¿ IO. BAPTISTAE BENEDICTI Patritij Veneti Philo$ophi. _DIVERSARVM SPECVLATIONVM_ _Mathematicarum, & Phy$icarum_ Liber. Quarum $eriem $equens pagina indicabit. AD SERENISSIMVM CAROLVM EMANVELEM ALLOBROGVM, ET SVBALPINORVM DVCEM INVICTISSIMVM. TAVRINI, Apud Hæredem Nicolai Beuilaquæ, MDLXXXV. _Superioribus permi$$um_. TRACTATVS QVI IN HOC volumine continentur.

Theoremata Arithmetica.

Derationibus operationum per$pectiuæ.

De Mechanicis.

Di$putationes de quibu$dam placitis Ari$t.

In quintum Euclidis librum.

Phy$ica, & Mathematica re$pon$a per Epi$tolas.

SERENISSIMO CAROLO EMANVELI Sabaudiæ Duci, &c.

_AGITVR_ nonusdecimus annus ex quo litte- ris Sereni{$s}imi patris tuæ Cel$itudinis, ac- cer$itus ex vrbe Parmen$i in banc me ciui- tatem contuli. Is aduenientem tam bumanè excepit, tanta deinde liberalitate fuit com- plexus ego vici{$s}im ei de$eruiendi, tam vebe- menti cupiditate fui accen$us, vt $ub eius ditione quod$uper- e{$s}et vitæ agere con$tituerem. Cuius in me benignitas, mea in illum ob$eruantia mirum in modum mutuo v$u, & con$ue- tudine e$t adaucta, vt idem Dux me $ecum dum ru$ticaretur e{$s}e vellet, $æpè etiam $ecum pernoctare; quo quidem tempo- re de Matbematicis $cientÿs mecum agebat, in quibus perdi- $cendis mea opera vtebatur, quæ$tiones, Arithmeticam, Geo metriam, Opticen, Mu$icam, aut Astrologiam $pectantes proponens. Cui vt quod in me e{$s}et $atisfacerem, acrius quàm anteainea studia (adquætamen $emper fui propen$i{$s}i- mus) incubui. Illius\’q imitatione (vt ferècæteri Principum studiaimitantur) non pauci aut præ$entes, aut per litter as me de his, atque illis Mathematicis quæstionibus con$uluerunt. Cùmque ego nunquam laborem amicorum cau$a defugerim, euenit vt post tot annorum curricula, mea $crinia $crutatus, inuenerim tot ab$olutas quæ$tiones, vt ex eis corpus mediocre effici po$$e videretur. Quas, cùm rationibus in epi$tola $ub- $equenti allatis edere constitui$$em, non $ub cuiu$que alte- rius nomine, & au$picÿs quam tuæ Cel$itudinis volui apparere; tum quòd patri debitum libellum filio reddere par erat, tum quòd in tuæ Cel$itudine paternam in me fouendo, & augendo benignit atem ine{$s}e $emper $um expertus, tum quòd tuæ Cel$i- tudinis interrog ationibus excitatus non pauca quæ hoc volu- mine continentur, elucubraui. Acce{$s}it, quod ego $emper in his dedic ationibus $pectandum put aui, tuam Cel$itudinem tan- tos progre{$s}us in Mathematicis feci$$e, vt vel idonea æ$tima- trix mearum vigiliarum e$$e po{$s}it. Quare, & veterum Per- $arum Regum gloriam æquauit, & nos veluti in $pem certam fælicitatis buius $æculi induxit, $i verum e$t Platonis va- ticinium, beat am eam futuram Rempublic am in qua Principes Philo$ophentur. Tua igitur cel$i- tudo libellum tot ei nominibus debitum, ea qua $olet bumanitate accipe- re nè grauetur. Deus tuas omnes cogitationes, & conatus ad fœlici{$s}i- mos $emper exitus perducat, te\’q diuti{$s}imè $er- uet incolu- mem.

AD LECTOREM

CVM Varijs temporibus permulta in diuer$is di$ciplinis contemplatus $im, partim à præ- $tantibus viris patronis ac amicis meis exci- tatus, qui$uper eis $ententiam meam exquire- bant, partim, abingenito mihi de$iderio, ra- tionem, & cau$am eorum percipiendi, com- mittendum non putaui, quin qualiacunque mea$cripta in illis $cientijs, $tudio$is impartirer, non dubitans quin illis aliquid commodi atque vtilitatis allatura $int, pr{ae} $ertim cum in eiu$modi quæ$tionibus inue$tigandis atque perpendendis, nemo ( quod $ciam ) hactenus elaborauerit. Nihil enim his libris à me traditum e$t, quod aut legi$$e, aut ab alijs audiui$$e meminerim, nam $i aliena attigi, ea, aut cum aliqua differentia demon$trationis, aut diluci- dius $crip$i, quod $i forte alius eadem tradidit, aut eius lucubrationes ad me non peruenerunt, aut earum perlectionis memoria excidit. Vtenim etiam Ari$toteles ip$e $en$it facilè fieri pote$t, vt pluribus, eædem opinio- nes in mentem veniant. Immo multa $cribenti euenire pote$t, vt cum iamdiu aliquid $crip$erit, iam oblitus, idem repetat, quod mihi etiam nonnunquam accidit. In his autemlibris non $u$cepi munus integræ ali cuius $cientiæ tradendæ, ne, quæ abalijs iam tradita $unt, ip$e inutiliter re peterem, mihi\’q ue viderer exalienis laboribus laudem volui$$e comparare. Singularum enim $cientiarum volumina, iam ab alijs collecta, at- que in ordinem$unt dige$ta, & $i pauci$$imi $int libri quorum omnes $ententiæ, omnia\’q ue inuenta vnius $int authoris, excipio Archime- dis volumina. Cumque multi $int, qui vel vnam rem à $e inuentam in publicum proferre non dubitent, multo magis mihi qui multa ex- cogitaui, & $i inter $e hætereogenea, atque vtcunque expre$$a, idem licere $um arbitratus. In his autem meditandis, ex Arithmeticis autho- ribus quos in$pexi, præcipuus fuit Nicolaus Tartalea, quippe quem fe- rè omnia ab alijs $cripta collegi$$e con$tat, nec alios ex præcipuis, quos le- gere potui omittendos duxi, inter quos $unt Hieronymus Cardanus, Mi- chael Stifelius, Gemma Fri$ius, Ioannes Nouiomagus, Cuthebertus Ton$tallus, cæteri\’q ; huiu$inodi. Quorundam tamen volumina illorum qui à Tartalea citantur, vt Leonardi Pi$ani, Pro$docimi, Ioannis Infor- tunati, Fratris Lucæ, Petri Borgi, aliorum\’q ue aliquot in$piciendorum, facultas mihi non fuit. Præterea, licet in his libris nonnull{ae} inueniantur propo$itiones, quæ di$iunctam ab alijs habeant rationem, eæ non $per- nendæ tamen $unt, viam forta$$e alicui aperient vlterius progrediendi. Quemadmodum enim, exempli gratia, ex $ub contraria coni $ectione, $umpta po$tea fuit diuina illa Planisferijdelineation, quæ $ub Ptolomæi no- mine legitur, & $icuti ex penultima primi Euclidis, quam Pythagoras excogitauit propè innumeræ pulchræ con$equentiæ in A$tronomia, in Architectura, in multis\’q ; alijs $cientijs de$umptæ $unt, immo quemad- modum ex $ingulis propo$itionibus à no$tris maioribus excogitatis mul- ta egregia $unt deducta, ita forta$$e continget, vt ex mearum muentio- num aliqua, nõnihil in po$terum vtilitatis de$umatur. Si quid verò, hic in- ueneris, quod tuo genio non arrideat, illa prudenti$$imi hominis $en- tentia in mentem veniat. _Quot capita_, _tot $ententiæ_, ac per raro con- tingere, vt idem omnibus probari, atque placere queat, & perdifficulter inueniri hominem cui placeant omnia quæ alteri $atisfaciunt. Nec te mo ueat, quodh{ae}c Theoremata $iue excogitationes non videas ordine illo di- $po$itas, quo collocari debere exi$timaueris, tum in Arithmeticis, tum in cæteris. Cum enim in huiu$modi rebus ordo non $it nece$$arrus, vi- $um e$t mihi po$$e me, $ine repræhen$ione, illum negligere, cum $pe- culationi, $iue inuentioni pre{ae}cipuè adeo mihi incumbendum decreuerim vtin collocatione operam ponere, & tempus ab$umere operæpretium non duxerim, quod idem in epi$tolarum collocatione feci, in quibus per- $onarum ad quas $cribo nullus ferè graduum ordo $eruatus e$t, nec tem- poris, quo $unt $criptæ, quæ$itorum tantummodo ratione habita. Nec admirari quenquam velim, quod in $peculandis numerorum pa$$ioni- bus, figuris vtar geometricis, ita enim in. 2. libr. fecit Euclides, qui mo- dus, eo magis mihi arridet, quo minus e$t ab$tractus, _quoniam oportet in- telligentem phanta$mata $peculari_, cum pr{ae}terea per$picuum $it, di$cretum omne, ex continui diui$ione aliquo modo oriri, $iue actu, $iue potentia. Deinde $i forte meis in deinon$trationibus tibi videbor aliquando bre- uior, illud in cau$a fui$$e $cias, quod ibi ad viros $cribebam in his di$cipli- nis exercitatos, quibus $atis fuit rem $ignificare. Libuit autem mihi om- nes voluminis Arithmetici propo$itiones potius vocabulo theorema- tum appellare, quam problematum, quia pars earum $peculatiua tan- tum mea e$t, & $i ex varijs eiu$modi propo$itionibus etiam operatiuam adinuenerim. Quoniam verò multis in locis accidit, vt veritatis iudi- candæ cau$a nece$$e mihi fuerit quorundam $ententijs aduer$ari nolim te hoc mihi vitio tribuere, me\’q ; hoc nomine carptorem maledicum\’q ; ha- bere quod alienos errores aperiam, cum potius habenda $it mihi gratia, quod in ijs interdum laborans (qu{ae} Anti$thenes in di$ciplinis magis ne- ce$$aria e$$e dixit, _vt mala $cilicet prius dedi$cantur)_ fal$as opiniones euel- lere $tudeam, veritatem\’q ; o$tendere, quam omnis philo$ophus, Ari$to- telis exemplo, pluris quam cuiu$uis hominis authoritatem, aut gratiam facere debet. Cum\’q ue in hoc volumine aliquid eiu$modi legeris te oratum volo, vt in iudicando, affectum omnem exuas, Sallu$tianum illud præ oculis habens. _Omnes qui dere- bus dub{ij}s con$ultant, ab odio amicitia, ira, atque mi$ericordia vacuos e$$e decet._ Hinc fiet, vt non per$onæ (vt multi$olent) $ed veritati, qu{ae}$ummo $tudio di- gni$$ima e$t, $emper po tius faueas. Vale no$tris\’q ue labo- ribus vtere, $i quem inde fructum, $icuti $pero tuleris, illi præ- cipuè habeas gratiam à quo omnes fluunt $cientiæ.

IO. BAPTISTAE BENEDICTI PATRITII VENETI SERENISS. CAR. EM. ALLOBROGVM DVCIS PHILOSOPHI. _Theoremata Arithmetica._

PRAECLARE multa veteres mathematici philo$ophi de nu meris eorum\’q ue effectibus excogitata po$teris tradide- runt, quorum cum vix vllam rationem reddiderint, aut certè per exiguam, occa$ione diuer$orum problematum mihi à Sereni$$imo Sabaudiæ Duce propo$itorum præbi- ta, de ijs quæ ab antiquis propo$ita fuerunt contemplanda nonnulla occurrerunt, quæ po$teritati comendare non inutile arbitratus fum, ne hæ meæ cogitationes intercide- rent, & occa$ionem præberem quamplurimis ab$tru$a h{ae}c indagandi, quæ problematibus & thæorematibus inuoluta, vix aliquem qui euol- ueret nacta funt.

Inter cætera vero à me que$ita, hoc fuit theorema.

THEOREMA PRIMVM.

INTERROGAVIT me Sereni$$imus Dux Sabaudiæ, qua ratione cogno$ci po$- $et $cientificè & $peculatiue (vt dicitur) productum ex duobus fractis numeris, quolibet producentium minus e$$e. Cui re$pondi, mente & cogitatione conci- piendum e$$e fractos producentes cum fractis productis, non vnius eiu$dem\’q ue na- turæ e$$e, imò longè diuerfæ.

Exempli gratia, fractis numeris propofitis. a. i. et. a. c. quorum integri $int. a. b. et. a. d. qui tanquam lineæ cogitentur, apertum fanè e$$et productum. c. i. fu- perficiale futurum, quod nomen caperet à producto $uperficiali. d. b. generato ex vno in aliud totorum linearium, nam $i con$titueretur. a. i. octauum ip$ius. a. b. et. a. c. dimidium. a. d. multiplicato. a. i. cum. a. c. produceretur fextumdecimum ip$ius. d. b. Quare. d. b. e$$et totum relatiu\~u ip$ius. c. i. non aliquod totum producentium. Mirum itaque non e$t $i productum. c. i. minus videatur fuis producentibus, cum toto, diuer$æ naturæ à primis conferatur, fractum fiquidem ab integro eiu$dem naturæ, linearis, $uperficialis, aut corporeæ denominatur.

Quòd $i amplioris cognitionis gratia ex $cientiæ præceptis $peculari voluerit a@ IO. BAPT. BENED. quis, qua ratione fractus numerus. c. i. minor $it in $uo integro. d. b. fracto. a. i. in $uo integro. a. b. aut fracto. a. c. in $uo integro. a. d. con$ideret is quo pacto pro- portio. c. i. ad. d. b. minor $it proportione. a. i. ad. a. b. et. a. c. ad. a. d. hac ratione. Ma- nife$tum e$t ex prima $exti de quantitate continua, aut. 18. $eptimi Euclidis de di$cre ta, proportionem ip$ius. d. i. ad. d. b. e$$e $i- cut. a. i. ad. a. b. & cum. c. i. minor $it. d. i. velut pars $uo toto, proportio, c. i. ad. d. b. minor erit proportione. d. i. ad. d. b. ex. 8. quinti, quare minor erit pariter proportio- ne. a. i. ad. a. b. ex. 12. eiu$d\~e vnà etiam pro- portio. c. i. ad. d. b. minor erit. a. c. ad. a. d. ex ei$dem cau$is, medio. c. b. Ex quibus pa- tet ratio, cur fracti diuer$arum denomina- tionum ad vnicam reducantur. Cur etiam numeros integros in partes fractis $imiles frangere liceat, quæ omnia ex $ub$equenti figura facilè cogno$ci po$$unt.

THEOREMA II.

QVAE $it ratio, cur hi, qui numeros, fractos diuer$arum denominationum col- ligere volunt, & in $ummam redigere, multiplicent vnum ex numerantibus per denominatorem alterius, & po$tmodum denominatores adinuicem, quorum vltimum productum, commune e$t denominans duorum priorum productorum, quæ collecta in $ummam efficiunt quod quærebatur.

Qua in re $ciendum e$t, denominantes con$iderari tanquam partes vnius eiu$d\~e- \’q ue magnitudinis quantitatis continuæ, linearum (verbigratia) a. b. et. a. d. æquali\~u in longitudine, quar\~u. a. b. in quatuor partes diuidatur, et. a. d. in tres. Quare $i colli- gere voluerimus duo tertia cum tribus quartis, multiplicabimus. a. c. duo tertia, cum. a. b. diui$a in 4. partes, producetur \’q ue. c. b. octo partium $uperficialium, de- hinc multiplicando. a. i. tres quartas cum. a. d. diui$a in. 3. partes producetur. i. d. pri mis $ingulis æqualis, nouem partium $uper ficialium, multiplicata deinde a. b. diui- $a in. 4. partes per. a. d. in. 3. diui$a, produ- cetur quadratum. d. b. in continuo, in 12. partes diui$um, quod erit totum commune $ingulis productis, quorum primum erat. c. b. Quare. c. b. ita $e habet ad totum. d. b. $i- cut. a. c. ad. a. d. ex prima $exti in continuis, aut. 18. $eptimi in di$cretis quantitatibus, et. d. i. ad. d. b. $icut. a. i. ad. a. b. ex ei$dem propo$itionibus. Collectis deinde parti- bus producti. c. b. cum partibus producti. d. i. manife$tè depræhendetur eiu$modi $ummam componi ex partibus vnius totius communis $ingulis earum.

THEOR. ARITH. THEOREMA III.

CVR reperturi qualis $it fractus aliquis numerus re$pectu alterius; multiplicare debeant numeratores adinuicem & ita etiam denominatores, ex quo produ- ctum ex numeratoribus nomen capiat à producto denominatorum.

Huius $i cau$am no$ce vis, $ume.o.i. &. o.u. pro totis denominatoribus, tum.o. e. &. o. a. pro numeratoribus (exempli cau$a) $it.o.i. $enarius. o. u. quaternarius. o.e. quinarius.o. a. ternarius. Si no$ce vis quæ $int tres quart{ae} partes quinque $extarum, patet ex regulis practicis oriri quindecim vige$ima$quartas. Id quomodo fiat, ex $ub$cripta $igura depræhendetur, memores tamen e$$e oportet, quodlibet product\~u con$iderari tanquã $uperficiem, producentia aut\~e tan- quam lineas. In hac igitur $igura productum ex totis linearibus e$t. u. i. aggregatum ex. 24. partibus, &. u. e. productum aggregatum ex. 20. Quodita $e habebit ad productum totale. u. i. $icut. o. e. ad o. i. ex prima $exti aut. 18. $eptimi, ita. u. e. erunt quinque $extæ par tes. u. i. quarum in propo$ito exemplo, tres quartæ quær\~utur. Si itaq; multiplicabitur. o. e. c\~u. o. a. orietur productum. a. e. ita proportionat\~u ad. u. e. $icut. o. a. ad o. u. reperitur, ex prædictis rationibus. Quòd $i $tatut\~u e$t. o. a. tres quartas partes e$$e ip$ius. u. o. etiã. a. e. tres quartæ partes er\~ut. u. e. $ed. u. e. quinque $extæ $unt ip- $ius. u. i. ex quo $equitur bonum e$$e huiu$modi opus.

THEOREMA IIII.

CVR multiplicaturi fractos cum integris, rectè multiplicent numerantem fra- cti per numerum integrorum, partiantur\’q ue productum per denominant\~e fracti, ex quo numerus quæ$itus colligitur.

Propter quod mente concipiamus in $ub$equenti figura, numerum integrorum tanquam lineam. a. e. qui, verbigratia, $it denarius, quorum vnu$qui$que $it æqualis a. i. cogitetur\’q ue productum ip$ius. a. e. in. a. i. $it\’q ue. u. e. quod quidem erit dena- rius $uperficialis, con$tituta prius. a. u. æqualis. a. i. &. a. o. $int duæ tertiæ. a. u. quar\~u duarum tertiarum productum in numerum. a. e. $it. o. e. pariter. u. i. vnitas $it $uper- ficialis prout. a. i. vnitas e$t linearis, quam. u. i. re$picere debet productum. o. e. ex quo integer $uperficialis. u. i. erit tanquam ternarius, & productum. o. i. tanquam bi narius, & quia quælibet pars è viginti ip$ius. o. e. æqualis e$t tertiæ parti. u. i. vnita- tis $uperficialis; $i cupiamus $cire quot integræ vnitates $int in partibus. o. e. con$ul- tum e$t ea$dem diuidere per denominantem. u. i. compo$itum ex tribus partibus $u perficialibus, & cum tam linea u. a. quam $uperficies. u. i. diuidatur in 3. partes {ae}qua les no$ce peroportunum e$t eiu$modi partitionem numeri. o. e. fieri per numerum ip$ius. u. i. non. u. a. ex prædictis cau$is.

IO. BAPT. BENED. THEOREMA V.

ALIA quoque via prædicti effe ctus cau$a, $peculando inno- te$cere pote$t, cuius rei gratia for- metur $equens figura. e. o. a. u. n. eiu$modi, vt a. e. $it numerus li- linearis integrorum, & o. e. produ- ctum numerantis ip$orum fractor\~u in integris, ex quo. a. o. erunt duæ tertiæ, verbigratia, a. i. aut a. u. qua- rum linear\~u $ingul{ae} $tatuuntur æqua les vnitati lineari, $uperficies autem parallelogramma. u. n. con$tituatur æqualis magnitudinis $uperficiei. o. e. ex quo. u. n. erit nobis cognita $u- perficies. Cogno$cetur pariter quan titas partium. a. u. quam in propo$i- to exemplo diximus e$$e trium par- tium. ex regula igitur de tribus, di- cemus $i. u. a. dat. a. e. $ine dubio. o. a. dabit. a. n. numerum linearem. quæ regula ex 15. $exti in continuis, & ex 20. $eptimi in di$cretis, depro- mitur. rectè igitur multiplicãtur fra- cti numerantes cum integris, & productum diuiditur per denominant\~e fractorum.

THEOREMA VI.

ITEM & alia $peculatione cogno$ci pote$t hoc rectè fieri, mul- tiplicantes enim has duas tertias per decem, debemus con$ide- rare quantitatem duarum tertiar\~u decies produci, ex quo oriuntur 20. tertia, quandoquidem $ingulæ vnitates, tunc pro duobus ter- tijs $umuntur, $ed cum quilibet integer tria fragmenta contineat, ideo ex ratione partiendi quoties ternarius ingrediatur viginti, $tatim cogno$cemus quod optabamus.

Id ip$um accideret $i integri in eiu$modi $pecie fractorum diui- derentur. quo facto hi multiplicandi e$$ent cum numerante propo $ito, & partiend\~u productum per quadratum denominantis.

Cuius rei hæc e$t $peculatio. Sit linea. a. e. con$tans ex quinq; integris numeris, quorum vnu$qui$q; æqualis $it. a. u. vel. a. i. &. a. o. $int duo tertia vnitatis integræ linearis. cogitemus nunc hos quinq; integros diuidi in $ua fragm\~eta linearia, qu{ae} in propo$ito exemplo erunt 15. multiplicatis iam 15. cum propo$itis, videlicet a. o. orie- tur productum. o. e. triginta fragmentorum $uperficialium, quor\~u in $ingulos integros $uperficiales cad\~ut nou\~e in hoc ex\~eplo, & cum notauerimus quoties nou\~e ingrediatur triginta, propo$itum con- $equemur.

THEOR. ARITH. THEOREMA VII.

CVR multiplicaturi integros numeros & fractos, cum integris & fractis, de- beant integros reducere ad $pecies fractorum, eos colligendo cum fractis: deinde multiplicare hos vltimos numerantes adinuicem & productum partiri per productum denominantium.

Vt (exempli cau$a) $i volumus multiplicare vnum & duo tertia, per duo & tria quarta, reducentur omnia in fractos, ex quo vna ex parte e$$ent quinque ter- tia, multiplicanda cum vndecim quartis ex altera, quo facto oriretur productum quinquagintaquinque fractorum, quod diui$um per productum ternarijin quaternarium, videlicet per duode cim, quatuor integri proferentur cum $eptem duodeci- mis fractis vnius integri.

Detur $ub$equens figura in qua linea a. i. æqualis $it li- neæ. u. a. quarum vnaquæq; cõ$ideretur pro integro nume ro: cogitetur\’q ;. a. i. valere quatuor in pr{ae}$enti ex\~eplo, &. a. u. tria: detur deinde linea. a. o. æquipollens vni integro c\~u duobus tertijs, & a. e. æquipollens duobus integris & tri- bus quartis. Iam $i hæ duæ lineæ in $uos fractos redu- cantur, multiplicata (vt in $equenti figura apparet.) a. o. c\~u a. e. orietur productum o. e. fractorum $uperficialium quinquagintaquinq;, quorum integer $uperficialis va- let duodecim, $cilicet. u. i. vt cuique manife$tum e$t, ex quo, quærenti media partitione, quoties duodecim in- grediatur quinquagintaquinque, citra errorem, quæ$itum occurret.

THEOREMA VIII.

IDIPSVM accideret $i fractiad vnam eandem\’q ue denominationem reduceren- tur, qui po$tmodum $imul multiplicarentur, productum\’q ue partiremur per qua- dratum denominantis communis.

Exempli cau$a, $int eadem quinque tertia, & vndecim quarta adinuicem multi- plicanda, quæ $i reducantur ad vnam & eandem denominationem quinarius numerans vnius, multiplicabitur cum quaternario deno- minante alterius, & vndenarius $ecundi cum ternario de- nominante primi. ex quo vna ex parte e$$ent viginti, ex altera 33. numerantia vnius cõmunis denominantis, quod e$$et productum ternarij in quaternarium, videlicet duo- decim, vt ex veteri regula patet. Iam $i multiplicentur vi ginti cum trigintatribus, dabuntur 660. fracti, quorum in- teger erit quadratum duodenarij, nempe 144. quibus qui- dem 660. diui$is per 144. proferentur quatuor integri & $eptem duodecimi.

Cuius rei gratia $it in $ub$cripta figura linea. a. i. & ei æqualis. a. u. pro integro lineari, quæ. a. i. diuidatur in qua- tuor partes, &. a. u. in tres, & linea. a. e. $it vndecim parti\~u talium qualium. a. i. e$t quatuor, &. a. o. $it quinque pro- ut. a. u. e$t trium. nunc multiplicato. a. o. &. a. i. orietur pro- ductum. o. i. viginti partium $uperficialium. tum multipli- IO. BAPT. BENED. cato. a. e. per. a. u. dabitur productum. u. e. trigintatri\~u partium. ad hæc quadratum. u. i. con$tabit ex duode- cim partibus eiu$dem rationis cum reliquis duobus productis, quod quadratum. u. i. vnitas e$t $uperficia- lis, & communis denominans duorum productorum. quod $i in præ$entiarum cogitabimus lineam. c. d. tri- gintatrium partium æqualium, et. c. t. duodecim $imi- lium, et. c. f. viginti. c. n. duodecim, multiplicato. c. d. cum. c. f. dabitur $uperficies. f. d. 660. fractorum $uperficialium, quorum vnitas integra $uperficialis erit quadratum. n. t. 144. partium cuiu$modi. f. d. partes habet. 660. diui$o itaque. f. d. per. n. t. pro- po$itum con$equetur. eo quòd eadem proportio erit producti. f. d. ad. n. t. quæ producti eius quòd fit ex. a. e. in. a. o. ad. u. i. nam proportio. c. d. ad. c. t. ea- dem e$t quæ. a e. ad. a. i. & c. f. ad. c. n. vt. a. o. ad. a. u. ex prima $exti vel 18. $eptimi, $ed vt. f. d. ad id {quis} fit ex. f. c. in. c. t. e$t vt. c. d. ad. c. t. & vt eius {quis} fit ex f. c. in. c. t. ad. n. t. e$t vt. f. c. ad. c. n. ex dictis pro- po$itionibus quare ex æqua proportionalitate, eodem modo di$currendo in figura. o. a. e. ita $e habebit. f. d. ad. n. t. vt. o. e. ad. u. i. Porrò ex ijs, quæ hactenus de fractorum multiplicatione con$iderata fuerunt, apertè ratio deprehenditur, cur productum, $ingulis producen tibus $emper minus $it, cum producta $int $uperficialia producentia verò $emper linearia, omi$$is productis corporeis, quæ omnia ad $uperficialia reducuntur.

THEOREMA IX.

IN IPSA fractorum diui$ione, animaduertendum e$t, denominantes numeros $emper æquales inuicem e$$e debere, vnius $cilicet $peciei, quòd $i æquales non fuerint, nece$$e e$t via multiplicationis ip$orum denominantium adinuicem effice- re æquales vt $int, ex quo productum oritur eiu$modi, vt aptum $it habere partes fractorum, quæ de$iderabantur.

Exempli gratia, $i proponerentur diuidenda $eptem octaua per tria quarta præ- cipit antiquorum regula, vt ad vnam tantum denominationem reducantur. quare multiplicant denominantes inuicem. ex quo productum in materia propo$ita ori- tur triginta duarum partium commune denominans, cuius duo numerantes $unt vi- gintiquatuor & vigintiocto, producti ex multiplicatione vnius numerantis in deno minantem alterius, ex quo dantur vigintiquatuor tamquam tria quarta trigintaduo rum, & vigintiocto tanquam $eptem octaua particularum vniformium, prout ope primæ $exti aut decimæoctauæ $eptimi in $ub$cripta figura cogno$ci pote$t.

THEOR. ARITH.

Sit itaque linea. a. i. diuifa in partes octo, & ei æqualis in longitudine. a. u. in qua- tuor, productum verò vnius in alteram $it. u. i. trigintaduarum particularum fuperficialium fimilium & æquali\~u ad- inuicem. fit deinde. a. e. $eptem parti\~u lineæ. a. i. &. a. o. trium partium. a. u. tunc productum. a. e. in. a. u. erit. u. e. particularum $uperficialium vigintiocto & productum. a. o. in. a. i. erit. o. i. par ticularum $uperficiali\~u vigintiquatuor eiu$dem naturæ cum partibus triginta- duabus totius denominantis communis. vnde diuifo numerante vigintiocto per- numerantem vigintiquatuor, dabitur vnum cum fexta parte illius vnius.

THEOREMA X.

PARTIRI $eu diuidere vno numero alium numerum, e$t etiam quodammodo eiu$modi partem numeri diuifibilis inuenire refpectu totius numeri diuifibilis, cuiu$modi e$t vnitas in diuidente refpectu totius diuidentis, partem inquam numeri diui$ibilis $ic $e habentem ad totum numerum diui$ibilem $icut vnitas ad totum di- uidentem, quod $imiliter ex regula de tribus præ$tamus dicentes, $i tantus numerus diuidens dat vnitat\~e, quid dabit numerus diuifibilis, quemadmodum ex. 15. $exti $eu. 20. $eptimi licet $peculari, Idcircò quotie$cunque minorem numerum per maiorem diuidimus, $emper qui prouenit fractus e$t.

Exempli gratia, $i cogitaremus lineam. a. e. diui$am in octo partes æquales, qua rum vna $cilicet vnitas effet. a. i. & cupere- mus eam diuidere in nouem partes, ac $cire quan a $it nona illius pars; manife$tum e$$et, nonam partem ip$ius. a. e. minorem futuram ip$a. a. i. cum. a. i. diminui debeat à $ua inte- gritate eadem proportione, qua. a. e. minor reperitur vna linea nouem partium æqualium fingularum. a. i.

Quod vt dilucidè cuiuis innote$cat, hoc etiam modo licebit videre $itlinea. n. c. no- nupla ad. a. i. & parallela ad. a. e. dubium non e$t quin. n. c. maior futura $it ip$a. a. e. iam $i earum extrema congiungantur medijs duabus lineis. n. a. et. c. e. quæ $imul concurrant in puncto. o. (quod e$t probatu facillimum) da- buntur certe duo trianguli fimiles. a. o. e. et. n. o. c. Sit deinde. n. t. vna è partibus ip$ius. n. c. quæ. n. t. æqualis erit. a. i. ex præ$uppo$ito. ducatur deinde. o. t. qu{ae} inter$ecet. a. e. in puncto. x. dico. a. x. tanto minorem futuram. a. i. quanto. a. e. minor e$t. n. c. neque enim dubium e$$e pote$t quin proportiones. n. t. ad. a. x. et. IO. BAPT. BENED. n. c. ad. a. e. fint æquales inuicem quandoqui- dem vnaquæque earum ex triangulorum $imi litudine æqualis e$t proportioni. o. n. ad. o. a. itaque. n. t. hoc e$t. a. i. tanto maior erit. a. x. quanto. n. c. maior e$t. a. e. vnde ficut. a. e. con- $tat octo nonis ip$ius. n. c. ita pars. a. x. ip$ius. a. e. octo nonis con$tabit ip$ius. a. i.

Hinc patet ratio cur partituri numerum mino rem per maiorem collocent minorem fupra virgulam & maiorem infra & zerum ad læuã.

Sciendum e$t præterea diuidere numerum per numerum: e$$e inuenire alter\~u latus à quo producitur, $uppo$ito $emper quòd numerus diuifibilis $uper$icialis $it, & rectangulus.

Exempli gratia, $i proponantur triginta diuidenda per quinarium, nihil aliud erit hæc diui$io, quam inuentio alterius numeri, qui multiplicatus per quinarium produ- cat triginta $uperficies rectangulas, huiu$modi verò e$t $enarius, cuius $ingulæ vnita- tes $uperficiales erunt.

Cuius rei gratia $it $ub$criptum rectangulum. a. e. triginta vnitatum $uper$iciali\~u, cuius latus. e.n. $it quinque vnitatum. hinc latus. a. n. erit $ex vnitatum; ita diuiden- tes rectangulum. e. a. nihil a iud faciemus, quam vt inue- nia mus quantum valeat latus. a. n. quod erit $ex vnitatum. Sin verò diui$erimus per latus. a. n. quæremus latus. e. n. quinque vnitatum. ex quo, proportio totius numeri diuifi- bilis ad numerum qui oritur, erit $icut diuidentis ad vnita- tem, ex prima $exti, aut. 18. vel. 19. $eptimi, & permutatim ita $e habebit diui$ibile ad diuidentem, $icut numerus qui oritur ad vnitatem.

Partiri igitur nihil aliud e$t, quam inuenire latus rectanguli, quod productum in diuidente, numerum diui$ibilem compl at, ex quo numerus diui$ibilis $uperficialis e$t, diuidens autem, & qui oritur, numeri lineares & latera producentia huiu$cemodi numerum diui$ibilem. nam multiplicare & diuidere opponuntur inuicem, cum au- tem ex multiplicatione laterum $iue linearum generatur $uperficies, ex diui$ione po- $tea ip$ius $uperficiei inuenitur alterum latus. quare mirum non e$t, $i proueniens ex vna diui$ione (via fractorum) $it $emper maius numero diui$ibili.

Exempli gratia, diuidendo dimidium per tertiam partem, re$ultat vnus integer nu merus cum dimidio pro numero qui oritur. Sit itaque dimidium $uper$iciale diui$i- bile. b. c. cuius totum $it. b. p. quadratum. tertium verò lineare diuidens, b. n. cuius to- tum lineare $it. b. d. quærendum nobis e$t latus. b. s. quod cum latere. b. n. producat re ctangulum. n. s. æquale dimidio $uper$iciali propo$ito. b. c. quod $i $iat, ex. 15. $exti, aut. 20. $eptimi. erit eadem proportio. b. n. ad. b. q. quæ e$t. q. c. ad. b. s. dicemus itaque $i. n. b. dat. b. q. quid dabit. q. c?certè. b. s. $ed. n. b. e$t tertium lineare et. b. q. lineare in- tegr\~u, & b. s. proueniens lineare. & quia. b. c. dimidium $uperficiale, producitur à. q. c. dimidio lineari in. q. b. integro lineari. quare cum. n. s. $it {ae}qualis. b. c. & productum ex. b. n. minori. q. c. nece$$e e$t, vt producatur in. b. s. maiore. q. b. quod. q. b. maius e$t. q. c. quod quidem. q. c. ita appellatur $icut. b. c. quare mirum non e$t $i proueniens per fra- ctos numeros ex diui$ione, maior $it numero diui$ibili.

THEOR. ARITH.

Hinc manife$te patet quamlibet diui$ion\~e aut partitionem oriri ex regula de tri- bus, quandoquidem $inguli diuidentes æquipollent vni integro, & loco illius $u- muntur. Perinde enim e$t diuidere centum per viginti, ac regulã ob$eruare de tri- bus dic\~etes, $i viginti æquipollent vni, quibus {ae}quiualeb\~ut c\~etum? Hoc autem ex $ub $equenti figura facile deprehendetur, in qua linea. a. b. $ignificat viginti, et. a. o. vni- tat\~e linear\~e, et. a. c. vnitates lineares cent\~u: o. c. verò centum vnitates $uperficiales, et. a. d. quinq; vnitates lineares, et. d. b. centum vnitates $uperficiales, ex quo manife- ftè deprehenditur quòd quemadmodum multiplicare, nihil aliud e$t, quam inueni re product\~u ex duobus lateribus propo$itis, it a partiri nihil aliud e$t, quam da- to vno latere inuenire aliud latus producti propo$iti.

Nam quotie$cunq; ratiocinãtes dicimus tantundem numeri, immediate produci mus $uperficiem, mediãte vnitate in huiu$modi numero, qui numerus antequã pro- ducatur in vnitatem, mente concipiendus e$t tanqua m linearis, tanquam linea in- quam diui$a in totidem particulas lineares, $ingulas continuas & æquales vnitati propo$itæ. C\~u verò productus fuerit numerus in vnitate $uperficialis, erit ac $i tot e$- $ent vnitates quadratæ, quod $i ita non e$$et, nulla mentio facienda e$$et quo- rumuis fractor\~u. Ex ead\~e regula de tribus reduci pote$tad praxim terti\~u theorema.

Quare cupientes $cire quæ $int illæ partes, quæ $unt tres quart{ae}, ip$arum quin- que $extarum, dicemus $i quatuor dant tria, quid dabunt quinq; $extæ? dabunt. 15. vige$imas quartas, quæ quindecim $unt tres quartæ ip$ius. 20. viginti aut\~e quinq; $ex tæ vigintiquatuor, quandoquidem nos numerum qu{ae}rimus, cui ita proportionentur quinq; $extæ alterius numeri, $icut quatuor ad tria, vnde $ic $e habent. 20. ad. 15. $i- cut. 4. ad. 3. ip$e autem. 20. quinq; $ext{ae} partes $unt vigintiquatuor, vt per $e not\~u e$t.

Ex eadem regula de tribus, huiu$modi qu{ae}$ito re$ponderi pote$t, $i con$tituamus prædictas quinq; $extas e$$e numerum, cuius tres quartæ qu{ae}rantur, dicentes, $i vnus integer dat tres quartas, quid dabunt quinq; $extæ? quare $equentes regulam de tribus, dabuntur quindecim vige$imæ quartæ. Valet eadem regula de tribus; vt quis $cire po$$it, quæ pars aut partes numeri propo$iti $it aliquis numerus.

Exempli gratia, $cire cupienti, quæ pars aut partes ip$ius vigintiquatuor $int $ex- decim, con$tituentur. 24. tanquam vnum totum, cuius pars aut partes $int $exdecim, dicemus igitur $i. 24. dant $exdecim, quid dabit vnum? $exdecim videlicet vige$i- masquartas, quæ cum ad primos numeros reductæ fuerint, erunt duæ tertiæ. Eadem ratione qui $cire uellet, quæ partes aut pars e$$ent tres quartæ, octo no- narum, diceret, $i octo nonæ danttres quartas, quid dabit vnum? prouenient. 27. trige$im{ae}$ecundæ.

Sub$eruit pariter ad $ciend\~u naturã parti\~u numeri propo$iti. Exempli cau$a, $i quis quærat, cuius numeri, duodecim $int duæ tertiæ partes. Dicet $i duo dant tria, quid IO. BAPT. BENED. dabunt duodecim? nempe dabunt decemocto, numerum quæ$itum $cilicet, Tunc autem nil aliud pr{ae}$tamus quam quòd quærimus numerum ad quem ita $e habeant duodecim, $icut duo ad tria. Ita etiam $i quis quærat, cuius numeri duo tertia $int tres quint{ae}, dicet, $i tria dant quinq;, quid dabunt duo tertia? nempe da- bunt integrum cum fracto nono. Hoc erit itaq; qu{ae}rere numerum ad quem $ic $e habeant duo tertia $icut tria ad quinq;, quod manife$tum e$t per $e.

Eadem ratione qui $cire vellet, cuius numeri duæ $eptimæ, e$$ent octo integra- rum cum duabus quintis, diceret, $i duo dant $eptem quid dabunt octo integra cum duabus quintis? nempe dabunt. 29. integra cum duabus quintis numerum quæ$i- tum. Sic etiam qui transferre uellet fractum numerum in fractum, id perficeret ex regula de tribus.

Exempli gratia $i proponerentur vnde cim tertiædecimæ vnius totius, toto diui- $o in. 13. partes, de$ideraremus\’q ; $cire, quot partes totius e$s\~et vndecim terti{ae}deci- mæ, toto in. 4. partes diui$o, diceremus $i. 13. dant. 11. quid dabunt quatuor? nem pe dab\~ut tres quartas c\~u quinq; tertijsdecimis unius quartæ, hoc verò nihil aliud e$t quam querere numerum, ad quem $ic $e habeat totum in 4. partes diui$um, $icut idem totum diui$um in tredecim $e habet ad undecim tertiasdecimas, Porrò ad alia etiam multa hæc regula accommodata e$t.

Hæc enim nõ $ine propo$ito dicta $unt, $ed ut qui$q; videat cau$am $imilium ope- rationum, quæ à practicis circa fractos numeros $criptæ $unt, omnem à diuina illa regula de tribus originem trahere ut etiam in $equentibus videbimus.

THEOREMA XI.

CVr productum ex eo quod oritur in diuidente, $emper æquale e$t numero diui$ibili $i queras ita accipe.

Sit numerus diui$ibilis. b. quod oritur $it. c. diuidens. d. & vnitas diuidentis. t. cum igitur, vt in præcedenti theoremate dictum fuit, eadem $it proportio. b. ad. c. quæ e$t. d. ad. t. manife$te deprehenditur ex. 20. $epti mi, productum ex. b. in. t. æquale e$$e pro- ducto. c. in d.

THEOREMA XII.

ID ip$um alia ratione contemplari licet.

Numerus diui$ibilis $ignificetur per lineam. n. e. diuidens verò per lineam. a. e. quod oritur linea. u. e vnitas diuidentis. o. e. quã cogitamus e$$e vnitatem linearem; ad hæc productum ex. u. e. in. a. e. $it $uperficies. u. a. Dico $uperficiem. u. a. componi ex tot vnitatibus $uperficialibus quot linearibus con$tat linea. n. e. nam ex ijs quæ diuidendi ratione notauimus, cõ$tituitur eandem proportionem e$$e. n. e. ad. u. e. qu{ae} e$t. a. e. ad. o. e. At ex prima $exti aut 18. $eptimi $ic $e habet totale product\~u. u. a. ad partiale. u. o. $icut. a. e. ad. o. e. quare $ic $e habebit. u. a. ad. u. o. $icut. n. e. ad. u. e. $ed. u. e. et. u. o. numero non differunt, cum $int vnius & eiu$dem $peciei, (ta- met $i numerus. u. o. $it $uperficialis et. u. e. linearis). Itaq; ex nona quinti numerus. u. a. æqualis erit numero. n. e.

THEOREM. ARITH. THEOREMA. XIII.

CVR diuidentibus numerum diui$ibilem per proueniens, oritur numerus diui- dens?

Sit $ub$criptus rectangulus. o. e. numerus diui$i bilis, qui producitur, tam ex. a. o. in. a. e. quám ex. a. e. in. a. o. quare $i. a. o. diuidens fuerit. a. e. proue- niens erit, $i veró. a. e. diuidens extiterit, a. o. pro- ueniens erit futurum.

THEOREMA. XIIII.

HOcip$um, alia quoq; uia licebit $peculari. Sit linea. a. denotãs numerum diui$ibilem, et. o. primi prouenientis linea. e. pri mi diuidentis. u. $ecundi prouenientis ide$t cum. o. pro diuidente $umetur. Iam ex indicata definitione diui$ionis nono theoremate huius libri, dabitur proportio. a. ad. o. prout datur. e. ad vnitatem $ignificatam li- nea. i. & permutatim. a. ad. e. $icut. o. ad. i. $ed. a. ad. u. $ic $e habet prout. o. ad. i. ex eadem definitio- ne diui$ionis, itaq; $ic $e habebit. a. ad. u. $icut. a. ad. e. vnde. u. æqualis erit. e. ex. 9. quinti

THEOREMA. XV.

VNde prouenit, vt qui velit cogno$cere cuius numeri quatuor quintæ par- tes, $int duæ terti{ae}, aut quid $imile, cõ$ulti$$ime faciat, $i ad unam eandemq; denominationem reduxerit.

Prout in propo$ito exemplo, c\~u denominãs cõmunis $it quindecim, cuius duæ ter tiæ $unt dec\~e, & quatuor quintæ duodecim, cõmunis aut\~e denominans. 15. multipli candus $it per quatuor quintas, $cilicet duodecim, & productum diuidendum per duas tertias, hoc e$t decem, ex quo oriantur decemocto qu{ae}$itus numerus?

Quod ad reduction\~e numerator\~u ad vnam & eandem denominationem attinet, ea de cau$a fit quo uti po$$imus regula de tribus, quæ tribus tantummodo notis ter- minis indiget, quo quartus à pr{ae}dictis dependens, inueniri po$$it, quandoquidem bini illi re$pectus, tribus terminis comprehendi po$s\~ut. At quod ad multiplicatio- nem $pectat denominantis cõmunis c\~u numerante denominantis in cogniti & diui- $ionem producti per numerantem cognit\~u ill{ae} nihil aliud $unt, quam quart\~u termin\~u inuenire, ita proportionatum tertio, vt $ecundus primo.

Excmpli gratia, $it. a. denotãs nume- rantem denominantis cogniti, qui $igni ficetur linea. o. et. e. $it denominantis in- cogniti numerans, denotati linea. u. imò verò & cogniti. o. nempe quatuor quintæ, Iam $i. o. cum. e. multiplicemus, & productum per. a. diuidemus dabitur. u. $ic $e habens ad. e. $icut. o. ad. a. ex. 20. $eptimi.

IO. BAPT. BENED. THEOREMA XVI.

INuenire autem cupienti cuius numeri, duæ tertiæ, $int quatuor quint{ae} partes, mul tiplicand{ae} e$$ent duæ tertiæ per denominantem communem, & productum diui- dendum per quatuor quintas ip$ius de- nominantis. Ac $i quis diceret $i. e. dat. o. quid dabit. a? nempe dabit. u. nam in propo$ito exemplo, terminus. a. loco. e. duos $ortietur denominantes, cognitum videlicet. o. et. u. incognitum quod po- $tea cognitum oritur ex regula de tribus, vt dictum e$t.

THEOREMA XVII.

QVA ratione cogno$ci poterit proportionem quantitatis cen$icæ cen$icæ ad $imilem quantitatem quadruplam e$$e ad eam, quæ e$t $uarum radicum; pro- portionem aut\~e primarum relatarum e$$e quintuplam, atq; ita deinceps?

Cuiusrei gratia, $ci\~edus e$t modus {pro}ductionis har\~u dignitat\~u qui oritur ex produ- ctione primæ radicis in $eip$am, prout qui cub\~u requirit, ducat radicé in $uo quadra- to, & orietur cubus, hæc po$tea ducta in cubum, quantitat\~e cen$icam cen$icã, et in hanc, prædictam radicem, dabit quantitatem primam relatam. Quod vbi $ciueri- mus, memini$$e oportet Euclidem decimaoctaua $exti aut. 11. octaui docere, pro- portionem quadrati ad quadrat\~u, duplam e$$e proportioni $uarum radicum, &. 36. vndecimi aut. 11. octaui, cubi ad cub\~u triplam e$$e, ego verò nunc a$$ero, cen$ici cen $ici ad radicum proportionem quadruplam e$$e, primi verò relati ad primum re- latum quintuplam atq; ita gradatim.

Cuius $peculationis gratia, detur linea. d. quæ cubum maiorem $ignificet. et. b. minorem. c. verò $it radixip$ius. d. et. e. ip$ius. b. ita ordinate adinuicem, vt in $ub- $cripta figura cernitur. Iam. c. cum. d. producatur proueniat\’q ;. q. cen$icum cen$i- cum, tum producatur. e. cum. b. et dabitur. p. alterum cen$icum cen$icum. Dico igitur proportionem. q. ad. p. quadruplam e$$e proportioni. c. ad. e. hac de cau$a quòd proportio. q. ad. p. compo- natur ex proportione. d. ad. b. et. c. ad. e. prout facile ex. 24. $exti, aut quinta octaui depr{ae}henditur. Quare c\~u proportio. d. ad. b. proportioni. c. ad. e. tripla $it, patet pro- portionem. q. ad. p. quadruplam e$$e pro- portioni. c. ad. e. Idem de cæteris dignitati bus dico, fumptis $emper. d et. b. pro duo- bus cen$ibus cen$uum, aut duobus primis relatis, aut alio quouis axiomate.

THEOREMA. XVIII.

CVR diuidentibus nobis dignitatem, per dignitatem, radix prouenientis: pro ueniens $it diui$ionis vnius radicis per alteram?

Sint exempli gratia du{ae} lineæ. b. q. et. f. g. quæ $ignificent duas radices cuiu$uis dignitatis; demus\’q ; e$$e radices duorum quadratorum, quadratum\’q ; ip$ius b. q. per quadratum ip$ius. f. g. diuidatur; quadrata\’q ue radix prouenientis $it. d. q. vnitas verò linearis $it. i. g. Dico ip$am. d. q. e$$e proueniens ex diui$ione. b. q. per. f. g. Patet enim ex definitione diui$ionis nono theoremate tradita quadra- THEOR. ARITH. tum ip$ius. d. q. talem e$$e partem quadrati ip$ius. b. q. qualis quadratum ip$ius. g. i. e$t quadrati ip$ius. f. g. Scimus pr{ae}terea ex. 19. $exti, aut vndecima octaui, propor- tioné quadrati ip$ius. b. q. ad quadrat\~u ip$ius. d. q. duplam e$$e proportioni. b. q. ad. d. q. $uarum radicum (cuborum enim tripla e$$et & cen$uum cen$uum, quadrupla, atq; ita deinceps ex præcedenti theoremate) Id ip$um dico de dignitatibus ip$ius. f. g. et. i. g. re$pectu radicum. f. g. et. i. g. Vnde cum proportio dignitatis ip$ius. b. q. ad il- lam. d. q. {ae}qualis $it proportioni dignitatis ip$ius. f. g. ad illam. g. i. ex communi $cien- tia apertè cogno$cemus $implices propor- tiones e$$e inter$e æquales, nempe eam qu{ae} e$t. b. q. ad. d. q. æqualem e$$e ei, quæ e$t. f. g. ad. i. g. itaq; $equitur ex definitione diui$ionis. d. q. e$$e proueniens ex diui$ione. b. q. per. f. g.

THEOREMA XVIIII.

CVR productum ex duabus radicibus quadratis, e$t quadrata radix, producti $uorum quadratorum $imul?

In cuius rei gratiam, $int duo quadrata. d. a. et n. o. coniuncta $imul, prout in $ub- $cripta figura apparet, ita tamen vtangulus. a. n. u. $itre ctus, quare ex quartadecima primi, duo latera. n. c. et. n. a. directe coni\~ugentur adinuicem, prout etiam reli- qua duo latera. n. u. et. n. d. Cogitato deinde. a. u. pro ducto ip$ius. a. n. in. n. u. duarum videlicet radicum quadratarum $imul, dabitur ex prima $exti, aut de- cimaottaua $eptimi, productum. a. u. medium propor tionale inter quadratum. a. d. et. u. c. quod $i cogi- temus has tres $uperficies, tres numeros e$$e, pate- bit ex vige$imaprima $eptimi productum. a. u. in $e- ip$um, quadratum $cilicet. a. u. æquale e$$e producto. a. d. in. u. c. ex quo propo$iti euidentia con$equetur.

THEOREMA XX.

QVA ratione id ip$um in cubis cogno$ci poterit. Sit cubus. l. b. & cubus. o. p. quorum productum $it. u. g. quod a$$ero e$le cubum, quamuis Eucli. idem probet in. 4. noni. cuius radicem demon$tra- bo e$$e numeri æqualis numero. m. q. qui. m. q. productum e$t ip$ius. m. e. in. e. q. radicum propo$itorum cuborum. Pa- tet enim ex præcedenti theoremate. m. IO. BAPT. BENED. q. radicem e$$e quadratam producti. l. e. in. e. p. quod product\~u $it quadratuni corporeum. c. g. cogitemus pariter duo quadrata. l. e. et. e. p. e$$e pariter corpo- rea, tant{ae} profunditatis, quantam, vnitas linearis radicum. m. e. et. e. q. requirit. Hæc duo corpora producentur à $uperficie in vnitatem, vocentur\’q . l. x. et. x. p. quo facto, cogitemus corpus. a. g. tamquam productum cubi. l. b. in quadratum. e. p. Vn- de ex decimaoctaua, aut decimanona $eptimi, eadem erit proportio. a. g. ad. c. g. quæ e$t. l. b. ad. l. x. corporeum, $ed ex. 25. vndecimi & prima $exti, ita $e habet. a. K. ad. K. c. vnitatem linearé $icut. a. g. ad. c. g. & ex ei$d\~e ita $e habebit. b. e. ad. e. x. vnita- tem linearem, $icut. l. b. ad quadratum. l. x. corporeum. Itaque $ic $e habebit. b. e. ad vnitatem linearem. e. x. videlicet. K. c. $icut. a. K. ad ip$am. K. c. Vnde ex nona quinti. a. K. æqualis erit. e.b. & con$equenter æqualis. m. e. Iam verò $it. u. g. productum. l. b. cubi, in cubum. o. p. vt $upra dictum e$t, Hinc patebit ex quauis duarum propo$itio- num, decimaoctaua, aut decimanona $eptimi, eandem futuram proportionem. u. g. ad. a. g. quæ e$t. o. p. ad. x. p. quadratum corporeum. Quare ex po$tremis, dictis ratio- nibus, eadem erit proportio. u. K. ad. a. K. quæ e$t. o. e. ad vnitatem linearem. e. x. at ex dictis decimaoctaua & decimanona $eptimi, ita $e habet numer<^>9. m. q. ad numer\~u $uperficial\~e. m. e. qui {pro}ducitur à lineari. m. e. in vnitaté linear\~e ip$ius. e. q. $icut nume rus. q. e. ad $uam vnitaté, $ed c\~u numerus. a. K. æqualis $it numero. m. e. vt probat\~u e$t erit ergo ex vndecima & nona quinti, numerus. u. K. æqualis numero. m. q. At. f. g. pariter æqualis e$t numero. m. q. ex præcedenti theoremate, vnde. K. u. pariter æqua lis erit. f. g. Itaque $equitur. u. g. cubum e$$e, & f. g. radicem ip$ius, æqualem numero. m. q. quod quærebatur.

THEOREMA XXI.

VT autem in uniuer$um $ciri po$$it totum infinit\~u dignitatum, hoc e$t radicem producti duarum dignitatum $imilium, productum e$$e duarum radicum ea- rundem dignitatum.

Ponamus, exempli gratia, duas radices quadratas. q. p. et. g. K. incognitas, quas qui velit adinuicem multiplicare, cogatur earum quadrata cognita. n. cum. i. multi- plicare, quorum productum $it quadratum. m. radix cuius $it. b. d. quam dico æqualé THEOREM. ARIT. e$$e {pro}pducto. q. p. in. g. k. q<001> aut\~e $it. o. Patet enim proportion\~e. o. ad. q. p. eand\~e e$$e cum proportione. g. k. ad $uam vnitatem linearem, ex decimaoctaua, aut decima- nona $eptimi, hæc vero vnitas linearis $it. t. cuius $uperficialis $it. u. vnitas $cilicet to- ties in $eip$am multiplicata quoties propo$ita dignitas patitur, tamet$i in præ$en ti exemplo quadrata dignitas $umatur. Itaq; ex ei$dem propo$itionibus decimaocta ua aut decimanona, $ic $e habet. m. ad. n. $icut. i. ad. u. Scimus pr{ae}terea proportion\~e. m. ad. n. (eo quod in propo$ito exemplo $int quadrata) duplam e$$e proportioni. b. d. ad. q. p. et ip$ius. i. ad. u. pariter duplam proportioni. g. k. ad. t. iam autem dictum fuit $ic $e habere. m. ad. n. $icut. i. ad. u. Itaq;. b. d. $ic $e habebit ad. q. p. $icut. g. k. ad. t. quandoquidem $ic $e habeattotum ad to- t\~u, $icut pars ad part\~e, d\~u $imiles $int, proba t\~u aut\~e e$t $uperius ita $e habere. o. ad. q. p. $icut. g. k. ad. t. itaq;. o. $ic $e habebit ad. q. p. $icut. b. d. ad. q. p. vnde. o. æqualis erit. b. d. Hocip$um c{ae}teris dignitatibus conueniet, mutatis tantummodo proportionibus. m. n. ad proportionem. b. d: q. p. $ic propor- tionibus duarum dignitatum. i. u. ad pro- portionem $uarum radicum. g. k. t.

THEOREMA XXII.

DOCENT veteres, quòd $i quilibet numerus in duas partes inæquales diui$us fuerit, totum\’q diui$um per vnã partium, & per eandem pars altera diui$a fue- rit: differentia prouenientium $emper vnitas erit. quodquidem veri$$imum e$t.

Detur enim. b. d. propo$itus numerus in duas partes inæquales diui$us. b. c. et. c. d. & in primis tot\~u. b. d. per. c. d. diuidatur, ex quo oriatur e. o. vnitas autem. <002>. i. o. $igni- ficetur, tum pars ip$a. b. c. <002>. eãdem. c. d. diuidatur, $it\’q ; proueni\~es. a. Sanè ex defini- tione diui$ionis, eadem erit proportio. b. d. ad. e. o. quæ e$t. c. d. ad. i. o et ita. b. c. ad. a. $icut. c. d. ad. i. o. Ex. 19. autem quinti, ita $e habet. b. c. ad. e. i. $icut. b. d. ad. e. o. at. b. d. ad. e. o. $ic $e habet $icut. c. d. ad. i. o. hoc e$t $icut. b. c. ad. a. Quare ex. II. quinti $ic $e habebit. b. c. ad. e. i. $icut. ad. a. ex quo ex. 9. pr{ae}di cti. a. æqualis erit. e. i. $ed. e. i. minor e$t. e. o. per. i. o. Quare $equitur propo$itum verum e$ $e. Quod ip$um pauci$$imis verbis $ic definiri pote$t, $i dixerimus, eiu$modi diuidens. in par- te diui$ibili, quã in toto, $emel minus ingredi, quandoquidem altera pars e$t, ex qua totum integrum perficitur.

THEOREMA XXIII.

HOcip$um alia ratione contemplari po terimus.

Significetur enim totalis numerus per. a. e. in duas partes diui$us. a. u. et. u. e. totius autem diuidens $it. u. e. & partis alterius. a. u. totius verò proueni\~es $it. a. c. partis aut\~e, $it proueni\~es. a. n. tum differentia $it. n. c. vni IO. BAPT. BENED. tas vero cui differentiã. n. c. æquari dico, $it. a. i. Patet enim in primis, eandem propor tionem e$$e. a. e. ad. a. c. quæ e$t. u. e. ad. a. i. ex definitione diui$ionis, et eandem e$$e. a. u. ad. a. n. quæ e$t. u. e. ad. a. i. vnde ex. 11. quinti $ic $e habebit. a. e. ad. a. c. $icut. a. u. ad. a. n. et ex. 19. eiu$dem $ic $e habe- bit. u. e. ad. n. c. $icut. a. e. ad. a. c. $ed. $ic $e habebat. u. e. ad. a. i. Itaq; ex prædicta. 11. quinti, $ic $e habebit. u. e. ad. n. c. $icut ad. a. i. Quare ex. 9. eiu$dem. n. c. æqualis erit. a. i. etidcirco. n. c. pariter vnitas erit.

THEOREMA XXIIII.

CVR quibuslibet duobus numeris diui$is adinuicem, multiplicatis\’q prouenien tibus $imul, productum, $emper e$t vnitas $uperficialis? Nempe ex. 20. $eptimi, quoniam vnitas linearis $emper media proportionalis e$t inter bina prouenientia. Quodita $pecularilicet.

Signific\~etur duo propo$iti numeri per. b. p. et. b. d. mutuo diui$i, proueniens au- tem. b. p. per. b. d. diui$um $it. b. n. tum proueniens. b. d. diui$um per. b. p. $it. b. a. et. b. t. $it vnitas. b. p. et. b. e. vnitas. b. d. ex quo. b. t. æqualis erit. b. e.

Iam ex definitio ne diui$ionis, dabitur eadem proportio. b. p. ad. b. n. quæ e$t. b. d. ad. b. e. et proportio. b. d. ad. b. a. quæ e$t. b. p. ad. b. t. Sed cum $ic $e habeat. b. p. ad. b. n. $icut. b. d. ad. b. e. permutando $ic $e habebit. b. p. ad. b. d. $icut. b. n. ad. b. e. hoc e$t ad. b. t. et cum $ic $e habeat. b. d. ad. b. a. $icut. b. p. ad. b. t: permutando $ic $e habebit. b. d. ad. b. p. $icut. b. a. ad. b. t. Quare euer$im $ic $e habebit. b. p. ad. b. d. $icut. b. t. ad. b. a. $ed. b. n. ad. b. t. $ic $e habebat vt. b. p. ad. b. d. Itaq; ex. 11. quinti$ic $e habebit. b. n. ad. b. t. $icut. b. e. ad. b. a. Dictum autem e$t. b. e. et. b. t. idem omnino e$$e. Quare ex. 20. $eptimi pro- po$iti veritas innote$cet.

THEOREMA XXV.

IDip$um & hac altera uia patebit.

Duo illi numeri per. o. et. u. $ignificentur mutuo diui$i, proueniens aut\~e. o. per. u. $it. e. et proueniens. u. per. o. $it. x. vnitas uerò per. i. $ignificetur, quas tamen quanti- tates $ub$cripto modo ad inuicem di$poni- to. Itaq; ex definitione diui$ionis, eadem erit proportio. o. ad. e. qu{ae} e$t. u. ad. i. et. o. ad. i. qu{ae} e$t. u. ad. x. Quare ex æqualitate proportion\~u. c. ad. i. $ic $e habebit $icut. i. ad. x. erit enim. i. media proportionalis inter. e. et. x. ex. 20. aut\~e $eptimi propo$itum concludetur. Huiu$modi rei cau$a etiam e$t, quod proueniens diui$ionis vnius e$t numerator æqualis denominatori diui$ionis alterius.

THEOREMA XXVI.

CVR duobus numeris mutuo diui$is, s\~uptis deinde prouenientibus $imul et adinui cem, & per hanc $ummam, diui$a $umma quadratorum dictorum propo$itor\~u THEOREM. ARITH. nu merorum, proueniat numerus æqualis numero producti duorum primorum nu- m erorum $imul.

Sint exempli gratia propo$iti numeri. 2. et. 8. qui mutuo diui$i in primis dent pro uenientia quatuor integra, tum quartam partem pro altero proueniente, hæc colle- cta dabunt $ummam quatuor integrorum et quartæ partis vnius, $umma autem qua dratorum binarij & octonarij erit. 68. qui quidem numerus per quatuor & quar tam partem vnius diui$us dabit. 16. pro proueniente, quæ. 16. æqualia erunt pro ducto binarii in octonarium.

Cuius rei hæc erit $peculatio, fint duæ lineæ. o. e. et. o. n. quæ duos numeros pro- po$itos $ignificent, inuicem ad angulum rectum. o. coniunctæ, quarum quadrata $int. o. a. et. o. p. ip$orum productum $it. n. e. tum. o. t. $it proueniens ex diui$ione. o. e. per. o. n. H{ae}c $ingulatim con$ideremus (nã $i in partibus $implicibus quod dicimus ac ciderit, id ip$um in compo$itis con$equenter eueniet) quamobrem ex definitione di ui$ionis dabitur eadem proportio. o. e. ad. o. t. quæ eft. o. n. ad vnitatem, quæ $it. o. x. Nunc cogitemus $uperfici\~e rectangulã. o. c. æqual\~e quadrato. o. a. tunc numerus. c. t. proueniens erit, ut patet, ex diui$ione numeri quadrati. o. a. per numer\~u. o. t. erit\’q ead\~e proportio. c. t. ad. o. e. quæ e$t. o. e. ad. o. t. ex $ecunda parte quintæ decimæ $exti, aut. 20. $eptimi. Iã aut\~e dictum e$t. o. e. ad. o. t. $ic $e habere $icut. o. n. ad. o. x. Itaq; ex. 11. quinti $ic $e habebit. c. t. ad. o. e. $icut. o. n. ad. o. x. Sed ex prima $exti, aut. 18. vel. 19. $eptimi, $ic $e habet {pro}ductum. n. e. ad. e. x. $icut. o. n. ad. o. x. quare denuo $ic $e ha- bebit numerus. c. t. ad numerum. o. e. $icut nume- rus. n. e. ad numerum. x. e. Sed numerus. o. e. cum numero. x. e. $pecie idem e$t, igitur ex. 9. quinti nu merus. c. t. numero. n. e. æqualis erit.

Id ip$um de quadrato ip$ius. o. n. videlicet. p. o. dico. Nam $i proueniens. o. n. diui$o per. o. e. ide$t. o. i. proportionale re$pondens ad. o. t. cum. o. t. coniunct\~u fuerit, et per hãc $ummam diui$a $umma quadratorum. o. a. et. o. p. patet per $e proueniens futurum eiu$dem numeri. c. t. ip$um\’q . c. t. proue- niens $emper $uturum.

Quo autem lucidius res hæc innote$cat. Cogi temus proueniens quadrati. o. p. diui$i ab. o. i. re- $pondentisq;. o. t. e$$e. i. u. quod via prædicta inue- nitur æqualis e$$e numero. n. e. ex quo con$e- quenter æquale. c. t: cogitato deinde rectangu- lo. o. u. æquali. o. p. coniuncto. o. c:totum. t. u. æqua- le erit compo$ito duorum quadratorum. o. a. et. o. p. cum in nullo numerus. c. t. mutetur, tam ex com- po$ito. t. u. quã ex $implici. o. c. ex quo propo$iti $e $e ueritas profert.

THEOREMA XXVII.

PRoposvervnt veteres nobile quidem problema, $ed quod tamen citra al- gebraticam effectionem, aut ne$cierunt, aut noluerunt di$$oluere, quod nihi- lominus facillimum e$t.

10. BAPT. BENED.

Proponunt hi numerum in binas eiu$modi partes diuidendum, vt $umma qua- dratorum dictarum partium, alteri numero po$sibili propo$ito æqualis $it, po$$i- bili inquam, etenim $i eiu$modi numerus propo$itus, minor e$$et producto totius primi in $uum dimidium, e$$et huiu$modi factum impo$$ibile. Quod nos exequi cupientes, $umamus primum numer\~u propo$itum, quem in $e ip$um multiplice- mus. ab hoc quadrato deducamus $ecundum numerum propo$itum, tum quod re- man$erit duplicemus, quod duplum denuo iubeo ex eodem primo quadrato detra- hi, accepta po$tea radice quadrata re$idui & dempta ex priori numero propo$ito, tunc dimidium re$idui vna pars erit ex duabus primi numeri quæ$ita.

Exempli gratia proponantur. 20. diuidenda in duas eiu$modi partes, vt $umma quadratorum ip$arum partium æqualis $it. 272. qui numerus maior e$t. 200. maior inquam dimidio quadrati. 400. ip$orum. 20. hic autem numerus. 272. è quadra- to. 400. deducatur, remaneb\~ut enim. 128. quod duplicari iubeo, produc\~etur $iquid\~e. 256. quæ pariter deducta è quadrato totali, remanebunt. 144. cuius radicem $umi volo, quæ erit. 12. & dempta ex. 20. priori numero dato remanebit. 8. cuius di- midium erit. 4: pars vna ex quæ$itis, quæ ex primo numero propo$ito. 20. detra- hetur, remanebit\’q . 16. pro altera parte.

Cuius demon$trationis cau$a, in primis cogitemus quadratum. a. c. cognitum nu- meri. a. b. primò propo$iti, qui cogitetur diui$us in duo quadrata. d. e. et. e. b. duo- \’q ue $upplementa. a. e. et. e. c. numerus autem $ummæ duorum quadratorum. d. e. b. pro $ecundo propo$ito datur; ex quo, $umma duorum $upplementorum. a. e. c. con$equenter erit cognita, qu{ae} cum duplicata fuerit, & quatuor hæc $upplementa cogitatione accommodata, prout in quadrato. f. g. apparet (quãuis idip$um proueniret $i modo Eucl. octaua $ec\~udi aptaretur) æquali quadrato. a. c. ita vt cogitatis quatuor $upplementis numeri cogniti in quadrato. f. g. ex con$equen- ti cogno$cetur numerus quadrati partia lis. h. i. & vna etiam eius radix qua de- tracta ex numero. a. b. aut. f. n. (quod idem e$t) primo propo$iti, relinquetur numerus cognitus duplum. x. k. n. aut. t. b. pars vna totius. a. b. ex quo uerum erit hoc meum problema.

THEOREMA XXVIII.

SI quis & aliam rationem perficiendæ huius rei quærat, hoc præ$tet inuen- to numero huius $upplementi, cum in præcedenti theoremate dictum fuerit, qua ratione manife$tetur duplum $upple- menti ip$ius.

Cogitemus in $ub$cripta figura lineam. a. b. tanquam primum numerum propo$i- tum, & productum. a. e. $upplemento. a. e. primæ præcedentis figuræ æquale $it, ac deinde ordine ab antiquis tradito procedatur, ad quadratum reducto dimidio. a. b. videlicet. b. c. quod erit. b. d. ex quo detrahatur deinde. a. e. quare remane- THEOREM. ARIT. bit quadratum. e. d. cognitum, cuius radix æqualis erit. c. t. qua coniuncta dimi- dio. c. a. ex quinta $ecundi Eucli. dabit quod propo$itum erat.

THEOREMA XXIX.

QVID cau$æ e$t, cur $ubtracto duplo producti duorum numerorum ad inui- cem multiplicator\~u ex $umma $uorum quadratorum, $emper quod $uper e$t duorum numerorum quadratum differentiæ $it?

Exempli gratia $i proponerentur duo numeri. 16. et. 4. duplum producti eorum e$$et. 128. quò detracto ex $umma $uorum quadratorum, nempè ex. 272. rema- neret. 144. cuius quadrati radix e$$et. 12. tanquam differentia inter. 4. et. 16.

Id vt$ciamus, duo numeri propo$iti, duabus lineis $ignificentur, maiore. q. g. et minore. g. p. directè coniunctis, $uper quas, totale quadratum extruatur. a. p. in quo cogitetur diameter. a. p. et à puncto. g. ducatur parallela. g. n. c. et à pun- cto. n. parallela. n. s. r. ex quo duo producta dab\~utur. q. n. et. n. u. $ingula æqualia pro- ducto. q. g. in g. p. et. a. n. et. n. p. duo quadrata dictorum numerorum propo$i- torum, quod $atis $uper\’q , probatur quarta $ecundi Eucli. Cogitemus deinde. n. o. æqualem. n. p. et à puncto. o. ducatur. o. m. t. parallela. r. s. et. o. e. ad. n. c. quare ex allatis ab Eucli. octaua $ecundi, dabi- tur quantitas. m. n. æqualis. q. n. producto. q. g. in g. p. et quantitas. o. c. minor ip$o producto, ex quantitate quadrati. n. p. ex quo quantitas. m. n. e. vna cum quadrato. n. p. æqualis erit duplo produ- cti. q. g. in. g. p. $ed hæ duæ quantitates, $unt par- tes duorum quadratorum dictorum, & quæ $uper e$t. m. e. quadratum differentiæ vnius numeri pro- po$iti ab altero, prout in $ub$cripta figura licebit cui libet con$iderare. Itaque veritas hæc manife$ta erit.

THEOREMA XXX.

CVR ij qui ex duobus numeris propo$itis maiorem per minorem diuidunt, $i proueniens per maiorem numerum multiplicauerint, productum æquale erit prouenienti ex diui$ione quadrati maioris numeri per minorem?

Exempli gratia $i proponantur duo numeri. 20. et. 4. ip$e\’q ue. 20. per. 4. diui- datur, dabit quinque, tum. 400. quadrato. 20. diui$o per prioré. 4. dabit. 100. quod proueniens, producto ex. 20. in. 5. primo prouenienti adæquatur.

Cuius $peculationis cau$a, $int duo numeri, qui lineis. x. u. et. x. s. maiore atq; mi- nore $ignificétur, tum. u. x. numerus per. s. x. di- uidatur, $it\’q ue proueniens. x. n. po$tmodum qua- dratum. u. x. $it. x. o. et productum ex. n. x. in. u. x. $it. x. e. quod æquale e$$e dico prouenienti ex diui$ione quadrati. o. x. per. s. x. quod $it. m. Patet enim ex definitione diui$ionis, talem futuram pro- portionem. u. x. ad. n. x. qualis e$t. s. x. ad vnitatem, & quadratum. o. x. ad rectangulum. e. x. ita $e ha- I O. BAPT. BENED. biturum, $icut. u. x. ad. n. x. ex prima $exti aut. 18. vel. 19. $eptimi, quare ex 11. quinti ita $e habebit. o. x. ad. e. x. $icut. s. x. ad vnitatem; $ed $icut $e habet. s. x. ad. vnitatem, ita $e habet pariter. o. x. ad. m. vnde ex. 11. prædicta ita $e habebit. o. x. ad. m. $icut idip$um. o. x. ad. e. x. ita\’q ue ex. 9. prædicti quinti. m. æqualis erit. o. x.

THEOREMA XXXI.

CVR propo$ito aliquo numero in duas partes inæquales diui$o, $i rur$us per quamlibet ip$arum diuidatur, prouenientia tantumdem coniuncta quantum multiplicata efficiant.

Exempli gratia, $it denarius prop o$itus numerus, per binarium & octonarium diui$us, prouenientia erunt quinque & vnum cum quarta parte, quæ coniuncta crunt. 6. cum quarta parte lineari, quæ $i mul multiplicata, pariter erunt. 6. cum quarta parte $uperficiali.

Cuius $peculationis cau$a, totalis numerns, linea. q. p. $ignificetur, eius duæ partes, per. k. maiorem et. u. minorem, ip$a vnitas per. t: proueniens ex diui$io- ne. q. p. per. k. $it. q. i. proueniens autem ip$ius. q. p. per. u. $it. q. f. quare ex defini- tione diui$ionis ita $e habebit. q. p. ad. q. i. $icut. k. ad. t. et. q. p. ad. q. f. $icut. u. ad. t. hoc e$t. q. f. ad. q. p. $icut. t. ad. u. vnde ex æqualitate proportion\~u $ic $e habebit. q. f. ad. q. i. $icut. k. ad. u. et conuer$im. Ad hæc in linea. q. p. vnitas, per lineam. q. o. $igni- ficetur, quo facto, dicamus, $i. q. p. ad. q. i. $ic $e habet vt. k. ad. q. o. itaque permu- tando, $ic $e habebit. q. p. ad. k. $icut. q. i. ad. q. o. hoc e$t. k. u. ad. k. $icut. i. q. f. ad. q. f. (nam. k. u. partes $unt integrales totius. q. p. et. k. u. ad. k. e$t $icut. i. q. f. ad. q. f. ex. 18. quinti) Quare ita erit. i. q f. ad. q. f. $icut. q. i. ad vnitatem. q. o. ex. 11. quinti Addatur deinde. q. i. ad. q. f. et. q. i. per. q. f. multiplicetur, cuius multiplicatio- nis productum, $it. x. f. quod probabo æquale e$$e $ummæ. f. q. cum. q. i. Sece- tur enim linea. q. x. in puncto. s. ita. vt. q. s. æqualis $it. q. o. $ignetur\’q ue pro- ductum. s. f. quare ead\~e erit propor- tio quantitatis. x. f. ad. s. f. quæ e$t. q. x. ad. q. s. ex prima $exti, aut. 18. vel 19. $eptimi, hoc e$t, $icut. q. i. ad. q. o. et ex. 11. quinti (vt dictum e$t) $icut. i. q. f. ad. q. f. $ed numerus. s. f. fuperficia- lis tantus e$t, quantus linearis. q. f. quare ex. 9. quinti tantus erit ($u- perficialiter) numerus. x. f. quantus (lineariter). f. q. i. quod erat pro- po$itum.

THEOREMA. XXXII.

CVR numero aliquo in duas partes inæquales diui$o, $i rur$us diuidatur per $ingulas partes, $umma duorum prouenientium per binarium, $emper ma- ior $it $umma prouenientium ex diui$ione vnius partis per alteram.

Ex\~epli gratia, $i proponeretur numerus. 24. qui in duas partes inæquales diuide THEOREM. ARIT. retur. 20. $cilicet et. 4. certè. 24. per$ingulas partes diui$o, daretur vnum proue- niens $ex integra, & alterum vnum & quinta pars, quorum $umma e$$et $eptem in- tegra cum quinta parte, tum altera parte per alteram diui$a, daretur vnum proue- niens quinque integrorum & alterum vnius quinti tantum, quorum $umma e$$et quinque integra, & vna quinta pars, minor prima reliquorum duorum prouenien- tium per binarium.

Cuius con$iderationis cau$a, propo$itus numerus linea. q. p. $ignificetur, eius du{ae} partes lineis. q. x. et. x. p. t\~u. q. f. $it proueniens ex diui$ione totius. q. p. per. x. p. et. q. i. $it proueniens ex diui$ione eiu$dem. q. p. per. q. x. adhæc. h. m. $it proueniens, ex diui$ione. q. x. per x. p. et. h. k. proue- niensex diui$ione. p. x. per. q. x. patet igi- tur ex. 22. theoremate huiuslibri proue- niés. h. m. minus e$$e proueniente. q. f. per vnitaté, & proueniens. h. k. minus proue- niente. q. i. per alteram vnitatem. Itaque. f. q. i. maior erit. m. h. k. per numerum binarium, quoderat propo$itum.

THEOREMA. XXXIII.

QVILIBET numerus, medius e$t proportionalis inter numerum $ui quadrati & vnitatem.

Detur enim numerus propo$itus, qui linea. a. u. $ignificetur, cuiusqua- dratum $it. u. n. vnitas linearis $it. i. a. et $uperficialis. o. patebit ex. 18. $exti aut 11. octaui proportionem. u. n. ad. o. futuram duplam proportioni. u. a. ad. i. a. $ed. i. a. et. o. eadem ($pecie) res s\~ut, tanta $cilicet. a. i. quanta. o. vni tas e$t, Itaque proportio numeri. u. n. ad. u. a. æqualis erit proportioni. u. a. ad. i. a. Quare numerus. u. a. inter nu- merum. u. n. & vnitatem, medius erit proportionalis.

THEOREMA XXXIIII.

HOC ip$um quod diximus & alia ratione $peculari licebit.

Propo$itus numerus, nunc etiam per. a. u. $ignificetur, eius quadratum per. u. n. vnitas linearis per. a. i. productum\’q ;. a. u. in. a. i. terminetur, $it\’q ;. n. i. quare n. i. con$tabit numero íuperficiali æquali numero lineari. a. u. & ex prima fexti aut. 18. vel. 19. $eptimi, eadem erit proportio. u. n. ad. i. n. quæ e$t. a. u. ad. a. i. $ed nu- merus. a. u. cum numero. n. i. idem $pecie e$t. Itaque medius e$t proportiona- lis inter. u. n. & vnitatem.

IO. BAPT. BENED. THEOREMA XXXV.

QVIVIS numerus per alterum multiplicatus, & diui$us, medius e$t propor- tionalis inter productum multiplicationis, & proueniens diai$ionis.

Exempli gratia, $i. 20. multiplic\~etur per quinque & inde per quinque diuidantur productum erit. 100. proueniens. 4. inter quos numeros. 20. medius e$t propor- tionalis.

Hoc vt $peculemur, proponatur numerus multiplicandus & diuidendus, qui $i- gnificetur linea. u. e. multiplicans autem & diuidens linea. a. u. multiplicationis productum $it. e. a. proueniens ex diui$ione $it. o. e. Nunc proueniens. e. o. per nu- mer\~u. a. u. diuidentem multiplicetur, cuius multiplicationis productum $it. e. i. quare, eadem erit proportio numeri. a. e. ad numerum. e. i. quæ e$t numeri. u. e. ad numerum. e. o. ex prima $extiaut. 18. vel 19. $eptimi. Sed cum numerus. u. e. ex. 11. theoremate præ$entis libri, numero. e. i. æqualis $it. verum e$$e, quod propo$i- tum fuit con$equetur.

THEOREMA XXXVI.

CVR ij, qui propo$itum numerum ita multiplicare & diuidere cupiunt, vt pro ductum multiplicationis, tam $it multiplex prouenienti ex diui$ione, quam quæritur, rectè $umant aliquem numerum pro multiplicante & diuidente, qui $it ra dix quadrata denominantis qu{ae}$it{ae} multiplicitatis.

Exempli gratia, proponuntur. 20. multiplicanda atque diuidenda, ita vt pro- ductum multiplicationis nonuplum $it prouenienti ex diui$ione, nempè, vt pro- ueniens, nona pars $it eiu$modi producti, quare quadratam radicem ip$orum no- uem, ide$t denominantis $umunt, tria $cilicet, multiplicant igitur & diuidunt data. 20. ex quo productum erit. 60. proueniens autem. 6. cum duabus tertijs. & propo$itum $equitur.

Cuius $peculationis cau$a, $ignificetur numerus propo$itus linea. u. e. multipli- cans autem & diuidens linea. u. a. productum $it. e. a. proueniens. e. o. quadratum verò. a. u. $it. x. a. erit igitur proportio. a. e. ad. e. o. dupla proportioni. a. e. ad nume rum. u. e. ex præcedenti theoremate: Adhæc, cogitemus in linea. u. a. vnitatem. u. i. terminentur\’q ; duo producta. e. i. et. x. i. quare eadem erit proportio. a. e. ad. e. i. quæ e$t. a. e. ad. u. e. numerus enim. e. i. (quamuis $uperficialis) idem e$t cum nume- ro lineari. u. e. $ed. a. e. ad. e. i. $ic $e habet $icut. a. u. ad. u. i. ex prima $exti aut. 18. vel. 19. $eptimi, (quod ip$um dico de. a. x. ad. x. i.) quare proportio. a. x. ad. x. i. hoc e$t. x. u. {ae}qualis erit {pro}portioni. a. e. ad. u. e. at trige$imotertio & trige$imoquarto theo remate probatum e$t proportionem numeri. a. x. ad vnitatem, duplam e$$e propor- tioni eiu$dem numeri. a. x. ad. u. x. $equitur igitur cum dimidia $int æqualia, tota etiam æqualia e$$e: hoc e$t proportionem numeri. a. e. ad numerum. e. o. æqualem e$$e propor tioni numeri. a. x. ad vnitatem. Itaque rectè $umitur numerus. a. u. eiu$modi vt quadrat\~u

THEOR. ARITH. ip$ius. a. x. tam $it multiplex ad vnitatem, quam cupimus numerum. a. e. numero. e. o. multiplicem e$$e.

THEOREMA XXXVII.

CVR inuenire cupientes duos numeros, quorum quadrata in $ummam colle- cta, æqualia $int numero propo$ito, & ij$dem numeris multiplicatis ad- inuicem, productum alteri numero propo$ito $it æquale, rectè $umant dimidium primi numeri propo$iti, cui $umma quadratorum æquari debet, hoc\’q ; dimidium in $eip$um multiplicent, vnà etiam alterum numerum propo$itum in $eip$um multiplicent, quod quadratum detrahunt de primo, & re$idui quadratam radicem, dimidio primi numeri propo$iti coniungunt, ex qua fumma, quadratam radicem eru\~ut, quæ duobus quæ$itis numeris maior erit, cuius quadrato de primo numero detracto, & exreliquo erutaradice quadrata, detur minor numerus, duorum qu{ae}- $itorum.

Exempli gratia, $i proponerentur. 34. pro primo numero cui æquari de- beret $umma duorum quadratorum, quorum radicum productum æquale e$$e de- beret alteri numero, verbi gratia. 15. iubet antiquorum regula, dimidium primi numeri in $eip$um multiplicari, cuius dimidij quadratum erit. 289. è quo $i detra- has quadratum $ecundi numeri, nempe. 225. remanebit. 64. at q; huius $i quadra- tam radicem $umas nempe. 8. quam dimidio primi numeri, nempe. 17. coniun- gas, dabitur duorum quadratorum numerorum qu{ae}$itorum maior numerus. 25. hac deinde radice è dimidio detracta, minus quadratum dabitur. 9. $cilicet, quorum radices. 5. et. 3. e$$ent ij numeri, qui quæruntur.

Cuius $peculationis gratia, cogitemus primum numerum, cui quadratorum fum ma æquari debet, $ignificari linea. a. n. tum concipiamus quæ$ita quadrata $ignifi- cari, coniungi\’q modo $ub$cripto. t. b. k. $ecundum porrò numerum propo$itum, $ignificari producto. d. b. Iam nil $upere$t aliud quam vt quantitates. d. p. et. b. p. quæramus.

Itaque cum in linea. a. n. $ummæ quadratorum numerus detur, quadratum di- midij. o. a. $it. s. a. quod nobis erit cognitum; $it etiam. a. u. numerus quadrati ma ioris, et. u. n. minoris, et. a. z. productum vnius in alterum; qui quidem numerus. a. z. æqualis erit quadrato nume ri. d. b. ex. 19. theoremate hu- ius libri. Itaq; a. z. cognitum erit, cum eius radix. d. b. $it $e- c\~udus numerus propo$itus, quæ minor erit. a. s. ex quinta $ecundi, aut $eptima con$equentia po$t. 16. noni Eucli- dis. Iam $ubtracta quantitate. z. a. è quadrato. a. s. cogno$cetur quadratum. t. x. cuius radix æqualis erit. o. u. ex po$tremo adductis, Itaque cogno$cemus. o. u. qui numerus coniunctus dimidio. o. a. cognito, dabit quadratum. a. u. cognitum, at- queita. u. n. pariter cogno$cetur, & eorum radices con$equenter.

IO. BAPT. BENED.

Hoc ip$um & alia ratione perfici pote$t, nempe, iuncta $umma. k. b: b. d: ec. b. t. alteri rectangulo æquali. b. d. quod $it. b. c. ex quo totum quadratum lineæ. d. k. cognitum erit, atq; ita etiam con$equenter eius radicem. d. k. cogno$cemus, cuius ope ac producti. d. b. cogno$cemus. d. p. et. p. k. prout ex theoremate quadrage$i- moquinto huius libri patebit.

Michael Stifelius, vndecimo cap. tertij libri, problema eiu$modi proponit, quod tamen ip$e via algebræ di$soluit.

THEOREMA XXXVIII.

CVR ij, qui duos numeros inuenire volunt, quorum productum alicui nu- mero propo$ito æquetur, & quadratorum eorundem differentia alteri nu- mero propo$ito æqualis $ir. Rectè dimidium $ecundi numeri propo$iti in $eip$um multiplicent, cui quidem numero differentia quadratorum æquari debet; porrò huic quadrato primi propo$iti numeri, cui æquandum e$t productum numerorum quæ$itorum, quadratum adiungant; tum radicem quadratam huius $ummæ co- pulet dimidio $ecundi numeri propo$iti, ei inquam, cui differentia quadratorum æqualis e$$e debet, ex quo quadratum maius con$urgit, à quo, detracto $ecundo numero, $upere$t quadratum minus.

Exempli gratia, $i proponeretur primo loco numerus. 8. cui æquandum e$t productum numerorum quæ$itorum, tum proponeretur numerus. 12. cui, detra- cto minore à maiore, differentia quadratorum vtriu$que quæ$iti numeri æqualis e$$e debet, oportet huius vltimi numeri. 12. dimidium in $eip$um multiplicare, fiét- \’q ue. 36. quadratum dimidij, vnde in $ummam colligeremus quadratum primi numeri. 8. quod e$$et. 64. quæ cum. 36. efficerent. 100. cuius centenarij radice, nem pe. 10. collecta in $ummam cum dimidio $ecundi numeri, nempe. 6. daretur qua- dratum maius, nempe. 16. ex quo, detracto $ecundo numero, nempe. 12. rema- neret quadratum minus. 4.

Cuius $peculationis cau$a, maius quadratum incognitum $ignificetur linea. q. g. minus verò pariter incognitum linea. g. i. quare. q. i. eorum differentia, tanquam data remanebit cognita, vnà etiam. b. i. et. q. b. $ua dimidia; tunc cogite- tur quadratum. y. g. $uper. b. g. et parallelogrã- mum rectangulum. g. r. de$ignatum, & ita etiam gnomon. u. g. t. prout $exta $ecundi Euclidis pro ponitur, ex quo quadratum. b. i nempe. u. t. co- gnitum erit, $ed gnomon æqualis e$t rectangulo. g. r. ex prædicta, aut ex. 8. po$t. 16.

THEOREM. ARIT. noni, hoc\’q ; rectangulum. g. r. quadratum e$t primi numeri propo$iti ex. 19. theo- remate huius libri, itaq; cognitum erit. vnà etiam gnomon. u. g. t. cogno$cetur, quare totum quadratum. g. y. eius\’q ; radix. b. g. manif{ae}$ta erit, cui coniuncta. q. b. data, maius quadratum. q. g. cogno$cetur, ex qua. b. g. detracta. b. i. data, cogno- $cetur. i. g. quadratum minus con$equenter, etiam eorum radices notæ erunt.

THEOREMA XXXIX.

ALIA etiam ratione idip$um definiri pote$t, prætermi$$a antiquorum via, nempe multiplicatis in $emetip$is primo & $ecundo, numeris propo$itis, qua- druplicato\’q ; quadrato primi, qua $umma coniuncta cum quadrato $ecundi nume- ri, & ex hac altera $umma eruta radice quadrata, ex qua detracto $ecundo nume- ro, & è reliquo $umpto dimidio, quod erit quadrat\~u minus, quo detracto ex radi- ce po$tremo iuncta, $upererit quadrarum maius.

Exempli gratia, $i proponeretur numerus. 8. cui productum duorum numerorum quæ$itorum æquandum e$t, proponeretur idem. 12. cui differentia quadratorum duorum numerorum æqualis e$$e debet. Iubeo primum numerum, nempe. 8. in $e ip$um multiplicari, ex quo exurget. 64. pro numero $ui quadrati, quod quadru- plicari volo, erit\’q ; productum. 256. quod cen$eo coni\~ugendum cum quadrato $e- cundi numeri propo$iti, nempe. 144. erit\’q ; $umma. 400. ex qua$umetur radix, $ci licet. 20. & ex hac detrahetur $ecundus numerus. 12. re$idui\’q ; dimidium, nempe. 4. pro quadrato minore, quo in $ummam collecto cum, 12. dabit quadratum maius. 16.

Cuius $peculationis cau$a, quadratum maius per lineam. q. g. minus per. g. p. $i- gnificetur: $uper integram autem. q. p. erigatur quadratum integrum. d. p. diui$um, vt quadratum. f. g. vige$imi$eptimi theorematis huius libri, (idip$um accideret di- ui$o quadrato modo octauæ $ecundi Euclidis) quæ quidem diui$io, e$t via quatuor productorum. q. g. in. g. p. è quibus vnum $it. g. r. quod erit cognitum ex. 19. theore mate cum $it quadrat\~u primi numeri ppo$iti, ex quo illa quatuor cognita er\~ut. Iam verò $i cogitemus. q. p. $ectam in puncto. t. ita vt. q. t. æqualis $it. p. g. dabitur differen tia. t. g. cognita, vt radix quadrati. e. o. cum ex præ$up- po$ito. r. n. æqualis $it. q. g. et. r. e: g. p. ex quo etiam. q. t. ita pariter. e. n. t. g. æqualis erit. Collecto itaq; quadra to. e. o. ip$ius. t. g. cum quadruplo. g. r: cognitum erit quadratum. d. p. ip$ius. q. p. quare cogno$cetur. q. p. de quo numero detracta differétia quadratorum cognita. t. g. $upererit aggregatum. p. g. et. q. t. cognitum. Qua- re ex con$equenti, dimidium aggregati, nempe. g. p. cogno$cetur, tanquam minus duorum quadratorum. cui iuncta. g. t. aut detracta. p. g. ex. p. q. quadratum. q. g. maius cognitum remanebit.

THEOREMA XL.

CVR ijs, qui volunt duos eiu$modi numeros inuenire, vt eorum maior mi- norem, numero propo$ito $uperet, & productum vnius in alterum, alteri nu- mero propo$ito ad{ae}quetur, con$ulti$simum $it dimidium primi numeri propo$iti, IO. BAPT. BENED. numerum inquam, cui differentia duorum quæ$itorum æquanda e$t, in $eip$um multiplicare, atque huic quadrato, $ecundum numerum propo$itum iungere, cui, productum numerorum quæ$itorum æquale e$$e debet, & ex hac $umma eruere qua dratam radicem, quæ coniuncta dimidio primi numeri propo$iti, dabit maiorem duorum numerorum & ex eadem radice detracto dimidio primi numeri, minorem numerum duorum quæ$itorum.

Exempli gratia, $i proponeretur. 12. cui differentia vnius numeri ab altero æqua- ri deberet, tum proponeretur. 64. cui productum multiplicationis duorum quæ$i- torum $imul æquãdum e$$et. Dimidium primi numeri in $eip$um multiplicaremus, proueniret\’q ; quadrat\~u. 36. cui coniuncto $ecundo, nempe. 64. totum e$$et. 100. ex quo detracta quadrata radice. 10. etip$i coniuncto $enario, dimidio primi nume ri, & ex eadem detracto eodem dimidio. 6. pro maiore numero proueniret. 16. & pro minore. 4.

Cuius rei $peculatio hæc e$t. Sit. e. o. differentia cognita duorum incognitorum numerorum. a. o. et. a. e. quorum productum datum $iue cognitum $it. a. s: con$ide- remus nunc. e. i. dimidium. e. o. datæ differentiæ, & ex compo$ito. a. i. imaginetur quadratum. a. x. in quo protracta $it. t. u. æquidi$tans lateri. a. i. & tam ab ip$a. a. i. re mota, quam. x. i. ab. s. e. vnde. t. e. quadratum erit. e. i. dimidiæ $cilicet differentiæ datæ. e. o. et. t. n. rectan- gulum æquale erit rectangulo. n. c. vt cuilibet licet per $e con$iderare, vnde $equitur gnomonem. e. r. t. æqualem e$$e producto. a. s. ideo cognitus, qui quid\~e gnomon, $i coniunctus fuerit quadrato. e. t. cognito ex radice. e. i. cognita (vt dimidia toralis differenti{ae}. e. o. datæ) habebimus quadratum totale. a. x. cogni- tum, & ita eius radicem. a. i. cognitam & reliqua om nia con$equenter quæ quidem $peculatio eadem e$t quæ. 6. $ecundi $eu. 8. noni Euclidis.

Poteris tamen ex modo & rationibus præceden- ti theoremate allatis, hocip$um concludere.

THEOREMA XLI.

CVR ij, qui aliquo propo$ito numero, inuenturi $unt duos numeros inter $e differentes, quorum quadratorum $umma altero numero propo$ito æqualis $it, rectè primum numerum propo$itum in $eip$um multiplicant, quod quadratum ex$ecundo numero detrah\~ut, & dimidium re$idui $umunt, quod productum erit multiplicationis duorum numerorum inter$e, in reliquis præcedentis theorematis ordinem $equuntur.

Exempli gratia, $i proponeretur. 12. tanquam numerus, cui differentia duorum numerorum quæ$itorum æquanda e$t, proponerentur præterea. 272. quibus $um- ma quadratorum duorum numerorum quæ$itorum æquari deberet, oporteret $anè primum numerum, nempe. 12. in $eip$um multiplicare, cuius quadrat\~u hoc loco e$$et. 144. atque hoc detrahere ex $ecundo numero, $upere$$et. 128. $umpto deinde dimidio huiu$ce numeri, népe. 64. producto in quam duorum numerorum quæ$ito \~u. Cum hoc. 64. pro$tea et duodenario primo propo$ito numero, præceden tis theorematis ordinem $equeremur.

THEOREM. ARIT.

Quod vt $peculemus, con$ideremus $ub$criptam figuram, vigefiminoni theore- matis figuræ $imilem, in qua numeri quæ$iti duabus lineis directè coniunctis. q. g. et. g. p. fignificentur, ho r\~u quadrata er\~ut. r. c. et. g. s. quor\~u s\~uma iter\~u propo nitur, quare etiam cognita. Differ\~etia autem duor\~u numerorum primo propofita fit. q. i. eius verò qua- dratum. m. e. quod cognitum e$t ex $ua radice. q. i. quare gnomon. e. n. m. $imul cum quadrato minori. g. s. cognitus erit, quæ $umma æqualis e$t duplo. g. r. producto datorum numerorum. Itaque & ip$a. g. r. cogno$cetur, nunc $i præcedentis theorematis $pe- culationem in reliquis con$uluerimus propo$itum con$equemur.

THE OREMA XLII.

ADhuc etiam & alia ratione idip$um con$equi po$$emus, non con$ulto qua- drage$imo theoremate. Nam $ubtracto quadrato differentiæ, numeri primi (inquã) propo$iti, ex s\~uma duorum quadratorum, nempe ex $ecundo numero pro- po$ito colligendum e$$et re$iduum in $ummam cum prædicto $ecundo numero, & ex $umma hac de$umenda quadrata radix, quæ duorum numerorum $umma erit, de qua detracto primo numero, remanebit duplum minoris numeri quæ$iti, cuius dimidio addito primo numero propo$ito, aut detracto minore inuento ex radice po$tremo inuenta, dabitur numerus maior, qui quæritur.

Exempli gratia, cum $uperfuerint. 128. hæc $i cum $ecundo numero n\~epe. 272. iunxerimus, dabunt. 400. quorum radix erit. 20. de quo numero detracto primo propo$ito, nempe. 12. $upererunt. 8. quorum dimidi\~u erit. 4. quo ex. 20. detracto aut coniuncto. 12. maior numerus orietur.

Cuius rei contemplatio, præcedenti figura aperitur. Nam re$iduum detractionis quadrati. m. e. ex $umma duor\~u quadratorum. r. c. et. g. s. numerum præbet æqua- lem duobus $upplementis. q. n. et. n. u. ex. 8. $ecundi Euclidis. qui coniunctus duo- bus quadratis (quorum $umma $ecundo propo$ita fuit) cognitionem profert qua- drati. q. u. & eius radicis. q. p. de qua, detracto primo dato numero, $cilicet. q. i. $u- pere$t. i. p. cuius dimidium nempe. g. p. minor e$t numerus qui qu{ae}ritur; re$iduum verò totius. g. q. maior $cilicet.

THE OREMA XLIII.

CVR ij, qui volunt duos numeros inuenire, quorum $umma æqualis propo- fito alicui numero futura $it, & $umma quadratorum maior eorum produ- cto per quantitatem alterius propo$iti numeri, rectè dimidium primi dati numeri in $eip$um multiplicant, quod quadratum ex $ec\~udo dato numero detrahunt, $umunt \’q ue terti{ae} partis refidui quadratam radicem, quam dimidio primi numeri coniun- gunt, ex quo maior numerus duor\~u quæ$itor\~u datur, quo ex toto primo detracto, $u- pererit minor.

Exempli gratia, propo$ito numero. 20. cui æquanda e$t $umma duorum nume- rorum quæ$itorum, dato\’q ; $ecundo numero. 208. qui $emper maior e$$e debet IO. BAPT. BENED. quadrato dimidij, prout ex $peculatione huiu$modi operis cogno$cetur, cuiæquãda e$t differ\~etia inter $ummã quadrator\~u duor\~u qui quær\~utur numeror\~u, $imul c\~u pro ducto eor\~u radicum. Dimidium numeri. 20. in $eip$um multiplicandum e$$et, qua- dratum\’q ; detrahendum ex. 208. vtremanerent. 108. quorum. 108. tertiæ partis qua drata radix e$$et. 6. quæ $i iuncta fuerit dimidio. 20. nempe. 10. daretur maior nu- merus quæ$itus. 16. quo detracto è. 20. darentur. 4.

Cuius $peculationis cau$a, datus primus numerus $ignificetur linea. g. h. in qua maior numerus incognitus $it. g. h. minor verò. b. h. quorum quadrata $int. y. t. et. b. l. in quadrato maximo. g. p. tum productum. g. b. in. b. h. $it. g. c. cogitentur\’q ; duo diametri. q. h. et. g. p. diui$i per medium in puncto. o. per quod du{ae} lineæ ducan- tur. f. d. et. k. m. parallelæ lateribus maximi quadrati. Hæ dictum quadratum in quatuor quadrata æqualia diuident, quorum vnumquod\’q ;, æquale erit quadrato. g. f. dimidij ip$ius. g. h. dat{ae}, quare eorum vnumquod\’q ; cognitum erit. Iterum co gitemus. s. x. per. e. parallelã. g. k. tantum di$tan- tem à. g. k. quantum. y. l. ab. g. h. di$tare inueni- tur. Cogitetur pariter. z. i. a. per punctum. i. parallela. d. p. quare. a. t. æqualis erit. f. c. et. y. x. æqualis. f. e. et. y. s: b. l. æqualis. Ita $ubtractis è duobus quadratis $uperius dictis. a. t. y. x. et. b. l. producto. y. b. æqualibus, $upererunt. k. d. et. a. c. x. cognita, tanquam æqualia dato $ecundo nu- mero, $ed. k. d. quadratum e$t medietatis. g. f. cognitæ, cogno$cetur igitur re$iduum. a. c. x. vnà etiam $ingulæ tertiæ partes nempe quadrata. o. i. o. c. et. o. e. & radix. b. f. vel. f. s. $ingularum, qua coniuncta dimidio. g. f. rurfus\’q ; ab eod\~e de- tracta, propo$itum con$equemur.

THE OREMA XLIIII.

CVR $i quis cupiat numerum propo$itum in duas eiu$modi partes diuidere, vt quadratum maioris, quadratum minoris $uperet quantitate alterius numeri propo$iti, rectè primum numerum in $eip$um multiplicabit, & ab eodem $ecun- dum numerum detrahet, re$iduum verò per duplum primi diuidet, ex quo proue- niens primi pars minor erit, quæ ex illo primo detracta, partem maiorem proferet.

Exempli gratia, $i proponantur. 20. diui$a in duas eiu$modi partes, vt quadrat\~u maioris $uperet quadratum minoris numero æquali ip$i. 240. oportebit primum numerum, qui quadratus cum fuerit, erit. 400. in $eip$um multiplicare, & ex hoc quadrato $ecundum numerum nempe. 240. detrahere, tunc remanebunt. 160. qu{ae} diui$a per. 40. numer\~u dupl\~u primo, dabuntur quatuor pro minori numero, à re$i- duo verò. 20. detractis quatuor, erunt. 16. pro maiorinumero.

Quod vt exactè con$ideremus, primus numerus propo$itus $ignificetur linea. q. h. diuidendus in duas partes. q. p. et. p. h. tales quales quærimus. Po$tmodum eriga @@r quadratum. q. e. diui$um diametro. f. h. ductis\’q ;. p. o. t. et. a. o. c. parallelis lateri- bus quadrati, dabuntur imaginaria quadrata. c. t. et. p. a. duarum partium. q. p. et. p. h. incognitarum. Ad hæc cogitemus quadratum. u. n. æquale quadrato. p. a. è quadra THEOR. ARITH. to maiore. c. t. extractum quare re$iduum qua- drati. c. p. cognitum erit, quam quantitatem co- gnitam, cum $it $ecundo loco data, cogitemus detrahi è toto quadrato cognito. q. e. ex quo $umma duorum $upplementorum. q. o. et. o. e. cogno$cetur, vnà cum quadratis. u. n. et. p. a. du plo $cilicet. q. a. quo diui$o per duplum. q. h. aut $implex. q. a. per. q. h. $implicem, dabitur. a. h. nempe. p. h. minor numerus quæ$itus.

THEOREMA XLV.

CVR volentes diuidere numerum propo$itum in duas eiu$modi partes, vt pro ductum vnius in alteram, alteri numero propo$ito æquetur, rectè dimidium primi dati numeri in $eip$um multiplicant, ex quo quadrato $ecundum datum nu- merum detrahunt, re$idui\’q ; radicem $umunt, qua coniuncta vni dimidio primi nu- meri, pars maior datur, ex altero verò dimidio detracta, minorem manife$tabit.

Exempli gratia, $i numerus partiendus e$$et. 34. alter verò numerus e$$et. 64. cui productum vnius partis in alteram æquale e$$e deberet. Dimidium primi numeri, in $eip$um multiplicaremus, cuius quadratum e$$et. 289. de quo detracto $ecundo nu- mero nempe. 64. remaneret. 225. cuius quadrata radix nempe. 15. coniuncta. 17. dimidio. 34. proferet. 32. maiorem partem, detracto\’q ; ex. 17. $upere$$et. 2. pars inquam minor.

Cuius $peculationis cau$a, primus numerus propo$itus $ignificetur linea. a. d. cu- ius dimidium. c. d. cognitum erit, vnà etiam eius quadratum. c. f. quo diui$o per dia metrum. e. d. $upponantur partes ignotæ ip$ius. a. d. e$$e. a. b. et. b. d. & à puncto. b. duci lineam. b. h. g. parallelam. d. f. et. m. h. k. parallelam. d. a. extructa figura $imi li figuræ quintæ $ecundi Eucli. quare da bitur gnomõ. l. d. g. æqualis producto. b. k. & proinde cognitus, quo detracto è quadrato, c. f. remanebit quadratum. g. l. cuius radice æquali. c. b. coniuncta. a. c. & detracta ex. c. d. partes. a. b. et. b. d. quæ$itæ dabuntur.

THEOREMA XLVI.

CVR propo$itis tribus numeris, quorum prior in duas eiu$modi partes diui- dendus $it, ut mutuò diui$æ, & per $ummam prouenientium diui$o $ecundo numero, proueniens vltimum $it æquale tertio numerorum propo$itorum. Con$ul ti$simum $it $ecundum numerum per tertium diuidere, ex quo proueniens $it $um- ma prouenientium è duabus partibus mutuò diui$is, quam $ummam $i quis velit di- $tinguere, rectè po$$it medio operationis pr{ae}cedétis theorematis s\~upta vnitate $uper ficiali pro $ecundo numero di$tinctis po$tmodum prouenientibus, rectè meo iudi- cio operabimur per regulã de tribus (quod fuit ab antiquis prætermi$$um) Si dixe- IO. BAPT. BENED. rimus, $i $umma vnius dictorum prouenientium cum vnitate dat primum numerum, quid ip$a eadem vnitas dabit? ex quo propo$itum oriatur.

Exempli gratia, proponuntur tres numeri, primus. 20. $ecundus. 34. tertius. 8. Iam quærimus diuidere primum. 20. in duas partes quæ mutuò diui$æ pr{ae}beant duo prouenientia, quorum $umma tanta $it vt per eam diui$o. 34. proueniat numerus æqualis tertio numero. 8. Quod vt præ$temus iubet regula $ecundum. 34. per terti\~u. 8. diuidi, vnde proueniet. 4. cum vna quarta parte, quod proueniens erit $umma pro uenientium ex diui$ione duarum partium quæ$itarum, quæ $i di$tinguere volueri- mus, præcedentis theorematis methodum $equemur, vnitate $uperficiali pro $ecun do numero propo$ito $umpta, ac $i diceremus, diuidatur. 4. cum vna quarta parte in duas eiu$modi partes, vt productum vnius in alteram $it vnitas $uperficialis, cer- tè fractis integris cum quarta parte coniungendis, darentur vnitatis decem$eptem quartæ lineares, verum cum nece$$e $it, ex præcedenti theoremate, dimidium in $eip$um multiplicare, e$$et\’q ; dimidium. 8. quartarum partium cum octaua, com- modius totum con$tituetur. 34. octauarum, quarum dimidium, nempe decem$ep- tem octauæ, in $eip$um multiplicatum erunt. 289. $exage$imæ quartæ vnius integri $uperficialis, quandoquidem integr\~u $uperficiale, cuius vnitas linearis in. 8. partes diuiditur e$t. 64. vt ex primo theoremate huius libri depræhendi pote$t. Nunc vni- tate hac $uperficiali, nempe. 64. ex. 289. detracta, $upererit. 225. cuius radix qua- drata, $cilicet. 15. coniuncta dimidio dictorum prouenientium, nempe. 17. dabit maius proueniens. 32. detracta\’q ; ex altero dimidio, dabit proueniens minus. 2. hoc e$t pro maiore proueniente. 32. octauas, & pro minore duas, quatuor $cilicet inte- gros pro maiore, & quartam partem vnius integri pro minore. Nunc $i ex regula de tribus dixerimus, $i. 4. iuncta vni, nempe. 5. dant. 20. primum numerum, quid dabunt. 4. integra (proueniens inquam maius) dab\~ut certè. 16. partem maiorem. Tum $i dixerimus, $i quarta pars coniuncta vnitati dat. 20 : quid dabit quarta illa pars (hoc e$t proueniens minus) dabit {pro}fectò quatuor $cilicet minor\~e partem, quod ab antiquis certè ignoratum fuit, qui, inuentis prouenientibus quieuerunt, ne- $cientes ijs vti ad inueniendas duas primi numeri partes.

Cuius $peculationis gratia, demus primum numerum $ignificari linea. e. u. cuius partes. e. a. & a. u. $int quæ quæruntur, alter verò numerus $ignificetur linea. b. d. tertius linea. g. f. proueniens a\~ut diui$ionis. e. a. per. a. u. $it. n. t. diui$ionis a\~ut. a. u. per. a. e. $it. t. o. $umma erit. n. t. o. vnitas verò. n. i. et. o. i. Iam $i numerus. f. g. tertiò propo$itus ex diui$ione $ecundi per. o. t. n. proferri debet. Ex. 13. theoremate patet, quòd $i. b. d. per. g. f. diui$erimus, proferetur. o. t. n. qui cum fuerit inuentus, $ummã e$$e oportet duor\~u prouenienti\~u, ex diui$ione mutua duor\~u numerorum, nempe. a. e. per. a. u. et. a. u. per. a. e. deinde manife$tum e$t ex. 24. aut. 25. theoremate eor\~u productum (multiplicatis prouenientibus adinuicem) vnitatem $uperficialem futu ram e$$e. Hactenus igitur, totum. o. n. ex doctrina præcedentis theorematis diui- ditur in puncto. t. ita vt productum. o. t. in. t. n. $olam vnitatem $uperficialem cõtineat, quo facto, $i, vt antedictum e$t, cogitauerimus. n. t. proueni\~es e$$e ex diui$ione. e. a. per. a. u. et. t. o. proueniens ex diui$ione. a. u. per. a. e. pa- tebit ex definitione diui$ionis, quod eadem erit proportio. a. e. ad. n. t. quæ e$t. a. u. ad vni- tatem. n. i. et. a. u. ad. o. t. eadem quæ e$t. e. a. THEOREM. ARITH. ad vnitatem. o. i permutando\’q ;. e. a. ad. a. u. $icut. t. n. ad. n. i. & componendo. e. a. u. ad a. u. $icut. t. n. i. ad. n. i: & euer$im. e. a. u. ad. e. a. vt. t. n. i. ad. t. n. Quare, ex. 20. $epti mi, recte vtimur regula de tribus. Idem & de altera parte dico, quamuis qui vnam teneat, alteram quo que habiturus $it. Non mirum tamen $i huiu$modi problema ab antiquis definitum non fuerit, qui hanc vltimam partem non cognouerunt.

THEOREMA XLVII.

CVR duobus numeris mutuó diui$is, $i per $ummam prouenientium, produ- ctum vnius in alterum multiplicetur, vltimum productum, $ummæ quadra- tn@@m duorum numerorum æquale futurum $it.

Exempli gratia, propo$itis. 16. et. 4. mutuò diui$is, $umma prouenientium erit. 4. integrorum cum quarta parte, qua $umma multiplicata cum producto primor\~u numerorum, nempe. 64. dabuntur. 272. integri $uperficiales, qui $ummæ quadra- torum duorum numerorum æquantur.

Hoc vt con$ideremus, duo numeri partibus. a. e. et. e. i. in linea. a. i. $ignificentur, quorum productum $it. e. d. & quadrat\~u ip$ius. a. e. $it. e. p: ip$ius verò. e. i. $it. e. q. pro- ueniens a\~ut ex diui$ione. e. i. per. a. e. $it. o. u. proueniens a\~ut. a. e. per. e. i. $it. o. t. quo- rum $umma $it. o. u. t. tum productum. e. d: linea. u. n. $ignificetur ad angulum rect\~u coniuncta in puncto. u. extremo ip$ius. o. u. t. productum a\~ut. u. o. t. in. u. n. $it. n. t. Iam probandum nobis e$t. n. t. æqualem e$$e $ummæ duorum quadratorum. q. e. p. Quod $ingillatim probo, & a$$ero productum. o. n. æquale e$$e quadrato. q. e. & product\~u. s. t. quadrato. e. p. Nam ex. 35. theoremate patet numerum. e. i. medium e$$e pro- portional\~e inter. e. d. et. o. u: cum numerus. e. i. ex præ$uppo$ito ab. e. a. multiplicetur & diuidatur, cuius multiplicationis produ- ctum e$t. d. e: nempe. u. n. & proueniens ex diui$ione e$t. o. u: quare ex dicto theorema- te. e i. media proportionalis e$t inter. u. n. et. u. o. Itaq; productum. o. n. æquale e$t qua- drato. e. q. ex. 16. $exti vel. 20. $eptimi. Idem dico de producto. s. t. n\~epe æquale e$$e qua- drato. e p. quandoquidem numerus. a. e. ab e. i. multiplicatur ac diuiditur, cuius multi- plicationis productum e$t. d. e. nempe o. s. & proueniens ex diui$ione. o. t: inter quæ ex. 35. theoremate. a. e. media proportionalis e$t. Quare ex allatis propo$itionibus product\~u. s. t. æquale e$t quadrato. e. p. $ed tot\~u productum. n. t. $umma e$t duorum productorum. o. n. et. s. t. ex prima $ecundi Eucli. Itaque verum e$$e quod dictum e$t, con$equitur.

THEOREMA XLVIII.

CVR $i quis maiorem duorum numerorum $ola vnitate inter $e differentium, per minorem diuidat, maiorem\’q ; per proueniens multiplicet, productum, s\~umæ ip$ius maioris cum eodem proueniente æquale erit.

Exempli gratia. 10 per. 9. diui$o, datur vnum cum nona parte, quo multiplica- to per proueniens, ip$o nempe. 10: datur productum. 11. cum nona parte, tantum $ci I. O. BAPT. BENED. licet quanta $umma e$t maioris cum proueniente.

Cuius $peculationis cau$a, maior numerus $ignificetur. a. i. et minor linea. a. o. ex quo ex præ$upo$ito. o. i. vnitas erit. Sit autem proueniens ex diui$ione. a. i. per. a. o. a. e: quod. e. a. directè coniungatur ip$i. a. i. et productum. a. i. in. a. e. $it. u. i. Probabo numerum $uperficialem. u. i. æqualem e$$e lineari. i. a. e. quare memini$$e oportet, decimotertio theoremate probatum fui$$e, quod $i numerus diui$ibilis per pro- ueniens diuidatur, proueniens futurus $it numerus diuidens, quare. a. o. erit pro- ueniens ex diui$ione. a. i. per. a. e. & ex de$initione diui$ionis ita $e habebit. e. a. ad. a. i. $icut. o. i. ad. o. a. & componondo ita. e. i. ad. a. i. $icut. i. a. ad. o. a. quare. a. i. erit me- dia pportionalis inter. e. i. et. a. o. $ed. a. i. non modò diui$a n\~uc cogitatur ab. e. a. ex quo $it proueniens. a. o. $ed etiam per eandem. e. a. multiplicata, ex quo produ- ctum oriatur. u. i. Itaq; ex. 25. theobema- te. a. i. media e$t proportionalis inter. u. i. et. a. o. Quare. ex. 11. quinti. eadem erit proportio. u. i. ad. a. i. $icut. e. i. ad eandem. a. i. Igitur ex. 9. prædicti numerus. u. i. æqualis erit numero. e. i. quod erat propo$itum.

THEOREMA XLIX.

IDip$tim etiam alia ratione con$iderari pote$t.

Linea. u. a. $ecetur in puncto. t. ita vt. a. t. æqualis $it vnitati. o. i. & media paral lela. t. n. terminetur productum. t. i. quod con$tabit æquali numero, quamuis $uperfi- ciali, numero. a. i. tamet$i lineari. Tumparallela ducatur à puncto. o. ip$i. a. u. termi netur\’q ; productum. o. u. ex quo bina producta dabuntur. u. o. et. t. i. inter $e æqualia ex. 15. $exti aut. 20. $eptimi cum ita $e habeat. a. i. ad. a. u. $icut. a. o. ad. a. t. $ed. a. i. ad. a. o. permutando $ic $e habet $icut. a. u. ad. a. t. & ex prima $exti aut. 18. vel. 19. $epti- mi $ic $e habet. u. i. ad. u. o. $icut. a. i. ad. a. o. hoc e$t. u. i. ad. t. i. ope. 11. quinti. Iam ex definitione diui$ionis ita $e habet. a. e. ad. a. i. $icut. o. i. ad. o. a. & componendo. e. i. ad. a. i. $icut. i. a. ad. o. a. Itaque ex præ- dicta. 11. $ic $e habebit. e. i. ad. i. a. $icut. u. i. ad. t. i. $ed. t. i. numero con$tat æquali. a. i. quare ex. 9. quinti numerus. u. i. numero. e. i. æqualis erit.

THEOREMAL.

CVR diuidentes numerum propo$itum in duas eiu$modi partes, vt product\~u vnius in alteram cum i p$arum differentia in $ummam collectum, æquale $it alicui alteri numero maiori primo. Rectè primum ex $ecundo detrahunt, re$iduum verò con$eruant, tum ex primo $emper binarium de$umunt, dimidium\’q ; con$er- uant, alterum verò dimidium in $eip$o multiplicant, & ex quadrato numerum con $eruatum eruunt, re$idui\’q ; radicem ex dimidio con$eruato, quod vltimum re$i- duum propo$iti numeri quæ$ita pars minor e$t.

Exempli gratia, $i proponatur numerus. 20. ita diuid\~edus, vt product\~u vnius partis in alteram, cum partium differentia collectum in $ummam, æquale $it propo$ito THEOR. ARITH. numero, verbi gratia. 92. præcepit regula detrahi primum numerum ex $ecundo, nempe. 20. ex. 92. cuius re$iduum, $cilicet. 72. con$eruetur, tum detrahi iubet bi narium ex primo, $ic in propo$ito exemplo remanebunt. 18. huius autem. 18. dimi dium in $eip$um multiplicari iubet, quod cum $it. 9. datur numerus. 81. ex quo. 81. primum numerum con$eruatum, nempe. 72. vult regula detrahi, $ic remanebit. 9. tum huius. 9. quadrata radix detrahenda e$t ex dimidio ip$ius. 18. quod fuit ante qua dratum, $ic $upererit. 6. hoc e$t. 9. excepta radice quadrata, qui. 6. erit minor pars quæ$ita, maior verò. 14. quarum productum. 84. coniunctum cum partium differen tia præbet exactè. 92.

Cuius rei hæc e$t $peculatio. Primus numerus minor, qui proponitur diui$ibilis $ignificetur linea.q.g.maior vero linea. x. tum cogitemus. q.g. diui$am, cuius maior pars $it. q.o. minor. o.g. differentia. q.p. ex quo. p.o. æqualis erit. o.g. $it autem produ- ctum. b. o. Oportet igitur, ut. b.o. $imul cum differentia. q.p. æquale $it numero.x. $e- cundò propo$ito, qui notus e$t, quare etiam $umma producti. b. o. cum differentia q.p. cognita erit, ex qua detracto primo numero. q.g. re$iduum cognitum erit, nunc igitur quodnam erit hoc re$iduum? attendamus qua ratione ex $umma. b.o. et.q.p. detrahenda $it. q.g. In primis $i $ubtraxerimus ex dicta $umma. q.p. qu{ae} pars e$t. q.g. $upererit detrahenda. p.g. ex.b o. pars inquam ip$ius. q.g. quod fiet quotie$cunque cogitauerimus. q.o. duabus vnitatibus diminutam, et per. o.g. multiplicatam, $it au- tem productum. b.e. nam cum. o.g. toties. b.o. ingrediatur, quot $unt in. q.o. vnitates ex prima $exti aut. 18. vel. 19. $eptimi, detrahenda\’q ; $it. p.g. ex. b.o. quæ. p.g. dupla e$t. o.g. patebit. o.c. æqualem e$$e. p.g. fu- pererit ita que. b.e. productum. q.e. in. e. i. cognitum, erutis autem ex. q.g. ij$dem duabus vnitatibus, remanebit. q.i. nobis nota, ex quo. e.i. æqualis erit. e.c. Cum igitur productum. q.e. in. e.i. cogno$camus $imul cum. q.i: Sivoluerimus partes. q.e. et. e.i. cogno$cere, vtemur. 45. theorema- te huius libri, & propo$itum obtinebimus, nam cogno$cemus. e.i. & ex con$equen- ti. o.g. eius æqualem.

THEOREMA LI.

DIVIDERE numerum in duas eiu$modi partes, quæ pro medio proportionali alterum numerum propo$itum recipiant, primi dimidio minorem, aliud ni hil e$t, quàm binas primi numeri partes inuenire, quæ inter $e multiplicatæ quadra to $ecundi numeri numerum æqualem proferant, ex. 16. $exti aut. 20. $eptimi, quod tamen. 45. theoremate fuit à nobis $peculatum.

THEOREMA LII.

CVR pro po$itis tribus numeris quibu$cunque, $i productum primi in $ecun- dum per tertium multiplicetur, atque $ecundum hoc productum corpore\~u, per primum numerum diuidatur, proueniens erit numerus æqualis producto $e- cundi in tertium.

Exempli cau$a, proponantur hi tres numeri. 10. 11. 12. multiplicentur\’q ;. 10. c\~u. IO. BAPT. BENED. 11. dabuntur. 110. quo producto multiplicato cum. 12. dabuntur. 1320. hoc pro ueniens per primum nempe. 10. diui$um dabit. 132. numerum æqualem producto $ecundi in tertium numerorum propo$itorum, $cilicet. 132.

Hoc vt $peculemur, primus numerus $ignificetur line a. o. u. $ecundus. e.o. tertius. e.a. productum verò. o.u. in. o.e. $it. o.i. ip$ius ve rò. o.i. per. e.a. product\~u corpore\~u $it. i. c. tum product\~u. e. o. in. e. a. $it. e. c. Dico n\~uc quod di- ui$o numero corporeo. i.c. per prim\~u. o.u. {pro}ue niens æquale erit numero producti. e.c. Qua- re in primis cogitandum e$t, quod cum produ- ctum. i.c. ortum fuerit ex multiplicatione. o. i. in. e.a: dictum. o.i. toties ingredietur. i.c. quo- ties vnitas reperitur in. e.a. eadem ratione, to- ties. e.c. in. i. c. quot vnitates erunt in. o.u. Itaq; $equitur quòd diui$o. i.c. per o.u. proueniens $it e.c. corporeum, æquale nihilominus producto. e.c. $uperficiali.

THEOREMA LIII.

CVR diuidens propo$itum numerum in tres partes $ic $e habentes vt produ- ctum primi in $ecundam, in tertia multiplicat\~u, præbeat numerum alteri nu- mero propo$ito æqualem. Rectè $ecundum numerum per quemcunque alium mino rem primo diuidit, qui diuidens vna erit ex tribus partibus quæ$itis, proueniens autem erit productum vnius in alteram reliquarum duarum, quarum fumma cogni ta erit, detracto numero diuidente ex primo dato, quam quidem $i di$tinguere quis voluerit, vtetur theoremate. 45.

Exempli gratia, proponitur numerus. 20. in tres partes diuidendus, quæ $ic $e habeant, ut productum primæ in $ecundam in tertia multiplicatum det. 90. itaque $umenda erit pro prima vna pars ip$ius. 20. quæcunque illa $it, verbi gratia. 2. qua $ecundus numerus, nempe. 90. diuidatur, dabitur igitur. 45. quod erit productum cæterarum partium inter $e, quarum $umma e$t. 18. quam $ummam $i di$tinguere volueris in c{ae}teris duabus partibus $eparatis, vteris. 45. theoremate, vt quàm citi$- $imè quod cupis exequaris, erunt autem partes. 3. et. 15.

In cuius $peculationis gratiam nihil aliud occurrit, quàm quod præcedenti theo- remate, & $uperiore. 45. allatum e$t.

THEOREMA LIIII.

DIVIDERE numerum in. 3. eiu$modi partes, vt quadratum vnius $it æquale producto reliquarum duarum inter $e, idem omnino e$t cum 51. theoremate. Nam qui $umet quamlibet partem propo$iti numeri, quæ tertia parte maior tamen non $it, re$iduum\’q in duas tales partes diui$erit, vt prima $umpta, media proportio nalis $it ex probatione. 51. theoremate allata, propo$itum con$equetur.

THEOREMA LV.

I Dip$um alia ratione ab ea diuer$a quã. 51. theoremate adduximus, {pro}fici pote$t.

THEOREM. ARIT.

Sumantur enimtres numeri continui proportionales, cuiu$cunque denique pro portionalitatis, qui in $ummam colligantur, ac po$tmodum, regula de trib. dica- mus. Si $umma hæc primo numero propo$ito in tres partes diuidendo re$pondet, cuire$pondebit vna ex tribus partibus huiu$c{ae} s\~umæ? idem dereliquis duabus parti bus dico.

Exempli gratia, $i proponatur numerus. 57. diuidendus in tres continuas partes proportionales proportione $e$quialtera, tres numeros in eiu$modi proportio- nalitate di$tinctos $umemus, vt potè. 4. 6. 9. qui in $ummam collecti dabunt $um- mã. 19. dicemus\’q ; $i. 19. dant. 4. quid dab\~ut. 57? vnde proueniens vnius partis erit. 12. Tum $i dicamus, $i. 19. dat. 6. quid dabit. 57? nempe dabit. 18. Po$tremò, $i. 19. dat. 9. quid dabit. 57? nempe. 26. atque ita dabitur. 18. cuius quadratum æqua- bitur producto reliquarum duarum partium inter $e.

Quod vt $ciamus, numerus propo$itus in tres qua$libet partes diuidendus $i- gnificetur linea. a. d. tres autem numeri dictæ proportionalitatis, lineis. e. f: f. g. et. g. h. directè inter $e coniunctis denotentur. Cogitemus pariter lineam. d. a. in tres partes diui$am. a. b: b. c. et. c. d. eadem cum cæteris proportionalitate, tunc ea- dem erit proportio. a. d. ad quamlibet $uarum partium, quæ e$t. e. h. ad re$ponden tem ip$ius in. a. d: Verbi gratia re$pondentem. a. b. ip$i. e. f. et. b. c: f. g. et. c. d: g. h. Di co enim quòd ita $e habebit. a. d. ad. c. d. $icut. e. h. ad. g. h. Nam cum $ic $e habeat. a. b. ad. b. c. $icut. e. f. ad. f. g. ex præ$uppo$ito, permutando $ic $e habebit. a. b. ad. e. f. $i- cut. b. c. ad. f. g. & eadem ratione $ic $e habe- bit. c. d. ad. g. h. $icut. b. c. ad. f. g. & cõ$equen- ter $icut. a. b. ad. e. f. ex quo ex. 13. quinti $ic $e habebit tota. a. d. ad totam. e. h. $icut. c. d. ad. g. h. aut. b. c. ad. f. g. aut. a. b. ad. e. f. per- mutando itaque propo$itum manife$tum erit, ip$um autem productum. a. b. in. c. b. æquale erit quadrato. b. c. ex. 15. fexti aut. 20. $eptimi.

THEOREMA LVI.

VETERES aliud quoque problema indeterminatum propo$uerunt, quod ex more ratione à me definietur, e$t autem eiu$modi.

Quomodo propo$itus numerus in tres eiu$modi partes diuidatur, vt quadrat\~u vnius æquale fit fummæ quadratorum reliquarum duarum partium.

Hoc vt efficiamus tria quadrata $eparata $umamus, quor\~u vn\~u æquale $it reliquis duobus; eor\~u aut\~e radices in $ummam $imul colligantur, tum regulam de tribus $e quemur, ratione præcedenti theoremate demon$trata, & rectè vt infra docebimus, quod autem dico de quadratis, etiam de cubis, & quibu$uis dignitatibus a$$ero.

Exempli gratia, $i numerus diui$ibilis proponatur. 30. in tres eiu$modi partes di uidendus, vt quadratum vnius æquale $it $ummæ quadratorum reliquarum duarum partium, in primis radices trium quadratorum $umemus, $ic quomodocunque $e habentes, vt maius ip$orum æquale $it $ummæ reliquorum duorum, verbi gratia. 25. 16. et. 9. nempe. 5. 4. et. 3. quæ $i colligantur in $ummam efficiunt. 12. Tum ex regu- la de tribus dicemus, $i. 12. re$pondet. 30: cui, 5. radix maior re$pondebit? nem- pe. 12. cum dimidio.

Deinde $i dixerimus $i. 12. valet. 30. quid valebit. 4. radix media ? nempe vale- bit. 10. tertia autem minor. 7. cum dimidio. Itaquetota $umma erit. 30. & quadra- IO. BAPT. BENED. tum. 12. cum dimidio erit. 155. quod æquale erit $ummæ quadratorum duarum par tium, nempe. 100. cum. 55.

Hoc vt demõ$tremus, numerus diui$ibilis propo$itus $ignificetur linea. a. d. & $um ma radicum, no$tro modo $umptarum, linea. e. h. quarum prima & maior $it. e. f. $e- cunda. f. g. tertia. g. h. cogitemus etiam lineam. a. d. ea ratione diui$am e$$e qua. e. h. patebit cnim ex modo præcedentis theorematis vnamquanque partium. a. d. ita $e habituram ad $uum totum $icut $e habent $ingulæ. e. h. ad $uum. Quod ideo dico, vt intelligamus rectè nos dicere. Si. e. h. dat. a. d. ergo. e. f. dabit. a. b. atq; ita de cæteris. Quare permutando $ic $e habebit. a. b. ad. b. c. $icut. e. f. ad. f. g. idem dico de reliquis. Igitur ex. 18. $exti aut. 11. octaui, eadem erit proportio quadrati. a. b. ad quadrat\~u. b. c. quæ quadrati. e. f. ad quadratum. f. g. tota enim $unt æqualia, cum eorum partes $imiles inter $e $unt æquales. Idem dico de proportione qu@drati. a. b. nempe ita $e habere ad. c. d. $icut quadratum. e. f. ad quadratum. g. h. ex quo ex. 24. quinti pro- portio quadrati. a. b. ad $ummam quadratorum duarum partium. b. c. et. c. d. $ic $e ha bebit ut quadrati. e. f. ad $ummam quadra- torum. f. g. et. g. h. At quadratum. e. f. æquale e$t $ummæ quadratorum. f. g. et. g. h. igitur $ic etiam $e habebit quadratum. a. b. nempe æquale quadratis. b. c. et. c. g. Idip$um de cæ teris dignitatibus dices, vteris\’q ;. 21. theoremate huius libri.

THEOREMA LVII.

SIMILE quoque problema ab antiquis indeterminatum proponitur, quod eiu$- modi e$t.

An numerus aliquis in tres eiu$modi partes di@idi po$$it, vt quadratum vnius æ- quale $it $ummæ quadratorum cæterarum duarum partium $imul cum producto vnius in alteram.

Exempli gratia, $i proponatur numerus. 50. vt iam dictum e$t diuidendus, repe riendus erit alius quilibet numerus, qui tamen $umma $it trium radicum $ic $e ha- bentium, vt quadratum vnius æquale $it $ummæ quadratorum duarum partium $i- mul cum producto vnius in alteram, eum autem qui primò occurrit $umamus, utpo tè. 30. qui $umma e$t numerorum. 6. 10. 14. partium $ic $e habentium, vt quadratum ip$ius. 14. æquale $it $ummæ quadratorum cæterarum partium $imul cum produ- cto vnius in alteram, agamus\’q ue regula de tribus, ac dicamus, $i. 30. valet. 50. quid valebit. 14. nempe. 23. cum tertia parte. Idem efficiemus in cæte- ris partibus, quarum vna erit. 16. cum duabus tertijs, altera verò. 10. ab$que @ractis, ex quo quadratum primæ erit. 544. cum. 4. nonis, $ecundæ. 277. cum $eptem nonis, tertiæ. 100. & productum $ecundæ in tertiam. 166. cum. 6. nonis, quod productum, cum quadratis $ecundæ & tertiæ collectum erit. 544. cum. 4. nonis.

Huius rei $peculatio eadem e$t, qu{ae} fuit præcedentis theorematis v$quequo no- ueris eandem proportionem e$$e quadrati. a. b. ad $ummam quadratorum. b. c. et. c. d. quæ quadrati. e. f. ad $ummam quadratorum. f. g. et. g. h. Sed cum hic non demus quadratum. e. f. æquale $ummæ quadratorum. f. g. et. g. h. fed maius ex producto. g. h. in. f. g. aut quod idem e$t, è contrario, $ub$equentes figuræ cogitandæ erunt, qua- rum. i. $it quadratum. a. b: l. $it quadratum. e. f: x. quadratum. b. c: y. quadratum. f. g: p. quadratum. c. d: q. quadratum. g. h: k. $it productum. b. c. in. c. d: m. $it productum. f. THEOREM. ARITH. g. in. g. h. Nunc ex $peculatione præcedentis theorematis, eadem erit proportio. n. t. ad. o. u. quæ e$t. n. s. ad. o. r. quare pro- ductum. k. ex definitione $imile erit producto. m. cum vtraque $int rectan- gula, vnde proportio. k. ad. m. ad pro- portionem. n. t. ad. o. u. ex. 18. $exti du- pla erit. Igitur proportio. k. ad. m. æ- qualis erit proportioni. x. ad. y. et. p. ad. q. et. i. ad. l. & permutando $ic $e ha- bebit. k. ad. i. $icut. m. ad. l. $ed. x. p. ad. i. $ic$e habere probatum e$t vt. y. q. ad. l. Quare ex eadem. 24. quinti $ic $e habe bit. x. p. k. ad. i. $icut. y. q. m. ad. l. $ed. y. q. m. æqualis e$t. l. Itaque. x. p. k. pariter. i. æqualis erit.

THEOREMA LVIII.

ALIVD quoque problema, nec tamen definitum, veteres propo$uerunt, nempe an aliquis numerus in. 4. eiu$modi partes diuidi po$$it, vt $umma qua- dratorum duarum partium dupla $it $ummæ quadratorum reliquarum duarum.

Verum huius effectio & $peculatio non erit difficilis, c\~u $it eadem quæ præmi$sis proximè duobus theorematibus allata fuit, $umpta nempe $umma radicum quarun cunque $ic $e habentium, prout dictum fuit. Verbigratia. 44. cuius partes erunt. 16. 12. 14. 2. t\~uc progrediemur regula de tribus dicentes. Si. 44 numerum propo$i- tum valet, quid. 16. pars maior? nempe valebit partem maiorem numeri propo$i- ti re$pondentem. 16. idem de cæteris dico.

Porrò $peculatio eadem e$t cum $uperioribus.

THEOREMA LIX.

CVR diuidens propo$itum numerum in duas eiu$modi partes, vt productum radicum quadratarum ip$arum partium æquale $it alteri numero propo$ito, cuius tam\~e quadratum maius nõ $it quadrato dimidij primi numeri propo$iti. Rectè $ecundum numerum propo$itum in $eip$um multiplicat, & eund\~e ex quadrato di- midij primi detrahit, re$idui\’q ; quadratam radicem $ubtrahit ex dimidio ip$ius pri- mi, ex quo datur minor pars quæ$ita, quaip$i dimidio coniuncta, maior pars ha- betur.

Exempli gratia, $i proponatur numerus, 20. propo$ito modo, in duas partes eiu$modi diuidendus, vt productum radicum æquale $it (verbigratia) 8. Dimi- dium priminumeri in $eip$um multiplicabimus, cuius quadratum erit. 100. ex quo quadratum $ecundi numeri, nempe. 64. detrahemus, remanebit\’q ;. 36. cuius radi ce quadrata coniuncta. 10. dimidio inquam primi numeri propo$iti, dabitur nume rus. 16. pars maior, & $ubtracta à dimidio, dabitur minor pars, nempe. 4.

IO. BAPT. BENED.

Hoc vt demon$tremus, primus nu- merus linea. a. b. $ignificetur, quam di- ui$am cogitemus in puncto. c. in partes quæ$itas, ex quo præ$upponitur duas li- neas. a. c. et. c. b. duo quadrata e$$e, quæ in altera figura $ignificetur per. d. et. e. productum autem radicum cognitum. f. quandoquidem datum e$t, cuius qua- dratum æquale erit producto quadra- torum. d. e. adinuicem, nempe. b. c. in. a. c. ex. 19. theoremate huius. Quod verbi gratia $it. x. itaq; cognitum, quo facto, doctrinam. 45. theorematis libri huius $ecuti, propo$itum con$equemur.

THEOREMA LX.

CVR productum differentiæ duarum radicum in $ummam ip$arum, $emper differentia $it quadratorum ip$arum radicum.

Ex\~epli gratia, quoslibet duos numeros pro radicibus $ump$erimus, vt potè. 3. et. 5. quorum differentia e$t. 2. certè $i differentiam hanc per $ummam radicum $cili- cet. 8. multiplicauerimus, dabitur numerus. 16. quod productum differentia e$t $uorum quadratorum, nempeinter. 9. et. 25.

Hoc vt $peculemur, duæ radices in linea. n. i. $ignificentur, quarum vna $it. n. c. & altera. c. i. ip$arum autem differentia. n. t. ex quo. t. c. æqualis erit. c. i. Tum cogitato toto quadrato. d. i. cum diametro. d. i. ducta\’q parallela lateri. n. d. à puncto. c. & altera à puncto. t. & à puncto. o. tertia ip$i. n. i. & à puncto. a. quarta. x. a. e. parallela ip$i. o. inueniemus. b. n. productum e$$e differentiæ. n. t. in $umma radicum. n. i. & cum. d. o. et. a. o. $int quadrata radicum prædictarum: b. e. æquale erit. n. u. cum vtrunque horum productorum æquale $it. x. u. ex quo gnomon. e. d. u. æqualis erit producto. b. n. quod $cire cupiebamus.

THEOREMA LXI.

CVR propo$itum aliquem numerum diui$uri in duas eiu$modi partes, vt diffe- rentia radicum quadratarum æqualis $it alteri numero propo$ito, cuius ta- men quadratum dimidij primi quadratum non excedat. Rectè $ecundum numerum in $eip$um multiplicant, productum verò ex primo numero detrahunt, rur$us\’q ; di midium re$idui quadrant, & quadratum hoc ex quadrato dimidij primi $ubtrahunt, atque ita radice quadrata re$idui, dimidio primi coniuncta, pars maior datur, qua ex ip$o dimidio detracta, pars minor relinquitur.

Exempli gratia, propo$ito numero. 20. ita ut propo$itum e$t, diuidendo, nem- pe vt differentia radicum quadratarum dictarum partium æqualis $it binario, bina- rium hocin $eip$um multiplicabimus, cuius quadratum. 4. è primo numero. 20. de THEOREM. AR IT. trahemus, $upererit\’q; numerus. 16. cuius dimidium $cilicet. 8. in $eip$um multipli- cabimus, dabitur\’q; numerus. 64. qui cum ex quadrato dimidij primi detractus fue- rit, nempe ex. 100. & re$iduo. 36. radix quadrata nempe. 6. coniuncta denario, di- midio primi, dabit. 16. partem maiorem, & ex denario detracta, partem minorem.

Cuius $peculationis cau$a, primus numerus propo$itus $igni$icetur linea. x. y. pro voto diui- $a in puncto. c. et. x. t. productum $it ip$ius. x. c. in. c. y. pariter etiam. q. p. $it $umma radicum quadratarum, nempe. q. g. ip$ius. t. c. et. g. p. ip- $ius. c. y. Tum $uper. q. p. extruatur & diuidatur quadratum. q. u. ea ratione qua. 41. theoremate aut. 29. diui$imus, in quo $anè quadrato, quadra tum ip$ius. q. i. cernemus datæ differentiæ, & in eo collocata quadrata. x. c. et. c. y. ita etiam & rationem, qua cogno$cimus productum. g. r. (v$i modo. 29. theorematis) cuius quidem. g. r. qua- dratum, ex. 19. theoremate æquale erit produ- cto. x. t. ideo etiam cognitũ, ac proinde cum no uerimus. x. y. $i rationem $equemur. 45. theore mate cogno$cemus non $olum ratione. 41. theoremate allata hocrectè perfici, $ed hac etiam alia ratione.

THEOREMA LXII.

CVR propo$itum numerum diui$uri in duas eiu$modi partes, vt differentia $uarũ radicũ quadratarũ æqualis $it alteri numero propo$ito. Cuius tam\-e qua- dratũ maius non $it quadrato medietatis ip$ius primi propo$iti numeri. Rectè etiã quadratũ dimidij $ecundi numeri ex dimidio primi detrahũt, re$idui\’q; radicem per $ecundum multiplicant, & productum ex dimidio primi detrahunt, vt re$iduum pars quæ$ita minor $it, & illud alterum totius re$iduum, pars maior.

Exempli gratia, $i numerus. 50. in prædictas duas partes diuidendus pro- poneretur, & alter etiam. 6. quadratum dimidij $ecundi numeri e$$et. 9. eo detra cto ex dimidio primi, remaneret. 16. cu ius radix. 4. $cilicet per totum $ecundum nempe. 6. multiplicata, proferet. 24. quo producto ex dimidio primi detra- cto, nempe. 25. dabitur. 1. pars minor, maior aut\-e erit re$idũ. 50. hoc e$t. 49. radices autem erunt. 1. et. 7. differentes inter $e, numero $enario.

Hocvt $ciamus, duo numeri lineis $i- gnific\-etur, primus linea. b: $ecũdus linea. c. duæ autem partes. b. duobus quadra- tis. q. i. et. i. d. notentur, eorum verò radi- ces lineis. a. g. et. g. d. differentia porrò ip $i. c. æqualis & co gnita $it. a. h. ex quo. h. IO. BAPT. BENED. g. æqualis erit. g. d. tum productum. a. g. in. g. d. $it. a. i. et. t. i. æqualis. a. i. et. l. i. pariter $ecetur æqualis. t. i. quæ omnia ex diametro. q. d. cogitari po$$unt: erit igitur. u. i. æ- qualis. i. d. $upererit\’q; quadratum. q. u. differentiæ. a. h. cognitum, hoc verò cogi- temus diui$um e$$e in. 4. partes æquales medijs diametris. p. r. et. n. e. quare vnaquæq; partium cogno$cetur, & quadratũ erit ip$ius. a. K. aut ip$ius. K. h. dimidij. a. h. Quòd $i aliquod i$torum quadratorum detrahere voluerimus, nempe. n. r. ex dimidio $um mæ. b. duorum quadratorum. q. i. et. i. d. cognitæ, hac via procedemus, primum con $iderabimus. t. r. coniunctam. t. i. quæ quantitates erunt $umma dimidij duorũ qua- dratorum. q. i. et. i. d. quando quidem. t. r. dimidiũ e$t quadrati. t. l. et. t. i. dimidiũ gnomonis. t. i. l. coniunctum dimidio quadrati. i. d. ex quo. i. t. r. dimidium erit. b. ex qua quantitate. i. t. r. cogitare debe mus detrahi quadratum ip$ius. K. h. nem pe. n. r: quare quod $upere$t cognitum erit nempe. y. s. cum. n. i. $ed. y. m. æqualis e$t. n. i. et. y. m. cum. y. s. con$tituunt qua- dratum. p. m. Itaq;;. p. m. quadratum & con$equenter. p. s. eius radix cogno$ce- tur, ita etiam & productum huius. p. s. in. s. x. æqualis. c. nempe. p. x: e$t\’q; produ- ctum huiu$modi $emper minus quantita te. r. t. i: per. u. i. æquale quadrato minori. i. d. quare. i. d. cogno$cetur, con$equen- ter. i. @q. tanquam re$iduum ex. b. & eo- rum radices quadratæ cogno$centur. a. g. et. g. d.

THEOREMA LXIII.

IDEM præ$tari hac alia via, meo iudicio pote$t. Secundus numerus in $uũ dimi diũ multiplicetur, productũ autem ex dimidio primi detrahatur, ex quo re- manens erit productum vnius quadratæ radicis in alteram partium primi numeri quæ$itarum, deinde productum hoc duplicetur, & primo numero dato coniunga- tur, $ic\’q; huius $ummæ quadrata radix erit $umma radicum quadratarum dictarum partium, cui iuncto producto ex quadrage$imoquinto theoremate $ingulæ radices proferentur.

Exempli gratia, primus numerus diui$ibilis erat. 50. alter verò. 6. Iam $i multi- plicemus. 6. per. 3. nempe dimidium proferetur numerus. 18. quo ex dimidio pri- mi, nempe. 25. detracto, $upererit. 7. productum vnius radicis in alteram, quod du plicatum dabit. 14. quo coniuncto cum primo numero. 50. dabitur numerus. 64. cuius quadrata radix $cilicet. 8. erit $umma radicum duarum partium quæ$itarum, qua & producto. 7. ex quadrag e$imoquinto theoremate dictæ radices di$tinguen, tur, quarum vna erit. 7. & altera. I.

Vtautem hoc$peculemur, præcedenti figura vti poterimus, in qua patet. t. r. pro ductum e$$e $ecundi numeri. c. nempe. a. h. hoc e$t. t. u. in dimidio. a. e. $cilicet. p. t. re- $iduum autem dimidij primi. b. e$$e. t. i. nempe. a. i. productum radicum, quod $upple THEOREM. ARITH. mentum e$t quadrati. q. d. totalis. Quare duplicato. a. i. & coniuncto. b. cogno$ci- mustotum. q. d. & con$equenter. a. d. $uam radicem, hoc e$t $ummam duarum radi cum. a. g. et. g. d. quæ medio. a. i. cognito, & quadrage$imoquinto theoremate $ingu- læ cogno$cuntur.

THEOREMA LXIIII.

CVR propo$itum aliquem num erum in duas eiu$modi partes diui$uri, vt $um- ma radicum dictarum partium æqualis $it alteri numero propo$ito. Rectè $e- cundum numerum in $eip$um multiplicant, ex quo quadrato, primum datum nu- merum detrahunt, rur$us\’q; re$iduum in $eip$um multiplicant, & ex eo quadrato quartam partem de$umunt, quã ex quadrato dimidij primi numeri detrahunt, radi- cem\’que qua dratam re$idui cum iunxerint, & ex dimidio primi numeri detraxerint, partes quæ$itæ proferuntur.

Exempli gratia, $i proponeretur primus numerus. 20. diuidendus et. 6. $ecundus pro $umma radicum, hunc $ecundum. 6. in $eip$um multiplicabimus, dabitur\’q; nu- merus. 36. ex quo quadrato primus numerus detrahetur, $upererit\’q; numerus. 16. qui quadratus dabit. 256. cuius numeri quarta pars $umetur, nempe. 64. quæ ex qua drato dimidij primi numeri detrahetur, nempe. 100. $upererit\’q;. 36. cuius radix qua drata. 6. coniuncta & detracta ex. 10. dabit. 16. partem maiorem et. 4. minorem.

Cuius rei hæc $peculatio, primus numerus diui$ibilis $ignificetur linea. a. b. diui- $a in puncto. e. in partes adhuc incognitas, et. a. c. $it productum. a. e. in. e. b. item. q. p. $ecundum numerum $ignificet, æqualem $ummæ radicum, quæ puncto. n. di$tin- guantur. Po$tmodum totum quadratum. p. d. erigatur (quod nobis e$t cognitum), in duo quadrata diui$um. o. p. et. o. d. quorum $umma. a. b. cum detur, cognita rema- net $umma duorũ $upplementorũ. o. u. et. o. q. qua quadrata cũ fuerit dabit quadru plũ quadrati $upplem\-eti. o. q. n\-epe quadruplũ producti. a. c. etenim. a. c. ex. 19. theo remate huius libri quadratum eft ip$ius. q. o. $ic\’q; poterant etiam veteres quadrare dimidium differentiæ. a. b. ab. p. d. nempe quadrato tantummodo $upplemento. q. o. Tunc habito. a. c. eius ope tanquam producti. a. e. in. e. b. ex. 45. theoremate $ingu læ partes cogno$centur.

Quod alia etiam ratione præ$tari poterat, nempe cognito $upplemento. q. o. di$tinguendæ radices q. n. et. n. p. ex. 45. theoremate, quibus cognitis, eorum etiam quadrata cogno$cuntur.

IO. BAPT. BENED. THEOREMA LXV.

CVR propo$ito numero in tres quale$cunque partes diui$o, $i prima in tertiam multiplicetur, & huic producto, $ecundæ in primam productum coniungatur, item\’q; $ecundæ in tertiam, hæc $umma duplicata æqualis $it $ummæ productorum $ingularum in cæteras duas.

Exempli gratia, $i proponatur. 20. diui$us in tres partes nempe. 12. 5. 3. multipli- cato primo. 12. per. 3. tertiam partem dabitur. 36. $ecunda verò multiplicata per re liquas duas, hoc e$t. 5. per. 12. et. 3. in primis dabitur. 60. po$tea. 15. quorũ triũ pro ductorum $umma erit. 111. quæ duplicata dabit. 222. qui numerus æqualis e$$e di- citur $ummæ productorum $ingularum partium in reliquas duas, nempe $ummæ. 60. 36. 60. 15. 36. 15. hoc e$t ip$is. 222.

Cuius rei per $e patet $peculatio, cum in his $ex vltimis productis, $ingula tria prima duplicentur.

THEOREMA LXVI.

CVR propo$ito numero in. 3. quale$cunque partes diui$o, $i in reliquas duas $in- gulæ multiplicentur, & hæc producta cum $umma $uorum quadratorum con- iungantur, tota $umma hæc vltima æqualis erit quadrato totali propo$iti numeri.

Exempli gratia, $i fuerit idem numerus. 20. in. 3. partes diui$us. 12. 5. 3. Si. 12. in 5. et. 3. producatur, $umma productorum erit. 96. at. 5. in. 12. et. 3. erit. 75. po$tmo- dum. 3. in. 12. et. 5. erit. 51. nempe in vniuer$um. 222. quadratorum porrò $umma erit. 178 quæ coniuncta. 222. dabit. 400. quadratum ip$ius. 20.

Erit autem huiu$ce rei facillima $peculatio, $i $equentem figuram mente conce- perimus, in qua. a. b. propo$itum numerum $ignificet, cuius partes di$tinctæ $int me- dio. e. et. c. Ip $um autem. q. b. $it quadratum totale parallelis. e. s. et. c. x. diui$um, quæ qua dratum in triarectangula diuident, quorum primum erit. q. e. compo$itum ex producto. a. e. in $emetip$am, nempe quadratum. o. e. & ex producto eiu$dem. a. e. in. e. b. quod erit re ctangulum. o. s. ex quo tria rectangula. o. s. et. n. x. et. t. u. tria producta erunt $ingularum par tium in cæteras duas, et. e. o: c. n: b. t. tria qua- drata erunt: quibus $ex quantitatibus quadra tum totale. q. b. completur.

THEOREMA LXVII.

VETERES aliud quoque problema indefinitum propo$uerunt, quod tamen à nobis determinabitur.

Cur diui$uri propo$itum numerum in duas eiu$modi partes, vt mutuò diui$is, & per $ummam prouenientium diui$a $umma qua dratorum partium, oriatur proue- niens alter numerus propo$itus.

Propo$ito deinde tertio quolibet numero diuidendo per $ingulas partes primi, THEOREM. ARIT. ita vt $imul prouenientibus in $ummam collectis huius fummæ ad primum nume- rum propo$itum proportio futura $it ea quæ e$t tertij ad $ecundum. Rectè dimidium primi numeri in $eip$um multiplicant, ex quo quadrato $ecundum numerum detra hunt, tum re$idui radicem $umunt, quam iungentes, & detrahentes ex dimidio primi, partes quæ$itas habent, cætera ex nece$sitate $ub$equuntur, prout nunc a me docebitur.

Exempli gratia, proponitur numerus. 20. in duas partes diuidendus, quibus po $tea mutuò diui$is, & per $ummam prouenientium diui$a $umma quadratorum, dent $ecundũ numerum propo$itum. 36. nam reliqua con$equuntur. Itaque. 10. dimidium primi in $eip$um multiplicatur, & ex quadrato. 100. eruitur numerus. 36. nempe $ecundus propo$itus re$idui porrò. 64. quadrata radix. 8. fumitur, quam con iungimus & detrahimus ex dimidio primi $cilicet. 10. ex quo partes quæ$itæ dabun tur. 18. et. 2. quæ mutuo diui$æ dabunt $uorum prouenientium $ummam. 9. cum no- na parte, per quam diuidentes. 328. $ummam quadratorum ip$arum partium, exactè dabitur numerus. 36. qui fuit $ecundò propo$itus. Tum $i per $ingu- las iam inuentas partes quilibet numerus diui$us fuerit, verbi gratia. 72. $umma pro uenientium erit. 40. qui num@rus eandem proportionem cum primo nempe. 20. $er uabit, quam tertius propo$itus. 72. cum $ecundo. 36.

Quod vt $peculemur, primus numerus $ignificetur linea. n. e. ita diuidendus à puncto. o. vt diui$a parte. n. o. per. o. e. et. o. e. per. n. o. & per $ummam prouenien- tium diui$a $umma quadratorum. n. o. et. o. e. detur $ecundus numerus notatus linea. q. K. Porrò memini$$e oportet quòd. 26. theoremate probatum fuit vltimum hoc proueniens æquale producto partium inter $e futurum, nempe producto. n. o. in. o. e. quod $ignificetur rectangulo. n. e. Itaque datis. n. e. et. q. K. $i. 45. theorema con$u- luerimus, partes. n. o. et. o. e. cogno$cemus.

Proponitur deinde tertius quilibetnumerus, verbi gratia. x. diuidendus per. o. e. et. o. n qui $i diuidatur per. o. e. dabit pro ueniens. b. o. Si verò per. n. o. proueniens erit. d. n. nunc a$$erimus $ummã duorum horum prouenientium, $ic primo nume- ro. n. e. dato proportionatam e$$e, $icut tertius. x. $ecũdo. q. K. Producatur enim li- nea. d. n. donec. n. q. æqualis $it. o. b. ex quo. q. d. erit $umma vltimò prouenien- tium: item producatur. e. n. donec. n. u. æ- qualis $it. o. e. terminetur\’q rectangulum. q. u. quod tertio numero propo$ito. x. vt patet, æquale erit, quare ex. 15. $exti aut. 20. $eptimi eadem erit proportio. d. n. ad n. q. quæ. u. n. nempe. o. e. ad. o. n. & com- ponendo. d. q. ad. q. n. $icut. e. n. ad. n. o. & permutando. d. q. ad. e. n. quæ. q. n. hoc e$t. b. o. ad. o. n. nempe $icut. b. e. ad. e. n. $uperficialem, ex prima $exti aut. 18. vel. 19. $eptimi, $ed rectangulum. e. n. con$titutum fuit æquale numero. q. K. itaque verum e$t propo$itum.

IO. BAPT. BENED. THEOREMA LXVIII.

CVR numero per numerum diui$o, producto\’q; duorum numerorum per pro- ueniens multiplicato, quod vltimò productum e$t, diui$i numeri $emper qua dratum exi$tat.

Exempli gratia, $i diuidamus. 10. per. 2. proueniens erit. 5. quo producto ex duo bus numeris multiplicato, nempe. 20. habe bimus. 100. quadratum numeri diui$i.

Cuius gratia duo numeri $int. a. et. e. por rò. a. per. e. diui$o detur. u. tum. o. produ- ctum. a. in. e. e$$e con$tituatur, quo per. u. multiplicato dabitur. x. quadratum. a. pro- ptereà quòd. a. medium e$t proportionale inter. o. et. u. ex. 35. theoremate. itaque ex. 16. $exti aut. 20. $eptimi, propo$iti veri- tas eluce$cet.

THEOREMA LXIX.

CVR numero aliquo per duos alios multiplicato & diui$o, $i per horum duo- rum productum, $umma duorum primorum productorum diui$a fuerit, vl- timum proueniens, $ummæ duorum primorum prouenientium æquale $it.

Exempli gratia, proponitur numerus. 24. per. 8. et. 6. multiplicandus & diuiden dus $umma productorum crit. 336. prouenientium autem. 7. $i igitur $ummam. 336. productorum per productum duorum $ecundorum numerorum nempe. 48. diui$e- rimus, proueniens pariter erit. 7.

In cuius gratiã primus numerus $ignificetur linea. q. b. multiplicandus & diuiden- dus numeris de$ignatis per. k. m. et. y. m. productorum $umma $it. k. z. prouenien- tium autem. a. e: et. a. o. ex. k. m. et. o. e. ex. y. m: tum productum. k. m. in. m. y. $it. f. m. Dico quòd $i. k. z. per. f. m. diui$erimus proueni et. a. e. Quod cum $ic fuerit, erit quoque verum quòd diui$a. k. z. per. a. e. proueniet. f. m. numerus $cilicet æqualis numero. f. m. ex. 13. theoremate huius. Itaque quotie$cunque probauero quòd di- ui$a. k. z. per. a. e. proueniat numerus æqualis ip$i. f. m. propo$itum verum e$$e con $equetur. ex. 13. theoremate. Quòd $i proueniens ex diui$ione. k. z. per. a. e. æqua le fuerit. f. m. patet ex. 7. quinti quòd ead\-e erit proportio numeri. k. m. y. ad ip$um proueniens, quæ ad numerum. f. m. Cogitemus itaq;. k. u. æqual em. a. e. $uper quam mente concipiamus rectangulum. u. p. æqualem. k. z. ex quo eadem erit proportio. k. p. ad. k. y. quæ. g. k. ad. k. u. ex. 15. $exti, aut, 20. $eptimi, numerus autem. k. p. erit proueniens, quod probandum e$t æquale e$$e. f. m.

Probabitur autem $ic, ex. 9. quinti, nempe demon$trato quòd numerus. k. p. ean dem proportionem habeat ad numerum. k. y. quam habet numerus. f. m. ad eundem k. y. Sed probatum e$t $ic $e habere. k. g. ad. k. u. $icut. k. p. ad. k. y. $ufficiet igitur pro- bare $ic $e habere. k. g. ad. k. u. $icut. f. m. ad. k. y. Sed. k. g. dicitur æqualis e$$e. q. b: et. k. u; a. e. $atis erit igitur probare ita $e habere. q. b. ad. a. e. $icut. f. m. ad. k. y. Scimus au- tem quòd eadem e$t proportio. q. b. ad. a. o. quæ. m. k. ad vnitatem, quæ $it. x. & quod proportio. o. e. ad. q. b. eadem e$t, quæ. x. ad. m. y. ex definitione diui$ionis. Quare ex æqualitate proportionum eadem erit proportio. k. m. ad. m. y. quæ. e. o. ad. o. a. & THEOREM. ARIT. componendo $ic $e habebit. k. y. ad. m. y. $icut. e. a. ad. o. a. & permutando. k. y. ad. e. a. $icut. m. y. ad. o. a. & ex. 19. quinti ita. k. m. ad. e. o. $icut. k. y. ad. e. a. & permutando. k. m. ad. k. y. $icut. e. o. ad. e. a. Nunc producatur. f. t. donec. t. i. æqualis $it. k. y. produ- cta\’q;. m. t. done c. t. s. æqualis $it vnitati. x. terminetur\’q; rectangulum. s. i. ex quo da- bitur proportio numeri. f. m. ad numerum. s. i. compo$ita ex. m. t. ad. t. s. et. f. t. ad. t. i. ex. 24. $exti, aut quinta octaui, $ed ita etiam proportio. q. b. ad. a. e. componitur ex ei$dem proportionibus, nempe ex. q. b. ad. o. e. æquali. m. t. ad. t. s. & ex proportione. o. e. ad. a. e. æquali. f. t. ad. t. i. ita que proportio numeri. f. m. ad. s. i. hoc e$t ad numerũ ip$ius. k. y. {ae}qualis e$t proportioni numeri. q. b. ad. a. e. n\-epe. k. g. ad. k. u. hoc e$t. k. p. ad x. y. ex quo $equitur. k. p. con$tare numero {ae}quali. f. m. proueniens igitur ex diui$ione numeri. k. z. per. f. m. æquale e$t numero ip$ius. a. e.

THEOREMA LXX.

HAEC porrò conclu$io alia etiam via demon$trari pote$t.

Significetur numerus diuidendus atque multiplicandus linea. b. a. Deinde diuidentes & multiplicãtes $int. k. m. et. m. y. prouenientia ex diui$ione $int. a. o. et. o. e. atque. a. o. ex. m. y: o. e. verò ex. k. m. proueniat, quorum $umma $it. a. e: productum autem. b. a. in. k. m. $it. b. p. et. p. s. productum. b. a. in. m. y. ad hæc rectangulum. k. y. $it productum. k. m. in. m. y: quo to- tum productum. a. s. diuidatur, pro ueniens\’q; $it. a. c. cui, a. c: productũ. a. s. eãd\-e proportion\-e $eruabit, quã k. y. rectangulum ad vnitatem ex definitione diui$ionis, hoc autem proueniens. a. c. cõ$tare numero æ- quali a$$ero $ummæ. a. e. Primum enim ex dicta definitione diui$io- nis habemus eandem e$$e propor- tionem. b. a. ad. a. o. quæ. m. y. ad vnitatem, & quod $ic $e habet. b. a. ad. o. e. $icut. k. m. ad eandem vnita tem. Itaque vnitas hæc linearis $i- gnificetur per. m. x. in $ingulis late- ribus. k. m. et. m. y. producentibus rectangulum. k. y: $uperficialis autem vnitas $it. IO. BAPT. BENED. g. m. cogitetur\’q; rectangulum. y. x. & rectangulum. k. x. Itaque dabitur eadem pro portio. k. m. ad. m. x. nempe. k. x. rectanguli ad. m. g. quæ e$t. b. a. ad. o. e. et. y. x. ad. m. g. quæ. b. a. ad. a. o. $ed ex prima $exti aut. 18. vel. 19. $eptimi, $ic $e habet rectangu- lum. k. y. ad. x. y. $icut. k. m. ad. m. x. quare $icut. b. a. ad. o. e. ex. 11. quinti, & eiu$dem rectanguli. k. y. ad rectangulum. k. x. $icut. y. m. ad. x. m. nempe. b. a. ad. a. o. Quare ex communi $cientia, $ic $e habebit duplum rectanguli. k. y. ad $ummam. y. x. cum. k. x. rectangulorum, $icut duplum. b. a. ad $ummam. a. o. e. et proportio $ummæ re- ctangulorum. y. x. et. k. x. duplo. g. m. $icut duplum. b. a. ad. a o. e. Igitur $umma duo- rum rectangulorum. y. x. et. x. k. media proportionalis erit inter duplum rectanguli. k. y. & duplum vnitatis $uper$icialis. g. m. Nunc terminetur rectangulum. a. r. ex quo dabitur eadem proportio dupli. a. s. ad. a. r. $icut dupli. b. a. ad. a. e. ex propo$itioni- bus notatis, $exti aut $eptimi. Quare etiam $icut dupli rectanguli. k. y. ad $ummã rectangulorum. y. x. et. k. x. Iam verò $i con$tituatur. e. c. pro vnitate lineari ip$ius. e. r. certi erimus numerum. a. c. æqualem e$$e. a. e. & proportionem. r. e. ad. e. c. hoc e$t. a. r. ad. a. c. eandem quæ. y. x. et. x. k. rectangulorum ad. m. g. ex prædictis rationi- bus, & ex hypothe$i, nempe quòd. e. r. æqualis $it numero. k. m. y. hoc e$t rectangulorum. y. x. et. x. k. Quamobrem. a. r. ex communi $cientia mediũ proportionale erit inter duplum. a. s. & duplum. a. c. ea d\-e\’q; {pro}portio dupli pr{ae}dicti. a. s. ad duplum. a. c. ex æqualitate propor- tionum $imul collectarum, eadem erit qùæ proportio dupli rectangu- li. k. y. ad duplum. m. g. hoc e$t. a. s. $implicis ad $implicem. a. c. quæ $im plicis rectanguli. k. y. ad $implicem vnitatem. g. m. $ic enim $e habet $im plex ad $implex, $icut duplum ad duplum. Sed pariter ita $e habet. a. s. ad. a. c. cogitato. a. c. tamquam proueniente ex diui$ione. a. s. per rectangulum. k. y. vt con$titutum e$t, $icut. k. y. ad. m. g. ex defi- nitione diui$ionis vt iam dictum e$t, quare numerus. a. c. æqualis erit numero. a. o. e.

THEOREMA LXXI.

CVR propo$itis. 4. numeris, duobus nempe diuidentibus ac duobus diuiden- dis, $i adinuic\-e diui$i fuerint, duo\’q; proueni\-etia inuic\-e multiplicata qu\-euis nu merum producant, qui $eruetur, $i deinde ijdem numeri ver$a vice mutuo diui$i fue rint, & inter $e multiplicata prouenientia, productũ hoc, primo $eruato numero æquale erit.

Exempli gratia propo$itis his. 4. numeris. 20. 30. 5. 10. duo autem. 20. $cilicet et. 30. $int numeri diuidendi, porrò. 5. et. 10. numeri diuidentes, n\-epe vt primo. 20 per. 5. diuidatur, tum. 30. per. 10. producetur. 4. et. 3. qui $imul multiplicati profer\-et. 12. tum. 20. per. 10. d iui$o et. 30. per. 5. prouenientia erunt. 2. 6. quæ inter $e multi- plicata producent etiam. 12.

THEOR. ARITH.

Cuius rationem $i quæris, $ignificentur. 4. numeri lineis, a. e. o. u. diuidatur\’q;. 2. per. o. & oria\~t. s. & per. u. oria\~t. y. et. e. diui$o per. o. oriatur. z. & per. u. proueniat. f. tum. n. $it productum. z. in. y. et. m. productum. s. in. f. Dico n. futurum æquale. m. Sit deinde. x. vnitas, quare ex definitione diui- $ionis eadem erit proportio. s. ad. a. et. z. ad. e. quæ. x. ad. o. Sed ita $e ha- bet. a. ad. y. et. e. ad. f. $icut. u. ad. x. ex quo $ic $e habebit. s. ad. a. $icut. z. ad e. et. a. ad. y, $icut. e. ad. f. Itaque ex æqualitate proportionum $ic $e ha- bebit s. ad. y. $icut. z. ad. f. Igitur ex 15. $exti aut. 20. $eptimi productum. n. producto. m. æquale erit.

THEOREMA LXXII.

ALIVD quoque problema à me inuentum e$t, nempe vt proponantur. 4. numeri quale$cunque tandem, quorum duo diui$ibiles $int, tertius diui$or vnius è duobus pro libito, quæramus\’q; alterius diuidentem, qui $ic $e habeat vt pro ductum duorum prouenientium quarto numero propo$ito $it æquale.

Exempli gratia, proponuntur. 4. numeri. 20. 48. 5. 12. porrò. 20. et. 48. numeri $int diui$ibiles et. 5. diuid\-es vnius, ut potè. 20. Quær\-edus nunc erit diuidens alterius nempe. 48. eiu$modi vt productum prouenientium æquale $it. 12. Diuidam itaque. 20. per. 5. proueniet\’q; 4. quem per. 48. multiplicabo, nempe per alterum diui$ibi- lem, $ic\’q; proueniet. 192. quod productum per quartum numerum nempe. 12. diui- fum dabit. 16. qui erit diuidens quæ$itus, quo diui$o. 48. proueniet. 3. $ecundum $ci licet proueniens, quo per alterum hoc e$t. 4. multiplicato producetur quartus nu- merus. 12.

Quod vt $ciamus, primus nume- rus diui$ibilis $ignificetur rectãgulo. a. i. $ecundus rectangulo. o. u. primus diuidens latere. a. e. quartum nume- rum rectangulo. i. o. primum proue- niens latere. e. i. $ecundus diuidens la tere. e. u. (hic autem e$t quem quæri- mus) tum alterum proueniens $igni ficetur latere. e. o. Iam ead\-e erit pro- portio. e. i. ad. e. u. quæ. o. i. ad. o. u. Sed cum cognitæ $int tres quantita- tes. e. i: i. o: et. o. u. quarta quoque. e. u. exregula de tribus immediatè cogno$cetur, cætera in $ub$cripta figura facillimè patebunt.

IO. BAPT. BENED. THEOREMA LXXIII.

HOC etiam problema à me inuentum e$t, nempe $i duæ radices quadratæ in $ummam collectæ fuerint, & ex dimidio eiu$modi $ummæ detracta fuerit mi nor radix, re$idui\’q; quadratum duplicatum ei\’q; $ummæ coniungatur du- plum producti ip$ius re$idui in dimidium $ummæ radicum, atque huic $ummæ du- plum producti eiu$dem re$idui in radicem minorem coniunctum fuerit; vltima hæc $umma differentia erit duorum quadratorum propo$itorum.

Exempli gratia duæ radices quadraræ $int. 5. et. 11. harum $umma erit. 16. & dimi dium. 8. differentia minoris ab ip$o dimidio erit. 3: duplum quadrati huius differen tiæ erit. 18: duplum producti huius differenti{ae} in dimidium $umm{ae} radicum erit. 48. item & huius differentiæ duplum in minorem radicem erit. 30. quarum omnium $umma erit. 96. tanta\’que erit differentia $uorum quadratorum, quorum vnum erit. 25. alterum verò. 121.

Pro cuius rei $cientia, duæ quadratæ radices $int. h. o. et. o. d. directæ inter $e con- iunctæ, quæ $umma per medium in puncto. e. diuidatur, tum cogitetur. e. b. æqualis o. e. perpendicularis. h. d. ducantur\’q; lineæ. b. h: b. o. et. b. d. Iam ex. 4. primi. b. h. æqua lis erit. b. d. & quadratum. b. h. æquale quadrato. h. o. & quadrato. o. b. $imul cum du plo producti. o. e. in. o. h. ex. 12. $ecundi Eucli. Sed ex. 13. eiu$d\-e quadratum. b. d. minus e$t quadrato. o. d. cum quadrato. o. b. ex duplo producti. o. e. in. o. d. at duplum eiu$modi producti æquale e$t duplo qua- drati. o. e. & duplo producti. o. e. in. e. d. ex tertia eiu$dem, itaque duo quadrata $cili- cet. o. b. et. o. d. maiora erunt duobus qua- dratis, nempe. o. b. et. o. h. collectis cum du plo producti. o. e. in. o. h. ex duplo quadrati o. e. vna cũ duplo producti. o. e. in. e. d. Qua re differ\-etia $ummæ duorum quadratorum o. b. et. o. d. à $umma duorum o. b. et. o. h. du plum erit quadrati. o. e. cum duplo produ- cti. o. e. in. e. d. & duplo producti. o. e. in. o. h. Quòd $i ex $ingulis duabus $ummis quadratorum demptum fuerit quadratum. o. b. eadem producta & quadrata ip$ius. o. e. remanebunt, tanquam differentia duorum quadratorum. o. u. et. h. c.

THEOREMA LXXIIII.

CVR $umma duorum extremorũ quatuor terminorum proportionaliũ arith- meticè, æqualis e$t $ummæ duorum mediorum, vbi nota hac in re nece$$a- rium non e$$e proportionalitatem continuam exi$tere.

Exempli gratia, $i darentur hi quatuor termini. 20. 17. 9. 6. quorum proportio ea dem e$$et primi ad $ecundum quæ tertij ad quartum, $umma primi cum quarto e$$et 26. tanta\’q; $ecundi cum tertio.

Cuius $peculationis cau$a, primus maior\’q; numerus $ignificetur linea. e. o. $ecun- dus. s. q. tertius. u. c. quartus. g. t. differentia porrò inter. e. o. et. s. q. $it. i. o. quæ æqualis erit differentiæ. r. c. qua quartus à tertio $uperatur ex hypothe$i. Itaque a$$ero $um mam. e. o. cum. g. t. nempe. a. o. æqualem e$$e $umm{ae}. q. s. et. u. c. $it\’q;. q. p. Nam in. a. o. THEOREM. ARIT. Secundus tertius\’que terminus reperiuntur, e$t enim $ecundus. e. i. tertius. i. o. et. e. a. quando- quidem ex præ$uppo$ito. e. i. æqualis e$t. s. q. et i. o. æqualis. r. c. et. a. e. cum $it æqualis. g. t. cui pariter æqualis e$t. r. u. ex quo. a. e. æqualis e$t. u. r. Itaque illud $equitur. a. o. ip$i. q. p. æqualem e$$e.

THEOREMA LXXV.

CVR $umma duorum terminorum extremorum imparium arithmeticæ pro- portionalitatis $emper duplo medij termini æqualis e$t.

Exempli gratia, $unt hitres termini proportionalitatis arithmeticæ. 20. 15. 10 fumma duorum extremorum erit. 30. quæ duplum e$t medij termini. 15.

Quod vt $peculemur, tres termini, tribus lineis. b. d: n. u. et. q. p. $ignific\-etur. Di- co nunc quòd $umma. b. d. cum. q. p. nempe. h. d. $emper duplo. n. u. $cilicet. g. u. æqualis erit. Tum differentia. b. d. ad. n. u. $it. c. d. quæ æqualis erit. e. u. differentiæ inter n. u. et. q. p. patet enim in linea. h. d: b. c. æqualem e$$e. n. u. $ed. n. u. ex. n. e. componitur æquali. q. p. et ex. e. u. æquali. c. d. cum itaq; in. h. d. partem. h. b. reperiamus æqualem. n. e. gratia. q. p. & partem. c. d. æquale m. e. u. manife$tum erit h. d. æqualem e$$e. g. u.

_BINA PROBLEMAT A EX DVOBVS PRAEDICTIS_ _THEOREMATIBVS DEPENDENTIA._

EX duobus prædictis theorematibus duo problemata oriuntur, quorũ primum e$t. Datis tribus quantitatibus cognitis, $i quis quartam inuenire voluerit, quæ eiu$modi $it re$pectu tertiæ, qualis e$t $ecunda re$pectu primæ, $ecunda cum tertia in $ummam colligenda erit, ex qua detracta prima, $upererit quarta.

Exempli gratia, cognitis tribus quantitatibus. 20. 17. 9. $i quartam inuenire vo luerimus eiu$modi proportionem cum tertia arithmeticè $eruantem, quam $ecunda cum prima, $ecundam cum tertia in $ummam colligemus, dabitur\’q; $umma. 26. ex qua detracta prima quantitate, quarta relinquetur nempe. 6. quod ex. 74. theore- mate dependet.

Idip$um tamen proueniret $i quis ex tertio termino differentiam primi atque $e- cundi detraheret; hæc tamen via non tam vniuer$alis e$tqu àm illa. N $i quartus ter minus incognitus tertio maior e$$e deberet, dictam differentiam cum tertio termi- mino in $ummam colligere oporteret.

Alterum problema e$t, quòd inuentis duobus terminis, $i tertius requiratur, $e- cundus duplicandus erit, ex qua $umma detracto primo, $tatim tertius proferetur, quod problema ex præcedenti theoremate dependet.

IO. BAPT. BENED.

Progredi nihilominus etiam hac in re po$$emus per differentiam primi & $ecun- di termini, eam detrahendo aut in $ummam cum $ecunda colligendo, attamen prior ratio magis latè patet, ide$t vniuer$alior e$t.

THEOREMA LXXVI.

CVR $i quis cupiat $ecundum terminum inuenire, quatuor terminorum arith- meticè proportionalis continuæ, quorum nobis duo extrema proponantur. Rectè primum duplicabit coniunget\’q; vltimo termino, nempe quarto, ex qua $um- ma tertiam partem de$umet, quæ erit $ecundus terminus qu{ae}$itus.

Exempli gratia, $i horum quatuor terminorum. 12. 9. 6. 3. duo nobis extrema proponantur. nempe. 12. et. 3. quorum $ecundus inueniendus $it, $umpto quolibet pro primo, $it autem. 3. primus numerus, quartus verò. 12. quare duplicato 3. vtpo tè primo, & coniuncto. 12. quarto, $umma erit. 18. cuius e$t tertia pars. 6. $ecundus numerus $cilicet $umpto principio à minimo. Idip$um euenit $umpto principio à maximo. Nam $i datur $ecundus à minimo aut à maximo, illico tertius datur diffe- rentia inter hunc & primum, $ecundo coniuncta, aut ex eodem detracta.

Cuius ratio $ic demon$tratur, quatuor termini quatuor lineis. m. g: q. p: u. n: c. t. $ignificentur, quorum. m. g. et. c. t. tantummodo cogno$cantur. $it\’q;. m. g. primus ac maior terminus: k. g. verò $it duplum primi. m. g: cui coniungatur. b. k. æqualis. c. t. Dico tertiam partem. b. g. quæ $umma totalis e$t, æqualem e$$e. q. p. In primis enim certi $umus. m. f. in. m. g. reperiri æqualem. q. p. $upere$t\’q;. f. g. differentia inter. m. g. et. q. p. æqualis. e. p. differentiæ inter. q. p. et. u. n. & æqualis. o. n. differen- tiæ inter. u. n. et. c. t: $imul etiam in. k. m. habemus. d. m. æqualem. m. f. quare etiam. q. p. et. k. d. æqualem. f. g. nempe. e. p. aut. o. n: Hactenus in. k. g. reperimus duplum. q. p. $imul cum. f. g. et. k. d. æqualibus. e. p. et. o. n. & quia. b. K. æqualis. c. t. fuit coniuncta. con$iderandum e$t an hætres quantitates. f. g: K. d. et. b. K. $imul æquales $int. q. p. quod tamen per $e manife$tum e$t. nam. q. p. $uperat. u. n. per. e. p. et. u. n. ex- cedit. c. t. per. o. n. æqualem. e. p. quare. q. p. per duplum differenti{ae}. f. g. $uperat. c. t. ita que. f. g: k. d. et. K. b. ip$i. q. p. $unt{ae}- quales, ex quo $equitur. q. p. tertiã partem e$$e. b. g. Hæc quæ hacte- nus dicta fuerunt, in genere maio- ris inæqualitatis probata fuerunt. At in genere minoris, $umpto or- dinis principio à minimo termino rum, duplicetur. c. t. $it\’q; duplum hoc. K. t. cui. k. b. æqualis. m. g. con- iungatur, quæ$umma $it. b. t. Di- co. u. n. tertiam e$$e partem ip$ius. Nam in primis in. b. t. datur termi nus. b. K. æqualis vltimo. m. g. in quo $emel reperitur. u. n. vnà cum duabus differentijs, nempe. i. g. in ip$a autem. b. t: u. n. $ignificetur pri mo loco per. r. K. ex quo $upererit. b. r. duabus differentijs prædictis æqualis, $ed ex præ$uppo$ito. u. n. componitur ex. o. u. æquali. c. t. et. o. n. {ae}quali vni differentiæ. Itaq; THEOREM. ARIT. cum in. b. t. præter. r. K. bis detur. c. t. nempe. K. t. et. b. r. duabus differentijs æquipol- lens, illud efficitur. u. n. pariter ip$ius. b. t. e$$e tertiam partem, quod erat propo$itũ.

THEOREMA LXXVII.

CVR $i quis velit $ecundum quinque continuorum proportionalium termi- num inuenire, $olis extremis cognitis. Rectè vltimũ triplo primi coniunget, ex qua $umma quartam partem detraher, quæ erit $ecundus terminus quæ$itus. Quod ip$um faciet qui inuenire vult $ecundum terminum $enarij $eptenarij, octo- narij aut alterius cuiu$cunque, cre$cente tamen multiplicatione primi, vltimo\’q; coniuncto.

Exempli gratia, dantur duo extremi termini, horum quinque numerorum. 18. 16. 14. 12. 10. nempe. 18. et. 10. $i. 18. primus erit, hoc e$t, $i à genere maioris inæ- qualitatis progrediemur, triplicabimus terminum. 18. dabuntur\’q;. 54. cui numero coniuncto quinto termino. 10. dabitur numerus. 64. cuius quarta pars erit. 16. vtpo tè $ecundus terminus gratia, aut $ecundi $ex terminorum, quadruplicandus e$$et pri mus. 18. deinde adiuncto vltimo, quinta pars $ummæ e$$et $ecundus terminus, atq; ita deinceps.

