angulus ergo l o ferit maior angulo p e h per 29 p 1: ergo angulus l o a e$t maior angulo p e a : & angulus a o f e$t maior angulo a e h per 8 huius, ut prius: ergo angulus a n k per 29 p 1 e$t ma- ior angulo a m k: quod e$t impo$sibile, & contra 16 p 1. Non e$t ergo imago form æ puncti b in pun- cto n, nec in aliquo alio puncto lineæ m b k, præter quàm in puncto m: quoniam idem impo$sibile accidit in omnibus datis punctis. Ab unico ergo puncto in hac di$po$itione fiet refraction: & unica ui$ui occurret imago. Patet ergo propo$itum.

22. Communi $ectione $uperficieirefractionis & $uperficiei corporis diaphani, à quo fit re- fractio, exi$tente circulo, puncto<006> qu$o exi$tente in perpendiculari, duct a à centro ui$us $uper conuexam $uperficiem corporis diaphani: formærerui$æ à nullo puncto fiet refractio: & una tantùm uidebitur imago. Alhazen 26 n 7.

Sit centrum ui$us punctum a: $it\’q; b punctus rei ui$æ ultra corpus diaphanum gro$sius illo cor- pore diaphano, quod e$t circa ui$um: & $it $uperficies illius corporis diaphani, quod e$t ex parte b, $uperficies conuexa, illa, quæ e$t ex parte ui$us a: $it\’q; communis fectio $uperficiei refractionis & $uperficiei illius corporis diaphani per 69 th. 1 huius circulus c d e: cuius centrum $it punctus z: & ducatur linea a c z d, quæ nece$$ariò erit perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani per 72 th 1 huius: quoniam tran$it per punctum z centrum eius: $ti\’q; b punctus rei ui$æ in perpen dicu- lari linea, quæ e$t a d. Tunc itaque ui$us a comprehendet formam puncti b $ine aliqua refractio- ne. Nam forma, quæ extenditur $ecundum lineam d a, extenditur rectè in corpore diaphano, quod e$t ex parte ui$us a per 3 huius: ideo quòd linea d a e$t ex parte ui$us: a r c e u p b h z b laris $uper $uperficiem corporis diaphani, quod e$t ex parte ui$us: comprehendet itaque ui$us a formam puncti b in $uo loco, & rectè: $ed & in hac di$po$itione forma puncti b nunquam refringitur ad a ui$um. Aut enim punctus rei ui$æ, qui e$t b, erit in centro corpo- ris diaphani, quod e$t z: aut extra illud, Si fuerit in cenrro z: tunc nulla linea, per quam extenditur forma punctib ad circumfer\~etiam circuli c d e, refringitur ad ui$um a: quoniam omnes illæ $unt $emi- diametri, perpendiculares $uper $uper$iciem conuexam corporis diaphani. Et quia $ola linea z a exit à centro circuli c d e ad ui$um: patet quò d forma puncti b non refringitur ad ui$um a, cum punctus b fuerit in centro z. Quòd $i punctus b fuerit in linea c d extra cen- trum z: aut igitur erit in linea d z: aut in linea z c. Si $it in linea z c, ad- huc nulla $ui fiet refractio ad ui$um a. Quod $i fuerit po$sibile, e$to quòd refringatur ex puncto e: & ducatur linea b e: & protrahatur extra circulum ad punctum h: & protrahatur linea z e extra circu- lum ad punctum p: erit itaque linea z p perpendicularis $uper $u- perficiem corporis diaphani, quod e$t ex parte ui$us. Cum itaque corpus diaphanum, quod e$t circa ui$um, fuerit rarius corpore dia- phano, quod e$t circa rem ui$am, & circa punctum b: patet per 4 hu- ius quòd forma puncti b, quádo exten ditur per lineam b e, refringitur in puncto e ad partem con- trariam illi parti, in qua e$t perpendicularis z p: non ergo refringitur tunc forma puncti b ad ui$um a. Quòd $i punctum b $it in linea d z, adhuc non refringitur forma puncti b ad ui$um a. Si enim hoc e$t po$sibile, $it, ut refringatur ex puncto e: & producatur linea b e ad punctum r: & protrahatur li- nea z e ad punctum p: $it\’q;, ut forma puncti b refrin gatur ad ui$um a ex puncto e per lineam e a: pa- làm itaq; quoniam angulus r e a e$t angulus refractionis: & angulus r e p e$t contentus à linea b e r, per quam extenditur forma puncti b, & à perpendiculari exeunte ab e puncto refractionis $uper- $uperficiem corporis diaphani, à qua fit refractio: ergo per corollarium 8 huius angulus refractio- nis, qui e$t r e a, e$t minor angulo incidentiæ, qui e$t r e p: & linea b z aut e$t minor quàm linea z e: aut æ qualis ei: quia punctus b aut e$t inter duo puncta d & z, aut in puncto d: e$t itaque per 18 & per 5 p 1 angulus e b z aut maior angulo b e z, auto æqualis ei: $ed angulus a er per 16 p 1 maior e$t angulo e b z: ergo & angulo b e z: & angulus r e p per 15 p 1 e$t æ qualis angulo b e z. Erit ergo angu- lus a e r maior angulo r e p: quod e$t contra præo$ten$a & impo$sibile. Forma ergo puncti b non re- fringitur ad ui$um a ex puncto e: $ed nec ex alio puncto circuli c d e: nex ex alia circumferentia ali- cuius circulorum in $uperficie corporis diaphani, in quo e$t punctum b, exi$tentium, ut patet per 1 huius. Palàm ergo quoniam exi$tente puncto b in linea g d, non comprehenditur forma eius à ui$u a per refractionem ex aliquo puncto $uperficiei corporis den$ioris: & non comprehenditur ni$i $o- lum unum punctum: quoniam linea perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani den$io- ris non $ecat illius corporis $uperficiem, ni$i in un o tantùm pũcto: unica ergo tantùm uidetur ima- go. Similiter quoq; demon$trandum $i corpus diaphanum, quod e$t circa centrum ui$us punctum a, fuerit den$ius corpore diaphano, quod e$t circa punctum rei ui$æ, quod e$t b. Tunc enim $emper VITELLONIS OPTICAE fiet refractio ad perpendicularem ductam à dato puncto refractionis, & nunquam fiet ad centrum ui$us punctum a: $iue punctum rei ui$æ fuerit in linea c z: uel in linea z d: & $equuntur maiora im- po$sibilia quàm prius. Et $i fuerit in centro z: patet quòd non refringitur, $ed uidetur directè forma cius: & unica e$t eius imago. Patet itaq; propo$itum $ecundum omnes eius modos.

23. Cõmuni $ectione $uperficiei refractionis & $uperficiei corporis diaphani, à quo fit refra- ctio, exi$tente circulo, puncto<006>ui$o iacente extr a perpendicularem, duct am à centro ui$us $u- per $uperficiem conuexam corporis diaphani gro{$s}ioris corpore diaphano ui$umcõtingente: ab uno tantùm puncto fiet refracgtio: & unica uidebitur imago: loco tamen imaginis diuer$ificato $ecundum diuer$itatem loci puncti ui$i uel centri ui$us. Alhazen 27 n 7.

E$to di$po$itio, quæ in proxima præmi$$a, ni$i quòd punctus rei ui$æ, qui e$t b, $it extra lineam a c d, tamen intra circulum c d e. Et quia forma puncti b non refringitur ad ui$um a, ni$i à circumfe- rentia circuli c d e: quæ e$t in $uperficie refractionis, ut patet per 1 huius, & ex hypothe$it: fit \’q; illa re- fractio à concauitate corporis diaphani, quod e$t ex parte ui$us contingens conuexum corporis diaphani ex parte rei ui$æ: $it, ut refringatur ad ui$um a ex puncto e circuli c d e: dico quòd non po- te$t ex alio puncto $uperficiei corporis illius refringi ad ui$um. Sit enim, $i po$sibile e$t, ut refringa- tur ex puncto alio circuli c d e, quàm ex puncto e: qui $it punctus in : & ducantur lineæ b e, a e, b m, a m, z e, z m: $it quoq; ut lineæ z e & b m, cum $int in eadem $uperficie circuli c d e, $ecent $e in pun- cto, quod $it g: & producatur linea b e extra circulum u$q; ad punctum h: & linea b m u$q; ad pun- ctum n: & linea z e u$q; ad punctum p: & linea z m u$q; ad punctum l. Erit itaq; angulus h e p per 15 p 1 æqualis angulo in cidentiæ: quoniam uterque illorum e$t contentus $ub linea e b, per quam ex- ten ditur forma, & $ub perpendiculari e p, exeunte à loco refractionis, qui e$t e, $uper $uperficiem corporis, à quo $it refractio: erit\’q; angulus h e a angulus refractionis: & erit angulus l m n per 15 p 1 æqualis angulo incidentiæ contentus $ub linea n m, per quam extenditur forma, & $ub perpendi- culari l m, exeunte à loco refractionis, qui e$t m: & angulus n m a e$t angulus refractionis, Erit itaq; angulus h e p aut æ qualis angulo n m l: aut maior: aut minor. Sit $it æqualis: tunc per 8 huius erit an- gulus h e a refractionis æqualis angulo n m a, qui e$t $imiliter angulus refractionis. Et quoniam uterque ip$orum cum $uo compari ualet duos rectos per 13 p 1: erit tunc angulus a m b æ qualis an- gulo a e b: quòd producta linea a b patet e$$e impo$sibi- a n r l c m e h p g z b s d o k le, & contra 21 p 1. Si autem angulus h e p $it minor an- gulo l m n: erit angulus h e a minor angulo n m a per 8 huius: erit ergo per 13 p 1 angulus a m b minor angulo a e b: quod iterum e$t contra 21 p 1 & impo$sibile. Si uerò angulus h e p $it maior angulo l m n: extrahatur linea e b in partem puncti b ad punctum circumferentiæ, qui $it f: & extrahatur linea m b ultra punctum b ad punctum circumferentiæ, qui $it o. Angulus itaque e b m erit per 54 th. 1 huius æqualis angulo, qui e$t apud circumferen- tiam, cadens in arcum æqualem duobus arcubus e m & f o. Et cum angulus h e p ex hypothe$i $it maior angulo n m l: erit angulus z e b per 15 p 1 maior angulo n m l: ergo & angulo b m z per eandem 15. Cum ergo angulus z e b $it maior angulo b m z: erit exce$$us anguli m z e $upra angulum e b m, æqualis exce$$ui anguli z e b $upra angu- lum b m z per 32 p 1. Cum enim in trigonis e b g & m g z anguli inter$ectionia ad punctum g $int æquales, ut pa- tet per 15 p 1, & quilibet reliquorum duorum angulorum cum $uo tertio ualeat duos rectos: patet quòd duo an- guli reliqui unius trigoni $unt æquales duobus reliquis angulis alterius trigoni. In quanto ergo angulus z e b e$t maior angulo b m z, in tanto angulus m z e e$t maioran- gulo e b m. Arcus uerò re$piciens an gulum m z e, cum fuerit apud circumferentiam, erit duplus ad arcum m e per 20 p 3 & 33 p 6. Si ergo angulus m z e fuerit maior angulo m b e: tunc arcus m e du- plicatus erit maior duobus arcubus m e & f o: & erit exce$$us arcus m e duplicati $upra duos arcus m e & f o, æqualis exce$$ui arcus m e $upra arcum f o: quoniam arcus m e utrique e$t communis, quo ablato remanet idem exce$$us: & $i uarietur proportio geometrica, non tamen uariatur pro- portio arithmetica. Exce$$us ergo anguli m z e $upra angulum e b m, e$t ille, qui re$picit apud cir- cumferentiam exce$$um arcus m e $upr a arcum f o: $ed exce$$us arcus m e $upra arcum f o e$t mi- nor duobus arcubus m e & f o: quonitam e$t pars arcus m e: ergo exce$$us anguli m z e $upra angu- lum m b e e$t minor angulo m b e per 33 p 6, & ut patet ex præmi$sis. Exce$$us itaque anguli z e b $upra angulum z m b e$t minor angulo m b e: ergo, ut $uprà patuit per 15 p 1 exce$$us anguli h e p fupra angulum n m l e$t minor angulo m b e: ergo exce$$us anguli refractionis, qui e$t h e a, $upra angulum refractionis, qui e$t n m a, e$t multo min or angulo m b e per 8 huius: $ed exce$$us an- LIBER DECIMVS. guli h e a $upra angulum n m a e$t exce$$us anguli a m b $upra angulum a e b per 13 p 1: exce$$us ita- que anguli a m b $upra angulum a e b e$t minor angulo m b e: exce$$us uerò anguli a m b $upra an- gulum a e b e$t duo anguli m a e & m b e: quod patet per 33 th. 1 huius producta linea a b. Duo ita- que anguli m a e & m b e $unt minores angulo m b e, totum $ua parte: quod e$t impo$sibile. Forma itaque puncti b non refringitur ad ui$um a ex alio puncto circuli c d e, quàm ex puncto e: unicam ergo habebit imaginem. Et hoc e$t propo$itum primum. Sed & locus imaginis diuer$atur $ecun- dum diuer$itatem loci, in quo e$t propo$itum primum. Sed & locus imaginis diuer$atur $ecun- cta b & z ad utram que partem trans cir culum c d e: quæ aut concurret cum linea e a: aut erit æqui- di$tans ei. Si concurrat: tunc concur$us aut erit ad partem diametri, ad quam e$t b, propinquior pe- ripheriæ, ut in puncto k: aut concurrent in puncto aliquo alio ad partem ui$us, ut in puncto r. Si itaque concur$us fuerit in puncto k: tunc per 15 th. huius erit imago ante ui$um: & erit forma ma- nife$tè comprehen$a à ui$u: quoniam e$t in perpendiculari z k producta à centro corporis diapha- ni $uper $uperficiem corporis diaphani. Quòd $i concur$us fuerit in puncto r: erit imago in puncto r: & tunc forma comprehenditur à ui$u in eius oppo$itione: $ed non manife$tè, quia comprehen- ditur à ui$u extra $uum locum, $cilicet extra $uperficiem corporis diaphani inter ui$um & illam $u- perficiem. Siuerò linea b z fuerit æquidi$tans lineæ e a: tunc erit linea b z media inter duas lineas k b z & b z r: & tuncimago uidebitur indeterminata: & forma comprehendetur in loco refractio- nis, ut patet per 15 huius. Et hoc e$t propo$itum. Ex his itaque patete, quòd re, cuius forma compre- henditur à ui$u, exi$tente ultra corpus diaphanum gro$sius corpore diaphano, quod e$t ex parte ui$us, non $it refractio ni$i ab uno tantùm $uperficiei illius corporis puncto: & res illa non habet, ni$i imaginem unicam: neque comprehenditur, ni$ui unum tantùm. hæc enim refractio e$t à con- cauitate corporis diaphani, quod e$t ex parte ui$us contingentis conuexum corporis diaphani, quod e$t ex parte rei ui$æ. Patet etiam, quod $ecundum diuer$itatem $ituationis puncti a, qui e$t centrum ui$us, fit diuer$itas locorum imaginum form{ae} puncti b non tran$mutati $ecundum $itum: quoniam eadem e$t huius cum præmi$$o modo alio declaratio, ni$i quòd tunc puncta refractio- num diuer$ificantur.

24. Communi $ectione $uperficiei refractionis & $uperficiei corporis diaphani, à quo fit re- fraction, exi$tente circulo, puncto<006> ui$o iacente extr a perpendicularem ductam à centro ui$us $uper $uperficiem corporis diaphani rarioris diaphano ui$um contingente: ab uno tantùm pun- cto fiet refractio: & unica refracta uidebitur imago, loco tam{ae} imaginis diuer$ificato $ecundum diuer$itatem loci puncti ui$i uel centri ui$us. Alhazen 28 n 7.

E$to omnis di$pofitio, ut in præcedente, ni$i quòd punctum b nunc ponimus e$$e c\~etrum ui$us, & punctum a punctum rei ui$æ. R efringatur itaq; forma puncti a ad ui$um b à puncto e: & erit linea refractionis e b. Forma itaq; exten$a per lineam a e refringitur per lineam e b, $icut in præcedente propo$itione forma exten$a per lineam b e refringitur per lineam e a. Si itaq; forma puncti a refrin- gitur ad ui$um b ex alio puncto circuli c d e, quàm ex puncto è: tunc utiq; forma puncti b refringe- retur ad ui$um a ex eodem puncto, ut o$ten$um e$t in 9 huius: $ed iam in præcedente declaratum e$t hoc e$$e impo$sibile. Forma enim ext\~e$a per lineam b e, & refracta per lineam e a, per præceden- tem proximam non pote$t refringi ad ui$um exi$t\~etem in puncto a ab alio puncto circuli c d e, neq; ex alio puncto $uperficiei corporis diaphani: quoniam in $uperficie refractoinis $olus cadit ille cir- culus. Non ergo refringetur forma puncti a ad ui$um exia$tentem in puncto b ex alio puncto circuli c d e, ni$i ex puncto e: & unica tantùm uidebitur imago, De diuer$itate quoq; locorum imaginum e$titem, $icut in præmi$$a, declarandum. Patet ergo propo$itum.

25. Cum $uperficies $phærica conuexa corporis diaphani den$ioris aere fuerit oppo$ita ui$ui exi$tenti extra circulum cõmunis $extionis $uperficiei refractionis & corporis $phærici diapha- niden$ioris: pro{$s}ibile e$t lineam rectam taliter $i$ti, ut aliquis ip$ius punctus directè, & diuer$a puncta eiu$dem lineæ uideãtur refractè: tota<006> forma illius line æ refringatur à protione $uper- ficiei corporis illius terminata circulo non magno: & locus imaginis $uæ $it in centro ui$us. Alhazen 29 n 7.

E$to communis $ectio $uperficiei refractionis & corporis $phærici conuexi den$ioris diaphani quàm e$t aer, circulus g e d, cuius centrum $it z: ducatur\’q; $emidiameter z e: $uper cuius terminum e fiat per 23 p 1 angulus z e k æqualis maximo angulo incidentiæ, quem continet linea exten$ionis formæ puncti rei exi$tentis $ub illo diaphano, ad ui$um exi$tentem extra illud diaphanum in aere uel in alio diaphano rariori, cum linea perp\~ediculari ducta à puncto e $uper $uperficiem illius cor- poris, à qua fit refractio: fiat\’q; angulus k e t per eandem 23 p 1 æ qualis medietati maximi angulire- fractionis, qui pote$t fieri inter corpora diaphana quæcunq; data, ut inter aquam & aer\~e, uel econ- uer$o: hoc autem e$t po$sibile: quoniam omnes i$ti anguli per 8 huius $untnoti. Et à puncto z cen- tro corporis gro$sioris ducatur linea æquidi$tans lineæ e t per 31 p 1: quæ producta ex utraque par- te ad circumferentiam $it g z d: & linea e z ex parte puncti e protrahatur extra corpus illud u$q; ad h punctum. Cum ita que, ut patet ex præmi$sis, proportio anguli z e k ad duplum anguli k e t $it ma- VITELLONIS OPTICAE xima proportio, quam angulus incidentiæ, quem continet linea, per quam extenditur forma pun- cti rei ui$æ ad $uperficiem corporis, à qua refringitur, cum linea per a l g h e z d k b t pendiculari à puncto refractionis $uper $uperficiem illius corporis educta, po$sit habere ad angulum re$ractionis, quem exigit ille an- gulus incid\~etiæ quo ad $en$um (anguli enim refractionis, qui $iunt inter duo corpora diuer$æ diaphanitatis, à luce tran$eunte perilla corpora diuer$antur, quorũ diuer$itas quo ad $en$um, habet finem, quem $i angulus exce$$erit: tunc $en$us non comprehendet quan- titatem refractionis: cõprehendet enim directè c\~etrum lucis tran- $euntis per illa duo corpora in rectitudine lineæ, per quam exten- ditur: & hoc plenius experiri pote$t per in$trumentum, quo $upe- rius u$i $umus) & cum, ut patet expræmi$sis, angulus e z d $it ma- ior angulo k et: ponatur ergo angulus d z t æ qualis angulo k e t per 27th. 1 huius. Quia itaq; linea e k concurrit cum linea e t: patet per 2 th. 1 huius quia concurrit cũ linea a d eius æ quidi$tante: $it ut con- currat in puncto b. Similiter quoq; linea z t cõcurret cum linea e t: $it, ut concurrat in puncto t. Et quia lineæ e b & z e $unt inter duas lineas æ quidi$tantes, & in eadem $uperficie: patet quòd ip$æ $e in- ter$ecant: $it pũctus $ectionis k: erit\’q; per 32 p 1 angulus z k e æqua- lis duobus angulis k z b & k b z: $ed angulus k b z e$t per 29 p 1 æ qualis angulo k e t: angulus ergo z k e e$t æ qualis duplo anguli k e t: ergo per 7 p 5 erit proportio anguli z e k ad angulem z k e ma- xima proportio, qu{ae} e$t po$sibilis inueniri inter angulum inciden- tiæ (quem continet linea, per quam extenditur forma, & perpen- dicularis exiens à loco refractionis) & inter angulum refractionis, quem exigit ille angulus incidentiæ. Item à puncto e per 31 p 1 du- catur linea æ quidi$tans lineæ t z, quæ per 2 th. 1 huius cõcurret cum linea z g uer$us punctum g: $it itaq; punctus concur$us a: & extra- hatur linea b e extra circulum g e d u$q; ad punctum li erit ergo an- gulus l e a æ qualis angulo z k e per 29 p 1: & angulus l e h æ qualis e$t angulo z e k per 15 p 1. Erir ergo, ut patet ex præ mi$sis, angulus l e a angulus ille refractionis, quem exigit angulus l e h: quo- niam per 15 p 1 angulus l e h e$t æ qualis angulo z e k, qui acceptus e$t talis, ut proponitur. Si itaque centrum ui$us fuerit in puncto a, aliquo $cilicet puncto aeris, & corpus diaphanum den$ius aere (cuius conuexum e$t ex parte ui$us a) $uerit continuatum u$que ad punctum b, & non fuerit di- $tinctum apud circulum g d e e x parte b, ita ut diuer$itas alterius diaphani non impediat naturam refractionis: tunc forma punctio b extenditur per lineam b e, & refringitur per lineam e a: & com- prehenditur à ui$u in puncto a per lineam e a. Et quoniam angulus refractionis, qui e$t a el, pote$t diuidi pluribus portionibus earum, quæ po$$unt e$$e inter angulos refractionis & angulos inci- dentiæ, quos continent dictæ perpendiculares cum lineis, per quas incidunt formæ corporibus diaphanis, à quarum $uperficie refringuntur: in linea itaque d b erunt plura puncta, quoram for- mæ extenduntur ad arcum g e, & refringuntur ab illo ad ui$um a: & forma totius lineæ d b, in qua $unt omnia illa puncta, refringuntur ad ui$um a e x arcu g e. Si itaque figatur linea a g b, & reuolua- tur trigonum a e b in cirucuitu lineæ a b fixæ, & pars $uperficiei corporis diaphani, quæ e$t ex par- te rei ui$æ, fuerit $phærica: tunc punctum e, quod e$t punctum refractionis, $ignabit motu $uo in $uperficie corporis $phærica conuexa circulum exparte ui$us a, à quo tota refringetur forma pun- cti b ad ui$um a: $ed locus imaginis in tota peripheria circuli refractionis erit unus: quoniam, ut pa- tet per 15 huius, locus imaginis e$t centrum ui$us, in quo concurrit linea exten$ionis formæ, qu{ae} e$t e a, & perp\~edicularis b z a. Similiter\~q; formæ omnium punctorum lineæ d b, excepto puncto d, re- fringuntur ab aliquo puncto arcus e g, $ecundum quod præmi$$um e$t: & locus imaginis omnium illorum punctorum $emper erit in centro ui$us: & $ic tota imago illius rei ui$æ e$t una. Compre- henditur itaq; forma huius rei ui$æ ab ip$o ui$u formæ circularis apud ciculũ refractionis: & uni- cus eius punctus $uperior circa punctum d uidetur in rectitudine perpendicularis, tran$euntis per centrum ui$us & rem ui$am. Cum ergo centrum ui$us fuerit in uno corpore diaphano, & res ui$a fuerit in alio diaphano den$iori: & $uperficies corporis diaphani den$ioris, quæ e$t ex parte ui$us, fuerit $phærica conuexa: $uerit\’q; ui$us extra circulum, cuius conuexum e$t ex parte ui$us; fuerit\’q; ille circulus remotior à ui$u quàm pũctum remotius formæ (cuius fit refractio, ut e$t in propo$ito punctum b) di$tans fuerit à duo bus punctis $ectionis factæ inter perpendiculares & circumferen- tiam: & cũ corpus diaphanũ den$ius, quod e$t à parte rei ui$æ, fuerit totũ continuũ u$q; ad locũ, in quo e$t res ui$a, nec fuerit in aliquo puncto mediũ interci$um: tunc ui$us cõprehendet formã illius rei ui$æ & uerè & refractè: & locus imaginis illius rei ui$æ erit in c\~etro ui$us: uidebitur aũtin in $uper- ficie ui$us. Quod e$t propo$itũ. Si uerò $ic accidat, ut perpũdicularis ducta à re ui$a $uper $uperfici\~e corporis, à qua fit refractio, æ quidi$tet alicui illarum linearũ, per quas forma peruenit ad ui$um, & alicui non: po$sibile erit, ut forma rei uideatur partim in $uperficie corporis, à quo fit refractio, & LIBER DECIMVS. partim in $uperficie ui$us: & hoc erit ut mon$truo$um. Huiu$modi quoq; in$inita accidunt $ecun- dum diuer$itatem lineæ perpendicularis, re$pectu lineæ exten$ionis ip$ius formæ. Eodem quoq; modo demon$trandum e$t, $i punctus rei ui$æ fuerit in diaphano rariori, & centrum ui$us in dia- phano den$iori, di$po$ita figura $ecundum di$po$itionem illorum angulorum, qui tali perti- nent refractioni.

26. Communi $ectione $uperficiei refractionis & $uperficiei corporis diaphani, à quo fit refra ctio, exi$tente circulo, puncto<006> rei ui$æ exi$tente in perpendiculari ducta à centro ui$us $uper concauam $uperficiem corporis diaphani oppo$it am ui$ui: forma reiui$æ rectè occurret ui$ui, & à nullo puncto fiet refractio: una quo<005> tantùm uidebitur imago. Alhazen 30 n 7.

Sit a centrum ui$us: & $it b punctus rei ui$æ ultra corpus diaphanum, quod $it, exempli cau$$a, gro$sius illo, in quo e$t centrũ ui$us a: $it quoq; corporis gro$sioris $uperficies, quæ e$t ex parte ui- $us $phærica cõcaua: cuius $it centrũ g. Dico quòd pũctis a & b exi$ten tibus in una linea perpendiculari $uper $uperfici\~e illius corporis con- t a e y z b caui: tunc b punctus rei ui$æ unam $olam habebit imaginem, & unam tantùm formam apud centrum ui$us a. Ducatur enim linea a g: & ex- trahatur rectè u$q; ad punctum z. Erit ergo per 72th. 1 huius linea a z perpendicularis $uper $uperficiem concauam corporis diaphani. Sit quoq; punctus b in linea a z: ui$us itaq; a comprehendet formam pun- cti b in rectitudine lineæ a b: quoniam linea a b e$t perpendicularis $u- per concauam $uperficiem illius corporis, quod e$t diaphanum gro$- $ius: neq; ab aliquo puncto ip$am poterit comprehendere refractam, Cuius contrarium $i detur e$$e po$sibile: e$to, ut forma puncti b re- fringatur ad a ui$um à puncto corporis e: & ducantur lineæ b e & g e: erit\’q; linea g e perpendicularis $uper $uperficiem corporis, à qua fit re- fractio: & extrahatur linea b e u$q; ad punctum t: angulus itaq; t e g e$t angulus incidentiæ contentus à linea, per quam extenditur forma, & à linea perpendiculari exeunte à loco refractionis $uper $uperficiem corporis, à qua fit refractio. Et quia corpus, quod e$t ex parte ui$us a, $ubtilius e$t illo, quod e$t ex parte rei ui$æ, in qua e$t punctum b: pa- làm per 4 huius quoniam erit refractio ad partem contrariam illi par- ti, in qua e$t perpendicularis, quæ e g: & linea e t non concurrit cum li- nea b a aliquo modo. Forma ergo puncti b non refrin gitur ad ui$um a. Non ergo cõprehendet ui$us ip$am refractè, $ed $olùm rectè: non ergo habebit apud ui$um a punctum b ni$i unam folam formam & unam imaginem. Si uerò corpus, in quo e$t res ui$a, $uerit rarius corpore, in quo e$t centrũ ui$us, adhuc eadem e$t demon$tratio: nec enim adhue perueniet refractio ad centrum ui$us. Patet ergo propo$itum.

27. Communi $ectione $uperficiei refractionis & $uperficiei corpo ris diaphani, à quo $it refractio, exi$tente circulo, puncto<005> ui$oiacen te extra perpendicularem ductam à centro ui$us $uper $uperficiem concauam oppo$itam ui$ui corporis gro{$s}ioris diaphano contingente ui$um: ab unot tantùm pun cto $iet refractio: & unica refract a uidebitur imago: loco tamen imaginis diuer$i$icato $ecundũ diuer$itatem loci punctiui$i. Alhazen 31 n 7.

E$to di$po$itio, quæ in præcedente: & $it punctus b extra lineam a z. Et quoniam, ut patet per 2 th. huius, omnis $uperficies refractionis perpendicularis e$t $uper $uperficiem corporis, à quo fit re fractio, $it per 69 th. 1 huius communis $ectio $uperficiei refractionis, & $uperficxiei concauæ cor- poris diaphani, à quo fit refractio, circulus h d k, cuius centrum $it g: & $it punctus refractionis for- mæ puncti b ad ui$um a punctum h. Dico quòd nõ fiet refractio formæ puncti b ad ui$um a ex alio puncto circuli h d k, quàm ex puncto h. Si enim hoc $it po$sibile, $it illud aliud punctum refractio- nis m: & ducãtur lineæ a h, b h, g h, a m, b m, g m: $ecet\~q; linea h a lineã m g in pũcto f: & protrahatur linea b h intra corpus diaphanum reliquum ad punctum c: & linea b m ad punctum n: & linea g h ad punctũ l: & linea g m ad punctũ p: $ecet quoq; linea a g protracta ultra punctũ g circumferentiã circuli in puncto k. Aut igitur centrum ui$us a erit in linea k d, qu{ae} e$t diameter circuli: aut extra il- lam ultra punctum k. Si ui$us a fuerit in linea k d: tunc aut erit in centro g: auto in altera duarum li- nearum g k uel g d. Si ergo fuerit a centrũ ui$us in centro g: tunc forma puncti b non refringetur ad ui$um a per pr{ae}mi$$am proximã propo$itionem: lineæ enim continuantes corpus diaphanũ $phæ- ricũ cũ centro g, per 72. th. 1 huius $unt perpendiculares $uper $uperfici\~e corporis, quod e$t ex par- re ui$us: non fit autem aliqua refractio formarum incidentium $ecundum lineas perpendiculares, VITELLONIS OPTICAE ut ibi o$ten$um e$t. Forma itaq; puncti b non refringetur ad ui$um a in centro corporis diapha- ni exi$tentem. Quòd $i ui$us a fuerit in linea g d: tunc linea h cerit inter duas lineas h a & h g: & $i- militer linea n m erit inter duas lineas m a & m g: quoniam per 4 huius & ex hypothe$i refractio fit ad partem contrariã parti ambarũ perpendicularium, quæ $unt h g & m g: corpus enim diaphanũ, quod e$t parte ui$us a, e$t $ubtilius illo corpore diaphano, quod e$t ex parte rei ui$æ. Si autem linea h c fuerit inter duas lineas h a & h g, & a centrum ui$us fuerit in linea g d: tũe angulus b h a erit ex parte puncti k g o e a d z c n s h m d, $eilicet re$piciens punctũ d: & $imiliter angulus b m a erit ex parte puncti d: & erit punctum b ultra lineam g h l uer$us punctũ k: quod patet per 15 p 1. Si enim linea h c cadit inter lineas h a & h g: tunc oportet quòd linea h b cadat inter lineas h l & g k: & erit angulus c h g angulus incidentiæ contentus à linea, per quam extenditur for- ma, & à perpendiculari g h: & $ittiliter erit angulus n m gangulus incidenti{ae}: & erit angulus c h a angulus refra ctionis: & $imiliter angulus n m a. Angulus uerò n m g aut erit {ae}qualis angulo c h g: aut maior: aut minor. Si æ- qualis: ergo & angulus n m a erit æ qualis angulo c h a ք 8 huius: & angulus b m a erit æ qualis angulo b h a ք 13 p 1: hoc aũt impo$sibile & cótra 33 th. 1 huius, & 21 p 1, ut pa tet ducta linea b a. Si aũtangulus n m g $it maior angulo c h g: erit quoq: per 8 huius angulus n m a maior angulo c h a: & $ic angulus b m a erit minor angulo b h a: quod e$t item impo$sibile, ut prius. Quòd $iangulus n m g $it minor angulo c h g: tunc angulus n m a per 8 huius erit minor angulo c h a: & $ic totus angulus refractus, qui e$t a m g, erit minor toto angulo refracto, qui e$t a h g: & e- rit diminutio anguli refractionis, qui e$t n m a, ab angu- l o refractionis, qui e$t c h a, minor quàm diminutio an- guli a m g ab angulo a h g, qui ambo $unt anguli refracti: (& $i quandoq; in eadem proportione plus excedit an- gulus refractus maior minorem, quàm illorum angulo- rum refractionis maior minorem, ut pater per 8 huius, & ex tabulis) $ed diminutio anguli a m g ab angulo a h g e$t æ qualis diminutioni anguli h g m ab angulo h a m: ideo quia duo anguli contrapo$iti, qui $unt ad punctum f, punctũ $cilicet $ectionis li- nearum h a & m g, $unt æqualies per 15 p 1, & reliqui duo anguli trigonorum g f h & a f m cuiuslibet cum $uo tertio ualent duos rectos per 32 p 1. Diminutio itaq; anguli refractionis, qui n m a, ab angu lo refractionis a h c e$t minor quàm diminutio anguli h g m ab angulo h a m. Educantur itaq; duæ line{ae} h a & m a ad circumferentiã circuli: & incidat linea a h puncto e: & linea m a puncto o: erit er- go angulus h a m ille angulus, quem re$piciunt in circumferentia circuli h d k duo arcus h m & o e per 54 th. 1 huius: & an gulũ h g m re$picit in circumferentia arcus h m duplicatus per 20 p 3. Et quo- niam angulus h g m e$t minor angulo h a m: ideo quia, ut patet ex præmi$sis, angulus a h g e$t ma- ior angulo a m g: patet per 33 p. 6 quia arcus duplicatus h m e$t minor duobus arcubus h m & e o: & erit diminutio arcus duplicati h m à duobus arcubus h m & e o, diminutio arcus h m ab ar- cu e o: quoniam arcus h m utrobiq; e$t communis. Ergo diminutio anguli n m a ab angulo cha erit minor angulo, quem re$picit apud circumferentiam diminutio arcus h m ab arcu e o: $ed an- gulus, quem re$picit apud circum$erentiam diminutio arcus h m ab arcu e o e$t minor angulo h a m, ut patet ex præmi$sis: ergo diminutio anguli n m a ab angulo c h a erit minor angulo h a m: ergo per 13 p 1 exce$$us anguli b m a $upera angulum b h a e$t minor angulo h a m: $ed exce$$us an- guli b m a $upera angulum b h a per 33 th. 1 huius $unt duo anguli h a m & h b m: ergo illi duo angu- li $unt minores an gulo h a m, totum $ua parte: quod e$t impo$sibile. Quòd $i centrum ui$us a, fuerit in linea g k: tunc, $icut prius o$ten$um e$t, linea h c erit inter duas lineas h g & h a: & linea m n erit inter duas lineas m g & m a: erit ergo angulus b h a ex parte pucti k: & $imiliter angulus b m a e- rit ex parte puncti k: & erit punctũ rei ui$æ, quod e$t b, infra lineam g m p ex parte d: & it\~e, ut prius, anguli c h g & n m g $unt anguli incidenti{ae} contenti à lineis, per quas extenditur forma, & à perpen dicularibus exeuntibus à punctis refractiõis: & anguli c h a & n m a $unt anguli refractiõis. Si itaq; angulus c h g fuerit æ qualis angulo n m g: tũc erit, ut prius, per 8 huius angulus c h a æ qualis angu- lo n m a: & $ic item per 13 p 1 angulus b h a erit æ qualis angulo b m a: quod e$t impo$sibile & contra 21 p 1 ducta linea b a, ut $uperà. Si uerò angulus c h g e$t maior angulo n m g: tũc per 8 huius angulus c h a erit maior angulo n m a: & $ic it\~e angulus b h a erit minor angulo b m a: quod e$t impo$sibile, ut $uprà. Quòd $i angulus c h g fuerit minor angulo n m g: tunc angulus c h a e$t minor angu- lo n m a: & $ic totus angulus g h a erit minor totali angulo g m a: eritá; tũc modo pr{ae}o$ten$o angu lus h g m minor angulo h a m. Ergo diminutio anguli h g m ab angulo h a m erit minor <004> angulus g m a: & diminutio anguli c h a ab angulo n m a e$t minor <004> diminutio anguli g h a ab angulo g m a: LIBER DECIMVS. e$t ergo minor quàm diminutio anguli h g m ab angulo h a m: ergo diminutio anguli c h a ab an- gulo n m a e$t minor quàm angulus g m a. Sed diminutio anguli c h a ab angulo n m a e$t exce$$us e o a c n g d z k h m l p b a k r q c n h l m d p e b anguli b h a $upera angulũ b m a ք 13 p 1: exce$$us uerò anguli b h a $upera angulum b m a $unt duo an- guli h a m & h b m per 33 th. 1 huius: ergo i$ti duo anguli $imul $uperti $unt minores angulo h a m, totum $ua parte: quod e$t impo$sibile. Si uerò centrum ui$us a fuerit extra diametrum k d: hoc e- rit ad partem k, quæ re$picit partem concauam $uperficiei $phæræ diaphanæ: quoniam ad par- tem z e$t conuexitas $phæræ corporis diaphani, à cuius $uperficie fit refractio. Si itaq; tunc cor- pus diaphanum, in quo e$t centrum ui$us a, fuerit continuum ad ui$um a, ducantur duæ lineæ a h & a m. et quoniam illæ lineæ non $unt contingentes circulum d m k: palàm per 57th. 1 huius quoniam circulum $ecabunt: $ecet\’q; ip$um linea a h in puncto q: & linea a m in puncto r: & produ cantur aliæ lineæ, ut prius. Si itaq; angulus c h g fuerit æqualis angulo n m g: tunc angulus b h a e$t æqualis angulo b m a: quod e$t impo$sibile, ut prius. Et $iangulus c h g fuerit maior angulo n m g, & angulus c h a erit maior angulo n m a: erit ergo per 13 p 1 angulus b h a minor angulo b m a: quod item e$t impo$sibile, ut $uprà. Si uerò angulus c h g fuerit minor anguluo n m g: erit angulus c h a minor angulo n m a: & totus angulus g h a minor toto anguluo g m a: ergo, ut prius, erit angu- lus h g m minor angulo h a m: $ed angulus h g m e$t ille, qu\~e apud circumferentiã re$picit arcus h m duplicatus: & angulus h a m e$t ille angulus, qu\~e re$picitin circum fer\~etia exce$$us arcus h m $upra arcũ r q, ut patet ք 55 th. 1 huius: ergo arcus h m duplicatus e$t minor exce$$u arcus h m $upra arcũ r q: q<001> e$t impo$sibile: quoniam $ic $equitur totum e$$e minus $una parte. Vbicunq; ergo $ecundum hypothe$im præmi$$am $it punctum rei ui$ibilis, quod e$t b, extra perpendicularem ductam à cen- tro ui$us a $uper $uperficiem corporis diaphani oppo$iti ui$ui: patet quia imago formæ puncti b non refringitur ad ui$um a, ni$i ab uno tantùm puncto: & erit una tantùm imago re$racta. Diuer- $ificabitur quoq; $emper locus imaginis $ecundum diuer$itat\~e concur$us perpendicularis ductæ à puncto b rei ui$æ $uper $uperficiem corporis diaphani, à quo fit refractio, cum linea, per quam extenditur forma ad centrum ui$us a: erit\’q; locus imaginis quandoq; retro ui$um: quandoq; an- te ui$um: quandoque in centro ui$us. Et $i illas lineas contingat fieri æquidi$tantes, ut non con- currant: erit locus imaginis in puncto refractionis: $cilicet in $uperficie corporis, à qua fit refra- ctio, ut hæc omnia declarata $unt per 16 huius. Patet ergo propo$itum.

28. Communi $ectione $uperficiei refractionis & $uperficiei corporis diaphani, à quo fit re- fractio, exi$tente circulo, puncto<006> rei ui$æ iacente extra perpendicularem ductam à centro ui- $us $uper concauam $uperficiem, oppo$itam ui$ui corporis rarioris diaphano cõtingente ui$um: ab uno tantùm puncto fiet refr actio: & unica refracta uidebitur imago. Alhazen 32 n 7.

Remaneat omnis di$po$itio proximæ præcedentis, ni$i quòd punctum b $it centrum ui$us, & a $it punctũ rei ui${ae}. Refringatur itaq; forma puncti a à puncto $uperficiei corporis diaphani, quod e$t h: & erit linea refracta, qu{ae} a h b: forma itaq; exten$a per lineã a h, refringitur քlineã h b: $icut in pr{ae}- ced\~ete figuratiõe forma exten$a ք lineã b h, refringitur ք lineã h a. Si itaq; forma pũcti a refringitur ad ui$um b ex alio pũcto circuli h d k, <004> ex puncto h: tũc utiq; forma pũcti b refringitur ad ui$um exi VITELLONIS OPTICAE $tentem in puncto a ex eodem puncto, ut patet per 9 huius: $ed iam in pr{ae}cedente declaratum e$t hoc e$$e impo$sibile. Forma enim exten$a per lineam b h & refracta per lineam h a, nõ pote$t refrin- gi ad ui$um in punctum h ab alio puncto circuli h d k, quàm ex puncto h: neq; exaliquo alio puncto $uperficiei corporis diaphani: quoniam in $uperficie refractionis $olus cadit ille circulus. Non ergo refringitur forma puncti a ad ui$um exi$tentem in puncto b ex alio puncto circuli h d k, ni$i ex pun- cto h: & unica tantùm uidebitur imago. Et hoc e$t propo$itum.

