metadata: dcterms:identifier ECHO:FQPFR8XP.xml dcterms:creator (GND:123521041) Ghetaldi, Marino dcterms:title (la) Marini Ghetaldi Promotus Archimedis seu de variis corporum generibus gravitate et magnitudine comparatis dcterms:date 1603 dcterms:language lat text (la) free log: valid, but has some problems around line 1700 (div and p) unknown: <007> = i or ı (dotless i) (occurs 12 time(s), ok) parameters: despecs = 1.1.2 [0001] [0002] [0003] [0004] [0005] MARINI GHETALDI PATRICII RAGVSINI PROMOTVS ARCHIMEDIS SEV De varijs corporum generibus grauitate & magnitudine comparatis. ROM AE, Apud Aloy$ium Zannettum. MDCIII. _SVPERIORV M PERMISSV._ [0006] [0007] REVERENDISSIMO SERAPHINO OLIVARIO RAZZALIO. PATRIARCH AE ALEXANDRINO. Marinus Ghetaldus. S. P. D.

EGREGIA $anè Reuerendi$sime PRÆSVL quod probe no$ti, vete- rum $apientum $oelicitas fuit. Eam enim cum ingenij præ$tantia, tum prærogatiua temporis laudem occu- parunt, quã vel $perare po$terioribus temerariũ $it. Et vero illis non $olum nos plurimum de- bemus, quod plurima ip$i perfecere: verum etiam quod quædam qua$i fundamenta iecere, quibus dum rerum nouarũ molem conamur imponere, nos quoque experi- ri no$tras vires, exercere indu$triam, remque $apientiæ publicam amplificare po$simus. Quo in genere magno- rum ego virorum $tudium potius quam gloriam æmu- latus $uper vnum ex Archimedeis fundamentis, de ra- tione, qua varia corporum genera inter $e grauitate & magnitudine comparantur, fabricatus nonnulla $um: [0008] quæ nunc omnium oculis expo$iturus, vt eam $u$tineã, per$onam, quam $emper recu$aui, patrocinium huiu$- modi quærendum mihi exi$timaui, quod & imbecillita tem meam contra obtrectatorum, $i qui forte exi$terent, calumnias $u$tineret; & imminentem famæ, exi$timatio ni$que iacturam auerteret. Vnus igitur tu occuri$ti SE- RAPHINE qui & cõmodi$sime mihi patrocinari po$- $es, & quodam qua$i iure deberes. Cum enim tu me ad emittendum id opus hortatu tuo compuleris, videbatur quodam iure ad tuam fidem eius tutela pertinere. Tuq; is es, quem non modo rudes, $ed etiam docti $u$piciunt. Habet no$tra hæc ætas, quos admiretur; habet quos ex- tollat præclaros viros, $ed quos tibi anteponat, non facile inueniet. Degis ea in Vrbe, quæ laudis mediocritatem vel nunquam agnouit, vel $emper contemp$it: neque in tanta maie$tate, tua deficit virtus, $ed bono in lumine po $ita collucet magis. In primis enim tua vitæ integritas eiu$modi e$t, vt non contenta dome$tico præconio lati$- $ime peruagetur. Habent omnes quod prædicent, & imi tentur; habet quod excipiat grati$sima memoria po$te- ritas vniuer$a. Doctrinæ vero ea excellentia es, vt ea $atis omnibus clarus, & illu$tris, non $atis tibi, tecum a$sidue certes. nec mirum, qui vel à primis incunabulis ad $um- ma contendebas, $i prouecta iam ætate vix habeas, quo altius contendas. Præclarum $anè & eximium vno do- ctrinæ genere; $ublime, atque admirabile multiplici ex- cellere. Tu vero in omni genere laudem egregiam a$$e- cutus es ab$olutam videlicet tibi gloriam propo$itam volui$ti; quiq; intelligebas hominem ad hone$ta omnia [0009] genitum, nullam tibi rerum glorio$arum partem con- temnendam puta$ti. Placet incredibili rerum humana- rum v$ui diuinarum rerum cognitionem adiungere; vt habeat animus à caducis ad æterna, $e conferendo, vnde oblectamentum capiat, & admirationem. Philo$ophiam ita tenes, vt qui in maximis negocijs a$sidue ver$atus es, videaris $emper fui$$e otio$us. Quid dicam de $ingulari eaq; eximia rerum cœle$tium, totiu$q; mundi cognitio- ne? quam tu tanta cum auiditate ex reconditi$simis Ma- thematicorum fontibus hau$i$ti, vt illud a$$ecutus in eo genere iam $is, quod alij in maxima tranquillitate, in $ummo otio vix au$int optare? Exitum tuorum labor um fœlici$simum vides: gloria multiplici frueris, neque illa precaria $ed tua. & quibu$dam qua$i gradibus ad ampli$- $imos honores euehendus, in ea con$titueris dignitate; in qua pro $acro$anta Eccle$ia nunquam non excubando, in peramplo tot illu$trium virorum Theatro non alienæ gloriæ $pectator, $ed actor tuæ con$i$tas. Tu vero, quod rarum e$t, laudem $apientiæ, quæ vix vllos habeb at ter- minos, humanitatis tuæ terminis circum$cribis; & expo- nis omnibus: vt extanto fonte perennes ad omnium or- dinum homines riuuli deducantur. Fœlix qui $olidæ fœlicitatis cau$am & initium in te con$titutum ita foues, vt cum alijs illam communicando, non imminuas, $ed amplifices. prægrande videlicet non $uccre$centis, $ed adultæ iam virtutis fœnus honorem ex honore, laudem ex laude con$equi vberiorem, hæc illa $apienti viro non indigna liberalitas, quæ rerum pre$tanti$simarum po$- $e$sione non imminuta, in copia tenuitatem non inqui- [0010] rens vbertatis ip$a $uæ domina nunquam debilitatur, nunquam deficit. Quin etiam i$to loco con$titutus bo- narum literarum $tudio$os complecteris, ac tueris. Hæc e$t vera germanæ nota $apientiæ, cum, quas vires nanci- $citur, ijs $apientiam alit, tuus animus & tuæ $apientiæ, & alienæ par e$t. Hæc $unt firmi$sima & $olidi$sima funda- menta ad æternam po$teritatis memoriam, quam licet profici$ci iam videas ex ijs quibus abundas animi orna- mentis, ne$cio tamen quo pacto gratior nobis acccidit, cum ex aliorum etiam præconio $u$cipit incrementum. Hinc domus tua floret docti$simorum familiaritatibus; hinc nulli ad tuam con$uetudinem præcluditur aditus; hinc plurimorum $tudia commouentur; hinc illa $apien tum æmulatio & admiratio: hinc omnium omnino or- dinum ad te concur$us tanquam ad $apienti$simum hu- mani diuiniq; iuris patronum, & interpetem. Quid ego igitur quem tibi $excentis eximiæ beneuolentiæ argu- mentis obligatum volui$ti, perexiguum hunc ingenij mei partum expo$iturus, vnum te nominis & exi$tima- tionis meæ patronum non $u$cipiam? equidem in am- pli$simi Theatri lucem $apienti$simorumq; hominum con$pectum quibus abundat hæc no$tra ætas inferre me non magnopere cogitabam: Tu hortatus es dubitan- tem impuli$ti vel reluctantem: tuere igitur ob$equen- tem iam nunc mihi videor in exigua vel nulla $pe lau- dis ex ingenio meo, fempiternam nominis immortali- tatem ex tuo patrocinio con$ecutus. Vale.

Romæ VII. Kal. Maij. MDCIII.

[0011] BENEVOLO LECTORI.

_D_IVERSA corporum genera duplici ra- tione comparari inter $e à Mathematicis po$$unt mole ac pondere. Pondere compara- tio fit, cum inter corpora diuer $i generis mo le æqualia, quæritur, qu{ae} $it ratio ponderis: quanto videlicet, vnum altero grauius, aut leuius $it. Ma- gnitudine autem fit collatio, cum po$ita pari grauitate, quæ- ritur, quæ $it ratio magnitudinis; quanto $it alterum altero maius, aut minus. Quæ comparatio mihi cum videretur & iucunda cognitu, & v$um nonnullum habere, nec fu$e à quo piam explicata, non ita pridem $uper ea non nihil cœpi mo- liri; $ed nibil de luce ac publico cogitabam. Is enim ego $um, qui malim $cire, quam no$ci; di$cere, quam docere. Sed ta- men cum Michael Coignetus in rebus Mathematicis ex- cellens vir, ac Magi$ter meus, cui ego plurimum debere me fateor, ab eo enim prima elementa habui, repo$cere à me pu- blicum al<007>quem doctrinæ $uæ fructum videretur. ac Fede- ricus Saminiatus cuius morum $uauitatem, & beneuolen- tiam erga me diu, dum $imul hi$ce stud{ij}s condi$cipuli ope- ram dedimus, expertus $um, me vt aliquid auderem tum oratione, tum exemplo $uo excitaret, cœpi minus ab ea cogi- tatione alienus e$$e. Deinde vero $ummos viros habui [0012] hortatores. Etenim cum Clauium, quod <007>am diu cupiebam, vidi$$em, nec minorem tanta $cientia, & fama viri beni- gnitatem comperi$$em. Ab eo $imul ac Theodo$io Rubeo ho- mine m<007>hi tum ex $tudior um $imil<007>tudine, tum præcipue ex eius humanitate amici$simo, ad Reuerendi$simum Sera- phinum deductus $um. I$q; me tantus Præ$ul non $olum bumani$sime complexus est, verum etiam ita hortatus ad euulganda, quæ $crip$eram; plane vt mihi nefas putauerim non parere. Accipe igitur & tu Lector optime amico ac be- nigno animo laborem hunc, quem à me talium virorum $umma benignitas expre$sit. Argumentum quidem, v@ d<007>cebam non iniucundum e$t, nec ab v$u alienum. Huiu$- modi enim comparatione Archimedes mixtionem argenti in auro deprehendit, & furtum Aurificis in corona aurea pate$ecit. de quare $uo loco ego tractabo, & facilem mon- strabo viam, qua vel argentum in auro, vel \’quod vis me- tallum in quolibet admistum deprehendi queat, & alte rum ab altero di$cerni; & $imul explicabo, quo pacto ex au- ri grauitate eius qualitas, nota, ac perfectio intelligi po$sit. Toti vero opu$culo nomen ab Archimede, quem Ducem $e- quor, impo$ui. Nam cum ille, vt erat $ummus Magi$ter, $a- tis habui$$et hanc totam qua$i fabricam, po$ito fundamen- to delineare in primo lib. vbi agit de {ij}s quæ vehuntur in aqua. Opus ego promouere; eiq; fundamento molem in{ij}ce- re conatus $um partibus $uis elaboratam, atque distin- ctam. Qua in re $i quid a$$equutus $um, quod publice pro- be<007>ur, gaudeo cau$a & mea & publica: illud quidem $pe- ro fore vt conatus non di$pliceat.

[0013]MARINI GHETALDI PROMOTVS ARCHIMEDES Seu, _DE VARIIS CORPORVM GENERIBVS_ _Grauitate, & magnitudine comparatis._ THEOREMA I. PROPOS. I.

SI duorum Grauium Corporum eiu$dem ge- neris alterum alterius fuerit multiplex, quo- tuplex maius fuerit minoris, totuplex erit maioris grauitas, grauitatis minoris.

SINT duo corpora eiu$dem generis ABC, D, quorum grauita- tes, EFG, ip$ius ABC, & H, ip- $ius D, $it autem corpus ABC, multiplex corporis D. Dico quo tuplex e$t corpus ABC, corporis D, totuplicem e$$e grauitatem EFG, grauitatis H, diuidatur enim corpus ABC, in partes ip- $i D, æquales, quæ $int A, B, C, quoniam igitur corpus A, æqua le e$t corpori D, magnitudine, & $unt eiu$dem generis, erit grauitas vnius æqualis grauitati alterius. Sumatur grauitas E, æqualis grauitati H, erit igitur corporis A, gra- uitas E, & reliqui corporis BC, grauitas FG. Rur$us quoniam cor- pora B, D, $unt magnitudine æqualia, erunt æquè grauia, $umatur grauitati H, æqualis grauitas F, erit igitur corporis B, grauitas F, & reliqui corporis C, grauitas G, & $ic fiat, donec perueniatur ad vlti- mam partem corporis ABC, æqualem ip$i D, $it ea vltima pars C, quo niam igitur corpus C, æquatur magnitudine ip$i D, æquabitur, & gra- uitate, quare grauitas G, æqualis erit grauitati H, $equitur igitur quot partes $unt in corpore ABC, æquales ip$i D, tot e$$e partes in. grauitate EFG, æquales ip$i H, quoties enim $ump$imus in corpore. ABC, corpus ip$i D æquale, toties & in grauitate EFG, $ump$imus [0014]PROMOTVS grauitatem æqualem ip$i H. Si duorum igitur grauium corporum eiuldem generis, & c. quod erat demon$trandum.

THEOREMA II. PROPOS. II.

COrpora grauia eiu$dem generis magnitudine com men$urabilia, eandem in grauitate rationem ha- bent, quam in magnitudine.

SINT corpora commen$urabilia eiu$dem generis A, B, quorum grauitates C, ip$ius A, & D, ip$ius B, Dico e$$e vt A, ad B, ita C, ad D, quoniam enim, A, B, commen$ura- bilia $unt, metietur ip$a aliquod corpus, metiatur, & $it E, cuius grauitas F, $itque corpus E, eiu$d\-e _Ex an-_ _teced._ generis cum corporibus A, B, ergo quotuplex e$t corpus A, ip$ius E, totuplex erit grauitas C, grauitatis _Ex an-_ _teced._ F, & quotuplex B, ip$ius E, totuplex D, ip$ius F, $i igitur diuidantur cor- pora A, B, in partes æquales ip$i E, & grauitates quoque C, D, in partes æquales ip$i F, erit vt corporis A, pars vna, ad corpus E, ita pars vna grauitatis C, ad grauitatem F, æquale videlicet ad æquale, & æque multiplicatis antecedentibus erit vt A, ad E, ita C, ad F, $unt enim antecedentium, hoc e$t, illarum partium æque multiplicia A, C, eadem ratione, vt B, ad E, ita erit D, ad F, & conuertendo vt E, ad B, ita F, ad D. quoniam igitur vt A, ad E, ita e$t C, ad F, & vt E, ad B, ita F, ad D, erit ex æquali vt A, ad 22. 5. _Elem._ B, ita C, ad D. corpora igitur commen$urabilia eiu$dem generis ean- dem in grauitate rationem habent, quam in magnitudine, quod erat demon$trandum.

THEOREMA III. PROPOS. III.

ET incommen$urabilia corpora eiu$dem generis eandem in grauitate rationem habent, quam in magnitudìne.

SINT incommen$urabilia corpora A, BC, quorum grauitates D, ip$ius A, & EF, ip$ius BC. Dico e$$e vt A, ad BC, ita D, ad EF, $i [0015]ARCHIMEDES. enim non e$t vt A, adBC, ita D, ad EF, erit vt A, ad BC, ita D, vel ad minorem quam EF, vel ad maiorem, $it primum ad minor\-e, nempe ad EG, & ex- ponatur aliquod cor pus K, eiu$dem gene- ris cum corporibus A, B C, cuius graui- tas $it æqualis ip$i GF, & à corpore BC, auferatur aliqua pars HC, quæ $it mi- nor corpore K, ita vt reliqua pars BL, $it commen$urabilis ip$i A. & $it partis HC, grauitas IF, ergo reliquæ partis BL, grauitas erit EI. Quoniam igitur corpus A, commen$urabile e$t ip$i BL, erit vt A, ad _Ex an-_ _teced\-e-_ _te._ BL, ita D, ad EI, $ed vt A, ad BC, ita e$t D, ad EG, atque A, primus, proportionalium terminus in $erie prima, maiorem habet ratio nem ad BL, $ecundum terminum, quam A, primus terminus in $erie 8. 5. _Elem._ $ecunda ad BC, $ecundum; ergo & D, tertius terminus in $erie prima ad EI, quartum, maiorem habebit rationem quam D, tertius termi- nus in $erie $ecunda ad I G, quartum, quoniam igitur D, maiorem habet rationem ad EI, quam ad EG, erit EI, minor quam EG, quod 10. 5. _Elem._ e$t ab$urdum. non igitur e$t vt A, ad BC, ita D, ad minorem quam E F.

Deinde $it vt A, ad BC, ita D, ad maiorem quam EF, nempe ad EG, & expo$ito cor- pore K, vt dictum e$t, cuius grauitas, $it æqualis grauita- ti FG, addatur cor- pori BC, aliquod corpus CH, quod $it minus corpore K, & eiu$dem generis cũ corporibus A, BC, ita vt totum corpus BL, $it commen$urabile ip$i A, & $it ip$ius CH, grauitas FI, ergo to tius corporis BL, grauitas erit EI; Quoniam igitur corpori A, com- men$urabile e$t corpus BL, erit vt A, ad BL, ita D, ad EI, $ed vt A, ad _Ex an_ _teced._ BC, ita e$t D, ad EG, atque A, primus proportionalium terminus in $erie prima, minorem habet rationem ad BL, $ecundum terminum, 8. 5. _Ele_ [0016]PROMOTVS quam A, primus terminus in $erie $ecunda ad BC, $ecundum, ergo, & D, tertius terminus in $erie prima ad EI, quartum, minorem habebit rationem quam D, tertius terminus in $erie $ecunda ad EG, quartum. Quoniam igitur D, minorem habet rationem ad EI, quam ad EG, erit EI, maior quam EG, quod e$t ab$urdum. Non igitur e$t vt A, 10. 5. _Elem._ ad BC, ita D, ad maiorem quam EF, o$ten$um autem e$t neque ad mi- norem; quare vt A, ad BC, ita erit D, ad EF. & incommen$urabilia igi- tur corpora eiu$dem generis eandem in grauitate rationem habent, quam in magnitudine, quod erat demon$trandum.

ID QVOD nos duobus præcedentibus Theorematis de- mon$trauimus, nõnulli, vt per $e notum, & vt commune quod- dam axioma $upponunt, quam bene & rationabiliter ip$i vide- rint; melius enim Euclides propo$itionem 20. primi libri Ele- mentorum $uppo$ui$$et vt pronunciatum; vnicuique enim no- tius e$t duo trianguli latera reliquo e$$e maiora (cum & A$ino illud $it notum) quam corpora grauia eiu$dem generis eandem in grauitate rationem habere, quam in magnitudine, & tamen illam propo$itionem demon$trat Euclides, non $upponit, non igitur hæc, quæ minus ad principij rationem accedit, $uppo- nenda fuit, $ed demon$tranda.

THEOREMA IV. PROPOS. IV.

SI quatuor corporum grauium primum ad $ecundũ eandem in magnitudine rationem habeat, quam tertium ad quartum, primum autem, & $ecundum $int eiu$dem generis, itidem tertium, & quartum; & in gra- uitate primum ad $ecundum eandem rationem habebit, quam tertium ad quartum.

PRIMVM enim A, ad $ecundum B, eandem in magnitudine ra- tionem habeat, quam tertium C, ad quartum D, $int autem A, B, eiu$dem generis, itidem C, D. Dico & in grauitate primum A, ad $ecundum B, eandem rationem habere, quam tertium C, ad D, quar- tum. Sint enim earum grauitates E, ip$ius A, & F, ip$ius B, ip$ius vero C, $it grauitas G, & ip$ius D, grauitas H, quoniam igitur cor- [0017]ARCHIMEDES. pora A, B, eiu$dem $unt generis, $imiliter, & corpora C, D, erit vt A, ad B, ita E, ad F, & vt C, ad D, ita G, ad H. Sed poni- tur vt A, ad B, ita e$$e C, ad D, ergo vt E, ad F, ita erit G, ad H. Si igitur quatuor corporum grauium, primum ad $ecundum eandem in magnitudine ratio- nem habeat: etcæt. quod demon- $trare oportebat.

THEOREMA V. PROPOS. V.

SOlida corpora liquido grauiora demi$$a in liquidum ferentur deor$um, donec de$cendant, & erunt in li- quido tanto leuiora, quanta e$t grauitas liquidi magni- tudinem habentis $olido corpori æqualem.

HOC autem demon$tratum e$t ab Archimede propo$. 7. primi li- bri de ijs, quæ vehuntur in aqua.

THEOREMA VI. PROPOS. VI.

SI quatuor grauium corporum primum, & $ecundum fuerint magnitudine æqualia, tertium vero, & quar- tum æque grauia, fuerint autem primum, & tertium eiu$dem generis, itidem $ecundum, & quartum; erit, vt grauitas corporis primi, ad grauitatem $ecundi, ita gra- uitas liquidi æqualis magnitudine corpori quarto, ad gra uitatem liquidi tertio corpori æqualis.

SINT quatuor corpora A, B, C, D, quorum A, primum, & B, $e- cundum $int magnitudine æqualia, tertium vero C, & D, quartum, æque grauia, $int autem A, & C, eiu$dem generis, itidem B, & D. Di- co vt grauitas corporis A, ad grauitatem corporis B, ita e$$e grauita- tem liquidi æqualis magnitudine corpori D, ad grauitatem liquidi magnitudine corpori C, æqualis. Accipiantur enim tria eiu$dem ge- [0018]PROMOTVS neris liquidi corpora E, F, G, quorum E, $it æquale corpori A, vel B, magnitudine, ip$um vero F, æqua le corpori C, & ip$um G, æquale corpori D. Quoniam igitur e$t vt D, ad G, ita B, ad E, æquale vi- delicet ad æquale, erit permutan- do vt D, ad B, ita G, ad E, & quo- niam $unt eiu$dem generis corpo ra D, B, $imiliter & corpora G, E, erit vt grauitas corporis D, hoc 2. & 3. _huins._ e$t ip$ius C, ponuntur enim æque grauia corpora C, D, ad grauita- tem corporis B, ita liquidi G, gra- uitas ad grauitatem liquidi E. Similiter quoniam e$t vt A, ad E, ita C, ad F, æquale videlicet ad æquale, erit permutando vt A, ad C, ita E, ad F, & quoniam ponun<_>tur eiu$dem generis corpora A, C, 2. & 3. _huius._ itidem E, F, erit vt grauitas corporis A, ad grauitatem ip$ius C, ita liquidi E, grauitas ad grauitatem liquidi F, $ed vt grauitas corporis C, ad grauitatem corporis B, ita e$t grauitas liquidi G, ad grauita- tem liquidi E, vt e$t demon$tratum, ergo in perturbata proportione 23. 5. _Elem._ erit vt grauitas corporis A, ad ip$ius corporis B, grauitatem, ita liqui di G, grauitas, ad grauitatem liquidi F. $i igitur quatuor grauium corporum primum, & $ecundum, & c. quod erat demon$trandum.

THEOREMA VII. PROPOS. VII.

SI quatuor grauium corporum primum, & $ecundũ, fuerint magnitudine æqualia, tertium vero, & quar- tum æque grauia, fuerint autem primum, & tertium eiu$dem generis, itidem $ecundum, & quartum; primum ad $ecundum eandem in grauitate rationem habebit, quam habet in magnitudine quartum ad tertium.

SINT quatuor grauia corpora A, B, C, D, quorum A, primum & B, $ecundum $int magnitudine æqualia, tertium vero C, & D, quar- tum æque grauia, $int autem A, & C, eiu$dem generis, itidem B, & D. Dico corpus A, eandem in grauitate rationem habere ad corpus [0019]ARCHIMEDES. B, quam corpus D, habet in magnitudine ad C, corpus. Sit enim li- quidi magnitudine æqualis corpo- ri C, grauicas E, $imiliter, & liqui- di æqualis magnitudine corpori D, grauitas F, quoniam igitur gra- uia corpora eiu$dem generis, ean- dem in magnitudine rationem ha- bent, quam in grauitate, erit vt ma- gnitudo liquidi æqualis corpori D, ad magnitudinem liquidi æqualis corpori C, hoc e$t, vt magnitudo corporis D, ad magnitudinem cor- poris C, ita grauitas F, ad grauita- tem E, $ed vt grauitas F, ad grauitatem E, ita e$t grauitas corporis _Ex an-_ _teced._ A, ad grauitatem corporis B, ergo vt grauitas corporis A, ad graui- tatem corporis B, ita erit magnitudo corporis D, ad corporis C, ma- 11. 5. _Elem._ gnitudinem. Si quatuor igitur grauium corporum primum, & $ecun- dum, & c. quod erat demon$trandum.

PROBLEMA I. PROPOS. VIII.

PRopo$itis duobus corporibus magnitudine æquali- bus, vno $olido, altero liquido, data $olidi corporis grauitate, grauitatem liquidi inuenire.

SINT duo propo$ita corpo- ra magnitudine æqualia A, B, quorum A, $it $olidum, B, vero liquidum, & $it $olidi data graui- tas CD, Oportet inuenire quan- ta erit grauitas liquidi B. Si $o- lidum A, grauius $it liquido, de- mittatur in liquidũ, & habeat in liquido grauitatem ED, quoniam igitur $olidum A, grauius e$t li- quido, demi$$um in liquidum erit in liquido tanto leuius, quã- ta e$t grauitas liquidi magnitu- dine æqualis $olido A, $ed $olidũ A, leuius e$t in liquido, quanta [0020]PROMOTVS e$t grauitas CE, ergo grauitas liquidi magnitudine æqualis folido A, erit CE.

Si vero $olidum A, $it leuius liquido, accipiatur aliquod aliud cor- pus $olidum F, grauius liquido, ita vt $olidum con$tans ex vtri$que, $olidis A, F, demi$$um in liquidum feratur deor$um, & $it $olidi F, grauitas DG, item eiu$dem $olidi F, in liquido videlicet exi$tentis $it 5. _huius_ grauitas HG, ergo liquidi magnitudine æqualis $olido F, erit gra- uitas DH.

