dcterms:identifier ECHO:YS05QMU8.xml dcterms:creator (GND:118503863) Archimedes dcterms:contributor (GND:11862086X) Tartaglia, Niccolò dcterms:title (la) De insidentibus aquae dcterms:date 1565 dcterms:language lat text (la) free <001> đ (occurs 1 time(s), abbreviation of quod) <002> ꝑ (occurs 4 time(s), abbreviation of per) <003> ꝗ (occurs 1 time(s), abbreviation of qui) <007> i or ı (dotless i) (occurs 13 time(s), i without dot) <008> *** (occurs 55 time(s) rotated three, most likely variable) <009> ꝗ̃ (occurs 2 time(s) q with tilde) <010> *** & (occurs 1 time(s), this is a badly printed o!) <012> *** (occurs 2 time(s) rotated 008, possibly printer's fault, variable) <014> *** (similar character: + [plus sign]) (occurs 1 time(s), maybe plus, maybe Greek variable) [0001] [0002] [0003] [0004] [0005] ARCHIMEDIS DE INSIDENTIBVS AQV AE. LIBER PRIMVS. CVM PRIVILEGIO. TROIANO CVRTIO VENETIIS, APVD CVRTIVM TROIANVM. M D LXV► [0006] [0007] FABRITIO DENORES FILIO IACOBI COMITIS TRIPOLIS VCRTIVS TROIANVS S. P. D.

SI omni laude digni habiti $unt magni uiri, qui omne $uum $tudium in id contulerunt, ut cæ- teris hominibus quàm maxime prode$$e po$- $ent; in magnum dedecus incurrent omnes, qui illorum opera aut occultant, aut, ut in pu blicum prodeant, nullam curam afferunt. Cum uero labores maximi illi quidem Nicolai Tar- taleæ quotidie magis, ac magis cogno$cantur profui$$e litera- tisuiris, non modica uidebor ego dignus reprehen$ione, qui reliquias habui eiu$dem laborum, & uigiliarum, ni illas quoque in medium proferam, & communi utilitati con$ulam. Quare cum habeam adhuc apud me Archimedem de in$identibus a quæ ab ip$o Nicolao in lucem reuocatum, & quantum ab ip$o fieri potuit, ab erroribus librarij emendatum, & $uis lucubrationi- bus illu$tratum; uideor fraudare omnes literatos $ua po$$e$sio- ne, ni omnia, quæ huius ingenio$i$simi uiri apud me re$tant, in lucem emi$ero, & omnibus ea communicauero. Ac cum noue- rim te cum omnibus recti$simis $tudijs mirifice deditum, tum to tum ad imitationem tuorum maiorum, & ad rem gerendam in- flammatum; putaui hoc opus tibi, & tui $imilibus, qui indi$cipli nis uer$antur, & res magnas gerunt, fore peropportunùm. nec uero meæ facultatis e$t, nec breuitas huius $criptionis po$tulat, ut dete, ac de tuis maioribus ego nunc plura dicam. nam fi re- peterem clari$simos uiros, qui literis, & armis in tua familia flo ruerunt, eorum\’que res ge$tas enarrarem, atque quibus rebus, tu, & optimus, ac clari$simus pater tuus eorum gloriam adauge tis; longe maius opus mihi extaret, quàm e$$et hic paruus libel- lus, quam\’que ego po$$em perficere. Itaque hæc alijs, qui po$- $unt, relinquens, & in aliud tempus differens, ut nonnullum per me adiumentum addatur tibi, & cæteris, qui rerum naturam con templantur, & ijs artibus $tudent quibus res maximæ geruntur; hoc opus in tuo nomine peruulgari, atque ediuolui, ut no$cant omnes dum $tudeo prode$$e communi utilitati, $eparatim ta- men pro mea in te ob$eruantia uolui$$e tuis $tudijs, magnitudi- ni\’q animi in$eruire.

[0008] ARCHIMEDIS DE INSIDENTIBVS AQV AE. LIBER PRIMVS. Suppo$itio prima.

Suppon atur humidum habens talem naturam, ut partibus ip- $ius ex æquo iacentibus, & exi$tentibus continuis, expellatur mi- nus pul$a a magis pul$a, & unaqueque autem partium ip$ius pel litur humido, quod $upra ip$ius ex i$tente $ecundum perpendicu larem, $i humidum $it de$cendens in aliquo, & ab alio aliquo pre$$um.

Theorema primum. Propo$itio prima.

Si $uperficies aliqua plane $ecta per aliquod $ignum $emper idem $ignum $ectionem facientem circuli periferiam centrum hab\~etem $ignũ, per quod plano$ecatur $phæræ, erit $uperficies.

SI enim $uper$icies aliqua $esta per $ignum K, plano $uper $estionem fa- cientes circuli periferiam, centrum autem ip$ius k, $i igitur ip$a $uperfi- cies non est $phæræ $uperficies, non erunt omnes, quæ a centro ad $uperfi ciem, occurrentes lineæ æquales. Sit itaque a, b, g, d, $igna in $uperficie, & inæquales, quæ K. a, K, b, per ip$as autem K, a, k, b, planum educatur, & fa- ciat $ectionem in $uperficie lineam d, a, b, g, circuli ergo e$t ip$a centrum au- tem ip$ius K. Q uoniam $upponebatur $uperficies talis non $unt ergo inæqua les lineæ K, a, K, b, nece$$arium igitur e$t $uperficies e$$e $phæræ $uperficiem.

[0009]LIBER I. Theorema ij. Propo$itio ij.

Omnis humidi con$i$tentis ita ut maneat in motum $uperfi cies habebit figuram $ph{ae}r{ae} habentis c\~etruni idem cum terra.

INtelligatur enim bumidum con$i$tensita, ut maneat non motum, & $ecetur ip$ius. Super$icies plano per centrum terræ. Sit autemterra centrum K, $uperficiei autem $ecta linea a, b, g, d. Dico itaque line a a, b, g, d, circuli e$$e periferiam centrum autem ip$ius K. Sienim non est recte a, K, ad lineam a, b, g, d, occurrentes non erunt æquales. Sumatur itaque aliqua recta qu{ae} e$t quarundam quidem a, k, occurrentium ad lineam a, b, g, d, maior quarundam autem minor, & centro quidem K, distantia autem $umptæ lineæ circulus de$cribatur. Cadetigitur periferia circuli hab\~es hoc quidem extra lineam a, b, g, d, hoc autem intra, quoniam quæ ex centro quorundam qu dem a, K, occurrentium ad lineam a b, g, d, e$t maior quo- rundam autem minor. Sint igitur de$cripti circuli periferia quæ r, b, b, & a, b, ad K, recta ducantur, & copulentur quæ b, K, b, e, l, æquales facientes angulos. De$cribatur autem, & centro K, periferia quidem quæ x, o, p, in plano & in bumido partes itaque bumidi, quæ $ecundum x, o, p, periferiã ex æquo $unt po$itæ cõtinue inuicem premuntur quæ quidem $ecundũ x, o, periferia p, o, b, e, humido quæ $ecundum 2, b, locum quæ autem$ecundum periferiam o, p, humido quod $ecundum b, e, locum æqualiter igitur premũ tur partes bumidi, quod $ecundum periferiam x, o, ei quæ$ecundum o, p. Quare non expelletur minus pre$$a a magis pre$$is. Non ettam ergo con- $tare fecimus aliquod humidum. Supponebatur autem constans ita ut ma- neret non motum nece$$arium, ergo linea a, b, g, d, e$t circuli periferiam, et centrum ip$ius K. Similiter autem demon$trabitur, & $uperficies humidi plano $ecta fuerit per centrum terræ, quòd $ectio erit circuliperiferia, & [0010]DEINSID ENTIBVS AQVAE centrum ip$ius erit quòd & terræ centrum. Palàm igitur quòd $uperficies bumidi con$tantis non motibabet figuram $pbæræ habentis centrum idem cum terra quaniam talis est, ut $ecta per idem $ignum $ectionem faciat cir- culi periferiam habentis $ignum per quod $ecatur plano.

Theorema iij. Propo$itio iij.

Solidarum magnitudinum quæ {ae}qualis molis & {ae}qualis pon deris cum humido dimi$$e in humidum demergentur ita ut $u perficiem humidi non excedant nihil & non adhuc referentur ad inferius.

DEmonstratur enim aliqua magnitudo æque grauium cum bumido in bumidum, & $i po$$ibile e$t excedat ip$a $uper$iciem humidi con$i $tat autem bumidum ut maneat immotum. Intelligatur autem ali- quod planum eductum per centrum terræ, & humidi, & per $olidam ma- gnitudinem. Sectio autem $it $uperficiei quidem bumidi quæ a, b, g, d. Solide autem magnitudines quæ e, z, b, t, in$identia centrum autem terræ. Sint au tem $olidæ quidem magnitudinis quod quidem b, g, b, t, in bumido quod au tem b, e, z, g extra intelligatur, & $olida figura cõpre$$a pyramide ba$$em quidem babentem par alelogrommum, quod in $uperficie bumidi, uerticem autem centrum terræ $ectio autem $it plani in quo est quæ a, b, g, d, perife- ria, & planorum pyramidis quæ K, l, K, m, de$cribatur autem qu{ae}dam al- terius $phæræ, $uperficies circa centrum K, in bumido $ub e, z, b, t, quæ x, o, p, $ecetur hoc a $uperficie plani. Sumatur autem, & qnædam alia pyramis æqualis, & $imilis comprebendenti $olidim continua ip$i $ectio autem $it planorum ip$ius quæ K, m, K, n, & in bumido intelligatur quædam magni- tudo bumido a$$umpta quæ r, s, e, y, æqualis, & $imilis $olidæ, quæ$ecundũ [0011]LIBER I. b, h, e, g, quod e$t ip$ius in humido partes autem humidi quæ $, in prima py- ramide $ub $uperficie in qua e$t quæ x, o, & quæ in altera in qua quæ p, o, ex quo $unt po$itæ, & non coutinuæ. Similiter autem premuntur quæ qui- dem etiam $esundum x, o, premitur a $olidot, h, e, r, & humido intermedio $uperfi ie quæ $ecundum x, o, l, m, & planorum pyramidis quæ autem $e- cundum p, o, $olido r, $, c, y, & humido intermedio $uperficierum quæ $ecun- dum p, o, m, n, & planorum pyramidis minor autem erit grauitas humidi quod $ecundum m, n, o, p, eo quòd $ecunduml, m, x, o. Quod. n. $ecundum r, s, c, y, e$t minus $olido e, z, h, t, ip$ius enim ei quod $ecundum h, b, g, t, e$t æ- quale quia magnitudine æ quale, & æque graue $upponitur $olidum cũ hu- mido reliquum autem reliquo inæquale e$t. Palam igitur quia expelletur pars quæ $ecundum periferiam o, p, ab ea quæ $ecundum periferiam o, x, & non erit humidum non motum Supponitur autem non motum exi$tens. nõ ergo excedet $uperficiem humidi al<007>quid $olidæ magnitudinis Demer$um autem $olidum non fertur ad inferiora. Similiter enim prementur omnes partes humidi ex quo po$itæ quia $olidum e$t æque graue.