29. Concaua $uperficic corporis diaphani den$ioris aere ui$ui oppo$ita: po{$s}ibile e$t lineam re- ctam taliter $i$ti, ut aliquis eius punctus directè, & diuer$a puct a eiu$dem lineæ uide antur re fractè: tota<006> forma illius lineæ refringatur à portione $uperficiei illius corporis: & locus imagi- nis $uæ $it in centro ui$us. Alhazen 29 n 7.

E$to per modum 25 huius, Communis $ectio $uperficiei refractionis, & corporis $phærici conca- ui den$ioris aere (ut uitri uel cry$talli) circulus g e d, cuius centrum $it punctum z: ducatur\’q; $emi- diameter z e: $uper cuius terminum, punctum e fiat per 23 p 1 angu- lus z e k æqualis maximo angulo incidentiæ, quem continet linea exten$ionis formæ puncti rei exi$tentis $ub illo diaphano, ad uni$um s f g h z e d k b t exi$tentem extra illud diaphanum in aere uel in alio diaphano ra- riori, cum linea perpendiculari ducta à puncto e $uper $uperficiem illius corporis, à qua fit refractio: fiat\’q; angulus k e t per eand\~e 23 p 1 æ qualis medietati maximi anguli refractionis, qui pote$t fieri inter illa corpora diaphana quæcuq; data, ut, exempli cau$$a, inter ui- trum concauum & aerem (hoc autem e$t po$sibile: quoniam o- mnes i$ti anguli per 8 huius $unt noti) & à puncto z centri corporis concaui, ut uitri uel cry$talli, ducatur linea æquidi$tans line{ae} e t per 31 p 1, quæ producta ex utraq; parte ad circumferenctiam $it g z d: & linea e z ex parte puncti e protrahatur extra corpus illud u$- que ad punctum h. Atque $ic completa totali figuratione & de- mon$tratione 25 huius: patet quòd concaua $uperficie corporis diaphani den$ioris aere ui$ui oppo$ita, po$sibile e$t lineam rectam taliter $i$ti, ut aliquis eius punctus uideatur directè, & diuer$a pun- cta eiu$dem lineæ uideantur refractè: tota\’q; forma illius lineæ re- fringatur ab una portione $uperficiei illius corporis concaui uitrei uel cry$tallini, terminata ad circulum non magnum illius $phæræ: & quòd punctus d uidetur $ecundum perpendicularem a d $ine re- fractione: omnium uerò aliorum punctorum lineæ d b formæ re- fringuntur. Perpendiculares quoq; omnium illorum punctorum $untin linea b a concurrentes cum lineis, per quas ueniunt formæ ad ui$um in ip$o centro ui$us puncto a. Patet itaq; propo$itum per 15 th. huius. Expræmi$sis itaq; octo theorematibus patent pa$sio- nes occurrentes ui$ui propter medium $ecundi diaphani, in quo res e$t ui$a, cuius figuara e$t $phærica, $iue $it conuexa, $iue concaua. Et quando corpore $ecundi diaphani exi$tente figuræ columna- ris uel pyramidalis, communis $ectio $uperficiei refractionis e$t li- nea recta: tunc omniono uniformis pa$sio accidit ui$ui per illa, $icut accidit per corpora alia diaphana planarum $uperficierum. quarum communis $ectio & $uperficiei refractionis e$t linea recta, & eodem modo demon$trandum. Quando uerò illa communis $ectio e$t circulus: tunc accidunt eadem in corporibus columnaribus diaphanis, quæ accidunt in corpo- ribus $phæricis concauis uel conuexis: præter hæc quòd à circumterentia unius circuli $uperficiei corporis $ecũdi diaphani nõ pote$t in talibus corporibus fieri refractio ad ui$um, $icut o$tendimus in 23 huius à corporibus $phæricis conuexis fieri, In corporibus uerò pyramidalibus diaphanis concauis uel conuexis non pote$t communis $ectio $uperficiei refractionis & $uperficiei illius cor- poris e$$e circulus, $icut o$ten$um e$t in $uperficie bus reflexionum per 12 th. 7 & 2th. 9 huius: quo- niam etiam omnes $uperficies refractionum erectæ $unt $uper $uperficies corporum, à quibus fit refractio, ut patet per 2 huius: unde i$tæ pa$siones non pertinent ad illa. Quòd $i communis $ectio $uperficiei corporis diaphani & $uperficiei refractionis in corporibus columnaribus uel pyrami- dalibus diaphanis fuerit $ectio oxygonia: ab uno tantùm puncto fiet refractio, $icut nunc o$tendi- mus in circulis uel conuexis uel concauis. Et imago formæ rei ui$æ quandoq; uid ebitur intra cor- pus dlaphanum: quandoq; inter ui$um & corpus diaphanum: quandoq; in $uperficie ip$ius cor- poris diaphani: quando que in $uperficie ip$ius ui$us, $icut acciderit lineam perpendicularem du- ctam à puncto rei ui$æ $uper $uperficiem corporis diaphani concurrere uel æ quidi$tare lineæ ex- ten$ionis ip$ius formæ, per quam forma peruerit ad ui$um: unde non duximus talibus am- plius immorandum.

30. Superficiebus corporum diaphanorum oppo$itorum ui$ui diuer$arum figurarum, uelip$is LIBER DECIMVS. eorporibus diuer$æ diaphanitatis exi$tentibus: loca imaginum form arum trans illacorpor aui $arum diuer $antur: & occurunt ui$ui forme mon$truo$æ & ιmagines numeratæ numero pun- ctorum refractionis. Alhazen 33 n 7.

Expræmi$sis enlm patet quòd in corporibus diaphanis, quæ $unt unius figuræ & $ub$tantiæ, u- na tantùm occurrιt ui$ui imago omnium corporum, quorum formæ trans illa corpora diaphana $e m ιltiplicantad ui$um. Siuero corpus diaphanum, per quod fit ui$io, fuerit $uperficiei compo$itæ ex diuer$is $iguris: ut $ortè ex plana & $phærica, uel ex $phærica & columnariuúc (cum $uper$icies oppo$ita ui$ui fuerit diuer$a ex diuer$is figuris compo$ita, & natura perpendicularium & linearum exten$ionis formarum $ecundum diuer$itatem $igurarum ip$arum $uperficierum diuer$ificetur) pater per 15 huius quod loca imaginum formarum ui$arum diuer$antur: & forta$$e diuer$a erunt puncta re$ractionum $ormæ eiu$dem puncti rei ui$æ ad eundem ui$um, & diuer$æ lineæ exten$io- nis $ormarum, & diuer$æ perpen diculares: propter quod plures uidebuntur imagines eiu$dem rei ui$æ re$ractæ à $uper$iciebus talium corporum. Vnde $i quis a$pexerit aliquod ui$ibile exi$tens ul- tra corpus diaphanum, cuius $uperficies oppo$ita ui$ui, $it $iguræ compo$itæ ex $uperficie $phæræ magnæ & paruæ, ut $æpe acciditin cry$tallis uel alijs lapidibus diaphanis & uitris: patet quòd cen- tra illarum $phærarum $unt diuer$a per 81 th.1 huius: illæ enim $phær{ae} $e inter$ecant. Erunt ergo perpendiculares ill{ae} duct{ae} ab uno puncto rei ui${ae} $uper $uper$iciem illius corporis magnam haben tes diuer$itatem. Et $i figura $uperficiei illorum corporum $uerit compo$ita ex $uperficie $phærica & columnari: patet quod maior e$t diuer$itas & punctorum re$ractionis & perpendicularium ductarum. Di$$ormabitur ergo di$po$itio imaginũ trans hæc corpora diaphana: & fortè illa $orma uidebitur mon$truo$a, propter confluxum diuer$arum imaginum ad con$titutionem unius form{ae}, cum puncta refractionum $uerint adinuicem propinqua, & inter$ectiones perpendicularium & li nearum exten$ionis $ormarum $uerint adinuicem propinquæ. Si uerò puncta re$ractionum uel prædictarum $ectionum $uerint ad inuicem $en$ibiliter di$tantia: tunc uidentur plures imagines e- iu$dem rei ui$æ: quoniam illarum re$ractio non e$t una, neq; unitur, $ed remanet diuer$a. Forma e- nim rei ui$æ extenditur ab ip$a re ad $uperficies $phæricas uel columnares uel alterius figur{ae} ip$ius corporis diaphani, & re$ringitur abillis apud concauitatem aeris contingentis illud corpus dia- phanum: & ita $it comprehen$io $ormarum eiu$dem rei ex diuer$is re$ractionibus: unde imagines diuer$æ fiunt numeratæ numero punctorum re$ractionis: Idem quoq; accidit $i corpus diaphanũ uni$orme in $uper$icie, $uerit diuer$æ diaphanitatis: $cilicet in una $ui parte den$ius, & in alia parte rarius: tunc enim $ecundum unam $ui partem fit refractio ad partem perpendicularis, & in alia $ui parte ad partem contrariam: & $ic iterum aut $ormæ fiunt mon$truo$æ: aut $ortè aliter diuer$æ & numero di$$erentes. Patet ergo propo$itum.

31 Cõmuni $ectione $uper ficiei refractionis & $uperficiei corporis, à quo fit refr actio exi$tente linea rect a: ui$u quo<005> exi$tente in perpendiculari exeunte à medio puncto lineæ ui$æ $uper pla- nam $uper $iciem corpor is diaphani, à qua forma illius lineæ refringitur ad ui$um, $i linea ui$a æ quidi$tans fuerit $uperficiei corporis diaphani cuiu$cũ<005> $iue den$ioris $iue rarιoris primo: ima go refract a rei ui$æ comprehenditur maior re ui$a. Alhazen 39 n 7.

E$to punctus a centrum ui$us: & $it linea ui$a in medio $ecundi diaphani, quæ b c: cuius medius punctus $it z: $it\’q; cõmunis $ectio $uperficiei refractionis & planæ $uperficiei corporis diaphani li- nea d e: ducatur\’q: à pucto z, quod e$t medius punctus lineæ b c, linea perpendicularis $uper li- neam d e per 12 p 1: quæ producatur ultra punctum m. Erit itaq; linea z m perpendicu lariter erecta $uper $uperficiem corporis planam, in qua e$t linea d e: quoniam $uperficies refractid nis, in qua producitur linea z m, & in qua e$t linea c d, erecta e$t $uper illam $uperficiem corporis diaphani per 2 th. huius: $it\’q linea b c æ quidi$tans lineæ d e. Exi$tente itaq; centro ui$us a in linea z m: dico quòd linea b c uidetur maior quàm $it $ecundum ueritatem. Nec enim tran$it per centru ui$us, quod e$t a & per aliquod punctum lineæ b c, præter punctum z, $up erficies, quæ $it erecta $u- per $uperficiem corporis diaphani, ni$i $ola $uperficies refractionis, in qua $unt line{ae} a z & b c. Non enim tran$it per a $uperficies erecta $uper $uperficiem corporis diaphani, ni$i illa, quæ tran$it per li neam a z, quæ e$t linea perpendicularis $uper $uperfici\~e corporis diaphani: nec exit a puncto a per- pendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani, ni$i linea a z per 20 th.1 huius. Non ergo tran$it per punctũ a aliqua $uperficies perpen dicularis $uper $uperficiem corporis diaphani, ni$i $olũ illa, quæ tran$it per lineam a z: & non tran$it aliqua $uper$icies per aliquod punctum line{ae} b c, aliud à puncto z, & per lineam a z, ni$i $olùm illa $uper$icies, in qua $unt duæ line{ae} a z & b c. Non tran$it er- go per ui$um a & per aliquod punctũ lineæ b c, præter punctũ z, $uperficies aliqua perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani, ni$i $olùm illa, in qua $unt line{ae} a z & b c. Non ergo refringitur forma alicuius punctorũ, qu{ae} $unt in linea b c, ni$i ex aliquo punctorũ line{ae} d e. Ducantur itaq; per 11 p 1 ex prædictis punctis b & c duæ perpendiculares $uper lineam d e: quæ, ut patet ex præmi$sis, nece$$ariò caduntin illá: & $int lineæ b d & c e. Et quoniã line{ae} b c & d e $unt {ae}quidi$tantes ex hypo the$i, & line{ae} b d & c e $unt æ quidi$tantes per 28 p I: patet quia quæ libet illarum linearum, que $unt b d & c e, æquidi$tant lineæ a z per eandem 28 p I. Et patet quòd non re$ringetur forma punctib VITELLONIS OPTICAE ad ui$um a ex puncto d per 3 huius: neq; forma puncti cà puncto e: quoniã lineæ c e & d b $unt per- pendiculares $uper $uperficiem corporis diaphani: nulla aũt perpendicularis refringitur in aliquo corpore medio. Sit itaq;, ut forma puncti b refringatur ad ui$um a ex puncto p, & forma puncti c ex puncto h: & ducantur lineæ b p, p a, c h, h a: & protrahatur a d g p m h e l k q b n z c linea a p ultra punctum p ad perpendicularem b d. Et quo- niam linea p a cõcurrit cum linea z a: patet per 2 th.1 huius quoniam ip$a concurret cum eius æquidi$tante, $cilicet li- nea b d: $it ergo concur$us in puncto l. Et ead\~e ratione con curret linea a h cũ linea e c in puncto k: erit\’q; per 15 th. hu- ius hoc punctum limago $ormæ puncti b: & punctũ k ima- go formæ puncti c. Quia uerò linea a z e$t perpendicularis $uper lineam b c, erit per $ p 1 linea c a æ qualis lineæ b a: æ- qualiter ergo di$tant puncta b & c à puncto a. Puncta itaq; refractionis, quæ $unt p & h, æ qualiter di$tabunt æ puncto a: quoniam medium, per quod $it illorum punctorum for- marum diffu$io, e$t uniforme, & linea e d æquidi$tat lineæ b c. Linea itaq; a p e$t æ qualis line{ae} a h: ergo per 5 p 1 an- gulus a p h e$t æ qualis angulo a h p: ergo per 15 p 1 erit an- gulus d p l æ qualis angulo e h k: $ed duo anguli p d l & h e k $unt recti: ergo angulus p l d per 32 p 1 e$t æ qualis angulo h k e: ergo per 4 p 6 latera i$torũ trigonorum $unt propor tionalia, quæ æquos angulos re$piciunt. Sed linea p d e$t æqualis lineæ e h: quia linea p m e$t æ qualis lineæ h m per 26 p 1: trigonorum enim a m p & a m h anguli ad m $untre- cti, & anguli a h p & a p h $unt æ quales, & latus a m commu ne, æquale $ibijp$i. E$t ergo linea p m æqualis lineæ m h. Hocetiã patet per 31 th. 1 huius: i$o$celis enim e$t trigonus h a p, & perp\~edicularis e$t linea a m: trigona ergo partialia $unt æquiangula: ergo per 4 p 6 (quia latus a m æquale e$t $ibijp$i) erit linea p m æqualis lineæ h m. E$t ergo linea e h æqualis line{ae} p d: patet ergo quoniã linea d l e$t æ qualis line{ae} e k. Ducatur itaq; linea l k: erit ergo ք 33 p 1 linea k l æ qualis & æquidi$tãs lineæ b c. Angulus itaq; k a l e$t maior angulo b a c ք 34 th.1 hu- ius: & linea l k e$t diameter imaginis line{ae} b c: nam omne punctũ line{ae} b c refrin gitur ad ui$um a ab aliquo puncto lineæ p h. Sicut enim forma puncti b refringitur à puncto p, & punctũ z perpendicu lariter $ine re$ractione tran$iens punctum m, peruenit ad ui$um a: $ic punctum, quod e$t inter b & z, refringitur ab aliquo puncto lineæ p m, quod e$t inter puncta p & m: & $icut forma puncti c re$rin gitur ad ui$um a à puncto lineæ e m, quod e$t h: $ic omne punctum lineæ c z re$ringitur ab aliquo puncto lineæ h m: & omne punctum lineæ b z ab aliquo puncto lineæ p m: ut $i $uper lineam b z $it punctum n. Sι itaq; dicatur quòd forma puncti n re$ringatur ab aliquo puncto line{ae} m d extra lineã ιn p ex parte d, ut à puncto g: ducatur linea n g. Palàm itaq: quoniam linea n g $ecabit lineam b p: & $it punctus $ectionis q. Forma itaq; puncti q perueniet ad ui$um a ex duobus punctis re$ractionis, $cilicet p & g: quod e$t contra 20 uel 21 huius, & impo$sibile. Forma itaq; puncti n non re$ringetur ad ui$um a, ni$i ex aliquo puncto lineæ p m, quod e$t inter puncta p & m. Id\~e quoq; e$t de omni pun cto lin{ae} z c, quod e$t inter puncta z & c: nullum enim illorum refringitur ad ui$um a, ni$i ex aliquo puncto lineæ h m, quod e$t inter puncta h & m. Et quia in linea l k omnes perpendiculares ductæ à punctis lineæ b & c cum lineis refractionis protractis $e inter$ecant: patet quia linea l k e$t diame- terimaginis lineæ b c. Forma itaq; line{ae} b c uidetur in linea l k maior quàm $ecundum ueritatem $it linea b c per 20 th. 4 huius. Sub maiori enim angulo uidetur: quia angulus k a l e$t maior angulo b a c per 34 th.1 huius: quod e$t propo$itum. Et huiu$modi deceptio accιdit ui$ui propter debilitatem formæ re$ractæ, ut patet per 10 huius: propter quod a$similat ip$am ui$us $ormæ rei, quæ uidetur à maiori remotione: mai or enim di$tantia debilitat formam. Comprehendit itaq; ui$us formam li- neæ b c reftactiuè ex comparatione anguli k a l maioris angulo b a c, ad di$tantiam maiorem quàm $it di$tantia lineæ b c, & ad po$itionem æqualem po$itioni b c. Sic itaq; quantitas lineæ b c compre henditur refractè maior propter magnitudinem anguli, quem $acit propinquitas ad ui$um, & pro- pter $ormæ debilitatem, qu{ae} cau$$atur propter re$ractionem. Et $ic uniuer$aliter cau$$a, quare linea b c apparet maior, e$t re$ractio formæ $uæ in medio $ecũdi diaphani ad ui$um: & e$t $emper demon $tratio eadem, $iue $iat re$ractio in $uper$icie $ecundi diaphani den$ioris $iue rarioris primo, in quo e$t linea b c: nec enim e$t aliqua di$$erentia quo a d illud: $i tamen $uerit po$sibile inueniri corpora diaphana taliter collocata, ut $uperficies plana po$sit e$$e in corpore rariore corpore contingente ip$um ui$um: $icut accidit cum uitrum planum contingit uι$um, ita quòd centrum foraminis uue{ae} in uitri plana $uperficie collocatur.

32. Cõmuni $ectione $uper $iciei refr actiõis & corporis, à quo $it re$ractio exi$t\~ete linea recta: ui$u quo<005> exi$tente in perpendiculari, exeunte à medio puncto lineæ ui$æ $uper planã $uperfici\~e LIBER DECIMVS. corporis diaphani, à qua forma eius refringitur ad ui$um, $i linea ui$a non fuerit æquidi$tans $u perficiei corporis diaphani: imago eius compreh\~editur maior ip$a: & maior quàm $i e$$et $uper- ficiei corporis diaphani æquidi$tans. Alhazen 40 n 7.

Sit di$po$itio eadem, quæ in præcedente, ni$i quòd linea b c non $it æquidi$tans lineæ d e, $ed $it punctus c remotior à puncto a, quàm $it punctus b: & à puncto c ducatur linea æ quidi$tans & {ae}qua lis lineæ d e per 31 p 1: quæ $it linea c q: cuius medius punctus $it o: & à puncto o per 11 p 11 protraha- tur linea perpendicularis $uper $uper$iciem corporis diaphani, $ecans lineam d e in puncto m, & li- neam b c in puncto z: & $it centrum ui$us, quod e$ta, in illa perpendiculari, quæ e$t o m: erit\’que pũ- ctus z in medio puncto lineæ c b. Quia enim linea b q e$t {ae}quidi$tans lineæ z o: erit per 2 p 6 propor tio lineæ q o ad o c, $icut b z ad z c: $ed linea q o, ut patet ex pr{ae}mi$sis, e$t æ qualis lineæ o c: erit ergo linea b z æqualis lineæ z c: e$t ergo punctus z in medio lineæ c b. Punctus ita que lineæ d e, à quo for ma puncti q re$rin gitur ad ui$um a, $it p: & punctus, à quo re$ringitur forma punctic, $it h: ducãtur\’q; lineæ a h & a p: & protrahatur linea a p ad l punctum lineæ d b: & linea a h ad k punctum lineæ e c: concurrent autem illæ lineæ per 2 th.1 huius, ut o$tendi- mus in præmi$$a: erit\’que punctum k locus imaginis for a d c i f p m h l k b z q o c mæ puncti c, & punctum l forma puncti q, per 15 th. hu- ius: ducatur\’que linea l k: quæ erit diameter imaginis li- neæ q c: & ducantur line{ae} a q & a c: erit itaque, ut in pr{ae}- cedente, angulus k a l maior angulo c a q per 34 th. 1 hu- ius: ui$us ergo comprehendetimaginem line{ae} q c maio- rem quàm $it linea q c, ut patet per pr{ae}cedentem. Et quia linea q p $ecat lineam b c: $it punctus $ectionis r: palàm itaque cum punctus r $it in linea q p, quoniam ip$e re$rin getur ad ui$um a ex puncto p. Forma itaque puncti bre- fringetur ad ui$um a ex aliquo puncto line{ae} p d, quod $it inter puncta p & d. Nam $i daretur refringi ex aliquo pũ- cto inter p & m: $equeretur propter inter$ection\~e lineæ incidentiæ formæ puncti b & lineæ r p unius puncti for mam re$ringi ad ui$um à duobus punctis line{ae} d e, quod e$t contra 20 uel 21 huius, & impo$sibile. Re$ringaturi- taque forma puncti b ad ui$um a ex $ puncto lineæ p d: & ducatur linea a f: quæ protracta ad lineam d e, $ecabit illam per 14 th.1 huius: $ecet ergo in puncto i: erit\’que per 15 huius pũctus i locus imaginis formæ puncti b: & duca tur linea i k: quæ erit diameter imaginis lineæ b c. Erit quoque $it us lineæ i k re$pectu $itus a $imilis $itui lineæ b c. Quia linea i k aut erit æquidi$tans lineæ b c: aut non erit inter ip $arum æquidi$tantiam diuer$itas $en$ibi lis, mutans $itum ip$arum re$pectu ui$us a: quia non e$t inter æquidi$tantiam lineæ i k & æquidi$tantiam lineæ b c à ui$u grã dis diuer$itas: declinatio enim lineæ i k à li- nea æ quidi$tante lineæ b c, quæ exit à puncto k, erit ualde parua: angulus ita que i a k e$t maior angu lolak per 29 th.1 huius: & $imiliter angulus i a k e$t maior angulo b a c per 34 th.1 huius. Videturi- taque linea i k maior quàm linea b c: & $itus imaginis lineæ i k comprehenditur qua$i remotior propter debilitatem formæ. Quia itaque linea i k e$t imago formæ lineæ b c: palàm quòd in hoc $itu linea b c uidetur maior quàm $it $ecundum ueritatem: & uidetur linea c q minor quàm linea b c: quia, ut præo$ten$um e$t, angulus i a k e$t maior angulo l a k, $ecundum quem uidetur imago lineæ q c. Et hoc e$t propo$itum: nec e$t diuer$itas $itus diuer$o- rum diaphanorum attendenda.

33. Centro ui$us exi$tente extra $uper$iciem perpendicularium à punctis rei ui$æ $ub medio $ecundi diaphani plan am habente $uperficiem $uper eandem $uperficiem productarum, linea<006> ui$a $uperficiei eiu$dem corporis æquidi$tante: ιmago lineæ ui$æ cõprehenditur maior ip$a. Al- hazen 41 n 7.

Sit, ut$uprà, punctus a centrum ui$us: & linea b c res ui$a: & $uper $uperficiem corporis, à qua fit refractio, educantur perpendiculares b d & c e: & continuetur linea d e in $uperficie ip$ius corporis diaphani, per quod fit ui$io refracta: $it\’que linea b c æquidi$tans lineæ d e: & $it a centrum ui$us ex- tra $uperficiem, in qua $unt lineæ b c & d e: & diuidatur linea b c in duo æ qualia in puncto z: & du- catur linea z m perpen diculariter $uper lineam b c: $ecet\’q; lineam d e in puncto m: & à centro ui$us a ducatur perpendicularis $uper $uperficiem b c d e per 11 p 11: quæ $it a h, ita ut punctus h imagine- tur cadere in lineam m z: producatur\’que linea a z: quæ per 22 th.1 huius, & expræmi$sis erit perp\~e- dicularis $uper lineam b c. Situatio ιtaque puncti b uer$us a centrum ui$us e$t $imilis $ituationi VITELLONIS OPTICAE puncti c re$pectu a: & di$tantia puncti c à ui$u a e$t æqualis di$tantiæ puncti b ab a. Refringatur ita- que forma puncti b ad ui$um a ex puncto p: & forma puncti c ex puncto k: $int\’q; puncta p & k extra lineam d e æ quidi$tantem lineæ b c in $uperficie corporis a p k d m e l o g h b z c diaphani: $ituatio itaque & di$tantia puncti p ad a ui$um e$t, $icut $ituatio & di$tantia puncti h ad a ui$um. Ducan- tur itaque line{ae} b p, p a, c k, k a. E$t ergo $uperficies, in qua $unt du{ae} line{ae} a p & b p, perpendicularis $uper $uperfici\~e corporis diaphani per 2 huius, cũ $it $uperficies refractio- nis: ergo & linea b d, quæ e$t perp\~edicularis $uper $uperfi ciem corporis diaphani ducta à puncto b, erit in hac $uքfi cie. Et $imiliter $uperficies, in qua $unt lineæ a k & c k, e$t perpendicularis $uper $uperficiem corporis diaphani: er- go & in illa $uperficie e$t linea c e, quæ e$t perpendicula- ris $uper eandem $uperficiem corporis ducta à puncto c. Protrahatur itaque linea a p ultra p punctum: & palàm ք iam dicta & per 2 th. 1 huius quoniam ip$a $ecabit lineam b d: quia, ut patet per 28 p 1, lineæ a z & b d {ae}quidi$tant. Quia ergo linea a p $ecat lineam b d, $ecet ip$am in pun- cto l: $ecet\’que propter eadem linea k d protracta ultra pũ ctum k lineam c e in puncto o. E$t ergo per 15 huius pun- ctum l locus imaginis formæ puncti b: & punctum o lo- cus imaginis $ormæ puncti c. Erit quoque $ituatio lineæ a l $icut line{ae} a o: & line{ae} b l $icut lineæ c o. Ducatur etiam linea l o: h{ae}c itaq; erit diameter imaginis line{ae} b c, & {ae}qua lis eidem b c per 33 p 1. Ducantur itaque lineæ a b & a c: u- traque ergo $uper$icies a l b & a o c e$t erecta $uper $uper- ficiem corporis diaphani per 2 huius. Tres ita que $uperfi cies $unt erect{ae} $uper $uperficiem corpo$is diaphani, qu{ae} $unt a l b, ao c, a m z: & hæ $uperficies nece$$ario $ecant $e $uper lineam perpendicularem, quæ e$t a h, exeuntem à pũcto a $uper $uperficiem corporis diapha- niper 19 p 11: quoniam communis $ectio illarum nece$$ariò e$t perpendicularis $uper $uperficiem, cui $uper$tant: & ab uno puncto una tantùm perpendicularis $uper $uperficiem planam duci pote$t per 20 th.1 huius. Erititaq; angulus b p l per 15 p 1 æqualis angulo re$ractionis, & linea b l d e$t perp\~e dicularis $uper $uperficiem corporis, à qua fit refractio: ergo linea a l e$t obliqua $uper ip$am per 13 p 11: linea ergo a p continet cum perpendiculari $uper ean dem $uperfici\~e exeunt\~e à puncto p. (quæ $it p g) angulum acutum, qui e$t l p g: & erit perpendicularis p g æquidi$tãs lineæ d l per 6 p 11, quo- niam amb{ae} lineæ p g & d l $unt erct{ae} $uper unam $uperficiem: ergo per 29 p 1 angulus p l d e$t acu- tus: ergo per 13 p 1 angulus a l b e$t obtu$us: ergo per 19 p 1 linea a b e$t longior quã linea a l. Et $imili ter patere pote$t quòd linea a o minor e$t quã linea a c: $ed line{ae} a l & a o $unt æquales: & line{ae} a b & a c $unt æquales: & linea l o e$t æ qualis line{ae} b c: ergo per 34 th.1 huius angulus l a o e$t maior angu lo b a c: & $itus lineæ l o e$t $imilis $itui line{ae} b c: quia linea exiens à puncto a ad medium line{ae} l o, e$t perpendicularis $uper lineam l o per 22th.1 huius cum per 29 p 1 linea l o $it æ quidi$tans line{ae} b c: & etiam, quia linea b c e$t perpendicularis $uper $uperficiem, in qua $unt line{ae} a z & m z, $uper quá $imiliter per 8 p 11 perpendicularis e$t linea l o: ergo linea l o e$t perpendicularis $uper $uper$iciem continuantem centrum ui$us, quod e$t punctum a, cum medio puncto line{ae} l o. Situs ergo lineæ l o re$pectu ui$us a e$t, $icut lineæ b cre$pectu eiu$dem ui$us a: $ed & linea l o comprehenditur remo- tior propter debilitatem formæ: linea itaque l o uidetur maior quàm linea b c: $ed linea l o e$t ima- go lineæ b c. Palàm itaque quia linea b c uidetur maior quàm $it eius uera quantitas. Et hoc e$t propo$itum: nec ad i$tud aliquid coadiuuat in diuer$itatem ip$a diuer$a $ituatio mediorum plus uel minus diaphanorum.

34. Centro ui$us exi$tente extra $uperficiem perpendicularium à punctis rei ui$æ $ub medio $ecundi diaphani planam habente $uperficiem $uper eandem $uperficiem productarum, linea<006> ui$a $uperficiei eiu$dem corporis non æquidi$tante: imago rei comprehenditur maior re ui$a: ma ior quo<005> quàm $i e$$et $uperficiei corpori æquidistans. Alhazen 42 n 7.

Remaneat di$po$itio, quæ in præcedente, ni$i quòd linea b c non $it æquidi$tans line{ae} d e, qu{ae} e$t in $uperficie corporis diaphani: & educatur à puncto c linea c f {ae}quidi$tans line{ae} d e: & continuetur linea f b protrahen do lineam d b perpendiculariter $uper lineam c f: $it\’q;, prout in præmi$$a o$ten- $um e$t, p punctum refractionis formæ puncti fad ui$um a: & punctum refractionis formæ puncti b ad ui$um a $it punctum q: & ducatur linea a q: & protrahatur a d lineam d b: concurret autem cum illa, ut in proxima o$ten$um e$t. Sit ergo punctus concur$us g, qui e$t altior quã punctus l: nam pun ctus b e$t ultra lineam a f: linea ita que a g nece$$ariò erit ultra lineam a l: punctus ergo g e$t altior pũ cto l: & ducatur linea g o. Erit ergo $ecundum pr{ae}mi$$a linea g o diameter imaginis line{ae} b c: erit\’q; li LIBER DECIMVS. nea g o maior quàm linea l o per 19 p 1, quoniam angulus g l o e$t rectus: & linea a g minor quàm li- nea a l per eãdem 19 p 1 quoniam angulus a g l e$t obtu$us, a q p k d m e g l o b f z o ut $uprà patuit: & du{ae} line{ae} a g & a o $unt in duabus $uperfi ciebus $ecantibus $e, $cilicet a g b & a o c: & differentia cõ- munis i$tarum duarum $uperficierum tran$it per a centrũ ui$us per 1 huius: quia ambæ illæ $uperficies $unt $uperfici- es refractionis: & centrum ui$us $emper oportet quòd $it in $uperficie refractionis. Et quoniam, ut patet per 2 huius, illæ ambæ $uperficies $unt erectæ $uper $uperficiem corpo ris diaphani, à quo fit refractio: patet per 19 p 11 quoniam li nea recta, qu{ae} e$t communis ip$arum differentia, e$t erecta $uper illam $uperficiem: ergo duæ line{ae} exeuntes à puncto a non perpendiculariter $uper illam corporis diaphani $u- perficiem, $unt extra hanc communem differentiam in his duabus $uperficiebus: quæ line{ae} $unt a b & a c: $unt\’q altio res duabus lineis a g & a o: cadunt enim ultra illas lineas. Angulus itaq; g a o e$t maior angulo b a c ք 34 th.1 huius: diuer$itas enim $ituum linearum g o & b c à ui$u a non e$t magna: quia linea g o aut e$t {ae}quidi$tans lineæ a c, aut non e$t in hoc differentia $en$ibilis. E$t ergo $itus lineæ g o re- $pectu ui$us a, $icut linea b c re$pectu eiu$dem ui$us a. Vi- debitur itaque per 20th. 4 huius linea g o maior quã linea b c: $ed linea g o e$t imago line{ae} b c. Palàm ergo quia linea b c uidebitur maior quàm ip$a $it $ecundum ueritatem. Et quia, $icut in præmi$sis patuit, angulus o a g e$t maior an- gulo o a l, uidebitur imago o g maior imagine o l, qu{ae} e$t i- mago lineæ c fæ quidi$tãtis line{ae} e d, quæ e$t in $uperficie corporis, à qua fit refractio. Et hoc proponebatur.

35. In omnibus refractionibus factis à planis $uperficiebus corporum diap hanorũ adui$um: imagine apparente maiore ip$a re ui$a, & pars imaginis uidebitur maior parte rei ui$æ $ibi pro- portionalι. Alhazen 43 n 7.

Sit di$po$itio omnimoda, quæ prius in 31 huius: & $it linea a m z $ecans perpendiculariter lineam k l in puncto o: erit itaq; linea l o medietas lineæ l k: & for- ma punctiz uidebitur in puncto o: quia uidetur in perpen- a d p m h e l g o f b n z c diculari z o: tota quoq; linea b c uidebitur in linea l k: & li- nea b z e$t medietas lineæ b c: & linea l o e$t medietas line{ae} l k: & linea l k uidebitur maior quàm linea b c: ergo & linea l o uidebitur maior quã linea b z: & erit utriu$q; i$torũ cau$- $a refractio. Et quia centrum ui$us a e$t in perpendiculari a z exeunte à puncto z, qui e$t extremitas line{ae} b z, $uper $u perficiem corporis diaphani, aut $uper $uperficiem tran$eũ tem per extremitatem medietatis perpendicularis $uper $u perficiem corporis diaphani æquidi$tanter $uperficiei cor- poris diaphani per 23 th.1 huius: ui$us itaq; comprehendit medietates ui$ibilium maiores quàm $int. Nam punctus o, qui e$t medium imaginis k l, e$t in perpendiculari exeunte à medio rei ui$æ, $iue res ui$a $it {ae}quidi$tans $uperficiei cor- poris diaphani, $iue non. Sit item linea b n pars aliqua line{ae} b z: & à puncto n educatur linea n g perp\~ediculariter $uper lineam b z: $ecet\’q; lineam l o in puncto g: erit ergo $ecundũ præmi$$a linea l g imago lineæ b n. Sit ita que punctus g ima go punctin. Aut ergo punctus g erit in linea l g, aut prope: quocunque uerò i$torum exi$tente erit linea l g {ae}qualis li- ne{ae} b n, aut ferè. Et quia formarum plus di$tantium à per- pendiculari a z maior e$t refractio quàm minus di$tantium per 14 th. huius: erit refractio $ormæ line{ae} b n ad ui$um a maior quàm refractio line{ae} z n ad ui$um a. Siergo minor re fractio facit totam l o imaginem line{ae} b z apparere ui$ui ma iorem quã $it linea b z: ergo maior re$ractio faciet lineã l g imagin\~e line{ae} b n uideri maior\~e quã $it ip$a linea b n: cũ maiorem efficaciã habeat refractio maiorre $pectu minoris. Linea ergo l g, quæ e$t imago line{ae} b n, cõprehenditur maior <004> $it ip$a linea b n. Et $i ui$us non cõprehenderet lineã l g imagin\~e line{ae} b n maiorem ip$a linea b n, nõ cõprehenderet ima- gínes partiũ line{ae} b n, qu{ae} $unt propinquiores ad punctũ z, maiores ip$is partib. quia form{ae} illarum VITELLONIS OPTICAE partium $unt minoris refractionis per 14 th. huius quã remotiores à puncto z:$ed refractio eft cauf- $a magnitudinis imaginis. Vi$us ergo a $i nõ cõprehendet imagin\~e lineæ l g maior\~e quã $it linea b n, nec comprehendet imagin\~e line{ae} l o maior\~e ip$a linea b z, nec totã linea m l k maior\~e tota linea b c, quod e$t impo$sibile, & contra 31 huius. Vi$us ergo cõprehendet lineam l g, qu{ae} e$t imago line{ae} b n, maiorem ip$a linea b n: & ita comprehendet lineã b n maiorem quã $it $ecundum ueritat\~e. Eodem quoque modo pote$tid\~e in alijs refractionib. declarari:ut cũ per modum 33 huius fuerit centrum ui $us extra $uperfici\~e perpendiculariũ illarum productarũ:quoniã idem accidit in omnib. illis modis, quibus imago rei uidetur maior ip$a re ui$a: $emper enim pars imaginis uidebitur maior parte rei ui ${ae} $ibi corre$põdente: quod e$t propo$itũ. Et quia cõmunis $ectio $uperficiei refractionis & $uperfi- ciei corporis diaphani, ut plurimum & per $e e$t linea recta, quando illud corpus diaphanum fuerit gro$sius aere: per accidens uerò accidit quandoq; contrarium propter uoluntariam $ituation\~e cor- poris d\~e$ioris plani iuxta ui$um, ut diximus in fine cõmenti 31 huius: patet euidenter quòd 5 proxi mè præmi$$a theoremata per $e intelligenda $unt, quando à $uperficie corporis diaphani gro$sioris aere fit refractio ad ui$um in aere exi$tentem: & per accidens econuer$o.

36. Communi $ectione $uperficiei refractionis & corporis $phærici diaphani den$ioris aere, à quo fit refr actio, exιtente circulo, centro<006> ui$us in eadem $uperficie extra circulum in lineæ per pendiculari $uper illius corporis $uperficiem, & re ui$a inter centrum corporis & ui$us exi- $tentibus, ita quòd extrema rei ui$æ æqualiter di$tent à centro corporis: imago uidebitur maior re ui$a. Alhazen 44 n 7.

Sit $uperficies $phærica corporis diaphani gro$sioris aere: cuius conuexum $it ex parte ui$us, cu ius centrum $it a: $it\’q; res ui$a b c: $it\~q; centrum corporis $phærici punctum d: quod $it ultra lineam b c re$pectu ui$us a:$it\’q; punctus z medius punctus lineæ b c: & ducantur lineæ d b, d z, d c: & pro- trahantur quou$q; concurrant cum $uperficie corporis diaphani $phærici: linea d b in puncto e: & linea d z in puncto m: & linea d c in puncto n: & $it ui$us a in linea z m, quæ e$t perpendicularis $u- per $uperficiem illius diaphani corporis per 72 th.1 huius. Erit itaq; a m z linea recta. Et quoniam li- nea b z e$t æqualis line{ae} z c, & quia puncta b & c (qu{ae} $unt extrema rei ui$æ) æqualiter di$tant à c\~e- tro d ex hypothe$i:erit etiam linea d b æqualis line{ae} d c:erunt ergo trigona b d z & c d z æ quilatera: quoniam linea z d e$t communis ambobus illis trigonis: ergo per 8 p 1 erunt anguli ad punctum d {ae}quales, qui $unt anguli z d b & z d c: & $imiliter erunt an guli ad punctũ z {ae}quales: $unt ergo recti: e$t ergo per de$i a h m g e k b d c l n nitionem perpendicularis, linea a z perpendicularis $u- per lineam b c. Ducantur quoque line{ae} a b & a c: ergo ք 4 p 1 erunt trigona a z b & a z c æqualia: linea ergo a c e$t æqualis lineæ a b: puncta ergo b & c {ae}qualiter di$tant à c\~e tro ui$us a:habebunt itaque puncta b & c {ae}qualem re$pe- ctum ad ui$um a. Extrahatur quoque $uper$icies plana, in qua $unt line{ae} d e & d n & d m: hæc itaq; $uperficies $e- cabit $uperficiem corporis $phærici $ecundum circulum magnum per 69 th. 1 huius: cuius arcus oppo$itus ui$ui $it n m e: erit\’q; in illa $uperficie centrum ui$us a, & linea ui$a, qu{ae} e$t b c: erit ergo per 1 huius illa $uperficies $uper- ficies refractionis, quæ e$t perpendicularis $uper $uper$i- ciem $ph{ae}ricam per 2 th huius: nec fit refractio formæ li- neæ b c ad ui$um a extra illam $uperficiem: & linea a z e$t perpendicularis $uper $uperficiem $phæricam corporis. Dico ita que quòd imago line{ae} b c in hac di$po$itione ui- debitur maior ip$a linea b c. Quia enim, ut patet ex pr{ae}- mi$sis, forma cuiu$cunq; partis line{ae} b c non refringitur ad ui$um a, ni$i ex aliquo puncto arcus e m n: $it ergo, ut forma puncti b refringatur ad ui$um a ex puncto circuli h: & forma puncti c ex puncto g. Quia itaque puncta b & c æqualiter di$tant à puncto a centro ui$us: patet quòd i- p$orũ erit uniformis refractio ad ui$um per 14th. huius: puncta ergo h & g æqualiter di$tabunt à puncto m. Arcus autem e m & m n $unt æquales per 26 p 3: ideo quia angu- li m d e & m d n $unt æquales, quod patet ex præmi$sis: tantùm ergo di$ta bit punctus re$ractionis, qui e$t h, à puncto e, quantùm punctus g à puncto n: & erit punctorum i$torum $itus & re$pectus æqualis. Ducantur itaque lineæ b h, a h, c g, a g: & producatur linea a h ad lineã d e: $it \~q punctus $e- ctionis k: & $imiliter producatur linea a g ad lιneam d n in punctum l:ducatur\’q; linea k l. Quia itaqs in trigonis d a k & d a l anguli a d k & a d l $unt æquales, ut patuit $uprà: anguli quoque l a d & k a d $unt æ quales (quod patet ductis lineis d h & d g: tunc enim, cum arcus m g & m h $int æquales ex pr{ae}mi$sis, erunt per 27 p 3 angulia d g & a d h æquales: ergo per 4 p 1 anguli l a d & k a d $unt {ae}qua- LIBER DECIMVS. les) ergo per. 32 p 1 trigona d a k & d a l $unt æquiangula: ergo per 4 p 6 cum linea a d $it æqualis $i- bijp$i, erit linea d l {ae}qualis line{ae} d k, & linea a k {ae}qualis line{ae} a l: erit\’q; linea l k, ut patet per 15 huius, imago line{ae} b c, & erit linea l k {ae}quidi$tans line{ae} b c: uide bitur\’que per 20 th.4 huius maïor quàm $it linea b c: quoniam angulus k a l, $ecundum quem uidetur linea l k, e$t maior angulo b a c. Et quia po $itio & $itus line{ae} k l e$t con$imilis po$itioni & $itui b c line{ae}: quod patet ex hoc: quòd cum linea d l $it {ae}qualis line{ae} d k, & linea c d {ae}qualis line{ae} b d, erit linea l c{ae}qualis line{ae} k b: ergo per 7 p 5 & 2 p 6 line{ae} b c & l k $unt æquidi$tantes: ip$arum ergo $itus & po$itio re$pectu ui$us a e$t con$imιlis. Inter lineas ergo k l & b c non e$t differentia in di$tantia, qu{ae} $it $en$ibilis. Palàm ergo quia linea k l uide- bitur maior quàm $it: quia imago eius e$t maior ip$a: & hoc accidit etiam ideo: quia forma eius refra cta e$t debilior quã uera forma, ut patet per 10 huius. Patet ergo propo$itum.