Et quoniam $olidi A, grauitas e$t CD, $olidi vero F, grauitas DG, erit vtrorumque $olidorum A, F, grauitas CG. coniungantur $olida A, F, & $olidum ex vtri$que con$tans demittatur in liquidum, & ha- beat in liquido grauitatem GI, (habebit autem in liquido minorem grauitatem, quam $olum $olidum F, quoniam $olidum F, grauius li- quido fertur deor$um nullo prohibente, & coniunctum cum $olido A, leuiori liqnido ab eo $u$tinetut, ne deor$um feratur tãta vi, qua $eiun- ctum) quoniam igitur $olidi, quod con$tat ex vtri$que $olidis A, F, 5. _huius_ grauitas e$t CG, in liquido vero exi$tentis grauitas GI, erit liquidi habentis magnitudinem æqualem vtri$que $olidis A, F, grauitas CI, $ed grauitas liquidi æqualis magnitudine $olido F, e$t DH, ergo reli- qui liquidi æqualis $olido A, erit grauitas CD, IH, $ed liquidum B, æquatur magnitudine folido A, ergo grauitas liquidi B, erit CD, IH, inuenta igitur e$t liquidi corporis B, grauitas CD, IH, de qua quæ- rebatur.

Placet huic Problemati exemplum apponere, vt vnicuique etiam di$ciplinæ Mathematicæ experto ad v$um pateat adi- tus; quare etiam $equentibus Problematis apponemus $imilia exempla.

Exemplum.

QVidam proponit aliquod corpus $olidum notæ grauitatis, & vult $cire quanta erit grauitas liqui- di, magnitudinem habentis propo$ito Corpori $olido æ- qualem.

Sit primum propo$itum aliquod corpus plumbeum A, cuius graui- tas $it 23. & oporteat $cire quanta erit grauitas aquæ magnitudinem babentis æqualem propo$ito plumbo A, ponderetur plumbum A, in aqua (modum quo ponderanda $int corpora $olida in aqua, inferius apponemus) & babeat grauitatem 21. quoniam igitur numerus 23. [0021]ARCHIMEDES. juperat numerum 21, numero 2, erit grauitàs aquæ magnitudinem habentis æqualem plumbo A, 2.

Eadem via omnium liquidorum inuenitur grauitas, quan- do nimirum corpus $olidum $it grauius liquido, cuius liquidi quærenda e$t grauitas, hoc e$t quando corpus $olidum demi$- $um in liquidum feratur deor$um.

Quando vero corpus $olidum fuerit leuius liquido, hoc e$t demi$$um in liquidum non de$cendat, per adiectionem alicuius alius $olidi corporis liquido grauioris, quæ$ita liquidi grauitas inuenietur.

Sit igitur propo$itum aliquod cereum corpus A, cuius grauitas $it 21. & oporteat $cire quanta erit grauitas aquæ magnitudinem haben- tis æqualem ceræ A. Quoniam cera leuior est, quam aqua, $i demitta- tur in aquam non feretur deor$um, accipiatur aliquod corpus $olidum F, grauius quam aqua, ita vt corpus constans ex vtri$que corporibus A, F, demi$$um in aquam feratur deor$um, $it igitur corpus F, plum- beum, cuius grauitas $it v. g. 23, & eiu$dem in aqua ponderati 21, ergo aquæ magnitudinem habentis æqual\-eplumbo F, erit grauitas 2,

Et quoniam ceræ A, grauitas est 21, plumbi vero F, 23, erit vtro- rumque corporum A, F, ceræ nimirum, & plumbi grauitas 44, coniun gatur cera, & plumbum, & ita coniuncta ponderentur in aqua, & habeant grauitatem 20, quoniam igitur numerus 44, $uperat nume- rum 20, numero 24, erit grauitas aquæ habentis magnitudinem æqua- lem vtri$que corporibus ceræ & plumbi 24, $ed grauitas aquæ magni- tudinem habentis æqualem plumbo F, est 2, ergo reliquum quod est 22, erit grauitas, aquæ magnitudine æqualis propo$itæ cera A.

At vero $i propo$itum fuerit aliquod corpus $olidum ma- gni ponderis, ita vt difficile po$$it ponderari in aqua, hac via inuenietur aquæ quæ$ita grauitas.

Sit aliquod corpus plumbeũ A, cuius grauitas 2300, & oporteat in uenire grauitatem aquæ magnitudinem habentis æqual\-e plumbo A, accipiatur aliquod paruum plumbi corpus F, cuius grauitas $it v. g. 23, & inueniatur grauitas aquæ magnitudine æqualis plumbo F, vt dictum est, quæ $it. 2, & fiat vt 23, ad 2, ita 2300, ad alium numerum qui $it 200. grauitas igitur aquæ magnitudinem habentis æqualem plumbo A, erit 200.

Similiter $it aliquod cereum corpus A, cuius grauitas 2100, & opor teat facere, quod imperatùm e$t. accipiatur aliquod paruum ceræ cor- pus F, cuius grauitas $it v. g. 21, & inuenta grauitate aquæ magni- [0022]PROMOTVS tudinem habentis æqualem ceræ F, quæ $it 22, fiat vt 21, ad 22, ita 2100, ad alium numerum qui $it 2200; erit igitur grauitas aquæ ma gnitudinem habentis æqualem ceræ A, 2200.

Neque nece$$e e$t, vt illud corpus $olidum magni ponderis reip$a proponatur, $ufficit enim vt eius grauitas notificetur numero tantum.

Si autem propo$itum fuerit inuenire quanta erit graui- tas argenti viui magnitudine æqualis propo$ito corpori $o- lido A; ratione qua $upta, non inuenietur ip$a grauitas, quo- niam nullum corpus demi$$um in argentum viuum fertur deor$um, ni$i aurum, aurum vero in ip$o argento viuo perrum- pitur, $ed qua ratione inuenienda $it ip$a argenti viui graui- tas, dicemus ad finem exempli propo$itionis decimæquartæ.

Quomodo ponderanda $int corpora $olida in aqua.

COrpus quod ponderandum proponitur $eta equina ex altera li- bræ lance appendatur, in altera lance ponantur pondera, & cor- pus appen$um demittatur in aquam, ita vt in aqua libere pendeat, ne- que lancem, cui appen$um est corpus, neque aliam in qua $unt pondera aqua contingat, & ita ponderetur propo$itum corpus, ac $i in aere pen deret.

Dixi $eta equina corpus ponder andum debere appendi, quia fere æque grauis e$t atque aqua, & ideo nihil addet, vel minuet grauita- tis in ip$o corpore ponderando.

Quod $i corpus ponderandum fuerit, tam graue, vt $eta $implici $u- stineri nequeat, appendatur pluribus $imul iunctis $etis, & ne aliquid grauitatis $etarum coniunctio addat corpori ponderando, ponantur in altera lance totidem $etæ æquales eis, quæ ex lance, cui appen$um e$t corpus pendent, v$que ad corpus appen$um, hac igitur $etarum addi- tione æque ponderabunt lances, & quamuis illæ $etæ, quibus appen- $um est corpus, $int longiores, quam aliæ alteri lanci additæ, longitudi- ne partium, quibus ligatum est corpus, tamen quoniam illæ partes æque graues $unt, atque aqua, exi$tentes cum ip$o corpore in aqua, nul- lam grauitatem habebunt, & ideo illæ $etæ quæ alias $uperant dictis partibus, & $i longiores, non erunt grauiores quam aliæ, existenti- bus, nempe, vt dictum e$t, illis partibus cum ip$o corpore in aqua Sic igitur in aqua ponderanda erunt $olida corpora, quod animaduerti$$e fuit operæ pretium.

[0023]ARCHIMEDES. PROBLEMA II. PROPOS. IX.

PRopo$itis duobus corporibus magnitudine æquali- bus, vno $olido, altero liquido, data corporis li- quidi grauitate, grauitatem $olidi inuenire.

SINT duo propo$ita corpora magnitudine æqualia, A, quidem $o- lidum, B, vero liquidum, $it autem li- quidi B, data grauitas F, & oporteat inuenire grauitatem $olidi A, accipia tur aliquod corpus $olidum D, eiu$d\-e generis, cum $olido A, cuius grauitas $it H, deinde liquidi eiu$dem generis cum liquido B, magnitudine æqualis $olido D, inueniatur grauitas quæ $it 8. _hu-_ _ius._ G, & fiat vt G, ad H, ita F, ad aliam grauitatem, quæ $it C. Dico $olidi A, grauitatem e$$e C, accipiatur enim aliquod corpus liquidum E, eiu$- dem generis cum liquido B, grauitatem habens æqualem $olido D, Quoniam igitur $unt quatuor corpora grauia B, A, E, D, quorum pri- mum B, & $ecundum A, $unt magnitudine æqualia, tertium vero E, & quartum D, æquegrauia, & $unt eiu$dem generis corpora B, E, $i- militer, & corpora A, D, erit vt grauitas liquidi æqualis magnitudi- 6. _huius_ ne $olido D, hoc e$t vt G, ad grauitatem liquidi E; hoc e$t ad H, ponũ- tnr enim æque grauia corpora D, E, ita grauitas F, ad $olidi A, graui- tatem, $ed vt grauitas G, ad grauitatem H, ita e$t grauitas F, ad C, grauitatem, ergo grauitas C, æqualis erit grauitati $olidi A. Inuenta igitur e$t $olidi A, grauitas C, quod facere oportebat.

Exemplum.

QVidam proponit aliquod corpus liquidum notæ grauitatis, & vult $cire quanta erit grauitas alicu- ius $olidi, magnitudinem habentis propo$ito Corpori li- quido æqualem.

Sitpropo$itum aliquod corpus aqueum B, euius grauitas $it 100. & [0024]PROMOTVS oporteat $cire quanta erit grauitas plumbi magnitudinem habentis æqualem propo$itæ aquæ B, verbi gratia $it vas aliquod plenum aqua, cuius aquæ grauitas $it 100, & oporteat $cire, $i illud id\-e vas replea- tur plumbo, quanta illius plumbi erit grauitas. Accipiatur aliquod plumbeum corpus D, cuius grauitas $it 23, deinde aquæ magnitudin\-e habentis æqualem plumbo D, inueniatur grauitas, quod quomodo fie- ri oporteat iam dictum e$t in antecedentis problematis exemplo: $it igi tur ea inuenta grauitas 2, & fiat vt 2, ad 23, ita 100, ad alium nume- rum qui $it 1150, is igitur numerus erit grauitas plumbi magnitu-: dinem habentis propo$itæ aquæ B, æqualem, hoc est illius plumbi, quod in va$e continetur.

At vero $i propo$itũ fuerit inuenire quãta erit grauitas ceræ, aut ligni, aut cuiu$cũque $olidi leuioris quam aqua, nihil diuer $i in opere accidet, ni$i quod ratio inueniendi grauitatem aquæ magnitudinem habentis æqualem corpori $olido leuio- ri, quàm aqua, differt in aliquo à ratione, qua inuenitur graui- tas aquæ magnitudinem habentis æqualem $olido corpori grauiori, quam aqua, $ed vtramque rationem exemplo ante- cedentis Problematis illu$trauimus, in eo enim $atis explica- tum e$t de vtraque.

Sed ne exemplorum inopia laborare videamur, $it inuenienda gra- uitas ceræ magnitudinem habentis æqualem propo$itæ aquæ B, acci- piatur aliquod cereum corpus D, cuius grauitas $it 21, deinde aquæ magnitudinem habentis æqualem ceræ D, inueniatur grauitas, vt in antecedentis Problematis exemplo dictum est, quæ grauitas $it 22, & fiat vt 22, ad 21, ita 100, hoc est grauitas aquæ B, ad alium numerum qui $it 95 {5/11}. is igitur numerus indicabit quanta erit grauitas ceræ magnitudinem habentis æqualem propo$itæ aquæ B.

Similiter $i propo$itum liquidum corpus B, fuerit olei, aut vini, aut cuiu$cumque liquidi, præter argenti viui, eadem om- nino via, qua ante, inuenietur quæ$ita corporis $olidi grauitas, $ed de argento viuo tractabimus ad finem propo$itionis deci- mæ quartæ.

PROBLEMA III. PROPOS. X.

PRopo$itis duobus corporibus æque grauibus, vno $olido, altero liquido, data $olidi corporis magnitu- [0025]ARCHIMEDES. dine, magnitudinem liquidi inuenire.

SINT duo propo$ita corpora æque grauia, A, quidem $olidum B, vero liquidum, $it autem $olidi A, da- ta magnitudo C, & oporteat inuenire quanta erit magnitudo liquidi B, Ac- cipiatur aliquod corpus $olidum D, eiu$dem generis cum $olido A, & $it eius grauitas G, & liquidi, quod $it E, eiu$dem generis cum liquido B, ma- gnitudinem habentis æqualem $olido D, inueniatur grauitas quæ $it H, & 8. _buius_ fiat vt grauitas H, ad grauitatem G, ita magnitudo C, ad aliam magnitudinem quæ $it F. Quoniam igitur $unt quatuor corpora grauia E, D, B, A, quorum primum E, & $ecun- dum D, $unt æqualia magnitudine, tertium vero B, & quartum A, æque grauia, & $unt eiu$dem generis corpora E, B, $imiliter, & corpo- ra D, A, erit vt grauitas H, ad grauitatem G, ita magnitudo C, ad li- 7. _huius_ quidi B, magnitudinem, $ed vt grauitas H, ad grauitatem G, ita e$t magnitudo C, ad magnitudinem F, ergo magnitudo F, æqualis erit magnitudini liquidi B, inuenta igitur e$t liquidi corporis B, magni- tudo F, quod facere oportebat.

Sed quoniam corporum regularium magnitudo quo- que exprimitur latere eiu$dem corporis, vel diametro, $i propo$ita duo corpora A, B, $uerint regularia, vtpote $ph{ae} rica, fuerit autem $phæræ A, data diameter C, & oporteat inuenire quanta erit diameter $phæræ B. ita faciendum erit.

Accepto, vt diximus, aliquo corpore $olido D, eiu$dem generis cũ $phæra A, & inuenta grauitate liquidi E, vt $upra, fiat vt grauitas H, ad grauitatem G, ita cubus ex C, ad alium cubum, cuius latus $it F, dico ip$um latus F, æquale e$$e diametro $phæræ B. Quoniam enim eadem ratione qua $upra demon$trabitur, vt grauitas H, ad grauita- tem G, ita e$$e magnitudinem $phæræ A, ad $phæræ B, magnitudinem, $ed magnitudo $phæræ A, ad magnitudinem $phæræ B, triplicatam 18. 12. _Elem._ rationem habet eius, quam C, diameter $phæræ A, ad diametrum $phæræ B, $imiliter & cubus ex C, ad cubum ex diametro $phæræ B, [0026]PROMOTVS 13. 12. _Elem._ triplicatam rationem habet eius, quam C, ad diametrum $phæræ B, ergo vt grauitas H, ad grauitatem G, ita erit cubus ex C, ad cubum ex diametro $phæræ B, $ed vt grauitas H, ad grauitatem G, ita e$t cu bus ex C, ad cubum ex F, ergo cubus ex F, æqualis erit cubo diame- tri $phæræ B; quare & latus F, æquabitur $phæræ B, diametro. inuen- ta igitur e$t quantitas diametri liquidæ $phæræ B, quod facere opor- tebat.

Exemplum.

Q Vidam proponit aliquod corpus $olidum notæ magnitudinis, & vult $cire quanta erit magnitudo alicuius liquidi, grauitatem habentis propo$ito corpori $olido æqualem.

Sit propo$itum aliquod corpus plumbeum A, cuius magnitudo $it 10, & oporteat $cire quanta erit magnitudo aquæ grauitatem haben- tis æqualem propo$ito plumbo A, accipiatur aliquod corpus plumbeũ D, cuius grauitas 23, deinde aquæ magnitudinem habentis æqualem plumbo D, inueniatur grauitas, vt in exemplo propo$. 8. dictum e$t, quæ $it 2, & fiat vt 2, ad 23, ita 10, ad alium numerum qui $it 115, is igitur indicabit quanta erit magnitudo aquæ grauitatem habentis æqualem propo$ito plumbo A.

Quod $i propo$itũ corpus plumbeum A $it regulare vt po- te $phæricum, cuius $phæræ diameter $it 10, & oporteat inue- nire quanta erit diameter $phæræ ex aqua, grauitatem haben- tis æqualem propo$itæ $phæræ A, ita faciendum erit.

Accipiatur, vt diximus, aliquod corpus plumbeum D, cuius gra- uitas 23, deinde aquæ habentis magnitudinem æqualem plumbo D, inueniatur grauitas quæ $it 2, & fiat vt 2, ad 23, ita cubus ex 10, qui e$t 1000, ad alium numerum qui $it 11500, is igitur numerus erit cubus diametri $pbæræ ex aqua grauitatem habentis æqualem propo- $itæ $pbæræ A, quare eius latus cubicum, quod est 22 {57/100}, proximũ vero indicabit ip$am diametrum.

Similiter $i propo$itum corpus plumbeum A, fuerit cubicum, vel alicuius alterius formæ regularis, eadem ratione inueniemus latus cu bi ex aqua grauitatem habentis æqualem propo$ito cubo A, nam $i cu- bi A, datum $it latus 10, erit numerus 11500, cubus ex aqua æqualis grauitate propo$ito cubo A, quare latus cubicum numeri 11500, quod [0027]ARCHIMEDES. est 22 {57/100}. proxìmũ vero indicabit quæ$itum latus cubi ex aqua.

Neque di$$imili ratione inuenietur magnitudo olei, aut ar- genti viui, aut cuiu$cumque generis liquidi grauitatem hab\-e- tis propo$ito corpori $olido æqualem, $ed quomodo inuenien- da $it grauitas argenti viui magnitudinem habentis æqualem corpori $olido, docebimus po$t exemplum propo$itionis de- cimæ quartæ.

PROBLEMA IV. PROPOS. XI.

P Ropo$itis duobus corporibus æque grauibus, vno $o lido, altero liquido, data liquidi corporis magnitu- dine, magnitudinem $olidi inuenire.

SINT propo$ita duo corpora æ- quæ grauia, A, quidem $olidum, B, vero liquidum, $it autem liquidi B; data magnitudo F, & oporteat $olidi A, magnitudinem inuenire. Accipia- tur aliquod corpus $olidum D, eiu$d\-e generis cum corpore $olido A, cuius grauitas $it G, deinde liquidi quod $it E, eiu$dem generis cum corpore liqui do B, magnitudinem æ qualem haben- tis $olido D, inueniatur grauitas, 8. _huius_ quæ $it H, & fiat vt grauitas G; ad gra- uitatem H, ita F, magnitudo, ad aliam magnitudinem, quæ $it C; quoniam igitur $unt quatuor corpora D, E, A, B, quorum primum D, & $ecundum E, $unt magnitudine æqualia, tertium vero A, & quartũ B, æquæ grauia, & $unt eiu$dem generis $olida D, A, $imiliter, & liqui- da E, B, erit vt grauitas G, ad grauitatem H, ita F, magnitudo ad ma 7. _huius_ gnitudinem $olidi A, $ed vt grauitas G, ad grauitatem H, ita e$t ma- gnitudo F, ad C, magnitudinem, ergo magnitudo C, æqualis erit ma- gnitudini corporis $olidi A, inuenta igitur e$t corporis folidi A, ma- gnitudo C, quod erat faciendum.

Q Vod $i propo$ita duo corpora æque grauia A, B, fue rint regularia vtpote $phærica, fuerit autem liqui- [0028]PROMOTVS dæ $phæræ B, data diameter F, & oporteat inuenire quan ta erit diameter $olidæ $phæræ A, ita faciendum erit.

Accepto vt $upra corpore $olido D, & liquidi E, inuenta grauitate, vt dictum e$t, fiat vt grauitas G, ad prauitatem H, ita cubus ex F, ad alium cubum, cuius latus $it C, Quoniam igitur eadem ratione qua $upra o$tendetur, vt grauitas G, ad grauitatem H, ita e$$e magnitudi- nem $phæræ B, ad $phæræ A, magnitudinem, $ed magnitudo $phæræ B, ad magnitudinem $phæræ A, triplicatam rationem habet eius, quam 18. 12. _Elem._ F, diameter $phæræ B, ad diametrum $phæræ A, $imiliter, & cubus ex F, ad cubum ex diametro $phæræ A, triplicatã rationem habet eius, 33. 11. _Elem._ quam F, ad diametrum $phæræ A, ergo, vt grauitas G, ad grauitat\-e H, ita erit cubus ex F, ad cubum ex diametro $phæræ A, $ed vt graui- tas G, ad grauitatem H, ita e$t cubus ex F, ad cubum ex C, ergo cubus ex C, æqualis erit cubo diametri $phæræ A, quare, & latus C, æquabi- tur ip$ius $phæræ A, diametro, inuenta igitur e$t quantitas diametri $olidæ $phæræ A, quod facere oportebat.

Exemplum.

Q Vidam proponit aliquod corpus liquidum notæ magnitudinis, & vult inuenire quanta erit magni- tudo alicuius $olidi grauitatem habentis propo$i- to corpori liquido æqualem.

Sit propo$itum aliquod corpus aqueum B, cuius magnitudo $it 115, & oporteat inuenire quanta erit magnitudo plumbi grauitatem ha- bentis æqualem propo $itæ aquæ B, accipiatur aliquod corpus plumbeũ D, cuius grauitas $it verbi gratia 23, deinde aquæ magnitudinem ha- bentis æqualem plumbo D, inueniatur grauitas quæ $it 2. id autem do- cuit propo$itionis octauæ exemplum, & fiat vi 23, ad 2, ita 115, ad alium numerum qui $it 10, is igitur numerus indicabit quanta erit magnitudo plumbi grauitatem habentis æqualem propo$itæ aquæ B.

Quod $i propo$itum corpus aqueum B, $it $phæricum, cuius $phæræ diameter $it 10, & oporteat inuenire quanta erit dia- meter $phæræ ex plumbo, grauitatem habentis æqualem pro- po$itæ $phæræ B, ita faciendum erit.

Accepto, vt diximus aliquo corpore plumbeo D, cuius grauitas 23, & aquæ magnitudinem habentis æqualem plumbo D, inuenta graui- [0029]ARCHIMEDES. tate 2, fiat vt 23, ad 2, ita cubus ex 10, boc est 1000, ad alium nume- rum qui $it 86 {22/23}. is igitur numerus erit cubus diametri $pbæræ ex plumbo, grauitatem æqualem babentis propo$itæ ex aqua $pbæræ B, quare eius latus cubicum, quod est 4 {43/100}. ferè, indicabit ip$am diametrum.

Similiter $i propo$itum corpus aqueum B, fuerit cubicum, vel alicu ius alterius formæ regularis, eadem ratione vtemur ad inueniendum latus cubi ex plumbo, grauitatem babentis æqualem propo$ito ex aqua cubo B, nam $i ex aqua cubi B, datum $it latus 10, erit numerus 86 {22/23}. cubus ex plumbo æqualis grauitate propo$ito ex aqua cubo B, quare latus cubicum numeri 86 {22/23}. quod e$t 4 {43/100}. ferè, indicabit quæ$itum latus cubi ex plumbo.

Neque di$$imili ratione inuenienda erit magnitudo auri, argenti, ceræ, aut cuiu$cunque $olidi, grauitatem habentis propo$ito corpori liquido æqualem.

PROBLEMAV. PROPOS. XII.

PRopo$itis duobus $olidis corporibus magnitudine æqualibus, data grauitate vnius, grauitatem al- terius inuenire.

SINT propo$ita duo corpora $o- lida magnitudine æqualia A, B, $it au- tem vnius, vtpote ip$ius A, data gra- uitas C, & oporteat inuenire grauita- tem ip$ius B. Accipiatur aliquod $oli- dum corpus D, eiu$dem generis cum corpore $olido A, cuiæquale grauita- te accipiatur alterum E, eiu$dem ge- neris cum corpore B, deinde liquidi magnitudine æqualis corpori D, in- 8. _buius_ ueniatur grauitas, quæ $it G, item li- quidi eiu$dem generis, æqualis ma- gnitudine corpori E, inueniatur grauitas, quæ $it H, & fiat vt H, ad 8. _buius_ G, ita C, ad aliam grauitatem, quæ $it F. Quoniam igitur $unt qua- tuor corpora A, B, D, E, quorum A, B, primum videlicet, & $ecundum $unt æqualia magnitudine, tertium vero D, & E, quartum æque gra- uia, & $unt eiu$d\-e generis $olida A, D, itidem $olida B, E, erit vt gra- 6. _buius_ uitas C, ad $olidi B, grauitatem, ita grauitas H, ad grauitatem G, $ed [0030]PROMOTVS vt grauitas H, ad grauitat\-e G, ita e$t grauitas C, ad F, grauitatem; er- go grauitas F, æqualis erit grauitati $olidi B, inuenta igitur e$t cor- poris $olidi B, grauitas F, quod $acere oportebat.

Hoc Problema magni momenti e$t, pleri$que artificibus maximo v$ui e$$e pote$t. in arte fu$oria propo$ito operis modu lo, ex illius grauitate, facile metalli ad opus faciendum, gra- uitatem inueniet, $i enim hoc ignoret artifex, periculum e$t, ne metallum, aut deficiat, vel $i multum e$t, ob nimiam graui- tatem difficile tractetur.

Neque tormenti bellici magi$tro inutile erit, is enim cogni- ta grauitate alicuius globi, exempli gratia ex plumbo, $tatim alterius globi eiu$dem magnitudinis, vel $it ex lapide, vel ex ferro, vel ex qua cunque alia materia, grauitatem inueniet.

