LO SPECCHIO VSTORIO OVERO TRATTATO Delle Settioni Coniche, _ET ALCVNI LORO MIRABILI EFFETTI_ _Intorno al Lume, Caldo, Freddo, Suono_, _e Moto ancor@._ DEDICATO A GL’ILLVSTRISSIMI SIGNORI SENATORI DI BOLOGNA Da F. Bonauentura Caualieri Milane$e Gie$uato di S. GIROLAMO _AVTORE_ _E Matematico Primario nell’Inclito Studio dell’i$te$$a Cittd._

In Bologna, pre$$o Clemente Ferroni 1632. Conlicenza de’Superiori.

ILLVSTRISSIMI SIGNORI Padroni Colendi$simi.

ARDEA in honor di Lu- cina pretio$a lampada nel mezo del famo$o Tempio, che allo $pun- tar delle grandezze, e marauiglie dell’antica Roma, le fù dalla $uper$titio$a Gentilità, come à $ingolar protettrice de’parti, con- $ecrato, con cosi diligente, anzi $traordina- ria cura, da $emplici Verginelle cu$todita, che $timando e$$e da terre$tre luce douer- ne rimaner’offe$i gli occhi dicosì alto Nu- me, non con altro, che con cele$te fuoco, generato dal riuerbero di lucidi$$imo $pec- chio, e$po$to al Sole, indu$trio$amente $i acc\~edeua. Lodeuole co$tume inuero, reli- gio$o pen$iero, quãdo dalla loro vana Dei- tà non fo$$e $tato profanato. Io perciò, che non da i fauori di Lucina, ma (doppo la diuina benignità) dall’aura propitia, che dalla magnanimità $pira de i genero$i cuo- ri delle SS. VV. Illu$tri$s ricono$co i miei, benche deboli$simi parti, e$$ere $omma- mente felicitati, de’quali, come non i$de- gna$te aggradire la publicatione del pri- mo, così prendo ardire di offerire di nuo- uo, oltre me $te$$o, il $econdo; vorrei pur’ anche, non dall’e$ca, efociletrarne cadu- ca fiamma; ma, ad imitation di E$$empio così celebre, con que$to mio SPECCHIO VSTORIO, $imile in parte à quello, che veniua nel culto di Lucina adoperato, nel vo$tro nobili$simo Teatro, o, per dir me- glio, nel Tempio dell’eternità delle vo$tre glorie, accendere vna cele$te, & ine$tin- guibile lampada di diuotione, entro al cui $plendore viuamente appari$$el’inten$i$ $@mo ardore, che hò di perpetuamente ho- norare, e $eruire, chi mi hà così altamente obligato. Ma per ottener que$to, pure mi èaui$o non e$$ermi d’vopoil $alire con la verga di Prometeo à rapirne il fuoco dal carro del Sole, o pure, che à quella infoca- ta ruota io lo riuolga; ma che mi ba$ti e- $porlo al $plendidi$simo cerchio, del qua- le diuinamente le vo$tre $ingolari$sime virtù coronando$i, fanno chiaram\~ete rim- bombar d’ogn’intorno

Igneus est ollis vigor, & calestis origo.

A que$to $eruirà dunque principalmente il pre$ente mio Specchio. Seruirà per pe- gno di gratitudine, e per rappre$entar’in- $ieme la diuoti$sima $eruitù, che alle Illu- $tri$sime Signorie loro continuam\~ete pro- fe$$o. Alle quali riuerentemente inchinan- domi, de$idero per fine il colmo d’ogni fe- licità. Bologna il dì 19. Ago$to 1632.

D. VV. SS. Illu$tri$s.

Diuoti$s. & obligati$s. Setuitore

F. Bonauentura Caualier

AL CORTESE LETTORE.

_R_Estaua que$to mio S P E C C H I O V S T O R I O $epolto ancora per qualche tempo, e for$i per $empre, non o$tante, ch’io haue$$i d<007> g<007>à $co- perto tanto del $uo lume, ch’io mi $$i per$uadere, mettendolo in publico (almeno per r<007>o$ità, $e non per altro) ch’e<007> non fo$$e per ri- re del tutto inu<007>$ibile; $e le frequ\~et<007> e$$ortat<007>o- per$ona, il cui g<007>ud<007>t<007>o v<007>@ne da me mol<007>o sti- , ed al quale haueuo di g<007>à confidato il m<007>o pen- non m<007> haue$$ero fatto romper gli argini del ti- , e ri$oluerm<007> à metterlo in pro$pettiua delia . Non era quello però del tutto <007>rragioneuole, attando$i d<007> co$a tenuta da molt<007> per poco che fauolo$a, pen$auo, che da que$t<007> tal<007> doue$$e io parere e$$ere $enz’altro e$$ame r<007>gettato alla come altretan<007>o vano, quanto era da loro sti- per ohimerico lo Specch<007>o di Arch<007>mede, proto- del mio. A questo però contraponendo l’auto- d’l$tor<007>ci famo$i, che ci fanno autent<007>ca fede di quello Specchio, e le ragioni dimostratiue, che la di lui po$$ib<007>ltà ci per$uadono; pareami a$$at cred<007>b<007>le, che ch<007> non è del tutto incapace di ragione, doue$$e pur’anco $entir$i far qualche forza da argomenti di verità tanto euidenti. Ma quì non $i terminaua la mia difficoltà; po<007>che non accompagnando io l’opera fatta con la teorica, giudicauo ad alcuni douer que$to ri@$c<007>r così poco accetto, che nõ pre$entandogli in ma- no lo Specchio bell’, e fatto, fo$$ero per riputar per co- $a friuola <010> di niun mom\~eto, ogni d<007>$cor$o $pecola- tiuo, benche indrizzato alla di lu<007> fabrica; mentre non $i metteuano (come $i $aol dirc) le mani in pa$ta, e non $i veniua all’atto prattico, preualendo la co$a fatta à qualunque ragione, che $i po$$a addurre, ch’ ella $ia fatt<007>b<007>le. Il che veramente confe$$o, c’hauria hauuto molta forza per d<007>$tormi dall’impre$a @$e l’altrui ragion<007> non mi haue$$ero finalmente in un certo modo violentato à far que$ta ri$olutione; con il per$uadermi, che anco il promouere nuoui pen$iert, era co$a grad<007>ta da’stud<007>o$i, e tanto più, quãto $i la- $ciaua altrui campo d’acqui$tar$i gran parte della glor<007>a nel perfett<007>onar quella fabrica, alla cui strut- tura la $pecolatiua hauea $olò gettato i fondamenti@ <010> che que$to era modo d’<007>nuentar $ingolare; poiche l’imparar Mercur<007>o dalla Te$tuggine di formar la Lira, o dal batter vicendeuol de’martelli l’inuentar Pitagora la Mu$ica, fù vn veder prima, in vn cer- to modo, la conclu$ione, e da quella precono$ciuta in- @e$tigar po$cia i $uoi princip{ij}; ma il di$correr’<007>l Co- lombo, che bi$ognaua per le tali, e tali ragioni, che vi fo$$ero l’lndie nuoue, e poi trouarle, fù vn caminare da’princip{ij} alla conclu$ione, come per appunto par, che accada <007>n questo propo$ito: Dicendomi in$ieme, che chi era con$apeuole delle mie molte occupationi, m’hauria $cu$ato, accettando volontieri per hora la parte della $pecolatiua, per vederne poi con più com- modità la co$a ridotta in prattica, o per opera miæ, o d’altri, c’habbino p<007>ù agio, e commodità d<007> farlo, <010> e$p@@ienza nell’arte d<007> fondere, e di lu$trare i$pecchi di metallo, non potendo$i que$to ottenere in grado perfetto, $e non da chi è stato per molto tempo sù l’e$$e@c<007>tio di fabricarli. Que$te e$$ortationi adun- que $urno potenti à farmi ri$oluere di dare in luce queste m<007>e poche $pecolationi intorno al detto $og- getto principalmente, hauendomi in$ieme non poco fatto accelerare que$ta ri$olutione l’hauer’io $mar- vito tal parte d<007> quelle in alcune $critture, come ac- cenno par<007>mente nel Cap. 31. che mi poteua far dubitare d<007> non e$$er da altri preoccupato nel farle pale$i. Et benche io $appi finalmente, che alcuni $corgendo à prima vista il titolo di S P E C C H I O V S T O R I O, d<007>ranno que$ta e$$er materia, della quale $e ne sà hormai, quanto $e ne p@ò $apère, ha- uendo trattato pure de’Specch<007> V$tor{ij} V<007>tellione, Rogerio Bacconi, Orontio, il Cardano, il Getaldo il Porta, il P. Gruemberger, il P. Biancano, che ne toc- @a vn poco nella $ua Echometria, e finalmente il Ma- gini, & al@ri, che con la loro e$qui$itezza di dottr<007>na ci hãno in$egnato tanto, che nõ la$ciano luogo d<007> poter dir più co$a nuoua intorno à $im<007>l $oggetto. A que $to per ò nõ ri$ponderò altro, $e nõ che $i cõptaccino que$ti tal<007> d<007> veder’vn poco tutto il Trattato pr<007>ma, e poi che giudichino, $e la co$a stà così, come dal titolo gl<007> pare di poter’à prima fronte congetturare: D<007>rò ben que$to $olo, che $e con$ideraranno bene in particolare <007>l l<007>bro del Magin@, trouaranno, ch’egl<007> non trat@ò co$a alcuna de’Specchi Parabolici, Iperbolici, o El. l<007>ttici, ma $olo delle apparenze dello Specchio sferico; e ma$$ime per quãto s’a$petta al rappre$entar le ima- gini, che come facile da fabricare in comparatione di questi altri, potè anco da lui e$$er ridotto in pratti- ca, & acqui$tar$i quella lode, che all’em<007>n\~eza del $uo valore giustamente viene attribuita; ma non per- c<007>ò dourà stimar$i $uperfluo quest altro m<007>o D<007>$cor- $o, trattando egl<007> d<007> co$a molto differente da quella, che da e$$o venne $piegata. Con l’occa$ione poi di que- sto Specchio V$torio, v\~egono aggiũte al pre$ente T@at tato alcune altre $pecolationi, in particolare circa il Suono, <010> vni@er$almente intorno à qualunque co- $a, che per linea retta $i diffonda, come accade al Cal- do, e Freddo ancora, <010> ad altre qual<007>tà, di$corren- do$i in$ieme qualche co$a circa il Moto; queste però $ono da me $oggiunte più per abbondanza, che per nece$$ità di dottrina, hauendole collegate in$ieme $otto il titolo delle Settioni Coniche, che perciò l’hò anco voluto metter’in fronte delle pagine, più to$to, che il titolo d<007> Specchio V$torio. Accetta dunque vo- lontieri, benigno Lettore, quanto le mie poche forze per hora ti offeri$cono, e col grad<007>re il buon de$iderio, che hò d<007> $eruire alla publica vtilità, fà, che la mia debolezza auanzando $e ste$$a, talmente $i auualori, ch’arriui à poter fare co$e maggiori.

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Licenza del Reuerendi$s. P. Generale.

NOi F. Girolamo Longhi da Milano Generale de’Fra- t<007> Gie$uati di S. G<007>rolamo, per le pre$enti no$tre, con- cediamo facoltà al R. P. F. Bonauentura Caualieti Sacer dote Profe$$o dell’i$te$s’O dine, e Lettor publ<007>co delle Ma- tematiche in Bologna, di potere f@t $tampare il Libro, in- titolato, _Lo Specchio V $torio_, o$$eruando pe<007>ò le co$e $ol<007>te ad o$$eruat $i <007>n que$to geuere. Date in Milano nel Con- uento di S. Girolamo alli 7. di Genaro 1632.

F. Girolamo Long hi Generale.

IO F. Co$tantino Buci dell’Ordine de’G@$uati di S. Gi- rolamo, di commandamento del Reuerendi$s. P. Gen@- rale, hò vi$to il l<007>bto del M. R. P. F. Bonauentura Caualie- ri dell’<007>$te$s’Ordine, intitolato, _Lo Specchio V$torio_, ne ha- ucndoui trouato co$a, che contrar@j alla Fede, o à buoni co$tumi, perciò giud<007>co, che $i po$si $tampare.

D. Homobonus de Bonis Pœnitentiarius, pro Eminenti$s. & Reuerendi$s. D. Card. Archiepi$c.

Imprimatnr.

Fr. Hieronymus Onuphri@s Doct. Collegiatus, Lector pu- blicus, & Sancti$s. Inqui$itio@is Con$ultor, pro Reue- rendi$s. P. Inqui$it. Bonon.

TAVOLA De’Capi del pre$ente Trattato. _I_Ntroduttione alla materia da trattar$i, nella quale $i di$cor- # re, d’onde habbi bauuto origine la dottrina delle Se@tioni # Con<007>che. # _pag. 1_ Che co$a $ia cono, e come $i generi. Cap. _1_. # _9_ Che co$a $iano Settioni Con<007>che, e come nel Cono $i produchino. # Cap. _2_. # _12_ Di quante $orti di Settioni Coniche per il $udetto $egamento $i po$ # $ono nel Cono generare. Cap. _3._ # _13_ Che co$a $iano le Settioni Oppo$te, e come $i generino. Cap. _4_. # _19_ Come dalle co$e dette nel $udetto Capitolo potiamo con ageuolezz4 # comprendere i fondament<007> de gli Horology Solari. Cap. _5_. # _21_ D’alcuni termin<007>, che $i adeprane <007>ntorno alle Sett<007>on<007> Con@che. # Cap. _6_. # _22_ D’vn principio cauato dalla Pro$pettiua per le co$e $u$$eguenti. # Cap. _7_. # _25_ Come $i adatti que$to principio an@o alli Specchi, che non $on piani. # Cap. _8_. # _27_ Delle ammirabili proprietà delle Settioni Coniche, incominciando$i # dalla prima della Parabola. Cap. _9_. # _29_ Della $econda proprietà della Parabola. Cap. _10_. # _33_ Della terza proprietà della parabola. Cap. _11_. # _36_ Della quarta proprietà della Parabola. Cap. _12_. # _38_ Qual@@e quãti $iano nell’I perbola, Elli$$i, & Oppo$te Settioni, i pun- # ti, che $i chiamano fochi di quelle. Cap. _13_. # _42_ Della prima proprietà dell’Iperbola. Cap. _14_. # _45_ Della $econda proprietà dell’Iperbola. Cap. _15_. # _47_ Della terza propr<007>età dell’Iperbola. Cap. _16_. # _49_ Della quarta proprietà dell’Iperbola. Cap. _16_. # _52_ TAVOLA Della prima proprietà dell’Elli$$i. Cap. _17_. # _54_ Della $econda proprietà dell’Elli$$i. Cap. _18_. # _55_ Della terza p@oprietà dell’Elli$$i. Cap. _19_. # _55_ Della quarta proprietà dell’Ell<007>$$i. Cap. _20_. # _57_ Della proprietà, ancor lei belli$$ima, della circon ferenza di circolo # intorno alle inc<007>denti, e r<007>fle$$e. Cap. _21_. # _60_ Delle $uperficie, che $i po$$ono generare dalle Settioni Coniche, e # come à quelle $i accommodino le già dimo$trate loro proprietà, # e de’loro nomi. Cap. _22_. # _63_ Epil go delle $udette proprietà delle Settioni Coniche, applicate # alle da loro generate $uper$icie. Cap. _23_. # _65_ Tauola Specolaria. # _71_ Dell’v$o della precedente Tauola Specolaria. Cap. _24_. # _73_ Digre$$ione intorno le R@frattioni. # _7@_ Come $i po$$i accendere il fuoco, per il rifle$$o de’raggi Solari. # Cap. _25_. # _78_ Come per rifle$$ione $i po$$i accender fuoco con il riuerbero della fiã # @@ma, o deicarboni acce$i. Cap. _26_. # _84_ Come in due potiamo $eruirci delli $udetti Specchi. Cap. # _27_. # _86_ Dello Specchio Vstovio d’Archimede. Cap. _28_. # _89_ Della Linea V$toria di Gio. Batti$ta Porta, che abbrucia in infini- # to. Cap. _29_. # _96_ In qual $en$o stimi l’Autore, che la $udetta Linea Vstoria $i po$$@ # $o$tenere. Cap. _29_. # _98_ Dello Specchio V$torio imaginato dall’Autore, e varietà di quello. # Cap. _30_. # _102_ Come $i può probabilmente congetturare, che lo Specchio di Arcbi # mede, Proclo, e del Porta, non molto di$cordi da quello, che $i è # dichiarato nel Capo antecedente. Cap. _31_. # _111_ Come con li $udetti Specchi potiamo di notte mandare il lume lon- # tano. Cap. _32_. # _125_ Come potiamo $entir quel $uono, che per altro non s’vdirebbe, o $en- DE’CAPI. # tir meglio quello, che debolmente $i $ence. Cap. _33_. # _129_ Come per il contrario potiamo inuigorir’il $zono, $i che $ia $entito # più gagliardo, che non $i $entirebbe. Cap. _34_. # _131_ Come $i po$$a fabricare vna stanza talmente, che chi starà in vn’ # angolo d quella, $enta il $uono fatto nell’altr’angolo diamctral # mente oppo$to, non $entendo quelli, che $aranno nel mezo. Cap. # _35_. # _132_ De i V a$i Teatrali di Vitruuio. Cap._36_. # _134_ Delle altre $uperficie, che dal vario mouimento, ò flu$$o delle Set # tion<007> Coniche po$$ono e$$er generate. Cap. _37_. # _148_ Della cognitione del Moto. Cap. _38_. # _151_ Del mouimento de’corpi graui. Cap. _39_. # _153_ Qual $orte di l<007>nea de$eriuano i graui nel loro moto, $piccati che $ia- # no dal proiciente. Cap. _40_. # _163_ Come $i de$criuino le Settioni Coniche. Cap. _41_. # _172_ De i modi particolari di de$criuere le Settioni Coniche, che s’a$pet- # tano all’inuention $olida. Cap. _42_. # _174_ De i modi particolari di de$criuere le Settioni Coniche, che s’o$pet- # tano all’inuention piana vera. Cap. _43_. # _179_ Come $i de$criua la Iperbola con vn filo, primo modo della inuen- # tion piana vera. Cap. _44_. # _182_ Come $i de$oriua la Parabola con vn filo, prime modo della inuen # tion piana vera. Cap. _45_. # _184_ Come $i de$criua la Parabola, mediante gl’i$trumenti $odi, compo- # st<007> di regoli, ch è il $econdo modo dell’<007>nuention piana vera. # Cap. _46_. # _187_ Come $@ de$criua la Iperbola con le righe, $econdo modo dell’inuen- # tion piana vera. Cap. _47_. # _189_ Come $i de$cr<007>ua l’Ell<007>$$<007> con le righe, $econdo modo dell’inuention # piana vera. Cap. _48_. # _191_ De i mod@ particolar<007> d<007> de$criuere le Settioni Coniche, apparten\~e # ti all’inuention piana per <007> punti continuati. Cap. _49_. # _195_ Come $i de$criua l’Iperbola, & Ell<007>$$i per i pũt<007> cõtinuati. C. _50_. # _198_ TAVOLA DE’CAPI. D’vn’altra maniera molto facile, & e$pediente di de$criuere per i # punti continuati la Parabola, che habbi per foco vn determina # to punto. Cap. _51_. # _201_ Come dalla Parabola $i po$$ono dedurre in$inite Iperbcle, che con # mirabile analogia vanno mutando i lati tra$uer$i, mantenendo # però $empre l’<007>$te$$o lato retto. Cap. _52_. # _204_ In qual maniera $i po$$i de$criuere l’Iperbola equilatera, il cui foco # di$ti dalla $ua cima, quante noi vorremo. Cap. _53_. # _209_ Come $i de$criua l’Elli$$i, c’babb<007> cia$cuno de’$uo<007> focbi distãti dall’ # estremit à dell’a$$e, quanto $i voglia. Cap. _54_. # _213_ D’altre man<007>ere ancora di dedurre le Settioni Coniche vicendeuol- # mente l’vna dall’altra, o dalla circonferenz a del cerchio. Cap. # _55_. & vlt. # _219_ IL FINE. INTRODVTTIONE _Alla materia da trattar$i,_ Nella quale $i di$corre d’onde habbi hauuto origine la dottrina delle Settioni Coniche.

FV@ da gli antichi Filo$ofi, che di ben regolare le operationi hu- mane $i pre$ero cura, in tãto pre- gio, e $tima tenuto $empre il tem- po, che non $olo con eleganza di parole, ma con indu$trio$e operationi ancora, non mancorno giamai di farne capaci, quan- to importa$$e il ben compartirlo nelle no$tre attioni. Così $olea dir Democrito quello e$- $ere vna pretio$i$$ima $pe$a. Talete lo chia- maua $apienti$$imo in natura. Seneca lo com- paraua ad vn fiume rapidi$$imo. Biante di- ceua douer$i talmente di$pen$are, come $e a$- $ai, e poco doue$$imo campare. Marco Var- rone ri$olutamente affermaua nõ e$$erui per- dita più graue di quella del Tempo; onde il Prencipe de’Poeti di que$to irreparabil dan- no ci vol$e amm onire anch’egli nel 3. della@. Geor. dicendo.

_Et fugit interea fugit irreparabile tempus._ c Ouidio nel 6. de’Fa$ti.

Tempora labuntur, tac<007>ti$q; $ene$cimus annis, Et fugiunt fræno non remorante d<007>es.

Que$to è il Serpe de gli Egittij, che il tutto cõ- prende; que$to è il Ba$ili$co, che $i rende fra gli altri $er penti così contumace al morire, que$t’è la Falce di Saturno, ch’ogni co$a mie- te, ogni co$a recide. Ved\~edo adunque quan- to egli fo$$e pretio$o, ma dall’altro cãto quan- to volubile, e fugace, e quanta poca parte ne fo$$e per toccar’à cia$cun’huomo, s’ingegnor- no i più $ottili di trouar modo più $icuro, che fo$$e po$$ibile di mi$urare, come fo$$e tant’oro, vna co$a di sì alto pregio; e ved\~edo, che il t\~epo era vna $caturigine del moto, o per dir meglio vna mi$ura di quello, poiche dice pur’Ari$t. nel 4. della Fi$ica al Te$. 101. _T\~epus e$t numerus mo-_ _tus $ecundum prius, & po$terius_, e perciò douer$i quello $compartire, per hauerne il tempo, e que$to potendo e$$ere, e nelle co$e à noi vici- ne, e nelle lontane: Furono alcuni, che $i pre- ual$ero del moto vicino, cioè del cõtinuo flaf- $o dell’acqua, o della poluere, o del girar delle ruote per via de’cõtrape$i, o di molle gagliar- de. Così $i trouorno gli Arenarij, gli Horolo- gij da ruote, e le Cle$$idri, & il primo, che à Roma le face$$e vedere fù Scipion Na$ica l’anno 594. doppo l’edificatione di Roma. Fra gli Autori poi, che $i preual$ero del moto lontano, cioè di quel delle $telle fi$$e, per mi- $urar’il tempola notte, poterno ben $eruir$i di quelle, e ma$$ime delle $empre apparenti nel- la $ua regione, come noi dell’Or$a minore, o maggiore, del Dragone, di Ceffeo, o di Ca$- $iopea, trala$ciãdone i Pianeti, come $oggetti à diuer$i accid\~eti, come d’irregolarità di moti apparenti, di $tationi, direttioni, e retrogra- dationi, o di paralla$$i, e $imili, eccettuatone però il Sole; ma per mi$urar’il tempo di gior- no, non gli re$tò altro, che il moto, e lume pur del Sole, che nell’abi$$o del $uo $pl\~edore i pic- coli$$imi lumi delle $telle ci na$conde; egli è però vero, che nel principio a$$ai rozamente parue, che $i porta$$ero, come accader $uole di tutte le nuoue inuentioni, poiche in Roma particolarmente, Città così in$igne, nõ $i no- taua altro, che in dodici Tauole l’Orto, e l’Oc- ca$o del Sole, quali $i e$poneuano publicam\~e- te; al che doppo alcuni anni $i aggiun$e anco- ra il momento del Mezo giorno, e que$to però $olamente ne i tem pi $ereni, qual $i manife$ta- ua al popolo per vn publico banditore, come racconta Plinio nel lib. 8. il che durò $ino alla prima guerra contro Cartagine$i: E$$endo fi- nalmente poi da M. Val. Me$$aia Con$ collo- cato appre$$o i Ro$tri in vna colõna l’Horolo- gio Solare, che mo$traua tutte le hore del gior no compitamente, $econdo che dice M. Var- rone; $imile al quale parim\~ete n’hebbero vno ancora i Lacedemonij per opera di Ana$$ime- ne Mile$io. Altri $econdo le diuer$e $uperfi- cie, nelle quali di$$egnorno l’Horologio, tro- uorno varij modelli, e gli diedero diuer$i no- mi; così Bero$o Caldeo inuentò l’Emiciclio, Ari$tarco Samio la Scaffa, & il Di$co nel pia- no, Eudo$$o la Rete, Scopa Siracu$ano il Plin- to, e Dioni$iodoro il Cono.

Ma vaglia à dire il vero, che frà tutti que- $ti modi quello è $empre $tato più ricercato, e $timato, che c’in$egna de$criuer l’Horologio Solare in vna $uperficie piana, poiche l’haue- re i no$tri edificij, e le no$tre fabriche, circon- date per il più da muraglie piane, sforzò que- $ti ingegni ad applicar$i all’inue$tigare il mo- do di di$$egnarli ne i piani, non $olo orizonta- li, ma anco verticali, o inchinati in qual$iuo- glia maniera, più che nelle altre $uperficie. E perche nella di$$egnatione di que$ti Horo- logij vid dero, che l’e$tremità delle linee hora- rie o fo$$ero dall’occa$o, o dall’orto del Sole, o dal mezo dì, o meza notte computate, anda- uano tutze à terminare in due linee curue, che haueuano le $ue conue$$ità cõtrapo$te, ri$pon- denti alli due Tropici in Cielo, che $i mutaua- no $econdo la varia $ituatione de’piani, ne’ quali $i de$criueua l’Horologio, hebbero mo- tiuo, che que$te linee curue poteuano cadere $otto regola, e che non na$ceuano da altro, che dall’inter$egatione del piano dell’Horolo- gio con le $uperficie de’duoi Coni cõtrapo$ti, che hanno per cima commune il centro del mondo, e per ba$e i Tropici, cioè, che nõ era- no altro, che Settioni del Cono, chiamate poi Iperbole contra po$te (quali $aranno fra poco dichiarate che co$a $iano) perciò que$ta fù la cau$a primaria, e poti$$ima, per la quale i Geo- metri $i a$$ottigliorno nel cõ$iderare in quan- ti modi vn piano potea $egare duoi Coni, oue- ro vn $olo, $i che le communi Settioni del pia- no $egãte, con le loro $uperficie, veni$$ero dif- ferenti, e così $i accor$ero, che quando vno de’ Tropici fo$$e re$tato tutto $opra il piano dell’ Orizonte, come nell’eleuatione del Polo di G. 66. 30. minuti in circa, e nella maggior di que$ta, non già più la predetta $orte di Settio- ne, ma altre veniuano à na$cere nell’horolo- gio orizontale, quali chiamorno Parabola, & Elli$$i, e talhor’anco Circolo, perciò $uppon\~e- do, che dalla cognition di que$te Settioni p\~e- de$$e la fondam\~etal dottrina de gli Horologij Solari, la maggior parte $i d<007>ede à $pecolare intorno à que$te, e di quì nacque la dottrina delle Sett<007>oni Coniche. Così Platone fù il pri- mo, che vi applica$$e il pen$iero, che poi mi- rabilmente $e ne $eruì anco per ri$oluer’il Del- fico Problema, come ottenne con l’incrocia- m\~eto di due Parabole. Euclide ne $cri$$e quat- tro libri, come anco Ari$teo, Menechmo, Ar- chimede, A pollonio Pergeo; e finalmente per que$ta via la dottrina de gli Horologij Solari s’è talmente perfettionata, che pare nõ $i po$$i pa$$ar più oltre. Altri poi più profondamente $pecolando, viddero, che le Settioni Coniche haueuano che fare in altri effetti di Natura ancora, & in particolare, che l’accender fuo- co in virtù de’raggi $olari, l’inuigorire il $uo- no, e $imili effetti, originauano parimente da quelle, la onde non è mãcato, chi habbi $crit- to de’Specchi V$torij, come Vitellione, Oron- tio, il Getaldo, il Porta, & altri, mo$trando in que$te co$e ancora l’eccell\~eza di tal dottrina. L’intention mia dunque non è già di voler’in- ue$tigar le più a$tru$e, e recondite proprietà di que$te Settioni, come altri hãno fatto; o di trattare ex profe$$o la materia de gli Horolo- gij Solari, mettendone io il Cap. 5. $olo, per darne vna tale, e quale cognitione, à chi non ne $ape$$e co$a alcuna; o, volend’io pur trat- tare de’Specchi V$torij, di $tar $olamente sù quello, che hanno $critto i $udetti Autori, ma di mo$trare, come potiamo probabilm\~ete cre- dere, che la $truttura dello Specchio d’Archi- mede tutta dipenda dalle Settioni Coniche ben’inte$e; que$to è il mio principale intento, al che aggiungo poi, con tale occa$ione, altre $pecolationi naturali, ma$$ime intorno al $uo- no, che for$i non $aranno ingrate: Ma perche chi vuole intender que$te co$e da’fondam\~eti, hà di bi$ogno della cognitione d’alcune pro- Delle Settioni Coniche. prietà delle dette Settioni, perciò hò voluto i$truir’il Lettore, come che non haue$$e vi$to co$a veruna in que$to genere, nel che mi per- donerãno gl’intelligenti, $e alla loro $officien- za que$to gli pare$$e $ouerchio, poiche ciò non è fatto per loro; e perche le co$e cõmuni ven- gono $a pute, e $critte da molti, perciò mi $cu- $eranno parimente, trouando quà alcune co- $e po$te da altri ancora, $e ben credo le ragio- ni $aranno per il più differenti, poiche per $er- uare l’ordine della dottrina, e per non rimet- ter’<007>l Lettore ad altri libri, mi è par$o ben fat- to il raccoglier quà tutto ciò, che li può bi$o- gnare in que$ta materia: La dottrina fonda- mentale adunque viene da me trattata $ino al Cap. 24. quale à chi rincre$ce$$e, ba$terà ve- derne $olamente li Cap. 22. 23. 24. cercando almeno d’intendere i nomi: Dal Cap. 23. $ino al 41. s’applica poi la dottrina antecedente al- la materia; e nel rimanente s’in$egnano varie de$crittioni delle dette Settioni, della qual parte ba$terà vederne quel tanto, che più pia- cerà; ma tempo è hormai di dar principio à que$ta dottrina.

Che co$a $ia Cono, e come $i generi. Cap. I.

IL Cono è quel corpo $olido, che da’prattici $uole e$$er chiama- mato, Piramide rotonda, che fù da Euclide nell’11. lib. alla def. 18. (pre$o in $en$o men’ vniuer$ale) definito, na$cer dalla reuolutione del triangolo rettangolo, $tan do fermo vn de’ lati, che $tanno intorno all’angolo retto, $ino, che e$$o triangolo ritorni di onde $i partì: ma perche que$ta definitione cõprende folamen- _to_ei Coni, che hanno l’a$$e della reuolutione perp\~edicolare alla ba$e; perciò riceueremo da A pollonio Pergeo la definitione vniuer$ale, po$ta nel principio de’$uoi Elementi Conici, in que$ta maniera. Se da vn punto po$to fuo- ri del piano d’vn dato circolo $arà tirata vna retta linea $ino alla circonferenza di e$$o cir- colo, di quà, e di là indefinitamente prolon- gata, quale $i riuolga intorno alla circonfe- renza $ino, che ritorni di onde $i partì; la $u- Delle Settioni perficie de$critta dalla detta linea, $i chiame- rà $uperficie conica, e Cono $i dirà il $olido rinchiu$o dalla detta $uperficie, e dal c<007>rcolo propo$to, qual vien chiamato ba$e del Cono, e cima il ponto $oprapre$o; a$$e poi vien det- ta la retta linea, che cong<007>unge e$$a cima con il centro del circolo, che è di lui ba$e, quale, quando $tà perpendicolarmente $opra la ba$e, fà, che il Cono $i chiami equicrure, e quando $ia inchinato $opra di quella, fà, che $i dica Co- no $caleno; di quelli s’intende la definitione d’Euclide, e di que$ti quella d’Apollonio, d\~e- tro la quale vengono parim\~ete rinchiu$i i Co- ni d’Euclide, per e$$er que$ta più vniuer$ale, e però ba$terà, che noi ci appigliamo à que- $ta, per farci capaci d’ambedue le $orti de’Co- ni in vn $ol colpo, il che più chiaramente s’in- tenderà dalle quì po$te figure.

E$$empio $opra la prima Figura.

S Ia il triangolo, _A B E,_ che hà l’angolo, _A E B,_ retto, e riuolga$i e$$o triangolo, _A B E,_ intor- no all’, _A E,_ fi$$a, $in che r<007>torni di onde $i par- tì; la, _B E,_ adunque de$criuerà il circolo, _B G,_ il Coniche. Cap. I. cui diametro è, _B G_, & il triangolo de$criuerà il $olido, _A B G_, che da Euclide vien chiamato Cono, & è equicrure, per e$$er l’a$$e, A E, perpendicolare alcircolo, _B G_. S<007>a horail circola, _N P_, fuori del cui piano $ia pre$o il punto, _C_, e da e$$o tirata la, _C_ _N_, alla circonferenza del circolo, N P, & indefini- tamente prolongata, come in, _D, M_, e s’intenda ri- uolger$i la retta, _D M_, per la circonferenza del cir- colo, _N P_, $opra il ponto fi$$o, _C_, $ino che ritorni di onde $i parti; la $uperficie dunque de$critta da tal linea, non $olo dal ponto, _C_, ver$ola ba$e, _N P_, ma anco ver$o la parte opposta, cioè ver$o, _D_, vien da Apollonio chiamata $uperficie conica, & il $olido, _C N P_, compre$o dalla $uperficie conica ver$o, _N P_, e dal circolo, _N P_, vien chiamato Cono, e cima il pon- to, _C_, ba$e il circolo, _N P_, & a$$e la retta, _C O_ che congiunge la cima, cioè il ponto, _C_, con il centro del circolo, _N P_, che $ia, _O_; quale può e$$er, che $ia per- pendicolare $opra la ba$e, come nell’altra figura è la, _A E_, (poiche anco la generatione del Cono, _A B G_, benche equicrure, $i può intendere al modo d’Apol- lonio) e può e$$er, che vi $tia inchinata, come la, C O; nel qual ca$o tal Cono $i chiama $caleno; e questo ba$t<007> per intendere, che co$a $ia Cono, e come $i generi.

Delle Settioni Corollario.

DI quì $i fà manife$to, che la parte, _C D_, de- $criue anch’e$$a $uperficie conica, la quale terminando nella circonferenza del circolo, _H D_, di che grandezza $i vogli, ma parallelo al cir- colo, _N P_, r<007>nch<007>ude con e$$o ctrcolo, _H D_, il Cono, _H C D_, dalla parte oppo$ta al circolo, _N P_; che però $i può chiamare Cono inuer$o, in ri$petto del Cono, N C P.

Che co$a $i ano Settioni Coniche, e come nel Cono $i produchino. Cap. II.

COncio$iaco$a, che il Cono po$si e$$er $egato, ouer troncato da diuer$e $orti di $uperficie, hora però non intenderemo, che $ia $egato con altro, che con $uper- ficie piane. Fà dunque di me$tieri andar con- $iderãdo in quanti modi $ia po$$ibile tagliarlo, $i che ne venghino fatte d<007>fferenti Settioni di $pecie; e perche il commun $egamento di due $uperficie è $empre linea; perciò intenden do noi, che vn piano tagli il Cono, in che modo $i Coniche. Cap. II. voglia, taglia anco la $uperficie di e$$o Cono, compo$ta della $uperficie conica, e della ba$e, talhora ambedue, e talhor la conica $ola, e pe- rò nella $uperficie di e$$o Cono vien $empre generata vna linea, ch’è il commun $egamen- to della $uperficie del Cono, e del piano $egã- te: Que$ta linea adunque può con nome com- mune dir$i Settion Conica, $e ben’Apollonio non $uol chiamare ogni tal linea Settion Co- nica, ma $olamente alcune, come quì da ba$- $o s’intenderà.

Di quante $orti di Settioni Coniche per il $udetto $egamenio $i po$$ono nel Cono generare. Cap. III.

LE Settioni Coniche, pre$e nel $en$o commune di $opra dichia- rato, non po$$ono e$$ere più di cinque.

La prima è, quando il piano $egante taglia il Cono per la lunghezza dell’ a$$e, ò almeno per la cima; e $empre $e ne pro- ducono tre linee rette, due nella $uperficie co- nica, & vna nella ba$e, le quali $ono il perime- Delle Settioni tro d’vn triãgolo, che pa$$a per l’a$$e dell’i$te$- $o Cono, quando il $egamento è per l’a$$e, co- me dimo$trò Apollonio nel 1. de’Conici alla prop. 3. mo$trando in$ieme produr$i $empre triangolo, benche il piano $egante non pa$si per l’a$$e, ma $olamente pa$si per la cima di e$$o Cono.

La $econda è, quando il piano $egante è pa- rallelo alla ba$e; & allhora $e ne produce cir- conferenza di circolo, per la 4. del 1. de’Co- nici; ma que$te due non $ogliono propriamen- te e$$er chiamate Settioni Coniche, dando $olo tal nome à que$te tre vltime.

La terza parimente $i fà, quando e$$endo$i prima $egato il Cono per l’a$$e con vn piano, e prodotto$ene il triangolo, che pa$$a per l’a$$e, $i $ega poi con vn’altro piano, sì il Cono, co- me il triangolo già fatto, & anco la ba$e di e$- $o Cono, in tal maniera, che la retta linea, che vien prodotta nella ba$e, $ia perpendicolare alla ba$e del detto triangolo, e quella, che vien di$egnata nel triangolo per l’a$$e, $ia parallela ad vn de’lati del detto triangolo; la linea dun- que di$egnata nella $uperficie conica da detto piano $egante, da Apollonio nel 1. libro alla Coniche. Cap. III. propo$. 11. vien chiamata Parabola, ch’èla prima delle Settioni, che da Apollonio $on chiamate Coniche.

La quarta $i produrrà, quãdo, $tando le me- de$ime co$e dette per la terza, $olo $arà varie- tà in que$to, che la linea di$egnata dal piano $egante nel triangolo per l’a$$e in vece d’e$$er parallela, $arà concorrente con vn de’lati di detto triangolo fuori della cima del Cono, e la linea di$egnata dal piano $egante, che è la quarta Settione, e la $econda appre$$o Apol- lonio, viene da lui alla prop. 11. del primo di- mandata Iperbola.

La quinta $i hauerà finalmente, quando $tando le mede$ime co$e dette per la Parabo- la, e per l’lperbola, $olo vi $arà variatione in que$to, che la linea di$egnata nel triãgolo per l’a$$e dal piano $egante, in vece d’e$$er paral- lela, ò concorrente con vn de’lati fuori della cima del detto triangolo, taglierà ambedue i lati di quello (non e$$endo però il piano $egan- te parallelo alla ba$e del Cono, ò $ubcontraria- mente po$to, poiche $e ne produrria circolo) e $arà tal Settione la linea di$egnata dal piano $egãte nella $uperficie conica, chiamata Eli$si Delle Settioni da Apollonio nel lib. 1. alla prop. 13. E poi- che non è po$$i$ibile $egar’ il Cono con vn pia- no in altro modo, che con le $udette conditio- ni, come à chi più attentamente lo con$idera- rà, $i farà manife$to; perciò $tabiliremo con Apollonio, che cinque, largamente parlando, ouero tre $olamente, $trettamente prenden- dole, ponno e$$er le Settioni Coniche, cioè Pa- rabola, Iperbola, & Eli$$i; le quali fà di me$tie- ri con qualche diligenza and are e$$aminando, per le mirabili proprietà, che in $e racchiudo- no: parendomi bene di accennare, che tal vol- ta $i chiamano con que$ti nomi gli $patij $otto que$te curue, e $otto rette linee compre$i, il che però dal modo di parlare facilmente s’in- tenderà.