Theorema iiij. Propo$itio iiij.

Solidarum magnitudinum qu{ae}cunque leuior fuerit humidi mi$$a in humidum non demergetur, tota $ed erit al<007>quid ip- $ius extra $uper$iciem humidi.

F It enim $olida magnitudo leuior humido, & dimi$$a in humidum. de- mergatur tota $i po$$ibile e$t, & nihil ip$ius $it extra $uperficiem hu- midi, Con$i$tat autem humidum ita, ut maneat non motum. Intelliga tur etiam aliqu pl danum eductum per centrum terræ, & per humidum, & per $olidamw agnitudmum. Secetur autem a plano hoc $uperficies qui- dem humidi $ecundum $uperficiem a, b, g, d. Solida autem magnitudo per fi [0012]DE IN SIDENTIBVS AQV AE guram in r. Centrum autem terræ $it K. Intelligatur autem quædam pyra- mis comprendens figuram r, $ecundum quod & prius uerticem habens $i- gnum K. Secentur autem ip$ius plana a$uperficie plani a, b, g, $ecundum a, K, K, b. Accipiatur autem, & aliqua alia pyramis æqualis, & $imilis huic. Secentur autem ip$ius plana a plano a, b, g, $ecundum K, b, K, g, de$cribatur autem & quædam alterius $phæræ $uperficies in humido circa centrum K. Sub $olida autem magnitudine $ecetur ip$a ab eodem plano $ecundũ x, o, p. Intelligatur autem, & magnitudo ab$umpta ab humido quæ $ecundumh, in po$teriori pyramide æqualis $olidæ quæ $ecundum r, partes aũt humidi, quòd in prima pyramide quæ $ub $uperficiebus, quæ $ecundum $uperficiem x, o, & quod in $ecunda quæ $ub $uperficiebus qu{ae} $uperficie o p, ex quo $unt po$itæ, & continuæ inuicem non $imiliter autem premuntur quæ quid\~e in prima pyramide premitur a $olida magnitudine, quæ $ecundumr, & ab hu mido continente ip$as, & exi$tente in loco pyramidis, quæ $ecundum a, b, o, x. Quæ autem in altera pyramide præmittitur ab humido continent ip$am exi$tente in loco pyramidis qui $ecundum p, o, b, g, e$t autem, & grauitas quæ $ccundum r, minor grauitate humidi, quod $ecundum h, quoniam ma- gnitudinem quidem e$t æqualis. Solida autem magnitudo $upponitur e{$s} le uior humido humidi continentis magnitudines r, b, erit\’q pyramidum æ- qualis. Magis igitur premitur pars humidi quòd $ub $uperficiebus, quæ$e- cundum periferiam o, p, expellet ergo quod minus premitur, & non manet humidum non motum. Supponebatur autem non motum n n ergo demerge tur tota, $ed erit aliquid ip$ius extra $uperficiem humidi.

Theorema v. Propo$itio v.

Solidarum magnitudinum quæcunque fuerit leuior dimi$$a in humidũ in tanto demergetur ut tanta moles humidi quan- ta e$t moles demer$æ habeat æ qualem grauitatem cumtota ma gnitudine.

D I$ponantur autem eandem prioribus, & $it humidum nou motum. Sit autem ma nitudo e, z, b, t, leuior humido. Siigitur humidum e$t non motum $imiliter prementur partes ip$ius ex æquo po$itæ, $imi- liter ergo premetur humidum quod$ub $uperficiebus, quæ $ecundum perife rias x, o, & p, o. Quare æqualis e$t grauitas quæ premitur. e$t autem, & bumidi grauitas, quod in prima pyramide $ine b, h, t, g, $olido æqualis graui tati bumidi, quod in altera pyramide $iue r, s, c, y, humido palam igitur, {quis} grauitas magnitudinis e, Z, h, t, e$t æqualis grauitati humidir, s, c, y. Mani fe$tum igitur quòd tanta moles humidi quanta e$t demer$a pars $olidæ ma gnitudinis habet grauitatem æqualem toti magnitudini.

[0013]LIBER I. Theorema vj. Propo$itio vj.

Solida leuiora humido ui pre$$a in humidum $urrexi feruntur tanta ui ad $uperius, quanto humidum habens mol\~e æqualem cũ magnitudine e$t grauius magnitudine.

S It enim magnitudo a, leuior humido. Sit autem magnitudinis, quidem in qua a, grauitas b, humidi autem habentis mol\~e æqualem cum a, gra- uitas b, g, demon$trandum, quod magnitudo a, ubi pre$$a in humidum refertur ad $uperius tanta ui quanta est, grauitas g. Accipiatur enim quæ dam magnitudo, in qua d, habens grauitatem æqualem ip$i g. Magnitudo autem ex utri$que magnitudinibus in quibus a, d, in eadem compo$ita e$t le uior humido, e$t enim magnitudinis quidem ex utriu$que, grauitas autem humidi habentis mol\~e æqualem cum a, grauitas e$t b, g, dimittatur igitur in bumidem magnitudo ex utri$que a, d, compo$ita ad tantum demergetur donec tanta moles humidi, quantum e$t demer$um magnitudinis habeat grauitatem æqualem cum tota magnitudine, demon$tratum e$t hoc. Sit au- [0014]DE INSIDENTIBVS AQV AE tem $uperficies quædam humidi alicuius quæ a, b, g, d, periferia. Quoniam igitur tanta mole shumidi. quanta e$t magnitudo a, habet grauitatem æqua- lem cum magnitudinibus a, d, palam quod demer$um ip$ius erit magnitudo a, reliquum' autem in quo d, erit totum de$uper $upra $uperficiem humidi. Si enim. Palàm igitur quòd quanta uimagnitudo a, refertur ad $uperius tan- ta ab eo quod $upra$, d, premitur ad inferius quoniam neutra a neutra ex- pellitur, $ed d, ad deor$um premit tanta grauitate quanta e$t g, $upponeba- tur enim grauitas eius, in quo g, d, e$$e æqualem ip$i g, palàm igitur quod oportebat demon$trare.

Theorema vij. Propo$itio vij.

Grauiora humido demi$$a in humidum ferrentur deor$um donec de$cendant, & erunt leuiora in humido tantum, quantum habet grauitas humidi habentis tantam mol\~e, quanta e$t moles $olidæ magnitudinis.

QVod quidem feretur in deor$um donec de$cendat, palàm partes e- nim humidi, quæ $ubip$ius premuntur magis, quæ partes ex quo ip$as iacentes, quoniam $olida magnitudo $upponitur grauior humido. Quod autem leuiora erunt, ut dictum est, demostrabitur. Sit enim aliqua ma gnitudo, quæ a, quæ grauior humido, grauitas autem magnitudinis, quidem in qua a, $it\’q b, g, humidi autem habentis mol\~e æqualem ip$i a, grauitas b, demon$trandum, quòd magnitudo a, in humido exi$tens habebit grauita- tem æqualem ip$ig, accipiatur enim aliqua alia magnitudo in quad, leuior humido moli æqualis cum ip$o. Sit autcm magnitudinis quidem in quad, gra uitas æqualis grauitatib, humidi autem habentis mol\~e {ae}qual\~e magnitudini d, grauitas $it æqualis grauitatib, g. Compo$iti, autem magnitudmibus in quibus, a, d, magnitudo $imul utra- rum\’q erit {ae}que grauis humido, grauitas enim magnitu- dinum $imul utrarumq; est æqualis ambabus grauitati bus, $cilicet b, g, & b, grauitas humidi buius habentis mol\~e æqualem ambabus magnitudinibus, e$t æqualis ei$- dem grauitatibus. Dimi{$s}is igitur magnitudinibus, & proiectis in humidum æquerepentes erunt humido & nec ad $ur$um ferentur, neque ad deor$um: quoniam magnitudo quidem in qua a, exi$tens grauior humido feretur ad deor$um, & tanta uia magnitudine in qua d, retrabitur. Magnitudo autem, in qua d, quoniam e$t leuior humido, eleuabitur $ur$um tanta ui quanta e$t grauitas g. Demon- [0015]LIBER I. $iratum e$t enim quòd magnitudines $olidæ leuioris humido impre$$æ in bn midum tanta ui referuntur ad $ur$um quanto humidum æque molis cum magnitudine e$t grauius magnitudine. E$t autem humidum habens molem æqualem cum d. Palàm igitur quòd magnitudo in qua, a, fertur in deor- $um tanta grauitate quanta e$t g.

Suppo$itio $ecunda.

Supponatur eorum quæ in humido $ur$um feruntur vnum- quodque $ur$um feri $ecundum perpendicularem qu{ae} per cen trum grauitatis ip$orum produccitur.

Theorema viij. Propo$itio viij.

Si aliqua $olida magnitudo habens figuram portionis $phæ- ræ in humidum demittatur ita ut ba$is portionis nõ tangat hu- midum figura in$idebit recta ita, ut axis portionis $ecundum perpendicularem $it. & $i ab aliquo trahitur figura ita, ut ba- $is portionis tangat humidum, non manet declinata $ecun- dum dimittatur, $ed recta re$tituatur.

E T igitur $i figura leuior exi$tens humido dimittatur in humidum ita ut ba$is ip$ius tota $it in humido figura in$idebit recta ita ut axis ip- $ius $it $ecundum perpendicularem. Intelligatur enim aliqua ma- gnitudo qualis dicta e$t in humidum demi$$a intelligatur etiam & planum productum per axem portionis & per centrum terræ. Sectio autem $it $u- perficiei quidem humidi quæ a, b, g, d, periferia, figuræ autem e, z, b, periferia & quæ a, b, recta axis autem portionis $it\’que z, t. Siigitur e$t [0016]DE INSIDENTIBVS AQVAE po$$ibile non $ecundum perpendicularem $it quæ z, t. Demen$trandum igi- tur quòd non manet figura $ecundum in rectum $tatuetur, e$t autem cen- trum $pbæræ u$quez, t. Rur$um enim $it $igura maior emi$perio, & $it centrum $pbæræ u$que ad emi$perium $cilicet t, in minori autem p, in maio ri autem K, per K autem, & per centrum terræ l. ducatur k l. figura au tem extra bumidum a$$umpta a $uperficie bumidi axem babet in perpen- diculari quæ per k, propter eandem prioribus e$t centrum grauitatis ip$ius in linean, k. Sit enim r, totius autem portionis centrum grauitatis e$t in linea z, t, inter k, & z, & $it c. Reliquæ ergo figur æ eius quæ in bumido centrum erit in recta c, r, inducta & a$$umpta quæ babebit ad c, r, ean- dem proportionem quam babet grauitas portionis quæ extra bumidum ad grauitatem figuræ quæ in bumido. Sit autem o, centrum dictæfiguræ, & per o, perpendiculari feretur igitur grauitas portionis quidem quæ est ex- tra bumidum $ecundum recta n, r, o, ad deor$um, figuræ autem quæ in bu mido $ecundum rectam o, l, ad $ur$um non manet igitur figura $ed partes quidem figuræ quæ uer$us b, ferrentur ad deor$um. Quæ autem uer$us e, ad$ur$um & $uper boc erit donec qu{ae}z, t, $ecundum perp\~edicularem fiat.