Cuius $peculationis gratia, dicti termini lineis. z. h: f. s: u. p: e. g. et. r. x. $igni$ic\-etur. In primis ex genere maioris inæqualitatis, triplicabimus. z. h. $it\’q; triplum hoc. k. h. cuicõiungatur. b. k. {ae}qualis vltimo termino. r. x. Dico. f. s. quartã partem e$$e $um- m{ae}. b. h. Nam in. k. h. $ecundus terminus. f. s. ter cum tribus differentijs æqualibus. n. h. reperitur. Probandum nunc e$t tres has differentias. n. h: a. c. et. d. k. $imul cum. b. K. {ae}quales e$$e. f. s. quod in dubiũ re uocari nõ pote$t, cum. f. s. $uperet. r. x. per. o. s: t. p. et. i. g. At in genere minoris inæquali tatis, triplum. r. x. $it. x. a. et. a. b. $it æqualis. z. h. & cũ z. h. tribus differ\-e tijs. n. h: o. s: t. p. $u- peret. e. g. quæ in. a. b. $int. b. K: K. d: d. c. ex quo. a. c. æqualis erit. e. g. et. a. x. cum. b. c. tripla. e. g. Itaque tota $umma. b. x. qua drupla erit. e. g.

THEOREMA LXXVIII.

QVantitates quæ fuerint inuicem in proportionalitate arithmetica proportio- nales, permutan do quoque proportionales erunt.

IO. BAPT. BENED.

Sint exempli gratia. 4. quantitates. a. b: c. d: e. f: et. g. h: inuicem proportionales in proportionalitate arithmetica. Hoc e$t vt quæ proportio (licet impropriè dicta) e$t ip$ius. a. b. ad. c. d. ead\-e $it ip$ius. e. f. ad. g. h. Tunc permutando dico eandem pro portionem fore ip$ius. a. b. ad. e. f. quæ ip$ius. c. d. ad. g. h.

Nam, ex hypothe$i, differentia qua. a. b. $uperat. c. d. (quæ $it. m. b.) æqualis e$t differentiæ qua. e. f. $uperat. g. h. (quæ $it. i. f.) vnde. a. m. re$iduum ex. a. b. æquale erit c. d. & re$iduum. e. i. æquale. g. h. Sit igitur exempli gratia. c. d. maior. g. h. per. c. n. vnde. n. d. æqualis erit. g. h. quare. a. m. maior erit. e. i. per. a. K. æqualem. c. n. ex com- muni $cientia. Vnde. K. m. æqualis erit. n. d. hoc e$t ip$i. g. h. hoc e$t ip$i e. i. Quare ex communi conceptu. b. K. æqualis erit ip$i. f. e. $ed. n. d. æqualis e$t. g. h. vt dictum e$t. Cum ergo. b. K. æqualis $it. e. f. et. d. n. ip$i. g. h. et. a. b. maior $it ip$a. K. b. per. a. K. æqua- lem ip$i. c. n. per quam c. n: d. c. maior e$t ip$a. d. n. $equitur verum e$$e propo$itũ hoc e$t, quod eadem proportio $it ip$ius. a. b. ad. e. f. quæ. c. d. ad. g. h. arithmetice $cilicet.

THEOREMA LXXIX.

CVR prouenientia duorum numerorum diuidentium eiu$dem numeri diui$i- bilis, geometricè eand\-e inter $e proportion\-e $eruant, quã ip$imet diuid\-etes.

Exempli gratia $i per $enarium & octonarium numerus vigintiquatuor diuida- tur, prouenientia erunt. 4. et. 3. eadem proportione, qua diuidentes.

Cuius e$t ratio numerus diui$ibilis $ignificetur rectangulis. u. x. et. n. e. diuidentes autem $int. u. o. et. e. o. quare ex ijs, quæ. 10. theoremate dicta fuerunt. u. x. per. u. o. diui- $o dabit. x. o. & diui$o. n. e. per. e. o. dabit. o. n. Dicimus itaque eand\-e e$$e proportion\-e o. x. ad. o. n. quæ. e. o. ad. o. u. quod patet $ub $criptam figuram con$iderantibus, in qua, ex. 15. $exti aut. 20. $eptimi, eadem propor- tio cernitur. o. x. ad. o. n. quæ. o. e. ad. o. u.

THEOREMA LXXX.

CVR quauis quantitate, tribus aut quatuor aut etiam pro libi- to pluribus diuidentibus numeris di- uifa, prouenientia eandem pror$us inter $e proportionem $eruabunt, quam ip$i diuidentes habere compe riuntur.

Exempli gratia, proponitur nu- merus. 60. quinque numeris diuiden dus, vtpotè. 30. 20. 15. 12. 10. pro- uenientia erunt. 2. 3. 4. 5. 6. eadem THEOREM. ARITH. proportione diuidentium, quamuis ex aduer$o.

Cuius ratio ex. 15. $exti aut. 20. $eptimi dependet. prout in $ub$cripto ordine fa- cillimè deprehendi pote$t.

THEOREMA LXXXI.

CVR quantitate in tres continuas partes proportionales $ecta, & per $ingulas ip$arum diui$a, $umma trium prouenientium quadrato medij prouenientis æqualis e$t.

Exempli gratia, proponitur. 14. diuidendus in tres continuas partes proportio- nales, nempe. 8. 4. 2. ip$e\’q; numerus. 14. per $ingulas diuiditur, ex quo tria proue- nientia oriuntur, nempe ex prima parte. 8. proueni\-es erit. 1. cum tribus quartis par tibus ex $ecunda. 4. datur proueniens. 3. cum dimidio vnius, & ex tertia. 2. proue- nient. 7. integri, qui in $ummam collecti dant. 12. integros & vnam quartam par- tem tantumdem, videlicet quantum quadratum prouenientis medij, nempe. 3. cum dimidio.

Cuius $peculationis gratia, totalis numerus $ignificetur linea. n. c. qui in tres par- tes diuidatur. n. a: a. e. et. e. c. quæ $int continuæ proportionales, quarum $ingulis, numerum. n. c. diui$um e$$e cogitemus, proueniens autem ex diui$ione. n. c. per. n. a. $it. i. d. quod verò prouenit ex diui$ione. n. c. per. a. e. $it. d. u. proueniens quoque ex diui$ione. n. c. per. e. c. $it. u. o. quorum $umma $it. i. o. quæ a$$eritur e$$e numeri æqua- lis numero quadrati. d. u. Quod hac ratione probabo, producatur linea. i. o. donec. o. p. æqualis $it. o. u. erigatur\’q;. o. m. æqualis. d. i. perpendiculariter. o. p. in puncto. o. quæ producatur donec. o. q. vnitati $it æqualis, terminentur\’q; duo rectangula. m. p. et. q. i. ex quo habebimus rectangulum, aut productum. m. p. æquale quadrato. d. u. ex. 16 $exti aut. 20. $eptimi, quandoquidem tria prouenientia. o. u: u. d. et. d. i. ex pr{ae}cedenti theoremate $unt inter $e continua proportionalia, proportionalitate qua partes. n. c. Iam verò $i probauero. q. i. productum, producto. m. p. æquale e$$e, pro- po$itum quoque probatum erit. Numerus enim producti. q. i. æqualis e$t numero. $ummæ. i. o. Habemus autem ex definitione diui$ionis ita $e habere. n. c. ad. i. d. $icut. n. a. ad. o. q. Itaque permutando $ic $e habebit. n. c. ad. n. a. $icut. d. i. hoc e$t. m. o. ad. o. q. $ed $icut $e habet. n. c. ad. n. a. ita pariter $e habet. i. o. ad. o. u. hoc e$t ad. o. p. Ita- que. i. o. ad. o. p. $ic $e habebit $icut. m. o. ad. o. q. ex quo ex. 15. $exti aut. 20. $eptimi. q. i. æqualis erit. m. p. & con$equenter quadrato. d. u. Vt autem lector minori labo- re cogno$cere queat. i. o. ad. o. u. $ic $e habere, vt. n. c. ad. n. a. $ciendum e$t quòd, $ic $e habet. i. d. ad. d. u. ut. c. e. ad. e. a. ex quo componendo $ic $e habebit. i. u. ad. d. u. $i- cut. c. a. ad. a. e. & permutando ita. i. u. ad. c. a. vt. d. u. ad. e. a. $ed cum ex præ- ced\-eti theoremate $ic $e habeat. d. u. ad. u. o. $icut. e. a. ad. a. n. permutando $ic $e habebit. d. u. ad. a. e. $icut. u. o. ad a. n. ex quo ex. 11. quinti $ic $e habe- bit. i. u. ad. c. a. prout. o. u. ad. a. n. per- mutando\’que. i. u. ad. u. o. vt. c. a. ad. a. n. & componendo, ita. i. o. ad. u. o. $icut. c. n. ad. a. n.

IO. BAPT. BENED. THE OREMA LXXXII.

CVR quantitate aliqua in quatuor partes cõtinuas proportionales $ecta per- \’que $ingulas diui$a, $umma quatuor prouenientium æqualis $it producto $e- cundi in tertium.

Exempli gratia, $i triginta in quatuor partes proportionales $ecetur, hoc e$t. 16. 8. 4. 2. per\’q; harum $ingulas idem numerus. 30. diuidatur, primum proueniens erit. 1. cum $eptem octauis partibus. Secundum. 3. cum tribus quartis, tertium. 7. cum dimidio, quartum. 15. integri, quorum $umma erit. 28. cum octaua parte, tan tum\’q; erit productum $ecundi prouenientis in tertium.

Quod vt $ciamus, quantitas. n. c. in partes continuas proportionales quatuor $e- cetur. n. a : a. t : t. e. et. e. c. rur$us\’q; per $ingulas partes illa ip$a diui$a, prouenientia $int. i. d: d. x: x. u: u. o. quorũ $umma $it. i. o. hanc $ummã dicimus æqualem e$$e nume- ro producti. d. x. in. x. u.

Quod hac ratione probo, cogito productam e$$e lineam. i. o. quous\’q;. o. p. æqua lis $it. o. u. erectam\’q;. m. o. æqualem. i. d. perpendiculariter. o. p. & productam donec. o. q. vnitati $it æqualis. Iam terminatis rectangulis. m. p. et. i. q. patebit ex. 15. $exti aut. 20. $eptimi, productum. m. p. producto. d. x. in. x. u. æquale e$$e. Ita quòd $i pro- bauero productum. i. q. producto. m. p. æquale e$$e, facile patebit propo$itum. Cuius gratia, $equuti præcedentis theorematis ordinem, primum ex definition\-e diui$ionis, eadem proportio erit. n. c. ad. i. d. quæ. n. a. ad. o. q. ex quo permutando. n. c. ad. n. a. $ic $e habebit vt. i. d. hoc e$t. m. o. ad. o. q. & $i progrediamur eodem ordine, quo præ- cedenti theoremate, $umpto principio ab. i. d. et. e. c. ver$us. d. x. et. e. t. gradatim\’que permutando ac coniungendo, inue- niemus eandem proportionem e$$e c. n. ad. n. a. quæ. i. o. ad. o. u. nempe. o. p. ex quo ex. 11 quinti, ita $e habe bit. i. o. ad. o. p. vt. m. o. ad. o. q. quare ex. 15. $extiaut. 20. $eptimi produ- ctũ. i. q. erit producto. m. p. æquale, ex quo etiam æquale erit producto. d. x. in. x. u. Idem ordo in qualibet quantitate in quanta$uis partes diui$a $eruari poterit, cum huiu$modi $ci\-etia in vni uer$um pateat.

THEOREMA LXXXIII.

CVR termini medij cubus, trium continuè proportionalium, $emper producto rectanguli compræhen$i à maximo & medio in minimo termino æqualis $it.

Exempli gratia, datis his tribus terminis continuis proportionalibus. 9. 6. 4. $i $ump$erimus productum maximi in medium nempe. 54. quod per minimũ. 4. multi- plicemus, dabitur numerus. 216. cubo medij. 6. æqualis.

In cuius gratiam tres numeri continui proportionales tribus lineis. a. e. i. $ignifi- c\-etur, cubus autem. e. $ignificetur figura. d. n. productum\’q. a. in. e. $it. b. n. ip$ius au- t\-emet in. i. $it. p. o. ita quod. q. p. aut. b. o. cum $int eiu$d\-e $peciei, æqualis erit. a: et. o. n. THEOR. ARITH. æqualis. e: et. q. n. æqualis. i. Nunc co- gitemus ab$olui corpus. n.h. ita ut. b. o. c.$it vnica recta linea, ex quo ex. 25. vndecimi proportio. n. h. ad. n. k. ea- dem e$t quæ. o. h. ad o. k. $ed $ic $e ha- bet. o. h. ad. o. k. vt. h. b. ad. b. k. ex prima $exti aut. 18. vel. 19. $e- ptimi itaque. n. h. ad. n. k. ex. 11. quinti $ic $e habebit. vt. h. b. ad. b. k. $ed. n. h. ad. n. d. ex ei$dem $ic $e habet ut. h. u. ad. d. u. et. h. u. ad. u. d. ita ut. h. b. ad. b. k. ex præ$uppo$ito. Itaque ex 11. prædicta. n. h. ad. n. k. eadem erit proportio quæ. n. h. ad. n. d. Quare ex. 9. quinti. n. k. æqualis erit. n. d. Quod erat propo$itum.

THEOREMA LXXXIIII.

CVR quadrato vnius quantitatis radice proportionalis, per $ingulos tres termi nos diui$o, prouenientia, $ingulis dictis terminis $int æqualia.

Ex\-epli gratia, datis tribus terminis continuis proportionalibus. 9. 6. 4. qua dratum medij erit. 36. quod per. 9. diui$um dabit. 4: per. 6: 6. per. 4: 9.

Cuius gratia, $int tres termini cõtinui {pro}portionales. a. o: o. c. et. c. q. quadratũ aut\-e medij $it. e. c. Iam $i applicetur rectangulũ. a. d. æquale quadrato. e. c. ip$i. a. o. & re- ctangulum. q. p. æquale eidem quadrato. e. c. ip$i. c. q. $i quadratum. e. c. per. a. o. diui $erimus, proueniens erit. o. d. diui$o\’q per. c. q. proueniens erit. c. p. quod $i per $uam radicem. o. c. diuidatur, proueniens erit. o. e. quod $ine dubio æquale e$t. o. c. $ed dico. o. d. æqualem e$$e. c. q. Nam ex. 16. $exti aut 20. $eptimi eadem e$t proportio. a. o. ad. o. c. qu{ae}. o. e. ad. o. d. nempe. o. c. ad. o. d. itaque o. d. ex. 9. quinti æqualis e$t. c. q. quandoqui dem ex. 11. $ic $e habet. o. c. ad. o. d. $icut. o. c. ad. c. q. Applicatis ij$dem rationibus ip$i. p. c. probabimus. c. p. æqualem e$$e. a. o. cum o. c. media $it proportionalis, tã inter. c. p. et c. q. quam inter. a. o. et. c. q. itaque. c. p. æqua- lis e$t. a. o.

THEOREMA LXXXV.

CVR propo$itis tribus quantitatibus continuis proportionalibus proportione aliarum duarum nobis datarum, multiplicata maiori po$tremarum dua- rum in $ummam mediæ cum minima trium primarum, productum æqua- le $it producto minoris duarum in $ummam maximæ cum media trium.

Exempli gratia proponuntur quantitates. 9. 6. 4. proportione numerorum pro- IO. BAPT. BENED. po$itorum. 3. et. 2. multiplicato. 3. per. 10. $ummã. 6. cum. 4. dantur. 30. quod pro- ductum æquale erit producto. 2. per. 15. nempe per $ummam 9. et. 6.

Quod vt cogno$camus, tres quan titates continuæ proportionales $int b. a. p. proportione. d. q. productum autem. d. in $ummam. a. cum. p. $it. f. t. & productum. q. in $ummam. b. a. $it. K. h. et. K. n. $it æqualis. b. et. n. o. æqua lis. a. & ita etiam. o. u. eidem. a. et. u. t. æqualis. p. et. h. o. ip$i. q. et. f. o. ip$i. d. quare ita $e habebit. K. n. ad. n. o. $icut o. u. ad. u. t. & componendo. K. o. ad. n. o. vt. o. t. ad. u. t. & permutando. K. o. ad. o. t. vt. n. o. hoc e$t. o. u. ad. u. t. & pariter. f. o. ad. o. h. vt. o. u. ad. u. t. Ita- que $icut. k. o. ad. o. t. ex quo ex. 15. $exti aut. 20. $eptimi. K. h. æqualis erit. f. t.

THEOREMA LXXXVI.

CVR multiplicatis $ingulis tribus quantitatibus continuis proportionalibus in reliquas duas, $ex producta æqualia $int producto dupli $ummæ ip$arum trium in mediam proportionalem.

Exempli gratia, proponuntur hitres termini continui proportionales. 9. 6. 4. pro ductum. 9. in. 6. erit. 54. at. 9. in. 4. erit. 36. et. 6. in. 9: 54. et. 6. in. 4: 24. et. 4. in. 9: 36. et. 4. in. 6 : 24. quæ producta $imul collecta efficiunt numerum. 228 $ed tantũ e$t pro- ductum dupli $ummæ trium terminorum in $ecundum nempe. 38 in. 6.

Cuius intellig\-etiæ cau$a, tres termini cõtinui proportionales $ignificentur linea. b. e. nempe. b. d: d. c: c. e. cuius duplum $it. u. e. et. b. f. æqualis $it. b. d. et. f. n: d. c. et. n. u: c. e productum verò. u. e. in. d. c.$it. u. s. cui dico æqualem e$$e $ummam productorum $ingulorum trium terminorum in reliquos duos. Quamobrem ducantur perpendi- culares. c. g: d. o: b. i: f. a. et. n. p. inter. u. e. et. q. s. ex quo pro producto. c. e. in. c. d. ha- bebimus rectangulum. c. s. & rectan- gulum. d. g. pro producto. c. e. in. d. b. ex. 16. $exti aut. 20. $eptimi item\’que rectangulum. q. n. pro producto. d. c. in. c. e. & rectangulum. b. o. ex. d. c. in. b. d. & rectangulum. b. a. ex. b. d. in. d. c. et. p. f. ex. d. b. in. c. e. ex. 16. aut. 20. pr{ae}dictas. Quare $ex producta æquantur inter $e, replent\’q productum. u. s. ex quo verum e$t propo$itum.

THEOREMA LXXXVII.

QVA ratione cogno$ci po$$it verũ e$$e proportionem $ummæ quatuor quan- titatum continuarum proportionalium ad $ummam $ecundæ & tertiæ, ean- dem e$$e, quæ $ummæ primæ & tertiæ ad $ecundam $implicem.

Exempli gratia, $i inue nirentur hæ quatuor quantitates continuæ proportiona- es. 16. 8. 4. 2. earum $umma erit. 30. $unima verò $ecundæ & tertiæ. 12. tum $umma THEOREM. ARITH. primæ cum tertia. 20. ex quo $ic$e habet. 20. ad. 8. nempe ad $ecundam, vt. 30. ad. 12.

Quod vt $ciamus, quatuor prædictæ quantitates $ignificentur linea. a. e. i. o. pro- babo ita $e habere. a. e. i. o. ad. e. i. vt. a. i. ad. e. Nam cum $ic $e habeat. a. ad. e. ut. e. ad. i. & vt. i. ad. o: ex æqualitate proportionum vel permutando ita $e habebit. a. ad. i. vt. e. ad. o. & è conuer$o ita. o. ad. e. vt. i. ad. a. & cõponendo ita. o. e. ad e. vt. i. a. ad. a. permutando\’q. o. e. ad. i. a. vt. e. ad. a. nempe. i. ad. e. & componendo ita. o. i. e. a. ad. i. a. vt. i. e. ad. e. & permutando ita. o. i. e. a. ad. i. e. vt. i. a. ad. e. quod erat propo$itum. Ex quo patet error antiquorum quiidip$um, accidere arbitrati $unt in quantitatibus di$cretæ proportionalitatis, quod tamen fal$um e$t.

Exempli gratia, $i proponantur. 12. 6. 4. 2. proportio. 12. ad. 6. eadem e$t quæ. 4. ad. 2. Sed à proportione. 6. ad. 4. frangitur, cum non $it eadem quæ. 12. ad. 6. harum autem $umma erit. 24. & $umma $ecundæ cum tertia. 10. $ed primæ cum tertia erit 16. ex quo. 16. ad. 6. non $ic $e habebit vt. 24. ad. 10. At in $peculatione quatuor quantitatum. a. e. i. o. $i proportio. e. ad. i. non e$$et eadem quæ. a. ad. e. minimè licui$$et dicere ita $e habere. i. ad. e. vt. e. ad. a.

THEOREMA LXXXVIII.

CVR extribus quantitatibus quibu$libet, productum duarum in tertiam, vna $emper eadem\’q; $it quantitas.

Exempli gratia, proponuntur. 15. 8. 2. $i multiplicauerimus. 15. per. 8. tum produ ctum per. 2. tantum erit quantum $i quis multiplicaret. 8. per. 2. & hoc per. 15. et. 15. per. 2. rur$us\’q; per. 8.

Quod ut pateat, tres quantitates tri- bus lineis $ignificentur. m. f: a. et. o. Dico productum. m. f. in. a. multiplicatum. per. o. æquale e$$e producto. a. in. o. mul- tiplicato per. m. f. aut producto. m. f. in. o. multiplicato per. a. Sit enim corpus. d. u. rectãgulum, cuius latus. n. u. $it æquale m. f. et. u. t: a: et. u. c: o. patebit manife$tè n. t. e$$e productum. m. f. in. a. quod. n. t. multiplicatum in. u. c. æquali. o. producit corpus. d. u. $ed idip$um corpus. d. u. ex multiplicatione producti. c. t. in latus. n. u. æquale. m. f. oritur, & idip$um. d. u. ex multiplicatione. n. c. in latus. u. t. æquale. a. profertur.

THEOREMA LXXXIX.

CVR quarumcunque quatuor quantitatum, $i prima in $ecundam multiplice- tur & hoc productum in tertiam, rur$us\’q hoc alterum in quartam, vltimum productum æquale $it producto producti $ecundæ in tertiam, in productum primæ in quartam.

IO. BAPT. BENED.

Exempli gratia, ca$u $e$e offerunt hi quatuor numeri. 8. 5. 3. 2. multiplicato. 8. per. 5. & hoc. 40. per. 3. rur$us hoc. 120. per. 2. vltimum productum e$$et. 240. æqua le producto. 15. (quod ex. 5. in. 3. oritur) in productum. 16. quod ex. 8. in. 2. pro- fertur.

Cuius $peculationis gratia, cogitemus quatuor numeros quatuor lineis. a. e. i. o. $ignifi cari, productum autem. e. in. i. e$$e. m. f. et. r. s. $imiliter & productum. a. in. o. e$- $e. m. z: et. z. f. productum e$$e. m. f. in. m. z. cui productum. a. in. e. multiplicatum per i. & hoc tandem per. o. æquari debet.

Sit itaque. u. y. productum. a. in. e. quod. u. y. per. i. multiplicatum proferat. u. s. hoc\’que. u. s. multiplicatum per. o. Dico quod dabit numerum æqualem numero. f. z. Quamobrem. r. s. aut. m. f. quod idem e$t, in figura præcedentis theore matis $igni- ficetur linea. n. u. & linea. r. u. hu- ius, nempe. a. $ignificetur per. u. t. præcedentis, ex quo numerus pro ducti. u. s. præ$entis, in præcedenti $ignificabitur producto. n. t. quod {pro}ductũ. u. s. pr{ae}s\-es <002> præs\-es. o. mul tiplicatum, quod erat in præceden ti. u. c. $ignificabitur per. d. u. præce dentis, quod non modo ex multi- plicatione. n. t. præcedentis, nempe. u. s. præ$entis. in. u. c. præcedentis æquali. o. præ- $entis oritur, $ed etiam ex. c. t. præcedentis æquali. m. z. præ$entis in. n. u. præceden tis æquali. m. f. præ$entis. Itaque verum e$t propo$itum.

THEOREMA XC.

CVR quibu$libet & quanti$uis numeris in $ummam collectis, $i ab vnitate in $e- cunda $pecie progre$$ionis arithmetic{ae} imparium numerorum progre$$i fue- rimus, eiu$modi $umma $emper e$t quadratus numerus.

Exempli gratia, $i horum quatuor di$parium numerorum $ummã, in dicta pro- gre$$ione arithmetica quis $umat, principio ab vnitate $umpto, nempe. 1. 3. 5. 7. $um- ma erit. 16. numerus quadratus inquam. Idem de cæteris.

Quamobrem animaduertendum e$t, vnitatem, tam $umi pro $ui ip$ius radicem, quam pro quadrato, cubo, cen$o cen$i, primo relato, & alia quauis dignitate. Nunc autem pro quadrato $umamus per. o. $ignificato, cogitemus\’q quadratum. o. includi quadrato vnitatem $equenti, quod, vt patet, e$t quatuor vnitatum, ac pro- priè primum quadratum numerorum, ex quo etiam nomen accepit, vnde ex $imi- litudine quam cætera quadrata cum hoc primo retinent, ex quaternario denomina- tionem acceperunt. Hocitaq; $it. o. u. c. e. ita ex communi $cientia quadrato. o. iun- gitur gnomon. e. c. u. con$tans tribus vnitatibus, quare primus gnomon, numero im- pari con$tat. Scimus etiam ex additione numeri binarij ad imparem, numeris di- $paribus $ummam excre$cere, cum propius accedere quã binario nequeant, ex quo medio binario, $ibi inuicem $uccedunt. Dico igitur quòd quinario ternarium $ub $equente, coniuncto quadrato. o. u. c. e. profertur quadratum, quod in numeris, bi- narij quadratum $equitur, erit\’q; ternarij, quod\’q; $ignificetur per. o. f. patet enim pri mo non differre ab. o. c. præter quam gnomone. b. f. d. qui coniungitur quadrato. o. c. quique duabus vnitatibus maior e$t. e. c. u. Iã $cimus gnomonem. e. o. u. æqualem THEOREM. ARIT. e$$e gnomoni. e. c. u. item\’q; gnomonem. b. f. d. æqualem gnomoni. b. o. d. at hic gno- mon. b. o. d. ex præ$uppo$ito, maior e$t gnomone. e. o. u. duabus vnitatibus. b. et. d. Itaque etiam gnomon. b. f. d. duabus vnitatibus gnomonem. e. c. u. $uperabit. Qua- re. b. f. d. erit impar immediatè $equens ternarium, qui coniunctus quadrato. o. c. quadratum $ub$equens componet. Eadem ratione probabitur de quadrato. o. n. $e quenti. o. f. & gnomone. i. n. a. cum hic ordo $peculationis $it vniuer$alis. In quo cernitur quemlibet gnomonem $ibi contiguũ inferiorem $emper duabus vni- tat ibus excedere, cumque quadrata non ni$i gnomonibus $ibi inuicem $uccedant. Sed cũ primus. e. c. u. di$par fuerit, {pro}culdubio etiã nece$$ario\’q; cæteri di$pares erũt. Ex qua $peculatione, oritur regula ab antiquis tradita inueniendi vltimi numeri di$paris cõcurrentis ad cõpo $itionem alicuius quadrati. Vt $i quis $eire de$ideret nu- merum vltimum di$parem, quo mediante quadratum. o. n. con$titutum fuit, quod aliud non e$t quam $cire quantus $it numerus vltimi gnomonis. i. n. a. æqualis gno moni. i. o. a. Itaque vt $ciamus hunc gnomonem. i. o. a. patet duplicandam e$$e radicem. o. e. b. i. dabitur\’q,. o. e. b. i. et. o. u. d. a. vbi bis reperitur. o. nos autem tantummo do quærimus $cire gnomonem. i. b. e. o. u. d. a. Itaque minor e$t vnitate duplo radicis, cum unitas. o. bis repe- tatur, quæ tamen in gnomone $emel tantum $umebatur.

THEOREMA XCI.

CVR $umma quadratorum, quorum radices $unt in proportione $e$quitertia nempe. 4. ad. 3. quadrata $it.

Exempli gratia, $umemus quadratum. 3. $cilicet 9. quod in $ummam cum qua- drato. 4. colligemus, nempè. 16. erit\’q; quadratum. 25. & ita quadratum. 6. hoc e$t. 36. collectum cum quadrato. 8. nempè. 64. efficiet quadratum. 100. ita etiam qua- dratum. 9. hoce$t. 81. coniunctum quadrato. 12. nempè. 144. producet quadra- tum. 225.

In cuius gratiam $int duo quadrata $ub$cripta. q. o. et. q. a. quorum radices $int. q. g. et. q. p. hoc e$t. q. g. quatuor vnitatum, et. q. p. trium, ex quo. q. a. erit. 16. vnitatum et. q. o. nouem. Ad hæc cogitemus applicari quadra- to. q. a. gnomonem. f. s. h. tam amplum $iue la- tum quã gnomon. b. a. g. nempè vt. h. $it æqua lis. g: g. verò differentia $it qua. q. g. maior e$t. q. p. hunc\’q; gnomonem. f. s. h. dico {ae}qualem e$ $e quadrato. q. o. nam ex pre$uppo$ito. g. terra dicem. q. p. ingreditur, & quater. q. g. ex quo, tres partes. q k. p. inter $e æquales $unt vnde etiam quadratum. q. o. nouem partibus $uper- ficialibus quadratis con$tabit, quarum $ingula rum radix æqualis erit. g. cumque præcedenti theoremate didicerimus quemlibet gnomo- nem quadrati immediatè $equentis æqu{ae} amplitudinis cum gnomone præcedentis, IO. BAPT. BENED. per duab. vnitatibus $uperficialibus cre$cere, quarũ $ingularũ radix æqualis e$t. g. ne ce$$ariò $equitur gnomonem. b. a. g. duabus partibus aut vnitatibus gnomonem. d. o. p. $uperare, ita vt gnomon. b. a. g. $eptem vnitatibus, aut partibus $uperficialibus quadratis con$tet. Quare eadem ratione gnomon. f. s. h. con$tabit nouem $imilibus. Itaque æqualis erit quadrato. q. o. Quamobrem verum e$t, quòd quadrato. q. o. coniuncto quadrato. q. a. proueniet quadratum. q. s. cuius radix ita differet à. q. g. vt. q. g. à. q. p: ex quo tres radices arithmeticè inter $e continuæ proportionales erunt. Idip$um dico $i. q. p. fuerit. 6. et. q. g: 8: tunc enim $ingulæ partes. q. k. p. g. h. æquipol lebunt duabus vnitatibus, quæ cogitabuntur in $ummam collectæ, ut cum patribus. q. k. p. g. h. integris contemplari liceat. Idem acci- det fi. q. p. erit. 9. et. q. g. 12. fingulæ enim par- tes. q. K. p. g. h. tripartitæ erunt. Idcircò dixi gnomonem. f. s. h. tam amplum cogitari de- bere, quam gnomon. b. a. g. nempè ut. h. æqua lis $it. g. Idem occurret $i. q. g. erit. 12. et. q. p. quinque, quod cum fuerit patebitex præce- dentis theorematis $peculatione, gnomonem f.s.h: 25. vnitatibus con$tare, cogitatum am- plitudinis $implicis vnitatis denominatæ in. q. p. aut. q. g. non amplitudinis gnomonis. b. a. g. qui $eptem vnitatibus latus e$$et. Cum igitur. q. p. quinque vnitatibus linearibus con$tet $cimus. q. o: 25. $uperficialibus con$tare, collecto itaque in $ummam quadrato. q. o. cum quadrato. q. a. cogno$cetur quadra- tum. q. s. vnà etiam eius radix. Eadem ratione, alia multa quadrata $imilia contem- plari licebit.

THEOREMA XCII.

CVR propo$ito numero pari maiori binario, qui detrahi & in $ummam colli- gi debeat ex altero numero quærendo, vt tam re$iduum quam $umma $int quadrata numerorum integrornm. Rectè dimidium propo$iti numeri in $eip$um multiplicamus, & quadrato huic addimus vnitatem, erit\’q; numerus quæfitus.

Exempli gratia proponitur. 12. numerus detrahendus, & coniungendus nume- ro inue$tigando, ut re$iduum detractionis, & $umma $int quadrati numeri. Addi- ta vnitate ip$i. 36. quadrato dimidij, dabitur. 37. numerus quæ$itus.

Cuius $peculationis gratia, $ub$cripta quatuor quadrata cogitemus. g. p: u. i:t. c:n. K. cogitemus\’q; quadratum. g. p. e$$e quadratum $ummæ, K. n. verò re$idui $ubtractio- nis:u. i. aũt numerum inue$tigãdũ, ex quo gnomon. u. d. i. cogno$cetur ita etiam et. n. o. K. qui inter $e $unt æquales. Iam certi erimus. e. i. e$$e plus quam dimidium gno- monis. n. o. K. Itaque cogitemus rectangulum. r. c. exactum dimidiũ e$$e gnomonis. n. o. K. ex unitatibus $uperficialibus quarum una erit. m. a.

Cuius numeri quadratum $it. t. c. vnde etiam cognitum & cum. K. c. ex communi $cientia $it vnitas linearis, propterea quod. m. a. e$t $uperficialis hoc e$t quadrata, quæ detracta ex. q. c. dimidio gnomonis. n. o. K. (quamuis lineari) $upererit. K. q. co gnita, numerorum integrorum (nota q. K. i. $emper minor erit duabus vnitatibus li- nearibus & maior vna ex dictis vnitatibus, ut ex te ip$o contemplari potes) quare. THEOR. ARITH. n. k. ip$ius quadratum numerorum integrorum cogno$cetur, cui addito gnomone. n. o. K. cogno$cemus numerum. u. i. quæ$itum.

Sed cum nobis hæc via, tenenda propo$itum non fuit, hoc e$t primo loco inue niendi quadrati minoris. n. K. ideo $upere$t probandum gnomonem. t. o. c. vnitati {ae}- qualem e$$e, nempe quadratulo. m. a. quod patebit, $i con$ideremus nos $ump$i$$e rectangulum. r. c. pro dimidio gnomonis. n. o. K. etenim $i $upplemento etiam. n. r. qua dratulum æquale. m. a. adderetur, pateret gnomonem. n. a. K. cum dicto quadratulo collectum, æqualem e$$e gnomoni. n. o. K: cum duo $upplementa. m. t. et. m. c. inter $e fint æqualia. Quamobrem inuento quadrato. t. c. ex dimidio gnomonis cognito, additur vnitas, gnomon $cilicet. t. o. c. ex quo cogno$citur numerus. u. i. quæ$itus. Quod autem quadratum. g. p. numeris integris con$tet, hac ratione probatur vi$um enim fuit $upra quadratum. n. K. verè quadratum e$$e, & numeris integris con$tare, pariter etiam. t. c. $e\’q; mutuo con$equi (nam. K. c. e$t vnitas linearis) ex quo gnomon n. a. K. numero di$pari con$tabit, ex ijs quæ. 90. theoremate probata fuerunt. Itaq; ex eodem theoremate nece$$e e$t gnomonem. t. d. c. etiam numero di$pari con$tare, ita vt à numero. n. a. K. non ni$i duabus vnitatibus differat, nempe vt. c. p. $it vnitas li- nearis, $ed ita reuera e$t, numerus enim. u. d. i. ex præ$uppo$ito par e$t, quare nume rus. t. d. c. di$par erit, cum alterum vnitate $uperet, videlicet gnomone. t. o. c. vnita ri æquali, tum. n. a. K. minor e$t. n. o. K. ex eodem gnomone. t. o. c. unitati æquali. Ita que. n. a. K. minor erit. u. d. i. per vnitatem, & minor. t. d. c. per duas unitates, ex quo $e- quitur. g. p. e$$e quadratum integrorũ ex dicto theoremate ac con $equens quadrato t. c. quare. c. p. vnitas erit, & radices. q. K. et. q. p. horum quadratorum numero bina- rio inter $e different. Vnà etiam $cienda e$t cau$a, cur numerus propo$itus nece$$a riò binario maior e$$e debeat. Etenim cũ ip$e $it futurus gnomon. n. o. K. nec po$$it minor e$$e numero ternario, vt patet ex. 90. theoremate, idcirco $equitur nece$$ariò maiorem e$$e bina- rio debere. Quòd $i di$par numerus propone- retur, nec forma operis nec $peculationis mutã- da e$$et. Non erit tamen nece$$arium vt ip$a quadrata. n. K. et. g. p. numeris integris con$ta- rent. Sæpius enim fractis cõponerentur, quod ex. 90. theoremate facile erit $peculari nihilo- minus fractis integris, ip$is\’q; collectis cum $uis fractis $ummæ e$$ent quadratæ.

THEOREMA XCIII.

CVR propo$itis duobus numeris altero pari, altero verò di$pari, duplo primi minore per vnitatem, $i alium inuenire numerum voluerimus, cui alterum i$to rum coniunctum proferat quadratum, & altero detracto, quadratum $uper$it. Re- ctè datos numeros in $ummam colligemus, quam $ummam in duas quam maximas poterimus partes diuidemus, quarum vna pari, altera di$pari con$tet, tum vtran- que in $eip$am multiplicabimus, & quadrato minori, duorum numerorum propo- $itorum quemuis ademus, ex quo cupimus nobis quadratum minus $upere$$e, & pro ueniet nobis numerum quæ$itum.

Exempli gtatia, proponuntur numeri. 11. et. 6. quorum alter alicui numero ad- IO. BAPT. BENED. dendus, alter ex eodem detrahendus $it, ex quo proferri debeant bina qua- drata. Itaq; numeri illi in $ummam collecti dabunt. 17. differentiam minoris quadra ti & maioris. I am $i ex hoc. 17. binas partes fecerimus, altera erit. 8. altera. 9. qui bus in $eip$is multiplicatis alterum quadratum erit. 64. alterum. 81. addito itaq; ip$i. 64. 11. aut. 6. pro libito, propo$itum numerum con$equemur. cui addito. 6. vel. 11. dabit nobis. 81. vel ex ip$o detracto. 11. vel. 6. relinquet nobis 64. in pr{ae}$enti autem exemplo talis numerus erit, aut. 70. vel. 75. Huius autem theorematis $peculatio ex. 90. dependet, quo demon$tratum fuit gnomonem proximè quadratum $equen tem, vnitate duplo radicis minorem e$$e.

THEOREMA XCIIII.

CVR $i quis cupiat $ummam progre$$ionis arithmeticæ quam citi$$imè cogno $cere. Rectè coniunget vltimo termino vnitatem primum terminum, huius po$tea vltimi termini dimidium cum numero terminorum multiplicabit, ex quo multiplicationis productum, erit omnium propo$itorum terminorum $umma, aut eundem vltimum terminum iunctum primo, per dimidium numeri terminorum multiplicabit. Nam idip$um eueniet.

Exempli gratia, $i proponerentur. 17. termini in prima progre$$ione arithmeti- ca naturali, vltimus e$$et. 17. cui coniuncta vnitate primo termino $umma erit. 18. cuius dimidium cum numero terminorum, nempe. 17. multiplicatum cum fuerit, oritur productum. 153. Idp$um eueniet, multiplicato dimidio numeri terminorũ per vltimum coniunctum vnitati primo termino.

Quod vt $ciamus, cogitemus terminos progre$$ionis collocari, vt in figura $ub- $cripta. a. o. n. collocantur, tanquã per gradus, $umpto principio ab vnitate. n. tum. u. t. atque ita gradatim. Sic cogitato ab$oluto parallelogrammo. q. o. $ciemus aper- tè $ummam progre$$ionis tanto maiorem e$$e dimidio totius parallelogrãmi, quan tum dimidium numeri diametri. a. e. i. c. u. n. requirit. Nam cum parallelogram- mum diuidatur à dlametro in tres partes, diameter vnam occupat, reliquæ verò du{ae} ambientes diametrum inter $e $unt æquales. Sumpto itaq; diametro cum altera di ctarum duarum partium, patet $umi plu$quam dimidiũ totius parallelogrãmi. pro tanta portione, quantum e$t dimidiam occupatam à diametro, qui cã ex di$cretis re$pondentibus numero terminorum componatur, con$tat numero æquali e$$e di- cto numero terminorum. o. n. Iam $i quis multiplicet. a. o. per dimidium. o. n. procul dubio, ex prima $exti aut. 18. $eptimi, orietur dimidiũ numeri parallelogrãmi. q. o. quod minus erit $umma progre$$ionis dimidio numeri diametri, aut quod idem e$t dimidio. o. n. $ed hoc dimidium. o. n. æquale e$t producto dimidij vnitatis. n. in. o. n. ex. 20. $eptimi, cum dimidium. o. n. $it eius productum in vnitat\-e. Itaque multipli- cato. n. o. per dimidium. o. a. coniunctum dimidio vnitatis. n. oritur $umma quæ$ita propo$itæ progre$$ionis. Idip$um accidet multiplicata $umma. o. a. & vnitate. n. <002> dimidium. o. n. ex. 20. $eptimi, cum proportio totius ad totum eadem $it, quæ dimi dijad dimidium, ex cau$a permutationalitatis. Patet etiam in progre$$ionibus, quæ ab vnitate initium ducunt, $i fiat a$cen$us per binarium $umma vltimi termini cum primo $emper duplam futuram e$$e numero terminorum, quod $equentes figu THEOREM. ARIT. ras confideranti $peculari licebit, Diametros harum figurarum notaui literis $iue characteribus. a. e. i. c. u. n.

THEOREMA XCV.

IN progre$$ionibus, quæ ab alio termino quam vnitate incohantur, idip$um vt monuimus accidit, hoc tamen notato, quòd ex con$equenti quælibet pars dia- metri parallelogrãmi, minimo termino æqualis erit, prout in progre$$ionibus quæ ab vnitate originem ducunt, $ingulæ partes diametri, vnitati $ui primi termini æ- quales $unt. At in reliquis progre$$ionibus, vt in figura patet, eadem e$t propor- tio totius diametri ad. o. n. quæ minimi termini ad vnitatem ex. 13. quinti, nempe. a. o. ad. o. n. vt. n. n. n. n. ad. n. In eiu$modi progre$$ionibus accidit quoque parallelo- grãmum à diametro in tres partes diuidi, quarum vnam ip$e occupat, reliquæ ve- ro inter $e æquales ip$um ambiunt. Ex quo illud etiam $equitur, productum. a. o. in dimidium. o. n. æquale e$$e dimidio parallelogrãmi, quod minus e$t $umma progre$- $ionis dimidio diametri, quod dimidum $i inuenire voluerimus, minimum terminũ. n. n. n. n. per dimidium. o. n. multiplicabimus, & ex. 18. aut. 19. $eptimi ip$um habe- bimus, quandoquid\-e minimo termino per totum. o. n. multiplicato profertur integer diameter ex. 20. prædicti. Etenim vt diximus, eadem e$t proportio totius diame- tri ad. o. n. quæ minimi termini ad vnitatem. Ita etiam dico ex dicta. 20. $eptimi. idem dimidium diametri oriri, $i quis dimidium minimi termini nempè. n. n. per to tum. o. n. multiplicauerit. Quamobrem qui $tatim $ummam propo$itæ progre$$ionis cogno$cere voluerit, $emper primum termi num. n. n. n. n. cum. a. o. coniunget, qua $umma per dimidiũ. o. n. mul- tiplicata, aut. o. n. per dimidium dictæ $um- mæ, ex prædictis rationibus propofitum con$equemur.

THEOREMA XCVI.

CVR $i quis numerum terminorum inuenire velit, cognitis tantummodo pri mo atque vltimo, rectè vltimum per primum diuidet, ex quo proueniens IO. BAPT. BENED. numerus quæ$itus erit.

Quod intelligendum e$ttamen quoties primus terminus differentia terminorũ e$t, nempe a$cendens ip$orum ter minorum.

Cuius ratio manife$tè $peculari pote$t in figura præcedentis theorematis. Nam diui$a. a. o. per. n. n. n. n. eadem proportio erit. a. o. ad proueniens, quæ. n .n. n. n. ad vnitatem. n. ex definitione diui$ionis. At $uperius dictum fuit ita $e ha bere. a. o. ad. o. n. vt. n. n. n. n. ad. n. ex quo $equitur ex. 11. et. 9. quinti pr oueniens e$$e nume- rum quæ$itum. o. n.

THEOREMA XCVII.

VBI verò primus terminus, reliquorum non erit differentia. Hac de caufa ne- ce$$e e$t detrahere primum ex vltimo, re$iduum\’q; per numerum a$cenden- tem differentiam $cilicet, partiri, proueniens\’q; vnitati coniungere, quò numerum terminorum habere po$$imus. Scimus etenim tam multas vnitates e$$e in vltimo terminorum quot in omnibus interuallis aut differentijs in $ummam collectis $imul cum vnitatibus primi termini, tot\’q; funt termini, quot interualla $imul cum pri- motermino. Quare fi minimus terminus interuallo æqualis fuerit. Vltimo per pri- mum diui$o, ex a dductis præcedenti theoremate propofitum confequemur. Itaq; primo termino ex vltimo detracto refiduo\’q; per interuallum, hoc eft numerum dif- ferentiæ diuifo, proueniens erit numerus terminorum ab$que primo quod vnus eft, coni uncto quoque dicto prouenienti propo$itum con$equemur.

THEOREMA XCVIII.

CVR fi quis arithmeticæ progre$$ionis dato primo & vltimo fimul cum nume ro terminorum, afcendentem numerum cognofcere voluerit. Rectè primuin ex vltimo detrahet, refiduum\’q; per numerum terminorum excepto vno diuidet.

Huius theorematis $peculatio ex. 13. theoremate manife$ta crit, nam in præce- denti cap. numerus terminorum erat proueniens diui$ionis re$idui $ubtractionis pri- mi termini ex vltimo.

THEOREMA XCIX.

CVR $i quis maximum omnium terminorum dictæ progreffionis cognofcere voluerit, dato primo vnà cum numero a$cendenti, numero\’q; terminorum. Re- ctè numerum afcendentem cum numero terminorum excepto vno multiplicabit, producto\’q; primum terminum coniunget.

Cuius quidem theorematis tum ex vndecimo, tum ex ijs quæ præcedentibus ca- pitibus dicta fuerunt, aperta e$t ratio.

THEOREMA C.

CVR veteres cupientes obtinere $ummam progreffionis continuæ naturalis, quæab vnitate initium ducit, dato vltimo termino tantummodo. Dimidium vltimi-termini cũ toto fequente multiplicabant, productum\’q; fumma quæ$ita erat.

Exempli gratia, $i vltimus terminus eiu$modi progre$$ionis fuerit. 7. multiplica- THEOR. ARITH. to dimidio ip$ius nempe. 3. & dimidio, cum numero ip$um terminum $equ\-eti, nem pè. 8. $umma dictorum terminorum erit. 28.

Huius autem $peculatio ex. 94. theoremate dependet, in quo facilè depræhen- dere licet ex figura continuæ progre$$ionis naturalis, numerum terminorum maxi- mo termino $emper æqualem e$$e; ex quo tãtum e$t dimidium numeriterminorum, quantum maximi dimidium, tantus\’q; e$t vltimus terminus vnitati coniunctus, quan tus numerus is, qui vltimum terminum con$equitur.

THEOREMA CI.

CVR antiqui idip fum, quod iam dictum eft, in ea progre$$ione, cuius vltimus ter minus di$par e$t $cire cupientes, numerum integrorum proximè dimidium maximi $equentem $umebant, quem per maximum multiplicabant, ex quo fumma quæ$ita oriebatur.

Exempli gratia, $i dimidium maximi fui$$et. 3. cum dimidio, fumebant quatuor, & per maximum. 7. multiplicabant, ex quo pariter proferebatur fumma. 28.

Cuius ratio ex. 20. $eptimi Euclidis oritur, cum eadem $it proportio numeri fe- quentis ma ximum ad numerum dimidium maximi $equentem; quæ maximi ad fuũ dimidium, e$t enim dupla.

THEOREMA CII.

TRaditum e$t à nonnullis, à veteribus ob$eruatam fui$$e hancregulam, qua $ci- re po$$ent $ummam alicuius progre$$ionis arithmeticæ di$continuæ aut inter cifæ, quæ numero pari terminetur. Multiplicabãt enim dimidiũ vltimi termini per pro ximum numerum dimidio dicto maiorem, ex quo inquiebãt $emper productum $ummæ quæ$itæ æquale e$$e, $ubijciunt\’q; exemplum progre$$ionis, quæ à binario in- choata crefcit per binarium. In qua quidem progre$$ione non per fe, fed per acci- dens regula vera eft. Hoc e$t, non quia ex $e vnus ex producentibus numeris dimi- dium termini maioris futurus $it, alter uerò proximè $equens dimidium, fed quia vt dictum e$t. 95. theoremate, eadem e$t proportio maximi termini ad numerum terminorum, quæ minimi ad vnitatem. Cum\’que in præfenti exemplo minimum $it duplum vnitati in eiu$modi ca$u, numerus terminorum, dimidio maximi termini æqualis e$t, qui terminorum numerus ex $e, vt patet, vnus e$t ex producentibus, al- ter verò producens numerus, e$t proximè dimidium $equens, non ex$e, fed quia nu merus $equens, dimidium e$t $ummæ maximi, & minimi, quæ per fe alter e$$e de- bet producens numerus. In cæteris enim progre$$ionibus, quæ binario non cre$cút regulafalfa e$t, prout facilè patere pote$t ei, qui ex $cientiæ legibus ope $peculatio- nis. 95. theorematis $peculatus fuerit.

THEOREMA CIII.

ALIAM quoque tradunt regulam, qua veteres v$os fui$$e dicunt, quo $um- mam $cire po$$ent progre$$ionis di$continuæ, quænumero di$pari ab$olui- tur. Ea autem e$t eiu$modi. Vltimum terminum in duas quam maximè poterant ma- ximas partes diuidebant, quarum vna $emper altera maior erat, banc autem maio- rem in $eip$am multiplicabant, at que quadratum hoc, $ummam progreffionis effe IO. BAPT. BENED. affirmabant. Quæ $anè regula, non $emper, et$i interdum vera $it.

Sumebant hi exemplum progre$$ionis, quæ ab vnitate incohata cre$cit per bina rium, in qua per accidens euenit vt numerus dimidium vltimi termini proximè $e- quens, nempe è duabus partibus vltimi termini maior, æqualis $it numero termino rum, qui per $e vnus è producentibus, ex ijs que. 94. theoremate diximus, e$$e debet; alter vero producens, qui per $e dimidium $ummæ primi & vltimi e$$e debet, per accidens pars maior e$t duarum vltimi termini, & alteri producenti æqualis.

Aut alio modo ratiocinemur, dicentes, in huiu$modi progre$$ione dimidium $ummæ vltimi termini cum primo, $emper medium proportionale e$t inter eam $ummam & dimidium numeri terminorum, etenim huiu$modi $umma numero ter- minorum $emper dupla e$t, prout. 94. theoremate tradimus. Itaque ex. 20. $eptimi, quadratum partis maioris, producto $ummæ dictæ in numerum dimidij terminorũ æquale erit, quod productum per $e $ummæ progre$$ionis e$t æquale. At in cæte- ris eiu$modi progre$$ionibus fallit regula, vt ex $upradictis facilè demon$tratur.

THEOREMA CIIII.

PErmultis terminis ad libitum propo$itis, di$po$itis nihilominus progre$$io- ne, aut proportionalitate geometrica continua, $i minimus ex maximo & exfe- quenti minimum detrahatur, re$iduum maximi, eam proportionem ad fum- mam reliquorum omnium terminorum retinebit, quam re$iduum $ecundi ad pri- mum.

Proponuntur, exempli gratia, quatuor termini. 3. 12. 48. 192. continui geome- tricè proportionales, $i primum, hoc e$t minimum, ex $ecundo, & maximo detra has, ex$ecundo $upererit. 9. ex maximo. 189. quod $i minimum per re$iduum maxi mi multiplicaueris, hoc e$t. 189. orietur. 567. tum $i huiu$modi productum per. 9. ( refiduum $ecundi ) diui$eris, proueniet. 63. quod proueniens æquale erit $ummæ reliquorum omnium terminorum, maximo excepto. Ex quo inferre licet ex. 20. $e ptimi eandem proportionem e$$e. 189. ad. 63. quæ. 9. ad. 3. aut $i re$iduum $ecundi per $ummam dictorum terminorum multiplicaueris produceturidem. 567. quare ex. 20. $eptimi & cætera.

Quod vt $ci\-etificè po$$imus, & in vniuer$um $peculari. Quatuor termini propo- $iti, quatuor $ub$criptis lineis $ignific\-etur. b. i: c. a: f. r: m. s. (quod aũt de his quatuor di co de centũmillibus, & eo amplius dicere po$$um.) Nunc minimus terminus. m. s. ex maximo. b. i. detrahatur, $uper$it\’q;. n. i. idem\’q;. m. s. ex $ecundo termino. f. r. $ubtra- hatur, $uper$it\’q;. o. r. Dico proportionem. n. i. ad $ummam reliquorum omnium ter- minorum. c. a: f. r: m. s. eandem effe, quæ. o. r. ad. m. s. Quamobrem ex tertio & quar- to $ecundus. f. r. detraha\~t, ex tertio\’q; $uper$it. t. a. & ex quarto. e. i. ita etiam tertius. c. a. ex quarto. b. i. $uper$it\’q;. d. i. $anè $ic $e habebit. c. a. ad. f. r. vt. c. t. ad. f. o. vt quisq; per $e $cire pote$t. Quare ex 19. quinti $ic $e habebit. a. t. ad. r. o. vt. c. a. ad. f. r. & permutando ita. a. t. ad. a. c. vt. o. r. ad. r. f. & $eparando $ic. a. t. ad. a. c. (hoc e$t. f. r.) vt. r. o. ad. o. f. vide- licet. m. s. Id\-e dico de. d. i. ad. a. c. nem- pe $ic $e habebit. d. i. ad. a. c. vt. a. t. ad. THEOREM. ARIT. r. f. hoc e$t. o. r. ad. m. s. ex. 11. quinti. Itaque ex communi $cientia $ic $e habe- bit. d. i. ad. d. b. vt. e. d. ad. e. b: cum. e. d. æqualis $it. t. a. Ita etiam vt. e. n. ad. n. b: cum. n. e. æqualis $it. o. r. Iam $i $ic $e habeat. d. i. ad. d. b. vt. d. e. ad. e. b. permutando quoq; $ic $e habebit. d. i. ad. d. e. vt. d. b. ad. b. e. & compon endo ita. i. d. e. ad. e. d. vt. d. b. e. ad. e. b. & permutando $ic. i. d. e. ad. d. b. e. vt. de. a. d. e. b. nempe vt. e. n. ad. n. b. & permutan do ita. i. d. e. ad. e. n. vt. d. b. e. ad. b. n. & componendo ita. i. d. e. n. ad. n. e. vt. d. b. e. et. b. n. ad. b. n. & permutando $ic. i. d. e. n. ad. d. b. e. et. b. n. nempe ad. a. c: f. r: m. s: vt. e. n. ad. n. b. hoc e$t. ut. o. r. ad. m. s. quod erat propo$itum.

THEOREMA CV.

CVR de$ideranti $ummam quorumcunque terminorum progre$$ionis conti- nuæ geometricæ cogno$cere. Rectè minimus terminus ex maximo detrahen dus e$t, re$iduum\’q; per denominantem progre$$ionis dempta vnitate diuidendum, prouenienti\’q; maximum terminum addendum, ex quo oritur $umma quæ$ita.

Exempli gratia, $i darentur quatuor termini continui proportionales. 8. 12. 18. 27. primum hoc e$t minimum. 8. ex vltimo. 27. detraheremus: remaneret\’q;. 19. qui per denominantem progre$$ionis, dempta vnitate, diuideretur. Quo loco animad uertendum e$t, quamlibet denomination\-e cuiu$cunque proportionis numerorum $upra vnitatem fieri, nam de proportionibus multiplicibus dubitandum non e$t, & idip$um de $uperparticularibus, & $uperpartientibus e$t intelligendum, vt in præ- $enti proportio $e$quialtera inter duos terminos cogitanda e$t, nempe inter vnum & dimidium, atque vnum. Se$quitertia autem inter vnum & tertiam partem, & vnum. Se$quiquinta inter vnum cum quinta parte, & vnum. De $uperpartien tibus idem a$$ero quod de proportione $uperbiparti\-ete tertias appellata, vt. 5. ad. 3. quæ cogitanda e$$et inter vnum duas tertias, & vnum, $uperbipartiens quar- tas inter vnum tres quartas, & vnum, ita vt minor terminus, numerans $cilicet, $em per $it vnitas, alter verò denominans. Idem de cæteris. Quare in præ$enti exem plo, detracta vnitate ex denominante progre$$ionis, $upererit tantummodo dimi- dium, quo diui$o. 19. proueniet. 38. qui numerus æqualis erit $ummæ reliquorũ omnium terminorum, cui coniuncto vltimo termino. 27. dabitur $umma quæ$ita. 65

Pro cuius $peculatione, quatuor termini $ignificentur, quatuor lineis. m. s: f. r: c. a. b. i. primus autem terminus. m. s. ex vltimo. b. i. detrahatur, re$iduum\’q; $it. n. i. & ex $ecundo. f. r. cuius re$iduum $it. o. r. proportio verò progre$$ionis ea $it, quæ. g. h. ad. y. quo vnitas repræ$entatur (ex quo $ic $e habebit. g. h. ad. y. vt. f. r. ad. m. s.) qua. y. de tracta ex. g. h. $uper$it. h. Tum erecta cogitetur linea. n. u. x. indefinita per pendicularis. b. i. à puncto. n. qu{ae} diui datur in puncto. x. ita vt. n. x. æqualis $it vnitati. y. & in puncto. u. ita. vt. n. u. æqualis $it. h. ex quo eadem erit proportio. n. u ad. n. x. vt. h. ad. y. n\-e- pe. o. r. ad. m. s. Nam cú $ic $e habeat. f. r. ad. m. s. hoc e$t ad. f. o. vt. g. h. ad. y hoc e$t ad. g. permutando quoq; $ic $e habebit. f. r. ad. g. h. vt. f. o. ad. g. Ita que ex. 19. quinti. o. r. ad. h. vt. f. r. ad. g. h. ex quo ex. 11. eiu$dem. o. r. ad. h. vt. f. o. ad IO. BAPT. BENED. g. & permutando. o. r. ad. f. o. hoc e$t ad. m. s. vt. h. ad. g. hoc e$t. y. Quamobrem ea- dem erit proportio. o. r. ad. m. s. quæ. n. u. ad. n. x. Abfoluantur itaque duo rectangu la. x. i. et. u. z. ita tamen vt rectangulũ. u. z. cogitetur {ae}quale rectangulo. x. i. cuius. x. i. $uperficialis numerus ex communi conceptione lineari. n. i. æqualis erit, quare ex ead\-e communi conceptione, numerus $uperficialis. u. z. lineari. n. i. æqualis erit, qui quidem numerus in figura rectangu- la $uperficialis cognitandus erit, cum diuidendus $it per. h. hoc e$t per. n. u. ex quo proueniens ex huiu$modi di ui$ione erit numerus. n. z. ex ijs quæ. 10. theoremate dicta fuerunt. Sed ex. 15. fexti aut. 20. $epti- mi eadem e$t proportio. n. i. ad. n. z. quæ. n. u. ad. n. x. hoc e$t. o. r. ad. m. s. videlicet vt. n. i. ad aggregatum reli- quorum omnium terminorum. c. a: f. r: m. s. ex præcedenti theoremate, & ex. 11. quinti Euclidis. Itaque ex. 9. eiuf- dem numerus. n. z. æqualis erit $ummæ trium terminorum. c. a: f. num. s. cui coniuncto quarto termino. b. i. propo$itum obtinetur.

THEOREMA CVI.

PRopo$uere veteres quæ$ita nonnulla de itineribus inter\’q; hoc vnum fuit. Po- namus duos iter agere per eandem viam quorum alter quatuor milliaria $in- gulis diebus conficiat, alter verò prima die milliare vnum, $ecunda duo, tertia tria, atque ita $ingulis diebus milliare addit; quærimus quot dierum $pacio $ocium con $equetur.

Quamobrem numerus milliarium primi viatoris duplicatur, $ic $unt. 8. milliaria. ex quo $emper vnitas detrahicur, quæ in præ$enti exemplo erit. 7. tot\’q; dies erunt quibus $ocius $ocium con$equetur, & milliarium numerum æqualem ab$oluerit.

Cuius rei facilis erit $peculatio, $i $ub$cripta figura diligenter con$ideretur, in qua primus viator, die prima, quatuor milliaria linea. q. d. $ignificata conficit, at- que illa ip$a die alter vnum tantum defignatum per. d. perficit, ita vt primus via- tor tribus milliaribus $ocium antece$$erit, altera verò die fecundus uiator cum duo milliaria cõficiat, excedètur à primo duobus milliaribus tantummodo, qu{ae} cum tri- bus primæ diei quinque erunt; tertia die ij$dem de cau$is primus $ex tantum millia- ribus à $ecundo di$tabit, cum verò quarta die tot $ecundus quot primus milliaria conficiat, primus à $ecundo amplius quam antea non di$tabit; quinta verò cum $e cundus vnum milliare amplius quam primus conficiat. propius accedit ad primum vno ex $ex milliaribus, quibus anteà di$tabat, tum $exta cum duobus primum $upe- ret, detrahet ex $ex milliaribus præteritæ di$tantiæ tria, $eptima tandem illa $ex detraxerit. In quo con$iderandum e$t $ecundum viatorem iter agere progre$$io- ne arithmetica continua naturali. d. c. f. primum autem per rectangulum. q. f. quarũ duarum figurarum. d. o. p. f. pars cõmunis e$$e reperitur, quæ quantitates $i inuicem æquales e$$e debent, nece$$e e$t $eparatas partes. u. q. n. et. t. i. c. inter $e æquales e$$e, & quoniam quarta die (hoc e$t die $ic di$tante à primo, nempè numero milliarium THEOREM. ARITH. primi viatoris) tot milliaria ab$oluat vnus quot alter ab$que vlla differentia, quæ $igni- ficetur per. o. s. nece$$e e$titaque ex communi conceptione tot dies e$$e po$t. o. s. quotante- ce$$erant, vt exce$$us æqualis $it defectui, qui $imul collecti, iuncta etiam. o. s. duplum erunt d. s. dempta vnitate, prout facilè in $ub$cripta figura qui $que per $e $cientificè poterit $pecu lari. Quamobrem con$ultum erit duplicare numerum. o. s. & exduplo vnitatem detrahe- re, quandoquidem dies $upra infra\’q;. o. s. cum die. o. s. minores $unt duplo numeri. d. s. aut. o. s. (quodidem e$t) vnitate.

THEOREMA CVII.

QVOD $i$ecũdus viator ordin\-e $ecũdæ progre$$ionis arithmeticæ $eruãsiter agat, nempe ea quæ ab vno per binarium a$cendit, $emper numerus dierum æqualis erit numero milliarium diurnorum primi viatoris.

In cuius gratiam animaduertendum e$t numerus ne milliarium diurnorum pri- mi viatoris par an impar $it. Etenim $i par e$t, primus viator in fine $ingulorum die- rum primæ medietatis numeri omnium dierum $ecundum antecedet numero di$pa ri milliarium; altero verò dimidio numero dierum, à $ecundo numero etiam di$pa ri præteribitur, vt in $equenti figura patet. Nam prima die, $ecundus ex primo milliare vnum ex numero pari, qui à primo conficitur detrahit; $ecunda verò die idem $ecundus, duo $ubtrahit milliaria exdi$pari, qui primo reliquus fuerat, $ic\’q; perpetuò di$par remanet v$que ad vnitatem, ad quam cum peruenerint, nempe ad illius diei exitum, quo primus $ecundum vnitate tantummodò $uperat, manife$tè depræhendetur $ub$equente die$ecundum vnitate primum $uperaturum, altera ve rò tribus vnitatibus, prout penultima die $ecundus à primo tribus vnitatibus $upera batur. Quare nece$$e erit, tot diebus $ecundum cum primo iter agere, inchoan- do ab ea die, qua fecundus primam $uperabit, quot egerat dum à primo $uperare- tur, vt ex communi conceptione, media figura. A. depræhendi pote$t. Quod au- tem $ingula dimidia dierum, dimi- dia $int numeri milliarium diurno- rum primi; patebit ex$equenti fi- gura, cogitato termino. u. n. vlti- mo progre$$ionis $uperat{ae} à primo v$que ad vnitatem. e. quiterminus u. n. coniunctus primo. o. nempe. e. $emper duplũ e$t numeritermino- rum. o. n. vt. 94. theoremate circa finem dictum fuit. Sed. u. n. cum. e. numero æquali con$tat numero milliarium diurnorum primi viatoris, ex quo $equitur totum numerum dierum, quo rum. o. n. dimidium e$t, æqualem e$$e numero milliarium diuruorum primi via- toris.

IO. BAPT. BENED. THEOREMA CVIII.

AT $i numerus milliarium primi viatoris di$par fuerit, $ecundum numero pari $emper $uperabit, vt facile erit $equentem figuram con$ideranti intelligere, ex quo illud $equetur, futuram quandam diem, qua paria milliaria conficient. Sit- \’que illa dies. u. n. $equitur etiã tran$acta ea die, tot diebus vtrique ambulandum e$$e quot iter egere anteaquam ad diem. u. n. peruenirent, vt tanto numero primus à $e- cundo $uperetur, quãto $ecundum primus $uperauerat, vnde totalis numerus. o. f. mi nor erit duplo. o. n. vnitate ex communi conceptione, $ed ita etiam $e habet termi- nus. u. n. hoc e$t minor duplo. o. n. per. o. vt 94. theoremate dictum fuit, itaque. o. f. æ- qualis erit. u. n. quoderat propo$itum.

THEOREMA CIX.

SIN verò progre$$io $ecundi viatoris, non ab vnitate $ed à binario inchoata, per binarium quoque a$cenderet, numerus\’q; milliarium diurnorum primi via toris par e$$et, ab$que dubio quadam die paria milliaria vterq; conficeret, qu{ae} $igni ficetur. u. n. qua tran$acta, tot diebus vtrique ambulãdum erit, quot fuerũt dũ primus $ecundum $uperaret, vt totidem alijs pri- mus à $ecundo $uperetur, in qua tamen progre$$ione terminus. u. n. $emper duplus e$t numero terminorum. o. n. ex. 95. theo- remate, tot\’q; $unt infra. u. n. termini v$que ad. f. quot $upra. ex quo illud $equitur om nesterminosaut dies. o. n. f. pauciores e$$e u. n. vnitate, atque ita præcipit, regula de- trahendam e$$e vnitatem ex numero mil- liarium diurnorum primi viatoris, $i dierum numerum habere voluerimus.

THEOREMA CX.

SED $i in eiu$modi progre$$ione numerus milliarium diurnorum primi viato- ris di$par fuerit, patet quòd primus $ecundum numero di$pari $uperabit, do- necad vnitatem perueniatur vi- ci$$im\’q; primum $ecundus, in- choando ab vnitate, quare nul- la vnquã die paria milliaria vter- que conficiet, $it itaque vltima dies, qua primus $ecundum vnita tem antecedit. u. n. qui terminus duplus e$t numero terminorum o. n. & cum illa die primus $ecun- dum milliario antecedat, $equen THEOREM. ARIT. te verò à $ecundo milliario vno primus antecedatur, ex communi $cientia nece$$e e$t $ecundum tot diebus cũ primo iter agere quot $unt. o. n. qui $imul æquales erunt. u. n. $ed. u. n. minor eft numero milliarium diurnorum primi vnitate. e. Itaque rectè $equemur regulam, quæ iubet ex numero milliarium vnitatem demere, quo nu merum dierum habere po$$imus.

THEOREMA CXI.

SI verò $ecundi viatoris progre$$io per ternarium a$cenderet, $umpto initio ab ip$o ternario, animaduertendum e$t an numerus milliarium diurnorum primi, ternario men$uretur necne, etenim $i men$uretur, tandem aliquando paria millia- ria conficient, quæ dies $it. u. n. quare $ub u. n. totidem quot $upra termini erũt, & cũ. o. n. tertia $it pars. u. n ex. 95. theo- remate. Itaque tota. o. f. minor erit duabus tertijs. u. n. vnitate, vtiam re- ctè $umendæ $int duæ tertiæ partes. u. n. ex quibus vnitas detrahatur $uper$it\’que numerus. o. f. dierum quæ$itorum.

THEOREMA CXII.

CVM verò milliarium numerus p rimi viatoris metirinon poterit à numero a$cendente $ecundi, patet nullam futuram diem qua pari milliaria conficient, quare illa vltima qua primus $ecundum antecedet, vno aut duobus milliaribus an- tecedet in præ$enti ca$u. Antecedat itaque duobus milliaribus, $it\’q; dies. u. n. & alte ra. t. i. $ecundus primum vno milliari $uperabit, ita quod $ub. t. i. non poterunt plu- res integros dies iter agere, quam ambulauerunt ante diem. u. n. hoc e$t v$quequo $ecundtis iunctus $it primo, qui numerus dierum, tertia parte. o. n. ip$ius. u. n. vnitate minor erit, cum ex. 95. theoremate. o. n. $it tertia pars. u. n. ex quo numerus. o. f. ter- minorum aut dierum intergrorum cognitus erit, qui $i cum numero alcendente cogno$cetur, $tatim ex. 99. theoremate deueniemus in cognitionem vltimi diei in tegri. s. f. atque ita etiam totius $ummæ progre$$ionis ex. 95. theoremate. Iam verò cognito numero milliarium diurnorum primi, $imul cum numero terminorum, aut dierum con$equenter nouerimus rectanguli $ummam, hoc e$t productum à primo viatore formatum, quarum duarum $ummarum in præ$enti ca$u $emper ea, quæ huiu$modi producti e$t, maior erit, cum con$titutum fuerit $ecundum viatorem à primo $uperari ip$a die. u. n. vno milliari amplius quam $equente die. t. i. primus à $e cundo $uperatur, tum pari gradu iter egerunt $ub. t. i. quo $upra. u. n. ambulauerant. Hoc animaduertendo, quòd $i $umma progre$$ionis maior e$$et rectangulo, ex ea $umma nece$$e e$$et numerũ mil liarium vltimi termini in $umma inclu$i detrahere, & re$iduo ope- rari. Nunc verò $ummam pro- gre$$ionis ex$umma rectanguli à primo viatore facti $ubtrahi de- bet, re$iduum\’q; $eruari vocetur\’q; IO. BAPT. BENED. primũ re$iduũ. Ad hæc numerũ milliariorũ, quæ $ecũdus viator die $eq\-enti. s. f. confi ciet $uma\~t, ex quo numerus milliariũ diurnorũ primi detrahatur, re$iduũ\’q; pariter re $eruetur, vocetur\’q; $ecundum re$iduum, po$tmodum numerum milliarium primi vnius diei multiplicetur per primum re$iduum $eruatum, productum\’q; per $ecundũ re$iduum diuidatur. a. c. proueni\-es ({quis} erit iter primi in $equenti die) iungatur re$i- $iduo primo, tot enim erunt milliaria conficienda a $ecundo $equenti die, vt $e$e con$equantur.

Vtautem $ciamus quantam partem diei $eq\-entis, $ingulos itinere agere oporteat, proueni\-es per. 24. horas multiplicetur ($uppo$ito quod ambulãtes nullã requi\-e nec die nec nocte capiãt), pductũ\’q; <002> numerũ milliariorum vuius diei primi viatoris di uidatur, ex quo dabitur quãtitas horarũ, & pars horæ, qua cuiq; illa die ambulandũ e$t. Idem accideret $i primum re$iduum re$eruatum cum proueniente in $ummam colligeretur, ea\’q; $umma per. 24. horas multiplicaretur, productum\’q; per nume- rũ milliariorum $equenti die à $ecundo conficiendorum diuideretur. I dip$um quo- que eueniret multiplicato primo re$iduo per. 24. & producto per $ecundum re$i- duum diui$o.

Exempli gratia, primus viator diurna milliaria vndecim conficit, $ecundus, pri- ma die tria, $ecunda. 6. tertia. 9. atq; ita deinceps, diuidatur ergo. II. per. 3. vnde pro numero. o. n. dabitur. 3. $upererit\’q;. 2. quare: u. n. ab. e. n. duobus milliaribus $u- perabitur, et. i. t. dictum. e. n. vno milliario, ex quo ante diem. e. u. n. duobus diebus iter egerunt, tot\’q; diebus ambulandum erit po$t. t. i. hoce$t. 6. in vniuer$um inte- gris. Ad h{ae}c multiplicato. o. f. hoc e$t. 6. per. x. o. hoc e$t. 3. habebimus. s. f. milliariorũ 18. tũ cõiũcto. x. o. primo termino hoc e$t. 3. cũ. s. f. hoc e$t. 18. vltimo termino, habe bimus. 21. quo multiplicato cũ dimidio. o. f. hoc e$t. 3. habebimus totam $ummam progre$$ionis. 63. $ex dierum integrorum ex. 94. theoremate, tum multiplicato. 11. nempe numero milliariorũ diurnorum primi cum. 6. hoc e$t cum. o. f. habebimus pa rallelogrammum à primo $ex diebus integris confectum milliariorum. 66. ex quo detracta. 63. $umma inquam progre$$ionis, $upererit pro primo re$iduo. 3. $umptis po$tea milliaribus. 21. pro itinere, quod $ecundus die $equenti. s. f. conficeret, & ex ijs detracto numero milliariorũ diurnorum primi, nempe. 11. $ecundum re$iduum erit 10. quod pro diuidenti $eruabitur. Iam multiplicato. 11. cum primo re$iduo. 3. dabitur. 33. qui diui$us per. 10. $ecundum re$iduum profert. 3. cum tribus decimis, erit\’q iter à primo viatore $equenti die conficiendum, hoc etiam ip$um proueniens cum primo re$iduo. 3. coniunctum, dat. 6. cum tribus decimis, quod e$t iter $ecundi viatoris illa $equenti die. Ad inueniendam autem quantitatem diei, qua vtrique ambulandum e$t, perinde erit multiplicare proueniens. 3. & tres decimas per. 24. ho ras, & productum per. 11. dimidium iter primi viatoris partiri, ac multiplicare $um mam. 6. & tres decimas cum. 24. horis, productum\’q diuidere per. 21. hoc e$t periter $ecundi viatoris $equentis diei, vtrinque enim $emper $eptem horæcum. 12. minu tis prouenient. Idip$um accidet multiplicato per. 24. horas primo re$iduo. 3. pro- ducto\’q; diui$o per $ecundum re$iduum. 10.

Quarum $peculationum gratia, totum iter parallelogrammi primi viatoris die- rum integrorum fignificetur linea. n. e. $umma verò progre$$ionis $ecundi linea. f. m. parallela. n. e. erit\’q;. f. m. minor. n. e. Con$tituamus deinde à termino. f. n. (majoris intellig\-eti{ae} gratia) vtranque perp\-ediculariter duci, {pro}ducatur deinde. n. e. donec. e. d. æqualis $it itineri diurno primi viatoris, item etiam producatur. f. m. donec. m K. æqualis $it itineri à $ecundo confecto $equenti die vltimum integrum progre$$io- THEOREM. ARITH. nis, ex quo. m. k. prolixior erit. e. d. ex præ$up po$ito. Po$tmodum. m. e. et. k. d. dua- bus lineis rectis coniungantur, quæ productæ concurrentin puncto. b. ducatur pari- ter. e. g. à puncto. e. parallela. b. k. et. m. a: e. h. et. b. q. parallelæ. f. n. ex quo. f. m. æqua- lis erit. n. a. et. m. h: a. e. et. h. q: e. o. et. g. k: e. d. et. f. q: n. o. ex. 34. primi Eucli. vnde pro portio. m. h. ad. h. q. erit vt. m. g. ad. g. k. quandoquidem vtraque æqualis e$t propor- tioni. m. e. ad. e. b. ex. 2. $exti, $ed cum. m. k. et. g. k. notæ $int, pariter cogno$cetur. m. g. $ecundum re$iduum, cum etiam notæ $int. n. e. et. n. a. Itaque cogno$cemus. a. e. hoc e$t. m. h. cognitis verò. m. g: g. k. et. m. h. ex. 15. $exti aut. 20. $eptimi cogno$cetur. h. q. erit igitur. a. e. aut quod idem e$t. m. hprimum re$iduum, et. m. g. $ecundum, et. h. q. aut. e. o. proueniens, et. n. o. et. f. q. itinera vtriu$que viatoris inter $e æqualia. Nec verò prætermittenda e$t $peculatio vltimæ rationis inueniendæ quantitatis diei, quæ con$tat ope diui$ionis producti. m. h. in. 24. per. m. g. Ea autem eiu$modi e$t. Probatum fuit $ic $e habere. m. h. ad. h. q. ut. m. g. ad. g. k. Itaque componendo $ic $e habebit. m. q. ad. h. q. vt. m. k. ad. g. k. & permutando. m. q. ad. m. k. vt. h. q. ad. g. k. Sed cum $ic $e habeat. m. h. ad. h. q. vt. m. g. ad. g. k. permutando $ic $e habebit. m. h. ad. m. g. vt. h. q. ad. g. k. itaque ex. 11. quinti ita. m. h. ad. m. g. vt. m. q. ad. m. k. ex quo permutando m. h. ad. m. q. vt. m. g. ad. m. k. $ed cũ. m. k. $it motus toti diei re$pon dens, $ecurè dicere poterimus, $i m. g. talis e$t re$pectu horarum. 24. $ignificatarum per. m. k. qualis erit. m. h. & quo tæ parti dieire- $pondens: quæ po$tmodũ erit. m. q. quæ, vt di- ctũ fuit, talis e$t re$pectu. m. k. qualis. m. h. re- $pectu. m. g. Reli qu{ae} duæ $pecula tiones priorum modorũ, vna & eadem e$t, facilis\’q; per $e mediocriter intelligenti. Eodem modo reliquæ omnes progre$$iones $ecundi viatoris cũ rectangulo primi conferri ex hoc theoremate poterunt.

THEOREMA CXIII.

PRoponitur & aliud, primum $cilicet viatorem iter incipere diebus aliquot an- tè $ecundum, primum tamen lentius, quàm $ecundum ambulare, & utrunque eorum certa quædam milliaria conficere. Iam $i$cire voluerimus in quot diebus $e$e con$equentur, uulgaris regula iubet, in$pici quot milliaria primus $olus iter a- gens confecerit, tum animaduerti differentiam diurnam motus vnius ab altero, atq; milliarium numerum primi viatoris $oli abundantis per hanc differentiã diuidi, pro ueniens autem erit numerus dierum quæ$itus.

IO. BAPT. BENED.

Exempli gratia, $i primus octo diebus antequam $ecundus iter arripui$$et, con- feci$$et\’q; fingulis diebus. 20. milliaria, tum $ecundus. 25. quotidie perfeci$$et, mul tiplicandus e$$et numerus. 8. cum. 20. ex quo darentur. 160. milliaria à primo $olo ambulãte confecta, quibus diui$is per. 5. differentiam motuum diurnorum, daretur. 32. numerus quæ$itus dierum.

Cuius ratio aperti$$ima e$t. Sint enim duo rectanguli. a. n. et. u. i. æquales inter $e, quibus motus itinerarium $ignificentur, quorum. a. n. $it primi, et. u. i. $ecundi, præ tereà. a. c. numerum milliarium diurnorum primi. et. u. e. $ecundi, ex quo. a. c. minor erit. u. e. per. o. e. atque ita. o. e. co- gno$cetur. Tum. c. o. numerum dierũ primi $oli iter agentis denotet, cũq; con$tituamus. a. n. æqualem e$$e. u. i. o. i. {ae}qualis erit. o. a. atque. o. a. cogni tus ex $uis producentibus. a. c. et. c. o. itaque. o. i. etiam cognitus, qui diui- $us per latus cognitum. o. e. dabit. e. i. cognitum numerum $cilicet dierum, quibus $ecundo ambulandum e$t, vt primum con$equatur.

APPENDIX THEOREM. CXIII.

AB hoc theoremate $ump$i ordinem illius operationis, numeris mediantibus, ad inueniendam exactam temporis quantitatem, $eu interuallum, {quis} tran$it, vel in tercedit inter vnam mediocrem coniunctionem & aliam proximam $equent\-e duo rum planetarum, vt patet in epi$tola no$tra ad Illu$trem Bernardum Trottum con- tra Benedictum Altauillam repræhen$orem Ephemeridum. Verum tamen e$t {quis} cum praxis huiu$modi theorematis $it multiplex, vi$um fuit vnam proponere, qu{ae} non ita per$picua $it, $ed $ubob$cura, non quòd aliquid voluerim latere illum ami cum mihi dilecti$$imum, cui priuatim omnes modos prius o$tenderam, $ed vt cere- brum illius mei aduer$arij in laberintum conijcerem inextricabilem vt feci, quam- uis modus ille egregius etiam $it, vt nunc o$tendam.

In dicta epi$tola igitur mente cogitaui medium motum tardioris planetæ, pu- ta $aturni, illius temporis quo velocior planeta, $cilicet Iupiter, percurrit $uo medio motu totum zodiacum, incipiendo ambo eodem temporis puncto, nec non ab vna eorum media coniunctione, hoc e$t ab eodem zodiaci puncto, in quo coniunct{ae} fue runt eorum lineæ mediorum motuum, vbi inueni vi regulæ de tribus, quòd Satur nus $pacio dierum vnius mediocris reuolutionis Iouis, qui $unt. 4328. progreditur medio motu gra. 145. min. 4. hoc e$t min. 8704. pofito quòd ip$e Saturnus perficiat vnam mediam reuolutionem $pacio dierum. 10740. vt dixi. Incipiendo igitur ite rum Iupiter aliam reuolutionem percurrere, reperto Saturno per min. 8704. ante ip$um $pacio. 4328. dierum, certus eram hos dies $ignificatos e$$e à linea. a. u. vel. c. o. (æquales enim inuicem $unt) in figura huiu$modi theorematis, & quòd rectangu lum. a. o. præbebat $ummam graduum. 145. min. 4. hoc e$t min. 8704. et quòd. a. c. vel. o. u. $ignificabat iter vnius diei ip$ius Saturni, et. u. e. iter vnius diei Iouis. Cogi- temus nunc. u. x. $ignificari dies. 30. & à puncto. x. productam e$$e. x. f. parallelam ip$i u. o. e. vnde certi erimus rectangulum. e. x. $ignificare iter Ionis $pacio temporis die- rum. 30. rectangulum verò. o. x. iter Saturni eodem temporis interuallo, vnde rectan THEOREM. ARIT. gulum. e. x. erit minutorum. 149. & $ecundorum. 43. et. o. x. minutorum. 60. & $ecun. 20. vt in dicta epi$tola, vnde rectangulum. o. f. erit min. 89. & $ecun. 23. & quia re- ctangulum. o. i. æquale e$t rectangulo. a. o. ergo. o. i. $imiliter continebit min. 8704. Nunc quia. a. c. vel. o. u. denotat iter vnius diei Saturni et. u. e. vnius diei Iouis vt di- ximus ergo. u. o. erit minutorum. 2. $ecun. o. & tertiarum. 40. videlicet tertiarum. 7240. $uppo$ito periodo totaliip$ius Saturni dierum. 10740. et. u. e. erit minutorũ. 4. $ecun. 59. & ter. 27. vel circa hoc e$t tertiarum. 17967. vnde. o. e. erit tertiarum. 10727. Nunc$i dixerimus cum. o. e. tertiarum. 10727. dat. o. u. vel. a. c. (nam tam vna quam altera e$t tertiarum. 7240.) quid dabit. a. u. vel. o. c. (quia tam vna quam altera e$t partium. 4328.) clarum erit quòd dabit. o. n. vel. u. t. uel. e. i. quia tam vna quam altera erit partium. 2921. quæ partes coniunctæ cum fuerint cum partibus ip- $ius. a. u. dabunt totam. a. t. partiũ. 7249. quæ erunt tot dies, hoc e$t periodus quæ$ita.

Alia methodo $imiliter po$$umus idem cogno$cere, $cilicet dicendo $i rectangu lum. f. o. quod e$t minutorum. 89. & $ecun. 23. hoc e$t $ecundorum. 5363. dat rectan gulum. o. x. minutorum. 60. & $ecun. 20. hoc e$t $ecun. 3620. quid dabit. a. u. partium 4328. vnde veniet. u. t. partium. 2921. $imiliter, eo quod eadem proportio e$t rectan guli. f. o. ad. o. x. quæ. e. o. ad. o. u. ex prima $exti, vel. 18. 19. $eptimi $eu. 15. quinti.

Po$$et etiam aliquis dicere $i. f. o. dat. o. x. quid dabit. o. a. vnde veniet. o. t. quo diui$o per. o. u. daret. u. t. quia ita $e habet. a. o. ad. o. t. vt. a. u. ad. u. t. ex $upra hic iam citatis.

Sed ego, in dicta epi- $tola, aliam methodum ob$eruaui, quæ e$t multi plicando minuta. 8704. per. 30. productum\’q; di ui$i per min. 5363. qua$i dicens. Si. o. f. dat. o. i. quid dabit. e. f. Vnde exiam $upradictis propo$itionibus veniet. e. i. & quia permu- tando ita $e habet. o. f. ad. e. f. vt. o. i. ad. e. i. ideo dixi, $i min. 89. cum $ecun. 23. dat. 30 quid dabit min. 8704.

THEOREMA CXIIII.

PRoponunt veteres & quærunt aliud, nempe $i duo iter agentes, eodem in- $tanti diuer$is è locis profici$cantur, ita vt vnus locum vnde alter profectus e$t petat, alter\’q; altero velocior $it, quo loco quãue die $ibi inuicem occurrent.

Exempli gratia, Patauio profectus quidam Taurinum petit, eodem in$tanti al- ter Taurino Patauium, e$t\’q; iter. 400. milliarium, ille tamen vndecim diebus, hic 9. motu regulari & vniformi appellit. Quærimus quot milliaria qui$que confece- rit, quot\’q; diebus iter egerit, priu$quam $ibi occurrant.

Iubent nos veteres dies vtriu$que inuicem inter $e multiplicare, erit\’q; produ- ctum. 99. item etiam in $ummam colligere, erit\’q; $umma. 20. per quam productũ. 99.@diui$erimus dabuntur dies. 4. cum. 19. vige$imis vnius diei. At pro milliaribus vtriu$que, pro eo qui. 11. diebus iter conficit, multiplicatis. 400. per. 4. et. 19. vige$i mis, tum diui$o per. 11. dabitur numerus. 180. à Patauio Taurinum & è contra, qui IO. BAPT. BENED. Taurino Patauium. 220. quæ qui$que confecerit.

Dum autem hæc $pecularer attentius, occurrit alius $oluendi modus, quamuis pro lixior. Is aũt e$t eiu$modi. Accipia\~t medietas minoris numeri dierũ, n\-epe. 4. cũ dimi dio, & per. 400. multiplicetur, productũ\’q; per maior\-e numerum diuidemus $cilicet 11. ex quo dabuntur. 163. cum. 7. vndecimis, quo proueniente è dimidio millia- riorũ itineris. 200. detracto, & pre$iduũ n\-epe. 36. cũ. 4. vndecimis multiplicato pro ducto\’q; diui$o <002> $ummã dimidij itineris. 200. cũ primo prou\-etu. 163. et. 7. vndecimis n\-epe <002>. 363. ct. 7. vndecimas partes {pro}ueniet. 16. cũ. 4. vndecimis, quo cõiuncto pri mo {pro}ueni\-eti, primus. 180. milliaria cõfecerit, quæ è. 400. detracta $upererunt. 220. pro itinere $ecundi, qui. 9. diebus iter ab$oluit. Ad hæc $i tempus $cire velimus eius, qui. 11. diebus appellit, multiplicabimus. 11. cum. 180. productum\’q; per. 400. partiemur, prouenient\’q; paulominus, quam quinque dies, nempe. 4. cum. 22. horis et. 48. minutis, quod tempus vtrique viatori in$eruiet, quandoquidem idip$um pro uenit multiplicato. 220. per. 9. producto\’q; per. 400. diui$o.

Huius autem, qui à me pr{ae}$cribitur modi, $peculatio talis e$t. Duo termini duabus rectis lineis æqualibus, & parallelis inter $e. b. p. et. d. q. $ignificentur, quæ alijs dua- bus. b. d. et. q. p. coniungan\~t, qu{ae} parallelæ & æquales erunt ex. 33. primi, quibus $igni ficentur duo itinera. Viator primus quidem lentior à. b in. d. velocior à. q. in. p. Iam $umatur punctũ medium. q. p. $it\’q;. k. & ab ip$o ad. b. d. ducatur. k. i. parallela. d. q. aut b. p. quod idem e$t, ex quo. b. i. æqualis erit. p. k. ex. 34. primi, hoc e$t. q. k. certi\’q; eri- mus primum viatorem. q. p. in dimidio itineris. q. k. occurrere non potui$$e viatori ip $ius. b. i. quandoquidem eo tempore, quo is, qui ip$ius. q. p. mouetur per. q. k. (cum $it altero velocior) qui per. b. d. nondum peruenerit ad. i: Sit itaque punctum. c. in quo lentior reperitur, dum velocior e$t in. k. ex quo certi erimus eos inter. c. et. i. $ibi in- uicem obuiaturos e$$e. Cogito deinde rectam lineam ductam. k. c. & ut $e habet. i. c. ad. c. b. ita cogito $e habere. u. k. ad. k. q. & à puncto. u. ad. i. duco. u. i. quæ, vt manife $tum e$t, lineam. k. c. in puncto. e. inter$ecabit, à quo cum fuerit ducta. e. o. n. parallela k. i. habebimus. o. n. ea $cilicet puncta, quibus occurrunt $ibijp$is, nam cum $ic $e ha beat. q. k. ad. k. u. vt. b. c. ad. c. i. et. k. u. ad. k. n. vt. c. i. ad. c. o. ex $imilitudine manife$ta triangulorum, ex æqualitate proportionum $ic $e habebit. q. k. ad. k. n. vt. b. c. ad. c. o. & permutando ita. k. q. ad. b. c. vt. k. n. ad. c. o. & cum. q. k. et. b. c. $patia $int tempori- bus æqualibus confecta, itaque $patia. k. n. et. c. o. ex communi $cientia temporibus æqualibus conficientur.

Quare rectè dicimus, $i tot diebus à. b. in. d. aliquis peruenit, quot milliaria in di midio temporis alterius viatoris idem conficiet? ex quo ex regula de tribus quam primum iter. b. c. cogno$citur, quo ex dimidio itineris detracto, remanet. c. i. cogni tus, $ed cum probauerimus. q. k. ad. k. n. hoc e$t. i. o. (cum $int æquales inter $e, ex. 34 primi) ita $e habere. vt. b. c. ad. c. o. permutando $ic $e habebit. q. k. ad. b. c. vt. i. o. ad. o. c. & cõponendo. q. k. et. b. c. ad. b. c. vt. i. c. ad. c. o. quarerectè dicimus $i $umma. q. k. cum. b. c. dat. b. c. quid dabit. i. c? nempe dabit. c. o. quo coniuncto cum. b. c. cogno- $citur. b. o. quo. b. o. detracto ex. b. d. remanet cognitus. o. d. nempe. q. n. illi æqualis ex. 34. prædicta. Gratia verò t\-eporis patet nos rectè dicere $i. b. d. tot diebus ab$olui tur, aut etiam. q. p: quo. b. o. aut. q. n. ab$oluetur.

Vt autem ad $peculationem regulæ antiquorum deueniamus, cogitemus pri- mum viatorem ip$ius. q. p. velociorem eo, qui per. b. d. iter agit, tanto tempore præ tergredi. p. quanto alter. b. d. ab$oluit. Is autem ad. g. pertingat, ex quo eadem pro- portio $pacij. q. g. ad. q. p. hoc e$t. b. d. dabitur, quæ temporis quo. b. d. ab$oluitur ab THEOREM. ARIT. eo qui per. b. d. ad tempus quo. q. p. $olum, qui per. q. p. mouetur (mo- tus enim continui regulares & vniformes con$tituuntur) eadem ratione ita- que ea erit proportio. q. k. ad. b. c. quæ. q. g. ad. q. p. & cum probatum fuerit ita $e habere. k. n. ad. c. o. vt. q. k. ad. b. c. itaque $ic $e habebit. k. n. ad. c. o. ut. q. g. ad. q. p. probatum etiam fuit ita $e habere. q. k. ad. k. n. vt. b. c. ad. c. o. ex quo componendo $ic $e habebit. q. n. ad. n. k. vt. b. o. ad. o. c. & permutando ita. q. n. ad. b. o. vt. k. n. ad. c. o. hoc e$t. q. g. ad. q. p. nempe vt tempus lenti ad tempus velocis itine- rantis, & componendo ita. q. n. cum. o. b. hoc e$t. b. d. ad. b. o. vt $umma dierũ vnius & alterius viatoris ad minor\-e numerũ dierũ velocioris. Breuiter itaq; obtineremus in tentũ qñ diceremus $i $umma dierum, quibus iter agitur à viatoribus talis e$t (20) re- $pectu numeri dierum velocioris(9) qualis & cui re$põdebit totum $pacium. b. d? vn- de dabitur $pacium. b. o. vnde reliqua omnia nobis cognita emergent.

Cum autem antiquorum regula iubeat numerum dierum vnius, cum numero die- rum alterius multiplicari, ac po$tmodum diuidi productum per $ummam omnium dierum, rectèid quidem fit. Nam cum $ic $e habeat. b. d. ad. b. o. vt $umma omnium dierum ad minorem quantitatem dierum velocioris $cilicet. Ideo temporis propor tio à mobili per. b. d. ab$umpti ad tempus mobilis per. b. o. eadem erit, quæ $ummæ omnium dierum ad namerum dierum velocioris. Quarerectè dicemus, $i eiu$modi $umma talem re$pectum habet ad minorem numerum dierum, quem numerum re- $piciet dies ip$ius. b. d? ex quo proferentur dies re$pondentes ip$i. b. o. cætera iam dicta fuerunt.

Huiu$modi verò $peculationis am- plitudo ad pauci$$ima verba reduci poteft, in cuius gratiã $it $ub$cripta figura pars inquã pr{ae}cedentis, in qua cõ$tituam<_>9. o. n. locũ eũ e$$e quo $ibi viatores obuient, ex quo $pacium. q. n. à $uo viatore conficietur, eo ip$o tempore, quo à $uo $pacium. b. o. ita que eadem erit proportio. q. n. ad. b. o. quæ. q. g. ad. b. d. eadem erit inquã proportio. d. o. ad. o. b. quæ numeri dierum eius, qui à. b. pergit in. d. ad numerum dierum alterius qui à. q. in p. profici$citur, & componendo ead\-e erit proportio. d. b. ad. b. o. quæ $um- mæ dierum ad minorem numerum ip$orum, & eadem quæ dierum. b. d. ad dies ip$ius. b. o.

THEOREMA CXV.

CIRCA hæc ip$a itinera aliud quæritur peruenu$tè, in quo quæ$ito illud con $tituitur cognitum e$$e, nempe interuallum inter duo diuer$a loca, è quibus duo viatores eodem in$tanti vt $ibi occurrant profici$cuntur, certa\’q; milliaria $in- gulis diebus conficiant, ita tamen, ut unus ordinatè plura altero ambulet, quæritur deinde quoto die $ibi occurrent. Hoc autem fit diui$o toto interuallo locorum per $ummam milliariorum quam vterque quotidie ab$oluit.

IO. BAPT. BENED.

Exempli gratia, di$tant loca. 100. milliaribus à $e inuicem; vnus autem viator $ingulis diebus. 15 milliaria, alter. 10. conficit $i ita que. 15. cum. 10. coniũgamus, $umma erit. 25. per quã diui$is milliaribus. 100. totius interualli proferetur. 4. nume rus quæ$itus dierum quo viatoribus iter agendum erit prius quam $ibi obuient.

In cuius $peculationis gratiam totum iter $ignificetur linea. a. u: primi autem via- toris iter diurnum fit. a. e. & alterius. u. o: terminus verò. i. $it occur$us ita vt eodem tempore, alter $pacium. a. i. alter. u. i. confecerit, $pacij autem. a. e. tempus per. b. $ignificetur & tempus $pacij. u. o. per. c. quæ tempora erunt inter $e æqualia, porrò $pacij. a. i. tempus per. d. & $pacij. u. i. per. f. denotetur, æquali bus inquam, ex quo eadem proportio erit. a. e. ad. a. i. quæ. b. ad. d. et. o. u. ad. u. i. quæ c. ad. f. vnde permutando eadem erit proportio itineris ip$ius. b. ad iter ip$ius. c. quæ itineris. d. ad iter ip$ius. f. & componendo itinerum ip$ius. b. c. ad iter. c. vt itinerum. d. f. ad iter. f. & permutando itinerum b. c. ad itinera. d. f. vt itineris. c. ad. iter ip$ius. f. meritò itaque qu{ae}ritur $i itine ra. b. c. dat itinera. d. f. quid dabit tem- pus. c. nempe dabit tempus. f. $ed. c. $ignatum e$t pro vna die, quare in pro po$ito exemplo. f. $ignificabit 4: dies.

THEOREMA CXVI.

ANtiquorum monumentis traditum motum reperimus diuinandi numeri quem quis mente conceperit, quo iubemus eum qui numerum cogitauerit, dimi- dium cogitari numeri addere cogitato, atque huic $ummæ, rur$us eiu$dem $umm{ae} dimidium adiungere, tum quærimus, quoties noueratius totam eam $ummam ingre diatur patefactis fractis $i qui occurrant.

Exempli gratia, $i quis cogita$$et numerum. 12. iubebant huic dimidium addi, nempe. 6. ex quo $umma erat. 18. iubebant, præterea dimidium huius $ummæ nem- pe. 9. toti $ummæ adiungi, quæ fui$$et. 27. adhæc quærebant $ibi patefieri quoties. 9. $ummam prædictam ingrederetur, & $i in prima aut $ecunda diui$ione aut etiã vtraque, fracti reperirentur, ac quoties nouem vltimam $ummam ingrediebatur, toties. 4. multiplicabant. Quod $i in prima diui$ione fracti erant, vltimo produ- cto addebant vnitatem; $in verò in $ecunda, binarium adiungebant, ex quo exa- ctus numerus quæ$itus proferebatur.

Pro cuius rei ratione $it. a. numerus cogitatione compræhen$us et. e. ip$ius. a. cum eiu$dem medietate $umma et. i. ip$ius. e. cum eiu$dem medietate itidem $umma, vn de. i. e. a. tres numeri continui proportionales, in $e$quialtera proportione euadent. Sumantur nunc tres numeri. 4. 6. 9. in eadem proportionalitate. Vnde ratione {ae}qua litatis proportionum ita $e habebit. i. ad. a. qu\-eadmodum. 9. ad. 4. & permutando. i. ad. 9. quemadmodum. a. ad. 4. & ob id. 4. toties ingredietur. a. quoties. 9. ip$am. i. Sed quia ${ae}pe contingit, vt in $ecunda diui$ione, aut in ambabus etiam diui$ionibus re periantur numeri fracti, anima duertendum e$t numerum animo compræhen$um. a. $cilicet aut parem aut imparem $emper futurum. Si par e$t, aut multiplex erit ad. 4. aut non. Si priori modo $e habebit in duabus diui$ionibus, nullus numerus fra- ctus admittetur, $ed $i ad. 4. multiplex non erit, à multiplicibus per duo $emper dif feret, & $i per medium diuidatur, eiu$dem medietas impar $emper erit, vnde prior THEOR. ARITH. quoque $umma par nunquam exi$tet, cuius medietatem aliquod medium $emper ingredietur, & hanc ob cau$am po$terior $umma cum fracto $emper erit, & nume- rum de$umptum maiorem e$$e multiplici ad quatuor per duo $ignificabit.

At verò $i inter impares reponatur, aut eorum erit qui $uperant multiplicem ip$ius quatuor per vnum, $eu per tria, quod hinc innote$cet, nempe, quia $i eorum erit qui dictum multiplicem per vnum tantum vincunt, $ua medietate ip$i numero addita, & præter hanc medietatem medio etiam integro adiuncto, tota hæc prior $umma in numerum parem $emper euadet, vnde in po$teriori $umma nullus nume- rus fractus con$picietur, & hanc ob causã multiplici ip$ius. 4. vnitas $emper addetur.

Sed $i numerus de$umptus, in $erie eorum, qui multiplicem ip$ius. 4. pertria $u- perant, collocabitur, hinc compræhendetur, quia primæ $ummæ numerus cum media vnitate $emper impar erit, vnde $ecunda $umma præter integras cum me- dia vnitate nobis $emper occur ret.

Quod autem nobis prodere faciamus an in prima diui$ione, & $ecunda numerus aliquis fractus con$i$tat, eò tantum nobis in$eruit, quò deueniamus in cognitionem an numerus animo conceptus multiplicem ip$ius. 4. per vnum, per duo, aut tria $upe ret. Quòd etiam medias eas vnitates ad integros reducere faciamus, eò tantum re fertur, vt minori labore eum, qui numerum imaginatione compræhendit, onere- mus, quia reuera numerus impar nunquam mente concipi pote$t, quin aliquis fra- ctus in prima diui$ione, aut in $ecunda $equatur : vnde à numeris imparibus, qui mul tiplicem ip$ius. 4. unitatis tantum exce$$u $uperãt, po$terior $umma cũ quarta parte vnitatis, præter integros numeros, & ab imparibus qui dictum multiplicem ip$ius. 4. per tria vincunt, cum tribus quartis vnius integri præter integras vnitates ; & à numeris paribus, qui multiplicem ip$ius. 4. per duo cum medietate vnitatis præter integros $emper procedit. Ita cum is qui numerum $ecum con$iderat, $i in nume- ris fractis ver$atus e$$et, qui eum in- terrogat prudenter $e gereret, $i $ibi declarari curaret, quis nam ex fractis $u per integros $ecũdæ sũmæ remane ret, quia <002> quot quarta integros $ecũ- dæ $ummæ $uperaret, per totid\-e inte gros numerus mente conceptus multiplicem ip$ius. 4. $uperaret.

THEOREMA CXVII.

VNDE fiat, vt $i ali quis quemuis numerum animo compræhendat, eique numero alium etiam quemlibet numerum propo$itum addat, & à tertia par te huius $ummæ tertiam partem numeri imaginati detrah et, re$iduum $ecundi nu- meri adiuncti, ide$t propo$iti, tertia pars erit.

Vt exempli gratia, $i aliquis de numero denario cogita$$et, huic\’q;. 24. adderet, vnde triginta quatuor efficerent, detra hendo nunc tertiam partem numeri de na- rij cogitatione concepti, ide$t. 3. cum tertia parte vnius, à tertia parte huius $um mæ ide$t ab vndecim & vna tertia parte remanerent. 8. ide$t tertia pars numeri additi. Id quod mihi inter iocos in hone$torum hominum cætu in mentem venit.

Pro cuius ratione, prior numerus ima ginatus mediante linea. a. b. et is, qui ad- ditus e$t interced\-ete linea. b. d. è directo IO. BAPT. BENED. coniunctis denotetur, et. b. e. $it tertia pars ip$ius. a. b. prioris numeri im aginati, et. b c.tertia pars ip$ius, b. d. $ecundi numeri propo$iti, vnde coniunctum vnius harum ter tiarum partiũ cũ alia $it. e. c. quod quidem. e. c. e$$e tertiam partem $ummæ duorum primorum ide$t. a. d. a$$ero. Iam manife$tum e$t ip$ius. d. b. ad. b. c. e$$e quemadmo dum ip$ius. a. b. ad. b. e. vnde vici$$im ip$ius. d. b. ad. b. a. erit quemadmodum ip$ius. b. c. ad. b. e. & coniunctim ip$ius. d. a. ad. a. b. quemadmodum ip$ius. c. e. ad. e. b. & vici$- $im ip$ius. d. a. ad. c. e. quemadmodum ip$ius. b. a. ad. b. e. $ed proportio ip$ius. b. a. ad. b. e. e$t tripla, ergo ea quæ e$t ip$ius. a. d. ad. e. c. erit quoque tripla; vnde $umendo. e. c. pro tertia parte ip$ius. a. d. & ab ip$a. e. c. $ubtrahendo tertiam partem ip$ius. a. b. tertia pars ip$ius. b. d. remanebit. b. c.

Aut alio hoc modo, $upponendo. e. c. tertiam partem ip$ius. a. d. et. e. b. ip$ius. a. b. exi$ter. Dico. b. c. tertiam partem ip$ius. b. d. futuram:quia $i totius. a. d. ad totum e. c. ita $e habet, quemadmodum. a. b. à toto. a. d. diffecti atque diuul$i ad. e. b. à toto. e. c. di$ractum, ergo ex. 19. lib. quinti Eu- clid. re$idui. b. d. totius. a. d. ad re$iduum. b. c. totius. e. c. erit, vt totius. a. d. ad totũ. e. c. at- que hic quidem modus rem propo$itã $pe- culandi mihi aptior & commodior e$$e videtur.

THEOREMA CXVIII.

PErmulta ac varia problemata inuenerunt antiqui, longioribus verò vijs re$olu- ta, proptereà quòd nõ $emper nobis $uccurrit breui$$ima in vnaquaque re ex- plicatio. Vt exempli gratia, proponitur numerus. 50. diuidendus in tres tales par- tes, quod $ecunda dupla $it prim{ae}, & adhuc eam $uperet tribus vnitatibus, tertia ve rò æqualis $it aggregato primæ cum $ecunda, & amplius ip$um aggregatum $uperet quinque vnitatibus.

Ad hoc autem quæ$itum $oluendum antiqui vtebantur regula fal$i, quod reuera breuiori modo pote$t $olui, videlicet detra hendo illud $ecundum exce$$um, quin- que $cilicet ex. 50. ita vt nobis. 45. remaneret, cui medietati hoc e$t. 22. cum dimidia vnitate, $i addiderimus illud quinque habebimus. 27. cum dimidia vnitate pro ter- tia parte quæ$ita ip$ius numeri. 50. deinde $i ab eodem numero. 22. cum dimidia vnitate detractum fuerit illud. 3. primus exce$$us datus, remanebit. 19. cum dimi- dia vnitate, cuius tertia pars, hoc e$t. 6. cum dimidia vnitate, prima pars, ex tri- bus quæ$ita erit, quæ quidem $i detraxerimus ex. 19. cum dimidia vnitate, reli- quum erit. 13. cui cũ additus fuerit primus exce$$us ide$t. 3. Iam propo$itum re- $ultabit nobis. 16. pro $ecunda parte quæ$ita.

Ratio verò huiu$modi operationis talis e$t, $it verbi gratia totalis numerus pro- po$itus $ignificatus per lineam. a. b. cuius $ecundæ partis numerus datus $ignificetur per lineam. g. & numerus tertiæ partis propo$itus per lineam. h. Nunc dempta. h. ex a. b. nobis cognita, remanebit. f. a. qua quid\-e per æqualia imaginatione diui$a in pun cto. e. & ip$i. e. f. addita. f. b. tota. e. b. nobis cognita erit, quæ quidem tertia pars quæ$ita ip$ius. a. b. erit, proptereà quòd. a. e. (quæ æqualis e$t ip$i. e. f.) erit $umma primæ, & $ecundæ partis. Detrahatur po$teà. g. ex. e. a. & remanebit. d. a. cuius ter tia pars $it. a. c. quæ quidem prima pars quæ$ita erit, & nunc cognita, & ita. c. d. cognita, cui cum addita fuerit. d. e. habebimus $ecundam partem quæ$itam, quæ compo- THEOREM. ARIT. componitur ex. d. c. dupla. ad. a. c. pri- mam partem, & ex. d. e. numero dato. tertia verò pars. e. b. compo$ita e$t ex. e. f. æquali. a. e. hoc e$t æquali compo$i- to ex prima, & $e cunda parte, & ex. f. b. numero dato vt proponebatur.

THEOREMA CXIX.

INter alia problemata ab antiquis inuenta, hoc etiam ponitur. Aliquis inter- rogat quot $int horæ, alius verò re$pondit tot e$$e, quot duæ tertiæ præteriti temporis $imul iuncta cum tribus quintis futuri temporis totius dieri naturalis effi- ciunt. Nunc quæritur quot $int hor{ae}.

Antiqui, hoc etiam problema $oluebant mediante regula fal$i, $ed mihi alio mo do $oluendum e$$e dictum problema videtur. Accipio enim ex quinque, tres vni- tates, pro parte futuri temporis, quas quidem in tres vnitates præteriti temporis duco, vnde proueniunt mihi nouem vnitates, quod productum coniungo cũ quin- que futuri temporis, vnde veniunt. 14. vnitates, ex regula poftea de tribus ita dico $i ex. 14. mihi prouenit. 9. quid re$ultabit ex. 24. & prouenient mihi horæ. 15. cum tribus $eptimis vnius horæ, hoc e$t minuta ferè. 26.

Pro cuius ratione, quinque vnitates, feu partes temporis futuri $ignificentur à linea. e. u. quarum trium $igni$icentur a linea. e. i. $umpta deinde $it linea. e. o. æqualis lineæ. e. i. et. e. a. tripla $it ad. o. e. vel ad. e. i. quod idem e$t, vnde. a. e. compo$ita erit ex. a. o. (hoc e$t ex duabus tertijs ip $ius. a. e.) & ex o. e. (hoc e$t ex. tribus quintis ip- $ius. e. u.) vnde. a. u. ad. a. e. eandem rationem obtinebit, quæ. 14. ad. 9. propterea igi tur po$$umus recte ratiotinari fi. 14. nobis dat. 9. quid dabit. 24. qui quidem. 24. nobis dabit. 15. cum min. 26. quod rectè factum erit ex. 20. $eptimi Euclidis.

THEOREMA CXX.

SVpponunt etiam antiqui tres $ocios nummos habere, quorum $umma primi & $ecundi cognita $it, item $umma primi & tertij cognita & $umma $ecundi & tertij item cognita, at que ex huiu$modi tribus aggregatis veniunt in cognitionem particularem vniu$cuiu$que illorum.

Gemafri$ius $oluit hoc problema ex regula $al$i. At ego tali ordine progredior. Sit verbi gratia, $umma primi cum $ecundo. 50. & $ecundi cum tertio. 70. & primi cum tertio. 60. harum trium $ummarum accipiantur duæ quæuis, vt puta. 50. &. 70 quæ coniunctæ $imul dabunt. 120. à qua $umma detrahatur reliqua, ide$t. 60. & re$tabit nobis. 60. cuius medietas erit. 30. hoc e$t numerus nummorum $ecundi $ocij quo numero detracto à. 70. hoc e$t à $umma $ecundi cum tertio remanebit. 40. hoc e$t numerus tertij $ocij, & hic numerus de$umptus à. 60. re$iduus erit nume- rus primi $ocij.

IO. BAPT. BENED.

Pro cuius ratione con$ideremus triangulum hic $ubnotatum. a. b. c. cuius unumquodque latus $ignificet $ummam duorum $ociorum, vtputa latus. a. b. $ignifi- cet $ummam primi cum $ecundo, latus verò. b. c. $ummam $ecundi cum tertio, la- rus autem. a. c. $ummam primi cum tertio, et. a. e. $eu. a. o. $it numerus primi $ocij, et. e. b. vel. b. u. $it $ecundi $ocij, et. c. u. $eu. c. o. $it tertij, cum autem. a. e. æqualis $it. a. o. et. b. e:æ qualis. b. u. et. c. u. æqualis. c. o. ex $uppo$ito $i d\-epta fuerit $umma $eu latus. a. c. datum ex aggregato laterum. a. b. cum. b. c. reliquarum $ummarum, re linquet nobis cognitum aggregatum ex. b. e. cum. b. u. Quare & eius medic- tas. b. e. $iue. b. u. nobis cognita erit, qua detracta ex$umma. b. a. relinquetur no bis cognitus numerus. a. e. detracto ve- ro numero. a. e. hoc e$t. a. o. ex. a. c. $um- ma, $eu latus, aut. b. u. ex. b. c. remanebit o. c. $eu. c. u. cognitus.

THEOREMA CXXI.

HAC etiam methodo hoc facere po$$umus non $olũ de tribus $ocijs, $ed etiã de omnibus quotquot volueris, vt exempli gratia, $int $ex $ocij. a. b. c. d. e. f. quorum $umma per binos co- gnita, vtputà $umma numeri. a. cum. b. cognita nobis $it, & $umma numeri. b. cum. c. & $umma. c. cum. d. & $um- ma. d. cum. e. & $umma. e. cum. f. nece$le eft etiam $cire $ummam duorum vno relicto, vtputa $ummam. a. cum c. vt po$$imus triangulum. a. b. c. con$tituere. Vnde ex præmiffa, cognitus numerus nobis erit vniu$cuiu$que. a. b. c. Quapropter dempto numero. c. ex $umma. c. cum d. & numero. d. ex $umma. d. cum. e. & numero. e. ex $um ma. e. cum. f. habebimus intentum.

THEOREMA CXXII,

CVM aliquando, illud quod Archimedes inuenit, vt furtum Regiab aurifa- bro in regia corona factum, quemadmodum $cribit Vitruuius, proderet, con- templarer, mihi etiam vi$um e$t, vt aliquem modum $cienti$icum inue$tigarem, quo proportio auri ad argentum, quod in aliquo propo$ito corpore exip$is mi$to cogni ti ponderis cogno$ci po$$et. Et cum multos diuer$is temporibus excogitarim offi- cio meo dee$$e nolui in ij$dem literarum monumentis mandandis, quorum hic vnus erit: propo$ita nobis $int tria corpora. A. M. V. æqualia inter $e, $ed diuer- $arum $pecierum materiei, vtputa quod. A. $it argenteum, & omogeneum. V. ve- rò aureum omogeneum, & M. mixtum exauro, & argento, ide$t heterogeneum, cupimusergo $cire iu$tã quantitatem auri & argenti, quæ e$t in ip$o corpore. M. mi$to. Ita igitur faciamus. Videamus primum quantum $it pondus vniu$cuiu$que ip$orum corporum, ponamus autem pondus corporis. V. auri e$$e vt. 234. pondus THEOR. ARITH. autem corporis. M. mi$ti. vt. 216. argentei verò. A. vt. 156. detrahatur nunc pon- dus. A. ex pondere. V. Reliquum erit. 78. quod vocetur prima differentia $eruan- da, dematur etiam pondus. M. ex pondere. V. reliquum erit. 18. pro $ecunda diffe- rentia, etiam $eruanda, multiplicetur po$teà pondus. A. per $ecundam differen- tiam, productum verò diuidatur per primam differentiam. Vnde in præ$enti exem plo proueniet nobis. 36. quiquidem prouentus erit quantitas argenti ip$ius corpo- ris mi$ti. M. quo etiam detracto ex pondere totali ip$ius. M. reliquum erit quanti- tas auri eius corporis, hoc e$t. 180.

In cuius operationis $peculatione, aliquid natura $ua prius cognitum præcedere oportet hoc e$t, quod omnia corpora omogenea eandem proportionem obtinent inter quantitates, quam inter pondera. Quo $uppo$ito denotetur corpus. A. li- nea. o. a. corpus autem. V. linea. o. c. & corpus. M. linea. e. u: $ed. e. o. $ignificet par- tem argenti, et. o. u. partem auri in corpore mi$to. M. vnde ex communi conceptu habebimus. o. e æqualem. u. c. cum ex hypothe$i. e. u. æqualis $it. o. c. et. a. o. $imiliter. Significetur po$teà pondus. a. o. ab. f. & pondus. e. u. ab. b. x. & pondus. o. c. ab. f. g. pon dus verò. o. e. ab. b. pondus autem. o. u. ab. x. pondus enim. u. c. ab. b. d. et. g. $it diffe- rentia, qua. f. g. maior e$t. f: et. d. differentia qua. b. d. maior e$t. b. Vnde ex ratione omogeneitatis ea dem proportio erit. a. o. ad. e. o. vt. f. ad. b. et. o. c. ad. u. c. quæ. x. b. d. $eu f. g. (quodidem e$t) ad. b. d. Quare ex. II. quinti ead\-e erit proportio. f. ad. b. vt. f. g. ad. b. d. & permutan- do ita erit. f. ad. f. g. vt. b. ad. b. d. & $eparando ita. f. ad. g. vt. b. ad. d. Sed. g. cognita nobis e$t, vt differentia in ter. f. g, et. f: cognita nobis e$t etiam. f: cogno$cimus itidem. d. vt differentiam inter. x. b. d. et. b. x. quapropter cogno$cemus. b. ex. 20. $eptimi Eucli. & $ic. x. re$iduum. ex. b. x.

THEOREMA CXXIII.

NVNC ex methodo præcedentis propo$iti deuenire po$$umus in cognitio- nem veræ quantitatis auri, & argenti confu$i in corona Hieronis con$tituen- do primum duo corpora $implicia æqualia inter $e, & coronæ hoc modo videlicet, immergendo coronam, $eu corpus mi$tum in aliquod vas aqua plenum, & diligen- ter colligere aquam, quæ ex eo effundetur, po$teà verò oportet, aliud vas inuenire præci$æ capax illius a quæ collectæ, in quod demum infundatur tantum auri, & po- $teà tantum argenti, quantum $ieri pote$t, vnde vnumquodque horum duorum cor porum $implicium æquale erit mixto, $eu coronæ, & $ic quod dictum e$t in præce- cedenti theoremate exequemur.

THEOREMA CXXIIII.

SED vt breuiori methodo idem præ$temus, quod in antecedenti propo$ito di- ctum e$t, quædam theoremata præmittenda $unt, videlicet quòd quotíe$cunque fuerint tria corpora, quorum duo inuicem æqualia $int in quantitate, $ed diuer$a- IO. BAPT. BENED. rum $pecierum materiæ, tertium verò corpus maius, vel minus $it in quantitate vtro- que illorum, $ed eiu$dem materiæ vnius quod vis illorum, ponderis verò alterius, s\-eper eadem proportio erit inter pondera æqualium corporum, quæ inter quãtita- tem corporis inæqualis, & eam quæ vnius cuiu$uis æqualium.

Exempli gratia, $it. b. corpus aliquod aureum æquale corpori. u. argenteo, $it etiam corpus. a. argenteum maius corpore. b. vel. u. $ed ponderis eiu$dem, quod au- ri. b. Tunc dico eandem e$$e proportionem ponde- ris. b. ad pondus. u. quæ e$t magnitudinis. a. ad ma- gnitudinem. u. Quod ratiocinemur hoc modo, nam cum proportio corporeitatis. a. ad corporeitatem. u. eadem $it, quæ ponderis. a. ad pondus. u. ex ratione omogeneitatis, ponderis verò. b. ad pondus. u. ex. 7. quinti, eadem quæ ponderis. a. ad pondus. u. ideo ex 11. eiu$dem proportio ponderis. b. ad pondus. u. eadem erit, quæ corporeitatis. a. ad corporeitatem. u. vel ad corporeitatem. b. quæ æqualis e$t alteri.

THEOREMA CXXV.

QVotie$cunque nobis propo$ita fuerint duo corpora cuiu$uis magnitudinis æ- que ponderantia, $ed diuer$arum $pecierum materiæ, cum $cire volueri- mus proportionem ponderum illarum $pecierum inter ip$as hoc modo faciemus.

Sint exempli gratia, duo nobis propo$ita corpora. a. et. b. (vt dictum e$t) quæ $i fuerint æqualium magnitudinum inter $e, clarum erit quod quæritur, $ed inæqua- lia erunt, immergatur unumquodq; eorum in vas aqua plenum, & collecta $it aqua effu$a ab vnoquoque illorum, tunc vnaquæq; i$tarum aquarum æqualis magnitudi- nis erit $ui corporis impellentis, & proportio pondero$itatis illarum eadem erit, quæ earum magnitudinum ex omogeneitate, quapropter $i vnamquamque illarum ponderabimus, habebimus propo$itum ex præcedenti theoremate.

THEOREMA CXXVI.

SED cum $cire voluerimus pondus alicuius magnitudinis aquæ æqualis alicui corpori pondero$o, breui$$imus modus erit ponderando ip$um corpus tam in ae- re, quàm in aqua, & quia $emper leuius erit in aqua, tunc differentia ponderum ip- $ius corporis, erit pondus quæ$itum, hoc e$t vnius corporis aquei æqualis magnitu- dinis magnitudini corporis propo$iti ex. 7. propo$itione lib. Archimedis de in$i- dentibus aquæ.

Quare ex præmi$$is quotie$cunque immer$a fuerint in aquam dicti va$is duo cor pora æquè ponderantia, $ed diuer$arum $pecierum, vt dictum e$t, proportio pon- deris aquæ maioris ad pondus aquæ minoris magnitudinis eadem $emper erit, quæ ponderis minoris corporis ad pondus alicuius corporis eidem æqualis, $peciei verò maioris, vel eadem proportio ponderis alicuius corporis æqualis maiori, $peciei ve rò minoris ad pondus ip$ius maioris.

Vt puta $it corpus. a. argenteum æqualis ponderis corpori. b. aurei, & corpus. u. argenteum æqualis magnitudinis corpori. b. aurei, corpus verò. n. aureum æqualis magnitudinis corpori. a. argentei, corpus verò. f. aqueum æqualis magnitudinis cor- THEOREM. ARIT. pori. a. argentei, corpus autem. e. aqueũ æqualis ma- gnitudinis corpori. b. aurei. Tunc dico proportio- nem ponderis. f. ad pondus. e. eadem e$$e, quæ pon- deris. b. ad pondus. u. vt in præcedenti theoremate iam dictum e$t, vel quæ ponderis. n. ad pondus. a. ex 11. quinti Euclidis. Proptereà quòe ponderis. n. ad pondus. a. eft vt poderis. b. ad pondus. u. eo quòd permutando ponderis. n. ad pondus. b. e$t vt ponderis. a. ad pondus. u. ex corporum omogenei- tate, & ex æqualitate magnitudinum corporum antecedentium & con$equentium.

THEOREMA CXX VII.

SCire etiam nos oportet, quòd quotie$cumque fuerint duo corpora aquea, quo- rum vnum æqualis magnitudinis $it alicui mi$to, quod quidem mi$tum graue $it tam in aere, quàm in aqua, alterum verò corpus aquem æqualis $it magnitudi- nis alicui corpoli $implici, quod quidem corpus $implex æqualis ponderis $it dicto corpori mi$to. Tunc proportio ponderis aquei, cuius magnitudo æquatur magni tudini corporis mi$ti, ad pondus corporis aquei, cuius magnitudo æqualis e$t ma- gnitudini corporis $implicis, eadem erit, quæ proportio ponderis alicuius corpo- ris $implicis, cuius magnitudo æqualis $it magnitudini corporis mi$ti $uperius dicti, $ed $peciei corporis $implicis iam dicti, ad pondus dicti mi$ti.

Exempli gratia, $it corpus aqueum. e. magnitudinis æqualis corpori. m. mixto, corpus verò aqueum. i. æqualis magnitudinis $it corpori $implici. a. quod quidem corpus. a. æqualis ponderis $it cum corpore. m. & corpus. u. $it æqualis magnitudinis cum corpore. m. $ed $peciei corporis. a. Tunc dico proportionem ponderis. e. ad pondus. i. eãdem e$$e, quæ ponderis. u. ad pondus. m. primum nulli dubium e$t, quin eadem proportio $it magnitudinis. e. ad magnitudinem. i. quæ magnitudinis. m. ad a. $ed. m. ad. a. e$t vt. u. ad. a. ex. 7. quinti quare ex. 11. eiu$dem proportio. e. ad. i. erit vt. u. ad. a. de ip$ius magnitudinibus loquendo, $ed propor- tio ponderis. u. ad pondus. a. eadem e$t, quæ ma gnitudinis. u. ad magnitudinem. a. ex omogenei- tate. Idem dico de pondere. e. ad pondus. 1. Qua- re proportio ponderis. e. ad pondus. i. eadem erit quæ ponderis. u. ad pondus. a. Sed ponderis. u. ad pondus. m. eadem e$t quæ ponderis. u. ad pondus. a. ex. 7. quinti, ergò ex. 11. eiu$dem proportio ponderis. e. ad pondus. i. eadem erit, quæ ponderis. u. ad pon- dus. m. quod e$t propo$itum.

THEOREMA CXXVIII.

NVNC ad cogno$cendam proportionem duarum diuer$arum $pecierum in corpore mi$to propo$ito, tribus corporibus aqueis mediantibus, quæ quid\-e corpora æqualium magnitudinum $int alijs tribus corporibus vnius & eiu$dem pon deris, quorum vnum $it mixtum, reliqua verò duo $implicia, $ed $pecierum mixti, hoc ordine procedemus.

IO. BAPT. BENED.

Sint exempli gratia, tria corpora æquè ponderantia, & vnumquodque illorum $itquinque librarum, quorum vnum $it aureum, aliud argenteum, reliquum verò mixtum ex ijs duobus metallis, vnde corpus aureum $implex minus erit, & argen teum maius corpore mixto, quod nulli dubium e$t, $it nunc pondus corporis aquei {ae}qualis corpori aureo, librarũ. 3. aquei verò {ae}qualis mi$to, $it librarũ 3. cũ quarta par te, aquei demum æqualisargenteo, librarum. 4. cum dimidia, vnde exijs, quæ in præ cedenti theoremate, & in. 126. theoremate diximus, $i imaginatione concipiemus alia duo corpora $implicia, auri, & argenti, $ed æqualium magnitudinum mixto, habebimus proportionem ponderis aurei ad pondus corporis mixti vt triũ librarum cum quarta vnius ad. 3. libras, & proportio ponderis mixti ad pondus argentei erit, vt proportio librarum. 4. cum dimidia ad tres libras cum quarta parte vnius libræ, & proportio ponderis aurei ad pondus argentei vt librarum. 4. cum dimidia ad li- bras. 3: hoc e$t aurei ad mixtum, vt. 13. ad. 12. & mixti ad argenteum, vt. 18. ad. 13. & aurei ad argenteum, vt. 3. ad. 2. ide$t, vt. 18. ad. 12.

Nunc inueniantur duo numeri ita inter $e proportionati, vt. 3. ad. 2. habentes ta- men inter ip$os numerum ita proportionatum ad maximum, vt. 12. $e habet ad. 13. & ita proportionatum ad minimum, vt $e habet. 18. ad. 13. quod hoc modo in- ueniemus, multiplicabimus. 18. per. 12. & proueniet nobis. 216. pro numero me- dio, po$teà multiplicabimus. 18. per. 13. & proueniet. 234. pro maximo, demũ multi plicando. 12. per. 13. proueniet. 156. pro minimo, ita quod. 234. corre$pondebit ponderi corporis aurei: 216. verò ponderi mixti, et. 156. ponderi argentei æqua- lium magnitudinum.

Cum autem proportiones horum trium corporum inuenerimus, $i ordinem theo rematis. 122. $equemur, habebimus quod quærebamus, & inueniemus in præ$enti exemplo proportionem ponderis auri ad pondus argenti in corpore mixto e$$e, vt. 180. ad. 36. $ed quia $uppo$itum fuit corpus mixtum e$$e quinque librarum, propte- reà dicemus. Si. 216. hoc e$t toti corpori mixto corre$pondent quinque librætunc parti. 180. hoc e$t auro in ip$o corpore mixto, corre$pondent libræ. 4. cum duabus vncijs, ex regula detribus, re$iduum verò quinque librarum, ide$t vnciæ decem, corre$pondent parti. 36. hoc e$t argento in dicto corpore mixto.

Sed $i tria corpora dicta fui$$ent inuicem ita proportionata, vt. 40. 47. 60. tunc proportio auri ad argentum in corpore mixto e$$et vt. 13. ad. 7. quapropter cũ pon dus mixti fui$$et. 120. librarum, tunc aurum ip$ius e$$et librarum. 78. argentum ve- rò librarum. 42. ex eadem regula.

Pro quarum rerum $peculatione nil aliud oportet nunc dicere cum $atis dictum à no bis $uperius fuerit, vno excepto, hoc e$t rationem reddere, qua motus fui ad inue niendos illos. 3. numeros ita inter $e di$po$itos, vt dictum e$t, quæ quidem ratio fuit, vt haberemus. 3. numeros ita inter ip$os ordinatè di$po$itos, vt $unt pondera trium illorum corporum æqualium magnitudinum. Proptereà quòd quamuis inter pri- mos. 3. numeros ponderum corporum aqueorum eædem fuerint proportiones pon derum corporum metallicorum, nihilominus medius numerus extra proprium lo- cum, & inordinatè inueniebatur, re$pectu extremorum, vnde medius numerus in $uo vero $itu inter. 18. et. 12. fui$$ent. 16. cũ. 8. tertijs decimis, $ed vt fractorũ incom moditatem euitemus, præcepi, vt multiplicarentur extrema per. 13. vnde produ- cti fuerunt numeri. 234. et. 156. in ead\-e proportione, quæ e$t. 18. ad. 12. ex. 18. $epti mi, iu$$i etiam multiplicari. 18. per. 12. vt nobis prodiret. 216. ad quem numerum, numerus. 234. ita $e haberet, ut. 13. ad. 12. ex. 19. $eptimi, quod autem ita $it propor THEOREM. ARITH. tionatus. 216. ad. 156. vt. 18. ad. 13. manite$tum e$t exij$dem, nam tam. 18. quam. 13. multiplicatus fuit per. 12.

THEOREMA CXXIX.

ALIVD proponitur problema hoc modo: $upponitur ob$idio alicuius loci, vbi alimento ad nutriendos. 10000. homines $ufficiunt pro quinque men$ibus tan- tum, $ed quia eum locum ob$idione non liberari putatur ni$i. 18. men$ibus exactis, quæritur, quot homines eo tempore illis alimentis nutriri po$$int, hoc e$t. 18. men$ibus.

Præcipitregula, vt multiplicetur primus numerus, hoc e$t hominum. 10000. cum $ecundo, hoc e$t men$ium quinque, productum verò diuidatur per. 18. hoc e$t men- $ium, tunc proueniet. 2777. cum. 7. nonis.

Cuius operationis ratio e$t hæc, $int exempli gratia duo hic $ub$cripta producta $uperficialia. a. n. et. o. u. inuicem æqualia, $ed tal@ figura delineata, vt proportio. u. x. ad. x. o. $it, vt. 10000. ad quinque, & proportio a. x. ad. x. o. $it vt. 18. ad quinque, ct. x. n. $it nobis ignota, quæ quidem e$t illa, quæ indagatur, ita {quis} vnumquodque i$torum productorum $ignificabit alimentum, et. u. x. $ignificabit numerum homi- num. 10000. qui quidem homines comederent totum alimentum. u. o. $pacio tem- poris. x. o. quinque men$ium, proptereà quòd u. o. $upponitur productum e$$e ab. u. x. in. x. o. Deinde $uppon\-edo. a. x. tem pus e$$e. 18. men$ium, ergo. x. n. $ignifi- cabit numerum hominum, qui eo tem- poris $pacio ali po$$unt, hoc e$t. x. a. ali- mento. n. a. eo quòd. a. n. producitur ex. n. x. in. a. x. vnde ex. 15. $exti, $eu ex, 20. $eptimi proportio. x. u. ad. x. n. ead\-e erit, qu{ae}. a. x. ad. x. o. quapropter rectè factum erit accipere productũ. u. o. quodidem e$t in quantitate, quod productum. 2. n. & ip$um diuidere per. a. x. vnde nobis proueniat. n. x.

THEOREMA CXXX.

QVotie$cunque nobis propo$itum fuerit inuenire tertium terminum, trium ter minorum continuè proportionalium armonicæ proportionalitatis, quo- tum duo nobis cogniti $int, ita agemus.

Sint, exempli gratia, tres termini. q. p: a. g. et. e. c. continuæ proportionalium at monicæ proportionalitatis, quorum. q. p. maior et. a. g. medius $int nobis cogniti, cum ergo voluerimus tertium. e. c. cognitum nobis e$$e: a. g. detra- hatur ex. q. p. differentia verò. d. p. addatur. q. p. quorum $umma erit. q. o. cognita, qua mediante diuidatur productum, quod ex. a. g. in. d. p. exurgit, & proueniet no bis. n. g. hoc e@t minor differentia, eo quòd productum. q. o. in. n. g. æquale e$t pro- IO. BAPT. BENED. ducto. 2. g. in. d. p. ex. 20. $eptimi, proptereà quòd proportio. q. o. ad. o. p. hoc e$t ad. d. p. e$t vt. a. g. ad. g. n. coniunctim cum di$iunctim it a $it. q. p. ad. p. o. vt. a. n. ad. n. g. permutãdo eo quòd. q. p. ad. a. n. (ide$t ad. e. c.) ita $e h\-et ut. p. o. (hoc e$t. d. p.) ad. n. g. ex cõditionibus armonicæ proportio nalitatis. Deinde $i detraxerimus. n. g. ex. a. g. remanebit. e. c. minor terminus.

Sed $i. e. c. tertius terminus nobis propo$itus e$$et $imul cum. a. g. medio, & volue rimus maiorem inuenire. q. p. $cilicet, oportebit. e. c. ex. a. g. detrahere, differentiam verò. n. g. $imiliter demeremus ex. e. c. unde remaneret nobis. e.t. cognitum, quo re$iduo. c. t. me- diante diuidemus productum, {quis} furgit ex. a. g. in. t. c. & prouentus. d. p. erit differentia maior, eo {quis} productũ quod $it ex. e. t. in. d. p. æquale e$t producto quòd fit ex. a. g. in. t. c. per 20. $eptimi Eucli. eo quòd. a. g. (id- e$t. q. d.) ad. d. p. e$t ut. e. t. ad. t. c. di$iunctim, cum coniunctim ita $it. q. p. ad. d. p. vt. e. c. ad. t. c. permutando, quia. q. p. ad. e. c. e$t vt. d. p. ad. t. c. hoc e$t ad. n. g. ex legibus dictis.

THEOREMA CXXXI.

ALIA etiam methodo hoc perfici po$$e comperi. Propo$iti enim cum nobis fue rint duo termini. c. e. minimus et. g. a. medius, maximus verò quærendus $it, de trahatur differentia. g. n. ex. e. c. & per re$iduum. e. t. diuidatur productum {quis} fit ex. a. g. in. e. c. prouentus quæ erit. q. p. terminus quæ$itus.

Pro cuius ratione, ponamus in e$$e terminum. q. p. tunc ex forma huius proportio nalitatis nulli dubium erit quin. q. p. ad. e. c. fit vt. d. p. ad. n. g. hoc eft ad. t. c. vnde ex 19. quinti vel. 12. $eptimi ita e$$et. q. d. ad. e. t. vt. q. p. ad. e. c. quare ex. 20. @cptimi pro ductum {quis} na$citur ex. p. d. (hoc e$t. a. g.) in. e. c. æquale eric producto. e. t. in. q. p. qua- propter $i diui$erimus id per. e. t. proueniet nobis. q. p.

Sed cũ nobis propo$iti fuerint duo termini. q. p. maximus, et. a. g. medius, $i mini- mũ. e. c. voluerim<_>9 inuenire. Termino. q. p. maximo, iũga\~t. p. o. {ae}qualis, p. d. differ\-eti{ae} propo$itæ, diuidatur po$tea productum {quis} ex. q. p. in. a. g. generatur per. q. o. prouen tus autem $it. e. c. qui quidem erit terminus quæ$itus.

Cuius operationis $peculutio hæc erit, $upponatur terminum. e. c. inuentum e$$e vnde. n. g. differentia $it inter. e. c. et. a. g. ex forma igitur armonicæ proportionalitis ita erit. q. p. ad. a. n. vt. p. o. ad. n. g. vnde ex. 13. quin- ti. Ita erit. q. o. ad. a. g. vt. q. p. ad. a. n. ergo productũ quòd fit ex. a. g. in. q. p. (ex. 20. $eptimi) æquale erit producto. q. o. in. a. n. Quare $i diui$um fuerit tale productum per. q. o. proueniet no- bis. e. c. quòd querebamus.

THEOR. ARITH. THEOREMA CXXXII.

SED quia aliquis po$$et in dubium reuocare, an po$$ibile $it inuenire tertium terminum rationalem, $eu communicantem duobus datis terminis inter $e com municantibus in tali proportionalitate, hoc e$t harmonica. Vthoc o$tendatur.

Sint duo termini dati. a. o. et. a. e. inter $e communicantes, tertius verò inuentus $it. a. c. qui maximus, primò, $it in ea proportionalitate, quem dico communicantem e$$e cum primis datis.

Nam ex conditionibus huiu$modi proportionalitatis, habebimus primum ean- dem proportionem e$$e. a. c. ad. a. o. quæ e$t. e. c. ad. e. o. vnde permutando ita erit. a. c. ad. e. c. vt. a. o. ad. o. e. & quia ex. 9. decimi Euclid. a. o. communicat cum. o. e. quare ex. 10. eiu$dem. a. c. communicabit cum. e. c. & per. 9. cum. a. e. et per. 8. cum. a. o. quode$t propo$itum.

Sed $i datus fuerit maximus. a. c. cum medio. a. e. inter$e communicantes mini- mum verò. a. o. probabo cõmunicantem cum illis e$$e. Cogitemus ergo. c. f. æqua- jem e$$e differentiæ. c. e. cognitæ, vnde habebimus proportionem, a. c. ad. c. f. vt. a. o. ad. o. e. & componendo. a. f. ad. f. c. vt. a. e. ad. e. o. & quia (ex $uppo$ito). a. c. commu- nicat cum. e. c. hoc e$t cum. c. f. quare ex eadem. 9. dicti decimi. a. f. et. f. c. erũt inter $e communicantes, & per. 10. a. e. communicabit cum. o. e. & per. 9. a. e. cò municabit cum. a. o. vnde per. 8. a. o. communicabit cum. a. c. $imiliter.

THEOREMA CXXXIII.

SED $i nobis duo extremi termini propo$iti fuerint, & medium inuenire de$ide remus in dicta proportionalitate, ita faciendum erit.

Sint, exempli gratia, duo termini dati. q. b. et. b. r. minor. b. r. ex maiori. b. q. de- trahatur, re$iduum verò. q. x. multiplicetur per. b. r. productum po$teà diuidatur per q. r. vnde proueniet nobis. x. l. pro differentia minori, quæ addita cum. b. x. minimo termino, dabit nobis. b. l. mcdium terminum harmonicum.

Pro cuius ratione cogitemus dictum medium terminum. b. l. iam inuentum e$$e, vnde ita erit proportio. q. l. ad. l. x. vt. q. b. ad. b. r. ex forma huius proportionalitatis, quare coniunctim ita erit. q. r. ad. r. b. vt q. x. ad. x. l. & proptereà ex. 20. $eptimi productum, quod fit ex. q. r. in. x. l. æqua- le erit producto. q. x. in. b. r. Rectè igitur fit cum diuiditur hoc productum per. q. r. vt proueniat nobis. x. l. differentia minor.

THEOREMA CXXXIIII.

PO$$umus etiam harmonicè diuidere vnam datam proportionem ab$que aliqua diui$ione productorum, ne nobis fractiones proueniant, hoc modo videlicet. Nobis propo$itum $it diuidere harmonicè $e$quialteram proportion\-e inuenian- tur primo minimi termini huius proportionis ut putà. 3. et. 2. quarum $umma, hoc e$t quinque, multiplicetur per minorem ide$t. 2. vnde proueniet nobis. 10. qui qui- dem erit minor terminus trium quæ$itorum, quorum maximus erit productum $um 10. BAPT. BENED. mæiam dictæ in maiorem eorum, hoc e$t quod fit ex quinque in. 3. quod erit. 15. Vt autem medium terminum harmonicum inter i$tos habeamus, accipiatur duplũ pro- ducti, quod fit ex primis minimis terminis, quod erit. 12.

Cuius rei $peculatio e$t i$ta: $ignificentur duo termini datæ proportionis ab. q. b. et. b. r. quorum $umma erit. q. r. cuius quadratum $it. q. o. $it etiam imaginata. b. e. parallela ad. o. r. Sit\’q;. b. x. æqualis. b. r. et. q. u. $imiliter, & ducatur. x. y. parallela ad r. o. et. u. l. ad. q. x. Tunc habebimus. b. o. æquale ei producto, quod fit ex. q. r. in. b. r. et. b. y. eidem etiam æquale, et. q. e. pro producto, quod fit ex. q. r. in. q. b. et. q. l. pro eo, quod fit ex. q. x. in. b. r. Vnde. q. l. cum. b. y. æquale fiet duplo ei, quod fit ex. q. b. in. b. r. Dico nunc. b. o. e$$e minimum terminum eorum, quos quærimus, et. y. b. cum. x. u. medium. q. e. verò maximum huiu$modi proportionalitatis.

Primum ergo certi $cimus ex prima $exti vel. 18. $eptimi eandem exi$tere pro- portionem. q. e. ad. b. o. $eu ad. b. y. quæ. q. b. ad. b. r: $ed. u. y. ad. u. x. e$t vt. y. l. ad. l. x. hoc e$t vt. q. b. ad. b. r. ide$t vt. q. e. ad. b. o. & $umma. u. y. cum. u. x. ide$t. q. y. minor e$t quam. q. e. maximus terminus per. b. y. minimum ter- minum. & cõiunctim. q. y. ad. q. l. vt. y. x. ad. x. l. hoc e$t vt. q. r. ad. r. b. Vnde ex $peculatione præced\-etis theo rematis, $equitur. u. y. e$$e differentiam inter maximũ & medium terminum, et. u. x. e$$e differentiam inter medium & minimum dictæ proportionalitatis. Nam eadem proportio e$t. q. e. maximi termini ad. b. o. mi- nimi. quæ. u. y. (differentia inter. q. e. & gnomonem. u. b. y.) ad. u. x. (differentia inter dictum. u. b. y. et. b. y. minimum terminum, quia $unt ambæ ut. q. b. ad. b. r. vt diximus. Quare. b. y. coniunctũ cum. x. u. medius terminus erit, qui quidem (vt dictum e$t) duplus e$t ei quod fit ex. q. b. in. b. r.

THEOREMA CXXXV.

ALIVM etiam modum ab antiquis traditum ad hoc problema perficiendum inueni, qui talis e$t. Inueniatur primo inter datos terminos extremos, me- dius terminus in arithmetica proportione, per qu\-e multiplicetur vnu$qui$que dictorum extremorum, deinde multiplicentur ip$i extremi inter$e, vnde habebimus tria producta eadem proportione inui cem exi$tentia, vt quærebatur.

Exempli gratia, ponamus duos propo$itos ter- minos e$$e. 3. et. 2. quorum medius arithmeticè e$$et. 2. cum dimidia vnitate, per quem cum vnum quemque priorum multiplicauerimus, emerg\-et no- bis duo producta, quorum primum ide$t maius e$$et 7. cum dimidia vnitate, reliquum verò e$$et quinque, productum po$teà quod ex ip$is extremis prouenit, erit. 6. quod quidem e$t harmonicè collo catum inter. 7. cum dimidia vnitate, & quinque.

Cuius rei $peculatio omnis à præcedenti theore- mate dependet. Sint exempli gratia, duo termini THEOREM. ARIT. propo$iti. a. e. maior, et. e. o. minor, Sit\’q;. o. k. medius arithmeticus inter dictos, vn- de clarè patebit. o. k. e$$e dimidium $ummæ dictorum terminorum ex. 75. theorema te huius libri. Sit ergo productum a. t. id quod fit ex. a. e. in. o. k. et. o. t. $it productũ quod fit ex. e. o. in. o. k. et. n. m. $it productum quod $it ex. a. e. in. e. o. quorum vnum- quodque erit dimid ium vniu$cuiu$que producti præcedentis theorematis, ex. 18. et. 19. $eptimi Eucli. vnumquodque $ui relatiui. Quare argumentando per mutando à conclu$ionibus præcedentis theorematis ad has præ$entis, habebimus productum.

THEOREMA CXXXVI.

MEDIVM autem contra harmonicũ inuenire cum quis voluesit inter duos propo$itos terminos, ita faciendum erit, hoc e$t per $ummam datorum ex tremorum diuidatur productum quod fit ex minimo termino in differ\-etiam dato- rum, prouentus po$tea erit differentia inter maximum & medum quæ$itum.

Vt exempli gratia, $i nobis propo$iti fuerint hi duo termini. 3. et. 2. $umma eo- rum erit quinque, per quam cum diui$erimus productum, quod na$citur ex mini- mo. 2. in differentiam eorum, quæ e$t vnum, quod quidem erit. 2. tunc duæ quintæ partes prouenient, quæ $i demptæ fuerint ex maximo termino, reliquum erit. 2. cũ 3. quintis, hoc e$t medius terminus contta harmonicus.

Pro cuius ratione cogitemus. u. d. et. x. c. e$$e duosterminosnobis propo$itos, in- ter quos de$ideremus inuenire. o. s. medium ita illis relatũ, vt proportio exce$$us ip- $ius $upra. x. c. (qui $it. e. n.) ad exce$- $um. u. d. $upra. o. s. (qui $it. n. d.) ea- dem $it quæ. u. d. ad. x. c.

Cogitemus igitur. x. c. coniunctum e$$e cum. u. d. & hæc$umma vocetur. b. d. vnde habebimus proportionem. u. d. ad. u. b. vt. e. n. ad. n. d. Quare cõ- ponendo ita erit. d. b. ad. u. b. ut. e. d. 3d. n. d. $ed quia. d. b: u. b. et. e. d. quantitates no- bis cognit{ae} $unt, ideò. d. n. ex. 20. $eptimi cognita nobis erit.

THEOREMA CXXXVII.

SVpponunt antiqui aliquot mercatores dantes pecunias lucro in diuer$is vnius anni temporibus, tunc in fine anni $umma torius lucri datur cognita, $ed quæ- ritur quantuni vnicuique illorum exip$a $umma debeatur.

Exempli gratia, primus in principio anni po$uit. 100. aurcos, $ecundus verò. 100 diebus po$t primum po$uit. 50. aureos tertius autem. 200. diebus po$t primum po- $uit. 25. aureos $umma lucri po$tea in fine anni fuit aureorum. 60.

Nunc vt $ciamus quantum huius $ummæ vniduique illorum proueniat, præcipit regula, vt faciamus tria producta, quorum primum $it ex numero dierum totius an- ni in numerum aureorum primi, vnde tale productum in præ$enti ca$u erit. 36500. $ecundum verò $it ex numero dierum à primo die in quo ip$e $ecundus po$uit u$que ad finem anni, in numerum ip$orum nummorum, quod erit. 13250. tertium autem productum ex diebus tertij in numerum $uorum aureorum, quod quid\-e erit. 4125. quæ producta $imul collecta faciunt. 53875. deinde multiplicetur vnumquodque 10. BAPT. BENED. ip$orum prochictorum per $ummam lucri hoc e$t per. 60. vnde multiplicatio primi producti erit. 2190000. multiplicatio verò $ecundi producti erit. 795000. tertij po $tca erit. 247500. quarum multiplicationum vnaquæque diuidatur per $ummam 53875. productorit, & proueniet ex prima diui$ione. 40. cũ fractis. 35000. vnius in- tegri diui$i in partes. 53875. quod erit lucrum primi, prouentus autem $ecundæ di- ui$ionis erit. 14. cum fractis. 41050. vnius integri diui$i in partes. 53875. lucrum $ecũ di. prouentus verò quartæ diui$ionis erit. 4. cum fractis. 32000. vnius integri, vt $u pra diui$i in partes. 53875. hoc e$t lucrum tertij.

Cuius rei $peculatio ex $e in $ub $cripta figura patet, vbi. a. q. $ignificat numerum dierum totius anni pro primo mercatore. q. n. autem $ignificat numerum dierum $e cundi mercatoris. e. q. po$teà $ignificat numerum dierum tertij $it etiam. s. a. pro nu- mero denariorum primi, et. o. n. pro numero $ecundi, et. e. t. pro numero tertij, productum autem. q. s. $ignificet valorem primi lucri, et. q. o. $ecundi, et. q. t. tertij. x. y. autem $ignificet $ummam lucri omnium, et. x. i. $ignificet partem primi, et. i. p. $ecundi, et. p. y. tertij. vnde clarè patebit ex communi $cientia quòd eadem proportio erit. x. y. ad. x. i. quæ aggregati omnium producto- rum. q. s: q. o. et. q. t. ad. q. s. & ita. x. y. ad. i. p. vt aggregati dictiad. q. o. et. x. y. ad. p. y. vt dicti aggregati ad. q. t. Rectè igitur ex regula de tribus multiplicatio. q. s. in. x. y. diuiditur per aggregatum omnium productorum, ita vt $i aliquis dice- ret, $i ex dicto aggregato, prouenit x. y. quid proueniet vnicuique illo- rũ productorũ. Nã $i numerus dena- riorum $ecũdi æqualis e$$et numero a. s. primi vt putà. n. b. tunc eius lucrũ $ignificaretur à rectangulo. q. b. & ita de tertio dico {quis} $ignificaretur à re- ctãgulo. q. c. vel $i $iantibus ij$d\-e denariorũ quantitatibus. n. o. et. e. t. omnes $uas pe- cunias eodem tempore po$ui$$ent, tunc rectangula $ignificantia eorum lucra e$lent q. s. q. d. et. q. f. $ed cum nec eodem tempore, nec eandem quantitatem po$ueruntre ctè eorum lucra $ignificantur à rectangulis. q. s. q. o. et. q. t. {quis} ex prima. 6. vel. 18. aut. 19. $eptimi ratiocinando clarè patebit.

THEOREMA CXXXVIII.

NIcolaus Tartalea in primo libro vltimæ partis numerorum ad. 35. quæ$itum docet inuenire quantitatem laterum vnius propo$iti trianguli, cuius la- rerum proportio nobis data $it $imul cum area $uper$iciali ip$ius trianguli, $ed quia ip$e Tartalea vtiturregula algebræ, mihi vi$um e$t breuiori methodo hoc idein fa cere, & etiam vniuer$aliori via.

Supp onamus igitur duo triangula, quorum vnum. u. n. i. $it nobis propo$iũ, & cognitæ $uperficiei, proportiones $imiliter laterum. i. n. ad. n. u: et. u. n. ad. u. i. $int no bis datæ, alterũ verò triangulũ $it. a. o. u. à nobis tamen ita confectũ, vlatera $int in er $e proportionata eodem modo, quo latera prioris trianguli, $ed hæc nobis etiã cognita $int, {quis} facillimum e$t. Nunc vero $i demptũ fuerit quadratũ. a. o. minimi lateris, ex quadrato. o. u. maximi, relinquet nobis duplum producti. o. u. in. u. e. per penultimã. 2. Eucli. $uppon\-edo. a. e. perpendicularem ad. o. u. vnde tale productum quòd fit ex. o. u. in. u. e. con$equenter nobis cognitum erit, & quia. o. u. nobis cogni- THEOREM. ARIT. tum e$t, ideo cogno$cemus. e. u. $ed cũ. e. u. minor $it. a. u. ex. 18. & penultima primi, $i demptũ fuerit quadratum. e. u. ex quadrato. a. u. remanebit nobis cognitũ quadra- tũ. a. e. & $ic nota erit nobis perpendicularis. a. e. ex penultima primi, quæ quidem. a. e. $i multiplicata fuerit in dimidium. o. u. dabit nobis $uperfici\-e trianguli. a. o. u. ex 41. dicti libri. Et quia proportio trianguli. a. o. u. ad triangulum. u. i. n. (propter $imi litudinem) e$t vt quadrati. o. u. ad quadratum. n. i. ex communi $cientia cum vna- quæque i$tarum proportionum dupla $it proportioni. o. u. ad. n. i. ex. 17. et. 18. $exti, deinde cum nobis cognitæ $int tres i$tarum quatuor quantitatum hoc e$t $uperficies trianguli. a. o. u. $uperficies trianguli. u. n. i. & quadrati. o. u. quare ex regula de tribus cogno$cemus etiam quadratum. n. i. & $ic. n. i. latus primi trianguli, vnde reliqua la tera illicò nobis innote$cent exip$a regula de tribus, cum dixerimus, $i. o. u. dat nobis u. a. tunc. i. n. dabit. u. n. quòd etiam infero de. u. i.

Po$$emus etiam ita hoc perficere, $cilicet inuenire. x. quantitatem me- diam proportionalem inter duas $u- perficies triangulorum, vnde $uper- ficies trianguli. i. a. u. o. ad. x. $e ha- beret ut. o. u. ad. i. n. & ita ex regula detribus cogno$cemus. i. n. Multo t\-e pore po$tquàm hoc theorema con$truxi, ip$um con$criptum inueni in decimo $ecundi libri Ioannis de monte Regio, $atis tamen ob$curè expre$$um.

THEOREMA CXXXIX.

IN eodem primo libro vltimæ partis numerorum, Tartalea probat, via algebr{ae} quòd quælibet duo latera trianguli orthogonij, angulumrectum continentia, $int tertio longiora per diame- trum circuli in$criptibilis in ip- $o triangulo. $ed hoc breuius geometricè pote$t demõ$trari, quemadmodum in $ub$cripta hic figura videre e$t, proptereà quòd cum anguli. A. o. u. et. n. omnes $int recti et. A. u. æqualis o. n. et. A. n. {ae}qualis. u. o. ip$æ. A. u. et. A. n. æquales erunt diame- tro ip$ius circuli. Sed eædem. A. u. et. A. n. $unt $uperfluum, quo. A. B. et. A. C. $unt maiores. B. C. cum. B. u. et. C. n. $int æquales. B. C. ex penultima tertij Eucli.

THEO. SEQVENS THEO. CXXXIX.

SImiliter in nono capite $ecundi libri nouæ $cientiæ poterat ip$e Tartalea breuio ri methodo ab$que vlla operatione ip$ius Algebræ inuenire. A. H. re$pectu. A. E. e$$e vt. 4. cũ vno $eptimo ad vnũ. Nã ip$e $upponit. A. E. decimã part\-e e$$e ip$ius IO. BAPT. BENED. A. I. vnde quadratum lineæ. A. I. erit. 100. idem dico de quadrato lineæ. I. L. quare ex penultima primi. A. L. erit radix quadrata quadrati. 200. ide$t. 14. cum vno $epti- mo ferè. quare. A. L. iuncta. A. O. erit. 28. cum duobus $eptimis. $ed. L. O. ex $uppo$i- to erit. 20. eo quòd. L. I. {ae}quatur ip$i. A. I. $imiliter et. I. O. vt ip$e etiam probauit. qua dempta ex. L. A. O. relinquetur. H. A. M. (nam. L. H. cum. O. M. æquatur ip$i. L. O. ex. 35. tertij ip$ius Eucli. partium. 8. cũ duabus $eptimis. cuius dimidiũ hoc e$t. A. H. erit 4. cum una $eptima, quod e$t propo$itum. Re$pice figuram ip$ius Tartaleæ.

THEOREMA CXL.

QVadrage$imum nonum quæ$itum $imiliter po$$umus alio modo $oluere, vt putà cum vnumquodque latus rhombi $imul cum area cognitum, $eu datum nobis $it cognitũ $imiliter nobis erit quadratum lateris. a. d. hoc e$t $umma duorum quadratorum. a. o. et. o. d. ex penultima primi Euclid. cúmque nobis cognita etiam $it totalis $uperficies rhombi, cognita etiam nobis erit eius medietas, hoc e$t produ- ctum. o. d. in. o. a. vnde ex methodo. 37. Theorematis cogno$cemus. a. o. et. o. d. & $ic etiam eorum dupla, quod quærebatur.

THEOREMA CXLI.

PVlchrum quæ$itum fuit id, quod Tartalea ponit pro. 18. noni libri in quarto fo- lio, quod huiu$modi e$t. Aliquis habet dolium mero plenum, ex quo duas vrnas extrahit ip$ius vini, $ed loco ip$ius vini infundit duas vrnas aquæ. Dein de po$t aliquot dies extrahit iterum alias duas vrnas illius mi$ti, & iterum infundit duas vrnas aquæ, & po$t alios aliquot dies idem facit, & hac vltima tertia vice in- uenit aquam tantam e$$e, quantum vinum. Quæritur nunc quot vrnas capiat il- lud dolium.

Solutio ip$ius Tartaleæ bona e$t, cum $upponat illas quatuor quantitates vini e$$e inuicem continuas proportionales, vt putà primò totum vinum merum, po$teà re- $iduum pro $ecunda quantitate, deinde pro tertia in $ecunda, & pro quarta in ter- tia extractione, hoc e$t quòd proportio totius vini meri ad vinum in prima $it, vt hu ius ad vinum in $ecunda, & vt huius ad vinum in tertia mi$tione. Sed quia ip$e non probat hanc continuam proportionalitatem ex methodo $cientifica, mihi visũ e$t hoc loco illam de$cribere.

Cogitemus igitur a. u. pro capacitate dolij, et. a. i. pro quantitate duarum vrna- rum. Nunc uerò $upponamus quamlibet partem huius mi$ti omogeneam e$$e $uo toto, quapropter $equetur eandem proportionem e$$e vini ad aquam in qualibet parte, quæ erit in toto, & ideò imaginemur. e. o. æqualem. a. i. Sed in puncto. i. tali modo diui$am, vt proportio. i. e. ad. i. o. eadem $it quæ. i. a. ad. i. u. Supponamus etiã THEOREM. ARITH. e. o. e$$e duas primas vrnas vini mi$ti hoc e$t primæ mi$tionis, vnde cum eadem pro portio $it. a. i. ad. i. u. vt. e. i. ad. i. o. ita erit (ex. 19. quinti). a. e. ad. o. u. ut. a. i. ad. i. u. & compon\-edo ita erit. a. e. cum. o. u. hoc e$t. i. o. u. (proptereà quòd. i. o. æqualis e$t. a. e. vt re$idua totorum æqualium) ad. o. u. quemadmodum. a. i. u. ad. i. u. Quare. i. u. erit media proportionalis inter. a. u. et. o. u. vnde proportio. a. u. ad. o. u. dupla erit pro portioni. i. u. ad. o. u. Nunc autem cum extracta fuerit quantitas. e. o. ex primo mi- $to, & po$teà infu$a aqua v$que ad plenitudinem dolij, proportio ingredientium huius $ecundi mi$ti erit ea, quæ e$t inter. o. u. et. o. a. eo quòd in prima mi$tione pro- proportio ingredientium erat ea, quæ e$t inter. o. u. et. a. e. vel inter. a. e. et. o. u. vt demon$trauimus. Accipiamus ergo. t. m. huiu$modi $ecundi mifti, magnitudi- nis. a. i. vel. e. o. $ignificantis duas vrnas, & permutemus eum in tantam aquam, $it\’q; punctum. o. quod nobis diuidat t. m. in. o. m. et, o. t. partes $implices, tali propor tione inuicem relatas, vt $unt. o. u. et. o. a. vnde habebimus ex $upradictis rationibus eandem proportionem ip$ius. a. t. ad. m. u. vt. a. o. ad. o. u. & componendo. a. t. cum. m. u. hoc e$t. i. m. u. (eo quod cum. t. m. æqualis $it. a. i. per con$equens. i. m. æqualis erit. a. t.) ad. m. u. vt. a. o. u. ad. o. u. $ed proportio. a. o. u. ad. o. u. dupla erat proportioni. i. o. u. ad. o. u. quemadmodum $upra diximus. Ergo proportio. i. m. u. ad. m. u. erit dupla $imiliter proportioni. i. o. u. ad. o. u. quapropter. o. u. erit media pro portionalis inter. i. u. et. m. u. Ec- ce igitur quomodo eadem e$t pro portio. a. u. ad. i. u. quæ. i. u. ad. o. u. & quæ. o. u. ad. m. u. qui quidem modus nece$$arius e$t vt intellectus acquie$cat, id quod experientia non facit.

THEOREMA CXLII.

PRæcedens Tartaleæ quæ$itum elegans quidem e$t, $ed pulchrum etiam vide- tur quærere proportionem ingredientium in ultima mi$tione, cum cognita fue rit nobis proportio continentiæ dolij ad capacitatis vrnæ $imul cũ numero vitium extractionum & impletionum.

Exempli gratia, $i proportio. a. u. ad. a. i. cognita nobis fuerit, cogno$cemus etiam e. i. ex regula de tribus & per con$equens etiam. i. o. re$iduum ex. e. o. & $imiliter ag- gregatum. a. i. cum. i. o. & $ic. o. u. re$iduum totius, et. o. t. $imiliter, eo quòd. a. u. ad. a. o. e$t ut. t. m. ad. o. t. vnde cogno$cemus etiam. o. m. vt re$iduum. t. m. & $imiliter ag- gregatum. a. o. cum. o. m. hoc e$t. a. m. & etiam. m. u. re$iduum totius.

Cogno$cere autem proportionem totius dolij ad vrnam, vel ècontrà, cum cogni ta nobis fuerit proportio ingredientium in vltima mi$tione $imul cum numero vi- tium extractionum, & repletionum, quod $cribit Tartalea, hoc etiam modo po$$umus.

Exempli gratia, $i proportio. m. u. ad. m. a. cognita nobis fuerit, illicò $cie- mus proportionem. a. u. ad. m. u. & cum $ciuerimus numerum vitium extractionum, & impletionum illicò cogno$ci- mus multiplicitatem proportio- nis. a. u. ad. m. u. ad proportionem. o. u. ad. m. u. quapropter propor- tio. o. u. ad. m. u. nobis cognita erit hoc e$t. a. u. ad. i. u. & $imiliter ea, quæ e$t. a. u. ad. a. i. & è conuer$o $imiliter.

IO. BAPT. BENED.

Vnde cum aliquis diceret priori modo, dolium habeo vrnarum. 400. vini, & per vices. 25. extraxi & impleui ip$um, vt dictum e$t. Nunc verò velim $cire proportio- nem vini ad a quam hac vltima vice. Nunc igitur $i procedemus iuxta doctrinam primi exempli huius theorematis, obtinebimus quod quærebamus.

Sed $i diceret iuxta Tartaleæ quæ$itum, hoc e$t dolium habeo, quod ignoro quot nã urnas contineat, volo tamen per. 25. vices extrahere, & implere vt $upradictũ e$t, ita vt vltima vice proportio vini ad aquam $it $e$quialtera. Tunc $i iuxta mo- dum $ecundi exempli huius theorematis procedemus habebimus quod cupimus.

Alio etiam modo aliquis quærere po$$et, hoc e$t, habeo doliũ quod capit. 400. vrnas. Habeo etiam vas trium vrnarum, quo mediante me oportet extrahere, & implere. Velim tamen $cire quoties me hoc facere oporteat, ita vt po$trema vi- ce vinum $e habeat ad aquam in proportione $e$quialtera, vnde multoties accidet vltimam extractionem, & impletionem mutilatam, $eu imperfectam, euadere.

Exempli gratia, $i proportio vini ad aquam in vltima mi$tione deberet e$$e vt. n. u. ad. n. a. ita vt extrema vice fui$$et. t. m. quæ quidem. t. m. excederet terminum per. n. m. quæ. n. m. reuera e$$et nobis cognita, eò quòd ex priori modo hic $upra dicto proportio. a. m. ad. m. u. nobis in- note$ceret, & proportio. n. a. ad. n. u. nobis data e$t $imul cum quã titate. a. u. quare quantitas. n. u. & m. u. nobis cognita, remanebit, et n. m. eorum differentia $imiliter, etiam, et. t. n. re$iduum va$is, quo metimur, vnde nece$$e erit, quod vltima vice vas contineret $olum. t. n. reliqua uerò per $e patent.

THEOREMA CXLIII.

HIeronymus Cardanus in lib. $uæ arithmeticæ cap. 66. quæ$tione. 56. quam Car danicam vocat, ita inquit.

Quidam perambulauit prima die certam quantitatem $patij, & $ecunda die, tã tò plus proportionaliter, quantò diameter e$t maior co$ta, & tertia die tantò plus $ecunda, quantò proportionaliter portio lineæ diui$æ $ecundum proportionem ha bentem medium, & duo extrema excedit minorem portionem, & quarta die in proportione ad tertiam vt $ecunda ad primam, & quinta die proportionaliter tan- tò plus quarta, quantò in tertia plus $ecunda, & ita alternatis vicibus in diebus no- uem peregit nouem milliaria. Quæritur igitur quantum ambulauit die prima.

Hoc autem nihil aliud e$t, quàm $i aliquis diceret, propono tibi, exempli gratia, lineam. a. l. nouem partibus inuicem non æqualibus ita diui$am. a. c: c. d: d. e: & cæte- ris, quarum partium proportiones tibi etiam do, vt putà. a. c. ad. c. d. et. c. d. ad. d. e. et. d. e. ad. e. f. & $ic de cæteris v$que ad po$tremam. k. l. quæ quidem proportiones $int etiam inuicem di$$imiles, $eu inæquales, do tibi etiam proportion\-e totius lineæ. a. l. ad. a. b. $uam partem, quæ vt in propo$ito exemplo nonupla e$t.

Quæro nunc quam proportionem habebit. a. c. ad. a. b. & $ic de cæteris partibus eiu$dem ad eandem. a. b.

Quod quidem facillimum erit $peculari, nec non operari vnicuique, qui omnino practicæ numerorum ignarus non fuerit, dum ab ordine $cientifico non di$cedat.

Cum enim cogno$cimus proportionem. a. c. ad. c. d. con$equenter cogno$cemus ctiam proportion em aggregati. a. c. d. ad. c. d. cum autem cognouerimus proportio- THEOREM. ARIT. nem. c. d. ad. d. e. $i. c. d. accipiemus, vt medium inter. a. d. et. d. e. cogno$cemus etiam proportionem. a. d. ad. d. e. quare etiam eam quæ. a. e. ad. d. e. collocando po$teà. d. e. inter. e. f. et. a. e. innote$cet ea, quæ e$t. a. e. ad. e. f. & ita gradatim accedenrus ad perfectam cognitionem proportionis totius. a. l. ad. k. l. Nunc autem mediante. k. l. cogno$cemus proportionem totius. a. l. ad. i. k. & hac mediante, cam cogno$cemus, quæ totius. a. l. ad. g. h. & hac mediante eam quæ totius. a. l. ad. f. g. & $ic gradatim, co gnita nobis erit proportio totius lineæ. a. l. ad $uam partem. a. c. be- neficio po$teà totius lineæ. a. l. co gno$cemus proportionem a. c. ad a. b. & $ic aliarum re$pectu lineæ. a. b. vt quærebatur, quæ quidem propo$itio, et$i car danica uocetur leui$$ima tamen e$t.

THEOREMA CXLIIII.

QVamuis multi de modo in $umma colligendi, $ubtrahendi, multiplicãdi, & di uidendi proportiones $crip$erint, nullus tamen (quod $ciam) perfectè, ac $cientificè $peculatus e$t has operationes, quapropter hanc rem cum $ilentio tran$i re nolui, quin aliquid de ip$a con$cribam à $umma dictarum proportionum in- cohando.

Quotie$cunque igitur volunt duas proportiones inuicem aggregare, $imul ea- rum antecedentia multiplicant, & $imiliter earum con$equentia. Tunc proportio terminata ab illis productis euadit in $ummam illarum duarum propo$itarum proportionum.

Vt exempli gratia, $i voluerimus colligere proportionem $e$quialteram cum $e$- quitertia, multiplicando. 3. cum. 4. antecedentia $cilicet, pro ductum erit. 12. po$teà multiplicando. 2. cum. 3. con$equentia, tunc productum erit. 6. Proportio igitur, quæ inter. 12. et. 6. reperitur. (quæ dupla e$t) e$t $umma propo$itarum proportionũ.

Cuius rei $peculatio erit huiu$modi $int. x. et. u. duo antecedentia quarunruis proportionum. t. verò et. n $int eorum con$equentia, productum autem antecedentium $it. a. g. illud verò quod cõ $equentium $it. d. a. vnde proportio. a. g. ad. a. d. compo$ita erit ex proportione. x. ad. t. & ex ea, quæ e$t. u. ad. n. per. 24. $exti vel quintam octaui. Patet igitur ratio rectè faciendi, vt $uprà dictum e$t.

THEOREMA CXLV.

QVotie$cunque deinde detrahere volunt vnam proportionem ex altera mul- tiplicant antecedens vnius cum con$equenti alterius. Tunc proportio, qu{ae} inter talia duo producta inclu$a reperitur, e$t re$iduum, $eu differentia illarum dua- rum proportionum datarum.

Vt exempli gratia, $i aliquis vellet ex proportione dupla detrahere $e$quialte- ram, multiplicaret. 2. antecedens duplæ cum. 2. con$equenti $e$quialteræ, quorum productum e$$et. 4. pro antecedenti re$idu{ae} proportionis. Deinde multiplicaret. 3 antecedens $e$quialteræ cum. 1. con$equenti duplæ, & productum e$$et. 3. pro cõ- IO. BAPT. BENED. $equenti re$idu{ae} proportionis; quæ quidem re$idua proportio e$$et vt. 4. ad. 3. hoc e$t $e$quitertia, & $ic de cæteris.

Pro cuius ratione, $it proportio. x. ad. n. ea quæ (exempli gratia) maior $it, à qua volumus demere proportionem. t. ad. u. minorem $cilicet. Nunc autem productum. x. in. u. $it. a. g. illud verò. t. in. n. $it. a. d. Tunc dico proportionem. a. g. ad. a. d. e$$e re$iduam quæ$itam. Sit. b. a. productum u. in. n. vnde eadem proportio erit producti. a. g. ad productum. a. b. qu{ae}. x. ad. n. et. a. d. ad a. b. quæ. t. ad. u. ex prima $exti, $eu. 18. vel. 19. $e- ptimi, $ed proportio. a. g. ad. a. b. hoc e$t. x. ad. n. componitur ex ea, quæ e$t. a. g. ad. a. d. & ea, quæ e$t. a. d. ad. a. b. hoc e$t. t. ad. u. ergò ea, qu{ae} e$t. a. g. ad. a. d. erit quàm quærebamus.

THEOREMA CXLVI.

RATIO verò, quòd rectè fiat, quotie$cunque aliquam proportionem dupli- care volentes, quadramus terminos ip$ius proportionis, vel $i eam triplicare voluerimus, cubamus ip$os terminos, vel $i eam quadruplicare voluerimus inuenimus cen$icos cen$icos terminorum ip$ius proportionis, & $ic de $ingulis, in. 17 Theo. huiu$modi tractatus manife$ta e$t.

THEOREMA CXLVII.

QVotie$cunque nobis propo$iti fuerint duo numeri ad libitum, de$ideraremus \’que duas proportiones tali relatione inuicem refertas, quali $unt hi duo pro po$iti numeri inter $e, ita faciendum erit.

Sciendum primo e$t proportionem maioris numeri propo$iti ad minorem $em- per e$$e alicuius ex quinque generum, hoc e$t aut erit generis multiplicis, aut $u- perparticularis, aut multiplicis $uperparticularis, aut $uper partientis, aut multi- plicis $uperpartientis.

Nunc autem $i erit ex genere multiplici, iam ab antiquis traditus e$t modus, qu\-e $equi debemus. Cuius $peculatio à me inuenta patet. in. 17. Theo. huius libri, vt in præcedenti dixi.

Sed $i talis proportio datorum numerorum erit alicuius aliorum generum, ita agemus, $i fuerit $uperparticularis.

Sit exempli gratia, $e$quialtera, tunc $umantur duo numeri inuicem inæquales, quos à ca$u volueris. o. et. c. qui quidem cubentur, & eorum cubi $int. a. et. e. Inuenia tur po$teà. u. ita proportionatus ad. o. vt. o. e$t ad. c. ex regula de tribus, hoc e$t diui- dendo quadratum ip$ius. o. per. c. vnde nobis proueniat. u. & quia proportio. a. ad. e. tripla e$t proportioni. o. ad. c. & proportio. u. ad. c. dupla e$t eid\-e, quæ. o. ad. c. ideo proportio. a. ad. e. $e$quialtera erit proportioni. u. ad. c.

Sed $i proportio numerorum propo$itorum fuerit $e$quitertia, faciemus. a. et. e. e$$e cen$ica cen$ica ip$ius. o. et. c. tunc $umemus. u. con$equentem ad. o. vt dictum e$t, deinde inueniremus. i. con$equens ad. u. ita ut. u. con$equens ip$ius. o. tunc habebi- mus proportionem. i. ad. c. triplam, & eam quæ e$t. a. ad. e. quadruplam proportio- THEOREM. ARIT. ni. o. ad. c. Idem dico de reliquis proportionibus $uperparticularibus.

Sed $i data proportio numerorum fuerit ex $uper partientibus, vt exempli gra- tia de quinque ad tria, efficiemus, vt. a. et. e. $int prima relata ip$ius. o. et. c. vnde proportio. a. ad. e. ita $e habe- bit ad proportionem. o. ad. c. vt quinque ad vnũ & propor- tio. i. ad. c. ut tria ad vnũ. Qua- re proportio. a. ad. e. ad pro- portionem. i. ad. c. $e habebit, vt quinque ad tria, & $ic de reliquis.

Pro alijs, eundem ordinem $eruando, obtinebimus quod volumus.

THEOREMA CXLVIII.

QVamuis in. 16. $exti et. 20. $eptimi manife$tè pateat ratio, quare rectè fiatac cipiendam radicem quadratam illius producti, quod fit ex duobus datis terminis, vt medium proportionale geometricè inter ip$os habeamus: nihilomi- nus, quia per aliam methodum hoc idem $cire po$$umus, inconueniens non erit a- liquid circa hoc dicere.

Cogitemus igitur exempli gratia, tres numeros continuè proportionales geo- metricè. a. b: c. d. et. e. f. quorum. a. b. et. e. f. tantummodo nobis cogniti $int, imagine- mur etiam. g. a. e$$e productum quod fit ex. a. b. in. e. f. et. d. k. quadratum. c. d. et. a. h. id quod fit ex. a. b. vnde eandem proportionem habebimus. a. h. ad. a. g. quæ e$t. h. b. ad. b. g. ex prima. 6. aut. 18. vel. 19. $epti- mi, $ed per. 11. octaui ita e$t quadrati. a. h. ad quadratum. k. d. vt. a. b. ad. e. f. hoc e$t vt. h. b. ad. b. g. ergo per. 11. quinti ita erit. a. h. ad. a. g. vt ad. k. d. vnde. a. g. æqua le erit. k. d. per. 9. quinti. Rectè ergo erit accipere radicem quadratam. a. g. pro. c. d. quod etiam e$t diuidere vnam datam proportion\-e per æqualia, hoc e$t in duas æquales partes, non dubito quin po$$er aliquis dicere non oportere vti po$teriori- bus Theorematibus ad demon$trandum priora illis, $ed hoc. 148. dictum $it luden di loco.

THEOREMA CXLIX.

VNDE fiat {quis} $i quis inuenire voluerit $ecundum terminum ex quatuor nume ris continuè, & geometricè proportionalibus, quorum duo extremi tantum- modo nobis cogniti $int, rectè factum $it quadrare primum eorum, & hoc quadra- tum po$teà per alium terminum cognitum multiplicare, cuius producti demum ac- cipere radicem cubam pro $ecundo termino quæ$ito, hocloco videbimus.

Imaginemur quatuor terminos continuè proportionales, vt dictum e$t, e$$e. IO. BAPT. BENED. a. b: c. d: e. f. et. g. h. quorum. a. b. et. g. h. nobis tantummodo cogniti $int, $it\’q imagina tione de$criptus cubus. a. q. primi termini, cubus\’q. d. k. $ecundi rermini, con$idere- mus etiam ba$im. a. i. quadratam ip$ius cubi. a. q. hoc e$t præcedentem dignitatem ip $ius cubi eiu$dem radicis, quæ quidem ba$is. a. i. multiplicetur per quartum terminũ g. h. productum autem $it. g. a. vnde eadem proportio erit. a. q. ad. a. g. quæ. b. q. ad. b. g. per. 25. vndecimi, $ed per primam $exti, vel. 18. aut. 19. $eptimi ita e$t. q. i. ad. i. g. vt. b. q. ad. b. g. quare per. 11. quinti ita erit. a. q. ad. a. g. vt. q. i. ad. i. g. ide$t vt. a. b. ad. g. h. $ed vt e$t. a. b. ad. g. h. $ic e$t. a. q. ad. k. d. per. 36. vndecimi, $eu per. 11. octaui, vnde per. 11. quin ti $ic erit. a. q. ad. a. g. vt ad. k. d. Qua- re per. 9. eiu$dem. a. g. {ae}qualis erit. k. d. Vnde rectè erit accipere radicem cubam. a. g. pro $ecũdo termino. c. d. id, quod nobis in$eruit ad inueniendam tertiam partem vnius propo$itæ propor- tionis.

THEOREMA CL.

SED vt $peculatio i$ta ita vniuer$alis fiat vt ad o\-es dignitates applicari po$$it; Supponamus. a. q. et. k. d. e$$e duas dignitates quas volueris vnius, $ed eiu$dem $peciei, et. a. i. dignitas præcedens dignitatem. a. q. a cuius multiplicatione in. a. b. eius radix producitur dignitas. a. q. & ab ip$ius. a. i. multiplicatione in. g. h. re$ultet. a. g. vnde ex. 18. vel. 19. $eptimi eadem proportio erit. a. q. ad. a. g. quæ. a. b. ad. g. h. $ed eadem etiam e$t. a. q. ad. k. d. ex ijs, quæ in. 17. theoremare dixi, vnde ex. 11. quinti, ita erit. a. q. ad. a. g. vt ad. k. d. Quapropter. a. g. æqualis erit. k. d. & ideo cum inuent{con} fuerit radix huiu$modi dignitatis ex quantitate. a. g. habebimus. c. d. $ecundum ter- minum quæ$itum.

THEOREMA CLI.

VNDE verò fiat, quòd cum quis voluerit dimidium alicuius datæ proportio- nis inuenire, rectè faciat, $i accipiat radices quadratas illorum datorum rer- minorum, et$i voluerit tertiam partem, accipiat radices cubas: $i autem quartam, accipereradices cen$icas cen$icas ip$orum, & $ic de $ingulis in. 17. Theoremate om- nia patent.

THEOREMA CLII.

VNDE autem fiat, vt cum quis voluerit multiplicare aliquam proportionem per fractos, rectè faciat prius multiplicando eam per numeratorem, dein- de productum diui$erit per denominationem ip$orum fractorum.

Vt exempli gratia, cum aliquis voluerit multiplicare proportionem $e$quiquar- tam per duo tertia, multiplicabit prius ip$am proportionem per numeratorem. 2. & productum, erit proportio. 25. ad. 16. qua po$tea diui$a per. 3. denominatorem, prouentus erit proportio radicis cubæ. 25. ad radicem cubam. 16. vel vt proportio. THEOREM. ARIT. 25. ad radicem cubam. 10000. quæ quidem proportiones æquales inuicem $unt, cu tam vna, quàm alia, $it tertia pars totius.

Pro cuius ratione cogitem is. a. b. e$$e aliquod totum, quod multiplicare cupimus per duas tertias, quod quid\-e nihil aliud e$t, quàm accipere duas tertias partes vnius totius $uperficialis, imaginemur igitur hoc totum. a. b. lineare diui$um e$$e in tertias partes mediantibus. e. et. d. & tunc multiplicando ip$um per 2. tertias lineares produ- ctum erit. a. c. $ex vnitatum $uperficialium, quod quidem productum po$teà diui$um per. 3. dabit. d. c. hoc e$t duas tertias $uperficiales (quæ e$t tertia pars ip$ius. a. c.) & {ae}quales numero. c. b. duabus vnitatibus linearibus, ide$t duabus tertijs ip$ius. a. b. No tandum etiam e$t, quòd cum ferè omnia reducantur ad regulam de tribus, proptereà etiam multiplicatio alicuius quantitatis per aliam quantitatem, nihil aliud e$t quàm quædam operatio ip$ius regulæ de tribus, vt eyempli gratia volo multiplicare. 25. per 20. hoc nihil aliud e$t ni$i quærere alium numerum ita proportionatum ad. 25. vt 20. $e habetad vnum, vnde multiplicando. 25. cum. 20. & productum diuidendo per vnum exregula de tribus, prouentus e$t idem numerus ip$ius producti, & propte rea cum volumus multiplicare aliquem numerum per fractos hoc nihil aliud e$t quàm quærere aliquem numerum ita proportionatum ad ip$um numerum datum, vt $e habet numerator ad denominatorem, exempli gratia $i. 24. aliquis voluerit mul tiplicare per duo tertia hoc idem e$t vt $i quæreret numerum ad quem. 24. ita $e habeat, vt. 3. ad. 2. & idem dico de proportionibus, hoc e$t quod aliud non e$t mulri- plicare aliquam proportionem per fractos, quàm aliam proportionem quærere ad quã data $e habeat, vt denominator $e h\-et ad numerator\-e; & hoc exregula de tribus perficitur, cõ$titu\-edo denominator\-e in primo loco, quilocus e$t diui$oris, numerato r\-e verò in $ecũdo loco, multiplicãdo po$teà pro portionem per numerator\-e, & productũ diuid\-e do per denominatorem, prouentus demum erit proportio, ad quam data $e habebit, vt denomi- nator $e h\-et ad numeratorem ex ratione ip$ius re gul{ae} de tribus. Ratio verò methodi diuid\-edi vnã datam proportion\-e per fractos, ex $e $atis patet, cum idem $it modus diuidendi quemhbet nume rum integrum per fractos. Quare, quæ vnius, & alterius e$t ratio.