E$$empio $opra la $econda figura.

_L_E $udette co$e $i po$$ono ageuolm\~ete compren dere nelle quì addotte figure; e $e bene tutte le dette Sett<007>oni $i generano <007>n tutti i Coni, come da altri è $tato d<007>mo$trato; nond<007>meno, per più chiarezza nelli e$$emp{ij} ci $eruiremo de i Coni Equi- crur<007>. S<007>ano dunque tre Coni, _A B C_, e benche non Coniche. Cap. III. vi $ia di$egnato l’a{$s}e, s’intenda però per quello di- $te$o vn piano, che produchi i tre lati, _A B, B C_, _C A_, & il triãgolo, _A B C_; $arà dunque la prima Settione linea retta, cioè, _A B, A C_; poinella pr@- ma $igura di queste tre $i d<007>a vn taglio al Cono, _A B_ _C_, con vn piano parallelo alla ba$e, _B C_, che produ- chi il circolo, _D E_, $arà la di lui circonferenza la $e- conda Settione: s{ij} poinell’iste$$a figura vn’ altro piano, che $eghi la ba$e nella retta, _R V_, perpendico- lare alla, _B C_, ba$e del triangolo, _A B C_, e l’<007>$te$$o $eghi il triangolo, _A B C_, nell a retta, _O X_, parallela allato _A C_, e $eghi la $uperficie conica nella linea, _R_ _O V_, que$ta $arà la Parabola. Ma$e nella $econda figura (fatte le iste$$e co$e) _X O_, concorrerà con il lato, _C A_, prodotto oltre la c<007>ma, come nel ponto, _K_, $arà la linea, _R O V_, $egnata nella $uperficie conica, ch<007>amata Iperbola: Ma $e finalmente la, _O X_, come nella terza figura (fa<007>t’ il mede$imo) $egarà am- bedue i lati del triangolo, _A B C_, e{$s}endo pure la, _Z_ _Y_, commun $egam\~eto del piano, _O X B C_, perpen- dicolare alla ba$e, _B C_, prolongata pur che detto pia- no $egante non $ia parallelo alla ba$e, _B C_, ne $ubcõ- trariamente po$to (che $aria, quando $uppo$to e$$ere il Cono, _A B C_, $caleno, l’ãgolo, _A X O_, fo$$e eguale all’angolo, _A B C_, e _A O X_, all’, _A C B_,) la linea Delle Settioni $egnata nella $uperfic<007>e conica, cioè, O R X V, vien chiamata El<007>$$i, che è l’vltima delle dette Settioni Coniche.

Queste co$e le potiamo apprendere mecanicamen- te, con facilità, e gu$to, in vn b<007>cchiero di forma co- nica, med<007>ãte qualche liquore, come acqua, con l’<007>m- mergolo in d<007>uer$i modi dentro di quella; poiche $e l’immergeremo in tal modo dentro l’acqua, che la $u- perficie di quella pa$s<007> preci$amente per il fondo del bicchiero, che è la cima del Cono, e $eghi l’orlo del bicchiero in qual$iuoglia modo, $e ne produrrà l’am- bito del triangolo, che è la prima Settion Conica, qual pa$$erà per l’a$$e, quando la $uperficie dell’acqua pa$- $erà per l’a$$e; ma quando la $uperficie dell’acqua $arà parallela al piano dell’orlo del bicchiero, $e ne produrrà la circonferenza di circolo, $econda Settion Conica, <010> immergendolo, come richiede la produttio- ne delle altre tre Settioni, le vedremo chiaramente nel $egamento della $uperficie dell’acqua con la $uperficie del bicchiero; quali co$e pe- rò, come facili$$ime, basterà bre- @emente ha@erle accen- nate.

Coniche. Cap. IV. Che co$a $iano le Settioni Opposte, e come $i generino. Cap. IV.

COn l’occa$ione di que$te Settio- ni Coniche, nõ po$$o far di me- no di non dir qualche co$a del- le Settioni Oppo$te, per l’vtili- tà, che n’apporta la loro cogni- tione principalmente per gli ho@ologij Solari.

Siano dunque nella terza figura i due Co- ni, B A D, N A M, fra loro inuer$i, la cui cõ- mune cima il ponto, A, e le ba$i $iano i circoli, B D, N M, $ia poi dato vn taglio à que$ti due Coni cõ vn piano, che pa$si per la lor cõmune cima, A E, per l’a$$e, che produca in e$si i triã- goli, B A D, A N M, dipoi $ia data alli mede$i- mi vn’altro taglio cõ vn piano, che $eghi il tri- angolo, A N M, nella retta, V G, che prodotta concorra con il lato, N A, nel punto, F, e $ia la, T H, commun $egamento della ba$e, N M, e del piano $egãte, perpendicolare alla, N M, ba$e del triangolo, A N M; $arà dunque la li- nea, T G H, di$egnata dal piano $egante nel- la $uperficie conica, A N M, vn’Iperbola; prolonghi $i hora la, V F, ver$o, B D, $ino che Delle Settioni l’incontri, come in, I, & intenda$i, che il det- to piano $egãte nella $uperficie conica, A B D, $egni la linea, E F R, e nella ba$e la retta, E R, $arà anco, E R, perpendicolare à, B D, ba$e del triangolo, B A D, per e$$ere, B D, paralle- la ad, N M, &, E R, à, T H, per la 10. dell’ 11. de gli Elem. E perche la, I F, $egnata dal me- de$imo piano $egante il triangolo, B A D, prodotta con@orre con il lato, B A, $te$o pur oltre la cima, A, e$$endo il cõcor$o in, G, per- ciò anco la linea, E F R, è vn’Iperbola, adun- que con vn $ol piano habbiamo prodotton el- le $uperficie coniche d’ambedue i Coni, B A D, A M N, due Iperbole; que$te dunque da Apollonio nel lib. 1. alla propo$. 14. $on chia- mate Settioni Oppo$te, e $ono della quinta $pecie delle Settioni Coniche, ò per dir meglio, della terza $pecie, conforme ad Apollonio.

Coniche. Cap. V. Come dalle co$e dette ne $udetto Cap<007>tolo potiamo con ageuolezza comprendere i fondamenti de gl<007> Horolog{ij} Solari, Cap. V.

Clò $arà facile, $e nella mede$ima terza figura intenderemo, A, e$- $ere il centro del mondo, NM, BD, gli due tropici, &, BM, che riuolgendo$i intorno le cir- conferenze de’tropici, de$criua le $uperficie coniche, BAD, NAM, le quali $iano $egate dal piano di$tante dal centro del mondo, per la retta, AC, che $arà il piano dell’Horolo- gio, sì come, AC, lo$tile, il qual piano dell’ Horologio verrà, $egando le dette $uperficie coniche, à produrre le due Iperbole, ouero Oppo$te Settioni, TGH, EFR; e sì come il raggio del Sole po$to in B, che pa$$a per la cima dello $tile, ch’è il põto, A, $e non incon- tra$$e il piano dell’Horologio, $correria al põ- ti, M, così i raggi dello $te$$o Sole, po$to ne gl’altri punti dell’hore del Tropico, BD, pa$- $ati oltre il ponto, A, $correriano $ino al luo- go oppo$to nell’altro tropico, NM, $e non in- Delle Settioni contra$$ero il piano dell’Horologio, che gli trattiene nella linea, ouero Iperbola, TGM, in luidi$egnata, nella quale perciò vengono à terminar le ombre: la$cio gli altri particola- ri, che $i potrebbero dire, poiche hora non in- traprendo di trattare di tal materia, ba$ti $olo hauer’acc\~enato così in vniuer$ale, come hab bino che fare que$te Settioni Oppo$te con gli Horologij Solari, e come que$ta dottrina alle co$e cele$ti ancora mirabilmente $i adatti.

D’alcunitermini, che $i adoprano intorno alle Settions Con<007>che. Cap. VI.

SE noi ri$guardaremo la $udetta $ecõda figura, cõforme alle de- finitioni d’Apollonio, trouare- mo chiamar$i la retta, OX, in tutte tre le Settioni, diametro, il ponto, O, cima, &, RV, or- dinata mente applicata al diametro, OX, co- me an co vien detta qual$<007>uoglia altra paral- lela alla, RV, che termini in e$$a Settione; e $ela, OX, taglia ad angoli retti, que$te tali li- nee ord<007> natam\~ete ad e$$a applicate, acqui$ta Coniche. Cap. VI. il nome di a$$e di tal Settione, ma $e le taglia ad angoli nõ retti, gli re$ta $olo il nome di dia- metro, diuidendole però ò $ia a$$e, ò $olamen- te diametro, $empre in parti vguali. Se pren- deremo poi il quadrato della metà di qual$iuo- glia delle $udette, ordinatamente applicate à detto diametro, trouaremo e$$er $empre eguale al parallelogramo rettangolo, largo quant’è la parte troncata dal diametro della con$iderata Settione, & adiacente ad vn’altra linea, che $i chiama lato retto, occupandola tutta, $e la Settione è Parabola, ò più di tutta, $e è Iperbola, ò mãco di tutta, $e è Eli$si; e per $a pere quanto $ia l’ecce$$o, ò il mancamento, $i preuale Apollonio d’vn’altra linea, ch<007>ama- ta lato tran$uer$o, $i che nell’Iperbola eccede il detto parallelogramo, e nello Eli$si manca d’vn parallelogramo $imile al contenuto $ot- to il lato retto, e tra$uer$o; il qual lato tra$- uer$o nel $econdo ca$o è figura delle tre già dette, ela, OK, è nel terzo, e la, OX, che è tutt’vno col diametro dell’Eli$si; la Parabola poi hà $olamente il lato retto.

Delle Settioni E$$empio $opra la quarta Figura.

_I_N tutte tre le Settioni Coniche, quì e$po$te, _A_ _E_, è d<007>ametro, _AH_, lato retto, e pre$o doue $i voglia nell’, _AE_ ilponto, _S_, e da quello or- dinatamente applicata la, _SR_, il quadrato di, _SR_, è vguale al rettangolo, _ZA_, largo quant’è la parte, _AS_, tagliata v<007>a dal d<007>ametro, _AE_, per laretta, _SR_, adeguatamente ad<007>acente ad, _AH_, lato retto; e que$to nella Parabola, il che almeno $i cerch<007> d’int\~e- dere, per capir’<007>l recto; poiche il $aper que$to circa le altre Settioni, non fà p<007>ù che tanto di bi$ogno, per quello, che $i hà da d<007>re, e perciò $e ad alcuno le co$e dique$to Capitolo pare$$ero alquanto o$cure, intenda quecto, e trala$c<007> il recto, che vien quì da me po$to, per il cõpimento, che rich<007>ede la dottr<007>na: nell’Iper- bola poi, _AV_, è lato trã$uer$o, come, _AH_, lato ret- to, <010> il quadrato di, _SR_, è vguale al rettangolo, _AZ_, compre$o da, _SA_, &, _AO_, ouero, _SZ_, ecce- dente del parallelogramo, _HZ_, $im<007>le al parallelo- gramo $otto i duoi lati, _VA, AH_, per la 24. del 6. de gli Elem. Finalmente nell’El<007>$si il lato tran$. uer$o è, _AE_, come il retto è, _AH_, & il quadrato di, _SR_, è vguale al rettangolo, _AZ_, defic<007>ente del pa- rallelogramo, _HZ_, $im<007>le al parallelogramo conte Coniche. Cap. VI. nuto $otto, _HA, AE_, lato retto, e tra$uer$o, per la 24. del 6. Qual<007> co$e però, come hò detto, à chi pa- re$$ero d<007>ffic<007>l<007>, le trala$ci, $aluando $olo in mente, co- mei quadrati delle meze ordinatamente applicate al d<007>ametro della Parabola $ono eguali alli rettangoli $otto le portioni del diametro da quelle tagliate via ver$o la cima, e $otto il lato retto, sì come $i è detto e$$ere per e$$emp<007>o nella Parabola il quadrato, _SR_, eguale alrettangolo $otto, _SA_, &, _AH_, lato retto, come anco il quadrato, _EC_, $arà eguale al rettan- golo $otto, _EA_, e l’<007>$te$$o lato retto, _AH_.

D’vn principio cauato dalla Pro$pettiua per le co$e $u$$eguenti. Cap. VII.

INanzi, che noi dichiariamo al- tro, fà di me$tieri ridurre à me- moria quel principio cauato dalla Pro$pettiua, ch’è la ba$e, e fondamento della dottrina delle rifle$$ioni, e ciò per intelligenza delle co$e $u$$eguenti. Prouano adunque i Pro- $pettiui, che quando vna linea radio$a incon- tra la $uperficie d’vno $pecchio piano, $empre dal punto dell’incidenza $i riflette ad angoli Delle Settioni vguali, d’onde però $i raccoglie, che quando la incidente $arà perp\~edicolare $opra la $uper- ficie dello $pecchio, la rifle$$a tirata dal me- de$imo punto di detta $uperficie $arà ancor lei perpendicolare $opra l’i$te$$a; e però la rifl@$$a ritornerà per la $trada della inciden- te; ma quando la incidente incontrerà tal $u- perficie ad angolo acuto, la rifle$$a anderà dall’altra banda ad angolo pur’acuto, & egua- le all’ angolo fatto dall’ incidente, quale $uol’e$$er chiamato angolo dell’incidenza, e quell’altro angolo di rifle$$ione; prouano adũ- que, che que$ti due angoli $ono $empre egua- li, $upponendo que$to principio, come eui- dente, cioè, che la Natura opera $empre per la più breue $trada, $e non è impedita; della qual co$a non $tarò adducendo quà la dimo- $tratione, potendo$i vedere in Euclide, Vitel- lione, & Alazeno, e noi la prenderemo, come dimo$trata. Il Keplero però nella $ua A$tro- nomia Ottica, mo$trando di non re$tar $odi$- fatto delle ragioni de’$udetti Autori, cerca dimo$trar que$to, trahendolo dalla natura del moto, come $i può vedere al cap. 1. alla prop. 19. Da que$to poi cauano i $udetti Autori, Coniche. Cap. VII. che la $uperficie, nella quale è po$ta la linea incidente e rifle$$a, $ega $empre perpendico- larmente la $uperficie dello Specchio.

E$$empio $opra la quinta Figura.

_S_Ia lo Specch<007>o p<007>ano, _A C_, e dal punto, _E_, pre- $o fuor<007> del piano d<007> que$to Specchio, $ia tirata al punto, _B_, la retta _E B_, che $i r@fletta in, _H_, e per le, _E B H_, $i di$tenda vn piano, che $eghi il piano dello Specchio nella retta, _A C_, $i chiama dũ que, _E B_, incidente, _B_, punto d’<007>ncidenza, ò di ri- fle$$ione, _B H_, r<007>fle$$a, l’angolo, _E B A_, angolo a’in- cidenza, l’ang@lo, _H B C_, di r<007>fle$$ione, qual<007> pro- uano e$$er $empre vgual<007>, & il p<007>ano, _E A B C H_, nel quale g<007>acc<007>ono la incidente, _E B_, e r<007>fle$$a, _B H_, che $i ch<007>ama $uperficie rifle$$iua, ò d<007> rifle$$ione, mo$trano $empre e$$er perpendicolare al piano dello Specchio, _A C_.

Come $i adatti questo principio anco alli Specchi, che non $ono p<007>ani. Cap. VIII.

SIa dunque nella 6. fig. 10 $pecchio cõ- cauo, M B N, e conue$$o, R B V, e fuori di quello $ia il pũto, E, dal qua- Delle Settioni le $i tiri la, E B, incid\~ete in ambedue gli Spec- chi nel commun punto, B, per e$$empio, che $i rifletta in, H, prouano adunque i Pro$petti- ui que$te due, E B, B H, far pure angoli vgua- li$opra la retta linea, che pa$$ando per il pun- to, B, tocca lo Specchio pure in quel punto; la qual tangente $ia la retta, A C, che tocchi ambedue le $uperficie di que$ti Specchi; fan- no dunque la incid\~ete, e la rifle$$a ne gli Spec- chi, che non $on piani, angoli vguali $opra la tangente e$$e $uperficie nel pũto dell’inciden- za, e così vi $i accommoda il $opradetto prin- cipio.

Corollario.

POiche il Keplero nel luogo $opracitato prouò il $udetto principio, cauando la rag<007>one dalla natura del moto, che hà da fare co’l $uono, co’l caldo, e co’l freddo; perciò prenderemo il $udetto principio nõ $olo in materia del lume, ma dal moto, & anco dal $uono (come hà fatto il P. Biancano Ge$uita nella $ua Echometria) del caldo, del freddo, & in $omma d’ogni co$a, il cui moto $ia per retta l<007>nea, per dire il tutto in vna $ol parola; accommodando le $e- guenti d<007>mo strationi in a$tratto alle linee, per accom- Coniche. Cap. VIII. modarle poi alle linee lucide, $onore, calde, fredde, ò d<007> qualunque $orte poi $i $iano.

Delle ammirabil<007> proprietà delle Settioni Coniche, incomincian do$i dalla prima Parabola. Cap. IX.

QVali, e quante $iano le proprietà delle Settioni Coniche, come anco delle altre $orti di linee, ò figure, $timo veramente, che $ia difficili$$imo poterlo $ape- re; ma l’hauer cognitione d’alcune principa- li, & in ri$petto delle altre, qua$i fondamen- tali, ciò credo poter$i da noi con la $corta del- la buona Geometria, non men facil, che per- fettamente ottenere, perciò andaremo ne’$e- guenti Capitoli e$$aminandone alcune, quali $timo e$$ere delle più nobili, principali, e fon- damentali, che per hauer’ anco del maraui- glio$o, e potere in$ieme arrecare di molte vti- lità ridotte alla materia, $pero debbano da cia$cuno volõtieri e$$er lette, e con molto gu- $to for$e e$$ere inte$e, delle quali alcune fur- no dimo$trate da altri, & alcune non ancora, Delle Settioni per quanto io mi $appi, toccate; perciò dare- mo principio dalla Parabola, e $ua prima pro- prietà.

Sia dunque la Parabola, A Q Y, nella 7. fig. il cui a$$e $ia, A V, al quale $ia ordinatamente applicata, Q Y, alla quale l’a$$e, A V, $arà per- pendicolare; $i prendano poi d\~etro, Q Y, punti come $i voglia, per e$$empio, G, X, da’ quali ver$o la Parabola, Q A Y, $iano tirate le, G M, X Z, parallele all’ a$$e, A V, $ino che incontri- no la Parabola, come ne i punti, M, Z, da’qua- li, come da’ punti d’incidenza s’intendan ri- fletter$i le, M I, Z I, hà dunque tal Settione que$to di ammirabile, che tutte le rifle$se vã- no à ferire in vn determinato punto dell’a$se, che $ia, @, che taglia via dall’a$se ver$o la cima della Parabola vn pezzo di linea, come, I A, che è $empre la quarta parte del lato retto di e$sa, qual $ia, A T: que$to già è $tato dimo$tra- to da altri, come da Vitellione nella $ua Pro$- pettiua da Orontio Fineo, e da Marin Ghe- taldo nel lib. dello Specchio v$torio, tuttauia non voglio trala$ciare di addurne quà la di- mo$tratione, per e$ser degna d’e$sere inte$a.

Coniche. Cap. IX. Dimo$tratione.

PEri punti, M, Z, tirando le tangenti la Parabola nei mede$imi punti, che pro- dotte incontrino l’a$se, V A, prolonga- ta, come ne i punti, N, O, $i tirino dalli me- de$imi punti, M, Z, le, M C, Z P, ordinata- mente applicate ad, A V, (che $ono la metà delle intiere applicate) che $eghino l’a$se, A V, nei punti, C, P, ponga$i poi, che la rifle$sa dal pũto, Z, habbia incontrato l’a$se nel pun- to, I, dico, che la, I A, è vn quarto di, A T, la- to retto della pre$ente Parabola; imperoche per e$ser’, O S, tangente la Parabola nel pũto Z, dell’incidenza $arà l’angolo, X Z S, dell’in- cid\~eza eguale all’angolo, O Z I, della rifle$$io- ne, per la dottrina dichiarata nell’ant. cap. ma l’angolo, X Z S, è anco vguale all’angolo, S O V, interiore delle parallele, X Z, V O, adũque i duoi angoli, Z O I, I Z O, $arãno vguali, & an- co i lati, O I, I Z, $aran pur’vguali, il che $i cõ- $erni, con que$t’altra co$a ancora, cioè, che la parte, P A, è vguale all’, A O, per la 35. del 1. de’Conici: Per e$ser poi, A P, diui$a nel punto, I, quattro rettangoli, P A I, (ouero il Delle Settioni rettãgolo $otto, P A, e $otto la quadrupla d’, A I, con il quadrato d’, I P,) $arãno vguali al qua- drato di, P A I, di$te$a, ouero al quadrato d’, O I, per l’8. del 2. (cambiando la parte, P A, in, A O, che gli è vguale, per la 35. del 1. de i Conici) ouero al quadrato d’, I Z, ch’è vgua- le à I O, cioè alli duoi quadrati, I P, P Z, ele- uato il quadrato, I P, commune, re$terà il qua- drato, P Z, eguale al rettangolo $otto, P A, e $otto la quadrupla d’, A I, ma il mede$imo qua drato di, P Z, per e$ser meza ordinatamente applicata all’a$se, A V, (per le co$e dette al Cap. 6@) è vguale al rettangolo $otto, P A, e $otto il lato retto, A T, adunque il rettangolo $otto, P A, e la quadrupla d’, A I, è vguale al rettangolo $otto la mede$ima, P A, e $otto, A T, adunque la quadrupla d’, A I, è vguale all’, A T, adunque, A I, è vn quarto d’, A T, la- to retto della Parabola, Q A Y; Nell’i$te$so modo prouaremo, che la rifle$$a, M I, $ega l’a$$e, A V, in vn punto, che recide ver$o, A, vn quarto d’, A T, adũque non può incontrar l’a$$e $e non nel punto, I, il che di tutte l’altre rifle$$e nel mede$imo modo prouaremo, adun- que tutte le dette rifle$$e concorrono nel $ol Coniche. Cap. IX. punto, I, di$tante dalla cima, A, per vn quar- to di, A T, lato retto di e$$a Parabola, Q A Y, il qual punto, I, di quì inanzi chiamaremo fo- co della Parabola. Ciò anco ba$terà, che in- tendino quelli, che non pote$$ero capire la $o- pradetta Dimo$tratione; e que$ta $i è regi$tra- ta per prima proprietà fra le ammirabili, che hà la Parabola.

Corollario.

_S_I raccogli e poi d<007> quà, che $e nell’iste$$a figura prendere mo per <007>ncide nti le, _I M, I Z_, che $i pariono dal foco, _I_, le $ue rifle$$e $aranno le, _M G, Z X_ parallele all’a$$e, _A V_, raccogl<007>\~e do que$t’ altra co$a, che è il conuer$o della proprietà, che $i è dimo$trata, cioè, che le linee, che, partendo$i dal foco della parabola la vanno ad incontrare, $i riflettono dai punti dell’incidenza parallele all’a$$e della me- de$ima Parabola per d<007> dentro.

Della $econda proprietà dalla Parabola. Cap. X.

LA $econda proprietà marauiglio$a di que$ta Settione è, che partendo$i le incidenti dalla mede$ima retta li- Delle Settioni nea ordinatamente applicata all’a$$e, cami- nando parallele all’a$$e $ino, che incontrino la Parabola, e riflettendo$i finalmente nell’a$$e al $udetto foco; la compo$ta di qual$iuoglia incidente, e $ua rifle$$a, è vguale alla compo- $ta di qual$iuoglia altra incid\~ete, e $ua rifle$$a.

E$$empio.

_N_Ella mede$ima 7. fig. intenderemo facilmen- te questo, prendendo per ordinat amente appl<007>cata all’a$$e, _A V_, la, _Q Y_, dalla quale $i partono le <007>nc<007>denti, _G M, X Z_, parallele all’a$$e, _A V_, che incontrano la Parabola ne i pun- ti, _M, Z_, da quali punti d’incidenza partendo$i le rifle$$e, concorrono nel punto, _I_, foco di e$$a Para- bola. D<007>co dunque, che la composta di, _G M, M I_, non $olo è vguale alla compo$ta di, _X Z, Z I_, ouero alla compo$ta di, _V A, A I_, ma anco alla composta d<007> qual$iuoglia tale <007>ncidente, che pr<007>ncipia da <007> pun- ti della retta, _Q Y_, e $ua r<007>fle$$a; la d<007>mo $tr atione della qual co$a non hò ancor v<007>sto in alcun’Autore, $olo v<007>en’accennata tal proprietà dal Keplero nell’ A$tronomia Ottica, al Cap. 4. nella Preparation 4. _De Refractionum men$ura_, mentre in$egna vn Coniche. Cap. X. modo di de$criuer la Parabola con vn filo (il che io ancora accennarò quì da ba$$o) non ne adducendo però alcuna dimostratione, che perciò mi par bene metterla in que$to luogo.

Dimostratione.

FAcci$i que$to $opra la 7. fig. $opradetta, nella quale già habbiamo prouato, che, Z I, è vguale all’, I O, ouero alle, P A I, (cambiando O A, in, A P, à lei vguale, come $i di$$e di $opra) e però aggiung\~edoli le vgua- li, X Z, V P, $aranno le, X Z I, eguali alle, V A I; così, M I, è vguale all’, I N, per l’i$te$$a ra- gione, che, Z I, fù prouata eguale ad, I O, &, I N, è vguale all’, I A C, dunque, I M, è vgua- le à, I A C, & aggiunteli le vguali, M G, C V, $aranno le, G M I, eguali alle, V A I, & in con- $eguenza anco vguali alle, X Z I, il che nell’i$te$$o modo di qual- $iuoglia altre, parimente $i dimo$trarà: qual $i prenda per $econda proprietà.

Delle Settioni Della terza proprietà della Parabola. Cap. XI.

SIa la Parabola, B A C, nell’8. fig. il cui a$$e, O A, indiffinitamen- te prolongato ver$o, A, come in, X, e $ia foco di detta Parabo- la il punto, M, e da che parte $i voglia fuori di e$$a incontrino la $uperficie pa- rabolica per e$$empio le rette linee, T I, F K, nei punti, I, M, le quali $iano $empre per drit- to al foco, M, hà dunque la Parabola que$t’al- tra mirabile proprietà, che dalli detti punti d’incidenza $i partono le rifle$$e dalla parabo- la per di fuori $empre parallele all’a$$e, cioè all’, A O, le quali rifle$$e $iano le, I V, K Y, pro- dotte come $i voglia in, V, Y, que$ta proprietà ancora non hò vi$to in altri, $e ben facilmente $i dimo$tra, come hora s’intenderà.

Dimo$tratione.

SIa la, BC, ordinatamente applicata all’a$- $e, A O, e $i prolonghino, V I, Y K, $ino che incontrino, B C, come in, D, E, & le, Coniche. Cap. XI. T I, F K, $i prolonghino parimente dentro la. Parabola, $ino che incontrino il foco, M, al quale $tan per dritto, come $i $uppone, dipoi per i punti, I, K, $i tirino le tangenti, S R, <006> L, che tocchino la Parabola ne gl’i$te$$i punti, I, K, le quali prolongate $eghino, X A, ne i pun- ti, R, L; perche dunque, D I, $i parte dalla or- dinatamente applicata, B C, & incontra la. Parabola in, I, la $ua rifl@$$a andarà dal pun- to, I, ad, M, per il Cap. 9. adunque la, I M, è tal rifle$$a, adunque fanno angoli vguali $opra la tangente, S R, peril Cap. 8. cioèl’angolo, SID, $arà vguale all’angolo, R I M, ma, S I D, è vguale all’, V I R, & R I M, all’angolo, T I S, perche $ono alla cima, adũque l’angolo, T I S, dell’incidenza di, T I, $arà eguale all’angolo, V I R, adunque, V I R, $arà l’angolo della ri- fle$$ione, & I V, $arà la rifle$$a di, T I, la quale camina per di fuori parallela all’a$$e, O A. Nell’i$te$$o modo dimo$traremo e$$ere, K Y, la rifle$$a di, F K, la quale, K Y, è pure paral- lela all’a$$e, O A, el’i$te$$o prouaremo ditut- te l’altre, adunque è vero, che le rifle$$e delle dette incidenti, che di fuori incõtrano la Pa- rabola, e tutte co$pirano nel punto, M, foco Delle Settioni di detta Parabola per di fuori $i partono dai punti dell’incidenza tutte parallele all’a$$e, il che $i douea dimo$trare.

Corollario.

_D_I quì $i caua, che $e prenderemo le parallele all’a$$e, _A O_, che $ono, _V I, Y Z_, per inci- denti, che le $ue r<007>fle$$e $aranno, _I T, K F_, che stando per dritto al foco, _M_, da quello $i d<007>longa- no; raccogliendo que$t’altra co$a, che è il conuer $o del- la $udetta proprietà, cioè, che i raggì parallel<007> all’a$$e della Parabola, che l’incontrano per di fuori, $i r<007>flet- tono dai punti dell’incidenza pur per di fuori, stan- do dette rifle$$e $empre per dr<007>tto al foco die$$a Para- bola, dal quale $i vanno allontanando.

Della quarta proprietà della Parabola. Cap. XII.

SIa nella nona figura la Parabola, A C E, a$$e, A D, al quale $iano ordinatamence a pplicate, C E, B F, che $eghino l’a$$e ne i pun- ti, D, M, hà dunque que$t’al- tra proprietà, che mettiam o per quarta, che Coniche. Cap. XII. il quadrato di, C E, al quadrato di, B F, e co- me, D A, ad, A M, come $ono anco i quadra- ti delle metà, D E, M F, ouero, C D, B M, quali $ono $empre nella proportione, che han- no le parti dell’a$$e interpo$te fra la cima del- la Parabola, e quelle applicate, la cui dimo- $tratione per e$$er bella, facile, e breue, non trala$cierò di quì regi$trarla.

Dimostratìone.

SIa dunque della detta Parabola lato ret- to, A N, adũque per le co$e dette al Cap. 6. il quadrato di, D E, èvguale al rettã- golo $otto, D A, A N, e cosìil quadrato di, M F, eguale al rettãgolo $otto, M A, A N, adun- que i duoi quadrati, D E, M F, hanno l’i$te$$a proportione, che hanno i rettangoli, D A N, M A N; ma que$ti per hauer l’altezza cõmu- ne, A N, $ono come le ba$i, D A, A M, cioè come que$ti a$$i, adunque anco i quadrati, D E, M F, $arãno come, D A, A M, e così $aran- no i quadrati, C E, B F, che $ono quadrupli de’quadrati, D E, M F, per e$$er’ilati doppij, cioè per e$$er la, C E, doppia di, D E, e la, B Delle Settioni F, doppia di, M F, e que$ta Dimo$tratione è d’Apollon. po$ta alla 20. del Primo de’Conici.

Altra Dimo$tratione $opra la decima Figura.

IN altro modo dimo$tro io que$ta proprie- tà, $enza hauer bi$ogno del lato retto: $ia dũque nella 10. fig. il Cono, A B C, $ega- to prima da vn piano <002>l’a$$e, c’habbia prodot- to il triãgolo, A B C, dipoi $ia $egato cõ vn’al- tro piano, che faccila Parabola, R O V, il cui diametro $ia, O X, & il cõmun $egamento del detto piano, e della ba$e del Cono, che è, B C, $ia, R V, quale $arà perpendicolare à, B C, &, O X, parallela ad, A C, per le co$e dette al Cap. 3. $ia poi nel diametro, O X, pre$o doue $i voglia vn punto, come, S, per il quale nel piano della Parabola $i tirila, M N, paralle- la ad, R V, e per l’i$te$$o punto nel piano del triangolo, A B C, $i tiri la, I H, ch@ prodotta, $eghi i lati del triangolo ne i punti, I, H, come la, M N, $eghi la Parabola nei punti, M, N, $arà dun que il piano, nel qual $on po$tele, I H, M N, parallelo alla ba$e, B C, per la 15. dell’ 11. delli El@m. adunque la Settion di que$to Coniche. Cap. XII. piano con la $uperficie Conica $arà circonfe- r\~eza di circolo, adunque i quattro punti, I, M, H, N, $ono in tal circonferenza, e per e$$ere, M N, I H, parallele alle, R V, B C, contengo- no angolo retto, per la 10. dell’ 11. come fan- no le, RV, BC, adunque ca$cãdo la, M S, per- pendicolarmente $opra, I D, che è diametro del generato circolo, $arà il quadrato, M S, v- guale al rettangolo, I S H, come il quadrato, R X, al rettangolo, B X C, ma i rettangoli, B X C, I S H, $ono come le, B X, I S, per e$$ere le loro altezze, X C, S H, vguali (e ciò, perche, S C, è parallelogramo) cioè $ono come le, X O, O S, per i triangoli, O B X, O I S, che $ono $i- mili, adũque i quadrati, R X, M S, ouero i qua- drati, R V, M N, $aranno nella proportione delle, X O, O S, come $i propo$e di dimo$trare.

Non rincre$ca al Lettore l’intender prima que$te co$e così in a$tratto, e cerchi d’appren- derle, che $entirà poi maggior gu$to, quando le vedrà applicate, e cono$cerà euidentemen- te l’vtilità, che po$$ono apportare que$te Set- tioni Coniche, e così $egua d’intendere il re- $to intorno alle rimanenti.

Delle Settioni Quali, e quanti $iano nell’Iperbola, El<007>$$i, & Op- poste Settioni i punti, che $i ch<007>amano foshi d<007> quelle. Cap. X<007>II.

SIa nella vndecima figura l’Iper- bola $ola, C B D, il cui diame- tro, E B, lato tra$uer$o, B A, la- to retto, B N, e pr\~eda$i la quar- ta parte di, A B, che termini in, B, che $ia, Z B, facendo il rettãgolo, Z N, di- poi adatti$i alla retta, A B, lato tra$uer$o vn rettangolo eguale à, Z N, cli’ecceda d’vna fi- gurà quadrata, come c’in$egna la 29. del 6. libro de gli Elementi, e $ia ciò fatto dalla par- te, B, e$$endo l’ecce$$o il quadrato di, B O, $ia poi fatto l’i$te$$o dalla parte, A, e $ia pur l’ec- ce$$o il quadrato d’, A I, per e$$er dũque fat- ta l’vna, el altra applicatione all’i$te$$a linea, $arãno detti ecce$$i, cioè detti quadrati eguali, e però eguali anco i lor lati, cioè le, B O, A I; $iano hora le Oppo$te Settioni, delle quali v- na $ia l’Iperbola, C B D, l’altra, G A H, lato tra$uer$o, B A, lato retto dall’Iperbola, C B D, e$$o, B N, e della, G A H, e$$o, A M, quai lati retti $aranno eguali, per la 14. del 1. de’Co- Coniche. Cap. XIII. nici; dipoi applichiamo pure al lato tra$uer$o, A B, vn parallelogramo rettãgolo eguale alla quarta parte del rettangolo $otto, A B, B N, come à dire al rettangolo, Z N, (fatto pur, Z B, vn quarto di, A B, e poi compito l’i$te$$o rettangolo, che fù già fatto) e ciò in tal mo- do, che l’ecce$$o venghi vna volta ver$o, B, & vn’altra ver$o, A, è dunque manife$to, che ci verranno i mede$imi ecce$$i di prima, e le me- de$ime linee, B O, A I, il che pur $aria, $e in ve- ce del rettangolo, Z N, ci preuale$$imo d’vn quarto del rettangolo $otto, B A, A M, poiche i rettangoli $otto, A B N, B A M, $ono eguali; i punti adũque per tale $trada trouati, $i chia- mino fochi dell’Iperbola, C B D, cioè il pun- to, O, & I, e parim\~ete fochi delle Settioni Op- po$te, C B D, G A H; & il foco, O, $i chiami foco interiore, &, I, foco e$teriore dell’Iper- bola, C B D, sì come, I, foco interiore della Iperbola, G A H, &, O, foco e$teriore della mede$ima. Sia poil’Eli$si, T X V Y, il cui dia- metro, ouer lato tra$uer$o, V T, lato retto, T P, applichi$i poi alla retta, T V, di quà, e dilà vn parallelogramo rettangolo eguale à vn quarto del rettãgolo $otto i due lati, V T, T P, Delle Settioni deficiente d’vna figura quadrata, come c’in- $egna la 28. del 6. de gli Elem. che $iano i ret- tangoli, V R T, T S V, e gli ecce$$i i quadrati di, T R, S V, quali $aranno pur’eguali, per e$- $er fatta l’applicatione all’<007>$te$$a linea, e però le rette, T R, S V, $aranno eguali: I punti a- dunque, R, S $i chiamino tutti due fochi del- lo Eli$$i, T X V Y; ond’è manife$to, che in que- $ta, e nelle $opradette Settioni, vi $ono due fo- chi, ambedue di d\~etro nello Eli$$i, e nelle Op- po$te Settioni, ma in relatione d’vna $ola Iper bola vno interiore, l’altro e$teriore, come $i è detto, $appiamo anco in que$te Settioni, qua- li $i chiamino fochi, e quanti $iano, il che $i propo$e da dichiarare: Apollonio però chia- ma que$ti non fochi, ma pũti fatti dalla comparatione, ò applicatione del $udetto rettangolo al lato tra$uer$o, come $i può vedere nel libro 3. de’Conici alla propo$i- tione 45.

Coniche. Cap. XIV. Della prima proprietà dell’Iperbola. Cap. XIV.

LA proprietà dell’Iperbola, che metteremo per prima, veram\~e- te marauiglio$a lei ancora, è, che tutte le linee rette, che per di d\~etro incontrano l’Iper- bola, le quali $e fuori di quella $i prolonga$$e- ro, andrebbono tutte à ferir nel di lei foco e- $teriore, dalli punti dell’incidenza $i rifletto- no nel foco interiore; la qual co$a parimente nõ hò ancor vi$to in altri dimo$trata, e $i pro- uarà in que$to modo.

Dimo$tratione $opra la àuodecima figura.

SIa l’Iperbola, A G F, A M, diametro, A B, lato tra$uer$o, nel qual prolõgato ver- $o, C, $i troui il foco e$teriore, C, & il fo- co interiore $ia, E; dipoi $iano che linee rette $i vogliano, K D, Y P, che per di d\~etro incon- trino l’Iperbola ne i punti, D, P, le quali $tia- no per dritto al punto, C, foco e$teriore, di- co, che $i r<007>fletteranno da’punti, D, P, d’inci- Delle Settioni denza al foco int eriore, E. Cõgiunghin$i dun- que, D E, P E, e per i punti, D, P, pa$$ino le rette linee, R O, <006> Z, che tocchino in quei punti la Iperbola, G A F; è dunque manife$to per la 48. del 3. de’Conici, che l’angolo, C D O, è vguale all’, O D E, ma, C D O, è vguale all’, R D K, che gli è alla cima, adunque l’an- golo, R D K, s’adegua all’angolo, O D E, ma, R D K, è l’angolo della incidenza della retta, K D, adunque, O D E, è l’angolo della rifle$- $ione, &, D E, $ua rifle$$a, che termina nel pun- to, E; nell’i$te$$o modo prouaremo, che, P E, è la rifle$$a della, Y P, che và pure à terminare nel foco, E, e così d’ogn’altra; adunque cia- $cheduna di que$te incidenti hà la $ua rifle$$a, che và à terminare nel foco, E, interiore, il che bi$ognaua prouare.

Corollario.