Explicit de In$identibus Aquæ Liber Primus. [0017] AR CHIM EDIS DE INSIDENTIBVS AQV AE. LIBER SECVNDVS. TROIANO CVRTIO VENETIIS, APVD TROIANVM CVRTIVM. M D L X V [0018] [0019] FABRITIO DENORES FILIO IACOBI COMITIS TRIPOLIS CVRTIVS TROIANVS S. P. D.

SI omni laude digni habiti $unt magniuiri, qui omne $uum $tu- dium in id contulerunt, ut cæte- ris hominibus quàm maxime pro de$$e po$$ent; in magnum dede- cus incurrent omnes, qui illo- rum opera aut occultant, aut, ut in publicum pro- deant, nullam curam afferunt. Cum uero labores maximi illi quidem Nicolai Tartaleæ quotidie ma- gis, ac magis cogno$cantur profui$$e literatis uiris; non modica uidebor ego dignus reprehen$ione, qui reliquias habui eiu$dem laborum, & uigiliarum, ni illas quoque in medium proferam, & communi uti- litati con$ulã. Quare cũ habeam adhuc apud me Ar chimedem de in$identibus aquæ ab ip$o Nicolao in lucem reuocatum, & quantum ab ip$o fieri potuit, ab erroribus librarij emendatum, & $uis locubratio= nibus illu$tratum; uideor fraudare omnes literatos $ua po$$e$sione, niomnia, quæ huius ingenio$i$simi [0020] uiriapud me re$tant, in lucem emi$ero, & omnibus ea communicauero. Ac cum nouerim te cum om- nibus recti$simis $tudijs mirifice deditum, tum to- tum ad imitationem tuorum maiorum, & ad rem gerendam inflammatum, putaui hoc opus tibi, & tui $imilibus, qui in di$ciplinis uer$antur, & res ma- gnas gerunt, fore peropportunûm. nec uero meæ fa- cultatis e$t, nec breuitas huius $criptionis po$tulat, ut de te, ac de tuis maioribus ego nunc plura dicam. nam $irepeterem clari$simos uiros, qui literis, & ar- mis in tua familia floruerunt, eorum\’que res ge$tas enarrarem, atque quibus rebus tu, & optimus, ac cla ri$simus pater tuus eorum gloriam adaugetis; lon- ge maius opus mihi extaret, quàm e$$et hic paruus li bellus, & quam\’que ego po$$em perficere. Itaque hæc alijs, qui po$$unt, relinquens, & in aliud tem- pus differens, ut nonullum per me adiumentum ad- datur tibi, & cæteris, qui rerum naturam contem- plantur, & ijs artibus $tudent, quibus res maximæ gerunt; hoc opus in tuo nomine peruulgari, atque e- diuolui. ut no$cant omnes, dum $tudeo p<007>ode$$e com muni utilitati, $eparatim tamen pro mea in te ob- $eruantia uolui$$e tuis $tudijs, & magnitudini ani- mi in$eruire.

[0021]ARCHIMEDIS DE INSIDENTIBVS AQV AE. LIB. II. PRIMVS.

SI a liqua magnitudo exi$tens leuior humi- do, dimittatur in humidum; hanc habebit proportionem in grauitate ad humidum mobilis æqualis $ibi, quam habct demer$a magnitudo ad totam magnitudinem.

_D_Emittatur enim in bumidum aliqua magnitu- do $olida, quàm $it f, a, leuior bumido. Sit au- tem quod quidem demer$um ip$um a, quod au- tem extra humidum f, demon$trandum quòd magni- tudo f, a, ad humidum æqualis molis in grauitate, hanc babet proportionem; quama, ad f, a. Accipiatur enim aliqua humida magnitudo quàm $it n, i, molis æqualis cum f, a, & ip$i quidem f, $it æqualen, ip$i autem a, i, & adbuc grauitas quidem magnitudinis f, a, $it b, ip- $ius autem n, i, quær, o, ip$ius autem, ir, magnitudo igi turf, a, ad n, i, hanc habet proportionem quam graui- tas b, ad grauit atem r, o, $ed quoniam magnitudof, a, in humidum dimi$$a e$t leuior exi$tens bumido. Palam quòd demeræ$ magnitudinis moles humidi babet gra- uitatem: æqualem cum magnitudine f, a, demon$tra- tum e$t enim boc, & quoniam quod $ecundum a, humi- dum est i, ip$ius autemi, grauitas e$tr, ip$ius autem f, a, grauitas e$t b, grauitas b, quæ e$t babentis æqualitate mole totius magnitudinis f, a, e$t aqualis grauitati humidi i, $cilicet ip$i r, & quoniam e$t, ut magnitudo f, a, ad humidum quod $ecundum ip$am $cilicet n, i, itab, o, ad r, o, æquale autem e$t b, ip$t r, ut autemr, ad ro, ita i, ad n, i, & a, adf, a, ut ergof, a, ad bu- [0022]DE INS IDENTIBVS AQV AE midum quod $ecundum ip$a in grauitate ma gnitudo a, ad f, a, factum e$t æquale demer- $æ magnitudinis, $cilicet a, habet ergo magni tudo f, a, in grauitate ad n, i, ita b, ad r, o. Quam autem proportionem habet r, ad r, o, hanc habet proportionem adr, & a, ad f, a, _demonstratum_ e$t enim.

SECVNDVS.

Recta portio rectanguli conoidalis quando axem habue- rit maiorem, quàm emiolium eius, quæ u$que axem omnem proportionem habens ad humidum in grauitate dimi$ia in humido ita, ut ba$is ip$ius non tangat humidum, po$ita incli nata non manet inclin ata, $ed re$tituetur recta.

_R_Ectam dico con$i$tere talem portionem, quando quod $ecuit ip- $am fuerit æquidistanter $uperficiei humidi. Sit portio rectanguli conoidalis, qualis dicta est: & iaceat inclinata, demonstrandum quòd non manet, $ed re$tituetur recta. Secta autem ip$a plano per axem recte ad planum, quod in $uperficie humidi portionis $ectio $it\’que apol. rectanguli coni fectio, axis autem pertionis, & diameter $estionis quæn, o. Superficiei autem hnmidi, quàm K. Siigitur portio non e$t recta, non ntique erit quæ a, l, æquidi$tans ip$i i, s, K. Quare non faciet angulum rectum quæ n, o, ad i, s, ducatur ergo quæ K, <008>, contingens $ectionem coni penes, p.

[0023]LBERI II. TERTIVS.

Recta portio rectanguli conoydalis, quando axem habue rit maiorem, quam emiolium eius, quæ u$q; ad axem omn\~e proportionem habens ad humidum in grauitate dimi$$a in humido ita, ut ba$is ip$ius tota $it in humido po$ita inclina- ta: non manet in clinata, $ed re$tituetur ita, ut axis ipfius $e- cundum perpendicularem $it.

_D_Imittatur enim aliqua portio in humidum æqualis dicta e$t: & $it ip$ius ba$is in humido. Secta autem plano per axem recto ad $uperficiem humidi $ectio $it qu{ae} apol. rectanguli coni $ectio a- xis autem portionis, & dyameter $ectio m, $, quæ p, f, $uperficiei autem humidi $ectio $it\’que i, $, & $i inclinata iacet portio non erit $ecundum perpendicularem axis, non ergo faciet quæ p, f, angulos æquales ad i,s, ducatur autem quædam quæ K, <008>, æquedi$tanter ip$i i, s, contingens $e- ctionem apol penes o, & $olidæ quidem magnitudinis apol centrum grauitatis $it r, ip$ius autem i, p, o, s, $olidi centrum b, & eopulata, quæ b, r, educatur, & centrum grauitatis reliquæ figuræ $cilicet i, s, l, a, $it g. Similiter demon$trabitur angulus quidem qui $ubr, <012>, K, acutus per- pendicularis quæ a, b, r, t, r, ad K, o, producitur cadens inter K, & o, $it\’q r, t. Si autem ab ip$is g, b, ducantur æquedistanter ip$ir, t, quod quidem in humido ab$um ptum ferret $ur$um $ecundum productam per g. Quod autem extra humidum $ecundum producta per b, feretur deor$um, & non manet $olidum. apol $ic $e habens in humido, $ed quod quidem $e- cundum a, habcbit lationem $ur$um. Quod autem $ecundum l, deor$um donec fiat, quæp, f, $ecundum perpendicularem.

[0024]DE INSIDENTIBVS AQV AE QVARTVS.

Recta portio rectanguli conoydalis quando fuerit leuior humido, & ax\~e habuerit maiorem, quàm emiolium eius, qu{ae} u$que ad axem: $i in grauitate ad humidum æque molis non minorem proportionem habeat illa. quàm habet tetragonũ quod ab exce$$u, quo maior e$t axis, quàm emiolius eius, qu{ae} u$que ad axem dimi$$a in humido ita ut ba$is ip$ius non tan- gat humidum po$ita, inclinata, non manet inclinata, $ed re- $tituetur in rectum.

_E_Sto portio rectangula conoydalis, qualis dicta est: & dimi$$a in bumidum, $i e$t po$$ibile, $it nõ recta, $ed $it inclinata. Secta autem ip$a per axem plano recto ad $nperficiem humidi, portionis quid\~e $ectio $it rectanguli coni: $ectio quæ apol. axis autem portionis, & dyæ meter, quæn, o, $uperficiei autem humidi $ectio $it i, s. Siigitur portio non e$t recta, non faciet quæ n, o, ad is angulos æquales: ducatur aut\~e quæ K, <008>, contingens $ectionem rectanguli coni penes, p, æquidi$tans autem ip$i i s. A, p, autem æquedistanter ip$i o, n, ducatur\’que p, f, & accipian tur contra grauitum, & erit $olidi quidem apol. centrumr, eius autem quod inter humidum centrum b, & copuletur g, t, r, & educatur ad g, & $it $olidi, quod $upra humidi centrum grauitatis g, & quoniam quæ n, o, ip$ius quidem r, o, e$t emiolia eius autem, quæ u$que ad axem e$t ma ior, quàm emiolia, palam quòd quær, o, e$t maior, quàm quæ u$que ad a- xem. Sit igitur quæ r, m, æqualis ei, quæ u$que ad axem, quæ autem o, n, dupla ip$ius r, m. Quoniam igitur $it quæ quidem n, o, ip$ius r, o, emio- lia, quæ autem m, o, ip$ius o, b, & reliqua, quæm, n, reliqua $cilicet r, b, æmiolia e$t ip$i m, o, e$t maior, quàm emiolius e$t axis eius, quæ u$que ad axem, $cilicet r, m, & quoniam $upponebatur portio ad humidum in gra uitate non minuerem proportionem habens illa, quam habet tetragonũ quod ab exce$$u, quo. axis e$t maior, quàm æmiolius eius, quæ u$q; ad a- xem ad tetragonum quod ab axe. palam quòd non minorem proportio nem babet portio ad humidum in grauitate illa proportionem quam ha bet tetragonum, quod ab m, o, ad id, quod ab n, o. Q uam autem propor- tìonem habet portio ad humidum in grauitate, hanc habet demer$a ip- $ius portio adtotam $olidam portionem, demon$tratum e$t enim hoc, $ed quam habet proportionem demer$a, proportio adtotam hanc habet te- iragonum quod _Demonstratum_ e$t enim in {ij}s quæ de conoydalibus quòd $i a rectangulo conoydaliduæ portiones qua- [0025]LIBER II. litercunque productis planis ab$cindantur portiones adinuicem eandens habebunt proportionem quam tetragona quæ ab axibus ip$orum