37. Communi $ectione $uperficiei refractionis & corporis $phærici diaphani den$ioris aere, à quo fit refr actio, exi$tente circulo, ui$u<006> exi$tente in eadem $uperficie extra circulum in linea perpendiculari $uper illius corporis $uperficiem, & re ui$a inter centrum corporis & ui$us exi- $tentibus, ita quòd extremæ rei ui$æ inæqualiter di$tent à centro: imago uidetur maior re ui$a. Alhazen 45 n 7.

Remaneat di$po$itio præcedentis, ni$i quò alterum extrem orũ line{ae} b c punctum c $it propin- quius puncto d centro corporis diaphanì, & punctũ b rem otius ab illo. Dico quòd ahuc imago li- neæ b c uidebitur maior ip$a linea b c. Ducatur enim à puncto c linea c q, cuius extrem a æqualiter di$tent à puncto d: quod pote$t fieri, $i à linea d e ab$cindatur per 3 p 1 linea æqualis lineæ d c:quæ $it d q. Palàm itaq; per ea, quæ in demon$tratione præceden- tis o$ten$a $unt, quoniam imago lineæ c q uidetur maior i- a f h m g e k b p q d c l n p$a linea c q: $it ita que illa imago linea l p. Et palàm per 13 huius quòd punctum p illius imaginis, quod e$t imago pũ cti q, nece$$ariò cadet in linea perpendiculari ducta à pun- cto q $uper $uperfici\~e corporis diaphani, quæ e$t linea d e, inter puncta d & e: & quòd punctum l, quod e$t imago pun cti c, erit in linea perpendiculari ducta à puncto c $uper $u- perficiem corporis diaphani, quæ e$t d n. Et quia forma pũ cti c refringitur ad ui$um a ex puncto circuli g: $it ut forma puncti q refringatur ad eundem ui$um ex puncto h. Patet itaque per hypothe$im, & per præcedentem quoniam pun cta g & h {ae}qualiter di$tabunt à puncto m. Et quia punctum b e$t remotius à centro corporis d, quàm punctum q: erit per ea, quæ o$tendimus in 14 th. huius, punctum $uæ refra- ctionis remotius à puncto m, quàm punctum h: $it itaque pũctum illud $: & ducatur linea a f: qu{ae} cadet extra lineam a h: & h{ae}c producta ad perpendicularem d e, $ecet ip$am in puncto k: cadet\’que punctum k in linea p e inter puncta p & e. Si enim caderet in punctum e, e$$et linea a k contin- gens circulum in puncto e, & $ecans in puncto f: quod e$t impo$sibile: & $i caderet in punctum p uel citra illum: tũc linea a k $ecaret lineam a p, & punctus p uel alter punctus illius $ectionis refringeretur ad ui$um a ex duobus pũctis h & f: quod e$t impo$sibile & contra 23 uel 24th. huius: ca det ita que punctum k inter duo puncta p & e: erit\’que per 15 huius punctum k imago formæ puncti b. Ducaturita- que linea l k, quæ erit diameter imaginis form{ae} line{ae} b c. Quia itaque linea l k uidetur $ub angulo l a k, & linea b c $ub angulo b a c: e$t autem angulus l a k maior angulo b a c, ut manife$tum e$t: quia totum e$t maius $ua parte. Patet ergo per 20 th. 4 huius quia linea l k uidetur maior quàm linea b c: quod enim $ub maiori angulo uidetur, maius uidetur. Et etiam quia $itus & po$itio lineæ l k re- $pectu ui$us a e$t con$imilis $itui & po$itioni line{ae} b c re$pectu eiu$dem ui$us a: patet quia line{ae} b c & k l aut $unt æ quidi$tantes $impliciter: aut inter illarum {ae}quidi$tantiam non e$t diuer$itas $en$ibi- lis: ergo per 29 p 1 & per 4 p 6, linea k l e$t maior quàm linea b c. Et quia illarum linearum l k & b c ab ip$o ui$u non e$t di$tantia $en$ibilis diuer$itatis in remotione: uidetur ergo linea l k maior quàm linea b c, quia e$t maior: $ed linea k l e$t imago formæ line{ae} b c. Patet ergo propo$itum. Comprehen ditur etiam linea l k qua$i maior à ui$u quàm linea b c propter debilitatem form{ae} re$ractæ: quoniã, ut patet per 10 huius, refractio debilitat omnes formas lucis & coloris.

38. Centro ui$us exi$tente extra $uperficiem linearum perpendicularium, à punctis rei ui$æ $ub corpore $phærico diaphano den$iore aere, $uper eius conuexam $uperficiem oppo$itã ui$ui pro- ductarum, linea<006> ui$a $ecundum $ui extrema à centro corporis æquidi$tante: imago lineæ ui- VITELLONIS OPTICAE $æ comprehenditur maior ip$a linea ui$a. Alhazen 46 n 7.

E$to centrum ui$us punctum a: & linea ui$a per refra ctionem $it b c: $it\’q; punctus d centrum cor- poris diaphani den$ioris aere: $it\’que ita, ut linea b c $it intra illud corpus $ecundum $ui extrema b & c æqualiter di$tans à centro d:à medio quoq; puncto line{ae} b c, quod $it z, & à duobus extremis eius punctis ducantur in eadem $uperficie line{ae} perpendiculares $uper $uperficiem corporis: quæ pro- ductæ ad peripheriam circuli, $int b e, z m, & c n: h{ae} itaque omnes per 72 th.1 huius $ecabunt $e in cõ tro d. Erit ergo arcus n m e in $uperficie illius corporis diaphani, re$piciens centrum d: non $it autem centrum a h g m x e k b z d c l n ui$us in aliqua i$tarum linearum: $ed $it extra $uperfici\~e, in qua $unt ill{ae} line{ae}. Dico quòd imago line{ae} b c uidebi- tur maior quàm ip$a linea b c. Ducatur enim linea a z: & â centro ui$us puncto a ducatur perpendicularis linea $u per $uperfici\~e circuli n m e per 11 p 11, qu{ae} $it a x. Et quia, ut patet ex præmi$sis, & per 22 th.1 huius e$t linea a z per- pendicularis $uper lineam b c: $ituatio itaque puncti b uer$us ui$um a e$t per 4 p 1 & ex præmi$sis con$imilis $i- tuationi puncti c uer$us eundem ui$um a, & illorum pun ctorum à ui$u a di$tantia e$t {ae}qualis. Sit itaque, ut forma puncti b refringatur ad ui$um a à puncto corporis dia- phani, quod $it h: & forma puncti c à puncto g: $int\’q; pũ- cta g & h extra $uperficiem circuli n m e: erit\’que illorum punctorum h & g à ui$u a di$tantia æqualis. Ducantur itaque lineæ b h, a h, c g, a g: erit\’que $uperficies, in qua $unt du{ae} line{ae} a h & b h, erecta $uper $uperficiem corpo- ris diaphani per 2 huius: quoniam ip$a e$t $uperficies re- fractionis: ergo & linea b e (qu{ae} e$t perpendicularis $u- per $uperficiem corporis diaphani ducta à puncto b) e- rit in illa $uperficie per 1 huius. Similiter quoque $uperfi cies, in qua $unt line{ae} c g & a g, cum $it $uperficies refra- ctionis: patetper 2 huius quoniam ip$a e$t erecta $uper $uperficiem corporis diaphani: ergo & in illa $uperficie e$t linea c n, quæ e$t perpendicularis $uper eandem cor- poris $uperficiem ducta à puncto c. Protrahatur itaque linea a h ultra punctum h: & palàm per præmi$$a & per 14. th. huius quòd ip$a $ecabit lineam b e: $it ergo ut $ecet ip$am in puncto k. Similiter quoque linea a g producta ultra punctum g $ecet lineam d n in puncto l: erit\’q $ituatio line{ae} a k, re$pectu ui$us a, $icut line{ae} a l: unde linea a k & a l erunt {ae}- quales: & $imiliter erit linea d k {ae}qualis line{ae} d l, qu{ae} omnia o$ten dipo$$unt $ecũdum modum, quo proce$simus in pr{ae}mi$$a 34 huius. Copuletur ergo linea l k: h{ae}c itaque erit diameter imaginis line{ae} b c. Quia itaque linea b d e$t æqualis lineæ d c ex hypothe$i, & linea d k æqualis line{ae} d l: erit li- nea k b {ae}qualis lineæ l c: ergo per 7 p 5 & per 2 p 6 lineæ l k & b c {ae}quidi$tant: ergo per 29 p 1 & per 4 p 6 linea l k e$t maior quàm linea b c: & quia $ub maiori angulo uidetur, apparet maior. Et hoc e$t propo$itum.

a f h g m r e k b p q d c l a 39. Centro ui$us exi$tente extra $uperficiem perpen- dicularium à puncto rei ui$æ $ub corpore $phærico dia- phano den$iore aere, $uper eius conuexam $uperficiem oppo$itam ui$ui productarum, lineæ<006> ui$æ extremis c\~e- tro corporis inæqualiter approximatis: imago lineæ ui- $æ comprehenditur maior ip$a linea ui$a. Alha- zen 46 n 7.

Remaneat omnis di$po$itio proxim{ae} pr{ae}mi$${ae}, ni$i q<001> extrema line{ae} b c in{ae}qualiter di$tent à c\~etro corporis dia- phani, quod e$t d: $it\’q; linea d b maior quàm linea d c. Se- cetur ergo ex linea d b per 3 p 1 linea d q {ae}qualis line{ae} d c: & copuletur linea c q: cuius extrema {ae}qualiter di$tabunt à centro d: erit\’q; per pr{ae}mi$$am imago line{ae} c q, qu{ae} $it l p, maior quàm linea c q. Et quia puncta q & b $unt in ea d\~e linea perpendiculari $uper $uperficiem corporis diapha- ni, qu{ae} e$t d e: patet quòd ip$a ambo $unt in eadem $uperfi cie refractionis, qu{ae} e$t a d e: & refringũtur ad ui$um a ex eod\~e arcu circuli, qui e$t cõmunis $ectio illius $uքficiei & $uքficiei corporis diaphani. Sit itaq;, ut forma pũcti q re- fringatur à puncto illius arcus, qui e$t h, cõformiter $e ha- LIBER DECIMVS. bente ad ui$um a cum puncto g, à quo refringitur forma puncti c: patet per 14 huius quò d punctũ, à quo refringitur forma puncti b, quod $it f, erit ba$sius puncto h: producta quoq; linea a fintra cor pus diaphanum ad diametrum d e in punctum k:patet quoq;, ut in 37 huius, quia punctum k cadet inter puncta p & e: copulata quoq; linea l k, erit ip$a qua$i æquidi$tans lineæ b c, & in eadem $uper- ficie cum illa. Erit ergo maior per 29 p 1 & 4 p 6: & etiam quia $ub maiori angulo uidetur, maior ui- detur. Patet ergo propo$itum.

40. Lineæ refractè ui$æ, tran$euntis per centrum corporis diaphani $phærici den$ioris aere, non exi$t\~etis in perpendiculari ducta à centro ui$us $uper illius corporis $uperficiem, imago $em per uidetur maior ip$a linea.

Sit a centrum ui$us extra corpus diaphanum gro$sius aere: cuius centrũ $it d: $it\~q linea ui$a b c pertran$iens centrum d: ita tamen quòd centrum ui$us non $it in illa linea b c utcunq; protracta: dico quòd eius imago $emper uidetur maior ip$a linea. Quoniã enim per- pendiculares $uper $uperficiem corporis à quibu$cunq; punctis lineæ b c a b d c b c z productæ, omnes continent lineam b c: ui$u quoq; in aere exi$tente fit re- fractio $emper ad contrariam partem perpendicularis ductæ à puncto re- fractionis $uper $uperficiem corporis, ut patet per 4 huius. Ergo $ecun- dum præmi$$as demon$trationes patet, quòd lineæ exten$ionis forma- rum punctorum extremorum lineæ b c, quæ $unt b & c, productæ intra corpus diaphanum, à cuius $uperficie fit refractio, inter$ecabunt perpen- diculares punctorum b & c: maior ergo $emper uidebitur imago lineæ b c, quàm ip$a linea: quæ tunc fit pars $uæ propriæ imaginis $ecundum ueritatem. Patet ergo propo$itum. Po$$et quoq; ampliari modus i$te de- mon$trandi ad alios $itus lineæ ui$æ, qui po$$ent e$$e ultra centrum cor- poris diaphani den$ioris aere, ui$u exi$tente extra illud corpus in aere, & conuexitate corporis re$piciente ui$um. Videtur enim & tunc imago quandoq; maior re ui$a præmi$$o modo in alijs $itibus an@ centrum: ut cum linea ui$a fuerit propinqua centro corporis diaphani. Et $i linea ui$a b c fuerit perpendicularis $uper lineam a d z à centro ui$us per centrum corporis productam: & lineæ exten$ionis formarum extremorum pun- ctorum lineæ b c $ecent corporis $phærici diaphani $uperficiem, & $e- cent lineas perpendiculares ductas à pũctis b & c $uper $uperfici\~e corpo- ris diaphani intra corpus: tunc imago uidebitur minor re ui$a. Si uerò li- neæ exten$ionis formarum punctorum b & c fuerint contingentes circulum corporis diaphani in term inis perpendicularium ductarum à punctis c & b $uper $uperficiem corporis, uel $ecan- tes circulum in ei$dem terminis: tunc $emper imago erit æqualis rei ui$æ per 15 p 1 & per 26 & 28 p 3: & uidebitur imago lineæ b c $icut quædam chorda arcus illius circuli. Et $i lineas exten$ionis formarum accideret contingere circulum corporis diaphani in duobus punctis medijs illius ar- cus: ut $i ui$us $it ualde propinquus $uperficiei corporis diaphani: tunc illæ lineæ concurrent cum perpendicularibus extra corporis $uperficiem: uidebiturq; imago lineæ b c maior ip$a linea: & extra $uperficiem corporis $ecundum $ui extrema exten$a. Quòd $i linea ui$a b c $it extra corpus diaphanum, contingens ip$um, uel di$tans ab ip$o, non exi$tens tamen pars lineæ a d: tunc ima- go eius uidebitur minor re ui$a, quando occurrit inter ip$um corpus diaphanum, uel ultra illud, inter rem ui$am & $uperficiem corporis. Sed in a$$uetis ui$ibilibus non e$t aliquid tale, ni$i fortè fuerit aliquod corpus diaphanum uitreum aut lapideum, & fuerit totum corpus $olidum, & res ui- $a fuerit intra ip$um: uel $i res ui$a fuerit ultra $phæram cry$tallinam aut uitream. Horum autem $i- tuum diuer$itatem ex præhabitis principijs demon$tran dam relinquimus ingenio perquirentis.

41. In omnibus refractionibus factis à $uperficiebus $phæricis corporum diaphanorum ad ui$um, imagine apparente maiore re ui$a: pars imaginis uidebitur maior parte rei ui$æ $ibi pro- portinoali. Alhazen 47 n 7.

Fiat di$po$itio, quæ in 35 huius: & $it, ut linea d m $ecet lineam k l, quæ e$t diameter imaginis, in puncto o: erit ergo linea k o imago lineæ b z: quoniam punctum z uidetur $ecundum perpendi- cularem a z per 3 huius: & erit angulus k a o maior angulo b a z: & $itus lineæ k o re$pectu ui$us a e$t $imilis po$itioni lineæ b z re$pectu eiu$dem ui$us: & ambæ illæ lineæ æqualiter di$tant à cen- tro ui$us: uel $i in hoc $it aliqua differentia, illa non erit $en$ibilis, re$pectu ui$us. Imago itaque k o uidetur maior quàm linea b z: & earum puncta z & o cadunt in linea z a, quæ e$t ducta à centro ui$us, & cuius pars e$t linea z m, exiens ab extremitate lineæ b z perpendiculariter $u- per $uperficiem corporis diaphani, cadens in punctum m. Quòd $i a$$umatur alia pars lineæ b z: quæ $it b f: & $it locus imaginis formæ puncti f in puncto r lineæ k o:tunc erit linea kr imago lineæ b f: & $icut $uprà, o$ten$um e$t, patet quòd linea k r uidebitur maior quàm li- nea b f: quoniam plus refractionis accidit lineæ b f, quàm lineæ f z per 14 th. huius: maior VITELLONIS OPTICAE ergo ei debetur exce$$us imaginis quàm lineæ f z. Si uerò pũctum a centrum ui$us $it extra $uper- ficiem, in qua $unt omnes perpendiculares, exeuntes ex punctis lineæ b c $uper $uperfici\~e corporis diaphani, à qua a m h g e k r o @ b f z c l d fit re$ractio (nam linea a z, quæ exit à puncto a perpendicu lariter $uper medium pũctũ line{ae} b c, quod e$t z, nõ propter hoc e$t perpendicularis $uper $uperficiem corporis, in qua e$t linea b c) id\~e patebit. Nã quoniam lineæ b c & k l $unt e- rectæ $uper lineam a z d, & linea k o e$t imago lineæ b z, & li nea l o e$t imago line{ae} z c, & angulus, qu\~e re$picit linea k o apud centrum ui$us a, qui e$t angulus k a z, e$t maior angu- lo b a z, quem re$picit linea b z apud centrum ui$us a: linea ergo k o per 20 th. 4 huius uidebitur maior quàm linea b z: & $imiliter linea k r uidebitur maior quàm linea b f. Et o- mnia hæc patent exillis, qu{ae} pr{ae}mi$$a $unt in 33 huius. Siue ergo $uperficies corporum diaphanorũ oppo$itæ ui$ui fue- rint plan{ae}, $iue $phæric{ae}: accidit imaginem rei ui${ae} uideri maiorem ip$a re ui$a. In hoc tam\~e e$t differentia, quia in corporib. diaphanis planarũ $uperficierũ exce$$us magni tudinis imaginis $uper r\~e ui$am e$t $olũ in apparentia ui$us, propter exce$$um angulorũ, $ecũdum quos uidetur & ima- go & res ip$a ui$a: aliàs enim imagines $ecũdũ ueritat\~e $unt æquales ip $is rebus ui$is: $ed in refractione facta à corpori- bus conuexis $phæricis imago e$t $ecũdum ueritat\~e maior ip$a re ui$a: & etiam $ecũdum apparentiam in ui$u propter angulorum exce$$um uidetur maior: quoniam in hoc $itu i- mago re$picit maiorem angulum apud c\~etrum ui$us quàm re$piciat ip$a res ui$a: & $unt utroq; modo partes imaginũ maiores partibus rerum ui$arum $ibi proportionalium. Patet ergo propo$itum.

42. Omne corpus ui$um in aqua, comprehenditur maius quàm $it $ecundum ueritatem. Alhazen 48 n 7.

Quod hic proponitur, patet $atis ex præmi$sis: $ed & id\~e placuit experimentaliter declarare, & uniuer$al\~e cau$$am particulariter exemplare. A$$umatur itaq; corpus colũnare longitudinis unius cubiti, & ali quãt{ae} gro $siciei: & $it albũ, ut manife$tius in aqua po$sit di$tingui: $int\’q; $uքficies eius ba$is planæ, ita quod per$e $uper illas po$sit $tare æqualiter $uper $uperficiem horizontis uel terræ uel ua$is. Deinde infundatur aqua clara in uas aliquod, cuius fuperficies ba$is $it plana: ita quòd a- qua non immergat totam corporis longitudinem: & erigatur corpus $uper mediam ba$im ua$is in aqua. Remanebit ergo aliqua pars eius extra aquã: quia profunditas a quæ e$t minor corporis lon- gitudine. Cũ itaq; quieuerit a qua: uidebitur pars corporis intra a quam gro$sior, quàm illa, quæ e$t extra a quam. Patet ergo propo$itũ per experimentũ. Sed & id\~e patet aliter. Quoniã enim conuexũ $uperficiei a qu{ae} e$t figuræ $phæricæ, & opponitur ui$ui: & centrũ $uperficiei aquæ, quod e$t centrũ uniuer$i (ut aliàs o$t\~edimus) $emper e$t ultra omnia illa ui$ibilia, qu{ae} cõprehendunturin aqua, & aqua e$t gro$sior aere: $iue extremitas rei ui$æ fuerit æqualiter di$tans à c\~etro aqu{ae}, $iueinæquali- ter: & $iue ui$us fuerit in aliqua linearũ perpendiculariũ exeuntiũ ab aliquo pũctorũ rei ui$æ $uper $uperfici\~e aqu{ae}, $iue o\~es extra illas perpendiculares: $emper e$t nece$$ariũ, ut patet expr{ae}mi$sis $ex propo$itionibus proximis, $ormã rei ui${ae} uideri maior\~e ip$a re ui$a exi$t\~ete intra corpus aqu{ae}. Sed fortè $i a qua fuerit clara ualde, & pauca: quales aquas in loco $ubterraneo in concauitate montis, qui e$t inter ciuitates Paduã & Vincentiã (qui locus dicitur Cubalus) nos uidimus lucidas, qua$i ut aerem: tũc fortè non cõpreh\~edetur imago form{ae} rei ui$æ $ub aqua tali e$$e maior quàm $i in aere uideretur: quia tũc non e$t differentia in quantitate i$torũ quo ad $en$um: quoniam den$itas a quæ modicũ addit $uper aeris den$itat\~e: & ideo $en$us tũc non di$tinguet quantitatis addition\~e: $emper tamen $ecũdum ueritat\~e imago fit maior ip$are ui$a: licet illud quan doque lateat $en$um. Patet er- go propo$itũ: magis tamen e$t hoc euidens in aquis gro$sioribus, ut $ulphureis calidis: in quarum intuitu & mirabilii tran $mutatione formarum primùm nos amor huius $tudij allexit.

43. Re ui$a ultra corpus diaphanum $phæricum gro{$s}ius aere exi$tente, itaquòd centrum ui $us & res ui$a & centrum corporis $phærici $int in eadem linea recta: comprehenditur imago rei ui$æ figuræ armillaris, multò maior re ui$a. Alhazen 49 n 7.

Sit centrum ui$us a: & corpus $phæricum diaphanum $it b d z g: cuius centrum $it e: & ducatur li nea a e: qu{ae} protracta $ecet $uperficiæ $phær{ae} diaphan{ae} in duobus pũctis b & d: protrahatur quoq; ultra punctum d u$q; ad punctum h: tran $eat\’q; per lineam a b d h $uperficies plana $ecans $ph{ae}ram: & $it communis $ectio illius $uperficiei planæ, & $uperficiei $phær{ae} diaphanæ per 69 th.1 huius cir- culus b d z g. Iam autem o$ten$um e$t in 25 huius quòd in linea d h $unt plura puncta, quorum formæ refringuntur ad ui$um a ex circumferentia circuli b d z g: & quòd forma totius illius LIBER DECIMVS. lineæ refringitur ad ui$um a, $i arcus b g z d fuerit continuus, unius $cilicet diaphanitatis continen- tis lineam d h l. Et $i forma puncti h re fringatur ad ui$um a ex puncto corporis g: & forma punctil refringatur ad ui$um a ex pũcto corporis p: manife$tum e$t quod forma totius lineæ refringetur ad a ui$um ex arcu g p: & ducantur lineæ g h, p l, g a, p a: $ecet\’q; linea g h circũferentiam circuli in pun- cto m, & linea p lin pũcto z. Forma itaq; pũcti h extenditur per lineam h g, & refringitur per lineam g a: & forma puctil extenditurper lineã l p, & refringitur per line- a b g p e d b m z o h f l c am p a: & ducantur lineæ e m & e z: & extrahatur linea e m ad pun- ctum c: & linea e z ad punctum f. Forma ergo, qu{ae} exten ditur per lineam a g (quoniam peruenit ad punctum g) refringitur per li- neam g h ad punctum h: & forma, quæ extenditur per lineam a p perueniens ad punctum p, per lineam p l refringitur & peruenit ad punctum l: & hoc $i corpus diaphanum fuerit continuum & u- num u$q; ad punctum l. Si uerò corpus $phæricum fuérit $ignatum & terminatum apud $uperficiem $phæricam citra lineam h l: tunc forma, quæ extenditur per lineam a g, refringitur per lineam g m in partem perpendicularis e h: & cum forma peruenerit ad pun- ctum m, refringetur $ecundò in partem contrariam perpendicula- ris, quæ e$t e m c, & concurret cum perpendiculari e l: refringa- tur ergo in punctum k perpendicularis e l. Et$imiliter forma, quæ extenditur per lineam a p, refringetur per lineam p z: & cum per- uenerit ad punctum z, refringetur $ecundò ad partem contrariam perpendicularis e z f in partem perpendicularis e h, & concurret cum illa perpendiculari h e: $it punctum concur$us o. Sic ergo re- fractio $ormæ quæ e$t à puncto p, peruenit ad punctum z: abillo puncto zrefringitur ad diametrum e l per lineam z o. Forma itaq; puncti k per 9 huius extenditur per lineam k m, & à puncto m re- fringitur per lineam m g in punctum g: deinde $ecundò refringitur à puncto g per lineam g a ad ui$um a. Et$imiliter forma puncti o extenditur perlineam o z: & à puncto z refringitur perlineam z p in punctum p: deinde refringitur ab illo puncto p per lineam p a ad ui$um a. Forma ergo totius lineæ k o refringitur ad ui$um a ex arcu g p. Et $i linea a k o fuerit fixa, & imaginati fuerimus figuram k a g p circumuolui eirca lineam a k o fixam: tunc arcus g p de$cribet fi- guram circularem, utpote armillam, à cuius totali $uperficie refrin- getur forma lineæ k o ad ui$um a: & erit centrum uni$us a locus ima- ginis per 15 th. huius. Forma ergo lineæ k o uidebitur in tota $uperficie circulari, quæ e$t locus res fractiõis: & e$t armillaris in $uperficie $phæræ. Forma itaq; lineæ k o uidebitur multò maior $eip$a: & erit figura formæ diuer$a à figura k o. Hoc autem pote$t $ic experimento declarari. Accipiatur $phæra cry$ta llina aut uitrea per$ect{ae} rotunditatis: & accipiatur corpu$culum paruum, ut cera ni- gra $phærica, quæ ponatur in capite acus: ponatur\’q; $phæra cry$tallina in oppo$itione alterius ui- $uum, & claudatur reliquus: eleuetur\’q; acus ultra $phæram: & a$piciatur medium $phæræ: & $it ce- ra oppo$ita medio $phæræ in linea recta: uide bitur\’q; in $uperficie $phæræ nigredo rotunda in fi- gura armillæ. Quòd $i non uideatur talis figura: moueatur cera antè & retro, donec uideatur talis rotunditas: & tunc auferatur cera, & recedet nigredo: quòd $i ceram reduxerit quis ad locum & $itum priorem, reuertetur $tatim nigredo rotunda armillaris. Sed & in his multa e$t diuer$itas, quam relin quimus $tudio perquirentis.

44. Reui$atrans corpus diaphanum columnare den$ius aere, it a quòd centrum ui$us, & cen trum alicuius circuli corporis æquidi$tantis b a$ibus columnæ, & res ui$a $int in eadem linea re- cta: imago reiuidebitur duplicata. Alhazen 50 n7.

Sitin corpore columnari gro$sioris diaphanitatis quàm $it aer, circulus b g d z: & $it centrum ui fus a: & cætera, ut prius in præcedente: dico quòd forma lineæ k o uidebitur duplicata: quoniam ip$a uidebitur apud arcum g p, & apud arcum $ibi æqualem & $ibi corre$pondentem exarcu b d in alia parte $emicylindri. Sed hæc forma non erit circularis: quia figura a h p g cum fuerit circũ- noluta circa a k lineam immotam atq; fixam, non tran$ibit perillam lineã arcus g p per totã $uper$i- ciem columnar\~e: $ed re$ringetur forma ex aliquibus portionibus colũnæ, & erit cõtinua in una par @e, & $imiliter in alia, Ná $uperficies, in qua $unt pũcta l, k, tran$i\~es per ax\~e colũn{ae}, facit in $uperficie colũn{ae}, qu{ae} e$t ex parte ui$us a, lineam rectã tran$eunt\~e per pũctũ b, & ext\~e$am in lõgitudine colũ- næ: & non refringetur $orma lineæ k o ex illa linea recta: nam linea k h erit perpendicularis $uper il lam lineam rectam. Non ergo erit forma rotũda corpore diaphano exi$tente colũnari: $ed erũt duæ form{ae}, quarũ altera refringetur $uper alteram. Videbitur ergo linea k o hab\~es imagines duas, qua- rum utraq; e$t maior quàm linea k o: & erũt illæ duæ formæ eædem apud pũctum a, quod e$t cen- trum ui$us: quoniam in illo pũcto a e$t locus ambarum illarum imaginum, ut patet per 15 th. huius. Patet ergo propo$itũ. Non pote$t autem fieri huiu$modi refractio à $uperficie corporum pyrami- VITELLONIS OPTICAE dalium: quoniam linea k a non e$t perpendiculariter erecta $uper $uperficiem conicam talium cor- porum: neque pote$t e$$e, ut $uperficies refractionis $ecet huiu$modi corpora $ecundum circulum, quemadmodum etiam de $uperficiebus reflexionũ & de $peculis pyramidalibus conuexis & con- cauis o$ten$um e$t in præmi$sis libris.

45. Centro ui$us exi$tente in diametro corporis diaphani $phærici concaui den$ior is aere, & reui$a re$piciente conuexum illius corporis: imago uidebitur quando<005> minor re ui$a: quando<005> maior, ut cum fit figuræ armillaris.

Sit centrum ui$us a: linea\’q; ui$a $it b c: & $it corpus $phæricum concauũ den$ioris diaphanitatis, quàm $it aer, cuius centrum $it d: & diameter e d f: $it\’q linea b c extra conuexum illius corporis: & centrũ ui$us a $it in diametro illius intra corpus cõcauũ:dico quòd $emper imago rei ui$æ lineæ b c erit minor ip$a re ui$a. Si enim centrũ ui$us a fuerit in centro corpo ris puncto d:palàm per 72th.1 huius quoniam omnes lineæ exten- b c e a a d a f $ionis formarũ pũctorum lineæ b c ad ui$um a, erũt perpendicula- res $uper $uperficiem corporis: quoniam tran$eunt centrũ eius: lo- cus ergo imaginis per 15 huius erit ip$e arcus refractionis, uidebi- tur\’q; imago curua minor re ui$a. Quòd $i a centrum ui$us fuerit in aliquo punctorũ $emidiametri e d propinquioris rei ui${ae}, uel in ali- quo punctorum $emidiametri d $ remotioris: adhuc $emper lineæ exten$ionis $ormarum ad ui$um $ecabũt perpendiculares ductas à pũctis rei ui$æ $uper $uperficiem corporis diaphani, à qua fit refra- ctio, in ip$is pũctis refractionũ: hoc e$t in pũctis arcus, à quo fit re- fractio, uel circa illa pũcta intra corpus diaphanum uel extra illud. Videbitur ergo imago quãdoq; curua: quandoq; recta: quandoq; irregularis: $ed $emper minor re ui$a: quoniam, ut patet, chorda uel alia diameter imaginis e$t minor re ui$a: & omnis linea cadens in- ter centrũ ui$us pũctum a & inter lineam b c, e$t minor quàm linea b c, cũ ceciderit inter lineas a b & a c: ot hæc patere po$$unt per 29 p 1, uel per 4 p 6. E$t itaq; in tali di$po$itione $emper imago minor ip$a re ui$a: erit\’q; eius imago quandoq; maior, ut cum fit figuræ ar- millaris. Si enim linea b c $ituetur in diametro f d e: tũc formarum punctorũ b & c fiet refractio ab aliquibus duobus pũctis unius arcus circuli corporis, & pũctorum mediorum lineæ b c fiet refractio à pũctis medijs illius arcus. Et $i linea a b c remanente fixa, imagi- netur illa figura circũuolui, quou$q; redeat ad locũ, unde motus accepit principiũ: de$cri betur per arcũ refractionis qu{ae}dam $uperficies armillaris in tota $ph{ae}rica $uperficie corporis, à qua totali fier refractio ad ui$um: erit\’q; locus imaginis in centro ui$us: qui applicans formã ui$am ip$i $uperficiei refractionis, rem iudicat figur{ae} armillaris: ut hæc amplius omnia declarauimus in 43 huius. Patet ergo propo$itum. Sed in ui$ibilibus nobis a$$uetis nihil compreh\~editur à ui$u ultra corpus diapha- num $phæricum den$ius aere, cuius cõcauitas $it ex parte ui$us, ni$i fortè tale corpus fiat artificiali- ter ex uitro, uel cry$tallo, uel glacie, aut aliquo illis $imili: refractio tamen, quæ fit ad ui$um à $uperfi cie concaua cœli $imilis e$t i$ti, ni$i quòd $ecundum illam non fit refractio ni$i formarum $phærica- rum, quarum naturam & modum inferius duximus per$equendum.

46. Imago formæ cuiuslibet rei ui$æ figuratur diuer $imodè $ecundum figuram $uperficiei cor poris, à qua fit refractio ad ui$um. Alhazen 35 n 7.

Quoniam enim locus imaginis refractæ e$t $emperin communi $ectione catheti incid\~etiæ, quæ e$t perpendiculariter à puncto rei ui$æ producta $uper $uperficiem corporis diaphani, in quo e$t res ui$a, & line{ae}, per quam $orma peruenit ad ui$um, ut patet per 15 th. huius. Si ergo imaginati fue- rimus quòd ab unoquoq; puncto rei ui$æ exeat cathetus incidentiæ, qu{ae} e$t perp\~edicularis $uper $uperficiem corporis, in quo e$t res ui$a: tũc habebimus quãdã figurã columnar\~e uel corporalem, exeunt\~e à $uperficie totius ui$i corporis ad $uperfici\~e corporis diaphani: & h{ae}c figura $ecat pyrami d\~e radial\~e, $ecundũ quã fit ui$io refracta, cuius uertex e$t in c\~etro ui$us: & i$tarũ duarũ figurarũ cor poralium, columnaris $cilicet & pyramidalis communis $ectio e$t locus imaginis formæ rei ui$æ. Si itaq; $uperficies corporis, à qua fit refractio formæ rei ui$æ, fuerit plana: tunc corpus imagina- tum continens omnes perpendiculares erit $imiliter planæ $uperficiei: quare illa imago erit æqua- lis, uel modicò maior quàm $it forma rei ui$æ: uidebitur tamen $emper multò maior re ui$a. Quòd fi corpus, à quo fit refractio, fuerit $phæricum, & conuexum eius $it ex parte ui$us, fuerit\’q; res ui$a in centro ip$ius corporis diaphani, uel inter illud centrum & ui$um: tunc imago rei ui$æ erit figu- ræ pyramidalis, quoniam omnes perpendiculares, quæ $unt catheti incidenti{ae}, concurrunt in cen- tro corporis diaphani per 72 th.1 huius: & h{ae}c imago quantò magis extenditur uer$us $uperficiem conuexam corporis diaphani, tantò magis amplificatur: & ubicunq; locus imaginis fuerit inter rem ui$am & $uperficiem corporis $phæricam: $emper imago erit amplior re ui$a. Si autem lo- cus imaginis fuerit ultra rem ui$am : tunc imago erit $trictior re ui$a. Si uer$o4; res ui$a fuerit ultra LIBER DECIMVS. $uperficiem $phæricam corporis diaphani uel ultra centrum eius: tunc, (cum omnes catheti inci- denti{ae} $ec\~et $e in centro corporis) erit corpus imaginatũ duæ pyramides oppo$itæ, quarũ uertices coniunguntur in centro corporis diaphani: & loca imaginum tunc po$$unt e$$e diuer$a: & fortè ac cidet quandoq; imaginem uideri maiorem re ui$a: quando q; æqualem: & quandoq; minor\~e. Quòd $i corporis diaphani $phærici concauitas $uerit à parte ui$us, & conuexitas ex parte rei ui$æ: tunc per eandem rationem, per quam prius, corpus imaginatum erit pyramis, cuius uertex erit in c\~etro corporis diaphani. Quantò ergo magis hoc corpus imaginatum extendιtur uer$us centrum corpo ris diaphani, tantò magis con$tringitur: & quantò magis extenditur ad partem illam, tantò magis dilatatur & amplificatur $uperficies: unde $ecundum hoc locis imaginum diuer$i$icatis, diuer$ifica tur & quantitas imaginum formarum. Quia $i locus imaginis fuerit propinquior centro corporis diaphani concaui, quàm ip$a res ui$a: erit imago minor ip$a re ui$a: & $i $uerit locus imaginis remo- tior à centro corporis quàm res ui$a: erit imago maior ip$a re ui$a. Et quomodo hoc exemplificaui- mus in corporibus diaphanis $phæricis conuexis & concauis: eodem modo in corporibus colu- mnaribus & pyramidalibus conuexis & concauis pote$t intelligi. Vniuer$aliter aut\~e quando locus imaginis e$t $uperficies corporis diaphani, à qua fit refractio: tunc $emper imago induit figuram $u perficiei, à qua fit refractio. Vnde in conuexis $uperficiebus fit conuexa: in cõcauis concaua: in co- lumnaribus corporibus fit oblonga columnaris: & in pyramidalibus corporibus pyramidalis. Di- uer$ificantur etiam figuræ imaginum in eodem diaphano $ecũdum diuer$um $itum eiu$dem rei ui- $æ re$pectu ui$us. Vnde forma eiu$dem rei, ut pedis uel manus, quandoq; uidetur $tricta & curta: quandoq; arcta & longa, $ecũdum quod perpendiculares à punctis illius rei ad $uperficiem corpo- ris diaphani productæ illi $uperficiei incidunt diuer$imodè: $ic enim uariè à lineis exten$ionis for- marum inter$ecantur: & uariatur multiformiter imago, ut patet per 15 & 16 huius. Horum quoq; o- mnium cau$$a $ufficienter patet ex præmi$sis. Palàm ergo e$t id, quod proponebatur.

47. Vna imago refr acta occurrit eiu$dem uidentis ui$ibus ambobus. Alhazen 36 n 7.

Quoniam enim forma eiu$d\~e rei ui$æ refracta ab aliqua $uperficie corporis diaphani, in quo e$t illa res, $e offert ambobus ui$ibus eiu$dem uidentis: tunc in ip$ius ui$ione non fit quantùm ad actũ uidendi, differentia à $implici ui$ione, quam pertractauimus in tertio & quarto libro huius $ci\~etiæ: ubi diximus quòd res $ecundum pyramidem uidetur, cuius uertex e$t in centro ui$us, & ba$is in $u perficie rei ui$æ: & o$tendimus quòd tunc ab ambobus ui$ibus uidetur una forma: unde illud hic fupponimus in $ormis refractis, ut in formis directè ui$is. Si enim homo comprehenderit aliquod ui$ibile in cœlo aut in aqua, aut $ub uitro uel cry$tallo ambobus ui$ibus, & claudat unũ ui$uũ: nihi- lominus comprehendet illud ui$ibile. Ambobus ergo ui$ibus & uno tantũ ui$u cõprehenditur ea- dem forma. Et hoc e$t propo$itũ: non enim uidimus in talibus aliquid ulteriori mora dignum.

48. Cry$tallo $phærica $oli oppo$ita ignem po$sibile e$t accendi in re combu$tibili, quæ est post illam. a d c g b e f

Sit centrum $olis punctum a: $it\’q; cry$tallus $ibi oppo$ita, cu- ius centrum b: $it\’q;, ut $uperficies plana centra amborum, quæ $unt a & b, pertran$iens $ecet ip$am cry$tallum $phæricam $ecun- dum circulum per 69 th.1 huius: qui $it c d e f g. Dico quòd $i ali- quod combu$tibile ponatur po$t hanc cry$tallum: ita quòd cry- $tallus $it media inter $olem & rem combu$tibilem, ut $tupam uel aliquid con$imile: po$sibile e$t, ut ignis in illo corpore accen- datur. Imaginetur enim à centro $olis a u$que ad centrum cry$tal li, quod e$t b, diffundi radium, qui $it a b. Cum itaque radius i$te $it perpendicularis $uper corpus $olis & $uper corpus cry$talli per 72 th. 1 huius, quoniam tran$it per amborum centra: palàm per 47 th. 2 huius, quia non refringitur, $ed tran$it corpus cry$talli irrefra- ctus: omnes\’q; radij $olis $uper$iciei $phæricæ cry$talli {ae}quidi$tan- ter radio a b incidentes, palàm quoniam incidunt obliquè: ergo per 47 th. 2 huius patet quoniam omnes illi radij refringuntur ad perpendicularem a b: quoniam quilibet illorum radiorum refrin gitur ad perpendicularem à puncto refractionis $uper $uperficiem cry$talli: quæ perpendiculares omnes concurrunt cum diametro a b in centro $phæræ cry$talli: fit autem ad illas perpendiculares refractio: ideo quòd corpus cry$talli den$ius e$t corpore aeris, per quod tran$eunt radij inter corpus $olis & corpus cry$talli inciden- tes.Et quoniam in di$tantia æquali à radio a b, alij radij à corpo- re $olis procedentes, corpori cry$talli incidunt $ecundum angulos æquales per 43 th. 1 huius: palàm per 8 huius quoniam $ecun- dum æquales angulos refringuntur. Imaginetur itaque radius a b produci ultra corpus cry$talli: & patet quoniam à quolibet circu- lo cry$talli totius $uperficiei $olis oppo$itæ refringuntur radij ad unum pu n ctum perpendicula- VITELLONIS OPTICAE ris a b, $icut & omnes perpendiculares concurrunt in centro b. In aliquo itaque illorum puncto- rum perpendicularis a b retro corpus cry$talli po$ito combu$tibili, ignis accendetur in illo, $i mo- ram duxerit. Omnes enim anguli refractionis ex aere ad $uperficiem $uperiorem cry$talli unius circuli (cuius polus e$t punctus, $ecundum quem linea a b $ecat $uperficiem cry$talli) $unt æ- quales: & eorum radiorum anguli refractionis à $uperficie. Et quo- niam quilibet illorum radiorum refringitur à linea perpendiculari à puncto $uæ refractionis $u- per $uperficiem cry$talli producta: patet quòd omnes illi radij æqualiter refracti, concurruntin uno pũcto lineæ a b productæ ultra $uperficiem cry$talli.Et quia illa pũcta naturalia latitudin\~e ha- bent: patet quòd in ip$is radij plurimi concurrũt: po$$unt ergo rem combu$tibilem ibi po$itam in- flam mare: quod e$t propo$itũ. Fortè tamen portio $phæræ cry$tallinæ minor hemi$phærio fortius inflammaret in loco centri $ui po$ita re inflammabili: quoniã omnes radij totali illi $uper ficiei $phæ ricæ perpendiculariter incidentes concurrerent in centro per 72 th. 1 huius. Sed & in horum expe- rimentatione e$t maxima latitudo, quam relinquimus ad talia curio$is.