_D_I quì $i raccoglie que$t’altra co$a, cioè, che le rette linee, che vanno ad incontrare la Iperbola per di dentro, partendo $i dal fo- co interiore, come, E, hanno le $@e r<007>fle$$e, che $i partono dalli punti dell’incidenza per d<007> dentro, al. Coniche. Cap. XIV. lontanando$i da quell<007>, le quali stanno $empre per dritto al foco e$teriore, come al foco, C, dal qual pa- rimente $i vanno allontanando; il che $i farà chiaro, prendendo nella $opr apo$ta figura le, _E D, E P,_ per incidenti, poiche verranno ad e$$ere le loro r@fle$$e le, _D K, P Y,_ che per di dentro $i allontanano da <007> pun- ti, _D, P,_ dell’<007>ncidenza, e dal foco e$teriore, _C,_ al quale stanno $empre per dritto, e ciò, perche $i è pro- uato, che le due, _E D, D K,_ fanno angol<007> vgual<007> $o- pra la tangenìe, _O R,_ come le, _E P, P Y,_ $opra la tangente, _<006> Z._

Della $econda proprietà dell’Iperbola. Cap. X V.

RIpigli$i la figura pur’adoperata nell’antecedente Capit. e pre- $o qual$iuoglia pũto nell’lper- bola, come, G, fatto centro, C, con la di$tanza, C G, $i de$cri- ui l’arco, G F, che $eghi, C K, in, K, C M, in, M, C Y, in, Y, e l’lperbola in, F, que$ta è dũ- que la proprietà marauigl<007>o$a, che $i reg<007>$tra per $econda, cioè, che la Compo$ta dell’in- cidente, K D, e rifle$$a, D E, è vguale non. Delle Settioni $olo alla compo$ta dell’incidente, Y P, e ri- fle$$a, P E, ouero alla compo$ta dell’inciden- te, M A, e rifle$$a, A E, ma è vguale à qual$i- uoglia altra cõpo$ta d’vna tale incid\~ete, e $ua rifle$$a; che perciò tali compo$te vengono tut- te ad e$$ere eguali fra di loro; que$to parim\~e- te non hò vi$to da altri dimo$trato, $e ben fa- cilmente, $uppo$ta vna propo$it. d’Apollonio, in que$to modo $i prouarà.

Dimostratione.

PErche dũque proua Apollonio alla pro- po$it. 51. del 3. de’Conici, che la linea retta tratta dal foco e$teriore dell’Iper- bola al punto del toccamento fatto da vna li- nea $opra l’Iperbola, $upera la retta linea ti- rata dall’i$te$$a Iperbola, della quantità del lato tra$uer$o, ouero a$$e, come lui lo chia- ma; perciò, C D, tratta dal foco e$teriore, C, al punto, D, punto di toccamento della retta, R O, $uperarà, D E, tratta dall’i$te$$o punto di toccam\~eto al foco interiore, E, della quan- tità di, A B, adunque, C D, $arà eguale alle Coniche. Cap. XV. due, A B, D E, aggiunta commune, D K, $arà la, C K, eguale alle tre, K D, D E, A B; e per- che, C K, è vguale à, C M, perciò, C M, anco- ra $arà vguale alle tre, K D, D E, A B, tolta via la commune parte, B A, re$tarãno le, K D, D E, eguali alle, M A, B C, ma, B C, ma, B C, è vguale ad, A E, adunque le, K D, D E, $aranno eguali alle, M A, A E; così prouaremo ancora, che le, Y P, P E, $ono eguali alle, M A, A E, la on- de la compo$ta, K D E, $arà eguale alla com- po$ta, Y P E, & ad ogn’altra $imile, il che $i do- uea dimo$trare. Si tenga poi in memoria la propo$it. d’Apollonio $opracitata, cioè, che, C D, $upera, D E, della quantità del lato tra$- uer$o, A B, per $eruir$ene à $uo tempo.

Della terza propriet à dell’Iperbola. Cap. XVI.

LA proprietà dell’Iperbola, che io metto al terzo luogoè, che tutte le linee rette, che per di fuori anderanno ad incontrare l’Iperbola, $tando per dritto al foco interiore, doue tutte concorrerebbono, Delle Settioni $e dentro e$$a $i prolonga$$ero, haurãno le $ue rifle$$e, che part\~edo$i da i punti dell’inciden- za prolongate, anderanno tutte à concorrere nel foco e$teriore della mede$ima lperbola, della qual co$a la dimo$tratione, come le al- tre $udette, credo che $ia nuoua, e perciò quà non manch erò di$oggiungerla.

Dimostratione.

PReuagliamoci pure della figura antece- d\~ete, nella quale s’intendano le due ret- te, N D, Q P, incontrar, venendo di fuori, l’Iperbola ne i pũti, D, P, da’quali, di- co, che partendo$i le loro rifle$$e, anderanno ad vnir$i nel foco, C, mentre le incidenti $tia- no per dritto al foco, E: Intendan$i dunque le, N, D, Q P, prodotte $ino al foco, E, e ti- rate le, C D, C P, s’intendano pure indefini- tamente prodotte dentro l’Iperbola, come in, K, Y; è manife$to adunque per il Cap. 14. che le K D, D E, $aranno incidente, erifle$$a, efa- ranno angoli eguali $opra la tangente l’Iper- bola nel punto, D, qual $ia pur la, R O; e per- che que$ti angoli $ono alla cima con gl’ango- Coniche. Cap. XV. li, C D O, N D R, perciò anco que$ti, che $o- no fatti dalle due, N D, D C, $opra l’i$te$$a tangente nel punto, D, dell’incidenza, $aran- no eguali, adunque e$$endo incidente, N D, farà, D C, $ua rifle$$a, che vien da, D, e tcrmi- na nel foco e$teriore, C. Nell’i$te$$o modo in- te$a la tangente, <006> Z, toccare parimente l’I- perbola in, P, mo$traremo, P C, e$$er la rifle$- $a dell’incidente, Q P, che viene da, P, punto dell’incidenza, e termina in, C, foco e$terio- ra, il che dell’altre parim\~ete $i prouerà; è dun- que vera que$ta proprietà, cioè, che $e le ret- te linee $tando per dritto al foco interiore del- l’Iperbola, s’incontrerãno in quella, le rifle$$e delle mede$ime anderanno da que’punti d’in- cidenza à concorrer tutte nel foco e$teriore, il che bi$ognaua prouare.

Corollario.

_D_A que$to $i raccoglie, che $e per il contra- rto prenderemo le, _C D, C P,_ per inciden- ti, le loro rifle$$e $aranno le _D N, P Q,_ che $tanno per dritto al foco <007>nteriore, _E,_ dal q@ale, e dall’lperbola $i vanno d<007>longando, cauã to <007>n $om- Delle Settioni ma quest’altra eo$a, cioè, che le rette linee, che dal foco e$teriore vanno ad mcontrare l’Iperbola, ban- ne le loro rifle$$e, che partendo$i da <007> punti dell’in- cidenza per d<007> fuori, $tãno $empre per dritto al foco inter<007>ore, che è il conuer$o della $udetta proprietà.

Della quarta proprietà della Iperbola. Cap. XVI.

SIa nella 13. figura l’Iperbola, A C E, diametro, D A, lato tra$- uer$o, H A, dimo$tra Apollonio alla 21. del primo de’Conici, che $e tiraremo le ordinatam\~e- te applicate al diametro, come le, C E, B F, i quadrati di quelle $aranno come in rettango- li, H D A, H I A, la qual dimo$tratione non $tò à repeter quà, per e$$er breue; ma non po$- $o già mancare diaddurre la pre$ente, che non hà bi$ogno del lato ret- to, come quella d’Apol- lonio.

Coniche. Cap. XVI.

Dimo stratione $opra la 14. Figura.

NElla $udetta $igura perciò $ia pre$o vn punto, come $i voglia nel diametro, O X, come, I, e per quello $i tiri, D H, parallela à, B C, & N M, ad, R V, che termini nell’Iperbola nei punti, N, M: Prouaremo a- dunque, che’l quadrato, N I, è vguale al rettã- golo, D I H, & R X, al rettãgolo, B X C, come $i fece nel Cap. 12. mo$trando il quadrato, M S, e$$er’eguale al rettangolo, I S H, & il qua- drato, R X, al rettangolo, B X C. Più oltre il rettãgolo, B X C, al rettangolo, D I H, hà per la 13. del 6. la proportione cõpo$ta di, B X, à D I, cioè di, O X, ad, O I, (pere$$er’, O D I, O B X, triangoli $imili) e di quella, che hà, X C, ad, I H, cioè, X K, à, K I, per e$$er, K I H, K X C, triangoli $imili, le quali due proportioni di, X O, ad, O I, edi, X K, à, K I, compon- gono la proportione del rettangolo, K X O, alrettangolo, K I O, adunque il rettangolo, B X C, al rettangolo, D I H, $arà come il ret- tangolo, K X O, à K I O, e così $arà ancora il quadrato, R X, al quadrato, N I, ouero il qua- drato, R V, alquadrato, N M, il che bi$ogna- ua dimo$trare.

Delle Settioni Della prima proprietà dell’Eli$$i. Cap. XVII.

SIa nella decimaquinta figura la Eli$$i, A C B D, a$$e, A B, fochi, H, E, la proprietà regi$trata per prima è dunque que$ta, cioè, che tutte le rette linee tratte dall’vno de’fochi, come da, H, $ino all’Eli$$e, A C B D, hanno le r<007>fle$$e loro, che partendo$i dalli punti dell’incidenza, vanno tutte à con- corre re nel rimanente foco.

Dimostratione.

SIa vna di quelle incidenti la, H C, e $i congiunghino i punti, C, E, e $ia la ret- ta, N M, che tocchi l’Eli$si nel punto, C, le due adunque, H C, C E, fanno angoli egua- li $opra la tangente, M N, per la 48. del 3. de’ Conici, adunque e$$endo, H C, incidente $a- rà, C E, $ua rifle$$a, sì come $e $upporremo, E C, per incidente, $arà, C H, $ua rifle$$a, che và à terminare nel rimanente foco, H, è dun- que manife$ta que$ta proprietà.

Coniche. Cap. XVIII. Della $econda proprietà dell’El<007>$$i. Cap. XVIII.

LA $econda proprietà dell’Eli$$i è que$ta, che pre$e le inciden- ti, erifle$$e, come $i dice nell’ antecedente Capitolo, la com- po$ta di qual$iuoglia incidente, e $ua rifle$$a è vguale all’a$$e, & in con$eguen- za eguale alla compo$ta di qual$iuoglia altra incidente, erifle$$a, pre$a come $opra; come per e$$empio, la compo$ta di, H C, C E, nell’ anteced\~ete figura è vguale all’a$$e, A B, e però $arà vguale alla cõpo$ta di qual $i voglia inci- d\~ete, e $ua rifle$$a; \~q$ta è dimo$trata da Apoll. nel lib. 3. alla propo$. 52. petò non ne addur- rò la dimo$tratione, pot\~edo$i quella in lui ve- dere, e que$to per non ripetere tutto ciò, che da altri è $tato dimo$trato, <002> maggior breuità.

Della terza proprietà dell’Eli$si. Cap. X. X.

GVardi$i la figura decimaquinta, e s’in- tenda, che per di fuori vna linea ret- ta incontri l’Eli$$i, $tando per dritto Delle Settioni ad vno de’fochi di e$$a, come la, G C, indriz- zata ver$o il foco, H, dico, che la $ua rifle$$a $tarà per dritto all’altro foco, E, pur per di fuo ri allontanzndo$i da quello. Dal punto dũque dell’incidenza, C, $i tiri la retta, C F, che $tia per dritto al foco, E: Dico, che que$ta è la ri- fle$$a di, G C; la onde hauremo que$ta pro- prietà nello Eli$$i, me$$a per terza, che le ret- te linee, le quali $tando per dri@to all’vn de’ fochi, incontrano per di fuori l’Eli$$i, tutte hanno le rifle$$e, che partendo$i da@ punti del- l’incidenza, $taran per dritto all’altro foco, dal quale s’anderanno di$co$tando.

Dimostrationt.

SI prolunghino dunque le, G C, F C, $ino che incõtrino i fochi, H, E, $aranno dun- que (inte$aui pur la tangente, M N,) gli angoli, M C E, N C H, vguali, e però quel- li, che gli $tanno alla cima, che $ono, G C M, F C N, $aranno parimente vguali, adunque e$$endo, G C, incidente, C F, che $tà per drit- to al foco, E, e da quello $i dilonga, $arà $ua rifle$$a, il che di tutte le altre nell’i$te$$o mo- Coniche. Cap. XIX. do $i dimo$trerà; è dunque veratal proprietà, come anco $e prenderemo, F C, per inciden- te, verrà ad e$$ere, C G, parimente $ua rifle$- $ione per dritto al foco, H, il che era bi$ogno di dimo$trare.

Della quarta proprietà dell’Eli$$i. Cap. XX.

SIa nella decima$e$ta figura l’E- li$$i, A C D E, il cui diametro, A D, & à quello ordinatamen- te applicate le, C E, B F, mo- $tra Apollonio, che il quadra- to, M E, al quadrato, I F, è come il rettango- lo, D M A, alrettangolo, D I A, e così, che i quadrati di tutte le ordinatamente applicate al diametro dell’Eli$$i $ono, come i rettango- li $otto le parti del diametro fatte da quelle ordinatamente applicate, il che anco conuie- ne alli quadrati, C E, B F, cioè delle intiere applicate; la dimo$tratione di que$to addot- ta da Apollonio alla propo$. 21. del primo de’ Conici, non la metterò, potendo$i in lui vede- re; non trala$cierò però la pre$ente, come Delle Settioni quella, che non hà bi$ogno dellato retto, co- me l’altra d’Apollonio.

Dimo$tratione.

SIa il Cono, H K L, $egato da vn piano per l’a$$e, che facci il triangolo, H K L, e poi $egato da vn’altro piano, che tagliãdo la $uperficie Conica, produchi l’Eli$$i, T R S V, il qual prodotto $eghi la ba$e del Cono, K L, prodotta, nella retta, P <006>, che $arà perpendi- colare à, K L, che s’incontri con lei in, P; $i prendino poi nel diametro dell’Eli$$i (che $ia, T S,) che punti $i voglino, come, I, O, peri quali $i tirino le, N M, R V, parallele à P <006>, che prodotte incontrino l’Eli$$i nei punti, N, M, R, V, quali $aranno ordinatamente appli- cate al diametro, T S, e per gli $te$si punti $i ti- rino le A X, Y Z, che $eghino i lati, H K, H L, nei punti, A, X, Y, Z: Perche dunque, N M, è parallela à, P <006>, & A X, à, K P, sì come le, K P, P <006>, contengono angolo retto, così $arãno ad angolo retto le, N M, A X, e così prouaremo e$$ere ad angolo retto le, V R, Y Z, & i quat- Coniche. Cap. XX. tro punti, M, A, N, X, e$$er in vna circon$e- renza di circolo, come anco i quattro, V, Y, R, Z, e perciò concluderemo, come nel Cap. 12. e 16. e$$ere il quadrato, N I, eguale alret- tangolo, A I X, & il quadrato, R O, al rettan- golo, Y O Z, ma il rettãgolo, Y O Z, al rettan- golo, A I X, hà la proportione cõpo$ta di quel- la, che hà, Y O, ad, A I, (cioè, O T, à, T I, per la $imilitudine de’triãgoli, T A I, T Y O,) e di quella, che hà, O Z, ad, I X, cioè (per i $imili triangoli, S Z O, S X I,) di quella, che hà, O S, ad, S I, ma le due proportioni di, O T, à T I, e di, O S, ad, S I, cõpongono la proportione del rettãgolo, S O T, al rettãgolo, S I T, adunque il rettangolo, Y O Z, al rettangolo, A I X, cioè il quadrato, R O, al quadrato, N I, ouero il quadrato, R V, al quadrato, N M, $arà come il rettangolo, S O T, al rettangolo, S I T, il che di tutte l’altre $i dimo$trerà; $i è dunque pro- uato à $ufficienza e$$er vera que$ta proprie- tà, che fù $tabilita per quarta.

Sono veram\~ete molti$$ime le proprietà del- le $udette Settioni Coniche, e de gli $patij poi $otto quelle, & altre rette compre$e, curio$e in vero, e marauiglio$e, come altri hanno dimo- Delle Settioni $trato, e come comprenderà, chi vedrà l’Ope- ra mia da $tampar$i intorno alla mi$ura de’pia- ni, e $olidi, nella quale mi $ono sforzato dida- re intiera cognitione di tutte le figure pia- ne, e regolate, che ordinariamente da’Geo- metri $ogliono con$iderar$i, & anco d’alcune $traordinarie, quanto alla proportione, che hanno fra loro, e così anco de’$olidi, ma quì hò $olamente voluto regi$trar quelle, ch’e$- $endo loro ancora belle, e marauiglio$e, $i $o- no $contrate e$$er parimente al @nio propo$i- to, come più à ba$$o intenderemo; fra tan- to, chi non capi$$e le dimo$trationi, le la$ci, e cerchi almeno di $apere, che co$a $i pretende di dimo$trare (come mi $on’ingegnato d@$pie- garlo inanzi la dimo$tratione) che arriuarà nulladimeno anco alla cognition di quelle co$e, alle quali tal dottrina vien preordinata.

Della proprietà, ancor lei belli$$ima, della cir- conferenza dicircolo intorno alle inci- denti, er@fle$$e. Cap. XXI.

LA proprietà di $opra accennata è que- $ta, che da al@@@è $tata dimo$trata, cioè, che hauendo noi vn $emicirco- Coniche. Cap. XXI. lo, tutte le rette linee, che e$$endo parallele al dilei a$$e, incõtrano la circonferenza, han- no le $ue rifle$$e, che cõcorrono tutte non già in vn $ol punto, ma sì bene in diuer$i punti del diametro, cominciando da quello, che taglia dall’a$$e ver$o la cima vn quarto del diame- tro, e da quello ver$o la cima d<007>$co$tando$i per di fuori in infinito, auuertendo, che le rifle$- $e, che vengono dalla circonferenza, che $ot- tende il lato dell’E$$agono, tutte concorrono dentro il circolo, e quelle, che vengono dal compimento del $udetto arco, tutte concor- ronodi fuori, equella, che incontra detta cir- conferenza nel punto della $eparatione di que$ti due archi hà la $ua rifle$$a, che concor- re preci$amente nella cima del detto $emicir- colo.

E$$empio $opra la 17. figura.

_S_Ia il $emicircolo, _A C H,_ a$$e, _A D,_ prolonga- to ver$o _A,_ <007>nd ffin<007>tan@\~ete, e $i t<007>r<007> la _B N,_ che tagl<007> dalla c<007>rconfer\~eza, _C A H,_ gl@ar@ht, _B A, A N,_ $o$tendentt il lato dell’E$$agono, $iano po<007>tre rette l<007>nee, _E O, F N, G M,_ parall@le all’ a$$e, _D A,_ delle qual<007>, _E O,_ <007>ncontr<007> la c<007>rconferen- Delle Settioni zanell’arco, _A N, G M,_ nell’arco, _N H,_ & _F N,_ nel punto, _N,_ che $epara <007> detti archi, _A N, N H;_ vien dunque prouato, che la r<007>fle$$a d<007>, _E O,_ batte dentro, come <007>n, _I,_ e la r@fle$$a d<007> _G M,_ batte d<007> fuo- ri, come in, _R,_ e quella a<007>, _F N,_ batte preci$amente in, _A,_ e tutte generalmente battono, cominc@ãdo dal mezo d<007>, _A D,_ ouer quarto del d<007>ametro, che $ia _Z,_ e dilungand $i da quello in infinito: E adunque que$ta la $opradetta proprietà, dalla quale $i può compren- dere, che veramente volendo$i $eruir d<007> questa per vnir le l<007>nee rad<007>o$e, ella non pare molto à propo$ito, non gli raccogl<007>endo tutt<007> in vn punto, come la Pa- rabola, tutt auia, poiche la parte intorno è pro$$ima al punto, _A,_ gl<007> raccogl<007>e tanto vicini, per e$$er’iui i toccament<007> delle tangentinon così d<007>radati come vi- cino à <007> punti, _B, N,_ perc<007>ò potendo i raggi $olari per e$$empio per tal’auut@<007>namento operare, come $i de- $idera, come acc\~edere il fuoco, aggiuntala fac<007>l<007>tà di dare alla materia più d’ogn’altra la curuità sferica, per la vnigene@@à delle parti: qu<007>ndi auuiene, che <007> fabricatori de’Specchi $i $iano preual$i di que$ta fi- gura, enon dell’altre, la qual prattica, e dottrina è stata con facil<007>tà $piegata dal Magini nel $uo L<007>bro dello Specchio Sfer<007>co, che perc<007>ò quà non ne d<007>rò al- tro, rimettendo il Lettore à quello, che ne bà $critto Coniche. Cap. XXI. luis e que$to basti quanto alle Settion<007> Coniche, $em- pl<007>cemente con$iderate.

Delle Superficie, che $i po$$one generare dalle Set- tion<007> Con<007>che, e come à quelle s’accomod<007>no le già dimo strate loro proprietà, e de’lor nom<007>. Cap. XXII.

COncio$iaco$a, che il moto, ò flu$- $o delle linee generi $uperficie, non è dubbio alcuno, che mo- uendo$i le Settioni Coniche in qualunque modo $i voglia, con cõtinuo flu$$o generarãno $uperficie; ma perche i mouimenti po$$ono far$i in varij mo- di, hora però le con$ideraremo $olamente mo- uer$i, riuolgendo$i intorno al $uo a$$e $ino, che ritornino di onde $i partirono; nel qual modo generano $uperficie, che diuer$am\~ete, confor- me alli altri Autori, $i douran nominare, $ecõ- do la varietà delle dette Settioni Coniche; $e adunque la riuoluta è circonferenza di circo- lo, $i chiamerà la generata $uperficie, confor- me al $olito, $uperficie sferica; ma $e quella $arà Parabolica, $uperficie Parabolica; $e Iper- Delle Settioni bola, Iperbolica: e $e Eli$$i, pur’Elittica chia- mandola concaua, $e ci preualeremo dilei, co- me concaua, ouero conue$$a, $e ci preualere- mo dilei, come di conue$$a; e perche le dette Settioni Coniche nel riuolger$i nel modo $u- detto, generano le dette $uperficie, con$titu- endo$i in tutti i luoghi di quelle, perciò gli vengono in$ieme à communicare, cia$cuna alla $ua, le loro proprietà; sì che dũque quel- lo, che $i è detto quanto alle linee incidenti, e rifle$$e per le $emplici Settioni Coniche, s’in- tenderà ancora per le da loro generate $u@ ficie, à’quali pure in$ieme in$ieme $i de int\~edere trasferiti i nomi d’a$$e, efochi, $iano communi alle Settioni Coniche genera@ ti, & alle generate $uperficie: Int\~edendo poi ancora, che i corpi $olidi rinchiu$i dalle dette $uperficie, $ole, come dalla Sferica, & Elitti- ca, ouero ancor compre$i dalli piani, che gli $egano, troncando il loro a$$e, come nella Pa- rabolica, & Iperbolica, hãno altri nomi, chia- mando$i il compre$o dalla Sferica, conforme al $olito, Sfera, il compre$o dall’Elittica, Sfe- roide; dalla Parabolica, e piano $egante, Co- noide Parabolico, e dall’Iperbolica, e piano Coniche. Cap. XXII. pur $egante, Conoide Iperbolico, e che le det- te $uperficie $i chiamano anco $uperficie di que$ti corpi, come la Elittica, $i chiama an- cor $uperficie dello Sferoide, la Parabolica, $uperficie del Conoide Parabolico, e così le altre; nomi, che $ono in v$o appre$$o d’Archi- mede, come $i può vedere nel Libro, _De Co-_ _@o<007>d@bus, <010> Sphæro<007>d<007>bus,_ dell’i$te$$o.

Epilogo delle $udette proprietà delle Settioni Coniche, applicate alle da loro generate $uperficie. Cap. XXIII.

AVanti però, che $i venga à que- $to, nõ rincre$ca al Lettore $ta- bilir$i in m\~ete prima que$ti no- mi, per maggior chiarezza, breuità, e più facile intelligen- za; linee rette adunque, ouer raggi lumino$i, ò linee $onore, calde, fredde, &c. $aranno dz noi chiamate conuergenti, quando indiffini- tamente prolongate, anderãno tutte ad vnir$i in vn dato punto: l’i$te$$e chiamaremo diuer- genti, quando tutte $i partiranno da vn dato punto commune; parallele poi $i chiamerãno, Delle Settioni conforme al $olito, cioè, quando $aranno tali, auuertendo d’intender $empre la conuergen- za, ò diuergenza dal $olo dato punto, mentre non $i aggiũghi altro, come per e$$empio, s’io vole$$i, che i raggi conuergenti ad vn punto, fo$$ero conuergenti ad vn’altro punto, prima li chiamerò conuergenti, poi conuerg\~eti ad al- tro pũto, il che s’intenda ancora circa la diuer genza; e quando la conuergenza, ò diuerg\~eza non $ia preci$amente in vn punto, ma ben vi $i auuicini, allhora gli chiamaremo conuergenti, ò diuergenti pro$$imamente ad vn punto, ò da vn punto; e quando diremo di voler fare i rag- gi paralleli, che $iano conuergenti, non inten- deremo già, che $iano in$ieme paralleli, e cõ- uergenti, che $aria implicanza, ma che e$$endo paralleli $ino all’incid\~eza, doppo quella diuen- tino poi dell’altra natura, cioè conuergenti, ò diuergenti, come occorrerà: E que$to hò vo- luto auuertire, per douermi $eruire di que$ta fra$e, cioè di fare i raggi, che $ono d’vna natu- ra diuentar d’vn’altra natura, e ciò mediante le $udette $uperficie, come hora s’intenderà.

In virtù adunque delle co$e dell’antece- dente Capit. trasferendo la prima proprietà Coniche. Cap. XXII. della Parabola, dimo$trata al Cap. 9. alla $u- perficie Parabolica, diremo, che que$ta, rice- uendo nella $ua concauità le rette linee paral- lele all’a$$e, riflett\~edole po$cia tutte al $uo fo- co, le fà à quello conuergenti, $i che (per dir breuemente, come inanzi $i v$erà) ella fà le parallele conuergenti; e dal Coroll. $i racco- glie, ch’ella farà le diuergenti parallele. Dal Capit. 11. $i deduce, che l’i$te$$a farà con la $ua conue$$ità parallele quelle, che $aranno conuergenti al $uo foco; e per il Corol. farà diuergenti dal $uo foco quelle, che $arãno pa- rallele. Dal Cap. 14. $i hà, che la $uperficie concaua Iperbolica fà cõuergenti al foco $uo interiore quelle, che dentro di lei incontran- dola $ono cõuergenti nel foco e$teriore; e dal Corol. $i hà, che l’<007>$te$$a fà diuergenti dal $uo foco e$teriore le diuergenti dall’interiore. Dal 16. Cap. cauiamo, che la $uperficie con- ue$$a Iperbolica fà le conuergenti per di fuo- rial $uo foco interiore e$$ere, co’l rifletterle, conuergenti nel foco e$teriore; e dal Corol. che l’i$te$$a fà le diuergenti dal foco e$terio- re, co’l rifletterli, e$$er diuergenti dal foco in- teriore. Dal Cap. 17. habb<007>amo, che la $u- Delle Settioni perficie cõcaua Elittica, fà le diuerg\~eti da l’vn de’$uoi fochi, con il rifletterle, e$$er conuer- genti all’altro foco. Dal Cap. 19. $i caua, che la $uperficie Elittica conue$$a fà le con- uergenti all’@vn de’$uoi fochi per di fuora via, con il rifletterle, e$$er diuergenti pur di fuora via dall’altro foco. Dal Cap. 21. finalmente noi habiamo, che la $uperficie concaua Sferi- ca farà le parallele pro$$imamente conuerg\~e- ti, ouero farà le pro$$imam\~ete diuergenti pa- rallele, ogni volta, che la portion di $uperficie Sferica, che $arà pre$a, non molto $i allarghi dalla cima di e$$a, che è il fondo dello Spec- chio Sferico v$itato, poiche que$ta, come hab- biamo detto, pro$$imamente vnirà quelle ri- fle$$e in vn punto, che alla $imilitudine de gli altri po$$i chiamar foco di e$$o circolo, che è alla metà del $emidiametro: Potea$i poi mo- $trare alla $imilitndine della Parabola al Cap. 11 che la $uperficie Sferica conue$$a farà le conuergenti pro$$imamente in tal punto, con il rifletterle, e$$er parallele, caminando l’vne, e l’altre di fuori, e farà parimente le paralle- le diuergenti pro$$imamente da quel punto, il che però hò trala$ciato, potendo$i facilmen- Coniche. Cap. XXIII. te capire $opra la Dimo$tratione della terz@ proprietà della Parabola al Cap. 11. preua- lendo$i della figura di quello, che è l’ottaua, come che, B A C, fo$$e la circonferenza di cir- colo, M, il $uo foco, & incidenti, e rifle$$e le mede$ime iui po$te, accomodandoui la Dimo- $tratione iui addotta, che nell’i$te$$o modo à que$ta ancora potrà $eruire.

Corollario.

_D_Alle $udette co$e $ommariamente è manife- $to, che noi potiamo con le $udette $uperfi- cie far le parallele conuergenti, le conuer- genti parallele, le parallele d<007>uergenti, le conuergenti d<007>uergenti, le conuergenti conuergenti ad altro punto, le d<007>uergent<007> parallele, le diuergenti conuergent<007>, le d<007>uergenti d<007>uergent<007> da altro pun. to; nelle quali è compre $a tutta la varietà, che po$- $on fare quanto all’equid<007>stanza, conuergenza, e di- uergenza. E però bò formate la pre$ente T auola, per poter vedere qual $uperficie c<007> $ia d<007> b<007>$ogno, per far fare alle linee quello, che per $e ste$$e non fa- rebbono; che perciò, con$iderate le molse vt<007>l<007>tà, ch’ella può apportare in materia pr<007>ncipalmente de Delle Settioni gli Specchi, miè par$o di chiamarla, Ta@ola Specola- r<007>a, <007>ntendendo però $otto nome d<007> Specchi non $ola- mente quell<007>, che $ono atti à rappre$entar le imagini, ma quelle $uperfic<007>e ancora, dalle quali $i po$$ono r flettere le linee $onore, calde, fred- de, <010> c.

L’v$o della quale immediatamente $arà doppo e$$a Tauela à ba$tanza dicbiarato. ∴

Coniche. Cap. XXIII. TAVOLA SPECOLARIA. Potiamo per via della r<007>fle$$ione con la $uperficie $critta nell’area di questa Tauola fare _L E_ # Parallele. # Conuergenti. # Diuergenti. Paralle \\ le. # Cioè con la $u \\ pe<007>ficie piana. # Con la conuc$la \\ Parabolica, e \\ pro$simam\~ete \\ con la Sferica. # Con la concaua \\ Parabolica, e \\ pro$simam\~ete \\ con la Sfer<007>ca. Cõuer \\ genti. # Con la cõcaua \\ Parabolica, e \\ p@o$simam\~ete \\ con la Sferica. # Con la cõcaua, \\ e cõue$$a Iper \\ bolica, e con \\ la piana. # Con la concaua \\ El<007>ttica. Diuer \\ genti # Con la cõue$$a \\ Parabol@ca, e \\ pro$simam\~ete \\ con la Sferica. # Con la conue$$a \\ Elittica. # Con la cõcaua, \\ e cõue$$a Iper- \\ bolica, e con \\ la piana. Cõuer. \\ g\~eti ad \\ altro \\ pũto di \\ dentro # Non $e gli con- \\ ulene, per non \\ e$$er loto con \\ uergenti. # Con la cõcaua, \\ e cõue$$a Iper- \\ bolica. # Con la concaua \\ Elittica. Cõuer- \\ g\~eti ad \\ altro \\ pũto di \\ fuori. # Non $e gli con- \\ uiene, per non \\ e$$er loro con \\ uergenti. # Con la cõue$$a \\ Iperbolica. # Con la concaua \\ Elittica. Diuer \\ g\~eti da \\ altre \\ pũto di \\ dentro # Non $e gli con- \\ uiene, per non \\ e$$er loro di- \\ uergenti. # Con la conue$$a \\ Elittica. # Con la conue$$a \\ Ipe<007>bolica. Diuer \\ g\~eti da \\ altro \\ pũto di \\ $uori. # Non $e gli con- \\ uiene, per non \\ e$$er loro di- \\ uergenti. # Con la conue$$a \\ Elittica. # Con la concaua \\ Ipe<007>bolica. Delle Settioni Dell’v$o della precedente Tauola Specolaria. Cap. XXIV.

Q Vando noi haueremo vna mol- tiplicità di linee rette, che $ia- no tutte d’vna mede$ima natu- ra, ò qualirà delle tre $udette, cioè, ò parallele, ò conuergen- ti, ò diuergenti; e vorremo cõmutarle di qua- lità, conforme alla diuer$ità, che apporta l’e- quidi$tanza, conuergenza, e diuergenza, en- traremo nella $oprapo$ta Tauoletta, trouãdo in fronte di quella la natura, ò qualità, della quale $ono le linee da commutar$i, e lateral- mente la natura, ò qualità, nella quale vo- gliamo commutarle; che dirimpetto à quel- le nell’area di e$$a Tauola, comprenderemo qual $uperficie $ia atta à fare tal’effetto: co- me per e$$empio, $e haue$$imo vna moltipli- cità di parallele, e le vole$$imo fare conuer- genti, trouare$$imo nella fronte della Tauola le parallele, e lateralmente le conuergenti, raccogliendo dirimpetto à quella la $uperfi- cie concaua Parabolica, ch’è atta à far tal’ef- fetto, come $i è inte$o nel Cap. 9. c 23. & an- Coniche. Cap. XXIV. co la Sferica, che può farle conuergenti pro$- fimamente in vn punto, $e tali le de$idera$$i- mo, come $i è detto nel fine del Cap. 23. la quale hò me$$o ancora ne gli altri luoghi, do- ue hò veduto, che può fare pro$$imamente $effetto della $uperficie, che appre$$o lei vien notata nell’i$te$$a ca$ella. Hò poi ancor po- $to la $uperficie piana, doue ella può operare, per non la$ciar vuote le ca$elle; come dirim- petto à parallele in fronte, e à parallele late- ralmente, hò me$$o la Piana, perche riceuen- do le parallele, le riflette parallele (come anco $e $on conuergenti, le ribatte conuergenti, e $e diuergenti, pur le riflette diuergenti) nel qual ca$o non mutano natura, ma $olamente $ito, poiche doue prima caminauano ver$o la $uperficie piana, doppo l’incidenza da lei $i di$co$tano; e perciò dirimpetto a’cõuergen- ti in fronte, e conuergenti nel lato, & à diuer- genti in fronte, e nel lato, hò me$$o ancor la piana, come quella, che non gli fà mutar na- tura, ma $olamente $ito. Ponga$i di più, che noi vogliamo fare le conuergenti e$$er con- uergenti ad altro punto di fuori, trouaremo dunque nell’area la $uperficie conue$$a Iper- Delle Settioni bolica, che fà que$t’effetto, come $i è vi$to nel Capit. 16. e 23. intendendo quello (ad altro punto di fuori, ò di dentro) cioè di fuori, ad vn punto po$to fuori delle conuergenti, ò diuer- genti, $e concorre$$ero nel punto, à cui $tãno per dritto; e di dentro, quãdo quel punto $te$- $e d\~etro di quelle; e perche il d<007>re di farle con- uergenti ad altro punto, ò diuergenti da altro punto, par che $upponga, che già le linee, che noi habbiamo, $iano conuerg\~eti, ò diuergen- ti, cioè che concorrino, ò che $i allarghino da qualche punto, perciò, non conuenendo que- $to alle parallele, l’hò anco po$to $otto di loro, dirimpetto à quelle ca$elle laterali, doue $i fà mentione di far le linee conuergen- ti ad altro punto, ò diuergenti da altro punto di dentro, ò di fuori, dicendo con ragione non conuenirli que$to, per non e$$er conuergenti, ò diuergenti. Di più dalla $udetta Tauola per il contrario potiamo $apere l’effetto d’v- na data $uperficie delle $opranominate, cer- candola nell’area, poiche dirimpetto à lei in fronte trouaremo la natura, che vien tramu- tata da lei nella natura, ò qualità, che gli $tà dir impetto lateralmente, e quante volte Coniche. Cap. XXIV. incõtraremo tal $uperficie nell’area, tãte pro- prietà hauerà; come per e$$empio, cerco nell’ area la $uperficie conue$$a Elittica, vol\~edo $a- pere quali, e quante proprietà habbia, trouo dunque vna volta dirimpetto à lei in fronte le conuergenti, elateralmente diuergenti, di- rò dunque, ch’ella fà le conuerg\~eti diuergen- ti; e $imilmente, che fà le conuergenti diuer- genti da altro punto di dentro, e di fuori, che $on’altre due ($e ben que$te $ono più to$to di- $tintioni della proprietà generale di far le cõ- uergenti diuergenti, po$ta nel Capit. 19. e 23. che veramente di$tinte proprietà) in al- tre però le trouaremo conforme, che $i $o- no di$tinte ne i $oprapo$ti capi, come guar- dãdo in detta Tauola $i compr\~ederà e que$to ba$ti quanto all’intelligenza della co$truttio- ne, & v$o della $oprapo$ta Tauola Specolaria.

Digre$sione intor no le Refrattioni.

_C_Hi pote$$e veramente formar la Tauola del- le Superfic@e, che per Refratt<007>one produco- no <007> $udetti effetti, faria co$a d<007>grandi$$i- mo momento nella Pro$pettiua, e di gran con$eg@e@- Delle Settioni za, ma $in’hora non $i troua, ch<007> habbia potuto pre- c<007>$amente arriuaru<007>, peril mancamento d<007>regola v- n<007>uer$ale, qual’è nelle r fl $$ioni, che l’angolo della incidenza $ia eguale à quello della rifle$$ione, po<007>che non $i sà come pa$$i nella Refrattione, <007>ntendendo noi in quella $olamente, che nell’entrare ne <007> d<007>afan<007> p<007>ù den$i le inciden@i $i accostano alla perpend<007>colare, che dal punto dell’<007>ncidenza v<007>en t<007>rate$opra la $u- perficie deldiafano, ò $opra la tangente <007>n quel pun- to, e che entranao ne <007> d<007>afani più rar<007>, da quella $i d<007>$co$tano, facendo$i maggiore, e m<007>nor’angolo d<007>re- fratt<007>one, quanto è magg<007>ore, ò minore l’angolo del- l’<007>nc<007>denza, ma con che regola $i vadano d<007>minuen- do gl<007> angol<007> della Refratt<007>one <007>n vn d<007>afano, ouero accre$cendo in relatione de gli angoli dell’inc<007>denza, ciò $in’hora non $i è con modo $iouro, e dimo stratiua- mente, per quanto io $app<007>, potuto prouare; tengono alcuni, che la Parabola cristallina vni$cale parallele in vn punto: Il Kepleronell’Astronomia Ottica $ti- ma, che $ia vn’Iperbola, come la Mecan<007>ca gl<007> d<007>mo- stra, $e ben d<007>ce vederla vn poco p<007>ù acuta della Iperbola nella c<007>ma, com’egl<007> accenna al Cap. 4. trat- tando della m<007>$ura delle Refrattion<007>, $ar<007>a dun- que da stimar$<007> molto vna $im<007>l Tauola per le re- fratt<007>oni, e po<007>che $in’hora non vi $i è potuto arri- Coniche. Cap. XXIV. uare, $i $ono però alcuni sforzati almeno pro$$ima- mente d<007> ottener questo, e così hanno mo$trato farlo le Sfere cr<007>$talline, le lenti conue$$e d<007> portioni d<007> Sfe- ra, come anco alcuni de gl<007> altr<007> effett<007> $opranotati e$$er fatt<007> per refrattione dalle lent<007> concaue, conue$- $e, e m<007>$te, app<007>gl<007>ando$i in part<007>colare alla figura Sfer<007>ca per la fac<007>l<007>tà d<007> produrla in mater<007>a, $i come l’altre $ono d<007>ffic<007>l<007>$$ime da far$i, come chi $i metterà all’e$perienza comprenderà fac<007>lmente; d<007> que$te len- t<007> adunque hauendone à lungo trattato il Keplero nella $ua D<007>ottr<007>ca, non d<007>rò altro, potendo il Let- tore in quello vedere <007>n buona parte c<007>ò, che $i può dire in materia di refrattione intorno à que$te lenti: E po$ciache $iamo arriuati cõ la $pecolat<007>one intorno alla R fle$$ione, e $uperfic<007>e r<007>fle$$iue, à queltermine, e perfetta cogn<007>t<007>one, che m<007> è par$a d<007> bi$ogno per intell<007>genza delle co$e $eguenti, ven<007>amo hora all’ appl<007>cat<007>one aic<007>ò, che è stato da no<007> con$iderato, r<007>dacendolo alla prattica, acc<007>ò viuamente appa- r<007>$cal’vtil<007>tà, che po$$ono apportare queste Settioni Coniche, e da lor generate $u- perficie, intorno alle co$e di Natura, nel prin- cip<007>o d<007> questo Trattato da me accennate.