non minorem ergo proportionem: habet tetragonum quòd a, p, f, ad tetragonum quod a, b, n, o, quam tetragonum quòd ab m, o, ad tetra- gonum quod ab n, o, quare quæ p, f, non _est_ minor quàm m, o, neque quæ b, p, quàm n, o. Si igitur ab m, ip$i n, o, recta ducatur, cadent intrab, & p. Quoniam igitur quæ quidem p, f, e$t æquedi$tanter dyametro quæ au- tem m, t, e$t perpendicularis ad dyametrum, & quæ r, m, æqualis ei quæ u$que ad axem a, b, r, ad t, copulata, & educta facit angulos rectos ad contingentem $ecundum p. Quare & ad i, s. & ad eam quæper i, s. $u- perficiem humidi faciet æquales angulos, $i autem per b, g, ip$i r, t, æque- di$tantes ducantur anguli recti erunt facti ad, $uperficiem humidi, & quod quidem in humido a$$umitur $olidum conoydalis $ur$um fertur $e- cundum ea, quæ per b, æquedi$tantem ip$ir, t, quod autem extra humi- dum a$$umpta deor$um fertur in humidum $ecundum productam per g, æquedi$tantem ip$ir, t, & per totum idem erit, donec utique conoydale rectum re$ti tuatur.

QVINTVS.

Recta portio rectanguli conoydalis quando leuior exi- $tens humido habuerit axem maiorem, quàm emyolium e- ius\’que u$que ad axem $i ad humidum in grauitate non ma- iorem proportionem habeat illa, quam habet exce$$us, quo maius e$t tetragonam quod ab axe tetragono quod ab ex- ce$$u quo axis e$t maior, quàm emyolius eius, quæ u$que ad axem ad tetragonum quod ab axe dimi$$a in humidum ita [0026]DE INSIDENTIBVS AQV AE ut ba$is ip$ius tota $it in humido po$ita, inclinata, non manet inclinata, $ed re$tituetur ita ut axis ip$ius $ecundum perpen dicularem $it.

_D_Emittatur enim in humidum aliqua portio qualis dicta e$t, & $it ba$is ip$ius tota in bumido. Secta autem ip$a plano per axem re- cto ad $uperficiem humidi erit $ectio rectanguli, coni $ectio, & $it quæ apol, axis autem, & dyameter $ectionis quàm n, o, $uperficiei autem bumid<007> $ectio, quæ <007>, s, & quoniam non e$t axis $ecundum perpendicula- rem non faciet, quæ n, o, ad i, s, angulos æquales: ducatur autem quæ K, <008>, contingens $ectionem apol $ecundum p, æquidi$tans ip$i i, s, & per p, ip$i n, o, æquedi$tans quæ p, f, & accipiantur centra grauitatem: & $it ip$ius quidem apol. centrum r. eius autem quod extra humidum b, & copulata quæ b, r, educatur ad g, & $it g, centrum grauitatis $olidi a$$umpti in humido : & accipiatur quæ r, m, æqualis ei quæ u$que ad axe Quæ autem o, h, dupla ip$ius h, m, & alia fiant con$imili- ter $uperiori. Quoniam igitur $upponitur portio ad humidum in graui- tate non maiorem proportionem habens proportione, quam habet exce$ $us, quo maius e$t tetragonũ, quod ab n, o, tetragono, quod ab m, o, tetra gonum, quod ab n, o, $ed quam proportionem habet in grauitate porti<010> ad humidum æqualis molis, hanc proportion\~e habet demer$a ip$ius por tio ad totum $olidum : demonstratum est enim hoc in primo theorema- te. Non maiorem ergo proportionem habet demer$a magnitudo por- tionis ad totam portionem, quàm $it dicta portio. Quare non maiorem proportionem habet tota portio ad eam, quæ e xtra humidum proportio nem, quam habet tetragonũ, quod ab n, o, ad tetragonum, quod ab m, t, habet autem tota portio ad portionem, quàm extra bumidum eanden<007> [0027]LIBER II. proportionem quam habet tetragonum, quod ab n, o, ad id quod a, p, f, non maiorem ergo proportionem habet, quæ ab n, o, ad id a, p, f, quàm quòd ab n, o, ad id, quod ab m, o, non minor ergo fit, quæ p, f, quàm quæ o, m, quare nec quæ p, b, quàm n, o. Quæ ergo ab m, producitur ip$i r, o, æquidi$tans concidet ip$i b, p, intra p, & b, concidat $ecundum t, & quo niam in rectanguli coni, Sectione quæ p, f, e$t æquidi$tanter dyametto r, o. Quæ autem n, t, perpendicularis $uper dyametrum, quæ autem r, m, æqualis ei quæ u$que ad axem. Palam quòd quæ r, t, educta facit angu- los rectos ad K, p, <008>, quare & ad i, s. Quæ ergo r, t, e$t perpendicula- ris ad $uperficiem humidi, & per $igna b, g, æquedi$tanter ip$i r, t, produ ctæ erunt perpendiculares ad $uperficiem bumidi: quæ quidem igitur ex tra humidum portio deor$um ferretur in humidum $ecundum producta per b, perpendicularem. Quæ autem intra humidum $ur$um ferretur $e cundum perpendicularem, quæ per g, & non manet $olida portio apol. $ed intra humidum erit in motum, donec utique quæ n, o, fiat $ecundum perpendicularem.

SEXTVS.

Recta portio rectanguli conoydalis quando humido le- uior exi$tens axem habuerit maiorem quidem quam hemio lium minorem autem quam ut habet hãc proportionem ad eam, quæ u$que ad axem quam habent quindecim ad quat- tuor dimi$$a in humidum ita, ut ba$is ip$ius contingat humi- dum, nunquam $tabit inclinata ita, ut ba$is ip$ius $ecundum vnum $ignum conting at humidum

_S_It portio qualis dicta e$t, & dimi$$a in humidum con$i$tat, $icut $t\~e $um e$t : ita ut ba$is ip$ius $ecundum vnum $ignum contingat hu- midum. Secta autem ip$a per axem plano recto ad $uperficiem hu midi: $ectio $uperficiei portionis $it, quæ apol. rectanguli coni $ectio : $u perficiei autem humidi quæ a, s, axis autem portionis, & dyameter $it quæ n, o, & $ecetur $ecundum f, quidem ita quæ o, f, $it quæ dupla ip$ius f, n, $ecundum <008>, autem ita, ut quæ n, o, ad f, <012>, habe at proportionem quam quindecim ad quattuor, & ip$i n, o, adducatur quæ <008>, K. Quæ autem n, o, maiorem proportion\~e habet ad f, <008>, quàm ad ea, <009> u$q; ad axem. Sit quæ f, b, æqualis ei, quæ u$que ad axem, & ducatur quæ qui- dem p, c, æquedi$tanter ip$i a s contingens, $ectionem. apol. $ecundum p. Quæ autem p, i, æquedi$tanter ip$i n, o, Secet autem quæ p, i, prius ip$am K, <008>. Quoniam igitur in portione apol contenta a recta, & a$ectione [0028]DE INSIDENTIBVS AQV AE rectanguli coni quæ quidem K, h, æquedi$tanter ip$i a, l, quo autem p, i, æquedi$tanter dy imetro $ecta ip$a K, <008>. Quæ autem a s, æquedi$tanter contingenti $ecundum p. nece$$arium e$t ip$am p, i, autem eandem proportionem habere ad p, h, quam habet quæ n, <008>, ad <008>, o, maiorem proportionem demon$tratum e$t enim hoc per$umpta. Quæ au tem <008>, h, _est_ æmyolia ip$ius <008>, o, & quæ i, h. Ergo aut æmyolia e$t ip- $ius h, p, aut maior quàm æmyolia quæ ergo p, h, ip$ius h, i, aut dupla _est_, aut minor quàm dupla. Sit autem quæ p, t, ip$ius t, i, dupla. Centrum er go grauitatis eius quod in humido _est_ $ignum t, & copulata quæ t, f, edu catur, & $it centrum grauitatis eius quòd extra humidum g, & a, b, ip $i n, o, recta qu{ae} b, r. Quoniam igitur est quæ quidem p, i, æ quedistanter dyametro n, o, quæ autem b, r, perpendicularis $uper dyametrum. Quæ autem f, b, æqualis ei quæ u$que ad axem palam quòd qu{ae} t, r, educta æquales angulos ad contingentem $ectionem apol. $ecundum p, quare & ad a, s, & ad $uperficiem aquæ ductis autem per t, g, {ae}quedi$tanter ip $if, b, erunt & ip$e perpendiculares ad $uperficiem aquæ, & magnitudo [0029]LIBER II. quidem inter humidum a$$umpta ex $olido apol $ur$um ferretur $ecun- dum eam quæ per t, perpendicularem. Quæ autem extra humidum de- or$um ferret in humidum $ecundum eam, quæ per g, perpendicularem. Reuoluetur ergo $olidum apol. & ba$is ip$ius non tanget $uperficiem bumidi $ecundum vnum $ignum. Si autem quæ p, i, non $ecuerit lineam K, <008>, $icut in $olida $igura de$criptum e$t. Manifestum quod $ignum t, quod e$t centrum grauitatis demer${ae} portionis cadet inter p, & i, & re- liqua $imiliter demon$trabuntur.

SEPTIMVS.

Recta portio rectanguli conoy dalis quando humido le- uior fuerit, & axem habuerit maiorem quidem quàm æmyo lium eius\’q u$que ad axem minorem, aut ut proportionem habeat ad eam, quæ u$que ad axem quàm quindecim ad quat tuor dimi$$a in humidum, ita ut ba$is ip$ius tota $it in humi- do, nunquam $tabit ita ut ba$is ip$ius tangat $uperficiem hu- midi, $ed ut tota $it in humido, nec$ecundum vnum $ignum tangens $uperficiem.