49. Stellas cæli & lunam $ecundum refr actionem à ui$ibus comprehendi in$trument ali- ter declaratur. Alhazen 15 n 7.

In$trumentum armillarum ponatur in loco eminente: unde appareat horizontis pars orientalis, ita quòd armilla, qu{ae} e$t in loco circuli meridiei, $it po$ita in $uperficie circuli meridiei: & polus e- ius $it exaltatus à $uperficie terræ $ecundum eleuationem poli mundi $uper illius habitabilis hori- zonta: & in nocte ob$eruetur aliqua $tellarum fixarum magnarum, quæ cum peruenit ad circulum meridianum, $it tran$iens per centrum capitis experimentantis aut prope: & cõ$ideretur illa in or- tu $uo, dum eleuatur $uper $uperficiem horizontis: & tunc reuoluatur armilla reuolubilis in circui- tu poli mundi, qui e$t polus æquinoctialis, donec $iat æquidi$tans circulo magno cœli tran$eunti per polos æquinoctialis, & per centrum corporis illius $tellæ: & certificetur locus $tellæ ex armilla, ita ut habeatur di$tantia $tellæ à polo mundi. Deinde ob$eruetur $tella, donec ueniat ad circulum meridiei: moueatur\’q; armilla mobilis, donec fiat æquidi$tans circulo $tellæ, ut prius: & $it in $u- perficie circuli meridiani: & tunc iterum habebitur di$tantia $tellæ à polo mundi, cum $tella $uerit in zenith capitis aut prope: inuenietur\’q; di$tantia $tellæ à polo mundi in tempore ortus & eleua- tionis $tellæ minor ip$ius di$tantia ab eodem polo, tempore, quo e$t in zenith capitis uel prope. Pa tet itaque ex i$tis quia ui$us comprehendit formas $tellarum orientium re$ractè, & non rectè: quo- niam quælibet $tellarum fixarum $emper mouetur per eundem circulum ex circulis æquidi$tanti- bus æquinoctiali, ni$i fortè $ecundum motum latitudinis uarietur parum in tempore lõgo: de quo alibi plenius dicemus. Si itaq; ui$us comprehenderet $tellas rectè, non refractè:tunc ui$us compre henderet quamlibet $tellarum in $uo loco: & e$$et omni hora noctis eiu$dem $tellæ à polo mundi eadem di$tantia in ui$u: cuius contrarium accidit ui$ui per in$trumentum. Similiter quoque acci- dit in luna. Si enim aliquis per tabulas æquauerit locum lunæ in aliqua hora prope ortum eius: & habeat latitudinem eius & di$tantiam à polo mundi notam: & item æquet ip$am pro tempore me- diæ noctis: & $ciat latitudinem eius & diftantiam à polo mundi. Si itaq; inueniatur locus lunæ per armillas tempore ortus $ui: non accidet diuer$itas inter computationem per tabulas & experimen tationem per in$trumentum. Inuento uerò loco lunæ per armillas, dum e$t in meridiano circulo: erit di$tantia lunæ à zenith capitis inuenta per in$trumentum, cum latitudo lunæ e$t meridiana, maior, & cum e$t $eptentrionalis, minor uera di$tantia eius à zenith capitis inuenta per computa- tionem tabularum. Patet ergo quòd lux lunæ non peruenit ad ui$um rectè, $ed refringitur in ali- quo medio corpore $ecundi diaphani: quia ni$i refringeretur, eadem eius e$$et di$tantia à zenith ca pitis per in$trumentum & per tabularum computationem, ut accidit cum e$t in horizonte: nunc autem differt. Palàm e$t ergo propo$itum, quòd omnes $tellæ uidentur per refractionem.

50. Diaphanitas corporis cæle$tis rarior est aeris & ignis diaphanitate. Alhazen 16 n 7.

Di$po$ito enim in$trumento armillarum, ut $uprà, inuenienda e$t di$tantia alicuius $tellarum à zenith capitis: & in loco experimentationis $it circulus meridiei a b g: & $it zenith capitis punctũ b: & polus mundi $it punctum d: centrum quoque mundi $it punctus e: & ducatur $emidiameter meridiani circuli: quæ $it e b, pertran$iens centrum ui$us experimentantis, qui $it punctus z: $it\’q; circulus h t æquidi$tans circulo æquinoctiali & polo ip$ius, qui e$t d: erit\’q; polus illius circuli h t punctus d per 68 th. 1 huius, propter æquidi$tantiam illorum circulorum: $it\’q; circuli h t di$tantia à puncto d polo mundi illa, in qua inuenitur $tella in hora certificationis di$tantiæ primæ, quæ e$t in ip$o puncto $ui ortus: & $it locus $tellæ in illa hora punctus h: $it\’q; circulus alter, qui k b g, æquidi- $tans æquinoctiali circulo, & etiam circulo h t: cuius diftantia à polo mundi, qui e$t d, $it illa, in qua inuenitur $tella in $ecunda hora con$iderationis, quæ $it $tella exi$tente iuxta zenith capitis in cir- culo meridiano, qui e$t a b g: erit\’q; circulus k b g æquidi$tans polo mundi, qui e$t d, & ualde pro- pinquus ip $i zenith capitis, aut tran$iens per punctum b, quod e$t zenith capitis. Ille ergo circulus k b g e$t, in quo ce$$at obliquitas refractionis. Nam cum $tella fuerit in zenith capitis in pũcto b, aut ualde prope: tũc ui$us comprehendet eius formã rectè. Nã linea e z b à centro mũdi e per centrũ ui $us z ad zenith capitis b perting\~es, e$t perp\~edicularis $uper cõcauũ $ph{ae}r{ae} cœle$tis, & $uper cõuexũ LIBER DECIMVS. $phæræ aeris per 72 th.1 huius: quoniam tran$it per centrum utriu$q; illarum $phærarũ. Vi$us itaq; propter perpendicularitatem lineæ z b $uper $ph{ae}ras aeris & cœli, comprehendet $tellam exi$ten- tem $u per hanc lineam rectè, $iue corpus cœli & aeris $int eiu$dem diaphanitatis, $iue diuer$æ: quo- niam, ut $uprà o$ten$um e$t per 3 th. huius, perpendicularis linea radialis non refringitur in medio $ecundi diaphani. Forma itaq; $tell{ae} apparentis in k h b t d m z e a g puncto b $ine omni refractione peruenit ad ui$um per medium corpus cœle$te & ignis & aeris (quo- rum in hoc loco acceptio e$t uni$ormis, quanquã ignis plus diaphanus e$t aere: & ex lucibus cœle- $tibus nihil ad nos peruenit uel ad no$tros ui$us, ni$i per medias $phæras ignis & aeris, quæ quantũ ad illud, $unt $phæra qua$i una:) Stellam itaq; exi $t\~etem in zenith capitis aut prope illud, compre- hendet ui$us in $uo uero circulo æquidi$tante cir- culo æquinoctiali, $uper quem mouebatur ab ini- tio noctis, quou$q; peruenit ad circulum meridia- num. In circulo itaq; k b g fuit $tella in prima expe rimentatione $ecundum ueritatem. Sit autem cir- culus altitudinis tran$iens per $tellam in prima ho ra experimentationis circulus b h k: $ecet\’q; i$te circulus circulum k b g in ambobus punctis: $cili- cet in puncto k, qui e$t in parte orientis, & in puncto g illi directè oppo$ito: $ecet\’q; circulum h tin puncto h, in quo corpus $tellæ uidetur e$$e in tempore prim{ae} con$iderationis. Et quia di$tantia $tel læ $ecundum ui$um à polo mundi $uit in prima experimentatione minor, quàm in $ecunda: patet quòd circulus h t e$t propinquior polo d, quàm circulus k b g: pũctus itaq; h circuli altitudinis, qui e$t b h k, propinquior e$t ip$i zenith capitis b quàm punctus k. Ducantur itaq; duæ lineæ h z & k z ad centrũ ui$us z. Quia ergo $tella comprehenditur à ui$u in prima hora experimentationis in pun cto circuli h t: & tunc erat in $uperficie circuli b h k: & tamen $tella erat in illa hora $ecundum ueri- tatem in circumferentia circuli k b g: oportet nece$$ariò, uo$tella in illa hora fuerit $ecundum ueri- tatem in puncto communi illis duobus circulis, qui $unt k b g & b h k, qui e$t punctus k $upra terrã: comprehenditur autem à ui$u in puncto h per lineam z h: quia forma $tellæ peruenit ad ui$um in rectitudine lineæ h z: & linea, qu{ae} e$t inter $tellam & ui$um $ecũdum ueritatem, e$t linea k z. Palàm ergo quòd ui$us non comprehendit $tellam, qu{ae} e$t in puncto k, rectè: compreh\~edit ergo ip$am re- fractè. Et quia in corpore cœle$ti propter homogeneitatem $uæ diaphanitatis non pote$t fieri re- fractio: fiet ergo illa in aliquo puncto corporis illi propinqui. Sit itaque locus refractionis factæ in medio $ecundi diaphani (quod e$t aer uel ignis) punctus m: & ducatur linea k m: & protrahatur à puncto m linea recta u$que ad punctum z centrum ui$us. Quia ergo forma $tellæ extenditur à $tel la per lineam k m, & refringitur ad ui$um per lineam k m z: formæ uerò non refringuntur ni$i occur rerit corpus diuer$æ diaphanitatis, ut o$ten dimus in $ecundo libro huius, & in præmi$sis huius li- bri propo$itionibus. Ergo corpus cœle$te, in quo e$t $tella, e$t differentis diaphanitatis ab aeris uel ignis diaphanitate. Et quia locus refractionis e$t apud $uperficiem tran$euntem inter duo corpora differentia in diaphanitate, ut patet per 4 huius: punctus itaque m e$t in cõcauitate cœli. Et $i pro- ducatur linea e m: hæc $ecundum ueritatem erit $emidiameter $phæræ cœli, cuius concauum attin git conuexum ip$ius ignis. E$t ergo perpendicularis $uper $uperficiem cœli concauam, contingen- tem aerem uel ignem, & $uper $uperficiem aeris uel ignis conuexam. Et quia forma $tell{ae} ext\~e$a in corpore cœle$ti per lineam k m, refringitur in aere ad ui$um per lineam m z: linea uerò k m protra- cta ultra punctum m $ecaret lineam z m, elongans $e à puncto e centro mundi: ideo quia obliquè incidit concauæ $uperficiei ip$ius cœli: palàm quia illa refractio e$t ad partem, in qua e$t perpendi- cularis e m, tran$iens per punctum refractionis perpendiculariter $uper conuexam $uperficiem ae- ris. Et quoniam neque in cœlo, neque in aere e$t aliquod corpus den$um politum, à quo po$sit fie- ri reflexio, ut à $peculo: patet quia illa diuer$itas accidit propter refractionem formæ in medio $e- cũdi diaphani. Corpus itaq; aeris e$t gro$sius corpore cœli, ut patet ք 4 huius. Et hoc e$t {pro}po$itũ.

51. Diametri omnium $tellarum & lineæ determinantes distantias quarumlibet duarum $tellarum in zenith capitis uel circa exi$tentium, minores comprehendũtur per refr actionem, quàm $i directè uiderentur. Alhazen 52 n 7.

Sit circulus meridianus in aliquo horizonte b f k: & communis $ectio $uperficiei huius circuli & $uperficiei conuexitatis $phæræ cœli in$imi per 69 th. 1 huius $it circulus m e z: erunt ergo i$ti duo circuli in eadem $uperficie & concentrici. Sit ergo centrum ip$orum (quod e$t centrum mun- di) punctum g: $it\’q; centrum ui$us punctum t: & ducatur à centro mundi g ad centrum ui$us t li- nea g t: & extrahatur linea g t in partem t e, donec occurrat circulo meridiei in puncto b: $ecet\’q; cir culum, qui e$t in $uperficie cœli concaua, in puncto e: erit itaq; punctus b zenith capitis, quo ad ui- $um: $it itaq; k l àrcus, cuius chorda kl $it diameter alicuius $tellæ aut di$tantia inter aliquas duas $tellas: & linea t b tran$eat per medium arcum k l ad punctum b: & $ecet chordam l k in puncto c: VITELLONIS OPTICAE arcus itaq; k b e$t æqualis arcui b l: & ducantur duæ t k & t l. Erit ergo angulus k t l quidam angulus, $ecundum quem ui$ust comprehendit arcum k l, quando ip$um rectè comprehendit. Sit ita q;, utforma puncti k refringatur ad ui$um t à puncto m circuli m e z, qui e$t $ignatus in concaua $uperficie ip$ius cœli infimi, ut præa$$umptum e$t: & forma punctil refringatur ad ui$um t ex pun- cto z, & ducantur lineæ g m & g z à centro mundi ad loca refractionum: ducantur quoq: lineæ k m: m t, l z, z t. Formaitaq; puncti k extenditur per lineam k m, & refringitur ad ui$um t per linea m m t. Et quoniam linea g m exit à centro ad circumferentiam: palàm per 72 th. 1 huius quòd ip$a e$t per- pendicularis $uper $uperficiem $phæræ cœli incidens puncto m, quod e$t punctum refractio nis. Et eodem modo o$tendi pote$t, quòd g z e$t perpendicularis $uper $uperficiem cœli, incidens in pun- cto z. Et quia per pr{ae}mi$$am corpus cœli, quod e$t z m, e$t rarioris diaphanitatis quàm corpus ae- ris, in quo e$t ui$us t: palàm per 4 huius quia refractio, quæ fit $ecundum lineam m t, erit ad partem perpendicularis lineæ, qu{ae} e$t m g. Erit itaq; punctum m inter duas lineas t b & t k. Quia $i punctus m e$$et ultra li q f h o r k c p m e z t g neam t k: tunc perpendicularis exiens à puncto gad pun ctum m, e$$et etiam ultra punctum k: & ita cũ forma pun- cti k refringeretur ad ui$um à puncto m, refringeretur ad part\~e քpendicularis m g, & nõ քueniret ad քpendicular\~e g e: ergo nõ քueniret ad ui$um t. Palã itaq; quoniã pũctus m e$t inter duas lineas t k & tb: & eodem modo declarari pote$t quia pũctũ z e$t inter duas lineas t b & t l. Extraha turitaq; linea t m ad q pũctum circuli meridiani, & linea t z ad punctũ reiu$dem circuli meridiani. Erit itaq; arcus q k {ae}qualis arcui l r, & angulus q t r erit minor angulo k t l: quoniã e$t pars eius. Sed angul{us} q t r e$t angulus, ք qu\~e ui$us t cõprehendit arcum k l refractè: & angulus k tl e$t angulus, per quem ui$us t compreh\~edetarcum k l rectè: $i ip$um rectè po$$et comprehendere: $ed remotio arcus k l à ui$u e$t maxima: quapropter quantitas eius non cer tificatur. Vi$us itaq; per exi$timationem non per certitu- dinem accipitremotionem arcus k l: $ed exi$timatio ui$us quando comprehendit refractè, nõ dif- fert ab exi$timatione eius, quando comprehendit rectè, ni$i in hoc $olùm, quòd putat $e rectè com prehendere, quando comprehenditrefractè. Vi$us itaq; t comprehendit arcum k l refractè ex an- gulo minori, quàm ille angulus, quo ip$um comprehendit rectè, & $ecundum comparationem ad illam eandem remotionem, ad quam comparat, $i ip$am rectè comprehenderet. Sed ui$us t compre hendit magnitudinem ex quantitate anguli re$pectu remotionis puncti t (quod e$t c\~etrum ui$us) à $uperficie rei ui$æ per 27 th. 4 huius: ergo compreh\~edit quantitatem arcus k l refractè min orem, quàm $i compreh\~ederetillam rectè. Et $i figura, in qua $unt pũcta k, l, t, b imaginetur circumuolui li\‘nea t b exi$tente immobili: de$cribetur circulus $ecans meridianum circulum in duobus punctis, cuius circuli polus erit pũctum b zenith capitis: & erũt omnes anguli, qui $unt apud ui$um t cõten- ti duabus lineis $imilibus lineis t k & tl, inter $e quilibet $uo compari æqualis. Vi$us ergo t compre hendet formam arcus k l refractè in omni $itu in re$pectu circuli meridiei, cum fuerit in uertice ca- pitis, minorem, quàm $i comprehenderet ip$am rectè. Et $ilinea t b $ecuerit arcum k l in duo æqua- lia: tũc duo pũcta q & r erũt inter duo puncta k & l: erit\’q; angulus q t r minor angulo k tl: & erit o- mnis angulus æqualis angulo q t r, exiens à pũcto t $ecans $tellam: & linea exiens à c\~etro ui$us t in $uperficie illius circuli $ecabit circulum maiorem ip$ius $tellæ, & comprehenditur quantitas eius minor quàm $it: & $ic tota $tella uidebitur minor quàm $it. Omnis ergo $tella uidetur minor, cũ e$t in zenith capitis, quàm $i uideretur directè. Et $imiliter e$t de omni di$tantia inter quaslibet duas $tellas, cum zenith capitis fuerit inter duas extremitates illius di$tantiæ: compreh\~edetur enim in omnibus $uis po$itionibus minor, quàm $i directè comprehenderetur $ine refractione. Omnis ita- que $tella in uertice capitis a$picientis exi$tens uidetur minor quàm in alio loco cœli: & quãtò ma- gis remouetur à uertice capitis, tantò $emper apparet maior: itaque in horizonte apparet maior quàm in alio loco. Et hoc e$t commune omnibus $tellis, planetis $cilicet & fixis, quòd in zenith ca- pitis uel prope illud $emper $unt minores. Et hoc $imiliter apparetin lineis determinantibus $tel- larum di$tantias: hoc e$t in ip$is $tellarum di$tantijs, ut $patiorum cœli, quæ $unt inter $tellas, ma- gis quàm in quantitatibus $tellarum: nam quantitas $tellæ, quo ad ui$um, e$t res parua, & exce$$us $uæ quantitatis res parua, $ed magis comprehenditur diuer$itas & exce$$us di$tantiarum. Patet ergo propo$itum.

52. Diametri $tellarum, uel lineæ $tellarum di$t antiã determinantes, exi$tentes in horizon- te, aut inter horizonta & circulum meridiei, taliter ut æquidi$tent horizonti: uidebuntur pro- pter refractionem minores, quàm $i directè uiderentur. Alhazen 53 n 7.

Sit item circulus meridianus, qui b p: cuius centrũ, quod e$t centrũ mũdi, $it pũctus m: & $it cen- trũ ui$us a: & zenith capitis pũctum b: & ducatur linea a b: & $it diameter $tell\~e aut di$tãtia inter ali quas duas $tellas linea d e æ quidi$tans horizonti: & $it circulus altitudinis tran$iens per unã extre- LIBER DECIMVS. mitatem diametri $tell{ae} aut di$tãtiæ inter duas $tellas, circulus b d: & alius circulus altitudinis tran $iens per alteram extremitatem diametri $tellæ aut di$tanti{ae} $it circulus b e: cõmunes quoq; $ectio- nes $uperficierũ i$torũ duorũ circulorũ & $uperficiei concau{ae} cœli in$imi $int duo circuli g h & g z. Forma itaq; pũcti d refringitur ad ui$um a in $uperficie circuli g h: e$to, ut hoc fiat in pũcto h: & for- ma pũcti e refringitur ad ui$um a in $uperficie circu- li g z: & $it in pũcto z: ducãtur itaq; lineæ a d, a e, a h, h g f r n h d k z a m e p a z, m z, m h: & producatur linea m z ad arcum b e in pũctũ n: & linea m h producatur ad arcũ b d in pun- ctum f. Et quoniã linea d e æquidi$tat horizonti, cũ $it qu{ae}dam pars circuli æquidi$tantis circulo hori- zontis, ut alicuius illorũ circulorum, qui arabicè di- cũtur almicantarah: palàm per 68 th. 1 huius quoniã zenith capitis, quod e$t punctus b, e$t polus circuli d e: quoniã ip$e e$t polus horizontis. Arcus itaq; b d e$t æqualis arcui b e per 28 p 3: chordæ enim illorum arcuũ $unt æquales per 65 th. 1 huius: linea itaq; m h e$t perp\~edicularis $uper $uperfici\~e corporis diapha- ni cœle$tis per 72 th. 1 huius: quoniam exit à centro mũdi. Linea itaq; h a refringitur à pũcto h ad ui$um a: & erit eius refractio ad partem diametri h m per 4 huius: aer enim e$t den$ior corpore cœle$ti, ut patet per 50 huius: refringetur ergo ad part\~e contrariam illi parti, in qua e$t pars reliqua perpendicularis, qu{ae} h f: ergo h pũctum refractionis e$t altius quàm linea a d. Et $imiliter declarabitur quòd z pũctus refractionis e$t altior <004> linea a e. Duo ergo pũcta f & n, qu{ae} $unt termini duarũ linearũ perpendiculariũ m f & m n, $unt inter duo puncta d & e, & ze- nith capitis, quod e$t b: ita quòd pũctum f e$t inter duo pũcta d & b, & pũctum n inter duo pũcta o & b: & angulus refractionis, qui e$t apud pũctum h, e$t æqualis angulo refractiõis, qui e$t apud pun ctũ z per 14 th. huius: quoniã $itus duorũ pũctorum d & e re$pectu ui$us a, e$t cõ$imilis exhypothe- $i. Tantùm ergo di$tat pũctus f à pũcto d, quantũ pũctus n à puncto e. Extrahatur itaq: linea a h ad pũctum t: & linea a z ad pũctum k: di$tabit itaq; pũctus t à pũcto d tantũ, quantũ pũctus k à pũcto e: & ducatur linea t k, quæ nece$$ariò erit æquidi$tans lineæ d e per 88 th. 1 huius: quoniã arcus e k e$t æqualis arcui d t: e$t ergo linea t k minor quàm linea d e per id\~e 88th. 1 huius: & lineæ a t, a k, a d, a e $unt æquales: quia pũctum a centrũ ui$us, e$t qua$i centrũ mũdi, & omniũ arcuũ $ignatorũ, ut b d & b e. Duæ itaq; lineæ a t & a k $unt æquales duabus lineis a d & a e, & ba$is t k trigonia t k e$t minor quàm ba$is d e trigoni a d e: ergo per 25 p 1 erit angulus t a k minor angulo d a e: $ed angulus t a k e$t angulus, $ecũdum qu\~e linea d e compreh\~editur refractè: & angulus d a e e$t angulus, $ecũdũ qu\~e linea d e compreh\~editur rectè. Patet itaq; illud, quod proponebatur, $iue linea d e $it diameter ali- cuius $tellarum, $iue ip$a $it linea determinans di$tantiam inter $tellas.

53. Diametri $tellarum aut lineæ determinantes di$tantiam $tellarum in aliquo circulo alti- tudinis $uper horizonta erectæ, per refractionem uidentur minores, quàm $i directè uideren- tur. Alhazen 54 n 7.

Remaneat di$po$itio, quæ $uprà, & $it diameter alicuius $tellarũ uel di$tantia aliquarũ duarũ $tel larum linea d e: quæ $it erecta in aliquo circulo altitudinis tran$eunte per zenith capitis, quod e$t pũctum b, qui circulus altitudinis $it b d e: $it\’q; cõmunis $ectio $uperficiei circuli b d e, & $uperficiei concauitatis $phæræ infimæ c œle$tis circulus g h z per 69 th. 1 huius: & ducantur lineæ a d & a e: & refringatur forma pũcti d ad ui$um a ex pũcto h: & forma pũcti e ex pũcto z. Copulentur quoq; li- neæ, d h, qu{ae} producatur ultra pũctum h in pũctum n: & e z, qu{ae} producatur ultra pũctum z in pun- ctum o. Patet ergo, ut in præcedente proxima, quòd pũctum h e$t altius <004> linea a d: & q<001> punctũ z e$t altius <004> linea a e. Ducantur itaq; lineæ a h, h d, a z, z e, m h, m z: & protrahatur linea m h ultra pun ctum h ad circulũ altitudinis in pũctum t: & linea m z ultra pũctum z in pũctum k: erit ergo angu- lus refractus, qui fit ex refractione formæ pũcti e ad ui$um a (qui e$t angulus a z m) ualde paruus (quoniã linea a m, qu{ae} e$t $emidiameter terræ, re$pectu tantæ di$tantiæ, non e$t alicuius $en$ibilis quãtitatis, ut aliàs declarauimus in $cientia motuũ cœle$tiũ) & angulus refractionis eius erit par- uus, $equens modũ illius anguli a z m: quoniã cũ aer $it den$ior corpore cœle$ti, ut patet per 50 hu- ius: palã per 4 huius quoniã fit refractio ad perpendicular\~e, quæ e$t z m. Erit ergo per 8 huius angu lus e z k acutus: & $imiliter erit angulus d h t acutus: ergo angulorũ a h d & a z e uterq; erit obtu$us per 13 p 1. Pũctum itaq; z aut erit in $uperficie horizontis, aut altius. Si erit in $uperficie horizontis: erit ergo in extremitate perpendicularis exeuntis à centro ui$us, quod e$t a, $uper lineã b a perpen- diculariter $uperficiei horizontis in$i$tent\~e, qu{ae} perpendicularis imaginatur e$$e ducta in $uperfi- cie horizontis: aut $i fuerit altius horizonte, erit altius illa linea perpendiculari: & punctum h erit $emper altius puncto z. Angulus ergo a h m e$t minor angulo a z m: quod patet, $i $uper pũctum m terminum line{ae} a m fiat per 23 p 1 angulus {ae}qualis angulo a m z, qui $it a m p, ducta linea m p ad pe- ripheriam circuli g h z: facto quoq; angulo q a g {ae}quali angulo h a g: ita ut per 7 p 3 linea a q $it {ae}qua, VITELLONIS OPTICAE lis lineæ a h: & eopuletur linea h p. In trigono ergo h m p duo anguli m p h $unt {ae}quales per 5 p 1: $ed in trigono h a p latus a p e$t maius latere a h: quia e$t maius latere a q per 7 p 3: e$t ergo per b t d g h q n o k z a p e m 19 p 1 angulus a h p maior angulo h p a: relinqui- tur ergo angulus a p m maior angulo a h m. E$t au- tem per 4 p 1 angulus a p m {ae}qualis angulo a z m: e$t ergo angulus a h m minor angulo a z m: ergo ք 8 huius angulus form{ae} incid\~etiæ puncti d, qui e$t angulus d h t, e$t minor angulo incidentiæ formæ pũcti e, qui e$t angulus e z k: ergo angulus a h d e$t maior angulo a z e per 13 p 1: quia per 8 huius mino res anguli incidentiæ minores habent angulos re. fractionum: & ita angulus n h a e$t minor angulo o z a: relin quitur ergo angulus a h d maior angulo a z e: & duæ lineæ m t & m k $unt $emidiametri cir- culi b d e: & duæ line{ae} m h & m z $unt $emidiame- tri circuli g h z. Linea itaque m t e$t {ae}qualis lineæ m k, & linea m h e$t æ qualis lineæ m z per defini- tionem circuli: linea itaq; h t e$t æ qualis line{ae} z k: quoniam $unt remanentiæ linearũ æqualiũ ablatis æqualibus: & angulus d h t e$t minor angulo e z k: ergo linea h d e$t minor quâm linea e z: quoniam linea continens cũ linea t h angulũ æ qualem angulo k z e (qui e$t maior angulo d h t) erit maior <004> linea d h per 7 p 3: linea ergo d h e$t minor <004> li nea e z: & duæ lineæ a d & a e $unt æ quales: $imiliter duæ lineæ a h & a z $unt æquales: quia punctũ a centrum ui$us e$t qua$i centrũ circulorũ b d e & g h z: triangulus ergo a h d e$t minor triangulo a z e: quoniam illorũ duorum trigonorũ duobus lateribus exi$tentibus æqualibus, tertium e$t inæ- quale. Ergo circulus continens trigonũ a h d e$t maior circulo cõtinente trigonũ a z e: quia angu- lus a h d e$t maior angulo a z e, & linea h d e$t minor quàm linea z e. Linea itaq; h d di$tinguit de cir culo maiore, continente triangulũ a h d, arcum min or\~e arcu $imili illi arcui, qu\~e re$ecat linea z e ex circulo minore cõtinente triangulũ a e z: angulus ergo h a d e$t minor angulo z a e: $it ergo angulus za d cõmunis illis ambobus angulis: erit ergo angulus h a z minor angulo d a e: angulus uerò h a z e$t angulus, $ecũdum qu\~e ui$us a compreh\~edit lineam d e per refraction\~e: & angulus d a e e$t angu- lus, $ecũdum qu\~e compreh\~ederetur forma lineæ d e rectè ($i hoc po$$et fieri.) Vi$us itaq; a compre hendit lineam d e refractè minorem quàm rectè per 20 th. 4 huius: quoniã $ub maiori angulo com- prehenditip $am refractè quàm rectè. Patet ergo propo$itum.

54. Omnes $tellæ uidentur rotundæ: maiores in horiz onte quàm in medio cœli: ni$i quando<005> contrarium accidat propter interpo$itos uapores ui$ibus & $tellis. Alhazen 55 n 7.

Omnes $tell{ae} cõprehendũtur rotũdæ: quoniam utraq; diametrorum $uarũ $cilicet lõgitudinis & latitudinis compreh\~editur æqualiter minor, quàm $i compreh\~ederetur rectè: quælibet ergo $uarũ diametrorũ decliuiũ compreh\~editur æqualiter minor per refraction\~e, quàm $i comprehenderetur rectè. Stella ergo compreh\~editur rotũda in omni $uo $itu. Omnes quoq; $tellæ compreh\~edũtur mi- nores per refraction\~e, <004> $i directè uider\~etur: quoniã ip$arũ diametri compreh\~edũtur minores, ut pa tet ex propo$itionibus pr{ae}mi$sis. Et hoc uerũ e$t, quãtũ e$t à parte refractionis, \~q fit in medio $ecũ- di diaphani, quod e$t aer, qui e$t d\~e$ior cœlo per 50 huius. In cœle$ti itaq; concaua $uperficie fit re. fractio ad perp\~edicularem exeunt\~e à pũcto refractionis $uper illã $uperfici\~e: hoc e$t ad lineã (\~q e$t $emidiameter mũdi) per 4 huius. Diuer$itas uerò refractionis, qu{ae} fit $ecũdũ di$tãtiã $tellarũ à po- lo mũdi, inuenitur parua: quoniam illi anguli refractionis $unt parui. Vnde $ecũdum ip$os non di- uer$ificatur $en$ibiliter quãtitas $tellarũ. Sed magnitudo $tellarum & quantitas di$tãti{ae} ip$arum ab inuicem, multum differũt, cum $unt in horizonte, & cum $unt iuxta zenith capitis, uel in medio cœ li, propter $en$ibilem diuer$itat\~e $u{ae} refractionis. Et hic e$t error perpetuus, quia cau$$a eius e$t per- petua, $cilicet uictoria raritatis corporis cœle$tis $uper aeris raritatem. Accidit tam\~e quãdoq; uideri $tellas maiores una uice <004> alia: ut $i uapor gro$$us $it inter ui$um & $tellas: tũc enim propter refra- ction\~e linearũ ext\~e$ionis formarũ $tellarũ in illo uapore ad perp\~edicular\~e, & propter refractionem â $uperficie illius uaporis factã iterũ ad aer\~e, in quo e$t ui$us, quæ refractio fit ab illa perp\~ediculari, di$per$ior occurrit forma ui$ui, & $ub angulis maioribus uid\~etur form{ae} $tellarũ: $icut etiam accidit de denario $ub a qua ui$o, qui uidetur maior quàm $i in aere uideretur. Huiu$modiaũt quantitas ui- $ionis $tellarũ maximè accidit cum $tellæ $unt in horizonte, aut prope illum: & $ic du{ae} refractiones $ub$equentes primam (qu{ae} fit in concaua $uperficie ip$ius c œli, & fit $emper in omni $tellarum ui- $ione) faciunt nouas immutationes circa $tellarum ui$ionem. Vapor enim ille gro$$us cum fuerit in horizonte aut prope, & non fuerit continuus u$q; ad medium c œli, erit portio cuiu$dam $phær{ae} concentricæ mundo, & erit $uperficies eius, qu{ae} e$t ex parte ui$us, plana: propter quod formæ aut di$tanti{ae} $tellarũ, quæ $unt ultra illum uapor\~e, uidebuntur maiores, quàm $i $ine illo uapore uide- rentur. In illo enim loco cõcauitatis cœli, ex quo refringitur forma $tellæ ad ui$um, e$t forma $tell{ae}, & exip$o extenditur ad ui$um, $i non interuenerit uapor gro$$us, Quòd $i uapor gro$$us ui$ibus & LIBER DECIMVS. $tellis interuen erit: tũc extenditur forma $tell{ae} ad $uperficiem uaporis $upremã, & refringitur in il- la ad perp\~edicularem: deinde ext\~editur ad $uperfici\~e infimã uaporis, & refringitur ab illa ad aerem purũ continent\~e ui$um: & $it illa refractio ad part\~e contrariam perp\~edicularis, exeuntis à pũcto re- fractionis $uper planam $uperficiem uaporis. Sic ergo forma $tellæ & earũ di$tantia uidetur maior, quàm $i uideretur po$t refractionem factam in concauo c œli à $upremo corporis elementaris, nul- la facta refractione in $uperficie uaporis ad aerem, qui e$t $ub uapore, ut $ub d\~e$iore corpore rarior con$i$tens & continens ip$um ui$um. Cau$$a uero, propter quam omniuapore medio exclu$o, ui- d\~etur $tell{ae} & $tellarũ di$tantiæ maiores in horizonte <004> in medio c œli aut prope, coadiuuatur plu- rimũ per exi$timation\~e uidentis: quoniã exi$timat $tellas plus di$tare à ui$u in horizõte <004> in medio cœli: exi$timãs ip$am part\~e cœli, qu{ae} e$t iuxta zenith capitis propinquior\~e $ibi, <004> eã, quæ e$t in hori- zonte, ut o$ten dimus per 13 th. 4 huius. Comprehendit ergo ui$us quantitatem $tell{ae}, & quantitat\~e di$tanti{ae}, qu{ae} e$t inter $tellas, cum fuerint in horizonte aut prope, ex comparatione anguli, $ub quo fit ui$io, ad di$tantiam remotam: & cũ fuerint in medio cœli aut prope illud, comprehendit ip$arũ quantitatem ex comparatione anguli æqualis primo aut ferè, ad di$tãtiam propinquam, inter quã & di$tantiam horizontis uidetur diuer$itas maxima. Et $ic iudicat $tellarum quantitatem $ecundũ modũ, quo dijudicat quantitatem ui$ibilium con$uetorũ. Quæ enim à rem otiori $ub eod\~e angulo uidentur, quo alia propin quiora: illa remotiora iudicãtur à uidentibus e$$e maiora, ut o$tendimus hoc 4 libro huius. H{ae}c enim cau$$a ui$ionis $tellarum e$t perpetua & immutabilis, omnibus uid\~eti- bus cõmunis. Et eod\~e modo accidit uidentibus in cõprehen$ione di$tantiarũ ip$arũ $tellarũ: nam formæ harum di$tantiarum non diuer$antur apud ui$um in diuer$is temporibus, $ed $unt $emper eodem modo $e habentes, & ui$us a$similat ip$as di$tantijs rerum a$$uetarum, quæ maximæ di$tant à ui$u $uper $uperficiem terræ ip$ius. Patet ergo propo$itum.

55. Scintillatio accidit $emper omnibus $tellis fixis propter diuarication\~e formæ in loco ima- ginis ex motu $ubiecti corporis accidentem.

Quoniam enim, ut patet ex præmi$sis quinq; theorematibus, locus imaginis formæ cuiuslibet $tellarum eritin conuexo aeris uel ignis $ub concauo cœli infimi ignem continentis: horũ aũt ele- mentorũ quodlibet mobile e$t per $emotu recto, utpote $ur$um propter leuitat\~e, qu{ae} e$t in illis: mo uetur aũt per accidens motu circulari unà cũ motu diurno cœli, propter quod formã $tellarũ ip$is incident\~e nece$$e e$t diuaricari & di$trahi, $icut & ip$a forma uidetur aliqualiter locũ mutare pro- pter motum corporis, in quo uidetur: nec e$t diuer$itas in i$to, $iue lumen $tellarũ per $e ip$um dif- fundatur, $iue fiat hoc propter reflexion\~e luminis $olaris à $tellis. Semper enim tã lumen per $e dif- fu$um à corpore lumino$o, quàm lumen ab alijs corporibus diffu$um (quando per refraction\~e ui- detur) fit debilius per 10 huius. Vnde cum habet locum imaginis in corpore mobili diuer$is moti- bus, aut uno motu forti: nece$$e e$t formam illã debilitatã diuaricatã & di$tractã uideri, propter mo tũ corporis $ubiecti, in quo uidetur: unde in his talis reflexio luminis nõ e$t cau$$a. Et huius $imile e$t in aqua uelociter currente, à cuius $uperficie formæ $tellarum reflexæ uidentur plus $cintillare quàm in ip$o loco $uæ imaginis refractè per aer\~e uideantur: quoniã propter motũ aq{ae} di$trahitur forma reflexa, & mutatur locus imaginis reflex{ae}: propter quod & $tellarũ form{ae} plus moueriuiden tur: & ideo apparent amplius $cintillantes. Similiter quoq; form{ae} $tellarũ in loco $u{ae} imaginis t\~epo re uentorũ propter maior\~e motũ corporis medij plus $cintillãt. In planetis uerò nõ $emper accidit $cintillatio: quoniã licet plus $cintill\~et, & in eis $it id\~e locus imaginis, & ip$orũ formæ propter refra ction\~e debilit\~etur: tam\~e propter ip$orũ {pro}pinquitat\~e ad nos uid\~etes nõ accidit eis multa debilitas: quia minor fit in eis refractio per 14 th. huius. Perueniũt ergo form{ae} ip$orũ fortes ad ui$um: unde & locũ imaginis $uæ (quãuis corpus $ubiectũ moueatur) penetrãt immotè & $ine omni diuarica- tione: ni$i fortè aliquod corpus gro$sius aere ui$ibus & planetarũ formis interponatur: utpote ua- por a quaticus gro$$us: tũc etenim {por}pter incertitudin\~e motus illius uaporis (pr{ae}$ertim cũ à uentis agitatur) form{ae} planetarũ qua$i $cintillãtes քueniũt ad ui$um. Et ex hac cau$$a aliquãdo & ip$um $ol\~e uidemus $cintillãt\~e in mane, cũ fuerit in ortu $uo ui$ibilis $ecũdũ $pirituũ ui$ibiliũ re$olution\~e, propter quorũ re$olution\~e & motũ, $ol $emper aliquãdiu a$pectus uidetur $cintillare & moueri for ma eius: quoniã recipitur in $piritib. motis, qui propter uictoriã luminis cũ fuerint in fine $u{ae} cor- ruptionis ab actu ui$iõis, rarificãtur $uper $u{ae} natur{ae} cõ$i$t\~etiã: unde mou\~etur motu $ibi impro por tio nato & in$olito, fiunt\’q; cau$$a motus form{ae} ui${ae}: & tũc uidetur forma rei ui$æ $cintillare: $icut e- tiã accidit cũ à corporibus politis fit fortis reflexio luminis ad ui$um: tũc enim {pro}pter improportio n\~e illius luminis ad $piritus ui$ibiles fit motus illorũ $pirituũ, & uid\~etur form{ae} illorũ corporũ $cin- tillãtes & mot{ae}, <003> a recipiũtur in corpore cõmoto. Sic itaq; $cintillatio $emper accidit omnib. $tellis fixis: quoniã cau$$a illius e$t քpetua, $cilicet diuaricatio form{ae} $u{ae} in loco imaginis, accid\~es ex mo- tu $ubiecti corporis. In planetis uerò $cintillatio accidit ut rarò: <003>a cau$$a eius e$t eueni\~es ut rarò. In alijs uerò corporũ formis, quarũ excell\~etia corrũpit $en$um, nõ e$t propriè $cintillatio, $iue illa cor- ruptio fiat per $implic\~e luminis immi$sion\~e, uel per reflexion\~e à corporibus politis: quia illa $cintil latio nõ accidit $en$ui, ut e$t $uæ {pro}priæ di$po$itionis, $ed ut e$t in fine $u{ae} corruptionis. Etenim $i ha b\~etibus in oculis formã rei motæ, aut etiã mou\~etibus, omnia moueri uideantur {pro}pter motũ $piri- tuũ $ine regimine animæ di$currentiũ: nõ propter hoc dicũtur form{ae} rerũ omniũ $cintillare. Patet ergo {pro}po$itũ. Et quia $ecũdũ pr{ae}mi$$os refractionũ modos pa$siones ui$ibiliũ infimorũ & $upre- VITELLONIS OPTICAE morum tran$currimus: re$tat, ut refractiones, quæ in medijs accidunt corporibus, aliqualiter per- tractemus, utpote illas, qu{ae} in uaporibus medijs occurrunt.