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Delle Settioni Come $i po$si accendere il fuoco per il rifle$$o de’ ragg<007> Solari. Cap. XXV.

BEnche i raggi Solari vigoro$i e$- chino dal centro del Sole (dico vigoro$i principalmente quan- to alla virtù calorifica) come i Pro$pettiui a$$eri$cono ($parg\~e- do$i però ancora da ogni punto Solare ad o- gni po$itione raggi lumino$i, $e ben quanto alla virtù calorifica, non così efficaci) b\~eche, dico, quelli e$chino da vn $ol pũto, e però $ia- no diuergenti, tuttauia in tanta lontananza $i reputano quelli, che $i riceuono nella $uperfi- cie d’vno Specchio, come paralleli, e però per volerli raccoglier’in vn $ol pũto, nel quale $arà vnita tutta la virtù calorifica, e perciò $i cau$a- rà l’inc\~edio, che è vn voler far le parallele con- uergenti, trouaremo in fronte della Tauola Specolaria parallele, e lateralmente conuer- genti, e nell’area vedremo e$$er’atta à que$to $eruitio la cõcaua Parabolica, e pro$$imamen- te farlo la concaua Sferica, e però con que$te haurem l’int\~eto no$tro, facendo$i l’inc\~edio ne’ loro fochi, come s’è detto di$opra. Tuttauia il Coniche. Cap. XXV. Padre Gruemberger Ge$uita, Matematico ce- leberrimo, nel $uo Libretto dello Specchio Elittico, volendo pur preualer$i de’mede$imi raggi, quali realmente $ono, cioè diuergenti dal centro del Sole, vi adopera la $uperficie concaua Elittica, imaginando$i, che il c\~etro del Sole $ia vno de’fochi di tal $uperficie Elit- tica, e l’altro foco $ia il pũto della combu$tio- ne, de$criuendo l’Eli$si, e $uperficie Elittica, alla quale conuengono detti fochi, $econdo le diuer$e di$tãze del Sole nel di$cendere dal- la ma$sima alla minima lontananza della ter- ra: la qual d<007>lig\~eza però in que$to negotio po- tria for$i parer altru<007> $uperflua, per la $omma difficultà di mettere in prattica tal’operatio- ne, dou\~edo de$criuer$i vna portione di sì grãd’ El<007>$$e, e $e pure lo vogliamo fare $tretto $tret- to, perche da ambedue i capi v’appari$ca no- tabile curuatura, può e$$er, che rie$chi, ma che $ia di$tinto dalla Parabola, non credo, che con gl’in$trumenti adoperati da noi $i po$$a fare, il che diuerrà più chiaro, adducendo la ragio- ne, perchei raggi Solari $i reputino come pa- ralleli.

Delle Settioni Dimostratione $opra la 18. F<007>gura.

INtenda$i, che, A, $ia il centro del Sole, &, A C, A D, due raggi, che da quello $i par tino, che veramente $ono diuergent<007>, C D, la larghezza dello $pecchio, &, B E, paral- lela à, C D, &, B C, E D, l’vna, e l’altra della lũghezza d’vn miglio, e lo Specchio, C D, lar- go dieci braccia, e$$endo il c\~etro del Sole nel- la ma$$ima vicinanza alla terra, $arà dunque, C A, 1101. $emidiametri terreni, che commu- nemente $i $timan’e$$ere di 3436. miglia, cioè $arà, C A, miglia 3783036. & A B, vn miglio manco, adunque, C A, ad, A B, $arà come, 3783036. à, 1383035. e per e$$ere, A B E, A C D, triangoli $imili, $arà, C D, à, B E, co- me, C A, ad, A B, e per la conuer$ione della proportione $arà, C D, all’ecce$$o di, C D, $o- pra, B E, come, A C, à C B, cioè come, 378- 3036. à, 1. adunque inte$a, C D, larghezza di 10. braccia diui$a in 3783036. di que$te ne manca vna $ola vnità à, B E, e tanto mancano le, B C, E D, dall’e$$er parallele, e perciò vn cotale $uario farà l’Eli$$i de$critta con e$$at- ti$$ima dilig\~eza $opra li detti duoi fochi, dalla Coniche. Cap. XXV. Parabola, di cui $arà foco vn de’fochi della detta Eli$si; vegga$i hora $e l’arte può di$cer- nere vn 3783036. e$imo di 10. braccia, ouero vn 378303. e$imo d’vn brac. che chiaram\~ete $i cono$cerà $e $ia di bi$ogno d’v$ar così e$qui- $ita |dilig\~eza <002> preualer$i dello Specchio Elit- tico, che diuer$o poi anco $i deue fabricare <002> le diuer$e di$tãze del Sole dal centro della ter- ra, ouero $e $ia meglio preualer$i dello Spec- chio Parabolico, che nõ hà bi$ogno d’e$$er va- riato, per la varietà di tali di$tãze, ne anco $e il Sole fo$$e doue $on le $telle fi$$e, e quelle fo$- $ero di$tanti da noi tanto, che l’orbe del Sole fo$$e in$en$ibile in comparatione delle $telle fi$$e, come $timò Ari$tarco, & i $uoi $eguaci; poiche $e pur vole$$imo cõcepire per vna cer- ta analogia vn’altro foco nella Parabola, non come Parabola, ma come vn’acuti$$ima Eli$$i, quello $i deue intendere infinitamente di$tã- te dalla $ua cima, dal quale però ne v\~egonole linee parallele, e fac\~edo$i que$to da vn’imm\~e- $a di$tãza, qual’è quella del Sole anco nella $ua ma$$ima vicinanza al centro della terra, la re- putiamo in comparatione de’no$tri Specchi, come di$tanza infinita, e però potiamo $tar Delle Settioni nello Specchio Parabolico, poiche volendo a$$alire la fabrica dello Specchio Elittico, da- remo al $icuro nel Parabolico, quando anco con ogni e$$attezza po$$ibile a’noftri i$tro- menti pretendiamo d’hauerlo fatto Elittico; $i è poi $nppo$to il Sole nella ma$$ima vici- nanza à terra, e lo Specchio di diametro di dieci braccia, & i raggi $olari nella di$tan- za d’vn miglio, perche l’argomento $tringa più fortemente per le di$tanze maggiori del Sole, per le minori larghezze de’Specchi di quel, che $ian 10. braccia, alla quale l’arte no$tra for$i non può arriuare, $e nõ con gran- di$sima difficoltà, e per i raggi pre$i in minor di$tanza, che d’vn miglio, che $empre più, e più $i vanno alla equidi$tanza auicinando.

Sò però, che lo $uario de’raggi diuergenti, dai paralleli, ch’andariano nello Specchio ad incontrare i me de$imi punti, $i deue con$ide- rare quanto all’angolo, che viene contenuto dalla parallela, e diuergente, che concorrono nell’i$te$$o punto, $e ben $i è mi$urato con la retta linea, che re$taria intrapre$a tra e$$a diuergente, e parallela, dalla quale $i di$- co$ta, ciò hò però fatto per maggor chiarez- Coniche. Cap. XXV. za, non vi e$$endo molta differenza per inten- dere quanto $i pretende: tuttauia per non trala$ciare adietro co$a, che po$$a far chiaro il no$tro concetto, non mancarò di dichiararla parimente in que$to modo; Sia pure nella 19. figura, A, c\~etro del Sole, dal quale nello Spec- chio, C O D, largo dieci braccia, di$cendano li duoi raggi, A C, A D, e$$endo lo Specchio, C O D, talmente $ituato ver$o il Sole, che il $uo a$$e, che $ia, O N, prolongato, concorri nel centro di quell@; incontrino adunque detti raggi la $uperficie dello Specchio in, C, D, e $ia il Sole vicini$simo à terra, e nel punto, C, cõcorra il raggio, P C, parallelo all’a$$e, A O, e nel piano, P C A, $ia tirata la, H F, tãgen- te lo Specchio in, C; gionta dũque, C D, dico, che lo $uario della diuerg\~ete, A C, dalla paral- lela, P C, è l’angolo, P C A, che è acuti$$imo, come $arà manife$to, $e nel triãgolo, C N A, trouaremo l’angolo, C A N, per le Tauole de’ Seni, imperoche, come, A C, 3783036. miglia, cioè braccia 11349108000. à, C N, che è la metà di, C D, cioè br. 5. così è 10000000000. à 4. cioè à, C N, $eno di, C A N, qual $arà cir- ca 20. $crupuli quinti, cioè in$en$ibile à noi, e Delle Settioni però anco, P C A, $arà in$en$ibile, che è l’an- golo di tale $uario. Stimo però, che il $udetto Padre, come per$ona di valore, cono$ciute que$te difficoltà, habbi tuttauia per e$$ercitio de’$pecolatiui, eletto più lo Specchio Elitti- co, che il Parabolico, trattãdo più to $to quan- to alla Teorica, e matematicam\~ete, che quan- to alla Prattica, e fi$icamente, poiche $peco- latiuamente s’intende bene, che douria e$$ere vn’Eli$$i, ma in Prattioa, operan do anco dili- genti$$imamente, ci verrà fatta la Parabola, alla con$truttion della quale trouandoni noi pur $omma difficoltà, ci contentiamo poi an- co della Sferica.

Come per rifle$$ione $i po$$i accender fuoco con il ri- uerbero della fiamma, ò de i carboni acce$i. Cap. XXVI.

SI potrà parimente eccitar l’in- cendio al riuerbero della fiam- ma, ò de’carboni acce$i, oppo- nendogli lo Specchio concauo Parabolico, Sferico, & anco Iperbolico; e ciò non manca di ragione, poi- Coniche. Cap. XXVI. che dalla fiamma, ouero da vn’aggregato di carboni acce$i $i partono infinite linee à tutte le po$itioni, che non e$$endo impedite, cami- nano $in doue $i e$tende la loro attiuità, den- tro la quale vi $ono anco le parallele, che per- ciò $i vniranno in vn punto, cau$ando iui l’in- cendio, e ciò quãdo vi $i opponga lo Specchio Parabolico, & anco pro$$imamente il conca- uo Sferico, e $imilmente l’lperbolico, poiche dentro quegl’infiniti raggi vi $ono ancora i cõuergenti alfoco e$teriore dell’Iperbola, che $i vnitãno perciò nel di lei foco interiore, do- ue ecciteranno l’incendio; è ben vero, che gli altri raggi, che à que$ti paralleli, e cõuergen- tinel detto punto $i auuicinano, aiuteranno loro ancora detto incendio, benche non $i vni- $cano tutti in$ieme, & iui cau$arãno calor grã- de; e$perienza di que$to hò fatto io, che con vno Specchio sferico di piõbo ancor mal po- lito, hò acce$o il fuoco nella materia arida al fuoco di carboni; e di più l’hò fatto con la $u- perficie Parabolica, cioè con vn Cãnone Para- bolico, che hauea il $uo foco vicino alla cima, e$$endo e$$o Specchio Parabolico trõcato pur nella cima, qual’era di $tagno, e mal polito, Delle Settioni tal che opponendolo al fuoco, ò alla fiamma di ben poca legna, nella di$tanza di tre brac- cia, ponendo la mano lì, dou’era la parte trõ- cata, & il foco della Parabola, non vi $i potea $o$tenere, anzi vi s’acce$e fuoco; la qual co$a potria alcuno applicare al ri$caldam\~eto delle $tanze, ò alle di$tillationi; ba$tami però d’ha- uere al curio$o Lettore accennato que$to, la- $ciãdo poi alla $ua indu$tria il cercare il re$to.

Come in due maniere potiamo $eruirci delli $udetti Specchi. Cap. XXVII.

POtendoci noi $eruire della $uper- ficie Sferica, Parabolica, & Iper- bolica intiera, ò d’vna parte $o- la, conforme che quella può e$- $er diuer$a, diuer$amente ancora chiamaremo lo Specchio, dãdoci que$te il mo- do d’accendere il fuoco in che $ito vogliamo; Se adunque prenderemo di que$ta $uperficie quella parte, ch’è intorno alla cima, que$ta abbrucierà tra’l corpo foco$o, e lo Specchio; ma $e vogliamo, che l’incendio $ia di dietro dello Specchio, bi$ognerà pigliare vna parte Coniche. Cap. XXVII. diquella, di$co$ta dalla cima tanto, che la$ci fuori di $e il foco di tal $uperficie ver$o la ci- ma, come per e$$empio; Sia nella 20. figura v- na tal $uperficie la, CAF, cioè, verbi gra- tia, Parabolica, il cui a$$e $ia, AI, e foco, O; tagliando adunque tal $uperficie con vn pia- no, al quale, A I, $ia perpendicolare, che diui- da detta $uperficie nelle due, B A G, B C F G, è manife$to, che la parte, B A G, intorno la ci- ma, A, abbruciarà tra lei, e’l fuoco, ò Sole nel punto, O, e la parte, B C F G, abbruciarà di dietro nell’i$te$$o foco, O, qual però chiama- remo Cãnone Parabolico, e quando vorremo, che abbruci lontano, intendendo prodotta la $uperficie parabolica, per e$$empio in, D E, e l’a$$e in, H, prendendo il Cãnone para- bolico, C D E F, quello pure abbruciarà nel punto, O, più lon tano dallo Specchio, che nõ facea il Cãnone, B C F G, e così potremo abbruciare infinitamente lontano, prolongã- do $empre detta $upe<007>ficie Parabolica, e pr\~e- dendola in quella di$tanza, che ci bi$ogna. Potiamo poi anco di que$to Cãnone, ò Spec- chio prendere vn $ol pezzo, come, R E Z S, che non $olo abbrucierà di dietro da lui nel Delle Settioni punto, O, ma anco da vna parte, qual $i potrà chiamar Fru$to della $uperficie Parabolica; e l’i$te$$o s’intenda detto per la Sferica, po$cia- che nella 17. figura la fa$cia Sferica, BCH N, e la minor di quella, abbrucierà dietro di lei, come lo Specchio Sferico, B A N, dinãzi; e l’i$te$$o s’incenda per l’Iperbolica; potremo dunque con que$te cau$ar l’incendio da che parte, e lontano, quanto noi vorremo. Non po$$o poi trala$ciar di dire, come la sfera, ò lente chri$tallina e$po$ta al fuoco de’carbo- ni, ò alla fiamma, non cau$a l’<007>ncendio, co- me li Specchi, la onde pare, che $i pote$$e rac- cogliere, che la rifle$$ione fo$$e più pot\~ete del- la refrattione, tuttauia ciò non determi- no in virtù di que$to, poiche $a- ria di bi$ogno e$$aminar pri- ma molt’altre co$e, che per breuità trala$cio.

Coniche Cap. XXVIII. Dello Specchio Vctorio d’Archimede. Cap. XXVIII.

LEgge$i nell’antiche hi$torie del- le guerre de’Romani, ch’e$s\~e- do a$$ediata Siracu$a, così per terra, come per mare, da Ap- pio, e Marco Marcello, con ap- parato grandi$$imo da guerra, vi $i oppo$e talmente il valore, e l’indu$tria d’Archime- de, che per lui $olo parea $i $o$tene$$e l’im- petuo$o a$$alto d’vn’e$$ercito sì potente, e già d’altre Illu$tri Città vittorio$o; onde Tito Liuio nella Dec. 1. al Cap. 24. fù sfor- zato à dire; _Et habui$$et tanto impetu cæpta res_ _fortunam, ni$i vnus bomo Syracu$is ea tempe$tate_ _fui$$et;_ e veramente $i può credere facilmen- te, che, s’egli haue$$e hauuto la fortuna alquanto più propitia, haurebbe alla Patria $aluata la libertà, ed à $e mede$imo la vita. Imperoche in gratia del $uo Re hauea fa- bricato così $tupende machine per i bi$o- gni da guerra, che i preparamenti fatti con immen$a $pe$a, e con molti $tenti da i ne- mici, per l’oppugnatione, erano da lui con Delle Settioni tale artificio delu$i, e re$i del tutto inutili, che parea più to$to $cherza$$e, che combat- te$$e da douero con nemici così potenti. Perciò il mede$imo parlando di sì eminente ingegno, $oggiun$e nell’i$te$$o luogo. _Archi-_ _medes is erat, vnicus $pectator Cæli, $yderumque_, _mirabil<007>or tamen inventor, ac machinator bellico-_ _rum tormentorum, operumq; quibus ea, quæ bo-_ _ctes ingenti mole agerent, ip$e perleui momento lu-_ _dificaretur_. Furno le machine diuer$e, con le quali così di vicino, come di lontano $caglia- ua pietre di molta grandezza; & era di gran marauiglia veder con vna mano di ferro, le- gata ad vna forte catena, prender le naui per la prora, e drizzatele $opra la poppa, la$ciarle po$cia con ineuitabil naufragio, precipito$a- mente cadere. Altri parimente furono gli ordegni, con che valoro$i$$imamente facea à’nemici re$i$tenza, come raccontano Polibio nellib. 8. Plutarco nella vita di M. Marcello, Dione, & altri Hi$torici famo$i, che tutti con- cordemente e$$altano l’ingegno d’Archime- de, come co$a $opra humana, e qua$i diuina: Ma fra tutte le marauiglio$e inuentioni di sì grand’huomo, non vi è, per mio credere, co- Coniche. Cap. XXVIII. $a, che habbi arrecato maggior $tupore, ne che $ia $tata tenuta in maggior pregio, ò che habbi dato più da $pecolare à i curio$i, di quel famo$o Specchio, con il quale, e$$endo$i ritirate le naui, quant’è vn tiro d’arco, per nõ $entire i duri$$imi colpi delle pietre, che con- tinuamente erano $cagliate dalle mura, in vir- tù de’raggi $olari, vniti in$ieme, v$cendo im- petuo$amente, à gui$a di fulmine, il fuoco dal mede$imo Specchio, causò vn’incendio così formidabile, che la maggior parte delle naui fù ridotta in cenere. Così riferi$ce Galeno πει' χράσεων lib. 3. dicendo_: Hoc vtiq; modo a-_ _iunt, puto, Arch<007>medem per comburentia $pecula_ _ho$t<007>um triremes <007>ncendi$$e. Succenditur verò faci-_ _lè à comburente $peculo, <010> lana, & ctuppa, <010> el-_ _lychtnium, & ferula, <010> quidquid deniq; $imiliter_ _e$t aridũ, & rarũ_ Il mede$imo racconta Zonara Greco, Autore antichi$$imo, nel 3. Tomo del- le $ue H<007>$torie, hauer fatto Proclo $otto Co- $tantinopoli, con grandi$$imo danno dell’ar- mata nemica, c’hauea a$$ediato quella Città.

Que$te co$e adunque, benche da graui$- $imi Scrittori riferite, furono tuttauia da mol- ti tenute per fauole più to$to, che per verità, Delle Settioni parendoli molto improbabile poter$i cau$are incendio per via di Specchi in così gran di$tã- za, in quanta s’intende, che fece Archimede dalle mura di Siracu$a. Altri per il contrario, non volendo metter dubbio nelle relationi di così illu$tri, e $egnalati Scrittori, crederno be- ne tal co$a poter’e$$er $tata, ma nel penetrare il vero modo, hanno incontrato di molte diffi- coltà, $i nell’inue$tigar la $orma di quello Spec chio, $i anco nel ridur$i à metterlo in prattica: Imperoche $entendo mentouare, che quello fo$$e di forma Parabolica, $i $ono me$$i con o- gni indu$tria à cõ$iderare le proprietà di que- $ta forma di Specchio, in$egnando varij modi per di$egnare la Parabola, acciò fattane la $agma, $e ne pote$$e poi formare lo Specchio Parabolico, come $i può vedere in Vitellione, Marin Ghetaldo, Orõtio, Cardano, Gio. Bat- ti$ta Porta, & altri valenti Matematici, co$pi- rando for$i tutti nel marauiglio$o Specchio di Archimede; ma per quanto $i $iano affaticati que$ti ingegni, non pare, che ci habbino da- to vna chiara cognitione della $truttura di quello, po$ciache ci hãno $olamente in$egna- to cau$ar$i l’incendio in vn $ol punto, mercè Coniche. Cap. XXVIII. dello Specchio Parabolico, cioè nel concor$o de’raggi $olari, più, e men lontano, $econdo che e$$o $arà più, e men cauo; la onde hanno $timato molti, che lo Specchio d’Archimede abbrucia$$e così lontano, perche fo$$e di for- ma Parabolica, e con tal proportione fabri- cato, che face$$e il concor$o de’raggi in tan- ta di$tanza, in quanta le $udette naui $i erano ritirate. Ma chi non vede quanto ciò dal ve- ri$imile $i di$co$ti? poiche vno Specchio Pa- rabolico, che habbi il foco lontano da lui $olo trenta piedi, come ben dice il Porta nella $ua Magia naturale, e tanto poco differente dal piano (s’ei non fo$$e di $mi$urata grandezza) che l’arte no$tra non lo può di$tinguere, e perciò ne men fabricare; come dunque $i può credere, che lo Specchio d’Archimede fo$$e tale, che il concor$o de’raggi $i face$$e lontano quanto vn tiro d’arco? Di più vno Specchio tale cau$a l’incendio in vna deter- minata di$tanza, e $olo da vna bãda, cioè ver- $o il Sole; doue che l’abbruciam\~eto delle Na- ui portaua diuer$e di$tanze, e for$e diuer$i $iti ancora, e però in con$eguenza, ò bi$ognaua hauerne più d’vno, ò mouere il mede$imo, per Delle Settioni aggiu$tar$i alle di$tanze, il che pare, che da vna muraglia d’vna Rocca non così ageuol- mente $i pote$$e fare: E finalmente il $ottili$- $imo ingegno d’Archimede mi dà à credere, ch’egli penetra$$e più à dentro di quello, che l’vniuer$ale intende à prima vi$ta.

Altri hanno pen$ato, che qualche materia de’Specchi $trauagãte, à noi incognita, ado- pera$$e, che haue$$e virtù di cau$ar l’incendio tanto lõtano; ma io non credo ne quello det- to di $opra, per le già addotte ragioni, ne me- no que$to, mentre alla materia non s’accom- pagni la figura, poiche la rifle$$ione ricerca l’vno, e l’altro; cioè per parte della materia, $omma lucidezza, e politura, che $uol venire particolarm\~ete dalla durezza dell’i$te$$a ma- teria, per parte poi della figura richiede, per- che s’vni$chino tutti i raggi in vn punto, che $ia Parabolica.

Non $ono però mancati ancora di quelli, che hanno $timato, che Archimede non per via di rifle$$ione, ò refrattione abbrucia$$e l’Armata, ma con alcune pietre, chiamate da’ Greci πυριγης, $cagliandole nelle naui, all’v- $anza delle palle di fuochi artificiati, vi $u$ci- Coniche. Cap. XXVIII. ta$$e l’incendio; E di que$ta opinione pare, che $ia Toma$o Linacro, Interprete de i libri di Galeno, _De Temperaturis;_ che cõmentan- do le $udette parole, e volendo $piegare la voce Greca, πυριε, l’interpreta, come che $ignifichi le $udette pietre di fuoco. Ma ciò hà parimente dell’improbabile, poiche, come pur’iui $oggiunge Galeno, dette pietre non s’infuocano, $e non s’infrangono; ma chi po- teua in fiangere, e $poluerizzare, per dir così, dette pietre nelle naui de’Romani? ouero, come di già $pezzate, poteuano $cagliare il fuoco dalle mura $ino alle dette naui? come argom\~eta Dauid Riualto nel fine de’$uoi cõ- menti $opra Archimede nello Scholio _De Spe-_ _culis V$torijs Archimedis_. Ma quel, che più im- porta, ancor che $i pote$$ero lanciare nelle naui co$e, che per la perco$$a, toccando le mede$ime, $i accende$$ero, come hò $entito da huomini prattici hoggidì v$ar$i in guerra con certe palle artificio$e, econ va$i di fuochi $tra- uaganti, tuttauia quello, che in que$to nego- tio chiari$ce il tutto è, che la relatione de gli Scrittori, e ma$$ime di Galeno, in que$to luo- go ci vien $ignificando, che Archimede ado- Delle Settioni pera$$e gli Specchi, & i raggi del Sole, poiche perappunto dà l’e$$empio d’vna ca$a, che nel- la Mi$ia, parte dell’A$ia, $i abbruciò per il ca- lor del Sole, e$$endo$i attaccato fuoco nel tet- to, mediante la re$ina, & il letame de’Colom- bi, $oggiungendo poi l’incendio delle naui di Marco Marcello, il che dimo$tra hauer’egli creduto, che quello pur fu$$e cau$ato da i rag- gi del Sole. In que$ta $trauaganza di pen$ie- ri adunque $ono dati quelli, che pur’hanno voluto dar credenza alle relationi di così ce- lebri, e così illu$tri Scrittori. Inãzi però, ch’io $pieghi qual $ia il mio pen$iero intorno à que- $to, fà di me$tieri dir qualche co$a intorno al- la Linea V$toria di Gio. Batti$ta Porta, de$crit ta da lui nella $ua Magia naturale nel lib. 17. al Cap. 17.

Della Linea V$toria di Gio. Batti$ta Porta, che ab- brucia in infin<007>to. Cap. XXIX.

IL Porta dunque nel $udetto luogo, dopò hauer riferito ciò, che mediãte gli Spec- chi V$torij fecero Archimede à Siracu$a, e Proclo à Co$tãtinopoli, parla d’vn $uo Spec- Coniche. Cap. XXIX. chio, come di co$a molto diuer$a da quelli, tanto, per $uo dir, marauiglio$o, che non cre- de l’ingegno humano poter pa$$ar più oltre, reputando quelli de’$udetti Autori molto à que$to inferiori, com’egli dimo$tra, mentre nell’i$te$$o luogo $oggiunge; _Sed longè cæteris_ _præ$tãtiorem modum trademus, à nemine equidem,_ _quod $ciam, traditum, antiquorum omnium, <010> re-_ _centiorum inuentionem $uperantem, nec putò huma-_ _num ingenium maiora excogitare po$$e. Hoc Specu-_ _lum non ad decem, viginti, centum, aut mille pa$-_ _$us comburit, vel ad determinatam di$tantiam, $ed_ _in infinitum, nec in cono accendit, vbi rad{ij} coeunt,_ _$ed à Specul<007> centro V$toria Linea procedit, cui@$uis_ _longitud<007>nis, quæ obu<007>a omnia comburit. Præterea_ _accend<007>t retro, ante, <010> ex omniparte._ Vero è, che venendo poi à $piegare il $uo pen$iero, in ve- ce di manife$tarcelo, cuopre il $ecreto con parole à bello $tudio tra$portate, e ci la$cia $i- tibondi della vera cognitione d’vn tanto ar- tificio. Ma perche preuale in me più d’ogni altra co$a il de$iderio di giouare al publico, perciò $piegarò con parole più chiare, che $ia po$$ibile, quanto miè$ouuenuto nello $peco- lare intorno à que$to mirabil Problema, che Delle Settioni il Porta ci propone di fare cõil $uo Specchio, e vederemo in$ieme $e $ia veri$imile, che Ar- chimede, Proclo, & il mede$imo Porta $i ac- cordino nell’inuentione, come io da molti $e- gni vado congetturando.

In qual $en$o $timi l’Autore che la $udetta Linea Vstor<007>a $i po$$a $o$tenere. Cap. XXIX.

CHe $ia po$$ibile vnire molte li- nee radio$e fra diloro parallele in vn punto, cioè farle di paral- lele conuergenti, ciò è manife- $to perle co$e dette di $opra, e nella Tauola Specolaria trouiamo farci que- $to $eruitio la $uperficie concaua parabolica; ma con quale artificio $i po$$ino $tringere mol te linee radio$e in vna $ola (sì come $i condu- cono ad vn pũto per via dello Specchio Para- bolico) la quale perciò habbi forza d’abbru- ciare tutto quello, che incontra, non $olo, di- co, di non poterlo penetrare, ma parermi a$- $olutamente impo$$ibile, imperoche ò que$to $i farà per rifle$$ione, ò per refrattione; facci$i pure in qualunque de i due modi, è nece$$ario Coniche. Cap XXIX. prima condurre i raggi paralleli in vn punto, <007>l che $appiamo di già fare cõ lo Specchio Pa- rabolico, e che <007>ui poi ritrouino qualche cor- po, che rifletti, ò rifranga i mede$imi raggi, facendoli tutti caminare per vna linea $ola, quale veramente haurebbe le conditioni, che il Porta ci promette: quindi per il contrario, quella Linea pre$a come incidente, haureb- be non vna rifle$$a, ò rifratta, ma diuer$e, il che, come beni$$imo dice il Keplero nella $ua Diottrica, alla pag. 21. è contro le leggi del- la Pro$pettiua, poiche $econdo quella, eguali angoli d’incidenza cau$ano eguali angoli di rifle$$ione, ò rifrattione, e perciò alla mede- $ima incidente non po$$ono corri$pondere dal punto della incid\~eza diuer$e rifle$$e, ò rifrat- te, ma $i bene vna $ola, adunque per il cõtra- rio vna moltiplicità di raggi paralleli $i potrà bene far concorrere in vn punto, ma che quel- li $i po$$ino $tringere in vna Linea $ola, ciò re- puto con il Keplero a$$olutamente impo$$i- bile; Inte$a dũque la Linea V$toria del Porta, à que$ta maniera pare à me co$a molto impro babile; e $e lo Specchio d’Archimede haue$- $e hauuto à fare vna tale operatione, credo Delle Settioni quanto à me, che vano $aria $tato lo sforzo del mede$imo, per abbrnciar le naui di M. Mar- cello, come pure intendiamo, ch’egli fece.

Re$ta dunque, ch’andiamo vn poco con$i- derando, $e pur’è po$$ibile in qualche modo fare quel, che promette il Porta, allontanan- do$i poco ancora dal $uo $en$o. Dico adunque $e per linea int\~ederemo non $tretti$$imamen- te quello, che importa il nome di linea, ma vn poco più alla gro$$a, cioè che voglia dir tã- to quanto vn Cilindro, ò Cannoncino di lu- me, di che $ottigliezza vogliamo, indiffinita- mente prolongato, che veramcnte in que$to $en$o parmi e$$er po$$ibile il farlo, $i che quei raggi, che caminarãno paralleli per $patio di vn braccio, $i po$$ino $tringere in vn Cãnon- cino di lume gro$$o vn’oncia, e manco anco- ra, al qual potiamo dar nome di linea, alla $i- militudine delle linee abu$ate da noi in ma- teria, che hanno tuttauia qualche gro$$ezza; nel qual $en$o credo, che’l Porta $i po$$a $o- $tenere, e che $ia po$$ibile fare (con modera- tione però) quanto egli propone, cioè abbru- ciare dinanzi, e di dietro, anzi da ogni parte dello Specchio, doue egli non arrechi impedi- Coniche Cap. XXIX. mento, e ciò non in vn punto, ò nella coinci- denza de’raggi, ma in ogniluogo, doue $i e- $tenda quel Cannoncino di lume, che di $ua natura cau$arebbe l’incendio anco in ogni di- $tãza, $e i mede$imi raggi non $i anda$$ero cõ- tinuamente debilitando. Stima veramente il Keplero, che la combu$tione $i cau$i per il $egamento de’raggi lumino$i concorrenti in vn punto, non sò però s’egli intenda, che $o- lo in que$to modo, e non altrimenti $i cau$i l’accen$ione in virtù de’mede$imi raggi, com- unque egli creda, à me pare probabili$$imo, che quelli non vniti in vn punto, ma anco in angu$to $patio co$tretti, po$$ino generar fuo- co, poiche gli Specchi sferici cau$ano l’incen- dio, e pur $appiamo, che non vni$cono in vn $ol pũto $e non quelli, che vengono rifle$$i dal mede$imo cerchio parallelo alla bocca dello Specchio, che pur $on pochi; e la mano, che riceue i raggi del Sole rifle$si dallo Specchio, non nel punto del concor$o, ma alquanto da quello di$co$to, $ente ben tanto calore, che tenendouela più d’vn poco, ci accorgia- mo, che iui è forza digenerar fuoco; perciò non credo vi $arà dubbio, che quel Cannonci- Delle Settoni no di lume, eletto di conueneuol gro$$ezza, non $ia per abbruciare per qualche anco nota- bil di$tanza. Inte$a dunque in que$to modo la Linea V$toria del Porta, parmi poter$i $o$te- nere, anzi hauer molta probabilità, che con- cordi con l’inuentione e di Proclo, & anco di Archimede, come da’$eguenti Capi $i potrà meglio comprendere.

Dello Specchio V$torio imaginato dall’Autore, e varietà di quello. Cap. XXX.

PEr dimo$trare la probabilità del- la Linea V$toria già detta, e de gli Specchi V$torij di Proclo, e d’Archimede, è finalmente ne- ce$$ario, ch’io $pieghi ciò, che $pecolando mi è $ouuenuto, manife$tãdo l’e$- $emplare di que$to mio Specchio, all’e$plica- tione del quale è principalmente ordinato il pre$ente Trattato.

Ma prima dirò pur’anch’io col mede$imo Porta; _Sed profectò <007>nd<007>gnũ facinus duco ignar{ae} ple_ _bi propalare. Prode at ergo in luc\~e, vt $umma Dei_ _immen$a bonitas laudetur, veneretur._ Poiche nõ Con<007>che. Cap. XXX. $arà poco con que$to debol lume, ch io porgo per l’intelligenza d’vn sì nobil $oggetto, po- ter, venendo alla prattica, e$$equire quanto dalla $pecolatiua hauremo imparato.

Per far dunque gli effetti, ch’egli ci pro- po$e, $timo douer$i lo Specchio di tal $orte fa- bricare, cioè, che vni$ca i raggi $olari <007>n vn punto, e perciò, per mio credere, egli dourà e$$er Parabolico, conforme alla dottrina di $o- pra in$egnata, douendo fare i raggi paralleli cõuergenti; quãto poi all’vnire e$$i raggi vici- no, ò lontano, io al contrario de gl’altri pen- $o, che $arà meglio, che l’vnione, ò foco di ta- le Spechio non $ia dal mede$imo molto lonta- no, $i che non veniamo à dare nella difficoltà di quelli, che cercano di mandar tal concor$o lontano, che perciò $i riducono à lauorare vno Specchio in$en$ibilmente dal piano diffe- rente. Fatto que$to Specchio Parabolico, $e al- tro non vi $i aggionge$$e, non è dubbio, che non accenderebbe fuoco più lontano di quel- lo, che $ia il punto del concor$o; per hauer dunque que$ta operatione in altre di$tanze ancora, è nece$$ario portar più oltre quella for za, che hanno i raggi $olari inanzi, ò doppo, Delle Settioni vicino al concor$o, cioè ò fare i raggi conuer- genti paralleli, e ciò inanzi, ouero i raggi di- uergenti pur paralleli, e ciò doppo il concor- $o; ricorrendo adunque alla Tauola Specola- ria, trouaremo inãzi al concor$o douer$i ado- perare la conue$$a Parabolica, e dopo la con- caua pur Parabolica, auuertendo, che è nece$- $ario $iano in$ieme vniti il foco dello Specchio grande, & il foco dello Specchio piccolo, al- trim\~ete non dourà riu$cire l’operatione, $tret- tamente parlando: Vniti dunque, che $iano que$ti duoi fochi, lo Specchio piccolo conue$- $o, vibrarà quei raggi, ch’egli riceuerà nella $ua cõue$$ita (ch’erano cõuergenti al foco del lo Specchio grãde, ch’è vnito col foco del pic- colo) paralleli all’a$$e del piccolo, che perciò, per ragion d’vnione dourãno per notabil $pa- tio con$eruare la mede$ima forza, c’hebbero nel dipartir$i dal piccolo, benche in que$ta $econda rifle$$ione venghino alquanto à in- debolir$i. Se dunque riuoltaremo l’a$$e dello Specchietto ver$o quel luogo, doue $i vorrà accender fuoco, quel Cãnoncino di lume, che v$cirà dallo Specchietto piccolo, attaccarà iui fuoco, anzi à gui$a di trapano, dourà tra- Coniche. Cap. XXIX. forare quelle materie combu$tibili, ch’egli in- contrarà; auuerta$i però, che la conuer$ione dello Specchietto dourà $empre far$i intorno al $uo foco, come centro. Ma per maggior di- chiaratione, eccone l’e$$empio, con l’e$$em- plare dello Specchio.

E$$empio $opra la vige$imaprima figura.

_S_la lo Specchio Parabol<007>co, _T X B_, il cui foco il punto, _I_, talmente indrizzato ver$o il Sole, _A M Q,_ che l’a$$e di quello prolongato, come, _X M_, vad<007> à ferire nel c\~etro del Sole, dal quale v\~e- gano nello Specchio, _T X B_, iraggi, _A T, M X, Q B_, paralleli, $otto i qual<007> <007>ntenderemo tutti gl<007> altri, che ca$cano nell’<007>$te$$o Specchio. E’dunque manife$to, che que$t<007> raggi, che formano vn Cannone d<007> lume largo, quanto è lo Specchio, _T X B_, diuentaranno doppo l’<007>n- c<007>denza conuerg\~eti al foco, _I_; Sia hora fatto vn’altro Specch<007>etto Parabol<007>co cõue$$o, _D R G_, il cui foco, _I_, $ia pochi$$imo d<007>$co$to dalla c<007>ma _R_, e $iano talmente <007>l grande, & il piccolo <007>n$ieme collocati, che il foco dell’vno, e dell’altro $ia vnito nel punto, _I_, e$$en- do l’a$$e del piccolo, _F I R_; ponga$i poi, che $i vo- glia accendere il fuoco ver$o, _P_; e$$endo adunque Delle Settioni lo Specchietto talmente accommodato che $ia conuer- tibile intorno al punto _I_, lo riuolgeremo tanto, che $tia per dritto al punto, _P_, come, _F R P_: Perche dũ- que $i è mo$trato nel Cap. 11. che la $uperficie con- ue$$a Parabol@ca riceuendo le conuergenti al $uo foco, le riflette parallele all’a$$e, perciò lo Specch@etto, _D_ _R G_, riceuendo per fianco i raggi, che dalio Specchio grande $i partono conuergent<007> al foco, _I_, inanzi, che vi arriuino, ma ben vicino à quello, li r<007>fletterà <007>n angusto $patio paralleli all’a$$e _F R_, cioè tutt@ri- stretti nel Cannonc<007>no, ò C<007>l<007>ndretto lumino$o, _P @_ _Z_, che anderà pure à ferire al punio, _P_, <010> <007>uicau$a- rà l’incend<007>o nella materia d<007> facil combu stione in quella di$tanza, che l’indebolimento de’ragg<007> cau$a- to per le due r@fle$$ioni c<007> permetterà, el’e$perienza c’<007>n$egnarà; è adunque ch<007>aro, che questo art<007>ficio non è altro, che stringer quei raggi, che caminaua- no paralleli, per e$$empio, nell’ampiezza d’vn braccio alla $ottigl<007>ezza d’vn dito, pur facendoli ca- minar paralleli, cre$cendo la forza de’raggi, $econdo la reciproca proport<007>one de i quadrati delle gro$$ezze de’Cil<007>ndri; c<007>oè, $e il grande $arà decuplo del pic- colo <007>n gro$$ezza, il piccolo haurà forza d@ ri$caldare c\~eto volte più efficace della forza del grande, dou\~edo l’<007>$te$$a quãtità de’ragg<007> operar’<007>n vno $patio $ubc\~e- Coniche. Cap. XXX. tuplo à quello, nel quale bauria da operare il grãde; questa proportione però $i verificarebbe prec<007>$amen- te, $e nelle due r<007>fle$$ion<007> non $i $capita$$e niente, co- me pur’accade, che perc<007>ò bi$ogna leuarne la tara, che <007>mportano dette r<007>fle$$ioni, che così $apremo quanta debba e$$er la forza del C<007>l<007>ndro piccolo doppo le due r@fle$$ioni generato.