Exemplum.

QVidam proponit aliquod corpus $olidum notæ grauitatis, & vult $cire quanta erit grauitas alicu- ius $olidi, alterius generis, magnitudinem habentis pro- po$ito corpori $olido æqualem.

Sit propo$itum aliquod corpus plumbeum A, cuius grauitas $it 1150, & oporteat inuenire quanta erit grauitas stanni magnitudin\-e babentis æqualem propo$ito plumbo A. Accipiantur duo corpora æque grauia, D, plumbeum, E, stanneum, deinde duarum quantitatum, aquæ, quarum vna $it æqualis magnitudine plumbo D, altera $tanno E, inueniãtur grauitates, quæ $int, primæ videlicet quantitatis aquæ 74, $ecundæ vero 115, & fiat vt 115, ad 74, ita 1150, ad alium nume- rum, qui $it 740, is igitur numerus indicabit grauitatem stanni, ma- gnitudinem habentis propo$ito plumbo A.

Etiam $i non accipiantur duo corpora, plumbeum videlicet & $tanneum, æque grauia, $ed grauitate quacunque, grauitas $tanni magnitudinem habentis æqualem propo$ito plumbo D, inuenietur $ic.

Accipiantur duo corpora D, plumbeum, E, $tanneum grauitate quacunque, $it vcrbi gratia plumbi D, grauitas 23, $tanni vero E, grauitas 37, deinde duarum quantitatum aquæ, quarum vna $it ma- gnitudine æqualis plumbo D, altera stanno E, inueniantur graui- tates, quæ $int, primæ videlicet quantitatis 2, $ecundæ vero 5, & fiat, [0031]ARCHIMEDES. vt 23, ad 2, ita 37, ad 3 {5/23}. grauitas igitur aquæ, magnitudinem habentis æqualem plumbo, cuius grauitas est 37, erit 3 {5/23}.

Et quoniam aquæ, magnitudinem habentis æqualem stanno E, cu- ius grauitas est 37, eft grauitas 5, erunt grauitates duarum quan- titatum aquæ 3 {5/23}, & 5, quarum quantitatum prima e$t æqualis magnitudine corpori plumbeo, $ecunda stanneo, quæ $unt æque gra- uia, vtriu$que enim grauitas ect 37. Fiat igitur vt 5, ad 3 {5/23}, ita 1150, ad alium numerum, qui $it 740, tanta igitur erit grauitas $tanni, magnitudinem habentis æqualem propo$ito plumbo A, quanta etiam inueniebatur & $upra.

Quod $i propo$itum $it cereum corpus aliquod, aut cuiu$- cunque generis $olidi, $iue leuioris quam aqua, $iue grauio- ris, & oporteat inuenire grauitatem alicuius $olidi alterius generis, magnitudine æqualis propo$ito corpori $olido. Ea- dem ratione qua $upra inuenietur quæ$ita $olidi grauitas, $ed hoc $olum animaduertendum e$t, quod non eadem ratione inuenitur grauitas aquæ, magnitudinem habentis æqualem propo$ito cuiu$cunque generis $olido, alia enim tenenda e$t ratio ad inueniendam grauitatem prædictæ aquæ, quando propo$itum $olidum $it grauius quam aqua, alia vero quando leuius, $ed $iue $it leuius, $iue grauius, de inuentione huiu$- modi grauitatis, in exemplo propo$itionis octauæ, $atis e$t ex- plicatum.

PROBLEMA VI. PROPOS. XIII.

PRopo$itis duobus $olidis corporibus æque graui- bus, data magnitudine vnius, magnitudinem alte- rius inuenire.

SINT propo$ita duo corpora $olida æque grauia A, B, $it au- tem vnius, vtpote ip$ius A, data magnitudo C, & oporteat inueni- re magnitudinem ip$ius B, Accipiatur aliquod $olidum corpus D, eiu$dem generis cum $olido A, & $it eius grauitas G, deinde $olidi corporis quod $it E, eiu$dem generis cum $olido B, magnitudine æqualis ip$i D, inueniatur grauitas, quæ $it H, hoc autem, Proble- ma antecedens docuit, & fiat vt grauitas H, ad grauitatem G, ita magnitudo C, ad aliam magnitudinem, quæ $it F. Quoniam igitur [0032]PROMOTVS $unt quatuor corpora grauia E, D, B, A, quorum E, D, primum videlicet, & $ecundum, $unt æqualia magnitu- dine, tertium vero B, & quartum A, æquegrauia, & $unt eiu$dem generis corpora E, B, $imiliter & corpora 7. _buius_ D, A, erit vt grauitas H, ad graui- tatem G, ita magnitudo C, ad corpo- ris B, magnitudinem, $ed vt grauitas H, ad grauitatem G, ita e$t magnitu- do C, ad F, magnitudinem, ergo ma- gnitudo F, æqualis erit magnitudini corporis B. inuenta igitur e$t corporis B, magnitudo F, quod facere oportebat.

Quod $i propo$ita duo corpora æque grauia A, B, fue rint regularia, vtpote $phærica, fuerit autem $phæræ A, data diameter C, & oporteat inuenire, quanta erit dia- meter $phær{ae} B, ita faciendum erit.

Accepto corpore $olido D, & inuenta $olidi corporis E, grauita- te, vt $upra dictum e$t, fiat vt grauitas H, ad grauitatem G, ita cu- bus ex C, ad alium cubum, cuius latus $it F. Quoniam igitur eadem ratione, qua $upra, demon$trabitur, vt grauitas H, ad grauitatem G, ita e$$e magnitudinem $phæræ A, ad $phæræ B, magnitudinem, $ed 18. 12. _Elem._ magnitudo $phæræ A, ad $phæræ B, magnitudinem triplicatam ra- tionem habet eius, quam C, diameter $phæræ A, ad diametrum $phæ- 33. 11. _Elem._ ræ B. Similiter & cubus ex C, ad cubum, ex diametro $phæræ B, tri- plicatam rationem habet eius, quam C, ad $phæræ B, diametrum; er- go vt grauitas H, ad grauitatem G, ita erit cubus ex C, ad cubum ex diametro $phæræ B, $ed vt grauitas H, ad grauitatem G, ita e$t cubus ex C, ad cubum ex F; ergo cubus ex F, æqualis erit cubo diametri $phæræ B; quare & latus F, æquabitur $phæræ B, diametro. inuenta igitur e$t quantitas diametri $phæræ B, quod facere oportebat.

Neque hoc Problema inutile erit tormenti bellici magi$tro, is enim cognita diametro alicuius globi, exempli gratia, ex plumbo, $tatim alterius globi eandem habentis grauitatem, diametrum inueniet, $it globus ille, vel ex lapide, vel ex fer- ro, vel ex quocunque alio $olidorum genere.

[0033]ARCHIMEDES. Exemplum.

QVidam proponit aliquod corpus $olidum notæ magnitudinis, & vult inuenire, quanta erit magni tudo alicuius $olidi alterius generis, grauitatem habentis propo$ito corpori $olido æqualem.

S I T propo$itum aliquod corpus plumbeum A, cuius magnitudo 740, & oporteat inuenire quanta erit magnitudo $tanni, grauita- tem babentis æqualem propo$ito plumbo A. Accipiatur aliquod cor- pus plumbeum D, cuius grauitas $it 115, deinde stanni, magnitudi- ne æqualis plumbo D, inueniatur grauitas, quæ $it 74, quod quomo- do fieri oporteat, dictum est in antecedentis Problematis exemplo, & fiat vt 74, ad 115. ita 740, ad alium numerum qui $it 1150, is igitur numerus indicabit quanta erit magnitudo $tanni, grauitatem baben tis æquatem propo$ito plumbo A.

Quod $i propo$itum corpus plumbeum A, $it $phæricum, cu ius $phæræ diameter $it 10, & oporteat inuenire quanta erit diameter $phæræ ex $tanno, grauitatem habentis æqualem propo$itæ $phæræ A, ita faciendum erit.

Accipiatur vt diximus aliquod corpus plumbeum D, cuius graui- tas $it 115, & $tanni, magnitudinem habentis æqualem plumbo D, in- ueniatur grauitas, quæ $it 74. & fiat vt 74, ad 115, ita cubus ex 10, qui e$t 1000, ad alium numerum qui $it 1554 {2/37}, is igitur numerus erit cubus diametri $phæræ ex stanno, grauitatem babentis æqualem propo$itæ ex plumbo $pbæræ A, quare eius latus eubicum, quod est 11 {58/100}, vero proximum, indicabit ip$am diametrum.

Similiter $ipropo$itum corpus plumbeum A, fuerit cubicum, vel alicuius alterius formæ regularis, eadem ratione inuenietur latus cu biex stanno, grauitatem babentis æqualem propo$ito plumbeo cu- bo A, $i enim ip$ius cubi plumbei A, datum $it latus 10, erit numerus 1554 {2/37} cubus ex $tanno æqualis grauitate propo$ito plumbeo Cu bo A, quare latus cubicum numeri 1554 {2/37} quod est 11 {58/100} pro ximum vero, indicabit quæ$itum latus.

Neque di$$imili ratione inuenienda erit magnitudo auri, argenti, cæræ, aut cuiu$cumque $olidi, grauitatem habentis propo$ito corpori $olido æqualem.

[0034]PROMOTVS PROBLEMA VII. PROPOS. XIV.

PRopo$itis duobus liquidis corporibus magnitudine {ae}qualibus, data grauitate vnius, grauitatem alte- rius inuenire.

SINT propo$ita duo cor- ra liquida, magnitudine æqualia A, B, $it autem vnius, vtpote li- quidi A, data grauitas G, & oporteat alterius liquidi B, gra- uitatem inuenire. Accipiatur aliquod corpus $olidum C, & li- quidi, quod $it H, eiu$dem ge- neris cum liquido A, magnitu- 8. _huius_ dine æqualis $olido C, inuenia- tur grauitas, quæ $it D, $imiliter & liquidi, quod $it I, eiu$dem generis cum liquido B, magni- tudine æqualis eidem $olido C, 8. _huius_ inueniatur grauitas, quæ $it E, & fiat vt D, ad E, ita G, ad aliam grauitatem, quæ $it F. Quoniam igitur e$t vt A, ad B, ita H, ad I, æquale videlicet ad æquale, erit per- mutando vt A, ad H, ita B, ad I, & quoniam eiu$dem $unt generis cor- 4. _buius_ pora A, H, $imiliter & corpora B, I, erit vt grauitas G, ad grauita- tem D, ita liquidi B, grauitas, ad grauitatem E, & permutando vt grauitas G, ad grauitatem liquidi B, ita D, grauitas, ad grauitatem E, $ed vt grauitas D, ad grauitatem E, ita e$t grauitas G, ad graui- tatem F; ergo grauitas F, æqualis erit grauitati liquidi B. inuenta igitur e$t liquidi corporis B, grauitas F, quod facere oportebat.

Exemplum.

QVidam proponit aliquod corpus liquidum notæ grauitatis, & vult $cire, quanta erit grauitas alte- rius liquidi, magnitudinem habentis propo$ito corpori liquido æqualem.

Sit propo$itum aliquod olei corpus A, cuius grauitas 550, & oporteat inuenire, quanta erit grauitas aquæ, magnitudinem baben- [0035]ARCHIMEDES. tis æqualem propo$ito oleo A, Accipiatur aliquod corpus $olidum C, vtpote plumbeum, & aquæ, magnitudinem babentis æqualem plumbo C, inueniatur grauitas, quæ $it 12, vt in exemplo propo$. 8. dictũ e$t. Similiter & olei, magnitudinem æqualem babentis, eidem plumbo C, inueniatur grauitas, quæ $it 11, & fiat, vt 11, ad 12, ita 550, ad aliũ numerum qui $it 600. is igitur numerus indicabit quanta erit graui- tas aquæ, magnitudinem babentis æqualem propo$ito oleo A.

Si vero propo$itum $it aliquod argenti viui corpus A, cuius grauitas 95, & oporteat inuenire, quanta erit grauitas aquæ, magni- tudinem babentis æqualem propo$ito argento viuo A. Accipiatur ali- quod vas vitreum mundum, & politum, cuius grauitas $it v. g. 91. ip$umq; vas plenum aqua ponderetur in aqua, & habeat grauitatem 55, quoniam igitur numerus 91, $uper at numerũ 55, numero 36, erit 5. _buius_ grauitas aquæ, magnitudinem babentis æqualem ip$iva$i, boc est $oli- ditati ip$ius va$is 36, ponatur deinde in ip$um vas propo$itum argen- tum viuũ A, nibil interest, vt vas $it plenum, vel non, & quoniam ar genti viui A, grauitas est 95, & va$is vitrei grauitas 91, erit argenti viui $imul cum ip$o va$e, grauitas 186. ponderetur itaque ip$um vas, $imulcum argento viuo A, in aqua, ita vt aqua repleat va$is partem vacuam, & $it va$is grauitas in aqua $imul cum argento viuo 143, quoniam igitur numerus 186, $uperat numerum 143, numero 43, erit 5. _buius_ grauitas aquæ, magnitudin\-e bab\-etis æqualem argento viuo, $imul cũ va$e 43, $ed grauitas aquæ babentis magnitudinem æqualem va$i est 36, ergo reliquum quod est 7, erit grauitas aquæ, magnitudinem ba- bentis æqualem propo$ito argento viuo A.

Sed $i propo$itum fuerit aliquod magnum argenti viui cor pus, ita vt difficile po$$it ponderari in aqua, hac via inuenietur aquæ quæ$ita grauitas.

Sit propo$itum aliquod magnum argenti viui corpus A, cuius gra- uitas 5700. & oporteat facere, quod imperatum e$t. Accipiatur ali- quodparuum argenti viui corpus C, cuius grauitas $it 95, & aquæ, magnitudinem babentis æqualem argento viuo C, inueniatur graui- tas, eo modo quo dictum est, quæ $it 7, & fiat vt 95, ad 7, ita 5700, ad alium numerum, qui $it 420, is igitur numerus indicabit quanta erit grauitas aquæ, magnitudinem babentis æqualem propo$ito argento viuo A.

Contra, $it propo$itum aliquod corpus aqueum A, cuius grauitas 420, & oporteat inuenire quanta erit grauitas argenti viui, magni- tudine æqualis propo$itæ aquæ A. facto, vt $upra, & inuenta graui- tate 7, aquæ $cilicet magnitudinem babentis æqualem arg\-eto viuo C, [0036]PROMOTVS $iat vt 7, ad 95, ita 420, ad alium numerum, qui $it 5700, is igi- tur indicabit quanta erit grauitas argenti viui, magnitudine æqua- lis propo$itæ aquæ A.

Inueniemus etiam aliter, & expeditius grauitatem aquæ, magnitudinem habentis æqualem propo$ito ar- gento viuo A.

Accipiatur enim aliquod corpus aureum, cui $uperinducatur ce- rea tunica tenui$$ima, ne fiat argento viuo leuius, neue ab eod\-e di$$ol- uatur, deinde aquæ, magnitudinem babentis æqualem ip$i corpori au reo inueniatur grauitas, vt dictum est in propo$. 8. exemplo, quæ $it 7, $imiliter & argenti viui, vt aquæ, magnitudinem babentis æqualem eidem corpori aureo, inueniatur grauitas, quæ $it 95, & fiat vt 95, ad 7, ita 5700, ad 420, grauitas igitur aquæ, magnitudinem babentis æ- qualem argento viuo A, erit 420.

Contra. $it propo$itum aliquod corpus aqueum, cuius grauitas 420, & oporteat inuenire, quanta erit grauitas argenti viui, magni- tudine æqualis propo$itæ aquæ A. Superinducta corpori aureo cerea tunica, vt $upra, & inuentis grauitatibus 7, & 95, aquæ nimirum, & argenti viui, magnitudine æqualium prædicto aureo corpori, fiat vt 7, ad 95, ita 420, ad 5700. grauitas igitur argenti viui, magnitudine æqualis propo$ito corpori aqueo A, erit 5700.

Qua ratione inuenienda $it grauitas argenti viui, ma- gnitudinem habentis propo$ito cuicunque corpori $oli- do æqualem.

Sit propo$itum aliquod corpus $olidum, vtpote plumbeum A, cuius grauitas 161, & oporteat inuenire quanta erit grauitas argenti viui magnitudine æqualis propo$ito plumbo A. inueniatur grauitas aquæ magnitudinem babentis æqualem plumbo A, vt in exemplo propo$i- tionis 8, dictum e$t, quæ $it 14, & inuenta grauitate argenti viui, ma- gnitudine æqualis ip$i aquæ, ea erit de qua quæritur, $it enim inuen ta argenti viui grauitas 190. Quoniã igitur argentum viuum, cuius grauitas est 190, magnitudine æquatur aquæ, cuius grauitas e$t 14, ip$ique aquæ æquatur magnitudine plumbum A, erit argentum vi- uum, cuius grauitas 190, magnitudine propo$ito plumbo A, æquale; quare inuenta est grauitas argenti viui, magnitudine æqualis propo- $ito plumbo A, quod facere oportebat.

Quomodo inuenienda $it grauitas cuiu$cunque cor- [0037]ARCHIMEDES. póris $olidi, magnitudinem habentis propo$ito corpori ex argento viuo æqualem.

Sit propo$itum aliquod corpus ex argento viuo A, euius grauitas 190, & oporteat inuenire quanta erit grauitas plumbi, magnitudine æqualis propo$ito argento viuo A. inueniatur grauitas aquæ, magni- tudinem habentis æqualem argento viuo A, quæ$it 14, deinde inuen- ta grauitate plumbi, magnitudine æqualis ip$i aquæ, vt in exemplo propo$. 9. dictum est, ea erit de qua quæritur. $it enim inuenta plum- bi grauitas 161, quoniam igitur aqua, cuius grauitas est 14, æqua- tur magnitudine plumbo, cuius grauitas est 161, & æquatur quoque argento viuo A, plumbum cuius grauitas e$t 161, æquabitur magni- tudine argento viuo A. quare inuenia, e$t grauitas plumbi, magnitu- dine æqualis propo$ito argento viuo A, quod facere oportebat.

PROBLEMA VIII. PROPOS. XV.

PRopo$itis duobus liquidis corporibus æquè graui- bus, data magnitudine vnius, magnitudinem alte- rius inuenire.

SINT propo$ita duo cor- pora liquida a què grauia A, B, $it autem vnius vt pote li- quidi A, data magnitudo G, & oporteat inuenire quanta erit magnitudo liquidi B. Ac- cipiatur aliquod $olidum cor pus C, & liquidi quod $it H, eiu$dem generis cum liquido A, magnitudinem habentis æqualem $olido C, inuenia- 8. _huius_ tur grauitas quæ $it D, $imili- ter & liquidi, quod $itI, eiu$d\-e generis cum liquido B, magni tudinem habentis æqualem eidem $olido C, inueniatur grauitas, 8. _huius_ quæ $it E, & fiat vt grauitas E, ad grauitatem D, ita magnitudo G, ad ad aliam magnitudin\-e, quæ $it F. Quoniam igitur $unt quatuor cor- pora grauia I, H, B, A, quorum primum, & $ecundum $unt magnitu- dine æqualia, tertium vero, & quartum æque grauia, & $unt eiu$dem generis primum videlicet, & tertium, $imiliter eiu$dem generis $e- [0038]PROMOTVS 7. _buius_ cundum & quartum, Erit vt grauitas E, ad grauitatem D, ita ma- gnitudo G, ad liquidi B, magnitudinem, $ed vt grauitas E, ad graui- tatem D, ita e$t magnitudo G, ad F, magnitudinem; ergo magnitudo F, æqualis erit magnitudini liquidi B. inuenta igitur e$t corporis li- quidi B, magnitudo F, quod facere oportebat.

Quod $i propo$ita duo corpora æque grauia fuerint regularia, vtpote $phærica, fuerit autem $ph{ae}ræ A, data diameter G, & oporteat inuenire, quanta erit diameter $phæræ B, ita faciendum erit.

ACCEPTO aliquo cor pore $olido C, & inuentis grauitatibus D, E, liquidorũ H, I, vt $upra, fiat vt grauitas E, ad grauitatem D, ita cu- bus ex G, ad alium cubum, cuius latus $it F. Quoniam igitur eadem ratione, qua $upra o$tendetur, vt grauitas E, ad grauitatem D, ita e$$e magnitudinem $phæræ A, ad $phæræ B, magnitudinem, $ed magnitudo $phæræ A, ad 18. 12. _Elem._ $phæræ B, magnitudinem, triplicatã rationem habet eius, quam G, diameter $phæræ A, ad dia- metrum $phæræ B, $imiliter & cubus ex G, ad cubum diametri $phæ- 33. 11. _Elem._ ræ B, triplicatam rationem habet eius, quam G, ad $phæræ B, dia- metrum; ergo vt grauitas E, ad grauitatem D, ita erit cubus ex G, ad cubum diametri $phæræ B, $ed vt grauitas D, ita grauitatem D, ita e$t cubus ex G, ad cubum ex F; ergo cubus ex F, æqualis erit cubo diametri $phæræ B; quare & latus F, æquabitur diametro ip$ius $phæ ræ B. inuenta igitur e$t quantitas diametri $phæræ B, quod facere oportebat.

Exemplum.

QVidam proponit aliquod corpus liquidum notæ magnitudinis, & vult inuenire, quanta erit ma- gnitudo liquidi alterius generis, grauitatem [0039]ARCHIMEDES. habentis propo$ito corpori liquido æqualem.

Sit propo$itum aliquod olei corpus A, cuius magnitudo 600. & oporteat inuenire quanta erit magnitudo aquæ, grauitatem babentis æqualem propo$ito oleo A, accipiatur aliquod $olidum corpus C, vt pote plumbeum, & aquæ magnitudinem habentis æqualem plumbo C, inueniatur grauitas, vt in exemplo prop. 8, dictum e$t, quæ $it 12. $imiliter & olei æqualem habentis magnit udinem eidem plumbo C, inueniatur grauitas quæ $it 11, & fiat vt 12, ad 11, ita 600, ad alium numerũ qui$it 550. is igitur numerus indicabit quanta erit magni- tudo aquæ grauitatem habentis æqualem propo$ito oleo A.

Similiter $i propo$itũ $it aliquod corpus aqueum A, cuius magnita do 5700, & oporteat inuenire, quanta erit magnitudo argecti viui, grauitatem habentis æqualem propo$itæ aquæ A. Accipiatur aliquod corpus $olidum C, $i aureum, $uper inducatur ei cerea tunica propter iam dictã rationem, deinde argenti viui, magnitudine æqualis ip$i C, inueniatur grauitas quæ $it 95, $imiliter & aquæ magnitudin\-e ha. bentis equalem eidem C, inueniatur grauitas quæ$it 7, & fiat vt 95, ad 7, ita 5700, ad alium numerum, qui $it 420, is igitur numerus in- dicabit quanta erit magnitudo argenti viui grauitatem habentis æqualem propo$itæ aquæ A.

Quod $i propo$itum corpus aqueum A, $it $phæricum, cuius $phæræ diameter $it 10, & oporteat inuenire quanta erit dia- meter $phæræ ex argento viuo, grauitatem habentis æqualem propo$itæ $phæræ A, ita faciendum erit.

Accepto vt diximus aliquo corpore $olido C, & inuentis grauita- tibus liquidorũ aquæ $cilicet & argent viui magnitudinem æqua- lem habentium corpori C, quæ $int 14, grauitas aquæ, & 190, graui- tas argenti viui, fiat vt 190, ad 14, ita cubus ex 10, hoc est ita 1000, ad alium numerum, qui $it 73 {13/19}, is igitur numerus erit cubus dia- metri$phæræ ex argento viuo, grauitatem habentis æqualem propo- $itæ ex aqua $phæræ A: quare latus cubicum numeri 73 {13/19}, quod e$t 4 {19/100}. proxime indicabit ip$am diametrum.

Similiter $ipropo$itum corpus aqueum A, fuerit cubicum, aut alicuius alterius formæregularis, eadem ratione, qua $upra inuenie- tur latus cubi ex argento viuo, grauitate æqualis propo$ito ex aqua cubo A, nam $i ip$ius cubi A, datũ $it latus 10, erit numerus 73 {13/19}, cubus ex argento viuo æqualis grauitate propo$ito ex aqua cubo A; quare latus cubicum numeri 73 {13/19}, quod est 4 {19/100}. proxime in- dicabit quæ$itum latus cubi, ex argento viuo.

[0040]PROMOTVS

Neque di$$imili ratione inuenietur magnitudo reliquo- rum omnium liquidorum, grauitate propo$ito corpori cuiu$- cumque generis liquidi, æqualium, quare dicta $ufficiant.

DVm adhucOpu$culum $ub prælo e$$et, dubitandi an$am, ex eo vir docti$simus, cui percurrendum illud tradi- deram, arripuit, quod ex grauitate, corporum in aqua exi$tentium, non po$$et vera ratio, quam habent diuer$a ip$orum corporum genera in grauitate, deprehendi, ni$i corpora fuerint $imilia. $i enim (aiebat) accipiantur duo corpora eiu$dem generis, & grauitatis, quorum vnum $it planum, alterum conicam formam habens, & ponderen- turin aqua, ita vt coni vertex deor$um ver$us pendeat, ba$is vero ip$ius coni, & latæ corporis plani $uperficies æquidi$tent horizonti. conus in aqua maiorem habebit grauitatem, cor- pore plano, quia corpus planum magis ab aqua $u$tentatur, quam conus, & hoc quidem manife$tum e$t, quoniam $i am- bo demittantur eodem tempore in aquam, conus citius ad imum de$cendet, quam corpus planum. Hoc argumentum licet primo a$pectu probabilevideatur, tamen fal$o concludit. verum e$t quod aqua $u$tentat magis corpus planum, quam conum, ip$um tamen $u$tentat, netanta velocitate feratur deor$um, non ideo ip$ius grauitati aliquid detrahit, neque enim ex velociori motu $impliciter inferri pote$t maior gra- uitas, illud enim valeret etiam in aere, quod e$t fal$um, $ed ne huiu$modi dubitatio veritatis $pecie aliquem decipiat, $e- quenti Theoremate eam de$truere agrediar.