THEOREMA CLIII.

NIcolaus Tartalea in. 3. lib. quintæ partis numerorum $oluit. 24. quæ$itum $i- bi propo$itum à Hieronymo Cardano, via particulari & non generali. Quæ- $itum autem tale e$t quamlibet propo$itam rectam lineam in duas partes ita diuide re via Euclidis, ut cubus totius lineæ ad cubos partium $e habeat in proportione tripla.

Tartalea igitur inquit quòd vt $atisfiat $peculatiuis ingenijs $oluendum $it huiu$- modi quæ$itum, $ecando lineam propo$itam. a. b. in tres æquales partes, quarum vna fit. c. b. vnde problema $olutum erit.

Verum dicit, $ed hæc non e$t methodus generalis, proptereà, quod cum tale problema alterius fui$let proportionis quam triplæ, talis methodus nihil valeret. IO. BAPT. BENED. Quapropter non tacebo quod mihi in mentem venit circa hoc problema.

Sit ergo linea. a. b. diui$ibilis in puncto. c. ita vt cubum totius dictæ. a. b. lineæ ad $ummam cuborum $uarũ partium. a. c. et. c. b. oporteat eam proportionem hab\-ere, exempli gratia, vt. 125. ad. 65. vt vitemus fracta pro nunc, notantes talem propor- tionem quadrupla nunquam maiorem e$$e po$$e, vt quilibet ex $e contemplari po- te$t, con$tituendo punctum. c. in medio loco inter. a. et. b. vnde proportio totalis cubi ad $ummam partialium e$$et omnium maxima quæ po$$int e$$e, collocando. c. vbi volueris in dicta linea. a. b. & hæc e$$et quadrupla.

Sed vt ad propo$itum reuertamur, con$iderabimus cubum totalem ip$ius. a. b. e$$e vt. 125. & $ummam partialium vt. 65. quam detrahemus ex cubo totali & nobis remanebit. 60. pro $umma trium $olidorum inuicem æqualium, quorum longitu- do vniu$cuiu$que erit tota linea. a. b. nobis cognita vt radix dati cubi totalis, quæ erit in hoc exemplo quinque partium, latitudo verò vniu$cuiu$que dictorum $olidorũ erit. a. c. pars maior ip$ius. a. b. quæ quidem. a. c. adhuc nobis ignota e$t, profunditas $eu altitudo vniu$cuiu$que illorum $olidorum, erit. c. b. pars reliqua ip$ius. a. b. & etiã nobis incognita, $ed quia $umma horum trium $olidorum nobis manife$ta $uperius fuit, quæ erat. 60. propterà nobis cognita erit quantitas vniu$cuiu$que illorum $oli- dorum, vt tertia pars totius $ummæ ip$orum quæ erit. 20. in propo$ito ex\-eplo, dein de cum vnumquodque illorum $olidorum producatur à $uperficie contenta $eu pro ducta ab. c. a. in. c. b. in tota linea. a. b. $equitur quòd $i diui$erimus hoc $olidum. 20. per lineam. a. b. quinque partium proueniet nobis cognita $uperficies producta ab. a. c. in. c. b. quatuor partium, $ed cum quadratum totius. a. b. nobis cognitum $it, eo quod. a. b. vt eius latus etiam cognitum e$t. Tunc dictum quadratum erit. 25. quod quidem æquale e$t quadruplo illius quod fit ex. a. c. in. c. b. $imul cum quadrato diffe rentiæ inter. a. c. et. c. b. per. 8. $ecundi Eucli. Vnde quia quadruplum illius quod fit ex. a. c. in. c. b. nobis cognitum e$t, vt 16. eo quod $implum quod e$t. 4. iã inuentum fuit, ideo $i hoc quadru- plum. 16. demptum fuerit ex totali quadrato. 25. reliquum erit. 9. qua dratũ $cilicet vnius partis. a. c. ip$ius hoc e$t illius partis, quæ differentia e$t inter a. c. et. c. b. quæ quidem erit. 3. partium quæ differentia cum $ub- tracta fuerit ex. a. b. reliquum erit du plum ip$ius. c. b. duo $cilicet. Quare. c. b. erit vt. I. et. a. c. vt. 4. & productum. a. c. in. c. b. erit. 4. vnitatum $uperficialium. & c.

APPENDIX DE SPECVL ATIONE REGVL AE FALSI.

NVNC idem ferè mihi accidit, quod & Michaeli Stifelio, à quo cum Petreius Tipographus nuper totam $uam Arithmeticam re cepi$$et, mox po$teà per literas petijt explication\-e regulæ fal$i.

Similiter po$t inci$as omnes $uperiorum Theorematum figu- ras, opere\’q; Typographo commi$$o, amicus quidam omnium $cientiarum ornati$$imus maxima nece$$itudine mecum coniun- ctus monuit me, vt aliquid de regula fal$i $cribere vellem, cuius $ua$u hæc, quæ $equuntur appendicis vice ponere libuit, nelector, quidpiam quod ad hancrem pertinet iure merito à nobis de$iderare po$$et; vt autem ad ip$am re- gulã accedamus Ego $icut, & in alijs multis, ita & in huiu$cæ regul{ae} inuentione cum ip$o Stifelio maximè conuenio, putans regulam fal$i, $eu fal$arum po$itionum in- uentam fui$$e per paruos numeros in quæ$tionibus facillimis & cognitis, eodem fer mè modo, quo ip$e mon$trat illis duobus exemplis, quæ quamuis ip$e appellet theo remata, nihilominus the oremata ego illa non vocarem, ni$i adiuncta fuerit $pecu- latio ab ip$o præterita, & non experientia tantummodo, vt ip$e fecit. Primum eius exemplum e$t, quòd

Quorumcumque duorũ numerorum differentia, $i fuerit multiplicata in aggre gatum eorum, producit ip$am differentiam, quæ e$t inter quadrata eorum.

Secundum verò exemplum e$t, quod

Datis tribus numeris $ecundum progre$$ionem arithmeticam di$po$itis, facit mul tiplicatio medij in $e, quãtum multiplicatio extremorum inter $e cum multiplicatio ne differentiarum inter $e.

Talia enim exempla ip$e aliter non probat ni$i experientia in aliquibus numeris, arbitratus ex eo inuentam e$$e regulam fal$i, experientia tantummodo confirma- tam, quod quidem etiam & ego credo. At experientia in philo$ophia mathema- tica, aut nullã pror$us facit $cientiã, aut omnino $uperfluus fuit Euclides in multis $uis propo$itionibus, & præcipuè in eius $ecundo libro, $i $ufficeret experientia. Id- circo quo magis ad euidentiam ip$ius veritatis, quam profiteor, deuenire po$$im, accipiã primò primum exemplum ip$ius Stifelij hic $uperius citatum, & pro numero maiori, in prima hic $ub$cripta figura. AE. accipio. a. i. cuius quadratum $it. a. c: pro minori vero numero capio. a. e. part\-e ip$ius a. i. cuius quadratum fit. a. t. differen tia autem horum numerorum erit. e. i. reliqua pars ip$ius. a. i: & differen tia ip$orum quadratorum erit gno- mon. e. c. o: Nunc autem protraho. i. c. latus quadrati maioris quou$que c. n. æqualis $it. a. e. numero minori, perficio\’q; rectangulum. e. n. quod IO. BAPT. BENED. producitur ex. i. e. differentia in. i. n. aggregatum amborum numerorum, $ed hoc pro ductum excedit productum e. c: partem gnomonis dicti per. u. n. quod quidem. u. n. æquatur ip$i. u. o. reliquæ $cilicet parti ip$ius gnomonis, nã. e. u. æqualis eft. i. c. qua re et. a. i. $ed. e. t. {ae}quatur. e. a. vnde. t. u. æqualis erit. e. i. quare et. u. c: at cum. c. n. æqua lis $it ip$i. a. e. erit etiam æqualis ip$i. o. t. quare. u. n. æqualis erit ip$i. u. o. & tunc intellectus quie$cit, & ab$q; aliqua alia experientia verè $cientifi ce\’q; dicere poteft, quòd

Quorumcumque duorum nume- rorum differentia, fi fuerit multipli- cata in aggregatum eorum, producit ip$am differentiã, quæ eftinter qua- drata eorum.

Hæcautem propo$itio à me ip$o etiam in. 60. Theoremate huius libri aliter demonftrata fuit.

DE $peculatione autem, et$cientia $ecundi exempli, in $ecunda hic $ub$cripta figura. ω. cogitemus lineam. u. a. tribusin partibus arithmeticè diui$am, qua rum maxima $it. u. o. media. $it. o. e. minima verò $it. e. a. multiplicatio autem mediæ. o. e. in $e $it quadratum. o. t. ab$cindatur deinde ex. o. e: e. i. æqualis. e. a. tunc. o. i. erit differentia inter. o. e. et. e. a. & æqualis differentiæ inter. o. e. et. o. u. ex hypotefi, quæ quidem. o. i. in $e ducta procreabit quadratum. o. c. quod erit productum ex differen tijs ip$arum partium, & erit pars quadrati. o.t. $uperius dicti, vt ex$e patet. Nunc autem dico gnomonem. i. t. n. æqualem e$$e ei quod fit ex. a. e. in. o. u. Producatur igi tur. e. t. quou$que. t. r. æqualis $it ip$i. o. i. tunc. e. r. erit æqualis. o. u. quod etiam clarum e$t. Claudatur ergo rectangulum. i. r. quod erit æquale producto ip$ius. e. a. in. o. u. Nam. e. i. $umpta fuit æqualis. e. a. $ed ex ra tionibus in priori ex\-e plo allatis, {pro}ductum. i. r. æquale erit gno- moni. i. t. n. Nuncau tem verè, $cientifice- \’que po$$umus affirma re, quòd. Datis tribus numeris $ecundũ pro greffionem arithme- ticam di$pofitis, fa- cit multiplicatio me- dij in $e quantum mul tiplicatio extremorum inter $e, cum multiplicatione differentiarum inter $e.

Et $ic de alijs huiu$modi inuentionibus infero.

DIcturus igitur aliquid circa regulã fal$i, videtur mihi nullam oportere facere mentionem de origine huiu$cæ regulæ, cum in hoc Stifelius $atisfecerit, $ed THEOREM. ARITH. potius veras rationes propria\’q; fundamenta huiu$modi operationis oftendere, fu- mendo eadem exempla propo$ita abip$is practicis, & maximè à Nicolao Tartalea viro accuratiffimo, qui vbicunque potuit $peculatus e$t caui$as ip$arũ operationum, et$i de huiu$modi fal$i regula circa finem cap. 8. lib. 17. promittat po$tea loqui, nub- libi tamen loquutus eft. Monendum etiam cen$eo, me nihil de rationibus regulæ fal$i $implicis dicturum, cum ex $eip$is $atis appareant, quod non ita e$t de po$itio- nibus duplis. Incipiam ergo à primo problemate lib. 17. ip$ius Tartaleæ, quo etiã ip$e vtitur pro exemplo docendi gratia, ip$am regulam duplæ po$itionis, quod qui dem problema aliter à me $olutũ fuit in. 118. Theoremate huius mei lib. quod $imi liter ob hanc demum occa$ionem mihi oblatam, alia etiam via, $peculatus $umidem po$$e fieri, quæ quidem via $eu methodus generalis erit, & ita $e habet.

Accipio enim propo$itum numerum diui$ibilem, à quo detraho $ummam datorum numerorum, primo duplicato, eo quòd tam in $ecunda quam in tertia parte reperitur, vt in propofito exemplo, datus numerus eft, 50. à quo detraho $ummam dictorum numerorum, quæ e$t. 11. nam tres, & tres, & quinque $unt vndecim, eo quòd primus ingreditur in $ecunda, & in tertia parte, dempto igitur hoc numero. 11. ex. 50. remanet. 39. qui quidem numerus intelligen- dus e$t pro $umma trium partium $implicium adhuc incognitarum, à quo extrahen da e$t prima, eo modo quo nunc proponam exregula de tribus, hoc e$t aggregan do dictas partes $implices $ine aliqua additione vtcunque volueris ($ed commodius erit in minimis numeris) iuxta propo$itum, quod quidem propo$itum e$t, vt $ecun da pars dupla $it primæ, tertia verò æqualis fit primæ & $ecundæ, quæ partes in di- ctis minimis numeris, ita di$po$itæ erunt. 1. 2. 3. quarum $umma erit. 6. Nunc $i ex regula de tribus dixerimus, cum hæc $umma proueniat nobis ab vno, à quo proue- niet. 39. et veniet nobis. 6. cum dimidio pro prima parte quæfita in propo$ito nume- ro. 39. cum ergo habuerimus primam part\-e, reliquas po$teà illicò cogno$cemus.

Huiu$modi verò operationis ratio ex $e manife$ta patet, eo quòd proportio $um mæ partium in minimis numeris ad primam eorum partem eadem e$$e debet, quæ ip$ius. 39. ad primam partem quæ$itam huiu$modi aggregati partium $impliciũ, $ed quia nemo adhuc, quod $ciam, $atis animaduertit rationem modorum, qui ab anti- quis ob$eruati $unt, qui quidem modi duo $unt circa hoc Helcataym duplæ fal$æ pofitionis, igitur non prætermittam aliquid de hacre$peculari, & primo de pri- mo modo.

In primis igitur $ciendũ eft, {quis} Compositorum veritas ita inueniri poterit eo- rum modo, me diantibus $impli cibus partibus, vt etiã median- tib<_>9 cõpo$itis, ut in pr{ae}$enti ex\-e plo pro primis pofitionibus ac- ceperunt. 10. et. 8. pro $ecundis verò compo$itis cũ numero. 3. inuenerũt. 23. et. 19. pro tertijs aũt cõpo$itis cũ quinq;, notaue runt. 38. et. 32. vnde prima $um marefultauit. 71. $ecunda verò 59. ita {quis} prim<_>9 error remanebat 21. $ecũd<_>9 aũt. 9. vt in figura. A.

IO. BAPT. BENED.

SEDijdem errores proueniunt ex$ummis partium $implicium.

Vtexempli gratia, in figura. B. fumma propo$ita partium $implicium e$t. 39. vt diximus, eo quòd ab ip$o. 50. detraxerimus. 11. $umma $cilicet numerorum adij ciendorum ad efficiendas partes compofitas, $umma po$teà fimplicium partium primæ po$itionis, erit. 60. eo quòd prima pars erat. 10. $ecunda autem $implex 20. tertia verò fimplex. 30. iuxta ordinem propo$iti. Summa deinde $implicium partiũ fecundæ po$itionis effet. 48. quia prima eius pars erat. 8. $ecunda verò $implex. 16. tertia autem $implex. 24. vnde prima $umma excederet datam. 39. per. 21. differen- tiæ, $ecunda verò per. 9. vt $upra vidimus de $ummis compo$itis à dato. 50. compo- fito, & hoc quidem mirandum non eft, quod $cilicet tres $ummæ fimplicium par- tium fintinuicem inæqua- les, ij$dem differentijs me- Simpricium diantibus, quibus differũt dictæ tres $ummæ compofi tæ, cum ab vnaquaque cõ po$itarũ ablatus fit nume- rus. 11. æqualiter, vnde ex nece$$itate, permutando, earũ differentiæ relinqu\-e dæ erant æquales inuicem ex. 78. theoremate hu- ius no$tri lib. $ummæ enim compofitæ erant. 71. 59. et 50. fimplices verò. 60. 48. et. 39. differentes à primis per. 11. vt dictum eft, qua re veritas ita manabit à compofitis, quemadmodum à fimplicibus, $ed à fimplici- bus per $e, & a compofitis per accidens vtiam iam videbimus.

ANtiquorumigitur primus m odus vtitur regula detribus, hocordine, multi- plicando $cilicet $ecundum errorem, qui eft. 9. cum differentia primarum par tium pofitarum, quæ eft. 2. & productum diuidendo per differentiam errorum, quæ eft. 12. proueniens poftea quod eft. 1. cum dimidio additur hoc loco primæ parti $e- cundæ po$itionis. &c. quòd benè $e habet. Vbi animaduertendum e$t, quod ille numerus. 12. non eft accipiendus per $e vt differentia errorum hoc eft. 21. et. 9. nifi peràccidens, fed benè perfe, vt differ\-etia inter. 60. er. 48. $implices $ummas, quem admodum. 9. in hoc propo$ito eft differentia per $e inter. 48. et. 39 per accidens ve- ro inter. 59. et. 50.

Cogno$cendum igitur eft mediante. 24. quinti Eucli. quod eadem proportio eft primæ $ummæ ($implicium dico) ad $uam primam partem, quæ $ecundæ $um- mæ ad $uam, & tertiæ $ummæ ad fuam fimiliter (vbi rectè etiam feciffent hoc in lo- co antiqui $i multiplicauiffent tertiam fummam fim plicem cum prima parte prioris fummæ fimplicis, & productum diuififfent per primam fummam, vnde prima pars quæ$ita tertiæ $ummæ orta fuiffet, ab$que ullo negotio ipfius plus velminus) Quare habebimus tres terminos antecedentes ab vna parte, & tres terminos con$equen- tesab alia parte continentes vnam eandem\’q; proportionem, vnde ex. 19. quinti, vel. 12. $eptimi eorum differentiæ proportionales erunt, hoc eft, {quod} eadem propor THEOREM. ARIT. tio erit eius differentiæ, quæ e$t inter primam & fecundam $ummam, ad differen- tiam quæ e$t inter primas earum partes, quæ illius differentiæ, quæ e$t inter $ecun- dam & tertiam $ummam, ad differentiam, quæ eft inter primas illarum partes, $ed harum. 4. differentiarum, tres nobis cognitæ $unt, ideft. 12. 2. et. 9. ergo ex regula de tribus ab Eucli. in. 20. $eptìmi $peculata inueniebatur quarta differentia, quæ eft. 1. cum dimidio.

A compofitis $ummis idem etiam proueniet, $ed non vt ex proprijs caufis, & per $e, $edper accidens. Nam quamuis eadem differentia fit inter 71. et. 59. quæ in- ter. 60. et. 48. & ead\-e inter. 59. et. 50. quæ inter. 48. et. 39. Nihilominus non eft ead\-e proportio (propriè) ip$ius. 71. ad. 59. quæ ip$ius. 60. ad. 48. nec ea quæ ip$ius. 59. ad. 50. eft quæ ip$ius. 48. ad. 39: Vnde non erit eadem proportio ip$ius. 71. ad. 59. quæ ipfius. 10. ad. 8. ne@ea quæ eft ipfius. 59. ad. 50. quæ ip$ius. 8. ad. 6. cum dimidio. Sed minores illis. Nam ex æqualibus additamentis diminuuntur proportiones maio- ris in{ae}qualitatis.

A fimplicibus igitur $ummis pendet ratio huiu$modi effectus.

Si vero prima pars fecundæ po$itionis effet. 4. tunc $ecunda eius pars effet. 8. & ter- tia. 12. quarum $umma effet. 24. (harum fimplicium partium $eilicet) & minor vera (39.) per. 15. & differens à $umma primarum. (60.) per. 36. & differentia primarum partium effet. 6. differentia vero primæpartis $ecundæ po$itionis, a prima parte qu{ae} fita effet. 2. cum dimidio. Vnde in huiu$modi exemplo videre eft quare colligan- tur errores inuicem, quando alter eorum eccedit, reliquus vero deficit à numero pro pofito. Quod quidem ob aliam caufam non fit, nifi vt cogno$catur differentia. 36. differentia $cilicet $implicium $ummarum ip$arum po$itionum.

Secundus autem modus ab antiquis magis exercitatus e$t, quod multiplicabant diametraliter errores cum primis partibus, hoc e$t primum errorem cum prima par te, hoc e$t cum numero $ecundæ po$itionis, $ecundum vero errorem cum prima parte, hoc e$t cum numero primæ po$itionis, differentiam po$teà vel aggregatum horum duorum productorum diuidebant per differentiam vel aggregatum dicto- rum errorum, proueniens po$teà erat prima pars quæ$ita numeri propo$iti. Vn- de oriebantur tria producta, quorum tertiũ, hoc e$t differentia, $eu aggregatum il- lorum con$tituebatur ex differentia feuaggregato errorum, & ex numero quæ- fito.

Vtin præfenti exemplo, primus error e$t. 21. qui multiplicatus cum prima par- te $ecundæ po$itionis, quæ e$t. 8. producit. 168. $ecũdus verò error e$t. 9. qui multi- plicatus cum prima parte prim{ae} po$itionis producit. 90. differentia autem horum productorum e$t. 78. quæ diuifa per differentiam errorum, quæ e$t 12. dabit. 6. cũ di midio, pro prima parte quæ$ita dati numeri diui$ibilis, qui erat. 50.

Hæc omnia rectè $e habent. Sed, vt $upra dixi diui$or non eft per $e differentia errorum, neque etiam differentia per $e $ummarum compo$itarum, fed bene fim- plicium.

Pro cuius rei $peculatione, accipiendæ $unt $ummæ $implices, quarum differen- tiæ per $e vtiles $unt in huiu$modi operatione; & quia etiam rationes veritatis ex i$tis, & non ex illis fluunt; quamuis tam vnæ, quam aliæ $int eædem in quantitate, ide$t æquales.

IO. BAPT. BENED.

Di$ponantur igitur huiu$mo- di numeri tali ordine, vt fim- plex $umma, quæ ab vna reli- quarum $uperatur, & aliam $upe- rat, medium locum teneat; @t in propo$ito exemplo $umma mediocris eft. 48. qu{ae} à $umma. 60. $uperatur, & $uperat $um- mam. 39. locata igitur fit h{ae}c. 48. inter illas, $uæ verò primæ partes fimiliter conftitutæ $int $upra di- ctas $ummas, cum $uis differ\-etijs, & tria producta iam dicta, vt in fi guris. C. et. D. arithmeticis clarè patet: figura enim. C. eft pro exemplo ip$ius plus $impli- citer: figura verò. D. pro exem- plo ip$ius plus, & minus. Et fic in figura. C. habebimus tres numeros confequentes. 60. 48. 39. & tres antecedentes. 10. 8. 6. cum dimidio, vnam, & ean- dem proportionem terminantes, ex. 24. quinti, vt diximus; qua- re eorum differentiæ fimiliter proportionales erunt, quod etiam vidimus. Supponamus nunc nos ignorare æqualitatem maximi producti cum reliquis duobus, accipiendo $olum pro hypote$i, quòd dicta producta oriantur ex lateribus iam dictis.

Demon$trandum nobis nunc relinquetur, maximum productum æquale effere- liquis duobus; hoc e$t productum. 168. æquale effe productis. 90. et. 78. quorum duorum productorum alterum. 90. $cilicet, generatur à differentia. 9. quæ eft $e- cund{ae}, & terti{ae} $ummæ, in primum numerum antecedentem, qui e$t. 10. alterum vc- ro productum. 78. $cilicet, generatur à differentia. 12. qu{ae} e$t prim{ae}, & $ecund{ae}, $um m{ae} in tertium numerum antecedentem, qui e$t. 6. cum dimidio, maximum vero productum. 168. $cilicet generatur à differentia maxima. 21. qu{ae} eft prim{ae}, & terti{ae} $umm{ae} (& $emper {ae}qualis prioribus duabus differentijs. 12. et. 9.) in $ecundum nu- merum antecedentem, qui e$t. 8.

Con$tituantur igitur duo producta fimul iuncta {ae}qualia duobus. 90. et. 78. lateralibus $upra vnam aliquam rectam lineam. q. p. fit\’q; productum. f. g. {ae}quale. 90. productum verò. g. n. {ae}quale. 78. fit etiam ba$is. g. p. vt. 9. et. g. q. vt. 12. vnde. g. i. vel. q. n. erit vt. 6. cum dimidio. et. g. d. vel. p.f. vt. 10. & ideo. i. d. differentia erit. 3. THEOREM. ARIT. cum dimidio, ut in figura. C. geometrica hic $ub$cripta videre licet, et. q. p. erit. 21. Cogitemus nunc differentiam. d. i. diui$am e$$e in puncto. e. ita vt eadem proportio $it ip$ius. d. e. ad. e. i. quæ ip$ius. q. g. ad. g. p. hoc e$t vt. 1 2. ad. 9. quapropter. d. e. erit. 2. et. e. i. erit. 1. cum dimidio, vt in dicta figura. C. arithmetica reperiuntur e$$e dif- ferentiæ ip$orum antecedentium numerorum, deinde à puncto. e. ducatur imagina- tione. u. e. o. æ quidi$tans ip$i. q. p. & producatur. q. n. v$que ad. u. vnde ita $e habebit u. e. ad. e. o. ut. q. g. ad g. p. quare vt. d. e. ad. e. i. ideo ex. 15. $exti vel. 20. $eptimi. n. e. rectangulum æquale crit ip$i. e. f. qua propter rectang ulum. q. o. æquale erit duobus rectangulis. f. g. et. g. n: $ed cum. g. i. $it vt. 6. cum dimidio, et. i. e. vt. 1. cum dimidio, er go. g. e. erit ut. 8. qui quidem numerus multiplicatus cum. q. p. 21. producit. 168. ve rum e$t igitur quod dictum fuit, hoc e$t {quis} maximum productum {ae}quale $it reliquis duobus.

10. BAPT. BENED.

DEmpto po$teà quo volueris horum altero productorum ex maximo, diui$o\’q; reliquo per differentiam con$equentium, ip$i diametraliter oppo$itam, pro ueniet tibi numerus antecedens corre$pondens\’q; illi.

Animaduertendum tamen e$t, quòd $i in figura à me ita ordinata, $umma $im- plex propo$ita medium locum occuparet, vt in figura. D. arithmetica videri pote$t; tunc vt habeatur eius productum, addenda $imul erunt circun$tantia producta. eo {quis} eius $ecundum latus e$$et antecedens medio loco con$titutum, & prima pars qu{ae}- $ita numeri propo$iti: in qua figura. D. manife$tè patet ratio, quare colligendi $int tam errores, quam producta, dum eorum alterum e$t plus, reliquum verò minus.

Speculatio figur{ae}. D. arithmetic{ae} videbitur in figura. D. geometrica, eodem fe rè modo quo fecimus in figuris. C. mutatis mutandis, re$pectu ip$ius plus, & minus.

Collectio namque errorũ $imiliter accidentalis e$t, eo quod e$$entialis numerus diui$or per $e, e$t maxima differentia $ummarum $implicium, vt in dicta figura. D. cerni pote$t.

Sed vt $uperius dixi, nunc etiam repeto, quòd rectè hoc loco multiplicabatur $umma $implex propo$ita, cum prima par te prim{ae} po$itionis, vt productum diuide retur per primam $implicem $ummam, vnde proueniret nobis pars prima qu{ae}$i- ta no$tri numeri propo$iti, ex regula de tribus, vnica po$itione.

Vt exempli gratia, datus numerus diui dendus $it. 100. in quinque partes, tales verò, {quis} $ecunda duplo maior $it prima cum. 2. $imul, tertia autem æqualis $it pri- mæ & $ecundæ cum. 3. vnitatibus iunctis, quarta po$teà maior $it prima $ecunda, & tertia per. 4. vnitates, quinta demum $u- peret reliquas omnes per quinque vnita tes, vt in figura. E. videre e$t, quæ quidem partes compo$itæ ($umpta vnitate pro prima) ita di$po$itæ erunt. 1. 4. 8. 17. 35. quarum $umma erit. 65. $implices autem cum di$po$itæ fuerint erunt. 1. 2. 3. 6. 12. quarum $umma erit. 24. dempta igitur cum fuerit hæc $implex $umma. 24. à com po$ita. 65. re$iduum erit. 41. hoc e$t $um- ma numerorum propo$itorum cum $uis iterationibus in ip$is partibus, quod cum per $e clari$$imum $it, $uper$luum e$t ipsã $ummam annatomizare per $ingulas par- tes, ni$i quis habuerit eius cerebrum à fi- gura Omega terminatũ, cui tamen po$- $emus dicere dictam $ummam. 41. in. 4. partes diuidi, cuius prima e$$et. 2. pro ad ditione ad $ecũdam partem $implicium, THEOREM. ARIT. $ecunda verò e$$et. 5. pro additione ad tertiam partem $implicium, tertia autem e$- $et. 11. pro additione ad quartam partem $implicium, quarta demum e$$et. 23. pro additione quintæ partis $implicium, quarum partium. 2. 5. 11. 23. $umma e$t. 41. vt diximus. Hæc igitur $umma. 41. $ubducenda e$t à numero. 100. propo$ito, vnde re- linquetur. 59. pro $umma partium $implicium numeri propo$iti, quarum prima erit 2. cum vndecim vige$imisquartis ex diui$ione huiu$modi. 59. per. 24. $ummam par- tium $implicium ex viregulæ de tribus, dicendo $i. 24. prouenit nobis ab. 1. prima partium $implicium, à quo proueniet nobis. 59? vnde proueniet à. 2. cum vndecim vige$imisquartis pro prima parte quæ$ita, $ecunda verò iuxta propo$itum, erit. 6. cum. 22. vige$imisquartis, tertia autem. 12. cum nouem vige$imisquartis, quarta po $teà. 25. cum. 18. vige$imisquartis, quinta demum erit. 52. cum. 12. vige$imisquartis, quarum omnium $umma erit. 100.

STifelius in primo exemplo regulæ fal$i, ita inquit.

Quæratur numerus, à cuius dimidio $ubtractæ partes tertia, & quarta relin- quatur. 300.

Ip$e enim $upponit. 300. pro re$iduo cognito alterius numeri incogniti, deinde accipit. 24. pro prima po$itione numeri cogniti, à cuius medietate ab$cindit tertiam & quartam partem ip$ius medietatis, vnde remanet. 5. qui quidem numerus. 5. ex. 22. quinti vel. 15. $eptimi$e ha- bebit ad. 24. vt. 300. ad numerũ quæ$itum, quare cum quis multi plicauerit. 300. per. 24. & produ- ctum diui$erit per. 5. proueniet. 1440. numerus quæ$itus, ex vi regulæ de tribus.

Con$ideremus igitur meã di- $po$itionem numerorum huiu$- modi exempli, in figura hic $up- po$ita. F. in qua videre licebit quo pacto ip$e etiam Stifelius ac cipiat diui$orem. 5. vt differentiã errorum & non ut differentiam duorum con$equentium. 5. et. 10 $icuti e$t re uera, ut diui$or dico, ex rationibus à me hic $upra ad- ductis, quamuis vna & eadem $it quantitas nece$$ariò ut patet.

ACcipiamus adhuc aliud exemplum à Tartalea propo$itione. 9. datũ, & oppo$itũ priori; nam $icut in illo numerus $implex habebatur per $ubtractionem $um- mæ numerorum adijciendorum, in hoc fitèconuer$o, hoc e$t per additionem nu- merorum $ubtrahendorum.

Problema igitur ita $e habet. Fuit quidam mercator qui habebat aliquot au- reos, cuius quantitas po$teà quærenda erit, hic enim fecit duo itinera, ut aliquod dictis aureis mediantibus lucrum faceret, in primo autem itinere duplicauit nume- rum $uorum aureorum, ex quibus po$teà con$ump$it. 4. pro aliquibus expen$is, in 10. BAPT. BENED. $ecundo itinere iterum duplicauit $uos aureos, ex quibus etiam po$tea con$ump$it. 8. numeratis po$teà pecunijs reperit tantummodo. 24. aureos in eius mar$upio, qu{ae} ritur nunc quot habebat aureos in principio primi itineris.

Intali ca$u, cum ip$e quolibet itinere duplicabat eius pecuniam, nulli dubium e$t quòd in fine $ecundi itineris ip$e habui$$et pecuniam $uam quadruplicatam, $i ex ip$a nihil detractum fui$$et, $ed quia in fine primi itineris con$ump$it. 4. aureos, quibus alios. 4. lucratus e$$et in $ecundo itinere, po$teà con$ump$it iterum. 8. aureos, ita {quis} ex quadruplo $uæ primæ pecuniæ, rectè dici pote$t, quod con$um- p$erit. 16. aureos; qui quidem numerus ex communi conceptu erit differentia in- ter. 24. & quadruplum prioris pecuniæ, cum qua profectus fuit in principio eius iti- neris; quapropter $i addiderimus. 16. ip$i. 24. habebimus. 40. pro quadruplo eius prioris pecuniæ. Rectè igitur dici pote$t, $i. 4. prouenit ab vno, à quo numero pro ueniet. 40.

Videamus igitur nunc quo pacto hoc re$pondeat cum methodo antiquorum. Ego enim inueni duas po$itiones $criptas à Tartalea pro prima pecunia hoc e$t. 12. et. 14. $ed à. 12. pro primo errore reperi. 8. more antiquo à. 14. verò pro $ecundo er- rore proueniebat. 16. producta autem horum numerorum diametraliter, $unt. 112. et. 192. quorum differentia e$t. 80. pro tertio producto, quo diui$o per differen- tiam errorũ. 8. $cilicet, præbetnobis. 10. pro pecunia quæ$ita, vt etiam ego inueni.

Sed hoc mihi vi$um e$t $ubtilius examinare mea methodo mediante, vtin figu- ra. G. videre e$t, prius enim $uo loco po$uitria producta dicta, deinde duas po$itio nes. 12. et. 14. & quia $ciebam productum. 112. oriri à multiplicatione. 14. cum. 8. ideo po$ui talem numerum. 8. $uo loco diametraliter oppo$ito ei producto. 112. & quia $ciebam etiam productum. 192. na$ci ex. 12. et. 16. ideo $uo loco po$ui hunc numerum. 16. qui e$t maxima differentia inter duos con$equentes ( ita à me $upra nominatos) à qua differentia dempta priori. 8. iam inuenta, reliqua. 8. mihi daba- tur, quã $uo loco notaui, $uo etiã loco $crip$i. 2. differentiam inter 12. et. 14. antecedentium. $ed quia $ciebam eandem proportio nem e$$e inter hanc differentiam & differentiã. 8. huic $uppo$itã, quæ reperitur inter. 12. anteced\-e tem, & $uũ con$equentem; ideo po$ui. 48. pro dicto con$equenti, diui$i po$tea productum. 80. per. 8. differentiam ei diametraliter oppo$itam, vnde prouenit mihi 10. cui ita proportionatus e$t $u<_>9 numerus con$equens. 40. vt. 48. ad. 12. et. 56. ad. 14. exij$dem ra- tionibus à me$upra dictis. In tali igitur figura videntur nu- merinaturaliter corre$pond\-etes ip$is po$itionibus, & hac metho- do po$$umus inuenire tales numeros con$equentes in omnibus alijs exemplis à no- $tris maioribus $criptis.

THEOREM. ARIT.

PRoponitur etiam quoddam vas, cuius pes $it quarta pars totius va$is cum oper culo, pars autem media $ine operculo, $it quinta pars ip$ius pedis, operculum verò. 18. libras pendeat. quæritur nunc quantitas dicti pedis.

Ex methodo enim antiquorum inuentus e$t pes. 4. cum. 14. decimisnonis ta- lium partium, $eu librarum, qualium operculus e$t. 18. Videamus igitur & nos ex no$tra figura, quo pacto hoc re$pondeat veritati.

Inuenta enim $unt tria producta, iã orta ex dicta methodo. 10. 100. 90. quæ $uis locis notaui, vt in $igura. H. $ub$crip$i etiam duas illorum po$itiones. 5. et. 10. cum $ua differentia. 5. & cum productum. 10. oriretur ab vno latere. 10. reliquum erat. 1. quod $uo loco notaui, $imiliter quia. 100. productum, pro vno eius laterum erat. 5. reliquum autem. 20. $uo loco po$ui, & quia differentia inter. 20. et. 1. duo latera, qu{ae} e$t. 19. æqualis e$t ei, quæ inter duo con$equentia duarum po$itionum, etiam $uo loco ip$am con$titui, $ed quia hæc differentia e$t vnum laterum producti. 90. er go reliquum latus quæ$itũ erit. 4. cum. 14. decimisnonis, rectè igitur operatur. $ed cum eadem proportio $it inter differentiam. 5. $uperiorem, et. 19. inferiorem, quæ e$t vnius anteced\-etis ad $uum con$equens, quare. 10. anteced\-es habebit pro $uo con$equenti. 38. et. 5. habebit. 19. et. 4. cum. 14. de- cimisnonis habebit. 18. rectè igi\~t dictum fui$$et $i. 19. prouenit. à. 5. à quo proueniet. 18?

Huiu$modi autem rei ratio ita $e h\-et, e$to linea. a. e. u. cuius pars a. $it quarta reliquarum. e. u. iuncta rum, $ed. e. $it quinta ip$ius. a. Tunc clarum erit quod. e. erit vige$ima dictarum. e. u. quare erit decima- nona ip$ius. u. $ed cũ u. sũpta $it vt. 18. rectè igitur dici pote$t, $i. u: ut. 19. prouenit ab. a. ut quinque, à quot ip$ius. a. proueniet. u. ut. 18.

Quis enim non uidet quod diui $a cum fuerit. u. in partes. 19. quod quinque illarum æquabuntur ip$i. a. cum quælibet fuerit æqualis. e. quintæ parti ip$ius. a.

HAc igitur mea numerorum di$po$itione mediante reperiuntur ip$i numeri in feriores naturaliter con$equentes, corre$pondentes\’que ip$is $uperioribus an tecedentibus; quamuis multoties cõtingere po$$it, ut generationes $eu com- po$itiones ip$orum ignorentur: & quia tam à differentijs errorum, quam ab illis, qu{ae} $unt inter ueros con$equentes numeros ( propter eorum æqualitatem ) elicitur ip$a ueritas, proptereà rectè antiqui illis v$i $unt, quamuis $int potius $en$um $equuti, uel experientiam, quam rationem: quæ quidem ratio pendet ab ip$is na- turalibus numeris con$equentibus ( ut $upra uidimus ) et$i incognitis ut plurimum, quod $i ip$os inuenire primò nobis datum fui$$et, unica tantũmodo po$itio $uffice- IO. BAPT. BENED. ret, mediante ip$a regula de tribus, vt iã ${ae}pius dictũ e$t, quod etiã clarè patet ex di- uer$is problematibus. 17. lib. ip$ius Tartaleæ, vt ex primo, quod a$$ump$imus pro no$tro etiam primo exemplo, ex. 9. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 27. 28. 29. 30. 33. & ex alijs multis, vbi facillimè inue nitur con$equens ip$ius po$itionis, qui quidem nume- rus e$t diui$or producti ip$ius numeri propo$iti in numerum po$itionis, vnde po$teà prouenit $ecundũ latus huiu$modi producti, hoc e$t numerus quæ$itus, per regulã de tribus, vt dixi.

Alia verò multa problemata inueniuntur, pro quorum re@olutione po$$umus ali qua methodo vti, in qua manife$tè pateant eorũ rationes ab$que regula fal$i, cuius regulæ rationes non ita promptè ip$i intellectui $e offerunt, vt $upra vidimus.

Accipiamus pro exemplo. 21. problema ip$ius Tartalæ in dicto. 17. libr. vbi $up- ponit vnum hædum diui$um in. 4. partes, quarum quælibet vendebatur eodem pre cio, interiora vero. 6. denarijs minus quam quælibet dictarum partium, $umma autem omnium i$torum denariorum fuit. 127. quæritur nunc precium cuiu$que partis.

Tale enim problema hoc etiam alio breuiori modo pote$t $olui, vt rationes ma- gis pateant, quam ex regula fal$i.

Nam $i illi numero. 127. denariorum, additus fuerit numerus. 6. $umma erit. 133. qua diui$a per quinque, illico proueniet. 26. cum tribusquintis pro precio vniu$cu- iu$que quatuor partium, à quo. 26. cum tribusquintis dempto. 6. remanebit. 20. cum tribusquintis pro precio interiorum.

Simili modo in. 24. problemate inquit.

Duodecim pyra cum. 28. pomis venduntur. 36. denarijs, et. 20. pyra. cum. 200 po mis v\-eduntur. 44. denarijs, quæri\~t nunc, quod nã fuerit preciũ vniu$cuiu$q; illorum.

Hoc etiam problema, hac alia methodo $olui pote$t, dicendo exregula de tribus, $i ex. 20. vtrorunque qui ea vendit, vult. 44. quid volet ex. 12? manife$tũ erit quod volet. 26. cum duobus quintis, quare. 12. pyra cum. 12. pomis valebunt. 26. cum duo bus quintis, $ed 12. cum. 28. pomis valebant. 36. ergo. 16. poma $ola valebunt. 9. cum tribus quintis, hoc enim clarè ex $e patet; quare cum dixerimus, $i. 16. poma $o la valent. 9. cum tribusquintis, vnum valebit. o. cum tribusquintis, $ed quemadmo- dum. 20. pyra cum. 20. pomis valent. 44. vnum pyrum, cum vno pomo valebunt. 2. cum quinta parte, à quo numero detractus cum fuerit. o. cum tribus quintis, precio $cilicet vnius pomi, reliquum. 1. cum tribusquintis, erit precium vnius pyri.

Idem etiam dico de. 28. problemate, vbi $upponit quod quidam compara$$et quatuor petias, vt vulgo dicitur, panni pro ducatis. 96. quarum primæ precium ob- litus $it, $ed memoria tenet pro $ecunda $olui$$e. 6. plusquam pro prima, & pro ter- tia $olui$$e. 8. plus quam pro $ecunda, & pro quarta $olui$$e. 10. plus quam pro ter- tia, quæritur nunc quantum fuerit precium vniu$cuiu$que illarum.

Quod quid\-e problema breuius e$$etita $olui, vt in $ub$cripta figura. I. videri pote$t, add\-edo $imul omnes exce$$us. Nam exce$$us $ecũ dæ $upra primam e$t. 6. $ed cum exce$$us tertiæ $upra $e cundam $it. 8. ergo exce$$us tertiæ $upra primam erit. 14 THEOREM. ARIT. $ed exce$$us quartæ $upra tertiam e$t. 10. vnde $upra $ecundam erit. 18. & $upra pri- mam erit. 24. quæ omnia $imul addita erunt. 44. & in qualibet harum trium remane- bit una pars æqualis primæ quantitati, quare $i ex. 96. detractus fuerit numerus. 44. reliquus 52. erit quadruplus primæ, quare prima pars valebit. 13. $ecunda. 19. ter- tia. 27. & quarta. 37. quarum omnium $umma e$t. 96.

EX po$itionibus autem Tartaleæ in no$tra figura. K. dige$tis, videre po$$umus quo pacto colligãtur huiu$ modi con$equ\-etes numeri $impli- ces. 36. et. 52. more figuræ. E. quia colliguntur primò partes compo$i tæ. 9. 15. 23. 33. ex quarum $umma 80. $ubtrahitur. 36. $umma $im- plex ex $implicibus partibus. 9. 9. 9. 9. & re$iduũ quod e$t. 44. $ubdu citur ex. 96. $umma compo$ita & propo$ita, vnde remanet. 52. pro $umma $implici, ex numero dato, cuius proportio ad. 13. eadem e$t quæ. 36 ad. 9. & proptereà $uper- flua e$t $ecunda po$itio, quãdo $ci mus inuenire tales duos numeros con$equentes, vt in hoc exemplo $unt. 36. et. 52. quia ex regula de tribus po$teà elicitur veritas quæ- $ita. Id\-e dico de 33. problemate.

PRO quo. 33. problemate acci piantur po$itiones primi ex\-e pli Ton$talli hoc e$t. 33. et. 31. vt in figuris hic $ubiectis. P. Q. facile quis pote$t vi- dere, vbi in figura P. videbit nume- ros compo$itos, in figura verò. Q. cer net numeros $implices, à quibus pro ueniunt rationes per $e huia$modi operationis, in figura autem. R. vide bitur meus ordo, & i$tæ tres figuræ $i miles erũt tribus illis primis. A. B. C. ita quòd cum quis illas intellexerit, il lico etiam i$tas cogno$cet, vbi etiã videbit quam confusè ratiocin\-etur ij qui ignorant hunc meum ordinem $implicium numerorũ, à quibus fluit tota ratio (vt $upra dixi) huiu$cemo di operationis.

IO. BAPT. BENED.

I Dem etiam pote$t dici de. 15. problemate ($icut de alijs multis) vbi ponit tres homines habentes. 40. aureos quorum primus habet duas quintas partes $ecun- di, $ecũdus verò quinq; octauas tertij, quæri\~t nũc quot ducatos habeat vnu$qui$que.

Quis non videt quæ$o, {quis} omnes partes erunt. 15. quare cum dixerimus $i. 15. dat nobis. 2. (pro prima portione primi hominis) quid dabit. 40? vnde nobis proueniet 5. cum tertia parte.

Et de. 29. $imiliter a$$ero, vbi ponit aliũ emi$$e tria fru$ta panni pro ducatis. 48. quarum $ecundam habuit pro dimidio precio primæ, tertiam autem pro quarta parte ip$ius $ecundæ, quare omnes partes erunt. 13. quapropter precium tertiæ pe- tiæ erit tertiadecima pars ip$ius. 48. hoc e$t. 3. cum. 9. tertijs decimis.

Adhuc duo exempla videtur mihi proponere, quorum primum e$t. 38. eiu$dem lib. vbi $upponitur operarium quendam velle perficere opus quoddam $pacio die- rum. 36. tali pacto, quod qualibet die, in qua ip$e operaturus $it lucretur $olidos. 16. qualibet verò die, in qua nihil agat perdat $olidos. 24. Tunc accidit, vt exacto termino perfecto\’q; opere, tantum lucratus $it, quantum perdiderit. Quæritur nũc quot fuerint dies lucri, quotúe perditionis.

Huiu$modi problematis operatio breui$$ima ab$que vlla fal$a po$itione ita erit, hoc e$t diuidendo productum. 36. in. 24. per. 40. ide$t per aggregatum ip$ius. 24. cũ 16. & prouentus erit. 21. cum tribus quintis pro diebus lucri, vnde reliquum ex. 36. erit. 14. cum duabus quintis pro diebus perditionis.

Cuius operationis ratio ex $e $atis patet, cum duo producta, vnum lucri, alterum vero perditio- nis æqualia e$$e debeant, vnde ex duodecima, & vige$ima$epti mi ex regula de tribus reperiun tur partes ip$ius 36. eodem mo- THEOR. ARITH. do $e inuicem habentes, vt. 24. et. 16. quæ $unt. 21. cum tribus quintis, et. 14. cũ dua bus quintis, ex quo $equitur, vt quod fit ex. 21. cum tribus quintis, in 16. {ae}quale $it ei quod fit ex. 14 cum duabus quintis, in. 24. & ita reperiuntur duo producta æqualia, vnum lucri, reliquum vero perditionis, vt in figura. M. clarè videtur.

A Liud verò exemplum e$t. 39. quod quidem à $uperiori non differt, ni$i quod in fine operationis, operarius dictus lucratus e$t $olidos. 60: qu{ae}ritur nũc vt $u- pra, quot fuerunt dies lucri, & quot perditionis.

Hoc etiam ab$que vlla fal$a po$itione dicto citius pote$t $olui, hoc modo, diuid\-e do $cilicet illos. 60 $olidos per. 40. ide$t per aggregatum. 24. cum. 16. proueniens autem, quod erit. 1. cum dimidio, adde ad latus $uperius inuentum, hoc e$t. 21. cum tribus quintis, & $unima erit. 23. cum decima parte pro numero dierum lucri, dein- de idem prouentum deme ex alio latere $uperius reperto. 14. cum duabus quintis, & refiduum erit. 12. cum nouem decimis, vnde habebis numerum dierum perdi- tionis.

Pro cuius rei $peculatione cogitemus in figura. N. duo dicta producta inuicem æqualia. o. b. et. n. c. exi$tente latere. u. c. vt. 24. u. o. ut. 16: b. u. vt. 21. cum tribus quin tis, et. u. n. vt. 14. cum duabus quintis. Nunc verò $i mente concepta fuerit recta. e. a. t. æquidi$tans. o. c. ita vt rectangulum. o. e. $it. 60. tunc rectangulum, $eu productum b. t. $uperabit rectangulum $eu productum. n. e. per idem. 60. ex communi conceptu, eo quòd ex producto. n. c. $ublatum e$t productum. a. c. 24. & producto. o. b. additum e$t productum e. a. 16. rectè igitur feci cum diui$erim. 60 per. 40. vnde prouenit mi hi. u. a. ide$t. 1. cum dimidio, quod additum ip$i. b. u. compo$uit. b. a. & dempto ex. u. n. relinquit. a. n. pro lateribus duorum productorum. b. t. et. n. e.

Sed $i idem operator perdidi$$et. 60. tunc cogitaremus parallelam dictam. e. a. t $uperius ductam e$$e ita vt $ecaret. b. u. & non. u. n. vnde adderet. 24. ip$i producto. n. c. & d@meret. 16. à producto. b. o.

CIRCA verò talia quæ$ita videtur mihi non inutile fore $i aliquid notatu di- gnum aduerterim, hoc e$t quod $æpe accidere poterit ut ca$us impo$$ibiles proponantur. Quemadmodum $i aliquis diceret, cupio mihi ue$timentum con- ficere ex duobus pannis colore & pretio differentibus, quorum unus exempli gra- IO. BAPT. BENED. tia $it albus, rubeus uerò alter, deinde albus $it pretij. 40. $olidorum uniu$cuiu$- que cubiti, rubeusuerò precij. 50. uellem\’que omnes cubitos e$$e. 8. nec plus nec minus. Vellem etiam $oluere $olidos 450. neque minus.

Hic igitur ca$us impo$$ibilis e$t, eo quòd. 8. cubiti totius rubei e$$ent precij $o- lidorum. 400. tantummodo, unde ex alio panno albo minoris precij $umere ali- quid non po$$umus.

Idem etiam eueniret $i uolui$$et $oluere $olidos. 320. neque plus, eo quòd. 8. cu- biti illius minoris precij, hoc e$t. 40. $olidorum, e$sent ualoris. 320. $olidorum tan tummodo, quare pro alio panno nullus e$set locus. Animaduertendum igitur erit quod numerus po$$ibilis ad $oluendum tale quæ$itum erit inter. 400. et. 320. & non extra i$tos terminos, vt vnicuique patere pote$t.

Similiter idem in hoc alio ca$u accidere poterit, ut $i quis diceret.

Emi quinque petias panni pro aureis. 55. pretium tamen primæ oblitus $um, $ed memoria teneo, quòd $ecunda altioris pretij erat quam ip$a prima per. 4. & ter- tia precio$ior $ecunda per. 7. et quarta carior tertia per. 9. quinta verò $uperabat quartam per. 2.

Hic etiam reperitur impo$$ibilitas quædam, eo quòd aggregatum omnium ha- rum rerum, dato etiam quòd pro prima nihil $olutum e$$et, $uperat aureos. 55 quòd quidem nullo pacto fieri pote$t, vt veri $int $upra dicti exce$sus, $i verus e$t numerus totalis aureorum. 55. Nam. 4. cum. 7. faciunt. 11. qui quidem. 11. cum. 9. efficiunt. 20. & hic cum. 2. facit. 22. $ed. 22. cum. 20. et. 11. et. 4. dant. 57. qui numerus maior e$t quam. 55.

FINIS THEOREM. ARIT. DE RATIONIBVS OPERATIONVM PERSPECTIV AE. CAP. I.

CVM nullus adhuc (quod $ciam) veras internas\’q cau$as operationis per$pectiuæ per$ectè docuerit, operæpre- cium exi$timaui aliquã de ijs di$putationem $u$cipere.

Multi enim eorũ, qui huiu$modi operationis regulas præ$cribunt, cum eius effectuum veras cau$as igno- rent, varios diuer$os\’q; errores committunt, vt exempli gratia in $ub$cripta figura $uperficiali. A. volentes degra dare (vt dicunt) rectangulum. q. a. in triangulo. i. d. q. du- cunt parallelã ip$i. q. d. à puncto. B. inter$ecationis lineæ- o. l. cum latere. i. d. trianguli, & (idem) indifferenter, ean- dem quoque à puncto. Z. inter$ecationis ip$ius. o. l. cum perpendiculari. x. i. ducunt. ne$cientes hunc $olum e$$e verum modum, n onitem alium, quia $i alius, talis e$$et, hic, verus non exi$teret, nam $i vellent $e$e excu$ are, quòd ducendo dictam paralle- lam à puncto. B. hoc fiat præ$upponendo planum ip$ius. i. d. q. ver$us rectangulum. q. a. orizontale inclinatum, $ecundum angulum. i. d. q. hæc excu$atio accipien- da non e$$et, quia horum con$en$u, præ$upponendo planum. i. d. q. inclinatum, anguli inferiores rectanguli degradati, non tam acuti, quam $unt duo. i. d. q. et. i. q. d. e$$e deberent, quod facilè eorum ratione innote$cet, quæ de figura corporea. A. hîc $ub$cripta mox proponam, præter id, quòd volentes deinde a$picere qua- dratum degradatum, oporteret huiu$modi planum re$pectu oculi ita collocare, quemadmodum $e habet linea. i. d. re$pectu. o. quod factu nimis arduum e$$et.

Vera igitur ratio erit ducere parallelam. e. r. ad. q. d. à puncto. Z. communi ip- $is. o. l. et. x. i. perpendiculari ip$i. l. p.

IO. BAPT. BENED.

Pro cuius rei $peculatione imaginemur in figura corporea. A: q. a. e$$e figuram re- ctangulam orizontalem\’q; ad degradandam $uper aliquod planum perpendiculare orizonti, & cum eo primum coniunctam in linea. q. d. cuius plani triangulum. i. q. d. pars erit, $it autem oculus re$picientis. o. cuius altitudo. o. p. ab orizonte, qui quid\-e con$picit rectangulum dictum orizontale. q. a. in pyramide. o. q: o. u: o. a. et. o. d. terminata quatuor triangulis. o. q. u: o. u. a: o. a. d. et. o. d. q. $it verò primum ita collocatus pes. p. eius qui re$picit, vt linea. p. l. perpendicularis ip$i. u. a. lateri re- ctanguli, medio loco po$ita $it, inter. a. n. et. u. s. Id\’q; primum nobis erit exem- plum.

Imaginemur nunc lineas. u. q. et. a. d. indefinitè productas e$$e, quæ in $uperficie- bus duorum triangulorum. o. u. q. et. o. a. d. & rectanguli orizontalis. q. a. ex prima vndecimi Euclid. po$itæ erunt. Imaginemur etiam lineam. p. s. n. perpendicula- rem ip$i. p. l. quæ etiam cum duabus. u. q. s. et. a. d. n. ex. 34. primi Euclid. angulos rectos con$tituet, cum ex. 28. duæ. u. q. s. et. a. d. n. $int parallelæ ip$i. p. l. et. s. n. ip$i. u. a. & quia $upponitur. o. p. perpendicularis plano orizontali, Angulus ergò. o. p. l. re- ctus erit ex $ecunda definitione. 11. Euclid. Imaginemur quoque ductas e$$e duas. o. s. et. o. n. vnde. l. p. ei $uperficiei, in qua $unt duæ lineæ. o. p. et. s. n. ex. 4. 11. perpendicularis erit, & $uperficies orizontalis. a. s. perpendicularis erit cum dicta o. s. n. ex. 18. eiu$dem lib. vnde ex dicta definitione. o. s. u. et. o. n. a. erunt anguli recti et. o. s. et. o. n. ex communi $cientia, in $uperficiebus duorum triangulorum. o. u. q. et. o. a. d. erunt, $i noluerimus cogere aduer$arium ad confitendum duas lineas rectas in- cludere $uperficiem, quemadmodum cogere- tur facere, $i opinaretur duas alias rectas per eadem puncta. o. s. n. tran$ire, quæ$unt in di- ctis $uperficiebus. Vnde. o. s. et. o. n. communes erunt $ectiones duarum dictarum $uperficierũ cum $uperficie. o. s. n. Imaginemur nunc has duas $uperficies. o. u. et. o. a. quarum commu- nis $ectio $it. o. t. (quæ erit linea recta ex. 3. lib. II.) quæ erunt perpendiculares $uperficiei. o. s. n. ex. 4. et. 14. iam dictis. & ex. 19. eiu$dem o. t. perpendicularis eidem $uperficiei. o. s. n. erit, & ex. 6. eiu$dem hæc linea. o. t. duabus. u. q. s. et. a. d. n. parallela exi$ter, & ex. 9. eiu$dem hæc linea. o. t. duabus. u. q. s. et. a. d. n. parallela exi$tet, & ex eadem. 9. erit parallela ip$i. p. l. Imaginemur nunc planum, $uper quod de$ide remus videre quadrangulum orizontale, quod planum, exempli gratia, $it primo, vt iam dixi- mus, locatum in linea. q. d. ad angulos rectos cum plano orizontali, cuius communes $ectio nes cum $uperficiebus. s. t. et. n. t. vi$ionis la- terum. u. q. et. a. d. $int. i. q. et. i. d. & com- munis $ectio trianguli. o. u. a. ide$t vi$ionis lateris. a. u. cum dicto plano, $it. r. e. Vnde ex communi $cientia rectangulum orizontale, oculo. o. $eip$um patefaciet in plano. i. q. d. $e- DE PERSPECT. cundum figuram quadrilateram. q. d. r. e. Communis autem $ectio $uperficiei. p. t. cum dicto plano, $it. i. x. quæ. i. x. perpendicularis erit. s. a. $uperficiei orizontali ex 19. lib. 11. quia. p. t. e$t etiam orizonti perpendicularis ex. 18. eiu$dem, cum. o. p. ei- dem perpendicularis exi$tat. Vnde. i. x. erit altitudo trianguli. i. q. d. & æqualis ip$i. o. p. ex. 34. primi. Sit deinde. o. l. cõmunis $ectio $uperficiei triangularis. o. a. u. cũ $uperficie. p. t. quæ. o. l. $ecando lineam. e. r. in puncto. Z. nobis o$tendet quantum di- $tare $eu eminens e$$e debeat latus. e. r. in plano ab. q. d. medio ip$ius. z. x. Et quia præ$uppo$uimus. p. l. in eodem medio, inter. u. s. et. a. n. ideo. x. q. {ae}qualis erit. x. d. & ex. 4. lib. primi. i. q. ip$i. i. d. et. e. r. parallela ip$i. q. d. ex. 6. lib. 11. cum ip$a quoque $it perpendicularis $uperficiei. p. t. ex. 19. eiu$dem. Hucu$que igitur in figura cor- porea. A. prodeunt in lucem omnes cau$æ effectuum figuræ $uperficialis. A. ide$t vn de fiat, vt in ip$a figura $uperficiali, triangulum. o. p. l. tale con$urgat, & quid $ignifi- cet. o. et. o. p. et. p. l. et. o. l. & quam ob cau$am tale quoque formetur triangulum. i. q. d. atque in tantam altitudinem, quantam obtinet. o. p. & quid $int latera. i. q. et. i. d. & quare erigatur. x. i. parallela ip$i. p. o. ab eadem. p. o. tanto $patio di$tans, & qua ratione producatur à puncto. Z. ip$a. Z. r. e. parallela ip$i. q. d.

Nunc ob$eruandum e$t, quòd $i planum ip$ius. i. q. d. in figura corporea aliquan- tulum inclinatum e$$et orizontem ver$us, anguli. i. q. d. et. i. d. q. maiores exi$terent, quàm cum idem e$t ip$i orizonti perpendiculare, quemadmodum clarè demon$tra- tum fuit in. 39. primi Vitelionis.

Non igitur rectè fit $i in figura $uperficiali ducatur à puncto. B. parallela ip$i. q. d. ab$que maiori apertura angulorum. i. q. d. et. i. d. q.

SVPERFICIALIS. CAP. II.

CVM verò duæ præcedentes figuræ intellectæ erunt, facilè quoque erit intel- ligere duas $ub$equentes. B. B. in corporea quarum. p. l. extra lineas. u. s. et. a. n. reperitur, vbi enim aduertendum erit oportere $umere $emper. p. x. figuræ $uperfi- cialis æqualem ei, quæ e$t corporeæ, & eidem $uperficiali, adiungere. x. d. æqualem ei, quæ e$t corporeæ, & compo$ito. p. d. ex dictis duabus lineis, in figura $uperficiali, addere. d. q. æqualem ei, quæ e$t figuræ corporeæ, deinde accipere punctum. l. in fu- perficiali IO. BAPT. BENED. perficiali, ita di$tans à. p. vt in corporea reperitur. Po- CORPOREA. $teà. x. i. erigetur æqualis lineæ. p. o. & $uis terminis concludetur triangulum. i. q. d. & id quod remanet. Vnde $i longius di$erendo progrediare, patebit ex. 4. primi. i. d. $uperficialem, futuram æqualem. i. d. corporeæ. Idem dico de. i. q. & de reliquis.

SVPERFICIALIS. CAP. III.

MODVS hic, proprius e$t, & vniuer$alis, licet in figura $uperficiali. A. $upe- rius po$ita, $ecundum communem antiquorum con$uetudinem exemplum dederim, effectus enim idem e$t. Sed $i quis vellet con$iderare dictam figuram $u- perficialem. A. $ecundum eum modum, quem de figura. B. $uperficiali pr{ae}$crip$i, id poterit in $ub$cripta figura. C. $peculari in hunc modum. Accipiet enim. p. x. $uper ficialem, æqualem corporeæ, & quia in ip$a corporea. A. $uppo$ita fuit linea. p. l. ide$t punctum. x. inter duas. u. s. et. a. n. $ecabimus. p. x. $uperficialem in puncto. d. ita, vt. d. x. $uperficialis, æqualis $it corporeæ, & ip$i $uperficiali. p. x. addetur. x. q. æqualis corporeæ. vnde. q. d. $uperfi- cialis æqualis erit corpore{ae}, SVPERFICIALIS. et. p. x. $uperficiali addetur. x. l. æqualis corporeæ. De ijs po$tea quæ dicenda $uper- $unt, iam $atis $uper\’que di- ximus.

Quamobrem, punctum. x. aut intra, aut extra lineam. q. d. veniat, hunc modum $e- quentes, in errorem non in- cidemus, imò efficietur qua - drilaterum. q. r. $uperficiale, $imile, & æquale corporeo.

CAP. IIII.

PVNCTVM verò. i. (quod verum e$t punctum per$pectiuæ, vt practici dicere $o lent) quid $it, hac via & ratione $ub no$tram cognitionem cadit: quòd nihil DE PERSPECT. aliud e$t, quàm punctum, varijs $ectionibus commune, & huiu$modi punctum, ocu lus non e$t, quemadmodum multi Pictores, Sculptores, Architecti, & Per$pectiui ignari, ip$um punctum, oculum appellando, falsò crediderunt, qua$i punctũ. i. per- $pectiuæ oculus e$$et.

In $upradictis igitur figuris manife$te eluce$cit cau$a diminutionis obiectorum, & altitudinis trianguli æqualis ei, quæ e$t oculi à plano orizontali, vt etiam di$tanti{ae}. p. l. p. x. & cuiu$uis tandem rei. Sed vt huius effectus $cientia magis in vniuer$um pa- retur. Volo duas hic $ub$criptas figuras. D. corpoream, &. D. $uperficialem à vo- bis con$iderari, in quarum corporea, linea. p. l. $it extra duas. u. s. et. a. n. vt in figu- ra. B. locata, ita tamen vt planum trianguli. i. q. d. di$iunctum $it à rectangulo $uper- ficiali, ide$t, vt $eparatum exi$tat à linea. q. d. latere ip$ius rectanguli, & $it etiam obli quum, re$pectu ip$ius rectanguli, ide$t vt communis $ectio dicti plani cum $uperficie a. s. orizontalis ip$i. u. a. parallela non $it, $ed $it obliqua, $i tamen idem planuni per- pendiculare dictæ $uperficiei orizontali. a. s. erit: & dicta communis $ectio exprima tur characteribus. q. ω. α. d. x. nunc in figura corporea habebimus figuram. e. r. c. m. in plano, quod vi$ualem pyramidem $ecat, medio cuius figuræ. e. r. c. m. oculus po- $itus in. o. rectangulum orizontale con$picit. Volentes vero nunc in figura. D. $uper- ficiali eam de$cribere, faciem us. p. x. $uperficialem, æqualem corporeæ, ei\’que addemus. x. l. æqualem corporeæ, aut $umemus. p. l. eidem corporeæ {ae}qua- lem, quam $ecabimus in puncto. x. eodem planè modo, quo corporea reperi- tur diui$a; erigemus deinde. p. o. et. x. i. æquales corporeis. Secabimus deinde. x. q. æqualem corporeæ, & ducemus. q. i. et. l. o. vnde habebimus triangulos. o. p. l. et. i. x. q. $imiles & æquales corporeis ex. 4. primi Eucli. Secabimus deinde. q. x. in pun- cto. d. eadem ratione, qua $ecta fuit corporea, & ducemus lineam. d i. vnde habebi- mus triangulos. i. d. q. et. i. d. x. $imiles corporeis. & mediante triangulo. i. q. d. hu- CORPOREA. cu$que habebimus $itus duorum laterum figur{ae} rectanguli degradati, ide$t $itus ip$ius. e. m. et. r. c. etiam $i adhuc ne$ciatur in qua parte ip$ius. i. q. & ip$ius. i. d. e$$e debeãt. Quod $i $cire volue rimus $ecabi\~t. p. l. in pũcto. g. $imilis corporeæ, $i in ip$a tamen corporea prius protraxerimus lineam. q. d. latus rectanguli v$que ad. p. l. in pun cto. g. Ducetur deinde linea. o. g. $uperficialis, quæ $ecabit lineam. i. x. in puncto. f. linea vero. o. l. in puncto. z. punctis $itis in. i. x. $uperficiali, pr{ae}cisè vt in corporea, quemadmodũ quilibet ex $e facilè cogno$cere pote$t. Deinde in cor porea, in $uperficie orizontali ducatur. p. q. et. SVPERFICIALIS. 10. BAPT. BENED. p. u. & imaginemur. o. q. in $uperficie. t. s. vnde trianguli. o. p. q. et. o. p. u. erunt perpen diculares orizonti ex. 18. lib. 11. et. ω. m. et. α. e. communes $ectiones dictorum duorũ triangulorum cum plano trianguli. i. q. x. ip$i quoque plano ex. 19. eiu$dem lib. erunt perpendiculares. Nuncautem $ecetur. q. x. $uperficialis in punctis. ω. et. α. eadem ra- tione; qua corporea $ecta $uit à duabus. p. q. et. p. u. à quibus punctis. ω. et. α. $uperficia libus ductæ $int duæ ω. m. et. α. e. perpendiculares v$que ad latus. i. q. in punctis. m. et. e. qu{ae} $itum habebunt in. i. q. $uperficiali pr{ae}cisè, vt in corporea, ex. 26. primi, du- cendo deinde in $uperficiali duas. m. f. et. e. Z. eæ æquales erunt corporeis ex. 4. pri- mi, & $ic anguli. i. e. z. et. i. m. f. & e{ae} du{ae} line{ae}. e. z. et. m. f. fect{ae} erunt à linea. i. d. in duo CORPOREA. bus punctis. r. et. c. vnde. e. r. et. m. c. æquales erunt corporeis ex. 26. primi, $ed ita quo- que $e habent du{ae}. e. m. et. r. c. $i verum e$t {quis} dif ferenti{ae} rerum æqualium $int adinuicem etiam æquales. Hac ratione igitur habebimus figu- ram quadrilateram. m. e. r. c. $uperficialem om ninò $inlilem, & {ae}qualem corporeæ. Is tamen modus prolixus e$t, & arduus, quam ob cau- $am neque ego vnquam eũ viui accommo- darem, neque alijs, vt eodem vterentur $ua- derem.

SVPERFICIALIS. CAP. V.

ES igitur $ciendum, quòd qui $ciuerit vnum $olum punctum locare in per$pe ctiua, eo modo quem nunc proponam, facilè quoque $ciet $upra quoduis planũ (quod tamen $it perpendiculare orizonti) quamlibet rem locare. Quam ob cau$am imaginemur hic $ub$criptas duas figuras. E. corporeã, & E. $uperficialem, & in qua- drilatero rectangulo orizontali. a. u. q. d. imaginemur e$$e punctum. b. quodlibet col- locandum in aliquo plano perpendiculari orizonti locato, quemadmodum $uppo- nebatur in figura. A. corporea. Imaginemur ergo in ip$a figura. E. corporea radi- um vi$ualem. o. b. qui $ectus $it à no$tro plano in. k. quod quidem. k. quærendum e$t in triangulo. i. q. d. ip$ius plani. Volo ob hanc igitur rem, vt à puncto. b. in figura. E. $uperficiali ducatur. b. c. ad rectos cũ. q. d. & à puncto. c. ad. i. ducatur linea. c. i. et. b. m. parallela ip$i. q. d. qu{ae} ab ip$a. x. l. in puncto. m. erit diui$a, & h{ae}c. x. m. è directo con- iuncta cum. p. x. ducatur. o. m. quæ ab. i. x. $ecta erit in puncto. f. à quo ducendo dein- de. f. g. h. parallela. q. d. ab. i. c. in puncto. K. erit diui$a. Atque id erit quod nobis inquirendum propo$ueramus.

DE PERSPECT.

Ad cuius rei $peculation\-e, imaginatione con CORPOREA. cipiamus lineam. b. c. corpoream, protractam e$ $e v$que ad. y. lineæ. s. n. & imaginatione $it com præh\-e$a linea. y. o. et. b. R. parallela eidem, ideo ob rationes iam dictas de figura. A. hæ tres li- neæ. o. y: i. c: et. R. b. $imul cum linea. o. b. erunt in vna eadem\’que $uperficie plana, quam cha- racteribus. y. R. notemus. et. i. c. eius erit $e- ctio communis cum plano, in quo quæritur pũ- ctum, et. f. k. ip$ius plani cum triangulo. o. b. m. erit $ectio communis, & parallela ip$i. q. d. ex. 6. lib. 11. quia. k. f. perpendicularis e$t $uperfi- ciei. p. t. ex. 19. eiu$dem cum triangulus. o. b. m. eidem $uperficiei. p. t. ex. 18. eiu$dem perpendicularis exi$tat. Vnde per$picuè pa- tet ratio quare protracta $it parallela. b. c. et quare ducta $it. i. c. et coniuncta. x. m. cum. x. p. directè, & quare ducta $it. o. m. et. f. k. Lau- do igitur vt $emper præ$upponatur. p. x. perpen dicularis ba$i ip$ius plani & præ$upponatur, (vt rem totam vnò verbo complectar) $uperficies. p. t. perpendicularis plano, & orizonti. Quod reliquum e$t, nece$$arivm non e$t, ni$i ad $pe- culandum. Nece$$ariæ ergo non $unt aliæli- neæ, quàm. p. x: p. o. x. i: b. c: et. x. m. è dire- cto coniuncta cum. p. x. (quæ. x. m. coniuncta æqualis SVPERFICIALIS. 10. BAPT. BENED. æqualis $it ip$i. b. c.) o.m. etiam. i. c: et. f. k. vt in figura. F. cla ri$$imè patet. Alias aut\-e multas lineas in alijs figuris non aliã ob cãm duxi, quã ad facilius eru\-edas è te- nebris ignorantiæ, & in cognitionis lucem proferendas horum effectuum cau$as, vt dixi.

CAP. VI.

SED vtlocum altitudinis, in no$tro plano perpendiculari orizonti, & ita locatũ, vt po$tremo diximus, inueniamus; duas hîc $ub$criptas figuras con$iderabimus. G. corpoream, & G. $uperficialem, $imiles duabus. E. E. proximè præcedentibus, in quarum corporea $it linea. b. M. altitudinis perpendicularis orizonti. Quare $i de$iderabis inuenire in no$tro plano $itum puncti. M. ide$t punctum radij. o. M. vi- $ualis in quo ip$e radius à plano e$t diui$us, quod $it. R. quamuis extra triangulũ i. q. d. tibi imaginatione confige ductam e$$e lineam. p. b. quæ erit $ectio commu- nis orizontis cum $uperficie. o. p. b. M. quæ $uperficies erit perpendicularis ip$i ori- zonti ex. 18. lib 11. Quòd autemnon minus. o. p. quàm. M. b. $it in vna eadem\’que $uperficie dubitandum non e$t, quia $i imaginabimur ductam e$$e lineam. p. M. ha bebimus triangulum. o. p. b. cum triangulo. M. b. p. communibus partibus in vna ea- dem\’que $uperficie con$tantem, vt triangulum quoque. o. p. M. cum triangulo M. b. o & triangulum. o. p. b. cum triangulo. o. p. M. & triangulum. M. b. p. cum triangulo. M. b. o. Vnde cum quilibet triangulus in vnica tantum $uperficie $it ex. 2. lib. 11. $e- quetur $uperficiem. o. p. b. M. planam e$$e, & vnicam, cuius communis $ectio cum no- $tro plano $it. θ. K. R. quæ perpendicularis orizonti exi$tet ex. 19. lib. 11. erit\’que pa- rallela ip$i. i. x. ex. 6. eiu$dem. Imaginare nunc erectam e$$e. m. T. æqualem ip$i. b. M. orizonti perpendicularem, quæ exten$a erit in $uperficie. p. t. quod ex $e ad con$iderandum admodum facilè, clarum\’que exi$tit, reducendo ad impo$$ibilia quemlibet hæc negare volentem. Imaginemur quoque ductam e$$e lineam. M. T. quæ. b. m. ex. 33. primi erit parallela, quia. m. T. {ae}qualis. b. M. parallela e$t ip$i. b. M. ex. 6. lib. 11. præter hæc. b. m. parallela e$t ip$i. q. d. quia $ic fuit ducta $uperius, vnde. M. T. parallela erit ip$i. q. d. ex. 9. vndecimi, & obid perpendi- cularis erit $uperficiei. b. t. ex. 8. eiu$dem. Nunc $it. R. V. communis $ectio trian- guli. o. M. T. cum no$tro plano, vnde. R. V. perpendicularis erit $uperficiei. p. t. ex. 19. lib. 11. quam ob cau$am parallela erit ip$i. q. d. ex. 6. aut ex. 9. eiu$dem quia ex. 6. dicta, parallela e$t ip$i. M. T. At$i. R. V. parallela e$t ip$i. q. d. etiam. f. K. probatum iam fuit parallelam e$$e eidem, ergo. R. V. parallela erit ip$i. K. f. ex. 30. primi, Vnde ex. 34. æqualis erit ip$i. K. f. Accedamus nunc ad figurã. G. extructã $upra figuram. E. $uperficialem, & erigamus. m. T. perpendi- cularem ip$i. m. p. $ed æqualem perfectæ altitudini, & ducamus. T. o. vt $ecet li- neam. i. x. in puncto. V. ab ip$o ducentes. V. R. parallelam ip$i. q. d. ducendo de- DE PERSPECT. inde. k. R. parallelam ip$i. i. a. habebimus altitudinem. k. R. quam quærebamus in no$tro plano. Quod cum $ui natura clarum euadat, laborem ratiocinandi de eo, CORPOREA. cuilibet vel mediocriter in præclari$$ima hac $cien- tia erudito relinquo. ide$t, vt probetur. k. R. $u- perficial\-e, æqual\-e e$$e corporeæ. Sed toll\-edo $uper- fluitat\-e linearum, & hoc accõmodantes vt in figura. F. diligenter con$ideretur figura. H.

SVPERFICIALIS. CAP. VII. SVPERFICIALIS 10. BAPT. BENED. CAP. VII.

ALiarn tamen inueni viam breuiorem vt in figura. H. H. in qua $it punctus. b. perfecti, &. k. degradati plani. Nunc ducatur. b. c. s. ad rectos cum. p. m. indefinitè, quæ quidem ab$cindatur in puncto. s. ita quòd. c. s. æqualis $it alti tudini perfectæ, deinde coniungatur rectà. s. cum. i. Tunc $i ab. k. v$que ad protractã i. s. ducta fuerit. k. R. parallela li- ne{ae}. c. s. hæc. R. k. erit altitudo quæ$ita $eu degradata.

Quod ita probo. Iam nulli du bium e$t quin. f. V. $it æqualis alti- tudini qu{ae}$itæ $eu degradat{ae}, quo tie$cunq; ergo {pro}bauerimus. k. R. æqualem e$$e lineæ. f. V. habebi- mus propo$itum. Quare certum nobis erit eandem proportionem e$$e lineæ. c. s. ad. k. R. quam. c. i. ad k. i. et. c. i. ad. k. i. vt. x. i. ad. f. i. et. x. i. ad. f. i. vt. m. o. ad. f. o. et. m. o. ad. f. o. vt. m. T. ad. f. V. ex $imilitudine triangulorum. Ergo. m. T. ad. f. V. erit vt. c. s. ad. k. R. ex. 11. quinti, $ed. c. s. $umpta fuit æqualis. m. T. quare. c. s. ad. f. V. erit, vt. m. T. ad eãd\-e. f. V. ex. 7. <003>nti, & ex. 11. eiu$- dem. c. s. ad. f. V. erit vt. c. s. ad. k. R. quapropter ex. 9. eiu$dem. k. R. æqualis erit. f. V.

CAP. VIII.

MOdus ab antiquis philo$ophis ob$eruatus, e$t etiam vtilis, compendio$a\’q; via progreditur, cuius $peculationem, in $ub$cripta figura, quadam ex parte $ecũ- dum morem antiquum, quadam etiam ex parte $ecundum ingenij mei vires cõ$tru- cta, cogno$cemus. In qua ego diui$i. x. i. in puncto. s. ab. x. ita eleuato, quanta e$t DE PERSPECT. vera altitudo ip$ius. M. T. et I. s. duxi $upponendo e$$e. I. punctũ p$pectiuæ $ecundũ antiquos, ide$t angulum $upremum trianguli antiquorum à puncto\’que. k. meo duxi k. f. parallelam ip$i. c. m. p. v$que ad. i. x. in puncto. f. & à puncto à communi ip$is. k. f. et. i. x. v$que ad. I. s. duxi quoque. A. B. parallelam ip$i. i. x. atque hæc omnia ex more antiquo præ$titi.

Nunc verò eum con$iderans modum, quem ego de figuris. G. H. antecedentibus præ$crip$i, videndum e$t, an punctum. B. tribus lineis. A. B. I. s. et. R. V. quarum h{ae}c vl tima à me iam ducta fuit, commune exi$tat, ide$t vtrum. A. B. æqualis exi$tat ip$i. K. R. quam $ecundum modum à me adinuentum, reuera $cimus e$$e de$ideratam altitu dinem in per$pectiua. Quod tunc à nobis probatum erit, quando rationibus clarè patebit ip$am. A. B. æqualem e$$e ip$i. f. V. Quamobrem ducamus. I. f. v$que ad. ω. lineæ. c. p. vnde ratione $imilitudinis triangulorum manife$tè intelligemus, eandem proportionem e$$e ip$ius. m. T. ad. f. V. quæ e$t. m. o. ad. f. o. & eius, quæ e$t. m. o. ad. f. o. quæ e$t. ω. I. ad. f. I. & eius, quæ e$t. ω. I. ad. f. I. quæ e$t. x. I. ad. A. I. & eius, quæ e$t. x. I. ad. A. I. quæ e$t. x. s. ad. A. B. ide$t vt eius, quæ e$t. m. T. ad. A. B. $ed idem quoq; erat de. m. T. ad. f. V. Vnde $equitur. A. B. æqualem e$$e. f. V. ex. 9. quinti Eucli. atq; etiam ip$i. k. R. quod à nobis propo$itum e$t inquirendum.

CAP. IX.

INSTITVENS etiam $ermonem de figuris $u- perficialibus orizontalibus, $eu de plantis, pulcherrimum quendam modum, quem ego ad locandum quodlibet punctum in per$pectiua, (degradatum cum fuerit parallelogrãmum quod dam rectangulum, in no$tro plano perpendicula ri orizonti, quemadmodum in $uperioribus figu- ris. A. demon$trauimus) con$ideraui, $ilentio haud prætereundum e$$e.

Sitigitur in $ub$cripta hîc figura. K. in paralle logrãmo perfecto pũctum. b. quod locari debeat in degradato. e. q. d. r. Nunc à duobus quorumli- bet quatuor angulorum. q. u. a. d. ducuntur duæ li- neæ occultæ. q. g. et. u. f. per punctum. b. v$que ad latera. q. d. et. u. a. ita tamen vt eorum extremita- tes. g. et. f. intus cadant inter. q. d. et. u. a. ip$orum laterum, ide$t vt non $ecent duo latera. q. u. aut. d. a. Deinde punctum. f. inter. q. et. d. cõiungatur oc- cultè cum angulo degradato. e. qui corre$põdet. u. perfecti, mediante linea. e. f. quæ erit. u. f. degra dita in no$tro plano. Deinde $umatur punctum. n. in linea. q. d. tam di$tans à. q. quàm. g. di$tat ab. u. ducatur\’que linea. i. n. quæ lineam. e. r. in puncto c. diuidet, quod exijs, quæ $uperius iam diximus ad ip$um. g. referetur. Ducendo po$tea lineam oc cultam. q. c. patebit eam corre$pondere lineæ. q. g. quæ $ecans lineam. e. f. in puncto. t. hoc, communi $cientiæ ratione, re$pondebit ip$i. b. vt omnes cogno$cent.

IO. BAPT. BENED.

Sed $i fortè punctum. b. e$$et in aliquo laterum, puta. q. u. volo vt in rectangulo per- fecto. q. d. a. u. ducta $it vna diagonalis quam volueris puta. q. a. deinde à puncto. b. ad reli- quum angulum oppo$iti lateris ducta $it recta. b. d. ita quod à diagonali $ecetur in puncto. ω. per quod punctum demum à reliquo angulo la teris. q. u. ducta $it. u. ω. v$que ad latus. q. d. in pũ cto. f. quo facto, ita faciendum erit in rectangu lo degradato, hoc e$t ducenda erit diagonalis. q. r. qu{ae} corre$pondet diagonali. q. a. perfecti deinde. f. e. quæ corre$pondet rectæ. f. u. perfe- cti, quæ etiam inter$ecabitur à diagonali. q. r. in puncto. o. corre$pondens. ω. perfecti, per qu\-e. o. à puncto. d. cum ducta fuerit. d. o. v$que ad. t. in latere. q. e. hoc punctũ. t. corre$pondebit pun cto. b. perfecti.

Idem eueniet $i loco diametri. q. a. $umpta fuerit diameter. u. d. & loco. b. d. protracta fue rit. b. a. deinde loco. u. ω. f. ducta fuerit. q. ω. f. vn- de punctum corre$pondens ip$i. f. in figura de- gradata erit in latere $upremo. e. r. corre$pon- dens lateri. u. a. & ita ducenda erit diameter. d. e. corre$pondens diametro. d. u. et. q. f. $ur$um ver$us corre$pondens. q. f. imum ver$us deinde. r. o. re$pondens. a. ω. quæ terminabicur ab eod\-e- met puncto. t. vt prius.

CAP. X.

EX mea figura. F. $uperficiali per$pectiuæ facillimum modum locandi quoduis punctum in per$pectiua elicui. Iu$$i enim vt aptaretur tabula quædam rectan- gula exactè plana, triplo aut quadruplo, aut quanto volueris maioris longitu- dinis, quàm latitudinis proten$a, quæ quidem latitudo erat ad duos circiter pedes de$ignata ab. A. B. C. D. cuius duobus lateribus. A. B. et. B. C. iu$$i, vt duæ regulæ affi gerentur, quæ $uperficiem eiu$dem tabulæ excederent, vt vnũ ex lateribus alicuius anguli recti materialis, qui appella\~t norma (vt inferius dicam) ei adherere po$$it, cu- raui po$tea, ut iuxta angulum. D. in puncto. o. fixo mobilis regula. o. Q. affigeretur tantæ longitudinis, aut paulò minoris, quantam occupabat latus. D. A. quæ circum. o. volueretur, in rectitudine po$teà. o. i. parallela ip$i. D. A. in puncto. i. duobus pedi- bus longè à latere. A. B. aliam quoque mobilem appendere feci. i. M. in tantam ferè longitudinem exten$am, quanta con$tat. A. B. cõ$titui etiam, vt quoddã angulum re ctum materiale tantæ magnitudinis, quanta nobis v$ui e$$e poterat $uper eadem ta- bula; necnon regula quædam materialis nece$$ariæ longitudinis $tatueren\~t, atq; hæc omnia tenui$$ima, vt fierent curaui. Quandam deinde lineam ad. o. i. parallelam, ide$t. p. E. $uper eadem tabula adeò di$tantem ab. o. i. vt inter. E. p. et. B. c. perfe- ctæ res, quæ degradari debebant, locari po$$ent, $ignaui. Hæc autem di$tantia, quæ DE PERSPECT. inter. o. i. et. p. E. intercedebat, altitudinem oculi ab orizonte $ignificabat. Signa- ui etiam lineam. i. G. perpendicularem lineæ. E. p. cui affigi po$$et non nihil chartæ quotie$cunque volebam in per$pectiua aliquid delineare. Quod cum facere de$i- derabam, ponebam perfectum optimè affixum in quadrangulo. E. G: & in quadran gulo. E. i. aliquod folium papyri affigebam. Ponamus nunc, me volui$$e con$titaere punctũ. b. $umebã angulũ rectũ material\-e, $eu normã, & eius vnum latus, iuxta latus. B. c. ponebam, atque aliud per punctum. b. tran$ire faciebam, & vbi hoc latus lineã E. p. diuidebat, punctum. c $ignabam per quod efficiebatur, vt regula. i. M. tran$iret, quie$ceret\’que aliquantulum aliquo modo in huiu$modi $itu, opera deinde circini interuallum. b. c. $umebam, & in. p. E. à puncto. x. ver$us. E. punctum. m. $ignabã: per quod faciebam, vt tran$iret regula. o. Q. quæ lineam. x. i. in puncto. f. diuidebat. Angulum deinderectum materialem accipiebam, cuius vnum latus. A. B. ponebam, aliud verò per punctum. f. tran$ibat, quod quidem latus regulam. i. M. in puncto. k. (quod $tatim $uper folio papyri $ignabatur) inter$ecabat, atque hoc erat punctũ, quod quærebam, puncto. b. corre$pondens. Huiu$modi effectus rationes ab ijs, quæ $uperius dixi eliciuntur. Atque hæc ad ba$es rerum, vt in $ub$cripta figura eluce$cit, $pectabant.

CAP. XI.

AD degradandas deinde altitudines, v$us $um mea figura tam. H. quã \-et. H. H. vt milii $e$e offerebat occa$io. In primis ratione modi figuræ. H. curabã, vt IO. BAPT. BENED. vnum ex lateribus anguli recti, $eu normæ regulæ. B. C. anniteretur, aliud verò per. m. in rectitudine cuius $ignabam m. T. interuallum æquale altitudini perfecti, ide$t punctum. T. æqualiter di$tans ab. m. tran$ire faciebam, deinde regulam. o. Q. per punctum. T. tran$ire quoque faciebam: & notabam inter$ectionem ip$ius cum linea. i. x. in puncto. V. efficiebam deinde vt vnum ex lateribus anguli recti, lateri ta- bulæ. B. C. anniteretur, aliud\’que per punctum. k. tran$ire faciebam, & in huiu$modi rectitudine à puncto k. $ignabam quandam men$uram æ qualem lineæ. f. V. qu{ae} erat k. R. pro altitudine degradata.

ALITER IDEM.

MEDIANTE deinde figura. H. H. vnum ex lateribus anguli recti, lateri tabu- læ. B. C. vt anniteretur faciebam; aliud verò per punctum. b. perfecti, ide$t ba $is eiu$dem perfecti tran$ire faciebam. Et in huiu$modi rectitudine $ignabam. c. s. æquale interuallum altitudini perfecti, ide$t punctum. s. ita di$tans à. c. efficiendo de inde, vt latus anguli recti, lateri. B. C. tabulæ anniteretur, aliud\’que per punctum. k. tran$ire faciens $ignabam. k. R. indeterminatam. Faciens deinde tran$ire regulam i.M. per punctum. s. notabam punctum. R. inter$ectionis eiu$dem cum linea. k. R. iã ducta. Itaque altitudinem. k. R. degradatam habebam. Hæc autem via aliquan- tulum breuior, expeditior\’que altera.

DE PERSPECT. FACOBO SOLDATO MEDIOLANENSI Sereni{$s}imi Ducis Sabaudiæ Architecto periti{$s}imo. CAP. VII.

SVPERIORIBVS diebus non diu po$tquam de per$pectiuis inter nos $ermonem habuimus, dum animus totus adhuc in his e$$et. Illud in mentem venit quòd exi mius ille vir, & profundi$$imæ doctrinæ, nec vnquam $atis laudatus Daniel Barba- rus $e accepi$$e profitetur à Ioanne Zamberto patritio Veneto, qui ad verbum om nia de$ump$erat a Ioanne Cu$ino Pari$ien$e. Nec parum mirabar periti$$imum il- lum Cu$inum, quod in capite quarto $ecundæ partis per$pectiuæ, vt quodpiam pla- num quadrilaterum in quadratam figuram redigeret, $uper vnam datam lineã qua- dratam compo$ui$$e. Non animaduertens di$tantiam aut interuallum. b. c. degra- datum ín linea. b. f. (quod e$t. b. E.) ita e$$e po$$e latus parallelogrammi rectanguli magis longi quam lati, aut magis lati quam longi, vt etiam latus quadrati, quod be- neficio $ub$criptæ hic figuræ facilè depræhendi pote$t. Vbi. b. c. latitudo e$$e po- te$t, tam perfecti degradati in triangulo. b. n. m. aut in triangulo. b. q. t. quam in trian gulo. b. a. c. Sed perfectum degradati in triangulo. b. n. m. magis longum quam latũ & perfectum degradatum in triangulo. b. q. t. magis latum quam longum, & perfe- ctum degradati in triangulo. b. a. c. quadratum erit quemadmodum à meis etiam fi- guris. A. $cientificè intelligi pote$t. Hinc, ad inueniendum perfectum alicuius pla- ni degradati, non $ufficere degradationem $olum interualli inter duos terminos $olos, ide$t. b. E. a$$ignare, apertè patet, quia non omnia parallelogramma. perfecta ab vno t\~m interuallo producuntur, eo {quis} non $unt omnia quadrata. Ad inquirendũ igitur perfectum alicuius plani parallelogrãmi, alicuius propo$iti degradati, oportet vniuer$am degradationem tam latitudinis, <004> longitudinis, & nõ folius longitudinis a$$ignare; Vt ex\-epli gratia, in $ub$cripta hic figura, vol\-edo inuenire perfectum paral lelogrammum degradati. b. h. l. m. dando di$tantiam orizontalem. b. d. à pede. d. ho- IO. BAPT. BENED. minis v$que ad plani$itum in quo degradatio facta $it: $tatim altitudo. A. oculi à pe de, quæ tanta $emper e$$e debet quanta e$t altitudo trianguli. b. n. m. qui clauditur, protrahendo. m. l. et. b. h. v$que ad concur$um in. n. in lucem prodibit. Oporter deinde erigere lineam. b. o. perpendicularem lineæ. d. b. m. & v$que ad eandem pro ducere lineam. l. h. in puncto. E. et à puncto. A. per. E. v$que ad. c. ip$ius. d. b. m. produ ctæ ducere. A. E. c. atque deinde protrahere lineam. o. b. v$que ad. T. ita vt. b T. {ae}qua lis $it ip$i. b. c. & ad ip$am à puncto. m. ducere parallelam. m. R. & à puncto. T. ducere. T.R. parallelam ip$i. b. m. Vnde ex. 34. primi Eucli. m. R. æqualis erit ip$i. b. T. et. R. T. ip$i. m. b. & anguli in rectos euadent, atque hoc parallelo grammum rectangulum erit verum perfectum degradati. b. m. l. h. obrationes à me circa figurã. A. adductas. Sed e$t hic quod magis nos commoueat, quia cum ex linea. b. c. quadratum. b. g. pro duxerit, vult eum po$tea degradare. Quod vt faciat (hanc figuram videbis in cap. 4. $ecundæ partis Danielis Barbari) oculum. A. in eadem $uperficie exten$a, quadrati. b. g. collocat. Quod rectè fieti non pote$t, quia oculum hoc mo- do locantes, vi$uales\’que radios beneficio vnius plani $ituati in. b. f. $ecantes in ip$o plano, nihil aliud quam dictã lineã. b. f. & nullã degradation\-e inueni\-et. Id quod, & $i natura $ua $it omnibus notum, ponit tñ id ip$um Vitelio pro quinta propo$itione quarti libri de per$pectiua. Præter hæc, credit latera. b. d. et. c. e. quadrati degra- dati $emper videri mediantibus angulis. b. A. c. et. f. A. g. quod fieri nõ pote$t, quem- a dmodum ex mea figura corporea. A. facilè cogno$cere po$$umus, propterea quòd latera. d. r. et. q. e. meæ figuræ, mediantibus angulis. d. o. r. et. q. o. e. qui extra $uperfi- ciem. s. a. exi$tunt videntur, vnde $i quis imaginaretur in puncto. p. oculum e$$e, & ab ip$o ad. u. et. q. duas lineas duceret, angulus. q. o. u. nunc maior, nunc minor e$$et angulo. q. p. u. aliquando etiam æqualis, quamuis rari$$ime; Sub diuer$is igitur an- gulis, pro maiori parte, deteguntur latera, à partibus quadrati tam degradati, quàm perfecti, quæ non $unt anguli. b. A. c. et. f. A. G. Quod vero idem po$tea dicat eam proportionem e$$e ab. b. E. ad. f. h. & $imul ad. c. g. quæ e$t ab. a. g. ad. h. g. id tuo relin DE PERSPECT. quam iudicio. Tibi quoque con$iderandum relinquo; cum rationabilis degrada- tio e$$e debeat, qua ratione nece$$arium $it, vt di$tantiæ re$\’que, in vna & ead\-e pro- portione cum altitudine oculi ad rem degradatam exi$tant? Cum po$tea degrada- uerit quadratũ, is $criptor, in figura. d. b. c. e. eum bene & ex per$pectiuæ optimis legibus degradatum fui$$e probare nititur; $olum probans. d. e. æqualem e$$e ip$i. E. h. \~q. E. h. $ecundũ ip$um e$t degra datio lateris. c. g. & cũ $uperius dixerit, $etria quadrati plana degradaui$$e, quia. b. E. degradat. b. c. et. E. h. degradat. c. g. et. f. h. degradat. f. g. nec quidem de lateribus. b. d. et. c. e. loquitur, quia $i. c. g. perfecti, degradatum e$t in. E. h: et. d. e. rectè protracta exi$tit, cum $it æqua- lis ip$i. E. h. cum etiam. b. d. et. c. e. rectè protractæ e$$e debeant: qua de cau- $a ip$is. b. E. et. f. h. quæ, ex ip$o, $unt degradationes. b. c. et. f. g. æquales e$$e non de- bent? Po$$et is mihi quidem re$pondere, {quis} hoc pacto nulla $uperficies clauderetur. Ergo tria latera. b. c: c. g. et. g. f. nõ benè $unt degradata, eius\’q; {pro}portionalitates ma lè intellectæ nil probant. quia $i dictæ proportionalitates, nobis tutò promitterent degradationes, ab eo primum effectas, in linea. b. f. e$$e bonas, ergo duæ. b. d. et. e. c. fal$æ exi$terent, quarum quælibet maior e$t. b. E. et. f. h. ex. 18. primi Eucli. Omitta- mus etiam quod vbi is $cribit eam e$$e rationem, aut comparationem ab. A. d. ad. b. E. quæ e$t ab. d. c. ad. b. c. eandem\’que e$$e ab. E. h. ad. c. g. quæ e$t ab. A. E. ad. A. c. nil probet; nec $imilitudinem triangulorum, nec aliquam propo$itionem Eucli. citans. In quo excu$ari non pote$t, quòd non $oleat Euclidem, aut alium quemuis autorem citare, cum vel in ip$o operis principio capite. 3. primæ partis, A pollonium Pergeũ Euclidem\’q;, & $i etiam præter rem, citet. Deinde quũ idem probare vult. d. e. æqua lem e$$e ip$i. E. h. eandem inquit e$$e proportionem. a. b. ad. a. d. quæ e$t ip$ius. A. c. ad. A. E. quod & $i verum $it, hic tamen modus ratiocinandi nullo ordine nititur, quia rectius dixi$$et pro clariori intelligentia ip$ius. a. c. ad. a. e. eandem proportio- nem e$$e, quæ e$t. A. c. ad. A. E. propter $imilitudinem, quæ inter duos triangulos. A. c. a. et. E. c. e. intercedit, cum. E. e. $upponatur parallela ip$i. A. a. quod etiam vt de- mon$traretur longiori oratione ei opus fui$$et $i volui$$et intellectum eorum, qui pa rum $unt exercitati, perduci ad cogno$cendũ idem planè futurum de. a. c. ad. a. e. vt e$t ip$ius. A. c. ad. A. E. in hunc modum, ide$t probando primùm duos triangulos. A. c. a. et. E. c. e. æquiangulos e$$e, mediante. 29. primi Eucli. cum. A. a. et. E. e. inuicem $int parallelæ. Vnde ex. 4. $exti. idem extiti$$et de. A. c. ad. E. c. vt. a. c. ad. e. c. et. ex 16. quinti idem de. A. c. ad. a. c. vt ip$ius. E. c. ad. e. c. & ex. 19. eiu$dem de. A. E. ad. a. e. vt ip$ius. A. c. ad. a. c. & ex. 16. iam dicta de. A. E. ad. A. c. vt ip$ius. a. e. ad. a. c. ide$t ip$ius. A. c. ad. A. E. vt e$t ip$ius. a. c. ad. a. e: Aut hoc alio modo, qui breuior e$t pro- cedendum, incipiendo $cilicet à $ecunda $exti Eucli. dicendo {quis} exi$tente. E. e. paral lela ip$i. A. a: ex dicta. 2. lib. 6. erit idem de. c. E. ad. E. A. vt de. c. e. ad. e. a. vnde ex. 18. quinti innotui$$et $tatim quod de. c. A. ad. E. A. vt de. c. a. ad. e. a. extiti$$et. Nunc mediantibus $upradictis duabus propo$itionibus ide$t. 29. primi, & 4. $exti, cogno- $citur idem planè e$$e de. b. c. ad. d. e. quod ip$ius. a. c. ad. a. e. & ex ei$dem idem e$$e de. c. g. ad. E. h. quod ip$ius. A. c. ad. A. E. vnde ex. 11. quinti bis repetita idem erit de b. c. ad. d. e. quod de. c. g. ad. E. h. $ed cum ex $uppo$ito. c. g. $it æqualis ip$i. c. b. idem erit de. c. g. ad. e. d. quod ip$ius. c. b. ad eandem ex. 7. quinti, vnde ex. 11. idem erit de c. g. ad. E. h. quod eiu$dem. c. g. ad. e. d. ex. 9. igitur eiu$dem. d. e. æqualis erit ip$i. E. h. atque hic verus e$t modus ducendi intellectum parum exercitatum in cognicio- nis campum. quem quidem mihi ob$eruandum proponerem $i onus $cribendi $u- $ciperem ijs, qui in $cientijs parum ver$ati $unt, quos tanquam puerulos manu du- IO. BAPT. BENED. cere oportet. Ratio verò ab ip$o adducta propter quam. E. repre$entatur oculo al- tius quam. b. nempe eo quod. A. $uper$tet ip$i. E. nihil valet, quia $i inferius e$$et, idem contingeret, $ed hoc euenit eo quod. E. altius e$t ip$o. b. Idem dico de. h. vbi $imiliter decipitur. Idem etiam in. 7. cap. fallitur in $ecundo modo, quem o$ten dit pro $ecundo quadrato aliquo degradato à parallelogrammo degradato magis longo quàm lato, cum ducat parallelam. l. m. ad. b. c. à puncto. l. inter$ection is ip$ius. o. c. id, quod non rectè efficitur quemadmodum ex rationibus à me allegatis circa meas figuras. A. A. facilè innote$cit.

Nono deinde cap. contrario planè ordine, quam oporteret proce$sit, quia cũ angulus. 2. trianguli perfecti magis di$tet à plano $uper quod degradari debet triangulum, quàm latus. 1. 3. oppo$itum dicto angulo. 2. & per confequens longère motior $it ab oculo, ip$e in degradato, eũ magis propinquum e$$e facit, è con- tra eap. 10. rectè fecit contra id, quod capite. 9. tradiderat.

Quod autem deinceps in prima parte. 11. & vltimi capitis a$$erit e$t, admittendũ. Quod verò in $ecunda parte ab eo traditur, ide$t alius quidam modus quem de trã$ ferendis punctis à perfecto in degradato proponit, non e$t modus vniuer$alis; quia $i altitudo. T. Q. oculi à plano orizontali, non e$$et æqualis medietati lateris. B. D. perfecti, interualla. a. b. c. d. e. lateris B.D. admittenda non e$$ent.

Pro cuius rei intelligentia $it in $ub$cripta hic figura corporea. ω. parallelogram- mum rectangulum A. B. C. D. in plano orizontali, & linea. Q. H. illud per medium diuidat, quæ $it parallela duobus lateribus. A. B. et. C. D. in cuius quolibet puncto. Q. $it infimus terminus altitudinis oculi, & in. T. ad perpendiculum ip$ius. Q. $it verus $itus eiu$dem, tantum eleuatus à. Q. quanta e$t medietas ip$ius. D. B. $it\’que figura corpo- rea finita $imilis meæ. A. vnde. Q. T. æqualis erit ip$i. Q. æ. & planum perpendiculare orizõ- ti, $uper quod punctum. k. perfecti duci debet $it. R. D. B. $int\’que ductæ per imaginationem lineæ. T. K: Q. K. et $it. K. N. perpendicularis la- teri. C. D. à quo puncto. N. imaginatione $it cõ præhen$a linea. N. Q. at que hæ tres lineæ $ectæ $int à plano in punctis. c. i. et. 2. quorum punctũ. 2. erit quæ$itum plani. Imaginemur nunc duos triangulos. K. T. Q. et. N. Q. æ. qui $ecti erũt à plano. R. B. D. quorum communes $ectiones erunt. 1. 2. et. D. c. & quia. N. K. D. i. et. æ. Q. inuicem $unt parallelæ, $equitur eandem pro- portionem futuram ip$ius. Q. K. ad. K. i. quæ e$t ip$ius. æ. N. ad. N. D. imaginatione concipien do a puncto. K. v$que ad. æ. Q. quandam paral- lelam ip$i. N. æ. quemadmo dum ex te ip$o intel ligere potes. Sed ratione $imilitudinis trian- gulorum ita $e res habet de. æ. Q. ad. D. c. vt de. æ. N. ad. N. D. vt quoque de. T. Q. ad. 2. 1. quemadmodum ip$ius. Q. K. ad. K. i. vn- de ex. 11. quinti, idem erit de. Q. T. ad. 1. 2. quod de. Q. æ. ad. c. D. & ex. 16. eiu$dem de. Q. T. ad. Q. æ. quod de. 1. 2. ad. c. D. & exi$tente. æ. Q. ex $uppo$ito æquali ip$i. DE PERSPECT. 1. 2. Vnde huiu$modi regula tunc bona redditur, quando T. Q. æqualis e$t ip$i. œ. Q. ide$t medietati ip$ius. D. B. at verò $i æqualis non e$$et hoc minime $equeretur, vt facilè patet. Quòd verò. 2. R. Z. &. $int benè di$po$ita, dubitandum non e$t, quia punctum. i. meæ hic $ub$criptæ figuræ, quod core$pondet K. eius $iguræ adeò di$tat a medio. R. X. trianguli. R. B. D. vt. 2. cum. 1. 2. dicto medio. R. X. ex. 6. Vndecimi fit parallela. Idem de reliquis dico. quod manife$tè cogno$ci pote$t, ab eo, quod in $uperius po$itis figuris corporeis dixi. Huiu$modi modus ducendi res in per$pectiua, non $olum à Gallis, $ed à Germanis etiam in v$um reducitur. Sed quia ad hæc v$q; tempora eiu$dem perfectionis ratio, quam ego $uperius propo$ui, nõdum in lucem emer$it, factum fuit, vt errorũ laqueis irretirentur, $umentes. T. Q. modo maiorem, modo minorem medietate lateris. D. B. Cum hunc igitur modum hic Autor vniuer$alem e$$e putet, labitur in errorem, cum debui$$et longitudinem ip$ius. T. Q. debere e$$e æqualem medietati ip$ius. D. B. proferre. A$$erit deinde di$tantiam ip- $ius. T. Q. à latere. B. D. æ qualem e$$e debere lateri. C. D. quod nece$$arium non e$t, quia in quibuslibet di$tantijs, iu$ta operatio fieri pote$t, quemadmodum in $ub$cri- pta hîc figura facile patet, ide$t, quòd quibu$cunque modis. c. D. æqualis remaneat ip$i. 1. 2. & $ic interualla, quæ <002> tran$uer$um aguntur v$q; ad mediũ trianguli. D. R. B. Neque etiam probandus e$t auctor ille, cum pro oculo, $uum. T. loco. Q. à me po$i- ti, ponit, cum is locus $it verus $itus pedis eius quire$picit, & non oculi. Quòd aut\-e Auctor i$te, modo vniuer$ali intelligat, vt iam diximus, cõ$ideretur figura tertij mo di primi cap. tertiæ partis, in qua $uum oculum (vt ita dicam) ponit in. o. altius $eu di$tans à rectitudine lateris. c. d. plus quam $it totum latus. d. b.

AD EVNDEM IACOBVM. CAP. XIII.

TVAS accepiliteras omnis humanitatis & officij plenas, in quibus requiris cau- $am, quæ me in alijs meis literis impulit ad dicendũ, angulũ. q. o. u. modo ma- iorem, modo verò minorem futurum angulo. q. p. u. meæ figuræ corporeæ. A. hanc igitur ob cau$am imagineris in $ub$cripta hîc figura duo triangula. q. o. u. et. q. p. u. quorum. q. p. u. perpendiculariter $it $uper $uperficie trianguli. q. o. p. collocatum, præcisè vt in mea figura corporea. A. $uperficies verò trianguli. q. o. p. $it exempli- gratia. V. M. & trian- guli. u. o. p. $it. V. D. quarum cõmunis $e- ctio $it. V. p. o. x. non e$t enim dubitãdum quin triangulum. q. p. u. $it perpendicula- re triangulo. q. o. p. cũ hoc ex. 18. lib. 11. Eucli. perpendicula- re $it $uperficiei. a. s. in qua reperitur triã- gulum. q. p. u. & hoc ex linea. o. p. perpendiculari dictæ $uperficiei. a. s. Nunc dico angulum. q. o. u. modo maiorem, modo minorem e$$e angulo. q. p. u. Noti$$imum igitur primum nobis IO. BAPT. BENED. e$t angulum. p. q. u. obtu$um e$$e; Imaginemur ergo circa triang ulum. p. q. u. circun- $criptum e$$e circulum, cuius portio. p. q. u. minor erit medietate eiu$dem medij cir- culi, vt iam ex 30. Eucli. lib. tertij noui$ti. nunc imaginemur dictum circulum circum lineam. q. u. loco axis ver$us. x. moueri, vnde girus eiu$dem, per quem tran$ibat linea V. x. remouebitur ab eadem linea non nihil cum motus erit à primo $itu v$quequò ad $ecandam dictam lineam. V. x. in alio quodam puncto inter. p. et. x. redibit; quod quidem punctum $i erit inter. o. et. x. angu lus. q. o. u. maior erit angulo. q. p. u. Sed $i idem punctũ erit in- ter. p. et. o. dictus an- gulus. q. o. u. minor erit. q. p. u. de qua <003>- d\-e re tu ip$e median- te. 20. lib. 3. et. 16. lib. primi certior fieri po- tes. Valde miror {quis} hæc Ioannis Cu$ini di cta ad hæc v$que tempora tanto in prætio $int habita, vt ab excellentibus $criptori- bus qua$i $i proprij eorum ingenij partus e$$ent, de verboad verbum vt the$auros, in fuis ip$orũmet libris re$cripta fuerint, quemadmodum iam omnes admonui in mea gnomonica Orontium, Mun$terum, alios\’q; permultos feci$$e.

CAP. XIIII.

EX ijs, qu æ de nonnullis effectibus ducendo in per$pectiua tertíum corpus regu lare, {quis} octo triangulis æquilateribus e$t term inatum, $cire de$ideras, hoc vnũ e$t caput: vnde fiat, aut quomodo probetur qua$libet duas facies oppo$itas eiu$- dem corporis octoaedri inuic\-e æquidi$tantes e$$e. Quamobrem $it hîc $ub$criptũ octoaedrũ, cuius diameter vna $it. b. q. et. b. p. l. vna ex faciebus, cui opponatur facies. q. k. d. quas adinuic\-e æquidi$tantes e$$e contendo $int aliæ duæ facies, quæ inter has ponuntur. b. d. k. et. q. p. l. & à punctis extremis. b. q. dia- metri. ductæ $int quatuor lineæ. b. a: b. u: q. a: q. u. ad puncta. a. et. u. diuidentia. k. d. et. l. p. per medium, vnde ex 4. primi Eucli. quatuor hæ lineæ adinuicem {ae}quales erunt $um\-edo eas vt ba$es triangulorũ. a. d. b: u. l. b: a. d. q. et. u. l. q. adinuic\-e quoq; æ<003> di$tabũt. a. b. ab. u. q. et. b. u. ab. q. a. ex. 27. primi; <003>a $i imaginabimur dia metrum. b. q. tunc ex. 4. aut ex. 8. eiu$dem lib. habebimus angulos. a. b. q. et. u. q. b. æquales inuicem; $ed ob ea$dem rationes. p. l. paralle- la e$t ip$i. d. k. vnde ex 15. lib. 11. facies. b. p. l. parallela fit, aut æquidi$tans ip$i. q. d. k. ide$t primum propo$itum.

DE PERSPECT.

Ad habendam deinde quantitatem di$tantiæ, aut interualli $imul cum $itu, in fa- cie. q. d. k. quem latus. p. l. perpendiculariter re$picit. Imaginemur à puncto. u. $uper q. a. cad ere lineam perpendicularem. u. o. quæ illico reperitur cum triangulum. a. u. q. ex lateribus datis & cognitis con$tet, quodquid\-e triangulum, medietas e$t qua- drilateri, $eu. rumbi. q. a. b. u. cui vnaquæque dictarum quatuor facierum perpendi- cularis exi$tit ex. 4. ct. 18. lib. 11. & ob id linea. u. o. exten$a in $uperficie dicti quadri- lateri, & perpendicularis lineæ. q. a. perpendicularis erit faciei. q. d. k. & ex. 29. primi, angulus. b. u. o. rectus erit, ut etiã angulus. o. u. l. ex. 2. definitione lib. 11. vnde ex. 4. eiu$dem lib. o. u. perpendicularis erit faciei. b. p. l. Ha bebimus ergo $itum in fa- cie. q. d. k. qui re$picietur ad angulos rectos à linea. p. l. quiquidem erit in perpendi- culari à puncto. o. ad. q. a. ducta.

Quòd autem. a. o. $it latus exagoni æquilateris circum$crip tibilis ab eodem circu lo, qui vnam ex faciebus triangularibus æquilateribus propo$iti corporis circun$cri- bere pot e$t, ita o$tenditur. $it cõprehen$um imaginatione, triangulum. a. q. u. $epara tim, cuius latus. a. u. æquale e$t vni ex lateribus triangulorũ eiu$dem corporis ex. 33. primi, quo dlibet verò aliorum duorum æquale perpendicularibus dictorum trian- gulorum, in quo triangulo. a. u. q. ducta $it perpendicularis. u. o. ab vna extremitatũ lateris maioris, ad vnum ex minoribus lateribus, qu{ae} perpendicularis intra triangu- lum cadet, quia dictum triangulum oxigonium e$t. quod autem attinet ad duos angu los. a. et. u. cum æquales $int ex quinta lib. primi; 17. nos certiores facit; quod verò an gulus. q. $it etiã acutus: 30. lib. tertii nos cer- tos reddit, <003>a. a. u. minor e$t diametro $ph{ae} ræ datum corpus circum$cribentis, cum. q. dictæ $ph{ae}r{ae} $uperficiem tangat.

Ad probandum. a. o. {ae}qualem e$$e lateri exagoni dicti, $atis erit probare. a. q. $e$qui alteram e$$e ad. a. o. quia $i in $ub$cripto hîc circulo ducemus duas $emidiametros. n. p. et. n. l. ad. angulos triãguli {ae}quilateri. p. et. l. & cum quodlibet laterum ip$ius exago ni, {ae}quale $it $emidiametro circuli ex. 15. lib. 4. habebimus ex. 8. primi, angulum. n. p. l. æqualem angulo. q. p. l. Vnde ex. 4. eiu$ dem. o. n. {ae}qualiserit ip$i. o. q. ide$t. q. a. $e$ quialtera erit ad. a. o.

Ad probandum nunc in triangulo. a. q. u: a. q. $e$quialteram e$$e ad. a. o. e$t quoq; $ciendum primò omne latus trianguli {ae}quilateri in potentia $e$quitertium e$$e ad perpendicularem eiu$dem trianguli, quod vndecima lib. 14. Eucli. breuiter demon $tratum e$t.

10. BAPT. BENED.

Ponamus nunc quadratum lateris. a. u. e$$e. 12. clarum erit quodlibet quadratum aliorum duorum laterum. a. q. et. u. q. futurum nouem, ex ijs quæ po$teriore loco dixi mus, & quia quadratum ip$ius. q. a. e$t tantò minus aliorum duorum quadratorum $umma, quantum e$t duplum producti ip$ius. q. a. in. a. o. ex. 13. $ecundi, $ed alia duo quadrata $imul collecta faciunt. 21. à quo numero $ubtrahendo quadratum ip$ius. a. q. ide$t nouem, remanebit numerus. 12. pro duplo producti ip$ius. q. a. in. a. o. cuius dupli me- dia pars, id- e$t $implex productum ip$ius. q. a. ĩ a. o. erit 6. Sed <003>a qua dratum ip- $ius. q. a. e$t nouem, eius radix. q. a. crit. 3. per quã di- uidendo. 6. productum ip$ius. q. a. in. a. o. pro latere. a. o. con$urgent duo, cum er go. a. o. $int duo tertia ip$ius. a. q. certi erim<_>9 a. o. e$$e latus dicti exagoni.

CAP. XV.

DE$iderãtes $cire deinde. l. k. in figura. M. quar ti cap. tertiæ partis per$pectiu{ae} Danielis Barbari, $eu Zamberti, e$$e veram altitudin\-e cor- poris octoaedri, primũ $cire debemus {quis} exi$t\-ete. b. h. vt etiã. b. l. tripla ad. b. k. vt ex ijs, qu{ae} $uperius iã diximus, facile percipi pote$t; ex penultima primi. b. l. in potentia, $e$quioctaua erit ad. k. l. ip$a et. k. l. dupla inpot\-etia ad. h. k. & ob id ducta cũ e$$et. h. l. exi$teret in potentia tripla ad. h. k. & $e$quialtera ad. l. k. & $e$quitertia ad. l. b. & $ic ad. h. b. vnde. l. h. æqualis e$$et vni ex lateribus triãguli {ae}quilateri di- cti corporis. Ex rationibus igitur $uperius hîc po$i- tis. l. k. erit altitudo dicta, id e$t di$tantia inter duas facies inuicem oppo$itas, octoaedri.

Neq; volo te ignorare aliũ nõ paruũ fui$$e error\-e illius Zamberti: cum eod\-e capite affirmet angulos octoacdri rectos e$$e cũ $int acuti, nã vnu$qui$q; minor e$t angulo cubi $olido.

DE MECHANICIS.

_S_C_RIPSERVNT_ multi multa, & quidem $citi{$s}imè, de mechn- nicis, at cum natura v$usq; aliquid $emper vel nouum, vel Latens in apertum emittere $oleant, nec ingenui aut grati $it animi, posteris inuidere, $i quid ei contigerit comperui{$s}e prius tenebris inuolutum: cum tam multa ip$e ex aliorum diligentia $it con$equut us. Paucula quædã futùra, vt reor, non ingrata his qui in bi$ce mechanicis ver$antur, nu$quam ante bac tentata, aut $atis exastè explicata in medium proferre volui : quo vel iuuandi de$iderium, vel $altem non ocio$i ingenioli argumentum aliquod exbiberem: at que vel boc vno modo me inter bumanos vixi$$e testatum relinquerem.

De differentia $itus brachiorum libra. CAP. I.

OMNE pondus po$itum in extremitate alicuius brachij libræ maiorem, aut mi- norem grauitatem habet, pro diuer$a ratione $itus ip$ius brachij. $it exempli gratia. B. centrum, aut, quod diuidit brachia alicuius libræ, &. A. B. Q. vertica- lis linea, aut, vt rectius dicam, axis orizontis, &. B. C. vnum brachium dictæ li- bræ, & in. C. $it pondus, &. C. O. linea inclinationis, $euicineris. C. ver$us cen- trum mundi, cum qua. B. C. angulum rectum con$tituat in puncto. C. Exi$tente igitur in huiu$modi $itu brachio. B. C. dico pondus. C. grauius futurum, quam in alio quolibet $itu. quia $upra centrum. B. omninò non quie$cet, quemadmodum in quouis alio $itu faceret. Ad quod intelligendum, $it dictum brachium, in $itu. B. F. cum eodem pondere in puncto. F. & linea itineris $eu inclinationis dicti ponderis $it. F. u. M. per quam lineam dictum pondus progredi non pote$t, ni$i brachium. B. F. breuius redderetur. Vnde clarum erit quòd pondus. F. aliquantulum $upra cen trum. B. mediante brachio. B. F. nititur. E$t quidem verum, quòd pondus. C. nec ip$um etiam per lineam. C. O. profici$ce- tur, quia iter extremitatis brachij e$t cir- cularis, &. C. O. in vno quodã puncto e$t contingens. Sit hociter. A. C. Q. Opor- tet nunc præ$upponere pondus extremi- tatis brachij deberetanto magis c\-etro. B. inniti, quanto magis linea $uæ inclinatio- nis (ponamus. F. u. M.) propinqua erit di cto centro. B. quod $equenti cap. proba- bo, vt exempli gratia, $it. F. $uper. u. pun- ctum medij ex æquo inter. C. et. B. qua- propter. u. B. æqualis erit. u. C. vnde$e- 10. BAPT. BENED. quetur dictum pondus grauius futurum pro parte. F. C. quam pro ea, quæ e$t. A. F. & minus $upra centrum. B. pro dicta parte. F. C. quam pro parte. A. F. quieturum; & dictum brachium quanto magis orizontale erit à $itu. B. F. tantò minus-$upra dictum centrum. B. quie$cet, & hac ratione grauius quoque erit, & quanto magis vicinum erit ip$i. A. à dicto. F. tantò magis $uper centrum. B. quoque quie$cet, vnde tãtò quo- que leuius exi$tet. Idem dico de omni $itu brachij per girum inferiorem. C. Q. vbi pondus pendebit à centro. B. dictum centrum attrahendo, quemadmodum $uperius illud impellebat. Hæc verò omnia cap. $equenti melius percipientur.

De proportione ponderis extremitatis brachij libr & in diuer$o $itu ab orizontali. CAP. II.

PROPORTIO ponderis in. C. ad idem pondus in F. erit quemadmodum totius brachij. B. C. ad partem. B. u. po$itam inter centrum & lineam. F. u. M. inclinatio- nis, quam pondus ab extremitate. F. liberum ver$us mundi centrũ conficeret. Quod vt facilius intelligamus imaginemur alterũ brachium libræ. B. D. & in extremo. D. locatum aliquod pondus minus pondere. C. vt. B. u. pars. B. C. m nor e$t. B. D. cla- rè cogno$cetur ex. 6. lib. primi de ponderibus Archimedis, quòd $i in puncto. u. col- locatum erit pondus ip$ius. C. libra nihil penitus à $itu orizontali dimouebitur. Sed perinde e$t quòd pondus. F. æquale. C. $it in extremo. F. in $itu brachij. B. F. quã vt $it in puncto. u. in $itu ip$ius. B. u. orizontali. Ad cuius rei euidentiam imaginemur filũ. F. u. perpendiculare, & in cuius extremo. u. pendere pondus, quod erat in. F. vnde cla rum erit quòd eundem effectum gignet, ac $i fui$$et in. F. quod, vt iam diximus re- manens affixum puncto. u. brachij. B. u. tantò minus graue e$t $itu ip$ius. C. quantò. u. B. minus e$t ip$o. B. C. Idem a$$ero $i brachium e$$et in $itu. e. B. quod facilè cogno- $cere poterimus, $i imaginemur filum appen$um ip$i. u. brachij. B. C. & v$que ad. e. perpendicular\-e, in quo extremo appensũ e$$et pondus æquale ponderi. C. & liberũ ab. e. brachij. B. e. vnde libra orizontalis manebit. Sed $i brachium. B. e. con$olida- tum fui$$et in tali $itu cum orizontali. B. D. & app\-e$o põdere. C. in. e. libero à filo, nec a$c\-ederet, neq; de$cenderet. quia tantum e$t quod ip$um $it appen$um filo, {quis} pendet ab. u. quantum quòd ab ip$o liberum app\-e n$um fui$$et. e. brachij. B. e. & hoc procede ret ab eo quòd partim pendereta centro. B. & $i brachiũ e$$et in $itu. B. Q. totum põ dus centro. B. remaneret appen$um, quem- admodũ in $itu. B. A. totũ dicto centro an- niteretur. vnde fit vt hoc modo pondus magis aut minus $it graue, quò magis aut minus à centro pendet, aut eidem niti- tur: atq; hæc e$t cau$a proxima, & per $e, qua fit vt vnum idemq; pondus in vno eo- dem\’q; medio magis aut minus graue exi- DE MECHAN. $tat. Et quamuis appellem latus. B. C. orizontale, $upponens illud angulum rectum cum. C. O. facere, vnde angulus. C. B. Q. fit vt minor $it recto, ob quantitatem vnius anguli {ae}qualis ei, quem duæ. C. O. et. B. Q. in centro regionis elem\-etaris con$tituũt, hoc tamen nihil refert, cum dictus angulus in$en$ibilis $it magnitudinis. Ab i$tis au- tem rationibus elicere po$$umus, quod $i punctus. u. erit ex æquo medius inter cen- trum. B. & extremum. C. pondus. F. aut. M. pendebit, aut nitetur pro medietate dicto centro. B. & $i dictum. u. erit propius. B. quam puncto. C. pendebit ab ip$o, aut nitetur ip$i amplius quã exmedietate, & $i magis ver$us. C. minus quã ex medietate nite\~t.

Quòd quantit as cuiu$libet ponderis, aut uirtus mouens re- $pectu alterius quantitatis cogno$catur beneficio perpendicularium ductarum à centro libr & ad line am inclinationis. CAP. III.

EX ijs, quæ à nobis hucu$que $unt dicta, facilè intelligi pote$t, {quis} quantitas. B. u. quæ ferè perpendicularis e$t à centro. B. ad lineam. F. u. inclinationis, ea e$t, quæ nos ducit in cognitionem quantitatis virtutis ip$ius. F. in huiu$modi $itu, con$ti tuens videlicet linea. F. u. cum brachio. F. B. angulum acutum. B. F. u. Vt hoc tamen melius intelligamus, imaginemur libram. b. o. a. fixam in centro. o. ad. cuius etrema $int appen$a duo pondera, aut duæ virtutes mouentes. e. et. c. ita tamen {quis} linea incli- nationis. e. ide$t. b. e. faciat angulum rectum cum. o. b. in puncto. b. linea verò inclina tionis. c. ide$t. a. c. faciat angulum acutum, aut obtu$um cum. o. a. in puncto. a. Imagi- nemur ergo lineam. o. t. perpendicularem lineæ. c. a. inclinationis, vnde. o. t. minor erit. o. a. ex. 18. primi Euclidis. $ecetur deinde imaginatione o. a. in puncto. i. ita ut o. i. æqualis. $it. o. t. & puncto. i. appen$um $it pondus æquale ip$i. c. cuius inclinationis linea parallela $it lineæ inclinationis ponderis. e. $upponendo tamen pondus aut vir tutem. c. ea ratione maiorem e$$e ea, quæ e$t. e. qua. b. o. maior e$t. o. t. ab$que dubio ex. 6. lib. primi Archi. de ponderibus. b. o. i. non mouebitur $itu, $ed $i loco. o. i. imagi nabimur. o. t. con$olidatam cum. o. b. & per lineam. t. c. attractam virtute. c. $imiliter quoque continget ut b. o. t; communi quadam $cientia, non moueatur $i tu. E$t ergo quod propo$uimus verum quantitatem alicuius ponderis re$pectu ad eam, quæ e$t alterius debere depræhendi à perpendicularibus, quæ à centro libræ ad lineas incli nationis exiliunt. Hinc autem innote$cit facillimè, quantum vigoris, & vis pondus, aut virtus. c. ad angulum rectum cum. o. a. minimè trahens, amitttat. Hinc quoque co rollarium quoddam $equetur, quò d quantò propinquius erit centrum. o. libræ cen- tro regionis elementaris, tantò quo que minus erit graue.

IO. BAPT. BENED. Quemadmodum ex$upradictis cau$is omnes staterarum & uectium cau$æ dependeant. CAP. IIII.

VIs brachij longioris alicuius $tateræ, aut vectis, maior breuioris, ab ijs, quæ in $u perioribus capitibus diximus, ide$t {quis} nitatur pendeatu\-e magis aut minus à centro pondus in extremitate brachij maioris po$itum, oboritur. Quamobrem illud à nobis primò e$t cogno$cendum, $tateras, aut vectes, puras mathematicas li- neas non e$$e, $ed naturales, hincque exi$tere corpora cum materia coniuncta. Nunc igitur imaginemur. n. s. eam $uperficiem e$$e, quæ $ecundum longitudinem axem $ta teræ $cindit. & $upponamus ip$ius centrum e$$e primum in. i. & maius brachium e$$e .i. u: minus autem. i. n. & lineam verticalem. i. o. quæ tanta $it, quanta e$t $pi$$itu- do, aut cra$$ities ip$ius $tateræ à $uperiori latere ad inferius, ad faciliorem intelligen- tiam, $upponendo. n. s. parallelogrãmam. Po$itis igitur duobus ponderibus æquali- bus in extremitatibus brachiorum, experientia innote$cit, {quis} pondus ad. u. s. appen- $um, viol entiam faciet ponderi appen$o ad. n. x. $ed nos volumus inue$tigare causã huius effectus, quæ à nemine vnquam literarum monumentis, {quis} $ciam, con$ignata fuit. Iam diximus $tateram, aut vectem materialem e$$e &. n. s. eius $uperficiem me- diam, $upponendo. i. e$$e centrum quo nititur dicta $tatera aut vectis; Cum hocer- go ita $e habeat, $int. u. s. et. n. x. lineæ inclinationum ponderum, & imaginemur, {quis} dicta pondera pendeant à punctis. u. et. n. vt reuera pendent, etiam $i appen$a e$$ent $ub. s. et. x. quia punctum. u. & punctum. n. ita coniuncta $unt cum. s. et. x. ut qui vnũ trahit alterum quoque trahat. Imaginemur quoque duas lineas. i. u: i. n. et. i. e. qu{ae} i. e. faciat angulum. o. i. e. æqualem angulo. o. i. n. Hinc clarè nobis patebit, $i quis ip$i e. pondus ip$ius. u. ({quis} æquale e$t ponderi. n.) appenderet, id eandem planè vim habe ret, quam pondus ip$ius. n. habet, & $tateram neque $ur$um, neque deor$um moue- ret, quia ambo pondera ad centrum. i. mediantibus lineis. e. i. et. n. i. ex{ae}quo annite- rentur, $ed dicto pondere po$ito in. u: linea. u. i. per quam pondus centro annititur, magis orizontalis quam. e. i. fit, & linea. u. s. inclinationis longius di$tans à centro. i. quàm linea. e. t. vnde huiu$modi pondus magis quoque liberum à centro. i. re$ultat. magisque pondero$um, quam cum erat in. e. ratione eorum, quæ primo & $ecundo capitibus diximus, & ob hanc cau$am $uperat pondus po$itum in. n. Sed $i centrum fuerit. in. o. imaginabimur duas lineas. o. s. et. o. x. & $upponemus quòd pondera po- $ita $int in. s. et. x. vnde exi$tente magis orizontali linea. o. s. quam erit. o. x. & linea u. s. inclinationis longius di$tante à centro. o. quàm linea. e. t. eius pondus erit quoq; DE MECHAN. grauius, quia tantò minus pendebit à centro. o. & ratiocinando, vt $uperius dixi- mus, inueniemus eundem effectum verum e$$e. In $tateris, rectè & propriè appella ri pote$t. x. i. s. aut. n. o. u. orizontalis, $ed in omni vectium $pecie, hoc tãtum per quan dam $imilitudinem dicetur. Idem contemplari licet $upponendo centrum in medio inter. o. et. i. quod vnu$qui$que ex $e ab$que alterius auxilio facile præ$tare poterit.

De quibu$dam rebus animaduer$ione dignis. CAP. V.

NOn omittenda mihi vid\-etur quædam, quæ ad tractation\-e vectium admodum $unt nece$$aria. Quod autem quærimus, in eo con$i$tit, quòd aliqui vectes adhibeantur ad opus, quorum centrum, quod Græci hypomochliõ appellant vnum e$t ex extremis ip$ius vectis, & pondus, quod $ur$um eleuari debet, inter ip$a- met extrema iacet, propinquum tamen hypomochlio, vt exempli gratia, $i vectis e$$et infra$cripta figura. o. s. u. x. cuius hypomochlion e$$et in puncto. o. & pondus in puncto. n. clarum erit, {quis} cum eleuari debeat. n. oportebit quoque opera manus ele- uari. u. Nunc con$iderandum e$t quomodo pondus. n. annitatur ad. u. Hanc ob cau $am imaginabimur rectas lineas. n. o: n. i: n. e: n. t. et. n. u. quarum. n. i. ver$us mundi cen trum $it po$ita, et. n. t. faciat angulum. i. n. t. æqualem angulo. i. n. o. Nunc ponendo ali quam virtutem in. i. æquali inclinatione ad $uperius con$tante, vt. n. ad inferius (re- mota tamen grauitate materiæ vectis) huiu$modi virtus, totum pondus ip$ius. n. com muni quadam $cientiæ notione $u$tinebit. & $i põdus ip$ius. n. e$$et in. x. è directo $u- per. o. totum pondus $uper hypomochlio $e haberet, & tanta virtus ip$ius hypomo- chlij $ufficeret ad re$i$tendum pro $u$tinendo, quanta e$t grauitas ip$ius ponderis, $ed ip$um iterum ponamus in. n. ibi clarum erit, quòd $i alia virtus à parte in$eriori ad $uperiorem vectis non opponitur, excepto tamen hypomochlio, oportebit virtu te cuiu$dam partis ponderis. n. (ab$que con$ideratione tamen, vt iam dixi, ponderis materiæ vectis) vt vectis à parte. s. u. deprimatur, & dixi vnius cuiu$dam partis pon- deris. n. quia alia eiu$d\-e ponderis pars annititur ip$i hypomochlio. o. mediãte linea o. n. quæ angulos rectos cum. o. x. non facit. Si autem à puncto. t. opponet $e$e huiu$- modi re$i$tentia, vt vectis non deprimatur, clarum erit communi $cientia, {quis} virtus ponderis. n. diui$a erit per medium æqualiter, cuius vna medietas $uper. o. quie$cet, & alia $uper. t. mediantibus duabus lineis. n. o. et. n. t. Imaginemur nunc re$i$tentiam t. ablatam e$$e, po$itamq; in. e. clarum quoque erit, {quis} maior pars ponderis. n. ip$i. e. annitetur beneficio lineæ. n. e. quàm ip$i. o. cum linea. n. i. inclinationis ip$i. e. $it pro pinquior quam. o. quia omnis re$i$tentia aut in. i. aut in. e. aut in. t. aut in. u. e$t loco centri, quemadmodum e$t. o. & alter alterius opera iuuatur. Si verò eadem re$i$ten tia po$ita erit in. u. clarum quoque erit, {quis} minor pars ponderis. n. annitetur ip$i. u. quã ip$i. o. cum dicta. n. i. à centro. u. longius quam à centro. o. di$ter, & proportio partis ponderis. n. in. o. ad propor- tionem partis ponderis. n. in u. non erit $ecũdum propor tionem angulorum. u. n. i. et o. n. i. $ed $ecundum propor tionem. u. i. ad. i. o. quod cla rè compræhendi pote$t ab IO. BAPT. BENED. huius effectus conuer$o, ide$t, vt quemadmodum nunc $upponuntur. o. et. u. e$$e duo centra quibus $u$tine\~t pondus. e. ip$ius. n. imaginemur. n. e$$e quoddam centrum à quo pendeant duo pondera. o. et. u. $ic inuicem proportionata, ut $unt. u. i. et. i. o. certe horum ponderum cau$a $tatera. o. s. quam vectem appellabamus à nulla parte inclinabitur. Redeuntes nunc ad propo$itum, dicemus {quis} annitente pondere ip$ius. n. minus ad. u. quam ad. o. ide$t ad. t. minori vi opus erit in. u. quàm in. t. ad attollen- dum pondus ip$ius. n. & $ic per con$equens quantò longius erit punctum. u. ab. t. tan tò minori quoque vi egebit, & con$equenter quando vis, aut re$i$tentia in. u. ita pro portionata erit illi, quæ e$t ip$ius. o. vt e$t. o. i. ad. i. u. vectis non mouebitur. Sed quan do erit proportio maior, re$i$tentiæ ip$ius. u. ad eam, quæ e$t ip$ius. o. ea, quæ e$t. o. i. ad. i. u. tunc vectis à par- teip$ius. u. s. eleuabitur, $i vero proportio minor e$$et quàm. o. i. ad. i. u. tunc ve- ctis ab eadem parte depri- metur.

Deratione cuiu$dam uis adauctæ. CAP. VI.

QVibu$dam in locis vtuntur quidã quodã in$trum\-eto pi$torio ad $ubig\-edã pa- $tam, vnius tantum hominis ui adhibita, quæ quidem machina cum mihi di- gna contemplatione e$$e videatur, eius aliquam rationem proponere volui, pro cu- ius de$criptione imaginemur planum, in quo $edet ille, qui voluit pa$tam, & in quo ip$a pa$ta e$t repo$ita. T. S. D. & triangulum. T. A. S. immobile perpendiculare- \’que $uperficiei dicti plani, angulo autem. A. coniunctum lignum. A. E. vt $emidiame trum mobilem, & æqualem perpendiculari ip$ius trianguli, unde. A. loco centri erit et. D. O. $it $emidiameter, qui pa$tam contundit, & ab eius extremo. O. (quod. O. quando. D. O. orizontalis e$t, in ba$i dicti trianguli reperitur) veniat lignum. O. V. quod cum. A. V. $it æquale perpendiculari imaginatæ ab angulo. A. ba$i. T. S. deno- datũ tñ utvulgo dici\~t $eu flexile in. O. & in. V. vt elleuare atq; deprimere $emidiame trum. D. O. po$$it, et. V. O. $it æqualis. A. V. et. V. medium $it inter. A. et. E. vnde. A. V. cum. O. V. æquales erunt. A. E. $unt deinde duo ligna perp\-edicularia ab. A. ad ba$im fixa, & immobilia inter $e adeò di$tantia, vt inter ip$a pertrã$eãt. O. V. et. D. O. $upra & infra, ne deuiet $emidiametrum. D. O. In extremitate deinde ip$ius. E. $it lignum quoddam tenue, vt digitus polex, ad angulos rectos cum. A. E. quod ab aliquo, qui antedictam machinam $tet, manibus teneatur, qui quidem homo idip$um lignum, ide$t $emidiametrum. A. E. à $uperficie trianguli dicti, ad $e trahendo, & deinde ver $us eundem triangulum impellendo, vim quandam maximam mediante $emidia metro. D. O. $uper pa$tam excitat.

Pro cuius rei contemplatione volo vt $ecundam hanc $ub$criptam figuram. b. a. u. x. imaginemur, in qua. u. exprimat. A. primæ figuræ, &. a. denotet. O. &. o. V. &. x. E. imaginemur etiam. u. a. ba$em trianguli. a. u. o. cui. o. t. perpendicularis dictæ ba$i. u. a. addatur. Hucu$q; igitur. u. o. æqualis erit. o. x. & ip$i. o. a. imaginemur etiam. a. o. v$que ad. b. ita productam vt. o. b. æqualis $it. o. a. ponamus etiam pondus in. a. impel- DE MECHAN. lere ver$us. u. vnde linea eius inclinationis $it $emper. a. u. $upponamus etiam. a. o. b. e$$e librã, aut $tateram, aut vectem, &. o. eius centrum, vnde vis, aut virtus ip$ius. a. proportionalis erit ip$i. o. t. re$pectu virtutis, aut vis imaginatæ in. b. inclinationis perpendicularis ip$i. b. a. quæ quidem virtus, aut vis in. b. proportionalis erit ip$i. b. o. ex tertio capite huius tractatus; Si ergo fui$$et po$ita in. b. virtus quædarn ad an- gulum rectum, trahens lineam. b. o. tam proportionatam virtuti perpendiculari ip- $ius. a. quam e$t. o. t. proportionata ip$i. o. b. $tatera. b. o. a. non moueretur, $ed quæuis portio maior in. b. $uperaret. a. cum autem fuerit. o. x. æqualis ip$i. o. b. id\-e planè eue- niet, communi quadam $cientia, ponen- do virtutem. b. in. x. Quantitas ergo virtu tis in. x. quæ $uperare debet re$i$tentiam in. a. quæ ip$i. u. contraponitur, debet ha- bere aliquantulum maioris proportionis ad re$i$tentiam, quæ in. a. angulum re- ctum efficeret cum. a. o. ea, quæ e$t. o. t. ad. o. x.

IO. BABPT. BENED. De quibu$dam erroribus Nicolai Tartaleæ circa pondera corporum & eorum motus, quorum aliqui de$umpti fuerunt à fordano $criptore quodam antiquo. CAP. VII.

CVm magis amici veritatis e$$e debeamus quàm cuiu$quam hominis, quemad- modum Ari$to. $cribit, detegam hoc loco quo$dam errores Nicolai Tartale{ae} de ponderibus corporum, & velocitatibus motuum localium. Et primum decipitur is in. 8. lib. $uarum diuer$arum inuentionum in $ecunda propo$itione, cum non ani- maduerterit quanti momenti $int extrin$ecæ re$i$tentiæ.

Subiectum quoque tertiæ propo$itionis e$t malè demon$tratum, quia idem pla- nè ex eius demon$tratione iam dicta corporibus hætereogeneis, aut figura diuer$is contingeret, quod ad velocitates attinet.

In quarta propo$itione, quod ad di$putãdũ proponit nõ concludit melius. aut\-e id ab eo $equi\~t, quod Archimedes in. 6. propo$itione lib. primi de põderibus {pro}bauit.

Sed in $ecunda parte quint{ae} propo$itionis non uidet {quis} uigore $itus eo modo, quo ip$e di$putat, nulla elicitur ponderis differentia. quia $i corpus. B. de$cendere debet per arcum. i. l. corpus. A. a$cendere debet per arcum. u. s. æqualem, & $imilem. eadem quoque ratione $ituatum, vt e$t arcus. i. l. vnde vt e$t facilè corpori. B. de$cendere per arcum. i. l. difficile ita erit corpori. A. a$cendere per arcum. u. s. H{ae}c autem qnin ta propo$itio Tartaleæ e$t $ecuuda quæ$tio à Iordano propo$ita.

Quòd autem ad primum corollarium dictæ propo$itionis attinet, verum ille qui dem $cribit, eius tamen effectus cau$a & à Iordano prius, & ab ip$o po$tea citata, na- tura $ua vera non e$t. quia vera cau$a per $e ab eo oritur, {quis} à centro libræ dependeat vt primo cap. huius tractatus o$tendi. Secundum verò corollarium fal$um e$$e, ijs ra tionibus quas nunc $ubiungam, patebit. Imaginemur. u. pro centro regionis ele- mentaris, & libram. b. o. a. obliquam re$pectu ad. u. & brachijs æqualibus con$tãtem, & pondera in. a. et in. b. etiam æqualia. lineæ autem inclinationum $int. a. u. et. b. u. imaginemur etiam lineam. o. u. & à centro. o. libræ duas. o. t. et. o. e. perpendiculares inclinationum lineis; vnde pondus ip$ius. a. in huiu$modi $itu tam erit proportiona tum ponderi. b. quam proportionata erit linea. o. t. lineæ. o. e. ex eo {quis} tertio cap. hu- iustractatus probaui, $ed linea. o. t. maior e$t linea. o. e. quod $ic probo. Imaginemur triangulum. u. a. b. circun$criptum e$$e à circulo. u. a. n. b. cuius. c. $it centrum, {quis} erit extra lineam. u. o. cum $upponatur. a. o. b. obliquam e$$e re$pectu ad. u. o. Imagine- mur deinde à centro. c. lineam. c. o. s. v$que ad circunferentiam, quæ perpendicula- ris erit ip$i. a. b. extertia lib. 3. Eucli. $i po$teà imaginemur duas lineas. c. a. et. c. b. ha bebimus ex. 8. lib. primi, angulum. a. c. o. æqualem angulo. b. c. o. Vnde ex. 25. lib. 3. arcus. a. s. æqualis erit arcui. b. s. $ed $i imaginabimur. u. o. ad circunferentiam v$que productam, clarum erit {quis} arcum. s. b. $ecaret in puncto. n. vnde arcus. n. b. minor erit arcu. n. a. & $ic etiam angulus. n. u. b. minor erit angulo. n. u. a. ex ultima lib. 6. Imagi- nemur nunc alium quendam circulum, cuius. o. u. $it diameter, cuius circunferentia per duo puncta. e. et. t. prætergradia\~t, cum in ip$is $int angulirecti, quod quilibet ex $eratio cinando colligere pote$t, $i. 30. lib. 3. in mentem reuocauerit. Sed cum angu- lus. o. u. t. $it maior angulo. o. u. e. arcus. o. t. maior erit arcu. o. e. ex vltima. 6. vnde cor da. o. t. maior erit corda ip$ius. o. e. ex conuer$o. 27. lib. 3. quod e$t propo$itum. Pon- dusigitur ip$ius. a. in huiu$modi $itu, pondere ip$ius. b. grauius erit. Quod è directo ijs repugnat quæ Tartalea in 2. parte quinræ propo$itionis edi$erit, & per con$equens 2. corollarij fal$itatem o$tendit, vt eam quoque, quæ in 6. propo$itione latet. quia cũ DE MECHAN. proportio põderis. a. ad pon dusip$ius. b. eadem $it cum ea qu{ae} e$t. o. t. ad. o. e. $ub co gnition\-e no$tram cadere po te$t, primum cogno$cendo angulos obliquitatis libr{ae}, ide$t angulos. b. o. u. et. a. o. u. quia oportet $emper $up- ponere $itum aliquem no- tum. Si nobis deinde co- gnita erit proportio ip$ius. o. u. ad. o. b. et. ad. o. a. a$$e- quemur cognitionem angu li. b. et. o. a. u. & per con$e- quens ip$ius. o. a. t. eius re$i- dui, vnde po$tea beneficio angulorum. e. et. t. rectorum & laterum. o. b. et. o. a. cogni torum in cognitionem. o. t. et. o. e. facile deueniemus.

CAP. VIII.

QVod autem idem Tartalea in. 6. propo$itione, & Iordanus in $ecunda parte. $ecundæ propo$itionis $cribunt, maximum quoque errorem in$e continet. Dicunt enim angulũ h. a. f. differentem ab angulo. d. b. f. alia ra- tione non e$$e quàm per angulum conta- ctus duorũ circulorũ, vt in $ua figura $cribit Tartalea; id quod fal- $i$$imum e$t. Quã ob cau$am in $ub$cripta figura $it libra. B. A. & eius centrum. C et. u. centrũ regionis ele mentaris, et. A. u. et. B. u. lineæ inclinationũ. Imaginemur deinde lineam. B. K. parallelã ip$i. A. u. quæ gyrum. B. F. A. in puncto. K. communi $cientiæ pr{ae} cepto $cindet, & habe bimus angulum. K. B. Z. æqualem angulo. H. A. F. ide$t. u. A. F. (quia. H. u. et. D. unũ $unt) cum ex. 29. libr. primi Euclidis angu- IO. BAPT. BENED. lus u. A. C. æqualis $it angulo. K. B. T. & an- gulus. C. A. F. æqua- lis angulo. T. B. Z. nũc comparatio e$t inter angulum. D. B. F. & an gulum. K. B. Z. mi$tili- neos, qui quidem duo anguli, cõmunem ha- bent angulum mi$tili neum. K. B. F. quapro- pter $i angulus. K. B. Z. mi$tilineus maior e$t angulo. D. B. F. mi$ti- lineo per angulum. K. B. Z. contingentiæ, circulorum ergo angu lus mi$tilineus com- munis. K. B. F. æqualis erit mi$tilineo, angu- lo. D. B. F. pars vide- licet $ui toto. Omnis autem error in quem Tartalea, Iordanusq; lap$i fuerunt ab eo, {quis} lineas inclinationum pro parallelis vici$$im $ump$erunt, emana- uit.

Septima propo$itio Tartaleæ, quæ e$t <003>nta quæ$tio Iordani mihi vide\~t excipien- da ri$u, cum pondus ip$ius. A. ponderi ip$ius. B. exi$tens æquale, grauius $it pondere eiu$dem. B. ratione minoris aperturæ anguli contingentiæ in. A. quam in. B. in quo idem error committitur, qui in præcedenti committebatur, cum $cilicet ip$e putet lineas. A. E. et. B. D. figuræ ab eo confictæ $ibi inuicem e$$e parallelas, quæ etiam $i æquidi$tantes e$$ent (vnde angulus. E. A. G. minor e$$et angulo. D. B. F.) non eam ta men ob cau$am huiu$modiangulorum differentia cau$a e$$et differentiæ grauitatũ ip$orum. A. et. B. ob ea quæ cap. 4. huius tractatus po$ui.

Octaua autem propo$itio, quæ e$t. 6. quæ$tio Iordani Iongè melius demon$tratur ab Archi. in. 6. lib. primi de ponderibus, cum nec à Iordano, nec à Tartalæa probata fuerit, cum ijdem non probauerint præcedentes, quas in dicta. 8. Tartal{ae}a citat, qui neque etiam probat nonam. 10. 11. 12. et. 13. cum ad pr{ae}cedentes probandas mini mè acce$$erit.

Quartadecima verò, quæ e$t. 10. qu{ae}$tio Iordani, duas ob cau$as e$t fal$a, quarum vna e$t, {quis} ($upponendo. A. D. E. G. B. e$$e vnum brachium libr{ae} et. A. punctum c\-etri eiu$dem, et. D. pondus {ae}quale ponderi. E. & lineas inclinationum. D. K. et. E. M.) an guli. K. D. E. et. M. E. G. $ibi inuic\-e nõ $unt {ae}quales; cũ ille angulus $it intrin$ecus, hic verò extrin$ecus & oppo$itus dicto intrin$eco vni<_>9 triãguliterminatià. D. E. à. D. K. DE MECHAN. et. E. M. lineis productis v$que ad centrum regionis elementaris, vnde dictus angu- lus. M. E. G. maior e$t alio, ex. 16 lib. primi Eucli. Qua ratione fit, vt hanc ob cau$am E. grauius $it ip$o. D. cum minus dependeat à centro. A. vt primo cap. huius tractatus iam dixi. Alia quoque e$tratio, qua dictum. E. grauius fit ip$o. D. qu{ae} quidem e$t maior di$tantia à centro. A. libræ, per $imiles rationes capit. 4. huius tractatus ci- tatas.

Decimaquinta quoq; nil penitus valet, qu{ae} e$t. 11. qu{ae}$tio Iordani, cuius Autho- ris opu$culum opera Traiani Bibliopol{ae} Venetijs è tenebris in lucem emer$it.

Quòd$ummaratione $tateræper æqualia interualla $int diui$æ. CAP. IX.

MAgna cum ratione diuidũtur $tateræ per interualla {ae}qualia, in libras, aut in vncias, aut quoquo alio modo. Nam $it $tatera exempli gratia. a. b. & punctum, {quis} eam $u$tinet $it. c. & vas illud, {quis} continetid, quod ponderari debet f. Imaginemur nunc quod pondus brachij. c. b. ab una parte, & pondus brachij. c. a. cũ eo, {quis} e$t dicti va$is. f. ab altera parte, $int cau${ae}, quibus $tatera. a. b. c. $tet orizonta- lis. cui $ic orizontali manenti imaginemur ad punctum. a. adiunctum e$$e pondus, veluti vnius libr{ae}. & ad punctum. d. tam di$tanti à. c. ut e$t. a. ab ip$o. c. aliud quoque pondus vnius libræ additũ e$$e, vnde cõi quadã $cientia $tatera, non mouebitur $itu. <003>a exi$tentibus duobus hi$ce ponderibus æqualibus, altero in. d. & altero in. a. remo ta cum e$$ent. d. b. et. f. ab$que dubio. a. d. non mutaret $itum, $ed. d. b. et, f. in $itu, in quo reperiuntur, à centro paribus viribus pr{ae}dita $unt. Addendo igitur. d. b. ip$i. d. et. f. ip$i. a: $umma earum, æqualibus quoque viribus con$tabunt. ex communi $en- tentia, quæ habet $i {ae}qualibus addas {ae}qualia, tota quoque fient {ae}qualia. Si verò ponderi ip$ius. a. aliud adderetur eidem {ae}quale, haberemus in. a. duplum pon- dus ei {quis} e$t ip$ius. d. $ed volentes vt $olum cum pondere ip$ius. d. $tatera $tet orizon talis, $i dictum pondus ip$ius. d. longè di$tabit à centro. c. per duplum ip$ius. c. a. ide$t ip$ius. c. d. id {quis} volumus a$$eque- mur, beneficio $upradictarum ra tionum, adiuti opera $ext{ae} lib. pri mi de põderibus Archimedis. Et $i quis aliud quoq; pondus adiun geret ip$i. a. æquale illi priori, ad effici\-edum, vt $tatera $emper ori zontalis maneret, oporteret, vt põdus ip$ius. d. ab. c. longè di$taret, ita vt huiu$modi di$tantia tripla e$$et primæ, & $ic per quo$dam qua$i gradus interualla redderentur æqualia.

IO. BAPT. BENED. Quòd line a circularis non habe at concauum cum con- uexo coniunctum, & quod Aristo. cir caproportio nes motuum aberrauerit. CAP. X.

ARi$toteles in principio quæ$tionum Mechanicarum ait lineam, quæ terminat circulum videtur conuexum habere coniunctum cum concauo, quod fal$um e$t: quia huiu$modi linea partes nullas $ecundum latitudinem habet, (vt ip$e etiam confirmat) $ed e$t idem conuexum circuli: linea verò quæ terminus e$t $uperficiei ambientis, & amplectentis circulum e$t eadem concauitas dictæ $uperficiei eun- dem circulum ambientis, quæ nullam conuexitatem habet. & hæ duæ $unt lineæ, quarum vna diuer$a e$t ab alia, neque altera alterius, quod ad conuexum, & ad con- cauum attinet.

Sed illud, quod Ari$toteles $cribit de duplici re$pectu motus vnius puncti $ecun dum vnam datam pro portionem, non $ufficit, ille enim $ic ait.

Sit proportio $ecundum quam latum fertur, quam habet. A. B. ad. A. C. et. A. qui dem feratur ver$us. B: A. B. verò $ubterferatur ver$us. M. C. latum autem $it. A. quid\-e ad. D. vbi autem e$t. A. B. ver$us. E. Quoniam igitur lationis erat proportio, quam. A. B. habet ad. A. C. nece$$e e$t &. A. D. ad. A. E. hanc habere rationem. Simile igi tur e$t pro portione paruum quadr ilaterum maiori. Quamobrem etc.

Cui re$pondeo, punctum. A. quod mouetur in linea. A. M. ab. A. ver$us. M. v$que ad. F. non moueriab aliqua proportione determinata magis quàm ab alia: vnde nõ $olum po$$umus imaginari dictum punctum. A. moueri ab. A. v$que ad. F. eiu$dem velocitatis $ub alia quadam proportione, $ed etiam $ub alia, quæ iam datæ contraria $it, vt e$t proportio ip$ius. A. C. ad. A. B. imaginãtes moueri. A. ver$us. C. et. A. C. ver $us. B. M. delatam. Dico etiam idem. A. moueri v$que ad. F. $ecundum proportio- nem ip$ius. A. O. ad. A. N. Quamobrem imaginemur à puncto. F. lineam. F. H. cum linea. F. A. efficere angu- lum æqualem angulo. O. P. A. & à puncto. A. lineã A. H. cũ linea. A. F. face- re angulũ æqual\-e angulo O. A. P. unde angulus. H. æqualis erit angulo. O. ex. 32. libr. primi Eucl. & triangulũ. A. H. F. {ae}qui angulum erit triangulo. A. O. P. Quam ob causã ead\-e proportio erit ip$i<_>9 A. H. ad. F. H. qu{ae} \-eip$ius A. O. ad. O. P. punctum igitur. A. v$que ad. F. mouetur $ecundum proportionem etiam ip$ius. A. O. ad. O. P. Huiu$modi igitur con$ideratio, ab Ari$totele facta, nullius e$t momenti.

DE MECHAN. Quod Aristo. in prima mechanicarum quæstionum eius quod inquir it, uer am cau$am non attulerit. CAP. XI.

QVærens Ari$toteles vnde fiat, vt eæ libræ, quæ brachia habent alijs longiora, $int exactiores cæteris, ait hoc euenire ratione maioris velocitatis extremo rum earundem. Quod verum non e$t; quia hîc effectus nil aliud e$t, quam clarius pro ponere ob omnium oculos obliquitatem brachiorum à linea orizontali, & o$tende- re etiam facilius à dicto orizontali $itu exire brachia iam dicta. Quæ quidem per $e neque à velocitate, neque à tarditate motus, $ed à ratione vectis, & à ma- iori interuallo inter $ecundum $itum extremorum à primo profici$cuntur. Vt exem- pli gratia, imaginemur magnam libram. A. B. orizontalem, cuius centrum $it. E. et pondus. B. maius $it pondere ip$ius. A. vnde conceditur, quòd ob hanc rationem di- cta libra $itum mutabit, qui $ecundus $itus $it in. H. F. Imaginemur etiam paruã quã- dam libram. a. e. b. orizontalem, quæ pondera habeat. a. et. b. æqualia duobus ponde ribus alterius libræ & $ecundus $itus $it in. h. f. ita tamen vt anguli circa. e. æquales $int ijs, qui $unt circa. E. ide$t. b. e. f. $it {ae}qualis. B. E. F. Nunc dico $itum. H. F. exa- ctior\-e futurum & clariorem $itu. h. e. f. ratione interualli. B. F. maioris, interuallo. b.f. quod. B. F. in eadem proportione maior e$t ip$o. b. f. in qua. B. E. maius e$t. b. e. quod autem interuallum. B. F. breuiori, aut longiori temporis $pacio quam. b. f. $it fa ctum, nil planè refert. Ratione vectis deinde, dico {quis} $i $upponemus duas libras pa- res æquales\’q; in omni alio re$pectu, præter quàm in brachiorum longitudine, pon- dus. B. maiorem vim habebit ad deprimendum brachium. E. B. quàm pondus. b. quia libræ materiales, cum $u$tineantur ab. E. e. & non à puncto mathematico, $ed à linea, aut $uperficie naturali in materia exi$tente. vnde aliqua re$i$tentia ip$i mo- tui brachiorum oritur, & hanc ob cau$am, $upponendo hanc re$i$tentiam æqualem tam in. E. quàm in. e. clarum erit ob ea, quæ in cap. 4. huius tractatus o$tendi. B. cum minus dependeat ab. E. aut minus quoque eidem. E. annitatur, pondero$um magis futurum, quam. b. & hac de cau$a mouebit ad partem inferiorem, maiori cum agilita te, brachium. E. B. multo magis etiam illud ip$um deprimet, ide$t maiorem etiam an gulum. B. E. F. quàm erit angulus. b. e. f. faciet.

IO. BAPT. BENED. De uer a cau$a $ecundæ, & tertiæ quæstionis mechanicæ ab Ari$totele nonper$pecta. CAP. XII.

ARi$toteles in $ecunda quæ$tionum mechanicarum quærens illius rationem $ic $cribit.

Cur $iquidem $ur$um fuerit $partum quando deor$um lato pondere qui$piam id admouet rur$us a$cendit libra: $i autem deor$um con$titutum fuerit non a$cendit, $ed manet? an quia $ur$um quidem $parto exi$tente plus libræ extra perpendiculum $i ($partum enim e$t perpendiculum) quare nece$$e e$t deor$um ferriid, quod plus e$t, quare & cætera.

Sed vera cau$a, vnde fiat, vt $i $partum fuerit $ur$um, & brachium vnum ipfius libræ deprimendo, & idem liberum deinde permittendo, ad $itum ori- zontalem redeat, non $olum e$t maior quantitas ponderis brachiorum quæ iam præ tergre$$a e$t vltra verticalem lineam, $ed etiam e$t longitudo brachij eleuati, quæ vl tra verticalem lineam reperitur, vnde eius extremi pondus redditur grauius in pro- portione, quam in hoc exemplo proponam, $it. A. B. libra in $itu orizontali, cuius $partum $it. E. $uper ip$am. & deprimentes brachium ip$ius. A. v$que ad. F. eius $itus $it in. F. H. vnde medium pũctum. G. prætergre$$um erit lineam verticalem. V. Z. ver $us. B. quæ. V. Z. $ecabit brachium. F. G. in puncto. D. vnde. D. H. longius erit ip$o. F. D. Nunc nobis $upponendum e$t id, quod veri$$imum exi$tit, dictam $cilicet li bram in $itu. F. H. etiã $i $u$tineatur à pun- cto. E. idem tamen futurum ac $i $u$tenta- retur in puncto. D. vnde $equitur, quod pondus appen$um ex ip$a. H. ita grauius reddatur, ip$o. F. in eadem propor- tione, quæ maiore$t. D. H. ip$o. D. F. ob rationes quas in primis huius tractatus ca- pitibus po$ui, vt etiam $i. D. H. quodmate riale e$$e $upponitur, nullam plan$e4; graui- tatem haberet, $olustam\-e exce$$us vis pon deris in. H. po$iti, longè maior pondere in F. collocato pro maiorilongitudine ip$ius D. H. $ufficiat. ad præ$tandum vt libra ad $itum orizontalem redeat.

In $ecunda deinde huius qu{ae}$tionis par te, in qua $cribit libram in $itu, in quo po$i ta e$t, firmam manere, toto c{ae}lo aberrat, quia nece$$ariũ e$t, vt omninò cadat, eòu$q; quò $partum $ur$um remaneat: ablato tamen omni impedimento, quod nulla eget probatione, cum natura $ua clari$$imè pateat.

Cau$a, deinde, vera tertiæ quæ$tionis non e$t ea, quam Ari$toteles ponit, $ed hu- iu$modi effectus ab eo, quod capitibus. 4. et. 5. huius tractatus propo$ui originem habet.

DE MECHAN. Quòd Ari$totelisratio in 6. quæ$tione po$it a non $it admittenda. CAP. XIII.

VOlens Ari$toteles rationem proponere, vnde fiat, vt nauis velocius moueatur cum antennam altiorem quàm cum depræ$$iorem habet, id ad vectis ratio- nem refert, quod verum nõ e$t. Huiu$modi enim ratione nauis tardius potius, quàm velocius ferri deberet, quia quantò altius e$t velum, vi venti impul$um, tãtò magis proram ip$ius nauis in aquam demergit. Sed huiu$modi effectus à maiori potius quantitate venti quam recipit, quàm ab alia aliqua cau$a oritur, quia ventus liberius vehementius\’q; in altiore parte, quàm in depræ$$ione vagatur & perflat.

Quòdrationes ab Ari$totele de octaua quæstione confictæ $ufficient es non $int. CAP. XIIII.

RAtiones etiam ab Ari$totele propo$itæ pro indaganda octauæ quæ$tionis ve- ritate, in qua quærit vnde fiat, vt corpora rotundæ figuræ, ad voluendũ $int faciliora reliquis, quarum reuolutionum corporum tres $pecies a$$ignat, quarũ vna e$t, vt rotarum curruũ; altera vt rotarum puteorum, aut trochlearum, quibus hauri- tur aqua; & tertia, vt paruorum va$orum a figulis fabricatorum, $uffici\-etes nõ $unt.

Incipiens autem à prima dico dubium non e$$e, quin tangente corpore aliquo ro tundo aliquod planum mediante $olo quodam puncto contingat, quemadmodum probat Theodo$ius in. 3. lib. primi & Vitellio in. 71. lib. primi, & duc\-edo per centrũ $phæræ lineam v$que ad punctum contactus, ip$a erit perpendicularis plano contin- genti $ph{ae}ram dictam, vt probat id\-e Th{ae}odo$ius in. 4. lib. primi Alhaz\-e in. 25. quar- ti, & Vitellio in. 7. primi. Verum etiam e$t omnem inclinationem pondero$am huiu$ modi corporis homog{ae}nei totam hanc lineam æqualiter omni ex parte circundare; cuius quidem rei exemplum in carta de$cribere po$$umus mediante figura circulari hîc $ub$cripta. a. n. e. u. contigua lineæ rectæ. b. d. in puncto. a. vnde. e. o. a. perpendicu laris erit ip$i. b. d. ex. 17. lib. 3. Eucli. & tantũ ponderis habebimus à parte. a. u. e. quan tum ab ip$a. a. n. e. Nuncigitur $i imaginabimur ductum e$$e centrum ver$us. u. per lineam. o. u. parallelam ip$i. a. d. clarum nobis erit, {quis} ab$q; vlla difficultate aut re$i$tentia id\-e ducemus, quia huiu$modi centrum ab inferiori parte ad $uperiorem, nunquam mutabit $itum re$pectu di$tãtiæ $eu interualli, qu{ae} inter ip$um lineam\’que. a. d. intercedit, {quis} quidem centrum in $e colligittotum pondus figur{ae}. a. n. e. u. & be neficio lineæ. e. o. a. illud ip$um puncto. a. in li- nea. b. a. d. committit, productum. a. nil refert, vt magis, aut minus ver$us ip$um. d. aut ver$us b. diriga\~t; ita vt cũ non oporteat vt huius figuræ põdus, vna vice, magis eleuetur, quàm alia, $ed $emper {ae}qualiter $uper lineam. b. a. d. quie$cat. IO. BAPT. BENED. Sitq; $emper diui$um à linea. a. o. e. per medium, $equitur communi quodam con- ceptu, nullam nobis difficultatem oborituram, dictum centrum ad quam volueri- mus partem ducendo, quemadmodum à qualibet alia figura, quæ perfectè rotunda non e$$et, emergeret; Vt ex\-epli gratia, $i imaginabimur pentagonum. K. i. h. f. l. quie $cere $u <002> eand\-e lineã. a. b. K. ita ut primũ totũ latus. i. K. in linea. b. K. ext\-eda\~t, duc\-e- do po$teà centrum. o. ({$s}onamus.) ver$us. l. dubium non e$t, quin oporteat, vt dictum centrum. o. à linea. b. d. eleuetur, ab eademq; magis di$tet, voluens $e per arcũ vnum circuli, <003> {pro} $uo $emidiametro habeat. o. K. qu{ae} maior e$t ip$a. o. a. ex. 18. li. primi Eu cli. vnde $i à puncto. K. imaginabimur lineam. K. c. re$picientem centrum regionis elementaris, dubium non e$t, quin $i velimus transferre c\-etrum hoc à priori $itu v$q; ad dictam lineam, oporteat addere pondus parti ip$ius. l. quæ à linea. K. c. fuit $ecta, aut aliquid de ip$o pondere partis centri detrahere. quod quibu$uis modis fiat, ar- duum certè e$t ad efficiendum; neque hoc etiam accidit figuræ perfectè rotundæ, cum c\-etrum {quis} perfectè in medio ip$ius ponderis e$t, reperiatur $emper in linea per- pendiculari ip$i plano, in quo animaduertendum e$t, {quis} etiam $i ip$um planum ap- pellem; pro plano tamen perfecto intelligi nolo, $ed pro $uperficie perfectè $ph{ae}ri- ca circa centrum à corporibus grauibus expetitum; nam ratione magnæ amplitudi- nis huiu$modi $uperficiei, nullam differentiam notatu dignam à perfecto aliquo pla no exigui interualli ad curuitatem eiu$dem $uperficiei imaginari poterimus. Sed ut redeamus ad $ermonem de reuolutione figuræ rotundæ $u$ceptum, clarũ igitur erit quamlibet minimam vim (vt ita dicam) qu{ae} trahat, aut impellat centrum. o. ver$us. u. huiu$modi figuram reuoluturam, cuius media pars ad trahendum, aut impellendum punctum. e. $ufficiere; Imaginemur autem {quod} li nea. n. o. u. e$$et libra qu{ae}dã in figura perfectè rotunda. a. n. e. u. po$ita, & vis, qu{ae} trahere cen trum deberet, diui$a e$$et per medium, cuius medietas appen$a e$$et extremitati. u. diame- tri. n. o. u. clarũ erit, {quod} ab$que vlla difficultate reuolueret figuram $uper lineam. b. a. d. ver$us. d. quia huius vis, aut pondus nullũ contra pon dus haberet vltra centrum. o. uer$us. n. {quod} cen- trum. o. perpetuo quie$cit $u<002>. a. in linea. e. o. a. per medium diuidente $emper totum pon- dus figur{ae} $uppo$it{ae}. Tantò facilius ergo tota dicta vis ap plicata cen tro, ipsũ ver $us. u. trah\-es per lineam parallelã ip $i. a. d. dictã figuram re- uolueret. Et $i linea qua dictum cen trum trahi- tur ab ip$o DE MECHAN. b. a. d. non æquedi$taret, $ed $ur$um traheret $uper. u. aut $ubter, aliquid de $ua vi vir tute\’q; amitteret, & tantò plus, quantò inclinata magis e$$et ver$us. a. o. e. & tandem cum e$$et vnita cum. a. o. e. aut ad $uperius, aut ad inferius quantalibet ui, etiam $i in- finita, figuram extra $itum primæ lineæ. a. o. e. non moueret, $ed $i $ur$um traheret $e iungeret eam à linea. b. a. d. non ob id tamen efficeret, ut centrum. o. exiret extra pri mam lineam. a. o. e.

Secunda verò $pecies, tribus reuolutionum modis, ab$que axis mutatione con$ta re pote$t, ide$t modo, quo reuoluuntur trochleæ mediante fune, & quo reuoluuntur aliquæ rotæ, in quibus aliquod animal incedit; & quo reuoluuntur illæ, quæ in homi nis manu circunuoluuntur medio alicuius manubrij inflexi. Hi omnes modi cum circulari figura magis, quã cum alia quauis, faciliores euadunt. Et primò $i priorem modum con$iderabimus, vt mediante fune quælibet figura, quæ circularis non $it, voluatur, $upponamus exemplo debere reuolui pentagonum æquiangulum. a. e. i. o. u. circa centrum. c. mediante fune. q. u. a. e. i. p. nece$$ariò occurrent (in hac figura an- gulorum, laterum\’q; di$parium) plures inæqualitates, quæ reuolutionem eiu$dem fi- guræ irregularem efficient; quarum vna erit, quod duæ partes funis, ide$t. u. q. et. i. p. non erunt in vna eadem\’q; inter $e di$tantia $emper, quod facile intellectu erit, $i ima ginabimur ductas e$$e lineas. a. i: u. i: et. i. c. t. $i funis duo pondera habebit alterum altero maius, $uis extremis appen$a, vnde debeat figura virtute ponderis maioris cir cunuolui: dictæ duæ partes. u. q. et. i. p. eiu$dem funis, mũdi centrum, dum firmæ ma nebunt, re$picient; $ed permittentes pondera libera; maius, efficiens vt circunuolua- tur figura; efficiet, vt aliquando vnum exlateribus, eiu$dem figuræ mundi quoq; cen trum re$piciet, vt in figura. A. $ic\’q; etiam linea. i. c. t. (pro ex\-e- plo) erit men$ura di- $tantiæ funium inter ip$as, & deinde circũ uoluendo etiam di- $tabuntinter $e per li neã. i. a. aut. i. u. vt in figura. B. ĩnotuit ex\-e plo, & $ic etiam ali- quando erunt magis di$tãtes, quàm linea t. i. & minus quàm. i. a: nunquam tamen minus quam. t. i. neque magis quã i. a. aut. i. u. quæ $unt æquales; Quæ quidem varietas, in hanc, & in illam partem impellet partes penden- tes funis, vnde æqualiter non trahent. Idem dico, $i extrema. q. et. p. e$$ent quoque $emper in vna ead\-e\’q; di$tantia; neque à corpore põdero$o e$$ent attracta, quia aliæ partes ip$ius. u. q. et. i. p. ex $upradictis ratio- nibus vnam eadem\’q; di$tantiam nõ $emper $eruar\-et. vnde fieret vt cum diuer$is angulis tam. i. p. quã. u. q. traher\-et $emidiametros. c. i: c. e: c. a: c. u. et. c. o. quia nõ $emper traherent ope $eu virtute anguli æqualis ip$i. c. i. p. Hæc autem in{ae} qualitas communis e$t omnibus IO. BAPT. BENED. figuris rectilineis tam paris, quàm di$paris numeri. Sed aliam quandam maiorem in{ae}qualitatem habent hæ figuræ numeri di$paris, quæ e$t, quòd quãdo linea. t. i. tam . u. q. quàm ip$i. i. p. <002>p\-edicularis fuerit, ide$t quãdo. t. i. cum dictis partibus funis angulos rectos con- $tituerit, tũc ratione lõgitudinis ip$ius. c. i. maioris quam. t. c. (quia cum $it. c. i. {ae}- qualis ip$i. c. a. et. c. a. maior ip$a. c. t: c. i. etiam maior $it ip$a. c. t.) pondus aut vis ip$ius. p. $uperabit eã quæ e$t ip$ius. q. $ed quando. t. erit in oppo$ita parte, et. i. in ea, quæ e$t ip$ius. t: q. eãdem ob cau$am $uperabit. p. & $ic mo tum faciet irregularem, & nõ vniformem; & obid etiam perarduum, præter ictus, quos infligunt an- guli in partem pendentem a$cend\-etem funis, quã- do vnum exlateribus vnitur cum fune.

Aliam in{ae}qualitatem habent figuræ pares, quæ etiam in imparibus cernitur, et$i aliquantulum di- uer$a; quæ ab eo oritur, quod funes $it modò ma- gis, modo minus propinqu{ae} centro; quæ inæqualis di$tantia, maiorem minorem\’q; vim $uper dictum centrum ob rationes in $ecunda parte cap. decimi huius tractatus propo$itas, gignit. Nulla autem ex ijs inæqualitatibus circulari figuræ contingit. Illud verò, quod de pentagonis fi- guris dixi, omnibus aliis figuris di$paribus accommodari pote$t.

Secundus modus e$t earum rotarum, in quibus aliquod animal incedit, quæ $i cir- culares non e$$ent, tantò difficilius voluerentur, quantò pauciores angulos haberent. quod cum per $e pateat, non demon$trabo. Si ergo quantò plures angulos habebit dicta figura, tantò ad circunuoluendum hoc modo agilior erit. Circularis igitur fi- gura, quæ ex infinitis angulis efficitur, omnium agillima erit.

Tertius modus e$t earum rotarum, quæ manubrium habent, quæ etiam quantò pauciores angulos habebunt, tanto quoq; difficiliores reddentur, tam ratione inimi citiæ: quam exercet cum vacuo natura, quàm viol\-eti{ae}, quam anguli aeri faciunt, eum expellendo, vt ip$i occupent locum, quem ip$e a\-er implebat. Quod nullo modo po te$t euenire circulari figuræ.

Nunc nobis ad dicendum re$tat de $pecie reuolutionis rotarum, quæ parallelæ $unt orizonri, quibus accidit po$$e volui primo tertio\’q; modo $ecund{ae} $peciei, & ob id $i circulares non erunt, eadem $ubibunt incommoda, de quibus in $ecunda illa $pe cie loquuti $umus. $ed circulares rotæ huius tertiæ $peciei ad reuoluendum erunt re- liquis eò faciliores, {quis} vno $olũ polo nituntur; Quod alijs nequaquam conceditur.

DE MECHAN.

Super hac tertia $pecie formari pote$t problema, vnde fiat, vt quie$cens huiu$- modi rota parallela orizonti $uper vnum punctum, & quantò fieri pote$t exi$tens {ae}- qualis, $i eam circunuoluamus maiore qua poterimus ui, & eãdem po$tea dimitten- tes non perpetuò circunuoluatur.

Hoc quidem, quatuor fit ob cau$as. quarum prima e$t, quia huiu$modi motus, eius rotæ non $it naturalis. $ecunda e$t, quia etiam$i rota $uper punctum mathematicum quie$ceret, oporteret tamen vt $uperius alterũ haberet polum, qui ip$am orizontal\-e teneret, qui quidem munimento aliquo corporeo indigeret; vnde fricatio qu{ae}dam con$equeretur, ex qua re$i$tentia prodiret.

Tertia e$t, quia aer contiguus eam perpetuò a$tringit, hoc\’q; modo eius motui re$i$tit.

Quarta e$t, quia qu{ae}libet pars corporea, qu{ae} à $e mouetur, impetu eidem à quali- bet extrin$eca virtute mouente impr{ae}$$o, habet naturalem inclinationem ad rectum iter, non autem curuum, vnde $i à dicta rota particula aliqua $u{ae} circunferentiæ di$iũ geretur, ab$que dubio per aliquod temporis $patium pars $eparata recto itinere fer retur per aerem, vt exemplo à fundis, quibus iaciuntur lapides, $umpto, cogno$ce re po$sumus, in quibus, impetus motus impr{ae}$$us naturali quadam propen$ione rectum iter peragit, cum euibratus lapis, per lineam rectam contiguam giro, quem primo faciebat, in puncto, in quo dimi$$us fuit, rectum iter in$tituat, vt rationi con- $entaneum e$t.

Eadem, quoque ratione fit, vt quantò maior e$t aliqua rota, tantò maiorem quo que impetum, & impre$$ionem motus eius circunferentiæ partesrecipiant, vnde ${ae} pe euenit, vt dum eam $i$tere volumus, id cũ labore & cum di$$icultate agamus ; quia quantò maior e$t diameter vnius circuli, tantò minus curua e$t eiu$dem circunferen tia, & tantò propius accedit angulum eiu$dem circunferentiæ ad quantitatem duo- rum angulorum rectorum rectilineorum, ide$t circunferentia ad rectitudinem linea rem. Vnde earundem partium dictæ circunferentiæ motus ad inclinationem $ibi à natura tributam, quæ e$t incedendi per lineam rectam, magis accedit.

Quod Aristotelis ratio none que$tionis admittendanon $it. CAP. XV.

VEra ratio nonæ qu{ae}$tionis à $ecunda parte decimi cap. huius tractatus, & non aliunde, accer$iri debet.

Quod Aristotelis rationes de decima que$tione $int reijciende. CAP. XVI.

ARi$totelis rationes, vnde fiat, vt facilius moueantur libræ vacuæ, quàm plenè ad propo$itam di$putationem non pertinent; quia $emper ineunda e$t ratio proportionis virtutis mouentis $uper mobile; quod ip$e non fecit.

IO. BABPT. BENED.

Sit exempli gratia libra. a. i. e. quæ in vtraque extremitate vnciam vnam $olum ponderis obtineat, & $it libra. n. i. u. æqualis priori, quæ pro $ingula extremitate vnã ponderis libram habeat. Ari$toteles admiratur, quòd addendo ip$i. e. mediam pon deris vnciam, brachium. i. e. velocius cadat, quàm adijci\-edo ipsã mediã vnciã ip$i. u. brachij. i. u. Quod à duabus cau$is profici$citur, quarum prior e$t, magna differentia proportionis vnius libræ ad medietatem vnius vnciæ, ad proportionem vnius vnciæ ad ip$am medietatem, quia $i pondus adiectum extremo. u. dimidiæ e$$et libræ , & cum eadem tarditate brachium moueret, optimo iure in admirationem po$$et Ari- $toteles duci. Sed hoc fieri non po$$et, quia ip$um deprimeret cum eadem qua$i ve locitate, qua media vncia brachium. i. e. Dixi autem qua$i, quia nonnihil di$crimi- nis intercederet, quod profici$citur à $ecunda ratione. Et hæc, re$i$tentia e$t , quæ oritur à $parto, quia quantò maius pondus continet libra, tantò magis præmit $par tum in loco, in quo $u$tinetur; vnde maior re$i$tentia in circunuolutione eiu$d\-e $par ti, in loco, in quo quie$cit, exoritur, quia ip$um e$t corpus materiale. Si quis autem vellet, vt brachium. i. u. eadem agilitate, qua. i. e. de$cenderet, oporteret, vt propor- tio dimidiæ libr{ae} adiectæ ponderi ip$ius. u. quod e$t vnius libræ, vim $uam haberet, quæ excederet re$i$tentiam $ui $parti (me- dio brachiorum maiorum ijs qui $unt. a. i. e.) ita proportionatam, vt proportionata e$t vis dimidiæ vnciæ ip$i e. iunctæ, re$i$ten tiæ $ui $parti. Huiu$modi rationes cum ro- tis grauioribus leuioribusq;, & ijs, qu{ae} à cor poribus quibu$libet grauibus impelluntur, accommodatæ fuerint, titubantem intel lectum confirmabunt.

De uer a cau$a. 12. questionis mechanice. CAP. XVII.

VEra ratio, cur multò longius corpus aliquod graue impellatur funda, quam manu, inde oritur, quòd circunuoluendo fundam, maior impræ$$io impetus motus fit in corpore graui, quàm fieret manu, quod corpus liberatum deinde cum fuerit à funda, natura duce, iter fuũ à puncto, à quo pro$ilijt, per lineam contiguam giro, quem po$tremò faciebat, $u$cipit. Dubitandum\’q non e$t, quin dicta funda maior impetus motus dicto corpori imprimi po$$it, cũ ex multis circumactibus, ma- ior $emper impetus dicto corpori accedat. Manus autem eiu$dem corporis motus, dum illud ip$um circunuoluitur (pace Ari$totelis dixerim) centrum non e$t, neque funis e$t $emidiameter. Immo manus quam maximè fieri pote$t in orbem cietur; qui quidem motus in orbem, vt circumagatur etiam ip$um corpus, cogit, quod qui- dem corpus, naturali quadam inclinatione, exiguo quodam impetu iam inc{ae}pto, vellet recta iter peragere, vt in $ub$cripta figura patet, in qua. e. $ignificat manum. a. corpus. a. b. lineam rectam tangentem girum. a. a. a. a. quando corpus liberum rema- net. Verum quidem e$t, impr{ae}$$um illum impetum, continuò paulatim decre$cere vnde $tatim inclinatio grauitatis eiu$dem corporis $ubingreditur, quæ $e$e mi$cens cum impr{ae}$$ione facta per vim, non permittit, vt linea. a. b. longo tempore recta per DE MECHAN. maneat, $ed citò fiat curua, cum dictum corpus. a. duabus virtutibus moueatur, qua- rum vna e$t, violentia impræ$$a, & alia natura, contra opinionem Tartaleæ, qui ne- gat corpus aliquod motibus violen to & naturali $imul & $emel moueri po$$e. Neq; e$t $il\-etio prætereũdus hac in re <003>dã notatu dign<_>9 effectus, qui eiu$modi e$t, {quis} quanto magis cre$cit impetus in corpore. a. cau$a tus ab augumento velocitatis giri ip$ius. e. tãtò magis oportet, vt $en- tiat $e trahi manus à dicto corpore a. mediante fune, quia quantò ma- ior impetus motus ip$i. a. e$t impr{ae}$ $us, tantò magis dictum corpus. a. ad rectum iter peragendum incli- natur, vnde vt recta incedat, tantò maiore quoque vi trahit.