In altro modo poi $i potrà ottener l’i$te$$o con lo Specchio troncato, ò Cannone Parabol<007>co, che hl $uo foco di d<007>etro, collocando iu<007> lo Specch<007>etto nel modo $opradetto, come $i vede nella figura 22.

Di più, $e <007>n vece del cõue$$o adopraremo il con- cauo dello Specchietto Parabol<007>co, r<007>ceuendo i raggi d<007>uergenti doppo il concor$o nell’vna, el’altra figu- ra, otteneremo il mede$imo, e di tutto questo ne hab. b<007>amo $icura d<007>mo$tratione.

Ma $e vogl<007>amo credere, che l’vnione de’raggi fatta non preci$amente, ma pro$simamente <007>n vn punto, equ<007>uagl<007>a, quanto al far quello, che cerch<007>a- mo, all’vn<007>one fatta prec<007>$amente in vn punto, po- tremo in vece d<007> Specchiet<007><007> Parabolic<007>, $eruirci dell<007> Sferici, ouero adoperare le lenti, poiche la lente caua, ò traguardo, farà l’offitio dello Specch<007>etto conue$$o, e la lente conue$$a del concauo, quella dourà r<007>ceuere i raggi conuerg\~eti, e que$ta diuergenti, imparando dal Delle Settioni Keplero nella $ua Diottrica, quanto $i a lontano il fo- co loro dalle mede$ime lenti, poiche quello dourà sta- re vnito col foco dello Specchio grande.

Maperche la $udetta Diottrica non $arà for$i così alle mani d<007> c<007>a$cuno, perc<007>ò mi è par$o bene metter quà quel poco, che vi bò trouato poter’e$$ere à no- $tro propo$ito, in materia dell’vnire, ò d<007>$unire i raggi per via di queste lenti, cioè.

Che la lente conue$$a da vna $ola banda, ma di portione minore di G. 30. oppo$ta perpend<007>colarmen- te à i raggi paralleli, con il conue$$o ver$o loro, gli v- ni$ce pro$$imamente in vn punto, lontano dal con- ue$$o tre $emidiametri di e$$a conue$$ità in c<007>rca, $e però non $i rifrange$$ero anco nella ba$e. Prop. 34.

Che la mede$ima riuolta al contrario, gl<007> vn<007>$$e lontano dal cõue{$s}o per due $emidiametri d<007> e{$s}a con- ue$$ità in circa. Prop. 35.

Che la lente conue$$a d’ambedue le bãde della con- ue$$ità dell’i$te$$o cerchio, e$po$ta perpend<007>colarmen- te à i raggi paralleli, gli vni$$e lontano dal conue$$o (che r<007>$guarda e$$i paralleli) vn $emidiametro della mede$ima conue$$ità in c<007>rca. Prop. 39.

E però le mede$ime lenti faranno per il contrario i raggi diuergenti dal punto, nel quale $i è detto far$i il concor$o, paralleli, douendo$i que$te adoprare dop- Coniche. Cap. XXX. po l’vnione fatta dallo Specchio grande.

Potiamo ancora mecanicamente trouare il punto del loro concor$o, mediante i raggi del Sole, o$$eruan- do doue gli raccogliono; ouero in vna carnera $erra- ta, che habb<007> $olo vn pertugio nella finestra, doue e$- $a lente $i deue collocare, o$$eruando, quanto lontano da quella ca$ca la d<007>stinti$$ima pittura de gl<007> ogge@@<007> di fuori $opra la carta, postali dirimpetto, che <007>u<007> è il p@nto del concor$o.

Quanto poi alle lenti caue, c’in$egna $olam\~ete, che fanno le parallele, ouero d<007>uergent<007> pur d<007>uerg\~et<007> nel- le Prop. 90. 91. 92. 93. 94. la onde per il @õ<007>rar<007>o fa- ranno le conuergenti parallele, ò conuergent<007> ad altro punto, e perc<007>ò $i dourãno adoprare inanzi al concor$o fatto dallo Specchio grande, imparãdo dall’e$perien- za il $uo vero luogo.

Potremo finalmente, in vece dello Specchio con- cauo grande, adoperar la lente cõue$$a, comb<007>nata con li Specchietti, ò con le lenti, che n’hauremo il mede$i- mo: E questo fù auuertito dal $ottil<007>$$imo ingegno del Keplero nella mede$ima D<007>ottrica alla Prop. 106. come c<007> man<007>festa d<007>cendo. _Quod I. Bapti$ta pro-_ _fitetur radios Solis primum colligere, po$t col-_ _lectos in infinitum mittere, & $ic comburere,_ _et$i de Speculis loquitur, videtur tamen de_ Delle Settioni _per$picillis intelligi debere, quia de indu$tria_ _occultauit $ententiam._ Doue $oggiunge poi la comb<007>natione della lente caua, e conue$$a per fare tal’ effetto, credendo que$to conuenire alle lenti p<007>ù to$to, che all<007> Specchi; ma noi $appiamo d<007> g<007>à per dimo$tra- tione, che lo deuono fare i Specch<007> Parabolici, che quanto alle lenti ci è per anco na$costo qual figura debbano hauere per vn<007>re <007>n vn punto, ò d $unir da quello; non dubito però, che $e il Keplero, come d’in- gegno per$picace, haue$$e fatto rifle$$ione alle proprie. tà de’Specchi Parabol<007>ci, nõ haue$$e creduto it mede- $imo de’Specchi, ch’egli mostrò d<007> creder delle lenti.

Non tacerò anco, che $e in vece d<007> Specchietti Pa- rabol<007>ci gl<007> adopraremo @perbol<007>ci, talmente fabrica- ti, che habbino il foco esteriore tanto lontano, quan- ta $arà la maggior d<007>stanza, nella quale vorremo ab- bruciare, che me de$imamente douremo hauer l’<007>nt\~e- to no$tro, e c<007>ò for$i $arà d’aiuto all’Operario, men- tre egl<007> non v<007>en r<007>$tretto alla forma Parabol<007>ca, ma $e gl<007> allarga il campo dalla moltipl<007>c<007>tà dell’Iperbo- lette, che <007>n vece d<007> Cil<007>ndrett<007> v<007>braranno Con@ lu- mino$i, che potranno hauer le ba$i non p<007>ù larghe di quelle, c’haurebbono dett<007> C<007>l<007>ndretti. La gro$$ezza po<007> del metallo, del quale $i formarãno gl<007> Specch<007>et- t<007>, ò del chr<007>$tallo, del quale $aranno fabricate le len- Coniche. Cap. XXX. ti, farà, che re$tino per qualche t@mpo contumaci alla forza de’raggi, che da loro venendo vibrati ver$o materie ài facil combu$tione, accenderanno in quelle il fuoco, inanzi che li Specchietti, o l@ lenti pati$ca- no, come altri potrebbe temere, $e ben questi ancora not abilmente $i ri$calderanno.

Come $i può probabilmentecongetturare, che lo Spec- chio a’Archimede, Proclo, e del Por@a, non molto di$oordi da quello, che $i è dichiarato nel Capo an- tecedente. # Cap. XXXI.

VEgga$ihora, c’habbiamo inte$o que$te co$e, s’egli hà del veri- $imile, che l’inuentione accen- nata nell ant. Cap. s’accordi con quelle de’$udetti Autori; io per me lo t\~ego per probabili$$imo, prima per $en- tir noi qua$i tutti gl’I $torici concordemente a$$erire lo Specchio d’Archimede e$$ere $taro Parabolico, come ancoil Porta accenna del $uo, e$i può ragioneuolmente credere anco di Proclo ($e bene non ardirei negare, che in ve- ce de’Parabolici non $i fo$$ero $eruiti for$i an- co de i Sferici, ma haue$$ero dato ad intende- Delle Settioni re quelli e$$er Parabolici, perche altri non co- sì facilmente troua$$e l’artificio, per la diffi- coltà di fare il Parabolico) & e$$endo o Para- bolico, o Sferico, per hauer noi inte$o e$$er’im- po$$ibile con quelli abbruciar’in tanta di$tan- za, $enza l’aggiunta di qualche altra co$a, la quale o deue operare per rifle$$ione, o per ri- frattione; $e per rifle$$ione, $arà $tato Spec- chio; $e per rifrattione, dourà $timar$i, che fo$- e lente. Secondo, mi vien ciò molto cõfermato pal modo di $piegar l’operatione dell’attaccar fuoco; poiche di Proclo dice pur Zonara di $o- pra citato, come riferi$ce il Porta; _Nam $pecula_ _ex ære fabrica$$e Vstoria fertur Proclus, in quæ cum_ _Solares rad{ij} impegi$$ent, @gnem inde fulminis in$tar_ _erumpentem, cla$$iarios, ip$a$\’q combu$i$$e,_ doue quell’_ignem fulminis in $tar erumpentem,_ mi par, che ci rappre$enti quel Cilindretto V$torio, che di $opra $i è dichiarato. E di Archimede l’ifte$$o Zonara nel Tomo 2. parla pur, dicen- do; _Speculo enim quodam ver$us Solem $u$pen$o,_ _radios @xcepit, aereque ob den$itatem, <010> leuitatem_ _Speculi ex {ij}s rad{ij}s incen$o, efficit, vt mgens flam-_ _ma recta in naues illata omnes eas cremaret:_ che pur cõferma la vibratione del $udetto Cãnon- Coniche. Cap. XXXI. cino dilume. Il mede$imo $i può credere del- la Linea V$toria del Porta, la qual dice v$cir dal c\~etro dello Specchio, e$$er di qual$iuoglia lunghezza, & abbruciare da che parte $i vo- glia tutto ciò, che incontra, il che molto $i ac- corda cõ il già detto Cilindretto V$torio; anzi $e bene e$$o Porta, tra$pon\~edo le parole, ci hà na$co$to il loro $en$o, $i raccoglie però à pez- zo à pezzo, ch’egli parla d’vn’artificio, che con$ta d’vna co$a grande, e piccola, cioè di Specchi Parabolici, ò Sferici, poiche dice: _Sed_ _exeuntem radium ex Speculi $uperficie Parabolica,_ _& c._ e poi; _Nec refert Parabola $it, aut Sphærica._ e più à ba$$o; _Fenestra perforetur obliquè, vt re-_ _cipiat Speculum Parabolicum:_ più oltre poi; _At_ _$i parua magnæ in proportione non re$pondet, $citò_ _te nil opera$$e, magna $it circa ba$im, parua circa ver-_ _ticem, primæ æquidistans._ e finalmente peri$pie- gar la $econda forma del mede$imo Specchio, che $i può vedere nella figura 22. $oggiunge nel fine: _Sicordi fuerit, vt accen$io anterius fiat,_ _ex $ectione, quæ circa ba$im e$t, conficiatur torques,_ _in cuius med{ij} puncto accommodetur artificium, vt_ _regre$$us radius in anterius prodat:_ vegga$i $e $i può dire più chiaro; il che vien confermato Delle Settioni da quello, ch’egli $oggiũge parimente nel Ca- pit. 19. al Tit. _Refractione longi$$imè ignem accen-_ _dere:_ poiche dice; _Conficit eodem modo lineas_ _tran$uersè inci$as parallelas, dixit Almeon;_ cioè, che $i deuono fare le conuerg\~eti, ò diuergenti ($ignificate per quel _tran$uersè inci$as)_ paral- lele, che $i fà con gl’artificij detti di $opra; e più à ba$$o poi; _Videbis ignem per occultum, & a@_ _pertum radium incid\~etem in $uperficiem rectã, <010> c._ E finalmente quanto allo Specchio d’Archi- mede, ch’egli adoperandolo o Parabolico, ò Sferico, vi accompagna$$e qualche altra co$a, che o per rifle$sione, ò per rifrattione vibra- ua quei raggi, che veniuano in lei raccolti, ce lo manife$tano le parole di Zetzes, Autore an- tichi$simo, che volendoci e$$o Specchio de$- criuere, ne parla in tal maniera, come $i può vedere nell’Archimede commentato da Da- uid Riualto, che da quello le hà tradotte, e po$te nel fine de’$uoi Commenti, nello Scho- lio, po$to al Titolo _De Speculis Vstor{ij}s Arcbi-_ _medis_, citato di $opra nel Cap. 28.

Cum autem Marcellus remoui$$et illas ad iactum arcus:

Hexagonum aliquod Speculum fabricauit $enex:

Coniche. Cap. XXXI.

A di$tantia autem commen$urati Speculi

Parua talia $pecilla cum po$ui$$et, quadrupla angulis:

Quæ mouebantur laminis, & quibu$dam $cul. pturis,

Medium illud po$uit radiorum Solis,

Australis, & Æ stiualis, <010> Hyemalis:

Refractis deinceps in hoc rad{ij}s,

Exar$io $ublata e st formidabilis ignita nauibus.

Et has in ciner\~e redegit longitudine arcus iactus.

Hist. 35. Chil. 2.

Io per me confe$$o non hauer trouato Autore, che pa$si più inanzi di que$to nello $piegare la forma del $udetto Specchio d’Archimede; dalle quali parole credo non o$curamente $i po$si compr\~edere, che oltre lo Specchio o Pa- rabolico, ò Sferico che $i fo$$e, vi adopra$- $e ancora o Specchietti, ò pur lenti; quel ter- mine poi di _Hexagonuw aliquod Speculum_ ci ma- nife$ta, che que$to Scrittore nõ $apeua di che $orte fo$$e tale Specchio, ma hauendo for$i $entito dire, che lo Specchio cõcauo Sferico abbrucia dinanzi per quanto di quà, e di là $i e$t\~ede il lato dell E$$agono, come $i è $piega- to nel Cap. 21. $i ri$ol$e à $criuere, ch’era vn Delle Settioni qualche Specchio E$$agono; il rimanente poi, che $oggiunge de gli Specchietti, ò vetri col- locati in di$tãza proportionata allo Specchio (poiche crederei dice$$e più to$to; _A di$tantia_ _autem commen$urata $peculo_; ma che fo$$ero cor- rottele parole) mo$si con laminette, ò $cultu- re, ci mo$tra la volubilità di quelli per attac- car fuoco in diuer$e bande, hauendone più d’vno, po$cia che molto $i ri$caldano, e perciò deuon$i mutare; quel _quadrupla angulis_, poi non $a prei, che $i vole$$e dire, $e non for$i, che la larghezza della ba$e de’Specchietti Parabo- lici (s’erano tali) fo$$e quadrupla della pro- fondità di quelli, il che $aria $tato, quando il foco loro fo$$e $tato in sù la bocca dello Spec- chietto, poiche la ordinatamente applicata all’a$$e della Parabola, la qual pa$$a per il di lei foco, è eguale al lato retto di quella, e per- ciò è quadrupla della parte dell’a$$e troncata via da lei ver$o la cima. Quella parola, & _hyemalis_, mo$tra l’efficacia di quello Spec- chio, che anco d’Inuerno facea tale operatio- ne. _Refractis deinceps in hoc rad{ij}s_; Se que$te poi v$ci$$ero da per$ona intelligente de’ter- mini di Pro$pettiua, e non da $emplice I$tori- Coniche. Cap. XXXI. co, bi$ognaria credere, che nõ fo$$e vno Spec- chio, ma vna lente quello, ch’adoperò Archi- mede; ma perche que$to Autore for$i non hebbe intentione di $piegar’altro, che il rom- pimento de’raggi, che $i fà tanto per rifle$$io- ne, come per rifrattione, perciò crederemo ragioneuolmente, che quel termine, _Refractis_, non più la rifrattione, che la r<007>fle$$ione ci po$$i $ignificare. Il dir poi _Exar$io $ublata est for-_ _midabilis ignita nauibus_. Mo$tra probabilmen- te, che fo$$e attaccato fuoco in più d’vna na- ue, per douer cagionare vn’incendio così for- midabile, il che $i rincontra con quel, che $i è detto di $opra; e finalmente ci dichiara que- $to Autore la di$tanza, nella quale $eguì que- $to incendio, mentre dice; _Et has in cinerem re-_ _degit longitudine arcus iactus_; cioè nella di$tan- za d’vn tiro d’arco abbruciò le naui, e le ridu$- $e in cenere. Que$ta è tutta l’importanza del negotio, accendere il fuoco in tanta di$tanza, poiche l’abbruciar d’appre$$o, anzi per lo $pa- zio anco di 4. braccia, è co$a facile, e noti$. $ima à tutti, in comparatione di quello; ma cau$ar l’inc\~edio lontano quãto è vn tiro d’ar- co, _Hocopus, hic labor_. Hò inte$o da per$one pra- Delle Settioni tiche, quando $i tira con l’arco à $egno, cioè di punto in bianco, poter’andare lo $trale per in$ino à ducento pa$$i, ma di tiro eleuato, com’à dire, circag. 45. ch’è il ma$$imo, poter$i tirar lontano $ino à quattrocento pa$$i; che $e s’intende$$e il $udetto Autore d’vn’arco non caricato à mano, ma con leue, martinelli, e $i- mili ordigni, crederei $i pote$$e con que$ti ar- riuare alla di$tanza di mezo miglio, e più an- cora. E che parli d’vn tal’arco il detto Auto- re, hà del probabili$$imo, poiche racconta Po- libio, che hauendo i Romani prouato la tem- pe$ta delle pietre, ch’erano $cagliate dalle mura, ritrouando$i a$$ai lontani da quelle, $ti- mò Marco Marcello, che ad Archimede fo$$e bi$ogno di tanta di$tanza, e che à tanto $patio fo$$ero caricate le frombole, le bale$tri, e $imi- li $tromenti da tirar pietre; la onde coman- dò, $i acco$ta$$e alle mura, per veder d’in- gannar’Archimede, edi rendere inutili quel- le machine, dalle quali $entiua nella propria Armata tant’offe@a; ma egli fù l’ingannato, poiche ritrouò non minor’apparato da vicino, che da lontano, come racconta il mede$imo Polibio dicendo; _Ad extremum M. Marcellus_ Coniche. Cap. XXXI. _his difficultatibus circumuentus, clam $ilentio noctis_ _naues propius admouere e$t coactus, quæ po$tquam_ _intra tali iactum terræ appropin qua$$ent, alium rur-_ _$us apparatum aduer$us eos, qui è nauibus dimica-_ _bant, idem vir perstruxerat. Murum crebris ca-_ _uis ad bumanæ $ta<007>uræ modum: $ed quæ extrin$ecus_ _palmares e$$ent aperuit. Ibi Sagittar{ij}s, ac Scorpiũ-_ _culis ab interiore muri parte appo$itis, per istos pe-_ _tens hostem, inutiles nauium Romanorum epibatas_ _reddebat, ex quo eueniebat, vt inimicos & procul_ _po$itos, & in proximo $tantes, non $olum quicquam_ _eorum exequi vetaret, quæ propo$uerant, $edetiam_ _plurimos illorum occiderer._ E così và $eguitando di raccontare le machine, e gli artificij, con che egli diffendendo$i offendeua le nemiche naui. Hora egli hà del credibile, che veden- do M. Marcello non poter$i diffendere, ne con lo $tare tanto lontano, quanto era dianzi che s’acco$ta$$e alle mura, ne con lo $tar tanto vi- cino, che _intra teli iactum terræ appropinqua$$et_; egli face$$e vna ritirata tale, che ne viarriua$- $ero i Sagittarij, ne men le frõbole, ò bale$tre, e che per vltimo rimedio adopera$$e lo Spec- chio, e le abbrucia$$e; _longitudine arcus iactus_; per la lunghezza d’vn tiro d’arco, non carica- Delle Settioni to con la $emplice mano, ma $i bene con leue, ò altri ordigni; poiche alla prima già $i troua- ua con le naui fuor del tiro delle $aette, come dice Polibio, e pazzia par che $arebbe $tato il fermar$i di nuouo, doue poco dianzi hauea di già prouato il continuo tempe$tare delle pie- tre, ch’erano di gro$$ezza tale $cagliate dalle mura, che tal’vna era di 250. libre: Emi ri- cordo hauer $entito dire à vn Siracu$ano, che le naui per vltimo $i ritira$$ero in vn luogo, che $i chiama Bocca di porto, che $tà ver$o Settentrione in ri$petto di Siracu$a, doue mi dicea e$$er fama, che Archimede abbrucia$$e in gran parte le dette naui, nella di$tanza par ($e mal non mi ricordo) che afferma$$e di più di mezo miglio, $e ben poi per tradimento di Merico Prefetto di Acradina, che gli aper$e vna porta, fù poi pre$a la Città. Hora l’hauer- le abbruciate ver$o Settentrione, dalla qual banda non potea e$$er drittam\~ete il Sole, con- ferma maggiormente non poter quello Spec- chio e$$er $tato d’altra $orte, che di quella, che di $opra $i è dichiarato. Aggiunga$i ancora, ch’e$$o diceua hauer vi$to vn’antichi$simo di- $egno di tale Specchio, e che $i ricordaua, che Coniche. Cap. XXXI. era notabilmente cauo, il che pur conferma ciò, che $i è detto di $opra.

Non hò voluto veramente tacere quel- lo, che mi è venuto in mente, ò che hò potuto int\~edere da altri, per r\~eder credibile vn $imile artificio, e que$to hò fatto per inanimar’al- tri ad affaticarui$i intorno, ne pen$o $ia poco prima l’hauer’inte$o per dimo$tratione, che operãdo conforme all’e$$emplare, debba $e- guirne l’effetto; poi il vedere da tanti rincon- tri, quanto que$to pen$iero mirabilmente concordi con quello, che $i troua $critto de gli Specchi d’Archimede, di Proclo, e del Porta; e finalmente l’hauer noi relatione di Scrittori in$igni, e di prima cla$$e, ciò e$$er $tato fatto, ci deue ben far credere, che $ia co$a fattibile; ma l’e$$er $tato fatto da pochi, che $ia veramente co$a molto difficile, ma non impo$$ibile da far$i. Non hò, dico, volu- to na$condere $otto il $ilentio, ò mettere in cifra il mio $en$o in co$a, che può apportare tanto gu$to, marauiglia, & vtilità à $tudio$i de’$egreti di Natura, e$$endo l’huomo, come diceua Platone, nato non per $e $te$$o $olo, ma per giouare à gli altri ancora, hauendo $pie- Delle Settioni gato nel miglior modo, che hò $aputo, ciò, che la $pecolatiua mi hà $ommini$trato in co$a tã- to recondita, e tanto curio$a, acciò quelli, che hanno prattica nel lauorare i Specchi, com- modità di $pendere, e di tempo più, che nõ hò io, e$$endo occupato in altra $orte di $tudij, che non mi permettono il poterli applicare, quãto $aria di bi$ogno, adoprãdo ui l’<007>ngegno, e la mano, cauino dal $epolcro dell’oblio vn’ inuention sì rara, che per tanti anni è $tata na- $co$ta anco à’più $ottili inue$tigatori delle o- pere marauiglio$e di Natura: Come pur’an- cora re$tiamo incapaci, cred’io, $in’hora della colũba di Archita, che volaua, delle lucerne, che ardeuano perpetuamente ne’$epolcri del capo fatto da Alberto Magno, che parlaua, e di $imili altri $ecreti; ricono$cendo noi nel no$tro Problema molto vantaggio $opra di quelli, poiche non $olo $appiamo, che è $tato fatto, ma intendiamo anco $pecolatiuamen- te il modo, con che $i dourebbe fare, che tan- to non ne $appiamo for$i di quelli. La$cierò ben poi ad altri pen$are la maniera $i di fabri- car detti Specchi, come anco di $ituarli con- forme all’e$$emplare, trala$ciando molte co$e, Coniche. Cap. XXXI. che potrei dire, per quanto s’a$petta à facili- tar l’operatione, acciò gli altri habbino d’af- faticar$i loro ancora, e per non e$$er giu$ta- mente ripre$o d’hauer publicato affatto vn tal $ecreto, del quale non $i sà $e altri n’habbi mai voluto $criuere, $e nõ il Porta, con parole o$cure, & enimmatiche, & il Keplero pur’ in poche parole attribuendolo alle lenti, come $i è detto di $opra; e $e ben $i crede da alcuni, che Archimede $criue$$e ancora lui vn’ Ope- ra de’ Specchi, commentata da vn tal Goga- ua, ciò però è tenuto per co$a molto dubbio- $a; La difficoltà dunque, che vi re$ta per met- terlo in prattica, $pero che mi liberarà da que $ta cen$ura; oltre che l’hauer’io $marrito alcu- ne $critture, nelle quali per mia memoria ha- ueuo de$critto le $udette co$e, per non e$- $er da altri preoccupato, mi hà fatto fare in parte que$ta ri$olutione. Vi agginngerò an- cora l’e$$ortationi dell’Illu$tri$s. Sig. Ce$are Mar$ili, non meno ornato di quelle parti no- bili$$ime, che à Caualiero $i conuengono, che ver$ati$$imo nelle di$cipline Matematiche, al quale parendo, che tal pen$iero non ha- ue$$e così dell’ ordinario, $timò e$$er co$a Delle Settioni molto conueneuole, ch’io pre$enta$$i qu@$ta nuoua inuentione à que$to Illu$tri$s. Senato di Bologna, publicandola $i per la $opradetta ragione, $i anco, perche $i porge$$e materia à’ $tudioli d’e$$ercitar l’ingegno, e la mano, per arriuare alla perfettione di così curio$o tro- uato; riferi$cano quelli dunque principal- mente al genero$o $pirito di que$to Signore l’hauer’io pale$ato ciò, che pen$ai di tener na- $co$to (hauendo pur’anco, $econdo il $uo pen- $iero, po$to il libretto delle figure in vltimo, cõforme, ch’anch’egli $tampãdo, mi di$$e di vo ler fare) e gradi$chino l’affetto mio, e da tanti cõtra$egni di verità inanimati, faccino della benignità della Natura i$perienza, che ap- plaud\~edo à’no$tri sforzi, accompagnarà for$i que$to con gli altri fauori, de’quali, come mi- ni$tra della Diuina Prouidenza, $i è com- piacciuta arricchir $ingolarmente fra gli altri que$to no$tro $ecolo.

Coniche. Cap. XXXI. Come con lt $udetti Specch<007> potiamo d<007> notte manda- re il lume lontano. Cap. XXXII.

EManife$to, che $e noi collocare- mo nel foco della Parabola la fiamma d’vna candela, che tut- te le linee radio$e, ò lumino$e $i rifletteranno dalla Paraboli- ca $uperficie parallele, che pe- rò il lume an darà a$$ai lontano, e tutto lo $pa- tio rinchiu$o d\~etro e$$e parallele verrà ad e$$e- re illuminato, l’i$te$$o farà lo Specchio Sferico; l’Iperbolico poi le ribatterà $em@re diuergen- ti, mentre $ia la fiamma nel $uo foco interio- re, e ciò farà con la concaua, e con la conue$- $a, mentre quella $ia nel foco e$teriore; l’E- littico poi le ribatterà ad vn punto, cioè all’ altro foco, doue il lume $arà viuaci$$imo, ma in poco $patio; con que$ti adunque potremo illuminare vna $tanza, ò gran $ala con pochi lumi, $o$pendendo intorno à quella alc uni di que$ti $opranominati Specchi, non vi compr\~e- dendo però l’Elittico, poiche vni$ce $olo in vn punto.

Sò beni$$imo que$te co$e e$$er $tate da altri Delle Settioni ancora acc\~enate, ma io le hò quì di nuouo po- $te, $i per applicarle alle altre Settioni Coni- che, $i anco per farle na$cere con diletto del- la $ua ragion fondam\~etale. La$cio di trattar’ intorno alle imagini, come le po$$ino mo$trar’ inuer$e, grandi, piccole, torbide, chiare, e pendule nell’aria, hau\~edone trattato il Ma- gini nel $uo Libretto dello Specchio Sferico; e l’applicar’i mede$imi $intomi à’$udetti Spec- chi ricercaria maggior lunghezza di quella, ch’io pretendo in que$to mio Trattato.

Potrei anco dire, come l’effetto del Can- nocchiale $i haurebbe for$i anco dalla combi- natione di que$ti Specchi, ò de’Specchi con le lenti, $e ben la facilità del produrre la figura Sferica farà, che ci preuagliamo più to$to di que$ta, che dell’altre; Concio$iaco$a adunque, che lo Specchio cõcauo facci l’operatione del- la lente conue$$a, e lo Specchio conue$$o della lente caua, è manife$to, che $e combinare- mo lo Specchio concauo con il conue$$o, o- uero con la lente caua, douremo hauer l’ef- fetto del Cãnocchiale, e tale for$i fù lo Spec- chio di Tolomeo, la onde con tale occa$ione non mancherò di dire, come hauendo più Coniche. Cap. XXXII. volte $entito cercar da alcuni il modo di fa- re vn paro d’occhiali, che face$$ero l’effetto del Cannocchiale, io pen$ai, che ciò in tal modo $i pote$$e fare, cioè, che $i colloca$$e vn traguardo da vna bãda, e dall’altra vno Spec- chietto cauo, poiche mettendoci noi que$to paro d’occhiali, con il contra porui vno Spec- chio piano auuicinato, ò allontanato, quanto cõporta il veder di$tin tamente l’oggetto den- tro lo Specchietto cauo ($corgendo$i però l’v- no, e l’altro nello Specchio piano, antepo$to alla no$tra faccia) $i ottenerà l’effetto del Cã- nocchiale, egli è però vero, che dou\~edo $ta- re que$ti allo $coperto, faranno il mede$imo, che il vetro cauo, ò conue$$o, adoperati fuor della canna, anzi per far$i vna rifle$$ione di più, cioè dallo Specchio piano, verremo anco perciò à $capitar più nell’operatione; ciò però con que$ta occa$ione hò voluto ac- c\~enare, come per vna bizzarria, per dar qual- che $odisfattione à’curio$i, che voglion cer- car miglior pane, che di farina, poiche all’ec- cellenza del Cannocchiale, non arriuaranno mai, per mio credere, ne i Specchi combina- ti in$ieme, ne accompagnati con le lenti, co- Delle Settioni me, chine vorrà far proua, credo $i potrà a$- $icurare. Hora dunque ba$terà quello, che $i è detto di $opra intorno al lume, e calore, potendo noi nell’i$te$$o tempo intendere le mede$ime co$e anco per il freddo, che dilatã- do$i dal corpo freddo ad ogni po$itione per li- nea retta, e perciò nell’infinite linee, che $i partono dal corpo freddo, come dalla neue, e$$endoui dentro le parallele, che $ono vnite dallo Specchio Parabolico, e le diuergenti, che $ono vnite dall’Elittico, e le conuergen- ti vnite dall’Iperbolico, perciò con opporre alcun di que$ti Specchi ad vna ma$$a di neue, ò di ghiaccio, $entiremo nel loro foco e$$ere il freddo fatto molto gagliardo, ma per quefto effetto $arà più atto l’Iperbolico di tutti, come quello, che raccoglierà maggior quantità di linee fredde; e que$to ba$ti ancora circa il freddo, potendo$i for$i in vn certo modo cre- der, che tale effetto accade$$e anco in- torno à gli odori, prouando noi di- latar$i pur quelli dalli corpi odoriferi ver$o ogni banda.

Coniche. Cap. XXXIII. Come potiamo $ent<007>r quel $uono, che per altro uon s vd<007>rebbe, ò $ent<007>r megl<007>o quello, che de- bolmente $i $ente. Cap. XXXIII.

IN due maniere noi potiamo ot- tener que$to, ma prima fà di me$tieri con$iderare $e il $uono, che $i hà da $entire, è vn $olo, e vicino, ouero $e è vn $olo, e lon- tano a$$ai, ouero $e $ono più $uoni in$ieme, come $ariano i ragionamenti fatti in vna piazza da varie adunanze d’huomini, che di$- $corre$$ero, ouer’il mormorio d’vn fiume, ò $i- mili altri $uoni. Se adun que il $uono $arà vn $olo, e vicino, non è dubbio alcuno, che $arà d’ogn’altro più atto lo Specchio Elittico, met- tendo l’orecchio in vn de’fochi, e nell’altro $tandoui il corpo $onante; ma quando $ara vn $olo, e molto lontano, allhora $arà atto à que- $to $eruitio anco il Parabolico, mettendo l’o- recchio nel di lui foco; e finalmente, quando fo$$er più $uoni in$ieme, allhora più atto di tut ti $arà l’Iperbolico, come quello, che racco- glierà più linee $onore; potiamo poi in due modi ottener que$to, cioè o preualendo$i Delle Settioni dello Specchio Elittico, o Parabolico, o Iper- bolico, o del Cannone, ma $timo più atto di tutti il Gannone, perche l’orecchio $i può ac- commodare dietro di quello $enza impedire le linee $onore, doue nello Specchio douen- do l’orecchio $tarli dinanzi, può apportar- ui qualche impedimento; auuertendo però, che que$ti i$tromenti vogliono e$$er grãdi per le linee $onore più, che per le lucide, poiche il $uono non $oggiace così à que$te leggi, co- me il lume, propagando$i quello anco per li- nea fle$$uo$a, cagionando$i egli dalla pul$io- ne nell’organo dell’vdito, fatta dall’aria tre- mante di più, e men veloci tremori, che fan- no l’alto, e’l ba$$o, il graue, e l’acuto nel $uo- no, il qual tremore comincia dal corpo $onan- te, e ad ogni po$itione $i và continuamen- te diffondendo per dritta linea, quando non troui o$tacolo, ma per dritta linea, e per fle$$uo$a, quando ritroui impedimento.

∴ Coniche. Cap. XXXIV. Come per il contrario potiamo inuigorire il $uono, $i che $ia $entito più gagliardo, che non $i $entirebbe. Cap. XXXIV.

QVe$to pur $i potrà fare con i mede$imi Specchi, & in par- ticolare con il Cannone Elit- tico, fatto con la debita pro- portione, e mi$ura, $i che $ia- no $uoi fochi il punto della voce, & il punto dell’vdito; poiche formando la voce in vn di quei fochi, $i $entirà (per vnir$i molte linee $onore in vn $ol pũto) gagliarda più, che $en- za il detto Cannone $i $entirebbe; Il Cannon Parabolico poi le manderà parallele, e l’Iper- bolico diuergenti; intend\~edo però per Spec- chi nel $uono quelli, c’hauranno la $uperficie in qualche modo li$cia, $eben non rappre$en- ta$$ero le imagini; e chi face$$e vna tromba Elittica, Parabolica, ò Iperbolica, che haue$$e il foco, doue $e li dà la vo- ce, for$i faria meglio delle v$itate.

Delle Settioni Come $i po$$a fabricare vna stanza talmente, che ch<007> $tarà in vn’angolo di quella, $enta il $uo- no fatto nell’altro angolo diametral- mente oppo$to, non $entendo quel- li, che $aranno nel mezo. Cap. XXXV.

NOn $olo lo Specchio, e Canno- ne Elittico, Parabolico, ò Iper- bolico faranno i $udetti effetti, ma ancora qual$iuoglia pezzo della $uperficie di quelli, e pe- rò $e noi fabricaremo vna $tanza contal’arte, che il volto $ia vn pezzo, ò fru$to di $uperficie Elittica in tal modo di$egnata, chei due fochi di quella venghino ad e$$er ne gli angoli op- po$ti di detta $tanza, prouaremo, che $tando in vn di quegli angoli con l’orecchio in vn de i detti fochi, $entiremo ciò, che dirà vn’altro nell’altr’angolo dall’altro foco ba$$amente, $i che non $ia inte$o da quelli, che $aranno in mezo; sò, che $correndo la voce $opra d’vna ter$a $uperficie, $enza interrompimento alcu- no, $uol far$i $entire più gagliarda dell’ordi- nario, come $i $ente longo vn fiume, che $ia Coniche. Cap. XXXV. placido, ouero vn muro, che $ia b\~e pulito, ò da angolo à angolo, come nella $ala del Sereni$s. Duca di Mantoua, tuttauia sò anco, che$e à que$tos’aggiõgerà, che $ia tal $uperficie Elitti ca, fatta nel modo di $opra, che farà quel mi- glior’effetto, che $ia po$$ibil fare; $arà poi be- ne, che il re$to della $tanza $ia ben pulito, eli- $cio, e $ia di $uperficie Elittica per vn ver$o, e dritta per l’altro (acciò, che’l muro $tia à piõ- bo, conforme all’ordinario)e che non vi $iano cornici, ouero cordoni, che così $i darà quel maggior’aiuto alla voce, ò $uono, che $ia po$- $ibil darui all’aperta; dico all’aperta, poiche per canali rinchiu$i sò molto bene poter$i par- lar di lontano, ma in quelli non vi è artificio, per conto di rifle$$ione, ma $emplicemente mantengono la voce gagliarda, per la $uper- ficie ter$a del canale, e per il tremito dell’aria, che $enza patire turbam\~eto per $trada, incor- rotto peruiene all’orecchio, e di quì $i può rac cogliere, che all’a perta e$$endo vna cauità di muro, ò di mõti di $uperficie Elittica, faremo $entire vn’Echo perfetti$$ima, $e $tando nell’ vn de’fochi di quella, l’vditore $arà nell’altro foco, poiche $entirà la voce primaria, e poi Delle Settioni la rifle$$a ingagliardita. Di quì può na$cer, che la $eluaggia Ninfa Echo $ia da’Poeti $tata fa- uoleggiata per habitatrice de’caui $pechi, for$i perche da que$ti più perfettamente (co- me da $uperficie, che all’Elittica $i vanno ac- co$tando) che da $uperficie piane ci ri$ponda, benche ancor da que$te $i formi l’Echo, co- me nella $ua Echomatria hà dimo$trato il P. Biancano Ge$uita.

De i Va$i Teatrali di Vitruuio. Cap. XXXVI.