_S_It portio qualis dicta e$t, & _dimi{$s}a in humidum, $icut dictum e$t cõ $i$t at ita ut ba$is ip$ius tangat $uperficiem humidi, demonstrandum quòd non manet, $ed reuoluetur ita, ut ba$is ip$ius tangat $uperfici\~e humidi non $ecundum vnum $ignum : $ecta enim ip$a plano, recta ad $u perficiem humidi : Sectio $it quæ apol rectanguli coni $ectio. Sit autem & $uperficiei humida $ectio quæ s, a, axis autem portionis, & dyameter qu{ae} p, f, $it i. Rur$um autem $ecetur quæ p, f, $ecundum r, quidem ita ut quæ r, p, $it dupla ip$ius r, f, $ecundum <008>. autem ita ut quæ p, <008>, ad r, <008>, proportionem habeat quam quindecim ad quattuor. & quæ <008>. [0030]DE INSIDENTIBVS AQVAE K, recta ducatur $uper p, f, erit autem minor, quæ r, <008>, quàm e, a, quæ u$que ad axem. Accipiatur igitur ei quæ u$que ad axem æqũas quæ r, h, & quæ quidem c, o, ducatur contingens $ectiones penes o, exi$tens _æquedistans_ ip$i a, s, & quæ n, o, & _æquedistans_ ip$i p, f. Secet autem quæ n, o, ip$am K, <008>, prius $ecundum i. Con$imiliter autem præcedenti demõ$trabitur, quòd quæn, o, aut hemiolia e$t ip$ius o, i, aut maior quàm bemiolia, $it aut\~e, quæ o, t, ip$i t, n, minor, quàm dupla. Sit igitur quæ o, b, dupla ip$ius b, n, & di$ponantur tandem prioribus. Similiter igitur de monstrabitur, quæ r, f, faciens angulos rectos ad c, o, & ad $uperficiem humidi, & ab ip$is b, g, productæ æquedistanter ip$i r, f, erunt perpend<007> culares $uper $uperficiem humidi. Portio igitur, qu{ae} quidem extra hu- midum deor$um ferretur in humidum, $ecundum eam, quæ per b, perpen dicularem. Quæ autem inter humidum $ur$um ferretur, $ecũdum eam, quàm per g. Maximum igitur, quod ad uoluit $olidum ita, ut ba$is ip- $ius, nec$ecundum vnum contingat $uperficiem humidi, quoniam nunc, $ecundum vnum tangens ad deor$um, ferret ex parte a. Manifestum autem quòd & $i quæ n, o, non $ecuerit <008>, K, eandem demon$trabũtur.

OCTAVVS.

Recta portio rectanguli conoy dalis, quando axem habue rit maiorem, quàm hemiolium eius, quæ u$que ad axem mi- norem, autem ut ad eam, quæ ad axem habeat proportion\~e, quam habet quindecim ad quatuor. Si grauis ad humidum habeat proportionem minorem proportione, quam habet tetragonum, quod ab ex ce$$u, quo axis e$t maior, quàm he- miolius eius, quæ u$que ad axem ad tetragonum, quod ab axe dimi$$a in humidum, it a ut ba$is ip$ius non tangat humi dum, nec in rectum re$tituetur, nec manebit inclinata, ni$i quando axis ip$ius ad $uperficiem humidi fecerit angulum æqualem ei qui dicendus e$t.

_S_It portio qualis dicta est : & $it quæ b, d,@ æquales axi, & quæ qui- dem b, K, $it duplaip$ius k, d. Quæ autem r, k, æqualis ei, quæ u$- que ad axem. Sit autem, & quæ quidem e, b, hemiolia ip$ius b, r. Quam autem proportionem habet portio in grauitate ad bumidum hãc quod a, b, f, q, tetragonum ad id, quod a, d, b. Sit autem, & quæ f, dupla ip$ius q, palam, igitur quòd quæ f, g, ad ip$am d, b, proportionem habet minorem proportione, quàm habet, quæ t, b, ad ip$am b, d, exce$$us enim quòdg, d, e$t quo axis e$t. maior, quàm bemiolius eius, quæu$que ad [0031]LIBER II. axem. Quæ ergo f, q, erit minor ip$a b, c. Quare & quàm f, minor ip$æ b, r. Sit autem ip$i f, æqualis, quæ r, x, & $uper ip$a b, d, recta ducatur, quæ x, e, quæ po$$it dimidium eius, quod $ub K, r, x, & copuletur quæ b, e, demon$trandum quòd portio dimi{$s}a in bumidum, vt dictum est, con$i- $tet inclinata ita, ut axis ad $uperficiem bumidi faciat angulum æqualé angulo e, b, x, demonstratur enim aliqua portio in bumidum, & ba$is ip $ius non tang at $uperficiem bumidi. Et $i po$$ibile e$t axis ip$ius ad $u- perficiem bumidi non faciat angulum æqualem angulo b, $ed primo ma- iorem: $ecta autem portione per axem plano recto ad $uperficiem bu- midi. Sectio erit quàm apol. rectanguli coni $ectio. Superficies autem bumidi, quæ x, s. Axis autem, & dyameter portionis, quæ n, o, duca- tur autem, & quæ quidem p, y, æquedi$tanter ip$i x, s, contingens $ectio nem apol. $ecundum p. Quæ autem p, m, æquedi$tanter ip$i n, o. Quæ au tem p, i, perpendicularis, $uper n, o, & quæ quidem b, r, $it æqualis ip$i i, <008>. Quæ autem r, K, ip$in, o, & quæ <008>, b, rectam $uper axem. Quoniam igitur $upponitur axis portionis ad $uperficiem bumidi facere angulum maiorem angulo b, palam quòd angulo p, i, n, angulus, qui ad p, i, m, _est_ maior angulo b, maiorem igitur proportionem habet tetrago num, quod a, p, i, ad tetragonum quod ab i, quàm tetra- gonum, quod ab e, x, ad tetragonum quòd a, x, o Sed quam quidem pro- portionem habet tetragonum, quod a, p, i, ad id, quod ab i. hanc habet quæ K, r, ad i. Quam autem proportionem habet te tragonum, quod ab e, x, ad tetragonum a, x, b, hanc habet medietas ip- $ius K, r, ad x, b, maiorem ergo proportionem habet, quàm K, r, ad i, quàm medietas ip$ius k, r, ad x, b. Minor ergo e$t, quàm dupla, quæi, [0032]DE INSIDENTIBVS AQVAE ip$ius c, d. Ip$ius autem o, i, dupla e$t, quæ <008>, propter $eptimum tbeore- ma primi libri elementorum conoycorum A pollonij. E$t ergo quæ o, i, minor, quàm x, b. Quare quæ i, <008>, e$t maior, quàm x, r, quæ autem x, r, e$t æqualis ip$i f, maior ergo _est_, quæ i, <008>, quàm f. Et quoniam $upponi tur portio ad humidum iu grauitate habere per portionem, quàm tetra- gonum, quod ab f, q, ad tetragonum, quod a, b, d. Quam autem propor- tionem, habet proportio ad humidum in grauitate, hanc habet propor- tionem pars ip$ius demer$a ad totam portionem, quam autem pars de- mer$a ad totam hanc habet tetragonum, quod a, p, m, a tetragonum, quod ab o, n. Quam ergo proportionem babet tetragonum, quod a, b, f, q. ad tetragonum, quod a, b, d, hanc proportionem habet tetragonum, quod a, b, m, b, ad tetragonum quod a, b, o, n, æqualis ergo e$t, quæ f, q, ip$i p, m. Quæ autem p, b, demonstrata e$t e$$e maior, quàm f, palam ergo, quòd quæ p, m, e$t minor, quàm dupla ip$ius b, m. Sit igitur quæ p, Z, dupla ip $ius Z. m, erit autem t, quidem centrum grauitatis $olidi, eius auté, quod intra bumidum Z. Reliquam autem magnitudinis centrum grauitatis erit in linea Z, t. Copulata, & educta, & educatur ad g, demon$trabitur autem $imiliter quæ t, b, perpendicularis exi$tens ad $uperficiem humi- di, & portio quidem quæ intra humidum fertur ad extra humidi, $ecun dum perpendicularem ducta per Z, $uperficiem humidi. Quæ autem ex- tra humidum ferretur intra humidum, $ecundum ea, quæ per g, non ma- net autem portio, $ecundum $uppo$itam inclinationem, nec etiam in re- ctum restituetur. palam enim propter hoc quoniam, quæ producuntur per Z, g. perpendiculares. quæ quidem per Z, perducit ip$i g, l, ad ea$dem partes cadit ad quas e$t, & $ecundum g. Quæ autem per g, ad ea$dem ip$i Z, g. palam quòd propter prædicta Z, quidem centrũ $ur$um ferretur:g, autem deor$um. Quare totius magnitudinis, quæ ex parte a, deor$um ferretur, hoc antem erat inutile ad demonstrandum.

Supponatur rur$um alia quidem eadem axis autem portionis ad $u- perficiem humidi faciat angulum minorem eo, qui apud b, minorem au- tem proportionem habet tetragonum, quod a, p, i, ad tetragonum, quod ab i, <008>, quàm ad a, b, x, ad id, quod a, x, b, & quæ K, r, ergo ad <008>, i, mi norem proportionem habet, quàm medietas ip$ius K, r, ad x, b. E$t ergo quæ i, <008>, maiorem quàm dupla ip$ius x, b, ergo quæ <008>, i, minor ip$ius autem o, i, dupla ergo <008>, e$t, quæ o, i, <007>p$us x, b, e$t autem, & to ta, quæ <008>, t, æqualis ip$i r, b, & reliqua minor e$t, quàm <014>, r, erit ergo, & quæ p, h, minor, quàm f. Quæ autem m, p, ip$i f, q, e$t æqualis: palam quòd p, m, e$t maior, quàm emiolia ip$ius p, b, quæ aut\~e p, h, minor, quàm dupla ip$ius h, m. Sit igitur, quæ p, z, ip$ius z, m, dupla igitur rur$um. to tius quidem cétrum grauitatis erit t, eius autem quod intra humidũ Z. [0033]LBERI II. copulata autem z, t, inuenietur centrum eius, quòd extra humidum in educta, & $it g. & ducatur perpendicularis ad $uperficiem bumidi per z, g, æquedi$tanter ip$i n, o, palam igitur, quòd non manet tota portio, $ed reuoluetur ita, ut axis ad $uperficiem humidi faciat angulum mino- rem, quàm illo, quem nunc facit: quoniam nec axe faciente ad humidum angulum ma<007>orem, quàm b, con$i$tit portio, neque minorem. Manife$tũ quòd tantum angulum faciente con$istet. Sic enim erit quæ i, o, æqualis ip$i x, b, & quæ <008>, ip$i x, r, & quæ p h, ip$i f, erit igitur m, h, æmyolia ip$ius p, h, quæ autem p, b, ip$i b, <008>, dupla quod autem ergo eius, quod in humido centrum grauitatis e$t. Quare $ecundum eandem perpendicularem $ur$um ferretur, et quod extra deor$um ferretur mane bit ergo contra pellentur enim adinuicem.

NONVS.