De decimatertia questione. CAP. XVIII.

DEcimatertia quæ$tio ad vectem omnino e$t referenda. Imaginari debemus axem cylindrici iugi, hypomochlion e$$e. Quod re$tat, illud ip$um totum de pendet à. 4. quinto\’q; cap. huius tractatus. Vna tamen differentia inter hanc machi- nam, vectem\’q; reperitur, quæ e$t, {quis} iugum aliquam re$i$tentiam pro coniunctione calcata in loco, in quo voluitur, magis quàm hypomochlion vecti efficiat.

De decimaquart a que$tione. CAP. XIX.

RAtiones etiam decimæquartæ quæ$tionis dependent ab ijs, quæ $unt vectis, vt exempli gratia $it lignum. a. b. c. d. frang endum in medio, annitendo genibus in punctum. o. clari$$imè tunc videbimus, {quis} tenentes marlus longè à medio, in locis a. et. c. facilius minori\’q; cum labore illum frangemus, quàm $i ea$dem vicinas me- dio eiu$dem ligni in locis. e. et. i. poneremus. Cuius rei rationes eæd\-e $unt cũ ijs, quæ primis huius tractatus capitibus propo$itæ fuerunt. Imaginemur lineas rectas ductas à puncto. o. ad loca. a. e. i. et. c. hinc manife$tè per$piciemus eorum, quæ iam diximus ratione, {quis} loca. e. et. i. mediantibus duabus lineis. e. o. et. i. o. magis annitentur. o. cen tro, quàm loco. a. et. c. duarũ linearũ. a. o. et. c. o. beneficio; vnde vim quoq; maiorem habebũt in. a. et. c. quàm in e. et. i.

IO. BAPT. BENED. De uer a r atione. 17. que$tionis. CAP. XX.

DEcima$eptima quæ$tio ab Ari$totele haud benè percepta fuit, quia is non ac- commodat partes vectis $uis locis. Quamobrem imaginemur duos vectes. a. o. n. et. o. e. u. quorum centra, quæ hypomochlia appellantur $int. o. & pondera, quæ $unt attollenda $int. a. et. e. inter $e æqualia, & di$tanti{ae} $int. a. o. et. e. o. $ibi inuic\-e æquales, $ed. o. n. æqualis $it ip$i. o. u: clarum erit, {quis} ad eleuandum. a. oportebit depri mere. n. & ad eleuandum. e. oportebit attollere. u. Et quia omnia $upponuntur æ qua lia, clarum quoque erit, commu- ni $cientia, tantam virtutem in n. quanta $ufficiet ad attollendũ a. in. u. quoq; $uffecturam ad ele- uandum. e. quia cũ æqualibus an gulis ijs, quibus duæ virtutes. a. et. n. annituntur. o. centro, ita. e. et. u. è contrario $uo centro. o. an nituntur. & omnes rationes pro vecte. a. o. n. quarto quinto\’q; huius tracta- tus capitibus citatæ, vecti. o. e. u. vt $atis $u per\’q; dixi in dicto capit. 5. conuenire po$- $unt.

Nunc $it aliqua pars ligni cindenda $e- cundum venulas $uas. d. e. f. g. & $it cuneus a. b. c. qui vi mallei. P. v$que ad. t. x. pene- trarit. Hinc clarum erit, quòd apertura i. m. r. ligni, po$t quam infigitur cuneus $e cundum venas, longíor erit parte. x. b. t. cu nei, quæ ingre$$a e$t. Oportet nunc ima- ginari duos vectes $imiles $upradictæ. u. e. o. in hunc modum, vt puncta i. r. lìni $int loco. u. extremi ip$i<_>9 vectis, et. t. x. loco vir tutis applicatæ ip$i. u. & re$i$tentia circa punctum. m. loco ponderis. e. vectis. o. e. u. dicti, & pars. K. qua$i immediata po$t. m. ver$us extremitatem. f.e. ligni, $it loco hy- pomochlij. o. Hinc fiet vt quanto longio res erunt lineæ. i. m. K. et. r. m. K. tantò quo que facilius virtutes. t. x. impellent. i. r.

DE MECHAN. De uera & intrin$eca cau$a trocble arum. CAP. XXI.

PRo intelligenda vera, & intrin$eca ratione, vnde fiat ut multitudo rotularum in trochleis cau$a $it, ut exigua vis $ur$um moueat, aut attollat põdera magna. Pma ginemur duas hîc $ub$criptas trochlæas explicatas tran$uer$aliter in hunc modum, ide$t $it paruũ tignũ. a. b. fixum & parallelũ orizonti. cui $int rotulæ appen$e ab infe riori parte ad $uperiorem huic\’q; èregione oppo$it' $it aliud tignũ. c. d. quod moueri po$$it ab imo ad $umum, $uper quod totidem $int rotulæ aut radij, cũ annexa po$tea fuerit funis puncto. b. fixo, eam faciendo pertran$ire per rotulas tam à parte $upe- riore, quam ab inferiore; & appen$um deinde cum erit paruo illi tigno. c. d. mobili pondus. E. ducendo po$tmodum extremum. f. funis tran$euntis per rotulas, idem pla nè fiet quod à trochl{ae}is $imul unitis fieri $olet. Cuius quidem effectus ratio $ub no- $tram cognitionem cadet facilius in huiu$modi figura. Imaginemur $eparatim $ta- teram. g. h. cuius c\-etrum $it. K. ita $itum, ut brachium. g. k. $it duplum ad brachium. K. h. $upponendo igitur in puncto. g. pondus, aut virtutem mouentem unius libræ, & in h. duarum librarum, ab$q; dubio hæ duæ uirtutes in huiu$modi di$tantijs à centro {ae}quales inuic\-e erũt, ob rationes prioribus capitibus iam allatas, & $tatera orizontalis manebit. Vnde clarum erit, {quis} quæuis etiam exigua virtus adiuncta ip$i. g. mouebit $tateram extra orizontalem $itum. Nunc $i puncto. i. ex æquo medio inter. g. et. K. applicata erit virtus ip$ius. h. non amplius con$iderato brachio. K. h. inclinante uirtu- te ip$ius. i. eandem partem ver$us, in quam inclinabat, quando erat in. h. $ed uirtus ip $ius. g. inclinet contrario modo, diuer$o\’q: ab eo, quo inclinabat prius; clarum quoq; erit, communi conceptu, & ob ea, quæ cap. 5. huius tractatus $unt dicta. g. h. $emper in eodem $itu ab$que motu man$uram, hanc\’q; $tateram appellabimus mobilem, & primam. Imaginemur nunc à puncto. e. fixo de$cendere funem. e. K. quæ fulciat pun ctum. K. extremum diametri. g. K. quam intelligo pro diametro vnius ex rotulis infe rioribus trochleæ; & $it. n. l. m. diameter vnius ex rotulis $uperioribus alterius parui tigni defixi à parte inclinationis ip$ius. g. & parallela diametro. g. K. cuius diametri centrum fixum $it. l. & $it coniunctum. g. punctum, à fune cum puncto. m. quæ tã per- pendicularis $it primo diametro. g. i. K. quàm $ecundo. n. m. ide$t ita vt anguli. n. m. g. IO. BAPT. BENED. et. m. g. k. $int recti. Imaginemur quoq; virtutem ip$ius. g. applicatam e$$e extremo. n. cum inclinatione tamen contraria, ide$t ad inferiorem partem, quæ quidem virtus communi quodam conceptu eandem po$$idebit vim $u$tentandi immobilem diame trum. g. i. k. quam habebat, qñ erat in. g. cum inclinatione ad $uperiorem partem, & $ic etiam diameter. n. l. m. non magis ab una, quàm ab alia parte declinabit, quia cum quædam virtus in. n. reperiatur æqualis medietati uirtutis ip$ius. i. quæ uirtus ip $ius. i. uim habet deprimendi ip$um. g. ide$t. m. pro dimidia $ui ip$ius parte, $equitur. n. m. debere immobilem permanere. Nunc $i alia diameter rotulæ mobilis erit de- $umpta, quæ $it. p. q. o. cuius centrum $it. q. in $itu parallelo ip$i. n. l. m. & $ic collocata, vt coniungendo. o. cum. n. anguli. m. n. o. et. n. o. p. $int recti: $i imaginati fuerimus trã$ latum e$$e pondusip$i<_>9. n. in. o. cũ ead\-e inclinatione ad depræ$$iorem partem, illud ip $um, ac $i e$$et in. n. communi conceptu, $ine alicuius diametri mutatione præ$tabit. Et $i centrum. q. fixum e$$et, & extremo. p. appo$itum fui$$et pondus ip$ius. o. cum in clinatione ad $uperiorem partem, idem etiam planè pr{ae}$taret, etiam $i nullum ullius diametri $itum, communi $cientia, mutaret, cum extremum. m. deor$um $it ductum à. g. uirtute dimidiæ partis ip$ius. i. & ab alia huic $imili. m. quoque deor$um $it tra- ctum ab. o: quod quidem. o. deor$um e$t alteratum, ob inclinationem ad $uperius à uirtute po$ita in. p. $upponendo centrum. q. fixum. Sed $i loco centri fixi, imagina bimur in. q. pondus aliquod æquale ip$i. i. quod duplum erit in uirtute ad eam, quæ e$t ip$ius. p. & ip$ius quoque. g: $equetur etiã eadem immobilitas horum trium dia- metrorum. Quia cum $it huiu$modi pondus $eu virtus in. q. cum inclinatione con- traria virtuti in. p. quæ æquipollet dimidiæ parti ip$ius. q. & $ic ei quæ e$t ip$ius. o. $i- militer quia. o. tractum e$t $upra ab. n. virtute ip$ius. g. quod. m. deor$um trudit; idcir co quanta erit vis quam habebit virtus in. q. ferendi deor$um diametrum. p. o. tanta quoque virtutes ip$orum. p. et. o. æquales, & æqualiter di$tantes à. q. ip$um ad $upe- riorem partem inclinabunt. Quamobrem nec a$cender, nec de$cendet, nec locum mutabit. Supponamus nunc quartum diametrum rotulæ. s. t. r. quæ $it $ecunda rotu larum fixarum, parallela ip$i. p. o. & in eo $itu, quo coniungendo extrema. r. p. anguli o. p. r. et. p. r. s. $int recti, & imaginemur virtutem ip$ius. p. reperiri in. s. cum inclinatio ne tamen contraria, ide$t deor$um ver$us, ex his id\-e quoque planè $equetur, ide$t {quis} nulla harũ quatuor diametrorum mouebitur. quia eundem effectũ cũ inclinatione deor$um ver$us efficeret dicta virtus in. s. quem in. p. cum inclinatione $ur$um ver$us. et iam dictum e$t virtutem ip$ius. g. dimidium virtutis ip$ius. i. trahere. m. quæ mediã te. n. attrahit. o. eodem robore, et. s. eadem vi trahit. p. medio ip$ius. r. Hucu$que $ci\-e- tificè nouimus pondus, aut virtutem ip$ius. s. quæ e$t dimidium ip$i<_>9. i. $u$tinere uim ip$orum. i. et. q. nam quater tantum, quanta ip$amet virtus ip$ius. s. e$$e con$picitur. Et $i adiunct{ae} nobis e$$ent duæ aliæ diametri cum ij$dem planè conditionibus ij$d\-e rationibus vtentes, cogno$ceremus quod eadem medietas ip$ius. i. $exies tantum põ deris, quanta ip$a exi$teret, $e$tineret. Vnde manife$tũ euadit, {quis} eidem medietati ip$ius. i. in. s. nonnihil virtutis addendo, dictæ diametri, illicò mouer\-etur $itu. Et quia rotulæ in quolibet puncto, aliquam diametrum habent, nece$$ariò $equitur {quis} infe- riores ad $uperiores accedere debeant. Attamen $i forte extremum immobile ip- $ius funis non pendet à puncto. e. trochleæ $uperioris, $ed alligatum fuerit ad mediũ inferioris trochleæ ut ad punctum. i. ope unius trochle{ae} $uperioris immobilis vt in fi gura. A. videre licet, clarè patebit {quis} à tribus virtutibus æqualibus pondus in. i. po$itũ $u$tinebitur: hoc e$t à. g. ab. i. & ab. k. quarũ vnaqu{ae}que tertia pars erit ip$ius. i. in con contrariam part\-e, hoc e$t tertia pars re$i$tentiæ. propterea {quis} ex æquo inter $e di$tãt. DE MECHAN. g. i. et. K: Quà propter augebitur virtus per numeros impares, hoc modo; Nam. g. e$$et tertia pars re$i$tenti{ae}, quemadmodum prius media erat. Idem infero de. m. n. o. p. r. et. s. Sed cum oporteat pondus. q. tantum e$$e vt $uffieiãt re$i$tentiæ in. o. et. p. ip$um $u$tinere, idcirco ip$um pondus. q. $ub$e$quialter erit põderi in. i. po$iti. Qua- propter. s. quinta pars erit ponderum. i. et. q. Deinde $i adhuc. duo diametri vnus in- ferior, alter verò $uperior additi fuerint cum pondere æquali. q. ad medium diame- tri inferioris, tunc pondus. s. erit $eptima pars trium ponderum. i. q. & tertij additi, ex $upradictis rationibus. Et quia virtus $u$ti nens totale pondus trochleæ inferiori ap- pen$um in tot diuiditur partes æquales, quot $unt diametri orbiculorum trochleæ inferioris, quando extremum immobile fu nis alligatum fuerit trochle{ae} $uperiori, vt puta in puncto. e. cum verò alligatum fue- rit trochleæ inferiori, virtus primi diame- tri. g. i. K. trochleæ inferioris $emper $e$qui altera erit vnicuique aliorum diametrorũ ideò virtus re$i$tenti{ae} alterius extremi mo bilis funis, puta. s. $ubmultiplex erit totalis ponderis, eo modo quo diximus, cuius vir tus, $eu grauitas diuiditur $eu di$trubuitur diametris inferioris trochleæ vt dictum e$t.

Depropria cau$a. 24. quæ$tionis. CAP. XXII.

VEra cau$a effectus, qui vige$imaquarta quæ$tione exprimitur, adhuc à nemine (quod $ciam) animaduer$a fuit, licet non $it admodum ardua vel ob$cura. Ima ginemur ergo duos circulos. c. f. et. b. g. concentricos, itaq; $imul coniunctos, vt $i ip $orum vnus feratur in orbem, alius quoque circumagatur, eo modo, quo curruum ro tæ voluuntur. Et imaginemur primò $uper lineam. f. i. reuolui maiorem, & quando idem circulus erit in. l. dictam lineam. f. i. tangere circunferentiam eiu$dem in pun- IO. BAPT. BENED. cto. c. vnde linea. g. m. mediante. K. continget circunferentiam circuli minoris in pun cto. b: et. K. g. ex. 34. primi Eucli. æqualis erit ip$i. f. l. quia ex. 17. tertii, anguli. f. et. g. $unt æquales, vnde ex. 28. primi. f. l. et. g. K. $unt parallelæ. & $ic erunt. k. l. cum. f. g. ex eadem $upradicta. Ratio autem, qua arcus. g. b. tran$ierit lineam. g. K. maiorem ip$a, e$t, quia dum mouetur, quodlibet punctum ip$ius. g. b. virtute reuolutionis ip$ius. f. c. omne punctum eiu$dem arcus. g. b. vlterius ver$us. K. quam $i moueretur virtute re- uolutionis ip$ius. g. b. $uper lineam. g. m. defertur. vt exempli gratia, quando virtute reuolutionis maioris circuli, centrum. a. reperitur in $itu lineæ. l. K. punctum. g. confe cerit iter. g. u. & punctum. b. iter. b. K. etiam reliqua omnia puncta inter. g. b. magna itinera egerint, cum à magno circulo $int ante delata. Imaginemur quoque hos cir culos e$$e delatos virtute reuolutionis circuli minoris, & part\-e. g. t. rectè. g. m. dimen- $am fui$$e ab arcu. g. b Quãdo ergo. b. erit in. t. factum erit iter. b. t. ab ip$o. b. et. g. fa- ciet iter. g. n. qu{ae} itinera alijs multò breuiora $unt, quia breuioribus cruribus reuolu- ta $unt dicta puncta; & $ic dico de reliquis omnibus punctis inter. g. et. b. & in hoc ca $u punctum. f. erit in. q. & punctum. c. erit in. e. Quamobrem omnia puncta cõtingen- tiæ inter. f. et. c. non $olum non erunt delata anteà, $ed potius à primo $itu retror$um erunt repul$a. Vnde non e$t, quòd in tantam admirationem ducamur $i dum reuol uitur circulus maior, arcus. g. b. circuli minoris, totam lineam. g. K. tran$ire videtur, & dum reuoluitur minor, apparet arcum. f. c: maius iter quam ab. f. ad. e. non facere, cum maiore $e$e in orbem ferente, quodlibet punctum arcus. g. b. ad vnam eand\-eq; partem duos motus obtineat. vt exempli gratia punctum. b. non $olum mouetur ver $us. m. quòd circa centrum. a. feratur, cum ip$um etiam centrum moueatur ver$us. m. $ed quia pr{ae}ter hoc deferantur quoque à circulo maiori ver$us. m. v$que ad lineam. k. l. Dum verò minor circulus in girum ducitur, habet quodlibet punctum arcus. f. c. duos motus contrarios, quorum alter ver$us. i. virtute reuolutionis circuli minoris, & alter ex eo, {quis} dictus circulus maior circa centrum. a. voluatur, vnde omne punctũ contactus circuli maioris cum recta. f. i. tetror$um pellitur ver$us. x.

DE MECHAN. De uer a cau$a. 30. quæstionis. CAP. XXIIII.

VEra ratio, cur homo dum $edet ( non tamen Turcarum more ) $i velit $e$e in pedes erigere, calcaneos retrahit, vt efficiat angulum acutum, cum f{ae}- moribus coxis à parte inferiori, & ventrem inclinat, ad con$tituendum etiam angu lum acutum in $uperiori parte, ea e$t; vt totius corporis pondus, ex {ae}quo, ide$t ab oppo$itis partibus circundet lineam rectam, quæ tran$it per locum, in quo conquie $cunt pedes ver$us mundi centrum. ide$t, ut edatur {ae}quilibrium ponderis ip$ius cor- poris circum lineam illam, qu{ae} $ub pedibus in$eruit pro $parto. Vnde aperiendo, deinde dictos duos angulos circa dictam lineã, ab$que vlla difficultate erigitur cor- pus, & ab$que periculo in alterutram partem cadendi.

Deratione. 35. & ultimæ quæstionis. CAP. XXV.

VEra ratio, quare, qu{ae} reperiuntur in vorticibus aquarum, $emper ver$us medium ip$arum vertiginum vniuntur, inde promanat, quod media vertiginum $emper depre$$iora $unt. vnde quòd dicta corpora ad medium acce- dant, nihil aliud e$t, quàm ip$a corpora $uo pondere grauitate\’que de$cendere, figu ra enim vorticibus e$t qua$i conica, & concaua cum angulo deor$um, & gyro ba$is $ur$um. Atque hæc vera e$t huius effectus cau$a, & non ea quam Ari$toteles ponit, à quo aliarum omnium quæ$tionum, quas ego omi$i rationes $unt benè propo$itæ.

DISPVTATIONES DE QVIBVSDAM PLACITIS ARISTOTELIS.

TANTA A e$t certè Ari$totelis amplitudo at que authoritas, vt dif- ficillimum ac periculo$um $it quidpiam $cribere contra quam ip$e docuerit, & mihi præ$ertim, cui $emper vi$a est viri illius $apientia admirabilis. Veruntamen studio veritatis im- pul$us, cuius ip$e amore in $eip$um $iviueret excitaretur, in me dium quædã proferre non dubitaui, in quibus me inconcu{$s}a mathematicæ philo$ophiæ ba$is, cui $emper in$i$to, ab eo di{$s}entire coegit.

Qualiter & ubi Ari$toteles de uelocitate motuum natura- lium localium aliter tractauerit quam nos $entiamus. CAP. I.

VOlens Ari$toreles probare vacuum non e$$e in rerum natura. 8. cap. lib. 4. phy $icorum ait, idem corpus per varia diuer$a\’q; media, vt per aer\-e, & per aquã $i moueretur, proportionem velocitatis eiu$dem corporis per aerem, ei, quæ per aquam fit, vnam eandem\’q; futuram cum ea, quæ e$t $ubtilitatis aere{ae} ad $ubtilitatem aquæ. In po$trema autem parte eiu$dem capitis $ic $cribit: Nam cum ea qu{ae} ma- iorem vel ponderis velleuitatis pr{ae}$tantiam habent, $i $imili $igura $int, $paciũ par, & æquale, maiore celeritate conficere cernamus, ea quam magnitudines inter $e ha bent, proportione: profectò idem etiam perinane fieret. Aliam quoque rationem proponit phylo$ophus. 2. cap. $exti phy$icorum $cribens eademmet proportione, qua tempus diuiditur, magnitudinem etiam diuidi. Sexto autem cap. primi de cœ- lo $cribit, tempora eandem proportionem habere, quam habentè conuer$o ponde- ra; vt $i media pars vnius ponderis, vnius horæ $patio moueretur, vniuer$um pondus in media hora moueretur. Secundo cap. lib. 3. de cœlo duobus in locis apertè com mon$trat velocitatem corporis minoris, maiori corpori comparatam, in eadem exi- $tere proportione, in qua dicta corpora adinuicem relata exi$tunt. Quinto cap. eiu$ dem lib. idem affirmat, exemplo ab igne de$umpto. Ex alijs etiam plurimis locis cogno$ci pote$t, $en$i$$e Ari$totelem duo corpora eadem $pecie, & figura prædita eandem planè proportionem in $uorum motuum velocitatibus, quam in $uis ma- gnitudinibus habent, retinere. Alij quoque permulti eandem opinionem retinue runt, & omniũ po$tremus Nicolaus Tartalea, $ecunda propo$itione vige$iminoni quæ$iti octaui libri, vbi profitetur $e demon$tratiuè probare hanc propo$itio- nem veram exi$tere; neq; videt quàm magna re$i$tentiarum $it differentia, quætam ex diuer$itate figurarum, quàm ex magnitudinum varietate exoriri pote$t; quas qui dem diuer$itates ne con$iderat quidem.

DISPVTATIONES. Quædam $upponenda ut con$tet cur circa uelocit atem motuum natur alium localium ab Ari$totelis placitis recedamus. CAP. II.

CVM $u$ceperimus prouinciam probandi quod Ari$toteles circa motus locales naturales deceptus fuerit, $unt quædam primo veri$$ima & obie- cta intellectus per$e cognita pr{ae}$upponenda, ac primum quælibet duo corpora, grauia, aut leuia, area æquali, $imili\’q figura, $ed ex materia diuer$a con$tantia, eod\-e \’que modo $itum habentia, eandem proportionem velocitatis inter $uos motus loca les naturales, ut inter $uamet pondera aut leuitates in vno eodem\’q; medio, $eruatu- ra. Quod quidem natura $ua noti$$imum e$t $i con$iderabimus non aliunde maio- rem tarditatem, aut velocitatem gigni, quàm à. 4. cau$is (dummodo medium vnifor mè $it & quietum) ide$t à maiori aut minori pondere aut leuitate; à diuer$a figura; à $itu ciu$dem figuræ diuer$o, re$pectu line{ae} directionis, quæ recta inter mundi cen- trum, & circunferentiam extenditur; & ab inæquali magnitudine. Vnde patebit, quòd figuram non variando, nec in qualitate nec in quantitate, neque eiu$dem figu- ræ $itum, motum fore proportionatum virtuti mouenti, quæ erit pondus aut leuitas. Quod autem de qualitate, de quantitate & $itu eiu$dem figuræ dico, re$pectu re$i- ftentiæ ip$ius medii dico: Quia diffimilitudo aut in{ae}qualitas figurarum, aut $itus di- uer$us non parũ alterat dictorum corporum motus, cum figura parua facilius diui- dat continuitatem medij, quam magna; vt etiam c{ae}lerius idem facit acuta, quàm ob tufa; & illa quæ cum angulo, qui antecedat mouebitur velocius quàm illa, quæ $ecus. Quotie$cunque igitur duo corpora vnam eandem\’q; re$i$tentiam ip$orum $uperfi- ciebus, aut habebunt aut recipient, eorum motus inter $eip$os eodem planè modo proportionati con$urgent, quo erunt ip$orum virtutes mouentes: & è conuer$o, quo tie$cunque duo corpora vnam eandem\’q; grauitatem, aut leuitatem, & diuer$as re$i $tentias habebunt, eorum motus inter $eip$os eandem proportion\-e $ortientur, quã habebunteorum re$i$tentiæ conuer$o modo; quæ quidem re$i$tentiæ inter $eip$as, eandem proportionem quàm ip$arum $uperficies habebunt, aut in qualitate $ola fi guræ, aut in quantitate $ola, aut in $itu, aut in aliquibus ex dictis rebus, eo tamen mo do, qui$uperius po$itus fuit, vt $cilicet corpus illud quod alteri comparatum, æqua- lis erit ponderis, aut leuitatis, $ed minoris re$i$tentiæ, exi$tet velocius altero, in ead\-e proportione, cuius $uperficies re$i$tentiam $u$cipit minorem ea quæ alterius e$t cor- poris, ratione facilioris diui$ionis continuitatis aeris, aut aquæ; Vt exempli gratia, $i proportio $uperficiei corporis maioris $uperficiei minoris $e$quitertia e$$et, pro- portio velocitatis dicti corporis maioris, velocitati corporis minoris, e$$et $ub$e$qui tertia; vnde velocitas minoris corporis, maior e$$et velocitate corporis maioris, qu\-e admodum quaternarius numerus ternario maior exi$tit.

Aliud quoque $upponendum e$t, velocitatem $cilicet motus naturalis alicuius corporis grauis, in diuer$is medijs, propor- tionatam e$$e ponderi eiu$dem corporis in ij$dem medijs; Vt exempli gratia, $i pondus totale alicuius corporis grauis $ignificatum crit ab. a. i. quo corpore po$ito in aliquo me- 10. BABPT. BENED. dio minus den$o, quàm ip$um $it, (quia in medio $e den$iore $i poner etur, non graue e@@et, $ed leue, quemadmodum Archimedes o$tendit) illud medium $ubtrahat par- tem. e. i. vnde pars. a. e. eiu$dem ponderis libera manear; & po$ito deinde eodem cor pore in aliquo alio medio den$iore, minus tamen den$o quam ip$um $it corpus, hoc medium $ubtrahat partem. u. i. dicti ponderis, vnde pars. a. u. ei u$dem ponderis remanebit. Dico proportionem velocitatis eiu$dem corporis per mediũ minus den$um, ad velocitatem eiu$dem per medium magis den$um futuram vt. a. e. ad. a. u. vt e$t etiam rationi con$onum, magis quàm $i dicamus huiu$modi velocitates e$$e, vt. u. i. ad. e. i. cum velocitates à virtutibus mouentibus $olum (cum figura vna, eadem\’q; in qualitate, quantitate $itu\’q erit) proportionentur. Quænenc diximus, planè $imilia $untijs, quæ $upra $crip$imus, quia idem e$t dicere, proportionem velo citatum, duorum corporum hetereogeneorum, $ed $imilium figura, & magnitudine æ qualium, in vno $olo medio, æqualem e$$e proportioni ponderum ip$orum, vt $i dicam? proportionem velocitatum vnius $olum cor- poris per diuer$a media eandem e$$e cum ea. quæ e$t ponderũ dicti corporis in i$idem medijs.

Po$$e uelocitatem alicuius corporis proportionem contrariam in diuer$is medijs habere cum den$itate eorum. CAP. III.

PO$$ibile e$t in rerum natura corpus aliquod huiu$modi den$itate præditum re- periri, vt velocitas eius motus naturalis per aerem, velocitati per aquamita pro portionata exi$tat, vt e$t d\-e$itas aquæ den$itati aeris. Den$itas aquæ notetur (exem- pli gratia) per. u. i. & ea, quæaeris e$t per. e. i. & pondus alicuius corporis in aere per e. a. & pondus eiu$dem corporis in aqua per. u. a. ita tamen, quod eadem proportio $it. e. a. ad. u. a. vt. u. i. ad. e. i. vnde per vltimam $uppo$itionem præced\-etis capitis, pro portio velocitatis prædicti corporis per aerem, proportioni eiu$dem corporis per aquam erit, vt e. a. ad. u. a. ergo per. 11. quinti, vt. u. i. ad. e. i.

O$citanter ab Ari$totele nonnibil prolatum cap 8. lib. 4 Phy$icorum. CAP. IIII.

EX $upradictis patet in vniuer$um non e$$e verum quod Ari$to. 8. cap. 4. lib. phy $icorum $cribit, velocitates $cilicet motuum alicuius corporis per diuer$a me- dia, proportionatas e$$e den$itatibus eorundem mediorum. Quocirca, $it propor- tio. u. i. ad. e. i. vt d\-e$itatis aqu{ae} ad aereã d\-e$itatem. et. e. a. ad. u. a. vt ponderis alicuius corporis in aere ad pondus eiu$dem in aqua, ita tamen vt maior aut minor propor- tio $it. e. a. ad. u. a. quam. u. i. ad. e. i. vnde exi$tente proportione velocitatis per aer\-e DISPVTATIONES. ad velocitatem per aquam vt. e. a. ad. a. u. non erit ergo vt. u. i. ad. e. i. Ob hanc igitur cau$am nimis di$$entaneum e$t rationi, opi- nari proportionem velocitatis omnium cor porum grauium per aerem vnam eandem\’q; e$$e cum velocitate eorundem per aquam, quemadmodum Ari$toteles $en$it.

Exempla dictorum. CAP. V.

POnamus, exempli gratia, aquam e$$e in den$itate dupla ad aerem, & aliquod graue corpus in aqua duplum ad den$itatem ip$ius aquæ, vnde dictum corpus in den$itate ad aerem quadruplum erit; quam ob cau$am, mediam $ui ponderis tota- lis partem in aqua, & in aere quartam partem, ex. 7. lib. de in$identibus aquæ ab Ar- chimede con$cripto, amitteret. Moueretur igitur in aqua virtute illius mediæ partis põderis $ui, in aere aũt uirtute triũ quartarũ; vnde proportio facultatis mou\-etis dicti corporis in aere ad facultatem mouentem eiu$de m in aqua $e$quialtera erit. hoc\’q; corpus appelletur. A. Sit aliud quoque corpus, quod. B. nominetur, $imile figura, & magnitudine corporea corpori. A. $ed d\-e$itate, in proportione $e$quialtera ad aquã, & den$ius erit aere in proportione tripla. quamobrem corpus. A. grauius erit cor- pore. B. in aere in proportione $e$quialtera, vnde etiam velocius erit ip$o. B. in aere in eadem proportione, $ed corpus. B. in aere, duplo maius pondus habebit, quã in aqua, cum in aere remaneant ei duæ ponderis tertiæ partes, & in aqua vna tantum, ita vt Ari$toteli concedam corpus. B. in aere, quam in aqua velocius futurum in ea- dem proportione, in qua, aqua e$t d\-e$ior aere, ex Euclidis vndecima propo$itione lib. quinti. Sed præter hæc omnia, $i corpus. A. e$$et etiam velocius in aere, quã in aqua, in eadem proportione, $equeretur ex. 16. dicti lib. quinti proportionem velo- citatis. A. in aqua ad velocitat\-e ip$ius. B. in aqua etiam $e$quialteram e$$e. Sed cum corpus. A. in den$itate ad aquam duplũ $it, & corpus. B. $e$quialterũ ad ip$am aquã, $equetur proportion\-e ponderis ip$ius. A. ad põdus ip$ius. B. in aqua e$$e in propor- tione dupla; Vnde ex primo $uppo$ito capitis $ecundi proportio velocitatis. A. ad velocitatem. B. in aqua dupla erit, non $e$quialtera. Si ergo proportio velocitatis. A.ad eam quæ e$t. B. in aqua dupla e$t, & ea, quæe$t. B. in aere, ad eam, quæ e$t ip$ius per aquam e$t etiam dupla (vnde ea qu{ae} e$t. A. per aquam {ae}qualis erit ei, quæ e$t. B. peraerem, ex. 9. lib. quinti) & cum ea, quæ e$t. A. $it ei, quæ e$t. B. per aerem $e$qui- altera, erit ergo ea, quæ e$t. A. per aerem, ei, quæ e$t $uimet ip$ius per aquam $e$qui altera, non autem dupla, ex. 7. eiu$dem libr. quinti. Hi$ce rationibus accedimus ad confirmandam veritatem vltimi $uppo$iti cap. 2. proportionem videlicet velocita tis mot<_>9 naturalis in diuer$is medijs alicui<_>9 corporis põdero$i in ip$is medijs e$$e ean dem cum ea, quæe$t inter pondera dicti corporis in dictis medijs. de ijs tamen medijs intelligendo, quæ un- ctuo$a, aut pinguia non $unt, ut $unt oleum, lac, aut huiu$modialia, quæà qualibet minima qualitate frigoris aut caloris alterantur, & impermea- biles fiunt.

10. BAPT. BENED. Quod proportiones ponderum eiu$dem corporis in diuer$is medijs pro portiones eorum mediorum den$it atum non $eruant. Unde ne- ce{$s}ariò inæquales proportiones uelocitatum producuntur. CAP. VI.

OMne corpus graue variat proportionem ponderis per diuer$a media, vnde proportiones velocitatum inæquales exi$tunt. Vt exempli gratia, $i fue- rit corpus. A. cuius pondus totale $it. o. a. quod in aqua diminutum $it ratione partis. e. o. ita vt ei $olum relinquatur pondus. a. e. & in aeie adempta $it ei pars. i. o. vnde $o lum remaneat pondus. a. i. Supponamus aliud quoq; medium in eadem proportio- ne minus den$um, quàm aer, quemadmodum aer minus den$us e$t, aqua, in quo, cor pus. A. ammittat partem. t. o. ponderis $ui, vnde ex. 7. lib. de in$identibus aquæ Ar- chimedis, eadem proportio erit. e. o. ad. i. o. quæ e$t. i. o. ad. t. o. Supponamus quoq; eandem proportionem e$$e. a. i. ad. a. e. e$t. e. o. ad. i. o. tunc dico non futuram ean- dem proportionem. t. a. ad. a. i. quæ e$t. i. o. ad. t. o. Cum $it ergo proportio. a. i. ad. a. e. ut. e. o. ad. i. o. erit di$iunctim. e. i. ad. e. a. vt. e. i. ad. i. o. Quare ex. 9. libr. quin ti erit. a. e. æqualis. i. o. $ed cum ita $ehabeat. e. o. ad. i. o. vt. i. o. ad. t. o. ita quoque $e habebit, ex vndecima quinti. a. i. ad. e. a. ut. i. o. ad. t. o. Cum autem (vt vidimus). a. e. {ae}qualis $it ip$i. i. o. non poterit e$$e proportio. t. a. ad. i. a. vt e$t. o. i. ad. t. o. quia $i hoc e$$et, e$$et etiam di$iunctim proportio. i. t. ad. i. a. vt e$t. i. t. ad. t. o. & ex $upradicta 9. lib. quinti. a. i. æqualis e$$et. t. o. Maximum autem inconueniens e$$et. t. o. minorem o. i. ide$t minorem. a. e. æqualem e$$e. a. i. quæ maior e$t. a. e. O$ten$iuè tamen idem hoc modo probari pote$t, vt exi$tente. i. o. {ae}quali ip$i. a. e. per con$equens quoq; erit minor ip$a. a. i. cum. a. e. pars $it ip$ius a. i. Pereãdem tamen rationem. o. t. minore$t. o. i. Tanto magis igitur minor erit. t. o. ip$a. i. a. Vnde ex. 8. libri quinti maiorem pro portionem habebit. i. t. ad. t. o. quam ad. i. a. & ex. 28. eiu$d\-elib. i. o. ad t. o. maior\-e proportio- n\-e habebit, quàm. t. a. ad. i. a. ex. 12. igitur di- cti quinti maiorem pro portionem habebit. i. a. ad. e. a. quàm. t. a. ad. i. a. ita ergo $e habebunt ip$orum velo- citates.

Corpora grauia aut leuia eiu$dem figur æ et materiæ $ed inæqualis magnitudinis, in $uis motibus natur alibus uelocit atis, in eo dem medio, proportionem longè diuer$am $eruatura e{$s}e quam Aristoteliui$um fuerit. CAP. VII.

ESt mihi nunc probandum {quis} in uno eodem\’q; mcdio duo corpora inæqualia, $ed $imili figura & materia, mouebuntur naturali motu, diuer$a tamen ratione ab DISPVTATIONES. ea, quàm Ari$toteles præ$crip$it.

Sintigitur corpora. a. et. o. inæqualia, ead\-etamen figura & materia prædita, quo- rum. a. maius $it, & per con$equens in eadem quoque proportione grauius ip$o. o. in qua e$t maius, communi omnium $ententia.

Scribit ergo Ari$toteles proportionem velocitatis corporis. a. ad eam, quæ e$t corporis. o. (naturaliter$e vnoquoque mouente) eandem futuram, quæ e$t magnitu dinis, aut grauitatis corporis. a. ad magnitudinem, aut grauitatem corporis. o. Ima- ginemur igitur corpus u.eadem magnitudine & figura, qua corpus. a. præditum e$t, $ed eandem grauitatem obtinere, quæ communicata e$t corpori. o. quod ex quauis materia con$ter. Hinc ex primo $uppo$ito $ecundi capitis certi erimus proportio- nem velocitatis corporis. a. $i comparetur cum velocitate corporis. u. futuram, vt eã, quæ e$t ponderis corporis. a. ad pondus ip$ius corporis. u. Ex. 9. igitur lib. quinti Eu- cli. cogitur fateri Ari$toteles velocitatem corporis. o. e$$e vnam eandem\’q; in $pe- cie, quæ e$t corporis. u. Quod primo $uppo$ito cap. $ecundi huius lib. planè repugna ret. Igitur hæc Ari$totelis opinio fal$a e$t. Idem quoque probaretur mediante cor pore. i. æquali magnitudine, $imili\’q; figura cum corpore. o. prædito, $ed, quòd ad quantitatem attinet, æquali corpori. a. vnde ex primo $uppo$ito cap. $ecundi huius li bri in eadem pro portione veloci<_>9 e$$et corpore. o. in qua grauius e$t. ex. 9. igitur quin- ti cogitur Ari$to- teles affirmare tã velox e$$e corpus a. quã e$t corpus i. vnde idem pla- nè inconueniens emergit ex $ecundo $uppo$ito cap. $ecundi huius lib.

Quod duo corpor a in æqualia eiu$dem materia in diuer$is medijs eandem uelocitatis proportionem retinebunt. CAP. VIII.

QVælibet duo corpora inæqualia $imili tamen figura & eadem materia con- $tantia, naturaliter $e per diuer$a media mouentia, vnam eandem\’q; $em- per proportionem velocitatum $eruant.

Sint duo corpora. A. et. B. $ibi inuicem inæqualia quorum. A. $it maius, $ed $imile figura & idem materia, cuius pondus totale$it. x. o. & pondus totaleip $ius. B. $it. u. s. Imagine- mur quoque corpus. A. po$itum in aqua amitte re part\-e. o. e. ponderis. IO. BAPT. BENED. o. x. et. B. quoque in eodem loco amittere. c. s. et. A. in a\-ere partem. i. o. et. B. partem. . t. s. Nunc quia corpus aqueum, cui corre$pondet. e. o. æquale e$t ip$i. A. & corpus aqueum, cui corre$pondet. c. s. æquale e$t i p$i. B. vt e$t ab Archimede probatũ: com muni quadam $cientiæ ratione, $equitur eandem proportionem futuram. o. x. ad. e. o. quæ e$t. u. s. ad. c. s. ob ea$dem\’q; rationes idem erit de. x. o. ad. i. o. ut. u. s. ad. t. s. & id\-e etiam erit de. o. x. ad. s. u. vt de. e. o. ad. c. s. vt etiam de. o. i. ad. s. t. Vnde ex. 19. lib. quintí erit de. x. i. ad. u. t. quemadmodum de. x. o. ad. u. s. idem dico de. x. e. ad. u. c. Ex 11. igitur dicti lib. erit. de. x. i. ad. u. t. quemadmodum de. x. e. ad. u. c. ex quibus quid\-e proportionibus, $i $ubtra hantur proportiones @re$i $t\-etiarum extrin$ecus ad- uen\-etium, proportiones quæ remanebunt, exter- tio communi axiomate ab Eucli. in principio pri milib. po$ito, ad inuicem erunt æquales, $ecundum quas eorundem corporum $unt velocitates.

Anrectè Aristoteles di$eruerit de proportionibus mo- tuum in uacuo. CAP. IX.

CVm verò Ari$toteles circa finem cap. 8. lib. 4. phy$icorum $ubiungit quod ea- dem proportione dicta corpora mouerentur in vacuo, vt in pleno, id pace ei<_>9 dictũ $it planè erroneũ e$t. quia in pleno dictis corporibus $ubtrahitur proportio re$i $tentiarum extrin$ecarum à proportione ponderum, vt velocitatum proportio re- maneat, qu{ae} nulla e$$et, $i dictarum re$i$tentiarum proportio, ponderum propor- tioni æqualis e$$et, & hanc ob cau$am diuer$am velocitatum proportionem in va- cuo haberent ab ea, quæ e$t in pleno.

Quòd in uacuo corpor a eiu$dem materiæ æquali uelocita- te mouerentur. CAP. X.

QVòd $upradicta corpora in vacuo naturaliter pari velocitate mouerentur, hac ratione a$$ero.

Sint enim duo corpora. o. et. g. omogenea, et. g. $it dimidia pars ip$ius. o. $int alia quoque duo corpora. a. et. e. omogenea primis, quorum quodlibet æquale $it ip$i. g. & imaginatione compr{ae}hendamus ambo po$ita in extremitatibus alicuius lineæ, cu ius medium $it. i. clarum erit, tantum pondus habiturum, punctum. i. quantum centrũ ip$ius. o. quod. i. virtute corporis. a. et. e. in vacuo, eadem velocitate moueretur, quacentrum ip$ius. o: cum autem difiuncta e$$ent dicta corpora. a. et. e. à dicta linea, non ideo aliquo modo $uam velocita DISPVTATIONES. tem mutarent, quorum quodlibet e$$et quoque tam velox, quam e$t. g: igitur. g. tam velox e$$et quam. o.

Corpora licet inæqualia eiu$dem materiæ & figuræ, $ire$i$ten- tias habuerint ponderibus proportionales æqualiter mouebuntur. CAP. XI.

EAdem ratione, quam cap. antecedente præ$crip$imus, po$$et o$tendi, $i duo cor- pora. o. et. g. $uas re$i$tentias, ita ad inuicem proportionatas haberent, ut$unt eorum pondera, in pleno pari velocitate prædita e$$e, quod in fine capitis noni leui ter attigi, quia punctum. i. tam velox e$$et, ut centrum ip$ius. o. cum à tanto pondere i. motum e$$et; quanto centrum ip$ius. o. atquetan tam re$i$tentiam duo corpora. a. et. e. quãta ip$um o. $olum haberet ex hypothe$i, dicta tamen corpo ra. a. et. e. tam $eparata, quam coniuncta, eandem velocitatem retinerent. g. igitur tam velox e$$et, quam. o.

Maior hic demon$ir atur e$$e proportio ponder is corpor is den $ioris ad pondus minus den$i in med{ij}s d\-e$ioribus, quam $it eorundem corporum in medio minus den$o, nec corporum ponder a $eruare proportionem den$itatis mediorum. CAP. XII.

PRopo$ita nobis cum fuerint duo corpora. A. et. B. area corporea æqualia, quo- rum. A. den$ius $it ip$o. B. probabo in medio magis den$o, maiorem proportio nem futuram ponderis ip$ius. A. ad pondus. B. quàm in medio minus den$o.

Sit igitur. p. g. pondus totale ip$ius corporis. A. et. q. k. ip$ius corporis. B. vnde. p. g. maius erit ip$o. q. k. Sit quoque. o. g. pondus, quod medium magis den$um $ubtra- hit à pondere. p. g. et. n. k. $it pondus, quod idem medium $ubtrahit à pondere. q. k. et f. g. $it pondus, quod medium minus den$um $ubtrahit à. p. g. et. i. k. illud, quodid@m mediũ $ubtrahit ab. q. k. vnde. o. g. æquale erit. n. k. et. f. g. ip$i. i. k. quia quod ad areã attinet, corpora $upponuntur æqualia, vnde proportio. p. f. ad. q. i. maior erit ea, quæ e$t. o. f. ad. n. i. communi $cientiæ notione, quia $i $cinderet ali<003>s. p. f. in pun cto. c. ita. vt. c. f. æquale e$- $et ip$i. q. i. proportio. c. f. ad. q. i. e$$et vt ea, quæ e$t. o. f. ad. n. i. (hoc e$t nulla) IO. BAPT. BENED. $ed proportio. p. f. ad. q. i. maior e$$et ea, quæ e$t. c. f. ad. q. i. ex. octa ua lib. quinti, vn- de ex. 12. eiu$dem lib. maior e$$et. p. f. ad. q. i. quàm. o. f. ad. n. i. ex. 33. igitur eiu$dem, maior erit proportio. p. o. ad. q. n. quàm. p. f. ad. q. i. Sic quoque $e habebunt ad inui cem velocitates, quod e$t propo$itum. Cum autem proportio. p. o. ad. q. n. maior $it, quàm. p. f. ad. q. i. permurando igitur maior erit proportio. p. o. ad. p. f. quam. q. n. ad. q. i. aut euer$im maior erit proportio. q. i. ad. q. n. quàm. p. f. ad. p. o. vnde $i proportio p. f. ad. p. o. e$$et ac ea, quæ e$t. o. g. ad. f. g. non e$$et. q. i. ad. q. n. ut e$t. o. g. ad. f. g. aut vt. n. k. ad. i. k. quodidem e$t, de quibus quidem re- bus, exemplis propo$itis quinto capite m\-etionem feci.

Velocitatibus autem $e- quentibus pondera, $equi tur proportionem veloci- citatum duorum corporum hetereogeneorum eandem non e$$e per diuer$a media, contra id, quod $equeretur $i Ari$totelis opinionem. 8. cap. lib. 4. phy$icorum re- ciperemus.

Longe aliter ueritatem $e habere quam Aristoteles doceat in fine libri $eptimi phy$icorum. CAP. XIII.

NOn tam facile e$t a$$ignare proportionem velocitatum duorum corporum na turalium, quam Ari$toteles vltimo cap. lib. 7. phy$icorum putauit.

Quamobrem $int duo corpora. B. et. D. materia magnitudine\’q; diuer$a, pondere tamen, & figura $imilia, & proportio re$i$tentiarum, quas recipiunt à medio dũ mo- uentur, $it. ut. o. i. ad. a. e. denotentur deinde velocitates totales ab$que vlla re$i$ten- tia ab. a. u. et. o. c. quæ æquales erunt ad inuicem per communem $cientiam ex $up- po$ito, $int alia deinde duo corpora. V. et. M. eodem modo $e habentia ut prima. B. et. D. in eodem medio, $ed ex diuer$a materia ab ea, quæ e$t illorum duorum corpo rum, magnitudine tamen & figura ij$dem $imilia: $ignificentur quoque eo- rundem re$i$tentiæ per. t. s. et. n. r. & eorundem velocitates à nulla ex re$i$tentijs di- minutæ, per. n. x. et. t. g. vnde. n. r. æqualis erit. a. e. et. t. s. ip$i. o. i. et. n. x. ip$i. t. g: n. x. ta- men et. t. g. non erunt {ae}qualia. a. u. et. o. c. Sed exempli gratia, ponamus ea e$$e mi- nora. Supponamus nunc. e. u. velocitatem e$$e quæ remanet ip$i. B. cum applicata erit re$i$tentia. a. e. dicto corpori. B. quæ diminutam facit totam. a. u. per. a. e. $it\’q;. i. c. ea, qu{ae} remanet ip$i. o. c. corporis. D. et. r. x. ea, quæ remanet. n. x. corporis. V. et. s. g. ea, quæ e$t ex. t. g. corporis. M. Vnde communi omnium cõ$en$u a$$equemur. e. u. ma iorem futuram. r. x. et. i. c. ip$a. s. g. Scindatur deinde. a. m. ad {ae}qualitatem. n. x. et. o. z. ip$ius. t. g. vnde. a. m. ad. o. z. et. m. u. ad. z. c. æquales habebimus, ut quoque. e. m. ad. r. x. et. i. z. ad. s. g. quamobrem. e. m. maior erit ip$a. z. i. maior igitur erit proportio. z. c. ad. z. i. quàm. m. u. ad. m. e. (quia. z. c. ad. z. i. ita $e habet vt. m. u. ad. i. z. ex. 7. lib. quin- ti, $ed. m. u. ad. i. z. maior e$t quam ad. m. e. ex. 8. dicti lib. vnde ex. 12. eiu$dem. z. c. ad ad. z. i. maior erit, quàm. m. u. ad. m. e. Ergo ex. 28. maior proportio erit. c. i. ad. z. i. DISPVTATIONES. quam. u. ad. m. e. & ex. 27. maior erit proportio. c. i. ad. u. e. quam. z. i. ad. e. m. ide$t. s. g ad. r. x. quod Ari$toteli in mentem non venerat. Alijs quoque modis idem proba- ri pote$t, vt $i diceret aliquis, maiorem proportionem e$$e. e. m. ad. m. u. quam. i. z. ad z. c. (quia. e. m. ad. m. u. eadem e$t ratio vt ad. z. c. ex. 7. quinti, $ed proportio. e. m. ad. z. c. maior e$t quam. i. z. ad. z. c. ex. 8. eiu$dem, ergo ea, quæ e$t. e. m. ad. m. u. ex. 12. ma for erit, quam. i. z. ad. z. c.) vnde componendo, ea quæ e$t. e. u. ad. m. u. maior erit illa, quæ e$t. i. c. ad. z. c. & permutãdo, quam ea, quæ e$t. e. u. ad. i. c. ea, quæ e$t. m. u. ad. z. c. & ex. 33. quinti, ea, quæ e$t. e. m. ad. i. z. maior erit ea, quæ e$t. e. u. ad. i. c.

Quid $equatur ex $upradistis. CAP. XIIII.

EX præcedenti capite manife$tè depræhenditur, in vniuer$um Ari$totelis opi- nionem veram non e$$e in prima parte vltimi capitis. lib. 7. phy$icorum; quia in eo loco $upponens ip$e corpus. B. pr{ae}cedentis capitis e$$e dimidiam partem ip$ius D. quantum ad aream corpoream $pectat ($unt tamen pondere ad inuicem æqualia) ait. B. futurum duplo velocius ip$o. D. Ego verò præcedenti capite accepi. e. u. pro velocitate re$idua corporis. B. ($ubtracta ea tamen parte, quam ei re$i$tentia adimit, quæ erat. e. a.) et. i. c. pro ea, quæ e$t corporis. D. et. r. x. pro ea, quæ e$t corporis. V. et. s. g. pro ea, quæ e$t corporis. M. Dicat nunc Ari$toteles, qu{ae} nam harum duarum pro portionum dupla erit? quia $i earum aliqua talis erit, alia nullo modo e$$e poterit, vt iam o$tendi, etiam$i duo corpora. V. et. M. ea$dem conditiones habeant, quas. B. et. D. Ratio autem, quæ Ari$totelem induxerit ad illud credendum, nulla alia e$$e potuit, quàm quod putarit re$i$tentias proportionatas e$$e magnitudinibus corpo- reis, ide$t quemadmodum. B. erat corporaliter dimidia pars ip$ius. D. $ic etiam habe ret medietatem eius re$i$tentiæ, quam habui$$et corpus. D. Quod et$i verum e$$et, non tamen $equeretur nece$$ariò in quibu$libet corporibus futuram velocitatum proportionem eandem, quæ re$i$tentiarum e$t, vt $uperiore capite o$tendimus.

Numrestè $en$erit Philo$ophus re$istentias proportionales e{$s}e cum corporibus mobilibus. CAP. XV.

QVòd Ari$toteles crediderit re$i$tentias proportionatas e$$e corporibus, erra- uit. Si $uperficies ij$dem proportionatæ e$$ent, dubium non e$t, quin re$i$tentiæ quoque ip$æ, ij$dem proportionatæ exi$terent, $upponendo eas $imiles $itu, dum eadem corpora mouerentur. Sed eadem proportio non e$t inter $uperfi- IO. BAPT. BENED. cies, & quæ inter corpor a reperi\~t: Ari$toteles igitur in eo defecit. Quòd aut\-e inter $uperficies non eadem $it proportio, quæ inter corpora extat, $i primo ad $ph{ae}ricas mentem verterimus, intelligemus proportionem eam, quæ inter duas $phæras repe ritur triplam $emper exi$tere ei, quæ e$t inter ip$arum diametros ex vltima. 12. libr. Euclid. E$t autem proportio, quæ e$t inter $uperficies $ph{ae}ricas {ae}qualis ei, quæ e$t ip$orum circulorum maiorum ex. 16. lib. quinti, cum ex. 31. primi de $phæra & cy- lindro Archimedis, omnis $phærica $uperficies quadrupla, $it maiori circulo ip$ius $ph{ae}ræ, $ed proportio, quæ e$t inter dictos circulos, e$t dupla ei, quæ e$t inter eorũ- d\-e diametros ex. 2. lib. 12. Euc. ergo {pro}portio, quæ e$t inter corpora, $e$quialtera erit ei, quæ e$t $uperficierum, & non æqualis, ut Ari$toteles putauit. Idem de corporibus $imilibus à $uperficiebus planis terminatis dico, ratiocinando mediante. 36. lib. 11. et. 18. $exti, vnde cogno$cemus proportionem corporum, proportioni laterum, tri- plam futuram, & $uperficierum proportionem, laterum proportioni duplam. Quare corporum proportio, ei, quæ $uperficierum e$t, $e$quialtera erit, ita ut $i velocitates extiti$$ent ad inuicem proportionatæ, vt $uperficies, proportio velocitatis corporis. B. ei, quæ e$t corporis. C. fui$$et $ub$e$quialtera proportioni corporum, & non æqua lis eidem.

Fdip$um aliter demon$tr atur. CAP. XVI.

ALio quoque modo probari pote$t non e$$e in vniuer$um verum id, quod Ari- $toteles in prima parte capitis vltimi lib. 7. phy$icorum ait, $ic $cribens.

Si. A. quidem $it id quod mouet. B. verò id quod mouetur, et. C. $it longitudo per quam, et. D. tempus in quo e$t motum, in tempore nimirum {ae}quali, potentia æqua- lis. A. dimidium ip$ius. B. per duplum mouebit ip$ius. C. per ip$um autem. C. in dimi dio temporis. D. $ic enim erit rationis $imilitudo.

Sit ergo corpus. o. $eptimi capitis pondere æquali corpori. u. eiu$dem capitis, $ed area corporea minusip$o. u. pro medietate. Simile tamen figura. Imaginemur nũc tertium aliud corpus omogeneum ip$i. u. quod $it. i. magnitudine & figura $imile ip$i o. vnde minor erit ip$o. u. pro media parte, & hanc ob cau$am ip$um. u. erit duplo ma gis graue, quàm ip$um. i. & per con$equens ip$um quoque. o. duplo grauius erit quã $it ip$um. i. ex. 7. libr. quinti Euclidis. Ip$um ergo corpus. o. duplo velocius erit, quàm ip$um. i. ex primo $uppo$ito cap. 2. huius lib. Vnde ex. 9. quinti, velocitas ip$ius i. æqualis e$$et ei, quæ e$t ip$ius u. cum Ari$toteles $cribat. o. quoque futurum duplo velocius ip$o. u. {quis} cap. 7. huius lib. fal$um e$$e demon$traui.

De alio Aristo. lap$u. CAP. XVII.

SCribit Ari$toteles in ultimo cap. lib. 7. phy$icorum in hunc modum. Si duo quædam $eor$um per tantum $patium tanto tempore duo $eor$um pon dera mouent, & compo$ita per longitudinem æqualem, {ae}qualiu\-e in tempore, com- po$itum ex ponderibus vtri$q; mouebunt, e$t enim in eis eadem ratio.

DISPVTATIONES.

Quod in vniuer$um nec etiam pote$t e$$e verum in pleno, quia cap. 14. iam pro- baui, non eandem proportionem e$$e inter $uper$icies corporum, & ip$a corpora.

Quomodo digno$catur proportio uelocitatis duorum $imilium corporum omogeniorum inaqualium. CAP. XVIII.

ETiam $i reperire in qua proportione motus naturaliter moueantur duo corpo- ra, figura & materia $imilia, in{ae}qualia tamen ad inuicem, non facile $it, o$ten- dam tamen qua ratione id con$equi po$$imus.

Proponantur nobis, exempli gratia, duo corpora. a. et. o. $ph{ae}rica, in{ae}qualia inui- cem, omogenea tamen materia, quorum. a. maius $it; $i voluerimus inuenire in qua nam velocitatis proportione naturaliter mouerentur. Volo vt inquiratur corpus. i. $ph{ae}ricum, alia tamen & diuer$a materia con$tans, $ed pondere {ae}quale corpori. o. & $uper$icie tam proportionata $uperficiei corp oris. a. quàm e$t ea, quæ e$t $ui ponde- ris ad pondus ip$ius. a. Hoc facto, indagetur, quænam erit proportio inter $u- perficies corporum. i. et. o. qu{ae} $emper dupla e$t, vel $ubdupla ei quæ e$t diametro- rum; ut iam cap. 15. dixi, & h{ae}c proportio $uperficierum $ph{ae}ricarum ip$i<_>9. o. et. i. $ub trahatur ab æqualitate, quod igitur remanebit, erit proportio velocitatũ inter duo corpora. o. et. i. ide$t inter. o. et. a. vt exempli gratia, $i proportio $uperficiei. o. $uperfi ciei ip$ius. i. $e$quitertiα e$$et, $ub trahendo eam ab {ae}qualitate, rema- neret {pro}portio $ub$e$quitertia, vnde velocitas corporis maioris ( quod in pr{ae}$enti loco $upponitur e$$e. o.) ei, qu{ae} e$t corporis minoris, quale e$t corpus. i. $ub$e$quitertia e$$et; aut dicamus quòd. i. e$$et velocius ip$o o. in proportione $e$quitertia ex $e cundo $uppo$ito $ecundi capitis huius libri. Sed. i. tam velox e$t quam ip$um. a. ex. 11. cap. ergo proportio velocitatis ip$ius. a. $e$quitertia erit ei. quæ e$t ip$ius. o.

Quam $it inanis ab Ari$totele $u$cepta demon$tratio quod uacuum non detur. CAP. XIX.

EX ijs, quæ $uperius demõ$trauimus facilè cogno$ci pote$t irritam e$$c eam ratio nem, quam Ari$toteles. 8. cap. lib. 4. phy$icorum ad de$truendum vacuum, cõ finxit. Vtigitur idem facilius o$tendamus, compræhendamus imaginatione infini- ta media corporea, quorum vnum altero rarius $it, in qua placuerit nobis ex propor tionibus, incipiendo ab uno, imaginemur etiam corpus. Q. den$ius primo medio, cu- ius corporis, totalis grauitas $it. a. b. & po$itum in ip$o medio, amittat partem. e. b. ip- $ius grauitatis, & in $ecundo medio amittat. i. b. & $ic per gradus vnde nobis patebie 10. BAPT. BENED. dicto corpori. Q. Nunquam reman$uram $uam totalem grauitatem. a. b. in quolibet ex-dictis medijs. Nunc $i quærat à me Ari$toteles proportionem velocitatis corpo- ris. Q. per vacuum ad velocitatem dicti corporis per plenum, ego ei proponam pro- portionem ip$ius. a. b. ad. a. e. exempli gratia, dicens, {quis} qu\-eadmodum. a. b. maius e$t ip $o. a. e. $ic etiam corpus. Q. velocius erit in vacuo, quàm in pleno, dicti autem ple- ni den$itatem appellabimus. e. b. Ari$toteles dicet nunc, {quis} aliud quoddam medium in eadem proportione $ubtilius ip$o. e. b. de$umatur; quemadmodum. a. e. minus e$t ip$o. a. b. $it ergo i$tud. i. b. in quo Ari$toteles credit corpus Q. futurum tam velox ut in vacuo, in quo aberrat, <003>a proportio velocitatis corporis. Q. in medio. i. b. ad velo citatem eiu$dem in medio e. b. ita $e hàbebit, ut. i. a. ad e. a. ex ultimo $uppo$ito ca pit. 2. huius libr. quæ minor e$$et ea, quæ e$t. a. b. ad. a. e. ex. 8. lib. quinti Eucli.

Non $atis dilucidè Ari$totelem de loco ratiocinatum fui{$s}e. CAP. XX.

QVæ Ari$toteles de loco $cribit multas in $e continent difficultates. Primum, cap. 4. lib. 4. phy$icorum ait, omne corpus e$$e in $uo proprio loco, $upponen do vnum centrum pro loco grauium, et unam circunferentiam pro loco leuium cor porum. Sed quomodo punctum pote$t e$$e locus ip$ius corporis, cum omni dimen $ione capacitate\’q; $it denudatum? vnde $i centrũ locus e$$et corporum grauium, om nia dicta corpora grauia, extra proprium locum exi$terent, quia nullum ex iis e$t, {quis} $it in centro. Adde quod neque hoc cum loci definitione ab ip$o po$ita con$entiret cum ip$e dicat in eodem cap. locum e$$e $uper$iciem quandam, & non interuallum, licet huiu$modi definitio fal$a appareat primo ex incõuenienti fal$o, quod ip$e hinc $equuturum dicit, ide$t, quod $i locus interuallum e$$et, infinita loca exi$terent, quod reuera nec ob hanc cau$am inconueniens exi$tit, quia eodem planè modo quo ali- quod corpus pote$t e$$e infinita corpora, (quod ip$e diceret in potentia) $ic etiam in teruallum aliquod po$$et e$$e infinita interualla. Cum autem dicat $uperficies cor- poris ambientis e$$e locum eius corporis, quod continetur, cogitur dicere lineam, quæ circundat $uperficiem, $uperficiei locum e$$e, & puncta ip$ius lineæ, quod reue ra ab$urdum e$t. Locus corporis e$t interuallum illud eadem magnitudine & figu- ra, qua corpus ip$um pr{ae}ditum e$t, quod $i non e$$et, $ed e$$et $uperficies, quemad- modum Ari$toteles voluit, maximum inconueniens $equeretur, $cilicet æquales lo- cos capere in{ae}qualia corpora, aut corpora æqualia, locos in{ae}quales occupare, quod $citu facillimum e$t, cum Theon $uper Ptolom{ae}i Almage$tum iam probarit $phæ- ricam $uperficiem maius interuallum corporeum continere, quàm aliam quãuis $u- perficiem dictæ $ph{ae}ricæ æqualem, vnde po$$ent facilè reperiri duo loci, quorum al- ter millies altero maior e$$et, capaces tamen corporum æqualium, aut reperiri duo corpora, quorum alterum millies maius e$$et altero, qu{ae} tamen corpora apta e$$ent ad occupandos locos {ae}quales, quamuis Ari$toteles dicat, locum, neque maiorem ne que minorem e$$e debere locato. Sed interualla corporea {ae}qualia à quauis figura terminata, continebunt $emper corpora {ae}qualia. Corporeum igitur interuallum e$t DISPVTATIONES. reuera locus corpori ad{ae}quatus, cum corpus in interuallum $uper$iciale non intret, quam @is interuallum corporeum ingrediatur. Et hoc modo nullũ e$t corpus, quod in m@ do aut extra mundum ( dicat autem Ari$toteles quicquid voluerit ) locum $uum non habeat.

Vtrum bene Aristoteles $en$erit de infinito. CAP. XXI.

TRactans Ari$toteles in fine quinti cap. lib. 3. phy$icorum de infinito ait, impo$ $ibile cum $it inuenire locum infinitum, & omne corpus in loco cum $it, impo$ $ibile quoque e$$e in rerum natura aliquod: infinitum corpus reperiri. Omittamus quòd cum Ari$toteles debuerit beneficio loci de$truere infinitum, ordine peruer$o de infinito prius, quàm de loco di$putationem in$tituat; $ed dicamus ip$um intelli- gere de infinito corporeo, & cum probauerimus corporis locum e$$e corporeum in teruallum, non autem $uperficiem, neque opus $it in definitione interualli mentio nem aliquam facere terminorum, vnde ip$um infinitum e$$e pote$t, neque aliqua ra tione de hac re dubitari pote$t; hoc modo nullum inconueniens $equeretur, quòd extra c{ae}lum reperiri po$$it corpus aliquod infinitum, quamuis, id ip$e nulla euiden- ti ratione inductus perneget. Sen$it quoque, ab$que eo, {quis} aliquam rationem propo nat, aliquid extra cœlum reperiri quemadmodum apparet ex fine cap. 9. lib. primi de cœlo, cum etiam ait cap. 8. lib. 8. phy$icorum, infinitas partes alicuius continui e$- $e $olum in potentia, non item in actu, hoc non e$t illico concedendum, quia $i omne totum continuum, & re ip$a exi$tens, in actu e$t, omnis quoque eius pars erit in actu, quia $tultum e$$et credere, ea quæ actu $unt, ex ijs, quæ potentia exi$tunt, componi. Neque etiam dicendum e$t continuationem earundem partium efficere, vt poten- tia $int ip$æ partes, & omni actu priuatæ; Sit exempli gratia linea recta. a. u. continua quæ deinde diuidatur in puncto. e. per æqualia, dubium non e$t, quin ante diui$ion\-e, medietas. a. e. tam in actu (licet coniuncta cum alia. e. u.) reperiretur, quàm totum. 2. u. licet à $en$u di$tincta non e$$et. Idem affirmo de medietate. a. e. ide$t de quarta parte totius. a. u. & pariter de octaua, de mille$ima, & de quauis, ita vt e$$entia actua lis infiniti hoc modo tutò concedi po$$it, cũ ita $it in natura. Sed peius etiam $en$it Ari$toteles eodem loco capitis quinti lib. 3. phy$icorum, negando infinitum po$$e connumerari inter quantitates, dicens vnam aliquam quantitatem intelligi vt cubi tum, tricubitum, & cætera; vbi non con$iderat eadem etiam ratione intelligi po$$e aliquam quantitatem infinitorũ cubitorum, & in quantitatis definitione nullam e$- $e nece$$itatem terminorum, vt exempli gratia in definitione numeri, non e$t nece$ $itas alicuius determinati numeri, quia multitudo, non minus infinita, quàm finita, intelligi pote$t. Vbi po$teà cap. 8. libr. 4. phy$icorum ait nullam e$$e differentiam inter infinitum, & vacuum, reuera nihil ab$urdius hoc dicere fingereue poterat.

10. BAPT. BENED. Exagitatur ab Ari$totele adductatemporis definitio. CAP. XXII.

CVM $en$erit Ari$toteles t\-epus ab$que motu e$$e nõ po$$e, ea tamen ab inui- c\-e $eparans, vol\-es definire t\-epus ait, ipsũ e$$e mot<_>9 men$urã numerũ\’q;. Quæ quidem definitio, natura $ua non e$t bona, quia tempus, neque numerus e$t, neque etiã e$t m\-e$ura motus <002> $e, $ed t\~m <002> accid\-es, quia nihil e$t, q<001> numeret aut men$uret aliud, quod non $it eiu$d\-e $peciei cũ illo quod m\-e$uratur, aut numero circun$cribi\~t, vt ex\-epli gratia, nulla vnquã $uperficies <002> $e numerabit aut m\-e$urabit lineã, aut cor- pus; neclinea $uperficiem aliquã, aut corpus: nec corpus lineã aliquã aut $uperfi- ciem; Sed linea lineam men$urabit; $uperficies $uperficiem; & corpus corpus; etiã$i tam vna ex iis quantitatibus quàm altera $it continua. Cum verò motus non $it tem pus, neque tempus $it motus, $ed inter $e maximè differant, $equetur ex iis, alterum nullo modo per $e e$$e men$uram alterius, ni$i per accidens. Et $i alicui videtur, {quis} ad $ignificandam aliquam quantitatem motus, dicere huiu$modi operationem dua- rum horarum, aut duorum dierum, aut duorum annorum $patio completam e$$e, $it ponere tantum tempus: animaduertere debet hoc $impliciter non e$$e verum, quia horarum, dierum. & annorum interualla, imaginatione concipiũtur vt motus corpo- rum c{ae}le$tium, $ine quibus, neque anni, neque dies, neque hor{ae} exi$terent, etiã $i om nis motus $it (vt ita dicam) locatus in tempore, ut corpus in loco, vnde motus motu, & tempus tempore, non autem aliud ab alio men$uratur. Tempus ex nece$$ita- te (phylo$ophicè tamen loquendo) res e$t æterna, motus non item, quia diuer$is mo dis terminari pote$t & ce$$are, & interim dum ce$$abit quie$cet corpus, quod primo mouebatur. nihilominus tamen, tempus continuabit cur$um $uum. Tempus igitur potius locus motus erit dicendum, quàm numerus aut men$ura eius, & tale e$t, vt con$umatum uideatur à continuò quodam fluxu vnius in$tantis, quemadmodum iam dixi in. 38. capite me{ae} gnomonicæ, & cum dico ab vno in$tanti, vnum in $pecie, & non in numero intelligo, quod à $en$ibus no$tris percipi non pote$t, neq; etiam notari, quia nouum $emper in$tans nobis occurrit. & $i aliquis aliquod exemplũ (lar go modo) incompræhen$ibilitatis ip$ius in$tantis de$ideraret, imaginetur rotam ali quam albam, in qua $it nigrum aliquod punctum $en$ibile, aut è contra rotam nigrã imaginetur, in qua $it punctum album, quæ rota veloci$$imè moueatur; huiu$modi punctum, nullo modo a$$ignari poterit, magis ab una parte quàm ab altera; immo $e $e nobis offeret $emper in forma lineæ circularis. po$$umus aliquo modo etiam $u- mere exemplum à $ono, quia omnis chorda cuiu$libet in$trumenti mu$ici, dum $o- nus editur, tremit, unde huiu$modi $onus, appellari pote$t aggregatum aliquod ex innumerabilibus $onis. eodem modo $e habet $onus, quem {ae}dunt campan{ae}, & omnia in$trumenta tam naturalia, quàm artificialia, quæ quantò velocius tremũt, tanto acu tior\-e generant $onum, & quantò tardius, tantò grauiorem. Neque e$t quòd in ad- mirationem ducamur, quòd $en$ui unum aliquod continuum appareat id, quod di- $cretorum e$t multitudo ( non putet tamen aliquis me negare continuitatem $ucce$ $iuam ip$ius temporis) quod clare cogno$ci pote$t à niue, aut à chry$tallo, aut à vi- tro, aut à $accaro in minuti$$imas partes redacto, quæ continuam aliquam albedin\-e nobis ad in$piciendum offerunt, quod nihil aliud e$t, quàm innumerabilis quædam multitudo minutorum reflexorum. Id\-e dico de $puto, & qualibet $puma, & quan- DISPVTATIONES. to minutiora $unt corpu$cula à quibus vt à $peculis reflectitur lumen, tantò magis ag gregatũ illud albũ apparet. Hæc aut\-e exempla cũ $int, nec non largo modo $umpta, mirũ non erit $i claudicare videbũ\~t. Sed ut ad motũ, & t\-epus reuertamur ( quæ $unt cõtinua $ucce$$iua) Ari$toteles in definiendo tempore, non reduxit in mentem, quod $cribit decimo metaphy$ic{ae} et. 4. cap. $ecundo. libr. de c{ae}lo, omnia videlicet, ab eo, quod minimum e$t in $uo genere, men$urari, & ex $eip$o in phy$icorum libris, tem- pus non e$t de genere motus; ergo eius ip$ius rationum ui, tempus non erit men$ura motus, $ed motus quidem pote$t men$urare motum, videlicet velocior minus velo- cem, & breuior longiorem; & numer<_>9 men$ura\~t numero, & tempus tempore in quan tum longum e$t, aut breue, non in quantum velox, aut tardum; Nullum autem in- conueniens $equetur $umendo tempus tam ptoportionale motui, quam locus cor- pori, quia motus decem milliarium, quæ aliquis vnius horæ $patio conficiat, erit pro portionalis corpori den$o, & motus vnius milliaris eadem hora peracti, proportiona lis erit corpori raro; & quemadmodum corpus den$um occupat minus interuallum loci, contra quam fiat in corpore raro: $ic etiam motus velox breuiori temporis $pa- tio peragetur, quam tardus.

Motum rectum e$$e continuum, uel di{$s}entiente Ari$totele. CAP. XXIII.

ARi$toteles. 8. capi. 8. phy$icorum ait impo$$ibile e$$e aliquid per lineã rectam nunc vno modo, nunc altero, ide$t eundo, & redeundo per dictam lineam in extremis ab$que quiete moueri. Id quod contrà po$$ibile e$$e dico. Pro $pecula- tione cuius rei imaginemur circulum. u. a. n. motu continuo circa centrum. o. in quã libet partem, aut dextrã, aut $ini$trã ferri; & imaginemur pũctum. b. extra ip$um, ubi magis nobis videbitur, à quo ducantur duæ lineæ recte. b. u. et. b. n. contiguæ ip$i cir- culo in punctis. u. et. n. Imaginatione quoque inter has duas lineas, alteram quæ $it. u. n. aut. c. d. aut. e. f. aut. g. h. con$tituamus in quali bet parte, $umemus etiam punctum. a. circun- ferentiæ dicti circuli, à quo v$que ad. b. lineam. b. a. imaginemur fixã in. b. $ed quod remanat mo bile, $ecundum quod mouebitur punctum. a. vn- de aliquãdo hæc linea erit eadem cum. b. u. & ali quando cum. b. n. & aliquando ab. b. u. ver$us. b. n. profici$cetur, & aliquando ab. b. n. ver$us. b. u. vt accidit lineæ directionis, & retrogradationis planetarum, vnde circulus. u. a. n. erit vt epiciclus et. b. vt terræ centrum. Clarum nunc erit, quòd quando linea. b. a. eadem erit cum. b. u. aut cum b. n. non quie$cet, quia in in$tanti reuertetur, quia b. u. et. b. n. in puncto, dictũ circulum tangunt, & dicta. b. a. inter$ecabit $emper aliquam ex dictis u. n. aut. c. d. aut. e. f. aut. g. h. quod inter$ectionis punctum $it. t. Imaginemur nunc quod $ecũdũ punctum. t. aliquid per aliquam ex dictis lineis IO. BABPT. BENED. moueatur, clarum erit quod tale aliquid, nunquam quie$cet, etiam $i $it in quouis ex tremo. Ari$totelis igitur opinio, tuta non e$t.

Idem uir grauis$imus an bene $en$erit de motibus corporum uiolentis & natur alibus. CAP. XXIIII.

ARi$toteles in fine. 8. phy$icorum $entit corpus per vim motum, & $eparatum à primo mouente, moueri, aut motum e$$e per aliquod tempus ab aere, aut ab aqua, quæ ip$um $equũtur. quod fieri non pote$t; quia imo aer, qui in locum defer- tum à corpore $ubintrat ad fugandum vacuum, non $olum hoc corpus non impellit, $ed potius id cohibet à motu, quia aer per vim à corpore ducitur retrò, & diui$us à parte anteriori à dicto corpore, re$i$tit $imiliter, & quantum dictus aer in dicta parte conden$atur, tantum in po$teriori rarefit, vnde per vim $e$e rarefaciens non permit- tit, vt dictum corpus cum ea velocitate fugiat, cum qua aufugeret, quia omne agens in agendo patitur. Quamobrem cum aer à dicto corpore rapiatur, corpus quoque ip$um ab aere rapitur. Huiu$modi autem rarefactio aeris, naturalis non e$t, $ed vio lenta; & hanc ob cau$am re$i$tit, & ad $e trahit, $ed non $ufferente natura, vt inter vnũ & aliud ex dictis corporibus reperiatur vacuum; iccirco funt hæc $emper contigua, & mobile corpus aerem de$erere cum nequeat, eius velocitas impeditur. Huiu$mo di igitur corporis $eparatim à primo mouente velo citas oritur à quadam naturali im pr{ae}$$ione, ex impetuofitate recepta à dicto mobili, quæ impr{ae}s$io & impetuo$itas, in motibus rectis naturalibus continuò cre$cit, cum perpetuò in$e cau$am mou\-et\-e, ide$t propen$ionem eundi ad locum ei à natura as$ignatum habeat. Ari$to. 8. cap. primi lib. de cœlo, dicere non deberet <003> quantò propius accedit corpus ad terminũ ad quem, tantò magis $it velox; $ed potius, <003> quantò longius di$tat à termino à quò tantò velocius exi$tit. quia tantò maior fit femper impræsfio, quantò magis moue- tur naturaliter corpus, & continuò nouum impetum recipit, cum in fe motus caufam contineat, quæ e$t inclinatio ad locum $uum eundi, extra quem per vim confiftit. Neque etiam rectè $erip$it Ari$to. 9. cap. lib. 8. phyficorum et. 2. lib. primi de cœlo e$$e aliquem motum ex recto & circulari mixtum, <003> omninò impos$ibile e$t.

Motum rectum & natur alem non e$$e primo & per $e quicquid Ari$toteli ui$um $it. CAP. XXV.

MOtus rectus corporum naturalium $ur$um, aut dcorfum, non eft naturalis pri mò & per $e, quia motus naturalis perpetuus e$t, aut vt melius dicam, ince$- fabilis, & alius e$$e non poteft quàm circularis, nulla\’q; pars cum fuo toto coniun- cta, alium motum naturalem habere poteft, quàm eum, qui eft totius. fi autem à $uo toto diuulfa atque difiuncta fit, libere\’q; vagetur, $pontè, & quàm breuis$ima poteft via, ad locum, $uitoti9 à natura $tatutum profici$citur. hic motus primò, & per fe di- cti corporis, naturalis non eft, cum à caufa naturæ fuæ contraria fit generatus, ideft, DISPVTATIONES. ab co quod fit extra $uum locum, vbi contra naturam $uam reperitur. Vnde hu- iu$modi motus, partim & non omninò, naturalis eft. Is autem proprius e$t & natura lis motus, qui dicti corporis e$$entiam con$eruat. hoc autem non præ$tat hic rectus, cum de$truat, ergò hic motus primò & per $e naturalis non eft.

Omne corpus e$$e in loco proprio graue, ut Aristoteli placuit, non eft admittendum. CAP. XXVI.

ARift. 4. cap. lib. 4. de c{ae}lo fic $cribit.

Suo enim in loco grauitatem habent omnia præter ignem, fignum cuius eft vtrem inflatum plus ponderis, quam vacuum habere, & c.

Quo in loco, manifeftè indicat $e caufam nec grauitatis, nec leuitatis corporum naturalium nofce, quæ eft denfitas auto raritas corporis grauis, aut leuis, maior den$i- tate, aut raritate medij permeabilis, in quo reperitur.

Exemplum <003> ip$e de vtre inflato proponit, debui$$et $altem ei oculos ad verita- tem, quæ claris$imè fulget, in$piciendum aperire. Veris$imum e$t, vtrem inflatum plus ponderis habere quàm vacuum, aut quando aer in eo non eft per vim inclufus.

Ratio autem huius rei eft, quia quando inflatus eft, ea quantitas aeris, in eum per vim iniecti, minorem occupat locum, quàm $i eidem liberè vagari permit- teretur, vnde violenter, quodam modo, con denfata eft, & quia corpus denfum in minus denfo, femper de$cendit, & minus den$um in magis den$o a$cendit. Hanc ob caufam vter inflatus plenus corpore magis den$o, quàm eft medium quod eum cir- cundat, de$cendit, non quia aer inaere, aut aqua in aqua fit grauis.

Haud admittendam opinionem Principis Peripateticorum de circulo, & $pbæra. CAP. XXVII.

CVm Ariftoteles fen$erit circulum e$$e figurarum $uperficialium primã, & $ph{ae} rã e$$e primã corporearũ <002><002> earũ periferias, decipitur. Sunt enim vltimæ, non primæ. Sunt quidem (in quò rectè $entit) perfectè, licet rationem huius rei non nouerit. Nam centrũ cuiu$libet rei, eiu$dem rei principiũ eft, & e{ae} figur{ae}, quæ ip$um æqualiter circundant, po$$unt appellari per$ectæ, $iue $int $uperficiales, $iue corpo- reæ, & ècontrà illæ, quæ contrario modo $e habent, imperfectæ. Quòd autem per- $ectum e$t, licet natura fit primum, e$t tamen vltimum generatione. Sed quando Ariftoteles duas dictas figuras pronuntiauit primas, vt perfectas, prioritate $cilicet ea, quæ oritur à perfectione, verum dixit; fed quando de figuris $uperficialibus lo- quens, vult circulum effe primum, quia ab vna tãtum linea terminetur; nõ minus pro circulo, quam pro oxigonia $eu elip$i, aut cucurbitali, aut aliis multis figuris ab vna tantum linea terminatis concludit. Neque etiam hæc ratio perfectionem circuli mõ $trat, quia aliæ figuræ, à lineis curuis terminat{ae}, eandem conditionem fortiuntur. Circulus $ph{ae}ra\’q;, non ex vno $olo angulo recto con$tant, vt idem Ariftoteles putat IO. BAPT. BENED. cap. 4. lib. 4. de c{ae}lo, etiam fi triangulus ex duobus angulis rectis con$urgat, $ed $unt figur{ae} infinitorum angulorum rectorum, & hanc ob cau$am à me dicuntur vltimæ & perfect{ae}, quia infinito nihil addi pote$t. Numerus angulorum rectorum circuli, eft minor duplo infinito per duo infinita angulorum contingentiæ, quæ duo infinita mi nora funt quouis angulo acuto rectilineo, & numerus angulorum rectorum folidorũ $ph{ae}ræ, minor eft quadruplo infinito per. 4. infinita angulorum $olidorum cõtingen- tiæ, quæ. 4. infinita, minora $unt quouis angulo $olido acuto terminato à tribus pla- nis. Triangulus inter figuras planas $uper$iciales eft primus, & circulus vltimus; & pyramis quadrilatera, inter corpora eft prima, & $ph{ae}ra vltima.

Occultam fui{$s}e grauis$imo Stagirit & can$am $cintilla- tionis $tellarum. CAP. XXVIII.

VBi Ari$toteles ait $cintillationem $tellarum $ieriratione a$pectus @o$tri ob, ma ximam di$tantiam, maximum errorem committit, vt etiam facid quum putat vifionem fieri extramittendo, contra id, quod alio loco, immo contra veritatem ip $am afferuit. Scintillatio ergo $tellarum, neque a$pectus no$tri ratione, neque ali- cuius mutationis earundem $tellarum, $ed ab inæqualitate motus corporum diapha norum mediorum na$citur, qu\-eadmodum clarè cernitur, quòd fi inter aliquod obie ctum, & nos, aliquis $umus, qui a$cendat, intercefferit, videbimus obiectum illud qua $i tremere. Hoc autem tantò magis fiet, quantò magis di$tabit obiectum ab ip$o fu mo; vnde admirationi locus non erit, fi ftellas fixas magis $cintillare, quam errantes cernamus. Lumen $tellæ ad oculum no$trum accedens, perpetuò per diuerfas dia- phaneitates penetrat, medio continuorum motuum corporum mediorum, vnde continuò eorum lumen variatur, & hoc in lõginquis magis, quàm in propinquis $tel lis apparet, quemadmodum ab exemplo de fumo allato, & etiam ab aliquibus vi- tris ex $uperficie non plana, $ed irregulari con$tantibus, quilibet cogno$cere poteft.

Daricontinuum infinitum motum $uper rectam at que finitam lineam. CAP. XXIX.

OMnes hactenus $en$erunt imposfibile e$$e dari per imagination\-e motum con- tinuum & perpetuũ $uper vnam lineam rectam finit: in quo tñ decipiuntur. Imaginemur iõ duas lineas parallelas. a. b. et. t. x. quarũ b. a. fit ĩfinita à qualibet par te, & in ea imaginemur pun ctum. a. moueri continuò ad quam voluerimus partem, & DISPVTATIONES. & in linea. t. x. imaginemur punctum fixu@, quod fit. c. imaginemur etiam inter. c. @. a. vnam lineam rectam. c. a. & inter duas parallelas dictas. r. x. fixam, & motus punct@i fit ab. b. verfus. a. ita ut. c. a. fecet. r. x. in puncto. i. quod interfectionis punctum mo- uebitur ab. r. verfus. x. continuò, in tempore infinito, neque vnquam idem erit cum puncto. x.

Non e$$e $olis calorem à motu localι ip$ius corporis $olaris, ut Ari$toteli placuit. CAP. XXX.

JD nullo planè modo e$t admittendum quod Ariftoteles credidit calorem folis à motu locali ip$iu$met corporis folaris, & non à lumine, prouenire, quemadmo- dum manifeftè a$$erit primo metheororum cap. 3. circa finem fic fcribens.

Vtigitur repor gignatur atque calor, folis latio duntaxat, $atis e$t e$$icere, & c. $ed cap. 7. lib. 2. de cælo fic $eribit, Caliditas autem ab ip$is, lumen\’q; ideo fit, quia aer ab illorum motione fricatur.

Vbi non folum oftendit fe opinari, quòd motus corporum cœle$tium fit caufa ca loris, $ed eriam luminis, paulò autem po$t dicit, $uperiorum autem corporum vnum quodque fertur in $phæra, vt ip$a quidem non igniantur. Opinio profecto abfur- da. Nam cùm corpus $olate fixum fit in $pisfitudine $ui orbis deferentis, fe- cundum communem opinionem, non mouetur per fe, $ed accidentaliter, cum $ei- licet fertur à dicto $uo orbe, vnde fieri pote$t, vt in motu fui orbis, nullum ex orbibus fuorum deferentium augis fricet, fed fi fricaret, id faceret mediante vno fo lo puncto, vt cuilibet, aliquantulum in mathematicis verfato patet. Quam ob cau $am, rationi cõfentaneum non e$$et credere, quòd tantùm caloris gigneretur. Quod tamen fi pos$ibile e$$et, quid ergo fricatio $uperficierum orbis $ui, cum iis, quæ funt deferentium augis efficeret? Quãdo tamen hoc fieret, vt $cilicet à fricatione fuper ficierum procederet calor, nil planè diferiminis inter hyemen, & æftatem intercede ret, nec inter calorem diei, & noctis, nec inter unam horam, aut alteram; fed fecun- dum Ariftotelis rationes, Venus, Mercurius\’q;, magis calefacere quam fol de ber\-et, cum ita fint veloces vt ip$e Sol, & eodem magis propinqua terræ. Verum Ari- $totelis t\-eporibus, nullũ aliũ planetã quam folem putabãt philofophi $upraLunã e$- $e. Atque etiam cõtigeret menfe Decembri, quam Iunio, magis inuale$ceret calor, cum huiu$modi men$e $olad nos propius accedat, quam menfe Iunii. per differen- tiam maiorem diametro regionis elementaris, (nam folaris eccentricitas maior eft $emidiametro elem\-etaris regionis) non confiderans Ariftoteles differentiam ca- loris, quæ na$citur ex eo, <003> Sol aut altius $upra orizontem excurrat, aut infra eund\-e feratur; neque eam, qu{ae} à longitudine, aut breuitate diei profici$citur. Sed quia Ari $toteles eodem cap tertio Metheororum intelligit de motu rapto, ide$t diurno, $iue dicamus vniuerfali, hinc $equi deberet, <003> Sol maiorem caloris uim men$e Martij & Septembris, quàm aliis menfibus, profunderet, quia in ii$dem temporibus, $ol virtu te huiu$modi motus velocior exiftat, quàm alio quolibet tempore anni, cum tunc per æquatorem circuũoluatur. Multa quoque alia incommoda $equerentur $i Ari $torelis rationes admitteremus. Sed clarè uidemus, mediante refl exione aut refra- ctione radiorum folarium, <003> vniente $e$e lumine, unitur quoque, & augetur calor, atque omnis res ad comburendum apta accenditur, & inflammatur. In lumine igi- IO. BAPT BENED. tur continetur calor, & non in motu ip$ius $olis, & ita in lumine $edem habet, ut fi $ol quie$ceret, neque in orbe $uo circumager etur, inf{ae}lici$$ima e$$et ea regio, in cuiu; Zenith ip$e reperiretur.

Vnde caloris $olis prode at incrementum & state, et byeme decrementum. CAP. XXXI.

CVm capite $uperiore o$tenderim calorem $olis non aliunde, quàm à lumine prouenire, o$tendam nunc ex ordine, ex quot, quibus\’q; cau$is oriatur magna differentia eius caloris æ$tatis ad hyemem, quarum nonnullæ ab antiquis ob$erua- tæ fuerunt, aliæ autem à nemine, quod $ciam. Sunt autem quinque ad minus eæ cau $æ, quarum vna eft diuturna folis mora, tempore æ$tatis $upra orizontem, quæ cau- $a ab antiquis pofita, & citata fuit. Aliam quoque huius rei cau$am iidem antiqui dicebant e$$e propinquitatem $olis noftro Zenith, $ed hæc cau$a immediata non e$t, quia ab ea tres caufæ immediatæ na$cuntur; quarum vna eft maior unio radij re flexi cum radio incidenti; $ecunda maior quantitas luminis in $uperficie terr{ae}; tertia, minor re$i$t\-etia vaporum ip$i radio lumino$o facta; quarta verò eft impresfio caloris facta in terra, quæ cum aliis caufis coniuncta calorem adauget. quæ quidem caufæ nemini adhuc, quod fciam, in ment\-e venerunt. Quòd autem attinet ad ma- iorem coniunctionem radii re$lexi cum incidente, qui$que, uel $altem mediocriter in cathoptric{ae} cognitione ver$atus hoc verum e$$e cogno$cet. Vt hoc tamen in- note$cat facilius. Imaginemur. q. p. et. b. d. e$$e duas particulas {ae}quales $uperficiei ipfius terræ, $uper quas cadant duo radii luminofi $olis. e. q. et. n. d. quorum. e. q. fit ad modum obliquus, et. n. d. qua$i perpendicularis, vnde radii re$lexi. p. a. et. b. u. a$cen dent cum angulis æqualibus eis, qui funt $uorum cadentium, cum omnis angulus re- flexionis femper æqualis $it angulo $uæ incidenti{ae}, vt cuilibet in cathoptrica, vel me diocriter verfato pater. Mixtio autem primorum obliquorum erit. q. o. p. & ea, quæ eft minus obliquorum. b. i. d. quorum duorum triangulorum nullus unquam erit, qui dubitare posfit. q. o. p. non e$$e minorem. b. i. d. cum anguli. q. et. p. trianguli. q. o. p. a- cutiores fint angulis. b. et. d. trianguli. b. i. d. ex $uppo$ito. Quòd uero attinet ad ma iorem quantitatem luminis $uper terræ $uper$iciem; Imaginemur radium. a. q. cuius re$pectu etiam imagine mur duos $uperficiei terræ $itus, quorum vnus fit. q. o: cui di- ctus radius fit perpendicularis, & alter. q. p. cui radius. a. q. ex obliquo incidat. Ima- ginemur ergo triangulum. q. o. p. cuius angulus. o. rectus e$t ex $uppo$ito, unde. q. o. minor erit. q. p. ex. 18. primi Euclidis. hinc fit, vt $uper. q. o. cadat vniuer$um lumen, quod $uper. q. p. diffunditur. Sit. q. u. æqualis. q. o. & fit imaginatione protracta. u. n. æquidiftans. p. o. a. vnde. q. u. illuminata erit à radio. n. q. minore radio. a. q. ergo mi- nus calida erit $uperficies. q. u. ip$ius terræ, quàm. q. o. quia maius lumen in $e maio- rem calorem includit: quod manife$tè apparet in radiorum vnione mediante refle- xione, aut refractione. Sed quod attinet ad minorem refi$tentiam vaporum ad ip- $um radium lumino$um, etfi primo capite meæ Gnomonicæ leuiter id attigerim, ni hilominus tamen, & idem ip$um hoc loco proponam. Denotetur, exempli gratia, $uperficies terræ ab. o. g. et ea, quæ eft vaporum ab. n. a. $upponatur etiam $ol in fitu. DISPVTATIONES. q. qui $it Zenith pũcti. o. & etiã in. p. ip$i orizõti propinquus, aut extra Zenith, cuius duos radios. q. o. et. p. o. Imaginemur, quorum duæ partes. a. o. et. n. o. erunt aliquo modo ab ip$is vaporibus offu$catæ, $ed. o. n. breuior e$t. o. a. ex. 7. lib. 3. Eucli. mino- rem ergo re$i$tentiam habebit à vaporibus $ol in Zenith, quàm extra cundem com - morans, & quantò longius erit idem ab ip$o Zenith, tanto maiorem re$i$tentiam à dictis vaporibus inferri ex eadem. 7. lib. 3. Eucli. dicemus.

Nullum corpus $en$us expers à $ono offendi, præterquam Aristoteles crediderit. CAP. XXXII.

PO$$e $onum corpus aliquod, quod $en$u $it de$titutum, vt Ari$toteles. 9. cap. li- br. 2. de cælo putauit, offendere, e$t fal$um.

Corpus enim non ni$i à corpore pote$t lædi, non ergo à $ono, cum $onus corpus non $it. Sed aer, & ignis, cum è contra $int corpora, hoc facilè præ$tare po$$unt im- plendo aliquem locum velociter ad excludendum vacuum; vnde generatur $onus. Quod hucu$que à nemine animaduer$um fui$$e comperio.

10. BAPT. BENED. Pytagoreorum opinionem de $onitu corporum cælestium non fui$$e ab Aristotele $ublatam. CAP. XXXIII.

SEn$erunt Pythagorici orbes cæle$tes dum circunuoluuntur, non autem corpora $tellarum $olum, æd ere $onu. Quibus dum Ari$toteles contradicere cogitat, maximè fauet. Eatamen opinio è phylo$ophorum $cholis e$t explodenda, quia aut orbes $unt $ibi ip$is contigui, aut inuicem di$tantes: $i ab inuicem di$tant (quod nemo adhuc conce$$it, quia hac ratione vacuum introduceretur) clarum e$t, quod cum $e minime tangant, $onum edere nequeunt: Si verò eorum vnus alteri $it conti guus, neq; etiam ab ip$is $onus re$ultare poterit, quia pro certo putandum e$t, ip$orũ $uperficies tam politas e$$e, ac lenas, vt nihil omnino a$peritatis, aut inæqualitatis contineant. Vt exempli gratia, $i aliquis duo $pecula plana inuicem confricaret, nul lum planè $onum audiret, $ed $i hoc faceret cum duabus $uperficiebus a $peris, $onũ per$entiret, & tanto maiorem; quantò a$periores e$$ent dictæ $uperficies, & qui vult vtarcus lir{ae}, ex corda $onum eliciat, colophonia dictum arcum illinet, vt a$periorem reddat. Nece$$arium quoque e$t vt tremat $iue trepidet corpus, quod $onũ edere debet; Neque etiam ab$que aere $onus efficipotelt, quia aer $onat ingrediendo velociter ad implendum locum, vt non remaneat vacuus. Sed $upponendo in æche rea regione neque aerem e$$e, neque corpus aliquod fluidum, clarè patebit orbes cœle$tes ex $e$e nullum emittere $onum. Idem affirmo de fricatione $uperficiei con cauæ infimi orbis lunaris cum conuexa materiæ à dicto orbe contentæ, $uperioribus rationibus fultus, vt etiam experientia à corpore aliquo fluido, quod in alio veloci$ $imè moueretur de$umpta fretus, cuius corporis $uperficies tamen lenis e$$et, à quo $onus non gigneretur. Et non minus dicere po$$um, corpus fluidum moueri in con- tinente loco immobili, quam dictum corpus continens illud e$$e, quod moueretur, & non fluidum corpus. Cuius rei po$$umus etiam exemplum habere à quouis corpore perfectè rotundo, quod circa $uum axem veloci$$imè moueatur, nullum $o- num efficiet, quia nullam aeris partem extra $uum locũ impellit dum mouetur non $ecundum totum, $ed $ecundum $uas partes, quarum quælibet ab$que re$i$tentia im- mediatè $ubintrat locum alterius, ab$que temporis interpo$itione. nec huiu$modi locum aliquo modo eadem materia dicti corporis, quod circunuoluitur: de$titutum dimittat. Sed $i Pythagorici de alia quadam harmoniæ $pecie ab ea, quæ e$t $ono- rum, vt à diuer$is velocitatibus motuum, aut à diuer$is magnitudinibus aut di$tantiis, aut $tellarum influxibus intellexi$$ent, rectè $en$i$$ent exparte, non autem omnino, quia ea harmoniam efficere nequeunt, quæ ad inuic\-e $ecundum interualla harmoni- ca proportionata non $unt, vt $unt dupla, $e$quial tera, $e$quitertia, $e$quiquarta, $e$- quiquinta, $upertripartientia quintas, $uperbiparti\-etia tertias, & qu{ae} ab ijs depend\-et ide$t coniuncta $unt cum duplis; de con$onantijs loquendo. de di$$onantiis idem di co, quæ harmonicis in$eruiunt modulationibus, vt $e$quioctauũ, $e$quinonũ, $e$qui quintũdecimũ, $equiuige$imũquartũ, $e$quioctuoge$imũ, & $uperbipartiens vige$i masquintas. Verũ quidem e$t nonnulla harmonica interualla in a$pectibus cõperta fui$$e, vt Prolomeus o$tendit, & alii quoque a$$erunt. ine$t tamen huic rei nonnihil difficultatis. vt exempli gratia, $i $ubtrahamus diate$$aron extra diapa$on, remanet diapente, & $i à diapente $ubtrahamus $emiditonum, remanet ditonum (quæ duæ DISPVTATIONES. con$onantiæ, eum habent re$pectum ad inuicem, quem habent diate$$aron, & dia pente, quia quemadmodum $emiditonum, & ditonum $imul coniuncta, compo nunt diapente, $ic diate$$aron, & diapente $imul vnita componunt diapa$on; & qu\-e admodum terminus, qui diuidit diapa$on in diate$$arõ, & diapente, e$t mediator ha@ monicus inter extrema diapa$on diui$i, $ic etiam terminus, qui diuidit diap\-ete in $e- miditonum, & ditonum, mediator e$t harmonicus inter extrema ip$ius diapente diui $i) $ubtrahendo deinde à diapa$on $emiditonum remanet exachordum maius, & ab eodem diapa$on $ubtrahendo ditonum remanet exachordum minus, qu{ae} quid\-e nõ accidunt a$pectuum circulo, quia $ubtrahendo a$pectum quadratum ab oppo$ito, remanet aliud quadratum, & $ubtrahendo $extilem à trino remanet quoque alius $extilis. Quòd autem attinet ad motus, ad magnitudines, ad di$tantias, & ad influ- xus, nihil e$t, quod hi$ce proportionibus conueniat, $ed quia hæc omnia dep\-edent ab ĩfinita, & diuina {pro}uid\-etia Dei, nece$$ariò fit vt i$tæ velocitates, eæ magnitudines, di$tantiæ, & influxus, talem ordinem, & re$pectum inter $eip$a, & vniuer$um habeãt, qualis perfecti$$imus $it.

Deraro et den$o nonnulla, minus diligenter à Peripateticis perpen$a. CAP. XXXIIII.

ANtiqui Peripatetici de videndo in hyeme animalium halitu. Id, quod in æ$ta te non euenit, malè di$putauerunt, quia hoc na$citurà conden$atione hali tus, qu{ae} ab ambiente frigore fit. quia halitus is abore, aut na$o animalis exi\-es non e$t purus aer attractus primò, $ed mixtus e$t cum quodam vapore excrementi- tio, & $ubtili, quo $emper ab ea parte euacua\~t corpus, qui $tatim ab aere frigido cir- cundatur, & den$atur, quam ob cau$am ab ip$o ea luminis pars reflectitur, quæ eum penetrare non pote$t, quod in hypocau$tis, huiu$modi\’q; calidis locis non fit. Idem exemplo ab aqua $tatim à ci$ternis, aut profundis puteis in hyeme extracta compro bari pote$t, quia tunc temporis, huiu$modi aqua, cum magis calida $it, quàm fri- gida, emittit vaporem, qui facillimè videtur, ob rationem iam dictam, quod in æ$tate non cernitur in aqua, et$i ea magis calida e$$et, quam ea, quæ in hyeme hauritur.

Ratio autem, quam ab antiperi$ta$i de$umptam citarunt iidem ad inquirendum, cur aqua $ubterranea magis calida, aut minus frigida, hyberno tempore, quàm ea, quæ e$t $upra terram $it, vana e$t, quia hoc non aliunde fit, quàm ab eo, {quis} terræ por- ri à frigoris $iccitate $int clau$i, vnde vapores & exalationes non tam facilè exire po$ $unt. quamobrem calefiunt $ubterraneæ partes. Fimum, fœnum, frumentum hac in re $unt nobis exemplo, in quibus ${ae}pi$$imè vi$um e$t ignem accendi.

Priore illa quoque ratione de antiperi$ta$i dicta, volunt philo$ophi maiorem ca- liditatem hy{ae}me, quàm {ae}$tate in animalium $tomacho contineri, non animaduerten tes $iccitatem, frigiditatis partes $uperficiales corporis, re$tring\-etem, $anguinem ver $us originem $uam impellere, qui in eo loco copio$ior cum $it, eas partes tunc tem- poris calefacit magis.

Neque etiam ijdem nouerunt cau$am, vnde fiat, ut in æ$tate impleto va$e vitreo, aut argenteo, aut ex materia non poro$a con$tante, aqua frigida, vas $udet, quod 10. BAPT. BENED. tempore hyemis, non ni$i in calidis locis euenit, quem $udorem, dicebantip$i, e$$e eandem aquam, quæ per porros va$is exiret, quod fal$i$$imum e$t, quia $i per porros aqua frigida exiret multò magis exiret calida, cum $ubtilior $it, & ad penetrandum aptior. Sed hoc non aliunde oritur, quàm à conden$atione aeris vas circundantis, cau$ata à frigiditate va$is refrigerati ab aqua, quemadmodum tempore hyberno clarè videmus mane $uperficies interiores vitri fene$trarum $udare, quia extrin$ecũ frigus refrigerando vitrum, intrin$ecum aerem $ibi contiguum congelat.

Neque $ilentio inuoluendum e$t, nec Ari$totelem, neque alium ex $uis fautoribus animaduerti$$e den$um, & rarum e$$e cau$am ventorum. Rarũ autem & den$um, me diante calore & frigore fit, & $i à partibus, in omogeneis, licet argum\-etari, de toto deducat con$equentiam qui velit, ob$eruans in calidis æ$tatis diebus, dum aliqua nu becula ad Solem cooperiendum incedit, ibi $tatim agitationem aeris $entiri; ea verò nubecula prætergre$$a cum fuerit, & in ea parte, aer ad pri$tinam raritatem cau$a- tam à calore Solis redierit, quie$cit; huiu$modi autem aeris agitatio, à nulla certè ex halatione profici$citur, $ed à motu $olum locali, quem dum conden$atur, facit. Om ne den$um natura $ua frigidum e$t; omne rarum calidum, & è conuer$o. Et frigida aura, quæ à flabellis cau$atur, non $olum à nouo aere qui nos tangit, $ed etiam à den- $o, quod in agitatione eiu$dem aeris fit, na$citur.

Cum autem de raritate & den$itate di$putationem $u$ceperim, non $ine ratione mihi vide\~t illorũ opinion\-e explod\-edã e$$e, qui Lun{ae} maculas nõ aliud e$$e dixerunt, quàm aliquas partes rariores aliis eiu$dem Lunæ partibus, non ob$eruantes rarum, & den$um, proportionabilia lumini, quod ab huiu$modi corporibus reflectitur, non e$ $e. quia corpus aliquod rarum aliquando aptum erit ad reflectendum maius lumen, quàm corpus minus rarum ut manife$tè apparet à nubibus reflecti lumen : quod ab aere non fit. Non defuerunt qui contrarium dixerunt, ide$t, eas Lun{ae} partes, den $iores e$$e; neque unquam aliquis fuit qui de diaphano, aut opaco mentionem fece rit, quia melius e$t credere, eas partes diaphanas, $iue per$picuas magis e$$e, quàm a- lias, qu{ae} per aliquod $patium, $olis radio ingre$$um permittant, & ali{ae} partes cũ $int opacæ ip$um à $uperficie reflectant. diuer$a tamen ratione à $peculo, cum in pleni- lunio tota ferè Lun{ae} pars illuminata cernatur, quamuis dictum lumen exten$iuè & in ten$iuè $it minus eo, quod ip$a in nouilunio recipit. Indignum autem mihi videtur ijs re$pondere, qui dixerunt huiu$modi maculas, terræ vmbras exi$tere, cum cra$$i$$i- mæ ignorantiæ tenebris $int circunfu$i, vt etiã fuit Cornelius Agrippa, qui primo de occulta philo$ophia dicens $e no$$e modum quendã naturalem à Pythagora inuen- tum, quo in Luna id totum, quod ip$e $uper $peculum $crip$i$$et, videretur. o$tendit manife$tè $e ignorare luminum vmbrarum\’q; naturam. quia nulla vnquam vmbra ge nerari pote$t à corpore, quod aut opacum non $it, aut officio opaci non fungatur, vt nunc dicemus de diaphaneitate aquæ. Neque corpus opacum illuminatum adũ- brare pote$t, ni$i opacum illud in linea recta $itum obtineat, quæ inter lucidum & il luminatum extenditur. Neque etiam re$pondebimus ijs, qui $entiunt quotie$cun- que nulla e$$et terra, $ed totus hic globus e$$et aqua, toties non futuram eclip$im lu- narem, ratione diaphaneitatis aquæ. Quod fal$i$$imũ e$t, quia omne corpus $ph{ae}- ricum quantumuis diaphanum $it, dummodo $it den$ius aere, lumino$os radios re- frangit, & eos ad inuicem inter$ecare facit, qui deinde vltra inter$ectionis punctũ di- $gregantur, ita vt amittant illuminationis actum. Adde {quis} et$i huiu$modi corpus aqueum, $ph{ae}ricum non e$$et, $ed cubicum, illud $uper aliquã ex eius $uperficiebus ad angulos rectos radius $olaris percuteret, non eum tamen penetraret, quia dictus radius perpetuò debilitatur, & eò magis, quo maiorem profunditatem in diaphano DISPVTATIONES. eius corporis, quod $it den$ius aere acquirit, nec totus radius vnquam dictum corpus ingr editur, cum ab eius $uperficie magna pars reflectatur. Re$i$tit ergo huiu$mo- di corpus lumini, & quantò magis $pi$$um aut profundum exi$tit, tantò, validius re$i $tit. Habemus huius rei te$tes, pi$catores vnionum, in ijs mundi partibus, quæ pau- cis ab hinc annis Hi$panorum opera nobis innotuerunt, qui a$firmanu ad maris v$q; fundum lumen Solis non peruenire.

Immediata ratio, cur nebul{ae} in ijs locis in quibus cõ$piciuntur permaneant, & uũc altiores, nunc vero depr{ae}$$iores cernantur, non ea e$t, quam Ari$toteles cap. 3. lib. 1. metheororum proponit, $ed inde oritur, quòd $int eædem den$iores ea parte aeris, quæ ip$is $upereminet, & rariores e a, quæ ij$dem $ubiacet. Quòd autem alicuius cor poris den$itas maior ea, quæ e$t medij, in quo reperitur, cau$a $it, vt ip$um corpus de $cendat, & maior raritas eiu$dem corporis, ea, quæ e$t quoque me dij, efficiat, vt di- ctum corpus a$cendat, iam Archimedes in lib. de in$identibus aquæ docuit.

Recti$$im\-e in$tituit natura, vt corpora den$iora ver$us loca angu$tiora, & minora (intelligendo ea loca orbicularis figuræ) quæ ad centrum propius accedunt, & rario ra ad ampliora loca, & maius $patium occupantia, $e$e reciperent. tum quia eadem quantitas materiæ conden$atæ, eget minori loco quam rarefacta, cũ etiani, quia cũ corpus den$um non ita ad velocitatem motus localis, vt rarum, idoneum $it, ad eas partes accedat, quæ motibus tardioribus magis $unt aptæ, corpora aut\-e rara ad eas, quæ velocioribus motibus $unt aptiores $e$e transferant. præterquam {quis} reuera ap- pareat pro maiori parte, corpus magis den$um, minus diaphanum; aut magis opacũ futurum, quàm rarum, licet $æpi$$imè videamus contrarium, vt $uperius innuimus. e$t tamen naturale proportionatum\’q; magis opacum den$o, & diaphanum raro, quàm è contra. Quamobrem $umma ratione inducta natura voluit, vt corpora ma gis opaca, aut minus diaphana, magis vicina centro colligantur, vt $patium, quòd re manet, ab$que vllo impedimento à radijs $olaribus penetrari po$$it. Tres autem eæ cau$æ, quas hoc loco po$ui, propriæ $unt, immediatæ, & per $e, ex quibus fit, vt corpo ra den$iora de$cendant, & rariora a$cendant in mediis minus den$is, aut minus raris dictorum corporum, quæ à nemine, {quis} $ciam, hucu$que propo$itæ fuerunt.

Qui autem a$$erunt cucurbitæ, quam apponunt chirurgi, effectum ex eo na$ci, {quis} calidi $it attrahere, valdè aberrant à vero quia hoc, non ni$i à raro, & à den$o imme- diatè, à calido & frigido cau$atis efficitur, quia aer in cucurbita rarefactus à calore & per con$equens dilatatus, $tatim vt à dicto calore de$eritur, iterum conden$atur & tantò citius, quantò aer ambiens frigidior exi$tet, & quia eadem materia cum con- den$ata fuerit minorem $emper occupat locum, re$tringens igitur $e$e in cucurbi- ta aer dum conden$atur, nece$$ariò fit, ne ulla, $cilicet pars vacua remaneat, {quis} cum alius aer ingredi cucurbitam nequeat aliud corpus ingrediatur. Idem cum amphora in qua nullum aliud, quam aèreum $it corpus experiri po$$umus, $i eã ad ignem pri- mò calefactam, deinde cũ ore in amplo aliquo cyatho, aut alio va$e. vino, aut aqua pleno vbi videbimus huiu$modi liquorem $tatim $ur$um ferri, quia dum calefit am- phora, rarefit quoque aer qui in ea continetur, & quia rate$cit dilaratur, & quia dilatatur, eget maiore loco; & ideo magna pars eius foras exit; Cum verò ea aeris portio, quæ intus reman$erit, iterum conden$atur ob defectum caloris, re$tringitur, minori\’q; indiget loco; Quod cum ita $e habeat, nece$$arium e$t, ne aliquis locus va cuus remaneat, vt aliud quoddam corpus ingrediatur, cum ad ingredi\-edum aeri non patuerit aditus. quod $i corpus admodum non erit fluxile, aut humidum, ita vt ingre di amphoram po$$it ita amphor{ae} hærebit, vt non cito diuelli po$$it, & eo modo ${ae}pe 10. BAPT. BENED. cũ admiratione videm<_>9 fragile vas vitreũ magnũ, & graue lapideũ corpus eleuare. Sed vt ad den$um & ad rarum redeamus, mihi videtur frigidum e$$e con$equentem qualitatem den$i, & calidum rari, quia quæuis res dum calefit, rarefit, & quælibet materia dum refrigeratur, $imul conden$atur. Qua ratione fit, vt terra frigidior $it aqua, & ignis calidior $it aere.

Nec propriè locutus e$t Ari$toteles. 9. &. 10. capite primi lib. & $ecundo $ecundi metheororum cum dixerit calor\-e Solis eum e$$e, qui $ur$um humores, vapores\’q; eue hat, quia Sol nil aliud facit, quam calefacere, cuius caloris ratione, ea materia rarefit, & ob rarefactionem leuior facta a$cendit, non quia $ur$um à Sole feratur.

Qu{ae} $ub$equuntur, cum raro ac den$o $imbolum habere videntur. cum raro, $cili- cet calidum, humidum, leue, $ublime, diaphanum, lumen, clarum, lux, albũ, dies, mo- tus, velox, $implex, di$gregatum, molle, lene, acutum, $ubtile, coctum, $paciosũ, dulce, voluptas, audacia, lætitia, liberalitas, veritas, indu$tria, amor, mi$ericordia, hu- manitas, $anitas, vita, & iis $imilia. Cum den$o verò frigidum, $iccum, graue, imum, opacum, vmbra, ob$curum, tenebræ, nigrum, nox, quies, tardum, mixtum, congrega tum, durum, a$perum, ob tu$um, cra$$um, crudum, angu$tum, amarum, dolor, cimor, melãcholia, auaritia, mendacium, inertia, odium, crudelitas, feritas, infirmitas, mors, & ijs $imilia.

Verum e$t quod ea ratio, qua Ari$toteles ait aerem humidum e$$e, parui e$t mo- menti, quia $imiliter deigne inferri po$$et, qui facilius à termino alieno, quã aer, aut aqua terminari pote$t.

Motum rectum curuo po$$e comparari etiam di$entiente Ari$totele. CAP. XXXV.

SEd vt ad Ari$totel\-e redeamus, rectè dicere non pote$t motum rectum ad curuũ comparabilem non e$$e. 4. cap. lib. 7. phy$icorum, vbi errat quoque dicens repe riri non po$$e lineam aliquam rectam alicuius circuli circunferentiæ æqualem. quia Archimedes iam probauit in lib. de quadratura circuli, triangulum illum orthogo- nium, cuius vnum ex lateribus circundantibus angulum rectum æquale e$$et $emi- piametro alicuius circuli, & aliud circunferentiæ, æqualem futurum dicto circulo. Il lud igitur triangulum orthogonium, quod æquale erit alicui circulo, & habebit ali- quod ex $uis lateribus circundantibus angulum rectum æquale $emidiametro dicti circuli, aliud quoque latus ip$um angulum rectum circundans, ex nece$$itate, circũ- ferentiæ dicti circuli habebit æquale. Pote$t igitur dari vna quædam recta linea {ae}- qualis circulari contra Ari$totelis opinionem, qui non benè reuocauit in mentem, quod $crip$it de relatiuis, cum dixit quadraturam circuli po$$e quidem dari, et$i tũc t<002>is de ea nõ habere\~t $cientia. Si igi\~t dicta quadratura dari põt, pote$t etiã dari vna recta linea {ae}qualis circunferentiæ eiu$d\-e circuli, ob rationes iã dictas. Sed $i Ari$t. dixi$$et, circularem corporum c{ae}le$tium motum, comparabilem non e$$erecto cor- porum elementarium, verum dixi$$et, non quia eorum alter circularis, alter ve- rò $it rectus, $ed quia cœle$tis regularis $it, neque modò tardus, modò velox, $ed vnam $emper & eandem velocitatem retinens, mot<_>9 aũt, qui e$t corporũ elemen DISPVTATIO NES. tarium è contrà $e habeat, præter id, {quis} nunquam fuit neque $it futurus aliquis horũ rectorum, qui naturales dicuntur, qui tam velociter moueatur, ut motus cœli, quia $i voluerimus con$iderare motum diurnum. 24. horarum, $ecundum opinionem com- munem, reperiemus calculando, Lunam in quadraturis cum Sole, dum inuenitur in æquatore, $ingulis horarum minutis moueri per. 500. milliaria Italica vel circa, & in coniunctionibus, & oppo$itionibus ip$ius Solis. 1000. vel circa, & Solem tempore {ae}- quinoctiorũ. 18000. & Saturnũ circa æquatoris $itũ. 260000. & ampli<_>9 de $tellis aũt fixis circa æquatorem po$itis quiuis cogitet; quod reuera diffi cillimum quibu$dam videbitur, quod quidem non occurrit $ecũdum pulcherrimam Ari$tarchi $amij opi- nionem, diuinitus à Nicolao Copernico expre$$am, contra quam nil planè valent rationes ab Ari$totele; neque etiam à Ptolomeo propo$it{ae}. Motu verò proprio, quo libet hor{ae} minuto, Sol moue\~t per milliaria circa. 48. Luna quãdo cõiuncta e$t, aut op po$ita reperitur Soli. 36. milliaria, & in quadraturis. 18. Saturnus. 24. Iupiter. 40: Mars. 100: Venus. 26: Mercur. 5. Sed Saturnus motu rapido, vno horæ minuto mo- ue\~t circa. 260000. milliaria, vt diximus Iupiter circa. 170000. Mars. 75000. Venus. 10000, Mercurius. 2000. corpus aut\-e elementare, & $i mouere\~t motu recto hoc mõ, & velocius etiam corpore c{ae}le$ti, non ob$eruans tam\-e uniformitatem, ut dictum cœ le$te facit, cum eodem nullo modo comparari po$$et, quia rectus dictus naturalis, $uam $emper velocitatem adauget, ob continuam impre$$ionem, quam recipit à cau $a perpetuò coniuncta cum ip$o corpore, qu{ae} e$t propen$io illa naturalis eundi bre- uiori quadam via ad locum $uum, ita vt etiam $i dictum corpus elementare à motu tardiore ad velociorem, $uperare po$$et motũ alicuius corporis c{ae}le$tis, ij duo motus inter$ecarent $e$e in vno $olo pũcto, quod diuidi di$tribui\’q; in partes nequiret, ide$t non ni$i in vno $olo temporis in$tanti redderentur æquales, vt ita dicam. Neq; $olũ loquor de circulari cœle$ti cum recto elementari, $ed de qualibet alia motuum $pe- cie, $iue $int ambo recti, $iue ambo curui, quando aliquis eorum irregularis erit.

Minus $ufficienter explo$am fui$$e ab Ari$totele opinionem cre- dentium plures mundos exi$tere. CAP. XXXVI.

MAior ratio, qua Ari$toteles eorum opinionem, qui plures e$$e mundos dixe runt, refutare nititur, in eo con$i$tit, quod is credat partes terræ, quæ alijs mundis a$$ignarentur, ad huius mundi centrum inclinationem habere, & $ic ignem illorum, propen$ionem habiturum ad circunferentiam huius.

Quæ certè ratio tam debilis e$t, vt per $e cadat, non con$ideransip$e, quòd $i e$$ent dicti mundi, eorum quilibet $uum proprium centrum, $uam\’q; propriam cir- cunferentiam haberet, terras\’q; & ignes haberent inclinationem ad centra circunfe- rentias\’q; $uorum mundorum, ab$que eo, {quis} vna terra, alterius centrum appeteret; vt exempli gratia, $i docti$$imi Ari$tarchi opinio e$t vera, rationi quoq; con$entaneum erit maximè, vt quod Lunæ contingit, cuilibet etiã ex aliis quinque planetis eue- niat, ide$t, vt quemadmodum Luna $uorum epicyclorum ope circũ terram voluitur, qua$i per circunferentiam alterius cuiu$dam epicycli, in quo terra $it in$tar centri naturalis (ide$t $it in medio) delati ab orbe annuo circa Solem; Sic etiam Saturnus, Iupiter, Mars, Venus, atque Mercurius, cir cum aliquod corpus in medio $ui epici- 10. BABPT. BENED. cli maioris, $itum habens, voluantur; quod quidem corpus, & aliquem quoque ha- beat motum circa $uum axem, $it opacum, ijs conditionibus, quæ terræ $unt $imi- les, præditum exi$tat, & in dicto epyciclo $int res $imiles i$tis lunaribus.

Anrectè loquutus $it Phylo$opbus de exten$ione luminis per uacuum. CAP. XXXVII.

ARri$toteles $ecundo lib. de anima $entit {quis} per vacuum non extenderetur lu- m\-e, quod procederet à corpore lucido. Quod veri$imile nõ e$t; <003>a qu\-eadmo dum quantò rarius e$t aliquod corpus, tanto aptius e$t vt diaphanum exi$tat; & quã- tò rarius e$t dictum corpus, tantò minorem quantitatem materiæ contineat; $ic quã tò magis diaphanum e$t, cum ex perexigua materia con$tet, tantò magis liber tran- $itus luminis patet; Vnde quantò minor quantitas materiæ erit in dicto $patio, tan tò nitidius pertran$ibit lumen. Sequitur ergo, quòd vbi nulla e$$et materia, totum lumen libere tran$iret. Color c{ae}ruleus quem videmus in profunditate aquæ, & ae- ris, color e$t a quæ & aeris, qui denotat re$i$tentiam factam ab aere & ab aqua ip$i lu mini; Quod quidem lumen ubi corpus aliquod non e$$et, minime reflecteretur, $ed ab$que vllo impedimento rectà tran$iret.

An rectè phylo$ophiœ penus Ari$toteles $en$erit de loco im- pellendo à pyramide. CAP. XXXVIII.

ARi$toteles. 8. cap. lib. 3. de cœlo, di$putans contra antiquos de elementorum figuris, ait pyramidem implere po$$e locum corporeum. quod verum non e$t. Cubus quidem id facit ab. 8. enim cubis perfectè impletur locus, $ed non item. 12. pyramides, ut Ari$toteles $en$it (ide$t $ex $uper aliquam exagonam figu- ram $uperficialem & $ex$ub eadem) id præ$tant, cum potius maius vacuum rema- neatad quamlibet partium $upra, & infra, quam plenum. Rectius Ari$toteles egi$$et, $i proba$$et ratione immobilitatis conuenire pyramidem terræ, quam cu- bum. quamuis, de horum corporum altero, $it $tultum hoc credere. decepti tamen fuerunt antiqui, credentes cubum ad motum minus idoneum e$$e, quam reliqua quatuor corpora regularia (loquor autem habita volubilitatis ratione) quia pyra- midale e$t illud, quod ita $e habet, vt multis rationibus probari pote$t, quarum vna hæc nobis $ufficiet. Scimus iam ex communi conceptu corpus $ph{ae}ricum e$$e ma- gis volubile, in$tabile\’q;, quàm alia $int. Illud ergo corpus, cuius figura ad $phæri- cam magis accedet, ad uoluendum, & ad mouendum facilius erit quouis alio, quod æqualis $it quantitatis, & $ibi omogeneum materia, vt exempli gratia corpus. 20. ba $ium ad voluendum, & ad mouendum promptius erit eo, quod ex. 12. con$tat, & id, quod e$t. 12. eo, quod e$t. 8. & id, quod e$t. 8. eo, quod e$t. 6. & id, quod e$t. 6. vt cubus e$t, eo, quod e$t. 4. cuiu$modi e$t pyramidale. Huc accedit, quòd pyrami- dale corpus aliam conditionem habet, quàm cubicum, cum in quauis facie inalte- DISPVTATIONES. rabile $it, cubicum autem econtrà $it alterabile vndequaque, $ua\’q; quadrata in rhũ- bos mutare po$$it, ii$dem exi$tentibus lateribus.

Examinatur quam ualida $it ratio Aristotelis de inalterabilitate Cœli. CAP. XXXIX.

ARri$toteles textu. 22. primi lib. de Cœlo ita inquit.

Accidit autem, & hoc per $en$um $ufficienter, quo ad humanam dixi$$e fi- dem, & omni pr{ae}terito tempore $ecundum traditam inuicem memoriam, nihil vi- detur tran$mutatum neque $ecundum totum vltimum c{ae}lum, neque $ecundum par- tem ip$ius propriam vllam.

Hoc autem in loco Ari$to. non con$iderauit, {quis} $imiliter de terra dici po$$et, quan do ip$a ita eminus pro$piceretur, imo ab$que dubio putandum e$t, {quis} $i terra luce So lis prædita e$$et, & aliquis ip$am ab octauo orbe vellet videre, nullo pacto cerne- ret, cum $idera illa quæ primæ magnitudinis vocantur, & quæ plu$quam centies ma iora ip$a terra putantur non ni$i vt puncta videantur.

IN QVINTVM EVCLIDIS LIBRVM

_Q_Vamuis omnia libri quinti Euclid. ueri{$s}ima $int. Animaduertimus tamen permultos $umma cũ difficultate eorũ demonstr ationes percipere. Prœ- cipuè ubi quint a, aut $eptima deffinitiones eiu$- dem libri nece$$ariœ $unt. Illœ enim adeo ob$curœ uidentur, ut longè facilius admi{$s}uri $int hœc no- $tr a po$tulat at anquam clarior a. At que etiam tanquam intellectui commodiora, quam $it illud quintum idem{quam}\’q ultimum postulatum eiu$dem in primo libro po$itum, de line a duas alias $ecante. Quan- doquidem {ij}s no$tris postulatis admi{$s}is, $equentia Theoremata per facillima reddentur.

Horum autem primum est.

QVOD tota compo$ita ex æquali numero partium æqualium, $unt inuicem æqualia.

Vt$i quis diceret omnes proportiones quæ cõpo$itæ $unt ex æquali numero alia- rum proportionum inuicem æqualium, $unt etiam inuicem æquales, quod Eucli- des conatur demon$trare in. 22. et. 23. quinti libri.

SECVNDVM.

QVOD $i à totis æqualibus detractæ fuerint æquales partes, quæ remanent erunt partes inuicem æquales.

Et è conuer$o $i æqualibus æqualia addas compo$ita erunt inuicem æqualia.

Quod in ip$is proportionibus hoc loco $emper intelligendum e$t.

TERTIVM. Qu{ae} est εuclidis $eptima propo$itio.

QVOD $i fuerint plures termini æquales inuicem, ratio $eu proportio vnius ip- $orum ad alium tertium terminum maiorem, minoremúe, $ed eiu$dem generis, erit cadem quæ cuiu$uis alterius termini ad eundem tertium. Et è conuer$o, quæ fuerit proportio tertij termini ad vnum prædictorum æqualium, eadem erit, $pecie, cum alio eorundem terminorum.

IN QVINT. LIB. EVCLI. QVARTVM. εuclidis uerò nona propo$itio.

QVOTIESCVNQVE proportio vnius plurium terminorum collatorum cum ali quo tertio eiu$dem generis, eadem fuerit cum ea quæ e$t cuiu$uis alterius dictorum terminorum cum eodem tertio, aut proportio dicti tertij, cum aliquo dictorum, ea- dem fuerit cum ea quæ ip$ius e$t ad aliquem alium eorundem terminorũ, tunc eiu$- modi termini, æquales erunt inter $e.

QVINTVM. Euclidis uerò octaua propo$itio.

QVOTIES plures erunt termini, quorum vnus fuerit maior altero, $i compa- rentur alicui tertio eiu$dem generis, proportio maioris adtertium illum, maior erit ea, quæ e$t minoris ad prædictum tertium, & proportio illius tertij ad maiorem, mi- nor erit ea quæ eiu$dem tertij ad minorem terminum comparati.

SEXTVM. εuclidis uerò decima propo$itio.

QVOTIES proportio vnius, ex pluribus terminis comparatis ad aliquem ter- tium, maior fuerit proportione alicuius alterius dictorum cum eodem tertio, primus ille terminus, altero maior erit. Et quoties proportio tertij termini ad vnum quã ad alterum terminum maior fuerit, eiu$modi terminus altero minor erit.

SEPTIMVM. Euclidis uerò undecima propo$itio.

PROPORTIONES, quarum vnaqu{ae}que cum aliqua tertia æqualis e$t, ip$æ quo- que inter $e $unt æquales. Vtillud, Quæ vni & eidem $unt æqualia, $ibi inuicem $unt æqualia.

OCTAVVM. εuclidis uerò duodecima propo$itio.

QVOTIESCVNQVE proportio vnius ex pluribus antecedentibus cum $uo ex pluribus con$equentibus, æqualis fuerit ei cuiu$uis alterius dictorum antecedentiũ, cum $uo plurium cõ$equentium, proportio totius aggregati antecedentium cum to- to aggregato con$equentium, dictæ prim{ae} proportioni {ae}qualis erit, nempe illius an tecedentis ad $uum con$equens.

IO. BAPT. BENED. NONVM. Euclidis uero tertiadecima propo$itio.

QVOTIESCVNQVE aliqua proportio plurium proportionum inuicem æqua- lium, tertia aliqua proportione, maior aut minor fuerit, quælibet prædictarum æqua lium inter $e, tertia illa proportione maior aut minor pariter erit.

DECIMVM.

QVOTIESCVNQVE fuerint ex vna parte plurestermini ($iue coniuncti $iue di- $iuncti $int) æquales $inguli vni tertio termino; ex altera verò parte totidem fuerint alteri tertio termino æquales, proportio aggregati priorum terminorum ad $uũ ter- tium, æqualis erit proportioni aggregati reliquorum terminorum ad $uum tertium, & è conuer$o, ita $e habebit primus tertius terminus ad $uos multos terminos, $icut $e habet $ecundus tertius terminus ad $uos $imul $umptos.

VNDECIMVM.

Aggregatum ex partibus proportiona litatis continuæ, quod inter maximum, & minimum terminum omnium terminorum proportionalium compræhenditur, $em per multiplex e$t ad $ingulas partiales proportiones, ex quibus ip$um componitur.

DVODECIMVM.

Quæuis proportio quocunque modo diui$a fuerit, ex iis partibus componitur, in quas diuiditur.

Cum enim bæ præpo$itiones $int ita con$picuæ ip$i intellectui, ut ab$q; dubio inter obie ct a ip$ius intellectus connumerari po$$int, nullus $anæ mentis eas negabit.

THEOR. I. II. ET III.

PRimum, $ecundum, & tertium theorema quinti Euclidis ab ip$o $atis exactè de mon$tratur, $tudio$us itaque autorem con$ulat.

THEOREM. IIII.

QVartum vero Theorema Eu- clidis ego $ic demon$trar\-e. $it, verbi gratia, proportio. a. ad. b. quæ e$t. c. ad. d. $umptis multiplici- bus. e. et. f. ad. a. et. c. æqualiter, item multiplicibus. g. et. h. ad. b. et. d. dico proportionem. e. ad. g. e$$e eandem quæ e$t. f. ad. h. Habemus enim ex. 10 po$tulato præmi$$o, eandem futuram proportionem. e. ad. a. quæ e$t. f. ad. c. & ita. b. ad. g. quæ e$t. d. ad. h. ex præ- $uppo$ito verò cũ $ic $e habeat. a. ad b. $icut. c. ad. d. erit ex primo po$tula- to ead\-e proportio. e. ad. g. quæ e$t. f. ad. h. Nam proportio. e. ad. g. compo nitur ex eis quæ $unt. e. ad. a: et. a. ad. IN QVINT. LIB. EVCLI. b. et. b. ad. g. & $imiliter proportio. f. ad. h. cõponitur ex eis quæ$unt. f. ad. c. et. c. ad. d. et. d. ad. h.

THEOR. V. ET VI.

CIRCA 5. et. 6. theorema nihil notandum occurrit.

THEOR. VII. VIII. IX. X. XI. XII. XIII.

THeoremata à. 6. in. 13. cum $int de obiectis intelligibilibus, $ine vllo medio, ab intellectu cognitis, inter axiomata à me relata fuerunt. 7. inquam quinti Euclid. fecimus tertium Po$tulatum,. 8. quintum,. 9. quartum,. 10. $extum,. 11. $epti mum,. 12. octauum,. 13. nonum.

THEOREM. XIIII.

QVartumdecimum Theorema ex Euclide demon$trabitur, mutatis tantum theorematibus ab interprete notatis, ita vt loco. 7. 8. noni, & decimi citetur tertium. 5. 4. et. 6. po$tulatum à me propo$itum.

THEOR. XV.

QVintumdecimum Theorema $ic demon$trabo; Sit, exempli gratia, a. termi- nus antecedens. et. b. con$equens, qui- bus duo multiplices $umantur. c. et. d. Dico eandem proportionem habiturum. c. ad. d. quam. a. ad. b. habet. In primis enim manife- $tè patet quamlibet partem ip$ius. c. habitu- ram eandem proportionem cum qualibet par te. d. quam habet. a. ad. b. quare ex. 7. et. 8. po $tulato propo$itum eluce$cet.

THEOREM. XVI.

SExtumdecimum theorema $ic demon$trabitur. Sit, exempli cau$a, eadem pro portio. a. ad. b. quæ e$t. c. ad. d. Dico {quis} ita $e habebit. a. ad. c. $icut. b. ad. d. Cogi- temus itaque alterum i$torum terminorum. c. aut. b. medium inter. a. et. d. quare primum intelligamus. b. inter. a. et. d proportio ip$ius. a. ad. d. componetur ex ea qu{ae} e$t. a. ad. b. & ea quæ e$t. b. ad. d. ex. 12. po$tulato. Et ex eodem, illa ip$a proportio. a. ad. d. pariter componetur ex ea quæ e$t. a. ad. c. & ea quæ e$t. c. ad. d. $umpto. c. pro medio termino. Ex quo $equitur, aggregatum duarum proportionum, videlicet. a. ad. b. et. b. ad. d. æquale e$$e aggregato. a. ad. c. et. c. ad. d. ex quibus aggregatis æqua- libus $i duas proportiones æquales $ubtraxerimus, eam videlicet quæ e$t. a. ad. b. & il lam quæ e$t. c. ad. d. $upererunt duæ proportiones inter $e æquales. erit enim proportio. a. ad. c. æqua lis proportioni. b. ad. d. ex prima parte $ecundi po $tulati diui$im.

Alia etiam ratione idip$um demõ$trari pote$t, $umpto. b. pro medio termino inter. a. et. c: et. c. pro termino medio inter. b. et. d. quare propor- tio. a. ad. c. componetur ex. a. ad. b. et. b. ad. c. illa verò quæ e$t. b. ad. d. ex. b. ad. c. et. c. ad. d. ex. 12. IO. BAPT. BENED. po$tulato. Sed cum proportio. a. ad. b. {ae}qualis $it proportioni. c. ad. d. communis autem. b. c: propor tio. itaque. a. ad. c. æqualis erit. b. ad. d. ex $ecunda parte. 2. po$tulati compo$itè, & $ic habebimus pro po$itum, ita quòd quotie$cunque dabũtur. 4. quã titates ex una parte proportionales, illæ ip$æ ex altera proportionales erunt.

THEOR. XVII.

DEcimi$eptimi theorematis hæc e$t demon$tratio. Ita $e ha beat a. c. b. ad. c. b. $icut $e habet. d. f. e. ad. f. e. Probo ita $e habere. a. c. ad. c. b. $icut $e habet. d. f. ad. f. e. Cogitemus itaque alterum terminum $cilicet. n. f. qui $ic $e habeat. ad. f. e. $icut $e habet. a. c. ad. c. b. Quare ex præcedenti theoremate ita $e habebit. a. c. ad. n. f. $icut $e habet. c. b. ad. f. e. & ex. 8 po$tulato ita $e habebit. a. c. b. ad. n. f. e. $icut $e ha- bet. c. b. ad. f. e. Sed cum ex præ$uppo$ito ita $e habeat. a. c. b. ad. c. b. $icut $e habet. d. f. e. ad. f. e. ideo ex præcedenti theoremate ita $e habebit. a. c. b. ad. d. f. e. $icut $e ha bet. c. b. ad. f. e. demon$tratum autem e$t ita $e habere. c. b. ad. f. e. $icut $e habet. a. c. b. ad. n. f. e. Quare ex. 7. po$tulato proportio. a. c. b. ad. d. f. e, æqualis erit proportioni. a. c. b. ad. n. f. e. & ex. 4. po$tulato. d. f. e. æqualis erit. n. f. e. Itaque ex 3. po$tulato primi Euclidis. f. d. æqualis erit. n. f. Quamob rem proportio. a. c. ad. d. f. {ae}qualis erit proportioni. a. c. ad. n. f. ex $ecunda par- te tertij axiomatis præmi$$i. Igitur ita $e habebit. a. c. ad. d. f. $icut. c. b. ad. f. e. ex 7. po$tulato. & $ic ex præcedenti theo- remate ita $e habebit. a. c. ad. c. b. $icut. d. f. ad. f. e. quod erat propo$itum: Quotie$- cunque igitur dabuntur. 4. quantitates coniunctim proportionales, diui$im quoque proportionales erunt.

THEOREM. XVIII.

THeorema. 18. hac ratione demon$trari pote$t. Detur proportio. a. c. ad. c. b. $i- milis ei quæ e$t. d. f. ad. f. e. probo ita $e habere. a. c. b. ad. c. b. $icut $e habet. d. f. e. ad. f. e. In primis notum e$t ex. 16. theoremate ita $e habiturum, a. c. ad. d. f. $i cut. c. b. ad. f. e. Quare ex. 8. po$tulato ita $e habebit. a. c. b. ad. d. f. e. $icut. c. b. ad. f. e. Itaque ex. 16. theoremate ita $e habebit. a. c. b. ad. c. b. $icut. d. f. e. ad. f. e. Quod erat propo$itum. Quotie$cunque igitur. 4. quantitates dabuntur vnius eiu$dem\’q; generis di$iunctim proportionales, coniun- ctim quoque proportionales erunt.

THEOREM. XIX.

THeorema. 19. $atis quidem apud Euclidem demon$tratur: eius tamentertia pars commodius hac ratione demon$trari poterit (nempe) quod cum $it pro- IN QVINT. LIB. EVCLI. portio. a. ad. b. quæ e$t. c. ad. d. probabo ita $e habituram proportionem. b. ad. a. $icut $e habet. d. ad. c. hoc argumento: $i. a. ad. b. ita $e habet $icut. c. ad. d. ex. 16. theoremate ita $e ha bebit. a. ad. c, $icut. b. ad. d. Quare $ic $e habebit b. ad. d. $icut. a. ad. c. Itaque ex eodem. 16. ita $e $e habebit. b. ad. a. $icut. d. ad. c.

THEOREM. XX.

QVamuis. 20. theorema apud Eucli. perfectè demon$tratum fuerit, pote$t ni- hilominus & hac via demon$trari. Sic $e habeat proportio. a. ad. b. $icut $e habet. c. ad. d. & proportio. b. ad. e. $icut. d. ad. f. Dico {quis} $i. a. maius fuerit. e. pariter. c. maius erit. f. & $i. a. minus fuerit. e: c. quoq; minus erit f. $in verò {ae}quale, \-et æquale erit. Nam ex pri mo po$tulato certi $umus ita $e habere pro portion\-e. a. ad. e. $icut $e habet proportio. c. ad p. Quare ex. 12. theor {pro}po$itũ manife$tũ erit.

THEOREM. XXI.

VIge$imum primum theorema, $atis apud Eucli. probatum, nihilominus præ- $cripto nunc modo demon$trari poterit.

THEOREM. XXII. XXIII.

DVO hæc theoremata in primum po$tulatum collegimus. Sequentia verò cum exactè apud Eucli. demon$trentur non e$t cur nos in ijs immoremur.

PHYSICA, ET MATHEMATICA RESPONSA. _FO. BAPTISTAE BεNεDICTI PATRITII_ _Veneti, Philo$ophi Mathematici._ Ad Lectorem.

VT Nilmagis virtutis e$t proprium, quàm agitari, & ince{$s}abili motu prode{$s}e. Ac velu ti fulgidum $ydus ante oculos $pectantiũ com micare. Ita mihi mathematicis ijsq; maxi mè philo$ophicis $peculationibus dedito, $api$- $imè, ut in principium $ummorum aulis, & ampli{$s}imis ciuitatibus degenti, ubi multa $em per Nobilium mir a curio$itate, $ciendi de$iderio, & conferendicu piditate referta, uer$antur ingenia, contigit, modo ab his, modo ab illis, aut uerbis tentari, aut literis prouocari ad di$$erendum, de his, in quorum $tudijs uer$amur. Quarum concertationum & re $pon$ionum, quoniam non omnino indigna exi$timaui, quæmemoriæ comendarentur, partem aliquam apud me con$eruaui. Vbi uerò per ocium licuit, collegi, relegi, ac tandem de manu mittere decreui. Tum ut $cientia ip$a quo magis diffundetur, cre$cat; & quicquid ualeo, $ine inuidia in communem utilitatem conferam. Tum ut ui- rorum præctantiβimorum, qui me $uis interrogationibus excitaue runt, quantum in me erit, gratitudinis ergo, nomina reddam im- mortalia, & eorum exemplo al<007>os, ocio $ordidiore abiecto, quod $olet ourialium præcipuè excel$a ingenia corrumpere, ad $ci$cit andum conferendum, & di$$erendum, derebus $er{ij}s, & quæu$ui aliquan- do e{$s}e po{$s}int, & quandoq; euulgari mereantur, alliciam. Tuinte- rim nostris laboribus fruere, & nostram diligentiam boni, & æqui con$ule, & Vale.

DETEMPORVM EMENDATIONE IO. BAPTIST AE BENEDICTI Patritij Veneti, Philo$ophi Mathematici. _AD SERENISS. CMANVELEM PHILIB._ Allobrogum & $ubalpinarum gentium Ducem Inuictiβimum. EPISTOLA.

MIRVM, Quàm lectione epi$tolæ$eu (vt vocant) Breuis. S. D. N. Gregorij XIII. Pont. Max. quod ad me nuper tua Cel$itu do mi$it ex Nicea, vt meam de ea re $ententiam proferrem, delectatus $im; ex quo, non tantum recta illius mens ac verè $ancta cogitatio, $ed etiam aperta maxima\’q, $i ad exitum per duca\~t, imo $ummè nece$$aria vniuer$o orbi vtilitas percipi pote$t; qua de re memini cum Cel$itudine tua aliquando $er- monem habui$$e. Vidi præterea cum ip$o breui tran$- mi$$um compendium Domini Aloi$ij Lilij: cuius mihi $ententia perplacet, de corre ctione eius diei, qui 134. quoque anno præter, nece$$itatem, gignitur. qui $anè dies perpetuæ retrogradationis ingre$$us Solis in Zodiaci $igna, cau$a fuit. quod ita per- $picuè patebit. Cum Numa Pompilius anni cur$um correxit emendauit\’q;, ea $anè mente id videtur præ$titi$$e, vt principium Ianuarij primi men$is anni, præcisè in ip $o hyemalis $oltitij puncto collocaretur. quod hac tempe$tate, dictam ob cau$am adeò retroce$$it, vt circa vndecimam diem Decembris e$$e reperiatur. quod $i cen- te$imo trige$imo quarto quoque anno detractus dies vnus fui$$et, nihil erroris pror- $us accidi$$et. Atq; dies hic (vt alias Cel$it. tuæ $ignificaui) inde generatur, quod quar to quoque anno addentes nos ad quarti anni dies. 365. diem horarum. 24. ob erro- rem annuum horarum quinque minutorum. 49. $ecundorum ferè. 16. (anni æqualis $iue medij) fallimur quarto quoque anno in minutis. 42. $ecũdis propè. 56. amplius quàm par $it minutis $cilicet. 10. $ecundis ferè. 44. $ingulis annis; qui numerus. 134. multiplicatus, diem penè horarum. 24. con$tituit; penè inquam, quia minutum vnũ dee$$et t\~mmodo, & $ecunda. 44. $i dec\-e illa minuta, &. 44. $e cunda annua, exqui$ita e$ $ent atque perfecta; quæ tamen differentia nullius adeo e$$et momenti, aut certè pe- rexigui, vt vix exactis. 111086. annis, diem vnum afferret. Itaq; planè nece$$aria eiu$modi e$$et emendatio, apta\’q; eius ratio à D. Lilio o$tenditur, prout etiam Pe- trus Pitatus Veronen$is tradidit, in eo, quem de vera anni quantitate tractatu con- $crip$it, nempe vt tribus primis cente$imis annis, cente$imus qui$que annus commu- nis $it, quartus $ub$equens cente$imus intercalaris: quod $anè fierinece$$e e$t. Nam IO. BAPT. BENED. cùm tribus cente$imis cõmunibus, tres quartas diei partes plus æquo detraxerimus, non enim cente$imo quoque anno, $ed cente$imo trige$imo quarto, dictus dies de- trahi debet, po$tquam tres integros dies, qui quadringentis detrahendi erant, tre- centorum annorum $pacio detraxerimus; $it\’que 134. penè tertia pars. 400. quarto annorum centenario, tres quartæ diei partes recuperabuntur; atque ita in fine qua- dringentorum annorum omnia exactè $uo loco re$tituta erunt. Idcirco dictus iam quadringente$imus annus intercalaris & non communis con$tituendus erit, non alia de cau$a, quam vt bi$$exti ordinem $equamur.

Is verò modus, qui à D. Lilio traditus e$t, de ratione inueniendi $ingulis men$ibus Nouilunij diem, interdum fallere nos po$$et vno die; prout Ianuario proximè lap$o accidit; quo ex præ$cripto modo nouilunij, dies nonus illius men$is e$$e debui$ $et, qui fuit tamen dies $eptimus, $exta decima hora cum dimidia po$t meridiem. Ne que etiam tutum e$t, via integrorum dierum, nulla habita horarum aut minutorum ratione, nec minus ea, quæ à Pitato tradita e$t, mediorum $eu æqualium motuũ pro gredi: At cen$erem potius veros motus $equendos e$$e ex calculis exactarum tabu- larum, quales Prutenicas e$$e iudico; Et cum $olius Pa$chæ cau$a laboremus hac in re, pleniluniorum verorum, in multos annos tabulas formarem, quæ æquinoctia ver nalia $equuntur, cum a$$ignatione diei Pa$chatis præcisè, prout fecit Pitatus; non via tamen æqualium pleniluniorum $ed verorum. Porrò quod ad Pa$chatis cele- brationem attinet, rationi con$entaneum e$t, concilij Niceni decretum ea de re $er uari, prima $cilicet dominica die po$t primum plenilunium, quod æquinoctium ver- nale $equitur; hoc tamen animaduer$o, $i dictum plenilunium primum po$t æquino- ctium contingens, di\-e dominicum $ortiretur; nulla ratione tali die Pa$cha celebran- dum e$$e; verum $ub$equenti, ne cum H{ae}breis con$entiat Eccle$ia Chri$ti: quæ fuit cau$a, vt in decreto concilij Niceni $tatutum $it, à quartadecima, in vige$imam pri- mam celebrari debere: Quod mihi Petrus Pitatus non animaduerti$$e videtur, cum ex ei<_>9 $ent\-etia in $uis tabulis die Pa$chate declarata, huiu$ce anni Pa$ca celebrandũ fuerit. 23. Martij, ip$omet de plenilunij non tantum æqualis, $ed veri.

Dies autem Pa$chatum elap$orum, quos hactenus examinaui, reperi omnes con cordare cum ea regula, quam nonnulli de die carnis priuij tradiderunt. nempe pri- mum diem martis po$t nouilunium Februarij, carnis priuij diem e$$e; non autem cũ sãctione Patrum concilij Niceni, qua $tatuerunt à vige$ima prima Martii dirigen- dum e$$e Pa$chatis diem, vt potè qui $ibi per$ua$erunt, circa eum diem æquinoctiũ perpetuò e$$e debere; prout tunc temporis erat. Non itaq; error accidit, quod Pa $cha ex huiu$modi $uppo$itione concilij, po$t vige$imam primam lun{ae} celebretur, cum $eruata regula concilij non fuerit. Prout manife$tũ e$t de Pa$chate anni. 1566. celebrato. 14. Aprilis (qu{ae} fuit. 24. lun{ae}) quod. 7. dicti men$is celebrãdum erat. Tum anno. 1569. 10. Aprilis $olenne fuit Pa$ca, quod tertia eiu$dem e$$e debuerat. Anno deinde 1572. 6. Aprilis, dies fuit Pa$chatis, quæ. 30. Martij futura erat, anno vero 1575. in tertiam Aprilis Pa$cha incidit, ca$urum in. 27. Martii.

Cum igirur (vt ex diplomate ad Cel$it. tuam mi$$o patet) S. D. N. mens $it atq; vo luntas, ut qui$que liberè in medium proferat quid hac dere $entiat: quædam mihi non omnino præmittenda occurrunt, quæ tantis cœptis non nihil adiumenti for- ta$$e adferre queant.

Atque illud in primis non tantum ut corrigatur Calendarium ob Pa$cha cætera- \’que fe$ta mobilia ab illo manantia, vt decreto concilij Niceni $ancitum e$t, $cilicet vt ip$um Pa$cha celebretur prima dominica po$t primum plenilunium, quod æqui- EPISTOLA. noctium vernale proximè $equitur; verum etiam quò anni principium emendetur, $cilicet vt ad $uum verum principium reuocetur annus. Nempè ad diem hyemalis $ol$titij, quæ prima Ianuarij dies e$$e debet.

Deinde, tot dierum men$es con$tituantur, quot hac no$tra tempe$tate, $ol in ip$is Zodiaci $ignis ver$atur. Po$tremò, quædam fe$ta immobilia in alios dies transferã tur, celebrentur\’q; aptis temporibus: quod à. S. D. N. mente di$$entire minimè vide- tur. cum non magis de fe$tis mobilibus quam immobilibus agat, imo etiam planè æquum $it, vt habeatur vtrorunque ratio, quò $tatutis temporibus celebrentur.

Vt autem ad primam Ianuarij di\-e verum principium anni reuocetur; cen$erem ex eo anno, quem corrigere voluerimus, non modò dies. 10. e$$e detrahendos, verũ etiam vnum & uiginti, illo ip$o anno; id\’q; duplici via; aut partiendo men$es, atque ex illis demendo eos dies, qui minus ad rem hanc facere videbuntur, ac tum rema- neat annus trecentorum quadraginta quatuor dierum ita vt decem men$es $int die. rum duorum $patio $olito breuiores, alter men$is vno deficiat: aut con$tituto Dec\-e- bri dicti anni dierum decem, dies autem ille, qui decimum proxim\-e $equitur, $it & primus Ianuarij, & dies $ol$titij ob quam cau$am exi$timarem con$ulti$$imum eiu$ modi annum e$$e mile$imum quingente$imum $eptuage$imum nonum. Quo quam primum. S. D. N. Pontifex max. $uis temporibus huius correctionis manife$tos effe- ctus experiri & perpendere, atque di$po$itionem anni non $olum principio, $ed c{ae} teris partibus $uis in vniuer$um tam concinnè apte\’q; re$pondere, & a$trorum moti- bus, & Eccle$iæ $acro$anctæ $anctionibus, $e authore lætari po$$it.

Omnino itaq; iudico detrahendos e$$e vnum & viginti dies elap$i erroris: non de cem tantum, quo hyemmalis conuer$io ad initium Ianuarij reuocetur; id\’que ne à communi opinione de ip$o anni principio veritas di$crepet, quæ principium Ianua- rij, anni principium arbitratur. etenim cum credant omnes annũ à Ianuario inchoa- ri, veritas autem ip$a $ic $e habeat, vt nobis $eptentrionalibus tunc inchoet annus, cum ad nos Sol accedere incipit, aut dies augetur; non conuenit principia eiu$mo- di $eparata & di$crepantia e$$e. Et hanc fui$$e Numæ Pompilio mentem credibile e$t, qui ad annum Romuli decem men$ium, Ianuarium & Februarium addidit, vt principium Ianuarij principium e$$et anni: cuius rei argumentum e$$e pote$t, quod C. Iulij Cæ$aris temporibus (qui multis annis po$t Numam fuit) atq; vti Pont. Max. corrigendorum fe$torum curam $u$cepit hyemale $ol$titium per aliquot dies retro- ce$$erat; nec mirum tamen e$$et, $i Numæ temporibus, exactè prima Ianuarij die non fui$$et hyemale $ol$titium, adhuc pube$cente in Italia A$tronomia.

Huiu$modi autem correctio dierum. 21. po$t. 2300. annos à Numa, quæ $it per- petuo $eruitura, media emendatione ea, quæ de tribus cente$imis annis communi- bus, & quarto intercalari, $uperius propo$ita fuit, non repudianda ei videatur, qui $ciet, qua ratione Numæ Pompilij annus corrigeretur, octauo quoque anno, inter- calando annum vltimum medijs diebus. 90. quo prima dies Ianuarij ad verum prin cipium anni, hoc e$t hyemale $ol$titium, reduceretur.

Alio item argumento cuique patere pote$t, pri$cos Romanos $tatui$$e annum ab hyemali $ol$titio initium $umere, vt inquit Ouidius primo Fa$torum.

Bruma noui prima e$t, veteris\’q; noui$$ima Solis.

Principium capiunt Ph{ae}bus, & annus idem.

co quod diem naturalem à medio noctis inchoarent, ab eo puncto $cilicet, quo Sol ad no$trum hemi$pherium accedere incipit.

Tribuebant igitur veteres diei, atque anno principium ab eo puncto, quo Sol IO. BAPT. BENED. ad nos accedit: cum punctum Zodiaci, quod tropicum hyemalem Capricorni nobis producit, re$pondeat puncto meridiani $ub terra, in quo Sol $emel in die reperitur: Quòd apertè norunt hi, qui $ub polo boreali con$tituti $unt. Atq; facilè di$cerne re po$$umus, diem $cilicet & annum, qua$i $ibi ad inuicem medio $uarum partium re$pondere; $ol$titium inquam hyemale, mediæ nocti, æ$tiuum meridiei, æquino- ctium vernale ortui Solis, autumnale occa$ui. Quam tamen $imilitudinem, multò quam nos manife$tius deprehendunt, hi qui (ut diximus) $ub polo borcali ver$antur.

Quod $i quis dubitet hac ratione correcto anno, quo nam pacto ad calculos coe- le$tes motus medijs tabulis a$tronomicis hactenus in lucem æditis redigi po$$int, id facilimum $anè erit, exempli gratia; aliquis planet{ae} $itum, aut alicuius $tell{ae} fixæ, quo cunque die men$is anni correcti inuenire cupit, detrahat ex huiu$modi t\-epore dies. 21. ab Aera Chri$ti, cum re$iduo $upputet $tellam, cuius $itum $cire de$iderat; $um- pta quacunque tabula, $upputatio erit exacta: Cuius ratio cuilibet manife$ta erit, qui $ciet annum vt potè. 1579. dierum. 344. tantummodo con$titutum fui$$e. Nam in ij$dem locis cœli prima die Ianuarij correcti, erunt $tellæ quibus e$$e $olebant. 11 Decembris præcedentis anni ex $upputatione tabularum: atque ita deinceps. Alia præterea via idem perfici po$$et inuentione omnium motuum c{ae}le$tium ip$o princi pio anni. 1580. correcti: hoc $tatuto, vt hi motus radices e$$ent Aeræ S. D. N. Grego rij XIII. quod $i alio t\-epore qui$piam motus c{ae}le$tes ad calculos redigere voluerit, $upputabit ab Aera huiu$modi, quæ anno. 1580. principium habuerit: Quæ vt nobi lius nomen $ortiatur, id\’q; merito ex nomine Gregorij. XIII. Pont. Max. appelletur; exemplo antiquarum, quæ ex Principum nominibus $unt appellate: vt tanto Pontifi ci, cùm ex alijs multi, tum etiam ex hac non infima re, inter mortales immortale no men comparetur. Ei verò $ummæ, quæ ex huiu$modi Aera Gregoriana ex tabu- lis colligetur, ip$iu$met Aeræ radices addantur, vt exactus calculus habeatur. Et hæc $it primæ $ententiæ no$træ explicatio.

Altera erit numerum dierum men$ium anni alia ratione quam nunc $e habeat, or dinandum e$$e: nempe vt Ianuarius, Nouember atq; December dies. 29. $inguli con tineant, Februarius, Martius, & October. 30. Aprilis, Maius, Augu$tus, & September dies. 31. Iunius, ac Iulius. 32. atque id hac poti$$imum de cau$a, vt Sol unum quod\’q; $ignum calendis men$rum ingredi po$$it. Nam detractis (ut dictum e$t) diebus. 21. & reuocato ingre$$u Solis in principium Capricorni ad principium Ianuarij, in quo $igno hac no$tra tempe$tate, Sol, dies propè. 29. & quartam vnam ver$atur: $i Ianua rius. 29. dies continebit, exactis hi$ce diebus, ingredietur Aquarium circa princi- pium Februarii; hæret autem hoc no$tro $æculo in Aquario Sol dies propè. 29. cum dimidio; quare $i Februarius erit. 30. dierum, elap$is ip$is diebus, Sol ingredietur pi- $ces circa principium Martii: & $ic de cæteris.

Quamobrem $i generali correctione annus emendandus erit, pulcherrimè acci- det, $i men$es anni cum duodecim partibus cœle$tibus, itineris annui Solis, concor- dauerint; ei$\’q; aptè re$ponderint. Qua ex re, vari{ae} vtilitates promanabunt, pr{ae}$ertim Nautis, Agricolis, Medicis, & alijs qui vera principia, & interualla temporum per $pecta habebunt: terminos item & interualla incrementi & diminutionis dierum & noctium, & eorundem æqualitatis. Exempli cau$a, $cient omnes principium Ianua- rij, e$$e non modo anni principium, verum etiam hyemis, e$$e minimam anni diem, & eius noctem maximam; principium incrementi diei, & diminutionis noctis; atque etiam omnia illa, quæ ex huiu$modi conuer$ione Solis ad nos dependent. Pariter $cient omnes primam diem Iulij, non tantum æqualiter annum diuidere, $ed prin EPISTOLA. cipìum quoque e$$e {ae}$tatis, maximam diem, noctem minimam totius anni; princi- pium diminutionis diei & incrementi noctis, vnà etiã ea, qu{ae} Solis conuer$ionem ad au$trales $equuntur.

Neconon intelliget vnu$qui$que primam diem Aprilis, primam\’q; Octobr. æqui- noctiorum dies e$$e; primam autem diem Aprilis, initium veris; Octobris Autumni; Item Aprilis diem e$$e eum, quo dies noctis prolixitatem vincere incipit: Octobris, quo nox diei longitudinem $uperat, & alia huiu$modi, quæ ab æquinoctijs dep\-ed\-et.

Si vero qui$piam obijciat, modum hunc no$trum & ordinem perpetuum e$$e non po$$e, ob motum augis Solis; quod punctum cum fuerit in principio Capricorni, tũc Sol hærebit in $igno Sagittarij. 32. diebus, totidem in Capricorno, in Geminis vero 29. totidem in Cancro; ex quo $equetur prioribus cõtrarius effectus; huic ego re$pon debo, tale quidpiã non euenturum, ni$i exactis ab hoc anno annis. 240@0. quod $i mundus po$thac totidem annis, quot fuit antehac, perdurauerit, punctus augis non amplius à $itu præ$enti, quàm. 45. gradibus di$tabit. Verum demus modũ no$trum & regulam in annos ter, aut quater mille $ub$eruire po$$e, nec amplius, certè hoc toto tempore nullius momenti penè erit, quæ accidere poterit mutatio, tamet$i ela- p$is quatuor millibus annorum Februarius e$$e debebit. 29. dierum. Aprilis & No- uember. 30. Iunius & October. 31. Augu$tus. 32. in aliis verò men$ibus nihil mutan- dum erit. Ecce quam $it nullius momenti mutatio.

Quæ $i Iulij Cæ$aris temporibus fui$$ent animaduer$a nunquam omi$$a fui$$ent, $ed $cientiæ A$tronomicæ nondum (vt ita dicam) confirmata ætas, cum alibi, tũ maxi mè in Italia, quo minus hæc aut $cirentur aut $tatuerentur impediebat.

Tertia ratio e$t, vt non $olũ fe$ta mobilia, verum \-et immobilia ad meliorem regu lam (ut dictum e$t) reuocentur, $i $uis temporibus celebranda erunt. Quorum primũ e$t Natiuitas Domini, & quæ ab ea pendent; nempe Circuncifio, Epiphania, Purifi- catio, Annunciatio, & Natiuitas Io. Bapti$tæ. ita vt dies Natalis Domini celebretur prima die anni, cum Dei filius na$ci voluerit circa verum principium anni, quod à $ol$titio hyemali initium ducit, & in ip$o principio diei naturalis ex Romanorũ $en tentia, media $cilicet nocte, tanquam qui $ummæ lætitiæ principium, po$t longos & graues filiorum Adæ mærores, e$$et allaturus. Nec for$an Ianuarij nomini, à vete- ribus Iano bifronti dicati hæc mutatio non conueniret, cum in ip $o $eruatore, duæ veluti frontes & formæ vnitæ $int, duæ $cilicet naturæ diuina & humana. Hac ratio ne abu$us tolletur, natus ex diuer$is moribus Tabulariorum, quorum alij monumen- ta, $eu quæ uocant In$trumenta, à die Natiuitatis Domini incohant, alij à Circunci $ione, alij à Calendis Martij, nonnulli à Pa$chate; quæ varietas innumerabiles lites affert & abu$us propè infinitos, ob dubiam & ancipitem $cripturam. Indictionum præterea ordini, hic no$ter modus nihil officiet; celebrato Natali celebrabitur Cir- cunci$io octaua Ianuarij. Epiphania. 13. eiu$dem. Purificatio. 11. Februarij quæ erit 40: dies à Natiuitate $eruatoris. Prima Aprilis Annunciatio Virginis $olennis erit, ip$o nempè die æquinoctij, natiuitas Diui Io: Bapti$t{ae} celebrabitur Prima Iulij die quæ erit $ol$titij æ$tiui, cum illa diminutionem capit. vtrectè Diuus Augu$tinus il- la verba Io: Bapti$t{ae} interpretatus fuerit. Illum opportet cre$cere, me autem minui: in quibus $ic tantus Doctor philo$ophatur, vt tempus etiam natiuitatis $erui & do- mini præclare notet dicens, natus e$t $eruus cum decre$cunt dies, natus e$t Dominus cùm cre$cere incipiunt.

In$ignes etiam Theologi admonuerunt habendam rationem e$$e nonnullorum fe$torum, vt Diui Antonij, diuorum Fabiani & Seba$tiani, & aliorum $anctorum, IO. BAPT. BENED. fi forte in octauam Epiphaniæ inciderint: Verum h{ae}c. S. D. N. curæ erunt, ut in apti$ $ima tempora transferantur.

Admonuerunt præterea transferendos e$$e dies fe$tos Beati Stephani, Ioannis, & Innocentium, vt quemadmodum factum e$t hactenus, diem natalis proximè $e quantur, ob multorum Doctorum, non recentium modo, $ed etiam antiquorum ob $eruantiam; qui $uis omelijs & concionibus multa piè, de my$teriis $ucce$$ionis Fe$to rum huiu$imodi tradiderunt.

Cuperent etiam præclari Theologi diem A$$umptionis Beatæ virginis incidere in primam Septembris, Natiuitatem autem in. 25. vt quemadmodum toto illo men $e in $igno Virginis $ol ver$abitur, ita Eccle$ia Der in c{ae}lebrandi tantæ Virginis ma tris Deilaudibus occupetur.

Atque h{ae}c $unt Serenis$ime Princeps, qu{ae} longa & attenta cogitatione à me exa minata, atque perpen$a fuerunt; quæ$itam diligenter & accuratè expendentur ab his, quorum intere$t, quam mihi apta & rationi con$entanea, ac vera penitus, imo (quod me magis afficit) etiam tibi vi$a fuerunt; non dubito quin placitura $int; & vo tis $ummi Pont. aliqua ex parte $atisfactura. eò magis quòd te iubente, & cogitata à me, & $cripta fuerint. Vale Princeps Sereni$$ime, & qua $oles hylaritate c{ae}tera no $tra, etiam has breues vigilias $u$cipe & foue. Dat. Augu$tæ Taurinorum Kal. Aprilis. MDL XX VIII.

T. Cel$itudinis.

Dediti$$imus Mathematicus.

Io. Bap. Benedictus.

DE CIRCVLO AMBIENTE QVADRILATERVM. AD SERENISS. CAR OLVM EMANVELEM Pedemontis Principem.

PRoblema quod à cel$itudine tua nobis proponitur non $olum po$$ibile e$t, $ed facile etiam ad $oluendum, hoc e$t quod circulus talis inueniatur, qui po$$it cir cun$cribere, $eu capere quadrilaterum ex quatuor datis rectis lineis terminatum, vel $ic, datis quatuor rectis lineis ex quibus quadrilaterum po$$it eftici, tale efficiatur vt circa ip$um, circulus po$$it circun$cribi.

Sint igitur. 4. lineæ propo$itæ. b. d: q. b: a. q: et. a. d. ex quib<_>9 po$$ibile $it quadrilate rum con$titui, tale vero con$tituatur, vt aliquis circulus po$$it ip$um circun$cribere. imaginemur autem hoc factum e$$e, quod quidem quadrilaterum $it. a. d. q. b. cuius IO. BAPT. BENED. diametri $int. q. d. et. a .b. quæ $e inuicem inter$ecent in puncto. o. vnde cum anguli contra $e po$iti circa. o. æquales inuicem $int ex. 15. primi Eucli. & angulus. a. q. d. æ- qualis angulo. a. b. d. & angulus. q. b. a. æqualis angulo. q. d. a. et. b. q. d. angulo. b. a. d. ex. 20. tertij tunc triangulus. a. o. q. $imilis erit triangulo. d. o. b. et. q. o. b. $imilis trian- gulo. a. o. d. ex definitione. Vnde eadem proportio erit ip$ius. q. o. ad. b. o. quæ ip$ius q. a. ad. b. d. & ip$ius. b. o. ad. o. d. eadem quæ. q. b. ad. a. d. & ip$ius. q. o. ad. o. a. eadem quæ. q. b. ad. a. d. proportio igitur. q. o. ad. o. d. cognita nobis erit, vt compo$ita ex ea quæ e$t. q. o. ad. o. b. ex. o. b. ad. o. d. quæ nobis cognit{ae} $unt, mediante proportione ip$ius. q. a. ad. b. d. & ip$ius. q. b. ad. a. d. proportio $imiliter ip$ius. b. o. ad. o. a. nobis cognita erit, vt compo$ita ex proportione ip$ius. b. o. ad. o. q. & ip$ius. o. q. ad. o. a. cognitis, mediante proportione ip$ius. b. d. ad. q. a. & ip$ius. q. b. ad a. d. cum aut\-e proportio ip$ius. q. o. ad. o. b. nobis cognita $it, tunc nobis cognita erit proportio ip$ius. q. d. ad. a. b. Nam ut. q. o. ad. o. b. e$t vt. a. o. ad. o. d. ex $imilitudine, quare proportio compo$iti ex primo, & quarto terminorum ad compo$itum ex. 2. & tertio, cognita erit. $ed quod fit ex. q. d. in. a. b. cognitum nobis e$t, vt æquale duobus productis, hoc e$t ex. q. a. in. d. b. & ex. q. b. in. d. a. ex $ecunda primi Almage$ti. quæ producta nobis cognita $unt, cum nobis data $int eorum latera. Quapropter facta cum fuerit figura quadrilatera rectangula $imilis alicui alterirectangulæ figuræ pro ductæ à duobus lateribus inuicem ita proportionatis, vt $e habet. q. d. ad. a. b. æqua- lis tamen duobus productis, hoc e$t producto ex. q. a. in. d. b. & ex. q. b. in. d. a. ex doctrina, 25. $exti Eucli quæ quidem figura, exempli gratia, $it. u. t. eius verò latera $int. u. n. et. n. t. Hæc enim dico æqualia e$$e. q. d. et. b. a. hoc e$t. n. t. maius maio- ri. b. a. et. u. n. minus minori. q. d. Quod ita probabo. cogitemus rectangulum. s. r. productum e$$e ex duobus lateribus. q. d. et. a. b. $ed, s. n. æqualis $it. q. d. et. n. r. æqua- lis. a. b. $int\’q; duæ lineæ. s. n. et. n. t. inuicem directè coniunctæ, vnde. u. n. directè coniuncta etiam erit cum. n. r. ex quo rectangulum. u. t. æquale erit rectangulo. s. r. ex communi conceptu, eadem\’q proportio erit. u. n. ad. n. t. qu{ae}. s. n. ad. n. r. eo {quis} ita fa- ctum fuit, cum autem ita $it. u. n. ad. n. t. vt. s. n. ad. n. r. tunc permutando ita erit. n. t. ad n. r. vt. u. n. ad. n. s. $ed quia ita e$t. u. n. ad. n. r. vt. s. n. ad. n. t ex 15. $exti, tunc permutan do ita erit. n. r. ad. n. t. vt. n. u. ad. n. s. quare ex 11. quinti ita erit. n. t. ad. n. r. vt. n. r. ad. n. t. quapropter ex nece$$itate $equitur. n. t. et. n. r. inuicem æquales e$$e, et. u. n. $imiliter cum. n. s.

Inuentæ nunc cum fuerint duæ diametri. q. d. et. a. b. ip$ius quadrilateri, difficile non erit eius angulos inuenire, eo {quis} mediante. a. b. cognita, $imul cum. b. d. et. a. d. da tis, faciemus triangulum. a. b. d. vel mediãte. q. d. et. q. a. et. a. d. cognitis faciemus triã gulum. a. q. d. ex. 22. primi. Vnde cum centrum circuli circun$criptibilis cuiu$uis di- ctorum triangulorum ex quinta quarti inuentum fuerit, triangulum reliquum, ab eo dem circulo circun$criptum erit, ex communi $cientia.

SEd vt ip$a operatio facilior fiat, Sint e{ae}dem lineæ. b. d: b. q: a. q. et. a. d. ex quibus po$$it quadrilaterũ effici. Videatur deinde primò quas volumus oppo$itas $ibi inuicem e$$e, ponatur ergò ut. q. a. et. b. d. velimus oppo$itas inuicem facere, et. q. b. cum. a. d. $imiliter, accipiemus nunc. K. cuiu$uis magnitudinis, cui comparetur. e. ita proportionata, vt. q. b. e$t ip$i. a. d. ex doctrina. 10. $exti Eucli. vel accipiatur. a. d. vice. K. et. q. b. vice. e. quod idem erit, & expeditius, inuenietur $imiliter. h. ita pro- portionata ad. e. et. g. ad. k. vt. b. d. e$t ad. q. a. vel. g. ad. h. vt. a. d. ip$i. q. b. quod id\-e erit.

Hoc facto coniungantur inuicem directè. g. et. e. quarum compo$itum $it. g. e. & ita duæ. K. et. h. ex quibus $it. K. h. Nunc ex i$tis duabus lineis. e. g. et K. h. fiat paral- EPISTOLAE lelogrammum. Z. deinde fiant alia duo parallelogramma rectangula quorum vnum $it ex. q. a. in. b. d. reliquum verò $it ex. q. b. in. a. d. quæ quidem $int. f. m.

Quo facto de$ignetur rectangulum. u. t. ex. 25. $exti, quod æquale $it duobus re- ctangulis. f. et. m. $imile tamen. Z. cuius rectanguli vnum latus corre$pondet. e. g. reli- quum verò. K. h. in proportione, $ed in æqualitate, vnum corre$pondet. q. d. reliquũ vero. a. b. diametris ip$ius quadrilateri.

Accipiatur nunc latus illud quod corre$pondet. K. h. hoc e$t ip$i. a. b. maius $cili- cet, & $imul cum. b. d. et. a. d. formetur triãgulũ. a. b. d. ex. 22. primi Eucli. circa quod circun$cribatur circulus ex. 5. quarti. & inuentum erit quod qu{ae}rebamus.

PER EVNDEM PARALLELVM ab$que correctione $emper nauigari non po$$e. Vbi not antur Petri Non{ij} lap$us in correctione erroris nauis. Et alij Petri Medinæ errores. ILLVSTRISSIMO ANDREAE PROVANAE Leinici Domino, Fruza$ci comiti, Aequiti Torquato, inthimo Sere- ni$simi Sabaudiæ Ducis Con$iliario, eiu$\’q;, & $acræ religio- nis $anctorum Mauritij, & Lazari Cla$si Præfecto.

INTER Eximiastuas virtutes, reinauticæ peritia Illu$tris emicat merito ad te $cribendum duxi, quod ad eam facultatem perti- nens excogitaui, $imul cum quibu$dam alijs in$trumentis, vt non- nihil commodi attuli$$e videar maritimis negotijs, & aliqua ex parte animi mei erga te propen$ionem indicaui$$e.

PEr vnum eũdem\’q; parallelum in primis ab$q; aliqua corre ctione $emper nauigari po$$e, omninò nego. Nã, verũ e$tid quod Petrus Nonius in initio $ui operis o$tendit, ide$t nauim ver$us æquatorem $emper declinare: qui cũ corrigit errorem, fallitur, cum ip$e, eandem nauim, parallelam æquatori in vno ver ticali ip$i æquatori propinquiori, & non in primo parallelo dirigit, itaque exi$timat in fine itineris, vbi de$cribit punctum. o. eam in eodem parallelo priori repe- riri debere, quod verũ nõ e$t, quia ea correctio efficit, vt motus nauis effectũ cuiu$dã de$c\-e$us <002> $caligradum pr{ae}$tet, in quo à gradu in gradũ fiat de$cen$us, $ed $i per gra dus t\~m a$cenderet quãtũ de$c\-edit, dubiũ nõ e$t quin in fine ita e$$et $e habitura qu\-e ad modum in medio & in principio, cum verò $emper de$cendat, ab$que vlla a$cen- $ione, nece$$ariò $ic $emper procedens, remota cum e$$ent impedimenta terræ, $ub æquatore reperiretur, $ub quo perpetuò circuiret globum.

Idem $ub quolibet meridiano præ$tare pote$t, ide$t vno eodem\’q; vento circun- uerti: $ed per alios circulos quam per hos duos ($iue circulus magnus $iue paruus) id nunquam perfectè efficere pote$t, de parallelis iam manife$tum e$t, cum impetus na turalis corporum, quæ mota $unt $int $emper in $uperficiebus circulorum maiorum, quorum circunferenti{ae} cum circunferentijs minorum, præter quam per vnum quod dam punctum quando adinuicem contiguæ $unt, aut per duo ide$t cum $e $e inter$e- cant non communicant, ita quod ad efficiendum, vt triremis aliqua, aut nauis, per aliquem ex parallelis ad æquatorem moueatur, nece$$ario $it futurum, vt ratione cõ- tiguitatis & non continuitatis eam moueri curemus. quia ratione continuitatis om- ninò fieri non põt, aut con$tet virtus mouens remis, aut velis. Sed per quemlibet aliũ circulum maiorem, qui non $it aut æquator aut aliquis ex meridianis, e$t penitus im po$$ibile. ide$t vt vnius venti vi nauis impellatur. Quod vt clarè pateat, $it orizon. a. c. b. d. & æquator. c. q. t. d. & vnus meridianorum $it. a. r. n. t. b. in quo. n. $it Zenit $ub quo primum nauis reperiatur et. r. $it polus $eptentrionalis. Ponamus etiam quod EPISTOLA. azimut. f. q. u. n. p. con$tituat angulum. a. n. p. $eu. f. n. b. cum meridiano graduum. 45. vnde tot graduum eruntarcus. a. p. et. b. f. orizontis, quapropter punctum. f. commu- ne ip$ius orizontis cum azimut, erit medio in loco inter. b. et. c. & ideo quarta. n. f. ip $ius azimut $ecabit quartam. c. t. ip$ius æquatoris in puncto. q. & habebimus triangu- Ium. q. t. n. cuius angulus. t. rectus erit, & angulus. n. cognitus $imul cum latere. n. t. la- titudinis loci, quibus rebus mediantibus deueniemus in cognitionem lateris. q. n. la- teris. q. t. & anguli. q. ex. 4. primi Copernici $i voluerimus.

Ponamus nunc nauem à puncto. n. di$cedere $eu iter facere ver$us. u. punctum, & in ip$o. u. reperiri, iam in hoc $itu ha- bebimus angulum huius $ecundi me- ridiani. r. u. p. qui quidem in hoc ca$u minor e$$et angulo. r. n. p. extrin$eco trianguli. r. u. n. ex conuer$o $ecundæ partis. 48. {pro}po$itionis tertij lib. de triã gulis Monteregij, $eu ex. 13. primi Me nelai, cuius anguli. u. arcus orizontalis $it. x. e. qui quidem minor erit arcu. a. p. vt patet ratione anguli. r. u. e. mino- ris, ergo alius ventus nauem impellet à puncto. 11. ver$us. q. diuer$us ab illo qui prius ab. n. ver$us. u. eam impellebat.

Vnde clarè patet verum e$$e quod dico, hoc e$t quod aliquo modo fieri non pote$t, vt nauis ab aliquo loco ad alium, breui$$imo interuallo ire po$$it ide$t per gyrum circuli maioris $phæræ vno tantummodo v\-eto eam impellente, præ ter quam in {ae}quatore, $eu in aliquo quouis meridianorum, nos autem ire per gyrum alicuius paralleli dementia e$$et, ni$i nece$$itas cogeret.

Huiu$modi demon$trationis ope, quantum decipiatur Petrus Medina cap. 6. lib. 3. cogno$citur, vbi $ic $cribit; Vbicunque locorum reperiatur homo, aliquem circu- lum qui vniuer$um ambiat imaginatione $ibi confingens, per totum eum circulum vno eodem\’q; vento nauigatio $u$cipitur. Ex hac etiam demon$tratione, quàm fal $a $it charta maritima patet, cuius beneficio exi$timant naut{ae} $e per breui$$imum iter a loco ad locum vehi etiam$i dicti loci non $int ambo in æquatore, aut in aliquo me ridiano, $ed extra dictos circulos vnico tantum vento impellente & $i in paruis æquo fibus hic error parum depræhenditur, forte tamen in magno Oceano clarè pateret. In $uperius igitur dicta demon$tratione iam o$tendi, quod $i velimus vehi ab vno lo co ad alium beneficio alicuius circuli maioris, præter duos iam dictos, hoc fieri non pote$t vno eodem\’q; v\-eto impellente. Vnde $equitur, omnia ea interualla quæ vno eodem\’q vento tran$ibimus futura longiora, præterquam in duobus dictis circulis æquinoctiali & meridiano.

Cum verò Petrus Medina cap. 7. volens probare chartam maritimam bonam e$- $e, plani$ph{ae}rium Prolomei & Iordani citat, non animaduertit quam diuer$o mo- do a charta maritima huiu$modi in$trumentum $it fabricatum, cum exceptis orizon te recto, & meridiano in dicto in$trumento quilibet alius circulus $it circulus, $iue $it almicantarat, $iue azimur, $iue æquator, $iue tropicus, $iue zodiacus, $iue alius quiuis circulus, eum in charta maritima ne vna quidem $it linea, qu{ae} non $it recta, quolibet nomine vocetur.

IO. BABPT. BENED.

Superius po$itæ meæ demon$trationis ope, deuenimus in cognitionem magnitu dinis arcus. n. q. cogno$cimus etiam angulum. n. q. t. vnde nobis manife$tũ e$$et quo vento oporteret iter facere. cum à puncto. q. nauis aliqua di$ce$$ura e$$et, in eodem azimut propo$ito. Idem etiam dico de puncto. u. cum cogniti e$$ent arcus. n. u. et. n. r. vt $upponitur, $imul cum angulo. r. n. u. vnde cognitus e$$et nobis angulus. n. u. r. ex 11. primilib. Copernici, ex quo ventus nobis cognitus foret.

Modus autem quem idem Medina cap. 9. lib. tertij ad cogno$cendam di$tantiam vnius meridiani ab alio præ$cribit, in genere e$t fal$us, etiam $i is ab antiquis eum de $umat, qui, hic non viderunt quam magna inter meridianos differentia $it interuallo rum eorum quæ $unt vicina polis & eorum quæ $unt circa æquatorem.

Fal$us e$t etiam modus ab eo traditus ad cogno$cendos gradus longitudinis per medium itineris cogniti in quouis parallelo extra æquatorem facti, & hoc cap. 14. li bri tertij eiu$dem, & primo cap. lib. 4. cõtinetur, vbi. 17. leucas cum dimidia cuilibet gradui tam paralleli quàm meridiani a$$ignat.

Fal$um e$t etiam quod ab eo a$$eritur, Solem, cum reperiretur in æquatore, circa eos qui $ub ip$o æquatore habitant, vnius diei noctis\’q; $patio per omnes uentos cir- cunuolui. quia illis æquator idem e$t cum verticali, qui duos tantum rhumbos pro- ducit, ide$t orientis, & occidentis: hic verò error, in $ecundo cap. lib. 6. habetur.