POtiamo ancora dalle co$e dette di $opra, comprendere in parte la ragione del formare i Teatri circolari, cioè, perche gli vdi- tori nõ $olo $entano la voce pri- maria, che dalla Scena, come da centro per l’ampiezza del Teatro $i diffonde, ma anco la $econdaria, cioè la rifle$$a dalla rotondità del mede$imo Teatro: Anzi per render’e$$a voce $onora, & armonica all’vdito, $oleuano gli an- tichi collocar certi va$i dentro le $edie, $opra certe celle incauate nel muro, crederei io, Coniche. Cap. XXXV. à gui$a de i Nicchi, ne’quali $i $oglion mette- re le Statue, in tal maniera però, che $te$$ero $o$pe$i con certi cunei, $enza toccare il muro, con la bocca riuolta in giù, $ino al numero di tredici, nel mede$imo cor$o, e ne’Teatri pic- coli, ma di tr\~eta$ette in tre cor$i, e ciò ne’Tea- tri grandi, accommodati $econdo il genere armonico chromatico, e diatonico, formati con tal proportione fra di loro, che toccati, ri$ona$$ero il diate$$eron, e’l diapente per or- dine al di$diapa$on, cioè la quarta, e la quin- ta per ordine alla quintadecima, d\~etro la qua- le rinchiudeuano gli Antichi tutte le con$o- nanze, benche Vitruuio arriui $ino alle diciot- to; le quali co$e egli ci manife$ta nel libro 5. al Cap. 5. della $ua Architettura, mentre di- ce; _Itaex his indagation<007>bus mathemat<007>c<007>s ratio-_ _n<007>bus fiunt va$a ærea pro ratione magnitudinis_ _Theatri, eaq; it a fabricentur, vt cum tanguntur, $o-_ _nitum facere po$$int inter $e diate$$eron, diapente_ _ex ordine ad di$diapa$on. Postea inter $edes Thea-_ _tri con$titutis cell<007>s, ratione mu$ica ibi collocentur,_ _it a vti nullum parietem tangãt, circaq; habeant lo-_ _cum vacuum, & à $ummo capite $patium, ponan-_ _turq; inuer$a, & habeant in parte, quæ $pectat ad_ Delle Settioni _Scenam, $uppo$itos cuneos, ne minus altos $emipe-_ _de, contraq; eas cellas rel<007>nquantur aperturæ <007>nfe-_ _riorum graduum cubil<007>bus longæ pedes duos, altæ_ _$emipedem._ E così da que$ti va$i riflettendo$i la voce con molta $onorit$a4;, & armonia, arri- uaua alle orecchie de gli vditori, com’egli di- ce doppo hauer $piegato le con$onanze, che deuono formar tra di loro detti va$i, $oggiõ- gendo: _It a hac ratiocinat<007>one vox ab Scena, vti_ _à centro profu$a $e circumag\~es, tactuq; feriens $ingu-_ _lorum va$orum caua @x@it auerit auctam clar<007>ta-_ _tem & concentu conuenientem $ibi con$onantiam._ Que$ti va$i, benche fo$$ero tredici, non ren- deuano però tutti $uoni d<007>fferenti, ma e$$en- do di$po$ti in $emicircolo, erano vni$oni quel- li, che di$tauano vgualmente da quel di me- zo: Ma per magg<007>or chiarezza $upponiamo per detti tredici va$i le tredici lettere maiu$- cole, po$te indritto, $e ben’i Va$i vanno di$po- $ti in giro, conforme alla rotondità del Tea tro; <007>ntenderemo dunque, che i Va$i AA. fra di loro, e così BB. CC. DD. EE. FF. $iano A B C D E F G F E D C B A vni$oni, e perciò d’egual grandezzapur fra di loro, hora tra que$ti i va$i e$tremi AA. dourã- Coniche. Cap. XXXV. no, dice, ri$onare il Nete hyperboleon, per e$$empio, nel genere armonico, cioè e$$ere acuti$$imi; Poi i $econdi BB. douranno far’il Nete diezeugmenon, cioè e$$er più ba$si del- li AA. per vn Diate$$eron, cioè per vna quar- ta, e perciò i corpi di que$ti BB. douran’e$$er $e$quiterzi delli AA. poiche il Diate$$eron con$i$te nella proport<007>on $e$quiterza. Parim\~e te gli CC. $arãno più ba$si de $econdi BB. vna quarta, & à quelli $imilmente in $e$quiter- za proportione, per formar pur que$ti CC. con li BB. il Diate$$eron. I quarti DD. $a- ranno poi più ba$$i delli CC. per vn tuono, e perciò à i CC. douranno hauer proportio- ne $e$quiottaua. I quinti EE. $aranno più ba$$i delli DD. vna quarta; & i $e$t<007> FF. pur vna quarta più ba$$i delli EE. E $inalmente il medio G. fra tutti ba$$i$$imo lõtano dalli FF. mede$imamente per vna quarta. Que$te $o- no lecon$onanze, che per il detto di Vitruuio par che debbino far que$ti va$i, quando $ian tocchi dalla voce, o da altra co$a, che gli per- cuota; $e ben pare, che $i pote$$ero in altro modo ancora talmente ordinare, che fareb- bono for$i anco miglior con$onanza, que$to Delle Settioni però la$cierò con$iderare alli Mu$ici prattici, che facilmente comprenderanno, qual $ia la migli r concordanza, che po$$ino hauer fra di loro que$ti va$i.

Ma benche s’intendano que$te con$onan- ze, e che Vitruuio c’in$egn<007>, che que$ti va$i deuono $tar, doue $ono le celle, com’egl<007> dice nelluogo $opracitato, con l’altre circon$tan- ze, nondimeno pare, che la no$tra curio$ità non troui piena $odisfattione nella dichiara- tione, ch’egli fà intorno à que$ti va$i, poiche ne c’<007>n$egna, che forma debbano hauere, ne men le celle, ne con qual proportione, ri$pet- to alle grandezze de’Teatri, $i habbino da fa- bricare, e con qual regola $ituar$i, dicendo $olo; _F@unt va$a ærea pro ratione magnitud<007>nis_ _Theatri_; mo$trando, che deuono e$$er caui, per quelle parole; _Tactu\’q; feriens $ingulorum_ _va$orum caua_; non pa$$ando più oltre ne lui, ne <007> $uoi commentatori, almeno quelli, che hò potuto vedere; Non mancherò perciò di dire anco intorno à que$to il mio p\~e$iero, non perche io $timi d’indouinare il modo de gli antichi; ma perche mi pare probabilmen- te, che nella maniera, che pen$o io, pote$$e Coniche. Cap. XXXV. far$i vna co$a $imile à que$ta, che Vitru- uio accenna, e per eccitare gl<007> $tudio$i ad ap- plicare il pen$iero à que$t’altro Problema, de- gno della curio$ità di quelli, che vanno cer- cando co$e nuoue, e che non ce$$an mai d’af faticar$i per di$coprire i te$ori, che $otto le ruine delle antiche di$cipline $tanno $epolti. Io dunque $timarei, che quei va$i doue$$ero hauere vna delle tre forme di $opra dichia- rate, cioè o Parabolica, o @perbolica, o pure Elittica, come quelle, che habbiamo di già vi$to e$$ere atti$$ime per vnire ad vn punto le conuergenti, diuergenti, e parallele, o di$u- nire da quello, v$cendo la voce, come da vn pũto della bocca del recitãte, e diffondendo$i in giro in cõ$eguenza linee diuerg\~eti. Fra quel le tre poi crederei più to$to cõuenirli la forma Iperbolica, che le altre due; e che le celle do- ue$$ero e$$ere di cõcauità Elittica, per il lon- go, e per il largo, fabricando così la cella, co- meil va$o con tal proportione, in ri$petto del Teatro, che de i due fochi della cella El<007>tti- ca (cioè, che è vn pezzo della $uperficie del- lo Sferoide) vno fo$$e in quel luogo, doue $o gliono $tare irecitanti, o cantori, l’altro vici- Delle Settioni no alla cella dinanzi à quella, e dirimpetto al- la fronte di e$$a, acciò nel mede$imo punto fu$$e anco il foco interiore del va$o Iperbo- lico riuolto con la bocca in giù, e$$endo que- $ta collocatione $im@le à quella dello Spec- chio grande Parabolico, e dello Specchietto, in$egnata nel Cap. 20. e qua$i vn $imile arti- ficio. Hora che la figura, e di$po$itione de i detti va$i, e delle celle debba farci $ortir l’ef- fetto, che pretendiamo, ade$$o $i farà manife- $to. La voce adunque, ch’v$cirà dalla Seena, e $i diffonderà per l’am piezza del Teatro, ca- minerà per linee diuergenti dal foco $tatuito nel $udetto luogo della Scena, & arriuarà nel- le celle di $uperficie Elittica, adunque le det- te celle rifletteranno tutte le linee $onore, ch’ e$$e riceueranno, fac\~edole diuentare conuer- genti all’altro foco, che già $i è con$tituito in- nanzi à loro, dirim petto alla fronte, ma quel- lo $arà anco foco interiore del va$o Iperboli- co, che iui $arà collocato, adunque le linee $onore, che in virtù della cella $i $aranno riu- nite nel foco interiore del $udetto va$o, tra- pa$$andolo, & andando à ferire nella conca- uità Iperbolica del va$o, come diuergent<007>, $i Coniche. Cap. XXXV. rifletteranno da quella pur diuergenti, poi- che nel Corollario del Cap. 14. $i è in$egnato, che le rette linee, che, partendo$i dal foco in- teriore dell’Iperbola, la vanno ad incontrare, $i riflettono po$cia diuerg\~eti dal foco e$terio- re, così dilatando$i $empre più, potrà arriuar la voce per rifle$$o à tutti gli vditori, il che non $eguirebbe, quando il va$o fo$$e di forma Parabolica, che rifletterebbe dette linee $o- nore parallele, per il Corol. del Capit. 9. o di forma Elittica, che le riunirebbe in vn punto $olo, per il Cap. 17 che perciò parmi più del- le altre conuenirli la figura Iperbolica; e$$en- do adunque tredici va$i $ituati, come $i è det- to, $i faranno tredici rifle$$ioni della mede$ima voce per cia$cun’orecchio, & in $omma tan- te, quanti $aranno i va$i, con quell’armonia, che dalla proportion di quelli ri$ultarà.

Que$ta è vna delle co$e, che mi $on venu- te in mente circa i detti va$i, intorno a’quali altri $pecolando, incontraranno for$i modi più facili, che alla debolezza del mio inge- gno non po$$ono così facilmente $ouuenire, a quali, $pero nondimeno, non $ia per e$$ere ne anco di$caro il poter cõ gli altri e$$aminare Delle Settioni ancora que$to mio pen$iero. Ch’egli vera- mente confronti co’l modo de gli antichi, ac- cennato da Vitruuio, non ardirei d’affermar- lo, e ma$$ime, che vi $ono alcune parole nel $u- detto Capitolo, che più to$to mo$trano la co- $a $tare altrimente da quel, che $iè dichiara- to; poiche $e bene con$ideraremo il nome di cella, non pare, che $ignifichi, come vn Nic- chio da Statue; ma più to$to vna co$a $errata, o ripo$to, come appunto $i dice, cella vinaria, la cãtina, cella penuaria, la $aluarobba, e cel- le le ca$elle delle Api, che pur hanno il recin- to attorno; così $tando sù la proprietà della voce, cella, dobbiamo $timar più to$to, che $ignifichi vna co$a $errata, come vna con$er- ua della voce rifle$$a dal va$o $oprapo$toli, a- perta però nella parte $uperiore, & inferiore; il che, $e è vero, hauremo da credere, che, $pic- cando$i la voce dalla bocca del recitãte, non s’int\~eda Vitruuio, che debba immediatamen- te andar’à ferir nella cella, come diceuo io, ma sì ben nel va$o $oprapo$toli, e da quello po $cia s’incauerni, per dir così, nella cella, v$c\~e- do dalla parte inferiore, che deue e$$er’a perta à que$to effetto, per arriuar per il rifle$$o del- Coniche. Cap. XXXV. l’onde dell’aria all’orecchie de gli vditori, che è a$$ai differente dal $udetto pen$iero; quello nõdimeno $i accetti, come modo nuouamen- te imagina to, e propo$to, perche da altti con il di$cor$o, e con l’e$perienza po$$i e$$ere e$$a- minato, ne per que$to trala$ciamo ancora di põderar le parole di Vitruuio, per poterne pe- netrar’il vero $en$o. Quelle veramente par, che ci vengano $ignifican do, che le celle $iano luoghi $errati d’intorno, il che non $olo vien confermato dal nome di cella, come già $i è detto; ma da quelle parole ancora; _Circaque_ _habeant locum vacuũ_, <010> _à $ummo cap<007>te fpatium_; parlando dei va$i, che $e fo$$e la cella vn Nic- chio, non parerebbono molto à propo$ito, e da quelle altre, _& habeant in parte, quæ $pectat_ _ad Scenã, $uppo$itos cuneos_; bi$ognando perciò, che vi $ia, chi $o$tenti detti cunei, cioè for$i il recinto della cella; e da quelle altre; _contraq_; _eas cellas relinquantur apertur æ inferiorũ graduum_ _cub<007>l<007>bus_; acciò la voce po$$i v$cire dalle cel- le, aggiunge Daniel Barbaro; la onde $arà l’ingre$$o dalla parte $uperiore della cella per il rifle$$o fatto primieramente dal va@o, il che pare, che confermino quelle altte parole; _Ita_ Delle Settioni _hac ratiocinatione vox ab Scena; Vti à centro pro-_ _fu$a $e circumagens, tactuq; feriens $ingulorũ va-_ _$orum caua, exc<007>tauerit auctam claritatem, <010> c_. do- ue par, che voglia intender Vitruuio, che la voce v$cita dalla Scena debba andar di po$ta à ferir ne i va$i, da’quali $i rifletta nelle celle, edi lì poi $i $parga per il Teatro; per la qual co$a crederei pur’anco, che i va$i doue$- $ero e$$er’Iperbolici, ma che haue$$ero il foco interiore, nõ vicino, ma nella Scena, dal qua- le riceuendo le linee $onore, come diuergen- ti, le ri$tette$$ero nella cella pur diuergenti, che perciò $timarei, che i va$i non doue$$ero $tar $opra le celle, come tanti capelletti total- mente inuer$i, ma riuolti con la bocca parte ver$o la Scena, parte ver$o la cella, la quale non pare, c’habbi poi da far’altro, che di con- $eruar la voce à gui$a di canale $errato, $par- gendola per l Auditorio dalla parte da ba$$o; Vna tale cõ$titutione adunque par, che $i po$- $i dedurre dalle parole del mede$imo Vitru- uio.

Non riputarei però ne anco improbabile, cheiva$i, in vece di $opra$tare alle celle à gui- $a di capelletti, fo$$ero dentro le mede$ime Coniche. Cap. XXXVI. celle, hauendo però lo $patio aperto di $opra, come il mede$imo Vitruuio acc\~ena con quel- le parole; _Circaq; habeant locum vacuum_, <010> _à_ _$ummo cap<007>te $patium_; che danno inditio que- $ti va$i douer’e$$er dentro le celle, poiche $e fo$$ero fuori, haurebbono $enz’altro lo $patio di $opra, $enza che bi$ogna$$e dirlo, e ma$$i- me, che tale $patio par, che vi bi$ogni per l’in- gre$$o della voce, come il Barbaro e$pone, a- dunque il va$o $arà dentro, e non fuori della cella: il che quando $ia vero, intenderemo, che la voce vadi à ferir nel va$o, non per linea retta, ma $i ben fle$$uo$a, per la dilatatione delle onde dell’aria, come per la caduta del $a$$o $egue delle onde dell’acqua, dalla cui concauità $i rifletta poi nella cella, e di nuo- uo nel va$o, facendo$i vna reciprocatione di voce per que$ti rifle$si, & vn’Echo qua$i infi- nita, v$cendo tuttauia per le aperture dinan- zi, che $ideuono fare pur nelle celle, $econdo Vitruuio, e $pargendo$i per l’Auditorio, e$- $endo e$$e celle à gui$a di coperti da forni, o di Te$tudini, come accennano ancora Ago$tin Gallo, & Aloi$i Pirouano, Commentatori di Vitruuio; conforme à que$to pen$iero adun- Delle Settioni que nella figura 23. hò fatto vn poco d’vno abbozzo, per i$piegare que$to concetto; In- tenderemo adũque e$$er la cella, O A R, fat- ta in volta, & aperta di $opra, doue è la lette- ra, A, come anco dinanzi ver$o l’Auditorio, $ecõdo il foro, F P, il va$o poi $arà, K, di$tan- te dalla ba$e, O R, almeno per vn mezo pie- de, $o$tentato dalli cunei, S A, I A; entrarà la voce adunque perilforo, A, e di lì nel va$o, K, dal quale $i rifletterà nella cella, O A R, v$cendo per il foro, F P, all’Auditorio: Se altri $tima$$e poi, che il va$o $te$$e al cõtrario, cioè con la boccain sù, potrà far l’e$perienza del- l’vna, e l’altra po$itura, e vedere qual rie$ca meglio: Perla circonferenza poi, C B D, $@ã no di$po$te le tredici celle, tutte $imili alla cel- la, O A R, e$$endo $errati i vani tra l’vna, e l’altra, e quelle $eparate con le pareti, acciò tutte in$ieme venghino à formare, come vn grãde $calino, $oura$tamte à gli altri, ne’quali $ogliono $edere gli Vditori: Chi poi non tra- meza$$e le celle, ma, C B D, $o$$e, come vn canale $emicircolare, dentro il quale entra$$e la voce per le bocche, C, D, v$cendo incor- rotta per le aperture dinanzi, $imili ad, F P, Coniche. Cap. XXXVI. ma rinforzata dentro il canale, C B D, per i rifle$$i fatti da i va$i, di$po$ti come $opra, cre- doanco, che non faria mal’effetto.

Cia$cuno tuttauia s’acco$ti à quella opi- nione, che gli parerà più probabile, ch’io non determino perciò co$a veruna: Quanto alla $igura de i va$i poidirò ancor que$to, ch’io hò vi$to appre$$o i $udetti Commentatori, che gli mo$trano, come tante campanelle, il che pur conferma la figura Iperbolica già detta di $o- pra (qualunque $ia la loro con$titutione) alla quale pur le campane par che $i vadano acco- $tando. Que$te figure però non s’hanno da intendere così rigoro$amente, che non $ia le- cito lo $ua riare alquanto, ba$tando pur, che à quelle ci acco$tiamo; poiche dice il mede$i- mo Vitruuio nel $udetto Capitolo, che molti $eruen do$i non di va$i di metallo, ma di terra, come di vrne, ouer’olle, fecero ne’Teatri pur’ anco vtili$$imi effetti. Haueuano poi gli An- tichi altra $orte d@ va$i, come dice Herone, per cau$are il tuonone’mede$imi Teatri, alla cognition de’quali, come anco de’$opradetti va$i, accoppiando la buona dottrina con l’e- $perienza, non dubito, che non potiamo ar- Delle Settioni riuare doppo qualche fatica noi ancora.

Delle altre $uperficie, che dal vario mouimento, ò flu$$o delle Settioni Coniche po$$ono e$$er generate. Cap. XXXVII.

PO$ciache noi habbiamo con$ide- rato le $uperficie generate dalle Settioni Coniche, per il riuol- gimento intorno al $uo a$$e, vi re$tano da vedere quelle, che po$$ono e$$er prodotte per il vario mouimen- to delle i$te$$e Settioni, e concio$iaco$a che infiniti $iano i moti, che po$$on fare, infinite $aranno anco le $uperficie da lor generabi- li, tuttauia di quei mouimenti due $oli an- cora ne con$iderarcmo, e due delle dette $u- perficie, quali così $piegaremo $opra la 24. figura.

Siano dunque le due Parabole, B A C, V T Y, per e$$empio, $uoi a$$i, A M, T X, & à quel- li ordinatamente applicate, B C, V Y, e dal punto, C, $ia tirata la, C H, parallela all’a$$e, A M, e $ia, I, foco della Parabola, B A C, qua- le $i riuolga intorno ad, H C, fi$$a, $ino che ri- Coniche. Cap. XXXVII. torni di onde $i partì, tal che de$criua la $uper- ficie, B A C D E, & il punto, I, la circonferen- za, I O, &, B C, il circolo, B E; è dunque ma- nife$to, che i fochi della Parabola, B A C, con- $tituita in diuer$i $iti in tal reuolutione, $aran- no tutti nella circonferenza, I O, $i che e$po- $ta vna tal $uperficie ver$o il Sole, talmente, che, H C, $ia per dritto al centro di quello, el- la abbru$cierà non in vn punto, ma nella cir- conferenza, I O; e per il contrario molti lumi po$ti nella circonferenza, I O, rifletteranno il $uo $plendore per linee parallele, e per linee diuergenti, quando, B A C, fo$$e vn’Iperbola, o per conuergenti, quando fo$$e vna portion d’Eli$$i, terminanti pure in circonfer\~eza di cir- colo (intendendo però hora conuergenti non ad vn punto tutte, ma alla circonferenza d’vn circolo, come anco diuergenti) e tutto quello in $omma, che $i è detto dell’vnire, o di$unire le linee radio$e, o $onore da vn punto, quà s’@n- tenderà quanto ad vnirle in vna circonferen- za di circolo, o di$unirle da quella; $upponen- do per la Parabola, B A C, po$ta per e$$empio, e l’Iperbola, e l’Eli$$i, o $ua portione.

Sia poi, V T Y, Parabola, Iperbola, o Eli$$i, Delle Settioni o pa@te di quelle, X T, a$$e, &, V Y, ordinata- mente applicata à, T X, e foco il punto, S, e $i moua, $olleuando$i talmente, che $tia $empre parallela al piano, V T Y, e la, V Y, de$criua vn parallel@gramo rettangolo, P Y, perpendi- colale $opra il piano, V T Y, & il foco, S, la ret- ta, S R, terminata nel piano della $ettione, P O Q, quie$cente@ nel fin del moto, il cui a$$e $ia, O @; $e adunque $egaremo la $uperficie generata dalla $ettione, P O Q, con vn piano paralleloa à, V T X, $e ne farà vna i$te$$a $ettio- ne, che hauerà il foco nella retta, R S, & in $omma tutci i fochi delle $ettioni intermedie $aranno nella retta, R S, nella quale la $uper- ficie, P O Q Y T V, abbru$cierà, e$$endo con ll concauo e$po$ta al Sole; $econdo la drittura delli a$$i delle mede$ime Settioni. Tutto quel- lo adunque, che $i è detto, quanto all’vnire le linee radio$e, o $onore ad vn punto, o di$unir- le da quello, s’intenderà ancora poter$i fare con que$te $uperficie, quanto all’vnirle, ò di- $unirle da vna linea retta; E però $e, R S, fo$- $e vna corda $onante, nõ è dubbio alcuno, che il $uono per ragion di rifl@$$ione, e$$e@do la $u- perficie, P O Q Y T V, Elittica, $i rifletterà in Coniche. Cap. XXXVII. vna retta linea, ma, e$$endo Parabolica, per $u- perficie parallele, &, e$$endo Iperbolica, per $uperficie diuergenti, intendendo pero la di- uergenza, e conuergenza non in vn punto, ma in vna retta linea, dalle quali co$e $i manife- $ta; che $i può inuigorire in diue@$i modi il $uo- no de gl’@$trumenti da corde, il che però ba$ti di hauer’al curio$o Lettore accennato.

Della cognitione del Moto. Cap. XXXVIII.

DI quanta importanza $ia la co- gnitione del moto nelle co$e na- turali, e di che mom\~eto, per ben filo$ofare, credo e$$er manife$ti$- $imo à cia$cuno, che in que$to gran Teatro di Natura habbi talhora fi$$ato lo $guardo nelle di lei marauiglio$e bellezze. I mouimenti de’Cieli, le tra$mutationi, che $i veggon fare continuamente intorno à que$to globo terr@$tre, eccitorno la curio$ità à con- templarli, come $ingolari artificij di Natura, con ch’ella così mirabili effetti ci rappre$en- ta, e sforzorno le menti humane à giudicare Delle Settioni altro per appunto non e$$er Natura (come il Prencipe de’Peripatetici nel 2. della F<007>$ica c’in$egna) che vn principio di moto, e di quie- te; di onde poi con gran ragione $i dedu$$e quella communi$$ima, e veri$$ima $entenza. _Ignorato motu ignoratur Natura_. Alti$$ima dot- trina in vero, intorno alla quale degnamente $i $ono affaticati i più $ublimi ingegni, che $ia- no $tati al Mondo, parendoli come à dire, che chi haue$$e vn’e$$atta cognition di quello, po- $cia diuenta$$e atti$$imo in vn certo modo all’ intendere, ed à penetrare tutti gli effetti di Natura. Ma quanto vi aggiunga la cognitio- ne delle $cienze Matematiche, giudicate da quelle famo$i$$ime Scuole de’Pitagorici, e de’ Platonici, $ommamente nece$$arie per inten- der le co$e Fi$iche, $pero in breue $arà mani- fe$to, per la nuoua dottrina del moto prome$- $aci dall’e$qui$iti$$imo Saggiatore della Natu- ra, dico dal Sig. Galileo Galilei, ne’$uoi Dia- logi, prote$tando io hauer’hauuto e motiuo, e lume ancora in parte intorno à quel poco, ch’io dirò del moto in que$to mio Trattato, per quanto alle Settioni Coniche $i a$petta, da i $ottili$$imi di$cor$i di quello, e del Reue- Coniche. Cap. XX XVIII. r\~edi$s. P. Abbate D. Benedetto Ca$telli Mona- co Ca$$inen$e, Matem. di N. S. e molto inten- dente di que$te materie, ambid ue miei Mae- $tri. Rimetto dunque il Lettore in ciò, ch’io $upporrò al dotti$s. libro, che da sì grand’in- gegno in breue dourà por$i in luce, e $i cõten- terà di que$to poco, ch’io dirò, per manife$ta- re, che co$a habbino che fare le Settioni Co- niche con così alto, e così nobil $oggetto.

Del mouimento de’corpi graui. Cap. XX XIX.

BEnche intorno à’corpi graui di- uer$i$$ime co$e $i pote$$ero con- $iderare, tutte belle, e tutte cu- rio$e, hora però non cercaremo altro, $e non che $orte di linea $ia quella, per la quale $i moue e$$o graue, mer- eè prima dell’interna grauità, poi del proici\~e- te, e finalmente dell’vno, e dell’altro accop- piati in$ieme, per vedere, $e vi haue$$ero che fare le Settioni Coniche, e quali $iano, quan- do ciò $ia vero.

Dico adunque, $e noi con$ideraremo il mo- Delle Settioni to del graue fatto per la $ola interna grauità, in qualunque modo poi ella $i operi, che quel- lo $arà $empre indrizzato yer$o il centro vni- uer$ale delle co$e graui, cioè ver$o il c\~etro del- la terra, & vniuer$almente con$pirare tutti i graui à que$to centro, poiche $i veggono in tutti i luoghi della $uperficie terre$tre $cen- dere, non impediti, à per p\~edicolo $opra l’Ori- zonte, & è manife$to, che le linee rette per- pendicolari alla $uperficie della sfera prolon- gate, vanno tutte à ferire nel centro di quella, che poi la terra $ia sferica è manife$ti$$imo, $i per via delli Eccli$$i, come anco d’altri acci- denti, che euidentem\~et\~e que$to ci dimo$trano.

Dico più oltre, che con$iderato il mobile, che da vn proici\~ete viene $pinto ver$o alcuna parte, $e non haue$$e altra virtù motrice, che lo caccia$$e ver$o vn’altra banda, andarebbe nel luogo $egnato dal proiciente per dritta li- nea, mercè della virtù impre$$ali pur per drit- ta linea, dalla quale drittura non è ragioneuo- le, che il mobile $i di$co$ti, mentre non vi è al- tra virtù motrice, che ne lo rimoua, e ciò quã- do fra li duoi termini non $ia impedim\~eto; co- me, per e$$empio, vna palla d’Artiglieria v$ci- Coniche. Cap. XXXIX. ta dalla bocca del pezzo, $e non haue $$e altro, che la virtù impre$$ali dal fuoco, andarebbe à dare di punto in bianco nel $egno po$to à drit- tura della canna, ma perche vi è vn’altro mo- tore, che è l’interna grauità di e$$a palla, quin- di auuiene, che da tal drittura $ia quella sfor- zata deuiare, acco$tando$i al centro della terra.

Dico ancora, che quel proietto non $olo an- darebbe per dritta linea nel $egno oppo$to, ma che in tempi eguali pa$$arebbe pur $patij eguali della mede$ima linea, mentre quel mo- bile fo$$e à tal moto indifferent@; e mentre an- cora il mezo non li face$$e qualche re$i$tenza, poiche non ci $arebbe cau$a di ritardar$i, ne di accelerar$i: $i che il graue, mercè della inter- na grauità, non anderà $e non ver$o il centro della terra, ma quello, mercè della virtù im- pre$$ali, potrà incaminar$i ver$o ogni banda; e$$endo due adunque nel proietto le virtù mo- trici, vna la grauità, l’altra la virtù impre$$a, cia$cuna di loro $eparatamente farebbe ben caminare il mobile per linea retta, come $i è detto, ma accoppiate in$ieme non lo faranno andare per linea retta, $e nõ in que$ti due ca$i, Delle Settioni nel primo, quãdo dalla virtù impre$$a $ia $pin- to il graue per la perp\~edicolare all’Orizonte; il $econdo, quando non $olo la virtù impre$$a, ma anco la grauità moua il graue vniforme- mente, perche gli acco$tamenti fatti in tempi eguali al centro della terra, partendo$i da vna retta linea, $ariano $empre eguali, come anco li $patij decor$i ne’mede$imi tempi dell’i$te$$a linea, per la quale viene $pinto e$$o graue; e perciò il mobile $arebbe $empre nella mede$i- ma linea retta: Ma quando vno de’duoi non fo$$e vniforme, allhora nõ caminarebbe il mo- bile $pinto dalla grauità, e dalla virtù impre$- $a, altrimente per linea retta, ma $i bene per vna curua, la cui qualità, e conditione dipen- derebbe dalla detta vniformità, e di$$ormità di moto accoppiate in$ieme. Hora nel graue, che, $piccando$i dal proiciente, viene indriz- zato ver$o qual $i $ia parte, per e$$empio, mo$- $o per vna linea eleuata $opra l’Orizonte, vi è bene la grauità, che opera, ma quella non fà altro, che ritirare il mobile dalla drittura del- la $udetta linea eleuata, non hauendo che far niente con l’altro moto, $e non per quanto vie- ne il graue allontanato dal centro della ter- Coniche. Cap. XXXIX ra, a$traendo adunque nel graue la inclinatio- ne al centro di quella, come anco ad altro luo- go, egli re$ta indifferente al moto conferitoli dal proiciente, e perciò $e non vi fo$$e l’@mpe- dimento dell’ambiente, quello $arebbe vni- forme: ragioneuolm\~ete adunque $i potrà $up porre, che i graui $pinti dal proiciente ver$o qualunque parte, mercè della virtù impre$$a, caminino vniformemente, non hauendo ri$- guardo all’impedimento dell’aria, che per e$- $er tenui$$ima, e fluidi$$ima, per qualche nota- bile $patio, può e$$er, che gli permetta la $u- detta vniformità.

Re$ta hora, chefacciamo rifle$$ione all’ac- co$tamento del graue, fatto alcentro della terra, mercè dell’interna grauità, che vien detto moto naturale, & al di$co$tamento da quello, per l’impul$o cõferitoli, che $i chia- ma moto violento; cheil graue, che $i patte dal la quiete, e $i moue al centro, $i vada $em- pre velocitãdo, quãto più $i acco$ta al centro, o per dir megl<007>o, quanto più $i allontana dal $uo principio, e che il violento, o dal centro $i vada $empre ritardando, ciò è $ta@o $a puto da tutti i Filo$ofi ancora, ma con qual proportio- Delle Settioni ne s’acceleri il moto naturale, e $i ritardi il violento, ce lo in$egna nuouamente, e $ingo- larmente il Sig. Galileo ne’$uoi Dialogi alla pag. 217. dicendo e$$er l’incremento della ve- locità, $econdo il progre$$o de’numeri di$pa- ri continuati dall’vnità, & il decremento, $e- condo la mede$ima $erie, numerando al con- trario; cioè, Se, per e$$empio, vn mobile an- dando ver$o il cen@ro in vna battuta di pol$o, farà vn braccio di $patio, nella $econda ne fa- rà 3. nella terza 5. nella quarta 7. nella quin- ta 9. e così di man’in mano; ma $e per il con- trario il mobile anda$$e all’in sù, facendo in vna battuta di pol$o braccia 9. nella $econda ne faria braccia 7. nella terza 5. nella quarta 3. e nella quinta 1. riducendo$i al nullo grado nel punto della rifle$$ione, che è fine del moto violento, e principio del naturale. A que$ta mede$ima conclu$ione mi $ono ancor’io sfor- zato di arriuare per altra via, doppo hauerla $entita dal $udetto Sig. Galileo, con$iderando in vn cerchio i gradi delle velocità, che, dalla quiete incominciando, vanno cre$cendo $ino al ma$$imo nel mede$imo cerchio, rappre$en- tandomi il centro il nullo grado di velocità, Coniche. Cap. XXXIX. o vogliamo dire la quiete, e le circonferenze, che $i po$$ono de$criuere intorno al mede$imo centro, i gradi delle diuer$e velocità, quali $e li vogliamo prender tutti, conuiene, che noi intendiamo di$$egnati tutti i cerchi po$$ibili à de$criuer$i $opra quel centro, che facendo la $omma delle loro circonferenze, potremo di- re di $apere la vera quantità di tutti i gradi di velocità, che intermediano tra la quiete, & il ma$$imo grado in quel cerchio: Hora, perche que$to pare co$a impo$$ibile, cioè il $ommare infinite circonferenze, io mi preuaglio dell’a- rea dell’@$te$$o cerchio, e ne cauo le proportio- ni delle aggregate velocità, incominciãdo dal centro, o dalla quiete, e procedendo $ino alla circonferenza e$trema, cioè $ino al ma$$imo; hauendo dimo$trato io nella mia Geometria, che qual proportione hanno i cerchi frà loro, tale anco l’hãno tutte le circonfer\~eze, de$crit- tibili $opra il c\~etro dell’vno, à tutte le circon- ferenze, de$crittibili $opra il cen@ro dell’altro, perciò $e nel no$tro cerchio, nel quale voglio mi$urare le aggregate velocità, con la di$tan- za di vn terzo del $emidiametro, per e$$empio, de$criuerò vn cerchio, la cui circonferenza mi Delle Settioni rappre$enti vn tal grado di velocità; $aprò, che qual proportione hà il cerchio grande al piccolo, tale ancora l haueranno tutte le cir- conferenze concentriche del cerchio grande à tutte le circonferenze concentriche del pic- colo, cioè tutti i gradi di velocità acqui$tati nel trapa$$are dalla quiete al grado ma$$imo, à tutti i gradi acqui$tati pa$$ando dall’i$te$$a quiete al grado intermedio, che habbiamo pre$o, ma i cerchi $ono tra loro, come i qua- drati de’$emidiametri, adunque anco dette velocità cre$cerãno $econdo l’incremento de’ quadrati de’$emidiametri, ma con qual pro- portione cre$ce la velocità nel mobile, cre$co- no anco li $patij decor$i dall’i$te$$o mobile, co- me è ragioneuole, poiche chi acqui$ta altre- tanta velocità, quanta $i ritroua hauere, gua- dagna ancora forza di trapa$$are altretanto $patio, quanto faceua, e così nell’altre propor- tioni; adunque li $patij decor$i dal mobile, nel quale $i vanno aggregando le velocità, $aran- no, come i quadrati de’$emidiametri de’cer- chi, ne’quali $i po$$ono con$iderare dette ve- locità, cioè come i quadrati de’rempi, quali intenderemo nel $emidiametro del dato cer- Coniche. Cap. XXXIX. chio; $e quello adunque $i $uppone$$e diui$o in cinque parti eguali, po$to, che il quadrato d’vna di que$te parti fo$$e 1. il quadrato di due $arebbe 4. di tre 9. di quattro 16. di cinque 25. e tal proportione haurebbono i cinque cerchi de$critti $opra que$ti cinque $emidia- metri, e perciò, $ottrahendo cia$cuno antece- dente dal $uo con$eguente, re$tarebbono que- $ti numeri 1. 3. 5. 7. 9. che mo$trarebbono la progre$$ione del minimo cerchio, e delli $e- guenti re$idui, o armille, che ci rappre$enta- no i gradi acqui$tati dal mobile cõtinuamen- te ne’$udetti tempi eguali. Perche dunque i graui partendo$i dalla quiete, vanno ad ogni momento acqui$tando nuouo grado di velo- cità (hauendo il motore a$$i$tente, che $empre opera, cioè la grauità) quale non perdono, per non ripugnarli, ne e$$ergli tolto dall’ambien- te, almeno, che $e n’accorga per qualche no- tabil $patio (ciò dico, poiche ad vna grandi$- $ima velocità finalmente l’ambiente re$i$te notabilmente, non comportando egli di e$$er mo$$o con tanta furia, del che il volo de gli vc- celli ce ne può nell’aria, & il nuotar nell’ac- que, in parte a$$icurare) perciò i $patij $coi$i Delle Settioni da quelli in tempi eguali cre$ceranno, cõfor- me l’incremento de’numeri di$pari continua- ti dall’vnità; e gl’i$te$$i graui douendo trapa$- $are da vn dato grado di velocità alla quiete, come nel moto violento terrãno l’ordine con- trario della mede$ima $erie de’numeri di$pari. Que$te co$e però $iano da me dette, come per vn pa$$aggio, che perciò non mi $ono $piegato con figura, ne con quella chiarezza, che bi$o- gnarebbe, poiche rimetto il Lettore à quello, che la $ottigliezza del Sig. Galileo c’in$egna- rà nell’Opera del moto, che ci promette ne’ $uoi Dialogi. Intendiamo adunque la condi- tione del moto nel graue, $i per ragion dell’ impul$o, $i anco dell’interna grauità, le quali co$e $uppo$te, trapa$$aremo hora à cercare, qual $orte di linea $ia quella, che de$criue il graue, $pinto da qualche forza, non per la perpendicolare all’Orizonte, ma per qual$iuoglia altra banda.

Coniche. Cap. XL. Qual $orte dilinea de$criuano i graui nelloro moto, $p<007>ccat<007> che $iano dal proiciente. Cap. XL.

SE noi con$ideraremo il graue, che hà da mouer$<007> $eparatam\~e- te dal proiciente, quando ca- mina di con$erua con quello, come à dire; la pietra, che $i moue per vn poco di $patio in compagnia della mano, o della fro<007>nbola, o al- tro i$trumento, non è dubbio alcuno, che è sforzata à far quella $trada, che farà ancora il $uo motore; come, per e$$empio, dourà anda- re in giro con la mano, $ino ch’egli da quella $i di$$epari, ò in qual$iuoglia altro modo, ch’e$$a mano cam<007>ni; ma $eparato che $ia, non hà più obligo di accompagnar la mano: l’impul$o poi conferito dal proiciente nel punto della $epa- ratione è $empre per linea retta, cioè per quel- la, che è à drittura del moto, che viene ad e$- $er la tangente di quella curua, per la quale $i è fatto il moto, tangente dico nel punto della $eparatione, come pari<007>nente c’in$egna il Sig. Galileo ne’$uoi Dialogi alla pag. 186. quan- Delle Settioni do il moto della mano $ia per linea curua, oue- ro quando $ia fatto per linea retta è pure vn pezzo dell’i$te$$a linea prolongata: Per que- $ta linea retta adunque andarebbe il proietto ogni volta, che la grauità non lo ritira$$e da quella continuamente ver$o il c\~etro della ter- ra, vero è, che quando l’impul$o fo$$e per la perpendicolare all’Orizonte, anco la grauità tirarebbe e$$o graue per l’i$te$$a linea, e così il moto del proietto in que$to ca$o $arebbe pur linea retta, come $i è detto nel Cap. anteced\~e- te; ma quando l’impul$o non $ia fatto per la detta perpendicolare, ma per qual$iuoglia al- tra linea retta, ne $eguirà, che detto graue $ia, mercè dell’interna grauità, ritirato ver$o il centro, & in con$eguenza tolto fuori di quella drittura, talmente, che in tempi eguali non lo abba$$arà per $patij eguali da quella linea dritta, ma sì bene per $patij di$eguali, che cre- $ceranno, come $i è detto, $econdo l’incremen- to de’numeri di$pari continuati dall’vnità.

Dico adunque, che i graui $pinti dal proi- ciente à qual$iuoglia banda, fuorche per la perpendicolare all’Orizonte, $eparati che $ia- no da quello, & e$clu$o l’impedim\~eto dell’am- Coniche. Cap. XL. biente, de$criuono vna linea curua, in$en$i- bilmente differente dalla Parabola.

Dimo$tratione $opra la figura 25.