Recta portio rectanguli conoydalis, quando axem habue rit maiorem quidem, quàm hemiolium eius quæ u$que ad a- xem, minorem autem ut hanc habeat proportione, quam habent quindecim ad quattuor: & in grauitate ad humidũ habeat proportionem maiorem proportione, quam habet exce$$us, quo tetragonum quod ab axe e$t maius tetragono, quod ab exce$$u, quo axis e$t maior, quàm hemiolius eius, quæ u$q; ad axem ad tetragonum, quod ab axe demi$$a in hu midũ, ita ut ba$is ip$ius tota, $it in humido po$ita inclinata, nec ut axis ip$ius $ecundum perpendicularem $it, necmane bit inclina ta, ni$i quã do axis ip$ius ad $uperficiem humidife cerit angulum æqu alem accepto $imiliter, ut prius.

[0034]DE INSIDENTIBVS AQVAE

ES to portio, qualis dicta _est_, & ponatur, quæ d, b, æqualis axi por- tionis, & quæ quidem b, k, $it dupla ip$ius K, d. Quæ autem K, r, æqualis ei, quæ u$que ad axem, qu{ae} autem c, b, hemiolia ip$ius b, r. Quam autem proportionem habet portio ad bumidum in grauitate, banc habeat exce$$us, quo excedit tetragonum, quod a, b, d, tetragonum quod a, b, f, q, ad tetragonum, quod a, b, d, $it autem quæ f, dupla ip$ius q. Palam igitur, quòd exce{$s}us, quo excidit tetragonum, quod a, b, d, tetra- gonum, quod a, b, c, ad tetragonum, quod a, b, d, quo axis portionis e$t ma ior, quàm hemiolius eius, quæ u$que ad axem minor e$t in maiori ergo te tragonum, quod a, b, d, excedit id, quod a, b, f, q, quàm tetragonum quod a, b, d, excedat tetragonum, quod a, b, c. Quare quæ f, q, e$t minor, quàm b, c. Ergo & quæ f, quàm b, r. Sit igitur ip$i f, æqualis, quæ r, x, & quæ x, e, recta ducatur $uper b, d, potens medietatem eius, quòd continetur $ub K, r, x, b, dico quòd portio demi{$s}a in bumidũ ita, ut ba$is ip$ius tota $it in humido con$istat, ita ut axis ip$ius ad $uperficiem humidt faciat angu lum æqualem angulo b. Demittatur quidem enim portio in humidum, ut dictum e$t & non faciat axis ad $uperficiem humidi angulum æqua- lem b, $ed maiorem primo. Secta autem ip$a plano recto ad $uperficiem bumidi port<007>onis $ectio $it, qu{ae} apol. rectanguli coni$ectio $uperficiei au- tem humidi, quæ c, i, axis autem portionis, & dyameter $it qu{ae} n, o, & $it $ecta $ecundum <008>, t, ut & prius ducatur autem quæ quidem y, p, æquedistanter ip$i c, i, contingens $ectionem $ecundum p. Quæ autem m, p, æquedi$tanter ip$i n, o. Quæ uero p, s, perpendicularis $uper axé, quo- niam egit axis portionis ad $uperficiem bumidi facit angulum maiorem angulo b. Erit utique & angulus, qui $ub s, y, p, maior angulo b, tetrago num ergo quod a, p, s, ad tetragonum quod a, b, s, y, habet proportionem matorem, quàm tetragonum, quod a, x, e, ad tetragonum, quod a, x, b. [0035]LIBER II. Ergo & quæ K, r, ad s, y, habet proportionem maiorem, quàm medietas ip$ius K, r, ad x, b, minor ergo, quæ s, y, quàm dupla ip$ius x, b, & quæ s, o, quàm x, b, minor quæ s, <008>, ergo maior, quàm r, x, & quæ p, b, quam f, & $i portio in grauitate ad humidum habet proportionem, quam exce$ $us, quo tetragonum, quod a, b, d, e$t maius tetragono, quod a, b, f, q, ad te tragonum, quod a, b, d. Quam autem proportionem habet proportio in grauitate ad humidum, hanc proportionem habet demer$a ip$ius portio ad totam palam, eandem habebit proportionem demer$a ip$ius portio ad totam portionem, quam exce$$us, quo tetragonum, quod a, b, d, excedit tetragonum, quod a, b, f, q, ad tetragonum, quod a, b, d, habebit igitur, & tota portio a d, eam quæ extra humidum proportionem, quam tetrago- num, quod a, b, d, ad id, quod a, b, f, q. Quam autem proportionem habet tota proportio ad eam, quàm extra bumidum hanc habet, quod ab n, o, ad id, quod a, p, m, æqualis ergo quæ m, p, ip$i f, q. Quæ autem p, b, demõ $trata e$t maior, quàm quæ ergom, b, e$t minor, quàm q, ergo quæ o, m, e$t maior, quàm dupla ip$ius b, m. Sit igitur quæ p, z, dupla ip$ius z, m, & copulata, qu{ae} 2, t, educatur ad g, erit ergo totius quidem portionis cé trum grauitatis t, eius autem quæ extra humidum z, eius uero quæ in- tra in linea t, g. Sit autem g, demon$trabitur autem $imiliter prioribus, quæ t, h, perpendicularis ad $uperficiem humidi, & quæ per z, g, æquedi- $tanter ip$it, n, productæ perpendiculares, & ip$æ $uper $uperficiem bu- midi ferretur, ergo quæ quidem extra humidum portio deor $um $ecundũ eam quæ per z. Quæ autem intra $ecundum eam, quæ per g, eleuabitur non manet ergo tota portio $ine inclinatione, nec etiam conuertetur ita ut axis $it perpendicularis $uperficiem humidi, quoniam quæ ex parte l, ad $uperiora ferrentur, propter proportionalia dictis in præcedenti, $i [0036]_DE INSIDENTIBVS AQVAE_ autem axis ad humidum faciat angulum minorem angulo b, con$imili- ter prioribus demonstrabitur, quod non manebit portio $ed inclinabitur donec utique axis ad $uperficiem humidi faciat angulum æqualem, an- gulo b.

DECIMVS.

Recta portio rectanguli conoydalis, quando leuior exi- $tens humido habuerit axem maiorem, quàm ut habeat pro- portionem ad eam, quàm u$que ad axem, quam habent quin decim ad quattuor demi$$a in humidum ita, ut ba$is ip$ius nõ tangat humidum, quandoque quidem recta con$i$tet, quin- que autem inclinata: & quandoque quidem ita inclinata, ut ba$is ip$ius, $ecundum vnum $ignum tangat $uperficiem hu- midi: & hoc in duabus di$po$itionibus faciet: & quandoq; ita inclinata con$i$tet, ut ba$is ip$ius $ecundum ampliorem locum humefiat: quandoque autem ita, ut ba$is@ip$ius, nec $e cundum vnum tangat $uperficiem humidi. Quam aut\~e pro- portionem habeant ad humidum in grauitate fingula ho- rum demon$trabuntur.

SIt portio qualis dicta est, & $ecta ip$a plano recto ad $uperficiem hu- midi $ectio in $uperficie $it quæ apol. rectanguli coni $ectio axis aut\~e & dyameter $ectionis $it quæ b, d. Secetur autem quæ b, d, $ecundũ K, ita ut dupla $it quæ b, d, ip$i K, d, $ecundum c, autem, ut quæ b, d, ad K, c, habeat proportionem, quam habent quindecim ad quattuor. Palam igitur quòd quæ K, c, e$t maior ea, quæ u$que ad axem ip$ius autem K, r, $it hemiolia, quæ e$t autem, & quæ s, b, hemiolia ip$ius b. r. Co- puletur autem ip$a a, b, & ip$a c, e, recta producta ducatur\’que e, Z, æque di$tanter, ip$i b, d, & rur$um ip$a a, b, $ecta in duo æqualia penes t, duca- tur æquedi$tanter ip$i b, d, quæ t, h, & accipiatur rectanguli coni $ectio, quæ a, e, circa dyametrum e, Z, & quæ a, t, circa dyametrum t h, ita, ut $i milis $it, quæ a, e, i, a, t, h, portioni a, b, l, de$cribetur autem quæ a, e, i, co- ni $ectio per K. Quæ autem a, b, r, recta producta ip$i b, d, $ecat ip$am a, e, i, $ecet, $ecũdum y g, cum per y, g, ducantur æquedi$tanter ip$i b, d, quæ p, y, q. Secet antem ip$e $ectionem a, o, d, penes x, f, ducantur autem, & quæ p, x, o. contingentes $ectionem apol. $ecundum o, p. Sunt tres quædam portiones quæ apol. a, e, i, a, t, d, content{ae} arectis, & a $e- ctionibus rectangulorum conorum rectæ, & $imiles, & inæquales, & @angentes $uper pnamquanque ba$em a, b, n, autem $ur$um ducta e$t, quæ n, x, p, n, o. o, g, ergo ad g, x, habet pro- [0037]_LIBER II._ portionem compo$itam ex proportione quam habet quæ i, l, ad l, a, & quam habet quæ a, d, ad d, i, habet autem, & quæ l, i, ad l, a, quàm duo ad quinque. Quæ enim c, b, ad b, d, habet proportionem, quàm $ex ad quindecim, hoc e$t, quam duo ad quinque, & est ut quæ c, b, ad b, d, ita quæ e, b, ad b, a, & quæ d, Z ad d, a, habeat autem d, Z, d, a, duplæ.

l, i, l, a. Quæ autem a, d, ad d, i, proportionem habet, quam quinque ad vnum. Proportio autem compo$ita ex proportione, quam hab\~et duo ad quinque, & ex proportione, quam habent quinque ad vnum. e$t ean dem cum proportione, quam habent duo ad vnum. Dupla ergo e$t, quæ g, o, ip$ius g, x, propter eandem autem, & quæ p, y, ip$ius y, f, quoniam igitur. quæ d, s, e$t hemiolia ip$ius K, r, palam quòd quæ b, s, e$t exce$ $us, quo axis est maior, quàm hemiolius eius, quæ u$que ad axem, $iqui- dem igitur portio ad humidum in grauitate banc habet proportionem, quam tetragonum, quod a, b, s, ad id, quod a, b, d, aut maiorem hac pro- portione portio demi$$a in humidum ita, ut ba$is ip$ius non tangat humi dum recta con$istet, demon$tratum est ei prius, quòd $i portio hab\~es ax \~e maiorem, quàm hemiolium eius, quæ u$que ad axem minorem propor- tione $i ad humidum in grauitate n, o, minorem proportion\~e habeat pro- portione, quam habet tetragonum, quod ab exce{$s}u, quo axis e$t maior, quàm hemiolium eius, quæ ad axem ad tetragonum, quod ab axe. demi$ $a in humidum, ita ut dictum e$t, recta con$istet. Si autem portio ad hu- midum in grauitate maiorem quidem proportionem habeat proportione quàm habet tetragonum, quod a, b, s, b, ad tetragonum, quod a, b, d, ma- iorem autem proportionem, quam habet tetragonum quod a, b, x, t, ad id, quod a, b, demi$$ain humidum inclinata ita, ut ba$is contingat humi- dum con$istet inclinata ita, ut ba$is ip$ius nibil tangat $uperficiei humi- di, & axis ip$ius faciat ad $uperficiem humidi angulum maiorem angu lo m. Si autem portio ad humidum in grauitate hanc habet proportion\~e. [0038]_DE INSIDENTIBVS AQV AE_ quam habet tetragonum, quod ab x, o, ad id, quod a, b, d, demi$$a in hu- Diuer$imode figuratur. midum inclinata, h, Z, vult diuidi in quinque æqualia, media quinta pars $it t, K, t, i. m, n, vult e$$e æqualis o, n, & n, x, $it media proportionalis inter m, n, & n, o, & quarta proportionalis c, n, ita, ut ba$is ip$ius non tã gunt humidum: con$i$tet, & manebit ita, ut ba$is ip$ius, $ecnndum am- pliorem locum humectetur ab humido. Si uero portio ad humidam in grauitate hanc proportionem habet, quam habet tetragonum, quod a. p, f, ad tetragonum, quod a, b, d, demi$$a in humidum, et po$ita inclinata ita ut ba$is ip$ius non tangat humidum, con$istet inclinata ita, ut ba$is ip- $ius, $ecundum vnum $ignnm tangat $uperficiem humidi, & axis ip$i [0039]_LIBER II._ faciat angulum, æqualem angulo x. Si autem portio ad humidum ingra- uitate habeat proportionem minorem proportione, quam habet tetra- gonum, quod ab f, p, ad tetragonum, quod a, b, d, dimi$$a in humidum, & po$ita inclinata ita, ut ba$is ip$ius non tangat humidum con$i$tet inclina ta ita, ut axis quidem ip$ius ad $uperficiem humidi, faciat angulum mi- norem angulo x, ba$is autem ip$ius, nec $ecundum vnum tangat $uperfi- ciem humidi. Demon$trabitur itaque hæc deinceps.