Fal$um e$t etiam quod profert Solem ijs qui habitant $phæram obliquam, qua- libet hora tertia, regulariter ab vno rhumbo ad alium ex præcipuis ide$t ab vno azi mut ad alium progredi, quemadmodum eadem cap. 2. lib. 6. et. 7. cap. $eptimi libr. $cribit. Huius autem rei fal$itas ita facile depræhendetur, ponamus hemi$ph{ae}rium orientale, verbi gratia, cuius meridianus $it. p. z. b. æquator aũt. e. m. vnus verò paral lelorum $eptentrionalium $it. c. a. in quo Solem exi$tere ponamus, orizon autem $it. b. m. zenit vero. z. polus arcticus. p. $it po$tea azimut. z. q. à meridiano di$tans per gra dus. 45. qui quidem azimut in hoc hemi$ph{ae}rio erit rhumbus illius venti, quem uul- go Itali Sirocum dicunt, et. z. m. $it azimut verticalis qui in hoc hemi$phærio erit rõ bus venti orientalis, ita {quis} $ecundum Medinam à rhumbo. z. m. ad. z. q. Solab$oluet $patium t\-eporis trium horarum, & aliud æquale temporis $patium ab$oluet à rhũ bo. z. q. ad. z. b. ex ip$o Medina, vnde ar- cus. a. o. paralleli e$$et graduum. 45. & item arcus. o. c.

Ponamus nũc Solem reperiri in {ae}qua tore, vbi per ip$um Medinam arcus. u. m. $imiliter e$$et graduum. 45. & $ic. u. e: pro tracto ergo arcu. p. o. f. palam erit ar- cum. f. e. fore graduum. 45. $ed cum arcus. e. u. $it graduum. 45. ex $uppo$ito ip$ius Medinæ, $equeretur arcum. e. f. æqualem e$$e arcui. e. u. pars igitur æqua lis erit $uo toto.

Id etiam quod Petrus Nonius pagina 124. et. 125. lib. de arte nauigandi con- tra nautas de di$tantijs Solis à meridiano $cribit, hanc opinionem Petrià Medina & corum qui idem ei per$ua$erunt fal$am e$$e demon$trat.

EPISTOLAE.

Fal$um e$t etiamid quod cap. 3. lib. 6. pronuntiat, ita dicens.

Quod cum verum e$$et à parte ori\-etali in$ularum quæ azore dicuntur, pyxidem ver$us eum ventum qui vulgò Græcus dicitur, & ab occidentali ver$us eum qui Ma gi$ter dicitur, vergere, huius rei nulla e$t ratio.

Ego enim huiu$modi rationem reperiri po$$e contendo, quæ talis e$t, quia pars ro$æ (ut vocant) à magnete tacta, ad aliquod punctum, aut $itum globi terr{ae}, in eo- dem meridiano in$ularum, quæ Azore dicuntur, vltra $itum poli arctici in terra diri- geretur, ita vt $itus dicti poli in terra e$$et in dicto meridiano, inter locum qui ab in dice ro$æ aut pyxidis re$piceretur, & dictas in$ulas, id quod $uperius $cripto meridia no facile cogno$ci pote$t, $umendo pro in$ulis $itum. e. in meridiano et. z. pro polo, et. p. pro loco qui à pyxide $it vi$us, imaginãdo deinde pyxidem in. f. magis orienta li quam e$t. e. clarum e$t lineam quæ re$picit (ponamus) f. p. ver$us Græcum & ab alia parte ver$us Magi$trum declinare.

De Armilla Nautica. AD EVNDEM.

CVm $æpe viderim quam in magnis æquoribus nos fallant, atq; decipiant mari timæ, $eu nauigatoriæ chart{ae}, quemadmodum aliquoties inter nos $ermonem habuimus: in id totus incubui vt aliquam machinam excogitarem, quæ difficilis non e$$et, efficeret\’q; vt nauis $uper aqu{ae} globum, beneficio circulorum maiorum, quam optimè po$$et, ide$t breui$$imo itinere ab uno loco ãd alium ferretur. Id {quis} mihi ex animi voto $ucce$$urum putaui, beneficio quinq; circulorum circundantium aliqu\-e globum terre$tr\-e & maritimum, quales ij $unt qui in inferiori Germania à Gerardo Mercatore $truuntur, qui vno pede cum dimidio diametri con$tet, ide$t$e$quipede.

Sit ergo, exempli gratia, huiu$modi globus. a. b. d. circa quem duo circuli, aut cir IO. BAPT. BENED. culares lineæ ex aurichalco applicentur inuicem coniuncti per medium ad angulos rectos, quorum prior. f. e. g. in $e globi polos mediantibus extremitatibus axis mun- di contineat, qui quidem poli à punctis $uarum inter$ectionum per quartã ex æquo in punctis. f. et. g. ita di$tent, vt globus circa eo$dem, in $itu longitudinis mundi vol- ui po$$it. Huiu$modi autem circulus, æquatoris deferens appelletur.

Secundus autem circulus $it. h. e. K. cum primo ad angulos rectos in puncto. e. & in $uo oppo$ito connexus, & is appellabitur æquator, & poli. f. g. primi poli dicentur.

Circa huiu$modi duos circulos, alios etiã duos exi$tere vell\-e $imul cõiũctos medio ad angulos rectos. In quibus quid\-e inter$ectionis punctis $int duo poli, qui hos duos circulos cum $ecundo priorum ide$t cum æquatore in duobus punctis inuicem op- po$itis connectant; quæ æquatoris puncta à punctis inter$ectionis eiu$dem cum $uo deferente, ratione vna quarta di$tent, quorum duorum circulorum primus $it. n. i. m. quem deferentem azimut appellabimus; $ecundus. r. n. s. m. azimut locorum no minabimus. eorundem inter$ectionis rectæ, puncta $int. n. et. m. à quibus duo poli ex aurichalco confecti $imiles primis. n. h. et. m. K. v$que ad puncta. h. et. K. æquatoris perueniant, qui $pis$itudinem æquatoris di$tantem à puncto. e. vna quarta penetr\-et, ita vt æquator circum circa. n. h. et. m. K. in $itu latitudinis mundi verti queat. Et hos, $ecundos polos nominabimus.

Alius deinde circulus. q. i. p. duos po$teriores circulos ambiat, cum deferente ta- men azimut mediantibus duobus polis in puncto. i. & in $uo oppo$ito ex{ae}quo di$tan tibus à $ecundis polis vnius quartæ $patio iungatur. Ita vt dictum deferens azimut circa hos tertios polos volui po$$it, atque hunc circulum. q. i. p. orizontem vniuer$a lem vocabimus. Hic vero orizon $uper quatuor quartas circuli, aut $uper quatuor paruis columnis, ut fieri $olet innixis $uæ ba$i, ita ponatur, vt moueri non po$$it.

Primus autem circulus. f. e. g. deferens æquatoris in. 4. partes æquales diuidatur, quarum quælibet. 90. gradibus con$tet, incipiendo ab inter$ectionibus. e. & eius op po$ito æquatoris, & numeri in polis. f. et. g. globi finem $ortiantur. Diuidatur etiam æquator. h. e. K. in. 360. partes incipientes à puncto. e. ver$us. K. deferens autem azi mut. n. i. m. ab omni diui$ione liber maneat, $ed azimut. n. s. m. r. in. 360. gradus inci piendo à puncto. n. ver$us. r. diuidatur.

Orizon autem. q. i. p. diuidatur in quartas, quarum quælibet $it nonaginta graduũ incipiendo à puncto. i. & eius oppo$ito ide$t à polis po$tremis & terminando in pun- ctis. q. et. p. in medio ip$orum polorum, & quarta. i. p. orientalis $eptentrionalis, et. i. q. orientalis meridiana appellentur. & $ic ordine $eruato occidentales.

Præterea pr{ae}parata $it quædam quarta, ex aurichalco, circuli æqualis ip$i orizon- ti, & in. 90. gradus di$tincta quæ cum quauis $uarum extremitatum ip$i zenit, in azi- mut applicari po$$it, quemadmodum circa globos c{ae}le$tes fieri $olet; qu{ae} quidem ad cogno$cendam altitudinem poli ip$ius globi ab orizonte nobis in$eruiet.

Atque hac ratione hanc no$tram machinam perfectè ab$oluemus quã appellan- dam e$$e Armillam nauticam $entio. Hic autem illud non omittam, concauum duorum priorum circulorum à $uperficie globi non nimis di$tare debere & con- cauum aliorum à $uperficie conuexa priorum longe po$itos e$$e nõ debere, & con cauam orizontis à conuexa $ecundorum procul abe$$e non debere.

Neque illud etiam prætermittendum e$t, opere pretium fore $i in inter$ectione e. priorum, erit foramen elicum, vt clauo elico ex aurichalco confecto, po$$imus $i$tere globum, quando oportuerit, ne amplius circa primos $uos polos. f. g. circun- uoluatur, cum $it<_>9 fuerit. Inde etiam laudo vt in azimut. r. n. s. m. è regione deferen tis æquatoris, ide$t. f. e. g. aliud quoddam foramen huiu$modi $it po$itum, in quo EPISTOL AE. clauus elicus v$que ad circulum. f. e. g. perueniens, æquatorem $i$tere po$$it, ne circa $ecundos polos. h. et. K. amplius moueatur quum noluerimus eum mutare $itum.

Deu$u Armillæ nauticæ.

V Tautem no$tra Armilla nautica vti po$$imus pyxidem nos prius oportebit habere, diuer$am tamen ab ijs, quibus nautæ hactenus v$i fuere: nolo enim vt tã cra$$a minerua beneficio v\-etorum communium circa hanc rem nos gera mus, $ed ratione graduum orizontis in. 360. partes di$tincti, atque ob hanc cau$am $entio, vt ima pars pyxidis penitus detecta videatur, & in. 360. partes dinidatur, nil\’q aliud quam quandam lanceo lam $upra eius acum e$$e volo, quæ dum mouebitur na uis, per gradus quamlibet orizontis partem o$tendet; hos autem. 360. gradus, ita $e habere volo, vt qu{ae}libet quarta. 90. contineat, $upputatio\’q; à linea meridiana inci- piat, & in verticali de$inat, vt huiu$modi diui$io cum ea, quæ e$t orizontis Armillæ eadem $it.

Pr{ae}$upponãtur nunc in globo duo loci extra æquatorem, & in diuer$is meridia- nis quomodolibet a dinuicem di$tantes, à quorum vno ad alium $it nauigandum iti- nere quo ad fieri poterit breuiori, ide$t per gyrum circuli maioris, dixi autem extra æquatorem, ide$t vt ambo, nec in æquatore, nec in uno eodem\’q; meridiano exi$tãt, quia vt aliàs dixi in huiu$modi locis, vnico tantum vento comite, iter conficere po$$umus.

IO. BAPT. BENED.

Volo primum vt mediante circũuolutione globi circa primos polos. f. g. & æqua toris circa $ecundos. h. K. hoc e$t per longitudinem, & latitudinem, hi duo loci in globo propo$iti $ub azimut. r. n. s. m. $ecundorum circulorum $itũ $ortiantur, qui azi- mut orizontem in punctis. q. et. p. $emper ad angulos rectos di$pe$cit ibiq; globum ita quie$cere vt circa polos. f. g. non voluatur, & æquatorem etiam $ic $irmare, vt cir- ca $ecundos polos. h. K. non vertatur faciamus.

Quod cum factum fuerit, $ecundorum circulorum primus, qui e$t. n. i. m. deferens azimut, circa tertios polos. i. & eius oppo$itum, eo u$que voluatur quou$que prior globi locus, ide$t is a quo iter e$t incohandum per. 90. gradus azimut di$tet ab ori- zonte, ide$t $ub zenit orizontis. q. i. p. $it po$itus, quemadmodum, exempli gratia, $i punctum. a. dicti primi loci globi rationem indueret, & borealius e$$et, mediante circunuolutione circuli. n. i. m. circa dictos tertios polos æqualiter di$tans ab. q. et. p. ide$t per. 90. gradus poneretur $ub. r.

Con$ideretur deinde vbi æquator. h. e. K. $ecundus circulus duorum primorum, ab orizonte. q. i. p. $ecabitur, exempli gratia, in puncto. c. quart{ae} orientalis $epten- trionalis eiu$dem orizontis. Videatur deinde quot nam gradibus con$tabit ar- cus. i. c. & per totidem gradus con$tituatur extremitas $eptentrionalis lineæ meridia- n{ae} pyxidis nautic{ae}, di$tantis à cu$pide $eptentrionali ip$ius lanceolæ orientem ver- $us, mediante nauis circunuolutione. vnde ip$amet nauis in huiu$modi $itu azimut, qui per duos hos locos tran$it, dirigetur, e$$iciendo vt eius prora ver$us locũ ad qu\-e voluerimus tendere dirigatur. Cum verò vela ventis dabimus, tot milliarium $eu leucarum iter conficiemus, quot quarta pars vnius gradus requirit. & dum hociter ab$oluitur, ille qui pr{ae}e$t naui, defferentem azimut. n. i. m. circa $uos polos. i. & eius oppo$itum, $ic circunuoluat, vt inter$e ctio azimut. r. n. s. m. cum orizonte. q. i. p. di$tet à prima ratione dictæ quart{ae} partis vnius gradus, con$tituendo $ecundum lo cum, proximiorem zenit, ratione dictæ quartæ partis gradus azimut. Hi$ce ita pera ctis, ob$eruetur deinde vbiæquator. h. e. K. hac $ecunda vice inter$ecabit orizontem q. i. p. quod quidem inter$ectionis punctum $emper appelletur. c. quod dico non am plius in eadem di$tantia man$urum, ut prius à puncto. i. $ed aut longius di$tabit, aut propius accedet, vt in præ$enti exemplo. quemadmodum ex $e manife$tum e$t, cú poli globi, ide$t {ae}quatoris $int extra azimut, vt præ$upponitur, quia loci $unt in diuer $is meridianis.

Pro huiu$modi autem di$tantiæ ratione denuo dirigatur nauis prout æquator. h. e. K. in orizonte. q. i. p. nobis o$tendet, atque hoc modo omnium iter qua$i breui$$i- mum fiet. dico autem, qua$i, quia omnibus modis nece$$ariò conficitur iter contor- tum & in formam $erpigineæ lineæ. Applicantes deinde per vices extremitatem quartæ appo$itæ (de qua $uperius mentionem fecimus) ip$i zenit. r. efficientes ut per $itum poli globi pertran$eat, deueniemus in cognitionem altitudinis eiu$dem ab orizonte, & per con$equens quantum itineris per latitudinem eiu$dem globi pere- gerit. mediante deinde inter$ectione orizontis. q. i. p. cum æquatore, cogno$cemus quãtum itineris per longitudinem eiu$dem globi, in ip$o {ae}quatore fuerit peractum,

EPISTOLAE. Inctrumentum adortum, & occa$um Lunacogno$cendum qualibet anni die. AD EVNDEM.

ECce tibi vir Illu$tri$s. modũ confici\-edi in$trumenti nuper à me inu\-eti, vt tibi $i gnificaui, quo $cire po$$is fermè in dies, qua hora (de a$tronomicis loquor) ad determinatum parallelum & ab$que multa $upputatione, etiam ab$que A$trolabio Luna oriatur occidat\’q;. In quo in$trumento poteris etiam videre quo in $igno Sol, & $æpius itidem Luna permeat, & huiu$ce a$pectus cum Sole, atque longitudinem diei noctis\’q; toto anni tempore exactè di$cernere.

Circularis lamina ex argento, aut ære, aliaúe materia paranda e$t, in cu- ius $uperficie ambarum facierum Zodiacus delineabitur, modo inferius depicto, deinde pro anno quinque circuli $ibi inuicem cõcentrici, at re$pectu Zodiaci excen trici c{ae}labuntur in ea, adeo vt vtriu$que centri di$tantia $it pro. 32. parte $emidia- metri concauitatis Zodiaci è regione locis augis, temporis qui no$tra ætate circa $i- nem $ecundi gradus cancri inuenitur, eandem viam, in hoc, $equuti, quam Stofle- rus in dor$o Aftrolabij docet. At nomina men$ium media ponantur inter duos maiores circulos, po$tea inter $ecundum, & tertium ab vna facierum laminæ, ar- cus $emidiurni, ab altera vero arcus $eminocturni, per quinos quo$que dies collo- centur, ita exactè, vt hic $ubtus videbis. adeo vt numeri dierum & ip$orum dierum $igna $int in interuallis vicinioribus centro communi dictorum quinque circulorum.

Po$teaquam ab vna & altera facierũ laminæ hæc in$culpra fuerint, aliæ duæ circu lares laminæ, magnitudinis $emidiametri minimi quinque circulorum accipiantur: quarum vna pro ortu, & altera pro occa$u Lunæ de$eruiet. In qualibet ip$arum con$titu\-etur circuli quatuor, eo modo qui paulo inferius cernitur, quos omnes diui- demus in triginta $pacia æqualia: & in interuallo q<001> inter duos primos circulos po$i tum e$t, triginta dies annotabim<_>9 qui ip$os Lunætriginta dies pr{ae}$crib\-et, vt in figara.

Po$tmodum in lamina quæ ortus Lunæ indicabit, ac duorum maiorum circulo- rũ interuallo è regione numeri. 1. videlicet primi diei, ponemus horas. 12. & minuta. 48. ex aduer$o diei $ecundi ho. 13. et min. 36. ex oppo$ito tertij ho 14. min. 24. & $ic $ucce$$iuè augendo per min. 48. & indicem è diuer$o diei. 30. $tatu\-edo, qui coitus Lunæ cum Sole $igni$icabit: atque lineas a$pectuum, vt inferius videre e$t facilè in ueniemus.

Altera in lamina quæ occa$um Lunæ indicabit, po$tquam di$tincta fuerit, vt alte- ra. 30. dies ac c{ae}teræ lineæ, eo modo quo in $uperiori collocabuntur, at numeri in- terualli maioris, aliter di$ponentur, vt potè ex aduer$o diei primi $olum. 48. minu- ta de$cribi debent, è directo $ecundi diei ponenda erit hora vna cum minutis. 36. & è regione tertij in$cribentur. 2. horæ, & min. 24. & $ic ex ordine per. 48. minuta au- gendo.

Nunc lamina ortus Lun{ae}, cum anno arcuum $eminocturnorum, & illa occa$us cum anno arcuum $emidiurnorum conc\-etrari debet, & ita no$trum in$trumentum perfe- ctum erit & ab$olutum.

Quoties igitur voluerimus medio in$trumento digno$cere fermè in tali orizonte qua hora Luna oriatur, ita nece$$e erit volubilem rotam ortus flectere, ut index ve niat è regione diei men$is in quo talis operatio fit & talirota $irma manente per$pi- IO. BAPT. BENED. cere ex aduer$o diei Lunæ, numerum horarum & minutorum in maiori interuallo ip$ius rotæ notatorum, qui cum arcu $eminocturno anni, quo cum in ip$a rectitudi- ne centri conueniet colligetur, & $umma quæ ex tali $upputatione proueniet aper- tas faciet horas a$tronomicas, quibus ferè et$i non exactè in die propo$ito Luna orietur. Idip$um fiet pro occa$u Lunæ.

DIEM ætatis Lunæ iam totus orbis $cit inuenire, media $upputatione nu- meri Epact{ae} currentis cum numero men$ium, $umpto principio à Martio, adiunctis diebus men$is currentis, & detracto numero. 30. à $umma pr{ae}dicta, $i ab ip $a dictus numerns. 30. $uperatur.

Sed ne aliquis putet $ufficere tantummodo additionem quatuor quintarum ho- r{ae} qualibet die. à nouilunio inchoando, $ciendum e$t huiu$modi rece$$um Lunæ (quamuis non ita exactæ fiat) non computandũ e$$e ab orizonte aliquo, $ed à recto, $eu à meridiano quod idem e$t, quemadmodum vnicuiq; mediocriter erudito pa- tere pote$t. At propo$itum nobis non e$t $cire qua hora Luna in meridiano repe- riatur, $ed in no$tro obliquo orizonte, in parte orientali $eu occidentali, propterea igitur addendus e$t, ei $ummæ temporis, qua Luna di$tat à meridiano, arcus $emi- diurnus, vel $eminocturnus illius loci Zodiaci, in quo Luna reperitur illa die in pro po$ito parallelo, vt $ciatur proxim{ae}, qua hora (ex a$tronomicis) Luna erit in ori- zonte ori\-etali, vel occidentali dicti paralleli. $upra dicta enim additio quatuor quin tarum horæ tantummodo, $ufficiens erit temporibus æquinoctij, $ed aliis anni tem- poribus falli ratione iam dicta.

Pro Lunæocca$u. Adlati. 45. DE LVCERNA SPIRITALI QVAM SERENISS. Sabaudiæ Duce. D. meo collendi$s. anno. 1570. con$truxi. CLARISS. FRANCISCO BARBARO VENETORVM apud Sereni$$imum Sabaudiæ Ducem Oratori Illu$tri$$imo.

HERON varias ac diuer$as hydraulicas, & $piritales machinas propo$uit, in ter quastamen nullam $imilem, ei quã ego Sereni$$imo Sabaudiæ Duci con$truxi, de$cribit, quæ quidem fuit Lucerna, & erat huiu$modi, vt à magno aliquo va$e oleo pleno $upra alicuius triclinij tabulatum po$ito, $ubtilis quidam tubus perpendi- culariter per tabulatum exiret, & in dictum triclinium v$que ad medium de$cenderet, ita tamcn vt hic $olus tubus, non item vas oleo plenum cerneretur, cu- ius quid\-e tubi inferiori extremi- tati iunctum e$$et quoddam par- uum receptaculum olei, $imile co operculo alicuius pyxidis, è cuius ambitu prope ba$im multi diuer- $i quæ tubi æquales & orizonta- les, cuiu$uis longitudinis pro$ili- rent, quorum quilibet in extremi tate $ua, exiguam quandam pyra mid\-e, app\-esã haberet, in qua elli chnũ e$$et cũ mixo. oleũ deinde medio <002>p\-edicularis tubi ad rece ptaculũ extrin$ece de$cendebat, & per alios tubos ad nutriendas flammas dum arder\-et ferebatur: at vero cũ eædem erant extinctæ ne minima quidem olei gutta de $cendebat: id quod eos qui a$ta- bant in admirationem trahebat.

Hæcautem lucerna $ic erat cõ $tructa. Vas oleariũ cylindricum vt in $ub$cripta figura patet, cuiu$ uis magnitudinis, omni ex parte clau$um faciendum curaui, ita ta men vt eius coopereulum aliquã tulũ concauum e$$et, in cuius me dio erat foramen. e. quod erat os tubi. e. g. qui $ub eiu$d\-e va$is fun- do v$que ad. g. tran$ibat, $ed po- $tea $ur$um, qua$i v$q; ad cooper culum in $itu. c. ab inferiori parte reflectebatur, & ibi terminaba\~t. IO. BABPT. BENED. Vnde oleum quod in vas infundebatur per foramen. e. dictum vas po$tea ingredie- batur per foramen. c. Habebat deinde tubum. n. u. rectum, qui à $itu. n. propinquo co operculo ad libellam extremi. c. incipiebat, & per fundum contignationem\’q; v$que ad centrum $upradictireceptaculi (circa quod tuborũ ope appenfæ erant ellychnio- rum pyramides) tran$ibat, atque huiuiu$modi tubi. n. u. extremitates tam $uperius quam inferius erant apertæ, & hic tubus aeris erat. Præterea aliud quoddam fora- men in va$is fundo feceram, cui paruum tubũ. a. o. t. reflexum, ita tamen, vt. o. altius e$$et quam. g. aptauerã, atq; <002> hunc reflexum tu bum. a. o. t. oleum va$is exibat, {quis} per o$culum. t. in quendam cana- lem tubo. n. u. in$ertum, ab extra oleum effundebat, & ab exteriori parte arundinis. n. u. ingredieba- tur receptaculum appen$um ex- tremo dicti tubi.n.u. quod extre- mum apertũ erat, ut dixi, & à fun- do receptaculi tantum di$tãs, quã tum volebamus oleum ab ip$ius receptaculi fundo altum exi$tere quod quidem oleum $tatim vt ad o$culum dicti tubi. n. u. accedebat id claudebat. Vnde aeri ingredi\-e di vas. q. b. non amplius patebat aditus, & per con$equens, neque amplius oleũ <002> tubũ. a. o. t. eflue- bat, nec etiam per tubũ. e. g. c. aer ingredi poterat, cum. c. g. $emper oleo exi$teret plenũ quũ. g. magis quã. t. adimũ deuergeret.

Quoties deinde oleum in vas infundere volebamus, oportebat cũ fumitate digiti claudere o$cu- lum. t. exiguitubi. a. o. t. vnde aer impuls<_>9 ab oleo tubi. e. g. c. extra per tubum n. u. quou$que oleum va$is ad {ae}quilibrium ip$ius. n. per- ueniebat, pertubũ. n. u. ingredie- batu. & quando dictum oleum <003> dictum tubum. n. u. extrin$ecè in- trabat in receptaculum. d. p. nil amplius olei in vas infundendum erat, & oportebat alicuius digito foramen. u. inferius arundinis. n. u. claudi, & foramen. t. aperiri, vt <002> ip$um. t. aliqua portio olei exi- ret, quia tunc quædam pars tubi. e. g. vacua reddebatur, & cum per. t. nil amplius EPISTOLAE. olei egrediebatur, aperiebatur. u. & perip$um. t. denuo tantum olei exire permitte- bamus, quantum in receptaculo ad claudendum foramen. u. idoneum exi$teret. Ra- tio vero, qu{ae} me mouit, ut punctum. g. inferius ip$ius. t. con$tituam, e$t, quia cũ clau- $um erit. u. per dictum. t. oleum non amplius egredietur, quia pondus olei in tubo. c. g. maius euadet oleo quod v$que ad. t. progrederetur, tubum autem. e. g. c. reflexum facio, ne cogamur claudere foramen. e. quia hoc difficile præ$taretur, tubum etiam a. o. t. $ur$um ver$usreflexum con$titui, vt aerem ab ingre$$u per foramen. t. arcer\-e, quia huiu$modi aer nunquam de$cendit $i corpus magis den$um non de$cendat.

Verum e$t, {quis} melius erit, vt maiores difficultates euitemus, $tatuere dictum tubũ a. o. t. ita curuum vt e$t. ω qui cum $uo extremo inferiori ip$i. n. u. $it contiguus ita ta- men ut dictum extremum inferius nõ $it inferius quam. o. quia totum oleum exiret.

Volui etiam vt $uperior extremitas. n. tubi. n. u. $it in aere va$is & non in oleo, ne per eam oleum exeat, quia cum extremitas. u. inferior $it. g. totum oleum quod $u- peraret o$culum. n. per dictum tubum. n. u. ratione maioris ponderis egrederetur, qu\-eadmodum cuilibet, vel mediocriter in philo$ophicis rebus ver$ato innote$cet.

DEFENSIO EPHEMERIDVM. AD FLLVST. D. BERNARDVM Trottum.

EDITA erant $cripta quædam, quorum titulus ANIMADVER- SIONES IN EPHEMERIDAS. & breuis alia di$putatio de er roribus calculorum A$tronomicorum. ac demũ The$es quæ- dam typis datæ. 11. Augu$ti. 1581. qu{ae} omnia cum ad manus meas perueni$$ent, non potui, non eis animum admouere, cũ ibi de his $tudijs agere\~t, in quibus partem non exiguam an- norum meorum con$ump$i. nec tamen $cribere aliquid $ta- tueram; tum quod exi$timarem viros A$tronomiæ peritos facile, quanti facienda e$$ent ea quæ edita erant iudicaturos, alijs verò haud gratam futuram harum rerum tractationem. Tum quod $i ingenue meam $ententiam profer re volui$$em, non poteram, $ine maxima authoris mole$tia ferè omnia reprobare. Quandoquidem $olet vnu$qui$que indignationem concipere ex his, quæ $uæ opi- nioni repugnant, id omne maleuolentiæ potius quam veritatis $tudio tribuens. Qui nimo cum nec dee$$ent qui dicerent in meip$um directa ea tela fui$$e, nullam fidem eis adhibendam duxi, nec enim qui in ephemeri das inuehitur, me arguere pote$t, qui nullas ephemeridas $crip$i, nec tabulas compo$ui. Nec $i author quidpiam ex his quæ à nobis edita fui$$ent impugnare volui$$et, ægrè ferre debui$$em, modo à ve ritate nu$quam deuia$$et. Liberum enim e$t cuique $cribere quodlibet. nec Ari- $totelem afficit iniuria, quicunque illi fidem $uam non accommodat, & $i valdè ini- quus $it, qui$quis maiorum opiniones veras, & ab omnibus merito comprobatas nõ admittit. Hinc mihi $atis oĩbus feci$$e videbar, cum his qui de $criptis illis me inter- rogauerãt re$pondi$$em, ea non $atis firmis e$$e innixa fundam\-etis, & quod ad talia tractanda opus fui$$et exercitatiore iudicio. Verumtamen cum tu vnus maxime om nium de$ideres tibi clarius, quæ nam de his mea $it $ententia explicari, non tam tuis precibus deuictus quam mea ip$ius cupiditate de te benemerendi impul$us, non $u- $tineo diutius animum tuum h{ae}$itantem relinquere. Atque vt tibi adeo hone$ta cu pienti mor\-e geram paucis hi$ce $criptis incultis quidem, vt ab homine omni pror- $us facundia de$tituto exaratis, $ed ex quibus nihilominus facile, atque per$picue, vt $pero, conceptum animi no$tri percipere po$$is, $i tamen eam præ$tantis ingenij tui aciem adhibueris, qua $oles intima quæque $cientiarum penetrare, no$træ opinio- nis $ummam per$trinxi, qu{ae} ad te mittere decreui. & quamuis ip$a res de qua agitur, quæ exactiorem de$iderat expo$itionem, prolixiorem me e$$e cogerit quam volui$- $em. multa tamen me obmi$i$$e intelliges, non admodum nece$$aria his quibus A$trologiæ noti $unt termini, vt tuarum occupationum rationem me etiam habere intelligeres, at que vt $ummam oblectationem cõcipiam animo $i me tibi aliqua ex parte $atisfeci$$e intellexero ita humanitati tuæ gratiam habebo, qu{ae} mihi occa$io n\-e \~pbuit, imò verò me impulit, ad ea profer\-eda: quæ grata e$$e po$$int tui $imilibus, ide$t \~pclaro & cãdido ingenio præditis, atq; ad euell\-edã ex eorũ animis fal$am opi- EPISTOL AE. nionem, $i quam forta$$e ex illorũ $criptorum lectione cõceperunt circa ea, de qui- bus nunc $um acturus.

Quemadmodũ igitur ab hoc authore ter $criptum fuit de cõtradictionibus, $iue erroribus Ephemeridum, & earum calculos $equentium, & de ratione qua cogno$ci pote$t $itus & locus alicuius $uperioris planetæ, diuer$us ab eo, qui ab ip$is Epheme ridibus a$$ignatus e$t, ita di$putationem hanc meam diuidam in tres partes, quo $ci licet minus confusè, & magis di$tinctè à me $cribatur, \~p$upponendo, vt animaduer- tere potes, huius $criptoris intentionem, aliam non fui$$e, quã o$t\-edere, quod $cripto res Ephemeridum diuer$imode eiu$dem temporis locum planetæ a$$ignauere, & quod eum faciant modo nimium velociter currere, modo nimium in vno $igno mo- rari, vt (exempli gratia) Martem interdum faciunt morari $ex, aut $eptem men$ibus in vno $igno. Idq; po$tea in cau$a e$$e ait, vt A$trologi indiciarij fallãtur, & $imul careant certis fundamentis rationum quibus futura indicent, & prædicant. Primum ergo videndum e$t, quam rectè hic v$us $it arte, & $cientia, vt aliorum opiniones, & $cripta redarguere po$$et. Deinde videbimus quomodo verum $it, & po$$ibile id quod ab A$trologis hactenus creditum, atque traditum e$t, & qua ratione po$$int $ie ri veri calculi à peritis regularum $cientiæ.

In primo igitur tractatu in$cripto Animadner$iones, præ$upponit Author pro- fe$$ores huius $cientiæ ne$cire inuenire vera loca planetarum, quia vtuntur Ephe- meridibus, in quibus eorum loca non rectè $unt notata. Quod $ecundum ip$um ori tur, ex errore calculatorum, $eu computi$tarum, potius quam ex varietate tabula- rum, à quibus Ephemerides $umptæ $unt, hoc tamen verum non e$t, Ephemeridas, $cilicet, ita inter $e differre, ratione errorum computi$tarum tantummodo, $ed po- tius ratione ip$arum tabularum, & $i interdum contingere po$$it error aliquorum mi nutorum, nec non graduum, non propterea Ephemerides ita $pernendæ $unt. In multis enim calculis, tales errores excu$abiles $unt, cum ab innumerabilibus propè accidentibus oriri po$$int, præ$ertim in calculis prutenicis.

Videatur deinde vbi is profert quinquage$imum enuntiatum centiloquij Ptole- m{ae}i, $atis mendo$e. Ptolem{ae}us enim ibi $ic ait.

Non obliui$caris e$$e centum viginti coniunctiones, quæ $unt in $tellis erraticis, in illis enim e$t maior $cientia eorum quæfiunt in hunc mũdum $u$cipiendi incre- mentum, & decrementum.

Nam, neque eo in loco, neque alibi, Ptolem{ae}us quidquam eius dicere voluit quod ab hoc profertur.

Pergatur po$tea in pag. 2. & videbitur hunc exi$timare ab$urdum quod Saturni, & Iouis coniunctio vera anni. 1563. potuerit e$$e in Leone $igno igneæ triplicitatis cum eorum coniunctio vera anni. 1544. fuerit in Scorpione, $igno triplicitatis aqueæ, & cum coitus eorum anni. 1583. futurus $it in Pi$cibus, $igno pariter tripli- citatis aqueæ. Ita enim ait.

Nam po$tquam duæ $tellæ coiuerint, non prius $ub alio alterius triplicitatis $igno inter $e $unt conuenturæ, quam per omnia $igna quæ eiu$dem ternarij cum primo ex titerint prius coniungãtur. Ita $entit Ptolem{ae}us, cæteri\’q; non a$pernendi nominis Aftronomi.

„ Et tam\-e Ptolem{ae}us nunquam quidquã huius rei attigit, & quamuis Albuma$ar & Alchibitius de eo loquãtur, is tamen eosnon intellexit, cum illi ibi nõ agant de IO. BAPT. BENED. periodis apparentibus, aut veris, $ed de mediocribus aut æqualibus, & quidem re- ctè dicunt, quia lineæ eorum mediorum motuum non coeunt in aliquo $igno alte- rius triplicitatis, prius quam pertran$iuerint omnia $igna illius, in qua inc{ae}perunt. Itaq; nullum inconueniens $equitur, $i in veris cõiunctionibus non reperitur hæc re- gula. Fieri enim pote$t, vt lineæ mediorum motuum coniungantur in vno $igno, cor pora verò eorum planetarum coeant in alio, cum rarò eueniat, vt linea medij mo- tus, eadem $it cum linea veri.

Nunc quidem tam\-e non affirmauerim, nec ne gauerim eorum coniunctionem an ni. 1563. fui$$e potius in Cancro, quam in Leone. Sed tantum dicam vanũ e$$e cre dere id eueni$$e propter $imilem naturam, aut qualitatem $ignorum. Hunc enim re$pectum non habent illi planetæ in veris$uis coniunctionibus. Exempli autem cau$a ponamus, quod rectè $upputatæ fuerint coniunctiones annorum. 1484. 1504. & 1524. quod attinet ad differentiam duodecatemorij, $cilicet prima in. 24. gradu Scorpij, $ecunda in. 20. Cancri, tertia in. 10. Pi$cium. Cum $ecunda anticipauerit trigonum perfectum cum prima, gradibus. 4. & tertia anticipauerit trigonum perfe- ctum cũ $ecunda gradibus. 10. $i forte prima vt facta fuit in. 24. gradu Scorpij facta fui$$et in. 2. gradu eiu$dem, planũ e$t {quis} $ecũda facta fui$$et in. 28. gradu geminorum & tertia in. 18. Aquarij, quæ $igna $unt diuer$æ triplicitatis ab illa Cancri. In$uper $i coniunctio anni. 1544. quæ fuit in. 28. gradu Scorpij fuerit recta corre$pond\-es pr{ae} cedenti, anni. 1524. per gra. 18. $ine dubio $i coniunctio anni. 1524. facta fui$$et in 18. gradu Aquarij, illa anni. 1544. fui$$et in. 6. Scorpij $igni alterius triplicitatis quã $int Gemini. Præterea, vt anno. 1544. cõiunctio facta e$t in. 28. gra. Scorpij, & 1563 in. 29. Cancri, ponendo eas e$$e rectas, quod attinet ad $uperandum trigonum vno gradu, $i anno. 1544. facta fui$$et in. 30. Scorpij, anno. 1563. proculdubio facta fui$- $et in primo gradu Leonis. Et $uppo$itis ijs interuallis, quæ $uper$unt, aut de$unt per fectis trigonis, $i coniunctio anni. 1524. fui$$et in. 20. gradu Pi$cium, anno. 1544. fui$$et in. 8. Sagittarij. Quæ quidem omnia aduer$antur opinioni huius $criptoris.

Quodautem opinatur coniunctionem anni. 1583. fore in Ariete, $ic dicens pagi na $ecunda.

„ Non erit ab re $i & eandem Saturni, & Iouis coniunctionem in primo igneæ tri- „ plicitatis $igno, quod e$t Aries futuram afferamus anno. 1583. $i ab accidentibus no „ bis licet, vt ab omnibus pa$$im conceditur, planetarum loca di$cernere.

In eo fallitur, nã neq; Saturnus, neq; Iupiter, errãt à vero per. 9: nec. 8. gra. ac ne <002> 4. quid\-e in <003> bu$uis Ephemeridibus aut tabulis. Itaq; videbit eiu$modi cõiunction\-e contra $ententiã $uã fieri in Pi$cibus, nõ aũt in Ariete. (vt po$tea res ip$a nos docuit $ub m\-e$e Aprili. po$t <003> d\-e $criptã hãc epi$tolã, vulgari\’q; $ermone trã$mi$sã, $ed an- tequã in latinũ trã$lata, & huic volumini in$erta cũ alijs Typographo cõmitteretur.)

Vbi po$tea meminit magnæ periodi annorum. 960. non tantum ei cogitandum erat hãc fui$$e opinionem antiquorũ, vt videri põt apud Albuma$ar\-e & Alchibiciũ, $ed etiam perpendendum an e$$et vera, priu$quã ei adhæreret. Hic enim fuit vnus ex erroribus illius ætatis, quæ nondum penetrauerat intima huius $cientiæ. Sunt tamen illi antiqui excu$atione aliqua digni. Ponebant enim vige$imo quoque an- no præcisè fieri mediam coniunctionem Saturni cũ Ioue, & in quolibet $igno eiu$- dem triplicitatis cõiungi quater. Itaque in qualibet triplicitate dicebant eos coire duodecies.

EPISTOL AE.

Quod $ecundum primum $uppo$itum finiebatur $pacio annorum. 240. qui nume rus fit. ex. 20. duodecies multiplicatis. Et quia triplicitates $unt. 4. ideo credebant in $pacio annorum. 960. qui numerus fit ex. 240. quater multiplicato, perfici. 48. cõ- iunctiones, priu$quam redirent ad $e coniungendos in eodem loco, ubi prius iun- cti fui$$ent. Primum autem $uppo$itum, quod vige$imo quoque anno iũgerentur, colligebant $ic ratiocinantes. Si Saturnus annis. 30. peragit $uum cur$um per om- nia $igna Zodiaci, Iupiter autem peragit eum annis. 12. Saturnus ambulauerit. 4. $i gna, et. 4. quintas partes $igni, $iue gra. 24. dum Iupiter peragit integrum ambitum ide$t annis. 12. Itaque de$unt ei anni. 8. ad perueniendum ad. 20. quibus. 8. annis Sa- turnus <002>ambulat $igna tria & quintã part\-e unius $igni. i. gradus. 6. qui iuncti dictis $i gnis. 4. & gra. 24. faciunt $igna. 8. quæ Iupiter item percurrit in annis. 8. atque ita in annis. 20. Iupiter percurrit. 20. $igna antequã perueniat ad Saturnũ, cum Saturnus eo dem tempore perfecerit cur$um $ignorum. 8. Eandem conclu$ionem etiam forta$ $e collegerant ex dictis $uppo$itis, dicentes, $i Saturnus annis. 30. ambulat. 12. $igna proculdubio annis. 20. ambulat. 8. $igna, quo tempore Iupiter perambulat. 20. ad ra tionem. 12. $ignorum in annis. 12.

Verum hoc $uppo$itum non e$t bonum, quoniam, $i ita e$$et, coniunctiones horũ duorum planetarum nunquam exirent ex vna triplicitate, & non modo. 960. quoq; anno, $ed etiam $exage$imo rur$us coniungerentur in eodem puncto. nec coniunctio nes eorum ($emper autem intelligo de medijs) unquam egrederentur ex illis tribus $ignis Zodiaci.

Sed periodus æqualis Saturni, e$t dierum circiter. 10740. atque ita minor an. 30. atque etiam. 29. cum dimidio periodus autem æqualis Iouis, e$t circiter. 4328. vt ego eam comperio, quidquid alij dicãt, vt\’q; planius alias o$tendam. Itaq; hæc per iodus Iouis, etiam minor e$t ann. 12. prætermittendo in $upputatione tã Saturni quã Iouis qua$dam minutias horarum & earum partium, quæ hac in re pto nihilo habe- ri po$$unt. Atque his duabus periodis eccentricorum duorum planetarum po$$u- mus cogno$cere interuallum quod erit inter vtramque mediam coniunctionem, hoc modo agendo, & ratiocinando.

Si Saturnus diebus. 10740. circuit gradus. 360. diebus. 4328. qui $unt periodus Iouis, conficiet gradus. 145. & min. 4. ide$t min. 8704. & eadem regula inueniemus {quis} Saturnus. 30. quibu$\’q; diebus, con$iciet min. 60. & $ecunda. 20. Iupiter autem $in- gulis. 30. diebus, conficiet min. 149. & $ecunda. 43. vnde $ubtrahendo minuta Satur- ni à minutis Iouis, $upererunt min. 89. cum $ecun. 23. Itaq; Iupiter. 30. quibu$\’q; die- bus velocitate cur$us, $uperabit Saturnum minutis. 89. cum $ecundis. 23. Atq; dicen- do, $i minuta. 89. cum $ecundis. 23 dant nobis dies. 30. $upradicta, minuta. 8704. da- bunt nobis dies. 2921. quibus iunctis cum diebus. 4328. periodi Iouis, efficientur dies 7249. ide$t anni Aegiptij. 19. cum diebus. 314. & hæc erit æqua periodus temporis inter vtranque coniunctionem horum duorum Altiorum planetarum. Vt autem pla nius o$tendatur hanc operationem rectam e$$e (nam demon$trationem $peculatiuã huius operationis in. 113. Theoremate no$træ Arithmetic{ae} cuiq; videre licet) fieri pote$t his alijs calculis.

Si Saturnus diebus. 10740. tran$it per gra. 360. in $pacio dierum. 2921. tran$ibit per gradus. 97. min. 54. quibus iunctis cum gra. 145. min. 4. $upra notatis, efticientur gra. 242. min. 58. Deinde, $i Iupiter $patio dierum. 4328. tran$it per gra. 360. igitur $patio. 2921. per eandem regulam inueniemus eum tran$ire gradus. 242. mi. 58. qui numerus par e$t illi Saturni. Cum ergo Iupiter confecerit vnum ambitum po$t con IO. BAPT. BENED. iunctionem cum Saturno, vt rur$us a$$equatur Saturnum, tran$eundum ei erit <002> gra. 242. min. 58. iter confectum à Saturno toto tempore annorum. 19. & dierum. 314. ad rationem graduum. 360. diebus. 10740. (po$$umus etiã dicere gra. 243. quia præ termi$imus qua$dam exiguas particulas periodorum perfectorum cuiu$que planet{ae} in $uperioribus $upputationibus.) Illos verò gradus. 43. Iupiter con$iciet diebus. 2921. ad rationem graduum. 360. diebus. 4328. Atq; ita vt diximus, ab vna coniun- ctione ad aliam intererunt anni. 19. Aegiptij cum diebus. 314. vel circa.

Nunc autem vt videatur an tabulæ Alfon$i conueniant cum hoc n\~ro calculo, cõ- $iderabimus, {quis} Era (vt vocant) dicti temporis annorum. 19. cum diebus. 314. e$t dua- rum tertiarum $exagenarum, $ecundæ nullius, & 53. primarũ $iue dierum. Et per hãc Eram colligendo motum mediocrem, tum Saturni, tum Iouis, omi$$is radicibus, & in cipiendo ab Ariete, comperiemus {quis} vtriu$q; planetæ lineæ eiu$modi motus tran$i bunt per min. 56. tertij gradus Sagittarij, ide$t coniunctæ erunt.

In fine po$tea $ecundæ periodi, cuius era erit. 4. tertiarum, $ecundæ. 1. et. 47. pri- marum $exagenarum, locus mediocris vtriu$q; erit in min. 56. gra. $exti Leonis. In fine verò tertiæ periodi, cuius era erit. 6. tertiarum. 2. $ecundarum, et. 41. primæ, lo- cus eorum mediocris inuenietur in. 56. minuto gradus. 9. Arietis. Atq; ita deinceps in fine cuius\’q; periodi, locus eorũ mediocris coniunctim $emper di$tabit à loco me diocri præcedentis coniunctionis gradibus. 117. ide$t in trigono antecedenti, minus gra. 3. Vnde apparet has coniunctiones procedere in contrariam partem re$pectu or dinis $ignorũ Zodiaci, $ed re$pectu ordinis graduum $ignorũ, $emper progrediun\~t or dine per ternos gradus nunquam retrogradientes. Hinc $e quitur, vt non duodecies in omni triplicitate coniungantur hi duo planet{ae}, vt antiqui putauerunt, $ed decies tantum. & ad $ummum ter in $ingulo $igno, $patio annorum. 198. & dierum. 220. aut circiter, non autem. 240. nec. 242. Atque decem vices comprehendunt gra. 27. & vltima vice inueniuntur in $igno $equenti alterius triplicitatis. Exempli gratia, po- namus {quis} prima vice cõiungan\~t in gra. 2. Arietis, $ecunda coniunctio erit in. 5. Sagit- tarij, tertia. in. 8. Leonis. quarta in. 11. Arietis, quinta in. 14. Sagit. 6. in. 17. Leonis. $eptima in. 20. Arietis, octaua in. 23. Sagittarij, nona in. 26. Leonis, decima in. 29. Arietis, et vndecima erit in gra. 2. Capricorni $igni $equ\-etis triplicitatis. Decem igi tur interualla $ingula annorum. 19. & dierum. 314. faciunt annos. 198. & dies. 220. Immo pertabulas Alfon$i, eiu$modi periodus non modo non reperitur annorũ. 242 nec. 240. vt antiqui credidere, $ed tribus diebus minor annis. 198. & diebus. 220. id- e$t per dictas tabulas inuenitur e$$e annorum. 198. & dierum. 217. tantum, qui nume rus multiplicatus per. 4. triplicitates, efficiet periodum maiorem, quæ erit annorum 794. & dierum. 138. quo tempore dicti planetæ redeunt ad eundem locum vbi pri- mum $e coniunxere.

Vt exempli gratia, locus mediocris Saturni & Iouis in fine annorum. 198. dierum 217. reperitur in gradu. 30. Sagittarij. Si quæ$iuerimus hunc locum per aggregatũ annorum. 794. & dierum. 138. cum annis. 198. & diebus. 217. quorum $umma e$t. 992. & dies. 355. inuenietur locus mediocris ip$orum planetarũ in dicto vltimo gra du Sagittarij. Sed $i qu{ae}$iuerimus eorum locum mediocrem per aggregatum anno rum. 198. & dierum. 217. cum annis. 960. quod erit $umma annorum. 1158. & dierũ 217. reperiemus Iouem in gradu. 18. Sagittarij & Saturnum in. 16. Leonis di$tanti- bus inter $e duabus eorum lineis motuum mediocrium gra. circiter. 122. Atq; Iupi- ter præcedet, & oportebit {quis} coniunctio eorum mediocris fuerit multis annis ante omittendo (vt dixi) radices, quia $atis e$t inuenire interuallum inter lineas eorum me diorum motuum.

EPISTOL AE.

Debebat igitur author animaduer$ionum non qua$i cæcus eæcos $equi, $ed prius laborare, vt certior fieret, an interuallum annorum. 960. Verum e$$et.

Sed peius e$t, {quis} idem author paulo inferius citat coniunctiones horum duorum planetarum anni. 1493. et. 1512. quas ne$cio vnde $ump$erit.

Nam, et$i inter hos annos e$t interuallum annorum. 19. tamen tantum abe$t, vt coiuerint dictis annis, vt Saturnus anno. 1493. ante finem Augu$ti fuerit in. 28. gra- du Aquarij, Iupiter verò in. 28. Leonis ex diametro oppo$iti. Et anno. 1512. per to tum men$em Iunium & Augu$tum, Saturnus fuerit in Libra, Iupiter verò in Ariete, itaque inter $e $imiliter oppo$iti, & $i perfecta oppo$itio non fuit po$tea ni$i ad fin\-e Iunij ann. 1513. & locus Monteregij ab eo citatus, vbi ait eum ponere coniunctio- nem anni. 1484. in gra. 23. min. 4. Scorpij, e$t mendo$us. Nam ip$e Montere gius po nit dictam coniunctionem in mi. 42. gra. 24. non autem in min. 4. ip$ius gradus. Sed hic error nullius e$t momenti, forta$$e qui impræ$$orum incuria irrep$it.

Pergatur po$tea ob$ecro ad paginam. 3. ip$arum Animaduer$ionum, vbi hic co- natur o$tendere calculatores non ob$erua$$e verum modum, $ic dicens.

Anno. 1484. Nouembris. 25. Saturno locum con$tituit Monteregius in grad. 23. min. 4. Scorpij. Anno po$tmodum $ub$equenti qui e$t. 1485. eundem in min. 7. Sa- gitarij collocat. 21. Februarij die. Inter\’q; tempora duo inter$unt men$es dies. 26. At cum ex motus $ui natura Saturnus hoctemporis $pacio gradus. 4. non debeat trã- $cendere, $it tamen inter vtrunq; tempus differentia graduum. 7. minutorum. 3. quæ ratione $ui motus requirunt men$es. 6. vt eos perficiat, con$tat plu$quam tribus men $ibus fallere nos Saturnum.

Hic videre licet quam veram viam hic $ecutus $it ad aperiendos errores Epheme ridum, & mi$eri Monteregij, qui Saturnum claudum facit tantum itineris conficere tribus m\-e$ibus, quãtũ vix confeci$$et m\-e$ib. $ex. Sed forta$$e ratiocina\~t hoc modo.

Si motus naturalis Saturni facit vt circumeat totum c{ae}lum annis. 30. igitur men$i- bus. 30. conficiet duodecimam partem circuitus, cum men$es. 30. $int duodecima pars annorum. 30. & quia duodecima pars circuitus c{ae}li intelligitur con$tare ex. 30. gradibus, igitur quilibet men$is po$tulabit gradum vnum. Ideo illi. 6. aut. 7. gradus po$tulant tempus, amplius men$ium $ex.

Atque eiu$modi mira ratiocinatio pote$t in. 2. exemplo eius, in$cripto.

Deeodem ex eodem

Vbi miratur, {quis} Monteregius faciat Saturnum ambulare gra. 9. min. 10. in men$i- bus. 7. & diebus. 6. Ad quod iter Saturnc $eni opus e$$et $altem men$ibus. 9. eius iudicio.

Sed $i hoc miratur, quid dicturus fui$$et, $i animaduerti$$et, quod idem calculator Monteregius facit Saturnum ambulare immo volare gra. 9. min. 48. non in 7. $ed in 2. men$ibus cum dimidio, videlicet à. 10. die Iunij v$que ad. 26. Augu$ti eiu$d\-e an- ni. 1504.

Quid $i etiam animaduerti$$et {quis} à. 10. die Iunij $upradicti v$que ad. 16. Ianuarij anni $equentis, faciunt Saturnum, $ur$um, deor$um cur$itare amplius gra. 17. mi. 54. Imino $i animaduerti$$et, quod anno. 1524. Stoflerinus ab initio anni, v$qu\-e ad medium Maium, ide$t men$ib. 4. cum dimidio, facit Saturnum ambulare gra. 15. Pro fectò ob has velocitates, eius iudicio, tam ab$urdas, ob$tupui$$et.

Vbi autem in tergo eiu$dem pagin{ae} ait, quod gradibus. 13. min. 42. re$pondent men$es. 19. errauit in calculo, nam ex eiu$modi tempore $ecundum eius regulam ef- IO. BAPT. BENED. ficerentnr $inguli ambitus Saturni ad rationem annorum amplius. 40.

Videamus nunc vbi agit de Ioue, & reperiemus {quis} in primo exemplo circa annũ. 1484. repr{ae}hendit Monteregium, quia facit Iouem ambulare gradus. 14. cum min. 6. in men$ibus. 2. diebus. 4. ad quod iter, vt ip$e ait, opus e$$et $altem m\-e$ibus. 11. atq; ita $ecundum ip$um, Ioui opus e$$et anno vno pro $ingulo medio $igno. Vbi bonus hic vir pariter cæcutit.

Idem in $ecundo exemplo $umpto à Stoflerino ait, {quis} Ioui ad cur$um vnius gra- dus, & min. 5. opus e$t diebus. 30. non autem men$ibus. 7. & diebus. 28. vbi o$tendit, $e paruum di$crimen facere inter Iouem, & Saturnum.

Miratur po$tea {quis} Stoflerinus faciat laborare genero$um Iouem ferè men$ibus $ex in vno gradu. Sed multo magis, vt puto, miratus e$$et, $i vidi$$et, quod idem Stoflerus in eodem anno facit, quod Iupiter die. 4. Ianuarij $it in eodem puncto, in quo po$tea reperitur die vltima Augu$ti. At forta$$e dici po$$et, quod Iupiter pro- pter prudentiam, & bonitatem $uam factus e$t R ex omnium Deorum, vt ait Home- rus, & ideo expulit è $ede Saturnum, & a$cendit in altiori cœlo. Vnde euenit vt fa- ctus fuerit lentior in cur$u, Saturnus autem velocior. Aut iam tot annos e$$e na- tum Iouem, vt iure credi po$$it eum iam factum e$$e $enem, & pariter tardio- rem in $e mou\-edo. aut tũc temporis illum detentum fui$$e in $ibi dilecta Arcadia cũ Cali$to. Aut forta$$e erat in alta $pecula intentus audiendo ingenti certami- ni Timoclis & Damidis, vnde pendebat exitium aut gloria familiæ $uæ, nam alio- quin Stoflerus non depræhendi$$et eum tam otio$um & morantem. Sediam relin- quamus Saturnum & Iouem, & ad Martem veniamus.

Ferox & inquietus Mars, qui $emper bella & ignes $pirare $olet, etiam, & ip$e ab A$trologis factus e$t piger, & languidus, vt velint eum nonnunquam commorari in vno $igno $ex aut $eptem men$ibus; quod nullo pacto placet authori Animaduer- $ionum, cum pag. 4. ita $cribat.

Quod citra notam, ab omnibus creditur po$$e ob$eruari, quamuis à nobis non ac cipiatur.

Itaque ei videtur impo$$ibile. Quia Mars peragit $uum eircuitum minus. 2. an- nis. Sed audacior fui$$e videtur, qui voluerit arguere tot egregios viros antiquos, & recentiores, qui vti diligentes rerum cœle$tium ob$eruatores, ip$is oculis certi fa cti $unt tam de his effectibus Martis, quam aliorum, vnde coacti $unt fingere tantam magnitudinem eius epicycli, cum ip$e nunquam ob$eruauerit motum, nec huius nec alterius planetæ, $ed tantum viderit eius moram in Ephemeride $criptam. Si enim $altem diceret, $e aliquo tempore ob$erua$$e iterMartis, & comperui$$e aliorum opi nionem fal$am, attuli$$et aliquem colorem $ententiæ $uæ. Sed $i ob$erua$$et, non $crip$i$$et po$tea contra, vt puto. Res enim ita $e habet, quod Mars in omni circui tu $ui epicycli tran$iens per inferiorem partem ip$ius epicycli, $emper commoratur multis men$ibus in vno duodecatemorio Zodiaci, $cilicet. 6. et. 7. men$ibus, atque etiam amplius, quod quidem ego $æpe ob$eruaui, præ$ertim anno. 1565. et. 1566. hoc ordine. Primum in$piciens Ephemeridas $tadij, reperi {quis} Mars $ecundum eum egrediebatur retrogradationem circa diem. 12. Ianuarij anni 1566. in. 16. grad. Geminorum. Et $imiliter quod anno. 1565. die vltima Augu$ti Mars futurus erat in eodem $upradicto loco, priu$quam retrogradi inciperet. Po$tea inueni, quod po$t retrogradationem die. 11. Aprilis. 1566. Idem Mars futurus erat in gra. 16. Cancri, itaq; in his. 30. gradibus à. 16. Geminorum ad. 16. Cancri con$umebatur $patium men$ium. 7. & dierum. 11.

EPISTOLAE.

Quo $upputato, $ump$i in$trumenta, & ad experimentum me paraui, & vltima nocte men$is Augu$ti anni. 1565. reperi Martem e$$e in dicto gradu geminorum vt $cribebat Stadius. Deinde $ingulis ebdomadibus ob$eruans retrogradationem; vidi circa finem Octobris quod retrogradi incipiebat, & ea retrogradatio per$euerauit v$que ad medium men$em Ianuarium, aut circiter, anni. 1566. ob$eruaui po$tea etiam $itum eiu$dem planetæ die. 11. Aprilis $equentis eum\’q; inueni in gradu. 16. Cancri, vti eum po$uerat Stadius. Atque ita experimentum meum conuenit cum calculo Stadij, comperi\’q; eum non erra$$e: Et $ic qui$que binis quibus\’q; annis pote- rit certior fieri de veritate. Si autem delectationis cau$a id experiri volueris, expe- ctato primam retrogradationem Martis, cuius initium $ecundum Stadium futurum e$t circa diem. 20. Nouembris anni. 1582. & finis circa diem. 10. Februar. 1583. cir ca grad. 9. Cancri, & animaduerte quando Mars erit circa dictum gra. 9. Can- cri prius quam retrogradi incipiat, quod erit circa diem. 19. Septem. 1582. Dein- de a$pice quum erit in grad. 9. Leonis, quod erit circa diem. 7. Mai. 1583. & vide- bis {quis} ip$e Mars in his gra. 30. morabi\~t <002> men$es. 7. & dies. 18. atq; vt eius rei pericu- lum facias, ob$erua noctem præcedentem diei. 19. Septem. 1582. locum lõgitudinis eius $tellæ, & idem po$tea ob$erua nocte præcedente diei. 7. Mai, aut nocte $equen- ti. 1583. & inter duos ho$ce terminos ob$erua aliqua alia nocte $tatum eius. Mani- fe$to\’q; videbis Martem con$umere totum dictum tempus in hoc duodecatemorio. Et quicunque aliquid intelligit in hac facultate quamuis non viderit Ptolom{ae}i Almage$tum, minori labore po$$et per calculos $cientificos colligere verita- tem, $uppo$itis tamen terminis $criptis in theoricis planetarum. Qui enim vidit Almage$tum vel reuolutiones orbium cœle$tium Nicolai Copernici, non pote$t de hoc vllo pacto dubitare. Sed qui nondum tantopere progre$$us e$t, $alt\-e capiat hui<_>9 rei notitiam vniuer$alem, hoc modo. Supponat primum eccentricitatem deferen- tis epicycli Martis, e$$e. 6. partium taliũ, quales $unt $exage$imæ $emidiametri ip$ius deferentis, & $emidiametrum epicycli e$$e, partium $upradictarũ. 39. cum dimidia, & quod argumenta vera, in temporibus primarum $tationum ( cum epicyclus e$t in auge, aut in eius oppo$ito, aut in lũgitudinib. me dio cribus ) iã ab antiquis rectè $uppu tata $int, $icuti $unt. Et præ$upponat motum diurnum centri epicycli. min. 31. cum di midio, quamuis reuera $it min. 31. & $ecundorum. 27. aut circiter, nunc quid\-e præter mittens, quod vnus habeat re$pectum ad augem mediam epicycli, & alter ad cen- trum æquantis. Atque his præ$uppo$itis fingat ( exempli gratia ) quod centrum epicycli $it in quauis longitudinum mediarum, & Mars in prima maxima æqua- tione argumenti, $cilicet in prima linea, quæ attingens epicyclum, à centro mundi pergat ad circunferentiam Zodiaci, quæ erit illa linea cõtingentiæ a qua profici$c\-es Mars perget ad lineam primæ $tationis, vt po$tea retrogradiatur, veluti $i in infrapo $ita figura maiori, c\-etrũ mũdi e$$et. o. & vnus arcus ecc\-etrici e$$et. a. b. c. d. & vna ex li neis medio cribus longitudinum e$$et. o. c. f. & centrum epicycli. c. qui notabitur per a. f. e. g. & lineæ contingentes epicyclum in punctis. i. et. t. $int notatæ. o. i. et. o. t. & li- nea primæ $tationis. o. n. b. & linea $ecundæ. o. u. d. $i igitur Mars e$$et in puncto. i. an- gulus. i. o. e. maximæ æquationis argumenti e$$et gra. 40. minut. 55. quãuis talis maxi ma æquatio argumenti in longitudinibus mediocribus Alfon$i ponatur e$$e gra. 41. minut. 10. quod euenit quia calculatores ip$arum tabularum interuallum. o. c. quod in eo $itu epicycli interponitur inter centrum mundi, & centrum dicti epicycli, ac- ceperunt partium $exaginta præcisè, nihili facientes minuta illa. 18. aut circiter, qu{ae} verè $unt præter dictas partes. 60. quandoquid em euenit vt dictum interuallum in IO. BAPT. BENED. tali $itu epicycli $it ba$is vnius trianguli orthogonij, cuius vnum ex illis duobus late- ribus e$t $emidiameter eccentrici partium. 60. pr{ae}cisè, aliud e$t interuallum eccen- tricitatis partium. 6. eiu$modi. Angulus ergo. i. o. c. vt dixi, erit partium. 40. minu. 55. qui angulus continuò variatur $ecundum $itum epicycli. & cum centrum eius e$t in auge eccentrici. e$t minimus quã e$$e po$$it. e$t\’q; tantum grad. 36. min. 46. & in oppo$ito ip$ius augis e$t grad. 47. min. 1. maximus quam alibi vnquam $it, & $ic continuò variatur, $ecundum $itum, quem habet epicyclus in eccentrico. Qui quidem angulus inuenitur per doctrinam. 27. et. 28. libri primi Monteregij de trian gulis. Nam triangulus. c. i. o. e$t $emper rectangulus in puncto. i. & latus. c. i. re$pectu $emidiametri e$t datum. Quod. c. i. erit veluti partium. 39. cum dimidia, et dictum interuallum. o. c. veluti pat cium. 60. min. 18. & quia datur nobis etiam eccentricitas veluti partium. 60. talium, & cum. c. o. $it linea veri motus epicycli, & latus $imiliter vnius trian guli, cuius duo latera $unt $upradicta, $cilicet $emidiameter eccentrici, & eccentricitas, inter $e compræhendentes angulum datum. Nam $emper præ$uppo nitur datus locus centri ip$ius epicycli, cum ip$e e$t extra augem aut oppo$itum eius quia in auge linea. o. c. con$tat ex $emidiametro eccentrici & interualli eccentricita- tis. & in eius oppo$ito, ip$a linea. o. c. e$t minor dicto $emidiametro eccentrici per in teruallum dictæ eccentricitatis. Vnde etiam po$$umus extra augem, vel oppo$itum eius cogno$cere. o. c. tanquam latus dicti trianguli duorum laterum cũ angulo cogni torum. Id\’q; per. 49. propo$itionem libri primi eiu$d\-e Monteregij cum $cilicet dictus angulus nõ fuerit rectus. Nam $i fuerit rectus videbitur per. 27. et. 28. $upra citatas.

Cum igitur hab eamus angulum. c. o. i. gra. 40. mi. 55. angulus. o. c. i. tanquam reli- quus exrecto, erit grad. 49. mi. 5. cui re$pondet arcus. i. g. epicycli confectus à Marte in diebus circiter. 105. ad rationem min. 28. aut circiter in $ingulos dies, prætermi$- $is nunc quidem minutijs cum exigui momenti $it error. 15. aut. 20. dierum ad verifi cationem longæ mor{ae} Martis in vno duodecatemorio, atque per hoc tempus cen- trum epicycli conficit gradus. 55. min. 7. aut circiter, ad rationem minutorum. 31. cũ dimidio in $ingulos dies. qui numerus graduum. 55. min. 7: differt à numero graduũ. 40. min. 55. maximæ æquationis argumenti gradibus. 14. mi. 12. nec refert quod gra. 55. min. 7. habeant re$pectum ad centrum æquantis, magis quam ad centrum mũdi, quia differentia non e$t tanta, vt po$$it inducere errorem men$ium. Hinc $equitur quod in fine dictorum dierum. 105. Mars erit in linea. o. c. veri motus epicycli, $ed gradibus. 14. min. 12. vlterius quam in primo loco, in quo erat in Zodiaco, & erit in medio $uæ retrogradationis. Sed quoniam Mars manife$tè retrogradi non incipit in puncto. i. conting entiæ, imo ab illo puncto v$que ad terminum primæ $tationis li neæ. o. n. interponitur arcus. i. n. epicycli, qui e$t graduum. 32. minu. 14. Id\’q; cogno- $citur $ubtrahendo arcum. f. i. n. graduum. 163. mi. 9. qui e$t inter augem, & primam $tationem, à gradibus. 180. ( qui arcus. f. i. n. erit verum argumentum, quod $i- militer variatur $ecundum $itum epicycli, et$i eiu$modi varietas, nobis nõ e$t magni momenti, vnde po$$umus præ$upponere, quod. c. centrum epicycli non alteret in- teruallũ. c. o. à centro mũdi, cũ non pos$it intercedere, error m\-e$iũ reliquum verò. g. n. graduum. 16. min. 51. $ubtrahendo ex arcu. g. i. graduum. 49. minuti. 5. vnde reli- quus nobis erit arcus. n. i. graduum. 32. min. 14. in eiu$modi tamen $itu mediocrium longitudinum. Nunc hic arcus epicycli graduum. 32. mi. 14. fit à $tella Martis die- bus. 69. ad rationem $upradictam, omittendo quod ip$a $tella habeat re$pectum ad augem mediocrem epicycli, & quod dicta aux mediocris mutet di$tantiam à vera propter motum epicycli, quod nunc quidem parui refert, in quibus diebus. 69. cen- EPISTOLAE. trum epicycli conficit gra. 36. min. 13. ad rationem $upradictam. Re$tat nunc no- bis inuenire angulum. b. o. c. in centro mũdi inter duas lineas, b. o. et. c. o. quarũ prior e$t primæ $tationis, altera e$t veri motus epicycli, quod facilè intelligemus per di- ctam. 49. lib. 1. Monteregij, cum duo latera. n. c. et. c. o. & angulus. n. c. o. $int nobis no ta. Hoc autem fiet fingendo lineam. n. h. perpendiculerem ad. o. c. quæ tanquam $i- nus anguli. n. c. h. erit partium. 28986. talium qualium. n. c. e$$et partium. 100000. & c. h. tanquam $inus anguli. c. n. h. re$tantis ex vno recto, erit partium. 95706. dicendo po$tea $i. n. e. tanquam $inus totalis partium. 100000. dat nobis. n. h. partium. 28986 quid dabit nobis diameter. n. c. tanquam partium. 39. mi. 30. inueniemus. n. h. venire nobis ex partibus 11. mi. 27. & idem faciendo de. c. h. inueniemus quod veniet no- bis partium. 37. mi. 48. quibus $ubtractis extota. c. o. qu{ae} e$t partiũ. 60. mi. 18. reliqua erit nobis. h. o. partium. 22. min. 30. capiendo po$tea radicem quadratã $ummæ qua drati. n. h. cum quadrato. h. o. veniet nobis. n. o. partium. 25. min. 12. talium qualis. n. h. e$t partium. 11. min. 27. $i igitur ad. o. n. tanquam partium. 25. min. 12. re$pondet. n. h. partium. 11. minuti. 27. linea. n. h. ad. o. n. tanquam partium 100000. re$pon debit part. 45436. tanquam $inus anguli. n. o. h. qui angulus erit gra. 27. minut. 1. $ub tracto po$tea hoc angulo ab angulo. c. o. i. graduum. 40. minut. 55. remanebit an gulus. n. o. i. graduum. 13. minut. 54. inter lineam contingentiæ, & lineam primæ $tationis in eiu$modi $itu. Et ideo Mars acce$$erit ad lineam. o. c. veri motus epi- cycli. Sed quia linea. o. i. contingentiæ, propter motum centri epicycli, in dictis die- bus. 69. confecerit gradus. 36. minut. 13. ( præ$uppo$ita $emper eadem di- $tantia. o. c. quamuis nonnulla $it differentia, quam nunc prætermittemus ) & Mars in dicto tempore retrogre$$us fuerit per dictum angulum gra. 13. mi. 54. quibus dedu- ctis, ex. 36. & min. 13. re$tabunt gra. 22. min. 19. itaque in diebus. 69. Mars promo- tus fuerit a primo $itu gra. 22. min. 19. aut circiter, prius quam retrogradatio eius in- cipiat e$$e appa- rens.

Nunc à prima $tatione v$que ad lineã veri motus epicycli $unt gra. 16. min. 51. ip$ius epicycli, vt $upra vidim<_>9 quos Mars tran$it in diebus 36. aut circiter ad rationem min. 28. in $ingulos dies, quo tempore cen trum epicycli, in tali di$tantia à c\-e- tro mundi confice ret gra. 18. mi. 54. ad rationem min. 31. cum dimidio in $ingulos dies, quib<_>9 deductis ex gra. 27. min. 1. an- IO. BAPT. BENED. guli. c. o. n. remanebunt gra. 8. min. 7. pro numero dimidiæ retrogradationis quum Mars erit in linea. o. c. veri motus epicycli. Quibus gradibus. 8 min. 7. $ubtractis à grad. 22. minu. 19. per quos Mars progre$$us erat, $upererunt grad. 14. minut. 12. quibus ip$e in media retrogradatione exi$tens in linea. o. c. veri motus epicycli pro- motus erit à principio primi $itus. Quod cum eo concordat quod $upra diximus cir ca hos gradus. 14. min. 12. vltra primum $itum in $patio dierum. 105. vt $upra, ad tã tum enim a$cendunt. 69. et. 36. nunc fingendo {quis} Mars pergat in $uo motu compo- $ito qui con$tat ex his duobus circulis, vi eccentrici, & epicycli ( quanquam vt dixi omittimus illam $ummam $ubtilitatem $eu $crupulo$i atem cõtinuæ inæqua- litatis di$tantiæ centri epicycli à centro mundi, & præterimus etiam irregularitat\-e eius circa centrum mundi, propter regularitatem eius circa centrum æquantis, atque etiam mi$$um facimus motum epicycli recti à $ua media auge ) fingendo inquam, quod Mars dicto motu $uo pergat, v$que ad punctum $ecundæ $ta- tionis, præteribunt alij dies. 36. vt prius, quibus iunctis cum. 105. fiet $um- ma dierum. 141. & Mars retrogre$$us erit per alios grad. 8. minut. 7. quibus $ub- tractis a gradibus. 14. m in. 12. per quos progre$$us erat $upererunt. gra. 6. min. 5. qui bus ip$e Mars in fine $uæ retrogradationis promotus erit à primo loco vnde moueri cœpit. Inter hanc igitur $ecundam $tationem lineæ. o. u. d. & lineam. o. t. $ecundæ con tingentiæ, Mars diebus. 69. vt prius, confecerit gradus. 32. min. 14. $ui epicycli, & eo- dem tempore linea contingens. o. t. ambulauerit gra. 36. min. 13. vt prius, à quo itine re $ubtracto angulo $ecundo. d. o. t. graduum. 13. min. 54. $upererunt gra. 22. min. 19 vti prius, quos Mars ambulauerit directè & apparenter, quibus additis ad gra. 6. mi nut. 5. quibus Mars progre$$us erat à principio motus, fient gra. 28. min. circiter. 24. quibus proce$$erit à priori loco in diebus. 177. ide$t in. 141. et. 36. qui $unt ferè m. n $es. 6. Itaque Mars partim $ur$um partim, deor$um ambulans detentus erit m\-e$ibus 6. in grad. 28. Zo- diaci, atq; $i finxe rimas quod epicy clus mouea\~t ver- $us oppo$itum au- gis, lõgior erit mo ra planetæ in eiu$ modi duodecate- morio, propter au gumentum æqua- tionis argumenti. Itaque probata à nobis e$t po$$ibi- litas huius moræ Mattis. Quod qui dem mihi $uffice- re videtur nõ mo- do cibi, $ed etiam cuiuis, qui harum $cientiarum prin- cipia teneat. Ne- que enim nũc do- cere volo eos qui EPISTOLAE. in ijs $unt con$umati, nec curam mihi $u$cipere erudiendi imperitos. Satis igitur $it o$tendi$$e, quod qui $crip$it Martem commorari po$$e tam multos men$es in vno $i gno, non impo$$ibilem rem tradidit. Immo per ob$eruationes huius veritatis mil- lies factas, A$trologi fecere $upradictas $uppo$itiones nece$$arias ad reduc\-edum in $uas cau$as, & ad regulam, eiu$modi veri$$imos effectus.

Non oportebat autem $criptorem harum animaduer$ionum tantopere eiu$modi mora commoueri, $ed cogitare {quis} forta$$e calculi facti fuerunt eo tempore quo mi- $er Mars à Vulcano rete vinctus erat. Vnde cum nonita celeriter $e expedire po$$et iter eius $egnius peractum fuit. Aut {quis} quũ vulneratus fuit in bello Troiano, vis eius & agilitas per aliquantulum temporis imminuta fuit. Atque $i hic etiam intellexi$ $et eum aliquãdo fui$$e in pote$tate Othi, & Ephialtis vinctũ & carceri inclu$um m\-e- $es tredecim, dum ab Eribea $olutus fuit, vt tu, antiquos $equens, eleganter $cribis in illis tuis pulcherimis dialogis. non exi$tima$$et, credo, tam ab$urdum quod alius eũ detinui$$et $ex aut $eptem men$ibus, $ed operam dedi$$et vt a te intelligeret quid $ibi vellet tam longa captiuitas.

Sed vt ad rem redeamus. Idem pag. 4. ait, quod verus motus Martis di$tat à me- dio circiter dies. 8. $upponens medium motum e$$e dierum. 683. {quis} etiam fal$um e$t. Sed vtcunque $it, fallitur. Solet enim periodus veri motus Martis e$$e die- rum circiter. 708. modo paulo plus, modo paulo minus, & interdum pote$t etiam e$$e multo breuior, $icuti erit à die 3. Decembris anni. 1593. v$q; ad initium Iunij. 1595. Tunc enim erit tantum dierum. 545. & non quidem $ine ratione, nam dicto initio Decembris Mars paulo ante cæperite$$e directus, cum centrum epicycli erit circa medium Tauri, & eius $tella in principio Arietis & initio Iunij. 1595. Mars pa rum di$tabit ab initio retrogradationis, regre$$us tamen ad initium ip$ius Arietis, & centrum epicycli erit circa medium Aquarij, in cuius $igni medio, hac ætate repe- ritur oppo$itum augis, & in quo $itu, æquationes argum\-eti $unt, quam maxim{ae} e$$e po$$int, quum centrum epicycli circuiuerit $olum circiter tres quartas totius ambi- tus, & Mars circuiuerit per partem $uperiorem epicycli circiter gradus. 252. Hoc au tem dico, vt o$tendam po$$ibilitatem huius eius extraordinariæ velocitatis. Nam quicunq; voluerit poterit certior fieri, per calculum partium motus Martis.

Vbiautem po$tea idem author miratur interualla, quæ ponũtur inter coniunctio nes Iouis, & Martis in eodem $igno, ea\’q; vocat errores maximos, o$tendit $e non re ctè con$idera$$e motus eorum. Et præcipuè primum miratur {quis} inter annum. 1528. et. 1553. Iupiter & Mars nunquam coeant in Leone, cum hæ duæ coniunctiones in ter $e di$tent ann. 25. afferens pro ratione, quod hæc duo $ydera, altero quoque anno coniunguntur, $ic dicens.

Qui $ciet has duas $tellas $ecundo quoque anno inter $e coniungendas, mirabitur quomodo non poterunt numeratores, huiu$modi animaduertere errores.

Et præter hanc ration\-e forta$$e \-et con$iderauit, {quis} in dicto temporis interuallo Iu piter s\-eper fuit in Leone, vt ann. 1540. et. 1541. Mars aũt in eo $æpe fuit. Vnde im po$$ibile eilvidetur eos non conueni$$e in dicto $igno. Idem\’q; dici pote$t de alijs coniunctionibus eorundem planetarum, atque has differentias temporum inter di- ctas coniunctiones ip$e tribuit erroribus calculorum Ephemeridum, non autem ta- bularum, vt $upra dixit. $ed ne$cio quare vellet dictos planetas coire in Leone, $i quum Iupiter in eo erat anno. 1540. et. 1541. & in eo deambulaba\~t, Mars interea erat mõ in Libra, modo in Scorpione, Sagittario, Capricorno, & alijs $ignis v$q; ad Cancrum, in quo cum repertus fuit anno. 1541. cogitans congredi cum loue in Leo IO. BAPT. BENED. ne, comperit eum inde aufugi$$e. Id\’q; forta$$e, Iupiter data opera fecit, vt huiu$- modi A$trologos in admirationem induceret.

Idem dico de alijs coniunctionibus horum duorum.

Quod po$tea ait, eos $ecundo quoque anno coniungi, animaduertendum e$t, <003>a (vt iã dixi) duæ $unt $pecies coniunctionum, quarum vna e$t linearum eorum me- diorum motuum, altera corporum eorum, $altem in longitudine, cum ambo inue- niuntur in eodem circulo, qui tran$it per polos ecclipticæ, nam eos inueniri in ead\-e linea recta trã$eũte per centrum mundi, raris$imum e$t. Atque coniunctio $upra di- ctarum linearum vocatur media, & inter Iouem & Martem fieri $olet $patio dierũ. 816. cum dimidio, aut circiter. Altera dici\~t vera, $iue apparens, & irregulati$$ima, quæ quidem non $eruat tempus determinatum. Quare quamuis altero quoq; an- no coniungantur; & Iupiter duodenis annis tran$eat per totum Zodiacum, non ideo nece$$e e$t, vt in $patio. 24. annorum coniungantur in $ingulis $ignis, nunquam in eo de$icientes, vtip$e credit loquens de veris coniunctionibus apparentibus, eo quod $int irregulati$$imæ, vt dixi.

Atque $i quis velit inuenire periodum coniunctionum mediocrium horum duo- rum planetarum, ita faciendum erit. Sumat periodum motus mediocris Iouis, qu{ae} e$t dierum. 4328. & Martis, quæ e$t dierum. 687. in quo tempore Martis, Iupiter am bulat gra. 57. min. 8. & diebus. 30. conficit. grad. 2. minut. 29. & $ecun. 23. ad ratio- nem gra. 360. in diebus. 4328. Mars verò ad rationem graduũ. 360. in diebus. 687. $ingulis. 30. diebus conficit. gra. 15. mi. 43. $ecũ. 14. vnde differentia inter eos e$t gra duum. 13. mi. 15. $ecũ. 51. per quam diuidendo productum graduum. 57. min. 8. in dies. 30. obueni\-et dies. 129. & duæ tertiæ. quibus addendo periodum Martis fient. 816. cum dimidio, aut circiter. Atque h{ae}c e$t periodus infallibilis mediarum con iunctionum Iouis cum Marte.

Nunc venientes ad tabulas Animaduer$ionum, videbimus hæc mirabilia eius, in quo con$i$tant & vbi $int tam multi in$ignes errores.

Primum igitur neminem later quod calculus Saturni, à Leouitio editus, difert à calculo Stadij circiter gra. 2. aut. 3. cum Leouitius faciat eum progredi per tãtum in teruallum, modo plus, modo minus, & $imiliter Iouem. $ed longe minori diffe- rentia, & ${ae}pe gra. 1. minus, atque in alijs planetis differunt, modo plus, modo minus. Huic igitur mirũ videtur, quod vnus ex his calculatoribus detineat Saturnum plu- ribus men$ibus in vno $igno, & alter in alio, non animaduertens dictam differentiã e$$e eius rei cau$am. Miratur item, quod vnus ex is faciat Saturnum morari paucis men$ibus in vno $igno, alter vero eum ibi detineat integris annis. Vt exempli gra- tia, ver$us finem $uæ tabulæ Saturni, dicit quod Leouitius eum carceri includit in geminis annis. 2. men$e vno, & diebus. 9. Stadius vero clementior eum liberat intra men$es. 3. & dies. 14. Sed hic non cogitat, quod Stadius facit eum ingredi in gemi- nos anno. 1559. die. 10. Iunii, & ambulare directum v$que ad diem. 6. Septembris, eiu$dem anni gra. 6. min. 34. eum\’q; po$tea retrogradum inde exire die. 22. Decem. eiu$dem anni, cum ingreditur in Taurum, vbi partim retrogradus, & partim dire- ctus manet v$que ad diem. 20. Februa. 1560. rediens po$tea in geminos, in quibus manet v$que ad diem Iunii. 1561. & inde ingreditur in Cancrum, ambulat\’q; dire- ctus. gra. 4. min. 59. v$que ad diem. 4. Octob. Vnderetrogradiens rur$um intratin Ge minos die. 28. Decemb. eiu$dem anni, at que ibi partim retrogradus partim directus manet v$que ad diem. 12. Apr. 1562. itaque in pluribus vicibus facit eum morari in Geminis dies circiter. 816. ide$t circiter men$es. 27. $ump$it autem hic $criptor bre EPISTOL AE. ui$$imam moram cau$a comparationis cum calculo Leouitij, vt faceret differentiam apparere maiorem. Tamen in quouis dictorum temporum nunquam inuenietur Leouitius differre à Stadio plus gradibus tribus integris. Idem fecit in multis alijs lo cis dictorum virorum eos conferens tum in Saturno tum in Ioue, & Marte, putãs ma gnum e$$e errorem, {quis} planeta non perambulet totum $ignum, in quod e$t ingre$$us vel directus vel totum retrogradus. Atque hæc opinio $imilis e$t $uperiori de con iunctionibus veris Saturni, & Iouis, vbi dicit quod nunquam coniunguntur in vno $i gno alterius triplicitatis, ni$i perfecerit coniunctionem in omnibus $ignis primæ tri plicitatis. Verum vt $uper$edeam vlterius di$putare, mihi videtur, quod hactenus dixi, po$$e tibi $atisfacere, quod attinet ad $ciendam $ententiam mean $uper dictis Animaduer$ionibus latinè $criptis. Hoc tamen non prætermittam, {quis} hic non ani- maduertit, n\-epe {quis} differ\-etiæ locorum planetarũ quæ sũtinter ephemeridas Leouitij & Stadij, euenere, quia vnus $upputat cũ radicibus, & fundam\-etis Alfon$i alter verò Reinoldi ex Copernico recentius ob$eruatis, ita idem euenire poterit futuris tem- poribus, $i $upputati fuerint dicti motus, & loci cum recentioribus ob$eruationibus cum impo$$ibile $it tam $ubtiliter, tan\’que perfectè $upputare loca & mot<_>9 eorum, vtlungo interuallo temporis non comperiantur in eis aliquæ differenti{ae}, cuius rei re medium e$t $emper $equi recentiores ob$eruationes & tabulas.

Atque vt tibi $atisfaciam etiam circa alia $cripta vulgari lingua edita men$ibus. 4 po$t latina, et$i intelligere potes, qualia po$$int e$$e alia eius $cripta, ex ijs quæ $upra dicta $unt, atque etiam ex eo, quod dicit $emi$i$$e multa exempla $uarum Animad uer$ionum in varias terras, illis qui profitentur has $cientias, aut earum $tudio$i $unt, nec quenquã inueni$$e qui ad tã laudabilem prouinciam motus $it, nec vidi$$e, {quis} ali quis re$ponderit eius rationibus; laudabilem prouinciam, autem puto, {quis} intelligat correctionem ephemeridum, verens, ne culpa calculatorum, qui eas $ump$ere e ta- bulis, tam differentes $int, vt quibu$dã locis cap. 1. Videtur, & præcipuè vbi $ic ait.

Perche e$$endo impo$$ibile alli $tudio$i di dette $cientiæ di non $eruir$i delle ephemeridi, maggiormente a quelli che non $anno $eruir$i delle tauole, e cono- $cendo d'incorrere in errori $enza hauerui altro rimedio, $arebbono forzati di ab bandonare i $tudij loro.

Quanquam circa finem dicti capitis redeat in meliorem viam & aduer$etur $i- bijp$i vbi $ic ait.

Che poi e$$i po$$e$$ori della $cienza, & c.

Etiam aperiam tibi, quæ mea $it de ijs $ententia.

Hicigitur in $criptis Italicis, vt morderet aliquem ex ijs, qui eius $uperiora $cripta non laudauerant, occa$ionem capit aperiendi aliquos illius errores, per editionem collationis quorundam calculorum a $e collectorum illius, atque etiam aliorum, cu ius calculi $unt in $ecunda, & $eptima figura. Sed prius quam veniamus ad defen$io nem harum duarum figurarum vide ob$ecro quam alienum ei videatur, quod alij dixerint differentiam ephemeridum non e$$e magni momenti, non afferens re$pe- ctum vllum, qui enim dixerunt eiu$modi differentiam non e$$e magni momen- ti id dixerunt habito re$pectu ad $ignum in quo e$t planeta, vt (exempli gra- tia) quamuis in ponendo loco Saturni Leouitius interdum differat à Stadio gra dibus. 3. quum vterque eum ponat in eodem $igno, tuncid nullius momenti e$t, & $ic in coniunctionibus aut alijs a$pectibus duo, aut. 3. gradus non faciunt alteratio nem $en$ibilem, cum virtus coniunctionum, & a$pectuum in$it, & duret per mul- tos gradus ante aut po$t ip$um punctum. Nec quicquam tam\-e e$t qui dubitet, quin præ$taret $cire $ubtiliter ip$um punctum. Nec vnquam fuit aliquis qui negauerit re IO. BAPT. BENED. ferre vt anni directionum corre$pondeant gradibus æquatoris. Et præterea in ephe meridibus videntur certè motus & a$pectus luminarium, quamuis in$it differ\-etia mi nutorum. Nam non differunt gradibus, præter $itum parum di$tantem à vero om- nium planetarum, quorum cognitio in cœlo, quamuis circa eorum locum error e$- $et gra. 10. tamen in hoc prode$$et, & tempus a$pectus eorum, et$inon diei præcisè, quia influentia eiu$modi a $pectuum, præterquam Lunæ durat multis diebus, & non vno tantum. præterquam quod ip$æ ephemerides o$tendũt nobis tempus ecclip$iũ, in quo certènon differunt nec diebus nec multis horis, & itidem multa alia.

Non $unt igitur contemnendæ ephemerides, nec habendæ pro re nullius pretij, vt hic ait.

Quod attinet ad illa alia, quæ hic vocat errores ephemeridum, tam de apparenti coniunctione Saturni cum Ioue in $ignis alterius triplicitatis prius quam per{ae}gerit præcedentem, quam de faciendo currere Saturnũ, & de retinendo Ioue, de detin\-e do Marte. 6. aut. 7. men$ibus in vno $igno, de Marte, & Ioue non coeuntibus $ingu- lis. 24. annis in quolibet $igno, & cius generis alia, minime verum e$t quod $int er- rores, quamuis huic præbuerint occa$ionem toties errandi.

Comparatio po$tea inter eius calculos $umptos partim ex tabulis Iunctini, & par tim ex ephemeridibus Stadij tan quam calculis Copernici, & calculos figurarum $u- per eis po$itarum $upputatarum à diuer$is per ephemeridas Alfon$inas, etiam pro- po$ita ab eo e$t ad o$tendendum magnam & mon$truo$am differentiam, vt ait cap. 2. vbi miratur, quod cum ex communi $ententia calculi Copernici meliores $int, cal culatores dictarum figurarum potius eos $ump$erint à tabulis Alfon$i, quam Coper nici. Quæ admiratio quam aliena $it, con$iderandum permittam cuiuis intelligen- ti harum $acultatum, cum $æpe accidere po$$it. vt cum aliquis velit $cire $olum vni uer$alia alicuius gene$is, $iue natiuitatis, cum non inueniantur ephemerides Coper- nici, $ed tantum Alfon$i, calculator vtatur tantum ephemeridibus, quas inuenit, tũ cau$a vitandi tædij calculi tabularum, qui magni laboris e$t, pr{ae}cipuè in tabulis Pru tenicis Reinoldi. tum quia $uperflua ei e$t $umma $ubtilitas, cum non curet laborare circa directiones vt factũ e$t pro $ecũda figura ab hoc propo$ita, quæ erat anni. 1551 quo non inueniebãtur ephemerides Copernicæ, quæ non editæ $unt ante annum 1554. præter quam quod ille nobilis vir pro quo $upputata fuit dicta $ecunda natiui tas dubitabat de anno, vt hic $imiliter $cit. quare potui$$et perdi tempus, & labor, $i $upputata fui$$et per tabulas Reinoldi, nam Iunctini tabulæ nondum editæ fuerant. Calculus po$tea $eptimæ figuræ, qui erat reuolutio dictæ $ecundæ natiuitatis, duab<_>9 de cau$is non factus e$t per tabulas prutenicas, primum, quia eius anni. 1580. non inueniebantur amplius ephemerides Copernicæ. Ephemerides enim Stadij in- cipi\-etes ab ann. 1554. de$inũt ann. 1576. & cõtinuatæ po$tea quæ perueniunt v$que ad annum. 1600. non peruenere ad manus calculatoris ante hunc annum. 1581. Al- tera ratio e$t, quia in reuolutionibus, quoniam in eis non fiunt directiones, non po- nuntur à doctis, ne minuta quidem. quare non $olum non curant eas $upputare per tabulas, $ed nec exqui$itè quidem per ephemeridas. Calculi po$tea ab hoc $umpti ex tabulis Iunctini, & po$iti $ub dicta $ecunda figura, adeò rectè facti $unt, vt cum $e cundum ip $as tabulas oporteat Saturnum e$$e circa. 32. minutum gradus. 23. Aqua- rij, ip$e eum $cribat in gra. 11. mi. 3. dicti $igni. Iupiter $imiliter qui $ecundum dictas tabulas inuenitur circa finem gradus. 5. Cancri, ab eo ponitur in min. 28. gra. 19. eiu$ dem. ex quibus planetis Saturnus in figura po$itus e$t in min. 27. grad. 23. Arietis, Iu piter autem in min. 3. gra. 6. Cancri, Vnde $ecun dum verum, inter calculum Alfon EPISTOLAE. $i & Iunctini in Saturno non erat differentia plus quam minu. 5. & in Ioue min. 4. $ed $ecundum calculum huius in Saturno fui$$et differentia gra. 11. minu. 54. & in Ioue grad. 13. min. 35. Atque hæ $unt quidem differentiæ magnæ, & mon$truo$æ vtip$e eas vocat, vt etiam e$tilla Veneris, & Mercurij inter tertiam figuram, & eius calcu- lum $umptum, non quidem à tabulis laborio$is, $ed à $implicibus ephemeridibus Sta dij, quæ differentia nõ e$t quidem paucorum graduum, cum $it tertiæ partis cœli in quolibet dictotum planetarum. Huiu$modi\’q; mon$tra certè non $unt orta à ta- bulis $iue ephemeridibus diuer$is, $ed $unt partus huius authoris.

Pergens po$tea a$$iduè bonus hic vir hominibus dare $pecimen doctrinæ $uæ ape riendo (vt conatur) aliorum errores, proponit duas differentias inter primam fi- guram, & $uum calculum $uppo$itum Saturni, & Iouis. Primum de Saturno ait, {quis} cum differentia $it gra. 1. min. 30. o$tendit in directione, {quis} accidens $it euenturum anno vno, & men$ibus $ex ante, aut po$t, qua$i eiu$modi differentia e$$et partium æ- quatoris, $icuti e$t partium Zodiaci. Idem dico de differentia Iouis. Quod quidem, manife$tum e$t inditium $cientiæ $uæ, & quantum ea intelligat de quibus loquitur.

Quod po$tea attinet ad differentiam inter Copernicum & Alfon$um, circa Sol\-e, nullus e$t harum $cientiarum peritus, qui id ne$ciat, & $imiliter de differentia $itus c{ae} li in reuolutionibus annuis.

Quod vero ait $eptimam $iguram malè $upputatã fui$$e, $i non e$t maximus cer- tè non e$t minimus mon$truo$orum eius errorum. Vbi itidem videri pote$t, quam alienus hic $it ab hac $cientia. Nam $i $altem cura$$et $ibi ab aliquo $upputandum locum Solis per tabulas Alfon$i in in$tanti minutorum. 36. pomeridianorum, certior factus e$$et quod in illo puncto Sol inueniebatur in minu 54. grad. 11. Geminorum, ide$t præterierat gra. 10. cum min. 54. vel $i cura$$et $ibi inueniendum tempus, per dictas tabulas cum grad. 10. min. 54. Geminorum vt faciendum e$t, $equendo tam\-e Alfon$um, & non per calculum Solis po$itum in ephemeridibus, vt parum periti fa cere $olent, vidi$$et {quis} inuenta e$$ent min. 36. pomeridiana. Leuis tamen occa$io hu ic fuit $u$picandi eiu$modi tempus e$$e fal$um, quod viderit in illa figura Sol\-e po $itum e$$e cum gra. 11. & non cum gra. 10. min. 54. non animaduertens ita notatum fui$$e Solem vt omnes alios planetas, $cilicet $ine minutis, quum, vt dixi, in reuolu tionibus non adhibeatur tanta $cruplo$itas.

Quod deinde ait, in illa figura Solem po$itum e$$e in decima domo, & non in. 9. id relinquam iudicio eorum qui $ciunt numerare domos, $altem po$ui$$et authori- tate $ua Solem in dicta decima diuersè ab exemplo ei dato ab amico, vt o$tenderet $e dicere verum, vt in $ecunda figura di$crepat ab ip$o exemplo in collocando Leo- ne, Virgine, & Libra, & Scorpio, quos malè locauit, & $i alii bene $e habent.

Atque quod hactenus à me dictum e$t, $atis $it ad intellig\-edum quale $it reliquũ dictæ eius di$putationis. Sienim velim pergere notare omnia eius errorum loca, e$ $et mihi inanis labor, & tibi nimia mole$tia. Et quamuis non defuerint præ$tanti$$i- mi viri, qui vi$is eius $criptis familiariter eum monuere, & tu ip$e, vt audiui, cum in- $trum\-eto theoric{ae} in manib<_>9 ei o$t\-ederis quo mõ Mars po$$it morari amplius $ex m\-e $ibus in vno $igno. & præterea cum iam ab initio Taurinum aduenit, mecum com- municauerit illa $ua prima $cripta, ego\’q; eum monuerim, quod in varijs reb<_>9 falleba tur, di$$ua$erim\’q; ne ea imprimenda curaret, quia nullum honorem inde referret, eum hortans, vt potius alijs rebus operam daret, atque ei dixerim quod ad animad- uer$iones differentiarum ephemeridum attinet, quod id iam o\-es animaduerterant. Mihi re$pondit $e decreui$$e illa edere, vt po$tea fecit, & tot admonitionibus non IO. BABPT. BENED. acquie$cens, die. 11. Augu$ti edidit chartam illam impre$$am inuitans ad di$puta- tionem quotquot adh{ae}rerent contrariæ $ententiæ, volens $u$tinere Mart\-e non po$ $e commorari in vno $igno amplius duobus men$ibus, $upponens partem princi- piorum ab omnibus admi$$orum, & in fine paginæ exponens modum, quo vtitur ad probationem $uæ intentionis. Puto autem quod$ecum ratiocinabatur de Marte, vt fecit de Saturno in $cripto latino, hoc modo. Si Mars in duobus annis ambulat per omnia 12. $igna, nece$$e e$t igitur, vtin men$ibus duobus ambulet per vnum $i- gum, cum men$es. 2. $int duo decima pars annorum duorum. Sedibi $tatim in ip$o initio commitcit errorem graduum ferè. 7. dicens, quod medius motus Martis inue- niebatur $ignorum. 4. & gra. 17. cum eo tempore dictus medius motus non e$$et reue ra plus quam $ign. 4. grad. 10. mi. 36. verum hoc ad ea, quæ $equuntur exigui e$t mo menti. Is po$tea particulatim colligit medium motum Martis ad diem. 29. Mai an- ni. 15 14. quem ait e$$e $ignorum. 9. gra. 27. min. 53. & tamen reuera erat tantũ $igno rum. 9. gra. 21. mi. 29. $ed mi$$um faciamus etiam hunc errorem tanquã à primo pen dentem. Cum deinde ibidem ponit centrum epicycli, $imiliter errat, nam centrum epicycli nunquam poni debet vbi e$t linea medij motus, ni$i $it in auge, aut in oppo$ito aug is eccentrici, quia debebat collocare ip$um centrum tãto po$t linecã medij motus, quanta erat æquatio centri, quia medium centrum Martistunc erat mi nus $ignis $ex, & aux eccentrici eius erat in $exto minuto grad. 16. Leonis. Tamen hoc etiam leue e$t. Præ$upponamus igitur quod centrum epicycli c$$et in grad. 28 Capricorni, vt ip$e credidit, ide$t gradibus. 7. vlterius quam erat reuera. Ait po$tea $e comperi$$e Martem ambula$$e $igna. 4. & grad. 22. eius epicycli, $ed non explicat an intelligat de argumento medio, an de vero, quod vocatur æquatum, nam $i intel ligatur de medio, hoc e$$e non pote$t, cum mediũ e$$et $ignorum. 4. gra. 24. mi. 35. $ed $i intelligatur de vero, vt iure credendum e$t (alioquin etiam erra$$et) cer- tè fal$um e$t. Nã, verum, erat $ignorum. 4. grad. 29. minu. 39. Itaque Mars non di- $tabat à linea veri motus epicycli amplius gradibus. 30. & minu. 21. ip$ius epicycli, & æquatio argumenti$ecundo correcta erat gra. 44. minu. 2. à quo $ubtracta æquatio ne centri, quæ erat gr. 5. minu. 4. (cum centrum epicycli deberet tanto $pacio e$$e po$t lineam medij motus quantum $upra dixi) $upererant gra. 38. minu. 58. adden- di gradibus, & minu. medij motus, qui cum reuera e$$ent grad. 21. & minu. 29. Ca- pricorni, perueniebant ad minu. 27. grad. 1. Pi$cium. Sed præ$uppo$ito $ecundũ ip$um, quod medius motus e$$et grad. 28. Capricorni, & quod Mars e$$et non $olũ vbi hic ait, $ed etiam in prima linea contingentiæ epicycli, ide$t in prima linea ma ximæ æquationis argumenti, & præ$uppo$ito etiam quod dicta æquatio e$$et æqua- lis illi, quam haberet ad medium Aquarij $cilicet grad. 47. quum centrum epicycli e$t in oppo$ito augis, manife$tum e$t, quod eiu$modi linea contingentiæ non tran$i ret vltra grad. 15. Pi$cium, & tamen hic ait, quodlinea veri motus Martis vadit ad grad. 16. Arietis. vnde oporteret, quod æquatio argumenti e$$et plus quam grad. 78. Quod $i verum e$$et, &. o. c. etiam e$$et partium. 54. $ecundum di$tantiam pro- ximiorem centro mundi, $emidiameter epicycli e$$et eiu$modi partium. 52. minut. 49. & quum Mars e$$et in. g. ide$t in oppo$ito veræ augis epicycli, dum centrum epi cycli e$$et in eiu$modi di$tantia à terra, di$tantia. o. g. ide$t à terra ad Martem non e$$et plus, quam vna $ola pars ex dictis, cum minut. 11. cum partes. 52. minu. 49. ad. 54. $int vt $inus anguli gra. 78. qui e$t partium. 97814. ad $inum totalem partium 100000. Nam iam $upra dixi, quod triangulus. o. c. i. e$t rectangulus. Hinc $eque- EPISTOLAE. retur, quod in in- teruallo. o. g. vni<_>9 partis, & min. 11. re$pectu. o. c. par- tium. 54. Colloca retur $emidiame- ter terr{ae} cum $pi$- $itudine aeris, i- gnis, c{ae}lorum Lu- næ, Mercurij, Ve- neris, & Solis, pr{ae} terquam quod vt inter Solem, & terram $unt circa 605. diametri ip $ius terræ, inter terram, & Mar- tem cum e$$et in auge $ui epicycli, & epicyclus in au ge eccentrici, in- uenirentur cir-- ca. 60000. dia-- metri eiu$dem ter ræ, & tamen ea di$tantia $iue interuallum non pote$t continere. 5000. diametri ter- ræ. Et quod plus e$t, hic tam va$tum facit hunc $uum epicyclum, vt ambiente Mar- te per inferiorem eius partem, nece$$e ei e$$et manere in vno duodecatemorio mul- to plus quam. 7. aut. 8. men$. vnde hic multo magis miraretur quam prius. Hinc cer- nere licet quam rectè facti $int hi eius calculi.

Vt autem etiam hinc aliqua vtilitas capiatur (prætermi$$is inconuenientibus vna cum fal$is $uppo$itis huius) Videamus ordine $cientifico vbi poterat e$$e verus lo- cus Martis, aut vero proximus, die. 29. Mai anni. 1514. quem hic exempli cau$a $u- mit. Id\’q tam ad defen$ionem tabularum Alfon$i, quam ephemeridum ex eis col lectarum. quæ quidem exactæ $unt, vt qui$que peritus $acile videre poterit, non au- tem calculatæ à tam $tupidis hominibus, vt à vero aberrent etiam gradibus. 46. vt hic ait $e depræhendi$$e.

Primum igitur $upponemus eo$dem illos terminos, quos ip$e nec d@bet, nec po te$t negare, præter ea quæ $upra $uppo$ita $unt, nempe quod $emidiameter epicycli $it partium. 39. minu. 30. & eccentricitas partium. 6. talium qualium e$t $emidiame- ter deferentis diui$us in. 60. & quod dicto tempore aux eccentrici Martis e$$et cir- ca minutum. 5. grad. 16. Leonis, $cilicet graduum. 135. min. 5. & quod linea motus mediocris e$$er circa minu. 30. gradus. 22. Capricorni, & quod verum centrũ Mar tis e$$et grad. 151 minut. 20. & quod argumentum verum e$$et grad. 149. minu. 39. atq; ita o$tendam, neque tabulas, neque ephemerides errare, ne quidem vno gra- du, ac ne quidem multis minutis, non modò tam mon$truo$a differentia, vt ip$e ait.

Quare primum nobis $cientificè inueniendum e$t, quanta e$$et di$tantia. o. c. IO. BAPT. BENED. præci$e ide$t interuallum inter centrum mundi, & centrum epicycli Martis in huiu$- modi $itu.

Fingemus igitur eccenticum Martis $ignificatum per. p. c. m. cuius centrum $it. r. & lineam augis. p. r. o. m. in qua centrũ mundi $it. o. centrum autem verum epicycli, comprehendatur ab angulo. p. o. c. qui $it graduum. 151. min. 30. $ecundum $uppo$i- tum. Quare in puncto. c. erit centrum epicycli. Imaginemur ergo. c. o. productam à parte. o. quou$que ab. r. centro deferentis veniat linea. r. k. perpendiculariter, faciens angulum rectum in puncto. k & quoniam angulus. r. o. c. datur nobis graduum. 151. min. 30. ideo cogno$cemus angulum. r. o. k. tanquam reliquum ex duobus rectis, qui erit gra. 28. min. 30. & $imiliter angu- lum. o. r. k. tanquam re$iduum vnius recti, qui erit gra. 61. min. 30. cuius $i- nus ide$t. o. k. erit partium. 8788 1. et. k. r. vt $inus anguli. r. o. k. partium. 47715 talium qualium. o. r. e$$et 100000. $ed vt. o. r. e$t. 6. latus. o. k. erit. 5. & min. 16 et. r k. partium. 2. min. 52. & quia. r. c. c$t partiũ 60. eiu$modi, $i ab eius qua- drato $ubtractum fuerit quadratum ip $ius. r. k. reliquum erit nobis quadratũ ip$ius. k. c. cuius radix, ide$t. k. erit par- tium. 59. min. 56. à qua. c. k. $ubtrahen- do po$tea. k. o. partium. 5. minu. 16. re- manebit. o. c. partium. 54. min. 40. pro di$tantia quæ$ita.

Fingamus po$tea epicyclum. f. n. g. in quo argumentum verum graduum. 149. minu. 39. $it arcus. f. n. vbi Mars inueniatur in. n. per quem punctum tran$eat li- nea. o. n. veri motus Martis. Deinde inueniamus angulum. c. o. n. æquationis argum\-e ti, modo iam dicto, ide$t ducendo $inum. n. h. arcus. n. g. qui arcus tanquam reliquus argumenti veri, iam præ$uppo$iti, ex dimidio circulo, erit graduum 30. minu. 21. & n. h. eius $inus partium. 50528. $inus $imiliter anguli. n. c. h. et. c. h. tanquam $inus an- guli. c. n. h. re$tantis ex uno recto grad. 59. minu. 39. erit partium. 86295. taliũ qua- lium. c. n. $inus totus e$$et partium. 100000. $ed vt partium. 39. & min. 30. $inus. c. h. erit partium. 34. min. 5. et. n. h. partium. 19. mi. 57. reliquum po$tea. h. o. ex. o. c. par- tium. 20. min. 35. quia iam $upra inuenimus. o. c. e$$e partium eiu$modi. 54. minu. 40. vnde. o. n. vt radix quadrata $ummæ duorum. n. h. et. h. o. erit partium. 28. minu. 41. talium qualium. n. h. inuenta fuit partium. 19. min. 57. quæ. n. h. erit po$tea partium, 69552. talium qualium. n. o. partium. 100000. & $umpta dicta. n. h. vt $inus dictarum partium, dabit nobis angulum. n. o. h. quæ$itum gra. 44. min. 4. qui per tabulas Alfon $i inuentus e$t gra. 44. min. 2. par huic, vt dici pote$t. Quiangulus gra. 44. minu. 4. collectus cum angulo veri centri iam $uppo$ito graduum. 151. minu. 20. & cum an- gulo augis eccentrici Martis, $imiliter $uppo$itæ grad. 135. min. 5. dabit nobis $um- mam veræ di$tantiæ Martis à principio Arietis grad. 330. min. 29. quod aliud non $ignificat, ni$i quod Mars inuenietur in minu. 29. primi gradus Pi$cium. Et Stofle- rus in $uis ephemeridibus ponit eum in. 22. minuto dicti primi gradus, cuius diffe- EPISTOL AE. rentia à tabulis e$t minut. 5. tan tũ, & à meo cal- culo min. 7. vide licet minima.

Nunc autem nolui $umere ip- $um angulum æ- quationis à tabu lis propter duas rationes, primũ quia ne hic qui- dem repræhen- for in hoc voluit credere dictis ta bulis. Sed id vo- luit videre pro- prijs oculis ĩ $ua theorica Martis. Vbi ĩuenit quod linea. o. n. tran$it per gra. 16. Arie tis. Secunda ra- tio e$t, vt videa- tur quod dictæ tabulæ rectè $upputatæ $unt, $uper dictis $uppo$itis.

Sed vt videat quantus $it medius motus Martis die. 29. Mai colligit fru$tatim, {quis} eleganter colligere poterat, vna opera in columellis ip$ius medij motus eiu$modi $tellæ per eram eiu$dem temporis, quæ erat. 2. primarum $exagenarum. 33. $ecunda rum. 32. tertiarum, et. 52. quartarum.

Primum deinde $uppo$itum quod $cribit, $cilicet, quod diameter epicycli $um- ptus in longitudine media $it $ignorum. 2. & grad. 19. vti $uperfluum e$t, ita etiam fal $um, nam eiu$modi diameter in dicto loco, non occupat ad centrum mundi plus quã gra. 66. min. 28. ide$t $igna. 2. gra. 6. min. 28. quia proportio. o. c. ad $emidiametrum epicycli in eiu$modi loco e$t ut partium. 60. minu. 18. ad partes. 39. min. 30. qu{ae} du{ae} lineæ intellect{ae}, vt latera vnius trianguli rectanguli, habebunt pro ba$i aliam lineam partium $imilium. 72. mi. 5. Quæ intellecta vt $inus totus dabit $emidiametrum epi- cycli partium. 54798. tanquam $inum $ubiectum angulo gra. 33. min. 14. pro medie tate illius, quod quæritur.

Nec prætermittenda mihi videtur ratio, qua credere po$$umus, hunc cogi- ta$$e, quod diameter epicycli compleat $patium duorum $ignorum cum gradibus. 19 quæ quidem ratio alia e$$e non pote$t, ni$i quod cum i$te inuenerit, in com\-etarijs Theoricarum, $emidiametr um huiu$modi epicycli e$$e partium. 39 min. 30. talium qualium $unt. 60. illæ quæ $unt $emidiametri huius eccentrici, dictas igitur partes. 39 mi. 30. hic putauit e$$e gradus Zodiaci, & propterea dixit diametrũ huiu$modi epicy cli e$$e $ignorũ duorũ, & gra. 19. qui numerus. 79. duplus e$t numero. 39. cũ dimidio hoc autem dixit accidere in longitudinibus medijs, quia $i hic intellexi$$et de pro- portione horum duorum diametrorum, quæ e$t ut. 120. ad. 79. non $pecifica$$et lo- IO. BAPT. BENED. cum epicycli, cum ip$a proportio nullo modo alteratur exi$tente epicyclo vbi volue ris ip$ius circunferentiæ eccentrici, $ed angulus in centro mundi, cui $ubiacet dictus diameter epicycli, bene alteratur, propter inæqualem di$tantiam centri epicycli ab ip$o centro mundi. At $i de tali angulo inferre volui$$et, iam probaui ip$um cõ- tinere $olum gra. 66. minu. 28. exi$tente centro epicycli in longitudinibus medijs & non gra. 79. vt ip$e dicit.

Omitto po$tea, quod vbi mentionem facit coniunctionum Solis cum Marte au- gium & earum oppo$itorum, non explicat an intelligat de veris an de medijs. Nam $i ex eius modo loquendi accipiatur eum loqui de veris multum erraret.

Sed quia iam tibi mole$tum e$$e inciperet $i diutius te detinerem in his conten- tionibus a$tronomicis, vlterius non di$putabo. Satis enim hactenus explicaui $ent\-e- tiam meam, vt o$tendi$$e videor quam mihi iucundum $it tibi mor\-e gerere. In quo etiam hnmanitati tuæ gratiam habebo, quũ petitione tua occa$ionem mihi de deris efficiendi, vt tum amici tui (amant enim te omnia $ublimia ingenia) tum alij, $i quã fal$am opinionem ex huius Benedicti Altæuillæ $criptis $ump$i$$ent, eã relinquant, & per te hoc beneficium à me con$equantur, & huiu$modi occa$ionem, & iuuandi hominum $tudia & tibi gratum faciendi, honorificum, & per gratum mihi fui$$e in- telligant. Vale & me vt $oles ama.

Taurini pridie Kal. Octobris. 1581.

De probatione diui$ionis numerorum. AD EVNDEM.

INter alia quæ à me $cire cupis, vir docti$$ime, hoc vnum e$t, vt ex literis tuis ac- cepi, vnde $it vt pri$ci no$tri probatione numeri nouenarij potius quam $epte- narij v$i fuerint, & qua ratione non idem proueniat ex probatione numerorum octonarij, $enarij, vel quinarij, aut cuiuslibet alterius: Vnde pariter oriatur quod in partitionis probatione nece$$um $it probationum euentus multiplicare cum proba- tione diui$oris, ac eam quæ e$t producti po$tea cum probatione fractionis in $um- mam colligere, & c. Ad hæc in primis re$pondeo, cum aliquoties accidere po$$it ta les probationes nos fallere po$$e, id\’q; fi in tali $umma $imilis numerus, ut puta $e- ptem, aut nouem, plus vel minus æquo iu$touè po$itus fuerit, attamen per raro eueni re pote$t, vt quis per nouenarium potius quam per $eptenarium decipiatur. Exem- pli gratia, ponamus $ummam e$$e. 100. quam numerus nouenarius vndecies $olum ingreditur, at $eptenarius quatuordecies, vnde quis ${ae}pi<_>9 ex $eptenario, hacratione, quam ex nouenario numero $e po$$e errare facile depræhendet, ef$i ex probatione nouenarij magis quam $eptenarij, vt practici $cribunt, duabus de cau$is errare po$$i- mus. Alia tamen ratio mihi $uppetit, ob quam credibile e$t ip$os potius nouena- rio adiutos fui$$e, quam $eptenario, quæ e$t ob $ui cum velocitatem tum facilitat\-e, neq; enim in $eptenario e$t adeo facilis. Nã quamuis, tam vna quam altera aliud non $it, quam numerorum ordines diuidere ($i de $ummis primo loquamur) aut è $umma $uper$luum ordinum colligere, & videre an idemmet $uperfluum ex eadem $umma emanet, attamen cum modus, qui in hoc adhiberi pote$t in nouenario quã in $eptenario velocior $it, & ob id probationem nouenarij $eligunt potius quam $eptenarij.

EPISTOLAE.

Verum nolo te in ea, quæfal$a e$t, opinione con$i$tere, nonidem, & cum octona- rio, $enario, vel quinario, aut quouis alio numero po$$e efficere, cum eademmet ra tio, quæ in $eptenario, aut nouenario, \-et in cæteris perhibeatur. Ponamus exemplũ hos tres or dinum numeros velle $upputare, quorum primus $it. 679. $ecundus. 846. & tertius. 935. & illorum $ummã. 2460. nunc maiorem numerum primi ordinis ab octonario men$i, proijciendo, remanebit. 7. deinde maiorem numerum demendo à $ecundo or dine, re$iduum erit. 6. ac $i idem in tertio ordine fecerimus, erit nobis re- liquum. 7. Demum tria hæc re$idua in vnum collecta. 20. efficient, à quibus $i nume rum maiorem ab octonario men$um demp$eris, $upererunt. 4. & totidem à $umma. 2460. remanebunt, reiecto maiori numero ab octonario men$o. Atque idem me- dio quouis alio numero, euenire pote$t.

Cuius ratio tam per$e clara atque euidens e$t, quod $i $ummam trium reliquorũ, quæ e$t. 20. à $umma. 2460. $ubduxeris, remanebunt. 2440. pro $umma trium nume rorum dictorum trium ordinum ab octonario men$orum, cui numero addito. 16. pro maiori numero $umm{ae} reliquorũ, qui ab octonario men$us $it, $upererunt. 4. At $i per $enariũ experim\-etũ feceris, remanebit. o. & $ic de reliquis per ordinem proced\-edo.

Verum po$$es $ci$citari, quare velocius, exce$$us ordinum, potius per noue- nariũ, quam per cæteros numeros, prout doc\-et practici, inueniri queat, videlicet ag gregando prius duas figuras numerorum primæ $ummæ, deinde alias duas. Exem- plum $it primus ordo. 679. colligendo. 6. et. 7. faciunt 13. & cum hæc $umma $it dua rum figurarum, $upputantur & ip$æ, è quibus prodeunt. 4. & con$imilis erit proba- tio numeri. 67. facta per. 9. quod idem e$t, ac $i quis diuidat. 67. per. 9. ex quo reli- qui erunt $emper. 4.

At quo ratio huiu$ce per$picuè digno$ci po$$it, in primis $ciendum e$t, cuique ex $e cognitum, atque exploratum e$$e, denarium numerum vnitate nouenarium $u perare, & ex hoc $equitur, $ex denarios continere in $e $ex nouenarios, & $ex vni- tates.

At $ex vnitates, vna cum. 7. faciunt. 13. & quia in. 13. e$t denarius, igitur in illo erit vnitas $upra. 9. Quæ vnitas addita ternario, præbet nobis $uperfluum, per quod. 67. $uperat. 54. iunctum cum. 9. $cilicet $ummam. 63.

Idem dicinon pote$t de octonario, $eptenario, vel $enario, & de reliquis, quo- niam numerus denariorum, in cæteris minoribus nouenario non præbet illico nu- merum exce$$us maioris numeri, qui à numero probationis men$us e$t. Et quod di co de probatione aggregationis, idem intelligo de alijs operationibus, vt puta $ub- tractionis, multiplicationis, & partitionis $eu diui$ionis.

Vnde autem oriatur, vt in partitionis probatione opus $it probationem euentus cum diui$ionis probatione multiplicare, & productum cum fractionis probatione $upputare, $eu aggregare, tibi non erit ignotum, quoties animaduerteris, quod productum ip$ius euentus cum diui$ore, adiunctum fractioni, perpetuo $e æquat nu mero diui$ibili. Et quoniam numeri probationum $unt partes, quæ remanent ex ip$is totis, detractis maioribus numeris ab eo dimen$is, quo pro communi men- $ura vtimur (prout. 7. vel. 9. aut alium numerum, quem voluerimus) par e$t vt ex ip- $arum remanentibus partibus, velut ex ip$is totis idem fiat.

10. BAPT. BENED. De falacia operationis triangulorum $phericorum. AD EVNDEM.

QVod diebus præteris tibi $ignificaui, idem nunc confirmo, $cilicet $phærico- rum triangulorum operationem $æpe nos fallere, vt exempli gratia, $i pro po$itus nobis fui$$et triangulus. A. B. C. cuius angulus. A. nobis datus e$$et graduum. 114. mi. o. & eius latus. A. B, graduum. 67. min. 5. & latus. A. C. graduum. 45. mi. 10. $i reliquos angulos cum tertio latere etiam cogno$cere voluerimus, ex methodo. 11 primi Copernici propo$itum obtinebimus. vnde latus. B. C. e$$et graduum. 89. min. 30. angulus vero. C. graduum. 57. min. 14. angulus autem. B. grad. 48. min. 38. Qua- re vltimus hic angulus. B. fal$us e$$et, eo quod operatio paruorum triangulorum in cau$a e$t, quotie$cunque eorum latera tam breuia $int, ut non eccedant vnum gra- dum, quare ip$orum angulorum veram quantitatem non tribuunt. propterea igitur cum voluerimus veram quãtitatem ip$ius anguli. B. oportet po$t quam inuenerimus angulum. C. mediante arcu. D. E. $upponere alium polum in. B. deinde producere. B A. v$que ad. d. et. B. C. v$que ad. e. imaginando. B. d. et. B. e. duas quartas e$$e magno- rum circulorum, extendendo po$tea. d. e. v$que ad inter$ectionem cum. A. C. & eũ dem ordinem pro$equendo, tunc. e. d. nobis o$tendet angulum. B. e$$e gra. 40. mi. 22 quæ erit eius vera quantitas. Cuius quidem rei experientiam po$$umus etiam fa- cere, hoc modo, e$to, exempli gratia, quod nobis datus $it angulus. C. graduum. 57. min. 14. cum latere. A. C. gra. 45. min. 10. & latus. B. C. gra. 89. min. 30. Tunc $i ordi- nem. 11. dicti lib. $e quemur, obtinebimus intentum, hoc modo $cilicet $upponendo in. A. polum, & non in. B. ducendo etiam. A. B. et. A. C. $ed. A. B. v$q; ad gra. 90. du- cendo po$tea. D. E. ita quod ab omni parte concurrat cum latere. B. C. producto, vn de tam. f. C. B. F quam. f. D. E. F. erunt $emicirculi magnorum circulorum. quare. C. D. nobis cognitus erit gra. 44. min. 50. & $ic etiam angulus. D. C. f. gra. 57. min. 14. ex 4. dicti lib. po$tea habebimus. F. l. gra. 60. min. 54. & angulum. f. gra. 53. mi. 24. aggre gatum po$tea. f. C. cum. C. B. habebimus. f. B. gra. 150. min. 24. qui $i a $emicirculo d\-e ptus fuerit, nobis remanebit. B. F. gra. 29. mi. 36. cum angulo. F. cognito cũ $it æqua- lis. f. eius oppo$ito. Vnde ex dicta. 4. co- gno$cemus angulum. B. gra. 40. min. 31. qui ferè æ qualis e$t $uperiori iam inuen- to, nec ab ip$o differt ni$i per min. 9. quæ quidem differentia parua e$t re$pectu al EPISTOLAE. terius differentiæ quam $upra inuenerimus.

Superius enim dixinon e$$e ponendum polum in. B. eo quod. B. C. $it gra. 89. mi. 30. vnde nobis prodij$$et triangulus. f. C. D. trium valde paruorum laterum, quorum latus. C. D. e$$et gra. o. mi. 30. & latus. f. l. gra. o. mi. 55. & latus. F. D. gra. o. mi. 47. vn- de angulus. f. gra. 32. min. 40. fal$us e$$et, qui quid\-e po$tea nobis daret. D. E. gra. 45 minu. 16. fal$um $imiliter.

De pa{$s}ione circuli bactenus incognita. AD EVNDEM.

DVbitandum quidem nõ e$t quin pa$$iones circuli innumerabiles penè $int, qu{ae} quidem omnes ferè ca$u inueniuntur, vt mihi nunc accidit, quam tibi mitto, hæc autem e$t, quòd quadratum lineæ. a. g. in figura hic $ub$cripta $emper æquale e$t ei producto, quod fit ex. a. e. in diametro circuli. g. c. b. $imul $umpto cum quadra to in$criptibili in dicto circulo, & $imul cum quadrato lineæ. a. b. conting\-etis ip$um circulum, $upponendo. a. g. per centrum ip$ius circuli tran$ire.

Pro cuius demon$tratione à centro. e. duco $emidiametrum. e. c. perpendicular\-e ip$i. g. a. & à puncto. c. ad. a. duco. c. a. quæ $ecabit circunferentiam ip$ius circuli in pũ cto. d. eo, quod angulus. c. acutus e$t. Nunc ex. 35. tertij, productum. c. a. in. a. d. æqua le e$t quadrato. a. b. productum autem. a. c. in. d. c. æquale e$t quadrato in$criptibili in circulo. g. c. b. ex. 130. primi Vitellionis, ĩ qua propo$itione ip$e Vitellio $upplet pro eo, quod in quinta propo$itione libri de lineis $pirabilibus Archimedis de$ideratur, $ed quadratum. a. c. æquale e$t ijs duobus productis. per. 2. $ecundi Eucli. ergo qua- dratum. a. c. æquale erit quadrato in$criptibili in circulo. d. c. g. & quadrato. a. b. $ed quadratum lineæ. a. c. æquale e$t duobus quadratis, hoc e$t lineæ. a. e. & lineæ. e. c. ex pitagorica, quare ex communi conceptu duo quadrata lineæ. a. e. & line{ae}. e. c. hoc e$t lineæ. e. g. quod idem e$t, æqualia erunt duobus iam dictis, hoc e$t in$criptibili, & ei, quod fit ex. a. b. $ed quadratum lineæ. a. g. æquale e$t quadrato lineæ. a. e. & qua drato quod fit ex. e. g. & duplo illius quod fit ex. a. e. in. e. g. hoc e$t producto. a. e. in diametrum. Quare quadratum lineæ. a. g. æquale e$t quadrato circun$criptibili, & quadrato lineæ. a. b. & producto lineæ. a. e. in diametrum circuli. d. c. g.

Breuiori etiam methodo demon$trare po$$u mus quadrata lineæ. a. e. et. e. g. æqualia e$- $e quadrato circun$criptibili, & quadrato lineæ. a. b. ducendo lineam. e. b. quæ æqualis e$t lineæ. e. g. tali methodo, hoc e$t, con$iderando, quod quadratum in$criptibile $emper duplum e$t qua drato $emidiametri, vel medietati circum$cri- ptibili, quod quidem nihil aliud e$t, ni$i æquale e$$e ijs duobus quadratis, hoc e$t lineæ. e. b. & li- neæ. e. g. $ed quadratum lineæ. a. e. æquale e$t iis duobus quadratis, hoc e$t lineæ. a. b. & lineæ. b. e. vnde quadrat um lineæ. a. e. cum quadrato lineæ. e. g. æquale e$t quadrato circun$criptibili, $imul collecto cum qua- drato lineæ. a. b.

IO. BAPT. BENED. Demonstrationes quarundam propo$itionum de quibus agit Cardanus capite primo libro. 16. de $ubtilitate. AD EVNDEM.

EA quæ Cardanus in primo cap. lib. 16. de $ubtilitate ita $cribit, quod $i diame- tros producatur extra quantumlibet, alia verò diametro in centro $ecetur ad rectos, ex huius fine &c. quæ quidem $ecundum illum e$t vndecima proprietas cir culi, quoniam te id non intelligere $cribis, idem\’q; dicis etiam de duodecima, & $i- militer de tribus illis pa$$ionibus, quas ip$æ communes facit circulo, defectioni, $eu ellip$i, & hyperboli, tibi breuiter re$pondebo.

Circa vndecimam proprietatem circuli verum dicit. Imaginemur circulum. p. d. q. à duabus diametris, inuicem ad angulos rectos coniunctis, diui$um. p. d. et. d. g. di uidatur enim quarta. q. d. per quot partes æquales volueris, mediantibus punctis. b. a. o. ducantur\’q; ab ij$dem punctis tot perpendiculares diametro. d. g. quæ $int. b. m. a. n. et. o. s. quæ quidem erunt parallelæ diametro. q. p. coniungatur deinde extremitas. d. diametri. d. g. cum primo puncto. b. & protrahatur. d. b. v$que ad concur$um cum diz metro. p. q. protracto in puncto, h. Nunc dico. q. h. quæ adiacet diametro. q. p. æqua- lem e$$e omnibus dictis perpendicularibus, quapropter coniungantur puncta. m. a: n. o. et. s. q. & producantur v$que ad adiacentem diametro. q. p. in punctis. c. et. e. vn de habebimus angulos. b. a. o. q. inuicem æquales ex. 26. tertij, cum verò. o. s. a. n. et b. m. parallelæ $int ip$i. p. h. tunc anguli. b. h. c: a. c. e: et. o. e. q. æquales erunt angulis. d. b. m: m. a. n. et. n. o. s. ex. 29. primi: quare anguli. h. c. e. q. erunt inuicem æquales, vnde ex. 28. eiu$dem. b. h: m. c: n. e. et. s. q. erunt inuic\-e parallel{ae}, & ex. 34. e. q. æqualis erit. o. s. et. e. c. æqualis. n. a. et. m. b. æqualis. c. h. verum e$t igitur propo$itum.

Duodecima vero {pro}prietas e$t, ut $i fuerit circulus. a. b. e. q. cuius duo diametriad rectos coniuncti $int. a. e. et. q. b. & diameter. a. e. protractus indeterminatè ad partem e. tunc $i ab extremo. b. diametri. q. b. ducta fuerit. b. n. u. extra circulum, $eu. b. u. n. in tra circulum, vt in $ubiecta figura patet, ita vt $ecta $it à circunferentia circuli in pũ cto. n. vel à diametro in puncto. u. $emper id quod fit ex. u. b. in. b. n. æquale erit qua- drato in$criptibili in dicto circulo, hoc autem diuer$imodè cogno$ci pote$t, tribus enim modis ego inueni, quorum primus ita $e habet. Nam $i punctus. u. fuerit ex- tra circulum, ducantur. b. e. et. e. n. & habebimus duos triangulos. b. n. e. et. b. e. u. $imi les inuicem, eo, quod angulus. b. communis ambobus exi$tit, & angulus. b. n. e. æqua lis e$t angulo. b. e. u. quod ita probatur, nam angulus. b. n. e. cum angulo. b. a. e. (ducta cum fuerit. b. a.) æquatur duobus rectis ex. 21. tertij, $ed ex quinta primi angulus. b. e. a. {ae}qualis e$t angulo. b. a. e: quare angulus. b. n. e. cum angulo. b. e. a. {ae}quatur duobus rectis, $ed ex. 13. eiu$dem angulus. b. n. e. cum angulo etiam. e. n. u. æquatur duobus re ctis, ergo angulus. e. n. u. æquatur angulo. b. e. a. quare angulus. b. n. e. æquatur etiã an- gulo. b. e. u. vnde ex. 32. eiu$dem reliquus angulus. b. u. e. æqualis erit reliquo angulo b. e. n. latera igitur erunt proportionalia ex. 4. $exti, vnde ita $e habebit. u. b. ad. b. e. vt. b. e. ad. b. n. ex. 16. $exti igitur verũ erit propo$itum.

Sed $i punctus. u. intra circulum fuerit, triangulus. b. e. n. $imilis erit triangulo. b. u. e. nam angulus. b. ambobus communis erit. Angulus vero. b. n. e. {ae}qualis e$t angulo. b. e. u. ex. 26. tertij, quare ex. 32. primi reliquus angulus. b. e. n. æqualis erit reliquo EPISTOLAE. angulo. b. u. e. vnde ex. 4. $exti eadem proportio erit ip$ius. b. n. ad. b. e. quæ. b. e. ad b. u. quare ex. 16. eiu$dem patebit propo$itum.

Secundus autem modus ita $e habet, ducta. q. n. habebimus duo triangula ortho- gonia $imilia inuicem. b. q. n. et. b. u. o. eo quod angulus. b. communis ambobus exi- $tit, quare ex. 4. $exti ita $e habebit. u. b. ad. b. o. vt. q. b. ad. b. n. vnde ex. 15. eiu$dem quod fit ex. u. b. in. b. n. æquale erit ei, quod fit ex. q. b. in. b. o. Sed ex. 16. eiu$dem, {quis} fit ex. q. b. in. b. o. {ae}quatur quadrato. b. e. quia. b. e. media proportionalis e$t inter dia metrum & $emidiametrum eiu$dem circuli. ex. 4. eiu$dem, quare quod fit ex. u. b. in b. n. æquale erit quadrato ip$ius. b. e.

Tertius modus adiungitur, & e$t quod cum quadratum. u. b. e xi$tente. u. extra cir- culum æquale $it ei, quod $it ex. u. b. in. b. n. $imul $umpto cum eo, {quis} fit ex. u. b. in. u. n. ex $ecunda $ecundi, & idem quadratum. u. b. æquale duobus quadratis. u. o. et. o. b. ex penultima primi, ideo duo dicta producta æqualia erunt dictis duobus quadratis. o. u. $cilicet et. o. b. $ed quadratum o u. æquatur ei, quod fit ex. a. u. in. e. u. & ei quod fit. ex. o. e. in $e ip$am ex. 6. $ecundi, quare duo iã dicta producta æqualia erunt duobus dictis quadratis, o. b. $ci licet. et. o. e. & ei quod fit ex. a. u. in. u. e. $ed quod fit ex b. u. in. u n. æquale e$t ei quod fit ex. a. u. in. u. e. ex. 35. 3. relinqui\~t ergo vt id qd fit ex. u. b. in. b. n. æqua- le $it duob' quadratis. o. b. et. o. e. quare & quadrato ip$ius. b. e. ex Pitagorica.

Siautem pũctũ. u. fui$$et intra circulum idem eueniret. Nam quadrato. b. e. æquãtur duo qua drata. o. b. et. o. e. $ed vice qua- drati. o. e. dicemus quadratũ. o. u. cum eo quod fit ex. a. u. in. u. e. ex. 5. $ecundi, id e$t quadratum. o. u. cũ eo quod fit ex. b. u. in. u. n. ex. 34. tertij, vnde quadratum b. e. æquale erit quadrato. o. b. & quadrato. o. u. ide$t quadrato b. u. ex Pitagorica $imul cũ pro- ducto. b. u. in. u. n. ide$t producto n. b. in. b. u. quod æquale e$t qua drat o. b. u. cum producto. b. u. in u. n. ex. 3. $ecundi.

Circa tres pa$$iones commu- nes po$tea circulo hyperboli, & defectioni notandum e$t primã patere ex. 36: primi Pergei, $e- IO. BABPT. BENED. cundam verò ex. 37. et. 38. eiu$dem, propterea quod in. 37. probat mediante maiori diametro ip$ius hyperbolis & defectionis, In. 38. autem mediante minori diametro ordinatè ad maiorem.

Tertia autem pa$$io, non ni$i circulo conuenit; pace ip$ius Cardani dictum $it.

Quapropter $it circulus. q. o. b. cuius diameter $it. q. b. contingentes vero ab extre mitate diametri $int. d. b. et. q. g. per punctum autem. o. quoduis, ip$ius circũferentiæ, tran$eant. b. o. g. et. q. o. d. tunc dico productum. q. o. in. q. d. vel. b. o. in. b. g. {ae}quale e$- $e quadrato. q. b. quod ita probo.

Nam angulus. q. b. d. $eu. b. q. g. rectus e$t ex. 17. tertij Eucli. et. b. o. q. $imiliter re- ctus ex. 30. ip$ius lib. angulus verò. b. q. d. $eu. q. b. g. communis e$t. quare. b. q. media proportionalis erit inter dictas lineas. q. d. et. q. o. & inter. b. g. et. b. o. Vnde $equetur propo$itum ex. 16.6. Eucli.

Sed $i circa diametrum. q. b. mente fingamus aliquam elip$im, quætangat ip$um circulum duobus punctis me- diantibus. q. et. b. (nam pluribus e$$et impo$$ibile, ex. 27. quarti Pergei) clarè patebit, quod pũ ctus. o. erit extra circunferentiã ip$ius defectionis, quare ip$a cir cunferentia $ecabit. b. g. vel. q. d. in alio puncto, vnde ip$i non occurret id quod probauimus de circulo.

Admiratus etiam $um, ip$um Cardanum dicere hyperbolem ita vocari, eo quod angulus con tentus ab axe ip$ius figuræ, & à latere trigoni in hyperbole ma- ior $it quam in parabole, quod eriam confirmat paulo inferius, nam hoc verum non e$t, imo fal $i$$imum. Talis enim $ectio ita nominata fuit, hoc e$t hyperbo les, $imili ratione, qua elip$is $eu defectio etiam vocata fuit, nam $icut in ip$a defectione quadra- tum ordinat{ae}. l. m. minor e$t pro ducto lineæ. e. m. in. e. t. per figu ram $imilcm producto. d. e. in. e. t. quæ eandem obtineat altitu- din\-e ip$ius. e. m. vt ip$e Pergeus mon$trat in. 13. primilib. ita in hyperbole dictũ quadratum ex cedit quantitatem illius figuræ, per $imilem dictæ vt in. 12. ip$i' Pergei facilè videre e$t. $ed pr{ae} ter illas pa$$iones, quas notat EPISTOL AE. Cardanus in $upradicto capite, multæ aliæ $unt, cum corollarium primæ tertij Eu- cli. $it pa$$io propria ip$ius circuli, & idem dico de propo$itione. 3. 4. 7. 8. 9. 11. 12. 13. 14. 15. 17. 18. 19. 20. 30. 31. ip$ius tertij lib. nec non de. 8. 9. ct. 10. tertijdecimi, & de prima. 3. 4. 5. 6. et. 7. quartidecimi eiu$dem. Idem infero de ea quod $crip $i Ma rio Nizzolio, Franci$co Vimercato, Franci$co Contareno, Angelo Agrimen$ori, & de alijs nonnullis à me excogitatis.

DE FINE CORPORVM COELESTIVM, & eorum motu. Illu$tri vire, Philiberto Pingonio Sabaudo Cu$iacen$ium Baroni.

CVm antea meo nomine Seba$tianus no$ter omnia ferè tibi retuli$$et, inter alia, quæ relin quebantur tibi dic\-eda, hoc vnum erat, quod $i ab$que lumine $upe- riori, in quem finem facta fuerint corpora cœle$tia $cire de$ideras, & humanam ra- tionem $equi volueris, putandum tibi non erit ea $olum effecta e$$e, vt tam vile cor pus, vt e$t terra aquis irrigata, animalia, & plantas regant, cum ea corpora $int diuina, in numero incompr{ae}hen$ibilia, maximis ma gnitudinibus, & motibus velocisfimis, prædita, id etiam minus putabunt hij, qui opinionem Ari$tarchi Samij, & Nicolai Copernici $equuntur, quorum ratione fieri non pote$t, vt credant, eius, quod ex vni uer$o reliquum e$t, alium finem non habere, quam regimen huius centri epicycli Lu naris, vt illorum more loquar. Quã enim turpe e$$et $i centra aliorum epicyclorum planetarum tali regimine priuarentur, id quod nullo modo cum ratione con$entit, $i tam vera e$t ea opinio, quemadmodum rationabilior\-e eam exi$timãt. Neq; quid quam valet opinio Ari$totelis, qui corpora cœle$tia, ab ortu, & interitu libera e$$e fentit. dicens $uperioribus f{ae}culis, à no$tris antiquis nullam vnquam animaduer$am fui$$e alterationem in cœlo, cum non videat $i quis e$$et in cœlo, neq; etiam ob$erua re po$$et alterationes quæ in terra, & circa terram fiunt, quæ in partibus, & non in to to $pectantur: vnde etiam fieri pote$t, vt in cœlo $int particulares alterationes, quæ à nobis tamen, qui ab illis longè di$tamus, non compr{ae}hendantur, terra, mare\’q; (quamuis minimum re$pectu ip$ius terræ) ratione totius ita $e $emper habuerũt qu\-e admodum $e$e habere corpora cœle$tia videmus, $ed alteratio, ratione tantum ali- quarum minimarum partium qua$i in$en$ibilium, $i cum toto comparentur fit. Quis enim $cit, vt iam tibi dixi, quin, quemadmodum Luna circa terram voluitur, ip$a\’q; terra $it veluti centrum epicycli maioris eiu$dem, vt Ari$tarchus Samius, & Nico- laus Copernicus cen$uerunt; $ic etiam Saturnus, Iupiter, Mars, Venus, atq; Mercu rius circa alia huiu$modi corpora, huic terræ $imilia, in orbem agantur, qua$i $pecu- la, lumen Solis $uo centro ex reflexione, deferentia (fuppo$ita dico vera illorum opi nione) Noll\-e tamen tibi è mente excidere, vt aliàs te monui, {quis} $i communis opinio vera e$t, nece$$ario fatendũ $it corpus $olare, dũ in æquatore reperitur moru diurno quolibet hor{ae} minuto, magis quã dec\-e & $ept\-e mille milliaria <002>agere, ide$t paulo mi nus quam. 18000. milliaria, Saturnum verò cum $imiliter e$t in æquatore, eodem t\-e- poris $patio, qua$i tercentamille milliaria Italica conficere, & $ic per gradus alia cor pora velociora alijs moueri; quæ quidem omnia, cũ $implici gyro terræ circa $uum 10. BABPT. BENED. axem (vt dicunt) tolluntur, quod $ufficit ad recipiendum lumen, & influentias illo- rum corporum. Et ita, veluti princeps corporum vniuer$i, intra vnum an- num circa eam vertitur. Ita etiam $u$$iceret, vt ip$a terra circa dictum diuinum corpus $olare, inter$ecando axem diurnum cum axe annuali (cum ab eo lumen, ca- lorem, & influentiam $u$cipere debeat) circunuoluere\~t. Rationes autem a Ptolo- meo in contrarium adductæ apud ip$os, null{ae} $unt, quia qu{ae}libet pars (vt inquiunt) retinet naturam totius, præterquam {quis} aer, & aqua, quæ ip$am terram circundãt, pla nè eundem naturalem impetum motus obtineant, quitanto lentior e$t, quanto lon gius di$tat aer ab ip$a terra, $ecundum etiam talem opinionem, nulla nece$$itas fo- ret, vt locus fixarum terminaretur aliquibus $uperficiebus, conuexa $cilicet, & de- uexa.

De Luce, Lumine, & Colore, De obiectuoculi, De lumine Luna, & Rubedine nubium. ADEVNDEM.

QVod proximè quærebas, an $it lux aliqua, quæ à corpore lucido non proue- niat, mihi facilè ad con$iderandum videtur. hic enim oportet, vt nos ad id quod perpetuò videmus referamus, exi$timo autem te velle dicere lumen, non lu- cem, quia propriè lux, qualitas ea vi$ibilis appellatur, quæ e$t in corpore lucido, à quo quidem corpore lumen effunditur; lumen verò, ea qualitas e$$e dicitur, quæ ex tra ip$um corpus reperitur, à luce, quæ in dicto corpore manet emanans. vnde pa- tet, nullam lucem ab$que corpore $ubiecto e$$e po$$e, id quod cum fieri quîret, id\-e de quolibet alio accidente dici po$$et, id e$t quod ex $e, & ab$que aliquo $ubiecto $ub$i$teret.

Lumen deinde à luce profici$ci patet, {quis} penetrat diaphanum, neque aliquo mo- do $uum actum o$tendit, ni$i, aut per incidentiam, aut ratione opaci, ex reflexione, cuius $uperficiei colorem induit. Atque hæc e$t cau$a, vt inter crepu$culum matu- tinum, aut ve$pertinum, nox etiam $i $it $erena, adeo ob$cura nobis appareat, quam- uis totum vniuer$um diaphanum, extra conum vmbræ, quæ ex terra prouenit $it vn diq; radijs lumino$is Solis collu$tratum; qui quidem radij, non ni$i à $uamet reflexio ne à Luna, & ab alijs $tellis (vt corporibus opacis, quæ re$i$tunt lumini, ne vlterius penetrare po$$it, vnde retrò redit) comprehenduntur.

Ais etiam propria vi$us obiecta plura e$$e, nominans pro vno, colorem, & lucem pro alio. Ego autem re$pondeo, obiectum oculi e$$e vnicum tantum, ide$t lumen. Quod ad lucem $pectat, iam tibi dixi, eam e$$e quandam qualitatem in corpore luci do, & non extra ip$um po$itam, à quo quidem corpore, cum non exeat, oculi obie- ctum e$$e nequit, $ed lumen quidem ab ip$a luce productum. Color etiam, qui e$t in corpore colorato, obiectum oculi e$$e non pote$t, cum dictum corpus non de$erat, $ed lumen quidem ab eodem corpore reflexum, & huiu$modi corporis colore tin- ctum: vnde tam lumen incidens, quam reflexum colore e$t $emper imbutum.

Illud quidem coloratum e$t qualitate lucis corporis lucidi, a ut medij, per quod tran$it, $ed hoc colore corporis, à quo reflectitur.

Neque etiam te ignorare volo, lumina reflexa colorata, non reflecti à puris pro- priis\’q; $uperficiebus corporum coloratorum, eo q<001> pauca corpora tam opaca repe- riuntur, ut immediatè lumen à $uperficie propriè reflectãt, $ed lumen penetrat ali- EPISTOL AE. quantulum dicta corpora, & ita illorum colore afficitur, vbi verò non penetrat, non coloratur colore corporis illius.

Sed vt ad propo$itum redeamus, dico lum en tantum e$$e vi$us obiectum, quod $i colore e$t imbutum, aut tale e$t ratione color ris lucis, quæ eum mittit, aut ratione me dij per quem tran$it, aut ratione corporis, vnde reflectitur, et$i $uperficies corporis vnde lumen reflectitur e$$et omnino priuata colore, $ub a$pectum non caderet, vt etiam cum huiu$modi $uperficies læuigata, & polita e$t $ecundum continuitat\-e $ua- rum partium, videlicet, vt $peculi radio tamen non profundante, & ideo perfectiffi morum quorundam $peculorum $uperficies non cernuntur, $ed lumen tantum re- flexum, colore alicuius alterius $uperficiei, aut à luce, corporis lucidi, aut à me- dio per quem tran$it, con$picitur. Ego verò non a$$ero colorem non e$$e quid di- uer$um à lumine, $ed imagineris lumen e$$e veluti animam, aut $ub$tantiam & colo rem corporis formam accidentalem, cum nullum lumen à $en$u vi$us percipi po$- $it, quod aliquo modo colore non $it imbutum: & eundem re$pectum quem $onus ad auditum, lumen ad oculum habet, quia vt $onus $ecundum eam velocitatem, quæ à motione aeris, aut aquæ, ex colli$ione aliorũ corporum producitur ad euitan dum vacuum, a cutus, vel grauis $entitur, ita lumen originem ducens à corpore lucido per medium diaphanum aeris, aut aquæ, aut alterius huiu$modi corporis ad oculum tran $it colorem lucis, aut medij per quod tran$it, aut vnde reflectitur induit.

Quod verò Luna nullum ex $e habeat lumen, $ufficiens inditium e$t nos ip$am tantò magis ob$curam videre, quantò magis in cono vmbræ terræ immergitur, & $i eo tempore ip$am videmus rubeo colore affectam, hoc enim accidit, quia radij $o lares vndequaque refranguntur à vaporibus ip$am terram circundantibus, quæ qui- dem refractio fit ver$us axem coni vmbræ terræ, & propterea vmbra dicti coni non e$t æqualiter ob$cura, $eu tenebro$a, circa vero ax\-e ip$ius coni, magis quam circa eius circũferentiã, ob$cura v\~r, & quia corpus lunare tale e$t, vt facillimè recipiat qualecũ que lumen, quod etiam manife$tè videtur dum ip$a Luna reperitur $ecundum lon- gitudinem inter Solem, & Venerem, quod pars Lunæ lumine Solis de$tituta, à lumi ne Veneris aliquantulum illu$tratur, quod ego $æpè vidi, & multis o$tendi. Propte- rea dum ip$a Luna in cono vmbræ terræ reperitur adhuc videtur. Rubedo etiam il- la nubium po$t Solis occa$um, vel ante ortum, aliunde non prouenit, ni$i à qualitate vaporũ, per quos $olares radij tran$eunt, à quibus vaporibus, tali colore ip$i radij afficiuntur, eomet modo quo radius, cuiu$uis corporis lucidit, trã$iens per vitrum, $eu aliud diaphanum coloratum.

IO. BABPT. BENED. DE ICTV BOMBARDAE SECVNDVM diuer$as eleuationes. Et de quibu$dam erroribus Nico- lai Tartaleæ, circa idem. Fllustri D. Io$epho Cambiano ex Ruffia Dominis, aquiti $trenuo, & tormentis bellicis Sereni{$s}imi Ducis Sabaudia Prafecto.

EXcogitaui qu{ae}dam dum ocio frui licuit per ab$entiam Ducis Sereni$$imi, quæ ad te $cribere placuit, vt $i probaueris in lucem quandoque profer- re non dubitem, $i de$pexeris, ocius $upprimam, $unt autem huiu$modi.

Vnde fiat vt tormentum bellicum vehementi feriat ictu $uperius delato quam orizontali, vt Tartalea $cribit, quæ$ito $ecundo libr. primi quæ$itorum, à ne- mine adhuc (quod $ciam) traditum e$t.

Rationes verò Tartaleæ nullius $unt momenti, quia $i validæ e$$ent, $equeretur vt inclinata bombarda, adeo vt angulus $ub orizonte factus æqualis e$$et ei, qui $u pra orizontem e$t, ictum bombard{ae} in vtroque huiu$modi $itu eundem e$$e futurũ. & $i aliqua differentia oriretur ratione granitatis pilæ ab ip$a bombarda emi$$æ, hoc fieret, vt $cilicet velocior e$$et in motu inclinato quam in eleuato cum pondus, mo- tui adeo non opponatur. Id quod non ita se habet, vera enim cau$a vnde fiat, vt bom barda eleuata vehementius feriat, quàm ea quæ e$t minus alta, eadem e$t ferè, in ge- nere, cum ea, qua aliquod corpus materia magis den$a, $ed $imile & {ae}quale alteri cor pori materiæ minus den$æ velocius mouetur ab vna eadem\’que, aut æquali vi compul$um. E$t eadem etiam in $pecie ei, qua maiorem effectum producit puluis, qui in locis $ubterraneis ponitur quum va$is optimè colligatis ferro in- cluditur. E$t etiam $imilis ei, qua longius impellitur pila, qua ludimus, ab ali- quo in$trumento ligneo, quando percutitur contra, quam cum $ecundum $uum mo- tum proijcitur. Id quod inde fit, quia virtus mouens maiori vi, & inten$iori huiu$- modi corpus percutit, quia corpus quod moueri debet, quanto magis re$i$tit virtu- ti mouenti (certum tamen terminum præ$cribendo) in exiguo eo temporis $patio, tanto maiorem virtutem colligit, quæ ip$um deinde tanto cum impetu mo- uet, & tanto magis impellens concomitatur, vt maiorem effectum efficiat, quam $i ad mouendum $e$e facilè reddidi$$et. Atque hoc $upradictis ictibus eleuatis acci- dit, quia grauitas pilæ, ea e$t quæ re$i$tens virtuti mouenti, dat ei commoditatem colligendi dictam virtutem, multo magis quam e$$et ea, quæ ad depre$$iorem eleua uationem eam ĩmpelleret. Et quia huiu$modi multiplicatio virtutis, nullam propor tionem cum pondere pilæ gerit, volo inferre quod dum colligitur tanta virtus, col- ligitur multo plus eo, quod ad impellendam dictam pilam $ufficeret, ratione magnæ velocitatis augumenti, quia quanto plus temporis ei conceditur ad commutandam puluerem in ignem, tanto maior quantitasignis progignitur, vnde fit, vt tanto ma- iori loco indigeat, quamobrem tanto magis impellit, $ed vt dixi, tanta cum veloci- tate adauge\~t, vt huiu$modi virtus longè $uperet re$i$t\-etiã põderis pilæ, & $ic e$t cau fa, ut effectus, quod experi\-etia innot e$cit produca\~t. Sed ea ratio, qua $e$e id\-e author in tertio quæ$ito ad aliquod impo$$ibile, circa iter ip$ius pilæ Legatum Hi$panum EPISTOL AE. reducere putat, nullo fundamento nititur, quia non e$t $emper dicendum, quod quã to velocior $it quædam pila, tanto rectius moueatur, quia ei dici po$$et, v$que ad cer tum quendam terminum velocitatis, per tantum $patij eam aptam e$$e, vt recta per fectè moueatur, $ed $i velocius iret, non tamen futurum, vt per idem $patium re- ctius moueretur, $ed quod per longius $patium recta motum perageret, & $ic nihil haberet quod replicaret, præter quam quod ip$e $upponit id quod in 18. quæ$ito negat, in quo ait pilam uicinam orificio, non adeo uelocem e$$e, quam cum aliquan- tulum ab eodem e$t rem ota, ratione re$i$tentiæ $ui cyllindriaerei. Sed quod pila, recta eat quanto altior, aut depre$$ior bõbarda erit, iõ fit, quia linea inclinationis na turalis cum linea inclinationis uiolentæ angulum rectum non facit, unde quanto lon gius di$tat à recto huiu$modi angul<_>9, $iue $it acutus $iue obtu$us, tanto minorem uim habet, eodem planè ferè modo quem tertio capite mei tractatus de rebus mechani cis de$crip$i. Quia in ictibus eleuatis, iter inclinationis violentæ ip$ius pilæ ver$us terminum ad quem, incipiendo à loco ip$ius pilæ cum itinere inclinationis natura- lis, angulum obtu$um, & in ictibus inclinatis acutum con$tituit. Neque etiam hic prætermittam notatu dignum errorem, quem Tartalea eodem loco committit, cũ putet indifferenter aliquod corpus impellere, aut percutere maiori cũ impetu cum e$t in itinere recto. Quia $equeretur quod aliquod corpus graue perpendiculari- ter $ur$um ver$us proiectum, in qualibet parte $ui itineris, $emper fortius percute- ret, quam in qualibet parte itineris alterius cuiu$uis eleuationis obliquæ, quod quã $it fal$um, tibi con$iderandum relinquo.

E$t etiam fal$a ea ratio, quam in quarto quæ$ito idem adducit, quia aer in motu non tantum durat, quantum ip$e putat, imò huiu$modi violenta agitatio, citò ce$$at & citius etiam, quam $i extra aliquam bombardam cum tanta violentia impulli$$et $aceum plumis plenum.

Ratio etiam quam in. 18. quæ$ito de eo, quod pila pertran $eat illud corpus cyllin dricum aereum adducit, e$t planè vana, quia $tatim aer, qui prius in bõbarda erat inclu$us, extra ip$am erũpit, cedit, à pila\’q; diuiditur, vt $i nunquam eam figuram in- dui$$et, neque aer ambiens ei re$i$tit. Sed quod velocior $it in certa quadam di$tan tia, quam in principio erat, $i hoc verũ e$$et, ab alia cau$a dependeret, quæ partim $i milis e$$et ei, quæ efficit, vt corpora in motibus naturalibus, cum longius di$tant à ter mino vnde naturaliter $e$e mouerunt, $int velociora, quia per aliquod $patium hu- iu$modi corpus moueretur quemadmodum motu naturali cietur.

Ratio autem eius quare pila, aut globus bombardæ $ibiletab eodem in $eptimo quæ$ito nil valet, quia hoc fit cum pila aliquam paruam concauitatem habet.

In. 27. autem quæ$ito ait, quod retrotrahendo $ignum, ictus altius tenderet, quod pote$t etiam e$$e fal$um, cum hocnon $it nece$$arium, quia pila dum de$cendit, for- ta$$e tangeret $copum.

10. BAPT. BENED. Deerroribus Ioannis Stadij. AD EVNDEM.

FIguram quam ponit Ioannes Stadius pag. 147. in lib. $uarum tabularum Prute- nicarum, à Nicolao Copernico $ump$it pag. 64. à tergo in libr. reuolutionum cœle$tium, $ed ip$e Stadius eam non intellexit, omitto, quod mutauerit characte- res ip$ius figur{ae}, vt illa $ua videatur, quod nihil refert, alterat etiam demon$tration$e~;, $ed ip$um putare. i. K. perpendicularem à centro circuli $emper dependere, e$t intol lerabilis error; nec vnquam verificatur hoc, ni$i quando punctum. K. inter$ectionis diametrorum parallelorum, forte reperitur in axe mundi. Reliqua verò $uæ demon $trationis, $i non intelligis, minimè miror, eo quod ip$emet Stadius $eip$um confun dit. Veram autem demon$tratio nem huiu$modi figuræ in dicto libr. Copernici cla- rè videbis. Quod verò diuersè cogitaui nunc acciptito.

Cum nobis cognita $it maxima ecclipticæ declinatio, vt puta. a. c. $i latitudo etiã $tellæ nobis data fuerit, vt puta. c. e. cognitus nobis erit totalis arcus. a. e. & eius $inus. e. m. & quia notus etiam nobis e$t $inus arcus. a. c. hoc e$t. c. n. & corda. e. f. medio eius arcus. e. p. f. minoris media circunferentia, per duplum latitudinis datæ, vnde. e. l. eius dimidium nobis cognitum erit, vel vt $inus arcus. e. p. cognitus etiam nobis e$t $inus. q. g. declinationis. a. g. datæ, cui æqualis e$t. m. t. ex. 34. primi Euclid. vnde. e. t. nobis cognita remanet, cum verò duo trianguli. i. c. n. et. t. e. K. æquiãguli $int, propter duas parallelas. e. m. et. n. c. ex. 28. primi, & propter duas. a. b. et. g. h. & propter duas. c. d. et. e. f. eo quod ex communi $cientia anguli. c. et. e. $unt æquales, cum ex. 29. dicti lib. vnu$qui$q; æqualis $it angulo. m. ω. i. ita etiam infero de angulis. e. K. t. et. c. i. n. quorũ vnu$qui$que æqualis e$t angulo. ω. x. t. & $ic de alijs dico, co quod vnu$qui$que eorũ æqualis e$t angulo. m. vnde cum cognitum nobis $it latus. n. c. et. c. i. et. t. e notũ etiam nobis erit. e. K. ex. 19. $eptimi, eo {quis} ex. 4. $exti $unt inuicem proportio- nalia, detrahendo po$tea. e. K. ab. e. l. cognito, vel ècontra, hoc ab il- lo, nobis innote$cet. K. l. $inus longi tudinis $tellæ.

Valde etiam miror id, quod di- ctus Stadius pag. 9. illius libr. $cri- bit, hoc e$t, Solem maiorem e$$e Luna, $olum. 1644. vici- bus, propterea {quis} cum affirmet So- lem maiorem e$$e terra (vt etiam in Almage$to videre e$t) 166. vici bus cum tribus quartis, terram ve- ro maiorem Luna. 39. vicibus cum quarta parte, tunc Solem oporte- ret maiorem e$$e Luna. 6545. vici- bus, & non. 1644.

EPISTOL AE. Decognitione latitudinum stellarum. AD EVNDEM.

AD cogno$cendam latitudinem $tellæ, eius\’q declinationem, Monteregius in 10. propo$itione. 8. li. Almage$ti methodũ $atis docuit, $ed $i alia aliqua metho do hoc idem cogno$cere voluerimus, oportebit nos prius altitudinem poli cogno- $cere, deinde altitudinem meridianam ip$ius $tellæ, nec non horam, quãdo ip$a $tel la in meridiano $upra terram reperitur, qua hora mediante, illicò cogno$cemus pun ctum ecclipticæà meridiano inter$ecto, eo tempore, quo $tella cœlum mediat $u- pra terram. Et quia ex cognita altitudine poli, illico cogno$citur altitudo æqua- toris, cuius altitudinis differentia ab altitudine $tellæ e$t declinatio ip$ius $tellæ, ha- bebimus ideo eius declinationem cognitam; qua mediante ad cogno$cendũ etiam latitudinem ita faciemus.

Sit exempli gratia. p. o. u. meridianus. u. a. verò æquator. e. a. autem eccliptica, & o. centrum a$tri. u. o. verò eius declinatio ab æquatore, et. e. a. arcus {ae}cclipticæ inter æquatorem, & meridianum, hoc e$t minor quarta, et. a. u. a$cen$io recta ip$ius arcus, et. u. e. $it declinatio puncti. e. {ae}ccliptic{ae} ab æquatore, re$iduũ vero declinationis $tel- l{ae} $it. o. e. quæ oĩa nobis cognita erunt, $it\’q;. t. polus {ae}cclipticus, à quo per. o. v$que ad {ae}cclipticam tran$eat quarta. t. i. in qua qu{ae}rendus erit arcus. o. i. hoc modo.

Primum arcus. o. u: e. u: e. o: a. e: et. a. u. nobis cogniti $unt, cum angulo. a. declinatio nis {ae}cliptic{ae}, & cum angulo. u. recto, vnde ex. 4. primi Copernici, cogno$cemus angu lum. a. e. u. collateralem, & eius. o. e. i. quare in triangulo. o. e. i. cogno$cemus angulũ e. et deinde. i. vt rectũ, & latus. o. e. ergò ex ead\-e. 4. cogno$cemus arcũ. o. i. quæ$itum, & $imiliter arcum. e. i. qui coniunctus vel d\-eptus ab. a. e. tribuet nobis longitudinem $tell{ae}, $ed quia huiu$modi operatio in paruis triangulis valde fallit. Ideo tibi $ua- deo alia methodo, hoc facere, hoc e$t inuenire angulum. o. trianguli. t. p. o. cuius duo latera. t. p. et. p. o. cognita nobis $unt, cum angulo. p. Nam. o. p. e$t complementum de clinationis $tellæ, et. p. t. e$t arcus coluri $ol$titiorum inter duos polos, & angulus. p. re$iduum ex recto. t. p. a. duorum colurum dempto angulo. a, p. u. cognito a$cen$ionis recte, vnde angulus. u. o. s. vt contrapo$itus cognitus remanet. angulus verò. u. rectus e$t, & arcus. o. u. cognitus, quare cognitus nobis erit arcus. u. s. & angulus. u. s. o. vnde arcus. a. s. nobis cognitus remanebit cũ an- gulo. a. s. i. re$iduo ex duobus rectis. Et quia etiam angulus. s. a. i. cognitus e$t, cum $it an gulus maxim{ae} declinationis Zodiaci ab æquatore. Ideo in triangulo. a. s. i. cuius duo anguli. a. et. s. cum latere. a. s. dantur, fa cilè inueniemus arcum. s. i. cũ arcu. a. i. $ed a. i. erit longitudinis $tellæ dempto po$tea. s. i. ex. s. o. iam inuento habebimus arcum. i. o. latitudinis ip$ius $tellæ.

Hæc autem tibi $cribo non vt ip$is vta- ris, $ed potius vt tibi morem gerã, cum bre ui$$ima methodus $it illa, quã Monteregius $crip$it ĩ. 10. {quis}po$itione. 8. li. in Almage$t.

10. BAPT. BENED. Qualiter circulus de$ignari po{$s}it alios duos circulos propo$itos includens. CLARISS. PETRO PIZZAMANO.

SVperioribus diebus per tuas literas à me quæ$iui$ti, vt modum tibi $cribere vel- lem, quo circulus de$ignari po$$it circun$cribens alios duos propo$itos circulos. Qua in re vt tibi $atisfaciam quod maximè cupio ita rem accipe.

Propo$iti circuli $int, aut inter $e contigui, aut inter$ecantes vel $eparati. E$to pri- mũ contiguos e$$e, qui $int. d. b. et. f. q. quorũ. d. b. maior $it et. f. q. minor, eorũ vero centra $int. a et. o. punctũ autem cõtingenti{ae} $it. i. Nũc {quis}traha\~t. b. a. o. q. per c\-etra eo rum ab vna circunferentia ad aliam, qu{ae} quidem linea tran$ibit per punctum. i. ex 11, tertij Eucli. deinde à diametro maiori ab$cindatur. i. e. ad æqualitatem minoris $emidiametri, quo facto $umatur di$tantia inter. e. et. b. circino mediante facto\’q cen tro. o. $cindatur, alio circini pede, circunferentia maioris circuli in puncto. u. à quo $i mente concipiemus duas lineas. u. a. d. et. u. o. f. tran$euntes per eorum centra. a. et. o. v$que ad circunferentias in punctis. d. et. f. ip${ae} erũt inuicem {ae}quales, eo quod. e. i. sũ- pta fuit æqualis. o. f. et. o. u. æqualis. e. b. quare. u. f. æqualis erit. b. i. $ed u. d. etiã æqua lis. b. i. ergo. u. d. æqualis erit u. f. & circulus, cuius u. d. vel. u. f. erit $emidiameter, con- tiguus erit ip$is propo$itis circulis ex conuer$o. 11. iam dictæ. Idem dico pro circu- lis $e inuicem $ecantibus.

EPISTOL AE.

Sed $i circuli propo$iti $eiuncti fuerint, $umatur. b. i. diameter maioris, qui fiat $e- midiameter vnius circuli circa centrum. o. & hic circulus vocetur. h. x. coniunga- tur deinde $emidiameter. o. i. minoris circuli cum $emidiametro. a. i. circuli maio- ris, & ex huiu$modi compo$ita linea, fiat vnus $emidiameter. a. x. circuli. x. n. concen trici cum maiori, & à puncto. x. inter$ectionis horum circulorum (po$ito quod $e in- uicem inter$ecent) ducantur per eorum centra. x. a. et. x. o. v$que ad ip$orum circun- ferentias in punctis. d. et. f. du{ae} lineæ, vnde habebimus. x. d. æqualem. x. f. eo quod tam in x. d. quam in. x. f. reperiuntur diametri, & $emidiametri am- borum circulorum, facto deni que centro. x. vnius circuli, cu ius $emidiameter {ae}qualis $it vni earum. x. d. vel. x. f. folu- tum erit problema, dicta ra- tione.

Si verò di$tantia duorum propo$itorum circulorum tanta fuerit, quod $ecundi circuli nequeant $e inuicem tangere, vel $ecare, tunc alia via incedendum erit, qu{ae} talis e$t & generalis. Diuida- tur tota. q. b. per æqualia in puncto. z. circa quod $ign\-etur duo puncta ab ip$o {ae}quidi $tantia. K. et. p. di$tantia vero. a. K. facta $it $emidiameter e$$e vnius circuli. K. x. circa centrum. a. di$tantia autem. o. p. $emidiameter alterius circuli. p. x. circa cen- trum. o. qui quidem circuli $e inuicem $ecent in puncto. x. à quo cum duct{ae} fue- rinc. x. a. d. et. x. o. f. per centra dictorum circulorum, ip$e erunt inuic\-e {ae}quales, eo q<001> cum. b. K. æqualis $it. q. p. igitur. x. d. et. q. p. erunt inuicem {ae}quales, $ed. f. x. æqualis e$t q. p. quare. x. f. æqualis erit. x. d. tunc $i. x. centrum fuerit vnius circuli, cuius $emidia- mer $it vna dictarum, problema $olutum erit.

Talis etiam $oiutio commo- da erit ad inueniendum dictum circulum cuiu$uis magnitudinis, dato tamen {quis} eius diameter, ma ior $it. b. z. cum in no$tra pote$ta te $it accipere puncta. K. et. p. pro xima vel remota ab ip$o. z. ad li- bitum. Vnde ab$que vlla diui$io neip$ius. q. b. per medium, $atis erit $ignare puncta. K. et. p. dua- bus di$tantijs mediantibus. b. K. et. q. p. inuicem æqualibus, & etiam propo$itis.

10. BAPT. BENED. Figuram $uperficialem ellip$i $imilem, ex datis axibus cir- cino mediante delineari po$$e. AD EVNDEM.

FIguram $uperficialem ellip$i $imilem, ex datis axibus, circino mediante delinea re cum volueris, ita facito.

Sit. e. c. $emiaxis maior. a. e. verò minor, ad angulum rectum inuicem coniuncti, tunc. a. e. producatur v$que ad. o. Itaq;. a. o. maior $it quam di$tantia inter. o. et. c. qu{ae} quidem. a. o. po$$et etiam dari, de$cribatur po$tea circulus. a. d. b. circa centrum. o. à quo puncto protrahatur $emidiameter. o. b. quæ cum. a. o. angulum rectum con$ti- tuat, qu{ae}. o. b. erit æquidi$tans. e. c. ex. 28. primi, ducatur po$tea. b. c. d. et. o. t. d. vnde angulus. t. c. d. {ae}qualis erit angulo. o. b. d. ex. 29. eiu$dem. ex quinta autem anguli. b. et. d. $unt inuicem æquales, quare etiam & anguli. d. et. c. inuicem {ae}quales erunt, & ex. 6. eiu$dem. t. c. {ae}qualis erit. t. d. duca tur po$tea. d. x. h. perpendicularis lineæ. c. e. ita di$tans $ub ip$a. c. e. vt arcus circula- ris circa. t. delineatus ex $emidiametro. t. d. aptus $it eam $ecare, $umpto po$tea. r. tam di$tante ab. e. vt. t. reperitur ab ip$o e. et. z. ab. e. vt. o. ab eodem, ducendo po- $tea duos alios arcus magnitudinis priorũ circa centra. r. et. z. habebimus propo$i- tum.

Sed cum quis voluerit prius arcus mi- norum circulorum delineare circa maio- rem axem, fiant cuiu$uis magnitudinis, vt in $ecunda figura videre e$t, po$ito tamen quod eorum diameter, minor $it minore axe ip$ius figur{ae}, quorum circulorum vnus $it. c. d. circa. t. eius centrum, deinde in axe minori $umatur. a. x. æqualis. c. t. & protrahatur. t. x. qu{ae} per {ae}qualia diuidatur in pun- cto. n. à quo po$tea ducatur. n. o. ad angulos rectos cum. t. x. v$que ad inter$ectionem cum. a. e. in pun- cto. o. minori axi producta cum oportuerit, quod quidem punctum. o. centrum erit arcus. d. a. maio- ris, eo quod. o. t. æqualis e$$et. o. x. ex. 4. primi Eu- cli. vnde. o. d. æqualis e$$et. o. a. & circuli etiam in- uicem contingentes in puncto. d. ex. II. tertij tam in prima, quam in $ecunda figura, $umpto deniq; puncto. s. tam remoto ab. e. quam. o. reperitur ab eodem, ip$um, centrum erit alterius arcus oppo$i- ti, po$$emus etiam ab$q; diui$ione ip$ius, t. x. con$ti tuere angulum. x. t. o. æqual\-e angulo. t. x. o. vnde ex 6. primi haberemus. o. t. æqualem. o. x.

EPISTOLAE. _De inuentione axis propo$ite portionis datæ $phæræ._ AD EVNDEM.

VTaxem propo$itæ alicuius datæ $phæræ inuenire po$$is ita tibi operandum e$t vt gratia exempli. Propo$ita nobis e$t $phæra. c. i. e. t. diametri cognitæ. pro po$ita etiam e$t nobis eius portio. n. e. u. axis. e. a. cognitæ minoris $emidiametro, da- ta etiam nobis e$t proportio alterius portionis minoris hemi$phærio. i. e. t. ad por- tionem. n. e. u. quæritur nunc quantus $it axis. e. x. $ecundæ portionis hoc e$t de$idera- mus cogno$cere proportionem. e. x. ad. e. a. vel ad diametrum ip$ius $pheræ.

Cuius gratia reperiatur primò proportio circũferentiæ maioris circuli ip$ius $ph{ae} ræ adeius diametrum, quæ ferè e$t vt. 22. ad. 7. ex Archimede.

Quo facto, inueniatur quantitas $uperficialis huiu$modi maioris circuli, quæ $em- per æqualis e$t producto quod fit ex $emidiametro in dimidium circunferentiæ ip- fius circuli, ex eodem Archimede. Et $ic cogno$cemus quartam partem $uperficiei $phæricæ $phær{ae} propo$ite ex. 31. primilib. de $phæra, & cyllindro Archimedis.

Deinde $umatur tertia pars producti, quod fit ex $emidiametro in $uperficiem maioris circuli, & habebimus conum, cuius ba$is erit circulus maior, altitudo verò $emidiameter propo$itæ $phæræ ex. 9. duodecimi Eucli.

Quadruplum po$tea huiu$modi coni, erit quantitas $oliditatis, $eu corporeitas to tius $phær{ae} ex. 32. dicti lib. Archimedis.

Imaginemur po$tea ĩ $phærica portione. n. e. u. lineã. e. u. à sũmitate ad extremitat\-e ba$is, cuius. e. u. quantitatem cogno$cemus, hoc modo $cilicet, fumendo radic\-e qua- dratam producti. c. e. in. e. a. eo quod quadratum. e. u. æquale e$t quadrato a. u. & quadrato. a. e. ex penultima primi Eucli. hoc e$t producto quod fit ex. c. a. in. a. e. ex. 34. tertij eiu$d\-e, & quadrato. a. e. hoc e$t producto, quod fit ex. c. e. in. e. a. ex. 3. $ecundi eiu$dem.

Inuenta po$tea. e. u. ponamus eam vnius circuli $emidiametrum e$$e, cu ius $uperficialis quantitas etiam inue niatur, vt $upra dictum e$t, quæ qui d\-e æqualis erit $uperficiei portionis n. e. u. ex. 40. primi li. Archimedis de $phæra, & cyllindro.

Hæc autem quantitas vltimo inu\-e ta multiplicetur cum tertia parte $e- midiametri datæ $phæræ, & habebi- mus $oliditatem vnius coni æqualis aggregato $oliditatis portionis. n. e. u. $imul $umpt{ae}, cũ $oliditate vnius co ni, cuius axis $it. a. o. re$iduũ $emidia- metri no$træ $phæræ dempta. a. e. ba 10. BABPT. BENED. $is verò eadem quæ e$t portionis, cuius diameter e$t. n. u. ex. 9. 12. Eucli. & ex. 42. id- e$t vltima primi Archimedis de $phæra, & cyllindro.

Nunc autem ex hoc aggregato iam vltimo dicto detrahatur conus, cuius. o. a. e$t axis et. n. u. diameter ba$is, qui quidem conus nobis cognitus e$t, cum. a. n. $emidia- meter eius ba$is, nobis cognita $it ex. 34. 3. Eucli. & $ic quantitas eius ba$is, & ita ter- tia pars. a. o. eius axis, qu{ae} multiplicata cum dicta ba$i, cuius. n. u. e$t diameter, produ cit dictum conum, qui quidem conus, vt diximus, demptus cum fuerit ex dicto ag- gre gato, relinquet nobis $oliditatem portionis. n. e. u. vnde cogno$cemus proportio nem i$tius portionis ad totam $phæram propo$itam.

Sed cum nobis propo$ita $it proportio portionis. n. e. u. ad portionem. i. e. t. cogno $cemus etiam $oliditatem huius $ecund{ae} portionis. i. e. t. & $imiliter proportion\-e hu- ius ad totam $ph{ae}ram, & ad re$iduũ etiã ip$ius $ph{ae}r{ae} hoc e$t portioni. i. c. t.

Protrahatur nunc diameter. c. e. à parte. e. v$q; quo. e. f. æqualis $it. e. o. $emidiame tro $ph{ae}r{ae}, quæ quidem. f. e. diuidatur in puncto. h. ita vt proportio. f. h. ad. h. e. æqua- lis $it proportioni portionis. i. c. t. ad portionem. i. e. t. quod quidem hoc modo efficie tur. applicabimus lineam. f. q. (indeterminatam) cum. f. e. ad quemuis angulum in pũ- cto. f. in qua accipiemus duas lineas. f. p. et p. q. inuicem ita relatas, vt $e habent in pro portione duæ iam dictæ portiones, hoc e$t, vt. i. c. t. portio ad portionem. i. e. t. ducen do po$tea. q. e. et. p. h. parallelam ad ip$am. q. e. diui$am habebimus. f. e. in eadem pro portione vt dictum e$t ex. 2. $exti, &. II quinti Euclidis, vnde. c. e: e. f. et. f. h. nobis co gnit{ae} erunt.

Oportebit nos nunc cogno$cere quantitatem. c. x. hoc modo, videlicet, qu{ae}ramus quadratum, cuius. c. x. eius $it radix, cui quadratum line{ae}. c. e. cognitum, ita $it propor- tionatum, vt e$t linea. x. f. ad lineam. f. h. qu{ae} nobis cognita e$t, quod rectè factum erit ex eo, quod $crip$it Archimedes in. 4. $ecundi de $ph{ae}ra, & cyllindro.

Sed quia Archimedes eo in loco $upponit id, quod necip$e, nec alius adhuc inue nit, ni$i via naturali, hoc e$t tres partes {ae}quales ex proportione data effici, non erit in conueniens etiam nobis hac via, circa hoc aliquid dicere.

Accipiemus igitur diametrum. c. e. cum addita. e. f. eius $emidiametro, diuidemus \’que. f. e. in puncto. h. vt $upra factum fuit, applicabimus po$tea. c. m. indeterminatam angulariter ad. c. e. à qua. c. m. accipiemus. c. g. æqualem. f. h. qu{ae}remus deinde natu- rali via punctum. b. ita ut protrahendo à puncto. e. (altero extremo diametri) e. m. pa rallelam ad. b. g. ductam, erigendo. b. d. perpendicularem ad. c. e. in puncto. b. protra cta\’q;. d. c. quæ à diametro. e. c. deducta ab. c. incohando v$que ad. x. relinquat nobis. x. f. {ae}qualem. c. m.

Cuius rei ratio e$t, quia quadratum. c. e. $e habet ad quadratum. c. d. vt. c. e. ad. c. b. ex. 4. et. 18. $exti Eucl. $ed ex. 4. ita $e habet. m. c. ad. c. g. vt. e. c. ad. b. c. & cum $it. c. g. {ae}q alis. f. h. $i. c. m. {ae}qualis fuerit. f. x. habebimus propo$itum. Quod $i quis per di- $cretum vel et hoc facere, ita ei agendum erit.

Ponamus exempli gratia totum diametrum. c. e. propo$itæ $phæræ e$$e ut decem, proportionem\’q; re$idu{ae} portionis. i. c. t. ad $ecundam. i. e. t. hoc e$t. f. h. ad. h. e. $e$qui- alteram e$$e, vnde. e. h. bis tertia erit ìp$ius. f. h. tota\’q; linea. c. f. erit. 15. et. f. h. erit. 3. & quadratum lineæ. c. e. erit. 100.

Quærendo po$tea quadratum lineæ. c. x. cui quadratum. c. e. hoc e$t. 100. ita pro- portionatum $it vt. f. x. ad. f. h. hoc e$t ad. 3. $i autem cogitauerimus. c. x. e$$e nouem partium talium qualium. c. e. e$t decem, eius quadratum erit. 81. et. x. f. erit. 6. par- tium talium qualium. c. f. e$t. 15. dicendo po$tea $i. 100. dat. 81. (ex regula de tribus) EPISTOL AE. x. f. hoc e$t. 6. dabit. 4. integra cum. 86. cente$imis, $ed nos vellemus no- bis prouenire tria, eo {quis} ita e$t. f. h. qua propter de$cendere nos oporte- bit à nouem ad. 8. & ab. 8. ad. 7. & à. 7. ad. 6. tunc inueniemus. c. x. oporte- re e$$e circiter quinque cum duabus tertijs, operãdo po$tea ex regula de tribus, $i dixerimus quando. 100. no- bis dat. 32. cum nona parte integri, tunc nouem cum tertia parte integri dabit. 2. cũ 296. de. 300. hoc e$t. 2. cum circa. 49. quinquage$imis, quæ quidem quantitas, cum propinqui$$i ma $it lineæ. f. h. trium integrorum di cemus. c. x. e$$e quinque integrorum cum duabus tertijs partibus vnius in tegri, et. e. x. re$iduum, hoc e$t axem quæ$itum portionis. i. e. t. e$$e circa. 4 integra cum tertia parte vnius inte- gri.

DE ERRORIBVS THOMAE PORCACHII & Benedicti Bordonij in eorum in$ularijs. Excellenti{$s}imo D. lo. Bapti$tæ Fæmello Ciui Decurioni{\’que} Tau- rinen$i Philo$opho, Medico, & in Accademia eius C<007>uitatis Medicinæ Practicæ Ordinario, Pri- mario{\’que} profe{$s}ori celeberrimo.

DIj perdant tuas adeo mole$tas, & a$$iduas curas, quæ te nimis à $uauiori- bus $tudijs di$trahunt, & à nobis longius abducunt. Nam, ut tibi quiet\-e, ita mihi ingentem adimunt voluptatem. Sed ne in aliquo erga te defi- cere videar, quæ tibi olim promi$i, nunc mitto.

Negari quidem non pote$t, quin fuerit laborio$um opus Porcachij, & Benedicti Bordonij, hoc e$t in$ularium, qui rectè etiam feci$$ent, cum loqui eos oportebat de terminis $phæræ ratione $itus locorum, $i $eip$os alicuius excellentis Co$mographi con$ilio $ubmi$i$$ent. Con$idera quæ$o, quomodo admitti po$$it, id quod ait Por- cachius initio $ui operis, ide$t I$landiam $ub Polo arctico iacere, inter au$trum, & boream: omittamus etiam quod idem in Pro{ae}mio lib. $ecundi, vbi ait Biarmiam, (& non I$landiam) e$$e $ub dicto polo arctico: in eodem\’q; principio repetit ip$am I$landiam inter au$trum, & boream per centum leucas Germanicas extendi, dein- de ver$us occidentem, ea duo $tupenda miracula con$pici. Vide quæ$o, quomodo incol{ae} $ub aliquo ex polis, habere po$$int occidentem, orientem, magi$trum, au$trũ, 10. BAPT. BENDE. & boream, & vt melius dicam aliquem rhombum. Sed quomodo fieri pote$t, vt in- $ula I$landiæ $it $ub polo, eius tamen dies, & nox maior non $it longior $patio triũ men$ium? vt ip$e pagina. 62. in pro{ae}mio $ecundi lib. affirmat, quamuis hoc à Bordo ne de$umat. In quo vterq; fallitur, $enti\-etes huiu$modi diem ab ingre$$u Solis, in principium geminorum incipere, & in egre$$u à Leone terminari, ide$t à. 12. Maij ad 14. Augu$ti, qua$i $i ab æquatore finis Leonis ita declinaret, vt principium gemino- rum, & finis Aquarij, vt initium Sagittarij, nam ratio po$tulat, tantum de- clinari ab æquatore finem quantum initium diei, vbi maximus dies. 24. horas ex cedit, & $ic dico de noctibus: vnde in huiu$modi regione, vbi per tres men$es conti nuos Sol radios emittit, huiu$modi dies à medietate Tauri incipit, & in medietate Leonis terminatur, quæ quidem loca æqualem declinationem habent, & $ic nox trium men$ium incipit à medietate Scorpionis, & in medietate Aquarij, eadem ra- tione finitur.