THEOREMA VIII. PROPOS. XVI.

COrpora eiu$dem generis, & grauitatis grauiora quam aqua, et$i di$similia, æqualem in aqua grauitatem habent.

SINT duo eiu$dem generis, & grauitatis corpora A, B, grauiora quam aqua, & $int di$$imilia, dico ip$a corpora æqualem in aqua grauitatem habere. $it enim $i fieri pote$t corpus A, leuius corpore B, [0041]AR CHIMEDES. & accipiatur aliquod corpus L, leuius quam aqua, ita vt cum ip$i corpori I., appendatur corpus B, & ambo $imul demittantur in aquã, $int æque grauia atque aqua, neque $ur$um, neque deor$um feran- tur, $imiliter accipiatur alterum corpus M, eiu$dem generis cum corpore L, ip$ique $imile, & æquale, & corpori M, appen datur corpus A. Deinde in- teligatur aqua con$i$tens, & manens, eiu$que $uperfi- cies $phærica C D E, cuius $phæræ centrum K, aquæ enim con$i$tentis, atque manentis $uperficies $phæ- rica e$t, cuius $phæræ cen- trum idem e$t, quod centrũ terræ, hoc autem demon$tratum e$t ab Archimede Prop. 2. lib. 1. de ijs, quæ vehuntur in aqua. Inteligantur etiam duæ pyramides con- iunctæ, & continuatæ, æquales, & $imiles KCD, KDE, pro ba$ibus habentes in $uperficie aquæ parallelogramma, vertices autem pun- ctum K, & corpora L, B, comprehendantur à pyramide KDE, corpo- ra vero M, A, à pyramide KCD, & $ub corporibus L, B, de$cribatur quædam alterius $phæræ $uperficies FGH, in a qua, circa centrum K, poterit autem huiu$modi $uperficies $ub corporibus L, B, de$cribi, quoniam & $i ip$i corpora demerguntur tota, non ideo feruntur deor$um, ponuntur enim æque grauia @atque aqua. Quoniam igitur eiu$dem generis ponuntur corpora M, L, & æqualia, & $imilia, erunt æque grauia, tum in aqua, tum in aere, & quoniam corpus A, leuius e$t in aqua, corpore B, erunt corpora M, A, $imul, in aqua leuiora corporibus L, B, $ed corpora L, B, $imul, æque grauia $unt at- que aqua, ergo corpora M, A, $imul, leuiora erunt quam aqua; quare corpus M, non demergetur totum, $ed aliqua pars ip$ius ex aquæ $u- perficie extabit.

Et quoniam eiu$dem generis, & grauitatis ponuntur corpora A, B, erunt magnitudine æqualia, & per additionem æqualium æquali- bus, corpora M, A, erunt æqualia corporibus L, B,

Quoniam igitur corpora M, A, æqualia $unt corporibus L, B, pars autem corporis M, extat ex aquæ $uperficie, & corpora L, B, tota de- merguntur, minus loci ocupabunt in aqua corpora M, A, quam cor- pora L, B, quare maior erit grauitas corporum M, A, & aquæ conti- nentis ip$a corpora, quæ e$t in loco pyramidis CDGF, quam corpo- rum L, B, & aquæ ip$a corpora contin\-etis in loco pyramidis DEHG, [0042]PROMOTVS magis igitur aquæ pars premetur, quæ e$t $ub $uperficie FG, quam ea quæ e$t $ub $uperficie GH; quare expellet partem minus pre$$am, (æqualiter enim & continuatæ iacent inter $e$e) & nõ manebit aqua, quod e$t ab$urdum, ponebatur enim manens. non igitur corpus A, leuius e$t in aqua corpore B. eadem ratione o$tendetur neque corpus B, leuius e$$e in aqua corpore A, quare con$tat propo$itum.

ALITER.

Sint duo eiu$dem generi@, & grauitatis corpora A, B, grauiora quam aqua, & $int di$$imilia. o$tendendum e$t ip$a corpora æqualem in aqua grauitatem habere, $it enim corporis A, vel ip$ius B, graui- tas CD, aquæ vero magni- tudinem habentis æqua- lem ip$i A, vel B, $it graui- tas C, & accipiatur ali- quod corpus L, leuius quã aqua, cuius grauitas $it ip$i C, æqualis, aquæ ve- ro, magnitudinem haben- tis æqualem corpori L, $it grauitas æqualis ip$i CD, itaque appen$o corpore B, corpori L, corpus ex vtri$que con$tans æque graue erit atque aqua, grauitas enim vtro- runque corporum B, L, e$t æqualis vtri$que grauitatibus CD, & C, & grauitas aquæ, magnitudinem habentis æqualem vtri$q; corporibus L, B, æqualis e$t ei$dem grauitatibus CD, & C, corpora igitur B, L, demi$$a in aquam, neque $ur$um, neque deor$um $erentur, quia cor- pus B, grauius quam aqua fertur deor$um tanta vi, quanta à corpo- re _L_, $ur$um retrahitur.

Rur$us accipiatur alterum corpus $olidum M, eiu$dem generis cum corpore L, ip$ique $imile, & æquale, & corpore A, appen$o ip$i M, & demi$$is ambobus in aquam, eadem ratione qua $upra o$ten- detur, corpora A, M, $imul, e$$e æque grauia atque aqua, & corpus A, tanta vi deor$um ferri, quanta retrahitur $ur$um à corpore M, $ed corpora M, L, æqualem vim habent retrahendi $ur$um, cum $int eiu$dem generis, & æqualia, & $imilia, ergo æquali vi retra- hentur corpora A, B, ne de$cendant; quare con$tat ip$a corpora A, B, æqualem in aqua grauitatem habere quod erat o$tendendum.

[0043]ARCHIMEDES. THEOREMA IX. PROPOS. XVII.

SPhære eiu$dem generis inter $e $unt in grauitate, vt diametrorum cubi in magnitudine.

SINT $phæræ eiu$dem gene- ris ABC, DEF, quarum diame tri BC, EF. dico vt $ph{ae}ra ABC, $e habet in grauitate, ad $phæram DEF, ita $e habere in maguitudi- ne cubum ex BC, ad cubum ex EF, $it enim $phæræ ABC, graui- tas G, & $phæræ DEF, grauitas H, quoniam igitur eiu$dem generis ponuntur $phæræ ABC, DEF, erit vt $phæra ABC, ad $phæram DEF, ita grauitas G, ad H, graui 2. & 3. _huius._ tatem, $ed $phæra ABC, ad $phæram DEF, triplicatam habet ra- 18. 12. _Elem._ tionem eius, quam diameter BC, ad EF, diametrum, ergo & graui- tas G, ad grauitatem H, triplicatam habebit rationem eius, quam habet BC, ad EF, $ed & cubus ex BC, ad cubum ex EF, triplicatam 33. 11. _Elem._ rationem habet eius, quam BC, ad EF, ergo vt grauitas G, ad graui- tatem H, ita erit cubus ex BC, ad cubum ex EF. $phæræ igitur eiu$- dem generis inter $e $unt in grauitate, vt diametrorum cubi in ma- gnitudine, quod erat demon$trandum.

[0044]PROMOTVS Ad comparandum inter $e duodecim corporum genera grauitate, & magnitudine tabella. # Aurũ. # Ar. Vi. # Plum. # Arg. # Aes. # Ferrũ. # Stann. # Mel. # Aqua. # Vinũ. # Cera. # Ole@@ Oleum. # 20 {8/11} # 14 {62/77} # 12 {6/11} # 11 {3/11} # 9 {9/11} # 8 {8/11} # 8 {4/55} # 1 {32/55} # 1 {1/11} # 1 {4/55} # 1 {5/121} # 1 Cera. # 19 {19/21} # 14 {32/147} # 12 {1/21} # 10 {52/63} # 9 {9/21} # 8 {8/21} # 7 {89/105} # 1 {109/210} # 1 {1/21} # 1 {13/420} # 1 Vinum. # 19 {19/59} # 13 {331/413} # 11 {41/59} # 10 {30/59} # 9 {9/59} # 8 {8/59} # 7 {31/59} # 1 {28/59} # 1 {1/59} # 1 Aqua. # 19 # 13 {4/7} # 11 {1/2} # 10 {1/3} # 9 # 8 # 7 {2/5} # 1 {9/20} # 1 Mel. # 13 {3/29} # 9 {73/203} # 7 {27/29} # 7 {11/87} # 6 {6/29} # 5 {15/29} # 5 {3/29} # 1 Stannum. # 2 {21/37} # 1 {221/259} # 1 {41/74} # 1 {44/111} # 1 {8/37} # 1 {3/37} # 1 Ferrum. # 2 {3/8} # 1 {39/56} # 1 {7/16} # 1 {7/24} # 1 {1/8} # 1 Aes. # 2 {1/9} # 1 {32/63} # 1 {5/18} # 1 {4/27} # 1 Argentum. # 1 {26/31} # 1 {68/217} # 1 {7/62} # 1 Plumbum. # 1 {15/23} # 1 {29/161} # 1 Arg. Viuũ. # 1 {38/95} # 1 Aurum. # 1

Quæro exempli gratia, quam habet rationem in grauitate plumbum ad aurum. In- teligatur plumbum, quoniam leuius est auro, grauitatem habere 1, & in line a plumbi, in prima columna nominati, $ub titulo auri, quæratur auri grauitas, ea erit 1 {15/23}. plum bum igitur ad aurum rationem babebit in grauitate vt 1, ad 1 {85/23}, $i enim $umantur duo corpora magnitudine æqualia, vnum plumbeum alterum aureum, $it autem plum bei corporis grauitas 1, aurei erit 1 {15/23}, quare corpus plumbeum ad corpus aureum eiu$dem magnitudinis rationem habebit in grauitate vt 1, ad 1 {15/23}. comparantur au- tem inter $e genera diuer$a grauitate, in corporibus magnitudine æqualibus.

Rur$us, quæro quam habet rationem in grauitate aqua ad argentum viuum. inteli- gatur aqua, vt leuior argento viuo grauitatem habere 1, & in line a aquæ, $ubtitulo ar- genti viui, quæratur argenti viui grauitas, ea erit 13 {4/7}, aqua igitur ad argentum viuũ rationem habebit in grauitate vt 1, ad 13 {4/7}.

Contra, quæro quomodo $e habent in magnitudine aurum, & plumbum. inteligatur aurum, quoniam grauius e$t plumbo, magnitudinem habere 1, & in linea plumbi, $ub ti- tulo auri, quaratur plumbi magnitudo, ea erit 1 {15/23}, aurum igitur ad plumbum $e ba- [0045]ARCHIMEDES. bebit in magnitudine vt 1, ad 1 {15/23}, $i enim $umantur duo corpora aque grauia, vnum aureum, alterum plumbeum, $it autem corporis aurei magnitudo 1, plumbei erit 1 {15/23}, quare corpus aureum ad corpus plumbeum eiu$dem grauitatis $e babebit in magnitudi- ne vt 1, ad 1 {15/23}, comparantur autem inter $e genera diuer$a magnitudine, in corpori- bus æque grauibus.

Quæro denique quomodo $e babent in magnitudine ferrum, & aqua, ponatur ferrum, vt grauius aqua, magnitudinem babere 1, & in linea aquæ, $ub titulo ferri, quæratur aquæ magnitudo, ea erit 8, ferrumigitur ad aquam $e babebit in magnitudine vt 1, ad 8.

Altera, ad comparandum inter $e duodecim corporum genera, grauitate, & magnitudine, tabella. # Oleũ. # Cera. # Vinũ. # Aqua. # Mel. # Stann. # Ferrũ. # Aes. # Arg. # Plum. # Ar. Vi. # Aurũ. Aurum. # 4 {47/57} # 5 {5/209} # 5 {10/57} # 5 {5/19} # 7 {12/19} # 38 {18/19} # 42 {2/19} # 47 {7/19} # 54 {22/57} # 60 {10/19} # 71 {3/7} # 100 Arg. Viuũ # 6 {43/57} # 7 {7/209} # 7 {14/57} # 7 {7/19} # 10 {13/19} # 54 {10/19} # 58 {18/19} # 66 {6/19} # 76 {8/57} # 84 {14/19} # 100 Plumbum. # 7 {67/69} # 8 {76/253} # 8 {38/69} # 8 {16/23} # 12 {19/23} # 64 {8/23} # 69 {13/23} # 78 {6/23} # 89 {59/69} # 100 Argentum. # 8 {27/31} # 9 {81/341} # 9 {16/31} # 9 {21/31} # 14 {1/31} # 71 {19/31} # 77 {13/31} # 87 {3/31} # 100 Aes. # 10 {5/27} # 10 {20/33} # 10 {25/27} # 11 {1/9} # 16 {1/9} # 82 {2/9} # 88 {8/9} # 100 Ferrum. # 11 {11/24} # 11 {41/44} # 12 {7/24} # 12 {1/2} # 18 {1/8} # 92 {1/2} # 100 Stannum. # 12 {43/111} # 12 {366/407} # 13 {32/111} # 13 {19/37} # 19 {27/37} # 100 Mel. # 63 {19/87} # 65 {265/319} # 67 {71/87} # 68 {28/29} # 100 Aqua. # 91 {2/3} # 95 {5/11} # 98 {1/3} # 100 Vinum. # 93 {13/59} # 97 {47/649} # 100 Cera. # 96 {2/63} # 100 Oleum. # 100

Quæro exempli gratia, quæ nam $it ratio in grauitate, auri ad argentum. intelliga- tur aurum, quoniam grauius est argento, grauitatem babere 100, & in linea auri, $ub titulo argenti, reperietur argenti grauitas 54 {22/57}, aurum igitur ad argentum rationem babebit in grauitate vt 100, ad 54 {22/57}, $i enim $umantur duo corpora, magnitudine æqualia, vnum aureum, alterum argenteum, $it autem aurei corporis grauitas 100, erit [0046]PROMOTVS argentei 54 {22/57}, quare corpus aureum ad corpus argenteum eiu$dem magnitudinis, rationem babebit in grauitate, vt 100, ad 54 {22/57}.

Quæro, quomodo $e babet in grauitate aqua ad vinum quoniam aqua grauior est vino, intelligatur eius grauitas 100, & quoniam in linea aquæ, $ub titulo vin<007>, datur vini grauitas 98 {1/3}, aqua ad vinum $e babebit in granitate, vt 100, ad 98 {1/3}.

Contra quæro quomodo $e babent in magnitudine argentum, & aurum. intelligatur argentum, vt leuius auro, magn<007>tudinem babere 100, & in linea auri, $ub titulo argenti, quæratur auri magnitudo, ea erit 54 {22/57}, argentum igitr ad aurum $e babebit in magnitudine, vt 100, ad 54 {22/57}, $i enim $umantur duo corpora æque grauia, vnum argenteum, alterum aureum, $it autem argentei corporis magnitudo 100, erit aurei 54 {22/57}, quare corpus argenteum, ad corpus aureum eiu$dem grauitatis, $e babebit in magnitudine, vt 100, ad 54 {22/57}.

Quæro denique quomodo $e babent in magnitudine aqua & ar- gentum viuum. quoniam aqua leuior est argento viuo, intelligatur eius magnitudo 100, & in linea argenti viui, $ub titulo aquæ, quæ- ratur argenti viui magnitudo, & reperietur 7 {7/19}, aqua igitur ad argentum viuum $e babebit in magnitudine, vt 100, ad 7 {7/19}.

Hic $equitur tabula, ad inueniendas $phærarum grauita- tes, ex data diametrorum magnitudine, cuius hæc e$t explicatio.

In dimetiendis $phærarum diametris vtimur pede Romano anti- quo, cuius men$uram in margine appo$uimus, eaque re$pondet ad Ro- mani palmi, quo bodie vtimur, men$uram vt 4, ad 3, buiu$modi pe- dem diuidimus in duodecim partes æquales, $eu vncias, quas inuenies in prima Columna $ub titulo magnitudinis.

Ponderibus autem vtimur bac nostra tempe$tate v$itatis, libram enim diuidimus in 12, vncias vnciam vero in 24, $crupula, & $cru- pulum in 24, grana. Ad inueniendas igitur $pbærarum grauitates ex data diametrorum magnitudine, bæc eritratio.

Quæris grauitatem $phæræ plumbeæ, diametrum babentis 3, vn- ciarum, in$pice tabulam, & in linea trium vnciarum, $ub titulo gra- uitatis plumbeæ $phæræ, deprebendes ip$am $phæram grauitatem ba- bere lib. 7, vnc. 4, $cru. 13, gran. 22 {26/37}.

Rur$us, quæris grauitatem $phæræ aureæ, diametrum babentis 6, vnciarum. in linea 6, vnciarum, $ub titulo grauitatis aureæ $phæræ [0047]ARCHIMEDES. datur quæ$ita grauitas lib. 97, vnc. 6, $crup. 19, gran. 11 {1/37}.

Quæris denique grauitatem $phæræ stanneæ, diametrum babentis vnius pedis. in linea vnius pedis, $eu 12, vnciarum, $ub titulo graui- tatis $phæræ $tanneæ, datur quæ$ita $phæræ grauitas lib. 304, adun- quem. Atque ita reliquarum $phærarum in tabula nominatarum, ex data diametrorum magnitudine, grauitates inuenies.

Qua ratione hanc Tabulam compo$uimus.

Primum inueniendam curauimus grauitatem alicuius $phæræ, da- tam babentis diametrum, & ad boc faciendum, oportebat aliquam $phæram efficere, $ed quoniam ad ill am efficiendam, exactam bumana diligentia non $ufficit, fieri curauimus Cylindrum ex $tanno, altitu- dine æqualem diametro circuli, qui ba$is e$t ip$ius Cylindri, is enim torno fieri pote$t multo exactior quam $phæra, & facilius. buius au- tem Cylindri altitudo, vel diameter ip$ius ba$is, erat duarum vncia- rum prædicti pedis Romani, grauitas vero duarum librarum, cum vna vncia, & octo $crupulis, $iue vt boc pondus ad grana reducamus, Cylindri grauitas erat Gran. 14592. abstulimns ab bac Cylindri grauitate partem tertiam, id est 4864, reliquum, quod est 9728. $er- uauimus, pro grauitate $phæræ, diametrum babentis æqualem altitu- dini Cylindri, o$ten$um enim est ab Archimede propo$ 32, lib. 1, de $phæra, & Cylindro, Cylindrum, qui ba$im babeat maximo in $phæra circulo æqualem, & altitudinem æqualem diametro $phæræ, ad ip$am $phæram $e$quialterum e$$e; itaque grauitatem $phæræ, diametrum babentis duarum vnciarum inuenimus e$$e gran. 9728.

Inuenta igitur grauitate $phæræ, cuius diameter est duarum vn- ciarum, facile inuenientur reliquarum $phærarũ grauitates, $i enim inuenienda $it grauitas $phæræ stannea babentis diametrum {1/4}. vn- ciæ. fiat vt cubus ex 2, ad cubum ex {1/4}, boc est vt 512, ad 1, ita 9728, ad alium numerum, qui $it 19, $phæræ igitur cuius diameter e$t {1/4}, vnciæ, grauitas erit gran. 19, osten$um enim est prop. 17, buius, $phæ- ras eiu$dem generis inter $e e$$e in grauitate, vt diametrorum cubi in magnitudine.

Rur$us $it inuenienda grauitas $phæræ stannæ babentis diame- trum {1/2}, vnciæ, fiat vt cubus ex {1/4}, ad cubum ex {1/2}, boc est vt 1, ad 8, ita 19, ad 152, $phæra igitur, cuius diameter e$t {1/2}, vnciæ, babebit gra- uitatem gran. 152.