56. Non aggregatis rad{ij}s corporis lumino$i in corpore non lumino$o plus, quàm in medio: lu- men $en$ibilius fieriest impo{$s}ibile.

Quod hic proponitur, patet: quia lato lumine per aliquã part\~e medij, uniformis erit exten$io ra- dij $ecũdũ lineã rectã per 1 th. 2 huius: unde $i nõ aggreg\~etur radij in corpore aliquo occurr\~ere ip$is radijs luminis, nõ erit plus $en$ibile lum\~e in illo corpore <004> fuerit in alia parte medij: per quã fereba tur $ecũdũ ext\~e$ion\~e ad modũ linearũ rectarũ. Lumine enim æ qualiter lato ք unũ corpus, & aliud, ni$i fiat aliqua diuer$itas ip$ius luminis: nõ magis in uno <004> in alio corpore $entietur (alijs circũ$tan rijs in ui$u & remotione exi$tentibus æqualibus.) Quòd $i fiat diuer$itas luminis in radijs, re$pectu diuer$orum corporum, ut patet per 4 huius: tunc in eo corpore, in quo magis radij di$gregãtur, mi nus luminis apparet. Si ergo in aliquo corpore plus luminis apparebit: nece$$e e$t in illo corpore radios plus aggregari. Patet ergo quòd nõ aggregatis radijs corporis lumino$i in corpore nõ lumi- no$o plus, quàm in medio, lum\~e $en$ibilius fieri in alio corpore, quàm $it in medio unius diaphani, impo$sibile e$t. Ex quo patet, quòd $i radij in aliquo corpore plus aggreg\~etur quàm in medio, quòd in illo corpore lumen $en$ibilius quàm in medio apparebit: & $ecundum quantitatem aggregatio, nis radiorum lumen uidebitur intendi.

57. Radios corporis lumino$i per reflexionem uel refractionem aggregari palàm e$t.

I$tud patet per hoc. Quoniã cum radius reuerberatur uel reflectitur ab aliquo corpore: tũc quia ք 20 th. 5 huius angulus incid\~etiæ e$t æqualis angulo reflexionis, & radius incid\~es & reflexus $unt in ead\~e $uperficie, ut patet ք 27 th. 5 huius: in $uperficie ergo ead\~e radij duo ad {ae}quales angulos inci dentes reflectuntur & uniuntur $ic, ut fiant unum: aggregantur ergo, quia duo obtin\~et unum locũ: imò uerius fiunt unũ. Verbi gratia, $it, ut in $uperficie una reflexionis, quæ $it a b c, incidãt duo radij à diuer$is partibus diametri corporis lumino$i, $cilicet a & c ad unum punctum corporis, à quo fit reflexio: quod $it b: & $int anguli incid\~etiæ æquales. Producta ergo à puncto b linea in dicta $uperfi cie ad utramq; part\~e, $cilicetea, quæ e$t cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis & $uperficiei corpo- ris, à quo fit reflexio, quæ $it d b e: erit angulus incidentiæ, qui e$t a b d, æ qualis angulo reflexionis, qui e$t c b e, per 20 th. 5 huius: $ed & $ecundum angulum incid\~eti{ae}, qui e$t c b e fit reflexio radij c b: ergo radius b a reflexus & radius b incidens efficiuntur unus radius: & radius b c reflexus, radius quoq; a b inci- a c d b e dens efficiuntur unus. Sic aũt e$t de alijs omnibus, qui incidunt $ecundum pyramidem, cuius conus e$t in ali- quo puncto corporis, à quo fit reflexio, & ba$is in corpo relumino$o. Patet ergo quòd ad minus omnes illi radij in $e duplicãtur. Vnde cum ip$i $int infiniti, quoniã $olũ $unt entes in pot\~etia in cõtinuo, & tales pyramides $unt tot, quot $unt puncta in corpore, à quo fit reflexio: patet quòd ip$i ք reflexion\~e aggregãtur. Sed & ք refraction\~e in medio $ecũdi diaphani lum\~e aggregari per experi\~etiã $en$ibiliter ad hibitã patere pote$t. Cũenim o$t\~e$um $it q<001> in medio $ecũdi diaphani d\~e$ioris aere à parte oppo$ita $uperficiei incid\~eti{ae} $emper fit radiorum aggregatio, imò cõcur$us in punctum unum, & ibi lum\~e & calor\~e generant: imò quòd ignition\~e efficiunt in corpore inflammabili, cui immorãtur, ut patet per 48 huius. Refractio itaque lumen generat, quoniã adunat radios. Sed & in $uperficie, à qua fit refractio, in pro$undum corpo- ris den$ioris diaphani radius incidens & refractus (qui in medio unius diaphani producti, e$$ent li nea una) angulum refractionis con$tituunt: $unt\’q; per 46 th. 2 huius in una $uperficie, quæ dicitur $uperficies refractionis, & e$t $emք orthogonalis $uper $uperfici\~e corporis, à quo fit refractio per 2 huius: unde tales radij omnes, $ic $ibijp$is incidentes, quando $unt refracti, uicinantur & aggregan tur, $ecundum diaphani $ecundi di$po$ition\~e angulo refractionis ad angulum incid\~etiæ $uæ uaria- to. In gro$siori enim uel den$iori diaphano radius non perpendicularis magis debilitatur: unde ad perp\~edicular\~e uehem\~etius refringitur, & in uicinior\~e punctum axis cadit: angulus ergo fit acutior angulo incid\~etiæ $uæ, re$pectu eius, $i $ecundum id\~e pũctum radius $ubtiliori diaphano incidi$$et. Et ob hoc (quoniã angulus ex omnibus refractis radijs cum linea, qu{ae} e$t cõmunis $ectio $uperfi- ciei refractionis, & $uperficiei corporis, à quo fit refractio, e$t minor in corporibus d\~e$ioris diapha- ni quàm minus d\~e$i) patet quòd in corporibus d\~e$ioribus & radij plus aggregãtur <004> in minus den $is per 8 huius. Fit itaq; illorum radiorum aggregatio quandoq; propter lucis reflexion\~e ad punctũ unum mathematicum uel natural\~e, ut in nono libro huius $cientiæ per $pecula combur\~etia o$ten- dimus fieri aggregationem radiorum, & in alijs libris ubi de talibus $ermo fuit. Fit etiam hæc aggre gatio quandoq; per refractionem: quoniam radij $ecundum æquales angulos incidentes, per 8 hu- ius $ecundum æquales angulos refringuntur: & quandoque concurrunt in puncto uno, ut patet per 48 th. huius. Semper autem in talibus & radij reflexi & refracti quodammodo in eadem parte medij $e duplicant: unde faciunt maius lumen. Aggregatis autem per refractionem radijs, ut pa- tet ex præmi$sis: tunc in ui$u exi$tente in loco aggregationis lumen generatur. Et quoniam LIBER DECIMVS. in corporibus diaphanis $uperficiem lenem habentibus, den$ioribus aere propter lenitatem $uper- ficiei lumen incidens ab ip$is reflectitur, ut o$tendimus per 1 th. 5 huius: tunc patet quòd propterre flexionem lumen aggregatur: & item quia in illis corporibus propter diuer$itatem d\~e$ioris diapha ni fit luminis refractio ad perpendicularem intra corpus, ut patet per 4 huius: tunc in peripheria cu iuslibet $uperficiei refraction is propter acutum angulum refractionis ip$is adinuicem radijs uici- natis fortificatur $en$ibilitas luminis. Quando ergo $uperficies talium corporum $unt lenes, ut po- litæ per naturam: tunc licet in ip$is fiat refractio: ab eorum tamen $uperficie fit etiam reflexio radio rum, licet debiliter. Et propter hoc duabus his cau$sis concurrentibus, in $uperficie corporũ taliũ lum\~e aggregatur, & appar\~et corpora plurimũ lumino$a: quáuis magis d\~e$a magis appareát lumino $a. Non $unt aũt modi alij aggregationis radiorum, quá reflexio & refractio: ad hos enim, ut ad pri- mos, $i qui alij modi apparuerint, radicaliter reducuntur. Patet ergo propo$itum.

58. Sine oppo$itione corporis den$ioris, quàm $it medium proximum radijs corporis lumino- $i: ip$orum radiorum reflexionem uel refractionem uel maiorem $en$ibιlitatem impo{$s}ibile e$t fieri.

I$tud patet per hoc. Quoniá enim radij cuiuslibet corporis radio$i $unt in $e $emper lumino$i & uniformes: $i ergo medium, per quod feruntur, $it uniforme: nunquá reflectentur uel refringentur, $ed $emper ferentur in continuum & directum, ut patet per 1 th. 2 huius: nec lumen propter eorum di$per$ionem aggregabitur, ut uincat lumen, quod ex æquali diffu$ione luminis receptum e$t in o- culo uidentis. Nec etiam ad ui$um fiet reflexio, nec refractio in partem oppo$itam ad axem pyrami dis ui$ualis: nec lumen uel $en$ibilitas luminis maior efficietur. Patet ergo propo$itum, quòd $ine oppo$itione corporis den$ioris, quá $it primũ medium, per quod fertur radius corporis lumino$i, i- p$orum radiorum reflexionem uel refractionem fieri nõ e$t po$sibile: quoniam omnis reflexio uel refractio $emper fit ab aliquo talium corporum, ut e$t habitum expræmi$sis.

59. Quantitatem arcus circuli magniterræ, $ecundum quem illuminatur à $ole, po{$s}ibile est declarari. Alhazen 5 n libride crepu$culis.

Suppo$ito ex his, qu{ae} alibi declarata $unt per antiquos & nos, quòd corpus $olis $it maius corpo re terræ: palàm per 27 th. 2 huius quoniam $ol a$picit terram $ecundum $uperfici\~e terræ maio- rem medietate $uperficiei ip$ius terr{ae}. Sit itaq; g f k h d c e a b circulus, $ecundum quem terra illuminatur à $o le, qui b c d e, cuius centrum $it a: & $it circulus maior $olaris corporis, qui g h: cuius centrum $it f: ducantur\’q; lineæ contingentes utrunq; ho rum circulorum: qu{ae} $int b h & e g. Portio itaq; b c d e terræ e$t illuminata à $ole, quæ e$t maior hemi$phærio. Ducantur itaq; lineæ a b & f h: quæ erunt {ae}quidi$tantes per 28 p 1: quoniam u- traq; ip$arum e$t perpendicularis $uper lineam b h utro$que circulos contingentem per 18 p 3. Et quoniá linea h f e$t maior quàm linea b a (ut patet ex $uppo$itis) re$ecetur à linea f h {ae}qualis lineæ a b per 3 p 1: $it\’q; h k æqualis ip$i a b: & du catur linea a k: erit\’que per 33 p 1 linea a k æqui- di$tans lineæ h b:ergo linea a k e$t perpendicu- laris $uper lineam f h. Et quia linea f h e$t 5 par- tes & medietas partis ferè, $ecundũ quod linea a b e$t pars una, ut demon$tratum e$t in A$tro- nomicis: remanet linea k f 4 partes & media. Per eandem quoq; uiam a$tronomicam o$ten- $um e$t, quòd $ecundum quantitatem, qua $emi diameter terræ e$t pars una, linea a f e$t partes 12 10: cum $it diftantia $olis à terra in medijs lon gitudinibus eius. Si ergo $ecundum quantita- tem, qua linea a f e$t 12 10 partes, linea f k e$t 4 partes, & medietas partis: erit $ecundum quan- titatem, qua linea a f e$t 120 partes, linea f k 29 minuta, 12 $ecunda: & $ecundũ quantitat\~e qua linea a f e$t 60 partes, linea f k e$t 14 minuta, & 36 $ecunda. Circum$cripto ergo circulo illi trigono orthogonio, qui e$t f k a, per 5 p 4: erit arcus, quem $ubtendit chorda f k qua$i 13 minuta, & 56 $ecunda: ergo per 33 p 6 erit angulus k a f 13 minuta, & 56 $ecunda, $ecundum quòd angulus rectus e$t 90 partes: arcus ergo c d erit 13 minuta, VITELLONIS OPTICAE & 56 $ecunda, $ecundum quod arcus b c e$t partes 90 per 33 p 6: quoniam angulus b a c e$t rectus per 34 p 1: angulus enim k h b e$t rectus: totus ergo arcus b d erit 90 partes, 13 minuta, & 56 $ecun- da: $ed arcus d e e$t æqualis arcui d b: totus ergo arcus b c d e e$t 180 partes, 27 minuta, & 52 $ecun- da. Quod quærebamus.

60. Summorum uaporum con$i$tentiam ad quantum po{$s}int eleuati pertingere, po{$s}ibile e$t inueniri. Alhazen 6 n libri de crepu$culis.

Ad hoc, quod hic proponitur, demon$trandum, utemur con$uetis in $cientia a$trorum, ut in præcedente. Sit itaq; per 69 th. 1 huius circulus, $ecundum quem $uperficies plana tran$iens centrũ $olis & terræ, $ecat terram, circulus a b c: & $it locus ui$us a: & $it linea d a e contingens circulum. Et quoniam angulus contingentiæ e$t indiui$ibilis, quia e$t minimus acutorum per 16 p 3: tunc patet quòd ui$us non cadet $ub linea d a e, $ed tantùm $upra illam. Et quoniam, ut patet per 27 th. 2 huius, umbra terræ e$t pyramidalis: $it illa pyramis umbr{ae} terræ ante crepu$culum matutinum, quando primò uidetur aer albe$cere in mane, c f e g: cuius uertex $it f. Aer itaque cadens intra hanc pyrami- dem non illuminatur à $ole, $ed radius $olaris cadit $uper omnem aerem, qui e$t extra hanc pyramidem, quoniam ille nõ impeditur per ob$taculum terræ. Non tamen uidetur ui$ui illuminatum hoc, h f d a m e c i k y b quod e$t extra hãc pyramidem: quoniam (ut patet per 56 & 58 th. huius) non fit luminis reflexio ab aere puro & $ubtili. Tria $unt er go, quæ in hac di$po$itione res faciunt non uideri: ut $i cadant $ub linea contingente, & per ui$um tran$eunte: uel $i cadant intra $u- perficiem conicam pyramidis umbræ terræ: uel $i tanta $it $ubtili- tas materiæ corporum mediorum, ut ab ip$is non fiat reflexio ad ui$um. Sit quoq;, ut linea e a d contingens terram in puncto a cen tro ui$us, $ecet $uperficiem pyramidis illius umbr{ae} in pũcto extra pyramidem, quod $it punctũe, ut propinquum umbræ. Aer ergo, qui e$t apud punctum e, e$t inui$ibilis: non quòd cadat $ub linea terram contingente: quoniam ille aer e$t in $uperficie horizontis: nec quòd cadat intra $uperficiem pyramidis umbræ terr{ae}: quoniã e$t extra illam: $ed manet inui$ibilis propter $ubtilitatem materi{ae} $u{ae}, quia non habet admixtionem uaporis den$ioris aere, à quo re flectatur lumen $olis ad ui$um, ut patet per 56 huius. Imaginemur ergo moueri $olem u$q; ad principiũ crepu$culi matutini. Et quo- niam uertex pyramidis umbræ terræ ad locum nadir $olis $emper procedit, ut patet per 27 th. 2 huius, & ex cau$$a eclip$ium lunariũ: patet quòd illa pyramis omne corpus medium habet nece$$ariò tran$ire. Sit ergo tunc pyramis umbræ terræ h i k: cuius uertex $it h: quæ inter$ecet lineam e d (quæ e$t diameter horizontis) in pũ cto m. In hoc itaque puncto m, ex$ignificato ip$ius nominis cre- pu$culi, primò uidebitur reflexum lum\~e $olis, ut fiat $en$ibile. Hoc autem nece$$e e$t accidere ex den$itate aeris in$pi$$ati per natu- ram uaporum: quia ab aere $implici non fit reflexio, ut patet ex præmi$sis huius libri propo$itionibus: punctum ergo m e$t pun- ctum alti$sim um, in quo con$i$tit eleuatio uaporum aerem ín$pi$- $antium. De$cribatur quoque con$equenter circulus alitudinis pertran$iens centrum $olis in ho- ra dicti crepu$culi: qui $it a b c d: qui per 69 th. 1 huius $ecabit $phæram terræ $ecundum circulum: qui $it e f g h, cuius centrum $it k: $it\’que linea à centro terræ ad zenith capitis ducta, quæ $it a e k: $it\’que linea b k d perpendicularis $uper lineam a k $emidiam etrum circuli altitudinis: erit\’que linea b k d diameter cuiu$dam circuli, cuius $uperficies per 18 p 11 erit erecta $uper $uperficiem circuli al- titudinis $ecans $phæram terræ in duo hæmi$phæria: nec e$t differentia $en$ibilis $uperficiei huius circuli à $uperficie circuli horizontis. Sit itaque corporis $olis centrum in puncto c: erit\’que per acceptionem a$tronomicam, $cilicet in$trumentalem armillarum uel a$trolabij, uel tabularum to- talis arcus b c, quo di$tat centrum $olis ab ip$a $uperficie horizontis ferè 19 partes, $ecundum quod circulus altitudinis e$t 360. Et quoniam diameter $olis e$t quintupla diametro terræ, & eius continens medietatem: fiat circa centrum c circulus l m $ecundum diametrum quintu- plam & continentem medietatem lineæ e k, quæ e$t $emidiameter terræ. Erit quoque, ut pa- tet ex præmi$sis, circulus l m maximus circulorum corporis $olaris: producatur\’que linea c k à centro $olis ad centrum terræ, $ecans $uperficiem terræ in puncto g. Et quoniam longior radius à corpore $olis exiens, & ad terram pertingens qua$i linea contingens e$t per 16 th. 2 huius: du- cantur duæ lineæ contingentes ambos circulos, $olis $cilicet & terræ, quæ $int l f n & m h n, $ecun- dum quas lineas per 27 th. 2 huius, continetur illuminatio $olis & umbra terræ. Producatur quo- que linea contingens circulum terræ in puncto e, quæ $it p o: $ecet\’q; linea m h n lineam p o, in pũ- cto q: erit\’q; punctum q locus lumino$us in tempore crepu$culi. Et quoniã punctus n, qui e$t uertex LIBER DECIMVS. pyramidis umbr{ae}, (quia $emper e$t in nadir $olis) $ecũdũ motũ $olís declinat: patet q<001> primũ, in q<001> radius $olis cadit extra pyramid\~e, e$t $ummitas uaporũ eleuatorũ à terra & aqua. Producatur ergo linea k r q à c\~etro terræ ad $ummitat\~e ua- n a p e q o d r k h f g b r c m porum, $ignetur\’q; punctus r in $uperficie terr{ae}: & ducantur line{ae} k f, k h. Erit\’q; arcus f g h pars terræ illuminata: cuius quantitas (ut patet per præmi$$am) e$t 180 partium, 27 minutorum & 52 $ecundorum, $ecũdum quod totus circulus e f g h e$t 360 partes: erit\’que medietas ip$ius, quæ e$t f g, partes 90, & 13 minuta, & 56 $ecun- da. Hæc e$t ergo quantitas anguli f k g, $ecundũ quod 4 recti $unt 360 partes: $ed angulus b k c ex præmi$sis & per 33 p 6 e$t 19 partes: quoniã e$t angulus crepu$cularis: remanet ergo angu- lus h k b 71 partes, 13 minuta, & 56 $ecunda: $ed angulus e k b e$t 90 partes, quoniam e$t rectus: remanet ergo angulus e k h 18 partes, 46 minu ta, 4 $ecunda. Et quoniá linea q e e$t æqualis li- neæ q h per 58 th. 1 huius (quoniam ab uno pun cto ducuntur eundem circulum conting\~etes) erit per 8 p 1 angulus q k e {ae}qualis angulo q k h: erit ergo angulus q k e 9 partes, 23 minuta, & 2 $ecunda. Et quoniam angulus q e k e$t rectus ք 18 p 3: erit angulus k q e per 32 p 1 cóplementum unius recti, hoc e$t 80 partes, 36 minuta, & 58 $e cunda, prout 4 recti ualent 360 partes: & $ecun dũ quod duo recti ualent 360 partes, erit angu- lus k q e 161 partes, 13 minuta, & 56 $ecunda. Cir cum$cripto ergo circulo ip$i trigono q e k: erit arcus, quem $ubtendit linea k e 161 partes, 13 mi nuta, & 56 $ecunda: chorda ergo eius, quæ e$t li nea k e, erit 118 partes, 23 minuta, & 20 $ecunda, 18 tertia, $ecundum quantitatem, qua diameter q k e$t 120 partes: & $ecundũ quantitatem, qua diameter q k e$t 60, erit chorda k e 59 partes, 11 minuta, 40 $ecunda, 9 tertia: ergo $ecundum quantitat\~e, qua linea k e e$t 60, erit linea k q 60 partes, & 48 minuta, & 50 $ecunda. Ablatis itaq; à linea k q partibus 60, qu{ae} e$t quantitas line{ae} k r $emidia metri terræ: remanet linea r q (quæ e$t $umma uaporum eleuatio) 48 minuta, & 50 $ecunda, $ecun dum illam quantitatem, qua diameter terræ e$t 120 partes. Et quoniam $ecundum co$mographos maximus circulus terræ $ecundum milliaria e$t notus: ergo $ecundum illum quantitas diametri e$t nota: ergo & linea r q e$t nota. Ethoc e$t propo$itum. E$t aũt $ecundum cóputationem Abbomadi ex milliarib. (quibus terr{ae} circumferentia e$t 24 000 milliaria) linea r q 51 milliaria, 47 minuta, & 34 $ecunda, & 31 tertia ferè. Summum ergo, ad quod eleuantur uapores $ecundum ip$orum con$i$ten- tiam, e$t minus quã 52000 pa$$uum, ut patere pote$t perquirenti.

61. Ab aqua & aere den$o & uapore rorido reflexionem radiorum corporis lumino$i fieri manife$tum e$t.

I$tud in politis corporib. (ut in $peculis & $imilibus) $en$us comperit, nos\’q; in pluribus pr{ae}mi$- $is huius $cientiæ libris i$tud $umus eum amplitudine $tudij per$equuti. In aqua uerò $oli expo$ita id\~e patet: quia radius in parte $oli oppo$ita uidetur, & maximè $i locus oppo$itus $it ob$curus: hoc aũt fit per reflexion\~e. In aere etiam aliqualiter d\~e$iore idem euenit: ut quando in$pi$$atus e$t & con $i$tens qua$i in nubem: tunc enim ab ip$o fit luminis reflexio, ut apparet in crepu$culis $erotinis & matutinis. Huic etiam atte$tatur quòd t\~epore pluuiali radij $olis ${ae}pe in aere di$pergũtur, & uix te- nuiter ad terrã pertingunt propter humiditat\~e & gro$sici\~e aeris contrapo$iti ip$i $oli. Hoc etiã pa- tet: quoniam in aere modic{ae} den$itatis in hyeme, maximè flãte auftro circa lucernas frequenter ui- detur lumen reflecti $ecundum formam circularem: & maximè ui$ibus humidis, ad quos de facili fit luminis reflexio & formarum, cum uirtus ui$iua propter debilitatem organi debilitatur, $ic quòd non pote$t den$itatem modicam aeris penetrare, $ed ad ip$um forma rei ui$æ reflectitur ab aere mo dic{ae} den$itatis: $icut ad ui$us fortes reflectitur $olũ ab aliquo $olido peruietatem non habente. Vn- de etiam in ui$u aliquis debilitatus & non acutè uid\~es, propter ophthalmiã uel propter aliud, uidet quandoq; imaginem $uã in aere gro$$o ante $e, $icut in $peculo, $tantem contra $e, & ambulant\~e cum ip$o, quando ip$e ambulat, & re$picientem ad ip$um. Et $ic quidã notus meus po$t plurium noctiũ uigilias cum cõpul$us nocte $equente equitaret, formã $uam, hoc e$t uirũ alium $ecum equitantem VITELLONIS OPTICAE uidit, cum tran$iret quandá aquã, circa quam gro$$us fuit aer, & cũ $taret, $tetit & ille alius, & omnia opera ip$ius faciebat: cum autem ad aer\~e $erenum uenit ille notus meus: tunc $ocius eius di$paruit, quia non fuerat ni$i forma $ua. Et $ic ui$ui debili error accidit: nec mirum: quia & quandoq; $anis ui $ibus hoc accidit ab aere $pi$$o & longè di$tante: $icut etiam auxilio $peculorum (ut in 60 th. 7 hu- ius o$tendimus) po$$et fieri, quòd aliquis imaginem propriam uel aliam non in $peculo, $ed extra $peculum uideret in aere, in loco imaginis, qui per indu$triam po$$et ad locum certum uariari. In ua pore etiã rorido fit reuerberatio luminis, quando incipit uapor aqueus di$$olui in guttas: quia qu{ae}- libet $uarum partium fit qua$i $peculum: & ob hoc lum\~e reflectitur ab ip$o: & i$tud apparet in aqua guttatim $par$a: quoniam ab illa lumen etiam ad partem oppo$itam reflectitur: quamuis po$t refle- xionem coloretur. Patet ergo propo$itum.

62. A $uperficie aquæ & aeris den$i, & uaporis roridi, & $imilibus refractionem fieri ad perpendicularem patens e$t.

Quod hic declarandum proponitur, patet ք 4 huius: $ed etiã experim\~etis cóprobatur: & hoc e$t uniuer$ale. Quando forma rei uel radius per mediũ rarius ad d\~e$ius diaphanum procedit: tũc $emք in medio $ecũdi diaphani fit refractio ad perpendicular\~e. Verbi gratia, expo$ita a qua in ua$e $oli, in fundo ua$is uidebuntur radij aggregari. Luce$cente etiã $ole $uper aer\~e den$um ui$ui & $oli interpo $itũ quãdoq; lux aggregatur, & maior calor peruenit in nobis, quãuis multa pars luminis $uperius ad nubes uicinas reflectitur: & hoc fit maximè in t\~epore præcedente t\~epus pluuiarũ: unde po$t tal\~e improportionatũ tempori calorem & lumen in$olitum $æpius pluuia de$cendit. Ex quo patet, quia nube in uapor\~e roridũ re$oluta, refractio fit radiorũ in ip$o uapore rorido, & ad nos perueniuntra- dij $olis aggregati per refractionem. Patet ergo quòd in aqua & aere den$o & uapore rorido, qñ for ma uel lum\~e e$t in rariore diaphano, & incidit illis diaphanis den$iorib. diaphanũ quoq;, in quo e$t ui$us, multũ differt à diaphano, à quo fit refractio: tũc fiet refractio $en$ibilis ad perp\~edicular\~e. Q <001> $i forma uel lumen $it in den$iore diaphano, uel ultra den$ius diaphanũ uideatur: tunc fiet refractio à perpendiculari: & ob hoc omnia talia ui$ui apparent maiora $ua certa quantitate, ut patet per 42 huius. Et ob hoc accidit quòd $ummitates rerum in mari ui$arum refractè uidentur: eò quòd forma ip$arũ di$pergitur à perpendiculari in $ecundo diaphano $ubtiliori, $cilicet in aere, & uid\~etur form{ae} illorũ in cõcur$u line{ae} refractionis cũ perp\~ediculari ducta àre ui$a ad $uperfici\~e aqu{ae}, ut patet ք 15 th. huius: & denarius uidetur po$itus in ua$e $ub aqua in ea di$tãtia, in qua ui$us propter altitudin\~e peripheri{ae} ua$is $ine aqua ip$um denariũ directè non uideret: & tunc uidetur etiã maior, quoniã $ub maiori angulo uidetur. In aere etiã d\~e$o, utpote qñ euri flãt, & aer humidus fit & ingro$$atur, omniũ rerũ uidentur magnitudines maiores. Sol quoq; & omnia a$tra orientia & occidentia propter cali- gin\~e & aer\~e uaporib. terræ ingro$$atum illis ui$ibus interpo$itum, uidentur maiora, quàm in medio cœli exi$tentia, ut patet per 54 huius: & h{ae}c e$t cau$$a temporalis: alia uerò e$t perpetua, quam dixi- musibid\~e. Ex hoc etiã prouenit quòd $i in loco imaginis, uel inter imagin\~e & ui$um ponatur uitrũ clarũ uel cry$tallus, ita utimago reflexa à $peculo ad certũ locum aeris uideatur per uitrũ: tũc enim imago maior uidebitur, & $ecundũ q<001> media diaphana multiplicata à d\~e$iore in rarius fuerint, for ma $e ui$ibus ita uicináte, q<001> ultimò ip$a ք aer\~e uideatur: tunc forma maxima uidebitur: cuius ratio patet ex præmi$sis pluribus theorematib. huius libri. In i$tis ergo corporib. medijs omnib. $ic di$po $itis fit refractio à perpendiculari, ducta à c\~etro rei ui$æ ad $uperfici\~e corporis diaphani r\~eip$am uel formã refractã contin\~etis. His ergo modis fit in propo$itis corporib. uel $imilib. $ibi ad ui$um refra- ctio: inter h{ae}c uerò maximè fit in aqua: magis aũt fit in uapore rorido incipi\~ete aqua fieri, <004> fiat ab ae re: nec mirum: quia uapor roridus (qui fit t\~epore trã$mutationis nubiũ ex uapore cõtinuo in gutta tim $par$am aquã) e$t gro$sior aere: unde in ip$a facta refractio plus $entitur. Non pote$t aũt tunc fi- gura rei ui$æ, cuius forma refringitur, di$tin ctè ad ui$um peruenire, propter refractionũ multitudi- n\~e: $ed peruenit ui$ui tantũ aliqua forma rei: $icut patet etiã quòd in $peculis paruarũ partiũ uel $u- perficierum fractarũ alterius $uper alterã eleuatarum, & $i modic{ae} pr{ae}eminenti{ae} $int, ita tam\~e quòd $uperficies ip$orum $peculorum non $int in eadem linea recta uel curua: tunc non apparet rei pro- pria quantitas uel figura, $ed apparet tantũ color ip$ius rei ui$æ, cuius forma reflectitur ab ip$is. Per quod manife$tè patet quòd forma corporis lumino$i, quæ ab aqua uel aere gro$$o integrè, $cilicet quo ad figuram & lucem uel colorem reflectitur ad ui$um, à uapore rorido reflectitur, $ine figura & quantitate certa, $ed tantũ cum $uo colore uel lumine. Et ita, cum à uapore rorido fit reflexio ad ui- $um luminis $olaris uel $tellarum, non uidentur formarum reflexarum figuræ propriæ, $ed tantùm $ormæ luminis reflexi. Patet ergo propo$itum

63. Omnis corporis $phærici lumino$i irradiationem in corpore, (cuius $uperficies æquidi$tat $uperficiei contingenti corpus lumino$um $phæricum in puncto, ubi perpendicular is ducta à cen tro corporis $phærici $uper $uperficiem corporis illumin andi $ecat $uperficiem corporis $phærici) po{$s}ibile e$t fieri $ecundum pyramidem rotundam, cuius ba$is e$t in corpore irradiato, uertex ue rò in centro corporis lumino$i. Ex quo patet omnem huiu$modi irradiationem fieri $ecundũ an- gulos incidentiæ æquales.

Sit corpus lumino$um $phæricum, in quo $it circulus magnus, qui b c d: & eius centrũ $it pun- LIBER DECIMVS. ctum a: contingat\’q; ip$um $uperficies plana, qu{ae} $it s p in puncto c: & $it $uperficies corporis illumi- nandi à corpore $phærico, $uperficies g, quæ e$t ex hypothe$i æquidi$tãs $uperficiei s p: & $it linea a c g ducta à centro corporis $phærici perpendicularis $uper dicti corporis $uperficiem: dico quòd ir radiationem illius corporis po$sibile e$t fieri $ecundum pyramidem rotundam, cuius ba$is e$t in $u- perficie corporis g, uertex uerò in puncto a centro corporis lumino$i. Si enim perpendicularis a g in centrum uel in medium $uperficiei g non ceciderit: ducatur ad ip$ius $uperficiei g breuius extre- mum linea a f: $uper cuius terminũ in puncto a con$titua- tur angulus ex 23 p 1 æqualis angulo g a f, qui $it g a h: pro- d a b p c s k h y f l ducatur\’q; linea a h ad $uperficiem g: & producantur in $u- perficie g line{ae} g f, & g h. Et quoniam duorum triangulo- rum a g f & a g h anguli a g f & a g h, qui $unt ad ba$im, $unt {ae}quales ex definitione lineæ erect{ae} $uper $uperfici\~e, & an- guli g a f & g a h $unt {ae}quales, & latus a g commune: patet ex 26 p 1 quia latus a f erit æquale lateri a h, & f g æquale g h. Similiter etiam facto alio angulo æquali g a f & g a h angulis triãgulorum a g f & a g h, qui $it g a k: productis\’q; lineis a k & g k: erit, $icut in præcedentibus, linea a k {ae}qua lis line{ae} a f uel a h, & erit linea g k æqualis line{ae} g f uel g h. Cum ergo ex puncto g exeant tres lineæ {ae}quales & in ea- dem $uperficie: patet ex 9 p 3 lineam f h k $ecundum quan titatem lineæ g f à puncto g productam e$$e circularem. Quia ita que irradiatio fit $ecundum has lineas, $cilicet a f, a h, a k, & $ecundum alias omnes ducibiles, angulos æqua les cum linea a g prædictorum triangulorum angulis, qui $unt ad punctum a, continentes, ut e$t linea a l, & aliæ: pa- tet ex definitione pyramidis rotundæ, quoniam fit irradia tio $ecundum pyramidem rotundam. Fit enim $ecundum figuram, quæ de$cribi po$sit per triangulum a g f orthogo nium latere a g fixo manente, & a f & g f lateribus reuolu- tis ad locum, unde inceperant moueri. Et ex pr{ae}mi$sis pa- tet quoniam huius irradiatio $emper fit $ecundum angu- los incidentiæ æquales. Patet ergo propo$itum. Si dicatur quòd etiam fit irradiatio extra hanc pyramidem: hoc e$t uerum: $ed quia natura lucis e$t $emper æqualiter diffundi, ut patet per 20 th. 2 huius: tunc fiet ad omnem partem $uperficiei g $ecundum pyramidem uel $ecundum partem pyramidis in ip$a rece- ptam irradiatio (parte alia pyramidis ad $uperficiem corporis non illuminabilis proten$a.) Vnde $i pars illuminata extra $ignatam pyramidem modica fuerit: nó fiet in ea $en$ibilis irradiatio propter radiorum paucitatem: quæ $i magna fuerit, cum in ip$a ad {ae}quales angulos multi radij conueniant: tunc irradiatio $en$ibilis erit propter multorum radiorum concur$um & æqualitatem angulorum. Et $ic e$t po$sibile propter lucis unigenitatem irradiationem fieri $ecũdum lineam circularem, qu{ae} $it terminus ba$is pyramidis uel partis ba$is. Eodem autem modo demon$trandum, $i $uperficies g æquidi$tet $uperficiei s p contingenti corpus lumiao$um in b, d punctis, uel in alijs punctis $igna- tis. Vniuer$aliter autem corporum, quæ $plendorem $en$ibilem à corpore aliquo lumino$o acci- piunt, oportet quòd $it talis a$pectus ad corpus lumino$um, ut theorema $upponit: $cilicet æqui- di$tantia ad $uperficiem planam contingentem corpus lumino $um in puncto, ubi perpendicularis ducta à centro corporis lumino$i ad $uperficiem corporis illuminandi $ecat $uperficiem corporis lumino$i. Et huius $ignum e$t irradiatio lunæ, quæ nunquam, ni$i in parte $oli oppo$ita illumina- tur: & $emper medietas illius, ea $cilicet, quæ $olem re$picit, e$t illuminata nece$$ariò propter natu- ram præmi$si a$pectus: aliam uerò partem irradiatio $olis, ni$i fortè per refractionem, nullatenus attingit. Et quoniam pyramides uerticem habentes in centro corporis lumino$i, ad infinitas ba- $es in corpore irradiando una ba$i alteri in$cripta applicantur: ideo tota $uperficies irradiati corpo- ris corpus lumino$um a$piciens multiformiter irradiatur, & augmentatur irradiatio: quoniam o- portet ut tale corpus $it den$ius medio, per quod lumen uenit ad ip$um: oportet enim quòd tale corpus habeat aliquid den$itatis. Vnde $i lumen nihil haberet re$i$tentiæ, trã$iret, nec corpus per- tran$itum irradiaret: aliter etiam in ip$o non fieret reflexio uel refractio per 58 huius. Et quoniam per reflexionem radij aggregantur, & $imiliter per refractionem ex 57 huius: tunc per 56 hu- ius radijs non aggregatis plus $en$ibilis non fieret irradiatio quàm in medio: nunc autem irradia- tio in theoremate $upponitur: patet ergo quòd oportet corpus irradiandum e$$e den$ius quàm $it corpus propinquum corpori lumino$o. Exemplariter uerò id declarari pote$t per hoc, quod in 37 th. 2 huius o$tendimus. Quia $i per foramen rotundum penetret radius $olis: $tatim in cor- pore oppo$ito ad ba$im applicatur, & in formam pyramidis lumen figuratur. Signum ergo e$t quòd in quolibet radio corporis lumino$i idem fiat, qui cum $int naturæ homogeneæ, eadem e$t natura in toto & in parte: & ad minus, $i illud non $it nece$$arium $emper fieri: e$t tamen po$sibile fieri, ut proponitur. Patet ergo intentum.

VITELLONIS OPTICAE 64. Si ad idem c\~etrum ui$us ab aliqua $uperficie fiat luminis refractio uel reflexio: nece$$e e$t extremum illius luminis $uperficiei ui$us circulariter $ecundum rotundam pyramidem incide- re. Ex quo patet tunc centrum corporis irr adiantis, & centrum ui$us, centrũ<006> circuli ba$is py- ramidis irradiationis refractæ uel reflexæ in eadem recta linea con$istere oportere.