Septima verò pag. id\-e ait, dies $ol$titiales e$$e circa. 24. Iunij. Q<001>, an tũc e$$et verũ, tu ip$e videto. Is præterca modus qu\-e ad inueni\-edũ orient\-e, & occid\-etem præ$cribit in eodem pro{ae}mio pag. 63. e$t tædio$us, cum $emper expectare nos cogat æquino- ctij tempus, cum alij modi reperiantur breuiores, qui in qualibet reuolutione primi mobilis ob$eruari po$$unt, quorum vnus erit mediante inuentione lineæ meridiane orizontalis, eo modo, quo $criptum e$t ab antiquis mediante Sole, aut Luna, quæ luminaria in quolibet alio loco, præterquã $ub polo efficiunt, vt extremitas vmbræ rectæ gnomonũ gyrũ oxigoniũ, $eu eclipticũ ducat, ide$t in ijs locis, quorũ zenit e$t inter polum, & circulum arcticum, quemadmodum facit, vt alijs, exi$tentibus ip$is luminaribus extra æquatorem, & circulos arcticos gyrum hyperbolicum reddant. Sed id quod eidem Porcachio impo$$ibile e$$e apud eos, qui habitant $ub polo vi- detur, ide$t vt multis rationibus, vt ip$e dicit, fieri non po$$it, ut fiat immediata qu{ae} dam, & $ubita mutatio à continuo die ad continuam noctem ab$que eo quod ijs, $altem $emel conce$$a $int dies, & nox terminata duodecim horarum, e$t magis ad mirandum impo$$ibile, quod imaginari po$$imus, nam nece$$arium e$$et, ut orizon- habitatorum $ub polo $ecaret æquatorem contra id, quod $uperius admi$erat, id- e$t orizõt\-e Biarmiæ, e$$e eũd\-e cũ circulo æquinoctiali. Vide etiam quid is ab anti- quis colligat, loquens de iis, quæ in in$ula Taprobana ad finem pag. 186. admirabi lia $unt, $cribens eiu$dem in$ul{ae} habitatoribus, Lunam $uper terram non apparere ab octauo u$que ad decimum$extum diem: pr{ae}ter quam, quod etiam $cribit, in eadem in$ula, tramuntanam non uideri, quod fal$um e$t, quia hæc à polo arctico circiter quatuor gradibus di$tat no$tris temporibus. unde ab ijs qui $unt $ub æqua- tore, cum ea $upra orizontem e$t, con$pici pote$t, cum ij$dem $ingulis diebus oria- tur, & occidat. Idem etiam pro re admirabili $cribit, uideri Canopum, qui à po- lo antarctico plus quam quadraginta gradibus di$tat.

De erroribus Lucilli Philalthæi. AD EVNDEM.

QVod Lucillus Philalth{ae}us tam eximius Mathematicus $it, ut ip$um Anto- nius Berga facit, ego quidem non uideo. In $uis enim commentariis de Cœlo, dicit primum, Pyramidem, qu{ae} inter corpora regularia primum locum tenet EPISTOL AE. $ex ba$ibus con$tare, pag. 15. 583. 632. et. 647. Omitto errorem ab eodem com- mi$$um in fine pag. 39. ubi oleum grauius e$$e quam aquam fatetur, cum id ad res mathematicas non $pectet: Omitto etiam quod idem neget a$trologiam pag. 74. 79. & quod etiam dicat pag. 89. Deum e$$e ad orientem, non con$iderans aliqui- bus populis no$trum orientem e$$e occidentem.

Quod idem ait pag. 241. A$trologiam e$$e antiquiorem A$tronomia e$t fal$i$$i- mum, quia iudiciaria $emper præ$upponit cognitionem $itus $tellarum, quæ ab A- $tronomia petitur. Mouebit tibi ri$um quod ait pag. 307. his verbis.

Verum propriè media dicitur illa, quæ rectam $phæram omninò habet, quæ eun dem polum orizontis & mundi obtinet, quæ orizontem habet diuidentem $phærã æquè $ecundum angulos rectè.

Paulo inferius continuans $ermonem de $phæra recta, ait.

Et ni$i tumor terræ, & gibum e$$et, ijs perpetuus e$$et dies $ine nocte.

Linea verò. 56. ait habitatores $ph{ae}r{ae} rectè habere. 4. $ol$titia, $e$e ip$um huius rei planè ignarum prodens. 310. autem pag. $ic $cribit.

Quoniam repercutiuntur radij, & peridem centrum tran$eunt, ob id $tupam ap po$itam centro radius accendit.

Quem quidem errorem ab Euclide de$umit, et. 15. linea pag. 636. repetit.

Si vis ridere, legito. 16. primas lineas. 357. pag. Quod idem deinde dicat circa fi- nem 396. pag. lucem e$$e $ub$tantiam corporis lucidi & corpoream, $ubijciam tuo iudicio, vt etiam quod ait. 397. pag. his vetbis vtens.

Idcirco animalia illa, quæ nocte vagantur perpolita, dum volant, aerem terunt nocturnum, & fulgent.

Et pag. 398.

Multitudo radiorum non admodum facit ad excitandum calorem $i $olum inci- dat $ine repercu$$u, neorecta incidere iuuerit.

Quod fal$um e$t cum radius incidens longè magis quam reflexus calefaciat. In fi ne autem. 405. $ic $cribit.

Sol in ortu & in occa$u longius apparet, iccircò reuolui creditur. Hinc etiam in ab$ide $tare putatur, & in oppo$ito ab$idis, vnde $ol$titia vocant, $ed nobis in Can- cro, antipodibus verò in Capricorno tum Sol abe$$e longius apparet vtri$que.

An hoc quid peius dici pote$t? Circa vero. 40. lineam pag. 459. $ic $cribit.

Si enim alij planetæ, & $tellæ fix{ae} reciperent à Sole lumen, dum accederent ad So lem, vel recederent, aut contra, Sol ad eas appropinquaret, & ab$cederet, ea$dem- lucis vici$$itudinis $ubiret, quas Luna. Hoc autem nondum depr{ae}hen$um e$t, quin etiam Mercurius, Venus, $uo interpo $itu, Solem occultarent nobis, vt Luna. Paulo inferius $ic ait. Rur$us æquè Saturnus, Jupiter, Mars, $ubire deliquium, more Lunæ, aut $altem obiectu terræ inter Solem & ip$os, quia tum ob interpo$itam terram non po$$ent haurire lumen à Sole.

Hæc verò omnia, talia $unt, qualia ab ijs qui incipiunt intelligere $phæram non proferrentur. Omittamus, quod ait deinde.

Accedit quod $i a$tra lumen à Sole acciperent eiu$dem caloris e$$ent. Itaque om nia $iccarent, & nulla e$$ent frigidæ con$titutionis contra A$trologos.

Quia hac ratione, Luna, quæ negari non pote$t, quin ab ip$o Sole lum\-e accipiat, eiu$dem caloris e$$et cum eodem Sole. Sunt ea etiam ridenda, quæ idem ait pag. 460. lineis. 18. 19. 23. 26. 27. 29. qua$i ea lux infinita (vt ita dicam) magni Solis, non 10. BAPT. BENED. in alium finem $it effecta quam ad illuminandam $uperficiem huius excrementi ip- $ius vniuer$i ad vtilitatem hominum, imò, vt rectius dicam, animaliũ. vide etiam pag. 632. et. 633. vbi Ari$totelem de implendo loco non intellexit, cum citet $phæ- ram, loco pyramidis, & inter. 46. et. 47. lineas dicat quadratũ e$$e quid multiplex, cum $it vnicum tantum in $pecie, quia $pecies e$t quadrilateri, & quadranguli, $ed vbi in. 6. linea pag. 633. ait.

Item hexagonus.

Magnum errorem committit, vt etiam cum. 12. linea. 636. pag. $cribens.

Pyramis, $iue planum, $iue $olidum, habet acuti$$imum, & in. 2. libr. de anima pag. 215. dicat de die po$$e videri $tellas in $peculo po$ito in va$e aqua pleno, quod reuera e$t valde ab$urdum. Alios eiu$dem errores tibi non patefacio, quia iam ni- hil amplius otij mihi e$t, $ed eos tu ip$e per$picere, & cogno$cere facilè poteris, & multò plures quidem, quam putas.

_Cur maius lumen extenuet minus._ PIRRO DE ARZONIS.

EX tuis literis intellexi id, quod etiam $ine ijs exploratum mihi erat. Sed conce do tantum e$$e dicere vbi e$t maius lumen, minus non di$cerni, quantum inter diu $tellas non videri: immo e$t etiam magis vniuer$ale, quia idem multis aliis lumi- nibus, præter ea quæ $unt $tellarum, ea ratione contingit, quia ingrediente per pupil- lam, tam lumine maiori, quam minori, reflexum ip$ius maioris in oculo, in $itu mino ris, efficit, vt ip$um minus confundatur, & di$tingui nequeat, quemadmodum aper- te cogno$ci pote$t in aliquo cubiculo, cuius parietes dealbati $int, in quo, vnicum tantum $it exiguum foramen, per quod aliqua lumina reflexa ab obiectis extrin$ecis intra ip$um cubiculum ingredi po$$int, vnde imagines obiectorũ in parietibus con- $piciuntur, $ed $i per idem foramen ingrederetur etiam primarius radius Solis, re- flexus huiu$modi radij efficeret, vt dictæ imagines, magis aut minus euane$cerent, prout dictus reflexus radij $olaris, maiori, minoríue vi polleret.

Ad hoc tamen propo$itum, nolo tibi $ilentio inuolui mirabilem quendam effe- ctum eiu$modi rei. Hoc e$t vt fiat foramen illud rotundum, magnitudinis tamen vnius $pecilli, quod foramen obturetur mediante vno illorum $pecillorum, quæ pro $enibus (non breuis vi$ionis) conficiuntur, hoc e$t quorum ambæ $uperficies con uexæ $unt, non autem concauæ. Deinde opponatur folium album papiri, adeo di $tans à foramine, vt extrin$eca obiecta in eo appareant. Quæ quidem obiecta $i à Sole illu$trata fuerint, tam clara, & di$tincta videbuntur, vt nihil pulchrius dele- ctabilius\’q; videri poterit, inuer$a tamen. Sed $i ea directa videre voluerimus. hoc optimè faciemus, mediante reflexione alicuius $peculi plani.

EPISTOL AE. Cur byems valde frigida $equatur actatem in qua calor viguerit. NOBILISSIMO, NECNON INGENIOSISSIMO Gabrieli Bu$chæ, Mediolanen$i.

QVod dixi hyemem valde frigidam $equi æ$tat\-e, in qua calor viguerit, inde na $citur, quia calor terr{ae}, aquæ, & aeris, non e$t naturalis horum corporum, vt e$t frigus, cum calor à Sole procedat, qui ea calefacit $uo lumine, vnde quod æ$tate Sol præter modum calefaciat terrã, ideo cõtingit, quod minora impedim\-eta contra ria $ortiatur, & cum eandem po$tea de$erit, ad aliam partem æquatoris tran$migrãs terra ad $uam qualitatem reddit, maiori cum impetu, eo modo, quo res in mo- tibus localibus naturalibus, qui etiam terminos $ibi pr{ae}fixos, & con$titutos exce- dunt, hinc etiam hyeme fit glacies, ex calefacta prius aqua, quæ durior po$tea e$t atque frigidior alia. Ae$tas etiàm quæ $equitur hyemem valde frigidam, non erit admodum calida, quia Sol inueniens contrarium naturale valde potens, non tam facile illud pellere pote$t, vnde etiam $i in Geminis, Cancro, & Leone, moram trahat, non $ufficit tamen ut magnum calorem imprimere po$$it. Vnde $equitur duas æ$tates quarum una $equatur aliam, in eodem loco, uehementi calore præditas e$- $e non po$$e, quemadmodum nec duas hyemes exce$$iuo frigore, remotis tamen accidentibus uentorum, pluuiarum, & niuium.

QVOD MALE SENSERIT NICOLAVS TARTA- lea circa attractionem machinæ tormentalis. AD EVNDEM.

EFfectus, quem $cribit Tattalea qu{ae}$ito quinto primi lib. necnon quæ$ito 21. et. 24. maxima cum ratione e$$e uidetur, non tamen ea quam ip$e in quinto profert, quia uerum non e$t, vt quanto aliquid fit calidius, tãto ue- hementius attrahat, eo quod $i etiam huiu$modi res, in eodem calore, in quo $emel reperitur, firma maneret; neque attraheret, neque aliquid impelleret. Nam dum aliquod corpus calefit, dilatatur, & per con$equens circumcirca undiq; trudit, & partes ua$is debiliores cedunt. dum uerò dictum corpus re frigeratur, re- $tringitur, & dum in unum cogitur, $i reperiatur in ua$e, quod aer, aqua, aut aliud aliquod corpus ingredi nequeat, dictum uas à quo circundatur frangit, ne aliqua pars loci uacua remaneat, $ed $i aliquod corpus ingredi pote$t, illud ip$um ad $e at- trahit, quemadmodum uidere licet in cucurbitulis. Vnde $equitur eam propo$i- tionem, qua dicitur, calidi e$t attrahere, ueram non e$$e, quia $i hoc fieret, quanto aliquid calidus efficeretur, tanto magis attraheret, & ècontra, cum tamen planè contrarium appareat, cum quanto magis aliquid calefit, tanto uehementius impel- lat, & quanto magis frigefit, tanto plus attrahat. Quapropter uerius dicemus, fri- gidi e$$e attrahere, calidi uerò expellere, quamuis per accidens. Ex quo $equitur, ut quanto calidior facta fuerit materia aliqua, aliquo loco determinata, redeundo po- $tea ad $uam priorem frigiditatem, tanto minori loco indigeat, $imiliter etiam è conuer$o accidit, ut quanto frigidior re<002>itur talis materia, tanto maioriloco, po- 10. BAPT. BENED. $tea egeat ip$a ualde calefacta. Quod Tartalea in quinto qu{ae}$ito non animaduer- terat.

_Solutiones aliqua, circa altimetriam._ AD EVNDEM.

TVas literas accepi, tuas\’q; dubitationes con$ideraui, quas quidem non inutiles inueni, quo uerò ad primam, dico te oportere illud Theorema $peculari or dine huiu$modi methodi, uidelicet quod quotie$cunq; habuerimus angulũ aliqu\-e cuiufuis amplitudinis, puta. A. R. V. cuius duo latera. R. A. et. R. V. indeterminata intelligantur, $i ab aliquo puncto inter ip$as po$ito, puta. u. quod etiam uocetur. i. du ct{ae} fuerint. 4. line{ae} ip$is dictis lateribus, hac $cilicet cõditione, q<001> du{ae} ex dictis. 4. $int parallel{ae} ipfis laterib<_>9, puta u. e. et. u. E. reliqu{ae} uero du{ae} $eccent ip$a latera, ut V. u. a. et. I. u. A. Dico nunc pro- portionem. e. A. ad. e. a. ean dem e$$e, qu{ae}. E. V. ad. E. I. Nam $cimus proportionem E. i. ad. E. i. eandem e$$e qu{ae} e. i. ad. e. A. ex fimilitudine triangulorũ, $imiliter {pro}por tion\-e. E. u. ad. E. V. eãd\-e qu{ae} e. a. ad. e. u. quare aggregata ex i$tis erunt inuicem {ae}qua- lia, uel $i mauis ex {ae}qua pro portionalitate, quod idem e$t, ita $e habebit. E. I. ad. E.V. ut. e. a. ad. e. A.

Suppo$ito nunc plano orizontali. V. E. Altitudine\’q; inacce$$ibili. A. E. Du{ae} ue- rò $tationes oculorum $int. V. et. I. line{ae} autem ui$uales $int. V. A. et. I. A. Et quadra- tum geometricum $it. b. e. Supponatur nunc pro prima dubitatione, quod in am- babus $tationibus filum perpendiculare $eccet latus. e. c. non autem. b. c. (nam quan- do in ambabus $tationibus filum $ecat latus. b. c. nullum tibi dubium oritur, imo ma nife$tè patent partes lateris. b. c. terminatas à. b. & à filo proportionales e$$e. V. E. & I. E. $umpto. E. pro. b. et. I. V. pro punctis $ecatis à filo, ex euid\-eti $imilitudine trian- gulorum quadrati cum triangulis. A. E. V. et. A. E. I.) Sed cum in pr{ae}$enti ca$u repe- riatur triangulum. u. e. a. minus, in $tatione remotiori, $imile triangulo maiori. V. E. A. & triangulum maius. i. e. a. proximioris $tationis, $imile triangulo minori. I. E. A. (quod in alio iam dicto, ca$u non accidit, ut unum triangulorum, minus $cilicet, $i- mile $it uno triangulorum, maiori $cilicet & è conuer$o) Non omnino ab$que ratio ne dubitas quo pacto fieri po$$it ut. a. e. remotioris $tationis ad. a. e. propinquioris ita $e habeat quema dmodum. I. E. ad. E. V. Quapropter $i pr{ae}cedentem figuram dili- EPISTOL AE. genter in$pexeris, omnis tua dubitatio euane$cet. in qua figura apertè vi debis cor- re$pondentiam talium triangulorum inter $e, nec magis, nec minus quam in infra- $cripta hic figura cernere licet, quamuis in hac, triangula quadrati, $eparata $int ab imaginarijs. A. E. V. et. A. E. I. in $upradicta vero coniuncta, & inuicem communican tia in puncto. u. i. quod quidem nihil refert. Dempta igitur. a. e. minori ex. a. e. ma- iori, reliquum ita $e habebit ad. a. e. minorem, vt, V. I. ad. I. E. quod nunc tibi clarè patebit. Vnde ex te poteris ordinem operationis pro$equi, vt in cognitionem peruenias ip$ius. I. E. ip$ius. A. E. & ip$ius. I. A. vel. V. A.

Sed quãdo in proximiori $tatione latus. b. c. in remotiori vero latus. c. e. $ecatur à fi lo (pro $ecunda dubitatione) Tunc oportet imaginatione con$iderare latus. b. c. in re motiori $tatione di$tentum e$$e v$que ad filum in puncto. n. vbi videbis triangulũ. u. b. n. $imile triangulo. A. E. V. ita vt. i. b. a. $imile $uo. A. E. I. reperitur, vbi tam in vno 10. BAPT. BENED. quam in altero. i. b. et u. b. corre$pondebit ip$i. A. E. et. b. n. ip$i. E. V. et. b. a. ip$i. E. I. quapropter iubeo, vt quæras quantum $it latus. b. n. ex regula de tribus, dicens $i. a. e. tribuit mihi. e. u. quid mihi dabit. u. b?eo quod. a. e. u. $imile e$t. u. b. n. reperto autem latere. b. n. ex quo dempto. b. a. breuioris di$tanti{ae}, re$iduum re$pondebit ip$i. I. V. vt $cis, vnde pro$equendo operationem tibi cognitam, obtinebis intentum, hoc e$t co gno$ces reliqua interualla. Nihil enim miror demon$trationem Tartaleæ circa hu iu$modi operationem te minime $atisfeci$$e.

Quod autem quarta propo$itio illius $criptoris, de quo nuper mecũ locutus es, vt mihi dixi$ti, tua $it, hoc enimego, nec affirmare, nec negare audeo, quamuis in mul tis cum tua manu$cripta concordet. Nam ${ae}pæ cogitationes hominum in idem co- incidunt, vt pluries cen$uit Ari$to.

Demonstrationes quorundam problematum NicolaiTartalea cum al{ij}s operationibus circa eadem $ubiecta. AD EVNDEM.

AMor erga te meus $anè $ingularis, nullo modo <002>mittit, vt ea quæ Tartale{ae} $cri pta examinãdo inuenerim, non tibi cõmunicem. Hæc autem $unt circa quæ dam illius Authoris problemata, quorum primum ab ip$o Tartalea $criptum in. 3. quæ$ito libr. 4. tale e$t, is vult locare. 3500. homines, eodem modo, quo præ$upponit locatos e$$e. 1000. ita vt quilibet hominum ordo $iue vt vulgo di- citur filtia $it. 49. quapropter multiplicat quadratum ip$ius. 49. quod e$t. 2401. cũ numero. 3500. propo$ito, productum verò. 8403500. diuidit per. 1000. vt proue- niat. 8403. cuius radix quadrata e$t. 91. pro numero hominum vniu$cuiu$que ordinis propo$iti numeri. 3500.

Pro cuius operationis ratione, cogitemus rectangulum. a. b. 1000. hominum, et. d. b. $it vna filtia $iue ordo. 49. hoĩum, cuius quadratũ $it. b. c. 2401. imaginemur etiã re ctangulum. A. B. 3500. hominum, quod $upponemus $imile rectangulo. a. b. et. B. C. EPISTOL AE. $it quadratum ip$ius. D. B. Nunc $upponendo. A. B. $imile. a. b. clarum erit ex diffini- tione $imilium figurarum, quod eadem proportio erit. A. D. ad. D. B. qu{ae}. a. d. ad. d. b. hoc e$t. A. D. ad. D. C. vt. a. d. ad. d. c. hoc e$t. A. B. ad. B. c. vt. a. b. ad. b. c. ex prima $exti, vel. 18. $eu. 19. $eptimi, tunc cum dixerimus $i. a. b. ita re$pondet ad. b. c. ergo. A. B. corre$pondet etiam ita ad. B. C. quare ex regula de tribus rectè fit multiplicando. A. B. per. b. c. productum verò diuidendo per. a. b. ex. 15. $exti vel. 20. $eptimi, cuius prouentus radix quadrata erit quod quærebatur.

Sed aliter idem po$$e fieri $peculatus $um, hoc e$t multiplicando numerum. 49. ordinis. 1000. hominum cũ radice quadrata numeri. 3500. propo$iti, productum ve- rò diuidere per radicem quadratam ip$ius. 1000. vnde prouentus. 91. erit numerus vnius ordinis. 3500. numeri {pro}po$iti.

Cuius o<002>ationis $peculatio e$t i$ta. Sit. a. b. quadratum. 1000. et. a. c. $ua radix et. a. d. rectangulum propo$i- tum ip$ius. 1000. et. a. e. vnus ordo. Sit etiam. A. B. quadratum. 3500. & A. C. eius radix et. A. D. rectangulũ ip$ius numeri. 3500. propo$iti, $imile tamen rectangulo. a. d. et. A. E. eius vnus ordo. Cũ enim. a. b. æquale $it a. d. et. A. B: A. D. tũc. a. c. erit media proportionalis inter. a. e. et. e. d. & $ic A. C. erit etiam media proportiona lis inter. A. E. et. E. D. per. 16. $exti, $eu. 20. $eptimi, & quia proporrio. A E. ad. E. D. æqualis e$t proportioni. a. e. ad. e. d. cum. A. D. $upponatur $i- mile. a. d. ergo proportio. A. E. ad. A C. {ae}qualis erit proportioni. a. e. ad. a. c. qu{ae} medietates $unt totorũ æqua- lium, rectè igitur fiet $i procedamus ex regula de tribus, dicendo $i. a. c. corre$põdet. a. e. tùc. A. C. corre$põ det. A. E. ex $upradictis. 15. $exti. vel 20. $eptimi.

Ratio verò quarti quæ$iti per $e patet, quod e$t inuenire pauimentũ $eu aream quadratam, in qua po$$int locari quot homines volueris, ita in ter $e $iti, ut vnu$qui$que occupet. 7. pedes ip$ius are{ae} in longitudinem et. 3. per latitudinem à lateribus.

Seu ex propo$ito hominum nume ro inuenire numerum ip$orum loca- bilem in aliqua area quadrata, ita, vt vnu$qui$que occupet. 21. pedes quadratos ip$ius areæ.

10. BAPT. BENED.

Sed aliter idem fieri po$$e inueni, hoc e$t multiplicãdo radicem quadratam pro- po$iti numeri hominum per. 21. & productum item multiplicando per eandem radi cem, & huiu$modi producti radicem diuiden do per. 3. vnde prouentus e$$et nume- rus hominum vnius ordinis. Ex\-epli gratia proponuntur. 3600. homines, multiplica bimus huiu$modi numeri radicem quadratam hoc e$t. 60. per. 21. hoc e$t per productum quod fit ex. 7. cũ 3. & re$ultabit nobis. 1260. quod $i multiplicabitur, per. 60. hoc e$t per eandem radicem, re$ultabit nobis. 75600. cuius producti radix qua- drata e$t ferè. 275. qua diui$a per. 3 proueniet nobis. 91. pro hominum numero vnius ordinis.

Cuiusratio e$t i$ta, cogitemus nu merum. 3600. propo$itum e$$e qua dratum. a. b. ($ed non areæ) cuius ra dix. 60. $it. a. c. & quia hic numerus. 60. intelligitur e$$e hominum, quo- rum vnu$qui$q; occupat. 21. pedes quadratos $uperficiales ex $uppo$i- to, & propterea multiplicatur, 60. cum. 21. vnde nobis veniat. 1260. quadrati $uperficiales pro vnoquo- que ordine, & <003>a. b. c. vt. latus qua- drati. a. b. habet tot ordines homi- num $imiliter, hoc e$t. 60. igi- tur multiplicando. 60. cum. 1260. habebimus totalem $uperficiem. a. b. ex. 75600. quadratis $uperficiali- bus, quæ quadrata imaginemur lo- cata e$$e in quodam totali quadra- to, quod $it. e. f. cuius radix $it. e. g. 275. pedum qui diuidantur per. 3. hoc e$t per numerum pedum latitu- dinis & prouenient nobis. 91. pro numero hominũ vniu$cuiu$q; ordi- nis, diuidendo po$tea latus. f. g. per numerum $patij inter vnum, & aliũ ordinem, quod e$t. 7. proueniet nobis. 39. pro numero ordinum.

Aliter, & breuius etiam po$$umus idem inuenire, hoc e$t multiplicando nume- rũ propo$itũ hominũ cũ rectangulo. 21. vnde venietnobis {pro}ductũ. 75600 quod pro ductũ $i accipiemus vt quadratũ, cuius radix erit. 275. quæ diuidatur <002>. 3. habebi- mus {pro}pofitũ. Cuius ratio p\-edet à $upradicta, eo q<001> loco multiplicãdi. a. c. (hoc e$t. EPISTOL AE. 60.) per. 21. deinde productũ etiam multiplicare per. b. c. (hoc e$t. 60.) breuius erit multiplicare totum numerum. 3600. per. 21. c{ae}tera verò facere, vt diximus.

Sed vnaquæq; i$tarum operationum, aliquid imperfectionis patitur, eo quod cũ aliquis cuperet quadratum perfectum $uperficiale habere, ab$q; aliquo defectu, vel exce$fu, aliquid aliud adhuc facere oporteret, hoc e$t, inuentum cum fuerit quadra tum. e. f. cum $uis radicibus. e. g. et. g. f. pedum. 275. vnaquaque, vt in dicto exemplo factum e$t, oportebit numerũ quærere minorem ip$o. 275. $ed proximiorem men- furabilem ab. 3. & ab. 7. quod facilè fiet $i diui$erimus. 275. per. 21. detrahendo fra- cta diui$ionis ab ip$o. 275. quæ quidem fracta in hoc exemplo $unt. 2. vnde remane- bit. 273. pro numero laterum quadrati $uperficialis, in quo po$$ent locari. 3549. ho- mines, eo ordine quo $upra dictum e$t, quorum $cilicet vnu$qui$que obtineat. 21. pedes $uper$iciales.

DE INTERVALLIS MVSICIS. _Cypriano Rorè Mu$ico celeberrimo._

OPINIO Hectoris Eu$onij Cypriane mi dilecti$$ime, vera non e$t, quod ali quisrectè po$$it intelligere rationes con$onantiarum mu$icæ, ablque co gnitione illarum mediante ip$o $en$u, imo nemo põt calere theoriã mu $ices, ni$i aliquo mõ ver$atus $it in praxi. Qũo enim cogno$ci poterũt quid nam $int diapa$on, diapente, diate$$eron, ditonus, $emiditonus, hexacordum maius, aut minus, & con$onantiæ ex ijs cum diapa$on compo$itæ, ab$que earum praxi? vnde $equetur neq; etiam cogno$ci po$$e interualla di$$onantia. Et purus practicus non intelliget quid $it octaua, quinta, quarta, tertia maior, tertia minor, $exta maior, $exta minor, decima maior, decima minor, vndecima, duode- cima, decimatertia maior, aut minor, aut decimaquinta, & aliæ, ita vt ad comparandam perfectionem mu$icæ nece$$arium $it, & th{ae}oriam & praxim ad- di$cere. Cum pr{ae}terea Ludouicus Folianus apertè mon$trarit (etiam $i id à diato- nico $intono Ptolomei de$ump$erit) reperiri duos tonos, maiorem, & minorem, id- e$t $e$quioctauum, & $e$quinonum, & tria $emitonia, maius, minus, & mini- mum, ide$t $e$quiquintumdecimum, qui e$t maius, $e$quiuige$imum quartum id- e$t minimum, & mediocre, vt. 27. ad. 25. quæ proportio $uperbipartiens vige$i- ma$quintas appellatur, & cum cognouerit $emiditonum con$onantem e$$e $e$qui- quintum, ditonum $e$quiquartum, & hexachordum minus, vt. 8. ad. 5. quæ propor- tio dicitur $upertripartiens quintas, & hexachordum maius, vt. 5. ad. 3. h{ae}c autem vo catur $uperbipartienstertias; omnium $implicium con$onantiarum cognitioni, ex- tremam impo$uit manum. Et quia tibi etiam o$tendere promi$i in modulationibus 10. BAPT. BENED. hæc omnia interualla $eruari, ideo ad te mitto $eptem hic $ub$cripta exempla, in quorum primo, & $ecundo, inter die$im, et. b. in $uperiori, agno$ces interuallum mi nimi $emitonij, & $i ibi $it die$is, tanquam terminus ad quem, et. b. tanquam termi- nus à quo: quod autem inter die$im et. b. $it $emitonium minimum, facilè agno$ces $i $ubtraxeris decimã minor\-e à maiori, quã facit $uperius cũ inferiori, ide$t cũ ba$$u.

Qua quidem modulatione tu etiam v$us es in cantilena illa, quæ Galica lingua incipit. Hellas comment. Eadem, ego quoque in meis cantilenis latino $ermo- ne compo$itis, quæ Moreta vocantur aliquando v$us $um.

Sed in tertio exemplo inuenies $emitonium maius, nece$$ariò genitum in $upe- riori, $i $extam maiorem cum ba$$u e$$icere volueris, quia tenor, à ditono cum $uperiori ad diapentem, & ad vni$onum cum ba$$u procedit, vbi quie$cit, progre- diendo po$tea ba$$us ad $emiditonum cum tenore, tunc $i à proportione huius $ep- timæ, quæ e$t vt. 9. ad. 5. hoc e$t $uperquadripartiensquintas demptum fuerit hexa- chordum maius, $eu $exta maior, quæ e$t vt. 5. ad. 3. remanebit proportio. 27. ad. 25. quæ maior e$t quam. 32. ad. 30.

In quarto ex\-eplo habebis $emitonium minus in $uperiori, quod quidem remanet ex $ubtractione ditoni cõ$onãtis ab diate$$aron cõpr{ae}hen$a à $uperiori cum tenore.

In quinto exemplo videbis tonum minorem, & tonum maiorem $ucce$$iuè vnum po$t alium in tenore, detrahendo primo $emiditonũ à diate$$aron, quod $uperius fa- cit cum tenore, vel detrahendo diapente ab hexachordo maiori, quod facit tenor cum ba$$u, vnde remanet tonus minor $e$quinonus, detrahendo po$tea diate$$aron à diapente, quod $uperius facit cum tenore, remanebit tonus maior $e$quioctauus.

In $exto exemplo deinde videbis tenorem a$cendere per duos tonos minores $uc ce$$iuè vnum po$t alium in tenore, $i d\-ep $eris $emiditonũ à diate$$aron cũ $uperiori.

In. 7. ex\-eplo demum videbis $uperior\-e a$cendere per duos tonos maiores $ucce$- $iuè vnũ po$t aliũ, $i demp$eris diate$$aron à diapente, quod facittenor cũ $uperiori.

EPISTOL AE. De eodem $ubiecto. AD EVNDEM.

QVod aliàs tibi dixi, verum e$t, quod nece$$arium nullo modo $it, vt modulan- do, de$inat cantilena in eodem tono (quod Græci phthongum appel- lant) à quo inc{ae}pit. immo nece$$ariò $emper ferè, altius, aut depræ$- $ius terminatur, per differentiam alicuius interualli æqualis, vel multiplicis ip$i com mati $e$quioctuage$imæ, quod quidem comma, quamuis cantabile non $it, in$en$i- biliter tamen generatur, & toties ab aliqua parte ip$ius cantilenæ po$$et dictũ com- ma gcnerari, ver$us acutum, vel graue, quod in fine ip$ius cantilen{ae}, vocis phtongus reperiatur di$tans à primo per interuallum alicuius toni $e$quinoni, $eu $e$quioctaui plus, minúsue, vt in $ub$cripto exemplo clarè videre potes in prima figura, vbi $u- perius à. g. prim{ae} cellulæ ad. g. $ecundæ, intere$t vnum cõma, eo quod progrediens $uperius in prima cellula ip$ius cantilenæ à quarta ad quintam cum tenore, a$cendit per tonum $e$quioctauum, à prima cellula deinde ad $ecundam, tenor a$cendit $imi- liter per tonum $e$quioctauum cum tran$eat à quinta ad quartam, quod facit cum $uperiori, in $ecunda cellula po$tea, cum $uperius de$cendat à maiori $exta ad quin tam, quod facit cum ba$$u, $eu à quarta ad tertiam minorem, quod facit cum teno- re, tunc de$cendit per tonum $e$quinonum, ita quod non reuertitur ad eund\-e phthõ gum, vbi prius erat in prima cellula, $ed reperitur per vnũ coõma altius, q<001> quid\-e cõma e$t differentia inter tonũ $e$quioctauũ & $e$quinonũ, vt alias tibi demõ$traui.

Progrediendo igitur hoc modo, videbis quod cum tenor à $ecunda cellula ad ter tiam tran$eat à tertia minori ad quartam, quod facit cum $uperiori, de$cendit per tonum $e$quinonum, vnde in tertia cellula altius remanet quam in prima per vnũ comma, in qua tertia cellula, cum iterum tran$eat $uperius à quarta ad quintam, {quis} facit cum tenore, eleuatur per tonum $e$quioctauum, pro$equendo deinde tali ordi ne, vidcbis in quarta cellula cantilenam auctam per duo commata, in $exta, aũt cel- lula per tria commata, in octaua verò per. 4. commata, vnde hac merhodo, $i can- tilena prolixior debito e$$et, vel $i talia interualla frequentiora reperirentur, po$$et cantilena à principio ad finem differre per. 9. commata, & plus etiam, quæ quidem 10. BABPT. BENED. interualla $uperant tonum $e$quinonum, & $i e$$ent. 10. commata $uperarent tonum $e$quioctauum, eo quod aggregatum ex. 9. commatibus continetur $ub i$tis duobus terminis hoc e$t. 150094635296999121. et. 134217728000000000. quæ qui- dem proportio maior e$t proportione $e$quinona, $umma verò. 10. commatum con tinetur $ub. 12157665459056928801. et. 10737418240000000000. quæ pro portio maior e$t tono $e$quioctauo, quod autem dico de a$cen$u cantilenæ, idem a$- $ero de eiu$dem de$cen$u, & hoc non tantum per interuallum illius commatis, quod e$t differentia toni maioris à minori, $ed etiam per illud quod e$t differentia $emito nij maioris à minori, vt in $ecundo exemplo hic $ub$cripto videre e$t in de$cen$u cantilenæ per comma & comma, vt differentia inter $emitonia maiora & minora, vbi in prima cellula di$cedens ba$$us à quinta cum $uperiori, & ab vni$ono cum te- nore de$cendens ad tertiam minorem cum ip$o tenore, facit cum $uperiori $eptimã maiorem, quæ e$t vt. 9. ad. 5. $uperquadripartiensquintas $cilicet, à qua di$cedens po$tea $uperius, vt faciat cum ba$$u $extam maiorem, de$cendit per $emitonium ma ius, à qua $exta maiori de$cendens ba$$us, & a$cendens per quartam, efficit cum di- cto $uperiori tertiã maiorem, à qua di$cedens $uperius, vt efficiat quartam cum ip$o ba$$u (qui quidem ba$$us tran$it in tenorem) a$cendit per $emitonium minus, diffe- rens à $emitonio maiori per vnum comma, vnde cantilena remanet depre$$a per vnum comma. cum deinde idem faciat inter tertiam, & quartam cellulam, per a- liud comma de$cendit, & $ic toties facere po$$et, vt po$tremo valde deprimatur cantilena à primo phthongo.

Quod autem hic $upradictum e$t, clrca in$trumenta artificialia non accidit, qua propter organa, & clauicimbula concordantur certo quodam ordine, ita vt omnes con$onantiæ, excepta diapa$on, $eu octaua, $int imperfectæ, hoc e$t, aut diminut{ae}, aut $uperantes à in$to, vt exempli gratia, omnes quintæ $unt diminutæ, quartæ verò $unt exce$$iu{ae}, quod quidem fit, vt tertiæ, & $extæ, non multum auribus di$$onent, eo quod $i quintæ omnes, & quartæ, perfectæ e$$ent, tunc omnes $ext{ae}, & tertiæ in- tollerabiles e$$ent, & à perfectis differrent per vnum comma, quod manife$tum no- bis erit hoc modo, accipiamus tres diapentes, $eu quintas, con$equenter $ucce$$iuas vnam po$t aliam, hoc e$t tres proportiones $e$quialteras, quarum aggregatum erit vt. 27. ad. 8. quæ proportio, dicitur tripla $upertripartiensoctauas, & quæ à practicis EPISTOL AE. appellaretur tertia decima maior, vt exempli gratia, e$$et Gamaut cum $ecundo ela mi, tunc talis tertiadecima valde odio$a e$$et $en$ui auditus, à qua, $i dempta $uerit diapa$on, $eu octaua, remaneret quoddam hexachordum maius, $eu $exta maior, au- ribus valde inimica, $ub proportione. 13. ad 8. $ed hæc proportio differret à propor tione $uperbipartientetertias perfecti hexachordi maioris, hoc e$t $extæ maioris con$onantis, per proportionem $e$quioctuage$imam, hoc e$t per vnum comma, quod quidem e$t etiam differentia aggregati trium $e$quialterarum, à tertiadeci- ma maiori con$onanti, hoc e$t exce$$us proportionis triplæ $upertripartientis octa- uas, $upra triplam $e$quitertiam, quæ e$t $umma ip$ius duplæ cum $uperbi partien- tetertias.

A tali $umma igitur trium $e$quialterarum efficitur tertiadecima maior di$$onans excedens con$onantem per vnum comma (cuius proportio e$t. 81. ad. 80.) quæ con- fonans continetur in proportione. 10. ad. 3. vt $upra dixi.

Hæcigitur e$t vera ratio, propter quam debemus comma di$tribuere in organis & clauicymbalis, cum ab aggregato trium quintarum producatur talis exce$$us $u- pra perfectam, $eu con$onantem tertiamdecimam maiorem, quod quidem aggre- gatum, cum demptum fuerit à quintadecima, relinquet nobis tertiam minorem di$$onantem, & mancam, per eundem exce$$um à con$onanti. quæ quidem tertia minor di$$onans $ubtracta à diapente $eu quinta perfecta, relinquet nobis tertiam maiorem di$$onantem, qu@ con$onantem excedit per eundem exce$$um comma- tis, & hæc demum tertia maior di$$onans, dempta ex diapa$on, $eu octaua, relin- quet nobis hexachordum minus, hoc e$t $extam minorem di$$onantem, & muti- lam à con$onanti per eundem exce$$um commatis. De huiu$modi verò commatis di$tributione docti$$imè $crip$it Excellenti$$imus Zarlinus in $ecunda parte In$titu- tionum Harmonicarum.

Sed quia $en$us auditus non pote$t exactè cogno$cere debitam quantitatem ex- ce$$us, vel defectus, intendendo vel remittendo chordas in$trumentorum, ideo hanc viam $equutus $um.

Sit exempli gratia, hic $ub$criptus ordo lignorum tangentium $eu pinarum inci- piens ab. G. de$inens ad. g. ita quod inter ip$os terminos $it ea con$onantia quæ vo- catur vige$ima$ecunda, quæro primum. b. inter. D. E. quod e$t nigrum ip$ius Ela- mi graui$$imum, quod gro$$o modo facio con$onans cum. G. graui$$imo per $ex- tam minor\-e, deinde cũ ip$o ptimo. b. ip$ius elami concordo $uum octauum & quin- tumdecimum, quo perfectius po$$um, deinde accipio. b. molle $ecundum ip$ius. b fabmi quod concordo cum. b. primo ip$ius Elami per quintam imperfectam, dein- de cum hoc. b. $ecundo ip$ius b$abmi concordo $ecundum. f. per quintam $imiliter imperfectam, cum quo. f. po$tea concordo tertium. c. per $imilem quintam, quem tertium. c. po$tea confero cũ $ecundo. b. ip$ius elami, ita quod inter $e con$onent per $extam maiorem tolerabilem, & $i $ic inuenio, tunc nihil muto has treschordas hoc.

G A B b C * D b E F * g * a b b c * d b e f * g * a b b c * d b e f * g * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4. 10. BAPT. BENED.

e$t. b. $ecundum ip$ius bfabmi, f. $ecundum, et. c. tertium, $ed $i dictum tertium. c. valde di$$onans e$$et cum. b. $ecundo ip$ius elami, tunc ip$um. c. intendo, aut re- mitto, quou$que aliquo modo $it con$onans per $extam maiorem aliquantulum ex ce$$iuam cum. b. $ecundo ip$ius elami, cum quo po$tea. c. con$onare aliquantulum fa cio. f. $ecundum per quintam defectiuam, & cum hoc demum. b. $ecundum ip$ius bfabmi, quo facto concordo $ecundum. c. cum tertio per octauam, cum quo $ecun- do. c. po$tea concordo tertium. g. per talem quintam, quod ip$um tertium. g. cum $e- cundo. b. ip$ius bfabmi con$onet tolerabiliter per $extam maiorem aliquãtulum ex- ce$$iuam, deinde cum i$to tertio. g. concordo tertium. d. per talem quintam, ita quod ip$um. 3. d. concordettolerabiliter cum. 2. f. per $extam maiorem exce$$iuam, po$tea cum hoc. 3. d. concordo. 2. d. per octauam perfecte, cum quo. 2. d. po$tea concordo. 3. a. per quintam, vt in alijs factũ e$t, ita vt cũ. 2. c. con$onet talis $exta maior, vt $upra dictum e$t, cum quo. 3. a. po$tea concordo. 3. e. per quintam, vt dictum e$t, ita quod cum. 3. g. faciat $extam maiorem vt $upra, po$tea cum hoc. e. concordo. 2. e. per octa uam, cum quo concordo. b. quadrum tertium per quintam, vt dictum e$t, ita quod cũ 2. d. faciat $extam maiorem $imilem alijs $uperius dictis, cum quo. b. quadrato tertio concordo tertium nigrum ip$ius. f. per quintam, ita quod cum. 3 a. faciat $extam ma- iorem, vt $upra, deinde cum hoc concordo. 2. f. nigrum per octauam, cum quo, per quintam concordo 3. c. nigrum ita quod cum. 2. e. faciat $extam dictam, demum cũ hoc concordo. 4. g. nigrum per quintam, ita quod faciat cum. 3. b. quadrato $extam dictam, & $ic ad vltimam quintam peruenio, $upra quod. g. nigrum nulla quinta am- plius reperitur, po$tea cum i$tis chordis concordo per octauas omnes alias ab acutis ad graues.

G A B b C * D b E F * g * a b b c * d b e f * g * a b b c * d b e f * g * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4.

Valde etiam admiratione dignum e$t, quod per$ectiores quæque con$onan tiæ, ita in harmonica diui$ione $ibi inuicem conueniant, vt dia pa$on cum diapente, cum diapa$ondiapente, cum ditono, cum hexachordo maiori cum bisdiapa$on, cũ decimaleptima maiori. Nam in ip$a diapa$on, harmonicè locãtur diapente in par te grauiori, & diate$laron in acutiori. In diapente verò harmonicè locantur ditonus in parte grauiori, & $emiditonus in acutiori. In ditono harmonicè locantur tonus maior in parte grauiori, & tonus minor in acutiori. In hexachordo maiori, harmo- nicè locantur diate$$aron in parte grauiori, & ditonus in acutiori. In diapa$ondia- pente, harmonicè locantur diapa$on in parte grauiori, & diapente in acutiori. In bisdiapa$on, ha@monicè locantur decima maior in parte grauiori & hexachor- dum minus in acutiori. In decima$eptima maiori, harmonicè locantur diapa$ondia- pente in parte grauiori, & hexachordum maius in parte acutiori. Ita quod ronus $e$quioctauus in ditono, proportionalis e$t ip$i ditono in diapente. Tonus verò $e$- quinonus in ip$o ditono, proportionalis e$t triemitonio, vel $e$quitonio $eu $emidi- tono (quod idem e$t) in diapente. Ditonus autem in diapente, proportionalis e$t ip$i diapente in diapa$on. Se$quitonus verò in diapente, proportionalis e$t diate$- $aron in diapa$on. Et $ic de $ingulis. Ita quod tonus $e$quioctauus in ditono, dito- mus in diapente, diate$$aron in hexachordo maiori, diapente in diapa$on, diapa$on in diapa$ondiapente, decimamaior in bisdiapa$on, diapa$ondiapente in decima- EPISTOL AE. $eptima maiori, omnia $ibi inuicem $unt proportionalia, idem etiam dico de reli- quis partibus, cum relatæ fuerint ad $ua tota.

Nec alienum mihi videtur à propo$ito in$tituto, $peculari modum generationis ip$arum $implicium con$onantiarũ; qui quidem modus fit ex quadam æquatione per @u$$ionum, $eu æquali concur$u vndarum aeris, vel conterminatione earum.

Nam, nulli dubium e$t, quin vni$onus $it prima principalis auditu\’q amici$$ima, nec non magis propria con$onantia; & $i intelligatur, vt punctus in linea, vel vnitas in numero, quam immediate $equitur diapa$on, ei $imillima, po$t hanc verò diapen te, cæteræ\’q;. Videamus igitur ordinem concur$us percu$$ionum terminorum, $eu vndarum aeris, vnde $onus generatur.

Concipiatur igitur mente monochordus, hoc e$t chorda di$tenta, quæ cum diui$a fuerit in duas æquales partes à ponticulo, tunc vnaquæq; pars eundem $onum pro- feret, & ambæ formabunt vni$onum, quia eodem tempore, tot percu$$iones in aere faciet vna partium illius chordæ, quot & altera: ita vt vndæ aeris $imul eant, & æqua liter concurrant, ab$que ulla inter$ectione, vel fractione illarum inuicem.

Sed cum ponticulus ita diui$erit chordam, vt relicta $it eius tertia pars ab vno la- tere, ab alio vero, du{ae} terti{ae}, tunc maior pars, dupla erit minori, & $onabũt ip$am dia pa$on con$onantiam, percu$$iones vero terminorum ip$ius, tali proportione $e inui- cem habebunt, ut in qualibet $ecunda percu$$ione minoris portionis ip$ius chordæ, maior percutiet, $eu concurret cum minori, eodem temporis in$tanti, cum ne- mo $it qui ne$ciat, quod quo longior e$t chorda, etiam tardius moueatur, quare cum longior dupla $it breuiori, & eiu$dem inten$ionis tam vna quam altera, tunc eo tempore, quo longior vnum interuallum tremoris perfecerit, breuior duo interual- la conficiet.

Cum autem ponticulus ita diui$erit chordam, ut ab uno latere relinquantur duæ quintæ partes, ab alio verò tres quintæ, ex quibus partibus generatur con$onantia diapente; tunc clarè patet, quod eadem proportione tardius erit vnum interuallum tremoris maioris portionis, vno interuallo tremoris minoris portionis, quam ma- ior portio habet ad minorem; hoc e$t tempus maioris interualli ad tempus minoris erit $e$quialterũ quare non cõuenient $imul, ni$i perfectis tribus interuallis mino- ris portionis, & duobus maioris; ita quod eadem proportio erit numeri interuallo- rum minoris portionis ad interualla maioris, quæ longitudinis maioris portionis ad longitudinem minoris; vnde productum numeri portionis minoris ip$ius chordæ in numerum interuallorum motus ip$ius portionis, æquale erit producto numeri portionis maioris in numerum interuallorum ip$ius maioris portionis; quæ quidem producta ita $e habebunt, vt in diapa$on, $it binarius numerus; in diapente verò $enarius; in diate$$aron duodenarius, in hexachordo maiori quindenarius; in di- tono vicenarius, in $emiditono tricenarius, demum in hexachordo minori quadra genarius: qui quidem numeri non ab$que mirabili analogia conueniunt inuicem.

Voluptas autem, quam auditui afferunt con$onantiæ fit, quia leniuntur $en$us, quemadmodum cõtra, dolor qui à di$$onantijs oritur, ab a$peritate na$citur, id quod facilè videre poteris cum conchordantur organorum fi$tulæ.

10. BAPT. BENED. DE IVSTITIA COMMVTATIVA. Franci$co Ferrario Anci$a Iuri$con$ulto $enatori{\’que} apud $ubalpinos graui{$s}imo.

SAEPIVS inter nos dum oportunitas vicinarum ædium, & amoris mutui vis, ad familiaria trahunt colloquia ego de meis mathematicis, tu de tuis legibus, in quibus tractandis magnum tibi nomen compara$ti loquuti $u mus. Cum vero nonnunquam de mirabili iu$titiæ commutatíuæ in$titu to non ingratus incidi$$et $ermo, dixi modum, quo formam $uam à proportionali- tate arithmetica di$iuncta, & non a coniuncta de$umat, à nemine literis proditum e$$e, libet autem nunc per otium latius explicare. dixi enim à di$iuncta, & non con- iuncta proportionalitate, quia in coniuncta, $eu continua nullo pacto fieri pote$t talis commutatio, cum $emper quatuor terminos ad minus tran$eat, vt nunc vide- bimus.

Exempli gratia, Petrus ex $uis bonis tribuat Ioanni aliquid valoris quinquagin ta aureorum.

Vnde priu$quam Ioannes aliquid ex $uis bonis retribuat Petro, bona ip$ius Pe- tri diminuta erunt per quinquaginta aureos, bona verò ip$ius Ioannis, aucta toti- dem aureis.

Ecce nunc quo pacto conftituti $unt. 4. termini in proportionalitate aritmetica, per quos $it talis permutatio, $ed nondum æquata, ni$i fiat æqualis retributio à Ioan- ne ad Petrum, vt videbimus.

Cogitentur itaque. 4. termini aritmeticè proportionales. C. A. B. D. Ita quod. A. mediante $ignificentur bona Ioannis. B. vero Petri, prius quam Petrus aliquid ex bo nis $uis tribuat Ioanni. Tunc Petrus $ecat partem vnam ex. B. eam\’q; dat ip$i Ioan- ni, vnde ip$i Petro remanet. D. Ioanni autem. C. quatuor igitur termini con$tituti $unt. B. D. C. A. quorum. B. primus. A. quartus. C. uero tertius. D. aũt $ecundus, $ed B. et. A. $unt in $ua naturali mediocritate ab$que defectu vel exce$$u $ui ip$ius. Non ita tamen $e habet. C. et. D. quia. D. deficit. C. autem excedit à $ua priori quantitate. Nihilominus i$ti. 4. termini con$tituti $unt in ip$a aritmetica proportionalitate, nam eadem quantitate qua. D. diminuta e$t à. B. eadem. C. aucta e$t $upra. A.

Sed quia. B. et. A. tantummodo iu$ti $unt termini. C. uerò et. D. iniu$ti, vt ad $uam priorem æqualitatem reuertantur, oportebit ex. C. $ecare aliquam partem æqualis valoris ei, qua. C. $uperat. A. vel qua. D. minor e$t. B. & ip$am partem addere ip$i. D. vt bona Petri reuertantur ad priorem $uam quantitatem ip$ius. B. & bona Ioannis remaneant æqualia. A. vt prius.

Quare nece$$arium non e$t, vt talis proportionalitas $it coniuncta (vt inquit Eu fatius $eu Michael Ephe$ius, $uper quinto capite libr. quin- ti Ethicorum) tribus terminis contenta, imò oportet ut ip$a di$iuncta $it, ut diximus, vbi non e$t nece$$e quod. A. æqualis $it. B. aliquo modo.

EPISTOL AE. DE MOTV MOLAE, ET TROCHI, DE AMPVL- lis aquæ, de claritate aeris, & Lunæ noctu fulgentis, de æter- nitate temporis, & infinito $pacio extra Cœlum, Cœli\’q; figura. Illust. Ioanni Paulo Capra Nouarien$i Sabaudia Ducis bo$pic{ij} Magistro, viro ingeny pra$tantia, & morum cando- re, non minus quam familia nobili- tate con$picuo.

SI vera e$$et animorum illa tran$migratio quam $ibi Italicæ $apientiæ Pa- ter Pythagoras effinxerat, tuam, meam\’q; exi$timarem animam canis, quandoque venatici fui$$e.

Quæris à me literis tuis, an motus circularis alicuius molæ molendina rie, $i $uper aliquod punctum, qua$i mathematicũ, quie$ceret, po$$et e$$e perpetuus, cum aliquando e$$et mota, $upponendo etiam eandem e$$e perfectè rotundam, & l{ae}uigatam. Re$pondeo huiu$modi motum nullo modo futurum perpetuum, nec etiam multum duraturum, quia præterquam quod ab aere qui ei circumcirca aliquã re$i$tentiam facit $tringitur, e$t etiam re$i$tentia partium illius corporis moti, quæ cum motæ $unt, natura, impetum habent efficiendi iter directum, vnde cum $imul iunctæ $int, & earum vna continuata cum alia. dum circulariter mouentur patiuntur violentiam, & in huiu$modi motu per vim vnitæ manent, quia quanto magis mo- uentur, tanto magis in ijs cre$cit naturalis inclinatio recta eundi, vnde tanto magis contra $uammet naturam voluuntur, ita vt $ecundum naturam quie$cant, quia cum eis proprium $it, quando $unt motæ, eundi recta, quanto violentius voluuntur, tan- to magis vna re$i$tit alteri, & qua$i retrò reuocat eam, quam antea reperitur habere.

Ab eiu$modi inclinatione rectitudinis motus partium alicuius corporis rotundi fit, vt per aliquod temporis $pacium, trochus cum magna violentia $eip$um circun- agens, omninò rectus quie$cat $uper illam cu$pidem ferri quam habet, non incli- nans $e ver$us mundi centrum, magis ad vnam part\-e, quam ad aliam, cum quælibet $uarum partium in huiu$modi motu non inclinet omnino ver$us mũdi centrum, $ed multo magis per tran$uer$um ad angulos rectos cum linea directionis, aut verticali, aut orizontis axe, ita vt nece$$ariò huiu$modi corpus rectum $tare debeat. Et quod dico ip$as partes non omninò inclinare ver$us mundi centrum, id ea ratione dico, quia non ab$olutè $unt unquam priuatæ huiu$modi inclinatione, qu{ae} efficit vt ip$um corpus eo puncto nitatur. Verum tamen e$t, quod quanto magis e$t velox, tan- to minus premit ip$um punctum, imò ip$um corpus tãto magis leue remanet. Id q<001> apertè patet $um\-edo ex\-eplũ pil{ae} alicuius arcus, aut alicui<_>9 alterius in$trum\-eti, $eu ma chinæ mi$$ilis, quæ pila quanto e$t velocior, in motu violento, tanto maiorem pro- pen$ionem habet rectius eundi, vnde ver$us mundi centrum tanto minus inclinat, & hanc ob cau$am leuior redditur. Sed $i clarius, hanc veritatem videre cupis, cogita illud corpus, Trochum $cilicet, dum veloci$$ime circunducitur $ecari, $eu diuidi in multas partes, vnde uidebis illas omnes, non illico uer$us mundi centrum 10. BAPT. BENED. de$cendere, $ed recta orizontaliter, vt ita dicam, moueri. Id quod à nemine ad- huc (quod $ciam) in trocho e$t ob$eruatum. Ab huiu$modi motu trochi, aut hu- ius generis corporis, clarè per$picitur, quàm errent peripatetici circa motum uio- lentum alicuius corporis, qui exi$timant aerem qui $ubintrat ad occupandum locum à corpore relictum, ip$um corpus impellere, cum ab hoc, magis effectus contrarius na$catur.

Quod deinde ampullæ iungantur in aqua, non fit ratione $impathiæ, de qua lo- quitur Fraca$torus, nam per accidens iunguntur, quia cum alia ad aliam accedit, qu{ae} libet earum tentat a$cendere ab ea parte, à qua inuicem hærent, quemadmodum efficiunt iuxta labrum va$is, ea enim $uperficies a quæ vicina circunferentiæ va$is ali quantulum a$cendit in va$e, qui non e$t omnino plenus.

Ad id deinde quod de claritate noctium $cribis, miror cur non videas, quod quã to magis ob$cura nox apparet, non dico ratione nubium, $ed di$tantiæ Solis $ub orizonte ab eodem orizonte, tanto magis claram, & lumino$am $e$e nobis o$ten- dit Luna in quintadecima, quia cum Sol e$t in Sagittario, & Capricorno, Luna e$t in Geminis, & in Cancro, vnde in media nocte, eius radius per valde exiguam quã titatem vaporum tran$it, quia tunc ip$a e$t valde propinqua axi orizontis, & præ- terea in huiu$modi tempore anni & noctis, aer e$t magis purgatus, quàm in qualibet alia temporis parte, quia hieme Sol non pote$t excitare multos vapores, & ij, qui at tolluntur, nocte à frigore $tatim congellati ratione grauitatis decidũt, unde rema- net aer multo clarior, qua ratione apparent $tellæ minutæ, & Cœlum ij$dem ma- gis ornatum, quàm in quolibet alio anni tempore.

Dicere deinde, quemadmodum hic mundus e$t ætatis $eptem, aut octomillium annorum, ita nunc potui$$et e$$e ($i Deus volui$$et) ætatis quinquagintamillium; er go erat tempus; ita $e habet, ac $i diceremus, quemadmodum hic mundus e$t tan- tæ magnitudinis, ita etiam quinquagies maior e$$e potui$$et, ergo e$t $patium, aut interuallum corporeum, quod eum capere potui$$et.

Illud, nihil, Ari$totelis extra C{ae}lum, nullo modo nobis in$eruit pro eiu$dem Cœ li $ph{ae}rica rotunditate, cum cuiu$que alterius ex infinitis figuris C{ae}lum ip$um e$$e po$$it, $ecundum $uam $uperficiem conuexam. Nam Cœlum ea ratione $ph{ae}ricum non e$t, quod magis $it capax, quia ei innumerahiles alias figuras adeo magnas po terat concedere cau$a diuina: $ed $phæricum e$t effectum, ne partem aliquam habe ret $ui termini $uperfluam, quia nullum corpus à breuiori termino quam à $phærico terminari pote$t.

Derèuolutione rota putealis & al{ij}s problematibus. AD EVNDEM.

FVnis cui appen$a e$t $itula, longè facilius axi inuoluitur, $i ip$i axi affixa $it rota. atque item commodius eò fiet, quo amplior rota erit, & axis exilior. Commodi$$imè autem, $i ip$a rotæ extrema circunferentia, ex materia minori, & den$iori, ac proinde grauiori con$tabit. Cuius rei ratio multiplex e$t. Nem- pe quia omne corpus graue, aut $ui natura, aut vi motum, in $e recipit impre$$io- EPISTOL AE. nem & impetum motus, ita vt $eparatum à virtute mouente per aliquod temporis $patium ex $eip$o moueatur. nam $i $ecundum naturam motu cieatur, $uam veloci- tatem $emper augebit, cum in eo, impetus & impre$$io $emper augeantur, quia coniunctam habet per petuò virtutem mouentem. Vnde manu mouendo rotam, ab ea\’q; eam remouendo rota $tatim non quie$cet, $ed per aliquod temporis $patium circunuertetur.

Secunda cau$a e$t, quia quoduis gr aue corpus, aut per naturam, aut per vim mo- tum, rectitudinem itineris naturaliter appetat, quod clarè cogno$cere po$$umus, proijciendo lapides funda, & circunducentes brachium, nam funes tanto maius pondus acquirunt, & manum tanto magis onerant, quanto velocius voluitur funda, & incitatur motus, quod ab appetitu naturali in$ito ei corpori per lineã rectam pro- grediendi procedit. Vnde fit, vt pondus circunferentiæ ip$ius rotæ, tanto facilius cir- cunuoluatur, & ex $eip$o tanto longiori tempore moueatur, quanto longius di$tat à centro, cum eius iter tanto minus $it curuum. Hanc igitur ob cau$am, rota, quanto maior erit, eiu$\’q; pondus tanto magis vicinum circunferentiæ, tanto magis durabit impetus motus a$$umptus.

Tertia cau$a e$t, quod funis dum circunuoluitur, vicinius axi mathematico reuo- lutionis, quam corpus graue circunferentiæ rotæ, ratione vectis, cum rota e$t in mo tu, eius impetus non obtinet re$i$tentiam æqualem à contrario pondere aquæ in $itu la po$itæ.

De machina, qua aquam impellit & $ubleuat. AD EVNDEM.

VNde $it vt in fonte mandauerim, vas $eu mortarium in quod in- greditur in$trumentum, quod aquam impellit, diametrum $uæ concauitatis, habere non oportere maiorem dia- metro fi$tulæ, per quam debet a$cende re aqua, ratio e$t, quia $i maius e$$et, nece$$arium e$$et aliquod in$trumen- tum quo aqua impelleretur multo gra uius toto corpore aqueo, quod aptum e$$et implere aliquam fi$tulam adeo altam, vt e$t fons, quæ tamen e$$et adeo lata vt e$t mortarium.

Sit exempli gratia, tota fi$tula, $eu hirundo, per quam a$cendit aqua. f. mortarium verò $it. a. u. quod tam altũ $it vt. f. $ed. f. angu$tior ip$o. a. u. Nunc cum repleta fuerint hæc duo va$a, ma- nife$tum erit, quod aqua ip$ius. f. $uffi- ciens erit ad re$i$t\-edum toti aquæ ip$i<_>9 a. u. & aqua. a. u. re$i$tet aquæ. f. quam- uis aqua. a. u. maioris quantitatis $it, & ponderis ip$a. f. hoc autem euenit ex eo quod aqua. a. u. nõ impellit aquam 10. BAPT. BENED. f. toto $uo pondere, propterea quod pondus diuiditur proportionaliter $upra ba- $im va$is.

Sit exempli g\~ra vas aliquod. b. d. n. m. conicæ figuræ, $eu trũcus coni concaui aqua plenus, cuius orificij diameter $it. b. d. & multiplex diametro. m. n. infimæ ba$is. co- gitemus etiam. b. d. diui$um in tot partes, quarum vnaquæq; æqualis $it. m. n. imagi- nemur\’q; tot lineas perpendiculares de$cendere ver$us mundi centrum ad puncta r. c. m. et. t. x. m. vt in $ub$cripta hic figura videre e$t, per quas cogitemus tot $uperfi- cies curuas conicas\’q;, inter quas, mente concipienda e$t aqua, qu{ae} pondere $uo quie $cet $upra maiorem $uperficiem illa, quæ æque di$tans e$$et mundi centro, $eu quam $upra ba$im. m. n. vt exempli gratia con$ideretur aqua inter. g. m. et. s. r cuius pondus di$tribuitur fecundum latitudinem. m. r. quæ maior e$t. g. s. cogitemus igitur. m. c. æ- qualem e$$e. g. s. manife$tum erit, quod. m. c. non $u$tinebit totum pondus a quæ, quæ inter. g. m. et. s. r. reperitur, eo quod omnis pars aquæ ad perpendiculum inclinat ver- $us mundi centrum, quapropter fundus $eu ba$is. m. n. non $u$tinet aliud pondus quã aquæ. f. m. $ed $i quis hoc in dubium reuocaret dicens, quod aqua circun$cribens $i- tum corporis aquei. f. m. impellit lateraliter dictum corpus aqueum, re$pondendum e$t, quod ex æquo huius corporis. f. m. aqua impellit etiam aquam circun$tantem, eo, quod $unt corpora homogenea, cum in corporibus homogeneis æquales partes habeant æquales vires.

Sed redeundo ad va$a. a. u. et. f. dico quod $icut aqua. f. $ufficit ad re$i$tendũ aquæ a. u. ita quodlibet aliud pondus {ae}quale. f. cuiu$uis materiæ, in fi$tula. f. po$itum, $uffi- ciens erit, dummodo illud corpus ita $it adæquatum concauitati fi$tulæ.f. quod non permittat tran$itum aliquem aquæ vel aeris inter conuexum ip$ius corporis, & deuexum fi$tulæ. f. & hoc ex $e $atis patet, $ed in va$e. a. u. cum ex hypothe $i latius $it ip$o. f. nullum aliud corpus $ufficiens erit ad re$i$tendum aquæ ip- $ius. f. quin tam graue $it, quam tota aqua. a. u. exi$tente. a. u. tam alto quam f. Vnde $i aqua ip$ius. f. nil plus e$$et quam vna tantummodo libra, & vas. a. u. exi$teret latius ip$o. f. in decupla pro portione, tunc in ip$o. a. u. oporteret corpus adæquatum ip$i concauitati po nere, cuius pondus e$$et decem libra- rum, vt $ufficeret ad $u$tinendum aquã ip$ius. f. & ad impellendũ ip$am aquã. f. deberet e$$e plus quam decem libra- rum. Ponamus nunc illud corpus, ita den$ius e$$e aqua, vt maius interuallũ non occupet, quam. o. e. corpus igitur o. e. $ufficiens erit ad impellendum aquam. f. & non eo minus.

EPISTOL AE. NOVA SOLVTIO PROBLEMATIS DE VASE pleno liquoris. Nicolao Caluxio Sereni{$s}imi Ducis Sabaudia à $ecretis.

QVod à me po$tulas e$t problema ab alijs iam $criptum, $ed illud tibialio medio $oluam.

Proponitur vas plenũ liquore aliquo, puta aqua, {quis} tres habeat fi$tulas ad ba$im, quarum vnaquæque po$$it euacuare ip$um vas, inæquales ta- men, ita quod prima tam lata $it, vt $patio vnius horæ po$$it ip$um euacuare to- tum; $ecunda vero $patio duarum horarum, tertia autem $patio trium hora-- rum. Tunc quæritur quanto tempore omnes tres fi$tulæ $imul apertæ euacua- bunt ip$um vas. Ad hoc volo vt quæratur primo quanta pars aquæ vnaqu{ae}qu{ae} fi- $tula euacuabit in aliquo dato tempore, quod facilè e$t, vt puta, prima fi$tu- la, $patio dimidiæ horæ euacuabit dimidium vas, eo quod $patio integræ horæ po- te$t totum euacuare, $ecunda fi$tula, eodem temporis $patio, euacuabit quartam partem ip$ius va$is, tertia verò fi$tula, eodemmet $patio temporis dimidiæ horæ, euacuabit $extam partem ip$ius va$is, quæ omnia fracta $imul collecta faciunt vnde- cim duodecimas partes totius va$is, vnde manife$tum erit, quod omnes fi$tulæ pari- ter apertæ, $patio dimidi{ae} horæ euacuabunt vndecim duodecimas partes totius a- quæ, $ed nos cupimus $cire, quanto tempore, totum vas euacuabitur, apertis omni bus fi$tulis, quapropter dicemus ita; Si vndecim duodecimæ partes con$umunt mi- nuta. 30. temporis, quantum con$ument omnes partes aquæ? quæ $unt. 12. quare ex regula de tribus prouenient nobis minuta. 32. cum. 8. vndecimis vnius minuti, hoc e$t cum. 43. $ecundis horæ ferè, vel $iaccipiemus tres quartas vnius horæ, tunc pri- ma fi$tula emittet tres quartas partes totius aquæ, $ecunda, tres octauas eiu$d\-e aqu{ae}, tertia verò, quarta pars, tunc omnia, hæc collecta, faciunt vnum integrum cum tri bus octauis. Si dixerimus igitur quando vnum integrum cum tribus octauis ab$u- mit. 45. minuta temporis, ergo illud $olum integrum ab$umet idem vt $upra hoc e$t min. 32. cum. 8. vndecimis vnius minuti vel. 43. $ecundis. Cuius rei $peculatio tã con iuncta e$t operationi, quòd vna cognita, reliqua $tatim cogno$citur.

Idem eueniet de implendo va$e tribus $imilibus fi$tulis mediantibus.

Secundum quæ$itum ab alijs traditum, tuum etiam, aliter quoque pote$t $olui, propterea non pr{ae}termittam tibi $atisfacere.

Problema itaque tale e$t, vt $it vas aliquod in q<001> infunditur aqua per tres fi$tu- las, $ed dum infunditur aqua, eadem egreditur per duas alias fi$tulas in fundo va$is po$itas, $ed tres $uperiores $int inuicem proportionatæ, vt $upradictum e$t, prima\’que inferiorum talis $it, vt $patio. 4. horarum po$$it totum vas euacua- re, $ecunda autem po$$it $patio. 6. horarum idem facere, vnde ex $upradictis, vas im plebitur à tribus fi$tulis $uperioribus, clau$is exi$tentibus inferioribus, $patio tempo ris minutorũ. 32. cũ. 8. vndecimis hoc e$t min. 32. cum. 43. $ecundis, deinde per duas fi$tulas inferiores po$$et euacuari $patio t\-eporis horarum. 2. et. mi. 24. ex$upradictis.

Supponamus igitur omnes fi$tulas operari $patio temporis minutorum. 32. cum $ecundis. 43. tunc manife$tum e$t quod vas non implebitur, eo $patio min. 32. cum $ecundis. 43. $ed tanta aqua deficiet, quanta ab inferioribus fi$tulis eo $patio tempo ris min. 32. $ecun. 43. pote$t euacuari, quare proportio partis va$is vacuæ, ad totum vas, erit vt min. 33. ferè ad horas. 2. min. 24. quod per $e patet, tunc $i demptum fue- IO. BAPT. BENED. rit tempus. 33. minutorum ex h oris. 2. min. 24. reliquum erit hora. 1. min. 51. vnde proportio aquæ, quæ in va$e reperitur, ad eam, quæ totum vas implet, erit vt. 111. ad. 144. Quare nunc po$$umus rectè dicere ex regula de tribus $i. 111. indigent mi- nuta. 33. temporis, ergo. 144. indigent min. 43. horæ, in quo tempore implebitur to- tum vas omnibus fi$tulis operantibus.

Aliæ circuli noua pa{$s}iones. AD EVNDEM.

VTad a$cendendum ignis, & ad de$cendendũ quicquid graue natum e$t, ita ad $peculandum humanus intellectus. nec quie$cit, dum pote$t, e$t enim ver- $atile, agitando\’q; $e$e cau$is rerum immi$cere, & abditum aliquid rimari, conatur, & e$t in nobis, qua$i Diogenes quidam in Dolio.

Tibi igitur mitto quod vltimò inueni, alias $cilicet nouas circuli pa$$iones, quæ ita $e hab\-et. Sit circulus. a. b. c. in quo $it. a. d. latus quadrati in$criptibilis in ip$o circulo, ct. b. c. $it diameter ad rectos cum. a. d. in puncto. e. quod medium erit inter a. et. d. ex. 3. tertij Eucli. $it $imiliter. a. f. contingens ip$um circulum in puncto. a. quæ protracta $it v$que ad punctum. f. inter$ectionis cum diametro protracto, quod ita eueniet cum anguli. a. e. f. et. f. a. e. minores $int duobus rectis, eo quod angulus. f. a. e. acutus $it, cum. a. d. tran$eat inter centrum et. f.

Dico nunc quod productum diametri. b. c. in parte. c. e. ip$ius, æqualis erit produ- cto ip$ius. c. f. in. a. d. Protrahatur imaginatione. b. a. et. a. c. vnde ex. 26. tertij Euclid. habebimus angulum. d. a. c. æqualem angulo. a. b. c. $ed ex. 31. eiu$dem angulus. f. a. c. æqualis e$t angulo. b. quare æqualis erit angulo. d. a. c. & ita habebimus per. 3. $exti eandem proportionem. f. c. ad. c. e. quæ. f. a. ad. a. e. $ed. a. f. e$t æqualis $emidiametro circuli propo$iti, propterea quod $i producta fuerit à puncto. a. ad centrum. o. $emi diameter. a. o. hæc cum. o. e. faciet dimidium angulirecti, cum ex $uppo$ito. a. d. la- tus $it quadrati in$criptibilis in ip$o circulo. & cum. a. f. rectum ex. 17. tertij, vnde an gulus. f. erit $imiliter medietas recti ex. 32. primi, quare ex. 6. eiu$dem. a. f. æqualis erit. a. o. Ergo cum proportio. f. c. ad. c. e. $it. vt. f. a. ad. a. e. erit $imiliter vt. b. c. ad. a. d. hoc e$t ut dupli ad duplum, vnde ex. 15. $exti manife$tum erit propo$itum, ex quo alia pa$- $io oritur, hoc e$t, quod productum. f. c. in. a. d. æ quale $it qua drato ip$ius. a. c. ratio e$t, quia quadratum. a. c. æ quale e$t producto. b. c. in. c. e. eo quod. a. c. media proportionalis e$t inter. b. c. et. c. e. ex $imilitudine triangulorum. a. b. c. et. e. a. c. nam anguli. b. a. c. et. a. e. c. recti $unt et. c. cõmunis, vnde. b. erit æqualis. e. a. c. ex. 32 primi, $equitur etiam, quod. a. c. $it media pro portionalis inter. a. d. et. f. c. & hæc etiam erit alia circuli pa$$io, & quia. a. c. e$t latus octago- ni igitur tale latus mediũ proportionale erit inter latus quadrati. et. f. c. eiu$d\-e circuli, qu{ae} quidem. f. c. e$t una portio diametri quadrati circun$criptibilis ip$um circulum inter circulum & angulum ip$ius quadrati.

EPISTOLAE. Quod incendium, ex reflexione radiorum $olarium, non fiat in cen tro $peculi $pharici, & aliquid contra Cardanum, & de moturadiorum $olarium. AD EVNDEM.

ITerum tibi dico, quod radij illi $olares, quià diuer$is punctis ip$ius $olaris corpo- ris veniunt, tran$euntes per centrum $peculi $phærici concaui, quamuis à $uper- ficie $peculi ad centrum ip$um reflectantur, vt alíâs tibi dixi, nihilominus nullo mo do po$$unt aliquod obiectum incendere duabus ex cau$is, quarum vna e$t, quia cum Sol valde remotus $it à nobis, valde etiam acutus generatur angulus coni radiorum in centro $peculi, vnde à parua $uperficie ip$ius $peculi reflectuntur, quare pauci$$i- mi radij $unt qui reflectantur in ip$o centro, & propterea non $ufficiunt ad combu $tionem alicuius obiecti. Alia verò cau$a e$t, quod quamuis multi, & $ufficientes radij fui$$entad cõburendũ velociter quoduis obiectum. impo$$ibile tamen omnino e$set, vt aliquod obiectum comburerent, propterea quod cum radij incidentes de- beant per centrum tran$ire, obiectum combu$tibile, vt opacum, ob$taret ip$is radijs, ne vlterius tran$irent, vnde nulla fieret reflexio, $ed etiam $i dicti radij in centro re flexi, $ufficerent ad combu$tionem, incidentes hoc magis e$$icerent. & ita ab$que vllo $peculo, omnia & in quolibet loco comburerentur, quod manife$tè fal$um e$t. De$ine igitur mihi citate Lucillum Philalteum, qui in philo$ophia mathematica fuit omnium imperiti$$imus. Verum $peculum v$torium illud e$t quod ab Alhazem Deinde à Vitellìone de$cribitur.

Quod deinde verum $it, vmbrã vniu$cuiu$que corporis opaci à Sole productam $emper e$$e centum nouem\’q; vicibus maiorem diametro eiu$dem corporis, nego.

Imaginemur. s. 1. diametrum e$$e illius circuli, quo vltimi radij $olares veniunt tan gentes corpus cuius diameter $it. c. e. et. a. i. $it diameter alterius circuli eiu$dem cor- poris $olaris à quo vltimi radij veniunt tangentes corpus, cuius diameter $it. f. g. in eadem di$tantia, & eodem $itu prioris corporis. Tunc conus vmbræ ip$ius. f. g. $it. f. g. q. & ip$ius. c. e. $it. c. n. e. centrum autem $olare $it. o. conorum verò axes $int. t. n. q. tunc ex $uppo$ito. q. f. a: n. c. s: n. e. l: et. q. g. i. erunt omnes contigui corpori $olari, vn- de ex. 17. tertij Eucli. anguli. o. a. q. et. o. s. n. erunt recti. protracta deinde cum fu erit a. s. habebimus angulos. u. a. s. et. u. s. a. minores duobus rectis. Quare. n. s. concurret IO. BAPT. BENED. cum. a. q. in puncto. u. Nunc verò $i vmbra. t. q. tanto maior e$t. f. g. quanto. 109. e$t vno et. t. n. etiam tãto maior. c. e. ergò eadem proportio erit. q. t. ad. t. f. qu{ae}. n. t. ad. t. c. $ed cum angulus. t. communis $it ambobus triangulis. q. t. f. et. n. t. c. $equitur ex. 6. $exti dictos triangulos æ quiangulos e$$e. Vnde $i anguli. t. n. c. et. t. q. f. æ quales inui cem $unt, ergo. q. f. æquidi$tans erit. n. c. quod e$t impo$$ibile, quia nunc demon$tra- uimus ip$as concurrere in puncto. u. Quare non e$t eadem proportio. q. t. ad. t. f. quæ n. t. ad. t. c. decipitur ergo Cardanus in. 4. lib. de $ubtilitate.

Circa illud deinde quod à me quæris, hoc e$t, quæ $it cau$a, quod nos videmus radium $olarem tardi$$imè moueri, cum alias tibi dixerim ip$um qualibet hora cir- ca terram quindecim gradus perficere, re$pondeo, quod radius ille quem videmus, exempli gratia, in aliquo cubiculo, nunquam e$t idem numero, $ed quia ip$i radij nullo modo differunt inter $e, ni$i in numero, proptera putamus eundem $emper e$$e, cum $emper alius, atque alius $it, quorum vnu$qui$que (de illis loquor, qui ad hunc terræ globum perueniunt) circa terram reuoluitur $patio. 24. horarum, & cum quili bet circulus diuidatur in. 360. gradus, quorum vige$imaquarta pars e$t. 15. verum e$t igitur, quod tibi iam dixeram.

OPERATIONES DIVERSAE AB ALIIS Michaelis Stifelij. Conrado Terl.

QVOD in. 2. exemplo. II. cap. Stifelius $cribit in. 3. lib. pag. 282. non nego quin pulchrum $it, $ed alijs pulchrioribus modis po$$umus illud idem de- mon$trare; cogita igitur $uperficiem rectangulam, cuius medietas $it triã gulus rectangulus. a. b. g. vnde ex $uppo$ito nobis cognita erit $uperficies ip$ius trianguli, tanquam dimidium totius parallelogrammi rectanguli cogniti. Quare ex. 25. $ecundi triangulorum Mõteregij, cognita nobis erũt latera. a. b. et. b. g.

Alia etiam breuiori methodo idem po$$umus e$$icere, mediante angulo. b. recto, eo quod cum nobis cognita $it $uperficies trianguli $imul cũ ba$i. a. g. cognita etiam nobis fit perpendicularis. b. d. à puncto. b. ad ba$im, & con$equenter cognitum no- bis erit productum ip$ius. a. d. in. d. g. & quia nobis cognita e$t. a. g. & eius medietas, EPISTOL AE. ideo vnaquæque eius pars. a. d. et. d. g. $imiliter nobis cognita erit ex quinta $ecundi Eucl. vnde ex penultima primi habebimus propo$itum.

Po$$umus item circulum mente concipere cuius. a. g. $it diameter, & ab eius cen- tro. e. protracta cum fuerit. e. b. quæ nobis cognita erit, vt medietas ip$ius. a. g. de cu ius potentia, dempta cũ fuerit potentia ip$i<_>9 b. o. remanebit nobis potentia ip$ius. d. e. & ita eius longitudo, quæ addita medietati. e. g. & detracta à dimidio. e. d. erunt nobis cognitæ. a. d. et. d. g. vnde. b. g. et. b. d. remanebunt nobis cognitæ ex dicta pe- nultima primi Eucli. huiu$modi figuram videbis in dicto. 25. problemate. 2. li. Mon- tisregij.

Aliter etiam po$$umus hoc idem efficere.

Sit rectangulus hic $ub$criptus. a. b. c. u. $uperficiei cognit{ae} $imul cum diametro. a. c. extendatur imaginatione. b. c. v$que ad, f. ita quod. c. f. æqualis $it. c. u. intelligan- tur\’q; quadrata. g. f: g. u. ct. u. f. vnde sũma quadratorũ. g. u:u. f. cognita nobis erit ex penultima primi. nam. a. c. data nobis fuit, quare $ummã. g. u:u. b: et. u. f. cogno$ce- mus, cui sũmæ addito $uplemento. d. e. æ quali. u. b. dabit nobis cognitũ quadrarum. g. f. totale, qua re cogno$cetur eius radix. b. f. cognita igitur. b. f. cum pro ducto. b. u. illico ex. 5. $ecundi cogno$ce- tur. b. c. et. c. f. forte cognita. b. f. diui$a <002> æqualia in puncto. t. & per inæqualiz in pũcto. c. Nam qua dratũ ip$ius. t. f. cognitum, {ae}quatur rectãgulo. b. u. cũ quadrato ip$ius. t. c. d\-epto igitur rectangulo, b. u. ex quadrato ip$ius. t. f. relinquetur quadratum ip$i<_>9. t. c. cognitum & eius radix. t. c. qua addita ip$i medietati. b. t. & d\-epta ex medietate. f. t. relinque- tur propo$itum.

Similiter de tertio exemplo eiu$dem Stifelij infero.

Sit rectangulus. a. b. c. u. cuius diametri. a. c. quantitas, $imul cum proportione late rum. b. c. et. b. a. nobis data $it. cum autem $cire voluerimus eius $uperficiem. b. u. cla- rum e$t, quod cum nobis data $it proportio. b. c. ad. b. a. illico cogno$cemus etiã pro- portionem quadrati ip$ius. b. c. ad quadratum ip- $ius. b. a. cum dupla $it ei quæ. b. c. ad. b. a. ita etiam & aggregati dictorum quadratorum ad quadra- tum ip$ius. b. a. hoc e$t nota erit nobis proportio quadrati ip$ius. a. c. diagonalis ad quadratum ip- $ius. a. b. idem dico de quadrato. b. c. ide$t quod proportio quadrati ip$ius. a. c. ad quadratum. b. c. cognita nobis erit, $ed. a. c. data nobis fuit, qua- re cogno$cemus etiam omnia dicta quadrata eo- rum\’q; radices. a. b. et. b. c. quare & $uperficiem re- ctanguli quæ$itam.

Quartum exemplum etiam faciliori via pote$t $olui, propterea, quod cum nobis cognita $it ba- $is trianguli cum $umma reliquorum laterum, & cũ angulo oppo$ito ba$i ip$ius reliqua cognita no bis emergunt ex. 15. problemate $ecundi lib. de Triangulis ip$ius Monteregii.

IO. BAPT. BENED.

Vel $i tibi placet, accipe hanc aliam methodum à me excogitatum.

Duplicetur triangulũ. a. b. c. orthogoniũ, & fiat rectangulũ. b. u. vt in mea figura $ecundi exempli hic vides. produca tur\’q;. b. c. quou$que. c. f. æqualis $it. c. u. vnde. b. f. cognita nobis erit ex hypothe$i, quare cogno$cemus etiam quadratum. g. f. à quo demptũ cum fuerit aggregatũ quadratorum. g. u. et. u. f. nobis cognitũ (nam quadra ta. g. u. et. u. f. æqualia $unt quadrato ip$ius. a. c. diagonalis dat{ae}) remanebit aggrega- tum $upplem\-etorũ cognitum, quare eius medietas cogno$cetur ide$t. b. u. vndæ ex. 5. $ecundi Eucli. vt $uperius diximus cogno$cetur etiam. b. c. et. c. f. di$tinctæ.

Idem a$$ero de ex\-eplo Gemmæ Fri$ij à Stifelio citato in Appendice regulæ fal$i.

Sit gratia exempli rectangulum hic$ub$criptum. a. b. datæ $uperficiei data etiam nobis $it proportio. a. e. ad. e. b. laterum producentium, cogitemus\’q;. a. e. producta v$que ad. o. ita vt. e. o. æqualis $it ip$i. e. b. imagine mus etiã perfectum e$$e quadratum. b. o. vnde ex prima $exti $eu. 18. vel. 19. $eptimi vel. 15. quinti eadem proportio erit ip$ius. a. b. ad. b. o. vt. a. e. ad e. o. vel ad. e. b. quare ex regula de tribus, cogno- $cemus quadratum. b. o. & eius radic\-e. e. o. & ex ea demregula cogno$cemus. a. e. cum cognita nobis $it. e. o. $imul cum proportione. e. o. ad. e. a.

Quod circulus $it figura infinitorum angulorum hoc e$t ultima poligoniarum. AD EVNDEM.

SEd quod idem Stifelius in Appendice $ecundi libri dicat circulum e$$e figuram poligoniam, non e$t ita mirandum, nam & alij multi docti$$imi viri hanc veritatem cognouerunt, de Leone Bapti$ta Alberto nihil dicam, cum ip$e fateatur hoc accepi$$e à philo$ophis, vt etiam refert Ari$t. de $phæratertio de cœlo. con$i- dera quæ$o in circulo, quod cum angulus contingentiæ $it angulus, quamuis omniũ acutorum rectilineorum angu$ti$$imus, vnde ex communi ratione $equitur reliquum ex duobus rectis rectilineis e$$e angulum, & $i omnium obtu$orum rectilineorum $it ampli$$imum, tanto magis igitur erit angulus, id quod remanet ex duobus rectis re ctilineis, detractis cũ fuerint duobus angulis contingentiæ, qui quidem angulus erit in quouis puncto circunferentiæ ip$ius circuli, idem intelligendum e$t de $phæra, cuius angulus e$t re$iduum ex quatuor rectis $olidis, detractis cum fuerint quatuor angulis contingentiæ $olidis\’q;.

Explanatio. 25. Problematis lib. 2. Montereg{ij}. AD EVNDEM.

QVod in. 25. problemate. 2. lib. de triangulis Monteregium non intelligas, mi- rum non e$t, eo quod quandoque bonus dormitat Homerus. Puto enim il- lud problema ab ip$o Monteregio non fui$$e vi$itatum. Sed ne me aliquo modo culpes, accipe hanc aliã methodũ a me aliter etiã excogitatã in eadem ip$ius figura.

EPISTOL AE.

Propo$itũ $it nobis triangulum. a. b. g. cuius ba$is data $it cum area, $eu perpendi- culari. a. d. cum angulo etiam. a. ad cogno$cendum autem. a. b. et. b. g. cogitemus circu lum. a. b. q. g. circun$cribere ip$um triangulum cuius diameter. p. q. ad rectos $e- cet ba$im. b. g. in puncto. m. cogitemus etiam. b. p. et. p. g. vnde ex. 20. ter- tij Euclid. angulus. b. p. g. æqualis erit angulo. a. & angulus. m. p. b. erit eius di midium, quod ex te ip$o cogno$ces, & angul<_>9. p. b. m. $imiliter cogno$cetur, quare ex. 29. primi eiu$dem Montere gij cogno$cemus. p. m. et. p. b. (nam. b. m. datum fuit, vt dimidium totius ba- $is. b. g.) ducta po$tea. b. q. ex ead\-e. 29. cogno$cemus. p. q. cum. p. b. iam cogni ta fuerit, à qua. p. q. (diametro) d\-epta p. m. remanebit. q. m. cognita, cũ qua iuncta cum fuerit. m. t. æquali. a. d. per pendiculari, dabitur. q. t. et. t. p. inter quas. a. t. media proportionalis loca- tur, quare cogno$cemus. a. t. quæ $inus e$t arcus. a. p. vnde cognitus erit arcus a. p. $ed arcus. p. g. cognitus e$t median te angulo. p. b. g. cognito, qui quidem arcus. p. g. $i coniunctus fuerit cum arcu. p. a. cogno$cemus compo$itum. a. g. & eius chorda $imiliter (hoc e$t $ecundũ latus) qua cognita, illico cogno$cemus chordam a. b. hoc e$t tertium latus trianguli propo$iti.

Quædam not and a in Federicum Comandinum. AD EVNDEM.

PVtabas enim me ioco dixi$$e Federicum Comandinum non omnino irrepræ- hen$ibilem e$$e, vide igitur, quod $cribit in quinto lemmate in decimam propo$itionem libr. 2. de in$identibus aquæ Archimedis, volens demon$tra- re eandem e$$e proportionem. l. b. ad. b. m. quæ. c. e. ad. e. a. vbi e$t aliquo modo pro- lixum, mediante linea. c. p. cum $uis partibus, citans etiam antecedens lemma extra propo$itum, eo quod nec in antecedente lemmate, nec in alio, ip$e vnquam proba uerit proportionem. c. d. ad. d. q. e$$e, vt. l. b. @d. b. m. $ed ne putes me falli, tibi demon $trabo non e$$e nece$$arium ducere lineam. c. m. p. vel. q. p. eo quod cũ per quintam lib. de quadratura parabol{ae} Archimedis, ita $it. c. d. ad. d. e. vt. l. b. ad. b. m. exi$tente a. c. dupla ip$i. d. c. et. e. c. dupla ip$i. g. c. et. l. d. dupla ip$i. l. b: erit, primo componen- do. c. e. ad. e. d. vt. l. d. ad. d. m. & per æqualitatem proportionum, ita erit. e. g. ad. e. d. vt. b. d. 2d. d. m. & per. 19. quinti Eucli. ita erit. e. g. ide$t. g. c. ad. g. d. vt. b. d. ide$t. l. b. ad. b. m. $ed. c. g. ad. g. d. eft vt. c. e. ad. e. a. ratio e$t, quia componendo ita e$t. c. d. ad. d. g. vt. c. a. ad. a. e. & hoc e$t, quia permutando, ita e$t. a. c. ad. d. c. vt. a. e. ad. d. g. & hoc verum e$t ex. 19. quinti eo quod totius. a. c. ad totum. d. c. eft vt ab$ci$$i. e. c. ad ab$ci$ $um. g. c. vt $upradixi.

IO. BAPT. BENED.

Sed etiam alio vniuer$aliori modo potes probare, quod ita $it. u. x. ad. x. y. vt. c. e. ad. e. a. cogitando in linea. c. a. punctum quoddam quod vocabimus $imiliter. y. in tali $itu locatum, quod diuidat. c. a. eadem proportione qua. y. diuidit. u. s. vnde cum e. s. diui$a eodem modo etiam $it à puncto. s. ex $upradicta quinta lib. de quadratura parabolæ, erit igitur proportio. a. y. ad. y. c. vt. e. s. ad. s. c. per. 11. quinti Eucli. & com ponendo ita erit toti<_>9. a. c. ad totum. y. c. vt ab$cis$i. s. c. ad ab$ci$sum. s. c. quare re$idui a. e. ad re$iduum. y. s. erit vt totius. a. c. ad totum. y. c. & permutando, ita erit. a. c. ad. a. e. vt. y. c. ad. y. s. & diuidendo, ita erit. c. e. ad. e. a. ut. c. s. ad. s. y. & quia pun- ctum. s. diuidit. c. a. eodem modo, quo x. diuidit. u. s. per $upradictam quintã, ergo ita erit. c. s. ad. s. y. in linea. c. a. vt u. x. ad. x. y. vnde ex. 11. quinti. c. e. ad e. a. erit, vt. u. x. ad. x, y. quare $equitur, primum, $ecundum, tertium, & quartum lemma $uperflua e$$e.

Quod deinde ponit pro corellario in fine. 6. lemmatis, aliter quam per. 6. lemma pote$t demon$trari, hoc mode. Nam $uperius demon$trauimus eandem propor- tionem e$$e. l. b. ad. b. m. quæ. c. e. ad. e. a. id\-e dico de proportione. u. x. ad. x. y. & om- nium æquidi$tantium ad. h. e. quibus rationibus mediantibus codem modo $cies, {quis} u. y. ad. y. r. erit, vt. c. d. ad. d. c & ita dico de omnibus æquidi$tãtibus. ad. h. e. vnde. l. b. ad. b. m. erit vt. u. x. ad. x. y et. l. m. ad. m. d. vt. u. y. ad. y. r. per. 11. quinti, $ed cum $it. l. b. ad. b. m. vt. u. x. ad. x. y. componendo erit. l. m. ad. b. m. vt. u. x. ad. x. y. & euer$im. b. m. ad. m. b. erit, vt. x. y. ad. y. u. & per æquam proportionalitatem erit. b. m. ad. m. d. vt x. y. ad. y. r. quod e$t propo$itum.

Non video etiam, quare ip$e ducat lineam. s. r. cum in ip$o contextu nihil $aciac de dicta. s. r.

Comentum po$tea contextus. P. pulchrius e$$et, $i diceret, quod cum ita $it totius, l. a. ad totum. a. d. $ic $e habebit ab$ci$$um. a. i. ad ab$ci$$um. a. z. eo quod ita e$t, vt $cis, hoc e$t in proportione dupla, ergo re$idui. i. l. ad re$iduum. d. z. erit vt totius. a. l. ad totum. a. d. hoc e$t in proportione dupla.

De Vi$u. AD EVNDEM.

RAtio vnde $iat, vt videamus di$tinctè omnes eolores, cum in qualibet aeris par te, quo lumina re$lexa po$$unt peruenire mixta $int, & non di$tincta, oritur à paruitate ip$ius pupillæ oculorum, & à magna expan$ione virtutis vi$iuæ in $uper$i- cie concaua orbis continentis humores diaphanos oculorum per ramu$culos nerui optici remotè ab ip$a pupilla. & quamuis radii lumino$i frangantur ab vnoquoque humore diuer$imodè, hoc nihilominus maximè iuuat ad di$tinctionem radiorum, $ed & $i directè procederent, idem ferè eueniret, non tamen $uis locis, cogita exem- pli gratia lineam. a. u. e. vt communis $ectio cuiu$dam plani $ecantis $phæram oculi, per centrum ip$ius, & pupillæ, et. o. punctum $it proximum centro ip$ius pupillæ, $ed interius aliquantulum, extra aut\-e oculũ, $int varij colores, vt. c. n. t. in dicto plano.

Iam nulli dubium e$t quod lumina quæ producuntur ab. c. n. t. ad. o. in ip$o. o. mi- EPISTOL AE. xta, & non di$tincta, procedendo igitur vlteriusip$i radij citra. o. tunc di$gregãtur, & $eparantur abinuicem, & cũ perueniunt ad lineam. a. u. e. $entiuntur di$tincti alij ab alijs. Cuius quidem rei, exemplum manife$tum accipere po$$umus à quouis cubiculo ex omni parte clau$o, quod tran$itum nullũ permittat radijs lumino$is, ni $i per aliquod paruum foramen, in quo foramine, & extra ip$um cubiculum, omnes radij mixti erunt, $ed in obiecto pariete ip$ius cu- biculi videb untur di$tincti, vnde $equitur, quòd quo remotius erit obiectum. c. n. t. ab. o. tanto acu- tior erit angulus. c. o. t. & $uus contrapo$itus $imili- ter, & per con$equens linea. e. u. a. breuior erit, & punctũ. o. propinquius etiam erit ip$i lineæ. a. u. e. quæ omnia efficiunt, vt nobis obiectum. c. t. paruũ, & minus di$tinctum, $eu magis confu$um appareat.

DE APPARENTI DISTANTIA PARTIV M hæmi$phærij. An$elmo Fucaro.

GRatæ mihi tuæ literæ fuerũt, quibus o$t\-edis non paruũ de$ideriũ $ci\-edi vnde fiat, quod cum dies illuce$cit, & e$t $erena pars Cœli, circa axem orizontis demi$$ior appareat, quam aliæ partes, cũ ab alijs (quod $ciã) $atis expre$$um nõ fue rit, $ed quia de eo à me aliquid $cire de$ideras dicam quod mihi v\~r. Scias non $olũ multitudin\-e obiectorũ oppo$itorũ efficere, vt aliqua res alia longius di$tare videat, vt alij putarũt, $ed etiam diuer$itates colorum, quamobrem cum decipiamur, cre- dentes Cœlum e$$e præditum colore c{ae}ruleo, cum is color, aeri, non Cœlo conueniat, & videntes huiu$modi colorem circa axem orizõtis magis den$um, quã ver$us ip$um orizontem, ratione exiguæ re$lexionis, à pauca quantitate vaporum inter no$trum $itum, & re$lexionis locum, iudicamus Cœlum proximiorem e$$e cir- ca dictum axem, quam $int aliæ partes; præterquam, quod is color, qui videtur terminare, aut impedire radium vi$ualem (aduertas tamen me hac in re platonicum non e$$e) eo $emper propinquior e$$e videtur, qui ei locum dat, & hanc ob cau$am videntes nos d\-e$itat\-e c{ae}rulei circa axem orizontis, & cernentes amplitudinem gy ri aliarum partium, adducimur, vt putemus eã part\-e viciniorem e$$e. Neq; illud etiã omittã hoc etiã fie ri ratione imaginationis, vnde etiã multis contrariũ euenire pote$t, ide$t vt eis magis profundum videa tur Cœlũ, circa axem orizontis, quam vicinum gy ro eiu$d\-e orizõtis, iudicantibus eã part\-e lõginquio r\-e e$$e, quæ $e$e magis ob$curã oculo demõ$trat, & eã propinquior\-e qu{ae} $e$e clarior\-e o$tendit, vt ei \-et contingere pote$t, qui $ub$criptã $igurã cubicã non quid\-e ductã $ecundú ordin\-e opticè, $ed ita, vt om- nia latera oppo$ita inuic\-e $int parallela, pro$piciet, ide$t. a. i. ad. e. t. et. c. u. ad. o. n. et. a. i. ad. c. u. et. e. t. ad o. n. vnde $equitur, vt aliquando quadratum. a. o. videbitur citra, et. i. n. vltra dictũ cubum aliquando verò èconuer$o.

IO. BAPT. BENED. DE PHILOSOPHIA MATHEMA TICA. Dominico Pi$ano.

SI omnia vno colore con$tarent, & corporum vmbræ à luminibus non di- $tinguerentur, neque diuer$itas $itus, lumina, quæ veniunt ad oculum non al- teraret; perinde e$$et, ac $i e$$emus cœci. Miror quod cum in Ari$totele $is ver$atus, in tuis tamen $criptis philo$ophum à Mathematico $epares, qua$i mathe- maticus non $it adeò philo$ophus, vt e$t naturalis, & metaphy$icus, cum multo ma gis quam ij philo$ophus $it appellandus, $i ad veritatem $uarum conclu$ionum re$pi ciamus. Verum quid\-e e$t, te in huiu$modi errore $olũ non ver$ari; $ed grauius e$t, quod cum vos videatis etiam res morales $ub philo$ophi{ae} appellation\-e cadere, non animaduertatis diuinas $cientias mathematicas etiam philo$ophiæ nomine ornan- das e$$e. Quod $i eiu$dem nomen penitius con$iderare velimus, inueniemus aper- tè, mathematico magisillud ip$um quàm cuilibet alio conuenire, cum nullus ex alijs tam certo $ciat id quod affirmat quam mathematicus, neque aliquis $it, qui in co- gnitionis, & $cientiæ cupiditatem magis ducatur, vt apertè patet, cum nec etiam ip$i $en$ui det locum, neque aliquid præ$upponat, quod non $it ita verum & intellectui notum, vt nulla quæuis porentia, illud e$$e fal$um o$tendere queat. Sed quia Græci, qui ad placitum nomina rebus impo$uerunt, voluerunt etiam, non $olum mathematica, $ed etiam naturalia, metaphy$ica, & moralia, $ub communi philo$o- phiæ nomine contineri. Vtaũt tibi $atisfaciam authoritate Ari$totelis, quem tanto- pere colis, primum con$idera, nunquam eum de philo$opho m\-etionem facere quin prius aperiat de quo philo$opho loquatur, atque hoc $emper præ$tat, exceptis qui- bu$dam locis, vt cap. 2. lib. 4. Metaphy$icorũ, vbi de philo$opho in genere loqu\-es, ait, proprium e$$e philo$ophi. vt res omnes $peculetur atque hoc in principio quin ti textus a$$erit, cum in quarto iam o$tenderit mathematicum e$$e philo$ophum: omitto quod in. 2. textu $ecundi phy$icorum idem affirmet, æquum e$$e appellare philo$ophiam $cientiam veritatis, & finem $peculatiuæ exi$tere veritatem. An non idem in primo cap. 6. metaphi$icæ philo$ophiam $peculatiuam, mathematicis phy $icis & $upernaturalibus rebus contineri? An non idem paulo inferius $cribit phy$i- cam primam futuram, $i aliæ $ub$tantiæ quam naturales non reperirentur? con$idera deinde quid dicat in fine tertij cap. lib. 11. quo loco nil clarius e$$e pote$t, lege etiam quæ. 6. cap. eiu$dem libri ab eodem adducuntur, & quæ in. 8. cap. 12. libri textu. 44. apertè ponuntur. Quod $i hæc tibi non $ufficiunt, vereor ne tuus morbus de$pe- ratus euadat.

De imaginatione $pecierum. AD EVNDEM.

QVod dixi domino Tadeo e$t, quod aliquas particularium $pecies, perfectè & integrè imaginari po$$umus, alias non item, id tibi melius exemplo innote- $cet. Proponatur tibi triangulus æquilaterus datæ magnitudinis, dati\’q; coloris, hu iu$modi enim particularis, potes imaginatione tibi fingere integram $peciem, tota lem\’q; ei adæquatam, $ed $i aliquam $peciem aliquando vniuer$aliorem imaginatio EPISTOL AE. ne concipere velles, quemadmodum vnius trianguli {ae}quilateri, tali magnitudine, $ed non præfinito colore con$tantis, hoc minime præ$tare po$$es. quia nullam rem vi$ibilem priuatam colore imaginari po$$umus. nec etiam potes imaginari $peci\-e ali cuius trianguli æquilateri, indeterminatæ magnitudinis, & indefiniti coloris, quæ cuilibet particulari cuiu$uis magnitudinis, & coloris po$tea applicari queat. Species deinde alicuius trianguli {ae}quicruri, aut vnius trianguli laterum in{ae}qualium, aut triã guli in genere, aut tandem figuræ, con$iderato tu ip$e, an po$$it $ub imaginationem cadere. Po$$umus quidem huiu$modi $peciem (ratione mediante) intelligere, vn de quamlibet $peciem rei particularis vi$ibilis, compo$itæ, ex figura, magnitudine, & colore, perfectè imaginari po$$imus, & huiu$modi conceptus erit $peciali$$ima $pecies, quia in infinito $uorum indiuiduorum, nunquam fiet, vt aliquod eorum, ali quo modo ab alijs differre po$$it; admonens te, nil reperiri, quod differat, aut in $e partem aliquam habeat, quod aliquid aliud non obtineat, quin dicta differentia $it $pecifica, eius tamen $olum partis quæ differt ab alia duorum indiuiduorum, vnius, eiu$dem\’q; $peciei. quia $i e$t in magnitudine nulla planè magnitudo reperitur, qu{ae} $ua $pecie non $it dotata, quod $i non e$$et, inter res omnes nulla æqualitas eluceret: & $i in figura, & colore, idem affirmo, aliter nulla res fimilis e$$et alteri, neque aliqua $imilitu lo reperiretur. Idem de quolibet alio obiecto $en$ibili dico. Ratio autem eorum omnium quæ dixi e$t, quia imaginatiua nihil aliud intellectui o$tendere pote$t, quam id quod recipit à $en$u, & cum $en$us, alio modo moueri non po$$it quam $upradicto, hanc ob cau $am verum e$t, <003>cquid $crip$i. Vnde triangulum {ae}quilaterum dat{ae} magnitudinis, erit genus triangulorum {ae}quilaterũ eiu$d\-e datæ magnitudinis, $ed diuer$orũ colorũ, erit etiã $pecies trianguli æquilateri indeterminatæ magnitudinis, & hic deinde erit $pecies trianguli, & hic po$tea $pecies figuræ. Idem de alijs omnibus rebus per gradus dico, qu{ae} $icut à $en $u, ita etiam ab imaginatione longè recedunt, adeo vt has $pecies $peciali$$imas tan- tum, ide$t eas $olùm, quas hic $uperius de$crip$i, integrè capere po$$it: at verò gene ra, quanto vniuer$aliora $unt, ab eadem imaginatione, tanto longius di$tant.

De maculis Lunæ, & eius lumine. AD EVNDEM.

MAculæ Lunæ, nihil aliud $unt, quàm partes ip$ius Lun{ae} magis per$picuæ, à qui bus, lumen non refle$$um, $ed penetrans, nobis occultatur; quemadmodũ via lactea, nihil aliud e$t, quam pars octaui orbis magis opaca, à qua lumen Solis re- fle$$um, $e$e nobis o$tendit. Quod autem Maurolicus $cribit folio.64.cap.de a$tro rum ful$ionibus, circa Lunã, e$t fal$um; primo, quia non con$iderat differentiã inten- $ionis luminum inter Venerem, & Lunam, cum lum\-e illius $it magis inten$um, quam Lunæ, quia quilibet qui $ano $it õculo, facile pote$t compræhendere, $i Lu- na e$$et, vbi e$t Venus, aut Venus vbireperitur Luna (quibus in locis eiu$dem ma gnitudinis nobis apparerent) ip$a Luna à Venere longè $uperaretur, & excedere- tur $plendore, & lumine, ita vt $i etiam verum e$$et, quod per tres gradus inter- ualli $e$e nobis proderet $exage$ima pars luminis (quod in quadraturis nec in vllo alio $itu verum euadit, re$pectu ad Solem, ide$t vt tres gradus differentiæ $itus, con $tituant $exag e$imam partem differentiæ luminis re$pectu no$tri) non ideo tamen 10. BAPT. BENED. dictum lumen con$piceretur, quia non $ufficit exten$io luminis, cum eiu$dem inten $io $it etiam nece$$aria. Sed id quoque tibi dico, quod etiam $i dicta $exage$ima pars totius luminis lunaris, eadem inten$ione $plendoris, & luminis Veneris, in tali di$tantia trium graduum à Sole prædita e$$et, non eam tam\-e videremus, ratione ob liquitatis curu{ae}, & $phæric{ae} $uperficiei Lunæ, re$pectu no$tri, in huiu$modi $itu: id <003> tibi ita demon$tratum volo.

Pars $uperficialis lunaris globi, quæ nos re$picit $it. a. p. u. quam accipere po$$u- mus pro medietate ip$ius $uperficiei totalis, eo quod re$pectu no$tri vi$us, in$en$ibi liter, ab ip$a medietate differat, pars autem à Sole vi$a $it. u. q. a. cogitemus etiam cir culum. a. p.u.q. vnum e$$e ex maioribus ip$ius globi, cuius $uperficies trã$eat per ocu lum vidontis, vnde pars eius. a.p.u. diuidet vmbram per æqualia, reliqua verò pars. a. q. u. diuidet per æqualia lumen ip$ius Lunæ à Sole receptum, ita quod pars illumi nata, erit medietas. u. q. a. exce$$us verò, cum no$tro vi$ui incompræhen$ibilis $it, pro nihilo reputetur, cuius cau$a e$t, maxima illa di$tantia, quæ inter Solem, & Lunam reperitur, quamuis Sol maior $it Luna multis millibus vicium, eo quod tunc inter So lem, & Lunam reperiantur plus quam. 570. diametri terræ.

Supponamus nunc Lunam remotam e$$e à loco ip$ius cõiunctionis cum Sole per 3. gradus. vnde qu\-eadmodum prius lumen erat in gyro. a. q. u. nunc re- periatur in gyro. x. q. t. ita quod. t. u. erit $exage$ima pars ip$ius.a.p.u. q<001> à vero $en$ibiliter non di$cedit. Imaginentur nunc duæ rectæ lineæ ductæ ab oculo. d. ad puncta. t. et. u. verum tamen e$t quod linea.d.u. $e- cabit arcũ. t. u. $ed ita propinqua pũ cto.u. quod erit ei ferè contingens, vnde ab$que $en$ibili errore po$$u- mus arcum. t. u. intelligere inter duas lineas. d. t. et. d. u. quapropter tale lu- men compræhendetur, ferè, $ub an- gulo. t. d. u. quem quidem angulum oportet nos videre, cuius magnitu- dinis exi$tat, re$pectu totalis anguli a. d. u. protracta cum fuerit. d. a.

Producatur primo. d.t. v$que ad diametrum in puncto. i. deinde per puncta. a. et. u. ducatur arcus. a. e. u. cir ca. d. c\-etrum, ad quem ducatur linea. d. t. i. in puncto. e. $ed quia, cum dia- meter. a. u. tam breuis $it re$pectu di $tantiæ à terra, tempore interlunij, vnde minor c\-ete$ima parte ip$ius di- $tantiæ exi$tit, $equi\~t nos po$$e ab$q; $en$ibili errore cogitare, à puncto. d. ad quoduis punctum ip$ius diametri omnes lineas ad angulos rectos cum ip$o diametro, & in$en$ibilis inæqua litatis EPISTOL AE litatis à linea. d. o. Accipiemus igitur. t. i. pro $inu arcus. t. u. qui e$t graduum. 3. hoc e$t $exage$ima pars $emicirculi graduum. 180. quapropter. t.i. erit partium. 5233. ta- lium qualium. o. u. e$t. 100000. cuius. t. i. quadratum demptum cum fuerit à quadra- to $emidiametri. o. t. relinquet nobis quadratum ip$ius. o. i. quæ quidem. o. i. vt radix quadrata, erit partium. 99862. talium qualium $emidiameter e$t. 100000. vnde. i.u. re$iduum diametri, remanebit partium. 138. Vel $ic, cum cognitus $it nobis arcus. t. u. illicò cogno$cemus $inum arcus. p. t. complementũ vnius quartæ, qui $inus æ qua- lis erit ferè arcui. o. i. partium. 99862. vnde. i.u. erit, vt dictum e$t, partium. 138. qu{ae} quidem. i. u. æqualis e$t ferè $inui arcus. u. e. & ita etiam. u. e. quare $i diui$a fuerit to- ta. a. u. partiũ. 200000. per. 138. proueniet nobis. 1449. & $ic angulus. t. d. u. erit vna partium. 1449. anguli. a. d. u. Confideremus igitur quomodo fieri pote$t, vt oculo compræhendatur hæc tam parua particula luminis lunaris.

SOLVTIONES ALIQVAE. Paulo Aemilio Raifestaim.

Po$t eas literas quas proximè ad te dedi, Franci$cus Monardus mihi retulit tuas nonnullas dubitationes circa no$trum Theorema Arithmeticum. 116. quarum prima e$t, quod $i numerus. a. cogitat<_>9, e$$et æqualis. 4. tunc ip$e non e$$et multiplex ip$i. 4. de quo tamen nullam mentionem feci. Idem etiam inquis, $i. a. fui$$et. 5. 6. 7. nec non. 1. 2. et. 3. Cui re$pondi, quod quãuis nullam fecerim mentionem de æqua litate ip$ius. a. cum. 4. nihiltamen refert, propterea quod quando ita fui$$et, nihi- lominus ea$dem conditiones $ubiret, quemadodũ $i fui$$et duplus, triplus, aut qua druplus. eo quod à genere multiplici, æqualitas, formam diuer$am non induat. Qua re idem eueniet $i. a. fuerit. 4. 5. 6. 7. vt $i e$$et. 8. 9. 10. et. 11. & $ic de cæteris, excepto quod in proprijs multiplicibus, vel in $uperantibus ip$is multiplicibus. a. men$urare tur ab ip$o. 4. plus quam $emel. Quod autem dicis. de. 1. 2. et. 3. nihil e$t, quia, vt in $ecunda $umma, hoc e$t in tertio termino maximo, reliquus tertius terminus, ide$t. 9. non compræhendetur, ita nobis indicabit primum numerum $umptum mi norem e$$e quaternario. Quæ omnia, exip$a no$tra th{ae}oria ibidem expre$$a ma- nife$tantur. Quid autem circa hoc Frater Lucas dicat, ne$cio, quia ip$ius opus ad manus meas nunquam peruenit, $atis enim mihi fuit, in Tartalea hanc praxim vidi$$e, ratio vero nullibi à me reperta fuit. Tartalea enim multos citat authores, quorum $cripta ego nunquam vidi, vt Leonardi Pi$ani, Pro$docimi, Petri Borghi, Fratris Lucæ, Ioannis Sfortunati, cæterorum\’q; $imilium.

10. BABPT. BENED. ELIPSIM PROPOSITAM QVALITER quadrare valeamus. Illu$tri Uiro Franci$co MendoZzæ

QVod antea tuo nomine fecerat Marcus Antonius amicus no$ter $ufficie- bat. Sed quia, quæ nunc à me petis, talia $unt, vt $ine tripartita {ae}qua- liter aliqua data proportione non po$$it aliquis exactè intentum perfice- re, nihilominus, $uppo$ita di cta diui$ione, reliqua facilia erũt. Primũ enim e$t. Propo$itam Ellip$im qua- drare.

Sitigi\~t Ellip$is propo$ita. a. b. d. c. cu- ius axes $int. a. b. et. d. c. dati, $eu re<002>ti ex 47. $ecũdi Pergei, $int\’q; duo circuli. a. e. b. f. et. g. d. h. c. circa ea$dem diametros, tũc proportio. a. b. ad. d. c. dimidiũ erit proportionis circulorum ex. 2. 12. Eu- clid. $ed proportio. a. b. ad. d. c. æqualis e$t proportioni maioris circuli ad Elli p$im. ex. 5. Archimedis in lib. de cono idalibus, quapropter proportio Elli- p$is ad minorem circulum altera me- dietas erit totius proportionis circulo- rum, hoc e$t maioris ad minorem, qua re Ellip$is media proportionalis erit inter eos circulos. Nunc verò cum ex Archimede repert{ae} fuerint duæ fi- guræ rectilineæ æquales duobus circu lis iam dictis, & inter has, reperta fue rit alia media proportionalis propo$i- tum obtinebimus.

Spheroidem propo$itam cubare. AD EVNDEM.

PRopo$ita $phæroides erit, aut prolata, aut oblonga, $it prius prolata, $it\’q;. a. b. diameter circuli, qui eam per æqualia $ecat, circa quam. a. b. vt circa axem in- telligatur $phæroides oblonga, cuius $pi$$itudo $it. d. c. axis prolatæ, cogitemus nũc duas $phæras. a. e. b. f. et. g. d. h. c. circa dictos axes. Vnde quatuor corpora habebi- mus, hoc e$t duas $phæras, & duas $phæroides, quas probabo continuas proportio- nales inuicem e$$e.

Con$ideremus igitur duos conos rectos, quorum. a.b. diameter $it eorum ba$ium, altitudo autem maioris, æqualis $it $emidiametro majori, hoc e$t medietati. a. b. al- EPISTOLAE. titudo verò minoris, æqualis $it $emidiametro minori, hoc e$t medietati. d. c. vnde habebimus proportionem coni maioris ad conum minorem, eãdem quæ e$t diame tri maioris ad diametrum minorem, quod ex. 2. parte. 11. duodecimi Eucli. nec non ex. 9. eiu$dem manife$tum e$t, $ed conus minor, e$t quarta pars $phæroidis prolatæ ex. 29. Archimedis in lib. de conoidalibus, & conus maior, e$t etiam quarta pars $phæræ, ex. 32. primi lib. de $phæra, & cyllindro, quare ex communi $cientia, ead\-e proportio erit $phæræ maioris ad $phæroidem prolatam, quæ. a. b. ad. d. c. $ed pro- portio. a. b. ad. d. c. e$t tertia pars proportionis maioris $phæræ ad minor\-e. Con$idere mus nũc alios duos conos rectos, vnius & eiu$d\-e ba$is, cui<_>9 diameter $it. d. c. $ed altitu do maioris, æqualis $it $emidiametro$ph{ae}r{ae} maioris, altitudo verò minoris, $it æqua lis $emidiametro minoris $phæræ, vnde ex dictis rationibus habebimus proportio- n\-e maioris coni ad minor\-e, vt quæ e$t. o. b. ad. o. d. hoc e$t vt. a. b. ad. d. c. & ex dictis {pro} po$itionibus ita $e habebit $phæroides oblonga ad $ph{ae}ram minorem vt. a. b. ad. d. c. hoc e$t tertia pars proportionis $phæræ maioris ad minorem. Quare proportio $phæroidis prolatæ ad oblongam, erit reliqua tertia pars proportionis maioris $ph{ae} ræ ad minorem. Quapropter hæc quatuor corpora continua proportionalia inui- cem erunt.

Nunc verò quærenda e$t inter. a. b. & $uas duas tertias partes vna media pro por- tionalis, quæ $it. K. & ex Archimede, inuentum $it quadratum {ae}quale circulo, cuius $it. K. diameter. Vnde proportio circuli (cuius. a. b. e$t diameter) ad circulum cu- ius. K. e$t diameter, $e$quialtera erit ex. 2. 12. Eucli.

Ducatur deinde quadratum lineæ. K. in lineam. a. b. & proueniet nobis cor- pus quoddam, quod æquale erit $phær{ae} maiori, ex corellario. 32. primi de $ph{ae}ra & cyllindro, cuius corporis, latus cubus $it. m.

Idem facere oportebit mediante. d. c. minoris $phær{ae}, cuius corporis cubica ra- dix $it. n.

Nunc verò inter. m. et. n. inueniantur du{ae} medi{ae} proportionales. s. t & ex. s. pro- ducatur cubus, qui {ae}qualis erit $ph{ae}roidi prolatæ propo$iti, cubus vero. t. æqualis erit $ph{ae}roidi oblong{ae}, cuius axis e$$et. a. b.

Si autem $ph{ae}roides oblonga nobis propo$ita fui$$et, eodem methodo $oluere- tur problema.

Quadratum circulis mediantibus de$ignare. ADEVNDEM.

MOdus autem conficiendi quadratum ex circulis $upra datam lineam, vt Do- minum Ga$parem docui, facillimus e$t.

Sit enim linea. b. a. 46. propo$itionis primi Euclidis, po$ito\’q; pede immobli circi- ni in puncto. a. $ecundum quantitatem lineæ. a. b. propo$it{ae} fiat circulus, $imiliter cir- ca punctum. b. alius circulus eiu$dem magnitudinis, erecta deinde $ola. a. c. perpendi culari ip$i. a. b. ex puncto. a. ip$a $ecabitur à circunferentia circuli. cuius centrum e$t. a. in puncto. c. vnde. a. c. æqualis erit. a. b. po$ito demum pede immobili ip$ius circi ni in puncto. c. $ecundum longitudinem ip$ius. c. a. fiat alius circulus, qui æqualis erit reliquis duobus circulis cum eorum $emidiametri æquales $int, & hic vltimo factus $ecabit circulum, cuius centrũ e$t. b. in pũcto. d. à quo cum ductæ fuerint. d. c. et. d. b. IO. BAPT. BENED. rectè habebimus quod volumus. nam omnia latera $unt inuicem {ae}qualia ex condi- ti onibus circuli, angulus autem. a. rectus effectus fuit, tunc $i imaginatione cogita- ta fuerit diameter. b. c. ex. 8. primi, concludemus angulum. d. e$$e rectum deinde ex. 5 et. 32. eiu$dem concludemus etiam reliquos angulos rectos e$$e.

Circa verò id quod mihi $crip$i$ti de igne perpetuo putans nugas e$$e, quod Ro- mæ inuentæ fuerint lucern{ae} ardentes in $epulchris antiquorum. Ego quid em mi- nimè puto eas nugas e$$e, propterea quod tales lucernas non vnus tantum aut duo viderint, $ed multi homines fide digni$$imi. Pr{ae}tera cum aisid nulla ratione po$$e fieri. Re$pondeo quod maxima ratione po$$ibile e$$e puto, quam quidem ra- tionem ita e$$e oportet, quod primum lucerna $it perfectè circunclu$a, vt materia in ea con$tituta nullo modo exire po$$it, deinde quod materia inflamabilis talis $it, vt excrementum fuligino$um ex flamma tran$mi$$um, tangendo $uperfi- ciem deuexam ip$ius lucernæ, aptum $it in pri$tinũ humor\-e congelari, $iue transfor- mari, vnde materia prima per tres formas perpetuò tran$ibit, hoc e$t per humorem, $iue oleum tale, vt diximus, per ignem, $eu flammam, & per vaporem, $eu exhala- tionem fuligino$am aptam conden$ari, atque in priorem humorem illicò reuerti.

DE DIVISIONE TRIANGVLI SECVNDVM propo$itam proportionem. Michaeli Angelo Mucia$co.

QVOD mihi proponis, tale e$t, vt $cilicet tibi modum $cribam diuidendi triangulum propo$itum $ecundum datam proportionem à linea tran$eun te per punctum notatum extra triangulum.

Triangulũ igi\~t à te mihi propo$itum $it. n. o. u. con$idero primũ quod $i quis ip$um diui$erit in duas partes mediante. e. s. parallela ad. n. u. ea proportione, quam mihi proponis. deinde inuenerit in dicta. e. s. punctum. r. per quod tran$iens alia linea à puncto. p. propo$ito, ita quod efficiat duo triangula. m. r. e. et. r. s. x. inui- cem æqualia, problema $olutum erit. eo quod triangulum. m. o. x. æquale e$$et triangulo. e. o. s. & quadrilate- rum re$iduum. m. n. u. x. etiam {ae}quale e$$et quadrilatero. e n. u. s.

Sed dum punctum. r. uenarer, alia via mihi in mentem venit, cognoui igitur quod quum propo$itum expe- ditum fui$$er, hoc e$t, {quis} $i à puncto p. protracta e$$et linea. p. m. qu{ae} trian- gulum. n. o. u. in duas partes inuicem ita proportionatas diui$i$$et, vt $e ha bet. A. et. B. ita $e haberet productũ n. o. in. o. u. ad productum. m. o. in. o. x. vt trianguli. n. o. u. ad triangulum m. o. x. quod quidem non e$t diffi- cile $peculari, ex methodo. 24. $exti, EPISTOLAE. eo quod tam proportio producti. n. o. in. o. u. ad productum. m. o. in. o. x. quam pro- portio trianguli. n. o. u. ad triangulum. m. o. x. componitur ex proportione. u. o. ad. o. x. & ex proportion e. n. o. ad. m. o. vnde proportio dictorum productorum nobis co- gnita erit, eo quod cum nobis cognita $it proportio. A. ad. B. vt data, cognita etiam nobis erit coniuncta, hoce$t. A. B. ad. B. & propterea ea quæ trianguli. n. o. u ad triã- gulum. m. o. x. & $imiliter productorum. Quæ$iui po$tea modum inueniendi duas dictas lineas. m. o. et. o. x. & cognoui quod $i producta fuerit. p. i. æquidi$tans li- neæ. o. x. producendo\’q. o. n. quou$que cum. p. i. $e inter$ecarent in puncto. i. inuenien do po$tea lineam quandam, quæ ducta cum. p. i. efficeret rectangulum æquale rectan gulo cognito quod ex. m. o. in. o. x. pote$t fieri, quod cognitum dico, eo quod nobis cognita e$t proportio data, & rectangulum etiam. n. o. in. o. u. deinde $ecando ab. o. n. partem æqualem lineæ iam inuentæ, quæ $it. o. t. Inueniendo po$tea, ex. 28. $exti lineam. o. m. cuius productum in. m. t. æquale $it producto. t. o. in. o. i. vnde ex. 15. eiu$ dem proportio. o. i. ad. m. o. eadem e$$et, quæ. m. t. ad. o. t. & componendo, ita $e ha- beret. m. i. ad. m. o. vt. m. o. ad. o. t. $ed ex. 4. $exti, ita e$$et. p. i. ad. o. x. vt. m. i. ad. m. o. quare ex. 11. quinti, ita e$$et. p. i. ad. o. x. vt. m. o. ad. o. t. vnde ex. 15. $exti productum. o. x. in. m. o. æquale e$$et producto. p, i. in. o. t. & $ic haberemus intentum.

Sed $i punctum. m. caderet in punctum. n. idem e$$et, $i vorò punctum. m. tran$iret n. oporteret nos facere hoc in latere. n. u. ip$um quærendo in linea. n. u. ducendo pri mum lineam. p. i. æquidi$tant\-e. u. x. & producendo. u. n. ad partem. u. pro$equendo, {quis} $uperius iam dictum e$t.

Idem facere de parallelogr ammo. AD EVNDEM.

DAtum parallelogrammum in duas partes diuidere, $ecundum aliquam datam proportionem à linea tran$eunte per punctum propo$itum.

Sit exempli gratia, datum parallelogrammum. b. u. datum verò punctum. o. extra figuram, proportio autem ea $it, quæ. A. ad. B. vt $upra. Nunc diuidatur primò re- ctangulum datum per æqualia, mediante linea. r. c. parallela ambobus lateribus. b. x. et. s. u. quæ quidem linea diuidatur in puncto. i. ita quod eadem proportio $it. r. i. ad. i. c. vt. A. ad. B. protrahatur deinde à puncto. o. linea. o. i. q. quæ $ecabit ambo duo la- tera. b. x. vel. s. u. intra terminos eorum, vel tantum. b. x. reliquum verò extra termi- nos. s. u.

Nunc autem $i intra dictos terminos tran$ibit, vt in prima figura videre potes, problema $olutum erit, eo quod $i à puncto. i. protracta fuerit. p. d. pa rallela ad. u. x. habebimus ex prima $exti eandem propor- tionem. s. d. ad. p. x. ut. r. i. ad. i. c. hoc e$t vt. A. ad. B. $ed triãgulus i. e. d. æqualis e$t triangulo. i. q. p. vt tibi facilè patebit, vnde qua- drilaterum. e. q u. x. æquale erit quadrilatero. d. u. ex communi IO. BAPT. BENED. $cientia. Quare ex. 9. quinti, ita erit. s. d. ad dictum. d. u. vt ad quadrilaterum. e. q. u. x. hoc e$t vt. A. ad. B. ex. 11. eiu$dem.

Sed $i punctum. q. fuerit extra ut in. 2. figura videre e$t. tunc manife$tum erit, {quis} triangulus. e. x. t. maior erit pa- rallelogrammo. d. u. per triangu lum. q. t. u. cum triangulus. q. i. p. æqualis triangulo. d. i. e. excedat quadrilaterum. i. t. u. p. per trian gulum dictũ. q. t. u. quapropter cum diui$us fuerit triangulus. e. x. t. mediante linea. o. n. K. ita {quis} quadrilaterũ. e. n. K. t. $it æquale triangulo. q. t. u. ex doctrina præ cedenti, habebimus propo$itum.

Idem de frusto trianguli. AD EVNDEM.

SEd $i quadrilaterum dictum e$$et fru$tum alicuius triãguli ut in figura. A. hic $ub $cripta videre e$t, $uppo$ita, b. d. parallela ad. u. p. ita faciendum e$$et, ducendo $cilicet parallelam. u. x. ad. b. p. quæ producatur v$que ad concur$um cum. b. d. in puncto. x. $it\’q; proportio data inter. t. a. et. a. e. quas duas lineas cogitemus inuicem directè coniunctas, tunc diuidatur tota. t. e. in puncto. i. ita vt. t. i. ad. i. e. $it vt quadrilate ri. p. d. ad trigonum. u. d. x. deinde diuidatur t. i. in puncto r. tali modo vt. t. r. ad. r. i. $e ha- beat vt. t. a. ad. a. e. quo facto ex doctrina pr{ae} cedenti diuidatur totum parallelogram-- mum. p. x. mediante linea. o. q. $ecundum quod $e habet. t. r. ad. r. e. Atque ita $olu- tum erit problema, vt exte ip$o ratiotina- ri facile potes.

Fdem de quadrilatero in genere. AD EVNDEM.

SEd $i nullum latus parallelum reliquo erit, ita faciendum erit. $i $it tale quadrila terum. b. d. u. p. oportet vt ip$um conuertamus in triangulum, producendo duo qu{ae}uis eius latera oppo$ita u$que ad inter$ectionem ut pote. u. p. et. d. b. in puncto. x. quo facto, $upponemus. o. e$$e punctum datum, proportio verò data $it. t. r. ad. r. i. ad iungatur deinde. i. e. ad. t. i. ad quam. e. i. ip$a. t. i. $e habeat vt quadrilaterum. b. d. u. p. EPISTOLAE. $e habet ad triangulum b. p. x. ducatur po$tea. o. q. quæ diuidat totale triangulum. d. u. x. in duas partes inuicem ita proportionatas, ut $e habent t. r. et. r. e. quæ quidem partes $int. c. d. u. q. et. c. q. x. ut in primo problemate tibi mon$traui, & habebis pro- po$itum, dato quod punctum. c. $it inter b. et. d.

Sed $i forte linea. o. q. $ecabit. b. x. hoc e$t $i punctum. c. e$$et inter. b. et. x. mani- fe$tum e$t, quod. c. q. $ecaret. b. p. in pun- cto. y. vnde in tali ca$u, alio modo ope- randum e$$et, hoc e$t ducendo. b. u. quæ diuideret quadrilaterum in duo triangu- la, & ut $e haberet triangulum. b. d. u. ad triangulum. b. p. u. vellem vt ita $ecaretur t. i. in puncto. n. vt ita $e haberet. t. n. ad. n. i. ut dictum e$t de i$tis duobus triangulis, deinde prout $e habet. n. r. ad. r. i. ita $eca- res triangulum. b. p. u. mediante linea. o. K. ex doctrina primi problematis, & ita haberes propo$itum.

Idem de Pentagono, Exagono, & de reliquis. AD EVNDEM.

PEntagonum, $eu hexagonum, vel alias qua$uis multilateras figuras propo$itas its diuidere, vt dictum e$t de trilateris, & quadrilateris.

Sit exempli gratia pentagonus. a. d. u. p. b. quem $ecare volumus mediãte linea. o. q. in duas partes inuicem $e habentes, vt $e habent. t. r. et. r. i. oportet igitur ut ip$um pentagonum reducas ad quadrilaterum. x. a. d. u. quod diuidatur $ecundum præce- dentem doctrinam, vt $e habet. t. r. ad. r. e. vnde $i punctum. q. incidit inter. p. et. u. tunc habebis propo$itum, $i verò incidet inter. p. et. x. clarum erit quod linea. o. q. $ecabit latus. p. b. trianguli. b. x. p. in puncto. y. qua- propter duces lineam. a. p. vt claudat trian- gulum. a. b. p. diuidatur\’q;. t. i. in puncto. n. ita vt. t. n. ad. n. i. $e habeat, vt quadrilaterum. a. d. u. p. ad triãgulum. a. b. p. deinde hũc trian gulum. a. b. p. diuidas mediante linea. o. K. vt. n. r. ad. r. i. ex doctrina primi problematis & habebis propo$itum. Idem dico de hexa gono, reducendo ip$um ad pentagonum, & item de eptagono, ip$um reducendo ad exa gonum, & idem infero de infinito ip$arum $uperficialium figurarum rectilinearum.

IO. BAPT. BENED. De duobus triangulis equalibus inter lineas inuicem inclinatas. AD EVNDEM.

TV mihi vltimò proponis duas lineas rectas. b. f. et. q. s. in eadem $uperficie pla- na, non tamen inuicem æqu idi$tantes, proponis etiam. n. t. in eadem $uperfi- cie, quæ vnamquamque priorum $ecat, proponis etiam lineam. h. tali conditione, quod nulli dictarum $it parallela, deinde $cire cupis qua arte aliquis po$$et ducere. c. u. parallelam ad. h. ita quod $ecando. n. t. con$tituat duos triangulos. n. o. u. et. t. o. e. inuicem æquales.

Facita, producas primò duas primas lineas à parte, in qua inuicem inclinantur, v$que ad concur$um in puncto. i. deinde à puncto. n. duces. n. c. parallelã ad. h. po$tea ex. 25. $exti Eucli. con$titues triãgulum. i. u. e. $imile triangulo. i. c. n. æquale tamen triangulo. i. t. n. & $olutum erit problema. Vel$ic, inuenies. i. e. mediam proportionalem inter. i. c. & i. t. duces po$tea. e. u. paralle- lam line{ae}. h. vel. c. n. quod id\-e erit ex. 30. primi Eucli. & $o- lutum erit problema.

Nam ex. 17. $exti eadem proportio erittrianguli. i. c. n. ad triangulum. i. e. u. ut. i. c. ad. i. t. Quare ut trianguli. i. c. n. ad triangulũ. i. t. n. ex pri- ma $exti, et. 11. quinti. Vnde ex. 9. eiu$dem. i. e. u. æqualis erit. i. t. n. Quapropter. o. n. u. æqualis etiam erit. o. e. t.

SOLVTIONES NONNVLLAE QVOR VNDAM problematum. Thaodo$io à Raifestaim.

DVRITANDVM profecto non e$t, quin quotidie hominibus $tudio$is ali- quid noui de$it, quemadmodum, quod tibi nunc occurrit, mihi non- nunquam accidit, hoc e$t inuenire orizontem, cui aliqua propo$ita $tel la oriatur cum gradu ip$ius longitudinis. pro cui' rei operatione te prius $cire oportebit vtrum $tella in $ignis a$cendentibus, vel de$cendentibus reperiatur, hoc e$t in $ignis, qu{ae} à Capricorno ad Cancrum procedunt, vel in illis, qu{ae} à Can- cro ad Capricornum numerantur, propterea quod $i in $ignis a$cendentibus inue- nitur, $ciendum e$t, quod $upra talem orizontem polus mundi au$tralis attollitur, $ed $i in $ignis de$cendentibus reperitur, tunc polus borealis eleuatur $upra dictum EPISTOL AE. orizontem, vt exempli gratia, canicula quæ à Græcis Prochyõ vocatur, reperitur in 24. minuto vige$imi gradus Cancri, quapropter polus borealis eleuatur $upra ori- zontem, cui ip$a oritur cum eodem gradu, & minuto ecliptic{ae} illius $igni. $ed quia volumus etiam $cire veram quantitatem arcus eleuationis huiu$modi poli, pro pterea accipiemus in tabula generali Monteregij numerum qui vocatur radix a$cen $ionum, èregione numeri longitudinis ip$ius $tellæ, qui quidem numerus in præ$en ti exemplo erit gra. 107. cum minutis. 53. qui e$t cuiu$dã arcus æquatoris, qui inci- pit in principio Arietis, & in circulo latitudinis de$init, hoc e$t ab orizonte quæ$i- to, ita quod talis numerus erit a$cen$io obliqua huiu$modi puncti eclipticæ illi ori- zonti, qua a$cen$ione mediante, $imul cum gradu, & minuto longitudinis in tabulis a$cen$ionum obliquarum, inueniemus gradum, & minutum altitudinis pollaris, q<001> quærebatur, eodem ordine ac methodo, quo vtimur ad inueniendum in tabulis po- $itionum, polum circuli po$itionis alicuius a$tri, mediante declinatione & di$tantia à meridiano ciu$dem a$tri, vt $cis. Vnde in præ$enti exemplo eleuatio poli borea lis $upra talem orizontem erit gra. 7. cum minutis. 45.

Sed $i $tella fuerit in medietate a$cendente, tunc certi erimus polum au$tralem $u per dictum orizontem attolli, nam idem e$t quærere altitudinem vnius polorũ mun di à tali orizonte, quod di$tantiam dicti poli à circulo $ecundum quem longitudo terminatur, qui etiam latitudinis dicitur, eo quod tunc temporis talis circulus vnus & idem e$t cum orizonte. Sumatur ergo exempli gratia $tella, quæ in ore pi$cis au $tralis e$t, qu{ae}, pro nunc, $it in gradu. 20. cum minutis. 14. Aquarij longitudinis, & in gradu. 23. cum nullo minuto meridianæ latitudinis. Tunc certi erimus orizon- tem, cui dicta $tella oritur cum eiu$modi puncto eclipticæ, depre$$um e$$e à parte au$trali $ub illo\’q polo, $ed quia propo$itum e$t $cire etiam quantitatem huiu$mo- di depræ$$ionis, reperiemus in tabula generali gradum, & minutum æquatoris, cor- re$pondentem tali puncto longitudinis à circulo latitudinis terminato, qui quidem numerus in præ$enti exemplo erit gra. 317. cum minutis. 46. & hic numerus, vt dixi mus e$t a$cen. obli. ad dictum orizontem, vbi polus au$tralis attollitur, & de$cen$io obliqua, vbi polus borealis eleuatur. Quapropter $i à. 317. gradibus cum minutis 46. demptus fuerit dimidius circulus gra. 180. remanebunt gra. 137. cum minutis. 46 & punctus oppo$itus gradibus. 20. cum. 14. minutis Aquarij e$t in eodem numero Leonis, & mediantibus i$tis gradibus. 137. min. 46. a$cen$ionis, cum grad. 20. min. 14. Leonis inueniemus eleuationem poli borealis ab orizonte in tabulis a$cen$io- num obliquarum Monteregij, hoc e$t gra. 17. min. 53. & eadem altitudo erit poli au$tralis $upra orizontem à quo Fomahant cum dicto puncto eclipticæ oritur, in qua longitudine dicta $tella reperitur.

Sed $i propo$itus nobis fuerit punctus eclipticæ, cum quo aliqua $tella oritura $it, & oporteat inuenire vbi, hoc e$t orizontem huiu$modi ortus, eleuatione poli arti ci, $eu antarctici $upra talem orizontem, ita operandum e$$et.

IO. BAPT. BENED.

Sit exempli gratia $tella. o. ecli ptica verò. d. q. æquator autem. p. q. punctus verò eclipticæ, cum quo $tella oritura $it. e. orizon de mũ. o. e. vbi $tella oriri po$$it cũ puncto. e. Nam cum $tella pro- ponitur, datur etiam eius longi- tudo, nec non latitudo, quare ar- cus. a. q. & arcus. a. o. nobis cogni tus erit, cum $upponatur arcus. a. o. e$$e circuli latitudinis, et. a. o. Iatitudo ip$ius $tellæ, & angulus a. rectus erit, & quia punctum. e. datur, ergo arcus. a. o. & arcus. a. e. $imul cũ angulo. a. recto cogni- ti $unt, vnde ex. 11. primi lib. co pernici, angulus. a. e. o. cogno$ce- tur, & angulus. q. e. o. $imiliter, vt re$iduum ex duobus rectis quo. e mediante cum angulo. q. declina tionis ab æquatore, mediante\’q; latere. q. e. cognito, cognitus quo que nobis erit angnlus. e. t. q. ex 12. eiu$dem. qui quidem angulus erit altitudinis æquatoris ab ori- zonte quæ$ito, qui demptus à 90. gradibus, dabit altitudinem poli ab orizonte quæ$ito.

Inuenire po$tea gradum ecliptic{ae}, cum quo $tella data oriatur ad orizontem pro po$itum, nullius e$t difficul@atis.

Ponamus exempli gratia, aliquem $cire velle gradum eclipticæ, cum quo canicu- la oritur ad orizontem, cui polus boreus eleuatur per gradus. 44. quæ canicula $up- ponatur habere gradus. 19. cum min. 24. Cancri longitudinis, & gra. 16. min. 10. lati- tudinis meridianæ, quærere primum oportet eius declinationem ex doctrina. 2. pro blematis tabularum directionum Monteregij, quæ erit graduum. 6. cum minutis. 5. $eptentrionalis, deinde inuenire eius a$cen$ionem rectam ex doctrina. 4. problema tis eiu$dem Monteregij, quæ erit gra. 108. mi. 42. deinde mediãte declinatione iam inuenta in tabulis differentiarum a$cen$ionalium $ub polo. 44. accipiemus differen- tiam a$cen$ionum, qua differt recta ab obliqua, quæ in præ$enti exemplo erit gra. 5. min. 55. quæ dempta ab a$cen$ione recta $tellæ, vt præ$ens exemplum exigit, relin quet nobis a$cen$ionem obliquam $tellæ propo$itæ ad polum. gra. 44. quæ erit gra. 102. minu. 47. qua mediante, in tabulis a$cen$ionum obliquarum poli. 44. habebi- mus gradum & minutum ecliptic{ae} cum quo $tella oritur. quod in ca$u no$tro erit gra. 1. min. 8. Leonis, $ed $i tecum non fuerint tabulæ dictæ, potes eleganter omnia hæc perficere via triangulorum $phæricorum.

EPISTOL AE.

Via triangul@rum idem facere.

Sit ex\-epli gr@tia. q b. æquator, ecliptica verò. q. a. propo$itus aũt orizon $it. o. c. d. & $tella data $it. o. in orientali parte orizontis, circulus verò. a. o. ille $it, qui tran$i\-es per polos eclipticæ & per centrum $tellæ terminat longitudinem ip$ius $tellæ, & in ip$o $it eius latitudo. Nunc propo$itum $it inuenire arcum. d. q. eo quod illicò $cie mus punctum. d. qua propter oportet nos prius cogno$cere arcum. d. a. qui demptus, vel additus arcui. a. q. prius cognito ex $uppo$ito (nam data nobis e$t longitudo, & latitudo $tellæ) dabit nobis. d. q.

Cum igitur voluerimus arcum. d. a. cogno$cere, ita faciemus. nam. q. a. cognitus nobis e$t ex $uppo$ito vt dictum e$t. angulus quoque. a. q. b. qui declin tionis eclipti cæ ab æquatore e$t, angulus deinde. a. (trianguli. a. b. q.) rectus e$t, ergo ex. 4. primi copernici cogn@tus nobis erit arcus. a. b. nec non angulus. a. b. q. vnde an- gulus. o. b. e. re$iduus ex duobus re- ctis in duobus primis hic $ub$criptis figuris nobis itidem cognitus erit, etiam & arcus. b. o. re$iduus $iue com po$itus ex ar cu. a. o. cognito ex $up- po$ito cũ $it arcus latitud nis ab ecli- ptica. Tunc in triangulo. o. b. e. co- gno$cimus latus. o. b. & angulum. o. b. e. nec non angulum. b. e. o. qui e$t altitudinis æquatoris ab orizonte , quare ex. 12. dictilib. cognitus nobis erit angulus. b. o. e. Con$ideremus deinde triangulum. a. o. d. cuius angu lus. a. rectus e$t, & angulus. a. o. d. cũ latere. a.o. etiam cognitus, vnde ex $upradicta. 4. nobis cognitus erit ar- cus. a. d. & con$equenter cogno$ce- mus at cum. d. q. eius re$iduum, $eu compo$itum, quem quærebamus.

Sed $i hac via inuenire de$ideras, cui orizonti propo$ita $tella oriatur cum eodem ecliptic{ae} puncto. a. lon- gitudinis, hoc aliud nihil e$$et, quam cogno$cere amplitudinem anguli. a. b. q. eo quod talis orizon, idem cir- culus e$$et. a. b. o. vnde cum quis $ci- ret vnum illorum angulorum quem æquator efficit cum orizonte, reli- qua illicò ei innote$cent, $ed dictus angulus. b. iam diximus quomodo cogno$catur.

IO. BAPT. BENED.

Ponamus nos $cire velle pũctum ecliptic{ae}, cum quo Procyon oritur polo. 44. o. dato, quod $tella in gra. 19. cum min. 24. Cancri, reperiatur di$tans ab ecliptica per gra. 16. min. 10. meridiem ver$us. vnde arc<_>9. a. q. erit gra. 70. min. 36. eius\’q; $inus par- tium 94321. talium qualium totalis e$t. 100000. arcus verò. a. o. gra. 16. minut. 10. $inus erit 27845. angu- lus autem. a. q. e. declinationis zodia ci ab {ae}quatore grad. 23. min. 30. cu- ius $inus e$t. 39875. Quare ex $upra- dictis rationibus angulus. a. b. q. erit gra. 82. mi. 24. cuius $in<_>9 erit. 99122. arcus vero. a. b. gra. 22. minu. 17. cu- ius $inus erit. 37945. angulus deinde o. e. b. trianguli. o. e. b. e$t gra. 46. mi. o. altitudinis æquatoris ab orizonte, cuius $inus e$t. 71934. angulus $imili ter. o. b. e. medio coniuncti, quibus rectus per$icitur, arcus etiam. o. b. no tus e$t grad. 6. min. 7. cuius $inus e$t. 10655. cum $it differentia inter ar- cus. a. b. et. a. o. cognitos.

Quare ex. 12. iam $upradicta an- gulus. e. o. b. hoc e$t. a. o. d. erit. grad. 36. min. 39. cuius $inus erit. 59693. deinde per. 4. cognitus erit nobis an gulus. a. d. o. gra. 55. min. 5. cuius $in<_>9 erit. 81998. arcus verò. d. o. gra. 19. min. 51. cuius $inus erit. 33957 ar- cus autem gra. 11. min. 42. cuius $in<_>9 erit. 20270. vnde arc<_>9. d. q. re$iduus ex. a. q. erit gra. 58. min. 54. complementum aũt quartæ erit gra. 31. mi. 6. hoc e$t gra. 1. $igni Leonis. cum min. 6.

De $phæroide duplæ $pbær æ propo$it æ. AD EVNDEM.

MOdus autem inueniendi $phæroidem ex dato axe, quod duplum $it $phæ- ra propo$ita, talis e$t.

Sit exempli gratia. a. b. c. $phæra propo$ita. cuius $emidia meter $it. o. c. $emiaxis vero $phæroidis $it. d. x. cuius dimidium $it. u. x. tunc ex doctrina. 9. $exti Euclid. inue niatur. g. h. media proportionalis inter.u. x. et. c. o. deinde $icut $e habet. u. x. ad. g. h. EPISTOL AE. faciemus, quod diameter. a. b. dictæ $phæræ ita $e habcat ad. e. f. ex. 10. $exti, quæ e. f. erit reliqua axis quæ$ita. Vnde con$tituta cum fuerit ellip$is. d. f. t. e. ex dictis axi- bus, deinde circumuertendo ellip$im circa maiorem axem, con$tituemus $phæroi- dem oblongam, $i autem circumuertemus ip$am circa minorem axim con$tituemus $phæroidem prolatam.

Quod autem talis operatio rationalis $it, nulli dubium erit, quetie$cunque co- gno$cet conum rectum. e. u. f. æqualem e$$e cono recto. a. c. b ex. 2. parte. 12. duodeci mi Euclid. & quod cum conus. e. d. f. duplus $it cono. e. u. f. ex lemmate collecto ab 11. duodecimi, conus. e. d. f. duplus exi$tit etiam cono. a. c. b. ex. 7. quinti. Cum de- inde ex. 32. primi lib. de $phæra, & cyllindro $phæra. a. c. b. q. quadrupla $it cono. a. c. b. ip$a con$equenter dupla erit cono. e. d. f. $ed ex. 29. primi de conoidalibus, dimi dium $phæroidis. e. d. f. t. hoc e$t. e. d. f. dupla e$t cono. e. d. f. Quare talis medietas æqualis e$t $phæræ propo$itæ, tota\’que $phæroides dupla erit $phær{ae} datæ. Quod autem dico de proportione dupla, idem infero de qualibet alia, $umendo. u. x. ita pro portionatam ad. d. x. vt proponitur.

Sph{ae}ram autem inuenire quæ dimidia $it $phæroidis propo$itæ nullius erit nego- tij, quotie$cunque inuentus fuerit modus diuidendi vnam datam proportionem in tres æquales partes.

Sit propo$ita $phæroides. e. f. d. t. cuius axes ex con$equentia dantur. e. f. et. d. t. qu{ae} quidem $phæroides $it primo oblonga, et. u. x. $it dimidium axis maioris. imagine- tur etiam conus. e. u. f. vt $upra. Imaginetur etiam factum e$$e, quod proponitur, hoc e$t, vt $phæra. a. b. c. q. $it dimidium ip$ius $phæroidis, vnde conus. a. c. b. æqualis erit cono. e. u. x. vt $upra demon$tratum e$t, & $it. g. h. media proportionalis inter. u. x. et o. c. Iam vi$um $uperius fuit, quod eadem proportio erat ip$ius. u. x. ad. g. h. quæ. a. b. ad. e. f. quare eadem quæ. o. b. ad. e. x. $ed. u. x. et. e. x. dantur. inter quas. g. h. et. o. b. vel o. c. (nam. o. c. æqualis e$t. o. b.) medi{ae} proportionales $unt, eo quod cum. g. h. media proportionalis $it inter. u. x. et. o. c. & proportio. o. b. ad. e. x. æqualis $it ei, quæ. u. x. ad. g. h. hoc e$t ei quæ. g. h. ad. o. c. vel. ad. o. b. quare quotie$cunque inuentæ fuerint. g. h. et. o. c. vel. o. b. mediæ proportionales inter. d. x. et. x. e. ip$a. o. c. vel. o. b. erit $emi diameter $phæræ quæ$it{ae}. eodem modo faciendum erit $i $ph{ae}roides fuerit prolata.

IO. BABPT. BENED. Modus inueniendi duo triangula var{ij}s conditionibus affecta. AD EVNDEM.

QVod etiam quæris ita $e habet, duo $cilicet triangula inuenire, æqualia dua- bus $uperficiebus rectilineis propo$itis, qu{ae} quidem triangula $int eiu$dem alritudinis, & quod vnũquodque habeat angulum æqualem angulo propo$ito, & {quis} alius angulus vnius, cum alio alterius, æquetur duobus rectis.

Sint exempli gratia duæ propo$itæ $uperflcies. c. y. duo verò anguli dati $int. r. s. cum voluerimus inuenire duo triangula (quæ $int. a. i. u. et. n. t. x. ) tali conditio- ne prædita, quod angulus, a. æqualis $it angulo. s. & angulus. t. angulo. r. & quod angulus. x. $imul cum angulo. u. æ- qu\-etur duobus rectis, & quod triã gulũ. a. i. u. æquale $it $uperficiei. c. reliquum verò $uperficiei. y. Ex duabus $uperficiebus. c. et. y. con$tituemus duo quadrata, per vl timam $ecundi Eucli. accipiemus, deinde duo latera tetragonica ip- $orum quadratorum, & inuenie- mus tertiam lineam in continua proportionalitate cum illis lateri- bus ex. 10. $exti, $eruabimus po- $tea extremas illarum, quæ $int. z. et. l. quarum proportio, ead\-e erit, quæ inter duas propo$itas $uperfi- cies reperitur ex. 18. $exti, accipie mus, deinde lineam aliquam cu- in$uis longitudinis, quæ $it. q. g. $u- pra quam con$tituemus in puncto q. angulum. m q. g. {ae}qualem angu- lo. s. & angulum. m. q. K. æqualem angulo. r. ex. 23. primi, po$tea ve- rò à quouis puncto ip$ius lineæ. q. m. puta. o. ducetur. o. f. v$que ad. q. g. quor$um volueris, producendo ip$am v$q;. ad. d. ita quod propor- tio f. o. ad. o. d. $it vt. z. ad. l. ex. 10. $exti, ducendo po$tea à puncto. d. lineam. d. h. E. parallelam lineæ. q. g. & quia ex. 2. primi Vitellionis. h. E. $ecatur ab. q. K. in puncto. b. protrahemus. b. o. p. vnde ex $imi- litudine triangulorum habebimus proportionem. p. o. ad. o. b. vt. f. o. EPISTOL AE. ad. o. d. hoc e$t vt. z. ad. l. hoc e$t vt. c. ad. y. quare triangulũ. p. q. o. ita erit proportio natũ triangulo. o. q. b. vt. c. ad. y. con$tituo deinde ex. 25. fexti duo triangula $imi- lia duobus. p. q. o. et. o. q b. æqualia\’q. c. et. y. qu{ae} $int. a. i. u. et. n. t. x. $ecetur po$tea. q. g. in puncto. æ. ita, quod. q. æ. æqualis $it. i. a. duco po$tea. æ. e. æquidi$tantem. ad. p. b. & $ic habebimus duo triangula. q. x. æ. ct. q. x. e, vt quærebantur, quamuis duo trian gula. a. i. u. et. t. n. x. ea$dem habeant conditiones.

DE IMPERFECTA SOLVTIONE PROBLE- matis Nicolai Tartaleæ ad Cardanum. De animad- uer$ione in Ptolomeum. Deincendio carbo- num à vento. Clariβimo Dominico More$ino.

SCIO propo$itam tibi quæ$tionem te diu agitaui$$e, nectamen $olutio- nem a$$equi potui$$e, aduerte igitur ip$am fal$am, ide$t impo$$ibilem e$$e, quemadmodum etiam decimumoctauum quæ$itum propo$itum à Cardano Tartaleæ, ab ip$o Tarralea $olutum minimè fuit. Quiquidem Tartalea vult circulum de$cribi circa triangulum per quintam libri quarti Euclidis, vt in fine ferè quintæ partis $uarum men$urarum affirmat, neque videt in quinta quarti Euclidem vti vndecima primi, & in vndecima primi, quarta aut octaua eiu$- dem, quas, ip$e Euclides o$ten$iuè non demon$trauit. Quapropter oportebat Tar- taleam demon$tra$$e omnes propo$itiones ad hoc nece$$arias o$ten$iuè v$q; ad pri- mas indemon$trabiles, quia ad demon$trandam $cientificè aliquã propo$itionem, aut à propo$itione in propo$itionem v$que ad prima principia vniuer$alia ( vt ali- quando ego feci) e$t retrogradandum, aut ab ip$is principijs incipiendum $ucce$$i- uè eou$que progrediendo donec ad propo$itionem quam demon$trare volumus perueniamus.

Quod ad Ptolomeum in geographia attinet, dico eum mihi non $atisfacere, cum $umit portionem arcus circuli maioris inter vnam ciuitatem, & aliam, ea ratione quam de$cribit. Quod $i v$us fui$$et modo Menelai, ab ip$omet deinde in $uũ Al- mage$tum v$urpato, aut Monteregij triangulorum $ph{ae}ricorum, quem Copernicus adhibuit (qui tamen modus, tempore Ptolomei, nondum forta$$e in lucem vene- rat) bene egi$$et.

Quod deinde ad $uum illud in$trumentum geometricum attinet, e$t imperfectũ, vt o$tendi domino Pandulfo.

Motum autem aeris, aut mauis ventum, accendere ignem, non $olum ratione an tiperi$ta$is, quam affers euenit, $ed etiam quia à carbonibus accen$is totam excre mentitiam materiam, quæ eos circundat, auferat.

Alia dilucidatio propo$itionis. 25. lib. 2. Monteregij. AD EVNDEM.

SCribiste non intelligere. 25. propo$itionem lib. 2. Monteregij. cum nec$cias reperire diametrum circuli circun$criptibilis circa propo$itum triangu- IO. BAPT. BENED. lum, cuius data $it b a$is tantummodo $imul cum angulo, qui ip$i ba$i opponitur.

Imagineris igitur triangulum datum e$$e obtu$iangulum. a. b. g. cuius ba$i. b. g. $it nobis data $imul cum angulo. a. ei oppo$ito, obtu$o\’que; Con$idera etiam cir- culum. a. b. g. q. ip$um trian gulum circun$cribentem, cuius diameter. q. e. p. tran$eat per. m. punctum medium ip$ius. b. g. tũc protractis imaginatione. e. g. et. g. p. certi eri- mus angulos. circa. m. rectos e$$e ex.3 tertij Eucli. angulum\’q. q. e. g. duplum e$$e an gulo. q. p. g. ex. 19. eiu$dem, vnde æqualem angulo. a. qui etiam duplus e$t angulo. q. p. g. quapropter proportio arcus. q. g. ad arcum g. p. tibi cognita erit, & proportio etiam chor- de. p. g. ad $inum. m. g. arcus. g. p. & quia. m. g. vt dimidium ip$ius. b. g. tibi data e$t, cogno$ces etiam. p. g. vt. m. g. & $ic tertium latus. m. p. trian- guli orthogonij. p. m. g. & qa ex. 34. tertij quod fit ex. p. m. in. m. q. e$t æquale ei quod fit ex. b. m. in. m. g. ideo cum diui$um fuerit productum. b. m in. m. g. per. p. m. proueniet. m. q. quapropter habebis totum. q. p.

Idem efficies, $i cũ angulus. a. acutus fui$$et.

Modus inueniendi puncta elliptica via Pergei. AD EVNDEM.

MOdus inueniendi puncta elliptica, via. 21. primilib. Pergei ex datis axibus, vt vbi alias $ignificati, talis e$t. Sit exempli gratia maior axis propo- $itus. a. c. minor autem. b. d. cum ergo volueris inuenire punctum circunfe- rentiæ corre$pondentem puncto. e. maioris axis, inueniemus primò la- tus tetragonicum producti. a. g. in. g. c. quod $it. h. latus\’q tetragonicũ pro- ducti. a. e. in. e. c. quod $it. i. deinde in- ueniemus lineam. K. tertiam in con- tinua proportionalitate cum. h. et. i. vnde. i. erit media proportionalis in- ter. h. et. K. & vt. h. proportionalis erit ad. K. inueniemus. e. f. cui. g. d. medie- tas $ecundi axis ita $e habeat, quæ po $tea iuncta axi maiori, ad angulosrectos in puncto. e. dabit $itum puncti. f. quæ$iti ex dicta. 21. primi lib. Pergei, $ed talis modus prolixus e$t.

EPISTOL AE.

Accipeigitur huncalium.

Sit propo$itus maior axis. q. p. minor verò. e. c. ad angulos rectos $e inuicem $ecantes in puncto. o. de$cribatur circulus. q. n. p. a. cuius diameter $it axis maior, in quo accipiatur punctum, quod volueris, vt puta. u. à quo protrahatur. u. b. paralle- la ad. o. c. n. de$ignetur po$tea $eparatim circulus. u. b. n. cuius diameter æqualis $it $e midiametro prioris circuli, ita etiam fiat circulus. u. i. c. contingens circulum. u. b. n. in puncto. u. cuius diameter $it. u. c. æqualis dimidio axi minori. accipiatur deinde in circulo maximo longitudo. u. b. quæ collocetur in circulo mediocri à puncto. u. quæ $ecabitur à minimo circulo in puncto. i. cum itaque longitudo. u. i. men$urata fue- rit in. u. b. maximi circuli à puncto. u. habebimus propo$itum.

Cuius reiratio e$t, quia. u. b. mediocris circuli diuiditur à gyro minimi in puncto i. eadem proportione, qua diui$a e$t. u. n. in puncto. c. quod manife$tum e$t ex$imi- litudine triangulorum. u. b. n. et. u. i. c. imaginatæ cum fuerint duæ. b. n. et. i. c. $ed ita e$$e oportet parallelas maximi circuli, quotie$cunque circunferentia ip$ius ellip$is tran$itura $it per. c. vt in. 51. cap. meæ gnomonicæ o$ten$um fuit.

Modus de$ignandi angulum, certo modo conditionatum. AD EVNDEM.

NVllius reuera difficultatis mihi videtur e$$e, quotie$cunque nobis propo$ita fuerint duo puncta. a. et. b. $imul cum angulo. d. necnõ linea. g. ducere duas lineas à dictis punctis terminatas, quæ con$tituãt angulum æqualem dato, & ip$æ directè cõ iunctæ con$tituant lineam æqualem da- tæ. Nam ducatur linea indefinita per puncta propo$ita, cuius lineæ, pars illa, qu{ae} intercepta fuerit inter dicta puncta, diui- datur per æqualia in puncto. o. etiam & li- nea data, quarum medietates accipio in linea indefinitè protracta à puncto. o. me- IO. BAPT. BENED. dio, vt vna earum $it. o. c. reliqua verò $it. o. e. deinde aperiatur circinus quantum. o. c. po$ito\’q; vno pede in. b. de$ign\-etur cum altero duo arcus. n. K. po$ito iterum vno pede in. a. de$ignentur alij duo arcus inter- $ecantes primos in punctis. n. K. Deinde à puncto. n. ad. K. ducetur linea. n. K. quæ per punctum. o. tran$ibit, quam. n. K. mente cõ- cipio, vt axis minor vni<_>9 ellip$is, cuius. e. c. $it axis maior, quibus axibus mediantibus de$ignetur ellip$is. n. c. K. e. con$idero dein de. a. b. vt chordãvnius circuli, $eu portio- nis circularis, quæ capax $it vnius anguli æqualis angulo. d. propo$ito, ex. 32. tertij Euclid. cuius circunferentia, circunferen- tiam ip$ius ellip$is $ecabit in duob<_>9 punctis quorum vnũ $it. i. à quo protractæ cum fue rint duæ lineæ. a. i. et. i. b. habebis propo$itum, cum. a. i. iuncta cum. i. b. æquetur. e. c, ex. 52. tertij Pergei.

EMENDATIO CVIVSDAM FALSI MODI delineandi horologia Italica orizontalia. Foanni Paulo Dardano.

MODVS delineandi horologia Italica orizontalia, quem tibi mon$trauit ne$cio quis, ni fallor, talis e$t. De$ignato meridiano. l. b. m. q. ductis\’q; duo bus diametris. l. m. et. b. q, inuicem ad rectos in centro. g. quorum. l. m. $it verticalis. b. q. vero orizõtalis, ducto\’q; diametro. f. h. tropici Cancri $e- cundum altitudinem poli datam, de$cripto\’q; dimidio circulo. f. z. h. ip$ius paralleli, inuento\’q; puncto. z. horæ propo$it{ae}, & ab eo ducta per pendiculari. z. r. ad. f. h. & à puncto. r. ducta. r. o. y. parallela ad diametrum. q. b. orizontalem, ducis po$tea. f. ω. et. r. t. v$que ad orizontalem. q. b. parallelas ad diametrum. l. m. verticalem. Determi- nato po$tea gnomone. g. s. in orizontis axe, ducta\’q; vmbrarum linea. s. K. parallela orizontali, ducta\’q;. y. g. K. ad terminandam. s. K. delineas deinde $eparatim circulum q. x. b. n. magnitudinis prioris, qui quidem circulus $ignificet orizontem ip$um, in quo ductis diametris. q. g. b. et. l. g. m. accipis in diametro. q. g. b. puncta. a. et. ω. ita à c\-e tro. g. di$tantia, vt $unt in diametro orizontali prioris circuli, ducis po$tea per pun- ctum. a. lineam. x. a. n. ad rectos cum dicto diametro, deinde per tria puncta. n. ω. x. tran$ire facis circunferentiam circuli per quintã quarti Euclidis, po$tea in dicto dia- metro accipis punctum. t. ita di$tans à centro, & ex eadem parte, vt in priori circulo, à quo puncto ducis. t. u. parallelam. x. n. v$que ad circunferentiam. x. ω. n. in puncto. u. quo facto, ducis à centro. g. per punctum. u. ip$ius circularis circunferentiæ. g. u. inde- terminatam, quam po$tea terminas in puncto. K. ita quod. g. K. æqualis $it. s. K. Dicis po$tea punctum. K. in eodem $itu reperiri, re$pectu duorum diametrorum. q. b. me- ridiani. et. l. m. verticalis, vt decet, & oportet punctum horæ propo$it{ae} exi$tere.

Quod quidem dico e$$e fal$um, propterea quod perpendiculares quas cogita- mus cadere à punctis circunferentiæ cuiu$uis paralleli $upra quemuis orizontem ob EPISTOL AE. liquum $ecantem æquatorem, omnes caduntin gyro elliptico, oxygonio, $eu de- fectionali, & non circulari. Vnde per $upradicta tria puncta. n. ω. x. oporteret tran$i re talem circunferentiam, & non circular\-e, quæ circunferentia e$$et vnius ellip$is, cuius minor axis in diametro. b. q. e$$et. ab. ω. v$que ad. i. terminum $ini h. i. arcus. h. b. in analemate, maior verò axis e$$et magnitudinis. f. h. diametri paralleli, quæ trã$i$- $et per punctum. c. medium inter. ω. et. i. qu{ae} quidem circunfere ntia tota e$$et intra cir culum. q. n. b. x. cõtigua\’q; gyro. q. n. b. x. in punctis. n. x.

Si ergò circunferentia. n. ω. x. e$$et elliptica tunc punctum. u. in orizonte illud e$$et vbi caderet $inus altitudinis hor{ae}, et. t. u. æqualis e$$et. r. z. communi $ectioni paralle li cum almicantarat ex. 34. primi Euclid. et. u. g. æqualis e$$et. o. y. communi $ectioni almicantarat cum meridiano, vel cum azimut illius horæ ex. 4. primi, cum. g. t. æqua lis $it ip$i. o. r. et. t. u. ip$i. r. z. & angu lus. t trianguli. g. t. u. rectus, quem- admodum. r. qui compræhenditur ab. z. r. et. r. o. vnde anguli. K. g. m. et. K. g. b. rectè $e haberent, di$tan- tia verò inter. K. et. g. iã rectè $um- pta fuit.

Sed quia punctum. u. vt plurimũ (in gyro circulari $umptum) extra puncta inter$ectionum ip$ius circu laris gyri cum elliptico reperìtur, propterea efficit angulos. K. g. m. et. K. g. b. fal$os, & non æquales il- lis, qui fiunt ab azimut horæ cum verticali, & cum meridiano, quæ omnia ex cap. 52. meæ gnomonic{ae} facilè videre potes.

Nectacere volo quod punctum u. verum, hoc e$t ellipticum, inue- niri po$$et ea via quam $crip$i in eodem. 52. cap. qua mediante do- cui demum inuenire punctum. @. orizontis, quamuis in præ$enti ca $u. ω. λ. perpendicularis e$$et $upra minorem axem ip$ius ellip$is, quã- uis $upra maiorem axem, quod ta- men minimè mutat ordinem, imò rationes e{ae}dem $unt, tam in vna, quam in alia operatione, $ed vt il- licò idipsũ habeas, fac vt. t. u. æqua lis. $it. r. z. & tunc punctum. K. erit quæ$itũ, quod ego in. 52. cap. me{ae} gnomonic{ae}, ijs verbis $ignificaui.

Itaq; mediis binis triangulis ijs, medio\’q; azimut Solis pariter ho- rologia fabricari poterunt. IO. BAPT. BENED. De Horologio perpendiculari ad oriz ontem rectum. AD EVNDEM.

MOdus quem tibi $cribere promi$i delineandi lineas horarias communes in pariete perpendiculariter ad orizontem rectum, declinantem à meridiano, $umendus e$t ex. 46. cap. meæ gnomonicæ, hoc$cilicet ordine.

Sit exempli gratia, orizon hic $ub$criptus. or. oc. M. S. diui$us à meridiana. M. S. et verticali $eu æquinoctiali. or. oc. Sit\’que. e. t. communis $ectio muri cum ori- zonte, et. g. n. $it gnomon perpendicularis ip$i muro, vnde ex dictis in mea gnomo- nica, cogno$cemus in ip$a murali orizontali totam. e. t. inter meridianam orizonta- lem, & æquinoctialem orizontalem, cogno$cemus etiam partem. g. t. ip$ius æ- quinoctialis orizontalis, quam quidem accipiamus in rectitudine ip$ius muralis ori zontalis, quæ quidem $it. t. G. quo facto erigatur. G. A. ad rectos cum. G. t. e. & cir- cum. G. e. de$ignetur vna medietas circuli ver$us. e. cuiu$uis magnitudinis, quæ di- ui$a in. 12. partes {ae}quales, $ignificabit medietat\-e æquatoris, protrahantur\’q; lineæ oc cultæ à centro. G. per $ectiones circunferenti{ae} dimidij circuli, quæ fignificabunt cõ munes $ectiones æquatoris cum circulis horarijs communibus, quo facto oportet, vt à puncto. t. protrahatur. t. s. ad rectos cum murali orizontali, quæ quidem. t. s. $ignifi- cabit communem $ectionem æquatoris cum muro propo$ito, & erit {ae}qu{ae}di$tans me ridianæ murali ex. 6. vndecimi Eucli. eo quod ex. 19. eiu$dem vnaquæq; illarum, per pendicularis e$t tali orizonti. Videantur nunc puncta communia i$ti. t. s. & occultis protractis à centro. G. medietatis circularis, per quæ puncta protrahantur à puncto. e. tot lineæ, punctum enim. e. $ignificat punctum axis mundi, & meridianæ in mu- ro propo$ito, eo quod in tali $itu $phæræ rectæ, dictum punctum reperitur in orizon re, cum. M. s. non $olum $it meridiana orizontalis, $ed etiam axis mundi, deinde nul li dubium e$t quin meridiana muralis $it perpendicularis orizontali murali. e. t. à puncto. e. Sed quia dimidium harum linearũ horariarum erit $ub orizontali. e. t. G. alterum vero dimidiũ $upra ip$am, opor tet quod qu{ae} $upra $unt produ- cantur à parte. oe. $ub orizonta- li, ab alia parte meridianæ, & talis erit effigies horologij mura lis in hoc $ph{ae}r{ae} $itu, hoc e$t ver $us quartam orientalem au$tra- lem\’q;, vnde orizontalis. e. t. erit $emper horæ. 6. matutinæ, $ecunda verò ab ip$a erit horæ. 7. tertia aut\-e horæ. 8. & $ic dein- ceps.

Quotie$cunque verò angu- lus. n. g. e. minor erit maxima Solis declinatione, & Sol fuerit in parte au$trali ab æquatore cũ EPISTOL AE. maiori numero declinationis quam fuerit angulus. n. g. e. tunc talis paries illumina- bitur ab ip$o Sole à mane v$que ad ve$peram.

Huius quidem rei $peculatio, vnicuique manife$ta erit, qui rationes. 46. cap. no- $træ gnomonicæ prius intellexerit, vbi manife$tè apparet proportionem $emidiame tri horologij ($i ita eam appellare licet) ad $emidiametrum æquatoris horarij $em- per e$$e, vt. e. t. ad. t. g. hoc e$t proportio maioris inæqualitatis. nolo etiam prætermic tere. quin te admoneam, vt nullo pacto confidas in longioribus vmbris, eo quod val de nos decipiant, cum $emper iu$to breuiores $int.

Declar atio quorundam verborum no$træ Gnomonicæ. Defen$io{\’que} nostra contra Christophorum Clauium. AD EVNDEM DARDANVM.

TVas demum accepi literas, qui bus mihi $ignificas te totum. 52. caput meæ gnomonicæ intelle- xi$$e, præter illa verba, quæ etiam $uperioribus diebus ad te $crip$i, hoc e$t.

Itaq; medijs binis triangulis ijs, medio\’q; azimut Solis, pariter ho- rologia fabricari poterunt.

Quapropter nealiquid tibi de- $it, $cire debes, menihil aliud, eo in loco inferre volui$$e, quàm q<001> punctum horæ propo$itæ in plano horologij orizontali reperiri po- te$t, ope longitudinis vmbræ gno- monis, & eius declinationis à ver- ticali linea, $eu à meridiana orizon tali, iam in ip$o horologij plano ductis.

Exempli gratia, $it analemma. l. q. m. b. in quo. l. m. $it verticalis. q. b. verò orizontalis. f. n. h. autem $it $emicirculus, cuiu$uis paralleli æqui noctiali, cuius diameter fit. f. h. et. n. $it Solis locus in ip$o parallelo: n. r. autem $it rectus $inus arcus. f. n: et. r. o. z. $ectio communis ip$ius almi- cantarat cum meridiano, et. s. a. cõ munis $ectio azimut Solis cum pla- no horologij, et. s. g. gnomon, et. x. g. a. radius Solis. z. u. verò $inus alti- tudinis ip$ius Solis, vbi videre po- tes duo triangula dicta e$$e. z. u. g. IO. BAPT. BENED. et. g. s. a. quibus mediantibus cogno$citur longitudo vmbræ gnomonis hoc e$t. s. a.

Cum autem dico, medio\’q; azimut Solis, nihil aliud $igni$icare volo, ni$i angu- lum, quem terminat linea azimutalis horologij, hoc e$t vmbra gnomonis cum li- nea meridiana, $eu cum verticali in ip$o plano horologij. qui quidem anguli, æqua les $unt ijs, qui in triangulo con$tituto ex. n. r. ex. r. o. & ex. o. z. reperiuntur, cuius qui dem trianguli, angulus puncti. r. rectus e$t, angulus verò terminatus ab. n. r. et. o. z. il le e$t quem con$tituit azimut cum verticali, vel ip$i æqualis, vt coalternus, reliquus verò in pũcto. o. ille e$t qu\-e azimut facit cũ meridiano, vel ip$i {ae}qualis vt coalternus.

Vnde quotie$cunque volueris in aliquo plano, orizonti parallelo, lineas hora- rias ducere, iudico optimum fore $i $eparatim de$ignatæ fuerint hæ tres figuræ, hoc e$t analemma meridianum, vel azimutale, vt ita dicam, deinde parallelus in$erui\-es pro tropicis, vt ego feci cap. 51. meæ gnomonicæ, quæ duæ figuræ, $uffici\-etes erũt pro omnibus horologijs, tam ori- zontalibus quam muralibus, non tamen omninò, ideo pro orizon- talibus, tertiam figuram $eparatam de$ignaui, qu{ae} erit circulus. H. I. K. eiu$dem magnitudinis cum ana- lemmate, in quo, ductis duobus dia metris inuicom ad rectos, quo- rum vnus. H. I. $ignificet orizon- talem lineam, reliqua verò ver- tical\-e, ducatur po$tea. s. a. tam di- $tans ab. H. I. quanta e$t longitudo gnomonis horologij orizontalis, cogitemus, deinde hunc circulum communem e$$e omnibus azimut necnon plano horologij, in cuius circunferentia à puncto. k. nadir ip- $ius zenit, accipiantur arcus æqua- les ijs ip$orum azimut, quos termi- nat zenit, & ip$i almicantarat, vt exempli gratia, accipiemus arcum k. L. æqualem arcui. L. z. ip$ius ana- lemmatis, ducta po$tea linea occul ta. o. L. $ignabimus azimutalem. s. a. in puncto. a. vbi hæ duæ lineæ $ein uicem $ecant, & $ic habebimus iu- $tam quãtitatem ip$ius vmbræ gno monis. s. o. tali hora, deinde in ori- zontali. H. I. $umatur. o. r. à centro. o. {ae}qualis ei qu{ae} in analemate repe ritur, quæ vna portio e$t commu- nis $ectionis meridiani cum almi- cantarat, terminata ab axe orizon tis, & à diametro paralleli. Deinde EPISTOL AE. duca\~t. r. V. ad rectos cum. H. I. v$que ad circunferentiam, in qua accipiatur. r. n. æqua lis ei quæ e$t in parallelo, ducatur po$tea. o. n. M. & habe bimus triangulum. o. r. n. $i- milem æqualem\’q; triangulo iam $upradicto. Vnde angulus. H. o. M. ei æqualis erit, quem azimut facit cum meridiano, & angulus. M. o. k. ei {ae}qualis, quem azimut con- $tituit cum verticali, ita quod $i talis circulus. H. k. I. e$$et planum horologij orizon- talis, $uppo$ito. o. pro pede gnomonis, $ecando po$tea. o. M. in puncto. i. ita vt. o. i. æqualis e$$et. s. a. dato quod. o. M. ducta $it ad partem $ibi conuenientem, re$pectu. o. k. ip$a pro verticali $uppo$ita, quod tibirelinquo, cum hoc facillimum $it, tunc pun ctum. i. e$$et quod quærebamus. Quod verò de vno puncto dico, idem de omni- bus infero.

Vbi verò mihi $ignificas Chri$tophorum Clauium, me duobus in locis meæ gno monicæ redarguere, iam vidi. Circa primum locum igitur, qui e$t in pagin. 161. ita inquit.

Non enim de$unt, qui vel omninò negent, inter quos e$t Ioannes Bapti$ta Be- nedictus in $ua gnomonica cap. 70. et. 71. vbialia, & multo longiore ratione cona- tur arcus $ignorum de$cribere, vel certe dubitent, hoc modo rectè po$$e de$cribi ar- cus $ignorum, cum rationem non videant, qua hæc no$tra de$criptio quam quidem omnes $criptores $ine vlla demon$tratione tradunt nitatur.

Ab$que dubio raptim tran$currit illa capita. 70. 71. Reuerendus Clauius alio quin non $crip$i$$et, quòd ego alia & multo longiore ratione conatus $im arcus $ignorum de$cribere & c. præ$ertim cum eadem pror$us ratio, quæ ibi à me tradita e$t, illa $it, quam ip $e $uis $criptis in$eruit.

Meus igitur modus in dictis capitibus traditus, minime di$crepat ab eo, $ed ab il- lorum modo, quorum opinio e$t interualla. e. h: h. u: u. n; n. m. et. m. d. meæ figuræ in pagi. 75. po$itæ, æqualia e$$e interuallis. e. h:h. u:u. n:n. m. et. m. d. præcedentis figuræ, qui etiam $upponunt. t. e. meæ figuræ. 75. e$$e directè coniuncta cum linea. e. h. u. n. m. d. & propterea ver$us finem. 73. pag. dixi.

Aduertat autem quam diligenti$$ime qui$que ne $e decipi patiatur à $ub$cripta fi gura $emicirculi. Q. æ. m. cum reliquis lineis ductis, ex antiquorum more, & c.

Eo quod non defuerunt aliqui, ex vetu$tioribus (quorum $cripta ad meas manus peruenerunt) qui $umentes interualla e. h:h. u. & c. figuræ. pag. 75. æqualia illis figu- ræ pag. 74. putauerũt lineam. t. e. directè coniunctam e$$e cum. e. h. & c. quod quidem maximi erroris cau$a erat, & propterea cap. 71. verum modum o$tendi, $eruando il lam eandem $uppo$itionem, hoc e$t quod inter$titia. e. h: h. u: & c. figur{ae} pag. 75. æqua lia $int inter$titijs. e. h: h. u. & c. præcedentis figuræ, & ideò in dicto cap. 71. dixi.

Suppo$ito deinde. f. e. b. lineam meridianam e$$e in plano orizontali, c{ae}ter{ae} line{ae} horari{ae} erunt pr{ae}dict{ae}.

Stantibus igitur his $uppo$itis, vt habeantur omnia $cientificè, volui, vt intellige- retur pyra mis qua drilatera, eo modo quo dixi, cap. 71. vbi clarè patet eandem pyra midem e$$e, quam Pater Clauius (tacitè) po$uit in figura horologij, vt ip$e docuit propo$itione $ecunda, lib. $ecundi, cuius ba$is e$t triangulum. H. I. F. $uæ figur{ae} (exem pli gratia pro quinta hora po$t meridiana) Alterum verò triangulum à me cogita- tum, terminatum ab. t. e: e. d: et. ab. t. d. eleuata in mea figura, e$t in $ua triãgulum. D. I. F. & propterea dixi.

Nam. t. e. et. e. d. vtræq; in plano horologii non $unt, quamuis in plano æquatoris tres $int, & c.

Angulus verò. e. quem dico rectum e$$e, in $ua figura e$t angulus. D. I. F. & mea IO. BAPT. BENED. t. d. imaginata, e$t $ua. D. F. Tertium deinde triangulum, quod in mea figura ter- minatur ab. t. d. ab. f. d. & ab f. t. in $ua e$t triangulum. D. F. H. vnde mea. f. t. re$pon- det $u{ae}. H. D & mea. f. d. $uæ. H. F. & mea. t. d. $u{ae}. D. F. Quartum autem triangulum f. t. e. in mea figura, re$pondet $uo. H. D. I. & meum punctum. t. $uo. D, Nunc triangu lum rectangulum, quod dico $eparatim con$tituere, e$t illud tertium dictum corre- $pondens $uo. D. F. H. vt ip$e facit in $equ\-eti figura, quod ip$e vocat. D. C. H. & me' radius. t. x. in $ua figura, ille e$t qui terminatur ab. D. & ab initio Tauri, & Virginis.

Et quamuis ego non $crip$erim talem $iguram, vt ip$e fecit, nihilominus ip$am verbis de$crip$i eomet modo, & propterea dixi.

Quam diui$ion\-e, $i in triangulo $eor$um de$cripto inuenire voluerimus, res erit inuentu facillima, cum rectum angulum. f. t. d. (re$pondentem $uo. H. D. C.) pr{ae}dicti trianguli tertij ea ratione diui$erimus, & c.

Quapropter Reuerendus Clauius non animaduertit meam rationem aliam non e$$e, nec puncto longiorem $ua, cum eademmet ip$a $it.

Citaui etiam Mun$terum cap. 30. eo quod in ea impre$$ione, quam tunc pr{ae} mani bus habui, vidi in ea figura, quam ip$e vocat fundamentum horologiorum, literam c. po$itam e$$e loco. f. et. f. loco. c. quod cau$æ fuit, vt omnia mendo$a viderentur, re centiores autem impre$$iones correctæ $unt.