Habeat itaque primo portio ad humidum in grauitate proportionem quidem maiorem ea, quam habet tetragonum, quod ab x, o, ad id, quod a, b, d, minore autem ea, quàm habet tetragonũ, quod ab exce$$u, quo axis e$t maior, quàm hemiolius eius, quæ u$que ad ax\~e ad tetragonum, quod a, b, d, & $upponatur prius di$po$ita figura. Quam autem proportionem habet portio ad humidum in grauitate, hanc tetragonum, quod a, x, ad id, qnod a, b, d, e$t aut\~e quæ x, maior qui dem quàm x, p, minor autem exce$$u, quo axis e$t maior, quàm hemiolius e<007>us quæ u$que ad axem. Inaptetur autem quædam inter media conicarum $ectio- num apol. a, z, d, quæ u, o, æqualis ip$i x, & $ecet ip$a reliquam coni $ectionem pe nes ip$a autem r, s, rectam penes b, demon$tr abitur aut\~e quæ o, u, ip$ius a, n, $icut demonstratum est, quæ p, s, ip$ius s, x, dupla ab o, autem du catur, quæ o, s, cõtingens $ectionem apol quæ autem o, c, perpendicularis $uper b, d, & ab a, ad n, copuletur, erunt aut\~e qu{ae} a, n, q, u, æquales inuicem. Quoniam enim in $imilibus portionibus apol. a, x, d, producto $unt ab axibus ad portiones, quæ a, n, a, q, æquales angulos fa cientes ad ba$es eandem proportionem habebunt quæ q, a. a, n, cum ip$is l, a. a, d, propter $ecundam figuram præ$criptarum æqualis, ergo quæ a, n ip$i q, n, & æquedi$tans ip$i o, s, demonstrandum, quòd demi$$a in hu- midum ita, ut ba$is ip$ius, non $ecundum vnum tangit axis ad $uperficiem humidi angulum acutum faciat maiorem exce$$u Di mittatur enim, & con$i$tat ita, ut ba$is ip$ius tangat, $ecundum vnum $i gnum $uperficiem humidi. Secta autem portione per axem plano recta ad $uperficiem humidi, $uperficiei quidem portion<007>s $ectio $it\’q apol. re- ctanguli coni $ectio, $uperficiei autem humidi, quæ o, a, axis autem $ectio nis, & dyameter, quæ b, d, & $ecet\’q b, d, penes K, r, ut dictum e$t duca- [0040]_DE INSIDENTIBVS AQV AE_ tur autem, & quæ quidem p, g, {ae}quedi$tanter ip$i a, o, recta contingent $ectionem apol. $ecundum p. Quæ autem p, t, {ae}quedi$tanter ip$i b, d. Quæautem p, s, perpendicularis $uper b, d. Quoniam igitur portio ad humidum in grauitate proportionem habet, quam tetragonum, quod a, x, ad id, quod a, b, d. Quam autem proportionem habet portio ad humi- dum, hãc habet demer$a ip$ius portio ad totam, quàm autem demer$a ad totam tetragonum, quod a, t, p, ad id, quod a, d, b, erit quæ x, ip$i t, p, æ- qualis, & quæ n, o, ergo ip$i t, p, æqualis e$t. Quare, & portiones a, p, q, a, p, f, inuicem $unt æquales. Quoniam autem in portionibus æqualibus, & $imilibus apol. a, b, l, K, ab extremitatibus ba$ium product{ae} $unt, quæ r, a. a, q, & portiones ablatæ faciunt ad dyametros angulos æquales, propter tertiam figuram præ$criptarum. quare anguli qui apud y, g, $unt æquales, & quæ y, b, g, b. ergo æquales $unt quare & quæ s, r, c, r, & quæ p, Z, o, u, & quæ Z, t, s, K, n, quoniam minoré, quàm dupla quæ o, [0041]LIBER II. ip$ius s, a, u, palã {quis} quæ p, Z, ip$ius Z, t, est minor, <009> dupla. Sit igitur quæ p, <008>, ip$ius, <008>, t, dupla, & copulata quæK, <008>, educa tur ad e, totius quidem igitur cetrum grauitatis erit K, eius aut\~e por tionis, quæ inter humidũ centrũ, <008>, eius aut\~e quæ extrain linea K, e, & $ite. Quæ auté K, Z, perp\~edicularis erit $u<002> $u<002>$ici\~e humidi, quare & quæ <002> $igna, e, <008>, æquedi$tãter ip$i K, Z, non ergo manet portio $ed inreclinabitur ut ba$is ip$ius, nec $ecundum unum tangat $uper$iciem humidi, quoniam nunc $ecundum unum tacta ip$a reclinatur. Mani- fe$tum ergo quòd portio con$i$tet, ita ut axis ad $uperficiem humidi fa ciat angulum maiorem anguloy.

HAbeat autem portio ad humidum in grauitate hanc proportio- nem, quam habet tetragonum, quod a, b, x, o, ad id, quod a, b, d, & dimittatur in humidum ita inclinata. Secta autem ip$a per axcm plano recto ad $uperficiem humidi $olidi quidem, $ectio $it quæ apol re ctanguli coni $ectio. $uperficiei autem humidi, quæ o, i, axis autem por tionis & dyametris $ectionis quæ b, d, & $ecetur quæ b, d, ut prius & ducatur. quæ quidem p, n, æquedi$tanter ip$i i, o, cõtingens $ection\~e $e- cundum p. Quæ autem p, t, æquedi$tanter ip$i b, d, quæ autem p, s, per pendicularis $uper b, d. Demonstrãdum quòd portio non manet incli nata $ic, $ed inclinatur donec utique ba$is $ecundum unum $ignum tã gat $uperficiem humidi præiaceant auté & quæ in $uperiori figura prius di$po$ita $unt, & quæ c, o, perpendicularis ducatur $uper b, d, & quæ a, x, copulata educatur ad q, erit autem quæ a, x, ip$i x, q, æqualis, & ducatur ip$i a, q, quæ o, y, æquedi$tans, & quoniam $uppo nitur portio ad humidum in grauitate hanc habere proportioné, quã habet tetragonum quod ab x, a, ad id, quod a, b, d, habet autem hanc proportionem & demer$a portio ad totam hoc e$t quòd a, t, p, ad id. quod a, b, d, æqualis utique erit, quæ p, t, ip$i x, o, et quoniam portionũ i, b, o, a, b, q, dyametri $unt æquales, & portiones rur$um quoniam in portionibus æqualibus & $imilib. apol a, o, q, l, productæ $unt a, q, i, o, æquales portiones auferentes, hoc quidem ab extremitate ba$is hoc autem non ab extremitate, palàm quòd minorem facit acutum angulum ad dyametrum totius portionis, quæ ab extremitate ba$is producta e$t. Et quoniam angulus, qui apud y, e$t minor, qui apud h, maior e$t, quæ b, c, quàm b, s. Quæ autem e, r, minor, quàm r, s, quare & quæ o, y, minor quàm p, n, maior e$t quam du- pla, & quoniam quàm o, y, dupla, est ip$ius s, 3, palàm quod quæ p, a, maior e$t, quàm dupla ip$is a, t. Sit igitur quæ p, h, dupla ip$ius h, t, & copuletur quæ h, K, & educatur ad, <008>, erit autem totius quidem [0042]DE INSIDENTIBVS AQVAE portionis centrum grauitatis K. Eius autem, quæ intra humidum h, eius autem, quæ extra in linea K. <008>, & $it<008>, demon$trabitur aut\~e $imiliter quæ K. 2. <002>pendicularis $uper $uper$iciem humidi, & quæ per $igna, h, <008>, æqued $tãter. ip$i K. Z, manife$tũ igitur. quòd non ma nebit portio, $ed inclinabiturd, onec utique ba$is ip$ius $ecundum unũ $ignum tangat $uper$iciem humidi, $icut demon$trabitur in tertia fi- gura, quomodo $e habet in tertio theoremate, & manebit portio ita cõ $i$tens. In portionibus h, æqualibus apol a, o, q, l, productæ erit ab ex- tremitatibus ba$ium, quæ a, q, a, o, æquales auferentes demon$trabitur h, a, p, q, æqualis ip$i a, p, o, $imiliter prioribus, æquales igitur facient acutos angulos, quæ a, o, a, q, ad dyametros portionum. quoniam æqua les $unt qui apud n, y, anguli & Z, t, copulata autem ip$i Z, K, & edu cta ad, <008>, erit totius quidem portionis centrum grauitatis K, eius autem quidem intra humidum, h, eius autem quæ extra in line a K, <008>, & $it, <008>, & quæ K, h, perpendicularis e$t $uper $uper ficiem hu- midi, $ecundum ea$dem igitur rectas quod quidem in humido $ur$um feretur, & quod extra humidum deor$um feretur. Manebit autem portio, & ba$is, & magnitudo, & $ecũdum unum $ignum tanget $u- perficiem humidi & axis portionis ad $uperficiem humidi faciet an- gulum æqual\~e præ$cripto. Similiter autem demonstrabitur, & $i por- tio ad humidum in grauitate habeat proportionem eandem, quã te- tragonum quod h, p. ad id. quod a, b, d, dimi$$a in humidum ita, ut ba- $is ip$ius non tangat $uperficiem humidi. con$i$tet inclinata ita, ut ba- $is ip$ius $ecumdum unum $ignũ tangat $uperficiem humidi, & axis ip$ius ad $uperficiem humidi faciat angulum æqualem angulo, quæ apudf.