SVpponga$i per, TO, la drittura della cã- na d’vn pezzo d’Artiglieria, la cui bocca $ia nel punto, O, e que$ta s’intenda $tare à liuello, ouero eleuata, ò inclinata, come $i voglia, benche la figura mo$tri il tiro à liuello; la Palla dunque cacciata dalla forza del fuo- co per la linea dritta, TO, arriuata alla boc- ca, O, doue non hà più il $o$tegno della cãna, non è dubbio alcuno, che $e non haue$$e la grauità, che la tira cõtinuamente ver$o il cen- tro, caminarebbe per, O Q, vniformemente, non con$iderato l’impedimento dell’ambien- te; $ia dunque il tempo, nel quale $correreb- be la, O Q, diui$o in quattro parti eguali, co- me à dire, in quattro battute dimu$ica; $ega- ta dunque parim\~ete, O Q, nelle quattro par- ti eguali, O H, H M, M R, R Q, cia$cuna di e$$e parti $aria trapa$$ata dalla palla in vna battuta, ma perche la grauità la tira ver$o il centro, ponga$i, che nel tempo, che ella $cor- Delle Settioni rerebbe per, O H, quella $ia potente à farla abba$$are ver$o il centro, quant’è la, O B, qua- le $ia patte della, O X, tirata à piombo dal pũ- to, O, $otto la, T Q; $imilmente per il punto, H, pa$$i la, H V, parallela à, O X, come anco peripunti, M, R, Q, le, M<006>, R Π, Q Y, pa- rallele alla i$te$$a, O X, e nel pa$$aggio della palla per, H M, $ia l’abba$$amento, quant’è, B L, per, M R, quant’è, L P, e per, R Q, quãt’ è, P X, e per i punti, B, L, P, X, $i tirino le pa- rallele alla, T Q, cioè, S F, E K, Z C, A Y, co- me anco da i punti, T, D, G, N, pre$i nella, T O, $uppo$ta eguale ad, O Q, e che la diuida- no pure in quattro parti vguali, $i tirino le, T A, D Δ, G, N I, parallele ad, O X, e $iano que$te con le, H V, M <006>, R Π, Q Y, $egate dal- le, A Y, Z C, E K, S F, ne i punti, A, Δ, Γ, I; V, <006>, Π, Y; Z, C; E, K; S, F: Sarà dunque la palla nel tempo, c’haurebbe $cor$a la, O H, abba$- $ata$i per la quãtità di, O B, ouero, H F, egua- li, come lati oppo$ti del parallelogramo, O F, cioè in vece di e$$ere nel punto, H, $arà in, F, così nel tempo della $cor$a per, H M, $arà ab- ba$$ata in, K, per, M R, in, C, e per, R Q, in, Y, e$$endo que$ti abba$$am\~eti eguali alle, O B, Coniche. Cap. XL. O L, O P, O X, cioè accre$cendo$i $econdo la quantità delle, O B, B L, L P, P X, ma que$te $i aum\~etano $econdo la $erie de’numeri di$pa- ri continuati dall’vnità; adunque po$ta, O B; 1. B L, $arà 3. L P, 5. P X, 7. ouero, O L, $arà 4. O P, 9. O X, 16. ma così anco procedono i quadrati delle, O H, O M, O R, O Q, ouero delle, B F, L K, P C, X Y, che à quelle s’aggua- gliano, come lati oppo$ti de’parallelogrami, O F, O K, O C, O Y, adunque e$$endo il qua- drato di, B F, 1. $arà quello di, L K, 4. di, P C, 9. e di, X Y, 16. e perciò $arà il quadrato di, X Y, al quadrato, P C, come, X O, ad, O P, & il quadrato, P C, al quadrato, L K, come, P O, ad, O L, e finalmente il quadrato, L K, al qua- drato, B F, come, L O, ad, O B; ma $e noi de- $criueremo la Semiparabola, O Y, ouero la Parabola, che $ia, A O Y, qual pa$$i peril pun- to, O, $ua cima, e per li pũti, A, Y, anco i qua- drati delie intrapre$e frà la, O X, e la Parabo- la, A O Y, $aranno nella mede$ima proportio- ne, nella quale $ono le, O X, O P, O L, O B, poiche que$ta è la quarta proprietà della Pa- rabola, dimo$trata nel Cap. 12. adunque i lati di quei quadrati $aranno congruenti à i lati, Delle Settioni P C, L K, B F, (& à i lati, P Z, L E, B S, appli- cãdo la dimo$tratione da que$t’altra banda) e però i punti, F, K, C, $ono nella Parabola, A O Y, come anco li, S, E, Z, cioè la palla ne i punti, O, F, K, C, Y, $arà $empre nella Para- bola, A O Y, e$$endo cima di quella il punto, O, doue $i $picca dal proici\~ete; e l’@$t@$$o pro- uaremo di tutti gli altri punti, ne’quali ella $i può ritrouare, $ubdiuidendo la, O H, con le rimanenti in quante parti vguali ci $arà bi$o- gno, & applicandou<007> l’i$te$$a dimo$tratione; adunque egli è vero, quanto $i è propo$to di prouare.

Ma perche $i vegga anco in figura il tiro e- leuato, ouero abba$$ato, $i è de$critta la tãgen- te, Φ Ω, nel punto, E; $e adunque il graue fo$- $e $pinto per la retta, E Φ, ouero per la, E Ω, e$$endo la $eparatione nel punto, E, $i proua- ria nell’i$te$$o modo, che la interna grauità ri- trahendolo continuamente dalla retta, E Φ, lo mantenerebbe $empre nella Parabola, E O Y, ouero di$co$tandolo da, E Ω, lo terrebbe nel- la curua, A E, parte della Parabola, A O Y, e s’intenderia in tal ca$o il punto, E, per cima, E Γ, per diametro, douendo$i tirare le ordina- Coniche. Cap. XL. tamente applicate all’, E Γ, parallele alla tan- gente, Ω Φ, adattandoui$i la dimo$tratione nell’i$te$$a maniera.

Egli è però vero, che e$$endo le parallele ad, O X, $trade, per le quali s’intende $cen- dere il graue, finalmente egli andarebbe, $e non troua$$e l’impedimento della terra, à col- locar$i nel centro di quella; la onde realmente non $ono parallele, ma per le di$tanze de’no- $tri titi le abu$iamo, come parallele, e$$endo il loro $tringim\~eto in $i poco $patio, come in$en- $ibile, e perciò $i è detto, che de$criuono vna linea curua, in$en$ibilmente differente dalla Parabola. Di maggior’importanza è bene l’impedimento dell’aria, quãdo il tiro $ia lon- ghi$$imo, che contra$ta e con l’impul$o, e con la grauità, ma in poco $patio, p\~e$o, che non $ia di molta cõ$ideratione, & il venir’all’e$$ame di que$to contra$to non è co$a $i facile, ne che in poche parole $i pote$$e, credo, $piegare, perciò ci contentaremo di que$to poco, per intender le varie cõditioni, e nobiltà delle Settioni Co- niche, hauendole anco il Keplero in $opremo grado nobilitate, mentre ci hà fatto vedere con manife$te ragioni ne’Cõmentarij di Mar- Delle Settioni te, e nell’Epitome Copernicano, che le circo- lationi de’ Pianeti intorno al Sole non $ono al- trimente circolari, ma elittiche. Ci ba$terà que$to adunque, cauãdo dalla $udetta dottri- na per no$tra vtilità l’infra$critto Corollario.

Corollario.

_D_I quì è manife$to, che data la di$tanza del tiro, come, _O H_, & e$perimentato il ca- lare, che vien fatto in tal d<007>$tanza, che $ia, _H F_, alia mede$ima eleuatione $apremo gli abba$- $amenti, che $i faranno dal $egno in qual$iuoglia di- stanza: Come, per e$$empio, nel tiro, _O M_, doppio dell’e$perimentato, _O H_, la $ce$a $arà, _M K_, qua- drupla di, _H F_, nella d<007>$tanza, _O R_, $arà, _R C_, nell’ _O Q, Q Y_, & vn<007>uer$almente qual propor- tione haur a il quadrato d<007>, _O H_, tiro g<007>à prouato, al quadrato d<007> qual’altra distanza $i voglia, tale l’ha- urà la d<007>$ce$a, _H F_, à quella, che $i farà <007>n tal di- stanza, alla mede$ima eleuatione; dal che impariamo ancora, che i proietti non po$$ono mai caminare per dritta linea, $e non mo$$i per la perp\~edicolare all’Ori- zonte, benche tal volta per la poca distanza questo rie$chi in$en$ib<007>le.

Coniche. Cap. XL.

Hora basteranno le $udette co$e intarno alle vti- l<007>tà, che potiamo cauare da que$te Settioni Con<007>che, bauendone fatto come vna ricercata, e toccato leg- giermente d<007>uer$e materie, alle quali e$$endo appl<007>ca- te, fanno mo$tra della $ua nobiltà, acc<007>ò da que$to po- co argoment<007>amo, qual<007>, e quanti deuino e$$er le loro prerogatiue <007>n que$to gran cãpo della Natura, e quan- to à $i gran Mae$tra deuano riu$cire art<007>fic<007>o$e. E $e noi, che $olo ne ved<007>amo la $corza, $copriamo nond<007>- meno effetti così merauigl<007>o$i, quali dobbiamo crede- re $ian quelli, che con la $ua $agaci$$ima industria ne deue $aper ritrarre e$$a Natura, guidata dalla Sa- pienza diuina, che nel profondo delle $ue più recondi- te proprietà, & eccellenze le comprende? E chi megl<007>o vuole intender questo, facci vn poco ri- fl@$$ione à quello, che noi $appiamo di Mecanica, poi guard<007> alla struttura del corpo humano, che vedrà nell’hauer preparato tanti organi, e tanti stromenti da e$$ercitar moti d<007>uer$i$$im<007>, $enza che l’vn l’altro imped<007>$chi, con $i marau<007>gl<007>o$o artificio, quanto ella ci auanzinell’intender la maniera del mouer pe$i, co- sì nel $aper di Pro$pettiua nell’occhio, del Suono nel- l’orecchio, riu$cendo non meno ammirabile nelle co$e piccoli$$ime, che nelle grand<007>$$ime. Perc<007>ò ragioneuol- mente $timaremo, che ella in m<007>lle, e mille effetti, tut- Delle Settioni ti marauiglio$i, parimente $i preuaglia di que$te Set- tioni Con<007>che, mentre, non o$tante il no$tro poco $a- pere, ci rie$cono nulladimeno tanto douitio$e, e fecon- de, quanto habbiamo di già potuto comprendere. Re- sta hora, che ved<007>amo, come le mede$ime $i po$$in de- $criuere.

Come $i de$criuino le Settioni Coniche. Cap. XLI.

BEnche apporti molto diletto l’intendere le proprietà, e vir- tù delle Settioni Coniche, $i co- me dalli antecedenti Capi hab- biamo potuto almeno $uperfi- cialmente comprendere; tuttauia non ci po- triano arrecare le vtilità da noi accennate, $e anco non $ape$$imo de$criuerle, e farle in ma- teria, per ridurle all’atto prattico, al che per compimento di tal dottrina $uppliranno li $u$- $eguenti Capitoli. E concio$iaco$a che molti habbino in$egnati diuer$i modi di de$criuerle, non addurrò però quà, $e nõ quelli, che $aran- no $timati più facili, e più belli, che in parte ancora, per quanto hò potuto in altri Auttori Coniche. Cap. XLI. comprendere, farãno nuoui; e perche s’inten- dano meglio, farà bene prima vedere così in vniuer$ale, come que$ti modi particolari, che $ono molti, $i riduchino à’$uoi modi generali: Se adunque gli anderemo e$$aminando, troua- remo quelli ridur$i prima, e principalmente à due, il primo modo $arà, quando noi cauaremo tali Settioni dal Cono, quale potiamo chiama- re, inuention $olida; il $econdo, quãdo che noi con qualche i$trumento fondato $opra alcuna loro proprietà, le de$criueremo nella $uperfi- cie piana, che potiamo chiamare inuention piana: Que$ta poi, o $i fà preci$amente de$cri- uendo veramente dette Settioni, o $i fà perap- pro$$imatione alla vera, cioè per punti conti- nuati, per i quali poi tirando vna linea, che appre$s’à poco $i vadi accommodãdo alla fle$- $uo$ità d<007> quei di$$egnati punti, $i de$criue, $e non preci$amente, almeno pro$$imamente tal Settione, $i che in$en$ibilmente $ia dalla vera differente; Que$ti modi particolari adunque $i riducono primieramente à due modi gene- rali, cioè all’inuention $olida, & all’inuention piana, e que$to $econdo à due altri, cioè all’in- uention piana vera, e all’inuention piana per Delle Settioni punti continuati, che $ono in tutto tre modi generali, che abbracciano tutti i modi parti- colari da me quì po$ti, ò da altri Auttori in$e- gnati: Hora veniamo à i modi particolari, che $i contengono $otto que$ti generali, quali $e non tutti, almeno in parte, conforme à quel, che $i è detto di $opra, $aranno quì da me re- gi$trati.

De i modi particolari di de$criuere le Settioni Coni- che, che s’a$pettano all’inuention $olida. Cap. XLII.

IL primo $arà, quando noi fare- mo fabricare al torno vn Cono di legno, o di $tagno, o d’altra materia, che habbi con$i$tenza, e che $i po$$i non difficilm\~ete ta- gliare, e poi lo $egaremo nel modo, che richie- dela generatione della de$iderata Settione: Come, pere$$empio, vi$ta la 2. figura, $e vorre- mola Parabola, gli daremo il taglio, come ve- diamo nel primo Cono, cioè in tal maniera, che di$$egnato il triangolo, A B C, che pa$$a per l’a$$e, la commune $ettione del piano $e- Coniche. Cap. XLII. gante, che è per produr nella $uperficie del Cono la Parabola, e di e$$o triangolo, $ia paral- lela all’vn de’lati di e$$o triangolo, come ad, A C; $ia dunque fatto que$to taglio, $i che ne $ia venuta la linea, R O V, que$ta dunque $a- rà Parabola, $eruendoci per tra$portarla poi in piano del tronco, O B R V; Nell’i$te$$o modo faremo l’Iperbola, tagliando la$uperficie del Cono al modo, che $i vede nel 2. Cono dell’ i$te$$a figura; e l’Eli$$i, nel modo, che ci mo- $tra il 3. Cono. Si po$$ono poi delineare nella $uperficie del Cono, o con l’immergerlo in qualche liquore, che tinga, facendo que$to, conforme, che $i di$$e nel Cap. 3. quanto all’ immer$ion del bicchiero di forma conica nell’ acqua, poiche l’e$tremo margine della tintura ci mo$trerà, doue habbiamo à fare il taglio; ouero ci preualeremo del lume del Sole, e d’vn filo dritto, che col centro del Sole $tia po$to in quel piano, che è atto, con tagliar la $uperfi- cie conica à produr tal $ettione ($arà poi atto, quando la $eghi con le conditioni dichiarate nel Cap. 3.) imperoche l’ombra di tal filo de- lineata $opra la $uperficie conica, $arà la de$i- derata Settione, e ci mo$trerà, doue $i haurà Delle Settioni da far’il taglio. Si può ancora, per non hauere à far que$to $egamento, acco mmodare vn’a$- $icella $ottile frà due pezzi, per e$$empio, di le- gno, attaccandola à quelli con pironcini, ela- uorando poi al torno ogni co$a in$ieme, che $e detta a$$icella $arà po$ta frà quei pezzi, e quelli sù’l torno, conforme, che richiede la produttione di tal Settione, ci verrà lauorata l’a$$icella, conforme al no$tro bi$ogno, $enz’ hauere à far’il $udetto taglio; Si può ottener que$to ancora in altri modi, ma ba$tino per maggior breuità li già dichiarati.

II $econdo modo particolare $arà, quando non faremo fare il $udetto Cono, ma perla $u- perficie conica ci preualeremo d’vno $tile, che col girar’intorno ad vn punto fi$$o, che s’in- t\~ede per cima del Cono imaginario, riuolgen- do$i ancora per la circonferenza d’vn circolo, di$$egnarà in vna $uperficie piana, $ituata $o- pra il $oggetto piano (in tal’eleuatione, che po$$i, $egando l’imaginato Cono, produrla) la de$iderata Settione, e ciò con l’hauer liber- tà non $olo di girar’intorno alla cima del Co- no, ma anco d’alzar$i, & abba$$ar$i $opra l’in- chinato piano, pa$$ando $empre per la $udetta Coniche. Cap. XLII. cima; & in que$to modo hà inuentato, e fabri- cato l’i$trumento da di$$egnare le Settioni Coniche il Sig. Alfon$o da Isè, huomo molto ver$ato nelle Matematiche, & atti$$imo alle operationi, il quale lo migliora poi in tal maniera, che lo fà atto al de$criuere qual$i- uoglia Settione, che $en$ibilm\~ete $i di$tingua dalla linea retta, in quel modo appunto, che il Sig. Guid’Vbaldo dal Monte di$$egna le portioni di circonferenze de’circoli, benche $iano di $emidiametro di grandezza notabile, preualendo$i in que$to i$trumento in vece di e$$a circonferenza, per la quale douria $correre lo $tile, ò lato del Cono, che deue di$$egnar la Settione, preualendo$i, dico, d’v- na $quadra zoppa, ò mobile, aperta talmente, che facci l’angolo della circonferenza, da lei $upplita; nel congiungimento de i lati della quale $tà fi$$o il lato del Cono, à quell’inclina- tione, che fà bi$ogno, tutto intiero, ouero vn pezzo $olo, $econdo che vogliamo, dentro il quale è la detta $quadra, $tà accomodato nel debito $ito il piano, nel qual $i hà da di$$egna- re la Settione, che $i vuole, sù per il quale $cor- re la punta d’vn’altro lato mobile del Cono, Delle Settioni ma però $empre aggiacente al lato fi$$o di e$$o Cono, dalla cui pũta vien di$$egnata la Settio- ne $opra l’inchinato piano; non lo $piego con figura, parendomi, per non e$$er co$a mia, à ba$tanza hauerlo dichiarato così in a$tratto.

Ilterzo, & vltimo modo $arà (benche $ia $imile à que$to $econdo) quando in vece d’ac- comodare il piano, in cui $i hà da di$$egnare la determinata Settione, al Cono, & al $ogget- to piano, noi accomodaremo il Cono, & il $oggetto piano à quello, int\~edendo vn’imagi- nario Cono talmente piegato $opra il $ogget- to piano (qual $aria quello d’vna tauola) che v\~ega detto $oggetto piano à e$$er $ituato tal- m\~ete in ri$petto di quel Cono, che $ia atto, $e- gando tal $uperficie, à produrre tal Settione, qual $i de$idera ($arà poi atto, $e hauerà le con- ditioni, in ri$petto del Cono, dichiarate nel Cap. 3.) e di que$to Cono imaginario non vi è altro, che $ia reale, $e nõ vno $tile, che $i moue di due moti, cioè per la circõferenza d’vn circo lo, $opra vn pũto fi$$o, che s’int\~ede per la cima del detto Cono, e sù, e giù per la detta cima, poiche e$$endo di$uguali le rette linee tirate dalla cima del Cono à cia$cuna delle dette Coniche. Cap. XLII. Settioni, fuor che al circolo non $ubcontra- riamente generato, è di bi$ogno, che $i ritiri in sù, e in giù, pa$$ando $empre per la cima, s’e- gli hà da $tar con la punta continuamente nel $oggetto piano, nel quale con tal modo di$$e- gnarà la de$iderata Settione; Vn tale i$tro- mento poi hò vi$to appre$$o li Molto RR. PP. Ge$uiti, qual mi dicono e$$ere inuentione, e fabrica del P. Scheiner dell’i$te$$a Cõpagnia.

Vi po$$ono e$$ere for$i altri modi particola- ri ancora, attinenti all’inuention $olida, ma per mio giudicio credo, che $aranno pochi$$i- mo differenti dalli $udetti; e perciò ba$teran- no que$ti per e$plicatione de’modi particola- ri di que$ta inuention $olida. Trapa$$aremo dunque à gli altri, che s’a$pettano all’inuen- tion piana, e prima à quelli, che appartengono all’inuention piana vera.

De’modi particolari di de$criuere le Settioni Con<007>che, che s’a$pettano all’inuention piana vera. Cap. XLIII.

QVe$ti modi gli potiamo di$tinguere in due m\~ebri principali, il primo de’qua- li $arà il modo di de$eriuerle con vn Delle Settioni filo, il $econdo poi $arà difarle con i$trumen- ti $odi, come con righe dilegno, ò di metallo: Quanto al primo, ridurrò $olamente à memo- ria il modo di de$criuere l’Eli$$i con vn filo, v- $ato da tutti i prattici, cominciãdo da que$to, per e$$er più trito, e noto à cia$cheduno. Sia dunque nella 26. figura vn filo di che lõghez- za $i voglia, e pre$i in vn piano, come $i voglia, due punti di$tãti, per minor’interuallo, che nõ è il filo, quali $iano, O, E, $i metta l’vn de’ca- pi del filo in vno, comein, O, e l’altro capo nel rimanente, cioè in, E, e $ia il filo, O C E, dentro il quale $ia po$ta la punta dello $tile, N C, che $ia, C, che po$$i $correre liberamen- te sù, e giù, per il filo, e per i punti, O, E, $i tirila retta, O E, di quà, e di là indiffinita- mente prolongata; $corra poi la punta, C, $ino c’habbia dato vna volta attorno i due punti, O, E, tenendo $empre te$e le due parti del filo, O C E, da lui $eparate, $i che $iano drit- te (nel che è difetto$a que$t’operatione, per non ci poter noi mai di que$to a$$icurare, cioè, che que$ta ten$ione $ia fatta con tal tempera- mento, che que$te parti te$e hora non $iano più longhe, & hora più corte) & habbi de$crit- Coniche. Cap. XLIII. to la linea, A C B F, è manife$to per la $econ- da proprietà dell’Eli$$i, che fù dichiarata al Cap. 18. che que$ta $arà Eli$$i, e $uoi fochi $a- rannoi punti, O, E, diametro primo, A B, e $econdo quella retta linea, che $ega, A B, nel mezo perpendicolarmente terminata nell’E- li$$i, A M B F, qual $ia, M F, che pa$$i per, R, e che diuida, A B, in parti vguali, qual poi $i chia ma centro dell’Eli$$i; sì come, M F, $i dice an- co diametro minore, o maggiore, $econdo che farà minore, o maggiore del diametro, A B; Di quì $i fà manife$to, che $e noi vole$$imo far l’Eli$$i, i fochi della quale haue$$ero vna da- ta di$tãza, come, O E, & anco vna data di$tan- za da gli e$tremi, A B, egualmente lontani da, O, E, nell’i$te$$a drittura, che prendendo vn filo, e mettendo vno de’$uoi e$tremi in, O, e facendolo pa$$are d’attorno alla punta dello ftile, collocata in, A, e da quello traendolo $i- no ad, E, & iui religandolo, $i che le parti, O A, E A, raccomandate alla punta dello $tile, $te$$ero dritte, e facendola reuolutione, e de- $crittione, come $opra, $i produrria la de$iata Eli$$i, qual pur $ia la, A M B F, di doue ci ver- rà determinato il $econdo diametro, M F; Ma Delle Settioni $e per il contrario vole$$imo farla d’vna deter- minata longhezza, e larghezza, allhora non po$$ono $uppor$i i fochi, O, E, ma vengono à determinar$i con tal $uppo$itione; e ciò ba- $ti intorno al de$criuere l’Eli$si con vn filo.

Come $i de$criua la Iperbola con vn filo, primo modo della inuention piana vera. Cap. XLIV.

LA$cio in vltimo la Parabola, poi- che doppo le altre s’è imparato à de$criuerla con vn filo. Siano dunque nella vige$ima$ettima figura dati due fochi della Iper bola, da de$criuer$i, A, E, volendo, che’l foco interiore, che $ia, E, di$ti dalla cima dell’Iper- bola, per la data retta linea, E D, che prodot- ta pa$$i per l’altro foco, A, e $ia, A C, tolta e- guale à, D E; $arà dunque, D C, lato trauer$o dital’Iperbola, prenda$i hora vn filo, come, A Z G H Z E, i cui capi $i leghino alli punti, E, A, poi $ia lo $tile, F Z, la cui pũta po$ta in, D, ten- ghi il filo te$o, $i che vna parte $i $tenda $opra, D A, l’altra $opra, D E, & il re$to raddoppia- Coniche. Cap. XLIV. to pa$$i per vn piccol foro, vicini$$imo alla ci- ma dello $tile, e tenendo quello in mano, e con l’altra mano il raddoppiato filo b\~e te$o, $i pre- ma lo $tile $opra il piano, in cui $i vuole di$$e- gnare la lperbola, venendo da, D, ver$o, G, in tal maniera, che $empre e$chino fuori dal pic- ciol foro dello $tile parti eguali di filo, co- me $i vede, e$$endo $ituatoin, Z, che così la di$egnata linea $arà Iperbola, qual $ia, D H, e ciò perche la, A Z, $upera la, Z E, in tutti i $i- ti, della quantità dellato tra$uer$o, ò a$$e, D C, facendo$i $empre eguali addittioni, come vuole la p. 51. del 3. di Apollonio. Potiamo ancora, prodotta, A Z, in, X, intendere, che, A X, $ia vna riga, alla quale $tia $empre aggia- cente vna parte del $ilo, che hora s’intenda e$- $ere, E Z X, cioè la parte, Z X, poiche mou\~e- do$i detta riga intorno al centro, A, e lo $tile $correndo per la longhezza di lei, doue il filo, E Z X, legatoin, X, lo nece$$itarà verrà à de- $criuere l’Iperbola, H D L, fac\~edo nell’vno, e nell’altro modo, anco dalla parte, L, e\~q$ta $e- cõda operatione $i caua dalla $econda proprie tà dell’Iperbola di $opra dimo$trata al C. 15.

Delle Settioni Come $i de$criua la Parabola con vn filo; primo modo della inuention piana vera. Cap. XLV.

SIa nella 28. figura il punto P, e $i habbi da de$criuere con vn filo vna Parabola, della quale il detto punto, P, $ia foco, che di$ti dalla di lei cima, per la da- ta retta, P A, che $arà parte dell’a$$e di tal Pa- rabola, qual $ia indiffinitamente prolongata ver$o, P, come in, C, per il qual punto, C, $ia tirata la, B D, ad angolo retto $opra, A C, pro- longata ind<007>ffinitamente, come in, B D; $ia dunque per il punto, A, tirata la, H G, paral- lelaà, B D, che perciò $arà perpendicolare ad, A C, indiffinitamente pur prodotta, come in, H, G; habbi$i poi vna $quadra di legno, ò di metallo, che $ia, M F E, il cui lato, M N, $cor- ra $opra la retta, H G, & $ia poi vn filo legato in, P, preci$amente longo quanto è la, P A C, e nel principio del moto $ia il punto, N, dell’ angolo della $quadra collocato in, A, come anco lo $tile, R O, che hebbi la punta, O, in, A, e l’altro capo del filo $tia legato in, E, nel Coniche. Cap. XLV. qual $ito le due parti del filo $eparate dalla punta, O, dello $tile, R O, $taranno di$te$e $opra le, A P, A C; $i moua poi la $quadra, M N E, ver$o, G, mantenendo $empre il lato, M N, nella retta, H G, e nell’i$te$$o tempo $i mo- ua lo $tile longo il lato, N E, manten\~edo $em- pre il filo adherente al lato, N E, che così con la $ua punta de$criuerà la $emiparabola, A D, po$to, che termini in, D, e nell’<007>$te$$o modo ri- uoltata la $quadra, $i de$criua la $emiparabola, A B, che termini in, B, che così haueremo fat- ta la Parabola, B A D, il cui a$$e $arà, A C; e foco il punto, P, e cima il punto, A, & è mani- fe$to, che, B A D, $arà Parabola, poiche e$$en- do il filo $empre il mede$imo, vengono ad e$- $er’eguali le incidenti parallele all’a$$e, A C, e rifle$$e al punto, P, tolta in$ieme cia$cuna incidente, e $ua rifle$$a, eguali dico à qual$iuo- glia incidente, e $ua rifle$$a, che è la $econda proprietà della Parabola dimo$trata al Cap. 10. Ecco dunque compitamente de$critte le tre Settioni Coniche di Apollonio, non $olo l’Eli$$i con il filo, ma la Iperbola, e finalmente anco la Parabola, della quale appunto dice il Keplero nell’A$tronomia Ottica al Capit. 4. Delle Settioni doppo hauer’accennato la de$crittion dell’E- li$$i, & Iperbola fatta col filo _(Diu dolui, non_ _po$$e, $ic etiam Parabolem de$cribi. Tandem analo-_ _gia mon$trauit, <010> Geometrica comprobat, non mul-_ _tò opero$ius <010> hanc de$ignare)_ doue non hauen- do egli po$to la dimo$tratione, fece ch’io ap- plicandoui incontra$$i que$ta ragione, che quì con le altre hò voluto regi$trare.

Le Settioni oppo$te, poi pa$$ano $otto il ca- po dell’Iperbola, potendo$i con vn filo di$$e- gnare, come l’Iperbola, facendone vna, e poi l’altra, con l’i$te$$a di$tanza de’fochi. E ben- che finalmente io $appi, che non potiamo così aggiu$tatamente operare col filo, che $iamo $icuri d’hauer di$$egnate le vere Settioni, nõ- dimeno le hò me$$e $otto il capo dell’inu\~etion piana vera, poiche $i deue intendere l’opera- tione fatta con vn filo, che non pati$chi que$ta imperfettione, che del re$to ella è poi vera in- u\~etione di tal Settione, non hau\~edo poi quel- lo, che pre$criue tal’operatione, obligo di mo- $trare, che $i po$$i, o nõ $i po$$i trouar’vn tal fi- lo, o veram\~ete dica$i, ch’ella è inu\~etion vera, $e il filo nõ patirà tal’imperfettione, e nõ ve- ra, $e pur $arà di tale imperfettione, ma $olo, Coniche. Cap. XLV. che $i auuicina alla vera, e s’intendi que$ta $otto l’altro capo.

Come $i de$criua la Parabola, mediante gl’i$trumen- ti$odi, composti diregoli, ch’è il$econdo mo- do dell’inuent<007>on piana vera. Cap. XLVI.

QVe$to noi lo cõ$eguiremo me- diante due $ole $quadre, acco- modate in$ieme, & adoperate nel modo, che $i dirà. Sia dunque da de$criuer$i la Pa- rabola, il cui foco di$ti dalla cima per la retta, A P, nella 29. figura, per e$$er dunque que$ta la quarta parte del lato retto di tal Parabola, $apremo pur’il lato ret- to di e$$a Parabola, qual $ia la, A E, po$ta ad angolo retto $opra, A P, qual prodotta indif- finitamente ver$o, P, come in, M, intendiamo douer’e$$er’a$$e della Parabola, che $i hà da de$criuer$i, $iano poi fabricate due $quadre di legno, ò di metallo, che $iano, N L M, A I K, e talmente po$te, che il lato d’vna di quel- le, come, L M, $i facci $empre $correre sù per Delle Settioni la retta, A M, che perciò, N L, $tarà $empre ad angolo retto $opra, A M, dipoi $i prenda, L K, nella, L M, terminata in, K, che $ia egua- le al lato retto, A E, & iui metta$i vn pironci- no, ò altra co$a, che co$tringa la gamba, I K, della $quadra, A I K, à pa$$ar s\~epre per il pun- to, K, il quale $i potrà mettere o di quà, o di là o nel mezo della gamba, I K, facendoui vn canaletto; vn’altro parimente $e ne metta nel punto, A, che co$tringa il lato, A I, pa$$ar s\~e- pre per il punto, A, e nel punto, I, $i metta lo $tile, R I, che habbi la punta in, I, quale s’in- tenda mouer$i sù, e giù per il lato, N, L, $tan- doli $empre aggiacente, m\~etre anco ilati, I A, I K, $correrãno peri punti, A, K, e s’intenda principiar$i la de$crittione dal punto, A, nel qual principio i tre punti, I, L, A, $aranno vn $olo, poi mou\~edo$i la $quadra, N L M, $i che per e$$empio $i $ia co$tituita, doue hora $tà, inten- deremo, cheil pũto, I, $ia $cor$o da, L, in, I, de- $criu\~edo la curua, A I, m\~etre i lati, A I, I K, $arã- no $cor$i per i pũti, A, K, manten\~edo$i $empre aggiacenti à quelli, e così $eguitaremo in tal modo à de$criuere la curua, I B; & è manife$to, chela, A I B, $arà linea vera Parabolica, poiche Coniche. Cap. XLVI. nel triangolo rettangolo per e$$empio, A I K, il quadrato della perpendicolare, I L, è vgua- le al rettangolo $otto, A L, &, L K, ouero, A E, lato retto, al quale, L K, $i tol$e vguale, cioè il quadrato di, I L, ordinatamente applicata all’a$$e, A M, è vguale al rettangolo $otto, L A, parte dell’a$$e tra lei, e la cima, A, e $otto il lato retto, A E, e così prouaremo accadere in tutti gli altri $iti delle due $quadre, A I K, N L M, adunque A B, è Parabola, la cui cima è il punto, A, foco, P, & a$$e, A M, $upponen- do però d’hauer de$critto l’altra parte, A C, il che faremo nell’i$te$$o modo: Que$ta maniera poi $i caua dalla quarta proprietà della Para- bola, dimo$trata al Cap. 12. e la fig. N I K A, credo for$e $ia il Greco {λα}μβδα d’l$idoro Mile- $io, da lui inuentato per de$criuer la Parabola.

Come $i de$criua la Iperbola con le righe, $econdo mo- do dell’inuention piana vera. Cap. XLVII.

SIa da de$criuer$i la Ipe<007>bola, il cui lato retto nella trige$ima figura $ia, C B, e lato tr auer$o, B A, perpendicolare à, B C, prodotto ver$o, B, indiffinitamente, come in, Z, e c osì, A C, ver$o, C, indiffinita- Delle Settioni mente, come in, X, intenda$i poi la retta, D E, mobile in sù, e in giù $empre perpendico- larmente à, B Z, e $ia la, D F, che contenga vn mezo retto con, D E, $tando $empre il pũ- to, D, nell’inter$egatione delle due, D E, A X, quale $egarà, B Z, in diuer$i punti, e$$endo co$tituito l’i$tromento in diuer$i $iti, s’int\~eda però hora in vn determinato $ito, e $eghi la, D F, e$$a, B Z, in, F, $ia poi vna $quadra, B E F, come nella Parabola fù la, A I K, il cui punto, E, dell’angolo retto (che s’intenda per la pun- ta d’vno $tile) $corra sù, e giù per la retta, G E, $tando $empre in quella, e fra tantoi lati di lei pa$$ino $empre per i punti, B, F, è manife- $to, che principiando$i il moto dal punto, B, doue $aranno vniti i tre punti, G, B, E, $i par- tirà da, B, il punto, G, $corr\~edo $opra la, A Z, e la, E D, conducendo $eco la retta, D F, che parimente porterà il punto, F, sù per la retta, B Z, e fra tanto il punto, E, $correrà sù per, G E, da, G, in, E, per$euerãdo i due lati, E B, E F, di pa$$ar $empre per i punti, B F; habbia dun- que la punta dello $tile, E, in tal moto de$crit- ta la curua, B E, dico, che que$ta $arà Iperbo- lica, poiche il quadrato, G E, è vguale al ret- Coniche. Cap. XLVII. tangolo, B G F, cioè, B G D, che eccede il ret- tãgolo $otto, C B, lato retto, e $otto, B G, par- te dell’a$$e fra’l pũto, B, el’ordinatamente ap- plicata, G E, d’vn rettangolo $imile al rettan- golo contenuto $otto il lato retto, C B, e tra$- uer$o, B A, e così mo$traremo accadere ne gli altri $iti dell’i$trumento nell’i$te$$o modo; a- dunque, B E, è Iperbolica, e così anco de$cri- ueremo quel, che manca dalla parte ver$o, D, la onde $i haurà l’intiera Iperbola, il cui dia- metro $arà, B Z, cima il punto, B, lato retto, C B, e tra$uer$o, B A, già $uppo$ti, il che bi- $ognaua fare: In vece poi delle rette linee da noi di$egnate per minor briga, e confu$ione, intenderemo zante righe congionte in$ieme, come richiede la $tabilità dell’<007>$trumento, e la libertà del mouer$i delle parti di quello, e que- $ta maniera $i caua dal Cap. 16.

Come $i de$criua l’Eli$si con le righe, $econdo modo dell’<007>nuent<007>on piana vera. Cap. XLVIII.

SIa finalmente da de$criuer$i l’Eli$si, dato nella 31. figura il lato retto, C B, e trauer$o, B A, che $tiano ad an- Delle Settioni golo retto: e$$endo pur dũque, D E, che $cor- ra sù, e giù per la, B A, perpendicolarmente à quella, giũta, A C, quella porti sù, e giù per C A, il punto, D, con la retta, D F, che $tia ad angolo $emiretto $opra, D E, $egando la, B A, come in, F, $ia poi la $quadra, B E F, il cui punto, E, dell’angolo retto $corra sù per, G E, e fra tanto i lati, E B, E F, pa$$ino $em- pre per i pũti, B, F, e $i principij il moto in, B, ouero in, A, e $ia l’<007>$trumento vna volta nel $i- to, che $i vede, e per il punto, E, s’intenda la punta d’vno $tile, che de$criua la curua, B E A; dico, che que$ta $arà Eli$$i, poiche il qua- drato di, G E, è vguale al rettangolo, B G F, cioè, B G D, per e$$er, G F, G D, eguali, che ri$guardano gli angoli $emiretti, G D F, G F D, ma il rettangolo, B G D, <007>nãca dal rettan- golo, C B G, $otto tutto il lato retto, ela tron- cata via dell’a$$e per la, G E, che è, G B, man- ca, dico, d’vn rettangolo $imile al rettangolo $otto ambedue i lati, C B, retto, &, B A, tra$- uer$o; adunque il punto, E, è nello Eli$si, di cui $on lati, C B, B A, così prouaremo e$$erui gli altri punti della curua, B E A; adunque que$ta è Eli$$i, o $emieli$$i; nell’i$te$$o modo Coniche. Cap. XLVIII. de$criueremo l’altra parte, adoprando l’i$tru- mento, che dourà e$$er compo$to di righe, in vece di linee, dall’altra bãda, e così haueremo l’intiero Eli$si, di cui $aran lato retto, C B, e tra$uer$o, B A, come$i prete$e di fare: Ma va- glia à dire il vero, che per i$trumenti di righe non credo $i po$si migliorare di quello, che fù inuentato dal Sig. Guid’Vbaldo dal Monte, huomo veramente intendenti$$imo delle Ma- tematiche, ch’accoppiò in$ieme il natiuo $pl\~e- dore con il bel lume di sì alte dottrine, il qua- le i$trumento fù da lui dichiarato, & in$egna- tane la fabrica, nel fine dell’Opera $ua de’Pia- nisferij, come cia$cun’à $uo commodo potrà vedere.

Le Settioni oppo$te poi $i de$criuerãno co- me due Iperbole, che hanno commune illato tra$uer$o, & eguali i lati retti, per la 14. del primo de’Conici.

Vna $imil maniera di de$criuere dette Set- tioni Coniche con le righe, mi fù mo$trata parecchi anni $ono dal Sig. Mutio Oddi da Vrbino, hora Ingegnero della Sereni$sima Republica di Lucca, per$ona con$umata ne’ $tudi di Matematica, e molto intelligente si Delle Settioni della Teorica, come della Prattica ancora. Egli è però vero, ch’e$$endomi $uanito, per la longhezza del tempo, dalla memoria, quale veramente fo$$e il modo, ricordandomi $olo, che v’entrauano le $quadre, con occa$ione di hauere à in$egnare la loro de$crittione per via di righe, mi me$si à pen$arui, e mi $ouuenne que$ta maniera, che hò $piegato di $opra, qua- le, quando s’abbatti con il modo del $udetto Autore (il che $arà manife$to dal libro, che il mede$imo mi accenna voler $tã pare in breue, con il detto modo) dourà dar$i la lode al $uo primo inuentore. E que $to hò voluto dire, non mi par\~edo ben fatto il ve$tirmi delle p\~e- ne d’altri; che perciò, $e ben hò raccolto quà alcuni d<007> que$ti modi, che $ono d’altri Autori, acciò chi leggerà que$to mio Trattato, ne habbia di diner$e $orti, per appigliar$i à qual più li piacerà; nõ trala$cio tuttauia di nomi- nare, come mi pare il douere, ilor proprij Au- tori. Mi $criue poi il mede$imo vltimamente, ch’anch’egli de$criue tutte tre le Settioni con il filo, come pur hò in$egnato di $opra, con accompagnarui la propria ragione, che per la Parabola, e l’Iperbola non hò ancora vi$to ap- Coniche. Cap. XLVIII. pre$$o di altri.