Sit denique inuenienda grauitas $phæræ stannæ, diametrum ba- bentis {3/4}, vnciæ, fiat vt cubus ex {1/4}, ad cubum ex {3/4}, boc e$t vt 1, ad 27, ita 19, ad 513, grauitas igitur $phæræ babentis diametrum {3/4}, vnciæ, [0048] Ad inueniendas $phæra- diametrorum TAB Diametri \\ magnitu- \\ do. #### Aureæ $pheræ \\ grauitas. #### Plumbeæ Sph{ae}ræ \\ grauitas. #### Argentea Sphæræ \\ grauitas. # Lib. # Vn. # Scru. # Gra. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. {1/4} # 0 # 0 # 2 # {29/37} # 0 # 0 # 1 # 5 {39/74} # 0 # 0 # 1 # 2 {59/111} {1/2} # 0 # 0 # 16 # 6 {10/37} # 0 # 0 # 9 # 20 {8/37} # 0 # 0 # 8 # 20 {28/111} {3/4} # 0 # 2 # 6 # 21 {6/37} # 0 # 1 # 9 # 5 {17/74} # 0 # 1 # 5 # 20 {13/37} 1 # 0 # 5 # 10 # 2 {6/37} # 0 # 3 # 6 # 17 {27/37} # 0 # 2 # 22 # 18 {2/111} 1 {1/4} # 0 # 10 # 14 # 1 {36/37} # 0 # 6 # 9 # 18 {65/74} # 0 # 5 # 18 # 4 {49/111} 1 {1/2} # 1 # 6 # 7 # 1 {11/37} # 0 # 11 # 1 # 17 {31/37} # 0 # 9 # 22 # 18 {30/37} 1 {3/4} # 2 # 5 # 1 # 4 {31/37} # 1 # 5 # 13 # 23 {57/74} # 1 # 3 # 19 # 4 {35/111} 2 # 3 # 7 # 8 # 17 {5/37} # 2 # 2 # 5 # 21 {31/37} # 1 # 11 # 14 # 0 {16/111} 2 {1/4} # 5 # 1 # 17 # 19 {14/37} # 3 # 1 # 8 # 19 {63/74} # 2 # 9 # 13 # 21 {18/37} 2 {1/2} # 7 # 0 # 16 # 15 {29/37} # 4 # 3 # 6 # 7 {1/37} # 3 # 10 # 1 # 11 {59/111} 2 {3/4} # 9 # 4 # 17 # 11 {8/37} # 5 # 8 # 5 # 12 {35/74} # 5 # 1 # 7 # 9 {52/111} 3 # 12 # 2 # 8 # 10 {14/37} # 7 # 4 # 13 # 22 {26/37} # 6 # 7 # 14 # 6 {18/37} 3 {1/4} # 15 # 6 # 1 # 17 {36/37} # 9 # 4 # 14 # 22 {65/74} # 8 # 5 # 4 # 17 {76/111} 3 {1/2} # 19 # 4 # 9 # 14 {26/37} # 11 # 8 # 15 # 22 {6/37} # 10 # 6 # 9 # 10 {58/111} 3 {3/4} # 23 # 9 # 2 # 5 {10/37} # 14 # 5 # 0 # 5 {53/74} # 12 # 11 # 10 # 23 {34/37} 4 # 28 # 10 # 21 # 17 {3/37} # 17 # 5 # 23 # 6 {26/37} # 15 # 8 # 16 # 1 {13/111} 4 {1/4} # 34 # 8 # 2 # 10 {27/37} # 20 # 11 # 20 # 10 {21/74} # 18 # 10 # 7 # 5 {46/111} 4 {1/2} # 41 # 1 # 22 # 11 {1/37} # 24 # 10 # 22 # 14 {30/37} # 22 # 4 # 15 # 3 {33/37} 4 {3/4} # 48 # 4 # 21 # 23 {36/37} # 29 # 3 # 14 # 13 {65/74} # 26 # 3 # 22 # 11 {86/111} [0049] rum grauitates ex data magnitudine V L A. Diametri \\ magnitu. #### Aereæ Sphæræ \\ grauitas. #### Ferreæ Sphæræ \\ grauitas. #### Stanneæ $ph{ae}ræ \\ grauitas. # Lib. # Vn. # Scr. # Gran. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. {1/4} # 0 # 0 # 0 # 23 {4/37} # 0 # 0 # 0 # 20 {20/37} # 0 # 0 # 0 # 19 {1/2} # 0 # 0 # 7 # 16 {32/37} # 0 # 0 # 6 # 20 {12/37} # 0 # 0 # 6 # 8 {3/4} # 0 # 1 # 1 # 23 {34/37} # 0 # 0 # 23 # 2 {22/37} # 0 # 0 # 21 # 9 1 # 0 # 2 # 13 # 14 {34/37} # 0 # 2 # 6 # 18 {22/37} # 0 # 2 # 2 # 16 1 {1/4} # 0 # 5 # 0 # 8 {19/37} # 0 # 4 # 10 # 23 {21/37} # 0 # 4 # 2 # 23 1 {1/2} # 0 # 8 # 15 # 23 {13/37} # 0 # 7 # 16 # 20 {28/37} # 0 # 7 # 3 # 0 1 {3/4} # 1 # 1 # 18 # 6 {3/37} # 1 # 0 # 5 # 13 {15/37} # 0 # 11 # 3 # 13 2 # 1 # 8 # 12 # 23 {13/37} # 1 # 6 # 6 # 4 {28/37} # 1 # 4 # 21 # 8 2 {1/4} # 2 # 5 # 5 # 21 {30/37} # 2 # 1 # 23 # 22 {2/37} # 2 # 0 # 1 # 3 2 {1/2} # 3 # 4 # 2 # 20 {4/37} # 2 # 11 # 15 # 20 {20/37} # 2 # 8 # 23 # 16 2 {3/4} # 4 # 5 # 9 # 12 {33/37} # 3 # 11 # 11 # 3 {17/37} # 3 # 7 # 21 # 17 3 # 5 # 9 # 7 # 18 {30/37} # 5 # 1 # 14 # 22 {2/37} # 4 # 9 # 0 # 0 3 {1/4} # 7 # 4 # 3 # 8 {19/37} # 6 # 11 # 0 # 22 {10/37} # 6 # 0 # 11 # 7 3 {1/2} # 9 # 2 # 2 # 0 {24/37} # 8 # 1 # 2 # 11 {9/37} # 7 # 6 # 12 # 8 3 {3/4} # 11 # 3 # 9 # 13 {32/37} # 10 # 0 # 8 # 12 {12/37} # 9 # 3 # 7 # 21 4 # 13 # 8 # 7 # 18 {30/37} # 12 # 2 # 1 # 14 {2/37} # 11 # 3 # 2 # 16 4 {1/4} # 16 # 5 # 2 # 10 {5/37} # 14 # 7 # 4 # 19 {25/37} # 13 # 6 # 1 # 11 4 {1/2} # 19 # 5 # 23 # 6 {18/37} # 17 # 3 # 23 # 8 {16/37} # 16 # 0 # 9 # 0 4 {3/4} # 22 # 11 # 4 # 29 {19/37} # 20 # 4 # 14 # 7 {21/37} # 18 # 10 # 6 # 1 [0050] Diametri \\ magnitu. #### AEreæ Sphæræ \\ grauitas. #### Ferreæ Sphæræ \\ grauitas. #### Stanneæ $ph{ae}ræ \\ grauitas. # Lib. # Vn. # Scr. # Gran. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. 5 # 26 # 8 # 22 # 17 {32/37} # 23 # 9 # 6 # 20 {12/37} # 21 # 11 # 21 # 8 5 {1/4} # 30 # 11 # 12 # 20 {7/37} # 27 # 6 # 6 # 1 {35/37} # 25 # 5 # 11 # 15 5 {1/2} # 35 # 7 # 4 # 7 {5/37} # 31 # 7 # 17 # 2 {25/37} # 29 # 3 # 5 # 16 5 {3/4} # 40 # 8 # 2 # 20 {13/37} # 36 # 1 # 21 # 4 {28/37} # 34 # 3 # 8 # 5 6 # 46 # 2 # 14 # 6 {18/37} # 41 # 0 # 23 # 8 {16/37} # 38 # 0 # 0 # 0 6 {1/4} # 52 # 2 # 20 # 8 {7/37} # 46 # 5 # 4 # 17 {35/37} # 42 # 11 # 9 # 19 6 {1/2} # 58 # 9 # 2 # 20 {4/37} # 52 # 2 # 18 # 12 {20/37} # 48 # 3 # 18 # 8 6 {3/4} # 65 # 9 # 15 # 12 {33/37} # 58 # 5 # 21 # 19 {17/37} # 54 # 3 # 0 # 0 7 # 73 # 4 # 16 # 5 {7/37} # 65 # 2 # 19 # 17 {35/37} # 60 # 4 # 2 # 16 7 {1/4} # 81 # 6 # 10 # 15 {24/37} # 72 # 5 # 17 # 11 {9/37} # 67 # 0 # 11 # 23 7 {1/2} # 90 # 3 # 4 # 14 {34/37} # 80 # 2 # 20 # 2 {22/37} # 74 # 2 # 15 # 0 7 {3/4} # 99 # 7 # 3 # 21 {24/37} # 88 # 6 # 8 # 19 {9/37} # 81 # 10 # 16 # 13 8 # 109 # 6 # 14 # 6 {18/37} # 97 # 4 # 12 # 16 {16/37} # 90 # 0 # 21 # 8 8 {1/4} # 120 # 1 # 17 # 12 {3/37} # 106 # 9 # 12 # 21 {15/37} # 98 # 9 # 10 # 3 8 {1/2} # 131 # 4 # 19 # 8 {3/37} # 116 # 9 # 14 # 13 {15/37} # 108 # 0 # 11 # 16 8 {3/4} # 143 # 4 # 1 # 16 {5/37} # 127 # 4 # 22 # 19 {25/37} # 117 # 10 # 6 # 17 9 # 155 # 11 # 18 # 3 {33/37} # 138 # 7 # 18 # 19 {17/37} # 128 # 3 # 0 # 0 9 {1/4} # 169 # 4 # 2 # 15 # 150 # 6 # 7 # 16 # 139 # 2 # 20 # 7 9 {1/2} # 183 # 5 # 8 # 20 {4/37} # 163 # 0 # 18 # 12 {20/37} # 150 # 10 # 0 # 8 9 {3/4} # 198 # 3 # 18 # 13 {32/37} # 176 # 3 # 8 # 12 {12/37} # 163 # 0 # 16 # 21 10 # 213 # 11 # 13 # 14 {34/37} # 190 # 2 # 6 # 18 {22/37} # 175 # 11 # 2 # 16 10 {1/4} # 230 # 4 # 23 # 17 {34/37} # 204 # 9 # 18 # 10 {22/37} # 189 # 5 # 10 # 11 10 {1/2} # 247 # 8 # 6 # 17 {19/37} # 220 # 2 # 0 # 15 {21/37} # 203 # 7 # 21 # 0 10 {3/4} # 265 # 9 # 16 # 8 {13/37} # 236 # 3 # 6 # 12 {28/37} # 218 # 6 # 15 # 1 [0051] Diametri \\ magnitu- \\ do. #### Aureæ $phæræ \\ grauitas. #### Plumbeæ Sphæræ \\ grauitas. #### Argenteæ $ph{ae}ræ \\ grauitas. # Lib. # Vn. # Scr. # Gran. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. 5 # 56 # 5 # 13 # 6 {10/37} # 34 # 2 # 2 # 8 {8/37} # 30 # 8 # 11 # 20 {28/111} 5 {1/4} # 65 # 4 # 8 # 10 {23/37} # 39 # 6 # 16 # 23 {59/74} # 35 # 6 # 13 # 20 {19/37} 5 {1/2} # 75 # 1 # 19 # 17 {27/37} # 45 # 5 # 20 # 3 {29/37} # 40 # 10 # 11 # 3 {33/111} 5 {3/4} # 85 # 10 # 11 # 8 {11/37} # 51 # 11 # 16 # 23 {25/74} # 46 # 8 # 10 # 9 {16/111} 6 # 97 # 6 # 19 # 11 {1/37} # 59 # 0 # 15 # 13 {23/37} # 53 # 0 # 18 # 3 {33/37} 6 {1/4} # 110 # 3 # 8 # 6 {23/37} # 66 # 8 # 23 # 7 {59/74} # 59 # 11 # 17 # 3 {20/111} 6 {1/2} # 124 # 0 # 13 # 23 {29/37} # 75 # 0 # 23 # 15 {1/37} # 67 # 5 # 13 # 21 {43/111} 6 {3/4} # 138 # 11 # 0 # 19 {8/37} # 84 # 0 # 22 # 7 {73/74} # 75 # 6 # 15 # 4 {5/37} 7 # 154 # 11 # 4 # 21 {13/37} # 93 # 9 # 7 # 9 {11/37} # 84 # 3 # 3 # 12 {20/111} 7 {1/4} # 172 # 1 # 14 # 11 {26/37} # 104 # 2 # 6 # 3 {7/74} # 93 # 7 # 9 # 13 {58/111} 7 {1/2} # 190 # 6 # 17 # 18 {6/37} # 115 # 4 # 1 # 21 {27/37} # 103 # 7 # 15 # 23 {13/37} 7 {3/4} # 210 # 3 # 2 # 21 {26/37} # 127 # 3 # 3 # 15 {49/74} # 114 # 4 # 5 # 8 {95/111} 8 # 231 # 3 # 5 # 16 {24/37} # 139 # 11 # 18 # 5 {23/37} # 125 # 9 # 8 # 8 {104/111} 8 {1/4} # 253 # 7 # 15 # 14 {31/37} # 153 # 5 # 4 # 18 {57/74} # 137 # 11 # 7 # 3 {24/37} 8 {1/2} # 277 # 4 # 19 # 13 {31/37} # 167 # 10 # 19 # 10 {1@/37} # 150 # 10 # 9 # 19 {55/111} 8 {3/4} # 302 # 7 # 6 # 4 {27/37} # 183 # 1 # 20 # 19 {21/74} # 164 # 6 # 21 # 11 {46/111} 9 # 329 # 3 # 11 # 16 {8/37} # 199 # 3 # 12 # 22 {18/37} # 179 # 1 # 1 # 7 {5/37} 9 {1/4} # 357 # 6 # 0 # 5 # 216 # 4 # 14 # 0 {1/2} # 194 # 5 # 3 # 21 {2/3} 9 {1/2} # 387 # 3 # 7 # 23 {29/37} # 234 # 4 # 20 # 15 {1/37} # 210 # 7 # 11 # 22 {22/111} 9 {3/4} # 418 # 7 # 23 # 5 {10/37} # 253 # 4 # 19 # 17 {53/74} # 227 # 8 # 7 # 21 {18/37} 10 # 451 # 8 # 10 # 2 {6/37} # 273 # 4 # 18 # 17 {27/37} # 245 # 7 # 22 # 18 {2/111} 10 {1/4} # 486 # 5 # 4 # 19 {6/37} # 294 # 5 # 1 # 0 {17/74} # 264 # 6 # 14 # 19 {76/111} 10 {1/2} # 522 # 10 # 19 # 12 {36/37} # 316 # 5 # 21 # 22 {14/37} # 284 # 4 # 14 # 20 {4/37} 10 {3/4} # 561 # 1 # 18 # 12 {11/@@} # 339 # 7 # 16 # 21 {25/@} # 305 # 2 # 5 # 10 {53/@} [0052] Diametri \\ magnitu. #### Aureæ Sphæræ \\ grauitas. #### Plumbeæ Sphæræ \\ grauitas. #### Arg\-eteæ $ph{ae}ræ \\ grauitas. # Lib. # Vn. # Scr. # Gran. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. 11 # 601 # 2 # 13 # 21 {31/37} # 363 # 10 # 17 # 6 {10/37} # 326 # 11 # 17 # 5 {29/111} 11 {1/4} # 643 # 1 # 17 # 22 {11/37} # 389 # 3 # 6 # 10 {25/74} # 349 # 9 # 8 # 21 {30/37} 11 {1/2} # 686 # 11 # 18 # 18 {14/37} # 415 # 9 # 15 # 18 {26/37} # 373 # 7 # 11 # 1 {17/111} 11 {3/4} # 732 # 9 # 4 # 14 {29/37} # 443 # 6 # 4 # 16 {39/74} # 398 # 6 # 6 # 7 {22/111} 12 # 780 # 6 # 11 # 16 {8/37} # 472 # 5 # 4 # 12 {36/37} # 424 # 6 # 1 # 7 {5/37} erit gran. 513. & $ic reliquarum $pbærarum ex $tanno, diametros ba- bentium magnitudine quacunque, inuenientur grauitates.

Aliter quoque & expeditius reliquarum $phærarum ex $tanno in- uenientur grauitates.

Inuenta grauitate $pbæræ, diametrum babentis {1/4}, vnciæ, $i mul- tiplicetur ip$a grauitas, per 8, boc est per cubum ex 2, numerus pro- ductus dabit grauitatem $phæræ, diametrum babentis {2/4}, vnciæ, boc 18. 12. _Elem._ e$t {1/2}, $pbæræ * enim inter $e in triplicata $unt ratione $uarum dia- metrorum. deinde $i multiplicetur eadem grauitas per 27, boc est per cubum ex 3, numerus productus dabit grauitatem $pbæræ, babentis diametrum {3/4}, vnciæ, & $i multiplicetur per 64, boc est per cubum ex 4, numerus productus dabit grauitatem $pbæræ, cuius diameter e$t @, boc est vnius vnciæ, & eo deinceps continuo ordine,

Porro ad inueniendas grauitates $pbærarum ex reliquis metallis, @ex quacunquæ alia materia, bæc erit ratio.

Fiat vt 1, ad 1 {41/74}, boc e$t vt 74, ad 115, ($i degrauitate $pbæræ plũbeæ quæritur cuius diameter est {1/4}, vnciæ) ita 19. grauitas vide- licet $pbæræ stanneæ diametrũ babentis {1/4}, vnciæ, ad aliũ numerum qui $it 29 {39/74}, grauitas igitur $pbæræ plumbeæ, diametrum baben- tis {1/4}, vnciæ, erit gran. 29 {39/74}. $tannum enim ad plumbum rationem babet in grauitate vt 1, ad 1 {41/74}, vt con$picitur in prima tabella. quam ad comparandum inter $e duodecim corporum genera, grauita- te, & magnitudine, appo$uimus.

Si vero quæratur de grauitate $pbæræ plumbeæ, diametrum. babentis 2, vnciarum, fiat vt 74, ad 115, ita 9728, id est grauitas [0053]ARCHIMEDES. Diametri \\ magnitu. #### AEreæ Sphæræ \\ grauitas #### Ferreæ Sph{ae}r{ae} \\ grauitas #### Stanneæ Sph{ae}ræ \\ grauitas. # Lib. # Vn. # Scr. # Gran. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. 11 # 284 # 9 # 10 # 9 {3/37} # 253 # 1 # 17 # 5 {15/37} # 234 # 1 # 21 # 8 11 {1/4} # 304 # 7 # 18 # 14 {13/37} # 270 # 9 # 13 # 20 {28/37} # 250 # 5 # 2 # 15 11 {1/2} # 325 # 4 # 22 # 18 {30/37} # 289 # 3 # 1 # 14 {2/37} # 266 # 1 # 9 # 0 11 {3/4} # 347 # 1 # 4 # 17 {4/37} # 308 # 6 # 9 # 12 {20/37} # 285 # 4 # 17 # 5 12 # 369 # 8 # 18 # 3 {33/37} # 328 # 7 # 18 # 19 {17/37} # 304 # 0 # 0 # 0 $phæræ stanneæ, cuius diameter est 2, vnciarum, ad alium numerum, qui $it 15117 {31/37}, $phæra igitur plumbea, cuius diameter est 2, un- ciarum grauitatem habebit gran. 15117 {31/37}, atque hæc erit ob$er- uanda in reliquis ratio.

V el $i ip$a grauitas 29 {39/74}, multiplicetur per $ingulos cubos, vt dictum est de $phera $tannea, numeri producti dabunt grauitates $phærarum ex plumbo, ad quarum diametros latera cubica rationem babebunt vt 4, ad 1, quoniam 29 {39/74}. est grauitas $pbæræ plumbeæ, diametrum habentis {1/4}, vnciæ.