[0043]LIBER II.

SI autem rur$um portio ad humidum in grauitate habens quidem proportionem maiorem illa, quam habet tetragonum, quod a, Z, p, ad id, quod a, b, d, maiorem autem proportionem, quàm habet tetrago num quod ab x, o, ad id, quod a, b, d, Quam autem proportionem ha- bet portio ad humidum in grauitate, hanc habet tetragonum, quod a, x, ad id, quod a, b, d, palàm igitur, quæ x, o, e$t quidem maior quàm Z, p, minor autem quàm x, t, Inaptetur autem inter medio portionum apol a, d, æqualis ip$i x, æquedistans autem ip$i b, d, quæf, i, $ecans $e- ctionem inter mediam coni penes y. Rur$um autem quæ f, y, dupla ip$ius y, i, demonstrabitur, $icut quæt, ip$ix, y, ut & prius de- monstratum est. Ducatur autem a, b, f, $ectionem apol contingens quæ f, <008>, Similiter autem prioribus demon$trabitur quæ quidem a, i, ip$i q, i, æqualis. Quæ autem a, q, ip$i f, <008>, æquedistans, Demon$tran dum autem quòd portio demi$$a in humidum, ita ut ba$is ip$ius non tang at humidum, & po$ita inclinata ita inclinabitur, ut ba$is ip$ius $ecundum ampliorem locum humectetur ab humido. Demittatur h, in humidum, ut dictum e$t. & iaceat primo $ic inclinata ut ba$is ip- $ius neque $ecundum unum tang at $uper $iciem humidi. Secta autem ip$a per axem plano recto ad $uper$iciem humidi, in $uper$icie quidem portionis $it $ectio, quæ a, b, g, in $uperficie autem humidi, quæ e, Z, axis autem $ectionis. & dyametrum portionis $it quæ b, d, & $ecetur quæ b, d, penes $ignum K, r, Similiter prioribus. ducatur auté & quæ quid\~e h, l, æquedi$tanter ip$i e, Z, cõtingens $ectionem a, b, g, penes h, quæ au- tem h, t, æquedistanter ip$i b, d. Quæ autem h, s, perpendicularis $u- per b, d. Quoniā portio ad humidũ in grauitate proportionem babet quam tetragonum, quòd a, x, ad id, quod a, b, d, palàm quod quæ x, e$t æqualis ip$i h, t, demon$trabitur h. Similiter prioribus, quare & quæ h, t, e$t æqualis ip$i f, i, & portiones ergo a, f, q, e, b, Z. $unt æquales in- uicem, quoniam inequalibus, & $imilibus portionibus apol a, b, g, $unt productæ, quæ a, q, e, Z, æquales portiones auferentes & hoc quidem ab extremitate ba$is, hoc autem non ab extremitate minorem faciet acutum angulum ad dyametrum portionis quæ ab extremitate ba$is producta e$t. Et quoniam trigoni h, l, e, angulus e$t maior angulo, <008>. palàm quòd minor e$t quæ b, s, quàm b, c. Quæ autem, s, r, maior quàm r, c, & quæ h, l, maior quàm f, h, quæ a, t, mi- nor est quàm h, i, & quoniam dupla est quæ f, y, ip$ius y, i, palam {quis} quæ h, a, e$t maior, quàm dupla ip$ius a, t, $it igitur quæ h, l, dupla ip- $ius l, t, palam autem ex hijs, {quis} non @manebit portio, $ed inclinabitur donec utique ba$is ip$ius tangat $ecundum unum $ignum $uperficiem humidi. Tangat autem $ecundum unum $ignum, ut in tertia figura [0044]DE INSIDENTIBVS AQVAE $criptum e$t, et alia ead\~e di$ponãtur, demõ$trabitur aut\~e rur$um {quis} t, m, æquales exi$iens ip$i, f, <007>, & portiones a, f, q, a, b, Z, æquales inuicem & quoniam in portionibus æqualibus, & $imilib apol a, b, g, $unt pro- ductæ, quæ a, q, a, Z, æquales portiones auferentes æquales faciunt an- gulos ad dyametros. portionum igitur a, h, b, Z, a, f, q, qui apud $ignal, <008>, anguli $unt æquales. & quæ b, s, recta ip$i b, c, æqualis & quæ s, r, ip$i r, c. Et quæ h, a, ip$i f, h, & quæ a, t, ip$i m, i. Et quoniam dupla est, quæ f, x, ip$iy, i. Manife$tum quòd quæ h, a, e$t maior, quàm dupla ip$ius a, t. Sit igitur quæ h, a, ip$i l, t, dupla. Rur$um autem ex hijs pa lam quòd non manet portio $ed inclinabitur ex parte a, quoniam $up ponebatur portio, $ecundum unum $ignum tangere humidum palam quòd $ecundum amplior\~e locum ba$is ab humido comprehendetur.

HAbeat etiam rur$um portio ad humidum in grauitate propor- tionem minor\~e ea, quam habet tetragonum, quod ab n, o, ad id q <001> a, b, d. Quam autem proportionem habet portio ad humidum in gra- uitate, hanc habeat tetragonum, quod a, x, minorem autem e$t, quæ x, quàm o, n. Rur$um igitur in aptetur quædam intermedia portionum a, m, d, apol quæ p, i, æquedistanter ip$i b, d, producta æqualis ip$i x. Secet autem ip$a intermedia coni$ectione penes y, ip$am autem x, r, rectam penes h, demon$trabitur, autem quæ p, y, dupla ip$ius y, i, $icut demon$trata e$t, quæ, g, o, ip$ius g, h, ducatur autem & quæ quidem p, <008>, contingens $ectionem apol $ecundum p, quæ autem p, e, perpen- dicularis $uper b, d, & a, i, copulata ducatur ad q. Erit autem quæ [0045]LIBER II. a, i, ip$i i, q, æqualis & quæ a, q, ip$i p, <008>, æquedi$tans. Demon$tran- dum e$t autem quod portio demi$$a in humidum po$ita inclinata ita, ut ba$is ip$is non tang at humidnm inclinata con$i$tet ita ut axis ip- $ius ad $uperficiem humidi faciat angulum minorem angulo f, ba$is autem ip$ius nec $ecundum unum tangat $uperficiem humidi. Demit tatur h, in humidum, & con$i$tat ita, ut ba$is ip$ius $ecundum unum $ignum tangat $uper$iciem humidi. Secta autem portione per axem plano recto ad $uperficiem humidi, $ectio $it $uperficiei quidem por- tionis, quæ a, h, b, l, rectanguli coni $ectio, $uperficiei autem humidi, quæ a, Z, axis autem portioni, & dyameter $ectionis, quæ b, d, & $ece- tur quæ b, d, penes $igna, K, r, con$imiliter $uperioribus, ducatur au- tem & quæ h, i, æquedistanter ip$i a, Z, contingens $ectionem conipe- nes h. Quæ autem habet æquedi$tanter ip$i b, d, quàm autem h, s, perpendicularis $uper b, d, quoniam igitur portio ad humidum in gra- uitate hanc habet proportionem, quam tetragonum a, x, ad id quod a, b, d. Quam autem proportionem habet proportio ad humidum in grauitate, hanc habet tetragonum, quod ab h, t, ad id quod a, b, d, pro- pter eandem prioribus. palam {quis} quæ habet, e$t æqualis ip$i, x, qua- re & portiones, a, m, Z, a, p, q, $unt æquales. et quoniā in portioni- bus æqualibus, & $imilibus. apol a, K, h, l, K, ab extremitatib. ba$ium [0046]DE INSIDENTIBVS AQV AE $unt productœ, quœ a, q, a, z, æquales por tiones auferétes, pa- lam {quis} æquales fa- ciunt ad dy ametros portionũ, ad buc au- tem & trigonorũ b, l, s, p, w, e, æquales $unt anguli <003> apud l, w, erunt, ets, b, e, b, œquales. Quare et quœ, s, r, e, r, œqua les & quœ b, a, p, h, & quœ a, t, b, i, et quoniā e$t dupla, quœ y, p, ip$ius y, i, manife$tum, quòd minor e$t, quœ dupla quœ b, a, ip$ius a, t. Sit igitur n, y, dupla ip$ius y, t, & co pulata protrabatur, quœ y, b, t. Sunt auté centra grauitatum totius qui- dem, K, eius auté quod intra bumidumy, eius au tem quod extra in linea K, c, et $it c, erit autem propter prœ cedens theorema hoc mani- fe$tum quòd non manet portio, $ed inclinabitur ita, ut ba$is ip- $ius nec $ecundum unum tan- gat $uperficiem humidi. Q uod autem cõ$i$tet ita, ut axis ip- $ius ad $uperficiem humidi fa- ciat angulum minorem angulo f. demon$trabitur, Con$i$tat h, $i po$$ibile est ita, ut faciat an- gulum non minorem angulo f, & alia di$ponantur eãdem b{ij}s quœ in tertia figura. Simili- ter autem demon$trabitur, quœ [0047]LIBER II. t, m, œqualis ip$i, x, quare & ip$i, i, b, & quoniam, b, l, minor e$t quàm f, non ergo maior e$t neque quœ, s, r, quám, s, r, neque n, a, quàm, o, g, et quoniam quœ, i, b, e$t hemiolia ip$ius, p, y, minor autem quœ, p, y, quàm, g, o, & quœ quidem habet œqualis ip$i, p, c, e$t quœ au- té, h, a, nõ e$t minor, quàm, o, g, maior ergo quœ, a, b, quàm, p, y, quœ ergo, h, a, est maior, quàm dupla ip$ius, t, a. Sit autem, b, y, dupla ip- $ius, y, t, & copulat a quœ, y, K, educatur. palam autem $imiliter prio- ribus, quòd non manet portio, $ed uoluetur ita, ut axis ip$iur ad $uper- fictem bumidi faciat angulum minorem angulo f.

Archimedis de in$identibus in bumido li- ber $ecundus explicit, ad laudem Dei.

CHe a Curtio Troiano mercante de libri, $ia conce$$o, che altri che lui, ò chi bauerà cau$a da lui, non po$$a in que$ta città, & Do- minio no$tro stampar, ne in quello $tampate vender per $patio de an- ni dieci pro$$i. futuri, li libri intitulati Giordano de Ponderibus, & il $econdo libro d' Archimede de In$identibus aquœ, tradotti in lin- gua uolgare. Et mede$imamente i $opradetti libri Latini, $otto pena di perdere tutte le opere stampate, & di ducati dieci per una, lequali opere $iano del $upplicante, ouero di cbi farà la $pe$a, & la pena $ia diui$a in terzo, vn terzo all' Ar$enale, vn terzo al Magistrato, che farà l'e$$ecutione, & uno terzo al denuntiante, e$$endo pero tenuto el $upplicante o$$eruar quanto è di$posto in materia de $tampe.

Angelus Cornelius, Ducalis not, ex.

10 Ga$paro comandador ai Pioueghi, ò intimado tutte le librarie, & $tamparie de Venetia.

[0048] [0049] [0050]