Suppo$ito quòd aliquod corpus irradiatum $it inter ui$um & inter corpus lumino$um irradiãs: & $it illud medium corpus diaphanum, ita quòd radij refracti in centro ui$us ualeant aggregari: ali- ter enim non uideretur irradiatio. Sit quo que centrum corporis irradiantis a: $uperficies\’q; corpo- ris irradiati $it f h i k: perpendicularis ducta à centro corporis lumino$i $uper illam $uperficiem $it a g: & ducantur lineæ a f, a h, a i, a k: & line{ae} g f, g h, g i, g k: & $it centrum ui$us b: ducantur\’q; lineæ b f, b h, b i, b k, b g. Quoniã itaque, ut patet ex hypothe$i, lum\~e corporis irradiantis per refractionem ui detur in puncto b: & per 3 huius perpendicularis non refringitur, $ed trã$it ad angulos rectos, ut in- cidebat ad lineas f g, h g, i g, k g, & in uno puncto, ut in centro oculi, concurrunt plures radij refra- cti, qui obliquè incidunt illi $uperficiei ex hypothe$i: qua aut\~e ratione aliquis radius refractus per- uenit ad centrum ui$us, eadem ratione omnes radij incidentes $uperficiei corporis f h i k, $ecundũ circulum (cuius centrum e$t punctum g) refracti perueniunt ad centrum ui$us, ut patuit in 48 hu- ius: $unt enim illi anguli incidentiæ omnes æquales, ut patet per præmi$$am: ergo & anguli refra- ctionis omnes erunt æquales per 8 huius. In centro ergo unius ui- a f h g k i b $us nulli radij extremi concurrunt, ni$i qui refringuntur $ecundum angulos æquales. Sit ergo, ut $it illa refractio $ecundum aliquos an gulos extremos, qui $int b f g, b h g, b k g, b i g: erunt ergo illi anguli æquales: $ed & anguli ad punctum g $ub linea b g & $ub lineis f g, h g, k g, i g, $untæ quales: quia $unt recti. Sunt ergo trigona b g f, b g h, b g k, b g i æquiãgula per 32 p1: ergo per 4 p 6 ip$orum latera $unt proportionalia: $ed latus b g e$t æ quale $ibijp$i, cum omnib. $it illis trigonis commune: latera ergo b f, b h, b k, b i $unt æqualia inter $e, & latera g f, g h, g k, g i $unt inter $e æqualia. Ergo per 9 p 3 linea h f i k e$t perpheria circuli, cuius centrum e$t punctum g: & $ic de$cri- bitur in oculi $uperficie. Fit ergo pyramis refracta, cuius uertex e$t in puncto b centro ui$us, & eius ba$is e$t in illuminata $uperficie: e$t\’q; alia pyramis illuminationis, cuius uertex e$t in puncto a cen- tro lumino$i, & eius ba$is e$t etiam circulus f h i k. Patet ergo quòd i$tarum duarum pyramidum lineæ g f, g h, g i, g k $unt in eadem $u- perficie, ut prius: quoniam ab ei$dem lineis, in quas radius incidit, etiam refringitur. Vna e$t ergo $uperficies communis terminans i- $tas duas pyramides, quæ e$t circulus f h i k: & e$t ba$is ambarum il larum pyramidum. Patet etiam hoc ex 5 p 11: quia illæ lineæ $ecun- dum unum punctum, qui e$t g, cum linea b a angulos rectos faciũt. Angulus enim f g b e$t æqualis angulo f g a: quoniam uterque ip$o- rum e$t rectus, ex eo quòd $uppo$itum e$t angulum a g f e$$e rectũ: erit\’que $uperficies, in qua $unt line{ae} f g, h g, i g, k g orthogonalis $u- per $uperficies omnes refractionis. Patet ergo unum propo$itorũ. Quòd $i centrum ui$us fuerit inter corpus irradiatum, & corpus ir- radians con$titutum: tunc eadem di$po$itione manente, ni$i $olo puncto b inter a & g puncta con$tituto, patet propo$itum ex eo: quòd tunc corpus irradiatum non uidetur ni$i per reflexionem lu- minis recepti à corpore lumino$o: & $emper angulus incidentiæ erit æqualis angulo reflexionis per 20th. 5 huius: quia angulus extrin$ecus angulo a g fin triangu- lo a g f pyramidis illuminationis erit æqualis angulo b f g, qui fit ad ba$im trianguli b f g pyrami- dis reflexionis: nec erit po$sibilis ui$io irradiationis ni$i in puncto axis pyramidis illuminationis: ubi $ecundum æquales angulos reflexi radij à tota $uperficie illuminati corporis concurrunt: e- runt\’que omnes anguli triangulorum pyramidis reflexionis, qui $unt ad ba$im, æquales inter $e per 20th. 5 huius: quoniam anguli extrin$eci pyramidis irradiationis, qui $unt anguli incidentiæ, o- mnes $unt æquales inter $e. Omnes ita que radij ad ui$um reflexi, qui $unt in eadem $uperficie, per 6 p 1 erunt æquales. Et quoniam lineæ f g, h g, i g, i g, k g $unt æquales: patet per 9 p 3 lineam f h i k e$$e peripheriam circuli: quod e$t $ecundum propo$itum. Et quoniam linea b g, quæ e$t perpendicula- ris $uper illam $uperficiem, omnibus illis trigonis e$t communis, & angulus cuiuslibet triangulo- rum, qui $unt ad ba$im, æqualis e$t alteri $ibi corre$pondenti per 4 p 1, cum lineæ f g, h g, i g, k g $int adinuicem æquales, ut declaratum e$t prius, & ab ip$is fiat reflexio ad ui$um: patet per 106 th. 1 hu- ius quia erit per radios ab ip$is reflexos pyramis in$cripta pyramidi ad eandem ba$im, $ed diuer$æ altitudinis: quoniam punctus b, qui e$t centrum ui$us, po$itus e$t e$$e inter corpus irradians & corpus irradiatum: & erit illa ba$is communis duabus pyramidibus, $cilicet pyramidi irradiatio- nis & pyramidi reflexionis orthogonalis $uper omnes $uperficies reflexionis. Patet ergo, quod co- rollario proponebatur per 107 th. 1 huius. Vi$um e$t etiam quibu$dam ad propo$itam ui$orum LIBER DECIMVS. circulationem coadunare circulationem foraminis uueæ, ac $i ad peripheriam foraminis $olùm ra- dij incidant: & $ic in $uperficie ui$us rotundentur. Quòd et$i $it aliquando po$sibile, non tamen e$t uniuer$aliter nece$$arium: quia etiam cuicunq; parti $uperficiei ui$us radij incidant $ecundum an- gulos æquales: $emper accidet nece$$ario figuram uideri circula- rem. Ex i$tis itaq, manife$tè patet, quia et$i tota $uperficies alicu- a g f y h k i ius corporis irregularis uel regularis, rectilinea uel circularis $it irradiata: non tamen uidebitur ni$i circularis pars eius irradiata, quando per reflexionem uel refractionem uidetur. Quia oportet ad hoc, quòd ui$us ip$um iudicet irradiatum, radios plures in cen tro oculi aggregari: non autem concurrunt ni$i illi, qui inci dentes ad $uperficiem corporis irradiati & reflexi ad centrũ oculi omnes æquales angulos con$tituunt: tales autem in cidunt $ecundum cir culum: faciunt enim pyramidem, ut patet ex præmi$$a, & refle- ctuntur uel refringuntur nece$$ariò $ecundũ circulum eundem. Ergo $uperficies illius corporis $emper uidebitur circulariter irra diata: nec uidebit ui$us illam irradiationem, ni$i fuerit in puncto concur$us linearum taliter reflexarũ con$titutus. Et propter hoc in eadem $uperficie irràdiati corporis diuer$is ui$ibus diuer$i ap- parebunt circuli: quia eæ dem lineæ in diuer$is punctis non con- currunt, $ed in uno tantùm: & remotioribus maiores apparebunt circuli: $cllicet illi, quibus ad maiores angulos incidebant radij, & ad maiores reflectuntur uel refringuntur: & $unt exteriores in pe ripheria ba$is. Sic ergo pyramis interior, $cilicet reflexionis uel re fractionis in$cribitur pyramidi alteri reflexionis uel refractionis minor\~e exterius ambienti: centrum\’q; ui$us propinquius $uperfi- ciei irradiatæ minor\~e uidebit circulũ, <004> ui$us remotior: quoniã ra dij in minori circulo $ecundũ angulos minores incidunt, & $ecun dum angulos minores reflectuntur per 20th. 5 huius, uel $ecundũ minores angulos refringuntur per 8 huius. Patet aũt ք 106 th. 1 hu ius quia $ecundũ quòd angulus refractionis uel reflexionis plus minuitur, $ecundum hoc angulus in ui$u contentus augmenta- tur. Et quia angulus refractionis uel reflexionis $emper e$t acutus rectilineus diui$ibilis: propter hoc angulus in oculo $emper e$t acutus, nec ad rectum pote$t excre $cere, ut quartã part\~e circuli altitudinis $ibi faciat re$põdere: quoniã inter angulos cau$$antes pyra midem ille angulus in oculo & angulus reflexionis uel refractionis ualent unũ rectũ: cum angulus ad ax\~e $emper $it rectus per 89 primi huius. Ex præmi$sis quoq; patet corollariũ perpulchrũ auxi- lio 12 huius. Quoniam enim in pyramide orthogonia centrum circuli ba$is & conus $emper $unt in eadem linea (ut in axe) in propo$ito erunt a & g in axe a g: $ed eadem ratione erunt b & g in eadem linea: lineæ uerò b g & g a coniunctæ $unt linea una: eò quòd f g à termino ip$arum exiens cum am babus facit angulos rectos. Quo modocunq; ergo $e habeat ui$us ad corpus irradiatum, dummo- do ad ip$um fiat reflexio uel refractio: patet propo$itum quoniã $emper centrum corporis irradian tis & centrum oculi & centrũ circuli ba$is utriu$q; pyramidis, irradiationis $cilicet & ui$ionis $unt in eadem linea, $cilicet axe pyramidis irradiationis: nec aliter e$t po$sibile uideri irradiationem.

65. Iridem ex reflexione & refractione radiorum corporis lumino$i uideri nece$$e ect.

Locuturi de iride, de illa principaliter intendimus, quæ inter$ecans horizontem ad diuer$as par tes mundi protenditur: quamuis etiam de alijs, quæ illi iridi $imiles uidentur, intentionem non principaliter facturi $imus. Quòd uerò iris fiat ex multitudine luminis corporis lumino$i in ui$u re cepti, hoc patet $en$ui: quòd autem (non aggregatis radijs corporis lumino$i) lumen $en$ibilius po$sit fieri in corpore non lumino$o, quàm in medio, per quod prius lumen ferebatur, o$ten$um e$t per 56 huius impo$sibile e$$e. Vnde patet ex hoc quòd lum\~e uigoratur ex aggregatione radio- rum corporis lumino$i, ut $en$ibilius fiat in aliquo corpore quàm in medio. Quod uerò aggregatio radiorum corporis lumino$i fiat per reflexionem uel per refractionem, quæ fit in corpore den$io- ris diaphani quàm medium, per quod antea ferebatur, declaratum e$t per 57 huius. Patet itaq; ge- neraliter quòd luminis maior $en$ibilitas per reflexion\~e uel per refractionem in omnibus ui$ibili- bus cau$$atur. Quòd uerò iris $pecialiter ex reflexione fiat: patet per hoc: quia lumen eius $en$ibile peruenit ad ui$um, ut $uppo$itũ e$t in 2 petitione libri huius. O$ten$um e$t quoq; per 20 th. 5 huius quòd omne, quod uidetur per reflexionem, $ic uidetur, quòd angulus, $ecundum qu\~e forina $pecu lo uel alteri corpori polito incidit, fit æqualis angulo, $ecundũ qu\~e illa forma reflectitur ad ui$um: quod etiam patet per 26 th. 5 huius ducta perpendiculari à puncto incidentiæ $uper $uperficiem corporis politi, ad quam reflexionis anguli referuntur: continet enim radius incidens & radius re- flexus cum eadem perpendiculari angulos æquales. Cum itaq; forma iridis fiat in ui$u: patet iri- dem per reflexion\~e radiorũ corporis lumino$i ad ui$um cau$$ari. Quòd uerò iris per refractionem VITELLONIS OPTICAE ctiam radiorum corporis lumino $i fiat: patet per hoc quia non generatur iris, ni$i in aliqua diapha- na materia exi$tente in medio, & prohibente tran$itum luminis. Iam quoq; dictum e$t in 4 huius quod in corporibus diaphanis den$ioribus primo diaphano, & $i ab ip$orum $uperficie fiat refle- xio: $emper tamen fit refractio ad perpendicularem: & $ic lumen talium corporum $uperficiebus obliquè incidens qua$i $ecundum unam lineam ad duas partes oppo$itas diui$um protenditur. Fit itaq; per refractionem in talibus corporibus luminis aggregatio, quæ ui$ui offertur, $icut & quodli bet aliud ui$ibile: & $icut nubes alba, & lumen ab illorum corporum $uperficie ad ui$um reflexum coadiuuat, ut actũ maioris $en$ibilitatis faciat in ui$u: $icut uidemus quòd à corporibus albis, quæ plus habent luminis, $en$ibilior fit reflexio quàm à corporibus medio colore coloratis. Hoc etiam patet per luminis profundationem in iridis generatione. Cum enim ea, quæ $olùm reflexionem lu- minis habent, tantùm in $uperficie irradientur, materia iridis $en$ibiliter inuenitur in profundo ir- radiata: & ob hoc (ut comperit Philippus $odalis Platonis, & ut quotidie quoq; circa iridem deam- bulantibus cõtingit, & nos ip$i experimento hoc didicimus) iris mutatur $ecundum mutationem uidentis. Sequitur enim fugientem ab ea, & illum, qui progreditur ad eam, fugiens antecedit. Et $i quis ad dextrum uel $ini$trum latus progre$$us fuerit: iris ad idem latus uidebitur moueri. Sed $e- cundum reflexionem $olùm ui$a fugiunt fugientem, & occurrunt accedenti: uidentur enim talia $emper in concur$u lineæ reflexionis ad ui$um progredientis, cum perpendiculari ducta à puncto rei ui$æ $uper $uperficiem corporis, à qua fit reflexio formæ ui$æ, ut patet per 37 th. 5 huius. Iris er- go non $olùm uidetur per reflexion\~e, $ed etiam per refraction\~e luminis intra corpus, à quo reflecti- tur: quamuis accedenti ad iridem, uel ab ip$a elongato ab alijs & alijs $uperficiebus corporum lu- mini obuiantium fiat reflexio luminis ad ui$um: quoniam fuga iridis à progrediente ad eam, & $e- cutio fugientis ab ea, accidit propter diuer$as reflexiones, qu{ae} fiunt ad ui$um à diuer$is partibus materiæ iridis: $cilicet $ecundũ quod ui$us mutat puncta, in quibus ab angulis ba$is unius pyrami- dis omnes radij in centro ip$ius oculi concurrũt. Et quia tales ba$es $unt infinitæ, & puncta, in qui- bus earum radij reflexi, in axe colliguntur, $unt infinita: patet etiam quòd per reflexionem multifa riam uidentur irides infinitæ $ecundum infinitatem punctorum in axe pyramidis occurrentium accedenti uel recedenti $ecundũ lineam eiu$dem axis, uel etiam à latere eunti $ecundum mutatio- nem axis à centro corporis lumin o$i per alium punctum $uæ $uperficlei exeuntis, quàm per illum, quo primus axis exibat. Fit enim ui$um ad latera $ic mutanti noua pyramis & noua ba$is: aliud\’q e$t punctum $uperficiei corporis lumino$i, per quod uenit radius perpendicularis ad $uperficiem materiæ iridis, qui (in ip$um cadente centro oculi) fit axis pyramidis utriu$q;. Videntur itaq; hoc modo irides infinit{ae} ad quamcunq; differentiam po$itionis quis uidentium motus fuerit: dum mo dò contra corpus lumino$um non moueatur. Quod etiam $i uerum $it per reflexionis naturã po$$e fieri: refractio tamen radiorum corporis lumino$i $emper augmentat lumen, ut uideri ualeat $en$i- bilius à ui$u. Patet enim quòd refractio radiorum corporis lumino$i aggregat lumen, ut fiat magis ui$ibile: quoniam propter ip$am refractionem radiorum circa eandem partem medij radius dupli- catur: $imiliter\’q; ip$orum radiorum reflexio lumen aggregat & ad ui$um $en$ibiliter reducit: iris ue rò non fit, ni$i ex aggregato lumine, nec fit ex illo, ni$i occurrat ui$ui. Ergo ad generationem iridis refractio radiorum corporis lumino$i & reflexio eorundem nece$$ariæ exi$tunt. Et hoc e$t, quod in præ$ente theoremate perquirere uolebamus.

66. In uapore rorido iridem gener ari nece$$arium e$t.

Quod hic {pro}ponitur, patet. Quia cũ iris non fiat $inelumine, imò luminis multitudine: lum\~e aũt non aggregetur ni$i ex reflexione aut refractione radiorum corporis lumino$i, ut patet per 57 hu- ius: hæc aut\~e non fiant, ni$i lumini fiat obiectio corporis den$ioris aere puro per 56 huius. Ergo in loco generationis iridis non erit ip$ius generatio $ine corpore irradiabili, à cuius $uperficie po$sit fieri reflexio & refractio luminis incidentis. Aliquod uerò $olidorum planorum ibi e$$e e$t impo$si bile. Sed neq; aquam: quoniam hæc curreret $ubitò ad inferiorem locorum $ibi po$sibilem: iris ue- rò aliquo tempore manet, non eadem, $ed $emper diuer$a propter continuum de$cen$um roratio- nis: nec tamen po$$et in aqua continua figura iridis generari: quoniam lumen integrum reflectere- tur à $uperficie aquæ propter continuitatem ip$ius aquæ. Iris enim, quæ fit in aqua diffu$a per re- mos, fit proter aquæ di$per$ionem: quia tunc temone pro manu utitur nauta aquam rorans: & ob hoc cum aqua $ic fuerit fu$a, in ip$a colores iridis apparent. Non etiam pote$t e$$e quòd $it aer gro$- $us, in quo iris generatur: quoniam impre$sio luminis in aere non efficeret colores iridis, $ed face- ret quandam albedinem, ut apparet in crepu$culis matutinis in ip$arum principijs & etiam termi- nis crepu$culorum $erotinorum: & uniuer$aliter in $imilibus quibu$cunq;. Non etiam pote$t e$$e uapor continuus, $iue $it eleuatus ad generationem nubis, $iue $it in nubem cõden$atus. E$to enim quòd $it po$sibile à uapore continuo iridem generari. Ponatur ergo corpus radio$um (cuius cen- trum $it a) in circulo horizontis: $ecet\’q; ip$um $uperficies ortho gonaliter erecta $uper $uperficiem horizontis per centrum ip$ius corporis: & ducatur in illa $uperficie $ecante per centrum corporis lumino$i linea h g. Huic itaq; $uperficiei $ecanti aut æ quidi$tat uapor continuus irradiabilis: aut non. Si æ quidi$tat: $it linea in eius $uperficie b c d æ quidi$tans lineæ h g: incidant\’q; $ibi radij a b, a c, a d: & $it linea a b perpendicularis $uper $uperfici\~e uaporis, quæ in $e reflectetur per 21th. 5 huius: & reflectentur etiam lineæ a c, a d: quia non $unt perpendiculares. Quoniam autem angulus a c b e$t acutus per 32 p 1, cum an angulus a b c $it rectus: patet per 13 p 1 quòd angulus d c a e$t obtu$us: per- LIBER DECIMVS. pendicularis ergo extracta à puncto c non concurret cum axe a b: ergo nec radius reflexus. Cum ergo centrum ui$us ex 64 huius nece$$ariò $it $itum in linea a b, quæ e$t in $uperficie horizontis, & centrum ui$us $it centrum horizontis, quod $it pun- d c g c d f h a g ctus f: patet quòd lumen $ic reflexum centrum ui$us nullatenus attinget, ni$i fortè radius ille reflexus $u- perficiei alterius corporis plani incidens reflectere- tur ad ui$um. Ergo uapore taliter di$po$ito iris non uidebitur. Quòd $i uaporis continui $uperficies $u- perficiei $ecanti corpus lumino$um non æquidi$tet, $ed cum ip$a cõcurrat: $i ill{ae} $uperficies $ub horizon- te cõcurrant, idem accidit impo$sibile, & eodem mo do deducendũ. Quia & $i hoc modo radios aliquos $ub horizonte ad ui$um reflecti $it po$sibile: non tamen ui$us illorum pa$sionem aliquam iudicabit: non enim uidentur ea, quæ $unt $ub horizonte: cum horizon $it circulus, qui e$t terminator ui$us. Et cum $uperficies horizontis $it obliqua $uper $uperficiem uaporis: patet quòd radius à centro corporis lumi- no$i perpendiculariter incidens $uperficiei uaporis cadit $ub horizonte: omnes\’q; radij non perpendiculariter $uperficiei uaporis ultra $uperficiem ho rizontis incidentes, reflectuntur ad partem contrariã centro ui$us in centro horizontis con$tituti. Non ergo uidebitur iris, centro ui$us & $uperficie illius uap oris taliter ad inuic\~e di$po$itis. Quòd $i nõ $ub horizonte, $ed $upra horizont\~e cõcurrãt ill{ae} h d c m b f a g duæ $uperficies, una uaporis & alia $ecans lumino- $um corpus: tunc iterũ lumen ad ui$um reflecti non e$t po$sibile, ex cau$sis prius dictis. S\~eper enim an- gulus a c d, cũ $it extrin$ecus angulo a b c, in triãgu- lo orthogonio a b c, erit maior recto per 16 p 1: ergo reflexio nun<004> fiet ad ui$um, <003> e$t in c\~etro horizõtis. Sed etiã dato q<001> in aliqua præ mi$$arũ di$po$itionũ fiat reflexio ad ui$um (q<001> tam\~e e$t impo$sibile) nõ {pro}pter hoc iris uidebitur: quoniã propter uaporis cõtinuitat\~e fiet luminis multa in $uperficie uaporis generatio: & erit lum\~e continuũ, q<001> ad ui$um refle xũ ip$um debilitabit, nec in {pro}fundũ uaporis ip$um քmittet in$picere. Et dicit uulgus q<001> tale lum\~e e$t $ol aqueus: nec habet di$tinction\~e aliquam colorũ. Et etiã $i dictæ $uperficies $upra horizont\~e cõcurre r\~et: tunc iris deflexa uideretur à zenith capitis $en$i biliter $ecundũ gibbũ circuli, quo uidetur: q<001> totũ $en$ui e$t cõtrariũ, nec apparet ui$ui. In tali ergo ua pore nõ e$t conueni\~es irid\~e cau$$ari. Sed inter uapo rem aqueũ cõtinuũ, & inter aquã depluent\~e à nubi bus e$t quoddã mediũ, quod dicitur uapor roridus. Et fit quando frigus conden$ans incipit uapor\~e a- queũ in formã propriam $cilicet a qu{ae} reducere: tũc enim cõden$antur raræ partes uaporis, & fit partιũ uaporis di$tãtia, qu{ae} rotundari incipiũt: nondũ tamen {pro}pter debilitat\~e agentis reducuntur ad formã propriã, qu{ae} $ibi det motũ ad inferius: & tũc ill{ae} uaporis particul{ae} $unt qua$i quædã parua $pecula, in quibus $olũ apparet color corporis radio$i $ine quantitate & figura, ut diximus in 62 th. huius. Si ergo ad talia corpu$cula incipi\~etia rotũdari {pro}pter {ae}qual\~e ex om ni parte uirtutis cõden$antis action\~e, quou$q; materiã cõden$et, incidat lumen corporis lumino$i: refringitur ad po$terius ip$ius quilibet radiorũ $ibi incidentiũ ad lineã perpen- dicular\~e, à pũcto incid\~eti{ae} $uք $uperfici\~e illius corporis productã ք 4 huius. Et quoniã ք 72 th. 1 hu- ius illa perpendicularis tran$it centrũ illius corporis $phærici: patet quòd radius refractus obliquè cadet $uք $uperfici\~e illius corporis oppo$itã corpori lumino$o, & aggregabitur lum\~e in profundo totius cõ$i$tenti{ae} i$torũ corpu$culorũ, propter refraction\~e factã in quolibet ip$orũ: $icut uidemus in cry$tallo rotunda: quoniã ultra $uperfici\~e illius po$terior\~e fit aggregatio radiorũ in aere ad pun- ctum unũ, ut patet ք 48 huius. In quolibet aũt i$torũ corpu$culorũ ($iue ip$a $int maiora guttis ex ip$is po$tmodũ uia cõden$ationis generatis, ut quãdoq; po$sibile e$t fieri: $iue ք modũ aggregatio- nis ex pluribus corpu$culis fiat gutta: in hoc enim, quo ad iridis generation\~e, nõ e$t diuer$itas quo- niã $emper incidũt radij infiniti, qui etiã reflectũtur à $uperficie ip$orũ corpu$culorũ $ecundũ angu los incidenti{ae} $u{ae}, quos faciũt cũ lineis maiores circulos dictorũ corpu$culorũ in puncto $u{ae} inci- denti{ae} cõtingentibus, qui anguli diuer$i $unt: & ob hoc anguli reflexionis efficiuntur diuer$i, ut pa- tet per totum 6 librũ huius $cienti{ae}: & radij faci\~etes angulos cum lineis cõtingentibus corpu$cula prædicta & cũ lineis $ignatis in $uperficie corpus lumino$um $ecante concurrentibus $upra hori- VITELLONIS OPTICAE zontem, & inter$ecantibus ax\~e pyramidis illuminationis ultra punctũ b remotius à corpore lumi- no$o (ut in puncto m) quia anguli tales intra pyramid\~e obtu$i $unt: ideo per 33 th. 5 huius illi radij $ic incidentes ad ui$um reflectuntur: & in puncto, ubi talium radiorum plurimorũ fit concurfus in axe, inter corpus lumino$um & uapor\~e ui$u po$ito uidetur lum\~e. Et quoniã i$torum corpu$culorũ quædã $unt, in quæ $ecundũ æquales angulos, ut dictũ e$t, radij incidũt à centro corporis lumin o$i: tales aũtradij ex omni parte nubis di$per$i $unt infiniti (cũ enim tota con$i$tentla uaporis $it plena talibus corpu$culis, infiniti $unt tales radij in $uperficie nubis uel uaporis roridi cõcurrente, uel e- tiam æquidi$tante $uperficiei $ecanti corpus lumino$um, $ecundum quod re$picit uaporis co$i$ten tiam: & in illorũ irradiatione pyramis figuratur, cuius uertex e$t in centro corporis lumino$i, ba$is uerò in con$i$tentia uaporis roridi, & lineæ longitudinis illius pyramidis termin antur ad diuer$as partes diuer$orũ corpu$culorum: qu{ae} cum $ecundũ $imiles angulos $uæ incidenti{ae} refle ctuntur ad ui$um, aliã faciunt pyramid\~e, cuius uertex e$t in centro ui$us, ba$is uerò ead\~e cum ba$i pyramidis prioris: & e$t circulus, ut o$ten$um e$t uniuer$aliter in 64 huius) uidebitur illud lumen reflexum continuũ propter uicinitat\~e partium uaporis, & eorum di$tantiæ in$en$ibilitat\~e à ui$u, qui proten- $us ab illis fallitur propter $ui debilitat\~e: & ob hoc ui$us aggregatũ ab omnibus illis corpu$culis re- flexum lumen $ine cognitione uel perceptione di$tantiæ partium recipit, & iudicat tanquã unum. Patet itaq; ex præmi$sis, quòd licet tota con$i$tentia uaporis $it radio$a, & fortè tota irradiata $u- perficies $it multilatera: tamen $emper uidetur circularis: cuius ratio e$t: quia nõ uidetur, ni$i quod de ip$o $ecundum æquales angulos ad unum punctũ axis pyramidis radialis e$t reflexum. Quando uerò anguli ad ba$im $unt æquales: latera æquos angulos continentia $unt æqualia per 6 p 1: ergo per 65 th. 1 huius centrũ ui$us e$t polus, & $uperficies, ad quã illæ {ae}quales line{ae} terminantur, e$t cir- culus: & ita uidetur iris circularis. Pote$t etiam (exempli cau$$a) idem aliter declarari: $cilicet du- ctis tribus lineis uel pluribus à punctis reflexionis orthogonaliter $uper lineam ip$i totali cõ$i$ten tiæ uaporis à centro lumino$i corporis perpendiculariter incident\~e: ill{ae} enim erunt in ead\~e $uperfi cie ex 5 p 11: erunt\’q; æ quales ex 32 & 26 p 1: ergo in puncto cõcur$us earum in axe e$t centrum circu li ex 9 p 3. Et quia totius ba$is radij non ad æquales angulos reflectuntur: nõ uidetur totus circulus radio$us, quãuis in tota nubis cõ$i$tentia ubiq; lumen exi$tat. Radij enim, qui ad maiores angulos reflectuntur, quàm $int anguli radiorũ ad ui$um reflexorũ, ultra punctũ uι$us ad alium locum axis reflectuntur: radij aũt, qui ad minores angulos eis, qui ad ui$um perueniũt, reflectuntur ad locum alium axis infra centrum ui$us concurrunt: & $ic neurri uidentur, ni$i fortè ab alijs ui$ibus in locis $uorũ concur$uũ exi$tentibus. Et propter hoc accidit moto homine in antè uel retro, aliã & aliã iri- dem uideri: quoniã $emper ui$us progredientis uel recedentis incidit in puncta aggregationis di- uer$orum radiorũ: $icut etiã accidit in hominibus diuer$is magis uel minus à centro $olis $ecundũ diuer$am zenith capitis elongation\~e di$po$itis, $ub eod\~e tam\~e exi$tentibus circulo meridiano uel alio circulo altitudinis. Iris itaq; propter has cau$$as uidetur circularis cõcaua: quia nec exteriores nec interiores radij incidentes $uperficiei totius con$i$tentiæ roridæ, in eodem puncto cõcurrunt ad ui$um: unde ui$us partes uaporis alias iudicat lumine priuatas. Et $ignũ huius e$t, quod accidit in $uperficie plana aquæ, in qua in quolibet puncto e$t forma $olis uellunæ, uel $tellarũ: non tamen uidetur, ni$i in puncto uel loco uno, à quo e$t po$sibilis reuerberatio ad ui$um: & mutato uidente ulterius, alia iterũ forma corporis lumino$i uidetur in loco alio, à quo e$t ad ui$um po$sibilis refle- xio. Et id\~e uidetur de cãdela uel lumine aliquo di$tincto in cultello nouo uel ferro polito, uel alio: quia $emք re immobili exi$tente mutatur $orma ui$a, ui$u mutato $ecundũ modũ, quo po$sibile e$t ip$am ad oculum reflecti: & in puncto alio non uidetur. Aliud etiã $ignum huius e$t: quia $i aliquo exi$tente in radio $olis, per aliũ, qui e$t extra radium, tran$uer$aliter $pargatur ore uel aliquo alio at tificio aqua roratim in radiũ: ui$us eius, qui e$t in radio, fortè non uidebit ni$i color\~e album: cum ta men $pargens, cui opponitur uapor directus, uideat lumen & colores iridis, $ed cõ$u$os, ni$i di$po- fitio corpu$culorũ roridorum $ic di$ponatur, ut po$sit fieri certa reflexio ad ui$um in medio radij exi$tent\~e. Patet itaq; ex præmi$sis quoniã iris in uapore rorido generatur. Signũ aut illius e$t: quia modicùm $tat iris: eò quòd uapor talis, cum $it ex materia graui iam ad formã grauis acced\~ete, $ta- re nõ pote$t $uper $uperfici\~e horizontis, ni$i moueatur ad centrum grauium, q<001> e$t centrum mun- di, $ecundum quod ei e$t po$sibile. Et ob hoc etiã po$t apparition\~e iridis quan do operatione agen- tis cõden$atur materia, & reducitur ad formã potent\~e mouere, fit pluuia, & ex corpu$culorum quo libet in uapore prius $eparatorũ $it per conden$ation\~e materiæ gutta aquea de$cendens. Signũ etiã eius e$t, q<001> dictũ e$t prius: quoniã aqua uaporo$è $par$a ore, manu, uel remo, ut apud nautas: in ra- dio $olari apparet iris, & iridis colores, & diuer$i a$picientes uident illud: quia radij incidentes gur- tulis diuer$imodè reflectuntur. Patet ergo propo$itũ: quod e$t: irid\~e in uapore rorido generari. Si aũt dicatur, quòd partes corpu$culorũ in materia iridis nõ $unt omnes omnino $phæricæ, non e$t uim faciens in$tantia: quia idem accidit omnino in non $phæricis, quod nunc dictum e$t de $phæri cis: nun quam enim fiet iris, ni$i multi congregati radij ad ui$um uniformiter reflectantur.

67. Tricolor e$t omnis iris.

Dubitatum propter $ui difficultat\~e ab antiquis hoc theorema proponitur. Multis enim mathe- maticorũ patuit figura & quãtitas iridis: & $unt hæc ab ip$is naturalis philo$ophiæ inqui$itoribus $uppo$ita: color tamen, qu\~e uidemus, nondum conuenienter ab aliquo e$t pertractatus, ni$i per di- $tinction\~e materiæ iridis $ecundũ adu$ti, indige$ti & opaci naturã: quòd $i hoc motum & po$sibili. tat\~e rerum naturalium $eruet & $eruare ualeat, intellectui eorũ, qui $crip$erũt talia, duximus relin- LIBER DECIMVS. quendum. Colores aut\~e iridis $ecundũ uerum, quod $e nobis po$t multos cogitatus & experi\~etias obtulit, $ic po$$unt declarari. Quia enim totus uaporroridus (qui e$t materia iridis) in $uperficie & profundo e$t irradiatus, & ip$ius e$t multa profunditas: patet quia ip$e in a$pectu $ui ad lolem $ere- nius & immixtius habet lum\~e, mixtum tam\~e cum colore uaporis, qui niger e$t, ut in aquo$is uapo- ribus euid\~es e$t ($unt enim omnes nigri) natura aut\~e lucis e$t immi$cere $e coloribus rerũ, ad quas reflectitur: e$t enim in principio 2 huius 7 petitione $uppo$itũ, lucem res coloratas tran$eunt\~e illa- rum coloribus colorari: hoc enim patet $en$ui: unde etiá lum\~e reflexum $ecum defert colorem rei, à qua reflectitur ad ui$um, $icut patet in radio tran$eunte per uitrum coloratum. Cum itaq; lumen de natura $ua fulgidum $it (ut patet) & recipiatur in generatione iridis in uapore nigro aqueo: ne- ce$$e e$t ip$um per 157 th. 4 huius ui$ui color\~e pr{ae}$entare puniceum: & irid\~e in parte illa $ecundum ui$um color\~e habere puniceum, propter fortitudin\~e ui$us & plurimam ad ip$um exloco uicino re- flexionem fortiorum radiorú, propter uicinitatem corporis lumino$i, à quo fit impre$sio lucis re- flexæ $ecundum lineam breuiorem. Et quo PVNICEVS XAN THVS VIRIDIS VELINDICVS ALVRGVS niam tota nubes e$t lumino$a, & lumen $em- per $ecũ dum æ quales angulos reflexum à di- uer$is $uperficiebus in profundo nubis æ qui- di$tantibus ba$i pyramidis primæ illumina- tionis, ad cund\~e reflectitur ui$um per $uperfi. ciem prioris pyramidis uicinioris ui$ui (quo- niam, ut patet per 68 th. 1 huius, circuli æ qui- di$tantes in codem axè $uos habent polos: & idem pũctus e$t polus diuer$orũ circulorum) patet quia etíam lumen, quod e$t in profundo nubis, uidetur. Quoniã uerò illud lumen, e$t lumen refractum, debile, multo colori nubis, qui niger e$t, admixtum: & quoniá uidetur per pyramid\~e ui- $ualem, in$criptam ab eodem uertice (utpote à centro oculi) ip$i primæ pyramidi ui$uali, $ecũdum quam uiciniores radij, qui punicei apparent, ad ui$um reflectuntur: patet per 106 th. 1 huius quoniá anguli, qui ad ba$im in$cript{ae} pyramidis fiunt, maiores erunt angulis, qui fiunt ad ba$im primæ py- ramidis. Lum\~e ergo ab illo loco in radijs $ub maiori angulo ad ui$um reflectitur: unde radij minus lumini uniti $unt, & debilius ui$ui offerũtur. Anguli etiá, quos in c\~etro ui$us faciunt, $unt minores, ut patet per idem 106 th. 1 huius, quàm anguli, qui fiunt per radios primæ pyramidis in c\~etro ui$us. Sub minori ergo angulo uidetur lumen in corpore nubis, quàm in $uperficie: quod autem fub mi- nori angulo uidetur, minus uidetur, ut patet per 20 th. 4 huius. Hoc autem patet experimentanti in lumine $tellæ uel can delæ. Quod enim prius ui$um e$t aperto oculo fulgidum, claudendo planè oculum amittit fulgorem, & incipit nigre$cere. Item quoniam à remotiori uidetur tale lumen: ideo debilius uidetur: remotio enim $iue prot\~e$io ui$ibilis à ui$u e$t cau$$a debilitatis ui$us, ut patèt per 158 th. 4 huius. Item quia uapor remotior à corpore lumino$o gro$sior e$t & nigrior, & magis aqueus: unde nigredo uaporis Iumini incorporata plus denigrat, & magis ip$um ui$ui obfu$catum præ$entat. Et hæc quid\~e in coloribus iridis aliquam cau$$alitat\~e habent. T otalis uerò cau$$a omni- bus huius coloribus uniuer$alis e$t immixtio umbrarum ip$i fulgori luminis. Quoniam enim (ut patet per præmi$$am) uaporroridus e$t materia iridis, à cuius corpu$culis fit reflexio luminis ad ui$um, & per 11 th. 2 huius omnia corpora den$a in pa\‘rt\~e lumino$o corpori aduer$am umbram pro- ijciunt: patet quòd radij reflexi à remotiorum corpu$culorum $uperficiebus, umbrarũ anteriorum corpu$culorum nigredini $e immi$cent: & $ic permixti colore nigro umbrarum perueniunt refle xi ad ui$um: & $ecundum quod plus uel minus umbrarum nigredine permi$centur, $ecũdum hoc di- uer$ificant actú $uæ lumino$itatis in uarios colores. Et huius rei $ignum e$t in coloribus $imilibus iridi, qui obducto ui$u ip$a manu uel alio umbro$o de $ub manu in fene$trarũ peripherijs uid\~etur. Signum quoq; huius e$t nigredo maris, quæ propter umbrarum multiplicationem accidit in mari- bus aquarum limpidarum, in quas lum\~e $e profundat, cum exturbulentis aquis marium, quas lux non penetrat, ut umbras efficiat, ip$is maribus non nigredo $ed uiriditas accedat: & obductis pal- pebris, ui$ui re$pectu luminis ex umbris pilorum ip$arũ palpebrarum colores iridis uidentur. Sin- gula quoq; particularia, in quibus colores iridis apparent, ad hanc umbrarũ cau$$am, ut ad quod dã uniuocum reducuntur: ut patet in collis anatum & pauonum, quæ $ecundũ diuer$am di$p o$ition\~e diuer$imodè colorantur. Cri$pitudo enim $uarũ pennarum alias hinc & inde proijcit umbras, quæ permixtæ lumini diuer$os hinc & inde procreant colores, ut patet intuenti. Nec enim alias pr{ae}mi$- $orũ cau$$as no$tro potuimus indagare ingenio. Exi$tētibus enim tantùm 22 ui$ibilibus, nullũ alio- rum ui$ibiliũ, præter umbrá, & lum\~e horũ colorũ apparentiũ ui$ui uidetur e$$e cau$$a: unde & hanc colorũ iridis æ$tim amus proximã e$$e cau$$am: nullũ tam\~e uidimus, qu\~e intellectus $uus in hoc mo dicũ intelligibile direxerit: $ed huius rei facilis omnes alij difficiles ui$i $unt dare cau$$as. Nos tam\~e hac cau$$a ut uniuoca & cõuertibili erimus cõtenti, alia, quæ præmifimus, ponentes, ut quædã ad- miniculantia huic cau$$æ. I$tis itaq; præmi$sis cau$sis uel omnibus, uel pluribus, uel aliquot $en$i- biliter cõcurrentibus inter$ectione pyramidũ reflexionis ba$iũ æquidi$tantiũ: tunc deficit iudiciũ ui$us, & lum\~e magis mixtũ uaporis nigredini, minus\’q; refractũ, $ub maiori quoq; angulo reflexũ, & $ub minori angulo ui$um, & in maiori di$tátia à $e ip$o po$itũ, & in materia gro$siori radiatũ, & um- bris pluribus permixtũ ui$us íudicat magis ab albo recedere quàm puniceum: uidetur\’q; illud lu- men reflexũ $ibi uiride $eu pra$sinum. Et po$t hunc colorem pra$sinum, plurium pyramidum facta VITELLONIS OPTICAE reflexione, cum dictæ conditiones $en$ibiliter à prius entibus cõditionibus uariantur: uidetur lu- m\~e plus nigro accedere, & fit ui$ui color alurgus $iue lazulius, qui uaporis nigredini umbris\’q; plu- ribus magis permixtus e$t quàm pra$sinus. Et demum cum $ecundũ hunc colorem alurgum plu- rium pyramidum ui$is circumferentijs ba$ium, $en$ibiliter incipiunt pr{ae}dictæ conditiones uariari, & cum lumen amplius ad ui$um $ic di$po$itũ non reflectitur: fit nigrum, quod amplius permixtum lumini non uidetur. Signum uerò prædictorũ e$t: quia cũ aliquis po$tquam $olem uel aliquod cor- pus fulgidum a$pexerit, claudit oculos $ubitò & fortiter: primò quidem obducto oculo pelle, quod prius uidit fulgidum, uidebit puniceum: deinde pra$sinum: deinde purpureum: pò$t in nigrum co- lorem forma lucis decidens exterminatur: & $ic facto motu in ui$u ab albo ip$o paulatim extermi- nato, $emper in propin quius nigro fit re$olutio. Patet itaq; ex præmi$sis quòd iris $it tricolor: quo- rum colorũ $upremus e$t puniceus: & color uiridis $ub puniceo continetur, quoniá color circum- ferentiarũ ba$ium uiridiũ $ub colore ba$ium circumferentiarũ punicearum fertur ad ui$um: & $imi liter color alurgus $ub uiridi cõtinetur ead\~e ratione: & $ic uidetur unus arcus coloratus $ub alio ar- cu cõtinuo colorato. Color uerò xanthus, qui inter color\~e uirid\~e & color\~e puniceũ uidetur, in iride non e$t color di$tinctus ab alijs, $ed ex cómixtione uiridis & rubei ui$ibus occurrit. Puniceus enim color iuxta pra$sinũ ui$us albus uidetur: quia & purpureus coloriuxta nigrũ albus uidetur: uiride etiá permixtũ e$t albo: & ob hoc color xanthus, quia ppinquior e$t nigro quàm puniceus, inter pu- niceũ & uirid\~e uidetur. Vnde etiá facta iride in nube nigerrima, color $uperior nó e$t puniceus, $ed xanthus uidetur, propter multá nigredinis uaporis cũ lumine permixtion\~e, & re$oluta nube, quod prius uidebatur puniceum, demũ albũ uidetur: pra$sinus quoq; uidetur tendere ad xanthum colo- rem, & alurgus ad uiridem. Et iam uidit quidá uir experientiæ irid\~e totã albã: quod accidit propter materiæ raritat\~e & luminis claritat\~e: & ui$us optimã di$po$ition\~e in $e, & in di$tãtia proportionata ad r\~e ui$am: uel fortè propter uaporis plurimã gro$siciem & den$itat\~e, in quo nõ potuit lum\~e pene- trare in profundũ: $ed fiebat à $uperficie uaporis reflexio: & propter hoclumen nõ receperat colo- rem à colore corporis $ibi cõmixto, nec mi$cebatur nigredini umbrarũ: unde reflexio faciens irid\~e. in forma luminis reflectebatur $ine admixtione nigredinis & umbrarũ. Signũ uerò diuer$æ appa- ritionis colorũ e$t, quod uidetur in texturis purpurarum: in quibus colores iuxta alios po$iti pluri- mam faciũt differentiá & mixtion\~ein unu. Non enim id\~e uidetur purpureũ iuxtà po$itũ albo & ni- gro, aut alicui alteri colori. Et ex hoc propter claritat\~e aliqual\~e, quam color accipit à uicino $ibi co- lore, aliæ phanta$iæ colorũ in ui$ibus oriũtur. Sicut etiã accidit operãtibus ad lucerná decipi in co- loribus, propter admixtion\~e impuri luminis: & accidit eos peccare, & alios colores pro alijs acci- pere, colorũ alietate eximmixtione impuri luminis generata. Et $ic nõ inconuenienter dici po$sit, quòd medij colores iridis à medijs pyramidibus $ecundũ dictas circũ$tantias & diuer$arũ umbra- rum permixtion\~e cũ lumine gener\~etur. Numerum aut\~e colorũ iridis $ecundũ antiquos in ternario decreuimus: extendunt enim in tantum colorũ nomina, ut color medius illius extremi coloris no- men habeat, cũ quo magis participat in natura. Et $ic iridem tantũ tricolor\~e e$$e nece$$ariò cópro- batur:nec po$$unt pictores tales colores plenariè $imulare. De coloribus etiã, qui apparent in iride generata in uapore aqueo $par$o ore uel alio $ubtili artificio, manu, uel remo, tota cau$$a dicta e$t. Cũ enim lumen ad talia corpu$cula incidit, & ab eis reflectitur ad ui$um in radio po$itũ, uel in $ene- $tra, per quam incidit radius, uer$o occipite directè ad centrũ $olis: tunc lum\~e propin quius reflexũ tanti e$t luminis, quod remotius reflexũ lum\~e, propter admixtion\~e umbrarum $uperiorum corpu- $culorum propinquiorũ ui$ibus, & corpori lumino$o, magis & magis obtenebratur $ecũdum mo- dos prius dictos: uidebitur\’q; $ic cõ$tituto ui$u iris ex cau$sis prius dictis rotundata. Aliter aut\~e ui- $u di$po$ito ad radium: uidebũtur propter inordinatam reflexionem ad ui$um colores iridis inor- dinati: quoniam illa reflexio cum non fiat $ecundum angulos æquales ad figuram iridis rotundam non pertingit: & $ecundum quod lumen corpu$cula rorida contingit: $ic $ecundum aliquam refle- xionem perceptam lumen colores uarios ui$ui inducit. Sed quantò remotiores $unt radij à princi- pio $uæ aggregationis in fene$tra: tantò colores magis efficiũt opacos propter plurium umbrarum immixtionem ip$i lumini reflexo. Inuenimus & nos diebus æ$tiuis circa horá ue$pertinam uel mo- dicùm antè circa Viterbium in quodam præcipitio apud balneum, (quod dicitur $copuli) aquam uehementer præcipitari: de$cendentesq; ad uidendum, quid in ip$o po$$et accidere $oli $ibi oppo- $ito:uidimus iridem perpetuam $ole circa a$pectum illi debitum exiftente: & multas ex proprieta- tibus iridis notauimus. Vnde, quia ea, quæ prius $cripta de iride fuerant, nobis non per omnia $uf- ficere uidebantur (excepto eo, quod inuolutè $crip$erat Ari$toteles) illud nobis principium cogi- tationis fuit, ut præ$enti negotio $tudium applicaremus. Patet itaq; propo$itum.