Sequitur, ad inueniendas diametrorum magnitudines ex data $phæ- rarum grauitate, tabula. [0054]PROMOTVS Graui- \\ tas$ph{ae} \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ \\ -ræ $tan. \\ -neæ. Lib. 1 # 1 {30./100} # 1 {54./100} # 1 {59./100} # 1 {67./100} # 1 {74:/100} # 1 {78./100} 2 # 1 {64./100} # 1 {94./100} # 2 {1./100} # 2 {11:/100} # 2 {19./100} # 2 {25:/100} 3 # 1 {88./100} # 2 {22./100} # 2 {30./100} # 2 {41./100} # 2 {50./100} # 2 {57:/100} 4 # 2 {7:/100} # 2 {45:/100} # 2 {53./100} # 2 {65./100} # 2 {76./100} # 2 {83./100} 5 # 2 {22./100} # 2 {63./100} # 2 {73./100} # 2 {86./100} # 2 {97./100} # 3 {5./100} 6 # 2 {36./100} # 2 {80:/100} # 2 {90./100} # 3 {4:/100} # 3 {16:/100} # 3 {24./100} 7 # 2 {49./100} # 2 {95:/100} # 3 {5./100} # 3 {20:/100} # 3 {32./100} # 3 {41./100} 8 # 2 {60./100} # 3 {8./100} # 3 {19./100} # 3 {34./100} # 3 {47./100} # 3 {57:/100} 9 # 2 {71./100} # 3 {21:/100} # 3 {32./100} # 3 {48:/100} # 3 {61./100} # 3 {71./100} 10 # 2 {81:/100} # 3 {31./100} # 3 {44:/100} # 3 {60./100} # 3 {74./100} # 3 {84./100} 11 # 2 {90:/100} # 3 {42./100} # 3 {55./100} # 3 {72./100} # 3 {86./100} # 3 {97:/100} 12 # 2 {98./100} # 3 {53:/100} # 3 {65./100} # 3 {83./100} # 3 {98./100} # 4 {9:/100} 13 # 3 {6./100} # 3 {62./100} # 3 {75./100} # 3 {93./100} # 4 {9:/100} # 4 {20:/100} 14 # 3 {14./100} # 3 {71./100} # 3 {85:/100} # 4 {3./100} # 4 {19./100} # 4 {30./100} 15 # 3 {21./100} # 3 {80:/100} # 3 {94:/100} # 4 {12./100} # 4 {29:/100} # 4 {40./100} 16 # 3 {28./100} # 3 {88./100} # 4 {2./100} # 4 {21./100} # 4 {38./100} # 4 {49./100} 17 # 3 {35./100} # 3 {96./100} # 4 {11:/100} # 4 {30:/100} # 4 {47./100} # 4 {59:/100} 18 # 3 {41./100} # 4 {4:/100} # 4 {18./100} # 4 {38./100} # 4 {55./100} # 4 {67./100} 19 # 3 {47./100} # 4 {11./100} # 4 {26./100} # 4 {46./102} # 4 {64./100} # 4 {76./100} 20 # 3 {53./100} # 4 {18./100} # 4 {33./100} # 4 {54:/100} # 4 {72./100} # 4 {84./100} [0055]ARCHIMEDES. Graui- \\ tas$ph{ae} \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ \\ -ræ $tan. \\ -neæ. 21 # 3 {59./100} # 4 {25./100} # 4 {40./100} # 4 {61./100} # 4 {80:/100} # 4 {92./100} 22 # 3 {65./100} # 4 {32:/100} # 4 {47./100} # 4 {68./100} # 4 {87./100} # 5. 23 # 3 {70./100} # 4 {38./100} # 4 {54./100} # 4 {75./100} # 4 {94./100} # 5 {7./100} 24 # 3 {75./100} # 4 {44./100} # 4 {60./100} # 4 {82./100} # 5 {1./100} # 5 {15:/100} 25 # 3 {81./100} # 4 {50./100} # 4 {67:/100} # 4 {89:/100} # 5 {8./100} # 5 {22:/100} 26 # 3 {86./100} # 4 {56./100} # 4 {73./100} # 4 {95./100} # 5 {15./100} # 5 {28./100} 27 # 3 {91:/100} # 4 {62./100} # 4 {79./100} # 5 {1./100} # 5 {22:/100} # 5 {35./100} 28 # 3 {95./100} # 4 {68:/100} # 4 {85:/100} # 5 {8:/100} # 5 {28./100} # 5 {42:/100} 29 # 4. # 4 {73./100} # 4 {90./100} # 5 {14:/100} # 5 {34./100} # 5 {48./100} 30 # 4 {5:/100} # 4 {79:/100} # 4 {96./100} # 5 {20:/100} # 5 {40./100} # 5 {54./100} 31 # 4 {9./100} # 4 {84./100} # 5 {1./100} # 5 {25./100} # 5 {46./100} # 5 {60./100} 32 # 4 {13./100} # 4 {89./100} # 5 {7:/100} # 5 {31./100} # 5 {52./100} # 5 {66./100} 33 # 4 {18./100} # 4 {94./100} # 5 {12./100} # 5 {36./100} # 5 {58:/100} # 5 {72./100} 34 # 4 {22./100} # 4 {99./100} # 5 {17./100} # 5 {42:/100} # 5 {63./100} # 5 {78./100} 35 # 4 {26./100} # 5 {4:/100} # 5 {22./100} # 5 {47:/100} # 5 {69./100} # 5 {84:/100} 36 # 4 {30./100} # 5 {8./100} # 5 {27./100} # 5 {52./100} # 5 {74./100} # 5 {89./100} 37 # 4 {34./100} # 5 {13./100} # 5 {32./100} # 5 {57./100} # 5 {79./100} # 5 {95:/100} 38 # 4 {38./100} # 5 {18:/100} # 5 {37:/100} # 5 {6./100} # 5 {84./100} # 6 39 # 4 {42:/100} # 5 {22./100} # 5 {41./100} # 5 {67:/100} # 5 {89./100} # 6 {5./100} 40 # 4 {46:/100} # 5 {26./100} # 5 {46./100} # 5 {72:/100} # 5 {94./100} # 6 {10./100} [0056]PROMOTVS Graui- \\ tas$ph{ae} \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ \\ -ræ $tan. \\ -neæ. 41 # 4 {49./100} # 5 {31./100} # 5 {50./100} # 5 {76./100} # 5 {99./100} # 6 {15./100} 42 # 4 {53./100} # 5 {35./100} # 5 {55./100} # 5 {81./100} # 6 {4./100} # 6 {20./100} 43 # 4 {56./100} # 5 {39./100} # 5 {59./100} # 5 {85./100} # 6 {9./100} # 6 {25./100} 44 # 4 {60./100} # 5 {43./100} # 5 {63./100} # 5 {90./100} # 6 {14:/100} # 6 {30./100} 45 # 4 {63./100} # 5 {48./100} # 5 {68:/100} # 5 {95:/100} # 6 {18./100} # 6 {35:/100} 46 # 4 {67:/100} # 5 {52./100} # 5 {72./100} # 5 {99./100} # 6 {23./100} # 6 {39./100} 47 # 4 {70./100} # 5 {56./100} # 5 {76./100} # 6 {3./100} # 6 {27./100} # 6 {44:/100} 48 # 4 {73./100} # 5 {59./100} # 5 {80./100} # 6 {8:/100} # 6 {32:/100} # 6 {49:/100} 49 # 4 {77:/100} # 5 {63./100} # 5 {84./100} # 6 {12:/100} # 6 {36./100} # 6 {53./100} 50 # 4 {80./100} # 5 {67./100} # 5 {88./100} # 6 {16:/100} # 6 {40./100} # 6 {57./100} 51 # 4 {83./100} # 5 {71./100} # 5 {92./100} # 6 {20./100} # 6 {45:/100} # 6 {61./100} 52 # 4 {86./100} # 5 {75./100} # 5 {96:/100} # 6 {24./100} # 6 {49./100} # 6 {66./100} 53 # 4 {89./100} # 5 {78./100} # 6: # 6 {28./100} # 6 {53./100} # 6 {70./100} 54 # 4 {92./100} # 5 {82./100} # 6 {3./100} # 6 {32:/100} # 6 {57./100} # 6 {74./100} 55 # 4 {95./100} # 5 {85./100} # 6 {7./100} # 6 {36:/100} # 6 {61./100} # 6 {79:/100} 56 # 4 {98./100} # 5 {89./100} # 6 {11:/100} # 6 {40:/100} # 6 {65./100} # 6 {83:/100} 57 # 5 {1./100} # 5 {92./100} # 6 {14./100} # 6 {43./100} # 6 {69./100} # 6 {87:/100} 58 # 5 {4./100} # 5 {96./100} # 6 {18./100} # 6 {47./100} # 6 {73./100} # 6 {91:/100} 59 # 5 {7./100} # 5 {99./100} # 6 {22:/100} # 6 {51:/100} # 6 {77:/100} # 6 {95:/100} 60 # 5 {10./100} # 6 {3./100} # 6 {25./100} # 6 {34./100} # 6 {81:/100} # 6 {99:/100} [0057]ARCHIMEDES. Graui- \\ tas$ph{ae} \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ \\ -ræ $tan. \\ -neæ. 61 # 5 {13./100} # 6 {6./100} # 6 {28./100} # 6 {58./100} # 6 {84./100} # 7 {2./100} 62 # 5 {16:/100} # 6 {9./100} # 6 {32:/100} # 6 {62:/100} # 6 {88./100} # 7 {6./100} 63 # 5 {18./100} # 6 {13./100} # 6 {35./100} # 6 {65./100} # 6 {91./100} # 7 {10./100} 64 # 5 {21./100} # 6 {16./100} # 6 {38./100} # 6 {69:/100} # 6 {95./100} # 7 {14:/100} 65 # 5 {24./100} # 6 {19./100} # 6 {42:/100} # 6 {72./100} # 6 {99./100} # 7 {17./100} 66 # 5 {27:/100} # 6 {22./100} # 6 {45./100} # 6 {76:/100} # 7 {3:/100} # 7 {21./100} 67 # 5 {29./100} # 6 {25./100} # 6 {48./100} # 6 {79./100} # 7 {6./100} # 7 {25:/100} 68 # 5 {32;/100} # 6 {28./100} # 6 {52:/100} # 6 {82./100} # 7 {10;/100} # 7 {28./100} 69 # 5 {34./100} # 6 {31./100} # 6 {55:/100} # 6 {86:/100} # 7 {13./100} # 7 {32:/100} 70 # 5 {37./100} # 6 {35:/100} # 6 {58./100} # 6 {89./100} # 7 {16./100} # 7 {35/100} 71 # 5 {40:/100} # 6 {38./100} # 6 {61./100} # 6 {92./100} # 7 {20./100} # 7 {39:/100} 72 # 5 {42./100} # 6 {41./100} # 6 {64./100} # 6 {96:/100} # 7 {23./100} # 7 {42./100} 73 # 5 {45:/100} # 6 {44:/100} # 6 {67./100} # 6 {99:/100} # 7 {27:/100} # 7 {46:/100} 74 # 5 {47./100} # 6 {47:/100} # 6 {70./100} # 7 {2:/100} # 7 {30./100} # 7 {49./100} 75 # 5 {49./100} # 6 {50:/100} # 6 {73./100} # 7 {5./100} # 7 {33./100} # 7 {53:/100} 76 # 5 {52./100} # 6 {52./100} # 6 {76./100} # 7 {8./100} # 7 {36./100} # 7 {56:/100} 77 # 5 {54./100} # 6 {55./100} # 6 {79./100} # 7 {11./100} # 7 {39./100} # 7 {59./100} 78 # 5 {57:/100} # 6 {58./100} # 6 {82./100} # 7 {14./100} # 7 {43:/100} # 7 {62./100} 79 # 5 {59./100} # 6 {61./100} # 6 {85./100} # 7 {17./100} # 7 {46./100} # 7 {66:/100} 80 # 5 {61./100} # 6 {64:/100} # 6 {88:/100} # 7 {20./100} # 7 {49./100} # 7 {69:/100} [0058]PROMOTVS Graui- \\ tas$ph{ae} \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ \\ -ræ $tan. \\ -neæ. 81 # 5 {64:/100} # 6 {66./100} # 6 {91:/100} # 7 {23./100} # 7 {52./100} # 7 {72./100} 82 # 5 {66./100} # 6 {69:/100} # 6 {93./100} # 7 {26./100} # 7 {55./100} # 7 {75./100} 83 # 5 {68./100} # 6 {@2./100} # 6 {96./100} # 7 {29./100} # 7 {58./100} # 7 {78./100} 84 # 5 {71:/100} # 6 {74./100} # 6 {99./100} # 7 {32./100} # 7 {61./100} # 7 {81./100} 85 # 5 {73./100} # 6 {77./100} # 7 {2./100} # 7 {35./100} # 7 {64./100} # 7 {85:/100} 86 # 5 {75./100} # 6 {80./100} # 7 {5:/100} # 7 {38:/100} # 7 {67./100} # 7 {88:/100} 87 # 5 {77./100} # 6 {82./100} # 7 {7./100} # 7 {41:/100} # 7 {70./100} # 7 {91:/100} 88 # 5 {80;/100} # 6 {85./100} # 7 {10./100} # 7 {44:/100} # 7 {73./100} # 7 {94:/100} 89 # 5 {82:/100} # 6 {88:/100} # 7 {13:/100} # 7 {46./100} # 7 {76./100} # 7 {97./100} 90 # 5 {84./100} # 6 {90./100} # 7 {15./100} # 7 {49./100} # 7 {79./100} # 8: 91 # 5 {86./100} # 6 {93./100} # 7 {18./100} # 7 {52./100} # 7 {82./100} # 8 {3:/100} 92 # 5 {88./100} # 6 {95./100} # 7 {21:/100} # 7 {55:/100} # 7 {85:/100} # 8 {6:/100} 93 # 5 {90./100} # 6 {98./100} # 7 {23./100} # 7 {57./100} # 7 {88:/100} # 8 {9:/100} 94 # 5 {92./100} # 7. # 7 {26:/100} # 7 {60./100} # 7 {90./100} # 8 {11./100} 95 # 5 {94./100} # 7 {3./100} # 7 {28./100} # 7 {63:/100} # 7 {93./100} # 8 {14./100} 96 # 5 {97:/100} # 7 {5./100} # 7 {31./100} # 7 {65./100} # 7 {96./100} # 8 {17./100} 97 # 5 {99./100} # 7 {8:/100} # 7 {34:/100} # 7 {68./100} # 7 {99./100} # 8 {20./100} 98 # 6 {1:/100} # 7 {10./100} # 7 {36./100} # 7 {71;/100} # 8 {2:/100} # 8 {23:/100} 99 # 6 {3:/100} # 7 {13:/100} # 7 {39:/100} # 7 {74:/100} # 8 {4./100} # 8 {26:/100} 100 # 6 {5:/100} # 7 {15./100} # 7 {41./100} # 7 {76./100} # 8 {7./100} # 8 {28./100} [0059]ARCHIMEDES. Graui- \\ tas$ph{ae} \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ \\ -ræ $tan. \\ -neæ. 101 # 6 {7:/100} # 7 {17./100} # 7 {44:/100} # 7 {79:/100} # 8 {10:/100} # 8 {31./100} 102 # 6 {9:/100} # 7 {19./100} # 7 {46./100} # 7 {81./100} # 8 {12./100} # 8 {34:/100} 103 # 6 {11:/100} # 7 {22./100} # 7 {48./100} # 7 {84;/100} # 8 {15./100} # 8 {37:/100} 104 # 6 {13:/100} # 7 {24./100} # 7 {51:/100} # 7 {86./100} # 8 {18:/100} # 8 {39./100} 105 # 6 {15:/100} # 7 {27:/100} # 7 {53./100} # 7 {89:/100} # 8 {20./100} # 8 {42:/100} 106 # 6 {17:/100} # 7 {29./100} # 7 {55./100} # 7 {91./100} # 8 {23:/100} # 8 {45:/100} 107 # 6 {19:/100} # 7 {31./100} # 7 {58./100} # 7 {94:/100} # 8 {25./100} # 8 {47./100} 108 # 6 {21:/100} # 7 {33./100} # 7 {61:/100} # 7 {96./100} # 8 {28./100} # 8 {50./100} 109 # 6 {23:/100} # 7 {36:/100} # 7 {63:/100} # 7 {99:/100} # 8 {31:/100} # 8 {53:/100} 110 # 6 {24./100} # 7 {38./100} # 7 {65./100} # 8 {1./100} # 8 {33./100} # 8 {55./100} 111 # 6 {26./100} # 7 {40./100} # 7 {67./100} # 8 {3./100} # 8 {36:/100} # 8 {58:/100} 112 # 6 {28./100} # 7 {42./100} # 7 {70:/100} # 8 {6:/100} # 8 {38./100} # 8 {60./100} 113 # 6 {30./100} # 7 {45:/100} # 7 {72:/100} # 8 {8./100} # 8 {41:/100} # 8 {63:/100} 114 # 6 {32:/100} # 7 {47./100} # 7 {74./100} # 8 {11:/100} # 8 {43./100} # 8 {65./100} 115 # 6 {34:/100} # 7 {49./100} # 7 {76./100} # 8 {13./100} # 8 {46:/100} # 8 {68:/100} 116 # 6 {36:/100} # 7 {51./100} # 7 {79:/100} # 8 {15./100} # 8 {48./100} # 8 {70./100} 117 # 6 {37./100} # 7 {53./100} # 7 {81:/100} # 8 {18:/100} # 8 {50./100} # 8 {73:/100} 118 # 6 {39./100} # 7 {55./100} # 7 {83./100} # 8 {20./100} # 8 {53:/100} # 8 {75./100} 119 # 6 {41./100} # 7 {57./100} # 7 {85./100} # 8 {22./100} # 8 {55./100} # 8 {78./100} 120 # 6 {43:/100} # 7 {60:/100} # 7 {87./100} # 8 {24./100} # 8 {57./100} # 8 {80./100} [0060]PROMOTVS Graui- \\ tas$ph{ae} \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ \\ -ræ $tan. \\ -neæ. 121 # 6 {44./100} # 7 {62./100} # 7 {90:/100} # 8 {27:/100} # 8 {60./100} # 8 {83:/100} 122 # 6 {46./100} # 7 {64./100} # 7 {92:/100} # 8 {29./100} # 8 {62./100} # 8 {85./100} 123 # 6 {48./100} # 7 {66./100} # 7 {94./100} # 8 {31./100} # 8 {65:/100} # 8 {88:/100} 124 # 6 {50:/100} # 7 {68./100} # 7 {96./100} # 8 {34:/100} # 8 {67./100} # 8 {90:/100} 125 # 6 {52:/100} # 7 {70./100} # 7 {98./100} # 8 {36:/100} # 8 {69./100} # 8 {92./100} 126 # 6 {53./100} # 7 {72./100} # 8. # 8 {38./100} # 8 {72:/100} # 8 {95:/100} 127 # 6 {55./100} # 7 {74./100} # 8 {3:/100} # 8 {40./100} # 8 {74./100} # 8 {97./100} 128 # 6 {57:/100} # 7 {76./100} # 8 {5:/100} # 8 {43:/100} # 8 {76./100} # 8 {99./100} 129 # 6 {58./100} # 7 {78./100} # 8 {7:/100} # 8 {45:/100} # 8 {79:/100} # 9 {2./100} 130 # 6 {60./100} # 7 {80./100} # 8 {9:/100} # 8 {47:/100} # 8 {81:/100} # 9 {4./100} 131 # 6 {62:/100} # 7 {82./100} # 8 {11:/100} # 8 {49./100} # 8 {83./100} # 9 {6./100} 132 # 6 {64:/100} # 7 {84./100} # 8 {13:/100} # 8 {51./100} # 8 {85./100} # 9 {9;/100} 133 # 6 {65./100} # 7 {86./100} # 8 {15./100} # 8 {53./100} # 8 {88:/100} # 9 {11:/100} 134 # 6 {67:/100} # 7 {88./100} # 8 {17./100} # 8 {56:/100} # 8 {90:/100} # 9 {13./100} 135 # 6 {69:/100} # 7 {90./100} # 8 {19./100} # 8 {58:/100} # 8 {92./100} # 9 {16:/100} 136 # 6 {70./100} # 7 {92./100} # 8 {21./100} # 8 {60:/100} # 8 {94./100} # 9 {18:/100} 137 # 6 {72:/100} # 7 {94./100} # 8 {23./100} # 8 {62:/100} # 8 {96./100} # 9 {20./100} 138 # 6 {74:/100} # 7 {96./100} # 8 {25./100} # 8 {64:/100} # 8 {99:/100} # 9 {22./100} 139 # 6 {75./100} # 7 {98./100} # 8 {27./100} # 8 {66./100} # 9 {1:/100} # 9 {24./100} 140 # 6 {77:/100} # 8. # 8 {29./100} # 8 {68./100} # 9 {3:/100} # 9 {27:/100} [0061]ARCHIMEDES. Graui- \\ tas$ph{ae} \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri $phæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri $phæ \\ -ræ $tan. \\ -neæ. 141 # 6 {78/100} # 8 {2/100} # 8 {31/100} # 8 {70/100} # 9 {5/100} # 9 {29/100} 142 # 6 {80/100} # 8 {4/100} # 8 {33/100} # 8 {72/100} # 9 {7/100} # 9 {31/100} 143 # 6 {81/100} # 8 {6/100} # 8 {35/100} # 8 {74/100} # 9 {9/100} # 9 {33/100} 144 # 6 {83/100} # 8 {8/100} # 8 {37/100} # 8 {76/100} # 9 {11/100} # 9 {35/100} 145 # 6 {85/100} # 8 {9/100} # 8 {39/100} # 8 {78/100} # 9 {14/100} # 9 {38/100} 146 # 6 {86/100} # 8 {11/100} # 8 {41/100} # 8 {80/100} # 9 {16/100} # 9 {40/100} 147 # 6 {88/100} # 8 {13/100} # 8 {43/100} # 8 {82/100} # 9 {18/100} # 9 {42/100} 148 # 6 {89/100} # 8 {15/100} # 8 {45/100} # 8 {84/100} # 9 {20/100} # 9 {44/100} 149 # 6 {91/100} # 8 {17/100} # 8 {46/100} # 8 {86/100} # 9 {22/100} # 9 {46/100} 150 # 6 {92/100} # 8 {19/100} # 8 {48/100} # 8 {88/100} # 9 {24/100} # 9 {48/100}

EST bœc tabula, quemadmodum & eius v$us, præcedentis con- nuer$a, in ea enim inueniuntur $phærarum grauitates ex data diametrorum magnitudine, in bac vero deprebenduntur diametro- rum magnitudines ex data $pbærarum grauitate.

Quæro exempli gratia magnitudinem diametri $pbæræ aureæ, grauitatem babentis 10, lib. Numeri in prima columna $ub titulo grauitatis denotant $pbærarum grauitates, reliqui vero in reliquis columnis denotant diametrorum magnitudines; itaque in linea 10, lib. $ub titulo magnitudinis diametri $pbæræ aureæ, datur quæ$ita diametri magnitudo partium 2 {81/100} qualium pes vnus ect 12.

Quæro magnitudinem diametri $phæræ ferreæ, grauitatem baben- tis 50, lib. in linea 50, lib. $ub titulo magnitudinis diametri $pbæræ ferreæ, datur quæ$ita diametri magnitudo 6 {40/100}.

Quæro magnitudinem diametri $pbæræ argenteæ, grauitatem ba- bentis 60, lib. in linea 60, lib $ub titulo magnitudinis diametri $pbæræ argenteæ, datur ip$a magnitudo 6 {25/100}.

[0062]PROMOTVS

Quæro denique magnitudinem diametri $pbæræ ctanneæ, graui- tatem babentis 38, lib. in linea 38, lib. $ub titulo magnitudinis dia- metri $pbæræ ctanneæ, datur quæ$ita diametri magnitudo 6, ad vnguem.

_N_otandum autem ect, quod numeri, qui diametrorum magnitu- dines denotant, non $unt veri, ac certi, $ed veris bene proximi, quoniã numeri, quorum ip$i $unt radices cubicæ, non $unt cubi, & ideo ip$æ radices non explicantur accurate, $ed vel veris maiores, velminores, atque vt cogno$cantur quæ $int maiores, queue minores, maioribus duo puncta adiecimus, minoribus vnum, accuratis nullum. inter om- nes autem vnus ect accuratus, is $cilicet, qui magnitudinem indicat diametri $pbæræ ctanneæ, grauitatem babentis 38, lib.

De compo$itione huius Tabulæ.

Huius tabulæ compo$itio pendet ex præcedenti tabula, & ex pro- po$. 17, buius, $ienim fiat vt grauitas $phæræ ctanneæ, diametrum babentis vnius vnciæ, id ect, vt grana 1216, ad grauitatem $phæræ vnius libræ, idect, ad grana 6912, ita cubus diametri vnius vnciæ, boc e$t, ita 1, ad alium numerum, qui $it 5 {13/19} is erit cubus diametri $pbæræ ctanneæ, grauitatem babentis 1, lib. demonctratum enim ect prop. 17, buius, $pbæras eiu$dem generis inter $e e$$e in grauitate, vt diametrorum cubi in magnitudine; quare radix cubica numeri 5 {13/19}, dabit ip$am diametrum, $ed quoniam numerus 5 {13/19}, non ect præci$e cubus, eius radix non explicabitur accurata, $ed vt explicetur veræ bene proxima, multiplicetur 5 {13/19}, per 1000000. & ex producto 5684210 {10/19}, neglecto fracto {10/19}, eruatur radix, tanquam ex accu- rato numero cubo, ea erit 178, proxime, & erit centupla radicis nu- meri 5 {13/19}, nam numerus 1000000, per quem fuit multiplicatus 5 {13/19}, cubus e$t ex 100; magnitudo igitur diametri $pbæræ $tanneæ, grauitatem babentis 1, lib. erit 1 {78/100}. reliquarum autem ex $tanno $pbærarum, grauitatem babentium duplam primæ, triplam, quadru- plam & c. ita inuenientur diametri.

Duplum numeri 5684210 {10/19}, id ect 11368421 {1/19}, erit cubus centupli diametri $pberæ ctanneæ, grauitatem babentis duplam pri- mæ, boc ect 2, lib. ex $upra nominata enim prop. 17, buius, e$t vt gra- uitas $pbæræ vnius libræ, ad grauitatem $pbæræ duarum librarum, ita cubus diametri primæ $pbæræ, ad cubum diametri $ecundæ. Si vero triplicetur numerus 5684210 {10/19}, eius triplum, quod ect 17052631 {11/19}, erit cubus centupli diametri $pbæræ $tanneæ, graui- statem babentis triplam primæ, idect 3, lib. & $i quadruplicetur, eius [0063]ARCHIMEDES. quadruplum erit cubus centapli diametri $phæræ ctanneæ, grauita- tem babentis quadruplam primæ, & $ic deinceps. itaque $i ex eius multiplicibus, neglectis fractis, eruãtur radices, tanquam ex accura- tis numeris cubis, ip$æ indicabunt diametrorum magnitudines in ratione centupla. Sed vt etiam euitetur labor multiplicandi prædi- ctum numerum 5684210 {10/19}, bac ratione inuenientur eius multi- plicia.

Prædicto numero 5684210 {10/19}, addatur eius duplum, idect, 11368421 {1/19}, $umma 17052631 {11/19}, dabit eius triplum, $i vero ei addatur eius triplum, id e$t, 17052631 {11/19}, $umma 22736842 {2/19}, dabit eius quadruplum, & $ieius quadruplum ei addatur, $umma dabit eius quintuplum, & $ic $ola additione inuenientur eius quot- cunque multiplicia.

Eadem ratione inuenientur diametri $pbærarum ex quacunque alia materia, $i enim quæratur de magnitudine diametri verbi gra- tia $pbæræ ferreæ, grauitatem babentis 1, lib. fiat vt grana 1314 {22/37}, id ect vt grauitas $pbæræ ferreæ, cuius diameter e$t vnius vnciæ, ad grauitatem vnius libræ, id ect ad grana 6912, ita cubus diametri vnius vnciæ, boc e$t ita 1, ad alium numerum qui $it 5 {49/190}, is igi- tur numerus<_>* erit cubus diametri $pbæræ ferreæ, grauitatem baben- 17. _buius._ tis 1, lib, quare radix cubica numeri 5 {49/190}, dabit quæ$itam dia- metrum, & quoniam numerus 5 {49/190}, non e$t præci$e cubus, & ideo non explicabitur eius radix accurate, multiplicetur per 1000000, & ex producto 5257894 {14/19}, neglecto fracto {14/19}, eruatur radix, tan- quam ex accurato numero cubo, ea erit 174: ferè, & erit centupla ra- dicis numeri 5 {49/190}, quia numerus 5 {49/190}, multiplicatus fuit per cubum ex 100; diameter igitur $pbæræ ferreæ, grauitatem babentis 1, lib. erit 1 {74/100}: deinde $i duplicetur 5257894 {14/19}, & ex ita du- plicato eruatur radix cubica 219, ea dabit centuplum diametri $pbæ- ræ ferreæ, grauitatem babentis 2, lib. & $i triplicetur, triplicati radix cubica 250 dabit centuplum diametri $pbæræ ferreæ, cuius grauitas erit 3, lib. & $ic reliquarum $pbærarum in infinitum inuenientur diametri. multiplicia autem numeri 5257894 {14/19}, $ola additione in- uenientur, vt dictum ect $upra de inuentione multiplicium numeri 5684210 {10/19}. Atque bac ratione prædictam tabulam compo$uimus.

QVomodo Archimedes argenti mixtionem depre- hendit in auro.

Hiero (referente V itruuio lib. 9. Cap. 3.) Siracu$is auctus regia [0064]PROMOTVS pote$tate, rebus bene ge$tis, cum auream coronam votiuam, d{ij}s im- mortalibus in quodam fano con$titui$$et ponendam, immani precio locauit faciendam, & aurum ad $acoma appendit redemptori. is ad tempus opus manufactum $ubtiliter, regi approbauit, & ad $acoma pondus coronæ vi$us e$t præ$titi$$e. Po$tea quam inditium e$t factum, dempto auro, tantundem argenti in id coronarium opus admixtum e$$e: indignatus Hiero $e contemptum, neque inueniens, qua ratione id furtum deprebenderet, rogauit Archimedem, vti in $e $umeret de eo cogitationem. tunc is cum baberet eius rei curam, ca$u venit in balneum, ibique cum in $olium de$cenderet, animaduertit quantum corporis $ui in eo in$ideret, tantum aquæ extra $olium effluere. itaq; eum eius rei rationem explicationis offendi$$et non ect moratus, $ed exiliuit gaudio motus de $olio, & nudus vadens domum ver$us, $igni ficabat clara voce inueni{$s}e quod quæreret. nam currens identidem grece clamabat {δι}”ρη{κο} {δι}”ρη{κο} tum vero ex eo inuentionis ingre$$u duas dicitur feci$$e ma$$as æquo pondere, quo etiam fuerat coro- na, vnam ex auro, alteram ex argento. cum ita feci{$s}et, vas amplũ ad $umma labra impleuit aqua, in quo demi$it argenteam ma$$am. cuius quanta magnitudo in va$e depre$$a ect, tantum aquæ effluxit. ita exempta ma$$a, quanto minus factum fuerat refudit, $extario men$us, vt eodem modo, quo prius fuerat, ad labra æquaretur. ita ex eo inuenit, quantum ad certum pondus argenti certa aquæ men$ura re$ponderet.

Cum id expertus e$$et tum auream ma$$am $imiliter pleno va$e demi$it, & ea exempta, eadem ratione men$ura addita, inuenit ex aqua non tantum defluxi$$e, $ed tantum minus, quantum minus ma gno corpore eodem pondere auri ma$$a e$$et quam argenti. Poctea vero repleto va$e, in ead\-e aqua ip$a corona demi$$a, inuenit plus aquæ defluxi$$e in coronam, quam in auream eodem pondere ma$$am, & ita ex eo quod plus defluxerat aquæ in corona, quam in ma$$a ratio- cinatus, deprebendit argenti in auro mixtionem, & manifectum fur- tum redemptoris.

Hactenus Vitruuius.

Mirum certe Archimedis fuit inuentum, ip$ius tamen modus ad inueniendam illam aquæ men$uram, quæ ad certum pondus auri, vel argenti, vel coronæ re$ponderet, maiori diligentia indiget, quam quæ ab hominibus adhiberi pote$t, impo$$ibile enim e$t, exempta corona, vel aurea ma$$a, vel argentea, tantum aquæ refundere, quantum è va$e efflu- xerat ad vnguem, nam repo$ita aqua in va$e, non po$$umus [0065] affirmare ip$um vas e$$e plenum, ni$i aqua incipiat effluere, cum autem incipit, effluit aliquando totus ferè cumulus, ita- que vel plus aquæ additur eo, quod deficit, vel minus, ni$i coniectura a$$equatur: at vero coniectura pro veritate non ac- cipitur. præterea exempta corona, vel aurea ma$$a, vel argen- tea, eximitur etiam $imul cum ip$a aliquantum aquæ, quæ cir- cum ip$am remanet, atque huiu$modi defectus errorem indu- cit $en$ibilem.

Neque per collectionem quæ$ita aquæ men$ura inueniri pote$t:æquè enim impo$$ibile e$t vniuer$am illam æquam col- ligere, quæ extra vas effluit, quando corona, vel aurea ma$$a vel argentea in ip$o va$e deprimitur, cum enim aqua è va$e effluat, pars ip$ius aquæ va$i, ex quo effluit, pars va$i in quod influit adhæret, & $i vniuer$a omnino $emper non colligatur, erit non parui erroris cau$a, præter quam quod, non $emper adeo facile inuenitur par auri, argentique ma$$a, quando co- rona, vel alia auri ma$$a, quæ examinanda proponitur, medio- crem excederet magnitudinem.

Neque præterea pote$t di$cerni prædicta argenti portio in aliqua auri parua ma$$a, differentiæ enim aquarum, quæ ex- tra vas effluunt, $unt adeo exiguæ, vt ne cogno$ci quidem po$$int, quod $i cogno$cerentur, non $emper erunt veræ, $iquidem non $emper in va$is medio in cumulum cre$cens æqualis aquæ copia remanet, $ed maior interdum, inter- dum minor, vt con$picitur. fit enim vt aliquando cumulus ille frangatur pluribus in locis, & ideo aqua diffundatur, vt ferè nihil ipfius cumuli $uper$it, aliquando vero frangatur in vno tantum loco, & aqua colligens $e in cumulum, parum diffluat.

Sed ponderandis corporibus in aere & aqua, eo modo, quo dictum e$t in fine exempli prop. 8. inuenitur quæ$ita aquæ, grauitas, ita exactè, vt requiritur, $iue $it corpus illud paruum, $iue magnum nihil intere$t, & præterea facillima e$t operatio, nec adinueniendæ $unt auri, & argenti ma$$æ æque graues, ac [0066]PROMOTVS corona, $ed quælibet particulæ, grauitate quacunque, ctiam differentes inter$e, $ufficiunt.

Deratione autem, qua Archimedes, cognitis grauitatibus trium corporum ex aqua, magnitudine æqualium, coronæ $cilicet vnum, alterum ma$$æ auree, tertium argenteæ, potue- rit furtum aurificis in regia corona deprehendere, atque ar- gentum quod erat in ea permixtum ab auro di$cernere, pluri- mi $crip$erunt, modos etiam ad id faciendum excogitarunt varios, longa tamen methodo, atque difficili v$i $unt, & quod maximam confu$ionem, & ob$curitatem parit, nullum opera- tionis tradunt præceptum firmum, ac $tabile. ego autem vni- ca tantum proportionis ratiocinatione, $eu regula trium (vt vulgo dicitur) breuiter, & expedite idem con$equor, eamque geometrica ratione demon$tro. Problema igitur ad hoc facien dum ita concipio & ab$oluo.

PROBLEMA IX. PROPOS. XVIII.

POrtionem metalli, alterimetallo mi$tam, ponde- ris ratiocinatione di$cernere.