Rur$us alio in loco mihi accidit vt repr{ae}henderim Alexandrum Piccolomineum in libris de $ph{ae}ra, qui quidem dicebat eas figuras $uperficiales, quæ paucioribus an gulis circun$criberentur, capaciores e$$e alijs, dummodo earum periphæriæ e$$ent æquales.

Nunc autem correct{ae} $unt eo in loco impre$$iones, & qui non viderit primas, pu- tabit me immeritò ip$um repræhendere.

Idem etiam dico de eo capite ip$ius Piccolominei, in ij$dem libris, vbi tractat de modo, quo v$i $unt antiqui ad diuidendum zodiacum in. 12. $igna, quod erat circa finem quarti libri.

Nunc verò, in recentioribus impre$$ionibus, illud caput po$itum non e$t. Impre$ $iones autem illæ, vbi talia dixit, duæ fuerunt, quarum prima erat anni. 1540. $ecun da verò. 1552 Venetijs apud Andream Puteum.

Alius verò locus ip$ius Reuerendi Clauij, contra meas repr{ae}hen$iones, e$t circa finem pag. 298. & circa. 299. vbi ita $cribit.

Ex his liquido con$tat, non rectè à Ioan. Bapti$ta Benedicto in $ua gnomonica ca pit. 49. repr{ae}hendi hancrationem de$cribendi horologij declinantis, qua omnes fe- rè alij $criptores vtuntur, quoniam, vt ex demon$tratione à nobis allata con$tat, re- ctè per eam lineæ ho rari{ae} in plano, quod à verticali declinat ducuntur. Modus au tem quem eo loco pr{ae}$cribit differentem ab eo, quem nos tradidimus certus etiam e$t, $ed nulla ratione no$tro contrarius, quia nos con$tituimus. D. E. F. angulum de- clinationis plani à verticali circulo propriè dicto, ip$e autem loco huius anguli a$$u- mit angulum declinationis eiu$dem plani à Meridiano circulo, vnde mirum non e$t modum ip$ius à no$tro di$crepare. Quod $i cõ$titueremus. D. E. F. angulum decli- natio nis plani à Meridiano, ut ip$e (quemadmodum for$itan ab alijs putauit fieri) & in reliqua de$criptione progrederemur, vt tradidimus, proculdubio horologiũ declinans perperam de$criberetur, vt rectè docet.

Optimè $crip$i$$et Reuerendus Clauius, $i verum fui$$et, quod antiqui $umerent declinationem $uperius dictã à verticali propriè dicto, & non à meridiano. Sed ego dico, authores à me citatos. capit. 49. me{ae} gnomonic{ae} $umere dictam declinatio- EPISTOLAE. nem planià meridiano, & non à dicto verticali.

Con $idera primum in Mun$tero cap. 16. $uæ horologiographiæ, vbi clarè docet accipere angulum compræhen$um inter meridianum, & planum propo$itum, vbi etiam ponit quandam figuram ædificij cum pariete $uper quo de$ignatum e$t quod dam horologium, & vbi $e manife$tè declarar, ita dicens.

Nam ip$arum partium complementum. propo$itum indicabit angulum, quan- tus videlicet fuerit arcus eiu$dem circuli. d. e. f. g. à puncto. g. v$que ad productam li- neam meridianam interceptus, qui vnà cum ip$o. f. g. quadrantem integrare videtur, vt in $equenti figura: quoniam arcus. f. g. e$t $exaginta partium, qualium. e. f. quadrãs nonaginta, vnde concluditur reliquam partem hoc e$t, datum inclinationis angulũ, fore partium triginta $imilium.

Orontius verò cap. 13. ij$d\-e vtitur verbis, cum figura $imili ad reliqua autem ip$ius R. Clauij, videnda nondum mihi otium fuit. quod $i dabitur, tibi libenter dicam quid $entiam.

DE MODO DVCENDI LINEAS HORARIAS $uper cyllindro immobili. Hieronymo Ferrerio artium & Medicina Doctori periti{$s}imo.

DESIGNARE horarias lineas $uper cyllindro immobili, ad orizontem\’que perpendiculariter erecto difficile tibi non erit, (quod à me po$tula$ti) $i modum. 53. cap. meæ gnomonicæ ob$eruaueris, accipiendo tamen pro linea orizontali in tabula non aliquam rectam lineam, $ed circularem, $imilemque circunferentiæ ip$ius cyllindri, dico autem $imilem, eo quod $i gn o- mon. o. x. $upra tabulam $ignatus, & perpendicularis ip$i orizontali circulari. b. i. x. e$$et dimidia, vel tertia vel quarta pars gnomonis cyllindro infixi, oporteret, vt $emidiameter circuli. b. i. x. etiam e$$et medietas, vel tertia, aut quar ta pars $emidiametri cyllindri, vt omnes arcus huiu$modi circuli in ter ip$os azimut intercepti $imiles $int arcubus cyllindri, quod à te ip$o facilè videre $cientificè po teris. reliqua nihil mutanda erunt ab eo, quod $crip$i circa figuram. 53. cap. vt dixi. Vnde inuenta cum fuerit di$tantia orizontalis puncti. b. à pede gnomonis. x. nec non quantitas azi mutalis muralis b. t. quæ $emper ab orizontali per pendiculariter de$cendit, illicò punctum. t. horæ propo$itæ in cy- lindro inuenietur.

IO. BAPT. BENED.

Nunc verò cum duo puncta alicuius horari{ae} lineæ inuenta fuerint, quæ à Solis $i- tu in diuer$is parallelis efficiuntur, $i voluerimus ip$am lineam horariã ducere, $cien dum primò e$t ip$am lineam horariam e$$e communem $ectionem circuli horarij, illius horæ cum $uperficie cyllindrica, & propterea ellipticam, vt o$tendit Serenus in. 19. primi lib. quod etiam ellicere po$$umus ab eo, quod Archimedes in. 10. pro- po$itione libr. de conoidalibus, $cribit. Quapropter oporter nos in$trumen- tum prius componere, modo circini, $ed trium crurum, quæ omnia in eadem plana $uperficie $int, ea tamen arte factum, vt quodlibet illorum po$$imus pro- longare, necnon contrahere, ut cum duo extrema firmata fuerint, media po$- $it circunduci circa centrum, $eu punctum commune illarum inter$ectionum $imul\’q; po$$it produci, necnon abbreuiari vel augeri, & diminui, vt mediante $ua extremi- tate in$eriori po$$imus delineare gyrum ellipticum horarium, dum c\-etrum ip$orum crurum adhæreat extremitati gnomonis, reliquæ vero extremitates ip$orum crurũ $int $upra puncta inuenta ip$ius horæ. oportet etiam vt hoc in$trumentum à tergo ip$orum crurum habeat in $uperiori parte $uperficiem quandam $emicircular\-e, qu{ae} $it vice vnius partis illius $uperficiei, in qua $upponuntur omnia crura in$trumenti, & hoc quantum fieri pote$t, quod quidem fieri debet, ne crus medium, hoc e$t mo bile, exeat à tali $uperficie, $eu declinet ab ea, quæ $emper $upponitur in $itu circuli horarij talis horæ. oportet etiam, vt iuxta circunferentiam dimidij circuli $int duo gyri eiu$dem materiæ inter $e parum di$tantes, ita ut crura po$$int moueri, intra hos gyros, & dimidium circulum, & quod inter hos gyros locatæ $int duæ cochleæ, $eu duo helices, vt quando voluerimus, po$$imus fir- mare ip$a crura extrema, dum eorum extremitates fuerint $upra puncta inuenta illius horæ, deinde in dor$o i$tius in$trumenti, circa centrum coniunctio nis, rectè factum erit $i aliqua concauitas fuerit, in qua, extremitas gnomonis po$$it locari, dum duce- re voluerimus aliquam horariam lineam.

Tale in$trumentum excogitaui ad fugiendum tædium inueniendi dictam ellipticam ex punctis

Nunc autem $ciendum e$t, quod vnus tantum- modo gnomon $ufficiens non erit pro tota die æ$ti- ua, neque duo, ni$i valde breues fuerint re$pectu $emidiametri cyllindri, & in $itu medio quartarum meridionalium no$tro orizonti, quorum autem longitudo ita inuenienda e$$et.

Sit exempli gratia circulus. a. b. e. u. cyllindri ori zontis vice, diui$us\’q; à duobus diametris. d. e. et. c. f. quarum. c. f. $it pro meridiana: d. e. autem pro verticali, $it\’q; e. punctus orientalis: d. verò occid\-etalis. f. autem meridionalis. et. c. $eptentrionalis, computetur\’q; maxima. Solis amplitudo ab. f. ver$us. e. quæ terminetur ab. q. ita quodarc<_>9. f. q. minor $it quã graduum. 45. aliter impo$$ibile e$$et duobus tantũmodo gnomonibus mediantibus tota die æ$tiua horas videre.

Quo facto ducatur ab. q: q. p. contingens circulum & à centro circuli. o. per pun- ctum. u. medium quartæ ducatur. o. u. i. v$que ad contingentem. q. p. vnde. u. i. longitu do erit vniu$cuiu$que gnomonis, qui gnomones infixi erunt in medio dictarum quartarum.

EPISTOL AE.

Huiu$modi rei ratio per $e nota erit quotie$cunque cogitauerimus verum arcum e. b. amplitudinis æ$tiuæ, protracta\’q;. o. b. qu{ae} parallela erit. q. p. vnde cum Sol tem- pore æ$tiuo orietur, tunc radios $uos emittet via i$tarum æquidi$tantium linearum.

Sed $i longiores gnomones cuperes, oportebit eos tres e$$e, quorum vnus erit orientalis in puncto. e. alter occi- dentalis in puncto. d. reliquus ve- rò meridionalis in puncto. f. quo- rum vnu$qui$q; pote$t e$$e maior tertia parte $emidiametri cyllin- dri, $ed $i voluerimus $cire quan- tũ ad plus po$$it e$$e longus vnu$- qui$que illorum, ita faciendum erit.

Faciemus quadratũ. o. a. h. u. ex $emidiametro dicti circuli, a dia- metro po$tea. o. h. huiu$modi qua drati $ubtrahatur $emidiameter. o. e. circuli, re$iduum verò. e. h. ip- $ius diametri. o. h. quadrati, erit lõ gitudo gnomonis, vbi $imul appa ret huiu$modi rei ratio, eo quod cum gnomon. e. h. orientalis de$i- net operari, illico meridionalis. f. g. $ubintrabit, po$t hunc verò occidentalis. d. K. mon$trabit reliquum diei.

Earundem line arum de$criptio $aper conum rectum. AD EVNDEM.

CVm $uper datum conum re- ctum idem facere volueris e$to conus. A. & R. qui diui$us ima ginatione $it à quodam plano per axem, & communis $ectio $it trian gulus. A. & R. in quo plano cogite mus gnomonem infixum ad rectos vbi volueris, qui $it. p. t. o cogitem etiam. l. t. m. aliud e$$e planum (in quo $it gnomon) quod conum $e cet, quæ quidem $ectio, circularis erit, ex. 4. primi Pergei. imagine- mur etiam $uperficiem. p. s. e$$e azi mut in quo gnomonreperirur, $u- perficiem\’q;. e. s. azimut propo$itæ hor{ae}, angulum\’q;. e. o. a. contrapo$i tũ angulo altitudinis Solis ab ori- IO. BAPT. BENED. zonte; cogitemus etiam lineam. A. t. i. x. illud coni latus e$$e, qu od à $ummitate ver $us ba$im tran$it per medium latitudinis ip$ius gnomonis, concipiamus etiam mente e. a. communem $ectionem e$$e trianguli $upra dicti cum azimut horæ, necnon pun- ctum. K. e$$e commune radio Solis. o. a. & $uperficiei conicæ, quod quidem e$t illud quod quæritur, hoc $cilicet modo. Primum cogno$cimus angulum. p. A. t. vt medie tas anguli totius coni, & angulum. p. rectum, vnde. t. tam intrin$ecus, quam extrin$e- custrianguli. A. p. t. nobis cognitus erit. Nunc cum angulus. A. t. o. cogno$catur, $i gnomon t. o. fixus fuerit in $uperficie conica, ita qd cum latere. A. t. e$$iciat angulũ A. t. o. & lateraliter faciat angulosrectos cum $uperficie conica, ad quod efficiendum nulla e$t difficultas, cogno$cendo deinde. A. t. $imul cum angulis. A. et. t. intrin$ecis trianguli ortogonij. A. p. t. cogno$cemus. p. t. et. A. p. vnde etiam tota. o. p. $ed cogno $cendo. o. p. cum angulo. p. o. e. (angulus enim. p. o. e. cogno$citur ex hypothe$i cum $it inter azimut Solis & azimut gnomonis) cum angulo. o. p. e. recto cogno$cemus. p. e. et. o. e. deinde cum nobis nota $it. o. e. cum angulo altitudinis Solis. e. o. a. & angu- lo. o. e. a. recto cogno$c emus longitudinem azimutalis. e. a. necnon quantitatem. a. o. Imaginata po$tea. a. q. æquidi$tante. e. p. habebimus. p. q. æqualem. a. e. ex. 34. primi Eucli. Vnde duabus. o. p. et. p. q. mediantibus, cogniti$\’q; cum angulo recto. p. cogno $cemus. o. q. nec non angulum. o. q. p. quo mediante, necnon median- te angulo. q. A. t. et. A. q. cognita, co gno$cemus. A. i. et. q. i. qu{ae}. q. i. dem pta à. q. o. relinquet nobis cognitã i. o. Et quia. o. i. q. et. o. K. a. $emper $unt in eadem $uperficie $ecante co num, quæ etiam $ecat $uperficiem trianguli. A. q. x. ad rectos ex. 18. vn decimi, cum linea. u. n. perpendicu laris $it $uperficiei trianguli. A. q. i. ex. 8. dicti, quia parallela e$t. l. p. qu{ae} perpendicularis e$t $uperficiei triã- guli. o. p. q. ex. 4. eiu$dem, $equitur, quod talis $ectio ( quæ intelligatur per. u. K. i. n.) $emper erit elliptica, vel parabole, $eu hyperbole, {pro}ut linea. o. i. q. $ecabit latus coni, oppo $itum lateri. A. i. di$tento in ip$a $uperficie conica, $eu ad $uperiorem partem produ ctum, velip$i parallelum.

Supponamus nunc dictam lineam. o. q. $ecare dictum oppo$itum latus lateri. A. i. ver$us ba$im, vnde $ectio. u. K. i. n. erit elliptica. quod facile cognitu e$t mediãte com paratione angulorum. A. q. i. et. q. A. i. inter$e, eo quod $i e$$ent {ae}quales, dicta $ect o barabola e$$et ex. 27. primi Eucli. et. 11. primi Pergei, $ed $i angulus. A. q. i. maior e$- $et angulo. q. A. i. $ectio e$$et ellip$is, ex ultimo po$tulato primi Euclid. & ex. 13. pri- mi Pergei, $ed $i dictus angulus. A. q. i. minor e$$et angulo. A. tunc $ectio e$$et hyper- bole ex dicto po$tulato & ex. 12. primi Pergei. Sit ergo primum vt dictũ e$t, hoc e$t, quod $ectio e$$et oxygonia, ide$t elliptica, $eu defectio (quod idem e$t,) $epa- ratim oportebit nos ellip$im de$ignare $imil\-e {ae}qual\-e\’q; ei, quæ e$t. u. K. i. n. q<001> quid\-e difficile non erit, quotie$cunque $uos axes inuenerimus, maiorem $cilicet, & mino- EPISTOL AE. rem, quæ ita reperientur, efficiemus primo anguium coni, qui $it. i. A. b. quem diui- demus per æqualia mediante. A. q. con$tituendo. A. i. huius anguli æqualem. A. i. $u- perficiei conicæ et. A. q. diuidentem, æqualem parti. A. q. axis coni, ducendo po$tea ab. i. per. q. lineam vnam quou$que concurrat. A. b. in puncto. b. habebimus. i. b. pro maiori axi ip$i ellip$is, quod per $e clarum e$t, cuius medietas $it. i. c. $ed. i. q. ip$ius. i. b. æqualis e$t ip$i. q. i. ip$ius coni, ex quarta primi Eucli. et. q. b. ip$ius. i. b. æqualis alte ri parti inui$ibili. Reliquum e$t, vt reperiamus minorem axem, quem vocabimus. f. r. ducatur ergo primum. q. a. u. n. ad rectos cum. i. b. æqualis\’q; ei quæ e$t coni, & diui $a $imiliter in. a. quæ. u. n. ip$ius coni nobis cognita e$t ex lateribus. A. u. et. A. n. & ex angulo coni, et. a. q. æqualis e$t. e. p. ex. 34. primi. Nunc certi erimus ex. 21. primi Pergei, quod eadem proportio erit quadrati. u. q. ad quadratum ip$ius. f. c. quæ pro- ducti ip$ius. i. q. in. q b. ad productum ip$ius. i. c. in. c. b. & cum cognita nobis $int hæc tria producta hoc e$t. i. q. in. q. b. et. i. c. in. c. b. et. u. q. in $eip$a, cogno$cemus etiã quartum ip$ius. f. c. & fic. f. c. eiu$\’q; duplum. f. r. cogniti nobis itaque cum $int hi duo axes. i. b. et. f. r. formabimus ellip$im. Deinde producemus axim. b. i. à part e. i. quo- u$que. i. o. æqualis $it ei quæ extra conum e$t, dein- de ducemus. o. a. quæ circunferentiam ellipticam $ecabit in puncto. K. vnde habebimus quantita- tem ip$ius. o. K. et. K. i. rectam. inde mediante cir- cino $i acceperimus rectam di$tantiam ab. i. ad. K. in ellip$i, deinde firmando pedem circini in pun- cto. i. in $uperficie conica, & cum alio $ignando lineam vnam curuam ad partem. K. in $uperficie conica, $umendo po$tea interuallum. o. K. extra el lip$im, deinde firmando vnum pedem circini in extre mitate gnomonis, cum alio po$tea $ignan- do aliam lineam curuam in $uperficie ip$ius coni, quæ primam $e cet in puncto. K. hoc erit punctum quæ$itum hor{ae} propo$itæ in $uperficie conica propo$ita.

Sed $i talis $ectio fuerit parabole, vel hyperbo le, tunc mediante $uo diametro. i. q. cum ba$i. u. q. n. cognita, de$ignabimus ip$am $ectionem. u. i. n ope mei in$trum\-eti in calce me{ae} gnomonicæ de $cripti, deinde diui$a. u. q. in. a. {pro}ducta\’q; q. i. v$q; ad. o. ducta\’q;. o. a. habebimus punctum. K. Reli- qua facienda $unt, vt dictum e$t de ellip$i.

Inuenta modo cum fuerint duo puncta eiu$- dem horæ propo$it{ae}, ducemus ab vno ad a- liud, lineam horariam mediante circino trium crurum, quem tibi $crip$i nudius tertius pro cyl lindro, quæ quid\-e linea crit portio gyri ellip$is, $eu hyperbol{ae}, vel parabol{ae}, vt à te ip$o cogi- tare potes.

IO. BAPT. BENED. QVAEDAM NOTATV DIGNA IN Ptolomeum. Bartolomeo Christino Sereni{$s}imi Sabaudiœ Ducis apparitore.

EX tuis literis cognoui quo erga me animo e$$es, quali\’q; voluntate, $ed ne tua pulcherrima $tudia aliquo modo imperfecta relinquan\~t, vel ego tibi dee$$e videar, dum Problemata geographica Magni Ptolomei con$i- deras, aduerte, quod $i putares in figura. 6. cap. libr. 7. geographi{ae} eiu$- dem (vt multi credunt) lineam. V. *. $ecare circunferentiam. A. D. in puncto. G. ita vt punctus. G. $it tropici æ$tiui, ide$t arcum. D. G. e$$e graduum. 24. cum illis inci- deres in maximum errorem. Quapropter con$idera quæ nunc tibi $cribo.

Sit circulus. A. B. C. D. huius centrum. E. $upponatur\’q; $emidiameter. E. D. e$$e partium 120. quarum. E. Z. in alio $emidiametro. C. E. ei orthogonaliter coniuncto, talium $it. 17. in $emidiametro vero. E. A. accipiatur. E. S. talium. 24. et. E. V. 64. vn de. S. V. erit partium 40. $imilium.

Erigatur deinde. S. *. ad rectos cum. E. A. in puncto. S. quæ terminetur ab inter- $ectione line{ae} ductæ per puncta. Z. D. in puncto. *. ducatur demum. V. *. quæ $eca- bit circunf rentiam. A. D. in puncto. G. Quæratur nunc quantitas ip$ius. G. D. Ad quod efficiendum quærenda primum e$t quantitas ip$ius. S. *. quam illico co gno$cemus ex regula de tribus, cum dixerimus, $i@ 17. dat nobis. 120. quid dabit. 41. (nam duo triangula. Z. E. D. et. Z. S. *. $unt inuicem $imilia, cum. S. *. parallela $it ip$i. E. D.) vnde. S. *. proueniet nobis ex $imilibus partibus. 289. cum fracto, quod reijciamus ob minorem laborem.

Producantur po$tea. V. *. et. E. D. v$que ad eorum concur$um in puncto. <008>. quæ- remus\’q; quanta $it. E. <008>. ex eadem regula, cum dixerimus, $i. 40. dat nobis. 289. quid EPISTOL AE. dabit. 64. (nam duo triangula. V. S. *. et. V. E. <008>. $unt inuicem $imilia eadem ratio- ne) vnde. E. <008>. veniet nobis extalibus partibus. 462.

Coniungatur nunc quadratum ip$ius. E. V. quod e$t. 4096. cum quadrato ip$ius. E. <008>. quod e$t. 213444. & habebimus quadratum ipfius. V. <008>. talium partiũ. 217540.

Dicemus po$tea $i. 217540. dat nobis. 4096. quid dabit quadratum ip$ius. V. <008>. vt $inus totus quod e$t. 10000000000. vnde veniet pro quadrato ip$ius. V. E. talium partium, $uperficialium $cilicet. 18827211. cuius radix erit. 13721. & erit $inus an- guli. V. <008>. E. qui erit grad. 7. min. 53. vnde angulus. <008>. V. E. erit grad. 82. min. 7. eius vero $inus erit partium. 99054.

Nunc autem quia angulus. E V. <008>. e$t acutus, imaginemur. E. <006>. ductam e$$e ad re ctos ip$i. V. <008>. $it\’q; etiam ducta ip$a. E. G. Vnde habebimus angulum. <006>. E. V. gra- duum. 7. min. 53. eius vero $inus. <006>. V. partium. 13721. (propter $imilitudinem trian gulorum. E. <006>. V. et. <008>. E. V.) talium $cilicet, qualium. E. V. fuerit. 100000. Sed qua- lium. E. V. e$t. 64. talium erit. 8. cum tribus quartis, cuius. <006>. V. quadratum erit par tium. 76. cum dimidio $imilium $ed $uper$icialium, quo quidem quadrato dempto ex quadrato ip$ius. 64. quod e$t. 4096. remanebit quadratum ip$ius. E. <006>. partium. 2871. quo etiam quadrato. E. <006>. dempto ex quadrato. E. G. partium. 14400. remane bit quadratum ip$ius. <006>. G. partium. 11529. cuius radix. <006>. G. erit partium. 107. taliũ qualium. E. G. e$t. 120. $ed qualium. E. G. erit. 100000. talium. <006>. G. erit partium. 89166. quæ vt $inus anguli. <006>. E. G. habebit pro ip$o angulo, gra. 63. min. 5. qui colle cti cum gra. 7. min. 53. anguli. V. E. <006>. dabunt totum angulum. A. E. G. grad. 70. min. 58. cuius complementum ex grad. 90. erit. G. D. graduum. 19. min. 2. & non. 24. vt omnes ferè putant.

DE REFLEXIONIBVS RADIORVM. Excellenti{$s}imo Philo$opbo Franci$co Vimercato.

QVONIAM non videbatur quie$cere animus tuus, cum paucis ab hinc die- bus tibi $i$citanti re$pondi$$em, nec tamen rationem omnium, quæ dixe- ram exactè explicare per tem poris angu$tiam potui$$em, cogitaui ad te per hanc occa$ionem $cribens, & iam dicta repetere, & omnium tibi ra- tionem $ubiungere, & vt mihi plenius $atisfaciam, & tibi commodè perlegenti faci lius $it veritatem intueri. Scrip$i$ti enim in tuis di$putationibus, vir docti$$ime, quod omnis res vi$a per $peculũ quodcũque, $ub breui$$imis lineis cõpræhendatur à vifu.

Propo$itio hæc non e$t vniuer$aliter vera (quamuis etiam ab alijs omnibus pro ta li po$ita $it) cum in $peculis concauis non $emper verificetur, vt nunc tibi demon- $trabo.

E$to quod linea recta. b. d. tangat circulum b. o. q. n. qui $it communis $ectionis $up crficiei re flexionis, & $phæric{ae} alicuius $peculi $phærici concaui, & punctum contingentiæ $it. b. à quo exeant duæ lineæ. b. q. et. b. n. efficientes duos an gulos inuicem æquales circa perpendicularem. b. c. res autem vi$a primò $it in ip$a circunferen- tia huiu$modi circuli in puncto. n. oculus vero in puncto. q. ip$ius circunferenti{ae}. Dico nunc duas IO. BAPT. BENED. lineas. b. q. et. b. n. $imul $umptas longiores e$$e omnibus alijs lineis exeuntibus ab ip $is punctis. q. n. quæ in aliquo puncto dictæ circunferentiæ $imul concurrant.

Sint igitur aliæ duæ. q. o. et. n. o. quas probare volo $imul $umptas, e$$e minores dua bus $imul $umptis. q. b. et. n. b. Nam ex. 20. tertij Eucli. cogno$cimus angulos. q. b. n. et. q. o. n. inuicem æquales e$$e, & $imiliter angulos. b. n. o. et. b. q. o. deinde ex. 15. pri mi eiu$dem habemus angulos contra $e po$itos, circa. a. e$$e etiam inuicem {ae}quales. Vnde ex. 4 $exti, habebimus proportionem. a. b. ad. a o. eandem e$$e, quæ. a. n. ad. a. q. & $ic. b n. ad. o. q. Quare ita erit. a. b. n. ad. a. o. q. vt. a. n ad. a. q. $ed cum. a. n. maior $it. q. a. ex. 18. primi, eo quod angulus. b. q. n. (qui æqualis e$t angulo. b. n. q. ex. 5. eiu$dem) maior e$t angulo. a. n. q. qui pars e$t ip$ius. b. n. q. ergo latera $imul $um- pta. a. b. n. maiora erunt lateribus. a. o. q. $ed ex. 20. primi. a. b. n. etiã maior erit. a. n. vnde ex. 25. quinti. q. a. b. n. maior erit. n. a. o. q. quare $equi- tur verum e$$e propofitum.

Sed $i oculus e$$et in. u. quemadmodum in $ub$cripta hic $ecũda figura videre e$t, res autem vi$ibilis in. n. ambo extra dictum circulum, e$to etiam primum. b. u. æqua- lis. b. n. probabo $imiliter. u. b. n. maiores e$$e. u. o. n. Nam angulus. o. maior e$t angu- lo. b. eo quod $i circulum. u. b. n. cogitemus circun$cribere triangulum. u. b. n. ducen- do v$que ad $uam circunferentiam. o. n. in puncto. s. deinde ducendo. u. s. habebimus ex. 20. tertij angulum. u. s. n. æqual\-e angulo. u. b. n. $ed cũ angulus. u. o. n. exterior trian guli. u. o. s. exi$tat, ip$e maior erit angulo. s. ex. 16. primi. duco po$tea. o. q. parallelam ad. u. s. quæ $ecabit. a. u. in puncto. q. & habebimus angulum. a. o. q. {ae}qualem angulo. n. s. u. ex. 29. eiu$dem, hoc e$t angulo. n. b. u. fed ex $u- pradictis rationibus, lineæ. q. b. n. $imul $umptæ maio- rem efficient longitudinem, quam. q. o. n. Nunc cum ip$i. q. b. addita fuerit. u. q. & vice. q. o. $umpta fuerit ali- qua linea minor ip$a. u. q. o. eo amplius. u. q. b. n. maior erit, quod quidem hoc modo faciendum. Acci- piatur. o. u. vt comes. o. n. quæ minor e$t ambabus. o. q. et. q. u. ex. 20. primi, ita enim habebimus propo$itũ. $ed breuiori modo hoc ip$um videbis ex pr{ae}cedenti, & ex. 21. primi Euclid. Nam ex præcedenti. u. b. n. lon- gior e$t ip$a. u. s. n. ex. 21. autem primi. u. s. n. longior e$t ip$a. u. o. n. ergo verum e$t propo$itum.

Si verò radius incidentiæ nõ fuerit æqualis radio reflexionis, $it vt in hac $ub$cripta tertia figura vide re e$t. u. b. p.

Cum autem probauerim longitudinem. u. b. n. ma iorem e$$e longitudine. u. o. n. coniungatur. n. p. cum u. b. n. deinde. ab. o. ad. p. ducatur. o. p. quæ minor erit longitudine. o. n. p. ex. 20. primi, & illicò manife$tabitur verum e$$e propo$itum, etiam hoc tertio modo.

EPISTOL AE.

Si aut\-e res vi$ibilis oculus\’q; ambo fuerint intra circulum, tũc po$$ibile e$$et quod lõgitudo. u. b. n. modo maior, modo minor, modo verò æqualis e$$et ip$a. u. o. n. nũc. Quod etiam affirmo de. u. b. p. $imiliter etiam eueniet $i vnus terminorum. u. vel. n. fuerit intra circunferentiam, reliquus verò extra ip$am.

Con$ideremus nunc hic in$ra$criptam. 4. figuram vbi. d. b. p. $it circunferentia oxy gonia $eu elliptica (quod idem e$t) cuius maior axis $it. d. p. in quo, duo termini. u. n. $int centra eius generationis: b. x. verò $it minor axis. Imaginemur etiam circulum. b. o. x. cuius $emidiameter $it. c. b. non maior medietate minoris axis, ne circunferen- tia huiu$modi circuli $ecet circunferentiam oxygoniam. Cogitemus etiam circu- lum. b. e. cuius $emidiameter, minor non $it minori axe. b. x. ip$ius oxygoniæ, ne $e inuicem $ecent huiu$modi circunferentiæ, $int etiam ambo eorum centra in linea. b. x. minoris axis, & punctum. b. $it commune vnicuique earum periphæriarum, vnde minor circulus, totus intra, maior autem, totus extra ip$am figurã oxygoniam erit. Nunc ad partem. o. r. e. vbi non communicant inuicem ip$æ circunferentiæ ducan- tur. n. o. r. e: u. o: u. r: et. u. e. & per. b. et. r. cogitetur tran$ire alium circulum, cuius cen- trum in axe. b. x. $it. t. omnes\’q; i$ti circuli imaginentur trium diuer$orum $phærico- rum $peculorum, vnde pro genera tione ip$i<_>9 oxygoni{ae;}, $eu ex. 52. ter tij Pergei, habebis longitudinem. u. r. n. {ae}qualem e$$e longitudini. u. b. n. & ei, quæ e$t. u. o. n. (vt minor ip $a. u. r. n. ex. 21. primi Euclidis) mi- nor ip$a. u. b. n. & longitudinem. u. e. n. (vt maior ip$a. u. r. n. ex eadem. 21. primi Eucli.) maior ip$a. u. b. n. Sed $i quis vellet hoc demon$trare ope circuli, vni<_>9 tãtũmodo $peculi, multiplicãdo ip$as oxygon<007>as qu\-e- admodum de ip$is circulis fecimus, obtineret $imiliter propo$itum.

Solutio dubitationis. AD EVNDEM.

RAtionalis e$t dubitatio tua, vtrum (cũ circulus minor hoc e$t. b. o. habeat $uum centrum in mi nori axe inter centrum oxygoniæ, et. b: exi$tente. b. extremo axis mi- noris, commune\’q; ambobus circun- ferentijs circuli $cilicet & oxigoni{ae}) dictus circulus minor, plura puncta communia habeat cum ip$is circun- ferentijs.

Cui dubitationi re$põdeo quod quotie$cunque centrum alicuius cir culi fuerit idem cum. c. centro oxy- goniæ, vel inter. c. et. b. in interual- lo $cilicet minoris axis, exi$tente. b. $ua extremitate communi ambabus IO. BABPT. BENED. circunferentijs, ip$as circunferentias inuicem contiguas e$$e oportebit in puncto. b. tantummodo.

E$to primum quod centrum. c. commune exi$tat, vt dictum e$t. $it etiam centrum vnius circuli, cuius diameter $it id\-e cũ maiori axe. d. p. & in gyro oxygoniæ accipia- tur punctum. f. proximum. b. quantum fieri poterit, tunc protrahatur. f. a. e. parallela ip$i. g. c. v$que ad gyrum maioris circuli in puncto. e. quæ cum. d. p. rectos efficiec angulos. ex. 29. primi Eucli. $ecabit\’q; gyrum circuli. b. o. minoris in puncto. t. quod di co e$$e intra oxygoniam, $eparatum\’q; ab. f. Quapropter duco. c. e. quæ $ecabit cir- cunferentiam circuli minoris in pũcto. o. à quo puncto duco etiam. o. i. parallelam ad e. a. Deinde con$idero, quod ex ra- tionibus ab Archimede adductis in quinta propo$itione libri de conoi- dalibus, & $phæroidibus, eadem proportio erit ip$i<_>9. g. c. ad. b. c. qu{ae} ip$ius. e. a. ad. f. a. vnde permutando ita erit ip$ius. g. c. ad. e. a. vel. b. c. ad f. a. hoc e$t ip$ius. e. c. ad. e. a. vt. o. c. ad. f. a. $ed ex $imilitudine triangu- lorum, & ex. 11. quinti, ita etiã erit ip$ius. o. c. ad. o. i. vt. o. c. ad. f. a. Vn- de $equitur. o. i. æqualem e$$e. f. a. $ed ex. 14. tertij Eucli. t. a. minor e$t. o. i. Quare minor etiam erit ip$a. f. a. Vnde punctum. t. intra oxygo- niam erit, & con$equenter $epara- tum. ab. f.

Sed $i centrum circuli minoris fuerit inter. c. et. b. hoc e$t eccentri- cum ip$ius oxygoniæ, ip$e tanget concentricum in puncto. b. tantummodò, vt in. 3. Euclidis libro probatur. Vnde tanto magis di$tans erit punctum. t. à puncto. f. quod erit propo$itum.

Alterius dubitationis $olutio. AD EVNDEM.

VNde autem fiat, quod à $peculis planis, obiectorum imagines, ita di$tantes vltra $uperficiem ip$ius $peculi videantur, vt obiecta citra ip$am $uperficiem reperiuntur.

Pro cuius rei $cientia, tres cognitiones nos primum habere oportet, quarum pri- ma e$t. Vnde fiat, quod obiecti imago in catheto incidentiæ videatur. Secũda. vn- de efficiatur, quod angulus reflexionis, $emper æqualis $it angulo incidentiæ.

Terria demum. Vnde na$catur quod radius incidentiæ $imul cum radio reflexio- nis $it in quodam plano $ecante $uperficiem $peculi $emper ad rectos, quod qui- dem planum vocatur $uperficies reflexionis. Huiu$modi tres pa$$iones, ab omnibus $pecularijs con$ideratæ $unt, $ed rationes ab illis traditæ, mihi non $atisfaciunt.

EPISTOLAE.

Nam circa æqualitatem angulorum reflexionis & incidentiæ, iam tibi probaui illud non vniuer$aliter euenire à breuitate aggregati radiorum incidentiæ reflexio- nis\’q;. Sed hoc na$citur potius ab eo, quod cum radius incidentiæ non po$$it $uper ficiem corporis opaci penetrare, reflectit, vt citra ip$am cũ angulo æquali ei, quem faceret cum eadem $uperficie vltra ip$am $i tran$iui$$et.

Exempli gratia $it. a. obiectum. b. aut\-e oculus in figura. A. et. c. e. $uperficies ip$ius $peculi. d. verò $it punctum ip$ius $uperficiei, à quo ad oculum reflectitur imago ip- $ius. a. Nunc $i radius. a. d. incidentiæ, recta incederet $ub. c. e. efficeret angulum. e. d. h. æqualem angulo. c. d. a. eius contrapo$ito, $ed quia impeditur ip$æ radius ab opacitate ip$ius $peculi. c. e. ne vlterius incedat, propte rea reflectitur ab ip$a $uperficie $peculi, con- $tituens cum ip$a angulum. e. d. b. æqualem angulo. e. d. h. $ed quia angulus. c. d. a. e$t etiã {ae}qualis ip$i angulo. e. d. h. propterea angulus. e. d. b. {ae}qualis exi$tit angulo. c. d. a; per accidens igitur $equitur. a. d. et. d. b. $imul $umptas, breuiorem facere longiludinem omni alia, quæ ab ip$a $uperficie. c. e. ad eadem puncta. a. b. ducta e$$et, quare natu- ræintentio e$t efficere angulum. e. d. b. æqualem angulo. e. d. h. vnde ex accidenti po $tea $equitur, ip$um æqualem e$$e angulo. c. d. a. & deinde q<001> lineæ. a. d. et. d. b. con- $tituant longitudinem breuiorem. Quare illud quod omnes putabant e$$e primum & per$e, vltimum e$t, & exaccidenti.

Quare vero $uperficies, quæ vocatur reflexionis, in qua $unt duæ line{ae}, hoc e$t incidenti{ae}, reflexionis\’q;, $emper $it perpendicularis $uperficiei ip$ius $peculi: Hæc e$t ratio, quia cum quilibet radius incidentiæ, perpendicularis ip$i $uperficiei $pe- culi, in $eip$o reflectit, ex ij$dem dictis rationibus, hoc e$t, quia cum tali angulo vult reflecti, cum quali tran$iret, ita etiam purandum e$t, quodradius incidens obliquus, cum in $eip$um non po$$it redire, quia non e$t perpendicularis $uperficiei $peculi, reflectitur tamen per planum erectum ip$i $uperficiei $peculi, vt in eo, cui magis re- $i$tit $uperficies corporis opaci, quàm alicui alij plano ip$ius infiniti inclinatorum planorum, ab vtraque parte ip$ius plani perpendicularis, quod vnum etiam tan- tummodo e$t, & in quo, radius maiorem vim obtinet reflectendi, $eu in eo, in quo radius ip$e cum maiori re$i$tentia repercutitur à $uperficie corporis opaci.

Po$tremo $ci\-edũ vnde oriatur, {quis} rei vi$ibilis imago, à $peculo plano reflexa, $em per in catheto incidentiæ videatur.

Pro cuius rei ratione cogno$cendum primò e$t, quo modo fit perfecta $implex\’q; vi$io, & non reflexa, deinde pro$equemur ad reliqua huius tertiæ propo$itionis.

Animaduertendum igitur e$t, quod quotie$cunq; obiectum aliquod vi$ibile a$pi cimus, nos nunquam perfectè illud comprehendere po$$umus, ni$i in puncto con- cur$us, $eu inter$ectionis axium vi$ualium, $eu radialium ( vt ita loquar ) quã inter- $ection\-e, nos efficimus ope reuolutionis oculorum adinuic\-e, hoc e$t voluendo vnum ver$us alium, ita vt in $itu ip$ius obiecti, $einuicem $ecent axes iam dicti, tunc enim vtroque oculo mediante, exacte rem per$picimus, c{ae}teris. 8. circun$tantijs non ob- $tantibus.

Vnde $tantibus oculis in tali $itu, altero re$pectu alterius, $i eorum alter tectus; $eu velatus fuerit, tune alio tantummodo oculo mediante, videbimus obiectum, in ea di$tantia, exactius, quam in quauis alia propinquiori, & remotiori.

IO. BAPT. BENED.

Animal igitur, $ecundum di$tantiam obiecti, oculum accommodat ad recipien- dum quam exacti$$imè $peciem ip$ius obiecti, & hoc voluendo ambos oculos, vnum ver$us alium, ita quod inter$ectio axium $it in $itu $eu loco dicti obiecti, nam tunc vi dent ambo vel aliquis eorum $olus, in tali di$tantia exactè obiectum videbit.

Vnde $equitur obiectum vi$ibile, compræhen$ibile non e$$e ab vno tantummodo oculo in quolibet $itu axis ip$ius oculi, $ed in eo, vbi alius axis inter$ecatur à dicto. Quæ quidem inter$ectio pote$t fieri propinqua, vel remota à vi$u, ad certos tamen terminos v$que.

De huiu$modi axium vi$ualium inter$ectione $cribit Alhazem in. 2. et. 15. propo $itione tertij lib. Vitellio verò in. 32. et. 45. eiu$dem.

Quod igitur dico, verum e$t, ide$t, quod $i vno tantummodo oculo a$piciemus obiectum aliquod, ip$um nunquam perfectè pro$picietur, ni$i cum oculus ita $itus fuerit, vt eius axis cum axe alterius in loco obiecti $e inuicem $ecent, quamuis alter oculus nihil videat, cũ aũt duobus oculis in tali $itu cõ$titutis obiectũ videmus, vnum tantummodo nobis cernere videbimur, & $i extra talem punctum inter$ectionis ip- $um obiectum po$itum fuerit, tunc duo talia, obiecta nobis apparebunt, $ed huiu$ modi rei cau$am alias tibi manife$tabo.

His igitur cognitis, ponamus aliquam $peculi $uperficiem e$$e. g. h. in figura. B. obiectum autem vi$ibile. b. oculos vero. a. et. u. punctum autem. n. in $uperficie $pecu li, à quo imago ip$ius. b. reflectit ad. a. & punctum. t. à quo reflectitur ad. u. et. c. e. $it cõmunis $ectio $uperficiei reflexionis radiorum. b. n. a. et. c. f. $it communis $ectio $uperficiei reflexionis radiorum. b. t. u. qua rum vnaquæq; $uperficies reflexionis, ere- cta e$t ad $uperficiem $peculi. g. h. vt $upra diximus. Nunc ex. 19. vndecimi Eucl. $equitur communem $ectionem harum dua- rum $uperficierum. (b. c. d. $cilicet) ad rectos etiam e$$e $upra $uperficiem $peculi. g. h. cum qua. b. c. quælibet linearum. a. n. vel. u. t. reflexarum ( product{ae} cum fuerint ) $einuicem inter$ecabunt eo quod duo anguli. d. c. n. et. d. n. c. $imul collecti minores $unt duobus rectis, & ita. d. c. t. cum. d. t. c. cum anguli. a. n. e. et. u. t. f. reflexi, ip$is con- trapo$iti, æquales $int angulis. b. n. c. et. b. t. c. incidentiæ, quorum vnu$qui$q; ex. 32. primi, minor e$t recto.

Dico etiam quod in eodem puncto huiu$modi catheti. b. c. d. in quo inter$ecabi- tur à linea. a. n. in eodem $ecabitur à linea. u. t. & quod punctum dicti concur$us, tan- tum depre$$um erit $ub $uperficie $peculi. g. h. quantum. b. $upra ip$am reperietur. Nam anguli. b. n. c. et. d. n. c. $unt inuicem æquales, anguli\’q;. b. c. n. et. d. c. n. recti. c. n. verò communis ambobus triangulis. b. c. n. et. d. c. n. vnde ex. 26. primi Eucli. latus. d. c. commune, vt trianguli. d. c. n.æquale erit lateri communi. b. c. vt trianguli. b. c. n. Idem etiam dico de latere. d. c. vt ip$ius trianguli. d. c. t. quod æquatur lateri. b. c. vt trianguli. b. c. t. Vnde cum. b. c. vnum, & idem $it: d. c. igitur etiam erit, & ip$um vnũ & idem, quod erit propo$itum.

Nunc autem cum hi duo radij $einuicem $ecent in puncto. d. ergo in ip$o puncto. d. videbimur nobis videre imagin\-e obiecti. b: cũ ope duorũ i$torũ radiorũ. n. a. et. t. u. ita inuicem $itorũ, videamur nobis imagin\-e pro$picere. Vnde $i in tali ca$u, vnus EPISTOLAE. oculorum clauderetur, nihilominus cum reliquo obiectum vidi$$emus in eod\-e ip$o loco. d. & non in alio ex $uperius dictis rationibus.

Et $i $tantibus ijs terminis volueremus pupillam oculi. u. ver$us aliam. a. ad a$pi- ciendum punctum. n. in $uperficie. g. h. ip$ius $peculi, hoc e$t $i fecerimus quod axes vi$uales $einuicem $ecarent in ip$o puncto. n. tunc videremur nobis videre duas imagines ip$ius obiecti. b. intra $peculum, eo quod obiectum, propter hoc non ce$$aret reflectere ad oculos ab ip$is punctis. n. et. t. quapropter recipiendo ra- dium. t. u. in $itu axis oculi. u. & radium. n. a. in $itu axis oculi. a. hi axes ex nece$$itate (vt probauimus ) $einuicem $ecant in puncto. d. vnde vnam tantummodo imaginem ip$ius obiecti nobis apparebit.

Ex his igitur omnibus potes facilè videre omnem imaginem, cuiu$uis obiecti, re- flexam à $peculo, reperiri in ip$o catheto incidentiæ, cum ip$e $emper $it communis $ectio duarum $uperficierum reflexionis, in quo catheto concurrunt ip$æ axes vi- $uales.

Exij$dem etiam dictis rationibus facile compræhendere poteris, vnde fiat, vt vi- deamus imaginem reflexam à $peculis $ph{ae}ricis concauis citra ip$orũ $uperficiem, & non vltra. Quod nunquã euenit, ni$i quando punctũ. d. inter$ectionis ip$orũ radiorũ vi$ualium (quod alio in loco non fit, ni$i in catheto incidentiæ hoc e$t in communi $ectione duarum $uperficierum reflexionis. Dato quod obiectum non $it in vna ea- dem\’que $uperficie, in qua reperti fuerint axes vi$uales, hoc e$t dato, {quis} ambo axes vi$uales non $int in vna eadem\’q; $uperficie reflexionis) reperitur citra & non vltra $u perficiem ip$ius $peculi.

Ad cuius rei euidentiam non prætermittã dicere, quod cum debeant $emper $u- perficies reflexionum perpendiculares e$$e, velad rectos $ecare $uperficiem ip$ius $peculi, ip$arum communes $ectiones cum $uperficie $peculi $ph{ae}rici, $emper erunt circunferentiæ magnorum circulorum illius $phæræ, cuius portio e$t $peculum propo$itum, vt etiam Vitellio affirmat in prima $exti libri. Vnde vnu$qui$que ca- thetus incidentiæ tran$ibit per centrum $peculi, cum ip$e $it communis $ectio dua- rum $uperficierum reflexionis, quare in ip$o catheto erit punctum inter$ectionis ip $orum axium vi$ualium ex nece$$itate, vt videbimus, $i vnam tantummodo imagin\-e obiecti nobis videremur videre.

Exempli gratia, $int duæ $uperficies reflexionis $peculi $phærici concaui. b. n. c. a. et. b. t. c. u. obiectum\’q; $it. b. oculi autem $int. a. u. punctum verò $uperficiei $peculi, à quo obiectum emittit reflexionem $u{ae} imaginis ad oculum. a. $it. n. pũctum au- tem à quo eandem reflectit oculo. u. $it t. communis autem $ectio harum dua- rum $uperficierum $it. b. c. $ed. x. centrũ $it $peculi, radius verò incidenti{ae} $uper ficiei. b. n. c. erit. b. n. cuius reflexus $it. n. a. radij autem alterius $uperficiei erunt b. t. et. t. u. Imaginemur nunc duos $emi diametros. x. n. et. x. t. quæ angulos. b. n. a. et. b. t. u. per æqualia diuidant ex $up- po$ito.

Nunc ijs $uppo$itis, $i vnam tantum- modo obiecti imaginem videbimus, IO. BAPT. BENED. clarum erit ex rationibus $upradictis nos ip$am videre in cõmuni concur$u ip$orum axium vi$ualium, qui axes cum reperiantur vnà cum ip$is radijs reflexis. n. a. et. t. u. ex nece$$itate $einuicem $ecabũt in catheto. b. c. cum extendantur in ip$is $uperficie- bus reflexionum, quæ $uperficies nihil aliud commune inuicem habent, quam cathe tum dictum. b. c. $it igitur in puncto. d.

Ex his dictis alia oritur nece$$itas, hoc e$t, quod quotie$cunque vnam tantummo do imaginem obiecti. b. videmus, dato quod duæ $uperficies reflexionis $int, & non vna tantum, tunc angulos. n. et. t. $emper inuicem æquales e$$e oportebit. Vnde ar- cus. n. c. et. t. c. ex nece$$itate inuicem æquales erunt.

Scimas enim ex. 3. $exti Euclid. quod eadem proportio erit ip$ius. b. n. ad. n. d. qu{ae} ip$ius. b. x. ad. x. d. & ip$ius. b. t. ad. t. d. $imiliter, quare ip$iusb. n. ad. n. d. erit vt ip$ius. b. t. ad. t. d. Vnde $equitur. b. n. æqualem e$$e ip$i. b. t. et. n. d. ip$i. t. d. vt à medio circulo. E. potes videre, quamuis etiam. b. non e$$et extremum diametri, $ed vbicunque volueris in ip$o diametro, vel etiã protracta, eo quod pun- ctum. n. & punctum. t. in eodem $emicirculo, vel in æqualibus $emicirculis, non po$s\-et aliter in ip$a circunferentia locari, eãdem $eruando proportionem. b. n. ad. n. d. vt. b. t. ad. t. d. propterea quod in omni alio $itu exi$tente puncto. t. ip$a. b. t. e$$et aut maior aut minor ip$a. b. n. et. t. d. aut minor, aut maior ip$a. t. d. ex. 7. & 14. tertij Eucli. vnde aut maior, aut minor proportio e$$et ip$ius. b. t. ad. t. d. quam ip$ius. b. n. ad. n. d. & non eadem.

Nunc è conuer$o $i. b. n. et. b. t. $unt $ibi inuicem æquales, & $ic. n. d. cum. t. d. $equi- tur ex. 8. primi Eucli. angulos. n. et. t. inuicem æquales e$$e.

Ab ij$dem $peculationibus potes etiam videre vnde accidat quod partes $uperio res alicuius obiecti reflexæ à tali $peculo concauo videntur nobis inferiores e$$e, & inferiores appareant $uperiores, & dextræ $ini$træ, & $ini$træ dextræ. quod autem hucu$que demon$traui de $peculis planis, & $phæricis concauis, ratiocinare tu ij$dem medijs circa $phærica conuexa, vbi clarè videbis puncta huiu$modi $peculi conuexi, à quibus reflectitur imago obiecti ad ambos oculos, $emper oportere æquidi$tantia e$$e à pũcto communi ip$ius $uperficiei $peculi, & catheto incidentiæ, dum unam tan tummodo imaginem ip$ius obiecti videmus, & à diuer$is $uperficiebus reflexionum.

Nolo etiam prætermittere, quod nunc mihi $uccurrit, hoc e$t quod po$$et ali- quis duos $itus inuenire, vnum pro oculo, alterum verò pro obiecto, re$pectu alicu- ius $peculi concaui, $ph{ae}roidis prolatæ, vt reflexio ip$ius obiecti videretur, vt linea diuidens per æqualia ip$um $peculum. Re$pectu verò alicuius $peculi concaui $phæ- roidis oblongæ, vt reflexio obiecti ad oculum veniret à tota $uperficie ip$ius $pecu- li, vnde tota $uperficies ip$ius $peculi videretur colorata illo colore cuius e$$et obiectum, quæ quidem pa$$iones pend\-et à. 48. tertij lib. ip$ius Pergei, vt ex te ip$o fa cile videre potes, propter æqualitatem angulorum reflexionis, & incidentiæ.

Opinio autem mea, quam $cire cupis de imagine obiecti reflexa, quam putas e$- $e in $uperficie $peculi, hæc e$t, quod nec in $uperficie, nec ultra, nec citra eam e$t ip $a imago, quod autem vltra non $it, hoc puto nulli dubium e$$e. eadem etiam ra- tione non erit citra $uperficiem $peculi concaui, quamuis ip$am nos compræhenda- mus in concur$u radiorum vi$ualium, tam ab vno $peculo quam ab alio reflexione facta. Sed quòd ip$a neque $it in ip$a $peculi $uperficie, manife$tum erit ex hoc, {quis} duo $pectantes in eodem $peculo, duas diuer$as imagines vident, tres, aũt tres, qua- tuor, quatuor, & $ic deinceps, vnde tot e$$ent imagines $upra $uperficiem $peculi, quot obiecta, {quis} tamen ita non e$t, nec plus e$t in vno loco ip$a imago, quam in alio, EPISTOLAE. ni$i in obiecto ip$o, lumen enim abip$o obiecto reflexum, $eip$um diffundit vndi- que, & radijip$ius luminis reflexi, vt plurimum $einuicem $ecant. Vnde in ip$o ae- re funt omnes mi$ti. Quapropter natura $agacif$ima pupillam oculi animalibus tam paruam con$truxit ad $uperficiem tam amplæ $phæræ ip$ius oculi, vt di$tinctæ vide- rentur omnia obiecta.

Nolo etiam tibi tacere, quod quotie$cunq; oculorum pupillæ po$itæ fuerint inter cathetum incidentiæ, & $uperficiem $peculi $phærici concaui, vt puta in li- neis. d. t. et. t. n. in figura. D. tunc nullo pacto po$$emus videre vnam imagi- nem obiecti, $ed duas nec non confu- sè, propterea {quis} nullo pacto radij. t. d. et. n. t. reflexi poterint. ambo vniri cũ ambobus axibus vi$ualibus, eo quod axes vifuales nunquam po$$unt inui- cem inter$ecari po$t vi$um, $ed $em- per ante ip$um, vnde nec inuicem pa- ralleli po$$unt e$$e.

Dico etiam, quod $i obiectum inci derit in eadem $uperficie, in qua duo axes vi$uales, vel radij reflexi reperiũtur, hoc e$t in vna eadem\’q; $uperficie reflexio- nis, tunc locus imaginis non erit in catheto incidentiæ, eo quod interfectio axium uifualium non erit in ip$o catheto $ed extra, in qua inter$ectione fit vi$io vnius tan- tummodo imaginis, quod antiqui non animaduerterunt. Hoc autem dico de$pe- culo $phærico concauo.

Speculatio cuiu$dam propo$itionis aritbmetica. ADEVNDEM.

SPeculatio vltimæ propo$itionis quam numerorum via inueni, hæc e$t. Imagi- nemur triangulum. r. e. o. ab$ci$um à circulo, in cuius circunferentia $it punctum r. $uperioris anguli ip$ius trianguli, vel etiam non $it ab$ci$um dummodo protrahan tur lineæ v$q; ad circunferentiam, à quo ad oppo$itum latus defc\-edant duæ. r. K. et. r. f. ita {quis}. K. o. æqualis $it. f. e. vnde hæc. 4. lineæ $ecabuntur à circulo dicto in punctis. n. c. b. u. Dico nunc {quis} producta. o. r. n. et. e. r. u. æqualia erunt productis. K. r. c. et. f. r. b. IO. BAPT. BENED. quapropter cogitemus. r. a. indeterminatam tran$ire per centrum.s. ip$ius circuli, $i- militer etiam. r. i. ad punctum medium lateris. e. o. deinde à tribus punctis, e. i. o. ima- ginemur tres perpendiculares ad. r. a. hoc e$t. e. a: i. d. et. o. q. & vbi circulus $ecat. r. a. fit punctum. g. protractis deinde. g. n: g. x: et. g. u. habebimus triangulum. a. e. r. $imi- lem triangulo. g. u. r. vnde clarum erit productum. g. r. a. æquale e$$e producto. e. r. u. productum\’q. g. r. q. æquale e$$e producto. o. r. n. nam trianguli. g. r. n. et. o. r. q. $unt in- uicem $imiles, $ed productum. g. r. a. $imul cum producto. g. r. q. duplum e$t producto. g. r. d. ex prima $exti, eo quod. a. r. q. dupla e$t. d. r. & ideo productum. e. r. u. $imul cũ producto. o. r. n. duplum erit producto. i. r. x. quod quidem æquale e$t producto. g. r. d. ex $imilibus rationibus iam $upradictis. Nunc ex $imilibus rationibus producta. f. r. b. et. K. r. c. dupla erunt producto. i. r. x. quare prima producta æqualia erunt $ecun- dis. Quod e$t propo$itum.

Ab huiu$modi demon$trat ione facilè videre poteris non e$$e generaliter verum, id quod Nicolaus Tartalea inquit. 43. quæ$ito vltimæ partis $uorum tractatuum, hoc e$t centrum circuli. r. n. g. $emper e$$e in perpendiculari, quæ à puncto. r. ad lineam. e. o. tran$it, protracta ip$a. e. o. quantum volueris, imò in quacunque alia linea ip$um e$ $e pote$t, nec non in aliqua parallela ip$i. e. o. quemadmodum ex te ip$o, medianti- bus, hic $upradictis rationibus videre poteris, vnde ex nece$$itate $equitur illud pro blema $emper ferè fal$um e$$e.

Alia $peculatio circa breuitatem radiorum incidentium & reflexorum. AD EVNDEM.

ALius modus quem exercitationis gratia vltimò cogitaui, ad demon$trandum breuitatem radiorum incidentium, & reflexorum in $peculo plano, nunc ad te $cribo, quamuis prolixior ali quantulum $it eo, quod ab antiquis traditus e$t.

Imaginemur itaque lineã. p. h. pro cõmuni $ectione $uperficiei reflexionis cũ $pe- culo. r. a. verò et. a. b. pro radijs dictis, qui $emper faciũt angulos. b. a. h. et. r. a. p. inuic\-e EPISTOL AE. æquales. Nunc protrahantur duæ. r. o. et. b. o. ab ii$dem punctis. b. r. ad aliud punctum, quod volueris ip$ius lineæ. p. h. quas probabo longiores' ($imul $umptas) e$$e priori- bus. Imaginemur igitur duas perpendiculares, $eu cathetos. b. i. et. q. r. a punctis. b. r. ad. p. h. ab$ci$$a\’q $it linea. o. b. in puncto. x. ita quod. b. x. æqualis $it ip$i. b. a. quod nulli dubium erit po$$e effici, cum. o. b. lõgiot $it. b. a. co quod opponatur angulo ob- tu$o ip$ius trianguli. b. a. o. qu{ae}. o. b. $imiliter protrahatur v$que ad. d. ita quod. b. d. æqualis $it. x. b. deinde protrahatur. o. i. quou$que. i. h. æqualis $it. a. i. In alia parte po- $tea idem faciendum e$t $ecando. a. r. in puncto. u. ita quod. u. r. æqualis $it. r. o. efficien do. r. s. æqualem. r. u. et. q. p. æquale. q. o. vnde habebimus productũ. o. d. in. o. x. æqua le producto. o. h. in. o. a. & productum. a. s. in. a. u. æquale producto. a. p. in. a. o. exi$tis rationibus. Nam cum quadratum ip$ius. o. b. æquale $it duobus quadratis. o. i. et. i. b. ex penultima primi Eucli. ip$a quadrata. o. i. et. i. b. æqualia erunt producto. o. d. in o. x. $imul $umpto cum quadrato. b. x. ex. 6. $ecundi, hoc e$t ip$i producto $imul $um- pto cum quadrato. b. a. hoc e$t ip$i producto $imul $umpto cum duobus quadratis. a. i. et. i. b. $ed quia productum. o. h. in. o. a. $imul $umpto cum quadrato. a. i. {ae}quatur qua drato. o i. ideo productum. o. h. in. o. a. $imul $umptum cum quadrato. a. i. & cum qua- drato. i. b. æquale erit producto. o. d. in. o. x. $imul $umpto cũ duobus quadratis dictis hoc e$t ip$ius. a. i. et. i. b. qu{ae} quadrata dempta cum fuerint ab vtraque parte, tunc cer ti erimus producta e$$e inuicem æqualia. Idem dico de alijs ex altera parte. Nunc imaginemur protractam e$$c. a. e. parallelam ip$i. o. b. & habebimus proportionem ip$ius. a. b. ad. a. i. maiorem e$$e ea quæ e$t ip$ius. a. e. ad eandem. a. i. cum. a. b. maior $it ip$a. a. e. vt oppo$ita angulo obtu$o, quapropter proportio. x. b. ad. a. i. maior erit ea quæ e$t. o. b. ad. o. i. Iam enim $cis proportionem. o. b. ad. o. i. e$$e, vt. a. e. ad. a. i. ex $imilitudine triangulorum. quare proportio. b. d. ad. i. h. maior erit proportione. o. b. ad. o. i. tũc ex. 27. quinti <002>mutãdo {pro}portio. b. d. ad. b. o. maior erit proportione. i. h. ad. i. o. & ex. 26. eiu$d\-e cõpon\-edo maior {pro}portio erit. o. d. ad. o. b. ea qu{ae} e$t. o. h. ad. o i.' & permutãdo maior ip$ius. o. d. ad. o. h. ea quæ. o. b. ad. o. i. & ex. 33. maior ip$ius. b. d. ad. i. h. ea quæ. o. d. ad. o. h. Sed vt. b. a. ad. a. i. ita e$t. a. r. ad. a. q. ex $imilitudine triã gulorum. Erit igitur. a. r. ad. a. q. maior proportio, ea quæ e$t. o. b. ad. o. i. & exij$dem $upradictis rationibus maior erit proportio ip$ius. s. a. ad. p. a. ea quæ e$t. a. r. ad. a. q. $ed cum iam probatum fuit proportio nem. b. d. ad. i. h. hoc e$t. a. b. ad. a. i. ma iorem e$$e. o. d. ad. o. h. ergo eo ma- gis maior erit proportio ip$ius. a s. ad a. p. ca quæ. o. d. ad. o. h. $ed cum ex. 15 $exti, eadem $it proportio. o. d. ad. o. a. quæ. o. h. ad. o. x. et. s. a. ad. o. a. qu{ae} a. p. ad. a. u. tunc erit permutãdo eadem proportio ip$ius. o. d. ad. o. h. quæ. o. a. ad. o. x. & ip$ius. a. o. ad. a. u. quemad- modum ip$ius. a. s. ad. a. p. Quare maior proportio erit ip$ius. a. o. ad. a. u. quam. a. o. ad. o. x. Vnde $equitur. o. x. maiorem e$$e. a. u. ex. 8. quinti, ergo. b. x. o. r. longior erit ip$a. b. a. u. r. Quod e$t propo$itum.

IO. BAPT. BENED.

Alia etiam via po$$umus idem concludere. Imaginemur maiorem axem alicu- ius ellip$is tran$ire per duo puncta. r. et. b. $upponendo ip$a puncta, ea e$le, quæ ita axem diuidunt, vt $ingula produ- cta fectionum $int, vt inquit Per- geus. imaginemur, etiam. p. h. con tiguam e$$e ip$i ellip$i in pũcto. a. vnde $i protractæ fuerint duæ. r. a. et. b. a. habebimus ex. 48. tertijip- $ius Pergei angulos. b. a. h. et. r. a. p. inuicem æquales. Ducendo po$tea ad quoduis punctum ip$ius p. h. duas. b. o. et. r. o. certi erimus, quod $ecabuntur à gyro oxygo- nio, quarum vna $ecta $it in pun- cto. i. ducta po$tea. i. r. clarum erit ex. 52. dicti, quod longitudo. b. i. r. æqualis erit lon gitudini. b. a. r. & minor ip$a. b. o. r. ex. 21. primi Euclid.

Deerrore Euclidis circa $peculum vstorium. AD EVNDEM.

VErum $peculum v$torium, illud non e$t, quod ab Euclide traditum fuit, & {quis} tu etiam putas, Nam Euclides errat, cum credat radios reflexos à $uperficie $phærica concaua $einuicem in centro $peculi inter$ecare. Nam cum omnes line{ae} recte à centro, & cir cunferentia alicuius $phæræ terminatæ, $int eidem circunferen- tiæ perpendiculares, $equeretur ex nece$$itate radios incidentiæ etiam perpendicu lares eidem $uperficiei e$$e, cum anguli incidentiæ $emper æquales $int angulis re- flexionis, vnde etiam ex nece$$itate $equeretur punctum corporis lucidi, à quo radij lumino$i excunt, in centro $peculi reperiri. quod quidem fal$i$$imum e$t.

Alia etiam via po$$um hanc o$tendere impo$$ibilitatem, & tibi probabo, quod in nullo aliquo puncto po$$unt inuicem conuenire ip$i radijrefle xi omnes.

Sit igitur. l. a. c. cõis $ectio $uperficiei reflexionis cum $peculo, cuius centrum $it. o. punctum verò lucidum $it. g. protrahatur\’q. g. o. a. Nunc autem primum dico, quod radij reflexi à punctis diuer$arum di$tantiarũ ab. a. non coincid\-et inuicem in aliquo puncto line{ae}. g. o a: $int ergo duo puncta. u. et. r. diuer$arum di$tantiarũ ab. a. à quibus veniant duo radij incidentiæ. g. r. et. g. u. radius verò reflexus ab. r. $it. r. e. protrahatur u. e. quam dico effe non po$$e radium reflexum ab. u. quotie$cunque eius incidens de$cendat ab. g. Protrahantur ergo duæ lineæ. o. r. et. o. u. vnde cum dixerit aliquis u. e. reflexũ e$$e ip$ius. g. u. igitur anguli. g. u. o. et. o. u. e. erunt inuicem æquales, & $ic etiam erunt duo. g. r. o. et. o. r. e. vnde ex tertia $exti &. 11. quinti Eucli. proportio. g. u. ad. u. e. æqualis e$$et ei, quæ. g. r. ad. r. e. quod quidem impo$$ibile e$$e demon$tra- bo, eo quod cum. g. u. maior $it. g. r. ex. 8. tertij, erit ex. 8. quinti proportio ip$ius. g. u. ad. r. e. maior proportione ip$ius. g. r. ad. r. e. $ed ex. 7. tertij. u. e. minor e$t. r. e. erit igi- tur ex dicta. 8. quinti maior proportio ip$i'. g. u. ad. u. e. quam. g. u. ad. r. e. vnde eo ma EPISTOL AE. gis erit maior proportio ip$ius. g. u. ad. u. e. quam ip$ius. g. r. ad. r. e. ergo non æqualis, quapropter impo$$ibile e$t. u. e. e$$e radium reflexum incidentis radij. g. u. Vnde $equi tur concur$um radiorum reflexorum à $pe- culo $phærico concauo non e$$e in vno, & eodem puncto ip$ius catheti incidentiæ, quando à $itu non æquidi$tanti ab ip$o ca- theto reflectũtur, ex hac $peculatione etiã videre licet, verum e$$e id quod in. 3. Epi$to la tibi $crip$i nempe, quod quotie$cunque axes vi$uales, vel radij reflexi, in vna ea- dem\’q $uperficie reflexionis fuerint, tunc imago obiecti nullo modo videbitur in ca- theto incidentiæ, in $peculo $phærico con- cauo.

Alterius dubit ationis $olutio. AD EVNDEM.

NOn ab$que ratione dubitas, vtrum etiam in $phæricis $peculis conuexis idem accidat, hoc e$t, an radij reflexi à punctis in{ae}qualis di$tantiæ à catheto inciden tiæ conueniant inuicem in eodem catheto.

Ad quod re$pondeo, non concurrere in dicto catheto, $ed extra ip$um, & $imi- liter extra ip$um vide bitur imago.

Pro cuius rei ratione, imaginemur $uperficiem reflexionis alicuius $peculi $phæ- rici conuexi. b. d. h. g. cuius communis $ectio cum $uperficie $phærica $it linea circularis. d. e. h. et. o. eius c\-etrum, à quo protrahatur. g. b. indeterminata, et. o. g. $it $e midiameter circuli. d. g. h. et. o. c. $it plus medietate ip$ius. o. g. accipiatur\’q; linea. e. c. minor ip$a. o. c. $ed maior ip$a. c. g. quod difficile non erit, locando im mobilem pedem circini in puncto. c. aperiendo ip$um aliquantulum plus quam. c. g. $ed minus quam. c. o. $ignando circunferentiam. d. e. h. in puncto. e. quod ex. 7. tertij po$$i- bile e$t, protrahatur po$tea. o. e. f. indeterminatè. Facicmus deinde angulum. f. e. b. æqualem angulo. o. e. c. protracta po$tea cum fuerit. c. e. K. indeterminatè, habebim<_>9 duos angulos. b. e. f. et. f. e. K. æquales in- uicem mediante. 15. primi, ita q<001> $i radius incidens veniet à puncto. b. ad. e. reflexus erit. e. K. qui quidem IO. BAPT. BENED. refleyus $ecabit cathetum. b. o. in puncto. c. intra $peculum, nec dubitandum e$t quin linea. e. b. $ectura $it. b. o. eo quod cum angulus. o. e. c. $it maior angulo. e. o. c. ex. 19. primi, & $imiliter angulus. b. e. f. $equitur ex. 13. dicti, angulos. b. e. o. et. e. o. b. e$$e mi nores duobus rectis, vnde ex penultima petitione primi, duæ lineæ. b. e. et. o. b. inuic\-e concurrent. Quare po$$umus ex hoc, quoddam corollarium extrahere, hoc e$t nece$$ariũ s\-eper exi$tat, vt linea. c. e. minor e$$e linea. c. o. Sed vnde eueniat quod ip $a nece$$ariò debeat $emper maior e$$e ip$a. c. g. clarum e$t ex. 7. tertij Eucli. Nunc imaginemur ductas e$$e duas tãgentes. b. d. et. b. h. & ab. e. ipsã. e. i. vnde certi erimus, quod ab interuallo inter. h. et. d. punctum. b. põ$$ibile $it vt reflectatur. Accipiamus nunc. p. c. minorem medietate ip$ius. b. c. & à puncto. p. imaginemur tangentem. p. q. in puncto. q. prorracta\’que $it. b. q. vt radius incidentiæ, tunc dico, radium reflexum ip$ius. b. q. nõ concurrere in eodem puncto. c. ip$ius catheti, $i vero dixeris {quis} $ic. E$to igi\~t radius dictus. c. q. s. Imaginemur tãgent\-e. e. i. in puncto. e. vnde ex. 18. quinti Alha zem, vel. 12. $exti Vitellionis proportio. b. i. ad. i. c. erit, vt. b. o ad. o. c. & $imiliter erit ip$ius. b. p. ad. p. c. vt. b. o. ad. o. c. ex eadem. Quare ex. 11. quinti Eucli. proportio ip $ius. b. p. ad. p. c. erit vt ip$ius. b. i. ad. i. c. $ed quia. p. b. vt pars ip$ius. b. i. minor e$t ip- $a, ergo ex. 14. dicti. p. c. minor erit ip$a. c. i. hoc e$t totum minus $ua parte, quod e$t impo$$ibile, quare non in ip$o catheto videbitur imago ip$ius obiecti.

Aliud notandum etiam cernere potes ex ip$is $peculis $phæricis conuexis, hoc e$t quod po$$ibile $it aliquoties, radium reflexum concurrere cum catheto incidentiæ extra $peculum inter puncta. g. et. p. vt exempli gratia. $i punctus. p. e$$et exactè in medio inter. b. et g. tunc punctum. c. ip$ius concur$us cum catheto incidentiæ e$$et inter. g. et. p. eo quod cũ linea. p. q. debeat @iui lere angulũ. b. q, c. <002> {ae}qualia, oportebit c. po$itum e$$e inter. g. et. p. quia angulus. g. q. p. maior e$t angulo. p. q. b. vt per te faci le potes ratiotinari, imaginando cir culum circa triãgulum. g. q. b. & dia merrum perpendicularem. ad. g. b. in puncto. p. producendo po$tea. q. p. v$q; ad alterã part\-e circunferen- tiæ ip$ius circuli. argum\-etãdo dein- de mediante vltima $exti, illud id\-e po@es etiam $cire ex. 22. quinti Alha zeni. & ex. 26. $exti Vitellionis. vn- de $i ad ambas pupillas venerint ra dij reflexi ip$ius obiecti. b. a duobus punctis huiu$modi $peculi, ita di- $tantibus à puncto. g. vt. q. tunc com mune punctum concur$us axium vi $ualium erit in catheto inter. g. p. vbi apparebit imago ex $uperius di ctis rationibus, ita vt nõ $olum con cauis, $ed etiam conuexis hoc accidere po$$it.

In planis autem nunquã hoc pote$t euenire, vt tibi alias dixi, eo quod $i acc\-ep\-eri- mus rectã. m. r. pro cõi $ectione $u<002>ficiei. l. t. x. reflexionis &$u<002>ficiei $peculi, pũctũ\’q; lucidum. l. protracto\’q; catheto. l. r. t. lineis\’q; incidentiæ. l. x. et. l. m. reflexionis etiam x. y. et. m. z cum anguli. l. x. r. et. y. x. h. et. r. x. t. æquales inuicem $int, & $ic anguli. l. m. r. et. z. m. h. et. r. m. t. erit. r. t. tam pro triangulo. r. x. t. quam pro triangulo. r. m. t. æqua lis. r. l. ex. 26. primi, ita quod $emper in puncto. t. conueni\-et omnes radij reflexi ip$ius EPISTOL AE. puncti. l. clarum igitur nunc habes, quod in $phærico concauo, $eu conuexo, non omnes radij reflexi conueniunt in vno, eodem\’q; puncto catheti incidentiæ, quemad modum in planis accidit, in quibus $emper vnum, & idem punctum e$t ip$is commu ne in ip$o incidentiæ catheto.

Non prætermittam etiam hunc alium breuiorem modum $peculandi æqualita- t\-e depre$$ionis imaginis $ub $peculo plano, ei quæ $upra reperitur ip$ius obiecti, in ca theto incidentiæ, quemadmodum nu nc vltimò diximus, hoc e$t quod cum imago obiecti. l. reflexa à puncto. x. reperiatur in linea. y. x. t. & ima- go eiu$dem obiecti reflexa à pun- cto. m. reperiatur in linea. z. m. t. & i$tæ duæ line{ae} $einuicem $ecent in puncto. t. ip$ius catheti, exi$tente. r. t. æquali. r. l. vt nunc vidimus, er- go $emper imago reflexa à $pecu- lo plano, nobis apparebit ĩ ip$o ca theto, tam vltra $peculum, quam ci tra ip$um, re<002>tũ fuerit ipsũ obiectũ quod nec Alhazem, nec Vitellio, nec alius aliquis (quod $ciam) ad huc $cientificè demon$trauit. exempla enim vel ex perientia non faciunt $cire. Credo etiam te non dubitare quin duæ lineæ. y. x. et. z. m. inuicem concurrant, cum anguli. t. x. m. et. t. m. x. minores $int duobus rectis cum æquales $int angulis. l. x. m. et. l. m. x.

De rotunditate vmbræterræ in ecclip$ibus Lunaribus. AD EVNDEM.

ROtunditas vmbræ in ecclip$i- bus lunaribus oritur tã à rotun ditate maris, quã terræ, & $i terra e$- $et etiã cuiu$uis alterius figur{ae}, quã $phæric{ae}, dummodo aqua impleret locũ $ph{ae}riceitatis à terra derelictũ, nihilominus vmbra e$$et rotunda, qu{ae} quidem ab aqua produceretur, quãuis Alexander Piccolhomineus aliter $entiat in libro de magnitudi- ne terr{ae}, & aquæ.

Sci\-edũ enim e$t, quod omne cor pus in $e habens aliquantulũ opaci- tatis, $emper debilitat radiũ lumino $um, & tãto magis, quãto magis in ip $o corpore radius penetrat, etiã & $i ad rectos incideret ip$e radius $upra $uperfici\-e ip$i<_>9 corporis. Ex\-epli gra tia, e$to. q. p. corpus a queũ, cuius pro funditas diuidatur in partibus. d. K: K. s: et. s. f. à puncto verò lucido. b. IO. BABPT. BENED. de$cendat radius. b. d. K. s. f. ad libitũ hoc e$t rectè vel obliquè, cuius pars. b. d. in ip$o aere exi$tat. Nunc manife$tum erit partem. b. d. ip$ius radij clariorem $eu minus im peditã e$$e quam. d. K. quod ex eo etiam cogno$cere po$$umus quia. b. d. reflectitur à puncto. d. $uperficiei corporis a quei, quapropter minus lumino$a remanebit pars. d. K. cum non tota claritas. b. d. de$cendat in corpore aqueo, $ed vna eius pars reflecta- tur, reliqua verò tantummodò de$cendat, deinde pars. K. s. ex nece$$itate debilior erit ip$a. d. K. eo quod $uccedit po$t ip$am. d. K. propter hoc etiam, quia cum corpus aqueum habeat aliquantulum opacitatis, radius. d. K. ab omni puncto ip$ius $pi$$itu- dinis a quæ continuo reflectitur, qu{ae} quidem reflexio e$t illud lumen c{ae}ruleum, quod in profunditate ip$ius aqu{ae} nobis apparet. Cum igitur reflexio ip$a $emper detra- hat ab ip$o radio lumino$o, re$iduum verò $it id quod penetrat, ideo. K. s. erit vna pars tantummodò luminis ip$ius. d. K: in. s. f. verò aliqua pars luminis ip$ius. K. s. & $ic continuò debilitatur radius, ita quod ad nihilum v$que deuenit, & vltra tale cor- pus remanebit vmbra, qua$i $i ip$um corpus e$$et perfectè opacum, cuius rei cau$a, e$t illa continua reflexio, vt diximus, quæ continuò adimit aliquid ex ip$o radio, nec permittit eum totum tran$ire.

Quapropter mirandum non e$t eos, qui margaritas quærunt in fundo maris nul- lum ibi videre lumen. Nihilominus vmbra maris, quam dico nos po$$e videre in $uperficie corporis lunaris, ab alia etiam ratione prouenire po$$et. Imaginemur enim aggregatum terr{ae}, maris\’q; e$$e tantummodò aqueum, quod quidem e$$et perfectè $phæricum ratione centri grauitatis, $upponamus\’q; ipsũ e$$e valde diaphanum, ita quod radij $olares ip$um penetra$$ent. Tunc dico quod in $uperficie corporis luna- ris produceret vmbram. Pro cuius intelligentia cogitemus $ub$criptam hic figuram b. h. q. a. e. e$$e $ph{ae}ram aliquam cry$tallinam, & ad partem. b. h. q. $it radius lumino- $us $olaris qui ip$am illuminet, cuius radij extremitates $int. d. b. l. et. p. q. r. $upponen- do. d. l. et. p. r. terminos e$$e vnius plani $ecantis ip$um radium per axem, tunc vide- bis ip$um radium. b. p. q. d. tran$eũ- tem ip$am $phæram, congregari $eu cond\-e$ari, ob vniformem refractio- nem, v$que ad punctum. o. deinde; propter rectitudinem ip$ius diffu- $ionis, vltra punctum. o. ip$um dila- tari, di$gregari, $eu rarefieri, quou$q; nullius illuminationis actum habeat. vt: exempli gratia. o. t. et. o. s. eius par tes, ita quod interualla. c. o. b. et. u. o. q. relinquerentur priuata lumini- bus, vnde vmbro$a remanerent. di- $tantia\’q; ab. o. ad $uperficiem $ph{ae}ri cam corporis. b. e. d. q. non $olum nõ maior e$t diametro ip$ius $phæræ; imo minor, vt à te ip$o experiri po- tes. Po$ito igitur aliquo obiecto opaco in loco. K. o. g. eius $uperficies intercepta inter. K. et. g. adumbrata erit, excepto puncto. o. Po$ito dein de ip$o obiecto in loco. n. y. x. m. ei<_>9 partes. y. n. et. x. m. remanebunt lu- EPISTOL AE. mine de$titutæ interuallum\’q; tantummodò inter. y. x. illuminatum erit, $ed $i in loco. c. u. po$itum fuerit, tunc totum. c. u. illuminatum erit, $ed debili modo propter detractionem factam à reflexione in $uperficie corporis $phærici, vt $upra diximus.

Po$ito deinde obiecto in loco. i. z. H. f. tunc partes. z. i. et. H. f. rectos Solis radios habebunt cum aliquibus refractis, $ed. z. H. pauci$$imum habebit lumen, pro- pter di$gregationem radiorum. Po$ito po$tea ip$o obiecto in loco. t. l. r. s. tanto minus lumen habebit pars. l. r. propter dictam di$gregation\-e, $eu di$$ipation\-e radio rum, & $ic $ucce$$iuè quanto remotius po$itum fuerit ip$um obiectum, tanto minus illuminabitur. vnde ita remotum poterit locari, ut nullus actus luminis in eo videatur, de radijs $cilicet, qui per $phæram chry$tallinam tran$ibunt, $ed videbi- tur vmbra ip$ius $ph{ae}r{ae} in obiecto propo$ito, cum nullum actum illuminationis in eo loco obiecti habeant radij tran$euntes per dictam $ph{ae}ram. quapropter partes. t. l. et. r. s. illuminatæ erunt à Sole, et. l. r. omnino lumine de$tituta.

Quòd vero tolerabilior $it oculis radius reflexus Solis à $uper$icie aquæ, quàm à $uperficie alicuius $peculi, oritur ab eo, quod $upra diximus, hoc e$t, quod ma- gna parsip$ius luminis penetrat in aquam, & non totum reflectit, quod quidem non accidit $peculis opacis.

DE LONGITVDINE DVORVM LATERVM cuiu$uis trianguli $upra tertium. Hieronymo Fenarolo.

QVO' D quælibet duo latera continentia rectum angulum cuiu$uis triangu- li orthogonij, longiora $int tertio latere, per diametrum circuli in eo in- $cripti, ab alijs iam demon$tratum fuit. Sed quòd quælibet duo latera cuiu$uis trianguli longiora $int tertio per latus tetragonicum, quadrupli producti cuiu$uis lineæ de$cendentis ab angulo contento à dictis duobus lateribus ad oppo$itam partem circuli in$cripti, in partem extrin$ecam ip$ius lineæ, nullus (quod $ciam) vnquam $crip$it, vel animaduertit.

Sit exempli gratia triangulus. a. b. c. quem volueris, in quo de$cribatur circulus. u. s. n. & puncta contingentiæ $int eadem. u. s. n. à puncto vero. a. de$cendat linea. a. i. e. quæ terminetur à circunferentia in puncto. e. ip$ius circunferentiæ, vbi volue- ris. Dico nunc latera. a. b. et. a. c. longiora e$$e latere. b. c. per latus tetragonicũ qua- drupli producti ip$ius. a. e. in. a. i. Nam certi $amus ex vltima parte penultimæ ter- tij Eucli. n. c. et. s. c. æquales inuicem e$$e, & $imiliter. b. s. et. b. u. vnde ex communi conceptu dicta latera maiora erunt ip$o. b. c. per. a. u. et. a. n. quæ duæ partes $unt inuicem æquales di- cta ratione, & quadratum lineæ æqualis aggregato earum, e$$et qua druplum quadrato cuiu$uis earum ex. 4. $ecundi, $ed ex penultima ter tij, productum. a. e. in. a. i. æquale e$t quadrato ip$ius. a. u. vel ip$ius. a. n.

IO. BAPT. BENED.

Verum e$t igitur quod. a. b. cum. a. c. longiores $int ip$a. b. c. per latus terrago. nicum quadrupli eius quod fit. ex. a. e. in. a. i. quod fuit propo$itum.

Illud etiam non e$t $pernendum, quod quotie$cunque data fuerint omnia latera alicuius trianguli, illicò po$$umus cogno$cere puncta. u. n. s. contingentiæ circuli in $cripti, ope vltimæ partis penultimæ tertij, eo quod ex illa iam $cimus, quod de- trahendo. b. c. ex aggregato aliorum duorum laterum, remanebit. u. a. et. a. n. qua- rum vnaqu{ae}que nota erit, cum illarum quælibet, medietas $it re$idui cogniti, detra hendo po$tea vnam illarũ ab altero duorum laterum. a. b. vel. a. c. rema nebit. u. b. vel. c. n. {ae}qualis. b. s. vel. c. s. vnde $imiliter nobis innote$cet punctum. s. cum duobus punctis. u. ct. n. à quibus duobus punctis, $i du{ae} perpendiculares ad talia latera ductæ fuerint, vbi hæe perpendicu lares $einuicem $ecabunt, ibi cen- trũ circuli in$criptibilis erit in trian gulo propo$ito.

Inter alia, quæ tibi dixi de Iride, quod memoria non tenes, nihil aliud e$t ni$i quod cum Iris videtur, non eodem loco ab omnibus videtur, quia reflexio e$t, & vt reflexio luminis à $peculo non omnibus ab eodem puncto fit, ita etiam tibi dixi de Iride.

De In$trumento oxygonio, $eu elliptico. AD EVNDEM.

QVod aliquando à me audiui$ti fal$um non e$t, $cilicet po$$ibile e$$e (vt $peculatus $um) particulare in$trumentum fabricari ad de$ignandum oxy- goniam, $eu ellipticam $ectionem, quæ à Pergeo defectio appellatur, quod quidem in$trumentum valde diuer$um e$t ab alijs, qu{ae} aliàs inueni, pro ip$is conicis $ectio nibus delineandis. Occa$ionem aũt huiu$imodi in$trumenti inueniendi mihi præ buit $ecũda dubij $olutio quã feci ann. 1568. graui$$. philo$opho Franci$co Vimer cato, nã cũ viderim in ea figura. f. a. $emper æqual\-e e$$e. o. i. $uæ parallelæ $cilicet, vnde cum recta linea fuerit protracta per. o. et. f. ip$a foret $emper {ae}quidi$tãs. d. p. ex 33. primi Eucli. Venit mihi in mentem modus con$truendi hoc $ub$criptum in$tru- mentum, tali ordine, videlicet, coniung\-edo $eptem hic $ubnotatas lineas materia- les. z. r: u. n: e. h: e. c: c. l: l. s. et. s. e. $imul, hoc modo, $cilicet $abricãdo quadrila- terum æquilaterum. c. e. s. l. hac conditione, quod immobili exi$tente puncto. c. in li nea. z. r. reliqua omnia mobilia exi$tant, hoc e$t quod punctũ. s. moueatur per di- ctam lineam. z. r. & immobili exi$tente puncto. e. vt extremum lineæ. e. h. hoc e$t coniuncto extremo. e. lineæ. e. h. cum angulo. c. e. s. reliqua puncta lineæ ip$ius. e. h. moueantur per. l. & per duas parallelas. u. n. et. z. r. longitudo vero. e. h. $it compo- $ita ex duplo vnius lateris ip$ius quadrilateris. Oportet deinde quod punctum. f. $emper vnum, & idem $it ip$ius parallelæ. u. n. moueatur tamen per. e. h. quod qui- dem punctum illud erit, quod vnam portion\-e circunferentiæ oxygoniæ $ectonis EPISTOL AE. de$ignabit, puncta verò. o. et. K. vt puncta laterum. c. e. et. s. e. æquædi$tantia à punctis. c. et. s. ead\-e $emper $int, ita tamen vt puncta lineæ. u. n. $emper diuer$a exi $tãt, & quodlibet ip$ius quadrilateri latus, æquale $it medietati maioris axis ip$ius oxygoniæ $ectionis delineandæ, et. c. o. $eu.s. K. (quod idem e$t) $it æqualis medie tati axis minoris dictæ $ectionis, et. z. r. æqualis duplo. e. h. vnde, quando puncta. e. et. l. coniuncta $imul erunt, $imiliter coniunctæ $imul erunt. c. e. et. e. s. cum. c. l. et. l. s. IO. BAPT. BENED. Quapropter puncta. e. l. f. et. p. extremum axis maioris, in eodem met loco erunt, hoc e$t in aliquo extremorum maioris axis, & cum punct is. s. coniunct is fuerit cum centro. c. punctus. f. parallel{ae}. u. p. in extremo axis minoris erit, & in eodem loco erit cum. o. & cum. K. In extremitatibus verò lineæ. z. r. nece$$e e$t, vt $int duo pũcta fer rea, ad firmandum ip$am. z. r. $uper $ubiectam lineam $ignificantem maiorem axem propo$it{ae} $ectionis.

EPISTOL AE.

Volo etiam quod ad partem. c. l. s. quadrilateri con$tituta $it alia parallela ad. z. r. & in æquali di$tantia ab ip$a quemadmodum. u. n. di$tat ad eademmet. z. r. ad ean dem operationem faciendam. Vnde in vno tantummodo itinere puncti. s. ab. r. v$q; ad. c. de$ignabimus quartam partem $ectionis, conuer$o po$tea in$trumento, hoc e$t po$ito puncto. r. vbi prius erat. z. et. z. vbi erat. r. aliam delineabimus quartam, & $ic ad oppo$itam partem ip$ius. z. r. faciendum erit. Hoc in$trumentum po$$umus etiam ita con$truere, vt puncta. o. et. K. po$$int collocari in laterihus. c. e. et. e. s. vbi no bis magis libuerit, ita vt licebit in qualibet proportione axiũ propo$ita, oxygoniam de$ignare. Nam. c. o. erit longitudo dimidij axis minoris, et. c. e. dimidij maioris.

DE CONSTITVTIONE TRIANGVLI orthogonij conditionati. Domino Ludouico de Rocchaforte.

QVOD à me po$tulas, non e$t admodum difficile, cupis enim triangulum orthogonium, exempli gratia. o. i. e. in figura. A. ita con$tituere, vt di- ui$um $it à perpendiculari. a. i. & quod proportio. o. e. ad. o. i. $it vt. o. i. ad i. e. & quod quadrati. o. i. ad quadratum. o. a. $it vt. e. i. ad. e. a. & quadra tum. o. i. ad quadratum. e. i. $it. ut. o. a. ad. e. a. Quæ omnia in promptu veniunt, quo tie$cunque. o. e. fuerit diameter alicuius circuli, diui$a\’q; in puncto. a. $ecundum pro portionem habentem medium duo\’q; extrema, protracta deinde perpendiculari. a. i. ad o. e. u$que ad circunferentiam, coniunctæ\’q;. o. i. et. i. e: tale triangulum, omnia $upradicta in $e continebit.

Nam ex. 30. tertij angulus. i. rectus erit, & ex. 8. $exti. o. i. erit media proportio- nalis inter. o. e. et. o. a. et. e. i. inter. o. e. et. a. e. $ed quia ex diui$ione facta in pũ cto. a. etiam. o. a. erit media proportio- nalis inter totum & re$iduum, ideo ex. 11. quinti ita erit. o. e. ad. e. i. vt. o. e. ad. o. a. vnde ex. 9. eiu$dem. a. o. erit æqua- lis. e. i. & ideo. o. i. erit media proportio nalis inter. o. e. et. e. i. Sed quia propor- tio. e. i. ad. a. e. ead\-e e$t, qu{ae} ip$ius. o. e. ad o. a. tunc videbis ex. 18. $exti, quod pro portio quadrati. o. i. ad quadratum. o. a. erit vt. e. i. ad. e. a. cum vero duo trian- guli. o. i. a. et. a. i. e. $int inuicem $imiles ex $upradicta. 8. $exti, tunc videbis ex 18. et. 17. eiu$dem dictos triãgulos ean dem habere inter $e proportionem, qu{ae} e$t inrer quadrata ip$ius. o. i. et. i. e. vnde ex prima $exti ita $e inuicem habebunt. a. o. et. a. e.

Circa eam verò difficultatem quam habes I O. BAPT. BENED. habes in circulo. ω vbi fateris te non videre qua ratione eadem proportio $it qua- drati. u. o. ad quadratum. o. n. vt lineæ. o. a. ad lineam. o. e. partes diametri. o. i. ip$ius circuli, terminatæ à perpendicularibus. u. a. et. n.e.

Hoc nece$$ario contingit, propterea quod cum fuerint protractæ. u.i. et. n. i. tũc habebimus ad partem. o. u. i. triangulum. o. u. i. diui$um in duo triangula $imilia ip$i totali triangulo. Idem etiam dico ad partem. o. n. i. vnde ex tali $imilitudine habe- bimus. o. u. mediam proportionalem inter. o. i. et. o. a. et $ic. o. n. erit media proportio nalis inter. o. i. et. o. e. quare ex. 16. $exti, quadratum. o. u. æquale erit producto ip$ius o. i. in. o. a. & quadratum. o. n. æquale producto. o. i. in. o. e. $ed ex prima eiu$dem, ea dem proportio e$t ip$ius. o. a. ad. o. e. quæ producti ip$ius. o. i. in o. a. ad productum. o. i. in. o. e. quare, ex cõmuni conceptu, ita erit quadrati. o. u. ad quadratúm. o. n. Et h{ae}c e$t alia circuli pa$$io.

Reliqua verò difficultas quam te habere $cribis, e$t, quare cum duæ line{ae} a. u. et. b. s. i. $int inuicem {ae}quales, diui$æ verò non æquali modo, $ed tali, quod. a. maior $it quam. u. et. b. s. maior quam. i. quomodo pote$t fieri, quod $i. u. maior fue- rit. i. proportio. a. ad. i. maior $it quam ip$ius. b. s. ad. u.

Hoc etiam ex nece$$itate cuenit, eo quod $i accepta fuerit. t. n. æqualis. u. ab ip$a\’q; ab$ci$a fuerit. t. æqualis. i. & ab. b. s. ab$ci$a. s. æqualis. n. habebimus. a. et b. inuicem æ quales, vnde habebis ma- iorem propor tionem ip$ius. b. ad. t. quã s. ad. n. quod cum clarum per $e $it, tibi relinquo. $ed ex. 27. quinti, proportio b. ad. s, maior erit quam. t. ad. n. & ex 28. eiu$d\-e {pro}portio. b. s. ad. s. maior erit, quam. t. n. ad. n. & ex. 27. maior propor tio erit ip$ius. b. s. ad. n. t. quam. s. ad. n. ergo ex. 33. maior erit ip$ius. b. ad. t. quã b. s. ad. n. t. hoc e$t maior ip$ius. a. ad i. quam. b. s. ad. u. quod e$t propo- $itum.

Id verò de quo me interrogas n\-epe de di$tinctione orbium c{ae}le$tium, ortum habet à communi opinione motuum fixarum. Nam cum putauerint philo- $ophi ip$as moueri, $emper eandem $eruãdo inuicem di$tantiam, non $ine ratione crediderunt eas fixas e$$e eodem in orbe, idem etiam po$tea de planetis opinaue- runt. Hoc e$t, vnumquemque, aliquo in orbe, fixo exi$tere.

EPISTOL AE. DE MODO DIVIDENDI PARABOLAM propo$itam $ecundum datam proportionem. Pamphilo Gothfrid.

QVOD à me quæris, e$t quidem po$$ibile, non tamen adhuc inuentum, quo niam nemo ad hũc v$que diem diui$it vnam datam proportionem in tres æquales partes, $ed $i hoc pro facto conce$$eris, nunc tibi morem geram. Nam proponis n.ihi parabolem. x. b. e. cum proportione. p. ad. q. cupi$\’q; $cire modum diuidendi ip$am parabolem vna mediante linea parallela ip$i ba$i, ita vt eandem habeat proportionem tota parabola ad partem ab$ci$$am, quæ e$t inter. p. et. q. Ad quod faciendum, $upponendum primò datam proportionem inter. p. et. q. diui$am e$$e in tres partes æquales, duabus lineis mediantibus. n. et. u. quæ me diæ proportionales vocabuntur inter. p. et. q. deinde à quouis puncto circunferenti{ae} ip$ius figuræ ducatur parallela ba$i. x. e. po$tea verò per puncta media harum dua- rum æquidi$tantiũ protrahatur. g. b. quæ diameter erit $ectionis, ex 28. $ecundi Per- gei, diuidatur deinde hæc diameter in puncto. a. ita quod eadem proportio $it ip$ius b. g. ad. b. a. quæ ip$ius. p. ad. u. quod tibi facile erit, $ecando à linea. p. partem. i. æqua lem ip$i. u. tali modo po$tea diuidendo. b. g. ex. 12. $exti, ducatur a puncto. a. ip$a. d. h. parallclam ip$i. x. e. & habebitur propo$itum.

Pro cuius reiratione, $cies primum quod. h. d. diui$a erit à diametro. b. g. per æqua lia ex. 7. primi Pergei, vel $i cogitabimus aliquam lineam tangentem ip$am parabo lam in puncto. b. tunc ex quinta $ecundi ip$ius Pergei habebimus ip$am e$$e paralle- lam. e. x. & ex. 30. primi Eucli. erit $imiliter æquidi$tans. d. h. vnde ex. 46. primi eiu$- dem Pergei. h. a. æqualis erit. d. a. Protrahatur deinde. e. b: d b: x. b. et. h. b. vnde ex. 17 lib. de quadratura parabolæ Archimedis, habebimus eandem proportionem $uper ficiei totalis parabolæ. x. b. e. ad trigonum. x. b. e. quæ portionis. h. b. d. ad $uum tri- gonũ, eo quod tã vna quàm alia erit $e$quitertia, ei<_>9 etiã medietates $ic $e habebũt.

Vnde permutando, proportio medietatis totalis parabol{ae} ad medietatem partia lem ip$ius, æqualis erit proportioni trianguli g. b. e. ad triangulum. a. b. d. $ed ex. 20. primi Pergei, eadem e$t proportio quadrati ip$ius. g. e. ad quadratum ip$ius. a. d. quæ. b. g. ad. b. a. hoc e$t, vt. g. e. ad. a. o. ex $imilitudine triangu- lorum, & quia. b. g. ad. b. a. e$t $icut. p. ad. u. ita igitur erit quadrati ip$ius. g. e. ad quadratum ip$eus. a. d. quare. g. e. ad. a. d. erit ut p. ad. n. ex. 18. $exti Euclid. $ed cum ex. 24. eiu$dem proportio trianguli. b. g. e. ad triangulum. b. a. d. compo$ita $it ex proportione. g. e. ad. a. d. er. ex. g. b. ad. b. a. hoc e$t. g. e. ad. a. o. & quia {pro}portio. g. e. ad. a. o. æqualis e$t ei quæ. p. ad. u ex. 11. quinti Euclid. & proportio. g. e. ad. a. d. æqualis e$t ei quæ. p. ad. n. hoc e$t vt. u. ad. q. ergo proportio trianguli. b. g. e. ad trian- gulum. b. a. d. compo$ita erit ex ca qu{ae}. p. ad. u. & ex ea quæ. u. ad. q. æqualis ergo erit ei, quæ p. ad. q. & ita medietates parabolarum, & eorum dupla.

10. BABPT. BENED. COROLLARIVM.

Proportio maioris portionis ad minorem $emper erit $e$quialtera proportioni ip$ius. b. g. ad. a. b. eo quod cum $it proportio totalis portionis ad partialem vt trian- guli. b. g. e. ad. b. a. d. & hæc $e$quialtera proportioni ip$ius. g. e. ad. a. o. hoc e$t vt ip- $ius. b. g. ad. b. a. ideo proportio ip$arum portionum erit $imiliter $e$quialtera pro- portioni diametrorum.

Deinde $i protractæ fuerint. b. d. et. g. e. quou$que conueniant in puncto. z. habe bis inter. g. z. et. a. o. duas. g. e. et. a. d. medias proportionales in proportionalitate con tinua, eo quod cum (ex ijs quæ $upra diximus.). a. d. media proportionalis $it inter. g. e. et. a. o. & proportio. g. z. ad. g. e. vt ip$ius. a. d. ad. a. o. eo quodip$ius. g. z. ad. a. d. & ip$ius. g. e. ad. a. o. e$t vt ip$ius. b. g. ad. b. a. ex $imilitudine triangulorum, ideo di- ctæ {pro}portiones erunt inuic\-e æquales. Vnde permutatim ita erit ip$ius. g. z. ad. g. e. vt ip$ius. a. d. ad. a. o. & ut ip$ius. g. e. ad. a. d.

Amplius etiam dico, quod proportio pa rabolæ totalis ad partialem, eadem e$t, qu{ae} cubi ip$ius. g. e. ad cubum ip$ius. a. d. & ex cõ $equenti, vt cuborum earundem ba$ium, eo quod cum $it, ex. 36. vndecimi Euclid. pro- portio cubi ip$ius. g. e. ad cubum ip$ius. a. d. tripla ei quæ ip$ius. g. e. ad. a. d. ideo æqualis erit ei qu{ae} trianguli. b. g. e. ad triangulum. b. a. d. cum proportio horum duorum triangu lorum compo$ita $it (vt $upra vidimus) ex ea quæ. g. e. ad. a. o. & ex ea quæ. g. e. ad. a. d. & hæc medietas illius, $ed trianguli ita $e in uicem habenr, vt parabol{ae}, quare ip$æ para- bolæ $einuicem habebunt, vt cubi ip$arum ba$ium.

Cubum fabricare æqualem pyramidi propo$itæ. AD EVNDEM.

CVbum fabricare æqualem propo$itæ pyramidi quadrilateræ, nullius erit diffi- cultatis, $uppo$ita tamen pro reperta diui$ione cuiu$uis datæ proportionis in tres partes æquales. Nam ex. 6. duodecimi Eucli. patet omne corpus $erratile d-ui $ibile e$$e in tres pyramides quadrilateras æquales, $cimus etiam quod cuilibet py- ramidi quadrilateræ pote$t reperiri $uum $erratile. Sit igitur propo$ita pyramis qua drilatera. m. g. f. h. cuius $erratile ita inueniemus, ducendo primum. h. i. parallelam ip$i. g. f. et. f. i. ip$i. g. h. in $uperficie trianguli. f. g. h. et. m. K. ip$i. g. h. in $uperficie trianguli. m. g. h. & æqualem dictæ. g. h. ducetur po$tea. K. h. et. K. i. & habebimus cor pus. f. K. g. $erratile, & triplum pyramidi propo$itæ. Nunc duplicemus ip$um, du- cendo. K. x. in $uperficie trianguli. i. k. h. parallelam, æqualem\’q; ip$i. i. h. et. m. y. in $uperficie trianguli. f. m. g. parallelam, {ae}qualem\’q; ip$i. f. g. ducatur po$tea. g. y. et. h. x. quarum vnaquæq; æqualis erit ip$i. f. m. vnde habebimus corpus. f. x. parallelepe- pidum, & $excuplum ip$i pyramidi propo$itæ.

EPISTOL AE.

Inueniatur nunc quadratum. u. n. æquale $extæ parti $uperficiei. f. i. g. h. quod per $e facile erit, deinde accipiatur altitudo corporis. f. x. ducendo vnam perpendicula rem à puncto. m. ad ba$im. f. g. h. qu{ae} $it. n. e. qua mediante, cum quadrato. u. n. fabri cetur $olidum parallelepepidum. u. e. quod erit æquale dictæ pyramidi ex. 33. vnde- cimi Euclid.

Repertæ nunc $int duæ mediæ proportionales. r. s. inter. n. e. et. n. p. quarum. s. $it proximior ip$i. u. p. ex qua. s. $i con$titutus fuerit cubus, habebimus propo$itum.

Pro cuius rei ratione, cogitemus corpus. u. e. productum e$$e v$que ad. a. o. per lon- gitudem. s. latus dicti cubi, qui quidem cubus $it. d. b. vnde proportio corporis. u. e. ad corpus. e. o. erit, vt $uperficiei. p. e. ad $uperficiem. t. e. ex. 33. undecimi, ip$æ verò $uperficies $ibi inuicem erunt vt. n. e. ad. e. a. ex prima $exti, quare proportio corpo ris. u. e. ad corpus. e. o. dupla erit proportioni ip$ius. s. ad. n. p. $ed cum ex. 33 vndeci- mi, proportio cubi. d. b. ad corpus. e. o. $it vt quadratũ. q. b. ad quadratum. o. a. & cum proportio. q. b. ad. o. a. dupla $it ei quæ. q. o. ad. o. t. ex. 18. $exti, erit igitur proportio cubi. d. b. ad corpus. e. o. dupla ei quæ. q. o. ad. o. t. hoc e$t ei quæ. s. ad. n. p. $ed ita erat corporis. u. e. ad corpus. e. o. quare ex. 9. quinti, cubus. d. b. æqualis erit corpori. u. e. hoc e$t pyramidi propo$itæ.

Sed $i oportebit cubum maiorem vel minorem ip$a pyramide reperire, in qua proportione tibi placuerit, tunc opus erit aliud quadratum inuenire, quod in ea proportione $e habeat ad quadratum. u. n. quam volueris, quo mediante $imul cum altitudine pyramidis con$equemur propo$itum.

Aduertendum tamen quod fabri- care ip$um corpus $erratile. k. f. h. & $o lidum. f. x. nece$$arium non e$t, ni$i pro demon$tratione. idem\’q; dico de alijs $olidis, nam pro $implici operatione huiu$modi problematis, ab$que ali- qua re nece$$aria ad $peculandum, ita faciendum erit.

Data pyramide. m. f. g. h. accipe ei<_>9 alitudinem à pũcto. m. v$que ad $uper ficiem ba$is. f. g. h. quæ $it. n. e. accipe deinde latus letragonicum quadrati. u. n. æqualis tertiæ partis ip$ius ba$is. f. g. h. quod latus $it. n. p. inter quod, et. n. e. inuentæ cum fuerint duæ lineæ mediæ proportiona es. s. et. r. quarũ. s. proximior $it. n. p. quæ quid\-e. s. erit latus cubi quæ$iti.

10. BAPT. BENED. Duplex modus par allelam orizontalem alicui muro propo$ito una tantummodo statione ducendi. AD EVNDEM.

DVcere parallelam orizontalem alicui muro recto propo$ito vna tantummodò $tatione, non $olum po$$ibile e$t $ed etiam facile.

Sit exempli gratia murus rectus. a. d. $itus verò. o. n. Si cupimus ducere. n. u. parallelam dicto muro, accipiatur quadratum geometricum, $eu $cala altimetra vel aliquod $imile in$trumentum, quo mediante à $itu. o. videbimus punctum. q. quod volueris ip$ius muri, dexterã ver$us, inferius tamen. ip$o. o. vnde formatum habebimus triangulum. n. o. q. Quo facto ad partem $ini$trã cum eodem angulo. n. o. q. oporte- bit nos inuenire punctum aliquod. p. in dicta $uperficie muri, & tunc habebimus angulum. n. o. p. æqua- lem angulo. n. o. q. vnde angulus. q. n. p. nobis cognitus erit, duo\’q; late ra. n. q. et. n. p. erunt inuicem æqua- lia, ex. 26. primi Euclid. cum angu- li. q. o. n. et. q. n. o. $int æquales angu lis. p. o. n et. p. n. o. & latus. o. n. com mune, vnde angulus. q n. g. extrin$e cus trianguli. p. q. n. re$iduus\’q; ex duobus rectis nobis cognitus erit, etiam & eius medictas. q. n. u. æqua lis angulo. p. q. n. eo quod ex. 5. pri- mi, anguli. q. p. $unt inuicem æquales, & ex. 32. eiu$dem, æquales $unt extrin$eco. q. n. g. & ex 27. n. u. erit parallela ip$i. q. p.

Aliter etiam po$$umus idem efficere, $umendo duo illa puncta in $uprem a linea orizontali ip$ius muri ad $uperiorem partem a$piciendo, quemadmodum ad infe- riorem, quod vnum & idem erit, dummodò non a$piciamus orizontaliter, eo quod nos oportet $uperficiem conicam producere, linea vi$uali mediante. cogno$cere au tem angulum. q. n. p. facile erit, con$tituendo primò in$trumentum in $itu trianguli. o. n. q. a$piciendo\’q; punctum. c. in $uperficie. n. q. o. & $ic in alia parte, exi$tente in- $trumento in $itu trianguli. o. p. n. a$picere oportet punctum. e. proximum puncto. n. vbi po$$it metiri angulum. c. n. e.

Sed $i $itus puncti. n. talis e$$et, vt ab eo non po$$et aliquis murum videre ad re- ctos angulos, a$piceremus punctum. q. $ub orizontali ab oculis no$tris, in orizontali tamen puncti. n. ita quod angulus. o. n. q. rectus exi$tat, quo facto ob$eruando angu- lum. n. o. q. eo mediante, mediante\’que. n. o. cum angulo. o. n. q. cogno$cemus quantitatem di$tantiæ. n. q. idem etiam faciendum e$t cum alio puncto. p. quod volueris, & mediantibus duobus punctis inuicem proximis. c. e. cogno$catur an- EPISTOL AE. gulus. p. n. q. vnde ex methodo. 56. primi triangulorum Monteregij, cogno$cemus reliqua trianguli. q. p. n. Con$tituendo po$tea angu- lum. q. n. u. æqualem angulo. n. q. p. propo$itum habebimus.

Si etiam puncta. q. p. lineæ. q. p. orizontali in eodem plano non exi $terent cum puncto. n. nihil refer- ret, dummodo in pauimento not\-e tur pũcta. c. e. proxima. n. in ij$dem $uperficiebus triangulorum. n. o. p. et. n. o. q. vnde. n. c. et. n. e. erunt cõ- munes $ectiones dictarum $uperficierum cum $uperficie pauimenti $upra quam fit $tatio.

CONI RECTI DIVISIO A PLANO parallelo ba$i $ecundum datam proportionem. Rapbaeli de Auria.

QVOTIESCVNQVE volueris conum rectum diuidere à plano parallelo ba- $i $ecundum vnam datam proportionem, nullius tibi erit difficultatis, con ce$$a tam\-e pro inuenta diui$ione cuiu$uis propo$it{ae} proportionis per tres æquales partes.

Sit exempli gratia conus rectus. a. b. c. $ecandus vt dictum e$t, accipiatur latus ip$ius, quod $it. a. c. ip$um\’q; diuidatur in puncto. d. $ecundum illam proportionem quam de$ideras, hoc e$t ip$ius. a. c. ad. a. d. quo facto, inter totum. a. c. et. a. d. inuenian tur duæ lineæ proportionales, quarum maior $it. a. i. tunc $i conus. a. b. c. $ectus fue- rit à plano per punctum. i. parallelo ba$i, habebimus quod quærebamus.

Cuius rei ratio, primò e$t, quia quotie$cunque conus aliquis $ectus fuerit ab ali- quo plano parallelo ba$i ip$ius, pars $uperior $imilis $emper erit totali cono, quod ita probo, cogitemus conum $ectum e$$e à plano per axem. a. l. vnde ex. 3. primi Pergei, talis $ectio triangularis erit, quæ $it. a. b. c. et. b. c. diameter erit ba$is.

Imaginemur deinde. K. i. communem e$$e $ectionem huiu$modi trianguli cum plano parallelo ip$i ba$i, tunc tale planũ, circulare erit ex. 4. primi ip$ius Pergei. K. i. verò, eius diameter erit, et. a. m. $u<_>9 axis.

Cum verò. a. l. $it perpendicularis ip$i ba$i conitotalis, eo quod rectus $upponi- tur, ideo eadem. a. m. l. erit perpendicula ris eriam ip$i $ecundo plano circulari, ex conuer$a. 14. vndecimi Euclid. vnde ex 10. BAPT. BENED. $ecunda definitione eiu$dem libr. a. m. l. efficiet angulos rectos cum duabus. b. c. et. K. i. in punctis. m. et. l. et. k. i. parallela erit ip$i. b. c. ex. 28. primi, quod etiam pote$t con cludi mediante. 16. vndecimi, cum. k. i. et. b. c. $int communes $ectiones duorum pla norum cum triangulari. Deinde ex. 29. primi anguli. a. i. m. et. a. c. l. erunt inuicem æquales, idem etiam dico de angulis. a. k. i. et. a. b. c. anguli po$tea ad. a. communes $unt triangulis. l. a. c. et. m. a. i. vt triangulis. l. a. b. et. m. a. k. Vnde ex. 4. $exti, eadem proportio erit ip$ius. m. i. ad. l. c. & ip$ius. m. k. ad. l. b. vt ip$ius. a. m. ad. a. l. Quare ex vndecima quinti, ita erit ip$ius. m. k. ad. l. b. vt ip$ius. m. i. ad. l. c. & ex. 13. eiu$dem, ita erit ip$ius. k. i. ad. b. c. vt. m. i. ad. l. c. $ed ip$ius. m. i. ad. l. c. e$t vt ip$ius. a. m. ad. a. l. quod iam dictum e$t, vnde ex. 11. dicta, ita erit ip$ius. k. i. ad. b. c. vt ip$ius. a. m. ad. a. l. & ex 16. dicti ita erit ip$ius. a. m. ad. k. i. vt ip$ius. a. l. ad. b. c. Quare ex definitione ab Eu- cli. po$ita in. 11, lib. pars coni $uperior $imilis erit cono totali.

Deinde $ciendum e$t illud quod Euclid. $cribit in. 10. duodecimi lib. hoc e$t, {quis} proportio duarum pyramidum inuicem $imilium, triplicata e$t ei diametrorum $uarum ba$ium, hoc e$t, quod proportio. b. c. ad. k. i. tertia pars erit proportionis to tius pyramidis. a. b. c. partiali pyramidi. a. k. i. $ed ita e$t ip$ius. a. c. ad. a. i. vt ip$ius. b. c. ad. k. i. ex. 4. $exti cum trianguli. a. b. c. et. a. k. i. $int æquianguli, quod ex ijs, qu{ae} $uperius diximus facile compr{ae}henditur. Quare {pro}portio. a. c. ad. a. i. tertia pars erit proportionis totius coni. a. b. c. ad eius par tem ab$ci$$am. a. k. i. $ed eadem proportio ip$ius. a. c. ad. a. i. erat etiam tertia pars pro portionis ip$ius. a. c. ad. a. d. Quare ex com muni conceptu, proportio totius pyramidis, ad partem ab$ci$$am, æqualis erit pro- portioni ip$ius. a. c. ad. a. d.

De differentia caloris Solis propter vaporum altitudinem. AD EVNDEM.

NOlo, mihi credas, $ed ex rationibus, quas tibi $cribo con$idera, quod quo tie$cunq; cra$$ities vel d\-e$itas vaporũ, $eu altitudo, maior e$$et ea, qu{ae} nunc re- peritur, tunc minor differentia e$$et inter maiorem minorem\’q; calorem Solis, quam nunc $entiamus. Pro cuius rei euidentia, imaginemur in hac $ub$cripta figura, li- neam. o. a. pro $emidiametro terræ, et. a. c. pro cra$$itie vaporum, vt nunc $e habet, et. a. d. pro maiori cra$$itie, imaginemur\’que lineam. a. b. qua$i perpen- dicularem ad. o. a. quæ ab$ci$$a $it in puncto u. à circunferentia. c. u. inferiori prio- rum vaporum.

Tunc dico minorem e$$e proportionem ip$ius. a. b. ad. a. d. quam ip$ius. a. u. ad. a. c. cogitemus ergo protractas e$$e lineas. o. b: d. b: c. u. et. c. n. quæ. c. n. $ecabit. a. u. in EPISTOL AE. puncto. i. ex communi conceptu, & parallcla erit ip$i. d. b. ex. $ecunda par- te $ecundæ $exti, vnde ex prima parte ciu$dem, ita eritip$ius. b. i. ad. i. a. vt. d. c. ad. c. a. & coniunctim ita erit ip$ius. b. a. ad. a. i. vt ip$ius. d. a. ad. a. c. & permu tatim ip$ius. a. b. ad. a. d. erit, vt. a. i. ad. a. c. $ed cum. a. u. maior $it ip$a. a. i. vt omne totum maius e$t $ua parte. maior proportio erit ip$ius. a. u. ad. a. c. quam ip$ius. a. i. ad. a. c. hoc e$t quam ip$ius. a. b. ad. a. d. Verum igitur e$t propo$itum.

De differentia caloris Solis re$pectu altitudinis ip$ius. AD EVNDEM.

QVodà me po$tulas deinde, ita $e habet. Inquis enim, quod cum differentia inter maiorem, minorem\’q; calorem, oriatur etiam ex differentia maioris quantitatis vaporum ad minorem, per quam quantitatem vaporum rran$it lumen Solis (vt alias etiam tibi dixi) velles nunc $cire quantitatem ip$ius differenti{ae}, quæ inter duas Solis datas altitudines $upra orizontem reperitur.

Quapropter imaginemur circulum. a. e. pro magno terræ, et. z. b. d. pro magno vaporum, $upponatur etiam quod angulus. z. o. d. vel. z. a. b. qui $unt inuicem fe- rè æquales, $it angulus di$tantiæ Solis à zenit, z. a. verò $it $pi$$itudo vaporum, et. a. b. radius tran$iens per vapores dictos. nunc quæratur proportio, quæ e$t inter. a. b. et. a. z. qua inuenta, angulo. z. a. b. mediante, quæremus eandem mediante angulo. z. a. b. maiore priori, velip$o minore, vnde cogno $cemus differentiam duarum. a. b. quæ qui- dem inæquales inuicem erunt, eo quod $up ponatur. a. z. immutabilis, & hoc ita facie- mus. Imaginabimur. o. b. quæ claudat trian gulum. a. b. o. & quia. a. z. cognita e$t quam Alhazem docetinuenire, cogno$cimus etiã o. a. vt $emidiametrum terræ, vnde. o. b. et. o. a. duo latera trianguli. a. o. b. cognita erũt $imul cum angulo. o. a. b. re$iduo duorum re ctorum, eo quod reliquus. z. a. b. datus e$t. Quare. a. b. cognita erit re$pectu. o. a. et. o. b. et. a. z. quæ e$t eorum differentia. Nunc $i idem faciemus cum alia. a. b. $ub diuer$o angulo, habebimus propo$itum.

IO. BAPT. BENED. NOTABILES ERRORES ORONTII & Tartaleæ. Cornelio Bitonto.

PARVVS error non fuit, vt putabat Orontius, quodanguli triangulorum æquicrurium inuicem æqualium, ba$ibus oppo$iti, ij$dem ba$ibus propor tionales e$$ent, cuius opinionis cau$a fuit quod nunquam viderit vel me minerit eius quod Ptolomeus $crip$it lib. primo Almage$ti, vbi de di$pro portionalitate chordarum arcuum\’q; tractat, vel quod $cribit Vitellio lib. primo pro po$itione. 35. $eu lib. quarto, propo$itione. 21. quod idem e$t. Sed nec ego tibi pro ponam id quod $cribit Nicolaus Tartalea diui$ioni. 28. quinti capitis quartæ partis $uorum tractatuum, eo quod non exactè $cientificè $crip$erit, nec vniuer$aliter, quã- uis talis propo$itio po$$it $cientificè $cribi, accipiendo. b. c. in eius figura, pro latere octagoni, vnde angulus. a. e. b. duplum foret angulo. b. e. c. collocato po$tea. b. c. in arcu. a. b. punctum. c. medium fui$$et dicti arcus, et. e. c. diuideret. a. b. per æqualia, ex quinta primi, nec non ad rectos ex. 3. tertij, vnde ex. 18. primi, clare vidi$$emus non e$$e proportionem. a. b. ad. b. c. vt anguli ad angulum. Sed vniuer$aliori modo po$$umus hoc $peculari. Nam manife$tè $cimus, eandem e$$e proportionem circun ferentiæ ad diametrum in omnibus circulis tam maioribus, quam minoribus. Sint igitur duo anguli. a. e. b. et. c. e. b. cuiu$uis amplitudinis, quorum latera. e. a: e. b: et. e. c. $int inuicem æqualia, protrahatur. b. a. et. b. c. Tunc dico maiorem proportio nem e$$e anguli. a. e. b. ad angulum. b. e. c. quam. a. b. ad. c. b. ducatur enim. b. g. ita {quis} faciat angulum. g. b. c. æqualem angulo. e. b. a. protracta po$tea. c. g. quæ idem faciat in puncto. c. vnde. g. b. et. g. c. æquales inuicem erunt ex. 6. primi, & quia angulus. a. æqualis e$t angulo e. b. a. ex quinta eiu$dem, ideo ex. 32. dicti, et. 4. $exti, horum duorum triangulorum latera, erunt inuicem proportionalia. Con$tituto deinde. g. centro, & $ecundum $emidiametrum. g. b. vel. g. c. quod idem e$t, de$cripto circu- lo. b. i. c. necnon circulo. b. c. a. circa centrum. e. ope $emidiametri. e. b. et. e. a. vn de i$te circulus eritillo maior, cum. e. b. maior $it. g. b. ex. 14. quinti. cum ex. 14. tertij a. b. longior $it. c. b. $ed ex vltima definitione tertij, arcus. b. i. c. et. b. c. a. erunt in- uicem $imiles, hoc e$t proportio totius cir- cunferentiæ circuli. b. i. c. ad arcus. b. i. c. ea- dem erit, quæ totius circunferentiæ circuli b. c. a. ad arcus. b. c. a. $ed proportio diame- tri ad circunferentiam e$t vt diametri ad cir cunferentiam, vt $upra diximus; Quare ex proportionum æqualitate, vt $emidiametri ad circunferentiam erit, vt $emidiametri ad circunferentiam, & per eandem propor tionum {ae}qualitatem, proportio. e. b. ad arcũ b. c. a. erit, vt. g. b. ad arcum. b. i. c. & per ean dem æqualitatem, ita erit. a. b. chordæ ad ar cum. b. c. a. vt. c. b. chordæ ad arcum. b. i. c. & permutando, ita erit chordæ. a. b. ad chor dam. c. b. vt arcus. b. c. a. ad arcum. b. i. c. $ed arcus. b. i. c. maior e$t arcu. b. d. c. ex commu EPISTOL AE. ni $cicntia. Quare maior proportio erit acus. b. c. a. ad arcum. b. d. c. quam ad arcum b. i. c. ex. 8. quinti. Vnde ex vltima $exti et. 12. quinti, proportio anguli. a. e. b. ad an- gulum. c. e. b. maior erit quam chordæ, $iue ba$is. a. b. ad chordam $iue ba$im. c. b.

DE CAVSA SVSPENSIONIS NVBIVM in aere contra Antonium Bergam. Clari{$s}imo Franci$co Venerio.

EGo enim non tantum miror ea quæ mihi $crip$i$ti de opinione Orten$ij quantum quod Antonius Berga putat nubes à Sole $upen$as teneri, id pla nè fal$um e$t, vera cau$a huiu$modi effectus, alia nulla e$t, ni$i earundem raritas hoc e$t, cum rariores $int ip$o aere $ubiecto, propterea $upra ipsũ natant & $tant $ub eo qui rarior ip$is e$t, eo quod corpora rariora po$ita in medio non tam raro, a$cendunt, & den$iora in medio minus den$o de$cendunt. Nam $i Sol ip$as nubes $u$pen$as in aere teneret, hoc interdiu tantummodo fieret, $ed no ctu, cur non de$cendunt v$que ad terram, & in eodem loco $emper manent? Scien- dum igitur e$t nubes a$cendere in altum quou$que inueniant aerem eiu$dem ra- ritatis cuius ip$æ $unt. Raritas enim & den$itas non $unt res vi$ibiles ni$i per acci- dens, quemadmodum etiam leuitas, & grauitas, opacitas verò & diaphaneitas ma gis compræhendũtur, opacitas enim ex reflexione radiorum lumino$orum, diapha neitas verò compræhenditur ex penetratione ip$orum radiorum, opacitas autem nu bis non e$t den$itas, cum valde diuer$a $it den$itas ab opacitate, $icut raritas ab dia- phaneitate, vt aliàs dixi. Et quando dicit, quod Sol calefaciendo aerem ip$am nu bem ambientem, rarefaciat eum magis quam ip$am nubem re$pondeo, hoc verum non e$$e, propterea quodradius Solis non multum calefacit ea corpora, quæ ip $i per mittunt liberum tran$itum. vnde corpora quanto magis diaphana $unt tanto minus ab ip$o radio lumino$o calefiunt, $ed ea quæ magis opaca $unt, magis etiam calefiunt & per con$equens magis rarefiunt, cum calidi $it per $e rarefacere, & non attrahere, vt ip$e & ferè omnes alij putant.

DE RATIONE EXTENSIONIS FVNIS cuiu$dam libramenti, & de quadam $imboleita- te circuli cum ellip$i. Angelo Ferrario Sereni{$s}imi Ducis Sabaudia Agrimen$ori experti{$s}imo.

TIBI in mentem veniet, quod cum $uperioribus diebus in villa lucenti, in qua degebat Sereni$$imus Dux no$ter, dum viridarium ad æquilibrium reducebas, e$$emus, à te quæ$iui an $cires vnde fieret, vt $tante libramen- to ad angulos rectos $upra $uum pedem, funis quæ extrema eiu$dem li- bramenti cum pede in formam trianguli æquicruris coniungit, magis di$tentus exi- $teret, quam cum dictum libramentum cum pede obliquum remanet, ita vt huiu$- IO. BAPT. BENED. modifunis cum libramento triangulum $calenum con$titueret.

Exempli gratia, ponamus lineam. d. b. c. e$$e libramentum. et. b. e. u. eius pedem, funem autem, qui aliquando cum libramento facit triangulum i$ocellum, & aliquan do $calenum, e$$e. d. e. c. e$to etiam quod in figura. A. dictus triangulus. d. e. c. $it i$o- cellus, & in figura. B. $calenus. Tunc quæ$iui à te an $cires rationem, quare funis. d. e. c. in figura. A. e$$et di$ten$us, & in figura. B. laxus quemadmodum vide- bamus. cum mihire$ponderis, ne$cio quid, quod nunc memoria nõ teneo, $ed quia pollicitus $um metibi eam afferre, propterea nunc ad te mitto. Scias ergo huiu$- modirationem nihil aliud e$$e ni$i quod in figura. A. duæ lineæ. c. e. et. d. e. $imul è directo iunctæ longiores $int illis, qu{ae} reperiuntur in figura. B. $ed quia funis tam in figura. B. quam in figura. A. vnus, & idem e$t, ideo in figura. B. laxatus e$t, & non in ten$us, ut in figura. A. Sed vt huiu$modi veritatis certam notitiam habeas, infra$cri ptum circulum mente concipe. f. e. i. cuius $emidiameter, æqualis $it. b. e. & diame- ter $it. f. i. in quo imaginare e$$e tuum libramentum. d. b. c. & figuras. A. et. B. & pr obabo lineas. d. e. c. figur{ae}. A. lon giores e$$e lineis. d. e. c. figuræ. B.

Imaginemur igitur lineam. b. e. e$$e dimidium minoris axis alicui<_>9 ellip$is cuius quidem figuræ ponamus. d. et. c. centra ip$ius circun$criptionis e$$e, cu ius circunfer\-etia, nullidubium e$t, quin extra propo$itum circulum tran$itura, & in vno tantummodo puncto ip$um circulum tactura $it, qui exi$tat. \-e. figuræ. A. $eparatum tamen à puncto e. figuræ. B. Tunc $i protracta fue- rit linea. d. e. figuræ. B. v$que ad gi rum ellipticum in puncto. g. à quo ad punctum. c. ducta etiam $it linea g. c. tunc manife$tũ erit duas lineas d. e. et. e. c. figuræ. A. $imul iunctas, æquales e$$e duabus. d. g. et. g. c. $i- mul po$itis, vt etiam ex. 52. tertij Pergei facilè videre e$t, $ed ex. 21. primi Euclid. iam certò $cimus. d. g. c. longiores e$$e. d. e. c. $iguræ. B. ergo. d. e. c. figu- ræ. A. longiores $unt. d. e. c. figuræ. B. quod e$t propo$itum.

Quod etiam mihinunc circa hoc $uccurrit, tibi libenter $ignifico, hoc e$t, quod $icut in ellip$i duæ lineæ. d. e. e. c. figuræ. A. $imul iunctæ, $unt $emper æquales duabus lineis. d. g. g. c. in longitudine, ita in circulo duæ. d. e. e. c. figuræ. A. æquales $unt in potentia duabus. d. e. e. c. figur{ae}. B.

Manife$tum enim primum e$t ex penultima primi in figura. A. quadratum. e. c. æquale e$$e duobus quadratis $cilicet. e. b. et. b. c. & quadratum. e. d. æquale duobus. e. b. et. b. d. Quare quadrata. e. c. et. e. d. æqualia $unt quadratis. e. b. figuræ. A. et. e. b. figur{ae}. B et. b. c. et. b. d. hoc e$t duplo quadrati. e. a. (ducta cum fuerit. e. a. perpen- dicularis ad. c. b. d. a.) duplo quadrati. a. b. ex penultima primi, & duplo quadrati. b. c. Sed quadrata. d. e. et. e. c. figur{ae}. B. æqualia $unt duplo quadrati. a. e. & quadrato a. d. EPISTOL AE. & qua drato. a. c. ex ead\-e. Nunc videndum e$t vtrũ duplũ quadrati. a. e. cũ duplo qua drati. b. a. cũ duplo quadrati. b. c. $it æquale duplo quadrati. a. e. cũ quadrato. a. d. & cum quadrato. a. c. Sed quia tam ex vna parte quàm ex alia habemus duplum qua- drati. a. e. Videndum igitur erit vtrum duplum quadrati. a. b. $imul cum duplo qua- drati. b. c. {ae}quale $it quadrato. a. c. cum quadrato. a. d. $ed hoc manife$tum e$t. ex. 10. $ecundi Euclidis, dato quod punctũ. a. $it inter. f. et. d. $ed $i fuerit inter. d. et. b. hoc manife$tum erit ex. 9. $ecundi dicti, nihilominus accipe hunc alium modum.

Sit hic $ub$criptum quadratum. D. ex. a. c. in $eip$a producta, cuius diameter $it a. n. protrahantur\’q parallel{ae}. d. h: b. K: l. m. o. et. r. q. s. ei\’q; addatur. c. p. ad. a. c. æqua- lis tamen. d. a. $it\’q; protracta. p. u. v$que ad. m. o. u. vnde habebimus. a. n. pro totali quadrato, et. p. s. pro partiali, & æquali quadrato lineæ. a. d. Videndum nunc e$t, vtrũ h{ae}c duo quadrata æqualia $int duobus quadratis lineæ. a. b. & duobus lineæ. b. c. Nã duo quadrata lineæ. b. c. $int. K. o. et. h. l. videndum nunc e$t utrum re$iduum {ae}quale $it duobus quadratis line{ae}. a. b. quorum vnum $it. m. b. alterum verò. l. p. quod $upe- rat. l. c. et. s. p. figuræ. D. per $upplementum. o. t. cui æquale e$t parallelogrammum. h. m. figuræ. D. $ed $i punctus. a. po$itus fuerit inter. d. et. b. con$tituto quadrato. d. u. cũ omnibus parallelis, vtin figura. C. viderelicet, in qua figura videbimus quadrata. r. n. et. d. r. {ae}quari duplo quadratorum. l. n. et. r. l. nam in quadrato. r. n. ip$a duo quadra- ta. l. n. et. r. l. capiuntur, reliquum e$t igitur vt videamus an duo $upplementa. l. t. et. l. s. cum quadrato. d. r. $int æqualia dictis \’quadratis. l. n. et. r. l. $ed quadratum. d. l. æ qua- tur quadrato. l. n. videndum igitur e$t, an duo $upplementa. l. t. et. l. s. cum qua drato. d. r. $int æqualia duobus quadra tis. d. l. et. r. l. $ed quadratum. d. l. æqua- tur quadrato. d. r. & $upplemento. l. t. mediante. q. l. & $upplemento. r. b. $up- plementum verò. l. s. $uperat $upplem\-e tum. r. b. per quantitatem æqual\-e qua- drato. r. l. quare duo $upplementa. l. t. et. l. s. cum quadrato. d. r. æquantur qua drato. d. l. cũ quadrato. l. r. verum igitur e$t duas. d. e. e. c. figuræ. A. æquales e$$e in potentia duabus d. e. e. c. figur{ae}. D. quæ quidem affectio circuli, à nemine fuit adhuc (quod $ciam) detecta.

IO. BAPT. BENED. DE AVGMENTO PONDERIS CORPORIS ad $tateram appen$i, & quadam alia demon$tratione, & quibu$dam erroribus Tartaleæ. Mutio Groto.

SI ea quæ à me audiui$ti non credis, con$idera quæ$o libram $eu $tateram o. a. cuius centrum non longitudinis $ed ponderum $it. i. qu{ae} $tatera, vt ori zontaliter con$i$tat, oportebit pondus extremitatis. o. ita $e habere ad pondus extremitatis. a. ut. a. i. $e habet ad. o. i. quod te $cire puto, ima ginemur nunc d uas lineas. a. e. et. o. n. paralle las infinitas\’q; & à puncto. n. immobili, & fixo extra $tateram, tran$eat per. i. linea. n. i. e. Cogitemus etiam punctum. e. inter $ectionis ip$ius. n. i. e. cum. a. e. progredi vniformiter continuò\’q; ab. a. per lineam. a. e. vnde punctum. i. inter$ectionis ip$ius. n. i. e. cum. a. i. o. $emper vicinius fiet puncto. o. nec unquam cum illo vnum erit, quamuis moueatur tempore infinito. Nunc autem dico, quod cum $tateram. o. i. a. oporteat $emper orizontalem e$$e virtute ponderis, o. oportebit pundus. o. in infinitum etiam augeri, quotie$cunq; pondus. a. nunquam diminui voluerimus vel econtra hoc in infinitum diminui, $i illud nunquam augeri voluerimus.

Sedre vera non putabam te indigere aliqua demon$tratione, quod linea. b. h. di- ui$a $it per æqualia à linea. c. a. cum hæc perpendicularis $it ab. a. ad ba$im. g. d. in triã gulo orthogonio. g. a. d. & cum $it. b. h. perpendicularis ad. a. o. ex $uppo$ito quæ. a. o. in $e habet punctum medium ba$is. g. d. nec nõ illud anguli recti. a. quod per $e cla ri$$imum e$t, cum iam $cis. o. e$$e centrum circuli circundantis triangulum. g. a. d. or- thogonium, et. g. d. eius diameter, vnde. o. a. æquabitur ip$i. o. g. quapropter angulus o. ã. g. æquabitur angulo. g. ex quinta primi, deinde ex. 32. eiu$dem, angulus. h. æqua bitur angulo. d. eo quod an gulus. e. rectus e$t, quemadmodum et. a. $ed angulus. d. æqualis e$t angulo. g. a. c. & propterea angulus. h. erit etiam æqualis angulo. h. a. u. vnde. h. u. æqualis erit ip$i. u. a. ex. 6. primi, cum po$tea angulus. o. a. d. æqualis $itangulo. d. ex quin ta primi erit angulus. a. b. e. æqua- lis angulo. g. ex. 32. dicta, eo quod e. rectus e$t, & ex eadem æqualis erit angulo. d. a. c. vnde. u. b. erit æqualis ip$i. u. a. ex. 6. dicti, & ideo æqualis eric ip$i. u. h. Reliqua ve- rò illius propo$itionis credo ex te omnia po$$e ĩtelligere, excepto, q{quis} vt tibi $ignificaui $i à pũcto. i. com- muni ip$i. a. c. u. & circunferentiæ, ducta fuerit. i. x. ad pũctum. x. com mune vni parallelæ à pũcto. g. ip$i h. b. & circunferentiæ, quod di- cta. i. x. ad rectos erit ip$i. a. b. d. eo quod cum angulus. a. g. x. æqualis EPISTOL AE. $it angulo. a. h. b. propter æquidi$tantiam dictam, æqualis etiam erit angulo. d. & ar- cus. a. x. æqualis arcui. a. g. vnde angulus. a. i. x. æqualis erit. d. $ed angulus. i. a. d. com- munis e$t triangulis. c. a. d. et. i. a. t. quare angulus. a. t. i. rectus erit, vt. c. hoc e$t. i. x. per pendicularis erit ip$i. a. d.

Sed vbitibi $crip$i circa finem illius epi$tolæ, Tartaleam erra$$e in quinta propo- $itione primi lib. $uæ nouæ $cientiæ, non $ine ratione illud $crip$i. Nam, inquit ip$e, nullum corpus æquè graue pote$t in aliquo temporis $patio moueri motu naturali, violento\’q; $imul mi$tis. Vbi decipitur, eo quod non animaduertit incrementum ve locitatis vnius motus, $imul e$$e cum decremento velocitatis alterius, eodem\’q; tem pore, vt manife$tè patet in itinere corporis, ab ip$o pro exemplo a$$umpto, hoc e$t quod velocitas motus in $patio. c. d. cre$cit vt naturalis, & decre$cit vt violenta. nã cre$cit orizontem ver$us & decre$cit in remotione à linea. a. b. $ed $i à puncto. c. ad punctum. d. motus e$$et purè violentus, vt putat Tartalea, corpus illud minimè de- $cenderet, eo quod uirtus mouens, in. a. po$ita, nullo pacto pote$t talem effectum ef- ficere, vnde ab ip$a natura prouenit de$cen$io illius corporis propter grauitat\-e, quã dictum corpus habet in tali medio, aeris $cilicet, & non ex violentia aliqua. Sed $i dixi$$et ip$e, illum motum e$$e purum naturalem, hoc e$$et fal$um, eo quod purus naturalis motus alicuius corporis non impediti, extra locum $uum, $it per lineam re ctam, & non per curuam, vt videre e$t inter. c. et. d.

In vltima propo$itione deinde eiu$dem lib. quæ. 6. e$t decipitur $imiliter, & hæc deceptio oritur ab ignoratione quintæ, & à putando motum naturalem non e$$e cau $am ip$ius de$cen$us per $patium. c. d. Sed quia tibi $ignificaui expeditiorem viam repeririad cogno$cendã proportionem inter. a. h. et. a. e. in vltima propo$itione $e- cundi lib. ip$ius Tartaleæ, ip$am nunc tibi $cribo. Nã iam $cis angulum. h. l. i. diui- $um e$$e per æqualia ab. P. l. & quod. a. h. et. h. p. {ae}quales inuicem $unt ex. 6. primi Eu- cli. vnde. p. i. et. a. h. æquales erunt inuicem $imiliter, $ed ex. 3. $exti ita e$t ip$ius. a. l. ad. l. i. vt ip$ius. a. p. ad. p. i. & coniunctim ita erit. a. l. i. ad. l. i. vt. a. i. ad. p. i. $ed. a. l. cogni ta e$t ex eius quadrato, et. l. i. etiam, cum æqualis $it ip$i. a. i. vnde ex regula de tribus notam habebimus. p. i. re$pectu. a. i. & ita re$pectu. a. e. $i hypothe$es ip$ius Tartaleæ veræ $unt.

Alia demonstratio impo{$s}ibilitatis diuidendi per æqualia proportionem $uperparticularem in di$cretis. AD EVNDEM.

QVod à me po$tulas, hoc e$t $cientiam impo$$ibilitatis diuidendi per æqualia proportionem $uperparticularem in numeris $atis à Campano in. 8. octaui potes habere, Iacobus Faber Stapulen$is etiam idem tractat in libello $u{ae} mu$icæ demon$tratæ. Sed $i etiam alia via idem de$ideras, quamuis longiori, nihilomi- nus vniuer$aliori, con$idera duos numeros. g. et. h. inuicem relatos $ecundum pro- portionem $uperparcicularem, quam volueris. Tunc dico impo$$ibile e$le, vt per æqualia diuidatur, quod $i dixeris po$$ibile e$$e, $it per te. K. medius numerus IO. BAPT. BENED. proportionalis inter. g. et. h. quare. g. et. h. non erunt minimi in ea proportione, quia vnitas diui$ibilis e$$et $i. g. h. minimi fui$$ent, quod non conceditur, $int igitur mini mi in dicta proportione. a. et. b. quorum differentia erit vnitas, vt $cis, $it\’q;. c. quadra tum ip$ius. g. et. d. quadratum ip$ius. K. tunc clarum erit ex. 11. octaui, quod propor- tio ip$ius c. ad. d. eadem erit quæ. g. ad. h. hoc e$t vt ip$ius. a. ad. b. vnde $i vnus termi. norum. a. vel. b. e$$et quadratus, reliquus etiam quadratus e$$et ex. 22. octaui, & ex 16. eiu$dem, inter. a. et. b. reperiretur aliquis medius numerus proportionalis, quod fieri non pote$t ex hypothe$i, cum inter. a. et. b. nullus $it numerus, quia differunt in ter $e per vnitatem tantummodo. Nunc autem cum nullus numerorum. a. vel. b. qua dratus $it, ponatur quod. f. quadratus $it ip$ius. b. et. e. $it productum ip$ius. a. in. b. vn de ex. 18. $eptimi, proportio ip$ius. e. ad. f. erit vt. ip$ius. a. ad. b. hoc e$t vt ip$ius. c. ad d. quapropter. e. erit quadratus ex. 22. octaui, cuius latus tetragonicum e$$et mediũ proportionale inter. a. et. b. ex. 20. $eptimi, quod e$t impo$$ibile, vt iam dixi, cum. a. et. b. $int inui cem con$equentes, vnus po$t alium immediatè.

Superius enim dixi hunc modum e$$e vniuer$alem, hoc e$t quod hac methodo po$$umus in cognitionem vcnire, quod non $olum in duas æquales partes diui- di non po$$it, $ed nec in tres, nec quatuor nec quot vo lueris. Primum enim quod non in tres diuidatur à te ip$o cogno$ces ope cuborũ vice quadratorũ, opevero cen$uũ c\-e$uũ, vel qui cognouerit eam proportion\-e e$$e indiui$ibilem per æqualia, illicò etiam cogno$cet indiui$ibilem e$$e per quatuor partes, ope verò pri- morum relatorum, cogno$cet non e$$e diui$ibilem per quinq; partes, & $ic de c{ae}teris, $ed mediantibus ijs quas $crip$i de i$tis dignitatibus in libro Th{ae}orematũ arithmeticorum.

Id autem quod Illu$tri$$imus Daniel Barbarus $cri bit in quinta parte $uæ per$pectiuæ, $i $upra aliquo im mobili, atque magno pariete facere volueris, te opor tebit hoc ex reflexione radij $olaris à $peculo plano perficere.

DE INVENTIONE DIAMETRI circuli circun$cribentis triangulum. Francbino Triuultio.

QVOD mihi nunc proponis e$t triangulum, cuius ba$is cum angulo $ibi op po$ito dantur. Velles\’q; diametrum circuli apti eum triangulum circnn- $cribere inuenire in di$creto.

Sit igitur triangulum. a. b. g. cuius ba$is. b. g. $imul cum angulo. a. ei op- po$ito data $it in numeris. Imaginetur ergo circulas circun$eribens ip$um triangu- lum. b. p. g. q. cuius diameter $it. q. p. perpendicularis eius ba$i. b. g. vnde. b. g. diui$a erit per æqualia ab ip$o diametro in puncto. m. per tertiam tertij, protrahatur etiam EPISTOL AE. e. g. vnde angulus. g. e. q. æqualis erit angulo. b. a. g. portionis, cum duplus $it angulo q. p. g. medietati anguli ip$ius portionis ex. 19. tertij, ita quod angulus. q. e. g. nobis cognitus erit, & $imiliter arcus. g. q. & con$equenter ar- cus. p. g. re$iduum medij circuli, & $ic. m. g. eius $inus re ctus, & etiam chorda. p. g. vt dupla $inus dimidij arcus. p. g. & $ic. p. m. eius $inus ver$us, vel vt tertium latus trian guli orthogonij. p. g. m. vnde nobis cognita erit propor tio ip$ius. b. g. (quæ dupla e$t ip$i. m. g.) ad. m. p. & quia productum. p. m. in. m. q. æquale e$t ei, quod fit ex. b. m. in m. g. ex. 34. tertij, quapropter nobis cognita erit pars q. m. quæ cum. p. m. complet totum diametrum. q. p. vn de nobis cognita erit proportio ip$ius. b. g. ad. q. p. qua mediante cogno$cemus diametrum $ecundum partes il las quibus propo$ita $uerit. b. g.

Hoc autem problema non in numeris $ed in continuo ab Euclid. ponitur in. 32. tertij.

De inuentione alterius trianguli conditionati. AD EVNDEM.

QVotie$cunque etiam inuenire voluerimus triangulum aliquem, puta. n. q. o. æqualem triangulo. t. (exempli gratia) propo$ito, qui habeat angulum. n. æ- qualem angalo. a. dato, latera vero continentia ip$um angulum. n. $int inuicem pro- portionata vt. x. et. y. ita faciemus, accipiemus lineam. n. m. cuius volueris magnitu- dinis, $upra quam con$tituemus triangulum. m. n. p. æqualem triangulo. t. hac metho- do, hoc e$t prolungando latus. r. z. trianguli. t. quod $it. r. e. ita vt duplum $it ip$i. r. z. ducendo po$tea. c. e. habebimus ex. 38. primi triangulum. t. e$$e dimidium totius trianguli. r. c. e. de$ignabimus deinde ex. 44. dicti $uperficiem. p. n. m. b. parallelo grammam æqualem\’q; triangu lo. r. c. e. habentem angulum. n. æqualem angulo. a. ducatur po$tea. p. m. & habebimus triã gulum. m. n. p. æqualem. t. cum angulo. n. æquali angulo. a. pro ducatur po$tea. n. p. ita vt. n. K. $e habeat. ad. n. m. quemadmo dum. x. ad. y. quod erit facilli- mum producendo. n. m. et. n. K. indeterminatè $i oportuerit, deinde eas ad æqualitatem $e- cando ip$is. x. et. y. efficiendo exempli gratia quod. n. i. $it æqualis ip$i. x. et. n. u. ip$i. y. du cendo po$tea. u. i. deinde à puncto. m. ducendo. m. K. æquidi$tanter. u. i. ex. 31. pri mi. & $ic habebimus ex. 4. $exti proportionem. x. ad. y. e$$e inter. n. K. et. n. IO. BAPT. BENED. m. inuenies po$tea ex. 9. eiu$- dem lineam aliquam mediam proportionalem inter. n. K. et. n. p. quæ $it. n. o. duces po$tea o. q. parallelam ip$i. m. K. & ha bebis propo$itum, eo quod cũ $it proportio trianguli. n. m. K. ad triangulum. n. m. p. vt. n. K. ad. n. p. ex prima $exti, duo triã guli. m. p. n. et. n. q. o. æquales erunt inuicem, ex. 17. eiu$dem & ex. 9. quinti, & proportio. o. n. ad. n. q. erit, vt. x. ad. y. ex. 11. dicti, cum ex. 4. $exti $it vt. n. k. ad. n. m.

De producto conditionato. AD EVNDEM.

PRoponis deinde mihi duas rectas lineas, vni quarum, vis vt aliam quandam di- rectè coniungam, ita quod productum huius aggregati in lineam adiunctam æquale $it quadrato alterius.

Vt exempli gratia $i fuerint duæ lineæ. e. d. et. e. f. opor- teret\’q; nos ad lineam. e. f. aliam lineam puta. f. c. vel. e. b. iũ gere, ita longam, vt productum totius compo$iti. e. c. vel. f. b. in. f. c. vel. e. b. e$$et æquale quadrato ip$ius. e. d.

Hoc enim nu llius e$$et difficultatis, eo quod quotie$cũ- que. e. d. coniuncta erit cum. e. f. ad rectos, diui$a\’q; per me dium à puncto. a. à quo ducta. a. d. deinde $ecundum $emi- diametrum. a. d. de$ignato circulo. b. d. c. & protracta. e. f. à qua volueris parte v$que ad circunferentiam in pũcto. c. $eu in puncto. b. habebimus intentum, eò quod $i produ- cta fuerit. e. f. etiam ab alia parte, v$que ad circunferentiam, habebimus. b. e. æqua- lem ip$i. f. c. ex communi conceptu, & productum. e. c. in. e. b. æqualem quadra- to ip$ius. e. d. ex. 34. tertij, cum ex. 3. eiu$dem. e. d. medietas $it chordæ arcus dupli b. d.

De lap$u verò lapidis ver$us mundi centrum, dum ip$um attingere, ac præterire po$$et, de quo me interrogas. Dico Nicolaum Tartaleam, nec non Franci$cum Maurolicum rectè $en$i$$e, malè verò Alexandrum Piccolhomineum, & exemplum Maurolici optimum e$$e, quod tamen $i capere non potes, crede $altem authoritati bus talium virorum, qui tantum in ijs $cientijs $uperant ip$um Alexandrum Piccol- homineum, quantum à Sole cætera $uperantur a$tra.

Lapis igitur ille tran$iret centrum, reddiret\’q;, cum diminutione tamen motus im pre$$i, eo fermè modo vt $cribunt iudicio$i$$imi illi viri, donec po$t multas reddi- tiones $ur$um, deor$um\’q; quie$ceret circa centrum mundi. Lucidioris tamen intelli EPISTOL AE. gentiæ gratia cogita $ilum illum (exempli adducti ab illis docti$$imis viris) cui pon dus appen$um e$t, æqualem e$$e axi orizontis, hoc e$t eius extremitatem immobi- lem e$$e in primo mobili, & in ip$o zenit tui orizontis, tunc arcus motionis ip$ius la pidis per tantum interuallum, quantum e$t diameter terræ, in$en$ibiliter differret à linea recta, & cum lapis di$tans à centro mundi per $emidiametrum terræ, iret re- diret\’q;, vt $cis, ergo idem faceret $i $ilum longius e$$et per dictum terræ $emidia- metrum, ita vt po$$etip$um centrum attingere, nam differentia illa $emidiametri terræ, ferè nulla e$t re$pectu $emidiametri ip$ius primi mobilis.

AN PENTAGONVS AB ALBERTO DVRERO de$criptus æquiangulus $it. Conrado Neubart.

SI non credis Pentagonum ab Alberto Durero $uper datam lineam de$i- gnatum, æquiangulum non e$$e. Fingamus hic $ubiectam $iguram $imi- lem ei quæ à Durero ponitur, in qua primò, ducta $it linea. o. a. & habe bimus angulum. a. o. b. graduum. 60. talium qualium duo recti fuerint gra. 360. vel. 30. talium qualium duo recti fuerint. 180. nam ex $uppo$ito, arcus. a. b. e$t $exta pars totius circunferentiæ, angulus vero. b. o. d. rectus e$t, eo quod. b. o. q. rectus etiam $it, quare angulus. d. o. a. re$iduus ex recto erit graduum. 60. talium, ut rectus e$t. 90. angulus verò. o. a. c. erit gra. 15. eorundem.

Ducatur deinde perpendicularis. a. e. ad. o. d. quæ vt $inus anguli. a. o. e. erit par- tium. 86602. talium qualium. a. o. erit. 100000. quæ quidem. o. a. vt chorda arcus. a. o. e$t partium. 51762. talium qualium. a. d. vel. a. c. $emidiameter e$t. 100000.

Nam $inus dimidij arcus. a. o. (exi $tente. a. o. graduum. 30.) e$t partiũ. 25881. ex quo. a. e. erit partium. 44827. talium qualium. a. d. erit 100000. vnde angulus. a. d. o. cuius $i nus e$t. a. e. erit graduum. 26. min. 38 qui quidem angulus, $umptus cum an gulo. a. o. d. erit gra. 86. min. 38. Dem pta denique hac $umma ex duobus rectis gra. 180. reliquum erit gra. 93. min. 22. ide$t angulus. o. a. d. cui addi tus cum fuerit angulus. o. a. c. gra. 15. talium, habebimus angulum. c. a. d. graduum. 108. min. 22. exuperantem verum angulum pentagoni per min. 22. vel $ic, cum inuentus fuerit angu- lus. a. d. o. gra. 26. min. 38. $i ex vno re cto demptus fuerit, relinquetur an- gulus. d. a. e. gra. 63. min. 22. qui qui- dem collectus cum fuer it cum angu- lo. e. a. o. re$iduo ex re cto dempto angulo. a. o. e. grad. 60. qui. e. a. o. e$t grad. 30. & IO. BAPT. BENED. etiam collectus cum angulo. o. a. c. grad. 15. hi tres anguli efficient angulum. d. a. c. d. ctum grad. 108. min. 22.

Examinatio anguli. u.

Ducatur. d. n. quam quidem. d. n. cogno$cemus vt $inus anguli. d. o. n. gra. 45. nam angulus ei contrapo$itus. q. o. p. e$t dimidium recti, quare. d. n. erit partium. 70710. talium qualium. d. o. fuerit. 100000. $ed. d. o. e$t partium. 115270. qualium. a. d. e$t. 100000. nam. e. d. vt $inus anguli. e. a. d. gra. 63. min. 22. e$t partium. 89389. o. e. ve- ro e$t partium. 50000. talium qualium. a. o. e$t. 100000. vt $inus anguli. e. a. o. gra. 30. $ed vt. a. o. e$t partiũ. 51762. hoc e$t vt. a. d. e$t. 100000. ip$a. o. e. erit partiũ. 25881 quæ iuncta cum fuerit cum. e. d. efficiet. d. o. partium. 115270. vt dictum e$t, quapro- pter cum. d. n. $it partium. 70710. talium qualium. d. o. fuerit. 100000. ip$a. d. n. erit partium. 81507. talium qualium. d. o. erit. 115270. ide$t qualium. d. a. vel. d. u. erit 100000. quæ quidem. d. n. e$t $inus anguli. d. u. n. graduum $cilicet. 54. 36. cuius du- plum erit gra. 109. mi. 12. debebattamen e$$e. 108. m. o.

Examinatio anguli. d.

Accipe angulum. a. d. o. gra. 26. min. 38. vt $upra, cui applica angu- lum. o. d. n. gra. 45. min. o. $imul cum angulo. u. d. n. re$iduo ex recto gra duum. 35. minu. 24. & conficies an- gulum. a. d. u. grad. 107. minu. 2. & habebis propo$itum, quem tamen oportebat e$$e gra. 108. min. o.

Quod autem omnia rectè $uppu- tata $int, ex $umma omnium angulo rum patere pote$t. nam collectis om nibus quinque angulis. a. c. d. f. u. $i- mul, hoc e$t grad. 108. minu. 22. cum gra. 107. min. 2. cum grad. 12. effi- cient grad. 540. min. o. $umma æqua lis $ex angulis rectis.

EPISTOL AE. ALIA DEMONSTRATIO NONÆ, ET DECIMÆ $ecundi Euclidis. Petro Catenæ.

QVAMVIS nona ac decima $ecundi Euclid. aliter à Comandino & Mau- rolico demon$tratæ fuerint, nihilominus mihi etiam vi$um e$t non nihil meo moræ in eas tibi $cribere, vt $en$ibiliter quoque cogno$cas il- las veras e$$e.

E$to linca. a. b. pro nona propo$itione, diui$a per æqualia in. c. per inæqualia verò in. d. quadratum autem. a. d. $it. d. e. quadratum verò. d. b. $it. d. i. quadratum. a. c. $it. c. f. & quadratum. c. d. $it. c. K. clarum enim erit. K. h. æqualem exi$tere ip$i. a. c. $eccetur igitur. e. h. in. g. ita vt. h. g. {ae}qualis exi$tat ip$i. K. h. vnde. g. e. æqualls erit c. d. perficiatur etiam quadratum. h. n. vnde in totali quadrato. a. h. habe bis duplũ quadrati partis. c. d. nempe. c. K. et. f. g. & quadratum. a. u. cum gnomone. u. g. h. k. cui deficit quadratum æquale. d. i. quadrato, vt $int etiam duo quadrata partis. a. c.

In decima aũt propo$itione, quadratũ totalis lineæ. a. d. $it. d. e. & lineæ. b. d. $it. b. i. et c. d. $it. d. n. et. a. c. $it. c. f. et. f. e. $it. e. u. vnde. n. u. æquale erit quadrato. b. i. vnde in qua drato totali. a. h. videbis duo quadrata æqualia. f. c. et. g. k. partis. a. c. & quadratum. c. K. cum gnomone. n. f. e. g. cui addito quadrato. b. i. habebis duplum quadrati partis. c. d.

DE STELLA CASSIOPEIÆ. Annibali Raymundo A$trologo Periti{$s}imo.

POSTQVAM tua docti$$ima $cripta perlegi, con$ideraui, quod $i à mul- titudine exhalationum in regione elementari acciderit anno. 1572. & 1573. vt totos $ex men$es ab omnibus per vniuer$um terrarum orbem vi$a fuerit $tella illa, quæ e$t in angulo $eptentrionali quadrilateri Ca$$io IO. BAPT. BENED. peiæ tam lucida, vt ip$o lucifero videretur rutilantior atq; cæterarum (ab$que vlla a$pectus diuer$itate) magis $cintillans. Quî fieri poterat, vt $tellæ quæ ab illa pa- rum di$tant, alioqui multo maiores, non etiam illa clariores apparuerint? $ed $i ali- quis diceret eam exhalationem non ita forta$$e dilatari, vt inter nos, & aliam ali- quam $tellam interponeretur. Tunc ego re$ponderem nece$$ariò $equi debere ta- lem exhalationem, tantam latitudinem occupare, quod aliquibus populis aliam aliquã $tellã circunuicinãhac ip$a de qua mentionem $ecimus redderet lucidiorem. Sed cum hoc per$pectum fuerit nulli, $equebatur lucem illam ab ip$is exhalatio- nibus elementaribus haud po$$e oriri: quod nobis $cintillatio illa maxima perma- gno fuit inditio, $i phas e$t credere, nã quo magis aliquod coele$te corpus $cintillat, eo longius à nobis di$tare.

Verum quoniam efflagita$ti à me vt aliquid circa huiu$ce rei $peculationem tibi $cribam, idcirco tibi morem gerere volens paucis $ubiungam.

Con$idera primo hanc $ub$criptam primam figuram, in qua. c. a. e. $ignatur pro Globo terre$tri cuius. i. centrum $it et. u. o. n. pro conuexo ignis, $ed. K. x. s. pro orbe octauo. x. autem pro $tella iam $uperius dicta, quæ $emper fuit, e$t, & erit, quamuis cæteris tribus nunc ob$curior $it. Accipiantur deinde duo loca in $uper$icie terræ, qu{ae} $int. c. et. e. diametraliter inuicem oppo$ita, ita quod circa eorum orizontes po$ $ibile $it $tellam. x. videre, radijs ip$ius $tellæ mediantibus. x. n. e. et. x. u. c. quorũ par- tes. n. c. et. u. e. ita breues $int, re$pectu eorum totorũ, vt vix $excente$ima pars $it vna quæq; illarum, nec non. c. e. ita breuis re$pectu $emidiametri octauæ $phæræ, quod vix $it vna ex partibus decemmillibus, vt $cis, $equitur quod recta terminata ab. u. et. n. minor $en$ibiliter non $it ip$o terræ diametro. c. e. cum duo hæc interualla ex triangulorum $imilitudine $e habeant vt. x. i. ad. x. o. hoc e$t ferè vt. 602. ad. 601. vn- de anguli. n. e. c. et. u. c. e. à rectis minime differre videbuntur, cum eorum differen- tia certo modo minima $it. duct{ae} po$tea cũ fuerint duæ diagonales. e. u. et. n. c. termi- nabũt angulos. n. e. u. et. e. n. c. inuic\-e ferè {ae}quales, id\-e a$$ero de angulis. u. c. n. et. e. u. c.

Supponatur nunc primò tuam exhalationem $ublimatam e$$e ad $upremas par- tes elementaris regionis circum circa lineam. o. i: tunc clarum e$$et quod $i ratione hu iu$modi exhalationis $tella. x. ita lucida vi$a fuerit tam a$picientibus ab. e. quam ab c. exhalatio minoris latitudinis quam. u. n. e$$e non poterat, hoc e$t, quam terræ dia- meter, cum idem in longitudine ferè $it, $ed punctum. u. $atis videri pote$t ab oculo in. e. & punctum. n. ab oculo in. c. vt alias tibi probaui, ratione refractionis radiorum per diuer$a diafana tran$euntium. Nunc producti cum fuerint ij duo radij. e. u. et. c. n. v$que ad octauum orbem ad puncta. s. et. K. reliquum erit nos videre quantitates graduum arcus. s. x. et. k. x. $ed. s. x. $ubiacet a ngulo. s. e. x. et. k. x. angulo. k. c. x. qui qui quidem anguli nihil differunt $en$ibiliter ac $i e$$ent in centro. i. Et cum $uperius di- xerimus angulos. s. e. x. et. k. c. x. $en$ibiliter mi nime differre ab angulis. c. n. e. et. e. u. c. $i cognouerimus quantitatem i$torum, cognita etiam nobis erit quantitas ill orum.

Cum igitur $emidiameter elementaris regionis maior $it $emidiametro terræ, vt 33. ad vnum, & cogitata. c. n. vt dicta $emidiameter, quia $en$ibiliter ab ea minime differt, nunc $i $upponatur dicta. n. c. vt ba$istriãguli orthogonij e$$e partiũ. 100000 & dixerimus $i. c. n. vt partium. 33. præbet nobis. c. e. duarum partium, quid nobis pr{ae}$tabit eadem. c. n. vt partium. 100000. vnde proueniet nobis. c. e. vt partiũ. 6060. cuius angulus. c. n. e. erit graduum. 3. & min. 29. ita etiam erit angulus. k. e. x. cuius ar- EPISTOL AE. cus. s. x. eorundem graduum erit, & minutorum. idem dico de arcu. x. k. Sed circa dictam $tellam om- nes aliæ non di$tant huiu$modi in teruallo.

Nihilominus nec tu nec alij pe ripatetici qui hanc $equuti $unt opinionem exhalationum, ad $er uandam nullitatem diucr$itatis a$pectus, affirmant po$$e tam lon ge à terra a$c\-edere exhalationes, imo nec attingere $upremas terti{ae} regionis a eris partes, ita ut non in- grediãtur $uum igneũ orbem, qui quidem orbis $ecundum illorum opinionem incipit non valde lon- gè à $uper$icie terræ, vt iã in mea con$ideratione contra Antonium Bergam probaui, $ed demus, {quis} dictæ exhalationes a$cenderint per decem $emidiametros terræ, di$currendo po$tea $ic, cum. c. n. ut decem, nobis dat. c. e. vt duo, <003>d dabit nobisip$a. c. n. vt. 100000. & proueniet nobis. c. e. vt. 200000. cuius $inus angulus erit gra. 11. mi. 32. & ita erunt anguli. s. e. x. et. k. c. x. & $ic eorum arcus. s. x. et. k. x. $ed quis vnquam dubitabit {quis} in tanto interuallo à dicta $tella non fint aliæ multæ ip$a maiores? li- neas vero. e. o. r. et. c. o. t. duxi, vt videres effectum maioris a$pectus diuer$itatis ab oculis. e. et. c. in cir- culo altitudinis quando. o. fui$$et punctum illud lucidi$$imum, & non. x.

IO. BAPT. BENED.

At poterit aliquis mihi obijcere quod cum. i. o. fui$$et longior. i. e. per decem vi- ces tantummodo, exi$tente oculo in. e. uel. c. per gradus. 90. ab. a. tunc punctus. u. vel n. ab ip$o oculo non videretur ob terræ globo$itatem. Imaginemur igitur à puncto u. recta. u. b. tangens quartam. a. e. in puncto. b. vt in $ecunda figura videre e$t, in qua ducantur. c. b: i. b: et. i. u. quæ. i. u. $ecabit arcum. c. b. in puncto. p. per æqualia et. c. b. $imiliter in pun- cto. y. quod nulli dubium e$t, cum. c. u. æqualis $it. u. b. ex. 35. tertij Euclidis, unde ex octaua primi an- gulus. c. i. u. æqualis erit angulo. u. i. b. & ideo arcus. c. p. æquabitur arcui. p. b. $ed ex. 4. primi. c. y. æqua lis erit ip$i. y. b.

Nunc $uppo$ita. c. i. decima parte ip$ius. c. u. nemi ni dubium erit quod cum. u. i. $ubtendatur angulo recto. u. c. i. (iam $upra diximus angulum. c. $en$ibi- liter minime differre à recto) ip$a vt $inus totus erit partium. 100000. cuius quadratum cum diui$um fuerit in partes æquales centum & vnã, illarum vna æqualis erit quadrto. c. i. reliqu{ae} vero quadrato ip- $ius. u. c. ex proportione duplicata quadratorum ad eam quam continent eorum latera. Sed quadra- tum ip$ius. u. i. e$t partium. 10000000000. quare quadratum. c. i. erit. 99009900. cuius radix. c. i. erit partium. 9950. vnde quadratum ip$ius. c. u. erit partium. 9900990100. cuius radix. u. c. erit partiũ 99500. vnde angulus. c. i. u. erit graduum. 84. & mi nu. 17. & angulus. c. u. i. qui re$pondet $inui. c. i. erit gra. 5. & min. 43. cuius duplum, hoc e$t angulus. c. u. b. erit grad. 11. min. 26. æqualis ferè angulo iam $upradicto. $ed. c. y. $inus anguli. c. i. y. erit $imiliter partium. 99500. talium vt. c. i. $unt. 100000. $ed vt c. i. e$t partium. 9950. tunc. c. y. erit partium. 9900 hoc e$t qua$i decima pars ip$ius. c. u. quare $i ocu- lus in. e. non videbit punctum. u. hoc punctum be- ne videbitur ab oculo in. b. ab$que $en$ibili dimi- nutione anguli in puncto. u. vt probauimus.

DE MAGNITVDINIBVS FIGVRARVM i$operimetrarum. Domino Ioanni Mariæ Agatio.

QVAMVIS à Theone $upra Ptolomei Almage$tum $ufficienter traditum $it de magnitudinibus figurarum i$opetimetrarum, nihilominus vt tibi morem geram, ea nunc $cribo, quæ mihi in mentem venerunt contra Alexãdrum Piccolhomineum, antequã aliquid ip$ius Theonis vidi$$em EPISTOLAE. Alexander Piccolhomineus in libro primo de mundi $phæra vbi tractat de c{ae}liro- tunditate, ita inquit.

Oltre di que$to, douendo il decimo cielo contenere & in $e chiudere tutte le co- $e, è conueneuol co$a il pen$are, che fo$$e fatto di quella più capace figura che e$- $er po$$a, la qual è la figura rotunda, però che $i può trar da molti luoghi d'Euclide che $i come $e noi ciimmagineremo più figure $uperficiali talmente che tutte le li- nee de l'vna congionte in$ieme, $ieno vguali à tutte le linee pur in$iememente com po$te di qual $i voglia de l'altre figure, ne $eguirà, che quella figura $arà più capa- ce la qual haurà manco angoli, & quella capaci$$ima che $arà $enza alcuno come è la figura circolare, & c.

Cogitemus igitur primò de triangulo æquilate- ro & quadrato i$operimetris, $it enim triangulus æ- quilaterus. o. b. g. quadratum verò. b. l. quorum pe- riferiæ inuicem æquales $int. Dico quadratum ma- ioris $uperficiei e$$e ip$o triangulo. Accipio pri- mum lineam. f. h. eiu$dem longitudinis quæ vnius periferiæ dictarum figurarum, quam punctis. r. K. mediantibus diuido in tres {ae}quas partes, in quatuor verò mediantibus punctis. l. x. i. vnde proportio to- tius. f. h. ad. K. h. erit vt. l. h. ad. i. h. ide$t tripla, & per 16. quinti erit. f. h. ad. l. h. vt. k. h. ad. i. h. per. 19. verò f. h. ad. f. l. vt. K. h. ad. K. i. $ed. f. l. e$t quarta pars ip- $ius. f. h. ergo. k. i. erit quarta pars ip$ius. k. h. Coniũ gantur enim ambo i$tæ figuræ vt hic inferius vides, vnde. a. g. erit quarta pars ip$ius. b. g. diui$a po$tea. b. g. per æqualia in. c. erit. a. c. æqualis. a. g. Ducatur deinde. o. c. qu{ae} per. 8. primi, nec nõ ex definitione, perpendicularis erit ip$i. b. g. ergo etiam quadratũ b q. $upra. b. g. produco\’q;. o. c. v$que ad. m. nam nul li dubium e$t quin. o. c. breuior $it. o. g. ex. 18. vel. 48 primi cui æquatur. q. g. diuido etiam. c. m. per æqua lia in puncto. e. duco\’q; t. e. p. æquidi$tantem. b. g. vnde habebimus duo quadrata. e. g. et. e. b. $ed quadratum. b. l. æquatur quadrato ip$ius. c. a. cum duplo illius quod fit ex. b. c. in. c. g. vt patet ex. 9. $ecundi, hoc e$t æquatur quadrato. c. a. & re- ctangulo. t. g. Deinde vt $e habet. p. g. ad. o. e. ita $e habet. u. p. ad. u. e. ex $imilitudine triangulorum. Sed. p. g. maior e$t ip$a. o. e. cum. p. g. æqualis $it. e. m. quare triangu- lus. u. g. p. maior erit triangulo. o. e. u. ex. 17. $exti. Similiter dico maiorem e$$e trian gulum. b. d. t. triangulo. e. o. d. vnde $equitur rectangulum. t. g. maiorem e$$e triangu- lo. b. o. g. $ed quadratum. b. l. e$t etiam maior ip$o rectangulo. t. g. ex quadrato ip$ius c. a. vt diximus, tanto igitur maior erit triangulo. b. o. g.

IO. BABPT. BENED.

Po$$umus etiam probare quod periferia quadrati æqualis triangulo æquilatero minor $it periferia ip$ius trianguli æquilateri. Cogita triangulum æquilaterum hic $ub$criptum. d. l. q. cuius ba$is. l. q. diui$a $it per æqualia à perpendiculari. d. o. de$cri ptũ\’q; $it rectangulum. o. g. quod æquale erit triangulo. d. l. q. $ed periferia trianguli maior e$t periferia rectanguli, nam. l. q. æqualis e$t. o. q. cum. d. g. $ed. q. d. maior e$t. o. d. ex. 18. primi, vnde. l. d. maior etiam. q. g. cum ex. 34. dicti latera oppo$ita ip$ius re ctanguli $int inuicem æqualia, accipiamus po$tea. e. c. æqualem. o. d. et. c. h. indire- ctum æqualem. o. q. circa quem diametrum. e. h. intelligatur circulus. e. i. h. k. et. à pun cto. c. dirigatur perpendicularis. k. i. ad. e. h. vnde ex. 3. tertij. c. i. æqualis erit. c. k. & ex 34. quod fit ex. c. i. in. c. k. hoc e$t quadratum ip$ius. c. i. æquale erit ei quod fit. ex. e. c. in. c. h. hoc e$t rectangulo. g. o. hoc e$t triangulo. d. l. q. $ed. e. h. e$t dimidium perife- ri{ae} ip$ius rectanguli. g. o. quæ minor e$t di midio periferiæ trianguli. d. l. q. vt vidimus et. i. k. e$t dimidium periferi{ae} quadrati ip$ius. i. c. & minor etiam ip$a. e. h. ex. 14. tertij quare verum e$t propo$itum.

Sed quando periferiæ $unt inuicem æquales, po$$umus etiam breuiter videre id quod $upradiximus, hoc e$t, quod quadratum, maius $it triangulo æquilatero. Nam cum. b. g. $e$quitertia $it ad. b. a. ergo. b. g. erit vt. 4. et. b. a. ut. 3. vnde. b. q. erit vt. 16 et. b. l. vt. 9. et. c. q. vt. 8. quare. b. l. maius erit ip$o rectãgulo. c. q. $ed. c. q. maius e$t triã gulo. b. o. g. cum. q. g. quæ æqualis e$t. o. g. maior $it. o. c. ex. 18. vel penultima primi, nam $i. q. g. æqualis e$$et. o. c. tunc. c. q. æqualis e$$et triangulo. b. o. g. ex. 41. primi.

Alia etiam via maiores no$tri v$i $unt quæ generalis e$t vt in Theone $upra Al- mage$tum videre e$t, medijs perpendicularibus à centris ad latera figurarum, $ed quia differ\-etia longitudinum ip$arum perpendicularium alio medio inueniri pote$t, eo quo ip$i v$i $unt, prætermittere nolo quin tibi $cribam.

Ego enim ita di$curro.

Sint duæ figuræ i$operimetr{ae} æquilater{ae} & æquiangulæ, puta primò trian- gulum & quadratum quorum centra $int. e. et. o. à quibus centris ad latera $int per- pendiculares. e. n. et. o. u. vnde. n. et. u. diuident latera per æqualia vt $cis, ducantur po$tea. e. t. et. o. a. ad angulos dictorum laterum, vnde habebimus angulum. o. a. u. di- midiũ recti, et. e. t. n. tertia pars vnius recti, vt ex te ip$o videre potes, quare angulus EPISTOLAE. a. $e$quialter erit angulo. t. quod vt clarius videas cogita lineam. b. d. cuius medietas $it. c. d. tertia verò pars illius $it. g. d. tunc dico. c. d. $e$quialteram e$$e ip$i. g d. $it enim f. d. duplum ip$ius. g. d. quare. f. d. erunt duæ tertiæ totius line{ae}. b. d. & quia eadem pro portio e$t totius. b. d. ad. c. d. quæ. f. d. ad. g. d. ergo permutando eadem erit totius. b. d. ad. f. d. quæ. c. d. ad. g. d. Sed. b. d. ad. f. d. $e$quialtera e$t, verum igitur erit quod an- gulus. a. $e$quialter $it ip$i. t. deinde. t. n. e$t $e$quitertia ip$i. a. u. vt $uperius vidimus. in eorum duplis. $cimus etiam. n. e. e$$e dimidium ip$ius. t. e. co quod cum. e. t. n. $it tertia pars vnius recti, angulus, t. e. n. erit duo tertia vnius recti, vnde. e. n. erit latus. exagoni æquilateris in$criptibilis circulo cuius diameter $it. e. t. quare. e. t. dupla erit ip$i. e. n. in longitudine, $ed quadrupla in potentia: t. n. vero tripla in potentia ip$i. n. e. ex penultima primi, quæ omnia etiam ex. 8. tertijdecimi. Eucli. elicere potes, $ed c. n. erat $exquitertia ip$i. a. u. in longitudine, hoc e$t ip$i. o. u. nam. o. u. æqualis e$t ip$i a. u. quare. n. t. erit minus quam dupla in potentia ip$i. o. u. hoc e$t, vt. 16. ad. 9. ergo maior proportio erit ip$ius. t. n. in potentia ad. n. e. quam ad. o. u. quare etiam in lon gitudine, maior proportio erit ip$ius. t. n. ad. n. e. quam ad. o. u. vnde. o. u. longior erit ip$a. n. e. quod e$t propo$itum.

Sed $i. o. a. u. e$$et pentagonus æquilaterus & æquiangulus, $imiliter probabo per- pendicularem. o. u. longiorem e$$e. n. e. ip$ius trianguli æquilateri, dummodo $int i$o- perimetr{ae}. Sit enim. a. u. dimidium lateris pentagoni ex $uppo$ito, cuius centrum $it o. tunc proportio. t. n. ad. a. u. erit $uperbipartienstertias, vt ex ordine iam hic $upradi cto à te facillimè elicere potes, hoc e$t, vt. 5. ad. 3. et. a. u. minor erit. o. u. eo quod angulus. o. minor erit angulo. a. nam angulus. o. erit quinta pars duorũ rectorum, hoc e$t duæ quintæ vnius recti, vnde angulus. a. re$iduum vnius recti erit tres quin- tæ vnius recti, quare angulus. a. maior ericangulo. o. & con$equenter latus. o. u. ma- ius latere. a. u. $ed. t. n. minor e$t quam tripla in potentia ad. a. u. eo quod erit vt. 25. ad. 9. cum in longitudine $it vt. 5. ad. 3. $ed dicta. t. n. tripla e$t in potentia ad. e. n. qua- re. a. u. maior erit ip$a. e. n. $ed. o. u. maior e$t ip$a. a. u. vt diximus, igitur multo magis. o. u. maior e$t ip$a. a. u. vt dixim<_>9 & cõ$equ\-eter multo magis. o. u. maior erit ip$a. n. e.

Quotie$cunque enim cogno$cimus proportionem anguli. o. ad angulum. a. quod quidem facillimum e$t, nec non proportionem. t. n. ad. a. u. quod, etiam illico cogno- $citur, tunc ex$cientia cordarum & arcuum omnia etiam facillimè innueniuntur. Verum circa triangulũ æquilaterum, & pentagonum, alium modũ inueni, $ed aliquan tulum prolixiorem.

IO. BAPT. BENED. De incommen$ur abilitate, in longitudine perpendicu- laris trianguli æquilateri cum eiu$dem latere. AD EVNDEM.

ID quod à me po$tulas e$t omnino impo$$ibile, velles enim duos numeros inueni re inter $e ita $e habentes, vt $e habent perpendicularis in triangulo æquilatero cum vno eius laterum, quod vero hoc fieri non po$$it, con$idera in figura præcedenti triangulum æquilaterum. d. l. q. cuius perpendicularis $it. d. o. quæ diuidit. l. q. per æqualia in. o. vnde ex. 4. $ecundi Euclidis, quadratum. l. q. (ide$t. d. q.) quadruplum erit quadrato. o. q. & ex penultima primi {ae}quale quadratis. d. o. et. o. q. quare erit $e$- quitertium quadrato ip$ius. d. o. & ita quadratum. d. o. erit triplum quadrato ip$ius. o. q. hæe autem proportiones non $unt vt numeri quadrati ad numerum quadratum quod $i ita fui$$ent, $equeretur ternarium numerum e$$e quadratum ex. 22. octaui. Cum igitur non $int vt numeri quadrati ad numerum quadratum, $equitur ex $epti- ma decimi. d. o. e$$e incommen$urabilem ip$i. l. q. $eu. d. q. in longitudine.

Vel dicamus ita, proportio quadrati ip$ius. l. q. ad quadratum ip$ius. o. d. e$t in ge nere $uperparticulari, cum $it $e$quitertia, vnde quadratum ip$ius. d. o. numeris da- ri non pote$t, eo quod $i dabilis fui$$et, $equeretur, quod inter quadratum ip$ius. l. q. & ip$ius. d. o. e$$et aliquis numerus medius proportionalis ex. 16. octaui, vnde ex octaua eiu$dem vnitas diui$ibilis e$$et, quod fieri non pote$t.

De triangulo & Pentagono æquilatero AD EVNDEM.

MOdum quem con$ideraui circa triangulum æquilaterum & pentagonum, vt tibi $ignificaui ita $e habet.

Probandum primò e$t pentagonum altiorem e$$e triangulo $ibi i$operimetro. Iam tibi notam puto proportionem lateris trianguli ad latus pentagoni e$$e vt. 5. ad. 3.

Sit igitur pentagonus. b. d m. g. v. cuius periferia di$tenta $it. K. z. ba$is autem. m. g. bifariam diui$a $it in puncto. a. ducta\’q;. a. b: b. g. et. b. m. clarum erit. a. b. perdicu- larem e$$e ad. m. g. ex. 8. primi Eucli. cum. b. m. et. b. g. (ba$es triangulorum. b. d. m. EPISTOLAE. et. b. u. g.) $int inuicem æquales ex. 4. eiu$dem.

Accipiatur deinde vel intelligatur. g. p. æqualis duabus tertijs ip$ius. a. g. ducatur \’que. b. p. quam probabo maiorem e$$e duplo ip$ius. a. p. vnde maior erit latere ip$ius trigoni æquilateris, cuius dimidium e$t. a. p. $cimus enim ip$um latus $e habere ad. m. g. vt quinque ad. 3. ita etiam. a. p. ad. a. g. vt diximus.

Cum aut\-e angulus. a. b. g. $it quarta pars anguli. b. g. a. ex. 10. quarti & quinta pars vnius recti ex. 32. primi, dictus angulus erit graduum. 18. et. a. g. erit partium. 30902. et. a. b. partium. 95015 et. a. p. 51503. vnde ex penultima primi latus. b. p. erit par- tium. 108075. duplum vero ip$ius. a. p. erit. 103006. latus igitur dicti trigoni, quod ab. p. erigitur, $ecabit perpendicularem. a. b. $ub. b. hoc e$t inter. b. et. a. ex penultima primi. Finiatur enim triangulus æquicrurus. b. q. p. quem probaui maiorem e$$e æ- quilatero i$operimetro pentagono propo$ito, ducatur\’q;. u. p. ducatur etiam. u. n. pa- rallela ip$i. b. g. quæ concludet triangulum. g. u. n. $imilem triangulo. m. b. g. eo quod cum angulus. m. b. g. æqualis $it angulo. b. g. u. ex. 16. tertij, per. 27. primi. m. b. et. g. u. erunt inuicem æquidi$tãtes, vnde angulus. b. m. g. æqualis erit angulo. u. g. n. et. ex. 29. angulus. g. u. n. æqualis erit angulo. u. g. b. quare etiam angulo. g. b. m. & angulus. u. n. g. angulo. b. g. m. ex. 32. eiu$dem, vnde ex. 4. $exti proportio. g. n. ad. g. m. erit. vt. g. u. ad. m. b. $ed cum. g. u. maior $it dimidio ip$ius. b. g. ex. 20. primi, hoc e$t maior dimi- dio ip$ius. b. m. ergo. g. n. etiam maior erit ip$a. g. a. quapropter maior erit ip$a. g. p. cum. g. p. minor $it ip$a. g. a. ex hypothe$i, ducta deinde cum fuerit. b. n. habebimus triangulum. b. n. g. æqual\-e triangulo. b. u. g. & maior\-e triãgulo. b. p. g. ex prima $exti vel quia totum maius e$t $ua parte. Triangulus igitur. b. u. g. maior e$t triangu- lo. b. p. g. quare triangulus. b. u. o. maior erit triangulo. g. o. p. ex communi conceptu, idem infero ab alia parte dictarum figurarum. Quare pentagonus. b. d. m. g. u. maior erit triangulo. b. q. p. quem probauimus maiorem e$$e triangulo æquilatero $ibi i$o- perimetro.