68. Corona fit ex refractione luminis $olis, uellunæ, uel $tellarum primæ magnitudinis à ua- pore humido circulariter ad ui$um.

Impre$sio (quæ græcè dicitur, άλως & arabicè alileti) latinè dicitur corona. Fit aut\~e hæc impre$- $io in ui$u ex incorporatione luminis in aliqua cõ$i$tentia uaporis. Cũ enim, ut patet per 56 huius, non aggregatis radijs corporis lumino$i in corpore non lumino$o plus, quàm in medio lumen $en- $ibilius fieri $it impo$sibile: patet quòd ad generation\~e halonis nece$$arium e$t aliquem uaporem corpori lumino$o & ui$ibus interponi. Cum ergo aliquis uapor humidus continuus interponitur ui$ibus, & corpori lumino$o nõ pot\~ete illũ uaporem citò di$$oluere uel di$gregare: túc fit ad ui$um refractio luminis $ecundũ circulũ ք 64 th. huius. Lum\~e enim $ecundũ æquales angulos illi uapori per ignem & aerem incidens, $ecundũ æ quales angulos refringitur ad ui$um per 8 huius: uidetur LIBER DECIMVS. itaq lum\~e circulare propter æ qualem refractionem luminis aggregati ad ui$um: quoniam propter re$ractionem luminis, ut patet per 57 th. huius, aggregantur radij in profundo uaporis. Cum enim lineæ radiales franguntur ad angulos: tunc lumen uι$ui qua$i duplicatur, & peruenit uehementius ad ui$um. Et $i fortè uaporille $it roridus, di$tinctus per corpu$cula: tunc plures fiunt refractiones, & àugetur lumen. Et quoniam idem radius incidens $uperficiei uaporis, in corpore uaporis refrin- gitur ad perpendicularem, à puncto $uæ incidentiæ $uper $uperficiem corporis, à quo refringitur productam, & $ecundum exten$ionem lineæ incidentiæ umbra protenditur per 11 th. 2 huius: & quoniam radius incidens & refractus non $unt linea una, $ed angulum continent: ideo patet quia radius refractus refugit umbram proiectam à corpore, cui incidebat, quæ tamen e$t modica: quia ut plurimum corona uidetur in uapore raro, leuiter conden$ato. Veruntamen quia retro uaporis illius con$i$tentiam fit noua refractio in aere medio inter uaporem & ui$um, quæ fit à perpendicu- lari per 4 huius: patet quòd lumen refractum perueniens ad centrum ui$us non e$t umbrarum ni- gredine permixtum, $ed liberum ab illis: & propter hoc $emper uidetur album, uel fortè modico & indi$tincto colore aliqualiter rubeo $ecundum $e totum coloratum. Iris uerò quia fit per reflexio- nem radiorum umbras proiectas penetrantium: ideo illi radij $ub actu coloris perueniũt ad ui$um: fit\’q; di$tinctio colorum $ecundum modum diuer$itatis luminis & umbrarum. Videtur itaq; coro- na ex refractione luminis quandoq; $olaris: $ed rarò accidit hoc, propter fortitudin\~e & uehemen- tiam illius luminis, uaporem (qui e$t materia coronæ) $ubitò di$$oluentis. Sæpe tamen accidit hoc exlumine lunæ & $tellarum primæ magnitudinis, quarum lumen illam con$i$tentíam uaporis di$- $oluere non pote$t. A minoribus uerò $tellis non accidit halo propter $ui luminis debilitat\~e, quod tantum effectum imprimere non pote$t. In circuitu quoq; luminis candelarum quandoq; accidit uideri coronam in aere gro$$o, ut plurimum flante euro: & tũc quandoq; \‘propter den$itatem aeris proijcientis umbram partium $uperiorum $uper infimas, accidit ui$ibus colorem purpureum à tali refracto uel reflexo lumine præ$entari. Patet itaq; propo$itum.

69. Iridem in parte mundi meridionali à $eptentrionalibus ui$ibus non e$t po{$s}ibile uideri.

Quod per 107 th. 1 huius patet in pyramidibus purè mathematicis $ibi ad inuic\~e in$criptis: idem patet per 64 huius de pyramidibus reflexis, iridem cau$$antibus, quæ naturam mathematicarum pyramidum con$equuntur. Semper enim oportet, ut centrum ui$us $it inter centrum corporis lu- mino$i & centrum iridis, ad hoc ut illa impre$sio uideatur, quam propriè iridem nominamus: licet aliæ impre$siones, colores iridis $imulantes, quandoq; per modos alios uideri ualeant, ut inferius patebit. Quòd autem iris meridiana à ui$ibus $eptentrionalibus uideri nõ ualeat, $atis patet ex his, quæ diximus in generatione colorum iridis: qui propter reflexionem luminis & umbrarum lumi- ni admixtionem per$e cau$$antur. Pote$t etiam occa$ionaliter id patere per hoc: quòd materia iri- dis in approximatione corporis lumino$i de facili re$oluitur in aquam, uel $ubtiliatur in aerem lucidum, à cuius $uperficie non po$$unt fieri reflexiones: quæ et$i fierent, tamen tenderent in par- tem, in qua e$t $ol, nec ad ui$um peruenirent. Et etiam quia colores iridis, qui fiunt propter debi- litationem reflexæ lucis, non po$$unt in taliloco cau$$ari: quia circa corpus lumino$um cum $em- per plus $it luminis, radij reflexi non debilitantur, $ed magis ui$ibiles efficiuntur. In talibus tamen locis facta radiorum refractione ad ui$um per uaporem uel aerem den$um, aliquod lumen aggre- gatum uideri pote$tin uapore uel aere conden$ato, ut diximus in præmi$$a de generatione coro- næ, quæ fit ex refractione luminis $olis quandoque: & tamen rarò, propter luminis illius fortitu- dinem: $æpe uerò exlumine lunæ & $tellarum primæ & principalis magnitudinis generatur. Iris ergo quando debet generari, oportet quòd radij ad oculum reflectantur, & quòd retro uaporem roridum (qui e$t materia iridis per 66 huius) non $it lumen aliud irradians. Vnde etiam co- rona gro$$a apparente ui$ui, $cilicet in gro$$a materia & $pi$$a $iue den$a, à forti lumine cau$$ata, e$t po$sibile, ut in ip$a aliqui colores iridis appareant, ui$u po$ito inter corpus lumino$um & ua- porem. Tunc enim omnes conditiones & cau$$æ colorum iridis in loco tali concurrent, & ma- teria $ube$t. Iris ergo $ic poterit apparere. Fortè ergo accidit quòd materia, in qua plus meridio- nalibus à uapore rorido iris uidetur reflexa: tunc hominibus plus $eptentrionalibus ab eodem ua- pore (ita quòd uaporidem eodem tempore utri$q; habitatoribus appareat, & $ecundum eundem circulum altitudinis) uideatur corona propter luminis refractionem: & idem erit in quolibet cir- culo altitudinis prædicto modo quibuslibet uidentibus con$titutis. Exhis quoque, quæ dicta $unt, patere pote$t, quòd quandoque ex fortibus $olis radijs reflexis à nube aquo$a integra ad lo- cum, in quo e$t uapor roridus, à latere $olis aliquo po$$unt colores iridis generari in plenis circu- lis uel circulorum portionibus incompletis: ut quando corpori $olis nubes $olida aquo$a diame- traliter opponitur, & in ip$am incidens radius reflectitur, & reflexo radio nubes rorida ob$i$tit, in qua fit radiorum refractio & reflexio perueniens ad ui$um. Tunc enim colores iridis apparent ui$ui recti, ut cum uapor non recte opponitur ui$ui: & tales colores $unt in uapore raro aqueo per- mixto: quandoq; uerò apparent circulares: & fiunt qua$i irides. Oportet autem ad hoc, ut talis iris uideatur, quòd nubes, ad quam fit radiorum $olis reflexio ad oppo$itum uaporem, & uapor rori- dus, ad quem, & à quo ad ui$um fit luminis reflexio, & ui$us, ad quem fit reflexio, in eadem recta linea con$i$tant: & quòd $uperficies nubis, à qua fit reflexio, & $uperficies uaporis, à qua, & ad quam fit reflexio, productæ $upra horizontem qua$i in $uperiori hemi$phærio concurrant. Aliter enim VITELLONIS OPTICAE uix fieret $en$ibilis reflexio ad ui$um po$teriorem nube, à qua fit reflexio: fierct autem modica pro- pter naturam reflexionis à corpu$culis paruis, de quibus $ermo fuit in 62 th. huius. Nos autem per hunc concur$um $uperficierum, intelligimus concur$um linearum contingentium corpu$cula ua- poris roridi in ip$o puncto reflexionis. Oportet etiam quòd nubes aquea reuerberans lumen, uici- na $it circa $olem, ubi radij $olares fortes exi$tunt: & talem iridem non unam, nec duas tantùm, $ed etiam quatuor $imul oidimus Paduæ $ole iam ad ue$peram declinante, & nõ erant irides in di$tan- tia 10 graduum à $ole: & omnes circulorum completorum, & in $uperficiebus diuer$is: & erát quæ- dam qua$i $e extrin$ecus conting\~etes. Eas autem irides, quæ fiunt ex radijs corporis lumino$i non ab alia nube reflexis ad uaporem, $ed ab ip$o uapore ad ui$um reflexis non e$t po$sibile fieri, nι$i in oppo$ιtione corporis lumino$i ad uaporem, ui$u in medio exi$tente. Vnde in no$tra habitabili non pote$t uideri iris ad meridiem: quia non interponituribi ui$ui uapor & corpori lumino$o. Cur$us enim $tellarum erraticarum terminantur $ecũdum partem, qua extremitas zodiaci terminatur, qui in no$tra habitabili $eptentrionali fieri non pote$t. Et hoc e$t, quod proponebatur.

70. Exradijs $olaribus & lunaribus tantùm irides generantur.

Quoniam tantùm horum duorum corporum radij $ecũdum mundi diametrum $en$ibiliter ex- tenduntur: $olis utpote, quia e$t corpus maximum quantitate omnium lumino$orum corporum & puri$simæ $ub$tantiæ: lunæ uerò, quia ip$a terræ e$t uicinior: unde eius radij ui$ui $en$ibilius offe- runtur. Ab aliorum uerò corporum luminis $en$ibilitate excu$at ui$um paruitas ip$orum corporũ, re$pectu $olis, & magna à nobis di$tantia, re$pectu lunæ. A $ole autem iridem fieri cognitũ e$t $en- $ui. Ex radijs etiam lunæ iridem fieri e$t po$sibile: & hoc e$t $æpe ui$um: maximè apud plus $epten- trionales, quibus $æpe offertur materia. Vnde uiderunt lunæ iridem ob$eruatores nocturni in Ale- mania bis in uno anno: & fortè pluries uideretur, $ecundũ quod $e offerũt agens & materia. Apud meridionales uerò rarius uidetur: quia non offert $e toties materia, & $i agens $emper $it di$po$i- tum ad diffu$ionem luminis, ut in omni plenilunio uel circa illud. Vnde Ari$toteles non con$ide- rauit fieri iridem lunæ in loco $uæ habitationis, ni$i bis in 50 annis. Fiunt autem irides lunæ plures in crepu$culis luna plena uel gibbero$a, magna exi$téte, po$ita circa orientem $uper horizonta $ic, ne radij $olis uideantur. Fiunt etiam in nocte, $emper tam\~e in oppo$ito lunæ: habet\’q; iris lunæ for- mam & materiam, quam & iris $olis: $imiliter & colorum di$tinctiones: qui tamen $unt albiores co- loribus iridis $olis: cuius cau$$a e$t, quoniam in nube nigra & in nocte fit iridis lunæ apparitio: un- de duplicato nigro; $cilicet noctis & nubis, album, quod fit ex radijs lunæ, magis uidetur album. Et quia puniceum e$t debiliter album: ideo puniceum magis album tũc uidebitur comparatione plus nigri. Et $imiliter e$t de unoquoque aliorum colorum: quilibet enim illorum colorum albior uide- tur. Et $ic tota iris lunæ albior uidetur, quàm iris $olis. Vmbræ enim radijs lunæ accidentes non $unt tam nigræ ut umbræ$olis: & huius cau$$æ $unt diuer$æ, ut dictum e$t. Lumen enim lunæ e$t pallidius lumine $olis: unde colores ex cómixtione $ui informati inficiuntur, nec accedunt ad $um- mum formæ $ibi propriæ: $icut etiam accidit propter pallorem luminis candelæ uariari plurimos colores, & alios pro alijs accipi per $en$um. Sic ergo patet à quorum corporum radijs irides gene- rantur: quoniam ex radijs $olis & lunæ tantùm, non autem ex aliarum $tellarum radijs quarum- cunque: quod e$t propo$itum.

71. Non plures duabus iridibus, $itu colorum differentibus, po{$s}ibile e$t uideri.

Verbi gratia. Cum enim non $int, ni$i tres colores ιridis, ut patet per 67 th. huius: non e$t po$si- bile diuer$ificari colores iridis in $itu, ni$i $ecundum extremorum colorum, $cilicet punicei & alur- gi localem tran$po$itionem: quia $emper medius manet in cau$$alitate media inter i$tos. Et ob hoc patet quòd plures, quàm duæ irides $itu colorum differentes fieri non po$$unt: quia color medius non pote$t habere cau$$am generationis alijs coloribus manentibus in forma propria, quamuis $int tran$po$iti in $itu. Quòd autem quandoque plures irides eiu$dem $itus in coloribus uidentur, una $ub alia, ut primò rubeú: ALVRGVS VIRIDIS PVNICEVS PVNICEVS VIRIDIS ALVRGVS deinde uiride: & deinde a- lurgum: & iterum rubeum: & iterum uiride: & demum a- lurgum: hoc accidit propter diuer$itat\~e materiæ in diuer- $is $uperficiebus, quarũ una e$t ante aliam, & quas accidit $ub uno angulo uideri: unde uidentur qua$i $int habit{ae} uel contiguæ. Quòd $i in angulo $it diuer$itas, ut quando linea exiens à ui$u & tran$iens per gibbum iridis unius, $cilicet inferioris, non tran$it per gib- bum $uperioris: tunc uidebuntur con$equenter entes, & inter alurgũ $uperioris & puniceum infe, rioris erit notabilis differ\~etia, $cilicet alba: quoniã ab illa parte nubis remotioris uel propinquioris LIBER DECIMVS. ip$i ui$ui, quàm naturæ reflexionis ad ui$um illũ conueniat, non fit reflexio luminis ad ui$um: quod non accidit quando $ub eodem angulo uidentur. Sunt tamen huiu$modi irides $emper in diuer$is $uperficiebus, & ab una pyramide reflexi luminis cau$$antur: & ob hoc ip$orum e$t qua$i centrum unum, quod e$t centrum pyramidis irradiationis, & uidentur æ quidi$tantes in ui$u ip$orum peri- pheriæ. Et po$sibile e$t (licet non $æpe eueniat) quòd plures tales irides, una uidelicet intra aliam ui$ui offerantur. Et i$tud poterit probari duobus aquam in radio $pargentibus, uno $cilicet $ub reli- quo: tunc enim iris $ub iride poterit uideri. Sed idem erit ordo in $itu colorum iridis utriu$q;: neu- ter tamen alterius iridem uidebit, $ed unicuiq; $ua in eodem tempore ui$ui occurret. Impo$sibile autem e$t quòd id fiat in eadem $uperficie: $cilicet quòd plures irides eiu$dem $itus in coloribus appareant: quoniam ab illa $ola parte $uperficiei fit reflexio, ubi $ecundum æ quales angulos radij incidunt, & non ab alijs partibus eiu$dem $uperficiei $uperioribus uel inferioribus peripheria pr{ae}- dicta, ut patet per 66 th. huius. Colores autem iridis exterioris coloribus iridis interioris $emper debiliores apparent: quoniam fiunt à radijs magis di$tantibus à perpendiculari & remotioribus à ui$u: unde lumen per eos reflexum debilius uidetur, re$pectu eius, quod ex interioribus ra- dijs cau$$atur.

72. In iride exteriori quando<005> colores interioris iridis contr apo$iti & debiliores uidentur.

Colores iridis contrapo$itos dicimus, quando $icut iridis interioris color e$t puniceus, qui e$t in exteriori circumferentia ip$ius, $ic exterioris iridis color e$t puniceus, qui e$t in interiori peri- pheria ip$ius, medius\’q; utriufq; iridis color e$t pra$sinus: interior\’q; color interioris iridis e$t alur- gus, $icut exterior color iridis exterioris. Sic autem di$po$itis duabus iridibus: tunc omnes colo- res exterioris iridis $unt debiliores quàm interioris iridis colores. Huius quoque cau$$a aliqua e$$e po$$et, $i illi colores o- mnes in una nubis $uper ficie uider\~etur: quia tunc colores exterioris iridis per magnam di$tantiam ui$ui apparerent, $icut & interiores peripheri{ae} iri- dis interioris. Ad quod in tellig\~edum ponamus ex- empli cau$$a $olem $upra horizonta 20 gradibus eleuatum. Et quoniã pa- tuit prius in 64 th. huius quòd centrum ba$is py- ramidis irradiationis & centrum ui$us, & c\~etrum corporis radio$i, quod e$t $ol, $unt $emper in eadem linea: centrum\’q; ba- $is pyramidis irradiationis & pyramidis ui$ionis e$t unum punctum centro $olis diametraliter op- po$itum: unde ip$um e$t nadir $olis, & mouetur $emper $ecundum motum $olis: motu\’q; $uo $imi- lem circulum de$cribit circulo motus $olis, $cilicet ei parallelo, quem $ol motu diurno de$cribit $u- pra horizonta: talem enim dictum centrum iridis de$cribit, quod e$t centrum ba$is pyramidis illu- minationis $ub horizonte. Et $icut cum $ol fuerit in puncto horizontis orientali, centrum fit in par- te horizontis occidentali: $ic cum $ol fit in puncto horizontis occidentali, centrum illud fit in parte orientali. Et quoniam lineæ ductæ à centro $olis ad circumferentiam ba$is pyramidis illuminatio- nis, $unt æ quales per 89 th. 1 huius: palàm quòd $uperficies ba$is prædictæ pyramidis $ic horizonta inter$ecat, quòd ip$a cũ $uperficie $ecante $olem, orthogonaliter in$i$tente horizonti concurret $ub horizonte: ergo facit angulum $uper horizontem obtu$um re$pectu ui$us. Nec mirum quoniam horizon cum tran$eat per unum polorum circuli ba$is, ut per centrum ui$us, qui e$t polus illius cir- culi per 65 th. 1 huius: patet quòd per polum alterum illius circuli non tran$it. Quælibet ergo pars $uperficiei uaporis, in qua fit iris exterior, illa pars, quæ e$t $uper circulũ iridis in parte altiori, plus à ui$u elongatur: & $i ab ip$a reflecti accidat radios ad ui$um, nece$$e e$t $uperiores nigriores ui$ui apparere, re$pectu eorum radiorum, qui à partibus eiu$dem $uperficiei inferioribus illis ad ui$um reflectuntur, ut patet per 158 & 159 th. 4 huius. Et $ic $uperioris iridis inferioris peripheriæ, quæ ui- cinior e$t ui$ui, colores puniceos, mediæ uerò pra$sinos, $upremæ uerò alurgos nece$$e e$t uideri: & uincit quantitas di$tantiæ in magnitudine exce$$us elongationis quantitatem angulorum refle- xionis & quantitatem anguli ui$ionis. Et ob hoc colores iridis $uperioris contrapo$iti quandoque uidentur coloribus iridis interioris, in qua $uperior peripheria $em per uidetur punicea. Quoniam quando ad ui$um ab illa parte $uperficiei fit reflexio improportionata reflexionibus di$tantia: tunc radij inferiores eiu$dem $uperficiei in ead\~e di$tantia ad ui$um reflecti non po$$unt, eò quòd in pro- ximitate debitam di$tantiam excedunt: $unt enim tali ui$ui proportionata reflexioni di$tantia ui- ciniores. Quod ergo ui$ui de proximo uapore irradiatum apparere pote$t, punicèum apparet pro- pter uicinitat\~e & alias cau$sas in 67 huius prius dictas. Vi$ui uerò profundato ulterius in uapore, $ecundum modũ di$tantiæ $ulgor luminis umbrarum nigredine permi$cetur, & uariantur colores VITELLONIS OPTICAE $ecundum prius dicta. Sic ergo in uapore irradiato fit quædam gibbo$itas, quo ad ui$um. Et ob hoc fortè dictum e$t à quibu$dam, nubem fore cõcauam, in qua iris generatur: quamuis ea, quæ uiden- tur, nubis concauitati non oporteat ad$cribi: quia uapor (quo ad con$i$tentiam $ui totius) e$t in- teger, plenus corpu$culis di$tinctis, $icut uid\~etur atomi totum $olis radium implere: & e$t talis ua- por à parte po$teriori à $ole gro$sior quàm à parte anteriori $olem a$piciente. Quòd $i c\~etrum $olis in periheria horizontis po$itum fuerit, $ic ut ba$is pyramidis illuminationis $it orthogonaliter ho- rizonti in$i$tens: adhuc radij exteriores ad ui$um reflexi $unt longiores, re$pectu eorum, qui ab in- terioribus peripherijs refle ctuntur per 19 p 1: in eodem enim triangulo ad ui$um terminato maiori angulo opponuntur. Sic ergo patet, quòd corpore $olis ubicunq; po$ito exterioris iridis colores, re$pectu colorum iridis interioris, po$sibile e$t contrapo$itos apparere. Omnes autem colores $e- cundæ iridis $unt debiliores nece$$ariò coloribus primæ iridis: quoniá fiunt à radijs magis di$tan- tibus à perpendiculari, & $ecũdum maiores angulos ad ui$um reflexis: propter quod i$ti radij cum radijs incidentibus minus aggregatur: unde minus e$$ciunt luminis & coloris. Nos aut\~e eo, quod nunc præmi$imus, utimur pro principio ad propo$itum declarandum di$ponente (& $i ip$um non $it certa cau$$a.) Manife$tum e$t enim quòd illi radij (cum $int extra peripheriam proportionatam reflexioni ad illum ui$um, $cilicet ultra puniceam interioris iridis) non reflectentur ad ui$um cum lumine, ni$i propter reflexos radios ab interiori prima iride ad reflexionem di$ponantur, & ni$i lu- men eorum in actum ui$ibilitatis per aggregationem luminis illorum radiorum cũ ip$is ad ui$um reflexorum perducatur. Et huius $ignũ e$t albedo, quæ circulariter apparet in nube inter periphe- riam $uperiorem iridis inferioris puniceam, & inferiorem iridis $uperioris puniceam: quia hæc al- bedo fit per lumen nubem irradians ad ui$um nõ reflexum. Cum enim radiorum ab eadem $uper- ficie reflexibilium, qui ad ui$um in aliquo uno loco di$po$itum reflecti po$$unt, $int hi, qui ab ulti- ma peripheria inferioris iridis reflectũtur: nullus $uperiorum radiorum reflectetur ad illum ui$um, $ed nubes alba ex commixtione luminis non reflexi per modum ui$ionis $implicis illi ui$ioni oc- curret. Ex peripheria uerò punicea inferioris iridis & $i plurimi radij, pr{ae}ter eos, qui ad illum ui$um refle ctuntur, ad partes uicinas uaporis roridi $e diffundant: lumen tamen ad illum ui$um ex eorum incidentia, à uicino uapore reflecti non pote$t: quoniam cadunt illi radij in $uperficiem uaporis, à qua, $icut à $uperficie improportionata adhuc ui$ui, non e$t conueniens di$tantia reflexioni. Hoc enim in principio peripheriæ puniceæ incipit, ubi $ecundum angulos in illa pyramide acuti$simos radij incidunt ip$i nubi: alij uerò ra dij po$teriores his radijs in punicea peripheria inferioris iridis ad maiores angulos incidunt, quo ad ui$um (cũ $int in profundiore $uperficie à ui$u) & ad illam $u- perficiem uaporis, in qua e$t inferior $uperioris iridis peripheria punicea, reflectũtur: & ibi aggre- gati cum radijs illi parti uaporis incidentibus à $ole, illam partem $uperficiei ex aggre gatione ma- ioris luminis ui$ibilem faciunt, radijs ad ui$um reflexis, qui prius propter luminis debilitatem $en- $ibiliter non poterãt reflecti. Et quoniam radij ab inferiori parte $ur$um ad alias partes uaporis ro- ridi reflexi ($iue uapor, ad quem fit reflexio in eadem $uperficie cum prima iride, $iue in alia $uper- ficie $it con$i$tens) cum radijs ab eadem peripheria ad ui$um reflexis in generatione primæ iridis, ut declaratum e$t in 66 huius, angulos con$tituunt: fiunt trianguli, quorum anguli $unt in centro ui$us, ba$es uerò $unt lineæ interiacentes puniceam peripheriam inferioris iridis, & puniceam $u- perioris: & quia ab illis ba$ibus nulla fit ui$ui $en$ibilis reflexio; tota ip$arum $uperficies uidetur alba, non reflexo ab ip$a aliquo lumine ad ui$um. Simili quoq; modo fit reflexio ab alijs coloribus inferioris iridis ad iridem $upremam. Et quoniam anguli incidentiæ radiorum illas partes iridis cau$$antium, $unt maiores, ut $uprà patuit per 106 th. 1 huius: ideo per 20 th. 5 huius & anguli refle- xionum $unt maiores. Altius ergo in uaporem $uperior\~e illi radij pertingunt, proceantes $ibi $imi- les colores: quoniam illi radij propter admixtionem umbrarum aliorum corpu$culorum colorem participant, qui ad corpus oppo$itum mixtum cum lumine tran$inittitur per 2 th. 5 huius. Et $icut o$ten$um e$t per 55th. 5 huius, quòd propter refle xionem dextra apparét $ini$tra, & $ini$tra dextra: $ic etiam accidit in i$ta reflexione colores i$tarum iridum contrapo$itos uideri. Colores quoq; $e- cundæ iridis debiliores uidentur quàm primæ iridis, $cilicet inferioris: quoniã radij remoti ab axe pyramidis irradiationis nubi incidentes $unt debiles, & ui$ui propter di$tantiam magnam in$en$i- biles, ut patet per 158 th. 4 huius: & etiam radij reflexi à primæ iridis refractis radijs $unt debiles, ut patet per 3 th. 5 huius, & per 10 th. huius. Sequitur ergo nece$$ariò eorum reflexionem ad ui$um fie- ri debilem: & $ic omnes $ecundæ iridis colores $unt debiles, magis\’q; nigredine umbrarum permi- $centur. Nece$$ariò ergo primæ iridis coloribus $ecundæ iridis colores debiliores apparent: nec fit aliqua ulterior reflexio ab illis ad partes $uperiores roridi uaporis, propter illorum radiorum de- bilitatem. Et fortè ob hoc dixit Ari$toteles quòd plures duabus iridibus non po$$unt uideri: quo- niam tantùm duæ $unt, quæ $itu colorum formaliter di$tinguuntur: quamuis plures quandoq; ui- deantur, ut in præmi$$a declaratur. Patet ergo propo$itum.

73. Omnem arcum $en$ibilem iridis per circulum $uæ altitudinis in duo &qualia diuidi e$t nece$$e. Vnde manife$tum e$t quemlibet uidentem propriam iridem uidere.

Cum enim, ut ex præced\~etibus patet, $uperficies horizontis inter$ecet $uperficiem circuli iridis: tunc eorum cõmunis $ectio ex 3 p 11 e$t linea recta. Sed quia circulus altitudinis iridis $emper tran- $it per zenith capitis: quoniam (ut patet per 64 th. huius, & declaratum e$t in præhabitis) cen- trum ui$us e$t polus iridis: illius uero circuli altitudinis centrum e$t centrum mundi & horizontis: LIBER DECIMVS. ergo ip$e tran$it per polos horizontis: zenith enim capitis e$t polus ip$ius horizontis: linea uerò à polo ad c\~etrum horizontis deducta, e$t erecta $uper $uperficiem horizontis ex principio primi hu- ius. Ergo per 18 p 11 circulus ille altitudinis iridis e$t erectus $uper $uperficiem horizontis: & ip$e tran$it eius centrum: quoniã cum ip$i ambo $int circuli magni $phæræ mundi, patet quoniam ip$o- rum e$t idem centrum, quod e$t c\~etrum mundi. Ille ergo circulus altitudinis $ecat horizontem per æqualia & orthogonaliter. Similiter aut\~e & idem circulus altitudinis cum per centrum ui$us tran- $eat, & per centrum circuli iridis, & per centrum $olis, (h{ae}c enim $unt in eadem linea per 64 th. hu- ius) tran$it ergo per polos circuli iridis: & $ecundum præmi$$a $ecat eum per æqualia & orthogo- naliter. Sed $i horizonta & circulum iridis circulus altitudinis iridis per æqualia $ecat & orthogo- naliter: ergo illorum $ectionem per æqualia $ecabit & orthogonaliter per 19 p 11. Sit ergo illa com- munis $ectio linea a b, quam productus circulus altitudinis diuidat per æqualia in puncto c: duca- tur\’q; $ur$um in $uperficie circuli altitudinis à puncto clinea c d: quæ $it communis $ectio $uperfi- d a c b cierum illius circuli & iridis: & h{ae}c linea c d erit perpendicu- laris $uper lineam a b per 19 p 11: eò quòd circulus altitudinis erectus e$t $uper $uperficiem cuiu$q; duorum illorum circu- lorum, quorum e$t communis $ectio linea a b: $it\’q; commu- nis $ectio peripheriarũ circuli altitudinis & iridis punctus d: angulus ergo d c a e$t rectus, & $imiliter angulus d c b: $ubten dantur ergo illis angulis lineæ a d & b d: & patet ex 4 p 1 & ex pr{ae}mi$sis quòd ip$æ $unt {ae}quales: ergo per 28 p 3 arcus iridis, qui e$t a d, e$t æ qualis ip$ius arcui b d. Pars ergo peripheriæ iridis, quæ e$t $upra horizontem (quoniam illa $ola e$t $en$i- bilis) per circulũ altitudinis per æqualia e$t diui$a. Quod e$t propo$itum. Vnde manife$tũ e$t corollarium perpulchrum: $cilicet quemlibet uidentem iridem propriam uidere, ex eo, quòd moto aliquo uidente $ecundum locum $emper zenith capitis uariatur: patet enim quòd diuer$orũ diuer$a $unt ze- nith, & diuer$i horizõtes: nec e$t po$sibile aliquos duos eun- dem habere horizonta: quoniam $emper oculus uidentis e$t centrum horizontis. Si ergo aliquorum diuer$itas $it $ecundum di$tãtiam latitudinis uniuer$i tan- tùm: tunc ad eorundem oculos diuer$imodè radij reflexi à corpore nubis $ecundũ diuer$a puncta aggregationis concurrent: & remotior ip$orũ à uapore rorido maior\~e iridem uidebit, propinquior minorem, $i in eadem $uperficie appareant irides: quæ $i appareant in $uperficiebus diuer$is æqui- di$tantibus: tunc $ecundũ æquales circulos iris uideri poterit: & $equetur iris fugientem, & fugiet $equentem, ut diximus in 65 huius: e$t tamen eis idem circulus altitudinis, $ed nõ eodem modo $e habens. Quòd $it diuer$itas aliquorum $it $ecundũ longitudinem uniuer$i tantùm: tũc erunt diuer$i circuli altitudinis, & quilibet illorum circulorũ diuidit per præmi$$a arcum iridis, qui e$t $upra ho- rizonta, in duo æqualia:ergo ip$a diui$a, $icut & ip$a diuid\~etia, $unt diuer$a: quilibet ergo propriam iridem uidebit. Quòd $i latitudo & longitudo uidentium differant: tunc per præmi$$a patet, quòd nullo modo eandem iridem uidebunt. Patet ergo quod intendebamus. Et $ignum huius e$t: quòd $i aliquis $tans in radio $olis auer$a $oli facie aquã ore $pargat: uidebit cũ ambobus oculis ante fron tem $uam colores iridis, & arcũ æqualiter ab utroq; oculo di$tãtem. Quòd $i aquam $ecundò $par- $erit, & oculum dextrum clau$erit uel manu cooperiat: uidebit arcum æqualiter di$tantem à c\~etro $ini$tri oculi, arcum\’que iridis dextrum oculũ $ecantem: & econuer$o erit, $i oculũ $ini$trum clau- $erit: tunc enim iterum uidebit arcum æquidi$tantem à centro dextri oculi, $ini$trum\’q; oculum $e- cantem. Ex quo manife$tè patere pote$t, quòd color iridis e$t pa$sio ui$us: & quòd mutatur iris $e- cundum uidentium mutationem: & quòd materia $ua e$t uapor roridus: & quòd di$tinctio colo- rum non e$t ex qualitate materiæ, $ed ex reflexione luminis ad ui$um, cui color e$$entialiter adue- nit ex commixtione nigredinis umbrarum.

74. In aliquo puncto horizontis exi$tente centro corporis lumino$i, nece$$e e$t tantùm $emi- circulum ab eo cau$$atæ iridis uideri.

Quoniam enim non e$t po$sibile $olis uellunæ (quorum $olummodò corporum, ut 70 th. huius diximus, radij iridem faciunt) centra in horizonte exi$tere, ni$i in oriente uel occidente, in no$tra terra, $cilicet Poloniæ, habitabili, quæ e$t circa latitudinem 50 graduum: (quamuis in regionibus maximæ latitudinis, $ole exi$tente in capite capricorni, ut in his, quæ $unt 66 graduũ & 9 minuto- rum $ol in meridiano exi$tens circulo, uideatur in peripheria horizontis: & in alijs regionibus di- uer$ificata latitudine regionis & declinatione $olis in diuer$is circulis altitudinis quandoq; $ol ui- deatur in horizonte.) Ponamus itaq; $olem in oriente, cuius c\~etrum $it a: fiat\’q iris in parte $ibi op- po$ita, ui$u intermedio exi$tente: & erit illa iris ad occidentem per 67 huius: & $it centrum iridis punctum b: ducatur\’q; diameter circuli iridis trans $uperficiem horizontis per centrũ b, quod cen- trum tunc nece$$ariò erit in $uperficie horizontis: quoniã per 64 th. huius o$ten $um e$t, quòd cen- trum $olis, & centrum ui$us, & centrum iridis nece$$e e$t in eadem linea e$$e. Eiu$d\~e uerò line{ae} par- tem in $ubiecta $uperficie, part\~e in $ublimi e$$e e$t impo$sibile per 1 p 11: in $uperficie uerò horizon- tis e$t ex hypothe$i centrum $olis, & centrum ui$us e$t centrum horizontis: ergo & linea copulans VITELLONIS OPTICAE illa c\~etra erit in $upficie horizõtis: & $it diameter illa iridis, quæ e d: & coniungãtur line{ae} a b, a c, a d: d b a c fient\’q, duo trianguli a c b & a d b. Et quoniam in his triãgulis latus a c e$t æ quale lateri a d ք 89 t 1 huius: quoniá $unt lineæ lõgitudinis unius & eiu$d\~e pyra- midis: & latus c b æquale e$t lateri d b, <003> a $unt $emi- diametri circuli iridis: latus uerò a b cõmune e$t am bobus illis triãgulis: patet ergo ք 8 p 1 quia angulus c b a e$t æ qualis angulo d b a: uterq; itaq; e$t rectus. Ergo per 18 p 11 erit $uperficies horizontis erecta $u- per $uperfici\~e circuli iridis: tran$it aut\~e per centrum iridis. Palàm ergo quoniã circulus horizontis diui- dit circulũ iridis per æqualia: cõmunis enim $ectio illorũ circulorũ non pote$t e$$e, ni$i diameter circuli iridis, quæ $emper $uũ circulũ diuidit ք æqualia per diametri definition\~e: quod aut\~e de circulo iridis e$t $upra horizonta, hoc uidetur. Sic ergo po$ito c\~etro $olis uel lunæ in pũcto horizõtis, $emicirculus iridis uidetur: ni$i fortè tantò minus, quantũ e$t dif- fer\~etiæ, {pro}pter hoc, quòd centrũ ui$us nõ e$t uerum centrũ uniuer$i. In hoc aũt nõ e$t $en$ibilis dif- ferentia: & $i $it, nõ e$t in generatione iridis, $ed in ui$ione ip$ius. Et hoc e$t, quod hic {pro}ponitur de- mon$trand ũ. Po te$t & id\~e aliter demõ$trari. Sit ergo $ecundũ di$po$ition\~e prior\~e centrũ $olis in ali- quo pũcto horizõtis, quod $it punctũ h: & $it k centrũ ui$us, quod e$t centrũ horizontis: & $it hori- zontis diameter linea h g. Erigatur ergo $emicirculus unus altitudinis $uք horizont\~e orthogonali- ter ex c\~etro k, qui $it h m g: hũc ergo $emicirculũ altitudinis arcus iridis generatæ in oppo$ito $olis (interpo$ito c\~etro ui$us) $ecet in puncto m: & producatur linea k m. Et quoniã lineæ h k, k m & k g omnes $unt ex c\~etro circuli altitudinis, omnes ergo $unt æ quales & omnes notæ: quoniam mundi $emidiameter e$t nota, ut $i ip$a $upponatur e$$e 60 partiũ. Producatur itaq; linea h m: & $i notus e$t angulus h k m: tũc linea h m erit nota. Sc@@i aũt pote$t angulus h k m ք hoc, ut $ciatur arcus m g, qui e$t arcus altitudinis, qui $ciri pote$t per in$trumentũ, ut per armillam uel per a$trolabium uel qua- drantem: quo $cito, $cietur angulus m k g: qui $i auferatur de duobus rectis, $eietur angulus h k m: & $ic $cietur linea h m, re$pectu $emidiametri k m, operatione illa, qua utimur in $ci\~etia a$trorũ. Li- nea uerò h m cũ $it linea lõgitudinis pyramidis illuminationis, & per 89 th. 1 huius omnes lineæ ló- gitudinis unius pyramidis $int æquales: erũt tunc omnes lineæ lógitudinis illius pyramidis notæ. Circumducatur itaq; circulus iridis $uper $uperficiem horizontis, eam inter$ecãs, quæ (ut patet ex præmi$sis) tran$ibit punctũ m circuli altitudinis: $it ergo, ut ip$e circulus iridis $ecet horizont\~e in puncto n. Duos itaq; circulos conting\~et lineæ k m & h m in puncto m, $ecundũ eorũ commun\~e $ci- licet $ection\~e. Quoniã uerò punctũ m in circulo altitudinis datũ e$t, & lineæ h m & k m $unt notæ: erit proportio lineæ h m ad lineã k m r n h k o p g a b c d m nota. Et quoniã quæ e$t {pro}portio alicuius lineæ prim{ae} ad aliquam $e- cundam, ead\~e e$t cuiuslibet tertiæ ad aliquã quartá: tũc per 3 th. 1 huius e$to, ut $it proportio lineæ rectæ a b ad rectá b c, $icut lineæ h m ad lineá k m. Et quoniá linea h m e$t maior quàm linea k m per 19 p 1, eò quòd maiori angulo opponitur in trian- gulo h m k: patet ergo quòd linea a b e$t maior quàm linea b c. Produca tur ergo linea b c ad punctũ d in tan tùm, ut $it proportio lineæ b d ad li- neam a b, $icut line{ae} a b ad lineã b c. Et quia quæ e$t proportio line{ae} h m adlineã k m, eadé e$t lineæ a b ad b c: erit ergo per 11 p 5 proportio lineæ h m ad lineá m k, $icut lineæ b d ad lineã a b. Et quia proportio lineæ h m ad lineã k m, uel ad lineã h k æqual\~e per 7 p 5 ex præmi$sis e$t nota: {pro}portio ergo lineæ a b ad lineã b c erit nota: ergo ip$arũ utraq; e$t nota $ecundũ aliquam quantitat\~e $uppo$itam in altera ip$arum. Sed & proportio lineæ b d ad lineã a b e$t nota: ergo & linea a b e$t nota, & linea b d e$t no- ta: $ed linea b c fuit nota: ergo relin quitur, ut linea c d $it nota. Sed linea h k e$t nota: quia cũ ip$a $it $emidiameter horizontis, erit ip$a partiũ 60: ergo proportio lineæ c d ad h k erit nota. Quæ e$t ergo proportio lineæ c d ad lineã h k, ead\~e erit lineæ b c notæ ad aliquã aliam per 3 th. 1 huius. Quia uerò e$t proportio a b ad b c, $icut b d ad a b, & ab e$t maior quàm b c, ut patet ex præmi$sis: erit ergo b d maior quã a b: relin quetur\’q; c d maior <004> b c (hoc aũt patet in numeris taliter di$po$itis quibu$cũq;.) Linea ergo proportionalis lineæ b c, $icut linea h k e$t line{ae} c d, illa erit minor <004> linea h k uel <004> linea k g. Ab$cindatur ergo à $emidiametro k g per 3 p 1 æqualis illi line{ae}: & $it linea k p: erit\’q; linea k p $e- LIBER DECIMVS. cundum præmi$$a nota. Copuletur itaq; à puncto p ad punctũ m linea in $uperficie circuli altitudi- nis, quæ $it p m: erit\’q; nece$$ariò, ut quæ e$t {pro}portio lineæ c d ad h k, uel lineæ b c ad k p, ead\~e $it {pro}- portio lineæ a b ad lineã p m. Quòd $i dicatur hoc nõ e$$e po$sibile: qu{ae} e$t ergo proportio lineæ c d ad h k, uel b c ad k p: ead\~e erit lineæ a b ad aliquã aliã lineam maior\~e uel minor\~e linea p m, per 3 th. 1 huius. Sit ergo nũc illa proportio lineæ a b ad quandã minorem linea m p, quæ $it p r. Quæ e$t ergo proportio lineæ c d ad lineã h k, uel b c ad lineã k p, ead\~e e$t lineæ a b ad lineã p r: quæ aut\~e e$t pro- portio lineæ c d ad lineã h k, ead\~e e$t lineæ b c ad lineã k p: ergo per 16 p 5 quæ e$t proportio lineæ c d ad b c, ead\~e e$t h k ad k p: & quæ e$t proportio lineæ b c ad k p, ead\~e e$t lineæ a b ad lineã p r: ergo it\~e per 16 p 5 quæ e$t proportio lineæ b c ad a b, ead\~e e$t lineæ k p ad p r: & $ic lineæ c d, b c, a b pro- portionales erunt lineis h k, k p, p r: $ed quæ e$t proportio lineæ a b ad b c, ead\~e e$t lineæ b d ad a b: ergo & in ip$arũ comproportionalibus $ic erit, quòd $icut $e habet linea r p ad p k, $ic coniunctim $e habebit tota p h ad lineã p r. Ducãtur ergo lineæ h r & k r:fient\’q; duo triãguli, qui h r p & k r p, quo- rum cõmunis e$t angulus r p h, & latera dictũ angulũ contin\~etia re$pectu diuer$orũ trigonorũ $unt proportionalia: quæ enim e$t {pro}portio lineæ p r lateris maioris trianguli ad lineã p k latus minoris trianguli: ead\~e {pro}portio line{ae} h p lateris maioris trigoni ad lineã p r latus trigoni p r k minoris: ergo per 6 p 6 illi trianguli $unt æ quianguli: ergo per 4 p 6 latera ip$orũ æ quos angulos re$pici\~etia $unt proportionalia. E$t ergo {pro}portio lineæ h p ad lineã p r, & lineæ p r ad lineã p k, $icut lineæ h r ad li- neã k r:$ed quam proportion\~e habet linea h p ad lineã p r, hanc habet linea b d ad lineã a b: & quam habet linea b d ad a b, hãc habet linea a b ad b c: & quam habet a b ad b c, hãc habet linea h m ad k m ex hypothe$i: per 11 ergo p 5 patet quòd quam proportion\~e habet linea h r ad lineã k r, hãc habet li- nea h m ad lineã k m: hoc aũt e$t impo$sibile, & cõtra 56 th. 1 huius: quoniã in $emicirculo quocunq; duab. lineis ductis ad qu\~ecũq; pũctũ քipheri{ae}, $cilicet una à termino diametri & alia à c\~etro, ut $unt in {pro}po$ito line{ae} h m & k m, duas alias lineas ab ei$d\~e pũctis ad ali udpũctũ circũ$erentiæ quodcũq; duabus prioribus {pro}portionales ducere e$t impo$sibile. E$t ergo impo$sibile lineã a b ad aliá mino- rem lineá quam linea p m, eand\~e habere {pro}portion\~e quam linea b d ad lineã h p, uel quam linea c d ad h k, uel quã linea b c ad k p. Sed neq; pote$t linea a b habere illã proportion\~e ad aliquá lineá ma- ior\~e linea p m: quoniã ead\~e e$t ratio, & eod\~e modo deducitur ad impo$sibile. Ergo qu{ae} e$t {pro}portio c d ad lineã h k, uel lineæ b c ad k p: ead{ae} erit lineæ a b ad p m: & $equetur repetita priori demõ$tra- tione, quæ ducebat ad impo$sibile, $cilicet, ut quæ e$t {pro}portio lineæ h p ad p m, & lineæ m p ad p k, ead\~e $it lineæ h m ad k m. Ductis itaq; pluribus $emicirculis altitudinis circa centrũ k $ub horizõte, proportionales lineæ pr{ae}dictis lineis h m & k m ducãtur $ecundũ modũ 56 th. 1 huius. Si ergo linea m p $it perp\~ediculariter in$i$t\~es diametro h g: tũc po$ito c\~etro p $ecundũ $emidiametrũ p m de$cri- batur circulus: quòd $i linea p m nõ $it perp\~edicularis $uper diametrũ h g: polo itaq; exi$t\~ete pũcto p per 65 th. 1 huius (quoniã ille punctus æqualiter di$tabit ab omnibus in illis $emicirculis $ignatis pũctis, $imilibus pũcto m) ducatur circulus $ecundũ di$tantiã lineæ p m: qui attinget omnia dicta pũcta $emicirculorũ altitudinis, in quæ cadũt prædictæ proportionales lineæ, $iue anguli reflexio- num irid\~e cau$$antes. Si enim dicatur quòd nõ attingat: accidet $ecundũ pr{ae}mi$$a contrariũ 56 th. 1 huius, quod e$t impo$sibile. Pote$t etiá $ic fieri, ut $emicirculus h m g $it medietas horizõtis, & facta diui$ione in pũcto m, intelligatur circũduci id\~e $emicirculus: nihil enim refert $emicirculos diuer- $os de$cribere uel unũ circũducere: punctus\’q; m circumductus de$cribet circulũ iridis, qui e$t n m, circa centrũ uel polũ p $ecundũ di$tantiã lineæ p m: erunt\’q; anguli à termino diametri, $cilicet pũ- cto h & à centro k ductarum linearũ ad circulũ n m, omnes æquales in qualibet $uperficie reflexio- nis: quia triangulus h m k in tota circum ductione $imiles $ibi triangulos cau$$at in qualibet $uper- ficie reflexionis: & $imiliter triangulus h m p motu $uo de$cribet $imiles triangulos: & triangulus k m p $imiliter $imiles triangulos de$cribet. Si itaq; linea m p non $it perp\~edicularis $uper diametrũ h g: ducatur ergo perp\~edicularis à pũcto m per 12 p 1 $uper diametrũ h g: cadet\’q; illa perpendicularis per 29 th. 1 huius inter pũcta k & p, uel inter pũcta p & g: quoniã linea m p cũ diametro h g ex aliqua $ui parte angulũ acutũ continet, ut patet ex pr{ae}mi$sis: & $imiliter linea m k; quia iris nõ apparet ni$i ultra mediũ diametri horizontis, ut prius patuit: cadat ergo illa perp\~edicularis in punctũ o. Simili- ter quoq; ad idem punctũ diametri nece$$ariò cadent ab omnibus aliorũ $emicirculorum angulis lineæ perp\~ediculares: uel angulus k o m motu $uo in omnibus $uքficiebus reflexionũ æquales an- gulos cau$$abit. Punctũ ergo o e$t centrũ circuli reflexionis fact{ae} ad ui$um. Cũ ergo centrũ iridis $it in horizontis diametro: medietas eius erit $upra horizont\~e, quæ e$t n m, & medietas $ub horizõte: quoniã tũc cõmunis $ectio $uքficierũ horizontis & iridis e$t diameter iridis. Id\~e\’q; accideret $i linea m p e$$et քp\~edicularis $uք diametrũ. Et hic e$t modus, quo Ari$toteles {pro}po$itũ cõclu$it. Sed tamen nõ e$t nobis ui$a fore nece$$aria notitia linearũ, quia $ine illa idem & eod\~e modo declarari pote$t.