QVONIAM de Hieronis corona facta e$t mentio, $it ea B, eiu$que grauitas EK, & oporteat argentum, quod $it in ea permixtũ, ab auro di$cernere, hoc e$t oporteat inuenire quanta erit portio ar- genti, & quanta auri. In- telligantur duo corpora A, D, vnum aureum, al- terum argenteum æque grauia atque corona,, deinde trium corporum ex aqua, magnitudine, æqualium, aureo $cili- cet corpori vnum, alte- rum coronæ, tertium corpori argenteo, inue- niantur grauitates, id autem poterit fieri facillime, $i accipiãtur duo corpora vnum ex auro, alterum ex argento, grauitate quacunque, vt [0067]ARCHIMEDES. dictum e$t in propo$itionis octauæ exemplo, non enim nece$$e e$t ha- bere duo corpora ex auro & argento, grauitatem habentia eandem quam & corona, & hac de cau$a diximus $upra intelligãtur duo cor- pora, non autem accipiantur. $it igitur primi corporis aquei æqualis aureo A, inuenta grauitas G, $ecundi vero æqualis coronæ B, graui- tas F, & tertij æqualis corpori argenteo D, grauitas H, & fiat vt dif- ferentia inter G, & H, ad EK, ita differentia inter G, & F, ad aliam-, grauitatem, quæ $it K. Dico K, grauitatem e$$e portionis argenti, quod e$t in corona, E vero grauitatem auri.

Vel $i pro tertio proportionis termino $umatur differentia inter F, & H, & quartus terminus $it E, Dico E, grauitatem e$$e portionis au- ri, K vero argenti.

Quartus autem vtriu$que proportionis terminus * minor e$t $e- 14. 5. _Elem._ cundo EK, quod & tertius minor e$t primo, primus enim terminus e$t differentia inter G, & H, tertius vero, vel e$t differentia inter G, & F, vel differentia inter F, & H, vter que minor primo. Exemplis autem res fiet illu$trior.

Exemplum. I.

Sit coronæ grauitas 95, lib. & oporteat facere quod imperatum e$t. Intellig antur duo corpora, vnum aureum, alterum argenteum, æque grauia atque corona, deinde trium corporum ex aqua, magnitudine æqualium, aureo $cilicet corpori vnum, alterum coronæ, tertium cor- pori argenteo, inueniantur grauitates, vt in exemplo prop. 8. dictum est, quæ $int primi nimirum corporis aquei @, $ecundi vero 6, & terty 9 {8/31}, & fiat vt differentia inter 5, & 9 {6/31}, boc e$t vt 4 {6/31}, ad 95, grauitatem videlicet coronæ, ita differentia inter 5, & 6, boc est 1, ad 22 {17/26}, ergo 22 {17/26}, erit grauitas portionis argenti quod est in coro- na, qua detracta ex totali grauitate coronæ, reliquum 72 {9/26}, erit grauitas portionis auri.

Vel $i pro tertio proportionis termino $umatur differentia inter 6, & 9 {6/31}, quæ e$t 3 {6/31}, quartus terminus 72 {9/26}, erit grauitas por- tionis auri, quæ $i dematur ex totali grauitate coronæ, remanebit 22 {17/26}, pro grauitate portionis argenti.

Exemplum. II.

Sit aliquod corpus mistum ex auro. & ære, & babeat grauitatem 171. lib. & oporteat inuenire quanta erit portio æris in ip$o corpore, [0068]PROMOTVS & quanta auri. Intellig antur duo corpora, vnum ex auro puro, al- terum ex are, æque grauia atque corpus mistum, & trium corporum ex aqua, quorum vnum $it æquale corpori aureo magnitudine, alte- rum misto, tertium æreo, inueniantur grauitates, vt in exemplo pro- po$. 8. dictum est, quæ $int 9, 11, & 19, & fiat vt differentia inter 9, & 19, ad 171, grauitatem videlicet corporis misti, ita differentia inter 9, & 11, ad 34 {1/5}, portio igitur corporis mi$ti ærea grauitatem babebit 34 {1/5}, quæ $i auferatur ex totali corporis misti grauitate, remanebit 136 {4/5}, pro grauitate portionis auri.

Vel $i pro tertio proportionis termino $umatur differentia inter 11, & 19, quartus terminus 136 {4/6}, erit grauitas portionis auri, qua ab- lata ex totali corporis mi$ti grauitate, reliquum 34 {1/5}, dabit grauita- tem portionis æreæ.

At vero huiu$modi ratio cinationem ad di$cernendum ar- gentum ab auro, vel aliud metallum ab altero metallo, recte e$$e in$titutam, $equenti Theoremate demon$trabitur.

THEOREMA X. PROPOS. XIX.

SI trium corporum æque grauium primum & ter- tium fuerint generis diuer$i, $ecundi autem portio fuerit eiu$dem generis cum corpore primo, reliqua ve- ro eiu$dem generis cum corpore tertio, fuerint etiam tres quantitates aquæ prædictis corporibus æquales, pri- ma videlicet corpori primo, $ecunda $ecundo, & tertia tertio. erit vt differentia grauitatum primæ & tertiæ quantitatis aquæ, ad grauitatem corporis $ecundi, ita differentia grauitatum primæ & $ecundæ quantitatis aquæ, ad grauitatem portionis corporis $ecundi, quæ e$t eiu$dem generis cum corpore tertio.

Et ita differentia grauitatum $ecundæ & tertiæ quan titatis aquæ, ad grauitatem portionis eiu$dem generis cum corpore primo.

[0069]ARCHIMEDES

SINT tria corpora æque grauia A, BC, D, quorum A, primum, & tertium D. $int generis diuer$i, portio vero $ecundi B, $it eiu$dem generis cum corpore A. & portio C, eiu$dem generis cum corpore D, $int etiam alia tria corpora aquea P, OL, & Q, quorũ P, $it æqua- le corpori A, magnitu- dine, ip$um vero OL, æquale corpori BC, & ip$um Q, æquale cor- pori D, & $int earum grauitates, G, ip$ius P, & FV, ip$ius OL, & H, ip$ius Q. Dico vt diffe- rentia grauitatum G, H, ad grauitatem cor- poris BC, ita e$$e diffe- rentiam grauitatum G, FV, ad grauitatem portionis C; & ita differentiam grauitatum FV, H, ad portionis B, grauitatem. Sit enim portionis B, grauitas E, & portionis C, gra- uitas K; ergo totius corporis BC, grauitas erit EK, $itq; portionis O, quæ $it æqualis portioni B, grauitas F, ergo reliquæ portionis L, æqualis portioni C, grauitas erit V, Quoniam igitur e$t, vt A, ad P, ita B, ad O, æquale videlicet ad æquale, erit permutando, vt A, ad B, ita p. ad O, & quoniam $unt eiu$dem generis A, B, $imiliter & P, O, * erit vt grauitas corporis A, hoc e$t vt EK, (ponuntur enim cor- 4. _huius_ pora A, BC, D, æque grauia,) ad E, ita G, ad F, quod igitur fit ex EK, & F, nempe ex extremis, æquale erit ei, quod fit ex E, & G, hoc e$t ex medijs.

Similiter quoniam e$t, vt D, ad Q, ita C, ad L, æquale videlicet ad æquale, erit permutando, vt D, ad C, ita Q, ad L, & quoniam $unt eiu$dem generis D, C, $imiliter & Q, L, * erit vt grauitas ip$ius D, 4. _huius_ hoc e$t vt EK, ad K, ita H, ad V; quare quod fit ex EK, & V, ex extre- mis, æquabitur ei, quod ex H, fit & K, ex medijs.

Sed o$ten$um e$t id quod ex EK, fit & F. æquale e$$e ei quod fit ex G, & E, ergo quod fit ex EK, & F, vna cum eo, quod ex EK, & V, hoc e$b id quod fit ex EK, & FV, æquale erit ei quod ex G, fit & E, vna cum eo quod ex H, & K, $ed quod ex G, fit & E, æquale e$t ei quod fit ex G, & EK, minus eo quod ex G, & K, quod enim additur, idem & [0070]PROMOTVS minuitur; ergo quod fit ex EK, & FV, æquale erit ei quod fit ex G, & EK, vna cum eo quod ex H, & K, minus eo quod fit ex G, & K. aufe- ratur vtrinque id quod fit ex G, & EK, quod igitur fit ex FV, & EK, minus eo quod ex G, & EK, æquabitur ei quod ex H, & K, minus eo quod fit ex G, & K, $ed quod fit ex H, & K, minus eo quod fit ex G, & K, æquale e$t ei quod ex differentia ip- $arum H, G, fit & K, $imiliter, & quod fit ex FV, & EK, minus eo quod ex G, & EK, æquale e$t ei quod ex differentia ip$arum FV, G, fit & EK, ergo quod ex differentia ip$arum H, G, fit & K, æquale erit ei quod ex differentia ip$arum FV, G, fit & EK; æqualitatem ad proportionem reuocando, erit vt differentia grauitatum H, G, ad grauitatem EK, ita differentia grauitatum FV, G, ad grauitatem K, quod erat primo loco: demon- $trandum.

Dico quoque vt differentia grauitatum H, G, ad grauitatem EK, ita e$$e differentiam grauitatum H, FV, ad grauitatem E. Quoniam enim o$ten$um e$t, quod fit ex EK, & FV, æquale e$$e ei quod ex G, fit & E, vna cum eo quod ex H, & K, quod autem fit ex H, & K, æquatur ei quod ex H, fit & EK, minus eo quod ex H, & E, quod enim additur idem & minuitur: ergo quod fit ex EK, & FV, æquale erit ei quod fit ex H, & EK, vna cum eo quod ex G, & E, minus eo quod ex H, & E. addatur vtrinque quod ex H, fit & E, & $ubducantur ea quæ fiunt ex G, & E, & ex EK, & FV; quod igitur fit ex H, & E, minus eo quod cx G, & E, æquabitur ei quod ex H, fit & EK, minus eo quod ex FV, & EK, $ed quod fit ex H, & E, minus eo quod ex G, & E, æquale e$t ei quod ex differentia ip$arum H, G, fit & E, $imiliter & quod ex H, fit & EK, minus eo quod ex FV, & EK, æquale e$t ei quod ex differentia ip$arum H, FV, fit & EK; ergo quod ex differentia ip$arum H, G, fit & E, æquabitur ei quod ex differentia ip$arum H, FV, fit & EK; qua- re æqualitatem ad proportion\-e reuocando erit vt differentia graui- [0071]ARCHIMEDES. tatum H, G, ad grauitatem EK, ita differentia grauitatum H, FV, ad grauitatem E. quod $ecundo loco fuit demon$trandum.

Alia breuior Theorematis demon$tratio.

RESVMATVR eadem figura vt $upra. Quoniam igitur corpus D, æquale e$t corpori Q, magnitudine, & portio C, æqualis portioni L, erit vt D, ad Q, ita C, ad L, & permutando vt D, ad C, ita Q, ad L, & quoniam eiu$dem $unt generis D, C, $imiliter & Q, L, * erit 4. _huius_ vt grauitas corporis D, hoc e$t vt EK, ad K, ita H, ad V.

Similiter quoniam ponuntur æqualia magnitudine corpora A, P, & æquales quoque portiones B, O, erit vt A, ad P, ita B, ad O, & per- mutando vt A, ad B, ita P, ad O, $ed eiu$dem $unt generis A, B, $imili- ter & P, O, * vt igitur grauitas corporis A, id e$t vt EK, ad E, ita erit 4. _huius_ G, ad F, & per conuer$ionem rationis erit vt EK, ad K, ita G, ad G, minus F, $ed demon$tratum e$t, vt EK, ad K, ita e$$e H, ad V, ergo vt H, ad V, ita erit G, ad G, minus F, & permutando vt H, ad G, ita V, ad G, minus F, & diuidendo vt H, minus G, ad G, ita erit FV, minus G, ad G, minus F, rur$us permutando erit vt H, minus G, ad FV, mi- nus G, ita G, ad G, minus F, $ed vt EK, ad K, ita e$t G, ad G, minus F, vt e$t demon$tratum, ergo vt H, minus G, ad FV, minus G, ita erit EK, ad K, quare permutando vt H, minus G, ad EK, ita erit FV, mi- nus G, ad K, quod e$tò primum.

Dico quoque vt H, minus G, ad EK, ita e$$e H, minus FV, ad E. Quoniam enim o$ten$um e$t vt EK, ad K, ita e$$e H, ad V, erit per conuer$ionem rationis vt EK, ad E, ita H, ad H, minus V, $ed demon- $tratum e$t vt EK, ad E, ita e$$e G, ad F, ergo vt H, ad H, minus V, ita erit G, ad F, & permutando vt H, ad G, ita H, minus V, ad F, & diui- dendo vt H, minus G, ad G, ita erit H, minus FV, ad F, & permutan- do vt H, minus G, ad H, minus FV, ita G, ad F, $ed vt EK, ad E, ita e$t G, ad F, vt e$t demon$tratum, ergo vt H, minus G, ad H, minus FV, ita erit EK, ad E, quare permutando, erit vt H, minus G, ad EK, ita H, minus FV, ad E, quod erat $ecundo loco demon$trandum.

SVpere$t igitur vt dicamus, qua ratione ex grauitate auri cogno$ci po$$it eius qualitas; id quod ex ijs, quæ dicta $unt facile colligitur; $i videlicet nota fiat cuiu$uis ma$$æ auri grauitas, quam habet tum in aere, tum in aqua. Sed ante omnia, duo nobis $unt præmittenda, & explicanda. nimirum quid $it aurum 24. partium, $eu (vt vulgo dicitur) di 24. ca- [0072]PROMOTVS ratti, quidue pauciorum, hoc e$t penes quid attendatur di- uer$a auri qualitas. Deinde quomodo aurum alligent Auri- fices, vel alij ad quos alligandi officium $pectat. His enim cognitis, non erit difficile, id quod proponitur, certa aliqua ratione, a$$equi.

Aurum igitur 24. partium appellacur aurum purum, pauciorum vero àicitur non purum, $ed aliquo alio metallo, vel pluribus affe- ctum. & quia hæc affectio multiplex e$t, ideo etiam auri qualitas, quæ ex varia mixtione na$citur, varia $it est nece$$e: quamuis vna tantum$it qualitas auri puri. Qualitas enim auri in quouis cor- pore propo$ito, exprimitur partibus auripuri, quæ $unt in ip$o corpo- re, non in magnitudine, $ed in grauitate $umptis, qualibus totum cor- pus constat 24: vel quod idem est, auri qualitas exprimitur in ra- tione quam habent illæ partes in grauitate ad totum corpus: quod exemplo clarius explicabitur in bunc modum.

Sit aliquod corpus aureum, exempli gratia 24. vnciarum, quod expurgatum & ad aurum purum reductum, ami$erit ex pri$tina grauitate nempe ex 24, vnc{ij}s, quatuor vncias, ita vt reman$erint tantum 20, vnciæ auri puri, reliquum vero vel eu anuerit in fumum, vel fuerit alterius metalli. Totum igitur illud corpus aureum ab initio propo$itum, $i adbuc intelligatur tale quale fuit ante expurga- tionem, appellabitur 20. partium, $eu, (vt vulgo dicitur) di 20. ca- ratti. eo quod tota illa ma{$s}a mista, 20. tantum vncias auri puri con- tinuerit. Immo non $olum illa ma$$a auri, $ed etiam illa cuius ip$a fui$$et pars, vel quæ ip$ius fui$$et quæcunque pars dicetur 20, par- tium. Neque enim in alligationibus metallorum, alia est alli- gatio partium, alia totius, $ed vtrorunque vna eademque e$t qua- litas.

Et hoc est quod Aurifices in inuestigatione qualitatis auri ob- $eruant. Nonenim purificant totum corpus propo$itum, $ed ali- quam eius particulam etiam perexiguam, quam $olam ad aurum pu- rum reducunt. hac enim reducta, non $olum recte definiunt cuius fuerit qualitatis particula illa purificata ante purificationem; ve- rum etiam cuius fuerit qualitatis, & quot partium fuerit illud cor- pus, à quo eadem particula detracta fuit, & illud, quod adbuc $u- pere$t, diminutum $cilicet illa parte purificata, vt in eodem ex emplo propo$ito, corporis aurei 24. vnciarum apparet. Eius enim quali- tatem $i forte aurifices inuestigare velint, detrabent ex eo particu- lam, verbi gratia, vnius vnciæ, vel quod idem est particulam 24. [0073]ARCHIMEDES. $crupulorum; & banc particulam excoquent ad qualitatem v$que auripuri. Et $i quidem inuenerint, ex priori grauitate 24. $cru- pulorum, deperi$$e nibil: pronunciabunt aurum illud, boc est, non $olum particulam illam excoctam, $ed etiam illud à quo fuit detra- cta, nec non & illud quod reman $it post $ubtractionem e$$e velfui$- $e aurum primæ qualitatis $eu 24, partium, vel quod idem est au- num purum. Sivero deprebenderint grauitatem diminutam, ver- bi gratia, nunc e$$e 20. $crupulorum, quæ ante defæcationem fuit 24: dicturi $unt aurum propo$itum 24. vnciarum fui$$e 20. partium & illud quod reman$it e$$e 20. partium, & denique particulam expur- gatam nunc quidem e$$e aurum purum, fui$$e vero particulam auri 20. partium.

Et eodem modo pronunciabunt de quibu$cunque alys auri quali- atibus, $ecundum partes auri puri, quas in qualibet ma$$a auri in- uenerint, ea$que vige$imas quartas totius grauitatis, non magnitu- dinis. Nam cum in bac comparatione qualitatum, $eor$im babea- tur ratio partium auri, & $eor$im metallorum alligatorum; manife- stum est $i grauitas totius corporis intelligatur diui$a in 24. partes æquales, ex quibus 20. $int auri, duæ argenti, & duæ æris; quamli- bet partem auri cum qualibet parte argenti & æris collatam, magni- tudine e$$e minorem; & $imiliter partem argenti minorem parte, æris; propterea quod aurum omnia reliqua metalla $uperet grauita- te quemadmodum & argentum ip$um æs, vt constat experientia. atque binc constat quam apte ac conuenienter Aurifices vtantur vocabulo partium. bac enim ratione eodem numero exprimunt vnam quamque qualitatem auri cuiuslibet ma$$æpropo$itæ. Sed nunc ad $ecundum veniamus & modum alligationis quem {ij}dem ob$eruant breuiter adnotemus.

Inter varias autem & multiplices auri compo$itiones quibus cum al{ij}s metallis alligari potest, eam retinuere aurifices, quam diu- turna experientia deprebenderunt omnibus al{ij}s e$$e commodiorem, eam nimirum quæ ab auri $imilitudine vel minimum di$cedat; qua- lis e$t quæ $olius argenti atque æris mixtione perficitur. Et quidem $i partes auri excipias, æris atque argenti partes, quæ auro $unt per- mi$cendæ $emper volunt e$$e æquales in grauitate: propterea quod eadem experientia Magi$tra didicerunt bunc e$se mixtionis modum longe optimum.

Quando ergo aurifices volunt producere aurum cuiu$cunque. qualitatis, accipiunt tot partes auri puri æquales, quot partium fu- turum e$t aurum producendum, pauciores tamen partibus 24, & [0074]PROMOTVS reliquas partes quæ de$unt ad 24, explent argento & ære, $umendo ex vtroque metallo partes æquales in grauitate: atque bis rite inter$e permixtis componunt aurum de$ideratæ qualitatis: eamque deno- minant à partibus auri puri in mixtione a$umptis. Et quoniam. non prodiret tale pror$us quale facere intendunt, $ed paulo perfe- ctius; propterea quod auri quidem partes in mixtione maneant, ex argento vero & ære ali quid deper datur, $olent Aurifices tanto plus mi$cere argenti & æris quantum perdi po$$e deprebenderunt.

V erum nostra intentio non est omnia quæ ad eiu$modi mixtiones pertinent boc loco exponere; $ed illud tantum vt receptum apud om- nes ad ferre voluimus, ex quo manifeste constat, quæ metallorum mixtio in $ingulis qualitatum generibus statuatur: quæquidem e$t illa quam adduximus nempe in auro 23, partium, partes 23, e$$e auripuri, & reliquam quæ deest ad 24, partes con$tare dimidia parte argenti, & dimidia æris in grauitate. In auro vero 22, par- tium, auri e$$e 22, argenti vnam, & æris vnam, $ic entm iterum fumma omnium partium est 24, eademque est ratio de reliquis ita vt numerus partium auri, $emper denominet qualitatem auri, & vna medietas reliquarum partium, quæ partibus auri de$unt ad complendas partes 24, $it argenti, & reliqua medietas $it æris. bæc enim $atis est $uppo$ui$$e, ad nouum illud artificium, quo paulo po$t inuestig aturi $umus auri qualitatem ex $ola grauitate quam habet in aere & aqua, eamque qualitatem duplici via inuestigabimus, vna per calculum, per tabellam altera: & quia ad calculum $pe- ctant ea, quæ $uperius inuenimus de grauitate metallorum bucre- ferenda cen$uimus quæ bic $unt nece$$aria, cuiu$modi $unt auri, argenti, atque æris grauitas, quam obtinent in aere, & aqua, quæ quidem ita $e babet vt $equitur.

Auri puri grauitas, quæ in aere e$t 19, erit in aqua 18.

Argenti grauitas, quæ in aere e$t 31, erit in aqua 28.

Aeris grauitas, quæ in aere est 9, erit in aqua 8.

Item.

Aurum ad aquam $e babet in grauitate vt 19, ad I.

Argentum ad aquam $e babet in grauitate vt 31, ad 3.

Aes ad aquam $e babet in grauitate vt 9, ad 1.

Ex quibus clari$$ime colligitur, $i aliquod corpus mistum con- stet partibus æqualibus argenti, & aeris in grauitate, quantam grauitatem babeat in aqua. & quæ $it ratio in grauitate ip$ius mi- sti ad aquam $i enim grauitas aeris in aere $it 9, eius grauitas in aquaerit 8, & $i grauitas argenti in aere $it quoque 9, erit eius gra- [0075]ARCHIMEDES vitas in aqua 8 {4/31}, est enim vt 9, ad 8 {4/31}, vt 31, ad 28: Quare $i grauitas corporis mi$ti ex argento, & ære iuxta mixtionem prædi- ctam, quæetiam $ubintelligenda erit in $equentibus, in aere fuerit 18, erit in aqua 16 {4/31}, & con$equenter<_>* grauitas aquæ magnitu- 5. _huius_ dinem babentis æqualem tali corpori misto erit 1 {27/31}; quare corpus mistum ex argento & ære ad corpus aqueum eiu$dem magnitudi- nis, rationem babebit in grauitats vt 18, ad 1 {27/31}, vel vt 1, ad {29/279}, vel denique in numeris integris vt 279, ad 29, omnium enim i$torum numerorum eadem e$t ratio.

Quibus $ic con$titutis inuenietur qualitas auri cuiu$cumque boc modo. Sit exemp. gratia propo$ita aliqua ma$$a aurea, cuius gra- uitas in aere $it vnc 24, & oporteat inuenire cuius qualitatis $it ip- $um aurum. Ponderetur ea ma$$ain aqua & babeat grauitatem vnciarum 22 {2818/5301}, ergo<_>* grauitas aquæ magnitudinem baben 5. _buiuse_ tis æqualem propo$it æ ma$$æ erit vnc. 1 {2483/5301}.

Deinde inueniatur grauitas aquæ magnitudine æqualis auro puro 24, vnciarum: boc e$t vt 19, ad 1, ita fiat 24, ad alium, nempe ad vnciam 1 {5/19}, bic enim numerus erit grauitas illius aquæ

Fiat denique vt 279, ad 29, ita rur$us 24, vnciæ, ad alium, nume- rus enim quartus, nempe vnc. 2 {138/279} erit grauitas aquæ, magnitu- dine æqualis corpori mi$to ex argento & ære, cuius grauitas est in ære vnc. 24, corpus enim ita mi$tum, ad corpus aqueum eiu$dem ma- gnitudinis rationem babet in grauitate vt 279, ad 29.

Atque ita babebuntur tres grauitates trium aquæ quantitatum, quarum prima æquatur auro puro 24, vuciarum, $ecunda ma$$æ propo$itæ 24, vnciarum, & reliqua corpori misto ex argento & ære $imiliter 24, vnciarum quæ quidem tres grauitates in numeris di- $ponantur eo ordine, quo $equitur.

Grauitas aquæ magnitu- \\ dine & qualis auro puro. # Grauitas aqu & magnitu- \\ dine & qualis ma$$æ propo- \\ $ite. # Grauitas aque magnitu- \\ dine & qualis corpori mi$to \\ ex argento & ære. Vnc. 1 {5/19} # Vnc. 1 {2483/5301} # Vnc. 2 {138/279} Velin eadem denominatione. Vnc. 1 {1395/5301} # Vnc. 1 {2483/5301} # Vnc. 2 {2622/5301}.

Deinde quæratur differentia inter primam & tertiam aquæ gra- uitatem, quæ est vnc. 1 {1227/5301}, & bæc differentia statuatur pro primo proportionis termino, pro $ecundo termino ponatur grauitas ma$$æ propo$itæ, idest vnc. 24, & protertio denique termino ponatur differentia inter $ecundam aquæ grauitatem & tertiam, quæ est vnc. 1 {139/5301} quartus enim proportionalium terminus nempe 20, [0076]PROMOTVS I. # II. # III. # IIII. 1 {1227/5301}, # 24, # 1 {139/5301}, # 20, erit denominator qualitatis auri de qua quæritur quia ille termi- nus indicat partes auri puri in grauitate, qualibus ma$$a propo$ita constat 24. Hoc autem demonstratum e$t prop. 19, buius.

Et quia in propo$ito exemplo bæ partes, nempe vnc. 20, $unt par- tes vige$imæ quartæ 24, vnciarum, quæ constituunt grauitatem to- tius ma$$æ. binc fit quod eædem 20, vnc. immediate denominent au- rum propo$itum e{$s}e 20, partium. Quando vero grauitas totius ma$- $æ non exprimitur per numerum 24, tunc opus erit inquirere quot partes vige$imas quartas totius grauitatis efficiat quartus ille pro- portionis terminus vt in $equenti exemplo clarius apparebit.