Comparatio periferiarum quadrati & trianguli aquilateri circun$criptorum ab eodem circulo. AD EVNDEM.

QVod autem periferia quadrati in eodem circulo in$cripti, in quo $it triangu- lus æquilaterus, longior $it periferia ip$ius trianguli æquilateri, ab$que vllo IO. BAPT. BENED. negotio cordarum & arcuum po$$umus geometricè demon$trare quod valde de- $ideras.

Quapropter $it circulus. b. a. e. q. in quo $it triangulũ æquilaterum. b. e. n. & quadra tum. b. a. q. u. cuius periferiam probabo longiorem e$$e periferia trianguli. Sit enim diameter circuli. b. q. qui etiam erit diameter quadrati, vt à te $cire potes. Sit etiam punctũ. b. commune tam anguli quadrati quam trianguli. vnde $equitur quod dictus diameter $ecabit latus. n. e. trianguli ad rectos & per æqualia in. t. Nam cum arcus. b. e. æqualis $it arcui. b. n. ex. 27. tertij, remanet vt arcus. q. e. equalis $it arcui. q. n. vnde angulus. q. b. e. æqualis erit angulo. q. b. n. ex. 26. eiu$dem. quare ex. 4. primi anguli ad. t. erunt recti, et. n. t. æqualis erit ip$i. t. e. vt diximus.

Deinde. b. e. et. q. a. $einuicem $ecãt in puncto. o. vt ex $e clarum patet, ducatur po $tea. q. e. vnde habebimus angulum. b. e. q. rectum ex. 30. tertij, quare ex. 18. primi. q. o. longior erit ip$a. q. e. et. q. e. longior erit ip$a. e. t. quare. q. o. longior erit ip$a. t. e.

Vt probemus po$tea. b. a. o. longiorem e$$e ip$a. b. e. producatur. b. a. ita quod. a. p. æqualis $it ip$i. a. o. ducatur\’q; o. p et. a. e. cum autem ex iam dicta. 30. tertij angulus b. a. o. rect<_>9 $it, erit angulus. o. a. p. $imiliter rect<_>9 ex. 13. primi, vnde ex. 5. et. 32. eiu$d\-e angulus. a. p. o. erit dimidium recti, & $imiliter, exij$dem, angulus. b. q. a. e$t dimidium recti quare angulus. a. p. o. æqualis erit angulo. a. q. b. $ed angulus. a. e. b. æqualis e$t an gulo. a. q. b. ex. 20. tertij, ergo angulus. b. p. o. æqualis erit angulo. b, e. a. angulus vero a. b. e. communis e$t ambobus triangulis. a. b. e. et. o. b. p. quare ex. 32. primi anguli. b. a. e. et. b. o. p. reliqui ex duobus rectis æqua les inuicem erunt. Quare ex quarta $exti, et. 18. quinti proportio. b. o. ad. b. p. erit, vt b. a. ad. b. e. $ed ex. 18. primi. b. o. maior e$t ip$a. b. a. quare ex. 14. quinti. b. p. maior erit ip$a. b. e. $ed. b. p. æquatur ip$is. b. a. cum. a. o ex hypote$i, ergo. b. a. cum. a. o. maior erit ip$a. b. e. $ed. q. o. maior erat ip$a. t. e. vt $upe rius vidimus, quare. b. a. cum. a. o. et. o. q. ma ior e$t ip$a. b. e. cum. e. t. hoc e$t dimidium periferi{ae} ip$ius quadrati, mai<_>9 erit dimidio periferi{ae} ip$i<_>9 triãguli propo$iti, quare ex 14. dicta tota periferia dicti trianguli, $imiliter probarem de omnibus alijs figuris regulari bus eodem circulo in$criptis.

CONSIDERATIONES NONNVLLÆ IN Archimedem. Doct {$s}imo atque Reuerendo Domino Vincentio Mercato.

QVOD tibi aliàs dixi verum e$t, intellectum $cilicet non omninò quie$cere cir ca illas duas Archimedis propo$itiones, quæ in translatione Tartaleæ $unt $ub numeris. 4. et. 5. & in impre$$ione Ba$ileæ $ub numeris. 6. et. 7. vbi tractat EPISTOLAE. tractat de centris libræ, $eu $tateræ: A $pice igitur in. 4. $upradicta, quod cum appen- $æ fuerint omnes illæ partes ponderum, partibus longitudinis ip$ius. l. K. in qua volo vt à punctis. e. et. d. imagineris duas lineas. e. o. et. d. u. inuicem æquales, & ferè per- pendiculares ip$i. l. K. hoc e$t re$picientes mundi centrum; imagineris etiam. o. u. quæ $it paralle la ip$i. l. k. quæ diui$a $it in puncto. i. $upra. g. Hinc nulli dubium erit, cum. g. fuerit centrum totius ponderis appen$i ip$i. l. K. quod. i. $imiliter erit centrum cum directe locatum $it $upra. g. hoc e$t in eadem directionis linea, quod quidem non indiget aliqua demon$tratione, cum per $e $atis pateat. Vnde ex communi conceptu. o. erit centrum ponderis appen$i ip$i. l. h. et. u. erit centrum ponderis ap- pen$i. ip$i h. K. Scimus igi\~t. i. e$$e c\-etrum duorum, hoc e$t ip$ius. l. h. & ip$ius. h. k. con tinuatorum per totam. l. k. Nunc ergo $i con$ideremus. l. k. diui$am e$$e, hoc e$t di- $iunctam in puncto. h. inueniemus nihilominus. i. centrum e$$e dictorum ponderum, & quod tantum e$t, ip$am e$$e continuã, quantum diui$am in dicto puncto. h. neque ex hoc, punctum. i. erit magis vel minus centrum duorum ponderum. l. h. et. h. k. quo rum vnum pendet totum ab. o. aliud verò totum ab. u. & hoc modo in longitudine. o. u. diui$a vt dictum e$t, habebimus propo$itum.

Reliquam propo$itionem tibi relinquo.

Illa verò propo$itio, quam tibi dixi Archimedem tacui$$e in huiu$modi materia e$t, quod $i duo pondera æquilibrant ab extremis alicuius $tateræ, in certis præfixis di$tantijs à centro. Tunc dico $i eorum vno manente alterum moueatur remotius ab ip$o centro quod illud de$cendet, & $i vicinius ip$i centro appen$um fuerit a$cen- det. Hæc enim propo$itio quotidie omnibus in locis videtur, ip$am ver$o4; puto Ar chimedem prætermi$i$$e ob facilitatem, cum ab antedicta ferè dependeat.

Sit exempli gratia $tatera. a. u. cuius centr um $it. i. & pondera. u. a. appen$a, $ein- uicem habeant vt. i. u. et. i. a. $e inuicem habent. Nunc dico quod $i pondus ip$ius. u. po$itum fuerit vicinius centro vt puta in. o. inmoto exi$tente pondere, a. quod bra- chium. i. o. u. a$cendet, & è conuer$o, $i remotius po$itum fuerit, de$cendet.

Pona\~t ergo vt dictũ© e$t in. o. vicinius c\-etro, quapropter brachium. i. o. breui<_>9 erit brachio. i. u. vnde minor proportio erit ip$ius. i. o. ad. i. a. quàm. i. u. ad eundem. a. i. & con$equenter quam ponderis ip$ius. a. (quod $it. n. e.) ad pondus ip$ius. u. Quare $i cx pondere. n. e. dempta fuerit. e. pars eius, ita quod reliqua pars. n. $e habeat ad pondus o. vt $e habet. i. o. ad. i. a. tunc $tatera non mouebitur; addita verò parte. e. ex com- muni conceptu, a. de$cendet vnde. o. a$cenderet conuer$um verò ex $imilibus ratio- nibus per te concludes.

IO. BAPT. BENED.

In eo quod à me petis, mittendo te ad Eutotium, tibi non $atisfacerem, cum Eu- totius citet $extum librum Pergei, quem nunquam vidimus, $upponat\’q; ea, quæ nec ip$e nec alius vnquam quod $cimus probauit.

De$ideras enim demon$trationem illius quod Archimedes dicit inter primam, & $ecundam propo$itionem $ecundi libri, vbi tractat de centris grauium, propte- rea quod illud $upponit pro manife$to.

Sit enim figura hic $ub$cripta, ferè $imilis parabolæ po$itæ in. 2. propo$itione di cti libri, vt in impre$$ione Ba$ileen$i habetur, $int\’q; diui$æ duæ. a. b. et. b. c. per æqua lia à punctis. x. et. u. protractis\’q;. f. x. et. u. i. ad. b. d. quæ inuicem etiam erunt parallel{ae} ex. 30. primi Eucli. vnde ip$æ etiam, diametri erunt ip$arum portionum: vt ex eo col ligere e$t, quod in. 49. primi lib. Pergei probatur. Imaginando po$tea ad puncta. b. f. er. i. tres contingentes, manife$tum erit punctum. b. illud e$$e quod terminat alti- tudinem huiu$modi portionis, et. f. et. i. terminantia altitudines partialium, ex. 5. $c cundi ip$ius Pergei, eo quod dictæ contingentes paralellæ erunt ip$is ba$ibus, vnde trianguli in$cripti, ea$dem habebunt altitudines, quas portiones ip$æ, quod erit ex mente Archimedis. Et $ic deinceps poteris multiplicare angulos $iguræ rectilineæ in parabola, quæ de$ignata erit vt de$iderat Archimedes, qui quidem dicit, quod protractæ cum fuerint aliæ deinceps po$t. f. i. ip$æ inuicem {ae}quidi$tantes erũt, diui${ae}- \’que peræqualia ab. d. b. quod quãuis verũ $it, tñ ab Eutotio non $atis demõ$tratũ e$t, cum $upponat. a. f. b. æqualem e$$e ip$i. b. i. c. probare volens eius diametros æqua les e$$e ab$que aliqua citata ratione, quæ quidem ratio e$$et conuer$um. 4. propo$i- tionis libri de conoidalibus. Sed oporteret nos etiã videre. 6. librum ip$ius Pergei, & propterea tibi non $atisfacerem.

E$to igitur, ut inuenta $it linea. K. cuius productum in. u. i. æquale $it qua drato ip $ius. u. c. inuenta etiam $it linea. h. cuius productum cum. f. x. æquale $it quadrato ip- $ius. a. x. vnde ex conuer$o. 49. primi ip$ius Pergei, proportio ip$ius. K. ad. b. c. erit ut ip$ius. b. c. ad. b. d. & ip$ius. h. ad. a. b. vt ip$ius. a. b. ad. b. d. Erit igitur ex. 16. $exti Eucl. quadratum. b. c. æquale producto ip$ius. K. in. b. d. & quadratum. a. b. æquale produ- cto ip$ius. h. in. b. d. & ex prima $exti, ita erit ip$ius. K. ad. h. vt producti quod fit ex. K. in. b. d. ad productum ip$ius. h. in. b. d. hoc e$t vt quadrati ip$ius. b. c. ad quadratum ip $ius. b. a. ex. 16. et. 11. quinti, hoc e$t vt quadrati ip$ius. u. c. ad quadratum ip$ius. a. x. hoc e$t ut productum ip$ius. k. in. u. i. ad productnm ip$ius. h. in. x. f. Nunc $i ip$ius. k. ad. h. c$t vt producti ip$ius. K. in. u. i. ad productum ip$ius. h. in. f. x. ergo ex. 24. $exti, & communi conceptu, proportio ip$ius. k. ad. h. compo$ita erit ex ea quæ ip$ius. u. i. ad. f. x. & ex ea quæ ip$ius. k. ad. h. Cum ergo dempta fuerit proportio ip$ius. k. ad. h. (vt $implex) à proportione ip$ius. k. ad. h. (vt compo$ita) reliquum nihil erit. Qua- re. f. x. æqualis erit ip$i. u. i.

Sed quod. f. m. æqualis $it ip$i. m. i. Videto in Eutotio, quia hoc $atis $ui natura facile e$t.

Sed accipe alium modum breuiorem ad probandum. f. x. e$$e æqualem ip$i. u. i.

Finge lineam. e. b. g. conting entem in puncto. b. prolungatis\’que diametris f. x. et. u. i. v$que ad contingentem ip$am, habebis. f. e. æqualem ip$i. f. x et. g. i. ip$i. u. i. Ex. 35. primi Pergei, producta po$tea. x. u. habeb is ex. 2. $exti Eucli. x. u. parallelam ip$i. a. c. $ed. e. g. parallela e$t ip$imet. a. c. ex quinta $ecundi ip$ius Pergei, quare ex. 30 primi Euclid. e. g. parallela erit ip$i. u. x. & ex. 34. eiu$dem æqualis erit. e. x. ip$i. u. g. vnde. f. x. etiam æqualis erit. u. i. ex communi conceptu.

Sed ne quid de$ideres probabo. f. m. æqualem e$$e ip$i. m. i. Iam igitur $cis quod EPISTOLAE. cum $it. f. x. æqualis ip$i. u. i. vt tibi probaui, & inuicem parallelæ ideo. f. i. parallela erit ip$i. x. u. ex. 33. primi Euclidis. Vnde ex. 30. eiu$dem, parallela erit etiam ip$i. a. c. $ed cum. x. u. diui$a $it ab. d. b. per æqualia, eo quod diuidit. a. c. eodem modo, qu{ae} ip$i parallela e$t ex. 2. $exti. Reliqua tibi con$ideranda relinquo. cum verò ambæ. f. x. et. u. i. parallelæ $int ip$i. b. d. $equitur quod cum ex. 34. primi vnaquæq;. f. m. et. m. i. æqualis $it medietati ip$ius. x. u. erunt inuicem æquales.

Minime dubitabam tibi non $atisfacere Eutocium in. 3. propo$itione $ecundi lib. de centris Grauium Archimedis, cum citet. 6. librum de elementis conicis, ad- de quod $i aliud in ip$o. 6. libro ab eo citato non e$$et magis ad propo$itum, quàm ca quæ ab ip$o citata $unt, nihilominus adhuc irre$olutus maneres.

Con$idera igitur eandem ip$am figuram præcedentem; pro alia verò parabola $i mili dictæ, accipe $ecundam figuram ip$ius tertiæ dictæ propo$itionis. Deinde ima ginabis duo latera. o. x. et. o. p. diui$a e$$e per æqualia in punct is. g. et. K. protractis\’q; diametris. g. y. et. K. u. quæ, vt in præcedenti probaui, $unt inuicem æquales, $cire debes quod $imiles parabolæ inuicem aliæ non po$$unt e$$e, ni$i eæ quæ diametros proportionales $uis ba$ibus habeant, $imiliter\’q; po$itæ, hoc e$t, ut proportio ip$ius b. d. ad. a. c. $it eadem quæ ip$ius. o. r. ad. x. p. & quod anguli ad. r. $int æquales angulis circa. d. Notentur ergo primum puncta communia ip $ius. o. g. cum. y. t. & ip$ius. b. x cum. f. m. characteribus. ω. et. n. Nunc igitur $cimus. f. m. æqualem e$$e. m. i. tota m\’q;. f. i. parallelam e$$e ip$i. a. c. Idem dico de. y. t. u. trianguli \’q;. x. f. n. et. g. y. ω. e$$e $imiles triangulis. n. m. b. et. ω. t. o. quod ita probatur, nam ex. 15. primi Euclid. anguli ad. n. $unt inuicem æquales, ex. 29. verò eiu$dem anguli. f. x. n. et. n. b. m. $imiliter æquales ita etiam. n. f. x. et. n. m. b.

Idem dico in $ecunda figura, vnde ex. 4. $exti Eucli. proportio. n. f. ad. m. n. erit ea dem qu{ae}. f. x. ad. b. m. & ip$ius. n. f. ad. x. f. vt. n. m. ad. m. b. ex. 16. quinti. Quare ex. 11. IO. BAPT. BENED. eiu$dem erit vt. a. d. ad. d. b. Idem etiam dico in $ecunda parabola, $ed ip$ius. x. o. ad o. r. e$t vt. a. b. ad. b. d. ex. 6. $exti Eucli. vnde ex. 11. quinti. n. f. ad. f. x. erit vt. ω. y. ad. y. g. Sed in precedenti iam tibi dixi. a. b. mediam proportionalem e$$e inter. h. et. b. d. Sit nunc. z. pro $ecunda parabola, ita ut. h. e$t pro prima, vnde. o. x. crit media proportionalis inter. z. et. o. r. & ex. 11. quinti ita erit. h. ad. a. b. vt. z. ad. x. o. & ex. 22. h. ad. a. x. ut z. ad. x. g. & quia ex. 16. $exti. a. x. media proportionalis e$t inter. h. et. f. x. cum $upponatur productum. h. in. f. x. æquale e$$e quadrato. a. x. Idem dico. x. g. mediam e$$e proportionalem inter. z. et. g. y. quare ex. 11. iam dicta, ita erit. a. x. ad. f. x. vt. y. g. ad. x. o. & ex eadem, ita erit ip$ius. f. n. ad. a. b. ut. y. ω. ad. x. o. & $ic. f. n. ad. d. a. vt. y. ω. ad. x. r. $ed. f. m. ad f. n. e$t vt. y. t. ad. y. ω. ex. 18. quinti vnde. f. m. ad. a. d. erit vt y. t. ad. x. r. Idem dico de eorum duplis.

Ex ij$dem rationibus dico ita e$$e. b. d. ad. b. m. vt. o r. ad. o. t. & ex. 17. quinti. d. m. ad. b. m. vt. r. t. ad. t. o. Reliqua tibi con$ideranda relinquo.

In reliquis verò propo$itionibus illius lib. nullo pacto poteris dubitare: Verum ne in. 4. aliquid tibi noui exurgat, te $cire volo corollarium. 20. in libr. de quadratu ra parabol{ae} docere po$$ibile e$$e in$criptionem rectilineæ, ea tamen conditione quã dicit Archimedes.

In quinta po$tea animaduertendum e$t, quod prima pars, probat tantummodo de centro trianguli, et. 2. pars probat de centro pentagoni, à te ip$o deinde potes pro- bare de centro nonanguli: & $ic de cæteris: eo quod cum probatum fuerit de centro figuræ in medio locatæ $i con$titutæ po$tea fuerint $imiles figuræ in portionibus la- teralibus habebitur propo$itum in infinitum.

Idem intelligendum e$t in. 3. propo$itione quamuis exemplum vlterius non ex- tendatur quam ad pentagonos.

Sexta verò {pro}po$itio tibi $acilis erit, quæ nihilominus põt demõ$trari hoc mõ $cili cet. Sint. 4. quãtitates. a. b. c. d. ip$ius Archimedis $uppon\-edo. a. pro figura rectilinea in$cripta in parabola, et. b. pro re$iduo ip$ius parabol{ae} et. c. pro triangulo. a. b. c. in me dio ip$ius parabol{ae} et. d. pro triangulo. r. Nunc cum. a. maior $it. c. prout totum ma- ius e$t $ua parte, ideo ex. 8. quinti maior proportio habebit. a. ad. b. quam. c. ad. b. Cum autem. b. minor $it. d. ex $uppo$ito, ideo ex eadem dicta, maior proportio habe bit. a. ad. b. quam. c. ad. d. cum verò centrum cuiu$uis figuræ plenæ nece$$ariò $it intra ip$am figuram, idcirco centrum re$idui ip$ius parabol{ae} intra ip$am reperietur. quo d ita clarũ <002> $e e$t, qu\-eadmodũ quoduis aliud axioma, & quia dictũ centrũ ex. 8. primi de centris, nece$$ariò e$t in linea. b. h. inter. b. et. h. Sit igitur. g. vnde ex eadem. 8. ita erit. g. h. ad. h. e. vt. a. ad. b. ergo. g. h. ad. h. e. maior proportio erit quã. c. ad. d. hoc e$t quam. b. h. ad. f. ex. 12. quinti. Sed cũ. h. b. maior $it ip$a. h. g. prout omne totum ma- ius e$t $ua parte, ideo maior proportio habebit. h. b. ad. h. e. quam. h. g. ad. h. e. vnde multo maior\-e quã. h. b. ad. f. ex cõi cõceptu, quare. h. e. erit minor ip$a. f. ex. 10. quĩti.

Septima verò et. 8. propo$itio nullius tibi erit difficultatis.

EPISTOL AE.

Quamuis Eutotius $cribat $uper duas vltimas lib. $ecundi de centris grauiũ, nihil miror ip$um tibi non $atisfacere. Accipe igitur quod ego nunc tibi mitto.

Archimedes eo in loco primũ $upponit in penultima dicti libri quatuor lineas proportionales. a. b: c. b: d. b: et. e. b: $upponit etiam quod proportio quæ e$t ip$ius. e. b. ad. e. a. ead\-e $it quæ ip$ius. f. g. ad tres quintas ip$ius. a. d. & quod proportio com po$iti dupli ip$ius. a. b. cum quadruplo ip$ius. b. c. cum $excuplo ip$ius. b. d. cum triplo 10. BAPT. BENED. ip$ius. b. e. ad compo$itum quintupli ip$ius. a. b. cum decuplo ip$ius. c. b. cum decuplo ip$ius. b. d. cum quintuplo ip$ius. b. e. eadem $it quæ ip$ius. g. h. ad. a. d. & vult proba- re. f. h. e$$e duas quintas ip$ius. a. b.

Cum autem dicit proportionem ip$ius. a. c. ad. c. d. & ip$ius. c. d. ad. d. e. e$$e vt ip$ius a. b. ad. b. c. & c{ae}tera, verum dicit ex. 19. quinti Eucli. eo quod cum ex hypothe$i $it ip$ius, a. b. totalis ad. c. b. totalom vt ip$ius. c. b. partialis ($umptæ vt pars ab$ci$a ab. a. b. pro nunc) ad. d. b. partialem (ab$ci$am ab. c. b.) erit ex. 19. dicta ip$ius. a. c. (re$idui ex. a. b.) ad. c. d. (re$iduum ex. c. b.) vt ip$ius. a. b. ad. c. b. & ita probabitur de pro- portione ip$iuas. c. d. ad. d. e. eadem ratione.

Cum verò ex. 18. quinti $it ip$ius. a. b. cum. c. b. ad. c. b. vt ip$ius. a. d. ad. d. e. ergo ex 22. eiu$dem, ita erit ip$ius. a. b. cum. c. b. ad. d. b. vt. a. d. ad. d. e. & exij$dem rationibus eadem proportio erit ip$ius. c. b. cum. d. b. ad. b. e. vt. a. d. ad. d. e. quod inquit Archi. Verum etiam erit (ex. 13. quinti) cum dicit eandem proportionem e$$e ip$ius. a. d. ad. d. e. qu{ae} dupli primi antecedentis cum $implo $ecundi antecedentis ad duplum primi con$equentis cum $implo $ecundi con$equentis, hoc e$t dupli ip$ius. a. b. c. cũ $implo. c. b. d. ad duplum ip$ius. d. b. cum $implo. e. b. hoc eft dupli. a. b. cum triplo ip- $ius. b. c. cum $implo. d. b. ad duplum ip$ius. d. b. cum $implo. e. b. Nunc duplum. a. b. cum triplo. b. c. cum $implo. b. d. $ignatum $it charactere. D. $uum verò con$equens, hoc e$t duplum. d. b. cũ $implo. e. b. $ignificetur à charactere. B. hinc proportio ip$ius M a. d. ad. d. e. erit vt. D. ad. B.

Inquit nunc Archimedes, $i quis $umeret aliquod maius antecedens æquale $ci- licet duplo ip$ius. a. b. cum quadruplo ip$ius. b. e. cum quadruplo ip$ius. b. d. cum du- plo ip$ius. b. e. compararet\’q; illud cum cõ$equente. B. clarum e$$et ex. 8. quinti quod tale antecedens maiorem proportionem haberet ad. B. quam ad. D. hoc e$t maiorem quàm ip$ius. a. d. ad. d. e. ex. 12. quinti.

Nunc $i $umpta fuerit aliqua linea, puta. d. o. cui. a. d. dictã habeat proportionem maiorem, larum erit ex $ecunda parte decim{ae} quinti quod. d. o. minor erit ip$a. d. e. Corrige igitur impre$$ionem Ba$ile{ae} locando characterem. o. inter. d. et. e. eo quod ibi po$itum non fuit.

Volo nunc quod dictum maius antecedens æquale $cilicet duplo ip$ius. a. b. cum quadruplo ip$ius. b. c. cum quadruplo ip$ius. b. d. cum duplo ip$ius. b. c. $ignificetur à charactere. A. Hinc habebimus proportionem ip$ius. a. d. ad. d. o. ut. A. ad. B.

β

Ex. 18. quinti po$tea habebimus. A. B. ad. B. vt. a. o. ad. d. o. & proportionalitate euer$a in. 19. dicti ita erit. A. B. ad. A. vt. a. o. ad. a. d. Sed hoc vltimum antecedens in T $e continet id quod Archimedes $cribit, hoc e$t duplum ip$ius. a. b. quadruplũ ip$ius b. c. $excuplum ip$ius. b. d. & triplum ip$ius. b. e. Con$equens verò. A. continet du plum ip$ius. a. b. quadruplum ip$ius. b. c. quadruplum ip$ius. b. d. & duplum ip$ius. b. e.

Ex $uppo$ito deinde ip$ius Archimedis & ex conuer$a proportionalitate in. 19. dicta, verum e$t id quod dicit Archimedes, videlicet quod eadem proportio e$t ip$ius. a. d. ad. g. h. quod quintupli ip$ius. a. b. cum quintuplo ip$ius. b. e. cum decuplo ip$ius. b. c. cum decuplo ip$ius. b. d. (quod quidem antecedens $ignificetur per. V.) ad duplum ip$ius. a. b. cum quadruplo ip$ius. b. c. cum $excuplo ip$ius. b. d. cum triplo ip$ius. b. e. hoc e$t ad. A. B

Erit igitur. V. ad. A. B. vt ip$ius. a. d. ad. g. h. $ed $uperius vbi $ignatum e$t. T. iam probatum fuit ita e$$e. A. B ad. A. vt ip$ius. a. o. ad. a. d. Ergò ex. 23. quinti Archime des verum $cribit, hoc e$t quod ita erit ip$ius. V. ad. A. vt ip$ius. a. o. ad. g. h.

Clarum per $e etiam e$t, id quod Archimed. dicit hoc e$t quod. V. ad. A. e$t vt ω EPISTOL AE. quinque ad duo, cum quodlibet ingredientium in compo$ito. V. ad quodlibet in- gredientium in compo$ito. A. $it vt quinque ad duo. Quare ex. 13. quinti verum dicit. Vnde. a. o. ad. g. h. erit vt quinq; ad duo ex. 11. eiu$d\-e vt inquit Archimedes.

Corrige impre$$ionem vbi $criptum e$t, rur$us quoniam. o. a. quia oportet dicere Rur$us quoniam. o. d.

Archimedes igitur verum dicit, quod ip$ius. o. d. ad. d. a. e$t vt ip$ius. B. ad. A. ex 10. BABPT. BENED. conuer$a proportionalitate in. 19. quinti, cum. a. d. ad. d. o. iam probatum fuit (vbi B.) ita e$$e ut. A. ad. B.

Sed in principio huius $peculationis probatum iam fuit ita e$$e ip$ius. d. a. ad. d. e. vt ip$ius. D. ad. B. vbi notatum e$t. M. quare ex. 23. quinti, Archimedes verum dicit, qu od. d. o. ad. d. e. erit vt. D. ad. A.

Sed cum. d. o. ad. d. e. $e habeat ut. D. ad. A. erit ex conuer$a proportionalitate iam dicta. d. e. ad. d. o. vt. A. ad. D. per euer$am vero erit. d. e. ad. a. o. vt. A. ad $uum re$i- λ duum. quod re$iduum componitur ex $implo. b. c. cum triplo. b. cum duplo. b. o. quod à te ip$o videre poteris detrahendo numeros ip$arum quantitatum quæ in. D. reperiuntur, ex numeris earundem, quæ in. A. quod quidem re$iduum $igni$icetur à charactere. E. Vnde ex conuer$a proportionalitate verum dicit Archime. hoc e$t quod ita $e hab ebit. o. e. ad. d. e. vt. E. ad. A.

Cum autem $it. a. b. ad. c. b. vt. c. b. ad. d. b. & ita. d. b. ad. e. b. ex $uppo$ito, ideo ex 17. quinti verum dicit Archim. hoc e$t quod ita erit ip$ius. d. e. ad. e. b. vt. a. c. ad. c. b. & vt. c. d. ad. d. b. & ex. 13. eiu$dem eadem proportio erit tripli ip$ius. c. d. ad triplum ip$ius. d. b. quæ dupli ip$ius. d. e. ad. duplum ip$ius. e. b. vt inquit Archi.

Ex qua. 13. compo$itum ex. a. c. cum triplo ip$ius. c. d. cum duplo ip$ius. d. e. ean- dem proportionem habebit ad compo$itũ ip$ius. c. b. cum triplo ip$i<_>9. d. b. cum duplo ip$ius. e. b. quam ip$ius. d. e. ad. e. b. Sed horum compo$itorum primum $ignificetur per. H. $ecundum verò $ignificatum fuit per. E. vnde. H. ad. E. $e habebit vt. d. e. ad e. b. $ed. E. ad. A. iam dictum e$t e$$e vt. o. e. ad. d. e. vbi $ignatum e$t. λ. quare ex. 23. quinti eadem proportio erit ip$ius. o. e. ad. e. b. quæ. H. ad. A. vt ip$e inquit.

Ex. 18. po$tea eiu$dem ita erit. o. b. ad. e. b. vt. H. A. ad. A.

X

Notandum etiam e$t quod $i collectæ fuerint omnes partes compo$iti. H. A. hoc e$t duplum. a. b. cum duplo. b e. cum quadruplo. b. c. cum quadruplo. b. d. cum $implo a. c. cum triplo. c. d. cum duplo. d. e. habebitur triplum. a. b. triplum. b. d. & $excuplum b. c. vt ip$e dixit. Quod autem hoc verum $it, cum di$tinctæ fuerint omnes partes, vt in $ub$criptis his lineis videre e$t, videbis quod $i ex. H. detracta fuerit $implex. a. c. quæ quidem po$tea iuncta vni ex partibus quadrupli. b. c. ip$ius. A. re$ultabit nobis vna inte gra. a. b. Vnde habebimus triplum ip$ius. a. b. & in. A. remanebit triplum ip $ius. c. b. Deinde $i ex. H. auferatur triplum ip$ius. c. d. & ip$um addatur tribus parti- bus quadrupli. b. d. ip$ius. A. habebimus tres vices. b. c. quæ $i iungantur tribus, quæ remanebant in. A. vt dixi, habebimus $excuplum ip$ius. b. c. & in. A. remanebit $im plum. b. d. cum duplo ip$ius. b. e. Vnde $i ex. H. demptum fuerit duplum ip$ius. d. e. quod quidem iungatur cum duplo ip$ius. b. e. habebimus duplum ip$ius. b. d. quod coniunctum cum $implo. b. d. quod in. A. relictum fuerat, habebimus triplum ip$ius d. b. Verum igitur e$t quod inquit Archimedes, hoc e$t, quod. H. A. e$t triplum ip- $ius. a. b. $excuplum ip$ius. b. c. & triplum ip$ius. b. d.

Verum etiam dicit ex eo (vt $upra probatum e$t) quod. a. c: c. d: et. d. e. $e habebãt in continua proportionalitate, quare ex conuer$a proportionalitate erunt $ibi inui- cem continuæ proportionales.

Nunc autem cum. a. c: c. d. et. d. e. $int continuæ proportionales in ea proportione in qua $unt. a. b: c. b: d. b: et. e. b. vt in principio diximus, erit ex. 22. quinti. a. c. ad. d. e. vt. a. b. ad. d. b. & $ic etiam. c. b. ad. e. b. Vnde ex. 24. eiu$dem. a. d. ad. d. e. erit vt. a. b. cum. b. e. ad. d. b. & vt. c. b. cum. b. d. ad. e. b. & ex. 13. dicti vt. a. b. cum. b. e. bis $umpto, & cum. b. d. ad. e. b. Quare ex conuer$a proportionalitate, vt $e habet. e. d. ad. d. a. ita $e habebit. e. b. cũ. d. b. ad d b. cũ. b. c. duplicato & cũ. b. a. vt inquit Archi medes. Nunc antecedens vocetur. M. hoc e$t. b. e. cum. d. b. con$equens verò, hoc EPISTOLAE. e$t. d. b. cum duplo. b. c. cum $implo. b. a. vocetur. N.

Animaduertendum tamen e$t quod impre$$io mendo$a e$t ubi dicit. „ vnaquæque. c. b: b. d. & cætera, propterea quod dicendum e$t ita vnaquæq; e. b: b. d.

Nunc ex. 18. quinti, quemadmodum $e habet. a. e. ad. d. a. ita $e habebit. M. N. ad. N. IO. BAPT. BENED. Vbiautem $criptum e$t „ ad vtrunque $imul. b. d: d. a. cum dupla. b. c. dicendum e$t ita, ad vtranque $imul. b. d. b. a. cum dupla. b. c.

Inquit deinde Archi. quod $icut $e haber. e. a. ad. d. a. ita $e habebit duplum. M. N. ad duplum. N. Quod quidem verum e$t ex. 13. quinti, huiu$modi verò antecedons & con$equens, Archi. manife$tat ex $uis partibus, $umendo duplum. e. b. cum duplo b. d. pro duplo. M. & duplum. b. d. cum duplo. a. b. cum quadruplo. b. c. pro duplo. N. qu{ae} $imul iuncta æquantur duplo. e. b. cum duplo. a. b. cum quadruplo. b. d. cum qua- druplo. b. c. ex quo æquabuntur. A. vocentur igitur hæc omnia. A. potius quàm du- plum ip$ius. M. N.

Verum etiam $cribit, vbi dicit, quod proportio. e. a. ad tres quintas ip$ius. a. d. erit vt. A. ad tres quintas dupli. N. ex. 22. quinti. Sed cum ex $uppo$ito ita $e habeat. f. g. ad tres quintas ip$ius. a. d. quemadmodum. b. e. ad. e. a. erit ex. 16. quinti verum {quis} dicit Archimed. hoc e$t, ita $e habere. b. e. ad. f. g. vt. e. a. ad tres quintas ip$ius. a. d.

Et per. 11. eiu$dem verum etiam erit quod $icut $e habet. e. b. ad. f. g. ita $e habe- bit. A. ad tres quintas dupli. N. quod quidem duplum. N. $ignificetur per. Q.

Sed $uperius iam demon$tratum fuit (vbi. X.) quod. o. b. ad. b. e. ita $e habebat vt H. A. ad. A. & nũc demum probatum fuit ita e$$e. A. ad tres quintas ip$ius. Q. vt. e. b. ad. f. g. Quare ex. 22. quinti ita erit. H. A. ad tres quintas ip$ius. Q. vt. o. b. ad. f. g. vt Y idem inquit.

Sed. H. A. ad. Q. (vt ex $uis partibus videre e$t) ita $e habet vt tres ad duo ex. 13. quinti, vt inquit Archimedes.

Ip$e etiam dicit proportionem. H. A. ad tres quintas ip$ius. Q. e$$e vt quinque ad duo. Pro cuius rei euidentia imaginemur tam. H. A. quam. Q. diui$a per quinq; partes æquales, vnde ex. 16. quinti habebimus quamlibet quintam part\-e ip$ius. Q. æqual\-e e$$e duabus tertijs vniu$cuiu$que quintæ partis. H. A. vnde tres quintæ ip$ius Q. erunt, ex communi conceptu, $ex tertiæ vnius quintæ ip$ius. H. A. hoc e$t duæ quintæ. ip$ius. H. A. Quare. o. b. ita $e habebit ad. f. g. vt quinque ad duo ex commu ni cõceptu, cum. o. b. ad. f. g. probatum fuerit $e habere vt. H. A. ad tres quintas ip$ius Q. (vbi. Y.) $ed iam probatum fuit (vbi. ω) quod. o. a. ad. h. g. erat etiam vt quinque ad duo, hoc e$t quod. f. h. erit duæ quint{ae} ip$ius. a. b. Quod e$t propo$itum.

EPISTOL AE. IO. BAPT. BENED.

In vltima verò propo$itione $ecundi lib. de ponderibus Archi. hoc modo intelli gendus e$t, vt $i diceret, Sit paraboles. a. cuius ba$is $it. a. c. $it\’q;. d. e. recta parallela dictæ ba$i. a. c. diameter\’q; b. f. Inquit deinde quod linea contingens in. b. parallela erit ip$i. a. c. et. e. d. quod proba bimus hoc modo. Cum. b. f. diameter $it et. a. c. ba$is, clarum erit ex definitione quod. b. f. diuidet. a. c. per æqualia in. g. Vnde ex. 7. vel etiam ex. 46. primi Pergei. d. e. diui$a erit per æqua lia à diametro. b. f. Quare verum dicit ex quinta $ecundi ip$ius Pergei hoc e$t quod dicta contingens in puncto. b parallela erit ambobus. a. c. et. e. d.

Inquit po$tea quod diui$a cum fuerit pars diametri qu{ae} inter. d. e. et. a. c. po$ita e$t (hoc e$t. g. f.) per quinque partes æquales, quarũ partium media $it. h. k. diui$a etiam imaginatione $it in puncto. i. ita quod proportio ip$ius. h. i. ad. i. K. eadem $it quæ in- ter duo $olida quorum vnum (illud $cilicet à quo relatio incipit, hoc e$t antecedens) pro $ua ba$i teneat quadratum ip$ius. a. f. cuius etiam $olidi altitudo compo$ita $it ex R duplo ip$ius. d. g. cum $implo. a. f. Aliud verò $olidum habeat pro $ua ba$i quadra- tum ip$ius. d. g. eius verò altitudo compo$ita $it ex duplo ip$ius. a. f. cum $implo. d. g.

Inquit nunc Archi. quod cum ita factum fuerit, o$tendet punctum. i. centrum e$$e portionis ab$ci$${ae} à tota $ectione, quod fru$tũ nomina\~t $ignatũ characteribus. a. d. e. c.

Sit igitur num@. m. n. inquit, æqualis diametro. b. f. et. n. o. æqualis. b. g. $it\’q;. x. n. me dia proportionalis inter. n. m. et. n. o. et. t. n. in continua proportionalitate po$t. o. n. hoc e$t quod ea proportio quæ e$t ip$ius. o. n. ad. n. t. eadem $it ip$ius. x. n. ad. n. o. Hinc habebimus. 4. lineas in continua proportionalitate $ibi inuicem coniunctas. m. n: x. n: o. n. et. t. n.

Vult etiam quod à linea. i. b. incipiens ab. i. ver$us. g. alia linea ab$ci$$a $it, cui li- A neæ, ita proportionata $it. f. h. vt. t. m. e$t ad. t. n. quæ quidem linea $ignata $it. i. r.

Dicit po$tea quod diameter. b. f. erit forta$$e a xis vel aliqua reliquarum diame- trorum, quod quidem in. 46. primi Pergei videre e$t, cum omnes diametri $int in- uicem paralleli ip$i axi.

Cum po$tea dicit, quod. a. f. et. d. g. $unt intentæ ductæ\’que, ibi vult id em infer- re, quod Pergeus vocat ordinatè, vt ex. 11. et. 49. primi ip$ius Pergei videre li- cet, vnde ex. 20. eiu$dem proportio. b. f. ad. b. g. erit vt quadrati. a. f. ad quadratum ip$ius. d. g. vt ip$e dicit.

Sed ita erit quadrati. m. n. ad qua dratũ. x. n. ex. 18. $exti Eucli. Quare ex. 11. quin- α ti quadratum ip$ius. m. n. ad quadratum ip$ius. n. x. eandem habebit proportionem, quam quadratum ip$ius. a. f. ad quadratum ip$ius. d. g. Vnde ex. 18. & ex communi $ci\-etia, eadem proportio erit ip$ius. m. n. ad. n. x. qu{ae} ip$ius. a. f. ad. d. g. vt inquit Arch.

Quaptopter proportio cubi ip$ius. m. n. ad cubum ip$ius. n. x. erit vt cubi ip$ius. a. f. ad cubum ip$ius. d. g. vt etiam dicit ex communi $cientia, nec non ex. 36. vndecimi.

Inquit po$tea quod proportio totius $ectionis. a. b. c. ad portionem. d. b. e. eadem e$t quæ cubi ip$ius. a. f. ad cubum ip$ius. d. g. quod verum e$t, vt aliàs tibi mon$traui in diui$ione parabolæ $ecundum aliquam propo$itam proportionem.

Quando autem dicit quod proportio cubi ip$ius. m. n ad cubum ip$ius. n. x. eadem β e$t quæ ip$ius. m. n. ad. n. t. verum dicit ex. 36. vndecimi. Vnde ex. 11. quinti ita $e habebit totalis $ectio. a. b. c. ad portionem. d. b. c. vt. m. n. ad. n. t. & ex. 17. eiu$dem ita erit ip$ius. m. t. ad. t. n. vt fru$ti. a. d. e. c. ad $ectionem. d. b. e. quemadmodum ip$e di- cit. Sed quia $uperius, vbi. A. ip$a. f. h. (quæ e$t tres quintæ ip$ius. f. g.) ad. i. r. ita rela- EPISTOL AE. ta fuit vt. m. t. ad. t. n. idcirco ex. 11. quinti ita erit ip$ius fru$ti. a. e. ad $ectionem. d. b. e. vt tres quint{ae} ip$ius. f. g. ad. i. r.

Inquit deinde quod proportio corporis iam $upradicti, quod pro $ua ba$i habeat quadratum ip$ius. a. f. altitudinem verò compo$itam ex duplo ip$ius. d. g. cum $implo a. f. ad cubum ip$ius. a. f. eadem erit quæ dupli ip$ius. d. g. cum $implo. a. f. ad. a. f. Quod quidem verum e$t ex. 33. vndecimi & ex prima $exti.

Sed $uperius (vbi. α.) iam probauimus eandem proportio nem e$$e inter. m. n. & n. x. quæ inter. a. f. et. d. g. ideo ex conuer$a pro portion alitate ita erit ip$ius. x. n. ad. n. m. vt ip$ius. d. g. ad. a. f. $ed dupli. x. n. ad $implum. x. n. e$t vt dupli. d. g. ad. d. g. Qua re ex. 22. quinti dupli. x. n. ad. m. n. erit vt dupli. d. g. ad. a. f. & ex. 18. eiu$dem ita erit dupli. x. n. cum $implo. m. n. ad. m. n. vt dupli. d. g. cum $implo. a. f. ad. a. f. Quare $olidi IO. BAPT. BENED. iam dicti ad cubum in$ius. a. f. ex. 11. quinti erit vt dupli. x. n. cũ $implo. m. n. ad. m. n.

δ

Superius autem vbi. β. demon$tratum fuit ita e$$e ip$ius. m. n. ad. n. t. vt cubi. m. n. ad cubum. x. n. & inter. α et. β probatum fuit ita e$$e cubi. a. f. ad cubum. d. g. vt cubi. m. n. ad cubum. x. n. Vnde ex. 11. quinti. m. n. ad. n. t. erit vt cubi. a. f. ad cubum d. g.

Dicit po$tea quod eadem proportio erit inter cubum. d. g. & corpus illud quod pro ba$i habeat quadratum in$ius. d. g. altitudinem verò vt dictum e$t, quæ e$t inter d. g. & compo$itum ex duplo. a. f. cum $implo. d. g. quod compo$itum e$t altitudo di cta, & verũ dicit ex ratione $uperius allegata pro reliquo corpore & cubo ip$ius. a. f. Quare etiam quemadmodum. t. n. $e habet ad duplum ip$ius. o. n. cum $implo. t. n. ex ij$dem rationibus $upradictis, vbiloquuti $umus de. x. n. cum. m. n.

Di$ponantur nũc omnia tali ordine, ita vt. u. primum $it corpus quod pro $ua ba $i habeat quadratum ip$ius. a. f. & c.

Et. y. $it cubus ip$ius. a. f. et. s. $it cubus ip$ius. d. g. et. z. $it corpus quod ba$im ha- bet quadratum ip$ius. d. g. altitudinem verò vt $upradictum e$t, et. p. $it compo$itum dupli. n. x. cum $implo. m. n. et. l. $it compo$itum dupli ip$ius. n. o. cum $implo. t. n. Sed. u. locata $it è regione. p. et. y. è regione. m. n. et. s. è regione. n. t. et. z. è regione. l. & habebimus proportionem ip$ius. u. ad. y. vt. y. ad. m. n. & ip$ius. y. ad. s. vt. m. n. ad. n. t. quod $uperius iam demon$tratum fuit, vbi, δ. et. s. ad. z. ita $e habebit vt. n. t. ad. l. vt vltimò probatum fuit. Quare ex. 22. quinti ita $e habebit. u. ad. z. vt. p. ad. l. quemadmodum dicit Archi.

Et quia vt $e habet. u. ad. z. ita facta fuit. h. i. ad. i. K. vbi. R. ideo ex. 11. quinti vt $e habet. h. i. ad. i. K. ita $e habebit. p. ad. l. vt ip$e dicit: Et ex. 18. quinti ita erit. h. K. ad. K. i. vt. p. l. ad. l. & ex communi conceptu. g. f. $e habebit ad. h. K. vt quintuplum ip$ius. p. l. ad. p. l. & ex. 22. eiu$dem ita $e habebit. f. g. ad. i. k. vt quintuplum ip$ius. p. l. ad. l. quintuplum autem ip$ius. p. l. compo$itum e$t ex quintuplo ip$ius. n. m. cum decuplo ip$ius. n. x. cum quintuplo ip$ius. n. t. cum decuplo ip$ius. n. o. vt à te facilè computare potes.

Verum etiam erit ex communi $cientia quod. g. f. ad. f. k. e$t ut quintuplum ip$ius p. l. ad duplum ip$ius. p. l. eo quod $uperius $uppo$itum fuit. h. K. e$$e quintã mediam, vnde. k. f. relinquebatur pro duabus quintis inferioribus, duplum autem. p. l. com- po$itum e$t ex duplo ip$ius. m. n. cum duplo ip$ius. n. t. cum quadruplo ip$ius. n. x. & cum quadruplo ip$ius. x. o.

Ex conuer$a proportionalitate deinde ita $e habet, i. K. ad. i. k. ad. f. g. vt. l. ad quin- tuplum ip$ius. p. l. et. k. f. ad. f. g. vt duplum ip$ius. p. l. ad quintuplum ip$ius. p. l. Vnde ex. 24. quinti. i. f. $e habebit ad. f. g. vt duplũ ip$ius. p. l. cum $implo. l. ad quintuplum ip$ius. p. l. Deinde ex conuer$a proportionalitate quintuplum ip$ius. p. l. $e habebit θ ad duplum ip$ius. p. l. cum $implo. l. vt. f. g. ad. f. i. Sed compo$itum dupli ip$ius. p. l. cum $implo. l. æquale e$t duplo ip$ius. m. n. cum quadruplo ip$ius. x. n. cum $excuplo ip$ius. o. n. cum triplo ip$ius. n. t. vt per te computare potes.

Superius enim $umpta fuit. i. r. ad quam ita $e haberet. f. h. hoc e$t tres quintæ ip- $ius. f. g. vt. m. t. ad. t. n. Quare ex conuer$a proportionalitate ita $e habebit. i. r. ad tres quintas ip$ius. f. g. vt. t. n. ad. t. m. Et quia. o. n. $umpta fuit æqualis ip$i. b. g. et. m. n. ip$i b. f. ideo. m. o. ex communi $cientia æ qualis erit ip$i. g. f. Vnde proportio. r. i. ad tres quintas ip$ius. m. o. erit vt. n. t. ad. t. m. vt inquit Archi.

Sed vbi. θ. iam probauimus ita $e habere. i. f. ad. f. g. vt duplum ip$i<_>9. p. l. cum $im- plo. l. $e habet ad quintuplum ip$ius. p. l. hoc e$t. i. f. ad. m. o. vt duplum ip$ius. p. l. cum $implo. l. ad quintuplum ip$ius. p. l.

EPISTOL AE.

Habemus igitur nuncomn\-es illas conditiones quas Archimedes in præcedenti propo$itione $upponit. Vnde ex rationibus ibi allegatis $equitur. f. r. e$$e duas quin- tas ip$ius. m. n. hoc e$t ip$ius. f. b. Quapropter punctum. r. centrum erit ponderis to- tius $ectionis parabolæ ex. 8. $ecundi lib. de ponderibus eiu$dem Archimedis.

Inquit nunc Archimedes, quod exi$tente. q. centro ponderis ip$ius parabolæ. d. b. e. partialis, centrum fru$ti erit in linea recta. q. r. f. ita remotum à centro. r. quod proportio. q. r. ad partem illam ip$ius. r. f. quæ reperitur inter centrum. r. & centrum huius fru$ti æqualis e$t proportioni totius parabolæ ad partialem. Quod quidem ve rum e$t ex. 8. primi libri eiu$dem.

Inquit etiam punctum. i. illud e$$e, eo quod cum probatum $it. f. r. duas quintas e$- $e ip$ius. f. b. ideo. b. r. tres quintas erit ip$ius. b. f. vt ip$e dicit.

IO, BAPT. BENED.

Sed. q. b. $imiliter tres quintæ e$t ip$ius. d. b. ex. 8. prædicta. Quare. q. r. tres quintæ erit ip$ius. f. g. ex. 19. quinti.

Dicamus igitur hoc modo cum. f. b. totum ad totum. b. r. ita $e habeat vt ab$ci$- $um. b. g. ad ab$ci$$um. q. b. ex. 7. et. 8. dicti primi libri eiu$dem ideo re$iduum. f. g. ex f. b. ad re$iduum. r. q. ex. r. b. erit vt totum. f. b. ad. totum. r. b. ex. 19. quinti Eucli.

Sed iam $ub. β. probauimus ita $e habere fru$tum. a. d. e. c. ad parabolam. d. b. e. vt m. t. ad. t. n. $ed vt. m. t. ad. t. n. ita a$$ umpta fuit (vbi. A.). i. r. ad quam $ic $e haberet. f. h. hoc e$t tres quintæ ip$ius. f. g. hoc e$t. q. r. quare ex. 11. quinti prop ortio fru$ti. a. d. e. c. ad parabolam partialem erit vt. q. r. ad. r. i. Exi$tente igitur. r. centro totius pa rabolæ et. q. centro partialis, ergo. i. centrum erit fru$ti propo$iti.

Sed $i nullo $olido intercedente, voluerimus centrum. i. fru$ti. a. e. citius inuenire, inueniemus primò centrum. r. totius figuræ ex. 8. $ecundi eiu$dem con$tituendo. b. r. tres quintas totius axis. b. f. & centrum. q. parabolæ. d. b. e. partialis $imiliter.

Nunc igitur manife$tum e$t nobis, eandem proportionem fore ip$ius. q. r. ad. r. i. quæ fru$ti. a. e. ad portionem. d. b. e. ex. 8. dicta. Vnde ex coniuncta pro- portionalitate ita $e habebit. q. i. ad. i. r. vt. a. b. c. ad. d. b. e. $ed vt. a. b. c. ad. d. b. e. ita $e habet. m. n. ad. n. t. eo quod vnaquæque harum duarum proportionum $e$quialtera e$t proportioni. f. b. ad. b. g. eo. quod. f. b. ad. b. g. ita $e habet. vt. m. n. ad. o. n. quare m. n. ad. t. n. ita $e habebit vt. g. i. ad. r. i. vnde di$iunctim. m. t. ad. t. n. ita $e habebit vt q. r. ad. r. i. Iungatur igitur. r. i. quæ quidem. r. i. ita $e habeat ad. r. q. vt. t. n. ad. t. m. vt habeatur centrum fru$ti.

EPISTOL AE. DEFENSIO NOSTRA CONTRA ANTONIVM Bergam, & Alexandrum Piccolhomineum. Illu$tri Domino Horatio Muto.

INTER ea quæ olim contra Antonium Bergam, $ermone Italico $crip$i, hoc vnum erat, quod ip $e Berga non viderat quendam notatu dignum errorem ip$ius Pi ccolhominei, vbi ip$e Alexander arguit quendam au- thorem in tractatu de magnitudine terræ & aquæ pag. 37. linea. 26. ita di cens, & erit maior aqua.

IO. BAPT. BENED.

Quo in loco clare videtur ip$um putare eandem proportionem inter diametros, quæ inter $phæras ip$as e$$e, nec amplius recordari eius quod $crip$erat pag. 24.

Piccolhom. igitur ibi $uppon\-es centrum. D. e$$e magnitudinis aquæ, & intra $phæ ram terre$trem, putat omnino cau$am e$$e vt terra $uperet aquam magnitudine, qua- $i quod $i punctum. D. vt centrum $phæræ aquæ, vnum idem\’q; e$$et cum puncto. E. extremo diametri ip$ius terræ, $phæra. A. G. H. $phæræ. A. B. E. dupla e$$e deberet, quod quidem nullo pacto fieri pote$t, quamuis etiam proportio. A. H. ad diametrũ A. E. $uperbipartiens$eptimas exi$teret, quæ minor e$$et quam $e$quitertia, ita quod quando etiam. D. E. maior medietate ip$ius. D. H. fui$$et, nihilominus tamen terra minor e$$et aqua, eo quod proportio dupla minor e$t, quam tripla ad propor- tion\-e $uperbipartienten$eptimas, & maior quã tripla ad proportionem $e$quiquar- tam. Vnde $i Piccolhom. $uppò$ui$$et proportionem ip$ius. D. H. ad. C. E. e$$e $e$quiquartam, rectè profectò dixi$$et, $ed dicere quod ubicunque exi$tat punctũ. D. intra $phæram terre$trem, $equitur ip$am e$$e maiorem aquea, verum non e$t.

Scrip$i etiam quod Piccoloho. decipiebatur vbi loquitur de diaphaneitate aquæ pag. 40. ita dicens.

Et cum rationabiliter aliquis exi$timare non pote$t, quod vmbra quæ facit ori- ri e cclip$es Lunæ, producta $it à terra, & ab aqua $imul, vt ab vno corpore aggre- gato exijs duobus elementis, & ad vnam communem $phæreceitatem reductis, pro pterea quod cum vmbra produci debeat à corporibus opacis, quorum opacitas effi- cit illa corpora vmbro$a, aqua autem, $it corpus diaphanum, & tran$parens, nullam vmbram poterit à $e eminus producere.

Hic enim decipitur Piccolhom. duabus rationibus, quarum prima e$t, quod ra- dius lumino$us non pote$t multum in profundum mergi, vt probaui in. 8. epi$tola ad Vimercatum, altera verò e$t, quod cum $phærica $it aqua maris, $upponatur etiam quod $ub ea nulla terræ portio e$$et, & quod radij $olares ip$am, non $ecus ac pilam ex cri$tallo fabr{ae}factam penetrarent, cum autem ip$i radij, tam ab una, quam ab alia parte $up erficiei huiu$modi globi frãgantur, ob di$$imilem diaphaneitatem inter ae rem & aquam, ip$i $einuicem inter$ecarent, vt po$t pilam cri$tallinam videre e$t, de- inde procedentes, di$gregarentur, di$ciparentur\’q; quou$que nullam vim illuminatio nis haberent, quod quilibet experiri poterit mediante aliquo va$e uitreo $phærico, aqua pleno, cuiu$uis magnitudinis, $oli expo$ito.

Rationes etiam quas eodem loco Piccolho. adducit ad probandum quod $i quis in fundo maris exi$teret, nullum uideret lumen, nihil ualent. Quarum prima e$t, ubi ita dicit.

Ille qui $e in aquam mergit, cum maiorem lucem, quæ $upra aquam e$t, relin- quat, iudicat pro magno temporis $patio locum illum ob$curum, quemadmodum accidit quando per multum temporis $patium fixis oculis in corpore Solis intuiti $u mus, ab eodem po$tea eo$dem amouentes, omnia ob$cura nobis videntur.

Ip$e autem non con$iderat quod talis ob$curitas quæ $equitur vi$ionem maioris luminis, parum durat, immo cito euane$cit, $ed in aqua nunquam reuertimur ad vi- dendum, ne que ve$tigium aliquod luminis ibi videtur, in fundo maris dico, quem- admodum nobis nuntiauerunt hi qui margaritas expi$cantur in imis partibus ingen tium æquorum indicorum.

Secunda uerò ratio ip$ius Piccolhom. e$t ubi ita dicit.

Altera cau$a quod nobis ob$curus appareat locus $ub aqua, e$$e pote$t ob$tacu- lum quod aquæ habent ab opacitate terræ $ub eorum fundo, etenim $icut chri$tallũ EPISTOLAE. quamuis per$picuũ $iue tran$par\-es $it, nihilominus propter ob$taculum plumbi $ub ip$o po$iti, efficit vt radij vi$uales repercu$$i reuertantur. ita etiam quamuis aqua $it corpus tran$parens, nihilominus propter ob$taculum terræ opacæ, quæ $ub$idet in fundo maris efficere pote$t ob$curas partes illas $ub aqua, illis hominibus qui in ip$a aqua mèrguntur.

In hac $ecunda ratione decipitur Piccolhom. Primum quia $i v$que ad imam par tem maris, Solis radius ferri po$$et, ille qui ibi e$$et, attollens oculos $ur$um Solem cerneret, deinde a$piciendo ip$um fundum Maris, videret illum, ratione reflexio- nis luminis ab ip$o fundo, & ex eadem ratione $peculi ab ip$o adducta, quæ contra ip$um e$t.

Decipitur etiam cum dicatradios vi$uales à $peculo $eu plumbo repercuti, eo {quis} non radij vi$uales $unt hi qui reflectuntur, $ed $unt radij lumino$i primarij, $eu $ecun darij qui non ab oculis exeunt $ed à corpore lucido.

Scrip$i etiam quod $i verum e$$et proportionalitatem continuam quãtitatum ele- mentorum ex proportione decupla con$tare, ignem pro maximo, terram verò pro minimo terminorum $umentes, totum aggregatum ex terra, aqua, aere, & igne, ita e$$et maius terra, quemadmodum mille centum & vndecim ad vnum, vnde $emidia meter regionis elementaris e$$et qua$i aut paulo maior decuplo $olum $emidiame- tro terræ, vnde inter conuexum ignis, & concauum minimi, $eu inferioris orbis lu- naris, relinqueretur quidam orbis vacuus $pi$$itudinis vnius interualli plus quam vi- ginti terræ $emidiametrorum, quod $patium vacuum orbiculariter, maius exi- $teret ip$a totali regione elementari plus quam trige$ies millies, immo $i $emidia meter dicti primi orbislunaris maior e$$et terre$tri vt trigintanouem ad unum, dict' orbis vacuus maior e$$et elementari regione plus quam. 58208. ad vnum, proportio nalitatem igitur continuam quæ ex decupla proportionalitate re$ultat in elementis e$$e putare e$t maximus error.

Subdit deinde Berga, hoc volui$$e Platonem nece$$ario requiri, vt extrema ele- menta, nempeignis & terra cum duobus medijs aere, & aqua coniungerentur, cum in corporibus $olidis (qua$i Berg{ae} $int quædam corpora quæ $olida non extent) po$$it dari medium æquale in geometrica proportione.

Sed vbi Plato ad $ermonem de numero elementorum $e confert, po$tquam ra- tione creationis ignis, & terr{ae} $e propo$ui$$e putat, vt id\-e de alijs duobus corporibus medijs probet, comparatione proportionalitatis continuæ geometricæ in tribus ter- minis, ratione rerum $uperficialium primò, deinde in quatuor, ratione corporearum vtitur, ita dicens.

Vinculorum verò ide$t apti$$imum atque pulcherrimum quod ex$e, & ex ijs qu{ae} a$tringunt, quam maximè vnum efficit, &c.

Quo in loco Plato in$erre vult de proportionalitate geometrica trium termino- rum, in qua ijdem ita $e habent, vt medius, primi, vltimi\’q; vice fungatur, ita vt vtriu$- que ip$orum extremorum particeps fiat, cum productum quod à medio termino in $eip$o progignitur idem $it ei quod ab extremis fuit, vnde medius, potentia idem e$t quod productum ab extremis.

Subdit deinde Plato dicens.

Quando enim in tribus numeris, aut molibus, aut viribus, medium ita $e habet ad po$tremum vt primum ad medium, vici$$im\’q; vt po$tremum cum medio, ita me- dium cum primo congruit, tunc quod medium e$t, & primum fit & po$tremũ, po- $tremum quoque, & primum & media fiunt. IO. BAPT. BENED.

Hic animaduertendũ e$t omnes interpretes falli, qui hoc loco Platonem de omni- bus proportionalitatibus continuis quæ ternario numero (alia enim Arithmetica, alia geometrica, alia harmonica dicitur) continentur, intelligendum e$$e cen$ent, quia de numeris, magnitudinibus, viribus\’q;, aut ut dici $olet, virtutibus mentionem fecerit. Plato enim nihil aliud inferre voluit, quam eandem pa$$ionem (ut ip$e reci- tat) inter medium extrema\’q; vnius proportionalitatis continuæ geometricæ, tam in quantitate, quam in qualitate re$ultaturã, cum tres termini eiu$dem e$$ent $pe- ciei, & quia quantitas in duas principes primarias\’q; partes, ide$t in continuam, & di$cretam diuiditur, hanc ob cau$am Plato hoc præcipuè $ignificat numerorum ma- gnitudinis\’q; vocabulis vtens, quibus vniuer$um quantitatis genus complectitur.

Cum verò ait vires, uniuer$um qualitatis genus inferre uult. Quia proportio & proportionalitas tam continua quam di$creta, non $olum interterminos quanti, $ed inter eos etiam qui quali attribuuntur elucet.

Sed quod eo loco de harmonica proportionalitate quæ cũ geometrica magis $im bola e$t quam cum Arithmetica Plato minime intelligat, ex eiu$dem uerbis cum ita $cribit manife$tè patet.

Quando enim medium ita $e habet ad po$tremum ut primum ad medium, uici$- $im\’q; ut po$tremum cum medio ita medium cum primo congruit.

Id enim in harmonica proportionalitate non cernitur in qua primus terminus ad po$tremum, & non ad medium, ita $e habet geometricè ut differentia inter primum & medium ad differentiam inter medium & ultimum.

Quod $i clarum e$t ip$um de harmonica proportionalitate nullo modo intellige- re, quanto minus de Arithmetica, quæ cum geometrica nihil habet commune.

Cum uerò Plato ait.

Tunc quod medium e$t & primum fit & po$tremum, po$tremum quoque, & pri- mum media fiunt, &c.

Nihil aliud o$tendere uult, quam $imilitudinem quæ inter huiu$modi medium & extrema intercedit, cum ip$um medium ad po$tremum, quem primus ad $eip$um, eundem re$pectum habeat, in quo e$t $imilis primo, & contra ad primum terminũ, eundem re$pectum, quem po$tremum ad $eip$um habet, unde hac ratione ultimum repr{ae}$entat, uolens Plato inferre de conuenientia qu{ae} inter media elementa, & ex- trema intercedit, ut aquæ inter aerem, & terram, cum aqua, ratione $uæ frigiditatis, terr{ae}, ratione uero $uæ humiditatis aeri $imilis euadat. Aer uero qui inter ignem, aquam\’q; ponitur quod ad caliditatem attinet cum igne, quod uero ad humidita- tem $pectat cum aqua communicet.

Sed quia Plato multis in rebus doctrinam Pythagoricam $equutus e$t, Pythago- rici aut em omnia numeris metiebantur, & de omnire $ecundum numerorum ratio nem di$$erebant, uidens\’q; Plato quod inter duos numeros $uperficiales, inuicem\’q; $imiles exi$tentes, unum tantum numerum medium in proportionalitate continua geometrica cadere pote$t, ideo $ubiungit.

Quod $i uniuer$i corpus latitudinem habere debui$$et, nullam uerò profundita- tem, unum $anè, tum ad $eip$um, tum ad extrema uincienda interiectum medium $uffeci$$et.

Sequitur po$tea $ic.

Sed cum $oliditatem mundus requireret, $olida uerò non uno, $ed duobus $em- per modis copulentur, inter ignem, & terram, Deus, Aerem, Aquam\’que loca- uit, &c. EPISTOLAE.

Volens inferre, quod quemadmodum inter duos numeros $olidos, & inuicem $imiles, vn<_>9 tãtũ medius proportionalis intercedere nõ pote$t, $ed duo nece$$ariò re quiruntur (vt exijs quæ Euclid. 8. lib. 16. 17. 18. et. 19. propo$itione proponit viden tur) ita dictãte ratione inter igneum, terreum\’q; corpus duo corpora interiecta e$s\-et, non ratione proportionalitatis continuæ in quantitate eorũdem corporum, $ed pro pter $imilitudinem connexionis, cum productum ex duobus medijs proportionali- bus æquale $it producto ab extremis, & idem re$pectus, quem primum ip$orum qua tuor ad $ecundum habet, $ecundi ad tertium extet, vnde $ecundum primo $imile euadit, & contra, re$pectus qui e$t quarti ad tertium, $it etiam tertij ad $ecundum, vn- de ip$um tertium, ratione vltimi $ubit, & eius imaginem induit, & hanc ob cau$am $ic $cribit Plato.

Propterea ex huiu$modi rebus numero quaternario conclu$is, mundi corpus con flatum e$t, ea connexum comparatione qua dixi. Ex quo $eip$um amicitia concor- di complectitur, &c.

Vbi Platonem, elementa maiora, minorãue in proportionalitate continua, nec geometrica, nec alterius cuiu$uis generis e$$e nolui$$e, clarè per$picitur, $ed huiu$mo di $imilitudine, in eo quod media elementa cum extremis conueniunt e$t v$us, quæ quidem conuenientia, nullibi maior, quam in proportionalitate continua geome- trica reperitur. Sed etiam $i Plato de huiu$modi corporea elementorum magnitu- dine $eip$um intelligi volui$$et, $i $emidiameter regionis elementaris ex {ae}quo vt. 39 ad vnum, re$pectu $emidiametri terræ fui$$et, aqua, ip$am terram, magis quam tri- ge$ies, & octies, non $olum decies, & aer quoque eandem magis quam. 1500. & ignis magis quam. 55000. partibus magnitudine $uperaret.

Sub$tantia vero rerum quas $crip$eram circa finem illius con$iderationis talis fuit.

Nunc autem tempus e$$e videtur, vt ego etiam, ne tantum de$truxi$$e, $ed etiam con$truxi$$e videar aliquid pro veritate di$$eram.

Non e$t igitur dubium, $olidæ doctrinæ viris, quin præ$tanti$$imus Piccolo. $e- cutus $it tutam viam ad explorandum, quod terra maior $it quam aqua, metiendo vtriu$que horum corporum $uperficiem detectam. Omittamus autem compen$a- tionem illam curuitatis, & concauitatis vallium, & montium, &c. quam ip$e Piccolo. propè finem $exti cap. vellet dare fluminibus, $tagnis, fontibus, & eiu$modi aquis. eo enim in loco labitur Piccolo. vbi non con$iderat, quod eiu$modi obliquis $uper- ficiebus non re$pondent anguli $olidi centri $phæræ, qui re$piciunt eorum ba$im ad rectos angulos. Sed po$tquam Piccolo. comperit $uperficiem terr{ae} detectam, e$$e maiorem apparente $uperficie $phærica aquæ, proculdubio poterat concludere ter- ram e$$e maiorem aqua, $icuti fecit, etiã $i aqua profunda e$$et pyramidaliter v$q; ad mundi centrum, ide$t. 3500. milliaria, $upponendo tantum e$$e huius globi $emi diametrum.

Verum quia po$$et aliquis dubitare circa diligentiam Piccolo. in hi$cæ duabus $u perficiebus dimetiendis, vi$um e$t mihi non alienum $equi aliam viam pro hac veri tate probanda, $upponendo verum e$$e, quod non vnus $olus metitus fuerit, $ed mul ti, ide$t $upponendo verũ e$$e quod maris profunditas men$urari po$$it, & præterea, quod non modo ip$ius maris maxima profunditas non perueniat ad quingentos pa$ $us, $icuti refert Piccolo. in fine $ui tractatus, & mihi a$$eruerunt Hi$pani multi, & Lu$itani præ$tanti$$imi nautæ, tum Venetijs, tum Parmæ, in Aula Sereni$$imæ quon dam Principis, inter quos, Venetijs fuit Illu$tris Rodericus Guzmanus, Dominus Franci$cus Lopes, Dominus Garzias de Seuilia, multi\’q; alij. Parmæ autem varij IO. BAPT. BENED. quos omnes recen$er\-e mole$tum e$$et. Sed etiam $upponendo quod maxima pelagi profunditas $it, non modo. 500. pa$$uum, $ed etiam. 500. millium pa$$uum, vt dixi, & quod mare $it huius profunditatis, non vno in loco tantum, aut multis, $ed quod $upra totam etiam faciem terræ, mare tant{ae} profunditatis ip$am terram vn- dique operiret, ide$t, quod vbicunque nunc terra detecta e$t, e$$et aqua, $pi$$itudi- nis. 500. millium pa$$uum. Atque vt planius intelligar $upponendo quod $icuti to- tus huius globi $emidiameter e$t milliariũ. 3500. Terre$tris partis $emidiameter e$$et t\~m. 3000. & reliquum $emidiametri, id e$t quingenta milliaria e$$et cra$$itudo $iue profunditas orbis aquei, in quo nihil nece$$e e$$et laborare in dimetiendis fon- tibus, fluminibus, lacubus, $tagnis, paludibus, & huiu$modi particulis nullius momen ti apud peritos, nec curare $ubterraneas aquas cauernarum, aut aliorum terræ cauo- rum, $eu terræ porro$itatum, quæ omnia $unt circa ip$ius terræ $uperficiem. Quia ve ri$imile non e$t naturam eiu$modi caua $iue $pong o$itates produxi$$e demi$$ius li- bramenti maris. Supponendo igitur ea quæ nunc dicta $unt, terra tamen e$$et ferè duplo maior aqua, hoc e$t, vt. 12. ad. 7. Quod quidem, cuiuis mathematicæ philo$o- phiæ mediocriter perito, $upputatu facillnnum e$t. Cum proportio diametrorum, $eu $emidiametrorum, tertia pars exi$tat proportionis eorundem $phærarum. Sed vt parum periti minore labore $upputare po$$int.

Primum $ciendum e$t, quod $upponendo diametrum globi, ex terra, & aqua com po$iti, e$$e. 3500. milliarium, & $emidiametrum puræ terre$tris partis e$$e. 3000. tan tum, eiu$modi proportio erit ut. 7. ad. 6. quia communis maior numerator horum duum $emidiametrorum erit. 500. qui in maiorem ingredietur $epties, in minorem a utem $exies. Et eiu$modi proportio $uperparticularis, vocatur $e$qui$exta, cuius triplum erit vt. 57. cum $exta parte ad. 36. & idem erit inter dictum globum compo- $itum, & partem terre$trem $implicem. Quare $ubtrahendo puram, $eu $implicem partem terre$trem, ex compo$ito, reliqua pars erit, vt. 21. cum $exta, pro quantitate aquei orbis, ad quam, terre$tris quantitas. 36. erit ferè in ead\-e proportione, quæ. 12. ad. 7.

Nunc forta$$e alienum non erit videre quanto ferè maior e$$et terra, quam tota aqua, non dico aut\-e $olum de parte illa maximæ e ius profunditatis, quæ nu$quam ad quingentos pa$$us peruenit, $ed de ficto illo orbe aqueo, profunditatis. 500. pa$- $uum, qui totum terre$trem orbem circundaret, & tegeret, $upponendo quod per quingentos pa$$us profunditatis, quidquid e$t terra, e$$et aqua, ide$t $uppo$ito quod ex totius orbis compo$iti $emidiametro exi$tente. 3500. milliarium, pur{ae} terræ $emi diameter e$$et milliarium. 3499. cum dimidio. Supponendo igitur, vt $upradixi. Comperietur quod terra e$$et maior aqua amplius quam. 2333. vicibus. Sed quia partes terræ detectæ rumpunt eiu$modi fictum orbem aqueum, quæ quidem partes, $unt ampliores $uperfici{ae} aquæ, vt ob$eruauit Piccolo. atque alij præ$tãtes viri, ideo $equetur, vt terra $it maior aqua amplius. 4666. vicibus imo amplius quinquies mil- lecuplo. Si autem quis diceret, in quantitate aquæ computari etiam illam, quæ gi- gnatur ex vaporibus, qui globum hunc compo$itum circundant: re$pondeo quod non modò ei concedo computari eiu$modi aquam, $ed $upponendo etiam quodto tus locus à vaporibus occupatus, qui attolluntur. 52. milliaria $upra $uperficiem huius globi, vt iam $upradictum e$t, totus e$$et aqueus, & amplius, $upponendo quod orbis hic aqueus e$$et $pi$$itudinis, $iue altitudinis quingentorum milliarium $upra totum ip$um globum compo$itum. Tamen terra e$$et maior ip$a aqua ferè duplo; qua dere, qui$que eiu$modi $upputationum peritus certior fieri poterit. Vnde iti- EPISTOLAE. dem affirmare po$$emus, terram non $olum maiorem e$$e aqua, $ed aqua & præte- rea aere, $i aer non tam altè pertingit, quam multi alij præter Piccolo. $entiunt, qui dicuntinde euenire quod aerea humiditas non tam altè a$cendere pote$t, quoniam humiditas ip$a grauitatem $ecum affert, præterquam quod nubium $itus o$tendit $u pra eas materiam e$$erariorem quam $int ip${ae} nubes, infra vero den$iorem. Corpo- ra enim eou$que a$cendunt donec inueniunt con$titutionem mediam formæ æqua- lis (vt ita dicam) $uis. Quare materia illa quæ impropriè ignis vocatur (non enim e$t ignis) incipit carere humiditate (qua mediante aer definitur) circa quinquage- $imum $ecundum milliarium $upra $uperficiem terræ, vt iam $upradixi à Vitellione demon$tratum fui$$e. Ari$to.autem affert ration\-e quare nubes altius nõ tran$c\-edãt. Vnde apparet tertiam aeris regionem impropriè aerem appellari, $i humiditate ca- ret, vt ait Ari$t. qua mediante aer definitur, immo potius retinet ignis naturam, vt etiam a$$erunt interpretes Ari$totelis in primum Meteororum. Qui Ari$to. in locis $upra citatis itidem o$tendit $e etiam huius modi e$$e opinionis.

Quod autem attinet ad probandum quod $uperficies terr{ae} detecta $it altior quam $uperficies detecta aquæ, id tam clarum e$t $ua $ponte philo$ophis, qui $ciunt quid $it altum, quidue demi$$um, quod $uperfluum e$$et quidquid $uper hoc dicerem præ terquam, quòd con$tat ex demon$tratione ab Ari$to. $acta textu 31. li. 2. de cœlo, in quo agit de corporibus in aqua po$itis, vnde eiu$modi veritas plani$$imè aperitur. Omittimus etiam quod præ$tantes Moderni omnes, eam pro manife$ti$$ima ponũt, $icutiapud omnes $ani iudicij homines reuera exi$timatur.

Hæc enim $unt quæ in fine illius con$iderationis $crip$eram.

Anno autem præterito editus in lucem fuit tractatus quidam Pulcherrimus, ab Ex cellenti$$imo, nec non Docti$$imo viro Augu$tino Michele, Patritio Veneto, ad cor roborandam opinionem antiquorum, vbi tot authoritates, tot\’q; rationes adducit, vt nil amplius dici po$$it. Atego $en$um, rationem\’q;, & non authoritatem aliquã $equutus $um: cum verò dico $en$um, de $en$u illorum intelligo, qui profunditatem maris metiti $unt, vt non mihi $olum, $ed, & Piccolo. & alijs permultis retulerunt, de ratione vero à me adducta, aliorum $it iudicium.

Sedi$te mirabilis & Excellenti$$imus vir, verba mea non accepit in eo $en$u, vt ego $crip$i, ita vt omnino alienas con$equentias $ibi confingat, quemadmodũ pag. 3. $ui tractatus inquit, me non concedere naturam produxi$$e in magna quantitate, atque immen$a, id totum, quod bonum, & nece$$arium e$t. Hanc enim con$equen tiam ip$e colligit ex eo, quod ego pag. 19. meæ con$iderationis contra Antonium Bergam $crip$eram, quod videntur multa corpora alijs nobiliora, nihilominus mi- nora, eo quod quantitas non $equitur nobilitatem, neque ab ea pender, ita vt res illa quæ nobilior e$t, nece$$arium $it vt etiam maior exi$tat. Sed Excellenti$$imus i$tæ vir $cribit ita me dixi$$e.

Multa immo infinita corpora $unt nobilia, & nece$$aria, nihilominus $unt paru{ae} molis.

Vide igitur quantum hoc di$tat ab illo.

Præterea cap. 12. aliam con$equentiam facit, quam ego non tam amplam facio. „ Ip$e enim me inferre vult in alijs terr{ae} partibus cauernas non reperiri, eo quod Mon „ @es $int cauerno$i. A$pice quæ$o. pag. 29. meæ con$iderationis, & clarè videbis me nullo modo negare illas concauitates $eu porro$itates terræ extra montana loca, circa $uperficiem terræ, v$que ad æquilibrium, orbiculariter, infimæ profunditatis maris.

Sed putare inferius has porro$itates reperiri, cum nulla ratio nobis per$ua$ibilis IO. BAPT. BENED. adhuc ab aliquo prodita $it, idoneum nullo pacto e$$et. Rationes autem ab ip$o Ex cellenti$$imo Augu$tino adductas circa huiu$modi rem, alij dijudicent, de authori- tatibus verò, nihil dicam, quia ab illis petendæ $unt, qui profitentur tales facultates, quorum vnius tantummodo authoritas præualere deberet, contra omnes alias eorũ qui nunquam attigerunt $ummis labris orificia harum $cientiarũ. Vt $i exempli gra- tia non $olum authoritas illorum virorum, quos ip$e recen$uit, $ufficiens e$$et vt pu ta Pioccolo. Naibodæ, Bordini, Clauij, reliquorum\’q; fautorum ver{ae} opinionis, $ed Franci$ci Maurolici tantummodo, qui in primo Dialogo $uæ co$mographiæ ita inquit.

Exi$timo autem totum terræ corpus rigidum e$$e $axum, nam $i arena e$$et, aue gleba fragilis, ita humorem imbiberet, vt cum eo qua$i confunderetur; huc ac- cedit, quod $i mineræ, ac rupes, quæ $unt graui$$imæ partes in ip$a plerunque $uper- ficie comperiuntur, multo magis apud centrum e$$e debent. Videtur ita ratio exi- gere, vt grauiora centro quoque $int propinquiora.

Hæcigitur $ola authoritas, in$tar reliquarum omnium $ufficere po$$et. Verum de authoritatibus minime curandum e$t, vbi $en$us, ratio\’q; vera illis opponuntur.

Quod autem numerus animalium aquatilium maior exi$tat numero terre$trium, $atis re$pondimus pag. 41. no$træ con$iderationis.

Sed in cap. 14. Excellenti$$imus Augu$tinus ita inquit (vt etiam $uperius dixerat) „ quod certiorem cognitionem homo non habet illa, quæ à $en$u prouenit. Et quod „ nemo e$t qui a$piciat terram, & aquam, quod hanc maiorem illa non iudicet, & nõ „ exi$timet.

Quod autem certiorem cognitionem homo non habeat illa, quæ à $en$u proue- nit, concedendum non cen$eo. Nam omnis cognitio mathematica (cum primum gradum certitudinis obtineat) ab ip$o $en$u fieret, quod omnino alienum e$t à veritate. Sen$us enim nunquam vidit incommen$urabilitates magnitudinum, vel incoincidentias linearum non tangentium cum curuitate hyperbolica, aut angu lum contingentiæ aliquem, nec (vt vno verbo dicam) aliquam conclu$ionem ma- thematicam, quam volueris. Neque per $en$um e$t $cire, inquit Ari$toteles. Co- gnitio igitur $en$itiua, certior non e$t illa, quæ per habitum $cienti$icum acquiritur.

Ad reliqua verò, $upponamus nos tunc fui$$e in Arca Noe, cũ aquæ cooperiebant omnia cacumina montium, vbi nullum terræ ve$tigium videbatur, quare proculdu bio aquam iudicaremus, atque exi$timaremus maiorem terra, dũ nulla aliare vtere- mur ni$i $en$u ab$que alio di$cur$u intellectuali, ut reliqua illa animalia irrationalia, quæ nobi$cum erant in dicta arca. Nõ $ufficit igitur $uperficiem aquæ tantummodo a$picere, quia neque tunc temporis, aqua erat maior terra, etiam $i non $olum tot cubitis attolleretur $upra cacumina montium, $ed quingenta milliaria, vt $upradi- ximus.

Ratio autem illa, ex infinitis, ab ip$o, eo in loco adducta, talis e$t.

Aqua e$t eccentrica ad terram, & pro c\-etro habet centrum grauitatis terræ, aqua igitur maioris e$t amplitudinis ip$a terra. Hanc etiam con$equentiam alijs relinquo Philo$ophis dijudicandam.

Sub$equitur po$tea dicens.

Præterea proprius locus terræ, e$t $uper$icies aquæ, igitur terram oportet ab aqua tegi.

Ad hoc etiam aliquis po$$et quærere, quis nam erit locus illius partis terræ de- tectæ ab aqua? nulli dubium erit quin $uperficies aeris, & non aquæ exi$tet.

EPISTOL AE.

Nune autem $i locus terræ e$t $ub aqua, ergo locus aquæ proprius e$t $ub aere, & non $ub terra, vnde non erit rationabile putare maiorem copiam aquarum exi$tere in cauernis $ubterraneis, quam $upra $uperficiem terræ. Adde quod locus illarum aquarum non e$$et $uperficies aeris, $ed terræ, vnde non minus locus aqu{ae} e$$et ter- ra, quam locus terræ, aqua. Sed mi$$a faciamus hæc.

Cap. verò. 20. ita inquit.

Materia elementorum æqualis e$t. Ergo aqua maior e$t terra.

Hæc enim con$equentia veri$$ima e$$et. Sed nullus vnquam Philo$ophus (vt Phi lo$ophus dico) concedet totam materiam elementarem, in quatuor æquales partes e$$e diui$am.

Cap. verò. 21. inquit me dixi$$e non $uffecturam paucam $pi$$itudinem. Eo enim in loco pag. 26. mei tractatus contradicens ip$i Bergæ, dixi, quod $ecundum ip$um Bergam non $ufficeret pauca $pi$$itudo.

Similiter etiam dixi, quod $ecundum ip$um, quanto remotius diffunditur lumen forta$$e tantò magis illuminat. Putans ip$e Berga quod in propinquo debilius exi- $teret dictum lumen. Et propter ea dixi, quod apud ip$um forta$$e nihil valet illa propo$icio, quæ dicit. Agens in propinquo, fortius agit quam in remoto.

Cap. autem. 22. vbi Excellenti$$imus Augu$tinus inquit, vnum tantummodo ele mentum non $ufficere ad generationem mi$torum. Hoc enim concedo, $ed hoc ni- hil ad me $pectat, eo quod meum re$pon$um ad Bergam, erat circa tran$itum lumi- nis, & non circa generationem elementorum.

Cap. demum. 23. pag. 20. linea. 10. vbi $cribit me dixi$$e, iudicare, oportebat $cribere, dubitare.

Puto tamen hoc vocabulum e$$e errorem Thypographi, quamuis in correctione illud non inuenerim, quia vt ego multoties expertus$um, difficillimum omnes Thy pographi errores corrigere, neque (vt fertur) Argi oculi $ufficerent.

Hactenus enim in mei defen$ionem hæc $ubiungere volui.

Ad defen$ionem autem Piccolo. aliorum\’q; virorum meæ opinionis, nec non de proportione duplicata profunditatis maris ad $uam amplitudinem, ex con$equentia pyramidali: alijs\’q; $imilibus rationibus, prodeant alij. Huiu$modi tamen Docti$$i- mi viriingenium, memoriam, nec non doctrinam valde admiror, atque ob$eruo.

DE METHODO PRODVCTIONIS FRACTORVM qua vtuntur Pedemontani Agrimen$ores. An$elmo Ro$emburg Agrimen$ori Ca$areo.

METHODVS quàm mihi $cribis in Prouincia tua maximè in v$u e$$e, nimis longa atque prolixa e$t, Pedemontani verò Agrimen$ores in produ- ctione fractorum, valde breui methodo vti $olent, quam libenter tibi $cribo, eo maxime, vt videas quam rationabiliter operentur.

Scire igitur primum te oportet illos, maximam eorum communem men$uram vocare Trabucum, cuius $extam partem vocant Pedem, duodecimam verò pe- dis, Vnciam, duodecimã aut\-e vnciæ punctũ, duodecimã demum puncti; Attomum.

Quotie$cunque igitur multiplicant trabucum, per trabucum nulli dubium e$t quin producant trabucum $uperficialem $cilicet.

IO. BAPT. BENED.

Similiter multiplicando pedes, vncias, puncta, & attoma per trabucum, produ- cunt pedes, vncias, puncta, & attoma $uperficialia rectangula oblonga, quorum lon gitudo e$t ip$ius trabuchi, latitudo vero lineæ dictarum $pecierum.

Dum vero multiplicant pedem per pedem, nulli dubium e$t quin producant pe- dem quadratum, $ed apud ip$os non vocatur quadratum, quamuis reuera ita $it, $ed illud vocant duas vncias, quæ quidem $unt rectangula oblonga iam hic $upradicta, quarum vniu$cuiu$que longitudo $it vnius trabuchi, latitudo vero vnius duodecimæ partis ip$ius pedis linearis.

Productum autem pedis per vnciam, vocant duo puncta, quæ etiam $unt duo re- ctangula oblonga, vt $upra.

Productum deinde vnciæ per vnciam, vocant duos attomos, qui etiã $unt duo re- ctangula oblonga, vt dictum e$t, quæ omnia $cientificè videbimus.

Pro cuius rei cognitione, $it, exempli gratia. a. e. vnus Trabuchus linearis. e. i. ve- ro vnus pes. i. o. autem vna vncia, o. u. po$tea vnum punctum, et. u. t. vnus At- tomus.

Vnde. e. i. erit $exta pars ip$ius. a. e. et. i. o. duodecima ip$ius. e. i. et. o. u. duodecima ip$ius. i. o. et. u. t. duodecima ip$ius. o. u. Sit etiam. a. b. æqualis. a. e. lineæ & $ic. e. d: i. f: o. g: o. n. & c. terminentur\’q; parallelogramma. b. e: d. i: f. o: g. u. et. c. t. vnde. b. e. erit trabuchum quadratum, et. d. i. pes rectangulus oblongus vt $upra, et. f. o. vncia rectan gula oblonga, et. g. u. punctum rectangulum oblongum, et. c. t. attomus rectangu- lus oblongus.

De producto igitur trabuchi per trabuchũ, nulli dubium e$t quin $it quadratum. a. d. vt $uperius diximus.

Productum autem trabuchi cum pede erit. d. i. $exta pars ip$ius. a. d. cum. e. i. $it $ex ta ip$ius. a. e. ex prima $exti vel. 18. aut. 19. $eptimi, $iue etiam ex. 15. quinti Eucli.

Productum autem pedis cum pede erit. e. K. quadratum, quod probandum e$t EPISTOL AE. duplum e$$e rectangulo. f. o. Nã. K. i. $exta pars e$t ip$ius. f. i. ex $uppo$ito, et. i. o. duo- decima ip$ius. e. i. proportio igitur. e. i. ad. o. i. dupla e$t proportioni ip$ius. f. i. ad. K. i. quare. K. e. duplo maius e$t ip$ius. f. o. eo quod $i. i. o. vel. f. g. (quod idem e$t) duplo maius e$$et ip$o latere pr{ae}$enti. o. i. vel. f. g. tunc. f. o. æquale e$$et ip$i. K. e. ex. 15. $exti vel. 20. $eptimi quod quidem. f. o. duplo maius e$$et ip$o præ$enti. f. o. Rectè igitur inquiunt dicentes productum pedis cum pede e$$e duas vncias, vel $i mauis, ita dicas e. K. $exta pars e$t ip$ius. d. i. ex iam dictis propo$itionibus. f. o. autem e$t duodecima ip$ius. d. i. ex ij$dem, cum ex$uppo$ito. i. o. duodecima $it ip$ius. e. i. quare. e. K. duplũ erit ip$ius. f. o. ex commu ni notione.

Productum verò pedis cum vncia. $it. K. o. quod probabimus ex ij$dem rationibus duplum e$$e ip$ius. g. u. puncti rectanguli oblongi. Nam. l. o. $exta pars $imiliter e$t ip$ius. g. o. et. o. u. duodecima ip$ius. o. i. quare proportio. i. o. ad. o. n. dupla e$t propor tioni. g. o. ad. o. l. $equitur ergo ex prædictis rationibus. k. o. duplum e$$e ip$ius. g. u. vel $ic, vtlin præcedenti, cum. K. o. $it $exta pars ip$ius. f. o. ex dictis propo$itionibus. g. u. verò duodecima eiu$dem. f. o. ex ij$dem, nam. o. u. duodecima e$t ip$ius. o. i. ergo K. o. duplo maius e$t ip$o. g. u.

Ex ij$demmet rationibus productum. l. u. pedis cum puncto duplum e$t ip$ius. c. t. attomi rectanguli oblongi.

Probandum nunc relinquitur productum. o. n. vnciæ cum vncia, quod e$t quadra- tum, duplum e$$e ip$ius. c. t. attomi rectanguli oblongi. Nam. i. n. e$t pars vna ex. 72. ip$ius. c. u. et. u. t. pars vna ex. 144. ip$ius. o. i. ex $uppo$ito, quare proportio. i. o. ad. u. t. dupla e$t proportioni ip$ius. c. u. ad. n. i. ex dictis igitur rationibus. o. n. duplo maius e$t ip$o. c. t. Vel $i placet dicas. n. o. e$t vna pars ex. 72. ip$ius. f. o. ex$upradictis, eo quod. n. i. ita $e habet ad. f. i. vt vnitas ad. 72. $ed ex ij$dem rationibus. c. t. pars vna ex 144. e$t ip$ius. f. o. eo quod ita $e habet. u. t. ad. o. i. quare. o. n. duplo maius erit ip$o. c. t.

Propo$itum $it nobis nunc, exercitij gratia, quærere $uperficiem alicuius rectan guli, cuius vnum latus $it trabuchorũ. 3. pedum. 2. & vnciarum. 3. aliud vero latus $it trabuchorum. 2. pedum. 3. vnciarum vero. 2.

Huiu$modi autem methodo mediante, multiplicando primum latus dictũ. 3. 2. 3. per numerum trabucorum $ecundi lateris. 2. $cilicet producentur nobis primò trabu cha $uperficialia. 6. pedes. 4. & vnciæ. 6. omnia rectagula, vt dictum e$t. Multiplican- do deinde idem primum latus. 3. 2. 3. per pedes. 3. $ecundi lateris. Ex trabuchis. 3. primi lateris cum. 3. pedibus $ecundi, producentur. 9. pedes rectanguli, hoc e$t vnus trabuchus cum tribus pedibus rectangulis. Ex pedibus autem huius. 2. cum ij$dem alterius lateris. 3. producentur. 12. vnciæ rectangulæ ide$t vnus pes rectangu- lus. Exij$dem pedibus. 3. $ecundi lateris, cum. 3. vncijs primi lateris producentur. Trabucha. # pedes. # vnciæ. 3. # 2. # 3. 2. # 3. # 2. 6. # 4. # 6. 1. # 3. # 1. # 6. # 1. # 6. # 8. # # # 1. 8. # 3. # 2. # 3. IO. BAPT. BENED. 18. puncta rectangula, hoc e$t vna vncia cum. 6. punctis rectangulis. Deinde ex multiplicatione vnciarum. 2. $ecundi lateris, cum. 3. trabuchis primi lateris, produ- centur. 6. vnciæ. Ex multiplicatione po$tea dictarum. 2. vnciarum $ecundi lateris cum. 2. pedibus primi, producentur. 8. puncta.

Demum ex ij$dem. 2. vncijs $ecundi lateris cum. 3. primi, producentur. 12. atto- mi, ide$t vnum punctum. Quæ omnia collecta facient trabucha. 8. pedes. 3. uncias 2. & attomi. 3. omnes rectanguli oblongi. Pulcherrima profecto operatio.

Trabucha. # pedes. # vnciæ. 3. # 2. # 3. 2. # 3. # 2. 6. # 4. # 6. 1. # 3. # 1. # 6. # 1. # 6. # 8. # # # 1. 8. # 3. # 2. # 3.

Videamus nunc exercitij cau$a, vt dixi, quomodo conueniat calculus i$te cum calculo ordinario communi?

Nam quotie$cunque dicta latera, fracta fuerint in vncias, primum latus erit vnciarum. 243. $ecundum autem. 182. productum vero vnius in alterum erit vn- ciarum quadratarum. 44 226. quod quidem productum cum diui$um fuerit per. 5184. vncias quadratas vnius trabuchi quadrati, prouentus erit. 8. trabucho- rum, reliquus verò numerus, $iue fractus, erit vnciarum quadratarum. 2754. qui cum diui$us fuerit per numerum. 144. vnciarum vnius pedis quadrati, prouenient pedes. 19. quadrati cum vncijs. 18. $uperabundantibus, dicti autem pedes. 19. $ignifi- cant tres pedes rectangulos oblongos cum vno pede quadrato, hoc e$t cum duabus vncijs rectangulis oblongis, vt $upra.

Videndum nunc e$t, vtrum illæ. 18. vnciæ æquipolleant tribus punctis rectangu- lis oblongis: $ed hoc manife$tè videre e$t, ex hoc, quia qu{ae}libet vncia rectangula oblonga componitur ex. 72. quadratis, punctum autem rectangulum oblongum, cũ $it duodecima pars ip$ius vnciæ rectangulæ oblongæ, ip$um componetur ex. 6. vn- cijs quadratis. 18. igitur vncijs quadratis, triplum erit ip$ius puncti rectanguli dicti. Vnde clarè patet, quod, quotie$cunque voluerimus $cire proportionem ip$arum vn ciarum quadratarum $uperabundantium, ad punctum rectangulum oblongum, $i dixerimus ex regula de tribus, $i. 72. (vncia rectangula oblonga) dat. 18. quid dabũt 12? puncta rectangula oblonga, quarum vnaquæque e$t duodecima pars ip$ius vn- ciæ rectangulæ oblongæ, in præ$enti autem ca$u prouenient. 3. pro quarto termino quæ$ito, & habebimus prop$itum.

EPISTOL AE. SOLVTIO CVIVSDAM QVÆSITI. Magnifico Ludouico Fauzzoni amico cariβimo.

TVI quæ$iti $olutio quam ne$cio quis te docuit, valde diuer$a e$t à vera. quæ$itum enim tale fuit.

Reperiuntur quatuor $ocij, Ludouicus, Hieronymus, Franci$cus, & Lau rentius quorum primus, Ludouicus $cilicet, po$uit aureos. 6000. Hierony mus verò aureos. 5000. Franci$cus autem. 2000. & Laurentius. 1000. quorum $um- ma faciebat aureos. 14000. interim tamen de tali $umma Ludouicus recepit aureos 2000. Hieronymus verò. 1000. Franci$cus autem. 900. & Laurentius. 800. quapro- pter in $umma re$idua Ludouicus non habebat ni$i aureos. 4000. Hieronymus etiã 4000. Franci$cus. 1100. & Laurentius. 200. quorum $umma erat. 9300. Nunc au- tem i$ti $ocij cupiunt augere hanc $ummam per aureos. 20000. tali tamen conditio- ne quod quilibet tantum tribuat vt in totali $umma, tantam partem unus habeat, quantam alter.

Hoc autem problema tam $acile e$t, & cum $uo theoremate ita coniunctum, quod miror amicum no$trum illud illico non vidi$$e.

Accipe igitur illos aureos. 20000. & eos collige cum $umma. 9300. vnde habebis aureos. 29300. pro sũma totali, cuius quarta pars erit. 7325. quã vnu$quisq; po$tea habebit in dicta $umma. Sed ut reperias quantitatem aureorum quam quilibet prius debet contribuere, vt po$tea habeat aureos. 7325. in dicta $ocietate. Iubeo, vt Ludouicus demat illos aureos. 4000. quos demum habebat, ex. 7325. reliquum autem erit. 3325. qui quidem numerus erit aureorum nunc contribuendorum ip$ius Ludouici. Demptis $imiliter aureis. 4000. ex dictis. 7325. remanebũt. 3325. pro con tributione ip$ius Hieronymi. Deinde $i ex. 7325. extracti fuerint aurei. 1100. relin- quent. 6225. pro contributione Franci$ci. Demptis demum. 200. ex. 7325. re$idui erunt. 7125. pro contributione Laurentij, & $ic quilibet habebit æqualem portio- nem in totali$umma.

Speculatio cuiu$dam Methodire ductionis numi$matum unius $peciei in aliam. AD EVNDEM.

MIrum tibi videtur quo pacto verum $it, quod $umma m\-edietatis cuiu$uis numeri illorum numi$matum, quæ hic vocantur Blanci, cum $exta parte eiu$ dem medietatis, $emper $it numerus florenorum huius prouinciæ. Vt exempli gra tia, quotie$cunque reducere voluerimus. 48. Blancos in Florenos, $i medietati ip- $ius. 48. hoc e$t. 24. adiecta fuerit $exta pars ip$ius medietatis, quæ e$t. 4. tunc habebi mus. 28. & ita dicemus quod. 48. Blanci con$tituunt Florenos. 28. quod quidem verum e$t.

Huiu$modi autem rei $peculatio ita $e habet. Nam vnu$qui$que Blancus diuidi- tur in. 7. æquales partes, quarum. 12. con$tituunt vnum Florenum, horum verò nu- mi$matum communis men$ura, vocatur Gro$$us, vt $cis, ex quo $equitur, quod $i IO. BAPT. BENED. 28. Floreni æquantur Blancis. 48. tot Gro$$i erunt in. 28. Florenis quot in. 48. Blan- cis. Fingamus igitur, mente, no$tram figuram. 79. Theorematis Arithmetici. x. u. o. e. n. $upponendo ambo producta. u. x. et. n. e. inuicem {ae}qualia exi$tere, & vnumquod- que e$$e gro$$orum. 336. $it etiam. o. x. vnus Florenus. 12. gro$$orum. o. n. verò Blan- cus. 7. eorundem gro$$orum. o. e. autem Blancorum. 48. Nunc certi erimus ex. 15. $exti vel. 20. $eptimi Euclidis eandem fore proportionem. o. u. ad. o. e. quæ. o. n. ad. o. x. $ed. o. n. e$t $umma medietatis ip$ius. o. x. cum $exta parte dictæ medietatis, ita igi- tur erit. o. u. ip$ius. o. e. hoc e$t $umma medietatis. o. e. cũ $exta parte medietatis eiu$- dem, quæ $umma in præ$enti exemplo erit. 28.

Hac enim $peculatione mediante, poteris methodum inuenire conuertendi Flo- renos in Blancos. Vt $i nobis propo$iti fuerint Floreni. 28. Voluerimus\’que inuenire quot Blancos faciant, $uppo$ita men$ura communi, iam $upradicta. Nam duplica- bimus numerum Florenorum, à quo duplo detrahemus $eptimam partem, reliquũ verò erit numerus quæ$itus.

Huiu$modi autem rei ratio e$t, quia, cum in $upradicta figura, proportio. o. e. ad o. u. {ae}qualis exi$tat ei, quæ. o. x. ad. o. n. atque etiam. o. x. $it minor duplo ip$ius. o. n. per $eptimam partem ip$ius dupli. o. n. minor erit. o. e. duplo ip$ius. o. u. per $eptimã partem eiu$dem dupli ip$ius. o. u.

Idem affirmo de quauis conuer$ione aliorum numi$matum, quorum $emper. o. x. maior $it. o. n. verò minor. Vt $i. o. x. æquiualeret. 7: et. o. n. valeret. 4. et. o. e. valeret 42. quæ quidem. o. e. men$uraretur ab. o. n.

Si cuperemus $cire quot. o. x. $int in. o. n. Primo dicemus in. o. n. reperiri $ummam medietatis $ex $eptimorum ip$ius. o. x. collectæ cum vna $eptima parte ip$ius. o. x. $eu (vt ita dicam) cum tertia ip$ius medietatis. Vnde dempta $eptima parte ip$ius. 42. quæ e$t. 6. collecta\’q cum medietate re$idui, quæ e$t. 18. habebimus. 24. res, quarum vnaquæque æqualis erit ip$i. o. x.

Sed $i quis cupiat reperire. o. e. dato. o. u. duplicet. o. u. à quo demat quartam par- t\-e ip$ius. o. u. & habebit propo$itum. Nam ita $e habere oportet. o. e. ad. o. u. quemad modum. o. x. ad. o. n.

De lucro mercantili. AD EVNDEM.

QVOD demum $cire à me de$ideras, e$t, quod cum vendideris libram vnam mercis pro. 4. $olidis, & lucratus fueris. 2. cum quarta parte vnius pro $ingu- lis decem libris, $cire velles quantum lucri facturus e$$es in libris dec\-e dan- do $ingulam libram pro. 6. $olidis.

Nulli dubium e$t quin decima pars de. 2. cum quarta vnius $it lucrum libræ vnius. Quæ decima pars $unt nou\-e quadrage$imæ partes, & hæc $ubducta à $olidis. 4. reli- qui erunt $olidi. 3. cum. 31. quadrage$imis partibus pro $orte vnius libræ. Qu{ae} $ors $ubtracta à $olidis. 6. remanebunt $ol. 2. cum. 9. quadrage$imis lucri pro libra, quod multiplicatum per. 10. proueniunt $ol. 22. cum quarta parte vnius, & tantum a$cen- deret lucrum, quod fieri po$$et in libris decem $i quamlibet, $ol. 3. cum. 31. quadra ge$imis nobis con$taret.

Vel $ic multiplicemus $ortem vnius libræ per. 10. productum erit. 37. cum tribus EPISTOL AE. quartis, iterum multiplicemus per. 10. $ortem cum lucro vnius libr{ae} quod e$t. 4. pro- ductum erit. 40. differens à primo $ol. 2. cum quarta parte, multiplicemus pariter per. 10. precium. 6. $olidorum proueniens erit. 60. à quo deducendo productum $or- tis librarum. 10. quod erat $ol. 37. cum tribus quartis $upererunt $ol. 22. cum quar- ta parte, vt $upra.

DE DIGNITATIBVS PLANETARVM. Adriano Panetio.

QVOD eam di$tinctionem orbium, quæiam inualuit, nonteneas, $ed putes totum e$$e quoddam continuum excipiens corpora $tellarum, nouum nõ e$t, nam nonnulli $olidæ doctrinæ Philo$ophi idem cen$uerunt. Sed quod attinet ad dignitates planetarum in $ignis zodiaci, $cias huiu$mo- di ordinem me compr{ae}hendere e$$e de$umptum ab ordine antiquo orbium ip$orũ planetarum, quiquidem ordo erat, vt $tatim po$t Lunam $uccederet Sol, po$t So- lem Mercurius, tum Venus deinde Mars, po$tea Iupiter, & tandem Saturnus per eo$dem\’q; orbes, retro redibant, atque hoc cogno$citur con$tituendo Cancrum do micilium Lunæ, Leonem, Solis, Virginem, Mercurij, Libram, Veneris, Scorpio- nem, Martis, Sagittarium, Iouis, Capricornum, Saturni, Incipientes deinde ab Aquario, quiad nos propius accedit eundem\’q; tribuentes Saturno, Pi$ces, Ioui, Arietem, Marti, Taurum, Veneri, & Gemellos, Mercurio, $eptem Planetas cum duodecim $ignis zodiaci concordes reddebant.

Quod deinde Ari$toteles in libris de $en$u & ijs quæ $en$ibus percipiuntur, dicit pupillam oculi e$$e nigram, non ita $e habet, nam idem e$t, ac $i quis diceret nigrũ e$$e illud medium, quod permitteret tran$itum lumini per $uam diaphaneitatem, nul lum lumen à $eip$o reflectens, & etiam ac $i quis diceret nigrum e$$e aerem alicuius cubiculi vndequaque clau$i tenebro$i.

Quod etiam idem Ari$toteles volens adducere cau$am, cur oculus magis mate- riam aquæ, quam aeris participet, dicensidea ratione fieri, quod aqua magis quam aer $eruari po$$it, eodem libro $cribit, e$t reuera admirandum. Ibi enim clarè de- mon$trat $e planè ignorare, & con$tructionem oculi, & cau$am diuer$itatis eorum humorum tam in $ub$tantia, quam in figura, quæ non aliunde dependet quam quod diuer$am refractionem radiorum lumino$orum producat, qui per pupillam ingre- diuntur, vt ad proprios $ibi\’q; de$tinatos locos dirigantur radij, vt à virtute vi$iua per fectius $en tiantur.

De ratione Frigiditatis locorum umbro$orum. AD EVNDEM.

VEra ratio vnde fiat, vt quanto magis $entitur calor in locis expo$itis Soli, tan- to minus $entiatur in vmbra, vbi Solis radius non reflectitur, e$t quia cum ra refactus e$t aer à vehementi calore radij $olaris, $eip$um colligit, & conden$atur in locis, à quibus à calore, ratione rarefactionis, non expellitur, & quia naturaliter ca- lor $equitur rarum, rarum calorem, & frigidum densũ, & densũ frigidum, vt vnicui que $an{ae} mentis patet, hanc ob cau$am $equitur rem ita $e habere vt diximus. Po$$u mus etiam ab$que dubio credere huiu$modi ratione fieri, vt frigus matutini tempo ris, in crepu$culo maius e$$e eo, quod noctu viguit. Nam materia con$i$tens in co- no vmbræ terræ, $emper den$ior e$t ea, quæ extra reperitur, imo noua materia con tinuo conden$atur, propter motum vmbr{ae}, quæ $emper corpori $olari opponitur. h{ae}c IO. BAPT. BENED. autem noua conden$atio dico $emper fit in crepu$culo matutino, hoc e$t in parte co ni à Sole pul$a, in parte vero contrari a ip$ius coni hoc e$t in parte crepu$culi ve- $pertini, contrarium accidit, quia potius aliquantulum in hac parte materia coni ra rificatur, quia extrin$eca conden$atur, in parte vero matutina extrin$eca rarificatur; & propterea intrin$eca conde n$atur.

QVOD RECTE ARIST. SENSERIT COELVM ca$u non e$$e productum. Hieronymo Condrumerio.

FErunt Ari$tippũ tempe$tate maris ad incognita littora delatum, cum in are- na vidi$$et qua$dã figuras geometricas delineatas exultant\-e l{ae}titia dixi$$e: Hæc $unt hominum ve$tigia. Nam con$onum rationi non erat, vt huiu$modi figuræ ca- $u e$$ent impre$$æ: neque etiam credendum e$t ingentem hanc ma chinam tanto or dine con$tantem fortuitò e$$e productam, cum nulla quantumuis minima eiu$dem particula, dummodo nitatur ordine, aliquo modo ca$u effecta fuerit; cum ca$us ni- hil producat, quod regulam & ordinem $eruet. Non e$t igitur producta ca$u admi randa corre$pondentia, quæ e$t obiectorum cum potentijs, luminis cum oculo, $o- ni cum auditu, $aporis cum gu$tatu, odoris cum odoratu, qualitatum tangibilium cũ tactu. Si diligenter deinde cuiu$libet rei naturalis operationem con$iderabimus, eas tanta arte con$tructas videbimus, vt cogamur fateri aliquam prudenti$$imam, & $agaci$$imam mentem eas forma$$e, $i ergo quælibet mũdi pars tanta cum ratione & ordine e$t con$tructa: quomodo fieri poterit, vt de toto ip$o mundo id in dubium vocemus, certi$$ime\’q; non credamus diuini$$imam aliquam m\-etem e$$e à qua exqui- $iti$$ima huius vniuer$i harmonia, quæ ex tot tantis\’q; partibus, maximo ordine ni- tentibus conficitur, non dependeat?

VARIA RESPONSA. Nicolao Petreio.

AD ea quæ mihi $cribis dico, quod excrementa quæ ex corpore $ano prodeunt in $ua ip$orũ qualitate $en$ibili ita $e hab\-et ad facultat\-e illius partis eiu$dem corporis, ut eã non l{ae}dant, qu\-eadmodũ efficeret $putũ, $i e$$et amarũ, aut quod ex cernitur na$o f{ae}tidũ e$$et. Imagineris igitur qu\-eadmodũ po$$it e$$e verũ id quod id\-e amic<_>9 no$ter ait. Pr{ae}terea $i aliquid tibi in oculũ inciderit, an ne$cis quomodo $tatim affatim affluat humor, vt id foras {pro}pellat, vel abducat? (mirabile opus naturæ.) Dic etiã eidem non ab$que my$terio naturam in tot mi$erijs $enectutem po$ui$$e, cum $æpi$$imè $enex mori de$ideret, ut huius vitæ calamitatibus liberetur, vnde fit, vt cum eius aduentum $entiat, minus affligatur. Dicito etiam eidem, naturam non fui$$e tam $olicitam de quibu$dam partibus quemadmodum e$t de toto, vnde ma- gis rotunda, & polita poterat e$$e $uperficies terræ, quam nunc e$t, quia natura ma gis re$picit totum, quam partes, & magis maiores, quam minores.

Dum tuas legerem, me continere non potui quin ri$erim, id quod $cribis te inter- roga$$e eum Philo$ophum naturalem, vnde fit, vt ventus $it frigidus, eum\’q; tibi re $pondi$$e, quod à remoti$$imis partibus veniat, generetur\’q; à vaporibus terræ frigi- dis. ( cum ip$a $it frigida.) Cæterum miror quod ab eo non quæ$ieris, vnde oriatur frigiditas, quæ percipitur ab agitatione aeris, qui quidem à vaporibus terræ non pro$ilit, nec à remoti$$imis partibus ad nos accedit. Sed quia de eadem re me in- EPISTOL AE. rerrogas, $cito naturã coniunxi$$e frigiditat\-e cũ den$itate, & caliditat\-e cũ raritate, vt $up. diximus, ita vt cum aliquod corpus den$a\~t, frigidũ redda\~t, & dum rarefit ma- iorem caliditatem acquirat, & $ic econtra fit, vt quanto magis aliquod corpus refri geratur, tanto den$ius reddatur, & quanto calidius fit tanto rarius efficiatur. Quo- ties igitur agitabitur aer, aut aliud corpus, quod ratione $uæ $ubtilitatis, velociter conden$ari, & rarefieri po$$it, eius partes den$iores $emper erunt frigidæ, & hanc obrem quilibet ventus, qui per calida loca non tran$eat, natura $ua frigidus, calidus autem per accidens erit. Hinc fit vt va$a vitrea, & terrea tam in vehementi frigore, quam in magno æ$tu frangantur, quia horum vnum fit, ne aliquis locus vacuus rema neat, & aliud ob loci nece$$itatem, $ed hoc non $equeretur, $i in materia, qua huiu$ modi vas con$tat, aliqua aeris portio non contineretur.

DE LVMINE LVNÆ, DE FINE LVMINIS, de fine motus corporum c{ae}le$tium, de albedine, de $phæra. Clariβimo Antonio Nauaiero.

LVMEN Lunæ etiam $i $it lumen reflexum Solis ab ip$a Luna, ab ea tamen non ita reflectitur, vt à $uperficie polita $peculi, cũ eius luminis tantã quã titatem $uper ip$um corpus lunare videamus, & eo modo terminatã quo con$picimus. per $e lumen, cau$a oculi e$t effectum, per accidens autem puta quod vis. Terra deinde nunquam lunari lumine (quãuis $olaris reflexio exi$tat) omnino de$tituta e$t, dico etiam, neque in ip$is ecclip$ibus $olaribus vel lunaribus, in $olaribus enim cum Soltot millia vices maior $it Luna, Luna verò minor terra, $e quitur, vt terra non omnino priuata remancat lumine Lunæ, in ecclip$ibus ve- rò lunaribus Luna $emper videtur, gratia luminis $olaris, quamuis refracti. Mo- tus corporum cœle$tium fit ratione $itus, & varietatis virtutis $tellæ in diuer$is locis, hæc autem varietas ab$que diuer$o $itu eiu$dem $tellæ, nec diuer$us hic $itus ab$que motu fieri po$$et, ita vt motus $tellarum $it ratione diuer$itatis $ituum ip$arum, er- go motus, & diuer$itas $ituum, fit, ob diuer$am influentiam. Quæ autem de albe- dine fratri tuo dixeram, erant, quod inter o\-es colores albedo, certo quodam modò, maior\-e $imilitudinem habet cum lumine. Primò quia magis coniungitur cum lumi- ne. Secundo quia magis afficit $en$um. Tertiò quia ab$que re$i$tentia magis reci- pit qualitatem aliorum colorum, quam alij colores. Quartò quia maximus e$t omnium colorum. Quintò quia $implicior e$t reliquis. Sextò quia di$gregat vi- $um. Septimò quia qualitas quæ in niue alba e$$e videtur, nihil aliud e$t quam mul- titudo quædam luminum reflexorum, & non albedo, $imilis ei, quæ e$t lactis, aut panni, quæ quidem $eptima cau$a effecit, vt ip$am albedinem, magis quam alium quemuis colorem cum ip$o lumine compararem, cum nihil $it, quod e$$e $uum trã$ mutans, aut apparenter, aut e$$entialiter, illud ip$um prius non tran$mutet in for- mam $ibi propin quiorem, vt manife$tè patet. E$t etiam huius rei octaua ratio, magni ponderis, quia $cilicet nullus $it color, qui magis re$i$tat lumini, aut in quem lumen minorem impre$$ionem faciat, quam albedo. Vnde $equitur, obiecta alba, minus e$$e combu$tibilia quam alia, cum quælibetres in $uum contrarium quam in IO. BAPT. BENED. $ibi $imile valentius agat, vtrectè vidit Ari$toteles cum dixit, omne contrarium @ $uo contrario patinatum e$t.

Inter corpora, multum $implicitatisretinet $phæra.

Circa quod, præter rationes adductas ab Ari$totele in libris de Cœlo, po$$umus etiam ratiocinarià facilitate motus vndi\’q; ab eo quod violentiæ non re$i$tar, ab eo, quod apta nata\’q; $it quie$cere $upra quoduis punctum $u{ae} $uperficiei, ab eo quod ab aliqua $uperficie alterius corporis $e$e tangi non permittat, quæ curuitate concaua non adæquetur, ni$i medio vnius puncti. Verum e$t, quod licet hæc vltima ratio nõ $it propria $phæræ, e$t tamen cau$a $implicitatis in eo, in quo reperitur, $ed propri{ae} pa$$iones $phæræ $unt $upradictæ, præter quam quod alia eiu$dem $phæræ e$t pro- prij$$ima, quæ e$t di$tantia eiustermini ab vno tantummodo puncto ide$t ab eiu$d\-e centro, & etiam po$$e diuidere corpus aliquod medium, cum æquali re$i$tentia circa punctum, quod prius in motu reperitur.

Aequalitas autem rerum, e$t etiam valde $imilis $implicitati, & vnitati.

Comparatio ui$us, & auditus. AD EVNDEM.

QVodad vi$um & auditum attinet, magis nece$$arium e$$e vi$um, & nobilio- rem quam auditum exi$timo, primò quia $i quis vi$u orbatus e$$et, contra frigus, & calorem, contra famen, & $itim nil prouidere po$$et, neque aliud quic- quam hoc vocabulum prouidere $ignificat, neque ab$que periculo vitæ ab vno loco ad alium ferri po$$et, neque aliquid arte facere.

Sed $i quis de$titutus e$$et facultate audiendi, $upradictas tamen operationes pr{ae}- $tare po$$et, neque modo careret, quo animi $ui $en$a ab$que beneficio $oni, $ed ope figurarum & characterum alteri aperiret: neque etiam munere $peculandi $cien tias (excepta mu$ica) de$titueretur. Ad $cientiam comparandam, longè magis ne ce$$arius e$t vi$us, quam auditus præterquam, quod vi$us maiorem numerum obie- ctorum, & differentiarum rerum percipit, & inter reliquos $en$us veloci$$imè imò in in$tanti operatur, magis remotè quam alij, & exactius $entit, minus\’q; quam reli- qui afficitur, præterquam quod $emperagit, dummodò non dormiat animal. Præ- terea $e$e magis patefacit, & prodit anima per oculos, quam per aliud, cuiuslibet $en$us, in$trumentum. Oculo magis quam alia corporis parte, hominis natura co- gno$citur: & $i aliquid $peculari volumus, quod $ine imaginatiua fieri non pote$t, $tatim imaginamur nos videre huiu$modirem, ac $i oculo fui$$et compræhen$a, & ab imagine quæ e$t vnum ex obiectis oculi, imaginatiua nuncupatur. Beneficio oculorum omnes ferè $cientiæ $unt adinuentæ. Auditus nil aliud quam $onum ca- pit, auditus nunquam detulit intellectui figuram, corpus $uperficiem, aut lineam, materiam, formam, locum, dimen$ionem, plenum inane, nec innumera alia acci- dentia, quæ ab oculo compræhenduntur. Quæ verò vi$ui, & auditui $unt commu- nia, $unt etiam tactui communia, vt numerus, motus, maius, & minus, $unt tamen ali qua oculo & tactui communia, quæ auditus non pote$t capere, vt durum, molle, acu tum, obtu$um, a$perum, lene, planum, curuum, concauum, conuexum, magnum, paruum, & $upradicta, ide$t figura corpus & c{ae}tera, vt ctiam rectum, obliquum, & $imilia.

EPISTOL AE.

Ari$toteles circa finem primi capitis libri de $en$u ait mediante vi$u, magis quã quolibet alio $en$u, nos percipere $en$ibilia communia. Vbi eundem per $e, & non per accidens magis nece$$arium e$$e quam auditum, tam in ijs quæ ad victum, quam in ijs quæ ad $cientiam pertinent e$$e a$$erit, quia auditus intellectui confert per accidens. Vide etiam quod idem $cribit primo metaphy$icorum. Et $i ad ali- quid perfectè cogno$cendum, oculo $e$e nobis offerrent ea omnia obiecta, quorum $pecies in imaginatiua formamus, ip$a imaginatiua non egeremus. Sed quia hoc fieri non pote$t, hunc the$aurũ imaginatiuè, $eu memoriæ ad con$eruandam imagi nem omnium obiectorum $en$ibilium nobis dedit natura, vt ope di$cur$us intellect<_>9 circa dictas imagines, rerum veritatem venari po$$imus. Sed vt ad propo$itum re- deamus, beneficio oculi animal liberum e$t, cum $ine ip$o locum mutare nequeat, vt $it tutum. tenebræ, priuatio\’q; vi$us $unt ferè vnum, & idem. Neque vllus e$t@$en- $us, qui $it magis $imilis intellectui quam vi$us: neque alij $en$us habent obiecta vi- ci$$im communia, quæ non $int etiam oculo communia, $ed inter oculum, & quem libet alium ex $en$ibus, inuenientur quidem obiecta communia, quæ cum alijs non communicabunt, vt inter oculum & tactum, figura, acutum, obtu$um, & $imilia, quæ alijs $en$ibus non percipiuntur. Mediante vi$u, & auditu etiam, compræhendũ tur variæ di$tantiæ, $itus\’q; obiectorum, nec non proportiones, & alia qu{ae;} ab alijs $en- $ibus non compræhenduntur. Multa obiecta deinde $unt $ubiecta gu$tatui, qu{ae} alijs accidentibus pr{ae}dita $unt, vnde cum fuerint $emel degu$tata, talia, qualia $unt ab o- culo percipiuntur, quod nullus ex alijs $en$ibus præ$tabit. Idem de obiectis odora- tus dico. Sen$uum nullus e$t qui maiorem $imilitudinem gerat cum vigilia & cum vita, quam vi$us, neque aliquid e$t, quod magis repræ$entet imaginem $omni, & mortis, quàm c{ae}citas.

Qui $ibi oculos eruit vt melius $pecularetur maxima $tultitia prius obc{ae}catus fuit quia $oni magis impediunt $peculationem quàm lumina, imò qui commodè vult contemplari, quantum plus pote$t nititur longius e$$e ab omni $trepitu, magis quàm à locis lumino$is, & animal magis lætatur lumine quam $ono: & ad $peculationem nos magis inuitat harmonia luminum variorum colorum & figurarum, quàm har- monia $onorum, præterquam quod in$trumentum vi$us totius corporis partium e$t pulcherrima, & in eminentiori loco locata, $i de in$trumentis $en$uum loquamur, & veluti fine$træ animæ. Et $i Ari$toteles dicat oculos & aures in vno eodem\’q; orbe exi$tere, volens inferre quod in eodem æquilibrio $int æqualiter alta non ita $e ha- bet, quia ($i de homine loquamur) oculus e$t altior aure. Beneficio huius $en$us, eo rum quæ ab$unt, & longo iam tempore $unt mortui, animi $en$a, & conceptus intel- ligimus, neque alia ratione rerum omnium memoria $eruari pote$t. Si cabala un- quam vera fuit, nulla alia ratione e$t deleta, quam quia alicuius $igni vi$ibilis medio con$eruata non fuerit, & quæcunque non $cribuntur, ide$t oculo non cõmendantur parum durant cito obliuioni tradun\~t. In maiori $emper pretio fuit pictura quã mu$i- ca: obiectis vi$ibilibus magis quam ijs quæ $ub auditu cadunt, affectus animi, atq; alia quælibet res naturalis exprimi po$$unt. Aegyptij volentes $ignificare Deum, oculi medio id præ$tabant.

Oculus, re$pectu aliorum in$trumentorum $en$uum, e$t qua$i epicyclus animæ, neque defuit qui crederet oculum e$$e principem animi partem.

Oculus à Sole, & à Luna ita dependet, vt qui tempore defectus cuiuslibet lumi- naris na$citur, $tatim cæcus euadat, neque aliqua e$t corporis pars in qua magis ap- IO. BABPT. BENED. pareat differentia vitæ à morte; quam in oculo. Ari$toteles ad finem cap. 15. lib. pri mi po$teriorum ait, clarum e$$e quod $i aliquis $en$us deficiat, futurum vt aliqua quoque $cientia de$it. Con$idera, quot $cientijs careret homo, $i vi$u orbaretur.

Et in tertio de anima ait, eum qui non $entit, nihil intelligere po$$e; id quod in- de confirmat, quia nihil $it in intellectu, quod prius non fuerit in $en$u. Plato in ti meo ait, oculos nobis attuli$$e rerum optimarum notitiam, & $i oculus non fui$$et ni hil eorum, quæ ad cœlum $pectant inueniri potui$$e, & cognition\-e diei ac noctis ab oculis ortum duxi$$e, vt reuolutiones men$ium, & annorum metiri, & tempus co- gno$cere, & inue$tigare ordinem naturæ vniuer$alis po$$emus; quibus philo$ophiã nobis comparauimus, ut alia multa omittam, quæ ibi à Platone dicuntur. Addam hic & aliam $pecialem differentiam inter auditum & vi$um, quæ e$t, vt obiectum vi $us $it permanens, & obiectum auditus tran$itorium $iue $ucce$$iuum aut, vt alio mo do idem dicamus, obiectum vi$us particpes $it æternitatis, illud autem quod e$t au- ditus non item, nam auditus tempori $ubiectus e$t, vi$us autem minimè. Vel $i di- camus operationem auditus ab$que tempore fieri non po$$e cum $it motio, operatio verò vi$us, nullo indiget tempore, cum ip $a $it momentanea, & propterea in$tan- tanea. Nam momentum non e$t motus, nec in$tans tempus.

QVARE HYEME VIDEATVR HALITVS animalium non autem æ$tate, & de vento. Pancratio Mellano.

VNDE fiat vt hyeme halitum no$trum videamus, & non æ$tate, ratio e$t ab eiu$dem halitus congelatione, quæ ab extrin$eco frigore fit. Prius enim $cire debes aerem attractũ in pulmone, foras deinde erumpere cum alio vapore aliquantulum cra$$iore humido, & excrementitio expul$o à natu- ra, quæ continuò no$trum corpus euaporare facit, vnde $equitur dum aer foras à pul mone pellitur, maiorem $emper materiæ portionem, ea quæ intus attracta e$t exire: vnde $tatim vt dicta materia foras expul$a, frigidum aerem offendit, cum con$tet ex partibus cra$$is, & obnoxiis congelationi, conden$atur in formam vaporis, ad dif- ferentiam aeris ambientis qui in $e eas partes cra$$as non habet, à quibus quid\-e par- tibus conden$atis, & redditis opacis reflectitur lumen, atque hanc ob cau$am æ$tate hoc non fit, quia calor vim conden$andi non habet.

Ventus nihil aliud e$t quam quidam aeris motus, cum conden$atur, ob defectum caloris, neque (pace Ari$totelis dicam) e$t exhalatio $icca. Exemplum à Vitruuio allatum nil planè valet, quantum $pectatad venti naturam, cuius rationem à mere- quiris. Exemplum etiam ventilabri quo tempore æ$tate vtimur negligendum pe- nitus non e$t, quia eius beneficio, non $olum arcemus à nobis aerem ambientem calidum, $ed alium etiam aerem circa nos conden$amus: & quia ordo naturæ e$t hu iu$modi quod quemadmodum calor $equitur raritatem corporũ, $ic etiam frigus eorundem den$itatem $equatur. Quod $i vis vt exemplo illu$trem, diligenter ob- $eruato tempore æ$tatis cum aliqua nubes nobis Solem adimit, vbiaer qui in eius EPISTOL AE. vmbra reperitur, tantum quantum defectus caloris radij $olaris fert, qui per vim, dictum aerem rarefactum con$eruabat, $tatim dictum aerem conden$ari cogno$ces: & quia ea conden$atio homogenea non e$t, ob diuer$as rationes, hanc ob cau$am percipimus eam aeris impul$ionem, & inæqualiter, dum verò eadem vmbra di$ce- dit, ventus, ferè, $tatim ce$$at, & $æpe ante quam dicta vmbra di$cedat; cuius rei cau $a e$t longa mora quam trahi vmbra, ita vt prius ab$oluatur reditus aeris ad formã, quæ ei conuenit in huiu$modi vmbra, quam faciet nubes dum Sol deregitur.

Vera non $unt ea, quæ tibi Arnoldus dixit, vt mihi tuis literis $ignifica$ti. Nam ego ita dixi, videlicet, quod quoti e$cunque aliquis a$pexerit aliquod punctum in $uper- ficie $peculi, tunc imaginem ip$ius po$t dictam $uperficiem videbit duplicatam, $i verò a$pexerit imaginem intra $peculum, tunc illud punctum videbit duplicatum, huiu$modi autem rei ratio pendet ab hijs qu{ae} ad Franci$cum Vimercatum $cri- p$i, quæ $i memoria tenes, nullum tibi dubium remanebit. Nam ea tibi omnia o$tendi.

Dum verò dicis omnem proportionem rationalem diuidi po$$e duobus numeris mediantibus in tres æquas partes, mihi ad memoriam reuocas id quod quidam Vitru uij commentator a$$erit $uper primum cap. noni lib. eiu$dem Authoris, ita dicens.

Benè e$$e pote$t vt diagonalis (quadrati $cilicet) numerorum via reperiatur, $ed forta$$e intercedent fracta.

Miror te non memoria tenere quid $int numeri rationales quidúe $urdi, neq; con $ideras, non $olum non e$$e diui$ibilem in tres æquas partes omnem proportionem rationabilem, $ed neque in duas, vt $unt $uperparticulares proportiones, necnon aliæ innumeræ, $ed cum talia $cribis te nimis parum ver$atum in i$tis rebus o$tendis.

Id verò quod tibi dicere volebam nudiustertius de Mercurio erat, quod nullo pa cto confidendum e$t calculis qui fiunt de cur$u Mercurij, eo quod eius $itus nullo mo do ob$eruabilis e$t, nam ip$e nunquam nec vbiuis locorum orbis terrarum vi$ibilis e$t altior. 18. gradibus $upra orizontem, $ed neque confidendum e$$et $i etiã ip$um videremus altum. 20. gradibus, propterea quod magna refractio radiorũ infra hos gradus nos valde fallit, quæ quidem refractio, nec vbiq;, nec omni tempore vnifor- mis e$t, propter diformem $eu inæqualem cra$$iciem vaporum quæ continuò muta tur. Imo multoties eum. videre putabimus $upra orizontem, exi$tente ip$o $ub orizonte.

Quod Ouidius tr an$currit à motu diurno, ad motum annuum prater rem. AD EVNDEM.

TVus etiam Ouidius ce$pitauit, cum pro itinere vnius diei efficiat, vt Phaeton à patre edoctus $it etiam de itinere annuali.

Nam, quod Phaeton petat pro cur$u vnius diei, clarè patet\-ex diuer$is locis, & pri- mò vbi ita $cribit Ouidius.

Currus petit ille paternos. Inq; diem alipedum ius & moderamen equorum.

Deinde vbi Pater ita loquitur.

Ardua prima via e$t, & qua vix man\-e recentes. IO. BAPT. BENED. Enituntur equi medio e$t alti$$ima c{ae}lo. Vnde mare, & terras ip$i mihi $æpe videre. Fit timor & pauida trepidat formidine pectus. Vltima prona via e$t & eget moderamine certo.

Etiam vbi dicit.

Dum\’q; ea magnanimus Pha\-eton miratur, opus\’q; Per$picit, ecce vigil nitido patefecit ab ortu. Purpureas aurora fores, & plena ro$arum. Atria, diffugiunt $tellæ, quarum agmina cogit. Lucifer, & coeli $tatione noui$$imus exit.

Necnon vbi ita inquit.

Et $i (modo credimus) vnum I$$e diem $ine Sole ferunt, incendia lumen Præbebant.

Quod autem à Patre in$truatur etiam de cur$u annuali, videbitur vbi ita dicit.

Nitor in aduer$um, nec me, qui cætera vincit. Impetus, & rapido contrarius euehor orbi.

Et vbi ita loquitur.

For$itan & lucos illic, vrbes\’q; Deorum. Concipias animo delubra\’q; ditia donis E$$e per in$idias iter e$t, formas\’q; ferarum. Vt\’q; viam teneas, nullo\’q; errore traharis. Per tamen aduer$i, gradieris cornua Tauri. Aemonios\’q; arcus, violenti\’q; ora Leonis. Sæua\’q; circuitu curuantem brachia longo. Scorpion atque aliter curuantem brachia cancrum. Nec tibi quadrupedes animo$os ignibus illis. Quos in pectore habent quos ore & naribus efflant, & c.

Sed lucidius etiam hoc videre e$t inferius vbi ita loquitur.

Nec tibi directos placeat via quinque per arcus. Sectus in obliquum e$t lato curuamine limes. Zonarum\’q; trium contentus fine, polum\’q; Effugit au$tralem iunctam\’q; aquilonibus arcton. Hac $it iter, manife$ta rotæ ve$tigia cernes.

Et vbi etiam dicit.

Neute dexterior tortum declinet ad anguem. Ne ve $ini$terior pre$$am rota ducat ad aram. De $upput atione quinque corporum regularium. De aliquibus etiam eorum $ympath{ij}s. AD EVNDEM.

ID quod à me de$ideras, ab alijs etiam factum e$t, $ed ne me putes laborem euita re, non præter mittam aliquid tibi $cribere, earum rerum quæ ab Euclide colle EPISTOLAE. gi, methodo etiam qua vtebar dum in i$tisrebus me aliquo modo exercebam:

Quotie$cunque igitur $cire volueris quantitatem corpulentiæ cuiu$q; quinq; cor- porum regularium ab vna eadem\’q; $phæra terminatorum $eu circun$criptibiliũ cu- rabis primum, cogno$cere quantitatem lateris cuius\’q; eorum, talium partium, qua- lium $emidiameter dictæ $phæræ $it. 100000. extabulis $inuum Nicolai Copernici. Propone igitur tibiante oculos figuram $emicircularem vltimæ propo$itionis. 13. lib. Eucli. & inuenies. c. d. tertiam partem $emidiametri. d. b. e$$e partium. 33333. æ- qualem $inui arcus. f. e. graduum. 19. mi. 28. qui quidem arcus d\-eptus cũ fuerit à tota quarta. b. f. remanebitarcus. e. b. gra. 70. mi. 32. cuius corda erit latus exaedri, quod latus ita cogno$ces, $umendo $cilicet $inum medietatis. b. e. hoc e$t $inum gra. 35. mi. 16. qui erit partium. 57738. cuius duplum erit partium. 115476. pro latere cubi.

Dempto po$tea quadrato lateris exaedri, & quadrato totius diametri. a. b. re$i- dui radix quadrata, erit. a. e. latus Tetraedri. Vel $i duplicaueris $inum dimidij ar- cus. a. e. qui quidem arcus, componitur ex quarta. a. f. & ex arcu. f. e. iam inuento, $iue, vt re$iduus totius dimidij circuli, dempto. b. e. iam $upra inuento, habebimus idem latus. a. e. partium. 163294.

Pro latere verò Octaedri accipere potes radicem quadratam dupli quadrati ip- $ius. d. b. & habebis. f. b. latus quæ$itum. Vel $i malis accipe duplum $inus medietatis arcus. b. f. quod duplum erit. f. b. partium. 14142.

Pro latere verò Duodecaedri, diuide latus Exaedri ex methodo. 11. $ecundi Eucli. cuius maior pars erit latus quæ$itum, partium. 71368.

Sed pro latere Ico$aedri, te primum oportebit inuenire quantitatem anguli g. d. a. hoc e$t ip$ius arcus. b. n. qui tali angulo $ubiacet, quod cum pluribus modis inue- niri po$$it, nihilominus, hunc $eruabis, inuenies primò quantitatem. d. g. quæ e$t ra dix quadrata $ummæ duorum quadratorum hoc e$t. d. a. et. a. g. quæ. a. g. æqualis e$t diametro. a. b. vt $cis, dices po$tea, $i. d. g. corre$pondet ip$i. g. a. cui corre$pondet. d. h. $emidiametro $phæræ? tibi veniet. h. k. $inus arcus. a. h. hoc e$t. b. n. graduum. 63 - min. 26. cuius medietas gra. 31. mi. 43. pro $inu $uo habet partes. 52571. cuius $inus du plum e$t partium. 105142. pro latere Ico$aedri.

Incipiendo nunc à Tetraedro, $cire debes, quod pars. a. c. totius diametri. a. b. æ- qualis e$t axi ip$ius Tetraedri, quæ quidem. a. c. vt $ub$e$quialtera ip$ius. a. b. erit par tium. 13333.

Quæres po$tea quantitatem $uperficialem vnius faciei ip$ius Tetraedri, hac me- thodo, inueniendo primum radicem quadratam trium quartarum quadrati ip$ius. a. e. lateris Tetraedri, eo quod latus hoc, $e$quitertium in potentia e$t ip$i per. pendiculari terminat{ae} ab vno angulorum trianguli æquilateris & à latere ei oppo$i- to ex. 11. tertijdecimi ip$ius Eucli. qu{ae} quidem perpendicularis, erit partiũ. 141416. & hæc multiplicata cum medietate lateris trianguli, hoc e$t cum. 81647. tibi dabit $uperficiem quæ$itam, hoc e$t ba$im Tetraedri partiũ $uperficialiũ. 11546192152. Hãc demum ba$im multiplicando cum tertia parte axis Tetraedri habebis corpu- lentiam totius Tetraedri, quæ erit. 513158964003488.

Neque tibi hoc loco occultare volo quandam meam animaduer$ionem, quæ e$t, quod diameter $eu perpendicularis ($upradicta) faciei ip$ius Tetraedri, $emper æ- qualis e$t lateri ip$ius Octaedri circun$criptibilis ab eadem $phæra, hoc e$t ip$i. b. f. quapropter quotie$cunque ip$am perpendicularem habere voluerimus accipiendo b. f. habebimus intentum. Et quod hoc verum $it po$$umus ita demon$trare.

Primum, notum nobis e$t, ip$am perpendicularem, triplam e$$e eius parti, quæ 10. BAPT. BENED. à centro circuli, ip$um triangulum circun$cribentis, terminatur, & à ba$i, vt in tertio propo$ito decimæ$eptimæ quartidecimi Eucli. probatur, ex quo $equitur proportio nem huiu$modi perpendicularis ad axem Tetraedri, hoc e$t ad. a. c. $e$quioctauam e$$e in potentia, ex penultima primi Eucli. Sed cum. d. c. tertia pars $it ip$ius. d. a. vt etiam ex. 2. propo$ito, $eu corollario decimæ$eptimæ. 14. lib. di$currere licet, cum ex dicto corollario. d. c. $it $exta pars ip$ius. a. b. Quare. d. c. quarta pars erit ip$ius. a. c. vn de. a. c. $e$quitertia erit ip$i. a. d. in longitudine, ideo\’q; quadratum ip$ius. a. d. ad qua- dratum ip$ius. a. c. erit vt. 9. ad. 16: & ita duplum quadrati ip$ius. a. d. hoc e$t quadra- tum ip$ius. b. f. ad quadratum ip$ius. a. c. erit, vt. 18. ad. 16. hoc e$t $e$quioctauum, er- go. b. f. æqualis erit dictæ perpendiculari, ex. 9. quinti.

Cubus po$tea ip$ius. b. e. erit partium. 1539838576570176.

Pro Octaedro deinde, accipies productum diametri in $emidiametrum, quod productum, æquale erit quadrato diuidenti per æqualia Octaedron, hocigitur pro- ductum, multiplicando per. 100000. $emidiametrum $phæræ, tibi dabit columnam quadrilateram cuius tertia pars, erit partium. 666666666666666. cuius duplum erit ip$um Octaedron partium. 1333333333333.

Pro Ico$aedro autem, oportet prius quantitatem perpendicularis inuenire, quæ perpendicularis, per æqualia diuidit ba$im ip$ius Ico$aedri, quæ vt radix quadrata trium quartarum quadrati lateris ip$ius ba$is, erit partium. 91055. talium, qualium dictum latus erit partium. 105142. cuius medietas e$t. 52571. quæ medietas $i mul- tiplicata fuerit cum dicta perpendiculari, dabit totam ba$im $uperficialem, hoc e$t $uperficiem vnius trianguli æquilateris partium $uperficialium. 4786852405. quo facto, accipe quadratum duarum tertiarum ip$ius, hic $upra dictæ perpendicularis, ip$um\’q; deme ex quadrato $emidiametri $phæræ, hoc e$t, ex quadrato ip$i<_>9. 100000 radix po$tea quadrata re$idui, erit partium. 79468. & hæc erit perpendicularis à cen tro $phær{ae} ad vnam ba$im ip$ius Ico$aedri, quam volueris, quam perpendicularem $i multiplicaueris cum quantitate $uperficiali, hic $uperius reperta, vnius ba$is, con- $equeris columnam trilateram partium. 380401586920540. cuius tertia pars, erit partium. 126800528973513. pro vna ex. 20. Pyramidibus ip$um corpus compo- nentibus. Breuius tamen hoc efficiens, $i multiplicaueris ba$im dictam, cum tertia parte ip$ius perpendicularis, hanc po$tea pyramidem multiplicando per. 20. habebis totam corpulentiam ip$ius Ico$aedri partium. 2536010579470260.

Pro Duodecaedro demum, accipe $inum gra. 36. qui grad<_>9 $unt pro dimidio quin tæ partis totius gyri circularis, <003> quid\-e $inus, erit partium. 58778. cuius quadratum $i d\-e p$eris ex quadrato ip$i<_>9. 100000. $emidiametri circuli circũ$cribentis aliqu\-e p\-e- tago num æquilaterum, & æquiangulum, tunc radix re$idui, erit perpendicularis du- cta à centro dicti circuli ad medium vnius lateris ip$ius pentagoni, quæ perp endicu laris, erit partium. 80902. talium qualium medietas lateris dicti fuerit. 58778. Nunc verò dicendo $i. 58778. dat. 80902. quid nobis dabit. 35684? medietas lateris ip$ius Duodecaedri, vnde da bit. 49116. pro perpendiculari, à centro ip$ius penta- goni, ad latus ip$ius Duodecaedri, quæ multiplicata cum me dietate $upradicta ip- $ius lat eris, hoc e$t cum. 35684. producet vnum ex quinque triangulis componenti- bus vn um pentagonum, $eu vnam ba$im ip$ius Duodecaedri, quod quidem triangu lum, erit partium. 1752655344. $u perficialium, quas $i per quinque multiplicaueris habeb is vnam ba$im pentagonam dicti corporis partium. 8763276720. Dicendum po$tea e$t, $i ad. 80901. conuenit $emidiameter circularis partium. 100000. quid cõ ueniet partibus. 49116. dabit. 60711. pro tali $emidiametro circulari, cuius quadra- EPISTOL AE. tum, $i demp$eris ex quadrato ip$ius. 100000. $emidiametro $ph{ae}ræ, tuncradix qua- drata re$idui, erit perpendicularis à centro $phæræ ad centrum pentagoni partium, 79461. cuius tertia pars, $i multiplicata fuerit cum pentagono $upra reperto dicti cor poris producet vnam ex. 12. pyramidibus componentibus dictum Duodecaedron, quæ pyramis, demum, multiplicata per. 12. dabit totam corpulentiam ip$ius Duo decaedri partium. 2785354925791680.

Nunc verò $i experiri voluerimus vtrum i$ti calculi duorum corporum maiorum $int rectè $upputati, dicem<_>9 $i ad corp<_>9. 12. ba$iũ, q<001> e$t partiũ. 2785354925791680 conuenit numerus partium. 2536010579470260. ip$ius Ico$aedri, quid conueniet lateri cubi partium. 115476. & inueniemus conuenire latus ip$ius Ico$aedri partium 105138. eo quod probatum $it in. 10. propo$itione. 14. li. Eucl. eandem proportion\-e e$$e corpulentiæ ip$ius Duodecaedri ad corpulentiam ip$ius Ico$aedri, quæ lateris cubi ad latus Ico$aedri.

Hæc autem corpora, ita $ibi inuicem, & cum eorum $phæra harmonicè conueniũt quemadmodum antiqui philo$ophi inuenerunt, vt mirandũ non $it, ip$os credidi$- $e omnia quæ natura con$tant, aliquo pacto exi$tis corporibus fieri. Con$idera quæ- $o quomodo conueniant inuicem Tetraedron, Octaedron, & Ico$aedron, cum uniu$- cuiu$que ba$es $int triangulares æquilateræ intelli gendo $emper hæc corpora ab ea- dem $phæra circun$criptibilia.

Octaedron, cum Tetraedro etiam in hoc conuenit, quod latus Octaedri æquale $it ei perpendiculari, quæ diuidit ba$im Tetraedri per æqualia, vt$upra demon$tra- uimus.

Harmonicis etiam interua llis hæc duo corpora inuicem concordantur, cum ba$is Tetraedri ad ba$im Octaedri $eruet proportionem $e$quitertiam, con$onantiæ dia- te$$aron. Et proportio omnium $uperficierum $iue ba$ium Octaedri $imul $umpta- rum, ad omnes ba$es ip$ius Tetraedri $imul $umptas $it $e$quialtera, con$onantiæ dia pentis. Neque omittendum e$t, quod proportio Octaedriad triplum Tetraedri $it, vt latus Octaedri ad latus Tetraedri.

Proportio verò lateris Octaedri, ad axem Tetraedri, potentia e$t $e$quioctaua, vt $upra vidimus interuallum $cilicet harmonicum toni maioris.

Harmonia verò Tetraedri, & Exaedri cũ eorum $phæra, talis e$t, vt proportio dia metri$phæræ, potentia, tripla $it lateri Exaedri, & $e$quialtera lateri Tetraedri, ex quo $equitur latus Tetraedri potentia duplum exi$tere lateri Exaedri. Interuallum enim triplum in harmonicis, componitur ex diapa$on, & diapente, & $onat $peciem diapentis. Duplum verò e$t diapa$on, $e$quialterum autem e$t di apente, qu{ae} con- $onantiæ perfecti$$imæ $unt.

Proportio verò diametri $phæræ, potentia dupla e$t lat eri Octaedri, con$onanti{ae} diapa$on. Ex quo $equitur proportionem lateris Tetraedri ad latus Octaedri, po- tentia, $e$quitertiam e$$e, hoc e$t con$onantiæ diate$$aron, & proportionem lateris Octaedri ad latus Exaedri, potentia, $e$quialteram e$$e, ita quod quatuor i$tæ poten tiæ, ide$t diametri $phæræ, lateris Tetraedri, lateris Octaedri, & lateris Exaedri con- $tituunt harmoniam ferè perfecti$$imam, ijs terminis comprehen$am. 6. 4. 3. 2. (dixi ferè, quia ditonus $upra terminum. 3. vel $emiditonus $ub termino. 2. hoc loco non reperitur, cuius quidem terminus e$$et. 2. cum duabus quintis.)

Adde quod diameter $phæræ triplus e$t longitudine ad perpendicular\-e ductam à centro $phæræ ad ba$im Octaedri, quæ proportio, vt $upra dictum e$t, dicitur dia- pa$ondiapente, practici verò eam vocant duodecimam.

10. BAPT. BENED.

Diameter verò $phæræ $e$quialter e$t longitudine axi Tetraedri, con$onantiæ diapentis. Axis autem Tetraedri $e$quitertius e$t longitudinis $emidiametro $phæ- ræ con$onantiæ diate$$aron. Ita quod i$ti tres termini, qui $unt, diameter $phæræ, axis Tetraedri, & $emidiameter $phæræ con$tituunt etiam valde perfectam harmo- niam huiu$modi numeris contentam. 6. 4. 3. corpulentia verò Exaedri ad corpu- lentiam Tetraedri tripla e$t, con$onantiæ iam $upradictæ diapa$ondiapente. Si ve- rò de vni$ono aliquid videre de$ideras, con$idera æqualitatem dupli quadrati dia- metri ip$ius $phæræ, cum omnibus ba$ibus Exaedri, vel potentia diametri $phæræ cum duabus potentijs $imul $umptis, quarum vna e$t lateris Tetraedri, reliqua verò lateris Exaedri, vel æqualitatem numerorum laterum Tetraedri, cum ba$ibus Exae dri. Nec mihi videtur $ilentio inuoluendum e$$e, antequam vlterius progrediar no tabilem $ympatiam inter triangulum æquilaterum, & Tetraedron (quãuis triangulũ corpus non $it) non $olum ob inalterabilitat\-e harum duarum figurarum. (nam omnes aliæ alterabiles e$$e po$$unt, ij$dem lateribns exi$tentibus, cum ex quadrato rom- bus, vel ex pentagono {ae}quiangulo, pentagonum non æquiangulum & c. efficiatur) $ed quod quemadmodum latus trianguli æquilateri $e$quitertium potentia e$t per- pendiculari ip$um per æqualia diuidenti, ita latus Tetraedri, $e$quialterum e$t po- tentia axi ip$ius Tetraedri, vnde cum dempta fuerit illa proportio $e$quitertia, ex hac $e$quialtera relinquetur nobis proportio $e$quioctaua, inter perpendicularem trianguli, & axem Tetraedri (quod etiam $upra demon$trauimus.) Tran$eamus nunc h{ae}c, nec omittamus tamen $ympatias qua$dam inter Exaedron, Octaedron, & Tetra edron, hoc e$t quod eadem proportio $it inter corpulentias Exaedri, & Octaedri, quæinter eorum $uperficies, nec non, vt latus Exaedri ad $emidiametrum $phæræ. Proportio verò ba$is Exaedri ad ba$im Tetraedri, vtlatus Tetraedri ad perpendicu larem diuidentem per æqualia eius ba$im.

Hactenus $atis dictum $it de Tetraedro, Exaedro, & Octaedro cum $phæra. Dic\-e dum nunc cen$eo aliquid de reliquis duobus mirabilibus corporibus, quamuis ferè omnia hæc ab antiquis philo$ophis inuenta $int, quorum primum e$t, quod tam ba- $is Duodecaedri, quam Ico$aedri, ab vno eodem\’q; circulo circun$criptibiles $unt, ve rùm, talis pa$$io accidit etiam ba$ibus Exaedri & Octaedri. Præterea quemadmo- dum in Duodecaedro, quilibet angulus $olidus terminatur tribus angulis pentago- norum æquiangulorum ita in Ico$aedro, quilibet angulus $olidus viceuer$a termi- natur quinque angulis triangulorum æquiangulorum. Et tam vnum, quam alte- rum horum corporum, triginta lateribus continetur. Et tot $olidos angulos trian- gulares, habet Duodecaedron, quot ba$es triangulares continet Ico$aedron.

Et Ico$aedron, tot $olidos angulos p\-etagonos, quot ba$es p\-etagonas habet Duo decaedron. Et tam vnum quam alterum habet. 60. angulos $uperficiales. Ead\-e\’q; proportio e$t omnium ba$ium $imul $umptarũ Duodecaedri ad omnes ba$es $imul $umptas ip$ius Ico$aedri, quæ corpulentiæ ip$ius Duodecaedri ad corpulentiam Ico$aedri (quamuis h{ae}c pa$$io accidat Exaedro cum Octaedro, vt $pra diximus) qu{ae} quidem proportio, eadem etiam e$t, qu{ae} lateris Exaedri ad latus Ico$aedri, vt $u- pra iam dictum fuit.

EPISTOL AE. NOVA INVENTIO COMPONENDI ASTROLABIA cum Horologijs artificialibus. Facobo Mayeto Ingenio$i{$s}imo Horologiorum Sereni{$s}imi Sabaudiæ Ducis Artifici.

NONNVNQVAM con$ideraui mirabilem pulchritudinem, $imul cum vtili- tate coniunctam, illorum horologiorum, quæin Germania con$truuntur cũ mobili Rete, $eu Aranea A$trolabij $u<003> Tabulã regionis, in <003>bus cõti nuo viden\~t oriri, occidere\’q; cæle$tia $igna, cælum mediare $upra orizon t\-e, necnon $ub eo, & vt vno verbo dicam, continuo erecta videtur tota coelifigura. Sed quia talia horologia omnia eorum limbum di$tinctum habent in. 24. horas, qua propter diametrum limbi, minorem duobus palmis, $eu $emipede e$$e non oportet neinter$titia horarum iu$tò breuiora $eu angu$tiora efficiantur, etiam ne interualla dentium rotæ indicis nimis angu$ta $int. Sed quia talis magnitudo vt plurimum in- commoda exi$tit. Ideo non inutile fore cogitaui, $i modus aliquis inuentus fuerit, vt ea omnia efficiantur in limbo diui$o tantummodo in. 12. horas æquales, ip$um\’q; inueni, qui quidem erit, efficiendo vt Tabula (in qua de$ignantur c{ae}le$tes domus, cum almicantarat, atque azimut) Reti $ubiectæ, mobilis $it, tardior tamen ip$o Re- te cum indice, pro duplo temporis, hoc e$t, quod eo tempore, quo Aranea cum in dice circunuoluetur $pacio. 12. horarum vno gyro perfecto, ip$a Tabula efficiat tan tummodo $exinter$titia horarum. Ide$t dum Tabula dicta e$$icit vnam integram re uolutionem, Aranea, $eu Zodiacus cum indice, duas efficiat reuolutiones. Ita quod Aranea cum indice perficiet vnam reuolutionem $paci o temporis. 12. horarum, Ta- bula verò perficiet eam $pacio temporis. 24. horarum. Vnde $equetur quod Ara- nea $eu Zodiacus cum indice, $pacio. 24. horarum perfectè circunuoluetur $upra Ta- bulam, & ita huiu$modi horologia, in hoc nihil differrent ab illis $upradictis. Vt au tem facias dictam tabulam tardiorem duplo temporis Araneæ cum indice, quamuis diuer$is modis hoc fieri po$$it, pr{ae}$tantiorem tamen iudico, $i cum Rota indicis, aliã Rotam concentricã coniunxeris, ita tamen, vt vnaqu{ae}q; liberè po$$it volui, $imiliter $i cum ea horologii particula (qu{ae} circũagit Rotam indicis, quæ Italicè ROCHETTO Germanicè verò TRIB vocatur, Latinè aũt ip$um vocabo, COLINVM, qui $ubro- ta fu$i reperitur) coniunxeris alium colinum quem, $ecundum vocabo, concentricũ verò cum primo, cum eo\’q; con$olidato, numerum verò dentium, tam Rot{ae} adiunct{ae} quam $ecundi colini, varijs modis poteris inuenire, quorum primus erit, vt numerus dentium $ecundæ Rot{ae} duplus exi$tat numero dentium prim{ae}, efficiendo $ecundum colinum eiu$dem numeri dentium quo primum, $ed quia interualla dentium huiu$- modi Rot{ae}, nimis angu$ta forta$$e re$ultabunt, propterea alios etiam modos inue- ni, quorum vnus erit (dum numerus dentium primi colini par fuerit) effici\-edo $ecun dam Rotã eiu$d\-e numeri dentiũ cuius e$t prima. $ecũdũ vero colinum, medietatis numeri dentium cuius erit primus. Attamen $i primus colinus e$$et. 4. dentium, $ecun dum oporteret e$$e duorum dentium, vnde motus $ecund{ae} Rot{ae} non e$$et ita conti- nuus. Quapropter alium etiam mòdum excogitaui, hoc e$t, cupiendo vt $ecundus colinus, extribus dentibus exi$tat, $i primus ex. 4. repertus fuerit, oportebit prius ex regula de tribus, numerum quendam inuenire quo inuento ip$um duplicare, & hunc duplicatum numerum conueniet $ecundam Rotam habere, vt ip$a po$$it ab illo co- lino triũ dentiũ circunuolui in duplo temporis, quo prima à $uo colino quatuor den IO. BAPT. BENED. tium. Exempli gratia, $i prima Rota con$taret ex. 36. dentibus, dicendum e$$et, $i 4. conuenit cum. 36. cum quibus conuenient. 3. & inueniemus. 27. cum quo numero dicta $ecunda Rota circunuolueretur eodem tempore à $uo colino trium dentium, quo prima à $uo quatuor dentium, quare duplicando. 27. haberemus. 54. pro nume- ro dentium dict{ae} $ecundæ Rotæ, vt duplo temporis circunuoluatur quo prima. Sed $i primus colinus con$taret ex. 6. dentibus, exi$tente $ua Rota ex. 36. vellemus\’q; {quis} $ecundus exi$teret ex. 4. tunc $uam Rotam oporteret habere dentes. 48. ex dicta re- gula. Si autem primus colinus con$taret ex numero impari, nihil referret, dummo- do huiu$modi numerus impar, $eu par, exi$teret pars propria numeri dentium, vel ip$ius dupli primæ Rot{ae}, hoc e$t, e$$et pars aliquota numeri dentium ip$ius primæ Rotæ vel ip$ius dupli. In ijs verò horologiis in quibus duplum numeri dentium di- ct{ae} prim{ae} Rot{ae} non erit multiplex numero dentium primi colini, hoc fieri non pote rit. Ratio enim tam clarè, tibi con$ideranti, patebit, vt nullis verbis indigeat cum $emper numerus dentium $ecund{ae} Rot{ae} multiplex e$$e debeat numero dentium $e- cundi colini. Idem autem non dico de prima Rota cum $uo colino, hoc e$t, vt nu- merus prim{ae} multiplex $it numero $ui colini, nam hoc nece$$arium non e$t. Pona- mus exempli gratia primum colinum con$tare $ex dentibus, $uam vero Rotam den- tibus. 21. cuius quidem numeri, 6. non e$t pars aliquota, $ed dupli ip$ius. 21. ip$e. 6. e$t pars aliquota. Nunc verò $i voluerimus numerum dentium $ecundæ Rot{ae} inue- nire, cuius colinus ex quinque dentibus exi$tat ($uppo$ito primo ex. 6. con$tare) tunc ex regula de tribus, diui$o producto, quod fit ex. 21. in. 5. per. 6. exibit. 17. cum di- midio, cuius duplum e$$et. 35. qui multiplex e$t ip$i quinque. Reperto igitur nume ro $ecund{ae} Rot{ae}, cum numero ip$ius colini, oportet nunc $cire modum compo$itio- nis, $eu coniunctionis harum rerum, hoc e$t duorum colinorum concentricorũ ($ed de ijs $atis iam $uperius dictum fuit) duarum Rotarum concentricarum cum Tabula, cum Zodiaco, & cum indice, $eu O$ten$ore, cuius quidem O$ten$oris medietas tan tummodo nobis $ufficiet. Sciendum igitur nunc e$t quod cum primus colinus re- uoluat totam primam Rotam, $pacio temporis. 12. horarum, oportet vt eius axis, $eu arbor voluat o$ten$orem, Zodiacum\’q;, eodem temporis $pacio, & quia Rota h{ae}c inalterabis e$t, propter eius coniunctionem cum $uo colino, & nos oporteat indicem Zodiacum\’q;, quotidie ferè, dirigere, $uis\’q; locis collocare, ideo nos oportet, indi cem, Zodiacum, & primam Rotam, ita cum axe, $eu arbore coniungere, vt po$$imus dicta omnia efficere. Pars igitur Arboris, $eu axis dicti, quæ ingredi debet in prima Rota, $it rotunda, & contigua ip$i Rotæ, non autem continua, vel cum Rota con$oli- data. Pars verò qu{ae} per foramen Zodiaci, $eu Arane{ae} tran$ibit, $it quadrata v$que ad $ummitat\-e ip$ius axis (tali $pi$$itudine, vt in claui ip$ius horologij ingredi po$- $it) & ita foramen ip$ius Arane{ae}, quadratum $it, O$ten$or autem circa axem, com po$itus $it tali ordine, vt circa paruum circulum volui po$$it, qui paruus circulus ha- beat quadratum foramen, per quod tran$eat axis, qui axis aliquantulum emineat $upra o$ten$or\-e. Sub Aranea vero vel Zodiaco, locata erit Tabula, vt nũc dicemus, $ed $ciendum e$t prius, quod inter Tabulam, & $uam $ecundam Rotam, aliam lami- nam immobilem interpo$itam e$$e oportet, qu{ae} circulare foramen habeat, per q<001> qu{ae}dam breuis fi$tula tran$eat circundans axem & coniungens Tabulã cum $ua Ro- ta, cuius quidem fi$tulæ $uperficies concaua, rotunda $it, $uperficies verò extrin$e- ca, nontota, ni$i ea pars, qu{ae} $ecundam Rotam ingreditur, vt in rotundo foramine ip$ius Rot{ae}, dicta fi$tula volui po$$it, pars vero extrin$eca qu{ae} Tabulam ingredi de- bet, $it quadrata. Tabula vero quatuor parui$$ima foramina habeat in extremitati- EPISTOL AE. bus linearum, meridian{ae}, & verticalis, vt acu mediante volui po$$it, prout oportebit.

Perfectum igitur cum fuerit op us hoc, te oportet $cire modum ip$o vtendi. Qua- propter quotie$cunque volueris, a$pice Solis locum in Zodiaco, Ephemeridibus me diantibus, idem dico de vnoquoque reliquorum planetarum. Inuento po$tea So- lis loco in no$tro Zodiaco horologij, manu mediante, volue o$ten$orem, ita, vt li- nea fiduciæ tran$eat per gradum Solis, deinde, claui ip$ius horologij mediante, vol- ue indicem, ita cum Zodiaco coniunctum, vt linea fiduci{ae}, punctum, $eu partem ho- r{ae} o$tendat in limbo horologii, qu{ae} quidem hora notanda e$t $i fuerit ex ijs qu{ae} in- cipiunt à meridie v$que ad mediam noctem, vel à media nocte v$que ad meri- diem, tunc acu $upradicta mediante, po$ita in aliquo illorum quatuor foraminum, circunuoluenda e$t Tabula, ita, vt extremitas line{ae} meridian{ae} $upra orizontem, ex {ae}quo incidat inter duodecimam horam, & lineam fiduci{ae}, computum incipiendo à duodecima hora, $i vero dicta indicis hora fuerit ex ijs qu{ae} incipiũt à media nocte & de$inunt po$tea in meridie, oportebit, acu mediante, circunuoluere Tabulam, quo- u$que punctum extremum meridianæ $ub terra, medio loco exi$tat inter duodecimã horam, & horam o$ten$am à linea fiduci{ae}. Quo facto continuo videbis erectam c{ae}- li figuram. & quia vidi$ti loca planetarum in Ephemeridibus, videbis etiam eorum loca accidentalia in domibus $cilicetaccidentalibus, $i aliquas fixarum in Aranea de$iderabis, accipere poteris Ocu. {ου}, cor. {δι}, $pi. n{pro}, Liram, Aquilam, & Arcturum, dum locus fuerit capax. Nec te moueat, quod oportebit lineam fiduci{ae} $upra gra. Solis quotidie collocare, quod nihil refert. Nam oportet etiam quoti- die cordam fu$o circunuoluere.

DE DEMONSTRATIONIBVS PROPOSITIONVM Mathematicarum, nec non de A$trologia Iudiciaria. Fullustri$$. D. Volfardo Ai$e$tain.

NIHIL mihi gratius & iucundius afferri potuit tuis literis, quibus te cupi- dum o$tendis $ciendi rationem, quare ego non vna methodo ad omnes propo$itiones demon$trandas v$us $im, hoc e$t, quare non omnia ea Eucl. Theoremata citem in vnaquaque propo$itione, qu{ae} ad eã demon$trandam faciũt, quemadmodum in mea Gnomonica vidi$ti me aliquando omi$i$$e. Re$pondeo {quis} mathematic{ae} demon$trationes, hominibus Euclidis Elementa po$$identibus, non in digent aliqua citatione numerorum Theorematum ip$ius Euclidis, & $i aliquando v$us $um aliqua citatione eorundem, hoc feci propter con$uetudinem no$tri tempo ris, vel etiam ad faciliorem intelligentiam illorum, quibus $cribebam. Sed omnia quamuis minima citare, vt faciũt nonnulli, mihi, nimis laborio$um, $uperfluum\’q; videtur, pre$ertim ijs (vt dixi) qui memoria tenent prima Elementa. H{ae}c igitur e$t vna ratio. Alia, quia multoties, ita coniuncta e$t $peculatio cum ip$a conclu$io ne, vt mihi ${ae}pius vi$um $it $uperfluum, aliquid de ip$a theoria $cribere. In iis enim, qu{ae} dum puer eram$crip$i, videbis $crupulo$am illam methodum, $ed po- $tea, non ni$i in arduis propo$itionibus me nihil e$$entiale pr{ae}termittere.

Circa vero id de quo me interrogas, $cilicet, vtrum putem omnia vera e$$e, ea qu{ae} $cripta reperiuntur in libris A$trologæ iudiciari{ae}. Re$pondeo quod non, imo IO. PAPT. BENED. puto plurima fal$a e$$e. Nam illa multitudo partium, vt pars vit{ae}, pars Hylech, pars futurorum, & reliqu{ae} omnium domorum cœle$tium, $alua parte fortun{ae}, $unt mer{ae} nug{ae}. Idem dico de faciebus, $iue decanis, de terminis, & de gradibus ip$is, vt pu- ta azemenis, puteis, vacuis, fumo$is, & de reliquis. De Domibus vero, Exaltationi bus, nec non triplicitatibus, experientia cõfirmat ea vera e$$e. Id\-e affirmo de Domi bus accidentalibus, rationalibus tamen, non aut\-e de Domibus Campani, & Gazuli. Ob$eruationes etiam complexionum $eu in$luentiarum ip$orum Planetarum rectè factæ $unt, qu{ae} etiam à coloribus ip$orum Planetarum ferè iudicari po$$unt. Con- iunctiones a$pectus\’q; ip$orum inuicem, $imiliter mirabilia faciunt, & ex maiori par te, ea, qu{ae} de i$tis $cribuntur vera $unt. Reuolutiones annu{ae} $imiliter, cum Domino anni. Dominum verò orbis Diui$orem\’q; non approbo, nam hic pendet à termino, ille verò ab hora. Nouenarias autem Dodecathemoria, Alfridarias, & multa iis $i milia omnia nego. Anti$cia, vera $unt, ide$t influunt, malos tamen effectus, alia plus alia verò minus, prout aliqua eorum $unt tetragona, alia verò trigona, alia ma- gna, alia parua, magna $unt, vt Arietis cum Virgine, & Libr{ae} cum Pi$c<007>bus, parua ve rò, debilia\’q; Geminorum cum Cancro, & Sagittarij cũ Capricorno. Sed difu$ius h{ae}c oĩa videbis in meo illo particulari tractatu, de quo tibi aliàs d<007>xi, in quo multa videbis, qu{ae} omnia ab experient<007>a, ex multis à me ob$eruatis, comprobata $unt, quem quidem tractatum cum quibu$dam alijs meis $peculationibus in lucem prode re cupio, $i fieri poterit, antequam ad directionem mei Horo$copi cum corpore Martis An{ae}ret{ae} perueniam, qu{ae} quidem directio circa annum mille$imum quin- gente$imum nonage$imum $ecundum eueniet.

FINIS. ERRATA CORRIGITO IVXTA INFRASCRIPTAM TABVLAM, Reliquos verò errores, qui orthographiam re$piciunt, benignus lector corrigat, qui$ciat multos errores in editione irrep$i$$e, quod non paucos dies morbo fuerim detentus dum præ$ens opus excuderetur. Pag. # Lin. # Errata # Correcta 3 # 29 # æqualis # æquali 8 # 35 # maius # maior 9 # 15 # in vnitate $uperficialis, erit ac # in vnitate, $upreficialis erit, ac 11 # 1 # proueuiens # prouenientem 11 # 8 # futurum # futurus 11 # 31 # illæ nihil aliud $unt # illud nihil aliud est 11 # 38 # diuidemus # diuidamus 12 # 1 # tertiæ, $int # tertiæ $int 12 # 2 # producturn # productus 19 # 30 # proueniens # prouenientem 19 # 30 # productum æquale # productus æqualis 21 # 27 # eadem # eædcm 24 # 18 # e$t # e$$et 26 # 39 # est # e$$et 41 # 24 # quæ # quæ 41 # 31 # distinguendæ # di$tinguendo 59 # 5 # $ub$equens # $ub$equentem 61 # 3 # hæc via tenendæ # hanc viamtenere 61 # 3 # fuit # fuerit 61 # 45 # numerum quæ$itum # numerus quæ$itus 62 # 30 # quantum est dimidiã occupatam # quanta est dimidia occupata 64 # 4 # $peculari # con$iderari 64 # 15 # totq; $unt termini # totq; e{$s}e terminos 64 # 18 # hoc est numerum # hoc est per numerum 64 # 19 # primo quod vnus est # primo qui vnus est 66 # 18 # minimum # minimns 67 # 13 # maximum terminum addendũ # maximus terminus addendus 72 # 1 # numerum # numerus 72 # 8 # $ingulos itinere # $ingulos in itinere 74 # 7 # itinerarium # itinerant ium 78 # 21 # morum # modum 78 # 24 # noueratius # nouenarius 81 # 10 # iuncta # iunctæ 88 # 35 # armonicæ # harmonicæ 91 # 6 # Quare argum\-etãde permut ando # Quare permutando 95 # 27 # vitium # vicium 97 # 14 # $umma # $ummam 97 # 30 # illud verò quod con # illud verò con 98 # 22 # de$ideraremus # de$iderauerimus 103 # 23 # di$po$itis facit # di$po$itis, tantum facit 104 # 39 # di$po$itis, facit # di$po$itis, tantum facit 107 # 21 # eccedit # excedit 110 # 41 # habuerit eius cerebrum # habuerit cerebrum 113 # 46 # $ufficeret # $uffeci{$s}et 116 # 8 # quarum $ecundam # quorum $ecundum 116 # 8 # primæ, tertiam # primi, tertium 116 # 9 # $ecundæ # $ecundi 130 # 23 # ducenda # ducendus 133 # 10 # lineam qua # lineam, qua 133 # 11 # dratam # dratum 134 # 16 # inueniet # inuenimus 137 # 22 # distans # di$tantius 137 # 45 # Noti{$s}imum igitur primum # Noti{$s}imum primum 139 # 15 # est # $it 139 # 28 # duas # duos 141 # 5 # comperui$$e # comperi$$e 142 # 19 # quã # ac 143 # 17 # linea # lineam 144 # 23 # patebit, $i quis # patebit, quòd $i quis 145 # 18 # constante # constantem 146 # 20 # pa$tam # ma$$am 146 # 22 # pastam # ma$$am 148 # 13 # {pro}ponit nõ cõcludit melius aũt # proponit, nõ concludit, melius aũt 14 # 41 # prætergradiatur # prætergredietur 152 # 6 # videtur # videri 153 ## 22 \\ 23 # quia libra # quia cum libræ 153 # 23 # materiales, cum $u$tineantur # materiales $u$tineantur 153 # 24 # existente. vnde aliqua # exi$tente, aliqua 154 # 23 # futurum # effecturam 155 # 25 # carta # charta 156 # 23 # $ufficere # $ufficeret Pag. # Lin. # Errata # Correcta 158 # 26 # ver$a # ver$am 158 # 26 # $it # $int 162 # 22 # cindenda # $cindenda 163 # 7 # oppe$itus # oppo$itum 164 # 24 # tanta # tantæ 164 # 37 # adiunctæ nobis e$$ent duæ aliæ # adiuncti nobis e{$s}ent duo alii 164 # 39 # $estineret # $ustineret 164 # 40 # dictæ # dicti 164 # 41 # aliquam # aliquem 165 # 3 # $uffieiant # $ufficiat 165 # 4 # $ub$e$quialter # $ub$e$quialterum 186 # 32 # finit # finitam 187 # 29 # propinqua # propinqui 187 # 30 # philo$ophi $upra # philo$ophi, proximè $upra 187 # 31 # contingeret men$e # contingeret vt men$e 187 # 34 # region<007>s) non con$iderans # regionis) in quo non con$iderauit 190 # 11 # lenas # lenæs 190 # 23 # lenis # leuis 191 # 10 # aliud quadratum # alius quadratus 191 # 15 # qualis # qui 193 # 17 # cum # tum 193 # 36 # fit # facit 193 # 40 # pleno vbi # pleno po$uerimus, vbi 195 # 10 # valent # valent apud ip$os 196 # 19 # phylo$ophiæ # philo$ophiæ 196 # 20 # pellendo # plendo 198 # 18 # $unt etiam # e{$s}e etiam 204 # 12 # priñcipium # principum 204 # 18 # indigna # indignas 204 # 21 # diffundetur, cre$cat # diffundatur, & cre$cat 205 # 16 # aliquando $er # aliquando me $er 205 # 19 # anno præter, nece{$s}itat\-e, gignitur # anno, præter nece{$s}itat\-e gignitur 206 # 21 # plenilunium, quod # plenilunium fieri, quod 207 # 26 # inchoet annus # inchoetur annus 209 # 9 # $oli, quod punctum # $olis, cuius punctum 210 # 10 # cælebrandi # celebrandis 212 # 33 # Inuentæ # Inuenti 212 # 33 # duæ # duo 214 # 9 # cla{$s}i # cla{$s}is 214 # 10 # Inter Eximias # Quia inter Eximias 214 # 26 # reperiretur # reperietur 214 # 34 # nece$$ario $it futurum, vt # nece{$s}arium $it, vt 215 # 37 # quod $i velimus # $i velimus 215 # 39 # pote$t vno eodemq; # vno eodemq; 215 # 45 # $it circulus # $it verè circulus 217 # 2 # Quod cum verum # Quod $i verum 217 # 4 # nulla estratio # nulla e$$et ratio 221 # 31 # inueniemus # de$ignabimus 222 # 20 # falli # fallat 225 # 20 # $i quæ # $iq; 225 # 25 # chnum # chnium 226 # 14 # oleum effundebat # effundebatur 227 # 5 # euadit # euadet 231 # 36 # $upradicta, minuta # $upradicta minuta 232 # 21 # progrediuntur # progredi 234 # 15 # aliiori cœlo # altius cælum 239 # 12 # dum # cum 241 # 41 # afferens # cogitans 245 # 25 # diametri # diametros 248 # 42 # $it & ob id # $it, ob id 249 # 42 # alium numerum # alio numero 250 # 13 # um voluerimus # cum inuestigare voluerimus 251 # 1 # inuenerimus # inuenimus 252 # 6 # tros # ter 252 # 6 # alia verò diametro # alius verò diameter 252 # 8 # te id non # te non 252 # 12 # duabus # duobus 255 # 16 # in numero # numero 255 # 25 # cum non videat $i # cum non videat quod $i 255 # 36 # $uo centro # $uis centris 255 # 39 # mille milliaria # mille milliariorum 255 # 41 # trecent a mille # tercenties mille Pag. # Lin. # Errata # Correcta 257 # 5 # quem # quod 257 # 11 # quem # quod 257 # 8 # quod # nam 258 # 15 # ictum # ictus 258 # 15 # eundem e$$e futurum # idem e{$s}et 258 # 27 # debet, quanto # debet, in huiu$modi $itu, quanto 258 # 41 # quod # qui 262 # 17 # erunt # $upponuntur 263 # 22 # a. K facta $it # a. K $it 263 # 22 # $emidiameter e{$s}e vnius # $emidiameter vnius 265 # 4 # cognitæ # cogniti 272 # # infigura vbie$t. P. # ponatur. R 272 # 18 # E. i. ad. E i. # E. I. ad. E. i. 273 # 3 # licet # liceret 274 # 7 # te # <007>bi 275 # 10 # dividere # d<007>uidendo 276 # 47 # accipiemus # accipiamus 278 # 8 # Moreta # Moreta 280 # 25 # diminutæ, quartæ # diminutæ $eu defectiuæ, quarta 281 # 36 # graui{$s}imum # graui{$s}imo 281 # ## in fine pag. vnamquanque Zifram accommoda $ub vnoquoque al- \\ phabeti characterem ad priores Zifras prius addendo. 1. Idem dico \\ in pag. 282. & inter, D. et E. pone. b. 285 # 24 # antea # ante 289 # 11 # quanta pars # quantam partem 289 # 25 # quanta pars # quantam partem 289 # 42 # e$t # erit 290 # 10 # $atile # $atilis 290 # 19 # æqualis # æquale 290 # 43 # circun$criptibilis # circun$cribentis 291 # 1 # od # Quod 294 # 33 # detractis # detracti 294 # 34 # angulis contingentiæ $olidi$q; # anguli contingentiæ $olidiq; 295 # 24 # chorda # chordam 295 # 32 # lixum # lixus 297 # 1 # di$tincta, procedendo # di$tincta $int, procedendo 299 # 32 # refle{$s}um # reflexum 299 # 34 # fle$$um # flexum 302 # 14 # ea$dem # eo$dem 304 # 3 # ta # tus 305 # 21 # Idem facere # Idem po{$s}umus facere 312 # 37 # duplæ # duplo 313 # 6 # quotie$cunque # qui 315 # 23 # retrogradandum # rotrogradiendum 316 # 22 # vbi # tibi 324 # 41 # $i con$titueremus # $i nos con$titueremus 325 # 12 # $imili ad # $imili. Ad 326 # 9 # longare # ducere 329 # 5 # ip$i ellip$is # ip$ius ellip$is 333 # 15 # cogitetur # cogitemus 333 # 17 # vnde pro genera # vnde ex genera 333 # 20 # æqualem e$$e longitudini # æqualem longitudini 333 # 21 # ei # eam 333 # 21 # minor # minorem 333 # 23 # nor # norem 333 # 24 # maior # maiorem 333 # 25 # maior # maiorem 333 # 37 # communeq; # communiq; 335 # 26 # reflectit # reflectitnr 335 # 47 # & remotior<007> # vel remotiori 336 # 19 # $peculi $uperficiem # $peculi planam $uperficiem 336 # 22 # reflectit # reflectitur 337 # 8 # vnam tantummodo imaginem # vna tantummodo imago 337 # 12 # ip$æ # ip$i 337 # 42 # quæ # qui 338 # 14 # protracta # protracto 338 # 26 # ratiotinare # apta 340 # 23 # Alius modus # Alium modum 341 # 9 # æquale # æqualem 343 # 23 # videbitur # videri 344 # 5 # hoc e$t # hoc est quod 344 # @1 # punctus # punctum 345 # 6 # ei # cum altitudine Pag. # Lin. # Errata # Correcta 345 # 19 # ip$um repertum # ip$um, vt repertum 347 # 16 # reflectit # reflectitur 352 # 38 # opinauerunt # opinati $une 353 # 8 # parabolem # parabolam 353 # 15 # hæc # hic 353 # 18 # parallelam # parallela 356 # 15 # muri, & # muri, in ori Zontali.q p. ev 356 # 33 # mediante. cogno$eere # mediãte cuius axis ad ori Zontem \\ erectus $it. o. n: cogno$cere 360 # 13 # duplum # duplus 360 # 28 # vnde i$te circulus # i$te circulus 361 # 36 # quæ # qui 364 # 23 # diameter # diametrum 367 # 25 # prolung ando # produεendo 369 # 2 # æqualem # æquale 370 # 4 # $inus # $inum 370 # 30 # $umma # $ummam 372 # 1 # cæterarum # cæteris 372 # 36 # qui qui # qui 378 # 11 # hæc # hæ 382 # 41 # prolung atis # productis 383 # 3 # quæ # qui 383 # 13 # ginabis # ginaberis 383 # 20 # trianguliq; \\ in prima parabola obliqua ex- # triangula<003> 383 # # tremitatem inferiorem diametri 384 # # $ignabis charactere. d. in $ecunda \\ vero charactere. r. 384 # 29 # maior proportio # maiorem proportionem 384 # 37 # proportio halebit # proportionem habebis 385 # 5 # . c. b. # . e. b. 386 # 22 # b. e. # . b. c. 386 # 29 # po$itum # po$itus 386 # 31 # . b. c. # . b. e. 386 # 33 # & proportion alitate # & ex proportionalitate 386 # 34 # antecedens in # antecedens. A B. in 386 # 40 # quod # quæ 388 # 2 # . B.) # {$s}) 388 # 8 # b. cum duplo. b. e. # . b. d. cum duplo. b. e. 388 # 45 # . b. e. # b. c. 388 # 45 # . b e. # . b. c. 388 # 46 # ad. e b. # ad. d. b cum. e. b. 390 # 25 # diui$a # diui$as 392 # 3 # $it paraboles. a. # $it paraboles. a. b. c. 392 # 27 # aliqua reliquarum # aliquis reliquorum 393 # # in parabola vbi $ub. g. e$t. i. pone. r. \\ & $upra $olidum minus dicatur 395 # # cubus minor (leantur 397 # # duo vero lineæ $ine characterib. de 394 # 18 # vt. y. ad. m n. # vt p. ad. m. n. 394 # 33 # x. o. # n. o. 394 # 34 # .i. k. ad. i. k. ad f g. # i. k. ad. f g. 395 # 11 # quintas # quintæ 396 # 1 # .d. b. # g. b. 397 # # Vbirubrica dicit. Defen$io nostra # dicatur. contra Anto. Bergam & \\ contra Antonium Bergam, & # Alex Piccol atq, defen$io nostra \\ Alexandrum Piccol. # contra Excell. August. Michelem 399 # 32 # tione # tionem 400 # 39 # vnum tantum numerum medium # unus tantum numerus medius 402 # 19 # diametrum # $emidiametrum 403 # 7 # $uis # $uæ 403 # 9 # iam $upræ # eo tractatu 403 # 17 # quidquid # quidquam 404 # 37 # milliaria # mill<007>aribus 406 # 19 # trabuchum quadratum # trabuchus quadratus 410 # 38 # quæ $ors # qua $orte 410 # 41 # quamlibet # quælibet 411 # 27 # dicens # dicat 411 # 28 # eodem libro # vt eodem libre 412 # 24 # non dependeat? # dependeat? 413 # 2 # vt $upra # vt alias 413 # 22 # millia vices # millibus vicium 415 # 32 # fine$træ # fenestræ 416 # 15 # operatio # operationem FINIS.