Dique$ti modi poi ci contentaremo quãto all’inu\~etion piana vera, per non regi$trar quà tutto quello, che han detto gli altri, la$cian- do all’indu$tria dell’arte$ice la co$truttione de’$udetti i$trumenti, acciò rie$chino più age- uoli, e più facili da maneggiare, per non vo- ler con troppo pregiudicio della breuità, an- dar $minuzzando ogni minima co$a, che dall’ indu$trio$o Operario può, v$andoui qualche poco di diligenza, con facilità e$$er condotta à perfettione, e però di que$ti modi $ia detto à ba$tanza, facendo pa$$aggio à quelli della inuention piana, fatta per continuati punti.

Dei modi particolari d<007> de$criuere le Settioni Coni- che, appartenent<007> all’Inuention piana per i punti continuati. Cap. XLIX.

POtrei addur quà le varie inuen- tioni di diuer$i Autori, come di Orontio Fineo, di Marin Getal- do, e d’altri, che $i $ono ingegna- ti di de$criuerle per i punti con- tinuati, ma perche non vorrei ecceder’in lon- Delle Settioni ghezza; perciò $piegarò $olo quella vniuer- $al ragione, $opra la quale $tanno fondati que- $ti vltimi modi d<007> di$$egnare le dette Settioni per continuati punti, con aggiunta di qualche co$a del mio. Dico adunque qua$i tutti quei modi, o almeno i principali e$$er fondati $o- pra le tre vltime proprietà di dette Settioni Coniche, che da me $ono $tate $piegate ne i Capitoli 12. 16. 20. vediamo perciò prima que$to intorno la Parabola. Sia dunque dato il lato retto, A Z, nella trige$ima$econda $i- gura, prolongato indiffinitamente ver$o, A, come in, X; volendo adunque de$criuere vna Parabola, il cui a$$e $ia, X A, e lato retto, A Z, tiraremo dalla e$tremità la, X G, ad angolo retto ($e ben verrà de$critta anco, che non $ia ad angolo retto, il che però $uppõ@o per mag- gior chiarezza) e poi prenderemo molti pun- ti in, AX, più $pe$si, che $ia po$$ibile, però quà per e$$empio non notaremo, $e non li tre pũti, M, L, H, da’quali tiraremo dalla parte mede- $ima le, H B, L D, M F, parallele ad, X G, in- diffinitamente prolõgate, dipoi de$criueremo dall’altra parte i $emicircoli, Z C H, Z O L, Z I M, Z V X, tirando da, A, la retta, A V, per- Coniche. Cap. XLIX. pendicolare $opra, A X, indi$finitamente prodotta, che $eghi le circonferenze de’$udet- ti $emicircoli ne i punti, C, O, I, V, prendere- mo poi in, H B, la, H B, eguale ad, AC, in, L D, la, L D, eguale ad, A O, in M F, la, M F, eguale ad, A I, e finalmente la, X G, e- guale ad, A V; dico adunque, chei punti, B, D, F, G, $arãno nella Parabola, il cui lato ret- to è, A Z, poiche il quadrato, X G, cioè, V A, è vguale al rettangolo $otto, X A, compre$a tra, X G, & il punto e$tremo della retta, X A, e $otto il lato retto, A Z, per e$$ere, Z V X, $e- micircolo, &, A V, perpendicolare $opra il diametro, Z X, e così il quadrato, M F, è vgua- le al rettangolo, M A Z, & il quadrato, L D, al rettangolo, L A Z, & il quadrato, H B, al rettangolo, H A Z, e però i punti, G, F, D, B, $aranno nella Parabola, il cui lato retto $arà, A Z; trouando dunque tali punti, che $ian vi- cini, e facendo pa$$are vna curua per quelli, decor$a dalla punta d’vno $tile, che pa$$i per i mede$imi punti, verrà pro$$imam\~ete de$crit- ta da quello la $emiparabola da que$ta banda, e nell’i$te$$o modo de$criueremo la rimanen- te dall’altra, & hauremo l’intiera Parabola, Delle Settioni de$critta per i punti continuati, il cui lato ret- to $arà, A Z, che prima $i propo$e, e que$to mo- do è cauato dalla 4. proprietà della Parabola al Capit. 12.

Come $i de$criua l’Iperbola, & Eli$si per ì punt<007>continuati. Cap. L.

SIa nella trige$imaterza figura, B A, lato tra$uer$o d’vn’Iper- bola, & Eli$$i, da de$criuer$i, come $opra, &, A F, à quello perpendicolare $ia lor cõmun lato retto, e giunti i punti, B, F, $ia la, B, F, come anco la, B A, indiffinita- mente prodotta ver$o, F, A, come in, D, C; per far que$to dunque, pr\~ederemo molti pun- ti, e $pe$$i nelle, B A, A C, ma noi per e$$empio ne notaremo due $oli, e $upporremo di voler fare, che il punto, A, non $olo $ia cima dell’I- perbola, ma anco della Eli$$i da de$criuer$i. Siano dunque li due punti pre$i in, B A, e$$i, M, N, & in, A C, e$$i, R, C, per i quali $i pro- longhino indiffinitamente parallele ad, F A, di quà, e di là le, H <006>, G &, E X, D Y, che $e- Coniche. Cap. L. ghino la, B D, ne i punti, H, G, E, D, $i pren- da poi in, H <006>, la, M <006>, eguale ad, M A, in, G &, la, N &, eguale ad, N A, in, E X, la, R X, eguale ad, R A, & in, D Y, la, C Y, eguale ad, A C, e $opra le, H <006>, G &, E X, D Y, s’inten- dino de$critti $emicircoli, che $eghino la, B C, ne i pũti, K, Z, T, V, cioè il $emicircolo $opra, H <006>, $eghi la, B A, in, K, quel $opra, G &, la i$te$$a, B A, in, Z, quel $opra, E X, la, A C, in, T, e finalmente quel $opra, D Y, la, A C, pur in, V, e prenda$i la, M K, in, M <006>, cioè, M O, eguale ad, M K, che termini in, B A, e così, N P, eguale ad, N Z; R Q, eguale ad, R T, & C S, eguale à, C V; dico dunque, che i punti, O, P, $ono nell Eli$$i, di cui è lato retto, F A, e tra$uer$o, A B, &, Q, S, nell’Iperbola, che hà i mede$imi lati retto, e tra$uer$o, imperoche il quadrato, M K, cioè, M, O, è vguale al ret- tangolo, H M <006>, cioè, H M A, per e$$er, M <006>, eguale ad, M A, come, M O, ad, M K, cioè è eguale al rettangolo $otto, M A, & H M, defi- ciente dal rettangolo $otto, M A, A F, di vn rettangolo $imile al contenuto $otto, B A, A F; adunque per la quarta proprietà, $arà il pun- to, O, nell’El<007>$$i, di cui $on lati, F A, A B, così Delle Settioni prouaremo e$$erui il punto, P, & ogn’altro punto in tal modo trouato; per quelli adũque di$$egnata la curua, come $opra, che $ia, B O P A, diremo que$ta e$$er pro$$imamente $emi- eli$$i, di cui $on lati, F A, A B, così faremo la rimanente dall’altra parte, & hauremo de$crit to l’Eli$$i per i punti continuati, di cui $aran- no lati, F A, retto, &, A B, tra$uer$o.

Nell’altra figura poi, il quadrato, R Q, per e$$er’eguale al quadrato, T R, $arà anco egua- le al rettangolo $otto, E R X, cioè, E R A, ec- cedente il rettangolo, F A R, di vn rettango- lo $imile al contenuto $otto, B A, lato tra$uer- $o, &, A F, lato retto; adunque il punto, Q, $a- rà nell’Iperbola, di cui $ono lato retto, F A, e tra$uer$o, A B; così mo$traremo e$$erui il pun- to, S, & ogn’altro in tal modo ritrouato, de- $criuendo adunque, come $opra, la curua, A Q S, $arà que$ta $emiIperbola, e nell’i$te$$o mo- do, fatta dall’altra parte la rimanente, haure- mo l’intiera Iperbola de$critta per i punti con- tinuati, di cui $arãno lato retto, F A, e tra$uer- $o, A B, & il punto, A, cõmune cima dell’Iper- bola, & Eli$$i, e l’i$te$$o $i farà, quando le, B A, A C, non fo$$ero a$$i, ma $olo diametri: Nella Coniche. Cap. L. mede$ima maniera poi $i potranno de$criuere le oppo$te Settioni, come due Iperbole, $e- condo quello, che $i è detto anco di $opra.

D’vn’altra maniera molto facile, <010> e$pediente, di de$criuere per i punti continuati la Parabola, che habbi per foco vn determinato punto. Cap. L I.

SIa nella figura 34. la retta, A K, indiffinitamente prolongata, quale vogliamo con$tituir per a$$e della Parabola da de$cri- uer$i, & in quella $i prendano, come $i voglia due punti, B, A, cioè, B, che debba e$$er foco, &, A, cima della $udetta Pa- rabola; pigli$i poi, B C, eguale à, B A, e $opra il centro, C, con la di$tanza, C A, $i de$criui il circolo, A O F Z, che $eghi, A K, in, F, e per, S, $i tiri la, N F G, perpendicolare ad, A K, nella quale $i prendano le, N F, F G, eguali ad, F A; Dico, cheipunti, N, G, $ono nella Parabola, il cuifoco è il punto, B, ouero il cui lato retto è, F A, quadrupla di, A B: Poiche il quadrato, N F, ouero, F G, è vguale al qua- Delle Settioni drato, F A, cioè al rettangolo $otto, F A, el’i- $te$$a, F A, lato retto, e però i punti, N, G, $a- ranno in tal Parabola. Prendi$i hora nella, F A, doue $i voglia il pũto, E, per il quale $i pro- duchi di quà, e di là indiffinitam\~ete la, M H, parallela ad, N G, che $eghi la circonferenza, A O F Z, nei punti, O, Z, e la di$tanza, A O, ouero, A Z, tirate le, A O, A Z, $i tra$porti sù la, M H, terminandola di quà, e di là in, E, e ne i punti, M, H; Dico, che que$ti $aranno nella detta Parabola; poiche il quadrato, M E, ouero, O A, che gli è vguale, è parimente vguale à i quadrati, O E, E A, ma il quadra- to, O E, è vguale al rettãgolo, F E A, che con il quadrato, E A, fà il rettangolo, F A E; adũ- que il quadrato, M E, è vguale al rettangolo $otto, E A, parte troncata da e$$a ver$o, A, e $otto, A F, lato retto; adũque per le co$e det- te al Cap. 6. $arà il punto, M, in tal Parabola; e nell’i$te$$o modo prouaremo e$$erui il pũto, H.

Sia hora pre$o in, A F, prodotta oltre il pũ- to, F, e$$o, K, per il quale $i tiri la, L K Q, pa- rallela ad, N G, e $i facci $opra, A K, vn $emi- circolo, che $eghi con la $ua circonferenza la, N F, in, T; Tolta dunque la di$tanza, A T, Coniche. Cap. LI. la tra$portaremo $opra, L, Q, terminandola di quà, e di là à i punti, L, Q, e communemen- te nel punto, K, prouando noi i punti, L, Q, e$$ere nella detta Parabola, poiche il quadra- to, L K, cioè, T A, per e$$ere, K T A, $emicir- colo, è vguale al rettãgolo, K A F, $otto, K A, troncata da, L K, & A F, lato retto; adunque il pũto, L, è in tal Parabola, come anco $i pro- uarà del punto, Q; In tal modo adunque pre$i molti, e $pe$si punti nella, A K, e per quelli, di quà, e di là dalla, A K, prodotte indiffinita- mente rette linee, perpendicolari ad, A K, e tolte le di$tanze da i punti, doue dette paral- lele $egano la circonferenza, A O F Z, $ino al punto, A, ouero da i punti $egnati al modo $u- detto nella retta, N G, trouaremo i punti vici- ni$$imi, per i quali tirata, come $i è detto, vna linea curua, $i di$$egnarà la Parabola, il cui la- to retto $arà, F A, e $uo foco il punto, B, co$a veramente degna d’e$$er $aputa; $ia dunque tal Parabola la, L A Q, nella de$crittione del- la quale, continuata $otto il punto, F, cõuie- ne auuertire, che i $egamenti, fatti nella ret- ta, N G, per occa$ione de i $emicircoli, da de- $criuer$i, come è, A T K, tal volta $arãno den- Delle Settioni tro, N G, ò che batteranno in, N, G, e tal volta $i faranno oltre i punti, N, G, nella me- de$ima, N G, di quà, e di là indiffinitamente prolongata.

Come dalla Parabola $i po$$ono dedurre infinite Iperbole, che con mirabile analogia vanno mutan- do i lati tra$uer$i, mantenendo però $empre l’i$te$- $o lato retto. Cap. LII.

SIa nella fig. 35. il circolo, D P G, diametro, D G, e centro, F, dal quale $upponga$i hauer noi de- dotta la Parabola, D Q H, (mi $ia lecito chiamare que$te Set- tioni, come che fo$$ero intiere) nel modo im- parato dal Cap.ant.e $e ne deuino cauar le $o- pradette Iperbole. Tiraremo adunque dentro la Parabola, D Q H, già fatta, quante $i voglia linee perpendicolari all’a$$e, D G, che perciò $arãno parallele fra di loro, come, per e$$em- piola, G Y, dalla e$tremità del diametro, D G, &, O X, ambedue indi$$initam\~ete prolongate in, Y, X; pre$a dunque la di$tãza, D Q, e tia$- feritala $opra, O X, cominciãdo dal punto, O, Coniche. Cap. LII. $i che termini in, R, $imilmente tolta la, D H e $te$ala da, G, $opra, G I; Dico, che li punti, R, I, $arãno in vn’lperbola; e $e di nuouo pren- deremo, O S, eguale à, D R, e, G M, eguale à, D I, $aranno pur li punti, S, M, in vna nuoua Iperbola; $imilmente prendendo, O T, egua- le à, D S, e, G N, à, D M, $aranno i punti, T, N, in vn’altra Iperbola, e così proced\~edo con l’<007>$te$$o modo, potremo de$criuere infinite di que$te Iperbole, tutte generate in vn certo modo dalla Parabola, cia$cuna però median- tile Iperbole antecedenti, $ino che s’arriui al- la Parabola, che ricono$ce poi per $uo genito- re il cerchio: Mache ciò $ia vero, $i prouarà in que$to modo.

Ponga$i, D A, eguale, e per dritto à, D G, come anco, D V, ad angolo retto $opra, G D, & eguale pure all’i$te$$a, e s’intendino di$$e- gnate le curue, D R I, D S M, D T N, median- te li molti punti, che potremo trouare $imili alli, R, S, T; I, M, N; Perche dunque il qua- drato, D H, è vguale alli quadrati, D G, G H, come anco il quadrato, D Q, s’adegua alli duoi quadrati, D O, O Q, e di que$ti il qua- drato, O Q, è eguale al rettangolo, G D O, Delle Settioni ouero, A D O, & il quadrato, G H, è eguale al quadrato, G D, ouero al rettangolo, A D G, perciò il quadrato, D H, ouero, G I, $arà eguale al rettangolo, A D G, con il quadra- to, D G, cioè al rettangolo, A G D, & il qua- drato, D Q, ouero, O R, $arà eguale al ret- tangolo, A D O, con il quadrato, D O, cioè al rettangolo, A O D, adunque il quadrato, G I, al quadrato, O R, $arà, come il rettangolo, A G D, al rettãgolo, A O D, adunque per il Ca- pit. 16. ouero per la p. 21. del P. de’Conici, D R I, $arà Iperbola, e $uo lato tra$uer$o, A D, e po$cia che per l’i$te$$a, come è il rettangolo, A G D, al quadrato, G I, così è il lato tra$uer- $o al retto, $i come quelli s’è prouato, che $ono eguali, così $aranno eguali que$ti ancora, adũ- que, D V, che è vguale ali’, A D, $arà lato ret- to della Iperbola, D R I, quale perciò potre- mo chiamare Iperbola equilatera.

Perche poi il quadrato, D I, è vguale alli quadrati, I G, ouero, D H, &, G D, cioè à tre quadrati di, G D, $arà il quadrato, D I, ouero, G M, eguale al rettangolo $otto la tripla di, G D, e $otto, G D, e perciò diui$o in partie- guali, A D, lato tra$uer$o in, B, $arà il quadra- Coniche. Cap. LII. to, G M, doppio del rettangolo $otto, B G D, e come il quadrato, G M, al rettãgolo, B G D, così $arà, V D, à, D B, e perciò, B D, $arà lato tra$uer$o dell’Iperbola, D S M, e$$endo poi il quadrato, O S, ouero, D R, eguale alli qua- drati, R O, O D, cioè al rettangolo, A O D, con il quadrato, O D, cioè (rolta, A Z, eguale à, D O,) al rettãgolo, Z O D, il mede$imo qua- drato, O S, $arà il doppio del rettangolo, B O D, onde à quello $arà come, V D, à D B, e per- ciò il quadrato, G M, al quadrato, O S, $arà come il rettangolo, B G D, al rettangolo, B O D, e perciò, D S M, è Iperbola, per la p. 21. del P. de’Conici, il cui lato retto, V D, è doppio del tra$uer$o, D B.

Similmente il quadrato, D M, ouero, G N, $upera il quadrato, G M, di vn quadrato, D G, (come faranno pure gli altri nella, G Y, delle Iperbole $u$$eguenti) ma il quadrato, G M, è eguale à tre quadrati di, G D, adunque, G N, $arà eguale à quattro quadrati di, G D, cioè eguale al rettangolo $otto la quadrupla di, G D, e $otto, G D, cioè (fatta, C D, vn terzo di, A D,) $arà triplo del rettangolo, C G D, & à quello haurà l’i$te$$a proportione, che la, V D, Delle Settioni à, C D; Parimente il quadrato, D S, ouero, T O, $upera il quadrato, S O, cioè il rettangolo, Z O D, di vn quadrato, D O, e perciò $arà e- guale al rettãgolo, Z O D, con il quadrato di, O D, cioè (aggiunta, Z <006>, eguale ad, A Z,) $a- rà eguale al rettangolo, <006> O D, cioè triplo del rettãgolo, C O D, per e$$er, C O, vn terzo di, O <006>, e però il quadrato, T O, al rettangolo, C O D, $arà pure come, V D, à, D C, & il qua- drato, G N, al quadrato, O T, $arà come il ret- tangolo, C G D, al rettangolo, C O D, e però anco, D T N, $arà vn’Iperbola, il cui lato tra$- uer$o è, C D, del quale il lato retto, V D, vie- ne ad e$$er triplo: Così prouaremo le altre $u$- $eguenti, che nell’i$te$$o modo $i po$$on gene- rare, e$$er pure Iperbole, che haurãno $empre il mede$imo lato retto, V D, ma mutaranno il tra$uer$o; cioè nella Iperbola equilatera, ouer prima il lato retto $arà eguale al tra$uer$o, nella $econda il retto $arà doppio del tra$- uer$o, nella terza $arà triplo, nella quarta qua- druplo, e così $eguirà la proportione del lato retto altra$uer $o in infinito, $econdo la $erie naturale de’numeri continuati dall’vnità.

Coniche. Cap. LIII. In qual maniera $i po$$i de$criuere l’Iperbola equilatera, il cu<007>foco di$ti dalla $ua ci- ma quanto no<007> vorremo. Cap. LIII.

GVardi$i pure la mede$ima figura 35. nella quale $ia, E D, vn quarto del diametro, D G; è dunque manife$to per il Capi- tolo 21. che il punto, E, $arà foco della circonferenza, D P G; e perche, D G, è anco lato retto della Parabola, D Q H, & è, D E, vn quarto di quello, perciò il punto, E, per il Capitolo 9. $arà pur’an- co foco della Parabola, D Q H: Ponga$i ho- ra, che habbiamo da de$criuere vn’Iperbola equilatera, il cui foco di$ti dalla cima, D, per la retra, E D; Prima dunque io dico, che il punto, E, non è foco dell’Iperbola equila- tera, D R I, poiche douendo$i, per ritrouar- lo, adattare all’, A D, vn rettangolo ecced\~e- te d’vna figura quadrata, eguale alla quarta parte del rettangolo $otto, A D, D V, ouero del quadrato, A D, cioè eguale al rettãgolo, A D E, è manife$to, che, D E, non può e$$e- Delle Settioni re l’ecce$$o fatto per la $udetta applicatione, poiche verrebbe il rettangolo, A D E, ad e$- $ere eguale al rettangolo, A E D, che è a$$ur- do; adunque il punto, F, non può e$$er foco dell’Iperbola equilatera, D R I, ma ca$cherà tra i punti, E, D, cone in, Φ, poiche e$$endo il rettangolo, A D E, eguale al rettangolo, A Φ D, e maggiore, A Φ, di, A D, bi$ogna re- ciprocamente, che anco, D E, $ia maggiore di, Φ D, quanto poi $i allontani dal punto, D, lo trouaremo in que$to modo. Tagl<007>$i, D V, in, Π, in parti eguali, e $i tiri la, B Π Dico, che, B Π, è vguale à, B Φ, poiche e$$endo il rettã- golo, A Φ D, eguale à vn quarto del quadra- to, A D, cioè al quadrato, B D, ne $eguirà, che il rettangolo, A Φ D, con il qua dr. D B, cioè che il quadrato, B Φ, per la p. 6. del Se- condo de gli Elem. $ia doppio del quadrato, B D, ma anco il quadrato, B Π, è doppio del quadrato, B D; adunque il quadrato, B Π, è vguale al quadrato, B Φ, e$$endo perciò, Φ B, incommen$urabile à, D B; $appiamo dunque quanto il foco, Φ, dell’Iperbola equilatera, D R I, $i allontani dalla $ua cima, D; sì come $i prouarà in tutte le Iperbole equilatere, di- Coniche. Cap. LIII. ui$o per mezo il lato tra$uer$o, il lor foco e$$er di$tante da quel punto di mezo, cioè dal cen- tro dell’Iperbola, per la quantità d’vna linea retta, che viene ad e$$er diametro del quadra- to, che $i può formare $opra e$$a metà del lato tra$uer$o, com’è la, B Φ, hauendo perciò in tutte le Iperbole equilatere le di$tanze da i fochi à i centri dell’Iperbole alle metà dei lo- ro lati trauer$i l’i$te$$a proportione, cioè quella, che hà il diametro alla co$ta dell’i$te$- $o quadrato.

Inte$e que$te co$e, per de$criuer l’Iperbo- la equilatera, il cui foco $ia il pun to, E, ba$te- rà trouare la quantità del diametro di quel cerchio, dal quale cauando l’Iperbola equi- latera nel modo, che dal cerchio, D P G, s’è dedotta la, D R I, $i potrà facilmente ritro- uare. E$$endo adunque la di$tanza propo$ta dal foco alla cima dell’Iperbola e$$a, E D, $e noi prende$$imo, G D, quadrupla di, E D, e de$critto il cerchio, D P G, caua$$imo l’Iper- bola equilatera, D R I, que$ta hauerebbe il foco nel pũto, Φ, e perciò non $arebbe à pro- po$iro, come $i è mo$trato di $opra, per trouar quella adunque, che hà per foco il punto, E, Delle Settioni farò come, Φ D, ($uppo$to che il punto, Φ, $ia ritrouato, come $opra) à, D B, metà del lato tra$uer$o dell’Iperbola equilatera, il cui foco è il punto, Φ, ouero vniuer$almente, $enza ha- uere à riguardare ad altra Iperbola, farò co- me l’ecce$$o del diametro di qual $i voglia quadrato alla $ua co$ta, così la data di$tanza, E D, ad vna quarta linea, che $arà la metà del lato tra$uer$o, o retto, della no$tra Iperbola equilatera, che haurà per foco il punto, E, e l’<007>$te$$a $arà $emidiametro del cerchio da de- $criue@$i, dal quale cauando l’Iperbola equi- latera nel modo, che dal cerchio, D P G, s’è dedotta la, D R I, que$ta haurà per $uo foco (interiore intendo $empre) il punto, E, poi- che la di$tanza di, E, foco dal centro della detta Iperbola alla metà del lato tra$uer$o ha- urà l’i$te$$a proportione, che hà il diametro alla co$ta, e perciò conforme à quel, che $i è detto di $opra, il punto, E, $arà pur foco della detta Iperbola equilatera. Sin’hora dunque $appiamo de$criuere il cerchio, la Parabola, e l’Iperbola equilatera, mediante la traslatio- ne delle dette linee verticali, che habbino il lor foco di$tante dalla cima, quanto à noi pia- Con<007>che. Cap. LIII. cerà: Vi re$ta l’Eli$$i, la cui de$crittione hò con an$ietà cercato $e $i poteua fare in vna $i- mil maniera, ma hau\~edo vi$to il Keplero nel- le Tauole Rodulfine, in$egnare vn modo, che hà molta affinità con il già acc\~enato di $opra, m’è par$o bene, per non differir più con nuo- ue $pecolationi il fin della $tampa di que$to mio Trattato, accõpagnarlo con gli altri in- $egnati di $opra, aggiungendoui anco, per $o- disfattione de’$tudio$i, la $ua dimo$tratione, poiche quella non $i hà nelle dette Tauole, mettendo egli $olo la $emplice prattica, per $eruir$ene nelle co$e cele$ti.

Come $i de$criua l’El<007>$si, che habbicia$cun de’$uoi foch<007> d<007>stanti dall’e$trem<007>tà dell’a$$e quanto $i vogl<007>a. Cap. LIV.

SIa nella figura 36. la retta, A H, che deua e$$ere diametro mag- giore d’vno Eli$si, nel quale $i prendano per fochi i punti, C, G, egualmente di$tanri da gli e$tremi dell’a$$e, A, H; per de$criuere adun- quela pr opo$ta Eli$$i, prima diui$a, A H, per Delle Settioni mezo in, E, $opra’l centro, E, con li $emidia- metri, E A, E C, faremo li duoi $emicircoli, A L H, C R G, pre$i poi nella circonferenza, A L H, quanti punti, e douunque vorremo, per e$$empio, M, L, K, da quell<007> tiraremo al cen- tro, E, le, M E, L E, K E, notando i punti, O, R, S, doue $egano la circonferenza dell’inte- riore $emicircolo, da que$t<007> poi, come anco dalli punti, M, L, K, $opra il diametro, A H, ca$chino le perpendicolari, M B, L E, nel cen- tro, K I, O D, R E, S F, fatto poi centro com- mune, G, con l’interuallo, H D, $i de$criua vn pezzetto d’arco, che $eghi, M B, in, N, e così con l’interuallo, H E, trasferendolo in, G P, $i noti nella, L E, il punto, P, e con, H F, tra$portato in, G Q, $i $egninella, K I, il pũ- to, Q; Dico adunque, che i punti, N, P, Q, $tanno nell’El<007>$si, <007> cui fochi $ono, C, G; Per prouar que$to adũque, $i tirino le, M G, O H; Hora perche ne’triangoli, M E G, O E H, M E, è vguale ad, E H, &, E G, ad, E O, e l’angolo, O E G, commune, $arà, per la 4. del primo de gli Elem. la ba$e, M G, eguale alla ba$e, O H, e perciò anco i loro quadrati $arã- no eguali. E perche anco i quad. delle H D,

Coniche. Cap. LIV.

G N, per la co$truttione eguali, $on pure e- guali, perciò la differenza tra li duoi quad. O H, H D, cioè il quad. O D, $arà eguale alla differenza tra li duoi quad. M G, G N, cioè all’ecce$$o de’quad. M B, B G, $opra li quad. N B, B G, cioè all’ecce$$o del quad. M B, $o- pra il quadr. N B, nell’i$te$$o modo poi pro- uaremo e$$er’il quad. S F, eguale all’ecce$$o del quad. K I, $opra il quad. I Q, sì come anco il quad. E G, è vguale all’ecce$$o del quad. G P, ouero, L E, $opra il quad. P E; Perche poi i triangoli, M B E, O D E, $ono $imili, perciò il quad. O D, al quad. O E, cioè l’ecce$$o del quad. M B, $opra il quad. B N, all’ecce$$o del quadr. L E, $opra il quadr. P E, $arà comeil quad. M B, al quad. M E, ouero al quad. L E, adunque il quad. M B, al quad. L E, $arà an- cora come il quadr. N B, al quadr. P E, ma il quad. M B, al quad. L E, è come il rettangolo, A B H, al rettangolo, A E H, adũque il quad. N B, al quad. P E, è come il rettang. A B H, al rettãg A E H, ma que$ta è la 4. proprietà dell’ Eli$$i, dimo$trata al Cap. 20. adũque i punti, N, P, $ono nella Eli$$i mede$ima, c<007>oè in quel- la, i cui fochi $ono i punti, C, G: $imilmente

Delle Settioni

$upponendo$i prouato, che il quadr. S F, èv- guale all’ecce$$o del quad. K I, $opra il quad. I Q, & e$$endo il quad. I K, al quad K E, come il quad. F S, al quad. S E, perciò il mede$imo quad. I K, al quad K E, ouero, L E, $arà come l’ecce$$o del quad. K I, $opra’l quad. I Q, al qua dr. S E, cioè all’ecce$$o del quad. L E, $opra il quad. E P, e perciò come il quad. K I, al quad. L E, cioè come il rettãgolo, H I A, al rettãgo- lo, H E A, così $arà il quad. Q I, al quad. P E, adunque il punto, Q, è nell’Eli$$i, nel quale è<007>l punto, P, cioè in quello, che hà per fochi i punti, C, G, così dunque prendendo $pe$$i punti nella circonferenza, A L H, de$criuere- mo facilmente la parte, A P H, e con l’<007>$te$$a maniera l’altra metà, sì come deuono parim\~e- te nella fig. 35. far$i l’altre metà della Parabo- la, e delle I perbole $u$$eguenti, col mede$imo modo iui d<007>chiarato. II Keplero poi preualen- do$i dell’Eli$$i nelle co$e cele$ti, $uppone, che G, $ia il Sole, A, l’Affelio, H, Perielio, A P H, l’orbita del Pianeta, G A, G N, G P, G Q, G H, Gl’interualli del Pianeta, po$to in que$ti luoghi, dal Sole, l’angolo, M E A, ouero l’arco M A, l’anomalia dell’eccentrico, l angolo, M

Coniche. Cap. LIV.

G A, l’anomalia coequata, ma nel circolo, &, N G A, l’anomalia coequata vera, l’area, N G A, l’anomalia media, il triangolo, N G E, l’e- quation fi$ica, mo$trãdo, che il Pianeta, mo$- $o dalla virtù $olare, $ia sforzato de$criuere l’Eli$$i, i cui fochi $ono, C, G, in vn de’quali, cioèin, G, $tà collocato il Sole; tanto egli hà nobilitato que$te Settioni Coniche.

Corollario.

_E_Dunque manife$to da que$to Capa, e dalli tre antecedent<007>, che, proposta qualunque d<007>$tan- za del foco dalla cima della data Sett<007>one, noi $apremo de$criuere qual$iuoglia d<007> quelle, alla quale conuerrà il proposto foco. Intendendo <007>n$ie- me, che quando $i fabrica$$e vno Specchio Sferico poch $$imo cauo, ouero vna lente poch<007>$$imo colma, questi non $arebbono molto d<007>fferent<007> dalla curuità Parabolica, <010> Iperbolica; poiche nella figura 3 5. il quadrato, _OP_, iarghezza della metà delio Specchio Sferico, _D P_, è $uperato dal quad di, _O Q_, largbez- za di mezo lo Specchio Parabolico, _DQ_, del quadr. _DO_, così il quad. mede$imo di, _OP_, è $uperato dal quad. _OR_, larghezza d<007> mezo lo Specchio Iperboli- Delle Settioni co, _D R_, di duoiquadr. di, _O D_, ma, _O D_, è la pro- fondi<007>tà dello Specchio Sferico, _D P_, adunque quan- do questo fo$$e poch<007>$$imo cauo, $arebbe, _D O_, pic- col<007>$$ima, & in con$eguenza ne vn tal quadrato di più, ne due aggiunt<007> al quadr. _O P_, far<007>ano cre$cer molto e$$a larghezza, _O P_, adunque gli Specchi Sfe- rici poco cau<007>, e le lenti, le quali $iano poco colme, $a- ranno qua$i in$ieme e Parabol<007>che, & Iperboliche, e perc<007>ò acco$tando$egli tanto, faranno ancor gli effet- ti a quell<007> propinqu<007>$$imi, il che in$ieme potrà, credo, $eruire per i$gannar’alcuni, che $timano, che vn par d’occhial<007> Parabol<007>ci, o Iperbolici, fo$$ero per far l’ef- fetto del Canocchiale, poiche $e così fo$$e, acco$tando$i tanto vicino le lenti Sferiche, e pochi$$imo colme, al- la detta curuità, ce ne dariano pur qualche $egno, il che non $i vede, mentre non $i accompagnino con il traguardo. Potrà in$ieme ancora la dottrina di que- $to Corollario dar $odisfatt<007>one à quelli, che $tima$$e- ro la $trada d<007>$$egnata dal proietto e$$er circolare, poi- che e$$endo quel cerchio notabilments grande, & il viaggio del graue poca parte dell’intiera circonfe- renza, può e$$er, che talhora r<007>e$cbi pure pochi$simo d<007>fferente dalla Parabola.

Coniche. Cap. LV. Di altre maniere ancora di dedurre le Settioni Coni- che vicendeuolmente l’vna dall’altra, o dal- la circonferenza del cerchio. Cap. LV. & vlt.

PO$$ono anco le Settioni Coniche dedur$i l’vna dall’altra, o dalla circonferenza di cerchio in que- $to modo, cioè, per e$$empio, $e noi nella fig. 36. $egaremo pro- portionalmente tutte le ordinatam\~ete appli- cate all’a$$e, e per i $egamenti tiraremo vna curua, come, A N P Q H, quella verrà Elit- tica, e l’i$te$$o $arebbe, $e prolonga$$imo le mede$ime, oltre à i punti, M, L, K, tutte nel- la mede$ima proportione: & vniuer$almente cre$cendo, e $cemando nell’i$te$$a proportio- ne le ordinatamente applicate al diametro di qual$iuoglia Settione, la curua, che pa$$erà per i pũti e$tremi di quelle $arà ancora lei Set- tion Conica dell’i$te$$a $orte, cioè Parabolica la dedotta dalla Parabola, Iperbolica dalla Iperbola, ma dal cerchio verrà fatta la Elitti- ca. Similmente $e nella fig. 35. noi prende$- $imo le ordinatamente applicate alla, D G, e Delle Settioni le trasferi$$imo nell’i$te$$a drittura, applican- dole ordinatamente ad vn’altra linea retta, interpo$ta fra le oppo$te tangenti, allhora $e quella gli fo$$e perpendicolare, tirando la li- nea curua per l’e$tremità delle applicate, quella $arebbe circonferenza di cerchio, ma $e ca$ca$$e obliquamente fra le dette tangen- ti, $aria Elittica; così facendo tale traslatio- ne delle ordinatamente applicate al diame- tro della Parabola, ne verrà pur Parabola; e dall’Iperbola, Iperbola, come dall’Eli$$i $e ne dedurrà pur’Eli$$i.

Que$ti modi, con quelli, che hò $piegato ne’Capit. 51. 52. 53. per de$criuer le dette Settioni Coniche, credo debbano e$$er vi$ti con qualche gu$to da gli $tudio$i, $uppon\~edo chenon $iano, ma$$ime quelli, così noti à tutti, $e bene in que$to mi potrei for$i ingannare, poiche hauendoli io per qualche tempo $ti- mati, come co$a di mia inuentione particola- re; doppo ch’io hò vi$to il Libro di Bartolo- meo Souero Friburgen$e, già Profe$$ore delle Matematiche nello Studio di Padoua, intito- lato; _Curui, ac recta Proportio promota._ mi $ono accorto d’e$$erm’incontrato con lui nelle me- Coniche. Cap. LV. deme $pecolationi, benche quãto alle ragioni $iamo in parte d<007>fferenti, come $i può vedere. Hora, perche qualche critico non haue$$e da cen$urarmi, ch’io mi fo$$i v$urpato l’inu\~etione di que$t’huomo, da me $timato per molto in- gegno$o, & e$perte nelle Matematiche, mi ba- $terà la te$timonianza dell’Illu$tri$s. Sig. Ce$a- re Mar$ili, che dell’anno 1629. vidde parte di que$to Trattato, doue haueuo dichiarato il modo di de$criuer la Parabola, e l’lperbola nella maniera $piegata ne i $udetti tre Capi- toli, cioè con dedurle dal cerchio; come anco ne potrà far fede il Sig. Alfon$o da Isè nomi- nato d<007>i$opra, che fù in parte cau$a, ch’io mi ci applica$$i; e$$endo poi il Souero $tampato doppo, cioè dell’anno 1630. Ne deue arreca- re marauiglia, che due s’incontrino ne’mede- $imi pen$ieri, parendo anzi, che la Natura $ia <007>nolto $ollecita nel produrr’à que$to fine huo- mini dell’i$te$$o genio, per addottrinar, anco contra $ua voglia, il genere humano, acciò quello, che per la negligenza di vno re$tareb- be $epolto, per diligenza dell’altro venga à por$<007> in luce, potendo perciò accadere, che più d’vno ancora dia nel mede$imo $egno.

Delle Settioni

Haueuo finalmente pen$iero di aggiunge- re altre co$e, & in particolare d’in$egnare la maniera di trouare vicendeuolmente i diame- tri, lati, e centri, date le Settioni Coniche già de$critte, con altre co$e intorno alle tangen- ti, gli a$imptoti, e le incid\~eti; ma perche que- $to hauria cagionato maggior lunghezza del douere, e tedio, à chi aborri$cc dalle continue dimo$trationi, e figure, perciò me ne $ono vo- luto a$tenere, ma$$ime, che per gl’intelligenti è troppo il volergli $minuzzar’ogni co$a, e per chi non hà prattica in $imili materie il molto, che $i può dire, ne anco è ba$tante per fargli capaci, perciò rimetterò, chi haue$$e bi$o- gno d’alcuni di que$ti Problemi, à gli Elem\~e- ti Conici di Apollonio Pergeo, ouero al lib. 3. delle Linee horarie dell’Abbate Maurolico, che con molta facilità, e breuità n’in$egna le $ue Regole; e facendo fine à que$to mio Trat- tato, pregherò chiunque ne riceuerà qualche frutto, che vogli meco r\~ederne grat<007>e alla be- nignità dell’alt<007>$$<007>mo Iddio, datore d’ogni be- ne, dalla cui infinita liberalità ricono$cendo noi, come pretio$i$$ime gioic, la vita, e l’inge- gno, e come denati datici in contanti, dobbia- Coniche. Cap. LV. mo non $olo à quella con ragione il tutto rife- rire, ma anco affaticarci continuamente per pagargliene almeno in parte l’v$ura, poiche è pur veri$$ima quella $entenza, cioè, che

Deus nobis v$uram vitæ dedit, & ingen{ij} tamquam pecuniæ, nulla pra$tituta die. Errcri $cor$i per inauuettenz@ nello $tampate.

Si è fatto, per certo accidente, il più delle volte, Eli$$i, & in gene re ma$coline, douendo$i fare, Elli$$i, & in genere fem<007>n<007>no.

Similmente $i è po$to due volte il numero del Cap. 16. c Cap. 29.

Gli altri errori d’ortografia, ma$$ime delle uirgole, punti, e mezi punti, $i la$ciano alla di$crett<007>one del benigno Lettore, e$$endo$i corretti gli altri più notab<007>li, meglio, che $i è potuto con la p\~ena.

Nella pag poi, nella quale $i dà l’auuert<007>mento à L brari per le- gare il Libretto delle figure, la linea, A B, deue intender$i fuo- ri dello $patio rinchiu$o dalle linee, più ver$o l’e$tremo margine, c doue al Libraro parerà più opportuno, per attaccare il detto Libretto.