Sit enim propo$ita alia auri ma$$a cuius grauitas in aere $it 5301 in aqua vero 4988, $i igitur bic numerus $ubtrabatur ex numero to 5. _buius_ tius grauitatis 5301, rcliqaus numerus 313,<_>* erit grauitas aquæ propo$itæ ma$$æ magnitudine æqualis. Inueniantur quoq; duæ aliæ grauitates aquæ, vnare $pondentis auro puro magnitudine, altera. corpori mi$to ex argento & ære, ita tamen vt grauitas tum auri pu- ri, tum corporis misti $it eadem quæ ma$$æpropo$itæ, non $ecus ac in præcedenti exemplo factitatum est. boc e$t primo fiat vt 19, ad 1, ita 5301, ad 279, bic enim numerus erit grauitas aquæ magnitudinem babentis æqualem auro puro, cuius grauitas e$t 5301. Deinde fiat vt 279, ad 29, ita rur$um grauitas 5301, ad aliam, bac enim ratione producetur numerus 551, debitus grauitati aquæ, magnitudine, æqualis corpori mi$to ex argento & ære, grauitatem babenti eandem cum eadem ma{$s}a propo$ita. Atque bæ tres grauitates aquæ $criban- tur eo ordine quo$upra; inuenti$que different{ij}s inter primam & Grauitas aqu & magnitu- \\ dine & qualis auro puro. # Grauitas agua & qualis \\ ma$læ propo$ita. # Grauitas aquæ æqualis \\ corpori mi$to. 279 # 313 # 551 tertiam, nec non inter $ecundam & tertiam, quæ $unt 272, 238; sta- tuatur pro primo proportionis termino prior differentia 272, & pro tertio posterior 238. grauitas vero ma$$æ propo$itæ 5301, ponatur pro $ecundo termino, & quæratur terminus quartus, qui inpræ- I. # II. # III. # IIII. 272, # 5301, # 238, # 4638 {51/136}. $enti exemplo e$t 4638 {51/136}, is<_>* enim indicabit grauitatem auri 19. _buius._ puriin ma$$a propo$ita. Sed quoniam bæc grauitas non est expre$- $a in partibus vige$imis quartis totius grauitatis, id quod ad ger- [0077]ARCHIMEDES. manam qualitatis auri pronunciationem requiritur, vt $upra mul- tis o$tendimus, reuocanda erit ad partes vige$imas quartas boc est ad partes, qualium tota propo$ita ma$$a est 24, quod factu non est difficile. N am $i fiat vt tota grauit as ma$$æ propo$itæ 5301, algra- uitatem auri puri 4638 {45/136}, vel vt 272, ad 238, cum vtrobique eadem $it ratio ita 24, ad a lium numerum. proculdubio quartus nu- merus proportionalis, erit ille qui quæritur. Est autem bic quar- tus numerus 21. Quare aurum ma$$æ propo$itæ appellabitur par- tium 21.

Ex his igitur patet in inuenienda auri qualitate primum pro- portionis terminum 272, & $ecundum 5301, perpetuo manere eo$- dem, quia primus terminus est differentia inter grauitates primæ, & tertiæ aquæ, quæ nunquam mutantur, nam illæ aquæ magnitu- dine $unt æquales altera auro puro, reliqua mi$to ex argento & ære, quæ corpora aureum $cilicet & mistum $emper ponuntur eiu$dem grauitatis nempe 5301, Secundus vero terminus 5301, e$t grauit as ma$$æ propo$itæ, quæ $i maior fuerit, vel minor, ad eam facile reuo- cabitur. V nde in posterum $olum opus erit inuenire tertium pro- portionis terminum, boc est differentiam inter grauitates $ecundæ & tertiæ aquæ.

Sed vt boc etiam exemplo illustretur, proponatur aliqua ma$$a auri, cuius inue $tigãda $it qualitas, & $it ip$ius ma$$æ grauitas qui- dem in aere 837, in aqua vero 784, ergo * grauitas aquæ magnitu- 5. _huins_ dinem babentis æqualem propo$itæ ma$$æ erit 53, differentia enim inter primam, & $ecundam grauitatem est 53.

Ad inueniendum igitur tertium proportionis terminum manen- tibus primis duobus 272, 5301, bæc erit ratio. Reuocetur primum ptopo$itæ ma$$æ grauitas 837, ad grauitatem 5301, boc est intelli- gatur ip$a ma$$a grauit atem babere 5301. deinde fiat vt 837, ad 53, grauitatem videlicet aquæ ip$i ma$$æ æqualis, ita 5301, ad 335 {2/3}, ergo 335 {2/3}, erit grauitas aquæ magnitudinem babentis æqualem aureæ ma{$s}æ, cuius grauitas 837, reuocata est ad grauitatem 5301; quare grauitas $ecundæ aquæ erit 335 {2/3}, & con$equenter differen- Grauitas primæ aquæ. # Grauitas $ecundæ aquæ. # Grauitas tertiæ aquæ. 279, # 335 {2/3}, # 551. tia inter ip$am grauitatem $ecundæ aquæ & grauitatem tertiæ 551, erit 215 {1/3}, $ed ip$a differentia ponitur pro tertio proportionis ter- mino; ergo 215 {1/2}, erit quæ$itus terminus, nempe proportionis ter- [0078]PROMOTVS I. # II. # III. # IIII. 272, # 5301, # 215 {1/3}, # 4196 {25/136}, tius. Quartus autem terminus 4196 {25/136}, indicabit grauitatcm auri puri, quod est in ma$$a propo$ita, eam tamen indicabit in par- tibus, qualibus tota ma$$a constat 5301, quæ quidem grauitas vt auri qualitatem indicet, reuocanda erit ad partes qualium tota ma$$a propo$ita est 24. $i enim. fiat vt 5301, ad 4196 {85/136}, ita 24, ad 19, aurum propo$itæ ma$$æ appellabitur partium 19.

Denique $i quis bunc modum conferat cum illo, quem $upra tradi- dimus, cum argentum explorauimus, quod mi$tum in aurea corona credebatur; is liquido intelliget bic nibil aliud acce$$i{$s}e, ni$i quod loco argenti, a$$umptum $it corpus ex argento & ære mistum, eo quod bæc duo metalla tantum in alligationibus auri $oleant adbibe- ri, vt diximus. Quod $i con$taret plura alia a$$umpta e$$e, etiam in quauis alia ratione, facile erit cuiuis ad $imilitudinem buius, for- mare alium modum, $ed nos, ne longiores $imus, ad v$um $equentis tabulæ nos conferamus, quaillis con$ultum volumus qui minus in præceptis Aritbmeticis $unt exercitati, vel illis, qui alias ob cau$as tabulis vti malunt, quam calculis.

Hæc tabula accommodata e$t primarie ad aurum vnius libræ, vt apparet in $ecũda ip$ius columna in qua omnes numeri $unt unita- tes, re$pon dentes $ingulis Denominatoribus qualitatum auri, à deno minatore partium 24, v$que ad denominatorem qualitatis partis ò, quamuis proprie loquendo nulla $it qualitas auri partis nullius, quia tunc non e$$et aurum, $ed mistum ex argento & ære. Hos denomi- natores auri omnes inuenies in prima columna $ub titulo qualitatis. In columna vero $ub titulo misti placuit etiam de$cribere denomi- natores mi$ti ex argento & ære, vt vnico intuitu appare at quot par- tes auri puri, & quot partes misti ex argento & ære contineantur in $ingulis qualitatibus.

Porro in area tabulæ $ub titulo grauitatis auri in aqua po$ita est grauitas auri cuiuslibet qualitatis quam obtinet in aqua, quæ qua ratione inueniatur, dicetur inferius vbi agetur de compo$itione, eiu$dem tabulæ.

V $us eius $unt duo, quorum alterum titulus indicat, nimirum vt tabulæ beneficio reperiatur ex grauitate auri quam babet in aere & aqua, eius qualitas. Alter vero est vt cogno$catur grauitas in aqua, quando vnà cum grauitate quam aliquod aurum babet in aere da- tur ip$ius qualitas. & de boc vfu cum $it $implicior prius nobis erit agendum.

[0079]ARCHIMEDES. ####### Tabula ad inueniendam qualitatem \\ Auri, ex grauitate quam ha- \\ bet in aere & aqua. Qualitas \\ Auri. # Grauitas Auri \\ in aere. #### Grauitas Auri in aqua. # Mi$tũ ex Arg. \\ & ære. Part. # Lib. # Vnc. # Scrup. # Gran. # Num. Fract. # Part. 24 # 1 # 11. # 8. # 20. # 372 # 0 23 # 1 # 11. # 8. # 5. # 765 # 1 22 # 1 # 11. # 7. # 14. # 1158 # 2 21 # 1 # 11. # 6. # 23. # 1551 # 3 20 # 1 # 11. # 6. # 9. # 177 # 4 19 # 1 # 11. # 5. # 18. # 570 # 5 18 # 1 # 11. # 5. # 3. # 963 # 6 17 # 1 # 11. # 4. # 12. # 1356 # 7 16 # 1 # 11. # 3. # 21. # 1749 # 8 15 # 1 # 11. # 3. # 7. # 375 # 9 14 # 1 # 11. # 2. # 16. # 768 # 10 13 # 1 # 11. # 2. # 1. # 1161 # 11 12 # 1 # 11. # 1. # 10. # 1554 # 12 11 # 1 # 11. # 0. # 20. # 180 # 13 10 # 1 # 11. # 0. # 5. # 573 # 14 9 # 1 # 10. # 23. # 14. # 966 # 15 8 # 1 # 10. # 22. # 23. # 1359 # 16 7 # 1 # 10. # 22. # 8. # 1752 # 17 6 # 1 # 10. # 21. # 18. # 378 # 18 5 # 1 # 10. # 21. # 3. # 771 # 19 4 # 1 # 10. # 20. # 12. # 1164 # 20 3 # 1 # 10. # 19. # 21. # 1557 # 21 2 # 1 # 10. # 19. # 7. # 183 # 22 1 # 1 # 10. # 18. # 16. # 576 # 23 0 # 1 # 10. # 18. # 1. # 969 # 24 Part. # Lib. ### Communis Denomin. fract. # 1767 # Part. ### Tabella Partis pro \\ portionalis Deno- \\ minatorum Auri. Pars proportio \\ nalis Auri in \\ partibus. 24. ## Differ\-etia Gra \\ uitatum Auri \\ in aqua. Part. # Gran. # Num: Fract. 1 # 0. # 1088 2 # 1. # 409 3 # 1. # 1497 4 # 2. # 818 5 # 3. # 139 6 # 3. # 1227 7 # 4. # 548 8 # 4. # 1636 9 # 5. # 957 10 # 6. # 278 11 # 6. # 1366 12 # 7. # 687 13 # 8. # 8 14 # 8. # 1096 15 # 9. # 417 16 # 9. # 1505 17 # 10. # 826 18 # 11. # 147 19 # 11. # 1235 20 # 12. # 556 21 # 12. # 1644 22 # 13. # 965 23 # 14. # 286 24 # 14. # 1374 Part. # Denom. # Fract. com. # ## 1767 [0080]PROMOTVS

Quæratur exempli gratia quam babet grauitatem in aqua aurũ purum $eu aurum 24, partium cuius grauitas in aere est lib. 1. Hæe in $upremo ordine è regione denominatoris partium 24, $ub titulo grauitatis auri in aqua, datur vnc. 11. Scrup. 8, Gran. 20 {372/1767}, quæ fractio licet exprimi po$$it minoribus numeris n\-epe {4/19}, libuit tamen illam maiorem in tabula ponere, vt omnes fractiones totius tabulæ e$$ent eiu$dem denominationis, & re$ponderent denomina- toribus fractionum quæ babentur in tabella partis proportionalis.

Rur$um guæratur quam babet grauitatem in aqua aurum ite- rum vnius libræ, qualitatis vero 20, partium. quam $i in tabula quæras, inuenies $ub eodem titulo è regione denominatoris 20, par- tium. vnc. 11, Scrup. 6, Gran. 9 {177/1767}. eademque est ratio de re- liquis.

Quando vero propo$itum aurum non est unius Libræ; tunc opus erit ratiocinatione proportionis, in qua pro primo termino ponatur vna libra auri propo$itæ qualitatis, pro $ecundo termino, grauitas eidem re$pondens in aqua quam tabula exbibet, pro tertio vero ter- mino collocetur vera grauitas auri propo$iti. Quartus enim ter- minus exbibebit grauitatem ip$ius auri in aqua. Vt $ipropo$itum aurũ $it trium lib. qualitatis vero 18, partium. fiat vt lib. 1. ad vne 11, Scrup. 5, Gran. 3 {963/1767}, ita lib. 3. ad alium numerum, is erit lib. 2, vnc. 9, Scrup. 15, Gran. 10 {1122/1767}. & tanta erit grauitas au- ripropo$iti in aqua. Et $ic de al{ij}s.

Quod vero ad priorem vfum attinet, is per$imilis est præcedenti, & æquè facilis quando grauitas auri quam in aere & aqua babet, in tabula reperitur precisè. Nam $i proponatur exemp. gratia aurum vnius lib. babens in aqua grauitat\-e vnc. 11. Scr. 7, Gra. 14 {1158/1767}, quoniam bæc grauitas reperitur in tabula è regione qualitatis auri 22, partium; manife$tum e$t totidem partium e$$e aurũ propo$itum.

Quando vero grauitas auri in aere quiaem e$t vnius lib. in aqua vero grauitatem babet, quæ in tabula non reperitur, indicium erit aurum propo$itum non e$$e aliquot partium præcisè, $ed annexam babere aliquam fractionem, quæ per partem proportion alem inue- nietur boc modo.

Proponatur aurum vnius libræ in aqua babens grauitatem vnc. 11. Scrup. 6, Gran. 16 {864/1767}, qualis in tabula non reperitur Gra- uitas enim proxime maior est vnc. 11. Scrup. 6, Gran. 23 {1551/1767}, re$pondens auro 21, partium, & grauitas proxime minor e$t vnc. 11, Scrup. 6, Gran. 9 {177/1767}, earumq; differentia e$t Gran. 14 {1374/1767}, quem admodum & inter qua$cunque duas alias grauitates proxi- [0081]ARCHIMEDES. mas eadem e$t differentia, propterea quod omnes grauitates in tabu- la procedunt per æqualem exce$$um, vel defectum, vt inferius de- mon$trabitur. Inueniatur quoque differentia inter eandem gra- uitatem proxime minorem & <007>nter grauitatem auri propo$iti quam babet in aqua, quæ quid\-e e$t Gran. 7 {627/1767}, & fiat vt 14 {1374/1767}, ad 1, ita 7 {637/1767}, ad alium numerum & inuenietur bæc fractio {1/2}, eademque ad{ij}cienda erit ad denominatorem 20, partium, vt componatur totus denominator auripropo$iti partium 20 {1/2}, & eo- dem modo inueniendus erit denominator cuiu$cunq; alterius auri, cuius grauitas in aqua, in tabula non reperitur.

Ceterum qui volet contentus e$$e partibus vige$imis quartis de- nominatorum auri, is multo breuius a$$equetur quod quæritur, per tabellam partis proportionalis. illic enim vnico ingre$$u offendet partem proportionalem, quam quærit, vt in eodem exemplo apparet, in quo differentia grauitatum auri erat Gran. 7 {687/1767}, quæ in tabella partis proportionalis babetur præcisè è regione particularum 12. V nde concluditur, denominatorem auri propo$iti e$$e partium 20 {12/24}, vel quod idem est partium 20 {1/2}, vt prius. Quando vero differentia grauitatum in tabella partis proportionalis non babetur præcisè. accipiatur alia ip$i propinquior & particula illi in latere re$pondens addatur denominatori auri ex primaria tabula extr a- cti. $ic enim $altem non errabitur in vna particula vige$imaquarta vnius partis denominatoris auri.

Denique $i proponatur aurum non vnius libræ $ed vel plurium, vel $olum aliquot vnciarum. R educenda erit eius grauitas quam babet in aqua, ad grauitatem quam haberet $i e{$s}et vnius libræ, id quod ab$oluetur per proportionis ratiocinationem, $i pro termino primo ponatur vera grauitas auri propo$iti, pro $ecundo, e iu$dem grauitas in aqua, & pro tertio l<007>b. 1, quartus enim terminus indic a- bit grauitatem in aqua re$pondentem vni libræ auri propo$iti. & bac inuenta reliqua expedientur vt prius.

Exemplum buius ca$us bic non affero, quod per $e res $it clara. Sed illud tantum obiter aduertere placet, quod videtur pertinere. ad commodiorem v$um tabulæ, videlicet vt ijs in ca$ibus in quibus nece{$s}arius est calculus, fractiones granorum ommittantur quando minus valent quam {1/2}, & quando valent plus, eorum loco, addatur vnum granum reliquis granis, & $i quando accidat binc procreari grana 24. tunc etiam grana ommittantur addita prius vnitate ad $crupula in tabula inuenta. bac enim ratione calculus erit expedi- tior & error qui binc oborietur erit in$en$ibilis.

[0082]PROMOTVS Compo$itio eiu$dem tabulæ.

Si ea quæ bactenus $unt dictarectè intelligantur liquido appare- bit compo$itionem tabulæ in eo con$istere, vt inueniatur grauitas quam aurum cuiu$uis qualitatis babet in aqua, boc e$t $i intelligan- tur propo$itæ plures ma$$æ auri, $ingulæ $ingularum librarum, & alia $it qualitatis 24, partium alia 23, alia 22, & c. quanta $it gra- uitas vniu$cuiu$que in aqua, id quod boc extremo loco inuestig are. docebimus.

Et primum $it propo$itum aurum purum, $eu 24, partium. quo- niam igitur grauitas auri in aere, ad grauitatem eiu$dem in aqua $e babet vt 19, ad 18, fiat vt 19, ad 18, ita lib. 1, auri puri ad aliam grauitatem nempe lib. {18/19}, quæ grauitas ad vncias, $crupula, & grana reuocata valet vnc. 11, Scrup. 8. Gran. 20 {4/19}, atque bæc est grauitas auri puri in aqua, quam in tabula è regione denominatoris 24, po$uimus; fractione excepta cuius loco $ub$tituta est fractio {372/1767}, propter cau$am $uperius allatam.

Sit deinde propo$itum quod vis aliud corpus aureum vnius libræ, $itque exemp. gratia illud aurum 20, partium, patet igitur ex defi- nitione qualitatis, ex 24, $emiuncijs totius grauitatis, 20, $emiuncias e$$e auri puri, duas argenti, & reliquas duas æris & quoniam gra- uitas misti in aere, ad grauitatem eiu$dem in aqua rationem babet vt 279, ad 250, vt ex <007>am dictis patet, fiat vt 279, ad 250, ita qua- tuor $emiunciæ, vel potius 2, vnciæ misti quod componit qualitatem auri 20, partium, paulo ante propo$itam ad alias vncias. inuenien- tur enim pro grauitate illius mi$ti in aqua vnc. 1 {221/279}. Est autem grauitas auri puri 20, $emiunciarum vel 10, vnciarum in aqua vnc. 9 {9/19}, eo quod ita $e babeant 10, ad 9 {9/19}, vt 19, ad 18, Quare $i bæ duæ grauitates inuentæ collig antur in vnam $ummam, inueniemus totam ma$$am auri propo$itam, cuius grauitas in aere ponebatur lib. 1, in aqua babere grauitatem vnc. 11 {1409/5301}. & facta reductione fractionis ad $crupula, & grana, vnc. 11, Scrup. 6. Gran. 9 {177/1767}, vt videre e$t in tabula è regione denominatoris 20, partium. Atqus eodem modo deprebendentur grauitates auri in aqua quarumcunq; aliarum qualitatum.

Quia vero permolestum videri po$$et omnes grauitates totius tabulæ bac via eruere; ob$eruari quidem poterit prædicta Metbodus quando $eor$im inuestiganda fuerit alicuius auri grauitas in aqua, in cõpo$itione vero tabulæ $ic forta$$is cõpendio$ius quis proce$$erit.

Equidem, cum buius tabulæ con$tructionem diligentius mecum [0083]ARCHIMEDES pertracto, video grauitates illas, quæ in eius area de$criptæ $unt ne- ce$$ario eadem differentia procedere, $icut & denominatores quali- tatum eadem differentia procedunt; atque adeo differentiam illam e$$e eam, qua grauitas $emiunciæ auri puri in aqua $uperat in aqua grauitat\-e $emiunciæ mi$ti, quæ quid\-e differentia e$t Gra. 14 {1374/1767}. Con$iderentur enim quæcunque duæ grauitates proximæ in tabula expre{$s}æ, vt exemp. gratia, grauitates auri 20, & 19, partium. Quo- niam igitur in auro 20, partium $unt auri puri 20. $emiuneiæ, misti vero 4, & in auro 19, partium $unt' auri puri 19. $emiunciæ, misti vero 5, erit in auro 20, partiũ vna $emiuncia auri puri plu$quam in auro 19, partium, in auro autem 19, partium erit vna $emiuncia misti plus quam in auro 20, partium; quare grauitas auri 20, par- tium in aqua $uperabit in aqua grauitatem auri 19, partium gra- uitate, qua $emiuncia auri puri $uperat $emiunciam mi$ti. Quod erat demon$trandum. Et eadem est ratio de alijs gr auitatibus, non $olum quæ in bac tabula de$cribuntur, $ed etiam de illis, quæ de$eri- bentur in al{ij}s, copio$ioribus, in quibus videlicet denominatores non e$$ent partes integræ, $ed partes partium; dummodo etiam illæ partes per vnam eandemque differentiam progrederentur.

Quibus in bunc modum præ osten$is. $i construenda fuerit tabula per continuam additionem eiu$dem numeri, $ic erit progrediendum. Primo inuenienda erit grauitas quam babet $emiuncia auri puri in aqua, quæ inuenietur $i fiat vt 19, ad 18, it a $emiuncia ad alium numerum qui $it vnc. {9/19}, is enim dabit grauitatem quæ$itam, quæ valet $crup. 11, Gran. 8 {16/19}.

Secundo quærenda est grauitas $emiuncie misti in aqua, quæ ba- bebitur fi fiat vt 279, ad 250, it a $emiuncia, ad alium numerum, qui $it vnc. {125/279}, is enim dabit grauitatem quæ$itam, quæ reducta ad $crupula, & grana valet $crup. 10, Gran. 18 {2/3}.

Tertio exploranda est differentia inter duas grauitates proximè inuentas, quam per $ubtractionem inuenies Gran. 14 {458/589}, cuius tamen fract<007>o reducta e$t ad partes 1767, nempe ad {1374/1767}, propter tabellam partis proportionalis.

Postremo inuestig anda erit grauitas in aqua vnius libræ misti, quæ inuenietur $i grauitas $ecundo loco reperta per 24, multiplice- tur, productus enim numerus vnc. 10, $crup. 18, Gran. {969/1767}, da bit quæ$itam grauitatem. Qua in calce tabulæ de$cripta, compo- nentur reliquæ grauitates omnes per continuam additionem diffe- rentiæ tertio loco inuentæ. Si enim addatur ad grauitatem auri partis o, idest ad grauitatem misti vnius libræ in aqua, componetur [0084]PROMOTVS grauitas auri 1, partis. addita veroad grauitatem 1, partis, procrea- bit grauitatem 2, partium, & c. propter rationem quam paulo ante aperuimus.

Hoc eodem artificio compo$ita est quoque tabella partis propor- tionalis, primo enim inuenta e@ vige$ima quarta pars differentiæ $ecundum quam tabula progreditur quam $upra inuenimus e$$e. Gran. 14 {1374/1767}, cuius pars vige$ima quarta est {10@8/1707}, deinde banc particulam addidimus primum $ibi ip$i, & produximus diffe- rentiam 2, particularum Gran. 1 {409/1767} & buic differentiæ iterũ adiecimus eandem particulam, & inuenimus pro tribus particulis gran. 1 {1497/1767}. & ita deinceps progre$$i $umus v$que ad differen- tiam Gran. 14 {1374/1767}, quæ re$pondet 24, particulis, $eu differentiæ, $ecundum quam tabula progreditur.

_FINIS._ ERRATA SIC CORRIGE. Pagina # Linea # Errata # Correcta 6 # 10 # 2. &. 3. # 4. _huius._ 6 # 20 # 2. & 3. # 4. _buius._ 7 # 25 # _$olidi data_ # _$olidi A, data._ 16 # 4 # _prauitatem_ # _grauitatem_ 26 # 28 # _grauitas D, ita_ # _grauitas E, ad_ 38. & 39. # _de$unt $ui numeri._ 58 # 21 # _æqualitatem_ # _quare & qualitætem_ 61 # 13 # _qualiatibus_ # _qualitatibus_ 62 # 4 # _a$umptis_ # _a$$umptis_ 62 # 38 # _aeris_ # _æris_ 63 # 1 # _vt 31. ad_ # _ita 31. ad_ 63 # 22 # _ære_ # _æere_

Contractior\-e quoq. ad inuenies dimidij pedis men$urã in margine pag. 34. appo$itã, quia madefacta papyrus, dũ imprimeretur recipiebat verã men$urã, ex$iccatæ breuiorem reddidit. Itaque $i quartadecima pars vnius vnciæ addatur ip$i meæ $ura componetur dimidij pedis men$ura; vel $i ip$a men$ura duplicetur, & ei ad- datur $eptima pars vnius vncia fiet men$ura vnius pedis, ad cuius rationem one æes calculi in tabulas optime re$pondebunt.

Denique pagina 38. & 39. tabularum præpo$terus e$t ordo. ex quo tæmen nibil er- reris $equitur $i tituli recte accipiantur.

[0085] [0086] [0087] [0088]