75. In aliquo circulo altitudinis $uper horizontem exi$tente centro corporis lumino$i, $ecun- dum eius eleuationem centrum circuli iridis $ub horizonte deprimitur: & portio iridis minor $emicirculo uidetur.

E$to $ecundum di$po$itionem proximæ, $cilicet ut $it horizon circulus h m g: cuius diameter $it linea m h. & centrum k: $it\’q; circulus altitudinis tran$iens per zenith capitis & per centrum corpo- ris lumino$i: qui e$t l m n h: & $it centrum $olis eleuatum $upra horizontem in circulo altitudinis in puncto n. Et quoniam per 64 th. huius centrum corporis lumino$i, & c\~etrum oculi, & centrũ ba$is VITELLONIS OPTICAE pyramidis irradiationis $emper $unt in eadem linea, & cum centrum ui$us $it centrum circuli alti- tudinis: $i ducatur linea à centro lumino$i corporis n h k m g l per centrum ui$us, illa nece$$ariò erit diameter cir- culi altitudinis: erit ergo illa linea à pũcto n produ- cta per centrum k nece$$ariò cadens in aliqué pun- ctum circuli altitudinis, qui $it l: & erit $emicirculus altitudinis eleuatus $upra circulum horizontis, qui e$t h n m, {ae}qualis $emicirculo n m l: quoniã $unt me- dietates eiu$dem circuli: ablato ergo cõmuni arcu, qui e$t n m: erit arcus h n æ qualis arcui m l:$ed pun- ctum l e$t locus centri circuli irradiationis: & pun- ctum n e$t locus centri $olis. Patet ergo quòd quan- tùm c\~etrum $olis eleuatur $upra horizonta, tantùm c\~etrum circuli ba$is pyramidis irradiationis depri- mitur $ub horizóta. Ethoc e$t primum propo$itum. Cum autem erit c\~etrorum utrunq; in circulo hori- zontis, medietas circuli iridis uide tur, ut in præce- denti theoremate e$t o$ten$um: ergo cum centrum $olis eleuatur, & centrum circuli deprimitur, minus $emicirculo uidebitur. Et hoc e$t, quod $ecun- dò proponebatur. Quod autem nunc diximus exponentes propo$itum, $ole exi$tente in oriente, idem e$t $i $it in horizontis parte occid\~etali, uel in quacunq; parte $it horizontis: ut e$t his, quorum latitudo e$t 66 graduum & 9 minutorum: his enim e$t $ol in meridie in puncto tropici hiemalis in horizonte. Et $ic $ecundum regiones diuer$as uniuer$ale $emper e$t propo$itum theorema.

76. Iridis nunquam uideri po$$e completum circulum manife$tum e$t.

Quoniam enim $i $ol e$t in horizonte, $emicirculus tantùm uidetur, ut patet ex 74 th. huius: & $i $it $upra horizonta in aliquo circulo altitudinis, patet per pr{ae}mi$$am quòd quantùm centrum $olis uel lunæ eleuatur $upra horizonta, tantùm c\~etrum iridis deprimitur $ub horizonte. Vnde tune $u- pra horizontem $emper pars iridis minor $emicirculo uidetur, $icut patet in alijs parallelis in $ph{ae}- ra, per quorum centrum non tran$it horizon. Hi enim in portiones inæquales $ub horizonte & $u- pra horizontem $ecantur. Patet ergo cõ corpus lumino$um in tempore ui$ionis iridis $it aut in ho- rizonte aut $upra horizonta, quòd nunquam completus circulus iridis poterit uideri: ni$i fortè fiat exreuerberatione luminis $olis à nube forti ad terram uel ad aliam nubem, ubi $it uapor roridus in medio, & ui$us inter uaporem & nubem, à qua fit reuerberatio, uel in ead\~e linea, $ic quòd ad ip$um po$sit fieri reflexio: tunc enim po$sibile e$t integras irides uideri: $ed de talibus $ermo propo$itus non intendit: diximus enim de talibus iridibus in 67 th. huius. Patet ergo propo$itum.

77. Datæ iridis $emidiametrum inuenire.

Ad quantum enim $ummorum uaporum con$i$tentia eleuari po$sit iam o$t\~edimus in 60 th. hu- ius:$ed non $ecundum totam eleuationem illorũ po$sibile e$t iridem eleuari: quoniam materia iri- dis e$t uapor roridus per 66 huius, qui non adeò eleuatur, ut uapor $iccus. Si ergo datæ iridis $emi- diametrum uolumus inuenire, & data iris $it $emicircularis, faciliter habetur propo$itum. Accipia- tur enim altitudo $ua per in$trumentum: circuli\‘q; altitudinis $uæ portio $iue arcus interiacens ho- rizonta & gibbum iridis duplicetur, & cum arcu duplicato intrentur tabulæ chordarum & arcuum prima dictione almage$ti po$itarum, & extrahatur chorda arte con$ueta: erit\’q; chorda inuenta dia- meter totius iridis: & ea diui$a per æqualia medietas ip$ius erit $emidiameter iridis: & ita $inus cir- culi altitudinis erit $emidiameter iridis, quæ $ub hoc $itu in tali altitudine uidetur. Si dicatur quòd illa linea non e$t $emidiameter iridis, $ed cuiu$dam alterius circuli æquidi$tantis iridi, $ed maioris iride: hoc non ob$tat: quia illi duo circuli in eundem angulum $olidum cadunt apud c\~etrum mun- di, quod tunc e$t c\~etrum ui$us: unde quod de uno dicitur, de reliquo pote$t intelligi, quo ad quan- titatem. Et quia per talium diametrorum proportiones habetur completa proportio iridis ad iri- dem: ideo talem diametrum iridis diametrũ appellamus. Si uerò iris $it portio minor $emicircirculo: accipiatur ip$ius altitudo. Et quia, ut patet per 75 huius, tunc $ol e$t $upra horizonta in eod\~e circu- lo, accipiatur altitudo $olis. Quia ergo, ut in illa declaratum e$t, di$tantia centri iridis $ub horizonte e$t æqualis eleuationi $olis $upra horizontem: coniungãtur i$ti duo arcus altitudinis, iridis $cilicet & $olis, proueniet\’q; arcus interiacens punctum circuli altitudinis, in quo incidit diameter ducta à centro corpotis $olis per centrum ui$us & per c\~etrum iridis ad ip$um circulum altitudinis (& hoc e$t nadir $olis) & punctum $uperior\~e circuli altitudis iridis: duplicetur ergo ille arcus, & extra- hatur chorda ut prius, diuidatur\’q; per æqualia: & habebitur intentum. Patet ergo propo$itum.

78. Iridis $emicirculus ui$us e$t medietas circuli minoris: portio uerò minor $emicirculo ui$a, e$t portio circuli maioris.

Huius propo$itæ rei cau$$a pater $ecundum præmi$$a huius libri. Quoniam enim, ut patet per 64 huius, centrum $olis & ui$us & iridis $emper in eadem linea con$i$tunt, quæ e$t axis pyrami- dis illuminationis uaporis roridi: propter quod pater quia in omni reflexione, ex qua apparet iris, $emper centrum ui$us e$t polus circuli iridis: palàm ergo quòd nullam facit diuer$itatem in LIBER DECIMVS. uilu erectio uel obliquatio $uperficiel iridis $upra $uperficiem horizontis. Quoniam $emper li- nea pertran$iens centrum $olis & ui$us e$t erecta $uper $uperficiem iridis: & $ic peripheria iridis $emper $e habet uniformiter ad ui$um, quantũ e$t de $e, ut patet per 65 th.1 huius. Quod tamen hic proponitur, cau$$am habet non ex reflexione, $ed ex refractione: quia ut in 8 huius declarauimus, diuer$itas angulorum refractionis cau$$atur ex diuer$itate diaphanitatis corporũ diaphanorum e- tiam eiu$dem $peciei: maior enim fit refractio ad lineam perpendicularem in aqua gro$siori quàm in aqua $ubtiliori. Quia itaq; $ole exi$tente in peripheria horizontis, aer e$t gro$sior $eip $o, po$tmo- dum per luminis $olaris præ$entiam $ubtiliato: palàm quòd in gro$siori illo aere minor fit refractio â perpendiculari: radij itaq; tunc refracti magis approximant perpendiculari quàm po$tmodum aere $ubtiliato. Ad propinquiorem ergo locum $uperficie iridis fit aggregatio radiorum inciden- tium $uperficiebus ui$uum ibi exi$tentium, quàm fiat aere rariori exi$tente. Subtiliato uerò aere, fit ad eo$dem ui$us à partibus remotioribus ip$ius uaporis refractio: non enim fit à partibus propin- pin quioribus: quoniam ab illis neq; prius fiebat. Sed neq; fit illa refractio à partibus uaporis, à qui- bus fiebat prius: quoniam medio immutato e$t ip$a refractio immutata per 8 huius: fit ergo nece$$a riò refractio à partibus uaporis remotioribus, quàm prius. Radij ergo refracti $unt longiores his, qui prius refringebantur: pyramis ergo illuminationis e$t maior: ergo & ba$is eius (quæ, ut patet expræhabitis, e$t peripheria iridis) erit maior. Exi$tente uerò $ole in peripheria horizontis, tunc tantùm cau$$atæ iridis $emicirculus uidetur, ut patet per 74 huius: eleuato uerò $ole $upra horizon ta: tunc portio iridis minor $emicirculo uidetur, ut patet per 75 huius. Mani$e$tum e$t ergo propo- $itum. E$t autem quorundam experientia, quòd altitudo iridis, & altitudo $olis coniunctæ $emper faciunt gradus 42: quod per præ$ens theorema impo$sibile e$$e o$ten ditur. Si enim $emidiameter circuli iridis $it quan doq; minor, quandoq; maior $ecun dum mediorum diaphanorum & $uarum re$ractionum diuer$itat\~e, ut præo$ten$um e$t: tunc non poterit rationabiliter uideri alicui, quòd o- mnes aliorum circulorũ diuer$arum iridum $emidiametri $int æquales: po$$et tamen e$$e modica differentia, quæ fortè per in $trumentum modicum improportionale circulo altitudinis non po$- fit aliqualiter perpendi. Et etiam eorum experientia e$t in portionibus iridum min oribus $emicir- culo, quod patet per altitudinem $olis, quam tales uer$o in$trumento uel mutato ui$u, fixo in$tru- mento accipiunt, quæ nulla e$t $ole exi$tente in peripheria horizontis. Et fortè talium portionum uel $uarum diametrorum non e$t $en$ibilis differentia: quia etiam Ari$toteles de illa nihil $crip$it: cum tamen de præ$ente theoremate magnam fecerit mentionem: quamuis nec ip$e nec alius, cu- ius $cripta uiderimus, $uper hoc attulerit declarationem. De differentia uerò climatum nullus ex- cu$ationem afferat: quia quod in uno climate accidit, in omnibus climatibus euenire nece$$e e$t in iridis generatione. Semper enim centra $olis, ui$us, & circuli iridis in eadem linea con$i$tunt: & ar- cus altitu dinis $ub horizonte centri circuli irldis, $olis altitudini in omnibus climatibus e$t æ qua- lis: nec in hoc aliquis differentiam perpendet.

79. In quibu$dam regionibus $ole exi$tente in meridie, iris $en$ibilis non apparet.

Ad o$ten den dum propo$itum ponatur primò centrum $olis in aliqua regione in meridie in ze- nith capitis: & palàm ex præmi$sis, quòd tunc ba$is pyramidis irradiationis erit $ub horizonte æ- quidi$tans horizonti. Et quoniam tunc altitudo $olis erit partium 90: $ole de$cen dente ($iue hoe $it propter ip $um motum $olis, $iue propter altitudinem regionum di$tantium plus ab æquino- ctiali, quàm regio, in qua $ol fuit perpendicularis in meridie, ut ab ea, quæ e$t directè $ub capite can cri) nunquam fiet iris in meridie, quandiu $inus circuli altitudinis $olis in meridie fuerit maior diametro iridis, quam per 77 huius diligens perqui$itor poterit inuenire. Quantùm autem $inus circuli altitudinis $olis in meridie minuetur à diametro iridis: tantùm apparebit ui$ui in meridie de diametro iridis & de iride. Et ob hoc in diebus æ$tiualibus ab æquinoctio uernali ad autumna- le in con$uetis nobis regionibus, quæ $unt ultra clima quartum u$q; ad finem notorum $eptem climatum in meridie iris non apparet: & $i in alia parte anni appareat quandoq;. Totum autem hoc diximus propter regiones, quæ $unt extra climata, in quibus præmi$$a regula doctrinæ gene- rali poterit committi. In omnibus autem regionibus $ole exi$tente $upra horizontem, in qualibet hora diei iris poterit apparere, præter quàm in meridie: in illis tamen horis, in quibus $inus circuli altitudinis $olis maior e$t iridis diametro. Et hæc $ufficiant pro iridis intento: quia irim de cœlo mi$it Saturnia Iuno.

80. Nubium apparens color fit $ecundũ di$po$itionem materia & luminis incorpor ationem.

Quoniá enim nubiũ con$i$tentia ex duobus fit uaporibus, $icco $cilicet & humido, ut declaratũ e$t in philo$ophia naturali: tũc quando $ol agendo ex $icco penitus extrahit humidũ, aduritur $iccũ rerre$tre, ita quòd lumen in ip$um penetrare non pote$t: & ideo fit tunc nubes nigra multæ nigre- dinis: & $unt tales nubes materia uentorum. In uapore uerò aqueo generatur nigredo ex conden- $atione frigoris, propter quam in ip$um penetrare non pote$t radius $olaris uel $tellarum: & ideo re manet nubes humida multũ nigra. Ex uapore uerò quocunq; di$gregato $ubtili, recipiente ingre$- $um luminis $olaris fit nubes alba: unde etiam aliquando uidetur nebula alba. Quan do aut\~e nubes habet in $e humidũ fumo $um admixtum aliquantulũ terre$tri adu$to: tunc in ip$o recepto lumine fit nubes rubea, & aliquando purpurea: ut cum radij terminantur ad inferior\~e partem nubis humi- VITELLONIS OPTICAE d{ae} in mane uel in $ero: & hæc $ignificant pluuiã futuram. Et $i quidem $it in oriente, defertur pluuia $uper homines illius habitabilis: $i uerò $it in occa$u, tunc defertur pluuia ad mundi inferius hemi- $ph{ae}rium $ub homines uidentes: & erit ibi pluuia in nocte: & redibit illa pars cœli fortè $poliata nu bibus in mane: & $ic $ignificat rubor nubium in $ero $erenitatem in die $equente. Quando uerò nu bes depre$$a habet $uperius re$per$am purpureitat\~e ob$curam ualde: tunc illa rubedo e$t ex parti- bus terreis adu$tis, quæ iam incipiunt inflammari in uentre nubis: & $unt nubes tales periculo$æ continentes materiam tonitru & $imilium. Quòd $i nubes $it rorans & in fine $uæ re$olutionis: tunc illa nubes in $e recepto lumine, quandoq; iridis acquirit color\~e: & $ecundum $ui uarias di$po- $itiones fit multa uarietas colorum lumine nubibus præ$ente: $iue lum\~e nubi incidens refringatur ad ui$um propter den$itatem $ecundi diaphani, $iue reflectatur ad ui$um à $uperficie ip$ius nubis. Sed in his coloribus medijs nubium non modicum effectum habet admixtio umbrarum, cum nu- bes $uperior per nubem $ubtilem umbro$am ui$ibus occurrit. Tunc enim uario colore coloratur nubes ui$a fecundum illarum umbrarum admixtionem. Patet ergo propo$itum.

81. Virgæ fiunt ex refr actione radiorum $olarium ad ui$um ab aliqua con$i$tentia nubo$a, ra ritate & $pi{$s}itudine inæqualiter dictincta.

Virgæ dicuntur exten$iones radiorũ per nubes, quæ uulgo dicuntur funes tentorij. Interpo$ita enim nube aliqua aquo$a inter $olem & ui$us no$tros fit refractio radiorũ $olariũ ad ui$um: & hoc accidit in medio $ecundi diaphani. Et ob hoc quandoq; ibi uidentur iridis colores $ecundũ qua$dã lineas rectas proten$æ, eò quòd habeant quandam $ubtilior\~e & quandam gro$sior\~e con$i$tentiam, in quibus permixtũ $olis lumen phanta$iam coloris in ip$is facit. Potior tamen in his cau$$a e$t ad- mixtio umbrarũ, quæ diuer$imodè immixt{ae} lumini colores diuer$os ui$ibus repræ$entant. Et quia radius $olis perpen dicularis $uper $uperfici\~e nubis penetrat nub\~e, & ad ui$us non reflectitur: ideo nubes in medio alba & incolorata uidetur: & $ol per illã ui$us uidetur $ine figura, $ed in colore puni ceus aut color\~e aliũ habens: $ol enim per con$i$tentiã nubis gro$sior\~e & caligino$am aliũ & alium præ$entat ui$ibus color\~e. Non e$t aũt in hoc differentia $iue $ol uideatur per nub\~e, $ic q<001> fiat $uorũ radiorũ ad ui$us refractio, $iue radij $olis reflectantur ad ui$um. A$picienti uerò ad $olis latera uide tur quandoq; iridis color uirgatus, ut præ mi$imus, quãdo nubes $ecundũ aliquid e$t $pi$$a, & $ecun dum aliquid rara, & $ecundũ aliquã $ui part\~e plus aquo$a, & $ecundũ aliquã minus: & quandoq; ui- detur aliqua pars punicea, alia uerò uiridis aut flaua. Virgæ itaq; fiũt propter irregularitat\~e diuer$i $itus & qualitatis $peculorũ, nõ propter figur{ae} anomaliã. Sunt enim qu{ae}dã $pecula, qu{ae} propter $ui anomaliã figuras anomalas & permutatas ui$ibus o$tendunt formarũ ui$arũ per ip$a, de quibus in nono libro $cientiæ huius aliquis $ermo fuit. Vnde & nubes figurã $olis non o$tendit: quia $pecula nubis non $unt propriè o$tendentia figuram propter $peculorũ paruitat\~e, $ed o$ten dunt colorem, quod conuenit diaphanitati $peculorũ & nubis totius: & di$tinguuntur illi colores $ecundum di$- po$ition\~e materiæ, cui lux incorporatur, & $ecundũ umbrarum immixtion\~e. Patet ergo propo$itũ.

82. Pareliæ fiunt ex reflexione radiorum $olarium ad ui$um ab æquali con$i$tentia nubo$a.

Pareliæ dicuntur qua$i paria $oli, {κ~'}λιος enim græcè, $ol dicitur latinè, & $ignificant $oles aqueos, qui in nube uidentur. Nube enim interpo$ita $oli & ui$ibus, exi$tente æ quali $ecundũ $ua $pecula, neq; den$iore neq; rariore, neq; plus aquo$a, neq; minus $ecundũ $uas partes: tunc radio $olis illis incidente, propter $imilitudin\~e & æ qualitat\~e $peculorum, & ip$orum regularitat\~e unius coloris fit phan ta$ia: albi aũt uidetur coloris propter $pi$situdinem con$i$tentiæ & regularitat\~e ip$ius nubis. Radij enim ad ip$am nub\~e $ic di$po$itũ incidentes, & ab ip$a reflexi ad ui$us (maximè nube illa non exi$tente aquo$a neq; nigra, uicina tamen aquæ) $ine admixtione alicuius umbræ reflectuntur ad ui$um: propter quod proprium $olis colorem, qui lumino$us & albus e$t, in tota nubis con$iften- tia apparere faciunt ui$ibus: fiunt\’que pareliæ albæ, $icut etiam ab omni corpore polito reflectitur lumen $olis ad ui$um propter $pi$situdin\~e con$i$tentiæ: ut o$ten$um e$t per 1 th.5 huius. Sunt aut\~e pareli{ae} magis $ignum pluuiæ quàm uirgæ: quia æ qualis nubium con$i$tentia, quæ e$t materia pare lijs, $ignum e$t quòd aer idoneè habet $e ad permutation\~e & ad generationem aquæ. Et quia au$tra lis aer facilius in aquam permutatur propter $ui facilitatem in patlendo, quâm aer borealis, qui $ic- cior e$t propter frigoris con$triction\~e: ideo pareliæ au$trales magis $unt $ignum pluuiæ quàm bo- reales. Fiunt aũt pareliæ $icut & uirgæ magis $ole exi$tente in oriente uel occident{ae} quàm in meri- die: quoniã $ol exi$t\~es in medio cœli $oluit tales nubium con$i$tentias, & plurimũ $egregat illas: & neq; fiunt de$uper $ol\~e neq; de$ubtus, $ed à lateribus $olis obliquis, quæ $unt $ecundum polos mũ- di: & neq; fiunt multũ prope $olem: quia à propinquo citò di$$oluitur nubiũ con$i$tentia: neq; fiunt multùm longè à $ole: quia nõ e$t inde po$sibile reflexion\~e fieri ad ui$us: reflexio enim facta à paruo $peculo $ubtilis e$t: unde longè proten$a debilitatur & euane$cit, antequã perueniat ad ui$us. Et ex ei$d\~e cau$sis nõ fiunt hæ pareliæ $upra $olem, neq; $ub $ole, quia prope $ol\~e exi$tentes con$i$tentiæ nubium $oluuntur, remotè uerò di$tantes non perueniunt $ecundũ ip$orũ reflexion\~e ad ui$um: $e- cundum lateral\~e rerò $olis $itum e$t inuenire mediocr\~e di$tantiam, in qua cõ$i$tentia non diffolui- tur, & tam\~e $it reflexio ad ui$um: ut cum non e$t nimis propè ad terrã de$cendens illa nubis con$i- $tentia. Quando enim nubes $unt nimis propinquæ horizonti: tũc ab ip$is nubibus reflexi radij nõ pertingunt ad ui$us propter di$tantiã minorem improportionatã reflexioni luminis: quoniã enim ui$us funt apud terrã, patet quòd tunc luminis reflexio à nube non concurrit cum ui$ibus. Sub $ole etiam nõ pote$t fieri parelia: quia & tunc nubes uicina terræ perpendicularem $olis radium re$pi- LIBER DECIMVS. ciens di$$oluitur à radio $olari, remota uerò nubes à ui$u nullam cau$$at reflexionem uel refractio- nem ad ui$um, propter longitudinem di$tanti{ae}: quia $i etiam à latere $olis e$$et cõ$i$tentia nubis ni- mis alta, non accideret reflexionem luminis fieri ad ui$um: nec tunc apparerent pareliæ ip$is ui$i- bus. Patet ergo propo$itum.

83. Ex cry$t allo hexagona $oli oppo$ita colores iridis generantur.

Huiu$inodi enim colores generantur ex debilitatione luminis propter refractionem ad perpen dicularem, ductam à centro corporis $olis ad $uperficiem unius parallelogrãmi ex lateribus cry$tal li. Et quoniã (ut declarauimus in 27 th.2 huius $ci\~etiæ) manife$tũ e$t quòd à $ole illuminatur magis me dietate cylindri $ibi oppo$iti, $i rotun dus $it cylindrus: hoc autem in cylin dro angulato e$$e non pote$t (angulis ueni\~etibus in diametrũ corporis ba$im per æqualia diuident\~e) tunc enim $ola me- dietas illuminatur propter radiorũ incidentiã, ut diximus ibid\~e. Sed $i corpus illud columnare dia- phanũ $uerit: tunc alia medietas illius corporis illuminatur propter radiorum refraction\~e. Si itaq; $uperficies corporis diaphani $oli oppo$ita unica fuerit, ut in corporibus quadrangulis: tunc una fit luminis refractio fortis: & lumen $ub forma luminis tran$ibit ad partem oppo$itam corporis, & aggregabitur extra corpus $ub forma luminis: $icut etiã hoc fortius euenit in corpore $phærico dia phano nõ cõcauo: eò quòd à $uperficie maioris partis totius illius corporis $phærici fit refractio ad radiũ, qui perpendiculariter incidit $uper $uperficiem corpus $phæricum contingent\~e, æquidi$tan tem $uperficiei $ecanti corpus $olis per centrũ $ecundum a$pectũ, quo ab ip$o re$picitur corpus illu minandũ, ut o$ten dimus in 48 huius. Ex tantorũ ergo & tot radiorũ aggregatione, & $i nõ ad pun- ctum unũ (quo niã hoc e$t impo$sibile propter diuer$itat\~e $uperficierum incidentiæ) ad locũ tam\~e naturalem paruũ fit luminis aggre gatio, ip$o lumine ab$q; coloratione $ub forma luminis man\~ete; & illud lumen aggregatũ calefacit corpus oppo$itũ, & incendit ex mora corpus inflãmabile $ubitò, ut $tupam uel aliud aliquid potentiã actiuã in $e habent\~e ad inflam mation\~e. Si uerò corpus diapha- num $oli oppo$itũ $it plurium $uperficierũ <004> unius planæ uel circularis, $ecundũ eam $cilicet part\~e, quæ $oli opponitur: utpote $i corpus quadrangulũ $ecundum unũ $uorum angulorũ $oli oppona- tur: tunc fiet refractio radiorũ incidentium uni $uperficiei ad ambas $uքficies oppo$itas, & $imiliter radiorũ incidentium alteri $uperficiei. Et cum ex parte oppo$ita lumini refracto aer (qui e$t corpus rarioris diaphani) occurrerit: refringentur radij ab utraq; $uperficie ab illa perpendiculari, quæ ab angulo ad angulũ ducta in corpore ba$im ip$ius per {ae}qualia duideret, uel alia ei æquidi$tante, & in alio corpore den$o illi corpori diaphano $ubiecto, ut terra uel alio corpore quocunq;: tunc quan- doq; apparebunt duo lumina clara, aliquando uerò colorata: ut $i corpus diaphanũ æqualium fue- rit angulorũ & $uperficierũ: & hoc patet experimentanti: erunt\’q; tunc ibi duo colores confu$i, non plures, color $cilicet rubeus, & alius mixtus, qua$i uiridis, qui $ecundum cry$talli uel alterius parui corporis di$po$ition\~e magis $unt inten$i uel remi$si. Quòd $i $uperficies corporis (quo ad part\~e $oli, oppo$itã) fuerint tres, ut $unt in cry$tallo hexagona: tunc à qualibet $uperficierũ oppo$itarum $oli, quæ $unt tres, receptũ lumen cuiuslibet $uperiorũ trium $uperficierũ red ditur corpori oppo$ito, ut terr{ae} uel alteri corpori cuicunq;. Atq; horũ trium luminũ medium manet in ip$a perpen diculari co lumn{ae} cry$tallinæ ba$im $uam per æ qualia diuidente, uel ip$i diuidenti æ quidi$tante: & fit ui$ibile lumen illud, ni$i lum\~e $olis impediat: alia uerò duo refringuntur à dicta perpendiculari propter na- turã $ecundi diaphani rarioris, $cilicet aeris (dictũ enim e$t in 4 th. huius quòd medio $ecundi dia- phani rariore exi$tente refractio $it à perpendiculari) & e$t qua$i quædã di$per$io radiorũ. Appar\~et aũt colores in i$tis luminibus $ic reflexis & refractis propter mixtion\~e nigredinis coloris cry$talli- ni cum lumine penetrante: & propter admixtiones umbrarum partium ip$ius cry$talli prominen- tium $ecundũ acumen $uorum angulorũ, quæ per 11 th.2 huius proijciuntur ad partem oppo$itã in- cidentiæ radiorũ in partem aduer$am corpori lumino$o: quarum umbrarum numerus facit diuer- $itatem colorum, quando lumini permi$centur. Quoniam ubi radio luminis perpendiculari magis, quo ad $uperficiem incidenti{ae} (circa quã in uiciniori multorum radiorum fit aggregatio) color cry $talli & umbræ cõmix us refle ctitur (quia ille radius magis e$t lumin o$us) tunc fit color rubeus. In alijs uerò radijs $ecundum $ui debilitat\~e & coloris corporis & umbrarum plurium cõmixtionem alij colores medij generantur. Fiunt aũt tres colores: quoniã ex tribus $uperficie bus $uperioribus radij colliguntur ad quamlibet inferiorũ $uperficierum: & color rubeus $emper ab illa parte uide- bitur, ubi radius perpendicularis $uper $uperficiem cry$talli in contrario $itu generatæ iridis oppo $itam $oli aggregatis omnibus radijs, $uæ $uperficiei incidit, po$t refractionem factam ex aeris in- terpo$iti diaphanitate. Et tunc quandoq; tres irides generantur, propter triplicem naturam refra- ctionis in medio $ecundi diaphani rarioris, ut præmi$$um e$t: & quia ter tria $aciũt quadratũ, qui e$t 9: erunt tunc 9 colorum indiuidua numero multiplicitatis trium $uperficierum $uperiorum, in nu- merum trium in feriorum. Tres uerò erunt $pecificæ differentiæ colorum: & fit i$torum colorũ per angulos corporis nulla $en$ibilis di$tinctro: quoniam & à linea angulorũ, quæ a ctu e$t indiui$ibilis, reflexi uel refracti radij in diui$ibiles, nihil $en$ibile producunt. Non autem fiunt i$ti colores iridis per cry$tallam penitus per naturam colorum ueræ iridis, quorum di$tinctio formaliter e$t tantùm in ui$u: $ed $iunt per naturã lucis reflexæ à figura dicti corporis. unde etiam cau$$a ip$orum non e$t ad ui$um facta reflexio: non enim uidentur per modum reflexionis, $ed per modum $implicis ui$io- nis ut alia ui$ibilia, quæ ui$ui offerũtur, & à quolibet in eod\~e loco uid\~etur. Fit itaq; colorũ diftinctio à figura corporis: quoniã à qualibet alia cry$tallo uel corpore peruio alterius figuræ colores uarij VITELLONIS OPTICAE LIBER X. apparent, qui $ecundũ $itũ colorũ iridis nõ $unt di$tincti. Et i$tius $ignũ e$t: quòd $i accipiatur cry- $tallus hexagona, & du{ae} eius $uper$icies cera rubea uel alia tegantur, $ic quòd inter illas duas tertia $uperficies maneat nõ opaca: tunc tribus alijs $oli tran$eunti per $oramen non magnum oppo$itis, $i locus operationis nõ $it aliàs ualde lumino$us, & aliquod nigrũ $upponatur: tunc uidebitur etiã ex cry$tallo modica iris maxima & pulcherrima & coloris clari$simi: quod fit propter aggregatio- nem radiorum totius luminis ab omnibus $uperficiebus $uperioribus ad inferiores incidentis, qui ad locum uicinũ unicum aggregantur. Si uerò illæ $uperficies tres, qu{ae} nunc $oli fuerunt oppo $itæ, inferiores fiant, & econuer$o aliæ tres $uperiores: tunc iris quandoq; una, quandoq; nulla ap- parebit. Et qui ludum i$tum ioco$um reuoluerit: inueniet, qu{ae} hic $crip$imus, & etiam plura, quàm per nos in tali $olatio $unt inuenta. Et $i unã ex $ex $uperficiebus dictis experimentans opacauerit: ille $imilia per reuolution\~e cry$talli ad diuer$os $itus inueniet. Et $i cry$tallum oculo oppo$uerit, $ic ut tres non opacatæ $uperficies ad oculũ uertantur: per omnes tres oculo oppo$itas illam cerã ru- beam uidebit. Et $i reuoluerit cry$tallum coram oculo, plures occurrent diuer$itates, quas genera- tionibus colorum applicare quis poterit: $emper con$iderans umbrarum immixtionem: quoniam eadem e$t natura reflexionis formarum ad ui$um, & luminis, ad ea, quibus incidit. Non enim defer tur color uel forma ui$ibilis ad ui$um, ni$i per naturam lucis, quæ e$t in ip$o: poterit\’q; per experien tiam his dictis multa addere diligens inqui$itor. Patet itaq; propo$itum.

84. Sub ua$e uitreo roiundo, pleno aqua, $oli expo$ito: colores $imiles iridis coloribus uid\~etur.

Sit, ut exponatur $oli uas uitreũ rotundum ad modum urinalis, plenũ aqua pura: dico quòd ue- rum e$t, quod proponitur. Videntur enim in $uperficie corporis $uppo$iti illi corpori, ut in terræ $u per$icie uel in alio corpore colores $imiles iridis coloribus: quorũ generatio e$t propter uarias lu- minis $olis refractiones. Vt enim patet per 4 th. huius, fit una refractio ab aere ad uitrũ, alia quoq; à uitro ad aquam: & item alia ab aqua ad uitrum, & alia à uitro ad aerem $ubiectum: quarum refra- ctionum anguli $unt diuer$i, ut patet per 8 huius. Secundum hos itaq; refractionũ modos cum ad- mixtione coloris ip$orum corporum diaphanorum & umbrarum proiectarum à corporibus, lum\~e penetrat, & circulariter diffu$um uel fortè irre gulariter $ecundum corporum diaphanorũ conue- xas $uperficies, uarios ui$ui præ$entat colores di$tinctos $ecundum præmi$$as cau$$as. Quòd $i uas illud extrin $ecus aqua perfu$um fuerit: pulchriores colores ui$ui præ$entabit: quoniã tunc nume- rus refractionum aliqualiter augetur, & $imiliter numerus umbrarum. Non $unt autem hi colores uerè colores iridis: quoniam numerantur alio colorum numero quàm colores iridis, & non perue- niunt ad ui$um per reflexionem quemadmodum colores iridis, $ed uidentur directè, $icut & ip$um lumen & alij colores. Patet itaq; propo$itum.

85. Speculo quocun<005> $ub aqua $oli expo$ito: figura $olis uidebitur qua$i duplicata.

In $peculo enim receptum lumen radiorum $uper $uperficiem aquæ perpendicularium, $uperfi- ciei uero $peculi obliquè incidentium, reflectitur à $uperficie $peculi ad ui$um in loco reflexionis exi$tentem: & $ic offert ui$ui figuram $olis. Lumen uero radiorum obliquè $uperficiei aqu{ae} inciden tium refringitur in $uperficie aquæ ad perpendicularem, ductam à puncto incidentiæ ad $uperfici\~e aquæ per 4 th. huius. Cum itaq; illa forma refracta peruenit ad $peculi $uperficiem: tunc ab illa $u- perficie, cui obliquè incidit, reflectitur iterũ ad ui$um: apparent\’q; duæ figuræ 4olis: una maior pro- pter $implicem reflexionem: alia quoq; minor propter refractionem, qu{ae} in medio den$iori minuit figuram po$tmodum reflexam: uidetur\’q; illa $ecunda figura $olis, qua$i $it forma $tellæ $equentis corpus $olis. E$t autem & ip$a forma $olis: quod patet: quoniam extra radium $olis cum figura $olis à $uperficie $peculi per $e non reflectitu. Et hanc refractam formam accidit uideri. Et $i planè $pe- culum $ub aqua deducatur in $olis radium: tunc eadem numero forma, quæ prius $ub minori lumi- ne fuit ui$a, uidebitur amplius, quàm prius, lumino$a: & $ecundum motum aquæ uidebitur moueri circa reflexam figuram $olis. Patet ergo propo$itum. Et quoniam nos diuinæ gratiæ $uffragante præ$idio, tres propo$itos uidendi modos $ecundum omnem ip$orum, quatenus potuimus, diuer$i tatem tran$currimus, nec condignum aliquid tantæ munificentiæ diuinæ bonitati red dere po$si- bile nobis e$t: ad illas tamen, quas po$$umus, gratiarum actiones con$urgimus ei, qui uerè trinus & unus e$t: $oli nihil in rebus entibus conforme, nihil coæternum, nihil æ quebonum æ$timantes: cui $it honor & gloria per infinita $ecula. Amen.

VITELLONIS FILII THVRINGORVM ET POLO- norum opticæ finis. BASILE AE, EX OFFICINA EPISCOPIANA, PER EVSEBIVM Epi$copium, & Nicolai F hæredes. Anno M. D. LXXII. Men$e Augu$to. EPISCOP.